Apostila Alfa - Astronomia [1]

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Apostila Alfa

Prof. Thiago Paulin Caraviello

Introdução O movimento dos corpos celestes sempre provocou a curiosidade humana. O Universo é infinito? O Universo sempre existiu? Ele sempre existirá? Existe vida em outros corpos celestes? Certamente essas são perguntas que a humanidade já fez e ainda continua fazendo. Do ponto de vista científico, provavelmente, esses são alguns dos questionamentos mais antigos e ainda não estão totalmente explicados. Várias teorias, também chamados modelos, já foram apresentadas na busca de uma explicação sobre o Universo. Modelo geocêntrico Baseando-se nas ideias do filósofo grego Aristóteles, seu conterrâneo Claudius Ptolomeu escreveu o texto Almagesto, no século II, que se tornou a base da Astronomia até o século XVI. No modelo geocêntrico de Ptolomeu, a Terra é o centro do Universo e todos os corpos celestes giram ao seu redor em órbitas circulares. O movimento aparente dos astros, a não existência de aparelhos ópticos de observação e a concordância com as ideias religiosas da época garantiram o sucesso desse modelo por vários séculos. Modelo heliocêntrico Muitos questionamentos sobre o modelo geocêntrico foram sufocados durante a Idade Média. No século XVI, o modelo heliocêntrico de Nicolau Copérnico provoca uma revolução científica ao colocar o Sol na posição central, com os planetas girando ao seu redor em órbitas circulares; a visão sobre o Universo sofre uma profunda mudança. Retomando conceitos antigos dos pitagóricos e analisando os diferentes períodos orbitais dos planetas, o modelo heliocêntrico propunha uma nova ordem geométrica e harmoniosa para o Universo. Muitas foram as contribuições feitas para o modelo inicialmente proposto por Copérnico, como as Leis de Kepler, as observações astronômicas de Galileu Galilei e a Lei da Gravitação Universal de Newton.

Fig.01 Claudius Ptolomeu

Fig.02 Nicolau Copérnico

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Tycho Brahe Três anos após a morte de Copérnico, nasceu o dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), o último grande astrônomo observacional antes da invenção do telescópio. Usando instrumentos fabricados por ele mesmo, Tycho fez extensivas observações das posições de planetas e estrelas, com uma precisão em muitos casos melhor do que 1 minuto de arco (1/30 do diâmetro aparente do Sol). O excelente trabalho de Tycho como observador lhe propiciou o patrocínio do rei da Dinamarca, Frederic II (15341588), e assim Tycho pode construiu seu próprio observatório na pequena ilha báltica de Hveen (entre a Dinamarca e a Suécia). Após a morte do rei, entretanto, seu sucessor se desentendeu com Tycho e retirou seus privilégios. Assim, em 1597 Tycho foi forçado a deixar a Dinamarca, e foi trabalhar como astrônomo da corte para o imperador da Bohemia, em Praga. Tycho Brahe não acreditava na hipótese heliocêntrica de Copérnico, mas foram suas observações dos planetas que levaram às leis de Kepler do movimento planetário. Em 1600, um ano antes de sua morte, Tycho contratou para ajudá-lo na análise dos dados sobre os planetas, colhidos durante 20 anos, um jovem e hábil matemático alemão chamado Johannes Kepler. Johannes Kepler Johannes Kepler (1571-1630) estudou inicialmente para seguir carreira teológica. Na Universidade ele leu sobre os princípios de Copérnico e logo se tornou um entusiástico defensor do heliocentrismo. Em 1594 conseguiu um posto de professor de Matemática e Astronomia em uma escola secundária em Graz, na Áustria, mas poucos anos depois, por pressões da Igreja Católica (Kepler era protestante), foi exilado, e foi então para Praga trabalhar com Tycho Brahe. Quando Tycho morreu, Kepler "herdou" seu posto e seus dados, a cujo estudo se dedicou pelos 20 anos seguintes. O planeta para o qual havia o maior número de dados era Marte. Kepler conseguiu determinar as diferentes posições da Terra após cada período sideral de Fig.03 Embora as órbitas dos Marte, ou seja, o período de translação deste planeta em torno do Sol em relação a planetas sejam elipses, as uma estrela fixa, e assim conseguiu traçar a órbita da Terra. excentricidades são tão Encontrou que essa órbita era muito bem ajustada por um círculo pequenas que elas se excêntrico, isto é, com o Sol um pouco afastado do centro. parecem com círculos. Nesta Kepler conseguiu também determinar a órbita de Marte, mas ao tentar figura mostramos a elipse que ajustá-la com um círculo não teve sucesso. Ele continuou insistindo nessa tentativa descreve a órbita da Terra por vários anos, e em certo ponto encontrou uma órbita circular que concordava com (linha azul) em torno do Sol, na forma correta. A posição do as observações com um erro de 8 minutos de arco. Mas sabendo que as observações de Tycho não poderiam ter um erro desse tamanho, apesar de significar um erro de Sol, no foco, está marcada por um pequeno círculo. apenas 1/4 do tamanho do Sol, Kepler descartou essa possibilidade. Finalmente, passou à tentativa de representar a órbita de Marte com uma oval, e rapidamente descobriu que uma elipse ajustava muito bem os dados. A posição do Sol coincidia com um dos focos da elipse. Kepler percebeu que esta cônica (Apêndice A) também descrevia a órbita da Terra e dos outros planetas. Página 2

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As Leis de Kepler 1a Lei de Kepler: “Órbitas elípticas” (Astronomia Nova, 1609): A órbita de cada planeta é uma elipse com o Sol em um dos focos. Como consequência das órbitas serem elípticas, a distância do Sol ao planeta varia longo de sua órbita. O ponto em que o planeta está mais próximo do Sol, chama-se periélio e o ponto mais afastado, afélio. A Fig.04 está fora de escala.

ao

Fig.04 Órbitas elípticas

A elipse Uma elipse é o conjunto dos pontos P(x,y) do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos, chamados de focos F1 e F2 , é constante (2a).

PF1 + PF2 = cte = 2a

Fig.05 A elipse

Na Fig.05, temos: - O segmento AB é o eixo maior da elipse e sua medida é 2a. A medida a é chamada de semieixo maior. - O segmento CD é o eixo menor da elipse e sua medida é 2b. A medida b é chamada de semieixo menor. - O centro O é ponto médio entre os eixos da elipse. - F1 e F2 são os focos da elipse cuja distância é chamada de distância focal (2c). - Define-se excentricidade da elipse (e) pela razão entre as medidas c e a. Quanto mais próxima de zero for a excentricidade da elipse, mais próxima de uma circunferência ela será.

e=

c , 0  e 1 a

- Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas a, b e c:

a 2 = b2 + c 2 Página 3

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Note: Sendo e a excentricidade orbital, quando um planeta está no periélio, sua distância (q) ao Sol é dada por:

a =q+c  q = a − e.a  q = a( 1 − e ) c = e.a

Quando um planeta está no afélio, sua distância (Q) ao Sol é dada por:

Q =a+c  Q = a + e.a  Q = a( 1 + e ) c = e.a

Chamamos de periastro e apoastro os pontos orbitais de maior aproximação e maior afastamento, respectivamente, entre dois astros quaisquer. Chama-se perigeu e apogeu os pontos de maior aproximação e maior afastamento, respectivamente, de um astro em relação a Terra. 2ª Lei de Kepler: “Lei das áreas” (Astronomia Nova, 1609): A reta unindo o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais. O significado físico desta lei é que a velocidade escalar orbital não é uniforme, quanto mais distante o planeta está do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira, esta lei estabelece que a velocidade areal é constante.

vareal = Fig.06 Lei das áreas

A A1 A = 2 = 3 t1 t 2 t3

Na Fig.06, se o tempo que o planeta leva para percorrer os arcos AB, CD e EF, forem iguais então as áreas A1, A2 e A3 serão iguais. Usando os parâmetros da elipse, e sendo P o período orbital do astro, a velocidade areal pode ser estimada por:

vareal =

A  .a.b = t P Página 4

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3ª Lei de Kepler: “Lei harmônica”(Harmonices Mundi, 1618): O quadrado do período orbital dos planetas é diretamente proporcional ao cubo dos semieixos maiores de suas órbitas elípticas. Esta lei estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que a força entre o Sol e o planeta decresce com a distância ao Sol. Sendo P o período orbital do planeta, a o semieixo maior da órbita e k uma constante, podemos expressar a 3 a lei como:

P 2 = k .a 3 Se medirmos P em anos, e a em unidades astronômicas (distância média da Terra ao Sol), então k = 1, e podemos escrever a 3a Lei de Kepler como:

P2 = a3 Como veremos na Apostila gama, Astronomia de Posição, P é precisamente chamado período anomalístico; definido como intervalo de tempo entre duas passagens sucessivas de um planeta pelo periélio. Galileu Galilei Uma grande contribuição ao modelo heliocêntrico foi dada pelo italiano Galileu Galilei (1564 - 1642). Galileu foi o pai da moderna física experimental e da Astronomia telescópica. Seus experimentos em mecânica estabeleceram parte dos conceitos da inércia, e de que a aceleração de corpos em queda livre não depende de seu peso, que foram mais tarde incorporados às leis do movimento de Newton. Galileu começou suas observações telescópicas em 1609, usando um telescópio construído por ele mesmo. Não cabe, no entanto, a Galileu o crédito da invenção do telescópio. Lentes e óculos já eram conhecidos desde cerca de 1350. Galileu ouviu falar do telescópio construído pelo holandês Hans Lippershey (1570-1619) em 1608, e, sem ter visto o telescópio de Lippershey, construiu o seu próprio, com aumento de 3 vezes, em 1609. O melhor instrumento construído por Galileu tinha aumento de 30 vezes. Apontando o telescópio para o céu, fez várias descobertas importantes, entre elas: • •

•

Fig.07 Galileu Galilei

descobriu que a Via Láctea era constituída por uma grande quantidade de estrelas; descobriu que Júpiter tinha quatro satélites, ou luas, orbitando em torno dele, com períodos entre 2 e 17 dias. Esses satélites são chamados "galileanos", e, em ordem de distância a Júpiter, são: Io, Europa, Ganimedes e Calisto. Desde então, mais 60 satélites foram descobertos entorno deste planeta. Essa descoberta de Galileu foi particularmente importante porque mostrou que podia haver centros de movimento que por sua vez também estavam em movimento; portanto o fato da Lua girar em torno da Terra não implicava que a Terra estivesse parada; descobriu que Vênus passa por um ciclo de fases, assim como a Lua. As fases de Vênus são os diferentes aspectos que a superfície do planeta Vênus apresenta a um observador na Terra devido a mudanças na iluminação dela pelo Sol. A ocorrência das fases é possível pois Vênus é um planeta inferior.

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descobriu a superfície em relevo da Lua, e as manchas do Sol. Ao ver que a Lua tem cavidades e elevações assim como a Terra, e que o Sol também não tem a superfície lisa, mas apresenta marcas, provou que os corpos celestes não são esferas perfeitas, mas sim têm irregularidades, assim como a Terra. Portanto, a Terra não é diferente dos outros corpos, e pode ser também um corpo celeste.

As descobertas de Galileu proporcionaram grande quantidade de evidências em suporte ao sistema heliocêntrico. Por causa disso, ele foi Fig.08 Esquema mostrando as fases de Vênus para um observador do poente. chamado a depor ante a Inquisição Romana, sob acusação de heresia, e obrigado a se retratar. Apenas em 1980, o Papa João Paulo II [Karol Joseph Wojtyla (1920-2005)] ordenou um re-exame do processo contra Galileu, o que acabou por eliminar os últimos vestígios de resistência, por parte da igreja Católica, à revolução Copernicana. Galileu foi perdoado em 31 de outubro de 1992. Isaac Newton Estudando o movimento dos corpos, Galileu Galilei (1564-1642) descobriu através de experimentos que "um corpo que se move, continuará em movimento a menos que uma força seja aplicada e que o force a parar." Galileu argumentou que o movimento é tão natural quanto o repouso, isto é, um corpo que está em repouso permanece em repouso a menos que seja submetido a uma força que o faça mover-se. Se um objeto já está se movimentando, ele continuará em movimento a menos que seja submetido a uma força que o faça parar. Galileu descobriu os satélites de Júpiter e comunicou seus dados a Johannes Kepler (1571-1630), que também os observou. O movimento dos satélites obedece às três leis de Kepler, porém com um valor da constante k diferente na 3 a Lei. Sessenta anos depois, o inglês Isaac Newton (1643-1727) foi quem deu uma explicação completa ao movimento e à forma como as forças atuam. A descrição está contida nas suas 3 leis:



1ª Lei de Newton: “Princípio da Inércia”. Na ausência de forças externas ( R = 0 ), um objeto em repouso  permanece em repouso, e um objeto em movimento retilíneo uniforme, permanece com velocidade constante ( v = cte ; módulo, direção e sentido). Esta propriedade do corpo em resistir à mudança da velocidade, chama-se inércia. A medida  da inércia de um corpo é seu momentum ( p ). Newton definiu o momentum de um objeto como sendo proporcional à sua velocidade. A constante de proporcionalidade, que é a sua propriedade que resiste à mudança, é a sua massa:

   R = 0  p = m.v = constante Perceba que o conceito de inércia foi inspirado nas ideias de Galileu, porém Galileu propôs a inércia circular. O movimento circular era considerado o movimento natural dos corpos. Um exemplo clássico que Galileu usa, em seu livro “Diálogo entre os Dois Principais Sistemas de Mundo”, é o seguinte: coloquemos uma esfera lisa sobre um plano liso e inclinado, e façamo-la se movimentar. Enquanto a esfera se move contra a inclinação do plano, subindo, ela desacelera, rolando cada vez mais devagar. Por outro lado, se invertermos a inclinação do plano, de forma que a esfera passe a descer,

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então ela acelera, indo cada vez mais rápido. Portanto, deve haver uma inclinação intermediária (que podemos chamar de horizontal) em que a bolinha, ao se mover, não acelera nem desacelera, mas se mantém em movimento constante. Galileu vai ainda mais longe: a Terra é esférica; então, se este plano for longo o suficiente, a bolinha continuaria rolando pela superfície terrestre, estável em seu movimento circular e constante. Da mesma forma, os planetas se movem em trajetórias circulares, estáveis, por sua própria inércia. Embora as imagens que Galileu usou para explicar sua inércia ainda sejam muito úteis hoje para compreendermos esse princípio, a nossa inércia é diferente. É a inércia de Newton, que diz que o movimento natural é o movimento feito em linha reta. Assim, pensar em um plano na superfície da Terra é insuficiente; precisamos de uma imagem mais abstrata. Um corpo solto no espaço, livre de qualquer outra influência. Este corpo espera-se, uma vez tendo movimento, permanecerá neste movimento com a mesma velocidade e em linha reta, indefinidamente. Assim, o movimento dos planetas não é inercial, espontâneo. Se fossem deixados livres, eles se afastariam indefinidamente, vagando pelo universo, sempre à frente. Na Física de Newton, é preciso que algo “prenda” os planetas em suas órbitas fechadas, contrabalance sua tendência natural de permanecer em linha reta e se afastar. Esse algo foi o que Newton definiu como Força Gravitacional. 2ª Lei de Newton: “Princípio fundamental da dinâmica”. Newton estabeleceu uma lei básica para a análise geral



das causas dos movimentos. Relacionou a resultante das forças aplicadas ( R ), a variação do momentum de uma partícula. A segunda lei de Newton estabelece:

 dp R= dt

A variação do momentum ao longo do tempo é proporcional à resultante das forças impressas, e tem a mesma direção da resultante. Para um corpo de massa (m) constante, temos:

  dp   dv R= = m.  R = m. dt dt 

Neste caso, dizemos que a resultante das forças produz uma aceleração (  ) que tem mesma direção e mesmo sentido da resultante e suas intensidades são proporcionais. O enunciado anterior só é válido num referencial inercial. 3ª Lei de Newton: “Ação e Reação". Estabelece que se o objeto exerce uma força sobre outro objeto, este outro exerce uma força igual e contrária. Isto é, as forças aparecem aos pares na natureza. Newton pôde explicar o movimento dos planetas em torno do Sol, assumindo a hipótese de uma força dirigida ao Sol, que produz uma aceleração que força a velocidade do planeta a mudar de direção continuamente.

Movimentos circulares No movimento circular uniforme (MCU), o módulo da velocidade linear é constante. No entanto, a direção e o sentido da velocidade mudam com o tempo. A aceleração que tem a função de alterar a direção e o sentido da velocidade é a aceleração normal ou centrípeta.

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A aceleração centrípeta aparece em todo movimento não retilíneos. No caso das órbitas circulares (movimentos circulares), o vetor aceleração centrípeta (acp) está direcionado para o centro da circunferência e é perpendicular ao vetor velocidade. Seu módulo é dado por:

a cp =

v2 r

Na expressão anterior, v é o módulo da velocidade linear do móvel e r é o raio da circunferência. A unidade da aceleração centrípeta é m/s2 no (SI). Outro conceito importante para o MCU é o da velocidade angular (  ), que corresponde ao ângulo (  ), em radianos, percorrido pelo corpo em um intervalo de tempo ( t ). Para uma volta completa (  = 2 ), definimos:

=

Fig.09 Um corpo m, em órbita circular de raio r, está sujeito a aceleração centrípeta acp que aponta para o centro da circunferência; é perpendicular ao vetor velocidade.

 2 = t P

Onde de P é o período do movimento, ou seja, o intervalo de tempo para uma volta completa. A relação entre a velocidade linear (v) e angular (  ) é:

v=

S 2 .r = = .r t P

O movimento dos planetas do Sistema Solar é uma boa aproximação de um MCU com a aceleração centrípeta direcionada para o Sol. Da 2a Lei de Newton, temos que resultante das forças ( R ) é diretamente proporcional a aceleração (  ) com a mesma direção e sentido. Aplicando 2a Lei de Newton no MCU, definimos a resultante centrípeta ( Rcp ) como:

 v2  R = m.  Rcp = m.acp  Rcp = m. = m 2 r r

Período sideral e sinódico Define-se período sideral (do latim sidereum, em relação ao céu) de um planeta (P) como o intervalo de tempo real de translação em torno do Sol, em relação a uma estrela fixa. Já o período sinódico (S) é o intervalo de tempo entre duas configurações idênticas e sucessivas. É o período de revolução aparente de um planeta, em relação a Terra. Considere dois planetas A e B em órbitas circulares coplanares inicialmente alinhados com o Sol como mostra a Fig.10.

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Para que ocorra um novo alinhamento entre os astros (primeiro encontro, Fig.11), a condição válida para os deslocamentos angulares de A e B é:

 A =  B + 2 Como os planetas realizam MCU, também podemos afirmar que:

 A = A .t e  B = B .t Sejam PA e PB o período sideral de A e B, respectivamente, temos:

 A .t = B .t + 2 

2 2 t 1 1 1 .t = .t + 2 .  = − PA PB t t PA PB

Definimos que o intervalo de tempo t para que ocorra o primeiro alinhamento entre os astros é o período sinódico S, ou seja, t = S, portanto:

1 1 1 = − S PA PB Atenção: A equação acima é válida para astros revolucionando um ponto no mesmo sentido, onde PA é o período sideral do astro de menor raio orbital e PB é o período sideral do astro de maior raio orbital. Lei da Gravitação Universal Analisando as Leis de Kepler, Newton notou que as velocidades dos planetas variam ao longo da órbita em módulo, direção e sentido. Como a variação de direção e sentido é devida a ação de forças radiais, Newton concluiu que os planetas



e o Sol interagem à distância, com forças chamadas gravitacionais ( FG ), do latim gravis, massa. Tendo uma grande

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capacidade de generalização e um conhecimento profundo de matemática, Newton descobriu que a força gravitacional é funções do inverso do quadrado da distância e dependem da massa de cada um dos planetas. Seja M e m as massas dos corpos envolvidos e r a distância entre os centros de massa, a intensidade da força gravitacional é definida como:

FG =

G.M .m r2

Observações: • A força gravitacional é sempre de atração. • A força gravitacional, não depende do meio onde os corpos se encontram imersos. • A constante da gravitação universal G teve seu valor comprovado experimentalmente por Henry Cavendish por meio de um instrumento chamado balança de torção; seu valor, aproximado, é:

G = 6 ,67.10 −11

N .m 2 kg2

Junto com suas três Leis da, a Lei da Gravitação Universal, diz que os planetas se movem em torno do Sol pelo mesmo motivo que as coisas caem na Terra, a atração entre os corpos. Essa atração só depende das massas dos corpos e da distância entre eles. Repare que depender só da distância significa que a força será a mesma para qualquer direção, este fato ajuda a entender porque grandes concentrações de massa tendem a ser esféricas. Aceleração gravitacional A partir da Lei da Gravitação Universal, pode-se escrever a equação da força gravitacional com que a Terra, suposta homogênea, de massa M e raio R , atrai um corpo de massa m de dimensões desprezíveis situado em sua superfície como:

FG =

G.M .m R2

Igualando a expressão anterior à 2ª Lei de Newton, tem-se:

G.M .m G.M = m.   = 2 2 R R Essa aceleração radial (  ) é geralmente representada pela letra g e é chamada de aceleração da gravidade. Com os dados da Terra, obtemos o seu valor:

g=

G.M 6,67.10 −11.5,98.10 24 =  g  9,8 m/s 2 R2 (6,37.10 6 ) 2

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A uma altitude h , a aceleração da gravidade é menor que na superfície:

gh =

G.M ( R + h) 2

Note: Sendo h pequeno em comparação a R ( h  R ) , temos que g h  g . Corpos em órbita Considere um planeta homogêneo de raio R e massa M . Seja m a massa de um satélite em órbita circular em torno do planeta à altitude h , medido em relação a sua superfície. A força gravitacional entre M e m é radial para o centro da órbita, portanto na mesma direção da aceleração centrípeta acp . Note que essa aceleração é a própria aceleração gravitacional à altitude h , ou seja,

acp = g h . A partir dessa igualdade podemos escrever a equação da velocidade orbital, no caso particular de órbitas circulares, assim como a equação do período do movimento.

Fig.13 Órbitas circulares

- Velocidade orbital (órbita circular):

v2 2 r  a = g  v = G.M  v = G.M = G.M cp h r r2 r R+h G.M gh = 2 r

acp =

- Período:

S 2 .r = t P 2 .r G.M 4 2 3 4 2  =  P2 = .r  P 2 = .( R + h)3 P r GM GM G.M v= r v=

A expressão do período é a própria 3ª Lei de Kepler para um sistema planetário com M  m . No Sistema Solar

M é a massa do Sol e a constante k =

4 2 é comum para todos os planetas independente de suas massas. GM Página 11

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Problema dos dois corpos Suponha dois corpos de massas m1 e m2 , com velocidades angulares 1 e 2 , em órbitas circulares em torno do centro de massa (CM), cuja distância a esta posição é r1 e r2 , respectivamente, como mostra a Fig.14. A intensidade da atração gravitacional entre os corpos é dada por:

FG =

G.m1 .m2 (r1 + r2 ) 2

Como a força gravitacional aponta para o centro de massa do sistema, ela atuará como resultante centrípeta, logo para o corpo de massa m1 , temos:

FG = Rcp1 Rcp1 = m1 . 2 .r1 

=

2 P

G .m1 .m2 G .m2 4 2 4 2 = m . . r  = .r1 (Eq.1) 1 1 ( r1 + r2 )2 P2 ( r1 + r2 )2 P2 Fg.14 Problema dos dois corpos

Analogamente para m2 :

FG = Rcp 2

G .m1 .m2 G .m1 4 2 4 2 Rcp 2 = m2 . .r2  = m2 . 2 .r2  = 2 .r2 (Eq.2) ( r1 + r2 )2 P ( r1 + r2 )2 P 2  = P 2

Somando as equações (Eq.1) e (Eq.2), o período do sistema é:

G 4 2 4 2 2 .( m + m ) = .( r + r )  P = (r1 + r2 )3 1 2 1 2 2 2 (r1 + r2 ) P G.(m1 + m2 ) Comparando a equação anterior com a 3a Lei de Kepler ( P 2 = k .a 3 ) , verificamos que a constante kepleriana k é dada por:

k=

4 2 G .( m1 + m2 )

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Energia De todos os conceitos da ciência, talvez o mais central seja o de energia. A combinação de energia com matéria forma o universo: matéria é substância, energia é o que move a substância. A ideia de matéria é fácil de compreender. A matéria é o conteúdo do que podemos ver, cheirar e tocar. Ela possui massa e ocupa espaço. A energia, por outro lado, é abstrata. Não podemos ver, cheirar ou tocar a maioria das formas de energia. Embora o termo nos seja familiar, é difícil defini-la, pois ela não é apenas uma “coisa”, mas uma “coisa e um processo” juntos, como se fosse um substantivo e um verbo simultaneamente. Pessoas, lugares e coisas possuem energia, mas geralmente observamos a energia apenas quando ela está sendo transferida ou transformada. Ela chega até nós na forma de ondas eletromagnéticas vindas do Sol e a sentimos como energia térmica; ela é capturada pelas plantas e mantém juntas as moléculas da matéria; ela está nos alimentos que comemos e nós a recebemos através da digestão. A matéria em si mesma é uma cápsula de energia condensada, como estabelecido pela famosa equação de Einstein, E = m.c 2 , à qual retornaremos nas próximas apostilas. Por ora, vamos descrever dois tipos de energia que estão disponíveis para qualquer objeto; são elas a energia cinética e a energia potencial. - Energia cinética (K): A energia cinética está relacionada com o estado de movimento de um corpo. Para um corpo de massa m animado de velocidade v , em um certo instante relativamente a um referencial, a energia cinética ( K ) é definida como:

m.v 2 K= 2 No SI a unidade de energia é o J (joule) = N.m (newton vezes metro). - Energia potencial (U): Representa a quantidade de energia disponível para um objeto como resultado de sua localização no espaço. Por exemplo, se você mantém um lápis acima do solo, o lápis tem energia potencial que pode ser convertida em energia cinética pela força gravitacional da Terra. Como esta conversão é feita? Basta deixar o lápis cair. Existem vário tipos de energia potencial, tais como a estocada em uma mola comprimida ou esticada, ou a armazenada em uma bateria elétrica. Focaremos nossa atenção na energia potencial gravitacional ( U ). De forma aplicada, podemos entendê-la como a energia necessária para vencer a atração gravitacional entre dois corpos. Considere dois corpos de massa M e m , cujos centros de massa estão separados por uma distância r , isolados de objetos massivos como: estrelas, buracos negros, etc. A energia potencial gravitacional é definida como:

U =−

GMm r

N .m 2 é a constante gravitacional. O sinal negativo pode ser interpretado como a energia kg2 que o sistema deve “perder” para vencer a atração gravitacional a partir da distância r , isto é, separar os corpos à Onde G = 6 ,67.10 −11

distância infinita.

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Próximo a superfície da Terra essa equação se simplifica para: U =  m.g.h , onde g = 9,8 m / s 2 , e h é a altura do objeto de massa m acima da superfície da terrestre. Quando o objeto está subindo U  0 , quando está descendo U 0. Lei da Conservação da Energia

“A energia não pode ser criada ou destruída; pode apenas ser transformada, com sua quantidade total permanecendo constante.” Define-se como energia total ou mecânica ( E ) de um sistema, a soma das energias cinética e potencial. Para um corpo de massa m orbitando um astro M sob ação exclusiva da força gravitacional, da Lei da Conservação da Energia, a equação da energia mecânica é:

E = K +U  E =

mv 2 GMm − = cte 2 r

Estudo das órbitas

- Órbitas circulares Classificada como uma órbita fechada. Para que isso aconteça, módulo da energia potencial gravitacional deve ser maior que o da energia cinética U  K ; consequentemente, a energia mecânica é negativa ( E  0) . Relações válidas para as órbitas circulares:

m.v 2 GMm 2 K= 2r GM v= r K=

GMm 2r  U = −2 K GMm U =− r K=

E = K +U GMm  E = −K = − U = −2 K 2r

- Órbitas elípticas Assim como as órbitas circulares, as órbitas elíticas também são fechadas. Para que isso aconteça, módulo da energia potencial gravitacional deve ser maior que o da energia cinética U  K ; consequentemente, a energia mecânica também será negativa ( E  0) .

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Em órbitas elípticas, de semieixo maior a , demonstra-se que a energia mecânica é:

E=−

GMm 2a

Já a velocidade orbital é dada por:

mv 2 GMm − 2 2 r  − GMm = mv − GMm  v 2 = 2 GM − GM  2a 2 r r a GMm E=− 2a 2 1 2 1  v 2 = GM . −   v 2 =  . −  , onde :  = GM r a r a E=

Para um astro orbitando o Sol, vale:

P 2 [anos] 4 2 = = 1   = GM Sol = 4 2 3 GM Sol a [UA] - Órbitas parabólicas Órbitas parabólicas devem ser associadas a situação em que a energia cinética é igual em módulo a energia potencial gravitacional K = U . Esta igualdade é condição suficiente para garantir que o astro “escape” da órbita e que, portanto, torne-se aberta. A energia mecânica em uma órbita parabólica é igual a zero ( E = 0) . A velocidade de escape vesc está associada a velocidade tangencial mínima necessária para o corpo escapar da órbita fechada, portanto: 2 2 m.vesc GMm m.vesc GMm − =0 =  2 r 2 r 2GM  vesc = r

Comparando com a velocidade em órbitas circulares ( vcir ), temos:

vcir =

GM r

2GM vesc = r

 vesc = vcir . 2

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- Órbitas hiperbólicas Nas órbitas hiperbólicas, a energia cinética é maior que o módulo da energia potencial gravitacional K  U o que faz a órbita ser aberta. Neste caso a energia mecânica é positiva ( E  0) . Resumo

Apêndice A: Momento angular As coisas que giram, seja um disco preso a um eixo, um cilindro que rola rampa abaixo ou um acrobata que executa uma cambalhota, permanecem girando até que alguma coisa as detenha. Um objeto em rotação possui uma inércia de rotação, ou inércia rotacional. Na 1ª Lei de Newton, vimos que os objetos possuem inércia de movimento   ou momentum dado pelo produto da sua massa pela velocidade ( p = m.v ). Esse tipo de momentum é também chamado de momento linear. Analogamente, a inércia de rotação



de um objeto em rotação chama-se momento angular ( L ). Um planeta que orbita o Sol, uma pedra girando presa à extremidade de um barbante e os minúsculos elétrons girando em torno dos núcleos atômicos, todos possuem momento angular. O momento angular pode ser expresso como o valor do momento linear  multiplicado pela distância radial ( r ). Em notação sintética, temos:

Fig.18 Um objeto pequeno de massa m em rotação numa trajetória circular de raio r, com velocidade v, tem um momento angular L = mvr .

     L = p  r = m.v  r Da mesma maneira que é necessário haver uma força externa atuante para alterar o momento linear de um objeto, é necessário haver um torque externo para alterar o momento angular de um objeto. O torque (  ) é o equivalente Página 16

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rotacional da força, o torque tende a fazer girar ou alterar o estado de rotação de um corpo. É definido como o produto entre a força e o braço da alavanca (  = F.b ). Pode-se enunciar a versão rotacional da 1ª lei de Newton como: “Um objeto ou sistema de objetos manterá seu momento angular constante a menos que um torque externo atue sobre ele.” Apêndice B: Secções cônicas As curvas cônicas são obtidas pela interseção de um plano com um cone circular reto de duas folhas. Fazendo a interseção de um plano com um cone circular reto de duas folhas podemos obter: um ponto, uma reta, um par de retas ou as curvas cônicas: circunferência, elipse, parábola e hipérbole. A circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são obtidas como secções de cones circulares retos com planos perpendiculares a um dos elementos do cone, conforme variação do ângulo no vértice (agudo, reto ou obtuso).

Fig.19 Secções cônicas

Circunferência: Curva plana fechada que se obtém da interseção de um cone circular reto com um plano paralelo a sua base. Lugar geométrico dos pontos de um plano, cuja distância a um ponto fixo é constante. - Elipse: É uma curva plana fechada que se obtém da interseção de um cone circular reto com um plano oblíquo a base do cone. O ângulo do plano é menor que o ângulo que a geratriz forma com a base. Lugar geométrico dos pontos de um plano, cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano (focos) têm uma soma constante e igual ao seu eixo maior. - Parábola: Curva plana aberta que se obtém da interseção de um cone circular reto com um plano paralelo à sua geratriz. Lugar geométrico cujos pontos distam igualmente de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz).

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- Hipérbole: É uma curva plana aberta, com dois ramos, que se obtêm da interseção de um cone circular reto com um plano oblíquo ou perpendicular à sua base. O ângulo do plano é maior que o ângulo que a geratriz forma com a base. Lugar geométrico em que a diferença das distâncias de um dos seus pontos a dois pontos fixos (focos) é constante. Reconhecimento do céu

Constelações são agrupamentos aparentes de estrelas, em uma região do céu, os quais os astrônomos da antiguidade imaginaram formar figuras de pessoas, animais ou objetos. Em 1929 a união astronômica Internacional adotou 88 constelações oficiais, de modo que cada estrela do céu faz parte de uma constelação. Todas as estrelas que estiverem dentro da mesma região (lote), pertencem a uma mesma constelação. Asterismos pequenos conjuntos mnemônicos geralmente menores que as constelações. Trata-se de um desenho que suas estrelas formam no céu, um desenho mnemônico pode ir desde um alinhamento de três estrelas (Três Marias) até um bule de chá (Sagitário). Compare na Fig.20 a constelação e o asterismo de Gêmeos. •

Fig.20 Constelação e asterismo de Gêmeos

Região próxima ao Polo Celeste Sul: Cruzeiro do Sul, Centauro, Quilha e Vela.

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Céu característico do Verão: Órion, Cão Maior, Cão Menor e Gêmeos.

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Céu característico do Inverno: Escorpião e Sagitário.

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Touro, Cocheiro, Câncer e Perseu.

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Leão, Hidra fêmea, Taça, Corvo, Virgem, Boieiro, Libra e Coroa boreal.

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Orientações: •

Estude a Apostila Delta e Épsilon (disponível em: www.astro1.webnode.com). Observe as 88 constelações. Memorize os 88 asterismos, ou seja, as linhas que ligam as estrelas principais dentro da constelação. Compare os asterismos da carta celeste com os que aparecem no Guia Zahar de Astronomia e no Stellarium. Guarde o que você achar mais confortável!

•

Aprenda o maior número possível de nomes de estrelas. Comece com os nomes que aparecem nos mapas. Por exemplo: Na constelação da Ursa Marjor (Ursa Maior) as estrelas importantes são: Dubhe, Merak, Phecda, Megrez, Alioth, Mizar e Alcor (sistema binário) e Alkaid. Constelações menos brilhantes, como o Monoceros (Unicórnio), não possuem estrelas de grande destaque. Compare os nomes que aparecem na carta com o Guia Zahar e no Stellarium. Construa uma tabela com as informações.

•

Em 1603, o astrônomo alemão Johannes Bayer idealizou uma nomenclatura para estrelas pertencentes a uma dada constelação. À estrela mais brilhante da constelação atribuiu o nome da primeira letra do alfabeto grego alfa; à segunda em brilho beta; à terceira, gama, à quarta delta e assim sucessivamente; o que é conhecido como nomenclatura de Bayer. Aprenda o alfabeto grego.

•

Observe o céu natural regularmente. Localize planetas, estrelas e constelações. Usando as ferramentas já citadas, aprenda os nomes das estrelas que você vê no céu. Os aplicativos Sky Map (Android) ou Star Chart (IOS) poderem tornar o estudo mais dinâmico.

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Acompanhe o movimento aparente da Lua em relação às estrelas.

Atividade: •

Localize o maior número possível de constelações nos mapas 1 e 2. Sugestão: Marque os asterismos usando lápis. Não aperte o lápis, fica mais fácil apagar caso você erre!

•

Os dois círculos mais importantes da esfera celeste são: a eclíptica, definido como o caminho aparente do Sol na esfera celeste ao longo do ano; e o equador celeste, projeção do equador terrestre na esfera celeste. Estes círculos cruzam sempre as mesmas constelações nos mesmos lugares. Com ajuda da carta e do Stellarium, trace a eclíptica e o equador celeste nos mapas 1 e 2. Invente referências para ajudá-lo a guardar a posição dos círculos.

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Data: 10 de julho de 2017

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Mapa 1 Hora local: 20:00 Latitude: 23,54o S

Longitude: 46,63oW

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Data: 10 de janeiro de 2018

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Mapa 2 Hora local: 21:00

Latitude: 23,54o S

Longitude: 46,63o W

(Fonte: www.havens-above.com)

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Exercícios Quando necessário consulte a tabela de constantes. 1) (seletiva) Um asteroide tem seu periélio e seu afélio às distâncias de 2,0 U.A. e 4,0 U.A., respectivamente. Calcule o semieixo maior da sua órbita (a), sua excentricidade (e) e seu período orbital (T). 2) (seletiva) Em relação a órbita de um satélite natural em torno de um planeta, temos que a posição do perigeu é três vezes menor que a posição do apogeu. Se aumentarmos três vezes a posição do apogeu sem alterar o perigeu, o período do satélite: a) reduzirá aproximadamente 9 vezes; d) reduzirá aproximadamente 4 vezes; b) permanece constante. e) aumentará aproximadamente 9 vezes; c) aumentará aproximadamente 4 vezes; 3) Determine o valor do semieixo maior (a) e a excentricidade (e) da órbita da sonda Magalhães, em torno de Vênus cujo raio é de aproximadamente 6000 km. Considere a sonda em uma órbita elíptica cuja altitude mínima (periastro) era de 294 km e a máxima (apoastro), 8543 km. 4) (VII IOAA) Um cometa periódico orbita o Sol com máximo afastamento igual a 31,5 UA e máxima aproximação igual a 0,5 UA. Determine o valor da sua velocidade areal em UA 2/ano. 5) (seletiva) A figura abaixo mostra a órbita elíptica de um cometa em torno do Sol. O Sol ocupa a posição focal S e os parâmetros da órbita aparecem no quadro ao lado.

Parâmetros orbitais: a = semieixo maior = 2 U.A. b = semieixo menor = 1 U.A. c=

3 U.A.

Sendo P o período orbital deste cometa em torno do Sol, pode-se afirmar que o intervalo de tempo t necessário para que ele percorra o arco ABC é: a) t =

P 2

b) t =

+ 3 .P 2

c) t =

2 + 3 2 .P d) t = .P 4 4 + 3

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6) (seletiva) Considere um satélite de período orbital P e semieixo maior a. Assinale a alternativa que expressa corretamente de quanto foi o acréscimo P (P