Der Eisenbau: Ein Handbuch für den Brückenbauer und den Eisenkonstrukteur 9783486740936, 9783486740929

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Oldenbourgs

Tn'lmisclir HaniibliotM Band

IV:

Der Bisenbau Kin

Hilfsbuch und

für

den

Brückenbauer

Kisenkonstrukteur voll

Viancllo-Stumpt'

.München

und

Berlin

Druck iiiid Vorlag von Ii. ()l(lt>iil>ourl)il(llMl!ii'll

^München und Berlin Druck und Verlag von 'R. Oldenlxmrjr 1012

Vorwort zur ersten Auflage. Dom Eisenkonstrukteur stehen heutzutage bei seiner Arbeit vorzügliche Werke als Hilfsmittel zur Verfügung; die Errungenschaften der modernen Theorie und zahlreiche veröffentlichte Beispiele setzen ihn in den S t a n d , nach eingehendem Studium manche schwierige Aufgabe zu lösen. Beim Entwerfen muß m a n aber alles so rasch wie möglich erledigen; man muß ein übersichtliches Verfahren für die Behandlung der Aufgabe, einfache Formeln und praktische Winke zur Feststellung der Einzelheiten zur Hand haben. Ein nach solchen Gesichtspunkten bearbeitetes Buch, welches das in sich vereinigt, was nur in einer Reihe einschlägiger Werke zu finden ist, fehlte jedoch bisher in der Literatur. Ich habe nun versucht, diese Lücke auszufüllen. Gestützt auf langjährige Erfahrung und wissenschaftliche Tätigkeit auf den hier in Frage kommenden Gebieten, habe ich es unternommen, ein möglichst vollständiges, dabei kurzgefaßtes Werk zu schaffen. Ich mache gewiß keinen Anspruch darauf, alle Fragen beantwortet zu haben, die an den Konstrukteur herantreten; mit Rücksicht auf den Umfang des Buches war es von selbst geboten, das fortzulassen, worüber sich der Techniker nach einiger Überlegung selbst ein Urteil bilden kann. Bestimmte Kenntnisse mußte ich bei dem Leser voraussetzen, und, was nicht weniger wichtig ist, auch einen gewissen praktischen Sinn, der ihn in die Lage setzt, die Angaben des Buches dem jeweiligen Fall anzupassen. Wenn ich trotzdem einige elementare Begriffe und grundlegende Sätze mit aufgenommen habe, so glaube ich, mich dadurch nicht in

VI

Vorwort.

einen Gegensatz zu dein oben Gesagten gebracht zu h a b e n ; man weiß j a aus eigener Erfahrung, wie oft auch der tüchtigste Ingenieur in Verlegenheit gerät, wenn er auf die Prinzipien der Theorie zurückgreifen muß, uni über neue Fäll« ins klare zu k o m m e n . Das Entwerfen räumlicher Fachwerke bietet hier ein typisches Beispie). Das B u c h ist nicht für den Unterricht, sondern für den praktischen Gebrauch b e s t i m m t ; demgemäß enthält es von der Theorie nur so viel, als zum Verständnis der allgemeinen Verfahren und zur Verwendung in neuen Fällen notwendig ist. E s sind aber meist Winke mit angegeben, wie die Richtigkeit der verschiedenen Formeln oder Konstruktionen streng nachzuweisen ist. Von der höheren M a t h e m a t i k ist grundsätzlich kein Gebrauch gemacht worden. — E i n e verhältnismäßig große Anzahl numerischer Beispiele wird zum Verständnis der schwierigeren Fälle wesentlich beitragen. Die Kapitel über .Mauerwerk und Erddruck gehören eigentlich nicht zum Eisenbau, trotzdem sind sie für den Konstrukteur nicht zu entbehren, wenn er, wie gewöhnlich, E n t würfe ganzer Bauwerke m i t ihren F u n d a m e n t e n und sogar mit angeschlossenen gemauerten Bögen ausarbeiten muß. Hauptsächlich in den drei letzten Abschnitten des Buches, jedoch auch in den vorhergehenden, wird der Leser manche Angaben finden, die ihm beim Entwerfen willkommen sein werden, und die schwer oder gar n i c h t anderswo zu finden sind. Ich möchte ihm aber empfehlen, sich m i t dem ganzen B u c h v e r t r a u t zu machen; das nicht große Opfer an Zeit wird sich reichlich lohnen, auch wird er vielleicht dadurch auf neue Gedanken geführt werden, die ihm in der Ausübung seines Berufes von Nutzen sein können. Von einer vollständigen Angabe der Quellen habe ich abgesehen. Ich konnte dies um so eher, als der I n h a l t des Werkes teils aus den Kenntnissen zusammengesetzt ist, die sich ein jeder in seinem Bildungsgang erwirbt, teils aus meinen eigenen Erfahrungen und Untersuchungen geschöpft ist. Zum Schluß möchte ich mir noch eine B e m e r k u n g gestatten. Der Leser wird nicht selten geneigt sein, das eine oder andere als überflüssig zu verurteilen; er wolle sich dabei vergegen-

Vorwort.

VII

wärtigeu, daß das, was dem einen nutzlos erscheint, einein anderen willkommen sein kann, und nur deshalb in dem Buch Aufnahme gefunden hat, weil es sich in manchem praktischen Falle als nützlich erwies. Indem ich der Hoffnung Ausdruck gebe, den Kollegen ein wirklich brauchbares Hilfsmittel zu bieten, bitte ich um deren wohlwollende Beurteilung meiner Arbeit. Alle Winke zur Vervollständigung und Verbesserung des Buches werde ich mit Dank entgegennehmen und bei event. späteren Auflagen gern berücksichtigen; jede sachliche Kritik wird von mir willkommen geheißen werden. Es sei mir gestattet, an dieser Stelle Herrn Rudolf S c h u l z f ü r seine Hilfeleistung die verdiente Anerkennung auszusprechen. Ii e r 1 i n , im November liX)i.

Luigi Vianello.

Vorwort zur zweiten Auflage. Die ü l d o u b o u r g sehe Verlagsbuchhandlung trat vor zwei Jahren mit dem ehrenvollen Auftrag an mich heran, das vergriffene Werk des leider so früh verstorbenen Ingenieurs L. V i a n e 11 o neu zu bearbeiten. Ich habe mich bemüht, des ersten Verfassers Ziel, ein brauchbares Hilfsbuch für den Studierenden und den im praktischen Eisenbau stehenden Ingenieur zu schaffen, nicht aus den Augen zu verlieren, wobei mich meine Erfahrung als ausführender Ingenieur und langjähriger erster Assistent der Lehrkanzel für »Statik der Baukonstruktionen und Eiserne Brücken« an der Technischen Hochschule zu Berlin unterstützte. Die vorliegende zweite Auflage ist an Text und Figuren gegen die erste bedeutend vermehrt worden. Die früheren Abschnitte: »Mathematik« und »Mechanik« sind fortgefallen, da sie in jedem Kalender und Taschenbuch enthalten sind; aus demselben Grund wurde der Abschnitt: »Tabellen« bis auf die Angabe der Wurzolmaße ausgeschaltet. De.' von Herrn S c h i m p f f zusammengestellte Anhang konnte als selbständiges Heft abgetrennt werden. Dadurch bot sich ohne Überschreitung der bisherigen Bogenzahl Raum zur Erweiterung des Stoffes, der aus den besten Quellen geschöpft ist. Den Gebrauch der höheren Analysis konnte ich im Gegensatz zum ersten Verfasser nicht als entbehrlich ansehen. Ich empfehle sogar dem Ingenieur, der seine Arbeit nicht auf kleinere, häufig wiederkehrende Aufgaben beschränken will, sich schon während der Studienzeit ein möglichst weitgehendes Verständnis in der mathematischen Behandlung technischer

X

Vorwort.

A u f g a b e n a n z u e i g n e n . B e s o n d e r s sei d a r a u f a u f m e r k s a m g e m a c h t , d a ß d a s N a c h a r b e i t e n v o n B e i s p i e l e n n i c h t a u s r e i c h t , in Berechnung und Konstruktion der Eisenbauten einzudringen; die letzten J a h r e h a b e n d u r c h m a n c h e s schwere B a u u n g l ü c k zur Genüge gewarnt vor dilettantenhaftem Gebrauch von F o r m e l n u n d M e t h o d e n . E s k o m m t in a l l e n n i c h t a l l t ä g l i c h e n F ä l l e n d a r a u f a n , die B e s o n d e r h e i t d e r A u f g a b e zu e r k e n n e n ; die Fähigkeit dazu ist aber das Ergebnis a n s t r e n g e n d e r Bem ü h u n g u m die B e h e r r s c h u n g v o n T h e o r i e u n d A u s f ü h r u n g . Eine Reihe ausgezeichneter Lehrbücher und Zeitschriften erleichtern das Studium. F r e m d w o r t s sind, soweit ihnen unsere heimische S p r a c h e n i c h t s c h o n s e i t l a n g e m G a s t r e c h t w i d e r f a h r e n ließ, v e r m i e d e n worden. bar

F ü r B e r i c h t i g u n g e n u n d W ü n s c h « ' w e r d e ich s t e t s sein.

dank-

Der V e r l a g s b u c h h a n d l u n g spreche ich f ü r d a s bereitwillige E n t g e g e n k o m m e n u n d die v o r t r e f f l i c h e A u s s t a t t u n g des Buches meinen verbindlichsten D a n k ans. B e r 1 i n - W i 1 111 e r s d o r f , M i c h a e l i

1912.

Carl Stumpf.

M i t t e i l u n g e n , d i e sioii auf d e n I n h a l t d o s j i u e h e s b e z i e h e n , belielie m a n d u r c h d i e g c f l . V e r m i t t l u n g des V e r l e g e r s d e m V e r f a s s e r z u p e h e n zu l a s s e n .

Inhaltsverzeichnis. I. ABSCHNITT. EINLEITUNG ZUR STATIK.

Seite

1. G r u n d l a g e n 2. F e s t i g k e i t s l e h r e I. Allgemeines II. III. IV. V. VI. YII.

Zugfestigkeit Druckfestigkeit Schubfestigkeit Drehungsfestigkeit Biegungsfestigkeil . . . Zusammengesetzte Beanspruchung a) B i e g u n g u n d D r u c k b z w . Z u g I)) B e a n s p r u c h u n g d u r c h N o r m a l spannungen

1 11 11 15 16 16 17 19 25 25 und

Knickfestigkeit a) E u 1 e r s e h e F o r m e l b) F o r m e l v o n S c h w a r z - K a n k i n e c) F o r m e l v o n T e t in a j e r d) V e r f a h r e n v o n M ü 11 e r - B r c s 1 a u e) P r a k t i s c h e A n g a b e n f) K n i c k s i c h e r h e i t e i n e s auf Biegung spruchten Stabes Grundsätze der geometrischen Bewegungslehre i. D i e E i n f l u ß l i n i e 5. P r i n z i p d e r A r b e i t

Schub31

VIII.

.

.

.

. . .

31 31 36 36 37 38

bean.

. .

39 41 44 46

II. ABSCHNITT. S T A T I S C H BESTIMMTE V O L LW A N D I G E TRÄGER. 6. D e r e i n f a c h e B a l k e n a) R e c h n e r i s c h e B e h a n d l u n g b) Z e i c h n e r i s c h e B e h a n d l u n g

48 48 51

XII

Inhaltsverzeichnis.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

1. E i n z e l n s t e n 2. Stetige Belastung 3. Teilweise gleichmäßige Belastung 4. Bewegliche Lasten c) Berechnung der Auflagerkräfte, Q u e r k r ä f t e und Momente infolge von Eisenbahnzügen mit Hilfe von Tabellen Einflußlinien für den vollwandigen einfachen Balken H ä u f i g vorkommende Belastungslalle Der vollwandige Träger mit parallelen Ourtungen . . a) Allgemeines b) Querschnittbestimmung c) Nietteilung d) Gewicht der vollwandigen Träger e) Durchbiegung f) Knicksicherheit des Druckgurtes von Parallel trägem Der vollwandige Träger mit nicht parallelen Gurlungen Der volhvandige Gerbersehe Träger Der stabförmige Dreigclenkbogen

.Scile 51 53 53 54

57 58 62 70 70 71 74 76 76 77 78 79 86

III. ABSCHNITT. STATISCH BESTIMMTE EBENE FACHWERKE. 13. Die Kennzeichen s l a ü s c h b e s t i m m t e r einlacher Träger . 14. E r m i t t l u n g der S l a b k r ä f t e I. Rechnerisches Verfahren II. Das C u l m a n a s c h e Verfahren I I I . C r c in u n a s c h e Kräftepläne 15. Ungünstigste Belastungen für einfache Fachwerkträger. Lasischeiden , . . . . 16. Zusammenstellung von Formeln für die Berechnung einfacher Fachwerkbalken 17. Einflußlinien für den einfachen Gitterträger 18. Der Parallel träger 19. Der Parabellräger 20. Der Ilalbparabellräger 21. Der Schwedlerträger 22. Der Dreieckträger 23. Der Gerbersehe Fachwerkträger '24. Der Fach werkbogen mit drei Gelenken 25. A u s w e r t u n g dreieekförmiger Einflußl'lächen

101 103 103 107 109 115 117 121 134 137 141 141 144 150 158 164

Inhaltsverzeichnis.

XIII Seite

26. Der Träger mil halben Diagonalen 27. Mehrfache Netzwerke I. Weitmaschige Formen I I . Engmaschige Formen I I I . Statisch unbestimmte Formen 28. Zwischenformen 29. Fachwerke mit unvollständiger Gliederung a) Formen ohne Gurtungen b) Formen ohne Diagonalen

166 170 171 179 183 183 184 184 186

IV. A B S C H N I T T .

RÄUMLICHE FACH W E R KB. 31. 32. 33. 34.

35. 36. 37. 38.

Allgemeines Ermittlung der Stabkräfte Die S c h w e d l e r sehe Kuppel Die Z i m m e r m a n n s c h e Kuppel Kührungsgerüste für Gasbehälter a) Radialführung b) Tangentialführung Gerüstpfeiler Der dreikantige Trager Der dreiwandige Träger Der vierkantige Träger

190 193 196 206 207 208 210 211 212 215 216

V. A B S C H N I T T .

STATISCH UNBESTIMMTE SYSTEME. 39. Allgemeines

219

40. Der Satz von der Gegenseitigkeit der Formänderungen 41. Allgemeine Behandlung statisch unbestimmter Systeme 42. Die Elastizitätsgleichungen für das statisch unbestimmte Fachwerk 43. Formänderung slabförmiger Körper 44. Formänderung ebener Fachwerke I. W i l l i o t s c h e Verschiebungspläne II. Das Stabzugverfahren von M ii 1 1 e r - 1! r e s 1 a u I I I . Rechnerische Ermittlung der Formänderung . . a) Bei ganz einfachen Formen b) Methode der Drehungen c) Methode der elastischen Gewichte d) Methoden der virtuellen Arbeit

220 223 228 235 245 245 251 256 256 257 260 275

XIV

I nlialtsverzeiehni.s. Seite-

45. Die Darstellung der F o r m ä n d e r u n g biegungsfosler 8 (Abzüge 46. Die C a s t i g 1 i a n o sehen Salze von der Forniänderungsarbeit 47. Übergang vom gegliederten zum volhvandigen Tragwerk 48. Einilußlinien statisch u n b e s t i m m t e r Trägerl'ormen . . 49. F o r m ä n d e r u n g slabi'örmiger Körper in einfachen Belastungsfällen 50. Eingespannte Träger 51. Portale I. Das zweigelenkigc Porlal II. Das Doppelportal I I I . Das Portal mit Diagonalen und biegungsfeslen Ständern IV. Schlanke Zweigelenkportale V. Das Bogenportal VI. Das eingespannte Porlal V I I . Das geschlossene Brückenporlal V I I I . Das Brückenportal mit Facliwerkriegoln • • 52. Armierte Balken I. Der einfach armierte Balken II. Der doppelt armierte Balken I I I . Der dreifach armierte Balken 53. Träger mit Kreuzdiagonalen 54. Der durchgehende Träger I. Der Träger auf drei Stützen a) Der vollwandige Träger b) Der Fachwerkträger c) Einige Ergebnisse der Theorie d) Zweckmäßigste Höhenlage der Stützen . . . II. Der Träger auf vier Stützen a) Der vollwandige Träger b) Der Fachwerkträger c) Einige Ergebnisse der Theorie d) Zweckmäßigste Höhenlage der Stützen . . I I I . Der Träger auf beliebig vielen Stützen a) Der vollwandige Träger m i t unveränderlichem Trägheitsmoment h) Der vollwandige Träger mit veränderlichem Trägheitsmoment c) Der Fachwerkträger

277 288 286 291 295 :i01 304 304 308 309 311 313 314 318 319 319 319 321 324 326 332 333 333 340 343 346 347 347 351 352 353 354 354 385 388

Inhaltsverzeichnis.

X\ Seil

55.

56.

57.

58. 59.

ili Der Träger auf elastischen Stützen . . . . ej Zweckmäßigste Höhenlage der Stützen . . . f) Durchbiegung der durchgehenden Träger IV. Der Träger mit unendlich vielen gleichen Öffnungen Der Zweigelenkbogen I. Der slabförmige Bogen II. Der Fachwerkbogen a) Parallelbügen b) Siehelbogen c) Zwickelbogen I I I . Auslegerbogen IV. Der Bogen mit überhöhtem Zugband V. Praktische Angaben Der Bogenträger ohne Gelenke I. Stabförmiger Bogen II. Allgemeine Behandlung nach dem Verfahren von M ü 11 e r - B r e s 1 a u I I I . Praktische Angaben Hallendachbinder a) Kleine Dächer b) Große Hallen Giebelwände Zusammengesetzte Formen

388 390 39i> 392 39& 397 408 412 41 i 41' 421 42: 4242f 426 43'„ 441 44; 44j 446 449 451

VI. A B S C H N I T T .

MAUERWERK. 60. 61. 62. 63. 64. 65.

Biegungsfestigkeit unter Ausschluß von Zugspannungen Berechnung von F u n d a m e n t e n Tonnengewölbe Widerlager und Pfeiler E r m i t t l u n g des Erddruckes Berechnung von Stützmauern

4(11 466 46" 473 476 481

VII. A B S C H N I T T .

TECHNISCHE A U F G A B E N . 66. Knicksicherheil offener Brücken 67. Vergitterte Stäbe a) Der einfache Gitterstal) b) Der R a h m e n s t a b

485 487 487 493

XVI

Inhaltsverzeichnis.

68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76.

Stetig gekrümmte Gurtungen Scharf gekrümmte Körper Plattenförmige Körper Unsymmetrische Querschnitte Exzentrische Anschlüsse Kröpfungen und Futterungen Nietverbindungen Über Nietabzüge Deckung der Stöße 1. Stöße des Stehblechs 2. Stöße der Winkeleisen 3. Stöße der Kopfplatten Bildung von Ecken und Säulenfüßen Verankerungen Gelenke a) Das Federblattgelenk b) Lagergelenke c) Bolzengelenke d) Schwere Gelenke e) Gelenke für Gewölbe Lager a) Allgemeines b) Das Bolzenkipplager c) Das Rollen- und Stelzenlager d) Das Tangentialkipplager e) Lager für Bogenbrücken f) Das Gleitlager g) Das Kugellager h) Doppeltbeweglich- Lngi-r i) Winke f ü r den Entwurf Berechnung von Durchbiegungen Überhöhung der Brücken Betonkonstruktionen Eisenbeton

Seite

77. 78. 79.

SO.

«1. 82. 83. 84.

VIII. ABSCHNITT. PRAKTISCHE ANGABEN. 85. Zulässige Inanspruchnahme des Baustoffes a) Eisenbahnbrücken b) Straßenbrücken d) Hochbauten

497 498 500 503 505 507 508 523 524 524 526 527 529 533 535 537 539 540 541 542 543 543 545 550 552 553 554 555 555 556 556 559 560 562

567 570 572 573

Inhaltsverzeichnis.

XVII Seite

86. Eisenbahnbrücken I. Belastungsangaben 1. Brücken für Hauptbahnen 2. Brücken für Nebenbahnen 3. Zahlentafeln A. 17-Tonnen-Zug B . 20-Tonnen-Zug 4. Brücken für die Schutzgebietbahnen I I . Parabelförmige Einflußlinien I I I . Eigengewicht IV. Die Fahrbahn 1. Leichte Bahn 2. Schwere Bahn V. Die Bauhöhe 87. Straßenbrücken I. Belastungsangaben I I . Eigengewicht I I I . Die Fahrbahn IV. Die Bauhöhe

. . .

576 576 576 579 579 580 584 587 588 594 599 599 601 606 610 610 612 615 618

88. Die Fußwege der Brücken 89. Wahl der Brückenform I. Träger mit einer Öffnung 1. Vollwandige Träger 2. Fachwerkträger I I . Träger über mehrere Öffnungen I I I . Bogenträger IV. Sonstige Formen

619 620 620 620 621 624 625 626

90. 91. 92. 93. 94.

627 632 634 638 639 639 640 643 644 647 648 649 650 650

Wahl der Dachform Linienführung der Gurtungen Windverbände Allgemeine Regeln für statische Berechnungen Dimensionierung 1. Allgemeine Regeln 2. Übliche Querschnitte 3. Wahl der Querschnittform 95. Gewichtsberechnungen 96. Verstärkung eiserner Brücken 1. Vergrößerung der Querschnitte 2. Änderung der Trägerform 3. Vermehrung der Hauptträger 97. Gewölbte Wellblechdächer

. . . .

XVIII

Inhaltsverzeichnis. Seite

98. Treppen 99. Montagegerüste 100. Zum Entwurf einer Eisenbahnbrücke 1. Die Fahrbahn 2. Die Lage der Hauptträger 3. Das Bahngerippe 4. Lage der einen Gurtung in bezug auf SO 5. Hauptträger 101. Zum Entwurf einer Straßenbrücke 102. Zum Entwurf eines Daches 103. Zum Entwurf eines Werkstattgebäudes

651 653 655 655 656 657 659 659 663 666 670

Druckfehlerverzeichnis

687

I. ABSCHNITT.

EINLEITUNG ZUR STÄTIK. 1. Grundlagen. Eine beliebige Anzahl von Kräften im R a u m befindet sich im Gleichgewicht, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. D i e S u m m e n d e r P r o j e k t i o n e n aller K r ä f t e auf d r e i b e l i e b i g e n i c h t in einer Ebene liegende Achsen müssen gleich Null sein. 2. D i e S u m m e n d e r M o m e n t e a l l e r K r ä f t e in b e z u g auf d r e i b e l i e b i g e n i c h t in e i n e r Ebene liegende Achsen müssen gleich Null sein. Das gibt im 1\ a u m 6 Gleicligewichtsbedingungen. In der E b e n e genügen deren 3: Die Projektionsbedingungen ZX = 0 und 2 T = 0 für die Achsen A" und Y und die Momentengleichung JLM/ = 0 in bozug auf einen beliebigen Punkt. Der Angriffspunkt einer K r a f t darf in ihrer Richtung willkürlich verlegt werden. Ein Kräftepaar kann auf jeden beliebigen P u n k t einer Ebene bezogen werden und hat für jeden das gleiche Moment. Zur Zusammensetzung von Kräften in der Ebene kann man ein rechnerisches Verfahren (aus den Bedingungen für das Gleichgewicht abgeleitet) anwenden oder eine der beiden folgenden zeichnerischen Methoden: Vianello-Stnmpf,

Der E i s e n b a u .

1

2

I. Abschnitt.

Einleitung zur Statik.

1. Man läßt zwei Kräfte in dem Schnittpunkt ihrer Richtungen angreifen (Fig. 1); die Mittelkraft R ist die Diagonale des aus I\ und P2 gebildeten Parallelogrammes. Die Kraft R wird mit der dritten Kraft P3 nach gleichem Verfahren zusammengesetzt usw. Diese Methode ist nur für eine mäßige Anzahl von Kräften mit Vorteil anwendbar; sind die Kräfte parallel, so muß man durch Umwege zum Fig. 1. Ziel kommen, z. B. indem man eine passende Anzahl von gleichen und entgegengesetzten Kräften hinzufügt. 2. Die einzelnen Kräfte werden zum Kräftepolygon aneinandergereiht (Fig. 2); die Schlußlinie R des Kräftezuges gibt die Mittelkraft nach Große und Richtung an. Um IL»*

F i g . 2.

ihre Lage zu finden, projiziert man sämtliche Ecken aus einem beliebigen Pol 0 und konstruiert das sog. Seileck oder Seilpolygon 1, 2, 3, dessen Seiten parallel zu den Projektionsstrahlen sind. Zwei Strahlen, die irgendeine Kraft projizieren, entsprechen zwei Seiten des Seilpolygons, die sich in einem Punkte der betreffenden Kraftrichtung schneiden; der Schnittpunkt der ersten und letzten Seite liegt in der Richtung der Resultanten R, deren Lage hiernach bestimmt werden kann. Der Ausgangspunkt 1 darf willkürlich gewählt werden. F i g . 3.

Will m a n eine gegebene Kraft P auf einen P u n k t A wirken lassen, so denkt man sich zwei solcher Kräfte, die einander entgegengesetzt gerichtet

1.

3

Grundlagen.

sind, in .4 angreifend (Fig. 3); eine von ihnen vereinigt man mit dem gegebenen P zu einem Kräftepaar vom Moment P • /', die andere bleibt frei, greift in A an und hat gleiche Größe, Richtung und dasselbe Vorzeichen wie P. Man kann daher eine Kraft P um eine Strecke r parallel verschieben, indem man ein Kräftepaar vom Moment P • r hinzufügt. Anderseits kann ein beliebiges Kräftepaar vom Moment Q • s mit einer in angreifenden Einzelkraft P zusammengesetzt werden. Man verwandelt das Kräftepaar vom Moment Q • s in ein solches, dessen Hebelarm r — ^ • ,v ist, findet, daß 2 Kräfte P in A sich aufheben und erhält als Resultante die um r parallel verschobene Kraft P.

F i g . 4.

Es läßt sich also jedes System von Kräften, in der Ebene wie im Räume, auf eine in einem gegebenen Punkt angreifende K r a f t und auf ein K r ä f t e p a a r zurückführen. Das Kräftepaar ist durch sein M o m e n t (Größe einer der Kräfte X Abstand der beiden voneinander) und seine Ebene (oder eine dazu rechtwinklige Gerade, die sog. A c h s e des Kräftepaares) gegeben. Jedes Kräftepaar darf in derselben oder einer parallelen Ebene durch ein anderes von gleichem Moment ersetzt werden. Die Zerlegung einer Kraft R -in 2 der Lage nach gegebene parallele Seitenkräfte A und B (Fig. 4) folgt einfach aus 1*

4

I. Abschnitt.

Einleitung zur Statik.

der Zusammensetzung der Kräfte A und B zur Mittelkraft R. Man zeichnet parallel zu den Seiten 1, 2 des beliebigen Seilecks im Krafteck die Polstrahlen 1, 2, deren Schnittpunkt 0 den Pol bestimmt, zieht durch 0 parallel zur S c h 1 u ß 1 i n i e s und erhält A und B. Zur Zerlegung von R nach 3 sich nicht in einem Punkte schneidenden Richtungen .4, B, C dient die Culmannsche Konstruktion (Fig. 5): Man bringt je 2 Kruftrichtungen,

C

Fig. 5.

beispielsweise R mit A und B mit C\ zum Schnitt, führt die Hilfsrichtung L ein und zerlegt dann R nach A und L, L nach B und C. Die Zerlegung nach mehr als 3 nicht durch einen Punkt gehenden Richtungen ist unbestimmt. Bei der Untersuchung der Wirkung äußerer Kräfte auf einen beliebigen Körper muß man zuerst die Auflagerwiderstände bestimmen, die im Zusammenhang mit den angreifenden Kräften ein im Gleichgewicht befindliches System bilden. Durch jeden zu untersuchenden Querschnitt denkt man sich dann einen Schnitt so gelegt, daß der Körper in zwei Teile getrennt wird; der eine Teil wird mit allen daran angreifenden Kräften entfernt. Die übrigen Kräfte setzt man zu einer im Schwerpunkt des Querschnittes angreifenden Einzelkraft und einem Kräftepaar zusammen. Die Einzelkraft wird nun in eine senkrecht und eine parallel zum Querschnitt liegende Komponente zerlegt; die erste ist die Normalkraft oder Längskraft N, die zweite die Querkraft oder Schubkraft Q.

1.

Das weshalb ist) wird in dem andere, schnitts moment.

Grundlagen.

5

Kräftepaar (dessen M o m e n t maßgebend ist, einfach nur die Benennung Moment gebräuchlich in zwei Momente zerlegt; das eine, dessen Achse Querschnitt liegt, heißt das Biegungsmoment, das dessen Achse rechtwinklig zur Ebene des Querliegt, heißt das Torsionsmoment oder das Dreh-

Eine Kraft, die links vom Schnitt nach oben wirkt (Fig. ö), erzeugt eine positive Querkraft; dementsprechend rechts vom Schnitt: eine nach unten wirkende. Kräfte, die am linken Teil nach unten, am rechten nach oben gerichtet sind, geben negative Beiträge zur Querkraft. Die Durchbiegung des einfachen Balkens bezeichnet m a n allgemein nach unten als positiv (Fig. 6); daher ist ein rechtsdrehendes Biegungsmoment am linken Trägerteil, ein linksdrehendes am rechten Teil positiv einzuführen. Betrachtet man alle auf einer Seite des liegenden Kräfte, so erhält m a n : auf

Querschnitts

Die L ä n g s k r a f t , indem man alle K r ä f t e ein Lot zum Q u e r s c h n i t t projiziert;

d i e Q u e r k r a f t , indem man alle K r ä f t e auf die Eben«; des Q u e r s c h n i t t s p r o j i z i e r t und sie d a n n z u s a m m e n s t e l l t ; das B Momente rechtwin liegende nachträg das D m e n t e in

i e g u n g s m o m e n t , indem man alle in b e z u g a u f z w e i ( m e i s t e n s s i c h k l i g s c h n e i d e n d e ) im Q u e r s c h n i t t Achsen algebraisch addiert und lich zusammenstellt; r e h m o m e n t , i n d e m man alle Mob e z u g auf eine zum Querschnitt

6

I. Abschnitt.

Einleitung zur

Statik.

rechtwinklig stehende Achse algebraisch addiert. F ü r ein Gitterwerk tritt an Stelle des Schwerpunktes eines Querschnittes ein Knotenpunkt, den man sich durch einen geeigneten Schnitt von dem Rest des Systems getrennt denkt. Die Aufgabe kann nach demselben Verfahren behandelt werden, indem man alle Komponenten der äußeren Kräfte parallel zu den Richtungen dreier sich in dem P u n k t schneidenden, aber nicht in einer Ebene liegenden Stäbe benutzt, und ebenso für die Momente drei passend gewählte Drehachsen. In der Ebene vereinfacht sich die Aufgabe wesentlich. Das Produkt einer Kraft mit ihrem Hebelarm wird ihr statisches Moment genannt, das Produkt einer K r a f t mit dem Quadrat ihres Hebelarmes heißt ihr Trägheitsmoment, das Produkt einer Kraft mit den Hebelarmen in bezug auf zwei Achsen heißt ihr Zentrifugalmoment. Sind die Kräfte parallel, so werden ihre Hebelarme einfach durch den Abstand ihrer Wirkungslinien von einer zu denselben parallel liegenden Geraden angegeben; diese Gerade führt auch den Namen Achse. Wenn man die Inhalte aller Flächenteilchen eines Querschnitts als Kräfte auffaßt, so kann man das statische, das Trägheits- und das Zentrifugalmoment des Querschnitts bestimmen, und zwar in bezug auf eine bzw. zwei Achsen. Diese Funktionen spielen in der Theorie der Biegung eine große Rolle. D a s s t a t i s c h e M o m e n t in b e z u g auf e i n e d u r c h den S c h w e r p u n k t gehende Achse ist i m m e r gleich Null. D a s s t a t i s c h e M o m e n t e i n e r F l ä c h e in b e z u g auf eine b e l i e b i g e Achse ist gleich dem F l ä c h e n i n h a l t , m u l t i p l i z i e r t mit dem A b s t a n d des S c h w e r p u n k t e s von der A c h s e . Auf dieses Prinzip stützt sich die Bestimmung des Schwerpunktes; man zerlegt die Fläche in Teile, deren Flächeninhalte und Schwerpunkte leicht zu bestimmen sind, und berechnet die statischen Momente dieser Flächen in bezug auf eine be-

1. Grundlagen.

7

liebige Achse. Die Summe dieser Momente (unter Berücksichtigung der Vorzeichen), durch die Gesamtfläche des Querschnitts dividiert, ergibt die Größe, um welche man die gewählte Achse parallel zu sich selbst verschieben muß, damit sie durch den Schwerpunkt geht. Durch Wiederholung des Verfahrens in bezug auf eine andere Achse ermittelt man schließlich die genaue Lage des Schwerpunktes. Diese Bestimmung kann auch zeichnerisch geschehen (vgl. Seite 9). Die Flächenteilchen können im allgemeinen schmal*1 Streifen sein, parallel zur gewählten Achse. Ähnlich können die Trägheitsmomente berechnet werden; die Flächeninhalte der einzelnen Streifen werden mit dem Quadrat der Abstände von einer Achse multipliziert und die Ergebnisse addiert. Nur müssen hier die Streifen ziemlich schmal sein, damit das Verfahren nicht allzu ungenau wird, oder man muß die eigenen Trägheitsmomente der einzelnen Streifen zum Resultat hinzuzuzählen. K e n n t man das T r ä g h e i t s m o m e n t einer F l ä c h e in b e z u g a u f e i n e S c h w e r a c h s e, so ist das T r ä g h e i t s m o m e n t in b e z u g auf e i n e z w e i t e zu d i e s e r p a r a l l e l l i e g e n d e Achse gleich der S u m m e aus dem ersten Trägh e i t s m o m e n t und dem P r o d u k t des Flächeninhaltes mit dem Q u a d r a t des Ab standes beider Achsen. Bezeichnet man mit ./ das Trägheitsmoment einer Fläche in bezug auf eine beliebige Schwerachse, die mit der X-Achse den Winkel a einschließt (Fig. 7), mit Jx und Jy Jy die Trägheitsmomente in bezug auf zwei rechtwinklige Schwerachsen, mit Jxy das Zentrifugalmoment für dieses Achsenpaar, so ist J = Jx cos2 a Jv sin 2 « — Jxv sin 2 u. Diejenigen zueinander r e c h t w i n k l i g stehenden Schwerachsen, für welche J ein Maximum bzw. ein Minimum wird, heißen die Hauptachsen. Das Zentrifugalmoment für Hauptachsen wird Null. Ist eine

8

I. A b s c h n i t t .

Einleitung

zur

Statik.

Symmetrieachse vorhanden, so ist sie eine der Hauptachsen. I m allgemeinen ist die Lage der Hauptachsen durch die Gleichung bestimmt: "> J - u xy , _ r ;

4.™ o

tg'2« = —

J

sie liefert für 2 a zwei W e r t e , weichen, also für a zwei um Die äußersten Werte von 1 •/max = "FT (Jx Jy) +. min ^

J y

x

die um 180° voneinander ali9 0 ° verschiedene Winkel. J sind: ß 1/ / (Jx Jy)2 Jxv • r 1

F ü r a — 45° erhält m a n : J =

1 ^ {Jx

Jy)

Jxy

Daraus läßt sich, sofern man dieses J kennt, die Berechnung des Zentrifugalmomentes vereinfachen: 1 2 {Jx

•¡xy =

^y)

J•

Handelt es sich um das kleinste Trägheitsmoment des Querschnittes in Fig. 8, so ist sehr darauf zu achten, daß die strichpunktierten Linien k e i n e Hauptachsen sind; das in Rechnung zu stellende /min kann wesentj i ^ lieh kleiner werden als Jx, falls b gegen-p=—

7

i

über

a

groß

jst.

Zur Berechnung der Trägheitsmomente kann man das bereits angegebene Verfahren anwenden. Man k o m m t aber meistens schneller zum Ziel, wenn man die Figur in möglichst große Teile zerlegt, für welche Trägheitsmoment, Fläche und Schwerpunkt leicht zu ermitteln sind. Es ist dabei nur zu erwähnen, daß man tunlichst die Einführung großer negativer F l ä c h e n a b s c h n i t t e vermeiden soll, um nicht zur E r m i t t lung eines kleinen Resultats große Zahlen genau berechnen zu müssen. Zusammengesetzte Querschnitte werden am besten nach den einzelnen dazu verwendeten Profilen zerlegt; dieses Verfahren bietet den V o r t e i l , daß man die Berechnung leicht prüfen und Änderungen ohne große Arbeit einführen

1.

9

Grundlagen.

kann. Ist der Querschnitt unsymmetrisch, so ist es oft vorteilhaft, das Trägheitsmoment für diejenige Achse zu bestimmen, für welche der größte Teil der einzelnen Profile symmetrisch liegt; in bezug auf diese Achse ermittelt man leicht den Schwerpunktsabstand. Von dem berechneten Trägheitsmoment muß n u r der Flächeninhalt der ganzen Figur, multipliziert mit dem Quadrat des Schwerpunkt-Abstandes, abgezogen werden. F ü r solche Fälle ist auch das allgemeine zeichnerische Verfahren von M o h r gut anwendbar (Fig. 9). Man teilt die Figur in Streifen und betrachtet deren Flächen als Kräfte, die man mittels eines Seilpolygons zusammen0

1

2

3

*

5 6

Fig. 9.

setzt. In das Seilpolygon wird nun eine stetige Kurve eingeschrieben, und die schraffierte Fläche F gerechnet. Das Trägheitsmoment in bezug auf die Schwerachse ist J = 2 HF. Hier wird H in dem Maßstab der Flächen gemessen. Nimmt man die einzelnen Streifen sehr schmal, etwa 5 mm oder weniger, so braucht man die Kurve kaum zu zeichnen. Bei der Abrundung der Ecken des Seilpolygons achte man darauf, daß die Berührungspunkte auf den Trennungsgeraden der Streifen liegen. Will man das Trägheitsmoment in bezug auf eine andere Achse haben, z. B. AB, so kommt noch die Fläche des Dreiecks SAB hinzu. Das Verfahren liefert auch unmittelbar den Schwerpunkt und ist deshalb für einige Aufgaben sehr geeignet, z . B . für die Untersuchung verschiedener I - Querschnitte mit oben und unten ungleicher und veränderlicher Anzahl von Kopfplatten. Die Genauigkeit ist für die Praxis vollständig genügend.

10

I. Abschnitt.

Einleitung zur

Statik

Sind die Hauptachsen eines Querschnittes von vornherein nicht bekannt, so b e n u t z t m a n am besten den T r ä g h e i t s k r e i s (Seite 21), nachdem man zur Berechnung der dazu nötigen Momente ein passendes Achsenkreuz gewählt h a t . Zur E r m i t t l u n g der Z e n t r i f u g a l m o m e n t e ist im allgemeinen das rechnerische Verfahren a m besten geeignet. Dasselbe s t ü t z t sich auf folgendes Prinzip: kennt m a n das Zentrifugalmoment Jxv einer Fläche in bezug auf ein rechtwinkliges Schwerachsenkreuz, so ist das Zentrifugalmoment J'x y f ü r ein anderes zum ersten paralleles Achsenkreuz (Fig. 10): A F i f í . 10.

J xy — Jxv au

Für

die ein

J xy

Hauptachsen

FS^ $2. ist immer

rechtwinkliges (Fig. I I a . ) :

J2

Für ein E e c h t e c k

b*h 2'

Jxv

=

0.

Dreieck

b 2h 2 24

./„,.=

(Fig. H b . ) :

Jx y — ^ ?

b2 h2

Eine beliebig gestaltete Fläche zerlegt m a n durch Parallelen zur X- bzw. Y-Achse in Rechtecke und rechtwinklige Dreiecke, was immer mit genügender A n n ä h e r u n g möglich i s t ; d a n n werden nach der Formel zu Figur 10 die einzelnen J'xy gerechnet, die man schließlich addiert. Daß m a n dabei das Vorzeichen berücksichtigen m u ß , versteht sich von selbst. Diese Berechnung k a n n aber stets umgangen werden, wenn m a n zu den zwei Trägheitsmomenten ein drittes rechnet, u n d die Formel für Jxy auf Seite 8 oder den Trägheitskreis nach Seite 21 benutzt.

11

2. Festigkeitslehre.

Die Funktion

i=

j ~ , welche eine Länge darstellt ,

wird der Trägheitshalbmesser des Querschnittes genannt und zur Behandlung gewisser Aufgaben mit Vorteil verwendet. Addiert man die Produkte aus sämtlichen Flächenöder Volumen- oder Massenelementen mit den Quadraten ihrer Entfernungen von einem P u n k t bzw. einer Achse, so erhält man das sog. polare Trägheitsmoment ./„. Dasselbe ist immer gleich der Summe zweier Trägheitsmomente in bezug auf zwei Achsen bzw. zwei Ebenen, die sich rechtwinklig im gegebenen P u n k t oder in der gegebenen Achse schneiden: Jp

Momente nicht vor.

höherer

Jx

|

Jy.

Ordnung

kommen

in

der

Statik

2. Festigkeitslehre. I. Allgemeines. Mit genügender Annäherung für die Praxis sind die Formänderungen direkt proportional den Belastungen, und die Wirkungen verschiedener Belastungen dürfen einfach addiert werden; dieses Gesetz ist aber nur gültig, so lange die Spannungen die Elastizitätsgrenze nicht überschreiten. Eine rechtwinklig zu einem Querschnitt wirkende K r a f t Ar N r u f t die Normalspannung a hervor. Es i s t : o =~p- positiv, wenn Zugspannung. Die entsprechende Längenänderung eines homogenen Prismas von der Länge l ist: //_

N 1

E F

-

—