Análisis complejo : teoría de las funciones analíticas de una variable 9788417261269, 8417261265

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ANÁLISIS COMPLEJO Teoría de las funciones analíticas de una variable

ENRIQUE DE AMO ARTERO

T E XTO S DOCENTES

MANUEL ÚBEDA FLORES

nº 22

ANÁLISIS COMPLEJO Teoría de las funciones analíticas de una variable © del texto: Enrique de Amo Artero Manuel Úbeda Flores Colección Textos Docentes nº 22 © Editorial Universidad de Almería, 2018 [email protected] www.ual.es/editorial Telf/Fax: 950 015459

¤ ISBN: 978-84-17261-26-9 Depósito legal: AL-1704-2018

Facultad de Ciencias Experimentales

ANÁLISIS COMPLEJO

Teoría de las funciones analíticas de una variable

Enrique de Amo Artero Manuel Úbeda Flores

The famous physicist Richard Feynman once bet his colleagues, I can do by other methods any integral anybody else needs contour integration to do. It is a tribute to complex analysis that Feynman lost this bet. T. Needham (in

Visual Complex Analysis)

Índice general Prefacio.......................................................................................

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0. Introducción ......................................................................... 13 0.1. Un recorrido por los antecedentes ......................................... 14 1. Funciones holomorfas. Teoría básica .................................. 1.1. El cuerpo de los números complejos. Módulo y Argumento de un número complejo .................................... 1.1.1. Ejercicios propuestos ................................................... 1.2. Topología del plano complejo. La esfera de Riemann ......... 1.2.1. Curvas en el plano complejo ....................................... 1.2.2. Ejercicios propuestos ................................................... 1.3. Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Definición y primeras propiedades de las funciones holomorfas. ................................................................................. 1.3.1. Ejercicios propuestos ................................................... 1.4. Series de potencias. Concepto de función analítica .............. 1.4.1. Polinomios analíticos .................................................... 1.4.2. Ejercicios propuestos ...................................................

23

2. Funciones elementales complejas ........................................ 2.1. Función exponencial. Funciones trigonométricas................. 2.1.1. Ejercicios propuestos ................................................... 2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias ............................................................. 2.2.1. Desarrollos en serie del logaritmo .............................. 2.2.2. Logaritmos continuos y holomorfos de una función ............................................................... 2.2.3. Potencias de base y exponente complejos ................. 2.2.4. Funciones exponenciales y potenciales complejas ...

76 76 84

5

23 32 35 44 47 48 60 62 69 71

85 90 92 94 96

Índice general 2.2.5. Transformaciones geométricas mediante funciones elementales ................................................... 100 2.2.6. Ejercicios propuestos ................................................... 102 3. Aplicaciones conformes ........................................................ 3.1. Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones conformes ............................................................ 3.1.1. Ejercicios propuestos ................................................... 3.2. Transformaciones de Méibius .................................................. 3.2.1. Ejercicios propuestos ................................................... 4. Teorema de Cauchy local. Primeras aplicaciones ................ 4.1. Integral curvilínea. Caracterización de la existencia de primitiva ................................................................................. 4.1.1. Integral de Riemann de funciones complejas de variable real ............................................................... 4.1.2. Integración sobre curvas .............................................. 4.1.3. Caracterización de la existencia de primitiva............. 4.1.4. Ejercicios propuestos ................................................... 4.2. Teorema de Cauchy para el triángulo. Versión elemental del teorema de Cauchy y de la fórmula de Cauchy ............... 4.2.1. Ejercicios propuestos ................................................... 4.3. Desarrollo de Taylor. Equivalencia entre analiticidad y holomorfía. Fórmula de Cauchy para las derivadas ........... 4.3.1. Ejercicios propuestos ................................................... 4.4. Teorema de Riemann de singularidades evitables. Ceros de una función holomorfa. Principio de identidad .... 4.4.1. Ejercicios propuestos ................................................... 4.5. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental del Álgebra ......................................... 4.5.1. Ejercicios propuestos ................................................... 4.6. Teoremas de Morera y de Veierstrass ..................................... 4.6.1. Ejercicios propuestos ................................................... 4.7. Factorización de funciones holomorfas .............................. 4.7.1. Ejercicios propuestos ...................................................

105 105 111 118 132 136 136 137 140 143 145 147 155 157 163 165 169 171 176 177 185 188 208

5. Más propiedades locales de las funciones holomorfas ........ 210 5.1. Funciones armónicas y subarmónicas. Principio del máximo................................................................. 210 5.1.1. Ejercicios propuestos ................................................... 223

6

Índice general 5.2. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa ............................................................... 5.2.1. Ejercicios propuestos ................................................... 5.3. Teorema de Bloch-Landau. Teorema (pequeño) de Picard ...................................................................................... 5.3.1. Ejercicios propuestos ................................................... 6. Teorema de Cauchy global ................................................... 6.1. Índice de una curva cerrada respecto de un punto ............... 6.1.1. Ejercicios propuestos ................................................... 6.2. Forma general del teorema de Cauchy. Fórmula general de Cauchy ...................................................... 6.2.1. Ejercicios propuestos ................................................... 6.3. Abiertos simplemente conexos ................................................ 6.3.1. Ejercicios propuestos ................................................... 7. Singularidades. Principio del Argumento ............................ 7.1. Desarrollo en serie de Laurent. Teorema de Casorati-Veierstrass ............................................. 7.1.1. Ejercicios propuestos ................................................... 7.2. Teorema de los residuos............................................................ 7.2.1. Aplicaciones del cálculo con residuos ........................ 7.2.2. Ejercicios propuestos ................................................... 7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz .............................................. 7.3.1. Ejercicios propuestos ...................................................

228 236 237 244 245 245 251 252 261 261 263 264 264 278 281 291 311 317 332

8. Caracterización de los dominios simplemente conexos ...... 338 8.1. Familias de funciones holomorfas. Teoremas de Montel y Vitali .................................................... 338 8.1.1. Ejercicios propuestos ................................................... 346 8.2. Lema de Schwarz. Automorfismos conformes del disco unidad .......................................................................... 347 8.2.1. Ejercicos propuestos .................................................... 351 8.3. Teorema de Riemann de la representación conforme .......... 353 8.3.1. Ejercicios propuestos ................................................... 358 8.4. Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas.................................................................................. 360 8.4.1. Ejercicios propuestos ................................................... 365 Bibliografía ................................................................................ 368 Índice alfabético ........................................................................ 369

7

Prefacio

El estudio del Análisis Complejo o Variable Compleja en el Grado en Matemáticas en la Universidad de Almería se introduce en el primer semestre del tercer curso. Este libro está especialmente dirigido a los estudiantes de Grado en Matemáticas para un curso de 120 horas presenciales, repartidas estas en dos semestres de 15 semanas cada uno. Presentamos así un temario que se puede desarrollar, opcionalmente, siguiendo diferentes objetivos y ofreciendo material suciente para posteriores contenidos que puedan tratarse como propios en Trabajos Fin de Grado e, igualmente, dentro del Máster Interuniversitario en Matemáticas de nuestra Universidad. Los contenidos están contrastados con tres años de docencia en la antigua Licenciatura de Matemáticas, donde se evaluó favorablemente la asimilación por los estudiantes de los contenidos en lo que fue la asignatura de Variable Compleja en aquel título. Ahora, en el contexto del Espacio Europeo de Educación Superior, se ofrece este material completo, junto a unas sugerencias que más abajo se expondrán para poder diseñar un curso de 6 créditos (6 ECTS, en la nomenclatura inglesa). Se asume que la persona que accede a este texto tiene formación en Cálculo en una y varias variables reales y de aspectos básicos en Topología en espacios euclídeos. Su elaboración es el resultado de unos apuntes sobre teoría de funciones de una variable compleja que han sido elaborados desde tres referentes: a. la forma en la que nos fue enseñada y aprendimos la Variable Compleja en la Universidad de Granada; b. la experiencia docente de los años previos en los que la hemos impartido en la Universidad de Almería (desde el 2005-06 al 2007-08); y c. la gran cantidad y calidad de material que ha sido elaborado y publicado al respecto.

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Prefacio Se han añadido relaciones de Ejercicios a cada lección en total, se proponen 368 ejercicios, de modo que el dominio de los contenidos de cada una de ellas se vea reforzado por la adquisición de habilidades que capaciten al estudiante para el trabajo autónomo. Los contenidos están así repartidos en cada capítulo de este texto:

Capítulo 1: Funciones holomorfas. Teoría básica Se presentan los personajes fundamentales del curso: el plano complejo

C,

la esfera de Riemann o plano complejo ampliado

C,

y las funciones

holomorfas y las analíticas; a la postre, las mismas (aunque de momento nos tendremos que contentar con que analiticidad

=⇒

holomorfía). Se

estudian las ecuaciones de Cauchy-Riemann para funciones diferenciables (sentido real) y las propiedades elementales de las series de potencias funcionales, respectivamente, para el estudio de aquellas y estas.

Capítulo 2: Funciones elementales complejas Disponer del desarrollo en series de potencias resulta una máquina muy útil para producir funciones enteras que vayan más allá de los polinomios. Se extienden, gracias a esta herramienta, las funciones clásicas del análisis real: exponencial y las trigonométricas seno y coseno. Será el momento privilegiado para observar cómo la consideración de sus recíprocas naturales no son funciones al uso: aparece el concepto de multifunción o función multiforme, y la necesidad de lo que llamaremos elección de ramas (holomorfas) uniformes de logaritmos y funciones potenciales. Y se obtendrán resultados tan curiosos como que la imagen del plano por la exponencial es todo el plano salvo el origen; o bien, que se sigue vericando la igualdad fundamental de la trigionometría pero, sorprendentemente, que

|cos α|2 + |sen α|2 ̸= 1, en general.

Capítulo 3: Aplicaciones conformes El hecho de cuándo la diferenciabilidad real conlleva la derivabilidad compleja se resuelve completamente cuando nos detenemos en el estudio de una propiedad geométrica: la conservación de ángulos. Va a resultar que este hecho es equivalente a que la función tenga determinante jacobiano no nulo.

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Prefacio Hacemos especial hincapié en los homeomorsmos de la esfera de Riemann: las transformaciones de Möbius y en cómo actúan estas sobre las rectas y circunferencias del plano.

Capítulo 4: Teorema de Cauchy local. Primeras aplicaciones Es el corazón del curso: aparece la integración sobre curvas, se caracteriza la existencia de primitiva, se ve la equivalencia entre holomorfía y analiticidad (Taylor: holomorfía

=⇒

analiticidad, ½al n!), se prueban las primeras

versiones de los teoremas de Cauchy, y se estudia la topología conveniente para la clase de las funciones holomorfas, justicada en el comportamiento de las series de potencias funcionales. Se concluye viendo otra caracterización de las funciones holomorfas: aquellas que admiten una factorización análoga a los polinomios, ahora mediante productos innitos. Ahora, por tanto, adquiere total claridad el apelativo de Teoría de Funciones Analíticas con el que se designa a esta materia en las obras clásicas: las genuinas funciones complejas de variable compleja son las series de potencias (funcionales), o sea, las funciones analíticas.

Capítulo 5: Más propiedades locales de las funciones holomorfas Las ecuaciones de Cauchy-Riemann esconden el papel de las partes real e imaginaria de una función compleja en la holomorfía de esta. Ocurre que, por un lado, cuando la función sea holomorfa, ambas serán armónicas; y, por otro lado, para cada función armónica podremos probar que es, localmente, la parte real de una función holomorfa. Además, el hecho de que el grafo de

f : A ⊂ C −→ C

esté en

R4

y no se pueda dibujar, se va a soslayar, gracias

a las propiedades de extremo para funciones (sub)armónicas que, a su vez, nos darán el importantísimo principio del módulo máximo para funciones holomorfas. El estudio del comportamiento local de una función (teoremas de la función inversa y de la aplicación abierta) es clásico en el análisis real; y también, cómo no, en el complejo. Se verá que las funciones holomorfas con derivada no nula son, de hecho, biyecciones locales biholomorfas. Estas propiedades locales junto al estudio de la imagen de las funciones enteras (holomorfas en todo el plano) completan este capítulo, probándose que (teorema pequeño de Picard) no hay ninguna función entera (salvo las constantes) que deje de tomar más de un valor en su imagen (recuerda que:

exp (C) = C \ {0}).

10

Prefacio

Capítulo 6: Teorema de Cauchy global La condición que se logra en los teoremas precedentes de Cauchy es de tipo geométrico: dominio estrellado. Pero queremos que la respuesta sea de tipo analítico; se hace necesario, por tanto, el concepto de índice de una curva cerrada respecto de un punto, y se logra, de este modo, el llamado teorema general de Cauchy.

Capítulo 7: Singularidades. Principio del Argumento Que una función analítica deje de serlo en algún punto... ½puede llegar a ser interesantísimo! Fíjate, después de ver con Taylor que holomorfía y analiticidad son la misma cosa, ahora llega Laurent con desarrollos en series (indizadas estas en

Z,

½y se nos queda pequeño

N!)

que nos van a informar

sobre la naturaleza del punto de no holomorfía. En particular, el término

a−1

del desarrollo

∑

n∈Z an será la estrella invitada.

Aprenderemos, también, a calcular integrales y a localizar los ceros de ciertas funciones en ciertos dominios.

Capítulo 8: Caracterización de los dominios simplemente conexos Imagina el domino del plano que quieras; solo debes restringirte a que no tenga agujeros. Pues bien, si no has pensado en el propio

C

entonces...

resulta que hay una innidad de biyecciones biholomorfas que lo pueden transformar en el disco unidad

D.

Este resultado de Riemann será el que

nos ayude a cerrar el curso con un corolario que va a resumir, a modo de proposiciones equivalentes, los hechos fundamentales de todo lo visto. Si el desarrollo temporal del curso así lo permite, terminaremos probando que sobre los abiertos del plano, las funciones racionales son densas en la clase de las holomorfas; algo que le ocurrirá a los polinomios si, y solo si, el abierto es

C

o isométrico a

D:

una equivalencia más al corolario-resumen.

Las posibles opciones que presentamos para su tratamiento en un semestre (6 ECTS, en 15 semanas), son las siguientes cuatro, donde los Capítulos 1 y 2 son de obligado cumplimiento, si bien estos pueden adelgazarse en algunas de ellas:

Opción 1.

Caracterización de los dominios simplemente conexos del plano:

Secciones 1 a 6 del Capítulo 4, el Capítulo 6 y las secciones 1 a 3 del Capítulo 8.

11

Prefacio

Opción 2.

Transformaciones conformes del plano complejo: Capítulos 3 y

7, y las tres primeras secciones del Capítulo 8.

Opción 3.

Topología del plano complejo: Capítulos 3 y 4.

Opción 4.

Teorema de los Residuos para el Cálculo Integral: secciones 1 a

5 del Capítulo 4, las dos primeras del Capítulo 6, y también las dos primeras del Capítulo 7. La bibliografía presentada es pretendidamente básica y huye de la exhaustividad. También se pretende que el uso de materiales en lengua inglesa sea común entre los estudiantes de Grado en la UAL, por ello es por lo que la bibliografía incluye buena parte de las referencias en dicha lengua.

Enrique de Amo Artero y Manuel Úbeda Flores Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Experimentales Universidad de Almería, España Almería, junio de 2018

12

Capítulo 0 Introducción

Se puede decir, sin temor a equivocarse, que el curso de Análisis Complejo es uno de los más cerrados del Grado en Matemáticas: cualquier sucesión de resultados que en él consideremos nos lleva al Teorema de Riemann de Representación Conforme: para todo dominio (abierto y conexo) propio del plano y todo punto arbitrario suyo, existe una única biyección holomorfa con inversa holomorfa entre él y el disco unidad de

D.

D llevando dicho punto al origen

Será el más bello colofón a todo un semestre de trabajo.

Es también la forma clásica en la que se establecen los contenidos en casi todo texto que se conciba para dar un curso académico en una variable compleja. (Véase, por ejemplo, el texto ½excelente! de Ash y Novinger, disponible en la red y citado en la Bibliografía.) Creemos acertado plantear el curso como un recorrido natural que nos va acercando a diferentes problemas aparentemente independientes cuyas vericaciones resultan ser equivalentes; entre otros: a. la existencia de primitiva (para una función holomorfa); b. la existencia de raíz cuadrada holomorfa (para una función holomorfa); c. que toda función armónica sea la parte real de una función holomorfa; d. que los conjuntos abiertos y conexos (dominios) del plano complejo no tengan agujeros; e. que las funciones holomorfas (o analíticas) sean límite de polinomios (en la llamada topología uniforme sobre compactos). Los teoremas de tipo Cauchy, las versiones local (para dominios estrellados) y general (para ciclos nulhomólogos) serán las herramientas principales 1

13

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN para lograr el cuerpo de esta teoría, como ya hemos dicho, tan bien elaborada con el paso del tiempo (½y del esfuerzo de tantos matemáticos!). Los contenidos que aquí se presentan aspiran a ser material suciente para los 6 créditos de los que dispone este curso y material para algún curso de Máster. No obstante, algunos temas que no se presentan, por limitaciones de espacio, dejan cierto sabor a renuncia, pues los podemos también considerar contenidos básicos. En particular, nos referimos a la renuncia a todo lo relativo a Prolongación Analítica (Teorema de Monodromía). Sin embargo, tampoco andamos faltos de justicación (además de la clásica y socorrida de un curso de estas características...): esta teoría presenta una conexión natural (vía dominios de holomorfía) para las teorías de las funciones analíticas en una y en varias variables complejas (desembocando en la teoría de las supercies de Riemann) y, por tanto, sería material excelente para unos estudios de postgrado, si así se estimara. Otra renuncia consciente es la relativa al estudio de las funciones elípticas que, además de adentrarnos al mundo maravilloso de la generalización de las funciones elementales, podría llevarnos al no menos maravilloso de la Teoría de Números. Cualquier otra renuncia que se encuentre en el contenido, no por menos consciente llegará a ser intrascendente.

0.1. Un recorrido por los antecedentes Vamos a estudiar, en este curso, los contenidos que le son propios al análisis (procesos de convergencia o límite coherentes con la estructura de cuerpo) sobre el conjunto

C

de los números complejos.

Estos entes matemáticos, los complejos, aparecen, por vez primera, en textos de mediados el S.XVI (siempre en relación con problemas donde era preciso encontrar solución a determinadas ecuaciones), pero no se desarrollarán plenamente hasta los SS. XVIII y XIX. Nombres de matemáticos famosos asociados a cada uno de los dos periodos serán: a) Nicolás Fontana, conocido como Tartaglia, 1500-1557 b) Rafael Bombelli, 1526-1573 c) Jerónimo Cardano, 1501-1576 d) Leonardo Euler, 1707-1783 e) Gaspar Wessel, 1745-1818 f ) Juan Roberto Argand, 1768-1833 g) Carlos Federico Gauss, 1777-1855

14

0.1. Un recorrido por los antecedentes h) Carlos Weierstrass, 1815-1897 i) Augusto Luis Cauchy, 1789-1857 Al igual que el conjunto

N

de los números naturales aparece con la

necesidad de contar en el ser humano, el conjunto

Z

de los números enteros

con el intercambio en los negocios, el de los racionales, herencias y, nalmente, el cuerpo

R

Q,

con el reparto de

de los números reales ante la elevación

del pensamiento humano que quería calcular la diagonal de un cuadrado, podríamos pensar que la superación del espíritu matemático, en el deseo de resolver ecuaciones tan inocentes como las de la forma

x2 + 1 = 0,

o bien

x2 + 2x + 2 = 0,

es quien ha llevado a la introducción del conjunto Ciertamente, el hecho de que

−b ±

(0.1)

C de los números complejos.

√

b2 − 4ac 2a

siga siendo solución formal de la ecuación

ax2 + bx + c = 0 con

a, b, c ∈ C

(lo cual nos hace contemplar a

√ x = ± −1

(0.2) y a

x=1±

√

−1,

respectivamente, como parejas de soluciones de las dos ecuaciones citadas en (0.1)) sea motivo suciente en muchísimos textos de la literatura sobre variable compleja para autores de reconocido prestigio, puede consolar nuestro deseo de saber por qué es necesario introducir un nuevo conjunto para hacer Análisis, ahora Analisis Complejo. Sin embargo, nos parece más oportuno echar mano de las ecuaciones cúbicas, reducibles todas ellas a expresiones de la forma

x3 = 3px + q, con

p, q ∈ R,

(0.3)

para justicar, desde un punto de vista que supere el mero

prurito matemático de construcción del edicio matemático, esta nueva extensión numérica. En efecto, recuperemos la ecuación cuadrática (0.2). Observamos que, reescribiéndola convenientemente, podemos verla como la solución del problema de en qué puntos

x

se cortan una parábola y una

recta:

x2 = mx + n. Es evidente que tal problema ofrece tres situaciones (igualmente plausibles), a saber:

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CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN a) hay dos puntos de corte: situación b) hay una única solución: cuando

b2 > 4ac,

b2 = 4ac,

o bien

o bien

m2 > −4n;

m2 = −4n;

y

c) no existe solución, porque no se cortan parábola y recta; lo cual ocurre cuando

b2 < 4ac,

o bien

m2 < −4n.

Por ello, podríamos decir que la búsqueda de soluciones, forzando la aparición de lo que querríamos que fuesen nuevos números, es casi articial o puramente estética a la luz de este argumento. (Podríamos pensar en un error histórico esta concepción del origen y necesidad de los complejos. No obstante, han sido tantos, y tan buenos, los matemáticos que así lo han justicado en sus textos, que humildad obliga.) Sin embargo, sí que nos parece acertado, como hace algún que otro autor en la bibliografía consultada, el recurso a la ecuación cúbica (0.3). En efecto: ahora se trata del corte de las curvas

y = x3

y = 3px + q;

e

½de las cuales sabemos que siempre existe, al menos, una solución! En la búsqueda de dicha solución para la ecuación cúbica (0.3), Cardano (para quien los complejos eran -solo- una herramienta que se usa cuando es útil) publicaba en 1545, en su Artis Magnæ, un resultado debido a Tartaglia (del cual no daba honrado reconocimiento... posiblemente, porque la fórmula se la habían sacado, tanto uno como el otro, a un tercero -que pudo ser Escipión del Ferro, al menos, en una versión especial):

)1 ( )1 ( √ √ 3 3 x = q + q 2 − p3 + q − q 2 − p3

(0.4)

sería una solución de la cúbica (0.3). (Y Ferrari, un estudiante de Cardano, la extendió a la solución por radicales de polinomios de cuarto grado.) Bombelli (para quien en su obra L'Algebra armaba -de los complejosque parecen descansar más en lo sosticado que en la verdad) se dio cuenta de que aunque podía ocurrir que

q 2 < p3

-y dejar de tener sentido (0.4)- la

discusión geométrica anterior -que justica siempre la existencia de al menos una solución para (0.3)- seguía siendo válida... y dos siglos antes de que la Matemática se acostumbrara a ver los complejos como puntos del plano, se atrevió a hacer el siguiente razonamiento que, de paso, establecía las bases para el cálculo con números complejos. Veamos en qué consiste lo que se puede llamar el pensamiento salvaje de Bombelli: trabajando con el ejemplo

x3 = 15x + 4,

16

(0.5)

0.1. Un recorrido por los antecedentes obtiene, según (0.4), el valor 1

1

x = (2 + i11) 3 + (2 − i11) 3

(0.6)

como solución formal de dicha ecuación, donde hemos escrito notemos que

x = 4

i :=

√

−1. Pero

es una solución (real) de la ecuación (0.5). Pues bien,

su pensamiento salvaje fue suponer que la solución real recuperar a partir de (0.6): puede existir un real

√ 3 √ 3

n

x = 4

se puede

tal que

2 + i11 = 2 + in

2 − i11 = 2 − in.

Con esta hipótesis de trabajo, el respeto a las reglas algebraicas obligaría a: a) que la suma de expresiones de la forma y

b

pertenecientes a

R,

(u + iv)

y

(a + ib),

con

u, v, a

fuese dada por

(u + iv) + (a + ib) := (u + a) + i (v + b) ; e igualmente, b) que, para el producto,

(u + iv) (a + ib) := ua + i (va + ub) + i2 vb, obtendríamos (dando valores

i2 = −1

y

n = ±1)

que

(2 + ni)3 = 2 ± i11. Así fue cómo Bombelli, además de darle expresión formal a la suma y producto de números complejos dos siglos antes de que se pudieran interpretar como puntos del plano (con autores como Wessel, Argand o Gauss), logró una interpretación conveniente de la terminología y (la geometría) de las operaciones (suma y producto) entre ellos. Precisamente, la expresión

i :=

√

−1

(introducida por Leibnitz a par-

tir del bautizo por Descartes de tales números como imaginarios) cobra especial interés con Euler en el s.XVIII, cuando prueba la famosa fórmula

eiθ = cos θ + i sen θ, que da, entre otras cosas, la maravillosa relación

eiπ + 1 = 0,

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CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN que liga los cinco números, sin duda, más famosos del Análisis. (Para Leibnitz, el número imaginario... es un anbio entre el ser y el no ser.) Pero, y aunque pareciera que la intuición de un genio como Euler no le podría dar malas pasadas, es oportuno llamar la atención sobre el siguiente argumento erróno, que subyace al hecho de que para él (Euler), expresiones como

√

√ √ −2 −3 = 6,

podían ser usadas sin la menor precaución:

−1 = i2 = ii =

√

√ √ √ −1 −1 = (−1) (−1) = 1 = 1,

lo cual sabemos que ½no es bueno que sea cierto! (Evidentemente, ligerezas como la anterior sólo se le pueden permitir a genios como el de Euler; para otro cualquiera, no sería sino un error de bulto...) Sin embargo, la razón, en conjunción con la argumentación geométrica, puede ser la base de excelentes intuiciones que nos allanen muchos caminos. En la base del error conceptual anterior nos vamos a encontrar con el hecho de la aparición de las llamadas multifunciones o funciones multiformes: funciones de variable compleja cuyo valor es todo un conjunto de números complejos; es decir, que su imagen no se reduce a un punto. La periodicidad de la función argumento es quien nos puede avanzar pistas al respecto, pues ahora no es momento de abundar en esto; salvo avanzar que elecciones convenientes de estas imágenes nos introducirán en el rico mundo de las supercies de Riemann... que escapan del alcance de este curso. Aún restan algunas razones, muy poderosas, para optar por una estructura de cuerpo que incluya estrictamente al de los números reales. A continuación veremos una de ellas, la cual, por cierto, da pleno sentido a las palabras de Hadamard: a menudo, el camino más corto entre dos verdades en el campo real pasa por el campo complejo. Esta razón la encontramos en la teoría del desarrollo en series de potencias funcionales. Concretamente, para

x ∈ R,

sabemos que

∑ 1 = xn ⇔ |x| < 1. 1−x +∞

n=0

A partir de ahí, podemos obtener

∑ 1 = (−1)n x2n 2 1+x

(0.7)

∑ 1 = x2n , 2 1−x

(0.8)

+∞

n=0

y

+∞

n=0

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0.1. Un recorrido por los antecedentes siendo la validez de tales fórmulas para

|x| < 1.

Hasta cierto punto, a nadie habrá de sorprenderle tal radio de convergencia en (0.8)... sobre todo ½si no ha olvidado lo estudiado en los cursos de Análisis Real!; pero, sí que es sorprendente lo que nos ocurre en (0.7): una función de clase innito en toda la recta real, ½cuya serie de potencias centrada en el origen no converge más allá de un radio de longitud 1! Pensemos en los grafos respectivos (por comodidad, a priori, y pedagogía, a posteriori) de las funciones en (0.7) y (0.8) en valor absoluto. Hagamos ahora lo siguiente: vamos a desarrollar la función

1 a−x

x→

en su serie de potencias centrada en un punto radio de convergencia. Así, haciendo el cambio

k ∈ R\{0}, X = x + k:

y

a>0

será su

∑ 1 1 1 1 1 = = = X n, X a−x a − (X − k) a − k 1 − a−k (a − k)n+1 +∞

n=0

es decir,

∑ 1 1 n = n+1 X ⇔ |X| < |a − k| . a−x (a − k) +∞

n=0

Aplicando este resultado a

1 : 1−x2 +∞ (

1 1∑ 1 1 − = = 1 − x2 1 − x −1 − x 2

n=0

de donde

|X| < |1 − k| R=

y

|X| < |1 + k|;

radio de convergencia

lo cual es razonable, por ser

−1

y

+1

1 1 n+1 − (1 − k) (−1 − k)n+1

) X n,

es decir,

= m´ın{|1 − k| , |1 + k|},

polos de la función.

Pero ahora, vamos a aplicar el mismo resultado a la función

1 . Y nada 1+x2

extraño debería ocurrir..., salvo que, en este caso, se puede probar que

R=

√

1 + k2 .

½Sorprendente! El radio de convergencia viene dado por la distancia de

k

a los puntos donde la serie no converge... que, en virtud del Teorema de Pitágoras, son los puntos

±i.

(El número

las unidades imaginarias desde

k .)

19

R

nos da, por tanto, la distancia a

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN

Figura 0.1. Sección según el eje imaginario de la función compleja

1 . 1+z 2

Pues bien, la aplicación

z→ es la única función que tiene a

±i

1 1 + z2

(0.9)

como singularidades o polos.

Por tanto: a) las secciones según los ejes imaginario o real, de la función compleja de variable compleja

z→

1 1 + z2

son completamente diferentes (ecuaciones (0.7) y (0.8): Figuras 0.1 y 0.2, respectivamente);

o (es decir, multiplicamos por

b) si hacemos una rotación de 90

i,

esto es,

eiπ/2 ), sería como considerar la función z→

1 1 − z2

(0.10)

en vez de la dada en (0.9); y, efectivamente, ahora los polos aparecen en

1

y

−1.

O dicho de otro modo, salvo un giro, las funciones (0.9) y

(0.10) son, esencialmente, la misma... de lo cual solo nos hemos podido cerciorar al acercarnos al cuerpo de los complejos. Queremos llamar la atención sobre el hecho de lo que supondrá dotar de estructura de cuerpo a

f

de

C

en

C

R2 . La observación de la naturaleza de las aplicaciones

nos dirá cuán restrictiva será la denición genuina de una tal

20

0.1. Un recorrido por los antecedentes

1

Figura 0.2. Sección según el eje real de la función compleja

1 . 1+z 2

función compleja de variable compleja si partimos del hecho de considerarla como aplicación

g

de

R2

en

R2 .

z = x + iy , entonces: ) z+z z−z , ≡ g(z, z); 2 i2

En efecto. Si

(

f (z) = f (x + iy) = g(x, y) = g

es decir, las funciones en dos variables reales genuinamente complejas son aquellas que no dependen de

z.

Para concluir esta primera parte de introducción al cuerpo de los complejos, no queremos dejar de hacer -aunque sea de paso- el comentario, por su aplicación a otras ciencias, como la Física, la Ingeniería, etc., de lo poco que estos números tienen, realmente, de imaginarios. (Puede ser una de las vías de ampliación de este curso en lo relativo al estudio del problema de Dirichlet.) Y cómo no, es importante el papel que juegan a la hora de resolver integrales como

∫

∞

sen x dx = x 0 ∫ ∞ a−1 x dx = 1+x 0 ∫ 2π dθ = a + sen θ 0

π 2 π , sen (aπ) 2π √ , a2 − 1

a ∈ ]0, 1[ a > 1,

las cuales resultan de un cálculo muy complicado, o imposible, solo con reales.

21

CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN Hoy en día, los complejos cobran especial actualidad por el papel destacado que tienen en el estudio de los sistemas dinámicos que acompañan a la Teoría de los Fractales y el Caos. Por otro lado, a partir de los años 60 del siglo pasado, la teoría de varias variables complejas (que en nada supone un análogo a la situación en variable real: no es un mero elenco de resultados análogos que se verican o dejan de vericarse...) ha cobrado un auge investigador de gran envergadura, siendo el lugar de encuentro de fecundas áreas del saber matemático más actual (geometría diferencial, análisis armónico, ecuaciones en derivadas parciales, etc.)... pero eso ya es contenido suciente para otro curso, ½al menos!

22

Capítulo 1 Funciones holomorfas. Teoría básica

1.1. El cuerpo de los números complejos. Módulo y Argumento de un número complejo Empezamos este capítulo considerando alguna notación. Denotamos por

N

al conjunto de todos los números naturales:

1, 2, . . . , n, n + 1, . . .

Es decir,

se trata del conjunto de números reales inductivo más pequeño conteniendo la unidad 1. Con

Z

estaremos designando el conjunto de todos los enteros:

Z := N ∪ {0} ∪ (−N) , donde

−N designa al conjunto de los elementos opuestos de cada natural. Así, Q denotaremos al conjunto

natural y entero positivo serán equivalentes. Por de todos los racionales:

{

} p : p ∈ Z, q ∈ N . q

Los tres conjuntos numéricos anteriores son conjuntos numerables, y están relacionados por las inclusiones:

N ⊂ Z ⊂ Q. El símbolo

R

denotará el conjunto de todos los números reales: cuerpo con-

mutativo totalmente ordenado y vericando el axioma del supremo. Estamos ya ante un conjunto no numerable. Se trata de un espacio completo: toda sucesión de Cauchy de números reales es convergente. Esto no pasaba en 11

23

Q:

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA existen sucesiones de racionales que convergen a números no racionales; por ejemplo,

x1 := 1; xn+1

1 := 2

(

1 xn + xn

) →

√

2∈ / Q.

En él dispondremos de subconjuntos destacados:

R− := {x ∈ R; x < 0} R+ := {x ∈ R; x > 0} R− 0 := {x ∈ R; x ≤ 0} R+ 0 := {x ∈ R; x ≥ 0} que son, respectivamente, los conjuntos de todos los reales negativos, positivos, no positivos y no negativos. Al conjunto

R\Q

lo llamaremos de los

irracionales. Elementos destacados en él, son

√ √ 2, 3, e Q

Tanto

como

R\Q

y

π.

son conjuntos densos en

R:

∀x ∈ R, ∀ε > 0 ∃r ∈ Q, ∃α ∈ R\Q : |x − r| < ε, |x − α| < ε. Consideremos el conjunto de los pares ordenados de números reales del cual sabemos que, con las operaciones (para

x, y, u, v, α ∈ R)

R2 ,

(x, y) + (u, v) : = (x + u, y + v) α (x, y) : = (αx, αy) es un espacio vectorial real de dimensión 2. Ahora, en el grupo aditivo

(

) R2 , + ,

vamos a denir un producto de la

siguiente manera:

Resulta de fácil donde con

x

(1, 0) es el y no cero

o

(x, y) (u, v) := (xu − yv, xv + yu) . ( 2 ) comprobación que R , +, · es un cuerpo

conmutativo,

neutro o unidad para el producto y cada elemento admite un inverso

u :=

(u, v)

(x, y)

de la forma

x −y , v := 2 . x2 + y 2 x + y2

A este cuerpo conmutativo lo llamaremos cuerpo de los números complejos a sus elementos los llamamos (números) complejos, y lo denotaremos por

C.

24

1.1. El cuerpo de los números complejos. Módulo y Argumento a → (a, 0) , de R en C, es un monomorsmo de cuerpos y, por ello, podemos identicar R con una parte de C y escribir R ⊂ C, haciendo la identicación a ≡ (a, 0). Con ello, podemos ver que no hay confusión posible entre las expresiones a (x, y) y (a, 0) (x, y): Observemos que la aplicación

a (x, y) := (ax, ay), C

como

R-espacio;

(a, 0) (x, y) := (ax − 0y, ay + 0x) = (ax, ay), C

como cuerpo.

Este hecho nos permite una primera representación de los complejos vistos como elementos de un

R-espacio:

(x, y) = (x, 0) + (0, y) = x (1, 0) + y (0, 1) , y, denotando por de

R

i := (0, 1), a la vez que usamos la identicación anterior C, tendremos la llamada forma binómica del número

con una parte de

complejo

(x, y): x + iy,

mientras que a la otra, a

(x, y), se le suele llamar forma cartesiana. Observe-

mos que estas expresiones vienen dadas de manera única.

Denición 1.1 e

y,

z ∈ C, a los números reales x z , vericando z = x + iy , se les imaginaria del complejo z ; y se escribe

Dado un número complejo

que existen de manera única para tal

llama, respectivamente partes real e

Re z = x, Es claro que si

z, w ∈ C,

entonces

{ z=w⇔ En el cuerpo

C

Im z = y.

Re z = Re w Im z = Im w

no es posible introducir ningún orden total que lo ha-

ga cuerpo conmutativo totalmente ordenado; es decir, no podemos denir ningún orden total compatible con las propiedades de cuerpo conmutativo. En efecto: si por el contrario así fuese, tendríamos que

ii = i2 > 0;

pero es

= −1 y, por otro lado, sabemos que ha de ser −1 < 0. Luego no es posible denir un orden total en C compatible con su estructura de cuerpo. En C también existe un automorsmo, llamado conjugación, que notaremos por z → z , y que viene dado por i2

z := Re z − i Im z.

25

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA Podemos pensar en la conjugación, evidentemente, como una inversión de

C,

visto como un plano, respecto de su eje real. Esta propiedad de la conjugación, junto a otras, de demostración inmediata todas ellas, la enunciamos en la

Proposición 1.1 i. ii.

se tienen:

zw = zw z=z

iv.

Re z =

Si

z, w ∈ C,

z+w =z+w

iii.

v.

Para

(el automorsmo es involutivo)

z+z 2 ,

Im z =

z−z i2

z = z ⇔ z ∈ R ⇔ Im z = 0 R

es una función racional en las variables reales

reales, se observa que

R (z, z) = R (z, z).

x e y, con coecientes

Luego

R (z, z) ∈ R, ∀z ∈ C ⇔ R(x, y) = R(y, x). Otra función que consideraremos, importantísima a la postre, es el módulo o valor absoluto de un número complejo. Representa la distancia del complejo

z

al origen:

Denición 1.2

z ∈ C, se dene su módulo o √ √ |z| := (Re z)2 + (Im z)2 = zz.

Para cada

valor absoluto como

Una vez más, la notación es coherente con la empleada en

z ∈ R ⊂ C: ⋆ |z| = ⋆ |z| =

√ √

(Re z)2 + (Im z)2 =

z2

(por ser

Proposición 1.2

Para

i.

|z| = 0 ⇔ z = 0

ii.

|z| = |z| = |−z|

iii.

√

(Re z)2 =

z ∈ R). z, w ∈ C,

se tienen:

|zw| = |z| |w|

26

√

z2

(por ser

R,

z ∈ C);

pues si

1.1. El cuerpo de los números complejos. Módulo y Argumento iv. v.

|z ± w|2 = |z|2 + |w|2 ± 2 Re (zw) m´ ax {|Re z| , |Im z|} ≤ |z| ≤ |Re z| + |Im z|

La propiedad iv. se sigue del hecho de que

Re α =

1 2

(α + α):

|z ± w|2 = (z ± w) (z ± w) = zz + ww ± zw ± wz = |z|2 + |w|2 ± 2 Re (zw) . De iv. también se desprende la conocida como Identidad del Paralelogramo:

Corolario 1.1

Para

z, w ∈ C,

se tiene:

( ) |z + w|2 + |z − w|2 = 2 |z|2 + |w|2 .

Su demostración es evidente: consiste en sumar las expresiones de iv. para los correspondientes signos + y  −. Lo realmente complicado lo encontramos en la segunda desigualdad en v., que precisa del siguiente resultado, (ya conocido en el contexto real y) clave en todo lo que sigue:

Proposición 1.3 (Desigualdades triangulares) i. ii.

Para

z, w ∈ C, se tiene:

|z + w| ≤ |z| + |w| ||z| − |w|| ≤ |z − w|

Demostración. Hacemos cálculos para

z, w

complejos arbitrarios:

|z + w|2 = |z|2 + |w|2 + 2 Re (zw) ≤ |z|2 + |w|2 + 2 |Re (zw)| ≤ |z|2 + |w|2 + 2 |zw| ≤ (|z| + |w|)2 , de donde, al extraer raíces cuadradas en ambos miembros, se deduce i. Para probar ii., basta observar que

|z| = |(z − w) + w| ≤ |z − w| + |w| =⇒ |z| − |w| ≤ |z − w| , donde hemos aplicado i. Alternando ahora los papeles de

|w| − |z| ≤ |w − z| = |z − w| ,

27

z

y

w,

se tiene que

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA 

y, por tanto, se concluye la prueba.

A continuación introducimos un concepto clave en variable compleja y que está en la base de su distanciamiento del análisis real con el que estamos familiarizados hasta ahora. Nos referimos al inicialmente inocente Argumento de un número complejo: el concepto de multifunción y, por ende, el de ramas de una función, lo tendrán en su base. Del análisis real tomamos el siguiente

Lema 1.1

θ ∈ ]−π, π]

Para cualesquiera

a, b ∈ R

tales que

a2 + b2 = 1,

existe un único

tal que

a = cos θ, b = sen θ. ρ > 0

y

θ ∈ ]−π, π],

z = ρ (cos θ + isen θ) =: ρeiθ , √ (Re z)2 + (Im z)2 de manera única (en el sentido de que ρ =

y

θ ∈ ]−π, π]).

Y, dado

z ∈ C\{0},

podemos elegir convenientes

tales que se puede representar

Denición 1.3 no nulo

z,

Diremos que el número real

θ

es un Argumento del complejo

si

z = |z| eiθ , y escribiremos

{ } Arg(z) := θ ∈ R : z = |z| eiθ . θ1 y θ2 son Argumentos de z enque θ1 − θ2 = 2kπ. Su recíproco es

Observamos, inmediatamente, que si tonces existe un (único)

k ∈ Z

tal

también, trivialmente, cierto. (Observemos, igualmente, que el lema anterior es quien garantiza que Arg(z)

̸= ∅.)

Por esta razón, uno de ellos va a jugar

un papel importante:

Denición 1.4

z al único de sus Argumentos θ0 tal que θ0 ∈ ]−π, π]. Lo denotaremos por arg (z), Llamamos Argumento principal del complejo no nulo

y se acostumbra a escribir

Arg (z) = {arg (z) + 2kπ : k ∈ Z} . Para el cálculo del Argumento principal es muy cómoda la fórmula que nos proporciona la siguiente

28

1.1. El cuerpo de los números complejos. Módulo y Argumento

Proposición 1.4

z ∈ C\{0}, entonces { Im z 2 arctan |z|+Re / R− z, z ∈ arg (z) = π, z ∈ R− Si

Demostración. Para

z ∈ R− ,

entonces

z = − |z| = |z| (−1 + i0) = |z| (cos π + i sen π) = |z| eiπ , π ∈Arg(z), siendo, obviamente, π ∈ ]−π, π]. Consideremos ahora z ∈ / R− , y tomemos (a quién elegir ½si no al candidato

de modo que natural!):

θ0 := 2 arctan

Im z . |z| + Re z

Así, con

θ0 := 2 arctan

Im z |z| z + Re |z|

1

=: 2 arctan

b , 1+a

se sigue que

tan

θ0 b = . 2 1+a

Pero esto conlleva que

    sen θ0 = 2    cos θ0 = de donde (por ser

θ0 2 θ 1+tan2 20 θ 1−tan2 20 θ 1+tan2 20

tan

=b

=a

] π π] Im z |z| + Re z > 0 =⇒ arctan |z|+Re z ∈ −2, 2 )

se tiene

z = |z| (cos θ0 + i sen θ0 ) = |z| eiθ0 , con

θ0 ∈ ]−π, π];

luego

Proposición 1.5



θ0 = arg (z) .

La aplicación

z → Arg (z), de C\{0} en R/2πZ, C\{0} en el aditivo R/2πZ; es

homomorsmo del grupo multiplicativo si

z, w ∈ C\{0}

entonces, se tiene:

Arg (zw) = Arg (z) + Arg (w) .

29

es un decir,

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA φ ∈ Arg (zw) . Sea (también arbitrario) θ2 ∈ Arg (w). φ = (φ − θ2 ) + θ2 y hacemos cálculos:

Demostración. Sea Escribimos

zw = |zw| eiφ = |zw| (cos φ + i sen φ) = |zw| {cos [(φ − θ2 ) + θ2 ] + i sen [(φ − θ2 ) + θ2 ]} = |zw| {cos (φ − θ2 ) cos θ2 − sen (φ − θ2 ) sen θ2 +i [sen (φ − θ2 ) cos θ2 + sen θ2 cos (φ − θ2 )]} = |z| {cos (φ − θ2 ) + i sen (φ − θ2 )} |w| {cos θ2 + i sen θ2 } = |z| ei(φ−θ2 ) |w| eiθ2 , de donde

θ1 := φ − θ2 ∈ Arg (z)

y, por tanto,

φ = (φ − θ2 ) + θ2 ∈ Arg (z) + Arg (w) . Recíprocamente, sean dados

θ1 ∈ Arg (z)

y

θ2 ∈ Arg (w).

Por análogos

cálculos a los recién realizados:

zw = |zw| ei(θ1 +θ2 ) , luego

θ1 + θ2 ∈ Arg (zw) .

Proposición 1.6 i.



Destacamos las siguientes propiedades:

( ) z ∈ C\{0} =⇒ Arg z −1 = −Arg (z)

iii.

z ∈ C\{0} =⇒ Arg (z) = −Arg (z) ( ) z, w ∈ C\{0} =⇒ Arg wz = Arg (z) − Arg (w)

iv.

(fórmula de de Moivre) Para cada natural n,

ii.

(cos θ + i sen θ)n = cos (nθ) + i sen (nθ) . Demostración. Sólo la última propiedad precisa de alguna explicación. Si

z = cos θ + i sen θ,

entonces

Arg (z n ) = n arg (z) + 2πZ = nθ + 2πZ, de donde



z n = cos (nθ) + i sen (nθ) .

A continuación vamos a introducir las potencias de base exponente raíces

z

compleja y

p q racional. Para ello, comenzamos dando una denición, la de

n-ésimas

de

z,

y un resultado relativo a ellas que nos garantiza su

existencia y en qué número.

30

1.1. El cuerpo de los números complejos. Módulo y Argumento

Denición 1.5

cualquier complejo

Teorema 1.1 i. Si ii. Si

z = 0,

z ∈ C y n ∈ N, w tal que wn = z .

Dados

Si

z∈C

n ∈ N,

y

llamamos raíz

n-ésima

de

z

a

tenemos:

entonces existe un único

w

tal que

z ̸= 0, entonces existen w1 , . . . , wn

w n = 0;

tales que

a saber,

w = 0.

wkn = z , si k = 1, . . . , n.

Demostración. La primera de las armaciones es evidente sin más que obn n servar que

0 = 0 y w ̸= 0 conlleva w ̸= 0 para n ∈ N. z ∈ C\{0} y sea w (que también será no nulo) tal que wn = z .

Sea ahora

La fórmula de de Moivre nos dice que

wn = |w|n (cos [n arg (w)] + i sen [n arg (w)]) z = |z| (cos [arg (z)] + i sen [arg (z)]) ; luego:

{

y, por tanto,

{

|w|n = |z| nArg (w) = Arg (z) ,

√ |w| = n |z| + arg (w) = arg(z) n

2kπ n

Pero, ¾cuántos Argumentos resultan para

: k ∈ Z.

w al recorrer k todos lo enteros?

Tendremos

θ1 , θ2 ∈ Arg (w) ⇔ ∃k ∈ Z : θ1 − θ2 = 2kπ. Así,

arg (z) 2kπ arg (z) 2k ′ π k − k′ + = + ⇔ ∈ Z ⇔ k = k′ n n n n n

(mód

n),

luego

k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} , de modo que

z ∈ C\{0}

posee

wk :

{

n

raíces

n-ésimas;

√ |wk | = n |z| arg (wk ) = arg(z) + n

a saber:

2kπ n

distintas dos a dos y equidistribuidas sobre la circunferencia centro 0 y radio

√ n

|z|

(véase la gura 1.1).

31

( √ ) C 0, n |z|

de



CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA

z2 z3 θ /n

z1

θ /n

θ /n θ

zn -1

k θ /n

zk

Figura 1.1. Raíces

Denición 1.6 potencia de

z

de

z ∈ C.

p y q ∈ Q (irreducible, con p con exponente q se dene como Sean

z ∈C

p

z q := con la salvedad de que ha de ser Es de comprobación que tiene un elemento si a las raíces

n-ésimas

n-ésimas

z

p q

p∈Z

y

q ∈ N).

La

(√ )p q z ,

z ̸= 0

cuando

consta de

q

p ∈ −N.

elementos si

z ̸= 0,

y que solo

z = 0. Caso de especial atención será el que le prestemos n de la unidad; es decir, los complejos z tales que z = 1.

Es de demostración inmediata, a partir del teorema anterior, que la unidad tiene sus

n

raíces equidistribuidas sobre la circunferencia unidad

Proposición 1.7

T:

Para cada natural n existen w1 , w2 , . . . , wn ∈ T, distintos wkn = 1, k = 0, 1, . . . , n − 1. Concretamente:

dos a dos, tales que

wk = cos 1.1.1.

2kπ 2kπ 2kπ + i sen = ei n . n n

Ejercicios propuestos

1. Realice las operaciones indicadas:

1 a) ; i

b)

1−i ; 1+i

c)

32

2 ; 1 − 3i

( √ )3 d) 1 − i 3 .

1.1. El cuerpo de los números complejos. Módulo y Argumento 2. Encuéntrense las partes real e imaginaria de

(

1 + eiθ

)−1

.

3. Obténganse:

a) (1 + i)16 ;

b)

100 ∑

√ )9 ( c) 2 + i2 3 .

ik ;

k=0 4. Obtenga el módulo y el Argumento de cada uno de los siguientes complejos:

a) 3i;

b) − 2;

d) − 1 − i;

c) 1 + i;

e) 2 + 5i;

f ) 2 − 5i; g) − 2 + 5i; h) − 2 − 5i; i) bi, b ̸= 0; j) a + bi, a ̸= 0 5. En este ejercicio se probará que el cuerpo de los números complejos se puede identicar con una parte del espacio vectorial real

M2 (R)

de

las matrices cuadradas de orden dos: sea el conjunto

{( M :=

a b −b a

)

} : a, b

números reales

,

a cuyos elementos notaremos, sugerente y simplicadamente, por

M (a, b).

a ) Determínese la suma y el producto para cada dos elementos de

M. b ) Pruébese que, en particular, se tienen

M (a, 0) + M (b, 0) = M (a + b, 0) M (a, 0) · M (b, 0) = M (ab, 0) c ) Identifíquese el cuerpo de los reales con una parte de

2 d ) Pruébese que M (0, 1)

= M (−1, 0) (= −1,

M.

con la identicación

de arriba).

e ) Hágase

M (0, 1) := i,

y pruébese que

M (a, b) = a + bi.

6. Encuéntrense fórmulas para sumar las expresiones siguientes:

a)

1 + cos θ + cos 2θ + cos 3θ + · · · + cos nθ

b)

sen θ + sen 2θ + sen 3θ + · · · + sen nθ

c)

cos θ + cos 3θ + · · · + cos 2(n + 1)θ

33

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA 7. Dados dos números complejos cualesquiera

a ) pruébese que

|z + w| = |z| + |w|

z, w, zw

si, y sólo si,

es un número

real no negativo;

b ) discútase la posibilidad de que se alcance la igualdad en la desigualdad

||z| − |w|| ≤ |z − w| . 8. Obténganse interpretaciones geométricas para los siguientes conjuntos de números complejos:

a)

A = {z ∈ C : |2z + 3| ≤ 1}

b)

B = {z ∈ C : |2z + 1| ≤ |z|}

9. Sean

A, B, C, D

números reales sujetos a la condición

A2 + B 2 + C 2 >

D2 . Pruébense que: a ) la ecuación

A (z + z) + iB (z − z) + C (zz − 1) + D (zz + 1) = 0 representa: una recta en el plano, caso de que

C + D = 0;

una

circunferencia, de centro y radio a determinar, en el caso de que

C + D ̸= 0.

(Circunrecta de parámetros reales

A, B, C, D,

de

ahora en adelante.)

b ) toda circunrecta en el plano responde a una ecuación de la forma dada arriba, para convenientes números reales 10. Sean

c, d

complejos y

k > 0.

A, B, C, D.

Entonces, el conjunto de números com-

plejos

{z ∈ C : |z − c| = k |z − d|} es una circunferencia si 11. Sea

k ̸= 1

y es una línea recta cuando

k = 1.

z = x+iy un número complejo no nulo. Pruébese que el Argumento z viene dado por la fórmula  arctan xy − π, si x < 0, y < 0     si x = 0, y < 0  − π2 , arctan xy , si x > 0 arg(z) =  π  , si x = 0, y > 0    2 arctan xy + π, si x < 0, y ≥ 0.

principal de

34

1.2. Topología del plano complejo. La esfera de Riemann

1.2. Topología del plano complejo. La esfera de Riemann Pretendemos dotar al plano complejo

C

de una estructura topológica. Si

de lo que se trata es de buscar entre los candidatos, la topología asociada a la distancia dada por el valor absoluto habrá de ser la primera a considerar:

d(z, w) := |z − w| , ∀z, w ∈ C. Acostumbraremos a escribir, como es usual,

zn → z ⇔ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : n ≥ n0 =⇒ d (zn , z) < ε. En estas circunstancias, se van a vericar las siguientes propiedades que resumimos sin demostración:

Proposición 1.8 w,

Sean

(zn )

y

(wn )

dos sucesiones en

C,

convergentes a

z

y

respectivamente. Entonces: i. ii.

zn + wn → z + w zn wn → zw

iii. Si

w ̸= 0

wn ̸= 0, ∀n ≥ n0 ),

(y, por tanto,

Proposición 1.9

Para que la serie de números complejos

vergente, es suciente que

∑

n≥0 |zn |

→

z entonces wn n

z w.

∑

n≥0 zn sea con-

también lo sea.

Proposición ∑ 1.10 (Test de mayoración de Weierstrass.) (A

̸= ∅) y

n≥1 fn

una serie de funciones de

una sucesión de reales positivos a. b.

(Mn )n≥1 ,

|fn (a)| ≤ Mn , ∀a ∈ A, ∀n ∈ N, ∑ n≥1 Mn converge.

Entonces la serie

∑

Sean A ⊂ C A en C. Supongamos que existe

tal que

y

n≥1 fn converge absoluta y uniformemente en

De hecho, el par

(C, d)

A.

es un espacio métrico completo (no estamos

hablando de otra cosa, hasta ahora, que el plano euclídeo). Además,

C

es

un cuerpo topológico: es lo que nos dice la primera de las proposiciones arriba enunciadas sobre la compatibilidad de las operaciones suma y producto y la distancia

d.

Será útil, por tanto, el

35

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA

Teorema 1.2 (Hausdor) i.

E

En todo espacio métrico

E,

son equivalentes:

es compacto.

E

ii. Toda sucesión en

admite parcial convergente en

iii. Todo subconjunto innito en Observemos que

C

E

E.

tiene acumulación en

E.

es un espacio métrico localmente compacto, pues los

z∈C

discos cerrados (de centro

y radio

r > 0)

D(z, r) := {w ∈ C : |z − w| < r} son compactos. Podemos, por tanto, aplicar el

Teorema 1.3 (Alexandro) pacto y de Hausdor. Sea remos el par

(X∞ , τ ),

∞

donde

{abiertos

de

Sea

X

un espacio topológico localmente com-

un objeto matemático tal que

X∞ := X ∪ {∞}

y

τ

X} ∪ {A ⊂ X∞ : X\A

∞∈ / X.

Conside-

es la familia dada por compacto} .

Entonces i.

(X∞ , τ )

es un espacio topológico compacto y de Hausdor.

ii. La topología inducida en

X

por

X∞

es la de partida de

Si aplicamos este teorema al plano complejo mamos el plano ampliado

C∞ ,

C

X.

obtendremos lo que lla-

que acostumbraremos a escribir como

evidente que los entornos de cada punto

z∈C

C.

Es

admiten discos abiertos con-

tenidos en ellos, de la forma

D(z, r) := {w ∈ C : |z − w| < r} . Para el punto

∞,

que llamaremos (punto del) innito, una base de entornos

es la dada por

{Uρ ; ρ > 0} , donde

Uρ := {z ∈ C : |z| > ρ} ∪ {∞} ⊂ C. G ∈ τ, existe ρ > 0

En efecto: si acotado:

como consecuencia

∞ ∈ G, se tiene que C\G es compacto, luego tal que si z ∈ C\G entonces |z| ≤ ρ; así, Uρ ⊂ G. Y de ser {Uρ : ρ > 0} base de entornos: con

36

1.2. Topología del plano complejo. La esfera de Riemann

Proposición 1.11

Para cada sucesión

(zn )

de números complejos se tiene

que

zn → ∞ ⇔ |zn | → +∞. Es sencillo verlo:

zn → ∞ ⇔ {∀ρ > 0 ∃m : n ≥ m =⇒ |zn | > ρ} ⇔ |zn | → +∞. C

Es importante observar que, pese a todo, en como en

C:

el objeto

operacionales;

C

∞

ya no se podrá operar

solo se ha incorporado con nes topológicos, no

no es un cuerpo. De hecho, hay más:

Proposición 1.12

C

No hay ninguna distancia en

que genere la topología

τ. En efecto; si fuese lo contrario, para tal

d : C × C → [0, +∞[

se tendría,

en particular, que

n → ∞ ⇔ d(n, ∞) → 0. Pero:

d(n, 0) = n ≤ d(0, ∞) + d(∞, n) ≤ d(0, ∞) + M, n ≥ n0 , de modo que

N

estaría acotado; y sabemos que esto no es bueno...

C a partir de la distancia euclídea, C, lo que sí que se plano C que sí se pueda extender a C.

Pese a no poder obtener la topología de

es decir, pese a no poder extender la distancia euclídea a puede es denir otra distancia en el

Al plano ampliado se le va a llamar Esfera de Riemann. El motivo se halla en la siguiente identicación con la esfera unidad.

R3 : { } S2 := (a, b, c) ∈ R3 : a2 + b2 + c2 = 1

Consideremos la esfera unidad del espacio euclídeo

y establezcamos

χ : S2 −→ C dada por

{ χ (a, b, c) :=

a+ib 1−c ,

∞,

(a, b, c) ̸= (0, 0, 1) (a, b, c) = (0, 0, 1)

(véase gura 1.2: proyección estereográca). La inversa de calculable:

χ−1 (z) =

 (  

z+z , z−z , |z|−1 1+|z|2 i(1+|z|2 ) 1+|z|2

χ

) , z∈C z=∞

(0, 0, 1) ,

37

es fácilmente

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA

Figura 1.2. Proyección estereográca.

(Comprueba la fórmula para

χ−1 .)

χ es homeomorsmo entre los espacios de Hausdor C. La compacidad en C aporta algo esencial que lo diferencia sucesiones de complejos se acumulan en C. distancia o métrica cordal en C como la aplicación

Observamos que compactos de

C:

S2

y

todas las

Se dene la

δ (z, w) := χ−1 (z) − χ−1 (w)  √  √ 2|z−w| , z, w ∈ C 1+|z|2 1+|w|2 =  √ 1 2, z ∈ C, w = ∞ 1+|z|

(observa que

χ−1 (z)

y

χ−1 (w)

están sobre la esfera

S2 ,

de ahí el nombre de

cordal). (Comprueba en la fórmula anterior la distancia cordal de

z

y

δ (z, w) en términos

w.)

Resumimos lo anterior:

Ventaja:

La métrica cordal

Desventaja:

(

C, δ|C

)

δ

se tiene en todo

C.

no es un métrico completo.

Y podemos completar las propiedades de convergencia de sucesiones de

C

a

C

del siguiente modo:

Proposición 1.13 ∞.

ii. Para

i. Si

zn → ∞

{zn ; n ∈ N} ⊂ C\{0},

y

wn → w ∈ C\{0},

entonces

38

zn → ∞ ⇔

1 zn

entonces

→ 0.

zn wn →

1.2. Topología del plano complejo. La esfera de Riemann A continuación introducimos los contenidos topológicos mínimos que nos serán imprescindibles para lo que sigue. Si bien el contexto será generalizable a situaciones abstractas, nos limitaremos a presentar las deniciones y los

C.

resultados en el ambiente del plano complejo

Recordemos que la acumulación de un conjunto

A de números complejos

se dene como

A′ := {z ∈ C : ∃ (an ) ⊂ A\{a}; an → a} ; A

que el cierre o adherencia dado por

de un conjunto

A

de números complejos viene

A := A ∪ A′

y que para todo conjunto

A⊂C

innito y acotado, se tiene que

A′ ̸= ∅.

Esta propiedad equivale, tal y como ocurre en todo euclídeo que se precie, a que toda sucesión innita en un acotado admita una parcial convergente (propiedad de Weierstrass). Del mismo modo, para

∅ ̸= A ⊂ C,

son equiva-

lentes (teorema de Heine-Borel):

i. ii.

A A

es cerrado y acotado. es compacto (todo cubrimiento por abiertos de

A

admite un recubri-

miento nito). La frontera de

A,

que la denotaremos por

∂A,

se dene como

∂A = A ∩ C\A. Un conjunto

A

se va a decir conexo si no se puede expresar como la

unión disjunta de dos abiertos relativos. En particular, ello conlleva que si el conexo

A

Para cada

CA [a],

A = ∅ o bien A = C. de a, que se notará por

es un conjunto abierto y cerrado, entonces

a ∈ A,

llamaremos componente conexa

al mayor conexo en

A

tal que

a ∈ CA [a].

Si no hay confusión, evitaremos el subíndice, de modo que se escribirá,

C[a]. Claramente, A es conexo si, y solo si, C[a] = C[b] para a, b ∈ A. Cada conjunto se puede expresar como unión disjunta de sus componentes conexas. Además, {a} = C[a], si, y solo si, a es un punto aislado de A. simplemente,

cualesquiera

Un concepto central en este curso:

Denición 1.7 (Dominio) Ω

Se dice dominio del plano complejo a cualquier

abierto y conexo.

39

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA Es decir, y como cualquier punto de un abierto admite como entorno a algún disco:

∀a ∈ Ω, ∃r > 0 : D (a, r) ⊂ Ω, tenemos que los abiertos del plano son, localmente, dominios. (El dominio por antonomasia será el disco unidad caso

D,

que corresponde al

a = 0, r = 1.)

Veremos que las componentes conexas de un abierto son, igualmente, abiertos (de hecho, dominios). Damos el paso a considerar propiedades funciones complejas de variable compleja.

Proposición 1.14

Sean

∅ ̸= A ⊂ C, f : A −→ C, l ∈ C

y

a ∈ A′ .

Cada una

de las siguientes armaciones implica la otra: i.

ii.

(an ) f (an ) → l.

Para toda sucesión tiene que

de elementos en

ε, existe otro δ |f (x) − l| < ε.

Para cada real positivo entonces

A\{a}

tal que si

Se dirá, caso de vericarse estas armaciones, que punto

a;

convergente a

a,

se

0 < |x − a| < δ, x ∈ A, f

tiene límite

l

en el

y escribiremos

l = l´ım f (x). x→a

Proposición 1.15

Sean

∅ ̸= A ⊂ C, f : A −→ C

y

a ∈ A ∩ A′ .

Cada una de

las siguientes armaciones implica la otra: i. Para toda sucesión que

(an )

de elementos en

A

convergente a

a,

se tiene

f (an ) → f (a). ε, existe |f (x) − f (a)| < ε.

ii. Para cada real positivo entonces

otro

δ

tal que si

Se dirá, caso de vericarse estas armaciones, que

f

|x − a| < δ, x ∈ A,

es continua en el punto

a. Es de observar que:

a.

En caso de que

a ∈ A ∩ A′ ,

ambos conceptos coinciden si, y solo si,

l´ım f (x) = f (a).

x→a

40

1.2. Topología del plano complejo. La esfera de Riemann

b.

Si

a

es punto aislado de

A,

dominio de

f,

siempre habrá continuidad

(por el carácter local de la misma) y no tendrá sentido plantear la existencia o no de límite. De modo análogo, si tendrá sentido plantear la continuidad o no de

a ∈ A′ \A, f en a.

entonces no

Se trata de propiedades locales; en particular, se tiene cierta la siguiente

Proposición 1.16 (Propiedad del carácter local de la continuidad) f : A ⊂ C −→ C una función B := {x ∈ A : |x − a| < δ}. Entonces,

Sea

i. ii.

f

es continua en

f|B

y sea

a ∈ A.

Sea

δ > 0

y llamemos

equivalen:

a.

es continua en

a.

Los ejemplos conocidos ya por nosotros, en este corto periodo de vida que llevamos con la variable compleja, son todos de funciones continuas con límite en todo su dominio:

a.

el módulo o valor absoluto,

b.

la conjugación de números complejos,

c.

la suma y producto de números complejos. . .

d.

salvo, el nada trivial ejemplo de la función Argumento (principal); lo cual se demostrará en breve. Las propiedades fundamentales de las funciones continuas sobre conjun-

tos destacados que nos interesan las recogemos en la siguiente

Proposición 1.17

Sea

f : A ⊂ C −→ C

una función continua. Entonces:

i. Si

A

es un conjunto conexo, entonces

f (A)

ii. Si

A

es un cojunto compacto, entonces

es conexo.

f (A)

es compacto.

Vamos ya con propiedades nada triviales. Concretamente, comenzamos probando que el Argumento principal es continuo en todo el plano salvo un rayo que parte del origen. Además, completaremos esta información probando que no es posible mejorar esta situación: esto le va a pasar a cualquier determinación que tomemos para el Argumento.

41

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA

Proposición 1.18

La función Argumento principal

{ arg(z) := es continua en

arg : C\{0} −→ R

Im z 2 arctan |z|+Re / R− z, z ∈ π, z ∈ R−

C\R− 0.

Demostración. Como

C\R− 0

es un abierto y

arg|C\R− 0

es continua, por su

forma de denición, el carácter local de la continuidad nos dice que también lo va a ser

arg.

Que la continuidad se rompe en el conjunto

maniesto de la siguiente manera: consideramos

x∈

R− 0,

se pone de

R+ y la sucesión

(zn )

dada por

zn := −x + i

(−1)n → −x. n

En estas condiciones, la sucesión

arg (zn ) = 2 arctan

−x +

(−1)n √n

= 2 (−1)n arctan

x2 +

1 n2

1 √ −nx + 1 + n2 x2

no es convergente, por lo que el Argumento principal no converge en ningún punto de

R− .



Proposición 1.19

Si S es una semirrecta cerrada que parta del origen (0 ∈ S ), entonces podemos encontrar una función continua f de C\S en R tal que

f (z) ∈ Arg (z) , ∀z ∈ C\S. Demostración. Sabemos que el Argumento principal viene caracterizado por dos propiedades: a.

z ∈ C\{0} =⇒ arg(z) ∈ Arg (z)

b.

z ∈ C\{0} =⇒ arg(z) ∈ ]−π, π] .

Sea ahora

θ ∈ R,

y denamos

aθ : C\{0} −→ R

a'.

z ∈ C\{0} =⇒ aθ (z) ∈ Arg (z)

b'.

z ∈ C\{0} =⇒ aθ (z) ∈ ]−π, π] .

42

dada por:

1.2. Topología del plano complejo. La esfera de Riemann Observamos que si

φ := aθ (z), con z ∈ C\{0}, entonces φ ∈ ]θ − π, θ + π];

luego

−π < φ − θ ≤ π. Sea ahora

w := eiθ .

Así,

φ ∈ Arg (z) ⇐⇒ φ − θ ∈ Arg luego

aθ (z) = arg aθ

(z) w

+θ

(z) w

;

y, en consecuencia:

es continua en

z ⇐⇒ arg ⇐⇒ arg

es continua en

(z)

z w

̸= π w ⇐⇒ aθ (z) ̸= π + θ ⇐⇒ π + θ ∈ / Arg (z) . Un conjunto



A del plano C se dice conexo por poligonales si cualesquiera

dos puntos suyos se pueden unir por un conjunto nito de segmentos, todos completamente contenidos en

A.

El siguiente resultado será clave (entre toda una multitud de cosas) para ver que en

C,

la situación conexo por poligonales

⇓ conexo por arcos

⇓ conexo tiene recíproco cierto cuando se considera sobre dominios; es decir, si el conjunto, además de conexo, es abierto.

Lema 1.2 (de Conexión) Supongamos que

A

Sean

Ω

un dominio del plano

C

y

∅ ̸= A ⊂ Ω.

verica la siguiente condición:

a ∈ A, D(a, r) ⊂ Ω =⇒ D(a, r) ⊂ A. Entonces

A = Ω. A que es un abierto relativo en Ω. Por también, cerrado relativo a Ω. Sea z ∈ Ω ∩ A.

Demostración. La hipótesis nos dice de tanto, bastará probar que es, Ha de existir

r>0

tal que

D(z, r) ⊂ Ω

y

( r) D z, ∩ A ̸= ∅. 2

43

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA Sea, pues existe,

a∈A

tal que

|z − a| < r/2.

Así, si

w ∈ D(a, r/2),

|w − z| ≤ |w − a| + |z − a| < r, w ∈ Ω, de donde D(a, r/2) ⊂ Ω. Aplicamos ahora la hipótesis de este D(a, r/2) ⊂ A. Pero esto conlleva que z ∈ A, luego A es un abierto y cerrado relativo a Ω no vacío: A = Ω. 

luego

lema:

Proposición 1.20

Todo dominio

Ω

del plano complejo

C

es conexo por

poligonales. Demostración. Sea

α ∈ Ω.

A := {z ∈ Ω : z Claramente

A ̸= ∅,

Llamemos

se puede unir con

¾o no? Sea, pues,

a∈A

α

por una poligonal} .

y sea

r>0

tal que

D(a, r) ⊂ Ω.

Es claro que

z ∈ D(a, r) =⇒ z ∈ A, luego, por el lema de conexión, Gracias a que

C

Proposición 1.21 plejo

C



A = Ω.

es localmente conexo:

Las componentes conexas de un abierto

A del plano com-

son dominios.

Ω una componente conexa de A. Veamos que es abierta. Sea a ∈ Ω y sea r > 0 tal que D(a, r) ⊂ A. Por argumentos de conexión habrá de ser D(a, r) ⊂ Ω (½detalla el argumento!), luego Ω es un abierto.  Demostración. Sea

Recordemos que en

C

los abiertos se pueden expresar como unión nu-

merable de sus componentes conexas.

1.2.1.

Curvas en el plano complejo

Vamos a completar este tema con una introducción al concepto de curva, tal y como se va a usar en Variable Compleja.

Denición 1.8

Llamamos curva en el plano

tinua de la forma

γ : [a, b] −→ C.

44

C

a cualquier aplicación con-

1.2. Topología del plano complejo. La esfera de Riemann Se acostumbra a escribir:

γ ∗ := γ ([a, b]) := {(x(t), y(t)) ; t ∈ [a, b]} como la imagen de la curva, donde

x, y

son funciones continuas de

[a, b]

en

R. Observemos que, aunque escribamos

γ(t) = (x(t), y(t)), γ ∗ ⊂ C. Con todo, se sobreentenderá, en cada caso, a quién nos estamos reriendo. A (x (a) , y (a)) se le llama origen de c, mientras que a (x (b) , y (b)) se le llama extremo de γ . Si origen y extremo son el mismo punto, a la curva se le llama cerrada. debemos no confundir entre la aplicación

γ

y su imagen

Observemos, igualmente, que las curvas pueden tener autocortes; es decir, no tienen porqué ser aplicaciones inyectivas (pensemos en un lazo, por ejemplo). Veamos algunos ejemplos que nos familiarizarán con expresiones con las que habremos de acostumbrarnos.

Ejemplo 1.1 (Segmentos) extremo

w

Dados

z, w ∈ C,

el segmento de origen

z

y

es la curva

[z, w] : [0, 1] −→ C dada por

[z, w] (t) := tw + (1 − t) z, ∀t ∈ [0, 1] . [z, w]∗ de [z, w] coincide con lo que en un exceso (½recordemos que no hay orden en C!) podría llamarse intervalo de extremos z y w , y que no podría escribirse de otra manera que [z, w]. Esta curva recorre el segmento a velocidad constante, desde z a w . Observemos cómo en este caso, la imagen

Ejemplo 1.2 (Circunferencias)

La expresión

γ ∗ := {(a + r cos (t) , b + r sen (t)) : t ∈ [0, 2π]} nos muestra la imagen de una curva cerrada encia de radio

r>0

con centro en el punto

γ que representa un circunfer(a, b) ∈ C, y que es recorrida a

velocidad constante en el sentido positivo (el contrario a las agujas del reloj). Notemos que, en nuestro lenguaje,

γ ∗ = C((a, b), r). (Para nosotros 0, r = 1).

ya es familiar la circunferencia unidad

45

T,

donde

a = b =

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA

Ejemplo 1.3 (Yuxtaposición)

Si disponemos de dos curvas

γ1 : [a, b] −→ C, γ2 : [c, d] −→ C tales que

γ1 (b) = γ2 (c),

se puede denir lo que se llama curva suma (o

yuxtaposición) de ambas, y que se notará por

γ1 + γ2 ,

como la aplicación

γ1 + γ2 : [0, 1] −→ C dada por

{ (γ1 + γ2 ) (t) :=

γ1 (2tb + (1 − 2t) a) , 0 ≤ t ≤ 21 ) ) ( ( γ2 2 t − 21 d + 2 (1 − t) c , 21 ≤ t ≤ 1.

Si se preere una parametrización sencilla sobre el intervalo

[a, b + d − c],

se puede hacer:

{ (γ1 + γ2 ) (t) :=

a≤t≤b

γ1 (t) ,

γ2 (c − b + t) , b ≤ t ≤ b + d − c.

Ejemplo 1.4 (Curva opuesta)

Si

γ : [a, b] −→ C

es una curva, su opues-

ta será la nueva curva dada por

−γ : [a, b] −→ C dada por

−γ(t) := γ (b + a − t) , ∀t ∈ [a, b] . Es decir,

(−γ)∗ = γ ∗

y sus recorridos son opuestos: los hacen en sentido

contrario el uno respecto del otro. (En particular, el origen de una es el extremo de la otra, y viceversa.) Por ello se dice que

γ

opuestas o de orientaciones contrarias. Y, en particular,

−γ son γ + (−γ)

y

curvas es una

curva cerrada: representa un sendero de ida y vuelta.

Ejemplo 1.5 (Poligonales)

Los ejemplos 1.1 y 1.3 nos permiten escribir,

con pleno signicado, expresiones de la forma:

[z1 , zn ] = [z1 , z2 ] + [z2 , z3 ] + · · · + [zn−1 , zn ] .

Ejemplo 1.6

Una curva no ha de ser necesariamente, como ya se dijo más

arriba, inyectiva (verica los cálculos y estudia con detalle lo que representa):

t −→ eit , ∀t ∈ [−π, 2π] .

46

1.2. Topología del plano complejo. La esfera de Riemann

Denición 1.9

Una curva se dice regular si es derivable en todo punto.

Se dice regular a trozos si se puede expresar como yuxtaposición de curvas regulares. Se dirá camino si se trata de una curva cerrada regular a trozos. Cuando una curva

γ

es regular, se puede calcular su longitud mediante

∫

la conocida fórmula: long (γ)

b

γ ′ (t) dt.

:= a

Puedes dar un vistazo de repaso y analizar las propiedades de las curvas anteriores, en los ejemplos, en relación a estos conceptos recién enunciados, y así completar los detalles en los ejemplos 1.7 a 1.9 que siguen. En particular, se puede refrescar lo concerniente a curvas recticables, que no son otras que las funciones de variación acotada: en el caso de que sean curvas regulares, su longitud (el supremo, nito, de las correspondientes sumas poligonales asociadas) admite la representación integral que aparece arriba.

Ejemplo 1.7

[−1, 1] + [1, 1 + i] + [1 + i, −1 − i].

Ejemplo 1.8

[1 − i, 0] + [0, 1 + i] + γ ∗ , γ(t) :=

Ejemplo 1.9 1.2.2.

√

i(t+ π4 )

2e

donde

] 3π . , ∀t ∈ 0, 2 [

γ (t) := eit cos t, ∀t ∈ [0, 2π].

Ejercicios propuestos

1. Estúdiese la existencia de límite en el origen para la función compleja de variable compleja

f

denida en un entorno perforado del origen,

cuando:

a) f (z) = 2. Sea

f

Re z |z| ,

b) f (z) =

z Re z |z| .

una función compleja de variable compleja uniformemente con-

tinua denida sobre el disco unidad

D.

Pruébese que se trata de la

restricción, al disco unidad (abierto), de alguna función el disco unidad cerrado 3. Sea

f

minio

g

continua en

D.

una función compleja de variable compleja continua en un do-

Ω.

Supongamos que verica

Pruébese que o bien

2 f (z) − 1 < 1, Re f (z) < 0

z ∈ Ω.

47

o bien

∀z ∈ Ω. Re f (z) > 0,

para cualquier

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA f una función compleja 2 denida sobre él. Supongamos que Re f (z) ̸= 0 y que f (z) = z en Ω. √ z o bien f (z) = Pruébese que, bajo estas hipótesis, o bien f (z) = √ − z , ∀z ∈ Ω.

4. Sea

Ω

un dominio del plano complejo y sea

5. Sea una sucesión

(zn )

otro complejo no nulo una sucesión

(θn )

de números complejos no nulos convergente a

z,

y sea

θ ∈ Arg (z).

Pruébese la existencia de

tal que

θn ∈ Arg (zn ) , ∀n

natural y

(Indicación: redúzcase el problema al caso

θn → θ.

z = 1.)

6. Hágase un estudio detallado de la proyección estereográca: cómo se transforma el hemisferio norte, cómo el hemisferio sur, cómo regiones acotadas de la esfera no tienen porqué serlo en su correspondiente región del plano complejo ampliado, etc. Por ejemplo, ¾qué acción signica sobre la esfera

S

la función compleja de variable compleja

z → f (z) = 1/z ? 7. Pruébese que la proyección estereográca de cualquier circunferencia contenida en la esfera de Riemann es una recta o una circunferencia en el plano complejo, según que la circunferencia de partida pase o no, respectivamente, por el Polo Norte de la esfera. 8. ¾Qué condiciones han de vericar dos puntos del plano complejo para ser las proyecciones estereográcas de dos puntos diametralmente opuestos de la esfera de Riemann? 9. Otra proyección estereográca: Considera la esfera de radio cialmente situada sobre el origen del plano complejo

C.

1 2 tangen-

Calcula las

ecuaciones de la correspondiente proyección estereográca.

1.3. Concepto de derivada. Ecuaciones de CauchyRiemann. Denición y primeras propiedades de las funciones holomorfas La estructura de cuerpo para

C tiene la agradable consecuencia de poder

denir la derivada de forma totalmente análoga a la conocida en el caso real. (Recordemos, por un momento, cómo fue preciso introducir la denición de Stone en el caso de la diferenciabilidad para

C ≡ R2 ,

donde desechábamos

el producto interno y solo disponíamos de su estructura vectorial.)

48

1.3. Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Denición 1.10

Sean

∅ ̸= A ⊂ C, f : A −→ C

y

a ∈ A ∩ A′ .

Consideremos

la función

fa : A\{a} −→ C dada por

fa (z) := Se dice que la función

f

f (z) − f (a) , ∀z ∈ A\{a}. z−a

es derivable en el punto

a

por

f ′ (a) := l´ım fa (z) = l´ım z→a

z→a

fa

si

cuyo caso, dicho límite será la llamada derivada de

f

tiene límite en

a,

en

es derivable en

f ′ : B −→ C; Observamos que si

A ⊂ R

y

B,

en

f (z) − f (a) ∈ C. z−a

Cuando una función es derivable en cada punto de un conjunto

A ∩ A′ , se dice que f de f en B, como

a;

y que notaremos

y se dene

f ′,

B ⊂

la función derivada

z −→ f ′ (z), ∀z ∈ B. f : A −→ R,

con

a ∈ A ∩ A′ ,

tenemos ni

más ni menos que esta denición extiende a la que ya conocemos del curso de una variable real. Ahora bien, si

Proposición 1.22

Sean

A ⊂ R,

pero

f : A −→ C,

∅ ̸= A ⊂ R, f : A −→ C

y

tenemos:

a ∈ A ∩ A′ .

Son equiva-

lentes: i. ii.

f

es derivable en

Re f

e

Im f

a.

son derivables en

a.

Además, si se verica alguna (y por tanto ambas) de las proposiciones i. y ii., se tiene la fórmula:

f ′ (a) = (Re f (a))′ + i (Im f (a))′ . Demostración. Tomamos límites, cuando

fa (x) =

x → a, x ∈ A\{a},

en la expresión

Re f (x) − Re f (a) Im f (x) − Im f (a) f (x) − f (a) = +i ; x−a x−a x−a

y, por la unicidad del límite, se llega a lo deseado. También se tiene la deseada continuidad de las funciones derivables:

49



CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA

Proposición 1.23 derivable en

a,

∅ ̸= A ⊂ C, f : A −→ C y a ∈ A ∩ A′ . también f será continua en a.

Sean

entonces

Demostración. Basta con tomar límites, cuando

Si

z → a, z ∈ A\{a},

f

es

en la

expresión

f (z) = f (a) + (z − a)fa (z) para concluir que



l´ımz→a f (z) = f (a).

Las primeras propiedades de cálculo relativas a la derivada compleja también nos resultarán familiares:

Proposición 1.24 Supongamos que

f

α ∈ C, ∅ ̸= A ⊂ C, f, g : A −→ C g son derivables en a. Entonces:

Sean y

y

a ∈ A ∩ A′ .

i. Las constantes son funciones derivables en todo punto con derivada nula; ésto es:

α : C −→ C; α (z) := α, ∀z ∈ C =⇒ ∃α′ (z) = 0, ∀z ∈ C. ii. La función identidad es derivable en todo

C con derivada idénticamente

1; es decir:

id : C −→ C; id (z) := z, ∀z ∈ C =⇒ ∃id′ (z) = 1, ∀z ∈ C. iii. La suma de funciones derivables es otra función derivable con derivada dada por la suma de las derivadas correspondientes:

(f + g)′ (a) = f ′ (a) + g ′ (a) . iv. El producto de dos funciones derivables es una nueva función derivable, con derivada dada por la fórmula:

(f g)′ (a) = f ′ (a) g (a) + f (a) g ′ (a) . v. Para el cociente, si en el denominador es

g (a) ̸= 0,

entonces se tiene

también derivabilidad y, ahora, la derivada viene dada por:

(f /g)′ (a) =

f ′ (a) g (a) − f (a) g ′ (a) . g 2 (a)

vi. Los polinomios y las funciones racionales complejas de variable compleja son derivables en todo su dominio de denición.

50

1.3. Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann Demostración. Tal vez merezca la pena entrar en los detalles de v.; las otras armaciones no reportan mayor complejidad. Sea, por tanto,

z ∈ A\{a}.

Unos sencillos cálculos nos dan:

( ) f (z) = g a

f g

(z) −

f g

f (z)g(a) − f (a)g(a) + f (a)g(a) − g(z)f (a) z−a (z − a)g(z)g(a) f (z) − f (a) g(a) f (a) g(a) − g(z) = + , z−a g(z)g(a) g(z)g(a) z−a (a)

=

lo que nos permite concluir lo deseado haciendo



z → a.

Proposición 1.25 (Regla de la Cadena)

Sean ∅ ̸= A ⊂ C, f : A −→ C, a ∈ A∩A′ , f (A) ⊂ B ⊂ C, g : B −→ C, b := f (a) ∈ B ∩B ′ . Si f es derivable en a y g lo es en b, entonces también la función g ◦ f será derivable en a, con derivada

(g ◦ f )′ (a) = g ′ (b) f ′ (a) .

Demostración. Sean

z ∈ A\{a}

y

h := g ◦ f .

Calculamos:

g (f (z)) − g (f (a)) f (z) − f (a) h(z) − h(a) = =: φ (f (z)) , z−a z−a z−a {

donde

φ(w) := Gracias a

g,

la función

φ

g(w)−g(b) , w−b ′ g (b),

(1.1)

w ∈ B\{b} w = b.

es continua. Por tanto, si hacemos

z→a

en (1.1):

f (z) − f (a) = φ(b)f ′ (a) = g ′ (b)f ′ (a). z→a z−a

∃h′ (a) = l´ım φ (f (z)) l´ım z→a

 A continuación profundizaremos en lo esencial de la aportación del concepto de cuerpo a esta denición. Concretamente, vamos a ver cuán restrictiva es la derivabilidad en

C respecto de la diferenciabilidad en R2 . El siguiente

resultado, de prueba obvia (y que, por tanto, omitiremos), nos recuerda cómo se introducía la diferenciabilidad en los euclídeos:

Lema 1.3

a ∈ A ∩ A′ .

Sean

f : A −→ C

una función compleja de variable compleja y

Las siguientes armaciones son equivalentes:

51

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA i.

f

es derivable en

a.

ii. Existe un complejo

w

tal que

∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |z − a| < δ, z ∈ A =⇒ |f (z) − f (a) − w(z − a)| ≤ ε |z − a| . El papel que jugaba la diferencial en

C;

Df (a) en R2 , lo juega ahora w = f ′ (a)

es decir, el papel de la aplicación lineal allí lo juega aquí una muy

concreta (recordemos la identicación de las matrices

2 × 2):

(

Df (a) = R-lineal

y

C-lineal,

α β γ δ

C

con una parte del conjunto de

)

( ,w=

α β −β α

)

respectivamente.

Pues bien, esta restricción que, como cabe sospechar, es muy fuerte, da a lugar a las importantísimas ecuaciones de Cauchy-Riemann (o de EulerD'Alembert, según quien cuente la historia):

Teorema 1.4

x + iy ∈ A,

Sean

A ⊂ C, f : A −→ C

y

a ∈ A◦ , a = α + iβ .

Para cada

se denen

u(x, y) := Re f (x + iy) v(x, y) := Im f (x + iy). Son equivalentes: i.

f

es derivable en

ii.

u

y

v

a. (α, β) y verican las  ∂v ∂u    ∂x (α, β) = ∂y (α, β)  ∂u ∂v   (α, β) = − (α, β) ∂y ∂x

son diferenciables en

ecuaciones

(1.2)

Además, caso de ser cierta alguna de las proposiciones anteriores (luego las dos), se tiene que

∂u ∂v (α, β) + i (α, β) = ∂x ∂x ∂v ∂u = (α, β) − i (α, β) . ∂y ∂y

f ′ (a) =

52

1.3. Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann Las ecuaciones dadas en (1.2) son las llamadas ecuaciones de CauchyRiemann.

fb(x, y) := f (z) = f (x + iy),

para cada (x, y) ∈ A⊂R . i. =⇒ ii. Para ver la diferenciabilidad de u y v bastará con probar la de b f . La derivabilidad de f , según el lema 1.3, la podemos expresar así:

Demostración. Llamemos 2

∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |z − a| < δ, z ∈ A =⇒ f (z) − f (a) − f ′ (a)(z − a) ≤ ε |z − a| .

(1.3)

Ahora consideramos la aplicación lineal

(

c −d d c

T : R −→ R ; T (r, s) := 2

2

c := Re f ′ (a) y d := Im f ′ (a). 2 lenguaje de R ,

donde con

)(

r s

)

Si reescribimos ahora la condición (1.3)

∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |(x, y) − (α, β)| < δ, (x, y) ∈ A



=⇒ fb(x, y) − fb(α, β) − T [(x, y) − (α, β)] ≤ ε ∥(x, y) − (α, β)∥,(1.4) de donde se sigue que

Dfb(α, β) = T .

fb es

diferenciable en

(α, β),

con diferencial dada por

Y, en consecuencia,

(

∂u ∂x ∂u ∂y

(α, β) (α, β)

∂v ∂x ∂v ∂y

(α, β)

)

( =

(α, β)

c −d d c

)

establece las ecuaciones de Cauchy-Riemann. ii.

=⇒

i. La diferenciabilidad de

fb es

consecuencia de la de

u

y

v.

Su

diferencial la construimos del siguiente modo:

Dfb(α, β) (r, s) :=

(

c −d d c

)(

r s

) = (cr − ds, dr + cs) .

Si caminamos en el recorrido inverso a la primera parte ya demostrada, tendremos que (1.4) conlleva la derivabilidad de

(

f ′ (a) = (c, d) ≡

c −d d c

)

f

en

a,

vía la identicación



.

Con el lenguaje y notación ya introducidos en el enunciado y en la demostración del teorema anterior, tenemos que:

53

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA

Corolario 1.2 en

(α, β)

y

f es derivable en a = α + iβ b Df (α, β) es C-lineal.

si, y solo si,

fb es

diferenciable

A continuación mostramos diversos ejemplos que visualizan lo enormemente restrictivo de esta denición de derivación compleja.

Ejemplo 1.10

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann (o de Euler-D'Alembert)

no bastan para la derivabilidad. Consideremos la función:

  f (z) := Sea

z = a + ib ̸= 0,

z5 , |z|4

 0,

z ̸= 0 z = 0.

tendremos

( f (x + iy) =

) ( ) x5 − 10x3 y 2 + 5xy 4 + i 5x4 − 10x2 y 3 + y 5 (x2 + y 2 )2

=: u(x, y) + iv(x, y). Así:

∂u (0, 0) ∂x ∂u (0, 0) ∂y ∂v (0, 0) ∂x ∂v (0, 0) ∂y

u(h, 0) − u(0, 0) = l´ım h = 0 h→0 h→0 h u(0, k) − u(0, 0) := l´ım =0 k→0 k v(h, 0) − v(0, 0) := l´ım =0 h→0 h v(0, k) − v(0, k) := l´ım = l´ım k = 0 k→0 k→0 k := l´ım

nos dice que se verican las ecuaciones de Cauchy-Riemann para considerando

f;

pero,

h ̸= 0: f (h) − f (0) h5 h4 iθ = = 4 4 =e , h h |h| |h|

se maniesta cómo su derivabilidad depende del ángulo mamos al origen; y, por tanto,

Ejemplo 1.11

f

θ en el que nos aproxi-

no admite derivada en el origen.

Valor absoluto y conjugación no se pueden derivar en ningún

punto.

54

1.3. Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann i. Para la conjugación:

z = x + iy → z = x − iy =: u(x, y) + iv(x, y),

de

modo que:

∂u ∂x

≡ 1,

∂u ∂y

≡ 0,

∂v ∂x

≡ 0,

∂v ∂y

≡ −1,

lo que conllevaría a contradicción (−1 ii. Para el valor absoluto:

iv(x, y),

= 1). √ z = x + iy → |z| = x2 + y 2 =: u(x, y) +

de modo que:

∂u ∂x

(a, b) =

√ a , a2 +b2

∂u ∂y

(a, b) =

√ b , a2 +b2

∂v ∂x

≡ 0,

∂v ∂y

≡ 0,

luego solo podría ser derivable en el origen; y, sin embargo,

|h| − |0| |h| = = h h

Ejemplo 1.12

{

−1, h → 0, h ∈ R− 1, h → 0, h ∈ R+ .

∂ ∂ Derivadas formales ∂z y ∂z .

A veces, la derivabilidad se podrá probar de forma un tanto heterodoxa; por ejemplo, si consideramos la función

( ) f : C −→ C; f (x + iy) := 2xy + i y 2 − x2 , en vez de razonar sobre su diferenciabilidad (la de

fb(x, y) := f (x + iy),

propiamente dicha) y ver si verica, o no, las ecuaciones de Cauchy-Riemann, podemos hacer cálculos:

( ) ( ) f (x + iy) = 2xy + i y 2 − x2 = i(−i)2xy + i y 2 − x2 [ ( )] = i −i2xy + y 2 − x2 = −i (x + iy)2 , de modo que se tiene

f (z) = −iz 2 , ∀z ∈ C, claramente derivable, al ser polinómica. Ciertamente, dar al azar con una función derivable... ½es muy complicado! En efecto, como

) ( z+z z−z b b , = g(z, z), f (z) = f (x, y) = f 2 i2 hemos de concluir que las genuinas funciones complejas son las que no dependen de

z.

La trascendencia de este hecho es mucho mayor de lo que, a

priori, podríamos imaginarnos. Si escribimos

( f (z) = u(x, y) + iv(x, y) = u

z+z z−z , 2 i2

55

)

( + iv

z+z z−z , 2 i2

) ,

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA podemos hacer la siguiente derivación formal (siguiendo la Regla de la Cadena para la derivación parcial en dos variables):

) ( ) ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y + +i + ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ) ( ) ( 1 ∂u 1 ∂v 1 ∂v 1 ∂u − +i − = 2 ∂x i2 ∂y 2 ∂x i2 ∂y ( ) ( ) 1 ∂u ∂v i ∂v ∂u = − + + , 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y

∂f = ∂z

(

luego

∂f = 0 ⇔ u, v ∂z

verican las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

∂ Observemos que podemos incorporar la derivada formal ∂z , de manera natural, al anterior razonamiento: dada

f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y), si introducimos el cambio de variable

x = aξ + bη y = cξ + dη

} ad ̸= cd

tenemos

∂f ∂f ∂f = a +c ∂ξ ∂x ∂y ∂f ∂f ∂f = b +d ∂η ∂x ∂y Como para los parámetros no hay más restricciones que

ad ̸= cd, podemos

hacer

a = b = 1/2, c = −d = i/2, de modo que

ξ = z, η = z y, por tanto,

( ) ∂f 1 ∂f ∂f = −i = ∂ξ 2 ∂x ∂y ( ) ∂f 1 ∂f ∂f = +i = ∂η 2 ∂x ∂y

( ) ( ) 1 ∂u ∂v i ∂v ∂u + + − 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ( ) ( ) 1 ∂u ∂v i ∂v ∂u − + + . 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y

56

1.3. Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann En resumen: la derivabilidad de

f

∂f ∂y ); y en este caso

f ′ (z) =

∂f equivale a que ∂z

=0

(o bien

i ∂f ∂x =

∂f ∂u ∂v = +i ; ∂z ∂x ∂x

es decir, en el caso de derivabilidad:

f ′ (z) =

∂f . ∂x

Puede volverse a este último ejemplo cuando estudiemos los polinomios analíticos al nal del tema siguiente. Como recordamos, en el plano euclídeo no teníamos teoremas de valor medio (en el sentido estricto que nos ofreció el cálculo en una variable real). Eso lo maniesta el siguiente ejemplo: La función

f : [0, 2π] −→ C; es diferenciable y

f (0) = f (2π);

f (t) := cos (t) + i sen (t) sin embargo,

f ′ (t) = −sen (t) + i cos (t) ̸= 0, ∀t ∈ [0, 2π] . No obstante, sí que dispondremos de resultados que nos permiten augurar buenas perspectivas:

Teorema 1.5

un dominio de C. Sea f : Ω −→ C una función deri′ vable en Ω. Supongamos que f (z) = 0 en todo punto z de Ω. Entonces f es constante en

Sea

Ω

Ω.

Este resultado es el que va a motivar que estudiemos la derivabilidad compleja sobre abiertos del plano. Algo que, a la postre, nos da el concepto (central en la variable compleja) de holomorfía de una función compleja de

a ∈ A ∩ A′ , nos resulta insuciente, de entornos de a. 1.5). Sea a ∈ Ω y denamos

variable compleja. Por tanto, la hipótesis y es preciso la consideración

Demostración. (Del teorema

A := {z ∈ Ω : f (z) = f (a)} . Sea

b ∈ Ω

y

D(b, r) ⊂ Ω.

Sea

w ∈ D(b, r).

D(b, r) ⊂ A, Ω = A.

Veamos que

conexión) nos dará que, de hecho, es

y así, el lema 1.2 (de

Denamos

φ : [0, 1] −→ C;

φ (t) := f [(1 − t) b + tw] , ∀t ∈ [0, 1] ,

57

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA que está bien denida, pues Aplicando la Regla de

[0, 1]:

(1 − t) b + tw ∈ D(b, r) ⊂ Ω, para todo t ∈ [0, 1]. la Cadena, obtenemos la derivabilidad de φ en

φ′ (t) = (w − b) f ′ [(1 − t) b + tw] , ∀t ∈ [0, 1] ; φ′

[0, 1], y podemos aplicarle el teorema del valor medio a las funciones Re φ e Im φ de modo que concluimos que son constantes; luego φ es constante.

pero, entonces se tiene que

es idénticamente nula en

Por tanto,

f (b) = φ(0) = φ(1) = f (w) de donde se sigue que

D(b, r) ⊂ A.

w ∈ A.

Dada la arbitrariedad de

en

D(b, r),

será



Denición 1.11 (de Holomorfía) de variable compleja. Sea

w

a ∈ Ω.

f : Ω −→ C

Sea

una función compleja

Se dice que la función

f

es holomorfa en

a si es derivable en un disco D(a, r), para algún r > 0. Cuando el Ω sea abierto, diremos que es holomorfa en Ω cuando sea derivable (u holomorfa) en todo punto del abierto Ω. Dado un abierto Ω, notaremos por H (Ω) a la clase de todas las funciones holomorfas en Ω. Cuando Ω := C, a los elementos de H (C) se les llama funciones enteras. el punto

conjunto

Proposición 1.26

La clase

Se observa que si

H (Ω)

f ∈ H (Ω)

Ω;

0∈ / f (Ω), entonces f1 ∈ H (Ω) . En conen Ω, en símbolos R (Ω), son holomorfas

con

secuencia, las funciones racionales en

es un álgebra.

esto es,

R (Ω) ⊂ H (Ω) . Caigamos en la cuenta de que no conocemos funciones holomorfas en un abierto

Ω

más allá de las racionales en

Ω.

Y que no conocemos funciones

enteras más allá de los polinomios. El siguiente tema nos resarcirá de estos décits. El teorema 1.5 tiene esta lectura en términos de holomorfía:

Teorema 1.6

Toda función holomorfa sobre un dominio cuya derivada sea

constantemente nula habrá de ser, necesariamente, constante.

Corolario 1.3

Sean

Ω

un dominio de

C

y

f ∈ H (Ω).

verica alguna de las siguientes tres condiciones: a.

Re f

es constante.

58

Supongamos que

f

1.3. Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann b.

Im f

c.

|f |

es constante.

es constante.

Entonces,

f

es constante.

Demostración. Pongamos

f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), ∀z = x + iy ∈ Ω, y recordemos que

∂v ∂u (α, β) + i (α, β) ∂x ∂x ∂u ∂u = (α, β) − i (α, β) ∂x ∂y ∂v ∂v = (α, β) + i (α, β) , ∀a = α + iβ ∈ Ω. ∂y ∂x

f ′ (a) =

a. Sea

a = α + iβ ∈ Ω,

jo, pero arbitrario. Como

f ′ (a) =

u

es constante:

∂u ∂u (α, β) − i (α, β) = 0, ∂x ∂y

y el teorema 1.6 nos da lo deseado. b. Análogo al anterior. c. Sea

c∈R

tal que

u2 (x, y) + v 2 (x, y) = c. Podemos suponer

c>0

(pues

c=0

conlleva, trivialmente, a que

f ≡ 0).

Derivando en la expresión anterior respecto de cada una de las dos variables, tendremos:

u

∂v ∂u +v = 0, ∂x ∂x

u

∂u ∂v +v = 0. ∂y ∂y

Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, aparece el sistema

 ∂u ∂u  u (α, β) (α, β) − v (α, β) (α, β) = 0   ∂x ∂y u (α, β)

con determinante

c ̸= 0.

2×2:

 ∂u ∂u  (α, β) + v (α, β) (α, β) = 0  ∂y ∂x Por tanto, para cada

α + iβ ∈ Ω:

∂u ∂u (α, β) = (α, β) = 0, ∂x ∂y 

de donde se concluye la prueba.

59

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA 1.3.1.

Ejercicios propuestos

1. Estúdiense la derivabilidad y la holomorfía de la función

f

compleja

de variable compleja dada en cada uno de los siguientes casos:

f (z) := z(Re z)2 ,

a)

f (x + iy) :=

b)

x3

para todo complejo

− y + i(y 3

x3 +iy 3

z.

+ x2 /2), para cualesquiera reales

x + iy ̸= 0,

y

f (0) := 0.

2. Pruébese que existe una función entera

f

tal que

f (x + iy) :=

c)

x2 +y 2

,

si

x

e

y.

Re f (x + iy) = x4 − 6x2 y 2 + y 4 y. función f

para cualesquiera reales

f (0) = 0,

entonces la

x

e

Pruébese que si se exige la condición es única.

3. Encuéntrese una condición necesaria y suciente que deben cumplir las constantes reales

a, b, c,

para que exista una función entera

f

tal que

Re f (x + iy) = ax2 + bxy + cy 2 para cualesquiera reales

(1.5)

x e y . Para tales valores de a, b, c, determínense

todas las funciones enteras que veriquen (1.5). 4. Sean

Ω

un dominio del plano complejo y

existen tres constantes reales

a, b, c,

f ∈ H (Ω).

Supongamos que

(bajo la restricción

a2 + b2 > 0)

tales que

a Re f (z) + b Im f (z) = c, ∀z ∈ Ω. Pruébese que la tal función 5. Sean

Ω

es constante.

un abierto del plano complejo y

abierto

f ∈ H (Ω).

Consideremos el

b := {z : z ∈ Ω} Ω

y sea la función

( ) b . H Ω 6. Sea

f

f ∈ H (Ω)

fb(z) := f (z)

denida sobre

b. Ω

Pruébese que

una función holomorfa sobre un dominio

Ω

fb ∈

del plano

complejo. Pruébese que si su imagen está contenida en una recta, entonces

f

es constante.

60

1.3. Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann 7. Búsquese una función real

v

en dos variables reales que sea la parte

imaginaria de una función entera

xy,

para todo

x + iy

f

del plano.

u en dos variables reales que sea la conjugada

8. Búsquese una función real armónica de la función

v

dada por

v(x, y) := 3 + x2 − y 2 − para todo

x + iy

Re f (x+iy) = −ex sen (y)−

tal que

2(x2

y + y2)

no nulo del plano.

9. ¾Existe alguna elección para

Im f

de modo que

f ∈ H (C),

cuando

Re f (z) = |z|2 , ∀z ∈ C? 10. Calcúlense las derivadas parciales formales

∂f ∂f ∂z y ∂z , en cada uno de los

siguientes casos:

b) f (z) := z,

a) f (z) := z, 2

c) f (z) := |z| ,

d) f (z) := Re z,

e) f (z) := |z| , z ̸= 0,

f ) f (z) :=

z |z| , z

̸= 0,

g) f (z) := Log |z| , z ̸= 0, h) f (z) := Log |z| + iarctg xy , 11. ¾Existe alguna función entera

f

Re z > 0.

cuya parte real sea de la forma

u(x, y) := sen x senh y ? En caso armativo para la respuesta, calcúlese y exprésese la tal función en términos de la variable

z.

12. Determina las condiciones a vericar por los parámetros para la que la función dada por

f (z) = az 2 + bzz + cz 2 , ∀z ∈ C sea entera.

61

a, b, c ∈ C

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA

1.4. Series de potencias. Concepto de función analítica Este tema está dedicado a la introducción de un método expeditivo de creación de funciones holomorfas más allá de las racionales y que, a la postre, signicará la caracterización de la holomorfía en términos de una convergencia adecuada para series funcionales. Pero, cuidado con ir con prisas con lo de expeditivo: no se trata solo de un recurso creativo; a su vez, representa el punto de arranque de un enfoque distinto de la teoría de las funciones analíticas. Es el punto de vista de Weierstrass. (Cuando dispongamos de las herramientas necesarias y sucientes, veremos cómo las series de potencias resultan ser la otra cara de una misma moneda: son las funciones holomorfas, ni más ni menos.)

Denición 1.12

Dados

potencias centrada en el

a, a0 ∈ C y {an : n ∈ N} ⊂ C, punto a a la serie funcional ∑ an (z − a)n , ∀z ∈ C.

llamamos serie de

n≥0 El primer asunto a tratar es el de la convergencia (ya sea puntual, absoluta o uniforme) de tales series. Para este n, sea

α := l´ım sup

√ n

|an | ∈ R

(recordemos que, dada una serie de números reales

(xn ) se denen sus límites

superior e inferior, respectivamente, como

l´ım sup xn := l´ım yn l´ım´ınf xn := l´ım zn , donde

n),

yn := sup {xn , xn+1 , . . .} y zn := ´ınf {xn , xn+1 , . . .}, para cada natural

y hagamos la denición siguiente:

  R :=

Teorema 1.7

α ∈ R\{0} 0, α = +∞  +∞, α = 0. 1 α,

∑

n≥0 an (z diente R, dado por la fórmula (1.6). Entonces: i. Si

R = 0,

Sean la serie de potencias

(1.6)

− a)n

entonces la serie solo converge en el punto

62

y su correspon-

a.

1.4. Series de potencias. Concepto de función analítica ii. Si

R = +∞,

entonces la serie converge absolutamente en todo

uniformemente sobre cada compacto de

C.

C

y

R ∈ ]0, +∞[, entonces la serie converge absolutamente en el disco D(a, R) y uniformemente en cada compacto de D(a, R). Además, la serie no converge en ningún punto de C\D (a, R).

iii. Si

Demostración. i. La convergencia en

a

es evidente. Veamos que no puede

converger en ningún otro punto: supongamos, por el contrario, que sí, que converge en cierto

z0 ̸= a.

Pero, en dicho caso, tendríamos:

an (z0 − a)n → 0, o lo que es equivalente, 1

|an | n |z0 − a| → 0; por tanto: 1

∃M > 0 : n ≥ n0 =⇒ |an | n |z0 − a| ≤ M. Pero, de este hecho se sigue que:

α := l´ım sup lo cual contradice que sea

√ n

|an | ≤

α = +∞. K ⊂ C.

ii. Sea dado un compacto

K ⊂ D(a, ρ).

M < +∞, |z0 − a| Podemos encontrar

ρ > 0

tal que

Ahora bien, como

l´ım sup

√ n

√ √ |an ρn | = l´ım sup ρ n |an | = ρ l´ım sup n |an | = ρ0 = 0,

el criterio de la raíz de Cauchy nos proporciona la convergencia de la serie

∑

|an ρn | .

n≥0 Ahora bien, como

z ∈ K, n ∈ N =⇒ |an (z − a)n | ≤ |an ρn | , se sigue (por el test de mayoración de Weierstrass) la convergencia absoluta y uniforme en

K.

En particular, considerando el compacto formado por el simplete de un punto, se ha probado que hay convergencia absoluta sobre cada punto del disco.

63

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA iii. Sea cualquier compacto que

K ⊂ D(a, ρ) ⊂ D(a, R). l´ım sup

√ n

K ⊂ D(a, R).

Podemos elegir

ρ ∈ ]0, R[

tal

Como

|an ρn | = ρ l´ım sup

√ n

|an | =

ρ < 1, R

por el criterio de la raíz de Cauchy, la serie

∑

|an ρn |

n≥0 converge; y como

z ∈ K, n ∈ N =⇒ |an (z − a)n | ≤ |an ρn | , (te resulta familiar ya el argumento, ¾no?), el test de mayoración de Weier-

K. D(a, R), la convergencia es absoluta. z ∈ C\D(a, R), es decir |z − a| > R, entonces:

strass nos proporciona la convergencia absoluta y uniforme en

En parti-

cular, en cada punto de Finalmente, si

1

1

l´ım sup |an (z − a)n | n = |z − a| l´ım sup |an | n =

|z − a| > 1, R

de donde se sigue que el conjunto

{ } 1 n ∈ N; |an (z − a)n | n > ρ ≥ 1 = {n ∈ N; |an (z − a)n | > ρn ≥ 1} ha de ser innto. Pero esto obliga a que la sucesión y, por tanto, la serie

∑

(an (z − a)n ) no sea nula

an (z − a)n

n≥0



no puede ser convergente.

Denición 1.13

El número

R ∈ [0, +∞] ,

dado por el teorema anterior, se ∑ n n≥0 an (z − a) .

llamará radio de convergencia de la serie de potencias

A la vista del resultado anterior, el conocimiento del carácter de una serie de potencias vendrá dado, casi completamente, por su radio de convergencia. En efecto: solo no nos va a proporcionar información, en los casos

+∞,

para aquellos

z ∈ C(a, R).

0 0.

∑

n≥0 an (z

− a)n

y su correspondiente radio de conver-

Podemos denir su dominio de convergencia como

{

Ω :=

D(a, R), R < +∞ C, R = +∞

y así, la función dada por

f : Ω −→ C;

f (z) :=

+∞ ∑

an (z − a)n , ∀z ∈ Ω

n=0 es continua (razónese). Nuestro propósito es lograr probar su holomorfía en

Ω.

Lema 1.4

Las series de potencias

∑

an (z − a)n y

n≥0

∑

(n + 1) an+1 (z − a)n

n≥0

tienen el mismo radio de convergencia. Demostración. Armamos, por una parte, que las series de potencias

∑

an (z − a)n

y

n≥0

∑

n≥0

tienen el mismo radio de convergencia:

l´ım sup

√ n

nan (z − a)n

√ √ √ |an | ≤ l´ım sup n n |an | = l´ım sup n n n |an | √ √ √ = l´ım n n l´ım sup n |an | = 1 l´ım sup n |an |.

65

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA Y, por otro lado, las series de potencias

∑

(n + 1) an+1 (z − a)n+1

y

n≥0

∑

(n + 1) an+1 (z − a)n

n≥0

tienen el mismo carácter (es decir, convergen o no simultáneamente), lo cual se observa sin más que hacer

(n + 1) an+1 (z − a)n+1 = (z − a) (n + 1) an+1 (z − a)n . 

Por tanto, se concluye la tesis.

Teorema 1.8

radio de convergencia función

f : Ω −→ C,

R > 0.

Sea

∑

n n≥0 an (z − a) tiene su dominio de convergencia. Sea la

Supongamos que la serie de potencias

Ω

dada por:

f (z) =

+∞ ∑

an (z − a)n , ∀z ∈ Ω.

n=0 Entonces,

f

es indenidamente derivable en

+∞ ∑ (n + k)!

f k) (z) =

n=0

n!

Ω

y

an+k (z − a)n , ∀z ∈ Ω, ∀k ∈ N.

Demostración. La haremos por inducción sobre el orden de derivación Consideremos la situación

b∈Ω

y

z ∈ Ω\{b}.

k = 1.

f (z) − f (b) = z−b =

∑+∞

n=1 an (z

a = 0.

n

n

− bn )

z−b

+∞ ∑ n=1

Para cada natural

Supongamos, también, que

Tenemos

z n − bn ∑ ∑ n−j j−1 an = an z b . z−b +∞

n−1

n=1

j=1

vamos a denir la función

φn (z) := an

n−1 ∑

z n−j bj−1 , ∀z ∈ C.

j=1 Sea dado

r ∈ ]|b| , R[.

|φn (z)| ≤ |an |

Si

n−1 ∑

z ∈ D(0, r),

entonces:

n−1 ∑ n−j j−1 z b ≤ |an | rn−j rj−1 = n |an | rn−1 .

j=1

j=1

66

k.

Sean

1.4. Series de potencias. Concepto de función analítica Pero, aplicando el lema anterior, la serie

∑

n≥1 n |an | r

n−1 es convergente.

Podemos, por tanto, aplicar el test de mayoración de Weierstrass a la serie

∑

n≥1 φn para obtener su convergencia absoluta y uniforme en el disco

D(0, r).

Sea ahora

φ(z) :=

+∞ ∑

φn (z) , ∀z ∈ D(0, r).

n=1

φ

Así denida,

es continua en el disco; pero, además, si

como entonces

z ∈ D(0, r)\{b},

f (z) − f (b) ∑ = φn (z) = φ(z), z−b +∞

n=1

podemos tomar límites en

b:

∑ f (z) − f (b) = φ(b) = nan bn−1 , z→b z−b +∞

l´ım

n=1

y, por tanto, tenemos derivabilidad de

′

f (z) =

+∞ ∑

nan z

n−1

=

n=1 Sea ahora

a

f

+∞ ∑

en

Ω

con

(n + 1) an+1 z n , ∀z ∈ Ω.

n=0

arbitrario, no necesariamente

0.

Consideremos la expresión

f (z) := g(z − a), ∀z ∈ Ω donde la función

g

está dada por

g(z) :=

+∞ ∑

an z n , ∀z ∈ Ω.

n=0 Claramente, la Regla de la Cadena nos da lo que necesitamos, una vez probado ya todo lo anterior para

a = 0.

Supongamos probado el resultado para cierto vable

k -veces

en

Ω

k ∈ N:

tendremos

con

f k) (z) =

+∞ ∑ (n + k)! n=0

n!

an+k (z − a)n , ∀z ∈ Ω.

67

f

deri-

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA k = 1 ahora a la función f k) , k+1) , vendrá dada por derivada f

Aplicando lo demostrado para es derivable en

f k+1) (z) =

Ω (

y su

f k)

)′

(z) =

+∞ ∑

(n + 1)

n=0

=

+∞ ∑ n=0

tendremos que

((n + 1) + k)! a(n+1)+k (z − a)n (n + 1)!

(n + (k + 1))! an+(k+1) (z − a)n , ∀z ∈ Ω, n!

de modo que queda probado el teorema en toda su extensión.

Corolario 1.5 vergencia

R>0

Si la serie de potencias y sea la función

f (z) =

+∞ ∑

f: Ω



∑

n n≥0 an (z − a) tiene radio de con−→ C, dada por:

an (z − a)n , ∀z ∈ Ω.

n=0 Entonces

ak =

f k) (a) , ∀k ∈ N ∪ {0}. k!

Corolario∑1.6 (Preludios al∑Principio de Identidad)

potencias

vergencia

n

Sean las series de

n

n≥0 an (z − a) y n≥0 bn (z − a) con respectivos radios de conR1 > 0 y R2 > 0. Sean f1 y f2 las respectivas funciones holomorfas

que denen dichas series sobre sus correspondientes dominios de convergencia

Ω1

que si

y Ω2 . Supongamos que existe δ tal que 0 < δ < m´ ın{R1 , R2 } de modo z ∈ D(a, δ), entonces f1 (z) = f2 (z). Entonces, las series de potencias

son idénticas; es decir,

ak = bk , ∀k ∈ N ∪ {0}. k)

Demostración. Basta darnos cuenta de que

N ∪ {0}.

ak =

f1 (a) k!

k)

=

f2 (a) k!

= bk , ∀k ∈ 

½Ya sí que estamos en condiciones de dar ejemplos de funciones holomorfas en

C

que no sean polinomios! Por ejemplo, la función (que debe resultarte

muy sugerente, ¾no?) dada por

f (z) :=

+∞ n ∑ z n=0

n!

, ∀z ∈ C

no es polinómica: habrían de ser cero sus derivadas a partir de un momento en adelante; lo cual, claramente, no es el caso.

68

1.4. Series de potencias. Concepto de función analítica

Denición 1.14 (Concepto de función Analítica)

∅ ̸= Ω ⊂ C y una función f : Ω −→ C. Decimos que f es analítica en Ω si para cada a ∈ Ω existen ra > 0 y una serie de potencias centrada en a, ∑ n n≥0 an (z − a) , de manera que D(a, ra ) ⊂ Ω y f (z) =

+∞ ∑

Sean un abierto

an (z − a)n , ∀z ∈ D(a, ra ).

n=0

Proposición 1.27

Toda función analítica es holomorfa y su derivada es una

nueva función analítica. Es un buen momento para un

Ejercicio 1.1

Prueba que las series de potencias son analíticas en todo su

dominio de convergencia. Y una muy fuerte

Observación 1.1

No sabemos, aún, si producto y composición conservan

analiticidad. Este hecho tendrá contestación armativa, de manera evidente, en el próximo capítulo, cuando veamos la equivalencia entre los conceptos de holomorfía y analiticidad.

1.4.1.

Polinomios analíticos

Concluimos este tema con un detalle sobre polinomios en dos variables reales y con valores en el plano, los cuales se pueden ver así:

p(x, y) = Re p(x, y) + i Im p(x, y), ∀x + iy ∈ C. Pues bien, de entre estos polinomios, llamaremos analíticos a aquellos los que existan coecientes complejos

α0 , α1 , . . . , αn

p para = n)

(donde grad(p)

tales que

p(x, y) = α0 + α1 (x + iy) + α2 (x + iy)2 + · · · + αn (x + iy)n , ∀x + iy ∈ C. Si este es el caso, se acostumbra a escribir

p : C −→ C;

p(z) :=

n ∑ k=0

69

αk z k , ∀z ∈ C.

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA

Ejemplo 1.13

El polinomio

(x, y) → x2 + y 2 − i2xy no es analítico; pero sí que lo es

(x, y) → x2 − y 2 − i2xy. Hacemos notar que la suma, el producto y la composición de polinomios analíticos es otro polinomio analítico.

Proposición 1.28 i.

p

∂p iii. ∂z

p

equivalen:

∂p ≡ i ∂x

≡0

es una función entera

Demostración. Que ii.

=⇒

p : R2 → R2 ,

es analítico

∂p ii. ∂y

iv.

Para un polinomio

⇐⇒

iii.

⇐⇒

iv. es trivial. Razona tú mismo que i.

ii., o iii., o iv.

Veamos ii.

=⇒

i. Comenzamos expresando

p(x, y) =

n ∑

qk (x, y) , ∀ (x, y) ∈ R2 ,

k=0 donde los polinomios

qk

son

k -homogéneos (k = 0, 1, 2, . . . , n):

qk (x, y) :=

k ∑

cj,k xk−j y j , ∀ (x, y) ∈ R2 ,

j=0 y los coecientes

cj,k

son constantes complejas para

0 ≤ j ≤ k ≤ n.

Por hipótesis ha de ser

∂qk ∂qk ≡i , k = 0, 1, 2, . . . , n; ∂y ∂x luego, efectuando cálculos

( c1,k xk−1 + 2c2,k xk−2 y + · · · + kck,k y k−1 = i kc0,k xk−1 +

) + (k − 1) c1,k xk−2 y + · · · + ck−1,k y k−1 .

70

1.4. Series de potencias. Concepto de función analítica ( ) k =i c0,k j

Por tanto:

j

cj,k para

j ∈ {1, 2, . . . , n}

0 ≤ j ≤ k;

y

y, en consecuencia, se tiene que

qk (x, y) = c0,k (x + iy)k , qk

y, por tanto,

es analítico. Como

p

es suma nita de ellos, se sigue lo



deseado.

1.4.2.

Ejercicios propuestos

1. Determínese el radio de convergencia de cada una de las siguientes series de potencias:

a)

∑ n! n≥1

c)

∑

n

zn; n

∑

b)

n≥0

2n z n! ;

∑

d)

n≥0

e)

i)

∑

(n + an ) z n

∑

(a > 0); f )

2

an z n

(a ∈ C);

n≥0

nz n ;

∑

h)

n≥0

n≥0

∑ zn

∑

; nn n≥1 ∑ k) 2−n z n ;

j)

nn z n ; (log n)2 z n ;

n≥2

l)

n≥0

m)

[3 + (−1)n ]n z n ;

n≥0

∑

n≥0

g)

z 2n ;

∑

n2 z n ;

n≥0

∑ (n!)3

zn;

n)

(3n)! ( n√ ) ∑ n n exp z n! . n ˜) en n≥0

∑

2

an z 1+2+···+n

(a ∈ C);

n≥1

n≥1

2. Si la series de potencias

∑

an z n

y

n≥0 cia respectivos

∑

bn z n

tienen radios de convergen-

n≥0

R y S , ¾qué podemos decir de los radios de convergencia

71

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA de las series

a)

∑

(an + bn ) z n

y

b)

n≥0

∑

(an bn ) z n ?

n≥0

∑

3. Dada la serie de potencias

an z n ,

de radio de convergencia

R > 0,

n≥0 pruébese que las siguientes series tienen el mismo radio de convergencia

R: a)

∑

nan z n ;

b)

n≥1

c)

∑

∑

n≥1

nd an z n

(d

natural);

d)

n≥1

∑

la serie

an z n

nan z n−1 .

n≥1

4. Calcúlese el radio de convergencia de la serie

∑

n2 an z n ;

tiene radio de convergencia

∑

1 n n! an z , sabiendo que

R ∈ ]0, +∞[ .

5. Supongamos que las cuatro partes en las que se descompone una serie, según que los coecientes de la misma pertenezcan a un mismo cuadrante cerrado del plano complejo, dan series convergentes. Pruebe que entonces la serie dada converge absolutamente. 6. Exprese

1 z como suma de una serie de potencias centrada en

a ̸= 0,

e

indíquese dónde es válida la igualdad.

z

7. Determínense los valores del complejo absoluta de las series siguientes:

a)

∑ (1 + z)n n≥0

c)

2n

;

∑ z n + z −n n≥1

n2

b)

para los que hay convergencia

∑ ( z − 1 )x n≥0

;

d)

z+1

;

∑ zn . 1 − zn

n≥0

8. Determínese para qué valores hay convergencia en las series de potencias

a)

∑

(n + z)−1 ;

b)

n≥1

∑

(n + z)−2 .

n≥1

9. Obténganse desarrollos en series de potencias para las funciones

z → (1 + z)−2 válidos para

|z| < 1.

72

y

z → (1 + z)−3

1.4. Series de potencias. Concepto de función analítica 10. (Criterio de Dirichlet ) Sea plejos y

(fn )

y

(gn )

A

un conjunto no vacío de números com-

dos sucesiones de funciones de

A

en el plano

C.

Supongamos que se verican las siguientes condiciones:

a ) La sucesión

(Fn )

de sumas parciales de la serie

formemente acotada en

b ) La serie

∑

|gn − gn+1 |

c ) La sucesión

(gn )

∑

fn ,

está uni-

A.

converge uniformemente en

A.

converge uniformemente a cero en

∑

Pruébese que, entonces, la serie

fn gn

A.

converge uniformemente en

A.

(Indicación: se tiene

p ∑

fn+k gn+k = −Fn gn+1 +

k=1

k=1 para cualesquiera naturales 11. Sea

p−1 ∑ Fn+k (gn+k − gn+k+1 ) + Fn+p gn+p

(an )

n

y

p,

con

p ≥ 2.)

una sucesión de números reales decreciente a cero. Pruébese

que la serie de potencias

∑

an z n

converge uniformemente en el con-

junto

A := {z ∈ C; |z| ≤ 1, |z − 1| ≥ δ} cualquiera que sea

δ ∈ ]0, 1[ .

Dedúzcase que dicha serie converge en

todo punto de la circunferencia salvo, eventualmente, en el punto

z = 1,

y que, por tanto, su radio de convergencia es, al menos, 1. 12. Estúdiese el comportamiento en la circunferencia unidad de las siguientes series:

a)

∑1 zn; n

b)

n≥1

∑ (−1)n n≥1

n

z 2n ;

c)

∑ (−1)n n≥2

ln n

z 3n−1 .

A un conjunto no vacío de números complejos y (fn ) y (gn ) dos sucesiones de funciones de A en el plano C. Supongamos

13. (Criterio de Abel ) Sea

que se verican las siguientes condiciones:

b)

∑

A. ∑ La sucesión de sumas parciales de la serie |gn − gn+1 | está uniformemente acotada en A.

a ) La serie

c ) La función

fn

converge uniformemente en

g1

está acotada en

73

A.

CAPÍTULO 1. FUNCIONES HOLOMORFAS: TEORÍA BÁSICA ∑

Pruébese que, entonces, la serie

fn gn

converge uniformemente en

A.

(Indicación: se tiene

p ∑

fn+k gn+k = − (Fn − F ) gn+1 +

k=1

p−1 ∑

(Fn+k − F ) (gn+k − gn+k+1 )

k=1

+ (Fn+p − F ) gn+p n

para cualesquiera naturales serie

∑

y

p,

con

p ≥ 2,

F

la suma de la

fn .)

14. Sea una serie de potencias

∑

an z n

con radio de convergencia 1. Supon-

gamos que dicha serie converge en un punto unidad

siendo

T.

z0

de la circunferencia

Pruébense las siguientes armaciones:

a ) La serie converge uniformemente en el conjunto

} { |z0 − z| ≤ M ∪ {z0 } , S := z ∈ C; |z| < 1, 1 − |z| cualquiera que sea

b ) Para

]

α ∈ 0,

[ π

M > 1.

2 , el sector circular denido por las condiciones

|z0 − z| ≤ cos α, queda contenido en

S

) ( arg 1 − z ≤ α z0

con tal de que se tome

M

sucientemente

grande. Dedúzcase que

+∞ ∑

an z0n

k=0 15. Sea

f

= l´ım

r→1−

( +∞ ∑

) an rn z0n

k=0

una función analítica en el disco unidad

así:

f (z) =

+∞ ∑

.

D,

que la expresaremos

an z n , ∀z ∈ D.

k=0 Prueba que:

a)

f (x) ∈ R, ∀x ∈ R ⇐⇒ an ∈ R, ∀n ∈ N ∪ {0}

b)

f

es una función par

⇐⇒ an = 0, ∀n ∈ (2k − 1) N

74

1.4. Series de potencias. Concepto de función analítica 16. Prueba que existe una única función analítica,

u′ = u − 1

y

u,

tal que

u(0) = 2.

¾Cuál es su radio de convergencia? 17. Determina todas las funciones analíticas en el origen,

u′′ (z) + α2 u(z) = 0

u,

tales que

(α > 0).

¾Cuál es su radio de convergencia? 18. Análogo al anterior, ahora para

u′′ (z) − α2 u(z) = 0

(α > 0).

19. (Polinomios de Legendre) Calcula los coecientes polinomiales

P2 (α), P3 (α) f (z) = √

y

P4 (α)

P1 (α),

en el desarrollo en serie de potencias de

1 = 1 + P1 (α) z + P2 (α) z 2 + · · · + Pn (α) z n + · · · 1 − 2αz + z 2

20. (Producto de Cauchy)

a ) Supongamos que las series

A := k ∈ N ∪ {0},

vergentes. Llamemos para cada

∑ an ∑+∞

ck :=

y

∑

n=0 an

k ∑

y

bn son∑absolutamente conB := +∞ n=0 bn . Denamos,

aj bk−j .

j=0 Prueba que la serie

∑

cn

b ) Supongamos que las series de potencias

R1 > 0 y R2 > 0. Prueba que el cn z n es una serie de potencias convergente para todo |z| < m´ ın{R1 , R2 }. ∑ n Encuentra una fórmula para las series de potencias nz . respectivos radios de convergencia

producto de Cauchy

c)

∑

∑+∞

n=0 cn = AB. ∑ an z n y bn z n tienen

converge y que es

∑

75

Capítulo 2 Funciones elementales complejas

Este capítulo se dedica al estudio de las funciones que serán, a la postre, las extensiones naturales de aquellas conocidas también como elementales en el caso real. En cualquier caso, llamemos la atención sobre dos cuestiones. Por una parte, no hay aún ninguna herramienta que nos permita dilucidar que las tales extensiones, caso de existir, sean únicas a posteriori (solo disponemos de un Preludio de Principio de identidad para funciones analíticas). Por otro lado, los resultados que se sigan de uno y otro intentos nos llevarán a funciones genuinas en el caso de la exponencial y trigonométrico, pero no así en el otro, donde llegaremos al de multifunción.

2.1. Función exponencial. Funciones trigonométricas Comenzaremos tratando de denir la función exponencial sobre todo el plano

C

de modo que resulte una extensión de la ya conocida exponencial

real. Para ello, presentaremos varios bloques de propiedades que verica esta última y examinaremos cuál es el que mejor puede servir a nuestro objetivo. Con su ayuda introduciremos las funciones trigonométricas seno y coseno. (Otras, como la tangente y las recíprocas de cada una de ellas, se pueden estudiar a través de ejercicios.)

Bloque I. La exponencial real es una biyección estrictamente creciente de 65

76

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS R

en

R+ .

Además,

l´ım ex = 0

y

x→−∞

ex → +∞,

si

x → +∞.

Está claro que estas propiedades nada nos pueden dar como guía, pues ninguna de ellas tiene sentido en

C.

Bloque II. La exponencial real es la única función f : R −→ R+ vericando las siguientes propiedades:

a.

x, y ∈ R =⇒ f (x + y) = f (x)f (y)

b.

f

c.

f (1) = e

es continua en un punto

Analizaremos después este bloque.

Bloque III. La exponencial real es la única función f : R → R+ vericando las siguientes propiedades:

R

a.

f

b.

x ∈ R =⇒ f ′ (x) = f (x)

c.

f (0) = 1

es derivable en

Este método podría ser el que siguiéramos; pero existe otro camino más cómodo, y es el que vamos a elegir:

Bloque IV. Para todo x ∈ R : x

e =

+∞ n ∑ x n=0

n!

.

Consistirá, ahora, en aprovechar la convergencia de la serie cambiar

x∈R

Denición 2.1

por

∑

z ∈ C.

La función exponencial compleja queda denida por

exp : C −→ C;

exp(z) :=

+∞ n ∑ z n=0

Acostumbraremos a escribir

exp(z) = ez .

77

n!

, ∀z ∈ C.

1 n! , y

2.1. Función exponencial. Funciones trigonométricas Obsérvese que, claramente, la función exponencial compleja 1. está bien denida, pues la serie tiene radio de convergencia innito; y 2. extiende al caso real. Con esta denición, el bloque tercero queda superado:

Proposición 2.1

La exponencial compleja es la única función entera que

extiende a la exponencial real (con

exp(0) = 1, en particular) y cuya derivada

coincide consigo misma. Demostración. Por la forma de denición, vía series de potencias, tenemos que

exp ∈ H (C)

y

exp|R (z) = ez , ∀z ∈ R.

Así, su derivada se obtiene por derivación término a término:

+∞ +∞ n +∞ ∑ ∑ z z n−1 ∑ z n−1 = = = exp(z), ∀z ∈ C. exp (z) = n n! (n − 1)! n! ′

n=1

n=1

Probemos ya la unicidad: sea

f

n=0

otra tal función. Consideremos la función

auxiliar

g : C −→ C; Esta tal

g

g(z) := f (z) exp(−z), ∀z ∈ C.

es entera y su derivada se anula en todos sus puntos:

g ′ (z) = f ′ (z) exp(−z) − f (z) exp(−z) = 0, ∀z ∈ C, luego (por la conexión de

C)

ha de ser constante. Pero como

g(z) = g(0) = 1, ∀z ∈ C, se sigue que

Proposición 2.2

ez+w = ez ew , ∀z, w ∈ C.

Demostración. Para auxiliar



f = exp.

a ∈ C,

jo, pero arbitrario, consideremos la función

g(z) := ez+a e−z , ∀z ∈ C.

Así denida, se trata de una función entera con derivada constantemente nula (confírmalo); por tanto:

g(z) = g(a) = ea , ∀z ∈ C.

78

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS Como

a

es arbitrario:

ea = ez+a e−z , ∀z, a ∈ C; luego si

α, β ∈ C

a := α + β

son arbitrarios, tomando

y

−z := β ,

al sustituir

en la expresión anterior obtenemos lo deseado.

Corolario 2.1

La función exponencial es analítica en

Demostración. Para

z

a ∈ C,

z−a+a

e =e



C.

jo, pero arbitrario, se tiene:

z−a a

=e

e =

+∞ a ∑ e n=0

n!

(z − a)n , ∀z ∈ C. 

Proposición 2.3

ez = eRe z (cos (Im z) + i sen (Im z)) , ∀z ∈ C.

Demostración. Para

z = x + iy = Re z + i Im z ,

por la proposición anterior

y por los desarrollos analíticos de seno y de coseno reales:

z

x+iy

e = e

= tex

x iy

x

=e e =e

( +∞ ∑ (−1)n y 2n

+∞ ∑ (iy)n n=0

(2n)!

n=0

+i

n! +∞ ∑ (−1)n y 2n+1 n=0

)

(2n + 1)!

= ex (cos y + i sen y) .  Una consecuencia inmediata es que

Corolario 2.2

|ez | = eRe z

Corolario 2.3

Si

Demostración. Si

e

θ ∈Arg(z).

Si

es más:

Im z ∈ Arg (ez ) , ∀z ∈ C.

z ∈ C\{0},

entonces

θ ∈ Arg (z) ⇐⇒ z = |z| eiθ .

θ ∈Arg(z) ,

entonces

z = |z| (cos (θ) + i sen (θ)) = |z| eiθ . 

Y este mismo argumento es reversible.

Corolario 2.4

0∈ / exp (C);

z ∈ C\{0},

entonces

79

ew = z

⇐⇒ w = ln |z| + iθ :

2.1. Función exponencial. Funciones trigonométricas ( =⇒ ) ew = z =⇒ |ew | = |z| = eRe z =⇒ Re z = ln |z|; y, w también, Im w ∈ Arg (e ) = Arg (z) . ln|z|+iθ ( ⇐= ) Evidente: e = eln|z| eiθ = |z| eiθ = z , donde θ ∈ Arg (z).  Demostración.

Corolario 2.5

Para cada

r > 0,

se tiene que

{ew : |w| > r} = C\{0}. Demostración. Sea

r > 0,

jo, pero arbitrario, y sea

z ̸= 0.

Por el corolario

anterior, si consideramos

wk := ln |z| + i (2kπ + arg (z)) , ewk = z . Además, z ∈ {ew : |w| > r}.

tenemos luego

para

k∈N

conveniente, se puede hacer

|wk | > r; 

Obsérvese cómo este resultado nos dice que el comportamiento de la función exponencial en el innito es desastroso. Para concluir con la política de bloques, probaremos que el bloque II no es una buena alternativa. De hecho, funciones como

z −→ exp (z)

o bien

z −→ exp (Re z)

verican tales propiedades. Concretamente, se puede probar que

Proposición 2.4

Sea

f : C −→ C

a.

f (z + w) = f (z)f (w), ∀z ∈ C

b.

f

no constante y vericando:

es derivable en un punto

Entonces, existe

a∈C

tal que

f (z) = exp (az) , ∀z ∈ C. Demostración. Observemos que si

f (z) = 0

para algún

z ∈ C,

entonces

f (w) = f (w + z − z) = f (w − z)f (z) = 0, ∀w ∈ C. Podemos, por tanto, suponer que

1

y

0∈ / f (C). En particular, se verican f (0) =

f (−z) = 1/f (z).

80

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS Sea

b ∈ C,

jo, pero arbitrario. Y consideremos

z ∈ C\{b}.

Así:

f (z) − f (b) f (z − b)f (b) − f (b)f (0) f (z − b) − f (0) = = f (b) z−b z−b z−b f (z − b + z0 )f (−z0 ) − f (0) = f (b) (z − b + z0 ) − z0 f (b) f (z − b + z0 ) − f (z0 ) = , f (z0 ) (z − b + z0 ) − z0 para

z0

arbitrario; y, en consecuencia,

f (z) − f (b) f (b) f (z − b + z0 ) − f (z0 ) =: f ′ (b) ⇐⇒ ∃ l´ım z→b z→b f (z0 ) z−b (z − b + z0 ) − z0 f (b) ′ f (z0 ), =: f (z0 )

∃ l´ım

con idéntico valor ambos límites. Llamemos

a :=

f ′ (z0 ) f (z0 )

∈ C.

Tendremos que

f ∈ H (C)

con

f ′ (z) = af (z), ∀z ∈ C. Ahora, si consideramos la función auxiliar

g : C −→ C;

g(z) := f (z)e−az , ∀z ∈ C,

argumentos ya familiares para nosotros nos harán concluir que es una función entera con derivada constantemente nula; luego, como sigue que

f

g(0) = f (0) = 1,

se



tiene la expresión deseada.

Concluimos el estudio de la función exponencial abordando el problema de su periodicidad. Como

ez = eRe z ei Im z = ex (cos y + i sen y) = ex [cos (y + 2π) + i sen (y + 2π)] = ez+i2π , se tiene que

i2π

es período de la función exponencial. Pasamos a estudiar

este hecho con detalle.

Denición 2.2 C −→ C, i.

y sea

f w ∈ C. Sea

una función compleja de variable compleja, Decimos que

w

z ∈ A =⇒ z + w, z − w ∈ A;

81

es período para

f

si:

f: A ⊂

2.1. Función exponencial. Funciones trigonométricas ii.

z ∈ A =⇒ f (z + w) = f (z).

Proposición 2.5

El conjunto de los períodos de una función compleja de

variable compleja es un subgrupo aditivo de

Denición 2.3

C.

Una función compleja de variable compleja se dirá periódica

si tiene algún período no nulo.

Proposición 2.6 i2πZ

La función exponencial

exp : C −→ C,

es periódica con

como grupo de períodos.

ez = ew ⇐⇒ ez−w = 1. Tomando módulos, 1 = e , luego Re z = Re w. También: Im(z − w) = Im z − z−w Im w ∈ Arg (e ) = Arg (1) = 2πZ; luego existe un entero k tal que w = z + i2kπ .  Demostración. Para z, w Re z−Re w

Denición 2.4

∈ C,

se tiene

Diremos de una función periódica que es simplemente perió-

dica cuando su grupo de períodos sea cíclico. Cualquier generador del grupo de los períodos de una función simplemente periódica se dirá período fundamental (de la tal función).

Corolario 2.6 fundamental

La función exponencial es simplemente periódica con período

i2π.

Concluimos ya este tema con unos contenidos mínimos sobre las funciones seno y coseno complejas. El hecho de que

ez = ex (cos y + i sen y) , para

x ∈ R,

nos da:

eix + e−ix eix + eix = 2 2 eix − eix eix − e−ix = = ; i2 i2

cos (x) = Re eix = sen (x) = Im eix

y, por tanto, nos sugiere la siguiente denición.

Denición 2.5

Las funciones seno y coseno complejas de variable compleja,

quedan dadas por las fórmulas:

eiz − e−iz , i2 eiz + e−iz cos (z) = , 2

sen (z) =

82

∀z ∈ C.

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS De modo inmediato, se sigue el

Teorema 2.1

Seno y coseno son funciones enteras con derivada:

sen′ (z) = cos (z)

y

cos′ (z) = sen (z) ,

∀z ∈ C.

Y también, la siguiente

Proposición 2.7 i. ii.

Para

z, w ∈ C,

se tiene:

sen (−z) = −sen (z) cos (−z) = cos (z)

iii.

sen2 (z) + cos2 (z) = 1

iv.

sen (z + w) = sen (z) cos (w) + sen (w) cos (z)

v.

cos (z + w) = cos (z) cos (w) − sen (z) sen (w)

Ojo con la armación iii. en esta proposición:

|sen (z)|2 + |cos (z)|2 = 1,

½es falso, en general!

Proposición 2.8

Seno y coseno son funciones (simplemente) periódicas de

período fundamental

Proposición 2.9

2π .

Para

cos (z) =

+∞ ∑ (−1)n z 2n n=0

Proposición 2.10

z ∈ C: (2n)!

y sen (z) =

+∞ ∑ (−1)n z 2n+1 n=0

(2n + 1)!

.

Las funciones seno y coseno son analíticas en todo el

plano. Demostración. Lo haremos para el seno, pues el caso del coseno opera de forma totalmente análoga. La clave, la expresión del seno de una suma. Para

a ∈ C,

jo, pero arbitrario, tenemos:

sen (z) = sen [(z − a) + a] = sen (z − a) cos (a) + sen (a) cos (z − a) +∞ +∞ ∑ ∑ (−1)n sen (a) (−1)n cos (a) 2n+1 (z − a) + (z − a)2n = (2n + 1)! (2n)! =:

n=0 +∞ ∑

n=0

an (z − a)n ,

∀z ∈ C,

n=0 para convenientes coecientes



an .

83

2.1. Función exponencial. Funciones trigonométricas 2.1.1.

Ejercicios propuestos

1. Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico se denen por:

senh (z) :=

ez − e−z ; 2

cosh (z) :=

ez + e−z ; 2

∀z ∈ C.

Encuéntrese la relación entre las funciones senh, cosh y las funciones sen y cos, y utilícese esta relación para expresar Re(sen

|sen z|, 2. Sea

Re(cos

z ),

Im(cos

z)

w ∈ C\{1} : w3 = 1.

y

|cos z|

z ),

Im(sen

z ),

en términos de Re(z ) e Im(z ).

Exprésese

( ) exp (z) + exp (wz) + exp w2 z

como serie de potencias. Evalúense las series numéricas

+∞ ∑ 8n (3n)!

y

n=0 3. Sea una función

f : C −→ C

+∞ ∑ n=0

27n . (3n + 1)!

vericando la condición

∀z, w ∈ C.

f (z + w) = f (z)f (w),

Pruébese que, si es derivable en un punto, entonces es entera. Determínense todas las funciones que verican la propiedad anterior. Dese un ejemplo de función continua tal que, aún vericando tal propiedad, no sea entera. 4. Estúdiese la convergencia de las siguientes series de funciones complejas de variable compleja:

∑

exp (−nz) ;

n≥0

∑

( ) exp −nz 2 .

n≥0

r > 0, ¾cuál es la imagen por la función exponencial del con{z ∈ C : |z| > r}? Dedúzcase que la función exponencial no tiene límite, nito ni innito, en el innito. Dado w ∈ T := {z ∈ C : |z| = 1},

5. Dado junto

discútase sobre la existencia del límite

l´ım exp (rw) .

r→+∞

6. Pruébese que 2π es un período fundamental para las funciones seno y coseno. 7. Estúdiese el comportamiento en el innito de las funciones seno y coseno.

84

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS 8. Calcúlense los radios de convergencia de las series de potencias siguien-

) iπ a) cos (in) z ; b) exp zn; n n≥0 n≥0 ( ) ∑ ∑ 1 i n c) z ; d) cosh zn. n sen (1 + in) n

tes

∑

∑

n

n≥0

(

n≥0

9. Hágase un estudio, lo más detallado posible, de la función tangente como función compleja de variable compleja. 10. Den los coecientes de orden menor o igual a tres en las series de potencias correspondientes a las funciones siguientes:

ez − 1 ez − cos z ; d) ; z z sen z ez g) ; h) . cos z sen z

a) ez sen z; b) (sen z) (cos z) ; c) e)

1 ; cos z

f)

cos z ; sen z

11. Resuélvanse las dos ecuaciones siguientes con

√

a)

cos z =

3;

b)

cos z = cosh z;

z ∈ C:

cos z = 1/2; sen z

= i senh z;

cos z = i senh 2z.

12. Pruébense las fórmulas siguientes:

a) b)

cosh 2y + cos 2x = senh2 y + cos2 x = cosh2 y − sen2 x. 2 cosh 2y − cos 2x |sen z|2 = = senh2 y + sen2 x = cosh2 y − cos2 x. 2

|cos z|2 =

Dedúzcase que

|cos z|2 + |sin z|2 = 1 ⇔ z ∈ R. 13. Discútanse funciones inversas para las funciones seno y coseno. Por ejemplo, ¾es

z → sen z

inyectiva en

0 ≤ Re z < 2π ?

¾Es sobreyectiva?

2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias En esta lección se hace hincapié en un concepto que encierra cierta dicultad: el de multifunción. En nuestro recorrido ya hemos conocido a la

85

2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias función Argumento: ella está en la base de dicho concepto, pues recordemos que consistía en asociar a cada punto un conjunto, y después, elegir (según nuestros objetivos) una de entre las llamadas determinaciones (continuas y, a la postre,) holomorfas, o ramas uniformes, para el dominio del plano

C

en

el que estemos interesados. Las funciones de base y exponente complejos (las potenciales y exponenciales, respectivamente) también aparecerán entre el elenco de funciones multiformes que presentamos. Completaremos la sección con el estudio de algunas transformaciones destacadas entre dominios del plano. El papel estrella de las funciones exponencial y logaritmo principal se hará maniesto. La complicación a la que nos referíamos más arriba, surge de una natural consideración que no se puede evitar; y que es, a saber, el dar la siguiente

Denición 2.6 logaritmo para Como Si

z ̸= 0,

z

Dado un complejo w si e = z .

ew ̸= 0

(sea quien sea

w),

z

diremos que otro complejo

es claro que

z=0

w

es un

no tiene logaritmo.

llamamos Log(z) al conjunto de sus logaritmos: Log (z)

Y observamos que los tales

:= {w ∈ C : ew = z} .

w

que le corresponden al

z

dado forman un

conjunto innito:

{w ∈ C : ew = z} = {ln |z| + i arg (z) + i2kπ : k ∈ Z} = {ln |z| + iθ : θ ∈ Arg (z)} = ln |z| + i Arg (z) . Así, la ley

z −→

Log(z) se puede ver como una aplicación de

grupo aditivo cociente

Proposición 2.11

Ci2πZ,

Para

C\{0}

en el

tal y como se recoge en la siguiente

z, w ∈ C\{0},

se verica que

Log (zw) = Log (z) + Log (w) (donde la suma en el segundo miembro es la del grupo cociente

Ci2πZ).

Su demostración se reduce a recordar que la función (multiforme) Argumento vericaba la propiedad recíproca. El papel que en su momento jugó el llamado Argumento principal se pone ahora de relieve.

86

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS

Denición 2.7

Para cada complejo no nulo

log (z),

principal, y lo denotaremos por

z,

llamaremos su logaritmo

al número complejo

log (z) = ln |z| + i arg (z) . Es claro que el logaritmo principal de

z es un logaritmo para z , y, además, ]−π, π]. Es decir,

es el único de sus logaritmos cuya parte imaginaria está en

el logaritmo principal está caracterizado por las condiciones

{

Denición 2.8

log (z) ∈ Log (z) −π < Im log (z) ≤ π.

La función

z −→ log (z) se llama rama (o valor) principal del logaritmo. Ojo aquí ahora: en general, no se espere que

log (zw) = log (z) + log (w)

(como tampoco se vericaba en su momento para el Argumento principal la propiedad recíproca). (Justica esta advertencia mediate algún ejemplo que la manieste.) A continuación, damos paso al estudio de su continuidad y holomorfía. Como la función

z −→ ln |z| es continua en C\{0}, resultará que la rama

principal del logaritmo será continua allí, y sólo allí, donde lo sea la rama principal del Argumento:

Lema 2.1

La rama principal del logaritmo es continua en − (no siendo continua en ningún punto de R ). De hecho, vamos a demostrar, muy pronto, que en todo

C\ (R− ∪ {0});

C\ (R− ∪ {0})

z −→ log z

es holomorfa

pero esto va a ser consecuencia de un resultado más

Ω del plano C, cabe preguntarse si existe una f : Ω −→ C tal que exp (f (z)) = z para cada punto del

general. Dado un abierto función continua

abierto (problema de existencia de logaritmo continuo). Y de modo más ambicioso, ¾cabe esperar que tal

f

sea holomorfa? Para la función identidad

es el llamado Problema de existencia o admisión de logaritmo holomorfo. Pues bien, sorprendentemente, caso de haber logrado lo primero, lo segundo se obtiene de modo automático:

Proposición 2.12 Entonces

φ ∈ H (Ω)

Sean

◦

Ω=Ω⊂C

y

φ ∈ C (Ω),

y verica

φ′ (z) =

1 , ∀z ∈ Ω. z

87

tal que

eφ(z) = z, ∀z ∈ Ω.

2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias Demostración. Sea

a,

a ∈ Ω, jo, pero arbitrario. Veamos que φ es derivable en

luego holomorfa (¾por qué?, ½actualiza conceptos elementales!) y verica

(an ) ⊂ Ω\{a} tal que an −→ a. Llamemos bn := φ (an ) b := φ(a). Por argumentos de continuidad, bn −→ b; y como bn ̸= b (si φ(an ) = φ(a) =⇒ eφ(an ) = eφ(a) =⇒ an = a, absurdo), se tiene que ahí la fórmula. Sea y

φ(an ) − φ(a) bn − b = bn = an − a e − eb luego existe

φ′ (a) =

Corolario 2.7 fa en

1 ebn −eb bn −b

−→

1 1 = ; b e a 

1 a.

La rama principal del logaritmo

C\ (R− ∪ {0}),

log

es una función holomor-

con

log′ (z) =

( ) 1 , ∀z ∈ C\ R− ∪ {0} . z

Demostración. Basta recordar la continuidad del logaritmo principal en el − conjunto

C\ (R ∪ {0}),

y entonces aplicar la proposición 2.12.



Acabamos de probar cómo la existencia de logaritmo holomorfo (de hecho, ha bastado que sea continuo) conlleva la existencia de primitiva para la función

z −→

1 z . El recíproco, también vale:

Proposición 2.13

◦

tal que 0 ∈ / 1 , ∀z ∈ Ω . Entonces existe una función z cada componente conexa de Ω, tal que

φ′ (z) =

Sea

Ω=Ω⊂C

Ω. Sea φ ∈ H (Ω) tal que λ : Ω −→ C constante en

exp (φ(z) + λ(z)) = z, ∀z ∈ Ω. Demostración. Consideremos la función auxiliar

g(z) := ze−φ(z) , ∀z ∈ Ω.

Resulta de pura rutina comprobar que se trata de una función constante sobre cada componente conexa de

Ω

que no se anula en ninguna de ellas

(½pruébese con detalle!). Podemos, por tanto, considerar la función

λ : Ω −→ C;

λ(z) := log(g(z)), ∀z ∈ Ω

de modo que sea constante en cada componente conexa del abierto. Además,

exp (φ(z) + λ(z)) = eφ(z) eλ(z) = eφ(z) g(z) = z, ∀z ∈ Ω. 

88

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS La función

λ

en la demostración anterior es holomorfa en

Ω

(es cons-

tante en entornos de cada punto). A continuación enumeramos una serie de propiedades que se han probado equivalentes, y que conformarán toda una colección que se irá ampliando conforme vaya desarrollándose este curso (hasta culminar en el teorema, fundamental, de la representación conforme de Riemann de clasicación de los abiertos del plano complejo).

Corolario 2.8

Sea

◦

Ω=Ω⊂C

tal que

0∈ / Ω.

Son equivalentes:

i. Existe una determinación continua del argumento; es decir:

∃θ ∈ C (Ω, R) : z = |z| eiθ(z) , ∀z ∈ Ω

(esto es,

θ (z) ∈ Arg (z) , ∀z ∈ Ω).

ii. Existe una determinación continua del logaritmo; es decir:

∃φ ∈ C (Ω, C) : exp φ(z) = z, ∀z ∈ Ω. iii. Existe una determinación holomorfa del logaritmo; es decir:

∃φ ∈ H (Ω) : exp φ(z) = z, ∀z ∈ Ω. iv. La función

z −→ 1/z

admite una primitiva; es decir:

∃ψ ∈ H (Ω) : ψ ′ (z) = 1/z, ∀z ∈ Ω. ⇐⇒ ii. Para φ como la rama del logaritmo determinada

Demostración. Después de lo ya sabido, bastará con probar i. i.

=⇒

ii., considérese la función

por la tal

θ: φ(z) := ln |z| + iθ (z) , ∀z ∈ Ω.

Y para ii.

=⇒

i., el argumento será, ½cómo no!, el determinado por la parte

imaginaria del logaritmo dado:

θ(z) := Im φ(z), ∀z ∈ Ω.  Es sabido que la primera armación en el corolario 2.8 (y, por tanto, las otras tres) es cierta cuando a

C

le suprimimos cualquier semirrecta que

parta del origen. Más adelante veremos que no se puede llegar a armar tal propiedad cuando

Ω := C\{0}.

89

2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias 2.2.1.

Desarrollos en serie del logaritmo

A continuación perseguimos un estudio analítico (esto es, mediante desarrollo en series de potencias) del logaritmo (principal). Comencemos obser-

0∈ / D(a, r) entonces siempre podremos armar la existencia de

vando que si

un logaritmo holomorfo sobre dicho disco: basta considerar una semirrecta que, partiendo del origen, no corte al disco; aplicando el corolario anterior se obtiene una rama holomorfa del logaritmo. Pues bien, este hecho lo vamos a probar otra vez, usando ahora las series de potencias. Este pequeño entretenimiento en probar algo ya sabido tendrá su recompensa: obtendremos la analiticidad de la rama principal del logaritmo en

Lema 2.2

C\ (R− ∪ {0}).

Para cada complejo no nulo

a:

1 ∑ (−1)n = (z − a)n , ∀z ∈ D (a, |a|) . z an+1 n=0 ∑ n Sabido es que la serie geométrica w tiene +∞

Demostración.

radio de con-

vergencia 1. Además,

(1 − w)

n ∑

wk = 1 − wn+1 , ∀n ∈ N, ∀w ∈ C.

k=0 Como quiera que

wn+1 −→ 0 +∞ ∑

en

D,

wn =

n=0 Dados

a ∈ C\{0}

y

z ∈ D (a, |a|),

+∞ ∑ (−1)n n=0

an+1

se tiene que

1 , ∀w ∈ D. 1−w tomemos

w := − z−a a .

Se tendrá:

1∑ n 1 1 ( z−a ) = 1/z. (z − a) = w = a a1− − a +∞

n

n=0



Proposición 2.14

Para cada complejo no nulo

f (z) := log(a) +

+∞ ∑ (−1)n+1

nan

n=1

a,

la función

(z − a)n , ∀z ∈ D (a, |a|) ,

es un logaritmo holomorfo de la identidad (en dicho disco); es decir:

f ∈ H (D (a, |a|))

y

exp(f (z)) = z, ∀z ∈ D (a, |a|) .

90

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS Demostración. Por ya conocidos, son evidentes algunos hechos: por un lado, la serie de potencias de la hipótesis tiene radio de convergencia

f

lado, la función

|a|.

Por otro

dada está bien denida y es holomorfa en dicho disco; y,

por el lema 2.2, sabemos calcular su derivada:

+∞ ∑ (−1)n

f ′ (z) =

an+1

n=0

(z − a)n = 1/z, ∀z ∈ D (a, |a|) .

Por tanto, la proposición 2.13 nos garantiza, dada la conexión de que existe una (función) constante

λ

D (a, |a|),

tal que

exp(f (z) + λ) = z, ∀z ∈ D (a, |a|) . Haciendo

z = a,

tenemos

elog(a)+λ = a;

luego

eλ = 1,

de donde

z = ef (z)+λ = ef (z) eλ = ef (z) , ∀z ∈ D (a, |a|) . 

Corolario 2.9

Para

a ∈ C\{0}, sea { |a| , Re a ≥ 0 ra := |Im a| , Re a < 0.

Entonces:

log (z) = log(a) +

+∞ ∑ (−1)n+1

nan

n=1

(z − a)n , ∀z ∈ D (a, ra ) .

En particular, tenemos que el logaritmo principal es una función analítica − en C\ (R ∪ {0}). Demostración. Para −

C\ (R ∪ {0}).

a ∈ C\{0}

es evidente que se tiene

D (a, ra ) ⊂ disco D (a, ra ).

ra > 0

Así, el logaritmo principal es continuo en el

y

Igual le ocurre a la función que aparece en el segundo miembro de la igualdad a demostrar, llamémosla

f.

Como

log′ (z) = f ′ (z) = 1/z, ∀z ∈ D (a, ra ) , habrán de diferir en una constante sobre el disco. Pero como dicha constante ha de ser nula.

f (a) = log(a), 

A continuación nos proponemos generalizar todo lo probado para la función identidad, ahora para funciones holomorfas arbitrarias; por ejemplo, dada

f ∈ H (Ω) ,

¾existe

φ ∈ H (Ω)

tal que

91

eφ = f ?

2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias 2.2.2.

Logaritmos continuos y holomorfos de una función

Teorema 2.2

◦

Ω = Ω ⊂ C y f ∈ H (Ω) . en Ω; es decir,

Sean

logaritmo continuo

Supongamos que

f

admite

∃φ ∈ C (Ω) : exp φ = f. Entonces,

φ

es, de hecho, holomorfa y verica la relación:

φ′ (z) =

f ′ (z) , ∀z ∈ Ω. f (z)

0∈ / f (Ω) (¾por qué?). Sean b := f (a) = ̸ 0. Consideremos, por una parte, (pues existe) un logaritmo holomorfo h para la identidad en D (b, |b|):

Demostración. Obsérvese que podemos suponer

a ∈ Ω

y

h ∈ H (D (b, |b|)) : eh(z) = z, ∀z ∈ D (b, |b|) . Por otro lado, y con argumentos de continuidad de

∃δ > 0 : |z − a| < δ =⇒ z ∈ Ω

y

f

en

a,

f (z) ∈ D (b, |b|) .

Sea ahora la función

ψ : D(a, δ) −→ C;

ψ(z) := h(f (z)), ∀z ∈ D(a, δ).

Así la hemos denido para que verique:

ψ ∈ H (D(a, δ)) Consecuentemente, si

y

exp ψ (z) = f (z), ∀z ∈ D(a, δ).

z ∈ D(a, δ),

entonces

exp ψ (z) = f (z) = exp φ (z);

de

donde se sigue que

z ∈ D(a, δ) =⇒ φ (z) − ψ (z) ∈ i2πZ. φ−ψ Como la función i2π es continua en (el conexo)

D(a, δ), si sólo toma valores

enteros habrá de ser constante:

∃k ∈ Z : φ (z) = ψ (z) + i2πk, ∀z ∈ D(a, δ). Conseguimos, así, gracias a la naturaleza de la función para

φ.

Pero como

a

era arbitrario en todo

Finalmente, como

′

f = eφ ,

Ω,

se sigue que

se sigue, derivando en ambos miembros, que

f (z) = φ (z)eφ(z) = φ′ (z)f (z),

′

′

′

=⇒ φ (z) = f (z)/f (z), donde hemos vuelto a usar que Ahora para

f,

ψ , la holomorfía φ ∈ H (Ω) .

f

no se anula en

∀z ∈ Ω ∀z ∈ Ω, Ω.

como antes para la identidad, se tiene este recíproco:

92



CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS

Teorema 2.3 que la derivada

◦

Ω=Ω⊂C logarítmica de f

Sean

y

f ∈ H (Ω)

∃φ ∈ H (Ω) : φ′ (z) = Entonces, existe conexa de

Ω

λ

tal que

0∈ / f (Ω).

Supongamos

admite primitiva; es decir:

f ′ (z) , ∀z ∈ Ω. f (z)

una función (holomorfa) constante en cada componente

tal que

exp [φ (z) + λ (z)] = f (z), ∀z ∈ Ω. Demostración. Se considerará la función auxiliar

g(z) := e−φ(z) f (z), ∀z ∈ Ω. Tal función es (½pruébese!) constante en cada componente conexa de

Ω

y se

puede hacer

λ(z) := log(g(z)), ∀z ∈ Ω, (justica que

g



no se anula) para concluir el resultado.

Y todo lo anterior se resume en el siguiente

Corolario 2.10

Sean

◦

Ω=Ω⊂C

y

f ∈ H (Ω)

tal que

0∈ / f (Ω).

son equivalentes que: i. admite argumento continuo en

Ω;

es decir:

∃θ ∈ C (Ω, R) : f (z) = |f (z)| eiθ(z) , ∀z ∈ Ω; o sea,

θ (z) ∈ Arg (f (z)) , ∀z ∈ Ω;

ii. admite logaritmo continuo en

Ω;

es decir:

∃φ ∈ C (Ω, C) : exp φ(z) = f (z), ∀z ∈ Ω; iii. admite logaritmo holomorfo en

Ω;

es decir:

∃φ ∈ H (Ω) : exp φ(z) = f (z), ∀z ∈ Ω; iv. su derivada logarítmica admite primitiva en

∃ψ ∈ H (Ω) : ψ ′ (z) =

93

Ω;

es decir:

f ′ (z) , ∀z ∈ Ω. f (z)

Para

f,

2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias 2.2.3.

Potencias de base y exponente complejos

En el Análisis Real, de la consideración de

ab : a > 0, b ∈ R surgen dos familias importantísimas de funciones:

x −→ ax ,

las exponenciales, y

x −→ x ,

las potenciales.

b

Cada una de ellas tiene propiedades algebraicas características, respectivamente:

ax+y = ax ay (xy)b = xb y b . ¾Se podrá extender la consideración de estas funciones al campo complejo? La consideración de la fórmula

ab = eb ln a : a > 0, b ∈ R y el carácter multiforme del logaritmo nos darán la solución. (Recordemos en este momento que, en general, es falsa la expresión para complejos no nulos

Denición 2.9

Para

las potencias de base

ewLog(z) = {ewu

z

y

log(zw) = log (z)+log (w)

w.)

z ∈ C\{0}

w ∈ C, denimos el conjunto Pw (z) w como: { } : u ∈ Log (z)} = ew(ln|z|+i arg(z)+i2kπ) : k ∈ Z .

z

y

de

y exponente

Ocurre que la periodicidad de la función exponencial reduce, a posteriori, el número de elementos del conjunto independiente de

z,

Proposición 2.15

Pw (z).

Además, tal número será

y fácilmente deducible.

Sea

w ∈ C.

Entonces:

a. Son equivalentes: i. Existe

z ∈ C\{0}

ii.

Pw (z)

iii.

w ∈ Q.

tal que

es nito para todo

Pw (z)

es nito.

z ∈ C\{0}.

94

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS b. Si

w∈ / Q,

entonces, para cada

z ∈ C\{0},

la aplicación

k −→ ew(ln|z|+i arg(z)+i2kπ) , de c. Si

Z

en

C,

es inyectiva.

w ∈ Q,

tonces, para

w = pq (p ∈ Z, q ∈ N y expresión irreducible), encada z ∈ C\{0}, el conjunto Pw (z) tiene, exactamente, q

con

elementos; a saber,

{ } ew(ln|z|+i arg(z)+i2kπ) : k = 0, 1, 2, . . . , q − 1 . Demostración. Sean

z ∈ C\{0}, k, j ∈ Z

y supongamos

ew(ln|z|+i arg(z)+i2kπ) = ew(ln|z|+i arg(z)+i2jπ) . Pero si así fuese:

ei2kπw = ei2jπw =⇒ i2kπw = i2jπw + i2πm : m ∈ Z =⇒ w(k − j) = m, de modo que

w∈ / Q =⇒ k = j, y, por tanto, la armación b. queda probada y, de propina, i.

=⇒

iii. en a.,

también.

w ∈ Q, con w = z ∈ C\{0}, pongamos Si

p q (p

∈ Z, q ∈ N

y expresión irreducible) para cada

uk := ew(ln|z|+i arg(z)+i2kπ) , k ∈ Z. Como podemos escribir

[

uk := = = = luego iii.

=⇒

k = cq + r : c, r ∈ Z, 0 ≤ r < q ,

tendremos:

] p exp (ln |z| + i arg (z) + i2 (cq + r) π) q [ ] [ ] p p exp (ln |z| + i arg (z) + i2rπ) exp (i2cqπ) q q ] [ p exp (ln |z| + i arg (z) + i2rπ) exp [i2cpπ] q [ ] p exp (ln |z| + i arg (z) + i2rπ) =: ur , q

ii. en a.; y como ii.

=⇒

probado.

95

i. es trivial, a. queda completamente

2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias El propio razonamiento anterior nos dice que

Pw (z) = {u0 , u1 , . . . , uq−1 } . Veamos que todos los elementos de ese conjunto son distintos dos a dos: supongamos

ur = us : 0 ≤ s ≤ r < q. Habrá de ocurrir que, para algún entero

m:

p p ir2π = is2π + i2mπ, q q p (r − s) = mq , de donde q divide a p(r − s); luego Ahora bien, 0 ≤ r − s < q ; de donde se sigue que r − s = 0. luego

divide a

r − s. 

Esta proposición nos habilita para dar la siguiente

Denición 2.10 (Valor principal de la potencia) w ∈ C,

Dados

se dene el valor principal de la potencia de base

z

z ∈ C\{0}

y exponente

y

w

por la fórmula

z w := ew log(z) . Algunas observaciones sobre la denición 2.10: 1. Extiende la ya conocida de base real positiva y exponente real:

z ∈ R+ , w ∈ R =⇒ z w = ew log(z) = ew ln|z| = |z|w . 2. Si

z := e,

se tratará de la propia exponencial compleja de exponente

w. 3. Si

w ∈ Z, entonces z w

no es ni más ni menos que lo que cabría esperar:

n w = n ∈ N =⇒ z n = z .....z

z 0 = 1, ∀z ∈ C\{0} z −n = 1/z n , ∀z ∈ C\{0}, ∀w ∈ C. 2.2.4. Dado

Funciones exponenciales y potenciales complejas

a ∈ C\{0},

tenemos dos caminos por los que andar si queremos

denir la función exponencial compleja de base 1. la función: 2. la multifunción:

a;

a saber:

z −→ az := ez log(a) z −→ Pz (a) = ez Log(a)

96

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS Y la misma notación parece sugerir que va a ser la primera de ellas. La razón no será estética. En efecto, pues en la segunda habría que renunciar a la perfección algebraica propia de las exponenciales:

z, w ∈ C =⇒ az+w = az aw , dado que

P 1 + 1 (1) = P1 (1) = {1} ̸= {1, −1} = P 1 (1) P 1 (1) . 2

2

2

2

Queda así plenamente justicada la opción a tomar.

Denición 2.11

Dado

a la función de

en

C

C,

a ∈ C\{0},

llamamos función exponencial de base

a

dada por

z −→ az := ez log(a) .

Proposición 2.16

Dado

a ∈ C\{0},

la función exponencial de base

a

es

una función entera con función derivada

z −→ log (a) az . Su demostración no exige mayor dicultad; lo que sí va a probarse es la analiticidad en todo el plano

Proposición 2.17

Dado

C

de las funciones exponenciales:

a ∈ C\{0},

una función analítica en todo el plano Demostración. Sea

b ∈ C,

la función exponencial de base

a

es

C.

jo, pero arbitrario. Para

az = az−b+b = ab e(z−b) log(a) = ab

z ∈ C:

+∞ ∑ 1 (log (a))n (z − b)n n!

n=0

=

+∞ b ∑ a (log (a))n n=0

n!

(z − b)n . 

Sorprendentemente, la situación se invierte radicalmente cuando lo que se persigue es la denición apropiada de las funciones potenciales: para

α ∈ C,

las candidaturas presentadas a funciones potenciales son, igualmente, dos. Y otra vez, las mismas de antes: 1. la función: 2. la multifunción:

z −→ z α := eα log(z) z −→ Pα (z) = eα Log(z)

97

2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias Como la primera de ellas comete ciertas irregularidades algebraicas imperdonables, por ejemplo:

−1 = ii =

√

√ √ √ −1 −1 ̸= (−1) (−1) = 1 = 1,

quedará descartada; aún más cuando para la segunda de ellas se tiene

Proposición 2.18

Si

α ∈ C,

entonces, para

z, w ∈ C\{0},

se tiene

Pα (zw) = Pα (z) Pα (w) . Demostración. Se reduce a meros cálculos derivados de la denición y de las propiedades del logaritmo:

Pα (zw) = eα Log(zw) = eα[Log(z)+ Log(w)] { } = eα(u+v) : u ∈ Log (z) , v ∈ Log (w) = {eαu eαv : u ∈

Log (z) , v

∈

Log (w)}

= eα Log(z) eα Log(w) = Pα (z) Pα (w) .  Por tanto, vamos a aceptar el carácter multiforme, también, para las funciones potenciales:

Denición 2.12

Para

α ∈ C,

llamamos función potencial de base

α

a la

función multiforme

z −→ Pα (z) , ∀z ∈ C\{0}. La rama principal de dicha función será la dada por la elección del logaritmo principal:

z −→ z α = eα log(z) , ∀z ∈ C\{0}.

Proposición 2.19 Para

n∈N

y

(Caso particular, z ∈ C\{0}, se tiene que

½importantísimo!:

α = 1/n, n ∈ N)

P 1 (z) = {w ∈ C : wn = z} . n

En particular, todo complejo no nulo

z

tiene, exactamente,

n raíces n-ésimas

distintas, que vienen dadas por

√ n

{ 1 } z = e n (log(z)+i2kπ) : k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 .

98

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS Demostración. El conjunto tras que

{w ∈

C; wn

= z}

P 1 (z) n

tiene, exactamente,

tiene, a lo sumo,

n

n

elementos, mien-

elementos. Bastará, por tanto,

probar que el primero es subconjunto del segundo. Pero esto es evidente: si

u ∈ P 1 (z), n

entonces

1

u = e n t,

con

t∈

un = et = z .

Log(z). Por tanto:



El carácter multiforme de una función lleva consigo la necesidad de seleccionar ramas continuas u holomorfas que determinen una función genuina en un dominio en el que podamos estar interesados. Pero, surge una pregunta natural. Por ejemplo, ¾cuándo es posible seleccionar una rama holomorfa de la función potencia? Una limitación la encontramos en la información aportada por la siguiente

Proposición 2.20

No existen raíces cuadradas continuas sobre la circun-

ferencia unidad; es decir:

@φ ∈ C (T) : φ2 (z) = z, ∀z ∈ T. Demostración. Razonamos por reducción al absurdo: supongamos que existe

φ.

una tal función

Sea

ψ

el valor principal de la raíz cuadrada:

( ) 1 1 ψ (z) := z 2 := e 2 log(z) , ∀z ∈ C\ R− ∪ {0} . En particular,

φ2 = ψ 2

sobre

T\{−1},

donde ambas,

φ

y

ψ,

son continuas

(razona por qué lo es cada una de ellas). Por tanto,

(φ (z) + ψ (z)) (φ (z) − ψ (z)) = 0, ∀z ∈ T\{−1}. Pero ocurre que

T\{−1}

es unión disjunta de los conjuntos:

A := {z ∈ T\{−1} : φ (z) + ψ (z) = 0}

y

B := {z ∈ T\{−1} : φ (z) − ψ (z) = 0} . T\{−1} (razónese). Argumentos de coneT\{−1} = A o bien T\{−1} = B . casos, por la continuidad de φ, la función ψ

Se trata de conjuntos cerrados en xión (sobre

T\{−1})

nos llevan a que

En cualquiera de los dos tendría límite en

−1;

pero esto nos lleva a un absurdo:

( ) 1 1 π ei(π− n ) −→ eiπ = −1 =⇒ ψ ei(π− n ) −→ ei 2 = i ( ) 1 1 π ei(−π+ n ) −→ e−iπ = −1 =⇒ ψ ei(−π+ n ) −→ e−i 2 = −i. 

La información sobre ramas holomorfas la completamos con los dos siguientes resultados:

99

2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias

Proposición 2.21 (Existencia de raíces n-ésimas holomorfas) deremos

◦

Ω = Ω ⊂ C

tal que

0 ∈ / Ω.

Consi-

Supongamos que la identidad admite

logaritmo holomorfo:

∃φ ∈ H (Ω) : exp (φ (z)) = z, ∀z ∈ Ω. Entonces, para cada natural

Demostración. Basta

Corolario 2.11

n

φn ∈ H (Ω)

existe

[φn (z)]n = z, ∀z ∈ Ω. (1 ) considerar φn := exp nφ ,

tal que

para cada natural

n.



En los abiertos que contengan a la circunferencia unidad

no es posible elegir ramas continuas (y, por supuesto, tampoco holomorfas) del argumento (ni, por tanto, del logaritmo).

2.2.5.

Transformaciones geométricas mediante funciones elementales

Es importante cómo actúan algunas funciones (que vamos a usar profusamente) sobre determinadas regiones del plano. Las que nos van a interesar se ven afectadas por la siguiente

Denición 2.13 una biyección

Dos abiertos

φ : Ω1 −→ Ω2

Ω1

φ

del plano se dicen isomorfos si existe

tal que

φ ∈ H (Ω1 ) A la tal

Ω2

y

y

φ−1 ∈ H (Ω2 ) .

la llamaremos isomorsmo (de

Ω1

en

Ω2 ,

o entre

Ω1

y

Ω2 ).

Se trata de una relación de equivalencia que se introduce en la familia de los abiertos del plano complejo

C: dos abiertos isomorfos serán indistinguibles

desde el punto de vista de la llamada Teoría de Funciones Holomorfas.

Proposición 2.22

Sean

α, β ∈ R,

con

−π ≤ α < β ≤ π .

función exponencial es un isomorsmo de la banda

Ω1 := {z ∈ C : α < Im z < β} en la región angular

Ω2 := {z ∈ C\{0} : α < arg (z) < β} .

100

Entonces, la

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS exp en Ω1

Demostración. Claramente morfas, respectivamente,

Por tanto, bastará con probar

log son inversas la una de la otra y holo− y Ω2 . (Obsérvese que Ω2 ⊂ C\ (R ∪ {0}).) que exp (Ω1 ) ⊂ Ω2 y log (Ω2 ) ⊂ Ω1 . y

Por un lado:

z ∈ Ω1 =⇒ Im z ∈ Arg (ez ) =⇒

z

Arg (e

) ∩ ]α, β[ ̸= ∅

=⇒ arg (e ) ∈ ]α, β[ ⇐⇒ exp (z) ∈ Ω2 . z

Y, por otro lado:

z ∈ Ω2 =⇒ Im log (z) = arg (z) ∈ ]α, β[ ⇐⇒ log (z) ∈ Ω1 .  Por tanto, y salvo giros o traslaciones, podemos establecer isomorsmos entre bandas y regiones angulares cuando las amplitudes respectivas lo permitan. Ahora bien, la anchura de la banda puede alterarse mediante conveniente homotecia de razón

ρ > 0,

pues transforma la banda

{z ∈ C : α < Im z < β} en la nueva banda

{z ∈ C : αρ < Im z < βρ} . Por tanto, podríamos transformar regiones angulares de distinta amplitud, las unas en las otras, mediante la siguiente composición de isomorsmos:

z −→ log (z) −→ ρ log (z) −→ eρ log(z) ...

½que se trata de la rama principal de la potencia!

Corolario 2.12

ρα, ρβ ∈ [−π, π].

Sean

α, β ∈ R,

con

−π ≤ α < β ≤ π .

Sea

ρ > 0,

tal que

Entonces, la rama principal de la potencia

z −→ z ρ es un isomorsmo entre las regiones angulares

{z ∈ C\{0} : α < arg (z) < β}

y

{z ∈ C\{0} : ρα < arg (z) < ρβ} .

101

2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias Demostración. Con de razón

ρ > 0.

z ∈ C\{0}, se tiene que z ρ = eρ log(z) . Sea φ la homotecia

En conclusión, la siguiente composición

{z ∈ C\{0}; α < arg (z) < β} ↓ log {z ∈ C : α < Im z < β} ↓φ {z ∈ C : ρα < Im z < ρβ} ↓ exp {z ∈ C\{0} : ρα < arg (z) < ρβ} nos da lo deseado:

2.2.6.



f = eφ◦log .

Ejercicios propuestos

1. Pruébese que la función

f : D −→ C,

dada por

f (z) := log(1 − z), es holomorfa en

a)

b)

c)

+∞ n ∑ z n=1 +∞ ∑ n=1 +∞ ∑ n=1

n

D, y calcúlese su derivada f ′ . Dedúzcanse las fórmulas

= − log (1 − z) ,

π−θ sen nθ = , n 2

2. Pruébese que para

n=1 3. Sea

∀z ∈ D;

cos nθ θ = − ln 2 sen , n 2

+∞ ∑ (−1)n+1

n

∀z ∈ D,

0 < |θ| ≤ π ;

0 < θ < 2π.

θ ∈ ]−π, π[,

se tiene

+∞ ∑ (−1)n+1

θ cos nθ = ln 2 cos ; 2

Ω := C\ {iy : y ∈ R, |y| ≥ 1}. Ω que verica

n=1

n

θ sen nθ = . 2

Pruébese que existe una función

holomorfa en

sen f (z) = z cos f (z), ∀z ∈ Ω;

y

f (x) = arctan x, ∀x ∈ R.

Compruébese que

f ′ (z) =

1 , ∀z ∈ Ω 1 + z2

102

f

CAPÍTULO 2. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS y dedúzcase que

f (z) =

+∞ ∑

(−1)n

n=0

z 2n+1 , ∀z ∈ D. 2n + 1

4. Compruebe que todos los valores de la función Arccos están contenidos en la fórmula Arc cos z donde por

√

z2 + 1

5. Sea la función holomorfa en

= ±i

Ln

z+

√

z2

) +1 ,

se entiende uno de sus valores.

(

f (z) := log

C\D

(

y en

D.

1+z 1−z

)

, ∀z ∈ C\ {−1, 1}.

Pruébese que

f

es

Pruébese que

( ) +∞ 2n+1 ∑ z 1+z 1 = log , ∀z ∈ D 2n + 1 2 1−z

n=0

y aplíquese este resultado para obtener la suma de las series siguientes (para

0 < θ < π ): +∞ ∑ cos (2n + 1) θ

2n + 1

n=0 6. Encuéntrese, para

z

y

α

+∞ ∑ sen (2n + 1) θ

;

n=0

2n + 1

.

complejos, la relación existente entre los con-

juntos

z 2α ;

( 2 )α z .

(z α )2 ;

{z ∈ C : 0 < Im z − } Re z < 1} z ∈ C\ {1} : 0 < arg (z − 1) < π4 y otro de angular sobre el semiplano {z ∈ C : Re z < 0} .

7. Constrúyase un isomorsmo de la banda sobre la región angular esta misma región

{

8. Pruébese que

log (rz) = ln r + log z, ¾Para qué valores de

z ∈ C\{0}

∀z ∈ C\{0}, ∀r ∈ R+ .

se verica que

log iz = log i + log z? En general, ¾qué condición deben vericar

z, w ∈ C\{0}

tenga

log (zw) = log z + log w?

103

para que se

2.2. Funciones multiformes elementales. Logaritmos y potencias 9. Halle todos los valores de las siguientes funciones:

1 1 a) Arc sen ; b) Arc cos ; c) Arc cos 2; d) Arc sen i; 2 2 e) Arctan (1 + i2) ; f ) Arcch i2; g) Arcth (1 − i) .

104

Capítulo 3 Aplicaciones conformes

3.1. Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones conformes En esta sección pretendemos conectar la derivabilidad de las funciones complejas con una propiedad geométrica, cual es la conservación de ángulos, que, a posteriori, caracterizará la existencia de derivada compleja no nula para las funciones diferenciables (en el sentido real) con determinante jacobiano no nulo. Así pues, obtendremos la interpretación geométrica de la derivada en el sentido complejo: serán aquellas funciones diferenciables (en el sentido real) que conserven ángulos.

Denición 3.1 Diremos que

γ

γ : [a, b] −→ C una curva, t ∈ [a, b] y z := γ(t). t (aunque nos acostumbraremos a evitar referiremos directamente a z ) cuando γ sea derivable en

Sean

admite derivada en

el parámetro y nos t con γ ′ (t) ̸= 0.

Inmediatamente se nos dan razones del porqué es bueno que la derivada

γ ′ (t) no sea nula:

Lema 3.1

◦

Ω = Ω ⊂ C, f ∈ C (Ω) y γ : [a, b] −→ Ω una curva. Sea γ b := f ◦ γ . Para t ∈ [a, b], sean z := γ (t) y w := f (z). Supongamos que γ tiene tangente en z y que f es derivable en z con derivada no nula. Entonces, la curva γ b tiene tangente en w con Sean

( ′ ) ( ) ( ) Arg γ b (t) = Arg f ′ (z) + Arg γ ′ (t) .

105

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES Demostración. La Regla de la Cadena nos dice que derivada no nula:

Por tanto, la curva

γ b

es derivable en

t

con

γ b′ (t) = f ′ (z)γ ′ (t) ̸= 0. γ b

tiene tangente en

w.

Usando las propiedades del Argu-

mento: Arg

(

) ( ) ( ) ( ) γ b′ (t) = Arg f ′ (z)γ ′ (t) = Arg f ′ (z) + Arg γ ′ (t) . 

La fórmula en el lema 3.1 nos da ya la interpretación geométrica de la

f ′ (z) ̸= 0): cuando otra curva γ b mediante

γ

derivada compleja (cuando

una curva

t es transformada en ′ f (z) ̸= 0, γ(t) = z , la tangente

una función derivable con

en

con tangente

z experimenta f ′ (z). curva γ en la γ b, el giro

de la curva en

un giro de

ángulo (exactamente) igual al Argumento de Obsérvese que al ser transformada la imenta en el punto

z

que exper-

no depende de las curvas, sino de la función

transforma una en otra. Es decir, todas las curvas que pasen por tratadas por

f

z

f

que

al ser

van a experimentar el mismo giro en dicho punto. Esto lo

podemos formalizar así:

Denición 3.2

γ1 : [a1 , b1 ] −→ C y γ2 : [a2 , b2 ] −→ C que pasan por un mismo punto z ∈ C: existen t1 ∈ [a1 , b1 ] y t2 ∈ [a2 , b2 ] tales que γ1 (t1 ) = γ2 (t2 ) = z . Supongamos que ambas admiten tangente en z . Se ′ ′ dene el ángulo de γ1 y γ2 en z como Arg (γ1 (t1 )) − Arg (γ2 (t2 )).

Corolario 3.1

Sean dos curvas

Una función derivable con derivada no nula conserva los án-

gulos. Demostración. Usando el lema 3.1, tenemos: Arg

(

) ( ′ ) ( ) ( ) ( ′ ) γ1′ (t) − Arg γ b1 (t) = Arg f ′ (z) = Arg γ2′ (t) − Arg γ b2 (t) ,

de donde se tiene que Arg

(

) ) ( ′ ) ( ) ( ′ b2 (t2 ) . γ1′ (t1 ) − Arg γ2′ (t2 ) = Arg γ b1 (t1 ) − Arg γ 

Denición 3.3 que

f

Sean

es conforme en

◦

Ω = Ω ⊂ C, f ∈ C (Ω), z ∈ Ω y w := f (z). Se z si se verican las siguientes dos condiciones:

106

dice

3.1. Interpretacióngeométrica de la derivada.Aplicaciones conformes a. para toda curva

f ◦γ

γ

en

Ω

tiene tangente en

γ1 y γ2 dos f ◦ γ2 , entonces

b. para

con tangente en

w;

z,

la curva transformada

γ b :=

y

curvas en

Ω

que se corten en

z

y

γ b1 := f ◦ γ1 , γ b2 :=

) ( ) ( ) ) ( ′ ( ′ b2 (t2 ) = Arg γ1′ (t1 ) − Arg γ2′ (t2 ) . Arg γ b1 (t1 ) − Arg γ Las guras 3.1, 3.2 y 3.3 muestran varios ejemplos de transformaciones que conservan, o no, ángulos.

z1

ω1

ω = f(z) z2

ω2

z

ω ω3

z3

Figura 3.1.

f

conserva ángulos.

ω1 z1

ω = f(z) z2

ω2

z

ω

z3

ω3

Figura 3.2.

f

no conserva ángulos.

107

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES

ω1

ω = f(z)

z1 z2

ω

z3

z

ω3

ω2

Figura 3.3.

f

conserva ángulos.

Es decir, ser conforme supone conservación de tangencia y de ángulos; concretamente, el corolario 3.1 se lee ahora así:

Corolario 3.2

Si una función es derivable con derivada no nula en un pun-

to, entonces es conforme en dicho punto. Vamos a encarar nuestro objetivo: hacer reversible el resultado anterior. Bajo hipótesis naturales de regularidad probaremos la condición a. en la denición 3.3.

Lema 3.2

◦

Ω = Ω ⊂ C, f ∈ C (Ω), z ∈ Ω y w := f (z). Supongamos que f es diferenciable (en el sentido real) en z con determinante jacobiano no nulo (|Jf (z)| ̸= 0). Si γ : [a, b] −→ Ω es una curva que pasa por z y tiene tangente en dicho punto z , entonces la curva γ b := f ◦ γ tiene tangente en w. Sean

Demostración. Para funciones de

R

en

R2 ,

diferenciabilidad y derivabilidad

son la misma cosa. Por la Regla de la Cadena para funciones diferenciables, la diferenciabilidad de

γ

conllevará la de

γ b

y se tiene:

γ b′ (t) = Jf (z)γ ′ (t) (γ b

′

(t)

y

γ ′ (t)

vectores en

R2 ).

Teorema 3.1 (|Jf

(z)| ̸= 0).

◦

Ω = Ω ⊂ C, f ∈ C (Ω), z ∈ Ω y supongamos que f es sentido real) en z con su determinante jacobiano no nulo

Sean

diferenciable (en el

|Jf (z)| ̸= 0, la diferencial Jf (z) es γ ′ (t) ̸= 0 conlleva γ b′ (t) ̸= 0. 

Por ser

una biyección lineal del plano, luego

Entonces, son equivalentes:

108

3.1. Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones conformes i.

f

es derivable en

z.

ii.

f

es conforme en

z.

Demostración. Para probar i. aplicar el corolario 3.2. Sean

99

=⇒ ii., basta ver que f ′ (z) ̸= 0 y, entonces, u := Re f, v := Im f y z := x + iy ∈ Ω. Las

ecuaciones de Cauchy-Riemann nos dan:

∂u ∂u ∂u ∂x ∂y ∂x = 0 = ̸ |Jf (z)| = ∂v ∂v ∂v ∂x ∂y ∂x ( )2 ( )2 ∂u ∂v 2 = + = f ′ (z) . ∂x ∂x ii.

=⇒

i. Basta ver que

f



verica las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

(

Vamos a hacer actuar la diferencial curvas concretas pasando por

∂v − ∂x ∂u ∂x

z.

Jf (z) :=

Sea

ρ>0

tal

) a b de f en z sobre dos c d que D(a, ρ) ⊂ Ω. Denamos

γ1 , γ2 : [0, ρ] −→ Ω; γ1 (t) := z + t, γ2 (t) := z + wt, ∀t ∈ [0, ρ] , w := α + iβ ∈ T,

γ1 y γ2 son z = γ1 (0) = γ2 (0) con tangentes γ1′ (0) = 1 y γ2′ (0) = w. Sean la nuevas curvas γ b1 := f ◦ γ1 y γ b2 := f ◦ γ2 . Aplicando el lema anterior, con la fórmula γ b′k (t) = Jf (z)γk′ (t), k = 1, 2,

donde

jo, pero arbitrario. Así denidas,

dos curvas que se cortan en

(

)( ) ( )  a b 1 a   { =  c d 0 c γ b′1 (0) = a + ic ( )( ) ( ) =⇒ ′ γ b2 (0) = (αa + βb) + i (αc + βd) a b α αa + βb   =  c d β αc + βd Como hay conservación de ángulos: Arg

(

) ( ) ( ) ) ( ′ b1 (0) = Arg γ2′ (0) − Arg γ1′ (0) , γ b′2 (0) − Arg γ (

entonces Arg

b′1 (0) γ b′2 (0) γ γ2′ (0) γ1′ (0)

109

) = 0,

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES es decir:

b′1 (0) γ b′2 (0) γ ∈ R+ , γ2′ (0) γ1′ (0)

o, lo que es lo mismo:

[(αa + βb) + i (αc + βd)] 1 [(αa + βb) + i (αc + βd)] = ∈ R+ (a + ic) w (a + ic) (α + iβ) (donde, recordemos,

α2 + β 2 = 1).

Particularizando en

α=0

y

(3.1)

β = 1,

se

tiene que

∃λ > 0 : b + id = λi (a + ic)

(3.2)

lo que sustituido en (3.1):

(a + ic) α + iλ (a + ic) β α + iλβ [(αa + βb) + i (αc + βd)] = = ∈ R+ . (a + ic) (α + iβ) (a + ic) (α + iβ) α + iβ Y otra vez hacemos elección adecuada para

1+iλ 1+i

∈ R+ ,

α

y

β: α = β =

√

2/2.

Así:

y, por tanto,

∃µ > 0 : 1 + iλ = (1 + i) µ =⇒ λ = µ = 1. Pero, entonces, de la fórmula (3.2) se sigue que

b + id = −c + ia =⇒ a = d, b = −c, es decir, la función diferenciable en

f

verica las ecuaciones de Cauchy-Riemann



z.

Corolario 3.3 plano

C,

Para un difeomorsmo real

f

entre dos abiertos

Ω1

y

Ω2

del

son equivalentes:

i.

f

es un isomorsmo (biyección biholomorfa).

ii.

f

es conforme en

Ω1 .

Por ello, y de ahora en adelante, a los isomorsmos acostumbraremos a llamarlos isomorsmos conformes.

110

3.1. Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones conformes 3.1.1.

101

Ejercicios propuestos

1. Hágase un estudio geométrico de la holomorfía en el origen de la función

z→ 2. Sea la función

f (z) :=

z2 , ∀z ̸= 0. z

z−1 , z+1

∀z ∈ C\ {−1} .

¾Dónde es holomorfa? Obténgase un desarrollo para tencias centrado en un punto arbitrario

f (R).

a ̸= −1.

f

en serie de po-

Calcúlense

f (iR)

y

¾Se conservan los ángulos bajo los que se cortan en el origen los

ejes coordenados y sus imágenes respectivas por

f

en el punto

f (0)?

3. Encuéntrese una transformación conforme que lleve el hemisferio norte del disco unidad

D↑ := {z ∈ D : Im z > 0}

en todo el disco unidad

D.

γ : [a, b] −→ C γ admite tangente en t, entendida ésta como el límite de la secante a γ ([a, b]) en z = γ (t). Justifíquese la necesidad de que la derivada sea no nula.

4. Pruébese que, bajo las condiciones de continuidad de y de derivabilidad en un punto

t,

con

γ ′ (t) ̸= 0,

la curva

5. Si la derivada es nula en un punto dado, nada se puede armar sobre la conservación o no de ángulos. (Examínense las funciones

f (z) = f (reiθ ) := r2 eiθ

y

g(z) = g(reiθ ) := r2 ei2θ

en el origen.) 6. No existe ninguna función holomorfa que conserve los ángulos en cualquier punto en el que su derivada se anule. Pero la diferencial puede anularse en un punto y conservar los ángulos. (Considérese la función

f (z) := z |z| en el origen para explicar lo anterior.) 7. Constrúyase un isomorsmo conforme del dominio unidad

a) b)

D,

en cada uno de los tres siguientes casos:

} { Ω := z ∈ C\{0} : |arg z| < π4 . √ √ } { Ω := z ∈ C : |z − 1| < 2, |z + 1| < 2 .

111

Ω

sobre el disco

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES c)

√ } { Ω := z ∈ C : |z − 1| < 2, Re z > 0 .

8. Encuéntrese una transformación conforme que lleve la banda semiinnita

{z ∈ C : Im z > 0, 0 < Re z < π} en un semiplano. 9. Encuéntrese una transformación conforme que lleve la región exterior al área común a los círculos

|z ± 1| ≤

√

2

en

C\D

la región exterior al

disco unidad.

a, b, c ∈ C, pruébese que existe una única circunferencia o única γ tal que a y b son simétricos respecto de γ y c ∈ γ .

10. Dados recta

11. ¾En qué es transformada una región cuadrangular mediante la función exponencial? (Reduce el razonamiento con el tal cuadrilátero al primer cuadrante.) 12. ¾En qué región es transformada una banda del plano por la función exponencial? ½No te olvides de estudiar los casos en los que la banda no sea vertical ni horizontal...! (Basta que te sometas a la consideración de una inclinación, digamos, de

45o .)

13. Halla la imagen de la banda (semi-innita)

{z ∈ C : Re z ≥ 0, 0 ≤ Im z ≤ π} por la función exponencial. Detalla las fronteras mutuamente correspondientes. 14. Prueba que la función

z −→ sen2 z

lleva la banda (semi-innita)

{z ∈ C : 0 ≤ Re z ≤ 2π, Im z ≥ 0} en el semiplano superior cerrado. (Comienza pensando en cómo la función

z −→ sen (z)

transforma dicha banda.) Indica las partes corres-

pondientes de las fronteras. 15. Compruebe que se tienen las siguientes transformaciones:

112

3.1. Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones conformes

V

Y

B B'

ω := z2

z

A' D'

C

U C'

D

A

X

V

Y B

B'

A'

C'

D'

A

z

ω : = z2

C D

U

X

V

Y D

A A'

z

C

ω:= z2

B'

B D'

X

113

C'

U

103

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES

V

Y B B' A C

A'

ω : = 1/z

z X

C'

U D'

D

V A'

Y

C A

B

z X

B'

ω : = 1/z

U

C'

Y D

V

E = iπ

F

z

C

B=0

A

ω : = ez

X

F'

114

E'

C'

= D' B' = 1 A' U

3.1. Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones conformes

Y E

V

D = iπ C'

z

z

ω:= e

C

B=0 X

A

E'

D'

Y

V E

iπ

B' =1 U

= A'

D C'

z F

ω : = ez

C F'

B

A

X

D'

Y

E

B' U

V

A

z

D - π /2

A'

E'

ω : = sen z

B C =0

π /2

X

E'

115

D' = -1 C' = 0 B' = 1

A' U

105

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES

V

Y

D

D'

A

z

ω : = sen z

D C

B = π /2

C'

X

A' U

B' = 1

Y V

B = π /2 + i b

C

D

z

ω : = sen z C'

D E = - π /2

F

D'

A = π /2 X

E' = -1 F'

Y

A' = 1

B'

U

V D'

z

ω : = ii - zz +

E'

C' = 1

A'

U

B' A

B = -1 C

D =1

E X

116

3.1. Interpretación geométrica de la derivada. Aplicaciones conformes

Y

V

A

B'

B=i C

z

ω:=

X

z-1 z+ 1

C'

A' E' U

D =-i D'

E

Y

V E'

D' = -2

C' B' = 2

A' U

C=i

E

D

=A

ω : = z +1/z

z

B =1 X

V

Y

z

E

D

B =1 A

ω : = z +1/z

E' D' = -2

X

117

C' B' = 2

A'

U

107

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES

V

Y C

z

ω : = z+1/z C'

F

D

E

A =1 B = b X

E' = - 2 F'

D'

A' = 2

B'

U

3.2. Transformaciones de Möbius Hay tres razones importantes (en las que no entraremos en detalles más que los necesarios para nuestro curso) para considerar las llamadas transformaciones de Möbius:

a.

algebraicas: son aplicaciones lineales de

b.

geométrico-analíticas: son funciones analíticas;

c.

físicas: relacionan

C

C2

en

C2 ;

y la teoría de la relatividad.

También se les acostumbra llamar, además, aplicaciones bilineales, transformaciones homográcas, o bien, fracciones lineales. Las transformaciones de Möbius son las funciones complejas de variable compleja de la forma

az + b cz + d complejos a, b, c, d son constantes a b c d = ad − bc ̸= 0. φ

z −→

donde los parámetros tricción

Sepamos (pues se verá más adelante) que esta tal del siguiente modo:

z −→ z + d/c b. una inversión: z −→ 1/z c. una homotecia y un giro: z −→

a. una traslación:

cb−ad z c2

118

φ

sometidas a la res-

se puede descomponer

3.2. Transformaciones de Möbius z −→ z + a/c. a b situación c d = 0,

d. otra traslación: Por tanto, la

a la vista del apartado c., nos

dice que la homotecia colapsa todo el plano en el origen. Son las llamadas transformaciones singulares. Nosotros, por tanto, estaremos interesados en las transformaciones no-singulares. Si se tiene que

c = 0,

φ(z) :=

az + b a b = αz + β, α := ̸= 0, β := cz + d d d

C en C vericando l´ımz→∞ φ(z) = ∞. Por tanto, si denimos φ (∞) := ∞, tenemos una biyección continua de C en C; es decir, un homeomorsmo, por la compacidad del propio C ampliado, C := C∪{∞}. Por otro lado, si c ̸= 0, resulta que tiene sentido { } d az + b , ∀z ∈ C\ − . φ (z) := cz + d c

es una biyección de

Pero

(pues

az + b a = w ∈ C ⇐⇒ w ̸= cz + d c w=

a c

⇐⇒ ad − bc = 0), w ̸=

de modo que

dw − b a =⇒ z = ∈ C. c a − cw

Resumiendo, la tal

} { {a} d −→ C\ φ : C\ − c c denida como arriba, es una biyección continua; y, además, verica

l´ım φ (z) = ∞

z→− dc

l´ım φ (z) =

y

z→∞

a . c

De este modo, deniendo

(

d φ − c

) := ∞

tendremos un homeomorsmo de

C

y

en

resultado:

119

φ (∞) :=

C,

a c

y podemos enunciar el siguiente

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES

Proposición 3.1

Sean

a, b, c, d ∈ C

tales que

ad − bc ̸= 0.

Si se dene

φ : C −→ C del siguiente modo: a. para

c = 0, az + b , ∀z ∈ C d φ (∞) := ∞ φ(z) :=

b. o bien, para

c ̸= 0, d az + b , ∀z ∈ C\{− } φ(z) := cz + d c ( ) d a φ − := ∞ y φ (∞) := , c c

entonces

φ

es un homeomorsmo de

C

en

C.

Denición 3.4

Llamamos transformación de Möbius de parámetros a, b, c, d ∈ C (con ad−bc = ̸ 0) a la función φ dada por la proposición 3.1. Denotamos ( ) por M C al conjunto de todas ellas. Observemos que no hay relación de inclusión alguna entre la clase anterior

y la clase de las funciones enteras.

Ejercicio 3.1

Justica las siguientes armaciones:

i. Todo polinomio de grado 1 es la restricción al plano de alguna

( ) M C .

φ ∈

( ) φ ∈ M C es una extensión al plano ampliado de alguna función racional en C. ( ) No toda función entera es restricción al plano de alguna φ ∈ M C .

ii. Toda

iii.

(Lo) que M C :

sí que podemos hacer es operar con plena libertad en la clase

Proposición 3.2

( ) M C

es un subgrupo (para la composición) del grupo de

los homeomorsmos del plano ampliado

120

C.

3.2. Transformaciones de Möbius Demostración. Bastará con probar que si

( ) M C .

( ) φ, ψ ∈ M C , entonces ψ◦φ, φ−1 ∈

Sean, donde tengan sentido, las siguientes expresiones:

φ(z) := (Concretamente, precisamos

az + b αz + β y ψ(z) := . cz + d γz + δ { ( ) } que z ∈ / ∞, φ−1 (∞) , φ−1 ◦ ψ −1 (∞) .) (

ψ [φ (z)] := ψ

) :=

α az+b cz+d + β γ az+b cz+d + δ

α (az + b) + β (cz + d) ζz + η =: , γ (az + b) + δ (cz + d) ξz + κ

=

ψ◦φ

es decir, la composición

az + b cz + d

Así:

se diferencia de algún elemento de

( ) M C

en,

a lo más, tres puntos. Argumentos de continuidad nos llevan a armar que ambas deben ser la misma función de

{

Para la inversa de

∞,

}

φ

C

en

C.

razonaremos del mismo modo, ahora para

a c , considerando

φ−1 (w) :=

w ∈ /

dw − b . −cw + a 

Con lo demostrado obtenemos un plus de información:

Corolario 3.4

La transformación

( A :=

a b c d

) −→ φA (z) :=

az + b cz + d

GL( (2, ) C) de las matrices de orden 2 con coecientes compleM C de las transformaciones de Möbius es un epimorsmo

del grupo lineal jos en la clase de grupos.

Y tal y como observamos al principio de esta lección, en el grupo existen varios subgrupos de interés:

a.

las traslaciones:

z −→ z + b, ∀z ∈ C

b.

las homotecias:

z −→ ρz, ∀z ∈ C

c.

los giros:

z −→ eiθ z, ∀z ∈ C

(b ∈ C) (ρ > 0)

(θ ∈ R)

121

( ) M C

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES

d.

las inversiones (el único que no deja jo al

e.

la identidad, ½por aquello de que sea grupo!:

Proposición 3.3

∞): z −→ 1/z, ∀z ∈ C\{0} z −→ z, ∀z ∈ C.

Toda transformación de Möbius se puede expresar como

composición de traslaciones, homotecias, giros e inversiones. Demostración. Sea

φ(z) :=

giro

z −→ ei arg(α) z Y si

c ̸= 0,

az+b cz+d . Para

homotecia

−→

|α| ei arg(α) z

podemos descomponer

z

traslación

−→

d z+ c

c = 0, φ (z) := αz + β ; traslación

−→

φ(z) = φ(z) −

inversión

−→

1 z+

a c

|α| ei arg(α) z + β. a c

+

( giro

d c )

así:

i arg

−→ e

( bc − ad i arg bc−ad 1 homotecia c2 −→ e 2 c z + dc ( ) bc − ad i arg bc−ad a 1 traslación e c2 + −→ 2 d c c z+ c

=

bc−ad c(cz+d)

bc−ad c2

)

1 z+

+

a c ; y así:

d c



que ya nos da lo deseado.

La utilidad que, en la práctica, le vamos a sacar a la estructura algebraica de la clase

( ) M C

se sigue manifestando en el siguiente resultado, de obvia

comprobación:

( ) M ⊂ M C y las familias de homotecias, giros, ( ) inversiones y traslaciones están en M , entonces para que M = M C es suciente que φ, ψ ∈ M =⇒ φ ◦ ψ ∈ M .

Corolario 3.5

Si

Esta sección la vamos a completar con el estudio de propiedades de carácter geométrico para los elementos de

( ) M C :

a.

Las transformaciones de Möbius son aplicaciones conformes.

b.

Las transformaciones de Möbius llevan circunrectas en circunrectas.

c.

Las transformaciones de Möbius conservan puntos simétricos (en el sentido en el que se van a denir) respecto de una circunrecta.

Proposición 3.4

Las transformaciones de Möbius son aplicaciones con-

formes.

122

3.2. Transformaciones de Möbius Demostración. Es consecuencia inmediata del corolario 3.5 (pues en los cuatro casos se trata de funciones derivables con derivada que no se anula) y de



la Regla de la Cadena.

Bajo el mismo hilo argumental, es decir, sacándole provecho al corolario 3.5, podemos probar que:

Proposición 3.5

La imagen por una transformación de Möbius de una cir-

cunrecta del plano ampliado es otra circunrecta. Demostración. Bastará con ver que la propiedad deseada se verica para las inversiones (en los demás casos, es trivialmente cierta); y, en particular, para

φ (z) := (es decir,

φ

0 −→ ∞).

Escribamos

1 , ∀z ∈ C z

w := 1/z

y por

Γ (A, B, C, D)

denotaremos

a la circunrecta de ecuación:

A (z + z) + iB (z − z) + C (zz − 1) + D (zz + 1) = 0. Así (y para operar cómodamente, supondremos

z∈ / {0, ∞}):

z ∈ Γ (A, B, C, D) ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 + + iB − +C −1 +D +1 =0 ⇐⇒ A w w w w ww ww ⇐⇒ A (w + w) + iB (w − w) + C (1 − ww) + D (1 + ww) = 0 ⇐⇒ w ∈ Γ (A, −B, −C, D) . Y, por otro lado:

0 ∈ Γ (A, B, C, D) ⇐⇒ D − C = 0 ⇐⇒ Γ (A, −B, −C, D)

es una recta

⇐⇒ ∞ ∈ Γ (A, −B, −C, D) , y también:

∞ ∈ Γ (A, B, C, D) ⇐⇒ Γ (A, B, C, D)

es una recta

⇐⇒ D + C = 0

⇐⇒ 0 ∈ Γ (A, −B, −C, D) . Por tanto,

z ∈ Γ (A, B, C, D) ⇐⇒ φ (z) ∈ Γ (A, −B, −C, D) , ∀z ∈ C.

123

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES  ¾Cómo se transforman las regiones del plano determinadas por circunrectas según transformaciones de Möbius? Será muy útil saber establecer determinados isomorsmos (conformes) del plano ampliado

C

vía transfor-

maciones de Möbius. Denotemos, por comodidad, terior e interior de

Γ,

Γ := C(a, r).

Denotaremos las regiones ex-

respectivamente, por:

Γ+ := {z ∈ C : |z − a| > r} ∪ {∞} Γ− := {z ∈ C : |z − a| < r} . Observemos que ambas son (las dos) componentes conexas de En el caso de que

Γ

C\Γ.

sea una recta, tendremos:

Γ := {z0 + λu : λ ∈ R} ∪ {∞} } { z − z0 ∈ R ∪ {∞} = z∈C: u (donde, sin pérdida de generalidad, podemos considerar bien

Re u = 0, Im u > 0). Γ

+

Γ−

Sean

y

Re u > 0

o

En este caso, se consideran los dominios:

) } { ( z − z0 >0 := z ∈ C : Im u { ( ) } z − z0 := z ∈ C : Im 0} son isomorfos. conformes: D y C En nuestra búsqueda de isomorsmos particulares, nos encontramos con que la única transformación de Möbius que deja invariantes al origen, a la unidad y al innito en el plano ampliado es la identidad:

Lema 3.3

Si

( ) φ ∈ M C

es tal que

φ (0) = 0, φ (1) = 1

y

φ (∞) = ∞,

entonces

φ (z) = z, ∀z ∈ C. φ(z) = az+b cz+d , ∀z ∈ C, a. φ (∞) = ∞ =⇒ c = 0 =⇒ φ (z) = αz + β; b. φ (0) = 0 =⇒ β = 0 =⇒ φ (z) = αz; y c. φ (1) = 1 =⇒ α = 1 =⇒ φ (z) = z .

Demostración. Como ha de ser

(La terna

{0, 1, ∞}

se sigue que:



es lo que se dice propia: sus elementos son distintos

dos a dos.) Además, que la imagen de una circunrecta por una transformación de Möbius sea la recta real (ampliada con

∞) nos permite establecer un potente

método de construcción de isomorsmos: analízalo en la demostación (parte existencia) del siguiente hecho.

Lema 3.4 ( ) Para cualquier φ ∈ M C tal que

terna (propia)

φ (z2 ) = 0, φ (z3 ) = 1

125

{z2 , z3 , z4 } ⊂ C, y

φ (z4 ) = ∞.

existe una única

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES Demostración. Denamos, para probar su existencia, la siguiente aplicación:

φ (z) :=

z − z2 z3 − z4 , ∀z ∈ C, z − z4 z3 − z2

{z2 , z3 , z4 } ⊂ C,

se verica trivialmente lo deseado; si, por el con-

trario, alguno de ellos es

entonces bastaría denir (de modo que queda

pues si

∞,

englobado en lo anterior, por argumentos de continuidad), justifícalo:

z3 − z4 z − z4 z − z2 z3 = ∞ =⇒ φ(z) := z − z4 z − z2 z4 = ∞ =⇒ φ(z) := z3 − z2 z2 = ∞ =⇒ φ(z) :=

φ. φyψ

para tener la existencia de Para la unicidad, si

son dos tales transformaciones de Möbius, en-

φ◦ψ −1 también lo será y, además, deja jos, uno a uno, [ a los−1elementos ] de la terna {0, 1, ∞}; y el lema 3.3 se encarga del resto: φ ◦ ψ (z) = z  para todo z ∈ C, de donde φ = ψ . tonces

A partir de este hecho, ya se puede intuir que hay muchas maneras (innitas, veremos) de transformar una circunrecta en otra dadas ambas a priori, mediante transformaciones de Möbius. Pero esto será consecuencia de otros hechos no menos notables.

Proposición 3.6 en

C,

Para cualesquiera ternas (propias)

existe una única transformación de Möbius

φ (zk ) = wk ,

φ

{z2 , z3 , z4} y {w2 , w3 , w4} tal que

k = 2, 3, 4.

Demostración. Existen únicas transformaciones de Möbius que llevan (según el orden dado por los puntos en cada trerna)

φ1

{z2 , z3 , z4 } −→ {0, 1, ∞}

y

φ2

{w2 , w3 , w4 } −→ {0, 1, ∞} . φ := φ−1 2 ◦ φ1 , tenemos la existencia. Para la unicidad, a φ, pero en iguales condiciones, tendríamos que [ ] ( ) φ1 ◦ ψ −1 ◦ φ ◦ φ−1 1 ∈M C

Considerando otra distinta

126

si

ψ

es

3.2. Transformaciones de Möbius deja ja la terna se sigue.

{0, 1, ∞}, luego es la identidad. En consecuencia, la unicidad 

Ahora, un hecho evidente... aquí su prueba:

Corolario 3.6

Por cualquier terna (propia)

{z2 , z3 , z4 } ⊂ C

del plano am-

pliado pasa una, y solo una, circunrecta.

{0, 1, ∞}, es claro que la R ∪ {∞}. Para los demás casos, podemos razonar la existencia de una única transformación de Möbius φ que lleva (los puntos uno a uno −1 (R ∪ {∞}) =: Γ′ de) la terna {z2 , z3 , z4 } en (los de) la {0, 1, ∞}. Pero φ es una circunrecta que contiene a la terna {z2 , z3 , z4 }, y, por tanto, si Γ fuese otra tal circunrecta, entonces se tiene {0, 1, ∞} ⊂ φ (Γ) , de donde Γ′ = φ−1 (R ∪ {∞}) = Γ.  Demostración. En el caso en el que la terna sea

circunrecta es

Corolario 3.7 C,

el conjunto

Dadas dos circunrectas

{

Γ

y

Γ′

distintas del plano ampliado

( ) } φ ∈ M C : φ (Γ) = Γ′

es innito. Demostración. Es inmediato sin más que pensar en la posibilidad en número ′ de escoger ternas (propias) de puntos en correspondientes elecciones de

φ.

Γ y Γ , respectivamente, y establecer 

El concepto de punto simétrico, como ya se anticipó, será clave para poder manipular con habilidad las transformacions de Möbius a la búsqueda de isomorsmos concretos. Para llegar a él usaremos el concepto de razón doble, que halla su sustento en el lema 3.4.

Denición 3.5 (Razón doble)

Dada una cuaterna (propia) de puntos del

{z1 , z2 , z3 , z4 } ⊂ C, se llama razón doble de dichos puntos (así ordenados) a la imagen de z1 por la única transformación de Möbius ( ) φ ∈ M C que lleva {z2 , z3 , z4 } en {0, 1, ∞} en dicho orden. Se expresará plano ampliado

(z1 , z2 , z3 , z4 ) := φ (z1 ) . Claramente, se verica que

φ (z) = (z, z2 , z3 , z4 ) , ∀z ∈ C.

127

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES

Proposición 3.7

La razón doble es un invariante para el grupo de las trans-

formaciones de Möbius; es decir: si

(z1 , z2 , z3 , z4 ) ∈ C

y

( ) φ ∈ M C ,

en-

tonces

(φ (z1 ) , φ (z2 ) , φ (z3 ) , φ (z4 )) = (z1 , z2 , z3 , z4 ) . ( ) Demostración. Dadas (z1 , z2 , z3 , z4 ) ∈ C y φ ∈ M C , sean

las razones

dobles siguientes

( ) ψ1 ∈ M C : ψ1 (z) = (z, z2 , z3 , z4 ) , ∀z ∈ C; ( ) ψ2 ∈ M C : ψ2 (w) = (w, φ (z2 ) , φ (z3 ) , φ (z4 )) , ∀w ∈ C (que sabemos que existen y que son únicas). Pero entonces:

(

) ψ2 ◦ φ ◦ ψ1−1 (w) = w, ∀w ∈ C,

de donde

ψ2 ◦ φ = ψ1 , y, por tanto,

(z1 , z2 , z3 , z4 ) = ψ1 (z1 ) = (ψ2 ◦ φ) (z1 ) = ψ2 [φ (z1 )] = (φ (z1 ) , φ (z2 ) , φ (z3 ) , φ (z4 )) . 

Corolario 3.8

Cuatro puntos (distintos) cualesquiera del plano ampliado

están sobre una misma circunrecta si, y solo si, su razón doble (la de cualquiera de ellos respecto de los otros tres) es un número real. Demostración. Supongamos que existe una circunrecta que los contiene:

( ) {z1 , z2 , z3 , z4 } ⊂ Γ. Ha de existir una única φ ∈ M C tal que {z2 , z3 , z4 } se transforma en la terna {0, 1, ∞}. Pero, entonces,

la terna

φ (z1 ) = (z1 , z2 , z3 , z4 ) ∈ φ (Γ) = R ∪ {∞}, ∞ = φ (z4 ) ̸= φ (z1 ), ha de ser φ (z1 ) ∈ R. −1 (R ∪ {∞}) es una Recíprocamente, si φ (z) ∈ R, ∀z ∈ C, entonces φ circunrecta que contiene a la cuaterna {z1 , z2 , z3 , z4 }, es decir, se trata de Γ. 

pero como

La idea intuitiva de lo que es la simetría respecto del eje real y la existencia y unicidad de las trasformaciones de Möbius respecto de cómo transformar una terna dada en otra, justica la siguiente

128

3.2. Transformaciones de Möbius

Denición 3.6 (Puntos simétricos respecto de una circunrecta) Dados una circunrecta

Γ y dos puntos z, w ∈ C, diremos ( ) que estos son simétricos φ ∈ M C tal que φ (Γ) = R ∪ {∞}

respecto de aquélla si existe una (única) y

φ (z) = φ (w). Es necesario poner de maniesto la coherencia de la denición; es decir,

que el conjugado

w

es único para

z

y

φ

dados. Comenzamos con un lema

que trivializa el contexto, pero es suciente para nuestros propósitos.

Lema 3.5

Si

( ) φ∈M C

es tal que

φ (R ∪ {∞}) = R ∪ {∞},

entonces

φ (z) = φ (z) , ∀z ∈ C. Demostración. Podemos escribir

x2 := φ−1 (0) , x3 := φ−1 (1) , x4 := φ−1 (∞) ∈ R ∪ {∞}. Ha de ser

φ(z) = (z, x2 , x3 , x4 ) , ∀z ∈ C, y tendremos:

φ (z) = (z, x2 , x3 , x4 ) = (z, x2 , x3 , x4 ) = (z, x2 , x3 , x4 ) = φ (z), ∀z ∈ C. 

Proposición 3.8

Sean Γ una circunrecta y z ∈ C. Entonces existe un único z ∗ ∈ C tal que z ∗ y z son simétricos respecto de Γ. Además, para cualesquiera {z2 , z3 , z4 } ⊂ Γ, se tiene que

(z ∗ , z2 , z3 , z4 ) = (z, z 2 , z 3 , z 4 ) . Demostración. Comenzamos probando la unicidad. Notemos por ∗

z sean simétricos ) ( z ∗ = φ−1 φ (z) .

transformación que nos da el hecho de que de

Γ: φ (Γ) = R ∪ {∞}

y

z

y

Supongamos, por reducción al absurdo, que tal simétrico

( ) ∃w ∈ C, ∃ψ ∈ M C : ψ (Γ) = R ∪ {∞}

129

y

z∗

φ

a la

respecto

no sea único:

ψ (w) = ψ (z).

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES Pero, entonces,

∞)

( ) φ ◦ ψ −1 ∈ M C

deja invariante el eje real (junto al punto

y podemos aplicarle el lema anterior:

( ) ( ) φ (w) = φ ◦ ψ −1 ◦ ψ (w) = φ ◦ ψ −1 (ψ (w)) ) ( )( = φ ◦ ψ −1 ψ (z) = (φ ◦ ψ −1 ) (ψ (z)) = φ (z), de donde

φ (w) = φ (z) = φ (z ∗ ) =⇒ w = z ∗ .

Vamos con el además, de donde nos surgirá, como propina, la existencia. Para una terna

{z2 , z3 , z4 } ⊂ Γ,

sea la

( ) φ∈M C

φ (z) = (z, z2 , z3 , z4 ) , ∀z ∈ C. Claramente, por ser razón doble,

φ (z ∗ ) = φ (z);

φ (Γ) = R ∪ {∞}

y

tal que

( ) z ∗ = φ−1 φ (z) =

luego

(z ∗ , z2 , z3 , z4 ) = (φ (z ∗ ) , φ (z2 ) , φ (z3 ) , φ (z4 )) = φ (z ∗ ) = φ (z) = (z, z2 , z3 , z4 ) = (z, z 2 , z 3 , z 4 ) , ∀z ∈ C. 

Proposición 3.9 ( )

La propiedad de simetría es un invariante para el grupo ∗ de las transformaciones de Möbius; es decir, si z y z son simétricos ∗ respecto de Γ, entonces φ (z ) y φ (z) son simétricos respecto de φ (Γ) , ∀φ ∈

M C

( ) M C .

Demostración. Objetivo: encontrar

Sea, pues

( ) b∈M C ψ

tal que

b (φ (Γ)) = R ∪ {∞} y ψ b (φ (z)) = ψ b (φ (z ∗ )) . ψ ( ) existe, la ψ ∈ M C tal que ψ (Γ) = R ∪ {∞}

y

ψ (z) = ψ (z ∗ ) .

Ocurre que

( ) ψ ◦ φ−1 ∈ M C Además,

(

y

(

) ψ ◦ φ−1 (φ (Γ)) = ψ (Γ) = R ∪ {∞}.

) ψ ◦ φ−1 (φ (z ∗ )) = ψ (z ∗ ) = ψ (z)

130

3.2. Transformaciones de Möbius y

ψ (z) = (ψ ◦ φ−1 ) (φ (z)), luego basta hacer

b := ψ ◦ φ−1 . ψ



Concluimos con dos ejemplos (que será bueno llevar en la memoria, de ahora en adelante) de cálculo efectivo de simétricos.

Ejemplo 3.2 (Simetría respecto de una recta) notemos

z2 := a, z3 := b, z4 := ∞.

Sean

a, b, ∞ ∈ Γ,

y de-

Como ha de ser:

(z ∗ , z2 , z3 , z4 ) = (z, z 2 , z 3 , z 4 ) , (con

z4 = ∞)

se tiene que

z ∗ − z2 z∗ − a z − z2 z−a = =⇒ = ; z3 − z2 z3 − z2 b−a b−a es decir,

|z ∗ − a| = |z − a| = |z − a| .

De la arbitrariedad de

a

en

Γ

se sigue que

z

y

z∗

equidistan de

Ejemplo 3.3 (Simetría respecto de una circunferencia)

Γ. Sea

Γ := C(a, R).

En este caso tendremos:

(z ∗ , z2 , z3 , z4 ) = (z, z 2 , z 3 , z 4 ) = (z − a, z 2 − a, z 3 − a, z 4 − a) ( ) 2 ( ) φ R :φ∈M C = vía w −→ w ( 2 ) R R2 R2 R2 = , , , z − a z2 − a z3 − a z4 − a ( 2 ) R = , z2 − a, z3 − a, z4 − a z−a ( 2 ) R = + a, z2 , z3 , z4 z−a R2 R2 =⇒ z ∗ = + a ⇐⇒ z ∗ − a = , z−a z−a y basta poner

z∗

donde ponga

Nótese que si

a = 0,

z

en la ecuación de la circunferencia. 2 z ∗ = Rz ; y si, además, R = 1,

entonces

z∗ = es el simétrico de

z

1 = z −1 z

respecto de la circunferencia unidad

131

T.

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES 3.2.1.

Ejercicios propuestos

1. Pruébese que las transformaciones de Möbius que dejan invariante el eje real se pueden escribir con sus cuatro parámetros reales. 2. Encuentre una transformación de Möbius que aplique la circunferencia unidad

T en una

recta vertical, el punto 4 en el origen y a la circunfer-

encia de radio 2 centrada en el origen la transforma en sí misma. 3. Encuentre una transformación de Möbius que aplique el dominio

Ω := {z ∈ C : Re z > 0, |z − 2| > 1} sobre el anillo

A (0; ρ, 1),

para conveniente

0 < ρ < 1.

4. Pruébese que toda transformación de Möbius, distinta de la identidad, tiene uno o dos puntos jos en el plano ampliado

C.

Determine todas

las transformaciones de Möbius que tienen

a. b. 5. Sea

a

∞

a

0

Φ

como único punto jo;

e

∞

como puntos jos.

a, b ∈ C como puntos jos. λ ∈ C\{0}, tal Φ responde a la fórmula

una transformación de Möbius con

Pruébese que, para conveniente

Φ(z) − a z−a =λ . Φ(z) − b z−b Pruébese que toda recta o circunferencia que pase por

λ circunferencia respecto de la que a en sí misma si, y sólo si, |λ| = 1. por

Φ

en sí misma si, y sólo si,

a

y

b,

se aplica

es real. Pruébese que toda recta o y

b

sean simétricos, se aplica por

Φ

6. Calcúlense todas las transformaciones de Möbius que llevan el disco unidad

D

en sí mismo.

7. Encuéntrense todas las transformaciones de Möbius que aplican el semiplano superior en el disco unidad. 8. Sean

a, b ∈ C

y

r, s > 0. Encuéntrense D(a; r) en D(b; s).

Möbius que aplican

132

todas las transformaciones de

3.2. Transformaciones de Möbius 9. Caracterícese la condición que han de vericar los números

C,

a, b, c, d ∈

para que la aplicación de Möbius

φ(z) :=

az + b cz + d

transforme el semiplano superior en sí mismo. (Vuelve al ejercicio 1.) 10. Determínense todas las transformaciones de Möbius que representen giros en la esfera de Riemann. 11. Determínese el grupo de transformaciones de Möbius que corresponden a rotaciones de la esfera de Riemann y que transforman los puntos

b

a

y

en la proyección estereográca uno en el otro.

12. Halle los grupos de transformaciones de Möbius que corresponden, en la proyección estereográca, a la rotación de la esfera:

a ) alrededor del diámetro vertical; b ) alrededor del diámetro paralelo al eje real; c ) alrededor del diámetro paralelo al eje imaginario; d ) alrededor de aquel diámetro para el que un punto

a ∈ C

es la

proyección estereográca de uno de sus extremos.

Ω al semiplano superior abierto. Obténgase una transΩ en el disco unidad D, que lleve la terna {−1, 0, 1} en la terna {−1, −i, 1}. Obténgase un z tal que f (z) = 0. i Obtenga f ( ). (Indicación, por si te vale: f = φ ◦ s ◦ ψ, con φ, ψ de 2 2 Möbius y s(λ) := λ .)

13. Designemos por

formación conforme de

14. ¾Puede encontrarse alguna transformación de Möbius que transforme un cuadrado en un triángulo? 15. Pruébese que la aplicación

z→z

no es una transformación de Möbius.

16. Sean las transformaciones de Möbius dadas por

f (z) := Calcule

f (g(z)), g(f (z))

y

z+2 z ; g(z) := . z+3 z+1

f −1 (g(z)).

17. Exprese la razón doble correspondiente a las 24 permutaciones de cuatro puntos en términos de

λ := (z1 , z2 , z3 , z4 ) .

133

CAPÍTULO 3. APLICACIONES CONFORMES 18. Encuentre una transformación de Möbius que aplique la circunferencia unidad

T

en la circunferencia

lleve el origen a

C(1; 2),

que deje jo al punto

−1

y que

i.

19. Encuentre una transformación de Möbius que aplique el dominio

Ω := {z ∈ C : |z| < 5, |z − 2| > 2} sobre el anillo

A (0; ρ, 1),

para conveniente

0 < ρ < 1.

20. Constrúyase un isomorsmo conforme del dominio unidad

a) b) c)

D,

Ω

sobre el disco

en cada uno de los tres siguientes casos:

{ } Ω := z ∈ C\{0} : |arg z| < π4 . √ √ } { Ω := z ∈ C : |z − 1| < 2, |z + 1| < 2 . √ { } Ω := z ∈ C : |z − 1| < 2, Re z > 0 . a, b, c ∈ C, pruébese que existe una única circunferencia o única γ tal que a y b son simétricos respecto de γ y c ∈ γ .

21. Dados recta

22. Halle la homografía (ya sabes, la transformación de Möbius) que transforma la terna de puntos

{−i, 0, i} en la terna {−1, i, 1}. ¾En qué curva Re z = 0?

es transformado el eje imaginario

23. ¾Puede ser transformada una banda en todo el plano mediante una transformación de Möbius? ¾Y mediante otro tipo de aplicación conforme? 24. Consideremos la transformación

φα (z) := (con

z−α , ∀z ∈ C 1 − αz

α ∈ D).

a ) Pruébese que: 1) se trata de una biyección del disco unidad 2) lleva la circunferencia unidad 3) 4)

T

D

sobre sí mismo;

sobre sí misma;

φα (α) = 0, φ−1 α (z) = φ−α (z); 1 ′ φα (0) = 1 − |α|2 , φ′α (α) = 1−|α| 2.

b ) Obténganse los puntos jos de esta transformación. ¾Existe alguna recta que se quede invariante por dicha transformación?

134

3.2. Transformaciones de Möbius 25. Obténganse todos los complejos

α

fα (z) := sea una biyección del disco unidad

135

para los que la función

z 1 + αz 2 D

sobre sí mismo.

Capítulo 4 Teorema de Cauchy local. Primeras aplicaciones

4.1. Integral curvilínea. Caracterización de la existencia de primitiva En este capítulo se afronta el problema que en Variable Real se conoce como Teorema Fundamental del Cálculo: existencia de primitiva (y su caracterización) para una función dada. Al igual que en el caso real, habremos de denir el concepto de integral, ahora ya en sentido complejo; y, por tanto, la integración a lo largo de curvas aparecerá de modo natural. Este problema se encuentra en la base de la llamada Teoría de las Funciones Analíticas, estudiada por Cauchy (allá por 1840). De hecho, la condición que caracterizará la existencia de primitiva será la tesis que aparecerá en las próximas secciones, en los llamados teoremas de tipo Cauchy; a saber, que

∫ f =0 γ

donde

f

será una función holomorfa en un abierto

un camino en

Ω,

Ω

del plano complejo y

γ

más una hipótesis adicional que precisaremos (unas veces

sobre el dominio, otras sobre la función, otras sobre el camino). Nótese lo poco práctico que resultaría estar a la espera de probar este tipo de hipótesis (½para toda función y para todo camino, dado un abierto!, por ejemplo). Nuestra esperanza es de tipo teórico: encontrar esas hipótesis adicionales y lograr dicha condición. Por tanto, un plan de trabajo podría ser (y va a serlo) el siguiente: 127

136

128

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

1. Daremos la denición de integral de Riemann para funciones complejas

∫b

de variable real:

a

f ∈ C.

2. Deniremos la integral a lo largo de una curva regular a trozos:

C.

∫

3. Estudiaremos la dependencia de podremos considerar la función

γ

f

respecto de la curva

γ;

∫ γ

f∈

y así,

∫

F (z) :=

f (w) dw. γz

4.1.1.

Integral de Riemann de funciones complejas de variable real

Denición 4.1

Sea una función

integrable Riemann en

Im f

[a, b]

f : [a, b] ⊂ R −→ C.

f es Re f e

Diremos que

si las funciones reales de variable real

lo son (en el sentido ya estudiado en una variable real). En este caso,

llamamos integral de la tal función al número complejo

∫

∫

b

a

∫

b

f :=

b

(Re f ) + i a

(Im f ) . a

∫b a f (t)dt en favor de a f.) a la clase de todas las funciones complejas inte-

(Siempre que se pueda, se evitará la expresión grables Riemann

RC ([a, b]) en [a, b] .

Denición 4.2

Sean una función

Denotaremos por

∫b

f : [a, b] ⊂ R −→ C y P := {t0 , t1 , . . . , tn } ∈ π ([a, b]), una partición de [a, b]. Diremos del complejo α que es una suma integral de f respecto de P , si existen x1 , x2 , . . . , xn ∈ [a, b] tales que xk ∈ [tk−1 , tk ] , k = 1, 2, . . . , n

pecto de la

∑

Proposición 4.1 i. La función

f

α=

f (xk ) (tk − tk−1 ) .

k=1

(f, P ) partición P .

Notaremos por

y

n ∑

al conjunto de todas las sumas integrales de

Sea una función

f : [a, b] ⊂ R −→ C.

f

res-

Son equivalentes:

es integrable.

ii. Existe un complejo

I

tal que

di´am∑ (P ) < δ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : P ∈ π ([a, b]) , α∈ (f, P )

137

} =⇒ |α − I| < ε.

4.1. Integral curvilínea. Caracterización de la existencia de primitiva Demostración. i.

=⇒

Im α ∈

∑

=⇒ i., (Re f, P ) 

ii. es evidente. Por otro lado, para probar ii.

∑

α∈

basta caer en la cuenta de que si e

129

(f, P ) , entonces Re α ∈

∑

(Im f, P ).

Teorema 4.1 (de Lebesgue)

Sea una función

f : [a, b] ⊂ R −→ C acof ∈ RC ([a, b]) es que el

tada. La condición necesaria y suciente para que conjunto de puntos de discontinuidad de

D(f )

Demostración. Llamemos

f

sea un conjunto de medida nula.

al tal conjunto. Como se tiene

D(f ) = D (Re f ) ∪ D (Im f ) , podemos aplicar lo que sabemos de la integral de Riemann en una variable



real.

Enunciamos a continuación algunas consecuencias de este hecho sobre las propiedades de

RC ([a, b]).

Proposición 4.2

La clase

RC ([a, b]) es un álgebra y el funcional f −→

∫b a

f

es lineal.

RC ([a, b]) es eviα, β ∈ C, las funciones αf + βg y f g están acotadas si f y g . Además, si son elementos de RC ([a, b]), como

Demostración. La linealidad del funcional denido sobre dente. Para escalares lo están, a su vez,

D (αf + βg) ⊂ D (f ) ∪ D (g)

y

D (f g) ⊂ D (f ) ∪ D (g) , 

se tiene lo deseado. Ahora, una propiedad de modularidad:

Proposición 4.3

Si

f ∈ RC ([a, b]),

entonces

|f | ∈ RC ([a, b]).

Además,

∫ b ∫ b ≤ f |f | . a

a

Demostración. El teorema de Lebesgue nos proporciona la modularidad de

RC ([a, b]).

Para el además, pongamos

∫

b

∫ b f . f := ρe ; ρ := iθ

a

a

138

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

130

Como

−iθ

∫

∫

b

ρ=e

b

f= a

e−iθ f ∈ R,

a

entonces (ojo, que no hay cuidado ahora, estamos trabajando con reales):

∫

b

ρ=

−iθ

e

∫

b

f=

a

a

( ) ∫ b −iθ −iθ Re e f ≤ e f ; a



por tanto, lo deseado.

Algunos resultados se pueden obtener bajo la sencilla consideración de las partes real e imaginaria de la función a tratar:

Proposición 4.4

Sean

f ∈ RC ([a, b])

y

g : [a, b] −→ C.

Si el conjunto

{x ∈ [a, b] : f (x) ̸= g(x)} es nito, entonces

g ∈ RC ([a, b])

Proposición 4.5

Sean

Si

f ∈ RC ([α, β]) ,

y las integrales coinciden.

a, b, c ∈ R

y

α := m´ın {a, b, c} , β := m´ax {a, b, c}.

entonces la tres integrales siguientes tienen sentido, y se

verica la fórmula:

∫

∫

b

Teorema 4.2 (Regla de Barrow)

F ′ ∈ RC ([a, b]). ∫

b

c

a

a

b

f.

f+

f=

ble. Supongamos que

∫

c

Sea una función

F : [a, b] −→ C deriva-

Entonces:

F ′ = F (b) − F (a).

a

Teorema 4.3 (del cambio de variable) monótona y derivable. Supongamos que ción i.

f : φ ([a, b]) −→ C

integrable. Entonces se tienen:

(f ◦ φ) φ′ ∈ RC ([a, b]) ∫

∫

φ(b)

f=

ii.

φ(a)

b

Sea una función

φ′ ∈ RC ([a, b]).

(f ◦ φ) φ′ .

a

139

φ : [a, b] −→ R

Sea ahora una fun-

4.1. Integral curvilínea. Caracterización de la existencia de primitiva 4.1.2.

131

Integración sobre curvas

Denición 4.3 camino). Si integral de

f

f

Sea

γ : [a, b] −→ C

una curva regular a trozos (o sea, un

es una función compleja de variable compleja, llamaremos

sobre

γ

al número complejo

∫

∫

b

f := γ

(f ◦ φ) φ′ .

a

Está plenamente justicada la coherencia de esta denición:

[a, b] y γ ′ está denida, salvo ′ secuentemente (f ◦ φ) φ ∈ RC ([a, b]). continua en

Ejemplo 4.1

Sea el segmento

da, es regular. Si

f ◦γ

es

un número nito de puntos; con-

[z, w]∗ ⊂ C.

La curva

[z, w]

por él determina-

f es una función continua sobre el segmento dado, entonces ∫ ∫ 1 f= f [(1 − t) z + tw] (w − z) dt. [z,w]

Proposición 4.6

0

∗ una curva regular a trozos y sea C (γ ) la clase de ∗ todas las funciones complejas denidas sobre γ . El funcional sobre la tal Sea

γ

clase, dado por la expresión

∫ f −→

f, γ

es lineal y continuo. En particular:

∫ f ≤ ∥f ∥ long (γ) , γ

donde

∥f ∥

es el máximo de la función

f

sobre (el compacto)

γ∗.

Demostración. La linealidad es evidente. Para la continuidad, razonamos así:

∫ ∫ b ∫ b ′ f = (f ◦ φ) φ ≤ |f ◦ φ| φ′ γ a a ∫ b ′ ≤ ∥f ∥ φ = ∥f ∥ long (γ) , a



luego continuidad.

Denición 4.4

Dos curvas regulares a trozos se dicen equivalentes si existe

un difeomorsmo de clase 1, y (estrictamente) creciente, que transforma una en otra. Si llamamos

γ1

y

γ2

a las dos tales curvas, denotaremos

140

γ1 ∼ γ2 .

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

132

Nótese que

γ1 ∼ γ2 =⇒ γ1∗ = γ2∗ ,

Proposición 4.7

Si

γ1 ∼ γ2

y

pero el recíproco es falso.

f ∈ C (γ1∗ ), entonces ∫ ∫ f= f. γ1

γ2

Es decir, sobre curvas regulares a trozos la función continua a integrar no depende de la parametrización que se haga de la curva. Demostración. Todo es elemental haciendo uso del teorema 4.3 (de cambio de variables). Llamemos

∫

∫ f=

γ2

d

φ al difeomorsmo de [a, b] en [c, d] tal que γ2 ◦ φ = γ1 : ∫

(f ◦ γ2 ) γ2′ =

c

b

( ) (f ◦ γ2 ◦ φ) γ2′ ◦ φ φ′ =

a

Proposición 4.8

Si

γ

∫

b

(f ◦ γ1 ) γ1′ =

a

es una curva regular a trozos y

∫ −γ

∫ f.  γ1

f ∈ C (γ ∗ ),

entonces

∫ f =−

f. γ

Demostración. Cálculos elementales, como en la demostración anterior, pero vamos a ser precisos (pocas veces más se nos verá con tanto detalle dentro de la integral):

∫

∫

b

f (z) dz = −γ

( ) [f ◦ (−γ)] (t) −γ ′ (t) dt

a

∫

b

f (γ (b − a + t)) γ ′ (t) dt a ∫ b ∫ ′ = − f (γ (s)) γ (s) ds = − f. = −

a



γ

½Aquí ha sido clave que el difeomorsmo que transforma

γ

en su opuesta

no sea creciente!

Proposición 4.9

γ1 : [a, b] −→ C y γ2 : [c, d] −→ C dos curvas γ2 (c) = γ1 (b). Si f ∈ C (γ1∗ ∪ γ2∗ ), entonces: ∫ ∫ ∫ f= f+ f.

Sean

lares a trozos tales que

γ1 +γ2

γ1

141

γ2

regu-

4.1. Integral curvilínea. Caracterización de la existencia de primitiva

133

Demostración. Una vez más, el teorema 4.3 del cambio de variables (en el segundo sumando para la última igualdad, para el cambio

s := t − b + c) nos

dará lo deseado:

∫

∫

b+d−c

f = γ1 +γ2

[f ◦ (γ1 + γ2 )] (γ1 + γ2 )′

a

∫

b

∫

′

b+d−c

[f ◦ (γ1 + γ2 )] (γ1 + γ2 ) + [f ◦ (γ1 + γ2 )] (γ1 + γ2 )′ a b ∫ b ∫ b+d−c ∫ ∫ = (f ◦ γ1 ) (γ1 )′ + (f ◦ γ2 ) (γ2 )′ = f+ f. 

=

a

b

γ1

γ2

En la siguiente proposición nos detenemos en la integración sobre caminos (curvas regulares a trozos) cerrados; y nos va a decir que, en esos casos, la integración será independiente del punto que escojamos como inicio y nal del recorrido.

Proposición 4.10 Para

c ∈ ]a, b[,

Sea

γ : [a, b] −→ C

una curva regular a trozos cerrada.

sea la nueva curva

σ : [c, b + c − a] −→ C dada por

{

γ (t) , c≤t≤b γ (t − b + a) , b ≤ t ≤ b + c − a.

σ (t) := (Nótese que

σ ∗ = γ ∗ .)

f ∈ C (γ ∗ ) , entonces ∫ ∫ f = f.

Si

σ

γ

Demostración. Son cálculos (con un cambio de variable,

s := t + a − b,

cómo

no):

∫

∫

a

′

∫

b

′

∫

c+b−a

(f ◦ σ) σ = (f ◦ σ) σ + (f ◦ σ) σ ′ c c b ∫ b ∫ c+b−a ∫ b ∫ c ′ ′ ′ = (f ◦ γ) γ + (f ◦ γ) γ = (f ◦ γ) γ + (f ◦ γ) γ ′ c b c a ∫ b ∫ = (f ◦ γ) γ ′ = f. 

f = σ

c+b−a

γ

142

134

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

4.1.3.

Caracterización de la existencia de primitiva

Lema 4.1 y

F

Sean

Ω un abierto del plano, f

una función continua en el abierto ′ otra función holomorfa en el abierto y tal que F (z) = f (z) en todo punto

del abierto. Sea

γ : [a, b] −→ Ω un camino. Entonces: ∫ f = F (γ(b)) − F (γ(a)). γ

Demostración. Con la ayuda de la regla de Barrow para funciones de

C, ∫

tenemos:

∫

f = γ

b

′

∫

(f ◦ γ) γ =

a

b

∫

′

b

f (γ) γ =

′

∫

′

b

F (γ) γ =

a

a

R

en

(F ◦ γ)′

a

= F (γ(b)) − F (γ(a)).



Observemos qué es lo que acabamos de probar: si una función admite primitiva, su integral no depende, para nada, del recorrido de la curva, sólo de sus valores extremos. En consecuencia, una condición necesaria para la existencia de primitiva es que su integral no dependa del camino que se recorre. Así, si el camino es cerrado, su integral será nula. Casos particulares, destacables, se explicitan en el siguiente

Corolario 4.1

Para cualquier camino cerrado en

∫

∫

dz = γ

C:

z dz = 0. γ

Demostración. Es trivial sin más que considerar los casos en los que z2 y z −→ 2 .

z −→ z

F

sea



La propiedad dada por el lema 4.1 caracteriza, de hecho, la existencia de primitiva:

Lema 4.2 (de construcción de Primitivas) y

F : Ω −→ C.

Sean

Supongamos que

∀β ∈ Ω, ∃ρ > 0 : D (β, ρ) ⊂ Ω y

∫ F (z) = F (β) +

f,

∀z ∈ D(β, ρ).

[β,z] Entonces,

f

admite primitiva en

F ∈ H (Ω)

y

Ω;

concretamente:

F ′ (z) = f (z), ∀z ∈ Ω.

143

◦

Ω = Ω ⊂ C, f ∈ C (Ω)

4.1. Integral curvilínea. Caracterización de la existencia de primitiva

135

β jo, pero arbitrario, en Ω. Objetivo: probar que F es ′ derivable en β con F (β) = f (β). Por la continuidad de f , y con la notación de la hipótesis, para cada ε > 0, existe δ ∈ ]0, ρ[ tal que Demostración. Sea

|w − β| < δ =⇒ |f (w) − f (β)| < ε. Razonamos para

|z − β| < δ :

∫ |F (z) − F (β) − f (β)(z − β)| = f − f (β)(z − β) [β,z] ∫ ∫ ∫ = f− f (β) = [f − f (β)] [β,z] [β,z] [β,z] ∫ ≤ |f − f (β)| ≤ ε |β − z| , [β,z]

F (z) − F (β) − f (β) −→ 0, z −→ β =⇒ z−β

luego

y, por tanto, existe en

F ′ (β) = f (β).

β

La arbitrariedad de

nos da lo deseado



Ω.

Teorema 4.4 i.

f ∫

Sean

◦

Ω=Ω⊂C

admite primitiva en

f =0

ii.

y

f ∈ C (Ω).

Son equivalentes:

Ω

para todo camino cerrado con soporte en

Ω

γ Demostración. i.

=⇒

ii. ya nos lo dio el lema 4.1. Probemos ahora, con

la ayuda del lema 4.2 de construcción de primitivas, que ii. pérdida de generalidad si suponemos que

α y z en Ω, sea γz z . Denamos

Ω

=⇒

i. No hay

es un dominio (¾por qué?): para

cualquier camino (de soporte) en

Ω de origen α y extremo

∫ F (z) :=

f. γz

Veamos que, en efecto, podemos considerarla como una buena denición; es decir, que no depende del recorrido escogido para ir de dos tales caminos, el nuevo camino

∫

0=

∫

f= γ+(−σ)

∫

f+ γ

α

a

z.

Si

γ

γ + (−σ), será cerrado; luego: ∫ ∫ ∫ f =⇒ f =− f= f.

−σ

γ

144

−σ

σ

y

σ

son

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

136

Vamos ya a probar la derivabilidad de

D(β, ρ) ⊂ Ω.

que

F:

para

z ∈ Ω, arbitrario: ∫ ∫ F (z) = f = F (β) +

β ∈ Ω,

existe

ρ>0

Sea

γβ +[β,z]

f,

[β,z]

luego el lema de construcción de primitivas nos da lo deseado.

Corolario 4.2

tal

Sean

p : C −→ C

cualesquiera. Entonces:

un polinomio y

C(a, r)



una circunferencia

∫ p = 0. C(a,r)

Ya es sabido por nosotros, pero ahora lo probaremos con otras técnicas, que:

Corolario 4.3

z −→

1 z no admite primitiva en ningún abierto que contenga a la circunferencia unidad T. La función

Demostración. Como

∫ T

dz = z

∫

π

−π

ieit dt = i2π ̸= 0, eit

no verica ii. en el teorema 4.4 y, por tanto, tampoco i.

4.1.4.



Ejercicios propuestos

1. Dibuja las siguientes curvas:

∀t ∈ [0, 2π] , (a, b > 0)

a)

γ (t) := a cos t + ib sen t,

b)

γ (t) := a cosh t + ib senh t, ∀t ∈ [0, +∞[ , (a, b > 0) a γ (t) := at + i , ∀t > 0, (a > 0) t γ (t) := t cos t + it sen t, t ∈ [0, 2π] ; y determina su longitud,

c) d)

este caso. 2. Para

a, b ∈ R, a < b,

determina la longitud de la curva

{ } Λ (a, b) := et+it : t ∈ [a, b] .

Determina

l´ım Λ (a, b) .

a→−∞

145

en

4.1. Integral curvilínea. Caracterización de la existencia de primitiva 3. Sea una curva diferenciable de clase

137

C 1 ([a, b]), γ (t) := (x (t) , y (t)).

Prueba que:

a ) la curva

γ

es recticable ; es decir

sup

{∑ n

∥γ (tk ) − γ (tk−1 )∥ :

k=1

} {t0 = a, t1 , . . . , tn = b} ∈ π ([a, b]) < +∞; b ) su longitud viene dada por

∫ long (γ)

:=

b

γ ′ (t) dt =

a

∫ b√

(x′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt.

a

c ) no toda curva es recticable. Considera, para ello, la curva

γ (t) := (x (t) , y (t)) dada por

{ x (t) := t, y (t) :=

t sen 0,

(1) t

, t ∈ ]0, 1] t = 0.

4. Encuentra la longitud de las siguientes curvas:

a)

b)

γ (t) := reit , t ∈ [0, 2π] radio r ; es decir, rT).

(circunferencia de centro en el origen y

γ (t) := t − ie−it , t ∈ [0, 2π]

(la cicliode, haz un representación de

ella). 5. Sea la función

f (z) :=

z 3 − 4z + 1 (z 2 + 5) (z 3 − 3)

y la curva γ dada por la circunferencia de centro 0 reit , t ∈ [0, 2π] . Prueba que ( ) ∫ πr r3 + 4r + 1 f (z)dz ≤ (r2 − 5) (r3 − 3) . γ

146

y radio

r, γ(t) :=

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

138

6. Para

x, y ∈ R,

prueba que

|sen (x + iy)| ≤ Considera ahora la curva segmentos

γ

√

cosh 2y.

dada por la suma, en este orden, de los

γ1 := [−a + ia, −a − ia] γ2 := [−a − ia, a − ia] γ3 := [a − ia, a + ia] . ∫ √ ( ) sen z 2 dz ≤ 6a cosh (4a2 ).

Prueba que

γ

7. Sea el dominio

Ω := C\ {−i, i} f (z) :=

Prueba que

f

y la función

1 , ∀z ∈ Ω. 1 + z2

no admite primitiva en

Ω.

4.2. Teorema de Cauchy para el triángulo. Versión elemental del teorema de Cauchy y de la fórmula de Cauchy Comenzamos con este tema toda una saga de resultados (teoremas de tipo Cauchy) conducentes a lograr que

∫ f = 0. γ El primero de ellos precisa de una condición muy concreta a vericar por parte de la curva: cuando

γ

se trate de los lados de un triángulo, la fórmula

anterior será cierta sean quienes sean la función holomorfa

f

y el abierto

Ω

sobre el que esté denida. Dados

a, b, c ∈ C,

el triángulo formado por dichos tres puntos es el con-

junto

△ (a, b, c) := {αa + βb + γc : α, β, γ ≥ 0, α + β + γ = 1} . Observa que

△ (a, b, c)

es la envolvente convexa de los puntos

convexo compacto del plano

C.

147

a, b

y

c.

Es un

4.2. Teorema de Cauchy para el triángulo y versión elemental

Teorema 4.5 (de Cauchy para el triángulo. Cauchy-Goursat, 1905) Ω del plano y una función f ∈ H (Ω). a, b, c, que △ (a, b, c) ⊂ Ω. Entonces ∫ f = 0.

Sean un abierto tres puntos

Supongamos, dados

[a,b,c,a]

N0 := f . Si |I0 | = 0, no hay nada γ0 |I0 | ̸= 0. Denotemos

Demostración. (Pringsheim, 1935) Utilizaremos la siguiente notación:

△ (a, b, c)

y

γ0 := [a, b, c, a].

Llamemos

I0 :=

∫

que probar. Podemos suponer, por tanto, que

a′ := y consideremos, en

γ∗,

b+c ′ a+c ′ a+b , b := , c := , 2 2 2

el siguiente recorrido:

a → c′ → b′ → a′ → c′ → b → a′ → b′ → c′ → a′ → c → b → a. Así, el triángulo inicial

N0 ,

queda dividido en cuatro triángulos

( ) ( ) ( ) ( ) N1 := △ a, c′ , b′ , N2 := △ c′ , b, a′ , N3 := △ a′ , b′ , c , N4 := △ a′ , b′ , c′ ; ∫ y, llamando Jk := ∂Nk f , para 1 ≤ k ≤ 4, tendremos I0 = J1 + J2 + J3 + J4 . Es trivial deducir que, para alguno de esos

k,

se tiene que

|I0 | ≤ 4 |Jk | . k = 1 cuando se verica tal relación. Por comodidad sea ∂N1 := γ1 .

Acordemos que sea para en este razonamiento,

Así, tendremos, de momento, que

|I0 | ≤ 4 |I1 | ; N1 ⊂ N0 ; 1 diám(N1 ) = 2 diám(N0 ) ; long(γ1 )

=

1 2 long(γ0 ) .

Haciendo hipótesis de inducción: para cierto natural situación

n,

asumimos cierta la

|I0 | ≤ 4n |In | ; Nn ⊂ Nn−1 ; 1 diám(Nn ) = n 2 long(γn )

=

diám(N0 ) ; 1 2n long(γ0 ) .

148

(γn := ∂Nn )

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

140

(Nn , In )

Podemos rehacer sobre el par sobre el par

(N0 , I0 ),

el razonamiento dado inicialmente

de modo que obtenemos un nuevo par

vericando

|I0 | ≤ 4n+1 |In+1 | ; Nn+1 ⊂ Nn ; 1 diám(Nn+1 ) = n+1 2 long(γn+1 )

=

1 2n+1

(Nn+1 , In+1 )

diám(N0 ) ;

long(γ0 ) .

Por el teorema de Cantor de los intervalos compactos encajados, tenemos

+∞

∃z0 ∈ Ω : ∩ Nn = {z0 } . n=0

f:

Razonemos por argumentos de holomorfía para la función existe

δ > 0,

tal que si

z ∈ D (z0 , δ) ⊂ Ω,

dado

ε > 0,

entonces

f (z) − f (z0 ) − f ′ (z0 ) (z − z0 ) ≤ ε |z − z0 | . Para tal

δ, ∃m ∈ N | n ≥ m ⇒

Así,

Nn ⊂ D (z0 , δ);

diám (Nn )

=

de donde, en particular,

1 2n

diám (N0 )

< δ.

γn ⊂ D (z0 , δ) .

Ahora bien, como

∫

(

) f (z0 ) + f ′ (z0 ) (z − z0 ) dz = 0

γn (¾por qué?), podemos razonar así:

∫

∫

( )] f (z) − f (z0 ) + f ′ (z0 ) (z − z0 ) dz γn γn

( ) =⇒ |In | ≤ long (γn ) f (z) − f (z0 ) + f ′ (z0 ) (z − z0 )

In =

≤ ε

f=

[

(z ∈ Nn ) .

diám (Nn ) ,

Luego

|I| ≤ 4n

1 22

long (γ0 )

1 2n

diám (N0 ) ε

de donde, por la arbitrariedad de

ε,

= long (γ0 )

se sigue que

149

diám (N0 ) ε;

|I| = 0.



4.2. Teorema de Cauchy para el triángulo y versión elemental

Teorema 4.6 (Pseudo-extensión del teorema de Cauchy para el triángulo) Sean un abierto Ω del plano, α ∈ Ω y f : Ω → C. Supongamos que

f ∈ C (Ω)

y

f ∈ H (Ω\ {α}).

Entonces, para todo triángulo

∫

N ⊂ Ω,

f = 0. ∂N

Demostración. Sea un triángulo

N := △ (a, b, c) arbitrario en Ω. Distingamos

cuatro casos.

Caso 1 :

α∈ / N.

Podemos seleccionar un abierto que

e ⊂ Ω, tal que N ⊂ Ω e yα∈ e . Ocurre Ω /Ω

( ) e f ∈H Ω

y

e N ⊂ Ω,

luego, aplicando el teorema anterior,

∫

f = 0. ∂N Caso 2 :

α ∈ {a, b, c};

Elijamos puntos

por ejemplo,

x ∈ ]α, b[

e

α = a.

y ∈ ]α, c[;

y consideremos la triangulación

[α, x, y, α] , [x, b, y, x] , [y, b, c, y] . Así, después de las cancelaciones convenientes (el recorrido en la triangulación será:

α → x → y → α → x → b → y → x → α → y → b → c → y → α) y de aplicar el caso 1, tendremos:

∫

∫

f= ∂N

f. [α,x,y,α]

Ahora, por argumentos de continuidad de

f

sobre compactos:

∃M > 0 | |f (z)| ≤ M, ∀z ∈ N. En consecuencia:

∫ f ≤ M f = [α,x,y,α] ∂N

∫

long ([α, x, y, α])

= M (|α − x| + |x − y| + |y − α|) ,

150

142

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES x ∈ ]α, b[

para cualesquiera puntos

α,

∫

tenemos que

∂N

Caso 3 :

α ∈ ∂N\ {a, b, c}.

e

y ∈ ]α, c[ ;

luego haciendo

x, y →

f → 0.

Supongamos que

α ∈ ]a, b[ .

Consideremos la triangulación dada por

α → c → a → α → b → c → α. N1 := △ (a, α, c)

Surgen así triángulos

y

N2 := △ (α, b, c)

tales que se

les puede aplicar el caso 2:

∫

∫

∫

f= ∂N

Caso 4 :

f+ ∂N1

f = 0. ∂N2

◦

α ∈ N.

Triangulando de la forma

a → b → α → a → α → b → c → α → a → α → c → a, 

nos aparecen tres triángulos en las condiciones del caso 2.

Observación 4.1

Se le da el adjetivo de pseudo-extensión al teorema 4.6

debido a que, realmente, si bien a primera vista parece que estamos generalizando el teorema de Cauchy para el triángulo, se verá (más adelante) que esta aparente rebaja no lo es tal: el punto excepcional continua

f

α,

donde a la función

deja de exigírsele holomorfía, no puede darse. En cualquier caso,

esta formulación nos resultará apropiada para la demostración de la fórmula de Cauchy para la circunferencia (llamada también teorema local o versión elemental de la fórmula de Cauchy).

∫

γf = 0) impondrá codiciones sobre el abierto Ω. Lo curioso será que su demostración El siguiente resultado, que nos dará la tesis deseada (a saber, que

está sustentada sobre el teorema 4.5 de Cauchy-Goursat (que imponía las restricciones sobre la curva

Denición 4.5 que

Ω

γ ).

Sean un dominio

es estrellado respecto de

α

Ω

y un punto del mismo

(o que

α

Diremos

es un centro de estrella para

[α, z]∗ ⊂ Ω, ∀z ∈ Ω.

151

α ∈ Ω.

Ω)

si

4.2. Teorema de Cauchy para el triángulo y versión elemental Claramente, se tiene que un dominio es convexo si, y solo si, todos sus puntos son centros de estrella.

Teorema 4.7 (de Cauchy para dominios estrellados) nio en

Ω Ω:

estrellado y una función

f ∈ H (Ω).

Entonces

f

Sean un domi-

admite primitiva

∃F ∈ H (Ω) : F ′ = f.

En particular,

∫ f =0 γ

para toda curva

γ

regular cerrada con

γ ∗ ⊂ Ω.

Demostración. La estrategia que vamos a seguir es la de aplicar convenientemente el teorema de Cauchy para el triángulo, de modo que nos resulte una fórmula susceptible de serle aplicado el lema 4.2 de construcción de primitivas. Sea

α

Ω.

un centro de estrella para

Denamos

∫ f, ∀z ∈ Ω.

F (z) := [α,z] Para

a ∈ Ω,

existe

D(a, ρ) ⊂ Ω.

Con

△ (α, a, z) =

z ∈ D (a, ρ), ∪

w∈[a,z]∗

tenemos

[α, w]∗ .

(½Acompáñate de un dibujo que te aclare la situación!) Aplicando el teorema de Cauchy para el triángulo:

∫

∫

0 =

f= ∫

[α,a,z,α]

∫ f+

∫ f+

[α,a]

[a,z]

f [z,α]

f − F (z);

= F (a) + [a,z]

∫

luego

f, ∀z ∈ Ω,

F (z) = F (a) + [a,z]

de donde aplicando el lema 4.2 de construcción de primitivas, se tiene lo



deseado. No tiene ningún problema aceptar el siguiente enunciado:

152

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

144

Teorema 4.8 (Pseudo-extensión del teorema de Cauchy para dominios estrellados) Sean un dominio estrellado en un punto α y una función

f ∈ C (Ω) ∩ H (Ω\ {α}).

Entonces

∃F ∈ H (Ω) : F ′ = f. Y como los discos son dominios estrellados:

Corolario 4.4

Las funciones holomorfas admiten, localmente, primitiva.

Corolario 4.5

Si

f

es una función entera

∫

(f ∈ (C)),

entonces

f =0 γ para cualquier curva

γ

regular a trozos y cerrada en el plano

C.

El siguiente lema es importante en sí mismo, y de vital importancia en el desarrollo posterior de la teoría:

Lema 4.3

Para

r>0 ∫

y

C(a,r) Demostración. Sean

a ∈ C,

se tiene que

dw = i2π, w−z

z ∈ D(a, r)

y

∀z ∈ D(a, r).

w ∈ C(a, r)

arbitrarios. Como

∑ (z − a)n 1 1 = = w−a = , z−a w−z (w − a) + (a − z) 1 − w−a (w − a)n+1 n=0 +∞

1

ocurrirá que

( )n (z − a)n |z − a|n |z − a| 1 , (w − a)n+1 = rn+1 = r r

luego hay convergencia puntual de la serie en todo punto del disco

D(a, r).

Pero hay más: aplicando el test de Weierstrass,

∑ (z − a)n 1 = w−z (w − a)n+1 +∞

n=0

uniformemente sobre la circunferencia

C(a, r).

Esto nos permite conmutar

serie e integral:

∫ I := C(a,r)

∑ dw = (z − a)n w−z +∞

n=0

153

∫ C(a,r)

dw . (w − a)n+1

4.2. Teorema de Cauchy para el triángulo y versión elemental Ahora, para

n = 0:

∫

+π

I= −π y para

n ∈ N: w→

ireit dt = i2π; reit

1 (w − a)n+1

es una función denida en el abierto

w→− ∫

luego

C(a,r)

C\{a},

que admite primitiva

1 1 ; n (w − a)n

dw = 0, (w − a)n+1 

de donde se sigue lo deseado.

El resultado cumbre de este tema llega ahora. La clave: la convexidad de los discos del plano; es decir, que sean estrellados en todos sus puntos.

Teorema 4.9 (Fórmula de Cauchy para la circunferencia, versión elemental o local de la fórmula de Cauchy) Sean un abierto Ω del plano C, él

una función holomorfa en él

D(a, r) ⊂ Ω.

f ∈ H (Ω)

y un disco cerrado contenido en

Entonces

∫ i2πf (z) = C(a,r)

f (w) dw, w−z

∀z ∈ D(a, r).

z ∈ D(a, r), jo pero arbitrario. Podemos enD(a, ρ) ⊂ Ω. Esto nos interesa para poder denir una

Demostración. Consideremos contrar

ρ>r

tal que

función auxiliar

  f (w) − f (z) , g(w) := w−z  f ′ (z) ,

w ∈ D(a, ρ)\{z} w=z

Esta función cae en las hipótesis del teorema de pseudo-extensión para dominios estrellados (½obsérvalo con detalle!); luego

∫

∫

f (w) − f (z) 0= g= dw = w−z C(a,r) C(a,r)

∫

f (w) dw−f (z) C(a,r) w − z

de donde, aplicando el lema 4.3, se tiene la fórmula buscada.

154

∫ C(a,r)

dw , w−z 

146

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

Observación 4.2 la hereda la propia

La sospecha de que la bondad de la función del integrando

f

será la línea de trabajo en la siguiente sección (4.3) para

obtener la analiticidad de las funciones holomorfas (Teorema de Taylor).

Observación 4.3 ferencia

∂D

Que el comportamiento de la función

f

sobre la circun-

D,

será el

R > m´ax {|a| , |b|}.

Prueba

determine su comportamiento sobre todo el disco

objetivo del tema 4.4 (Principio de Identidad).

4.2.1. 1. Sea

Ejercicios propuestos

f ∈ H (C)

que

y sean

∫ C(0,R)

a, b ∈ C,

con

a ̸= b,

y

f (z) f (b) − f (a) dz = i2π . (z − a) (z − b) b−a

Deduce, a partir de este hecho, que toda función entera y acotada es constante. 2. (Índice de un punto respecto de una curva ) Sea

K ⊂ C

un conjun-

to compacto y conexo del plano complejo. Demuestra que, para cualesquiera

a, b ∈ K

γ camino cerrado γ ∗ ∩ K = ∅, se tiene

y cualquier

a trozos y cerrada) tal que

Ind (γ, a) donde

1 Ind (γ, z) := i2π

(o sea, curva regular

= Ind (γ, b) ,

∫

dw , w−z

γ

∀z ∈ C\γ ∗ .

Deduce de este hecho que la función

f (z) := admite primitiva holomorfa

φ

1 1 − z−a z−b

en el abierto

exp (φ (z)) =

C\K,

vericando

z−a , ∀z ∈ C\K. z−b

(Para la primera parte, razona cómo se debe comportar la función Ind sobre cada una de las dos componentes conexas de 3. Sea

γ

C\γ ∗ .)

la curva dada por la mitad superior de la elipse

( x )2 a

+

155

( y )2 b

= 1,

4.2. Teorema de Cauchy para el triángulo y versión elemental y el segmento

[−a, a],

recorrida en el sentido inverso de las agujas del

reloj. Calcula

∫ cos zdz. γ

4. Sea

γ ∗ := [i, 1] = {(1 − t) i + t : t ∈ [0, 1]} .

Prueba que para

z ∈ γ∗,

4 1 z ≥ , 4 y deduce de ahí que

¾Cuál es el verdadero

5. Para

r > 1,

∫ √ 1 z 4 dz ≤ 4 2. γ ∫ 1 dz ? valor de 4 γ z

se denen:

∫ I(r) := C(0,R)

∫

z dz; 3 z +1

z 2 ez dz. z+1

J(r) := [−r,−r+i]

Prueba que

l´ım I(r) = l´ım J(r) = 0.

r→+∞ 6. Calcula la integral

r→+∞

∫ γ

donde

dz 1 + z2

γ (t) := cos t + 2i sen t, 0 ≤ t ≤ 2π.

7. Prueba que para una función continua

f : D(a, r) → C,

∫ i2πf (a) = l´ım

r→0 C(a,r)

f (w) dw. w−a

Compara este resultado con el caso en el que 8. Para

γ := C(a, R)

integral

y

z1 , z2 ∈ C\γ ∗ , ∫ γ

se tiene

f

sea holomorfa en

a.

calcula los posibles valores de la

dz (z − z1 ) (z − z2 )

en función de la posición relativa de los puntos

156

z1

y

z2

respecto de

γ.

148

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES ∫

9. Calcula la integral

γ

ez dz z (1 − z)3

para

( γ := C

10. Para

0 < r ̸= 2,

) .

calcula la integral

∫ C(0,R) 11. Calcula, con

1 1 , 4 2

n ∈ N,

z+1 dz. z (z 2 + 4)

la siguiente integral:

∫ C(1, 12 )

log(z) dz. zn

4.3. Desarrollo de Taylor. Equivalencia entre analiticidad y holomorfía. Fórmula de Cauchy para las derivadas Tal y como ya anunciábamos en el tema anterior, vamos a sacarle partido a la fórmula de Cauchy para la circunferencia:

 ∫  Ω=Ω⊂C  1 f (w) dw, f ∈ H (Ω)  ⇒ f (z) = i2π w −z C(a,r)  D(a, r) ⊂ Ω ◦

∀z ∈ D(a, r).

El resultado que probamos a continuación es la muestra más explícita de cómo la variable compleja es el lugar adecuado para el concepto de analiticidad. Observa detenidamente las hipótesis en el próximo resultado; luego, contempla la tesis (y ambas dos cosas comparadas con el resultado arriba expuesto). ¾No te parece realmente espectacular?

Teorema 4.10 (del desarrollo en serie de Taylor)

f ∈ H (Ω)

D(a, r) ⊂ Ω. Entonces ( ) ∫ +∞ ∑ 1 f (w) f (z) = dw (z − a)n , n+1 i2π C(a,r) (w − a)

Sean

◦

Ω = Ω ⊂ C,

y

n=0

157

∀z ∈ D(a, r).

4.3. Desarrollo de Taylor. Fórmula de Cauchy para las derivadas Demostración. Para

z ∈ D(a, r)

jo, aunque arbitrario, tenemos que

∑ (z − a)n 1 = w−z (w − a)n+1 +∞

n=0

uniformemente para

w ∈ C (a, r)∗ .

Como

f

ticular, estará acotada en la circunferencia

es continua en

C (a, r)∗ ;

D(a, r),

en par-

y, por tanto,

∑ f (w) (z − a)n f (w) = , w−z (w − a)n+1 +∞

n=0

uniformemente para

1 f (z) = i2π para todo

∫

w ∈ C (a, r)∗ .

En consecuencia

∑ f (w) dw = w−z +∞

C(a,r)∗

n=0

(

1 i2π

∫ C(a,r)∗

) f (w) dw (z − a)n (w − a)n+1

z ∈ D(a, r), donde en la última igualdad z, aunque jo, era arbitrario).

hemos conmutado serie



e integral (y el

La fuerza de este resultado se maniesta en sus logros: 1. Nuestra función, que solo era holomorfa se presenta ahora como analítica. 2. En particular, es indenidamente derivable. 3. En consecuencia:

f n) (a) 1 = n! i2π

∫ C(a,r)∗

f (w) dw, (w − a)n+1

∀r > 0; D(a, r) ⊂ Ω ∀n ∈ N ∪ {0}

4. Y, en consecuencia, el desarrollo no depende del

r>0

}

elegido.

5. Y, en consecuencia, la serie convergerá en el mayor disco centrado en

a

que permanezca completamente en el abierto.

Pasamos a enunciarlos correctamente.

Corolario 4.6

Sea

◦

Ω = Ω ⊂ C.

Entonces, se tiene que:

f ∈ H (Ω) ⇔ f

es analítica en

158

Ω.

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

150

Corolario 4.7 de

f

Si

centrada en

f ∈ H (C) ,

a,

tiene radio de convergencia

serie es válido en todo el plano

Corolario 4.8

Sean

Ω

C. f ∈ H (Ω) y a ∈ Ω. En∑ f n) (a) n saber: n≥0 n! (z − a) ,

un abierto propio del plano,

f centrada en a, a r ≥ dist (a, C\Ω) y se

tonces, la serie de Taylor de tiene radio de convergencia

f (z) =

a ∈ C, la serie de Taylor R = +∞ y el desarrollo en

entonces, para cada

+∞ n) ∑ f (a)

n!

n=0

ra r>

Demostración. Llamemos

(z − a)n ,

verica

∀z ∈ D(a, dist (a, C\Ω)).

al radio de convergencia de la serie de Taylor

D(a, r) ⊂ Ω. Por tanto, existe una serie de potencias centrada en a y convergente a f en D(a, r). Pero tal serie no puede ser otra que la serie de Taylor de f centrada en a; luego r ≤ ra , y así ra ≥ dist(a, C\Ω)).  de

f

centrada en

a.

Sea

dist(a, C\Ω); entonces

Sorprendente, pero no nos había sido posible, hasta ahora, establecer que:

Corolario 4.9

La composición, el producto y el cociente de funciones analíti-

cas son, nuevamente, funciones analíticas.

Corolario 4.10

Sean

Ω

un abierto del plano

C, f ∈ H (Ω)

y

a ∈ Ω.

tonces,

f

n)

n! (a) = i2π

∫ C(a,r)

f (w) dw, (w − a)n+1

∀r > 0; D(a, r) ⊂ Ω ∀n ∈ N ∪ {0}

En-

}

Volviendo sobre nuestros pasos, recordemos que hemos probado que si una función es holomorfa en un abierto, su función derivada vuelve a ser otra función holomorfa. Es decir, que si bien en el caso real, para un intervalo

I,

teníamos toda una gama de clases de funciones en la cadena

C (I) ! D0 (I) ! . . . ! Dn (I) ! C n (I) ! ! Dn+1 (I) ! C n+1 (I) ! . . . ! A (I) = C ∞ (I) (la clase

C n (I)

de las funciones continuas con derivada

n-ésima

continua

n+1 (I) de las funciones derivables n + 1 contiene de modo propio a la clase D n+1 (I) las funciones veces; la cual, a su vez, es superconjunto propio de C continuas con derivada

(n + 1)-ésima

continua); ahora, en el caso complejo,

tenemos que esa cadena se reduce a ½dos elementos! En efecto:

C (Ω) ! H (Ω) .

159

4.3. Desarrollo de Taylor. Fórmula de Cauchy para las derivadas Y no es este el único acontecimiento sorprendente que nos depara este tema en lo relativo a la relación entre los análisis complejo y real: el concepto de radio de convergencia cobra todo su signicado en

C

y no presenta las

patologías que, en la Introducción, destacábamos en el cuerpo

R (recuérdese f (x) :=

∞ (R) , que la serie de potencias que representa a la función de clase C 1 , tiene validez sólo en ]−1, +1[). Concretamente, en R: 1+x2

Teorema 4.11 (Borel)

Para cada sucesión

(an )n≥0 de números reales exisR, f ∈ C ∞ (R), tal que

te una función diferenciable de clase innito en

∀n ∈ N ∪ {0}.

f n) (0) = an, Pero en

C

no vale todo:

Proposición 4.11

Sea

(an )n≥0

una sucesión arbitraria de números comple-

jos. Son equivalentes: i. Existe una función entera

√ ii.

l´ım sup

n

|an | n!

f

tal que

f n) (0) = an,

∀n ∈ N ∪ {0}.

= 0.

Demostración. i.⇒ ii. Por ser entera:

f (z) =

+∞ n) ∑ f (0) n=0

n!

z n , ∀z ∈ C.

En consecuencia, su radio de converegencia es

√ l´ım sup ii.⇒ i. Sea

f (z) =

n

n=0

de ahí que

|an | = 0. n!

+∞ ∑ an

n!

+∞;

z n , ∀z ∈ C.

La serie está bien denida convergiendo en todo el plano. Por tanto, al ser analítica en

C,

es holomorfa en

C.



Renando un poco la proposición 4.11, tenemos:

Proposición 4.12 jos y

a ∈ C.

Sea (an )n≥0 una sucesión arbitraria de números compleSon equivalentes:

160

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

152

i. Existe una función

(√ n

ii. La sucesión

f

|an | n!

holomorfa en

a tal que f n) (a) = an , ∀n ∈ N∪{0}.

) está acotada.

n≥0 Demostración. i.⇒ ii. Tenemos, por hipótesis, que la serie de potencias

∑ an n≥0 converge en algún disco

D(a, r)

(z − a)n

n!

(para

r > 0).

En consecuencia,

√

|an | 1 = , n! r (√ ) n |an | . n!

l´ım sup

de donde se sigue la acotación de

n

n≥0

ii.⇒ i. De la acotación se sigue que la serie de potencias es analítica en algún disco holomorfa

f

∑

an n≥0 n!

(z − a)n

D(a, r) (para r > 0). Luego se dene una f n) (a) = an para cada n ∈ N ∪ {0}.

sin más que hacer

función



En el corolario 4.10 hemos obtenido la fórmula

f

n)

n! (a) = i2π

∫ C(a,r)∗

∀r > 0; D(a, r) ⊂ Ω ∀n ∈ N ∪ {0}

f (w) dw, (w − a)n+1

} (4.1)

Pero sabemos por el teorema local de Cauchy que

1 f (z) = i2π

∫ C(a,r)∗

f (w) dw, w−z

luego (4.1) sólo nos informa para la situación

∀z ∈ D(a, r);

n = 0 y z = a. Sin embargo, con

las mismas hipótesis del teorema de Taylor (que son las mismas de la fórmula de Cauchy para la circunferencia), ahora ya somos capaces de mayores logros gracias a la potencia de la teoría de funciones analíticas:

Teorema 4.12 (Fórmula de Cauchy para las derivadas) un subconjunto de

f

k)

C, f ∈ H (Ω)

k! (z) = i2π

∫ C(a,r)∗

y

D(a, r) ⊂ Ω.

f (w) (w − z)k+1

161

dw,

Sean

Entonces

∀z ∈ D(a, r) ∀k ∈ N ∪ {0}

} .

◦

Ω=Ω

4.3. Desarrollo de Taylor. Fórmula de Cauchy para las derivadas k veces en la serie de Taylor de f, tenemos ( ) ∫ +∞ ∑ f (w) 1 n! (z − a)n , ∀z ∈ D(a, r). f k) (z) = dw k+1 i2π C(a,r)∗ (w − a) (n − k)!

Demostración. Derivando

n=k

(4.2) (Observa que estamos en las mismas hipótesis de Taylor, como ya se avisó más arriba.) Por otro lado, ya nos es conocido que

∑ (z − a)n 1 w ∈ C (a, r) ⇒ = , w−z (w − a)n+1 +∞

∗

∀z ∈ D(a, r).

n=0

Derivándola, igualmente,

k! (w − z)k+1

+∞ ∑

=

n=k

k

veces en

z

(y por la arbitrariedad de

w):

n! (z − a)n−k , ∀z ∈ D(a, r), ∀w ∈ C (a, r)∗ . (n − k)! (w − a)n+1

(4.3)

La (nueva) serie es convergente (por el criterio del cociente):

( ) n! n−k (z − a) n! |z − a| n 1 . = (n − k)! (w − a)n+1 |z − a|k r (n − k)! r

Luego, aplicando el test de Weierstrass, la igualdad (4.3) es uniforme sobre la circunferencia

C (a, r);

y, por la acotación de

que

k!f (w)

=

k+1

(w − z)

+∞ ∑ n=k

f

sobre la misma, tenemos

f (w) n! (z − a)n−k (n − k)! (w − a)n+1

es también uniforme sobre ella. Consecuentemente, integrando la fórmula anterior sobre la circunferencia

C (a, r),

conmutando serie e integral, y usando la fórmula (4.2), tendremos

∫

k!f (w)

C(a,r)∗

(w − z)

k+1

dw =

( +∞ ∫ ∑ n=k

C(a,r)∗

f (w) dw (w − a)n+1

)

n! (z − a)n−k (n − k)!

= i2πf k) (z) , es decir,

pues

z

y

k! (z) = i2π

∫

f (w)

f

k)

k

eran jos, pero arbitrarios.

C(a,r)∗

(w − z)k+1

162

dw,

∀z ∈ D(a, r) ∀k ∈ N ∪ {0}

}



154

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

4.3.1.

Ejercicios propuestos

γ := C (a, R) y Φ : γ ∗ −→ C una función f : D(a, R) −→ C dada por

1. Sea

∫ f (z) := γ

función continua. Prueba que la

Φ (w) dw, w−z

∀z ∈ D(a, R)

es holomorfa en dicho disco. Prueba, también, que

∫ f k) (z) = k! γ

Φ (w) (w − z)k+1

dw,

2. (Desarrollo limitado de Taylor ) Sea

∀z ∈ D(a, R), ∀k ∈ N.

f una función holomorfa en un D(a, R) y sea la circunferencia z ∈ D(a, R) y todo n ∈ N:

abierto que contenga al disco cerrado

γ := C (a, R). f (z) =

Prueba que para todo

n ∑ f k) (a) k=0

k!

(z − a)n+1 (z − a) − i 2π

∫

k

γ

f (w) dw. (w − z)(w − a)n+1

3. Obténgase el desarrollo en serie de potencias centrado en el origen de la función

f

y calcula el radio de convergencia en cada uno de los

siguientes casos:

b)

( ) f (z) := log z 2 − 3z + 2 , ∀z ∈ C\ {1, 2}; ( )2 z f (z) := 1+z , ∀z ∈ C\ {1};

c)

f (z) := exp (α log (1 + z)) , ∀z ∈ C\ {1} (α ∈ C\{0});

d)

f (z) := cos2 z, ∀z ∈ C.

a)

4. En cada uno de los siguientes casos, determina si existe una función holomorfa

f

sobre el dominio

Ω y tal que f n) (0) = an

para todo

Encuentra, en cada caso, las correspondientes funciones quen las condiciones pedidas: a)

Ω := C; an := n, ∀n ∈ N;

b)

Ω := C; an := (n + 1)!, ∀n ∈ N;

c)

Ω := D(0, 1); an := 2n n!, ∀n ∈ N;

d)

Ω := D(0, 21 ); an := nn , ∀n ∈ N.

163

f

n ∈ N.

que veri-

4.3. Desarrollo de Taylor. Fórmula de Cauchy para las derivadas 5. Sea

f ∈ R ([a, b]).

Si denimos

∫

b

exp (−zt) f (t) dt, ∀z ∈ C,

F (z) := a prueba que

F

es una función entera.

∫

6. Calcula las integrales

γk para

) ( γ1 := C 1, 12 ; n ∈ N,

7. Calcula, con

1 1−z−z 2

=

+∞ ∑

γ2 := C (2, 3) .

las siguientes integrales:

∫

T 8. Sea

ez dz z (1 − z)3

αn z n

sen z dz; zn

∫

ez − e−z dz. zn

T

un desarrollo en serie de potencias válido en un

n=0

(αn )

entorno del origen. Prueba que

es la sucesión de Fibonacci:

α1 := α2 := 1, αn+1 := αn−1 + αn , ∀n ∈ N. Dedúzcase que

(

 √ )n+1 ( √ )n+1 1 1+ 5 1− 5  , ∀n ∈ N. αn = √  − 2 2 5

9. Se dene

( ) F (z) := exp z 2

∫

( ) exp −w2 dw, ∀z ∈ C.

[0,z] Prueba que

F

es entera y que

F ′ (z) = 1 + 2zF (z), ∀z ∈ C. 10. Prueba que, para

0 < r < 1, ∫

se tiene:

C(0,r) y deduce que

∫

2π

log(1 + z) dz = 0, z

( ) ln 1 + r2 + 2r cos θ dθ = 0.

0

164

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

156

4.4. Teorema de Riemann de singularidades evitables. Ceros de una función holomorfa. Principio de identidad Comenzamos en esta sección extrayendo las primeras conclusiones a las que podemos llegar a partir del hecho de que toda función holomorfa sea analítica.

Teorema 4.13 (de Riemann de singularidades evitables) abierto del plano i. ii.

C, a ∈ Ω

y

f ∈ H (Ω\{a}).

Sean

Ω

un

Son equivalentes:

∃g ∈ H (Ω) : g(z) = f (z), ∀z ∈ Ω\{a}; ∃l´ım f (z) ∈ C; z→a

iii.

f

iv.

∃l´ım (z − a) f (z) = 0.

está acotada en un entorno perforado de

a;

z→a

A tal punto lo llamaremos singularidad evitable de Demostración. i. iv.

⇒

⇒

ii.

⇒

iii.

⇒

iv., son evidentes.

i. Denamos la siguiente función auxiliar:

{ F : Ω −→ C; F (z) :=

Ω\{a} es un abierto, F ∈ H (Ω\{a}). Además:

Dado que

l´ım

z→a luego

F

f.

F

z ∈ Ω\{a} z = a.

por el carácter local de la derivabilidad,

F (z) − F (a) = l´ım (z − a) f (z) = 0, z→a z−a

es holomorfa en todo

Desarrollemos

(z − a)2 , 0,

Ω.

en serie de potencias en un entorno de

F (z) =

+∞ ∑

a:

cn (z − a)n , ∀z ∈ D(a, r) ⊂ Ω

n=0 para algún

r > 0.

Pero observemos que

luego:

F (z) = (z − a)2

+∞ ∑

c0 = F (a) = 0

cn+2 (z − a)n ,

n=0

165

y

c1 = F ′ (a) = 0;

∀z ∈ D(a, r).

4.4. Teorema de Riemann de singularidades evitables Denamos

φ : D(a, r) −→ C; φ (z) :=

+∞ ∑

cn+2 (z − a)n ,

∀z ∈ D(a, r).

n=0 Claramente,

φ ∈ H (D(a, r)) | φ (z) = f (z), ∀z ∈ D(a, r)\{a}. Finalmente, sea la función

g : Ω −→ C {

g(z) :=

f (z), φ (a) ,

dada por:

z ∈ Ω\{a} z=a

g , así denida, es holomorfa en Ω\{a} y coincide con φ en el disco D(a, r); luego también será holomorfa también en a. Consecuentemente, g es la función que buscamos en i. 

Esta función

Ya estamos en condiciones de acabar con las pseudo-extensiones:

Corolario 4.11

C (Ω).

Entonces

Ω un f ∈ H (Ω) . Sean

abierto del plano

Demostración. Por continuidad de

f (a).

De ii.

⇒

f

en

a,

C, a ∈ Ω

y

f ∈ H (Ω\{a}) ∩

tenemos que existe

i., en el teorema 4.13, se tiene lo deseado.

l´ım f (z) =

z→a



A continuación nos vamos a preguntar por cuál ha de ser el tamaño del conjunto de los ceros de una función holomorfa; o bien, en cuántos puntos de un dominio han de coincidir dos funciones para que sean idénticas. Como observaremos, la conexión pasa ya a cobrar una importancia decisiva en este curso.

Teorema 4.14 f (z) = 0}. i. ii. iii.

Sean

Ω

un dominio del plano

Son equivalentes:

A′ ∩ Ω ̸= ∅; ∃a ∈ A : f n) (a) = 0, ∀n ∈ N; f (z) = 0, ∀z ∈ Ω.

166

C, f ∈ H (Ω)

y

A := {z ∈ Ω |

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

158

Demostración. i.

⇒

a ∈ A′ ∩} Ω, n ∈ N | f n) (a) ̸= 0 ̸=

ii. Por argumentos de continuidad, al ser

{

f (a) = 0. Razonemos por reducción al absurdo: k al mínimo de tal conjunto (¾por qué podemos armar que existe?). Sea, pues existe, r > 0 tal que D(a, r) ⊂ Ω. Así, para z ∈ D(a, r): será

∅.

Llamemos

f (z) =

+∞ ∑

n

k

cn (z − a) = (z − a)

+∞ ∑

cn+k (z − a)n+k =: (z − a)k g(z).

n=0

n=k

De este modo, hemos denido, mediante una serie de potencias, una función analítica

ck =

g

f k) (a) k!

en un disco centrado en

̸= 0;

a. Pero esta función g

verica que

g(a) =

de lo cual se sigue que

∃δ > 0 : z ∈ D(a, δ) ⇒ g(z) ̸= 0. En consecuencia,

z ∈ D(a, δ)\{a} ⇒ f (z) ̸= 0 ⇒ z ∈ /A =⇒ A ∩ D(a, δ) = {a} ⇒ a ∈ Ais (A) ; pero esto contradice que ii.

⇒

a ∈ A′ .

iii. Sea el conjunto

{ } B := z ∈ Ω | f n) (z) = 0, ∀n ∈ N ∪ {0} .

B ̸= ∅. (¾Por qué?) Pretendemos hacer uso del lema 1.2 (de conexión): b ∈ B . Podemos suponer que, para cierto r > 0, D(b, r) ⊂ Ω. Veamos que, de hecho, es D(b, r) ⊂ B . En efecto: desarrollando la función f en serie de potencias en torno de b, tendremos: Es

sea

f (z) =

+∞ n) ∑ f (b) n=0

n!

(z − b)n , ∀z ∈ D(b, r).

b ∈ B , se sigue que f n) (b) = 0 para n ∈ N ∪ {0}; consecuencia, f (z) = 0, para todo z ∈ D(b, r). Así, z ∈ B , sea quien en el disco D(b, r). iii. ⇒ i. Es evidente. Pero, al ser

Más adelante se verá que, con

Ω

y, en sea

z 

A := {z ∈ Ω | f (z) = 0} Ω, podemos encontrar una es, exactamente, A. O dicho

dominio y

subconjunto propio sin puntos de acumulación en función holomorfa en

Ω

cuyo conjunto de ceros

de otro modo: no se puede decir más de lo que ya se dice en este resultado.

167

4.4. Teorema de Riemann de singularidades evitables

Corolario 4.12 (Principio de Identidad) C, f, g ∈ H (Ω) y A := {z ∈ Ω | f (z) = f (z) = g(z), para todo z en Ω.

Sean

Ω

un dominio del plano g(z)}. Si A′ ∩ Ω ̸= ∅, entonces

Consecuencia inmediata de este hecho: la exponencial compleja y el seno y coseno complejos son las únicas extensiones enteras de las correspondientes funciones reales.

Corolario 4.13

Sea Ω un dominio del plano C y f ∈ H (Ω). Supongamos f no sea idénticamente nula en Ω. Entonces, el conjunto A := {z ∈ Ω | f (z) = 0} es numerable. que

Para su demostración precisaremos del siguiente resultado (válido en espacios métricos):

Lema 4.4 (de la sucesión exhaustiva de compactos) to

Ω ⊂ C,

existe una sucesión de compactos

Kn ⊂ Kn+1 , ∀n ∈ N

y

(Kn ) +∞ ∪

Para todo abier-

tal que

Kn = Ω.

n=0

n, Kn := D(0, n), en el Ω = C. En caso contrario, la sucesión de compactos}a considerar { 1  la dada por: Kn := z ∈ D(0, n) | dist (z, C\Ω) ≥ n .

Demostración. Basta considerar, para cada natural caso de que puede ser

Demostración del corolario 4.13. Con la notación del lema 4.4 para la sucesión exhaustiva de compactos, y haciendo uso del teorema de Bolzano-Weiers-

A ∩ Kn es nito para cada n. (Si fuese innito habría acumulación de A en Ω y, en consecuencia, habría de ser f ≡ 0, lo cual es falso). trass, el conjunto

En consecuencia, como

A=

+∞ ∪

(A ∩ Kn ) ,

n=0 se sigue la numerabilidad de



A.

Denición 4.6 (de Orden de un cero de una función holomorfa) Sea f

f (a) = 0, pero supongamos que f no es idénticamente nula en un entorno del punto a. Llamamos orden { } k) del cero de la función f en el punto a (en virtud de que k ∈ N | f (a) ̸= 0 ̸= ∅) al mínimo natural k tal que f k) (a) ̸= 0. una función holomorfa en un punto

a,

168

donde

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

160

Corolario 4.14

Sean

Ω

un abierto del plano

C, f ∈ H (Ω), a ∈ Ω

y

k ∈ N.

Son equivalentes: i. ii.

f

k

tiene un cero de orden

en

a;

∃g ∈ H (Ω) : f (z) = (z − a)k g(z), ∀z ∈ Ω

Demostración. i.

⇒

con

g(a) ̸= 0.

ii. Consideremos la función auxiliar

φ (z) := Tal función será holomorfa en

f (z) (z − a)k Ω\{a},

, ∀z ∈ Ω\{a}.

pero

[

+∞ (z − a) (z − a)k ∑ f n) (a) l´ım (z − a)φ(z) = l´ım (z − a)n−k k z→a z→a n! (z − a) n=k [ ] +∞ n+k) ∑ f (a) = l´ım (z − a) (z − a)n = 0. z→a (n + k)!

]

n=0

Así, aplicando el teorema 4.13 (de Riemann de singularidades evitables), tendremos que existe la función

g

(que coincide con

φ

en

Ω,

y que es la)

pedida en ii. ii.

⇒

i. Es cierto sin más que derivar en la expresión que expresa la



hipótesis.

4.4.1.

Ejercicios propuestos

1. ¾Cuáles de las siguientes funciones tienen singularidades evitables en el origen? a. c.

f (z) := h(z) :=

2. Prueba que la función

sen z z ; (exp(z)−1)2 ; z2

b. d.

f : D(0, π) −→ C

g(z) := j(z) :=

denida por

f (z) := z cot(z) (0 < |z| < π), es holomorfa en

exp(z) z ; sen(z)−1 . z

f (0) = 1

D(0, π). Obtenga el desarrollo de Taylor de f

centrado

en el origen haciendo uso de los números de Bernouilli. Dedúzcase el desarrollo de Taylor de la función tangente en un entorno del origen. (Indicación: si

sen(2z) ̸= 1,

se tiene

169

2 cot(z) = cot(z) − tan(z).)

4.4. Teorema de Riemann de singularidades evitables 3. Sea

Ω

un abierto del plano

2 gamos que f

∈ H(Ω).

C

f

y

una función continua en él. Supon-

Prueba que, entonces se tiene que

4. Prueba que toda función entera

f

f ∈ H(Ω).

para la que se verique

|f (z)| ≤ A + B|z|k , ∀z ∈ C, A, B, k ∈ R+ ,

donde

es un polinomio. ¾Puedes concretar algo sobre su

grado?

Ω un dominio del plano complejo C tal que si z ∈ Ω, entonces z ∈ Ω. Sea, por otra parte, una función f holomorfa en Ω tal que si z ∈ Ω ∩ R, entonces f (z) ∈ R. Prueba que, en este caso, se tiene f (z) = f (z), para cualquiera que sea z en Ω.

5. Sea

f y g dos funciones holomorfas en un punto a tales que f (a) = g(a) = 0. Supongamos que ninguna de ellas es idénticamente nula en f un entorno de a. Pruébese que el cociente g tiene límite, posiblemente ∞, en el punto a, y además

6. Sean

f′ f (z) = l´ım ′ (z). z→a g z→a g l´ım

7. Sea

Ω

un dominio de

Dado un punto

{an } ⊂ Ω\{a}

C

a ∈ Ω,

y sean

f

y

g

dos funciones holomorfas en

Ω.

supongamos que existe una sucesión de puntos

convergente a

a

tal que

f ′ (an ) g (an ) = f (an ) g ′ (an ) , ∀n ∈ N. Prueba que las funciones

f

y

g

son dos funciones linealmente indepen-

dientes.

f es una función entera no constante, entonces existe que Re f (a) = 0. Prueba que no existe ninguna función ( )

8. Prueba que si

a ∈ C

tal

analítica tal que sobre la sucesión a.

1, 0, 1, 0, . . . ;

b.

c.

1, 12 , 312 , 14 , 512 , 16 , . . . ;

d.

9. Sea

Ω

o bien

1,(0, 21 , 0,)13 , . . . ; (1) 1 f 2k−1 ̸= 0, f 2k = 0, ∀k ∈ N.

C y sean f y g dos funciones holomorfas en Ω. = g 2 en Ω. Prueba que en este caso, o bien f = g ,

un dominio de

2 Supongamos que f

1 n , tome los valores

f = −g .

170

162

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

10. En cada uno de los siguientes casos, decídase si existe o no una función holomorfa en el origen y tal que

( ) 1 f = an n

para todo natural

n

a2n−1 = 1, a2n = 0; n an = n+1 .

a. c.

11. ¾Existen funciones cada natural

sucientemente grande, cuando:

n

f

b.

1 2n ;

a2n−1 = a2n =

analíticas en el intervalo

] − 1, 1[,

tales que para

veriquen las siguientes relaciones? a. b. c.

12. Prueba que si el abierto

( ) 1 = f 2n+1 = n1 ; ( ) ( ) f n1 = f − n1 = n12 ; ( ) ( ) f n1 = f − n1 = n13 . f

(

Ω

1 2n

)

es un dominio, entonces el anillo

H(Ω)

es

un dominio de integridad. 13. Dé un ejemplo de función holomorfa en el disco unidad

D, con innitos

ceros y no idénticamente nula.

4.5. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental del Álgebra f holomorfa en un entorno de un punto a, su serie (z − a)n converge en D(a, r), para cierto r > 0. Y, tal

Para una función de Taylor

∑

n≥0

f n) (a) n!

y como ya se puso de maniesto, la sucesión de coecientes no puede ser cualquiera. Concretamente, podemos hacer los siguientes cálculos:

f ∈ H (Ω) , a ∈ Ω, D(a, r) ⊂ Ω, ρ > 0 : D(a, r) ⊂ D(a, ρ) ⊂ Ω √ f n) (a) n 1 √ ⇒ ≥ ρ > r ⇒ l´ım sup < 1/r n! n |f n) (a)| l´ım sup n! ⇒ ∃m ∈ N : f n) (a) < n!/rn , ∀n ≥ m. Observamos que estas desigualdades se verican a partir de un natural

m

en adelante. Este inconveniente se supera con las desigualdades de Cauchy:

171

4.5. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville

Teorema 4.15 (Desigualdades de Cauchy) a∈Ω

y

donde

D(a, r) ⊂ Ω. Entonces: n! n) f (a) ≤ M (f, a, r) n , r

Sean

◦

Ω = Ω ⊂ C, f ∈ H (Ω),

∀n ∈ N ∪ {0},

M (f, a, r) := m´ax {|f (z)| | z ∈ C ∗ (a, r)} .

Demostración. La fórmula de Cauchy para las derivadas nos da

n! i2π

f n) (a) =

∫

C(a,r)

f (z) dz, ∀n ∈ N ∪ {0}. (z − a)n+1

Luego,

n! M (f, a, r) n! n) 2πr = M (f, a, r) n , f (a) ≤ n+1 2π r r

∀n ∈ N ∪ {0}. 

Teorema 4.16 (de Liouville)

Toda función entera y acotada es constante

(es decir, no hay más funciones holomorfas y acotadas en todo

C

que las

constantes). Demostración. Sea

M >0

una cota superior para

f.

Para

a∈C

y

r >0

arbitrarios, por el teorema 4.15 (desigualdades de Cauchy) tenemos que

′ f (a) ≤ 1! M (f, a, r) ≤ M . r1 r Haciendo

r → +∞,

tendremos

Consecuentemente, conexo obliga a que

f

f

f ′ (a) = 0,

a en C. C, que al ser 

siendo arbitrario el tal

tiene derivada nula en todo el plano

sea constante.

Algunas consecuencias del teorema de Liouville son aplicables más allá del Análisis (complejo o real):

Corolario 4.15 (Teorema Fundamental del Álgebra) mio con coecientes complejos tal que no se anula. Entonces Demostración. Por no tener ceros

f : C −→ C

p,

dada por

f

p

p un polino-

es constante.

podemos considerar la función

f (z) :=

Ocurre que es entera y con límite (cero) en teorema 4.16 (de Liouville),

Sea

1 , ∀z ∈ C. p(z)

∞,

por tanto, acotada. Por el

es constante; y, por tanto,

172

p será constante. 

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

164

Corolario 4.16 (del teorema de Liouville) tante, entonces

f (C)

es denso en

Si

C.

f ∈ H (C)

y es no cons-

C\f (C) ̸= ∅, y sea w uno de sus elementos. D(w, r) ⊂ C\f (C) (¾por qué?), y consideremos la

Demostración. Supongamos que Existirá

r > 0

tal que

función

g(z) := Tal

g

1 , ∀z ∈ C. f (z) − w

es entera y está acotada (por

Liouville),

g

(y así

f)

1/r);

luego, por el teorema 4.16 (de

será constante, en contradicción con la hipótesis. Así,

f (C) = C.



Observación 4.4

Este resultado se mejorará notablemente más adelante

(teorema de Picard):

C\f (C)

es, de hecho, vacío o se reduce a un único

punto. A continuación vemos cómo cierta generalización del teorema 4.16 de Liouville es posible:

Proposición 4.13

Sea

f

una función entera vericando

|f (z)| ≤ M |z|α , para convenientes a lo sumo,

E (α),

∀z ∈ C − D(0, R)

M, R > 0 y α ≥ 0. Entonces, f la parte entera de α).

es un polinomio (de grado,

Demostración. Razonando por argumentos de analiticidad para

f (z) =

+∞ n) ∑ f (0) n=0

Para

r > R,

n!

z n , ∀z ∈ C.

aplicamos las desigualdades de Cauchy para las derivadas:

n! n!M rα n) = n!M rα−n , f (0) ≤ M (f, a, r) n ≤ r rn Pero, en este caso, si sea

f , tendremos

f n) (0) = 0

α < n,

la arbitrariedad de

para todo natural

n > α.

f

r

en

n=0

173

]R, +∞[

}

conlleva que

es el polinomio

∑ f n) (0) z n , ∀z ∈ C, n!

E(α)

f (z) =

Luego

∀n ∈ N ∪ {0} ∀r > R

4.5. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville

Observemos que si



α.

cuyo grado no excede a la parte entera de

α ∈ [0, 1[ en la proposición 4.13, esta nos da el teorema

de Liouville. Curiosamente, los resultados relativos a las desigualdades de Cauchy para las derivadas se pueden obtener sin introducir técnicas complejas; es decir, se pueden deducir desde el Análisis Real. Lo vemos a continuación.

Teorema 4.17 (Identidad de Parseval) potencias con radio de convergencia

D(a, R)

R >

Sea

∑

an (z − a)n

una serie de n≥0 0. Sea f la función analítica en

denida por dicha serie de potencias. Entonces:

1 2π

∫

+π

−π

+∞ ( ) 2 ∑ |an |2 r2n , f a + reiθ dθ =

∀r ∈ ]0, R[ .

n=0

Demostración. Para cada

r ∈ ]0, R[ ,

+∞ ( ) ∑ iθ f a + re = an rn einθ

las igualdades

y

reiθ )

f (a +

=

n=0 se darán uniformemente en

+∞ ∑

an rn e−inθ

n=0

θ ∈ [−π, +π].

El producto de ambas será, igual-

mente, uniforme y lo podemos expresar así:

  n n ∑ ( ) 2 ∑ ak aj rk+j ei(k−j)θ  . f a + reiθ = l´ım  n→+∞

k=0 j=0

Como la convergencia es uniforme, podemos integrar y conmutar series e integración, de modo que

1 2π

∫

+π

−π

( ) 2 f a + reiθ dθ =

=

 l´ım 

n→+∞

l´ım

n→+∞

n ∑ n ∑ k=0 j=0

n ∑

1 ak aj rk+j 2π

aj aj r2j =

j=0

+∞ ∑

∫

 +π

ei(k−j)θ dθ

−π

|an |2 r2n ,

n=0

donde se ha hecho uso de que

∫

{

+π imθ

e

dθ =

−π

2π, 0,

m=0 m ̸= 0. 

174

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

166

Corolario 4.17 vergencia

Sea

∑

an (z − a)n

una serie de potencias con radio de conn≥0 y sea f la función analítica en D(a, R) denida por dicha

R>0

serie de potencias. Entonces:

+∞ ∑

|an |2 r2n ≤ [M (f, a, r)]2 ,

∀r ∈ ]0, R[ .

n=0 Demostración. Evidente sin más que mayorar en la integral de la fórmula de



la identidad de Parseval. Para nada hemos usado técnicas de holomorfía; hasta ahora:

Corolario 4.18 y

R>0

tales que

f una función holomorfa en un abierto Ω. D(0, R) ⊂ Ω. Entones, si 0 < r < R: ( ) +∞ f n) (a) 2 ∑ r2n ≤ [M (f, a, r)]2 . n!

Sea

Sean

a∈C

n=0

Demostración. Se le aplicará el corolario 4.17 al hecho de que las funciones



holomorfas tengan desarrollo en serie de Taylor.

Este resultado permite obtener una mejora considerable en las desigualdades de Cauchy para las derivadas; en efecto: si jamos tendremos

( ) f m) (a) 2 m!

luego

r2m ≤

+∞ ∑ n=0

m ∈ N ∪ {0},

( ) f n) (a) 2 r2n ≤ [M (f, a, r)]2 ; n!

m) f (a) rm ≤ M (f, a, r) , m!

∀m ∈ N ∪ {0}, ∀r ∈ ]0, R[ .

Y terminamos comprobando que la foma polinómica de

f

puede ser muy

concreta bajo severas restricciones:

Corolario 4.19

Sea

Ω

f una función m ∈ N ∪ {0}, tales

un dominio del plano complejo y sea

holomorfa en él. Supongamos que existen que

D(a, r) ⊂ Ω Entonces

f (z) =

y

a ∈ Ω, r > 0

y

M (f, a, r) m) . f (a) = m! rm

f m) (a) (z − a)m , m!

175

∀z ∈ Ω.

4.5. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville Demostración. La serie de potencias de de radio

R > r,

con

D(0, R) ⊂ Ω.

f

centrada en

a es válida en un disco

Combinando las hipótesis de ahora con el

corolario anterior:

2

[M (f, a, r)] = y, por tanto,

4.5.1. 1. Sea

( ) f m) (a) 2 m!

r

2m

≤

( ) f n) (a) 2

n=0

n) f (a) = 0,

n!

r2n ≤ [M (f, a, r)]2 ,

n ∈ (N ∪ {0}) \{m}.

para todo

f

una función holomorfa en el disco unidad

Prueba que

∑

D

vericando que

1 , ∀z ∈ D. 1 − |z|

n) f (0) ≤ e(n + 1)!, ∀n ∈ N ∪ {0}.

an z n

una serie de potencias con radio de convergencia

n≥0 Prueba que la serie

∑ an n≥0

n!

zn

f (z) :=

converge en todo el plano

+∞ ∑ an n=0

n!

f

M r n exp

(

l´ım

z→∞

4. Sea

f

f

f (z) = 0. z

es constante.

una función entera vericando que

f (z) = f (z + 1) = f (z + i), ∀z ∈ C. Prueba que

f

Sea

) r ∈]0, R[, puede encontrarse M > 0 ∀z ∈ C, ∀n ∈ N ∪ {0}.

|z| r ,

una función entera vericando que

Prueba que

C.

es constante.

176

R > 0.

z n , ∀z ∈ C.

Prueba que para cada

n) f (z) ≤ 3. Sea



Ejercicios propuestos

|f (z)| ≤

2. Sea

+∞ ∑

tal que

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

168

4.6. Teorema de Morera. Teorema de Weierstrass. Topología de la convergencia uniforme sobre compactos El presente tema estará dedicado al estudio de una conveniente convergencia de sucesiones de funciones holomorfas en un abierto dado. La convergencia puntual será una noción muy débil. Por otro lado, de una serie de potencias

∑

− a)n

n≥0 an (z

vergencia uniforme cuando

an = 0

sólo cabe esperar, en general, con-

a partir de un momento, en adelante.

La convergencia adecuada, y que da nombre a este tema, nos viene dada por el comportamiento de las series de potencias en su disco de convergencia. Un paso más, será el logro de una topología en el espacio de las funciones holomorfas cuya convergencia sea la uniforme sobre compactos; veremos que tal topología es metrizable, pero no proviene de ninguna norma. El resultado central de este tema es, sin duda, el teorema de Weierstrass. Para su prueba contaremos con una inestimable ayuda: el teorema de Morera, el cual es, realmente, un recíproco del teorema de Cauchy-Goursat.

Observación 4.5 una sucesión

(fn )

Escribiremos

fn → f

cuando queramos expresar que K−u converge uniformemente sobre los compactos de cierto

abierto a una función

f.

Teorema 4.18 (de Morera)

Sea

f : Ω −→ C

una función continua sobre

un abierto del pano. Supongamos que

∫

f =0 ∂N para todo triángulo

N ⊂ Ω.

Demostración. Para cada

z ∈ D(a, r)

Entonces,

f ∈ H (Ω) .

a ∈ Ω, consideremos un r > 0 tal que D(a, r) ⊂ Ω. Para

denimos

∫ F (z) :=

f. [a,z]

Por ser los discos abiertos: si

b ∈ D(a, r), existirá ρ > 0, tal que D(b, ρ) ⊂ si z ∈ D(b, ρ), entonces N := △ (a, b, z) ⊂

D(a, r); y por ser convexos, D(a, r) ⊂ Ω. Así, por el teorema 4.5 de Cauchy-Goursat, ∫ ∫ ∫ ∫ 0 = f= f+ f+ f ∂N [a,b] [b,z] [z,a] ∫ = F (b) + f − F (z); [b,z]

177

tenemos que

4.6. Teoremas de Morera y de Weierstrass de donde, aplicando el lema 4.2 de construcción de primitivas, por la arbi-

D(b, ρ), se tiene que F es una primitiva para f en D(a, r). f ∈ H (D(a, r)) . Pero, igualmente, a también es arbiabierto Ω, luego f ∈ H (Ω). 

trariedad de

z

en

En consecuencia, trario en el

Teorema 4.19 (de convergencia de Weierstrass) de funciones holomorfas en un abierto

Ω

y sea

(fn ) una sucesión f : Ω −→ C tal que fn → f . Sea

K−u

Entonces, se verican: i. ii.

f ∈ H (Ω). k)

fn

→ f k) , ∀k ∈ N.

K−u

Demostración. i. Tenemos

f ∈ C (Ω) ,

por ser límite uniforme de funciones

continuas y gracias al carácter local de la continuidad y por ser

Ω localmente

compacto. (Realiza los cálculos con detalle.)

N := △ (a, b, c) ⊂ Ω, ∂N es un (fn ) a f en él es uniforme, y así: ∫ ∫ l´ım fn = f.

Dado un triángulo la convergencia de

n→+∞ ∂N

compacto de

Ω;

luego

∂N

Ahora bien, el teorema de Cauchy para el triángulo nos dice que la sucesión de arriba es de ceros; luego también su límite. Dada la arbitrariedad del triángulo para

f

en

N en Ω, Ω.

el teorema 4.18 de Morera nos da la holomorfía deseada

ii. Aunque después se dará con detalle, convenimos en escribir

pK (f ) := m´ax {|f (z)| | z ∈ K} cuando

f

K⊂Ω

un compacto. Esta

sea una función continua denida en un abierto

pK

es una seminorma y

fn → f ⇔ pK (f − fn ) → 0. K−u

Fijemos

k∈N

K ⊂ Ω compacto. Sea R > 0 dado por { < dist(K, C\Ω) , si Ω ̸= C R := 1, si Ω = C

y

Llamemos

H := {z ∈ C | dist (z, K) ≤ R} ,

178

Ω

del plano

C

y

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

170

que es compacto y verica

K ⊂ H ⊂ Ω.

Si

a ∈ K,

las desigualdades de

Cauchy nos dan

k! k! k) k) fn (a) − f (a) ≤ k M (fn − f, a, R) ≤ k pK (f − fn ) , R R Así:

de donde, aplicando

K

pacto

( ) k! pK f k) − fnk) ≤ k pK (f − fn ) , R la hipótesis fn → f , se tiene lo deseado, K−u

es arbitrario en

∀a ∈ K.

pues el com-



Ω.

Como vemos, el teorema 4.19 de Weierstrass nos argumenta que la convergencia uniforme sobre compactos es la adecuada para tratar con las sucesiones de funciones holomorfas. Ahora, el objetivo será introducir una topología en

H (Ω)

que coincida con la de la convergencia uniforme sobre com-

pactos. Llamemos la atención sobre la elegancia de la demostración del teorema 4.19. En particular, en i., es de extrema belleza cómo se conjugan dos resultados recíprocos: Cauchy-Goursat y Morera (el primero se aplica sobre los elementos de la sucesión de funciones holomorfas y el segundo sobre la función límite, que es, de hecho, es continua).

Denición 4.7

Ω un K ⊂Ω

Sean

denida en él, y sea

abierto del plano

C, f

una función continua

un compacto. Notamos (como ya se hizo en la

parte ii. de la demostración del teorema 4.19):

pK (f ) := m´ax {|f (z)| | z ∈ K} . Para cada

ε > 0,

se considera

U (f, K, ε) := {g ∈ C (Ω) | pK (g − f ) < ε} . Consideremos la siguiente familia diremos que real positivo

F ∈ τ, ε, tales

τ

de subconjuntos de

f ∈F U (f, K, ε) ⊂ F.

cuando para cada que

C (Ω):

existen un

F ⊂ C (Ω) , compacto K y un Si

Surgen, inmediatamente, dos preguntas a abordar: 1. ¾Es esta

τ,

realmente, una topología?

2. En caso de serlo, ¾coincidirá con la de la convergencia uniforme sobre compactos?

179

4.6. Teoremas de Morera y de Weierstrass Como cabe sospechar, la respuesta es armativa en ambos casos.

Proposición 4.14

La clase

τ

es una topología sobre el espacio

C (Ω)

y la

familia

U := {U (f, K, ε) | f ∈ C (Ω) , K ⊂ Ω es una base para

∅

τ

y

C (Ω)

λ∈Λ

existirá

es, en efecto, una topología.

τ. {Fλ | λ ∈ Λ} ⊂ τ .

están en

Sea una familia arbitraria

f ∈ ∪ Fλ ,

ε > 0}

τ.

Demostración. Veamos que Claramente

compacto y

λ∈Λ

tal que

f ∈ Fλ .

∪ Fλ .

Dado

compacto y

ε>0

Consideremos

Así, existen

K

λ∈Λ

tales que

U (f, K, ε) ⊂ Fλ ⊂ ∪ Fλ ; λ∈Λ

y, en consecuencia, Sean

K1 , K 2

∪ Fλ ∈ τ.

λ∈Λ

F1 , F2 ∈ τ .

f ∈ F1 ∩ F2 , ε1 , ε2 , tales que

Dada

y reales positivos

U (f, K1 , ε1 ) ⊂ F1 K := K1 ∪ K2 F1 ∩ F2 ∈ τ. Así, con

y

y

tenemos que existen compactos

U (f, K2 , ε2 ) ⊂ F2 .

ε := m´ın {ε1 , ε2 },

Resta ver que la familia

U

será

sea

g ∈ U (f, K, ε).

y, por tanto,

τ . Para ello, bastará f ∈ C (Ω), K ⊂ Ω compacto y

es una base de la topología

ver que sus elementos son abiertos. Dados

ε > 0,

U (f, K, ε) ⊂ F

Consecuentemente,

pK (f − g) =: δ < ε. Veamos que

U (g, K, ε − δ) ⊂ U (f, K, ε),

y, por tanto,

U (f, K, ε) ∈ τ.

En

efecto:

h ∈ U (g, K, ε − δ) ⇒ pK (h − f ) < pK (g − h) + pK (g − f ) < ε − δ + ε = ε, luego

h ∈ U (f, K, ε).



Y ahora, la respuesta a la segunda pregunta.

Proposición 4.15

Sea

◦

Ω = Ω ⊂ C

y sean

lentes:

180

(fn ) , f ∈ C (Ω) .

Son equiva-

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

172

i. ii.

fn → f ; K−u

(fn )

es decir,

converge a

f

(fn )

converge uniformemente sobre compactos a

en la topología

f.

τ.

(fn ) converge uniformemente sobre compactos de Ω a f ⇔ ∀K ⊂ Ω, K compacto y ∀ε > 0, ∃m ∈ N : n ≥ m ⇒ pK (f − fn ) < ε ⇔ ∀K ⊂ Ω, K compacto y ∀ε > 0, ∃m ∈ N : n ≥ m ⇒ fn ∈ U (f, K, ε) ⇔ ∀U (f, K, ε), ∃m ∈ N : n ≥ m ⇒ fn ∈ U (f, K, ε) ⇔ (fn ) converge a f en la topología τ, por ser U base de entornos para f en (C (Ω) , τ ) .  Demostración.

Denición 4.8

La topología

τ

considerada en la denición 4.7 y en la propo-

sición 4.14 se llama topología de la convergencia uniforme sobre compactos. La clase

H (Ω) de las funciones holomorfas en el abierto Ω se considerará τ|H(Ω) que, como subespacio, hereda de (C (Ω) , τ ).

dotada de la topología

Las preguntas naturales que surgen ahora son: 3. ¾Existirá alguna distancia en con

C (Ω)

cuya topología inducida coincida

τ?

4. Tal vez, ¾estará inducida por alguna norma? Veremos cómo las respuestas son, respectivamente, sí y no; concretamente, veremos que la topología

Denición 4.9

Sean

τ

es metrizable y completa.

Ω un abierto del plano y (Kn ) una sucesión exhaustiva

= ∪n K n pn := pKn , ∀n ∈ N y

◦

Kn ⊂ K n+1 , ∀n ∈ N).

de compactos en él (Ω

y

notación: sea

denamos

d (f, g) :=

+∞ ∑ 1 pn (f − g) , 2n 1 + pn (f − g)

Para aligerar

∀f, g ∈ C (Ω) .

n=1

Para probar resultados concernientes a

d

precisamos de un lema que es

mero cálculo:

Lema 4.5 i.

ii.

Para reales no negativos

a b+c ≤ , 1+a 1+b+c

a, b, c

y

b+c b c ≤ + . 1+b+c 1+b 1+c

181

tales que

a ≤ b + c,

se tiene:

4.6. Teoremas de Morera y de Weierstrass

Proposición 4.16 tancia en

La aplicación

d,

dada en la denición 4.9, es una dis-

C (Ω) .

Demostración. Claramente,

pn (f − g),

d (f, g) ≥ 0. Si es d(f, g) = 0, se sigue que n. Así, sobre cada Kn , es f = g . Y así, coin-

para todo natural

cidirán en todo el abierto. La simetría es evidente (ya hemos abusado, sin decirlo, del hecho de que

pn (f − g) = pn (g − f )). Para funciones f, g, h d(f, h) = ≤

continuas en

Ω,

tenemos que

+∞ +∞ ∑ ∑ 1 pn (f − g) + pn (g − h) 1 pn (f − h) ≤ n 2 1 + pn (f − h) 2n 1 + pn (f − g) + pn (g − h)

n=1 +∞ ∑

n=1

1 pn (f − g) + 2n 1 + pn (f − g)

n=1 +∞ ∑

n=1

1 pn (h − g) 2n 1 + pn (h − g)

= d (f, g) + d(g, h), 

lo que completa la demostración.

Lema 4.6 i. Sean

Se tiene lo siguiente:

K⊂Ω

un compacto y

ε > 0.

Entonces, existe

δ>0

tal que

d(f, g) < δ ⇒ g ∈ U (f, K, ε). ii. Dado

δ > 0,

existen un compacto

K⊂Ω

y

ε > 0,

tales que

f, g ∈ C (Ω) , g ∈ U (f, K, ε) ⇒ d(f, g) < ε. Demostración. i. Para el compacto dado, existirá un momento sión exhaustiva de compactos

(Kn )

m

en el que

◦

◦

K ⊂ K m ⊂ (Km ⊂) K m+1 . Tomemos

0 0. Sea δ > 0, dado por i. del

que arbitrarios) un compacto

lema 4.6. Por ser de Cauchy, se tiene:

∃m ∈ N : p, q ≥ m ⇒ d (fp fq ) < δ. fp ∈ U (fq , K, ε) ⇒ pK (fq − fp ) < ε. Sea ahora z ∈ Ω y consideremos K := {z}. Para tal elección, si tomamos ε > 0, existirá m ∈ N tal que si p, q ≥ m entonces |fp (z) − fq (z)| < ε; luego la sucesión (fn (z)) es de Cauchy en C. Por tanto, para cada z ∈ Ω podemos

Por tanto,

denir

f (z) := l´ım fn (z) . n→+∞

Obtenemos así, mediante convergencia puntual, el candidato a límite.

183

4.6. Teoremas de Morera y de Weierstrass Veamos que, en efecto, se trata de una función continua y que la convergencia es, de hecho, uniforme sobre compactos. Demostremos que

K ⊂ Ω.

Sea un compacto 4.6. Sea

m

Para

ε > 0,

sea

δ>0

fn → f . K−u

el dado por i. del lema

también un natural tal que

p, q ≥ m ⇒ d (fp , fq ) < ε. Sea

z ∈ K.

Ocurrirá que

p, q ≥ m ⇒ |fp (z) − fq (z)| < ε. Fijando

p≥m

y haciendo

q → +∞ : |fp (z) − f (z)| ≤ ε.

(4.4)

Observemos que la fórmula (4.4) es válida para cualesquiera

z ∈ K.

p ≥ m

y

Luego

pK (fp − f ) ≤ ε, ∀p ≥ m.

Pero también

m

y

K

son arbitrarios; por tanto,

fn → f K−u

(recuerda el argu-

mento inicial en i. del teorema 4.19 de convergencia de Weierstrass.)



Resumimos lo visto en el siguiente teorema:

Teorema 4.20

Sea

Ω

un abierto del plano complejo. Se verican:

i. La convergencia en ii. iii.

(C (Ω) , d) H (Ω)

(C (Ω) , d)

es la uniforme sobre compactos.

es un espacio métrico completo.

es un cerrado de

iv. La aplicación

f −→ f ′

(C (Ω) , τ ) de

H (Ω)

y, por tanto, completo.

en

H (Ω),

es continua.

Demostración. i. y ii. son las proposiciones 4.17 y 4.18. iii. es otra forma de enunciar la primera parte del teorema 4.19 de Weierstrass. La continuidad viene dada por el teorema 4.19 (la aplicación es continua por sucesiones) junto al hecho de que

H (Ω)

sea espacio métrico.



Concluimos con una promesa anunciada:

Proposición 4.19 pactos en el espacio

La topología

C (Ω)

τ

de la convergencia uniforme sobre com-

de las funciones continuas no proviene de ninguna

norma.

184

176

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

Demostración. Razonaremos por reducción al absurdo: sea induce a la topología

τ.

∥◦∥ la norma que

Como

B(0, 1) := {f ∈ C (Ω) | ∥f ∥ < 1} es un entorno (abierto) del origen, existen

K ⊂Ω

compacto y

ε>0

tales

que

U (0, K, ε) ⊂ B(0, 1). Sea

z0 ∈ Ω\K

(que sabemos debe existir), y sea

f ∈ C (Ω)

tal que

f (z0 ) = 1 f (z) = 0, z ∈ K 0 ≤ f (z) ≤ 1, z ∈ Ω. (Podemos considerar, por ejemplo,

f (z) :=

d(z,K) d(z,K)+d(z,z0 ) .) Para esta función:

pK (nf ) = 0, ∀n ∈ N, de donde

nf ∈ U (0, K, ε) , ∀n ∈ N, y, por tanto, se tiene que

∥nf ∥ < 1, ∀n ∈ N ⇔ ∥f ∥
1}. zeta de Riemann:

Prueba las siguientes armaciones

sobre la función (a)

ζ

es analítica en el dominio

(b) La convergencia de

ζ

en

Ω

Ω.

Obténgase

no es uniforme.

(c) La serie

+∞ ∑

(log n)k n−z

n=1 es analítica en 12. Sea la función

Ω.

f : D −→ C

ζ ′ (z)

dada por

f (z) :=

+∞ n ∑ z n=1

187

n2

.

para

z ∈ Ω.

4.7. Factorización de funciones holomorfas (a) Prueba que (b) Obtenga

f

es holomorfa en el disco unidad

f ′ (z)

para

z ∈ D.

D.

¾Cuál es el radio de convergencia

f ′ ? ¾Se puede extender de manera holomorfa la función analítica f más allá dell disco cerrado unidad D? para la serie que representa a

unif

{fn : n ∈ N} ⊂ H(Ω) uniformemente convergente f → f , en ′ un dominio Ω. ¾Se puede armar convergencia uniforme de (fn ) ′ a f en dicho dominio Ω? Extrae conclusiones.

(c) Sea

13. Calcula la integral

(

∫ 0, 12

C( 14. Prueba que la serie

)

+∞ ∑

) zn

dz.

n=−1

∑ 1 n!z n

n≥0

C\{0}. Calcula T.

dene una función analítica en

la integral de la tal

función sobre la circunferencia unidad 15. Sea una función

f ∈ H(D(0, 2)) tal que |f (z)| ≤ 7, δ tal que

si

|z| ≤ 2.

Prueba

que existe un real positivo

z, w ∈ D(0, 2), |z − w| < δ → |f (z) − f (w)| < Busca un valor numérico para

δ

1 . 10

que sea independiente de

f

que tenga

la propiedad anterior. (Indicación: usa la fórmula integral de Cauchy.) 16. Prueba que la serie

∑ n≥0

es analítica en

zn 1 + z 2n

C\T.

4.7. Factorización de funciones holomorfas. Productos innitos. Teorema de factorización de Weierstrass Por un lado, tenemos que la teoría local de funciones holomorfas nos ha facilitado el estudio de los ceros de una función holomorfa. Concretamente, si

188

180

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

disponemos de una función holomorfa (no trivial) en un abierto, que tiene un cero en dicho abierto,

∃g ∈ H (Ω) con

g(z) ̸= 0

para

y

f ∈ H (Ω),

f (a) = 0, para algún a ∈ Ω, sabemos que

∃k ∈ N : f (z) = (z − a)k g(z),

z ∈ D(a, r) ⊂ Ω.

Y también, por otro lado, por el Teorema Fundamental del Álgebra,

p es un polinomio de a, a1 , . . . , an ∈ C, tales que

sabemos que si constantes,

p(z) =

n ∏

grado

n,

podemos encontrar

n+1

a (z − ak ) , ∀z ∈ C.

k=1 Pues bien, si la Teoría Analítica de Funciones (Weierstrass, gracias) nos dice que las funciones holomorfas son casi polinomios (esto es, se pueden ver como polinomios innitos), nos podemos hacer la siguiente pregunta retórica: ¾puede una función holomorfa admitir un desarrollo en serie de productos que revele explícitamente a todos sus ceros de igual suerte que ocurre con los polinomios? Funciones como el seno, a través de su desarrollo en series de Taylor,

sen(z) :=

+∞ ∑ (−1)n 2n+1 z , ∀z ∈ C (2n + 1)!

n=0

nos muestran expresiones mediante series de potencias que no revelan información sobre sus ceros. (Aquí sólo se aprecia que

z=0

es un cero de ella.)

Sin embargo, esta misma función admite el desarrollo en series de productos

sen(z) = z

+∞ ∏( k=1

z2 1− 2 2 k π

) , ∀z ∈ C;

(4.5)

y ahora sí que parece justicado el hecho de que el seno tenga como conjunto de sus ceros a

πZ.

Por tanto, este tema encuentra su justicación en la posibilidad de expresar las funciones holomorfas de una nueva forma que las caracteriza. Es decir, holomorfía y analiticidad van a encontrar una tercera expresión equivalente a ellas, vía productos innitos. El contenido de este tema se va a estructurar en el sentido de comenzar estudiando (la convergencia de) productos innitos, justicaremos (entre otras) la fórmula (4.5) anterior, y vamos a estudiar los llamados factores primarios de Weierstrass, que jugarán un papel fundamental y que nos van

189

4.7. Factorización de funciones holomorfas a permitir lograr el resultado principal de este tema: el teorema de factorización de funciones holomorfas mediante productos innitos. Comenzamos con una denición que pareciera harto rebuscada, pero los ejemplos que la siguen dejarán claro que es muy natural.

Denición 4.10 (Productos innitos)

∏(zn ) de númezn converge

Dada una sucesión

ros complejos, diremos que el producto (numérico) innito si existe

p ∈ C\{0}

n≥1 tal que

Zn :=

n ∏

zk −→ p,

k=1 en cuyo caso, escribiremos

+∞ ∏

zn := l´ım Zn = p.

k=1 Si

A := {n : zn = 0} = ∅

y

Zn → 0

diverge a 0. Si

A := {n : zn = 0}

es nito y

Zn :=

diremos que el producto innito

n ∏

zk −→ p ̸= 0,

diremos que el

k=1 k∈A /

producto innito converge a 0.

En cualquier otro caso, diremos que el producto diverge (esto es, si la sucesión

(Zn )

no converge o simplemente converge en

C

a

∞).

Se hacen necesarios algunos comentarios al respecto de esta denición: 1. La noción de convergencia siempre está asociada a un comportamiento característico de la sucesión a partir de un momento en adelante. No es así en este caso. Observemos que precisamos que todos, todos, los términos de la sucesión sean no nulos para que haya convergencia a un

p ̸= 0. Desde esta perspectiva, se trata de un concepto poco satisfactorio si no se toma suciente cautela. Nos referimos al hecho de que el carácter de una sucesión no debe variar si se modican un número nito de sus términos; sin embargo, si no hubiésemos descartado el caso tendríamos que

+∞ ∏

k=0

y

k=0

+∞ ∏ k=1

190

k = +∞,

p = 0,

182

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES es decir, la primera converge y la segunda no. Con la notación convenida, ambas son divergentes (aunque la primera lo sea al cero y la segunda al innito).

2. Es más, hay un problema que metodológicamente no tendría solución: aspiramos a factorizar mediante productos innitos de modo que nos sean revelados los ceros escondidos; pues bien, la relación

+∞ ∏

1 =0 k

k=1

nos maniesta una situación donde no habrá tal factorización buscada. Es coherente que este caso caiga entre los divergentes (a 0, ¾sorprende?).

∏

3. Con las observaciones anteriores:

zn

converge si, y sólo si,

n≥1 converge para cualquier

k,

+∞ ∏

∏ n≥k+1

en cuyo caso

+∞ ∏

zn = z1 z2 · · · zk

n=1

zn

n=k+1

(de modo que hace coherente la divergencia a cero:

0p = 0).

4. Es elemental que, bajo tales condiciones asumidas de convergencia:

( +∞ ∏

zn

n=1

) ( +∞ ∏

)

n=1

( +∞ ∏

)−1

Si el producto

+∞ ∏

=

zn

n=1

∏

zn

zn wn ,

n=1

n=1

Proposición 4.20

+∞ ∏

=

wn

1 . zn

es convergente, entonces

n≥1

l´ım zn = 1. Demostración. Podemos suponer todos los

n+1 ∏

zn+1 =

k=1 n ∏

zn

+∞ ∏

zk −→ zk

k=1

n=1 +∞ ∏ n=1

191

no nulos (¾por qué?). Así:

zn = 1, zn

zn

4.7. Factorización de funciones holomorfas 

pues el producto ha de ser no nulo. La condición necesaria anterior de convergencia del producto

(zn → 1) es

maniestamente insuciente. Algunas de las siguientes situaciones se encargan de justicarnos esta tarea:

1.

+∞ ∏ (

1 n

1−

1 n

1−

1 n2

n=1 2.

+∞ ∏ ( n=2

3.

+∞ ∏ (

n=2 Zn !). 4.

+∞ ∏ (

)

1+

1−

n=1

)

1 n2

=

234 123

···

diverge (a

=

123 234

···

converge a 0.

)

=

+∞ ∏ (

1+

n=1

)

1 n

)(

1−

+∞).

1 n

)

converge (½pruébalo encontrando

converge a 0.

A la vista de la proposición 4.20, se acostumbra a escribir los productos innitos en la forma

+∞ ∏

(1 + zn ) ,

n=1 siendo la condición necesaria, ahora, que

l´ım zn = 0. El siguiente resultado nos muestra que una aproximación natural al estudio de los productos innitos es el estudio de las correspondientes series que aparecen tomando logaritmos (principales) factor a factor:

Lema 4.7 y solo si,

Un producto innito

∑

log (1 + zn )

∏

(1 + zn ) converge a un límite no nulo si,

n≥1 converge.

n≥1 Demostración. La prueba de la suciencia es sencilla: para cada natural llamemos

Pk :=

k ∏

(1 + zn )

y

Sk :=

n=1 Si

Sk −→ S,

entonces

Pk =

k ∑ n=1

eSk

−→

eS

̸= 0.

192

log (1 + zn ) .

k,

184

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES Recíprocamente, la condición también es necesaria. Esto requiere un poco

más de cuidado. Supongamos que

Pk −→ P ̸= 0. Observemos en primer lugar que, de esta relación de convergencia, se sigue que

l´ım

k ∏

(1 + |zn |) = |P | ̸= 0,

n=1 y aplicando el logaritmo real

+∞ ∑

log (1 + |zn |) = ln |P | .

(4.6)

n=1 Luego para cumplir con el objetivo basta probar que la serie (real, también)

∑

arg (1 + zn )

(4.7)

n≥1 converge, pues (4.6) y (4.7) son las partes real e imaginaria, repectivamente, de la serie que queremos converja. Sea

ϕk := argω

k ∏

(1 + zn ) ,

donde el argumento considerado es una

n=1

determinación continua en un entorno de

argω P .

P.

Esta sucesión

(ϕk )

converge a

Como, por otra parte, el Argumento de un producto es la suma de

los Argumentos de los factores, podemos armar que

k ∑

arg (1 + zn ) ∈ Arg

n=1

k ∏

(1 + zn ) .

n=1

Ahora bien, como dos Argumentos se diferencian en un múltiplo de de existir una sucesión de enteros

(mk )

ϕk = 2mk π +

2π ,

ha

tal que

k ∑

arg (1 + zn ) .

n=1 ¾Qué nos resta? Probar que esta sucesión de enteros encontrada es constante (salvo, quizás, en un número nito de sus términos), pues así resultaría

k ∑

arg (1 + zn ) = ϕk − 2mk π −→ argω P − 2mπ,

n=1

193

4.7. Factorización de funciones holomorfas y completaríamos la argumentación. La convergencia del producto innito nos dice que

1 + zn −→ 1.

zn −→ 0,

es decir

Por tanto, a partir de un determinado momento

|arg (1 + zn )| < π. Y, por otro lado, la sucesión de diferencias

|ϕk+1 − ϕk | = |arg (1 + zk+1 ) + 2π (mk+1 − mk )| es nula; es decir, menor que

π

a partir de un determinado momento. Con-

clusión: como

|arg (1 + zk+1 ) + 2π (mk+1 − mk )| < π se sigue, obligadamente, que para los enteros

y

|arg (1 + zk+1 )| < π,

mk+1

y

mk

ha de vericarse

|mk+1 − mk | < 1, luego coinciden a partir de un momento en adelante, lo que concluye la



prueba.

Probamos a continuación un lema que nos sugiere el concepto, muy útil, de producto absolutamente convergente.

Lema 4.8 i.

∏

Sean

an ≥ 0, n ∈ N;

(1 + an )

entonces, son equivalentes:

converge;

n≥1 ii.

∑

an

converge.

n≥1 Demostración. Todo se basa en que razonando para cada natural

x ≥ 0 =⇒ 1 + x ≤ ex ,

pues entonces,

n:

a1 + a2 + · · · + an ≤ (1 + a1 ) (1 + a2 ) · · · (1 + an ) ≤ ea1 +a2 +···+an , 

de donde se sigue el resultado.

Otra forma de demostrar el lema 4.8 (ahora sin prejuicios sobre la naturaleza de los escalares a considerar), es la siguiente. Como

l´ım

z→0

log (1 + z) = 1, z

194

186

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

para

ε > 0,

podemos razonar con

z

conveniente, que

(1 − ε) |z| < |log (1 + z)| < (1 + ε) |z| ; y el lema 4.7 nos da la prueba del lema 4.8. Qué mensaje nos da el lema 4.8: que los factores en el producto de i. se pueden reordenar si, y solo si, se pueden reordenar los sumandos en la serie de ii.; ya está motivada la

Denición 4.11 si la serie si,

∏

∑

∏

(1 + zn ) converge absolutamente n≥1 |zn | es convergente. O bien, por el propio lema 4.8, si, y solo El producto innito

n≥1

(1 + |zn |)

converge.

n≥1 (Observemos que en el lema estamos tratando con números reales en la denición con complejos

Corolario 4.20

an

y

zn .)

Si un producto innito converge absolutamente, entonces

es convergente. Demostración. El lema 4.8 nos proporciona la convergencia de la serie

∑

|zn |;

n≥1 luego, en particular, podemos suponer

|zn | < 1, ∀n ≥ n0 . (¾Por qué?) Como para

|z| < 1

se tiene que

log (1 + z) = z − donde

h(z) = 1 − y para

m ≥ n0

z2 z3 z4 + − + · · · = zh(z), 2 3 4

z z2 z3 + − + · · · → 1, 2 3 4

z → 0,

m m ∑ ∑ log (1 + zn ) ≤ |zn h(zn )| , n=n0

y el conjunto

si

n=n0

{h(zn ) : n ∈ N}

está acotado y la serie

sigue de la desigualdad anterior que

m ∑ log (1 + zn ) −→ 0 n=n 0

195

∑

|zn |

converge. Se

4.7. Factorización de funciones holomorfas cuando

n0 , m −→ +∞.

Pero esto no es ni más ni menos que la convergencia

∑

de la serie

log (1 + zn ) ;

n≥1 luego, aplicando ahora el lema 4.7, se tiene que el producto innito

∏

(1 + zn )

n≥1



converge.

Observación 4.7

Ojo, más de lo que dice el lema 4.8, no se puede decir;

no caigamos en la tentación de hacer uso inconsciente de la relación

∏

(1 + zn )

⇐⇒

converge

n≥1

∑

zn

converge,

n≥1

que, además, ofrece el siguiente argumento falaz: consiste en probar, para complejos

zn

(clave para diferenciarlo del lema 4.8, donde la equivalencia se

∏ |zn | ≥ 0) que el producto innito (1 + zn ) n≥1 ∑ converge, si y solo si, la serie n≥1 zn converge. Ahí va: ∏ Por el lema 4.7, tenemos que la convergencia del producto (1 + zn ) y n≥1 ∑ de la serie log (1 + zn ) son equivalentes. Si hacemos caso a Taylor: existe da para la convergencia absoluta

n≥1 una función holomorfa

g

en un entorno del origen, con límite 1, tal que

log (1 + z) = zg(z). Por tanto, para

n sucientemente grande, g(zn ) estará tan próximo a 1 como ∑ ∑ zn g(n ) converge si, solo si, converge zn , lo

queramos, y así, la serie

n≥1

n≥1

que concluye la prueba. (Encuentra el gazapo y un contraejemplo.) Completamos esta primera parte con un resultado relativo a productos (innitos) de funciones holomorfas. Queremos considerar, concretamente, funciones de la forma

f (z) :=

+∞ ∏

(1 + fn (z))

n=1 tomando valores en un dominio

Ω.

Recordemos (teorema 4.19 de Weier-

strass) que una condición suciente para la holomorfía de

f

es que las

fn

lo

sean y que la sucesión de productos parciales converja uniformemente sobre compactos. Ahora, con esta notación, probamos que:

196

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

188

Proposición 4.21

Si

fn ∈ H (Ω) , n ∈ N

y la serie

∏

∑

|fn |

converge uni-

n≥1

(1 + fn ) converge unin≥1 formemente sobre compactos y representa una función holomorfa en Ω. En

formemente sobre compactos, entonces el producto

particular, converge absolutamente en

Ω.

Demostración. La convergencia absoluta se sigue del lema 4.8.

∑K

Sea serie

un subconjunto compacto del dominio

Ω.

La hipótesis sobre la

n≥1 |fn | nos garantiza que

∃n : m ≥ n =⇒ |fn (z)| < 1, ∀z ∈ K. 1 + fn no se N tal que

Podemos suponer, por tanto, que las funciones por otro lado, podemos encontrar otro natural

+∞ ∑ m=N +1

anulan en

K.

Y,

ε |fm (z)| < , ∀z ∈ K. 2

Pero, teniendo en cuenta que

+∞ ) ( ∑ m α 1 1 m+1 |log (1 + α)| = (−1) ≤ |α| 1 + + + · · · = 2 |α| , m 2 4 m=1

lo anterior nos dice que

+∞ ∑ log (1 + fm (z)) ≤ ε, ∀z ∈ K, m=N +1

lo cual equivale a la existencia de una función límite serie

∑

n≥1 log (1 + fn )

f

sobre

K

a la que la

converge uniformemente:

f (z) = l´ım

+∞ ∑

log (1 + fn (z)) , ∀z ∈ K.

n=1 Esta función ha de estar acotada, y como la exponencial es uniformemente continua sobre dominios acotados, se tiene que

( exp

N ∑

) log (1 + fn (z))

−→ ef (z)

n=1 uniformemente sobre el compacto

K.

La arbitrariedad del mismo nos da lo



que deseamos.

197

4.7. Factorización de funciones holomorfas

Ejemplo 4.2 +∞ ∏

Existe una función holomorfa en el disco unidad dada por

(1 + z n ). n=1 Consideremos el producto innito

f (z) :=

∏

(1 + z n )

n≥1 para

z ∈ D. Sea K un δ < 1 tal que

compacto del disco unidad. Como existe algún disco

de radio

K ⊂ D(0, δ), el test de Weierstrass nos proporciona convergencia uniforme sobre ∑ n serie z : +∞ +∞ ∑ ∑ δ n n

|z| ≤

n=1

δ =

n=1

1−δ

K

de la

,

luego la proposición 4.21 nos dice que este producto dene una función holomorfa en el disco unidad a la que converge en la topología de la convergencia uniforme sobre compactos.

Ejemplo 4.3

1 kz

en el dominio

Ω

k≥1

en el semiplano

δ>0

)

dene una función holomorfa

Re z > 1.

Fijemos un compacto de existir

∏ (

1+

El producto innito

K

que estamos considerando. Ha

tal que para cada elemento del compacto:

1 1 1 Re z ≥ 1 + δ =⇒ z = Re z ≤ 1+δ , ∀k ∈ N. k k k Consecuentemente, la serie

+∞ ∑ 1 kz

n=1 converge uniformemente sobre

K. La proposición 4.21 ya se encarga del resto.

Proposición 4.22 (desarrollo en producto innito del seno) da complejo

z

se tiene que

sen z = z

+∞ ∏( k=1

( z )2 ) . 1− kπ

198

Para ca-

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

190

Demostración. Consideremos la función auxiliar

f : C −→ C; f (z) := z

+∞ ∏(

k=1

( z )2 ) 1− (sen z)−1 . kπ

El objetivo es probar que se trata de la función constante 1. El teorema 4.13 de Riemann de singularidades evitables nos dice que

f

es una función entera y sin ceros. Además, es par. Vamos a estudiar el comportamiento de

f

para valores de

z

sucientemente grandes. Supongamos,

así, que

1 n ≤ |z| ≤ n. 2 Pero, en esta situación, el principio del módulo máximo nos dice que

|f (z)|

alcanza su máximo sobre la poligonal

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 1 1 1 1 (1, i) , π n + (−1, i) , π n + (−1, −i) , π n + (1, −i) , π n+ 2 2 2 2 la cual tiene la gracia de no pasar (sea cual sea el valor del natural

n) por k>0

ninguno de los ceros del seno. Vamos a probar que existe una constante tal que si

z

está sobre dicha poligonal, entonces

1 ≤ k. |sen z| En efecto. En general, se tiene

|sen z| ≥ |senh (Im z)| , luego

1 2 2 1 ≤ = Im z ≤ 1 − Im z π n+ −π (n+ 21 ) ( ) |sen z| |senh (Im z)| |e −e | 2 − e e 2 ≤ 3 3 =: k. eπ 2 − e−π 2 Además, podemos acotar el producto innito mediante exponencial del siguiente modo:

( n ( +∞ ( +∞ ∏ ( z )2 ) ( z )2 ) z ) ∏ z )( ∏ 1− 1+ 1− 1− = kπ kπ kπ kπ k=1

≤

k=1 n ∏

k=n+1

e2| kπ |

k=1

(

z

+∞ ∏

e2| kπ | < e2 π z

2

k=n+1

|z| |z|2 = exp 2 (1 + log n) + π nπ 2

199

|z|

)

(1+log n)

|z|2

e kπ2

4.7. Factorización de funciones holomorfas (donde hemos usado las desigualdades

n ∑ 1 < 1 + log n k

y

k=1

+∞ ∑

1 1 2 < nπ 2 (πk) k=n+1

para obtener la última desigualdad). Observando, otra vez, el comportamiento de

|z|

para

n

muy grande:

2 1 |z|2 ≤ |z| =⇒ (1 + log n) < 2 nπ π π

√

n 1√ ≤ |z|, 2 π

se sigue que, al n,

( ) +∞ 1 − ( z )2 ( ) ∏ kπ ≤ A exp |z|3/2 , |f (z)| = z sen z k=1 de donde se sigue la existencia de una constante

z

+∞ ∏

( ( z )2 ) 1 − kπ sen z

k=1 Ahora es cuando juega que podemos determinar

A

f

B

tal que

= AeBz .

sea una función par: ha de ser

B = 0,

y

observando que

z = 1, z→0 sen z

A = f (0) = l´ım



lo que concluye la demostración.

Una simpática forma de escribir el mismo resultado, y muy natural, sabiendo que lo que queremos es obtener una función entera que se anule en todos y cada uno de los enteros, es expresar la función

sen(πz) como: π

· · · (z + k + 1) (z + k) · · · (z + 1) z (z − 1) · · · (z − k) (z − k − 1) · · · Pero, simpatías aparte, el lema 4.8 nos expone que esta expresión mediante producto no es absolutamente convergente en ningún punto de

C\{0};

es

decir, no podemos agrupar los factores de cualquier forma y escribir, por ejemplo:

sen (z) = z

+∞ ∏( k=1

z )∏( z ) 1+ . kπ kπ +∞

1−

k=1

200

192

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES La última parte de este tema se dedicará a obtener estas factorizaciones

de modo absolutamente convergente: la función exponencial jugará un papel extremadamente importante en este aspecto y nos proveerá de los, tan esperados ya, factores primarios de Weierstrass. Antes, algunos otros ejemplos interesantes.

Proposición 4.23 (producto innito del coseno) se tiene que

cos z =

+∞ ∏

(

(

1−

k=1

2z (2k − 1) π

Para cada complejo

z

)2 ) .

Demostración. La factorización del seno permite los siguientes cálculos:

cos z =

=

sen 2z = 2sen z

2z

+∞ ∏ (

( 2z )2 )

1−

kπ

k=1 +∞ ∏ (

( z )2 ) 1 − kπ k=1 ( ( )2 )( ( )2 ) +∞ ∏ 2z 2z 1 − (2k−1)π 1 − (2k)π

k=1

2z

+∞ ∏ (

1−

(

k=1

) z 2 kπ

=

)

+∞ ∏

(

k=1

(

2z 1− (2k − 1)π

)2 ) ,



completando la prueba.

Proposición 4.24 (fórmula de Wallis)

Se verica

π 224466 = ··· 2 133557 π Demostración. Evaluamos en 2 la factorización del seno:

1 = sen de donde

) +∞ ( π∏ 1 π = 1− 2 ; 2 2 (2k) k=1

+∞ +∞ ∏ (2k)2 ∏ 2k 2k π = = , 2 2 2k + 1 2k −1 (2k) − 1 k=1 k=1



de donde se obtiene el resultado.

201

4.7. Factorización de funciones holomorfas

Observación 4.8

Se puede razonar, al hilo de la demostración anterior, que

la serie es convergente, pero no es absolutamente convergente: si llamamos

Pn :=

n ∏

(2k)2 (2k)2 − 1 k=1

al término general de la sucesión de productos parciales, lo que se prueba, π realmente, es que P2n converge a 2 ; pero

P2n+1 =

2n + 2 P2n , ∀n ∈ N, 2n + 1

de donde se sigue que la sucesión límite!), ergo

Pn .

P2n+1

converge igualmente (½y al mismo

Y, sin embargo, los productos

+∞ ∏ k=1

2k 2k + 1

y

+∞ ∏ k=1

2k 2k − 1

son divergentes, de donde se sigue que no hay convergencia absoluta.

Teorema 4.21 (de factorización de Weierstrass) sión

λn −→ ∞

existe una función entera

f

Para cualquier suce-

tal que

f (z) = 0 ⇐⇒ z ∈ {λn : n ∈ N} . Algunas cuestiones previas a la demostración de este hecho las resumimos en la

Observación 4.9

Hemos de tener en cuenta lo siguiente:

1. La hipótesis sobre la sucesión... solo consiste en evitar trivialidades: si es nito el conjunto de ceros, el producto no da problemas y la función es el resultado de un producto de polinomio y exponencial adecuados; y si la sucesión no converge a en algún punto de

C:

∞, alguna de sus parciales se va a acumular

un dominio para el que el principio de identidad

no dejaría más escapatoria que

f = 0.

2. Hay formas obvias de denir una función arbitraria que verique el 

⇐⇒ .

Lo importante es la holomorfía; y, de ahí, la absoluta conver-

gencia de la expresión como producto innito. Esta es la fuerza real de este resultado.

202

194

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES Comenzamos con argumentos de tipo heurístico: para denir la tal

H (C)

f∈

parecería natural hacer

f (z) :=

+∞ ∏

(z − λn ) .

n=1 Pero, ya de entrada, observaciones tan elementales como la hipótesis sobre la sucesión

(λn ) ,

razonando para

z

jo, conlleva que la sucesión

de factores no convergería a 1, luego divergería el producto. Este detalle lo podemos evitar considerando los ceros en

+∞ ∏(

f (z) :=

z λn

1−

n=1 pues, ahora, si la serie

C\{0}

y escribiendo

) ,

∑ 1 λn

es convergente, entonces la serie

∑ z λn

converge uniformemente sobre compactos, luego así también el producto y resulta la deseada función entera. Además, aun en el caso de divergencia de

∑ 1 λn

pero convergencia de

∑ 1 2 , λn podemos modicar la denición de

f (z) :=

+∞ ∏ [(

1−

n=1

f

así:

z λn

)

( exp

z λn

)] .

Estos factores de convergencia actúan así: razonando sobre compactos

n conveniente, podemos hacer |λn | > 2 |z|, de donde [( ( ) ( )] ) 2 3 z z z z z z log 1 − = − exp − 2 − 3 − ··· + λn λn λn 2λn 3λn λn 2 ( ) 2 z 1 1 1 z ≤ 2 + + + · · · = 2 , λn 2 4 8 λn

y para

203

4.7. Factorización de funciones holomorfas luego hay convergencia uniforme sobre compactos. Por tanto, la serie

+∞ ∑

[( log

n=1

z 1− λn

)

( exp

z λn

)] ,

z ̸= λn ,

es uniformemente convergente y el producto lo es sobre compactos. El mismo razonamiento nos es válido si consideramos series del tipo

∑ 1 p+1 λn

n≥1 para

p ∈ N;

lo cual nos habilita para considerar los factores de conver-

gencia

( Wn (z) := exp

z z2 zp + 2 + ··· + p λn 2λn pλn

)

que garantizan la convergencia uniforme sobre compactos del producto

+∞ ∏( n=1

z 1− λn

) Wn (z),

que, además, representa una función entera con los ceros deseados... Sin embargo,

∃ (λn ) ⊂ C : λn −→ ∞

y

∑ 1 p λn

divergente para todo

p ∈ N,

(log n)n≥2 . Para este pequeño atasco basta redenir los factores de convergencia como: por ejemplo, la sucesión

( Wn (z) := exp

z z2 zn + 2 + ··· + λn 2λn nλnn

donde, por el momento, seguimos con

) ,

λn ̸= 0.

Demostración. (Del teorema 4.21 de factorización de Weierstrass.) Razonando, como lo hemos hecho en la observación 4.9, sobre compactos y para conveniente, podemos hacer

|λn | > 2 |z|,

a partir de conveniente natural

de donde

[( ) ] +∞ k ∑ z z n log 1 − z Wn (z) ≤ ≤ ≤ 1 . kλk λn λn 2n n k=n+1

204

n n,

196

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES En resumen, las expresiones

+∞ ∑ n=1

[( ) ] z log 1 − Wn (z) λn

y

+∞ ∏( n=1

z 1− λn

) Wn (z)

son uniformemente convergentes sobre compactos. Además, cada factor solo se anula en

λn ;

y por la denición del producto innito, este sólo se anula

en tales puntos. Solo resta añadir los posibles ceros en el origen y hacer

f (z) := z

p

+∞ ∏( n=1

z 1− λn

) Wn (z), ∀z ∈ C, 

lo que prueba el hecho.

Ejemplo 4.4

Queremos lograr una función entera con ceros en −N. ∑ ∑ Notemos que la serie 1/ |−n| diverge, pero 1/n2 converge. Por tanto,

podemos denir tal función como

( z ) −z/n f (z) := 1 + e , ∀z ∈ C. n

Corolario 4.21

Toda función

f

meromorfa en el plano

C

se puede escribir

como el cociente de dos funciones enteras. Demostración. Las singularidades de junto como

Λ,

f

son todas polos. Escribamos este con-

donde cada polo aparece tantas veces como su orden indique.

A este conjunto le podemos asociar, vía teorema 4.19 de Weierstrass, una

h tal que Z (h) = Λ. Ahora bien, el teorema 4.13 de singularig := f h es una función entera Z (g) = Z (f ). Por el principio de identidad es f = g/h. 

función entera

dades evitables de Riemann nos garantiza que tal que

Aplicación: estudio de la función Gamma En el ejemplo 4.4 hemos visto cómo la función entera con ceros en

−N

más sencilla es el producto canónico

( z ) −z/n e , ∀z ∈ C. f (z) := 1 + n Claramente

z −→ f (−z)

205

(4.8)

4.7. Factorización de funciones holomorfas tiene a los naturales como ceros, y:

zf (z)f (−z) =

sen πz . π

Vamos a profundizar en algunas propiedades de

f

aprovechando la forma

en la que ha sido construida. La función

z −→ f (z − 1) tiene los mismos ceros que

f

y, además, el origen. Por tanto, nos está per-

mitido escribir

f (z − 1) = zf (z) exp (g(z)) , donde

g ∈ H (C).

Queremos determinar la función entera

g.

Si tomamos derivadas logarítmicas en ambos miembros de la ecuación anterior (usando la expresión (4.8)) se tiene:

+∞ ( ∑ n=1

1 1 − z−1+n n

Si hacemos el cambio

)

n ↔ n+1

+∞ (

∑ 1 = + g ′ (z) + z

n=1

1 1 − z+n n

) .

(4.9)

en la serie de la izquierda, operando en ese

miembro nos queda:

+∞ ( ∑ n=1

1 1 − z−1+n n

)

+∞ ( ∑

) 1 1 = − z−1+n+1 n+1 n+1=1 ) +∞ ( ∑ 1 1 − = z+n n+1 n=0 ) ∑ ) +∞ ( +∞ ( ∑ 1 1 1 1 1 = −1+ − + − , z z+n n n n+1 n=1

n=1

donde la última serie suma 1. En consecuencia, la ecuación (4.9) se reduce a

g ′ (z) = 0,

sea cual sea el valor del complejo

una constante. Llamemos

γ

z;

luego la función

g

buscada es

a tal constante. Por tanto:

f (z − 1) = eγ zf (z), ∀z ∈ C. De algún modo, es más sencillo operar considerando la función

h(z) := f (z) exp(γz), ∀z ∈ C,

206

198

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

la cual verica la relación

h(z − 1) = zh(z), ∀z ∈ C. Ahora, el valor de

γ

(4.10)

se puede obtener de modo sencillo: haciendo

z = 1,

1 = f (0) = eγ f (1), de donde

−γ

e

=

+∞ ∏( n=1

Como el

n-ésimo

1 1+ n

)

e−1/n .

producto parcial en dicha expresión se puede escribir

[ ( )] 1 1 (n + 1) exp − 1 + + · · · + , 2 n

así:

tomando logaritmos (y aprovechando su continuidad), nos queda:

(

) 1 1 γ = l´ım 1 + + · · · + − log n . 2 n Se trata de la llamada constante de Euler, cuyo valor aproximado es 0,57722. Dado que

h

verica la relación (4.10), si hacemos

Γ(z) := 1/ [zg(z)],

entonces aparece la relación

Γ (z + 1) = zΓ(z), ∀z ∈ C. Esta función entra por derecho entre el reducido círculo de funciones famosas de las matemáticas bajo el nombre de función gamma de Euler. La forma en la que la hemos introducido permite obtenerla como:

+∞ e−γz ∏ ( z )−1 z/n 1+ Γ(z) = e , z n n=1

de modo que

Γ(z)Γ(z − 1) =

π . sen (πz)

Observamos, de modo inmediato, que la función en

−N ∪ {0}),

Γ

es moromorfa (con polos

pero no tiene ceros. Es sencillo comprobar que esta función es

una generalización de la función factorial. Igualmente, de la última relación, podemos extraer como información, que

( ) √ 1 Γ = π. 2

207

4.7. Factorización de funciones holomorfas Otras propiedades de interés de la función gamma las podemos obtener a partir de la segunda derivada de

d dz

(

Γ′ (z) Γ(z)

log Γ.

) =

Por derivación

+∞ ∑

1 . (z + n)2 n=1

Por ejemplo, se puede comprobar que, como

Γ(z)Γ(z + 12 )

y

Γ(2z)

tienen los

mismos polos, la relación anterior nos da:

d dz

(

Γ′ (z) Γ(z)

)

d + dz

(

Γ′ (z + 21 ) Γ(z + 12 )

)

+∞ ∑ 1 1 + ( ) 2 1 2 (z + n) n=1 n=1 z + n + 2 [ +∞ ] +∞ ∑ ∑ 1 1 = 4 2 + (2z + 2n) (2z + 2n + 1)2 n=1 n=1 ( ) +∞ ∑ 1 d Γ′ (2z) = 4 =2 . dz Γ(2z) (2z + n)2

=

+∞ ∑

n=1

Por integración se obtiene

(

1 Γ(z)Γ z + 2

) = eaz+b Γ(2z),

y usando relaciones conocidas para los valores

z = 1/2

y

z = 1,

se tiene

(pruébese) que

a = −2 log 2,

b=

1 log π + log 2, 2

de donde se sigue la llamada fórmula de duplicación de Legendre:

√

4.7.1.

( ) 1 πΓ(2z) = 22z−1 Γ(z)Γ z + . 2

Ejercicios propuestos

1. Determina cuáles de los siguientes productos innitos son convergentes:

a)

c)

e)

) 1 ; 2n n∈N ( ) ∏ (−1)n 1− ; n ) n∈N ( ∏ (−1)n 1− √ ; n n∈N ∏

(

1−

208

b)

d)

f)

∏

(

1 n + n∈N ( )1 ∏ 1 1− 2 ; n ) n≥2 ( ∏ 1 1+ 2 . n n∈N 1−

) ;

200

CAPÍTULO 4. TEOREMA DE CAUCHY LOCAL. APLICACIONES

2. Este ejercicio expone información suplementaria muy interesante a la teoría expuesta arriba: a) Ayúdate del producto innito dado en 1.e) para probar que

∑

zn

converge

;

∏

(1 + zn )

converge.

b) Prueba que, sin embargo,

∑

zn

y

∑

|zn |2

convergen

⇒

∏

(1 + zn )

converge.

convergente (a un límite no nulo) tal que

∑

∏

(1 + zn ) zn no sea convergente.

c) Busca, y encuentra, un ejemplo de producto innito

3. Dene una función entera que tenga ceros simples en los cuadrados de los naturales. 4. Considera una función meromorfa cuyos polos sean de orden, a lo más, uno y tal que su residuo en cada uno de ellos sea un número entero. Prueba que tal función ha de ser la derivada logarítmica de alguna otra función meromorfa. 5. Determina los productos canónicos asociados a cada una de las siguientes sucesiones: a)

zn := 2n ;

b)

zn := nb : b > 0;

c)

zn := n (ln n)2 .

6. Prueba que los siguientes productos denen funciones enteras: a)

c)

∏

(1 + an z) : a ∈ D; n∈Z\{0} ( ) ∏ z 1+ . n (ln n)2 n∈Z\{0}

7. Encuentra una función

f

ayudar de una función ( ) entera denir

f (z) := g

( z) z 1− en ; n n∈Z\{0} ∏

holomorfa (no trivial) en el disco unidad tal

{

que sus ceros los tome en los puntos

1 1−z

b)

g

1−

1 n+1

} :n∈N .

(Te puedes

que se anule en los naturales, y luego

.)

209

Capítulo 5 Más propiedades locales de las funciones holomorfas

5.1. Funciones armónicas y subarmónicas. Principio del máximo. Principio del módulo máximo Que la gráca de una función

f : Ω ⊂ C −→ C

esté en

R4

conlleva la im-

posibilidad de su visualización. No obstante, la consideración de la aplicación

z −→ |f (z)|

permite extraer, a través de lo que se puede llamar supercie

modular, consecuencias muy interesantes para

f.

En el presente capítulo

veremos que la supercie modular de una función holomorfa (salvo casos triviales) no tiene máximos locales. También será un capítulo donde sacaremos provecho de la fórmula elemental de Cauchy

1 f (z) = i2π

∫

f (w) dw, w−z

C(a,r)

∀z ∈ D(a, r),

de modo que el conocimiento de una función holomorfa sobre permitirá conocerla sobre todo el disco interior

C(a, r)

nos

D(a, r).

Comenzamos con el llamado principio de la media.

Teorema 5.1 (Principio de la Media) D(a, r) ⊂ Ω.

Sean

Entonces

1 f (a) = 2π

∫

2π

( ) f a + reiθ dθ.

0

210

◦

Ω = Ω ⊂ C, f ∈ H (Ω)

y

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS Demostración. Por la fórmula de Cauchy, con

f (a) = =

1 i2π 1 i2π

∫

z = a:

f (w) dw w−a ( ) ∫ 2π ( ) f a + reiθ 1 iθ iθ ire dθ = f a + re dθ. 2π 0 reiθ

C(a,r)

∫

C(a,r)

 Observemos con detenimiento lo que se ha probado: el valor de una función holomorfa en un punto es siempre el promedio de los valores que dicha función toma sobre los puntos de cualquier circunferencia que tenga a dicho punto como centro. Como consecuencia del principio de la media tenemos la muy importante desigualdad de la media.

Teorema 5.2 (Desigualdad de la Media) y

D(a, r) ⊂ Ω.

Sean

◦

Ω = Ω ⊂ C, f ∈ H (Ω)

Entonces

1 |f (a)| ≤ 2π

∫

2π

( ) f a + reiθ dθ.

0

El hecho de vericar la tesis anterior es de tan suma importancia, que se ha hecho un estudio sistemático de tales funciones.

Denición 5.1

◦

Ω = Ω ⊂ C y φ : Ω −→ R una función real de variable que φ es subarmónica en Ω si verica las dos condiciones

Sean

compleja. Diremos siguientes: i. ii.

φ

es continua en

Ω.

1 D(a, r) ⊂ Ω ⇒ φ(a) ≤ 2π

∫

2π

( ) φ a + reiθ dθ.

0

Como inmediata consecuencia, tenemos que el módulo de una función holomorfa es una función subarmónica. Del curso de una variable real sabemos que:

Lema 5.1

φ : [a, b] → R φ(t) = 0, ∀t ∈ [a, b]. Sea

continua y no negativa. Si

∫b a

φ ≤ 0,

entonces

Teorema 5.3 (Principio del Máximo para funciones subarmónicas) Sean

Ω

un dominio de

Supongamos que existe tonces

φ

C y φ : Ω −→ R una función subarmónica en Ω. a ∈ Ω tal que φ(z) ≤ φ(a), para todo z ∈ Ω. En-

es constante.

211

5.1. Funciones armónicas y subarmónicas. Principio del máximo Demostración. Sea

A := {z ∈ Ω : φ(z) = φ(a)} . A ̸= ∅

A = Ω; y para ello, haremos uso del lema 1.2 de conexión. Sean, por tanto, b ∈ A y D(b, R) ⊂ Ω. Consideremos 0 < r < R; por ser φ subarmónica: ∫ 2π ( ) 1 φ(b) ≤ φ b + reiθ dθ, 2π 0 Claramente,

(¾por qué?) Nuestro objetivo: lograr

lo cual equivale a que

1 2π

∫

2π

[

( )] φ(b) − φ b + reiθ dθ ≤ 0.

0

( ) φ(b) − φ b + reiθ ≥ 0, ∀θ ∈ [0, 2π] . ( ) φ(b) − φ b + reiθ = 0, ∀θ ∈ [0, 2π] ,

Pero, por hipótesis, el lema 5.1

y, por tanto,

Luego, aplicando

C(b, r)∗ ⊂ A, ∀r ∈ ]0, R[ ,

de donde

D(b, R) ⊂ A. En conclusión:

A = Ω.

Corolario 5.1

Sean

continua en

Ω

Ω

 un dominio acotado de

C

y

φ : Ω −→ R

una función

Ω. Entonces } m´ ax φ(z) : z ∈ Ω = m´ax {φ(z) : z ∈ ∂Ω} .

y subarmónica en

{

Es decir, el máximo sobre el cerrado se alcanza, siempre, en la frontera. Demostración. La acotación del dominio nos provee de compacidad, tanto para

Ω

como para

∂Ω.

La continuidad de

φ

nos garantiza la existencia de

ambos números reales que aparecen en la igualdad a probar. Supondremos que

φ

alcanza su máximo sobre

Ω

en algún punto de

Ω.

(¾Por qué podemos

hacer esta restricción?) Pero, si este es el caso, el principio del máximo para funciones subarmónicas nos dice que continuidad de

φ

φ

ha de ser constante en

sobre la frontera, será constante sobre todo

modo el máximo lo alcanzará también sobre la frontera.

Ω;

Ω,

y, por

y de este



Ahora perseguimos aplicarle nuestros resultados sobre funciones subarmónicas al módulo de una función holomorfa.

212

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS

Teorema 5.4 (Principio del Módulo Máximo) Cyf

plano complejo relativo en

Ω,

una función holomorfa en

entonces

Demostración. Sea

f

a∈Ω

es constante en

D(a, r) ⊂ Ω

y

Ω

un dominio del

Ω. Si |f | alcanza un máximo

Ω.

un punto donde la función

relativo. En tales condiciones: existe

Sean

r>0

|f |

alcance un máximo

tal que

|f (z)| ≤ |f (a)| , ∀z ∈ D(a, r).

Podemos aplicar el principio del módulo máximo para funciones subarmóni-

D(a, r): |f | es constante en el disco. Pero como f ∈ H (D(a, r)) D(a, r), entonces f es constante en todo el disco D(a, r). Finalmente, el principio de identidad se encarga del resto.  cas a

y

|f |

|f |

en

constante en

Corolario 5.2 continua en

Ω

Sean

Ω

un abierto acotado de

y holomorfa en

Ω.

C

y

f : Ω −→ R

una función

Entonces

{ } m´ ax |f | (z) : z ∈ Ω = m´ax {|f | (z) : z ∈ ∂Ω} . Demostración. Si en la hipótesis del abierto (acotado) fuese dominio (acota-

a ∈ Ω un punto e donde |f | alcanza su máximo (absoluto) sobre Ω. Sea Ω la componente conexa e . Así, ahora podemos armar que |f | alcanza su máximo de Ω tal que a ∈ Ω e ; pero, al n y al cabo, es ∂ Ω e ⊂ ∂Ω. (absoluto) sobre ∂ Ω 

do), no habría nada que probar gracias al corolario 5.1. Sea

Como aplicación, tenemos el siguiente

Corolario 5.3

Si

f

es una función entera vericando

|f | (z) ≤ Entonces,

1 , |Im z|

∀z ∈ C\R.

f (z) = 0, ∀z ∈ C.

Demostración. Claramente

z : |Im z| ≥ 1 ⇒ |f (z)| ≤ 1. Por tanto, f no tiene z : −1 < Im z < 1. ( ) que, para conveniente M > 0, f D(0, R) ⊂

garantizada su acotación para los Sea

R > 1

y veamos

D(0, M ). Consideremos la función auxiliar

( ) g(z) := z 2 − R2 f (z), ∀z ∈ C.

213

5.1. Funciones armónicas y subarmónicas. Principio del máximo Sea

z ∈ C(0, R),

con

Re z > 0.

Tendremos que

√ |z − R| =: sec θ ≤ 2 |Im z| (pues

θ ∈ [0, π/4]),

√ |(z − R) f (z)| ≤ 2, en el caso √ Re z > 0. Re z ≤ 0, tendríamos |(z + R) f (z)| ≤ 2.

de modo que

Si hubiésemos considerado En consecuencia,

z ∈ C(0, R) ⇒ |g (z)| = |z − R| |z + R| |f (z)| ≤ Aplicando el principio del módulo máximo: Pero, para nuestra función

f,

√ 2 |Im z| 2 < 2R.

z ∈ D(0, R) ⇒ |g (z)| ≤ 2R.

esto signica que

|z| ≤ R ⇒ |f (z)| ≤ de modo que, haciendo

√

R → +∞, f

|z 2

2R , − R2 |

es idénticamente nula en

ya, el principio de identidad, se encarga del resto.

D(0, R). Ahora 

Teorema 5.5 (Principio del Módulo Mínimo)

Sean Ω un dominio de f : Ω → C una holomorfa en Ω. Supongamos que |f | alcanza un mínimo relativo en a ∈ Ω. Entonces, o bien f es constante en Ω o bien f (a) = 0.

C

y

Demostración. Razonamos del siguiente modo: supongamos que que, por tanto, existe

ρ>0

D(a, ρ) ⊂ Ω

y

f (a) ̸= 0,

y

tal que

|f (z)| ≥ |f (a)| > 0, ∀z ∈ D(a, ρ).

Consideremos entonces la función auxiliar

1 : D (a, ρ) −→ C |f | que es holomorfa en todo su dominio. Consecuentemente, absoluto en

D(a, ρ). El principio D(a, ρ), y, por

1 f es constante en

1 |f | tiene un máximo

del módulo máximo nos dirá entonces que tanto, lo será la propia

f.

principio de identidad es el responsable de lograr el resto.

Una vez más, el



Encaramos ahora la segunda parte de este capítulo. En ella vamos a poner de maniesto la estrecha relación existente entre las funciones holomorfas y las funciones armónicas.

214

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS Todo aparecerá, de modo natural, al conectar lo que acabamos de probar en la primera parte del capítulo y el hecho, tal vez ya lejano, de que toda función compleja

f

se puede ver como una pareja

(u, v)

de funciones reales

de dos variables reales que acostumbramos en llamar partes real e imaginaria de

f. Toda la riqueza informativa que nos dan estas funciones se encierra (vía

ecuaciones de Cauchy-Riemann o también llamadas de Euler-D'Alembert) en la llamada ecuación de Laplace:

∂2u ∂2u ∂2v ∂2v + = + = 0. ∂2x ∂2y ∂2x ∂2y

(5.1)

Pasemos ya a formalizar estos comentarios expuestos.

Teorema 5.6

Sean

Ω.

holomorfa en

Ω

C y f : Ω −→ C v := Im f , entonces:

un conjunto abierto de

Si llamamos

u := Re f

y

C∞;

i.

u

y

v

son funciones diferenciables de clase

ii.

u

y

v

verican, ambas dos, la ecuación de Laplace (5.1).

Demostración. Como ralidad, sobre

u

una función

v := Re (−if ) , podemos razonar, sin pérdida −if hereda las propiedades que tenga f ).

de gene-

(pues

i. Lo vamos a probar por inducción. Sea:

A := {n ∈ N : f ∈ H (Ω) ⇒ u := Re f ∈ C n (Ω)} . ¾1

∈ A?

Usando la holomorfía de

f,

las ecuaciones de Cauchy-Riemann nos

dicen que

f′ = Como, además,

f ′ ∈ C (Ω),

∂u ∂u −i . ∂x ∂y

se sigue la continuidad de las derivadas parciales

Ω. Consecuentemente, u ∈ C 1 (Ω) y, por tanto, 1 ∈ A. ′ Sea n ∈ A. Razonando sobre la holomorfía de la función derivada f , u := Re f ′ ∈ C n (Ω). Pero, razonando como arriba, ahora u ∈ C n+1 (Ω) y, por tanto, n + 1 ∈ A. Por tanto, A = N. ii. Como ya sabemos, la holomorfía de f nos dice, entre otras cosas, que de

u

sobre

f′ =

∂u ∂u ∂v ∂v −i = +i . ∂x ∂y ∂y ∂x

215

5.1. Funciones armónicas y subarmónicas. Principio del máximo Así, derivando en tales fórmulas y usando las ecuaciones de Cauchy-RiemannEuler-D'Alembert:

∂2u ∂ = 2 ∂x ∂x

(

)

(

)

∂2v = ∂x∂y ( ) ( ) 2 ∂ u ∂ ∂u ∂ ∂v ∂2v = = − = − ∂y 2 ∂y ∂y ∂y ∂x ∂y∂x ∂u ∂x

∂ = ∂x

∂v ∂y

        

pero, las derivadas cruzadas coinciden para funciones de clase surge la ecuación de Laplace para

C2,

Denición 5.2 (Función armónica o función de potencial) conjunto abierto del plano

φ : Ω −→ R.

Diremos que

φ

C

de donde



u.

y sea

φ

Sea

Ω

un

una función real denida sobre él:

es una función armónica en

Ω

si verica las dos

condiciones siguientes:

C2

i.

φ

es de clase

ii.

φ

verica la ecuación de Laplace en

Notaremos

en

Ω; Ω.

φ ∈ A (Ω) .

Con esta denición, el teorema 5.6 nos dice que las partes real e imaginaria de una función holomorfa son funciones armónicas (es más, son diferenciables de clase

C∞)

en el abierto

Ω.

Ahora nos planteamos si el problema recíproco será cierto: es decir, ¾las funciones armónicas son la parte real de alguna función holomorfa? Este problema, con respuestas local sí y global no, nos permite enganchar (¾sorpresa?... ½no lo creo!) con algunos resultados ya conocidos por nosotros, pero previamente necesitamos el siguiente lema:

Lema 5.2

Sean

holomorfa en en

Ω,

Ω

entonces

Ω

un conjunto abierto de

tal que 0 ∈ / f (Ω). u ∈ A (Ω).

C

Si denimos

f : Ω −→ C una función u (z) := ln |f (z)| para cada z y

Demostración. Ser armónica es un concepto local; por tanto, consideremos

a arbitrario en Ω (f (a) ̸= 0) y D(a, δ) ⊂ Ω. Sea ρ := |f (a)| > 0. Existe

razonaremos en un entorno suyo:

l ∈ H (D(f (a) , ρ)) : el(z) = z, ∀z ∈ D(f (a) , ρ)

216

δ > 0 :

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS (¾por qué?). Por argumentos de continuidad para

∃δ > 0 : D(a, δ) ⊂ Ω La función

f,

f (D(a, δ)) ⊂ D(f (a) , ρ).

y

h(z) := l(f (z)), ∀z ∈ D(a, δ)

es holomorfa en su disco de

denición y, además,

eh(z) = el(f (z)) = f (z), ∀z ∈ D(a, δ), de donde, tomando módulos

h(z) e = |f (z)| = eRe h(z) , ∀z ∈ D(a, δ); y por las propiedades de la exponencial (real)

Re h(z) = ln |f (z)| =: u(z), ∀z ∈ D(a, δ); luego

u

es armónica en el disco

Teorema 5.7



D(a, δ).

Dado un conjunto abierto

Ω del plano complejo, consideremos

las siguientes armaciones:

∫

γ f = 0, para toda función con soporte en Ω.

f

holomorfa y cualquier

ii. Toda función holomorfa en

Ω

admite primitiva:

i.

γ

camino cerrado

f ∈ H (Ω) ⇒ ∃F ∈ H (Ω) : F ′ = f. iii. Toda función armónica en morfa:

Ω

es la parte real de alguna función holo-

u ∈ A (Ω) ⇒ ∃Fe ∈ H (Ω) : Re Fe = u.

iv. Las funciones holomorfas sin ceros en

Ω

admiten logaritmo holomorfo:

f ∈ H (Ω) : 0 ∈ / f (Ω) ⇒ ∃g ∈ H (Ω) : f = eg . v. Las funciones holomorfas sin ceros en

Ω

admiten raíz cuadrada holo-

morfa:

f ∈ H (Ω) : 0 ∈ / f (Ω) ⇒ ∃g ∈ H (Ω) : f = g 2 . Entonces: i.

⇔

ii.

⇒

iii.

⇒

iv.

⇒

v.

217

5.1. Funciones armónicas y subarmónicas. Principio del máximo ⇔

Demostración. i.

ii. es el lema 4.2 de caracterización de la existencia de

primitiva.

⇒ v. ya es conocido. ∂u ⇒ iii. Para u ∈ A (Ω) , veamos que f := ∂u ∂x − i ∂y es holomorfa en Ω. Por ser u de clase C 2 , sus parciales serán de clase C 1 . Vemos (pues es lo que basta para concluir la holomorfía de f ) que, además, las parciales de u iv. ii.

verican las ecuaciones de Cauchy-Riemann-Euler-D'Alembert:

) ∂u ∂y ( ) ( ) 2 2 ∂ ∂u ∂ u ∂ u ∂ ∂u = = = ∂y ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂ ∂x

(

∂u ∂x

)

(

∂2u ∂2u ∂ = = − = 2 2 ∂x ∂y ∂y

(donde se ha usado la armonía de

        

u: la ecuación de Laplace en la primera ca-

dena de igualdades y la conmutación de las derivadas cruzadas en la segunda de ellas). Por tanto, podemos aplicar la hipótesis ii. a primitiva para ella en

f,

de modo que existe una

Ω; llamémosla F, y escribamos F := u e+ie v para denotar

a sus partes real e imaginaria. Y tendremos, por un lado:

F′ =

∂e u ∂e u −i ; ∂x ∂y

f=

∂u ∂u −i . ∂x ∂y

pero, por el otro:

De este modo

∂u ∂e u = ∂x ∂x

lo que conlleva que

y

∂u ∂e u = , ∂y ∂y

u−u e sea constante sobre cada componente conexa de Ω.

Consideremos, ahora, la función dada por

Fe (z) := F (z) − u e (z) + u (z) , ∀z ∈ Ω. Pues bien esta es la función buscada: la holomorfía de sobre cada componente conexa de

Ω

Fe

se logra razonando

(carácter local de la derivabilidad), y,

además, se tiene que:

Re Fe = Re (F − u e + u) = Re F − u e + u = u.

218

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS Ω tal que 0 ∈ / f (Ω). Consideremos la función (según el lema 5.2) armónica en Ω dada por u (z) := ln |f (z)| para cada z en Ω. e ∈ H (Ω) : Re Fe = u. Llamemos Hagamos uso de la hipótesis iii.: ∃F e − F φ := f e (está bien denida en todo Ω). Además de ser, evidentemente, holomorfa en todo su dominio de denición, se tiene, para z ∈ Ω, que: e e |φ (z)| = f (z)e−F (z) = |f (z)| e− Re F (z) = |f (z)| e− ln|f (z)| = 1; iii.

⇒

iv. Sea

f : Ω −→ C

de modo que la función

Ω.

φ

una función holomorfa en

es constante sobre cada componente conexa de

(Siempre con valores en la circunferencia unidad

T.)

De este modo,

log φ

también lo será (¾por qué?). Sea ahora

g := Fe + log φ.

tiene que

Esta función es holomorfa en

e

e

e

Ω

y, además, se

e

eg = eF +log φ = eF φ = eF f e−F = f, 

lo que permite concluir fácilmente la demostración del resultado.

Corolario 5.4

Si

Ω

es dominio estrellado, entonces las cinco armaciones

del teorema 5.7 son ciertas. Demostración. En efecto: por el teorema de Cauchy para dominios estrella-



dos, ii. es cierta, luego todas las demás también lo serán.

Corolario 5.5

Si

Ω := C\{0},

entonces las cinco armaciones del teorema

5.7 son falsas. Demostración. En particular, sabemos que v. es falsa sobre

C\{0}.



Como cada disco es un entorno estrellado de su centro, tenemos:

Corolario 5.6

Toda función armónica es, localmente, la parte real de alguna

función holomorfa.

Corolario 5.7

Las funciones armónicas son diferenciables de clase

C ∞.

Demostración. Evidente, por ser localmente la parte real de una función holomorfa, será localmente una función holomorfa. El hecho de que la holomorfía sea una propiedad local es una verdadera suerte en este caso.

219



5.1. Funciones armónicas y subarmónicas. Principio del máximo

Corolario 5.8

Sean

u ∈ A (Ω) u(a) =

Equivalentemente, si

y

1 2π

u ∈ A (Ω),

D(a, r) ⊂ Ω.

∫

2π

Entonces

( ) u a + reiθ dθ.

0 entonces

u

y

−u

son subarmónicas.

R > 0 : D(a, r) ⊂ D(a, R) ⊂ Ω. Por ser el disco D(a, R) f función holomorfa en él, tal que u = Re f . f verica el principio de la media en a:

Demostración. Sea

dominio estrellado, existe una Pero, en tal caso,

f (a) =

1 2π

∫

2π

( ) f a + reiθ dθ;

0

luego tomando partes reales:

1 u(a) = Re f (a) = 2π

∫

(

2π

Re f a + re

iθ

)

0

1 dθ = 2π

∫

2π

( ) u a + reiθ dθ.

0

 Ya que hemos probado el hecho, nada evidente, de que las funciones armónicas son subarmónicas, ¾qué nos dirá de una función armónica el principio del máximo para funciones subarmónicas? La respuesta pondrá de maniesto la potencia de ser algo más que subarmónica: nos esperan dos principios del máximo (uno absoluto y otro relativo) y, por medio, un principio de identidad para funciones armónicas. El principio de extremo absoluto, consecuencia inmediata (como vere-

u es u (Ω) no

mos) del corolario anterior, nos va a decir que si no constante en un dominio

Ω,

el conjunto

una función armónica tiene extremos (abso-

lutos). Nos resultará muy práctico, a n de su demostración, el siguiente enunciado:

Teorema 5.8 (Principio de extremo (absoluto) para funciones armónicas) Sea Ω un dominio del plano complejo C y sea u ∈ A (Ω) . Supongamos que se verica alguna de las dos siguientes armaciones: a.

∃a ∈ Ω : u(z) ≤ u(a), ∀z ∈ Ω.

b.

∃b ∈ Ω : u(b) ≤ u(z), ∀z ∈ Ω.

Entonces

u

es constante en

Ω.

220

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS Demostración. Si se da a., el principio del máximo para funciones subar-

u

mónicas aplicado a

nos va a decir que

u

es constante en

Ω.

Si es b. lo que se verica, aplicando ahora el principio del máximo para

−u (pues sería −u(z) ≤ −u(b), ∀z ∈ Ω) Ω, luego lo ha de ser u. 

funciones subarmónicas a la función tendremos que

−u

es constante en

Una consecuencia extraordinaria de este hecho será el que las funciones armónicas que sean continuas en la frontera de su dominio de denición (en el enunciado obviaremos la conexión bajo el impuesto de razonar sobre cada componente conexa) no se pueden denir de cualquier modo en el abierto:

Corolario 5.9 continuas en

Ω.

Sea

Ω

u

un abierto acotado y sean

Supongamos que

u

y

v

y

coinciden sobre

v armónicas en Ω y ∂Ω. Entonces u(z) =

v(z), ∀z ∈ Ω. φ := u − v, que es continua en Ω Ω. Probaremos que φ es idénticamente cero en Ω razonando primero que φ ≤ 0; después, bastará con aplicar a −φ lo hecho con φ. Como quiera que φ alcanza su máximo absoluto en algún a ∈ Ω (¾por qué?), ha de ocurrir que o bien a ∈ ∂Ω, o bien a ∈ Ω. Si es a ∈ ∂Ω, entonces Demostración. Consideremos la función y armónica en

φ (z) ≤ φ (a) = 0, ∀z ∈ Ω. e en la que se encuena ∈ Ω, razonemos con la componente conexa Ω e esta ha de ser a. Pero entonces, por el teorema 5.8 aplicado a φ en Ω,

Si es tra

constante; luego por continuidad también lo será en su frontera, de modo que

φ

alcanza su máximo absoluto en

e ⊂ ∂Ω. ∂Ω

Por tanto, y en cualquier

caso,

φ (z) ≤ 0, ∀z ∈ Ω. 

La conclusión nal ya es trivial. Surge en esta discusión el conocido como

Problema de Dirichlet.

Ω dominios acotados ( ) del plano complejo C tales que para cada f ∈ C (∂Ω) existe u ∈ C Ω tal que u ∈ A (Ω) y u(z) = f (z), ∀z ∈ ∂Ω. Caracterización de los

Se puede consultar, entre otros muchos, la sección 4.2 del capítulo 6 de Ahlfors. Se tiene que existe solución al problema si, y solo si, componentes conexas que se reduzcan a un punto.

221

C\Ω

no tiene

5.1. Funciones armónicas y subarmónicas. Principio del máximo Terminamos ya este tema reformulando el principio de extremo relativo para funciones armónicas. Recordemos, acabamos de probarlo, que precisamos que una función armónica alcance extremo absoluto para que sea constante. Sería deseable que bastase con que fuese relativo tal extremo (tal y como ocurría para el módulo de funciones holomorfas por ser funciones subarmónicas). Pero, téngase presente ahora, no disponemos de un principio de identidad ad litera para funciones armónicas:

u(x, y) := ex sen (y) , ∀ (x, y) ∈ R2 v (x, y) := 0, ∀ (x, y) ∈ R2 . Ambas funciones son armónicas en cualquier dominio del plano, coinciden en

R

y, evidentemente, son distintas.

Afortunadamente, sí que disponemos del siguiente sucedáneo: la condición suciente para que dos funciones armónicas coincidan sobre un dominio es que el conjunto donde coincidan sea abierto no vacío (observemos que en el ejemplo recién presentado, tal conjunto es de interior vacío); y lo enunciamos así:

Teorema 5.9 (Principio de identidad para funciones armónicas) Day

ψ

es tal que

A

das dos funciones armónicas

{z ∈ Ω : φ(z) = ψ(z)}

φ

◦

sobre un dominio Ω, si el conjunto ◦ ̸= ∅, entonces A = Ω.

Demostración. Haremos uso del lema 1.2 de conexión: sea D(a, r) ◦ ◦

a∈A

y

r > 0.

(Bastará, por tanto, probar que

A :=

⊂ Ω,

con

D(a, r) ⊂ A.)

Por tratarse de un dominio estrellado, armamos que

∃f, g ∈ H (D(a, r)) : φ (z) = Re f (z) Ahora bien, como

φ

y

ψ

◦

a ∈ A,

existe

y

ρ ∈ ]0, r[

ψ (z) = Re g (z) , ∀z ∈ D(a, r).

tal que

D(a, ρ) ⊂ A.

(Es decir, ahí

coinciden.)

Así, si consideramos

h : D(a, r) −→ C;

h(z) := f (z) − g(z), ∀z ∈ D(a, r),

resulta que se trata de una función holomorfa con parte real nula: en efecto, para algún

α ∈ R:

h(z) := iα, ∀z ∈ D(a, ρ);

pero, por el principio de identidad para funciones holomorfas,

h(z) := iα, ∀z ∈ D(a, r);

222

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS y claro, esto no es ni más ni menos que

φ(z) = ψ(z), ∀z ∈ D(a, r), D(a, r) ⊂ A.

es decir,

Pero esto equivale a tener

luego, por el lema 1.2 de conexión,

◦

◦

D(a, r) ⊂ A

(¾por qué?),



A = Ω.

Por n, al n, el n:

Teorema 5.10 (Principio de extremo (relativo) para funciones armónicas) Sea Ω un dominio del plano complejo C y sea φ una función armónica en en

Ω. Si φ alcanza un extremo relativo en Ω, entonces φ es constante

Ω. a ∈ Ω

Demostración. Llamemos

extremo relativo. Para conveniente dremos que

φ (a)

r>0

(que garantice

es extremo absoluto para

φ

en

D(a, r).

cipio de extremo absoluto para funciones armónicas, tal

D(a, r).

φ alcanza su D(a, r) ⊂ Ω) ten-

al punto donde la función

Pero, por el prin-

φ

es constante en

Ahora, el principio de identidad para funciones armónicas, recién

demostrado, nos dice que

5.1.1.

φ

es constante en todo el dominio

Ω.



Ejercicios propuestos

1. Justica que

ex sen y son armónicas en todo el plano. si f ∈ H(Ω), entonces |f | es subarmónica pero no armónica. las funciones ln z y Arg son armónicas en C\{0}.

(a) las funciones (b) (c)

ex cos y

y

2. Estudia la armonía de las partes real e imaginaria de la función

(

z −→ Log denida sobre 3. Usa la función

C\{a, b} z −→ z 2

(para

z−a z−b

)

a ̸= b).

para poner de maniesto que en la propiedad

ser  armónica conjugada de hay que tener en cuenta el orden de las funciones del par

(u, v) = (Re f, Im f ).

Completa lo anterior resolvien-

do y discutiendo el siguiente resultado: Si dos funciones holomorfas y

g

en un dominio

Ω

son de la forma

Re f = Im g, entonces han de ser constantes.

223

Im f = Re g,

f

5.1. Funciones armónicas y subarmónicas. Principio del máximo 4. Prueba que

u ∈ A(Ω) ⇒

∂u ∂u ∂x , ∂y

5. Comprueba que la función

∈ A(Ω).

u(x, y) := cosh y sen x

C y encuentra su armónica conjugada; es f := u + iv ∈ H(C). ¾Quién es la tal f ?

el plano tal que

es armónica en todo decir, una función

v

6. Supongamos que la función

[ ] u(x, y) = g(x) e2y − e−2y es armónica. Si sabes que

g(0) = 0

y

g ′ (0) = 1,

¾quién habrá de ser

f una función holomorfa no constante sobre D(a, R). Para r ∈]0, R[, se denen las funciones

7. Sea

M (R) := m´ax{|f (z)| : |z−a| = r};

g?

algún disco abierto

A(r) := m´ın{Re f (z) : |z−a| = r}.

Prueba que se trata de funciones estrictamente crecientes y que, además, en el caso

R = +∞,

se tiene

l´ım M (r) = l´ım A(r) = +∞.

r→+∞

8. Sea

Ω

un dominio acotado de

continuas en

Ω

y sea

Ω.

(fn )

una sucesión de funciones

Prueba que si

(fn )

converge uni-

Ω, entonces (fn ) converge uniformemente

Ω.

9. Sea

f

10. Sea

f ∈ H(C), que lleva la circunferencia unidad f (T) ⊂ R. Prueba que f es constante.

una función entera,

en la recta real:

C.

C

y holomorfas en

formemente en la frontera de en

r→+∞

u : C −→ R una función armónica. Supongamos que u(z) ≥ 0, ∀z ∈ u es constante.

Prueba que

11. Sea la función

Φ(x, y) := 6x2 y 2 − x4 − y 4 + y − x + 1, y sea, por otro lado,

f = u + iv ∈ H(C).

(a) si

Φ = u,

calcular

v;

(b) si

Φ = v,

calcular

u.

224

Se pide:

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS 12. Prueba que la clase de las funciones armónicas

A(Ω)

es cerrada para

combinaciones lineales, y que para que sea cerrada para productos,

uv ∈ A(Ω), es suciente que u y v sean armónicas conjugadas. Concreu ∈ A(Ω), ¾será u2 ∈ A(Ω)? Con u ∈ A(Ω), ¾para qué funciones f será f ◦ u ∈ A(Ω)? tamente, si

13. Sea

u ∈ A(Ω).

Supongamos dado el cambio a coordenadas polares

u e := u(ρ cos θ, ρ sen θ). Pruébese que: (a) si

u e

solo depende de

ρ,

u e

el laplaciano de

tiene la forma

1 u eρρ + u eρ = 0 ρ (b) si estamos sometidos a la condición de a., entonces

u e(ρ, θ) = a log ρ + b (a, b ∈ C). 14. Calcule, para

n ∈ {1, 2, 3, 4},

los polinomios armónicos

pn

y

qn ,

dados

por la igualdad

z n := (x + iy)n := pn (x, y) + iqn (x, y). Encuentre la forma general de

pn

y

qn

en el sistema polar de coorde-

nadas. 15. Sea

u ∈ A(Ω), u = u(x, y).

Sea el cambio de variable

x := φ(ζ, η), con

y := ψ(ζ, η)

e . Prueba que la función φ y ψ armónicas conjugadas en un abierto Ω u e(ζ, η) := u(φ(ζ, η), ψ(ζ, η))

es armónica en

e. Ω

16. Determina todos los polinomios armónicos armónica de

u,

y expresa

u

de la forma

u(x, y) :=

a, b, c, d ∈ R. Encuentra a v , conjugada f := u + iv como función de z .

ax3 + bx2 y + cxy 2 + dy 3 , donde

225

5.1. Funciones armónicas y subarmónicas. Principio del máximo 17. Determina los valores del parámetro real

k

para los que la función

(x, y) −→ x(ey + eky ) sea armónica. 18. Encuentra la armónica conjugada de la función

u(x, y) := ex cos y + ey cos x + xy explicitando su dominio de denición, y comprueba que para ella se verica la ecuación de Laplace. 19. Halle la armónica conjugada

v

en el recinto indicado para la función

u

en cada uno de los siguientes casos: a.

u(x, y) := x2 − y 2 + x, ∀(x, y) ∈ R2

b.

∀(x, y) ∈ R2 \{0} ( ) u(x, y) := 12 ln x2 + y 2 , ∀(x, y) ∈ R2 \R− 0 ( 2 ) 1 2 2 u(x, y) := 2 ln x + y , ∀(x, y) ∈ R \{0}

c. d.

u(x, y) :=

x , x2 +y 2

20. Discútase sobre la existencia o no de funciones holomorfas

f = u + iv

en cada caso: a. b. c.

u(x, y) :=

x2 −y 2 , (x2 +y 2 )2

( ) u(x, y) := ln x2 + y 2 − x2 + y 2 , ( ) u(x, y) := exp xy .

21. ¾Para qué valores del natural

Ω un dominio acotado H(Ω). Supongamos que

22. Sea

n

del plano complejo

a. f (z)g(z) ̸= 0, ∀z ∈ Ω, Prueba que existe

λ ∈ T,

xn − y n ? ( ) C. Sean f, g ∈ C Ω ∩

es armónica la función

b. |f (z)| = |g(z)|, ∀z ∈ ∂Ω.

tal que

f (z) = λg(z),

∀z ∈ Ω.

u ∈ A(C). Supongamos que u(C) no es denso en R; es decir, existe a ∈ R tal que a ∈ Ais(u(C)). Prueba que u es constante.

23. Sea

226

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS 24. Sea

f

Prueba que el cierre del conjunto

{z ∈ C : |f (z)| ≤ ρ}. 25. Sea

Ω

ρ un número real positivo. {z ∈ C : |f (z)| < ρ} es el conjunto

una función entera no constante y sea

C y sea f una función continua en Ω, Ω y no constante. Supongamos que |f | es constante en Ω. Prueba que, en este caso, f se anula en, al menos, un

un dominio acotado de

holomorfa en la frontera de punto de

Ω.

p un polinomio de grado n y sea ρ > 0. Prueba que el conjunto {z ∈ C : |p(z)| < ρ} tiene, a lo sumo, n componentes conexas.

26. Sea

27. Determina la armónica conjugada de

arctan xy ∈] − π, π].

28. Encuentre, caso de existir, las funciones armónicas (no constantes) del tipo indicado:

a. u := φ(x), ( ) c. u := φ x2 + y 2 ,

b. u := φ(ax + by), ( ) d. u := φ xy , ( 2 2) e. u := φ(xy), z ̸= 0, f. u := φ x +y , x ( ) √ ( ) g. u := φ x + x2 + y 2 , h. u := φ x2 + y . 29. Analice la existencia de funciones analíticas

f

(a, b ∈ R)

(y encuéntrelas caso de

existir) a partir del conocimiento de su módulo o Argumento:

( ) 2 a. ρ = x2 + y 2 ex , b. ρ = er cos 2φ , c. θ = xy, 30. Encuentra una función

f

d. θ = φ + sen φ. holomorfa en

Ω, f = u + iv ,

a partir de la

armónica dada:

a. u(x, y) := x2 − y 2 + 5x + y −

y , x2 +y 2

b. u(x, y) := ex (x cos y − y sen y) + 2 sen x senh y + x3 − 3xy 2 + y, c. u(x, y) := 3 + x2 − y 2 − 2(x2y+y2 ) , ( ) d. u(x, y) := ln x2 + y 2 + x − 2y. 31. Sea

Ω

un dominio acotado de

C

y sea

f

227

Ω, M,

una función holomorfa en

no constante. Supongamos que existe una constante real positiva

5.2. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa vericando la siguiente propiedad: si

Ω

(zn ) es una sucesión de puntos de

convergente a un punto de su frontera, entonces

∀ε >, ∃m ∈ N : n ≥ m ⇒ |f (zn ) | < M + ε. |f (z)| < M , ∀z ∈ Ω. ( ) f ∈ C D ∩ H(D) una función

Prueba que 32. Sea

continua en el disco cerrado unidad

y holomorfa en el abierto. Supongamos que si

f

Determina el comportamiento de

z ∈ T ⇒ |f (z)| = 1.

a partir del conocimiento de sus

ceros. (Indicación: Si no tiene ceros habrá de ser constante; en otro caso, se podrá construir, mediante funciones de Möbius, una función que verica las mismas hipótesis que

f

y que tiene los mismos ceros.)

Ω1 y Ω2 dos abiertos del plano complejo C, f ∈ H (Ω1 ) con f (Ω1 ) ⊂ Ω2 , y u ∈ A (Ω2 ). Prueba que la composición es armónica en Ω1 : u ◦ f ∈ A (Ω1 ). (Indicación: no es aconsejable optar por vericar la ecuación de Laplace para u ◦ f .)

33. Sean

Ω un dominio del f, g ∈ H(Ω), verican:

34. Sea

plano

C

y sea

a ∈ Ω

|f (z)| + |g(z)| ≤ |f (a)| + |g(a)|, Prueba que tanto

f

como

g

son constantes en

tal que las funciones

∀z ∈ Ω. Ω.

(Indicación: trabaja

f (a) g(a) con las funciones f (a) f y g(a) g .)

5.2. Comportamiento local de una función holomorfa. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa En este tema se exponen dos resultados clásicos de la teoría de diferenciación, ahora en el ámbito complejo. Las ideas que subyacen en uno y otro, en el mismo orden en el que aparecerán, son:

i. ii.

las funciones holomorfas llevan abiertos en abiertos. las aplicaciones conformes son difeomorsmos locales. La segunda mitad del tema se dedicará a deducir tales resultados a partir

de un teorema máximo exponente del carácter local de la holomorfía.

228

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS

Teorema 5.11 (de la aplicación abierta)

C

y

f : Ω −→ C

Sean

Ω

un dominio del plano

una función holomorfa no constante en

Ω.

Entonces

f

es

abierta.

◦

U = U ⊂ Ω. Probemos que f (U ) es abierto. Sea w0 ∈ f (U ). Ha de existir z0 ∈ U tal que f (z0 ) = w0 . En virtud del principio de identidad para funciones holomorfas, existe r > 0 tal que D(z0 , r) ⊂ U y si z ∈ D(z0 , r), entonces f (z0 ) ̸= w0 . (Es decir, los ceros de una función Demostración. Sea

holomorfa se pueden aislar.) Sea

ρ := m´ın {|f (z) − w0 | : z ∈ ∂D (z0 , r)} = m´ın {|f (z) − w0 | : |z − z0 | = r} . Es evidente que

ρ > 0;

probemos que

( ρ) D w0 , ⊂ f (U ), 2

con lo que habremos concluido la demostración. Razonaremos por reducción al absurdo: supongamos que

( ρ) D w0 , \f (U ) ̸= ∅. 2

Sea pues,

w∈C

tal que

|w − w0 |
2/ρ. |f (z0 ) − w| |w0 − w|

|z − z0 | = r,

entonces:

1 1 = |f (z) − w| |f (z) − w0 + w0 − w| 1 1 2 ≤ < ρ = ; |f (z) − w0 | − |w0 − w| ρ− 2 ρ

|g(z)| =

luego aplicando el principio de la media:

1 g(z0 ) = 2π

∫

2π

( ) g z0 + reiθ dθ;

0

229

5.2. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa y tomando valor absoluto:

∫ 2π 1 2/ρ < |g (z0 )| ≤ g(z0 + reiθ ) dθ 2π 0 ∫ 2π 2 1 dθ ≤ 2/ρ, ≤ 2π 0 ρ 

pero esto es absurdo.

Para el próximo resultado, probamos primero el siguiente lema, de interés en sí mismo:

Lema 5.3

Sean

◦

Ω=Ω⊂C

g : Ω × Ω −→ C; Entonces,

g

es continua en

f ∈ H (Ω). Denamos la aplicación   f (z) − f (w) , z ̸= w g (z, w) := z−w  f ′ (z), z=w y

Ω × Ω.

Demostración. Consideremos complemento en

Ω×Ω

G := {(z, w) ∈ Ω × Ω : z ̸= w}

de su propia diagonal). Se trata de un conjunto

abierto (¾por qué?), luego al ser

g,

(es decir, el

g|G

continua en

G, también lo será la propia

por el carácter local de la continuidad.

a ∈ Ω, y veamos que g es continua en (a, a). Por argumentos de f ′ : para ε > 0, podemos encontrar δ > 0 tal que D(a, δ) ⊂ Ω y si |u − a| < δ, entonces |f ′ (a) − f ′ (u)| < ε. Ahora, para z, w ∈ D(a, δ), pretendemos probar que |g(z, w) − g(a, a)| < ε. Sean z y w distintos (si son iguales, es trivial). Así: Sea ahora

continuidad para

f (z) − f (w) = g(z, w) = z−w

∫

1

f ′ (tz + (1 − t)z)dt;

0

de donde:

∫ 1 ∫ 1 ′ ′ |g(z, w) − g(a, a)| = f (tz + (1 − t)z)dt − f (a)dt 0 0 ∫ 1 ′ f (tz + (1 − t)z) − f ′ (a) dt < ε, ≤ 0



lo que concluye la prueba.

230

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS

Teorema 5.12 (de la función inversa) a ∈ Ω. i. ii. iii.

Supongamos que

a∈U

y

f

f ′ (a) ̸= 0.

es inyectiva en

V := f (U ) es abierto; ( )−1 ∈ H (V ) ψ := f|U

y

Sean

◦

Ω = Ω ⊂ C, f ∈ H (Ω) ◦

U =U ⊂C

Entonces existe

y

tal que:

U;

ψ ′ (f (z))f ′ (z) = 1, ∀z ∈ U .

g del lema 5.3. Como g(a, a) = f (a) ̸= 0, podemos considerar λ := |g(a, a)| > 0. Por argumentos de continuidad, existe ρ > 0 tal que D(a, ρ) ⊂ Ω y si z, w ∈ D(a, ρ), entonces |g(z, w)| ≥ λ/2. Por tanto, para z, w ∈ D(a, ρ), z ̸= w, tenemos que: Demostración. i. Consideremos la función continua ′

|f (z) − f (w)| ≥ de donde se sigue la inyectividad de

f

en

λ |z − w| , 2 D(a, ρ).

Si hacemos

U := D(a, ρ),

tendremos ya i. ii. Como

U

(tal y como ha sido denido en i.) es un dominio, el teorema

5.11 (de la aplicación abierta) nos da lo deseado. iii. La continuidad de

ψ

se sigue del apartado anterior. Veamos su deriva-

w ∈ V y (wn ) ⊂ V \{w} convergente a w. Llamemos z := ψ(w) y zn := ψ(wn ), para cada n ∈ N. La continuidad de ψ nos da que zn → z ; y por su inyectividad zn ∈ U \{z}, para todo n ∈ N. Finalmente, y como w es arbitraria: bilidad (es decir, su holomorfía): sean

zn − z ψ (wn ) − ψ (w) = = wn − w φ (zn ) − φ (z) (donde está garantizado que

ψ ′ (w)

=

ψ ′ (f (z))

=

1/f ′ (z).

f ′ (z) ̸= 0);

1 φ(zn )−φ(z) zn −z

→

1 , f ′ (z)

es decir, existe la derivada y vale



Hagámonos la siguiente pregunta retórica: ¾qué sucede cuando una función holomorfa tiene derivada nula en un punto? Valgámonos de un ejemplo para discutir el hecho: la función

z −→ z 2

es

entera con derivada nula en el origen. Además, en cualquier entorno perforado del origen este aplicación es dos-a-uno: cada elemento en la imagen tendrá dos preimágenes. Lo curioso: esta situación será común a todas las funciones holomorfas no constantes. Es lo que vamos a manifestar con el siguiente teorema, el cual, a su vez, incluirá a los teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa como casos particulares.

231

5.2. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa

Teorema 5.13 (de comportamiento local de las funciones holomor◦ fas) Sean Ω = Ω ⊂ C, f ∈ H (Ω) y a ∈ Ω. Supongamos que f es no

constante en un entorno de a. Sea m ∈ N el orden del cero de la función z −→ f (z) − f (a) en el punto a. Entonces, existen ε > 0 y δ > 0 tales que si D(a, δ) ⊂ Ω y 0 < |w − f (a)| < ε, el conjunto

{z ∈ D(a, δ) : f (z) = w} tiene, exactamente,

m

elementos.

Demostración. Por hipótesis, podemos escribir

f (z) − f (a) = (z − a)m φ (z) , ∀z ∈ Ω, donde

φ ∈ H (Ω)

y

φ (a) ̸= 0.

Por continuidad de

∃ρ > 0 : D(a, ρ) ⊂ Ω

y

φ:

|z − a| < ρ ⇒ φ (z) ̸= 0;

y así,

∃ψ ∈ H (D (a, ρ)) : ψ m (z) = φ (z) , ∀z ∈ D (a, ρ) . Sea la función auxiliar

g(z) := (z − a) ψ (z) , ∀z ∈ D (a, ρ) . Para ella, podemos armar que

g ∈ H (D (a, ρ))

y

f (z) − f (a) = (g(z))m , ∀z ∈ D (a, ρ) .

g ′ (a) = ψ(a) ̸= 0: aplicando a g el teorema de la función inversa en D(a, ρ), podemos armar que existe δ ∈ ]0, ρ[ tal que g es inyectiva en D(a, δ). Sabemos, también, que g (D (a, δ)) es abierto y 0 = g(a) ∈ g (D (a, δ)). Pero,

Por tanto,

( √ ) ∃ε > 0 : D 0, m ε ⊂ g (D (a, δ)) .

w tal que 0 < |w − f (a)| < ε √ m (|uk | < ε, 1 ≤ k ≤ m); tendremos que Sea ahora

y sea

{u1 , . . . , um } =

√

m

w − f (a),

∃z1 , . . . , zm ∈ D(a, δ) : g(zk ) = uk , 1 ≤ k ≤ m. Ya es claro que

{z ∈ D(a, δ) : f (z) = w} = {z1 , . . . , zm } , 

lo que da lo deseado.

Es el momento de ver cómo el teorema recién probado contiene a los dos resultados estrella de este tema:

232

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS

i. Teorema de la aplicación abierta Demostración. Consideremos una función holomorfa no constante

en un

f no será constante en G contenido en Ω. Se ha de probar que f (G) es abierto. Sea b ∈ f (G), y llamemos a ∈ G a un punto tal que f (a) = b. Si m ∈ N el orden del cero de la función z → f (z) − f (a) en el punto a, entonces, existen ε > 0 y δ > 0 tales que si D(a, δ) ⊂ Ω y 0 < |w − f (a)| < ε, el conjunto dominio

Ω.

f

El principio de identidad nos dice que

ningún abierto

{z ∈ D(a, δ) : f (z) = w} tiene, exactamente,

m

elementos. Se tiene entonces que

D(b, ε) ⊂ f (G) . 

ii. Teorema de la función inversa f en el abierto Ω tal a ∈ Ω, f (a) ̸= 0. El teorema de carácter local nos dice que ε > 0 y δ > 0 tales que si D(a, δ) ⊂ Ω y 0 < |w − f (a)| < ε, el

Demostración. Consideremos una función holomorfa ′ que, para algún existen

conjunto

{z ∈ D(a, δ) : f (z) = w} tiene, exactamente, un elemento. Por continuidad:

∃ρ > 0 : D(a, ρ) ⊂ D(a, δ)

f (D (a, ρ)) ⊂ D (f (a), ε) .

D(a, ρ) y el teorema de la aplicación abierta ( )−1 nos garantiza la continuidad de la función f|D(a,ρ) . Ahora ya, razonando como en iii. del teorema de la aplicación abierta, se sigue su derivabilidad.  La función

f

y

es inyectiva en

El siguiente resultado, consecuencia del anterior, completa los contenidos del teorema de la función inversa.

Corolario 5.10 i. ii.

Sean

◦

Ω = Ω ⊂ C, f ∈ H (Ω)

y

a ∈ Ω.

Son equivalentes:

f ′ (a) ̸= 0. f

es inyectiva en un entorno de

a.

⇒ ii., es i. del teorema 5.12 (de la función inversa). ⇒ i. Llamemos U al tal entorno de a donde f es inyectiva. Razonaremos ′ por reducción al absurdo: supongamos que sea f (a) = 0. Por tanto, el cero de z −→ f (z) − f (a) en a es de orden, al menos, dos. Aplicando el teorema Demostración. i. ii.

233

5.2. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa U, podemos encontrar ε > 0 0 < |w − f (a)| < ε, entonces el conjunto

5.13 (de comportamiento local) al entorno

δ>0

tales que si

D(a, δ) ⊂ Ω

y

y

{z ∈ D(a, δ) : f (z) = w} 

tiene, al menos, dos elementos. Pero esto contradice ii.

Teorema 5.14 (de la función inversa global)

◦

Ω=Ω⊂C y f ∈ H (Ω). Si f es inyectiva, entonces es un isomorsmo conforme de Ω en f (Ω). f ′ (z) ̸= 0, ∀z ∈ Ω.

Demostración. Tendremos

Sean

Por tanto, para cada punto

podemos encontrar un entorno en el que podemos obtener una inversa holomorfa. Pero esta inversa local para cada entorno, no puede ser otra que

f

(pues la inversa global existe, al ser local de la derivabilidad,

Observación 5.1

En

C

f −1

f −1

inyectiva). Por tanto, por el carácter



es holomorfa.

ocurre... ½todo lo contrario a lo que ocurría en

variable real! a. En todo intervalo entonces 3

x −→ x

f

si

f

es derivable en él con derivada no nula,

).

b. Ahora, en

∀z ∈ Ω.

I⊂R

será inyectiva; y el recíproco es falso (piénsese en la aplicación

C,

lo contrario:

f

inyectiva en

◦

Ω = Ω ⊂ C ⇒ f ′ (z) ̸= 0,

Además, el recíproco no se da (como pone de maniesto la función

exponencial).

Teorema 5.15

Ω1 y Ω2 dominios de C, φ ∈ C (Ω1 ) y h ∈ H (Ω2 ). φ (Ω1 ) ⊂ Ω2 y que h no sea constante. Si h ◦ φ ∈ H (Ω1 ), φ ∈ H (Ω1 ). Sean

Supongamos que entonces

Demostración. Sea ′

a ∈ Ω1 .

Vamos a distinguir los casos i.

h′ (φ (a)) ̸= 0

y ii.

h (φ (a)) = 0.

i. En este caso, el teorema 5.12 (de la función inversa) nos garantiza la existencia de un abierto

h(U )

U

con

φ (a) ∈ U ⊂ Ω2 ,

h|U : U −→

φ, existe r > 0 tal que D(a, r) ⊂ Ω1 φ (D(a, r)) ⊂ U . Ahora bien, razonando para z ∈ D(a, r): [( ) ] ( )−1 −1 φ (z) = h|U ◦ h|U (φ (z)) = h|U [(h ◦ φ) (z)] ,

Razonando por la continuidad de y

tal que

es isomorsmo conforme.

234

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS de donde

( )−1 φ|D(a,r) = h|U ◦ (h ◦ φ)|D(a,r) ∈ H (D(a, r)) ; φ ∈ H (D(a, r)), D(a, r) ⊂ Ω1 ).

luego

ii. Suponemos ahora

Como

para

a

arbitrario en

Ω1

(y

r > 0

tal que

h′ (φ (a)) = 0. Y llamemos { } B := z ∈ Ω2 : h′ (z) = 0 .

h′ ∈ H (Ω2 )

y no es idénticamente nula (¾por qué?), podemos

asegurar (principio de identidad para funciones holomorfas) que el conjunto

B

es discreto. Sea entonces

A := {z ∈ Ω1 : φ (z) ∈ B} (que es no vacío, pues al menos

φ (a) ∈ B ).

El razonamiento lo com-

pletamos distinguiendo dos posibilidades: ii.a.

a ∈ A′ :

(an ) ⊂ A\{a} tal que an → a. Por continuidad de φ en a, se tiene que φ (an ) → φ (a) y, además, {φ (an ) : n ∈ N} ⊂ B y φ (a) ∈ B . Al ser B discreto, existe n ∈ N tal que si m ≥ n, entonces φ (am ) = φ (a), de donde existe

∃n ∈ N : m ≥ n ⇒ h ◦ φ (am ) = h ◦ φ (a) . Usando el principio de identidad, es constante en

Ω1 ;

así:

∃c ∈ C : h ◦ φ (z) = c, ∀z ∈ Ω1 . Por tanto, tenemos discreto (principio constante en ii.b.

Ω1 ,

y

φ (z) ∈ h−1 (c) , ∀z ∈ Ω1 , con h−1 (c) conjunto de identidad). En consecuencia, φ ha de ser así, holomorfa en a.

a∈ / A′ (⇒ a ∈ Ais(A)): D(a, δ) ⊂ Ω1 .

existe

En este caso, tendremos que

D(a, δ) ∩ A = {a}

y

h′ (φ (z)) ̸= 0, ∀z ∈ D(a, δ)\{a};

y

δ>0

tal que

por lo ya demostrado arriba (vía teorema de la función inversa), se sigue que

φ ∈ H (D(a, δ)\{a}).

Pero como

φ ∈ C (D(a, δ)),

el

teorema 4.13 (de Riemann de singularidades evitables) nos dice que

φ

es holomorfa en

a.

235

5.2. Teoremas de la aplicación abierta y de la función inversa En resumen, y en cualquier caso, de la arbitrariedad de que

a

en

Ω1 ,

se sigue

φ ∈ H (Ω1 ) .

Observación 5.2

 Merece la pena detenerse en la discusión de los contenidos

del enunciado del teorema 5.15. 1. Que la función

h

no sea constante no debe obviarse, pues en tal caso

h ◦ φ ∈ H (Ω1 ) , ∀φ : Ω1 −→ Ω2 . 2. La conexión no es restrictiva: se razonaría sobre cada componente conexa del abierto en

Ω2 ,

Ω1 . Pero tampoco lo es en Ω2 : como φ (Ω1 ) es conexo

se razonaría la holomorfía sobre cada componente conexa del

mismo modo. 3. La continuidad de

φ

tampoco se puede eludir, como pone de maniesto

el siguiente ejemplo:

φ : Ω1 −→ C,

Ω2 := C,

h : Ω2 −→ C,

Observamos cómo y, sin embargo,

5.2.1.

{

Ω1 := C,

φ

h

−1, Re z ≤ 0 1, Re z > 0 h(z) := z 2 , ∀z ∈ C. φ (z) :=

es entera, al igual que

h◦φ

(constantemente

1)

ni tan siquiera es continua.

Ejercicios propuestos

Ω un abierto del plano complejo C, sea f una función holomorfa ′ en Ω y sea w ∈ Ω donde f (w) ̸= 0. Prueba que, entonces, existe un real positivo ρ tal que ∫ 1 1 1 = dz. ′ f (w) i2π |w−z|=ρ f (z) − f (w)

1. Sea

f una función holomorfa no constante en un dominio Ω. Llamemos T := f (Ω). Prueba que

2. Sea

f (z) ∈ ∂T ⇒ z ∈ ∂Ω. Conrma que el recíproco de lo anterior no es cierto; concretamente, dada

f (z) := z 2 , donde

∀z ∈ Ω,

Ω := {z ∈ C : |z| ≤ 2, Re z ≤ 0} ∪ {z ∈ C : |z| ≤ 1, Re z ≥ 0},

prueba que

◦

∃a ∈ ∂Ω : f (a) ∈ T .

236

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS Ω un dominio del plano complejo C y sea f una función holomorfa no constante en él. Supongamos que f (Ω) ⊂ Ω y que f (f (z)) = f (z), ∀z ∈ Ω. Prueba que f es la identidad en Ω.

3. Sea

4. Sea

f

una función derivable en todo su dominio de denición. Según

esté denida sobre un intervalo

Ω ⊂ C −→ C,

]a, b[⊂ R −→ R

o sobre un dominio

analiza la relación existente entre las dos armaciones

siguientes: i.

f

tiene derivada no nula en todo punto de su dominio de deni-

ción. ii.

f

es inyectiva en su dominio de denición.

Ω uun abierto acotado y sea f : Ω −→ C continua en Ω y holomorfa Ω. Prueba que las funciones Re f e Im f alcanzan su máximo y mínimo (absolutos) sobre la frontera ∂Ω del abierto.

5. Sea en

6. Prueba que la imagen por una función holomorfa (no constante) de un dominio es otro dominio.

5.3. Teorema de Bloch-Landau. Teorema (pequeño) de Picard Picard demostró (1879) que las funciones enteras no constantes tienen la propiedad de tomar todos los valores del plano complejo salvo, eventualmente, uno de ellos. Su demostración se ha ido simplicando con el tiempo; el primero en hacerla más sencilla fue Bloch (1925). Las restricciones que aparecen en el enunciado corresponden, como se comprobará después de su demostración, a meras normalizaciones. (Y dicho sea de paso, no hay la más mínima idea subyacente en esta demostración de cuáles son sus claves.)

Teorema 5.16 (de Bloch-Landau) tal que

D ⊂ Ω

Entonces existe

y sea f una función holomorfa en ( ) 1 w0 ∈ C tal que D w0 , 16 ⊂ f (D) .

Demostración. Para

Claramente

M

r > 0,

Ω del plano complejo Ω tal que |f ′ (0)| ≥ 1.

Sea un abierto

sea

} { M (r) := f ′ (z) : |z| ≤ r .

es una función creciente. Consideremos los números

λk :=

1 2k−1

(

M

237

1−

1 2k−1

)

.

5.3. Teorema de Bloch-Landau. Teorema (pequeño) de Picard Como

D ⊂ Ω,

tendremos

λk ≤ y, por tanto, Además,

1 2k−1

M (1),

λk → 0. λ1 = M (0) = |f ′ (0)| ≥ 1;

∀k ∈ N;

luego el conjunto

{k ∈ N : λk ≥ 1} es no vacío y está acotado (¾por qué?). Sea

m := m´ax {k ∈ N : λk ≥ 1} . Para tal

λm ≥ 1 > λm+1 , de donde se vericará ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 M 1 − ≥ 1 > M 1 − ; 2m−1 2m−1 2 2m−1 2 2m−1

m

y, llamando

tendremos que

r :=

así:

Por tanto,

y así,

1 2m−1

> 0,

la anterior cadena de desigualdades se expresará

r) r ( rM (1 − r) ≥ 1 > M 1 − . 2 2 existe z0 ∈ C tal que |z0 | ≤ 1 − r y f ′ (z0 ) = M (1 − r);

|f ′ (z0 )| ≥ 1/r.

Denamos la función auxiliar

g(z) := f (z + z0 ) − f (z0 ), ∀z ∈ U := {z ∈ C : z0 + z ∈ Ω} . Por su forma de denición

g ∈ H (U ).

Además,

D(0, r) ⊂ U, g(0) = 0 y g ′ (0) = f ′ (z0 ) ≥ 1/r. ( ) r Veamos que g D(0, ) ⊂ D : 2 ( r) r si z ∈ D 0, 2 , entonces |z0 + z| ≤ 1 − r + 2 , de donde ( ) ′ ′ g (z) = f (z0 + z) ≤ M 1 − r < 2/r, 2 y, por tanto,

∫ 2 |g(z)| = g ′ (w) dw ≤ |z| ≤ 1, r [0,z]

238

( r) ∀z ∈ D 0, . 2

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS Ahora, el objetivo es probar que

( ) 1 D 0, ⊂ g(D(0, r)) 16 (y el nal ya será inmediato). En efecto: sea

a ̸= 0).

a ∈ / g(D(0, r))

(es claro que

La función

g(z) a es holomorfa y no se anula en el disco D(0, r). Por tanto, admite raíz cuadraz −→ 1 −

da holomorfa en él:

∃h ∈ H (D(0, r)) : h(z) = 1 −

g(z) , ∀z ∈ D(0, r). a

h(0) = 1 (¾por qué?). ′ ′ función h: 2h(0)h (0) = −g (0)/a, ′ h (0) ≥ 1/ (2 |a| r) ,

Podemos suponer que Derivando esta

de donde

y, en consecuencia,

2 h (z) ≤ 1 + |g(z)| < 1 + 1 , |a| |a|

( r) ∀z ∈ D 0, . 2

Ahora aplicamos la desigualdad de Parseval para obtener que:

2 ′ 2 ( r )2 1 h (0) + h (0) ≤1+ . 2 |a| Pero,

2 ′ 2 ( r )2 1 r2 h (0) + h (0) ≥1+ ; 2 4 |a|2 r2 4

de donde se sigue que

1 1 r2 2 2 4 ≤ |a| ; 4 |a| r ( 1) ( 1) 1 o sea, / D 0, 16 ; y así D 0, 16 ≤ |a| . Por tanto, a ∈ ( 16 1 ⊂ ) g(D(0, r)). Tomemos ahora w0 := f (z0 ) y veamos que D w0 , 16 ⊂ f (D): conside( ) 1 remos w ∈ D w0 , ; así 16 ( ) 1 1 |w − w0 | < ⇒ w − w0 ∈ D 0, ⊂ g(D(0, r)) 16 16 ⇒ ∃z ∈ D(0, r) : g(z) = w − w0 .

239

5.3. Teorema de Bloch-Landau. Teorema (pequeño) de Picard En consecuencia:

g(z) = f (z + z0 ) − f (z) = f (z + z0 ) − w0 , de donde

w = f (z + z0 );

pero

|z + z0 | ≤ |z| + |z0 | < r + (1 − r) = 1,

luego

( ) 1 D w0 , 16 ⊂ f (D).



Observemos que, efectivamente, las hipótesis impuestas son de normalización: sean

◦

Ω = Ω ⊂ C, a ∈ Ω, f ∈ H (Ω) : D(a, r) ⊂ Ω ∧ f ′ (a) = λ ̸= 0. Sea la función auxiliar

g(z) :=

1 f (a + rz) , ∀z ∈ C. rλ

El teorema 5.16 (de Bloch-Landau) nos dice que ha de existir

( D w0 , y, por tanto,

(

⊂ g (D) =

|λ| r D λrw0 , 16

Finalmente, llamando

C,

1 16

)

⊂ f (D (a, r)) ⊂ f (Ω) .

ρ (A) := sup {R > 0 : ∃a ∈ A; D(a, R) ⊂ Ω} para A ⊂ ρ (f (Ω)) ≥

de donde

ρ (f (Ω)) ≥ Sea

1 f (a, r) ; rλ

)

tendremos

Corolario 5.11

w0 ∈ C tal que

f ∈ H (C)

1 ′ f (a) r; 16

1 ′ f (a) dist (a, C\Ω) . 16 no constante. Entonces

∀r > 0, ∃w0 ∈ C : D(w0 , r) ⊂ f (C). Demostración. Como existe

a∈C

tal que

que

ρ (f (C)) ≥

|f ′ (a)| > 0,

para

r>0

se tiene

1 ′ f (a) r, 16 

de donde se sigue lo que queremos.

240

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS

Problema abierto 5.1

Aún no se ha conseguido evaluar la llamada cons-

tante de Bloch.

1 16 que aparece en el teorema 5.16 de Bloch-Landau es,

La constante

inicialmente, puramente técnica; está asociada al método de demostración usado. Queda por saber si hay un aconstante óptima para este resultado; es decir, encontrar una constante

B = ´ınf {ρ (f (D)) : f Sabemos, eso sí, que

B

tal que

cumple las hipótesis del teorema de Bloch-Landau} .

B ≥ 1/16.

Teorema 5.17 ((pequeño) de Picard)

Las únicas funciones enteras que

dejan de tomar más de un valor en su imagen son las constantes:

F ∈ H (C) ∧ α, β ∈ C (α ̸= β) : {α, β} ⊂ C\F (C) ⇒ F

es constante.

Demostración. Comencemos normalizando las condiciones de las hipótesis del enunciado:

F (z) − α , ∀z ∈ C β−α toma los valores 0 y 1

f (z) := es una función entera que no

en su imagen. Por tanto

(al no anularse), podemos asegurar que

∃g ∈ H (C) : f (z) = ei2πg(z) , ∀z ∈ C. Ahora bien, como

1∈ / f (C),

entonces

Z ∩ g(C) = ∅;

en particular,

∃φ ∈ H (C) : g(z) = [φ (z)]2 , ∀z ∈ C. Pero tampoco

1∈ / g(C),

(5.2)

(5.3)

luego

∃ψ ∈ H (C) : g(z) − 1 = [ψ (z)]2 , ∀z ∈ C.

(5.4)

De (5.3) y (5.4) se sigue que

[φ(z) − ψ(z)] [φ(z) + ψ(z)] = 1, ∀z ∈ C; de donde, en particular, se sigue que

φ−ψ

no se anula en ningún punto. Así:

∃h ∈ H (C) : eh(z) = φ(z) − ψ (z) , ∀z ∈ C,

(5.5)

y, por tanto,

e−h(z) =

1 = φ(z) + ψ (z) , ∀z ∈ C. φ(z) − ψ (z)

241

(5.6)

5.3. Teorema de Bloch-Landau. Teorema (pequeño) de Picard De (5.5) y (5.6):

φ (z) =

) 1 ( h(z) e + e−h(z) , ∀z ∈ C, 2

lo cual, por (5.2), nos dice que

g(z) =

) 1 1 ( 2h(z) + e + e−2h(z) , ∀z ∈ C; 2 4

que, a su vez, sustituido en (5.2), nos da

)} { π( f (z) = − exp i e2h(z) + e−2h(z) , ∀z ∈ C. 2 Denamos, para cada

(αn , βm )

(n, m) ∈ N × N,

las parejas de números complejos

dadas por:

αn := ln

(√

n+

√

) n−1 ,

π βm := m . 2

Comprobemos que

{±αn ± βm : (n, m) ∈ N × N} ∩ h (C) = ∅.

(5.7)

Si fuese lo contrario:

∃z ∈ C : h(z) = ±αn ± βm

√ √ (√ )±2 (√ )∓2 ⇒ e2h(z) + e−2h(z) = (−1)m n + n − 1 + (−1)m n+ n−1 [(√ √ √ )2 (√ )2 ] n+ n−1 + n− n−1 = (−1)m = (−1)n (4n − 2) ] [ π m ⇒ f (z) = − exp i (−1)m (4n − 2) = −eiπ(2n−1)(−1) = 1, 2

½lo cual no puede ser! y, por tanto, (5.7) es cierta. Veamos cómo el conjunto

A := {±αn ± βm : (n, m) ∈ N × N} se distribuye geométricamente por el plano:

√

Como

αn < ρ,

√

√ n → 0, αn+1 − αn = ln √n+1+ n+ n+1

para cualquier natural

n.

existe

ρ > 0

Ahora consideremos

tal que

R>

√

ρ2 +

αn+1 − ( π )2 2

, y

demostremos que dist (z, A) Sea

z∈C

con

Re z ≥ 0

e

Im z ≥ 0.

< R, ∀z ∈ C.

Existirán

αn ≤ Re z < αn+1 ,

n, m ∈ N

(5.8) tales que

βm ≤ Im z < βm+1 .

242

CAPÍTULO 5. PROPIEDADES FUNCIONES HOLOMORFAS Así,

dist (z, A)

√ ≤ |z − (αn + iβm )| ≤ (Re z − αn )2 + (Im z − βm )2 √ ( π )2 ≤ ρ2 + < R, ∀z ∈ C. 2

Pero, por la forma del conjunto

A

(simétrico respecto de los ejes real e

imaginario), la discusión anterior es válida, también, cuando

Im z ≤ 0. Por tanto, (5.8) es cierto y hemos radio R > 0 contiene elementos de A.

Aplicando ahora el corolario 5.11 a la función entera toma ningún valor de

A

Re z ≤ 0 o bien

probado que cualquier disco de

h,

que sabemos no

en su imagen, tendremos asegurada su constancia.

Consecuentemente

f,

Observación 5.3

Observemos cómo la función exponencial

y por ende

F,



es constante.

exp (C) = C\{0}

pone de maniesto que la tesis del teorema (pequeño) de Picard es inmejorable. Si tal halago sobre la excelencia de este enunciado no es excesivo, una vez más, el comentario sobre su demostración (como ya es normal en este tema) se hace evidente: no hay ninguna posibilidad de entender un hilo argumental que forme su esqueleto.

Corolario 5.12

Si

f

es una función entera e inyectiva, entonces

f

toma

todos los valores complejos.

Corolario 5.13 (al teorema de Picard) una traslación, entonces

f ◦f

Si una función entera

f

no es

tiene un punto jo.

Demostración. Razonemos por reducción al absurdo: supongamos que no los tiene; luego tampoco los puede tener

F (z) := Esta función

F

f.

Denamos la función

f (f (z)) − z , ∀z ∈ C. f (z) − z

es entera y su imagen no contiene ni al cero ni al uno: ha de

ser constante, por el teorema 5.17 ((pequeño) de Picard). Así,

∃λ ∈ C\{0, 1} : f (f (z)) − z = λ [f (z) − z] , ∀z ∈ C. Derivando en dicha expresión, queda

[ ] f ′ (z) f ′ (f (z)) − λ = 1 − λ, ∀z ∈ C;

243

5.3. Teorema de Bloch-Landau. Teorema (pequeño) de Picard luego

f ′ (z) ̸= 0

y

f ′ [f (z)] ̸= λ, ∀z ∈ C.

En consecuencia, podemos aplicar

nuevamente el teorema 5.17, ahora a la función entera

∃α ∈ C : f ′ =

f′

f′ ◦ f:

1−λ = α, ◦f −λ

de donde

f (z) = az + b, ∀z ∈ C Ahora bien, si fuese para

f,

5.3.1.

a ̸= 1,

(a, b ∈ C).

b sería un punto jo z0 := 1−a contradicción. Así, f (z) = z + b, ∀z ∈ C. 

tendríamos que

lo cual nos haría caer en

Ejercicios propuestos

1. Sean

f

g dos funciones enteras. Supongamos que las composiciones g ◦ f de los dos son, ambas, constantes. ¾Qué podemos decir de y

f ◦g y f y g , cada

una de ellas por separado?

2. Prueba que para cada función entera no constante riamente, para cada (a) la ecuación (b) existe

w ∈ C,

f (z) = w

f

se tiene, necesa-

una de las dos siguientes alternativas:

tiene, al menos, una solución.

{zn : n ∈ N} ⊂ C

tal que

244

zn → ∞

y

f (zn ) → w.

Capítulo 6 Teorema de Cauchy global

6.1. Índice de una curva cerrada respecto de un punto Como hemos podido ver, el teorema de Cauchy para dominios estrellados ha sido la respuesta obtenida para el problema de existencia de primitivas. Es decir, se ha obtenido una respuesta de tipo geométrico (propiedad de estrella para el dominio) a una pregunta de tipo analítico (cuándo existe primitiva para una función holomorfa). Podríamos decir, por tanto, que no es la respuesta más satisfactoria. Y es que, en efecto, podemos hacer hincapié en la existencia de dominios no necesariamente estrellados que son isomorfos a dominios estrellados (piensa en algún ejemplo); por ello, la clase de dominios resultante como solución del problema debe ser invariante por isomorsmos (conformes). Es decir, buscamos una clase de dominios que, dando respuesta al problema planteado, sean indistinguibles desde el punto de vista del Análisis Matemático. En este capítulo (al igual que en los dos siguientes) se persigue esta búsqueda de solución analítica del problema de la existencia de primitiva: será la llamada forma general del teorema de Cauchy. Nuestro comienzo es la construcción de un instrumento que nos permita medir el número de vueltas que da una curva cerrada alrededor de un punto.

Proposición 6.1

Sea

γ : [a, b] −→ C

γ ∗ no conΦ : [a, b] −→ C tal

una curva cuyo soporte

tenga al origen. Existe entonces una función continua que

eΦ(t) = γ (t) , ∀t ∈ [a, b] . Es decir, las curvas que no pasan por el origen admiten logaritmo continuo. 237

245

CAPÍTULO 6. TEOREMA DE CAUCHY GLOBAL Demostración. La continuidad de

γ

[a, b] nos ε := dist(0, γ ∗ ) > 0,

en el compacto

mentos de continuidad uniforme: elegido

permite argu-

∃δ > 0 : |s − t| < δ, s, t ∈ [a, b] ⇒ |γ (s) − γ (t)| < ε. Ahora consideramos una partición

{t0 = a, t1 , . . . , tn−1 , tn = b}

de

[a, b],

tal

que

0 < tk − tk−1 < δ,

k ∈ {1, . . . , n} ,

Dk := D (γ(tk ), ε) , k ∈ {1, . . . , n}. k ∈ {1, . . . , n}, como 0 ∈ / Dk , podemos

y llamamos, por comodidad, Razonando para cada que existe

φk ∈ H (Dk )

tal que

∀w ∈ Dk , ∀k ∈ {1, . . . , n} .

eφk (w) = w, Además,

asegurar

γ ([tk−1 , tk ]) ⊂ Dk

para cada

k

(6.1)

(¾por qué?).

Usando (6.1), razonamos la existencia de enteros

mk , k ∈ {1, . . . , n − 1},

que nos permiten establecer que

φk+1 (γ (tk )) = φk (γ (tk )) + i2πmk . Gracias a esto, podemos denir, nalmente, la función continua deseada de la manera siguiente (½pruébalo!):

Φ : [a, b] −→ C { φ1 (γ (t)) , ∑ Φ(t) := φk (γ (t)) − i2π k−1 j=1 mj ,

a ≤ t ≤ t1 tk−1 < t ≤ tk , 2 ≤ k ≤ n − 1. 

Lema 6.1

Sean dos funciones continuas

Φ1

y

Φ2

de

[a, b]

en

C,

tales que

eΦ1 (t) = eΦ2 (t) , ∀t ∈ [a, b] . Entonces

Φ2 (b) − Φ2 (a) = Φ1 (b) − Φ1 (a) . Demostración. Basta observar que la continuidad de la función

Φ2 − Φ1 : [a, b] −→ Z i2π 

obliga a la misma a ser constante.

246

6.1. Índice de una curva cerrada respecto de un punto

Denición 6.1 continuo para

γ.

Sea

γ : [a, b] −→ C\{0}

una curva y sea

γ

Se llama variación logarítmica de

Φ

un logaritmo

al número complejo

VarLog (γ) := Φ(b) − Φ(a). La existencia de

Φ

queda garantizada por la proposición 6.1, y el lema

6.1 nos da la independencia de la denición de VarLog con respecto de la determinación del logaritmo continuo elegida.

Denición 6.2 (Índice de una curva cerrada respecto de un punto) Para cada curva cerrada punto

z0

γ

llamamos índice de la misma respecto de cualquier z0 ∈ / γ ∗ , al número entero

ajeno a su soporte,

Indγ (z0 ) :=

1 VarLog (γ − z0 ) . i2π

Observa cómo, en esta denición, se ha dado la curva para la nueva curva

Lema 6.2

γ − z0 , γ (t) − z0 ∈ / C\{0}

Las curvas regulares

γ

(con

γ

de tal suerte que,

sea quien sea el Argumento

0∈ / γ∗)

t.

que admiten logaritmo con-

Φ, lo admiten, de hecho, derivable. Concretamente, se probará que si γ : [a, b] −→ C\{0} es una curva regular y existe Φ : [a, b] −→ C continua γ′ ′ tal que exp ◦Φ = γ , entonces Φ es derivable en [a, b] con Φ = γ . tinuo

t0 ∈ [a, b] , como w0 := γ (t0 ) ̸= 0, holomorfo en D (w0 , |w0 |):

Demostración. Para logaritmo

la identidad admite

∃l ∈ H (D (w0 , |w0 |)) : el(w) = w, ∀w ∈ D (w0 , |w0 |) . Usando la continuidad de la curva:

∃δ > 0 : |t − t0 | < δ, t ∈ [a, b] ⇒ |γ (t) − γ (t0 )| < |w0 | ; es decir, llamando

I := ]t0 − δ, t0 + δ[∩[a, b], se sigue que γ (I) ⊂ D (w0 , |w0 |).

Pues bien, si ahora denimos

∀t ∈ I,

ψ (t) := l (γ (t)) , tendremos que

eψ(t) = el◦γ(t) = γ (t) = eφ(t) , de donde

φ (t) − ψ (t) ∈ Z, i2π

∀t ∈ I;

∀t ∈ I.

Pero esto no es otra cosa que el hecho de que la función de donde se sigue la derivabilidad de

φ

247

t0 , el [a, b] .

en

durante la demostración, era arbitrario en

φ−ψ i2π sea constante,

cual, si bien ha sido jo



CAPÍTULO 6. TEOREMA DE CAUCHY GLOBAL

Proposición 6.2

z0 ∈ /

γ ∗ . Entonces

Sea

γ

un camino (curva regular a trozos) cerrado y sea

Indγ (z0 ) =

1 i2π

∫ γ

dz . z − z0

{t0 = a, t1 , . . . , tn−1 , tn = b} una partición del intervalo [a, b] de modo que sus restricciones γ|[t sean n curvas regulares. k−1 ,tk ] Como z0 ∈ / γ ∗ , la proposición 6.1 nos da un logaritmo holomorfo Φ para γ−z0 que resulta ser holomorfo para cada (γ − z0 )|]t . k−1 ,tk [ De este modo Φ|[t es derivable con derivada k−1 ,tk ]

Demostración. Consideremos

(

)′ Φ|[tk−1 ,tk ] (t) =

γ ′ (t) , γ (t) − z0

∀t ∈ ]tk−1 , tk [ , ∀k ∈ {1, . . . , n} .

Concretamente,

1 i2π

∫ γ

n ∫ n ∫ 1 ∑ dz 1 ∑ tk γ ′ (t) dz = = dt z − z0 i2π z − z0 i2π γ (t) − z0 k=1 γk k=1 tk−1 n ∫ n )′ 1 ∑ tk ( 1 ∑ = Φ|[tk−1 ,tk ] (t) dt = [Φ (tk ) − Φ (tk−1 )] i2π i2π tk−1 k=1

k=1

1 = [Φ (b) − Φ (a)] = Indγ (z0 ) . i2π 

Corolario 6.1

Sea

Ω

un abierto del plano tal que toda función holomorfa

en él admite primitiva. Entonces, para todo

Ω

γ

camino cerrado con soporte en

se tiene que

Indγ (z0 ) = 0, ∀z0 ∈ / Ω. 1 Demostración. Observa que la aplicacion z → z−z es holomorfa en Ω; luego 0 dz = 0 , por admitir primitiva. Y ahora aplicamos la proposición 6.2.  γ z−z0

∫

Proposición 6.3 (Continuidad del índice)

Para cada curva cerrada

γ,

la función índice

Indγ : C\γ ∗ −→ Z es constante en cada componente conexa de

248

C\γ ∗

(y, por tanto, es continua).

6.1. Índice de una curva cerrada respecto de un punto Demostración. Primera etapa: probaremos que es localmente constante en ∗ ∗ cada componente conexa de C\γ ; es decir, para z0 ∈ C\γ y llamando ρ := ∗ dist(z0 , γ ) > 0, hemos de ver que Indγ

(z) =

Hagamos cálculos: si

Indγ

t ∈ [a, b],

(z0 ) ,

∀z ∈ D(z0 , ρ).

entonces

(

z0 − z γ (t) − z = γ (t) − z0 + z0 − z = (γ (t) − z0 ) 1 + γ (t) − z0 de donde

) ;

z0 − z |z0 − z| ρ ρ γ (t) − z0 = |γ (t) − z0 | < |γ (t) − z0 | ≤ ρ = 1,

luego

t ∈ [a, b] ⇒ 1 + Pues bien, dado

Φ0

z0 − z ∈ D(1, 1). γ (t) − z0

un logaritmo continuo para la curva

γ − z0 , podemos

denir

Φ : [a, b] −→ C;

(

z0 − z Φ (t) := Φ0 (t) + log 1 + γ (t) − z0 de modo que

Indγ

Φ

(z) =

es logaritmo continuo para

) , ∀t ∈ [a, b] ,

γ − z.

Y así:

1 1 [Φ (b) − Φ (a)] = [Φ0 (b) − Φ0 (a)] = Indγ (z0 ) . i2π i2π

Segunda etapa: extenderemos el razonamiento a toda la componente conexa de

C\γ ∗ .

Los detalles se dejarán al lector después de la siguiente

sugerencia como inicio de la prueba:

z0 . Elijamos una conveniente poligonal en ella uniendo los dos puntos: [z0 , z] = [z0 , z1 ] ∪ . . . ∪ [zn−1 , z], de tal forma que zk−1 , zk+1 ∈ D(zk , ρ), para k = 1, 2, . . . , n − 1.  Sea

z

arbitrario en la misma componente conexa de

Proposición 6.4

Para una curva cerrada γ , si C\γ ∗ , entonces

nente conexa no acotada de

Indγ (z) = 0.

249

z

está en la única compo-

CAPÍTULO 6. TEOREMA DE CAUCHY GLOBAL Demostración. Usando la proposición 6.3, bastará probar lo que se desea para ∗

z∈ / D (0, M ) , donde M ≥ dist(0, γ ) (pues tales z ∗ conexa no acotada de C\γ ). Tendremos que

y como

γ(t) z 0, ∀t ∈ [−π, π],

la curva denida por

γ(t) := ρ(t)eit , ∀t ∈ [−π, π]. Calcula

Indγ (z)

para cada

z ∈ C\γ ∗ .

251

CAPÍTULO 6. TEOREMA DE CAUCHY GLOBAL 2. Sea

γ

un camino en

C

y sea

γ

su conjugado:

γ(t) := γ(t), ∀t ∈ [a, b]. Prueba que, para cada función continua

∫

∫

f

sobre

γ∗

se tiene que

f (z) dz.

f (z) dz = γ

γ

3. Enuncia con detalle la propiedad de invarianza del índice de un punto respecto de una curva cerrada: es invariante por giros, homotecias y traslaciones. 4. Sean

a ∈ C\{0}

y

Prueba que

γ

un camino cerrado tal que

γ ∗ ∩ {0, a, a1 } = ∅.

( ) 1 Ind 1 = Indγ (a) − Indγ (0). γ a

5. Sean las curvas

γ1 (t) := t, ∀t ∈ [−1, 1]; Calcula 6. Sean

Indγ (z)

para cada

a, b, c, d ∈ R,

γ2 (t) := eit , ∀t ∈ [0, π];

γ := γ1 + γ2 .

z ∈ C\γ ∗ .

vericando

a < c, b < d

y sea

γ := [a + ib, c + ib, c + id, a + id, a + ib]. Calcula

Indγ (z)

para cada

z ∈ C\γ ∗ .

6.2. Forma general del teorema de Cauchy y Fórmula general de Cauchy Comenzamos introduciendo algunas deniciones que nos permitirán considerar el concepto de índice en un ambiente más amplio, a la vez que generalizaremos algunos resultados ya conocidos del capítulo anterior.

Denición 6.3

Llamaremos cadena a las sumas nitas (formales) de cami-

nos (curvas regulares a trozos). Por ciclo entenderemos a cualquier suma ∑n nita (formal) de caminos cerrados. Para cada cadena Γ = k=1 γk su so∑ n ∗ ∗ n long (γ porte será Γ := ∪k=1 γk y su longitud long (Γ) := k ). La integral k=1 ∗ de una función continua f a lo largo de una cadena Γ, f ∈ C (Γ ), se dene como

∫ f := Γ

n ∫ ∑ k=1

252

γk

f.

6.2. Forma general del teorema de Cauchy. Fórmula general de Cauchy 245

Proposición 6.6

Sean una cadena

Γ

y una función

∫ f ≤ ∥f ∥ long (Γ) . Γ

Entonces

∑n

k=1 γk , así ∫ n ∫ n ∫ ∑ ∑ f = f ≤ f Γ γk γk

Demostración. Supongamos

Γ=

f ∈ C (Γ∗ ).

k=1

≤

n ∑

k=1

long (γk ) m´ ax {|f

(z)| ; z ∈ γk∗ }

long (γk ) m´ ax {|f

(z)| ; z ∈ Γ∗ }

k=1

≤

n ∑ k=1

= ∥f ∥ long (Γ) .  La siguiente denición introduce una relación de equivalencia en la colección de todas las cadenas. (Aunque este hecho no se va a usar en lo que sigue y eludiremos, consecuentemente, su demostración.)

Denición 6.4

Γ≡Υ

Diremos que dos cadenas

Γ y Υ son equivalentes, escribimos

en este caso, cuando

∫

∫

f=

Denición 6.5 cualquier

∀f ∈ C (Γ∗ ∪ Υ∗ ) .

f,

Γ

Υ

Γ, llamamos índice de dicho IndΓ (z), al número entero ∫ dw 1 . i2π Γ w − z

Dado un ciclo

z∈ / Γ∗ ,

y se escribe

Proposición 6.7

Para cada ciclo

Γ,

ciclo respecto de

la función

IndΓ (z) : C\Γ∗ −→ Z es constante en cada componente conexa de

C\Γ∗ .

∑n

∗ ∗ n k=1 γk . Tendremos C\Γ = ∩k=1 (C\γk ). Consi∗ ∗ deremos una componente conexa U de C\Γ . Resultará que U ⊂ C\γk para Demostración. Sea

todos los

k,

Γ=

de modo que estará en una componente conexa para cada uno

de ellos; allí se deducirá lo que perseguimos.

253



CAPÍTULO 6. TEOREMA DE CAUCHY GLOBAL

Proposición 6.8

Si Γ es un ciclo y ∗ no acotada de C\Γ , entonces

z

está en la única componente conexa

IndΓ (z) = 0. Demostración. El argumento ya nos resulta familiar: basta probar lo que ∗ queremos para

z : |z| ≥ M,

donde exigimos

Γ ⊂ D(0, M ).

Pero esto es

trivial: Indγk

(z) = 0, ∀z : |z| ≥ M, ∀k ∈ {1, . . . , k}. 

A continuación se prueban dos lemas que se usarán para lograr un resultado donde encontraremos condiciones sucientes de holomorfía. El teorema de Morera nos echará una mano en su momento. Podemos llamar la atención sobre la generalidad del resultado en el lema primero (para métricos arbitrarios y cómo se comporta en ellos el producto nito de compactos) y cómo en ambos lemas aparecen funciones complejas de varias variables complejas (dos variables, concretamente).

Lema 6.3

Sean

Γ

una cadena y

A

un espacio métrico. Sea

F : Γ∗ × A −→ C

una función continua. Entonces, la función

∫ f : A → C; f (z) :=

F (w, z) dw, ∀z ∈ A Γ

es continua en

A.

a ∈ A (jo, pero arbitrario) y sea (an ) ⊂ A tal que an → a. Llamemos K := {an : n ∈ N}∪{a}. La continuidad de F es uniforme ∗ sobre Γ × K (¾por qué?). Sea ahora ε > 0. Habrá de existir δ > 0 tal que si } (u, b) , (v, c) ∈ Γ∗ × K ⇒ |F (u, b) − F (v, c)| < ε. |u − v| < δ, |b − c| < δ Demostración. Sea

ε, también existe un natural m tal que dist(a, an ) < δ si n ≥ m. n ≥ m ⇒ |F (w, an ) − F (w, a)| < ε, ∀w ∈ Γ∗ .

Pero para tal Así,

Pero, observemos que las funciones

∗

φ, φn : Γ −→ C;

{

φ (w) := F (w, a) , ∀w ∈ Γ∗ φn (w) := F (w, an ) , ∀w ∈ Γ∗ , ∀n ∈ N

254

6.2. Forma general del teorema de Cauchy. Fórmula general de Cauchy 247 verican

φn → φ

uniformemente sobre

luego

∫

∫ φn →

f (an ) =

φ = f (a).

Γ La arbitrariedadad de

Lema 6.4 C.

a

en

Sean dos cadenas,

A

Γ∗ ,

Γ



nos da lo deseado.

Γ y Σ,

y una función continua

F : Γ∗ × Σ∗ −→

Entonces

∫ (∫

)

∫ (∫

)

F (w, z) dz dw = Γ

F (w, z) dw dz.

Υ

Υ

Γ

Demostración. No hay pérdida de generalidad si razonamos para dos curvas regulares

γ

σ . (Confírmalo.) Sean [a, b] y [c, d] los dos intervalos respectivos F y la validez del teorema de 2 funciones continuas de R en R, razonando para las partes real

y

donde están denidas. Por la continuidad de Fubini para

e imaginaria de la correspondiente integral:

∫ b (∫ ∫

a c b (∫ d

= ∫a

d

)

′

F (γ (t) , σ (s)) σ (s) ds γ ′ (t) dt ) ′ ′ F (γ (t) , σ (s)) γ (t) σ (s) ds dt

c

F (γ (t) , σ (s)) γ ′ (t) σ ′ (s) d (t, s)

= [a,b]×[c,d]

∫

F (γ (t) , σ (s)) σ ′ (s) γ ′ (t) d (s, t)

= [c,d]×[a,b] ∫ d (∫ b

′

=

′

)

F (γ (t) , σ (s)) σ (s) γ (t) dt ds ) ∫ d (∫ b ′ = F (γ (t) , σ (s)) γ (t) dt σ ′ (s) ds, c

a

c

a

de donde se sigue

∫ (∫

)

∫ (∫

F (w, z) dz dw = γ

σ

) F (w, z) dw dz.

σ

γ



255

CAPÍTULO 6. TEOREMA DE CAUCHY GLOBAL

Teorema 6.1 Γ∗

Γ,

Sean una cadena

un abierto

Ω, y una función continua w ∈ Γ∗ , entonces la función

F: × Ω −→ C. Supongamos, además, que si z −→ Fw (z) := F (w, z) es holomorfa en Ω. Entonces, ∫ z −→ f (z) := F (w, z) dw

la función

Γ es holomorfa en

Ω.

Demostración. El lema 6.3 nos garantiza la continuidad de

Ω.

f

en el abierto

Consideremos ahora un triángulo arbitrario contenido en él:

N ⊂ Ω.

Por

el lema 6.4 (y aplicando el teorema de Cauchy para el triángulo a la función

Fw ): ∫

(∫

∫

)

f = [a,b,c,a]

[a,b,c,a]

∫ (∫

Γ

=

F (w, z) dw dz ) F (w, z) dz

Γ

dw =

[a,b,c,a]

luego, por el teorema de Morera,

∫ 0 dw = 0, Γ

f ∈ H (Ω).



f continua en un abierto Ω admite una primiti∫ va si, y solo si, para todo ciclo Γ en Ω se tiene que Γ f = 0. Nos preguntamos Tenemos que una función

ahora por cómo son los abiertos que verican esta propiedad. Observamos que si función holomorfa

f

Ω

es un abierto tal que para cualesquiera ciclo

Γ

y

en él, es trivial que

∫ Γ lo cual equivale a que IndΓ

dz = 0, ∀z0 ∈ / Ω, z − z0

(z0 ) = 0, ∀z0 ∈ / Ω.

Pues bien, esta condición que hemos visto (trivialmente) necesaria para que

∫

Γf

= 0, resulta ser, a la postre, también suciente. Este es el contenido

del teorema general de Cauchy.

Denición 6.6 soporte en

Ω

Sea

Ω

un abierto del plano complejo

C.

De un ciclo

diremos que es nulhomólogo con respecto a

Ω

Γ

(o bien,

con

Ω-

nulhomólogo) si

IndΓ (z) = 0, ∀z ∈ C\Ω. También se usará la expresión homológicamente nulo con respecto a. Obsérvese que ejemplos de tales ciclos son las constantes.

256

6.2. Forma general del teorema de Cauchy. Fórmula general de Cauchy 249

Teorema 6.2 (General de Cauchy)

Sean

Ω

un abierto del plano

C

y

Γ

un ciclo nulhomólogo con respecto a él. Entonces, para cada función holomorfa

f

en

Ω: ∫

i2π IndΓ (z) f (z) =

i.

Γ

∫

f (w) dw, w−z

∀z ∈ / C\Γ∗ ;

f = 0.

ii.

Γ Demostración. i. Observemos que basta probar

∫ Γ

f (w) − f (z) dw = 0, ∀z ∈ / C\Γ∗ , w−z

pues ello conduce a

∫ Γ

f (w) dw = w−z

∫ Γ

∫

f (z) dw = f (z) w−z

Γ

1 dw = f (z) i2π IndΓ (z) . w−z

Consideremos la función auxiliar

  f (w) − f (z) , ∗ F : Γ × Ω −→ C; F (w, z) := w−z  f ′ (z) , Γ∗ × Ω. Así la función   f (w) − f (z) , Fw : Ω −→ C; Fw (z) := w−z  f ′ (z) ,

w ̸= z w = z.

Esta función es continua en

es continua en

z ∈ Ω\{w} z=w

Ω (para cada w ∈ Γ∗ ). Pero, a su vez, es holomorfa en Ω\{w}.

Por tanto, el teorema 4.13 (de singularidades evitables de Riemann), nos garantiza que

Fw ∈ H (Ω).

Ahora podemos amar, con el teorema 6.1, que la nueva función

∫ g : Ω −→ C; g (z) :=

F (w, z) dw, ∀z ∈ Ω Γ

es holomorfa en

Ω.

Consideremos el conjunto

Ω0 := {z ∈ C\Γ∗ ;

257

IndΓ (z)

= 0} .

CAPÍTULO 6. TEOREMA DE CAUCHY GLOBAL Se trata de un abierto y es la imagen inversa del origen por una función continua (el índice, concretamente), es una componente conexa de La función

∫ g0 : Ω0 −→ C; g0 (z) := Γ

es holomorfa en

Ω0 :

C\Γ∗ .

f (w) dw, ∀z ∈ Ω0 w−z

se debe a la continuidad en la segunda variable de la

función

Γ∗ × Ω0 ∋ (w, z) →

f (w) . w−z

z ∈ Ω ∩ Ω0 , tenemos ∫ ∫ ∫ f (w) − f (z) 1 g (z) = F (w, z) dw = dw = g0 − f (z) dw w−z Γ Γ Γ w−z = g0 (z) − i2πf (z)IndΓ (z) = g0 (z) − 0 = g0 (z);

Además, si

y, por tanto, podemos denir la función entera:

{ h : C −→ C; h(z) := h

Objetivo nal: probar que particular para

z ∈ Ω\Γ∗ :

z∈Ω z ∈ Ω0 .

g(z), g0 (z),

es idénticamente nula, pues en ese caso, en

∫

∫

0 = h(z) = g(z) =

F (w, z) dw = Γ

Γ

f (w) − f (z) dw. w−z

w ∈ Γ∗ ⇒ |w| ≤ M . El conjunto C\D(0, M ) es ∗ conexo, y está contenido en C\Γ . Por tanto, estará en su componente conexa Sea

M > 0

tal que

no acotada; de donde IndΓ Así, si

|z| > M ,

se tiene

(z) = 0, ∀z ∈ C\D(0, M ).

z ∈ Ω0 ,

y:

∫ f (w) k long (Γ) |h (z)| = |g0 (z)| = dw ≤ , |z| − M Γ w−z

donde

k := m´ax {|f (w)| : w ∈ Γ∗ }.

Por tanto:

l´ım |h(z)| = 0,

z→∞ y, por el teorema de Liouville,

h

habrá de ser constantemente nula.

258

6.2. Forma general del teorema de Cauchy. Fórmula general de Cauchy 251

ii. Sea a ∈ Ω\Γ∗ y denamos la función φ (z) := (z − a) f (z) , ∀z ∈ Ω. Ahora, aplicando la primera parte del teorema a

∫ 0 = i2π IndΓ (a)φ (a) = Γ

φ,

φ (w) dw = w−a

tendremos que:

∫ f (z)dz. Γ



Observación 6.3

La primera parte del teorema 6.2 es una generalización de

la fórmula de Cauchy. En la segunda tenemos una generalización del teorema de Cauchy para dominios estrellados. Hemos dado respuesta a tres problemas:

a.

Ω

Para cada abierto

y cada

f

función holomorfa en él:

∫ f = 0, ∀Γ

ciclo en

Ω ⇔ ∃F ∈ H (Ω) ; F ′ = f.

Γ

b.

Para cada abierto

Ω

y cada

Γ

ciclo en él:

∫ f = 0, ∀f ∈ H (Ω) ⇔ Γ

nulhomólogo respecto de

Ω.

Γ

c.

Ω:

Para cada abierto

∫

f = 0, ∀f ∈ H (Ω) , ∀Γ Γ

Denición 6.7

⇔

todo ciclo

De un abierto

conexo si todo ciclo

Γ

ciclo en

Ω

Γ

en

Ω

Ω es homológicamente nulo.

del plano diremos que es homológicamente

(con soporte) en

Ω

es nulhomológo (respecto de

Es decir,

Ω

es homológicamente conexo

Corolario 6.2 i. ii.

Ω

Sea

◦

Ω = Ω ⊂ C.

⇔ IndΓ (z) = 0, ∀z ∈ C\Ω, ∀Γ∗ ⊂ Ω.

Son equivalentes:

es homológicamente conexo.

∀f ∈ H (Ω) , ∀Γ

ciclo en

Ω⇒

∫

Γf

259

= 0.

Ω).

CAPÍTULO 6. TEOREMA DE CAUCHY GLOBAL iii.

∀f ∈ H (Ω) , ∃F ∈ H (Ω) : F ′ = f.

iv.

∀u ∈ A (Ω) , ∃f ∈ H (Ω) : Re f = u.

v.

∀f ∈ H (Ω) : 0 ∈ / f (Ω) , ∃g ∈ H (Ω) : eg = f.

Demostración. i.

⇒

ii. es el teorema general de Cauchy y ii.

⇒

v. son ya conocidos. Veamos v.

i.: Consideremos

Γ

⇒

iii.

⇒

iv.

⇒

un ciclo arbitrario en

Ω y a ∈ C\Ω. Como las funciones holomorfas que no se anulan admiten (por hipótesis) logaritmo holomorfo, existe g ∈ H (Ω) tal que eg(z) = z − a, ∀z ∈ Ω. Así,

g ′ (z) = de donde (por la respuesta

c. enunciada arriba) se sigue que ∫

Γ o lo que es lo mismo: IndΓ Como el punto

a

1 , ∀z ∈ Ω, z−a

1 dz = 0, z−a

(a) = 0. Ω

del abierto

era (aunque jo) arbitrario, se concluye



la prueba.

Terminamos con un corolario que, a su vez, nos deja una condición suciente para armar la veracidad de las cinco armaciones anteriores:

Corolario 6.3

Si el abierto

Ω

es tal que su complementario

componentes conexas acotadas, entonces Demostración. Sea

C\Γ∗ .

Si

a ∈ C\Ω,

Γ

Ω

C\Ω

no tiene

es homológicamente conexo.

un ciclo arbitrario en el abierto

Ω.

Tendremos

C\Ω ⊂

estará, igualmente, en alguna componente conexa (todas

ellas no acotadas); pero también lo estará en la componente conexa no acotada de

a

de

Γ

C\Γ∗ .

Pero ahí es IndΓ

respecto de

Observación 6.4

(a) = 0,

luego también vale cero el índice en

C\Ω.



Como aplicación de todo lo expuesto anteriormente, te-

nemos que: Todo dominio estrellado es homológicamente conexo. En efecto, razonaremos por reducción al absurdo: supongamos que no lo fuese. Su complementario, por el corolario recién probado, tendría alguna componente conexa acotada. Pero esto es imposible: el complementario de un dominio estrellado consiste, siempre, en una unión de componentes conexas que están, todas ellas (como sabemos), no acotadas.

260

6.3. Abiertos simplemente conexos 6.2.1.

Ejercicios propuestos

1. Sea

α : [0, +∞] −→ C

una función continua vericando

∧

α(0) = 0 Ω := C\{α(t) : t ≥ 0}. holomorfo en Ω; es decir: Sea

l´ım α(t) = ∞.

t→+∞

Prueba que la identidad admite logaritmo

∃f ∈ H(Ω) : ef (z) = z, ∀z ∈ Ω. 2. Sea

Ω := C\[a, b], con a, b complejos distintos. Prueba que Ω no es sim-

plemente conexo. Prueba también, que existe raíz cuadrada holomorfa en

Ω

para la función

z −→ (z − a)(z − b);

es decir:

∃f ∈ H(Ω) : [f (z)]2 = (z − a)(z − b), ∀z ∈ Ω. 3. En cada uno de los siguientes casos, determínese si los pares de dominios dados son o no isomorfos; en caso de no serlo, determínese si son o no homeomorfos. (a)

Ω1 := C;

Ω2 := {z ∈ C : |Im z| < 1}.

(b)

Ω1 := D;

Ω2 := D\{0}.

(c)

Ω1 := D;

Ω2 := C\{0}.

(d)

Ω1 := D;

Ω2 := {z ∈ C : |z| > 1}.

6.3. Abiertos simplemente conexos. Consecuencias de la fórmula general de Cauchy y de la forma general del teorema de Cauchy En este tema avanzamos en la clasicación de los dominios del plano. Para ello, introduciremos el concepto de homotopía, que nos ayudará en la identicación de los dominios simplemente conexos. Sépase, lo veremos como culminación del curso, que, salvo isomorsmos, sólo existen dos abiertos simplemente conexos en el plano: el propio disco unidad

D.

C

y el

Pero, hasta entonces, habrá que contentarse con los resultados parciales de esta sección.

261

CAPÍTULO 6. TEOREMA DE CAUCHY GLOBAL

Denición 6.8

y) con soporte en un abierto tinua

γ0

Diremos que dos curvas cerradas

F : [0, 1] × [a, b] −→ Ω

Ω

son

Ω-homótopas

y

γ1

(denidas en

[a, b]

si existe una función con-

tal que

F (0, t) = γ0 (t) ,

∀t ∈ [a, b]

F (1, t) = γ1 (t) ,

∀t ∈ [a, b] ∀s ∈ [0, 1] .

F (s, a) = F (s, b),

(La tercera condición es la que da coherencia al hecho de que ambas curvas sean cerradas.)

Proposición 6.9

γ0

Sean dos curvas cerradas

con soporte en el abierto

Ω.

Supongamos que

y

γ1

γ0

y

[a, b] y) Ω-homótopas.

(denidas en

γ1

sean

Entonces

∀z ∈ C\Ω.

Indγ0 (z) = Indγ1 (z) ,

F la homotopía existente, por hipótesis. Sea K := F ([0, 1] × [a, b]). Claramente, z no está en el compacto ε := dist(z, K) , por continuidad uniforme de F , podemos

Demostración. Designemos por

z ∈ C\Ω y sea K . Llamando armar que

|s1 − s2 | < δ, |t1 − t2 | < δ ∃δ > 0 : s1 , s2 ∈ [0, 1] , t1 , t2 ∈ [a, b]

} ⇒ |F (s1 , t1 ) − F (s2 , t2 )| < ε.

Escribamos:

γs (t) := F (s, t) , ∀ (s, t) ∈ [0, 1] × [a, b] . Ahora tenemos que

|s1 − s2 | < δ,

t ∈ [a, b] ⇒

⇒ |γs1 (t) − γs2 (t)| < ε := dist (z, K) ≤ |γs1 (t) − z| , de donde

Indγs1 (z) = Indγs2 (z);

y, por tanto, la función

s −→ Indγs (z) es uniformemente continua y, en particular,

Indγ0 (z) = Indγ1 (z) , de donde, por la arbitrariedad de

z,

se sigue el resultado.

262



6.3. Abiertos simplemente conexos

Denición 6.9

Un espacio topológico

curva cerrada en

X

es

X -homótopa

Los dominios estrellados son

Corolario 6.4

X

se dice simplemente conexo si toda

a una constante.

X -homótopos

a su punto de estrella.

Los abiertos simplemente conexos son homológicamente cone-

xos. Demostración. Sea

γ

una curva cerrada en

homótopa a una constante

γ1 ).

Ω

(que, por hipótesis, será

Ω-

La proposición 6.9 nos dice que

Indγ (z) = Indγ1 (z) , ∀z ∈ C\Ω; luego

γ

es

Ω-nulhomóloga.

Como

γ

era arbitraria en

Ω,

se sigue que este es



homológicamente conexo. Y el estado de la cuestión queda sintetizado en el resultado siguiente.

Corolario 6.5

Para cada dominio

Ω

del plano complejo

C

consideremos las

siguientes armaciones: i.

Ω=C

o bien

Ω

es isomorfo a

D;

ii.

Ω

es homeomorfo a

iii.

Ω

es simplemente conexo;

iv.

Ω

es homológicamente conexo.

Entonces: i.

6.3.1.

⇒

ii.

⇒

iii.

D;

⇒

iv.

Ejercicios propuestos

1. Prueba que si

Ω

es un dominio estrellado, entonces

C\Ω

no tiene com-

ponentes conexas acotadas. Concluye que los dominios estrellados son homológicamente conexos. 2. Prueba que

C\{0}

no es simplemente conexo.

Ω un abierto simplemente conexo del plano complejo C tal que ⊂ Ω y 0 ∈ / Ω. Prueba que existe una función holomorfa en Ω, f ∈ H(Ω), tal que f (x) = xx , ∀x > 0.

3. Sea

R+

¾Puede suprimirse la hipótesis de que

263

Ω

sea simplemente conexo?

Capítulo 7 Singularidades. Principio del Argumento

7.1. Desarrollo en serie de Laurent. Clasicación de singularidades. Teorema de Casorati-Weierstrass La fórmula de Cauchy nos permitió, en su día, obtener el desarrollo de Taylor de una función analítica en un entorno de un punto. Cabe ahora pensar que si disponemos de una forma general de dicho resultado, es natural que podamos llegar a conclusiones que antes nos eran inaccesibles. Así es como llegaremos al llamado desarrollo en serie de Laurent; será aplicable ahora a situaciones donde antes, con Taylor, no se daba respuesta (v.g., funciones tan naturales como

z −→

1 z o bien

z −→

ez , para z2

z ∈ C\{0},

no se pueden estudiar en torno al origen). Las series de Laurent serán una buena genaralización de las de Taylor: allí donde Taylor daba respuesta (donde hay analiticidad), ambas coincidirán; allí donde Taylor no llegaba (ausencia de analiticidad: puntos no regulares), Laurent nos ayudará a clasicar los distintos tipos de discontinuidad. Comencemos por una discusión de tipo heurístico. Sea admitido el siguiente desarrollo en serie de potencias con radio de convergencia

r > 0 para una

función en un entorno de un punto dado:

f (z) = a0 + a1 (z − z0 )−1 + a2 (z − z0 )−2 + · · · + an (z − z0 )−n + · · · No nos supone un gran esfuerzo aceptarlo: al n y al cabo, haciendo 257

264

ξ :=

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

258

1 z−z0 , tenemos una expresión holomorfa del tipo

g(ξ) = a0 + a1 ξ + a2 ξ 2 + · · · + an ξ n + · · · Así,

R := nos dice, al hacer

1 l´ım sup

√ n

|an |

1 R , que:

r :=

  R = 0 ⇒ g conv. en 0   r = +∞ ⇒ f conv. en C + R ∈ R ⇒ g conv. en D(0, R) ⇒ r ∈ R+ ⇒ f conv. en C\D(z0 , 1r )  resp.  R = +∞ ⇒ g conv. en C r = 0 ⇒ f conv. en z = z0 de donde se sigue el hecho de que para

f (z) =

=

+∞ ∑

−1 ∑

an (z − z0 )n =

n=−∞ +∞ ∑

n=−∞ +∞ ∑

n=0

n=1

an (z − z0 )n +

< R+ )

R−

R+

]

1 , R+ R−

[

(se hace imprescindible que

R+ :=

1 l´ım sup ∑

√ n

|an |

;

n n≥0 an w , mientras que n − n≥0 a−n w (por ello es por lo que luego R se

es el radio de convergencia de la serie

es el correspondiente a

w→

Denición 7.1

Dados

a

z∈

1 √ , l´ım sup n |a−n |

invierte al hacer

centro

n=0

donde

R− := es decir,

an (z − z0 )n

a−n (z − z0 )−n ,

se tiene validez del desarrollo para

1 R−

+∞ ∑

an (z − z0 )n +

y radios

r

y

∑

1 w ).

R,

a ∈ C

y

0 ≤ r < R ≤ +∞,

se dene el anillo de

como el conjunto

A (a; r, R) := {z ∈ C; r < z < R} .

Denición 7.2 {

Sean

a∈C

y

{an ; n ∈ Z} ⊂ C.

f0 (z) = a0 , ∀z ∈ C fn (z) = an (z − a)n + a−n (z − a)−n ,

Llamamos serie de Laurent de centro ciones

∑

a

n≥0 fn .

265

Consideremos

∀z ∈ C\ {a} , ∀n ∈ N.

y coecientes

an

a la serie de fun-

7.1. Desarrollo en serie de Laurent. Teorema de Casorati-Weierstrass

259

Denición 7.3 ∑

La serie de Laurent, que se acostumbra a escribir como n 1 1 + n∈Z an (z − a) , se dice no trivial cuando R− < R (y aquí valen 0 := +∞ 1 y +∞ := 0). En este caso, se dene su anillo de convergencia como el conjun( 1 ) + . Supondremos, desde ahora en adelante, series de Laurent to A a; − , R R no triviales.

( 1 ) n + n∈Z an (z−a) una serie de Laurent y sea A a; R− , R su anillo de convergencia. Entonces la serie converge absoluta y uniforme-

Teorema 7.1

Sea

∑

mente sobre cada compacto del anillo y no converge en ningún punto de ( ) C\A a; R1− , R+ . Además, la función

+∞ ∑

f (z) :=

(

n

an (z − a) ,

n=−∞

1 ∀z ∈ A a; − , R+ R

)

es holomorfa en el anillo de convergencia donde está denida y se puede derivar término a término. Demostración. La primera parte es ya evidente después de todo lo expuesto arriba. El además es consecuencia del teorema 4.19 (de Weierstrass).



La importancia del desarrollo en serie de Laurent viene dada por el hecho de su unicidad (amén de su existencia):

Teorema 7.2 (del desarrollo en serie de Laurent)

Sean a ∈ C, 0 ≤ r < R ≤ +∞ y f ∈ H (A (a; r, R)). Entonces existe una única serie de ∑ n Laurent n∈Z cn (z − a) cuyo anillo de convergencia contiene a A (a; r, R) y que verica

f (z) :=

+∞ ∑

cn (z − a)n ,

∀z ∈ A (a; r, R) .

n=−∞ Además, se tiene que

1 cn = i2π

∫ C(a,ρ)

f (z) dz, (z − a)n+1

∀ρ ∈ ]r, R[ , ∀n ∈ Z.

r1 y r2 tales que 0 ≤ r < r1 < r2 < Γ := C (a, r2 ) + (−C (a, r1 )). El ciclo Γ es A (a; r, R)cada n ∈ Z, la función

Demostración. Existencia: Sean

R ≤ +∞.

Llamemos

nulhomólogo, y, para

z −→

f (z) (z − a)n+1

266

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

260

A (a; r, R). Por el teorema general de Cauchy podemos decir, entonces, que, para cada entero n: ∫ ∫ ∫ f (z) f (z) f (z) 0= n+1 dz = n+1 dz − n+1 dz, Γ (z − a) C(a,r2 ) (z − a) C(a,r1 ) (z − a) es holomorfa en

de donde

∫

C(a,r2 )

f (z) dz = (z − a)n+1

∫ C(a,r1 )

f (z) dz, (z − a)n+1

∀n ∈ Z, ∀r1 , r2 ∈ ]r, R[ ;

y, por tanto, queda perfectamente denida la expresión

cn =

1 i2π

∫ C(a,ρ)

f (z) dz, (z − a)n+1

∀n ∈ Z,

ρ ∈ ]r, R[ arbitrario. z ∈ A (a; r, R) tal que 0 ≤ r < r1 < |z − a| < r2 < R ≤ +∞. Nuevamente consideramos Γ := C (a, r2 ) + (−C (a, r1 )) (que es A (a; r, R)nulhomólogo y) que verica IndΓ (z) = 1. siendo

Sea ahora

Otra vez es la fórmula de Cauchy la encargada de darnos información:

∫ 1 f (w) dw f (z) = f (z)IndΓ (z) = i2π Γ w − z ∫ ∫ 1 1 f (w) f (w) = dw − dw. i2π C(a,r2 ) w − z i2π C(a,r1 ) w − z Pero, por otro lado, sabemos que la igualdad

∑ f (w) f (w) = (z − a)n n+1 w−z (w − a) +∞

(7.1)

n=0

es uniforme sobre

C (a, r2 )∗ ,

mientras que al ser

+∞ 1 ∑ − z−a 1 1 (w − a)n = = = − w−z (w − a) − (z − a) 1 − w−a (z − a)n+1 z−a n=0 uniformemente sobre

C (a, r1 )∗ ,

se tiene que

∑ f (w) f (w) =− (w − a)n w−z (z − a)n+1 +∞

n=0

es uniforme sobre

C (a, r1 )∗ .

267

(7.2)

7.1. Desarrollo en serie de Laurent. Teorema de Casorati-Weierstrass

261

Por tanto, de (7.1) y (7.2) se siguen, respectivamente:

1 i2π

∫ C(a,r2 )

+∞ ∑ f (w) dw = w−z

n=0 +∞ ∑

=

(

∫

1 i2π

C(a,r2 )

) f (w) dw (z − a)n (w − a)n+1

cn (z − a)n

n=0 y

−1 i2π

∫ C(a,r1 )

+∞ ∑ f (w) dw = w−z

=

n=0 +∞ ∑

(

1 i2π

)

∫ n

f (w) (w − a) dw C(a,r1 )

1 (z − a)n+1

c−n (z − a)−n .

n=1 Es decir:

f (z) =

+∞ ∑

cn (z − a)n ,

z : 0 ≤ r < r1 < |z − a| < r2 < R ≤ +∞.

n=−∞ Observamos que si

R+

es el radio de convergencia para la serie

∑

cn (z − a)n

n≥0 y

R−

es el correspondiente a la serie

∑

c−n wn ,

n≥1

∑

z ∈ A (a; r, R), las series ∑ cn (z − a)n y c−n (z − a)−n

n≥0

n≥1

hemos demostrado que para

convergen; lo cual garantiza, respectivamente, que modo que

R ≤ R+

) 1 + A (a; r, R) ⊂ A a; − , R , R

1 r

y

≤ R− , de tal

(

que es el anillo de convergencia para la serie de Laurent Además, dada la arbitrariedad de

f (z) =

+∞ ∑

r1

y

r2 ,

cn (z − a)n ,

n=−∞

268

∑

n∈Z cn (z

se tiene

∀z ∈ A (a; r, R) .

− a)n .

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

262

Unicidad: Sea

∑

n∈Z dn (z

− a)n

otra serie de Laurent cuyo anillo de con-

′ ′ vergencia A (a; r , R ) contenga al anillo

f (z) =

+∞ ∑

A (a; r, R)

dn (z − a)n ,

y verique:

∀z ∈ A (a; r, R) .

n=−∞ La suma anterior es uniforme en cada compacto del anillo (por estar contenido, a su vez, en el otro anillo

r 0 Escribiendo

φ(z) :=

+∞ ∑

tal que

D(a, R) ⊂ Ω

y

f ∈ H (A (a; 0, R)) .

αn (z − a)n , ∀z ∈ Ω,

n=0 si

z ∈ A (a; 0, R),entonces f (z) =

=

+∞ ∑

αn (z − a)n−k

n=0 +∞ ∑

{ n

cn (z − a) :

n=−∞ de donde

f



◦

a∈Ω=Ω⊂C

Sea

y sea

f ∈ H (Ω\{a}) .

tiene un polo (sin orden precisado) en el punto

Son equivalentes:

a;

∃ l´ım f (z) = ∞.

ii.

z→a

Demostración. i. polo

n ≥ −k n < −k ,

c−k = α0 = φ(a) ̸= 0.

Corolario 7.3 i.

cn := αn+k , cn := 0,

(k ∈ N),

⇒

ii. Es la implicación sencilla. Llamando

∃φ ∈ H (Ω) : φ (a) ̸= 0 Así, haciendo

y

f (z) =

φ (z) (z − a)k

k

al orden del

, ∀z ∈ Ω\{a}.

z → a, φ (z) k

(z − a)

=

+∞ ∑

dn+k (z − a)n → ∞.

n=−k

⇒ i. Existe, en este caso, ρ > 0 tal que D(a, ρ) ⊂ Ω 0 < |z − a| < ρ. Sea, entonces, la función   1 , z ∈ D(a, ρ)\{a} φ (z) := f (z)  0, z = a. ii.

274

y

f (z) ̸= 0

si

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

268

Como

∃φ (a) = 0 = l´ım φ (z) , z→a

por el teorema 4.13 (de Riemann de singularidades evitables), podemos ar-

φ ∈ H (D(a, ρ)). k ∈ N el orden del

mar que Sea

cero de

φ

a.

en

Ha de existir

φ0 ∈ H (D(a, ρ))

tal

que

φ0 (a) ̸= 0

y

φ (z) = (z − a)k φ0 (z) ,

∀z ∈ D(a, ρ).

Por argumentos del carácter local de la continuidad:

∃r ∈ ]0, ρ[ : z ∈ D(a, r) ⇒ φ0 (z) ̸= 0. Así:

1 φ (z) 1 1 = ∈ C\{0}, = l´ım z→a φ0 (z) φ0 (a)

l´ım (z − a)k f (z) = l´ım (z − a)k

z→a

y iii.

⇒

z→a

Teorema 7.3 (de Casorati-Weierstrass) H (Ω\{a}) . i. ii. iii.

f



i. en el corolario 7.2 cierra la demostración.

Sean

◦

a ∈ Ω = Ω ⊂ C

y

f ∈

Son equivalentes:

tiene una singularidad esencial en

a;

∀R > 0, {f (z) : z ∈ Ω, 0 < |z − a| < R} = C; ∀w ∈ C, ∃ (zn ) ⊂ Ω\{a} : zn → a

Demostración. i.

⇒

y

f (zn ) → w.

ii. Supongamos que no se da ii., y razonaremos por

contrarrecíproco:

∃R > 0 : {f (z) : z ∈ Ω, 0 < |z − a| < R} ̸= C. Podemos razonar (tú debes comprobarlo) que

C.

D(a, R) ⊂ Ω y f (A (0; 0, R)) ̸=

Así:

∃w0 ∈ C, ε0 > 0 : 0 < |z − a| < R ⇒ |f (z) − w0 | ≥ ε0 . Consideremos la función

z −→

1 f (z)−w0 holomorfa en el anillo

A(0; 0, R)

1 y que está acotada por ε0 . El teorema 4.13 (de Riemann de singularidades evitables) nos dice (confírmalo) que:

∃g ∈ H (D(a, R)) : g(z) =

1 , ∀z ∈ D(a, R)\{a}. f (z) − w0

275

7.1. Desarrollo en serie de Laurent. Teorema de Casorati-Weierstrass

269

Ahora bien, como

f (z) =

1 + w0 , ∀z ∈ D(a, R)\{a}, g(z)

tenemos que:

  g(a) ̸= 0 ⇒ ∃ l´ım f (z) = 1 + w0 ⇒ f regular en a z→a g(a)  g(a) = 0 ⇒ ∃ l´ım f (z) = ∞ ⇒ f tiene polo en a, z→a

luego, en cualquier caso, no hay singularidad esencial de

⇒

ii.

iii. Sea

w ∈ C.

Para cada natural

f

en

a.

n:

D(w, 1/n) ∩ {f (z) : z ∈ Ω, 0 < |z − a| < 1/n} ̸= ∅ ⇒ ∃wn ∈ D(w, 1/n) ∩ {f (z) : z ∈ Ω, 0 < |z − a| < 1/n} ⇒ ∃ (zn ) ⊂ Ω : 0 < |zn − a| < 1/n ∧ |f (zn ) − w| < 1/n ⇒ f (zn ) → w, de donde se obtiene lo deseado. iii.

⇒

i. Evidente, pues en este caso

@ l´ımz→a f (z),

ni nito ni innito.



Al igual que el teorema de Liouville fue mejorado por el teorema pequeño de Picard, este de Casorati-Weierstrass lo es por el llamado

Teorema 7.4 (grande de Picard)

◦

Ω = Ω ⊂ C, a ∈ Ω y sea f ∈ H (Ω\{a}) . Si f tiene una singularidad esencial en a, entonces existe α ∈ C tal que C\{α} ⊂ f (U ) para cualquier U entorno perforado de a. Sea

Este resultado, que a su vez generaliza al teorema pequeño de Picard, tiene una demostración que escapa al objetivo del curso. Completamos esta sección haciendo un somero estudio de lo que ocurre cuando en los resultados precedentes consideramos

Denición 7.7

y (como resulta

a := ∞.

f ∈ H (A (0; R, +∞)), consideramos ( ) 1 ∗ , ∀w ∈ A (0; R, +∞) ; f (w) := f w ( ) 1 ∗ que f ∈ A 0; 0, R , entonces) podemos hacer las siguientes Sea

R > 0.

Para

deniciones: a.

∞

es un punto regular para

f

cuando

276

0

lo sea para

f ∗;

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

270

b.

∞

es un polo de orden

c.

∞

es un punto singular esencial para

k

para

f

cuando

f

0

lo sea para

cuando

0

f ∗;

lo sea para

f ∗.

Con esta denición se tiene, de manera trivial, lo siguiente:

Proposición 7.1

Para

f ∈ H (A (0; R, +∞)), R ≥ 0,

sean

{cp : p ∈ Z}

los

coecientes de su desarrollo en serie de Laurent centrado en el origen. Son equivalentes: i. ii. iii. iv.

∞

es un punto regular para

f;

cp = 0, ∀p ∈ N; l´ım f (z) ∈ C;

z→∞

∃R0 > 0 : {f (z); |z| > R0 }

Proposición 7.2

Para

está acotado.

f ∈ H (A (0; R, +∞)), R ≥ 0,

si

{cp : p ∈ Z}

son

los coecientes de su desarrollo en serie de Laurent centrado en el origen, son equivalentes: i. ii.

∞

es un polo para

f;

l´ım f (z) = ∞.

z→∞

Proposición 7.3

Para

f ∈ H (A (0; R, +∞)), R ≥ 0

y

k ∈ N,

son equiva-

lentes: i. ii. iii.

∞

es un polo de orden

k

para

f;

k = m´ax{n ∈ N; cn ̸= 0}; f (z) ∈ C\{0}. z→∞ z k l´ım

Proposición 7.4

Para

f ∈ H (A (0; R, +∞)), R ≥ 0,

si

{cp : p ∈ Z}

son

los coecientes de su desarrollo en serie de Laurent centrado en el origen, son equivalentes: i. ii. iii.

∞

es un punto singular esencial para

f;

∀ρ > R, {f (z) : |z| > ρ} = C; ∀α ∈ C, ∃ (zn ) ⊂ H (A (0; R, +∞)) : zn → ∞

277

y

f (zn ) → α.

7.1. Desarrollo en serie de Laurent. Teorema de Casorati-Weierstrass

Corolario 7.4

Para toda función entera no polinómica

f

(como

∞

271

es una

singularidad esencial para ella), se tiene

{f (z) : |z| > ρ} = C, ∀ρ > 0.

Corolario 7.5

Sea

f

una función entera e inyectiva. Entonces

∃a ∈ C\{0}, b ∈ C : f (z) = az + b, ∀z ∈ C. Demostración. La clave va a estar en demostrar que esencial de

∞

no es singularidad

f , y en este caso será un polinomio; y como es entera e inyectiva, f ′ (que será otro polinomio) no se va a anular en ningún punto:

su derivada

ha de ser constante no nula (¾por qué teorema?). En consecuencia

f (z) = az + b, ∀z ∈ C Veamos que, en efecto,

∞

no es singularidad esencial de

tendríamos densidad del conjunto

{f (z) : |z| < 1}

es abierto en

(a ̸= 0).

C

{f (z) : |z| > 1}

en

C.

f.

Si sí lo fuese,

Pero el conjunto

y de intersección vacía con el anterior (¾por



qué hipótesis?): absurdo.

7.1.1.

Ejercicios propuestos

1. Sean

a, b ∈ C

tales que

0 < |a| < |b|.

Obténgase el desarrollo en serie

de Laurent para la función

f (z) :=

1 , ∀z ∈ C\{a, b}, (z − a)(z − b)

en cada uno de los siguientes anillos:

a. A(0; |a|, |b|) c. A(a; 0, |b − a|)

b. A(0; |b|, +∞) d. A(a; |b − a|, +∞).

2. Clasica las singularidades, y determina las partes singulares, para cada una de las siguientes funciones. Estudia también, cuando ello tenga sentido, la eventual singularidad en

∞:

1−cos z z n , ∀z ∈ C\{0}, n ∈ N; n f (z) := z sen z1 , ∀z ∈ C\{0}, n ∈ N; f (z) := log(1+z) , ∀z ∈ C\{0, 1}; z2 1 f (z) := z(1−ei2πz ) , ∀z ∈ C; f (z) := z tan z, ∀z ∈ C\{(2k + 1) π2 : k

a. f (z) := b. c. d. e.

278

∈ Z}.

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

272

3. Estudia el comportamiento de la función

a. f (z) := b. f (z) := c. f (z) := d. f (z) := a ∈ C, r > 0 y (an ) an → a. Sean el abierto

4. Sean

f

en el punto indicado:

cos z , a := 0; z2 ez −1 , a := 0; z2 z+1 z−1 , a := 0; z+1 z−1 , a := 1.

una sucesión de puntos en

D(a, r)\{a}

con

Ω := D(a, r)\({a} ∪ {an : n ∈ N}) f ∈ H(Ω). Supongamos que f tiene un polo en cada uno de los puntos an . Prueba que, para cada ρ < r , el conjunto f (Ω ∩ D(a, ρ)) es denso en C. (Un punto de acumulación de polos se parece y una función

mucho a una singularidad esencial.) 5. Sea una función

f ∈ H(D(2, 0)\{0}) tal que ∫ z n f (z) dz = 0, ∀n ∈ N ∪ {0}. T

Prueba que

f

tiene singularidad evitable en el origen.

6. Obténgase el desarrollo en serie de Laurent de la función

f (z) :=

1 (z 2

− 1)2

, ∀z ∈ C\{−1, 1},

en los anillos

a. A(1; 0, 2)

b. A(1; 2, +∞)

7. Calcule la serie de Laurent de la función

f (z) := en el anillo 8. Sean

Ω

1+z z

A(0; 0, +∞) = C\{0}.

un abierto de

C, a ∈ Ω

y

f

una función holomorfa en

Ω\{a}.

¾Qué relación existe entre las posibles singularidades de las funciones

f

y

f′

en el punto a?

279

7.1. Desarrollo en serie de Laurent. Teorema de Casorati-Weierstrass 9. Sean

Ω

un abierto de

C, a ∈ Ω

f

y

una función holomorfa en

273

Ω\{a},

no idénticamente nula en dicho entorno reducido. ¾Qué relación existe entre las posibles singularidades de las funciones 10. Sean

Ω

un abierto de

C, a ∈ Ω

f, g

y

a

Estudia el comportamiento en

función función

g tiene un f ◦ g en el

f

y

1 f en el punto a?

funciones holomorfas en

de las funciones

tamente conocido el de las funciones 11. Supongamos que una función

f

f

y

f +g

y

m

en

f (a).

a

y que otra

¾Cómo se comporta la

punto a? ¾Qué ocurre en el caso en el que

una singularidad esencial en el punto

Ω\{a}. supues-

g.

es holomorfa en un punto

polo de orden

f g,

g

tiene

f (a)?

a una singularidad de una función f . Prueba que la función puede estar acotada en un entorno reducido de a.

12. Sea el punto

Re(f )

no

13. Obtenga los desarrollos en serie de Laurent indicados en cada caso:

a. f (z) := exp(z) + exp

(1) z2

, |z| > 0;

0 < |z| < R;   0 < |z| < 1 1 1 < |z| < 2 c. f (z) := (z−2)(z−1) , para  2 < |z|;   0 < |z| < 1 1 1 1 < |z| < 2 d. f (z) := z1 + (z−1) + , para 2 z+2  2 < |z|. b. f (z) :=

1 z(z+R) ,

14. Obténgase el desarrollo en serie de Laurent de la función

f (z) :=

1 , ∀z ∈ C\{0, 1}, z(z − 1)

en los anillos

a. A(0; 0, 1) = D\{0}

b. A(0; 1, +∞) = C\D

15. Calcula la serie de Laurent de la función

f (z) := en el anillo

A(i; 0, 2).

280

z2

z +1

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

274

16. Clasique las singularidades de las siguientes funciones

(z 2 −1)(z−2)

a. f (z) := b. c. d.

sen3 (πz) z f (z) := sen z ; f (z) := exp z 21−1 ; f (z) := z cos z1 .

;

17. Obtenga los desarrollos en serie de Laurent indicados:

a. para f (z) := b. para f (z) := c. para f (z) :=

z en A(i2; 0, 4); z 2 +4 1 z en A(i; 1, +∞); 1 en A(1; 0, 2) y en (z 2 −1)2

A(1; 2, +∞).

18. Clasique las singularidades y obtenga el desarrollo correspondiente a la parte singular de la serie de Laurent de las siguientes funciones en los puntos donde corresponda:

a. f (z) := b. f (z) :=

log(1+z) , ∀z ∈ C\{0}; z2 1 z[1−exp(i2πz)] , ∀z ∈ C\Z.

7.2. Teorema de los residuos La teoría de residuos proporciona una técnica de evaluación (rápida y) efectiva de integrales de la forma

{

∫ f: γ

γ camino cerrado o ciclo f ∈ H (Ω\A) : A = {z ∈ Ω; z

singularidad aislada de

f}

(7.3)

El punto esencial de esta teoría lo encontramos en el hecho de que Laurent nos permita expresiones de la forma

1 cn = i2π

∫

γ

f (w) dw, (w − a)n+1

∀n ∈ Z

(f, γ) en las condiciones (7.3) (con la curva γ alrededor de la singularidad a): resulta que, si integramos en el desarrollo de Laurent de f en un entorno punteado de la singularidad a, tendremos que ) ∫ ∫ ( ∑ ∫ +∞ +∞ ∑ n f= cn (z − a) dz = cn (z − a)n dz = c−1 i2π.

para

γ

γ

n=−∞

n=−∞

281

γ

7.2. Teorema de los residuos Es decir, todos los términos desaparecen, menos uno, el residuo que queda,

c−1 .

Surge así la importante fórmula

c−1

1 = i2π

∫ f γ

que nos habilita para la obtención de integrales complejas sobre curvas.

Denición 7.8 H (Ω\{a}),

Dado un abierto

Ω

del plano complejo, para

llamamos residuo de la función

del desarrollo en serie de Laurent de

f

f

en el punto

a

a∈Ω

y

al término

en un entorno (perforado) de

f ∈ c−1

a.

Se

notará Res (f, a)

:= c−1 .

a ∈ Ω donde f no es holomorfa se les llama singularidades f es holomorfa en Ω salvo singularidades si f ∈ H (Ω\A) A = {z ∈ Ω; z singularidad aislada de f }. (Recordemos que los pun-

A los puntos de

f.

Diremos que

donde

tos de no holomorfía, es decir, de singularidad, se clasican en polos, si

∃ l´ımz→a f (z) = ∞,

y en esenciales si

@ l´ımz→a f (z).)

Será de sumo interés que las singularidades sean aisladas, que no se acumulen en

Ω

(¾por qué?). Y nos acostumbraremos a escribir por

al conjunto de todas las funciones holomorfas en

Ω

f ∈ Hs (Ω)

salvo singularidades:

{

} Hs (Ω) := ∪ H (Ω\A) ; A ⊂ Ω, A′ ∩ Ω = ∅ . Por ejemplo, las funciones racionales son holomorfas en

C

salvo singulari-

dades. También lo son las llamadas funciones meromorfas, que son los cocientes de funciones enteras.

Propiedades primeras de los residuos a. La representación integral de los coecientes de la serie de Laurent para f ∈ H(D(a, r)\{a})

nos dice que

1 Res (f, a) = i2π

b.

Más general: si

γ

∫ f,

∀ρ ∈ ]0, r[ .

es un camino cerrado o un ciclo en

Ω := D(a, r)\{a},

con Indγ

(a) = 1

(7.4)

C(a,ρ)

e Indγ

(z) = 0, ∀z ∈ / D(a, r),

entonces aún vale (7.4).

282

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

276

Aplicación del teorema de existencia de primitivas a la teoría de residuos Sea

k ∈ Z.

i. Res(f, a)

Entonces, son equivalentes:

= k.

ii. La función

i.

z −→ f (z)−

de

a.

⇒

ii. La función

Laurent en un entorno

k z−a

admite primitiva en un entorno perforado

k z −→ f (z) − z−a admite perforado de a; pongamos

f (z) −

un desarrollo en serie de

+∞ ∑ k = an (z − a)n , z − a n=−∞

el cual admite como primitiva a la función dada por la serie

F (z) :=

+∞ ∑ −1̸=n=−∞

ii.

]0, r[, para

⇒

an (z − a)n+1 . n+1

i. Por admitir primitiva en, pongamos,

su integral sobre cada camino cerrado en

C(0, ρ)-, es ∫

D(a, r)\{a}, para cada ρ ∈ D(a, r)\{a} -en particular,

nula. Pero también

(

C(a,ρ) de donde Res(f, a)

k f (z) − z−a

) dz = i2π (Res (f, a) − k) ,

= k.

Y ya, el gran esperado:

Teorema 7.5 (de los Residuos)

f ∈ Hs (Ω) una función Ω del plano complejo C. Llamef } . Entonces, para cada Γ ciclo

Consideremos

holomorfa salvo singularidades en un abierto

A = {z ∈ Ω : z singularidad aislada nulhomólogo en Ω\A se verican: mos

a. b.

de

{a ∈ A : IndΓ (a) ̸= 0} es un conjunto nito. ∫ ∑ ∑ f = i2π Res (f, a) IndΓ (a) . (Aquí: ∅ := 0.) Γ

a∈A

283

7.2. Teorema de los residuos Demostración. a. El conjunto

K := Γ∗ ∪ {z ∈ C\Γ∗ ;

IndΓ

(z) ̸= 0} ,

es un cerrado, pues su complementario

{z ∈ C\Γ∗ ;

IndΓ

(z) = 0}

es un abierto. (¾Por qué?). Llamemos

Así, si

z ∈ K,

M := m´ax {|w| ; w ∈ Γ∗ } . entonces

|z| ≤ M

o bien IndΓ

(z) ̸= 0.

En cualquier caso,

{z ∈ C; |z| > M } ⊂ C\K, K ⊂ D(0, M ). K es compacto de C. Pero, por otro lado, como Γ es Ω-nulhomólogo, K ⊂ Ω. Finalmente, si K∩A fuese innito, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, ′ sería A ∩ Ω ̸= ∅, lo cual no puede suceder al tratarse de singularidades aisladas. Luego K ∩ A es nito y a. es cierto. y, por tanto,

En resumen,

b. La serie a sumar es nita, por lo probado en a.; podemos poner, por tanto,

{a ∈ A; IndΓ (a) ̸= 0} = {a1 , . . . , an } . Llamemos

mk := IndΓ (ak ) ∈ Z\{0}; Para cada

k

existe

ρk > 0

tal que

1 ≤ k ≤ n.

D(ak , ρk ) ∩ A = {ak }

y

D(ak , ρk ) ⊂ Ω.

(Razónese.) Sean ahora, también, para cada

k:

γk := −mk C (ak , ρk ) y denamos el ciclo

Σ := Γ +

n ∑

γk .

k=1 Veamos que es

Ω\A-nulhomólogo,

Cauchy nos va a decir que

∫

0 =

∫ f−

f= Σ

∫

Γ

f − i2π

= Γ

pues, en tal caso, la fórmula general de

∑

n ∑ k=1

∫ mk

f C(ak ,ρk )

Res (f, a) IndΓ (a) .

a∈A

284

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

278

Vamos, por tanto, a ver que

Ω\A. 1.

Σ

es

claramente,

Σ∗ ⊂

Y podemos razonar en estas dos situaciones:

z∈ / Ω ⇒ IndΓ (z) = 0, y también z ∈ / D(ak , ρk ) ⇒ k ≤ n. En cualquier caso, z∈ /Ω⇒

2.

Ω\A-nulhomólogo:

z∈A⇒z=a∈A⇒

IndΣ

Indγk

(z) = 0; 1 ≤

(z) = 0.

otras dos posibilidades:

2.1.

z = ah : h ∈ {1, . . . , n} ⇒ IndΓ (z) = mh . Pero: { } k ̸= h ⇒ ah ∈ / D(ak , ρk ) ⇒ Indγk (ah ) = 0 ⇒ IndΣ (a) = 0. k = h ⇒ Indγh (ah ) = −mh

2.2.

z ̸= ah , ∀h ∈ {1, . . . , n} ⇒ IndΓ (z) = 0 y z ∈ / D(ak , ρk ) ⇒ Indγk (z) = 0; 1 ≤ k ≤ n. Por tanto, también en este caso, es IndΣ (a) = 0. 

En este resultado rivalizan interés y... engorro: ½hay que calcular tantas series de Laurent para

f

como singularidades aisladas tenga en

Ω

para cal-

cular la correspondiente integral! (¾Acaso a ti te consuela el hecho de que

A

esté en biyección con una parte nita de

N!)

Por tanto, se hacen impres-

cindibles algunos procedimientos satisfactorios para el cálculo de residuos de manera expeditiva.

Proposición 7.5 que

f

◦

Ω = Ω ⊂ C, a ∈ Ω y f ∈ H (Ω\{a}). orden k en a. Entonces

Sean

tiene un polo de

Res (f, a)

=

] 1 dk−1 [ l´ım k−1 (z − a)k f (z) . (k − 1)! z→a dz

Demostración. Consideremos

f (z) =

+∞ ∑

D(a, R) ⊂ Ω.

Sabemos que

an (z − a)n , ∀z ∈ D(a, R)\{a}.

n=−k Sea la función

g : Ω −→ C, dada por { (z − a)k f (z), g(z) := a−k ,

285

z ∈ Ω\{a} z = a.

Supongamos

7.2. Teorema de los residuos Observemos que

g ∈ H (Ω\{a})

y

g ∈ C (Ω)

(justifíquese), luego el teorema

4.13 (de singularidades de Riemann) es quien nos dice que

g ∈ H (Ω).

En consecuencia:

Res (f, a)

g k−1) (a) 1 = l´ım g k−1) (z) (k − 1)! (k − 1)! z→a ] dk−1 [ 1 l´ım k−1 (z − a)k f (z) . = (k − 1)! z→a dz

= a−1 =



Ejemplo 7.3

Vamos a evaluar la integral compleja

∫

dz

γ (z 2

[−R, R] y la parte parte superior de la circunferencia de centro 0 y radio R > 1, recorrido en el sentido positivo donde

γ

+ 1)2

es el camino cerrado formado por

(contrario a las agujas del reloj). 1 La función f : z −→ presenta dos polos de orden 2; pero a los (z 2 +1)2 efectos que nos interesan, sólo es relevante z = i. (¾Por qué?) Consiste pues, según el teorema 7.5 (de los residuos) en calcular

Res (f, i),

pues el

teorema nos dice que

∫

dz

γ (z 2

+ 1)2

= i2π Res (f, i) .

Consiste, por tanto, en derivar la función

φ (z) = (z − i)2 f (z), evaluar su límite en

z = i,

y multiplicarlo por

1 (2−1)!

= 1:

ese será el residuo

buscado.

φ (z) = (z − i)2 f (z) = (z + i)−2 ⇒ φ′ (z) = −2 (z + i)−3 ⇒ φ′ (i) = − i ⇒ Res (f, i) = − , 4 de donde

∫ γ

dz (z 2 + 1)

286

2

=

π . 2

i 4

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

280

Observación 7.1

Aún puede ocurrir que este mismo método sea engorroso

para determinados casos; por ejemplo: si buscamos el residuo en el origen de 1 f la función z −→ , tendremos un polo triple. Así, calcular 2 z sen (z)

] d2 [ 3 z f (z) 2 dz es muy complicado (puedes intentarlo y, así, lo conrmas). En este caso, puede merecer la pena un recurso alternativo ad hoc:

( 1 1 = 2 z− z 2 sen (z) z ( 1 = 3 1+ z

Corolario 7.6

Sean

) ( ) ( 5 ) −1 ( 4 ) −1 z3 1 z2 +O z = 3 1− +O z 6 z 6 ) ( 4) z2 1 +O z ⇒ Res (f, a) = . 6 6 ◦

Ω = Ω ⊂ C, a ∈ Ω

y

f ∈ H (Ω\{a}).

Supongamos que

∃ l´ım (z − a) f (z) ∈ C. z→a

Entonces

Res (f, a) = l´ım (z − a) f (z). z→a

f tiene una = 0.) Si, por el f tiene, en este 

Demostración. Si tal límite, que existe, vale 0, tendremos que regularidad en el punto

a.

(Y hemos concluido: Res(f, a)

contrario, es no nulo, aplicamos la proposición 7.5, pues caso, un polo simple en

Ejemplo 7.4

a.

Vamos a evaluar la integral

∫

γ

sen (πz) dz, z2 + 1

es cualquier camino cerrado alrededor de i y −i. sen(πz) tiene polos simples en los Observamos que la función f (z) := z 2 +1 puntos indicados. Por tanto, es susceptible de serle aplicado el corolario 7.6: donde

γ

sen (πz) senh (π) = z→−i z − i 2

z = −i ⇒ Res (f, −i) = l´ım (z + i) f (z) = l´ım z→−i

(donde hemos usado la relación del seno trigonométrico con el hiperbólico:

sen (iz) = i senh (z)).

De modo análogo,

z = i ⇒ Res (f, i) =

287

senh (π) . 2

7.2. Teorema de los residuos En consecuencia:

∫

γ

sen (πz) dz = i2π { z2 + 1

Observación 7.2

Res (f, −i)

+

Res (f, i)}

= i2π senh (π) .

Esta técnica todavía puede resultar engorrosa, aun para

casos sencillos de polos simples como pone de maniesto el ejemplo de la función

z −→

1 z4 + 1

[−R, R] y la parte parte superior de la circunferencia de centro 0 y radio R > 1, recorrido iπ en el sentido positivo (contrario a las agujas del reloj). (Aquí z1 = e 4 y z2 = 3π ei 4 son los dos polos simples a considerar). La calcularemos posteriormente. si la queremos integrar sobre el camino cerrado

γ

formado por

Para el ejemplo de la observación 7.2 y otros casos, es útil la siguiente

Proposición 7.6 Supongamos que polo simple en

a,

Sean g y h funciones holomorfas en un disco D(a, r). g(a) ̸= 0, h(a) = 0 y h′ (a) ̸= 0. Entonces, f := hg tiene un y

Res (f, a) =

g(a) . h′ (a)

Demostración. Por ser polo simple (conrma que, en efecto, lo es): Res (f, a)

= l´ım (z − a) f (z) z→a

= l´ım

z→a

z−a g(a) g(z) = ′ . h(z) − 0 h (a) 

Ejemplo 7.5

Cálculo de

∫ γ

1 dz z4 + 1

cuando queremos integrar sobre el camino cerrado

γ

formado por

y la parte parte superior de la circunferencia de centro 0 y radio

[−R, R] R > 1,

recorrido en el sentido positivo. Observamos cómo los polos simples de la función f a integrar, y releiπ i 3π vantes para la integración, son z1 = e 4 y z2 = e 4 , que están en la compo∗ nente conexa acotada de C\γ . Para cada uno de ellos:

Res (f, zj ) =

g(zj ) 1 = 3. h′ (zj ) 4zj

288

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

282

De este modo:

Res (f, z1 ) =

1 4ei3π/4

1 1 = e−i3π/4 = 4 4

y, análogamente,

Res (f, z2 ) =

(

3 3 cos π − sin π 4 4

)

1+i =− √ , 4 2

1−i √ ; 4 2

de donde el teorema 7.5 (de los residuos) concluye que:

∫ γ

Ejemplo 7.6

1 π dz = i2π {Res (f, z1 ) + Res (f, z2 )} = √ . z4 + 1 2 Vamos a calcular

∫ |z|=2

Llamemos

f

dz . (z 2 − 1) z 2

a la función a integrar. Resulta que

f ∈ H (C\{−1, 0, 1})

con

{−1, 0, 1}′ = ∅.

Por tanto, podemos aplicar el teorema 7.5 (de los residuos):

∫ |z|=2

dz = i2π {Res (f, −1) + Res (f, 0) + Res (f, 1)} . (z 2 − 1) z 2

Para 1 y -1 razonamos como polos de orden 1 que son:

1 1 =− (z − 1) z 2 2 1 1 Res (f, 1) = l´ ım (z − 1) f (z) = l´ım = , z→1 z→−1 (z + 1) z 2 2

Res (f, −1) = l´ım (z + 1) f (z) = l´ım z→−1

z→−1

y como en el origen se trata de un polo de orden 2:

] )−1 ] d [ 2 d [( 2 z f (z) = l´ım z −1 z→0 dz z→0 dz 2z = l´ım = 0. z→0 (1 − z 2 )2

Res (f, 0) = l´ım

En conclusión:

∫ |z|=2

(z 2

dz = 0. − 1) z 2

289

7.2. Teorema de los residuos

Ejemplo 7.7

Vamos a calcular

∫ T

dz . sen (z)

′ 1 sen(z) para z ∈ C\πZ. Como (πZ) = ∅, podemos aplicar el teorema 7.5 (de los residuos). Pero, además, solo nos interesa el Llamamos

f (z) =

residuo en el origen (¾por qué?). Por tanto,

( Res

1 ,0 sen (z)

) =

1 1 = = 1, ′ sen (0) cos (0) {

e

IndT (kπ) =

1, 0,

k=0 k ̸= 0.

En resumen:

∫ T

dz = i2π Res (cosec, 0) IndT (0) = i2π. sen (z)

La proposición 7.6 admite el siguiente generalización a modo de corolario:

Corolario 7.7 gamos que

g

Sean

g

y

a

h funciones holomorfas en un disco D(a, r). Suponk y de orden k + 1, para

es, respectivamente, un cero de orden g y h. Entonces, h tiene un polo simple en a, y

Res

) g k) (a) , a = (k + 1) k+1) . h h (a)

(g

Demostración. El teorema de Taylor es la clave. Y otra demostración alternativa puede darse, también, vía teorema de L'Hôpital.



A modo de ejecicios al lector, dejamos enunciadas las tres siguientes proposiciones (que no serán usadas en ningún momento).

Proposición 7.7 Supongamos f := hg tiene

g y h funciones holomorfas en un disco D(a, r). que g(a) = ̸ 0, h(a) = 0, h′ (a) = 0 y h′′ (a) ̸= 0. Entonces, un polo de orden dos en a, y Sean

Res (f, a) = 2

g ′ (a) 2 g(a)h′′′ (a) − . ′′ h (a) 3 [h′′ (a)]2

290

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

284

Proposición 7.8

g y h funciones holomorfas en un disco D(a, r). ′ ′ ′′ Supongamos que g(a) = 0, g (a) ̸= 0, h(a) = 0, h (a) = 0, h (a) = 0 y g ′′′ h (a) ̸= 0. Entonces, f := h tiene un polo de orden dos en a, y Sean

Res (f, a) = 3

Proposición 7.9 vale:

[ ]k k! × hk) (a) donde

7.2.1.

|◦|

g y h funciones holomorfas en un disco D(a, r). ̸= 0, y h(a) = 0 = h′ (a) = · · · = hk−1) (a) = 0 y f := hg tiene un polo de orden k en a, y el número

Sean

Supongamos que g(a) hk) (a) ̸= 0. Entonces,

Res (f, a)

g ′′ (a) 2 g ′ (a)h4) (a) − . h′′′ (a) 3 [h′′′ (a)]2

hk) (a) k!

0

0

···

0

g(a)

hk+1) (a) (k+1)!

hk) (a) k!

0

···

0

g ′ (a)

hk+2) (a) (k+2)! . . . h2k−1) (a) (2k−1)!

hk+1) (a) (k+1)! . . . h2k−2) (a) (2k−2)!

hk) (a) k! . . . h2k−3) (a) (2k−3)!

···

0

. . .

..

···

hk+1) (a) (k+1)!

.

g ′′ (a) 2! . . . g k−1) (a) (k−1)!

denota el determinante de una matriz cuadrada de orden



k.

Aplicaciones del cálculo con residuos

Uno de los hechos verdaderamente atractivos del análisis complejo es su capacidad para proporcionarnos demostraciones elegantes, a la vez que sencillas, de resultados del análisis real. Concretamente, el cálculo de residuos nos va a proporcionar una herramienta ecaz para el cálculo de algunas integrales denidas y de algunas sumas de series. Resultará especialmente interesante cuando no podamos obtener una primitiva en términos de funciones elementales. Pero, incluso en alguno de estos casos, nos pueden ahorrar trabajo. Lo más llamativo, y sorprendente, es que se aplique el cálculo de integrales complejas sobre curvas cerradas para calcular integrales reales sobre la recta real. En cada caso, veremos cómo se aplican diversas técnicas especiales para este n. Las agrupamos en cuatro métodos.

I. Contornos semicirculares para el cálculo de integrales reales Empecemos con un par de ejemplos.

291

7.2. Teorema de los residuos

Ejemplo 7.8

El teorema 7.5 (de los residuos) nos dijo que

∫ γ

donde

γ

dz π =√ , z4 + 1 2

es la suma de las curvas

−r ≤ t ≤ r

γ1 (t) := t, it

γ2 (t) := re , para

r>1

0 0,

existe

π

( ) f reiθ ireiθ θdθ.

0

k>0

tal que

z ∈ Ω : |z| > k ⇒ |zf (z)| < ε. Así,

p1 , . . . , pn ;

∫ r > k ⇒

π

( f re

iθ

0

294

)

ire dθ < πε, iθ

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

288

luego haciendo

r → +∞

y aplicando el teorema de los residuos, nos queda:

∫

+∞

(vp)

f = i2π −∞

n ∑

Res (f, pk ) .

k=1



Finalmente, la condición d. nos hace despreciar (vp).

Ejemplo 7.10

Calculemos

∫

+∞

−∞

x2

cos x dx + 2x + 4

No siempre va a ser fácil dar con la función compleja a considerar. En este caso, por ejemplo, estaremos motivados, sin duda, a elegir

f (z) :=

cos z , 2 z + 2z + 4

{ √ √ } ∀z ∈ Ω\ −1 − i 3, −1 + i 3 ,

donde el abierto está en las condiciones del teorema 7.6. (Vale, por ejemplo,

Ω = {z ∈ C; Im z > −1}.

La clave: contener a todo el semiplano superior y

dejar fuera cuantos más polos, mejor.) Pero esta elección para la función

f

no es buena:

1 cos (iy) = cosh (y) ≃ ey , y → +∞, 2 de donde se sigue que falla la hipótesis c. en el teorema 7.6. Sin embargo, muy relacionada con la anterior estará la función

f (z) := donde

|z|

exp (iz) , 2 z + 2z + 4

Ω = {z ∈ C; Im z > −1}.

{ √ } ∀z ∈ Ω\ −1 + i 3 ,

Aquí, usando que

ix e = 1, |e−y | < 1

y para

sucientemente grande:

z exp (iz) z exp (ix) exp(−y) |z| ≤ |zf (z)| = 2 = → 0. 2 2 z + 2z + 4 z + 2z + 4 |z| − 2 |z| − 4

295

7.2. Teorema de los residuos Calculamos el valor del único residuo relevante de cara al resultado:

( √ ) Res f, −1 + i 3 =

 f√:= hg ; g, h ∈ H (Ω) √  h(−1 + i 3) = 0 ̸= h′ (−1 + i 3), ⇒ √ ) √ ( ′   Res hg , −1 + i 3) = hg ′ (−1 + i 3) √ √ ei(−1+i 3) e−i e− 3 √ √ = = 2(−1 + i 3) + 2 i2 3 √ [ ] e− 3 1 = √ cos (−1) + sen (−1) 2 3 i  

√

e− 3 = √ [−sen (1) − i cos (1)] , 2 3 con lo que el teorema 7.6 nos dice que:

∫

+∞

−∞

( √ ) exp (ix) π −√3 −i √ dx = i2πRes f, −1 + i 3 = e , e x2 + 2x + 4 3

de donde

∫

+∞

−∞ y, de propina,

∫

+∞

−∞

cos x π −√3 √ dx = cos 1; e x2 + 2x + 4 3 sen x −π −√3 √ e dx = sen 1. x2 + 2x + 4 3 

II. Integrales denidas de funciones trigonométricas Consideremos ahora integrales de la forma

∫

2π

f (cos (at) , sen (bt)) dt. 0 Es razonable ver esta integral como el resultado de una parametrización sobre la circunferencia unidad

T,

con

f ∈ H (Ω) : Ω ⊃ T.

296

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

290

Ω

(El abierto

será convenientemente elegido, además, para que seleccione

los polos de la función que vengan bien a la hora de calcular los correspondientes residuos: los polos han de estar en la componente conexa acotada de la curva

γ.)

Así:

z = eit : 0 ≤ t ≤ 2π, nos da que

 eiat + e−iat z a + z −a   cos (at) = =   2 2   b −b ibt −ibt z −z e −e = sen (bt) =  i2 i2     dz = dt  iz ) ∫ 2π ∫ ( a z + z −a z b − z −b dz ⇒ f (cos (at) , sen (bt)) dt = , ; f 2 i2 iz 0 T

y es buen momento para ejemplicarlo:

Ejemplo 7.11

Calculemos

∫ 0

2π

dθ . 2 + cos θ

Realizamos cálculos directamente:

∫ 0

2π

(Observemos aquí que

C\T.

∫ 1 dz −i2 ( ) dz 1 iz = 1 2 T 2+ 2 z+ z T z + 4z + 1 ∫ −i2 √ )( √ ) dz ( = T z+2+ 3 z+2− 3 ( √ ) g = i2π Res f := , −2 + 3 h −i2 2π √ ) = i2π ( =√ . 2 −2 + 3 + 4 3

dθ = 2 + cos θ

∫

−2 −

√

3

está en la componente conexa no acotada de

Podemos considerar, por ejemplo,

Ω = D(0, 2).)

III. Más sobre integrales reales: lema de Jordan Comencemos con el siguiente resultado:

297

7.2. Teorema de los residuos

Teorema 7.7 (Lema de Jordan)

Sea

f

una función meromorfa con un

p1 , . . . , pn de polos en el semiplano superior abierto, es decir, {z ∈ C : Im z > 0}. Supongamos que no tiene polos en la recta real y que

número nito en

l´ım f (z) = 0.

z→∞ Im z>0 Entonces, para

a > 0: ∫

+∞

f (x)eiax dx = i2π −∞

donde

n ∑

Res (g, pj ) ,

j=1

g(z) := f (z)eiaz .

Demostración. Para

ε > 0,

jo pero arbitrario, elijamos

a.

|pj | < R,

b.

|f (z)| ≤ ε,

z : |z| ≥ R, Im z > 0;

c.

xe−ax ≤ 1,

x ≥ R.

Ahora, para

R > 0,

tal que:

1 ≤ j ≤ n;

u, v ∈ ]R, +∞[,

denotemos por

γ

el camino determinado por la

poligonal

[−u, v, v + i (u + v) , −v + i (u + v) , −u] . El teorema 7.5 (de los residuos) nos da que (téngase presente que los polos de

g

son los mismos de

f ):

∫ g = i2π γ

n ∑

Res (g, pj ) .

j=1

Pero, por otra parte:

∫

∫

∫

v iax

g = γ

f (x)e −u

∫

−

u+v

f (v + iy)eiav−ay dy −

dx + 0

∫

v iax−a(u+v)

f (x + i(u + v))e −u

dx −

f (−u + iy)eiau−ay dy. 0

298

u+v

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

292

Veamos cómo son las tres últimas integrales de esta expresión. Tengamos presentes las condiciones bajo las que han sido elegidas

∫

∫

v

−u

x, y

y

u + v:

∫ u+v f (v + iy)eiav−ay dy ≤ ε e−ay dy 0 0 ) ε ε( = 1 − e−a(u+v) ≤ ; a ∫ a v e−a(u+v) dx f (x + i(u + v))eiax−a(u+v) dx ≤ ε u+v

−u

∫

0

= ε (u + v) e−a(u+v) ≤ ε; ∫ u+v u+v ε −ay iau−ay e dy ≤ . f (−u + iy)e dy ≤ ε a 0

En consecuencia:

∫ v ) ( n ∑ 2 iax f (x)e dx − i2π Res (g, pj ) ≤ ε +1 , a −u j=1 de donde se sigue lo deseado sin más que hacer

Observación 7.3

Si en vez del contorno

circunferencia superior de radio

∫

r > 0,



hubiésemos optado por la semi-

el resultado obtenido hubiera sido:

+∞

(vp)

γ

u, v → +∞.

g(x)dx = i2π −∞

n ∑

Res (g, pj ) .

j=1

Es decir, que podría ser que obtuviésemos un resultado incoherente caso de no existir la integral.

Ejemplo 7.12

Calcula

∫

+∞ 0

x sen (x) dx, x 2 + b2

b > 0.

Pongámonos en las condiciones del teorema 7.7 (lema de Jordan):

f (z) := con

z2

z , + b2

f ∈ H (Ω\{ib}), Ω := {z ∈ C; −0,5 < Im z}

299

y

a := 1.

7.2. Teorema de los residuos Así, el único residuo lo presenta la función en g(z) := eiz f (z):

Res (g, ib) = y, por tanto,

∫

+∞

−∞

p = ib.

Y su valor es, para

ibe−b e−b = , i2b 2

xeix dx = iπe−b , x2 + b 2

de donde, igualando partes imaginarias:

∫

+∞

−∞

x sen (x) dx = πe−b . x 2 + b2

Ahora bien, la función a integrar es par; por tanto:

∫

+∞

0

x sen (x) πe−b . dx = x2 + b2 2

Observemos que, como extra, obtenemos algo que ya conocemos para las funciones impares:

∫

+∞

−∞

x cos x dx = 0. x2 + b 2

El resultado anterior admite una extensión muy interesante, que posibilita el aceptarlo bajo la hipótesis de que

f

tenga alguno de los polos

p1 , . . . , pn

sobre la recta real:

Lema 7.1 a ∈ C.

Sea

Supongamos que la función

γr

consideremos

un arco circular de radio

γr := γ1 + γ2 + γ3 ,

f tiene un polo simple en un punto r > 0 con vértice en a. (Por ejemplo,

la suma de las tres curvas

γ1 (t) := a + teiα , ∀t ∈ [0, r] γ2 (t) := a + reiα , ∀θ ∈ [α, β] γ3 (t) := a + (r − t) eiβ , ∀t ∈ [0, r] para

r>0

y

0 < β − α < 2π.)

Entonces:

∫ l´ım

r→0 γr

f = i (β − α) Res (f, a) .

300

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

294

γ2

γ3

β

γ1

α

a

Figura 7.2. Gráca de la curva

γr

del lema 7.1.

Demostración. El desarrollo en serie de Laurent de

D(a, r)\{a}

de

a

f

en un entorno perforado

nos da:

f (z) =

Res (f, a)

+

z−a

+∞ ∑

an (z − a)n .

n=0

Si denimos la función

g(z) := f (z) − para todo

z ∈ D(a, ρ),

Res (f, a)

z−a

tendremos una función holomorfa en el disco (¾por

qué?). En particular, estará acotada, digamos por un

z ∈ D(a, ρ) 0 0, para r sucientemente pequeño, podemos razonar así: ∫ ∫ f − i Res (f, a) (β − α) = g ≤ M r (β − α) < ε. γr

γr

 Veamos cómo es efectivo este lema mediante un ejemplo concreto:

Ejemplo 7.13

Comprueba que

∫

+∞

0

sen (x) π dx = . x 2

eiz Consideremos g(z) := z . Esta función tiene un polo simple en el origen, ei0 con residuo 1 = 1. Observamos que las condiciones del lema de Jordan se 1 satisfacen para f (z) := z , con la notación de dicho resultado, salvo que

R.

presenta un polo en

Consecuentemente, hay que hacer algún articio:

vamos a modicar ligeramente el camino siguiente modo:

γ

γ

en las cercanías del origen del

será la (curva cerrada regular a trozos) suma de las curvas

γ1 := [r, v, v + i (u + v) , −u + i (u + v) , −u, −r] ; 0 < r < u, v γ2 (t) := −re−it ,

0≤t≤π

(gura 7.3). Todo queda análogo al lema de Jordan, salvo la integral sobre

R.

Nueva-

mente, el teorema de los residuos viene en nuestra ayuda:

(∫

−r

−∞

∫

∫

−

(

+∞ )

+

g=0

γ2

r

=

∑

)

∅

(donde el signo negativo en la segunda integral indica el recorrido en sentido negativo que se ha considerado). Aplicando el lema:

∫ l´ım

r→0 γ 2 luego

∫

eiz dz = iπ; z

+∞

g = iπ, −∞ de donde, tomando partes imaginarias en cada miembro, se obtiene lo deseado, pues se trata de una función par.

302

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

296

iY -u + i ( u+v )

v + i (u+v )

r

0

-r

-u

Figura 7.3. Gráca de la curva

Observación 7.4

γ

v

X

del ejemplo 7.13.

Al tomar partes reales en la resolución del ejemplo ante-

rior, se puede ver cómo se tendría que:

(∫

−r

l´ım

r→0+

−∞

cos x dx + x

∫

+∞

+r

) cos x dx = 0, x

lo cual es obvio por ser impar la función del integrando. Pero, tan obvio como lo anterior es que la integral impropia

∫

+∞

−∞ no existe, pues

cos x dx, x

cos x 1 ≃ , x x

x → 0.

IV. Integrales impropias que involucran a funciones racionales Sean

p

y

q

dos polinomios primos entre sí. Supongamos que

q(x) ̸= 0, ∀x ∈ R ∧ grad (q) − grad (p) ≥ 2.

303

7.2. Teorema de los residuos En estas circunstancias, la función

f (x) :=

p(x) , ∀x ∈ R q(x)

R, y nuestro propósito ∫ +∞ f (x)dx.

es impropiamente integrable en

es obtener

−∞ El método, que lo presentaremos en cinco pasos, se puede enunciar del siguiente modo:

Proposición 7.10

Con

p

y

q

polinomios primos entre sí, tales que

q(x) ̸= 0, ∀x ∈ R ∧ grad (q) − grad (p) ≥ 2, se tiene que

∫

+∞

−∞

Demostración. Paso

1o :

( ) ∑ p(x) p dx = i2π Res ,a . q(x) q q(a)=0 Im a>0

Elección de la conveniente función compleja a inte-

grar:

f (z) := Paso

2o :

p(z) , ∀z ∈ C\A; q(z)

A := {z ∈ C; q(z) = 0} .

Elección del ciclo sobre el que integrar: para

α, β, ρ > 0,

sea

γ := [−α, β, β + iρ, −α + iρ, −α] (con orientación positiva, contraria a la de las agujas del reloj, de modo que el paso al límite con

α

y

β

tendiendo a

+∞,

tenga coherencia con la

R). 3o : Aplicación del teorema de los residuos. Para ello, bastará tomar:  { ∗ β > m´ax{Re z; z ∈ A}  γ ∩A=∅ −α < m´ın{Re z; z ∈ A} ⇒ γ es C-nulhomólogo,  ρ > m´ax{Im z; z ∈ A}

integración en Paso

(gura 7.4), de donde

∫ f = i2π γ

∑

Res (f, a) Indγ (a) .

a∈A

304

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

298

iY −α + i ρ

β+ iρ

0

−α

Figura 7.4. Gráca del ciclo

Paso

4o :

γ

β

X

de la proposición 7.10.

Cálculo efectivo de residuos e índices.

{ a∈A⇒

Im a > 0 ⇒ Im a < 0 ⇒

∫

de donde

∑

f = i2π γ

(a) = 1 Indγ (a) = 0 Indγ

Res (f, a)

a∈A Im a>0

∫ ∫ +∞ f (x)dx. 5o : Encontrar la relación entre las integrales f (z)dz e γ −∞ ∫ Llamemos I := f (z)dz , e igualmente, demos nombres:

Paso

γ

γ2 := [β + iρ, −α + iρ] ;

γ1 := [β, β + iρ] ; y también

γ3 := [−α + iρ, −α] ,

∫ Ik :=

k ∈ {1, 2, 3},

f; γk

de modo que

∫

∫

β

f =: I = γ

f (x)dx + −α

305

3 ∑ k=1

Ik .

7.2. Teorema de los residuos Objetivo: reducir el sumatorio a cero... y ¾cosas de la vida?, ½ello se logrará cuando

α, β → +∞!

Como existe

z 2 p(z) ∈ C, z→∞ q(z) l´ım

existirán también

R, M > 0

tales que

p M |z| > R ⇒ |f (z)| = (z) ≤ 2 , q |z| y

z ∈ γ2∗ , ρ ∈ [R, |z|] ⇒ |I2 | ≤ pues

|f (z)| ≤

M (α + β) , ρ2

M , en este caso. ρ2

β ≥ R: ∫ ρ ∫ ρ |I1 | = |f (β + it)| dt f (β + it) idt ≤ 0 0 ∫ ρ M ρ πM M arctan ≤ . ≤ dt = 2 2 β β 2β 0 β +t

Por otro lado, si

También tenemos, razonando de modo análogo, que

α ≥ R ⇒ |I3 | ≤

πM . 2α

En resumen:

∫ I −

[ ( ) ] 1 α+β π 1 + + f (x)dx ≤ M, 2 α β ρ2 −α β

Pues bien, para

α, β ≥ R

jos, haciendo

∫ I −

ρ → +∞,

∀α, β, ρ ≥ R.

se tiene que

( ) π 1 1 f (x)dx ≤ + M, 2 α β −α β

de donde haciendo lo propio con

Ejemplo 7.14

α

y

β,

se sigue lo deseado.

Calculemos

∫

+∞

−∞

dx . (1 + x2 )n

306



CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

300

Llamemos

f

a la función del integrando en su forma compleja: presenta

un único polo (a considerar) de orden ∫ ∫ +∞

f (z)dz γ

∫

+∞

−∞

e

f (x)dx −∞

n

en

a = i.

Así, como las integrales

son iguales:

[ ] dx 1 dn−1 1 = i2π Res (f, i) = i2π l´ım (1 + x2 )n (n − 1)! z→i dz n−1 (z + i)n =

(2n − 2)!π i2π (−1)n−1 (2n − 2)! = . 2n−1 2n−1 (n − 1)! (n − 1)!2 i (n − 1)!2 22n−2

Aún un quinto método que nos va a ayudar, ahora, en el cálculo de sumas de series mediante la técnica de los residuos:

V. Sumas de series Una de las aplicaciones más espectaculares del cálculo con residuos será su utilidad para obtener sumas de series de números reales (aunque no exclusivamente reales). La clave la encontramos en el comportamiento de dos funciones complejas de variable compleja muy concretas:

z −→ cot (πz) ,

z −→

cosec (πz)

las cuales tienen, ambas, polos simples en cada

z ∈ Z.

De hecho, estos son

sus únicos polos, pues

sen (πz) = 0 ⇔ z ∈ Z. En la práctica, las series que nos van a ocupar serán cocientes de polinomios y, aunque se podrían enunciar resultados más generales para funciones meromorfas bajo ciertas restricciones, nos conformaremos con enun-

R en el plano complejo C. Conp y q polinomios primos entre sí, veremos grad (q) − grad (p) ≥ 2, y el segundo cuando

ciarlos y probarlos para funciones racionales cretamente, para

R := p/q ,

con

dos resultados; el primero para

grad (q) = 1 + grad (p). Comenzamos con un sugestivo lema sobre acotación de las dos funciones arriba citadas:

Lema 7.2

[(

n+ Sea

1 2

)

n ∈ N, consideremos el camino γn dado por ) ( ) ( ) ] 1 1 1 (−1 − i) , n + (1 − i) , n + (1 + i) , n + (−1 − i) . 2 2 2 Para cada

(

B := ∪n γn∗ .

Entonces existen constantes positivas

|cot (πz)| ≤ k1 , |cosec (πz)| ≤ k2 ,

307

k1

y

k2

∀z ∈ B.

tales que:

7.2. Teorema de los residuos Demostración. Probaremos la primera de las desigualdades; en la segunda se puede proceder de modo análogo. Para

|sen (z)| ≥ |senh (y)| z ∈ B,

y, con

y

existe un natural

z = x + iy

se tienen

|cos (z)| ≤ |cos (x)| + |senh (y)| , n

tal que

z ∈ γn∗ .

Y así, tendremos dos

posibilidades: a.

|x| = n +

1 2 y

|y| ≤ n + 12 ⇒ { y ̸= 0 ⇒ |cot (πz)| ≤ 1 y = 0 ⇒ |cot (πz)| = 0 ≤ 1

b.

|y| = n +

1 2 y

|x| ≤ n +

1 2

⇒

1 1 + |senh (πy)| =1+ |senh (πy)| |senh (πy)| 2 2 = 1 + πy = 1 + π|y| −πy |e − e | e − e−π|y| 2 ≤ 1 + 3π =: k e 2 −1

|cot (πz)| ≤

En cualquier caso, haciendo

Teorema 7.8

grad (p) ≥ 2.

Sean

p

y

q

k1 := m´ax{k, 1},

tenemos lo deseado.

polinomios primos entre sí, y tales que

Entonces:

+∞ ∑ ∑ p (k) = − Res (g, a) , q

k=−∞ q(k)̸=0 donde

q(a)=0

p(z) , q(z) ceros de q.

∀z ∈ C\ (Z ∪ A) ,

g(z) := π cot (πz) siendo

A

el conjunto de los

Demostración. Consideremos

n∈N

tal que

n + 1/2 > m´ax{|Re a| , |Im a| ; a ∈ A}. Aplicando el teorema 7.5 (de los residuos):

∫ γn



∑ g = i2π  

Res (g, a)

a∈A

+

 +n ∑ k=−n k∈A /

308

 

Res (g, k) .



grad (q) −

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

302

Como para los polos de

g

que no son ceros de

q

podemos razonar así:

= l´ım (z − k) g(z) = l´ım (z − k) π cot (πz)

Res (g, k)

z→k

z→k

p(z) q(z)

p(z) zπ − kπ cos (πz) z→k sen (πz) − sen (πz) q(z) cos (πz) p(z) p(z) = = , cos (πz) q(z) q(z) = l´ım

la fórmula anterior, nos dice



∫ γn



∑ g = i2π  

Res (g, a)

+

a∈A

+n ∑ k=−n q(k)̸=0

p  (k) , q 

y, por tanto, el objetivo es hacer cero el primer miembro cuando hagamos

n → +∞.

grad (q) − grad (p) ≥ 2, p M ∃R, M > 0 : |z| ≥ R ⇒ (k) ≤ 2 . q |z|

Pero, por otro lado, como

Si, además,

z∈

γn∗

p M : n > R ⇒ |z| ≥ n + 1/2 > R ⇒ (k) ≤ 2 . q n

k1 > 0 del lema 7.2: ∫ 1 M 1 πk1 2 (8n + 4) → 0, g ≤ i2π 2π n

Usando

si

n → +∞,

γn

de donde

+n ∑ ∑ p l´ım (k) = − n q

Res (g, a) .

a∈A

k=−n q(k)̸=0



Ejemplo 7.15

Comprobemos que

+∞ ∑ π2 1 = . n2 6

n=1

309

7.2. Teorema de los residuos p(z) := 1, q(z) := z 2 ,

Llamemos

para

z ∈ C.

Así

+∞ +∞ ∑ ∑ ∑ p 1 (k) = = − Res (g, a) = −Res (g, 0) , q k2

k=−∞ q(k)̸=0

k=−∞ k̸=0

donde

g(z) :=

q(a)=0

π cot (πz) , z2

∀z ∈ C\Z.

Como

π2 , 3

Res (g, 0) = − entonces

( 2) +∞ +∞ ∑ 1 1 ∑ 1 1 π π2 = = − − = . n2 2 k2 2 3 6

n=1

Teorema 7.9 grad (p).

Sean

k=−∞ k̸=0

p

y

q

polinomios primos entre sí, y tales que

+∞ ∑ k=−∞ q(k)̸=0

∑ p (−1)k (k) = − Res (g, a) , q q(a)=0

donde

g(z) := π cosec (πz) siendo

A

grad (q) >

Entonces:

el conjunto de los ceros

p(z) , q(z) de q.

∀z ∈ C\ (Z ∪ A) ,

Demostración. Razonando como en la demostración del teorema 7.8, ahora para

k ∈ Z\A: Res (g, k)

1 p(z) sen (πz) q(z) zπ − kπ p(z) = l´ım z→k sen (πz) − sen (πz) q(z) p(z) p(z) = cos (πk) = (−1)k . q(z) q(z) = l´ım (z − k) π z→k

Por tanto, el teorema 7.5 (de los residuos) nos da:

∫ γn



∑ g = i2π  

Res (g, a)

a∈A

+

+n ∑ k=−n q(k)̸=0

310



p  (−1)k (k) . q 

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

304

grad (q)−grad (p) ≥ 2, razonaríamos como arriba. Supongamos, por tanto que grad (q) − grad (p) = 1. En esta situación, han de existir λ ∈ C y p0 y q0 primos entre sí, con grad (q0 ) − grad (p0 ) ≥ 2, vericando Ahora, si

p λ p0 (z) = + (z), q z q0

∀z ∈ C\A;

y, por tanto,

∫

∫

πλ

g= γn Pero,

cosec (πz)

z

γn

I1 = 0

n → +∞.

∫ dz +

π

cosec (πz)

γn

p0 (z) dz =: I1 + I2 . q0 (z)

(por ser la integral de una función par) e

I2 → 0

Luego el resultado es el deseado.

Ejemplo 7.16

cuando



Calculemos

+∞ ∑ (−1)n n n=1

n2 + 1

Como la función

z −→ tiene polos simples en

i

y

−i,

z2

.

z +1

consiste en calcular los rediduos en dichos

puntos para la función

z −→ g(z) :=

πz cosec (πz) . z2 + 1

Por tanto,

+∞ ∑ (−1)n n n=1

7.2.2.

n2 + 1

=

1 (−1) [−Res (g, −i) − Res (g, i)] 2

=

1 π [Res (g, −i) + Res (g, i)] = . 2 4

Ejercicios propuestos

1. Supongamos que

a es un polo simple para f . ¾Puede ser Res(f, a) = 0?

2. ¾Existen funciones

f

con polos de orden

Res(f, a) = 0?

311

k ≥ 2

en

a

y tales que

7.2. Teorema de los residuos f y g dos funciones holomorfas en un entorno perforado de a ∈ C. Sean α, β ∈ C. Prueba que

3. Sean

Res(αf + βg, a) = αRes(f, a) + βRes(g, a). 4. Considera

y calcula

( ) 1 f (z) := exp exp(2z), ∀z ∈ C\{0}, z

Res(f, 0).

5. Prueba que

( ) 2 1 z2 1 = 2+ + + o z3 1 − cos z z 6 120

y aplícalo para calcular

Res(f, 0),

f (z) := 6. Prueba que

donde

1 , ∀z ∈ C\{0}. − cos z)

z 3 (1

( ) 1 1 z 7z 3 = + + + o z4 sen z z 6 360 Res(f, 0),

y aplícalo a la determinación de

1

f (z) :=

z 4 sen z

a un cero de orden n para una para δ > 0 conveniente, la función

7. Sea

8. Sea

g

n

, ∀z ∈ C\{0}. g.

función holomorfa

Prueba que,

1 , ∀z ∈ D(a, δ)\{a} g(z)

f (z) := tiene un polo de orden

donde

a.

en

¾Cuánto vale

una función holomorfa en

(a)

f

tiene polo simple en

(b)

f

tiene polo de orden

a

k

a.

Calcula

con residuo en

a

Res(f, a)?

Res(f g, a)

cuando:

α.

con parte principal

c−k c−1 c−2 + + ··· + . 2 z − a (z − a) (z − a)k

312

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

306

9. Sea

a

una singularidad aislada de una función

′ lo es para su derivada f . ¾Cuánto vale

f.

Prueba que también

Res(f ′ , a)?

f( una )función holomorfa en un entorno perforado de a ∈ C. Calcula ′ Res ff , a si:

10. Sea

(a)

a

es cero de orden

n

de

f.

(b)

a

es polo de orden

n

de

f.

Prueba que, en ambos casos,

a

es polo simple de

f ∈ H(D(a, r)\{a})

y

(a)

a

es cero de orden

n

de

f.

(b)

a

es polo de orden

n

de

f.

11. Sean

φ ∈ H(D(a, r)).

f′ f .

Calcula

( ′ ) Res φ ff , a

si:

φ ∈ H(D(a, r)) y f ∈ H(D(φ(a), ρ)\{φ(a)}), con φ(a) ̸= 0 un f con residuo a−1 . Calcula Res(f ◦ φ, a). ∫ 1 Calcula la integral γ f (z) dz , donde f (z) := z(z−1) , ∀z ∈ C\{0, 1} y γ es cualquier camino cerrado rodeando a 1 y tal que γ ∗ ⊂ {z ∈ C : Re z > 0}. (Resuélvelo tanto mediante el teorema de los residuos como

12. Sean

polo simple de 13.

por la fórmula de Cauchy. Compara métodos y saca conclusiones.) 14. Calcula, mediante el teorema de los residuos, la integral

∫

dz . z(1 + z)

C(1,6) 15. Prueba que para cada natural

∫

2π

0

0

se tiene

√ )n (1 + 2 cos t)n cos nt 2π ( dt = √ 3 − 5 . 3 + 2 cos t 5

16. Prueba que, para

∫

n,

0 < a < 1,

2π

se tiene

cos2 3t a2 − a + 1 dt = π . 1 + a2 − 2a cos 2t 1−a

17. Prueba que, para cualquier

∫

+∞

−∞

a > 0,

se tiene

√ 3π 2 dx = . 8a (x4 + a4 )2 x6

313

7.2. Teorema de los residuos 18. Integrando la función

z a − e−iz

z −→ (a

> 1)

a lo largo de la poligonal

[−π, π, π + in, −π + in, −π] (n ∈ N),

prueba que

∫

π

−π

x sen x dx = π ln 1 + a2 − 2a cos x

19. Dado un número natural

n ≥ 2,

(

1+a a

) .

intégrese una función compleja ade-

cuada a lo largo de la frontera del sector circular

{ } 2π D(0, R) ∩ z ∈ C\{0} : 0 < arg z < , n para probar que

∫

+∞

dx π π = cosec . 1 + xn n n

0

20. Integrando una conveniente función compleja a lo largo de la frontera de la mitad superior del anillo

∫

se verica

+∞

xα (1 +

0

A(0; ε, R), prueba que para −1 < α < 3,

x2 )2

dx =

π απ (1 − α) sec . 4 2

21. En los siguientes ejercicios consiste en probar las fórmulas dadas o bien obtener las sumas correspondientes:

a. b. c. d. e. f.

+∞ ∑

1 n4 −a4

n=1 +∞ ∑

n=−∞ +∞ ∑

=

1 2a4

−

π [cot (πa) 4a3

+ coth (πa)], (a ∈ C\Z);

1 ; (3n+1)2 1 (n+a)2

= π 2 csc (πa), (a ∈ C\Z);

n=−∞ +∞ ∑ (−1)n 2 = π12 ; n2 n=1 +∞ ∑ 1 4 = π90 ; n4 n=1 +∞ ∑ (−1)n 3 = π32 . (2n+1)3 n=0

314

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

308

22. Como en el ejercicio anterior, consiste en probar las fórmulas dadas o bien obtener las sumas correspondientes:

a. c.

+∞ ∑

1 n2 +a2

n=1 +∞ ∑

n=−∞ 23. Sea

Ω.

Ω

=

(−1)n (n+a)2

1 2a

coth (πa) −

1 , 2a2

(0 < a < 1);

= π 2 csc (πa) cot (πa);

b.

d.

+∞ ∑

(−1)n ; n2 +a2

n=1 +∞ ∑

n=−∞

1 . (2n+1)2

D⊂ φ(R) ⊂ R.

un abierto del plano que contenga al disco unidad cerrado,

Sea

φ

una función holomorfa en

Ω

φ(0) = 0

tal que

y

Llamemos

v(x, y) := Im φ(z) = Im φ(x + iy), ∀(x, y) ∈ Ω. Prueba que

∫

2π

0

x sen θ v(cos θ, sen θ) dθ = πφ(x), ∀x ∈] − 1, 1[. 1 − 2x cos θ + x2

24. Evalúa las siguientes integrales usando el método de los residuos y discute su eventual resolución mediante teoremas o fórmulas de tipo Cauchy:

a. c. e. g. i.

∫

|z|=2 exp

(1)

dz;

2 ( 1z) ∫ |z|=2 cos z dz; (1) ∫ 1 |z|=2 z cos z dz; ∫ 1 |z|=4 (z−1)(z−3) dz; ∫ sen z |z|=1 z senh z dz;

25. Prueba que

∫ 0

+∞

b. d. f. h. j.

( )

∫

1 |z|=2 sen z dz ; (1) ∫ 1 |z|=2 z sen z dz ; (1) ∫ 3 |z+i+1|=4 z cos z ∫ 1 |z|=3 z 2 −1 dz ; ∫ 1 |z|=R>1 z 2 +1 dz .

dx π/100 = . +1 sen(π/100)

x100

0 < b < a, se tiene ) √ sen2 t π ( dt = 2 a − a2 − b2 . a + b cos t b

26. Prueba, usando el teorema de los residuos, que para

∫

2π

0

27. Prueba que para cualesquiera

∫

+∞

−∞

dz ;

a, b > 0,

se tiene

dx (x2 + a2 ) (x2 +

315

b2 )2

=

π(a + 2b) . 2ab3 (a + b)2

7.2. Teorema de los residuos 28. Integrando la función

1 − e2iz z2 del anillo A(0; ε, R),

z −→ a lo largo de la mitad superior

∫

+∞

0

prueba que

(sen x)2 π dx = . 2 x 2

29. Calcula, mediante el teorema de los residuos, la integral

∫

C(1,6)

dz . z(1 + z)

∫

30. Calcula

z sen |z|=2

1 dz. z

¾Podrías hacerlo con ayuda de teorema o fórmulas de tipo Cauchy? 31. Responde a las siguientes cuestiones: (a) Explica por qué no se puede evaluar la integral

∫ +∞ 0

x x4 +1

dx

por

medio de un contorno semicircular en ninguno de los dos hemisferios (semiplanos superior e inferior). (b) Para

r > 1,

considera la curva

γ

{

dada por

} [ir, 0] + [0, r] + reiθ : 0 ≤ θ ≤ π/2 .

Prueba que

∫

r

x dx− 4 0x +1

∫ r

0

y dy+ 4 y +1

( ) ∑ z z dz = i2π Res ,a 4 1 + z4 γz + 1

∫

donde el sumatorio es en los polos (c) Prueba que

∫

+∞

0

x4

32. Prueba que para enteros no nulos

∫ 0

+∞

a

del primer cuadrante.

x π dx = . +1 4

m

y

n,

con

n − m ≥ 2,

se tiene que

xm π dx = . n x +1 n sen[π(m + 1)/n]

(Indicación: usa el método del ejercicio anterior y el contorno de la porción de pizza de ángulo

2π/n

316

y radio

r.)

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

310

33. Sean

l

y

k

enteros tales que

∫

+∞

l>0

y

l(k − 1) ≥ 2.

Prueba que

u1/l π du = k u +1 k sen[π(l + 1)/(lk)]

0

u1/l real no negativa en su intervalo de integración. 1/l y aplica el ejercicio anterior.) hágase x := u

suponiendo

cación:

34. Prueba que para cada natural

∫

2π

n,

se tiene

ecos t cos(nt − sen t) dt =

0 35. Prueba que

∫

+∞

−∞

(Indi-

2π . n!

x sen (πx) dx = −5π. x2 − 5x + 6

0 < α < 2, se tiene ∫ +∞ eαx tα−1 2π sen π3 (1 − α) √ . dx = dt = 1 + ex + e2x 1 + t + t2 3 sen (απ) 0

36. Prueba que para

∫

+∞

−∞

37. Intenta sumar la serie

+∞ ∑ 1 . n3

n=1

(No se conoce la respuesta exacta a este problema tan sencillo aparentemente. Su valor aproximado es de

1,201 y la función ζ

de Riemann tiene

mucho que ver con ella.) 38. Evalúa la integral

∫ 0 donde

+∞

xα dx 1 + 2x cos θ + x2

α ∈] − 1, 1[, θ ∈] − π, π[

y

αθ ̸= 0.

7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz Denición 7.9 plejo

C

Una función

se dice meromorfa en

f denida sobre un abierto Ω Ω si existe A ⊂ Ω tal que:

317

del plano com-

7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz a.

A′ ∩ Ω = ∅

b.

f ∈ H (Ω\A)

c.

f

tiene un polo en cada punto de

A

El conjunto de todas las funciones meromorfas en un abierto por

M (Ω) .

Para cada

sus polos en

f ∈ M (Ω)

notaremos por

P (f )

Ω

se notará

al conjunto de todos

Ω. f ∈ M (Ω), una función { ∞, z ∈ P (f ) b b f : Ω −→ C; f (z) := f (z), z ∈ Ω\P (f )

Si denimos, para cada

obtendremos una función continua de

Ω

en

C.

Teorema 7.10 (Principio de identidad para funciones meromorfas) Sea Sea son

Ω un dominio del plano complejo y sea f una función meromorfa en él. Z (f ) := {z ∈ Ω\P (f ) : f (z) = 0} (el conjunto de los ceros de f que no ′ polos en Ω). Si Z (f ) ∩ Ω ̸= ∅, entonces P (f ) = ∅. Es decir, la única

función meromorfa cuyos ceros se acumulan en su dominio de denición es la idénticamente nula. Demostración. Sea

a ∈ Z (f )′ ∩ Ω ̸= ∅.

Si fuese

a ∈ P (f ),

tendríamos, por

un lado

l´ım f (a) = ∞,

z→a y, por otro,

∃ (an ) ⊂ Z (f ) : a = l´ım an ⇒ f (a) = 0 9 ∞. Por tanto, será, de hecho

a ∈ Z (f )′ ∩ [Ω\P (f )] . El objetivo: probar que

Ω\P (f )

es dominio, pues la holomorfía de

f

ahí

nos habilita para usar el principio de identidad para funciones holomorfas y

f es Ω\P (f )

concluir que Que

idénticamente nula en

Ω\P (f )

y, por tanto,

P (f ) = ∅.

es abierto es claro (¾por qué?). Veamos que es conexo:

supongamos dados dos abiertos

G1

y

G2

no vacíos y disjuntos, tales que

Ω\P (f ) = G1 ∪ G2 .

318

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

312

Sea

b ∈ P (f ) :

ha de existir

rb > 0

tal que

D (b, rb ) \{b} ⊂ Ω\P (f ) . (Y los discos perforados son conexos, tengámoslo presente.) Sean:

B1 := {b ∈ P (f ) : D (b, rb ) \{b} ⊂ G1 } B2 := {b ∈ P (f ) : D (b, rb ) \{b} ⊂ G2 }. G 1 ∪ B1

Ocurre que

y

G2 ∪ B2

son abiertos disjuntos y

(G1 ∪ B1 ) ∪ (G2 ∪ B2 ) = (G1 ∪ G2 ) ∪ (B1 ∪ B2 ) = (Ω\P (f )) ∪ P (f ) = Ω, luego, por ser

Ω

conexo, tenemos la siguiente disyuntiva:

{

G 1 ∪ B1 = ∅ ⇒ G 1 = ∅ G2 ∪ B2 = ∅ ⇒ G2 = ∅;

es decir, en cualquier caso, se llegará a una contradicción bajo tal hipótesis de descomposición para

Ω\P (f );

lo cual prueba que

Ω\P (f )

es conexo.

Teorema 7.11 (Principio del Argumento Generalizado) tal que

◦

Ω=Ω

y sea

f ∈ M (Ω).

Sean

Z (f )

y

P (f )

Sea



Ω ⊂ C

como fueron denidos en

a ∈ Z (f ) n(b), como

la denición 7.9 y en el teorema 7.10, respectivamente. Para cada y

b ∈ P (f ) ,

se denen los números enteros no negativos

m(a)

y

sus respectivos órdenes de cero y de polo. Sea Γ un ciclo en Ω. Supongamos ∗ que Γ es Ω-nulhomólogo y que Γ ∩ (Z (f ) ∪ P (f )) = ∅. Entonces, para cada

g ∈ H (Ω), 1 i2π

se tiene:

∫ Γ

∑ ∑ f′ g= IndΓ (a) m(a)g(a) − IndΓ (b) n(b)g(b). f a∈Z(f )

Demostración. Llamemos

b∈P(f )

S := Z (f ) ∪ P (f ).

F : Ω\S −→ C; F (z) :=

Ω

salvo

f ′ (z) g (z) , ∀z ∈ Ω\S f (z)

Ω\S , donde Ω ∩ S ′ = ∅; singularidades: F ∈ HS (Ω).

tenemos una función holomorfa en holomorfa en

Si denimos

319

luego

F

es

7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz Aplicamos a ella el teorema 7.5 (de los residuos):

1 i2π

∫

∫ ′ 1 f F = g i2π Γ f Γ ∑ ∑ = IndΓ (a) Res (F, a) + IndΓ (b) Res (F, b) . a∈Z(f )

(7.5)

b∈P(f )

Calculemos estos residuos que aparecen en la fórmula (7.5):

a. Sea a ∈ Z (f ). Por tanto:

{ ∃r > 0 : 0 < |z − a| < r ⇒

z ∈ Ω\P (f ) f (z) ̸= 0

Consecuentemente,

}

∃φ ∈ D(a, r) φ (z) ̸= 0, ∀z ∈ D(a, r)\{a}

: f (z) = (z − a)m(a) φ (z) , ∀z ∈ D(a, r).

Si derivamos en esta última fórmula, con

0 < |z − a| < r:

f ′ (z) = m(a) (z − a)m(a)−1 φ (z) + (z − a)m(a) φ′ (z) . Por tanto, con

0 < |z − a| < r: φ′ m(a) g(z) + (z)g(z) z−a φ ⇒ Res (F, a) = l´ım (z − a) F (a) = m(a)g(a).

F (z) =

z→a

(7.6)

b. Sea b ∈ P (f ). Por tanto: { ∃r > 0 : 0 < |z − b| < r ⇒

z ∈ Ω\P (f ) f (z) ̸= 0

Consecuentemente,

∃ψ ∈ D(b, r) ψ (z) ̸= 0, ∀z ∈ D(b, r)\{b}

}

: f (z) = (z − b)−n(b) ψ (z) , ∀z ∈ D(b, r).

Si derivamos en esta última fórmula, con

0 < |z − b| < r:

f ′ (z) = −n(b) (z − b)−n(b)−1 ψ (z) + (z − b)−n(b) ψ ′ (z) .

320

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

314

Por tanto, con

0 < |z − b| < r: −n(b) ψ′ g(z) + (z)g(z) z−b ψ ⇒ Res (F, b) = l´ım (z − b) F (b) = −n(b)g(b).

F (z) =

(7.7)

z→b

En resumen, si sustituimos (7.6) y (7.7) en la fórmula (7.5), tendremos



lo buscado.

En la práctica, las condiciones en las que se hace uso del teorema 7.11 suelen ser otras:

Teorema 7.12 (Principio del Argumento) M (Ω).

Sean

Z (f )

y

P (f )

Sean

◦

Ω = Ω ⊂ C

y

f ∈

como fueron denidos en la denición 7.9 y en

el teorema 7.10, respectivamente. Sea Γ un ciclo en Ω. Supongamos que Γ ∗ es Ω-nulhomólogo y que Γ ∩ (Z (f ) ∪ P (f )) = ∅. Supongamos que para ca∗ da z ∈ Ω\Γ , o bien IndΓ (z) = 0, o bien IndΓ (z) = 1. Llamemos U :=

{z ∈ Ω : IndΓ (z) = 1} .

Designemos por

N0

al número de ceros de

f

en

U,

contados tantas veces como indique el orden de multiplicidad de cada uno; y por

Np

al número de polos de

f

en

U,

contados, asímismo cada uno, tantas

veces como indique su orden de multiplicidad. (Ambos números son nitos por el teorema de los residuos.) Entonces:

1 i2π

∫

Γ

f′ = N0 − Np . f

A continuación vamos a hacer uso del Principio del Argumento para resolver el problema de la localización de ceros de funciones holomorfas en ciertas regiones del plano. Comenzaremos con unos tipos de funciones y de abiertos muy especícos: polinomios sobre secciones circulares. Después pasaremos a funciones holomorfas en general sobre dominios o abiertos acotados.

p un polinomio de coecientes complejos de variable compleja de n. Sean α, β ∈ R, con −π < α < β ≤ π . Se trata de determinar el

Sea orden

número de ceros del polinomio dado, contado cada uno tantas veces como indique su orden de multiplicidad, en la región angular

U := {z ∈ C\{0} : α < arg (z) < β}. Se supondrá, para ello, que angular; es decir:

p

no se anula en la frontera de dicha región

( ) ( ) p teiα ̸= 0 ̸= p teiβ ,

321

∀t ≥ 0.

(7.8)

7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz r1 := m´ax{|z| : z ∈ U, p(z) = 0}. Para r > r1 , el número llamémoslo N , coincide con el de los correspondientes ceros en Sea

buscado, el sector

circular

Ur := {z ∈ U : |z| < r}. Dicho

N

tendrá una expresión integral (mediante el Principio del Argumen-

to). Consideremos, a n de conrmar lo dicho, las curvas

cr : [α, β] −→ C

sr : [−r, r] −→ C,

y

dadas por:

{ cr (t) :=

reit ,

∀t ∈ [α, β] ;

respectivamente, y sea

sr (t) :=

−teiβ , teiα ,

γr := cr + sr . Claramente, γr ∂Ur = γr∗ .

−r ≤ t ≤ 0 0≤t≤r es un camino (curva

regular a trozos) cerrada tal que

La comprobación de las hipótesis del Principio del Argumento pasarán por ver que: a. b.

p es una función entera; γr es un ciclo C-nulhomólogo

(½como todo buen ciclo que se precie!)

que (gracias a (7.8) y a la elección de c. Indγr

(z) = 1,

si

z ∈ Ur ;

e Indγr

r) no pasa por ningún (z) = 0, si z ∈ C\U r .

cero de

p;

y

Por tanto, aplicando el citado principio:

N=

1 i2π

∫ γr

∫

1 p′ = p i2π

sr

1 p′ + p i2π

∫ cr

p′ . p

(7.9)

Vamos a calcular las correspondientes integrales. Para el primer sumando, observamos que

∫ sr

p′ = p

∫

r

−r

p′ (sr (t)) ′ s (t) dt = p (sr (t)) r

∫

r

−r

(p ◦ sr )′ (t) dt = (p ◦ sr ) (t)

∫ p◦sr

dw , w

por lo que la integral buscada coincide con la variación del logaritmo a lo largo de la curva

p ◦ sr . En consecuencia (y este va a ser el problema práctico

que resolver en cada caso concreto), si disponemos de una determinación continua del argumento (equivalentemente, del logaritmo) a lo largo de la curva

p ◦ sr ,

esto es, si disponemos de una función continua

θr : [−r, r] −→ R;

θr (t) ∈ Arg [(p ◦ sr ) (t)] , ∀t ∈ [−r, r] ,

322

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

316

tendremos que

1 i2π

∫ sr

(p ◦ sr ) (r) p′ 1 + 1 (θr (r) − θr (−r)) . = ln p i2π (p ◦ sr ) (−r) 2π

(7.10)

Para la segunda de las integrales en (7.9), razonamos de la siguiente manera: podemos escribir

p′ (z) n p1 (z) = + , p (z) z p2 (z) donde

p1

y

p2

son polinomios con grad(p2 ) − grad(p1 )

1 i2π

∫ cr

n n dz = z i2π ∫

∫

β

α

y sólo resta tratar con la integral

cr

≥ 2.

Es claro que

ireit n (β − α) dt = ; it re 2π

p1 . p2

p1

p2 nos permite armar p1 (z) ≤ M . ∃r2 , M > 0 : |z| > r2 ⇒ p2 (z) |z|2

La relación entre los polinomios

Por tanto, para

(7.11)

y

que:

r > r2 : ∫ 1 p1 (z) 1 M dz ≤ (β − α) r, i2π 2π |z|2 cr p2 (z)

luego:

1 l´ım r→+∞ i2π

∫ cr

p1 (z) dz = 0; p2 (z)

y usando (7.11), tenemos:

1 r→+∞ i2π

∫

l´ım

Haciendo ahora

r → +∞

cr

n (β − α) p′ (z) dz = . p (z) 2π

(7.12)

en (7.9) y teniendo en cuenta (7.10) y (7.12),

obtenemos:

N−

n (β − α) 1 = l´ım (θr (r) − θr (−r)) . 2π 2π r→+∞ 

Con todo, hemos probado el siguiente resultado relativo a la localización de ceros de polinomios en sectores circulares, de gran utilidad práctica:

323

7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz

Proposición 7.11

p : C −→ C un polinomio de coecientes complejos de grado n. Supongamos que p no se anula en la frontera de la región angular Sea

{z ∈ C\{0} : α < arg z < β}

(−π < α < β ≤ π) .

Supongamos, igualmente, la existencia de una función continua tal que

θR : [−R, R] −→ R θR (t) ∈ Arg (p (sR (t))) , ∀t ∈ [−R, R] , donde la función

sR : [−R, R] −→ C, está dada por: { −teiβ , −R ≤ t ≤ 0 sR (t) := teiα , 0≤t≤R

Entonces, el número de ceros de

p en dicha región angular, contado cada uno

tantas veces como indique su orden de multiplicidad, viene dado por

n

Ejemplo 7.17

1 β−α + l´ım [θR (R) − θR (−R)] . 2π 2π R→+∞

Se quiere conocer la distribución por cuadrantes de los ocho

ceros del polinomio

p(z) := z 8 + z 5 − z 4 + 3z 3 + 6z 2 + 2z + 5, Comenzamos razonando sobre el semiplano derecho:

∀z ∈ C α :=

−π 2 y

en la proposición 7.11. Por tanto:

sr (t) := −it,

∀t ∈ R

p (sr (t)) = p (−it) = t8 − it5 − t4 + 3it3 − 6t2 − 2it + 5, de donde se sigue que

Re p (sr (t)) = t8 − t4 − 6t2 + 5

( ) Im p (sr (t)) = −t5 + 3t3 − 2t = − t4 − 3t2 + 2 t ( √ )( √ ) = −t (t − 1) (t + 1) t − 2 t + 2 . Así:

{ √ √ } Im p (sr (t)) = 0 ⇔ t ∈ − 2, −1, 0, 1, 2 ;

324

β :=

π 2,

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

318

con

t = 0 ⇒ Re p (sr (0)) = 5 > 0 |t| = 1 ⇒ Re p (sr (t)) = −1 < 0 √ |t| = 2 ⇒ Re p (sr (t)) = 5 > 0, de donde, al no anularse imaginarias

z ∈ iR),

p

sobre el soporte de

γ

(es decir, no tiene raíces

podemos aplicar el Principio del Argumento.

Ahora bien, el argumento principal presenta problemas de discontinuidad, en este ejemplo que nos ocupa, cuando

|t| = 1.

Razonaremos como sigue,

a n de evitar estos problemas y obtener una determinación continua del Argumento

θr : t ∈ [−r, −1[ ⇒ θr (t) := arg [p(−it)] .

(7.13)

Si

{ }  [ √ [ Im p (s (t)) < 0  r  ⇒ l´ım arg [p(−it)] = −π  t ∈ − 2, −1 ⇒ Re p (sr (t)) < t→−1− { }0 Im p (sr (t)) > 0   ⇒ l´ım arg [p(−it)] = π  t ∈ ]−1, 0[ ⇒ Re p (sr (t)) < 0 t→−1+

      

entonces

t ∈ [−1, 0[ ⇒ θr (t) := arg [p(−it)] − 2π. Si (considerando la

θr

(7.14)

recién denida)

{ }  Im p (s (t)) < 0  r  ⇒ l´ım arg [p(−it)] − 2π = −3π  t ∈ [0, 1[ ⇒ − Re p (sr (t)) < 0 { } t→1 ] √ [ Im p (s (t)) > 0  r  ⇒ l´ım arg [p(−it)] − 2π = π  t ∈ 1, 2 ⇒ Re p (sr (t)) < 0 t→1+

      

luego nos exige hacer:

t ∈ [1, r[ ⇒ θr (t) := arg [p(−it)] − 4π.

(7.15)

Consecuentemente, de (7.13), (7.14) y (7.15), concluimos que una buena elección del Argumento continuo es

θr : [−r, r] −→ C  −r ≤ t ≤ −1  arg [p(−it)] , arg [p(−it)] − 2π, −1 ≤ t ≤ 1 θr (t) :=  arg [p(−it)] − 4π, 1 ≤ t ≤ r.

325

7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz Por tanto, tenemos una función continua

θr

tal que

θr (t) ∈ Arg [(p ◦ sr ) (t)] ,

∀t ∈ [−r, r] .

−r y r:     θr (−r) = arg [p(−i (−r))] = arctan

Calculemos sus valores en

r5 − 3r3 + 2r r8 − r4 − 6r2 + 5  −r5 + 3r3 − 2r   θr (r) = arg [p(−ir)] − 4π = arctan − 4π r8 − r4 − 6r2 + 5

      

⇒

se sigue que en el semiplano de la derecha el número de ceros del polinomio

p

es:

N =8

1 π + (−4π) = 2. 2π 2π

Consecuentemente, en el semiplano izquierdo serán 6 el número de ceros que presenta el polinomio

p.

Nos resta razonar, y es lo que vamos a hacer, que no tiene raíces reales o o (de modo que tendrá un cero en cada uno de los cuadrantes 1 y 4 y tres o o ceros en cada uno de los cuadrantes 2 y 3 ):

( ) x ≥ 1 ⇒ p(x) = x8 + x5 − x4 + 3x3 + 6x2 + 2x + 5 > 0 ( ) x ∈ [0, 1] ⇒ p(x) = x8 + x5 + 3x3 + 6x2 + 2x + 5 − x4 > 0 luego

x ≥ 0 ⇒ p(x) ̸= 0.

Razonemos ahora para

p(−x),

con

x ≥ 0:

p(−x) = x8 − x5 − x4 − 3x3 + 6x2 − 2x + 5 ⇒ ocurre que

{ si y si

x ∈ [0, 1] ⇒

3x3 + 2x ≤ 5 6x2 ≥ 2x2 ≥ x4 + x5

} ⇒ p(−x) > 0

?

x ≥ 1 ⇒ x8 + 6x2 + 5 > x5 + x4 + 3x3 + 2x,

pues sí, ésto último es también cierto: Hagamos

x=1+y

(con

y ≥ 0),

entonces

x8 + 6x2 + 5 = y 8 + 8y 7 + 28y 6 + 56y 5 + 70y 4 + 56y 3 + 34y 2 + 20y + 12 > y 5 + 6y 4 + 17y 3 + 25y 2 + 20y + 7 = x5 + x4 + 3x3 + 2x, luego

x ≥ 1 ⇒ p(−x) > 0,

y se concluye que, efectivamente, no tiene raíces

reales.

326

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

320

Damos paso ya a los famosos teoremas de Rouché y de Hurwitz. Comenzamos con un lema interesantísimo sobre construcción de ciclos

Ω que rodeen de una manera convenientemente ajustada dado K :

abierto pacto

Lema 7.3

Sea un abierto

Ω

C y sea K ⊂ Ω Ω\K vericando:

del plano

pacto. Entonces, existe un ciclo en

Γ

en un

a un com-

un subconjunto com-

IndΓ (z) = 0, ∀z ∈ C\Ω e IndΓ (z) = 1, ∀z ∈ K. Ω = C, para K compacto, existe r > 0 tal que D (0, r) ⊃ K . Basta que tomemos Γ := C(0, r + 1). √ Sea Ω ̸= C y llamemos ρ := dist(K, C\Ω). Sea también λ > 0 tal que λ 2 < ρ; y consideremos {Cp,q : p, q ∈ Z} Demostración. Si

la cuadriculación de lado

λ

en

C,

donde:

Cp,q := {z ∈ C : pλ ≤ Re z ≤ (p + 1) λ f qλ ≤ Im z ≤ (q + 1) λ}. Es claro que el conjunto

{(p, q) ∈ Z × Z : Cp,q ∩ K ̸= ∅} es nito; pongamos

{(p1 , q1 ) , . . . , (pn , qn )} y llamemos

Ck := Cpk ,qk (1 ≤ k ≤ n)

a cada una de las cuadrículas corres-

pondientes. Para cada

k ∈ {1, . . . , n},

consideremos el camino cerrado

γk

dado por

la poligonal

[pk λ + iqk λ,(pk + 1) λ + iqk λ , (pk + 1) λ + i (qk + 1) λ , pk λ + i (qk + 1) λ , pk λ + iqk λ] y el ciclo cerrados

Γ1 := γ1 + · · · + γn . Y observamos cómo cada uno de los n caminos γk , se puede considerar, a su vez, como la suma de sus cuatro lados: (1)

(2)

(3)

(4)

γk = γk + γk + γk + γk . Llamemos

Γ2

a la cadena suma de todas estas últimas curvas:

Γ2 =

n ∑ 4 ∑ k=1 j=1

327

(j)

γk .

7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz El ciclo

{

Γ1

es

Ω-nulhomólogo:

Γ∗1 = ∪nk=1 γk∗ = ∪nk=1 ∂Ck = ∪nk=1 Ck ⊂ Ω; z∈ /Ω⇒z∈ /

Además,

Γ2

∪nk=1 Ck

⇒

es equivalente a

Γ3 la cadena K ; es decir:

Sea ahora que cortan a

n ∑ 4 ∑

Γ3 :=

Indγk

(z) = 0, 1 ≤ k ≤ n ⇒

αk,j :=

k=1 j=1

lente a

Γ3

y

(z) = 0.

Γ1 .

(j)

Γ3

IndΓ1

que se obtiene al suprimir en

αk,j γk ;

Ocurre que las cadenas

y

Γ2

 

0, si



1, si

Γ2

los segmentos

( ) (j) ∗ γk ∩ K ̸= ∅ ( )∗ (j) γk ∩K =∅

son equivalentes, y existe un ciclo

Γ

equiva-

con igual soporte.

Así pues,

Γ∗ = Γ∗3 ⊂ Ω\K,

y como

Γ

es equivalente a

Γ1 :

(z) = 0, ∀z ∈ C\Ω. ) ( ◦ n n z ∈ K ⊂ ∪k=1 Ck = ∪k=1 C k ∪ (∪nk=1 ∂Ck ). IndΓ

Sea ahora posición de

z ∈ Ck .

K,

nos permite razonar así: ha de existir

Esta descom-

j ∈ {1, . . . , n}

tal que

A su vez, tenemos la disyuntiva siguiente:

O bien

◦

z ∈ Cj ⇒ z ∈ / Γ∗1 =⇒

IndΓ

(z) =

o bien

IndΓ1

(z) = 1;

◦

z ∈ ∂Cj ⇒ ∃ (zm ) ⊂ C j : zm → z, de donde, por argumentos de continuidad:

1=

IndΓ

(zn ) →

IndΓ

(z) . 

Teorema 7.13 (de Rouché) C. Sean φ y ψ

Sea

Ω

un abierto acotado del plano complejo

dos funciones holomorfas en

Ω y continuas en Ω. Supongamos

que se verica

|φ (z) − ψ (z)| < |φ (z)| + |ψ (z)| , Entonces

φ

y

ψ

multiplicidad) en

∀z ∈ ∂Ω.

tiene el mismo número de ceros (contados los órdenes de

Ω.

328

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

322

Demostración. Obsérvese que la desigualdad de la hipótesis obliga a que los ceros de

φ

y

ψ

no puedan estar en la frontera

que los conjuntos

y

Z (ψ)

∂Ω.

Comenzamos razonando

son nitos.

Z (φ) tendría acumulación en Ω. Pero como φ no se anula, según hipótesis, en ∂Ω, concluimos que tal punto ha de estar en el interior de Ω. Por tanto, φ es idénticamente nula en alguna componente conexa de Ω; y, por argumentos de continuidad, se anulará en la frontera de esta componente. Pero este conjunto estará en ∂Ω, lo cual es Si

Z (φ)

Z (φ)

fuera innito, al ser

Ω

compacto,

contradictorio. El razonamiento será literal para

Z (ψ).

Sea ahora

K := {z ∈ Ω : |φ (z) − ψ (z)| = |φ (z)| + |ψ (z)|}. Como

φ y ψ son continuas, se sigue que K K ⊂ Ω, también lo va a

de un compacto,

es cerrado. Y como es subconjunto ser el propio

K.

Además,

K⊂Ω

Z (φ) ∪ Z (ψ) ⊂ K.

y

Aplicando el lema 7.3: existe un ciclo IndΓ

(z) = 0, ∀z ∈ C\Ω

Γ con soporte Γ∗ ⊂ Ω\K , y tal que

e IndΓ

(z) = 1, ∀z ∈ K.

Y aplicando el Principio del Argumento Generalizado a

1 i2π y

1 i2π donde

N (φ)

∫ Γ

∫ Γ y

∑ φ′ = φ

IndΓ

∑

(a) m(a) =

N (ψ)

y

ψ:

m(a) = N (φ)

a∈Z(φ)

a∈Z(φ)

∑ ψ′ = ψ

φ

IndΓ

∑

(a) m(a) =

a∈Z(ψ)

m(a) = N (ψ) ,

a∈Z(ψ)

son, respectivamente, el número de ceros de la citada

función, contados el orden de multiplicidad con el que se presentan. Objetivo: probar que

∫ Γ

φ′ = φ

(

Sea

h(z) := log

∫

φ (z) ψ (z)

329

Γ

ψ′ . ψ

) , ∀z ∈ Ω\K.

(7.16)

7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz Es una función bien denida:

φ (z) ∈ ]−∞, 0] ⇒ φ (z) = −ρψ (z) : ρ ≥ 0 ψ (z) ⇒ |φ (z) − ψ (z)| = (1 + ρ) |ψ (z)| = |φ (z)| + |ψ (z)| ⇒ z ∈ K; en conclusión:

z ∈ Ω\K ⇒

φ (z) ∈ C\ ]−∞, 0] . ψ (z)

Por tanto,

h ∈ H (Ω\K) : h′ (z) = Pero, que

h′

admita primitiva en

φ′ (z) ψ ′ (z) − , ∀z ∈ Ω\K. φ (z) ψ (z)

Ω\K es equivalente ∫ h′ = 0,

a que

Γ



lo cual no es ni más ni menos que (7.16).

Corolario 7.8

Ω un abierto acotado del plano complejo C. Sea (fn ) una Ω y continuas en Ω. Supongamos que (fn ) converge uniformemente a cierta función f que no se anula en ningún punto de ∂Ω. Entonces, existe n ∈ N tal que si m ≥ n, podemos asegurar que las funciones fm y f tienen el mismo número (nito) de ceros en Ω. Sea

sucesión de funciones holomorfas en

Demostración. Como

∂Ω

es compacto y

f

no se anula en él, existe

ρ>0

tal

que

|f (z)| ≥ ρ, ∀z ∈ ∂Ω. Haciendo uso de la hipótesis de la convergencia uniforme:

Así,

∃m ∈ N : n ≥ m ⇒ |f (z) − fn (z)| < ρ, ∀z ∈ ∂Ω. ( ) razonando para n ≥ m, f, fn ∈ C Ω ∩ H (Ω) y para z ∈ ∂Ω: |f (z) − fn (z)| < ρ ≤ |f (z)| ≤ |f (z)| + |fn (z)| .

Usando el teorema 7.13 (de Rouché), ambas funciones han de tener el mismo número de ceros en

Ω.

(La misma desigualdad anterior obliga a que no se

anulen en la frontera: la tesis es válida en

330

Ω.)



CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

324

Teorema 7.14 (de Hurwitz)

Ω un dominio del plano complejo C. Sea (fn ) una sucesión de funciones holomorfas en Ω tales que ninguna se anula en ningún punto. Supongamos que (fn ) converge uniformemente sobre los compactos de Ω a cierta función f . Entonces o bien f es idénticamente nula, o bien f no se anula en ningún punto de Ω. Sea

Demostración. La holomorfía de la función

f

en el abierto

Ω nos la da el teo-

rema de convegencia de Weierstrass. Razonaremos por reducción al absurdo: Supongamos que que

f (a) = 0.

f

no es idénticamente nula en

Los ceros de

f

Ω,

pero existe

a∈Ω

tal

han de ser aislados:

∃D(a, r) ⊂ Ω : 0 < |z − a| ≤ r ⇒ f (z) ̸= 0. n sucientemente grande, D(a, r). Por tanto, fn tiene, al contradictorio con la hipótesis. 

Podemos aplicar, así, el corolario anterior: para

fn

y

f

tienen el mismo número de ceros en

menos, un cero en

D(a, r),

lo cual es

Existen sucesiones de funciones enteras que no se anulan en ningún punto del plano

C,

topología de

y que, sin embargo, convergen a la constantemente cero (en la

H (C)):

Corolario 7.9

por ejemplo,

fn (z) := 1/n, ∀z ∈ C, ∀n ∈ N.

C. Sea (fn ) una suceΩ. Supongamos que (fn ) converge uniformemente sobre los compactos de Ω a cierta función f . Entonces o bien f es inyectiva, o bien f es constante en Ω. Sea

Ω

un dominio del plano complejo

sión de funciones holomorfas e inyectivas en

Demostración. Supongamos que arbitrario. En el dominio

Ω\{a}

f

no es constante. Tomamos

a ∈ Ω jo, pero

denimos las funciones:

g, gn : Ω\{a} → C; g (z) := f (z) − f (a) ∧ gn (z) := fn (z) − fn (a), ∀z ∈ Ω\{a}. (gn ) converge a g en la topología de H (Ω\{a}). En (gn ) no se anula en ningún punto de Ω\{a}, en aplicación del teorema 7.14 (de Hurwitz), o bien g es idénticamente nula, lo cual no puede suceder al ser f no constante, o bien g no se anula en ningún punto de Ω\{a}, de donde se sigue la inyectividad de f (debido a la arbitrariedad de a).  Claramente la sucesión

consecuencia, como la sucesión

331

7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz 7.3.1.

Ejercicios propuestos

1. Sea una función continua en el disco unidad cerrado y holomorfa en el disco unidad abierto,

f ∈ C(D) ∩ H(D).

Prueba que abierto 2. Si

φ

f

f lleva f (T) ⊂ D.

Supongamos que

la frontera del disco unidad en el interior del propio disco,

tiene, exactamente, un punto jo en el disco unidad

D. Ω

es una función holomorfa sobre un abierto

φ(D) ⊂ D,

verica la condición

tal que

D ⊂ Ω

y

¾cuántas raíces tiene la ecuación

z = φ(z) en el disco unidad

D?

¾Cambia algo si la condición es solo

φ(D) ⊂ D?

3. Prueba que todos los ceros del polinomio

se hallan situados en

p(z) := z 8 + 3z 3 + 7z + 5 ( 1 3) el anillo A 0; , 2 2 y que,

exactamente, dos de

ellos se encuentran en el primer cuadrante. 4. Prueba que todos los ceros del polinomio

pertenecen al disco

p(z) := z 4 + iz 3 + 1 ) ( D 0, 32 y determina cuántos

de ellos se hallan en

el primer cuadrante. 5. Prueba que para

n

e < a ∈ R,

la ecuación

soluciones distintas en el disco unidad

ez = az n D.

tiene, exactamente,

6. Determina el número de ceros del polinomio

p(z) := z 6 + z 5 + 6z 4 + 5z 3 + 8z 2 + 4z + 1 en el semiplano de la derecha. 7. Prueba que el polinomio

pn (z) := 1 + 2z + 3z 2 + · · · + nz n−1 , ρ ∈]0, 1[ D(0, ρ). para

y

n

sucientemente grande, no tiene ceros en el disco

332

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

326

8. Localiza en el disco

D(0, R), R > 0,

el número de ceros del polinomio

p(z) := z 4 + iz 2 + 2. 9. ¾Cuántas raíces tiene la ecuación

ez − 4z n + 1 = 0 en el disco unidad

D

según los valores del natural

10. Prueba que la ecuación

tiene (con

λ > 1)

n?

z = λ − e−z

una única raíz en el semiplano

Re z > 0.

Además, se

prueba que tal raíz es real. 11. Evalúa la integral

∫ zez tan (πz) dz. T

12. Evalúa la integral

∫ T

13. Sean

n,

cosh z dz. tan z

a y b dos números reales no nulos. Determínese, para cada natural

el número de ceros del polinomio

p(z) := z 2n + a2 z 2n−1 + b2 que se hallen situados en el semiplano de la derecha. 14. Determina el número de ceros en el disco unidad

D

de cada uno de los

dos polinomios siguientes:

a. p(z) := z 4 − 5z + 1; 15. Prueba que la función

disco

ρ ∈]0, 1[ D(0, ρ).

y

n

q(z) := z 8 − 4z 5 + z 2 − 1.

fn : C\{0} −→ C,

fn (z) := 1 + para

b.

dada por

1 1 1 + + ··· + , 2 z 2!z n!z n

sucientemente grande, tiene todos sus ceros en el

333

7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz 16. Determina el número de ceros del polinomio

p(z) := z 6 − 3z 5 + 2z 2 + 5 en el semiplano de la derecha. 17. Hallar la distribución por cuadrantes de los ceros del polinomio

p(z) := z 8 + z 5 − z 4 + 3z 3 + 6z 2 + 2z + 5. 18. Calcula el número de ceros en el disco unidad

a. p(z) := z 5 − 2z 4 + z 3 − 6z 2 + 1

b. q(z)

D

de los polinomios

:= z 5 − 2z 4 + z 3 − 5z 2 + 1

19. Prueba que el polinomio

p(z) := z 6 − 5z 2 + 10 A(0; 1, 2).

tiene todas sus raíces en el anillo

20. Usa el teorema de Rouché para dar otra demostración del Teorema Fundamental del Álgebra. 21. Halla el número de ceros del polinomio

a. p(z) := z 8 − 4z 5 + z 2 − 1

b.

q(z) := z 9 − 2z 6 + z 2 − 8z − 2

c. r(z) := 2z 5 − z 3 + 3z 2 − z + 8

d.

s(z) := z 7 − 5z 4 + z 2 − 2

en el interior del disco unidad

D.

22. ¾Cuántos ceros del polinomio

p(z) := z 4 − 8z + 10 se encuentran en el disco unidad

D?

¾Y cuántos en el anillo

A(0; 1, 3)?

23. ¾Cuántas raíces tiene la ecuación

ez − az n = 0 en el disco

D(0, R)

según los valores del natural

se verica la condición

|a| >

eR Rn ?

334

n

(con

a ∈ C,

jo) si

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

328

24. Sea

f

un polinomio de grado

n ∈ N.

f

Prueba que

es sobreyectiva. De

hecho, puedes probar que la ecuación

f (z) = w tiene

n

raíces para cada

w ∈ C\{0}.

25. Halla el número de raíces en el disco unidad

D

de la ecuación

z 8 − 6z 6 − z 3 + 2 = 0. 26. Halla ell número de raíces en el anillo

A(0; 2, 3)

de la ecuación

4z 4 − 29z 2 + 25 = 0. 27. Con

α ∈ D(0, 9), ¾cuántas raíces tiene en el disco unidad D la ecuación z 6 − αz + 10 = 0?

Haciendo 28. Sea

φ

α = 8, ¾cuántas raíces tiene la ecuación en el anillo A(0; 1, 3)?

verica las condiciones tiene

Ω tal que D ⊂ Ω que φ(T) ⊂ C\D(0, 2). ¾Cuántos ceros

una función holomorfa sobre un abierto

φ

φ(0) = 1 D?

y

en el disco unidad

f (z) := z 3 −4z 2 +z−4. ¾Cómo habrá de elegirse f tenga, exactamente, dos soluciones en D(0, r)?

29. Considera el polinomio

r>0

para que

30. Localiza los ceros del polinomio 31. Sean dos funciones enteras

f

y

z 4 − z + 5 = 0.

g

vericando que

|f (z)| ≤ |g(z)|,

∀z ∈ C.

¾Qué conclusiones se pueden sacar?

f una función A, B, k tales que

32. Sea

entera para la que existe contantes reales positivas

|f (z)| ≤ A + b|z|k , Prueba que tal

f

∀z ∈ C.

debe ser un polinomio. Aplicación: Prueba que ha de

ser constante una función entera

f

que verique

√ |z| ≥ 1 ⇒ |f (z)| ≤ 5 |z|.

335

7.3. Principio del Argumento. Teoremas de Rouché y Hurwitz (fn )

33. Pruebe el siguiente teorema de Hurwitz: Sea

una sucesión (de

Ω uniformemente convergente a f no idénticamente nula. Si a ∈ Ω es un cero de f , entonces ε > 0, podemos encontrar un natural m tal que

funciones holomorfas) en un dominio una función para cada

0 ∈ fn (D(a, ε) ∩ Ω), ∀n ≥ m. 34. Evalúa la integral

∫ C(0,3)

sen (πz/2)[3z 2 − 4z − 1] dz. z 3 − 2z 2 − z + 2 ∫

35. Evalúa la integral

T 36. Sea un camino

γ

z3

1 dz. +1

en el plano y sean dados

a0 , a1 , . . . , an . Supongamos que k ∈ {0, 1, . . . , n}, se tiene que

para cada

n + 1 números complejos z ∈ γ ∗ y que para algún

n ∑ k j aj z . ak z > j=0 j̸=k Entonces, para el polinomio

p(z) :=

n ∑

aj z j

j=0 se prueba que

k ceros curva γ .

i. tiene

en el interior de

γ⇔z=0

ii. no tiene ceros en el interior de de la curva

está en el interior de la

γ ⇔z =0

γ.

37. ¾Cuántas raíces tiene la ecuación

z n + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0 en el disco unidad

D

si

|a2 | > |a1 | + |a0 | + 1?

336

no está en el interior

CAPÍTULO 7. SINGULARIDADES. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO

330

38. Sean dados

n+1

números reales vericando

0 < a0 < a1 < · · · < an .

Prueba que todas las raíces del polinomio

p(z) :=

n ∑

ak z k

k=0 están en el disco unidad

D.

39. Prueba que la armación siguiente es falsa: para cada función holomor-

fa

f

en el anillo

) ( A 0; 12 , 32

existe un polinomio

p

tal que

1 |f (z) − p(z)| < , ∀z ∈ T. 2 40. Sean, para enteros

n = 1, −2, 3, −4, . . .,

a. pn (z) :=

n ∑ k=0

zk k! ;

b.

los polinomios

qn (z) := pn (z) − 1.

¾Qué se puede decir de la situación de los ceros de uno y otro para sucientemente grande? 41. Evalúa la integral

∫

3(z − 1)2 − 1 dz. 3 2 C (1, 51 ) z − 3z + 4z − 2

337

|n|

Capítulo 8 Caracterización de los dominios simplemente conexos

8.1. Familias normales de funciones holomorfas. Teoremas de Montel y Vitali Este tema se dedica al estudio de la compacidad del espacio las funciones holomorfas denidas sobre un abierto

Ω

H (Ω)

del plano complejo

de

C.

Vuelve la topología de la convergencia uniforme sobre compactos a recuperar un papel central. El punto de partida será el concepto de familia normal de funciones continuas en

Ω.

La propiedad de Bolzano-Weierstrass la caracterizará en

espacios métricos. Será esta la base de la prueba de que las familias normales están puntualmente acotadas y son puntualmente equicontinuas. El teorema de Ascoli-Arzelà será el encargado de probar que ambas condiciones son sucientes para la normalidad de una familia de funciones; de este modo, se obtendrá una caracterización de la normalidad muy útil, a posteriori, cuando introduzcamos la holomorfía en el juego: como con Weierstrass tenemos que el cierre para familias de funciones coincide en los espacios de funciones continuas y de funciones holomorfas, concluiremos que una familia será normal si, y solo si, es un cerrado y acotado de

Denición 8.1

Una familia

del plano complejo

C

F

H (Ω).

de funciones continuas sobre un abierto

se dice normal cuando en

C (Ω)

Ω

es un conjunto relati-

vamente compacto. Es bien conocida la caracterización de Bolzano-Weierstrass de los conjuntos relativamente compactos en espacios métricos (que enunciamos sin 331

338

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS demostración):

Lema 8.1 (Propiedad de Bolzano-Weierstrass)

Un conjunto

F

de un

espacio métrico es relativamente compacto si, y solo si, toda sucesión de elementos de

F

admite una parcial convergente (no necesariamente en

F ).

A continuación damos dos condiciones necesarias de normalidad.

Proposición 8.1

sobre

abiertos

decir,

para

Las familias F normales de funciones continuas Ω del plano complejo C están puntualmente acotadas. (Es cada a ∈ Ω, {f (a) : f ∈ F} está acotado.)

Demostración. Basta con observar que para cada

f (a)

de

C (Ω)

en

C

Proposición 8.2 abiertos

Ω

Las familias

del plano complejo

∀a ∈ Ω ∀ε > 0

}

{

∃δ > 0 :

Demostración. Fijemos

D(a, ρ).

a ∈ A,

la aplicación

es continua.

a

C

F

normales de funciones continuas sobre

son puntualmente equicontinuas:

|z − a| < δ z∈Ω en

Ω

f −→ 

y

}

ε > 0.

⇒ |f (z) − f (a)| < ε, ∀f ∈ F. Ha de existir

ρ>0

tal que

K :=

Por otro lado, la familia

} { ( ε) U f, K, :f ∈F 3

es cubrimiento de contenga:

Razonamos

F,

luego podemos elegir un recubrimiento nito que lo

( ε) ∃f1 , . . . , fn ∈ F : F ⊂ ∪nk=1 U fk , K, . 3 por continuidad para cada k :

ε ∃0 < δk < ρ : |z − a| < δk ⇒ |fk (z) − fk (a)| < , 3 y elegimos δ := m´ ın {δ1 , . . . , δn }. Ahora, tomemos cualesquiera f ∈ F y |z − a| < δ . Para algún k , f ∈ ( ) U fk , K, 3ε . Así: |f (z) − f (a)| ≤ |f (z) − fk (z)| + |fk (z) − fk (a)| + |fk (a) − f (a)| < ε.  Las dos condiciones necesarias obtenidas en las proposiciones 8.1 y 8.2 para que una familia de funciones continuas sea normal son también sucientes: es lo que nos dirá, más adelante, el teorema de Ascoli-Arzelà. Para ponermos en la dirección de este resultado precisamos de dos lemas.

339

8.1. Familias de funciones holomorfas. Teoremas de Montel y Vitali

Lema 8.2

(fn ) una sucesión de funciones continuas en un abierto Ω del plano complejo C. Supongamos que la familia {fn : n ∈ N} es puntualmente equicontinua. Supongamos que (fn ) converge puntualmente en cada punto de un subconjunto A ⊂ Ω denso en Ω. Entonces (fn ) es uniformemente convergente sobre los compactos de Ω. Sea

K ⊂ Ω, probaremos que la ε > 0. Por argumentos z ∈ Ω, existe δ = δ (z) > 0, tal que

Demostración. Fijado un compacto arbitrario sucesión

(fn )

es uniformemente de Cauchy en él. Sea

de equicontinuidad puntual, para cada

ε w ∈ Ω, |w − z| < δ ⇒ |fn (z) − fn (w)| < , ∀n ∈ N. 5

(8.1)

Por argumentos, ahora, de compacidad:

∃z1 , . . . , zm ∈ K : K ⊂ ∪m j=1 D (zj , δ (zj )) ; lo que permite armar (justifícalo) que

∃a1 , . . . , am ∈ A : aj ∈ D (zj , δ (zj )) , ∀j ∈ {1, . . . , m} . Como hay convergencia puntual en los puntos del conjunto denso sucesión

(fn (a))

A,

la

es, en particular, de Cauchy:

ε j ∈ {1, . . . , m} ⇒ ∃nj ∈ N : p, q ≥ nj ⇒ |fp (aj ) − fq (aj )| < . 5

(8.2)

n0 := m´ax {n1 , . . . , nm } y sean p, q ≥ n0 y z ∈ K . Habrá de existir algún j ∈ {1, . . . , m} tal que z ∈ D (zj , δ (zj )) , de modo que (usando una vez (8.2)

Sea

y dos veces (8.1)):

|fp (z) − fq (z)| ≤ |fp (z) − fp (zj )| + |fp (zj ) − fp (aj )| + |fp (aj ) − fq (aj )| + |fq (aj ) − fq (zj )| + |fq (zj ) − fq (z)| < 5ε/5 = ε, luego

(fn )

es uniformemente de Cauchy en



K.

Para el siguiente lema se avisa: estaremos en una demostración de tipo diagonalización de Cantor, realmente espectacular. Disfrutémosla.

Lema 8.3

Sea

F

una familia de funciones continuas sobre un abierto

puntualmente acotada en

{fn : n ∈ N} ⊂ F . cada punto de A. Ω

y

Ω.

Sean

A

Ω,

un subconjunto (innito) numerable de

Entonces existe una parcial

340

(

fφ(n)

)

convergente en

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS Demostración. (Parte constructiva.) Anotemos

A := {an : n ∈ N}.

Como la

(fn (a1 )) conver) n está acotada, admitirá una parcial ( ) fσ1 (n) (a1 ) n . Del mismo modo, la sucesión fσ1 (n) (a2 ) n ( ) está acotada: vamos a escribir como fσ2 (n) (a2 ) la parcial convergente que n sucesión de complejos

gente; llamémosla

(

admite. Observa que, de paso, y esto es lo importante, estamos garantizando que

(

) fσ2 (n) (a1 ) n

converge, pues

(

fσ2 (n)

)

n

es parcial de

(

fσ1 (n)

)

n

.

Escriba-

mos, para precisar la notación, como sigue:

∃τ1 : N → N

estrictamente creciente tal que

Procedemos por inducción: dadas aplicaciones

σ2 = σ1 ◦ τ 1 .

σk , τk : N −→ N

estricta-

mente crecientes con

(

) fσk (n) (aj ) n

convergente para

1≤j≤k

) σk+1 = σk ◦ τk . Vamos a razonar ahora( que la sucesión ) fσk (n) (a´k+1 ) n está acotada y, así, admite una parcial fσk+1 (n) (a´k+1 ) n ( ) convergente, que garantiza la convergencia de fσ (a´j ) n para 1 ≤ j ≤ k+1 (n) k + 1. Pues bien, llamemos φ(n) := σn (n), para cada natural: el objetivo ya es ( ) probar que, en efecto, la sucesión fφ(n) es una parcial de (fn ) que converge en todo punto de A. podemos denir

(

Que es parcial es trivial:

φ (n + 1) = σn+1 (n + 1) = (σn ◦ τn ) (n + 1) = σn [τn (n + 1)] ≥ σn [τn (n)] = (σn ◦ τn ) (n) = φ (n + 1) . ( ) Para p ∈ N, veamos que la sucesión fφ(n) (ap ) es convergente. Para eln ( ) lo, bastará probar que fφ(p+n) (ap ) es convergente. Y ello lo vamos a lograr (n ) viendo que, de hecho es parcial de fσp (n) (a´p ) , la cual es, evidentemente, n convergente. Vamos a probar, por tanto (pues es suciente) que

∃ψ : N −→ N

estrictamente creciente tal que

φp+n = σp ◦ ψn .

Como

φ (p + n) = σp+n (p + n) = (σp+n−1 ◦ τp+n−1 ) (p + n) = σp+n−1 [τp+n−1 (p + n)] = (σp+n−2 ◦ τp+n−2 ) [τp+n−1 (p + n)] = (σp+n−2 ◦ τp+n−2 ◦ τp+n−1 ) (p + n) = · · · = (σp ◦ τp ◦ ... ◦ τp+n−1 ) (p + n) =: σp [ψn ] ,

341

8.1. Familias de funciones holomorfas. Teoremas de Montel y Vitali y es

ψn+1 := (τp ◦ ... ◦ τp+n−1 ◦ τp+n ) (p + n + 1) > (τp ◦ ... ◦ τp+n−1 ) (p + n) =: ψn , 

luego llegamos a la meta.

Teorema 8.1 (de Ascoli-Arzelà) sobre un abierto

Ω

Una familia

del plano complejo

C

F

de funciones continuas

es normal si, y solo si, está pun-

tualmente acotada y es puntualmente equicontinua en

Ω.

A un subconjunto denso y Ω (½razona la existencia de tal conjunto!). Si consideramos una sucesión (fn ) de elementos de F , por el lema 8.3 tenemos que existe una ( ) parcial fφ(n) convergente en cada punto de A. Como la equicontinuidad ( ) puntual se hereda por subfamilias, fφ(n) lo habrá de ser en A, y es posible ( ) aplicarle el lema 8.2: fφ(n) converge uniformemente sobre compactos de Ω. Demostración. Basta probar la suciencia. Sea numerable de

Ahora ya basta aplicar el lema 8.1 (Propiedad de Bolzano-Weierstrass)



que encabezaba este tema.

Observación 8.1

Si

F ⊂ H (Ω) ⊂ C (Ω)

y

H (Ω)

es cerrado en

C (Ω)

(teo-

rema de Weierstrass) entonces

F y, por tanto, para

F

H(Ω)

=F

C(Ω)

;

F ⊂ H (Ω) :

es normal

⇔ F

C(Ω)

⇔ F

H(Ω)

es compacto de

C (Ω)

es compacto de

H (Ω) .

Para las familias de funciones holomorfas se puede eliminar la condición de equicontinuidad puntual a cambio de endurecer la acotación puntual. Concretamente:

Teorema 8.2 (Primero de Montel) morfas sobre un abierto

Ω

Una familia

C Ω.

del plano complejo

está uniformente acotada en cada compacto de

342

F

de funciones holo-

es normal si, y solo si,

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS Demostración.

(⇐)

Condición suciente: el objetivo será probar las condi-

ciones que caracterizan la normalidad en el teorema 8.1 (de Ascoli-Arzelà). Sea

K⊂Ω

un compacto. La acotación uniforme (sobre compactos) nos

da que

∃MK > 0 : |f (z)| ≤ MK , ∀z ∈ K, ∀f ∈ F. F está puntualmente acotada en Ω. ahora a ∈ Ω y ε > 0. Para ellos, otra vez

En particular, Sean

la acotación uniforme

sobre compactos:

∃D(a, R) ⊂ Ω, ∃M > 0 : |f (w)| ≤ M, ∀w ∈ C(a, R), ∀f ∈ F. Por la fórmula elemental de Cauchy, si

z ∈ D(a, R2 ):

∫ 1 ∫ f (w) 1 f (w) |f (z) − f (a)| = dw − dw i2π C(a,R) w − z i2π C(a,R) w − a ∫ 1 z−a = dw f (w) 2π C(a,R) (w − z) (w − a) 1 2M |z − a| = 2πRM R |z − a| . 2π R 2R { εR R } δ := m´ın 2M , 2 , entonces ≤

Si elegimos

|z − a| < δ ⇒ |f (z) − f (a)| < ε, ∀f ∈ F luego la familia

F

es puntualmente equicontinua en

Ω,

y el teorema 8.1 (de

Ascoli-Arzelá) nos da normalidad.

(⇒)

Para un compacto arbitrario

{

K⊂Ω

la familia

U (f, K, 1) : f ∈ F

es un cubrimiento por abiertos del compacto

}

F , del que, por tanto, se

puede

extraer un recubrimiento nito:

∃f1 , . . . , fn ∈ F : F ⊂ ∪nk=1 U (fk , K, 1) . Ahora, por argumentos de continuidad:

∀j ∈ {1, . . . , n} ∃Mj > 0 : |fj (z)| ≤ Mj , ∀z ∈ K. (Haz explícitos los cálculos.) Sea, ahora,

f ∈F

y

z ∈ K,

M := 1 + m´ax {M1 , . . . , Mn }.

se tiene que

∃j ∈ {1, . . . , n} : f ∈ U (fj , K, 1)

343

Para

8.1. Familias de funciones holomorfas. Teoremas de Montel y Vitali y

|f (z)| ≤ |f (z) − fj (z)| + |fj (z)| < 1 + Mj ≤ M, luego se sigue su acotación uniforme sobre

Corolario 8.1

Sean

Ω1

y

Ω2

abiertos de



K. C.

Supongamos que

Ω2

está aco-

tado. Entonces la familia

{f ∈ H (Ω1 ) : f (Ω1 ) ⊂ Ω2 } es normal. Demostración. Claramente, para cada compacto estará uniformemente acotada (½por estarlo

Ω2 !).

K ⊂ Ω1 ,

la familia dada

El teorema 8.2 se encarga



del resto.

Concluimos ya este tema con una consecuencia de la normalidad para familias de funciones holomorfas. Será consecuencia de un lema, el cual se inspira en el siguiente resultado que enunciamos a continuación (y que no probaremos ya que solo nos interesará a modo de curiosidad informativa):

Teorema 8.3 (Segundo de Montel o de Montel-Caratheòdory) Sea ◦

Ω=Ω⊂C

y sean

α, β ∈ C, α ̸= β .

Entonces, cualquier familia de la forma

{f ∈ H (Ω) : f (Ω) ⊂ C\ {α, β}} es normal.

Lema 8.4

Sea

(xn )n

compacto

E.

E , a ̸= b,

tales que

una sucesión no convergente en un espacio métrico

Entonces existen sucesiones parciales

xσ(n) → a

y

xτ (n) → b.

(

xσ(n)

)

y

(

xτ (n)

)

, y

a, b ∈

Demostración. Por argumentos de compacidad, existe una parcial convergente:

∃σ : N −→ N

estrictamente creciente y

Por otro lado, al ser

(xn )n

∃a ∈ E : xσ(n) → a.

una sucesión no convergente, para algún

el conjunto

A := {n ∈ N :

dist (xn , a)

≥ ε}

es innito. Y, por tanto,

∃ρ : N −→ A

estrictamente creciente.

344

ε > 0,

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS Pero, a su vez, esta parcial pongamos

(

xρ(φ(n))

)

(

xρ(n)

)

admitirá otra (sub)parcial convergente;

, que tendrá como límite a cierto

b.

Ahora bien, como

ε≤

dist (a, xn ) , ∀n

y, en particular,

ε≤

dist

(

∈ A,

) a, xρ(φ(n)) , ∀n ∈ A,

se sigue (por la continuidad de la función distancia) que

ε≤ de donde

a ̸= b

y basta hacer

dist (a, b) ,

τ := ρ ◦ φ

para completar la demostración.



Llamamos la atención sobre el condimento de conexión que se introduce en el próximo resultado: el principio de identidad entrará en juego en el momento decisivo.

Teorema 8.4 (de Vitali)

Sea

(fn )

una sucesión de funciones holomorfas

Ω del plano complejo C. Supongamos que (fn ) converge puntualmente en un conjunto A tal que A′ ∩ Ω ̸= ∅. Entonces (fn ) converge uniformemente sobre compactos de Ω. uniformente acotada en cada compacto de un dominio

Demostración. La familia

F := {fn : n ∈ N} es normal (teorema 8.2) y resulH (Ω)). Llamémoslo E

ta que su cierre es un espacio métrico compacto (en

para aplicarle el lema 8.4: si razonamos por reducción al absurdo, podemos encontrar crecientes

f y g en E , tales que, para conveniente σ, τ : N −→ N, se verican: fσ(n) → f

y

aplicaciones estrictamente

fτ (n) → g.

Por el teorema de convergencia de Weierstrass, tenemos que Ahora bien, si

a ∈ A,

la convergencia de la sucesión

(fn (a))

f, g ∈ H (Ω).

nos conduce a

que:

f (a) = l´ım fσ(n) (a) = l´ım fτ (n) (a) = g(a); luego

f

y

g

coinciden sobre

A.

Finalmente, aplicamos el principio de identidad para funciones holomor-



fas.

345

8.1. Familias de funciones holomorfas. Teoremas de Montel y Vitali 8.1.1.

Ejercicios propuestos

1. Sea

Ω

C

un abierto de

funciones holomorfas en que 2. Sea

F

y sea

Ω.

F ⊂ H(Ω)

una familia no acotada de

Prueba que existe, al menos, un

no está uniformemente acotado en ningún entorno de

{Ωj ; j ∈ I}

una familia de abiertos del plano

C.

Sea

a∈Ω a.

tal

Ω := ∪I Ωj .

Llamemos

F := {f : Ω −→ C : f ∈ ∩I H (Ωj ) , f acotada} . Prueba que 3. Sea

Ω

F

ha de estar acotada en

H(Ω).

C y M > 0. Consideramos { } ∫ 2 f ∈ H(Ω) : |f (z)| dz ≤ M .

un dominio acotado de

la familia

Ω Prueba que 4. Sea

F

está acotada en

F ⊂ H(D).

H(Ω).

sea un conjunto relativamente compacto de

{f (0) : f ∈ F}

F ′ := {f ′ : f ∈ F} H(D) y que el conjunto

Supongamos que la familia

está acotado. Prueba que

relativamente compacto de

H(D).

de funciones holomorfas en un dominio

(

)

también es un conjunto

Ω,

(fn )

no ha de existir, necesa-

Ω. (Considera lo que ocurre con las sucesiones z, 2z, 3z, . . . , nz, . . . en D, o bien z, z 2 , z 3 , . . . , z n , . . . en D(0, 2).)

riamente una parcial

fσ(n)

F

Prueba que dada una sucesión

que converja uniformemente en

Ω un dominio acotado de C Ω y f (a) = a para algún a ∈ Ω.

5. Sea

f1 := f ′ |f (a)| ≤ 1.

(a) Sean

y

y

f ∈ H(Ω).

fn+1 := f ◦ fn , n ≥ 1.

(b) Supongamos que

f ′ (a) = 1.

(c) Prueba que si existe ser biyección de

Ω

k∈N Ω.

Supongamos que

Calcula

Prueba que

fn′ (a)

f (Ω) ⊂

y deduce que

f (z) = z , ∀z ∈ Ω.

′ k tal que [f (a)]

= 1,

entonces

f

ha de

en

6. Prueba que el conjunto

{f ∈ H(Ω) : f (Ω) ⊂ Ω y f (a) = a para alg´ un a ∈ Ω} es cerrado para la convergencia uniforme sobre compactos. Dedúzcase que si

|f ′ (a)| = 1, entonces f

ha de ser biyección de

holomorfa.

346

Ω en Ω con inversa

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS 7. La familia

Aut(D)

de los automorsmos conformes del disco unidad,

¾es un conjunto relativamente compacto de 8. Sea la familia (a)

F ⊂ H(D)

vericando las dos condiciones siguientes:

Re f (z) > 0, ∀z ∈ D, ∀f ∈ F ;

(b) el conjunto Prueba que

H

H(D)?

{f (0) : f ∈ F}

y

está acotado.

es un conjunto relativamente compacto de

H(D).

9. Prueba que la familia

{f ∈ H(D) : f (0) = 0, |f n) (0)| ≤ (n + 1)!, ∀n ∈ N} es un compacto de

H(D).

8.2. Lema de Schwarz. Automorsmos conformes del disco unidad. Isomorsmos conformes entre discos y semiplanos Consideremos el caso de una función holomorfa f en un disco de la forma D(0, R) y continua en su cierre D(0, R). Es conocido ya por nosotros que si |f | se mantiene mayorada, digamos por M > 0, sobre la frontera del disco, entonces M también será cota para |f | sobre el interior. Además, la igualdad se va a alcanzar cuando la función sea una constante (con valor absoluto

M ).

Por tanto, si se sabe que

|f (w)| < M

para algún valor en el disco, es

razonable esperar la obtención de una mejor estimación. Los teoremas en esta línea serán interesantes; y el que sigue, responde a ello. Su presentación atiende a una normalización de condiciones más generales sobre ciertos hechos que serán aclarados más adelante, como colofón del tema.

Lema 8.5 (de Schwarz) D.

Sea

f ∈ H (D) tal que f (0) = 0 y |f (z)| ≤ 1, ∀z ∈

Entonces: i. ii.

|f (z)| ≤ |z| , ∀z ∈ D; |f ′ (0)| ≤ 1;

iii. si existe

z0 ∈ D\{0}

tal que

|f (z0 )| = |z0 |,

o bien

es un giro; es decir:

∃θ ∈ R : f (z) = eiθ z, ∀z ∈ D.

347

|f ′ (0)| = 1,

entonces

8.2. Lema de Schwarz. Automorsmos conformes del disco unidad Demostración. Sea la función auxiliar

g : D −→ C;

{

g(z) :=

f (z) z , ′ f (0),

z ∈ D\{0} z=0

Esta función es holomorfa en todo el disco unidad, por el teorema 4.13 (de Riemann de singularidades evitables). Para

z ∈ D,

jo pero arbitrario, elegimos

r : |z| < r < 1.

Por el principio

del módulo máximo:

} { |f (w)| : |w| = r |g(z)| ≤ m´ax {|g(w)| : |w| = r} = m´ax w 1 = m´ax {|f (w)| : |w| = r} ≤ 1. r

Se tiene, por tanto, que

g (D) ⊂ D. Pero esto no es otra cosa que la veracidad

de i. y ii. Sea ahora z0 ∈ D tal que |g(z0 )| = 1 (es decir, z0 ∈ D\{0} tal que |f (z0 )| = |z0 |, o bien |f ′ (0)| = 1). Quiere esto decir que la función |g| alcanza máximo absoluto en D: ha de ser constante, de módulo 1 (por el principio del módulo máximo):

∃θ ∈ R : g(z) = eiθ ,

∀z ∈ D. 

Luego queda establecido enteramente el resultado.

Una de las aplicaciones más interesantes del lema de Schwarz va a ser la caracterización de los automorsmos conformes del disco unidad.

Teorema 8.5 existen

a∈D

f es un automorsmo θ ∈ R, tales que

Si y

f (z) = eiθ

conforme del disco unidad, entonces

z−a , ∀z ∈ D. 1 − az

Demostración. El recíproco de este resultado es cierto y ya conocido por nosotros: todas las funciones del disco unidad:

f∈

f

de esta forma son automorsmos (conformes)

Aut(D). Pues bien, llamemos

φa ∈ Aut (D) ; φa (z) :=

a := f −1 (0)

y sea

z−a , ∀z ∈ D. 1 − az

g := f ◦ φ−1 a ∈ Aut (D) , siendo, además, g(0) = 0. −1 ∈ Aut (D) (y g −1 (0) = 0). parte, g

Así, también Por otra

Pues bien, vamos a aplicar el lema de Schwarz (apartado i.) a ambos automorsmos:

348

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS a. b.

|g(z)| ≤ |z| , ∀z ∈ D |z| = g −1 [g (z)] ≤ |g(z)| , ∀z ∈ D;

de donde

|g(z)| = |z| , ∀z ∈ D, y (tenemos un conjunto no numerable de razones con las que) podemos armar, por iii. del lema de Schwarz, que

∃θ ∈ R : g(z) = eiθ z, es decir:

[ ] iθ f φ−1 a (z) = e z,

∀z ∈ D; ∀z ∈ D;

o lo que es lo mismo:

f (z) = g (φa (z)) = eiθ

z−a , ∀z ∈ D. 1 − az

Pero, observemos que aún podemos obtener más información. Derivando en esta expresión:

f ′ (z) = eiθ de donde haciendo

1 − |a|2 , ∀z ∈ D, (1 − az)2

z := a:

f ′ (a) = eiθ

( ′ ) 1 2 ⇒ θ ∈ Arg f (a) . 1 − |a| 

Corolario 8.2

Sea

Ω1

un disco o un semiplano y sea

Ω2

otro disco o semi-

plano. Todo isomorsmo (conforme) entre ambos dominios es la restricción a

Ω1

de una transformación de Möbius.

Demostración. Llamemos

f

formaciones de Möbius (de

al tal isomorsmo. Sabemos que existen trans-

C

en

C)

que proporcionan convenientes isomor-

smos:

Φ : D −→ Ω1

y

Ψ : Ω2 −→ D.

Ψ ◦ f ◦ Φ es un automorsmo conforme del Ψ ◦ f ◦ Φ ha de ser una transformación de Möbius.

De este modo, resulta que disco unidad; es decir,

Pero, en tal caso, hemos concluido, pues

f = Ψ−1 ◦ [Ψ ◦ f ◦ Φ] ◦ Φ−1 ∈ M (C) . 

349

8.2. Lema de Schwarz. Automorsmos conformes del disco unidad

Teorema 8.6 (de Pick)

f ∈ H (D(0, R)) y supongamos que f (D(0, R) ⊂ D(0, M ). Entonces, para z, z0 ∈ D(0, R): f (z) − f (z0 ) z − z0 . (8.3) ≤ R M M 2 − f (z0 )f (z) R2 − z0 z Si consideramos el caso

Sea

R = M = 1,

entonces:

2 ′ f (z0 ) ≤ 1 − |f (z0 )| , ∀z0 ∈ D. 1 − |z0 |2

(8.4)

∈ D(0, R), jo durante toda la demostración, pero arbitrario, por tanto. Llamemos w0 := f (z0 ). Sean Φ y Ψ las dos trans-

Demostración. Consideremos z0

formaciones de Möbius dadas por

Φ−1 (z) := R y

Ψ (w) := M Φ

y

Ψ

z − z0 , R2 − z0 z

∀z ∈ D(0, R)

w − w0 , M 2 − w0 w

∀w ∈ D(0, M ).

verican (conrma estos detalles):

Φ (D) = D(0, R) : Φ (0) = z0 Ψ (D(0, M )) = D : Ψ{(w0 ) = 0 (Ψ ◦ f ◦ Φ) (0) = 0 Ψ ◦ f ◦ Φ ∈ H (D) : |Ψ ◦ f ◦ Φ| (z) < 1, ∀z ∈ D. Pues bien, aplicando i. del lema de Schwarz a la función

Ψ ◦ f ◦ Φ,

ten-

dremos la desigualdad (8.3) deseada. (Confírmalo.) Y aplicándole ii. de dicho lema:

(Ψ ◦ f ◦ Φ)′ (0) ≤ 1.

Hagamos ahora

M = R = 1 y usemos adecuadamente la Regla de la Cadena: 1 ≥ Ψ′ [(f ◦ Φ) (0)] f ′ (Φ (0)) Φ′ (0) = Ψ′ (w0 ) f ′ (z0 ) Φ′ (0) ( )′ 1 = Φ−1 (Φ (0)) ⇒ Ψ′ (w0 ) f ′ (z0 ) ≤ ′ |Φ (0)| ′ 1 1 ⇒ 2 f (z0 ) ≤ 1 − |w0 | 1 − |z0 |2 1 − |f (z0 )|2 ⇒ f ′ (z0 ) ≤ . 1 − |z0 |2 ¾Recuerdas qué restricciones tenía

z0

en

es cierta. Como aplicación, tenemos el siguiente

350

D? Pues eso: ninguna, y así (8.4) 

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS

Corolario 8.3

El máximo del conjunto

} { ( ) ′ 1 f : f ∈ H (D) , f (D) ⊂ D 3

se alcanza cuando

f (1/3) = 0.

Demostración. Razonamos por reducción al absurdo: supongamos que el máximo se alcanza para una cierta función cada

f

f0

con

α := f0 (1/3) ̸= 0.

Para

en las condiciones dictadas por la familia en consideración, podemos

estudiar el automorsmo de

D

asociado:

φf (z) :=

f (z) − α , ∀z ∈ D. 1 − αf (z)

Su derivada es

φ′f (z) = f ′ (z) Pero, entonces, para

nuestra

f0

1 − |α|2 , ∀z ∈ D. (1 − αf (z))2

particular:

2 ′ ′ φ0 (1/3) ≥ f0′ (1/3) 1 − |α| = |f0 (1/3)| > f0′ (1/3) , 2 |1 − αα| |1 − αα|



lo cual sería contradictorio.

8.2.1. 1. Sea

Ejercicos propuestos

f

una función holomorfa en el disco abierto unidad vericando:

f (0) = i;

Im f (z) > 0, ∀z ∈ D.

Prueba que

|f (z)| ≤ 2. Prueba que toda función

f

1 + |z| , ∀z ∈ D. 1 − |z|

holomorfa en el disco unidad

D y con valores

en el semiplano de la derecha, verica

  1−|z| |f (0)| ≤ |f (z)| ≤ 1+|z|

|f ′ (0)| ≤ |2 Re f (0)|.

351

1+|z| 1−|z| |f (0)|,

∀z ∈ D,

8.2. Lema de Schwarz. Automorsmos conformes del disco unidad 3. Sea

f

una función holomorfa e inyectiva en el disco unidad. Prueba

g holomorfa en el disco unidad que verique g(D) ⊂ f (D), entonces,

que para cualquier función

g(0) = f (0)

y

g(D(0, r)) ⊂ f (D(0, r)), f ∈ H(D(0, 2)) tal que |f | ≤ 10 cota posible para |f (1/2)|.

4. Sea

5. Sea

α

y

∀ r ∈]0, 1[.

f (1) = 0.

Encuentra la mejor

f ∈ H(C) tal que f (T) ⊂ T. Prueba que ha de existir una constante n tales que

y un natural

∀z ∈ C.

f (z) = αz n , 6. Encuentra las funciones

f

holomorfas en el semiplano superior

Ω

que

satisfacen las siguientes condiciones:

f (z) ≤ 1, ∀z ∈ Ω;

f (i) = 0 y

1 |f ′ (i)| = . 2

7. Pruébese, directamente (sin recurrir a transformaciones de Möbius), que la transformación

z −→ eiθ (para

D.

a∈D

y

θ ∈ R)

z−a 1 − az

es un automorsmo conforme del disco unidad

8. Sea una función holomorfa en el disco unidad,

f ∈ H(D),

vericando

|f (z)| ≤ 1, ∀z ∈ D. Sean

a1 , a2 , . . . , an

f en D. Prueba que n ∏ z − ak |f (z)| ≤ 1 − ak z , ∀z ∈ D. (los) ceros de

k=1

9. Sea una función holomorfa en el disco unidad,

f ∈ H(D),

vericando

|f (z)| ≤ 1, ∀z ∈ D. Prueba que si existe función holomorfa

g

α ∈ D

tal que

f (α) = ̸ 0, entonces existe otra g(D) ⊂ D, pero tal que

en el disco unidad con

|g ′ (α)| > |f ′ (α)|.

352

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS

8.3. Teorema de Riemann fundamental de la representación conforme. Clasicación de los abiertos simplemente conexos del plano En este tema se prueba que todo dominio simplemente conexo que no sea el propio plano (Ω

$ C)

es isomorfo al disco unidad

Ω del plano D; es decir,

que solo existen (salvo isomorsmos conformes) dos dominios simplemente conexos en el plano complejo; a saber: el propio

C

y el disco unidad

D.

Este resultado será consecuencia de otro más técnico y, por supuesto, menos transparente:

Teorema 8.7 (de Riemann) y sea

Ω

a ∈ Ω.

Sea

Ω

un dominio propio del plano complejo

Supongamos que las funciones holomorfas que no se anulen en

admiten raíz cuadrada holomorfa en él:

φ ∈ H (Ω) : 0 ∈ / φ (Ω) ⇒ ∃ψ ∈ H (Ω) : ψ 2 ≡ φ. Entonces, existe un único isomorsmo conforme 0 y F ′ (a) ∈ R+ .

F : Ω −→ D

tal que

F (a) =

Observemos que, una vez probado este resultado, tendremos que

Corolario 8.4 i. O bien

Dado

Ω = C,

Ω

un dominio del plano complejo

o bien

Ω

es isomorfo a

D.

ii.

Ω

es homeomorfo a

iii.

Ω

es simplemente conexo.

iv.

Ω ∫

es homológicamente conexo.

v. vi. vii. viii. ix. x.

Γf

D.

= 0, ∀f ∈ H (Ω) , ∀Γ

ciclo en

∀f ∈ H (Ω) ∃F ∈ H (Ω) : F ′ ≡ f

Ω.

en

∀u ∈ A (Ω) ∃f ∈ H (Ω) : u ≡ Re f

Ω.

en

Ω.

∀f ∈ H (Ω) : 0 ∈ / f (Ω) ∃g ∈ H (Ω) : eg ≡ f ∀f ∈ H (Ω) : 0 ∈ / f (Ω) ∃φ ∈ H (Ω) : φ2 ≡ f C\Ω

en en

no tiene componentes conexas acotadas.

353

Ω. Ω.

C,

son equivalentes:

8.3. Teorema de Riemann de la representación conforme xi.

C\Ω

es conexo.

⇒ i., y serán equivalentes ⇒ ii. ⇒ iii. ⇒ iv.; e ⇔ v. ⇔ vi. ⇔ vii. ⇔ viii.

Demostración. Por el teorema 8.7 (de Riemann): ix. de i. a ix.: sabemos que, para igualmente conocido es, para

⇔

Ω

Ω

abierto, se tiene i.

dominio, que iv.

ix. Por tanto, tenemos el siguiente hecho: Sea

i.

Ω

un dominio del plano complejo

Todo dominio simplemente conexo plano

ii.

C.

Entonces:

Ω del plano C es homeomorfo al propio

Todo dominio simplemente conexo homeomorfo al plano ampliado

C.

C

Ω

del plano ampliado

C,

o bien es

o bien lo es al propio plano

C.

⇒ iv. ⇒ xi. ⇒ x. Pero, la primera implicación es conocida; y la tercera es evidente: si C\Ω tuviese alguna componente conexa acotada, a los elementos de ésta no los podríamos conectar mediante arcos con ∞. Luego resta probar iv. ⇒ xi.: Razonaremos por reducción al absurdo. Supongamos que existen A y B dos cerrados disjuntos de C tales que Veamos que x.

C\Ω = A ∪ B; A ̸= ∅ ∧ ∞ ∈ B. Observemos que

A′

⊂ A = A, C,

A

C (pues si no estuviese acotado, ∞ ∈ A∩B = ̸ ∅; ½contradicción!). Por ser B\{∞} un

es compacto de

de donde

cerrado de

∃r > 0 : D(a, r) ∩ (B\{∞}) = ∅,

∀a ∈ A;

luego

∃r > 0 : D(a, r) ∩ B = ∅, C = Ω ∪ A ∪ B, A.

En resumen, y por ser, contiene al compacto

∀a ∈ A.

se tiene que

Ω∪A

es un abierto que

Por n, y usando el lema 7.3, podemos construir un ciclo

Ω

Γ en Ω ∪ A\A ⊂

tal que IndΓ

de modo que

Γ

(a) = 1,

∀a ∈ A,

no es ciclo nulhomólogo respecto de

Ω,

y así es como

Ω

no



puede ser homológicamente conexo. Como aplicación, tenemos el siguiente

354

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS

Ejemplo 8.1

Un anillo y una banda no pueden ser isomorfos.

La estrategia de la prueba consistirá en ver que (a) los anillos no son simplemente conexos, mientras que sí que lo son las bandas; y que (b) no es posible establecer un isomorsmo entre dos dominios que sean uno simplemente conexo y el otro no. Concretamente, probaremos que la imagen de un dominio simplemente conexo en otro dominio por un isomorsmo conforme, es otro (dominio) simplemente conexo. (a) Los anillos no son homológicamente conexos; mucho menos simplemente conexos. Las bandas pueden estrellarse en cualquiera de sus puntos, luego cualquier curva cerrada en ella es homótopa a un punto; y así es como se prueba que una banda sea simplemente conexa. (b) Sea

φ

un isomorsmo conforme del dominio simplemente conexo Ω1 Ω2 ; y sea γ una curva cerrada en Ω2 . Así, γ e := φ−1 ◦ γ es

en el dominio

otra curva cerrada en

γ e a un de Ω2 .

reduce a punto

Ω1 .

punto de

Pero entonces, si llamamos

Ω1 , φ ◦ H

H

a la homotopía que

será la homotopía que reduce a

γ

a un

Demostración del teorema 8.7 (de Riemann de representación conforme). −1 Unicidad: Sean

F

y

G

G◦F será un autoD que deja jo el origen: el (corolario al)

dos tales isomorsmos. Así,

morsmo confome del disco unidad

lema de Schwarz, nos dice que se ha de tratar de un giro:

[

[ ] ] z−α ∧ α = 0 ⇒ G ◦ F −1 (z) = eiθ z. G ◦ F −1 (z) = eiθ 1 − αz

Así,

( )′ )′ ( )( G′ (a) ∈ R+ ; eiθ = G ◦ F −1 (0) = G′ F −1 (0) F −1 (0) = ′ F (a) luego

eiθ = 1,

y, por tanto:

[ ] G ◦ F −1 (z) = z,

∀z ∈ D,

de donde la unicidad. Existencia: la probaremos en tres etapas.

1a etapa. Objetivo: Probaremos que existe f ∈ H (Ω) e inyectiva, tal que f (Ω) ⊂ D, f (a) = 0 y f ′ (a) > 0. Sea b ∈ C\Ω (que es no vacío, por hipótesis). La función z −→ z − b de Ω en C es holomorfa y no se anula: admite raíz cuadrada holomorfa: ∃g ∈ H (Ω) : g 2 (z) = z − b, ∀z ∈ Ω.

355

8.3. Teorema de Riemann de la representación conforme Esta aplicación es inyectiva (pruébalo), lo que junto al hecho de que el abierto

Ω sea conexo, nos permite asegurar que g

es una aplicación abierta. Por ello:

∃w0 ∈ C, ∃r > 0 : D (w0 , r) ⊂ g (Ω) ; y, como

0∈ / g(Ω), r ≤ |w0 |. D (−w0 , r) ∩ g (Ω) = ∅.

Comprobemos que

Razonando por reducción al

absurdo:

∃w ∈ D (−w0 , r) ∩ g (Ω) ⇒ w = g(z1 ) : z1 ∈ Ω ⇒ −w ∈ D (w0 , r) ⊂ g (Ω) ⇒ −w = g (z2 ) : z2 ∈ Ω ⇒ z1 − b = g 2 (z1 ) = w2 = (−w)2 = g 2 (z2 ) = z2 − b ⇒ z1 = z2 ⇒ w2 = 0 ⇒ w = 0, lo cual es contradictorio con el hecho de que

g

no se anule nunca. Luego la

intersección es, efectivamente, vacía. En consecuencia,

|g (z) + w0 | ≥ r, ∀z ∈ Ω, y denimos la función auxiliar

h(z) :=

h : Ω −→ C

r , ∀z ∈ Ω. 2 (g (z) + w0 )

h ∈ H (Ω), h (Ω) ⊂ D h′ (a) ̸= 0.

Ocurre que luego

dada por

h

y

es inyectiva en

Ω,

que es dominio,

Como la transformación de Möbius

|h′ (a)| z − h(a) , ∀z ∈ C h′ (a) 1 − h(a)z es un automorsmo conforme del disco unidad, se concluye que la función

f (z) :=

|h′ (a)| h(z) − h(a) , ∀z ∈ Ω h′ (a) 1 − h(a)h(z)

es la que nos permite un nal exitoso en esta primera etapa. (En particular, se tiene

2a

f ′ (a) =

|h′ (a)| .) 1−|h′ (a)|2

etapa. Con la etapa anterior logramos probar que la familia

{ F := f ∈ H (Ω) : f

es inyectiva,

f (Ω) ⊂ D, f (a) = 0, f ′ (a) > 0

es no vacía. El objetivo, ahora: Probaremos que existe

f ′ (a), para toda

f

en

F.

356

F

en

F

tal que

}

F ′ (a) ≥

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS El teorema de Montel nos garantiza que se trata de una familia normal; luego su cierre

F

es un conjunto compacto en

H (Ω).

Ahora, el teorema de

convergencia de Weierstrass nos asegura que la aplicación

T : H (Ω) −→ C; T (f ) := f ′ (a) es continua. Y como

T (F) ⊂ R+ , entonces ( ) T F ⊂ T (F) ⊂ R+ = [0, +∞[ .

Aplicando la compacidad de F , ( ) T F ⊂ [0, +∞[, tendremos que

la continuidad de

T,

y el hecho de que

∃F ∈ F : F ′ (a) ≥ f ′ (a), ∀f ∈ F. Resta probar que, de hecho, es

F ′ (a) > 0, pues ′ F (a) ≥ f ′ (a) > 0.

F

al ser

F ∈ F.

no vacía, existe alguna

Por argumentos topológicos, existe

(fn ) ⊂ F

f

en ella para la que

tal que

fn → F

en

H (Ω).

En particular,

F (z) = l´ım fn (z) , ∀z ∈ Ω; lo cual nos lleva a que

F (a) = 0

y

F (Ω) ⊂ D.

F no es F ′ (a) > 0), de donde el teorema de la aplicación abierta nos dice que F (Ω) es abierto, y así F (Ω) ⊂ D. La inyectividad de F está garantizada por el teorema 7.14 (de Hurwitz); Pero realmente la inclusión anterior es en el propio disco unidad:

constante (pues

y la segunda etapa, niquitada.

3a

F (Ω) = D. (Ya sabemos que F (Ω) ⊂

etapa. Objetivo nal: Probar que

D.)

Vamos a razonar por reducción al absurdo:

∃α ∈ D\{0} : α ∈ / F (Ω). Por tanto,

∃φ ∈ H (Ω) : φ2 (a) =

F (z) − α , ∀z ∈ Ω; 1 − αF (z)

y denamos la función auxiliar

G (z) :=

|φ′ (a)| φ(z) − φ(a) , ∀z ∈ Ω. φ′ (a) 1 − φ(a)φ(z)

357

8.3. Teorema de Riemann de la representación conforme Esta

G

es un elemento de

etapa para

f );

F

(recuérdese cómo se argumentó en la primera

pero:

( ) } 2φ (a) φ′ (a) = 1 − |α|2 F ′ (a) (φ (a))2 = −α ⇒ |φ (a)|2 = |α|

(

) 2 1 − |α| F ′ (a) ′ √ ⇒ φ (a) = , 2 |α|

de donde se tiene que

√ F ′ (a) 1−|α| 2

G′ (a) =

2

|α|

1 − |α|

1 + |α| = F ′ (a) √ > F ′ (a), 2 |α|

lo cual es absurdo; y la etapa tercera concluye su misión. Resumimos: hemos logrado una función tal que

F (Ω) = D, F (a) = 0

y

F

holomorfa e inyectiva en

Ω,

y

F ′ (a) > 0.

¾Qué nos resta? Usar el teorema de la función inversa: él es quien nos da

F −1 Ω en D.

la holomorfía de su inversa isomorsmo conforme de

8.3.1.

y, por tanto, se trata, en efecto, de un



Ejercicios propuestos

1. Determina todos los isomorsmos conformes (a) del primer cuadrante sobre el semiplano superior; (b) de la banda 2. Sea

f : Ω −→ D

{z ∈ C : −1 < Re z < 1}

sobre el disco unidad.

a ∈ Ω. Encuentra otra g : Ω −→ D tal que g(a) = 0 y g ′ (a) > 0. (Consiste

una aplicación conforme y sea

aplicación conforme

en vericar la tesis de la representación conforme en este ejemplo.) 3. Sea

Ω

un dominio simplemente conexo y sean

existe una aplicación conforme

Ω=C 4. Sea

φ : Ω −→ Ω

a, b ∈ Ω. Prueba que φ(a) = b. (Cuando

tal que

es muy sencillo, ¾no?)

Ω un dominio simplemente conexo del plano tal que Ω ̸= C. Prueba C en Ω.

que no existe ningún isomorsmo conforme de

5. Encuentra todos los isomorsmos conformes entre los discos

D(b, s)

que llevan

a

en

b.

358

D(a, r)

y

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS 6. Encuentra todos los isomorsmos conformes que llevan el semiplano superior

C↑

en el disco unidad

D,

de modo que

i

es la preimagen del

origen. 7. Sea

f : Ω −→ D

una aplicación conforme y sea

a ∈ Ω.

Sea la familia

G := {g : Ω −→ D : g ∈ H(Ω), g ′ (a) > 0}. (a) Prueba que

sup g ′ (a) = M < +∞. g∈G

(b) Supongamos que existe es biyección de (Los elementos de

D(a, δ) ⊂ Ω ⇒

Ω

G

|g ′ (a)|

en

D.

Φ∈G

tal que

Φ′ (a) = M .

Prueba que

Φ

no precisan ser biyecciones. Para a. prueba que

< 1/δ .

Para b. se probará que la tal

Φ

es el iso-

morsmo conforme dado por el teorema de Riemann de Representación Conforme.) 8. Con la notación del teorema de Riemann de Representación Conforme, si el punto prueba que

a ∈ R y el dominio Ω es F (z) = F (z). (Indicación:

simétrico respecto del eje real, usa la unicidad.)

9. Comprueba que se trata de isomorsmos conformes entre los dominios indicados: (a) La aplicación

( z −→

z+1 z−1

)2

es isomorsmo conforme del disco unidad

D

en

C\{z : Re z
0. Entonces existe ∗ racional R en Ω cuyos polos están todos en Γ y tal que ∫ f (w) < ε, ∀z ∈ K. dw − R(z) w−z Γ Sean

360

continua en una función

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS Demostración. No hay pérdida de generalidad si nos restringimos a considerar curvas

Γ

(pongamos, sobre

[a, b])

en vez de ciclos.

Por argumentos de continuidad (uniforme) de la función

(w, z) ∈ Γ∗ × K −→ Γ∗ × K ,

f (w) w−z

δ > 0 tal que f (w) f (w′ ) ′ ∗ ′ < ε/long (Γ∗ ) , ∀z ∈ K. w, w ∈ Γ , w − w < δ =⇒ − w − z w′ − z

sobre el compacto

existe

Análogos argumentos, ahora por la continuidad (uniforme) de la curva en

[a, b] ,

existe

r>0

Γ

tal que

( ) x, x′ ∈ [a, b] , x − x′ < r =⇒ Γ (x) − Γ x′ < δ.

Sea una partición de

[a, b]

dada por

a = x0 < x1 < · · · < xn = b : |xk−1 − xk | < r. Y podemos denir ahora una función racional de la siguiente manera:

R(z) :=

n ∑

[Γ (xk ) − Γ (xk−1 )]

k=1

f (Γ (xk−1 )) . Γ (xk−1 ) − z

R es una función racional con todos sus polos z ∈ K: ∫ f (w) w − z dw − R(z) Γ n ∫ xk n ∫ xk ∑ ∑ f (Γ (xk−1 )) ′ f (Γ (x)) ′ Γ (x) dx − Γ (x) dx = Γ (x) − z Γ (x ) − z k−1 k=1 xk−1 k=1 xk−1 n ∫ xk ∑ f (Γ (x)) f (Γ (xk−1 )) ′ dx ≤ − Γ (x) Γ (x) − z Γ (xk−1 ) − z x k−1 k=1 ∫ b ′ ε Γ (x) dx = ε. ≤ long (Γ) a

En particular, se tiene que

∗ en Γ . Además, para cada

 Notemos que los polos de la función racional que aproxima a la función holomorfa en el compacto pueden estar en el abierto. Necesitamos desplazarlos, de modo que éstos queden fuera de dicho abierto. Comenzamos con un resultado topológico... que aparece inocentemente:

361

8.4. Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas

Lema 8.7 Si

H

Sean

U

y

V

dos abiertos del plano tales que

es componente conexa de

U

tal que

V ∩ H ̸= ∅,

V ⊂U

∂V ∩U = ∅. H ⊂ V.

y

entonces

Demostración. Sea x ∈ V ∩ H y consideremos G la componente conexa de V tal que x ∈ G. El objetivo es, pues será condición suciente, probar que G = H. Claramente G ⊂ H , pues H es el mayor conexo en U tal que x ∈ H . Por otro lado, podemos escribir

)] [ ( H = G ∪ (H\G) = G ∪ (∂G ∩ H) ∪ H\G . Pero

∂G ∩ H = ∅,

∂V ∩ U = ∅; ) H = G ∪ H\G ,

a consecuencia de que

luego

(

de donde el conexo como

G ̸= ∅

H

se expresa como reunión disjunta de dos abiertos:

se sigue que

H\G = ∅

y, por tanto,

H = G.



Ahora necesitamos un poco de notación. Dado un compacto

K

del plano, por

S

vamos a denotar a cualquier sub-

C\K tal que contenga, al menos, un punto de cada componente C\K . Denamos { } RS (K) := f : Ω −→ C; f|K racional en K con sus polos en S

conjunto de conexa de

y sea

BS (K)

su cierre en el espacio

C (K)

de las funciones continuas en

respecto de la convergencia uniforme. (Notemos que está permitido

∞ ∈ Ω.)

Claramente, se trata de un álgebra de funciones; esto es, es cerrada para la suma y el producto de sus elementos (y, por ende, para el producto externo por constantes).

Lema 8.8

Si

K

es un compacto del plano y

φα

z −→ está en

α ∈ C\K,

entonces la función

1 z−α

BS (K) .

Demostración. Llamemos

V := {α ∈ C\K : φα ∈ BS (K)} . Consiste en probar que, de hecho,

V = C\K . Esto lo conseguiremos probando

que:

362

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS V es abierto. 2. ∞ ∈ S, R := m´ ax {|z| : z ∈ K} =⇒ A (0; R, +∞) ⊂ V. 3. ∂V ⊂ K. El tercer paso nos dice que V no tiene puntos de frontera en C\K ; luego V es abierto y cerrado en C\K . Si C es componente conexa de C\K, entonces V ∩C es (abierto y) cerrado en C . Por tanto, o bien C ⊂ V , o bien C ∩V = ∅. Y, por tanto, bastará probar que V corta todas las componentes conexas de C\K . 1 En efecto, si α ∈ S , α ̸= ∞, entonces la función φα (z) := z−α es racional en K con sus polos en S . Pero estas funciones están en su cierre: RS (K) ⊂ BS (K). Por tanto, α ∈ V . Si C es una componente conexa acotada de C\K , entonces también lo es de C\K . Y S contiene un punto de C (que, según acabamos de ver, está en V ); luego V corta a C . Si C es la componente conexa no acotada de C\K , entonces C ∪ {∞} es la componente conexa no acotada de C\K . Entonces vale el razonamiento anterior, salvo que el único punto de C ∪ {∞} que esté en V sea ∞. Pero, en dicho caso, sabemos por el segundo paso, que V contiene un anillo de la forma A (0; R, +∞), que contiene a los puntos de C . 1.

Vamos, por tanto, con la prueba de los tres pasos arriba citados, para completar la demostración de este lema 8.8. Primer paso: Sea

a ∈ V,

jo pero arbitrario y sea

d := d (a, K) > 0.

Veamos que

D(a, d) ⊂ V, y, en particular, tendremos que

V

es cerrado. Para

b ∈ D(a, d)

y

z ∈ K,

se

tiene

1 1 1 1 = = b−a z−b (z − a) − (b − a) z − a 1 − z−a ) +∞ ( +∞ 1 ∑ b − a n ∑ (b − a)n = = z−a z−a (z − a)n+1 n=0 n=0 (obsérvese que se usa

b−a z−a
0 existe una función racional R cuyos polos están en E y tal

holomorfa en

Ω

y

K ⊂Ω

Sean

Ω

un abierto del plano

un compacto. Sea un conjunto

que

|f (z) − R(z)| < ε, ∀z ∈ K. Demostración. Podemos usar la descomposición de funciones racionales mediante fracciones simples y, entonces, el lema 8.8 nos dice que cualquier función racional con polos en

S

está en

BS (K).

Ahora, el teorema de Runge se

sigue del lema 8.6. (Observemos que el lema 8.7 se usa para la prueba del



lema 8.8.)

El papel jugado por las funciones racionales en el teorema anterior no puede ser desarrollado por los polinomios. En ese caso se estará condicionando la naturaleza del abierto tal y como se nos dice en el siguiente:

364

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS

Corolario 8.5 i. ii.

Ω

Sea

◦

Ω = Ω ⊂ C.

Son equivalentes:

es simplemente conexo.

P (Ω)

Demostración. i. nemos que

H (Ω).

es densa en

C\Ω

=⇒

ii. Aplicamos el corolario 8.4 (iii.

es conexo. Sea

E := {∞}.

=⇒

xi.) y obte-

Ahora, aplicando el teorema 8.8

(de Runge) y obtenemos funciones racionales cuyo polo es, a lo sumo,

∞. Es

claro que una tal función solo puede ser un polinomio.

=⇒

ii.

i. Si

f ∈ H (Ω)

es límite de una sucesión de polinomios

(pn )

en

la topología uniforme sobre compactos, se sigue que

∫

∫ f = l´ım

Ω

pn . Ω

Pero, cada una de las integrales de esta sucesión es nula y, aplicando ahora v.

f

=⇒ iii. del H (Ω)).

corolario 8.4, se concluye la prueba (dada la arbitrariedad de



en

8.4.1.

Ejercicios propuestos

1. Sean

f

y

g

Ω1 y Ω2 dos dominios C. Supongamos que uno de ellos, Ω2 por ejemplo, es

dos funciones enteras. Sean, también,

disjuntos del plano

simplemente conexo y acotado. Prueba que, entonces, existe una suce-

(pn ) de polinomios Ω1 ∪ Ω2 y tal que

sión de

uniformemente convergente sobre compactos

{ l´ım pn (z) =: F (z) =

n→∞

Considera el caso particular

f (z), z ∈ Ω1 g(z), z ∈ Ω2 .

Ω1 := C\D

y

Ω2 := D.

Prueba un caso particular del resultado anterior a partir de la consideración de la sucesión de funciones

fn (z) := 2. Prueba que la serie funcional bre los compactos de

1 , ∀z ∈ C\T. 1 − zn ∑

(−1)n n≥1 1−z n converge uniformemente so-

C \ (−N) a una función (holomorfa) f . Encuentra f en un entorno del origen.

el desarrollo en serie de potencias de

365

8.4. Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas 3. Prueba que la serie funcional sobre los compactos de Encuentra la tal funcón

∑

1 n≥1 z 2n −z −2n converge uniformemente

C \ (T ∪ {0}) f.

a una función (holomorfa)

f.

Los siguientes tres ejercicios (del 4 al 6) son bastante complicados. (Sus discusiones las puedes encontrar en el texto de Markushevich, pág. 410 y ss.)

f y g y que existe una sucesión (pn ) uniformemente convergente sobre los compactos del

4. Prueba que existen dos funciones enteras de polinomios plano

C,

tal que

{ l´ım pn (z) =: F (z) =

f (z), z ∈ C \ (Z × iZ) g(z), z ∈ Z × iZ.

5. (Existencia de la función universal) Existe una función entera para cualquier dominio función holomorfa en él,

f

tal que

Ω acotado y simplemente conexo y cualquier φ ∈ H (Ω), existe (nk )k≥1 tal que la sucesión fk (z) := f (z + nk )

converge a

φ

6. Una función

uniformemente sobre los compactos de

f

denida en el disco unidad

D

Ω.

se dice que tiene límite

T si ( ) ∃ l´ım f ρeiθ ∈ C, ∀θ ∈ [0, 2π[ .

radial sobre la circunferencia unidad

ρ→1−

Prueba que existen funciones

f

D, T.

holomorfas en el disco unidad

sin límite radial en ningún punto de la circunferencia unidad

pero

Con los dos siguientes ejercicios puedes obtener otra reformulación del Teorema de Runge. 7. Sea

◦

Ω = Ω ⊂ C.

Para cada natural

n,

se denen los conjuntos si-

guientes:

} { 1 Kn := D(0, n) ∩ z ∈ C : |z − w| ≥ , ∀w ∈ C \ Ω . n Prueba que:

i.

Los conjuntos

Kn

son compactos.

366

CAPÍTULO 8. DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS

ii. iii.

Para cada

n,

se tiene que

Para cada compacto

◦

Kn ⊂ K n+1 .

K ⊂ Ω,

existe un natural

m

tal que

K ⊂ Km+p , ∀p ∈ N.

iv.

Cada componente conexa de conexa de

C \ Ω.

◦

C \ Kn

contiene una componente

Ω = Ω ⊂ C y sea un conjunto S ⊂ C tal que contiene, al menos, un punto de cada componente conexa de C \ Ω. Prueba que si f ∈ H (Ω) , entonces existe una sucesión (Rn ) de funciones racionales con sus polos en S uniformemente convergente sobre los compactos de Ω a la función holomorfa f .

8. Sea

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Biliografía

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368

Índice alfabético Abel (criterio de), 73 Argumento de un número complejo, 28 principal, 28 Barrow (regla de), 139 Bloch (constante de), 241 Bolzano-Veierstrass (propiedad de), 339

radio de,64 cordal (métrica), 38 curva, 44 Ω-homótopa, 262 opuesta, 46 regular, 47 regular a trozos, 47 equivalente, 140

De Moivre (fórmula de), 30 derivada compleja, 50 Cadena, 252 desigualdad de la media (teorema), Regla de la, 51 211 Cauchy desigualdades triangulares, 27 criterio de la raíz de, 53 Dirichlet desigualdades de, 172 criterio de, 73 fórmula de problema de, 9, 221 para la circunferencia, 154 dominio, 39 para las derivadas, 161 de convergencia, 65 producto de, 75 convexo, 152 sucesión de, 183 estrellado, 151 valor principal de, 292 homológicamente conexo, 259 Cauchy-Riemann (ecuaciones de), 53 simplemente conexo, 261 cero (de una función holomorfa), 166 disco unidad, 11 ciclo, 252 Espacio topológico nulhomólogo, 256 circunrecta, 34 compacto, 36 conjunto conexo localmente compacto, 36 simplemente conexo, 255 por arcos, 43 Euler (constante de), 198 por poligonales, 43 conforme (aplicación), 105 Fibonacci (sucesión de), 155 convergencia forma binómica, 25 anillo de, 266

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Índice alfabético normal (familia de funciones), 338 número complejo, 24

función analítica, 62 armónica, 216 exponencial compleja, 77 gamma (de Euler), 207 holomorfa, 58 meromorfa, 312 periódica, 83 puntualmente acotada, 338 equicontinua, 338 regular, 270 simplemente periódica, 82 subarmónica, 211 trigonométrica, 76

Orden (de un cero), 168

Identidad del paralelogramo, 27 índice de un ciclo, 253 de un punto (respecto de una curva), 155 Jordan (lema de), 298 Laplace (ecuación de), 215 Laurent (serie de), 265 Legendre fórmula de duplicación de, 208 polinomios de, 75 Lema de conexión, 43 de construcción de primitivas, 143 de la sucesión exhaustiva de compactos, 168 logaritmo principal, 87 longitud (de una curva), 47 Méibius (transformación de), 120 módulo (de un número complejo), 26 Norma, 177

Parseval (identidad de), 174 parte real, 25 imaginaria, 25 período fundamental, 82 polinomio analítico, 62 polo, 19 potencia (de un número complejo), 32 primitiva, 13 Principio de extremo absoluto (para funciones armónicas), 220 relativo (para funciones armónicas), 223 de identidad, 168 para funciones meromorfas, 318 preludios al, 68 de la media, 210 del Argumento, 321 Generalizado, 319 del máximo (para funciones subarmónicas), 211 del módulo máximo, 213 mínimo, 2214 producto infinito, 190 del coseno, 201 del seno, 198 proyección estereográfica, 37 punto regular, 270 simétrico (respecto de una circun- recta), 129

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Índice alfabético

de factorización de Veierstrass, 202 de Haussdorf, 36 de Heine-Borel, 39 de Hurwitz, 3331 de la aplicación abierta, 229 de la curva de Jordan, 250 de la función inversa, 231 global, 234 de Lebesgue, 138 Schwarz (lema de), 347 de Liouville, 172 seminorma, 178 de los residuos, 283 serie de potencias, 62 de Morera, 177 simetría respecto de de Pick, 350 una circunferencia, 131 de Riemann una recta, 131 de representación conforme, 353 singularidad de singularidades evitables, 165 esencial, 273 de Rouché, 328 evitable, 165 de Runge, 364 suma integral, 137 de Vitali, 345 del cambio de variable, 139 Taylor del desarrollo en serie de Laurent, desarrollo en serie de, 157 265 desarrollo limitado de, 163 Fundamental Teorema del Álgebra, 172 de Alexandroff, 36 del Cálculo, 136 de Ascoli-Arzelá, 342 general de Cauchy, 257 de Bloch-Landau, 237 grande de Picard, 276 de Bolzano-Veierstrass, 168 pequeño de Picard, 241 de Borel, 160 primero de Montel, 342 de Cantor, 149 segundo de Montel, 344 de Casorati-Veierstrass, 275 topología, 35 de Cauchy, transformación general, 257 no-singular, 119 local para dominios estrellados singular, 119 152 Vallis (fórmula de), 201 local para el triángulo,148 de comportamiento local de las Veierstrass (test de mayoración de), 35 Yuxtaposición, 46 funciones holomorfas, 232 de convergencia de Veierstrass,178

Raíz n-ésima (de un número complejo), 31 razón doble, 127 residuo, 282 Riemann esfera de, 37 integral de, 137

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