Die Grundlagen des logischen Kalküls: Zweisprachige Ausgabe 9783787326310, 9783787315307

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GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ

Die Grundlagen des logischen Kalküls Herausgegeben, übersetzt und mit einem Kommentar versehen von

FRANZ SCHUPP unter der Mitarbeit von Stephanie Weber

Lateinisch - Deutsch

FELIX MEINER VERLAG HAMBURG

PHILOSOPHISCHE BIBLIOTHEK BAND 525

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INHALT Einleitung von Franz Schupp

vn Handschriften und Textform ................................... . Datierung der Texte .................................................. . X Zur Übersetzung ....................................................... . XVI Zum Kommentar ...................................................... . xvn Grundprobleme ......................................................... . XX 1. Die allgemeine Wissenschaft .......................... . XXI 2. Die allgemeine Wissenschaftssprache ............ . XXX 3. Der logische Kalkül ....................................... . xxxn xxxn 3.1. Der Identitätskalkül ....................................... . xxxn 3.1.1. Das Adäquatheitskriterium ........................... . 3.1.2. Begriffs- und Aussagennegation ..................... . xxxvm xu 3.2. Die Interpretation der Kalküle ...................... . 3.2.1. Intensionale und extensionale xu Interpretation ................................................. . 3.2.2. Begriffs- und Aussagenkalkül ......................... . XLVI XLVll 3.3. Der Plus-Minus-Kalkül .................................. . 3.3.1. Das Enthaltensein und die reale Hinzufügung .................................................. . L 3.3.2. Das disjunktive Enthalten .............................. . Llli LVill 3.3.3. Der arithmetische und der logische Kalkül ... . 3.3.4. Die Einschränkung der Anwendbarkeit der LXI Wegnahme ...................................................... . LXIV 3.3.5. Die Wegnahme im Kalkül in Text [VIII] ...... . LXX 3.3.6. Die Begriffskonstante des "Nichts" ............... . LXXill 3.3.7. Wegnahme und Negation .............................. . 3.3.8. Die Definition des Gemeinsamen .................. . LXXVI 3.3.9. Die Interpretation der Diagramme ................ . LXXVill LXXXI Zur Geschichte des Leibniz-Programms ....... . 6.

1. 2. 3. 4. 5.

VI

Inhalt Gottfried Wilhelm Leibniz Fundamenta calculi logici Die Grundlagen des logischen Kalküls

[I] De logica nova condenda Über die neu zu begründende Logik [II] Fundamenta calculi ratiocinatoris Die Grundlagen des Vernunftkalküls [111] Specimina calculi rationalis Probestücke des Vernunftkalküls [IV] Specimen ~alculi logici Ein Probestück des logischen Kalküls [V] Primaria calculi logici fundamenta Die ersten Grundlagen des logischen Kalküls [VI] Fundamenta calculi logici Die Grundlagen des logischen Kalküls [Vll] Specimen calculi coincidentium Probestück eines Kalküls der Koinzidierenden [VIII] Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis Ein nicht unelegantes Probestück des Beweisens im Bereich von Abstrakten [IX] Ad non inelegans specimen demonstrandi additamenta Ergänzungen zum nicht uneleganten Probestück des Beweisens [X] Specimen calculi coincidentium et inexistentium Probestück eines Kalküls der Koinzidierenden und der Darin-Existierenden

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Kommentar Verzeichnis der logischen Symbole Literaturverzeichnis Namensverzeichnis Verzeichnis der lateinischen Begriffe Begriffsverzeichnis deutsch - lateinisch

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2 3 16 17 28 29 44 45 52 53 60 61 68 69 86 87 112 113 116 117 157 265 267 275 277 287

EINLEITUNG* 1. HANDSCHRIFTEN UND TEXTFORM

Die Handschriften der hier veröffentlichten Texte befinden sich alle in der Niedersächsischen Landesbibliothek in Hannover. Neben den Signaturen1 geben wir in der zweiten Spalte die früheren Veröffentlichungen an und in einer dritten Spalte die Nummern dieser Texte in der Akademieausgabe, soweit diese in Reihe VI, Band 4 enthalten sind: [I] [II]

LH IV 7C Bl. 87-88 LH IV 7B, 2 Bl. 22-23

[ill] [IV] [V] [VI] [VII] [Vill]

LH IV 7B, 2 Bl. 62-63 LH IV 7B, 2, Bl. 3 LH IV 7 B, 2, Bl. 3 LH IV 7C Bl. 97 LH IV 7B, 2 Bl. 64-65 LH IV 7B, 2 Bl. 66-69

[IX]

LH IV 7B, 2 Bl. 27 LH I:V 7B, 2 BI. 60-61

[X]

c, s. 416-421 E, S. 92-94

GP VII, S. 204-207 c, s. 259-264 c, s. 232-235 c, s. 235-237 c, s. 421-423 c, s. 264-270 E, S. 94-97 GP VII, S. 228-235 c, s. 250-251 GP VII, S. 236-247

N.128 N.192 N.171

N. 173 N.178 N.180 N.177

Wie sich aus Teil 2 der Einleitung ergeben wird, ist diese Reihenfolge der Texte nicht schon als historische Abfolge der Abfassungszeiten zu verstehen. Alle Texte wurden aufgrund der Handschriften erstellt. Bei der Texterstellung wurde mit den in der Akademieausgabe verwendeten Konventionen (gesperrt, kursiv u.s.w.) gearbeitet. Die Texterstellung geschah in wiederhohem Kontakt mit den Mitarbeitern der Akademieausgabe, da es '~ Die Forschungsarbeit für diese Textsammlung mit Einleitung, Übersetzung und Kommentar wurde von der Fritz Thyssen Stiftung (Köln) unterstützt, der an dieser Stelle unser Dank ausgesprochen sei. 1 LH =E. Bodemann, Die LeibnizHandschriften der königlichen öffent· liehen Bibliothek zu Hannover, Hannover-Leipzig 1895.

vm

Einleitung

das Ziel der vorliegenden Ausgabe sein mußte, einen Text zugrundezulegen, der durch das Erscheinen des Bandes der Akademieausgabe nicht überholt ist. Diese Zusammenarbeit erwies sich als für beide Seiten hilfreich, da auch einige Textlesungen und Textkorrekturen, die sich bei der Erarbeitung der vorliegenden Edition ergaben, von der Akademieausgabe übernommen wurden. Es blieben einige kleine Differenzen der Texterstellung, die aber für den Benutzer unerheblich sind, da mit ihnen an keiner Stelle inhaltliche Divergenzen verbunden sind. Die Texte [IV] - [VI] wurden ausschließlich aufgrund der Handschriften erstellt, da sie in der Akademieausgabe erst für den nächsten Band vorgesehen und daher noch nicht in Bearbeitung sind. Für die vorliegende Textausgabe wurde kein textkritischer Apparat erstellt. Dies bedarf einer Begründung, da die letzte Textausgabe logischer Texte von Leibniz in der Philosophischen Bibliothek, die Generales inquisitiones, einen textkritischen Apparat enthält. Damals (die 1. Auflage ist 1982 erschienen) war das Erscheinen dieses Textes in der Akademieausgabe noch in weiter Ferne, und die Herstellung eines textkritischen Apparats für die Philosophische Bibliothek konnte auch von der Akademieausgabe als nützliche Vorarbeit angesehen werden. Für die vorliegende Textauswahl liegt jedoch - außer für die relativ kurzen Texte [IV] - [VI] - in der Akademieausgabe bereits eine textkritische Bearbeitung vor. Es wurde daher eine andere, für den Benutzer der Texte wahrscheinlich hilfreichere Bearbeitungsweise gewählt. Selbstverständlich sind alle Eingriffe in den Leibnizschen Text im Apparat angegeben. Einzelne Lesarten bzw. einige von Leibniz ganz gestrichene Stellen hingegen wurden dort, wo sie für die Interpretation relevant sind, im Kommentar herangezogen. Um eine einheitliche Textgestalt zu gewinnen, wurde dieses Verfahren auch bei den Texten [IV]- [VI] angewandt, obwohl der Benutzer hier noch nicht die Möglichkeit hat, bei fraglichen Stellen den textkritischen Apparat der Akademieausgabe heranzuziehen. Bei diesen Texten wurde daher besondere Sorgfalt dar-

1. Handschriften und Textform

IX

auf verwendet, relevante Textvarianten oder gestrichene Stellen im Kommentar aufzuführen. Nur in [V] ist am Ende des Textes eine besonders relevante gestrichene Stelle im Apparat aufgeführt, da durch sie die Parallele zu Text [VI] besser deutlich wird. Es wurde also bei allen Texten der Versuch unternommen, im Kommentar u.a. eine interpretationsrelevante Analyse des Handschriftenbefundes vorzunehmen. Dieser Weg scheint für eine Studienausgabe hilfreicher zu sein als der Abdruck eines gesamten textkritischen Apparats, der von dem Nicht-Fachmann oft nur mit großer Mühe sinnvoll verwendet werden kann. Etwas problematisch war die Frage der Strichklammern, bei deren Setzung Leib~!z häufig recht ungenau vorging. Eine Ergänzung oder Anderung dieser Strichklammern wurde jedoch nur dort vorgc;!lommen, wo sie unbedingt erforderlich war. Alle solche Anderungen sind im Apparat angegeben. Die Bindestriche bei non·A oder non·homo werden im lateinischen Text nur dort gesetzt, wo sie in der Handschrift stehen. Im deutschen Text werden sie hingegen überall dort ergänzt, wo es den Herausgebern richtig erscheint. Der Leser hat auf diese Weise durch den lateinischen Text die Möglichkeit, die Annahmen der Herausgeber zu überprüfen. Leibniz setzt häufig Textstellen nachträglich an den Rand. Es ist dabei nicht immer eindeutig, ob es sich um Textergänzungen oder um echte Anmerkungen handelt. Ich tendiere (in gewissem Unterschied zu den Herausgebern der Akademieausgabe) eher dazu, solche Textstellen in den laufenden Text zu integrieren, und nur jene als Anmerkungen zu behandeln, die einen echten Anmerkungscharakter haben. Erhebliche Unterschiede zur Akademieausgabe ergeben sich dadurch aber nicht. Einige wenige Stellen erfordern Ergänzungen, die durch "( ... )" gekennzeichnet sind. Textkorrekturen werden im kritischen Apparat ausnahmslos verzeichnet. Dort, wo eine Korrektur erläuterungsbedürftig scheint, wird sie im Kommentar begründet.

Einleitung

X

2. DATIERUNG DER TEXTE Von den hier edierten Texten tragen nur zwei, nämlich [IV] und [VI], ein Datum und sind demnach sicher auf 1690 datierbar. Der Text [V] stellt die unmittelbare, in [IV] am Ende des Textes schon angekündigte, Fortsetzung von [IV] dar, ist also ohne Zweifel auch 1690 entstanden. Für alle übrigen Texte können nur äußere oder innere Indizi.~n für eine ungefähre Datierung herangezogen werden. Außere Indizien erhält man durch Papiermaterial und Wasserzeichen. 2 Wasserzeichen liefern jedoch gewöhnlich nur verhältnismäßig vage Hinweise, und zwar eher auf einen terminus ante quem non als auf einen terminuspost quem non. Denn es läßt sich nicht mit Sicherheit ausschließen, daß Leibniz während einer bei ihm nicht seltenen Papiernot einige freie Blätter unter anderen schon beschriebenen hervorgezogen und verwendet hat. Bei Text [I] liegt ein eindeutiges Datum, vor dem der Text nicht entstanden sein kann, im Text selbst vor. Leibniz weist auf die 1682 erstmals erschienene wissenschaftliche Zeitschrift Acta Eruditorum hin. Das Wasserzeichen des Papiers von Text [I] ist für den Zeitraum von 1683 bis 1685 nachgewiesen, so daß also aufgrunddieser beiden Hinweise der Entstehungszeitraum 1683-1685 angenommen werden kann. Aus dem sehr allgemein gehaltenen Inhalt des Textes können keine Indizien für die Abfassungszeit gewonnen werden. Für Text [II] liefert die Papiersorte (Wiener Papier) einen verhältnismäßig guten Anhaltspunkt. Leibniz war im Mai 1688 in Wien angekommen und hielt sich dort bis Februar 1689 auf, von wo aus er nach Italien weiterreiste. Die Abfassung dieses Textes während seines Aufenthalts in Wien ist also sehr wahrscheinlich. Für Text [III] liegt keinerlei äußeres Indiz für die Datierung vor. Aus inhaltlichen Gründen kann jedoch angeIch stütze mich bei diesen Angaben auf Beobachtungen, die an der Leibniz·Forschungsstelle Münster angestellt wurden. 2

2. Datierung der Texte

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nommen werden, daß dieser Text nach den 1686 entstandenen Generales inquisitiones, aber vor dem mit 1690 datierten Text [IV] angefertigt wurde. 3 In [III], (9) und (18), ~~ndet Leibniz nämlich eine Lösung für das Problem des Ubergangs von der Negation einer Aussage (Ä non est B) zur Negation des Prädikats (QA est non B), die er in den Generales inquisitiones noch nicht zur Verfügung hatte. 4 Die Texte [IV]- [VI] sind sicher auf Anfang August 1690 datierbar und demnach eindeutig nach der Rückkehr von Leibniz nach Hannover abgefaßt worden. Bei den bisherigen Datierungen ergaben sich keine besonderen Probleme. Anders sieht dies bei der Gruppe der Texte [VII] - [X] aus. Beginnen wir mit den Indizien, die aus den Wasserzeichen gewonnen werden können. Das Papier von [VII] trägt ein Wasserzeichen, das bei Leibniz für 1686 belegt ist; das Wasserzeichen des Papiers von [VIII] findet sich auch bei Texten, die für 1685 bis 1687 gesichert sind; für [IX] läßt sich aus dem Papier kein Hinweis gewinnen, und das Wasserzeichen von [X] schließlich stimmt mit demjenigen einiger Texte überein, deren Abfassungszeit zwischen 1685 und 1687liegt. Die äußeren Indizien deuten also auf einen Abfassungszeitraum dieser Texte von 1685 bis 1687 hin, so daß damit sogar eine Entstehung vor den Generales inquisitiones in Frage käme. Diese Möglichkeit halte ich allerdings für sehr unwahrscheinlich. Auf der anderen Seite haben wir mit diesen Texten ein logisches System vor uns, das von dem der Generales inquisitiones und dem mit letzterem in Verbindung stehenden der Texte [III] - [VI] ziemlich verschieden ist. Dies zeigt sich schon rein äußc;.rlich in dem Plus-Minus-Symbolismus. Couturat war der Uberzeugung, daß diese Texte nicht gleichzeitig mit der vorher genannten Gruppe entstanden sein können, sondern sicher Lenzen (1986), S. 19, nimmt dieselbe Entstehungsfolge an; ebenso Doull (1991), S. 17. 4 Weitere Beobachtungen, die diese Datierung stützen, werden im Kommentar aufgefühn. 3

XII

Einleitung

später als diese abgefaßt worden sind. 5 Rescher nimmt 1690 als Entstehungsjahr an und hält diese Texte für das letzte von Leibniz entwickelte System des logischen Kalküls. 6 Auch Kauppi ist überzeugt, daß diese Texte nach den mit 1690 datierten (also hier [IV] - [VI] entstanden sein müssen/ Ebenso klar ist die Datierung bei Parkinson, der diese Texte nach jenen vom August 1690 ansetzt. 8 Ganz ähnlich ist die Annahme von Burkhardt, der von einem Entstehungsdatum im Jahre 1690 ausgeht, und zwar eindeutig von einem Datum nach jenem der Fragmente vom August 1690. 9 Auch Aiton führt diese Texte innerhalb der Periode 1690-1698 an. 10 Berlioz folgt der Datierung von Gouturat und Aiton. 11 Wir haben hier also den Fall vor uns, wo alle Interpreten übereinstimmend - aus textimmanenten Gründen - eine Entstehungszeit annehmen, die frühestens nach dem August 1690, und damit nach unseren Texten [IV] [VI], liegt, während der Befund der Wasserzeichen auf eine Entstehungszeit in den Jahren 1685 bis 1687 hinzudeuten scheint. Auch bei einem weiteren Text des Plus-MinusKalküls,12 der eindeutig mit unserem Text [VIII] in Zusammenhang steht, ist das Wasserzeichen belegt für 1687. Man muß sich also fragen, ob wir es hier nicht bei den Indizien, die aus den Wasserzeichen gewonnen werden können, mit einer - um mit dem Leibniz-Text [I] zu sprechen - größten aus den Daten erreichbaren Wahrscheinlichkeit (maxima quae ex datis haberi possit probabilitas) zu tun haben, die auf Couturat (1901), S. 364. Rescher (1954), S. 11. Kauppi {1960), S. 223. Parkinsen {1966), S. LV. 9 Burkhardt {1980), S. 349. 10 Aiton (1985), S. 208. 11 Berlioz/Drapeau Contim(1998), S. 37. Das dort angeführte Argument, nämlich, daß das Papier nach neueren Forschungen von A. Robinet aus Italien stammt, spricht jedoch eigentlich gegen diese Datierung, denn wenn der Text, auf den sich Berlioz bezieht (in unserer Ausgabe [X], während der Italienreise entstanden ist, so liegt sein Entstehungsdatum vor den Texten von 1690 (in unserer Ausgabe die Texte [IV]- [VI]. 12 A VI, 4, N. 179, S. 855-858 (C, S. 256). 5

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2. Datierung der Texte

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eine Abfassung um das Jahr 1687 herum hindeutet. Damit legt sich also tatsächlich die Annahme nahe, daß die Texte [VII] - [X] vor [IV] - [VI] entstanden sind. Es ist klar, daß diese Annahme erhebliche Schwierigkeiten für die "geistige Entwicklung" von Leibniz mit sich bringt. Alle durchaus überzeugenden internen Gründe für eine spätere Abfassung gelten dann nicht mehr. Aber vielleicht wissen wirtrotz der unzähligen Manuskriptseiten viel zu wenig von Leibniz, um Datierungen auf "Entwicklungen", "Fortschritte" und ähnliche Kategorien aufbauen zu können. Man kann jedoch diese Datierung auch zur Interpretation heranziehen. Falls diese Datierung nämlich zutrifft, gilt es - jedenfalls aus der Sicht von Leibniz- nicht mehr, daß wir mit [VIII] und [X] die "reifsten" seiner Kalküle vor uns haben, vielmehr sah Leibniz diese (im Vergleich zu anderen) ohne Zweifel sehr ausgearbeiteten Kalküle als Versuche an, von denen er dann wieder zu dem System zurückkehrte, das er in den Generales inquisitiones zugrundegelegt hatte. Nur dort hatte er davon gesprochen, daß er hervorragend vorangekommen war. 13 Eine Stützung dieser Datierung in der Sekundärliteratur könnte man am ehesten bei K. Huber finden. 14 Dieser führt die beiden Texte innerhalb des Abschnitts an, die die Periode von 1676-1689 behandelt, ordnet sie aber eindeutig in die Zeit nach 1686 ein. 15 Damit gelangt man also zu einer Abfassungszeit von 1686-1689, wobei besonders viele Indizien auf 1686/1687 hindeuten dürften. Ein Problem für die Datierung dieser Texte in diesen Jahren könnte sich auf den ersten Blick daraus ergeben, daß Leibniz im Oktober 1687 für seine ItalienGI, S. 2. Die Angabe von Burkhardt (1980), S. 351, daß Huber diese Kalküle zwischen 1695 und 1697 datiert, läßt sich nicht verifizieren. Sie beruht wohl aufKauppi (1960), S. 223, wo Kauppi sagt, daß diese Kalküle vor dem Specimen geometriae luciferae entstanden sein müssen, das nach Huber (1951), S. 418ff., um 1695-1697 abgefaßt wurde. Eine so genaue Datierung findet sich aber bei Huber, S. 417-422 nicht. In jedem Fall ergibt sich aus dieser Datierung nur ein terminuspost quem non. 15 Huber (1951), S. 139. 13 14

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Einleitung

reise von Hannover abgereist war und erst 1690 wieder zurückkehrte. Die genannten Texte wären dann also während der Reise entstanden. Dazu ist allerdings zu sagen, daß Leibniz sich wiederholt mehrere Monate an einem Ort aufhielt, und die Arbeiten aus dieser Periode zeigen, daß er durchaus Zeit und Gelegenheit fand, sich mit wissenschaftlichen Fragen zu befassen. 16 Sollte sich die Vermutung, daß das Papier von [X] italienischer Herkunft ist, 17 auch für das Papier von [VII] - [IX] bestätigen, so wäre dies ein weiteres wichtiges äußeres Indiz für die Annahme einer Entstehung der Texte [VII] - [X] während der Italienreise. Die hier angenommene Datierung der Texte [VII] - [X] auf die Jahre 1686/1687 stimmt mit jener der Herausgeber der Akademieausgabe in Band VI, 4, überein. Es bleibt dann noch die Frage der relativen Chronologie dieser Texte. Daß [IX] unmittelbar nach [VIII] entstanden sein muß, ist eindeutig, da in Text [IX] auf Abschnitte aus Text [VIII] verwiesen wird. Für die weitere relative Chronologie nehmen die Herausgeber der Akademieausgabe für [VII] April- Oktober 1686, für [X] Frühjahr 1686 - Anfang 1687, und für [VIII] März - April 1687 an. Bei der Datierung von Text [VII] sehe ich kein Problem. Der einzige Punkt, an dem ich bei dieser relativen Chronologie ein Problem sehe, liegt in der Annahme, daß der Text [VIII] nach [X] entstanden sein soll. Dieser Annahme entspricht zwar, daß sich im LeibnizNachlaß Text [X] vor [VIII] findet (vgl. die Einleitung S. VII), allerdings findet sich dort auch Text [VIII] unmittelbar nach [VII], und an dieser Reihenfolge möchte ich aus inneren Gründen, die u.a. weiter unten in der Einleitung in 5.3.3.4 und 5.3.3.5 ausgeführt werden, auch festhalten. Man müßte also m.E. entweder Text [X] vor [VII] ansetzen, oder [X] nach [VII] und [VIII], nicht aber [X] zwischen [VII] und [VIII]. Man gelangt so eigentlich zu einer Frage der Interpretation: Hat Leibniz zunächst den Plus-Kalkül des Textes [X] entwickelt und dann den Plus-Minus-Kalkül der Texte 16 17

Vgl. Aiton (1985), S. 139-168. Vgl. weiter oben Anm. 11.

2. Datierung der Texte

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[VII] - [IX], oder ist er den umgekehrten Weg gegangen? In Hinsicht auf diese Frage kann man nur innere Gründe anführen, und wir haben oben gesehen, wie problematisch es ist, mit einer "inneren Entwicklung" bei Leibniz zu argumentieren. Der hier vorgelegten Textsammlung liegt folgende Interpretationshypothese zugrunde: In den Texten des sog. Identitätskalküls, also vor allem in den Generales inquisitiones und hier in Text [III] ging Leibniz von positiven und negativen Begriffen sowie deren Konjunktion aus, also von A und non-A, ein Ausgangspunkt, den er auch später, hier in den Texten [IV] - [VI] wieder aufnahm und weiterführte. Einen anderen, neuen, Kalkül versuchte Leibniz in den Texten [VII]- [IX] und weiteren zum sog. PlusMinus-Kalkül gehörenden Texten. In diesen ging er nicht von positiven und negativen Begriffen aus, sondern von zwei auf Begriffe bezogenen logischen Operationen, der Hinzufügung, also"+", und der Wegnahme, also"-". Dies legte sich in Analogie zum arithmetischen Kalkül nahe. Vgl. dazu die Einleitung 5.3.3.3. Bei der Durchführung dieses Kalküls sah Leibniz, daß diese beiden Operationen im Bereich der Logik nicht streng symmetrisch konstruierbar waren. Vgl. dazu die Einleitung 5.3.3.4. Diese und weitere technische Schwierigkeiten, die sich bei der Durchführung ergaben oder zu ergeben schienen (vgl. dazu den Kommentar zu [VIII], Theorem IX), bewogen Leibniz dazu, einen Kalkül ohne die logische Operation der Wegnahme zu versuchen. Und schließlich kehrte er wieder zu den Grundannahmen des sog. Identitätskalküls zurück. Dies ergäbe also in Hinsicht auf die Generales inquisitiones und die jetzt hier veröffentlichten Texte zur Logik von Leibniz folgende relative Chronologie: (1) Generales inquisitiones, dann Text [III], (2) Plus-Minus Kalkül, Texte [VII] - [IX], (3) PlusKalkül, Text [X], (4) Rückkehr und Fortführung des Identitätskalküls, Texte [IV] - [VI]. Sämtliche Texte aus (1) - (3) sind 1686/1687 entstanden, die Texte aus (4) hingegen sind 1690 entstanden.

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Einleitung 3. ZUR ÜBERSETZUNG

Für em~ge der Texte der vorliegenden Textauswahl sind bereits Ubersetzungen ins Deutsche vorhanden. Wir geben hier zunächst zu den einzelnen Texten die Seitenzahlen der Ausgabe von F. Schmidt an, soweit dort Übersetzungen enthalten sind: [II], S. 110-115; [IV], S. 163-167; [VI], S. 161163; [VIII], S. 315-326; [IX], S. 304-305; [X], S. 326-343. Der Text [VIII] liegt außerdem in einer Übersetzung von H. ~erring vor. 18 Eine kritische Auseinandersetzung mit diesen Ubersetzungen würde keinen erheblichen sachlichen Gewi~~ bringen. Das Urteil darüber, ob es gelungen ist, bessere Ubersetzungen zu liefern, soll dem kritischen..Leser überlassen bleiben, der dort, wo ihm die vorgelegt~ Ubersetzung inadäquat erscheint, die genannten anderen Ubersetzungen heranziehen kann. Daß sich bei so formalen Texten wie denen von [II] - [X] öfter St~.llen ergeben, deren Übersetzung mit schon vorliegenden Ubersetzunge~ praktisch identisch ist, ist leicht verständlich. Für die Ubersetzung gilt generell das, was schon bei der Übersetzung der Generales inquisitiones zu dieser Frage ausg~führt worden ist: 19 Die Genauigkeit und die konsistente Ubersetzung von Fachbegriffen muß den Vorrang vor der Eleganz der Sprache haben. In der Übersetzung wurde im allgemeinen auf Anführungszeichen verzichtet, und zwar auch dort, wo Leibniz z.B. sagt, daß er etwas "Teil" nennt. Leibniz gebraucht in solchen Fällen nicht selten Unterstreichungen, die wir durch Sperrungen wiedergeben. Sperrungen kombiniert mit Anführungszeichen aber hätten einen sehr schwerfälligen Text ergeben. An den wenigen Stellen, wo keine Sperrungen vorliegen und somit Anführungszeichen verwendet werden könnten, wurde aus Gründen der Einheitlichkeit auf solche verzichtet. Mißverständnisse sind hier aufgrund Leibniz, Schriften zur Logik und zur philosophischen Grundlegung von Mathematik und Naturwissenschaft, übers. von H. Herring, S. 153-177. 19 GI, EinleitungS. XXIV-XXVll. 18

4. Zum Kommentar

XVII

des Kontextes jedoch ausgeschlossen. Ebenso wird auch in dem Fall, wo innerhalb einer Aussage nochmals eine Aussage vorkommt, z.B.: Die Aussage A istBist falsch, die darin enthaltene Aussage, al~o A ist B nicht in Anführungszeichen gesetzt. Auch hier sind Mißverständnisse kaum möglich. Man muß allerdings auch daran erinnern, daß Leibniz, wie er es in [III] ausdrücklich ausführt, Aussagen auch als Begriffe auffaßt, also z.B. bei der Formulierung Daß A B ist, ist falsch, so daß in diesem Fall Anführungszeichen gar nicht korrekt wären. Und schließlich sollte man auch nicht vergessen, daß es sich um einen Text des 17. Jahrhunderts handelt. Es wäre daher auch für einen Studientext aus dieser Periode nicht unbedingt sinnvoll, ihn durchgehend nach Standards der modernen Kennzeichnung logischer Abhandlungen zu bearbeiten, da dadurch der historische Abstand unkenntlich würde. An einigen wenigen Stellen, so z.B. in [VII], (29), wo Leibniz ausdrücklich von einem Zeichen, also z.B. von "+" spricht, wurden in der Übersetzung Anführungszeichen gesetzt, da an diesen Stellen der heutige Leser durch das Fehlen dieser Zeichen eher verwirrt würde. Variable, Beispielbegriffe und Beispielsätze wurden von den Herausgebern kursiv gesetzt. Die gewinkelten Klammern kennzeichnen T extergänzungen des Herausgebers. Die runden Klammern sind jene, die auch in der Handschrift bei Leibniz vorhanden sind, die t:~kigen Klammern hingegen kennzeichnen Ergänzungen des Ubersetzers, die der besseren Verständlichkeit des Textes dienen sollen. 4. ZUM KOMMENTAR Ziel des Kommentars ist es, eine Interpretation im historischen Kontext zu geben. Es wird also versucht, den Zusammenhang der hier vorgestellten Texte mit anderen Texten von Leibniz herzustellen und unklare Ausdrücke sowie schwer verständliche Stellen aus diesem Zusammenhang heraus zu erklären. Eine systematische Rekonstruktion der

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Einleitung

gesamten Logik von Leibniz ist nicht angezielt. 20 Auch ist es nicht beabsichtigt, im Kommentar auf die berühmten leibnizschen "Antizipationen" der modernen Logik einzugehen. Im Vergleich zu diesen "Antizipationen" wird in der Forschung zu wenig die andere historische Richtung beachtet, und zwar die des Zusammenhangs mit der Logik vor Leibniz. Es wird häufig zu einfach von der "traditionellen" Logik gesprochen, ohne sich genauer zu fragen, was denn diese traditionelle Logik bei Leibniz eigentlich bedeutet. In historischer Hinsicht jedenfalls macht die Frage, welche frühere Logik Leibniz formalisieren wollte, mehr Sinn als die Frage, welche spätere Logik er antizipierte. Bei Schwierigkeiten, denen Leibniz begegnet, oder auch bei Fehlern, die bei Leibniz vorliegen, wird daher versucht, im Rahmen des leibnizschen Denkens zu bleiben und die Probleme mit den Mitteln zu bearbeiten, die Leibniz selbst zur Verfügung standen. Dies bedeutet z.B., daß häufig das syllogistische System herangezogen wird, welches Leibniz selbst al.s Adäquatheitskriterium seiner Kalküle, vor allem des sog. Identitätskalküls, verstand. Eine Ausnahme wurde nur an einem Punkt gemacht. Leibniz verwendet eine bestimmte Gruppe unbestimmter Begriffe so, daß mit ihnen faktisch implizite Quantaren aufgestellt werden. Dieser Sachverhalt läßt sich am besten mit den Mitteln der modernen Quamorenlogik darstellen. Im historischen Kontext reicht es nicht aus, z.B. bei der Frage der Negation einen Fehler bei Leibniz festzustellen, wenn Leibniz, obwohl er diesen Fehler gelegentlich selbst gesehen hat, doch immer wieder darauf zurückkommt, wie es sich in den Texten [III] - [VI] zeigen wird. Hier ist die Frage zu stellen, ob vielleicht historische Gründe dafür vorliegen, daß Leibniz immer wieder auf solche Regeln zurückgreift, oder ob ihn etwa metaphysische Zielsetzungen dazu veranlaßten, eine "andere" Logik anzustreben, in der solche Regeln Geltung hätten. Ähnliches gilt z.B. für die bei Leib20 VgL dazu von den neueren Arbeiten zu Leibniz' Logik vor allem Lenzen (1990).

4. Zum Kommentar

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niz auftretende Problematik, daß er Unmöglichkeit und Falschheit gelegentlich als ununterscheidbar darstellt. Auch hier ist zu fragen, ob Leibniz vielleicht eine Logik im Rahmen einer Metaphysik anstrebte, die diesen Unterschied der Modalitäten letztlich aufhob. Wir werden auf solche Fragen zurückkommen. Der Kommentar zu den Texten [III] und [VII] erwies sich als besonders schwierig und an manchen Stellen ist es nicht gelungen, überzeugende Erklärungen zu liefern. Dabei ist allerdings zu berücksichtigen, daß diese Texte jeweils als Vorstufen zu den Texten [IV] - [VI] bzw. [VIII] - [X] zu betrachten sind. Mit den Texten [III] und [VII] soll also u.a. gezeigt werden, wie Leibniz sich mit bestimmten Problemen auseinandersetzte, für die er noch keine Lösungen gefunden hatte. Dies gilt besonders für den Text [VII]. Die verwendeten logischen Symbole dienen primär der Abkürzung ~zw. der übersichtlicheren Darstellung. Eine vollständige Ubertragung der leibnizschen Logik in moderne Symbolik wurde nicht angestrebt. Für die Negation von Charakteren, die bei Leibniz in der primär vorliegenden Interpretation als Begriffe verstanden werden, wurde der Strich über dem Buchstaben verwendet, der selbstverständlich von den Strichklammern zu unterscheiden ist, die im Text von Leibniz vorkommen. Um Unklarheiten zu vermeiden, wurde von solchen Strichklammern im Kommentar kein Gebrauch gemacht. Die gewählte Form der Negation ist aus der modernen Algebra der Logik bekannt. Es ist jedoch interessant zu wissen, daß auch Leibniz diese Form bereits kannte. In einem Text, in dem Leibniz hauptsächlich mit Vorlagen von Joachim Jungius arbeitet, findet sich folgende Stelle: A · B potest esse non A · non B. 21 VE, N. 354, S. 163225 . - Die Herstellung dieser Negationsstriche (wie auch der leibnizschen Strichklammern) mit dem Formeleditor des Computers war nicht unproblematisch, da diese Striche mitunter zwar auf dem Bildschirm sichtbar waren, im Ausdruck dann aber fehlten. Es kann nicht ausgeschlossen werden, daß hier Fehler im letzten Ausdruck blieben. 21

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Einleitung

Im Kommentar werde.~ Leibniz-Zitate gewöhnlich in der Originalsprache und in Ubersetzung vorgelegt, da deutsche Originaltexte im Bereich der Philosophie bei Leibniz sehr selten sind. Die lateinischen und französischen Texte wurden fast durchgehend vom Herausgeber neu übersetzt, auch dann, wenn schon Übers.~tzungen vorliegen. In den Fällen, wo bereits vorhandene Ubersetzungen verwendet werden, wird dies selbstverständlich ausdrücklich angegeben. Da es wahrscheinlich nicht wenige Leser geben wird, die zwar die Texteditionen von Gerhardt und Couturat, nicht aber den Band VI, 4 der Akademieausgabe zur ständigen Verfügung haben, verweisen wir neben der Akademieausgabe auch auf diese älteren Ausgaben soweit die entsprechenden Texte dort abgedruckt sind. 5. GRUNDPROBLEME Die vorliegende Textauswahl basiert auf einem von Leibniz selbst vorgegebenen Zusammenhang, der durch drei Stichworte wiedergegeben werden kann: (1) Die allgemeine Wissenschaft (Scientia generalis). Diese stellt die allgemeinste Wissenschaftslogik dar. (Text [I] (2) Die allgemeine Charakteristik (Characteristica univer· salis). Diese bildet die Begriffsstrukturen auf ein Zeichensystem ab. (Text [II] (3) Der logische Kalkül (Calculus logicus). Dieser stellt die Transformationsregeln auf, die in diesem Zeichensystem gelten sollen. (Texte [III] - [X] Die Einleitung folgt wie die Textauswahl diesem Aufbau. Es muß dabei klar sein, daß es sich bei diesen drei Punkten nicht um einfach nebengeordnete Bereiche handelt, sondern um verschiedene Aspekte eines geordneten Gesamtzusammenhangs. Die vorliegende Textsammlung umfaßt daher eigentlich nur Texte zur allgemeinen Wissenschaft (Scientia generalis), der Text zur allgemeinen Charakteristik und die Texte zu verschiedenen Kalkülen stellen nur "Probestücke" (speciminia} dieses großen Projektes dar.

5.1. Die allgemeine Wissenschaft

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1. Die allgemeine Wissenschaft

(Scientia generalis) Leibniz hat kein Hauptwerk, kein Opus magnum hinterlassen, er hat aber eines während seines ganzen Lebens geplant: die Scientia generalis. Er wußte, daß dieses Projekt weit über die Möglichkeiten eines einzelnen Menschen hinausgeht. Deshalb versuchte er, andere zur Mitarbeit zu gewinnen, solche, die wissenschaftliche Beiträge leisten konnten, und solche, die durch politische und finanzielle Unterstützung ihren Beitrag leisten sollten. Text [I] ist ein gutes Beispiel einer solchen programmatischen Schrift, die gleichzeitig als Werbung gedacht war. Entsprechend ist dieser Text in jenem pathetischen Stil abgefaßt, den Leibniz für solche Zwecke gerne einsetzte und der völlig verschieden ist von der knappen und formalen Sprache der Texte zu den Logikkalkülen. Dieser Text soll zeigen, daß hinter den ganz formalen Einzelproblemen der Kalküle bei Leibniz noch viel weite~. gesteckte Ziele lagen und daß er auch ganz ernsthaft der Uberzeugung war, damit etwas zum Glück und Wohlergehen der Menschheit leisten zu können. Eigentlich .muß man noch mehr sagen: Leibniz meinte, hier nicht nur etwas zum Glück der Menschen beizutragen, sondern er glaubte, dafür den Schlüssel schlechthin gefunden zu haben, einen "Leitfaden des Denkens", durch den wir "die Ruhe des Geistes und den Frieden der Seelen erlangen", wie wir in Text [I] lesen können. Einem etwa zwischen 1683 und 1685 verfaßten Text gibt Leibniz folgende Überschrift: lntroductio ad Encyclopaediam arcanam; sive lnitia et Speciminia Scientiae Generalis, de instauratione et ·augmentis scientiarum, degue perficienda mente, et rerum inventionibus, ad publicam felicitatem. 22 Einleitung in die geheime Enzyklopädie oder Anfangsgründe und Probestücke der Allgemeinen Wissenschaft von der Einrichtung A VI, 4, N. 126, S. 5271·5 (C, S. 511). Ganz ähnliche Überschriften tragen die Fragmente A VI, 4, N. 158, S. 674 20•26 (GP VII, S. 49); A VI, 4, N. 159, S. 677 14•18 (C, S. 515); A VI, 4, N. 85., S. 353 2•5 (E, S. 85); A VI, 4, N. 86, S. 357 1..19 (GP VII, S. 57). 22

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Einleitung

und dem Anwachsen der Wissenschaften, von der erforderlichen Vervollkommnung des Geistes und von den Entdeckungen zur Glückseligkeit der Allgemeinheit. Das Ziel von Leibniz ist folgendes: Es soll eine Enzyklopädie aller Wissenschaften erstellt werden, für die eine allgemeine, auf alle Wissenschaften anwendbare Methode gefunden werden soll, nämlich die Scientia generalis. Um das Ziel der Enzyklopädie erreichen zu können, müßten die Grundbegriffe aller Wissenschaften, also die nicht weiter zerlegbaren Begriffe, zur Verfügung stehen. Diese Grundbegriffe stellen das Denkbare überhaupt dar: Scientia Generalis nihil aliud est quam Scientia de Cogitabili in universum quatenus tale est. 23 Die Allgemeine Wissenschaft ist nichts anderes als die Wissenschaft über das Denkbare insgesamt insofern es ein solches ist. Leibniz weiß jedoch, worauf er auch in Text [II] verweist, daß es über die menschlichen Möglichkeiten hinausgeht, die letzten, nicht weiter zerlegbaren Begriffe aufzufinden. In der Einleitung in die geheime Enzyklopädie schreibt Leibniz: Non videtur satis in potestate humana esse Analysis Conceptuum, ut scilicet possimus pervenire ad notiones primitivas, seu ad ea q,uae per se concipiuntur. Sed magis in potestate humana est analySlS veritatum, multas enim veritates possumus absolute demonstrare, et reducere ad veritates primitivas indemonstrabiles; itaque huic potissimum incumbamus. 2 Es scheint, daß es nicht in ausreichendem Maße in der Macht des Menschen liegt, eine Analyse der Begriffe [durchzuführen], so nämlich, daß wir zu den ursprünglichen Begriffen gelangen könnten bzw. zu jenen, die dureil sich selbst erfaßt werden. Eher steht eine Analyse der Wahrheiten in der Macht des Menschen; wir können nämlich viele Wahrheiten absolut beweisen und sie auf ursprüngliche unbeweisbare Wahrheiten zurückführen; darauf also sollten wir uns hauptsächlich verlegen. Wir arbeiten also mit für uns zum gegenwärtigen Zeitpunkt nicht weiter zerlegbaren Begriffen, was nicht aus23 24

A VI, 4, N. 126, S. 52718r·(C, S. 511). A VI, 4, N. 126, S. 530'0-531' (C, S. 514).

5.1. Die allgemeine Wissenschaft

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schließt, daß wir im Fortgang der Wissenschaft solche Begriffe weiter werden zerlegen können. Dennoch wird es uns in den meisten Fällen nicht gelingen, zu den letzten, nicht mehr zerlegbaren Begriffen zu gelangen. Da nur durch eine Analyse bis zu den letzten Bestandteilen die Widerspruchsfreiheit der verwendeten Begriffe bewiesen werden könnte, wir aber diese Analyse niemals für alle Begriffe vollständig durchführen werden können, müssen wir die Widerspruchsfreiheit voraussetzen. Diese Voraussetzung mußte Leibniz korrekterweise auch in seinen logischen Kalkülen immer wieder ausdrücklich anführen, was z.B. in Text [VII], (19), deutlich wird. Man kann die Frage stellen, ob sich die Logik als formale Disziplin auf die schon vorliegenden Begriffe bezieht oder ob die Aufstellung der Begriffe und somit die Begriffsexplikation selbst zu den Aufgaben der Logik zählt. Im ersteren Fall wäre die Logik der formale Teil der Scientia generalis, im letzteren Fall fiele sie mit ihr zusammen. Leibniz scheint beide Möglichkeiten in Betracht gezogen zu haben. Für die zweite Möglichkeit spricht zwar eine so dezidierte Aussage wie "Die Logik ist die Allgemeine Wissenschaft" (Logica est Scientia generalis), 25 im allgemeinen hat aber Leibniz die Logik als formale Diziplin eher im engeren Sinn des Calculus logicus verstanden, so wie dies auch der Einteilung weiter oben zu Beginn von V zugrundeliegt. Eine Wahrheit, d.h. eine wahre Aussage, wird nach Leibniz bewiesen, indem gezeigt wird, daß der Prädikatbegriff im Subjektbegriff enthalten ist. In vielen Fällen ist dieser Nachweis durch eine endliche Analyse ereichbar, auch wenn wir nur mit für uns und vorläufig nicht weiter zerlegbaren Begriffen arbeiten. Ein Großteil der Logik, die Leibniz entwickelt hat, diente der Aufstellung formaler Regeln für solche Beweise, so auch die Texte [ill] - [X] der vorliegenden Sammlung. Die Aufgaben, die in formaler Hinsicht in der Scientia generalis durchgeführt werden müssen, sind 25

A VI, 4, N. 123, S. 511 1 (C, S. 556). Vgl. auch Schneider (1995), S. 68.

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dadurch aber noch in keiner Weise erschöpft. Schon gleich zu Beginn von Text [I] stellt Leibniz fest, daß wir manche Aussagen mit absoluter Sicherheit (absoluta certitudine) beweisen können, dies sind also die Aussagen, die durch eine endliche Analyse bewiesen werden, andere jedoch nur mit höchster Wahrscheinlichkeit (maxima probabilitate). Da die Frage der Wahrscheinlichkeit in der vorliegenden Textauswahl nur am Rande behandelt wird, aber doch eine nicht unerhebliche Rolle spielt, sei sie hier etwas ausführlicher diskutiert. Die genannte Unterscheidung ist orientiert an der Unterscheidung von Vernunftwahrheiten und T atsachenwahrheiten. Die Einteilung ist jedoch bei Leibniz noch etwas differenzierter. In einem um 1688 verfaßten Text heißt es: ltaque quando ex datis quaesitum non est determinatum aut exprimibile, tune alterotrum hac analysi praestabimus, ut vel in Infinitum apJ?ropinquemus, vel quando conjecturis agendum est, demonstrauva saltem ratione determinemus ifsum gradum probabilitatis, qui ex datis haberi potest; [...].2 Wenn somit das Gesuchte aus den Daten nicht bestimmt oder ausdrückbar ist, dann werden wir durch diese Analyse eines von diesen beiden leisten, [nämlich] daß wir uns entweder ins U nendliche [dem Gesuchten] annähern oder daß wir, wenn mit Vermutungen gearbeitet werden muß, zumindest mit beweisendem Grund den Grad der Wahrscheinlichkeit selbst bestimmen, der aus den Daten gewonnen werden kann;[ ... ].

Das erstere ist dort gegeben, wo wir uns bei einem Beweis dem Nachweis des Enthaltenseins des Prädikatbegriffs im Subjektbegriff ständig annähern, so daß wir dabei eine Progressionsregel feststellen können, die nach dem Modell einer Konvergenz funktioniert, zu dem Leibniz durch seine Erfolge im Infinitesimalkalkül inspiriert wurde. Dieses Beweisverfahren wird von Leibniz unter anderem in den Generales inquisitiones behandeltY In der vorliegenden Textauswahl finden sich keine Texte, die darauf Bezug nehmen. A VI, 4, N. 189, S. 91320-23 (GP VII, S. 201). GI§ 66, § 74, § 134. Vgl. zu diesem Verfahren den Kommentar zu den GI, S. 231-237; Schneider {1974), S. 286-292; Hacking {1974). 26

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5.1. Die allgemeine Wissenschaft

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In dem eben genannten Fall reichen die Daten aus, um eine Progressionsregel feststellen zu können. Es gibt jedoch auch Fälle, bei denen dazu nicht genügend Daten zur Verfügung stehen (cum non adsunt sufficientia ad veritatem definiendam data}.28 Für diese Fälle will Leibniz eine Wahrscheinlichkeitslogik entwerfen, mit der Grade der Wahrscheinlichkeit bestimmt werden können. Er ist sich dabei im klaren darüber, daß er damit ein neues Gebiet betritt. In dem eben schon zitierten Text sagt Leibniz im weiteren: ltaque inter caetera molior ego Logicae partem quandam, hactenus prope intactam, de aestimandis gradibus probabilitatis, et statera probationum, praesumptionum, conjecturarum, indiciorum. 29 Daher arbeite ich unter anderem auf einen Teil der Logik hin, der bisher so gut wie nicht berühn worden ist, [nämlich auf den] über die Abschätzung der Grade der Wahrscheinlichkeit, und über die Waage für die Beweise, die Erwanungen, die Vermutungen, die Indizien. Leibniz geht es also um eine Wahrscheinlichkeits- Logik, nicht um eine Wahrscheinlichkeits-Theorie oder Wahrscheinlichkeits-Rechnung, auch wenn, jedenfalls zu einem späteren Zeitpunkt, letztere als Element der W ahrscheinlichkeitslogik anerkannt wird. Leibniz beschäftigte sich mit der Frage einer Wahrscheinlichkeitslogik, bevor er mit der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie bekannt wurde, und er forderte diese neue Logik auch dann noch, als er die Versuche zur Wahrscheinlichkeitsrechnung kannte. Der Ausgangspunkt der leibnizschen Überlegungen zur Wahrscheinlichkeitslogik liegt in seinen frühen Arbeiten (16651667) juristischen Charakters zur Bewertung von Rechtsansprüchen, deren Werte Leibniz zwischen 1 und 0 anordnet. 30 In diesem Fall stellt die Wahrscheinlichkeit eine Relation GP Vll, S. 477 (Brief an Koch aus dem Jahr 1708). A VI, 4, N. 189, S. 914'"' (GP Vll, S. 201). 30 Es handelt sich um zwei Fassungen von De conditionibus, A VI, 1, N. 6, S. 99-150 und N. 11, S. 367-430. Vgl. dazu Sehepers (1975), zur Bewertung zwischen 1 und 0 ebd. S. 12-14; Hacking (1971), S. 599f.; Burkhardt (1980), s. 423f. 28

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zwischen Hypothesen und Datenevidenz her.Jl Die Bedeutung des Rechts als Modell für die Logik im Bereich des Kontingenten ist bei Leibniz eine prinzipielle: Nimirum pro comperto habendum est, ut Mathematicos in necessari1s, sie J urisconsultos in contingentibus Logicam, hoc est rationis artem, prae caeteris mortalibus optime exercuisseY Ohne Zweifel muß es als ~esichert angesehen werden, daß so, wie die Mathematiker 1m Bereich des Notwendigen, so die Juristen im Bereich des Kontingenten die Logik, d.h. die Vernunftkunst, 33 vor den anderen Sterblichen am besten ausgeübt haben.

Wie auch aus Text [I] hervorgeht, strebte Leibniz eine allgemeinere Form der Logik an, innerhalb derer die juristische Logik nur ein Spezialfall wäre. Einen weiteren Ausgangspunkt stellten die damals beliebten Kalküle für die Berechnung von W ahrscheinlichkeiten bei Glücksspielen {Fermat, Pascal, Huygens) sowie die Kalkulation von Renten Gan de Witt) dar. 34 Zum ersteren Problemkreis verfaßte Leibniz 1678 die Schrift De incerti aestimatione.35 Ein Beispiel dafür, wie eine Abschätzung von W ahrscheinlichkeiten auf apriorische Weise geschehen kann, liefert Leibniz in den Nouveaux Essais: Wenn z.B. bei zwei Würfeln der eine SJ>ieler gewinnen soll, wenn er 7 Punkte, der andere, wenn er 9 Punkte hat, so fragt sich: welches Verhältnis findet zwischen ihren Wahrscheinlichkeiten zu gewinnen statt? Ich antworte, daß die Wahrscheinlichkeit für den letzteren nur zwei Drittel der Wahrscheinlichkeit für den ersteren beträgt, denn der erste kann mit zwei Würfeln die 7 auf drei Arten erreichen (nämlich mit 1 und 6 oder 2 und 5 oder 3 und 4), wähVgl. Hacking (1975), S. 85-91. c, s. 211. 33 Leibniz verwendet sowohl "Vernunfft Kunst" als auch "Denck Kunst", vgl. GP Vll, S. 522 (Brief an Gabriel Wagner von 1696), ebd. S. 516: "Unter der Logick oder Denkkunst verstehe ich die Kunst den verstand zu gebrauchen, also nicht allein was fürgestellet zu beurtheilen, sondern auch was verborgen zu erfinden." 34 Gouturat (1901), S. 241; Biermann (1967), S. 79f. und S. 83. Alle diese Ansätze werden ausführlich in Hacking (1975) dargestellt. 35 Text und Kommentar in Biermann/Faak (1957). 31

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5.1. Die allgemeine Wissenschaft

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rend der andere die 9 nur auf zwei Arten erreichen kann, indem er entweder 3 und 6 oder 4 und 5 wirft. Da nun alle diese Würfe gleich möglich sind, so werden sich die Wahrscheinlichkeiten, die wie die Zahlen der gleichen Möglichkeiten sind, wie 3 zu 2, oder wie 1 zu 2/3 verhalten. Ich habe mehr als einmal gesa~, daß eine neue Art Logik nötig wäre, die die Wahrscheinleichkeltsgrade behandeln müßte. 36 Außer diesen apriorisch errechenbaren Wahrscheinlichkeiten hat Leibniz vor allem in späterer Zeit auch die aposteriorische, d.h. hier: statistische, Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten in Betracht gezogen: 37 On estime encore les vraisemblances a posteriori, par l'exrserience, et on y doit avoir recours au defaut des raisons a priori. 8 Man schätzt überdies die Wahrscheinlichkeiten a posteriori aufgrund der Erfahrung ab, und man muß darauf zurückgreifen mangels Gründen a priori. Die verschiedenen Ausgangspunkte - juristisch und mathematisch- zur Bestimmung von Graden der Wahrscheinlichkeit bleiben bei Leibniz nebeneinander stehen. 39 In den Nouveaux Essais geht Leibniz einfach von der juristischen und medizinischen zur mathematischen Betrachtungsweise über, ohne deren Verhältnis näher zu bestimmen. 40 Die Wahrscheinlichkeit gilt nur für den menschlichen Verstand, sie ist, wie auch aus Text [I] deutlich wird, im göttlichen. Verstand (in mente autoris) nicht gegeben. Die Abschätzung der Wahrscheinlichkeit ist aber in vielen Fällen das Höchste, was man vom menschlichen Verstand fordern kann (Quibus sane nihil majus ab humana ratione postulari potest}. 41 Die Betonung der Abschätzung könnte nahelegen, daß die Wahrscheinlichkeit bei Leibniz ein epistemischer Begriff ist. Dies ist zwar richtig, dürfte aber, wie vor NE IV, 16, § 9; A VI, 6, S. 46527-4667; Übers. Cassirer, S. 505f. 37 Vgl. Gouturat (1901), S. 274f. 38 GP III, S. 570 (Brief an Bourguet von 1714). 39 Man muß allerdings mit Hacking (1971), S. 604, festhalten, daß es bis heute niemandem geglückt ist, diese beiden Ausgangspunkte in zufriedenstellender Weise zu verbinden. 40 NE IV, 16, § 9; A VI, 6, S. 465 ..'. 41 A VI, 4, N. 189, S. 914'1· (GP VII, S. 201). 36

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allem Ian Hacking zu zeigen versucht hat, nicht schon die Gesamtheit der leibnizschen Theorie abdecken. Hacking zieht dafür vor allem die Feststellung von Leibniz heran, daß das, was in der Sache "leicht" ist, im Geist wahrscheinlich ist (Quod facile est in re, id prohabile est in mente}.ei denen man keine Experimente durchführen kann, wiirden wir wenigstens die Ruhe des Geistes und den Frieden der Seelen erlangen; so wie nämlich [auch] kein hervorragender Mathematiker die rein mechanische ewige Bewegung sucht, deren Unmöglichkeit bewiesen

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tas, ita nemo prudens arnplius se vanis disquisitionibus fatigaret, multo minus aliis negotium facesseret, ineptaque odia exerceret in dissentientes, sed vim mentis in illa impenderet, quae cum fructu tractari possunt. Verum multa magnaque fuere olim, hodieque perseverant obstacula quominus consiliatarn salutaria exitum sortirentur. Videntur tarnen ad duo redigi posse. Prius ergo et majus obstaculum mihi esse videtur, defectus seriae voluntatis in hominibus. Quem quidem mirari non debemus, videmus enim non tantum quam negligenter tractent negotium salutis aeternae sed etiarn quomodo in rebus ante oculos et pedes positis se temere gerant. Quid enim ut exemplo quotidiano utar, praestantius in hac vita est sanitate, et nihilominus multi earn scientes videntesque pessundant, plurimi non curant, pauci de ea serio et cum effectu aliquo cogitant. Quotusquisque autem faceret quod rusticus ille apud Benivenium in rarioribus observationibus, is cum inveterata Hydrope laborans auxilium peteret, Benivenius autem desperatum judicans, nihil se posse dixisset, consilium saltem flagitabat, cui subridens Benivenius, nihil aliud habeo amice quod tibi con:sulam, quam ut quam minimum possis, bibas. Turn rusticus integro anno potu abstinuit, eaque mentis firmitate insuperabilem Medicis morbum vicit. 1 Quis non exploderet Medicum, quae rusticus ille poVid. observationes ranores Benivenii editas cum Observ. Remberti Dodonaei. 1

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ist, 11 so würde sich kein Vernünftiger weiter mit nutzlosen Untersuchungen abmühen, [und] noch viel weniger würde er anderen dies als Aufgabe stellen und jenen, die nicht damit übereinstimmen, unangebrachte Verdrießlichkeiten bereiten, sondern er würde die Kraft des Geistes auf das verlegen, was mit Erfolg bearbeitet werden kann. Tatsächlich gab es früher viele und große, bis heute fortbestehende Hindernisse, daß so heilsame Ratschläge zu einem Erfolg führten. S1e scheinen jedoch auf zwei zurückgeführt werden zu können. Das erstere und größere Hindernis scheint mir also der Mangel eines ernsthaften Willens bei den Menschen zu sein. Darüber sollen wir uns allerdings nicht wundern, sehen wir doch nicht nur, wie nachlässig [die Menschen] nicht nur die Aufgabe des ewigen Heils behandeln, sondern auch, wie sie sich in den vor ihren Augen und Füßen liegenden Angelegenheiten unbesonnen verhalten. Was nämlich ist, um ein Beispiel aus dem Alltag heranzuziehen, in diesem Leben wichtiger als die Gesundheit, und nichtsdestoweniger richten viele sie mit Wissen und sehenden Auges zugrunde, die meisten pflegen sie nicht, wenige denken über sie ernsthaft und mit irgendeiner Wirkung nach. Wie viele aber würden handeln wie jener Bauer bei Benivenius in dessen Seltenen Beobachtungen, der, an einer schon lange andauernden Wassersucht leidend, Hilfe erbat und der, als Benivenius, der [den Fall] aber für hoffnungslos ansah, sagte, daß er nichts tun könne, um zumindest einen Rat flehte, worauf Benivenius ihm mit einem Lächeln [sagte]: Mein Freund, ich habe nichts anderes, was ich dir raten könnte, als daß du so wenig wie möglich trinkst. Daraufhin enthielt sich der Bauer ein ganzes Jahr lang des Trankes und besiegte mit dieser Standhaftigkeit des Geistes eine für die Ärzte unbesiegbare Krankheit.' Wer würde nicht einen Arzt auszischen, der den Kranken das Siehe die Seltenen Beobachtungen des Benivenius, herausgegeben mit den Beobachtungen des Rembertus Dodonaeus. 1

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tuit, aegris praecipientem? Plerique certarn mortem quam tarn durum auxilium mallent. lta nos profecto malumus mentis nostrae intemperantiam per omne errorum malorumque genus sequi quam aliquandiu sobriam cogitandi severitatem servare certa licet salutis spe. Magna enim opus esset patientia firmoque animi proposito ad rigorem accuratae inquisitionis observandum, si nihil in ea indulgendum esset animo ad ludendi licentiam, saltusque faciendos prono. Cui accedit quod pauci veritatis cura tanguntur, nam qui otio et fortunis abundant torpent plerumque arbitrantes sibi suppetere quicquid ad commode vivendum opus est, et quae desunt invenire desperantes. Qui vero bonae sunt voluntatis, videntque quantum industria humana possit, plerumque vel rerum domesticarum cogitatione, vel publicis negotiis distrahuntur. Multa sunt praeterea, praesertim in naturae inquisitione, quae impensas postulant, nec nisi multorum Conspiratione praestari possunt. Posterius obstaculum est imperfectio Anis Logicae. lta enim sentio, Logicam quae habetur in Scholis, tantum abesse a Logica illa utili in dirigenda mente circa veritatum variarum inquisitionem, quantum differt Arithmetica puerilis ab Algebra praestantis Mathematici. Quemadmodum ergo ante Tractatus de bello et pace habendos, agi solet de praeliminaribus, et quemadmodum apud veteres Romanos praetor litigantibus 1 initio praescribebat formulam, secundum quam postea judicio experirentur, denique

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vorschreiben würde, was jener Bauer vermochte? Die meisten würden lieber den sicheren Tod als ein so entsagungsvolles Hilfsmittel wolkn. So wollen wir tatsächlich lieber dem Ungestüm unseres Geistes durch jede Art von Irrtümern und Übeln hindurch folgen, als eine Zeit lang die nüchterne Strenge des Denkens zu bewahren, wenngleich dies mit einer sicheren Hoffnung auf Heilung [verbunden wäre]. Es wäre nämlich eine große Geduld und ein fester Vorsatz des Geistes erforderlich, um auf die Strenge einer genauen Untersuchung zu achten, wenn in ihr dem Geist gegenüber, der zu zügelloser Spielerei und Sprunghaftigkeit geneigt ist, keine Nachsicht geübt würde. Dazu kommt noch, daß [nur] wenige von der Sorge um die Wahrhe~.t berührt werden, denn jene, die Muße und Reichtum im Uberfluß haben, verharren in Untätigkeit, indem sie meist der Meinung sind, daß ihnen zur Verfügung stehe, was auch immer zum bequemen Leben vonnöten ist, und die daran verzweifeln, das, was fehlt, zu suchen. Jene aber, die guten Willens sind und die sehen, wie viel der menschliche Fleiß vermag, werden sehr häufig entweder durch Denken an ~e privaten Angelegenheiten oder durch Tätigkeiten in der Offentlichkeit abgelenkt. Außerdem gibt es, besonders bei der Erforschung der Natur, vieles, das einen Aufwand erfordert, der nur durch die Zusammenarbeit vieler aufgebracht werden kann. Das weitere Hindernis ist die Unvollkommenheit der Kunst der Logik. Ich habe nämlich den Eindruck, daß die Logik, die in den Schulen vertreten wird, so weit von jener Logik entfernt ist, die nützlich für die Leitung des Geistes hinsichtlich der Erforschung der verschiedenen Wahrheiten ist, wie sich die Knabenarithmetik von der Algebra eines bedeutenden Mathematikers unterscheidet. So, wie man vor der Erörterung der Verträge über Krieg und Frieden über die Präliminarien zu handeln pflegt, und so, wie bei den alten Römern der Praetor den streitenden [Parteien] zu Beginn die Formel'2 vorschrieb, aufgrund derer sie später im Prozeß 13 ihr Recht geltend machen konn-

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quernadrnodurn qui rnari se cornrnittunt, non tanturn cornrneatu se instruunt, sed et pyxidern nauticam et Tabulas Hydrographicas, et Navigationurn descriptiones diligenter confectas securn ferunt, ne a recto cursu aberrent; ita frustra inchoamus inquisitionern rnox abrurnpendam, aut in errores, vel inveniendi desperationern desituram, nisi certurn iter, et biviis in itinere oblatis, certurn futururn viae indicern deligamus: et sirniliter ternere curn aliis in disputationern descendirnus, quae vel in jocurn aut fallendi sive potius perdendi ternporis exercitamenturn, vel in lites, convicia, pugnas, abibit, nisi antea conveniarnus de norrna quadam rnanifesta et controversiis non obnoxia, quae dissentientes in concordiam redigere possit. Et sane si quis acta colloquiorurn curn cura inspiciat, qualia fuere, Ratisbonense, Montisbeligardense, aliaque hujusrnodi, deprehendet nullurn exiturn potuisse obtineri, quia circa Modurn disputandi non conveniebatur. Et in congressibus politicis deliberationibusque de bello, pace aliisque gravissirnis argurnentis apparebit, saepe irnperfectis enurnerationibus laborari, et aliis rnultis rnodis peccari contra artern rationis; in judiciis autern, curn ipse processus judiciarius nihil aliud quam specialis quaedarn Logica sit, rnanifestissirnurn est quanturn Logicae irnperfectione laboretur, nam saepe ut alia infinita tacearn, non constat, cuinam incurnbat probatio, saepe etiarn indiciis utrinque pugnantibus, deest statera quaedam, ad quam argurnenta quaeque expendantur, ut appareat a qua parte stet rnajor probabilitas. Ut jam de consultationibus Medicorurn nihil

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ten, und schließlich so, wie jene, die sich aufs Meer begeben, sich nicht nur mit Proviant eindecken, sondern auch einen Kompaß 14 und Seekarten sowie gewissenhaft beschriebene Seereisen mit sich tragen, damit sie nicht vom richtigen Kurs abirren; ebenso beginnen wir vergebens eine Untersuchung, die bald abgebrochen werden muß oder die in Irrtümern oder in Verzweiflung, etwas zu finden, enden wird, wenn wir nicht einen sicheren Weg, bei dem auch auf dem Verlauf die Weggabelungen eingetragen sind, und eine sichere Weganzeige für die Zukunft wählen. Und ähnlich lassen wir uns aufs Geratewohl mit anderen in ein Streitgespräch ein, das entweder in einen Zeitvertreib oder gar in Zeitverschwendung oder in Streitigkeiten, Zank und Kämpfe sich verlieren wird, wenn wir nicht vorher über irgendeine offenkundige und nicht von Kontroversen abhängige Norm eine Übereinkunft treffen, die die Vertreter gegenteiliger Meinungen zu einer Obereinstimmung führen könnte. 15 Und sicher wird jemand, wenn er sorgfältig die Akten von Gesprächen einsieht, wie solche in Regensburg [und] MontbcHiard abgehalten wurden, 16 und sonst dergleichen, daraus lernen, daß kein Erfolg erlangt werde!!- konnte, weil hinsichtlich des Disputationsmodus keine Ubereinkunft getroffen wurde. Und in politischen Versammlungen und Beratungen über Krieg, Frieden und andere äußerst gewichtige Gegenstände wird es deutlich werden, daß man sich häufig mit unvollständigen Aufzählungen abmüht und in vielen anderen Weisen gegen den kunstgerechten [Gebrauch] der Vernunft verstößt. In den Gerichtsurteilen aber ist es, da der Gerichtsprozeß nichts anderes ist als eine bestimmte spezielle Logik, 17 ganz und gar offenkundig, wie viel Mühe man wegen der Unvollkommenheit der Logik hat, denn oft, um über unzähliges Anderes zu schweigen, steht nicht fest, auf wem der Beweis lastet, oft fehlt auch bei einander widersprechenden Indizien eine bestimmte Waage, auf der alle Argumente gegeneinander aufgewogen werden könnten, so daß sichtbar würde, auf welcher Seite die größere Wahrscheinlichkeit liegt. 18 Um schon gar nichts über die Rat-

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dicam, quae cum privato cujusque arbitrio committantur, nec certarn formam acceperint et plerumque sint festinatae et fiant a distractis, et suscipiantur circa rem maximi quidem momenti, sed et conjecturis maxime obnoxiam, ubi summa circumspectione opus esset; facile judicari potest, quanta et quam crebra in ipsa eorum Methodo vitia occurrere debeant, quae saepius aegri morte luent. Magna hodie spes est obstacula ista, saltem pro parte, superari posse, turn publice turn privatim. Et publice quidem, praesentibus curiositatis et studiorum excitamentis utendo. Constat enim Reges principes et Respublicas ad veritatis inquisitionem juvandam pronos esse, sie in Gallia, Anglia, Italia, vidimus Societates atque Academias Regias, et Ducales. Passim publicis sumtibus instruuntur laboratoria, et inventoribus praemia destinantur. Multi nobiles et opibus abundantes curiosis studiis delectantur. Insignia nostri seculi inventa in Anatomicis, Astronomicis, Physicis, Mechanicis, Mathematicis, excitant ingenia ad spes majores. Quin et passim stipendia opima viris doctis numerantur. Quodsi conspirare tantum inter se velint, et praeclaris occasionibus uti, maximum cognitionis solidae thesaurum mox acquiremus. Privatim autem tempus est ut Analytices periti absolvant Logicam particularibus inquisitionibus dirigendis aptam, seu FILUM COGITANDI. Nam cum tanta sit hodie praeclararum cogitationum materia, superest

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schläge der Ärzte zu sagen, die nach dem eigenen Gutdünken eines jeden erteilt werden und die keine sichere Form erhalten haben und meistens eilig und von Zerstreuten gegeben werden und die doch in Hinsicht auf eine Angelegenheit von allergrößter Bedeutung erteilt werden, die aber auch besonders stark von Vermutungen abhängig ist, wo es doch der größten Umsicht bedürfte; es kann leicht beurteilt werden, wie viele und wie häufige Mängel in ihrer Methode selbst vorkommen dürften, die die Kranken sehr oft mit dem Tod bezahlen. 19 Heute besteht die große Hoffnung, daß diese Hindernisse wenigstens zum Teil überwunden werden können, sowohl im öffentlichen als auch im privaten Bereich. Im öffentlichen Bereich freilich, indem von den gegenwärtigen Anregungen zu Wißbegierde und Studien Gebrauch gemacht wird. Es steht nämlich fest, daß Könige, Fürsten und Staaten geneigt sind, die Erforschung der Wahrheit zu unterstützen; so haben wir in Frankreich, England und Italien königliche und fürstliche Gesellschaften und Akademien [entstehen] gesehen. Vielerorts werden auf öffentliche Kosten Laboratorien errichtet, und für Erfinder werden Preise ausgeschrieben. Viele Adelige und Begüterte finden ihre Freude an sorgfältigen Studien. Hervorragende Erfindungen unseres Jahrhunderts in der Anatomie, der Astronomie, der Physik, der Mechanik und der Mathematik wecken bei den Geistern größere Hoffnungen. Vielerorts werden den Gelehrten sogar ansehnliche Gehälter ausgezahlt. 20 Wenn sie nur miteinander zusammenarbeiten und die außerordentlich günstigen Gelegenheiten nutzten wollten, würden wir bald21 einen sehr großen Schatz gesicherten Wissens erwerben. Im privaten Bereich aber ist es höchste Zeit, daß Fachleute der Analytik eine Logik zur Vollendung bringen, die geeignet ist, die einzelnen U ntersuchungen zu leiten, also einen LEITFADEN DES DENKENS. Da nämlich heutzutage ein so umfangreiches Material hervorragender Gedanken vorhanden ist, bleibt es

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tantum ut illis detur forma. FILUM autem COGITANDI voco Methodum quandam facilem et certam, quam sequendo, sine agitatione mentis, sine litibus, sine formidine errandi, non minus secure procedamus, ac is, qui in labyrintho filum habet Ariadnaeum. Et puto talem Methodum esse in potestate, nec difficulter admodum constitui posse, eamque fore tarn evidentem, ut omnes controversias irrefragabiliter finiat, prorsus quemadmodum eae quae circa numerorum calculos occurrere possunt, a perito Arithmetico sive per se, sive socio adhibito non difficulter terminantur. Hujus Methodi usum putem inter maxima bona esse numerandam, quae generi humano obtingere possent. Et quidem turn possibilitatem imo facilitatem ejus constituendae, turn etiam effectum atque usum possum demonstrare a priori atque ita explicare ut prudens atque attentus quisque successus necessitatem videre possit. Experimenta vero et specimina habeo, quae me a posteriori securum reddant. Nec dubitem executionem Deo juvante polliceri intra paucos annos, si otio et amicorum conspirantium auxiliis liceat frui.

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nur noch übrig, diesen eine Form zu verleihen. Einen LEITFADEN DES DENKENS aber nenne ich eine bestimmte leichte und sichere Methode, mit der wir, wenn wir ihr folgen, ohne Beunruhigung des Geistes, ohne Streitigkeiten, ohne Furcht zu irren nicht weniger sicher voranschreiten als jemand, der im Labyrinth einen Ariadnefaden zur Verfügung hat. 22 Und ich meine, daß eine solche Methode in unserer Macht steht und mit nicht allzu großer Schwierigkeit erstellt werden kann und daß diese so evident sein wird, daß sie alle Kontroversen ohne Widerspruch beendet, ganz und gar so wie jene [Kontroversen], die im Bereich der Zahlenkalküle auftreten können, von einem erfahrenen Arithmetiker entweder alleine oder unter Hinzuziehung eines Mitarbeiters ohne Schwierigkeit beendet werden. Ich meine, daß der Gebrauch dieser Methode unter die höchsten Güter zu zählen ist, 23 die dem Menschengeschlecht zuteil werden könnten. Und sicherlich kann ich sowohl die Möglichkeit, ja sogar die Leichtigkeit, sie zustande zu bringen, als auch ihre Durchführung und ihren Gebrauch a priori aufzeigen und so erklären, daß jeder Kluge und Aufmerksame den unvermeidlichen Erfolg einsehen kann. Ich verfüge aber auch über Versuche und Probestücke, die mir a posteriori Sicherheit verleihen. Und ich zweifle nicht, daß ich mit Gottes Hilfe die Durchführung innerhalb weniger Jahre versprechen kann, falls ich in den Genuß von Muße und von Unterstützung durch gleichgesinnte Freunde gelangen sollte.

[II]

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Omnis humana ratiocinatio signis quibusdam sive characteribus perficitur. Non tantum enim res ipsae, sed et rerum ideae semper animo distincte obversari neque possunt neque debent, et itaque compendii causa signa pro ipsis adhibentur. Si enim Geometra, quoties Hyperbolam aut Spiralern aut Quadratricem inter demonstrandum nominat, semper earum definitiones sive generationes, et rursus terminorum eas ingredientium definitiones sibi exacte praefigurare cogeretur, tardissime ad nova detegenda perveniret; si Arithmeticus inter calculandum omnium notarum sive ciphrarum quas scribit, valores, unitatumque multitudinem continuo cogitaret, nunquam prolixos calculos absolveret, perinde ac si totidem lapillis uti vellet; et Jurisconsultus aliquis, quoties actiones aut exceptiones, aut juris beneficia memorat, requisita harum rerum essentialia saepe prolixa semper mente percurrere non potest, neque opus est. Hinc factum est, ut nomina contractibus, figuris, variisque rerum speciebus, signaque numeris in Arithmetica, magnitudinibus in Algebra sint assignata, ut quae semel vel experiundo vel ratiocinando de rebus comperta sunt, eorum signa rerum illarum signis tuto imposterum conjungantur. Signarum igitur numero comprehendo Vocabula, literas, figuras chemicas, Astronomicas, Chinenses, Hieroglyphicas, notas Musicas, stegano-

[ll] DIE GRUNDLAGEN DES VERNUNFTKALKÜLS 1 Jede menschliche Vernunftüberlegung kommt durch irgendwelche Zeichen oder Charaktere zustande. 2 Nicht nur die Dinge selbst nämlich, sondern auch die Ideen3 der Dinge können und sollen auch nicht dem Geist ständig deutlich unterschieden gegenwärtig sein, und deshalb werden für sie der Abkürzung wegen Zeichen angewendet. Wenn nämlich ein Geometer, 4 so oft wie er eine Hyperbel, eine Spirale oder eine Quadratrix5 bei einem Beweis anführt, gezwungen wäre, sich immer deren Definitionen bzw. [Begriffs-] Erzeugungen6 und weiterhin die Definitionen der Begriffe, die in jene eingehen, genau vorzustellen, würde er erst sehr spät zu dem zu entdeckenden Neuen gelangen; wenn ein Arithmetiker bei einem Kalkül die Werte7 und die Vielheit der Einheiten8 aller Kennzeichen oder Ziffern, die er schreibt, ständig [mit]denken würde, dann würde er niemals umfangreiche Kalküle durchführen, so als ob er ebenso viele [Rechen-] Steinehen gebrauchen wollte; und ein Rechtsgelehrter kann nicht immer, sooft er Klagen, Einreden oder Rechtswohltaten9 in Erinnerung bringt, die wesentlichen Erfordernisse dieser Sachverhalte, die häufig umfangreich sind, im Geiste durchgehen, und dies ist auch nicht erforderlich. Von da her ergibt es sich, daß den Verträgen, den Figuren und den verschiedenen Arten der Dinge Namen und den Zahlen in der Arithmetik [sowie] den Größen in der Algebra Zeichen zugeordnet sind, so daß die Zeichen dessen, was einmal entweder durch Erfahrung oder durch Vernunftüberlegung über die Dinge in Erfahrung gebracht worden ist, mit den Zeichen jener Dinge auf gesicherte Weise für die Zukunft verknüpft werden. Folglich begreife ich unter der Zahl der Zeichen die Vokabeln, 10 die Buchstaben, die chemischen, die astronomischen, die chinesischen und die hieroglyphischen Figuren, die Noten der Musik, die geheimschriftlichen,n die

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graphicas, arithmeticas, algebraicasque, aliasque omnes quibus inter cogitandum pro rebus utimur. Signa autem scripta, vel delineata vel sculpta characteres appellantur. Porro tanto utiliora sunt signa, quanto magis notionem rei signatae exprimunt, ita ut non tantum repraesentationi, sed et ratiocinationi inservire possint. Tale nihil praestant characteres Chemicorum aut Astronomorum, nisi quis cum Johanne Dee Londinensi autore Monadis Hieroglyphicae mysteria nescio quae in illis venari posse speret. Nec puto Chinensium figuras, aut Aegyptiorum inveniendis veritatibus multum prodesse posse. Lingua Adamica, vel certe vis ejus, quam quidam se nosse et in nominibus ab Adamo impositis essentias rerum intueri posse contendunt, nobis certe ignota est. Linguae vulgares etsi plurimum prosint ad ratiocinandum, attamen innumeris aequivocationibus sunt obnoxiae, nec officium calculi facere possunt, nempe ut errores ratiocinationis ex ipsa vocabulorum formatione et constructione detegi possint, tanquam soloecismi et barbarismi. Quod sane admirabile beneficium hactenus solae praestant notae Arithmeticorum et Algebristarum, ubi ratiocinatio omnis in usu characterum consistit, et idem est error animi qui calculi. Mihi vero rem altius agitanti, dudum manifeste apparuit, omnes humanas cogitationes in paucas admodum resolvi tanquam primitivas, quod si his characteres assignentur, posse inde formari characteres notionum derivativarum, ex quibus semper otnnia earum requisita notionesque primitivae ingredientes, et ut verbo dicam definitiones sive valores

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arithmetischen und die algebraischen [Zeichen] sowiealldie anderen, die wir beim Denken 12 anstelle der Dinge gebrauchen. Geschriebene, ~~ezeichnete oder gemeißelte Zeichen aber werden Charaktere genannt. Weiterhin sind Zeichen umso nützlicher, je mehr sie den Begriff[sinhalt] der bezeichneten Sache ausdrücken, so daß sie nicht nur der Darstellung, sondern auch der Vernunftüberlegung dienen können. Nichts dergleichen leisten die Charaktere der Chemiker13 oder der Astronomen, außer es wollte jemand mit Johannes Dee, dem Londoner Autor der Monadis Hieroglyphicae,14 hoffen, ich weiß nicht welche Mysterien in ihnen erjagen zu können. Und ic~ glaube auch nicht, daß die Figuren der Chinesen oder der Agypter viel bei der Auffindung von Wahrheiten nützen können. 15 Die Sprache Adams, oder wenigstens deren Kraft, von der einige behaupten, daß sie sie kennen, 16 und [von der sie behaupten], man könne vermittels der von Adam festgesetzten Namen die W esenheiten der Dinge erfassen, ist uns sicherlich unbekanntY D~~ Umgangssprachen sind, obwohl sie für das vernünftige Uberlegen äußerst nützlich sind, doch unzähligen Mehrdeutigkeiten ausgesetzt und können nicht die Aufgabe eines Kalküls übernehmen, so daß nämlich aufgrund der Formbildung und der Konstruktion der Vokabeln die Irrtümer der Vernunftüberlegung so wie Solözismen und Barbarismen 18 aufgedeckt werden könnten. 19 Diese tatsächlich bewundernswerte Wohltat erweisen bisher einzig die Kennzeichnungen der Arithmetiker und der Algebraiker, wo jegliche Vernunftüberlegung im Gebrauch der Charaktere besteht und ein Irrtum des Geistes dasselbe ist wie [ein Irrtum] im Kalkül.20 Mir aber, der ich die Sache weiter überlegte, schien es schon seit langem offenkundig, daß alle menschlichen Gedanken auf nur wenige, gleichsam primitive, zurückgeführt werden, so daß, wenn diesen Charaktere zugeordnet werden, 21 dann Charaktere der abgeleiteten Begriffe gebildet werden können, aus denen jederzeit alle ihre Bestandteile22 und die [in sie] eingehenden primitiven Begriffe und, um es

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et proinde et affectiones ex definitionibus demonstrabiles, erui possint. Hoc uno autem praestito quisquis characteribus hujusmodi inter ratiocinandum scribendumque uteretur, aut nunquam laberetur, aut lapsus suos ipse non minus atque alii semper facillimis examinibus deprehenderet, inveniret praeterea veritatem, quantum ex datis licet, et sicubi data ad inveniendum quaesitum non essent sufficientia, videret quibusnam adhuc experimentis, vel notitiis esset opus quin saltem accedere posset veritati, quantum ex datis possibile est, sive appropinquando, sive gradum majoris probabilitatis determinando; sophismata autem et paralogismi nihil hic aliud forent, quam quod errores calculi in arithmeticis, et soloecismi vel barbarismi in linguis. Cum igitur hac arte Characteristica, cujus ideam animo concepi, Verum Organon Scientiae Generalis omnium quae sub humanam ratiocinationem cadunt, sed perpetuis calculi evidentis demonstrationibus vestitae contineatur, opus erit ipsam quoque Characteristicen nostram, seu artem signis exacto quodam calculi genere utendi, quam generalissime exhiberi. Cum autem nondum constituere licuerit, quomodo signa formari debeant, interim pro ipsis in futurum formandis exemplo Mathematicorum utamur literis Alphabeti, aliisve notis arbitrariis quibuscunque, quas progressus aptissimas suppeditabit. Qua ratione etiam apparebit Ordo Scientiarum characteristice tractat(ar)um, et res ipsa docebit,

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mit einem Wort zu sagen, die Definitionen bzw. die Werte23 und dann auch die Eigenschaften, 24 die aus den Definitionen beweisbar sind, ermittelt werden können. Wäre dies eine aber geleistet, würde jeder, der bei der Vernunftüberlegung und beim Schreiben Charaktere dieser Art benutzte, entweder niemals irren, oder er selbst würde seine Irrtümer nicht weniger als die anderen stets durch ganz einfache Überprüfungen bemerken; er würde außerdem die Wahrheit auffinden, soweit man dies aus den Gegebenheiten kann, und wo immer die Gegebenheiten zur Auffindung des erforderten [Resultats] nicht ausreichten/5 würde er sehen, welche Experimente oder Kenntnisse noch erfordert wären, damit er der Wahrheit zumindest näherkommen könnte, soweit dies aufgrund der Gegebenheiten möglich ist, sei es durch Annäherung, sei es durch Bestimmung des Grades der größeren Wahrscheinlichkeit; 26 Sophismen aber und Trugschlüsse wären hier nichts anderes als das, was Kalkülfehler in der Arithmetik und was Solözismen oder Barbarismen in den Sprachen sindY Da folglich in dieser Zeichenkunst, deren Idee ich im Geiste ersonnen habe, das wahre Organ der Allgemeinen Wissenschaft28 von all dem enthalten ist, was unter menschliche Vernunftüberlegung fällt, aber eingekleidet ist in ständige Bew~ise des evidenten Kalküls, wird es erforderlich sein, auch unsere Charakteristik selbst bzw. die Kunst, die Zeichen durch eine bestimmte exakte Kalkülart zu verwenden, in möglichst allgemeiner Weise darzulegen. Da es aber noch nicht gelungen ist festzulegen, auf welche Weise die Zeichen gebildet werden sollen/9 wollen wir inzwischen für sie, die in der Zukunft zu bilden sind, nach dem Vorbild der Mathematiker Buchstaben des Alphabets oder irgendwelche anderen willkürlich gewählten Kennzeichen verwenden, die der Fortgang als die geeignetsten an die Hand geben wird. Durch dieses Verfahren wird auch die Ordnung der Wissenschaften, die mit Hilfe der Charakteristik behandelt werden sollen, deutlich wercen, und die Sache selbst wird lehren, daß die elementare Arithmetik gegenüber den Elementen

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Arithmeticam elementarem esse Elementis Calculi Logici de figuris modisque agentis priorem simplicioremque. Esto Character quilibet A vel B, vel alia nota. Compositum ex pluribus characteribus vocetur FormuIa. Si formula quaedam aequivaleat characteri, ita ut sibi mutuo substitui possint, ea formula dicetur Valor characteris. Valor primigenius characteris, qui scilicet pro arbitrio ei assignatur nec probatione opus habet, est ejus Significatio. Inter ea quorum unum alteri substitui potest salvis calculi legibus, dicetur esse aequipollentia. Praeter Aequipollentias dantur aliae relationes complures, quas res ipsa monstrabit, v.g. inclusiones, similitudines, determinationes, de quibus suo loco. Et proinde relationes sunt ad characteres atque formulas, ut enuntiationes se habent ad notiones seu secunda mentis operatio ad primam. Calcul us vel operatio consistit in relationum productione facta per transmutationes formularum, secundum Ieges quasdam praescriptas factis. Quanto autem plures Ieges sive conditiones calculaturo praescribuntur, eo magis compositus est calculus, et characteristica quoque illa minus est simplex. Patet igitur, formulas {sub quibus tanquam simplicissimas licet comprehendere ipsos characteres), relationes, et operationes se habere ut notiones, enuntiationes, et syllogismos. Sunt et relationes compositae, quae supponunt certas operationes.

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des logischen Kalküls, der von den Figuren und Modi 30 handelt, früher und einfacher ist. 31 Es sei ein Charakter ein beliebiges A oder B oder ein anderes Kennzeichen. 32 Ein Zusammengesetztes aus mehreren Charakteren soll Formel genannt werden. Wenn irgendeine Formel einem Charakter äquivalent ist, so daß sie wechselweise füreinander substituiert werden können, so wird diese Formel der Wert des Charakters genannt werden. 33 Der ursprüngliche Wert eines Charakters, der ihm freilich willkürlich zugeordnet wird und der auch keines Beweises bedarf, ist dessen Bedeutung. In Hinsicht auf jene, von denen das eine für das andere unbeschadet der Gesetze des Kalküls substituiert werden kann, wird gesagt werden, daß eine Äquipollenz vorliegt.34 Außer den Äquipollenzen gibt es mehrere andere Rela~~onen, die die Sache selbst zeigen wird, z.B. lnklusionen, 35 Ahnlichkeiten, 36 Bestimmungen, 37 von denen am gegebenen Ort [die Rede sein wird]. Und demgemäß verhalten sich die Relationen zu den Charakteren und Formeln so, wie die Aussagen sich zu den Begriffen verhalten 38 oder wie die zweite Tätigkeit des Geistes zur ersten. 39 Ein Kalkül bzw. eine Operation 40 besteht im Hervorbringen von Relationen, was bewirkt wird durch die Umformungen der Formeln gemäß bestimmten, den Gegebenheiten41 vorgeschriebenen Gesetzen. Je mehr Gesetze bzw. Bedingungen aber dem in Zukunft Kalkulierenden vorgeschrieben werden, umso zusammengesetzter ist der Kalkül, und ebenso ist jene Charakteristik weniger einfach. Es ist folglich offenkundig, daß die Formeln (unter denen man als die einfachsten die Charaktere selbst begreifen kann), die Relationen und die Operationen sich verhalten wie die Begriffe, die Aussagen und die Syllogismen. Es gibt auch zusammengesetzte Relationen, die bestimmte Operationen voraussetzen.

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Character clicetur ingredi formulam, in qua expresse ponitur, item characterem in cujus significatione expresse ponitur. Involvi autem dicetur, si saltem per substitutionem aequipollentium effici potest, ut turn demum ingrediatur. Characteres formulam ingrediuntur vel absolute seu simpliciter, vel sub modificatione certa sive relatione ad alium characterem, verbi gratia si sit formula A(B). C, eam A et C ingrediuntur recte, at B oblique sub A. Fieri etiam potest ut omnes characteres formulam sub moclificatione ingrediantur, ut si sit ~

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A.B.CL.M.N,1 ubi A.B. C, simul certo modo concurrentes constituunt dem um characterem rectum, ex ipsis conflatum sive compositum, itemque faciunt L.MN Quodsi character absolute positus sit expressus aliter quam per modificatos, dicetur rectus, modificatus autem dicetur obliquus. Characteres alii formulam ita ingrediuntur ut distingui inter se non possint, alii secus. Continens vel Aggregatum est compositum uniforme, seu formula quae in nullas formulas nisi arbitrarie dividitur, ut A.B, vel A.B.C Compositio omnis est aequiformis vel disquiformis. Aequiformis ut A.Bvel A.B.C.D,vel A.B.C.D.E.F, ubi semper quae eodem vinculo connectuntur, uniformiter vinculum ingrediuntur, ubi rursum interest, eodem modo

In der Handschrift stehen solche Formeln immer in der Zeile ohne Absatz, sie werden hier wie auch in den folgenden Texten aus drucktechnischen Gründen in eine eigene Zeile gesetzt. 1

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Von einem Charakter wird gesagt, er gehe in eine Formel ein, in der er ausdrücklich gesetzt wird, ebenso [wird gesagt, er gehe ein] in emen Charakter, in dessen Bedeutung er ausdrücklich gesetzt wird. Von mitenthalten aber wird gesprochen, wenn zumindest durch die Substitution von Aquipollenten bewirkt werden kann, daß er schließlich [in einen Charakter] eingeht. Charaktere gehen entweder absolut bzw. schlechthin in eine Formel ein oder unter einer gewissen Modifikation bzw. durch eine Relation zu einem anderen Charakter;42 wenn z.B. die Formel A{B).C [gegeben] ist, so gehen in sie A und C direkt ein, B hingegen oblique unter A. 43 Es kann auch geschehen, daß alle Charaktere unter einer Modifikation in eine Formel eingchen, 44 so wenn z.B . . ~______...

...--...._..,..

A.B.C.LM.N 45 [gegeben] ist, wo A.B.C, die zusammengenommen auf eine gewisse Weise gemeinsam wirken, schließlich den direkten Charakter konstituieren, der aus ihnen zusammengeschmiedet oder zusammengesetzt ist, und auf gleiche Weise wirken LM.N. Wenn daher ein absolut gesetzter Charakter anders als durch modifizierte [Charaktere] ausgedrückt ist, wird er direkt genannt, modifiziert aber wird er oblique genannt. Von den Charakteren gehen die einen in eine Formel in der Weise ein, daß sie untereinander nicht unterschieden werden können, die anderen [gehen in sie ein] auf andere Weise. Ein Enthaltendes oder ein Aggregat ist ein gleichförmig Zusammengesetztes bzw. eine Formel, die in keine Formeln unterteilt wird, es sei denn auf willkürliche Weise, wie z.B. A.B oder A.B.C. 46 Jede Zusammensetzung ist entweder gleichförmig oder ungleichförmigY [Sie ist] gleichförmig wie A.B oder A.B.C.D oder A.B.C.D.E.F,

wo immer jene, die durch ein und dieselbe Bindung 48 verbunden werden, in gleichförmiger Weise in die Bindung eingehen, wo es wiederum von Bedeutung ist, daß A und B durch ihre Bindung auf ein und dieselbe Weise verbunden

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connectantur A et B suo vinculo, quo C et D continentur suo, et an A et B eodem modo (quo) -- - - 2 A.B et C.D. Si duo unum vinculum disquiformiter ingrediantur ut A 1- B et unum ex ipsis A cum proximo C formulam ingrediente uniformiter ingrediatur in novum vinculum ut

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A 1- BC erit A directum, B obliquum. Rectum ultimum est quod formulam terminat, ut si esset formula

L 1- A 1- B CM erunt L et M recta ultima, A et C 3 intermedia. Sunt quaedam uniformiter inter se conjuncta, sed tali genere relationis ut unum ex ipsis {quod libuerit) sumi possit pro absoluto, 1s reliqua pro modificato. Tale quid contingit in multiplicatione, ut si sit ab et intelligatur a valere 2 et b valere 3, potest intelligi ab esse 2b adeoque b esse absolutus et a esse numerus per quem b multiplicatur. Vicissim contrarium fieri potest, et a sumi pro absolu.to cujus modificatio sit 3, ita 20 ut a intelligatur triplicatus. Pars formulae interdum et ipsa formula est, et per se stare potest, interdum secus.

A. B et C. D ergänzt nach Erdmann (1840}, S. 94. Diese Stelle findet sich am unteren Rand der dort beschädigten Handschrift. Es ist anzunehmen, daß Erdmann die Stelle noch lesen konnte. 3 B ändert Hrsg. 2

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werden wie C und D in ihrer [Bindung] enthalten sind, und [es wiederum von Bedeutung ist], ob A und B auf dieselbe Weise [verbunden sind] wie Ä.B und C.D. Wenn zwei [Charaktere] in eine Bindung ungleichförmig eingehen, wie z.B. A f- B, und einer von ihnen, A, mit dem nächsten, C, das in die Formel eingeht, gleichförmig-19 in eine neue Bindung eingeht, wie z.B. A f- BC,

dann wird A ein Direktes,5° Bein Obliques sein. Das letzte Direkte ist das, was eine Formel beschließt, so wenn z.B. die Formel L f- A f- B C M sl [gegeben] ist, dann werden L und M die letzten Direkten sein, A und C die dazwischenliegenden [Direkten]. Es gibt einige, die untereinander in gleichförmiger Weise verbunden sind, aber mit einer solchen Art der Relation, daß eines von ihnen (welches auch immer man will) als Absolutes angenommen werden kann, die übrigen als Modifiziertes. Etwas dieser Art trifft zu bei der Multiplikation, so daß, wenn z.B. ab gilt und gewußt wird, daß a den Wert 2 hat und b den Wert 3, 52 dann gewußt werden kann, daß ab [gleich] 2b ist und deshalb b ein absoluter [Charakter], und a die Zahl ist, mit derb multipliziert wird. Umgekehrt kann sich das Gegenteil ergeben und a als Absolutes angenommen werden, dessen Modifikation 3 ist, so daß a als verdreifacht verstanden wird. 53 Ein Teil einer Formel ist manchmal auch selbst eine Formel und kann für sich stehen, manchmal [aber verhält es sich] anders. 54

[III]

SPECIMINA CALCULI RATIONALlS [A]

(1) Si A explieando prodit B non B, A est impossibile. 5 Vel eethetiee magis, si A oo L .. B non B, A est impossibile. (2) Ens vel possibile est quod non est impossibile; ut A, si A non oo L .. B non B. (3) Si non A est impossibile, A est neeessari um. (4) non non A oo A. Hie est usus 'tou non, add. 6. 10 (5) A est, id est A est Ens. (6) Falsa Enuntiatio si inde sequitur A oo L .. B non B, vid. 10.1 (7) Enuntiatio A est B. ltem A oo B. ltem si A est B, se· quitur quod C est D. ltem A non est B. ltem si A est B, non 15 sequitur quod C est D. (8) A est B, sie exponitur literaliter A oo LB, ubi L idem quod indefinitum quoddam. Potest etiam sie exponi A oo AB, ut non sit opus assumi tertium. Ad hoe requiritur 14. (9) A non est B, idem est quod QA est non B, demonzo strandum.n (10) Idem est dieere: propositio A est B, est falsa, et dieere A non est B. Sequitur ex 6. Am Rande: Dicere A est B, falsa est, idem est quod dicere A non est B. Peninet ad usum L significat B esse in L seu L continere B; at B et N simul constituere vel componere L, idem est in pluribus. DEF. 5. Subalternantia voco quorum unum alteri inest, ut A et B, sive B insit ipsi A, sive A ipsi B. DEF. 6. Disparata quorum neutrum alteri inest. 1

Am Rande, aber gestrichen: Pars inest toti, genus speciei.

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duarum proximarum duarum, das zweite duarum streicht Hrsg.

Probestück eines Kalküls der Koinzidierenden

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zustellen, nimmt Euklid jede beliebige Seite gleich der Basis an, so daß die Folge ist, daß sie untereinander gleich sindY Wenn etwas in einem Kreis bewegt wird, dann muß nur gezeigt werden, daß die Wege zweier benachbarter Perioden (bzw. die Rückwege zu demselben Punkt) immer untereinander koinzidieren, damit geschlossen wird, daß die Wege beliebiger Perioden koinzidieren. 18 PROPOSITION 4. Wenn A A c /-·· ·------- ....---·· ___ oo B und B nicht oo C ist, / \ ! '\ dann wird A nicht oo C . . '----sein. Wenn von Zweien, ------. _____________ ../ die untereinander dieselB ben sind, das eine ein von einem Dritten Verschiedenes ist, dann wird auch das andere ein von demselben [Dritten] Verschiedenes sein. 19 Denn wenn in der Aussage B nicht oo C (die gemäß der Hyp. wahr ist) A an der Stelle von B substituiert wird, dann wird sich (aufgrund von Def. 1, wegen A oo B) die wahre Aussage A nicht oo C ergeben. DEFINITION 3. Daß A in L ist bzw. daß LA enthält, ist dasselbe wie, daß für mehrere zusammengenommen, unter denen A ist, L als Koinzidierendes gesetzt wird.120 DEFINITION 4. Alle jene aber zusammengenommen, in denen das- ist, was auch immer in L ist, werden Komponenten in bezug auf das Zusammengesetzte oder das Konstituierte L genannt werden. B ffi N oo L bedeutet/ 1 daßBin L ist bzw. daß L B enthält, daß B und N zusammengenommen jedoch L konstituieren bzw. 22 zusammensetzen; dasselbe gilt bei mehreren. 23 DEFINITION 5. Subalternanten nenne ich jene, von denen das eine im anderen ist, wie A und B, sei es, daß B in A oder A in B. DEFINITION 6. Disparate [sind] jene, von denen keines im anderen ist. 24 1

Am Rande, aber gestrichen: Der Teil ist im Ganzen, die Gat-

tung in der Art.

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Specimen calculi coincidentium et inexistentium

SCHOLIUM ad def. 3. 4. 5. 6. 2 lnesse dicimus notionem

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generis in notione speciei, individua speciei in individuis generis; partem in toto, imo et indivisibile in continuo, ut punctum in linea, licet punctum pars lineae non sit. Sie notio affectionis seu praedicati inest in notione subjecti. Et in universum latissime patet haec consideratio. Dicimus etiam inexistentia his quibus insunt contineri. Nec refert hoc loco ad notionem istam generalem quomodo ea quae insunt sese invicem aut ad continens habeant. Ita demonstrationes nostrae etiam de his locum habent, quae aliquid distributive componunt, ut omnes species simul componunt genus. Porro omnia inexistentia sufficientia ad constituendum continens, seu quibus omnia insunt, quae insunt continenti, dicuntur ipsum continens componere, exempli gratia A EB B componere dicentur L, siA, B, L significent rectas RS, YX, RX, nam RS EB YX oo RX. Eodem modo RS EB SX oo RX. Et tales partes, quae totum complent, vocare soleo cointegrantes, maxime si nullam partem communem habeant, quae commembra dici possent, ut RS et SX. 3 Unde patet idem multis modis componi posse, si ea ex quibus componitur rursus sint composita. lmo si resolvi possint in infinitum, variationes compositionis infinitas esse. ltaque tota synthesis et analysis fundamentis hic jaciendis innituntur. Porro si ea quae insunt homogenea sint ei quo continentur, appellantur partes, et continens appellatur totum. Si duae quaevis partes

Dieses Scholium steht in der Handschrift am Ende des Textes auf BI. 61v. Wir fügen es hier sachgemäß in den Text ein. 3 RX ändert Hrsg. 2

Probestück eines Kalküls der Koinzidierenden

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zu den Definitionen 3. 4. 5. 6. Wir sagen, daß der Begriff der Gattung im Begriff der Art ist, die Individuen der Art in den Individuen der Gattung; der Teil im Ganzen,25 ja sogar auch das Unteilbare im Kontinuum, wie der Punkt in der Linie,26 obwohl der Punkt nicht Teil der Linie ist. Auf diese Weise ist der Begriff der Beschaffenheit bzw. des Prädikats im Begriff des Subjekts. Und diese Betrachtung ist im allgemeinen am weitesten offensichtlichY Wir sagen auch, daß die Darin-Existierenden in jenen, in welchen sie sind, enthalten sind. Und es kommt an dieser Stelle in bezug auf diesen allgemeinen Begriff28 nicht darauf an, auf welche Weise sich die, die darin sind, wechselseitig oder zu dem Enthaltenden verhalten. So haben unsere Beweise auch bei jenen Gültigkeit, die irgendetwas distributiv zusammensetzen, 29 wie alle Arten zusammengenommen die Gattung zusammensetzen. Ferner wird von allen zur Konstitution eines Enthaltenden hinreichenden Darin-Existierenden bzw. von allen, in denen die sind, die im Enthaltenden sind, gesagt, daß sie das Enthaltende selbst zusammensetzen. Zum Beispiel wird von A E9 B gesagt werden, daß sie L zusammensetzen, wenn A, B, L die Geraden RS, YX, RX bezeichnen,30 denn: RS E9 YX oo RX. Auf dieselbe Weise [gilt]: RS E9 SX oo RX. Und solche Teile, die ein Ganzes bilden, pflege ich Kointegranten zu nennen, besonders dann, wenn sie keinen gemeinsamen Teil haben, 31 in welchem Fall sie Komemmbra genannt werden könnten, wie z.B. RS und SX. 32 Daher ist es offensichtlich, daß dasselbe dann auf zahlreiche Weisen zusammengesetzt werden kann, wenn diejenigen, aus denen es zusammengesetzt wird, wiederum Zusammengesetzte sind. Wenn sie bis ins Unendliche aufgelöst werden können, dann [bedeutet dies], daß die Variationen der Zusammensetzung sogar unendlich sind. Deshalb stützen sich die ganze Synthese und Analyse auf die Grundlagen, die hier gelegt werden müssen. 33 Wenn ferner jene, die darin sind, mit dem, in dem sie enthalten sind, homogen 34 sind, dann werden sie Teile genannt, und das Enthaltende wird Ganzes genannt 15 Wenn sich zwei beliebige Teile so SCHOLIUM

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Specimen calculi coincidentium et inexistentium

ita se habent, ut tertium reperiri possit habens partem uni et partem alteri communem, quod ex ipsis componitur est continuum. Unde patet quomodo paulatim una consideratio ex alia exurgat. Porro subalternantia voco, quorum uns um alteri inest, ut species generi, recta RS rectae RX. Disparata, ubi secus est, ut rectae RS et YX, duae species ejusdem generis, metallum perfeeturn et imperfeetum. Imo et diversarum divisionum ejusdem totius membra, quae aliquid commune habent, verbi gratia si metallum dividas in per· 10 feeturn et imperfeetum et rursus in solubile in aqua forti et insolubile, patet metallum insolubile in aqua forti et metallum perfeeturn esse duo disparata, darique metallum perfeetum seu fulminabile persistens in eupella, et tarnen solubile in aqua forti, ut argentum, et contra dari metallum imper15 feeturn insolubile in aqua forti, ut stannum. AXIOMA 1. B E9 N oo N E9 B seu transpositio hic nihil mutat. POSTULATIJM 1. Dato quolibet sumi potest aliquid ab eo diversum, et si placet, disparatum, seu ut unum alteri non 20 insit. POSTULA TIJM 2. Plura quaecunque ut A, B simul sumi possunt ad unum A E9 B seu L componendum. AXIOMA 2. A E9 A oo A. Si nihil novi addatur, nec novi aliquid fit, sive repetitio hic nil mutat. (Nam licet 4 nummi 2s et alii 4 nummi sint 8 nummi, non tarnen 4 Nummi, et iidem 4 Nummi adhuc semel numerati.)

Probestück eines Kalküls der Koinzidierenden

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verhalten, daß ein Drittes gefunden werden kann, das einen gemeinsamen Teil mit dem einen und einen gemeinsamen Teil mit dem anderen hat, dann ist das, was aus jenen zusammengesetzt wird, em Kontinuum. 36 Daher ist es offensichtlich, auf welche Weise allmählich eine Betrachtung aus der anderen hervorgeht. Ferner nenne ich Subalternanten jene, von denen das eine in dem anderen ist, wie die Art in der Gattung, die Gerade RS in der Geraden RX. Disparate [nenne ich] jene, bei denen dies nicht der Fall ist, wie die Geraden RS und YX, zwei Arten derselben Gattung, edles und unedles Metall [und] sogar auch die Glieder verschiedener Einteilungen desselben Ganzen, die irgendetwas Gemeinsames haben; wenn du zum Beispiel Metall in edles und unedles und wiederum in im Scheidewasser lösliches und un· lösliches einteilst, dann ist es offensichtlich, daß im Scheide· wasser unlösliches Metall und edles Metall zwei Disparate sind und daß ein edles Metall bzw. ein blitzableitendes, im Schmelztiegel verharrendes und dennoch im Scheidewasser lös· liebes [Metall], wie Silber, angegeben werden [kann] und daß umgekehrt ein unedles, im Scheidewasser unlösliches Metall angegeben werden [kann], wie ZinnY AXIOM 1. BEB N oo N EB B, bzw. die Umstellung verändert hier nichts. 38 POSTULAT 1. Ist ein Beliebiges gegeben, so kann irgendein von diesem Verschiedenes und, wenn es beliebt, Disparates, bzw. daß das eine nicht im anderen ist, angenommen werden. 39 POSTULAT 2. Beliebige mehrere, wie A, B, können zusammengenommen werden, um zu einem, [das heißt zu] A EB B bzw. L, zusammengesetzt zu werden. 40 AXIOM 2. A EB A oo A. Wenn nichts Neues hinzugefügt wird, dann ergibt sich auch nicht irgendetwas Neues, bzw. die Wiederholung verändert hier nichts. 41 (Denn wenn auch 4 Münzen und andere 4 Münzen 8 Münzen sind, so sind [dabei] dennoch nicht 4 Münzen und noch einmal dieselben 4 Münzen gezählt worden.)

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Specimen calculi coincidentium et inexistentium

SCHOLIUM ad Ax. 1 et 2,4 Cum speciosa generalis nihil

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20

25

aliud sit, quam combinationum per notas repraesentatio atque tractatio variaeque sint combinandi leges excogitabiles, hinc fit ut varii oriantur modi computandi. Hoc loco autem nulla habetur ratio variationis quae in sola ordinis mutatione consistit, idemque nobis est AB quod BA. 5 Deinde hoc loco nulla habetur ratio repetitionis, seu AA 6 idem nobis est quod A. ltaque ubicunque istae leges servantur, applicari potest praesens calculus. Hoc autem patet servari in compositione notionum absolutarum in recto ubi nec ordinis ratio habetur, nec repetitionis, sie idem est dicere calidum et lucidum ac dicere lucidum et calidum; et ignem calidum, vel lac album cum poetis dicere est pleonasmus, nec aliud est lac album quam lac, et homo rationalis seu animal rationale quod rationale est, nihil aliud est quam animal rationale. Idem est cum determinatae quaedam res, rebus inexistere dicantur. Realis enim adjectio ejusdem frustra repetitur. Cum bina et bina dicuntur facere quaterna, posteriora debent esse diversa a prioribus. Si idem esset nihil novi prodiret, et perinde esset ac si joco ex tribus ovis vellemus facere sex, numerando primum 3 ova, deinde uno sublato residua 2, ac denique uno rursus sublato residuum 1. At in calculo Numerorum et magnitudinum A vel B vel aliae notae non significa(n)t certarn rem, sed quamlibet ejusdem numeri partium congruarum, quilibet enim duo pedes significantur per 2 si pes sit unitas seu mensura. Unde 2 + 2 facit novum, 4, et 3 per 3 facit novum, 9. Praesupponitur enim semper di-

Der Beginn dieses Scholiums steht in der Handschrift am Ende des Textes auf BI. 61v , die Fortsetzung steht auf BI. 60'. Wir fügen es hier sachgemäß in den Text ein. 5 Konsistenterweise hätte Leibniz A E9 Bund B E9 A schreiben müssen. 6 Konsistenterweise hätte Leibniz A E9 A schreiben müssen. 4

Probestück eines Kalküls der Koinzidierenden

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SCHOLIUM zu den Axiomen 1 und 2. Da die allgemeine

Bezeichnungskunst42 nichts anderes ist als die Darstellung und die Behandlung von Kombinationen durch Kennzeichen43 und da mannigfaltige Gesetze des Kombinierens ausdenkbar sind, ergibt sich von daher, daß mannigfaltige Weisen der Berechnung entstehen. 44 An dieser Stelle wird jedoch keine Rücksicht auf die Variation genommen, die allein in der Veränderung der Reihenfolge besteht, und [demnach] ist für uns AB dasselbe wie BA. 45 Weiterhin wird an dieser Stelle keine Rücksicht auf die Wiederholung genommen, bzw. AA ist für uns dasselbe wie A. 46 Daher kann, wo auch immer diese Gesetze beobachtet werden, der vorliegende Kalkül angewandt werden. Es ist aber offensichtlich, daß dies bei der in-recto-Zusammensetzung der absoluten Begriffe beobachtet wird, 47 wo weder Rücksicht auf die Reihenfolge genommen wird noch auf die Wiederholung; so ist es dasselbe zu sagen heiß und hell, wie zu sagen hell und heiß; und es ist ein Pleonasmus, mit den Dichtern von heißem Feuer oder weißer Milch zu sprechen, und weiße Milch ist nichts anderes als Milch, und vernunftbegabter Mensch bzw. ver· nunftbegabtes Lebewesen, das vernunftbegabt ist, ist nichts anderes als vernunftbegabtes Lebewesen. Es ist dasselbe, wenn von irgendwelchen bestimmten Dingen gesagt wird, daß sie in den Dingen existieren. Die reale Hinzufügung desselben wird nämlich erfolglos wiederholt. Wenn von zwei und zwei gesagt wird, daß sie vier ergeben, müssen die späteren [zwei] von den früheren Verschiedene sein. Wenn es dasselbe wäre, dann würde nichts Neues herauskommen, und es wäre geanuso, als ob wir im Scherz aus drei Eiern sechs machen wollten, indem wir zuerst die 3 Eier zählen, sodann, nachdem wir eines weggenommen haben, die restlichen 2 und schließlich, nachdem wir wiederum eines weggenommen haben, das restliche 1.48 Aber im Kalkül der Zahlen und Größen49 bezeichnen A oder B oder andere Kennzeichen nicht ein bestimmtes Ding, sondern einen beliebigen [Teil] der kongruenten 50 Teile derselben Anzahl; beliebige zwei Füße nämlich werden durch 2 bezeichnet, wenn ein

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5

10

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Specimen calculi coincidentium et inexistentium

versa Oicet ejusdem magnitudinis) adhiberi; at secus res se habet in certis rebus, verbi gratia lineis. Ponatur mobile describere rectam R Y E9 YX oo R YX seu P E9 B oo L, tendendo ab R ad X. Ponamus idem deinde reverti ab X versus Y ibique quiescere, utique licet bis describat YX seu B, nihil aliud producet, quam si semel descripsisset YX. Et L E9 B idem esse quod L seu P E9 B E9 B sive R Y E9 YX E9 XY idem esse quod R Y E9 YX. Quae cautio magni momenti est in aestimanda magnitudine eorum quae generantur ex magnitudine et motu eorum quae generant vel describunt, cavendum enim est ne describens aut suamet unum alterius vestigia Iegat, unave pars describentis in alterius locum succedat, aut detrahendum id est, ne idem saepius poneretur. Patet etiam hinc componentia secundum notionem qua hic utimur, posse ex suis magnitudinibus componere magnitudinem majorem magnitudine rei quam componunt. Unde Ionge differt compositio rerum et magnitudinum, exempli gratia si totius rectae L vel RX duae sint partes A seu RS, et B seu YX, quarum quaelibet major sit dimidia ipsius RX, ut si RX sit 5 pedum, et RS 4 pedum, et YX 3 pedum, patet magnitudines partium componere magnitudinem 7 pedum, majorem quam quae est totius; et tarnen rectae ipsae RS et YX nihil aliud componunt quam RX seu RS E9 YX oo RX. Unde et adjectionem hanc realem designo hic per E9, ut additio magnitudinum designatur per +. Denique etsi multum

Probestück eines Kalküls der Koinzidierenden

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Fuß die Einheit bzw. das Maß ist. Daher ergibt 2 + 2 [etwas] Neues, [und zwar] 4, und 3 mal 3 ergibt (etwas] Neues, [und zwar] 9. Es wird nämlich vorausgesetzt, daß immer Verschiedene (wenn auch von derselben Größe) genommen werden; 51 bei bestimmten Dingen aber verhält sich die Sache anders, zum Beispiel bei Linien. Es sei gesetzt, daß ein Bewegliches die Gerade RY EB YX oo R YX bzw. P EB B oo L beschreibt, indem es von R nach X strebt. Setzen wir weiterhin, daß dasselbe von X nach Y zurückkehrt und dort verharrt und daß es, auch wenn es YX bzw. B zweimal beschreibt, nichts anderes hervorbringen wird, als wenn es YX einmal beschrieben hätte. Und (setzen wir,] daß L EB B dasselbe ist wie L bzw. P EB B EB B bzw. daß RY EB YX EB XY dasselbe ist wie R Y EB YX. Diese Vorsichtsmaßnahme ist von großer Bedeutung bei der Beurteilung der Größe derjenigen, die aus der Größe und Bewegung derjenigen erzeugt werden, die erzeugen oder beschreiben; man muß nämlich darauf achten, daß nicht bei der Beschreibung entweder das eine die Spuren des anderen als die eigenen liest bzw. ein Teil des Beschreibenden an die Stelle des anderen tritt, oder dieses muß weggenommen werden, damit nicht dasselbe wiederholt gesetzt wird. Daher ist es auch offensichtlich, daß die Komponenten gemäß dem Begriff, den wir hier verwenden, aus ihren Größen eine größere Größe zusammensetzen können als aus der Größe des Dinges, welches sie zusammensetzen. Daher ist die Zusammensetzung von Dingen und Größen gänzlich voneinander verschieden; 52 wenn es zum Beispiel von der gesamten Geraden L bzw. RX zwei Teile, A bzw. RS und B bzw. YX, gibt, von denen jeder beliebige größer ist als die Hälfte von RX, so daß es, wenn RX 5 Fuß beträgt und RS 4 Fuß und YX 3 Fuß, offensichtlich ist, daß die Größen der Teile eine Größe von 7 Fuß zusammensetzen, die größer ist als die [Größe] des Ganzen; und trotzdem setzen die Geraden RS und YX nichts anderes zusammen als RX, bzw.: RS EB YX oo RX. Daher kennzeichne ich hier auch diese reale Hinzufügung durch EB, so wie die Addition der Größen durch + gekennzeichnet wird.

Specimen calculi coincidentium et inexistentium

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5

10

referat in reali adjectione, cum de rebus actu generandis agitur, quis sit ordo, prius enim fundamenta jaciuntur, quam struatur domus, in mentali tarnen formatione rerum idem prodit quodcunque ingredientium prius consideremus, tametsi unus modus considerandi alio sit utilior, unde nec ordo hic variat rem provenientem. Suo tempore et ad ordinem erit accedendum. Nunc autem RYEB YS EB SX idem est quod YS EB RYEB SX. PROP. 5. Si A est in B, et sit A oo C etiam C est in B. Coincidens inexistenti est inexistens. Nam in propositione A est in B {vera ex hyp.) pro A substituendo C {per def. 1 Coincidentium, quia A oo C ex hyp.) fit C esse in

B.

15

20

PROP. 6. Si C est in B, et sit A oo B, etiam C erit in

A. Quod uni coincidentium inest, etiam alteri inest. Nam in prop. Cestin B, proB 7 substituendo A (quia A oo B ~ fit: C 9 esse in A .10 {Est conversa praecedentis.) PROP. 7. A est in A. Unumquodque est in se ipso. Nam A est in A EB A {per def. inexistentis seu per def. 3) et A EB A oo A {per axiom. 2). Ergo (per prop. 6) A est in A. PROP. 8. A est in B si A oo B. Coincidentium unum est in altero. Patet ex praecedenti. Nam A est in A {per praeced.), id est {ex hypothesi) in B.

7 8

9 10

C C A B

ändert Hrsg. ändert Hrsg. ändert Hrsg. ändert Hrsg.

Probestück eines Kalküls der Koinzidierenden

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Schließlich: Auch wenn es bei der realen Hinzufügung, insofern es sich um wirklich zu erzeugende Dinge handelt, einen großen Unterschied macht, welche Reihenfolge vorliegt, die Fundamente nämlich werden früher errichtet als das Haus gebaut wird, läuft es trotzdem bei der mentalen Bildung der Dinge auf dasselbe hinaus, welchen der Bestandteile auch immer wir zuerst betrachten, obgleich die eine Betrachtungsweise nützlicher ist als die andere; daher verändert hier die Reihenfolge auch nicht das. hervorgehende Ding. Zu einem späteren Zeitpunkt wird man sich auch mit der Reihenfolge befassen müssen. 53 Jetzt aber ist RY$ YS EI) SX dasselbe wie YS $ R Y $ SX. PROPOSITION 5. Wenn A in B ist, und A CXl C ist, dann ist C auch in B. Das mit einem Darin-Existierenden Koinzidierende ist ein Darin-Existierendes. Denn, indem in der Aussage A ist in B (die gemäß der Hyp. wahr ist) für A C substituiert wird (aufgrund von Def. 1 der Koinzidierenden, da gemäß der Hyp. A CXJ C ist), ergibt sich, daß C in B ist. PROPOSITION 6. Wenn C in B ist und A CXl B ist, dann wird C auch in A sein. Was in dem einen von [zwei] Koinzidierenden ist, das ist auch in dem anderen. 54 Denn, indem in der Aussage Cistin B für BA substituiert wird (da A CXJ B ist), ergibt sich, daß C in A ist. ([Diese Proposition] ist die zur vorausgehenden umgekehrte.)55 PROPOSmON 7. A ist in A. Ein jedes ist in sich selbst. DennAistin A $ A (aufgrund der Def. des DarinExistierenden bzw. aufgrund von Def. 3), und [es gilt] (aufgrund von Ax. 2}: A EI) A CXJ A. Folglich ist (aufgrund von Prop. 6) A in A. 56 PROPOSITION 8. Wenn A CXl B ist, dann ist A in B. Das eine von Koinzidierenden ist in dem anderen. Dies ist aufgrund der vorausgehenden [Proposition] offensichtlich. Denn (aufgrund der vorausgehenden [Proposition] ist A in A, das heißt, [es ist] (gemäß der Hypothese) in

B.

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Specimen calculi coincidentium et inexistentium

PROP. 9. Si A oo B, erit A Ea Coo B Ea C. Si eidem adji-

ciantur coincidentia, fiunt coincidentia. Nam si in propositione A Ea C oo A Ea C (per se vera) pro A semel substituas coincidens B (per def. 1), fiet: A Ea C oo B Ea C. A triangulum }

B trilaterum

. .d

comcl unt

C aequilaterum

A EeC 10

1s

A Eil C triangulum aequilat. } . 'd COißCI unt B Eil C trilaterum aequilat.

SCHOLIUM. Haec propositio converti non potest, multo-

que minus duae sequentes, et infra in probl. quod est prop. 23, docebitur modus instantiam reperiendi. PROP. 10. Si A oo L et B oo M, erit A Ea B oo L Ea M. Si coincidentibus adjiciantur coincidentia, fiunt coincidentia. Nam quia BooM, erit (per praeced.) A Ea B oo A Ea M, et pro posteriori A ponendo L (quia A oo L ex Hyp.) fiet A Ea B oo L Ea M.

l

A triangulum } . 'd COißCl Unt L trilaterum

Lfi!M

B regulare M capacissimum . . 1Sopenmetrorum isopolypleurorum

coincidunt

Probestück eines Kalküls der Koinzidierenden

133

PROPosmoN 9. Wenn A oo B ist, dann wird A E9 C

oo B E9 C seinY Wenn demselben Koinzidierende hinzugefügt werden, dann ergeben sich Koinzidierende. Denn wenn du in der Aussage A E9 C oo A E9 C (die an sich wahr ist) für A einmal das Koinzidierende B substituierst (aufgrund von Def. 1), dann wird sich A E9 C oo B E9 C ergeben. 58 A Dreieck } komZlodieren B Dreiseit C Gleichseit 0

A Eil C gleichseitiges Dreieck } k odi omZl eren B Eil C gleichseitiges Dreiseit 0

A EllC

SCHOUUM. Diese Proposition kann nicht umgekehrt

werden, und noch viel weniger [können es] die beiden folgenden; und [weiter] unten wird in dem Problem, welches die Prop. 23 darstellt, eine Weise zur Auffindung eines Beispiels gezeigt werden. 59 PROPOSITION 10. Wenn A oo L und B oo M ist, dann wird A E9 B oo L E9 M sein. Wenn Koinzidierenden Koinzidierende hinzugefügt werden, dann ergeben sich Koinzidierende. 60 Denn da B oo M ist, wird (aufgrund der vorausgehenden [Proposition]) A E9 B oo A E9 M sein, und indem für das spätere A L gesetzt wird (da gemäß der Hyp. A oo L ist), wird sich A E9 B oo L E9 M ergeben.

/..

·----••,0 ____ •• -··

sx

0

·- -\

·s··--.. _,

.JX B Regelmäßiges

/ · . ·---v-···-/

\ ··----v-·/ M / '----~- _____ __./ LIBM

A Dreieck } komZlodo1eren L Dreiseit

M

Geräumigstes

mit gleichen Umfongen mit gleich vielen Seiten

) koinzidieren

134

Specimen calculi coincidentium et inexistentium

Triangulum regulare, et trilaterum, sub tribus lateribus eandem peripheriae magnitudinem facientibus capacissimum, coincidunt. SCHOLIUM. Haec propositio converti non potest, neque

5

enim si sit A EB B oo L EB M et A oo L sequitur statim esse B oo M, et sequens multo minus converti potest. PROP. 11. Si A oo Let BooMet C oo N, erit A $ B E9

IO

C oo L EB M EB N. Et ita porro." Si sint quotcunque proposita, et totidem alia illis respective coincidentia singula singulis, compositum ex illis coincidet composito ex istis. Nam (ex praeced. quia A oo L et B oo M) fiet A EB B oo L' 2 EB M. U nde quia C oo N, fiet (rursus per praeced.) A EB B EB C oo L 13 EB M EB N. PROP. 12. Si Best in L erit A $Bin A E9 L. Si idem

15

adjiciatur contento et continenti, factum prius inest posteriori. Nam sit L oo B E9 N (per defin. inexistentis), et A EB Best in B E9 N E9 A (per eandem) hoc est in L E9

A.

A E9 L

20

L

YS est in YX. 14 Ergo RT E9 Y:S seu RS est in RT E9 YX15 seu in RX.

B aequilaterum L regulare A quadrilaterum

11

Et ita porro in der Hs. nicht unterstrichen, wir setzen es trotzdem ge-

12

B ändert Hrsg. B ändert Hrsg. RX ändert Hrsg. RX ändert Hrsg.

sperrt. 13 14 15

Probestück eines Kalküls der Koinzidierenden

135

Regelmäßiges Dreieck und inhaltsgrößtes Dreiseit aus drei Seiten, die dieselbe Umfangsgröße ergeben, koinzidieren. SCHOUUM. Diese Proposition kann nicht umgekehrt

werden, es folgt nämlich nicht unbedingt, daß, wenn A EB B oo L EB MundA oo L ist, dann BooM ist, 61 und die folgende [Proposition] kann noch viel weniger umgekehrt werden. PROPOSITION 11. Wenn A oo L undBooMund C oo

N ist, dann wird A EB B EB C oo L EB M EB N sein; und so weiter. Wenn beliebig viele gesetzt sind und ebensoviele andere, mit jenen entsprechend eines mit einem Koinzidierende, dann wird das aus jenen Zusammengesetzte mit dem aus diesen Zusammengesetzten koinzidieren. Denn es wird sich (gemäß der vorausgehenden [Proposition], da A oo L und B oo Mist) A EB B oo L EB M ergeben. Deshalb wird sich, da C oo N ist (wiederum aufgrund der vorausgehenden [Proposition], A EB BEB CooL EB M E9 N ergeben. PROPOSITION 12. Wenn B in L ist, dann wird A EB

B in A EB L sein. Wenn dem Enthaltenen und dem Enthaltenden dasselbe hinzugefügt wird, dann ist das frühere Ergebnis in dem späteren. Denn (aufgrund der Def. des Darin-Existierenden) ist L oo BEB N, und (aufgrund derselben [Def.] ist A EB B in B EB N EB A, das heißt in L EB A. A E9 L

-------

'

I'

//,i'eB

,,,,-'"

/

,--

~

YS ist in YX. 62 Folglich ist RTES YS bzw. RS in RTES YXbzw. in RX. B L A

L

Gleichseitiges Regelmäßiges Vierseit

136

Specimen calculi coincidentium et inexistentium

Aequilaterum inest seu tribuitur regu/ari. Ergo quadri/aterum aequi/ater· um inest quadrilatero regu/ari sive quadrato perfecto. SCHOLIUM. Haec propositio converti non potest, neque

10

enim si A Ee B est in A Ee L, sequitur esse B in L. PROP. 13. Si LEe B oo L erit Bin L. Si quid adjecto alio non fit aliud, adjectum ei inest. Nam Best in LEe B (per definitionem inexistentis) et L Ee B oo L (ex hyp.). Ergo (per prop. 6) Best in L. PROP. 14. Si B est in L erit L Ee B oo L. Subalternantia nihil componunt novi seu si quid alteri inest adjectum ei, non facit aliud ab eo. Conversa praecedentis. Si Best in L erit (per def. inexist.) L oo B Ee P. Ergo (per prop. 9) L Ee B oo B Ee P Ee B hoc est (per ax. 2) oo B Ee P quod (ex hyp.) oo L. ' ''

'

--

___ i ___

-- - ' '

''

''

Rt----f-

''

,.,

(AB = ABA), er legt aber dann in dem folgenden Zusatz fest, daß mit AB auch beides, also sowohl A ah auch B vereinbar sei, womit er faktisch ein inklusives "oder" definien. Der letzte Absatz bedeutet also: AB e

(A.

v B v AB), oder:

(AB E A} V (AB E B) V (AB E AB). Dann aber ist es nicht möglich, daraus, daß AB A ist, zu schließen, daß AB nicht B ist. Genau dies aber schließt Leibniz in der Äquivalenz in {20), was leicht ersichtlich wird, wenn man die don angefühne Formel z.B. nach [III A], (8), umformulien:

-ABeAl;::>AB~B. -

Leibniz schlägt selbst vor, für AB X einzusetzen. Dann wird sofon deutlich, daß x e A l;::>x ~ B nur dann gelten kann, wenn eines von beiden, also entweder B oder A zutreffen muß, aber nur eines zutreffen darf. Vermutlich hatte Leibniz dies im letzten Abschnitt des Textes zunächst im Auge, hat dann aber im letzten Nebensatz, also mit "was dennoch nicht verhinden, daß es beide enthalten kann", die Wahrheitsbedingungen erweiten, und hat dann entsprechend im lateinischen Text dassaltem ergänzt. Dies zeigt jedenfalls seine Unsicherheit im Umgang mi.t AB, d.h. mit der Negation der Begriffskonjunktion. Der logische Sachverhalt, den Leibniz zunächst im Auge hatte, ist ein in der Tradition sehr bekannter. Einem individuellen Subjekt, z.B. einem Menschen, kann von bestimmten einander ausschließenden Prädikaten, z.B. "sehend" und "blind", nur eines zukommen, eines von beiden aber muß ihm zukommen. "Blind" stellt dabei die Beraubung, d.h. die privatio, von "sehend" dar. Dies ist das contrarium sine medio unter Voraussetzung eines geeigneten Subjekts (aptus natus}. Bei Leibniz lag vermutlich die Tendenz vor, die Negation von der Privation her zu sehen. In einem in derselben Periode, vermutlich 1687, abgefaßten Text stellt er eine Reihe von Gegensätzen auf, z.B. Aliquid-Nihil, Concretum-Abstractum u.s.w., und führt dann auch den Gegensatz Positivum-Privativum an; A VI, 4, N. 184, S. 874 121 und S. 875 171·• Vgl. auch A VI, 4, N. 99, S.

212

Kommentar zu Text [VII]

405 171· (GP VII, S. 195), wo Leibniz das Privative durch die Negation definien (Privativum est, quod dicit negationem, positivum quod dicit affirmationem). Wird die Negation von der Privation her konstruien, dann sind die sich dabei ergebenden Schwierigkeiten ganz ähnlich jenen, die in [V] aufgetreten waren; vgl. dort die Anm. 26. Dem X, das hier in [VI], (20),- nach der ersten Version dieses Paragrap~n, d.h.lener ohne die Möglichkeit AB, - notwendigerweise A oder B enthalten soll, entspricht in der gestrichenen Textstelle am Ende von [V], Leibniz-Anmerkung I, "jeder Begriff", der A oder A enthalten soll. Das bedeutet, daß Leibniz hier in [VI] ursprünglich das B als A und umgekehrt das A als B auffaßte, was jedoch genau und nur auf privative Begriffe zutrifft. Die oben aufgefühne Gleichung X !!: B ~ X e A ist dann und nur dann korrekt, wenn man für A und B Begriffe wie "sehend" und "blind", also einenhabitusund eine privatio einsetzt.

[VII] Dieses Fragment trägt keine Überschrift. Wir haben den lateinischen Titel in Übereinstimmung mit der Akademieausgabe gewählt. Der Text [VII] gehön zu den Texten des Plus-MinusKalküls, in denen Leibniz noch keine definitive Form dieses Kalküls gefunden hatte. Man muß daher damit rechnen, daß er in diesem Text noch mit verschiedenen Möglichkeiten experimentien. Ähnliche Texte sind u.a. die folgenden: A VI, 4, N. 174, S. 823 (C, S. 251); A VI, 4, N. 175, S. 823-828; A VI, 4, N. 179, S. 855-858 (C, S. 256); A VI, 4, N. 181, S. 860-861 (C, S. 251f.); A VI, 4, N. 313, S. 1631-1633 (C, S. 270-273). 2 Zu "überall" (ubique) vgl. weiter unten die Anm. 11. 3 Bestimmte Buchstaben bzw. Begriffe bezeichnen bei Leibniz Unwiederholbare (irrepetibilia), wie z.B. Einzeldinge oder Allgemeinbegriffe. Vgl. A VI, 4, N. 179, S. 8571.. 18 (C, S. 256). 4 Gemeint ist ein im Alphabet späterer Buchstabe. 5 Dieser Gebrauch von Buchstaben vom Anfang und Ende des Alphabets findet sich auch in den GI, § 21. Don spricht Leibniz allerdings von definiten und indefiniten Buchstaben. Vgl. dazu [III 1

Kommentar zu Text [VII]

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A], (8), wo auch wieder von einem Indefiniten (indefinitum quoddam) gesprochen wird. 6 Die Beziehung von "auch das Nichts" auf "Unbestimmtes" legt sich zwar nahe, ist aber syntaktisch nicht zwingend. In der Handschrift steht der Zusatz etiam Nihil ... obstent am Rand, wobei es aber philologisch nicht eindeutig ist, ob Leibniz diese Bemerkung sofort mit dem anderen (auch erst später hinzugefügten) Text von (7, 8) geschrieben oder sie erst nachträglich hinzugefügt hat. Von der Sache her ist das "Nichts" eher als Bestimmtes aufzufassen, denn nach (11) gilt für bestimmte Begriffe das Axiom A + A = A, und nach (20) und (21) gilt für das "Nichts" in genau derselben Weise: Nihü + Nihil = Nihü. Vgl. Rescher (1954}, S. 11, der Nihü als Begriffskonstante interpretiert. Lenzen (1990}, S. 56-58, bezeichnet das Nihil als logische Konstante und als leeren Begriff. Vgl. die Einleitung 5.3.3.6. Will man jedoch das "Nichts" auf "Unbestimmtes" beziehen, so bedeutet indeterminatum dann in diesem Kontext, daß das "Nichts" nichts enthält, was durch einen bestimmten Buchstaben ausgedrückt werden kann. Es ist dann also eigentlich nicht ein "Unbestimmtes", sondern eher ein "OhneBestimmtes", so wie es Leibniz in A VI, 4, N. 184, S. 874 19, ausdrückt: "Nihil, non A non B etc." Dieses "Nichts" ist also ein "rein Privatives" (mere privativum) im Sinne von GI, S. 21..18 • 7 Der Nebensatz über die möglicherweise entgegenstehenden Bedingungen bezieht sich vermutlich nicht nur auf das "Nichts", sondern auf den ganzen vorausgehenden Satz, d.h. auf Bestimmtes und Unbestimmtes. Leibniz kommt auf diese möglicherweise entgegenstehenden Bedingungen im folgenden nicht zurück. Mit ihnen könnten jedoch jene Bedingungen gemeint sein, die einen Begriff als Unmögliches kennzeichnen. Vgl. weiter unten im Text (18} und (19}. 8 Das Zeichen "+" wird hier von Leibniz ohne Definition eingeführt. Vgl. aber (29}. Zur Interpretation dieses Zeichens und zum Enthaltensein bzw. Darinsein vgl. die Einleitung 5.3.3.1. 9 Zu aequalis vgl. die Anm. 39 zu [III B], (7}. 10 "Größe" wird von Leibniz z.B. in A VI, 4, N. 184, S. 873 3 (C, S. 273}, auf folgende Weise definiert:

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Kommentar zu Text [VII]

Magnitudo est numerus partium determinatarum. Größe ist die Anzahl bestimmter Teile.

Vgl. auch GM VII, S. 35: Magnitudo est, quod in re exprimitur per nurnerum partium congruentium rei datae, quae Mensura appellatur. Größe ist, was bei einem Ding durch die Zahl der kongruenten Teile eines gegebenen Dinges ausgedrückt wird, welche das Maß genannt wird.

Hiermit ist folgendes gemeint: Kommen in einem Kalkül z.B. die Buchstaben A und B vor und gilt, daß die beiden dasselbe sind, also A = B, so kann entweder überall oder an einigen Stellen, d.h. dort, wo es beliebt, A für B bzw. B für A substituiert werden. Durch die Randbemerkung wird gegenüber {1) ergänzt, daß es nicht erforderlich ist, daß A für B bzw. B für A an allen Stellen, d.h. überall (ubique}, substituiert werden muß. Vgl. auch [ill B], Anm. 34. 12 "Verhältnis" (ratio} steht in Beziehung zu "Größe", d.h., ein Ding steht zu einem ähnlichen Ding in einem Größenverhältnis, es ist z.B. zweimal so groß. Vgl. A VI, 4, N. 184, S. 873 ... : 11

Ratio est relatio duorum secundum solam magnitudinem [...]. Et est sola relatio quae inter duo similia intelligi potest. Verhältnis ist die Beziehung vonzweienallein hinsichtlich der Größe [... ].Und sie ist die einzige Beziehung, die zwischen zwei Ähnlichen angenommen werden kann.

Eine ganz ähnliche Bestimmung von "Verhältnis" findet sich in GM VII, S. 40, wo Leibniz auf die Möglichkeit hinweist, daß bei zwei ähnlichen Dingen, die verglichen werden, das Verhältnis bekannt, die Quantität hingegen unbekannt ist. Ist jedoch die Quantität von einem der beiden Dinge bekannt, so kann aufgrund des Verhältnisses die Quantität des anderen berechnet werden. Vgl. auch GM V, S. 152, wo Leibniz sagt, daß sich die Größe (magni· tudo) von dem Verhältnis (ratio} so unterscheidet wie eine konkrete von einer abstrakten Zahl, insofern das Verhältnis {nur) angibt, was die Größe eines Dinges ist, wenn die eines anderen Dinges als 1 gesetzt wird. 13 Leibniz will damit vermutlich sagen: Anstelle des korrekten "A ist doppelt so groß wie B" wird häufig ungenau gesagt: "A ist das Doppelte von B".

Kommentar zu Text [Vm

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Es gibt bei Leibniz unbestimmte Begriffe, die eliminiert werden können. Vgl. [III A], '8). Dies gilt auch für den Fall, der weiter oben in (9, 10) aufgeführ. worden ist: Für A + Y = C kann man auch A + C = C setzen. Vgl. dazu (15) weiter unten im Text. Es gibt jedoch einen zweiten (bei Leibniz nicht ganz klar von diesem ersten unterschiedenen) Gebrauch unbestimmter Begriffe, bei dem diese Begriffe in Wirklichkeit die Funktion eines Existenzquamors haben. Vgl. dazu [III A], Anm. 33. Leibniz interpretiert an letzterer Stelle den unbestimmten Begriff Q folgendermaßen: "Es gibt ein Q derart, daß ... (datur Q, tale ut .. J." In diesem Fallläßt sich der unbestimmte Begriff nicht durch einen bestimmten Begriff ersetzen. Umgangssprachlich ausgedrückt: "Irgendeiner und Irgendeiner" ist nicht "lrgendeiner", sondern "mehrere lrgendeiner". Dies will Leibniz zum Ausdruck bringen, wenn er sagt: Wenn Y + Y * Y, dann bedeutet dies, daß Y mehrere sind. Für diesen Fall führt er in (14) die Notation ein, daß das zweite Yin Klammern gesetzt, also als (Y} gekennzeichnet wird. Man kann annehmen, daß Leibniz auf diese Weise auch fortfahren würde, d.h., bei numerisch verschiedenen Y müßte das dritte Y als ((Y)) geschrieben werden u.s. w. Es wird also hier durch die Klammern eine Art lndizierung eingeführt, die auf eine numerische Vielheit hinweist. 15 Leibniz setzt hier einen engen Begriff von Darinsein bzw. von Enthalten voraus. B darf gemäß (15) nicht 0 sein, damit dann, wenn A + B = A gilt, B in A ist. Leibniz geht gewöhnlich davon aus, daß bei Geltung von A + B = A immer B in A enthalten ist, und zwar auch im Falle von B = 0, da der leere Begriff in jedem beliebigen Begriff enthalten ist. Tatsächlich findet sich die hier vorgenommene Einschränkung bei Leibniz an anderer Stelle nicht, d.h., es gilt sonst allgemein: Ist B in A enthalten, so gilt: A + B = A und umgekehrt. Vgl. z.B. [VIII], Theorem VII. 16 Entsprechend zu (15) muß Leibniz hier annehmen, daß A + B = A gelten kann, obwohl B nicht in A enthalten ist. Auch diese Einschränkung gilt bei Leibniz sonst nicht. Vgl. [VIII], Theorem VII, Umkehrung. Die von ihm hier vorgenommenen Einschränkungen sind jedenfalls unzweckmäßig, da sie die Allgemeinheit des Kalküls einschränken, ohne daß sich dadurch ein ersichtlicher Gewinn ergibt. 14

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Kommentar zu Text [VII]

Leibniz hat mehrmals vorgeschlagen, die Unmöglichkeit in der hier vorliegenden Form zu definieren, d.h.: U(A) = A A. Ein Kalkül, in dem diese Definition der Unmöglichkeit verwendet wird, bringt allerdings mit sich, daß A = A nur eine eingeschränkte, d.h. auf widerspruchsfreie Begriffe anwendbare Geltung hat. Deshalb hat Leibniz in den GI, § 155, diese Festlegung fallengelassen, da er der Auffassung war, daß es nach Prüfung von allem vielleicht besser ist zu sagen, daß man immer A = A setzen kann. Vgl. auch Text [V], Anm. 13. Für den weiteren Kalkül in Text [VII] spielt die zunächst vorgelegte Möglichkeit der Verwendung von A A jedoch keine Rolle, da Leibniz in (19) anmerkt, daß jeder Begriff als Mögliches verstanden werden soll, außer er wird explizit als Unmögliches gekennzeichnet. Falls nicht ausdrücklich das Gegenteil gesagt wird, gilt also immer: A = A. 18 Dies ist die einzige Stelle, an der Leibniz in den Texten [VII][X] zum Plus-Minus-Kalkül mit einem negierten Begriff arbeitet. Es ist aber durchaus möglich, daß er eigentlich nicht A oo non B, sondernA non oo B schreiben wollte. Vgl. auch die folgende Anm. 19 Es ist nicht klar, wie Leibniz den Beweis führen wollte. Ich sehe zwei Möglichkeiten der Interpretation. Erstens: Will man (6) und (18) tatsächlich zur Anwendung bringen, so muß man annehmen, daß Leibniz statt A oo non B sagen wollte: A non oo B. Letzteres läßt sich zu B non oo A umkehren, denn A *Bist gleich B * A, und dann ergibt sich nach (6): (Ä = B, B A) --+ (Ä A), also das für die Anwendung von (18) erforderliche Resultat. Dies ist m.E. die wahrscheinlichere Lösung, sie erforden aber die genannte, nicht unerhebliche Änderung der zweiten Prämisse. Eine andere Interpretationsmöglichkeit ist die folgende. Zweitens: Nimmt man nur die beiden Prämissen, und zwar genauso, wie sie im Text stehen, berücksichtigt aber den Verweis auf (6) und (18) überhaupt nicht, so folgt aus A =Bund A = B nach einer von Leibniz häufig (vgl. z.B. GI, § 102) aufgestellten Regel: A = B B = U(A), so daß dann A zwar Unmögliches ist, allerdings nach der anderen, von Leibniz bevorzugten, symbolischen Darstellung der Unmöglichkeit. Vgl. z.B. [III A], (1). 20 Durch den Text von (19) und die später hinzugefügte Anmerkung ergeben sich zwei verschiedene "Leibniz-Welten". Die 17

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logische Leibniz-Welt 1 besteht aus drei Bereichen: Die Bereiche des Etwas und des Nichts sind dadurch charakterisien, daß in ihnen für jeden Begriff A = A gilt, charakteristisch für den Bereich des Unmöglichen ist hingegen, daßdonfür jeden Begriff gilt: A * A. Durch die im Text folgende Anmerkung ergibt sich die logische Leibniz-Welt 2, in der uneingeschränkt A = A gilt, da hier- außer bei ausdrücklicher Nennung des Falles - alle Begriffe als Mögliches, d.h. als Nicht-Widersprüchliches, angenommen werden. Ebenso gilt in Welt 1 nur für ein Etwas und für das Nichts: A + A = A, denn auch für das Nichts gilt nach {21): 0 + 0 = 0, wohingegen dies für das Unmögliche nicht gilt, da nach (22) für diesen Bereich A + A *A gilt. 21 Diese Anmerkung ist von Leibniz später, teilweise am Rand, hinzugefügt worden, es läßt sich allerdings nicht feststellen, zu welchem Zeitpunkt der Abfassung des Textes. Dennoch legt sich die Vermutung nahe, daß diese Anmerkung erst später, jedenfalls nach der Abfassung von (22), hinzugefügt wurde, denn gemäß dieser Anmerkung müßte in (22) schon vor der Aufstellung von A + A "#- A ausdrücklich erwähnt werden, daß A Unmögliches ist, d.h., Leibniz hätte sagen müssen: "Wenn A Unmögliches ist, dann gilt: A + A nichtooA." 22 Die Definition (soll es aber wirklich eine Definition sein?) des Unmöglichen durch "das, was sich selbst hinzugefügt Neues ergibt", ist bei Leibniz ganz und gar ungewöhnlich. Es ist außerdem fraglich, ob sie sich innerhalb von Text [VII] konsistent anwenden läßt. Denn dieser Festlegung des Unmöglichen durch A + A * A muß das Axiom aus (12, 13) gegenübergestellt werden, wo durch Y + Y * Y die Bedeutung von "Unbestimmtem" (indeterminatum} festgelegt wird. Damit aber würden "Unbestimmtes" und "Unmögliches" in Hinsicht auf die Regeln des Kalküls ununterscheidbar. Leibniz setzt aber gleich im folgenden Satz von (22) fest, daß A Bestimmtes (determinatum) sein soll, was ja auch nach der Wahl des Buchstaben A zu erwanen ist. Oder kürzer: Es ist nicht einzusehen, wie Leibniz gleichzeitig das Axiom A + A = A und die Hypothese A + A * A annehmen will. 23 (A = B) -+ [(-4 + C) = (B + C)] wird von Leibniz in anderen Kalkülen häufig axiomatisch eingeführt. Vgl. z.B. [V], (11), und GI,

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Kommentar zu Text [VII]

§ 171, quinto. Der Beweis mit Hilfe der Substitution findet sich aber auch in [VI], (12). Hier in [VII], (23), hat Leibniz den Beweis erst nachträglich am Rande hinzugefügt. 24 Die Korrektur im lateinischen Text ist sachlich erforderlich. Der Text ist in der korrigierten Form in folgender Weise zu lesen (vgl. dazu auch die folgende Anm.): Das Enthaltende (= C) des Enthaltenden (= B) ist das Enthaltende (= C) des Enthaltenen (= A), bzw. das, was (= A) in dem Darin-Existierenden(= B) ist, ist in jenem (= C}, in dem dieses existiert (= B), bzw. das Enthaltene (= A) des Enthaltenen (= B) ist das Enthaltene (= A) des Enthaltenden (= C). 25 Die Transitivität des Darin-Seins entspricht dem syllogistischen Modus Barbara. Die Symbolisierung der U.A. mit Hilfe eines unbestimmten Begriffs entspricht der von Leibniz häufig verwendeten Darstellung: Ba A = B = A + Ybzw. B = YA. Vgl. z.B. [V], (13); GI, § 190. Der Syllogismus hat dann die folgende Form: AinB BaA B=A+Y BinC CaB C=B+Z A inC CaA C=A +V. 26 Das "beliebig viele" bezieht sich auf die Charaktere bzw. die Buchstaben, wie z.B. A, B. 27 Selbstverständlich muß es sich dabei um einen bisher im Kalkül nicht verwendeten Buchstaben handeln. Vgl. GI, § 23, wo Leibniz von einer Iitera nondum usurpata spricht. Das Postulat hier in [VII], (25), bezieht sich sowohl auf bestimmte als auch auf unbestimmte Begriffe. Vgl. GI,§ 22 und§ 23. 28 "Aggregat" wird von Leibniz für das Gesamte von zweien verwendet, die untereinander nichts Gemeinsames haben müssen. Vgl. [X], Proposition 22, und die Anm. 82-85 dazu. 29 In einem "Kontinuum" müssen jeweils zwei Bestandteile etwas Gemeinsames haben. Vgl. [X], Scholium zu Def. 3. 4. 5. 6 und Proposition 22. Leibniz läßt also hier für "+" die beiden Möglichkeiten zu, daß die zusammengefügten Begriffe nichts Gemeinsames haben oder daß sie etwas Gemeinsames haben. Die Frage, ob "+" auch dort zur Anwendung kommen darf, wo der eine Begriff den anderen enthält, wird hier nicht behandelt. Vgl. dazu weiter unten (27).

Kommentar zu Text [VII]

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Zur Unterscheidung von "Weg" und "Linie" vgl. z.B. die 1679 abgefaßte Abhandlung Characteristica Geometrica, GM V, S. 145. Das Analogon zu "Linie" innerhalb der Charakteristik der Logik ist "Begriff", wohin gegen "Weg" innerhalb dieser Charakteristik kein Analogon hat und keines haben kann. Vgl. auch die folgende Anm. 31 Für die Linie gilt demnach: A + A = A, für den Weg hingegen:A + A =2A. 32 Leibniz hat dazu am Rande zunächst geschrieben: incommu· nicantia, er hat dies aber dann gestrichen. Demnach läßt Leibniz also bei D C zu, daß D und C etwas Gemeinsames haben. 33 Eine überzeugende Erklärung für das, was Leibniz in (27) sagen will, konnte ich nicht finden. Gegeben ist: D + C = A, D * C sowie M(D) und M(C). Leibniz sagt nun, daß die Annahme D = A nicht zulässig ist, was so viel heißt wie, daß D = A mit den angenommenen Voraussetzungen nicht vereinbar ist. Substituiert man aufgrundder Annahme von D = A in der ersten Voraussetzung D für A, so ergibt sich: D + C = D. Dies aber würde normalerweise in den Leibniz-Kalkülen bedeuten, daß C in D enthalten ist. Vgl. z.B. [X], Proposition 13 und 14. Das jedoch wäre sehr wohl vereinbar mit D C, denn wenn C in D enthalten ist und nicht auch das Umgekehne gilt, dann trifft D * C zu. Eine Unvereinbarkeit von D = A mit den Voraussetzungen wäre also nur dann gegeben, wenn durch das Zeichen "+" die Zusammensetzung von Begriffen, bei denen einer den anderen enthält, nicht zulässig wäre. Dies würde bedeuten, daß Leibniz für "+" nur das zuläßt, was er in (25) explizit auffühn: Entweder die beiden Begriffe haben nichts Gemeinsames, oder sie haben etwas Gemeinsames, es darf aber nicht einer im anderen enthalten sein. Anders (in der Terminologie von Text [X] ausgedrückt:"+" dürfte nur zur Verbindung von NichtKommunizierenden und Kommunizierenden, nicht aber zur Verbindung von Subalternanten verwendet werden. (Wie dies allerdings mit dem Gebrauch von "+" in (15), also mit A + B = A = B ist in A, konsistent sein soll, ist nicht ersichtlich. Und schon das grundlegende Prinzip (11), also A + A = A wäre unter dieser Einschränkung nicht zulässig!) Angesichts der beiden im Text von (27) aufgeführten Fälle kann jedoch auch die eben versuchte Erklärung 30

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Kommentar zu Text [VII]

nicht überzeugen. Unter der genannten Einschränkung des Gebrauchs von "+" würde nämlich zwar F = H + C mit D + C und F + G = A inkompatibel, aber auch das von Leibniz als kompatibel angeführte F = G + C wäre mit diesen Voraussetzungen inkompatibel: Wenn F = G + C gilt, dann ist G (sowie auch Cj in F enthalten, und damit wird in F + G = Hein Enthaltendes (G) demjenigen hinzugefügt, in dem es enthalten ist (damit gilt: F = H). 34 A + 0 = A. Leibniz sagt nicht, ob er dies als Axiom auffaßt oder nicht. Es ist aber unter leibnizschen Voraussetzungen ableitbar. Jedenfalls gilt für nicht-widerspruchsvolle Begriffe: A e A, und somit gilt nach (9, 10}, wenn man don A = C setzt: A + Y = A. Da A jedoch außer A nichts anderes enthält, muß Y gleich 0 sein. Dies bedeutet: Jeder Begriff enthält das "Nichts", also 0, bzw. 0 ist in jedem Begriff enthalten. Vgl. auch [VIII], Def. 3, und die Einleitung 5.3.3.6. 35 Der Beginn des Paragraphen (29} lautete in der ersten, dann gestrichenen Form: Si A + B, und dazu stand am Rande zunächst: incommunicantia, das dann von Leibniz auch wieder gestrichen wurde. Dies könnte ein Hinweis darauf sein, daß Leibniz tatsächlich auch einen Gebrauch von "+" erwogen hatte, bei dem dieser auf nicht-kommunizierende Begriffe eingeschränkt war. Vgl. weiter oben (25}, wo auch die Einbeziehung kommunizierender Begriffe erst in einem zweiten Schritt erfolgte. Vgl. auch weiter unten (38}. Es ergäbe sich demnach, daß Leibniz für den Gebrauch von "+"drei Möglichkeiten in Erwägung zog: (1} nur Verbindung von Nicht-Kommunizierenden, (2} Verbindung von Nicht-Kommunizierenden und von Kommunizierenden, nicht aber von Subalternanten, (3} Verbindung von Nicht-Kommunizierenden, Kommunizierenden und Subalternanten. Der Gebrauch von (3} wurde dann der definitive und nur dieser ist mit den von Leibniz gewöhnlich verwendeten Prinzipien, besonders mit den im Text [VII] in (11}, (15} und (28} aufgefühnen, konsistent. 36 In A VI, 4, N. 193, S. 923' (GP VII, S. 31} spricht Leibniz von dem "Kennzeichen des Wegnehmens" (nota auferendi). 37 Vgl. (T 4} in der Einleitung 5.3.3.3. 38 Vgl. (L 6} in der Einleitung 5.3.3.3.

Kommentar zu Text [VII]

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Zu "semiprivatives Ding" vgl. den folgenden Paragraphen {32} und die Einleitung 5.3.3.4. 40 Vgl. die Einleitung 5.3.3.4. 41 Eist genau dann ein positiver Term, wenn er nicht die Negation eines anderen Terms darstellt, der selbst als positiv vorausgesetzt ist. V gl. GI, S. 212•15• Bei dieser Bestimmung von "positiv" kann der Einwand erhoben werden, daß es sich um eine zirkuläre Bestimmung handelt. Daher ist es besser, nicht von einer Definition, sondern nur von einem Adäquatheitskriterium zu sprechen. Vgl. Lenzen (1984}, S. 16. 42 Zu den semiprivativen und den in (32} eingeführten privativen Begriffen vgl. die Einleitung 5.3.3.4. 43 Diese Zusatzbedingung ist eigentlich nicht erforderlich, da H zu Beginn von {32} als das Gemeinsame von G und C festgelegt worden ist und H somit in G enthalten ist. 44 Diese Zusatzbedingung ist eigentlich nicht erforderlich, da H zu Beginn von (32} als das Gemeinsame von G und C festgelegt worden ist. Privative und semiprivative Begriffe werden in späteren Texten von Leibniz eliminiert, in Text [VIII] werden sie nicht mehr verwendet. Zur Problematik dieser Begriffe vgl. die Einleitung 5.3.3.4. 45 Dieses Postulat ist mit der Einführung semiprivativer Begriffe in {31} und (32} mitgegeben, wobei der Zusammenhang eigentlich folgender ist: Durch die Einführung dieses Postulats wird die Einführung semiprivativer und privativer Begriffe erforderlich. Dieses Postulat wird in Text [VIII] nicht mehr gelten. In [VIII] darf nach Postulat 2 die Wegnahme nur dort durchgeführt werden, wo das Weggenommene in dem enthalten ist, von dem es weggenommen wird. Es gilt also nicht wie hier in [VII], (33}, daß bei beliebigen Begriffen A, B die Operation A - B durchgeführt werden darf, sondern nur dort, wo B in A ist. Der Grund der Einführung dieses Postulats liegt darin, daß Leibniz zunächst nach dem Vorbild der Arithmetik einen reziproken Gebrauch der Zeichen"+" und"-" anstrebte. Vgl. die Einleitung 5.3.3.5. 46 Leibniz sagt zunächst: [(A + B = D + C)" (A = D)] -+ (B = C), 39

222

Kommentar zu Text [VII]

fügt aber dann am Rand hinzu, daß dies nur für Nicht-Kommunizierende gilt. Er gibt jedoch nicht ausdrücklich an, welche von den vier Begriffen nicht-kommunizierende sein müssen. Daß A und D bzw. Bund C kommunizieren, ist bedingt durch die Annahme, nach der sie sogar das Gleiche sein können. Es besteht daher kein Zweifel daran, daß Leibniz die folgende korrekte Form im Auge hatte: NK(A, B), NK(D, C)--+ {[(A + B = D + C)" (.4 = D)]--+ (B = C)}. Genau diese Form nimmt Leibniz dann in Text [VIII], Theorem XII und Theorem XIII, Folgesatz, auf. 47 Eigentlich reicht schon die von Leibniz aufgeführte Bezugnahme auf (30) aus, wobei allerdings auch (28) herangezogen werden muß. Vorausgesetzt, B ist ein Mögliches, gilt: B oo B; und dann gilt aufgrund von (30) und (28): B oo B + A - A, und durch Substitution von D für das zweite A (gemäß der Voraussetzung A oo D) ergibt sich: B oo A + B- D. 48 Damit ergibt sich im Prinzip eine (23) entsprechende Regel für die Wegnahme: (23) (A oo B) --+ (.4 + C oo B + C), (35) (.4 oo B) --+ (.4 - C oo B- C). Da die uneingeschränkte Geltung von (35) auf (33) und demnach auf der Zulassung von semiprivativen und privativen Begriffen beruht, wird diese Regel in Text [VIII] nicht mehr uneingeschränkt gelten. Leibniz hat dem in der Revision der Festlegung der Wegnahme in Text [VIII] Rechnung getragen, was zu einer revidierten Form von [VII], (35), führt. Vgl. die Anm. 53 zu [VIII], Theorem VIII. Desweiteren ist hinzuzufügen, daß dann, wenn es sich um zusammengesetzte Koinzidierende handelt, für (35) die Einschränkung gilt, die Leibniz in (34) hinzugefügt hat, d.h., (35) gilt bei zusammengesetzten Begriffen nur, wenn diese nicht kommunizieren. Leibniz hat dies selbst in der Randbemerkung zu (40) angemerkt: Man kann Koinzidierende so konstruieren, daß dann, wenn man von Koinzidierenden Koinzidierende wegnimmt, die Reste nicht koinzidieren. Dieser Fall ergibt sich, wenn die Konstituierenden Kommunizierende sind.

Kommentar zu Text [VII]

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Die Klammer ist hier eher irreführend. Möglicherweise wollte Leibniz eigentlich folgendes schreiben: oo (D oo A). Die Klammer hätte dann die Funktion, das Ergebnis, d.h. die Koinzidierenden D und A, also D oo A, vom vorausgehenden Gleichheitszeichen abzuheben. Das im Text folgende B = C ist eigentlich überflüssig, da es kein Ergebnis darstellt, sondern eine gleich zu Beginn genannte Voraussetzung ist. 50 Leibniz setzt hier voraus: (A - B) + B oo A. Die Annahme dieses Gesetzes führt in Text [VII] zu einer Inkonsistenz. Es ist nur unter der dann in Text [VIII] gemachten Voraussetzung, daß B in A enthalten ist, allgemein gültig. Vgl. dazu die Einleitung 5.3.3.4. 51 Mit dem insunt des lateinischen Textes nimmt Leibniz auf einen Gebrauch von "Darinsein" (inesse) Bezug, der in der Geometrie legitim ist, denn in einem Kreis ist tatsächlich das eingeschriebene Quadrat "darin". Dieser geometrische Gebrauch von inesse darf allerdings nicht (was Leibniz auch nicht tut) auf die Logik der Begriffe übertragen werden, denn im Begriff "Kreis" ist nicht schon der Begriff "eingeschriebenes Quadrat" enthalten. Diese Frage wird jedoch von Leibniz in Text [VII] ebensowenig behandelt wie weitere Fragen, die sich hinsichtlich (36) ergeben. Der Paragraph {36) stellt also eher ein Korollar dar. 52 Bei Leibniz findet sich öfter die Zusammenstellung von simi· lia und congrua, wobei dann gewöhnlich noch die coincidentia aufgeführt werden. Vgl. z.B. A VI, 4, N. 99, S. 406's." (GP VII, S. 196). Es geht bei der Überlegung zu simüia, congrua und coincidentia um Grade der Unterscheidbarkeit: Ähnliche Dinge sind solche, die zwar keine verschiedenen Eigenschaften aufweisen, die aber durch ihre Größe unterschieden werden können. V gl. [II], Anm. 36. Ist auch in dieser Hinsicht keine Unterscheidung möglich, so sind Dinge kongruent. Vgl. z.B. A VI, 4, N. 99, S. 406 171• (GP VII, S. 196). Diese Dinge können dann nur noch durch etwas außerhalb von ihnen Liegendes unterschieden werden, also z.B. durch ihre Lage im Raum oder durch ihre Zahl, also z.B. Ding 1, Ding 2 u.s.w. Den höchsten Grad der Ununterscheidbarkeit erreichen die Dinge, die Koinzidierende sind, d.h. solche Dinge, die in Wirklichkeit dieselben sind, die nur als verschiedene erscheinen (sunt re· vera eadem, quae tarnen apparent diversa), A VI, 4, N. 99, S. 406" 49

224

Kommentar zu Text [VII]

(GP VII, S. 196). Vgl. [X], Anm. 3. Diese Begriffsbestimmungen sind bei Leibniz besonders wichtig für die Unterscheidung mathematischer Gegenstände. Vgl. dazu Schneider (1988), S. 172-179. 53 Der eigentliche "Ort", an dem Leibniz Fragen der Ähnlichkeit und der Kongruenz behandelt, ist die Characteristica geometri· ca. Vgl. z.B. GM V, S. 153-156. 54 Nimmt man die Angaben von (37), so wie sie sich auf den ersten Blick darbieten, und stellt sie in einem Diagramm dar, wie Leibniz selbst es häufig tut, so gelangt man zunächst zu dem Ergebnis, daß das, was Leibniz hier sagt, nicht korrekt ist. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die alle die angegebenen Bedingungen erfüllen. Eine davon ist die folgende: A L

M

L ~ A, M ~ B, L "* M aber: K(A, B)

B

Somit kommt diese Interpretation nicht in Frage. Es legt sich daher nahe, mit Lenzen (1990), S. 97, anzunehmen, daß Leibniz hier bei L und M mit versteckten Quanteren arbeitet. Wir hätten demnach folgende Definition von "Nicht-Kommunizierenden" vor uns: Wenn es der Fall ist, daß für ein beliebiges L, das in A enthalten ist, und ein beliebiges M, das in B enthalten ist, gilt: L "* M, dann sind A und B Nicht-Kommunizierende. Formalisiert bedeutet dies, vorausgesetzt, daß L und M nicht 0 sind:

VLVM[(L

~

A)" (M ~ B)" (L "* M)] (:::) NK(A, B).

Leibniz denkt hier rein umfangslogisch. Demnach bedeutet L * M: Es gibt kein N, für das L = M gilt, d.h., kein ListMund kein M ist L. Dies bedeutet syllogistisch:

(A a L, Ba M, L e M) ~ A e B.

Daß Leibniz mit solchen "versteckten Quantoren", und zwar auch mit einem, der "jedes" oder "alles" bedeutet, arbeitete, geht aus den GI, § 81, hervor (die Übersetzung hier weicht von der in den GI ab, da der Akzent auf "ein", d.h. "irgendein", gelegt werden muß, im Unterschied zu "jedes"):

Kommentar zu Text [Vll]

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Y seu Y indefinita cum lineola mihi significat quilibet, Y est unum incer-

tum, Y est quodlibet. Y bzw. ein unbestimmtes Y mit einer Linie [darüber], bedeutet für mich "jedes beliebige". Yist ein unbestimmtes, Y ist jedes beliebige. Leibniz arbeitete mit sehr verschiedenen Symbolisierungen. Damit keine Verwechslung geschieht, folgender Hinweis: Das Y incertum (ohne Strich darüber} ist dasselbe wie das Y, das auch im vorliegenden Text [Vll], (7}-(14}, verwendet wird. Das Y der GI hat aber mit dem(}? aus [Vll], (14}, überhaupt nichts zu tun. Man könnte jedoch dieses Y zur Kennzeichnung des spezifischen Gebrauchs von L und M heranziehen, indem man sagt: Y L = "jedes beliebige L" bzw. ""'L". Verschiedene Kennzeichnungen, nämlich X für "irgendein" (aliquod) im Unterschied zu X für "jedes beliebige" (quodcunque), finden sich auch in einem Text zum Plus-Minus-Kalkül, A VI, 4, N. 313, S. 1631211· (C, S. 271}. 55 Das "häufiger" (saepius) bringt eigentlich eine in einem logischen Kalkül nicht zulässige Unbestimmtheit mit sich. In den Texten [VIll] und [X] ist keine (38} entsprechende UnbestimmtheitsRegelung mehr zu finden. Der Paragraph (38} ist jedoch aufschlußreich für die Konstruktionsweise, die Leibniz beim Aufbau seiner Kalküle zugrundelegte: Er stellte häufig (in Analogie zu Regeln aus der Arithmetik} Regeln auf, die er dann bei näherer Überlegung auf Nicht-Kommunizierende einschränken mußte. Vgl. z.B. oben (34} mit der dazugehörenden Marginalfußnote. 56 Der zweite Beweisschritt, den Leibniz hier vorlegt, ist so nicht durchführbar. Vgl. Lenzen (1990}, S. 65f. Der Gedankengang von Leibniz ist folgender: Angenommen: NK(A,B),A + B=A,B=O. Ist B = 0, dann gilt: NK(A, B), weil A und 0 in jedem Fall NichtKommunizierende sind, d.h., es gilt allgemein: NK(A, 0}. Leibniz schließt nun von NK(A, B) auf: Nicht: A + B = A, d.h. auf A + B *A, so daß sich ein Widerspruch mit dem zweiten Teil der Annahme ergibt, also:

226

Kommentar zu Text [VII]

*

Das letzte gilt aber nur, wenn B 0 ist. Denn wenn gilt: B = 0, dann ergibt sich: A + 0 = A, was nach (28) immer wahr ist. 57 Man müßte also (vgl. die vorausgehende Anm.) in folgender Weise präzisieren: "Wenn die nicht-kommunizierenden Enthaltenen [von denen keines das Nichts ist] zusammengenommen mit dem Enthaltenden koinzidieren, dann kann nicht eines von ihnen mit dem Enthaltenden koinzidieren." 58 Bei den folgenden drei Fällen der Randbemerkung scheint Leibniz rasch und ungenau gearbeitet zu haben. Mit drei kleinen, eindeutig gekennzeichneten, Ergänzungen, ergeben sich korrekte logische Gesetze unter folgenden Voraussetzungen: Leibniz geht hier von einer intensionalen Betrachtungsweise aus, und Leibniz will in allen drei Fällen verschiedene Möglichkeiten untersuchen, wenn zwei Begriffe A und B mit zwei anderen Begriffen L und M dasselbe sind. Diese Problemstelllung, d.h. A + B = L + M, wird zwar nur im zweiten Fall angegeben, sie dürfte aber allen drei Fällen zugrundeliegen. Am Ende des Textes des ersten Falles wurde das Zeichen "oo" ergänzt. Wahrscheinlich hat Leibniz das "oo" nur vergessen. Nur mit dieser Ergänzung ergibt sich ein allgemeingültiges Gesetz, nämlich:

*

*

NK(A, B), NK(L, M)-+ [(A + B = L + M) 1\ (A L)-+ (B M)]. Ohne diese Ergänzung ist schon die Interpretation des Textes nicht eindeutig, denn dieser lautet: nec B erit M, und dabei ist es nicht klar, ob Leibniz nicht entsprechend zum dritten Fall weiter unten im Text hätte sagen wollen: nec B erit in M Es ist jedoch festzuhalten, daß sich bei keiner der beiden Lesarten ein allgemeingültiges Gesetz ergibt. 59 Vermutlich hat Leibniz hier nur vergessen, zweimal das "oo" zu setzen, denn die im Text vorgelegte Gleichung A + B = A + B + A ergibt sich durch Substitution aufgrund von A = L und M = A + B in der Ausgangsgleichung A + B = L + M. Bei der Lösung von Leibniz ist nur vorausgesetzt, daß A nicht in B ist, denn in diesem Fall gilt B = A + B, und da M = A + B vorausgesetzt ist, würde sich B = M ergeben. Leibniz sagt nicht, ob A und B als kommunizierend oder nicht-kommunizierend aufgefaßt werden. Diese Unbestimmt-

Kommentar zu Text [VII]

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heit ist jedoch korrekt, da sich in beiden Fällen eine korrekte Lösung ergibt. 60 Unter der Voraussetzung A + B = L + M handelt es sich auch bei diesem dritten Fall um ein logisches Gesetz. 61 Dieses Gesetz ist unabhängig davon, ob die beiden DarinSeienden, d.h. Mund N, Nicht-Kommunizierende oder Kommunizierende sind. 62 In diesem Fall können sowohl M und N als auch A und B Nicht-Kommunizierende sein; ebenso ist es möglich, daß N und M Nicht-Kommunizierende sind, gleichzeitig aber A und B kommunizieren. Sind jedoch Mund N Kommunizierende, so müssen auch A und B Kommunizierende sein. 63 Eigentlich müßte noch ein Beweisschritt eingefügt werden, also: Wenn M in A ist und A in A + B, dann ist M in A + B. Daß A in A + B ist, sieht Leibniz vermutlich als durch sich bekannte, also evidente, Aussage (propositio per se vera) an. Vgl. A VI, 4, N. 69, S. 280''1· {GP VII, S. 218), und A VI, 4, N. 70, S. 29225 {GP VII, S. 224). 64 Leibniz will hier folgendes sagen: Angenommen, wir haben die Koinzidenz G + M + H = G + M + H, dann ist es doch nicht notwendigerweise der Fall, daß sich durch die Wegnahme auf beiden Seiten der Gleichung von G + M ergibt: H = H. Denn es ist möglich, daß es ein A gibt, das G + Mist, und ein B, das M + H ist. A und B sind dann also Kommunizierende. Dann ist A + B = G + M + M + H, und aufgrundvon {11) ist es erlaubt, für M + M nur M zu setzen, so daß sich G + M + H ergibt. Wird nun in der Ausgangsgleichung auf beiden Seiten G + M, d.h. A, weggenommen, so ergibt sich B = H, was aber nicht zutrifft, da im angenommenen Fall B = M + H ist, d.h. die Reste koinzidieren in diesem Fall nicht. Leibniz liefert hier auch eine präzisierende Einschränkung zu {35), insofern dadurch festgelegt wird, daß die Wegnahme auf beiden Seiten einer Koinzidenz nur dann zulässig ist, wenn es sich um Nicht-Kommunizierende handelt, oder noch genauer: wenn das Weggenommene nicht einen mit einem anderen Konstituierenden kommunizierenden Bestandteil aufweist. Das hier behandelte Problem hat Leibniz häufig beschäftigt. Vgl. z.B. GI, § 18; [ill B], {13); [V], {11); [VI], {12).

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Kommentar zu Text [Vll]

Der Beweis wird von Leibniz nur angedeutet. Der letzte Schritt, nämlich, daß man von A = B + A + M durch Substitution von B für A + M zu A = B + B = B gelangt, ist sofon einsichtig. Es muß jedoch nachgewiesen werden, auf welche Weise man zu A = B + A + M gelangt. Dies kann z.B. im Ausgang von B = A + M auf folgende Weie geschehen: Erweiterung durch L B+L=L+A+M Erweiterung durch B B+B+L=B+L+A+M M=M+M B + B + L = B + L + A + M+ M B+L=B+L+A+M+M B+ B=B Substitution: B + L = A, A + M = B, also ergibt sich: A=B+A+M. 66 Leibniz legt weder in diesem Text noch in den Texten [VIIT] [X] diese neuen Überlegungen dar. Man kann jedoch vermuten, in welcher Richtung Leibniz wohl weitere Untersuchungen anstellen wollte. Vgl. Lenzen (1990), S. 68. Leibniz suchte vermutlich nach einer kalkülmäßigen Darstellung des "teilweise in dem einen, teilweise in dem anderen" (partim- partim). Man kann sich dies durch ein Diagramm verdeutlichen, bei dem es irrelevant ist, ob A und B und/ oder M und N Kommunizierende sind oder nicht (allerdings müssen dann, wenn M und N kommunizieren, auch A und B Kommunizierende sein): 65

A B

M N

L+A L+B L

M ist das Gemeinsame von A und L, N ist das Gemeinsame von B und L. Dann gilt: L = M + N. Daß L teilweise in A und teilweise in B ist, läßt sich jedoch mit Hilfe des Gemeinsamen durch A und B allein definieren, wie es durch das Diagramm veranschaulicht wird. L ist das Gemeinsame von L + A und L + B. Nehmen wir jetzt

Kommentar zu Text [Vill]

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wie in der Einleitung 5.3.3.8 "®"als Zeichen für das Gemeinsame, so ergibt sich: L = (L + A} ® (L + B), wodurch repräsentiert wäre, daß L "teilweise in dem einen, teilweise in dem anderen" ist. 67 Ein Begriff, in dem kein anderer Begriff mehr enthalten ist, ist ein einfacher, primitiver Begriff. Vgl. GI, S. 14 15..162 • Um zu diesem "letzten Darin-Existierenden" zu gelangen, müßte ein Begriff bis in seine letzten Bestandteile zerlegt werden. Leibniz war sich darüber im klaren, daß diese Analyse nur sehr selten, wenn überhaupt, durchführbar ist. Für einen Beweis ist diese Analyse bis zu den letzten Bestandteilen jedoch nicht erforderlich, denn es reicht aus zu beweisen, daß der Prädikatbegriff im Subjektbegriff enthalten ist, um die Wahrheit einer Aussage festzustellen. Vgl. A VI, 3, N. 89, S. 671 23•2' (GP VII, S. 83f.). D.h., für die Wahrheit der Aussage "Der Mensch (A) ist ein Lebewesen (B)' reicht es aus zu zeigen, daß Bin A enthalten ist, wobei B sicher kein letzter, nicht weiter analysierbarer Begriff ist. Für die Logikkalküle ist es daher nicht entscheidend, ob dem logisch-semantischen Postulat der einfachen Begriffe eine tatsächliche Durchführbarkeit entspricht. Vgl. Ishiguro (1972), S. 46.

[VIII] Der lateinische Titel ist von Leibniz später durch Streichung verworfen worden. In der vorliegenden Textausgabe wurde er wieder aufgenommen. In der Übersetzung des Titels wurde bewußt die ungewöhnliche Formulierung "des Beweisens im Bereich von Abstrakten" gewählt. Es handelt sich bei dem Ausdruck in abstractis m.E. um eine Wortbildung wie in Logicis und in Geometricis (vgl. das Zitat weiter unten in der Anm. 2), durch die ein Gegenstandsbereich bezeichnet werden soll. Die Übersetzung in Herring (1992), S. 157, "Ein Beispiel abstrakter Beweisführung" würde eigentlich den lateinischen Ausdruck specimen demonstrationis abstractae erfordern. Der Ausdruck in abstractis soll aber m.E. nicht die Beweisführung charakterisieren, sondern das Gebiet oder den Bereich bezeichnen, für den solche Beweise gelten. Leibniz hat sich 1

230

Kommentar zu Text [VIll]

häufig mit der Frage des Konkreten und Abstrakten beschäftigt. Vgl. z.B. den um 1688 entstandenen Text De Abstracto et Concreto, A VI, 4, N. 208, S. 987-994. Abstrakta sind Substantive, die aus anderen Substantiven oder Adjektiven hergestellt werden (abstracta sunt substantiva ex aliis vel substantivis vel adjectivis facta), A VI, 4, N. 36, S. 1061lf·. Ein abstrakter Begriff ist demnach ein Begriff, wie z.B. humanitas, der aus dem konkreten Begriffhomo gebildet wird. Leibniz versuchte aber, solche Abstrakta möglichst zu vermeiden. Vgl. ebd. Auch in den GI, S. 2, stellt er gleich an den Beginn die Forderung, von den Abstrakta ganz abzusehen und nur mit Konkreten zu arbeiten. Vgl. auch A VI, 4, N. 126, S. 528 2..28 (C, S. 512f.). Rauzy (1998}, S. 405, bringt die Abstrakta in Verbindung mit den im Scholium zu Text [X], Proposition 22, verwendeten Aggregaten, bei denen eine Inkompatibilität der Bestandteile vorliegt, so daß ein solches Aggregat konkret nicht existieren kann. Demgegenüber wären Konkrete solche, bei denen die Kompatibilität der Bestandteile gegeben ist. Dazu ist zu sagen, daß bei Leibniz zwar für Konkrete die Kompatibilität vorausgesetzt ist (vgl. z.B. GI, § 68}, daß sich bei ihm jedoch meiner Kenntnis nach keine Kennzeichnung der Aggregate durch abstracta findet. Ein solcher Gebrauch von abstracta wäre auch mit dem eben besprochenen, nach dem Leibniz Begriffe wie humanitas als abstracta bezeichnet, unvereinbar. Man kann auch die Frage stellen, warum Leibniz den Titel gestrichen hat. Couturat (1901}, S. 364, Anm. 2, vermutet den Grund dafür darin, daß der Titel Leibniz wenig bescheiden erschien. Dies ist nicht sehr überzeugend, da übertriebene Bescheidenheit kein Charakterzug von Leibniz war. Der Grund liegt m.E. in der durch in abstractis gegebenen Einschränkung des Gebiets, für den der Kalkül gelten soll. Vgl. auch die folgende Anm. Eine weitere, aber weniger wahrscheinliche Erklärung könnte in einem anderen Verwendungszusammenhang von "abstrakt" gesehen werden. In C, S. 8, spricht Leibniz von Begriffen, "die mathematisch, d.h. abstrakt, nicht real sind" (tales notiones mathematicae sunt, id est abstractae, non reales). In diesem Fall würde der Titel besagen, daß der Kalkül sich auf mathematische Gegenstände be-

Kommentar zu Text [Vlll]

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ziehen sollte (was durch die Beispielbegriffe in Text [X] gestützt würde}, eine Einschränkung, die Leibniz dann aber wieder aufgehoben hätte. 2 Auffallend ist hier das eadem sunt, das sich nicht mit dem Singular "etwas ist dasselbe" übersetzen läßt. Der Fall, daß "etwas dasselbe ist", trifft nur auf A und A, d.h. auf ein und denselben Charakter, zu. Leibniz definiert hier jedoch allgemeiner die logische Gleichheit, nach der auch verschiedene Charaktere untereinander dieselben sein können. Dies wird durch seine sprachliche Differenzierung von idem und coincidentia deutlich (vgl. den letzten Satz der Def. 1}. Auf letztere zielt die Bezeichnung eadem sunt. Dürr, 1930, S. 11, gibt eadem sunt wieder durch "identisch sind Wesenheiten", was jedoch sehr problematisch ist, da dadurch der ganz unklare Begriff der" Wesenheit" ergänzt wird. Herring (1992} ergänzt in seiner Übersetzung jeweils "Begriffe", also z.B. auf S. 157: "Solche Begriffe sind dieselben ... ". Rauzy {1998} ergänzt {also ganz ähnlich wie Herring) in der französischen Ausgabe der Texte [Vlll] und [X] jeweils "terme", ist sich jedoch der Problematik einer solchen Ergänzung bewußt. Vgl. ebd. S. 435, Anm. 21. Leibniz schreibt Eadem mit Majuskel als Anfangsbuchstaben, womit er eine Substantivierung zum Ausdruck bringen will. Auch Ausdrücke wie coincidentia, diversa u.s.w. werden, obwohl meist ohne Majuskelschreibung, substantivisch verwendet. Wir folgen dieser sprachlichen Eigenheit des lateinischen Textes auch in der Übersetzung, obwohl dies in einigen Fällen sprachlich etwas schwerfällig wirken muß. Die Großschreibung von "Dieselbe" wäre allerdings im Deutschen zu ungebräuchlich gewesen. Dennoch muß klar sein, daß auch der Ausdruck "dasselbe" oder "dieselben" substantivisch zu verstehen ist. Es geht dabei aber nicht nur um eine Frage der Übersetzung, sondern auch um eine grundsätzliche Frage der leibnizschen Logik. Leibniz denkt ohne Zweifel dann, wenn er etwa A oder B schreibt, zunächst an Begriffe, und in anderen Texten spricht er auch ausdrücklich fast durchgängig von termini, so z.B. in den GI. Wenn er es hier in den Texten [Vlli] und [X] also vermeidet, von Begriffen zu sprechen, und dafür die Substantivbildungen wählt, so will er damit darauf hinweisen, daß sich diese Kalküle auf beliebige Gegenstandsbereiche beziehen können. Vgl.

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Kommentar zu Text [VIII]

Schröter (1974), S. 29. Daß Leibniz für diese Kalküle verschiedenste Gegenstandsbereiche als möglich angesehen hat, geht z.B. aus dem später verfaßten Specimen geometriae luciferae hervor, in dem er sich - vgl. im folgenden Zitat: Quorum et specimen dedi - auf die Kalküle der Texte [VIll] und [X] bezieht und dazu feststellt: Et plura adhuc demonstrari possint universalia de continente et contento seu inexistente, utilia futura tarn in Logicis quarn Geometricis. Quorum et specimen dedi [...]. Et in his versatur pars Scientiae Combinatoriae generalis de formulis universe acceptis, cui non Geometriarn tantum, sed et Logisticarn seu Mathesin universalem de Magnitudinibus et Rationibus in genere tractantem subordinari alias ostensum est. Und noch mehr allgemeine [Bestimmungen] über das Enthaltende und das Enthaltene bzw. das Darin-Existierende könnten bewiesen werden, die nützlich sein werden sowohl in der Logik als auch in der Geometrie. Davon habe ich auch ein Probestück geliefert[ ... ]. Und mit diesen [sc. den allgemeinen Bestimmungen über das Enthaltende und das Enthaltene] beschäftigt sich ein Teil der allgemeinen Kombinationswissenschaft über die allgemein angenommenen Formeln, von der anderswo bewiesen worden ist, daß ihr nicht nur die Geometrie, sondern auch die Logistik bzw. die universelle Mathematik, die von den Größen und den Verhältnissen im allgemeinen handelt, untergeordnet ist.

Die Beziehung von "Koinzidierende" und "dieselben" wird von Leibniz in folgender Weise beschrieben, A VI, 4, N. 99, S. 406 19 (GP S. 196}: 3

Coincidentia, sunt revera eadem, quae tarnen apparent diversa. Koinzidierende sind [solche, die] in Wirklichkeit dieselben [sind], die aber als Verschiedene erscheinen.

An anderer Stelle (GM VII, S. 29) sagt Leibniz in ganz ähnlicher Weise, daß Koinzidierende ganz und gar dieselben sind (plane ea· dem sunt), sich aber durch die Bezeichnung unterscheiden (denomi· natione differunt). Es legte sich daher nahe, in der Übersetzung diese beiden Ausdrücke beizubehalten und nicht, wie es in der Sekundärliteratur häufig geschieht, beide Ausdrücke, d.h. "dieselben" und "Koinzidierende", durch "identisch" wiederzugeben. 4 "Verschiedene" werden hier nur durch die Negation der Selbigkeit (quae sunt non eadem) definiert; sie sind daher auch nur durch das Nichtzutreffen der allgemeinen Substituierbarkeit aus Def. 1 festgelegt. Demnach ist nicht ausgeschlossen, daß sie ge-

Kommentar zu Text [VIll]

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meinsame Begriffsinhalte aufweisen, es ist sogar möglich, daß der eine Begriff in dem anden:n enthalten ist. Leibniz führt das folgende Korollar (das in Text [X] keine Paralle1stelle hat) vermutlich aus dem Grunde ein, weil hier ein bisher nicht aufgeführtes Prinzip zur Geltung kommt: Von zwei kontradiktorischen Sätzen (d.h.: .Bei der Substitution von B für A bleibt die Wahrheit immer erhalten", und: .Bei der Substitution von B für A bleibt die Wahrheit (mindestens) einmal nicht erhalten") ist immer einer wahr und einer falsch. Da Selbigkeit und Verschiedenheit durch die Substituierbarkeit definiert sind, ist NichtVerschiedenheit gleich Selbigkeit und umgekehrt. 5 Mit Character will Leibniz ausdrücken, daß hier ein Zeichen eingeführt wird, also in diesem Fall .oo". Dieses Zeichen wird im Kommentar gewöhnlich durch .=" wiedergegeben, wie es Leibniz selbst in früheren Fragmenten verwendet. Es ist jedoch zu beachten, daß gemäß dem Scholium zu Charakter 3 .oo" bzw.•=" nicht mit .ist gleich" (aequale) wiedergegeben werden darf, sondern mit .koinzidiert" (coincidit}, was man auch - entsprechend der Übersetzung in den GI - durch .deckt sich mit" wiedergeben könnte. 6 Vgl. auch die Anm. 9 und 10 zu Text [X], Proposition 1. 7 Wenn Leibniz hier von .Charakter 2" spricht, so ist damit erneut die Einführung eines neuen Zeichens gemeint. Dabei muß das gesamte .non oo" als ein eigenes Zeichen aufgefaßt werden. 8 Leibniz gebraucht vel häufiger im Sinne von seu, so daß es in diesen Fällen am besten mit .bzw." übersetzt wird. 9 Vgl. die Anm. 12 zu Text [X], Proposition 2. 10 Das .Eine" wird hier ausnahmsweise mit großem Anfangsbuchstaben geschrieben (so, wie Leibniz selbst im lateinischen Text Unum gelegentlich mit Majuskel schreibt), da auf diese Weise die Syntax des Satzes übersichtlicher wird. 11 Das simul wird bei Leibniz an einigen Stellen im Zusammenhang mit dem Verb sumere, an anderen Stellen jedoch alleinstehend verwendet. Sachlich ist hiermit in beiden Fällen das Zusammennehmen von mehreren zu einer Einheit gemeint, so daß bei der Übersetzung in den Texten [VIll] und [X] das alleinstehende simul durch das Verb sumere ergänzt wird.

234

Kommentar zu Text [Vlll]

Da das lateinische inexistens in der Übersetzung "das Inexistente" mißverständlich wäre, wird es mit "das Darin-Existierende" übersetzt. 13 Diese Definition setzt durch das simul sumta die Operation des Hinzufügens, die durch das Zeichen "+" gekennzeichnet wird, voraus. Diese Operation wird in Text [VIII] durch das Postulat 1 eingeführt. Vgl. auch [VII], (29}, wo Leibniz die diesem Zeichen entsprechende Operation als Hervorgehen eines Kollektivs aus mehreren bezeichnet. Vgl. auch die Einleitung 5.3.3.1. 14 Zu "das Nichts" (Nihü) vgl. [VII], (7, 8}, und die Einleitung 5.3.3.6. 15 Hiermit meint Leibniz folgendes: Wenn A + B oo List, wobei A und L koinzidieren, dann kann L gemäß der Def. 1 substituiert werden durch A, so daß sich A + B oo A ergibt. Mit B wird demnach zu A entweder das "Nichts" hinzugefügt oder etwas von dem "Nichts" Verschiedenes, das bereits in A enthalten ist. Wenn B das "Nichts" ist, dann gilt: A + Nihil = A. Vgl. [VII], (28}. Wenn B jedoch nicht das "Nichts" ist, dann muß es allerdings nicht unbedingt mit A koinzidieren, wie es der Text nahelegt. Der Text könnte auf folgende Weise ergänzt werden: "[ ... ]dann wird nämlich B nichts anderes enthalten als [das, was auch schon] A [enthält]." Vgl. dazu auch weiter unten das Theorem VII. 16 Zur Erklärung des Begriffs des "Ganzen" und des "Teils" vgl. Text [X], Scholium zu den Def. 3, 4, 5, 6. Vgl. auch das Specimen geometriae luciferae, GM VII, S. 274, wo Leibniz wieder auf den Durchmesser des Kreises zu sprechen kommt, der zwar im Kreis ist, aber nicht als ein Teil desselben. Das entscheidende Kriterium dafür, daß etwas Teil eines Ganzen ist, besteht in der Homogenität mit dem Ganzen. Zur Homogenität vgl. [II], Anm. 36. 17 Mit iisdem positis sind in diesem Fall die Darin-Existierenden A und B gemeint. 18 Zu dieser Terminologie vgl. auch Text [II], Anm. 22. 19 In der Handschrift steht hier C, das vom Herausgeber in L geändert wurde. Diese Änderung ist unproblematisch. Leibniz hat in Charakter 3 zunächst C anstelle von L geschrieben und dann an den beiden ersten Stellen C zu L korrigiert, diese Korrektur aber an der dritten Stelle versehentlich nicht durchgeführt. 12

Kom..r::1entar zu Text [VIll]

235

Leibniz verwendet hier die Formalisierung aus Text [VII], (9, 10), allerdings ohne unbestimmte Begriffe. 21 Der Zusatz "so daß beide zusammengenommen größer sind als L" ist nicht einfach als Explikation davon aufzufassen, daß A und B etwas Gemeinsames haben, sondern als echte zusätzliche Bedingung. Da beliebige Begriffe immer das "Nichts" enthalten, enthalten sie immer etwas Gemeinsames. Vgl. dazu [Vll], (28). Es ist also erforderlich, daß das Gemeinsame nicht das "Nichts" ist. Ausgedrückt mit den Buchstaben des zweiten Diagramms in dem Scholium und der Def. 4, wo das Gemeinsame von A und B mit M bezeichnet wird, heißt die zusätzliche Bedingung: M * Nichts. 22 Couturat (1901), S. 367, hat zu Recht darauf hingewiesen, daß die Geraden im Sinne von Leibniz nicht Größen, sondern Punktmengen darstellen. Dieser Hinweis ist wichtig, um die Berechtigung einer klassenlogischen Interpretation der leibnizschen Diagramme zu begründen. 23 In der Handschrift steht hier RX, das vom Herausgeber in RS geändert wurde. Diese Änderung ist insofern erforderlich, als Leibniz hier eindeutig eine Substitution für A vornimmt, A jedoch von ihm selbst im Text vorher durch RS festgelegt worden ist. 24 Zu den Kommunizierenden und Nicht-Kommunizierenden vgl. die Einleitung 5.3.3.8. 25 Da das "Nichts", also der leere Begriff, in jedem Begriff enthalten ist, vgl. [VII], (28), ist die Def. 4 im Sinne von Leibniz so zu verstehen: "Wenn irgendein M außer dem Nichts in A und ebenfalls in Bist, [... ]dann werden jene Kommunizierende genannt. Wenn sie jedoch außer dem Nichts nichts Gemeinsames haben,[ ... ] dann werden sie Nicht-Kommunizierende genannt." Vgl. Dürr (1930), S. 100. 26 Durch diese Definition unterscheidet sich der Kalkül in Text [Vill] von dem in Text [VII], wo nach (33) die Wegnahme eines beliebigen Begriffs von einem beliebigen Begriff möglich ist. Vgl. weiter unten im Text das Postulat 2. Vgl. auch die Einleitung 5.3.3.4 und 5.3.3.5. 27 Koinzidiert ein beliebiges L zum Beispiel mit A + B, dann sind A und B gemäß Def. 3 in L, und beide zusammengenommen konstituieren L. Wird also ein beliebiges L dadurch konstituiert, 20

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Kommentar zu Text [VIII]

daß mehrere zusammengenommen gesetzt werden, dann sind diese sowohl Darin-Existierende als auch Konstituierende. Anders verhält sich dies bei der Operation der Wegnahme: Koinzidien ein beliebiges N zum Beispiel mit L - A, dann wird gemäß Def. 5 vorausgesetzt, daß A nicht in N ist, da die Wegnahme sonst nicht durchführbar wäre, und auch L ist nicht in N enthalten, da es neben N auch noch A enthält. Demnach sind weder A noch L DarinExistierende in N, obwohl sie Nkonstituieren. 28 Beinahe wönlich dieselbe Formulierung findet sich auch in A VI, 4, N. 179, S. 856 121•• 29 Die Kompensation ergibt nicht immer die Destruktion, da sie zwei Bedingungen voraussetzt, die von Leibniz in Theorem IX angegeben werden. 30 In der Handschrift schrieb Leibniz zunächst 4 + 4 facit 8, ändene dann die ersten zwei Ziffern zu 2 + 2, ohne jedoch die Summe entsprechend zu 4 zu korrigieren. 31 An dieser Stelle wird das additi jeweils mit "addien(en)" übersetzt, da es sich hierbei in Abgrenzung zur leibnizschen Hinzufügung um ein Beispiel für die arithmetische Addition handelt. 32 Dasselbe Beispiel führt Leibniz auch in Text [X], Scholium zu den Axiomen 1 und 2, an. 33 Es gilt also: A - A - A = 0, so daß man nicht sagen darf: (A A)- A, wobei (A- A) gleich 0 wäre, so daß sich als Resultat- A ergäbe. Dies gilt schon deshalb nicht, weil nach Axiom 1 A = A + A gilt, so daß bei Setzung von A beliebig viele A gesetzt werden dürfen und sich somit bei beliebig vielen - A immer eine Destruktion ergibt. "- A" als Resultat wäre zudem ein privativer Begriff, und privative Begriffe sind in Text [VID] nicht mehr zugelassen. Vgl. die Einleitung 5.3.3.4. 34 Leibniz setzt an dieser Stelle (es ist die einzige in Text [VID]) die (Strich-)Klammern, die für die Korrektheit entscheidend sind, denn 0 ergibt sich im ersten Fall nur bei: (A +A)-A =0. Setzt man die Klammern anders, wozu man aufgrund der Ähnlichkeit der Formel zu einer algebraischen meinen könnte, berechtigt zu sein, so ergibt sich ein anderes Ergebnis, und zwar:

A +(A-A)=A +O=A.

Komn:.entar zu Text [VTII]

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Dies bedeutet, daß die folgende Gleichung ungültig ist: (A + A}- A = A + (A - A}. Die prinzipielle Relevanz dieses Sachverhalts für den logischen Kalkülläßt sich daraus ersehen, daß die eben als ungültig gezeigte Gleichung nur ein Spezialfall einer allgemeineren Gleichung ist; es gilt nämlich für A = B = C: (.4 + B)- C=A + (B- C), was somit im logischen Kalkül als nicht allgemein gültig erwiesen ist. Vgl. (L 7*) in der Einleitung 5.3.3.3. Ganz ähnlich sieht der zweite Fall aus: Nimmt man A - (A + A) wiederum als Spezialfall von A - (B + C), wobei gilt: A = B = C, dann kann man sich fragen, ob die folgende allgemeinere Gleichung mit veränderter Klammersetzung und verändertem Vorzeichen gültig ist: A -(8 + C)=(A -B)- C. Auch hier legt sich die Ähnlichkeit zur Mathematik nahe. Für den Fall A = B = Cergäbe sich: A - (A + A) = (.4 - A)- A. Dabei ergibt sich für die linke Seite A - A = 0, was korrekt ist, für die rechte Seite aber ergibt sich 0 - A, was eine in [Vill] für jedes von 0 verschiedene A nicht zugelassen ist. Auch diese Gleichung ist also im logischen Kalkül nicht allgemein gültig. Anders jedoch stellt sich ein weiterer Fall dar. Auch die Gleichung: A-(B+ CJ=A-B-C ist aus der Algebra der Mathematik bekannt. Im Unterschied zu den beiden weiter oben aufgeführten Gleichungen ist diese sowohl in der Mathematik als auch in der Logik der Begriffe gültig. Auch im Falle der Annahme A = B = Cergibt sich die gültige Form A-(A +A)=A-A-A, die auf beiden Seiten 0 als Resultat hat. Die Gültigkeit der Gleichung A - (B + C) = A - B - C ist für den leibnizschen Kalkül grundlegend, da Leibniz in Beweisen immer wieder voraussetzt {vgl. z.B. die Beweise in Theorem IX, 2. und 3. Fall), daß, wenn z.B. A - D gilt und D = B + C, dann auch A - B- C gilt. Die dieser Gleichung entsprechende logische Operation ist auch tatsächlich gültig (und läßt sich als solche auch nachweisen, vgl. Lenzen

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Kommentar zu Text [Vill]

(1990), S. 81). Man kann sagen, daß Leibniz das Problem der Klammersetzung bei der Wegnahme zwar gesehen hat, er aber dort, wo die Analogie zum mathematischen Kalkül problemlos funktionierte, keine weiteren Überlegungen dazu anstellte, obwohl die Gültigkeit im logischen Kalkül eigentlich ausdrücklich nachgewiesen werden müßte. 35 Daß die Wegnahme nur dort erlaubt ist, wo das Weggenommene in dem enthalten ist, von dem es weggenommen wird, stellt die Text [Vll] gegenüber kennzeichnende Einschränkung der Operation der Wegnahme dar. Vgl. dazu die Einleitung 5.3.3.4 und 5.3.3.5. 36 Gemeint ist: "[ ... ], die mit jenem A dieses L konstituieren, [...]." 37 Dieses Scholium wird an keiner Stelle des Fragments noch einmal aufgegriffen. 38 In diesem Theorem beweist Leibniz die Gültigkeit der Transitivität der Äquivalenz bzw. der logischen Gleichheit. Vgl. [X], Proposition 3. 39 Vgl. [X], Proposition 4. 40 Vgl. [X], Proposition 9. 4 ' Vgl. [X], Proposition 10. 42 V gl. [VII], (24). 43 Vgl. [X], Proposition 6. 44 Vgl. [X], Proposition 15. 45 In der Handschrift steht def. 4, es soll aber vermutlich "Def. 6" heißen. In der Def. 4 geht es um Kommunizierende, was aber hier überhaupt nicht zur Diskussion steht, wohingegen die Def. 6 festlegt, was als das Konstituierte angesehen werden soll. 46 Das Theorem V ist umkehrbar. Vgl. [X], Proposition 18 und das Scholium zu Proposition 19. 47 Der Zusammenhang von (A ~ C) ~ (A + M = C) wird noch besser als durch Def. 3 durch [Vll], (9, 10), deutlich: A ~ C = A + Y = C. In Text [VII] steht Y für einen unbestimmten Begriff. Ein solcher ist demnach auch hier mit der Formulierung "irgendein so beschaffenes M" gemeint. Da jedoch diese An der unbestimmten Begriffe immer durch bestimmte Begriffe ersetzt werden kann, spielt

Kommentar zu Text [VIll]

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diese Frage für den vorliegenden Kalkül keine Rolle. Vgl. Theorem Vllunddie Umkehrung dazu: B~A =A + B=A. 48 In diesem und im vorausgehenden Satz wird das poterit freri bzw. das possit fieri mit ,es wird hergestellt werden können" bzw. mit "es kann hergestellt werden" übersetzt. Diese Übersetzung weicht von der in den Theoremen bisher einheitlichen Übersetzung des fieri mit "sich ergeben" ab. Diese Abweichung ist erforderlich, da sich das Resultat hier nicht nur ergeben kann, sondern sich vielmehr ergeben muß. Dieser Sachverhalt findet sich auch in Theorem Vll. 49 Diesen Mangel an hilfreichen Beispielen versucht Leibniz offensichtlich durch die zahlreicheren Beispiele in Text [X] zu beheben. 50 Vgl. [X], Proposition 20. 51 Vgl. [X], Proposition 14. 52 Vgl. [X], Proposition 13. 53 Leibniz revidien hier [Vll], (35). Don hieß es nur, daß, wenn von Koinzidierenden (beliebige) Koinzidierende weggenommen werden, sich Koinzidierende ergeben. Dies beruhte auf [Vll], (33), wonach beliebige Begriffe von beliebigen Begriffen weggenommen werden konnten, was zu einer Inkonsistenz des Kalküls in Text [VII] fühne. Vgl. die Einleitung 5.3.3.4. Hier in Text [VIll] sind es nun nicht mehr beliebige Begriffe, die als Ergebnis Koinzidierende sind, sondern es sind die Restbegriffe. Der Rest aber muß nach Def. 5 in dem enthalten sein, von dem der andere Begriff weggenommen wurde. Leibniz hat also sehr konsequent die Einschränkung der Wegnahme in Theorem Vlli berücksichtigt. 54 Diese Formulierung findet sich fast wörtlich genauso auch in A VI, 4, N. 179, S. 856"1·• 55 Schon dieser erste Fall ist so, wie er aufgestellt wird, problematisch. Leibniz fordert hier NK{A, N}, NK{A, M), NK(M, N). In Text [Vlll] ist nach Postulat 2 ein Ausdruck wie A - M, also die rechte Seite der Gleichung, nur dann zulässig, wenn M in A enthalten ist, dann aber sind M und A notwendigerweise Kommunizierende. NK{A, M) und A ·- M sind demnach unvereinbar, es sei denn es gilt: M = 0; dies aber wäre für die Destruktion von N irrelevant, da dann die Ausgangsgleichung lauten würde: A + N- 0 - N = A -

240

Kommentar zu Text [Vlll]

0, was gleichbedeutend ist mit: A + N- N = A . Vgl. Dürr {1930), S. 130. Leibniz verkompliziert diesen Fall durch die Einführung von - M in nicht erforderlicher Weise. Eigentlich relevant und entscheidend für den 1. Fall ist nur: NK{A,N,}~(A

+N,)-N=A.

Dies ist auch genau jenes Gesetz, auf das sich Leibniz in Theorem XII mit Verweis auf den 1. Fall in Theorem IX beruft. 56 Leibniz setzt gewöhnlich bei der Setzung eines Begriffs kein "+" vor den Buchstaben. Zu dieser Schreibweise vgl. auch Text [IX], 2. Absatz. 57 Leider konnte bisher das Grotius-Zitat nicht verifiziert werden. Der Übersetzung liegt folgender Versuch, den Text zu verstehen, zugrunde: [Simiae] homines [sunt] nisi qua[tenus a] bestiis dif ferthomo. 58 Vgl. dazu die Einleitung 5.3.3.5. 59 Mit "weniger als das Nichts" sind privative Begriffe gemeint, für die gilt: A oo- B bzw. A oo 0- B. Vgl. dazu [VII], {32). Da jedoch in Text [Vlll] die Wegnahme nach Postulat 2 nur dort möglich ist, wo der weggenommene Begriff in dem enthalten ist, von dem er weggenommen wird, und zwar im Unterschied zu [VII], {33), wo jeder beliebige Begriff von jedem beliebigen Begriff weggenommen werden kann, es demnach in Text [VIII] auch keine privativen Begriffe wie in Text [VII], (31)-(32), gibt, ist es in Text [VIII] eigentlich inkonsistent, von etwas zu sprechen, das "weniger als das Nichts" ist. Vgl. auch die Einleitung 5.3.3.4. 60 Die Aufgabenstellung des 2. Falls geht davon aus, daß A und B sowie G und B etwas Gemeinsames haben. Es läßt sich jedoch zeigen, daß diese Aufgabenstellung unter der Voraussetzung von Text [VIII], Postulat 2, nicht zulässig ist. Die Aufgabenstellung lautet: [(A + B) - B] - G = A - G, wobei das Gemeinsame von A und B sowie das von G und B gleich M sei. Nach Postulat 2 ist die Wegnahme von G nur dann zulässig, wenn Gin (A + B)- B enthalten ist. G ist aber in (A + B) - B, d.h. im Rest (= Q), nicht enthalten, und zwar aus folgendem Grund: M ist gemäß der Voraussetzung in B enthalten. Wird nun B von A + B weggenommen, so enthält nach Theorem X der Rest nichts, was in B ist, er darf also auch M nicht enthalten. Da jedoch G der Voraussetzung nach M

Kommentar zu Text [VIII]

241

enthält, kann G nicht in diesem Rest enthalten sein, und das heißt: G ist nicht in (.4 + B) - B enthalten. Somit ist unter den gegebenen Voraussetzungen [(.4 + ß,.' - B] - G kein zulässiger oder sinnvoller Ausdruck. Er kann einzig unter der Voraussetzung von M = 0 zugelassen werden, was bedeutet, daß A und B sowie G und B NichtKommunizierende sind, dann aber ergibt sich genau wieder der 1. Fall. Man kann das Problem auch am Leibniztext selbst sehen. Leibniz liefert in der Endfassung des Textes des 2. Falls nur eine Art Ergebnisprotokoll eines zunächst in der Handschrift ausführlicheren Beweises. {Der besseren Übersichtlichkeit halber ändern wir die Buchstaben entsprechend der Endfassung, also entsprechend dem 2. Fall unseres Textes; die Übersetzung der ursprünglichen Textstelle findet sich auch in Lenzen (1990}, S. 80.} Wir geben hier den letzten Teil des leibnizschen Beweises wieder: Angenommen, das Gemeinsame von A und B sei gleich dem Gemeinsamen von B und G, so ergibt sich: A=Q+M, B=N+M, G=H+M, und durch Substitution in der Ausgangsformel erhält man das gewünschte Ergebnis: F = Q + M + N +M-N- M- H- M = Q- H, und es gilt: Q·-H=A- G, weil Q + M-H-M= Q-Hist. Durch die fehlende Klammersetzung ist das Problem bei Leibniz verdeckt. Setzt man in [(.4 + B) - B] - G die oben genannten Werte ein, so ergibt sich: [(Q + M + N + M}- N- MJ- H- M, und da im ersten Klammerausdruck M + M =M gelten muß, ergibt sich: [(Q + M + N)- N- MJ- H- M, also: Q - H- M (und nicht: Q - H wie im Beweis von Leibniz}. Daraus ist ersichtlich, daß Leibniz ein M von Q wegnimmt, das überhaupt nicht in Q enthalten ist (also genau das, was schon weiter oben bei der ersten Kritik des 2. Falls festgestellt worden ist}. Und dies widerspricht Postulat 2.

242

Kommentar zu Text [VIII]

Man kann sich fragen, was der Grund dafür ist, daß Leibniz diesen nicht korrekten zweiten Fall überhaupt konstruiert hat. Dürr (1930), S. 130-132, hat die m.E. richtige Vermutung geäußert, daß Leibniz hier in [VIII] bei der Behandlung des 1. Falls erkannt hat, daß die Nicht-Kommunikanz von A und B eine hinreichende Bedingung für die Gültigkeit von (A + B)- B = A ist, also gilt: NK{A, B)--+ [(A + B)- B = A], daß er sich aber nicht darüber voll im klaren war, daß diese NichtKommunikanz auch eine notwendige Bedingung für die Gültigkeit dieser Formel darstellt, so daß also gleichzeitig gilt: K{A, B)-+ [(A + B)- B*-A]. Leibniz hat allerdings den zuletzt genannten Zusammenhang in [IX], also den Additamenta zu [VIII], klar erkannt. Vgl. dazu [IX], Anm. 13, wo sich zeigt, daß Leibniz faktisch mit dieser Regel arbeitet. Der 2. Fall des Theorems IX trifft deshalb nicht zu, da für K{A, B) das (A + B) - B in der angeführten Gleichung [(A + B) - B] - G = A - G nicht mit A koinzidiert. 61 Es ist unter der Voraussetzung, daß das, was A und B einerseits und B und G andererseits gemeinsam haben, dasselbe ist (= M), überhaupt nicht möglich, daß A und G nichts Gemeinsames haben, also E oo Nichts ist. Leibniz denkt aber hier offensichtlich an die Möglichkeit, daß A und G nichts Gemeinsames haben. Dann aber ergäbe A - G, also die rechte Seite der Ausgangsgleichung, einen semiprivativen Begriff, und dies ist wiederum nur eine andere Version der Nicht-Berücksichtigung von Postulat 2, wie sie schon in der vorangegangenen Anmerkung festgestellt worden ist. 62 Bei diesem 3. Fallliegt dasselbe Problem vor wie im 2. Fall, d.h., unter den gegebenen Voraussetzungen ist die linke Seite der Gleichung, also A + B- B- D kein korrekt gebildeter Ausdruck, da das Gemeinsame von B und D bereits bei der Operation (A + B) - B weggenommen wird, so daß es einen Teil von D gibt, der in A + B- B nicht enthalten ist. Unter den gegebenen Voraussetzungen ist demnach D nicht in (A + B) - B enthalten, so daß auch in die.sem Fall eine Wegnahme von D nach Postulat 2 nicht zulässig ist. 63 Auch diese Voraussetzung ändert nichts an der Inkorrektheit der linken Seite der Gleichung, da die Voraussetzung, daß Bund D

Kommentar zu Text [Vlll]

243

etwas Gemeinsames haben, erhalten bleibt und somit D in jedem Fall etwas enthält, das in (A + B)- B nicht enthalten ist. 64 Vgl. Def. 5 und Charakter 4. 65 Es gilt also:

L - A = N--+ NK(A, N).

Es gilt allerdings auch das Umgekehrte: Sind A und N NichtKommunizierende, so gilt nach dem Gesetz, das als der eigentliche logische Gehalt des Theorems IX herausgestellt wurde:

NK(A, N)--+ (N + A)- A = N.

Setzt man für N + A den Buchstaben L, so ergibt sich: L - A = N, also genau das Umgekehrte zu der These des Theorems X, d.h., es handelt sich hier um eine Äquivalenz. 66 Leibniz setzt hier voraus, daß A und B zwar Kommunizierende, nicht jedoch Koinzidierende sind. 67 Wenn P, Mund NNicht-Kommunizierende sind, dann ist das Gemeinsame von A und B allerdings nicht nur in M, sondern es ist gleich M. Zum Gemeinsamen vgl. auch die Einleitung 5.3.3.8. 68 Leibniz führt in diesem Theorem den neuen Begriff des "Eigentümlichen" (proprium) ein, der jedoch durch die beiden Begriffe, die ein Gemeinsames (commune) haben, definiert ist. Enthalten zwei Begriffe A und B irgendetwas Gemeinsames (außer dem Nichts), so ist das Eigentümliche von A gleich (A + B) - B und das Eigentümliche von B gleich (A + B)- A. 69 Damit wird jene Begriffsverknüpfung hergestellt, bei der es nicht möglich ist, von A + B = A + N auf B = N zu schließen. Vgl. auch [lli B], (13), [VI], (12), und GI, § 18. Die entsprechende Regel, wann diese Wegnahme gültig ist, findet sich in Text [VIII], Theorem XII und Theorem Xlli, Folgesatz. 70 Genauer müßte man sagen: "Es soll irgendetwas vom Nichts Verschiedenes angenommen werden, das in A ist, z.B. M." Denn wenn gilt: M = 0, dann ist M in jedem Begriff, also auch in N, enthalten. Im Falle von M = 0 würde sich für B = M + N (vgl. diese Gleichung weiter unten im Text) ergeben: B = 0 + N, also B = N, was gegen die Voraussetzung verstößt. Vgl. auch die folgende Anm. 71 Die zweite Bedingung, d.h., daß N nicht in M enthalten sein darf, ist für die Lösung des Problems nicht erforderlich. Wenn N in

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Kommentar zu Text [VITI]

Mist, ohne mit ihm zu koinzidieren, dann ist trotzdem A + B = A + N und B * N erfüllt; daß in diesem Fall B = M gilt, widerspricht nicht den Voraussetzungen. Die erste Bedingung muß allerdings tatsächlich erfüllt sein. Denn wenn M in N ist, dann ist M + N = N = B, was aufgrund der Voraussetzung, daß gelten muß: B * N, ausgeschlossen ist. 72 Diese Ergänzung ist sinngemäß erforderlich, da sonst das folgende "und trotzdem" (et tarnen) beziehungslos ist. 73 Dieses Theorem verallgemeinert den umgekehrten Fall zum vorausgehenden Problem, bei dem vorausgesetzt wurde, daß diejenigen, die den Koinzidierenden hinzugefügt werden sollten, selbst keine Koinzidierenden sind. Gelöst wurde das Problem, indem das eine der Hinzugefügten als mit einem der Koinzidierenden Kommunizierendes gesetzt wurde. Wenn im Gegensatz dazu jedoch diejenigen, die zu den Koinzidierenden hinzugefügt werden, mit diesen nicht kommunizieren sollen, dann sind sie selbst Koinzidierende. 74 In Text [VITI], Theorem XII, läßt sich sehr gut feststellen, wie Leibniz Ergebnisse aus Text [VII] aufnimmt. Vgl. [Vll], (34). 75 Es muß hier allerdings der Fall ausgeschlossen werden, daß sowohl B als auch N in A enthalten ist, ohne daß sie aber miteinander kommunizieren. Zudem ist zu beachten (was Leibniz vermutlich voraussetzt), daß in diesem Fall N nicht das "Nichts" sein darf. Denn für den Fall, daß N = 0, sind N und B inkommunikant, da der leere Begriff inkommunikant mit jedem beliebigen Begriff ist. Dennoch gilt: A + B = A + N, insofern dann A + B = A + 0 = A zutrifft. Dasselbe gilt für den Fall, daß B = 0 ist. Vgl. Dürr (1930), S. 148-150. Aufgrund dieser zahlreichen Voraussetzungen kann das Theorem Xill nicht wirklich als allgemeingültig angesehen werden. 76 Leibniz weist hier darauf hin, daß es keine allgemeine Regel dafür gibt, nach der dann, wenn A und B einerseits und A und N andererseits kommunizieren, daraus gefolgert werden kann, daß auch Bund N Kommunizierende sind. n Das läßt sich auch folgendermaßen formalisieren: NK(A, B), NK(A, N) --+ [(A + B = A + N) --+ (B = N)]. Mit der Einführung nicht-kommunizierender Begriffe findet Leibniz eine elegante Lö-

Konunentar zu Text [IX]

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sung für die z.B. in [III B], (13), [VI], (12), und GI, § 18, aufgeworfene Frage, unter welchen Bedingungen in AC= BC das C weggenommen werden darf, sich also A = B ergibt.

[IX] Dieses Fragment trägt bei Leibniz keinen Titel. Wir folgen in diesem Fall nicht der Überschrift, die der Text in der Akademieausgabe erhält (Plura similiter posita simul aequivalent uni}, um schon durch die Überschrift den Zusammenhang mit Text [VIII] deutlich zu machen. 2 Mit simüiter will Leibniz oblique Begriffe ausschließen. Er nennt eine solche Zusammensetzung von Begriffen häufig aequiformis, im Unterschied zu jener Zusammensetzung, die er als disquiformis bezeichnet. Vgl. in Text [II] den vorletzten Absatz. Daher legt sich die Übersetzung durch "gleich" und nicht durch "ähnlich" nahe. 3 Leibniz will damit deutlich machen, daß die Schreibweise nA E9 B" gleichzusetzen ist mit der Schreibweise "und AB", wobei mit dem "und" ausgedrückt wird, daß A und B zusammengenommen werden. Dies ist jedoch nicht der einzige Gebrauch von "e". Vgl. dazu die Anm. 5. 4 D.h.: diese Zeichen. 5 Leibniz legt hier die Unterscheidung in ein kollektives und ein distributives Ganzes zugrunde. Vgl. die Einleitung 5.3.3.2. Ein totum distributivum ergibt sich durch die Aufteilung eines Ganzen, z.B. der Gesamtheit der Individuen, die unter den Begriff animal fallen, auf die Teile, d.h. auf die Individuen, die unter den Begriff homo oder den Begriff brutum fallen. Vgl. A VI, 4, N. 235, S. 1142241·• Geht man vom distributum aus, so ergibt sich durch einen Vergleich (comparatio) der Teile das, was diesen gemeinsam ist, hier also der Begriff animal. In Verwendung einer Terminologie von J. H. Alsted nennt Leibniz einen solchen Begriff (conceptus) auch universale post multa bzw. universale logicum. Vgl. A VI, 4, N. 235, S. 1147•1·• Ein totum continuum wird von Leibniz konstant als ein Ganzes definien, dessen Teile indefinit sind (cujus partes sunt indefinitae). Vgl. z.B. A VI, 4, N. 97, S. 39325·27 • 1

246

Kommentar zu Text [IX]

Die Schreibweise "ES A" verwendet Leibniz normalerweise in Texten zur Logik nicht. Sie stammt aus der Mathematik, in der Leibniz manchmal die Arithmetik als eine Theorie positiver, z.B. + a, und negativer Größen, z.B. - b, auffaßt. Er sagt allerdings, daß man dieses vorausgestellte "+" gewöhnlich wegläßt. Vgl. Pri· ma Calculi Magnitudinum Elementa, GM Vll, S. 78. 7 Hier gebraucht Leibniz "Kontrarietät" nicht im üblichen Sinne. Jedenfalls darf hier "Kontrarietät" nicht als "Negation" verstanden werden. Leibniz unterscheidet genau detractio und negatio. Vgl. die Leibniz-Anmerkung zu [Vlll], Theorem Vlll. Möglicherweise will Leibniz mit dem Ausdruck "Kontrarietät" anzeigen, daß er die Wegnahme als die zur Hinzufügung inverse logische Operation auffaßt, die Wegnahme also als das konträre Gegenteil zur Hinzufügung verstanden werden könnte. Vgl. A VI, 4, N. 184, S. 878 14 (C, S. 275), wo Leibniz von detractivus als oppositus Apposi· tivo spricht. In Text [Vll] versuchte Leibniz auch tatsächlich, die Wegnahme als genau inverse Operation zur Hinzufügung zu konstruieren, was sich aber nicht konsistent durchführen ließ. Vgl. die Einleitung 5.3.3.4. Da in Text [Vlll] die Wegnahme nur unter einer einschränkenden Bedingung durchgeführt werden darf, die für die Hinzufügung nicht gilt, stellt die Wegnahme schon deshalb keine solche genau inverse oder "konträre" Operation zur Hinzufügung dar. Vgl. weiter unten die Anm. 13 und die Einleitung 5.3.3.5. 8 Sublatio ist nur ein anderer Ausdruck für detractio. Vgl. auch A VI, 4, N. 184, S. 878 201• (C, S. 275). 9 Vgl. [Vll], (29). 10 Dieselbe Aufgabe stellt sich Leibniz in A VI, 4, N. 181, S. 860f. (C, S. 25lf.). Vgl. die Einleitung 5.3.3.8. 11 Gemeint ist das Postulat 1 in Text [Vlll]. 12 Gemeint ist das Postulat 2 in Text [Vlll]. 13 Das von Leibniz vorgelegte Problem ist aufschlußreich, da es den Unterschied zwischen der logischen Operation der Wegnahme und der arithmetischen Operation der Subtraktion deutlich werden läßt. Gegeben ist: A +B=L L-A=N, und: folglich: (A + B)-A =N. 6

Kommentar zu Text [IX]

247

Für das Gemeinsame, d.h. M, gilt dann: B- N=M, also: B-[(A + B) -A]=M. Es ergeben sich zwei Möglichkeiten: (1} N = B, folglich: M = :J. Das ergibt sich auch bei der arithmetischen Subtraktion, denn es gilt: B-[(A + B)-A]=B-B=O, was bedeutet: NK{A, B). Daraus folgt: NK(A, B) ~ [(.4 + B)-A = B]. (2} N '*- B, folglich: M '# 0. In diesem Fall darf (.4 + B) - A nicht gleich B sein, sondern es muß "weniger" sein als B, und das heißt: Die Wegnahme funktioniert im Logikkalkül bei kommunizierenden Begriffen, also bei K(A, B), nicht wie die arithmetische Subtraktion. Es gilt demnach: K(A, B) ~ [(A + B) -A '#B]. Vgl. [VIII], Anm. 60, und die Einleitung 5.3.3.3. Um auf die Analogie zur Subtraktion zurückgreifen zu können, ist es daher erforderlich, die Begriffe so aufzuteilen, daß sie alle Nicht-Kommunizierende sind, wie es Leibniz im folgenden Abschnitt des Textes durchführt, wo dann gilt: NK{G, M, N) einerseits und NK{G, M, H) andererseits. 14 Mit Si A + B co A ... detracto verweist Leibniz nur auf schon Bekanntes. Vgl. [VIII], Def. 5, Theorem VII und Theorem X. Dieser Einschub hat aber für den vorliegenden Beweis keine spezifische Bedeutung. 15 Dieses Wegnehmen von G und M auf beiden Seiten der Gleichung ist eine Operation, die nur unter der von Leibniz ausdrücklich gemachten Voraussetzung korrekt ist, daß die Begriffe nichts Gemeinsames haben. 16 V gl. [VIII], Def. 6, Scholium, und die Anm. 27 dazu. 17 Gemeint ist das Postulat 1 in Text [VIII]. 18 Bei beliebigen A, B wird also A durch Bund das Gemeinsame von A und B defmiert. Wenn wir wie in der Einleitung 5.3.3.8, für das Gemeinsame von A und B die Symbolisierung uA ® B " setzen, dann gilt allgemein: A = [(A + B)- B] + A ® B, wobei der Fall, daß A und B Nicht-Kommunizierende sind, als jener Spezialfall verstanden wird, bei dem A ® B = 0 ist:

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Kommentar zu Text [X]

A = [(A + B)- B] + 0 ~ A = [(A + B)- B].

Vgl. oben die Anm. 13. Vgl. auch Lenzen (1989), S. 154. 19 Vgl. die Einleitung 5.3.3.8.

[X] Dieser Text trägt bei Leibniz keine Überschrift. Die lateinische Überschrift wurde in Übereinstimmung mit der Akademieausgabe gewählt. 2 Zu "an beliebigen Stellen" (ubilibet) im Unterschied zu "überall" (ubique) vgl. die Anm. 34 zu [Ill B], (2); ubivis in [Ill B] entspricht dem ubilibet in [X]. 3 Vgl. [VIII], Def. 1 und Charakter 1, und [Ill A], {12). 4 Die Selbigkeit bezieht sich selbstverständlich nicht auf die Begriffsinhalte von "Dreieck" und "Dreiseit", sondern nur auf die Begriffsumfänge oder, wenn man so will, auf die Klassen der Dinge, die durch diese Begriffe bezeichnet werden. Für den davon genau zu unterscheidenden Fall, bei dem der Begriffsinhalt zur Diskussion steht, vgl. Text [Ill B], (2), und die Anm. 35 dazu. 5 Es geht in diesem Beispiel einzig um die Länge der Strecke XY, die Bewegungsrichtung wird nicht berücksichtigt. Die T erminologie schwankt bei Leibniz, vgl. z.B. seine Unterscheidung von "Linie" (linea) und" Weg" (via) in [Vll], (26), die er dort aber selbst als nicht definitiv bezeichnet. 6 V gl. [VIII], Def. 2, Korollar zu Def. 2 und Charakter 2. 7 Leibniz bezieht sich mit dem Ausdruck "vollkommenes Quadrat" vermutlich auf den (platonischen) Gegensatz zwischen der idealen geometrischen Figur und der notwendig unvollkommenen Form ihrer (materialisierten) Zeichnung. 8 Verschiedene sind also solche, bei denen mindestens eines von beiden etwas aufweist, das nicht in dem anderen enthalten ist, wobei sie aber durchaus etwas Gemeinsames enthalten dürfen, so wie im Diagramm zu Proposition 1 die Strecken XY und RS den Abschnitt YS gemeinsam haben. 9 Der Ausdruck sit oo des lateinischen Textes zeigt deutlich, daß Leibniz ihn als "ist gleich" denkt und somit "oo" nur als "gleich" 1

Kommentar zu Text [X]

249

wiedergegeben werden sollte. In sehr vielen Fällen des Textes ist aber "oo" als "ist gleich" zu verstehen. 10 Leibniz erhöht hier die Stringenz des logischen Kalküls. Während er in Text [Vlll], Charakter 1, vorauszusetzen scheint, daß mit A = B ohne weitt~res B = A mitgegeben ist, beweist er hier in Text [X], Proposition l, daß dann, wenn A = B gilt, auch B = A gilt. Vgl. auch weiter unten die Anm. 12 zu Proposition 2. 11 Vgl. [Vill], Charakter 2. 12 Leibniz nimmt hier gegenüber Text [Vill], Charakter 2, eine Änderung vor, die die Stringenz des Aufbaus des logischen Kalküls erhöht. In Text [Vill] sagt Leibniz, A '# B bzw. B '# A bedeute, daß A und B Verschiedene sind. Hier in Text [X] hingegen führt er in Def. 2 zunächst nur ein, A * B bedeute, daß A und B Verschiedene sind. In der Proposition 2 liefen er dann jedoch den Beweis dafür, daß dann, wenn A * B gilt, auch B * A gilt. 13 Vgl. [Vill], Theorem I. 14 An dieser Stelle wird deutlich, daß Leibniz propositio und enuntiatio synonym verwendet: Während er in Text [Vill], Theorem I, schreibt: in propositione A oo B, heißt es hier: in enuntiatione A oo B. Leibniz schwankt häufig in der Verwendung von enuntiatio und propositio. Vgl. [ill], Anm. 18. 15 Dieses Korollar verallgemeinen die Proposition 3, indem es zeigt, daß die Transitivität der logischen Gleichheit auf beliebig viele Glieder angewendet werden kann. 16 Zu "Größe" (magnitudo) vgl. Text [Vm, (11), und die Anm. 10 dazu. 17 Euklid, Elemente I, § 1. 18 Hiermit ist folgendes gemeint: Wenn die Wege der benachbanen Perioden A und B einerseits und B und C andererseits koinzidieren, dann gilt: A =Bund B = C, also auch (nach Proposition 3) A = C. Weiterhin gilt: A = C und C = D, also auch A = D. Mit dieser Transitivität kann Schritt für Schritt gezeigt werden, daß die Wege beliebiger Perioden koinzidieren, vorausgesetzt, die Wege benachbaner Perioden koinzidieren immer. Vgl. auch die Characteristica geometrica, GM VII, S. 163. 19 Vgl. [Vill], Theorem II. Das Diagramm zu Proposition 4 stellt das Verhältnis von Disparaten und nicht von (nur) Verschie-

250

Kommentar zu Text [X]

denen dar. Bei {nur) Verschiedenen (diversa) ist es durchaus möglich, daß sie einen gemeinsamen Teilbegriff, und entsprechend im Diagramm eine gemeinsame Teilstrecke aufweisen. Es ist sogar möglich, daß das eine von zwei Verschiedenen ganz im anderen enthalten ist. Vgl. dazu auch weiter unten Def. 6 und die Anm. 24. 20 Vgl. [Vlll], Def. 3 und Charakter 3. Leibniz hatte im vorliegenden Text zu Def. 3 am Rande als Beispiele für Enthaltensein zunächst Teil und Ganzes sowie Gattung und Art angeführt (Pars inest toti, genus specielj, dies aber dann gestrichen. Damit wollte er nicht sagen, daß diese Fälle nicht unter das Enthaltensein fallen, sondern es ging ihm vermutlich nur darum zu zeigen, daß diese Fälle nicht vorliegen müssen, damit von Enthaltensein gesprochen werden kann, da er den Fall nicht ausschließen wollte, wo etwas sich selbst enthält, d.h., es soll auch A in A zugelassen werden. Angewandt auf die in Def. 4 aufgestellte Formel B + N = L soll demnach der Fall zugelassen werden, in dem B = L und N = L gilt, so daß L + L = L ist. Letzteres ist erforderlich, damit Axiom 2 angenommen werden kann, d.h., es muß sich bei dem Enthaltensein nicht um echtes Enthalten handeln. 21 Statt des "+" in Text [Vlll] verwendet Leibniz hier in Abgrenzung zum Plus-Zeichen der arithmetischen Addition durchgängig das Zeichen "EB" (vgl. das Scholium zu den Axiomen 1 und 2). Da die arithmetische Addition im weiteren keine Rolle spielt, verwenden wir im Kommentar für die Hinzufügung das Zeichen "+ ", so wie dieses bei Leibniz selbst in den Texten [VII] und [VIII] gebraucht wird. 22 Constituere und componere werden hier synonym verwendet. 23 Mit idem est in pluribus wird eine Verallgemeinerung auf mehr als zwei Komponenten ausgedrückt. 24 Der Unterschied zwischen Disparatheit und Verschiedenheit wird von Leibniz z.B. in A VI, 4, N. 70, S. 294nr. {GP VII, S. 225), auf folgende Weise bestimmt: Disparata sunt a et b, si a non est b, et b non est a, ut homo et Iapis. Nam homo non est Iapis. Et Iapis non est homo. ltaque omnia disparata sunt diversa, non contra.

Kommentar zu Text [X]

251

Disparate sind a und b, wenn [gilt:) a ist nicht b undbist nicht a, wie z.B. Mensch und Stein. Denn: Mensch ist nicht Stein. Und: Stein ist nicht Mensch. Somit sind alle Disparaten Vuschiedene, nicht [aber] umgekehrt.

Vgl. auch GI, S. 22285-m Spezielle Fragen ergeben sich bei der intensionalen Betrachtung disparater Begriffe. Intensional wird die Disparatheit von Leibniz in A VI, 4, N. 57, S. 20017•20 , § 13 (C, S. 53,§ 13), auf folgende Weise bestimmt (Kursivierung verschieden von A):

Si neuter terminorum in altero continetur, appellantur Disparata, et tune rursus ut dixi vel aliquid commune habent, vel toto genere differunt. Aliquid commune habent, qui sub eodem sunt genere, quos posses dicere Conspecies, ut Homo et brutum animalis conceptum habent communem. Wenn keiner der Begriffe im anderen enthalten ist, dann werden sie Disparate genannt, und dann haben sie wiederum, wie ich gesagt habe, entweder etwas Gemeinsames, oder sie unterscheiden sich in jeder Hinsicht. Etwas Gemeinsames haben jene, die unter denselben Gattungsbegriff fallen, die du Conspecies nennen könntest, wie z.B. Mensch und Tier den gemeinsamen Begriff des Lebewesens haben.

Es stellt demnach keinerlei Widerspruch dar, daß Disparate extensional nichts gemeinsam haben, während sie intensional sehr wohl gemeinsame Bestandteile aufweisen können. Auch die oben aufgefühnen Begriffe "Mensch" und "Stein" haben den gemeinsamen Oberbegriff "körperliche Substanz". 25 Darinsein (inesse) ist eine allgemeinere Beziehung als die Beziehung Gattung-Art oder Ganzes-Teil, da Darinsein oder Enthaltensein sowohl von einem echten Teilbegriff oder einer echten Teilmenge-wie in den genannten Fällen- als auch von dem Begriff ein und desselben Dinges bzw. von einer unechten Teilmenge ausgesagt werden kann. Vgl. Proposition 7: "A ist in A." Vgl. auch NE IV, 17, § 8; A VI, 6, S. 48628•30• 26 Vgl. die Characteristica geometrica, GM V, S. 145, wo Leibniz die Linie als Weg eines Punktes bezeichnet (Et via puncti dicitur Linea) und von dem Weg sagt, daß dieser ein Kontinuum (con· tinuum quoddam) ist. 27 Leibniz berücksichtigt hier sowohl die intensionale als auch die extensionale Betrachtungsweise: Nach der Intension, d.h. in Hinsicht auf die Begriffsinhalte, ist der Gattungsbegriff im Artbe-

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Kommentar·zu Text [X]

griff enthalten. Nach der Extension hingegen, d.h. in Hinsicht auf die Begriffsumfänge, sind die Individuen der Art unter den Individuen der Gattung enthalten. Beides läßt sich auch durch die Beziehung Ganzes-Teil ausdrücken, wobei es jedoch klar sein muß, daß auch diese Beziehung selbst nur ein Beispiel für das Enthaltensein darstellt, nicht aber dieses selbst definiert. Vgl. weiter oben die Anm. 20 und 25. Daß Leibniz die intensionale Betrachtungsweise jedoch als "am weitesten offensichtlich" bezeichnet, ist kennzeichnend für seine Bevorzugung des intensionalen Standpunkts. Zu den beiden Betrachtunsweisen vgl. auch [IV], vorletzter Absatz, und die Einleitung 5.3.2.1. 28 Notio generalis bedeutet hier nicht "Allgemeinbegriff", sondern etwa so viel wie "allgemeine Idee", "allgemeine Vorstellung". 29 Vgl. die Einleitung 5.3.3.2. 30 Significare wird von Leibniz in (mindestens) zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet. Entsprechend muß es an einigen Stellen mit "bedeuten" übersetzt werden (vgl. Def. 1: A ao B signifi· cat A et B esse eadem, [...], an anderen jedoch - wie hier - mit "bezeichnen". Die Doppeldeutigkeit von significare als "bedeuten" und "bezeichnen" dürfte Leibniz aus der spätscholastischen Schullogik übernommen haben. 31 Den Begriff der "Kointegranten" entnimmt Leibniz der Mathematik. Vgl. z.B. das (allerdings erst nach Text [X] entstandene) Specimen geometriae luciferae, GM VII, S. 284: Continuum est totum, cujus duae quaevis partes cointegrantes (seu quae si· mul sumtae toti coincidunt) habent aliquid commune, et quidem si non sint redundantes seu nullam partem communem habeant, sive si aggregatum magnitudinis eorum aggregato totius aequale est, tune saltem habent communem aliquem terminum. Ein Kontinuum ist ein Ganzes, dessen beliebige zwei kointegrierende Teile (bzw. jene, die zusammengenommen mit dem Ganzen koinzidieren) etwas Gemeinsames haben, und wenn sie allerdings nicht redundant sind bzw. wenn sie keinen gemeinsamen Teil haben bzw. wenn das Aggregat der Größe derselben dem Aggregat des Ganzen gleich ist, dann haben sie zumindest eine Grenzlinie gemeinsam.

Leibniz orientiert sich also bei den .,Kointegranten" an dem Be" griff einer Linie als einem Ganzen, bei dem entweder eine Unterteilung mit einer anderen etwas Gemeinsames hat oder der eine

Kommentar zu Text [X]

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Teil an den anderen zwnindest angrenzt, d.h. jedenfalls den Grenzpunkt mit dem anderen gemeinsam hat. Vgl. aber die folgende Anm., aus der hervorgeht, daß Leibniz für den ersteren Fall - bei dem also jeweils zwei Teile etwas Gemeinsames aufweisenden Ausdruck "Kommembra" einführt, so daß für den letzteren Fall der Ausdruck "Kointegranten" in einem engeren Sinn übrig bleibt. 32 In der Handschrift steht RX, das wir zu SX korrigien haben. Zur Erklärung der Korrektur ist folgender Textbefund aus der Handschrift zu erwähnen: Der Nebensatz quae commembra dici possent ist von Leibniz nachträglich ergänzt worden. Der Satz lautete also ursprünglich: Et tales partes, quae totum complent, vocare soleo cointegrantes, maxime si nullam partem communem habeant, ut RS et RX.

Die Anführung von RX ist aber eindeutig falsch, da RX mit jedem seiner Teile kommunizien. Geht man von dem RS des Textes aus, dann ist SX der mit RS nicht kommunizierende Teil von RX. Soweit zur erforderlichen Korrektur. Zum Verständnis des ganzen Satzes ist jedoch noch folgendes hinzuzufügen: Das Beispiel ut RS et SX darf nicht auf die commembra bezogen werden, sondern ist, wie es die aufgeführte ursprüngliche Version deutlich macht, auf die cointegrantes, die keinen gemeinsamen Teil haben, zu beziehen. Der Nebensatz über die commembra hingegen ist wie eine Erläuterung zu partem communem zu lesen, zu dem kein Beispiel angefühn wird. Das entsprechende Beispiel dazu wäre: RS et YX, die den gemeinsamen Teil YS aufweisen. Alle Teile, die ein Ganzes bilden, werden demnach als .. Kointegranten" bezeichnet, besonders dann, wenn sie nicht untereinander kommunizieren, wie die Strecken RS und SX. Teile, die hingegen ein Ganzes konstituieren, die jedoch einen gemeinsamen Teil haben, heißen .. Kommembra", wie zum Beispiel RS und YX. Der ganze Satz ist also eigentlich so zu lesen: "Und solche Teile, die ein Ganzes bilden, pflege ich 'Kointegranten' zu nennen, besonders dann, wenn sie keinen gemeinsamen Teil haben, wie z.. B. RS und SX. Wenn sie einen gemeinsamen Teil haben, dann könnten sie 'Kommembra' genannt werden."

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Kommentar zu Text [X]

Zu der grundlegenden Bedeutung, die Analyse und Synthese für die Philosophie bei Leibniz haben, vgl. z.B. die zwischen 1683 und 1685 entstandene Abhandlung De Synthesi et Analysi universali seu Arte inveniendi et judicandi in A VI, 4, N. 129, S. 538-545 (GP VII, S. 292-298). Vgl. dazu auch Schneider (1974). 34 Zu "homogen" vgl. Text [II], Anm. 36. Die Homogenität ist bei Leibniz ein entscheidendes Element der Definition von "Ganzes". Vgl. C, S. 476: 33

Strictius totum ita sumitur, ut sit homogeneum parti. Homogenea sunt quorum unum in simile alteri, si non sit, mutari potest. Strenger [gefaßt] wird ein Ganzes so angenommen, daß es mit [je ]dem Teil ~omogen ist. Homogene sind jene, von denen das eine in ein dem anderen Ahnliebes verwandelt werden kann, wenn es dies nicht [ohnedies schon] ist.

Durch die Homogenität von Enthaltendem und Enthaltenen unterscheidet sich ein Ganzes von einem bloßen Aggregat, wie es von Leibniz in der Proposition 22 eingefühn wird, bei dem keine Homogenität vorliegt. Nicht jedes Enthaltende ist daher ein Ganzes und nicht jedes Enthaltene ist ein Teil. 35 Die Relation Enthaltendes-Enthaltenes ist also umfassender als die von Ganzes-Teil. Vgl. weiter oben die Anm. 20,25 und 34. 36 Die Abgrenzung von "Kontinuum", "Ganzes" und "Einheit" bei Leibniz ist nicht einfach. In einem Text von 1684/85, A VI, 4, N. 97, S. 39017, fühn Leibniz zunächst totum, parsund continuum ohne Unterscheidungsmerkmale ein, fügt dann aber, ebd. S. 390'2r·, hinzu: Continuum est totum cujus partesindefinite assumi possunt, et habent positionem inter se. In quo diffen ab unitate, et a toto intenso, ut potentia, calore. Ein Kontinuum ist ein Ganzes, bei dem die Teile unbegrenzt angenommen werden können, und zwischen den Teilen besteht eine [Beziehung der] Lage. Dadurch unterscheidet es sich von der Einheit und vom intensiven Ganzen wie der Macht, der Hitze.

Das Kennzeichen des Kontinuums liegt also in den unbegrenzten Teilen (Continuum est cujus partes sunt indefinitae), A VI, 4, N. 156, S. 668', wodurch es sich vom Diskreten unterscheidet (C, S. 476). 37 Mit Bezug auf das der Def. 2 beigefügte Diagramm ergeben sich folgende Zuordnungen: RX = "Metall", RS = "edles Metall",

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SX ="unedles Metall", YK ="unlösliches Metall", RY ="lösliches

Metall". Edle und Unlösliche sind Disparate. Disparate sind dadurch definiert, daß keines von beiden im anderen ist. Also darf es nicht der Fall sein, daß aile Edlen unlöslich sind oder alle Unlöslichen edel. Tatsächlich gilt: Es ist nicht der Fall, daß alle Edlen unlöslich sind, denn es gibt Edles, das löslich ist(= Silber,= RY); und ebenso ist es nicht der Fall, daß alle Unlöslichen edel sind, da es Unlösliches gibt, das nicht edel ist(= Zinn,= SX). 38 Die Formulierung transpositio nihil mutat ist bei Leibniz beinahe feststehend. Vgl. z. B. A VI, 4, N. 70, S. 293 11 , § 2 {GP VII, S. 224, § 2}: Transpositio literarum in eodem termino nihü mutat. Der Begriff der transpositio entspricht dem der Kommutativität. 39 Dieses Postulat ist in Hinsicht auf ein zu jedem beliebigen Begriff auffindbares Disparates problematisch. Die Disparatheit besagt, daß kein Begriff im anderen enthalten ist. Faßt man Ens als den allgemeinsten Begriff überhaupt auf, so kann zu diesem Begriff kein Begriff gefunden werden, der· nicht in diesem Begriff enthalten ist, d.h., es gibt keinen zu Ens disparaten Begriff. Vgl. Couturat {1901}, S. 366, Anm. 5. Obwohl Leibniz in den Texten [VII] -[X] diesen allgemeinsten Begriff Ens nicht ausdrücklich verwendet, ist er doch durch das folgende Postulat 2 mitgegeben, denn wenn bellebige Begriffe zu einem zusammengefaßt werden können, so lassen sich auch alle Begriffe überhaupt zu einem zusammenfassen. Von einem solchen Cogitabüe in universumspricht Leibniz z.B. in A VI, 4, N. 126, S. 527" {C, S. 512}. Vgl. aber auch die Einleitung 5.3.3.7. 40 Vgl. [Vll], {25}, und [Vill], Postulat 1. 41 Vgl. [VII], {11}, und [Vlll], Axiom 1, sowie das Scholium dazu. Die Formulierung repetitio nil mutat ist bei Leibniz beinahe eine feststehende. Vgl. [ill B], {7}: inutilis est haec reduplicatio, und A VI, 4, N. 70, S. 293u, § 3 {GP VII, S. 224, § 3}: Repetitio ejusdem literae in eodem termino est inutilis. 42 Zu ars speciosa vgl. die Einleitung 5.3.3. 43 Wir übersetzen nota mit "Kennzeichen", um "Zeichen" für die Übersetzung von signum zur Verfügung zu haben. Ein sachlicher Unterschied in der Bedeutung der beiden Ausdrücke dürfte bei Leibniz jedoch nicht vorliegen.

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Kommentar zu Text [X]

Vgl. die Einleitung 5.3.3 und 5.3.3.2. 45 Vgl. oben die Anm. 38. Zu der hier verwendeten Schreibweise vgl. z.B. Text [V], (7): AB oo BA. 46 Vgl. oben die Anm. 41. Zu der hier verwendeten Schreibweise vgl. z.B. Text [V], (6): AA ooA. 47 Zu der Zusammensetzung der Begriffe in recto im Unterschied zu der in obliquo vgl. Text [ll], S. 264-12 • 48 Dieses Beispiel führt Leibniz auch im Scholium zu Axiom 1 in Text [Vlll] an. 49 Zu "Größe" (magnitudo) vgl. Text [Vll], (11), und die entsprechende Anm. dazu. 50 Zur Definition von "kongruent" vgl. z.B. C, S. 563: 44

Congrua sunt quae per se discerni non possunt. Congrua per se spectata sibi substitui possunt quasi essent coincidentia. Kongruente sind jene, die für sich [betrachtet] nicht unterschieden werden können. Kongruente für sich betrachtet können füreinander substituiert werden, so als ob sie Koinzidierende wären.

Im Kalkül der Zahlen und Größen ergibt 2 + 2 deshalb 4, weil hier mit Individuen aus Klassen operiert wird, bei denen vorausgesetzt wird, daß die Individuen voneinander Verschiedene sind. Die "2" bezeichnet die Anzahl der kongruenten Teile, in diesem Fall aus der Klasse der Füße, d.h. also 2 Füße. Die Einheit ist hier demnach ein Fuß. Wenn A für "Fuß" steht, so ergibt sich im Kalkül der Zahlen und Größen: A + A = Fuß + Fuß = 2 Füße. 52 Vgl. dazu die Einleitung 5.3.3.3. 53 Leibniz greift die Frage nach der Reihenfolge in Text [X] nicht weiter auf. Dies bedeutet, daß die Kommutativität durchgehend gültig bleibt. 54 Vgl. [Vlll], Marginalbemerkung zu Theorem lll. 55 Leibniz definiert nicht, was er hier unter "Umkehrung" versteht. Die Umkehrung bedeutet traditionell die Umkehrung von Subjekt und Prädikat (A e B zu B e A, A i B zu B i A). Möglicherweise spricht Leibniz hier von Umkehrung, weil eine Operation einmal auf das Subjekt einer Aussage angewandt wird (so in der Proposition 5), das andere Mal hingegen auf das Prädikat (so in der Proposition 6). 51

Kommentar zu Text [X]

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Für den Beweis reicht es aus, von A EB A oo A auszugehen, das nach Axiom 2 gilt, da dann nach Def. 3 A in A ist. Demnach ist die Proposition 6 für den Beweis nicht erforderlich. Vgl. auch die Proposition 13. In anderen Texten, so z.B. im Specimen Calculi universalis von 1681, A VI, 4, N. 69, S. 281s-' (GP Vll, S. 218), fühn Leibniz die Aussage a est a als eine durch sich wahre Aussage (propositio per se vera) ein. Da a est a gleichbedeutend ist mit a continet a und dies wiederum, z.B. nach [VII], (9, 10), gleichbedeutend ist mit A est in A, wäre im Specimen Calculi universalis auch letztere eine durch sich wahre Aussage. Dies zeigt, daß Leibniz Kalküle mit verschiedenen axiomatischen Voraussetzungen aufbaut. 57 V gl. [Vill], Theorem ill. 58 Hier liegt ein wichtiger Unterschied zum sog. Identitätskalkül vor, in welchem diese Regel- so z.B. in Text [V], (11) - axiomatisch eingefühn wird, wohingegen sie im Kalkül von Text [X] ableitbar ist. Vgl. auch Text [VI], (12), und die Anm. 3 dazu. 59 Die Proposition 9 ist nicht ohne Einschränkung umkehrbar, d.h., aus A + C = B + C folgt nicht notwendigerweise A = B. Wird jedoch vorausgesetzt, daß A und C einerseits und B und C andererseits Nicht-Kommunizierende sind, dann ist die Umkehrbarkeit gegeben. Vgl. [VIll], Theorem Xll, und den 1. Fall des Theorems xm. Das Diagramm ZU Proposition 9 stellt allerdings genau diesen Fall dar, es repräsentiert also nur einen Spezialfall dessen, was in der Proposition gesagt wird. 60 Vgl. [Vlll], Korollar ZU Theorem m. In Theorem vm formulien Leibniz diese Proposition für die Wegnahme. 61 Die Umkehrung wäre nur unter der Voraussetzung gültig, daß A und B sowie L und M Nicht-Kommunizierende sind. Vgl. [VIll], Theorem Xll, und den 1. Fall des Theorems Xill. Das Diagramm zu Proposition 10 stellt allerdings genau diesen Fall dar, es repräsentien also wie das Diagramm zu Proposition 9 nur einen Spezialfall dessen, was in der Proposition gesagt wird. 62 Leibniz ist bei der Erläuterung seiner Zeichnung ein Fehler unterlaufen: In der Proposition wird gesagt, daß B in L ist; im Diagramm entspricht L aber YX (und nicht RX). Genau dasselbe ergibt sich auch aus der weiteren Erläuterung des Diagramms im 56

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Kommentar zu Text [X]

Text, wo gesagt wird, daß "Gleichseitiges" in "Regelmäßiges" enthalten ist; "Regelmäßiges" entspricht hier jedoch L, und das wiederum ist YX. Folglich ist auch A + B, also RT + YS bzw. RS, in A + L, also RT + YX (und nicht in RT + RX) in RX, enthalten. Deshalb halten wir eine Korrektur im Text für gerechtfertigt. 63 Damit diese Proposition umkehrbar wird, muß die Voraussetzung gegeben sein, daß A und B Nicht-Kommunizierende sind. 64 V gl. [VIII], Theorem Vll. 65 Leibniz bezieht sich hier auf das Diagramm zu Proposition 1, dort findet sich auch das an dieser Stelle verwendete P, das er vermutlich erst bei der Abfassung von Proposition 14 hinzugefügt hat. 66 Die Propositionen 13 und 14 bilden also eine Äquivalenz. Dadurch ergibt sich die Möglichkeit, nach Belieben eine Koinzidenz in ein Darin-Sein (inesse} umzuformen und umgekehrt. Auf die Bedeutung dieser Umformungsmöglichkeit weisen Couturat (1901), S. 369, und Kauppi (1960), S. 227, hin. 67 Vgl. [VIII], Theorem IV. 68 Leibniz hat in der Proposition 3 die Transitivität für die Relation der logischen Gleichheit bzw. der Koinzidenz mit Hilfe des Substitutionsverfahrens bewiesen. In dieser Proposition wendet er das gleiche Verfahren an, um auch die Transitivität für die Relation des Darin-Seins (Inesse-Relation) zu beweisen. 69 Diese zweifache Interpretation von Aussagen hat Leibniz mehrfach vorgenommen. Vgl. z.B. GI,§ 122 und§ 123 (vgl. dazu auch den Kommentar, S. 190-193), und den vorletzten Absatz in Text [IV] sowie die Einleitung 5.3.2.1. 70 Auch hier ist es nicht eindeutig, was Leibniz mit der Umkehrung meint. Denn, daß aus A .,:;; C nicht A .,:;; B und B .,:; C folgt, ist evident. Vielleicht meint Leibniz jedoch folgendes: Wenn A .,:; C und auch B .,:;; C, dann folgt nicht notwendigerweise: A .,:; B, da es möglich ist, daß A und B disparate Konstituierende von C sind. In extensionaler Interpretation wird durch die Proposition 15 der syllogistische Modus Barbara bewiesen: Aus B a A und Ca B folgt: C a A; durch die Ungültigkeit der Umkehrung wird hingegen gezeigt, daß aus C a A und C a B nicht notwendigerweise B a A folgt, so daß dies kein gültiger syllogistischer Modus ist.

Kommentar zu Text [X]

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Dieses Korollar hat Leibniz vermutlich erst während der Abfassung der Proposition 17 hinzugefügt. 72 Die Transitivität der Relation des "Darin-Seins" kann demnach- wie auch die Transitivität der Relation der Koinzidenz (vgl. die Proposition 3 und das entsprechende Korollar) - auf beliebig viele Glieder angewendet werden. 73 Die Proposition 17 läßt sich auch in einfacherer Form ableiten. Aufgrund von Proposition 14 gilt zunächst: Wenn A in Bist, dann gilt: A + B = B; und ebenso: WennBin A ist, dann gilt: B + A = A. Aufgrund der ersten Gleichung kann in der letzten B für A + B substituiert werden, womit sich B = A ergibt. Vgl. Couturat (1901), s. 371. 74 Vgl. [VIll], Theorem V. 75 Gemeint sind die Propositionen 18 und 19, wobei die Proposition 19 nur eine Verallgemeinerung der Proposition 18 darstellt. 76 Es handelt sich hier nicht um die eigentliche Umkehrung der Proposition 18, da Leibniz mit einer Koinzidenz argumentiert und nicht mit einer Inesse-Relation. Richtig müßte die Umkehrung zu 18 lauten: Wenn A + B in L ist, dann gilt gemäß der Definition der Darin-Existierenden A + B + M oo L, und damit ist aufgrund derselben Definition sowohl A als auch B in L. Entsprechendes gilt für die Umkehrung der Proposition 19. 77 Es geht hier selbstverständlich ausschließlich um ein logisches "Früher" und "Später". Vgl. zu diesem Prius Natura z.B. A VI, 4, N. 197, S. 936 17•23 , und A VI, 4, N. 198, S. 937161·• Leibniz unterscheidet ganz im Sinne der scholastischen Tradition dieses logische prius deutlich von dem prius tempore, das eine Beziehung auf eine Ordnung in der Existenz oder in der Erkenntnis (relatio ad existentiam seu perceptionem) aufweist. Vgl. z.B. A VI, 4, N. 184, S. 8731lf-. 78 Die hier angegebenen Streckenverhältnisse, die sich auf das Diagramm beziehen, stellen einen Spezialfall der Proposition 20 dar, da im Diagramm A + B = M gilt, was in der Proposition 20 selbst nicht allgemein vorausgesetzt ist. 79 Die Kombination dieser Beispielbegriffe mit dem Diagramm ist fehlerhaft, da hier die Strecke RY sowohl den Begriff "Parallelogramm" (M) als auch den Begriff "Rechteck" (A 9 B) darstellt (vgl. die vorausgehende Anm.), d.h., nach dem Diagramm gilt hier: 71

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Kommentar zu Text [X]

"Parallelogramm" (M) ="Rechteck" (A E9 B), was nicht korrekt ist. Um ein den Beispielbegriffen entsprechendes korrektes Diagramm zu erhalten, müßte der rechte Endpunkt von M ein Punkt Z sein, der zwischen T und Yliegt. 80 Dem prinzipiellen Nachweis, daß diese Proposition nicht umkehrbar ist, dient das Problem der Proposition 22 und dessen Lösung. 81 A und B sind im Diagramm Nicht-Kommunizierende, was bei Disparaten nicht vorausgesetzt ist. Aber auch, wenn sie Kommunizierende wären, würde dies am Ergebnis nichts ändern. Entscheidend für die Lösung des Problems ist, wie Leibniz feststellt, einzig, daß D nicht in A enthalten ist. Diese Voraussetzung ist wichtig, da sonst im folgenden C = A + D = A gelten würde, womit C nicht mehr von A verschieden wäre, wie es in der Aufgabenstellung erforden ist. A + C = A wäre dann trotzdem in B + C = B + A enthalten. Abgesehen von dieser Bedingung ist es für die Korrektheit der Lösung unerheblich, wie sich D im übrigen zu A und B verhält. Es sind außer der im Diagramm dargestellten Beziehung der Begriffe verschiedene weitere Möglichkeiten denkbar, u.a. die folgenden: (1) Man könnte annehmen, daß A in D enthalten ist. Wäre A in D enthalten, also: D = D + A, dann wäre trotzdem A E9 C in B E9 C enthalten. Denn aus D = D + A zusammen mit der von Leibniz in der Lösung (aufgrund von Postulat 2) gemachten Annahme A + D = Cergibt sich: D = C. Dann ist A + C = A + D = D und B + C = B + D, und D ist in B + D enthalten. Diese Annahme würde also nichts an der Korrektheit der Lösung ändern. (2) Weiterhin könnte man annehmen, daß D in B enthalten ist, also: B = B + D. In diesem Fall gilt: A + C = A + A + D = A + D, und A + D ist in B + C enthalten, weil B + C = B + A + D. Auch bei dieser Annahme ergibt sich also eine korrekte Lösung. (3) Schließlich könnte B in D enthalten sein, also: D = D + B. In diesem Fall gilt: A + C = A + A + D = A + D und B + C = B + A + D = A + D, und da bei Koinzidierenden, hier also bei A + D = A + D, gemäß Proposition 8 das eine im anderen ist, so ist auch in diesem Fall A + C in B + C enthalten.

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Darüber hinaus wäre es auch möglich, daß A, B und D zwar Disparate sind, jedoch A und D oder B und D oder A, B und D kommunizieren. Das Diagramm von Leibniz stellt demnach einen Spezialfall (und zwar den einfachsten und übersichtlichsten) der Problemlösung dar, in den mehr Voraussetzungen eingehen als die im Problem angegebenen. An der Korrektheit der Lösung, für das nur ein D verlangt wird, das nicht in A enthalten ist, wie immer es sich sonst zu A und B verhalten mag, ändert dies nichts. 82 Klassenlogisch betrachtet bezeichnet "Gott" + "Seele" + "Körper" + "Punkt" + "Hitze" ganz offensichtlich die logische Summe dieser fünf Dinge. Charakteristisch für ein solches Aggregat ist es, daß - extensional betrachtet - daf logische Produkt die leere Menge ist, d.h., daß es keine Individuen gibt, die gleichzeitig in allen fünf Klassen enthalten sind. Somit sind "Gott", "Seele", "Körper", "Punkt" und "Hitze" Inkompatible (dies gilt nicht, wenn man nur "Körper" und "Hitze" allein betrachtet). Dies bedeutet jedoch nicht, daß sie nicht intensional betrachtet gemeinsame Begriffe aufweisen können, denn z.B. "Seele" und "Körper" enthalten den gemeinsamen Begriff "endliche Substanz". In A VI, 4, N. 313, S. 1631 13 (C, S. 270), spricht Leibniz unter Voraussetzung der extensionalen Interpretation von disjunktiven Aggregaten von Individuen (aggregata individuorum disjunctiva). Vgl. auch die Einleitung 5.3.3.2. 83 Das "und" (et} drückt hier die logische Summe aus, ist also als "und/oder" aufzufassen. Durch die Kursivierung des "und" (et} soll zum Ausdruck gebracht werden, daß im Falle eines Aggregats z.B. "Dreiseit" in "Dreiseit und Kreis" enthalten ist, während es nicht richtig wäre zu sagen, "Dreiseit" sei in "Dreiseit" und "Kreis" enthalten, was soviel heißen würde wie "sowohl in 'Dreiseit' als auch in 'Kreis'". 84 In Leibniz' allgemeinem Kalkül ist es für die Lösung der Proposition 22 folglich irrelevant, ob die gegebenen A, B kompatibel sind oder nicht, d.h., es spielt - extensional betrachtet - keine Rolle, daß es in diesem Fall keine Individuen gibt, die sowohl in der Klasse der Dreiseite als auch in der Klasse der Kreise und in der Klasse der Vierseite enthalten sind.

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Kommentar zu Text [X]

Im speziellen Kalkül müssen also für die Bildung von A + B die Begriffe A und B kompatibel sein, wohingegen für den allgemeinen Kalkül nicht gefordert wird, daß sie inkompatibel sein müssen, sondern nur zugelassen wird, daß sie inkompatibel sein können. 86 Bei getrennten, unbewegten Geraden (gemeint sind parallele Geraden, die sich nicht verschieben lassen} gibt es kein Drittes, das sowohl in der einen als auch in der anderen Geraden enthalten ist, d.h., es kann kein Punkt angegeben werden, den beide Geraden gemeinsam haben. Somit lassen sich diese Geraden zwar zu einem Aggregat zusammennehmen, jedoch nicht zu einem Kontinuum. 87 Zu "Kontinuum" vgl. das Scholium zu Def. 3. 4. 5. 6. Extensional betrachtet liegt ein Kontinuum dann vor, wenn sich zwei Klassen A, B so verhalten, daß etwas gefunden werden kann, das sowohl in der Klasse A als auch in der Klasse B enthalten ist, d.h., gibt es für zwei Klassen A, Bein logisches Produkt, das nicht Null ist, dann ist A $ B ein Kontinuum. 88 Bisher hat Leibniz in der Lösung gezeigt: A + C = A + B. Zur Vollständigkeit des Beweises müßte an dieser Stelle noch folgendes gezeigt werden: B + C = B + A + B = A + B (aufgrund von Axiom 2}. Es gilt also: A + C = B + C. 89 Eine ähnliche Fragestellung mit einer entsprechend ähnlichen Lösung findet sich in dem kurzen Fragment A VI, 4, N. 174, S. 1823"·" (C, S. 251}, und in A VI, 4, N. 175, S. 8243-828 8• Es stellt sich bei Proposition 24 wie auch bei den angeführten weiteren Texten die Frage, was Leibniz mit diesem Problem und seiner Lösung beabsichtigte. Rauzy (1998}, S. 436, Anm. 39, hat die berechtigte Vermutung geäußert, daß es Leibniz dabei um den Ausschluß überflüssiger Zusammensetzungen ging, also um eine Frage der Ökonomie im Bereich der "Erfindungskunst" (ars inventoria oder ars inveniendi). 90 Bei A und B geht Leibniz nicht nur von Verschiedenen, sondern von Disparaten aus, da sich sonst keine fünf Verschiedene A, B, M, N, Pergeben würden. Wenn zum Beispiel A in B enthalten wäre, dann würden B und M koinzidieren, und man würde nu~ noch vier Verschiedene A, B = M, N undPerhalten (vgl. auch das im Text folgende Scholium). 85

Kommentar zu Text [X]

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Bei dem Schritt von A + B = Mund A = Nichts zu B = M ergibt sich zunächst durch Substitution von "Nichts" für A: Nichts + B = M, woraus sich unter der Voraussetzung von Nichts + M = M ergibt, daß B =Mist. Diese Voraussetzung wird in Text [X] nicht ausdrücklich gemacht. Vgl. dazu aber z.B. Text [VII], {28). 92 Diese Möglichkeit ist jene, die zu Beginn des Scholiums angesprochen wurde. 93 Diese zweite Möglichkeit deckt sich mit der in der vorausgegangenen Lösung angegebenen. Dort war A + B = M, M in N und N in P enthalten. 94 Da nach Proposition 1 die Kommutativität gilt, brauchen nur folgende Möglichkeiten berücksichtigt zu werden, um zu überprüfen, ob A, B, C, D und E bei dieser dritten von Leibniz aufgestellten Möglichkeit tatsächlich nichts Neues, d.h. nichts von ihnen Verschiedenes, zusammensetzen können: 91

{1) A + B = C {gemäß der Voraussetzung); A + C = C {aufgrund von Proposition 14, da gemäß der Voraussetzung A + B = C ist und demnach gemäß Def. 3 gilt: A ~ C); A + D = D {aufgrund von Proposition 14, da gemäß der Voraussetzung gilt: A ~ D); A + E = E {aufgrund von Proposition 14, da gemäß der Voraussetzung gilt: A ~ D und B + D = E, also aufgrundvon Def. 3: D ~ E; und damit

ist aufgrundvon Proposition 15 A ~ E). Die folgenden Beweise {2)- {4) werden nur in Kurzform ausgeführt. {2) B + C = C {da gemäß der Voraussetzung B ~ C ist); B + D = E {gemäß der Voraussetzung); B + E = E (da gemäß der Voraussetzung gilt: B ~ E). {3) C + D = E (da durch Substitution von A + B für C gemäß der Voraussetzung gilt: C + D = A + B + D; und da A + D = D ist, gilt: C + D = B + D; und da B + D = E ist, gilt: C + D = E); C + E = E {da C + E = A + B + E und da A ~ E ist, weil A ~ D und D ~ E ist, und da gemäß der Voraussetzung B + D = E auch B ~ E ist, gilt also: (A + B) ~ E, d.h., daß C ~Eist). {4) D + E = E {da gemäß der Voraussetzung B + D =Eist, gilt:

D~E).

264

Kommentar zu Text [X]

Außerdem ist ganz allgemein vorausgesetzt, daß aufgrund von Axiom 2 auch dasselbe, wenn es zu sich selbst hinzugefügt wird, nichts Neues ergibt. A, B, C, D und E können also in der Tat nichts von ihnen Verschiedenes zusammensetzen. Diese dritte Möglichkeit greift Leibniz auch wieder im Specimen geometriae luciferae, GM Vll, S. 261, auf. Leibniz beweist allerdings nicht, daß es neben den im Text genannten drei Möglichkeiten tatsächlich keine weiteren mehr gibt. 95 Wenn A + B = C ist, dann kann mit A, Bund C nichts Neues zusammengesetzt werden. Leibniz greift an dieser Stelle nur den jeweils ersten Teil der im vorangegangenen Scholiurn aufgezeigten zweiten und dritten Lösungsmöglichkeit auf, da er hier auch nur mit drei verschiedenen Begriffen arbeitet. 96 Titius und Maevius (ebenso Cajus und Sempronius) waren Namen, die in der Sprache der Juristen beliebige voneinander verschiedene Individuen bezeichneten. Sie repräsentierten also den juristischen Gebrauch von Variablen. 97 Bis zu dieser Stelle ist dieses zweite Scholiurn, das Leibniz hier noch zu Proposition 24 anführt, nichts anderes als das, was sich bereits aus der Proposition 14 ergibt. Zudem paßt das Beispiel auch zur Proposition 22. 98 Im Diagramm entspricht P der Strecke YS. Hingegen läßt sich M + N, also D, im Diagramm nicht durch eine zusammenhängende Strecke darstellen. 99 Der Zusammenhang mit der Proposition 24 ist der folgende: Es sei A = P + M, B = P + N, D = M + N und C = A + B, dann können die Verschiedenen P, M, N, D, A, Bund C untereinander nichts Neues zusammensetzen.

VERZEICHNIS DER LOGISCHEN SYMBOLE Bei Leibniz müssen sowohl Variable als auch logische Konstanten entsprechend der jeweiligen Interpretation des Kalküls interpretiert werden. Im Sinne von Leibniz dürfte man jedoch eigentlich immer nur von Charakteren sprechen, die erst innerhalb einer bestimmten Interpretation eine bestimmte logische Bedeutung erhalten. Dies gilt vor allem für die von Leibniz selbst gebrauchten Charaktere A, B u.s.w., non A, non B u.s.w., sowie für die wie Charaktere verwendeten Ausdrücke Nihil, Ens und non·Ens, für die Konjunktion von Charakteren, also AB bzw. A ES Bund A + B, für die Wegnahme, also A 6 B bzw. A-B, und es gilt gleichermaßen für die von Leibniz gewöhnlich nicht symbolisierten Ausdrücke inest und continet. Vgl. dazu die Einleitung 5.3.2, 5.3.2.1, 5.3.2.2, 5.3.3.1, 5.3.3.2 und 5.3.3.6.

Symbole der Begriffslogik A,B

:A, ß

A;,B;

0 AB,A ESB, A+B A-B Al-B A inB

Begriffe negierte Begriffe ( = non·A, non·B) Individualbegriffe der inhaltsleere Begriff Konjunktion von Begriffen in recto

Wegnahme von Begriffen Verknüpfung von Begriffen in obliquo intensionales Enthaltensein von Begriff A in Begriff B (A inest in B, B continet A) extensionales Enthaltensein von A in B A~B A ooB,A=B Gleichheit von Begriffen A,tB Ungleichheit von Begriffen Gemeinsames (commune) von Begriffen A®B nicht-kommunizierende Begriffe NK{A,B) kommunizierende Begriffe K{A,B)

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Verzeichnis der logischen Symbole

AeB

kategorische affirmative Aussage 0 est B) kategorische negierte Aussage

A~B

AaB AeB AiB AoB

0

nonestB)

universell affirmative Aussage (U.A.) universell negative Aussage (U.N.) panikulär affirmative Aussage (P.A.) panikulär negative Aussage (P.N.)

Symbole der Aussagenlogik ~

1\

V

w F

hier: strikte Implikation Konjunktion Disjunktion Negation Äquivalenz Wahrheit Falschheit

Symbole der Klassenlogik ~

n

u 0

Enthaltensein Durchschnitt Vereinigung leere Klasse

Symbole der Modallogik

u

M N

Unmöglichkeit Möglichkeit Notwendigkeit

Symbol der Metalogik Gleichheit

LITERATURVERZEICHNIS 1. Quellentexte (mit Abkürzungen) A C E GI

GM GP NE VE

Sämtliche Schriften und Briefe. Hrsg. von der Deutschen Akademie der Wissenschaften, seit 1923. Zit. nach Reihe und Band. Opuscules et fragments inedits de Leibniz. Extraits des manuscrits de la Bibliotheque royale de Hanovre par L. Couturat, Paris 1903 (Nachdruck Bildesheim 1966). Opera philosophica quae extant Latina Gallica Germanica omnia. lnstruxit J. E. Erdmann, Berlin 1840 (Nachdruck Aalen 1959). Generales inquisitiones de Analysi Notionum et Veritatum, hrsg. von F. Schupp, PhB 338, Harnburg 21993. (Die GI sind auch in A VI, 4, S. 739-788, enthalten, wir zitieren aber nach derPhB.) Leibnizens mathematische Schriften. Hrsg. von C. I. Gerhardt, Bd. I-Vll, Berlin (später: Halle) 1849-1863 (Nachdruck Bildesheim 1962). Die philosophischen Schriften von G. W. Leibniz. Hrsg. von C. I. Gerhardt, Bd. I-VII, Berlin 1875-1890 (Nachdruck Bildesheim 1960-1961). Nouveaux essais = A VI, 6. Vorausedition zur Reihe VI, Münster 1982-1991. Fast alle Texte dieser Ausgabe sind in A VI, 4, enthalten. Die VE wird daher ausschließlich dort zitiert, wo Texte dieser Ausgabe nicht in A VI, 4, enthalten sind. 2. Übersetzungen

Fragmente zur Logik. Ausgewählt, übersetzt und erläutert von F. Schmidt, Berlin 1960. Hauptschriften zur Grundlegung der Philosophie I und II. Übers. von A. Buchenau, mit Einleitung und Anmerkungen hrsg. von E. Cassirer, (Neuausgabe) Harnburg 1996.

268

Literaturverzeichnis

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NAMENSVERZEICHNIS Adam 18 12, 165 Adam, Ch. 159 Aiton,E.J. XII,XIV,LXXXII Alsted, H. 245 Aristoteles XXXV, LXXXIV, 162, 169, 176, 181 Arnauld, A. XXXIII Ashworth, E. J. XXXI Beneveni (Benivenius), A. 6 Berlioz, D. XII, XLVIll Biermann, K. - R. XXVI Bodemann, E. VII Böhme, J. 165 Boole, G. XXXIII, XXXVII, LXXXII, LXXXIV Bourguet, L. XXVII Bucer, M. 160 Buchenau, A. XllX, 163 Burkhardt, H. Xllf., XXV Burnett, Th. 164 Carnap, R. 169 Cassirer, E. XXVII Clarke, S. 173 Costabel, P. 159 Couturat, L. Xlf., XX, XXVIf., LXVIIT, LXXII, LXXXIIIf., 165, 209f., 230, 235, 255, 258f. Dascal, M. 166 Dee, J. 18, 165 Demokrit 42 , 158 De Morgan, A. 205 Descartes, R. 159 Dodone (Dodonaeus), R. 6 Anm. I Doull, F. A. XI Drapeau Contim, F. XII, XLVill

Dürr, K. XLVII, LV, LXVIIf., LXXII, LXXVII, LXXX, 187, 231,235,240,242,244 Englebretsen, G. xxxvm Erdmann, J. E. LXXXI Euklid 1169, 11827, 163f., 249 Faak, M. XXVI Fensterbusch, C. 158 Fermat, P. de XXVI Frege, G. LXXXIIf., LXXXVf., 165 Gerhardt, C. I. XX, LXXXI, 171f. Gerland, E. 159 Gödel, K. LXXXV Golius,J. 165 Grotius, H. 102 Anm. m, 240 Hacking, I. XXIV-XXIX Heinekamp, A. LXXXIIIf., 166 Herring, H. XVI, 229,231 Huber, K. xm, 174 Huygens, Ch. XXVI Ishiguro, H. 182, 187, 229 Jungius,J. XIX, XXXI, 176 Kangro, H. XXXI, 176 Kauppi, R. XIIf., LIVf., LXIV, 182, 192,258 Kneale, M./Kneale, W. LV Knuuttila, S. 178 Koch, C. D. XXV Krüger, L. XXIX

276

Namensverzeichnis

Lenzen, W. XI, XVill, XXXIIIXXXV, XXXVIIf., XU, LV, LIX, LXVII, LXX, LXXIIf., LXXVII, LXXXII, 168, 180, 183, 185f., 192, 198,201,203,206,210, 213,221, 224f., 228,237,241, 248 Lewis, C. I. LV, LXIV, LXVill, LXXXIV Liske, M. - Th. 157 Mahnke, D. XXIX Mates, B. 173 Mittelstraß, J. XXIX Mugnai, M. XXXI, LXV, 173, 185, 187 Newton, I. 174 Papin, D. 158 Parkinson, G. H. R. XII, LV Pascal, B. XXVI Peckhaus, V. LXXXIIf. Petrus Hispanus XXXIX, 166 Pinborg, J. XXXIV Platon XXXV, 248 Poser, H. XXXill, 168f., 194 Quintilian 166 Ramus, P. 196 Ranea, A. G. 158 Raspe, R. E. LXXXI Rauzy, J.-B. 230f., 262 Rijk, L. M. de, XXXIX, 166 Rescher, N. XII, LV, 173,213 Robinet, A. XII

Rödeken, C. 166 Russell, B. LXXXIIf., LXXXV, 173 Schepers, H. XXV, 178 Schmidt, F. XVI, XLVill Schneider, M. XXillf., XXIX, XXXIf., LV, 169f., 173,224,254 Schrader,J. 161 Schröder, E. XXXill, XXXVII, LXXill, LXXXIIf. Schroeder-Heister, P. XXIX Schröter, K. 232 Schulenburg, S. von der 165 Schupp, F. XXXIXf., XLVI, LXXXillf., 206 Smith, D. E. 163 Sommers, F. LXXXV Swoyer, C. XLI, LV Tannery, P. 159 Thiel, Ch. LXXXV Venn,J. LXXX Vieta, F. XLVill Vitruv 158 Wagner, G. XXVI, 157f., 160, 168, 176 W alter Burleigh XLVI Whitehead, A. N. LXXXill, LXXXV Widmaier, R. 165 Wilhelm von Ockham XLVI Wilhelm von Osma XL, 206 Wilson, M. D. XXIX Witt, J. de XXVI

VERZEICHNIS DER LATEINISCHEN BEGRIFFE Die Groß- und Kleinschreibung vieler Begriffe ist bei Leibniz uneinheitlich. Wir verwenden jeweils die bei Leibniz vorwiegende Schreibung. abstracturn XUV, LXV, 863 , 211, 229f. absurdurn LXXII, 3020, 30231·, 345, 48 25, 62 1\ 100 Anrn. m addere 5017, 68 18"20 , 701' 70\ 7026 , 7z2 74 11 78 16 889 92 141· 964 9610, 1oo6, 10(;11 , io6 1\ io8 2,' 10811f. 110 10f. 110 1 '~- 16 112 11 236 additio i.n, L 11l,' 128 241 ~ adjectio Ln, LXII, 126 17, 128 24 , 130 1 adjicere Ln, 132 14 , 134 1\ 13651·, 136 11 aequalis UX, 68 191·, 118261·, 188, 233 aequatio 4620 aequiangulum 1427, 1429, 142 12, 144 10 144 161• 14621(. 152 13 1521(,.

vm,

20,

1s4'. 1si

'

'

aequilaterurn 11623 , 11828 , 13z7·9, 13421 ' 1361\ 14281·, 142 12, 146 19, 14622 , 146241·, 152 14, 152 161·, 152 19 aequTaollentia 22llf., 244, 32 19 , 38 8, 46 169, 189 aequivalentia 169 aequivalere 226 ,501,5422 ,56 18 ,58 11 , 58 Anrn. I, 6010, 60 13•17, 62 5, 646, 66 1\ 1125, 112 16, 201f., 208 aequivocatio 18 15 aestimatio XXIX affectio 20 1, 1225 ,167 aggregaturn LVIf., 2420 , 7z2', 148 8, 148 18 , 14821 ' 252, 261 - disjunctivurn 261 Algebra XLVIT, 822 , 1620, 169 Algebristae 1820 Alphabeturn 2022f.

°,

analysis XXII, XXIVf., XXX, XLVill, 48 16, 12223 ,254 - conceptuurn XXII - speciosa XLVill; ~ ars speciosa, speciosa generalis Analytica 1z23 angulus rectus 138 13 antecedens 36 Anrn. VI argenturn 124 14 argurnenturn 2 16, 1018 , 1025 , 165 Arithrnetica 821f., 1620 , 22 1 Arithmetici 149, 16 11f., 1820 ars 2018 - Characteristica 2014 - cornbinatoria XLVill; ~ Cornbinatoria - deciphratoria 165 - inveniendi 254,262 - Logica 158 - rationis XXVI, 1020 - speciosa XLVill; ~ Analysis speciosa, speciosa ~eneralis assenio 762, 96 1\ 98 attributum LXXI, 170 auferre 78 1\ 11223 , 114 1, 220; ~ detractio, nota auferendi, nota omissiva, removere, sublatio axiorna 708, 84\92 11 ,92 19,98 15, 1009, 124 16 , 12423 , 195

calculus XX, XXID, XXXII, XLm, xux, Lvm, 162, 1614, 1816, 1821f.• 2016,2019,22 17,2221 , 307,

278

Verzeichnis der lateinischen Begriffe

38 8, 64 3,74 16 , 1269 - de combinationibus XUX - error calculi 20 12, 159, 166 - generalis compositionum LV, LXXIXf., LXXXI, 148 141· - in arithmeticis 20 12 - Ieges calculi 22 101'' 22 191' - Logicus XX, XXIll, 22 1 magnitudinum UX, 12623 ,246 - numerorum 1481·, 12623 , 166 - Ratiocinator LXXXVf., 162 - rationalis 181 - universalis 257 capacissimum 13221 , 1342 casus 4091·, 102 17, 1041, 104 10, 1482 centrum 88121., 88'6 certitudo XXIV, 61· certurn 72 3 character XXX, 1631·, 183, 1821 , 18251. 2411. 8 10 17 16 6 18 24 i4 2~ 86 86 8s23 98 1: 16J, 166f., 169; ~ imag~, no:

z

zo21. zz3-8 zz's zz23

z4

-

ta, verbum absolute positus 2415f., 26 14 ,26 17, 26 19 , 175, 233 Astronomorum 187 Chemicorum 187 compositus 24 141·

connexio characterum 163 directus 269, 174 modificatus 24 17,26 15, 175 obliquus 24 17,269, 174f.; ~ obliquitas - rectus 24 14 ,24 17, 174 Characteristica XX, XXX, LXXXI, LXXXVf., 20 18 , 202', 74 20 , 168; ~ ars - geometrica 176,219,224,249 ciphra 16 12 circulus 78 21 888' 16 11619 1202 148 11 148 1,31· 148'!7 ' '

'

'

circumferentia 88 15 cogitabile XXII, LXXIV, LXXVI, 255 cogitatio XXX, 166, 169 - primitiva 18241· coincidens/coincidentia 68 2'3, 72 18 , 78 9' 17, 82 Anm. IV, 86 10- 12 , 86 161., 8623 , 9024 ,964, 96 101·, 96 Anm. I, 100171", 102 11·, 106 131·, 108 11', 108 11 ' 13 , 110 101·, 116\ 120 16 , 130 10 , 130 15, 13021 , 13z2, 132 141·, 13481·, 223, 231f., 256 coincidere 34 Anm. m, 36 14 , 38 7, 42 9,808, 80 151·, 80 Anm. m, 82 Anm. IV, 88 31·, 11012 , 112 14 , 114 12 , 116 16 , 138 5, 1409, 152 151·, 152 18 , 171,233 cointegrantes 122 171·, 253 collectivum 767 combinatio 1262 - rerum xxvm Combinatoria 169; ~ ars, scientia commembra 122 19, 253 commune 64 15,72 26 ,742, 74 5, 76 11 , 762".28 , 80 Anm. ill, 88 25 , 90 71·, 90 141' 1042-4 104 101· 104 17' 19 1063 1061oi. 108 1i 1108 '112 191· l14 3'9 ' ' 114 19 ,,11421 , '124 9, ,154 12 , i43, 251f. communicantia 90 141·, 104 14, 1062, 1065 108 12' 17 108231. 110 13' 16 1102il., 11417' ' ' commutare 174 comparatio 112 11 , 245 compatibilis LVll, 74 25 , 148 19 compensatio 9z?·9, 1024' 13 compensatum 1025 componens 120 19, 128 14 componere LVI, 12022 , 122 141·, 12220 , 1242, 12422 , 128 16, 12821 ' 12823 , 13610, 14024 , 14441·, 1487'9,

Verzeichnis der lateinischen Begriffe 148 16"21 , 1482\ 1506, 15014"24 , 1529, 152 15 , 15z28, 250; ~ modus specialis componendi distributive 120 101·, 122 101· compositio XU, 12222 , 12691 ; ~ character compositus aequiformis XXXI, 24 221·, 173f., 245; ~ conjunctio aequiformis, ingredi aequiforrniter disquiformis XXXI, 2423 , 264, 173f., 245; conjunctio disquifor-

nus

- uniformis 26 13 , 174; ingredi uniforrniter compositum 2420 , 120 19, 1222\ 13491" 142 18 14z29 144 1 144261· 1546,,172 ' ' ' ' comprehendere 162\ zz23, 3023 , 32 14, 138 16, 138 19

conceptus XXII, 164, 251; ~ notio, terminus - prirnitivus LXXV; ~ notio prirnitiva concretum XLIV, 211, 230 conditio 22 20, 50 19, 68 131· congruum 803, 223, 256 conjectura XXIVf. conjunctio - aequiforrnis Lll; ~ compositio aequiformis disquiformis Lll; ~ compositio disquiformis conjungere 1623 ,98 13 , 14027 consequens 36 Anm. VI consequentia XXXIX, XLII, 32 15, 469"11 4617 48 26 64 12 191 - fund.:men~alis S0 1, 196f., 199 - vis consequentiae 46 18 conspecies 251 constituens/constituentia 822, 82 171·, 88 211·, 902\ 92 11", 114 11", 114 131·,

279

166f. constituere 146, 14 13 ,2020 ,24 13 , 7z231. 8010 9211 9220!. 942 946 94 10, '1006,' 1001i, 1061j, 11~151.,' 114 18 , 12022 , 122 12, 1501\250 constitutio 1026 constitutum 82 21·, 82 5, 82 10, 82 17, 8822 ,9025 , 98 8"10, 98 18 , 114 13, 12020 ,

92\

167 constructio 18 171·, 146 12.1\ 148\ 1485, 1501, 150 11 , 15z2 contentum XUX, 72 10. 12 ,74 2,74 5, 809, 8014 , 82 1,82 10,88 21·, 96 17, 134 14 , 1382, 14041", 14427 , 167,232 continens XUX, 24 20 , 72 10. 12 , 80 10, 80141. 8210 8622 8821. 8861. 90211. 946,96 17, 98 181·.'122ti14, 1ii5, ' 134 14 , 1382, 1405, 144271", 150 17, 167,172,232 continere XLVIf., LXII, 38 1, 68 151·, 8621 88 24 102 151" 120 15 12018 120i1, 1227, 1229: 13821!26 , 1409, 148\ 188f., 251 contingens XXVI continuum 1223, 1243, 14822 , 251f., 254 contradictio LXXIV, 468 contradictorium 34 15,36 1,206 contrapositio 647 contrarium 769 controversiae 2 15, 49, 1012, 147 conversio 44 12, 48 141·, 64 7 convertere 5423 , 132 10, 1343.5, 1363, 13827 144 19 14423 ~ '15 9 14 23 coroIIarmm 86 , 96 , 98 , 118 , 1401, 14012 daturnldata XXIVf., 2 7,2 12,4 13 , 4221. 206 209 - sufficie;tia 207, 164, 167 definitio 1691", 1828 ,201, 102-148 pas-

280

Verzeichnis der lateinischen Begriffe

sim; ~valor

demonstratio XXX, 20 17, 32 16, 401, 405 40 13 40 17 4019 42 1 46 131· 62 1i, 8i'\ 1109, 12;9; _: probatio denominatio 232 designare 766-9 designatio 1129 destructio 92 8, 1024, 102 10 destruere 369, 10251·, 102 14 determinantia 171 determinatio 22 14, 171 determinatum 68 12, 68 17, 707, 217 detractio LXV, 924, 100 Anm. m, 102 81·, 102 Anm. m, 112 17, 190, 246; ~ nota omissiva, sublatio detractum 10422 , 10424 , 1149 detrahere 769, 76 16 , 82 Anm. IV, 8811 8819 9019·22 9271. 9219 9i2 944,'1ood, 102 161~, 1145, 128'13, 24~; auferre, removere Deus 2\ 14 18 , 32 81·, 38 51·, 148 7 - justus 32 8 - omnipotens 140201· - omniscius 36 13 , 14020 - sapiens 328 - spiritus sapientissimus 36 13·17 - zelotes 38 6 diameter 88 71·, 88 181· differentia 88 151·, 949 disparatum/disparata 12026 , 124 12, 124 19 , 1463, 146 16 , 14624 , 14823 , 148271", 15224 , 154 11", 250f. disputatio 2 2\ 4\ 108 disquisitio 6 1 distantia 88 15 diversum/diversa 68 4, 68 6,709, 86 13. 15, 8619,94201., 11618, 11625, 11813, 12010. 12 , 124 19, 1464, 14824 , 148 30, 1504, 1507, 1509, 15223 , 223, 232, 250 divisio 1248 ~

ecthesis/ecthetice 28 5, 176 Encyclopaedia arcana XXI Ens LXXIV, 28 6, 28 10, 34 Anm. IV u. V, 362, 38 10,44 18.23 ,46 2.10, 542, 54 7, 563, 567, 569,56 19 , 177, 188, 193,200,255 - necessarium LXXf. - non Ens LXXII, 28 Anm. II, 34 16,34 Anm. IV u. V, 4420.23 , 462"10 46 16 545 561 565 567 56 10 2Q

I

14

I

I

I

I

I

I

56 ,60 '188, 194,200,207 enuntiatio XLVI, 22 15 , 2224 , 28 13 , 306, 3025 , 34 7, 34 Anm. ill, 368, 38 7, 118 7, 11818f., 182, 189, 249; ~ propositio - affirmativa 36 Anm. VI - categorica 36 Anm. VI - falsa 28 11 ,363,36 11 ,36 Anm. VI - hypothetica 36 Anm. VI - negativa 36 Anm. VI - vera 366 error 83, 1051·, 18 16, 1821 , 2012 ; ~ calculus examen 205, 159 exemplum XLI, 163, 176 experimenta 4231·, 14 16, 208 expressio 98 Anm. II facile - inre xxvm - judicari 125 felicitas XXI, 4 141· figura 16 19, 138 13 - Aegyptiorum 18 10 - Astronomica 16241· - chemica 1624 - Chinensis 1625 , 1891· - Hieroglyphica 1625

Filum - Ariadnaeum 145 - Cogitandi 1225 , 14\ 161

Verzeichnis der lateinischen Begriffe - mechanicum XXX forma 29,2 16, 1z2, 14 1, 166 - logica LXXVm formatio 18 17 - mentalis 1303 formula XXXI, 224-7, 22 1s, 22 22 ,24 1, 246,24 8,24 10,2421 ,266, 159; ~ pars - transmutatio formularum XXXI, 22 18 fonuna 160 fundamenta 12223 , 1302 geminatio 38 4 ; ~ multiplicatio, non geminata generatio 169 - rei 163 genus 12221·, 122 11 , 1245-7, 250f. Geometra 167, 116221· Geometria 232, 234, 252, 264 gradus - essentiae xxvm - possibilitatis xxvm - probabilitatis XXIVf., XXIX, 20101·, 167 - rationum XXIX - realitatis XXIX homogenea 12224 , 170, 254 Hyperbola 167 hypothesis 3220 , 80-148 passim, 186 idea xu, 16s, 507, 5017, 163 imago 163 impositio 166 impossibilis 28 4-8, 34 17, 34 Anm. V, 3641·, 70 17-20 ,72 1, 74 1s, 100 Anm. m, 102 Anm. m, 194; --. terminus impossibilitas 4271· - hypothetica 179

281

includere 170 inclusio XXXI, 22 13 incommunicans/incommunicantia 7629 , 78 Anm. ll, 804-14 , 80 Anm. m 90 16 1o2 13 10422 10631· 106710 '1os' '1oss ios 8 ios 141· ios201· 1ios 1io111· '110 14{. 1102e-i2 ' 1149i. 114 17' 210 2io ' incomp~tibilis, 761, 148s indefinitum/indefinita 28 17, 213, 225 indeterminatum 68 12, 7071·, 72 3,213, 217 indicantia 160 - contra-indicantia 160 indicia XXV, 1024 individua XLI, U, UV, 50 7,50 13, 12z2, 261; ~ methodus per individua indivisibile 1223 inesse/inest/est in xxxn, u, Lm, LV, 68-154 passim, 204,207,209, 223, 250f., 258f. inexistens/inexistentia 72 11 , 80 1, 84 71·, ss 11·, ss 6, 92 1, 11241·, 114 14 , 1227, 122 12, 130 10, 14if3, 15017, 152 1, 167,234 inexistere 126 16 ingredi 24 1,24 18 , 86s, 1026"8 - absolute/simpliciter 246 - disquiformiter 26\ ~ compositio disquiformis - oblique 24 9; ~ character obliquus, obli~uitas - recte 24 - sub modificatione 24 7, 24 101· - uniformiter 26 7; ~ compositio uniformis ingredientia 1304 inquisitio 821 , lOs, 1224 - naturae 81sl. - veritatis 12 12

xxVm,

282

Verzeichnis der lateinischen Begriffe

instans 84 10 inventio XXI, XXX invertere 138 15 judicium 826 , 159 Jurisconsulti XXVI, 16 15 labyrinthus 144 - cogitandi 161 Iapsus 204; ~ error Iatus 7821 , 11828 , 13618 Iex 22 19, 1268; ~ lefes calcului - combinandi 126 linea LXXVIll, 746-9, 74 13 , 1224, 1282, 248, 251 linguallinguae 2013 - Adamica 18 11 - vulgares 18 14 Iitera XLIII, 1624 , 2o22, 306, 606, 68 12 ,74 16, 74241·, 762,255 - nondum usurpata 218 - nova 74 14 Logica XXIII, XXVf., 22, 88"20, 10211·, 1224 , 232; ~ ars, calculus, forma, regula - arcana 161 - in forma Mathematicae 162 - vitae 160 magnitudo XUX, Ln, 1620,36 18 , 68 19-706, 11826 , 128 1, 12891·, 128152\ 1342, 170, 188, 214, 232, 249, 256; ~ calculus magnitudinum - salva magnitudine LIX Mathematici XXVI, 2 13 ,4\426 , 822 , 2022 Mathesis universalis 169, 232 Medici 6231·, 1027 membra 1248; ~ commembra mens 83 820 1617 - agitatio m~ntis 143

autoris Dei XXVII, 25 humana 4 13 perficienda XVII prima mentis operatio 22 16 secunda mentis operatio 22 16 tranquillitas mentis 425 - vis mentis 64 mensura 12626 , 214 metallum - fulminabile 124 13 - imperfectum 1247-15 - perfeeturn 1247-15

-

- solubile/insolubile in aqua forti 12410-15 methodus 2 12,4 14, 126, 142, 145, 14 101· 3824 · ~ modus - disp~tancli 225 , 158 - infallibilitatis 159 - per individua 50 121·, 193 - per notiones 50121·, 19 3 mobile 1282 modificatio 24 7 modus 1524, 1526, 1529, 152 13 ; ~ methodus - comprehendendi 32 14 - computandi 1264 - concipiendi 164, 187 - considerandi 1305 - disputandi 10 16 - instantiam reperiendi 132 12

- specialis componendi LVII, 148 16 motus 128 10 - perpetuus 4251·, 158f. multiplicatio 26 151· multitudo unitatum 16 13 , 164 necessarium XXVI, 28 8; ~ Ens negatio LXV, 56 17, 100 Anm. ill, 102 Anm. ill, 212, 246 Nihil/Nihilum XLIV, LV, LX, LXIIf., LXVII, LXX-LXXII,

Verzeichnis der lateinischen Begriffe LXXV, 7015!., 7019, 7o23-26 , 72"'7, 764f., 7614!., 8013, 885, 92 10, 9i0-2\ 102 18 , 102 Anm. m, 112 16, 1523, 211, 213, 234 nomen 16 19, 18 12, 164 non - geminata 6011 , 177 - non Ens --+ Ens - non-non 3611f., 4i1-23 , 6012, 177 - usus toÜ non 289, 28 Anm. I, 367 nota 16 12, 22 3f., 1262, 12623 , 163, 169,255 - algebraica 18 1, 1820 arbitraria 2023 - arithmetica 18 1, 1820 - auferendi 220 - omissiva LXII; --+ detractio, sublatio - Musica 1625 - steganographica 1625-18 1 notio XLI, L, LVII, LXV, 184,22 16, 2i\ 50 11-16, 100 Anm. m, 1221f., 1224!., 1281\ 13815!., 138241·, 1483, 148 18 , 152 13 , 154\ 167, 171, 193; --+ conceptus, idea, terminus absoluta 126 10 - abstracta 230 - derivata 1826 , 166 - generalis 1228, 252 - mathematica 230 - primitiva xxn, 1827f.• 166 - resoluta LXXIV - universalis XLI, XLm, 163 notitia 26, 415, 208 novum 68 18 , 7i, 74 1or., 92 12 , 92 15, 1006, 100 11 , 12423 , 126 19, 12626f.• 1506, 150 141", 15020, 150231., 152 10, 152 15;--+ litera nova, propositio nova numerus 1620 , 1623 ,26 18 , 3616f., 50 19,

283

702"5, 92 13 , 126231·, 138 181·, 214;--+ calculus nummi 92 14, 12424-26 obliquitas obliquitatum 174; --+ character obli~uus obstaculum 66, 6, 818 , 128 omnis/natura toÜ omnis 502 operatio 22 16f., 2i\ 2i6, 171;--+ mens oppositio 44 121· ordo 126 10, 1302, 13051· - mutatio ordinis 12651· - rerum XLIX - scientiarum 20241· Organon XXX, 20 15 par 154"'8 parallelogrammum 13617, 13621 -25 , 138 10, 138 12, 13817"19, 144 12 , 144 15 , 144 171", 14620, 146241·, 1541f. parallelum 136 19 paralogismi 20 11 pars 78 20-22 , 801, 88 6"12, 1223, 122 17, 12i5, 128 12, 250 - cointegrans 252 - communis 122 18 , 1241f., 252f. - congrua 126241·, 214 - formulae 2621 - indefinita 245, 254 - orationis 164 perfectio 178 - rerum XXIX periodus 12031· peripheria 1341f. pes 126251., 1282or. pleonasmus 126 13 porisma 1109 positio 742\762\ 78 3"5, 924, 1028, 11212 positivum XLIV, 7629 , 211f.; ~ res

284

Verzeichnis der lateinischen Begriffe

positiva possibilis XXVIII, LXXIV, 28 6, 34 Anm. V, 361, 7022 , 178f.; _,. terminus possibilis possibilitas XXVIIIf.; _,. gradus possibilitatis postulatum 52 16,72 17,72 19,74 19, 78 7,94 1,94\948,98 5, 11i3, 1141, 1145, 124 18 , 1242\ 1486, 14825 praedicatum XXXIX, LV, 36 Anm. VI, 1225, 167, 169 praesumptio XXV principium XLIX, 167, 181, 198 prius-posterius 14228-144 1, 15013, 150 16!.• 259 - prius Natura 259 - prius tem~ore 259 privatio 76 4r., 78 2-6, 211 privativum XUV, 211-213; _,. res prohabile in mente XXVIII probabilitas XXVIII, 2 12, 1cl7; _,. gradus probabilitatis - maior 2010f. - maxima XXIV, 2 7 probatio XXV, 2 19, 1024 , 22 9 problema 40 10, 106 12, 11420, 132 11 , 1481f., 148 10, 14830, 1524 propositio 2 11 , 3025 , 182, 249; _,. -

enuntiatio categorica 32 1\ 444 essentialis 192 existentialis 192 falsa 28 21 ,28 Anm. ll, 3026 ,34 Anm. IV, 60 5, 181 h ypothetica 32 14!.

- identica 19 5 - nova 86 7 - particularis affirmativa 54 1, 54 10, 5412 5423 ~ Iar1s · negauva . 546, 549, 54 19 - part1cu - per se vera 227, 257

reducenda 44 16 reducta 44 16 secundi adjecti 44 51·, 192f. simplicior 4 7 tertü adjecti 192f. universalis affirmativa 52 24 , 54 9, 54 11 - universalis ne~ativa 54 4, 54 9, 54 18 - vera 865-7, 118 1 proprium 15411f., 243 prosyllogismus 2 181·, 157 punctum 74 7-9, 849, 88 13' 19, 1203, 1224, 148 7, 251 pyxis nautica 102, 159

-

qua/'buatenus LXVf., LXIX, 32 7, 34 ' 184f., 187, 240 quadrangulum 11623 Quadratrix 168 quadratum 78 21f., 80 1, 88 7r·, 1162or·, 11624 , 1362, 142 11' 15 , 144 14, 144 18 , 14626 152 14 152 18 15z21 quadril;terum' 13423 ,' 1361f., 13620 , 13622'24 1389 138 12' 14 13817!. 13820, i44 9, i44 15, 14~ 17 , 148j, 1489, 148 14 , 148 17 radius 88 15 ratio XXVllf., XLVIT, 703, 1265, 126 10, 214, 232; _,. gradus rationum ratiocinari 1621 , 1814!., 163 ratiocinatio 163, 186, 18 16!·, 1820 , 20 16,82 21 ,84 1, 163 Ratiocinator 162, 162; _,. calculus ratiocinium 74 17 recta 88 28 90 1 90 11f. 90 16 116 14!. 11625 1z83 '148 19 ' ' • 11 17 20 rectan ~!um i38 13813!. 138 144f1 144 17 15i14 15zl'7!. 15z2oi. 1542-4 • ' ' '

Verzeichnis der lateinischen Begriffe reditio 1203 reductio 44 15 ,4618 ,5622 , 585, 194 reduplicatio 36 161·, 255 regressus 74 10 regula 169 - logica 2 10 regularis 13z2°, 1341, 13422 , 1361\ 142 10 142 15 144 13 144 16 14418 14623~26, 152'4, 152'8-20 , , relatio 22 12, 22 1\ 2z23, 24 7, 26 13, 214

- ad existentiam 259

- composita 2z2 5 - relationum productio 22 171· removere LXXIT, 58 4, 76 19,9020 , 90231·, 114 12, 204; ~ auferre, detrahere, sublatio repetitio XLIX, 12424 , 1267, 126u, 255 repetitum 36 18 , 10z6, 1028 repraesentatio 18 5, 1262 requisitum xxvm, 1827, 167 res 705; ~ ordo rerum, perfectio

rerum - cognita 8221 , 84 1 constituenda 92 21 - positiva 76211·, 78 2 - privativa 78 4 - semiprivativa 76 17, 7623 , 78 1 - singularis XLIII residuum LXIV, 76u, 76 17, 82 Anm. IV, 88 131·, 9020-22 , 92 171·, 947, 1001\ 10422.24 , 1148, 126211· resolutio 4619,48 10, 104 14 rhombus 11623 sanitas 6 14, 160 Scholae XU, 8 19 scholium 886, 8825 ,92 1,92 13 , 9z23, 94 8, 1221, 1261, 132 10, 1343, 1363, 13827 , 14221 , 144 19 , 152'. 152221" Scientia 4 18 , 2025

285

- Combinatoria 232; ~ ars - generalis XIX-XXIII, XXX, L Vill, LXXIV-LXXVI, LXXXI, 20 15, 159-161, 168 sequi XLVI, 28 81·, 304, 309.11 , 30 161·, 3027 , 3z2, 325, 347 sermo - communis 80 14 - familiaris 82 161·, 98 Anm. II significare XXX, XLIII, LXII, 3i, 349 6010 68 51· 68 121· 68 15- 17 86ll· 13 S8 23 i12 8 i16 13 '11625 i2o21 1i625 i66 ' • ' ' signific;tio 22 9, 24 2 signum/signa 45, 163, 166, 16 191·, 16221", 184,20 18 ,2021 , 766"10, 112 131·, 164,255 - contrarietatis 112 17 - delineata 183 - detractionis 112 17 - scripta 1821· - sculpta 183 - "oo" 303

similis 170f., 214, 223, 254 similitudo XXXI, 22 13 singulum 82 1,98 8, 1349, 142 18 , 15041·; ~ res singularis soloecismi 18 18 , 2013 solutio 14826 , 1508, 1523, 1525, 1548 sophismata 20ll spatium 84 9 species 12z2, 122ll, 12451·, 170, 250 specimen XIII, LXXXII, 44 1,68 1, 86 1, 1121, 1161, 175f. speciosa generalis XLVIIf., 1261; ~ analysis s~eciosa sphaera 88 1 Spiralis 167 stannum 124 15 statera XXV, 1025 subalternans 12024 , 1244, 13691·, 1465

286

Verzeichnis der lateinischen Begriffe

subalternatio 4425 , 195 subjectum XXXIX, LV, LVll, 36 Anm. VI, 1225, 148 19 , 170 sublatio LXll, 112 18 , 246;--+ auferre, detractio, nota omissiva, removere substituere 22 7,22 10, 302"5, 34 13, 609, 864, 116 11 , 170, 256 - ubilibet 1165, 248 - ubique 3491·, 68 31·, 187,248 - ubivis 187,248 substitutio 2431·, 3028 ,32 20, 348, 86 10, 86 14, 116 19, 163 subsumtio 44 25 subtractio LVlll syllogismus 217, 22 241· - prima figura 46 14 - secunda figura 48 12 synthesis 12222 , 254

theorema 94 14 ,94 19 ,963,96 16 ,96 Anm. I, 98 7, 98 17, 1005, 100 10, 10016 , 102 3, 10421 , 1061, 108 10 thesaurus i 4 , 1222 totum 88 7"10, 1223, 122 17 , 12225 , 1248, 250, 254 - continuum 245, 252 - distributivum 112 10, 245 transformatio 170 transitus ab individuis ad ideas 50 7; --+ methodus per individua, methodus per notiones transpositio 60 8, 124 16 , 190, 255 triangulum 34 12 , 1167, 116 10, 11620 , 11828 , 1325, 1328, 132 18 , 134 1, 14017-19 trilaterum 34 11 "14 , 11681·, 116 11 , 1326, 1329, 132 19, 134 1, 14017"19, 148 21·, 1489"14 , 148 17

tempus 84 10, 259;--+ prius tempore terminus XLVI, 169, 306,3671",44 15, 58 Anm. I, 7021 , 209, 255; --+ conceptus, notio - abstractus 184 - certo respectu 34 101·, 187 - communis 252 - complexus 56221· - falsus 60 141·, 62 141·, 171,207 - generalis 588 - impossibilis 34 16 - incomplexus 4441·, 56221· - mere negativus LXXI - mere privativus LXXI - possibilis 36 11·, 364 - primitivus 58 51· - subintellectus 46211·

universale logicum 245 Unum LVll; --+ aggregatum, totum valor XXXI, 16 13 , 1828 , 22 71·, 30 13 , 164, 167, 169;--+ definitio variatio 1265 verbum 163 veritas XXll, XXX, 23,2 11 , i 4 , 46 , 89, 12 12, 18 10, 206, 209, 624, si0, 167; --+ propositio veralper se vera, enuntiatio vera - salva veritate XXXI, LIX, 303, 68 4, 865, 1166, 116 12 via 74 6,74 13 , 116 16, 1203-5,248,251 vinculum 24 251·, 26 1, 264, 26 7, 26 10, 174,248,251 vocabula 1624 , 18 17, 164

BEGRIFFSVERZEICHNIS DEUTSCH - LATEINISCH Durch dieses Verzeichnis soll die Möglichkeit gegeben werden, von eher geläufigen deutschen Begriffen aus der Logik auf das Verzeichnis der lateinischen Begriffe überzugehen, um die entsprechenden Stellen im Text aufzufinden. abstrakt abstractum absurd a~urdum Algebra Algebra, Analysis speciosa Analyse Analysis Arithmetik arithmetica Aussage assertio, enuntiatio, proposi·

tio

- bejahende/verneinende A. affir-

mativa/negativa

- hypothetische/kategorische A.

bypotheticalcategorica - identische A. identica

- universelle/partikuläre A. um·

versalis/particularis - wahre/falsche A. vera/falsa

Begriff conceptus, notio, terminus - Aufhebung destructio, destruere - Begriffsbestandteil constituens,

contentum, ingredientia, requi· situm

- gemeinsamer Begriffsbestandteil

commune

- leerer B. Nihil, Nihilum - mit gemeinsamem Begriffsbestandteil communicantia - ohne gemeinsamen Begriffsbestandteil disparata - unvereinbare B.e incompatibilia - verschiedene B.e diversa Begriffsbeziehung/Begriffsoperation - Ähnlichkeit similis, similitudo

- Äquipollenz aequipollentia - Äquivalenz aequivalentia, aequi·

valere

- Aggregat aggregatum - Enthalten continere, includere,

inesse

Gleichheit aequalis, idem est (nicht im Verz. der lat. Begriffe, da passim) - Hinzufügung/hinzurogen addere

additio, adjectio, adjicere

- intensionale Einschränkung

qua/quatenus - Koinzidenz coincidentia - Kommutativität transpositio - Kompensation compensatio - Kontinuum continuum - Substitution substitutio - Wegnahme/wegnehmen auferre, detractio, detrahere, removere, sublatio, subtractio - Wiederholung geminatio, reduplicatio, repetitio - Zusammensetzung compositio, conjunctio, connexio Beispiel exemplum Disputation disputatio Erforschung disquisitio Experimente experimenta Ganzes/Teil totumlpars

288

Begriffsverzeichnis deutsch - lateinisch

Gegebenheiten, empirische data - ausreichende G. data sufficientia Gegensatz oppositio - kontradiktorischer G. contradic·

torium

- konträrer G. contrarium geometrische Begriffe - Durchmesser diameter - Gerade recta - Gleichseitiges aequilaterum - Gleichwinkliges aequiangulum - Hyperbel byperbola - Kreis circulus - Kugel sphaera - Linie linea - Mittelpunkt centrum - Parallelogramm parallelogram·

mum

- Peripherie peripheria - Punkt punctum - Quadrat quadratum - Rechteck rectangulum - Regelmäßiges regularis - Strecke via - Umfang circumferentia - Vierseit quadrilaterum - Winkel, rechter angulus rectus Gewißheit certitudo

- arithmetisches K. n. arithmetica - K. der Musik nota musica - K. des Wegnehmens n. omissiva Kombination combinatio konkret concretum Konstruktion constructio Kunst ars - Bezeichnungskunst ars characte· -

ristica, Characteristica Entzifferungskunst ars deciphra· toria Erfindungskunst ars inveniendi kombinatorische K. ars combina· toria logische K. ars logica

Logik logica - Form, logische forma logica - intensionale/extensionale L. me-

thodus per notioneslper individua - Kalkül calculus logicus - mathematische L. in forma Mathematicae - Regel der L. regula logica Methode methodus - Disputationsmethode methodus

disputandi

compositionum

- unfehlbare M. m. infallibilitatis Modalitäten - Möglichkeit Ens, possibilitas Notwendigkeit Ens necessarium,

cis

- Unmöglichkeit impossibilitas,

Kalkül calculus - allgemeiner K. calculus generalis arithmetischer K. c. in arithmeti· - der Größen c. magnitudinum - der Zahlen c. numerorum - Fehler im K. error, Iapsus - Gesetze des K. Leges calculi - logischer K. c. logicus Kennzeichen nota - algebraisches K. n. algebraica

necessarium nonEns

Negation negatio, non Ordnungsbegriffe - Argument argumentum - Axiom axioma

Begriffsverzeichnis deutsch - lateinisch -

Bedingung conditio Beweis demonstratio, pro,?atio Bezeichnung designatio, 11ota Definition definitio, valor Folgerung consequentia Folgesatz porisma Formel formula Hypothese bypothesis Korollar corollarium Theorem theorema Variable Iitera

Relation compositiolconjunctio dis-

quiformis, ingredi disquiformiter, ingredi oblique, relatio

Sprache lingua - Umgangssprache sermo mmmu-

nislfamiliaris

289

Syllogismus ryllogismus - Kontraposition contrapositio - Subalternation subalternatio, sub-

sumtio

- Umkehrung conversio Vernunftüberlegung ratiocinatio Vorstellung imago, repraesentatio Wahrheit veritas Wahrscheinlichkeit probabilitas - Grade der W. gradus probabilita-

tis

- größere W. maior probabilitas - größte W. maxima probabilitas Zahl numerus Zeichen character,figura, nota,

signum

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