Cours de géometrie analytique et d'algèbre linéaire 5030001883

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D. BEKLÉMICHEV

COURS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE ET D ’ALGÈBRE LINÉAIRE

ÉDITIONS MIR • MOSCOU

Traduit du russe par Oleg Partchevski

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Imprimé en Union Soviétique

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(1)

où tous les exposants sont des entiers positifs. La plus grande des sommes *) k l + /, + m ,, ks + ls + ms est appelée degré de l ’équation ou ordre de la surface algébrique. D é f in itio n . On appelle courbe algébrique plane un ensemble qui dans un repère cartésien du plan peut être défini par une équation de la forme

A, x k>y> + ... + Asx ksy't = 0,

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tous les exposants étant des entiers positifs. La plus grande des sommes Ar, ks + ls est appelée degré de l ’équation ou ordre de la courbe. On voit sans peine qu’une surface algébrique n’est pas obligatoire­ ment telle qu’on se la représente intuitivement. Par exemple, l’équation x* + y- + z~ + 1 = 0 n’est vérifiée par les coordonnées d’aucun point. L’équation (x2 + y 2 + z2) [U - l )2 + (y - l )2 + (z - l)2] =

0

définit deux points, l’équation y 2 + z2 = 0 définit une droite O’axe des abscisses). La même remarque concerne les courbes algébriques. Le lecteur trouvera lui-même des exemples appropriés. Les définitions données possèdent un important défaut. A savoir, on ignore la forme que prend l’équation de la surface dans un autre repère car­ tésien. Même si dans un autre repère cartésien une équation présente la forme ( 1 ), lequel des degrés de ces équations doit être appelé ordre de la *) Il s'agit évidemment de la plus grande somme figurant dans l'équaiion, c’csi-à-dirc qu’on suppose qu'aprés avoir réduit les termes semblables il existe au moins un terme de coef­ ficient non nul possédant une telle somme d'exposants. La meme remarque se rapporte à la définition de l'ordre de la courbe algébrique, donnée plus bas.

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DROITES ET PLANS

[CH. II

surface. Des questions analogues se posent aussi pour des courbes algébri­ ques. La réponse nous est fournie par les théorèmes suivants appelés théo­ rèmes d 9invariance de l 9ordre. T héorème 1 . Toute surface définie par une équation de la form e ( 1) dans un repère cartésien Test aussi dans tout autre repère cartésien, le degré de Téquation restant le même. T héorème 2. Toute courbe du plan définie par une équation de la forme (2 ) dans un repère cartésien Test aussi dans tout autre repère cartésien, le degré de Téquation restant le même.

Les deux théorèmes se démontrent de la même façon. Démontrons par exemple le théorème 2. Passons du repère cartésien [O, e p e2J dont il s’agissait dans la définition à un nouveau repère cartésien quelconque 10 \ e p e 2 1. Les anciennes coordonnées x, y sont liées aux nouvelles*',^' par les formules (6 ) du § 4, ch. I : x = a\ x ' + ai y ' + a^, y = à\ x ' + a\ y ' + a%. Pour obtenir l’équation de la courbe dans le nouveau repère, portons dans son équation les expressions de x et y en fonction de jc ' et y ’. En élevant le trinôme a}x ' + ai y + a^ à la puissance k on obtient un polynôme en jc ' et y ' de degré k. Ên élevant aj x ' + a \y ' + a\ à la puissance / on obtient un polynôme de degré /. En multipliant les polynômes obtenus on remar­ que que chaque terme de la forme A x ky ' figurant dans le premier membre de l’équation (2) devient un polynôme de degré k + l en jc' et y '. La somme des polynômes est un polynôme dont le degré est au plus égal aux degrés de ses termes. (11 aurait pu être strictement inférieur si les termes de plus haut degré étaient supprimés.) On vient ainsi de démontrer que dans tout repère cartésien la courbe algébrique se définit par une équation de la forme (2 ) et que le degré de cette équation ne peut augmenter avec le pas­ sage d’un repère à un autre. Il nous reste à démontrer qu’il ne peut dimi­ nuer non plus et, par suite, doit rester constant. On le démontre aisément par l’absurde. En effet, avec le passage inverse du repère (O ' , e ,', e 2 j au repère | O, e ,, e 2 J, les anciennes coordonnées x ' , y ' d’un point s’expriment en fonction de ses nouvelles coordonnées x, y au moyen des formules ana­ logues à celles données ci-dessus. Si, avec le passage de [O, e ,, e2) à | O ', e,', e2' |, le polynôme F ( x , y ) se transformait en polynôme G ( x ' , y ' ) , le passage inverse convertit le polynôme G(jc \ y ') en F(x, y). Supposons maintenant qu’au cours du passage du repère [O, e ,, e2) au repère {O ' , e j , e 2 ] le degré de l’équation diminue. Alors, avec le passage inverse de | O ' , e ,', e 2 1 à (O, e , , e2), le degré aurait dû augmenter, ce qui, comme on le sait, est impossible.

§»

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES ÉQUATIONS

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R e m a r q u e . La propriété d’invariance de l’ordre ne se rapporte pas aux différentes équations qu’une courbe ou une surface peut avoir dans un même repère. Bien que ces équations soient équivalentes, il existe parmi elles des équations de différents degrés et même de formes autres que ( 1) ou (2). En effet, les trois équations suivantes définissent le cercle de rayon 1 et de centre à l’origine du repère cartésien rectangulaire :

Vx2 + y 2 = 1 , je2 + y* -

1

= 0 , (x 2 + y 2 - l )2 = 0 .

(3)

On admet que les équations équivalentes de forme (2) et de degrés diffé­ rents définissent des courbes algébriques différentes (bien que les ensem­ bles dejîoints qui les vérifient se confondent). Par exemple, on dit que la dernière équation (3) définit un « cercle double ». L’ordre d’une courbe algébrique est le premier exemple d’invariant ren­ contré. D’une façon générale, on appelle invariant toute grandeur qui ne varie pas avec le changement de repère. Seules les combinaisons invariantes de grandeurs (de coefficients, d’exposants, etc.) intervenant dans l’équa­ tion d’une courbe ou d’une surface caractérisent les propriétés géométri­ ques de la courbe ou de la surface indépendamment de leur position par rapport au repère. Quant à l’interprétation géométrique de l’ordre de la courbe, elle sera éclaircie à la fin de ce chapitre. On est en mesure maintenant de préciser l’objet principal du cours de géométrie analytique. On y groupe essentiellement des courbes et des surfa­ ces algébriques d ’ordre 1 et 2 se prêtant à l’étude par les procédés de l’algè­ bre élémentaire. Avant d’aborder leurs propriétés, passons en revue quelques équations plus générales. On aura affaire à des courbes et des surfaces. La formula­ tion de leurs définitions générales n’entre pas dans le cadre de cet ouvrage. Le lecteur habitué aux définitions strictes peut entendre par courbe et sur­ face respectivement une courbe algébrique et une surface algébrique, toute­ fois tous les résultats s’appliquent également au cas plus général. 3. Equations paramétriques des courbes. Supposons que la courbe est la trajectoire d’un point qui se déplace. A chaque instant t nous connais­ sons la position du point, autrement dit, ses coordonnées par rapport à un repère préalablement choisi. Cela signifie que les coordonnées (x, y , z ) (ou (x, y) pour une courbe plane) sont des fonctions données du temps : x=