Arbitragetheoretische Bewertung von Index-Anleihen [1 ed.] 9783428474134, 9783428074136

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THOMAS EBERTZ

Arbitragetheoretische Bewertung von Index-Anleihen

Untersuchungen über das Spar-, Giro- und Kreditwesen Abteilung A: Wirtschaftswissenschaft Herausgegeben von

G. Ashauer, W. Ehrlicher, H.-J. Krümmel, F. Voigt

Band 147

Arbitragetheoretische Bewertung von Index-Anleihen

Von

Dr. Thomas Ebertz

Duncker & Humblot · Berlin

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Ebertz, Thomas:

Arbitragetheoretische Bewertung von Index-Anleihen I von Thomas Ebertz. - Berlin : Duncker und Humblot, 1992 (Untersuchungen über das Spar-, Giro- und Kreditwesen : Abt. A, Wirtschaftswissenschaft ; Bd. 147) Zug!.: Bonn, Univ., Diss., 1991 ISBN 3-428-07413-0 NE: Untersuchungen über das Spar-, Giro- und Kreditwesen I A

Alle Rechte vorbehalten © 1992 Duncker & Humblot GmbH, Berlin 41 Satz: Hagedornsatz, Berlin 46 Druck: Druckerei Gerike GmbH, Berlin 36 Printed in Germany ISSN 0720-7336 ISBN 3-428-07413-0

Meinen Eltern

Vorwort In den letzten Jahren sind an den nationalen und internationalen Finanzmärkten zahlreiche Anleihen kreiert worden, die dem Gläubiger oder dem Schuldner ein nicht abtrennbares Optionsrecht (embedded option) verbriefen. Beispiele für diese Anleihen sind Anleihen mit Währungswahlrechten, Anleihen mit Wandlungsrechten, variabel verzinsliche Anleihen mit Zinsbegrenzung und Index-Anleihen. Eine Anleihe mit embedded option ist gedanklich separierbar in einen straight bond und das Optionsrecht Das Hauptmotiv für die Emission einer Anleihe mit embedded option ist, die Finanzierungskosten ceteris paribus unter die straight bond-Rendite zu drücken. Die günstigere Finanzierung gelingt, wenn der Emittent für das dem Gläubiger gewährte Optionsrecht einen höheren Preis erzielt als er selbst am regulären Optionsmarkt dafür zahlt oder wenn er das vom Gläubiger erworbene Optionsrecht zu einem höheren Preis weiterverkaufen kann. Für das Verhalten der Investoren, eine embedded option zu einem überhöhten Preis zu kaufen bzw. zu billig zu verkaufen, gibt es zwei plausible Erklärungen. Die eine Erklärung ist, daß den Investoren der Zugang zum regulären Optionsmarkt versperrt ist. Die andere, daß die Investoren nicht imstande sind, das Optionsrecht in der Anleihe zu erkennen oder es korrekt zu bepreisen. Die vorliegende Arbeit zeigt die embedded options in Index-Anleihen auf und bewertet diese. Sie geht dabei über die in der Literatur vorhandenen, allesamt speziellen Ansätze zu Waren-Index-Anleihen, zu Wechselkurs-IndexAnleihen und zu Aktienkursindex-Anleihen hinaus und formuliert einen umfassenden Bewertungsansatz für alle Typen von Index-Anleihen, unabhängig davon, welches Basisobjekt Referenzgröße ist. Thomas Ebertz

lnhaltsveneichnis lo Grundlagen 1.1.

1.20

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

o l.

2

02 0

2o3o

0 0 0 0 0 0 0

Zum Begriff "Index-Anleihe"

2

Formen von Index-Anleihen

20 Bewertungskonzept 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

o o 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 0 o o 0 0 0 0 o 0 o o 0 0 0

0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 o o 0

0 0 o 0 o 0 o 0

Arbitrageformen und Arbitragefreiheit

10

13

Formale Analyse der Arbitragefreiheit Statische und dynamische Duplizierung derivativer Finanztitel

22

30 Bewertung von indexgebundenen Zahlungen durch statische Duplizierung 3 o lo

3

o2o

3

o2

o2 o

3o2o3o

o

0 0 0 0

25

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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Buii-Teilschuldverschreibung mit minimalem Rückzahlungskurs Buii-Teilschuldverschreibung mit maximalem Rückzahlungskurs

3 0 3 0 20

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 o 0 o

Bear-Teilschuldverschreibung mit minimalem und maximalem Rückzahlungskurs 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

Verallgemeinerung des statischen Bewertungsansatzes aufbeliebig indexgebundene Zahlungen 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

40 Bewertung von indexgebundenen Zahlungen durch dynamische Duplizierung

4020

56

Bun-Teilschuldverschreibung mit minimalem und maximalem Rückzahlungskurs 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 0 0 0 0

401.

51

Indexgebundene Tilgungszahlung mit beidseitig begrenztem Bindungsbereich 3 0 30 1 .

Zeitdiskrete dynamische Duplizierung Zeitstetige dynamische Duplizierung

39

47

Bear-Teilschuldverschreibung mit minimalem Rückzahlungskurs

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3.40

24

Indexgebundene Tilgungszahlung mit einseitig begrenztem Bindungsbereich 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 o3

0 0 0 0 0 0

Indexgebundene T~ung mit unbegrenztem Bindungsbereich

3o2ol.

8

0 0 0

60

66 71

76

80

81

86

Inhaltsverzeichnis

X

5. Synthese der statischen und der dynamischen Bewertung von indexgebundenen Zahlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

5.1. Statische und zeitdiskrete dynamische Bewertung

90

5.2. Statische und zeitstetige dynamische Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

5.3. Bemerkungen zur statischen und zur dynamischen Bewertung in der Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

6. Exemplarische Bewertung der FAZ-lndex-Anleihe der Deutsche Bank Finance N. V., Curacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

6.1. Ausstattung der FAZ-Index-Anleihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

6.2. Duplizierung der Bull- und Bear-Teilschuldverschreibungen . . . . . . . . . . 101 6.3. Bewertung der FAZ-Indexoptionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.4. Theoretische Werte und Marktpreise der Bull- und Bear-Teilschuldverschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Literaturverzeichnis

121

Anhang

126

Symbolverzeichnis

132

Tabellenverzeichnis Tab. 1: Ausstattungsmerkmale von Teilschuldverschreibungen und einige ihrer möglichen Ausprägungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Tab. 2: Aus- und Einzahlungsströme von m Finanztiteln in n Ereignissen

13

Tab. 3: Aus- und Einzahlungsstrom der Schuldverschreibung und der Devise (k=1,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Tab. 4: Aus- und Einzahlungsstrom der Wechselkurs-Index-Anleihe (k=1,2) . . . . .

17

Tab. 5: Aus- und Einzahlungsstrom der Schuldverschreibung und der Devise (k = 1,2,3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Tab. 6: Aus- und Einzahlungsstrom der Wechselkurs-Index-Anleihe (k= 1,2,3) . . . .

20

Tab. 7: Aus- und Einzahlungsstrom der Aktie ( k=l,2,3)

..................

21

Tab. 8: Szenarioanalyse des Rückzahlungskurses der Wechselkurs-Index-Anleihe (RZ=TZ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Tab. 9: Szenarioanalyse des Rückzahlungskurses der Wechselkurs-Index-Anleihe (RZ: 84,5

mit Rn Rückzahlungskurs TZ Tilgungszeitpunkt (Verfalltag) WK!fl Wechselkurs YenfUS-$ in TZ Anders ausgedrückt: Rn= max [0; 100 + (100 · WK!fl- 16900)/WKsizJ Rn= max [0; 200- 16900 · WK!{)] mit WKSiz Wechselkurs US-$fYen in TZ Abbildung 1 stellt die Rückzahlungsfunktion graphisch dar.

Die Art der Bindung der Zahlungsbeträge an die Referenzgröße legt fest, in welchem Wertebereich der Referenzgröße die Zahlungsbeträge veränderlich sind. Sie bestimmt darüber hinaus, welches Vorzeichen diese Bindung charakterisiert.

5 Aktienkursindex-Anleihen sind vor allem in Japan verbreitet. Bis Ende September 1990 wurden nach Angaben von Jacke! (1990), S. 615, rund zweihundert öffentliche Emissionen dieser Art begeben. 6 Vgl. Mason (1986), S. 45f. 7 Die Begriffe "Rückzahlungsbetrag", "Tilgungsbetrag" und "Rückzahlungskurs" verwenden wir in der vorliegenden Arbeit synonym. Die Identität des in Geldeinheiten ausgedrückten Rückzahlungsbetrages bzw. Tilgungsbetrages mit dem in Prozent vom Nennwert ausgedrückten Rückzahlungskurs erreichen wir dadurch, daß wir für jede Teilschuldverschreibung einer Index-Anleihe einen Nennwert von einhundert Geldeinheiten unterstellen. Die Normierung des Nennwertes ermöglicht eine bessere Vergleichbarkeit der Teilschuldverschreibungen von Index-Anleihen.

I*

84---------~--------~-----.--------------- $Y 8,8859 8,811834 WITZ

188

288

RT2

Abb. 1: Rückzahlungsfunktion einer Teilschuldverschreibung des Yen-linked bondder IBM Credit Corporation

i

[

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1.2. Formen von Index-Anleihen

5

Beispiel: Banque Paribas, bond price-linked bond8

Die auf US-$ lautende Index-Anleihe der Banque Paribas ist aufgeteilt in zwei Tranchen. Die Teilschuldverschreibungen der Tranche A verbriefen einen Kupon in Höhe von 10%. Ihr Rückzahlungskurs bestimmt sich nach der Formel: 0, falls RTZ= { KTZ-26,25, falls 188,5, falls

KTz < 26,25 26,25~KTZ~214,75

KTZ>214,75

mit KTZ Kurs des 9,25%-US-Treasure-bond (fällig 2016) in TZ oder einfacher nach: Ryz = max [O;min(188,5;- 26,25 + KTZ)] Die Teilschuldverschreibungen der Tranche B zahlen einen Kupon in Höhe von 8%. Für ihren Rückzahlungskurs gilt: 0, falls RTZ= { 214,75-KTZ, falls 188,5, falls

KTZ > 214,75 26,25~KTZ~214,75

KTZ < 26,25

oder RTZ=max[O;min(188,5; 214,75-Kyz)] Die Rückzahlungskurse der Teilschuldverschreibungen beider Tranchen verändern sich nur dann, wenn der Kurs KTZ der Referenzanleihe zwischen 26,25 und 214,75 schwankt 9 • Wir sprechen von einem beidseitig begrenzten Bindungsbereich10• Im Falle von Tranche A nimmt der Rückzahlungskurs in diesem Bereich mit dem Kurs des US-Treasury-bond zu (Buli-Teilschuldverschreibung), im Falle der Tranche B nimmt er ab (Bear-Teilschuldverschreibung)11 (Abbildung 2).

Die Dauer der Bindung an die Referenzgröße beginnt regelmäßig im Emissionszeitpunkt (EZ) und endet im Referenzzeitpunkt (RZ). Der Referenzzeitpunkt ist der Zeitpunkt, an dem der für den jeweiligen Zahlungsbetrag maßgebliche Wert der Referenzgröße verbindlich festgestellt wird. Im Falle eines indexgebundenen Rückzahlungsbetrages stimmt der Referenzzeitpunkt Vgl. Mason (1986), S. 47f. Außerhalb der beiden Grenzen ist der Rückzahlungskurs konstant. 10 Im Falle des Yen-linked bond der IBM liegt demgegenüber ein einseitig begrenzter Bindungsbereich vor. 11 Die Begriffe "Bull-" und "Bear-Teilschuldverschreibung" drücken aus, mit welchen Vorzeichen sich eine Wertänderung der Referenzgröße im Rückzahlungsbetrag niederschlägt. Sie sagen nichts darüber aus, wie sich die gleiche Wertänderung möglicherweise in den Zinszahlungsbeträgen auswirkt. Im Regelfall wird diese Wirkung dem Vorzeichen nach jedoch gleich sein. 8

9

8

RTZ 188~~;1

26,25

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214,75

1 yz

Abb. 2: Rückzahlungsfunktion jeweils einer Teilschuldverschreibung der beiden Tranchen des bond price-linked bondder Banque Paribas

i

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0\

1.2. Formen von Index-Anleihen

7

in den meisten Fällen (jedoch nicht immer) mit dem Tilgungszeitpunkt (TZ) der Index-Anleihe überein. Beispiel: Eurofima, Aktienkursindex-Anleihe

Die Rückzahlungskurse der Teilschuldverschreibungen der Eurofima-Anleihe richten sich nach dem Wert des FAZ-Aktienkursindex am 31.12.1987. Dieser Referenzzeitpunkt stimmt nicht mit dem Tilgungszeitpunkt der Index-Anleihe arn 19.1.1994 überein 12. Bei dem Yen-linked bond der IBM und dem bond price-linked bond der Banque Paribas sind Referenzzeitpunkt und Verfalltag dagegen identisch 13•

Die Stärke der Indexbindung wird durch die Kennzahl "hedge ratio" (Hedge-Faktor) erfaßt. Sie mißt, wie der angebundene Zahlungsbetrag sich entwickelt, wenn der Wert der Referenzgröße sich infinitesimal verändert 14• Bei Buii-Teilschuldverschreibungen nimmt die hedge ratio für den Rückzahlungsbetrag einen positiven, bei Bear-Teilschuldverschreibungen einen negativen Wert an 15 • Beispiel: Banque Paribas, bond price-linked bond

Die hedge ratio für die Rückzahlungsbeträge der Teilschuldverschreibungen beider Tranchen des bond price-linked bondder Banque Paribas beträgt Null bei Kursen der US-Treasury-Anleihe unter 26,25 und über 188,5. Zwischen diesen beiden Extremwerten der Referenzgröße gilt für Tranche A eine hedge ratio von plus Eins, für Tranche B eine von minus Eins.

12 Die Tilgungszahlung ist folglich nur bis zum Referenzzeitpunkt dem Betrag nach variabel. Nach diesem Zeitpunkt ist der Tilgungsbetrag eine Konstante. 13 Eine weitere Besonderheit der Euroftma-Anleihe gegenüber den Anleihen der IBM und der Banque Paribas ist, daß mit Ausnahme der ersten Zinszahlung alle weiteren Zinszahlungen der Höhe nach von dem im Referenzzeitpunkt berechneten Rückzahlungskurs und damit von der Referenzgröße abhängen. Neben dem Rückzahlungsbetrag sind folglich auch die Zinszahlungsbeträge angebunden. Zu den Emissionsbedingungen der Euroftma-Anleihe vgl. z.B. Mella (1986b). 14 Formal ist die hedge ratio die erste Ableitung der Zahlungsfunktion nach der Referenzgröße. Graphisch bestimmt sie die Steigung der Zahlungsfunktion (vgl. Abb. 2). 15 Diese Aussage gilt nur für den Wertebereich der Referenzgröße, bei dem der Rückzahlungskurs durch Wertänderungen der Referenzgröße beeinflußt wird. Außerhalb dieses Bereichs hat die hedge ratio einen Wert von Null.

2. Bewertungskonzept Die Modelle zur Bewertung von Finanztiteln 1 zielen darauf ab, den Zusammenhang zwischen dem Zahlungsstrom eines Finanztitels2 und seinem Marktpreis zu erklären 3 • Nach der Berücksichtigung der Investorpräferenzen unterscheidet die Literatur zwischen präferenzabhängigen und präferenzfreien Bewertungsmodellen4 • Gleichgewichtsmodelle fordern Markträumung und setzen damit die Kenntnis der Präferenzen der Marktteilnehmer voraus 5 • Arbitragemodelle fordern keine Markträumung, sondern einen Finanzmarkt, auf dem keine Arbitragegewinne erzielbar sind. Sie kommen weitgehend ohne die Kenntnis der Präferenzen der Marktteilnehmer aus6 • Der Zusammenhang zwischen Arbitrage- und Gleichgewichtsmodellen läßt sich wie folgt klären: Solange Arbitragegewinne erzielbar sind, versucht jeder Arbitrageur, weitere Geschäfte abzuschließen. Ein Gleichgewicht besteht nicht. Erst wenn keine Arbitrage mehr möglich ist, kann ein Gleichgewicht existieren. Arbitragefreiheit ist daher eine notwendige Voraussetzung für ein Gleichgewicht, sie ist jedoch keine hinreichende 7 •

1 Ein Finanztitel bezeichnet ein durch Gesetz und Vertrag umschriebenes Bündel von monetären und nicht-monetären Rechten und Pflichten eines Kapitalgebers gegenüber einem Kapitalnehmer. Finanztitel, die dem Kapitalgeber einen schuldrechtlichen Anspruch auf zukünftige finanzielle Mittel des Kapitalnehmers gewähren, heißen ForderungstiteL Teilschuldverschreibungen von Index-Anleihen sind ForderungstiteL Zum Begriff des Finanztitels vgl. Franke/Hax (1988), S. 332fT. 2 Als Zahlungsstrom eines Forderungstitels bezeichnen wir die Reihe von Zahlungen, die der Emittent des Forderungstitels (Schuldner) dem Gläubiger verspricht. Aus der Sicht des Gläubigers ist der Zahlungsstrom eines Forderungstitels folglich ein Einzahlungsstrom, aus der Sicht des Schuldners ein Auszahlungsstrom. 3 Das grundlegende Konzept der Bewertungsmodelle für Finanztitel erläutert Wilhelm (1985), S. 3f. 4 Vgl. Milne (1987), S. 35 und Constantinides (1989), S. 1. 5 Einen guten Überblick über die präferenzabhängigen Gleichgewichtsmodelle gibt Constantinides (1989). 6 Vgl. Spremann (1986), S. 192 und Milne (1987), S. 235. 7 Vgl. Franke/Hax (1988), S. 295 und Rubinstein (1987), S. 75. Die Arbitragemodelle können nicht erklären, welches von mehreren denkbaren Gleichgewichten sich einstellen wird, falls zunächst ein Ungleichgewicht besteht. Das tatsächlich zustandekommende Marktgleichgewicht hängt von dem Angebots- und Nachfrageverhalten der Marktteilnehmer ab. Die für dieses Verhalten maßgeblichen Präferenzen der Marktteilnehmer sind in der Informationsbasis der Arbitragemodelle aber nicht enthalten. VgL Spremann (1990), S. 497 und Wilhelm (1981), S. 904.

2. Bewertungskonzept

9

Rothacker unterscheidet Arbitragemodelle in bestimmte und unbestimmte Arbitragemodelle8 • Bestimmte Arbitragemodelle setzen lediglich voraus, daß Investoren risikobehaftete Wertpapiere mit endlichem Erwartungswert in ihr Portefeuille aufnehmen (Risikotoleranz) und daß sie mehr Güter gegenüber weniger Gütern vorziehen (Nicht-Sättigung). Unbestimmte Arbitragemodelle unterstellen darüber hinaus die Kenntnis von modellexogenen, von der Nutzenfunktion der Investoren abhängenden Größen. Bestimmte Arbitragemodelle können den Wert eines Finanztitels nur dann eindeutig feststellen, wenn der Zahlungsstrom des Finanztitels durch den Zahlungsstrom eines Portefeuilles von Finanztiteln mit bekannten Marktpreisen exakt nachgebildet werden kann9 und wenn auf dem Finanzmarkt genau definierte Arbitragetransaktionen keinen Gewinn abwerfen. Finanztitel, deren Zahlungsstrom durch den Zahlungsstrom eines Portefeuilles von Finanztiteln mit bekannten Marktpreisen exakt duplizierbar ist, heißen derivative FinanztiteP0. Index-Anleihen sind regelmäßig derivative Finanztitel11 • Das vorliegende zweite Kapitel erläutert zunächst (1. Abschnitt) jene Definition der Arbitragefreiheit, die die nahezu präferenzfreie12 und eindeutige Wertbestimmung derivativer Finanztitel ermöglicht. Im Anschluß daran (2. Abschnitt) weisen wir mit einer formalen Analyse der Arbitragefreiheit nach, daß dieser Bewertungsansatz nicht nur auf vollständigen, sondern auch auf realen und damit unvollständigen Märkten gilt. Schließlich zeigt der dritte Abschnitt zwei grundsätzliche Verfahrensweisen auf, den Zahlungsstrom eines derivativen Finanztitels zu duplizieren. Vgl. Rothacker (1986), S. 37ff. Die arbitragetheoretische Bewertung eines Finanztitels gelingt nicht nur durch ein Portefeuille, das den Zahlungsstrom des Finanztitels dupliziert. Sie gelingt auch durch ein Portefeuille, in dem der zu bewertende Finanztitel in der Weise mit anderen Finanztiteln kombiniert wird, daß das Portefeuille in jedem zukünftigen Umweltzustand den gleichen Ertrag bringt. Die Literatur bezeichnet die beiden Bewertungsprinzipien als Duplikations- respektive Redgingprinzip und die diesen beiden Prinzipien zugrundeliegenden Portefeuilles als Duplizierungs- respektive Hedgeportefeuille. Vgl. z.B. Bühler (1990). 10 Vgl. Hax/Hartmann-Wendels/von Hinten (1988), S. 702 und auch Rubinstein (1987), S. 73. Rubinstein schreibt: "A derivative asset is an asset whose payoffs are completely determined by the prices or payoffs of other underlying assets [ ...]"und an anderer Stelle (S. 74f.): "[ ...] if a trading strategy can be isolated using the underlying assets which provides exactly the same payoffs as the related derivate asset, then, if there are to be no arbitrage opportunities, the current cost of establishing the positions required by the trading strategy must equal the current value of the related derivate asset." 11 Eine Index-Anleihe mit einer Inflationsrate als Referenzgröße ist z. B. kein derivativer FinanztiteL Sie ist nicht durch ein Portefeuille aus Finanztiteln mit bekannten Marktpreisen duplizierbar. 12 Mit den bestimmten Arbitragemodellen unterstellen wir lediglich Risikotoleranz und Nicht-Sättigung der Investoren. 8

9

10

2. Bewertungskonzept

2.1. Arbitrageformen und Arbitragefreiheit

Arbitrage ist eine Handelstätigkeit, die darauf ausgerichtet ist, die im gleichen Zeitpunkt auf mindestens zwei räumlich und I oder zeitlich voneinander getrennten Teilmärkten eines homogenen Gutes existierenden Preisunterschiede auszunutzen 13• Die Handelstätigkeit setzt nur dann ein, wenn die Preisunterschiede die interlokalen und I oder intertemporalen Transferkosten überschreiten. Die Literatur definiert Güter als Mittel der Bedürfnisbefriedigung. Homogene Güter sind Güter, die in den Augen aller Marktteilnehmer, unabhängig von deren Präferenzen und deren Wohlstand vollständig substituierbar sind. Homogenität bedeutet nicht zwangsläufig, daß die Güter in ihren physischen Eigenschaften übereinstimmen müssen. Finanztitel befriedigen das Bedürfnis, liquide Bestände temporär zu verlagern. Wir subsumieren sie deshalb unter den Begriff Güter. Homogene oder äquivalente Finanztitel sind Finanztitel oder Portefeuilles von Finanztiteln, die in jedem Zeitpunkt den gleichen Zahlungsanspruch verbriefen. Auch sie sind in den Augen aller Marktteilnehmer vollständig substituierbar, aber nicht notwendigerweise physisch identisch 14• Arbitrage löst einen Preisnivellierungsprozeß auf den Teilmärkten mit den unterschiedlichen Preisen aus. Dieser Prozeß dauert an, bis die Preisdifferenzen die durch Arbitragekosten gezogene Indifferenzschwelle unterschreiten. Er vollzieht sich mit um so größerer Geschwindigkeit, je größer die Markttransparenz ist und je schneller die Arbitrageure auf die Marktdaten mit Geschäftsabschlüssen reagieren können. Die Preisunterschiede können in Form der Ausgleichsarbitrage, der Engagementsverbilligung und der Differenzarbitrage ausgenutzt werden 1 s. Ausgleichsarbitrage (arbitration) ist eine Kauf- oder Verkaufstransaktion ohne gleichzeitiges Gegengeschäft und zwar auf dem Teilmarkt mit dem niedrigsten bzw. höchsten aller bekannten Preise 16. Ausgleichsarbitrageure sind Marktteilnehmer, die beabsichtigen, einen bestimmten Bestand an dem Arbitrageob13 Vgl. Bender (1977), Sp. 325. Die hier verwendete Definition der Arbitrage charakterisiert ein Gut allein durch seine physischen Eigenschaften und nicht - wie z.B. Debreu - zusätzlich durch Zeitpunkt und Ort der Verfügbarkeit. Vgl. Debreu (1959), s. 29 ff. 14 "[... ] equivalent combinations of assets [ ... ] may consist of physically different assets [ ...] but the concept of equivalence must include that equivalent combinations of assets are equally desirable for every economic agent irrespective of bis individual preference or endowment." Vgl. Wilhelm (1985), S. 41. 15 Vgl. Krümme! (1964), S. 495fT. Zur Differenzarbitrage und Ausgleichsarbitrage vgl. auch Bender (1977), S. 325 und Wilhelm (1985), S. 40fT. 16 "Arbitration consists of the search for the lowest cost in achieving a certain intended financial position". Vgl. Wilhelm (1985), S. 40.

2.1. Arbitrageformen und Arbitragefreiheit

11

jekt aufzubauen bzw. abzubauen. Ihr Preisausgleichspotential ist erschöpft, sobald ihre geplanten Bestände aufgebaut bzw. abgebaut sind. Engagementsverbilligung besteht aus einem zeitgleichen Verkaufs- und Kaufgeschäft auf dem Teilmarkt mit dem höchsten bzw. niedrigsten aller bekannten Preise. Engagementsverbilligung betreiben Marktteilnehmer, die bereits einen bestimmten Bestand an dem Arbitrageobjekt halten. Sie stellen ihre Tätigkeit erst dann ein, wenn der von ihnen selbst ausgelöste Preisausgleich einen Arbitragegewinn verhindert. Differenzarbitrage ist ebenso wie die Engagementsverbilligung eine zeitgleiche Kauf- und Verkaufstransaktion auf dem Teilmarkt mit dem niedrigsten bzw. mit dem höchsten Preis. Auch sie wird erst dann eingestellt, sobald die Preisnivellierung die durch Arbitragekosten gezogenen Indifferenzschwellen unterschreitet. Der Unterschied zwischen der Differenzarbitrage und der Engagementsverbilligung ist der, daß das Arbitrageobjekt in den Bestandshalteplänen der Differenzarbitrageure nicht vorkommt. An Finanzmärkten kann jede Form von Arbitrage darauf ausgerichtet sein, die auf mindestens zwei Teilmärkten auftretende Preisdifferenz zwischen zwei physisch identischen Finanztiteln auszunutzen. Sie kann aber auch darauf ausgerichtet sein, zwischen äquivalenten und damit nicht notwendigerweise identischen Finanztiteln zu arbitrieren. Engagementsverbilligung und Differenzarbitrage zwischen identischen Finanztiteln nennen wir direkte Arbitrage oder spread-Arbitrage, die zwischen äquivalenten Finanztiteln indirekte oder free lunch-Arbitrage 17• Beispiel:

Eine Teilschuldverschreibung der Bundesobligation Serie 86 mit einem Nennwert von DM 100,- werde in Frankfurt zu DM 93,40 und in Düsseldorf zu DM 93,50 gehandelt. Unter Vernachlässigung von Transaktionskosten sichert ein spread einen Gewinn von DM 0,10. Der Zahlungsstrom, den die Teilschuldverschreibung dem Inhaber verbriefe, sei durch ein Portefeuille aus mehreren anderen Bundesschuldverschreibungen duplizierbar18• Der Preis für den Aufbau des Portefeuilles betrage DM 93,10. Unter Vernachlässigung von Transaktionskosten sichert ein free lunch einen Gewinn von DM 0,40.

17 Unsere Definition der spread-Arbitrage orientiert sich an Wilhelm (1985), S. 40. Er definiert einen spread als ''[ .. .] transaction of simultaneously buying and selling one good or commodity when the transaction guarantees a riskless profit." Wilhelms Definition der free Iunch-Arbitrage (S. 41): ''[ ... ] a 'free lunch' consists of turning from one combination of assets to another one which is equivalent but has a lower market price [ ...]"weicht von unserer Definition insoweit ab, als wir free Iunch-Arbitrage nicht nur in der von Wilhelm beschriebenen Form der Engagementsverbilligung, sondern auch als Differenzarbitrage zulassen. 18 Zur Duplizierung von Anleihen vgl. Uhlir/Steiner (1986), S. 30ff. und Franke

(1983),

s. 50ff.

12

2. Bewertungskonzept

Ein Finanzmarkt, auf dem keine Arbitragegewinne erzielbar sind, heißt arbitragefrei. Ein arbitragefreier Finanzmarkt erlaubt Aussagen über Preisrelationen zwischen bestimmten Finanztiteln. Diese Aussagen sind gehaltvoller und weitergehend, wenn die Arbitragefreiheitsbedingung neben der "Freiheit von spread-Arbitrage" auch die "Freiheit von free Iunch-Arbitrage" einschließt19. Auf einem Finanzmarkt, auf dem möglicherweise free Iunch-Geschäfte, nicht aber spread-Geschäfte einen Gewinn abwerfen, gilt das Gesetz des Einheitspreises20: (a) Zu jedem Zeitpunkt hat ein bestimmter Finanztitel auf demselben Finanzmarkt nur einen einheitlichen Marktpreis. Auf räumlich getrennten Teilmärkten unterscheiden sich die Preise für denselben Finanztitel zu jedem Zeitpunkt nur durch die interlokalen Transferkosten. (b) Der Marktpreis eines Portefeuilles aus einer bestimmten Anzahl des

Finanztitels bestimmt sich aus dem Marktpreis des Finanztitels, multipliziert mit der Anzahl der im Portefeuille enthaltenen FinanztiteL

Das Gesetz erklärt die Preisrelationen zwischen einzelnen physisch identischen Finanztiteln auf demselben und auf räumlich getrennten Teilmärkten sowie zwischen unterschiedlich großen Portefeuilles von physisch identischen Finanztiteln. Es macht keine Aussage über Preisrelationen zwischen physisch unterschiedlichen Finanztiteln. Aussagen über Preisrelationen zwischen physisch unterschiedlichen aber äquivalenten Finanztiteln sind immer dann möglich, wenn auf einem Finanzmarkt free Iunch-Arbitrage keinen Gewinn abwirft. Jeder Finanztitel, dessen versprochener Zahlungsstrom durch ein Portefeuille von Finanztiteln erzeugt werden kann, deren Preise bekannt und eindeutig sind, ist dann bewertbar21 . Die Bedingung der Freiheit von free Iunch-Arbitrage ermöglicht also Aussagen über die Beziehung zwischen den Preisen derivativer Finanztitel und den Preisen bestimmter anderer FinanztiteL Wie die nachfolgende formale Analyse der Arbitragefreiheit zeigt, gilt dies unter Umständen auch unabhängig davon, ob der Finanzmarkt vollständig ist oder nicht. 19 Weil identische Finanztitel gleichzeitig auch äquivalente Finanztitel sind, sind spread-Geschäfte auch immer free Iunch-Geschäfte. Free Iunch-Arbitrage schließt spread-Arbitrage folglich ein. Die Umkehrung gilt nicht. Free Iunch-Arbitrage umfaßt neben der spread-Arbitrage auch die Arbitrage zwischen physisch nicht identischen, aber äquivalenten Finanztiteln. 20 Vgl. Jevons (1923), S. 87f. Jevons spricht von dem Gesetz der Unterschiedslosigkeit (law ofindifference). Vgl. auch Dybvig/Ross (1987), S. 101. 21 Die Literatur spricht von dem Gesetz von der Unterschiedslosigkeit der Preise für Finanztitel mit gleichem Zahlungsstrom (single price law of securities). Vgl. Ingersoll (1987), S. 59, Rubinstein (1976), S. 408, Copeland/Weston (1988), S. 115 und Ohlson (1987), s. 73.

2.2. Formale Analyse der Arbitragefreiheit

13

2.2. Formale Analyse der Arbitragefreiheit22

Wir beschreiben die Unsicherheit durch eine endliche Menge von Ereignissen (k = 1, 2, ..., n) (diskreter oder endlicher Zustandsraum). Jedes Ereignis (Zustand der Natur) bezeichne einen bestimmten Zeitpunkt, einen bestimmten Ort und gegebenenfalls bestimmte Bedingungen, die an diesem Zeitpunkt und an diesem Ort vorherrschen. Welches der zukünftigen Ereignisse eintreten wird, sei zum gegenwärtigen Zeitpunkt noch unbestimmt.

Ein Finanztitel23 der Art j (j = 1, 2, ... , m) erfordere vom Käufer zum gegenwärtigen Zeitpunkt die Auszahlung aj (aj :::;; 0). In Abhängigkeit von dem Ereignis k (k = 1, 2, ... , n) bringe der Finanztitel den nicht negativen Rückfluß bjt· Die nachstehende Tabelle faßt die mit den m Finanztiteln verbundenen Zahlungen zusammen. Tab. 2: Aus· und Einzahlungsströme von m Finanztiteln in n Ereignissen Finanztitel j

Auszahlung aj

ROckfluß bjk im Ereignis k=1

k=2

~

a

•

•

•

•

•

•

k=n

1

a1

b11

b1n

2

a2

b21

b2n

m

a•

bm1

b.,

Wir betrachten einen Anleger, der eine nicht negative Menge jedes Finanztitels in seinem Portefeuille halte. Eine Umstrukturierung dieses Portefeuilles sei ein Vektor x = (x 1 , x2 , ••• , x.J' mit der Bedeutung, die Anzahl von Finanztiteln des Typs j um xi zu verändern. Die Umstrukturierung heißt free lunch-Arbitrage24, wenn: 22 Die formale Analyse orientiert sich an Spremann (1990), S. 490fT., und Spremann (1986), s. 196fT. 23 Jeder Finanztitel sei beliebig teilbar und ohne Transaktionskosten handelbar. Leerverkäufe seien nicht beschränkt. Garman und Ohlson erweitern das hier beschriebene Modell um die Existenz von Transaktionskosten. Vgl. Garman/Ohlson (1981), s. 271 ff. 14 Bei der Umstrukturierung handelt es sich um eine free Iunch-Arbitrage im Sinne der von uns verwendeten Definition, weil die einzelnen Komponenten des Vektors x auch unterschiedliche Werte annehmen können. Nur in dem Ausnahmefall, in dem alle Komponenten den gleichen Wert annehmen, liegt eine spread-Arbitrage vor. In diesem Spezialfall wird zwischen unterschiedlich großen, aber physisch identischen Portefeuilles von Finanztiteln arbitriert.

2. Bewertungskonzept

14

(a) das revidierte (umstrukturierte) Portefeuille dem Anleger in jedem Ereignis keine geringeren Rückflüsse bringt als das ursprüngliche Portefeuille: (1)

X1 · blk + x 2 • b2k + ... + Xm · bmt =

L XJ · bit ~ 0 m

j=l

für alle k = 1, ..., n

oder in Matrixschreibweise: (2)

(mit 8: (mxn)-Rücldlußmatrix)

B'·x~O

und (b) die Umstrukturierung perSaldoeine Ersparnis verspricht: (3)

a1 · x 1 + a 2 • x 2 + ... + a", · Xm =

m

L

j-1

aJ · xJ > 0

oder in Matrixschreibweise: (4)

a' · x>O mit a=(a1, a 2 ,

••• ,

am)'

Das Farkas/Minkowski-Lemma besagt: Gegeben sei ein vom Nullvektor verschiedener Vektor a E Rm und eine Rückflußmatrix Bmxa· Dann gilt genau eine der beiden folgenden Alternativen: (a) Es existiert ein Vektor x E Rm, so daß gilt: (5)

B'·x~O

und a'·x>O

(b) Es existiert ein vom Nullvektor verschiedener Vektor p=(p 1, p 2 , ;?! 0 ERn mit der Eigenschaft: (6)

•• • ,

PnY

B·p=-aeRm

Auf einem Finanzmarkt, auf dem free Iunch-Arbitrage ausgeschlossen ist (Alternative (a) gilt nicht), existiert nach diesem Lemma ein nicht negativer Preisvektor p = (p 1 , p 2 , ••• , p 0 )' von Preisen p .. für die Ereignisse k = 1, ... , n (Alternative (b))25• Die Existenz eines Preisvektors ist damit die Bedingung für Arbitragefreiheit Er hat die Eigenschaft, daß für jeden Finanztitel j = 1, 2, ... , m der heutige Kurs - aj gleich ist der über die Ereignisse gebildeten Summe der Rückflüsse bjk multipliziert mit dem Ereignispreis p..26: 25 Der Zusammenhang zwischen Arbitragefreiheit und der Existenz eines positiven linearen Zustandspreisvektors geht zurück auf Ross. Er nennt den Zusammenhang das "Basic Valuation Theorem". Vgl. Ross (1978), S. 459f. und S. 472f. Dybvig/ Ross sprechen von dem "Fundamental Theorem of Asset Pricing". Vgl. Dybvig/Ross (1987), s. 101.

2.2. Formale Analyse der Arbitragefreiheit (7)

Pt·bjt+P2·bj2+ ... +pn·bjn=

L ft

t=l

15

Pt·bjt=-aj

Die Existenz von Ereignispreisen impliziert, daß jeder Finanztitel j durch ein Portefeuille von Arrow-Debreu-Wertpapieren27 duplizierbar ist 28• Die Anzahl der zur Duplizierung notwendigen Arrow-Debreu-Papiere ergibt sich aus den ereignis- und finanztitelspezifischen Rückflüssen bjk• der Marktpreis dieser Papiere aus den Ereignispreisen Pk 29. Für den Marktpreis dj des Duplizierungsportefeuilles für den Finanztitel j gilt folglich: dj =Pt • bjl + P2 · bj2 + •• • + Pn · bjn =

(8)

ft

L Pt · bjt t=l

Er entspricht dem Marktpreis -aj des Finanztitels j. Ein Finanzmarkt, auf dem die Preise aller Arrow-Debreu-Wertpapiere bekannt und eindeutig sind, heißt vollständig. Vollständigkeit bedeutet nicht zwangsläufig, daß alle Arrow-Debreu-Wertpapiere zu eindeutigen und beobachtbaren Marktpreisen gehandelt werden. Die Preise der Arrow-DebreuWertpapiere sind auch dann eindeutig bestimmbar und damit bekannt, wenn diese Papiere durch ein Portefeuille aus anderen Finanztiteln mit beobachtbaren Marktpreisen konstruiert werden können (implizite Arrow-DebreuVgl. Spremann (1990), S. 494. Arrow-Debreu-Wertpapiere sind Finanztitel, die dem Inhaber genau eine Geldeinheil auszahlen, falls ein bestimmter, in den Wertpapierbedingungen genannter Umweltzustand eintritt. Bei jedem anderen Umweltzustand erfolgt keine Zahlung. Vgl. Varian (1987), S. 58. Andere Bezeichnungen für Arrow-Debreu-Wertpapiere sind primitive Wertpapiere, elementare Wertpapiere oder state contingent claims. Vgl. Wilhelm (1983), S. 109. 28 Die Existenz von Ereignispreisen impliziert auch, daß der Marktwert eines unsicheren Zahlungsstroms, der sich als Linearkombination aus mehreren unsicheren Zahlungsströmen zusammensetzt, der Summe der Marktwerte der einzelnen Zahlungsströme entspricht (Wertadditivitätstheorem). Zum Beweis vgl. z.B. Varian (1987), S. 60 oder Franke/Hax (1988), S. 297. 29 Weil der Ereignispreis Pt den Marktpreis eines Arrow-Debreu-Wertpapiers bezeichnet, das in dem zukünftigen, unsicheren Umweltzustand k genau eine Geldeinheil und in jedem anderen Umweltzustand keine Geldeinheit bringt, ist dieser Ereignispreis als Produkt des Diskontierungsfaktors für den Zeitraum bis zum Eintritt des Umweltzustandes k und der Wahrscheinlichkeit, daß der Umweltzustand am Ende dieses Zeitraums tatsächlich eintritt, interpretierbar. Auf einem arbitragefreien Finanzmarkt mit Ereignispreisen Pt muß demnach ein Wahrscheinlichkeitsmaß existieren, so daß bei dessen Zugrundelegung der gegenwärtige Marktpreis eines Finanztitels dem diskontierten Erwartungswert seiner zukünftigen Zahlungen entspricht. Harrison und Kreps bezeichnen diese Eigenschaft von Finanztitelpreisen als Martingaleigenschaft Neben der Existenz nicht negativer Ereignispreise ist sie eine äquivalente Charakterisierung der Arbitragefreiheit Vgl. Harrison/Kreps (1979), S. 383 und auch Dybvig/ Ross (1987), S. 103f. Dybvig/Ross sprechen von dem "Pricing Rule Representation Theorem". 26

27

2. Bewertungskonzept

16

Preise)30• Die Konstruierbarkeit gelingt auf jedem Finanzmarkt, auf dem es erstens genau soviele Finanztitel wie Ereignisse gibt und zweitens die Zahlungsströme der gehandelten Finanztitellinear unabhängig sind. Formal folgt dies aus der Tatsache, daß das inhomogene lineare Gleichungssystem B·p=-a

(6)

genau dann eine eindeutige Lösung besitzt, wenn der Rang r der quadratischen (mxn)-Rückflußmatrix B der Anzahl der Zeilen- und Spaltenvektoren entspricht (r = m = n) 31 • Beispiel: r = m = n Wir betrachten einen Finanzmarkt mit zwei Ereignissen, auf dem eine risikolose Schuldverschreibung und eine bestimmte Devise zum Handel zugelassen sind. Die risikolose Schuldverschreibung koste zum gegenwärtigen Zeitpunkt t 0 100 Geldeinheiten, sie bringe zu dem zukünftigen Zeitpunkt t 1 einen Rückfluß in Höhe von 110 Geldeinheiten. Der Kurs einer Deviseneinheit betrage gegenwärtig 2 Geldeinheiten, in t 1 notiere der Kurs entweder bei einer Geldeinheit (Ereignis 1) oder bei drei Geldeinheiten (Ereignis 2)32• Die nachstehende Tabelle macht die Zahlungsströme deutlich: T•b. 3: Aus- und Einzahlungsstrom der Schuldverschreibung und der Devise (k=1,2)

Finanztitel j Schuldverschreibung (j=1) Devise (j=2)

Au~zahlung

1n t 0

- 100

-

2

aj

Rückfluß bjk in t 1 bei Eintreten von Ereignis k=1

k=2

110

110

1

3

Der betrachtete Finanzmarkt ist vollständig, weil der Rang der Rückflußmatrix B der Anzahl der möglichen Ereignisse und der Anzahl der gehandelten Wertpapiere entspricht. Es gilt: 110] r=Rang [ 110 1 3 =2=m=n 30 Die Preise von Arrow-Debreu-Papieren können schließlich auch über einen Gleichgewichtsansatz ermittelt werden. Vgl. Franke/Hax (1988), S. 305ff. Weil ein Gleichgewichtsansatz jedoch nicht ohne weitergehende Annahmen an die Präferenzen der Investoren auskommt, lassen wir ihn hier außer acht. 31 Eine quadratische Matrix mit vollem Rang heißt regulär oder nicht-singulär. Vgl. Hackl/Katzenbeisser /Panny (1987), S. 21 und S. 46ff. 32 Die Wahrscheinlichkeit, mit der Ereignis 1 oder Ereignis 2 eintritt, ist nicht bekannt.

2.2. Formale Analyse der Arbitragefreiheit

17

Auf einem vollständigen Markt ist das System von Ereignispreisen eindeutig. Die Ereignispreise ergeben sich aus dem Gleichungssystem: B·p=-a mit

(6)

p~O

In unserem Beispiel gilt: 110 · p 1 + 110 · p 2 = 100 1 · P1 + 3 · P2 = 2 Auflösen nach p 1 und p 2 ergibt:

P2 =6/11 P1 =4/11 Der Preis für das Arrow-Debreu-Wertpapier, das in Ereignis 1 (Ereignis 2) eine Zahlung von einer Geldeinheit bringt, beträgt in to 4 I 11 Geldeinheiten (6 I 11 Geldeinheiten). Die Arrow-Debreu-Preise sind implizit bestimmt, sie sind nicht am Markt beobachtbar.

Auf einem vollständigen Finanzmarkt mit per definitionem bekannten und eindeutigen Marktpreisen für die Arrow-Debreu-Wertpapiere ist jeder beliebige, neu eingeführte Finanztitel derivativ33• Beispiel: r = n < m Auf dem Finanzmarkt werde in t 0 zusätzlich eine Wechselkurs-Index-Anleihe neu eingeführt. Der Rückzahlungskurs Ryz der Index-Anleihe richte sich nach der Formel: Ryz =50 · WK~: mit WK~: Kurs einer Einheit der Währung B, ausgedrückt in Einheiten der Währung A, im Referenzzeitpunkt Der Referenzzeitpunkt sei der Zeitpunkt t 1 • Zu diesem Zeitpunkt bringe die Anleihe eine sichere Zinszahlung in Höhe von 10 Geldeinheiten und die Rückzahlung RTz· Der Emittent suche den fairen Emissionspreis der Anleihe. Tab. 4: Aus- und Einzahlungsstrom der Wechselkurs-Index-Anleihe (k=t ,2)

F.inanztitel j Wechselk\,lrsIndex-Anleihe (j=3) 33

Auszahlung a . 1 in t 0 - a3

Vgl. Spremann (1990), S. 496.

2 Ebertz

Rückfluß bjk in t 1 bei Eintreten von Ereignis k=1 50·1+10=60

k=2 50·3+10=160

18

2. Bewertungskonzept

Die Index-Anleihe ist durch ein Portefeuille von 60 Arrow-Debreu-Wertpapieren vom Typ 1 und 160 Arrow-Debreu-Wertpapieren vom Typ 2 duplizierbar. Der faire Emissionspreis -a3 ergibt sich folglich aus der Gleichung: 60 · p 1 + 160 · p= -a3 Nach Einsetzen der Ereignispreise p 1 und p 2 folgt: 60 · 4/11 + 160 · 6/11 = -a3 -a3 = 109,09

Gibt es auf einem Finanzmarkt zwar genau so viele Finanztitel mit linear unabhängigen Zahlungsströmen wie Ereignisse, aber insgesamt mehr Finanztitel als Ereignisse, so sind die Arrow-Debreu-Preise nur dann eindeutig bestimmt, wenn free Iunch-Geschäfte keinen Gewinn abwerfen. Die Index-Anleihe werde nicht zu ihrem fairen Preis in Höhe von rund 109,1 gehandelt, sondern zu 100. Free Iunch-Arbitrage bringt folglich einen sicheren Gewinn in Höhe von 9,1. Das Gleichungssystem zur Bestimmung der Ereignispreise lautet: 110p1 + 110p2 = 100 1p,+

3p2=

2

60p, + 160p2 = 100 Aus den beiden ersten Gleichungen folgt: p, =4/11

P2 =6/11 Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt: 60.4/11 + 160.6/11 = 109,09< > 100 Das Gleichungssystem ist unlösbar (inkonsistent)34•

Gibt es auf einem Finanzmarkt weniger Finanztitel mit linear unabhängigen Zahlungsströmen als Ereignisse, so existieren zwar Preise für die Arrow-Debreu-Wertpapiere, diese Preise sind aber nicht eindeutig. Ein Finanzmarkt mit nicht eindeutigen Ereignispreisen heißt unvollständig.

34 Die Inkonsistenz eines inhomogenen Gleichungssystems B · p = - a läßt sich durch die Bedingung r(B) < r(B, - a) leicht nachprüfen. In unserem Fall gilt: r(B) = 2 < r(B, - a) = 3. Folglich ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

2.2. Formale Analyse der Arbitragefreiheit

19

Beispiel: r = m < n Wir erweitern den zu Beginn (ohne Wechselkurs-Index-Anleihe) betrachteten Finanzmarkt dahingehend, daß der Kurs der Devise in tt nicht nur zwei Werte (1 Geldeinheit, 3 Geldeinheiten), sondern noch einen dritten Wert (2 Geldeinheiten) annehmen kann. Die nachstehende Tabelle macht die Zahlungsströme der Schuldverschreibung und der Devise unter diesen veränderten Bedingungen deutlich. Tab. 5: Aus- und Einzahlungsstrom der Schuldverschreibung und der Devise (k=1,2,3)

IFinanztitel lschuldverlschreibung i(j=1)

I

Auszahlung a ·, ! 11 in t 0

j

I

IDevise j

Abb. 3: Rückzahlungsfunktion einer Bull-Teilschuldverschreibung mit unbegrenztem Bindungsbereich

1R2

I

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(')

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I

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RZ

z TK

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Abb. 4: Zahlungsfunktion eines Terminkaufs von m Einheiten des Referenzobjektes

1RZ

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I

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N

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g-

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>I

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I

I

1'.)

00

3.1. Tilgungszahlung mit unbegrenztem Bindungsbereich

29

Der Wert FRz(I, RZ) eines Terminkontraktes auf eine Einheit des Referenzobjektes I per Termin RZ und mit dem vereinbarten Terminkurs TK8 z(I, RZ) bestimmt sich in RZ nach der Gleichung6 : FRZ(I, RZ)= IRZ- TK8 z(l, RZ)

(13)

Er entspricht in RZ dem Geldbetrag, den der Terminkäufer als Gewinn oder Verlust realisiert. Bei m gekauften Einheiten des Referenzobjektes gilt folglich: ~~(IRZ) = m · FRz(l, RZ)

(14)

Nach Einsetzen von (13) in (12) folgt für den Wert des Tilgungsbetrages zum Zeitpunkt BZ: R8 z=a · (1 +i8 z(TZ-RZ)('(TZ-RZ) · F 8 z(l, RZ)

(15)

+(1 +i8 z(TZ))-•(TZ-BZ) · (b +a · TKaz(l, RZ)) mit iaz(TZ)

in BZ geltender Kassazinssatz für den Zeitraum zwischen BZ und TZ

i8 z(TZ- RZ) in BZ geltender Terminzinssatz für den Zeitraum zwischen RZ und TZ

Hierbei gilt: (16)

Faz(l, RZ)=I8 z- TK8 z(l, RZ) · (1 +i8 z(RZ)('(ItZ-BZ)

Die indexgebundene Tilgungszahlung RTZ ist nach (15) zu einem beliebigen Zeitpunkt BZ duplizierbar durch den Kauf von m Einheiten des Referenzobjektes I per Termin RZ und durch eine Investition von A8 z Geldeinheiten in eine in TZ fällige Nullkuponanleihe. Für die Parameter m und A8 z gilt dabei: (17)

m =a · (1 +i8 z(TZ-RZ))-&(TZ-RZ)

(18)

Aaz = (1 + i8 z(TZ)('(TZ-BZ) · (b + a · TK8 z(l, RZ))

Für den in TZ falligen Rückzahlungsbetrag Ayz der Nullkuponanleihe gilt entsprechend: (19)

Ayz = b + a · TK8 z(l, RZ)

6 Zur Vereinfachung nehmen wir hier an, daß das per Termin gekaufte Objekt keinen Eigenzins habe.

30

3. Statische Duplizierung indexgebundener Zahlungen

Die Menge m des per Termin erworbenen Referenzobjektes stellt sicher, daß die Steigung der Gesamtauszahlungsfunktion Srz(IR2;) des Duplizierungsportefeuilles mit der Steigung der Rückzahlungsfunktion Rrz(IRz) der BunTeilschuldverschreibung übereinstimmt. Die Investition des Geldbetrages A8 z in die Nullkuponanleihe gewährleistet, daß auch der Ordinatenabschnitt der Gesamtauszahlungsfunktion mit dem der Rückzahlungsfunktion identisch ist (vgl. Abbildungen 3 und 5). Beispiel: Gegeben sei eine auf DM lautende Index-Anleihe mit fünfjähriger Restlaufzeit, bei der der Rückzahlungskurs der Teilschuldverschreibungen von der Entwicklung des DM/US-$-Wechselkurses abhänge 7 • Die Abhängigkeit beschränke sich nicht auf einen bestimmten Wertebereich des Wechselkurses8 • Die Rückzahlungsformel für alle Teilschuldverschreibungen laute:

Rrz =50 · WK~~ Der DM/US-$-Terminkurs per Termin RZ notiere zu 2 DM/US-$. Es liege eine flache Zinsstruktur vor9 • Der einheitliche Marktzins betrage 10%. Wir unterstellen zunächst, daß der Referenzzeitpunkt und der Tilgungszeitpunkt der Index-Anleihe zeitlich übereinstimmen. Anschließend untersuchen wir dann den Fall, bei dem der Referenzzeitpunkt zeitlich (hier: genau ein Jahr) vor dem Tilgungszeitpunkt liegt. Nach Gleichung (17) müssen im Falle [RZ =TZ] zur Duplizierung des Rückzahlungskurses einer Teilschuldverschreibung im Bewertungszeitpunkt genau 50 (m = a = 50) Einheiten des US-$ per Termin RZ gekauft werden. Gleichzeitig ist ein Geldbetrag A8 z in Höhe von 62,09 DM in eine in TZ fällige Nullkuponanleihe zu investieren. Der Geldbetrag A8 z ergibt sich nach Gleichung (18): A8 z =(0+ 50· 2) · (1,W 5 =62,09 Die Abbildungen 6 und 7 zeigen, daß die Gesamtauszahlungsfunktion des Duplizierungsportefeuilles mit der Rückzahlungsfunktion der Teilschuldverschreibung identisch ist 10• 7 Der angelsächsische Fachbegriff für eine Index-Anleihe auf Basis eines Wechselkurses lautet: ,,indexed currency option note". Vgl. French (1985). 8 Der Umstand, daß der Wechselkurs per definitionem keinen negativen Wert annehmen kann, ist keine Beschränkung des Bindungsbereichs. Nur künstliche Grenzen, die der Emittent selbst setzt, definieren wir als Begrenzung des Bindungsbereichs. 9 Die Annahme einer flachen Zinsstruktur treffen wir hier nur zur Vereinfachung des Beispiels. Sie beeinträchtigt nicht die Gültigkeit der Ergebnisse. Statt eines Diskontierungsfaktors für alle Laufzeiten könnten wir ebensogut laufzeitspezifische spot rates einsetzen. 10 Der Rückzahlungskurs der Nullkuponanleihe bei einem Anlagezins in Höhe von 10% für die Dauer von 5 Jahren beträgt: 62,09 · (1,1) 5 = 100.

b

Ayz

Zrz

TK

Syz

TZ

RZ

zTK

ATZURZ)

STZ

1Rz

Abb. 5: Gesamtauszahlungsfunktion des Duplizierungsportefeuilles als Summenfunktion der auf den Tilgungszeitpunkt aufgezinsten Zahlungsfunktion des Terminkaufs und der Rückzahlungsfunktion der Nullkuponanleihe

w

"'

I

I

1:1:1

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-

8

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118

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1 2

/~~~ R2

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RT2

Abb. 6: Rückzahlungsfunktion der Teilschuldverschreibung der Wechselkurs-Index-Anleihe

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i

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l

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Ayz

Z™U•IKD$) T2 R2 DS

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~ Syz

Abb. 7: Gesamtauszahlungsfunktion des Duplizierungsportefeuilles als Summenfunktion der Zahlungsfunktion des Terminkaufs und der Rückzahlungsfunktion der Nullkuponanleihe

VJ VJ

r:;· :r

(2

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t:1j

f

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34

3. Statische Duplizierung indexgebundener Zahlungen

Das Duplizierungsportefeuille erbringt im Tilgungszeitpunkt die gleiche Zahlung wie die Index-Anleihe, und zwar unabhängig von dem dann geltenden Wechselkurs DM/US-$. Tabelle 8 macht dies an verschiedenen Szenarien ebenfalls deutlich: Tab. 8: Szenarioanalyse des Rückzahlungskurses der Wechselkurs-Index-Anleihe (RZ=TZ)

I I II der Rückzahlungskurs Bull-TeilschuldI

Stand des DM/US-$-Wechselkurses im Referenzzeitpunkt

Verschreibung

Zahlung an den Terminkäufer in RZ Rückzahlungskurs

I der Nullkuponanleihe Gesamtauszahlung des Duplizierungsportefeuilles

WKD$=1 RZ

WKD$=2 RZ

WK0$=3 RZ

50

100

150

-100

-50

0

50

100

100

100

100

0

50

100

150

WKD$=0 RZ 0

I

Liegt der Referenzzeitpunkt zeitlich genau ein Jahr vor dem Tilgungszeitpunkt [RZ < TZ], müssen zur Duplizierung des Rückzahlungskurses der Index-Anleihe gemäß Gleichung (17) nur 45,45 und nicht 50 Einheiten des US-$ per Termin RZ gekauft werden 11 . Es gilt: m =50 · (1,W 1 = 45,4545

Der Grund für das geringere Volumen des Termingeschäftes im Falle [RZ < TZ] ist darin zu sehen, daß der Terminkäufer seinen Gewinn respektive Verlust früher (in RZ und nicht erst in TZ) realisiert. Sofern er einen Gewinn erzielt, kann er diesen bis zum Zeitpunkt TZ zinsbringend anlegen. Bei einem Verlust muß er bis TZ vorfinanzieren: (20)

FTZ(I, RZ) = F 11z(l, RZ) · (1 + i8 z(TZ- RZ))1(TZ-KZI

und damit: (21)

~~(IKZ)=m

· Fu(l, RZ) · (1 +i8 z(TZ- RZ))I(TZ-KZI

11 Weil eine flache Zinsstruktur unterstellt wird, stimmt der im Bewertungszeitpunkt für den Zeitraum RZ bis TZ geltende Terminzinssatz mit dem für alle Laufzeiten gleichen Kassazinssatz überein.

3.1. Tilgungszahlung mit unbegrenztem Bindungsbereich

35

Abbildung 8 stellt die Zahlungsfunktion des Terminkaufs Z~~(WKJl~) für 45,45 Einheiten US-$ dar. In Abbildung 9 ist sie auf den Zeitpunkt TZ transformiert (Zf~(WK~~). In die in TZ rallige Nullkuponanleihe ist auch hier ein Geldbetrag in Höhe von 62,09 DM zu investieren. Er ergibt sich wieder aus Gleichung (18): Aaz =0+(50 · 2) · (1,W 5 = 62,09 Die Summenfunktion der auf den Tilgungszeitpunkt aufgezinsten Zahlungsfunktion des Terminkaufs und der Rückzahlungsfunktion der Nullkuponanleihe ist mit der Rückzahlungsfunktion der Teilschuldverschreibung identisch (Abbildungen 6 und 10). Folglich erbringt das Duplizierungsportefeuille im Tilgungszeitpunkt die gleiche Zahlung wie die Teilschuldverschreibung, und zwar unabhängig von dem dann geltenden Wechselkurs DM/US-$ (Tabelle 9). Tab. 9: Szenarioanalyse des Rückzahlungskurses der Wechselkurs-Index-Anleihe (RZ

Abb. 9: Zahlungsfunktion des Terminkaufs, aufgezinst auf den Tilgungszeitpunkt TZ

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...,

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TZ

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.....:::::

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~

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wx»f

Ay2

zl~

Syz

Abb. 10: Gesamtauszahlungsfunktion des Duplizierungsportefeuilles als Summenfunktion der auf den Tilgungszeitpunkt aufgezinsten Zahlungsfunktion des Terminkaufs und der Rückzahlungsfunktion der Nullkuponanleihe

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I

I

I

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(IQ

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I~----J...----Rrz

' KU

1Rz

"Ryz

Abb. 15: Rückzahlungsfunktion einer Bear-Teilschuldverschreibung mit minimalem Rückzahlungskurs und Zahlungsfunktion einer Kaufposition in einer Verkaufsoption auf m Einheiten des Referenzobjektes

....,

~

g.

i ~

~

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g'

0O, bC

_..

AIR2

Ryz

Abb. 21: Rückzahlungsfunktion der BuH-Teilschuldverschreibung der Aktienkursindex-Anleihe "Deutsche Bank 1986 /91"

(IQ

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Syz

ATZ

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1217 .

1418

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Verkaufsoption und der Rückzahlungsfunktion der Nullkuponanleihe

RIRZ

zUU(AJ __) TZ HZ"

sTz ATZ (Al JtZ l

Abb. 22: Gesamtauszahlungsfunktion des Duplizierungsportefeuilles als Summenfunktion der Zahlungsfunktion der Verkaufsposition in der

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9. g.

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60

3. Statische Duplizierung indexgebundener Zahlungen

Unabhängig von dem Stand des FAZ-Index im Referenzzeitpunkt erbringt das Duplizierungsportefeuille im Tilgungszeitpunkt den gleichen Zahlungsbetrag wie die Bull-Teilschuldverschreibung (vgl. die Szenarioanalyse in Tabelle 13).

Tab. 13: Szenarioanalyse des Rückzahlungskurses der Buii-Teilschuldverschreibung der

Aktienkursindex-Anleihe 'Deutsche Bank 1986/91' FAZ-Aktienkursindex

I

i~

Referenzzeitpunkt

AIRz=O

A1Rz=700

A1Rz=1410

AIRz=1800

0

107,73

217

217

Zahlung aus dem Verkauf der Verkaufsoption

-217

-109,27

0

0

Rückzahlungskurs der Nullkuponanleihe

217

217

217

217

Gesamtauszahlung des Duplizierungsportefeui lles

0

107,73

217

217

Rückzahlungskurs der Bull-Teilschuldverschreibung

3.3. Indexgebundene Tilguogszahluog mit beidseitig begrenztem Biodungsbereich Teilschuldverschreibungen mit indexgebundenen Tilgungszahlungen mit beidseitig begrenztem Bindungsbereich garantieren den Gläubigern einen Rückzahlungskurs, der sowohl nach oben als auch nach unten begrenzt ist. Die Rückzahlungsformel lautet: (58)

Ein negativer Rückzahlungskurs ist bei diesen Teilschuldverschreibungen ausgeschlossen, wenn die Parameter der Rückzahlungsformel den in Tabelle 14 dargestellten Anforderungen genügen.

3.3. Tilgungszahlung mit beidseitig begrenztem Bindungsbereich

61

Tab. 14: Zulässige Parameterkonstellationen für die Rückzahlungsformeln von Teilschuldverschreibungen mit minimalem und maximalem Rückzahlungskurs Typ Teilschuldverschreibung mit minimalem und maximalem RückZahlungskurs

Version

Zulässige Parameterkonstellationen

Bull

a>O, bRmin

Die graphische Darstellung der Rückzahlungsfunktion der Bull- (Abbildung 23) und der Bear-Version (Abbildung 24) verdeutlicht die Notwendigkeit der Parameterrestriktionen. Für [b ~ Rm;J ist die untere Begrenzung des Rückzahlungskurses der Bull-Teilschuldverschreibung nicht wirksam, für [Rmin < 0] (und [b < Rm;J) ist eine potentielle Nachschußpflicht des Gläubigers nicht bei jeder Indexentwicklung ausgeschlossen. Für [b ~ RmaJ ist die obere Begrenzung des Rückzahlungskurses der Bear-Teilschuldverschreibung nicht wirksam, für [Rmin < 0] (und [b > RmaxJ) kann eine potentielle Nachschußpflicht des Gläubigers nicht bei jeder Indexentwicklung ausgeschlossen werden. In ihrer Struktur ähneln die Rückzahlungsfunktionen der Bull- und der Bear-Teilschuldverschreibung den Zahlungsfunktionen eines call-bull-pricespread Z~~(IRz) respektive eines put-bear-price-spread ~~(IRZ) 16 (Abbildungen 25 und 26). Sie unterscheiden sich von diesen allenfalls in der Steigung und im Ordinatenabschnitt Die Zahlungsfunktion eines call-bull-price-spread (put-bear-price-spread) auf das Referenzobjekt I mit Fälligkeit in RZ gibt den Geldbetrag an, den der Käufer des price-spread in RZ in Abhängigkeit von dem zu diesem Zeitpunkt geltenden Wert IRz des Basisobjektes bei Glattstellung erhält.

16 Unter einem call-price-spread (put-price-spread) versteht man den Kauf einer Kaufoption (Verkaufsoption) bei gleichzeitigem Verkauf einer Kaufoption (Verkaufsoption). Bei einem call-bull-price-spread (put-bull-price-spread) ist der Basispreis der gekauften Option bei sonst gleichen Optionsbedingungen geringer als der der verkauften Option. Umgekehrt ist bei einem call-bear-price-spread (put-bear-pricespread) der Basispreis der verkauften Option geringer als der der gekauften Option.

.

Mlft

R .

Max

R

RTZ

I RZ

Min

1

/Ia I Ma.x RZ

IR2

Ryz

Abb. 23: Rückzahlungsfunktion einer BuU-Teilschuldverschreibung mit minimalem und maximalem Rückzahlungskurs

I

f

l

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R.l

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R .

R..ax

Ryz

I Max RZ

I I

1

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IMin RZ

IR2

Ryz

Abb. 24: Rückzahlungsfunktion einer Bear-Teilschuldverschreibung mit minimalem und maximalem Rückzahlungskurs

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1

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RZ

zCS

BKKK

1

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1

R2

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Abb. 25: Zahlungsfunktion eines call-bull-price-spread in m Einheiten des Referenzobjektes

I

I

l

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~

g,

Cll

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~

r

z~

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BJCKU

I RZ -

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1

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Abb. 26: Zahlungsfunktion eines put-bear-price-spread in m Einheiten des Referenzobjektes

Si

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f

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[ ~. :· g' ä=

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.....

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66

3. Statische Duplizierung indexgebundener Zahlungen

3.3.1. Bull-Teilschuldverschreibung mit minimalem und maximalem Rückzahlungskurs

Die Rückzahlungsformel einer BuH-Teilschuldverschreibung mit minimalem und maximalem Rückzahlungskurs lautet: (58)

mit a > 0, b < Rmin• Rmin ~ 0, IRZ ~ 0, Rmax > Rmin

Durch Umformung der Rückzahlungsformel zeigen wir, daß die indexgebundene Tilgungszahlung zu jedem beliebigen Zeitpunkt BZ(BZ ~ RZ ~TZ) durch ein Portefeuille aus einem call-bull-price-spread in dem Referenzobjekt und aus einer Nullkuponanleihe duplizierbar ist. Wir stellen (58) zunächst um:

Wegen (Rmax = a · l:'~x + b) und (Rmin = a · l:'~n + b) folgt: 17

(62)

RTZ = a · max [0; IRZ- l:'~n]- a · max [0; IRZ- l:f] + Rmin

Nach Abzinsen auf RZ ergibt sich: (63)

RRZ = a · (1 + iRZ(TZ)t•O, 120,

IRz:!:O

a>O, bO, b.z•m.

Kauf von • Verkaufsop- (43') m = -a(1+i BZ (ZZ-RZ))-t(ZZ-RZ) tionen auf das Referenz. )/a = I11in objektmit Fälligk~ in (25')BKKV = -(b-Z1nn RZ RZ und Basispreis V Investition eines Geldbetrages AB in eine 1 + i. > d. Hierbei bezeichnet i. den konstanten risikolosen Marktzins für ein Zeitintervall x (x = t(RZ- BZ)/1). 7 Die Verzinsung der Nullkuponanleihe im Zeitintervall x beträgt i.- Für die Verzinsung im Zeitintervall t(RZ- BZ) gilt entsprechend: i~. Sei i der Jahreszins, so gilt: it(RZ-BZ)=i~ bzw. i.=i(t(RZ-BZ)/1).

4.1. Zeitdiskrete dynamische Duplizierung

83

Ein perfekt duplizierendes Portefeuille erfordert demnach: (84)

Zaz+.(u ·laz)=n8 z·U·Iaz+A8 z·(1 +iJ

(85)

Auflösen des Gleichungssystems (84), (85) nach n8 z bzw. A8 z ergibt 8 : (86)

(87)

Daz

A BZ

ZaZ+.(u ·Iaz>-Zaz+.(d ·laz) ladu-d) u ·ZaZ+.(d ·18 z)-d ·ZaZ+.(u ·l 8 z) (l+iJ(u-d)

Für den Wert ~z(l8z) folgt aus (83): (88)

und nach Umformung: (89)

J

1 [(l+iJ-d u-(1+iJ Zaz Zzz =.max [Zmi ; Bindungsbem1n [Z.ax;g+a·IRzll reich (Typ 4)

HedgeFaktor

Parameterkonstellation

a>O

120,

a>O

bO

bO

bO

auf den Referenzzeitpunkt RZ transformierte Zahlungsformel (12')

z-RZ (I RZ )

= a· (1+i

(ZZ"))-t(ZZ-RZ) RZ ·(I -TK (I RZ))+(1+i (ZZ))-t(ZZ-RZ) RZ BZ ' RZ ·(b+a·TKBz>

einseitig, nach unten begrenzter Bindungsbereich (Typ 2>

a>O

(30') Z (I

(ZZ))-t(ZZ-RZ) RZ · min . -t(ZZ-RZ). ·max[O;IRz-IRz J+(1+1RzCZZ>> zmin

aO

·max[O·Imax_I ]+(1+i (ZZ))-t(ZZ-RZ> . z ' RZ RZ RZ max

(Typ 3)

a>O

(63') ZRz(lRZ)

. -t(ZZ-RZ) ·max [Q;IRz- Imin] = a·(1+1Rz(ZZ)) RZ

-a·(1+i (ZZ))-t(ZZ-RZ>.max[O·l -lmax] RZ I RZ RZ +(1+i (ZZ))-t(ZZ-RZ>.z . RZ mm

beidseitig begrenzter Bindungsbereich (Typ 4)

(50') ZRz 0 Rz> = -a·(1+i (ZZ))-t(ZZ-RZ) RZ

a

(14)

6Coz 6t(RZ-BZ)

(15)

6d, 6t(RZ-BZ)

(16)

6d, 6t(RZ-BZ)

loz

-2