Analyse fonctionnelle Tome 2 Equations fonctionnelles

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JI. B. KAHTOPOBHH, T. n . AKHJIOB

(DyHKUHOHAJIbHbin AHAJ1H3

H3AATEJIbCTBO « HAVKA» MOCKBA

L. KANTOROVITCH, G. AKILOV

ANALYSE FONCTIONNELLE

Tome 2

Equations fonctionnelles

EDITIONS MIR • MOSCOU

Traduit du russe par D /ilali Embarck

H a (fipamtyacKOM nauxe

© HaAaTejibCTBO « Hayna » 1977 © Traduction française Editions Mir 1981

RAPPEL: SOMMAIRE DU TOME 1 ESPACES METRIQUES ET TOPOLOGIQUES ESPACES VECTORIELS ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES ESPACES NORMÉS OPÉRATEURS ET FONCTIONNELLES LINÉAIRES REPRÉSENTATION ANALYTIQUE DES FONCTIONNELLES SUITES D’OPÉRATEURS LINÉAIRES TOPOLOGIE FAIBLE DANS UN ESPACE DE BANACH OPÉRATEURS ADJOINTS ET COMPACTS ESPACES NORMÉS ORDONNÉS OPÉRATEURS INTÉGRAUX

TABLE DES MATIERES

Chapitre XII. ÉQUATION ADJOINTE

........................................................

9

§ 1. Théorèmes de l'opérateur in v e rse ....................................... § 2. Relation entre une équation et son a d jo in te ....................

9 16

Chapitre XIII. ÉQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPÈCE

25

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7.

Equations à noyau compact ............................................... Sur les espaces normés com plexes....................................... Spectre .................................................................................. Résolvante ................... Alternative de F r e d h o lm ...................................................... Application aux équations i n t é g r a le s ............................... Sous-espaces invariants d'un opérateur. Le problème d'ap­ proximation ..................................................................................

Chapitre XIV. THÉORIE GÉNÉRALE DES MÉTHODES D’APPROXI­ MATION ...................................................................... § 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6.

Théorie générale pour les équations de seconde espèce Equations réductibles à des équations de seconde espèce Application aux systèmes infinis d 'é q u a tio n s .................... Application aux équations in té g ra le s................................... Application aux équations différentielles ordinaires . . . Application aux problèmes aux limites pour équations de type e llip tiq u e ............................................................. 120

Chapitre XV. MÉTHODE DE LA PLUS FORTE PENTE . . . . . . . § § § § §

1. 2. 3. 4. 5.

Résolution des équations lin é a ire s ......................... 127 Détermination des valeurs propres des opérateurs compacts Application aux équations différentielles elliptiques . . . Minimisation des fonctionnelles convexes différentiables Minimisation’des fonctionnelles convexes dans des espaces de dimension finie ......................................................................

Chapitre XVI. PRINCIPE DU POINT F I X E .................................................. § 1. Principe de Caccoppoli-Banach .......................... § 2. Propositions auxiliaires ......................................................

25 34 38 43 57 64 69 74 75 90 92 97 107

127 136 141 149 158 165 165 168

TABLE DES MATIERES

8

§ 3. Principe de S c h a u d e r.............................................................. § 4. Applications du principe du point f i x e ............................... § 5. Théorème de Kakutani .......................................................

176 180 189

Chapitre XVII. DERIVATION DES OPERATEURS NON LINEAIRES

195

§ § § §

1. 2. 3. 4.

Dérivée première .................................................................. Dérivée seconde et opérateursb ilin éaires.............................. Exemples .............................................................................. Théorème des fonctions implicites ...................................

Chapitre XVIII. METHODE DE NEWTON

195 204 211 219

...........................................

228

§ 1. Equations de la forme P (x) = 0 ....................................... § 2. Corollaires du théorème de convergence de la méthode de Newton .................................................................................. § 3. Application de la méthode de Newton à des équations fonc­ tionnelles concrètes ........................................................... § 4. La méthode de Newton dans les espaces réticulés normés

228

251 273

Annexe. Dualité entre espaces vecto riels...................................................

279

§ 1. Correspondances. Fermetures sur des ensembles ordonnés § 2. Dualité algébrique entre espacesv ec to riels..........................

280 309

Bibliographie .............................................................................................. Ouvrages d’analyse fonctionnelle ............................................ Ouvrages utilisés .......................................................................... Index des m a t i è r e s ........................................................................................ Index des sy m b o les........................................................................................

328 328 333 341 343

242

CHAPITRE XII

ÉQUATION ADJOINTE

§ 1. Théorèmes de l’opérateur inverse *) Dans ce paragraphe, nous complétons ce que nous avons dit sur l ’opérateur inverse dans le tome 1 (cf. § 4, chap. V). 1. 1. Rappel des définitions du tome 1. Soit U un opérateur li­ néaire continu d’un espace normé X dans un espace normé Y. Si existe un opérateur F de Y dans X, tel que VU = I X (7xz = x, xÇX), (1) UV = I y (Typ = y, Y), (2) on dit que F est inverse de U (F = U-1). Dire qu’il existe un opérateur inverse (même non continu) U~x revient à dire que U réalise une bijection de X sur Y. Si U-1 est continu, l’application indiquée est un isomorphisme. L’opérateur F est appelé opérateur à gauche (resp. à droite) et noté F = Ugl (resp. F = Ü2l **)) si est réalisée la relation (1) (resp. (2)). Dans V.4.4, on a montré qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’existe un opérateur inverse à gauche continu est que || U (x) || > m || x || (x 6 X), (3) où m > 0 ne dépend pas de x. Si, en outre, l’opérateur U applique X sur Y, l’opérateur inverse à gauche sera également inverse à droite, c’est-à-dire l ’opérateur inverse continu U~x existe. 1.2. Prouvons un théorème. T héorème 1. Si un opérateur linéaire continu U d'un B-espace X dans un espace normé Y admet un inverse à gauche continu, l'ensemble Y' = U (X) est un B-espace. D émonstration . Il faut simplement établir la complétude de l ’espa­ ce Y'. Soit {yn} une suite de Cauchy d’éléments de Y'. Posons x„ = = U~x (yn) (yn = U (x„); n = 1, 2, . . .). D’après ce qu’on a dit *) Ce sujet est également traité dans Neumann [1] et Schauder [2]. **) On omettra parfois les indices « g » et « d ».

ÉQUATION ADJOINTE

10

[CH. X II

dans 1.1 Il yn —yh II = Il U (x„) — U (a;*) Il > m || x n — x h ||, où m est une constante positive. Donc lim ||x n —xft|| = 0. k, n—oo

Par suite, dans X existe l ’élément x0 = lim xn. Comme lim yn = n-^oo

= lim U (xn) = U (x0), en désignant y0 = U (x0) on obtient y0 £ Y' et yn ->■ y0- Ce qui prouve la complétude de Y'. C o r o lla ir e . S ous les hypothèses du théorème, Y' est un sous-espace fermé de Y. 1.3. Soient donnés deux espaces normés X et Y et un opérateur linéaire continu U de X dans Y. L’ensemble X0 = U"1 (0) est mani­ festement un sous-espace fermé de X. Considérons l ’espace quotient X = X/X0 (cf. IV.1.8, tome 1). Soit i f X ; prenons un élément quelconque x Ç x et posons

Ü (x) = U(x).

(4)

La définition de l ’élément U (x) ne dépend pas du choix de l ’élément x 6 x, car si x \ x n 6 x, alors x' — x" 6 X0 et U (x#) = U (x"). Donc, la formule (4) définit un opérateur U de X dans Y. Cet opérateur est homogène et additif. Il est continu, car en passant à la borne inférieure dans le second membre de l’inégalité ljT (x )|| = ||C / ( x ) ||< ||t / ||||x ||

(x 6 î),

on peut écrire n ff(ï)ii< iiin iiiïii

(* e x ).

De la définition de l’opérateur U il suit que £/ = £/cp, où q> est un homomorphisme naturel de X sur X/X0 (cf. IV. 1.8, tome 1) et 11^11 = 11^11Contrairement à U l ’opérateur U réalise une application injective (de X dans Y). En effet, si U (x) = 0, pour tout x £ x on a t/( x )= 0 , c’est-à-dire xÇ£/-1(0) = X0 et par suite x est con­ fondu avec X0, l ’élément nul de X. _ Si U applique X sur Y, U appliquera également X sur Y. Si, de plus, existe l’opérateur inverse continu t / -1, les espaces X et Y sont dits homomorphes et l ’opérateur U, homomorphisme de X sur Y. Les deux conditions suivantes expriment le fait que U est un homomorphisme de X sur Y : 1) Ü( X) = Y;

THÉORÈMES DE L'OPERATEUR INVERSE

§ 1]

11

2) il existe m > 0 tel que pour tout y 6 Y on peut exhiber x Ç X tel que y = U (x), || y || > m || x ||. En effet, si U est un homomorphisme, la première condition est manifeste. D ’autre part, en prenant x Ç x = U '1 (y) à partir de (4) de IV.1.8 (tome 1), on obtient | | x | K 2 | | ï | | < 2 | j C / - M | || y ||

et l ’on peut prendre m = — =-----. 2 fl U"1 1|

Si, au contraire, les deux conditions sont remplies, de la pre­ mière on déduit quet/(X ) —Y. Soit x Ç X ; à partir de l’élément y = U(x) trouvons l ’élément xÇ X vérifiant la deuxième condi­ tion. Comme U ( m \ \ x \ \ . _ Comme indiqué dans 1.1, ceci et la relation U (X) = Y assurent l ’existence de l ’opérateur inverse continu f/”1. 1.4. La réciproque du théorème 1 est capitale en théorie des équations fonctionnelles. C’est une partie de la proposition suivante. L emme 1. Soit U un opérateur linéaire continu d'un B-espace X dans un espace normé Y. Si Vintage U (B) de la boule unité B {de cen­ tre 0) de l'espace X est dense dans la boule S T de rayon r {de centre 0 aussi) de l'espace Y, alors U est un homomorphisme de X sur Y. En particulier, si l'application réalisée par l'opérateur U est bijective, l'opérateur U admet un opérateur inverse continu C/”1. D émonstration. Vérifions que les deux conditions de 1.3 sont remplies. De toute évidence, on peut admettre que les boules B et S r sont fermées; montrons que U {B) zd iSr/2. (5)

Prenons une suite {&n} de nombres strictement positifs, telle oo ____ que 2 et considérons y Ç 5 r. Comme U (B) zd S t , il existe A=1

yiÇU (B) tel que Il y — ÿi l l < «ifSoient x1 un élément de B, tel que ÿj = U (x7), B h la boule fermée de X de rayon h (de centre 0). Par hypothèse, U (Bh) r : S hr. Comme

[ch. x n

ÉQUATION ADJOINTE

12

y — y ! 6 S txT, il existe donc un élément x a Ç B ,t, tel que Il y ~ fai + J/î) Il < c2r (y, = U (*,)). En poursuivant ce raisonnement, on trouve deux suites {yn} cz Y et {arn} c X telles que yn = U ( x n)i

Xn £ B e

,

Il y — S

ÿkll^fin^

6

( )

n1 ft-1 (nÇM, e0= 1). Comme || x n ||^ e „ _ , et que l ’espace X est complet, la série oo 2 x k est convergente. Si x est la somme de cette série, on a A=1 l l * I K S II** I K S e* -i< 2 , ft-l A-l c’est-à-dire x £ B z. D’autre part U ( x ) = S U(x k) = 2 9h. 1 fc-1 Mais de (6) il est clair que 2 y h —y • Donc, y = U(x). On a ainsi h-1 prouvé que U {B2) =5 S r, ce qui équivaut à (5). Comme (5) entraîne que U (Bn) SnT/ 2, on a U (X) = U U ( B n) n=i

U S nr/2= Y,

n—1

et la première condition est remplie. Si i/ =#=0 est un élément quelconque de Y, alors y 6*5r/2 2 II y U et, d ’après (5), on peut exhiber un élément x'ÇÆ , tel que y' = U (xr). En posant x- 2 II y II x \ on obtient U(x)=y,

| | * | | - f ||iM I I I * 'll< f II VII-

Donc, la deuxième condition est aussi satisfaite. G.q.f.d. C orollaire. Si Von se place dans les conditions du lemme, Vespace Y est complet. En effet, U étant un homomorphisme, l ’opérateur U de l’espace quotient X = X/X0 (X0 = U~l (0)) sur Y admet un inverse continu. En appliquant le théorème 1, on obtient ce qu’on voulait, puisque Y = Ü (X).

THÉORÈMES DE L’OPERATEUR INVERSE

13

L’hypothèse du lemme est de vérification délicate. Celle du théo­ rème suivant est plus commode. T heoréme 2 (Banach). Si Vensemble U (X) est de deuxième catégorie dans Vespace Y, l'hypothèse du lemme est satisfaite, donc Vopérateur U est un homomorphisme de X sur Y. D émonstration . Conservons les notations du lemme et prouvons que, si l’hypothèse du lemme n ’est pas remplie, l ’ensemble U (B) n’est nulle part dense. En effet, en supposant le contraire on trouve une boule S (y0, r) (de centre y0 et de rayon r) dans l’espace Y, telle que

Û j B ) ^ S ( y 09 r).

(7)

L’ensemble U (B) est symétrique, c’est-à-dire contient tout élément y avec son opposé —y. L’adhérence U (B) est visiblement symétri­ que, elle aussi. Donc, en vertu de (7), on peut écrire U {B) =>S( — i/o, r). Soit un élément y 6 S r. L’élément y0 + y € S (y0, r) et l ’élément —I/o + y 6 S (—y0, r), donc ces deux éléments appartiennent à U (B). Or, l ’ensemble U (B), donc U (B), est convexe, par suite il contient deux quelconques de ses éléments avec leur demi-somme. Notamment 0/o+y) + (—y0+y) 2

Donc, U (B) 1 3 5 r. Si la condition du lemme 1 n’est pas remplie, l ’ensemble U (B) n’est nulle part dense. Ce sera également le cas pour tout ensemble U (Bn) (n 6 N). Or U( X) = U U(Bn), n —1

d’où il suit que l ’ensemble U (X) est de première catégorie. Cette contradiction prouve le théorème. Indiquons un corollaire du théorème prouvé, qui est la réciproque du théorème 1. C orollaire. Si un opérateur linéaire continu U réalise une appli­ cation bijeclive d'un B-espace X sur un sous-espace fermé d'un B-espace Y, l'opérateur inverse U"1 est continu. En effet, tout sous-espace fermé d’un B-espace est un 5-espace, donc un ensemble de deuxième catégorie dans soi (cf. 1.4.7, tome 1). 1.5. Indiquons quelques applications immédiates du théorème 2. Supposons qu’un espace vectoriel X soit muni d’une norme de deux manières différentes. Soient || x ||j et || x ||2 les normes respecti-

[CEL xn

ÉQUATION ADJOINTE

14

ves d’un élément x 6 X, Xx et X2 les espaces normés correspondants. Même si Xx et X2 doivent être considérés comme des espaces diffé­ rents, il peut ne pas exister de distinctions qualitatives entre eux. C’est notamment le cas lorsque toute suite {xn} convergente dans un espace est convergente dans l ’autre vers le même élément. On dit alors que les normes des espaces Xj et X2 sont équivalentes ; ce qui veut dire que les espaces X! et X2 sont isomorphes (cf. IV.1.3, tome 1). T héorème 3. Soient Xx et X2 deux B-espaces normés tels que X\ a c X 2 *). Si la convergence xn -»■ x dans Vespace Xx entraîne la con­ vergence xn -*~ x dans Vespace X2, alors ou bien X x = X2 et les normes de Xx et X2 sont équivalentes, ou bien Xi est un ensemble de première catégorie dans X2. D émonstration . Désignons par U un opérateur d ’immersion de X x dans X2, c’est-à-dire un opérateur associant à un élément x £ X x cet élément x lui-même, mais considéré comme élément de X2. D’après le théorème, l ’opérateur U est un opérateur linéaire continu. Si l ’ensemble Xx = U (Xx) est de deuxième catégorie dans l ’espace X2, alors Xx = X2 d’après le théorème 2 et U admet un opérateur inverse continu. Donc, si xn — x dans X2, alors xn = J7-1 (xn) ->» t / -1 (x) = x dans Xx, c’est-à-dire les normes de X x et X2 sont équivalentes. Si dans le théorème Xx = C(1) (D) et X2 = C (D), l ’ensemble de toutes les fonctions continûment différentiables est de première catégorie dans l ’espace C des fonctions continues. On s’assure de façon analogue que l’ensemble des fonctions bornées presque partout mesurables est de première catégorie dans l ’espace L1, etc. 1.6. Une application T (pas nécessairement linéaire) d’un en­ semble Q d ’un espace normé X dans un espace normé Y est par défi­ nition fermée si

xn 6 Q

= 1* 2, . . .),

xn

Xq,

T (xn) ► * z/o,

entraîne que i 0 ÇQ et T (x0) = y0. Un opérateur linéaire continu défini sur un ensemble fermé est visiblement fermé. La réciproque est vraie. De façon plus précise, on a le T héorème 4. Si T est un opérateur linéaire fermé d'un sous-espace vectoriel fermé Q d'un B-espace X dans un B-espace Y, c'est que T est continu. D émonstration . On peut admettre que Q = X (puisque Q est un Z?-espace). Munissons X d’une nouvelle norme en posant Il x II, = || X II + Il T (x) Il (x 6 X). (8)

*) On admet que l ’immersion Xx c X2 conserve les opérations algébriques, c’est-à-dire Xx peut être considéré comme un sous-espace vectoriel de X2.

THÉORÈMES DE L’OPÉRATEUR INVERSE

§ 1]

15

Il est immédiat de vérifier que cette norme satisfait aux axiomes d ’un espace normé. Vérifions que l ’espace X est complet pour cette nouvelle norme. Soit lim ||x n — xfc||j = 0. k , 71—00

Ceci exprime que lim || x n —x* || = 0 et A , 71—00

lim || T (x„) — T (xh) || = 0. A , 77 — 0 0

Les espaces X (pour la norme donnée) et Y étant complets, il résulte qu’existent les limites lim x n = x 71-00

et

lim T (xn) = y0. 71— 0 0

L ’opérateur T étant fermé, on a yQ = T (x0). Or lim || x n 71—00

x 0111 = lim || xn f l— 00

x0 || + lim ||7’ (xr, ) - 7 ’ (x0) || = 0 7 1 -0 0

ce qui prouve que l ’espace X est complet pour la nouvelle norme. Comme li» de || xn ||i->-0 il suit que \\xn || -+• 0. En appliquant le théorème précédent on obtient || X II, < M II x ||. A fortiori || T x \ \ < M \ \ x |i, ce qui exprime la continuité de l ’opérateur T. R emarque. La classe des opérateurs linéaires fermés définis sur l ’espace tout entier (ou sur un sous-espace vectoriel fermé) est con­ fondue avec la classe des opérateurs linéaires continus. Cependant, si l ’on considère les opérateurs linéaires fermés sur un sous-espace vectoriel (non fermé), ils forment une classe bien plus large que celle des opérateurs continus. Ainsi, dans l ’espace L2 (a, b) on vérifie immédiatement que l ’opérateur T: y — T (x),

=

défini sur l’ensemble Q de toutes les fonctions absolument continues, dont les dérivées premières appartiennent à L2 (a, 6), est fermé mais pas continu. On a affaire aux opérateurs fermés mais non continus essentielle­ ment dans le cas où X = Y est un espace hilbertien. L’étude du cas général est rendue malaisée par la structure compliquée de l ’espace de Banach.

16

ÉQUATION ADJOINTE

[CH. X II

§ 2. Relation entre une équation et son adjointe Dans ce paragraphe on considère Téquation U (x) = y

(1)

et Téquation U* (g) = /, (2) dite adjointe de (1). On suppose toujours que U est un opérateur linéaire continu d ’un espace X dans un espace Y. Sans le mentionner expressément dans la suite, nous admettrons que ces espaces sont complets, bien que certains théorèmes de ce paragraphe soient valables sans l ’hypothèse de complétude. Les théorèmes de ce paragraphe ont été prouvés par Hellinger et Toeplitz [11, [21 pour l ’espace L2 (a, b), par Riesz [3] pour les espaces lp et l? (a, b) et par Banach et Zaanen [I] pour le cas général. 2.1. Les ensembles d’annulation auront un grand rôle à jouer dans la suite de l ’exposé. Soit T un ensemble de fonctionnelles li­ néaires dans l ’espace X. Désignons par N (r) l ’ensemble de tous les i Ç X tels que / (x) = 0 pour tout / £ T. Si E cz X nous appelons N* (E) l ’ensemble de toutes les fonctionnelles / 6 X* s’annulant sur chaque élément de E . Les ensembles N (r) et N* (E) sont dits ensem­ bles d'annulation de T et E respectivement. Si nous considérons le couple en dualité (X, X*), il est évident que N (r) est l ’annulateur T1 de l ’ensemble T, et N* (J?) l ’annulateur E 1 de l ’ensemble E , introduits dans la situation générale au III.3.2 (voir tome 1). En tenant compte des propriétés des annulateurs et des polaires, développées au IÎI.3.2, et du fait que la fermeture en norme et la fermeture faible sont confondues dans X, on obtient 1) N (H est un sous-espace vectoriel fermé de X; 2) N (N* (E)) est l ’enveloppe linéaire fermée de E ; 3) si X0 est un sous-espace fermé de X, alors X0 = N (N* (X0)). De façon analogue 1) N* (E) est un sous-espace vectoriel (*)-faiblement fermé de X* ; 2) N* (N (r)) est l ’enveloppe linéaire (*)-faiblement fermée de T ; 3) si Z est un sous-espace (*)-faiblement fermé de X*, alors Z = N* (N (Z)). Les sous-espaces de X*, fermés pour la norme, n ’étant pas (*)faiblement fermés si X n’est pas réflexif, les sous-espaces fermés ne sont pas tous de la forme N* (2?) (E c= X). Soit Jt: X->- X** une injection canonique. Si E est un ensemble de X, on désigne ji (E) par Efi*, c’est-à-dire £8* est l ’ensemble de toutes les fonctionnelles de X* de la forme Fx (x Ç X), où comme

4 2]

RELATION ENTRE UNE EQUATION ET SON ADJOINTE

17

toujours f a î)= W ) (/e x * ). De façon analogue, on se servira de la notation Ga (y 6 Y) pour l’espace Y. On a manifestement N* (E) = N (£$*). Pour l ’ensemble T c= X*, on peut considérer deux ensembles d’annulation : N (r) c X et N* (r) c X**. Il est immédiat de voir que (N (r))s*=N *(r) n x r ,

où Xo* est l’ensemble n (X) dans les notations adoptées. Introduisons enfin l ’ensemble N (U), ou ensemble d'annulation de l'opérateur U, c’est-à-dire l’ensemble de tous les x £ X, dont l’image par U est zéro. Autrement dit, N (U) = U '1 (0). 2.2. Le théorème suivant précise les éléments qui constituent l ’image U (X) de l’espace X. Theoreme 1. Soient Y’ = U (X), Yj l'adhérence de Y'. Alors Yi = N (N (U*)), c'est-à-dire Yi est l'ensemble des zéros communs des fonctionnelles g £ Y* sur lesquelles s'annule l'opérateur U*. D émonstration. Prouvons tout d ’abord la relation N* (Y') = N (U*). (3) Soit g Ç N* (Y'). Comme U (x) Ç Y' pour tout a: € X, on a U* (g) (x) = g (U (x)) = 0 (x 6 X),

(4)

c’est-à-dire U* (g) = 0 et g Ç, N (U*). Cette même égalité (4) montre que si U* (g) = 0, alors g 6 N* (Y'). Donc, la relation (3) est établie. En passant aux ensembles d’annulation dans les deux membres de cette relation, on obtient N (N* (Y')) = N (N (£/*)). Y' étant un espace vectoriel, son adhérence, comme indiqué dans 2.1, est confondue avec N (N* (Y')). C.q.f.d. On a le théorème dual. T heoreme 1*. Si X* est l'adhérence (*)-faible de l'ensemble U* (Y*), alors D ém o n stra tio n .

X* = N* (N (U)). Dans la relation (3), remplaçons l ’opéraleur U

par U* : N* (U* (Y*)) - N (U**) 2 -0 1 2 0 2

18

EQUATION ADJOINTE ’

[CH. XII

et considérons l ’intersection des deux membres avec l ’ensemble Xg*. Comme U** (Fx) (g) = Fx (U* (g)) = g(U (x)) = GvM (g) (ge Y*, xÇX), c’est-à-dire U**(FX) = GU(X) (z€X ), l ’intersection N (£/**) f) Xg* est composée de toutes les fonctionnel­ les Fx Ç Xg* telles que x Ç N (JT). En d’autres termes N (£/**) n Xg* = [N (6' (Y*))]g*. Par ailleurs N* (£7* (Y*)) fl XJ* = [N (U* (Y*))]o*. En combinant les relations obtenues on trouve N (U* (Y*)) = N (£7), et par suite N* (N (£7* (Y*))) = N* (N (U)). Or K* = N* (N (£7* (Y*))), ce qui prouve le théorème. 2.3. Les deux théorèmes suivants établissent un lien entre le fait que l ’une des équations (1) ou (2) admet une solution pour tout second membre, et le fait que l ’autre admet une solution unique. T heorême 2. Pour que Véquation (2) admette une solution pour tout f Ç X*, il est nécessaire et suffisant que Vopérateur U admette un inverse à gauche continu £7-1. D émonstration . La condition est nécessaire. Supposons que l ’équa­ tion (2) admet une solution pour tout / 6 X*. En d’autres termes, soit £7* (Y*) = X*. Considérons un élément quelconque x 0 dans l’espace X. D’après le théorème V.7.2 (tome 1) il existe une fonctionnelle / 6 X* telle que

11/11 = 1, /(*) = 11*11Le théorème 1.2 nous dit que £7* est un homomorphisme, donc il existe g Ç Y* telle que U * ( g ) = f , II* Il 11/II. où m ne dépend pas de / et par suite de x . D’après ce qui précède Il * Il — /(* ) = g (U (*)) < || £ Il II U (x) \ \ ^ m \ \ U ( x ) ||. Donc \\U(x)\\>-L\\x\\

(*€X ),

d’où résulte l’existence de l ’opérateur inverse à gauche continu £7“*.

RELATION ENTRE UNE ÉQUATION ET SON ADJOINTE

19

La condition est suffisante. Soit f 0 Ç X*. Supposons qu’existe l ’opérateur continu Ug1 = t/"1 et posons g' (y) = /o (U-1 (I/)) (y 6 (X)). La fonctionnelle g' définie sur l’ensemble Y' = U (X) est linéaire et continue. En la prolongeant à Y tout entier, on obtient la fonc­ tionnelle g0 6 Y*. Comme U (x)Ç Y' pour tout z Ç X , on obt ient U* (g0) (x) = g0 (U (x)) = g' (U (x)) = /o (Ü~'U (x)) = U (x). Donc U*g = /o, c’est-à-dire l’équation (2) admet une solution pour tout second membre. Théorème 2*. Pour que Vêquation (1) admette une solution pour tout y Ç Y, il est necessaire et suffisant que Vopérateur U* possède un inverse à gauche continu U D émonstration .Condition nécessaire. On l’établit comme celle du théorème 2. Soit y 6 Y un élément quelconque de norme || y || ^ 1. D’après le théorème 1.2, il existe dans X un élément x tel que U (x) = y, Il x | K m || y | | < m. Si g 6 Y* et / 6 U* (g), alors I g (y) I = \g (U (x)) | = I / (x) | < || / || || x || < m || / ||. En passant à la borne supérieure sur y au premier membre (|| y || ^ 1) et en tenant compte du fait que m ne dépend pas de y, on obtient 11*11= sup \g (y) |< m || / || = m || U* (g) ||,

et nous arrivons à la condition assurant l ’existence de l ’opérateur inverse à gauche continu C/*”1. Condition suffisante. Montrons que l ’opérateur U vérifie l ’hypo­ thèse du lemme 1 du paragraphe précédent et, par suite, en vertu du lemme, U (X) = Y. Soit B la boule unité de l’espace X (centrée en 0). L’ensemble U (B) est absolument convexe, donc son adhérence dans l’espace Y est U (B)°° (cf. III.3.2, tome 1). Le polaire U (B)° est l ’ensemble de toutes les fonctionnelles g 6 Y* telles que | g (y) | ^ 1 pour tous les y 6 U (B). Ou encore | g (U (x)) | ^ 1 pour tous les x Ç B. En posant / = U*g, on peut mettre la dernière relation sous la forme | / (x) I < 1 (x 6 B). Donc, lorsque g parcourt l’ensemble U (B)°, la fonctionnelle / = = U* (g) reste dans la boule unité B° de l’espace X*, c’est-à-dire U* (U (B)°) cz B° fl V* (Y*). 2*

20

AQUATION ADJOINTE

[GEL XII

Mettons cette relation sous la forme suivante: ü (B)° y

(n = 0, J, 2, . .

(

4

)

Soit m > n. Considérons l’élément U (x m) — U (x„) = xm — T (xm) — IXn — T (xn)| = xm — x, où x = : T ( x m) + x n — T ( x n). Prouvons que x Ç X m_,. En effet, Tm-' (ï) = Tm (xm) + 7’m“1 (x„) - Tm (*„) - 0, puisque €X n cz X*,.., et xmÇXm. Compte tenu de (4) il vient Il U (xm) — U (xn) || = ||x m—x || > Y

( m > n ; m,n:= t. 2 , . . . ) . (5)

Mais {xn} est une suite bornée, donc en vertu de la compacité de l ’opérateur (7, de la suite {U (x„)} on peut extraire une suite par­ tielle convergente, ce qui contredit (5).

ÉQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPÈCE

28

[CH. X IH

L emme 3. Parmi les ensembles

T (X), r (X), . . ., T- (X), . . .

(6>

il n'en existe qu'un nombre fini de distincts. D émonstration . Elle rappelle dans les grands traits celle du lem m e précédent, aussi la ferons-nous sans entrer dans les détails. On remarquera que les ensembles (6) sont fermés d'après le lemme 1 et de plus forment une suite décroissante. 11 est clair que l ’égalité Tn (X) = r n+1 (X) entraîne pour un n

Tn (X) = r i+1 (X) = Tn+* (X) = . . et le lemme est prouvé dans ce cas. Supposons que Tn (X) Tn+1 (X) (n = 0, 1, . . .) et utilisons le lemme de la quasi-perpendiculaire (IV.1.7, tome 1) pour construire une suite {*„} telle que Ilxn n = i ,

x n e r n (X),

P (*„, r* +i( X ) ) > -

(» = i,2 ,...) .

(7>

Soit m > n. Comme dans le lemme 2, on a U (x„) — U (xm) = xn — T (xn) — lxm — T (xm)] = x„ — x. Or T (xn) 6 (X), xm € T (X) c= Tn+l (X), T (xm) 6 Tm+1 (X) c Tn+l (X), donc x = T (xn) + x m - T (xm) 6 Tm" (X). Il s’ensuit de (7) Il U (x„)— U (xm) || = || x„ —x || > y

(m>n;

=

2 ,...) ,

ce qui contredit la compacité de l ’opérateur U. 1.2. Désignons par r le plus petit des entiers positifs n tels que Tn (X) = Tn+1 (X). En particulier, si T (X) = X = T° (X), on pose r = 0. Soit par ailleurs X' = Tr (X), X" = N (Tr). Le théorème suivant caractérise l ’opérateur 7\ donc l ’équation (1). T héorème 1. a) L'opérateur T réalise une bijection du sous-espace X' sur lui-même. b) Le sous-espace X" est de dimension finie. L'opérateur T applique X* dans lui-même. c) Chaque élément x 6 X peut être mis de façon unique sous la forme x = x9 + xm (x' 6 X \

x ' 6 X") ;

(8)

« »]

EQUATIONS A NOYAU COMPACT

•ceci étant, il existe une constante M > 0 telle que || x' || < M || x H, || x ' || < M || x ||.

29

(9)

d) L'opérateur U admet la représentation U = U' + U",

(10)

■où U' et U" sont des opérateurs compacts, le premier de X dans X', le second de X dans X". Ceci étant, l'opérateur T' = I — U' possède un inverse continu et U'U" = V U ' = 0.

(11)

D émonstration, a) Comme X' = Tr (X), on a

t (X') = r * 1 (X) = t t (X) = X'. Si T (x) = 0 , où x Ç X', en prenant de telle sorte qu’en vertu du lemme 2 l ’on ait N (J") = N (jTn+1), il vient xÇ Tn (X) et, par suite, il existe un x 6 X tel que x = Tn (x). Or, 0 = T (x) = = r n+1 (xj, donc x Ç N ( r n+1) = N (Tn), c’est-à-dire x = Tn (x) = 0. b) On a Tr = (J - U)r = I - C7„ ■où l ’opérateur U1 est une combinaison linéaire des puissances posi­ tives de l ’opérateur U. Donc, l ’opérateur U-i est compact d’après le théorème IX.2.2 (tome 1). Chaque ensemble borné dans X" est ■compact, car Ux (x) = x pour x Ç X". D’après le théorème IV.1.3 (tome 1), l ’espace X" est de dimension finie. Si r > 0, l’ensemble T (X") est de toute évidence N (TT~1) c c N ( n = X". Si r = 0, alors X" = {0} et l’inclusion T (X") c= X" est triviale. c) Désignons par T0 l ’opérateur T considéré seulement sur X'. En appliquant le lemme 1 à l’opérateur TT — I — Ux on déduit

où x ' Ç X' et x" Ç X" sont ceux de la représentation de x sous la forme (8). En utilisant les majorations (9), on s’assure sans peine que £/' et U" sont des opérateurs linéaires continus. De plus, il est clair que U = U' + U" et U' (X) c=X', U" (X) œ X ". D’autre part, il est manifeste que U' (X") = U” (X') = {0}.

(14)

Ces relations impliquent U*U” = U"U* = 0, c’est-à-dire (11). L’opérateur U" applique l ’espace X dans l ’espace de dimension finie X" dans lequel tout ensemble borné est compact. Donc, U” est un opérateur compact. Or, U' = U — £/", et le théorème IX .2.2 (tome 1) nous dit que l ’opérateur U' est compact. Prouvons enfin que l ’opérateur T' = / — U' admet un inverse continu. Pour cela il suffit de montrer, premièrement, que T f {x) = O entraîne x = 0 et, deuxièmement, que T' (X) = X. Supposons que T' (x) = 0. En mettant x sous la forme (8), on obtient 0 = T' (x) = x - U' (x) = x' — U (x') + x” = T (x') + x \ Comme T (x') Ç X', l’unicité de la représentation de l ’élément O sous la forme (8) donne T (x‘) = x” = 0 et en vertu du point a) x' = 0. Donc x = x 9 + x" = 0. Soit maintenant un élément y quelconque de X. Mettons-le sous la forme (8), soit y = y' + y” (y' 6 X \ y" 6 X") et posons X - TV (y') + y0. Comme 7V (y') Ç X', il vient U' (x) = U (TV (y'))

ÉQUATIONS A NOYAU COMPACT

*n

31

et r (x) = x - U ' (x) = t o1 (Ï ) - u (Jô1 (y')) + yr = = TTô1 (y') + y" = y' + y* = y* Donc, T ' (X) = X. Ce qui achève la démonstration du théorème. R emarque . Supposons que m est le plus petit des entiers positifs n tels que N (Tn) = N ( J n+1). Alors m = r. En effet, en prenant x £ N ( r r+1) et en le mettant sous la forint (8), on obtient o = r * 1 (x) = r * 1 (x') + r +1 (x*) = r r+1 (x*), ce qui, en vertu de a), n’est possible que pour x' = 0. D’où x = s* £ Ç N ( r r) et par suite m ^ r. Si y = J m (x) (x 6 X), en remplaçant x par sa forme (8) on a y = r m (x) = r ” (x') + r * (x") = r * (x') = r " +1 (fs 1 (*')) et y Ç r m+1 (X), donc on doit avoir r ^ m. Le cas particulier du fait indiqué dans la remarque est e*primé: dans le théorème suivant. T héorème 2. Pour que Véquation (1) admette une solution quel que soit y Ç X il est nécessaire et suffisant que Véquation homogène T (x) = 0 (15) admette une solution unique (de toute évidence x = 0). En effet, si l’équation (1) admet une solution pour tout y 6 X, c’est que T (X) — X, c’est-à-dire r = 0. L’unicité de la solution de* l’équation (15) équivaut à m = 0. R emarque . En se servant des résultats du § 2 du chapitre précé­ dent on peut prouver ce théorème, indépendamment du théorème 1, en faisant intervenir le seul fait que l ’ensemble T (X) est fermé. Nous laissons au lecteur le soin de faire cette démonstration. 1.3. Le théorème suivant établit un lien entre les équations (1) et (2).

T héorème 3. Les ensembles N (T) et N (r*) sont de même dimension

finie. D émonstration. N (T) est de dimension finie, car N ( T ) c N (7’r) = = X" et X" est de dimension finie en vertu de b) du théorème 1. L’opérateur U* étant compact, ce qu’on a dit vaut pour l ’ensemble* N (T*). Supposons que l ’ensemble N (T) est de dimension n et l’ensemble* N (T*) de dimension m. Soient xx, x2, . . xn un système d’éléments linéairement indépendants de N (T), gx, g2, . . gm un système d’élé­ ments linéairement indépendants de N (T*).

32

ÉQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPECE

[CH. X III

Les éléments xly x2, . . xn étant linéairement indépendants, ils justiciables du théorème de biorthogonalisation (théorème V.7.4, tome 1) qui affirme l ’existence d’un système biorthogonal de fonctionnelles /lf / 2, . . fn :

son t

( 1

/y(xh) = { 0ï

/ = AJ

i¥ = k ' (j, &= 1, 2,

, n).

(16)

De façon analogue, en utilisant le lemme III.3.1, tome 1, on trouve des éléments y2, . . ., ym, tels que gj (yu) = { J ’ y

(;', fc= 1, 2, . . . , m).

(17)

Supposons tout d’abord que n < m . Soit dans l ’espace X l ’opéra­ teur V = U + W, où W (x) = S fh (*) Uk (x 6 X). A—1

L ’opérateur linéaire W est compact, car il applique X dans un espace •de dimension finie. Donc, V est compact. Considérons l’équation T(x) = x - V ( x ) = T ( x ) - 2 f h (x)yh = 0. A=1

(18)

Soit x0 une solution: T ( x 0) = T (*0) - 2 /* (x0)

= 0.

(19)

"Cette égalité entraîne g» (T (*)) — 2 /h (*o) A=1

(’Jh) = 0

(* = 1 ,2 , ...,ra),

(20)

c’est-à-dire, eu égard à (17), gs (T (x0)) - fs (*o> = 0 . •d’où, puisque T* (gs) = 0, fs(xo) = 0 (s = l , 2 , . . . , *).

(21)

Ceci et (19) donnent 7 (x0) = 0. c’est-à-dire x 0 Ç N (T), donc x0 peut être représenté sous la forme n

X0 = S a Ax A* A-l

Comme a 8= f a(x0) d’après (16), il résulte de (21) que a , = 0, donc xQ = 0. Par suite, l ’équation (18) admet une solution unique. D’après le théorème 2, l’équation non homogène associée admet une

* i]

ÉQUATIONS A NOYAU COMPACT

33

solution quel que soit le second membre. En particulier, l'équation f ( x ) = T (X) — S fh (*) y h = ÿn+i A=1

admet une solution. Appelons-la x*. D’une part *»« (T (x*) - S / fc (x*) yk) = T* (gn+i) (x*) — 2 fh (**) Sn+l (y/,) = 0, A-l

de l’autre ffn+X (ÿn+l) = 1* Donc, on doit avoir m ^ n. Par des raisonnements analogues, on exclut le cas m < n . Plus exactement, au lieu de l’équation (13) il faut considérer l ’équation m t *(g)

-S

A-l

g( yk) f k= o

dans l'espace X*. 1.4. En groupant les théorèmes établis ci-dessus on obtient le T héorème 4. Ou bien les équations (1) et (2) admettent des solutions pour tout second membre et ces solutions sont uniques. Ou bien les équations homogènes T (x) = 0 et T* (g) = 0 possèdent le même nombre fini de solutions linéairement indépendantes *i, £Sv • . xn et gx, g2, . . gn respectivement. Ceci étant, pour que Véquation (1) {resp. Véquation (2)) admette une solution, il est nécessaire et suffisant que gh (y) = 0 (k = 1, 2, . . ., n) {respectivement f (xh) = -0 (k — 1, 2, . . n)). Ceci étant, la solution générale de Véquation (1) est n X = X * + S CfcXfc, A-l

celle de l'équation (2) n

g = g * + ' % 6 kgh, A-l

où x* {resp. .g*) est une solution quelconque de Véquation (1) {respr (2)) et Ci, c2, . . ., cn des constantes arbitraires. 3-01292

34

ÉQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPÈCE

[CH. X III

On démontre la deuxième partie du théorème en appliquant aux équations (1 ) et (2) les théorèmes XII.2.3 et X II.2.3* dont les hypo­ thèses sont remplies en vertu du lemme 1 (mais on peut aussi bien la prouver directement). Ce théorème est appelé alternative de Fredholm pour son analogie avec le théorème classique de la théorie des équations intégrales. § 2. Sur les espaces normés complexes Pour des considérations qui apparaîtront ultérieurement (cf. § 3) il semble naturel d’étudier l’équation x — XU (s) = y dans un espace complexe en attribuant notamment des valeurs com­ plexes à X. A ce propos, nous introduisons plus bas quelques notions complémentaires sur les espaces complexes qui nous permettront d’inclure le cas réel dans le complexe. 2.1. Soit Z un espace normé complexe. Nous dirons que Z possède un noyau réel si sur Z est défini un opérateur C de Z dans lui-même, appelé involution, et possédant les propriétés suivantes : 1. C (XiZi -(- X2z2) = 2. C2 (z) = 2 (z 6 Z). 3. || C (z) || = || 2 ||.

(s*) + X^C (z2) (zji z2 6 Z).

L’ensemble de tous les éléments pour lesquels C (z) == z s’appelle noyau réel de l ’espace Z et se note Re Z ; les éléments de cet ensemble sont dits réels. Soit 2 6 Z; l ’élément :r = -y- l* + 'C (z)] est appelé partie réelle de z et noté Re a. L’élément y = de z et noté y = Im z. Comme C

(x) = 1

\c

(2) + C2(2>1 = *-

[z — C (z)l partie imaginaire

C (y )= -± -[C

(z) -

C 2 (z)]

alors x = Re z et y = Im z sont réels. De toute évidence z = x + yi et C (z) = x — yi.

= y, (1 )

La dernière relation exprime que C (z) est conjugué complexe de z, c’est-à-dire C (z) — z. Si un élément à-est représenté sotts la forme (1) avec x et y réels, on a automatiquement x '= Re z et y = lin z. En effet, z = x — yi =

35

SUR LES ESPACES NORMÉS COMPLEXES

j _ 1 — = x — yi, donc x = — (2 + 2 ) = Re z, y — — {z — z) = Im 2 . Donc, la représentation (1) est unique ; les éléments x et y sont définis de façon unique par z. Le noyau réel X de l ’espace Z est un espace normé réel complet si l ’espace initial Z est complet. En effet, toute combinaison linéaire d’éléments de X à coefficients réels est un élément de X. La réalisation des axiomes d’un espace normé pour X résulte de ce que ces axiomes sont satisfaits pour l’espace Z. Assurons-nous que X est complet (sous l’hypothèse de la complétude de Z). Soit {xn} une suite de Cauchy d ’éléments de X. En la considérant dans Z complet, on trouve qu’il existe lim xn = ______________

71— 0 0

= z 6 Z. Comme xn — z = xn — z d’après la condition 1 , il suit que || xn — z || = || Xj, — z || = || xn — z ||, d’où xn z. La limite étant unique, on a z = 2 , c’est-à-dire z 6 X. Tous les espaces réels envisagés plus haut sont les noyaux réels d ’espaces complexes. Ainsi, C (K) réel est le noyau réel de l ’espace complexe Cq (Æ), l ’involution étant l’application x (t) x (t). On peut en dire autant des espaces JP, V, c0, etc. D’une façon générale, tout espace réel X peut être considéré comme noyau réel d’un espace complexe, plus exactement de l ’espace Z dont les éléments sont les couples ordonnées d ’éléments de X: z = = (x, y) (x, y Ç X), cet espace étant muni des lois de composition suivantes: (x2, y j + (x2, y2) = fo + x2, y1 + y2), k (x, y) = = (ax — Py, Px + a y) (k = a + pi, a, P sont réels) et de plus Il (z* y) Il = max || x cos 0 + y sin 0 || *). (2 ) 0

Pour s’assurer que X est un noyau réel de Z il suffit de poser C ((x, y)) = (x, —y). Ceci étant, les éléments de la forme (x, 0) et, eux seuls, seront réels dans l ’espace Z. Comme a (xlt

0

) + P (xj,

0

) = (axj + px2, 0 ),

|| (x, 0 ) || = max || x cos

0

|| = || x ||,

0

en identifiant (x, 0) et x, on obtient ce qu’on voulait. Une telle identification permet d’utiliser x + yi au lieu de (x, y). L’espace Z est appelé complexifié de X. *) U est bien entendu que la norme peut être introduite d!une manière différente dans les autres espaces. Si, par exemple, X = Lp, alors la norme usuelle dans Lg complexe est équivalente mais non. égale à celle-définie par (2). 3*

36

ÉQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPECE

[CH. X III

2.2. Soient Z et W des espaces complexes à noyaux réels X = = Re Z et Y = Re W. Un opérateur linéaire continu 0 de Z dans W est par définition réel s’il applique les éléments réels de Z dans ceux de W, c’est-à-dire si Ü (X) cr Y ; un opérateur réel induit donc un opérateur linéaire continu de l'espace réel X dans l ’espace réel Y. Inversement, si U est un opérateur linéaire continu de X dans Y et si X = Re Z et Y = Re W, alors en posant Ü(z) = Ü (x + yi) = U(x) + iU (y)

(z = x + yi),

on obtient un opérateur linéaire continu Ü de l’espace complexe Z dans l ’espace complexe W. Les opérateurs Û et U sont visiblement confondus sur X. L’opérateur O est dit prolongement complexe de U. Signalons l’inégalité ||t f ||< ||t f ||
0 il existe un élément normé réel z, tel que || Û (z) || > || Ü || — e, alors || & || = || U ||, puisque dans ce cas Il v II< Il 0 (Z) Il + e = Il U (z) Il + e < || U || + e. Ceci est réalisé sr, par exemple, Z et W sont des espaces fonctionnels du nombre de ceux indiqués plus haut et Ù un opérateur intégral b

w = 0

de noyau réel

K

(s,

(s),

t).

w

(s) = ^ K (s,

t)

x (/) dl

§2]

SUR LES ESPACES NORMES COMPLEXES

37

Cette condition est également réalisée si Z et W sont des espaces de suites et Ü un opérateur défini par une matrice réelle. 2.3. Si un opérateur réel Ü est compact, il est évident que l ’opé­ rateur U de X = Re Z dans Y = Re W qu’il induit est également compact. La réciproque est vraie, c’est-à-dire si U est un opérateur compact de X dans Y, son prolongement complexe, l ’opérateur Ü , est compact. Pour prouver ce fait il suffit de se rappeler que la convergence de la suite { z n} résulte de celle des suites {Re z n} et {Im z n} et inver­ sement. 2.4. Si Z est un espace à noyau réel, l ’espace dual Z* sera aussi à noyau réel. En effet, soit / 6 Z* ; définissons l ’involution en posant C (/) = /: 7 ( z ) = 7 « (*€Z). (4) Assurons-nous tout d’abord que / est une fonctionnelle linéaire continue. En effet 7 (Kzt +

|iZ 2)

= f (*zt + M-22) = / (Xz, + ï « 2 ) = =X / (z,) + ï l / (z2) = V (z,) + p/ (zj)

et |7 (z) I = I / (slK ll / Il II z 11= Il / Il II z II(5) Vérifions maintenant que les conditions 1 à 3 de la définition de l ’involution sont satisfaites. Compte tenu de la règle de multi­ plication d’une fonctionnelle par un nombre complexe, on a (X/T+ mTT) (z ) - (X/, + p/2) (z) = X/, (z)-I- p/2(z) = =- X/j (z") + p/ 2 (z) = X/i (z) + p / 2 (z) = (X/, -f p/ 2 ).(z), 7 (2) = 7(z) = / (z) = / (z). De (5) enfin il résulte que | | / | | ^ | | / | | . D’autre part || / || = = ii7 i k i i 7 ii. d’où h7 ii= h/ h. Désignons par X le noyau réel de l ’espace Z et prouvons que, si (p est une fonctionnelle linéaire dans X, le prolongement complexe / de 9 appartient au noyau réel de Z* qui ne contient que des fonction­ nelles de la forme indiquée. Ces deux propositions découlent immé­ diatement de la définition d’une fonctionnelle conjuguée. En effet, si / est le prolongement complexe de

N (T '2*). L’inclusion inverse est réalisée pour un opérateur arbitraire. Donc, N (7”) = _ jj ) (le = 1 , 2, . . .). Si ensuite on prend n = 2, 3, . . .quel­ conque et que l ’on choisisse Zc tel que n ^ 2h, on aura alors l ’inclu­ sion évidente N (7”) l / 2

( n = 1, 2 , . . . ) .

(5)

$ 4]

RÉSOLVANTE

43

n

Si i

n

X„, c’est-à-dire x = 2 M a* alors r ( * ) = 2 A-l /t-l Par ailleurs 6

n

TK (x) = x - \ nU ( z ) = 2 fJ„ ( l - ^ - ) x ftç X„ . t /*=1 * (puisque le coefficient en xn est nul). Supposons que m > n. Considérons l’expression ^ (Am£/m)

^ (^n!/n) =

J/m

(l/m ) 4 " ^ (^ n ÿ n )l =

i/m

!/•

On a démontré que T Am (i/m ) 6 ^ m - i

^ QhtUn) 6

^

^ m - i*

Donc y =

Ù /J + U (Xnyn) Ç X ^ J.

En vertu de (5) Il U (Xmym) - U (Xnyn) || = || yM - y || > 1/2, ce qui toutefois contredit la compacité de l ’opérateur £/, puisque la suite {Xnyn} est bornée (|| Xnyn \ ^ r). c) On a XxU (xJ = z 1 et X2U* (g2) = g2. Donc, £2

(x \) =

£2

(^iU (Zf)) = XfU* (g2) (xt) = Xt

(^ 1) = *=^" £ 2 (^î)»

ce qui n’est possible que si g« (xx) = 0, puisque Xx =7 ^ X2. Notons enfin en conclusion que si U est un opérateur compact dans un espace X de dimension infinie, le point 0 appartient au spectre de £7. § 4. Résolvante 4.1. Nous poursuivons l’étude de l’équation z — XU (x) = y

(1)

en nous intéressant maintenant seulement au cas où elle admet une solution unique. Soit X =7^ 0 une valeur non singulière de l’opérateur U. L’opérateur By, défini à partir de la relation / + XBi = (/ - XU)~' (2) s’appelle résolvante de l’opérateur U. Pour X = 0 nous convenons que B 0 = U. Si l’on considère le spectre et respectivement l’ensemble des valeurs régulières, au lieu de Bk il est plus commode d ’envisager

ÉQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPÈCE

[CH. X III

l ’opérateur ^

= (jx/ - U)-1,

(3)

qui a un sens pour toutes les valeurs régulières de l’opérateur U. L’opérateur R^ sera appelé résolvante aussi. Aucune confusion de ces deux notions n’est à craindre, car il ressortira du contexte de laquelle d’entre elles il est question ; en outre en dernier recours nous aurons les indices pour les distinguer. Notons que la résolvante Bx se rencontre fréquemment en théorie des équations intégrales, où l’on l’appelle résolvante de Fredholm ; en analyse fonctionnelle la résolvante est R^ (cf. 3.1). Si |i 0, on a de toute évidence

Inversement, de (I + XB>.) (/ - XU) = (/ - XU) (/ + XBy) = I on déduit B h = U (/ - W ) - 1 = (/ - U?)-1 U.

(5)

Donc, pour X ^ 0 5 x=-5-£/7?iA =

4

-Æia£/-

(6 )

Les relations (4) et (6 ) permettent de généraliser à R^ toutes les propositions prouvées pour et inversement. 4.2. Etudions le comportement de la résolvante B pour de petits X. Considérons la série I + XU + X2U2 + . . . + XnUn + . . .

(7)

Si elle est convergente dans l’espace des opérateurs B (X, X), d ’après la remarque qui suit le théorème de Banach (V.4.5, tome 1), sa somme sera égale à (/ — XU"1), c’est-à-dire (7

_ M /)-1 = I + XU + . . . + XnUn + . . .,

d’ou, en vertu de (5), Bh = U + XU2 + . . . + XnUn+1 + . . .

(8 )

Cette formule est valable pour les X tels que la série (7) soit con­ vergente. Mais on a établi au V.4.2 (tome 1) que la série (7) est con­ vergente si lim y || X*Un | | < 1

§4]

RÉSOLVANTE

45

et divergente si lim ÿ || KnUn | | >

Tl-*00

1

On est donc conduit au théorème suivant. T héorème 1. La résolvante 15* se décompose en une série (8) suivant les puissances de X, dont le rayon de convergence _______ 1 _ 1 l i m V p ^ I "" lim V T B ÏÏ ' 71—00 n—OO

Si, grâce à la relation (4), on passe de la résolvante Bx à la ré­ solvante on obtient le Corollaire.

La résolvante

se décompose en série suivant les puis­

sances de ja"1:

—lim ÿ W T ) . n—oo ' 4.3. On peut indiquer une autre expression pour le rayon de con­ vergence de la série (8 ), liée avec la disposition de l’ensemble caracté­ ristique sur le plan complexe. Commençons par prouver deux propositions auxiliaires. L emme

i. Quels que soient X, \i £ n (U), on a

= M») D émonstration . De (5) il suit = U (I — XU)~l - (/ - pU )-1 C/.

(9)

En multipliant à droite par / — XU et ensuite à gauche par / — p,£/, on obtient (/ - pC/) (Bk - B») (/ - XC/) = (/ - ,aJ7 ) U - U (I - XU) = = (X - fi )ü*f donc Bx — B» = (X - p) (/ - pC/ ) " 1 C/. C/ (/ - XC/ ) " 1 = (X - p) c.q.f.d. C orollaire. Les opérateurs B%et B^ commutent, c'est-à-dire B^B^ = = BpB).. On démontre de façon analogue que pour tous les X, p, £ p (C/) R y. = (X p)

46

ÉQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPECE

[CH. X III

Lemme 2. La résolvante B^ est une fonction continue du paramètre X en tout point de Vensemble ji (£/), c'est-à-dire si Xn X0 (Xn, X0 Ç 6 ji (t/)), alors Bxn Bx0. D ém o n stra tio n . Prouvons tout d’abord que la fonction réelle \\B^ |f est continue sur j i (U). Si U = 0, alors B^ = 0 et notre proposition est prouvée. Si U 0, alors B ^ ^ 0 et l’on peut prouver la conti­ nuité de la fonction „ * „ . De (9) il suit Il II I II Il “ Il B* Il 1 ^ 1 1 B>. —Bp || = | X— |x 11| B^B^ | | ^

< i * - m i w i n** h-

Donc 1

Il B» »

1

Il

II

ce qui montre que ^ ^ ^ est continue. Prouvons maintenant la continuité de Bk. L’ensemble j i (U) étant ouvert et X0 £ j i (t/), il existe un disque | X — X0 | ^ e entière­ ment contenu dans ji (U). La fonction continue |l B^ || est bornée dans ce disque; supposons par exemple que \ \ B i \ \ < M (| X — X0| < e). (1 0 ) D’après (9) et (10) || Bk - BU || < | X - X0 | || 5*o II II 5* Il < M 2 | X — X0 | (| X — X0 I < e)r ce qui prouve le lemme. T héorème 2 . Le rayon de convergence r de la série (8) est égal à la distance r 0 du point X = 0 à l'ensemble caractéristique x(U ). D émonstration . La série (8) étant convergente dans le disque | X | < r, donc la résolvante existant pour ces X, le disque en question est contenu dans l’ensemble des valeurs non singulières. Donc r ^ r 0. Prenons un élément x Ç X et une fonctionnelle / Ç X* et considé­ rons la fonction

= ï »(4*’). •••• 3 5 - » . («S» forment pour chaque A: = 1T 2, . . Posons

r une base dans X ^ .

x fc= £ ({xm (x) ■= 2 2 771*1 ÏTl*l

( t- ^ T x ThPm+hU (y) = =

2

A- 0

S

T71—1

TkPm+kU{y).

(32)

§5 ]

ALTERNATIVE DE FREDHOLM

Décomposons

57

en fractions élémentaires :

(1

» —A)h+l

xi

(X-l)7« ’

c^k) sont des constantes telles que cJ** = (—i )h+i. En portant ceci dans (32) on trouve (33) «— 1

où les opérateurs C/_» (s = 1, 2, . . r) sont des combinaisons linéaires d’opérateurs de la forme TkP m+kU. Comme Pm+k (X) = = Xm+ft c X ' et que T (X") czXff en vertu de b) du théorème 1.1 il vient que les opérateurs £7-, appliquent X dans X" et, par suite, sont de dimension finie. D’autre part, de l ’égalité (32) on voit que U-r = ( - t y r - ' P r ü . Donc, si par exemple] y = £*r>, alors en vertu de (25) u -r (y) = ( - i)r Tr~ ip ru (iW) = ( -

1

y r ~ lp r ( 4

0

-

4

- «) =

= ( - 1)PTr- 1 (4r>) = ( _ 1)' 4 ‘) * ot de sorte que U .T 0. En additionnant les relations (24) et (33) on obtient la décompo­ sition souhaitée de la résolvante B x. Ceci achève la démonstration du théorème. R e m a r q u e . Si U est un opérateur auto-adjoint dans un espace hilbertien, le théorème peut être précisé, car dans ce cas r = 1 (cf. 3.1) et, par suite, dans la décomposition (21) on n’aura qu’un terme de puissance négative en A, — A0, savoir (A — A0)-1 U -j. Nous ne formulons pas en détail le résultat correspondant, car il l’est déjà (dans une forme plus forte) dans IX.4.5, tome 1. § 5. Alternative de Fredholm Dans ce paragraphe nous indiquons les conditions que doit rem­ plir un opérateur linéaire continu T d’un ^-espace X dans lui-même, pour être justiciable de l ’alternative de Fredholm (cf. 1.4). 11 se trouve en particulier que si une puissance Um d’un opérateur linéai­ re U est un opérateur compact, l’alternative de Fredholm est valable pour T = I — U. Les résultats exposés ci-après sont dus à S. Nikolski [1]. 5.1. Soient l ’équation T (x) = y (1>

58

EQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPÈCE

[CH. X III

e t son adjointe T* (g) = /. (2) Soient par ailleurs les équations homogènes correspondantes T (x) = 0, (3) T* (g) = 0. (4) On rappelle que dire que l ’alternative de Fredholm est valable pour un opérateur T revient à dire que 1 ) ou bien les équations (1 ) et (2 ) admettent une solution quels que soient les seconds membres et cette solution est unique ; 2 ) ou bien les équations (3) et (4) possèdent le même nombre fini •de solutions linéairement indépendantes xu x 2J . . xn et gly g2, . . gn respectivement; dans ce cas, pour que l ’équation (1 ), respectivement l’équation (2 ), admette une solution il est nécessaire •et suffisant que sk (y) = 0 (fc = 1, 2t . . zi), respectivement / (Zk) = 0 (i = l, 2 , n); oeci étant la solution générale de l ’équation (1 ) est n

X = X*+ S

h-\

CftXft,

celle de l’équation (2 ) n

g = g*+ S ChfTft, A- 1 où x* (resp. g*) est une solution de l ’équation (1 ) (resp. (2 )) et clt c2, . . cn des constantes arbitraires. Le théorème suivant exprime que la classe des opérateurs T justiciables de l ’alternative de Fredholm diffère pratiquement peu •de la classe des opérateurs de la forme T = / — U, où U est un opérateur compact. Theoreme 1. Chacune des deux conditions suivantes est une condi­ tion nécessaire et suffisante pour que Valternative de Fredholm ait lieu pour un opérateur T. 1) L'opérateur T admet la décomposition T = W+V, -où W est un opérateur admettant un inverse continu, V un opérateur compact. 2) L'opérateur T admet la décomposition T - W t + Vu

ALTERNATIVE DE FREDHOLM

§ 5]

59

où Wi est un opérateur admettant un inverse continu, Fx un opérateur de dimension finie. D é m o n s t r a t i o n . On peut de t o u t e évidence se contenter de prouver la condition suffisante de 1 ) et la condition nécessaire de 2 ). Condition suffisante de 1). Supposons que

T = W + F, PF admettant un inverse continu PF"S F étant compact. L’équation (1 ) est équivalente alors à l ’équation W~'T (x) = W ( y ) . (5) Il existe par ailleurs un opérateur inverse continu HP* - 1 = = (PF"1)* (X II.2.3), donc l ’équation (2) équivaut à l ’équation r * w * ~ ' (g) = /

(6) au sens que si g0 est solution de l ’équation (6 ), TF* " 1 (g0) sera solu­ tion de l ’équation (2) et si g'0 est solution de (2), PF* (g') sera solu­ tion de (6 ). Posons U = — W~'V. Comme U* = —V* = —V*W*~t (cf. IX .3.1, tome 1 ) on peut mettre les équations (5) et (6 ) sous la forme x - U { x ) = PF" 1 (y), (7) g - U * (g) = /. (8 ) L’opérateur U étant compact, les conclusions du théorème 1.4 sont valables pour les équations (7) et (8 ). Donc les équations homo­ gènes x — U (x) = 0, (9) g - U* (g) = 0 (1 0 ) possèdent le même nombre fini de solutions linéairement indépen­ dantes xx, x2J . . ., xn et g', g', . . ., gn. L’équation homogène (3) admettra visiblement le même système complet de solutions linéaire­ ment indépendantes que l ’équation (9), c’est-à-dire xx, x 2, . . ., xn. Prouvons que les fonctionnelles gk = W*~l (g‘k) (fc = 1 , 2 , . . n) (1 1 ) forment un système complet de solutions linéairement indépendantes de l’équation (4). Que chaque fonctionnelle (11) soit solution de l’équation (4) déooule de l’équivalence, mentionnée plus haut, des équations (2) et (6 ). Les fonctionnelles (11) sont linéairement indén

n

pendantes, car la relation S a hgx — 0 entraîne que 2 a kg'k = h—l h—l n

=

2

a kW* (gk) =

0

, or cela n’est possible que pour a i = ou =

60

EQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPÈCE

[CH. X III

= . . . = 0 ^ = 0. Enfin, si l’équation (4) avait une solution g0 qui ne soit pas combinaison linéaire des fonctionnelles (1 1 ), la fonctionnelle W* (g0) serait solution de l ’équation (10) et cette solution ne serait pas combinaison linéaire des fonctionnelles g', g', . . £n, ce qui est impossible. Donc les équations (3) et (4) possèdent le même nombre fini de solutions linéairement indépendantes. Le théorème 1.4 nous dit que l’équation (5), et donc l ’équation (1 ), admet une solution si et seulement si A (W" 1 (y)) = 0 (* = 1, 2, . . D’après (11), cette condition équivaut à:

n).

(12)

(W-1)* (gk) (y) = W*-' (gh) (y) = gk (y) = 0 ( * = 1 , 2 , . . n). On vérifie de façon analogue que les conditions / (**) = 0 (A = 1 , 2 , . . n) sont nécessaires et suffisantes pour que l ’équation (2 ) admette une solution. Condition nécessaire de 2). Soient zJt x2, . . xn et gi, g2, . . ., gn des systèmes complets de solutions linéairement indépendan­ tes des équations (3) et (4) respectivement. En utilisant le théorè­ me V.7.4, tome 1, et le lemme III.3.1, tome 1, on trouve des fonc­ tionnelles /x, / 2, £ X* et des éléments yt , yt , . . ., yn 6 Ç X tels que /=/=*, (13) (î, k = 1 , 2 , • • • 1 » fl (Xk) = < (t j = k ( 0 , ) ^ k, (/. k = 1 , 2 , • • •, w) • (14) gk (yj) = \ U, /= * Appelons Y' = T (X), Y" = X ({ÿx, y a • • •> ÿn})- Chaque élément y Ç X peut être écrit de façon unique sous la forme y = y' + y"

(y‘ 6 Y',

y" 6 Y').

(15)

En effet, si l ’on pose n

y"= S gk(y)yk, A*=l alors, d ’après (14),

y' = y —y',

gj(y') = gj(y)— S gk (y)gj(yO = o ( / = i , 2 , . . . . »), A- 1 si bien que Téquation T (x) = y* admet une solution et, par suite, i/'ÇY'. L’unicité de la représentation (15) résulte du fait que si

ALTERNATIVE DE FREDHOLM

S 5]

y" =

2

61

anI/ft€Y\ alors l ’équation T(x) = y" admet une solution

et, par suite, gj(y”)z=aj = 0 (; = 1 , 2 .........n). Appelons d’autre part X' = N (fi, /., . . /„) et X" = = X ({xlt xs, • . -, *n})- Comme dans ce qui précède prouvons que tout élément x 6 X peut être représenté de manière unique sous la forme X = x' + x" (x' 6 X', x" 6 X"). (16) Construisons l ’opérateur Wi en admettant que W i (x) = T ( x ) + S f h (x) yk, et montrons que Wx réalise une bijection de X sur lui-même, donc possède un inverse continu (théorème X II.1.2). En effet, soit y un élément quelconque de X. Mettons-le sous la forme (15) : V = V' + y \ n

où y' ÇY' = T (X), y”= S akUh A=1

6

Y',

c’est-à-dire

l ’équation

T(x) = y' admet une solution x' que l’on peut supposer apparte­ nir à X' *). En posant n

x "= S a * 3*. x* = x' + xm *-l et en tenant compte de ce que 71 (£")=(), /^(x') = 0 et de (13), on obtient w

1(z , ) = t (x ’) + t (x ’) + S /*(*') y * = r ( x ' ) + n

+

2

k=1

n

/* (

n

2 -1

2

j

A=»1

ahytt=y*

Montrons que l’équation Wx (x) = y n’admet de solutions autres que x*. En effet, dans le cas contraire il existerait un élément x0 ^ 0 tel que Wx (x0) = 0 , c’est-à-dire ? (xo) +

2

fh (xo) yk= o.

*) En effet, en mettant la solution x sous la forme (16): x = x9 + x*, et, en tenant compte de ce que T (x0) = 0, on aura y' = T (x) = T (a/).

ÉQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPÈCE

62

[CH. X III

De plus r(a: 0 ) 6 Y et

2 fh (xo) Uk 6 Y". L’unicité de la représen­ ta i tation de l ’élément x0 sous la forme (15) nous conduit aux relations T( x 0) = 0,

s fh(x0)yh = 0, fh (xo) — 0 ( i = l , 2 , n), A=1 d’où il résulte que x0 = 0 (puisque x 0 appartient à la fois à X" et à X'). Pour achever la démonstration du théorème il suffit de poser Fj ( x ) = —

2 f h (x)yh. t- 1 R e m a r q u e . On laisse au lecteur le soin de vérifier que si dans les conditions 1) ou 2), on remplace l ’opérateur T par T *, on obtient deux conditions qui sont également nécessaires et suffisantes pour que l ’opérateur T soit justiciable de l’alternative de Fredholm. 5.2. La suite de l ’exposé se base sur deux lemmes simples.

L e m m e 1 . Soient A et B deux opérateurs linéaires continus d'un espace normé X dans lui-même. Si ces opérateurs commutent et si l'opé­ rateur C = A B est inversible, les opérateurs A et B le sont également. D é m o n s t r a t i o n . Prouvons tout d’abord que les opérateurs A et C" 1 commutent. En effet, on a A = C-'CA = C-'ABA = C-'A (AB) = C-'AC.

Une multiplication à droite par C" 1 nous donne A C -' = C-'A. La permutabilité des opérateurs A et C~' nous permet d’écrire B (AC-1) = B A C '1 = CC-* = I et (AC-') B = C -'AB = C-'C = J, d’où résulte l ’existence de B~' = A C -'. On démontre de façon analogue l ’existence de A - ' = BC"1. R e m a r q u e . Si l ’opérateur C ”1 est continu, il en sera de m ê m e des opérateurs A~' et B "1. L e m m e 2. Soit U un opérateur continu dans un espace X. Entre l'ensemble caractéristique %(U) de Vopérateur U et l'ensemble caracté­ ristique x (U7*1) de l'opérateur LT1 on a la relation i% ( ü ) r < = u m ,

c'est-à-dire si X Ç. %(U),

Posons e = e2:ii/m. On = (I - K U ) (I - UU)

D é m o n s t r a t io n .

/ _

£ %(Um). a

U m-'U).

ALTERNATIVE DE PREDHOLM

6$

Si km $ x (C^774), en posant A = I - kU, B = (I — keU) . . . ( / - te 771"1^ , C = / - kmUm, on trouve qu’il existe l’inverse continu C”1. Donc, d’après la ren iai que suivant le lemme 1, il existe l ’inverse continu A~l, c’est-à-dire M x(P). 5.3. Admettons comme dans 5.1 que X est un Z?-espace et consi­ dérons un opérateur linéaire continu U dans X. T h é o r è m e 2. Supposons qu'il existe un entier naturel m tel que l'opérateur U771 soit compact. Alors l'alternative de Fredholm est va­ lable pour l'opérateur T = I — U. D é m o n s t r a t i o n . D’après le lemme 2, l’ensemble caractéristique %(U) est composé de points isolés, donc le cercle unité du plan complexe ne renferme qu’un nombre fini de points kXj Ju, . . . .

.

.,

€

X

(U)-

Supposons que p parcourt l ’ensemble des nombres premiers; les nombres e 2 hni/ i>

(k = -A ,

2 ,

. . . ,

p —

l)

sont tous distincts, donc pour p 0 assez grand k j ^ z e 2k*vp ( p > p 0; A = l , 2, p — l ; 7 = 1, 2, v). (17) On peut admettre que m est un nombre premier, et de plus m ^ ^ p 0. Considérons le développement I — Um = ( I — U)(I — zU) . . . ( / — zm~'U) = (7—17) V, (18) où e = e2M/m^ V = (I — eU) . . . ( / — zm-xU). D’après (17), les opérateurs I — zkU (k = 1, 2, . . ., m — 1) sont inversibles, donc existe l ’opérateur continu F”1. Mais alors T = / — U = (/ — U1*) V-i = F '

1

— Ü^F-*.

L’opérateur T7 ” 1 étant inversible et CT771F ” 1 compact, on peut se servir du théorème 1. Ceci achève la démonstration du théorème. 5.4. Le théorème de l ’ensemble caractéristique d’un opérateur compact (théorème 2 ) est valable pour les opérateurs du théorème précédent. Plus exactement on a le h é o r è m e 3. Si l'opérateur U™ est compact pour un m, alors ) l'ensemble caractéristique %(U) de l'opérateur U est composé uniquement de valeurs caractéristiques, chaque valeur caractéristique étant de rang fini et le sous-espace propre associé de dimension finie ;

T 1

64

EQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPECE

[CH. X IH

2 ) chaque disque | X | ^ R du plan complexe ne contient qu'un nombre fini de valeurs caractéristiques.

D émonstration . Grâce au lemme 2 on peut se contenter de prou­ ver seulement la partie 1) du théorème. La première proposition de 1 ) découlant manifestement du théorème 2 , il nous reste à dé­ montrer que le rang de chaque valeur caractéristique est fini et que le sous-espace propre associé est de dimension finie. Sans restreindre la généralité on peut admettre que la valeur caractéristique considérée est 7t0 = 1. Posons Tm = / — Um. En vertu de (18) on a Tm = VT, T = y - 1?™.

Les opérateurs 7\ Tm, V et V"1 commutant entre eux, on a T% = VnTn, T n = V-nT% (n = l, 2, . . . ) . D’où il suit immédiatement que N(7’5l) - N ( r n).

(19)

L’opérateur Um étant compact et la proposition à prouver ayant déjà été établie pour de tels opérateurs, en vertu de (19) elle est vraie pour le cas envisagé. En conclusion citons un exemple d’opérateur linéaire continu U non compact dont la puissance IP est compacte. Soit X l ’un des espaces lp (1 ^ p ^ oo), c, c0. Pour x = {£„} € X posons y = U (x), où pour n impair, n=l, 2 , y = K»} pour n pair; De toute évidence IP = 0. R emarque. Les théorèmes du § 4, prouvés pour des opérateurs compacts, n’ayant utilisé que les propriétés de compacité des opéra­ teurs mentionnées dans le théorème 1.1 et le théorème 3.1, et ces théorèmes s’étendant sans changement aux opérateurs examinés plus haut, les résultats du § 4 sont également valables si l ’on consi­ dère qu’une puissance seulement de l ’opérateur U est compacte.

§ 6 . Application aux équations intégrales 6.1. Considérons l ’équation intégrale î x (s) — X j K (s, t) x (t) dt = y (s)9 (1) o où K (s, Q est supposé continu dans le carré [0, 1; 0, IL Si l ’on traite l’intégrale comme un opérateur linéaire dans l ’espace C [0, 11,

§ 6]

APPLICATION AUX ÉQUATIONS INTÉGRALES

65

on s’aperçoit que l’équation (1 ) est une équation du type étudié dans les paragraphes précédents. On pourrait envisager une équation intégrale d’une forme plus générale que (1 ), par exemple *(*)— ^ j K(s, t ) x (t)dt = y (s), (1 ') T où T est un ensemble borné fermé d’un espace euclidien à n dimen­ sions (s et t sont des points de cet espace). Toutes les démonstrations effectuées pour l ’équation (1 ) étant valables sans changements nota­ bles pour l ’équation (1 '), nous étudierons le cas le plus simple. L’opérateur intégral U î z = U (x), 3 ( s ) = j K ( s , t ) x ( t ) d t , (2) 0

traité comme un opérateur de C [0, 1] dans C [0, (cf. III.2.4, tome 1) î || U || = max I K (s, t) | dt » o

1

] a pour norme

et est compact (IX.2.1, tome 1). Ecrivons l’équation (1) sous la forme x — \ U (x) = y.

(3)

La solution x* de cette équation, dont l’expression en fonction de y est x* = y + (y), peut être, d’après le théorème 4.1, développée en la série x* = y + XU (y) + . . . + VU* (y) + . .

(4)

qui converge pour tous les I M < 4 - = r, où d =

lim

n-*oo

Un ||, et r la distance du point X = 0 à l ’ensemble

caractéristique de l’opérateur U (théorème 4.2). La série (4) est, en tout cas, convergente pour 1

u

1

max J | K (s, t) | dt

• o

5 —01292

66

ÉQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPÈCE

[CH. X III

Comme indiqué dans V.3.8, tome 1, les puissances de l ’opérateur U seront aussi des opérateurs intégraux. Notamment: 1

z = Un (x),

z (s) = J K n (s, /) x (t) dt

(n = 1 , 2 , . . . ) ,

(5)

0

où Kn (s, t) sont les noyaux itérés. En portant (5) dans (4), on obtient le développement de la solu­ tion de l ’équation intégrale (1) en série suivant les puissances du paramètre t î ** (S) = y (s) + X j K (s, t) y (dt) 4- . . . + X" j K n (s, t) y (t) dt + . . . 0

0

De plus, la série converge uniformément en s Ç [0, 1]. La série Bk = U + MJ1 + . . . + kn-xUn + . . .

(6)

étant convergente dans l’espace des opérateurs de C [0, 1] dans C [0, 1), on a m+p -1

Kj (s, t) d t ----- *0.

+1

m-*oo

Donc, pour chaque s 6 [0, 1] fixe, la série oo

Y, jJ - lKj{s. t) (7) ;=i converge uniformément en s g [0, 1) dans l’espace L1. La somme de cette série, la fonction T (5 , t ; k), est appelée résolvante de l ’équation intégrale (1). Il est clair que 1

B\(y)(s)= j T(s, t ; k)y(t)dt, 0

en conséquence de quoi on peut mettre (4) sous la forme 1

X* (s)

= y (s) + K [ r (s, t ; X) y (t) dt . V 0

Si | k | < r, le théorème 1.3 nous dit que le processus d’appro­ ximations successives pour l’équation (3) est convergent ; appliqué à l ’équation intégrale (1) ceci nous amène au résultat suivant: pour | X | < r la solution de l ’équation (1) peut être obtenue comme la limite d ’une suite {xn (s)} uniformément convergente de fonctions

APPLICATION AUX ÉQUATIONS INTÉGRALES

67

continues, définies par la formule récurrentielle 1

*n+i(s) = ^ j K (s, t)x n (t)dt + ü

(n = 0, 1, . . . ) ,

y(s)

x 0 (t) étant une fonction continue quelconque. 6.2. Si le noyau K (s, t) s’annule pour s < t, l ’équation (1) devient a x (s) — X j K (s, t) x (t) dt = y (s). (8) o Les équations de cette nature sont appelées équations intégrales de Volterra. 11 est immédiat de vérifier que les noyaux itérés de l ’équation de Volterra s’annulent également pour s < t. Supposons que le noyau K (s, t) est continu pour 0 ^ t ^ ^ ^ 1 et prouvons que le développement (4) a lieu pour tous les K complexes, c’est-à-dire r = oo. Posons | K (s, t)| ^ M. Pour K n (s, Z) on a immédiatement !* " (* ’ ‘J K ô r r r n ^

(re = 1 - 2- - - - ) .

O)

En effet, cette majoration est triviale pour n — 1, et si elle est valable pour un 7Z > 1, alors 8

| Kn+i (s, t) | ^ j | K (s, u) K n (u, t) | o < ^ M Jt ^ ( n i!—^ 1) !^ ' ndw= -fT n i ^ n+ ,. De (9) il résulte Il

|| = max J I K„ (s, ,) | 0

=

ma* | ^ 0

d’où —

o-

Donc, r = oo et l ’opérateur intégral de type Volterra ne possède pas de valeurs caractéristiques. 6.3. Revenons à l ’équation (1). L’opérateur (2) étant compact, l ’alternative de Fredholm a lieu pour l ’équation (3). Ceci nous conduit au résultat suivant pour l ’équation intégrale (1).

EQUATIONS FONCTIONNELLES DE SECONDE ESPECE

68

[CH. X III

T h ê o r ê m e 1 . Ou bien l'équation (1 ) admet une solution unique continue quelle que soit la fonction continue y (s), ou bien l'équation

dt =

0

( 10)

possède un nombre fini de solutions linéairement indépendantes Xj (s), x 2 (s)y xn (s). Ceci étant, l'équation î \|? (t) — X j K (s, t) (s) ds = 0 o admet aussi n solutions continues linéairement indépendantes i|)j (/), \J)2 (£), . . ., \pn (J). Dans le dernier casy l'équation (1) possède une solution si et seulement si i

j i'h (s) y (s) d s= o. 0

Les valeurs de X pour lesquelles l’équation (10) possède des solutions non nulles sont appelées valeurs caractéristiques de l ’équa­ tion (1) ou du noyau K (s, t). Autrement dit, les valeurs caracté­ ristiques de l ’équation (1 ) ne sont autres que les valeurs caracté­ ristiques de l ’opérateur U. Donc, pour la plus petite valeur caracté­ ristique en module de l ’équation intégrale on a la minoration i y i _p __ i

I Ai I “ n -

1

d ^ | | U || -

1

___\ _____ 1_____

i ^ m a x | K (*f t) | * max J | K (.