Crecimiento económico (Spanish Edition) [1 ed.] 8429126082, 9788429126082

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ffiffiffiffiffiffi§.*ffi Robert J. Barro I Xavier Sala-i-Martin

EDITORIAL

nevrnrÉ Barcetona . Bogotá . Buenos Aires . Caracas . México

Registro bibliográfico (Isoo) Barro, Robert.l. IFlconornic Grorvth. EspaiioJl

Crecimiento económico / Robert .f . B:rrro, Xavier Sala-i-N4artin ; vcrsiírn espaírola traclucida por (iotzone Pérez. Apilancz ; rcvisada por l{obert Andrer,v Robir.rson y.[osó Ramón de F-spínola Salazirr. -Versión espafrola dc la 2" cd inglesa. - Barcelona : Rcvcrtó,2009,2012 XVIII , 660 p. : il. ; 2-5 cn.r. Ed. orig.: Econonric (irorvth. 2" ed. Cambridgc MIT Prcss, cop. 2004. - Índicc. B. 26591,-2012. - ISRN 978-84-291-2608-2. 1. Cliencia económica. I. Sala-i-Martin, Xavier. Il. Pérez Apilanez, Gotzone, trad. IIL Robinson, Rohcrt, Ar.rdrew, rev. IV. Espínola Salazar, José Ramón de, rcr,. V. Título.

i30

Títulct de la obra original: Economic Growth. Second Edition F'.dición

original en lengud inglesa publicada en Estddos Unidos por:

MIT Press. -55 Hvrvard Street. Cambriclgc, Massachusens 02142-1 Oopvright O 2004 M:rssachusetts Institute of Tcchnologv

The

3 I -5,

USA

Ediciótt en espdírol: O l-lditorial Reverté. S. 4., 2009, 2,012 IStIN: 978-84-29 l -2608-2 Yersicjn aspdílold traducida por:

Gotzone Pérez Apilancz [.icenciacla en .\clnrinistración r- (icstión dc Empresrs Liccnciada en Traducción e Intcrprctaci 0, sin utilizar recurso alguno. Si en el moment() cero normalizamos al valor 1 el nírmero de personas y la intensidad del trabajo por persona, la población y la población âctiva en el momento Í equivalen a L(t1 =

,"t

(1.3

)

A fin cle destacar el papel cle li,r acumulación de capital, aceptaremos el sr.rpuestcr de que el nivel tecnolírgico, T(r), es unâ constante. Abandonaremos esta suposiciírn más adelante.

Si L(r) viene dada por la ecuación (1.3) y no hay progreso tecnolírgico, entonces la ecr.ración (1.2) deternrina la evolución en el tiernpo del capital K(r) y la producción Y(r). Una vez que sepamos cómo varían el capital o el PIB a lo largo del tiempo, sabremos también las tasas de crecimiento de estas variables. En los siguientes epígrafes veremos que clicho comportamiento depende esenciirlmente de las propiedades de la función de proclucción, F( ' ).

27

1.2. El modelo neoclásico de Solow y Swan

1.2. El modelo neoclásico de Solow y Swan 1.2.1.

La Íunción de producción neoclásica

El proceso del crecimiento económico depende de la fonna de la función de producción. Comenzaremos analizando la función de producción neoclásica. Decimos que una fuhciôn de producción, F(K, L, T), es neoclásica si tiene las siguientes características:5

1. Rendimientos constantes a escala. La función F( ' ) tiene rendimientos a escala constântes. Es decir, si multiplicamos el capital y el trabajo por la misma constante positiva, ,i, obtenemos 2 veces la cantidad de producción:

F(ÀK,ÀL,T) =

À'F(K,L,T)

para

todo

2>0

(1.4)

Esta propiedad se conoce tambiên por el nombre de homogeneidad de grado uno en K y L. Es importante sefralar que la definición de escala atafre sôlo a los dos bienes rivales, capital y trabajo. En otras palabras, no definimos los rendimientos constantes a escala como F(,IK, ÀL, ÀTl = ÀF(K,L,T). Para entender intuitivamente por qué es lógico este supuesto desde el punto de vista económico, utilicemos el siguiente ârgumento: imagine que la planta 1 produce Y unidades mediante la función de producción F, combinando K unidades de capital y L de trabajo y empleando la tecnología T. Resulta lógico pensar que si creamos una planta icléntica en otro lugar (es decir, si hacemos ur,a réplica de la planta) deberíamos ser capaces de producir la misma cantidad de producto Y. Sin embargo, para crear esta segunda planta, necesitamos un nuevo conjunto de maquinaria y trabajadores, pero podemos utilizar la misma tecnología en ambas, ya que, aunque el capital y el trabajo son bienes rivales, la tecnología es un bien no rival y puede utilizarse en ambas plantas al mismo tiempo. Así pues, dado que la tecnología es un factor no rival, nuestra definición de rendimientos a escalâ resulta lógica.

2. Rendimientos positivos y dccrecientes de los factores privados. Para todo K > 0 y L > 0, F( .) se caracteriza por tener productos marginâles positivos y decrecientes en cada factor: ôF _> AK

0,

ô2F

ôK,

OL

n

A2F

ôL,

0l y va aplanando a medida que & crece [porqu e f" (k) < 0] . Las condiciones de Inada implican que la curva s./(Á) es vertical en Á=0 y que se vuelve plana a medida que À tiende a infinito. Estas propiedades implican que, dejando aparte el origen, la curva s f(kl y la recta (n + ô).â tienen un punto de intersección y ese punto es

se

único. Considere una economía en la que el stock inicial de capital por persona á(0) > 0. La ilustración 1.1 muestra que la inversión bruta por persona es igual a la altura de la curva s.f(kl en dicho punto. El consumo por persona es igual a la distancia vertical en dicho punto entre las curvas f(k) V s.f(kl.

1.2.3. Mercados En esta sección vemos cómo en un modelo que incorpore explícitamente la presencia de mercados también puede obtenerse la ecuación fundamental del modelo Solow-

y quedarse con la producción obtenida gracias a la misma, suponemos que los hogares poseen âctivos financieros y trabajo. Los activos proporcionan una tasa de rentabilidadr(t) y el trabajo percibe el salario w(tl. Asi pues, la renta total que reciben los hogares es la suma de la renta de los activos y del trabajo, r(r) .(activos)+w(t) 'L(r). Los hogares utilizan la renta que no consumen para acumular más activos

Swan. En lugar de poseer la tecnología

I

32

I l\4odelos de crecimiento con tasas de ahorro exógenas (el modelo Solow-Swan)

d(activos)/d7 = [r. (activos) +

r.u

.L] -

C

(r.r4)

donde, de nuevo, los subindices indicativos del tiempo se han eliminad«r pirra sim-

plificar la notación. Si dividimos por L ambos miembros de la ecuación (1.14), denominarnos .7 a los activos por persona y derivamos rz con respecto al tiempo, à = (1 lL).d(activos)/r/t - Lut, obtenemos la variaciírn de los activos por personâ:

à=(r'.d+tu)-c-nct

(1.1-5)

Como se veía en la ecuaciírn (1.1), las empresas contratan trabajo y capital y emplean ambos factores, junto con la tecnología, para obtener prodr-rcción, que venclen a un precio unitario. Pensemos en las empresas como arrendatarias de lcls servicios de capital de los hogares, que sí)n sus propietarios. (Los resultados no cambiarían si las empresas fueran lars propietarias del capital y los hogares poseyeran acciones de las empresas.) Así pues, el coste del capital de las empresas son los pagos por su arrendamiento de capital, que son proporcionales a K. Esta especificación supone que los servicios de cirpital puedân modificarse sin incurrir en gastos adicionales, como por ejemplo, los costes de instalación de nuevas máquinas. Denominemos R al rendimiento de unil unidad de servicios de capital y supongamos que el stock de capit:rl se deprecirr a una tasa constante d > 0. El rendimiento neto de un hogar que poseâ un:r unidad de capital será R - ô. Los hogares reciberr

también el tipo de interés r por los forrdos prestados â otros hogares. Sin incertidumbre, el capital y el préstarn0. El nivel cle estado estacionario del consumo per cápita es c* = (1 - s) ./[à-(s)]. A partir de la ecuación (1.20) sabemos que s ' /(À- ) = (n + ó) . À*; así pues, pcldemos expresar c* como c*(s) = ítÉ.(s)l

-

(z + d). É.(s)

(1.21)

La ilustración 1.2 muestra la relación que existe entre c* y s, implícita en la ecuación (1.21). Para niveles bajos cle s, la cantidad c* aumenra al aumenrar s, y disminuye para niveles altos cle s. La cantidad c* alcanza un máximo al hacerse cero su

ILUSTRACIÓN 1.2 I La regla de oro de la acumulación de capital. El eje de ordenadas muestra el nivel de consumo per cápita de estado estacionario que corresponde a cada tasa de ahorro. La tasa de ahorro que maximiza el consumo per cápita de estado estacionario se denomina la tasa de ahorro de la regla de oro y se denota s,,.,,.

36

1 I Modelos de crecimiento con tasas de ahorro exógenas (el modelo Solow-Swan)

Pendiente=n+ô

Increuren to

inicial de

ll À,,,,,

c

frl

t...........- l{egión dinárnicar.nente incfi ciente

ILUSTRACIÓN1.3 lLareglâdeoroylaineficienciadinámica. Si latasadeahorroestáporencimadelaregla de oro (s: > soro en la ilustración), la disminución de,s aumenta el consumo per cápita del estado estacronario y también aumenta el consumo per cápita durante la transición. Puesto que r aumenta en todos los momentos del tiempo, una tasa de ahorro superior al valor de la regla de oro es dinámicamente ineficiente. Si la tasa de ahorro se encuentra por debaio de la regla de oro (sr < soÍo en la ilustración), un incremento de -< aumenta el consumo per cápita del estado estacionario, pero disminuye el consumo per cápita durante a transrción. La conveniencia de dicho cambio depende de cómo ponderan los hogares su consumo actual en relación al consumo Íuturo.

clerivada, es decir, cuando lf '(kt\ - (z + ô)l .dk- lds = 0. Puesto qtte dk'' lds > 0, el términcl entre corchetes tiene que ser igual a 0. Si llam:rnros Àoro al valor de A* que corresponde al máximo de c*, entonces, Ia condiciírn que cletermina fr,rrn es

f'(koro)=n+ó

(1.22\

La tasa de ahorro correspondiente puede clenominarse -§oro, y el nivel âsociado de consumo per cápita del estado estacionario, csro = í(&"-) - (rz + ô) '4o,.,, La condiciírn cle la ecuación (1.22\ se denomina la regla de oro de la acumulación de capital (vêase Phelps,1.966). Este nombre proviene de la cita bíblica del mismo nombre que dice "Trata a los demás como quisieras ser tratado". En términos económicos, el resultado de la regla de oro puede interpretarse como "si proporcionâmos la misma cantidad cle consumo a los miembros de las generaciones presentes v futuras, es decir, si ncl damos menos a las futuras generaciones que a la nuestra, la cantidad máxima de consumo per cápitâ es coro". La ilustración 1.3 muestra el funcionamiento de la regla de oro. La ilustración considera tres posibles tasas de ahorro, s1, soro y .s2, c{onde st (-§oro Á., la tasa de crecimiento es negativa, y I disminuye hacia Á". Por tanto, el capital por persona en el estado estacionario es estable. Nótese que, en la transición desde un inicial bajo capital por persona la tasa de crecimiento de & desciende monótonamente hacla cero. Las Ílechas sobre el e1e horizontal indican la dirección del movimiento de À a lo largo del tiempo.

Un argumento similar demuestra que si la economía parte de un punto superior

al estado estacionario, É(0) > &*, la tasa de crecimiento de À es negativâ, y á disminuye a lo largo del tiempo. (Tenga en cuenta, a partir de la ilustración 1.4, que para k> k* la recta n+õ se encuentra situada por encima de la curva s.f (k)lk y, en consecuencia, É/á < 0.) La tasa de crecimiento aumenta y tiende a 0 a medida

que á tiende a É-. Así pues, el sistema tiene equilibrio estable: para cualquier valor inicial á(0) > 0, la economía converge hacia su único estado estacionario, À* > 0. Podemos estudiar también el comportamiento de la producción duranre la transición. La tasa de crecimiento de la producción per cápita viene dada por

j,ly

=

f'(k) . klf (k) = lk.f'(k)lf &)).(klk)

(t.24)

La expresión entre corchetes a la derecha del segundo igual es la participación del capital, es decir, la participación de la renta del capital en la renta total.lT La ecuación (1.24) muestrâ que la relaciôn entre j,ly y A/À depende del comportamiento de la participación del capital. En el caso Cobb-Douglas (ecuación [1.11]), la participación del capital es la constante o e yly es la proporción rr de klk. Asi pues, el comportamiento cle ! ly imita el de klk. De forma más general, podemos sustituir k lk de la ecuación (1.23 ) en la ecuación Q.2a) y obtenemos

j,ly = s'f'\k)

-

(n + 6l 'Sh(e)

(1.25)

17. Ya hemos dicho anteriormente que en el equilibrio del rnercado cornpetitivo cada uniclad dc capital recibe un rendimiento igual a su producto marginal, /'(&). Asi pues, k ./'(A) es la renta per cápita ganada por los propietarios del capital, y k . f'lk) I f(kj (el têrmino entre corchetes) es la participaciôn de la renta del capital en la renta total per cápita.

40

1 I Modelos de crecimiento con tasas de ahorro exógenas (el modelo Solow-Swan)

k f'(k)lf &) denota la participación delcapital. Si derivamos con respecto a A y reorganizamos los términos, obtenetnos

en la que Sli(À) =

i'ttj,l1'tlâk

t á". En el modelo Solow-Swan, que establece una tirsa de ahorro constante, el nivel de consurno per cápita viene dado por c = (1 - s) '1,. Así pues, las tasas de crecimientcl del consumo y la renta per cápita son idénticas en cualquier momento del tiempo, ilc = !t1r. En consecuencia, el consumo sigue la misrna c'linámica que la proclucci(rn.

1.2.7. El comportamiento de los precios de los Íactores durante la transición Vimos con anterioridad que el modelo Solow-Swan es coherente con una economíir de mercados competitivos en la que las empres,rs maxitnizan sus beneficios ,v los hogares eligen ahorrar una fracciírn constânte de su renta bruta. Es interesante estudiar el comportamiento de los salarios y el tipo de interés durirnte l:r trar.rsición a medida que el stock de capital se mueve hacia el estado estacionrrrio. Virnos qr-re el tipo de interés es igu:rl al prclducto marginal del capital menos la tasa constânte de depreciaciírn, r= f'(k) - ri. Daclo que el tipo de interés clepende del productcr marginal del capital, que a su vez depende del stock de capital per cápit:r, durante la transición el tipo de interés varia a nredida que v:rría el capital. Dirdo que la función de producción neoclásica tiene rendirlrientos clecrecientes del capital, /"(Á) < 0, el producto marginal del capital disrninu,ve a medida que crece el cirpital. En consecuencia, el tipct de interés disminuye monótonamente'hastil su virlttr de estado estacionario, que viene clado por r. = f '(k*) - õ. Tambiên vimos que el salario en competencia venía dado por w = f (k) - k'f'(k\. Nuevamente, el salario varía al aument:lr el capital. Para ver el compor:tamiento del salario, cierivemos w con respecto ir À v obtendrernos

ôw -:7 = f'(k\ - f'(k\ dt?

- k.f"(k) = -k.f"(k)

>0

En consecuencia, el salario âumenta monótonamente al âumentar el stock de capital.

En el estado estacionario, el salario viene clado por w'' = f (k.) - k"'f'(k.\. En la ilustración 1.5 puede observarse grírficamente el comportamiento del salario y del tipo de interés. La curva que aparece en Ia ilustraci /r,.

aumento permanente de la tasi,r de ahorro provocâ temporalmente tirsâs de crecimiento per cápita positivâs. A largo plazo, los niveles de fr e y son permânentemente mayores, pero las tâsas de crecimiento per cápitâ vLlelven â ser cero. Estas tasas de crecimiento transitorias positivâs podrían llevar a la conclusión cle que la economia podría seguir crecienclo rnediante incrementos sucesivos de la tasa-de ahgrro. Un problema que plantea este razonâmiento es que la tâsâ de ahorrcr es una fracción entre cero y uno. Puest r + ii, se produce un aumento perrnanente de Á, aunque no haya progreso tecnológico.

Volvemos al cascl en el que el prggreso tecnológic9 es cero, x = 0, ya que queremos demostrar que ahclra puede haber crecimiento per cápita a largo plazo, âtrnque no haya cármbio tecnológico exógeno. En la representación gráfica, la diferencia

principal rirdica en que la curva de ahorro de pendiente negativa, s'í(&)/À de la ilustraciôn 1.4, es sustituida en la ilustraci6nl.1,2 por una recta horizontal a1 nivel sÁ. La curva de depreciación sigue siendo la n.risrnil rectâ horizontal al nivel n + ô. Portanto, À/É es la distancia vertical entre las dos rectas, sAv n +ô. Represelltamos el caso en el que sA>Qt +r!) con lo que klk>0. Puesto que ambas rectas son paralelas, &/À es constante; más concretamente, es independiente de A. En c,rnsectrettcia, À siempre crece a la tasa cle e.staclo estacionario , lk lk). = sA - (z + rI)' Daão que y = Ak,!ly = klk en todo momento del tiempo. Ademhs, puesto qlre c = (1 -,§) . !, tf c = À// n + ô, el supuesto de la ilustración, entonce, i, ,rsa de crecimiento de estado estacionario. (À/À)', es positiva. Este moclelo genera crecimiento endógeno de estado estacionario y al mismo tiempo predice la convergencia condicional, como el modelo neoclásico. El motivo radica en que la propiedad de convergencia proviene de la relación inversa entre f (kllk y â, relación que se mantiene en el modelo. La ilustración 1.13 muestra que entre dos economías cuya única diferencia sea el valor inicial, &(0), aquella que tenga el stock de capital por persona menor crecerá más deprisa en términos per

cápita.

1.3.4. Funciones de producción con elasticidad de sustitución constante Considere otro ejemplo, la función de producción que tiene elasticidacl de sustitución entre trabajo y capital constante (ESC)(Arrow et.al., 1,961)

I

68

I Modelos de crecimiento con tasas de ahorro exÓgenas (el modelo Solow-Swan)

Y = F(K, L) = dcrnde

A' la'

(bK)'t' + (1

- a)

t(1

-

1r)' Ll'!'trtrtr

(1.64)

0 BlA, la cantidad de capital utilizaclo es constante, e Y es igual a la constante B multiplicada por el trabaio L. Así pues, la producción por trabajador, y, es igual a lâ constante B, cclmo se mtlestrâ en el intervalo horizontal de í(É) de la ilustración. Observe que, cuando À tiende :r infinito, el producto marginal del capital, /'(&), es cero. En consecuencia, se cumple la principal condición de Inacla y esta función de producción no genera crecimientcr

Para &

< BlA, el capital

1.16 muestra

qr"re

enclogeno de estacl,r estacionari«r.

A p:rrtir de la expresión de la ecuación (1.13) obtenemos

klk = s. Imín (Á4, B)]lk

-

(n + õ)

Las ilustraciones 1.17a y 1.17á muestran que el primer término, s' I mín

(1 .68

)

(Ak,B)llk

al nivel sA para & < BlA.Para À > BlA, este término se convierte en una curvâ con pendiente negâtiva que tiencle a cero cuando É tiende a inÍinito. El segundo término cle lir ecu:rciírn (1.68) es la ya conocicla recta horizontal al nivel n+ô. Supongamos primero que la tasa de ahorro es lo bastante baja como para que sA A. Sin embargo, para poder explotar esta tecnología moderna, se supone que el país tiene que pagar un coste de implantación en c:rda momento del tiempo, quizás para pagar la infraestructura pírblica o el sistema legal requeridos. Suponemos que dicho coste es proporcional al traba jo y viene dado por á1, donde b > 0. Suponemos:rdemás que este coste es soportaclo por el Estadcl y fin:rnciackl mediante un impuesto Ô por trabajador. El resultado es el mismo si el impuesto lo pagan los productores o los trabajadores (que son, en todo rnomento, lcls rnismgs agentes en una economía de hogirres-productores).

Expresada por trabajador, la primera funciírn cle proclucciírn t',q

=

Ak"'

es

(1

.71)

La segunda función de producciírn, neta de coste de implantaciírn,v expres:rcla por

trabajador

es

\n=Bk"-b

(1.72\

Ambas funciones aparecen plasmadas en la ilustración 1.18. Si el Estado ha decidido pagar el coste de inrplantación, igual ir á por trabajador, todos los productores utilizarán la tecnología moderna (porque de cualquier málnerâ habrá que pagar el impuesto á por trabajador). Si el Estaclo no ha pagado el coste de implantaciôn, todos los productores tendrán que usar la tecnología antigua. Un Estado sensâfo pagará el coste si e[ desplazamiento a lii fecnología moclerna provocâ un aumento del producto por trabirjador al valor actual de À, producto calculaclo neto de coste de implantación. En el caso presente, el desplazamienr & y no lo harásiá fr. El producto medio del capital, f (k)lk, puede medirse gráficamente en la ilustración 1.18 mediante la pendiente de la cuerda que va desde el origen hasta la función de producción efectiva. Podemos ver que hay un intervalo de & > A en el que el producto medio es creciente. En consecuencia, la curva de ahorro es semejante a la representada en la ilustración 1.19: tiene la ya conocida pendiente negativa para niveles baios de A, le sigue un intervalo con pendiente positiva y de nuevo tiene pendiente negativa para niveles muy altos de É. La ilustración1.19 muesrrâ que la curva s;f (k)lk primero corta la recta z+d e-n el valor de estado estacionario baio, À[u.,o < É, en el que suponemos que áiloio . &. Este estado estacionario tiene las características que ya conocemos del modelo neoclásico. Enconcreto.

ilt rO parak < Àá".,".y

irlp..Oalmenosenalgúnintervalo

t

Àü-l".Así pues, À[u,o es un estado estacionario estable: es una trampa de pobreza en el sentido descrito con anterioridad. Suponemos que la tendencia de rendimientos crecientes en el intervalo intermedio de A es lo bastante fuerte como para que la curva s'f(k)lk aumente hasta cortar de nuevo a la recta n+ 6 en un estado estacionario Él.ain. Sin embargo, este estado estacionario es inestable, yn que àlp.O se cumple a la izquierd^y klkrO se cumple a la derecha. En consecuencia, si la economía se sitúa inicialmente en &iu;o < A(0) < ál,eaio, tenderá naturalmente a retornar a la trampa de pobreza en à[.,o, mientras que si de alguna manera consigue situarse en A(0) > Àlr.,rio, tiende a

à

crecer aún más, alcanzando niveles de á aún mayores.

.

I

76

I Modelos de crecimiento con tasas de ahorro exógenas (el modelo Solow Swan)

ô

tk)tk

t.L

/.'.

(csta l.le

)

(inestable)

(cstahle)

ILUSTRACIÓN 1.19 | Una trampa de pobreza. Se supone que la Íunción de producción presenta rendimientos decrecientes de I cuando /r es bajo, rendimientos crecientes para valores intermedios de À, y rendimrentos constantes o decrecientes cuando t es alto. La curva,s.í(A)/k es por tanto decreciente para vaiores ba.los de Â, creciente para valores intermedios, y decrecrente u horizontal para valores altos de A. El valor de estado estacionario /r;,1,, es estable y por tanto constituye una trampa de pobreza para países que parten de un valor

t entre 0 y ti,.,,".Si un país parte de Á > /ri,".,,,,, converge a Á",,,, si finalmente se dan rendrmientos decrecientes. Si los rendimientos del capital son constantes para altos valores de À, como se representa en el tramo intermitente de la curva, el país converge a una tasa de crecrmiento a largo plazo de I posrtiva. de

En el intervalo en el que É > Él,",rin, lâ tenclencia de lir economía a registrar rcndimientos decrecientes finalrnente hace que descienda la curva s-f (k)lk lo suficiente hasta igualarse con n + ô en el estado estâcionario &1,,,r. Este estad() estacionario, que corresponde a un alto nivel de renta per cápita pero con crecimient() per chçrita cero ir largo plazo, nos resulta fanriliirr tras el estudio del modelo neoclásico. El problema básico para una economía poco desarrollada, situadâ en la trampa Ài.r,,, radica en cómo pasar por encima del punto crítico ,v alcanzar un nivel de renta per cápita alto a largo plazo. Una irnplicación empírica del modelo descrito en la ilustración 1.19 es que existirá un intervalo medio de valores de &, en las proximiclades de Al,.aio, para el que la tasa de crecimient,,, À74, es creciente en É, y por lo tanto, en 1,. Es decir, en este intervalo de renta per c;ipitrl se cumplirá un pâtrón cle clivergencia. Nuestrcr análisis de los datos empíricos entre países, que veremos en e[ capítulo 12, no apo,va esta hipótesis. No obstante, est()s resLlltados son obieto c1e controversia (véase, por

eiemplo, Qr-rah,

11

99 6l\.

1.5. Apéndice: Demostraciones de varias proposiciones 1.5.1. Demostración de que cada Íactor es esencialen la producción con una Íunción de producción neoclásica Mencion/rbamos en la parte central cle este capítukr que las propiedacles de la funciírn de producción neoclásica implican que los dos factores, I( y I, son esenciales pari't

I.5. Apéndice: Demostraciones

de varias proposiciones

77

la producción. Para demostrar esta condición, fÍjese primero que si

K

y --

oo

cuando

--+ oo, entonces

YôY

Jti«=/TáK=o doncle la primera igualdad surge cle la regla de l'Hôpital y la segunda de la condición de Inada. Si Y alcanza un límite cuando K tiende a infinito, enronces la conclusión

inmediata

es:

1'm sabemcls tambiên que, a

L finito,

partir de los rendimientos constantes a escala, para toclo

l1n de manera que F(1,0)

(Y/K) = 0

(v/«) = l1g lF(1,LlK)]=

F(1,0)

= 0. Entonces, la condición de rendimientos

consrantes

a

escala implica

r(K,0) = K'F(1,0) = 0 para todo K finito. Podemos demostrar, mediante un argumento análogo que

F(0, L) = 0 para todo L finito. Estos resultados demuestran que cada uno de los factores es esencial en la producción. Para demostrar que la producción tiende a infinito cuando uno de los factores tiende a infinito, observe que

F(K,L) = L.f (k) = K.tf &)tkl En consecuencia, para todo K finitcr

f1n

tF(K, L)l =

K

roiry.Lf

@ tkl = r(

lT

I

f' (kll = at

donde las últimas igualdades surgen de la regla de I' Hôpital (porque Ia condición de esencialidad implica /(0) = 0) y de la condición cle Inada. Podemos demostrar, mediante un razonamiento análclgo, que lím1-- [F(K, L)] = oo. En consecuencia, lir producción tiende a infinito cuanclo cualquiera de los factores tiende a infinito.

1.5.2. Propiedades del coeÍiciente de convergencia en el modelo Solow-Swan

La ecuación (1.46) es una linealización logarítmica de la ecuación (1.41) en las proximidades del estado estacionario. Para obtener la ecuación (1.46), hemos expresado la ecuación ( 1 .41 ) en valores de log (Â ). o bserve qu- à 1k es la clerivada con respecto al tiempo de log (Â) y que 1Â; (1-rt) 0r",1. expresarse.o*,, ,-(1-a) loglÂ1. p1

78

1 I Modelos de crecimiento con tasas de ahorro exógenas (el modelo Solow-Swan)

valor de estado estaciclnario de sA1Â;-tt-") es igual a x+r't+ô. Podemos pues realizar un desirrrollo de Taylor de primer orden del lcrg(Â) en torno a log(Â'') parir llegar;r la ecuación (1 .46). Consulte el apéndice materlático al fina1 clel libro si necesita más información. Este resultado aparece en Sala-i-Martín (1990) y en Mankiw, Romer y Weil (1992). La verdadera velocidad de convergencia de  o de f, no es constante; c{epende de lir

distancia al estado estacionârio. La tasa de crecirniento de !,puecle expresarse como

lly

= rv'

[s'Átl"'

Si utilizamos la condición 9* = la tasa de crecimiento como

tlj,

=

-

(x +

r

+.11]

A.lsAl@+n+t\)1t1(1 "), tambiên podemos expresar

,t.(r +,

El coeficienre de convergencin

1i';-(t-"r/'r

+

ô) [(iii.) {t

.)/a

-

1]

es

(r t)t" B= -d(ily)lld.log(),)l = (1 -rr)'(x +n+õ)'1n1it.7 En el estado estacionario y = y- y B = (1-o) .(x+n+6), como en la ecuaciôn (1.45). Con carácter general, B disminuye al aumentar !/j,*.

1

.5.3. Demostración de que el progreso tecnológico debe aumentar la eÍiciencia del trabajo

Mencionábamos en el texto que el avânce tecnolírgico tenia que tener la forma c1e aumento de la eficiencra del trabajo que mostraba la ecuación (1.34) para que así el modelo tuviera estado estacionirrio con tasas de crecimiento coÍrstântes. Para demostrar esta concliciírn, empezamos con el supuesto de que l:r función de producciôn incluye progreso tecnológico que aumenta lir eficiencia del trabajo y aumentâ la eficiencia clel capital. Y = FU( . B(t), L.

A(tll

(1 .7 3)

A(t) implica que el avance tecnológico es neutral según Hicks. SuponemosqueÁ(f) = dt y B(t) = ett,clondex > 0yz > 0 son constantes. Si en la ecuación (1.73) dividimos ambos miembros por K, podernos expresar la producción por unidad de capital como

dcrnde BQ\ =

L Á(Í)l\ YfK=n:t ' JFfr l' l" l( ' B(1) lí donde

ç(.) =Ft1,â#l.La

tasa de crecimiento constante así

"'

vltttxt t''

'

'l

poblaciôn, L, crece a le tasa constente z. Si 7i es la c1e K en el estado estacionario, Yi K puede expresarse

79

1.5. Apendice: Demostraciones de varias proposiciones

Y

lK = ezí . çle\n+Í : rl)

r]

(1.74\

Recuerde que la tasa de crecimiento de K viene dada por

Rl«=s.(Y/K)-ô En el estado estacionario, K7K es igual a la constante 7l y, en consecuencia, Y/K tiene que ser también constante. Hay dos maneras de lograr que el segundo miembro de la ecuación (1.741 sea constante. La primera, que ã = 0 y Tk = n * x\es decir, que el progreso tecnolôgico únicamente aumente la eficiencia del trabajo y que la tasa de crecimiento del capital en el estado estacionario sea igual a n+ x. En este caso, la función de producción puede expresarse en la forma de la ecuación (1.34). La segunda manera de hacer constante el segundo miembro de la ecuación (1.74) es que z * 0 y que el término çfg(n+r,-z rl)'1 contrarreste exactamente el término ezt.Para que esto sea así, la derivada deYlK con respecto al tiempo (en el estado estacionario) tiene que ser igual a cero. Si derivamos la ecuación (1.74),la igualamos a cero y reorganizamos los términos, obtenemos ç,

el.

XI

çW) = _zl (n + x _ z _ yk)

1 = e@+x-7-vk) ' y el término del segundo miembro es una constante. integramos, podemos expresar la solución así donde

çLX)

= (constante)

.yl '

o es una constante. Este resultado implica que puede expresarse así

donde

Y

-

Si

la función de producción

(constante) . (Kezr)" '(Le:Ít1t-o = (constante)'K"

'(Le"t)t "

donde y = l7n*x.(1-rz)ll0-o). En otras palabras, si la tasa de progreso tecnológico que aumenta la eficiencia del capital, z, no es cero y hay estado estacionario, la función de producción tiene que tener la forma Cobb-Douglas. Es más, si la funciôn de producción es de tipo Cobb-Douglas, siempre podemos calificar el cambio tecnológico como del tipo que aumenta la eficiencia del trabajo (a la tasa v). Así pues, se llega a la conclusión de que la existencia de estado estacionario implica que el progreso tecnológico es del tipo que aumenta la eficiencia del trabajo. Otro enfoque del progreso tecnolôgico establece el supuesto de que los bienes de capital producidos más tarde, es decir, en una época más reciente, son de mejor calidad para un coste dado. Si la calidad aumenta con respecto aT(t),la ecuación de la acumulación de capital en este modelo de êpocas es

K = s.T(t).F(K, L)

-

ôK

\1.7 s)

80

1 I Modelos de crecimiento con tasas de ahorro exógenas (el modelo Solow-Swan)

donde K se micle en unidades de calidad constante. Esta ecuación corresponde a un progreso tecnológico neutral según Hicks dado por T(r) en la función de producciírn. La única diferencia con la formulacrón habitual es que la producciírn es Y = F(K,L)

y no T(r) .F(K, L).

Si queremos utilizar un modelo con estado estacionario, tenclríamos que suponer que F(K, L) es tipo Cobb-Douglas. En este caso, las propiedirdes principales de este rnodelo cle épocas no se diferencian cle las del moclelo analizado en el texto en el que el avance tecnológico aumenta la eficiencia del capital (véase Plrelps, 1962,,v Solow, 1969,para un análisis con mâyor detalle). tlna diferencia del modelo de épocas es que, âunque K e Y crecen a tasas constantes en el estado estacionario, la tasa de crecimiento de K (en unidades de calidad constante) es superior a Ia de Y. Así pues, K/Y aumenta de manera regul:rr a largo plazc'r.

1.5.4. Propiedades de la Íunción de producción

ESG

La elasticidad de sustitución es una medida de la curvatura pendiente de las isocuirntâs

cle las isocuirntas. La

es

dL JRi',,tu,'nrr

=

i)F(.) t}K - at-lvoL

La elasticidad viene dada por I

r?lPencliente

I

t)\U

Kt

)

K lkrú'.*. I-l

l-

|

I

Para la funci(rn de pr:oducción ESC mostrada en la ecuación

la isocuilnta

(1

.64),la pendiente

de

es

-(LlK)t-ttr . o. bÚ ll0 * a) .(1

- b|t'l

y la elasticidad es 1/(1 - ry'), una constante. Para calcular el límite de la función cle producción cuando ú tiende a cero, partimos de la ecuaciôn (1.64) para obtener lím4-e Ilog(Y)] = log(Á)+ 0/0 que incluye un término indeterminaclo. Aplicando la regla de l'Hôpital obtenemos:

(Y)l ,líq ilos = log (Á)

*l'tbxf

= log (Á) +

a'

log(áI() + (1

log (bK1

-a)'

[(1

- á).L]''. log[(1 lrl Ly

o\tlK)u' * (1 - o) ltr+ 0 - a) ' log [(1 - b)'L]

á). L]

| 1,,,-,,

De donde se deduce que Y - fi17a1t-t, doncie à = Abo.(1 - bf-'. Es decir, la funciírn de producción ESC tiende a la forma Cobb Douglas cuando y'r tiende a cero.

1.6. Problemas

81

1.6. Problemas 1.1. Convergencia

a. Explique

las diferencias entre convergencia absoluta, convergencia condicional

y la disminución de la dispersiírn de la renta real per cápita entre grupos.

b.

iBn qué circunstancias la convergencia absoluta implica una disminución de la dispersión de la renta per cápita?

1.2. Formas de progreso tecnológico. Suponga que la tasa de progreso tecnológico exógeno es constante.

a. Demuestre que un estado estacionario puede coexistir con el progreso tecnológico írnicamente si dicho progreso es del tipo que aumenta la eficiencia del trabajo. ;Por qué intuye que este resultado tiene que ser así?

Iu. SupongaquelafuncióndeproducciónesY=FIB(T) .K,A(t).L],dondeB(t)=szt y A(T) = dt, çon z> 0 y x à 0. Muestre que si e> 0 y existe estado estacionario, la función de producción tiene que ser necesariamente de tipo Cobb-Douglas.

1.3. Dependencia de la tasa de ahorro, la tasa de crecimiento de la población y la tasa de depreciación de la intensidad del capital. Suponga que la función de producción cumple las propiedacles neoclásicas.

a.

iPor qué la tasa de ahorro, s, depende generalmente de &? (Responda de manera

intuitiva: la respuesta precisa aparecerá en el capítulo 2.) á. qCómo varía la velocidad cle convergencia si s(À) es una función creciente de &? ;Y si s(&) es una función decreciente de á? Ahora considere el caso de una tecnología AK. c. En este modelo, ;por qué la tasa de ahorro, s, dependería de á? d. ;Cómo cambia en el tiempo la tasa de crecimiento de É, dependiendo de si s(&) es una función creciente o decreciente de À?

e. Suponga que la tasa de crecimiento de la poblaciôn, n, depende de &. En una tecnología ÁK, lcuál tendría que ser la relación entÍe n y k para que el modelo predijerâ convergencia? ;Puede pensâr en motivos por los que a estaría

/.

relacionada con à? (Analizaremos la determinación de n en el capítulo 9). Repita la pregunta e sustituyend o n por la tasa de depreciación ô. ;Por qué podría ô depender de À?

1.4. Efectos dc una tasa de ahorro mayor. Analice la siguiente afirmaciôn: "Asignar una proporción mayor de la producción nacional a la inversión ayudaría â reestâblecer un alto crecimiento de la productividad y del nivel de vida". ;En qué circunstancias es correcta esta afirmación? 1.5. Proporciones de los factores. Para una función de producción neoclásica, demuestre que cada factor de producción gana su producto marginal. Demuestre que si los propietarios del capital ahorran toda su renta y los trabajadores consumen toda su renta, la economía alcanza la regla de oro de la acumulación de capital. Explique sus resultados.

g2

I

I Modelos de crecimiento con tasas de ahorro exógenas (el modelo Solow-Swan)

1.6. Distorsiones del modclo Solow-Swan (basadas en Easterln 1993). Suponga que la producción se logra r-necliante una funciôn de producción con ESC,

v = [(nrr 0; ry < 1;y ú < 1. El capital formal e informal instalzrdo tiene distinta localiz:rción y forma de propiedad y, por lo tanto, tiene distintir productividad. La producción puede dedicarse bien al consumo o bien a la inversión bruta en las tres formas de capital. Los tres tipos de capital se deprecian a la tasa d. La poblaciírn es constânte y el progreso tecnológico es nulo.

El capital formal está srljeto a imposición a la tasa r en el momento de su instalación. Así pues, el precio del capital formal (en unidades de prodr-rcción) es 1 +r. El precio de una unidad de capital informal es 1. La inversión bruta en capital

la fracciírn fija s6 de la recaudación impositiva. Si parte de la recauclación impositiva no se emplea, es clevuelta a las familias en un pago írnico. La suma cle la inversión en las dos formas de capital privado es la fracción s de la renta neta de impuestos y trânsferencias. E,l capital privado que ya existe puede ser transformado completamente bien en c:rpital formal o bien en carpital informal.

pírblico

es

a. Calcule el ratio entre cirpital informal y formal que utilizirn los ó. c. d.

procluctores

rnaximizadores del beneÍicio. En el estado estacionario, las tres formas de capital crecen a la misma tasa. ;Cuirl es el ratio entre prclducto y capital formal en el estado estacionario? .Cuál es la tasa de crecimiento de la economía en el estaclo estacionario? Las simulaciones con cifras demuestran que, para valores razonables cle los parámetros, el gráfico de la tasa c1e crecirniento con respect() al tip,r imp«rsitivo, r, i'lurnentar con rilpiclcz inici:rlmente, alcanza un mhximo, y por últinto decrece con regularidad. Explique estir relaciírn n() m()ní)tonit entre la tasi.t c{e crecimiento y el tipo impositivo.

1.7.lJna función de producción lineal. Consiclere la íunción cle proclucciírn Y = AK + BL,donde A y B son constantes y positivas.

a.

;Es neoclásica esta funciírn de producción? ;Cuáles de las condiciones neoclásicas cumple y cuáles no? á. Exprese la proclucciôn por persona en funciírn del capital per círpita. ;Cuál es el producto marginal de É? ;Cuál es el producto nredio de fr? En lo sucesivo, suponemos que la poblaciírn crece â la tasa constânte r? \'qtle e[ capital se deprecia a la tasa constante d. c. Plantee la ecuaciírn fundamental del modelo de Solow-Swan. d. ;En qué condiciones tiene el modelo un estado estâcionario sin crecimiento del capitirl per cápita, y en qué condiciones tiene crecimiento endógen«r? e. En el modelo de crecimiento endógeno, ;cuál es el comportamiento en el tiempo de la tasa de crecimiento clel stock de capital (ar-rmenta o c{isminuye)? ;Y la tasa de crecimiento de la producción v el consumo per çápita?

1.6. Problemas

/.

83

Si s = 0,4, A = 1, B = 2, ii = 0,08 y n = 0,02,dcuál es la tasa de crecimiento largo plazo de Ia economia? ;Y si B = 5? Explique las diferencias.

1.8. Forma del progreso tecnológico

y el crecimiento en el estado

a

estacionario.

Considere una economía con una función de producción de tipo ESC:

Y

=D(t)

{iB(r) .K)ú +ÍA(t1.71*1tr't

donde ry' es un parámetro constante distinto de cero. Los términos D(r), B(t) V A(t) representan distintas formas de progreso tecnológico. Las tasas de crecimiento de estos tres términos son constantes y Ias llamamos xD, xB y ,cA, respectivamente. Suponga que la población es constante, con L = 1,y que normalizamos a 1 los

niveles iniciales de las tres tecnologías, de manera que D(0) =B(0)=A(0) esta economía, la acumulación de capital se rige por la fírrmula habitual:

=1.

En

K=Y-C-ôK Demuestre que, en el estado estacionario (definido como aquella situación en la que todas las variables crecen a tasas constantes, aunque no necesariamente iguales) las tasas de crecimiento de Y, K y C son idênticas. b. Supcrnga primero que ,rB = xA = 0 y que rn > 0. Demuestre que el estadcl estacionario debe caracterizarse poÍ yK = 0 (y que por lo tanto yy = yc: = O). a,

(Pista: Comience por demostrar 9ue 7y = xD + y*.1 A partir cle los resultados de los apartados a y b:, ;cuál es la única tasa de crecimiento de D(t) que es coherente con el estado estacionario? Por lo tanto, lcuál es la única tasa de crecimiento de Y posible en el estado estacionario?

###

Suponga ahora que

do estacionario yy

, It,. r«)'iffi.) n,t'/

e,

xD = xB = 0 y que xt > 0. Demuestre qqe en el esta- -xB. (Pista: comience por demostrar que yy = (xs +

Utilizando los resultados obtenidos en a y d, demuesrre que la única tasa de crecimiento de B coherente con el estado estacionario es rca - 0. Finalmente, suponga que íD = xB = 0 y que xl > 0. Demuestre que en el estado estacionario l;rs tasas de crecimiento deben cumplir yK = yy = yo = rp. (Pista: demuesrre primero Que

o

/y =

-;

íf,:;i'^

,

;Cuál será la tasa de crecimiento de estado estacionario del apartado población en vez de ser constante crece a la tasa n > 0?

/

si la

Modelos de crecimiento con optimización del consumidor (el modelo de Ramsey)

Cepirur-o

2

Una debilidad de los modelos analizados en el capítulo 1 radica en que la tasa de ahorro ,v, en consecuencia, el ratio de consumo con respecto a la renta son exógenos y constantes. Al no permitir que los consumidores optirnicen su comportamiento, este modelo no nos permite analizar de qué manera afectan los incentivos al comportamiento de la ecclnomía. En concreto, no podemos analizar la reacción de la economía ante variaciones de los tipos de interés, los tipos impositivos u otras variables. En el capítulo 1 vimos que incluir la optimización en el comportamiento de las empresas no modificaba los resultados básicos del modelo Solow-Swan, principalmente porque la suma total de la inversiôn de la economía seguía dependiendo del ahorro cle las familias y este ahorro seguía siendo exógeno. Para presentar una imagen más completa del proceso de crecimiento económico tenemos que permitir que el consumo y, en consecuencia, la tasa de ahorro sean determinados por hogares y empresas optimizadores que actúan en mercados competitivos. Hablamos de una cantidad inmensa de hogares que eligen su consumo y su ahorro de forma que maximizan su utilidad familiar sujetos a una restricción presupuestaria intertemporal. Este tipo de comportamiento del consumidor es un elemento clave del modelo de crecimiento económico de Ramsen desarrollado por el propio Ramsey 11928) y mejorado más tarde por Cass (1965) y Koopmans (1965). Una conclusión importante radica en que la tasa de ahorro no es constante sino función del stock de capital per cápita &. Así pues, modificamos el modelo SolowSwan de dos maneras: en primer lugar mantenemos constânte el nivel medio de la tasa de ahorro, y en segundo lugar determinamos si dicha tasa de ahorro aumenta o disminuye al desarrollarse la economía. Analizamos también cómo las tasas de ahorro dependen de los tipos de interés y la riqueza y, en un capítulo posterior, de los tipos impositivos y las subvenciones. El nivel promedio de la tasa de ahorro es particularmente importante en la determinación del nivel de las variables en el estado estacionario. En concreto, las condiciones de optimización del modelo de Ramsey descartan el caso de exceso ineficiente de ahorro que era posible en el modelo Solow-Swan. La tendencia de las tasas cle ahorro a aumentar o disminuir con el desarrollo económico afecta a la dinámica de transición, por ejemplo, a la velocidad de convergencia hacia el estado estacionario. En caso de que la tasa de ahorro aumente al aumentar á, la velocidad de convergencia será menor que en el modelo Solow-Swan, y viceversa. No obstante, vemos que aunque la tasa de ahorro aumente en el modelo

86

2 I Modelos de crecimiento con optimización del consumidor (el modelo de Ramsey)

de Ramsev la prclpiedad de convergencia se sigue cumpliendo con las condiciones generales. Es decir, unâ economía tiencle a creceÍ más deprisa en têrminos per cápit:r cuânto más Iejos esté de su propio estaclo estâcionario. Demostramos que el modelcl Solorv-Swan con tasâ de ahorro constante es un

caso particular del modelo cle Ramsey. Es más, este câso corresponcle a valores razonables. cle los parámetros. Así pues, valía la pena comenzar por el m«rdelcr Solow-Swan en tanto que aproximación maneiable al modelo con optimiz:1ción. Sin embargcl, también destacamos que los clatos empíricos parecen indicar que, dtrrirnte la transición al estado estacionario, las tas:rs de ahorro generalmente aumentan al âumentar la renta per cápita. El modelo de Ramsey es congrlrente con este patrírn y nos permite evaluar las repercusiones del comportâmiento del ahorro en la dinámica de transición. Es más, el modelo con optimiz:rción resultará esencial en posteriores capítulos cuando ampliemos el moclelo de Ramsev en varios aspectos y tengamos en cuenta posibles actnaciones de la política económica que tengan influencia en los incentivcls al ahorro.

2.1.

Hogares

2.1.1. Planteamiento del modelo Los hogares ofrecen trabajo a cambio de salarios, reciben ingresos en forma

de

intereses por sus activos, adquieren bienes pâra su consumo y :rhorran acumulando activos. E,l modelo básico supone que todos los hogares son idénticos, es decir, todcls tienen las mismas pr:eferencias, el mismo salario (porque todos los trabajadores son igualmente productivos), comienzan con la misma cantidad de activos por persontr y tienen la misma tasa de crecimiento demogrirfico. Con estos supuestos, el análisis

puede utilizar el marco habitLral del :rgente representativo, en el que el equilibricr surge de las decisiones de un írnico hogar. Más adelante arralizamos círmo gieneralizar estos resultados cuando se tienen en cLrenta diversas posibilidades de heterogeneiclad de los hogares. Cada hogar está formado por uno o más trabaiadores adultos de la generación actual. Cuando hacen planes, estos irdultos tienen en cuenta el bienestar y los recursos de sus fr.rturos descendientes. Construimos un inodelo que contemplil estil relación intergeneracional a través del supuesto de que la generación actual maximiza su utilidad e incorpora una restricciírn presupuestaria en un horizonte infinito. Es decir, aunque los individuos tienen vic{as Íinitas, consideram 0, u" \c) < 0.2 El supuesto de la concavidad implica una preferencia por el consumo regular a lo largo del tiempo: los hogares prefieren un patrón de consumo relativamente uniforme a otro en el que c sea muy bajo en ciertos periodos y muy alto en otros. Esta preferencia por la regr-rlaridad del consumo rige el cornportamiento del ahorro de los hogares, ya que éstos tenderán a pedir dinero prestado cuando su rentâ sea relativamente baja y ahorrar cuando su renta sea relativamente alta. También aceptamos el supuesto de que z(c) cumple

lascondicionesdelnada: u'(c)---»-cuando c--->0yu'(c)--->0cuandoc--roo. Lamultiplicaciónenlaecuación (2.1)de u(c)por eltamafrodelafamilia,L= ent, representa el sumatorio de las utilidades de todos los miembros vivos de la familia en el momento /. El otro factor que aparece multiplicarido,€ P', implica la tasa de preferencia temporal, p > 0. El valor positivo de p significa que las utilidades son menos valoradas cuanto más tarde se reciben.3 Suponemos que p > z, de manera que U de la ecuación (2.1) tiene un límite si c es constante en el tiempo.

2. Los resultados no variarían con transformaciones lineales positivas de la función de utilidad, pero si con transformaciones positivas arbitrarias y monótonas. Así pues, el análisis depende de una forma restringida de utilidad cardinal. Para ur.r análisis más erhaustivo véase Koopmans (1965). 3. Ramsey (1928) preferia el supuesto p = 0. Así pucs, veía al agente optimizador como un orgânizador social y no colro un hogar competitivo, que decide el consumo v el ahorro actual así como el de las generaciones veniclcras. El descuento de la utilidad para las generaciones futuras (p > 0) era, en opinión de Rarnsey, "éticamente indefendible". En e[ apénclice matemático resolvemos un ejemplo con

t,-0.

88

2 I Modelos de crecimiento con optimización del consumidor (el modelo de Ramsey)

Una razón por la que p es positivo radica en que las utilidades percibidas en momentos muy lejanos en el tiempo corresponden al consumo de generaciones futuras. Suponga que, partiendo de un punto en el que los niveles de constrmo por persona cle cada generación son iguales, los padres prefieren una unidad de su propio consumo a una unidad del consumo de sus hijos. Este "egoísmo" de los padres corresponde ap > 0 de la ecuación (2.1). Matizando más, también habría que distinguir la tasa a la que los individuos descuent:rn su propio flujo de utilidad en distintos momentos clel tiempo (caso en el que podría cumplirse p = 0) cle la tasa que se aplica entre generilciones. Unicamente por motivos de conveniencia, la ecuaciírn (2.1) establece que la tasa de descr-rento en la vicla de una persontr es lir rnisma que entre generlciones. Tarnbién sería aceptable que los padres tuvieran una utilidad rnarginal decreciente con respecto al nírrnero de hijos. Poclernos introc{ucir este rasg() en el modelo permitiendo que la tasa de preferencia temporal p aumente al aumentar l:r tasa de crecirniento cle la poblaci6n n.a Dado que r se considera exírgena, la depenclerrcia de p respecto cle re no modi{icaría significativamente el análisis exprresto en este capítr-rlo. Sin embilrgo, analizaremos este efecto en el capítulo 9, qr-re riene en cuenta [a c'leterminaciírn endógena del crecinriento demogrhfico. Los hogares poseen activos en forma de derechos de propiedad sobre el capital (como veremos más adelante) o err formar de préstamos concedidos. Los préstirmos obtenidos rep,:esent:.rn deuda. Mantenemos el supuesto de economía cerrada, que no contempla intercambio de activos con el extraniero. Los hogares pueclen prestar dinero y pedirlo prestado â otros h«rgirres, pero el hogilr representativ() tendrá préstamo neto igual â cero. Dado que se supone que los clos tipos de :rctivos, el capital y los préstamos, son srlstitutivos perfectos como depósitos de valor, tienen que generar la misma tasa de rendimientrl real r(r). Denominamos a los activos netos del hogar por persona a(r), medidos en términos reales, es decir, en unidacles de bienes de consumo. Los hogares actúan en condiciones de competencia en el sentido de que c:rda uno de ellos considera como dados el tipo de interés r(r) y el salario pagado por cada unidacl de trabaio lrr(l). Srrponemos que cada adr,rlto ofrece inelásticarnente una unidad de trabajo por unidad de tiempo. (En el capítulo 9 se analizir la elección entre trirbajo y ocio.) En equilibrio, el mercado de.tr:rbajo se vacía 1'el hogar obtiene la c:rntidad de empleo deseadir. Es decir, el rnodekr no conten'rpla "desernpleo

involuntario". Puesto que cada personzl realiza una r-rnidad de trabajo por unidad cle tiempo, la renta salarial de un adulto es igual aw(t). En consecuencia, la renta total que recibe el total de hogares es la suma de la renta salarial w(t)L(t) y la renta cle los activos r(r) .(Activos). Los hogirres utilizan la renta que no consumen parar acumular más activos:

4. Un caso habitual en la literatura sobre el crecimiento acepta el sr-rpucsto dc que p aunrenta lo rnisnro que âumenta r; es decir,p = p'' + tt) clonclep- es la tasa de preÍerencia tcmporirl positJva para ur.r crecimicnto de la población nulo. En dicho caso, la utilidad en el n.loulento l ertra en la ecuación (1.1) cono u(c)e-t'-t, clue depencle de la utilidad per cápita, pero no dcl tamarlo dc la fan-rilia en el momcnto t. Esta espccificación fue usacla, por ejemplo, por Sidrauski (19ír7) v_Blanchard v Fisher (l9,99, capítulo 2).

2.1. Hogares

89

d(Activos

)

=

r.

(Activos\ +

wL -

C

t) )\

donde omitimos los indicadores de tiempo siempre que no haya ambigüedad. puesto que d representa los activos per cápita tenemos:

/l\ l,lfAcr'u.r)l_,,,

'=

lr/ l-il

r

Así pues, si dividimos la ecuación (2.2) ertre L, obtenemos la restricción presupuestaria en terminos per cápita:

d=w+ra-c-nal

(2.3)

Si cada hogar puede tomar dinero prestado en cantidad ilimitada al tipo de interês del momento r(r) tiene incentivos para adoptar un comportamiento de tipo piramidal (encadenado). El hogar puede pedir dinero prestado para financiar su consumo actual y después utilizar préstamos futuros para refinanciar el principal y pagar los intereses. En dicho caso, la deuda del hogar crece indefinidamente al tipo de interés r(l). Puesto que nunca se amortiza el principrrl, el consumcl afradido hoy resulta gratuito. Así pues, un hogar que pudiera romar dinero prestado de esta mânera podría financiar un nivel arbitrariamente alto de consumo de manera perpetua. Para eliminar esta posibilidad de financiación piramidal, suponemos que el mercado de crédito restringe las sumas prestadas. La restricción adecuada es que el valor actual de los activos debe ser asintôticamenre no negativo, es decir:

,lg{,r,1 ."0 [- lo' vt,t ^

r,)],-,

(2.4t

Esta restricción significa que, â largo plazo, la deuda por persona del hogar (aIr] con valor negativo) no puede crecer tanto como r(r) - n) con lo que el nivel de la deuda tiene que crecer más despacio que r(r). Esta restricción elimina la posibilidad de la Íinanciación piramiclal descrita. Más adelante mostramos cómo la restricciôn que establece el mercado de préstamos expresada en la ecuaci ôn (2.4) se deriva naturalmente del equilibrio de mercado. El problema de optimización del hogar es maximizar U en la ecuación (2.1), sujeta a la restricción presupuestaria de la ecuación (2.3), el stock de activos iniciales a(0) y el límite de obtención de préstamos de la ecuaciôn (2.4). También debe cumplirse la restricción de no negatividad c(r) > 0. Sin embargo, cuando c(r) tiende a 0, la condición de Inada implica que la utilidad marginal del consumo tiende a infinito. Así pues, esta restricción nunca tendrá la posibilidad de acotar el resultado, con lo que podemos obviarla sin problema

90

2 I Modelos de crecimiento con optimización del consumidor (el modelo de Ramsey)

2.1.2. Condiciones de primer orden Los métodos matemáticos para resolver este tipo de problenra de optimización dinámica apârecen en el apéndice matemático al final clel volumen. [Itilizamos dichos resultados sin más explicación. A partir de la funciírn de Hamilton del valor actual

!

= ulc(t)1. n tn

n)t

+ vft) .ltu(t) + lr(tl

* nl'a(t) - c(t)l

(2.-5)

donde la expresión entre llaves es igual a à de la ecuación (2.3).La variable 2.,(r) es el valor actual del precio sombra de la renta. Representa el valor de un incremento de la renta recibiclo en el momento , en unidades cle utilidad del momento cero.5 Nótese que este precio sombra depende del tiempo, porqrre existe un precio sombra para cada "restricción" y el hogar se enfrenta a una sucesión continua de restricciones, una en cada momento. Las condiciones de primer orden de mzrrximo de U son:

ât

,i=o-

v = ,,'(c)c

(' ')'

n=-ôllôa-i=-(r-n).v La condición de transversaliclad

(2.6)

t)

a\

es

lím [v(r) .a(t)1 = 0

(2.8)

Í+ !'-

La ccuación de Eulcr Si derivamos la ecuaciírn (2.6) con respeto al tiempo y sustii en la ecuaciôn (2.7) obtenenros la condición básica cle elección del consumo en el transcurs 0, de manera que la elasticidad de la utilidad marginal es igual a la constante -e .7 Laelasticidad de sustitución de esta función de utilidad es la constante o = 1 10. Así pues, esta expresión se denomina función de utilidad con elasticidad de swstitución intertemporal constante (ESIC). Cuanto mâyor sea á, más rápida será la disminución proporcional de u'(c) en respuesta a aumentos de c y, en consecuencia, menos dispuestos estarán los hogares a aceptar desviaciones del patrón regular de donde 0

-

6. La elasticidad de sustitución intertemporal entre el consumo en c[ momento ,1 y en el momento ,2 viene dada por cl invcrso de la variaciôn proporcional del valor de la pendiente de una curva de indiferencia en respuesta a la variación proporcional del ratio cltl|lc(t2). Si denominanros rr a esta elasticided.eríe

" = lríiiwç,n'"']í:ii] lí:J;ií' "'

I

donde -z'[c(tt)llu'lc(t2\l es el valor de la pendiente dc [a curva de indiferencia. Si t2 tiende a t1, obtcnemos la elasticidad instantánea,

c = -u'

(cl I lc .

u" (c)l

que es [a inversa dcl valor de la elasticidad de la utilidad marginal. 7. La inclusión en la expresión del valor -1 resulta conveniente va que implica que cuando íl + 1 a(c) tiende a log(c). (Este resultado se demuestra utilizando [a regla de 1'Hôpital.) Sin embargo, el término ,1 I 11 - €) puede omitirse sin que afecte a los resultados posteriores, ya que las elecciones de los hogares no varian respecto a trânsformaciones lineales de la función de utilidad (véase la nota 2).

2l

92

Modelos de crecimiento con optimizaciÓn del consumidor (el modelo de Ramsey)

c a lo largo del tiempo. Cuanclo 0 tiende a cero, la ftrnción de utilidacl tiende a ur.ra forma lineal en c; si y = p,la linealiclad significa que los hogares son indiferentes a

consumir en

Lrn

momento u otro del tiempo.

La expresión deu(c) de la ecuaciírn (2.10) implica que la condición de óptrmo de la ecuación (2.9) se simplifica, quedando:

(2.r

clc=(1lo).(r*p)

1)

Así pues, la relación entre / y p determinâ si los h 0:e

a(T). s-lí(t') n)r *

|o'

,Urn.r,u-ntt dt

=

olol *

lnr

w1t1e-lvlt) ',)t i7

donde utilizamos la definiciôn de -(t) de la ecuación (2.13). Esta restricción presupuestaria intertemporal establece que el valor actual descontado de toda la renta entre 0 y T más la riqueza inicial tiene que ser igual al valor actual descontado de todo el consumo futuro más el valor actual de los activos en T. Si calculamos su límite cuanto T --+ co, el primer têrmino del primer miembro de la ecuación desaparece (debido a la condición de transversalidad de la ecuación 12.12]1) y la restricción

9.

I-os métodos para resolver ecuacioncs diferenciales lineales de primer orden con coeficientes

r,ariables se tratan en el apéndice nratemático al final del volumen'

2 I Modelos de crecimiento con optimización del consumidor (el modelo de Ramsey)

94

presupuestaria intertemporal se transforma en

./'"

c{r)n

trtt)-nlt

(h = d(O) +

.1,,

u,tt)rni\t)-nlt trt = a(0) + w(0\

(2.141

Así pues, el valor actual del consumo es igual a la riqueza de tocla la vida, clefinicla como la suma de los activos iniciales a(0) mirs el valor actual de la renta del trabajo. representada por eZr(0). Si integramos la ecuación (2.11) entre 0,v /, y utilizamos la definicirin de (r) de la ecuaciírn (2.13), obtenemos que el consrrmo viene dado por

.{/)-

c(0)

'

''t'rt'.lLr'-çlr

La sustitr:ción de este result:rdo de c(r) en la ecuaciírn de la restricciítn presuptrestaria intertemporal de la ecuaciôn (2.14) nos concluce hasta la {ttnción de cottsltnr 0. Así pues, T(/) = e't, dclnde normalizamos a uno el nivel tecnológico inicial T(0). La función F( ' ) cumple las propiedades neclclásicas expuestas en el capítulo 1. En concreto, Y muestra rendimientos constantes a escala en K y L, y cada factor se caracteriza por tener producto marginal positivo y decreciente. En el capítulcl 1 vimos que el estado estacionario coexiste con progreso tecnológico a tasa constante sólo si el progreso tecnológico es del tipo que aumenta la eficiencia del trabajo

Y(t) = PlYç),L(')' T(')l "trabajo efectivo" como el producto de la cantidad de trabajo por el nivel de tecnología, L = L.T(t\,la función de producción puede expresarse

Si cle nuevo definimos

de la siguiente manera

Y = F(K,LI

(2.t7\

Nos resultará n-rás cómodo trabaf ar con variables que permanecen constantes en el estado estacionario. En el capítulo 1 vimos que el estado estacionario del modelcr con progreso tecnológico exógeno era tal que las variables per cápita crecían al mismo ritmo que el progreso tecnológico, es decir, a la tasa x. Esta propiedad se mantendrá en el presente modelo. Así pues, volveremos a tratar con cantidades por unidad de trabajo eÍectivo:

i=-YlLyk=KlL La función de producción puede entonces expresarse en su'forma intensiva, como en la ecuación (1.38),

i=f\i)

(2.18)

donde f (01 = 0. Se puede comprobar fácilmente que los productos marginales de los factores vienen daclos porlo

10. PodemosexpresarV=L.fti0.LafuncióndeHamiltondeesteproblemaes

I-

u(c)e-t" +

v' tf&) - ce't -(x+

z

+o)

Âl

l-as ecuaciones de primer ordcn habituales llevan a la ecuación (2.2.5) ), la condiciôn de transversaliclad .r lr ccrrrción 12.2r.;.

2 I Modelos de crecimiento con optimización del consumidor (el modelo de Ramsey)

100

Ân

ILUSTRACIÓN 2.1

lEl

Â'

fr,,*,

diagrama de fase del modelo de Ramsey.

La lustración muestra la drnámica de

transición del modelo de Ramsey. Los lugaresgeometricos./ê = 0y  = O dividen el espacio en cuatro sectores y 1as flechas muestran la direcc ón del movimiento en cada sector. El modelo presenta una trayectoria estable de punto de silla. El tramo estable es una curva^de pendiente positiva que pasa por el origen y por el estado estacronario. Comenzando en un nivel bajo de Â, el óptimo inicial de Ê es ba1o. Durante la transrciôn ,'y À crecen, tendrendo a sus valores de estado estacionario.

son del mismo signo. Si (ri)* < 0, Â -- Oy f'&) --, co, entonces la ecuación (2.2-5) implica que (),a)- > 0, urra consecuencia que de nuevo contradice el resultedo de qLre (7i)- y (y)- son del mismo signo. En consecuencia, la írnica posibilidad qrre qued:r es que (yÂ)- =(yt)" =0. El resultado (Zi).=0^implica qLre (7i)-=0. Per l0

Por su parte, la ecuación (2.3) sigue expresando la restricción presuprrestariir. la írnica diferencia entre este problema y el analizado en las secciones anteriores es la fecha final, la única condiciírn de optimización que cambia es li,r condición de transversalidad, que ahora se convierte en Pr-resto que

21. Este análisis es corÍecto si la inversión es reversible. Si la inversión es irrcversible. la restricciôn < ítir) establece un línrite antes cle que la travectoria toclue el eje de ordenaclas. Es clccir, las trlvectorias que empiezan en pnlltos como el âi de la ilListmciór.r 2.1 finalmcntc cortarían a la función dc producciór.r

t

t

= f(i\ clue se sitúa por: dcheio.l. l.r cun'r À - o. A partir cle ahi, la trave'ctoria scguiría a la funciírr clc producción. hacia abajo v hacia el origen. En el apór.rclicc 2B (sección 2.9) se demrrcstra que cstas tÍa\.ectorias no

22.

sor-r equ

ilihrios.

obtienen resultaclos sirnilarcs si la economía se sitúa inicialnrcnte en ÀtOt >' Â' er la ilustración 2.1. Flrr ese caso, la única con-rplicirción es que. si h inversión es irrevcrsible. la rcstriccirin .' . /1i-r po,1rr.r ser apJicablc en estâ resión. Véase el apénclice 2R (sccción.2.9). Se

2.6. Dinámica de transición

105

a(r) .exp

l-

lr'

[r(u)

- n)a,f=

o

Puesto que el término exponencial no puede ser igual a cero en un momento finito, esta condición implica que los activos al final clel horizonte de previsión son iguales a cero:

a(T) = g

\2.32)

En otras palabras, puesto que el valor sombra de los activos en el momento T es positivo, los hogares tomarán la decisión óptima de no dejar ningún activo cuando

"fallezcan". El comportamiento de las empresas no varia

y el equilibrio del

mercado de

âctivos de nuevo exige que d.(t) = k(t). En consecuencia, las ecuaciones (2.2a) y Q.25) siguen estableciendo las condiciones de equilibrio general, y los lugares geométricos â = 0 son los mismos que los de la ilustraciôn 2.1. Las flechas que representan la dinámica del sistema también son las mismas. Puesto que a(r) = k(t),la condición de transversalidad de la ecuación (2.32) se puede expresar de la siguiente manera

k=0y

(2.33)

É(T) = 0

De acuerdo con la ilustración 2.1, esta nueva condiciírn de transversalidad exige que la elección inicial de ô(0) sea tal que el stock de capital sea igual a cero en el momento T. En otras palabras, la optimización exige ahora que la economía toque el eje de ordenadas exâctâmente en el momento T. Esto implica que el tramo estable mostrado yâ no representa el equilibrio, pues no conduce a la economía hacia el capital cero en el momento T. Esto es también cierto para cualquier elección inicial de consumo situada por debajo del tramo estable. En consecuencia, el nuevo equilibrio se caracteriza por un valor inic^ial de ô(0) situado por encima del tramo estable. Seria posible que tanto â como À crecieran durante un tiempo. De hecho, si T es grande, en su inicio la trayectoria de transición estaría próxima âunque ligeramente por encima del tramo estable.mostrado en la ilustraciín2.1. Sin embargo, al final la economía corta a la curva  = 0. A partir de ahi, ty  disminuyen y la economía acaba teniendo capital cero en el mclmento T. En consecuencia, vemos que el mismo

sistema de ecuaciones diferenciales conduce a un equilibrio (el tramo estable) o a otro distinto (la trayectoria que acaba en el eje de ordenadas en T) dependiendo únicamente de la condición de transversalidad.

2.6.3.

La Íorma del tÍamo estable

El tramo estable representado en la ilustraciôn 2.1 representa el equilibrio de ê en función de Â.23 Esta relación se conoce en programación dinámica por el nombre de 23.

La relación equivalente en el modelo Solow-Srvan, e5 aon\tantc.

ta:a dc rhorro

i = (1 -.t

/(Â), surgía del supuesto de que la

Í06

2 I Modelos de crecimiento con optimización del consumidor (el modelo de Ramsey)

ÂÂ.

Â,

ILUSTRACIÓN 2.2 ) La pendiente de la trayectoria de punto de silla. Cuando a es balo, a los consumidores no les preocupan las grandes varacrones de consumo en el tiempo. En consecuencia, eligen un consumo relativamente bajo cuando el stock de capital es bajo (y el tipo de interés es alto). En esta situación la tasa de inversión es inicialmente alta y la economía alcanza el estado estacionario con rapidez. Por el contrario, si a es alto los consumidores preÍieren un consumo regular en el tiempo. Así pues, al principio dedican la mayor parte de sus recursos al consumo (el tramo estable está próxrmo a la curva À = 0) y poco a la inversrón. En este caso a economía se aproxima al estado estacionario con lentitud.

l)olicy fi.mction: indica el valor írptimo de una variable de control ô con respecto a una variable dada Â. Esta funciôn es Lllrir curvâ de pencliente positivit quc atrilviesa el origen y Ia posición de estado estacionario. Su forma exact.l c'lepende de los pârámetros del rnodelo. Cclnsidere, por eiemplo, el efecto del parírrnetro á sobre lir forma del tramo estable. Suponga que la econ()mía se encuentra inicialmente .n Â(O) . Â'=, ..r,, lo que los valores futuros de â serán superiores a ô(0). Unos v:rlores altos de 6 imprlican que lcls hogares tiene una fuerte preferencia por un consumo regular en el tiempo; así pues, se esforzarán por desplazar consumo futuro hacia el presente. En consecuencia, cuando á es alto el tramo estable estará próximo a la

.r.u:,

Â=

0, t:rl y colrr() se

muestrâ en la ilustraciôn2.2. En c0 indica el valor que el hogar l-ésimo atribuye a dicho servicio público. La variable g también podría representar los servicios que los hogares obtienen de forma gratuita del medio ambiente, por ejemplo, al contemplar el cielo. El resultado principal de esta ampliación radica en que la agregación de los comportamientos individuales sigue concordando con el modelo del agente representativo, en el sentido de que las variables promedio de la economia, a y c, evolucionan de igual manera que lo harían con un único agente que tuviera los valores promedio de activos iniciales, productividad laboral y preferencias. En este sentido, los resultados del modelo de Ramsey son coherentes con esta ampliación en la que se introducen preferencias heterogéneas.

2.7.

Tasas de preferencia temporal no constantes

La mayor parte de los modelos macroeconómicos básicos, incluido el modelo neclclásiccl de crecimiento que hemos analizado, se basa en el supuesto de que los hogares tienen una tasa de preferencia p constante. Sin embargo, la base lógica de este supuesro no esrá clara.2e Quizirs la raz(»n de esta falta de claridad sea que

el motivo por el que los individuos tienen preferencia temporal positiva tampoco está muy claro. Ramsey (1928, p. 543) prefiere utilizar una tasâ de preferencia temporal igual a cero. Justifica este enfoque en un contexto normativo diciendo "no clescontâmos disfrutes posteriores en comparación con los anteriores, una práctica que es éticamente indefendible". De manera semejante, Fisher (1930, capítulo 4) argumenta que la preferencia temporal, o impaciencia como él prefiere denominarla, refleja principalmente la falta de previsión y autocontrol del individuo. Un motivo por el que los economistas no han aceptâdo una tasa de preferencia temporal nula radica en que provoca dificultades en el equilibrio a largo plazo: en concreto, la condición de transversalidad clel modelo que hemos analizado réquiere la desigualdad p>x.(1 -0)+n,que es positiva si á< 1 +(nlx). Así pues, la mayoría de los análisis aceptan el supuesto de una tasa de preferencia temporal positiva, aunque constânte. Como se sabe desde Strotz (1936), y gracias a los estudios de Pollak (1968)y ..y como mucho anres lo entendió el propio Ramsey (1928)"30, Goldman (1980),

29. Vêase Koopmans (1960) y Fishburn y Rubinstein (1982) para un cálculo axiomático de la tasa de preferencia temptlral constante. 30. En la parte de su análisis en la que tiene en cuenta la preferencia temporal, Ramsev (1928, p' 439) 0,ó"(u) < O y 4,'@) tiende â cero cuando y tiende a infinito. Estas propiedacles entraflan que la tasa de preferencia temporal, expresada. por p + Q'U - r), es alta a corto plazo pero aproximadamente constante en el futuro lejano, a un valor más bajo p. Con estas preferencias, los consumidores scln impacientes en lo que respecta a consumir justo ahora, pero no son cortos de miras en el sentido de no tener en cuenta las consecuencias a largo plazo. El análisis acepta que en la toma de decisiones no se dan fallos de este tipo. Excepto en la modificación de la tasa de preferencia temporal, el modelo no cambia, incluyendo la especificaciôn de la función de producción y el comportamienro de las empresas. Por conveniencia, comenzamos con el caso de cambio tecnológico nulo, x = 0.

2.7.1. Resultados con decisiones deÍínitivas delconsumo Las condiciones de optimización de primer orden de la trayectoria del consumo del hogar c(r) serían sencillas si la trayectoria completa del consumo presente y futuro pudiera elegirse de manera definitiva en el momento presente r. En concreto, la ecuación (2.11), expresión de la tasa de crecimiento del consumo, se transformaría en cl c

= 1 le) . [r(t) - p - ó' (t - r)1

(2.s3)

para t> r. La novedad radica en que a p se le afrade el término Q'ft -r). La ecuación (2.53) puede ser interpretada como resultante de perturbaciones, por las que el consumo desciende en cierto lÍoment() y âumenta en otro momento, incluso en un

momento inmediato, mientras que los restântes factores que influyen en el consumo se mantienen constântes. Dadas las propiedades de 4r(.), p + 0'ft - r) se situaria inicialmente en un valor altoydisminuiríatendiendoapamedidaquer-Ítiendeainfinito.Asípues, latasa de preferencia temporal en el estado estacionario seria p, y el estado estacionaricr clel modelo coincidiría con el análisis anterior. Los nuevos resultados ataíierían a la transición, durante la que las tasas de preferencia temporal serían superiores a p, pero decrecientes en el tiempo. Un problema provocado por estâ solución radica en que el momento presente r es arbitrario, y en la situación típica la posibilidad de tomar decisiones de consr"rmo clefinitivas no surge en ese momento. Si fuese posible decidir para siempre el consumo, muy probablemente esta posibilidad habría existido en el pasado, quizás incluso en el pasado infinito. En este írltimo caso, los valores presentes y todos los valores futuros del consumo habrían sido fijados con anterioridad y r sería en realidad menos infinito,conlo queó'(t-r) seríaigual aceroparatodo/>0.4sípues, latasadepreferencia temporal sería igual a Í) para todo / > 0, y los resultados.estándar del modelcr de Ramsey se aplicarían a todcls los casos y no únicamente al estado estacionario. El principal problema es que la fijación de decisiones futuras de c(r) es problemática. Así pues, en la siguiente sección se busca la solución a falta de una

2 I Modelos de crecimiento con optimización del consumidor (el modelo de Ramsey)

124

tecnología que fije el consumo futr-rro. En este milrco, en el momento r el hogar sôlo puecle deternrinar el flu jo instantáneo de constrmo c(r).

2.7.2. Resultados con decisiones secuenciales del consumo con Íunción de utilidad logarítmica En general, la condición de primer orclen de Ia ecuaciírn (2.53)no se curnplirir si n r + e. Así pues, para toclo / > Í + € el consumo viene determinado por

loglr(r)l = loglc(r + e )l *

f,',*,rrrrdt,-

À.lt - r -

)

-À

c)

34. Phelps y Pollak (1968, secciôn 4) utilizan una hipótesis similar para calcular un equilibrio de Cournot-Nash de su. problema. Establecen el supuesto de utilidad isoJlástica.y tecnologíá lineal, de manera que la tasa de rcndimiento es constante. La últin-ra propiedad es esencial, ya quc si la rasa de rendimiento cs variablc en el tiempo el consumo no es Lrnâ fracciôn constante de la iiqueza (excepto en el caso de que á - 1). La tecnología lineal tambión elimina cualquier dinámica cle traniición,'con'io qu. la economía

se

erlcucntra siempre en una situación de crecimiento de estado estacionario.

126

2 I Modelos de crecimiento con optimización del consumidor (el modelo de Ramsev)

En consecuencia, la expresión de la utiliclad cle la ecuación (2.54) puede expresarse de la siguiente manera

U(r) r c loglc( r)l+ loglr(r r- r,l / .t

,*,

c tt 'Ít r1-ótt t't (lt

+ los términr)s que son independientes de la trayectoria de

c(r)

(2.59)

Definamos la integral e(e ) :

I

c-l Pt -,rtt \l du

(2.60

)

El efecto marginal de c(r) sobre U(r) puede calcularse de lil siguiente manera

t * Q(e) .d[c(t+e)].d[Á(r+e)l = dlc(r)l c(r) c(r + e) r1[À(r + e)] dc(r)

dlu(r)l

La írltima derivada es igual a -€, â partir de la ecuaciírn (l2.571, y la penúltima es igual a 2, según la soluciírn cle la ecuación (2.58). Por lo tanro, si igualamos a cero

dlu (r)l I dfc(r)l

r(r

.l

r- c)

a(r

)

Si esta soluciírn es correcta, c(r + e) tiene que tender a c(r) cuando e tiende a E,n câso contrario, c(f ) se caracterizaria pclr tener saltos en todos los moment1ls del tiempo, v la respuesta sería incorrecta. El único valor de ,l qLre cumple esta correspclndenci:r se deduce de inmediato y es cero.

) = 1l{l =

(2.61\ .[,,"

e

lnu*ao'tl ,Ju

donde utilizamos la notación O = O(0). Resumiendo, la solución al problema del consumo del hogar con función de utilidacl logarítmica es que c(/) es una fracción,l de la riqrreza de cada fecha, clonde I es la constante definida en la ecuaci6n (2.61\. La solución es coherenre en el tiempo ya que, si en todos los momelttos futuros c(f) se elige dc esta maner:r, el consumo que se decida de esta manera en el momento presente serh óptimo.r5

-35. Esteenfoqueproviencdclirecu;rción(2.61)conrounequilibriodeCournot-Nash,pcrononuestril que el equilibr:io sca írnico. En un nroclelo de tiempo discrcto con horizontt, finito, como el utilizado por Laibson 11996), es fácil de dcmostrar esta cârâcterística de equiJibrio único. En r,'l'periodo Íinal, cl hogar consume la totalidad de sus activos y la solución írnica para cada uno dc'los periodos anteriores pr-reclc calcularse yendo hacia atrás secuenciahrerte â prrrtir del periodo final. Este'resultaclo se cur.nplc siernprc v cuando rr(c) sea cóncava y no sólo l.ara utilidacl isclelirstica. L,l resultado único también sc cumple si la dr-rraciór.r clcl periodo tiende a cero (pâra conscguir un tiempo contintro) v si lil longitLrcl del horizonte

2.7 . fasas de preÍerencia temporal no constantes

127

El análisis de la ecuación (2.61) revela que À= p enel caso estándar del modelo de Ramsey, en el que ó(u)=0 para todo u.Para evaluar las repercusiones generales de Q@\ sohre 2, nos es útil expresar la ecuación (2.61) de la siguiente manera u -lpu+s(v)l

À= lo-

. lp + Q,@)) du

(2.621

e-ln,*ao)l du fn*

Puesto que el numerador de la ecuaciôn (2.62) es igual a uno,l6 esta ecuaciírn equivale a la ecuación (2.61). La expresión de la ecuación (2.62) nos es útil porque muestra que r es el promedio ponderado independiente del tiempo de las tasas de preferencia tempôral instantáneas p+0'@). Puesro queQ'@) > 0,Q"@) 0yÉ>0).Asípues,secumpliría7.>0paratoclo/,unresultadoque no concuerda con una economía que tiencle hacia su estado estacionario. Se deduce que si s* > 110 yr< 0 n en cclnsecuencia, 3 > 0. Siguiendo el mismo razonamiento, si s. 0 y s < 0. Los resultados pueden resumirse así:

s. = 1le implica que s(t) = 110, un valor constânte s* > 110 implica que s(r)

>

710 v S(r)

>0

s. < 110 implica que s(r) < 1 l0 y §(/) < 0 Estos resultados concuerdan con la representación gráfica de la ilustración 2.3. Si utilizamos la expresión de s* de la ecuación (2.93), vemos que s* ) 1/e exige

2.11. Apéndice 2D: demostración de que yi disminuye...

137

> ( p + 0x + ô) I la . (x + n + ó)l > 1 I cv. En consecuencia, si 0 < 1 I o,se cumple que los parámetros cleben estar clentro del intervalo en el que § < 0. En otras palabras, si 6 < 1ln, el efecto sustituci(rn intertemporal es lo bastante fuerte como para

que d

garantizar que la tasa de ahorro disminuye durante la transición. Sin embargo, para nuestro valor preferido de rr, próximo a 0,7 5, esta desigualdad exige que 0 < 1,33, y esto es poco probable que se cumpla. Podemos analizar el comportamiento del ratio consumo/capital ?lk de la misma manera. Lcls resultados en ese caso son:

á=

rz

implica que tlfu =

d < o implica

que

t.li


o implica que tlk >

-

@ + p)10

( 0.38 Las ecuaciones (2.15) y (2.16)

implican

Ârol* ô(0) =

l,* donde

/- fu(t)e-litt\-n slVlt). 1t -

e

1

1

o

-

p

1 e+

x)t dt

t) 97\

nll dt

-(l) es el tipo de interés promedio entre los momentos 0 y /, tal y

como

se definió en la ecuación (2.13). Un incremento en los.valores de r(u) para todo 0 < u 0011>0larectaê=0sedesplazahacialaizquierdahastalarectadiscontinuadenominada(1=0)', La posición Oe  = o es la misma en ambos casos. En consecuencia, Â' y â- son inferiores.

Q.

de ru, y Í. tomando en considerâción la trayectoria temporal de las transferencias V. La combinaciôn exacta de r,r, r, y V no tiene importancia, porque en el modelo estâs variables corresponden a impuestos o transferencias de cuantía fija. Así pues, el diagrama de fase del modelo corresponde a las líneas continuas de la ilustración 3.1.

Impuestos sobre la renta del capital y los ingresos de las empresas Suponga que seguimos considerando § como una constante positiva, pero ahora r, > 0 o 11 > 0. Si mantenemos fijo §, estamos asumiendo que la restricción presupuestâria del Estado de la ecuación (3.1) se cumple en cada periodo mediante algún tipo de ajuste de tn, r, y V. De nuevo, la combinación exacta de los ajustes no afecta al equilibrio. Los valores positivos de r,, y 11 influyen en el modelo únicamente a trâvês de la expresión de ê de la ecuaciírn (3.10). En concreto, un incremento de 11 o de t1 desplaza la recta â = 0 hacia la izquierda, como queda representado por lâ recta disiontinua denominada (ê = 0)' de la ilustración 3.1. Dado §, un aumento de r, tr

rl

no influye sobre Ê = 0 (véase la ecuación [3.9]). Como se ve en el diagrama, la existencia de impuestos sobre la renta del capital provoca la disminución a largo plazo de k* y ô* . Este efecto se debe a que los impuesios disminuyen el incentivo al ahorro. La condición de transversalidad garantiza que, tras el aumento inicial del tipo impositivo en el momento cero, la economía se sltr"rá en el nuevo tramo estable. Puesto que el nivel de capital no puede dar un salto en el momento cero, el nivel inicial de consumo tiene que aumentar. El motivo es que, inicialmente, el aumento de los impuestos disminuye lâ tasa de rendimiento después de impuestos por lo que fomenta que los individuos sustituyan consunlo de

futuro por actual.

148

3 I Ampliaciones del modelo de crecimiento de Ramsey

\\À=0con§>0 -------t---

ILUSTRACIÓN 3.2 | EÍectos del gasto público en bienes y servicios. La curva continua À = 0 corresponde §>0ylacurvadiscontinua,situadamásarriba,correspondea.s=0.Laposicióndei-0eslamismaen

a

ambos casos. Así pues, un mayor valor de ,( conlleva un valor menor de â'.

3.1.3. Efectos del gasto público en bienes y servicios Considere ahor:r los efectos de un aumento permanente e inesperado del gasto público en bienes y servicios. La ilustración 3.2 analiza estos efectos cornparando el caso en el que § > 0 y el caso en el que § = 0. Los tipos impositivos distorsionadores r, y rI se suponen idénticos en ambos c?.lsos, es decir, establecemos el supuestcr de que el gasto público en bienes y servicios se financia mediante impuestos sobre los salarios o el consumo o por disminuciones de las transferencias de suma fija. Por consiguiente, estamos considerândo los efectr.rs de ún mayor gâsto público en bienes y servicios cuya financiaciôn es equivalente a un impuesto de suma fija. Para analizar los efectos del gasto público en bienes y servicios financiado por un impuesto distorsionador, podemos combinar el presente análisis con el de la sección anterior. Dado el supuesto establecido en cuânto a la Íinanciación, la posición del lugar geométrico ô = 0 es la misma para ambos valores de §. Sin embargo, Ia posición de = 0 es más baja en el caso de § > 0 que en el caso de § = g. La intensidad del capital en el estado estacionario Â- es la misma en ambos casos, pero ô* es inferior cuandcl C> 0. 4largo plazo el gasto público en bienes y servicios ejerce un efecto expulsión sobre el consumo en una proporción uno a uno. No se produce un efecto a largo plazo sobre el capital, porque la Íinanciaciírn mediante una herramienta equivalente a un impuesto de suma fija evita la distorsiírn. Además, hemos supuesto que el gastcr público no tiene efectos directos sobre la proclucción. &

149

3.1. El Estado

Los efectos dinámicos cle un mayor gasto en bienes y servicios son más sencillos,

si, en lugar de trabajar con un § constante, suponemos que el ratio

l: G/C es

constante. Así pues, la expresiírn de À de la ecuación (3.9) se transforma en

:^

k=

ftirl- (l +l) . t -

(x + n +

fi .k

(3.12)

En este caso, observando las ecuaciones (3.10) y (3.12it, se ve claramente que las trayectorias temporales completas de las variables (1+2)'ô y É no varían al variar el valor de 1. Así pues, un valor mayor de 2 no provoca cambio alguno en Ia trayectoria completa de A. Por consiguiente, un valor mayor de 2 conduce a una sustitución en proporción uno a uno de G por C a lo largo de la trâyectoria completa. Gasto público en bienes y servicios en la función de utilidad Hasta ahora hemos supuesto que los hogares no recibían utilidad alguna de los servicios del Estado. Suponga por el contrario que la utilidad del hogar representativo tiene la forma w(c,É).La especificación de § depende de la manera en la que los servicios públicos influyen sobre los hogares. Si el gasto público en bienes y servicios se utiliza para proporcionar un bien equivalente a un bien privado (por ejemplo, comedores escolares gratuitos), entonces se cumpliría gue § = g. En el caso de que los bienes y servicios proporcionados por el Estado fueran bienes públicos no rivales, como podría ser la protección de un monumento, se cumpliría § = G. Muy probablemente, el ejemplo más importante de bienes no rivales sería las ideas y los conocimientos que nacen de la investigación y la experiencia. Otro ejemplo podría ser que el Estado utllizara este gasto para proporcionar bienes públicos no excluibles sujetos a saturación. En ese caso los servicios a los hogares podríarn tener la forma siguiente

s = g'Y(G/C)

(3.13)

Y(. ) > 0, Y'(. ) > 0, Y(0) = 0 y Y(-)=1. Este parámetro Y(G/C) recoge el grado de saturaciírn de los servicios públicos. Para un G/C dado, los servicios donde

proporcionados a cada hogar § son proporcionales a g. Sin embargo, a medida que G disminuye en relación a C, aumenta la saturaciôn y cada hogar recibe una menor cantidad de servicios efectivos por cada unidad de g. Esta especificaciôn podría ajustarse bastante bien a los servicios que proporcionan las carreterâs, parques, etc. E,n otros casos, la saturación puede estar vinculada a la producción Y o al stock de capital privado K, en vez de a C. La condición de primer orden del hogar representativo para c puede calcularse de la manera habitual, suponiendo en este caso que § sigue una trayectoria temporal exógena y que u(c,§) es la función de utilidad del hogar. La condición de primer orden resultante puede calcularse de la forma habitual,

r('-rn)=P(T)(:)

(flw)

(3.141

r50

3 I Ampliaciones del modelo de crecimiento de Ramsey

Así pues, se obtiene la conclición estándar de tlc si (T) = -rl V (ff) = 0. En el caso presente, la condición estándar se ve modificada, teniendo en c,uenta la evoltrción de

!

en el tiempo y lir naturaleza del término cle interacciôn

(f

).

Suponga que la funciírn cle utilidacl tiene la forma que gener:rliza nuesrra especificación anterior, en la qrre la elasticidad interterrporal de sustitr-rciírn era c()nstante.

u(c,!) =

1[à1c,g)11-P

1-0

-

11

(3.1s)

donde la firnción de felicidad /:(c,§) crrrnple que /r.t0 y lru>0 y es homogénea de grado uno con respecto a cy g. En este caso y a partir de la ecuación (3.14,\, podenros demostrar qLre se cumple la condición estándar cle primer orclen para ô/r, comcr aparece en la ecuaciírn (3.3), si que el râtio de c con respecto a § pernranece constante en el tiempo. Por eyemplo, si §=g (bienes privados suministrados públicamente), y

1=glc permanece constante en el tiempo, la dinámicir del sistema viene por las ecuaciones (3.3) y (3.12),lo que implica que obtenemos los mismos

si el ratio clacla

resultados que ântes, cuanclo 2 era constante; es decir, un 2 más :rlto no modifica lzr trayectoria de &, y un g mayor ejerce un efecto expulsión sobre c en Llna proporciór'r uno â uno en cada momento del tiempo. Se obtienen los mismos resultados si ,l es constante y los bienes suministrados pírblicamente estl1n sujetos a satlrrâciôn como se recogía en la ecuación (3.13). Si g=6,- (bienes públicos puros) se cumple la condición de tlc recogida en la ecuación (3.3) si el ratio G/c es constante, lo que irnplicir Çue zl = g/c drsminu,ve de acuerdo a e-'t. En la ecuación (3.12) Ia disminución en el tiempo de,l desplaza

continuamente hacia arriba la posición de À = 0. Este desplazamiento se produce debido a que el aumento de la población a la tasa a significn que el sr.rministro de una cantidad dacia de servicios públicos per cápita § se abarata con el tienrpo. E,n el estado estacionario, los.servicios pírblicos son gratuitos (ya que la población es

rnfinita) y la posición de À = 0 corresponde a la curva continua de la ilustraciírn 3.2. Sin embargo, estos resultados únicamente se cumplen si los servicios públicos son enteramente no rivales. Probablemente, hay pocos bienes que entren en esta categoríu.

La solución del planificador social Podemos usar el enfoque del planificador social para evaluar el suministro óptimo de servicios públicos en diversas situaciones. El planificador social maximiza la funcitin

[" ,-lr'-')'.r(c,§).dt,sujeto

ir la restricción

.l rt

de recursos (3.9). Así pues, la función de Hamilton del planificador

J = u(c,É)' n-(n-nlr +

u

lf(i0. Con frecuencia se han estimado de forma empírica relaciones del tipo de la ecuación (3.34).6 Estos estudios empíricos se basan en la propuesta de Brainard y Tobin (1968) de utilizar el ratio entre el valor de mercado de las empresas y el stock de capital V/K corno aproximaxión a q. El ratio V lK se conoce por el nombre de q promedio, mientras que el precio sombra del capital instalado que aparece en nuestro análisis teórico se denomina q marginal. Sin embargo, ambas definiciones de 4 coinciden en nuestro modelo. Para demostrar la igualdad entre 4 marginal y 4 promedio, utilizamos las ecuaciones (3.32), (3.31) y (3.25) y obtenemos (tras varias operaciones)

.5. Este resultado requiere sólo la conclición más débil 2' ó' lí lk) + \? lk)' A".Q lk) > 0. Véase, por ejemplo, von Furstenberg, (1977), Summers (1981) v Blanchard, Rhee y Summers (1993). Barro ltllO"l óalcula la primera derivada, de manera que la variación en_ el ratio de inversión se vincula a la variacíón en cl valor de mercado de las empresas. Esta variación del valor de mercado se aproxima mediar.rtc [a tasa de rendimiento del n.rercado dc valores.

6.

Í56

3 I Ampliaciones del rnodelo de crecimienlo de Ramsey

d(qK)ldt = qK+ qk = rqK-

L

tf til -we

'' - i.[1

+ ó(?lk))l

Esta relación es una ecuaciírn lineal diferencial de primer orden en 4K que puede resolverse utilizando e '(r) ' como factor de integración. Si utilizamos la condición de transversalidad de la ecu:rción (3.33) y la definición cle V de la ectración (3.28)

obtendremos'

qK=V de maner:r que V/K (o 4 promedio) es igual it q(o q marginal). Hayashi (1982) demuestra que este resultado se cumple siernpre que la funci«'rn de producciírn se caracterice por tener rendimientos constantes a escala v el mercado de valores sea eficiente.T

3.2.2. El equilibrio con un tipo de interés dado A continnaciôn vamos a analizar el estaclo estacionario,v la dinámica de transición cuando el tipo cle interés r(r) viene dado de nranera exógena. Este planteamiento correspondería a una empresa individual que considera el tipo de interés de la economía como un valor dado o a una pequefra economía abierta que tomâ como valor dado el tipo de interés internâcional. E,ste último contexto corresponcle a una ampliación del modelo de Ramsey que analizaremos más adelante en este mismo capítulo. En dicha arnpliación, que obvia los costes de ajuste de la inversión, la convergencia de À e j,hacia sus valores de estado estacionario resulta ser instanthnea. Sin embargo, a continuaciôn demostramos qLle los costes de ajuste conllevan velocidades de convergencia finitas aún en presencia de mercados mundiales de préstamos perfectos.

Simplificamos el análisis mediante el supuestr> de que el tipo de interés r es constante y r > x + r. También nos restringimos al caso en el que el coste de ajuste es pr: I + ó.

(r+ô) > 4*. La ecuaciôn (3.39) implica que 4 > 0 para los valores de  a la izquierda de la curva q=0 y qducción.

Podemos hacer una aproximación cle las ecuaciones (3.37)y (3.38) como sistema lineal cle log(Â) y q en las proximiclades del estaclo estacionario. Establecemos el sr-lpuesto cle que la funci(rn c1e producción es cle tip«r Cobb-Douglas, f(ir)=,qk*,y

8.

Se puede dcmostrar que esta^propiedad se mantiene para

que cumpl:r

2.

d)'

l?

l

k) +

l?

I

k) - ó"

lí I

k\ > 0.

todâ función de costcs dc ajustc d( . )

3.2. Costes de ajuste de la inversión

159

utilizamos los valores habituales de los parámetros o = 0,7 5, x = 0,02 anual, n = 0,01 anual yô=0,05 anual. También suponemos que el tipo de interés internacional es r=0,06 anual, aunque los resultados son prácticâmente los mismos si r es algo mayor, como por ejemplo r = 0,08 anual. Con estos valores de los parámetros, el coeficiente de convergencia B p".o  . del parámetro á de la función de costes de ajuste de la ecuación (3.35). depende f, Para pensar en valores razonables de este parámetro, observe que en el estado estacionario, donde Q lk)- = x + n + ii = 0,08 anual, el coste de una unidad de capital es igual a 1+0,04'b. Además, la ecuación (3.39) implic a que q* = 1+0,08'á. Así pues, á = 1 implica que 4* = 1,08 y que en el estado estacionario el coste de una unidad de capital adicional es 1,04, mientras que si á = 10 implica que q* = 1,80 y el coste por cada unidad de capital extra será 1,40. El valor q* =1,80 es relativamente alto en relación a las estimaciones de 4 realizadas por Blanchard, Rhee y Summers (1993); sus valores en ningún caso superaban 1,5. En consecuencia, para el capital físico, valores de á iguales o superiores a 10 implican costes de ajuste improbablemente altos y tienden a generar valores de 4* altc'rs, contrarios a los datos empíricos. De hecho, puesto que q>4* se cumple cuando k.k-, el moclelo exigiría que á fuera muy inferior a 10 para garantizâr que no se produzca q>1,5 durante la transición al estado estacionario. Ahora bien, valores de á muy inferiores a 10 implican un coeficiente de convergencia B improbablemente alto. Para los valores de los parámetros mencionados anteriormente,B disminuye de - en b=0 a 0,16 cuando b = 1,0,11, ctando b =2 y 0,09 cuando b = 3. El coeficiente B no desciende a 0,05 hasta que 1u no supera el valor 6 y no desciende a 0,03 hasta que á es igual a 12.e Para queB descienda a 0,03 con un valor de b más bajo, tenemos que aceptar el supuesto de que el coeficiente de participación del capital o es mayor que 0,75. Por eiemplo, si a = 0,90, B desciende a 0,03 con á igual a 6. Vemos dos maneras de salir de este atolladero. La primera radica en argumentar que el capital incluye el capital humano y que los costes de aiuste asociados al capital humano son tan altos que resultan razonables valores de á iguales o superiores a 'l 0, acompai.rados de los correspondientes valores altos de q. 'u N,, sabemos cómo comprobar esta hipôtesis a partir de la información que poseemos actualmente respecto de los rendimientos del capital humano. La segunda posibilidad radica en eliminar el supuesto de que la economía es capaz de financiar la totalidad de su inversión a un tipo de interés fijo r. Una manera de hacerlo es retomar los modelos de economía cerrada tratados en el capítulo L y 2, en los que r varia para igualar la demanda de inversión al nivel deseado de ahorro nacional. Una segunda forma radica en mântener la economía abierta, pero introducir algtrnas restricciones en las condiciones que permiten a una economía individual pedir dinero prestado

Cuando á tiendc a inlinito. p tiencle a 0,02-5; es decir, a medida que el parárnetro del coste de vuelve arbitrariamente alto, la velocidad de convergencia no ticnde a cero. Sin embargo, cuando tiende a infinito, la economía tiende a un va!or de estado estacionario &" que,tiencle a cero.

9.

ajuste

}

I0.

se

KremervThomson(1998)utilizanunmodelodegencracionessolapadasencl

quelostrabajadores

jóvenes se benefician dc interacciones con los trabajadores mayores v rnás experimentados en el contexto de una relación aprendiz-maestro. E,fectivamcnte, este marco implica altos costes dc aiuste de incrementos rápidor de iapit.tl hutn.trto

3 I Ampliaciones del modelo de crecimiento de Ramsey

160

en los mercaclos cle préstamos mundiales. En la siguiente sección calculamos los resultados para el caso en el que los costes de ajuste de la inversiírrr se incluven en el modelo neoclásict-r de crecimiento en unâ economía cerracla. En una secci(rn posterior, irnalizamos los costes de ajuste en unâ economía abierta.

3.2.3. El equilibrio en una economía cerrada con tipo de interés Íijo Los gastos en inversión bruta por trilbajador efectivo, incluiclos los costes de iljuste s()n:

i.[1

+ d,|lí?)l

En una economía cerrada, este gasto es igual al ahorro bruto por trabajador efectivo. Si aceptamos el supuesto de que ese ahorro es la fracciôn constante s de la producción

bruta por trabalador /(Â) obtenemos'

s.f tlltL = 0lL)'11+ o\?ll)l Si utilizamos la expresión lineal cle Q(?lb de la ecuaciírn (3.35)y la correspondiente expresiírn de ilk de la ecuación (3.36) el resultaclo se sirnplifica en la expresiôn

siguiente:

s

t'titú=

(+) tl - tt

(3.42)

Si ntilizamos una función de producción Cobb-Douglas, /(À) = Al?", a partir de la ecuación (3.42) resolvemos q expresada en valores de & y sustituimos este resultado

À^

en la expresión de À de la ecuación (3.37), obtenemos una ecuación diferencial en À: i^

ktk = tt lb). ll1 +ZbsA.i1t-11rt2- 1) - (x + n + õ)

(3.43)

Este resultaclo es la forma general de la expresión de la écuación (1.30) del modelcr Solow-Swan teniendo en cuenta los costes de ajuste. Si â = 0 se cumple el resultado del modelo Solou,-Swan.l1 Como hemos hecho hasta ahora, se puecle calcular el coeficiente de convergenciaB mediante la linealizacií;n logarítmica de la ecuación (3.43) en las proximidades clel estado estacionario. La expresión de B que se obtiene es:

lJ-tl-rv) '(rl//+ôl

Il+tll2l'h' {x+r+,i,; I I t l''lx t n+6) I

(3.44)

Así pues, si no hay costes de ajuste (á = 0), la expresión deB se simplifica, convir.(x + n + ô) (véase la ecr.ración t1.311). tiéndose en la del moclelo Solow-Swan (1 -

")

se demucstra que, cuando ú tiende tr cero, la expresión cle convierte cn la expresión de Ia ecur'ción (1.30).

11. Aplicando la regla de l'Hôpital ecuaciôn (.1.43)

se

la

161

3.3. El modelo de Ramsey en una economía abierta

Si á > 0, la ecuación (3.44) establece que en el modelo de costes de ajustep es menor

que en el modelo Solow-Swan y que es una funci(rn decreciente de á. Cuando

tiendeainfinito,Btiende a(1,12).(1

1z

-a) .(x+n+ô),esdecir,alamitaddelvalor

que predice el modelo Solow-Swan. Si utilizamos los mismos valores de los parámetros que antes (o =0,75,x=0,02, n=0,01,ô = 0,05) y suponemos que los posibles valores del coeficiente de costes de ajuste Iu son muy inferiores a 10, el principal resultado es que la influencia de los costes de aiuste sobre la velocidad de convergencia es pclco importante. Por ejemplo, si á = 0 (en el caso del moclelo Solow-Swan),13 =0,020 al afro. Sib =2,F = 0,019, y sib = 10,B = 0,016. Así pues, aunque la existencia de costes de ajuste ralentiza la convergencia, la importancia de dicho efecto tiende a ser pequeíia. Como dijimos con anterioridad, para obtener efectos mayores, tenemos que aceptar el supuesto cle que los cgeficientes de coste de ajuste son tan altos que el correspondiente valor d" q*, y sobre todo los valores de transición de q son superiores a los valores observados empíricamente (al menos en el caso del capital físico). A fin de tener en cuenta lcls costes de aiuste en el modelo de Ramsey podemos

actuar de manera idéntica.l2 En lugar de aceptar el supuestc't de que la tasa de ahorro bruto es constante, utilizamos la condición ya conocida cle optimización del hogar tlc = Íle).? - pl. Este análisis es sencillo aunque engorroso y desvela una

serie de nuevos resultados. En concreto, descubrimos que la existencia de costes de

ajuste reduce la velocidad de convergencia en relación a la original del modelo de Ramsey (ecuación 12.341). Ahora bien, al igual que en el caso del modelo SolowSwan, si utilizamos un valor del coeficiente de coste de ajuste b congruente con un comportamiento "razclnable" del precio sombra q, los efectos cuantitativos s()n pequeiios.

3.3.

El modelo de Ramsey en una economía abierta

En los modelos de economía cerracla de los capítulos 1 y 2 los residentes del país poseían la totalidad del stock de capital. Así pues, para un país i, el capital por trabajador à; era igual a los activos per cápita de los hogares d;. En esta sección ampliamos el modelo a una economía abierta. Comenzamos modificando el modelo d. il"-r.y de manera que renga en cuenta la movi[idad ínternacional de bienes y los préstamos y créclitos internacionales. Veremos que esta modificación para una economía ahierta conlleva algunas conclusiones paradóiicas. Acto seguido analizamos si otras modificaciones (imperfecciones de los mercados financieros internaciclnales, parámetros de preferencias variables, horizonte finito y costes de ajuste de inversión) pueden condrrcir a resultados más razonables.

3.3.1. Planteamiento del modelo El mundo está formado por muchos países. Por comodidad, decin-ros que uno de esos países, el país l, es el país nacional y el resto son los países extranjeros. Dentro

12. Paraun mayor análisis de este modelo,

vêase Abel

y Blanchard (1983) y e[ problema 3..5.

162

3 I Ampliaciones del modelo de crecimiento de Ramsey

de cada uno de los países, los hogares y las empresas tienen icrlales objetivos 1, restricciones establecidas por el modelo de Ramsey clel capítulo 2. Se establece el supuestcl de que en su condiciírn cle depósitos de valor, krs derechos nacionales y los derechos extranjeros de propiedad del capital son sustitutiv()s per:fectos. Así pues, todos ellos cleben remunerarse a la misma tasa de rendimiento r. Puesto que seguimos suponienclo que en cualqr-rier país los présternros y los derechos

de propiedad del capital son sustitutivos perfectos como depósitos de valor, la variable r será el tipo cle interés mLrndial único. Suponga que el país nacional tiene unos activos per cápita ai y un capital per cápita É,. Si É, es mayor qüe di, la diferencia ki - ai tiene que representar los derechos de propiedad netos en la economía nacional de los residentes extranjeros. si a; es mavor que A;, a;-À1 representa los derechos de propiedad netos de los residentes nacionales en las economías extranjeras. Si definirros d; como la cleucla neta del pais nacional con el exterior (derecl-ros de propiedad extr:anjeros en la economía nacional menos los clerechos de propiedad nacionales en los países

A la inversa,

extranjeros), entonces

d;=k;-a;

(3.45

)

De igual manera, los activos nircionales son iguales al capital nacional menos la deuda extern ai ai - ki - di. El saldo de la balanza por cuenta corriente equivale (con signo opuesto) a la variación en la deuda externa agregada, Di = Lidi, donde L; es la poblaciírn y la mano de obra del país l. Así pues, si L;.crece a lil tasa rt;, el saldo de la balanza por cuenta corriente del país I es igual a -(di + nidl).13 El modelo sigr.re tenienclo únicamente un solo tipo de bien físico, pero ahora los residentes extranjeros pueden adquirir producciôn nacionâl y los nacionales pueden adquirir producción externa. E,n este modelo, la única función clel comercio internacional es permitir que la producción nacional sea distinta del gasto nacional en consumo e inversión. En otras palabras, tenemos en cuenta los aspectos intertemporales del cclmercio internacional, pero htrcemcls caso omiso de sus implicaciones en las tendenciirs de especialización de la producción. Seguimos aceptando el supuesto de la no movilidad del factor trabajo. Es deciq los residentes nacionales no pueclen ni trabaiar en el extranjerc ni emigrar, y lcls

extranjeros no pueden tr;rbajar en el país nacional ni inrnigrar. En el capítulo analizaremos el fenórneno cle la migración.

9

La restricción presupuestaria del hogar representativo del país I es idéntica ir la estabfecida en la ecuación (2.2\:

ài =wi La írnica novedad r:rdic:r en qrle /

+?-fii)'di

es el

-ci

(3.46)

tipo de interés internacional.

1.3. Puesto que D, es la deucla externâ total clcl país, el saldo dc la balanza por cuunta eorricnre igu.rl .r -D,. L.r d.6rrieión d. - D,lL, v l.r r,rn.licion L,lL, - ,,, inr1.li.,n n',. i1,,t , -1,1. t ,,,d,1.

cs

163

3.3. El modelo de Ramsey en una economÍa abierta

Suponemos que los hogares tienen el mismo tipo de preferencias que en el capítulo 2 (ecuaciones [2.1] y lZ.9]) y permitimos que cada país tenga su propia tasa d. descuento p, y su propia elasticidad de sustituciôn intertemporal 0;. Puesto que el objetivo y las restricciones son las mismas que en el capítulo 2, la condición áe primer orden del consumo sigue siendo la establecida en la ecuación (2.10)t t;f c; =

01il'?

- P)

o, si se expresa en valores de consumo por trabajador efectivo,

(11il .\dcildü = 01il'(r -

Pi

-

qixi)

(3.47

)

De nuevo, la condición de transversalidad exige que aift) crezca asintôticamente a una tasa inferior a r - ni) como se estableció en la ecuación (2'11)' De nuevo, las condiciones de optimizaciôn de las empresas implican que los productos marginales de los factores tienen que ser iguales a los precios de los mismos (ecuaciones 12.211 y 12.221) : (3.48

f'(ii)=r+rri tf lk) -L, .f'Úr)l

.

eÍit = tui

)

13.4e)

Si sustituimo s w; de la ecuación (3.49) en la ecuación Q.a6) y utilizamos la ecuaciírn (3.48), la variación de los activtls por trabajador efectivo se puede expresar como

(tâildt = f(k)- (r+ó,)' &i -

â)-

(xi + nl +

õ)'

âi

-

êi

(3.s0)

observe que â partir de la ecuaciôn (3.45) sabemos que (à; - âi)=d;, Que es igual a cero en el casoà. uno economía cerracla. la ecuación (3.50) es la forma general de la ecuación (2.23) para el caso en el que d; * 0-

3.3.2. CompoÍtamiento del stock de capital y la producción en una economía pequefia

Si la econclmía del país i es pequeíla con respecto a la economía mundial, la acumulación de activos y el stock de capital del país tiene un efecto insignificante en la trayectoria del tipo de interés internacional r(l). Así pues, podemos considerar que, pai, .l país l, la irayectoria de r(f) es exógena. Dada dicha trayectoria, las ecuaciones (3.48) y Q.a9) fijan las trayectorias de ki?) y wi(t) sin tener en consideración las decisiones de consumo y ahorro de los hogares nacionales. Dada la trayectoria temporal de w;(t),las ecuaciones \3.47) y (3.50) y la condición de transversalidad determinan las trayectorias de ôi(r) y âlt\. Por último, lâs trayector ias dei;ç1 y aiç1 determinan el comportamiento de la deuda externa net.a di(t) de la ecuación (3'45)' para simplifi.n., el supuesto de que el tipo de interés internacional es "..p,"*os la economía munclial se encuentra en el tipo de hecho, igual a l" .ánrtnnt" r. be

164

3 I Ampliaciones del modelo de crecimiento de Ramsey

estado estacionario que antes analizamos para una única economía cerrada. Si el país i fuerir una econ()mía cerrada, su tipo de interés de estado estâcionario seria pi+0;xi (como en el capítulo 2). Acept:rmos el supuesto de que se cumple r < p;+e1xi,,va que si r> p;*0;x;, al final la economía nacional acumularía tal canticlacl cle activos que incumpliría la condiciírn establecida inicialmente de que se trata de una economíer pequeãa. También establecemos como condición que /'> xi * 111, es decir, que el tipo de interés internacional es mayor que la tasa de crecimiento de estaclo est.rcionario que se daría en el país i si se tratara de una economía cerrada. En caso contrario, el valor actual de los salarios seríir infinito y, en consecuencia, la utilidacl que se poclría alcanzar sería ilimitirda. Si r es constante, la ecuación (3.48) implicâ que Â;1r1 .r igual a unâ constan-

te, que clenominamos (Âi)ori"r,o, y que cumple la condición f'[(Âi)"5ierta] = r*ôi. En otras palabras, la velocidad de convergencia desde cualquier valor inicial Â;(0) hacia (Âi),6;.6" es infinita. Si (Âi),,r,i"1x es rnâ|or qu. Â,101 se procluce una entrada de capitales provenientes del resto del mundo tan rápida (a una tasa infinita) que el diferencial clesaparece inmediâtamente. De igual mAnera, sl Â;(O) es superior a (Âi),ti"no se produce Lrna enorme salicla de capitales. E,sta predicción de velocidad de convergencia infinita de Â;, contraria a los datos empírictrti +0;x,el ratioentreconsllmoyproducciíln mgndial tenderá a infinito, pero antes de que esto ocurra el país acabarir teniendcr la propiedad de la totalidad de la riqueza mundial y el tipo de interés internacional seajustaráhastaigualar p;+0ix.Esteresultaclosecumpleparaelpaísmáspaciente, pero al final los restantes países alcanzan la situación en la qle ri 0 y 20'(.) *'*'0"(')>0. Las empresas maximizan el valor actual de los flujos de caja netos futuros:

*e*

n

.lo*

.

\exrunlt

r-0

- wL -

Ir,

-

tn .1,

* o(:*)l\

d,

(3.63)

sujeto a las dos restricciones de acumulación

k=Ip-õK

(3.64)

H=In-ôH

(3.6s)

3 I Ampliaciones del modelo de crecimiento de Ramsey

176

La función de Hamilton de este sistemir es igual

a

I = e-it,v .{ax"UrLr-t-\ - wL - t,. - 4, lt .,(*)l) + u1 '

(17,

r5K) + u1, '

-

-

(1,1,

(3.66)

nes de primer ordenz3 y usando los precios sombra de los valores actuales, obtenemos que qk = I en todo momento del tiempo, de doncle se deduce

tt

0li 0. Podemos sustituir este resultado en la restricción de la acumulación de capital humano, obteniendo

di,

dt

= ?t

- 6 + n + x)'it

=,!r@n)'h

-

@

+n+

x)'

h

(3.71)

La condición de primer orden con respecto a /r proporciona una ecuación dinámica de q1,: . 4n = ? + 6) qn

-,t

0

li,)

-

btr@r,)12' (/lV@r,)l

(3.72\

A partir de la ecuaciírn (3.68) obtenemos qn = ? +

ü.

qn

-

- . h-\#

_

1,1.,@r)12

. O'l,tl(qàl

(3.73)

donde  es una funciôn cle constantes. Las ecuaciones (3.71) y (3.73) forman un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias. En la ilustraciôn 3.4^aparece representado el diagrama de fa-

ff = 0 es una recta horizontal en q;=1 + Las flechas situadas por encima de esta rec+(ô +n+x).Q'@+n+x). ó(ô+n+x) ta apuntan a la derecha, y las situadas por debajo de esta recta apuntan hacia la izquierda. La curva Qp Íiene pendiente positiva para valores altos de 4/,, pero pendiente negativa cuando cruza la ,rrt^ ff = 0. Las flechas a la izquierda de este punto de corte âpuntân hacia abajo. El sistema es estahle con trâyectoria cle punto de silla y el tramo estable tiene pendiente negativa. Si inicialmente la economía cuen-

se. Observe que el lugar geométrico

ILUSTRACIóN 3.4 I Diagrama de Íase del modelo con capital Íísico y humano,y costes de aiuste en la acumulacióndecapital humano. El diagramadeÍasesemuestraenel cuadrante(q7,,hl.El lugargeométrico

lr=0esunarectahorizontal en.7i.=1+d(.§+,í+Í)+(,1 +r+r).{'(d+n+xl.LacurvaQ6=0tienependiente negativa en las proximidades del éstado estacionarro. El sistema tiene estabiiidad con trayectoria de punto de

silla y el tramo estable tiene pendiente negativa.

178

3 I Ampliaciones del modelo de crec imiento de Ramsey

ta con un capital humano demasiado peqrleíio (es decir, a la izquierda del estaclo estâcionârio), el sistema no salta instantáneamente hastâ el estado estacionrrrio; es decir, la velocidad de convergencir no es infinita. Por el contrario, la economía sigue un proceso de convergencia lento a lo largo del tramo estable. El motivo radica en que un salto hasta el estado estacionario entraÍiaria que eu un inst;rnte se produciria una inversión infinita en capital hunrano. El correspondiente coste de ajuste sería extremadamente grande y en consecuenci:r no sería (rptimo. Así pues, la acumulación de capital humano es gradual y la economía converge con lentitud hacia el estacl«r estacionari(). A meclida que aumenta h, el stock cle capitirl físiccr âumentâ de acuerdo con lo establecido en la ecuaciôn (3.68). Se deduce pues que el nivel de PIB también converge con lentitud.

Kremer y Thomson (1998) analizan un modelo equivalente en el que la función de producción depende del capital humano de los jóvenes y de los mayores. Afirman que estos dos tipos de capital humano son complementaricls (serviría la comparacií)n con un equipo de fútbol, en el que el capital humano de los mayores está representado por la figura del entrenaclor, que complementa el capital humano de los jírvenes, que serían los jugadores). En este contexto, si el capital humano de la

primera generación es pequefro, incluso aunque el capital sea perfectamente móvil, los jóvenes no se endeudarán para aumentar su stock de capital humano hasta el valor de estado estacionario, ya qLle la productividad de los ióvenes no será muy alta si los mayores tienen poco cirpital humano. Así pues, el proceso de acumulacil..Ladependenciadesrrespectode

10.(1+r,*1)-(1 [1 +(1 +p)1 trr y rt+t puecle expresarse de la siguiente manera donde

út+t=

s* = ôs7f ôwt = 1lú*t s'

-

ôr1' =

âs1f

Observe que 0 < s,u'2'

Tenemes que elegir un purlro

195

3.8. Apéndice: modelos de generaciones solapadas o sucesivas

k*t : K*tl Lt+1 = stl 0. + n) Sr.rstituyendo s1 de la ecuacií)n 13.99) en esta ecuación se obtiene

k,*t.(1 * Si sustituimos

ry'111

r(k,*t)

u)tlút+t

(3.106)

por la expresión de la ecuación (3.99) obtenemos

Àr*r . (1 + donde

n) =

fl

.

[1

+

]

+ p)1te' 1L + r(k7*1;1{a-t)rn} =

w\k)

(3.107)

viene dada por la ecuación (3.102) y w(kt) viene dado por la ecuación

(3.101). La ecuación (3.1 07) es una ecuación en diferencias no lineal en À1; para cada valor de É1, la ecuación determina implícitamente el valor de equilibrio de A,*1.35 Así pues, para un valor inicial dado de É1, la ecuación (3.107) proyectará la trayectoria futura cle los stocks de capital. La ecuación (3.107) puede tener una solución analítica sírlo en casos especiales

de las funciones de producción y utilidad. Por ejemplo, si la función de utilidad es logarítmica (á = 1), en la ecuación (3.107) la expresión entre llaves del primer miembro de la ecuación se simplifica en2 +p. Asi pues, la ecuación en diferencias queda así

&r*r = [ f(k,)

- k'. f' (k)]ll(1 + n). (2 + p)l

(3.108)

El estado estacionario Para calcular la intensidad de capital en el estado estacionario, consicleremos que en la ecuación (3.107) kr*t = kt = &* y obtendremos

(1+n) {r +1r +p)lt'.11+f'(kr)-ôl(r'

1)/í.,}

=f&rllk. -f'(kr)

(3.109)

as, f (kt) = Akf., podemos ver la naturaleza la ecuación (3.109) se simplifica de la caso, de la determinación de &-. En ese

Si

consideramos una función Cobb-Dougl

siguiente manera (1

+n) {f +1f +trt)lte .11+ttA.(á.)"

1-ôl(1'-1)/0}

=(1-o) 'A'1k.y-t (3.110)

Si definimos z* como el producto promedio del capital bruto, es decir ex

:

Á ' (áx )o-

I

,

la ecuación (3.110) puede expresarse de la siguiente manera

(1+n).{f +1r +p)lte .11+oz*

35.

-ôl(í'-1)/e} = (1

-tz)'z

Este valor de eqr-rilibrio puede ser único o no; véase el siguieate subapartado.

(3.11r)

196

3 I Ampliaciones del modelo de crecimiento de Ramsey

DCHA =

(1

H-1 (a)

C 0, como se ve en el gráficcr a dela ilustración 3.7. Esta recta corta a la recta (1 -,r) 'e* en un valor z. positivo igual a (1 +n).(2+p)lÍ -o); asi pues, el stock de capitâl de estado estacionârio existe y es único. E,n este caso, la solución parâ lâ intensidad de capital de estado estilcionârio es

Á'(I-tr) lt/(t-"t -=l (1+n) +n).\2+p)]

(3.r r2)

El gráfico á de la ilustraciírn 3.7 corresponcle al caso de 0 0). A fin de establecer la dinámica de l p +ô > (A -ô)' (1 - 0) + 0n + ó

(4.12)

La primera parte de esta expresión implica qlue clc>0. La segunda parte, que es equivalente a p + ex>x + n del modelo del capítulo 2, garantiza que la utilidad alcanzable está acotada' y qu. la condición de transversalidad §e cumple. 1. A 6n de comprobar

este resultâdo, sustituva c(l) de la ecuación (4.11) en la función de utilidad,

208

4 I Modelos de crecimiento endógeno con un único sector

Para calcular la tasa de crecimiento del capital y l:r producción por trabaiador, dividimos la ecuación (4.8) entre á y obtenemos

clk=\A-à_ n_ klk En el estado estacionario (en el que, por clefinición, todas las variables crecen a tasas constantes), la tasa de crecimiento del capital per cápita es constante. En consecuencia, la expresión del segundo miembro de la ecuación es constante. Por tanto, clk es constante y la tasa de crecimiento del capital per cápita (y por: lcr tanto la tasa de crecimiento de la producción per cápita y) son iguales a la rasa de crecimiento del consumo per cápita, que viene dada por la ecuaciírn (4.9). Observe que esta argumentación s(rlo es válida en el estado estacionario: en principio, la tasa de crecimiento del capital fuera del estaclo estacionario puede no ser constante. Si ese fuera el caso, el ratio c/À tampoco seria constânte. Ahclra bien, habiendcr aclarado este punto, a continuación demostraremos que, en realidacl, el consumo v el capital (y por lo tanto la producción)crecen en todo momento a la rnisma tasa. En otras palabras: el modelo se cararcteriza por la ausencia de dinánrica de transición.

4.1.4. Dinámica de transición A fin de calcular la tasa de crecimiento del capital cuando la economíar no est1l en el estado estacionario, sustituimos en la ecuación (4.8) c(r) de la ecuación (4.11), obteniendo

k = (A

- ó - n)' Á - c(0)' ettle)'\A-ô-r))r

que es una ecuación diferencial lineal de prirner orden en É. La solución general esta ecuación es2

(À r á(r) = (constante) . s(/-"-'J'r + lc(1llç1 . nllla) 'i-n)

a

(4.13)

donde

,t = (A -,1).(H

- l\lH-t plH -

(4.14)

n

obte r.ricndo

U=

tl/(1 q ["

d-r,'-l/)'. [.(0)]-íi "l1r

Estaintegral tiendeainfinitoexceptos:p-n>ll1 -0)le1

úr1úl

,,1.-ô

rA-ár,r t

_ t)dt

p).Anadaóaanrbosr.nienrbrosdc

la exprcsión 1-después reordene los térn-rinos para ohtcncr la segunda inccuación cle la ecuación (4..12). Otra forma de escribir esta expr:esión cs (Á õ n)>y, doncle y es la tirsa cle crccimiento del consun.ro per cápita de la ecuación (4.9). Fin el apánclice matemático se analizan varios casos en Jos qr:e sc puirds trábâiâr con una utilidad ilimitada.

2.

Véase cn cl apéndice nratemático un análisis dc cstc

prirncr ordr'n

.

tipo

clc ecuaciones difcrcncialcs lineales dc

209

4.1. EI modelo ÁK

Observe que otra manera de expresar estos parámetros es ç = \A-õ-n) -7, donde 7 es la tasa de crecimiento constante del consumo per cápita, expresada en la ecuaciírn (4.9). De la condición (4.12) se deduce que g > 0. Si sustituimos É(r) de la ecuaciôn (4.13) en la condiciôn de transversalidad de la ecuación (4.10), obtenemos

]$[..,nrtunte

+[c(0)lç].e-ç'] = 0

ç > O, el segundo término dentro de las llaves

tiende a que la seâ cero. constante exige transversalidad cero. Por lo tanto, la condición de (a.13) que3 (4.11) deduce y se En consecuencia, de las ecuaciones Puesto que c(0) es finito y

c(tl = 9.k(t)

(4.1s)

Llk=clc=gle).(A-ô-p)

(4.16)

Puesto que y = Áâ, también se decluce qrc ily = klk = àlc. Asi pues, el modelo no tiene dinámica de transición: las variables fr(r), c(l) e y(r) alcanzan inicialmente los valores É(0), c(0) = g ' É(0) e y(0) = A.e(0) respectivamente, y posteriormente las tres variables crecen a la tasa constante 11 I e) ' 6 - ô - p)' En el modelo ÁK, las variaciclnes en los parámetros subyacentes pueden afectar a los niveles y a las tasas de crecimiento de las variables. Por ejemplo, un aumento permanente en la tasa de crecimiento de la población z no influye sobre las tasas de crecimiento per cápita de la ecuación (4.16), pero disminuye el nivel de consumo per cápita (véase las ecuaciones $.1a1 y [4.15]). Variaciones en A, çt y 0 influyen en los niveles y las tasas de crecimiento de c y À. La tasa de ahorro bruta viene dada por

, = (K +

ôK)lY =

(1lA). &lk +r+al =

A-p+0 n + (H- 1) ô] |

eÁ

(4.17)

donde ip + ô, el crecimiento del consumo siempre es positivo y, en consecuencia, no existe una posiciôn c=0. Así pues, las flechas en el diagrama de fase de la ilustraci6n4.l apuntan hacia arriba. Podemos utilizar la ecuación (4.8) para hallar que la curva É=0 es una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es igual a A - ô - n.Las flechas a

3.

C)bserve que este modclo conllcv

a una policy fimction de c de forma cerrada'

210

4 I Modelos de crecimiento endógeno con un único sector

Trayectoria de punto de silla

c-lA

ô-z-y)A

ILUSTRACIÓN 4.1 | Diagrama de fase del modelo ÁK. La curva À-0 es una recta que pasa por el orgen y tiene por pendrente A-õ-n > 0. Las flechas a la derecha de esta recta apuntan hacia la derecha y las flechas a la izquierda de esta recta apuntan hacia la izquierda. Dado que A, p + rj, el crecimiento del consumo siempre es positivo, por lo que la posición ri = 0 no existe y las Ílechas siempre apuntan hacia arriba. la ecuación (4.15) parece indicar que la trayectoria de punto de silla es otra recta de pendiente igual

aç=(A-ô nJ;,,inÍerioralapendientedelarecta/:=0.Lacondicióndetransversalidadylaecuación de Euler garanÍizan que la economía se sitúa s empre en la trayectoria de punto de silla, de manera que ratio del consumo con respecto al capital siempre es constante.

el

la derecha de esta recta apuntan hacia la derecha v las flechas il la izquierda de estâ recta apuntan hacia la izquierda. La ecuación (4.15) parece indicar qlre la triryectoria que sigue la economía (trayectoria de punto cie silla) es otra recta de pendiente g. Observe que, puesto que.p = (A-õ-n\-y,la pendiente del tramo estable es inferior a la pendiente de la recta À=0. Dado A(0), si se elige un consumo inicial situaclo por encima de la trayectoria de punto de silla, la econclmía se top:lrá con el eje de ordenadas. Este resultado infringe la ecuaciírn de E,uler (un argrrmento equivalente se trató en el capítulo 2 en el caso del modelo neoclásico). Si se elige un consumo inicial situado por debajo de la tral,ectoria cle punto de silla, c,v À crecen sin limite. A lo largo de clicha trayectoria, el stock de capital k crece más deprisa que c y se incr-rmple la condiciírn de transversalidad. La única soluciírn que cumple las condiciones de primer orden (incluida la transversalidad) es la tÍavectoria de punto de si[la, que conlleva un v:rlor constante de clk.

4.1.6. Factores determinantes de la tasa de crecimiento Una sorprendente diferencia entre el modelo ÁI( y el modekr neoclásico de crecimiento del capítulo 2 atafre al cálculo de [a tâsâ de crecimiento per cápitir a largo plazo. En el modelo ÁK, la tasa cle crecimiento a largo plazo (que es igual ir l:r tasa del crecimiento a corto plazo) depende cle lcls parrámetros que deter:mirran la disposiciírn a ahorrar y la productividad del capital cle la ecuación (4.16). A valores más birjos de p y á, que aumentân la disposiciírn a ahorrar, mayor será la tasa de crecimiento per cápita de la ecLración (4.16) y mayor seríl la tasa de al.rorro de la ecuacií)n 14.17). Una meiora en el nivel tecnológico Á, que aumenta el productcr marginal v el producto promedio del capital, también aumenta la tâsa de crecimiento y moclifica la tasa de ahorro. En una sección de este mismo capítulo que veremos más adelante, demostraremos que modificaciones de los distintos tip«rs de políticas económicas equivalen a variaciones.de A; es decir, podemos generalizar la

4.2. Un modelo de un único sector con capital f ísico y humano

211

interpretación del parámetro Á y considerar que va más allá de simples diferencias en el nivel de la función de producción. A diferencia de los efectos sobre el crecimiento a largo plazo del modelo AK, el modelo de Ramsey del capítulo 2 implica que la tasa de crecimiento per cápita a largo plazo está vinculada al valor x, la tasa exógena de cambio tecnológico. Una mayor disposición a ahorrar o una mejora en el nivel tecnológico se traducen a largo plazo en mayores niveles de capital y producción por trabaiador efectivo, pero no en una variación de la tasa de crecimiento per cápita. Los resultados son distintos debido a la influencia de los rendimientos decrecienres del capital del modelo neoclásico y a la ausencia de dichos rendimientos decrecientes en el modelo ÁK. En términos cuantitativos, la magnitud de la diferencia dependerá de la rapidez con la que tengan lugar dichos rendimientos decrecientes; unâ característica que, en el modelo neoclásico, determina la rapidez con la que las economías convergen hacia el estado estacionario. Si los rendimientos decrecientes se presentan lentamente, el periodo de convergencia será largo. En ese caso, los cambios de la disposición a ahorrar o del nivel de la tecnología afectarán durante mucho tiempo a la tasa de crecimiento del modelo neoclásico, aunque no para siempre. Así pues, si la convergencia es rápida, la diferencia entre moclelo neoclásico y modelo AK es considerable, pero pierde importancia si la convergencia se produce con lentitud, como parecen indicar los datos empíricos. Si la convergencia es extremadamente lenta, los efectos del crecimiento del modelo AK son una aproximación satisfactoria a los efectos sobre la tasa de crecimiento del modelo neoclásico durante un periodo de tiempo largo. En el capítulo 2 vimos que los resultados del modelo de Ramsey eran óptimos de Pareto. Probamos esta conclusión demostrando que los resultados coincidirían con los generados por un hipotético planificador social cuya función objetivo tuviera una forma idéntica a la del hogar representativo. En este caso, resulta sencillo aplicar el mismo proceclimiento para demostrar que el eqLrilibrio del modelo AK es un óptimo de Pareto,a una conclusión lógica ya que la desapariciôn de los rendimientos decrecientes de la función de producciírn, es clecir, la sustitución de la función de producción neoclásica por una función de la forma ÁK, no introduce en el modelo fallo de mercado alguno.

4.2.

Un modelo de un único sector con capital físico y humano

Dijimos anteriormente que una interpretación del modelo AK radica en considerar que el capital debe considerarse de forma amplia, de manera que esté formado p1lr componentes físicos y humanos. Ahora vamos a construir un modelo sencillo en el que aparezca de forma explícita el capital humano. Suponga que los factores de la función de producciírn son el capital fisico K y el

capital humano H. Y = F(K,H)

4.

(4.1 8 )

El planificadoreligelatravectoriaderquemaximiceUdelaecuaciôn(4.1),sujetaalarestricción

de [a ecuaciôn (4.8) c(t) > 0 y al valor inicial dado Ê(0).

212

4 I Modelos de crecimiento endógeno con un único sector

donde F( .)tiene las propiedades neoclásicas habituales, incluidos los rendimientos constantes a escirla de K y H. Esta funciírn c1e producciírn es semejilnte a la trtilizacla en el capítr.rlo 3, con la difer:encia de que entonces su1'ru5in1,,t una funciírn de tipo Cobb-Douglas con rendimientos decrecientes a escala de K v H. Podernos utilizirr la condición de los rendimientos constantes a escala paril expresar la funciírn cie producciírn cle [orma intensivit: Y=

donde

K'f (HlK)

(4.1e)

f'(HlK)>0.

Cada uniclad cle producto puede declicarse o al consumo, o a la inversión en capital físico, o ir la inversión en capital humano. Así pues, âcept:lmos el supuestcr de que la tecnología del írnico sector ataiie a la producciírn de capital humano, es decir, a la eclucación, así como a la producción de bienes de consunro v cle capital físico. (En el capítulo 5 aiiadimos un sector educativo indepencliente.) Los stocl 0. F-l r,alor c1c ôY;lôl{l viere cl:rclo por cl scgundo nricmbro de la ecuación (4.41).

223

4.4. Servicios públicos y crecimiento endÓgeno

obtener el producto marginal del capital después de irnpuestos. Así, si t,, y rí tendieran a aumentar al aumentar GlY, el efecto positivo directo de GIY sobre la tasa de crecimiento de la ecuació n (4.42) sería contrarrestado por el efecto negativo causado por los tipos impositivos más altos. En consecuencia, la relación entre lâ tasa de crecimiento y GIY es probablemente no monótona, primero creciente y después decreciente, cuando el efecto del tipo impositivo se vuelve predominante. Lcrs resultados exactos dependen de la manera en la que ra Y rI se relacionan con G/Y. Proponemos este análisis como ejercicio práctico. Volvamos ahora al caso de los impuestos de cuantía fija, como supusimos en la ecuación (4.42). Como habitualmente, podemos determinar los resultados óptimos del modelo calculando las decisiones de un planificador social que busca maximizar la utilidad alcanzada por un hogar representativo. La maximización conlleva la condición de eficiencia í)Y lôG = 1.12 La forma concreta de la función de producción (ecuación t4.39)) implica que esta condición corresponde a

GIY=L-o

(4.43)

En consecuencia, en este modelo el ratio óptimo del gasto pírblico con respecto al PIB es, de hecho, constante. Si G/Y se calcula a partir de la ecuaciôn (4.43),la solución de la tasa de crecimiento descentralizada de la ecuación (4.42) es también la elegida por el planiÍicador social.13 Este resultado descentralizado es óptimo, porque hemos supuesto que G se financia mediante impuestos de cuantía fija. Si sustituimos la ecuación (4.43) en la condición de la tasa de crecimiento cle la ecuaciôn (4.42) obt.endremos

clc (planifrcador social) =

$lq'lo,+1t"'

(1

- rr;(t-o)lo' \'lt

o)lt

-ó -p] $.44)

Un aumento en la escala, representada por L, âumenta el producto marginal del capital de la ecuació n (4.41) y, por consiguiente, aumentâ la tasa cle crecimiento de la ecuación (4.44).Así pues, el modelo de bienes públicos predice efectos de escala que se asemejan a los del modelo de aprendizaje mediante la experiencia y la difusión del ccrnocimiento (véase las ecuacignes [4.351 y ft.36]). En el contexto presente, la economía se beneficia de una escala mayor, porqué a los servicios públicos se les supone el carácter de no rivales y, por lo tanto, pueden ampliarse sin coste a

El planificador elegirá r, A v

AWCl-n c - óÁ GlL.l'a

funciôn

condiciones de primer orden son

G

tlc nrrncra quc nraxinricr'n

l'",-'' ",'i

dr.'uieta,r À

.10

de

Hanrilton esJ=s tt.

"ilit

*r'\Ak"G1-"

-

-c-6k-GIL).Las

11)e-t't.c()=v (ii),4. (l -,r). k'G-" - | lL (iii) r;= v. (ÁrrÁ''-r6l'' -5; la condición dc transversalidad habitual. observe que (ii) equivale a ôY lôG = 7. Tome logaritrnos y derive la cor.rdiciór.r de primer orden (i) de la nota anterior, sustituva el resultado en (iii) v utilice (ii) para llegar a la ccuación (4.44). ri-rás 't

j.

224

4 I Modelos de crecimiento endógeno con un único sector

tlsuarios adicionales. Un crecimiento continuo de L, que resultara del crecimientcr de la población, implicaría tasas crecientes de crecimientcl per cápita. Así pues, y al igual que ocurría en el modelo con aprendizaje mediante la experiencia ,v la clifusiírn

del conocimientcl, para poder estudiar el estado estacionario tenemos qlle âceprâr que el crecimiento de la población es cero. Como dijimos anteriormente, los clatos empíricos cle países indican gue [a rasâ de crecimiento del PIB per cápita guarda escâsa relación con el ramirfro clel país, meclido a través de su población. (En este caso, el país es la unidad c'le observaci[,n natural si consideramos qtle Ios beneficios cle los bienes pírblicos snministrirdos por el Estado alcanzan sólo a la jurisdicción adrninistrativa del Estado.) La no cletecciírn de efectos de escala cle importancia significa muy probablemente que la ma,vor parte de los servicios del Estado no tienen el carácter no rival que el modelo les pr:esupone. E,n consecuettcia, vamos a analizar Lrn câso distinto, en el qrre los servicios públicqs están sujetos a congestión. Demostrrtremos qrle este modelo tiene muy, diversrrs implicaciones en lo relativo a ef'ectos de escala v ir la irdecrraclir financiación pírblica.

4.4.2. Un modelo de congestión Como se diio en el capítulo 3, muchos servicios pírblicos, como pueclen ser las autopistas, las redes de distribución de agua, la policía, los bomberos 1, los tribunales, están suietos a congestión. Para rlna canridacl dada de sen,icic'rs agregados G, ltr cantidad asignada a cada individuo disminuye a medida que el resro de los usr-rari 0, B r 0 y 0 0 v B>0, la participación del capital tiencle al valor 1 y la participación del trabajo tiende a cero a medida que I aumenta ilimitadamente. Esta implicaciírn del modelo podría entrâr en conflicto con los clatos empíricos si interpretamos el capitirl en el sentido restringido de inmovilizado material, pero es más razonable si afraclimos el capital humano a la definición. En ese caso, la implicación es que la participación del trabajo no cualificirdo en relación al proclucto total tiende a cero a medicla que li,r economía se desilrrolla. El aspecto más importante del moclelo ampliado r:rdicar en qLre recupera la dinámica cle trânsición, durante lir cual el prodtrcto promedic'r y el producto marginal disminuyen gracluahnente hacia el valor de estado estacionario A. La productividad decreciente del capital tiende a generar un declive en el tiempo de las tasas de crecimiento per cápita; es decir, el modelo vuelve a cerracterizarse por la propieclad de cclnvergenciâ como en el modelo de Ramsel'. El apéndice 2C demostraba que en el modelo de Rarnsey la tasâ de crecimientcr del capital per cápita &/À disminuye monótonamente durante la transición.1s La prueba se basaba en el producto marginal decreciente del capital, f"(k) rz + rJ). La ilustración 4.3 muestra que la trayectoria estable de punto de silla comienza partir del valor z(0) > Á. Las variables z y X disminuyen mon(rtonamente durante a la transición, al igual que ocurría en el modelo analizado en la sección anterior.

233

4.7. Apéndice: Crecimiento endógeno en el modelo de sector único

Nuevamente, esta transiciôn se caÍacteÍtza por la presencia de la propiedad de convergencia, cle manera qu" À/â disminuye al aumentar & (y z tiende a Á).

4.6. Observaciones finales Este capítulo muestra que puede darse crecimiento endógeno siempre y cuando a largo plazo los rendimientos del capital no desciendan por debajo de un valor inicial positivo. Así pr.res, la tasa de crecimiento a largo plazo depende del nivel de la tecnología y de la disposición a ahorrar. En algunos modelos, los efectos provocaclos por el nivel cle la tecnología pueden ampliarse e incluir la difusión de conocimiento entre productores, los efectos de escala y la influencia de los servicios

públicos. Los modelos de crecimiento endógeno más sencillos, que se asemejan mucho al modelo AK, no son coherentes con lcls datos empíriccls a favor de la convergencia. Sin embargo, versiones ampliadas de modelos de crecimiento endógeno combinan el comportamiento de convergencia del modelo neoclásict'l de crecimiento con las propiedades del crecimiento a largo plazo del modelo AK. Estas teorías se ajustan mejor a las pruebas empíricas a favor de la convergencia.

4.7. Apéndice: Crecimiento endógeno en el modelo de sector único En este capítulo hemos estucliado varios modelos capaces de generar crecimientcr endógeno. La propiedad clave de todos estos ejemplos era la ausencia de rendimientos decrecientes, al menos asintóticamente, de manera que el producto marginal y

el producto promedio del capital tenían límites positivos baios. En concreto, se incumplía la condición de Inada, lím7.-- lf '(k\ = 0. En esta sección analizamos de forma más general el papel de esta condición en los modelos de crecimientcr endógeno con un único sector. Considere un modelcl sin progreso tecnológico exógeno en el que las ecuaciones dinámicas son las del modelo de Ramsey del capítulo 2 (ecuaciones 12.231y [2.24)l:

yk

= klk

T,

:

=

f(k)lk - clk -

cl c = 0

le). lf' (k) -

(n + ô)

(4.67)

-pl

(4.68)

ô

/'(à) y 7p rienden asintóticamente a límites finitos, la condición de transversalidad de la ecuación (2.25) puede expresarse de la siguiente manera

Si

,!g tí'(À) -

ôl

,

+ n) ,q* 0p

(4.6e\

es decir, la tasa asintótica cle rendimiento del capital, que aparece en el laclo izquierdo, es mayor que la tasa asintótica de crecimiento del stock de capital, que aparece

en el lado derecho.

Como habitualmente, definimos el estado estacionario como la situación en la que las tasas de crecimiento de las variables K, Y y C son constantes. En los estados estacionarios analizados en el capítulo 2, las tasas de. crecimiento de las variables

234

4 I Modelos de crecimiento endógeno con un único sector

por unidad de trabirjo efectivo, como y y y? eran cero, de manerâ que las tasas de crecimiento per cápitx ,,0 v /. eran iguirles a x y las tasas de crecimiento de las variables de nivel yK ,v y(: eran iguales L1 n + x. Puesto que ahora âceptamos el supuesto de que x = 0, las tasas cle crecimiento per cápita serían iguales i'r cero en los estados estacionarios analizados en el c:rpítulo 2. Así pues, lo que queremos anêlizar es si, cuando x = 0, las variaciones de la tecnología permitiríarr la existencia de estirdos estaciclnarios en los que las tasas de crecimientc'l per cápita fueran constantes positivas en vez de cero. Suponga que el crecimientc'r per cápita cle estado estircionario es positivo. de manera que

Jh (vot:71.'o Si esto es así, & crece a largo plazo a la tasa positiva límr-.o (À) = oô; es decir, À âumenta ilimitadamente. Así pues, la condiciór-r de transversalidad de la ecuaciírn (4.69) requiere

f''m

tF'(Á)],

yi, + n + ii > n + ô > 0

(4.70\

Observe que el límite que apârece en el laclo izquierdo de la expresi ôn (4.70) corresponde â É- -, rrna situaciírn que se cumple cuando / -+ m si & crece a largo pl:rzcr J unJ tesí.r constante y positivr. l,a condiciírn normal de Inada, linr7.-... If'(k\l=0, elimina la desigualdad de Ia expresiírn (4.70): ésta es la razón por la que no se prodr-rce crecimiento enclógencr con una función de producción neoclásica. No obstante, el modelo puede ser capaz de generar crecimiento positivo de À a largo plazo si el producto marginal del capital tiene un límite positivo y bajo. Llirmamos a este producto marginal asintírtico Á > 0, es decir, ahora aceptamos el supuesto de que

(4.71)

1tutí'ttll =Á>0

La desigualdad de la expresión (4.70) implica que A > 0 no es condición suficiente para generar crecimiento de & en el estado estaci«rnario. Perra que 7i sea positivo es condición necesaria que

A>n+ô Así pues, la tasâ asintótica de rendimiento del capital A

(4.72)

-

ô tiene que ser superior

a la tasa de crecimiento n del stock de capital que se obtendría si A ftrera constante en el estado estacionario (como en el rnodelo de Ramsey con x = 0). Si yi>0, de manera que lím1-...(À)=oo, y por lo tanto lírn1-.-lf'(k)l=A, la

ecuaciôn (4.68) implica

(y,),=(11ê) Á -ô-7r)

(4.73\

4.7. Apéndice: Crecimiento endógeno en el modelo de sector Único

En consecuencia,

235

yi > 0 exige que

A>õ+p

(4.74)

En el capítulo 2 demostramos que, cuando x = 0, la condición de transversalidad exigía que p > z. Si, cclmo damos por supuesto, esta desigualdad se sigue cumpliendo, la desigualdacl de la expresión (4.74) implica la desigualdad de la expresión (4.72). Si la desigualdad de la expresión (4.74) no se cumpliera, el análisis del capítulo 2 seguiría siendo válido, incluido el resultado de yi = 0, aírn a pesar de que la

tecnología podria físicamente ser la base del crecimiento perpetuo de É. En ese caso, la tasa asintótica de rendimiento del capital, A - 6, es demasiado baja para que y., > 0 sea optima. En lo sucesivo, âceptaremos el supuesto de que la desigualdad dà la expresi on (4.741 se cumple. A continuaciôn queremos clemostrar que 7l = yi. La ecuación (4.67) implica

yi =

líT I ftkltPl

- lím (c/É) - (z + a)

í(á) tiende a infinito cuando É tiende a infinito, por la regla de l'Hôpital sabemos que lím7,-- lf (k)lkl = límp-.o lf'(kll = A. Así pues,

Si

TL=,q-n-r\-1im(c/e)

(4.7 s)

Si Z) > Zi, entonces lím7,-- (clk)=oo, resultado que evidentemente entra en contradicción con yi > 0 de la ecuación \4.7 5). Si yl < zi, entonces límp-- lclk) = 0, lo que implica que ,i = A - n - ó. Este resultado también podría expresarse como A - õ = li + n, que incumple la condiciôn de transversalidad de la expresi 6n (4.69). Podemos pues descartar yl < y.k. La única posibilidad que queda es

T1L=Ti=0le)'@-õ-pl

(4.7 6)

donde utilizamos la expresión deyi de la ecuaciôn (4.73). Esta solución sería válida si cumple la condición de transversalidad de la expresión 14.69), es decir, si A -d es superior a yi+ n. La expresión de 7i de la ecuación (4.76) implica que la condición de transversalidad puede expresarse de la siguiente manera

ç = (A - õ).

@

-

1)10 + pl0

-

n>0

(4.77)

Esta expresión equivale a la ecuación (4.12). En consecuencia, las ecuaciones (4.75) a (4.77) implican que

f1n

{c/t)

- e>0

(4.78)

Si interpretamos A como el valor asintótico de /'(À), todos los modelos analizados en este capítulo cumplen las condiciones obtenidas en este apêndice. En

236

4 I Modelos de crecimiento endógeno con un único sector

concreto, la tasa de crecimiento per cápita en el estirdo estacionario viene dada pçlr la ecuaciírn (4.76) v el nivel de estado estacionario de clk por lâ ecuâción (4.78).

4.8.

Problemas

4.1. El modclo AK como límite del modelo ncoclásico. Considere el mocielo crecimiento neoclhsico analizado en el capítulo 2 y suponga que la función

de de

producción es de tipo Cobb-Douglas f = 4!". a. 1Cómo afecta un incremento de «z a las ecuilciones de transición de  y ô en las ecuaciones (2.23) y (2.24)? En consecuencia, 2de qué manera afecta el incremento de a a las cllrvas â = 0 y  = 0 de la ilLrstración 2.1 ? ;Cómo afectará a los val«rres de estado estacionario Â- y â.? b. Por ejemplo, ;qué le ocurre a Â" cu;rndo o tierrde a 1? ;Cuál es la relaciírn entre este resultado y el moclelo AK analizado en este capítulo?

4.2. Exceso

de ahorro en el modeloAl( (basado cn Saint-Paul,1992). En el capítulcr 1 vimos que una economía ahorra en exceso si tiende a un estado esteciolari1l en el que la tasa de rendimiento /'es rrren()r que la tas:r de crecimiento. Suponga que

la tecnología es Y = AK y que el ratio clk tiende en el estado estacionario ir lir constante (c I k). . a. Utilice la ecuación (4.8) para determinar ltr tasi:r de crecimientcl de estado estacionario de K (,v, en consecuenciir, de Y,u C). 2Puede esta tasa de crecimiento de estado estacionario ser superior al tipo de interês r de la ecuación (4.7)? ;Es posible generâr exceso de ahorro si Ia economía tiende al estad,, estacionario v lir tecnología es Y = AK? á. Suponga que combinamos la tecnología AK con el modelo de consumidores con horizonte finito de Blanchard (1985), como se analizó en la secciírn 3.7. 2Es posible generar exceso de ahclrro en este moclelo? lQué ocurre si combinamos la tecnología ÁK con un modelo de generaciones solapadas, como el analizad«r en el apéndice del capítulo 3?

4.3. Dinámica de transición. Demuestre que en el modelo analizado en la secciírn 4.3 de aprendizaje a través de la experiencia con difusión de conocimiento no hay dinámica de transición. Es decir, la producción y el capital crecen siempre a la rasa constante de crecimiento del consumo de la ecuaciírn (4.28).

4.4. Difusión dc conocimiento a partir del capital promedio por trabaiador. En el modelo analizado en la sección 4.3, suponga que el parámerro de la productividad de la empresa A;, en vez cle depender del stock ilgregado de capital K, depende de I{lL, el capital promedio por trabajador de la economía. Suçronenros que la funciírn de producciírn es de tipo Cobb-Douglas:

Yi= A

'(Ki)"'lKlL)'L,f' "

Calcule la tasa de crecimiento de una economía clescentralizada y la clel planificador social. Explique por qué los efectos de escala analizaclos en la secciór'r 4.3 ncr aparecen con esta nueva formulación.

4.8. Problemas

4.5. Impuestos distorsionadores en el modelo de bienes públicos. Suponga que, en el modelo analizado en la sección 4.4.1, el gasto público G se financia mediante un impuesto sobre la renta de los activos del hogar al tipo Í,7. iDe qué manera afecta este cambio a la relaciírn entre la tasa de crecimiento y GIY?; es decir, 2cômo varía la ecuación (4.42)?

4.6. Congestión de los servicios públicos (basado en Barro y Sala-i-Martín,7992c). En el modelo de congestión analizado en la sección 4.4.2, suponga que la producción de la empresa I viene dada por

Yi =

AKi'f GIK)

es decir, la congestión de los servicios pírblicos incluye G en relaciírn a

K, en vez de

G en relación a Y. ;Cómo varían los resultados con esta nueva descripción de la congestión? En concreto, considere las nuevas tasas de crecimiento de la solución de una economía descentralizada y de la soluciôn del planificador social.

4.7. Costes de ajuste con tecnología ÁI{ (basado en Barro y Sala-i-Martín, 1992c). Suponga que las empresas se enfrentan a una tecnologia AK, pero que la inversión requiere costes de ajuste como los expuestos en la sección 3.3. La función de coste de ajuste unitario es QUlk) = \bl2).(ilk),de manerâ que el coste total de adquisición e inversión de una unidad de capital es 1 + (bl2) '(i/À). Los productores maximizan el valor actual de 1os fluios de caia

fn' donde r

= A_

Ao- I ll + tlt12\ (1/I()lI 'c.'t 'dt

ô. La maximización está suieta a la restriccirin K =

/-óK.

a. Establezca la función de Hamilton y calcule las condiciones de primer orden de la empresa representativa. Halle la relación existente entre el tipo de interês y la tasa de crecimiento del capital. lEs esta relaciírn monótona? Justifique su respuesta.

á. Suponga que los consumidores resuelven el problema habitual de horizonte infinito de Ramsey, de manera que la tasa de crecimiento del consumo está relacionada directamente con el tipo de interés. Suponga que la tasa de crecimientrl del consumo es igual a la tasa de crecimiento del stock de capital. ;Limita esta condición la tasa de crecimiento? Si la respuesta es no, puede descartarse una de las soluciones a partir de la condiciôn de transversalidad? c. Demuestre que la tasa de crecimiento del consumo es igual a la tasa de crecimiento clel stock de capital. 2Qué repercusión tiene sobre la dinárnica de transición del modelo? Justifique su respuesta'

4.8. Crecimiento en un modelo con difusión de conocimiento (basado en Romer, 1986). Suponga que la función de producción de la empresa I es

Yi=

AK?

'Ll-"

' Yt

donde 0 < rr< 1, 0 < 2 < 1 y K es el stock agregado de capital.

238

4 I Modelos de crecimiento endógeno con un único sector

0 ? c.

Modelos de crecimiento endógeno de dos sectores (con especial hincapié en el papel del capital humano)

Cnpírur-o

5

En el capítulo 4 aprendimos que se puede lograr crecimiento per cápita a largo plazo sin la presencia de progreso tecnológico externo si los rendimientos del capital son constantes asintóticamente. Entonces dijimos que la ausencia de rendimientos decrecientes sería posible si interpretáramos el capital de forma amplia, de manera que incluyera componentes humanos junto a los físicos. En este capítulo analizaremos modelos que distinguen entre capital físico y capital humano. Más generalmente, su estructura puede aplicarse a distintos tipos de capital, incluidos aquellos con acumulación de conocimient() que tratâremos en los capítulos 6 y 7. Comenzaremos con un modelo similar al que utilizamos en el capítulo 3 para estudiar unâ economía abierta, en el que el capital físico y el capital humano eran producidos con funciones de producción idénticas. En este modelo, la producción de la tecnología habitual de un único sector puede dedicarse al consumo, a la inversión en capital físico y a la inversión en capital humano. No obstante, surgen resultados nuevos si tenemos en cuenta la restricción de que la inversión bruta, tanto en capital fisico como en capital humano, debe ser no negativa. Esta restricción afecta al proceso de crecimiento debido a los desequilibrios entre los niveles de capital físico y humano: la tasa de crecimiento de la producción será tanto mayor cuanto mayor sea la diferencia entre el ratio del capital físico con respecto al capital humano y el valor de estado estacionario de dicho ratio. Después tenemos en cuenta la posibilidacl de que el capital físico y el capital humano sean producidos mediante tecnologías distintas. En concretc'r, nos centramos en el caso empíricamente pertinente en el que la educación, es decir, la producción de nuevo capital humano, tiene un consumo relativamente intenso de factor capital humano. A título de ejemplo, esta condición se cumple en el modelo desarrãllado por Uzawa (1965) y utilizado por Lucas (1988) en el que el capital humano existente es el único factor del sector que produce educación. Esta modificación de la estructura de la producción crea una asimetría en el efecto sobre la tasa de crecimiento generado por el desequilibrio entre el capital físico y el capital humano. El origen de la asimetría proviene del efecto positivo del ratio entre capital físico y capital humano sobre el salario real (por unidad de capital humano) y, por lo tanto, sobre el coste de oportunidad del capital humano emplçado en educación. En este modelo, la tasa de crecimiento de una producción considerada de manera amplia, sigue creciendo al aumentar el tamafro del desequilibrio entre capital físico y capital humano si el capital humano es relativamente.abundante y, sin embargo, si

240

5 I Modelos de crecimiento endógeno de dos sectores...

el capital humano es relativamente esci:rso, la tâsa de crecimiento tiencle a disminuir

al aumentar dicho desequilibrio. La presencia de capital humrrno puede relaiar la restricciírn de los rendimientos decrecientes de una definiciírn amplia cle capital y, en consecuencia, permitir la existencia de crecimiento per cápita a largo plazo sin la presencia de progreso tecnológico exógeno. Así pues, la producciírn de capital humano puede ser una alternativa a Ias mejoras tecnológicas en la generaciírn cle crecimiento a lirrgo plazo. Ahora bien, tenemos que recalcar :rlgunos aspectos en los que la acumr-rlación de capital humano no coincide con la creación de conocimiento en fortna de progrescr tecnológico. Si interpretamos el capital humano como las cualificaciones que p()see el trabajador, el uso de tales cualificaciones en una actividad impide su empleo en otra actividad. En este caso, el capital hunrano es un bien rival. Puesto que los individuos son propietarios de su propia cualificación, al igual que de su trabajo no cualificado, el capital humano también es rrn bien excluible. Por el contrario, las ideas o conocimientos pueden ser bienes no rivales, en el sentido de que pueden difunclirse libremente en actividades de cualquier tamaiio, y en ciertos casos tambiên pueden ser bienes no excluibles. Esta distinción implica que las teorías del progreso tecnológico, que trataremos en los capítulos 6 al 8, presenten importantes diferencias con los modelos de acumulación de capital hurnirno que tratamos en el presente capítulo.

Un modelo de sector único con capital humano y físico

5.1.1.

Et

Comenzirremcls partiendo de una función de prclducción tipo Cobb-Dcluglas caracterizada por rerrdimientos constantes del capital físico y el capital humano, K v lí.

y -- xyr 91'

rt

(s.1)

donde 0 < rv < 1. Podemos de{inir el capital humano -FI como el número de trabirjadores L multiplicado por el capital humano del trabajador típico á. Se supone que ltr cantidad de trabajadores L y la calidad cle los mismos /r son sustitutivos perfectos en la producción, queriendo decir con esto que lo que importa para la producción es el resultadcr de la combin aciôn Lb. Esta especificación significa que un número fiio de trabajadores I no será el origen de rendimientos decrecientes, porque si duplicamos K y h, para un L filo, la producciírn también se verá duplicada. Simplemente por comoc{idad, establecemos la condición de que la poblaciírn activa L es fiia 1', por lo tanto, que H crece únicamente gracias a la mejorir de la calidad promedio /:. Tambiên eliminamos cualquier posible progres() tecnol(rgico (es clecir. suponelnos que Á permanece constânte). La p«rclucción puede dedicirrse arl consumo, i,r la inversión en capital físico o a la inversiírn en capital humano. Suponenros que los st()cl incluye las pérclidas por deterioro de cualificación y por defunción, descontados los beneficios de la experiencia. (Se podrían considerar tasas diferentes de depreciación

241

5.1. Un modelo de sector único con capital humano y físico

del capital físico y el capital humano, pero esta generalización complicaría el análisis algebraico sin aportar gran cosa.) La restricción de recursos de la economía es

Y=4Y"7rt-"=C+ly+lg

(s.2)

ly els son, respectivamente, la inversión bruta en capital físico y en capital humano. Las variaciones en los stocks de capital vienen dadas por donde

H=lu-ôH

K=1r-dK,

(5.3)

En el capítulo 2 vimos que trabajar con un modelo de diferentes empresas y hogares

era equivalente a hacerlo con un modelo en el que los hogares fueran también responsables de la producción. Esto también se mantiene en el presente modelo, en el que trabajamos con hogares productores de bienes. Si omitimos el crecimiento de la poblaciôn, los hogares maximizan la función de utilidad habitual

U

=

(s.4)

ulc(t)l.e-.Pt dt ln'"

sujeta a las clos restricciones de la ecuación (5.3) y a la restricción de recursos cle la economía de la ecuación (5.2). La funciôn de Hamilton es igual a

I

= u(C)'e-Pt +

v'(Ir -rlK)+g '(lu -

õH\ +

a'(Ay'tgl-o - C -I« -lul (s.s)

donde y y p son) respectivamente, lcls precios sombra asociacl ul0 - n),los resultados son análogos. Esta situación podria estar provocacla por una pandemia, similar a [a Peste negra que asoló la Lu.opu mediéval y que diezmó la población sin destruir el capital físico. En este câso,

laresiricciónlr20seaplicay,porlotantolr=0yKcrecealatasa-ô.Así

pues, la

elección de C y H está regida por las condiciones del modelo estándar de crecimiento neoclásico, con la e*.epiiôn de que la inversión que debe decidirse afecta a H más que a K. En cgncreto , ,, y 7y disminuyen monótonamente, tendiendo hacia el

ualor 7- cle estado estacionario. La disminución de K (a la tasa ó) y el aumento de H ia una tasa decreciente que tiende a 7-) implica que K/H_ disminuye en el tiempo. La disminución de K/H disminuye el producto marginal neto de H y, en

.o.rr.cu.ncir, reduce la tasa de rendimiento y la tasa de crecimiento del consumo.s De los resultados se deduce que KIH e 7y están directamente relacionados en la región en la que KIH > tt 1fl.-cy). Así pues, aparece de nuevo un efecto desequilibrio; .uãn,o *"yn. es el desequilibrio, es decir, cuanto mayor es la distancia de KIH a su valor cle estado estacionario, mayor es la tasa de crecimiento. La ilustraciôn 5.1 representa la tasa de crecimiento 7y en función de K lH - La tasa al$ -o)' A de crecimiento mínima 7* corresponde al ratio en el estado estacionario

cada lado del estado estacionario, Ty aumenta al aumentar la distancia entre KIH y su valor en el estado estacionârio. En teoría, la escasez de capital físico, aquella situaciôn en la que durante una guerra K es destruido pero no É1, no tiene por qué tener un efectcl mayor sobre la tasa

prec.io de mercado para las unidades se mantiene en su valor mínimo, cero. Si pudiéramos observar el inferior a 1' sr.l coste de sustitución, pero que âumenta existentes de -Fl, veríamos qr. ii.ho

p...io., total de rendimiento de poseer ;;;;;;;; ia.ia'r " -edida'fre (/H iiende r o/(l -o). Así pues, la tasaigual al producto marginal neto seria "dividenáos", y de.lo, g".,"n.i"r.l".npitrl 1". d. pr"..a..r. ã, I( sería igual a [a tasa única r]eto dc marginal producto pr.t, cl Ati ii.-po. àJi *."a. *o..,.rá d.l de rendimiento que se observaria en el mercado de crédito' 8. El comportamiento de las tasas de rendin-riento es análogo al caso en el que

abundante. La disminución

à. kÀ implica .l aumeuto del proàucto -marginal

ne

H

es rclativamentc

to de K' Sin embargo,

marginal neto es inferior al del capital humáno y la.inversión b-ruta en K se mantiene de K es inferior a su coste en su valor mínimo, ..ro. il pr.cio .le mercado àe las unidades existentes tencliendo hacia 1 a medida que K/H tiendc a.o/11 - n). La tasa total de sustituciór.r, 1, p.ro "rmerl'ta y dc los.dividcndos, será igual al de rencli'riento de poscer «,-pr"..J"r,. de las ganancias de capital '".to d" H;;.ud" *orn.rt.,'clel tiempo. Asi pues, e.! producto marginal neto de H

;;;; üJ;;

;;.ã;;,;;;;;innt l.ã,gr"f la"t"sa í,nica de renclimiento "

que se observaría en un mercado de crédito.

246

5 I Modelos de crecimiento endógeno de dos sectores

\KlH\"=ctl\1 -tY)

KIH

ILUSTRACIÓN 5.1 | El eÍecto desequilibrio en el modelo de sector único. La tasa de crecimiento de la producción depende del ratio entre los dos stocks de capital KlH. La tasa de crecimiento mínima corresponde al ratio en el estado estacionario (i(/H)' = rrl( 1 -o). A cada lado del estado estacionario, la tasa de crecimiento auÍnenta simétricamente al aumentar la diÍerencia entre K/H y (KlHY.

de crecimiento qLre la escasez de capital httm:rno, provocacla por eiemplo

por una

epidemia que diezma H pero no K. Existen pocas pnrebas empíricils cle los efectos sobre el crecimiento provocados por una disminución sírbita de capital humano, aunque el análisis de la Peste negra realizado por Hirshleifer (1987, capítulos 1 v 2) parece indicar que en esta situaciôn el crecimiento no es rápiclo. Así pues, podrí:r ser que empíricármente un Lrumento de K/H por encima de su valor en el esterclo estacionario sólcl tuviera un efecto positivo pequeiio o incluso negativo sobre la tasa de crecimiento. Una ampliaciíln de la teoría de la que se deducen efectos asimétricos provocâdos por Lln K/H superior o inferior a su valor en el estado estacionario podría ser el análisis de los costes de âjuste de la acumulación cle capitirl que tratamos en el capítulo 3. Que clichos costes de ajuste sean mucho mayores en I{ que en I( es un supuesto factilrle, ya que es de suponer que el proces() edtrcativo ncl puecle ser acelerado significativamente sin t()parse c()n una considerilble disminución de la tasa de rendimiento de la inversión. En este caso, l:r relativir abundancia de É1 provoc:rría una inversión consiclerable en K y, por lo tanto, una lnayor tasa de crecimiento de la producciírn. Sin embargo, la relativa abundancia de K terrdr:ía efectos muchcr menores sobre la inversión en H y, por lo tanto, sobre [a tasir c{e crecimiento de la prociucciíln. La ilustración 5.2 muestra el caso en el que la tasar de crecirniento mínima se sigue alc:rnzando cuando KIH es igual a su valor en el estado estacionario Lt l(l - w),e pero en la región en la que Idl0 - o). Este modelo predice que una econontía se recuperará mucho más deprisa de una guerra que destruya principalmente K qtre de una epidemia que diezme principalmente H. Otra implicación de los costes de ajuste de la inversión es que pueden tener lugar inversiones brutas positivas en ambos tipos de c:rpital si KIH no se encuentra en su valor de estado estâcionario tl0 - o). Este resultaclo se curnple si las tasas de rendimiento de arnbos tipos de inversiírn son altas cuando las trs;rs de inversiírn son

9. Algunas especificaciones de los costes cle ajustc afectârían al ratio entre estacionario, mientras que otrâs no. Véase el análjsis expuesto en cl-capítu1o -3.

K v F/ cn cl

estado

5,2. Tecnologías distintas en la producción de bienes y en la producción de educación

247

vtv

KIH

f;{lHf=ul\1 -t)

el supuesto ILUSTRACIóN 5.2 I El efecto desequilibrio con costes de ajuste del capital humano. Aceptamos a los derivados de que los costes de ajuste derivadàs de la modiÍicación del capital humano son superiores a KIH en la región àà là moOificación del tapital físico. En ese caso, la tasa de crecimiento es más sensible K/H > (K/H)- (êl que la región donde en escaso) relativamente físico es capital q* < KIH u ãn {KlH)'tel escaso). relativamente es capital humano f

baias, y bajas cuanclo las tasas de inversión son altas. La posibilidad de que fuera clei estado estacionario tengan lugar inversiones brutas positivas en ambos tipos de capital también se deduce en modelos en los que la tecnología de proclucciôn de bienes, C y k, es distinta de la tecnología de la producción de educacion H. Analizamos esta noción en la sección siguiente.

5.2. Tecnologías distintas en la producción de bienes y en la producción de educación 5.2.1. El modelo de dos sectores de producción Hasta ahora hemos aceptado el sr-rpuesto de que los bienes físicos y la educación proceden de funciones de producción iclénticas. Estâ especificación olvida un aspecio básico de la educaciônr los individuos con formación son su recurso principal. Así pues, tenemos que modificar el moclelo de manera que incluya el hecho caractárístico de que la producción de capital humano es relativamente intensiva en capital humano. Esta modificación cambia algunas de las conclusiones relativas a los efectos sobre el crecimienro de los desequilibrios entre capital físico y capital humano.

Al igual que Rebelo (1991) utilizamos un modelo con dos funciones de producción tipo Cobb-Douglas:ro Y=C

+K+ôK

H+õH=B

t(1

=

A' (uK)"' (rH)r "

(s.12) (s.13)

-u)'«Y l0-u)'Hl-"

clonde Y es la proclucción de bienes (de consumo e inversión bruta en capital físico);

A,B>0

son los parámetros tecnolírgicos;

10. Bond,Wangyyip(1996)vMino(1997) de productiorr neocl.i'icrt.

o (0 < tr
x. .En consecuencia, la economía se desplaza hacia abaio.a y y inferiores. La w de valores (5.9), alcanzando la ilustración en ,i1; ..p..r.ntada üf u aumenta si aumenta, es decir, e itlu crece; que muestra ilustración también igual a cero. estâcionario de estado valor su alcanzar hasta desde un valor negativo

262

5 I l\4odelos de crecimiento endógeno de dos sectores...

ba

jo y,,

ILUSTRACIÓN 5.9 | Determinacion de irlu. En las proximidades del estado estacionario las líneas isocrecimiento son más planas que la trayectoria de punto de silla *(a). Las líneas isocrecimiento situadas más arriba corresponden a valores más bajos de ilrr. Así pues, en el entorno del estado estacionario, írln eslá tnversamente relacionado con t, y por 10 tanto con I. Puesto que existe una relacrón inversa entre z y o, itll está

d

irectamente relacionado con o.

Este comportâmiento âpârece representad() en la quinta sección de la ilustraci(ln 5.6. Volvamqs de nuevo a la expresirin de Q/Q de la ecuación (5.44). A medidl qtre to allmenta, también aumentâ i.tlu (como acabâmos de ver) y z disminuye. Así ptres,

el segundo término del segundo miembro de la ecuirción tiende â prodllcir unâ

Q/Q y ru. En la expresión de Q/Q tamlrién aparece Y7Y, que tiende a tener forma de I-J con relación a ro (véase la ilustración 5.6), y cuyo mínimo se encuentra a la izquierda o a la derecha del estaclo estacionario. Sin embargo, las sirntrlaciones ntlméricas realizadrs muestran qrre Q/Q tiene pendiente negativc c()n respecto íl t.l pílra trn amplio intervalo de 1o.12 Es decir, para los val()res de los parámetros con los que hemos trabajado, el segundo término del segr-rndo miembro de [a ecuación (5.44) es lo suficientemente fuerte como para elirninar la forma de tl. En consecttetlcia, relacitin inversn errrre

la sección inferior de la ilustraciírn 5.6 nluestril unr funcirin clecreciente con respecto a rrl.

Q/Q monótonamente

Resumen de la dinántica del morlelo LJzawa-Lucas. El modelo Uzawa-Lucas proporciona unâ perspectiva de los efectos de los desequilibrios entre K y H cliferente a la del modelo de sector írnico. En el modelo de sector único, los grandes desequilibrios enrre K y H en cualquier clirección aumentaban las tasas de crecimiento de la producción y el conslrmo. Observe que, en el modelo de sector írnico, la producciírn incluye los bienes de consumo y ambas formas de capital. En consectrencirr,

22. Como se diio en la nota 20, valorcs ntuy grancles o muv pequefros de ar hacer.r quc l:rs rcstricciotres dc desigualdad de la inversiór-r Lrrut:r sc:rn operativas. Si eraminamos únicalnente el intert'alo de o par,r el qu" ái.ha. restricciones no son operativas, las simulacioncs luméricas inclican quc Q/Q. rl igu:l qttc K/k. es decrecieute con respecto a o pàra todos los valores cle los parámetros utilizados.

5.2. Tecnologías distintas en la producción de bienes y en la producciÓn de educación

tenemos que comparar la tasa de crecimiento de la producción del modelo de sector único con la tasa de crecimiento de la producción en sentido amplio del modelo Uzawa-Lucas. En el mgdelo Uzawa-Lucas, C/C siempre está inversamente relâcionada con r,.r y QIQ tiende a esrar inversamente relacionadâ con {, (véase la ilustración 5.6).

Es decir, si el capital humano es abundante en relâción al capital físico (r.r.*) tienden a disminuir cuando aumentâ la importancia del desequilibrio. Así pues, el modelo predice que una economía se recuperará más deprisa tras una guerra que destruya sobre todo el capital físico que tras una epidemia que diezme el capital humano. Estos nuevos resultados se basan sobre el supuesto de que el sector educativo es relativamente intensivo en capital humano. Si por eiemplo o> ar , el producto marginal del capital humano en el sector de bienes es alto y cabría esperar que hubiera crecimiento debido principalmente a que la tasa de crecimiento del capital humano es alta. Sin embargo, un nivel alto de r.., implica un salario alto n en consecuencia, un alto coste operativo del sector educación, que es relativamente intensivo en capital humano. En otras palabras, este efecto fomenta que los individuos asignen capital humano a la producción de bienes, y no tanto a la educación, el sector que produce H que es el factor relativamente escaso. Así pues, cuando el valor de ro es superior al valor de a* este efecto tiencle a ralentizar la tasa de crecimiento de la economía.

Comportamiento de la tasa de aborrct. En el capítulo 2 ya tratamos el comportamiento de la tasa de ahorro bruto en el modelo de Ramsey con un único sector. Si la función de producción era del tipo Cobb-Douglas, durante la transición la tasa de ahorro disminuía monótonamente, se mantenia constante o aumentaba monótonamente dependiendo de si una combinación concreta de parámetros era positiva, cero o negarivár (véase el apéndice 28). También seíialamos que si se establecía el supuesto de una participación de capital alta, de aproximadamente 0,75, correspondiente a una noción amplia de capital, los valores razonables cle los parámetros conllevaban una tâsa de ahorro bruto más o menos constante. Se puede aplicar un análisis semejante al modelo Uzawa-Lucas con una función de producción de bienes de tipo Cobb-Douglas. Suponga que definimos el ahorrcr bruto como la fracción no consumicla de la producción de bienes, Y. Es decir, consideramos una definición restringida que excluye de la producción y del ahorro la producción de capital humano. Entonces, podemos demostrar (siguiendo un p..i..ro análogo al del apéndice 2B) que el comportamiento de transición de la tasa de ahorro se calcula de la forma siguiente

Y=-B'(1-cv)ltv+ô-(p+Q sdslda>0 Y = -B '(1- o)lo + ô - (p + 6)le = 0 + s = 1 - tv'(0 dslda 1/o. Así pttes, si un virlor pequefro c1e o operara en la primerir desigualdad, entonces una tasa de ahorro constilnte exigiría un valor grirnde de 0. Si la tasa de ahorro fuera constante durante la transición, su valor s = 1 t(0 - 1)10, seria muy âlto, excepto si rr es cercano a 1 y e es alto. Por ejemplo, si o = 0,5 y 0 = 2, entonces s = 0,7-5. Puesto que los ahorros en este caso corresponclen únicamente a la fracción de la producción de hienes que atafre al capital físico, y ncr incluye la inversión en capital humano, este valor alto de s es poco realista. Los valores razonables cle los parámetros, incluiclo un villclr de rr muy inferior a 1, corresponden a Y < 0 y, en consecuencia, dslda < 0 en la ecuaci(rn (-5.45).

Considere un país poco desarrollado que comienza con una relativa escasez de capital hunrano, de manera que r.l > o*. El modelo predice que la tasa de ahorrcr bruto de este país (definida como la fracción no consumida cle la producciírn de bienes) inicialmente sería baja y después aumentaríir a medicla que la economía se fuera aproximando a su estaclo estacionario. Las restricciones de desigualdad de la invcrsión bruta En el modelo de sector único analizado en la primera parte de este capítulo, vimos que una de las restricciones de desigualdad de no negatividad de la inversiirn br:uta era operativa si el valor

inicialde at=KlH sealejabadesuvalordeestadclestacionario.Enconcret 0 se aplique. Es decir, si K es lo suficientemente abundante con respecto a H, la inversión bruta en K se establece en una cantidad igual a cero.24 En este caso, K crece a la tasa constante *d, y toda la producción se cledica al consumo. En este caso, la única decisión del hogar es la asignaciôn de H entre la producción (w) y la eclucación (1 -"). Este modelo equivale a un modelo de dos sectores en el que los bienes de consumo se producen con una tecnología y el capital (H) con otra distinta. La única diferencia con los modelos normales de dos sectores de este tipo (como el de l-lzawa, 1964,y el de Srinivasan,1964) radica en que el sector de bienes de consumo se caracteriza por renclimientos decrecientes, mientras que el sector de bienes de capital (H) exhibe rendimientos constantes. En el apéndice 58 se clemuestra que, en el modelo Uzawa-Lucas, cuando la es operativa las tasas de crecimiento de C e Y son constantes. alto comoparâ que la restricción de no negatividad lo suficientemente Es decir, si r.,, Clc e\'lY, al igual que I(7K, no varían entonces aplique, de la inversión física se 5.6 las curvas de ClC, klK e ilustración la en con respecto a o. En .,rni..u.rr.i", âltos cle (,. lo suficientemente valores para Y lY se vuelven horizontales de la dinámica depende de crecimiento tasas restantes El comportamiento de las por qué ser z no tiene de policy < la rz 0, function de u. Ert concreto, incluso si 5.5) cuando la ilustraciírn la en (como caso era el decreciente con respecto a ro con rr-l en relacionadâ inversamente ez estuviera > restricción K + ôK 0 es operativa. Si intervaloPor el este t,-l en crecer al el intervalcr restringido, HIH y QIQ crecerian y disminuirían H &), con lH Q/Q contrario, si er estuviera directamente relacionada al disminuir ot. Si 0 < 1 se cumple inequívocamente este írltimo resultado, pero

restricción

K+ôK>0 es

ambos son posibles si 6> 1.

Hemos visto numéricarnente lo alto que tiene que ser tr-l para que se aplique la restricción cle no negatividad de la inversión física. En el caso de los valores de los parámetros tratados anteriormente, para que dicha restricción sea ()perativa .d práiticamente riene que quintuplicar el valor de o*. Se llega a conclusiones similaies si permitimos que los parámetros se alejen un poco de los valores preferidos. Así pues, estos resultados indican que para un amplio intervalo de val 0. Para valores razgnables de los parámetros, el intervalo de ro en el que las restricciones de desigualdacl no se aplican (desde el 5 "/. de to* hasta cinco veces el

23.

Si

o>

Í7

la restricciírn rr < 1 nunca

se

aplica.

24. Si o < 9, rr clisminuye al aurnentar ro, tal v como se muestrâ cn la ilustraciôn.5..5. Un aumento suÊcientc de or haría qle Ía desigualclad a > 0 se aplicara. Ahora bien, la restricción C>0 nunca se > aplica porque lr,(c) + m.ra,rdn r + 0. Así pues, a medida que., aumentâ, la desiguold:.1 K+ óK 0 ...,rnri"rt. cn operativa antcs de que lo hagà.la desigualciad rr>0. Numéricamente, también hallamos que la restricción K +,iK > 0 se aplica para valores lo suficir:ntemente altos de ar. incluso si a > íJ.

5l

266

Modelos de crecimiento endógeno de dos sectores...

valor de ro* para nuestros valores de los parámetros) pLlede calificarse cle ampli«r en relación a los intervalos del ratio KIH más probables clesde el punto de vista empírico. Así pues, pârece razonable cenfrarnos en las implicirciones en'rpíricas que se derivan de las soluciones interiores del modelo. es decir, cle Ios grÍrficos mostrados en las ilustraciones 5.5 v 5.6.

5.2.3. El modelo Uzawa-Lucas generalizado La forma generalizacla del rnodelo Llzawa-Lucas mântiene el supuesto cle que la educación es relativamenre intensiva en capital ltrrmnno. ry0. Ya observamos anteriormente,âpartirdelasecuaciones(5..1 7)y(5.19) paraelcasoderi 1- a1. El aspecto clave en este caso radica en qrre los

5.3" Condiciones para la presencia de crecimiento endÓgeno

269

rendimientos crecientes (yr + aZ> 1 se cumplen para aquellos factores que pueden ser acumulados en el coniunto de la economia.2e Suponga que buscamos un estado estacionario en el que u y u fueran constantes y C, Y, K y H crecieran a tasas constantes, aunque no necesariamente iguales. (A menos que ,l o ru tiendan a cero, no podemos cleiar que u o u cÍezcan a tâsas constantes debido a las restricciones 0 1 puede emparejarse ccln ryt+ry)< 1. En otras palabras, los rendimientos c.lecrecientes a escala de urr sector pueden ser compensados por el grado adecuado. de rendintientos crecientes de otro sector. Si a1 + u2rzl(1 -(}). Recuerde que en este caso el hogar desea reducir K y aumentar H en cantidades discretas, de manera que la restricciírn de la desigualdad 16>0 será operativa' Asi pues, Ir = 0 y- KIK = -ô' En esta situación' el problema del hogar se reduce a maximizar la utilidad, suieta a la trayectoria de K y a la restricción H =Y - C - óH.

La función de Hamilton de este problema J = u(C)' e-Pt +

es

v' IAK"H|-" -

ôH

-

Cl

/§ s7\

u(c\ = (ct-e -1) l0 _0). Siguiendo el proceso habitual, las condiciones de primer orden iü lôC=0y i,= -ôJ lôH conducen a la condición de la tasa decrecimiento d

en esta ilustragión se cuúple cuando

@

= KIH > o' = tl(t -rr).

- c l K, de las condiciones emplearse Pueden estacionario. que serán constantes en el estado y: y a de transiciôn de C y H para obtener las ecuaciones como hicimos

en el capítulo 4, podemos definir dos variables

úfa=-Au"

o :- K l H y x

(s.s4)

+yt.t

xlx = $le). tÁ

(1

-

al'

t,.t"

-pl +ô'

(e

-

1)le

(s.ss)

La ilustraciirn 5.10 muestrzl el diagrama de fase en la regiírn (a, X).La condición ó=0 implica queX_ X.; ll-tt),la curva cle pendiente negativa de la ilustrilción. Un valor de tr por encima (por debaio) de la curva corresponde a to>0 (r) 0, cle manera que Õ está hien definicla

y es no negativa, pero esta conclición no es necesaria para el anhlisis. Un valor de (.,) superio;(o inferior) a ó corresponde aa>0 (o,ri0.1 En la ilustraciôn se muestra Co < a* = ol(1 -o), el ratio entre K y H que se cumple en la ecuación (5.7) en ausencia de restriccittnes de desigualclacl efectivas en ambos tipos de inversiôn bruta. La expresión de ô implica que [a condiciírn (o'< a* corresponde a p + õ 0) que es supericrr a (r* = ulfi - t\. Si rv

Si o < t.r'', se cumple la dinírmica mostrada en la iltrstración 5.11. La ilustración muestra que en esta regia)n a disminuye monótonanrente y ú) aumentâ mon(rtonamente. (Si o > 0, ; aumenta monótonamente, t si tr = 0, 1 permanece constante). Nuevamente, la posición cle la trayectoria dinámicâ está cleterminada de manera quey alcanza el valora* mostraclo en la ecuaciírn (5.57) en el rnismo momento en

que

rr,,

alcanza el valor ar*.

5.6. Apéndice 58: solución del modelo Uzawa-Lucas La función de H:rmilton de este modekr viene dada por J = u(C\. e

Pt

+v.lAK" . (rH)1 "- C-ôKl

+7-r tB.(1

-u). H -ôHl

(5.61)

El término dentro del primer par de corchetes es igual e K, y eI termino dentro del segundo par de corchetes es igual a H. Si definirnos a=I(lH y X:ClK,las tasas de crecimiento de K y H vienen daclas por

RtX= lrl-t,r-\1-o-)

-r

(s.62\

ô

HIH=8.(1-u)-ó En consecuencia, la tirsa de crecirniento de

a-l

úfot = KIK - H lH = Xrl-tt,

)

viene dada por 11 tt\

Las condiciones de prirner orden, fü lôC = 0 y

u'(C) =

(s.63

-, -

ôJ

B. (1 - u)

lôw = 0 conducen

vsln

plv = (AlB).(1 - o) . Lat0)Q

(s.64) a

(s.6s) (s.66)

La condición v = -ôl lf)K implica

ifv = -Arrul-'r--íl'r\ * n

(s.67)

275

5.6. Apéndice 58: soluciÓn del modelo Uzawa-Lucas

La condiciírn p =

-ôl l0H implica

ilp=-(vlp) Á

(1

-o1'u1-"a,,"

-B'(1 -u)+õ

Si sustituimos vltrt en la ecuaciôn (5.66) y simplificamos, obtenemos

(s.68

ltlP=-B+0

)

Podemos derivar con respecto al tiempo la ecuación (5.65) y utilizar u(C) = (Ct e - 1)1 1_ 0) y la expresión de nlv de la ecuaciín (5.67) a fin de obtener la expresión habitual del crecimiento del consumo: Cl C =

(1

lQ

lAour-ttr-11-t) -

õ

- el

(s.6e)

Este resultado corresponde a la ecuación (5.25). La tasa de crecimiento dea puede calcularse a partir de las ecuaciones (5.69) y (5.62) hasta llegar a la expresión de la

ecuación (5.26)t

*lx

= CIC

-

xtx=

(#)

.

4,1-o.-t1-n)

+X

- gt0) lõ. (1 - 0\ + pl (s.70)

Si derivamos la ecuación (5.66) con respecto al tiempo y utilizamos las expresiones de vlv de la ecuación (5.67),ill, de la ecuación (5.68)y tblo de la ecuación (5.64) obtenemos después de simplificar

úlu=8.(1-ct)lu+Bw-y

(s.71)

Este resultado aparece en la ecuaciirn (5.27). Las ectraciones (5.64), (5.70) y (5'71) forman un sistema de tres ecuaciones diferenciales en las variables o, y y z, donde la variable de estado o,.r comienza en un valor rr,'(0). Se puede calcular el estado estacionario de este sistema de forma inmediata,

planteàndo las tres derivadas con respecto al tiempo e igualándolas a cero.

Si

definimos la combinación de parámetros como se hizo en el texto

e-

p+6.(1*0) Bo

los resultados son

6. = (uAlB\1'l\1 o) . [ç + @ x*

=B'(ç+1lu-1lo)

s*

=Ç+(0-l)le

1)10]1

(s.72)

276

5 I Modelos de crecimiento endógeno de dos sectores

Estos valores aparecen en la ecuación (5.29). La tasa de rendimiento en el estadcr estacionario, que es igual al producto marginal neto cle K en el sector de bienes y al producto marginal neto de H en el sector edtrcativo, es

=B-ti

r"

La correspclndiente tasa de cr:ecirniento de estado estacionario de Y, C, K y

H

es

y" =(110\ (B -ô-r,) Los valores de r* y 7* aparecen en la ecuación (5.30). Si se define z como el producto bruto meclio del capital físico:

z = Au1 rz'-(l-a

)

A partir de la ecuación (5.72) puede calcularse el valor de estado estacionario

de

z, qtre será igual a z* = Blty. El sistema de tres ecu:rciones diferenciales, expresadcr en las ecuzrciones (5.64), (5.70) v (5.71)puede expresarse también de la siguiente mânera

úlo

-- (e -

l.) -

ru=lÇ)

Q - X"| +

(u

-

u")

,,- z")+tv-x"l

irlu = B'(tt - u") Ln del-inicirln de

B'

- (y

X-)

(s.73

)

|s.74) 1§ 7§\

I irnplicrr

2lz=(1 -a) (úlu-t)lo) =-(1-o)'(ã-:.) Los restrltaclos de z/:,

xlxy ülu

(,5.76)

apârecen en las ectraciones (.5.33) a (5.3-5).

Podemos integrar la ecuación (-5.76) y obtener la ecuaciírn (-5.37):

r--- lz(0)-r . -l a(0)

-( I ,r).: Í

donde z(0) es el valor inicial de e. Despejando ã en esta ecuación:

z=r*.2(O)l{2..n-(t

tr)zrr

+:(0).[t -, t, ,.t.-,11

(s.77)

La ecuación (5.77) implica que z--+z* cuando /--roo. Si z(0) >z*, entonces à2. para todo /, mientrâs que si z(0)0 v z(z* para todo /. E,studiamos a cgntinuación las características de la trayectoriir estirble de y 1, u, es decir, la trayectoria a lo largo de la cualltiencle aX* y u tiende a z*. Supongarnos

277

5.6. Apéndice 5B: solución del modelo Uzawa-Lucas

que Z(0) >Z*, de manera que u - z- disminuye monótonamente en el tiempo. La ecuaciôn (5.74) puede expresarse cle la siguiente manera

'iit=Lt-r')+(f)

ot'r

(s.78

)

donde O(/) = z * ã* es una función monótonamente decreciente con respecto al tiempo. Si o0 para algunos /, la ecuación (5.78) implica quea > 0 para todos los / posteriores (porque el término negativo del segundo miembro de la ecuación disminuye cle tamafro ccln el tiempo). Así pues,X se alejará d, X* y tenclerá a infinito. Por tanto, la trayectoria estable se caracteriz:t por * 6 o si empezamos con z(0) á, sustittlya ecuación (5.73) y obtendrá:

Lt

-

lz'' de la ecuaciíln (5.7-5) en la

úlo=(z-z')+irltr

(s.s0)

Cuando 11, > 6, podemos utilizar esta ecuación para demostrâr que z(0) > z- (z[0] < z- ) corresponde a t.r(0) r,.,-). La conclusión fir-ral es que z(0)iz- corresponde a ar(0)]ar* para toclas las conÍiguraciones de rr y á. Es n.rás, un valor más pequeiio de r,,,(0) se corresponde con trn valor mayor de z(0). Así ptres, inicialmente z es grande o pequefro dependiendo únicamente de si el capital físico es escaso o abunc{ante en relación al capital humano. Pcrdemos utilizar estâ conclusión junto con lurs de la tabla 5.1 para trazar las policlr functions de y y u en función de a. Estos resultados aparecen en la ilustración 5.5. La rasa de rendimienro / es igual al producto marginal neto del capital físic 0,a2 > 0 son constantes. Así pues, H

lH

(s.94) es

una función lineal positiva de

ú).

Puesto que la riqueza en sentido amplio K + tenemos que

pH crece a la tasa constante 7*,

, =Vi) &tK).(h)

@tH)

282

5 I Modelos de crecimiento endógeno de dos sectores..

Así pr-res, la tirsa de crecimiento de K viene dada por

klK Si sustituim r7, en el momento / se dedicaria a la I+D una cantidad infinitar de recursos.ll Así pues, en el equilibrio no se cumple v(r) > ry. Si \z(r) < //, en el momento / no habría reclrrsos dedicados a la I+D v. por lcl tanto, el número de bienes N se mirntenclría constante en el tiempct.12 Centraremos el núcleo de nuestro análisis en los equilibrios con I+D positiva v, por lo tanto, en los que N crece en toclo momento. En estos casos

V(t) =

(6.17\

rt

cumple para todo /. Si derivamos con respecto al tiempo la condiciírn cle libre entracla de Ia ecuaciírn (6.17), trtilizando la expresiírn c1e V(r) de Ia ecr-raciírn (6.15)v teniendo en cuenra l:r

se

ccrndición

r(t, u) - L1l\t,-

til [ .l

rft't) du.ttr, obrenemos

t

(6. 1s

)

donde ir es el flujo de beneficios constante de la ecuaciírn (6.9). La ectraciírn (6.18) establece que la tasa de rendimiento de los bonos r(t) es igual a la tasa de rendimientcr de la inversión en I+D. La tasa de rendimiento de I+D es igual l la rasa cle beneficio ÍlV(t) más la tasa de ganancia o pêrdida de capital asociada a un cambio del vafurr de la empres:r investigadora Vç1 1V1t1. Puesro que ry es una consrante, la condición

de libre entrada de la ecuación (6.17) implica que V111 = 0. De la ecuacrírn (6.18)

st-lPuesto de que el coste es constântc, pcro qne los nuevos productos son más productivos

por unidacl

que los anteriores. En cl cap'itulo 7 analizamos un moclelo en el que los nuevos pr"ocluctos son nrás prodrretivos qrrc lo.,rrrrieuos.

11. La inversión poclría ser infrnita si

r.ro ha,-

limitaciones a la obtenciôn de prósr.lmos al tipo tlc

interés r(t), cn los que la dcud:r podría estal garantizacla por el valor

c'le

la inversión.

1?. El nírmero dc invencioncs N no

es rever:sible. Es dccir, es inrposible olviclarse de irlgrrno de los disefros inventados,v así olrtener una rcducciírn en Ios gastos dc I+D quc se ernplcaron cr.r su discilo. Si N fuera reversible en dicho scnticlo, VQ) = rl tendría que cunrplirse en todo rlrolncl.rro.

13. Aplicarnos aparece

er.r

acluí la regla de l-eibniz para la derivada dc una intcgral deÍinida. Véase el anirlisis rluc cl apénclice matent:ltico.

295

6.1. Un modelo básico con una variedad de productos es constante e igual a r(t) = r = (6.9) obtenemos ft por su valor en la ecuación se deduce que el

tipo de interés

rll.Si

r=(Ltrtt.4t rt "t (+).(vrl{t-írr

sustituimos

(6.1e)

La tecnología y la estructura cle mercado existentes fiian la tasa de rendimiento en el valor que aparece en la ecuación (6.19)(bajo el supuesto de que la tasa subyacente de crecimiento de N es positiva). Por lo tanto, la situación es análoga a la del modelo ÁK del capítulo 4, en el que la tecnología y los incentivos a la inversión Êiaban la

tasa de rendimiento en el valor Á - ô. El bien intermedio que está a punto cle ser descubierto genera un valor actual de beneficios en monopolio que cubre los costes de I+D, 17. Es decir, V(t) = ryen la ecuación (6.15). Puesro que los antiguos y los nuevos productos reciben el misn'rcr flqjo de beneficios del monopolio, el valor actual de los beneficios de cada uno de los bienes intermeclios existentes tiene también que ser igual a ry. Así pues, 17 es el valor de mercaclo de una empresa que posee el procedimiento para producir uno de los bienes intermedios y el sumatorio del valor de mercado de las empresas es igual a 4N. (Recuerde que las empresas no poseen capital, porque no hay bienes cluraderos en este modelo.)

6.1.3. Los hogares Los hogares siguen maximizand() su utilidad en un horizgnte infinito:

,=1,*(#)

e-r,,dt

(6.20)

donde, en el presente modelo, la tasa de crecimiento de la pohlación a es igual a cero. Los hogares ganan la tasa de rendimiento sobre sus âctivos r y reciben el salario w por la cantidad agregada 6ja de trabajo L. La ya conocida restricción presupuestaria agregada de los hogares,

es

d(activos)ldt = wL + r'(activos)- C

(6.21)

Los hogares curnplen la habitual ecuación de Euler,la

CIC=(ll0)'(r-pl

(6.22)

La habitual condición de transversalidad implica que r tiene que ser superior a tasa de crecimiento a largo plazo de la producción Y.

la

14. Puestg que la población L cs constante, la tasa de crecimiento del consumo es igual a la tasa de crccimiento del consumo per cápita.

296

6 ICambio tecnológico: modelos con una variedad ampliada de productos

6.1.4. Equilibrio general E,n una economía cerrada, el total de los activos de los hogares es igual al valor de mercado de las empresas

activos = ryN Puesto que

ry es

constante, la variación de los activos tiene que ser d(acrivos)/d1 = /i N

A partir de la ecuación (6.5), el salario viene dado por

w=(1-o).(YlL) Tras un cierto desarrollo, el tipo de interês de la ecuación (6.19) puede expresarse cle la siguiente manera 1

t=i.(1 -o)'a.(Y/^J) Así pues, la renta agregacla, wL + r.activos, es igual a Y - u2Y. En consecuencia, la restricción presupuestaria de los hogares de la ecuacií;n (6.21) se rransforma en

ryN=Y-C-X

(6.23)

donde utilizamos la condición X = tt2Y que procede cle las ecr-raciones (6.12) y (6.13). La ecuación (6.23) es la restricción presupuestaria del conjunto de la ecclnomia. Esta condición establece que, en cualquier momento del tiempo, el PIB, y, tiene que ser dedicado al consumo, C, a la producci(ln de bienes intermedios, X, y

N nuevos productos, cada uno de los cuales costará 17. Si en la ecuaciôn (6.22) sustituimos r por su expresiírn en la ecuación (6.19), hrllorem,,s la fitsir de crecimiento:

a la creación de

y=

I

tet.ltttrt.

A1t\t

"\ (+) ,lttt

"t -

í,1

(6.24\

Esta tasa de crecimiento es la tasa de crecimiento del nírmero de diseiios, N, de la proclucción, Y, así como del consumo, C. El modelo presente, al igual que el moclelo AK, se caracteriza por carecer de clinhmica de transición, 1. las tres variables creceo a la misma tasa constante.l5 La ecuación (6.24) es válida únicamente si los parámetros subvacentes hacen que en la ecr-ración y>0. Si ys suficientes

1-5. Se dcn.mestrâ así que eriste un eqr-rilibrio sin clinárrica de tlansiciírn. Se puede probrr que ncr eristen otros equilibrios siguiendo el proceclimiento mostrado en el capítulo 4. Dejamos clicho clesarrolkr ronto r'jr'ruir'io pr.tctie, '.

297

6.1. Un modelo básico con una variedad de productos

lo tanto, N permanecería En ese caso, la tasa de crecimiento y seria igual a cero. En

incentivos para dedicar sus recursos a la I+D y, por

constante en el tiempo. lo sucesivo suponemos que en la ecuación (6.24) se cumple que 7> 0. Inicialmente el número de variedades de los bienes N es un valor N(0) y después crece a la tasa constânte y dela ecuación (6.24). La expresión de la producción de la ecuación (6.13) indica que, para un L fijo, Y es proporcional a N. En consecuencia, Y y N crecen a la misma tâsa constânte. El nivel de consumo C tiene que cumplir la restricciôn presupuestaria de la economía de la ecuación (6.23), que se ptrede expresar también de la siguiente manera

C=Y-ryyN-X de recursos dedicados a la I+D. Si sustituimos Y (6.13), y por su expresión en la ecuación (6.24) y por su expresión en la ecuación (6.12), y después simplificamos, obtenemos X por su expresión en la ecuación

donde

r//N = 7N es la cantidad

C= (N/0) .lLAtttt-"t.(1 -o) .o2ot\1

").le-o'(1-

o)l+rypl

(6.2s)

La ecuación (6.25) garantiza que, para un L frio, C y N crecen a la misma tasa 7, la de la ecuación (6.24).16

6.1.5. tactores determinantes de la tasa de crecimiento Considere los factores determinantes de la tasa de crecimiento 7 de la ecuaciôn (6.24). Los parámetros de preferencia de los hogares,p y 0,y el nivel de la tecnología de producción A, actúan básicamente de la misma manera que lo hacían en el modelcr AK analizado en el capítulo 4. Una mayor disposición al ahorro (valores de p y 0 más bajos) y una mejor tecnología (un valor de Á mayor) aumentan la tasa de crecimiento. Un nuevo efecto influye sobre el coste de inventar un nuevo producto ri. La disminuciírn de r7 aumenta la tasa de rendimiento r de la ecuación (6-19) y, por lo tanto, aumenta la tasa de crecimiento 7 cle la ecuación (6.24lr. El moclelo se caracterizâ por un efecto de escala, ya que una mayor dotación de trabajo L aumenra la tasa de crecimiento 7 de la ecuaciírn (6.24). Este efecto es semejante al que surgía en el capítulo 4 en el modelo del aprendizaie mediante la experiencia con difusión de conocimiento y en el modelo de bienes públicos. Al igual que en los modelos vistos anteriormente, si permitiéramos que la población L creciera a una tasa positiva, la economía no tendería a un estado estacionario con una tasa de crecimiento per cápita constante. En el modelo presente âparece un efecto de escala, ya que el nuevo producto, cuyo coste de invención es igual a

16. La condiciôn de transversalidad es r > 7. (Recuerde que la tasa tle crecimiento de [a población, rz,.es igual a cero.) Puesto que y = (1.|e).? p),la condición dc transversalidad puede expresarse ..r-., i.(l ír) < p. Si sustiiuimos / por su expresión en la ecuaciôn (6.19) llegamos a la inecuación LA1lt1-t\ .\1 - o) . oz"l(t ")a. (1 - í?) < r7p. Esta condición garantiza que la erpresión de C dc Ia ccuación 10.2.§1cs positiva.

298

6l

Cambio tecnológico: modelos con una variedad ampliada de productos

puede ser utilizado de forma no rival por el conjtrnto de la economía. Cuantcr mayor seâ el tamaão de la economia, representado por L, menor será el coste de una invención por unidad de L (o Y). Por lo tanto, al igual que una disminuciírn de ry, un aumento de L aumenta y. ry,

En el capítulo 4 vimos que los efectos de escala no se ven corroboraclos empiricamente si se identifica la escala con el nírmero cle habitantes de un país o con su actividad econírmica. Sin embargo, los países pueden no ser la unidad de medida adecuada en el contexto que nos ()cupa. La escala que concierne al modelo tiene dos aspectos: en primer lugar, concierne a la totaliclad de la producción a la que puede aplicarse una nueva idea de forma no rival; y en segundo lugar, mide el árnbito de aplicación de los derechos de propiedad clel inventor. Si las ideas fluyen firciln-rente a través de las fronteras, en el prirner contexto los paises no serán las unidades adecuadas. (Analizirremos la difrrsión de la tecnología en el capítulo 8.) Tarnbién en el segundo contexto es posible que los países no sean la rnedida apropiada si el ámbito de protección de las patentes es internacionaI o si la posición de rnonopolicr en los países extranjeros puede basarse, al menos parcialrnente, sobre el secreto. Si el mundo opera como una únicir rrnidad en lo que respecta al flujo de ideas y al respeto a la propiedad intelectual, L debería identificarse con la población mundial o con un sumatorio de la actividad económica rnundial. En dicho caso, el model0, el térrnino de la ecuación (7.20) que aparece entre llaves tiene que ser igual a cero:

(t(«).E[v(«i+ 1)]- 1= 0

\7.23)

Así pues, si sustituimos E[V(«7 + 1)] por su expresión en la ecuaciôn (7.19), la condición de libre entrada

se transforma en

r + p(«i + 1) = Q\«i) . v. qk;+1)tl(t-t1

(7.24)

El resto clel análisis depende de la forma de la funciírn d(«l), es decir, de la manera en la qtre varía la probabilidad de éxito de la ecuación (7.20) con respecto a la posiciírn en la escala de calidad. La formulación más sencilla de ó(x) es aquella en la que los éxitos se vuelven cada vez más difíciles a medida que el producto es obtenido utilizando la posición de la escala de calidad recientemente alcanzada «7 + 1. Es decir,

Qki) =

0I

-() '

rrl(1-o)

q-ki*r)

(7.2s)

donde 4 > 0 es un parámetro que representa el coste de la investigación. La ecuación (7.25) implica que el coste de I+D aumenta proporcionalmente al nivel de producción previsto (y por lo tanto la probabilidad de éxito disminuye proporcionalmente),

producciôn qu.., proporcional al término ,l«1+1)oll1-t). Si en la ecuaciln (7.24) sustituimos la expresión de |t(x) de la ecuación (7.25) obtenemos

r+p(«i+11=+

(7.26)

s

La ecuación (7.26) implica que la probabilidad de êxito de la investigación por unidad de tiempo es idéntica entre sectores, independiente de la posición en la escala de calidad, e igual a 1T

(7.27)

P= {--T

es constante en el tiempo, p también lo es. La cantidad de recursos dedicaclos a la I+D en el sector I se deduce a partir de las ecuaciones (7.20), (7.25\ y (7.27), y es igual a

Si

r

Z(r)

=

qlKi+1)'11(1-(t) .

6 - r()

(7.28)

328

7 I Cambio tecnológico: el modelo de Schumpeter de escalas de calidad

Por lo tanto, los sectores más avanzaclos, donde q es mayor, tienen que dedicarr un mayor volumen de recursos :r la I+D. No obstante, la probirbilidad de éxito es idéntica en todos los sectores, porque Ias ecuaciones (7.20) y (7.25) implican que o) P(«,) depend e de Z(«) dividido ettÍe q(ri*t)'ol(t . A partir de la ecuaci 6n (7.28) obtenemos la expresiôn del gasto agregado de I+D, denominado Z: N

Z = /-) Y Z( «i) - ,"trt-"tQ .ltl

- r0

(7.2e)

donde Q es el ínclice agregaclo de calidad, definido en la ecu:rciírn (7.15). Así pues. dado r, Z es proporcional a Q. Si modificamos la ecuaciôn (7.25) y establecemos un supuesto diferente en relación a la manerâ en la que ó(«) se relaciona con ç, obtenemos resultados diferentes. Otra relación posible entre ambas sería que 17 fuera menos sensible a las variaciones de «1, en lugar de disminuir al aumentar «; debido a q lxi+1)'rt111-t'). Este caso se ilustrâ mediante el supuesto ó(x)=1/(, constante. En ese cilso, para toclo sector en el que Zlxil> 0, la condición de libre entrada de Ia ecuirción (7.24) irnplica que \t(xi + 7) es una función creciente de «i. En ese cas(), los sectores mírs avanzadgs tendrán tasas esperadas de crecimiento mal,ores que los sectores menos avanzados. En írltima instancia este resultado determinará una tasa de crecimiento creciente del coniunto de la economía. También p«rdríamos haber supuesto que d(r;) estuviera m:is inversamente relacionada con í que lo expresado por la funciírn , lx1+t)tlll "). En dicho caso, la condición de Iibre entrada de la ecuación (7.24) implica que @(r;) es Lrna funciírn decreciente de Kl, pâra todo sector en el qr-re Zl«i> 0. Este resultado conllevirr:i unir tas:r de crecimiento decreciente del conjunto cle l:r economía. En consecuencia, el caso en el que nos hemos centrado, en el que /(«;) viene clada por la ecuaciôn (7.25), corresponde a la formulación del modelo Á1( que utilizamos tanto en el capitulo 6 y como en otros capítulos. Con este plantearniento, la tasa de crecin'riento esperada de cada sector será la misma, y lir tasa de crecimiento del conjunto de la economía acabará siendo constante. El análisis siguiente se cenrua en dicho caso.

7.2.3. Consumidores A fin

de completar el moclelo, incluirnos los hogares con pautas de consumo regular que hemos utilizado a lo largo cle todo el texto (tal y con'ro se describieron en el capítulo 2). La ecuación básica del crecimiento del consumo es:

CIC=$lt)).(r-p)

(7.30)

doncle C es el consumo agregado. (Esta ecuaciírn se cumple porque L es constante.) La restricción de recursos de la economía establece que la producciôn agregada es igual al consumo agregado C, mhs el total de los recursos dedicaclos a los bienes

/.2.

329

El modelo

intermedios X, más Z, e\ total clel gasto en I+D. Es decir,

Y=C+X+Z

(7.3t)

Las ecuacion es (7 .16), (7 .17) y (7 .29) ímplican que Y. X y Z son funciones lineales de Q. De ello se deduce que C también es función lineal de Q. Por lo tanto, las tasas cle crecimiento de toclas estas variables serán iguales a la tasa de crecimiento de Q:

CIC = XIX = ZIZ = Y lY = QIQ = y Si sustituimos la expresión del tipo de interés de la ecuación (7.27) en la expresión la tasa de crecimiento del consumo de la ecuación (7.30), hallamos que ésta viene dada por cle

y=

ctc = tlto) (;

-,

- r)

N9 obstante, esta expresión no es la soluciôn final del modelo, porque p, la probabilidad de éxito de la I+D es una variable endógena. Para obtener la solución final del crecimiento, tenemos que explicar el comportamiento del índice de calidad Q.

7.2.4.

Comportamiento del índice agregado de calidad y el crecimiento endógeno

Recuerde la definición de Q de la ecuación (7.15)t N


n (7.33). Si en la ecuaci(in anterior sustituimos p por su expresií)n en la ecuaciírn (7.27) obtenernos la tasa de crecimienro de Q siguienre:

e/e=

(4,-) [4"/(1-'rt

-

1l

(7.34)

La ecuaciírn (7.34) establece que la tasa de crecinriento de Q es una funciírn inversa con respecto al tipo de interés r. E,l términt) constante es (r-/() 'lrttlr'l-t) _ 11 y la pencliente es igual o -[q'''" '') - 1].E,sta función aparece representacla en lrr ilustración 7.3. Como se dilo anteriormente, C y Q crecen a la misma tasâ constante, denominada 7. Por lo tanto, la expresión del crecimiento del consutno de la ecrlación (7.30) establece otra relación entre la tasa de crecimiento y r. La intersección de amhas define el punro de equilibrio. donde Q lQ = ClC. La ecuación (7.11) establece que el flujo bársico cle beneficios zr atrmentrr si aumenta el parámetro A de la función de producción o si crece la poblaci 0, lo que debe ctrmplirse en un equilibrio con crecimiento positivo. Por lo tanto, Lrn incremento de 4 tiene el efecto neto de aumentar la tasa de crecimiento. Algebraicamente, si sustituimos la ecuación (7.30) en la ecuación (7.34) obtend

rentos

7.2. El modelo

331

tt + o .lq*ttl-d

- tl. t; tfl

1+0'fqtttr-")-11

y= donde

_ 11. l(i I () - t)l 1+ 0'lq"ttr-") - 1l

lq,,t

í - Atlll-a).(*) "r,U-.)L.

(7.3s)

t1-")

(7.36)

Aceptamos el supuesto de que los valores de los

parámetros son tales que y es positiva (de manera que la condición de libre entrada de la ecuación17.261 se cumple) y se cumple r>y (a fin de satisfacer la condición de transversalidad).8 La ecuación (7.33) implica que en el equilibrio el valor de p es igual a la expresión de 7 de la ecuación (7.36) dividida entre lrttllt-o) - 11'

p*

6t(\ - p t+0.lq"ttr-")-1]

(7.37)

La similitud con el moclelo de variedades del capítulo 6 radica en el hecho de que los resultados no muestran dinámica de transición.e La única variable de estado es ahora el índice agregado de calidad Q. Dado un valor inicial Q(0), todas las variables Q, Y, X, Z y C crecen a la misma tâsa constante 7 de la ecuación (7.36). El tipo de interés r es el valor constante de la ecuación (7.35). El crecimiento que se produce en cada sector depende de los resultados aleatorios de la inversión en I+D. En concreto, las posiciones relativas cle calidad de los sectores y, por lo tanto, las cantidades relativas gastadas en bienes intermedios e I+D varían de manera aleatoria. En consecuencia, en un momento dado, las posiciones de calidad alcanzadas en los sectores se caracterizarân por su patrón irregular, tal y como pârece indicar la ilustración 7.2. Observe que, tal y como se representa en el gráfico, de los cálculos algebraicos se deduce que la tasa de crecimiento es una función decreciente de los parámetrcls de la función de utilidad b y e) y de 4, que representa el coste de la investigación. La tasa de crecimiento es una función creciente dei ,v de q.10 7.2.5. Los eíectos de escala, una vez más La tasa de crecimiento aumenta al aumentar la población I, ya que el flujo básico de beneficios zr aumenta al aumentar L, como vimos en la ecuación (7.11). En el capítulo 6 aparecia un efecto de escala similar y entonces analizamos cómo se podía

8.

Lasecuaciones(7.3-5)

v0.36) irrplicanquelacondiciírnparaque

(trl().En la ecuación (7.36)la condición parâ que

t>0

r>yesÍ)> (1-Él) t1 q-''lt1-")l'

e, S,(«i)

= Ql

-() '

cl

p«-rsici(rn

l«i+1)'ttl(l-Lr\

Esta formulaciírn significa que los éxitos de la investigación son más difíciles en los sectores rnás avanzados, en krs que las innovaciones contribuyen más a lit producción. No obstante, supusimos que variaciones en el tamafro de la producciírn de la economía no influían sobre /(«;) y, por lo tanto, tâmpoco sobre p(«;). Otro posible supuesto es establecer que d(«r) varía en función inversa del nivel absoluto de producción imputable al bien intermedio f cuando se alcanza el siguiente nivel de calidad r, + 1. Este nivel de producciírn viene dado por la ecuaci6n (7.14) Y(«i + 7) = A1 l11 o)o2ol11-tt)7 ' q\Ki+t)(tl\t

(r)

Así pues, en lugar de la ecuaciôn (7.25) podemos aceptar el suptresto de que

q,\1

I\1-,r\rrl,tIi ri7 . rl«;+\)

rtI11-a)

(7.3s

)

donde (>0 es de nuevo el parámetro que mide el coste de la investigación. En relación a la ecuación (7.25), el nuevo elemento radica en la relación invers:r entre ó(r) y el término A1l(t t)o2ttl11 t)L. Si resolvemos el modelo siguiendo las mismas etrlpas que Jntes, obtendrernos una nueva expresiírn de la tasa cle crecimiento:

- tl [,r . (1 - u)14 - pl 1+ t).lq"ttt '") - 1l

fqottl-,tt

(7.3e)

L. La variable L no éxito en la investigación influye sobre el crecimiento, ya que la probabilidad cle (7.38) (7.20) y del gasto de I+D en el p(«;) clepende a través de lirs ectraciones sector f, Z(xi), expresado en relación al tamaiio del sector, tal y como lo rnide su contribuciírn esperada a la producci1n, Y(«i + I ). Puesto que L afectit a Z(xi) y a Y(«; + 1) en Ia misma proporción, al final, la pr:obabilidad p es independiente de L. Esta expresión es independiente de la escala, representada por

Puesto que en la ecuación (7.33) la tasa cle crecimiento viene determinada por p, la solrrción de 7 cle Ia ecuación (7.39) no afecta :t L. Siguienclo el mismo razonrmiento,

7.3. La innovación del líder

7 es independiente del nivel de la tecnología de producción, representado por el parámetro A dela ecuación (7.1). Estos resultados son semejantes a los de la sección 6.1.7 en la que el coste de invención de una nueva variedad de producto subía al aumentar Y/N, el ratio entre la producción y el nílmero de bienes intermedios. Algunos modelos de la literatura, incluyendo los de Young (1998), Aghion y Howitt \1998,capítulo 12) y Dinopoulos y Thompson (1998), eliminan los efectos de escala de manera básicamente similar. De una u otra manera, estos modelos aceptan el supuesto de que el efecto del gastcr de investigaci6n Z(x) sobre la probabilidad de éxito, P(«,) se diluye de manera efectiva a través de un aumento de la escala.

7.3. La innovación del líder 7.3.1. lnteracciones entre el líder y los agentes externos Hasta este momento hemos supuesto que todo el esfuerzo en I+D provenía de agentes externos. Supongamos ahora que tambiên el líder del sector gasta en I+D. Llamemos Zu(«i) al gasto total en I+D de los agentes externos y Zt(«i) al gasto en I+D del líder, de manera qve Z(xi) = Z (« j) + Z{ («) . Si los agentes externos y el líder son igual de capaces en la investigación (supuesto que âceptamos por el momento), la probabilidad de éxito de la I+D por unidad de tiempo de los agentes externos y del lider viene dada por

P'(«) = Z"(«)'Qfu) Pt (*i1

= z{

1«S

(7.40)

' E1«S

La probabilidad total de éxito de la I+D por unidad de tiempo es igual a p(«i) = 1t( («). El rendimiento neto de la I+D de los agentes externos es igual

P'@1) +

a

p"(«).EIV(«i+ 1)]- Z"(«i\ = Z"(«)'{0k)'E{V(xi+ 1)l-

1}

(7.41)

rlv(«r)]

Q-42)

El rendimiento neto de la I+D del líder es igual a p(

k). EIV\.1+ 1 )l - zt 1«1 - pQS. Elv(«)1 = zt (K)'l|(«i) E[v(«i+ 1)l - 1l - Z(«1)'Qk)

Observe que el êxito de la I+D de los agentes externos o del líder provoca la pérdida del valor actual de los beneficios del líder EV(«). Si los agentes externos están dedicando recursos a la investigación, de manera que Zo\«il >0, clebe cumplirse la condición de libre entrada de la ecuación (7.23).

De esta condición se deduce que el rendimiento neto de la I+D de los agentes externos, tal y como aparece en la ecuaci 6n (7.41), tiene que ser igual a cero. Pero esta condición implica que el primer término de la expresión del rendimiento neto del líder de la ecuación (7.42) también tiene que.ser igual a cero. Así pues, si

334

7 lCambio tecnológico: el modelo de Schumpeter de escalas de calidad

Z(xi)> 0, el rendimiento neto del líder asociado ir la I+D es negarivo. Es más, si el líder consiclera dado el gasto en I+D de los agentes externos Z"(«i), un incremenrtr de la inversión en I+D del líder zt(«i) aumenra la inversión total en r+D, Z(«il, y por lo tanto disminuye el rendimiento neto de la I+D del líder. Así pues, si los agentes externos están dedicando una canridâcl positiva y dada a la I+D, la meior respuesta del líder es fijar Z{1«1 =0. Este resultado clemtrestra que el equilibrio que se halló anteriormente, cuando aceptamos el supuesto de que el líder rro realizaber investigación, era un equilibrio de tipo Cournot-Nash.ll Estos resultados predicen un cambio continuo de liderazgo dentro de la industria. El intruso desplaza al lícler existente en el momento en el que se produce la siguiente mejora de calidacl, intruso que a su vez se ve desplazado por otro, y así sucesivamente. Esta predicción no se ve corroborada por las tendencias clel munclo real, en el que la ntavoría de las mejoras de calidad de los productos en el mercadçr suelen ser realizadas por los líderes de la industria. Asi pues, es importante anirlizar cuáles son las posibles modificaciones clel modelo que pueden hacerlo más realista con respecto a esta cuestión.

En un equilibrio tipo Cournot-Nash, el líder considera dado el esfuerzo en investigación de los agentes externos Z"(ri), y cacla uno de los agentes externos considera dado el esfuerzo en investigaciírn de los otros agentes externos y clel lícler, Z{(«i) @ue en el equilibrio resulta ser igual a cero). Puesto que la prodr:cciírn clei líder está consolidada y puede realizar diversas inversiones visibles, puede que no sea lógico aceptar el supuesto de Cournot-Nash, en el que el líder considera d:rdas las acciones de los agentes externos. Resultaría rnás adecuado .lceptar el supuest 0, ahora al líder le resulta indiferente su elección de Zt (x). Es decir, hay una inc{eterminación en lo qLle respecta a la manera en la que el total de la inversión en investigación se repârte entre agentes externos y líder. Ncr crbstante, un valor lo suficientemente grande de Zt(x) haría que Z.(«7) descendiera hasta el valor cero. A partir cle dicho punto, si se produjerirn más aunrentos de Z{1x) el rendimiento neto del líder disminuiria. Asi pues, el líder no superaríir

t

1.

2.

Para un mavor clctalle sobre estâ arqumentación r'éirse Aghion v

Holvitt.

Esta conclusión se clcducc fácilmente a partir c1e las conclicioncs dc primer orden de las elecci6pcs de los agentcs crxternos clc Z"lr1 .) si p(r,)cs una función cóncava cle Zlx,), cn vez cJc Iinea]. I

335

7.3. La innovación del líder

valor de Zt(«). Observe que en esta solución, el líder desarrolla la totalidad de la investigación, pero los valores de equilibrio de Z(«) y Pk) se determinan exactamente igual que en el modelo anterior Es decir, la posibilidad de agentes externos que invierten en I+D deÍine el equilibrio. Moclificando el modelo de manera que el líder de la industria posea una ventaja de coste en.la I+D, se elimina la indeterminaciôn en lo que respecta al reparto de la investigación. Esta modiÍicaciôn no es inverosímil, ya que el líder normalmente poseerá la mejor informaciôn en lo que respectâ â la tecnología actual y quizás también tenga otras ventajas que disminuyen su coste de I+D.13 Es más, si los agentes tienen distintos costes de I+D, aquel cuyo coste sea menor tenderá a convertirse en el líder de la industria. A fin de analizar esta situación, sustituyamos en las dos funciones de probabilidad de la ecuación (7 .40) el término QQi) por óo (xi) y qrr(«7) respectivamente, donde 4r"(xi) 0, la condiciírn de libre entrada se deduce de una modificación de la ecuaciírn V.a1) y es igual a1a

esre

Z"(«)' lQ'k)' EIV(xi

+ 1 )l

-

1) =

Q

(7.43\

El rendimiento neto del lider viene dado en este caso por la modificaciírn de

la

ecuaciôn (7.42)

ztk)'ló{(«i)'Elv(«i+

1)l

-

1}

-

p(K) 'E[v(«7)]

(7.44)

El comportamiento de los agentes externos seguirá fiiando el valor de p(«r) del término de la derecha. No obstante, la condiciôn de libre entrada de la ecuación (7.43),junto con la condiciôn 4r"(«) O. a. ;Cuál será el valor de q en el equilibrio, en el modelo en el que la ventaja de coste de investigación del líder es Io suficienremente grande como para hacer caso clmiso de la posible investigación de los agentes externos? b. iBaio qué circunstancias la respuesta anterior resulta congruente con el supuestcr de que el lider puede hacer caso omiso de la posible investigaciirn de los agentes externos

?

7.2. Dercchos de monopolio cn la investigación. Suponga que el Estado apoya la posición de monopolio de los líderes de la industria no autorizando la investigación de los agentes externos. ;Bajo qué circunstancias dicha política mejorará el bienestar? E,n la práctica, 2qué problemas surgirían de la aplicación de una política semejante?

7.3. El líder de la industria como único investigador. Suponga que el parámetro de coste de investigación en mejoras c{e calidad (r del líder de la industria es inferior al parámetro de los agentes externos (. a. ;Bajo qué circunstancias, en el equilibrio,realizará el líder la totalidad de la investigación en mejoras de calidrrd? En el caso de una innovación completamenre . nuevâ, lserían distintos los resultados? Iu. En el equilibrio,;bajo qué circunstancias será independiente la intensidad de la investigación en mejoras de calidad de la posibilidad de que los agentes exrernos

7 lCambio tecnológico: el modelo de Schumpeter de escalas de calidad

348

se dediquen a la investigaciírn? Descrilra Ia naturaleza de la interacciírn en el caso en el que la posible investigaciírn de los agentes externos inÍ1uy'a en el equilibrio. ;Hay algún câso en el que una mov()r competencia aumente la tasa de crecimiento de la ecclnomía?

7.4. Otras posibles relacioncs entre la probabilidad dc éxito en la investigación y la intensidad dc la investigación. Suponga que la dependenciir de la probabilidad de éxitcr en la investigaci6np(xil de la inversiírrr total en I+D en el sector i,Z(xi) \,a nçt viene dada por la ecuaciín (7.20) sino por

pki) = lZ(«) .rb(«)), donde 0 vz, y la tasa de rendimiento esperada de la imitación es /1. Esta tasa de rendimiento

y N2 a la tasa de estado estacionario 71 . es la misma que la representada estacionario Por lo tanto, la solución de estado (Nz/Nr)que se cumple en la ilustración 8.1, excepto =1. (Seguimos aceptando el ilustración 8.4; es decir, se cumple la en la supuesto de que ry2>v\, como se veía para innovar.) país tienen incentivos 2 no inecuación [8.23] y los agentes del es coherente con el crecimiento de C2

8.3.2.

La dinámica de transición

cle manera que N2 < Nr, Y la oferta En dicho caso, la tasa de abundante. copiados es de productc'rs susceptibles de ser igual a rendimiento del país 2 tiene que ser

Ahora considere la situaciírn en la que / < T,

(8.31)

rz = nzlvz

que es constante. Por lo tanto, constante y viene dada por

la tasa de crecimiento del consumo también

CzlCz=0le).(nzlvz-p)

es

(8.32)

Este resultado equivale a la ecuación (8.26) en la que rr fuera igual a cero.líl

La expresión de fr/fr es la misma que en la ecuación (8.29) y la expresión XzlXz es la misma que la de la ecuaciírn (8.30) con rr igual a cero:

fr/fr

=

llvz)

.

Lnz.

0

+ a) lo

-

x21

-

(8.33

y1

Xzlxz = 0,le). (rzlvz)' t1 - 0. (1 + cv)lol - pl0 + y2lv2 dcrnde, de nuevo,

xz

:

de

)

(8.34)

Czll'Jz.

Al igual qlle antes, las ecuaciones (8.33) y (8.3a) pueden usârse para construir el diagrama de fase en la región (N,xz).La ilustración (8.5) muestra dicho diagrama. Observe que en este caso los lugares geométricos son rectâs horizontales.

Si

rz = rz lyz> /1 podemos demostrar fácilmente que la recta fr = 0 se sitúa por encima de la recta az = 0, tal y como se ve en la ilustración. Tambiên vemos que N es clecreciente para valores por encima de la recta N = 0 y creciente para valores por debaio de la misma, mientras que,t2 es creciente para valores por encima cle la rectal'2 =0 y decreciente para valores por debajo de la misma. Estos patrones implican que la trayectoriâ estable de punto de silla comienza entre las dos rectas horizontales y a

10. En la ecuación (8.24) o = 0 implica que caso, tambión se cunrple v2 < t72.

vl

es independiente cle

N2/N1 . No obstante, en el presente

366

B I La difusión de la tecnología

N(0)

1

ILUSTRACIÓN 8.5 | Diagrama de fase del país 2 cuando vl es constante. El lugar geornetr co fr=O es una recta horizontal que se sitúa por encima del lugar geométrico1.1 =0, que es también una recta horizontal. La trayectoria estable de punto de silla se sitúa entre estas dos rectas y tiene pendiente positiva.

partir de ese punto tiene pendiente pclsitiva. Hemos trazado dicha trayectoria de rnanera que permanezca por debajo de la recta fr=0 ctr,rndo fr alcanza el valor 1, r-rna formulación que viene irnplicada por el análisis posterior. La ilustraciôn 8.5 implicr unâ trânsición en la que N yX2 aumentan moní)tonamente. El incremento de N significa que À12/N2 es superior â yr clurante toda la trayectoria. A partir de la ecuaciírn (8.29) el crecimiento de y2 implica que N27N2 disminuye regularmente. Así pues, la solución está de acuerdo con la solución expuestâ en la sección 8.2.5 en lo referente al pronóstico de que el seguidor crecerá más deprisa que el líder (en lo que respecta al número de productos conocidos y a la producción), aunque la diferencia entre las tasirs de crecimiento disminuye a rnedida que el seguidor se âcerca al líder. A diferencia del análisis ânterior, ehora C-2lC, es constante y su valor es superior a 71 (véase la ecuación 18.321). La parte más complicada de la solución ataire alcomportamiento iusto en el momento T en el que N alcanza el valor 1. Inmediatamente después de este momento, las imitaciones cuestan v..,>vz y la tasa de rendimiento es /1, lnmediatamente entes de dicho momento, las iÃitaciones cuestan v2yla tasa cle rendimiento (de la ecuación [8.31]) es ftyf v2>11 . Cualquiera que pague ]'2 porimitar un bien inmecliatamente antes del momento T sufrirh, en el instante posterior, una brusca ganancia de capital que corresponde al aumento del precio sombra del bien imitado cle v2 a vi. De hecho, en este modelo, la tasa de rendimiento de copiar r-rn bien es infinita en un- inrtante, en la fecha T. Este curioso comportamiento de la tasa de rendimiento es la base del equilibrio de las magnitudes cuando el coste de copiar es pequeiio y constante.ll La ilustración 8.6 mr.restra la trayectoria total de equilibrio de la tasa cle rendimiento del país 2, t2,y clel logrrritmo del consumo, log(C2). A la izquierda del momento T, la tasa de rendimiento es constante e igual al valor Í2-lvz y la pendiente de log (C2) es la constante asociada (1 l0)-(r2lv2-p). A la derecha del momento 7, la I 1. Si hubiêramos introducido en el r.nodclo bienes cle capital duraderos, le trayectoria de r(t) conespondería en cada momento:rl producto marginal neto del capital y en ningún momento scría igual a infinito. Así pues, el que r(r) pueda ser igual a inÍinito cn Lrn instante del tiempo dependc dc'la corrcliciírr de cluc todos los factorcs scân no duraderos.

367

8.3. Costes de imitación constantes (o ligeramente crecientes)

nt lvz

rt

= nt

ltlt

-

(1le)

6zlvt iPendicnte =

\l le)

(nt

lvt -

p)

ILUSTRACIÓN 8.6 I Trayectorias temporales de 12 y log(C2l cuando v2 es pequefia y constante. La tasa de rendimiento, r2, es constante hasta el momento T y también constante después de T, pero su valor es menor. la tasa de rendimiento es infinita. En consecuencia, bg(Cz) tiene pendiente constante En el momento pendiente constante, pero menor, después de Ty salta hacia arriba en el momento T. hasta

I,

I

tasa de rendimiento es constante e igual a un vâlor inferior rt = ntlrlt y la pendiente de log(Cz) es la constante, de menor valor,(Il0)'(ntlqt -p). En el momento T, la tasa de rendimiento infinita (durante un instante de tiempo) es la responsable del salto de nivel de log(C2). Este salto es coherente con la restricciôn de recursos del país2, yâ que la cantidad gastada en la imitación desciende bruscamente y por el

mismo valor en el mismo momento.l2 Observe que no se produce salto alguno en T (ni en ningún otro momento) en la producción total. A continuación suponga que, en vez de ser constante, v2 aumentara ligeramente, pero que el valor de v2 en N=1fuera siempre inferior a v). En dicho caso, el comportamiento en el momento T seguiría conllevando unâ tasâ de rendimientcr infinita y un salto en el nivel de cclnsumo. La novedad más importante en los resultados radica en que 12 no dejarâ de disminuir para t r1 cuando Nz/Nr < 1. Es decir, el coste de irdaptación al país 2 es lo suficientemente bajo como para que el país 2 tienda â crecer más deprisa que el país 1. También aceptamos el supuesto de qr-re a los empresarios del país 2 n«r les merece la pena innovar. Así pues, todas las innovaciones y adilptnciones surqen de las inversiones de los empresarios del país 1. Suponga que anteriormente el país 2 estaba cerrado a la inversión extranjera y sírlo se habían copiado las invenciones del país 1 en unas pocas ocasiones. También suponemos que el país 2 ha inventado poco por su cuenta, quizás debido a valores relativamente bajos de los parámetr()s Á2 y Lt- o a valores relativamente illtos del coste de innovaciírn ryu. Si el país 2 se abriera de repente a la inversión extrânierâ, el nírmero N1 de productos conocidos procedentes del país 1 superaría con creces el número N2 de que se dispone err el país 2. La tirsa de rendimiento de la inversiôn extranjera del pais 1 en el país 2, es clecir, la adaptación de los productos parâ su uso en el país 2, viene dada por rz=t(zlv2, tal y com establece la ecuación (8.31). La tasa 12 es superior a la tasa rt=rtl\t de la innovaci(rn de la ecuación (8.6). (Este resultado se deduce del supuesto y2 0, Y H(',') = 0 cuando i = (i)-. El valor (f,)- depende de elementos recogidos dentro del parámetro Á, como las políticas públicas y la disposición al ahorro. Cuanto mâyor es el valor de A, mayor es el valor d. (y)-, mientras que cuanto mayotes son los valores de los parámetros de preferencia p y 0, menor es el valor de (y)-. Una diferencia entre los dos tipos de modelos raclica en que el término constante de la ecuación (8.37) es 71 , la tasa de crecimiento de la economía (o economías) líder, mientras que en la ecuación (8.38) es x, la tasa exógena de progreso tecnológico, que es constante. Desde un enfoque operâtivo, 71 podría identificarse con la tasa de crecimiento promedio de la producción por trabaiador de un coniunto de países avanzados.l5 El parámetro x no sería observable directamente y podría variar en el tiempo o entre diferentes países. Si todos los países seguidores siguen a los mismos líderes (ya que los costes de imitación y, son idénticos en todos los casos) y si las tasas exógenas cle cambio tecnológico son idénticas para todos los países en un determinado mornento del tiempo, ambos moclelos implican que el término constante es idéntico para todos los países. En una muestra de corte transversal, la ecuación (8.37) haría que el término constânte fuera igual al valor observable y1, mientras que la ecuación

(8.38) no impondría tal restricción. Así pues, el modelo de difusiôn equivaldría a una versión restringida del modelo neoclásico de crecirniento, y dicha versión restringida podría ser contrâstada empíricamente. En un análisis de panel, la ecuaciôn (8.37) permitiria que el término constante variara a lo largo del tiempo, pero solamente en correspondencia con cambios en 7i. La ecuación (8.38) fijaría el término constante, pero únicamente si mantenemos la versión del modelo de crecimiento neoclásico en lâ que la tasa de progreso tecnológico x es constante (e idéntica para todos los países). Si la tasa de cambio tecnológico es exógena, aunque no necesariamente constante, la ecuación (8.38) permitiría que el término constânte variase a lo largo del tiempo de forma no restringida. En este caso, el modelo de difusión sería una versión restringida del modelo de crecimiento neoclásico y la restricción sería contrastable de forma empírica. En relación a los términos G( . ) y H( ' ), el âspecto esencial de la ecuación (8.37) radica en que lâ tasa de crecimiento depencle de las características relatiuas del país con respecto a las de la economía (o economías) líder, ntientras que la ecuaciírn (8.38) implica niveles absolutos de dichas características. Suponga, por ejemplo, que la tasa de crecimientcl 71 de los Estados Unidos, país que representâ a un líder tecnológico, es2o/" al afro. La ecuación (8.37) establece que, para un 71 clado, la tasa cle crecimiento de un seguidor típico, digarnos México, depende de la calidad de sus instituciones políticas y económicas (que determinan el parámetro Á2), expresadas de manera relativa a las de los Estados Unidos. La ecuación (8.38) establece que las características de las instituciones mexicanas tienen importancia en el crecimiento de México, pero que no es necesario condicionar dichas características a los rasgos comparables de Estados Unidos.

15. Los seguidores se ven inflr-riclos por el crecimiento de N1, no por el crecimiento dc la producción por trabajadirr dcl líder yl. âLrnque aÍnbas tâsâs de crecimiento coinciden en el presente moclelo. En gcn..ral, no será posible la mecliciôn directa de Nr y N:, si bien el númcro de patentes o el gasto acunrulado

cr-r

l+D podrían ser aproximaciones posibles.

372

B I La difusión de la tecnología

Si todos los países tienen el mismo líder, en una muestra de corte transversal las câracterísticas del lícler conflr:yen en el término constante generirl. No obstante, si se trâtara de un análisis cle panel, las variaciones de las características del líder, en concreto, los cambios que afectaran à T1, desplazarían el término constante en el tiempo, clesplazamiento que sería observable. Si los costes de imitación varían de mânera gbservable entre pares de países o en el tiempo la identificación empírica resulra más fácil. En Jaumotte 11999) esta idea se incorpora mediante el argumento de que los costes cle imitación serán menores cuânto mayor sea el volumen de intercambios comerciales entre el país seguidor y el conjunto relevante de líderes.l6 La idea radica en que las importaciones clel país seguidor procedentes de los países líderes facilitan la absorci(rn de las tecnologías de calidacl superior de éstrls. Jaumome (1999\ utilizó una muestra de 63 países en desarrollo en e[ perioclo 1960-1994 para representâr al grupo de seguidores, lo que equivaldría a nuestro pais 2. Los líderes, el equivalente a nuestro país 1, eran los países cle la OCDE e Israel. Para estimar las trayectorias temporales de N; de cada país de cada grr-rpo, Jaumotte empleó un enfoque de c«rntabilidad clel crecimiento, tema que anarlizamos en el capítulo 10. Básicamente, eliminó la contribución del crecimiento observadcr de los factores de un país (capital físico, capitill humano, rnecliclo por la educaciírn,

y trabajo no cualificado) al crecimiento observado de la producción, e identificó el residuo con N;. Aceptó el supuesto cle qLre el coste de adaptación v2 depende directamente de N2/N1, como en la ecuación (8.24), pero también qlle el coste depende inversamente del ratio entre las importaciones del país seguidor procedentes del grupo líder y el PIB del país. .|aumotte (1999,tabla 2) llegír a la conclusión de que la tasa de crecimiento cle la tecnología de un país seguidor, meclida a través de Nu /Nz, dependia inversamente de N2 y directamente de N1. Es más, los resultados eran coherentes con la hipótesis de que írnicamente el ratio entre N2 y N1 debía tenerse en cuenta con relación it Nz/Nz. También llegír a la conclusión cie que una mayor participación del con-rercicr hacía que Nz/Nz fr.rera más sensible a Nz/Nr. En el modelo aparecería este efecto si un incremento del comercio provocara la clisminución del coste de irnitación de la tecnología. Así pues, estos resultados empíricos aportan verosirnilitud al análisis de la difusión tecnológica expuesto en este capítulo. Caselli y Coleman (2001) obtuvieron una medida directa de la difusión tecnológica a rravés de los datos de las importaciones de equipamiento de alta tecnología de los países, principalmente computadoras. Especialmente para los muchos países que no tienen exportaciones apreciables de este bien, esta cifra es una buena aproximación a la inversión en computadoras. Así, la ide:r consiste en que la acumtrlación de computadoras tiende a ir unicla a un incremento del uso cle tecnologías avanzadas. Caselli y Coleman (2001, tabla 2), en línea conJaumotte (1999),llegaron a la conclusión de que su medición de la difusiôn tecnológica era provocacla por in-rportaciones crecientes de productos manufacturados procedentes de los países de la OCDE. Otro resultado, en línea con la teoría cle Nelson y Phelps (1966) mencionada con anterioridacl, revelaba que una mayor canticlad de capital humano en un 16. Chua (199,3) v Easrerlv y Lcvine (1997) profundizaron en la r.roción de que el crecinriento dc ut.t país depencle del desarlollo de otros países. No obstante, cstos estudios se centrân cn la influcrrcia de t"rrit.r.ios físicamente colindantes, y no territorios vincu[aclos mcdiante el comercio intern:rcional.

8.6. lntercambio de papeles en el liderazgo tecnológico

373

y adelantamientos

país aumentaba la tasa de difusión tecnológica. Una interpretación de este resultado

., qu" la mayor disponibiliclad

de capital humano disminuye el coste de adopción

de iêcnicas complejas del país o, lo que es lo mismo, âumentâ el rendimiento de clicha adaptación. En su modelo, las mediciones de capital humano que más pocler explicativã contenían eran el promedio de aiios de educación secundaria y superior. Esie patrón resulta lógico ya que es más que probable que esos niveles avanzados de eiucación sean especialmente importantes para el uso de tecnologías nuevas y complejas. Caselli y Coleman también hallaron que la difusión tecnológica se veía estimulada por una mejor protecciírn de los derechos de propiedad y por un nivel

bajo de producción de origen agrícola.

8.6. lntercambio de papeles en el liderazgo tecnológico

y

adelantamientos Considere nuevamente la situación en la que los innovadores poseen los derechos de propieclad intelectual írnicamente en sus países de origen. Hasta ahora hemos o) el caso en el que (At-lAt11/(1 'OzlLr)'klrlllz) < 1, como vimos en la "r"lirrdo ecuación (8.23), de manera que el pais 2 es intrínsicamente inferior al país 1 en lo que respecta a los parámetros subyacentes. En las ilustraciones 8.1 y 8.4, esta ineiuación garantiza que v| se sitúa por debaio de r:72 en el eje de ordenadas. Por este motivo, los agentes clel país 2 no desean nunca innovar' Supclnga ahora que se invierte la inecuaciírn

(Azl At ;1/(1-o) '

EzlLt)

'

Ott

l,t2) >

1

(8.3e)

de manera que el país 2 es intrínsicamente supericlr al país 1' Puesto que se sigue cumpliendo Nz(O) < Nr (0), el país 2 de nuevo se sitúa inicialmente en unâ situación

t..,ràlógi.o inferior. Esta situación podría producirse, por ejemplo, si el país

2

hubiera sido inferior al país 1 durante mucho tiempo, pero que ttna reciente meiora

(Innovación) É,

.; (,ô

Ntot

I

de imitación en el ILUSTRACIóN 8.7 I Coste del cambio tecnológico en el país 2 cuando v'2>nz. El coste país2, t7, es nuevamente una función creciente de N:/Nr y tiende al coste de.innovacrón r72 cuando N:/Nr coste de imitación tiende a l. En este caso se acepta el supuesto de que el valor de estado estacionario del //:. a r eS SUPeriOr )

374

8 I La diÍusión de la tecnología

de las políticas públicas, repr:esentada por un incremento de Á2, convirtiera al país 2 en intrinsicrrmente superior. Volvamos ahora al caso de la ilr-rstración 8..1 en el que y2 âumenta al aumentar NziNr y tiende a ?? cuânclo Nz/Nr tiende a 1. No obstante. l:r inecuación (8.39)

implica que ahora el valor v] de la ecuación (8.22) es superior al valor dr rlr_. Así pues, la ilustrlcirin 8.7 muestrr que N1/N1 nlcanza la unidad v. en cotrsecuencirr, vz alcanza ri2 en un punto en el que el coste de incrementar N2 es todavía inferior a v|. Este resultado significa que a los agentes del país 2 les resulta beneficioscr aumentar NziNt por encima de la unidad mediante la innovación, al coste ry2.

Así pues, una vez que ya se han copiado todas las invenciones del país 1, el pirís 2 opta por la innovaciírn. Las invenciones del país 2 crean un conjunto de productos que ptreden ser copiados por el país 1. Puesto que el coste de copiar es inferior a ?1, los agentes del país 1 ahora prefieren la imitación a la innovación. Los papeles se intercambian, y el país 1 pasa de ser líder a ser seguidor.lT Observe que el bienestar del país 1 mejorará gracias a la presencia del país 2, tecnolírgicamente superior.ls Tras el intercambio de papeles se cunrple el modelo inicial, con la únicir diferencia de la inversión de roles. El país 2 es ahora el líder tecnológico permanente y el país 1 el perpetuc'r seguidor. La tasa de rendin.riento del país 2, r2,y la tasa de crecimient«r yz @e Nz, Yz y C2) son constântes tras e[ intercarnbicl de papeles. Los virlores de rz y y2 vienen dados por las ecuaciones (8.6) y (8.8) respectivamente, cambiandcr lcrs subíndices de 1 a 2. El ratio del número de productos de estado estircionaricr (Nz/Nt )* viene dado, como antes, por la ecuirción (8.25), pero es supericlr a la

unidad en este caso. Las ilustraciones 8.2 y 8.3 describen la dinámica del país 1 tras el intercambicr de papeles si & es ahora iguerl a ÀJ1 /N2 y Nl sr"lstituye a Xz. La única diferencitr con relación a la situación anterior radica en que fr comienza con el v:rlor 1, un valor situado a la derecha de ft-. Por lo tilnto, la trayectoria dinámica se caracreriza por valores d. fr yf r : Cr/Nr que clisminuyen de manera regulirr. La disminución regular de N significa que el país 2 sigue creciendo mírs deprisa que el país 1 durante la transición que sucede al intercarnbio de papeles. A medida que disminr.rye ft, el coste vl de imitación en el pirís 1 también disminuye, y tanto ltr tasa de rendimientcr como las tasas de crecimiento del país l aumentan. En el estaclo estacionario, la tasa de rendimiento del país 1 alcanza el valor /2, constante, y sus tasas de crecimiento (de N1 , Yr y Cr) alcanzan el valor 72, también constante.le 17. En la formulación en Ia que r2(N1/N1) tiencle a ryJ cuando (Nu /Nt ) tiende a 1 (como en Jas ilustraciones 8.1 v 8.7), cl país 1 intcrcamhia de golpe su posición de líder a scguidor y el país 2 pasa de seguidor a líder, F,l intercambio cle papeles conlleva una transición cn la que se combinan innovación e imitación dentro dei nrismo pais si el valor de v:(N:/Nr ) supera â r/t ântes de que N1/N1 alcance el vakrr [, y si el país 1 se caracteriza por Lrna funciírn análoga dc coste de ir-nitaciôn. En esta folmulaciírr revisada, el país 2, en algún momento. cambiarí:r de la sinrple imitación a una conrbinación de imitación c innovación. Dcspuí's clc quc se hava crcado cl conjunto 6nito de inventos del país 2, cl coste clc inritaciírn del pais 1 se volvería lo suficientcnrcnte hajo como para quc cl pais 1 cambiara a una combinación cle in.ritación e innovacií». F.n su nromento, el país 2 tlejaría por conrplcto rle copiar v cl peís I dcjaría dc in vell

txr.

13.

Ptresto que el producto final es fisicarrente homogéneo, el âumento de prodr-rctividad cn el país 2 no provocâ un cfccto precio relativo de cilrhcter:rdverso en el pais 1.

19. La últinra

posibilidar:1 es que (41/Á1)l/í1 'rr . \l

.:1|-t).lqtltl:-\ =

1. f.n dicho caso, el cquilibrio

8.6. lntercambio de papeles en el

Iiderazgo tecnológico y adelantamtentos

37s

En el modelcl, si los parámetros subyacentes, Ai, Li y ?1 permanecen constantes, intercambio el de 1a posición de liderazgo tecnológico puede producirse una sola vez. Si el país que inicialmente tiene un número pequefro de productos conocidos N; es intrínsicamente superior en lo relativo a la inecuación (8.39), en algún momento se producirá el intercambio. Así pues, el presente modelo se diferencia de los modelos de salto tecnológico analizados por Brezis, Krugman y Tsiddon (1993), Jovanovic y Nyarko (1996) y Ohyama y Jones (1995). En dichos modelos, los cambios de liderazgo tecnológico eran producto de la situación de retraso en la disposición a explorar y âdoptar ideas radicalmente nuevas. En el presente modelo, los países que inicialmente van a la zaga se benefician de bajos costes de imitación, pero no tienen ventaja en lo que respecta a la invención o a la implementación de tecnologías punterâs.

En la práctica, los parámetros Ai, Li y ryr variarâÍt con el tiempo, por ejemplo, debido a cambios en las políticas públicas. Estas variaciones ocasionalmente provocarán cambios en la posición de liderazgo tecnológico. (Estos cambios se producirán con un considerable retraso en relaciôn a los cambios en los parámetros subyacentes.) No obstante, puesto que la situación de retraso no mejora la invención o implementación de nuevas tecnologías, y puesto que los líderes son elegidos por los valores favorables de sus parámetros subyacentes, no habrá tendencia al salto tecnológico en el sentido de que sea probable que en un momento dado un seguidor concreto se ponga por delante de un líder concreto.2o Por el contrario, es alta la probabilidad de que el líder sea rebasado en su momento por un seguidor cualquiera. Estos resultados parecen congruentes con los patrones amplios de cambio del liderazgo tecnológico mundial sefralados por Brezis, Krugman y Tsiddon (1993). Éstos afirman que en el siglo XVIII Gran Bretafra ocupó el puesto de líder que ostentaban los Países Baios, Estados Unidos (y en algunos aspectos, Alemania) desplazaron a Gran Bretaãa a finales del XIX, y en ciertos sectores Japón desplazó a los Estados Unidos a finales de los afros setenta del siglo XX.2l Recientemente, los Estados Unidos quizirs hayan retomado la posición de líder tecnológico en muchos ámbitos de alta tecnología. El aspecto más sorprendente cle este patrón no radica en la existencia de cambios de liderazgo, sino en que la posición de liderazgo se mantenga durante tanto tiempo. En concreto, son muchos los países que nunca han ocupado la posición de lícleres. Por lo tanto, las pruebas empíricas no parecen indicar la existencia de ningún beneficio importante que tenga su origen en el retraso per se en la innovación y el uso de las tecnologías más modernas.

puede scr de1 primer tipo (en el que el país 1 es el líder permanente y cl país 2 el perpetuo seguidor) o dcl segundo tipo (en cl que se intcrcambia la posición de liderazgo). Tambiên podría darse una combinación de invención e imitación en ambos países. En el estado estacionario, a los agentes de an-rbos p:rises les

resulta indiferente la innovaciôn o la imitación.

20. Una interesante cuestión empírica aún no rcsuelta, radica en si el el salto tecnológico puede aplicarse en este sentido a los equipos deportivos profesionales. Un punto a favor de csta posibilidad es el sistenra de contratación de nuevos jugadores, según el cr-ral los equipos con peores resultados eligen prirrcro, es decir, se establece trna relación inversa con respecto a su actuación del aÀo anterior.

' 21. En las épocas

antcriores a la Edad moderna el líder tccnológico dominantc cra China. Véase Temple (1986). Para un análisis cn el marco dc las recientes tcorías de crecimiento enclóger.ro véasc Young,

(leei).

376

8 I La difusión de la tecnología

8.7. Consideraciones relacionadas con el bienestar Considere el modelo descrito en la ilustración 8.1 en el que el país 1 es siempr:e el lícler: tecnológico, el pais 2 el perpetuo seguidor ,v el coste cle imitación es creciente cuanclo aurrenta Nz/Nr.Llna fuente de distorsión cle este rnrtdelo estii relilcionacla con el precio de monopolio de los bienes intermedios que ,va han sido inventaclrs en el pais 1o copiados en el país 2. Este elemento nos resulta familiar pues,vir se traró en el capítulo 6. Desde una perspectiva estática, la distorsiírn es productcr del margen pagado por el bien intermedio 1lo por encima del coste marginal de producción 1. Este diferencial puede eliminarse mediante el uso de un impuesto de cuantía fija que en cadir país subvencione las compras de bienes intermedios a la tasa (1 - tt)lu. Así, todo usuario del bien intermedio se enfrenta a un precio neto igual a 1, el coste marginal de proclucción. Otra distorsión del moclelo radica en que los agentes clel país 1 no tienen suficientes incentivcts para innovar ya que no tienen en cuenta el beneficio del país 2 procedente de un aumento del conjunto de ic{eas susceptibles de ser copiadas. Este efecto podría internalizarse si todos los innovadores del país 1 obtuvieran derechos de propiedad intelectual a nivel internacional sobre el uso cle sus ideas. El rlrodelo con clerechos de propiedad intelectual e inversiírn extraniera que hemos analizado con anterioridad aporta Lrna manera de alcanzar dicha internalización. La garantía de los derechos de propiedad a nivel rnundial fomenta que los investigadores tengan en cuenta los benefici«rs mundiales cle sr-r l+D.22 Surge una tercera distorsiírn debido a que los agentes del país 2 no consideran que la imitación de una de las ideas del país 1 aunrente el coste de futuras imitaciones. Para aislerr este efecto, suponga que N1 aunlentâ a la tasa clada 71 y que el efectcr del precio de monopolio en el país 2 ha sido neutralizado gracias a un subsidi«r al uso de los bienes intermedios a la tasa (1 - tv)la. Este subsidio, financiildo por un impuesto de cuerntía Íija, implica que el precio neto parrr los usuarios de los bienes intermedios es 1, el coste marginal de prodtrcción. Así pues, podemos comparar los resultados de la soluci(rn descentralizada con los resultad Xz. Es más, puesto que puede demostrarse que t2 âumenta monótonamente durante la transición (a partir del tipo de análisis del diagrama de fase utilizado con anterioridad), Y -a2 tiene que ser positivo durante toda la transición. A partir de ahí se deduce que la elecciôn descentralizada de CzlCz es mayor que la elección del planificador social para todo valor dado de

Nz/Ni (y por tanto

y2). En otras palabras, la solución descentralizada implica menores niveles de Xz y mayores tasas de crecimiento de C2. La ecuación (8.41) implica que Ia elección descentralizada de Nz/N2 es mayor que la elección del planificador social para cada valor cle Nz/Nr. Este resultado implica que el valor de est:rdo estacionario de N2/N1 en la solución descentralizada es superior al valor de estado estacionario elegido por el planificador social.23

23.

Se acepta el supuesto de quc el

valor de los parámetros

es

t4l que en el estaclo estacionario N2/N1

378

8 I La difusión de la tecnología

En la solución descentrzrlizada lir tasa de crecimiento de N2 es demasiado alta, ya que la asignación de recursos a la in-ritaciírn (y por lo tanto al crecimiento) equivale al incremento de la pesca en un lago susceptible de agotarniento. En concreto, un agente que gâsta v2(N2/N1 ) a fin de incrementar N2, no tiene en consicleración que esta acción aumentará el coste al que se enfrentarárn los futuros imitadores de productos. Bajo ot«r enfoque, los agentes privados consideran la ganancia de capital i2f v2como parte de su rendimiento de lir imitación, mientras que este térrr.rino no forma parte del rendimiento social. Este tipo de distorsiírn no surgiría si de alguna manera a los posibles imitadores del país 2 se les asignara de entrada unos derechos de propiedad bien definidos sobre los bienes del país 1 que cada uno de ellos pudierir copiar. Tampoco aparecería la dist«rrsión si los inventores del país 1 poseveran los derechos de adaptación al país 2. Podemos hacer comparaciones similares en lo que respecta al bienestar en el caso del análisis de la secciôn 8.3, en el que el valor v2 era bajo y constilnte. En el estado estacionario, tânto la solr.rción del planific:rdor social comcl la descentralizada se caracterizan por N2/N1 = 1 con Nz y Cz creciendo a la tasa Ir. No obstante, en el caso descentralizado, la competencia entre posibles imitadores hace que el coste efectivo de la imitación alcance v\>vz. Este despilfarro de recursos implic:r que el nivel de estado estacionario d. *l : CzlN: es inferior al alc:rnzado en el rrl.lrco de la acciírn del planific:rdor social. (Este resultado se cumple aírn si la solución clescentralizada comporta la subvención por el uso de los bienes intermedios en el país 2 adecuada.) Recuerde que, cuando en el caso descentralizado se alcanzaba N2 = Nt en el momento T, C2 aumentaba bruscamente ,v, en consecuencia, los recursos dedicaclos a la copia descendían con la misma brusquedacl. Podemos demostrar que la solución del planificador social en el país 2 no comporta tales saltos. La tasa cle crecimiento cle C2 disminuye de forma discreta en el momento T, pero el nivel cle C2 1', por lcr tantcl, la cantidacl de recursos dedicados a la copia no varía bruscamente. Para /0 x + n + ô. Pclr el contraric'1, si É < &, la curva de depreciación efectiva se sitúa por debajo de x + n + ô.F.n la ilustraciôn 9.2 hemos trazado las curvas de manera que la intersección se produce en el punto Â*, s,.,perior a À. El esterdo estacionario corresponde a la intersecciírn cle las curvas t f tlltk y x + n + ó + 4(Â1 en punto Â.. Dada la forma en la que hemos trazado las curvas, de -el manera que É* ) k, fr* > 0 y la economía nâcional recibe inmigrântes en el estadcr estacionario, Es decir, la economía se convierte en el estâdo estacionari() en recept( )ra permanente de inmigrantes (o se convertiríâ en un remitente perpetuo de emigrantes si k- < Á)./ Podemos utilizar la ilustraciírn 9.2 para evaluar los efectos de lirs variaciones de diversos parámetros sobre los valores de estado estâcionario. Por ejemplo, un lumento de s o una mei()ra pernrirnente en la funciírn de pr«rc'lucción desplaza

incremcntos de k" y m)'. E,l increment< dern"'se produce porque el desplilzamiento rtumenta el sal:rrio por pnidad de trabajcl efectivo en el estado estacionario 1,, por ltl tanto, hace que a ojos de los extranleros aumente el atractivo de la economía. Si las condiciones empeoran en otras economías, en la ilustración 9.1 la tirnciírn de nrigración m@) se desplazaría hacia arriba. Este cambio desplaza lir curva de depreciaciónefectiva x+n+ô+{(fr) delailustraciôn9.2 demanerirsirnilar(véase la expresiôn ae flÂ] cle la ecuación [9.a]). Por lo tanto, Â. disminuye y ra* itumentit.

hacia arriba la curva

. 7.

s.f(k)lk y prtr lo tant() pr()v()cil

La tcoría de la migración cluc analizamos cn unir sccción posterior acepta el supuesto de clttc un lijos, conro la tierra. Esta congestiixr irlplica que la tasa de n.rigración de cstado estacionario es ccro en cacla econonría (si en cada cconotlíe en el cstado cstacionario li1 tesa de crecimiento natural cle la pol;lación z tanlbién cs ccro).

r-rivel de poblaciôrr mir,vor congestiona ciertos factores

9.1. La migración en los modelos de crecimiento económico

389

Así pues, un aumento de la oferta de inmigrantes disminuye la intensidad de capital en el estadcl estacionario de la economia nacional. Este resultado proviene del hecho de que los inmigrantes aportan relativamente poco capital.

Dinámica de transición y convergencia A fin de evaluar la velocidad de convergencia de la ecuaciôn (9.5), aplicamos el procedimiento habitual y rrabajamos con una ftrnción de producción tipo Cobb-Douglas f (h) = Ak" . A partir de la ecuació n (9.4) hacemos una aproximación lineal logarítmica de la función {(Â):

((k) = m(k).

11

-

(kl k)1 =

á. flog(À/É,,,,,a.)]

(e.6\

donde b > 0 y À,r,,ndo representa la intensidad de capital de otras economías. La ecuación (9.6) implica que 4(Â) = 0 si la economía nacional tiene la misma intensidacl de capital que el resto del mundo, porque en dicho caso el incentivo para emigrar sería nulo (si hacemos caso omiso cle las diferencias en servicios públicos o de funciones de producción). Consider"-o,

Ân,,,n6n

como si fuera una consrante;

es

decir, suponemos que el mundo se encuentra (en promedio) en el estado estacionario. El elemento clave en el análisis de la convergencia será el valor del parámetro á. Para ver qué representa exactamente este parámetro, derivemos la ecuación (9.6) con respecto a log (É) y obtenernosE

b

= ô4k)t,)llog

1Â11

= [1 * el?0, y si klk>1, elcoeficiente b dela ecuación (9.9) sería negativo. Se daría este caso si los inmigrantes c()ntarán con un capital humano considerablemente superior a la media de sus economías de origen. Para ecclnomías receptoras en las qve m > 0, la condició n k lk > 1 no es verosímil. Los inmigrantes, no sólo contarían con más capital humano que el promedio del país receptor, sino que además esta diferencia en capital humano tendría que sobrepasar la desventaja de los inmigrantes al no aportar cantidades importantes de capital físico. Es poco prgbable que esta condiciôn se cumpla porque, como ya se ha dicho, los inmigrantes tienden a contar con menos capital humano que los residentes de la economia receptora.

g.

Esta ir.rformación provienc de una tabla adicional que nos facilitó Steve Treio.

352

9 I Oferta de trabajo y población

Para economías con emigraciôn en las que m 10, [a condición klk >1es posible allnque poco probable. E,n el caso de migración entre regiones de r-rn mism«r país, el enfoque habitual, expuesto por ejemplo por Greenwood (1975), es que tienen más probabilidades de emigrar aquellos con más estudios. Borjas, Bronars y Trejo (1992. tablas 2 y 4) calculan este efecto en el cas«l de varones jóvenes estadounidenses en el aiio 1986. Sus cálculos implican que los emigrantes tenían, de promedio, un 2"/" mâs de aõos de estudio que la media de los nativos de su estado de origen. No obstante, este pequeilo excescl de capital humano sería contrarrestado por la insuficiente aportación de capital físico (si seguimos aceptando el supuesto de que el capital físico no es perfectamente mírvil dentro de los EE.Utl.). Hattcrn y \üTilliamson (199a) observan que habitualmente los emigrantes europeos entre 1850 y 1913 eran personas no cualificaclas, de manera que en este câso, se cumpliría kl h 0 radica en qlle /3 dela ecr-ración (9.8) aumenta al aumentar Â* mantenienclo fijos krs valores c.le los restantes parámetros. El motivo radica en que ,, Â* ,rr"y,r. implica unâ tasa cle migración de estado estircionario rn'' más elevada y, por lo tanto, una velocidad de convergencia mayor en las proximidades del estado estacionario. Por e.jemplo, recuerde que una mejora permanente de la función de producción o un incremento de la tasa de ahorro de la economía nacional s hacen aumentar Â-. Descubrimos ahora que dichos cambios también aumentan la velocidad de convergencia B. En el modelo Solow-Swan, por e[ contrario, B no variaba al variar el nivel de la función de producción o la tasa de ahorro. Si aceptamos el supuesto de movilidad perfecta del trabajo, es decir, que el cosre de migración sea cercano a cero, entonces ômlôllog(i)l se convierte en infinito. Por lo tanto, si Â' 0 de un futuro lejano, la l-Irane[â cxâctâ en que las cosas ernfeTilr)n Dô ti(-t]c ntlvor importancia. Váase Bratrn (1993) para un análisis más detallado.

39s

9.1. La migración en los modelos de crecimiento económico

El método de estudio del consumo agregado y de los activos agregados es básicamente el mismo que aplicamos al estudio de la economía con horizonte finito en el capítulcl 3; por lo tanto, en este momento sólo exponemos un esquema clel análisis. El consumo agregado en el momento , se calcula mediante el sumatclrio (integración) de las i generaciones de emigrantes para 0 < i < t,

c(/)

t).m(j).L(i).e"ft-rfdj+ = Jo l' lru, t = n*

.

1,,'

{,ri,

a .m(i)

."0[l'

.c(o-,t)

ent

*@t d,)]di + e,t .c(o-,t\ (e.16)

donde m(il . L(i) es el tamafro inicial de la generación

i

de inmigrantes, utilizamos

laexpresión deL(i) delaecuación(9.10) yel términofin:rlrepresentaelconsumo de las familias n:rtivas. El resultado de los activos agregados es similar:

A(Í) = ,"'

.m(i)

lo lrr,, n

,"rllr' *(,) o,)\di + e't . a(o*,t\

(9.17)

A partir de la ecuación (9.15), el sumatorio del valor actual de la renta salarial toma la expresión siguiente:

Útr) = L\tl.w(t)

-

c't

.

'"0[l'

lr' I

nrç'l dul

I

.t

wlu)c't''

rt '

,'rrr'r)'tu tt ' (lt)

t

(e.18)

Las variaciones en el tiempo de ecuaciones (9.17) y (9.18 ):

A(t) y lV(r) provienen de las derivadas de las

A(tl = «ft). m(t). L(t) + r(t). A(t) + w(t) a-

W = lr(t) +

."''

m(t)l

{,

*

u/(r)

.[o'

-

C(t)

*r,, ..0

[l'

,,tr),tr)\

w(t) .L(t)

(e.1e) (e.20)

Para obtener la ecuación (9.19) utilizamos la restricciôn presupuestaria de la familia

individual de la ecuación (9.13) y la condiciôn a(t,t)=«(tl; es decir, las familias inmigrantes aportan «(r) activos per cápita. La ecuación (9.14) implica que C(t1=10 - nl .lA(t) + dWldü. Si utilizarnos la ecuación \9.1,9) y (9.20) y la condición A(t)=y171, finalmente obtenemos la expresiôn de la tasa de crecimiento del consumo per cápita:

ilc donde

= r(t)

-

p

- m(t).

(p

- n). [À(r) - «@]lc(t\

(9.21\

c(tl=C(t)lLQ).Sim(t)=0osi «(t)=p171,estarelaciónsesimplificaalresulta-

do habitual de Ramsey con función de utilidad logarít.mica. Si m(t) > 0 y «(r) < À(r),

396

9 I Oferta de trabajo y población

el flujo de entrada de inmigrantes disminu,ve el consumo per c:ipita según indica el último término del segundo rniembro de la ectración (9.21). En este sentido, un mayor flujo de migrantes rz(r) equivale a un incretnento clep. Este efecto es análogo al nacimiento de nifros en el modelo de Blanchard (198-5) (el término p + n dela, ecuaciírn [3.32]), porque, como sefraló §7eil (1989), los inmigrantes equivalen a hiios no deseados del moclelo cle Blanchard. Estado estacionario y dinámica del modelo Al igual que en el modelo de Ramsey, la dinámica puede expresarse mediânte un sistema de ecuaciones diferenciales en  y ê.Laecuación de la tasa de crecimiento de Â, equivalente a la ecuaci(rn (9.3) del modelo de Solow-Swan, toma la expresiírn:

Lti

=

ftiilti,

- tl'il - (x + n + ó) - m t1 - (ÂiÂ)l

La ecuirción de la tasa de crecimiento de â se dedtrce a

prrtir

t9 ))\

de la ecuación (9.211

(e.23) Nuevamente utilizamos la especificaciíln de la migraciírn que :rceptamos en la ecuación (9.6) para el modelo de Solow-Swan.

m.11

-

Glk)l = á' I log (Â/Â,,,,,,ao)]

donde Ân,,,n,I. es constante. Si sustituimos esta expresión de la migración en las ecuaciones .9.22) y (9.23), podemos aplicar los procedimientos habituales para trazar un diagrama de fase en el espacio (k, t\ y utilizar dicho diagrama para analizar el estado estacionaric'r y la dinámica de transiciór'r. Las ecuaciones (9.23) y (9.6) implican que, si t + 0, entonces la curva i = 0 viene dada por la expresión

f'(k)=ii+p+x+

(p

-

n).1.,. log (É/À,,,na.)

ttk

(e.241

Esta condiciírn se diferencia cle la estándar clel capítulo 2 en la inclusiírn de un último término en el segundo miembro de la ecuación. Llamemos Â. al valor de estado estâcionario del modelo qr-re excluye la migración, es decir, al valor que cumple f' (L-) =ô +p+x. Así pues, la forma de la curva â = 0 depende de la relación entre Â. I Ân,un,lr. Si Â'' = Â,orn.t,r, como sería el caso de la economía típica, la curva es una rectâ vertical en Â*, como puede verse en el grílfico a dela ilustraciôn 9.3. La curva coincide en este câso con lir curva estándar del moclelo sin nrigración (véase la ilustración 2.1). Si la economía fuerir atractiva^ para los inmigrantes en el estadr) estacionârio de no migración, es decir, si / &n,,,n.Io, la curva toma la forma mostradir en el gráfico b dela ilustraciírn 9.3. En concreto, Si &nu,,dn 0 para todo a > r. Cualquier movimiento migratorio que llegue a producirse será siempre de entrada en la economía nacional. Se produce la situación contraria si fu(t) í â-rndo. Asumimos el supuesto simplificador de que la tasa natural de crecimiento de la población de la economía nacional es igual a cero. Por lo tanto, si M(t) > 0 expresa el fluio cle emigrantes desde el mundo hacia la economía nacionâl en el momento /, la tasa de crecimiento de la población nacional es igual a

Llf

= tttt(t\lfft\

(e.33)

402

9 I Oferta de trabajo y población

La cuestión clave en este momento râdica en especificar los costes de la emigr;rción. Suponemos que el coste en que incurre cacla emigrante es una funciírn creciente de M(t)lL(t). Esta especificaciírn resulta r:rzonable si, por ejemplo, los gastos de lograr empleo o alojamiento âumentân 211 aumentar el número de nuevos individuos en relación a la poblaciírn del lugar receptorl'5. Suponemos que este coste tomâ la forn.ra de una ciertâ cantidad de tiempo de trabajo perdido, de manera que, pâra un valor dado de M(t)lL(t), el coste en unidades de producción es proporcional al salario mundial úmu,do que los emigrantes habrían recibido en su lugar de origen. Por lo tanto, la c:rntic{ad pagadrr por cada emigrante toma la expresión Coste de emigrar = rylM(t) ILQ)l 'z,,,un.tu

(9.34)

donde suponemos que ?, > 0 y ,1,, > 0. También simplificamos el análisis aceptândo el supuesto de que ry(0) = 0; es decir, hacemos caso omiso de cualquier gasto fijo relacionado con el transporte y gastos asociados, y sllponemos por lo tanto que el coste de emigrar tiende a 0 cuando el flujo de emigrantes tiende a 0 (véase Braun, 1993, para un análisis más detallado). A medida que los individuos emigran a la economía nacional, R/L disminuye y por lo taÍtÍo w de la ecuación (9.30) también clisn'rinuye. Si el Íluio migratorio es lo suficientemente importante para q\e w sea igual â z,untlo, el incentivo de emigrar clesaparecerá. (Si el parámetro tecnolírgico nacional A es idéntico al parámetro mundial, entonces la igualdad de salarios se produce cuando el valor nacional de R/L iguala al valor mundial de RiL.) En el punto de igualdad de salarios, la ecgnomía nacional se encuentra en un estado estacionario en^el que la migr:rción es cero, lâ poblaciôn L es constante y la intensidad de capital & tambiên es constante. La condiciôn ry(0) =Q implica que en realidad el sistema tiende a este estado estacionario, ya que siut)wn,,n,;o, B>Q y los individuos tendrán interés en trasladarse a coste cero. Por lo tanto, más indivicluos emigran y la poblaciírn nacional cambia mientras w>u,tn7\t7do. (Si hubiéramos supuesto que ry(0)>0, entonces en el estâdo estacionario podría mantenerse una diferencia positiva entre los salarios nacional y

mundial.) Puesto que la economía mundial no se encuentra desp0 y rl"

= ú(B I fu^"ndo)

ry' es

inyectiva. La función

implica que ry'(0)=

ry'

cumple las condiciones ,lr' > 0 y ú" s 0. El supuesto ?(0) = 0

Q.

En nuestro análisis de los modelos de Solow-Swan y Ramsey, establecíamos una función de migración en la ilustración 9.1, en la que la tasa de migración,m= MlL, era función directa de rit y por lo tanto de Â. »lllmos que dicha función suponía que las condiciones en otros lugares, representadas por 12.,,n6., permanecían constantes. La principal diferencia entre la función que establecimos entonces y la presente radica en que la primera concernía únicamente al salario actual por unidad de trabajo efectivo â, mientras que la segunda ataíie a la trayectoria completa de los salarios efectivos en la medida en que se integran en la expresión del beneficig, -â.

EI sistema dinámico, el estado cstacionario y la dinámica dc transición El sistema dinámico de L y Ê viene dadg por las ecuacion es (9.32) y (9.36), donde ú, varia en función inversa de L, como quedaba establecido en la ecuación (9.30). l-o)ortl(I-o) (R/L),trtt " rl - o) . Atl( (r + õ)ol\t-t)

(e.37)

La ilustración 9.5 parte de las ecuaciones (9.32) y (9.36) para constfuirel diagrama de fase en la región (L,Ê). La ecuación \9.36) y las propiedades de la funciôn ry', incluyendo rlrlyl =0, implican que L = 0 (si L * 0) se corresponde con Ê = 0' La ..u".ió, también implicà (dadoque ,lr'>O) que L>0 si B>0 y L0, y L aumenta con el trânscurso del tiempo. La strbsiguiente disminución de â provoca la caída de B n por lo tanto, la disminución de la tâsa de migración. En el tiempo, la tasa de migración no cesa de dismintrir v tiende a cero a rnedicla que L tiende a L-. Si c6mo habitr-ralmente, linealizamos en el entorno del estado estacionârio, p()demos determrinar la velocidad de convergencia al estado estacionario. En este caso, el sistema estir descr:ito por las ecuâciones (9.321 y (9.36), y linealizamos coll respecto a B y log (LlL*). La tasa de migraciírn, que es igual a la tasa de crecimiento de L, viene d:rda por lâ expresión siguiente:

MIL = LIL =B.

log

(L.lLl

(9.38

)

donde el coeficiente de convergencia B viene dado por la expresión

,,

=1,,- t)r +

++l'' -,,-,,

/9

19\

La ecuación (9.39) establece que el firctor determinante cle la velocidad de convergencia es ry''(0), es decir, la sensibilidad de la tasa de migración en el entorno clel estado estaciclnario ante el beneficio relativo de emigraq Blfu,rrur.io (véase la ecuación 19.361\. A rnayor sensibilidad, mâyor velocidad de convergencia. Recuerde que la función / es la inversa de lir función 4, que en la ectración (9.34) relaciona el coste de emigrar con la tâsa de migración. La pencliente c{e ú'(0) es la inversa de la pendiente de 4'(0). Pclr l() tânto, cuánto más deprisa aumentan los costes de

405

9.1. La migración en los modelos de crecimiento económico

migración en función del volumen migratorio, menor será la sensibilidad de la tasa de migración al beneficio relativo ÊlrZ,y, por lo tânto, menor será la velocidad de convergencia. La velocidad de convergencia de L es tambiên la velocidad de convergencia de !. Para entender el porquê, utilicemos la función de producción de la ecuaciín (9.27) y la expresión cle  de la ecuaciírn (9.29) a fin de obtener la expresiôn de f :

^ I etlrt

,ttoltt t-,rt .1p7111/it-,ti

v=[@l

;

(e.40)

Esta expresión es la misma que la de fu de la ecuación (9.37), con la excepción del factor 1 - a que âparece multiplicando en la expresión de t?t. El resultado de !

implica: log (y/Í- ) =

lÀlÍ - a)l ' log (L. lL)

(e.41)

L es inferior a su valor de estado estacionârio, f es superior â su valor de estado estacionario, y viceversa. La ecuaciíln (9.40) también implica que es decir, cuando

la tasa de crecimiento de

!

viene dada por

ili=-lÀ10-t")1.úlL)

(e.42)

Si utilizamos la ecuación (9.421junto con las ecuaciones (9.38)y (9.41) obtendremos la ecuación de convergencia de i, que resulta familiar: y

ly = -§.

log

(y/Í.

(9.43)

)

Así pues, la tasa de crecimiento de f, está inversamente relacionacla con el nivel de !, y la velocidad de convergencia,B, viene dada por la ecuación (9.39). Recuerde que con anterioriclad tratamos de algunos resultados empíricos relacionados con las tasas de migración. Estcls resultados relacionan la tasa de migración con diferencias en la renta o proclucción per cápita. Podemos expresar la ecuación (9.38) de esta forma utilizando la ecuaciírn (9.41)para pasar de lttg(L.lL) a log (yi v.

):

MtL = L1r

=ta$-l

.",s1ty.)

Podemcrs considerar que las ecuaciones (9.a3)

(e.44)

y (9.44) forman un sistema

de

dos ecuaciones que cclnciernen a la tasa de crecimiento de la producción y a la tasa de migración. Suponga que consideramos un grupo de economías para las que aceptamos el supuesto de que los parámetros tr y 2 son los mismos. Así pues, aquellos lugares que tengan mâyor /'(0) tendrán un vâlor de B también mayor. Por lo tanto, en estos Íugor., la sensibilidad de la tasa de migración ante los diferenciales en el producto per cápita de la ecuaciírn (9.44) es mayor, y también es mâyor la velocidad de convergencia de la producción per cápita de la ecuación (9.43).

9 I Oferta de trabalo y población

406

Braun (1993) puso a prueba la hipótesis de que Llna ma,vor sensibilidad de la tasa de migración tenclía a estar vinculacla a unâ mayor velocidad de convergencia en el producto o rentâ per cápita. Para ello, utilizó clatos cle migración regional y convergencia de los estados de EE.UL.I., de las regiones de cinco países europeos (Alemania, Espaãa, Francia, Italia y Reino Uniclo) y Japón. Es decir, comparó siete estimaciones de sensibilidad de tasas de migraciór1 con las siete estirnaciottes ctlrrespgndientes de los coe6cientes de convergencia cle la producción 0 y 0 < T < 1. El parárnetro T representa el grado de altruismo entre pâdres e hijos cuando ni=1.La noción de que los padres aman a sus hijos quecia recogida por T>0 y el egoísmo parental queda refleiado en T< 1. La condición e >0 gener:r utilidad marginal clecreciente con respecto al nírrnero de lrijos, ptres T(rz;) dismintrr'-e

dgnde

al aumentar

zl;.

A partir de las ecuaciones (9.46) y (9.47), podemos expresar U7 como la suma ponderada y anricipada de los u(ci,ni) de cada generación, comenzando por la i-ésima.

u, =

.tr(ci.rti\

iT"'N,'' /)l

(e.48

)

donde N7 es el número de descendientes adultos de la generaciírn l. Esta cifra es igual a 1 cuando I = I (es clecir, cuando comenzâmos desde la perspectiva cle un único adulto) y es igual al producto de los diversos z, para f >i. i1.

Ni=1; S=fl"o,

para

i=i+1,i+2,.

(9.4e)

k=i

En los planteamientos anteriores, supttníamos una forma frrncional de a(c) que implicaba una elasticiclad cle la utilidad marginirl z'(c) constante con respecto a c. Ahora aceptamos el supuesto equivalente de que la forma funcional de tt(ci,ni\ implica elasticiclades de la utilidad rnarginal constantes con resPecto L7 ci v 11il uÍc1.

n,\

-

]c,.

(n

1)t

1t

-t'

1

11 -

H)

(e.s0)

á> 0. También suponemos que @ 0 -e) < 1, de manerâ que [a utilidad nrarginal sea decreciente con respecÍo a ni. Si definimos

donde d > 0

r-

ú=\l-(tltl-0) donde aceptamos el supr-resto de qrre ,!, > 0,20,,v stlstituimos la expresión de u(ci,ni) de la ecuación (9.50) en la ecuación (9.48) obtenemos

intcrpretar que en el presente contexto la tasa pura de'preferencia tcnrporal p es ccro. )0. Lacondició1 ry'>0implicaque e < lsi d 1 si rr> 1. Si Él=1, tiene que cumplirse e= I par:r qnc rlr scr Íittit.r.

411

9.2. La elección de la de Íertilidad

u,

=Lrr'. 111x7)ú

Observe que la condición

e

.

ci. fu)ó|1

e

-

tllÍ - e)

>0 implica que{/. (1-0)0 del rncldelo de Ramsel, equivale al grado de altruismo intergenerâcional T0la tasa de mortalidad. Para simplificar:, ncr permitimos que ,y' depencla de la estructura cle edacl de la familia, ni tampoco del gasto familiar o pírblicc) en âtención méclica, s:rlud, etc., aunque tener en cuenta la influencia de estos factores sobre la tasa de mortalidad sería rrn,r irnp()rterlte

ampliación clel modelo. El tamaiio de [a familia

N varía

cle forma continuâ de

acuerdo con la expresión siguiente

N=(r-,/) N

(e.,53

)

La variable N será a partir de ahora una variable de estado adicional de los hogares.

La función de utilidad Utilizamos la expresiírn de la Lrtilidad del hogar del modelo con tiempo cliscreto de la ecuación (9.51)con el fin de modificar la representaciírn habitual con tiempo confinuo de la ecuacií»r (2.1), cle nranerar que:

, = [n"' i:

{[N'". (, -,t)'']1

ê

-

17',tt

/9

§4)

El término e*r'Í equivale atfactclr de altruisrno T/ ' de la ecu:rciôn (9.51). La ecr.raciírn (9.54) incluye la tasa neta de crecimiento de la poblaciôn n - d, en vez de la tasa de fertilidad bruta n. Si suponemos que d representa la mortalidad infantil, entonces n - d representa a los hijos supervivientes, la variable que con toda probabilidacl aparecerá en la funciírn de utilidad.2l Observe que el stock de rndrviduos N aparece en la función de utilidad. Este hecho dificulta enormemente la tarea a la hora de resolver el modelo. Jones (200.1 ) utiliza una especificación de la utilidad más sencilla,

21. El moclelo no es lo

sr:ficientemente complcjo pâra que la tasa de mortalidad dcpencla dc la edac1. se verían afe'ctadas si introdujórarros un término cor.no d-', dor.rde r > 0, quc multiplicar:a a N'/' . c. (r - d)ó de la ecuaciírn (9.-54). Tal vez este término pudiera recogcr la clesutilidad asociada a la rnortaliclad cn la edad aclulta.

No obstante, Ias elecciones clel hogar no

a 413

9.2. La elección de la de fertilidad

independiente del stock de población, que proporciona una solución matemática más manejable. Coste de crianza de los hijos El nacimiento y la crianza de cada hijo cuesta la suma 4. Suponemos que ry se gastâ en su totalidad en el momento del nacimient(), aunque un modelo.más realista reconocería que estos gastos surgen durante el largo periodo del crecimiento del hijo. Tratamos de corregir este fallo mediante el supuesto de que /i es un único gasto de importancia que de hecho representa el valor actual del gasto en cada hijo. Puesto que zN es el número de nacimientos por unidad de tiempo, rTzN es el gasto total en la crianza de los hijos, y ryn es la cantidad gastada per cápita. tJn punto clave radica en la relación del coste ? con otras variables, tales comcr el valor del tiempo de los padres y las mediciones de la calidad de los hijos, que

en el modelo corresponden al consrlmo y al stock de capital per cápita c y k.zz Si ry representa únici.rmente las compras de bienes y servicios de mercado, el coste de crianza de un hijo clisminuye en relaciírn a la renta per cápita a medida que la economía crece. En dicho caso, la tasa de fertilidad, r, tiende â aumentar a medida que la economía se desarrolla, hecho que no se cumple en la realidad. Becker (1991\ y otros autores afirman que la crianza de un hijo es intensiva en tiempo de los padres, especiatmente en el tiempo de la madre en sociedades en las que las mujeres son las que se encargan de la crianza de los hijos.23 En otras palabras, las mejoras de productividad que afectan a los bienes y servicios de mercado, debidas a la acumulación de capital y al progreso tecnológico, no se producen en la crianza de los hijos. En ese caso, el coste ? tiende a aumentar en relación al salario de los padres o en relación a otras medidas del coste de oportunidad del tiempo de los padres. En ese caso, un mayor nivel de formaciírn de los adultos (especialmente de las mujeres) tiende a aumentar ry. En general, ry aumenta al aumentar las cantidades per cápita de capital físico y humano, representadas en el modelo por la variable á. A fin de establecer un vínculo entre ? y los salarios de los padres, tendríamos que tener en cuenta otros usos posibles del tiempo de los padres, por ejemplo, la elección entre el tiempo dedicado a producir bienes y el tiempo dedicado a criar hijos. Esta ampliación acarrea una gran complejidad técnica en formâ de no linealidades. Ahora bien, puesto que la iclea principal conlleva una relación directa entre r7 y k, postulamos una simple relación lineal

rl=btt+bk

(9.ss)

donde áo > 0 y b >0. El término á6 representa el coste en bienes de la crianza del hijo, y el término áá representa el coste que aumenta con la intensidad de capital. 22. Fll coste de crianza de los hijos se considera proporcional aI número de hiios. El coste de establecimiento de una familia que tengâ su primer hijo parece indicar que pudiera haber un intervalo en el que cl coste por hijo disminuve con el número de hijos. No obstante, en algún momento los costes aumentarían más que proporcionalmentc en relación al nún-rero dc hijos, ya que la gcstación de más descendientes implicaría que el periodo entre nâcimientos scría excesivamente corto o quc los padres serían ya muv mâyores cuando tuvieran hijos.

'23. Véase Galor y §7eil (1996) pâra un análisis mâs detallado de este clcmento en el contexto de los modelos dc crecimiento. Becker, Murphy v Tamura (1990) también hacen hincapié en el vínculo entre capital humano y los costes de crianza cle los hijos.

414

9 I Oferta de trabajo y población

La especificación de la ecuación (9.55) resulta ser especialmente sencilla si aceptamos el supuesto de que bo = 0, ya que el coste de crianza per cirpita, ryn = bnk.se puede relacionar con el término nk que ha aparecido con signo negâtivo en lir restricción presupuestaria del hogar (véase lir ecuación 12.23h. Más adelante analizamos algunos resultados de especificaciones que inclr-ryen el coste en bienes, ág.

La restricción presupuestaria familiar Suponemos que todos los rniembros de la familia reciben el mismo salario, u. (Un supuesto más realista sería permitir que ra dependiera de la edad, de manera que los hijos no comenzaran inmediatan.rente a gânar un salario.) Los activos de la familia se remuneran a la tasa de rendimiento r. Sean c y & respectivamente, el consumo y los activos per cápita cle la familia. (En aras de unâ mayor sencillez, hemos aceptado que la economía es cerrada, de manera los activos per cápita, a, son iguales a A.) Así, Ia restricción presupuestirria ptrede representilrse de lc siguiente lnanerir

qr-re

k=u+(r-n+,1)'k-bnk-c

(9.s6)

donde utilizamos el coste de criirnza de un hijo 17 de la ecuación (9.55) con ás = 9. Suponemos, como es habitual, que cacla hogar toma como clada la trayectoria clel salario w y la tasa de rendirniento r.24 La diferencia con relaci(rn a la fonnulaciôn habitual radica en la inclusión del gasto per cápita de la crianza de un hijo, ârÉ. Condiciones de optimización El problema de optimización del hogar radica en elegir la trayectoria de las variables de control c y n, de manera que se maximice U de la ectración (9.541. Este problema de maximización está sujeto a la restricciírn de los activos iniciales á(0); las ecuaciones de transiciírn de las dos variables cle estirdo N y À de las ecu:rciones (9.53) y (9.56); las inecuaciones c) 0 y n> 0 (que nunca se aplicarán, dada la forma de la función de utilidacl de la ecuación [9.54]); y la restricción habitual que rige el comportamiento piramidal encadenado cle la deuda (si permitimos que á < 0). Podemos plantear ltr expresiírn de la función de Hamilton

J

- *,.{lN''..çn-d)'tl' "+v.fru + (r + d)

Á

-

(1 +

l}

b).nk -

c1 +

p' (r - d)'N

(e.s7)

donde y y

I son los precios sombra asociados a las dos varialrles de estado À y Puesto que las restricciones c>0 y n )0 nunca se aplicatrán (ya que las utilidades marginales tienden a infinito cuando c y n tienden a cero y d>0), el hogar cumple las condiciones habituales de pr:imer orden que se obtienen al plantear ôJlôc = r\lôn = 0, ',- = -i).fiôk, y p = _ôllôN.25 Los result.dos se simplifican N.

24. No obstante suponemos quc cl costc de crianza de un hiio

ry deper-rde de los activos del hogar del capital per cápita dcl conjur.rto de lir economía. El análisis es aigo clifcrcnte si 4 clepcnde dc variables del conjtrnto de lir cconorría, quizás a travós cle untr relación cntrc ry v cl salario.

A

r'no

2.5. Un posiblc problcma radicaría en que los hijos fuEran tan baÍatos dc proclucir: quc rcsultara atrac-

4Ís

9.2. La elección de la de fertilidad

considerablemente

ba

jo la función de utilidad logarítmica,

d

= 1. Nos centramos en

dicho caso.

Las condiciones ôJ lôc= 0 y v= *ôl lôk pueden desarrollarse de la forma habitual hasta obtener la expresión de la tasa de crecimiento de c.26

tlc

='(110). lr * p

- ("- d) tl -,1,.(1-á)l -

Si la utilidad es logarítmica,0

= 1, este resultado

Q'0 *el'nl(n- d)l

nb +

se simplifica:

tlc=r-p-(n-d)-bn

(9.58)

Cuando 0=1,|a tasa de crecimiento de la poblaci(tn n - d se afrade a la tasa de preferencia temporal p (véase la nota 26 para una comparación con el modelo estándar de Ramsey). Aclemás, el término bn aparece restando al término,r, ya que un À mayor aumentâ los costes de crianza del hijo, dados por áz&. Nos va a resultar írtil definir una nueva variable. O:

o=(1 +b).klc-4,1@-d) Acto seguido, podemos utilizar las condicion

|

= e-pt.

7yú(1-a)-1

.rL

es ôJ

.(n

lôc =

-

ôJ

d1o(t

lôn = 0 y obtener:

ot .

n

Si derivamos la expresión de ir con respecto al tiempo y sustituimos ción p = -ôl I ôN,obtenemos:

a = -{/ + @le) Si d

{p

-

(1

- 0).lr -

= 1, esta ecuacií)n diferencial

(1

* {/)' (" -

d)

*

nb +

tr.r

por la condi-

ó'nl@ - d)ll

se simplifica de la siguiente manera:

ç=_g+ep 17 fuera arbitrariamente grande. Este problema sc cs 1o suficier.rtemente 6irandc, cle manera.que garantice que la variable

tivo tomâr prcstado el suficiente dinero corno para que elimina si cl parámetro de coste

1z

O,que sedefinirámásadclantecon,o(1

+bl klc-4rlQt-d),seasiernprepositiva.

26.

!.n el análisis del modelo de Ramsey del capítulo 2, que la tasa de crecimiento de c viene dada por

r

es una constânte exírgena v á =

tlc=(1.le). lr p - (n- d)'1L El análisis estándar tambión acepta

qr-re

i/r.(1

rtt'

B), que es igual

a

0, de manera

11 8)ll 1 e, es igual a la unidad,

cle manera

que la expresión se convierte cn

clc=(rle)'?

p)

No obstante, la especificación ry'.(1 rr) = 1 (o, 1o que cs Io mismo, e=0) implica que si É> 1 la contribución marginal de N al flu jo de utilidad (para c y z dados) es negativa y se transforma en una magnitud sin límite cuando íl tiende a 1. Por este motivo, Becker y Barro (1988) y Barro y Becker (1989) tr:atan únicamente el caso en el que d< 1. En el caso que nos ocupa âceptamos el supuesto de que ry' es positiva i, finita, en cuyo caso 1a contribución marginal de N al flujo de utiliclad también es positiva y linita.

9 I Oferta de trabajo y población

416

que es inestable. Por lo tanto, si O(0) se aleja de su valor de estado estacionario //trr, ç2 tiende en el tiempo hacia +-. Puesto que estâs trayectorias inestahles incr"rmplen la condiciôn cle transversalidad asociada a N,27 un comportamiento de optimización requiere en rodo momento que í) sea igual a {/lp. Así, la deÊnici(rn de Q implica que la tasa de fertilidad sien.rpre cumple la condición k)

n=d+ p.(1 +óp'(cl ,1, .klk) b) -

(e.-5e)

La ecuación (9.59) indica que la tasa de fertilidad n vatia en la proporción uno a uno con la tasa de mortaliclad d para unos valores dados de los pirrirmetros Q, $, b y trt y para un valor dado de la variable c/4. Cuanto mayores scln los valores cle (véase la S y t! mayor es |a utilidad marginal asociada a n y a N, respectivamente ô aumenta el coste valor cle ecuación [9.54] ), y por lo tanto aumenta n. Un mayor valor de p z. Un mayor de la crianza del hijo y por consiguiente tiende a disminuir z. frena la inversión (en N) y por lo tanto tiende a disminuir La variable c/À expresa el rati1l del efecto renta sobre la demanda de hiios, representâda mediante c, con respecto al coste de l0,

-10. Estas propicdadcs implican clue a. >

0, ur 0 y Í. > 0. Puesto que en el caso Cobb-Douglas el s:rlario viene c'lado por: w =(1 - o) .Ai 0.1 La ecuación (9.74) implica que la tasa de crecimiento de / viene dada por it

t=

(#)

rÂrÂr

- (, ..,a),,,,,

(e.7 s)

Si utilizamos las formas Cobb-Doublas de í'(&) y f (k) v la expresión de tlt de la ecuación (9.75), entonces tras un desarrollo algebraico las ecuaciones (9.72) y

(9.73) desembr>can en el sistema dinámico de  y

klk= tk'-'-í-l)+ (r/ \(I

?l?=,vAique que rnás se utiliza en las estirnaciones de PTF es el nrétoclo no econométrico empleado en los estuclios mostrados en la tabla 10.1.

I0.2.

441

Él enÍoque dual de la contabilidad del crecimiento

10.2.

EI enfoque dual de la contabilidad del crecimiento

Hsieh (2002) utilizó un enfoque dual en la contabilidad del crecimiento, en el que en vez de calcular el residuo de Solow a pârtir de las de las crrntidades de los factores, êste se calcula a partir de las tasas de crecimiento de los precios cle los facts factores en la renta corresp«rnden, c()mo habitualmente, a

S/,=rz I sf =1-rr

(r0.rs)

En el equilibrio, cacla empresa adopta el mismo ratio capital-trabajo À;, pero el tamaiio de cada empresa es indeterminado. La funciírn de producción de la ecuación (10.13) puede expresarse de la siguiente rranera:

Yi=Ak|Ü4ro donde k

= KlL.

Por lo tento. la c,rndicirin de equilihrio (', = À implica

Yi

=

Ak1+P

LiI13

que puede sumarse para toclas las empresas y se obtiene: Y

=

nPtt+B Yl+B

Por último, la condición k = KIL nos lleva hasta la función de producción del conjunto de la economíir

10.3. Problemas de la contabilidad del crecimiento

Y

445

= AKt+PLl-t

(10.16)

Esta expresión relaciona la producción agregada, Y, con los factores agregados, K y L. Si B>0,|a economía en sn conjunto presenta rendimientos crecientes. El segundo miembro de la ecuación (10.16) establece que la forma correcta de expresar la contabilidad del crecimiento cuando se trata de datos agregados es

calcular:

9=

T

lr

= Y lY

-

(o + §).

(KIK)*

(1

-,r) . úlL)

(10.17)

Por lo tanto, sL = 1 - rr es la ponderación correctâ de LlL, pero el coeÊciente sK = rr minusvalora en P> 0 la contribución de RiK. Esta infravaloración surge porque, con los spillouers de conocimiento basados en la inversión, el producto marginal social del capital (o + B)'YlK es superior al producto marginal privado rrYlK. (Este producto marginal privado es igual a la renta del capital R.) Observe también que las ponderaciones de las tasas de crecimiento de los factores de la ecuación (10.17) suman 1 + B, que es mavor que 1 si B > 0, debido a los subyacentes rendimientos crecientes a escala. La aparición de rendimientos crecientes a escala se debe a que las ideas sobre círmo producir más eficientemente son fundamentalmente no rivales y se transmiten gratuita e instantáneâmente de empresa a empresa. El factor K, que en la contabilidad del crecimiento de la ecuación (10.171 recibe una ponderación superior a su participación en la renta, se interpreta según el mcrdelo de que se trate. Griliches (1979) identifica K con actividacles creadoras de conocimiento, como I+D. Romer (1986) hace hincapié en el propio capital físico. Lucas (1988) resalta el capital humano en forma de educación. Naturalmente, también son posibles spilloucrs negativ«rs, como la congestión del tráfico y el cleterioro medioambiental. La puesta en práctica de los resultados de la ecuación (10.17) resulta problemática, ya que las ponderaciones correctas de las tasas de crecimiento de los factores no pueden deducirse a partir cle las participaciones de los factores en la rentâ; en concreto, no hay estimaciones directas del coeficiente p. Si por el contrario, se calcula el residuo estándar de Solow en este modelo, se obtiene: g(Solow)

=rE +p «lK)=Yty -o.1k1x1-(1-,r) .úlL)

(10.18)

Así pues, el cálculo estándar incluye dentro del residuo de Solow el efecto sobre el crecimiento de spillouers y rendimientos crecientes P.(klXl, junto con la tasa del progreso tecnológico .*og.n., Í77. Parece ser que para separar el efecto spillouershendimientos crecientes del progreso tecnológico exógeno se requiere un enfoque de regresión. Bajcl este enfoque, puede hacerse la regresión del residuo de Solow, g(Solow), calculado a partir de la ecuación (10.18), respecto de la tasa de crecimiento del factor tr/K que se supone transmite los spillouers. No obstante, este método se enfrehta a los habituales problernas econométricos con relación a la simultaneidad.

446

10 lContabilidad del crecimiento

10.3.2. lmpuestos En la mayoría de Ios cirsos, los impuestos no ;rfectan a los chlculos del crecimiento de PTF. Supong:r, por ejernplo, que los ingresos netos de las empresas están suietos

a impuestos, los salarios y las rentas del capital son gastos deducibles para

las

empresas y los salarios y las rentas del capital están suietos a imposiciírn a nivel de los hogares. En ese caso, las empresas en competencia perfecta igualan el procluctcr

m:rrginal del trabajo F1 al salario w, y el producto margin:rl del caprtal F7r a l:r renta del capital R. También se cumple la condiciôn Y = RK + wL (ct>t't ingresos e impuestos netos de las empresirs iguales a ceÍo en el equilibrio). Por lo tanto, la expresión de § cle la ecuación (10.6) sigue siendo válida. Por el contrario, suponga, que las empresas adquieren capital financiándose mediante acciones, que los salarios y la depreciación dK son fiscalmente deducibles y que / es la tasa requerida de rendimiento sobre las acciones (antes de itnpuestos personales). tJna empresa competitiva sigue igualando el producto marginal del trabajo al salario zz. La empresa también iguala el producto rnarginal del capital neto después de impuestos (1 - r) . (Fr - rI) a r, donde / es el tipo irnpositivo marginal sobre los beneficios de la empresa. Por lo tanto, el producto marginaI del capital viene daclo por

Tras sustituir

_r fr=-.+a Fr y F1, la exprresión de la contabrliclad del crecimiento de lar

ecuación ( 10.4) implica

. t r K ,iKl c=YlY-l , '-+ -l(KiK) l(l-r) Y Yl

-sr .(LlLt

(10.1e)

Si los irnpuestos sobre los beneÍicios cle las empreses son pr()p()rcionales, de manerlr

que Í es tanto l:r tasa inrpositiva promedio como la tasa impositiva marginal, entonces en el equilibrio rKl0 - r) es igual a los beneficios de las empresas (netos de depreciación, pero brutos de impuestos sobre beneficios). Por lo tanto, el términcr entre corchetes cle la ecuaciírn (10.19) es igual a sp, la participación del capital en la renta, si la renta de capital se mide por los beneficios de las empresas (brutos de impuestos sobre los beneficios) más la depreci:rción. La expresiôn habitual de la tasa de crecimiento de PTF de la ecuirción (10.6) sigue siendo válida. Para un impuesto sobre la proclucción o las ventas, las empresas compslillyie cumplirán Fr=wlÍ - t) y Fr = R/(1 - r), donde R vuelve a ser la renta del capital y r el tipo irnpositivo marginal sobre la proclucción. Por lo tanto, y trrrs sLrstituir Fx y Fr en la expresiírn de la contabilidad del crecimiento de la ecuación (10.4) se deduce que:

c=vtY

t.= í] ,,.,u, lr..' *),r,',

(10.20)

. Si el impuesto sobre la producción es proporcional, de manera que los tipos impositivos promedio y marginal son iclénticos, la recaudación tributari:r es iguirl a tY. La producción Y es igual a la renta de krs factores rnás lo recaudado por el

447

10.3. Problemas de la contabilidad del crecimiento

impuesto indirecto:

Y=RK+wL+rY de manera que la renta total de los factores RK +wL es igual a (1 -r) .Y. Por lo tanto, los términos dentro de los corchetes del segundo miembro de la ecuación (10.20) sori iguales a sK y sÍ, respectivamente. (Ohserve que estas participaciones se expresan en relación a la renta de los factores y no en relación al producto interior bruto.) Se deduce que la expresiôn habitual de la tasa de crecimiento de PTF de la ecuación (10.6) se sigue cumpliendo.8 Por ejemplo, la expresión habitual de la contabilidad del crecimiento funciona con un impuesto sobre el valor afradido proporcional que aplica el mismo tipo impositivo al valor afradido por el factor capital y por el factor trabajo. No obstante, la expresión habitual no sería correctâ si se aplicaran distintos tipos impositivos al valor aíiadido de cada factor. Si las empresas pagan el tipo impositivo r7ç sobre RK y el tipo r/. sobre wL, entonces la ecuación (10.4) se convierte en

c=YtY donde

r

(++)

sK (K/K)

(*)

&trt

st

(10.21)

es el promedio de los tipos impositivos, que se calcula así:

Í=S(TK+SLTL Si, por ejemplo,

rK>rL, la ecuación (10.21) indica que, para

que g sea calculadcr

correctamente, la ponderación de K7K debería aumentarse en relación a la de L1L.

10.3.3. Diversos tipos de Íactores Suponga que la funcií;n de producción

Y=

es

F(A.Kl,K2,Lt,Lz)

Una interpretación posible de la ecuaci6n (70.22) es que

(10.22)

Kt y Kz

representan

diferentes tipos o calidades de bienes de capital, mientras que I-1 y L2 representan diferentes tipos o calidades de trabajo. En ese caso, el procedimiento habitual de la contabilidad del crecimiento se desarrolla por el mêtodo de Jorgenson y Griliches (1967) si cada tipo de factor está ponderado por su participación en la renta. Es decir, K1 /K1 es ponclerado por R1K1 lY,y asi sucesivamente. El residuo de Solow

8. El análisis es más complicado si las empresas están su jctas â impuestos no proporcionales (sobre Ia producción o los beneficios). Si los tipos impositivos marginales son crecientes,, existe efectivamente una penalización sobre las grandes cmpresas. Por lo tanto, en el presente modelo con. rendimientos constantes a escala, en cl equilihrio las empresas tendrían un tamafro infinitesimal. Impuestos no proporcionalcs pueden admitirsc cn modclos en los quc la creación dc una cmpresl requiere un coste 6jo o en los que considcraciones de control dc la gestión v otras 6nalmente provocan rendimientos decrccicntes al âumentâr el tamaíio de la emprcsa.

10 lContabilidad del crecimiento

448

que surge de este proceclimiento mide correctarrente g, [:.r contribución del progreso tecnológico al crecimiento, siempre que toclos los factores sean retribr-riclos segírn sus productos marginales sociales. Surgen clificultacJes cuando en los datos no se pueden distinguir las ciltegorías cle factores; por ejernpkr, si Kril(r y K2lI{2 están cada una de ellas asociadir con la participación del capital total, (R I Kt +RzKz)/Y. Una fuente de este tipo cle dificrrltad raclica en que pued:rn aíiadirse a los antiguos bienes de c:rpital otros más nuevos v generalmente mejores. De iguirl manera, las diferentes câtegorías cle trabaio puederr aparecer sumâclas en los datos. Otra posible interpretación cle la ectración (1.0.22) es que Kr y Lt representan

empleos de factores en el sector 1, por ejemplo, lir indrrstria, mientras que K2,v L2 representan e[ empleo de factores en el sector 2, por eienrplo la agricultura. En el tiempo, pueden producirse variaciones en la composiciírn sectorial, como por ejemplo, un desplazamiento desde Ia agricultura a la industria. Dichos desplazamientos no crean problemas en la contabilidad del crecimiento si las diversas tas:ls de crecimient«r de las cantidades de los factores, identificadas por su sector, están ponderac{as por sus p:lrticipâci()nes en lâ renta. No obstante, se producen errores si el capital o el trabajo se suman entre sectores y si el crecirniento de estos agregados se pondera respectivamente por la parrticipirción en la renta del capital totirl o el

trabajo total.

A mod«r ilustrativct. supongil que la t,rsa de crecirnierrto de PTF se estinta irtcorrectamente como.

s= donde

y ty-(Rr1(r lRzl(z) t^lol -(tutLr !wzt-z) ot,,t

(I

0.1-l

)

K=Kr +Kz ), L=Lt+L2. Compararlos esta estimación con la expresiírn

correcta:

(+) G,tK,,-(+) &ztK,) (+) tL,tL,-(+) ti-,tLz,

s=YtY

(10.24)

La ecuación (10.24) esrima correctamente la contribución al crecimiento del progreso tecnológico exógeno, es decir, g= g, si todos los factores'son retribuidos según su producto marginal social. Se puede demostrar, mediante un desarrollo algebraico, la relación entre la expresión de § de la ecuación (10.23) y el verdadero crecimiento de PTE, calculado en la ecuaciôn (10.24), cle acuerclo con:

f

(?) (?) .(?) (?)

o, -Rz

(fr fi)

* u,,-wz) (*

';)

(10.2s)

10.4. Crecimiento de PTF e I+D

Por lo tanto. si R I + R2 y R t I K t + R:l Kz tt si w1 + w) y Lt 1 L1 + Lzl Lz, enronces §+â. En concreto, si R1 > R2, entonces Kr/Kr >KzlKz hace que §>§; de igual manera para el trabajo. Con la interpretación de los tipos de factores como clases de calidad y si la composición de los factores cambia en el tiempo hacia tipos de mayor calidad (dichos desplazamientos no se recogen en la estimación), se obtiene que el crecimiento calculado de PTF sobrevalora el verdadero crecimiento de PTF. Jorgenson y Griliches (1967) hacen hincapié y resuelven este problema, sujeto a las limitaciones de los datos.

Una de las interpretaciones sectoriales de los resultados se refiere a la migracií>n del traba jo desde el medio rural al urbano. El salario urbano wt puede ser superior al rural w2 poÍ diversos motivos, incluida la existencia de un salario mínimo y

el requisito de pertenecer a un sindicato en el caso del trabajo urbano. En ese caso, un desplazamiento del trabajo desde el sector rural al urbano representâ unâ ganancia de productividad para el coniunto de la economía. El término de la ecuación (10.25) en el que aparece el trabajo representa el crecimiento económico que genera este cambio en la composición sectorial del trabaio, para una tasa de crecimiento dada de traba jo agregado L/L. Este tipo de efecto sobre el crecimiento, aplicado a desplazamientos del trabajo desde una agricultura de baja productividad a una industria de alta productividad, fue analizado por Kuznets (1961, p. 61), que obtuvo una expresión análoga a la ecuación (10.25). Desde el punto de vista de la contabilidad del crecimiento, los términos que recogen los desplazamientos sectoriales deberían apârecer en los cálculos en alguna parte. Si las variaciones de cantidades de trabajo en cacla sector están ponderadas por las parricipaciones en la renta de cada tipo de trabaio, entonces la contribución ãl crecimiento de los cambios sectoriales aparece en la parte que explica los cambios

de las cantidades de los factores de la ecuaci 6n (10.24). Si por el contrario la ponderación se realiza como se muestra en la ecuación (10.23), la contribuciôn aparecerá entonces en la tasa de crecimiento de PTF estimada.

10.4. Crecimiento de PTF e l+D La contabilidad del crecimiento se considera a menudo una primera etapa en la explicación de la tasa de crecimiento de PTF, g, de la ecuación (10.6). Por eiemplo, .l plan de investigaci(rn resumido por Griliches (1973) se centraba en el gasto en I*ô como factor determinante de la tasa de crecimiento de PTF.e Las teorías del crecimiento endôgeno expuestas en los capítulos 6 y 7 tienen repercusiones en la mgdelización de la relación entre progreso tecnológico y gasto en I+D. Las siguientes secciones explclran estas relaciones en modelos caracterizados por un incrementcr del número de tipos de productos y por meioras de la calidad de los productos exi stentes.

9, EntrelosprimerosautoresquecontribuyeronaestâliteraturaaparccenTerleckvi(19-58),Minasian (1962), Griliches (1964) v Mansfield (196.5).

450

I0

I Contabilidad del crecimiento

10.4.1. Modelos con variedades de productos En el modelcl con variedades de productos del capítulo 6, la fr-rnción de proclucciírn irgregada viene dada por la ecuación (6.13):

Y=

rzlgl-cr;çtr

TLI

(10.26\

donde T es el factor tecnológico exógeno, L el factor trabajo agregado, N el númercr de variedades de procluctos intermedios que se conocen y utilizan en la actuirliclad. X la cantidad agregada empleada de factores intermedios y 00. y crece con el tiemp.. por otro la0. La ecuación (4.65) sugiere que se puede reescribir esta condición de laxitucl complementaria como

r(T) .&(T) = 0

(4.66)

Frecuentemente esta condición de acotacií;n se denominá condición de transuersalidad. Dice que si la cantidad de capital que queda es pc'rsitiva, É(T) > 0, su precio debe ser 0,g(T) =0. Alternativamente, si el capital en la fecha Íinal tiene un valor positivo, ulT)> 0, el agente no debe dejar capital , k(T)= 0. Más adelante tratamos el significado de la ecuación (4.66) cuando T es infinito.

A.3.5. Comportamiento del hamiltoniano con el tiempo Para ver el comportamiento del valor óptimo del hamiltoniano con el tiempo, tomamos la derivada total de H respecto de Í para obtener

610

Apend ice

dH(k,c.1t,t)ldt =lôHlôkl. k +lôHlôc tl+lôHlô1t1.

1t

+

í)Hl0t

(A.67)

La condición de primer orden en la ecuaciírn (4.63) sugiere que, en el óptimo, [)Hlôc=0; por consiguiente, el segundo término del segundo miembro de la ecuación (4.67) es iguala 0. La ecuación (A.64) requiere queôHlr)k= - p. Puesro que ôHlôp =g=4, los términos primero )- tercero del segundo miembro de la ecuaciírp (A.671 se anulan. Por consiguiente, en el óptinro, la clerivada total clel hanriltoniano respecto del tiempo es igual a la derivada parcial, ôHli)t. Si el prohlema es autónomo decir, si tanto la funciíln olrjetivo como las restricciones no depen-es den directamente del tiempo- entonces la derivada del hamiltoniano respecto del tiempo es 0. En otras palirbrils, el hamiltoniano asociado a problemas autónomos es constante en todos los puntos a lo largo del tiempo. Utilizamos estos resultados sobre el comportamiento clel hamiltoniano más adelante en este apéndice.

4.3.6. Condiciones de suÍiciencia En un problema de maximizaciírn no lineal estático, las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker son también suficientes cuando la función objetivo es côncava y las restricci 0

clonde o es una consrante con 0 0,

..

(A.es)

., c,(tl, tf

dado

ár(T) > 0,..., á,,(T) > 0, libre La solución es similar a la estudiada anteriormente con una variable de control y una variable de estaclo. La función de Hamilton es n.t

H = u[hft),...,kn,ft|;cr (Í),. . .,cn(tl:t1+

\ui i-t

'g'( .

)

(4.e6)

618

Apénd ice

Las condiciones de primer orden necesarias para un máximo son

ôHlôcift\ =

g,

ôHlAkiU) =

-ii,

i=1,...,n

(4.e7)

i=1....,rn

(4.e8)

i=1....,m

(4.e9)

y las condiciones de transversalidacl son

pilT)' À;(T) = 6,

A.4. Resultados útiles del álgebra matricial: autovectores

y

diagonalización de matrices Dada una rnatriz n-dimensional cuadrada A, es posible hallar los valores de un esc:rlar rr 1, los correspclndientes vectores columna no nulos, tal que

(A-ú).u=0

(4.100)

donde I es la matriz iclentidad n-dimensional. Observe que la ecuación (4.100) forma un sistema de zl ecuaci«rnes lineales homogéneas (es decir, el térmiuo constirnte es 0 para todas las ecuaciones). Para obtener soluciones no triviales, de mtrnerrr que u

*0,

el cleterminante de (A

-

rr1) debe anularse: det

(rl - trl) = g

(4.101)

La ecuaciírn (4.101 ) define una ecuaciírn polinómica de gr:rdo z en rr denominada

ecuación característica. Típicamente, habrrr rz soluciones:r esta ecuaci«in, que

se

denn y reorden:rciírn de la ecrración (4..1 01), c:rda autovâlor, oi, está asociado a un vector z; (determinado hasta un múltiplo escalar) que satisface ALsi

El vector

zr; se

= t)iei.

denominauector cardcterístico

i=7r...rn ()

(4.102)

autouectctr.Para todo o;, la ecuación

(4.102) determina un vector columna nx1(A es nxn, ui.es nx1 y rr; es 1x1). Estcrs vectores columna se pr-reden disponer en unâ matriz V de dimensiôn nxn para obtener

AV=VD

(4.103)

donde V es la matriz de autovectores n x n.v D es una matriz diagonal nxn con los autovalores como elementos diagonales. Si det(V) + 0, una condición qlre se verifica si los ar.rtovectores son linealmente independientes,

V puede ser invertido y la ecu:rci(rn (4.103) puede ser reescrira

V I,\V=D

(4.104)

619

Apénd ice

En otras palabras, si se premultiplica A por la inversa de V y se postmultiplica por V, se obtiene una matriz diagonal con los autovalores como elementos diagonales. Este procedimiento se denomina diagonalización de una matriz Á. Este resultado es útil para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. Intuitivamente, al diagonalizar una matriz se halla un conjunto de ejes (ona base uectorial) para la cual la aplicación lineal representada por Á puede ser expresada como una matriz diagonal. Los nuevos ejes corresponden a los autovectores. La aplicación lineal en estos ejes transformados viene dada por la matriz diagonal de autovalores. Se pueden establecer dos resultados írtiles. Primero, si todos los autovalores son diferentes, entonces la matriz de autovectores es no singular; es decir, det(V) +0. En este caso, y-1 existe,v, por consiguiente, la matriz Á puede ser diagonalizada. Un segundo teorerna interesante establece que el determinante y la traza (la strma de los elementos de la diagonal principal) de una matriz diagonal son iguales, respectivâmente, al determinante y a la traza de la matriz original. Este resultado es útil cuando se quiere conocer los signos de los autovalores. Supongamos, por ejemplo, que Á es unâ matriz 2xZ y que se quiere saher si sus dos autovalores tienen el mismo signo. Si el determinante de A es negativo, el determinante de D será negativo. Pero, como D es diagonal, su determinante es precisamente el producto de los dos autovalores. Por consiguiente, los dos autovaln impone dos condicic)nes en la relación entre

de la primera y puede ser ignorada. La solución resultante para z/i1 y z/21 serit por tanto única sólo hasta un mírltiplo escalar i,rrbitrario de cada valor. Si normaliz;rmr>s u11 a L,obtenemos t)21 = _,0,04. El primer autovector es por t"nt., I ofo+1. Si se repite el procedimiento para n2- -0,04, se obtiene una relación entre z/12 - u22=0. Si se normaliza u12 a 1, se obtiene L'22=0,1, ,v el segrrndo Los dos autovectores son linealrnente independientes, ,v la n'ratriz aurovector.t

y u22:0,1 'utz

[01,].

cle autovectores normalizaclos es

r rl v-l " l-0.04 ll 0.

Ahora

se puede comprobar que, en efecto,

V

1,qv

0.1/0.14 -l

=D calculandtl la inversa

de V:

" I -lo.o4to.t4 tto.tll

rr Luego es fácil verificar que

V

J

/0.141

1AV es la matriz diagonal

D mostrada anteriormente.

A.5. Resultados útiles del Cálculo A.5.1. Teorema de la Íunción implícita

,x2) una función bivariada en el espacio real. Supottgamos que /( o )es continua y clos veces diferenciable. Sea d(x1 ,x)=0 una ecuaci(rn que implica a r1 y x2 sólo a través de f (x1,x2) y que implícitamente define rú2 como una funci(rn de x1 : x2 = rtr(y1 ). Un ejemplo es @(x1, x) = f (x t, xt) - tt = 0, donde a es una consfante. El teorema de la función implícita dice que la pendiente de la función implícita, Sea /(x1

Í2(r1),

es

diz _ _ôf (xt,x)lôxr clxl ôf6t,x)lôxz Este resultado es válido tanto si existe

(4.106)

o no una función explícita o solución c1e

forma cerrada parâ ftzkt).

/(rr , xz ) = 3x2t_xzy la ecuación Q\xt , xz) .l trna función explícita *z@t) = 3ri - . hallar 3x2, - x2Si se aplica el teorema de la función implícita a pârtir de la ecuaciírn (4.106), se Ccrmo ejemplo, consideramos la funciôn 1 = 0. En este caso se puede

obtiene d.Ízl

dxt = -(6x1) I ( - 1) = 6x

r

Apénd ice

621

En este ejemplo no se necesita el teorema de la función implícita para calcular dÍ21dx1, porque se puede derivar directamenre xz@t)=3xl - 1 para obtener 6x1 . Sin embargo, el teorema es útil cuando no existe una solución de forma cerrada para rt2@1).

(x1,x) = log (rr) + 3 . (r1 )2 . *z + sxz y la Q@t,x)= log(rr)+3.(r1)2.x2+exz-17=o,lacual defineimplícitamente

Como otro ejemplo, consideram-os f ecuación

,í2 como una función de x1. No se puede hallar una función explícita Í2(x1 ). Sin embargo, se puede calcular la derivada de esta función usanclo el teorema de la

función implícita, dxzl dxt

= -10 I xt) + 6x1xlll3

.

(x1)2

+ srzl

También se dispone de una versión multivariada del teorema de la función implícita. Sea /(r1 ,...,xn) una función n-variada en el espacio real. supongamos que /( o ) es continua y dos veces diferenciable. Sea d(xt, . ..,xr) = 0 una ecuación que implica x1t.. .,xn sólo a través de f (x1,...,xr) y que define implícitamente a xn como una funciírn de xt,x2).. .;xn-li xn=ir(x1,.. .;xn-1). El teorema de la función implícita da las derivadas de la función implícita Í,(xt,. ..,xn_t) como

0k,

0f( o )lôxi

,"=-it;ffi,'

i=1'"''n-1

(4.107)

4.5.2. Teorema de Taylor Sea /(x) una función univariada en el espacio real. El teorema de Taylor dice que es posible aproximar esta función alrededor del punto ,r* con un polinomio de gradcr n como sigue:

f(x) = f(xr)+(df ldx)l-..(x-x.) +(dzf ldx2)1,..(r+ (d3f ldx3\1,. . (x - r.;3 . 1t73ty + ... +(d'f ldx")1,. .(x - x.)" .(llnl) * R,

x.12.1112t1

(4.108)

donde (d'f ldx")l*- esladerivadandef respectoderevaluadaenel puntox*,rzr es el factorial n ln'(n-l) . .. .2.11y R, es un resto. La expresión de la ecuación (4.108), con R, omitida, es el desatollcs en series de Taylor de f (x) alrededor x*. La presencia del resto R, en la ecuación indica que el desarrollo de Taylor no es una fórmula exactâ de f(x). Básicamente, este teorema describe condiciones en las cuales la aproximación mejora a medida que n aumentâ. La exactitud de la fórmula de Tâylor es, el tamaiio de Rr- se puede comprobar calculando la aproximación a -esro un polinomio. Si la fórmula es útil, deberá reproducir el polinomio exacto. Por ejemplo, si se utiliza un polinomio de grado 3 para aproximar x3 alrededor 1, se obtiene

622

Apénd ice

r'r = 13 + (3. 12). (x- 1) +(6. 1) . (x - t)212+ 6. (x- 1)3/6 +Rr = 1 + (3x-3) +3 . (*2 -2x + 1)+ (x3 - 3x2 + 3x- 1) + R-3 =X'

El resto, R35 es 0 en este caso. Como otro eiemplo, se puede utilizar un polinomio de orden 4 para aproximar la función no lineal e-' alrededor de 0:

n-=

.*

.(*2lz) + e0 . 1x3161+ no . 1 +x + *2 12 + *i 16 + *a 124 + Ra

n0

+ n0

+ n0

1xa

1241+ Ro

La aproximación (la fórmula con R, omitida) mejora cu:rndo el varlor de z aumenta. Cuandcl se utiliza un polinomio de orden 1 para aproximar una función alrededor un punto Í*, se dice que linealiza la función alrededor x-. También se puede linealizar logarítmicarllente una funciírn /(x) utilizando un desar«rllo de Taylor de

primer orden del log(x) alredeclor de log(x*). Las linealizirciones logarítmicas se utilizan frecuentemente en este libro y a rnenudo son útiles en análisis empíricos. La versión bidimensional del teorema de Ta,vlor es como sigue. Sea f(xt,xz) nna funciírn real contintra y dos veces diferenciable. Es posible aproximar f (xt,xz\ alrededor el punto (xi,xj)con Lrn desarrollo de segundo orden como sigrre;

f(xtxz) = f(x.r,x\) + f,t(. ) . (xi - *.) * f,.1 r ). (r2 -r]) +(112).[í,,,r(. ).(xr -x])2 + 2.f,,,,(. ).(xr -rl). Q2- x\l +/,2,2(

.).(xz-x])2J+Rz

(4.109)

ír;(.1es la derivada parcial cle /( . )con respecto â Íi evaluada en (xi,x2), r )es la segunda derivada parcial de f( o ) respecto de x; y Íl evaluada en (*\,*\\. [,a aproximación lineal de f(. ) alrecledor de (xl,xj) viene clada por los

donde

y fr;'1(

primeros tres términos del segundo miembro de la ecuaciírn (4.109).

A.5.3. Regla de IJHôpital

/(x) ,v g(x) dos funciones reales continuas y dos veces.difer:enciables. Supongamos que los límites cle ambas funciones cuando x se aproxima a Í" s«rn 0; es

Sean

clecir,

l,-, tí(r)l =.ry

[s(x)] =

0

Supongamos que estâmos interesados en el límite del ratio, f (x)lS,x), cuando r se aproxima x*. En este caso, el ratio t«rma la forma indeterminada 0/0 cuando x tiende a x*. La regla de LHôpital es

623

Apénd ice

l*(ffi)=",*(ffi)

(4.110)

siempre que el límite en el segundo miembro exista. Si el segundo miembro sigue siendo igual a 0/0, podemos aplicar otra vez la regla de l'Hôpital, hasta obtener con un poco de suerte un resultado que no seâ una forma indeterminada. La regla de LHôpital se puede aplicar a la forma indeterminada 0/0 y también funciona con la forma indeterminada oo/oo. Sin embargo, la regla no funciona si f (x)lg@) tiende a infinito cuando x tiende a x*. Como ejemplo, consideramos f(x)=2x y g(x) =x. El límite del ratio f(x)lg@)

cuandoxtiendea0es

l*(H) =3=J'T(#) =',=, 4.5.4. Integración por partes Para integrar una función por partes, observe que la fórmula de la derivada del prodtrcto de dos funciones del tiempo, utft) y z2(r), implica que

d[up2) = uz' dut + u1 ' du2 donde du1=v'r171 'dty tlu2=u\(t) ecuaciôn anterior para obtener

utu)Se

'dr.

Se

rl

Jt'z

toma la integral de ambos miembros cle la

dut+

Jut.duz

reordena para obtener la fórmultr de integración por partes:

.l

,r. ar, = L)rt,2 -

".t

Como ejemplo, calculamos [a integral

.l

,,

ar,

(4.1 11)

I tr' dt.Definimos

u1

=t y tlu2=st 7r.

Integrando du2 obtenemos u2=eÍ. Tômando la derivada de z1 se obtiene du1=1. Con la fôrmula de integración por partes de la ecuación (4.111) se obtiene

,f

rc'at = tet *

|

la,

= eÍ .(t

-

1)

624

Apénd ice

4.5.5. Teorema Íundamental del Cálculo Sea/(r) continua

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