Control Y Mejora De La Calidad

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Control y mejora de la calidad Prat Bartés, Albert Tort-Martorell Llabrés, Xavier Grima Cintas, Pere Pozueta Fernández, Lourdes

Prólogo

Cuando decidimos escribir este libro, lo hicimos con un objetivo fundamental: satisfacer las necesidades y expectativas, en cuanto a formación estadística, de los estudiantes de ingeniería y de todos aquellos técnicos, ingenieros y científicos que quieren utilizar métodos estadísticos para acelerar la adquisición de conocimientos. El proceso de detección de estas necesidades y expectativas ha sido largo pero extraordinariamente interesante. La principal fuente de información ha sido la experiencia adquirida por los autores durante las múltiples asesorías realizadas a todo tipo de organismos públicos y privados tanto nacionales como multinacionales. Este contacto intenso con la realidad, además de ser una fuente inestimable de temas para la investigación teórica y aplicada, permite la obtención de datos reales y la aplicación de los métodos estadísticos a problemas relevantes para el público a quien se dirige el texto. En este sentido, el capítulo 1 introduce al lector en la importancia actual de los conceptos de la calidad total y sitúa el papel de la estadística como uno de los tres pilares en los que se fundamentan dichos conceptos. Una de las constataciones realizadas por personajes de la talla de Deming y Juran es que un porcentaje muy elevado de problemas por mala calidad en la industria y los servicios se pueden resolver mediante la utilización masiva y sistemática de las herramientas que se explican en el capítulo 2. Los capítulos 3 y 4 presentan de forma conceptual y resumida los elementos básicos de la variabilidad y de su medida en la teoría de la probabilidad. Los resultados teóricos de estos dos capítulos constituyen la base en que se fundamentan los métodos estadísticos descritos en el texto. Los capítulos 5 y 6 contienen los métodos utilizados para comparar dos o más poblaciones, tanto para el caso de diseños totalmente aleatorizados como para los diseños en bloques completos aleatorizados. En la actualidad, las técnicas de diseño de experimentos, tanto en su versión clásica de diseños factoriales y factoriales fraccionales, como en su versión de métodos de Taguchi para el diseño de parámetros en ingeniería de la calidad, son de gran importancia en todo tipo de organizaciones industriales. A ellas hemos dedicado los capítulos 7, 8, 9 y 10. Finalmente, otra área de gran interés para el control y la mejora de la calidad es la de control estadístico de procesos (SPC) que se expone brevemente en el capítulo 11. Al final de cada grupo temático se proponen una serie de ejercicios que pretenden facilitar la compresión de los conceptos teóricos.

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, así como la exportación e importación de ejemplares para su distribución y venta fuera del ámbito de la Unión Europea.

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

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El enfoque del libro está también influenciado por las largas conversaciones y el trabajo en común de algunos de los autores con dos auténticos maestros de la estadística: George E. P. Box y el difunto William G. Hunter. Compartimos con ellos la idea de mantener al mínimo imprescindible el aparato matemático utilizado en el texto, e intentar que, a través de la utilización de datos reales, el lector pueda apreciar toda la complejidad del proceso iterativo de adquisición de conocimientos y en la resolución de problemas de interés para la industria y los servicios. Este libro es el resultado de muchos años de experiencia en la enseñanza de la estadística. Esta experiencia no se limita únicamente a los estudiantes de ingeniería en la Escola Tècnica Superior de Enginyers Industrials de Barcelona, y a los de la diplomatura de Estadística de la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la Universitat Politècnica de Catalunya, sinó que se extiende a la enseñanza de la estadística en los múltiples cursos realizados a medida para ingenieros, economistas, técnicos, etc., en distintas empresas de una gran variedad de campos de actividad. Desearíamos que nuestro libro satisfaga realmente a nuestros lectores pero, como todo producto es mejorable, les estimulamos a que nos hagan llegar todo tipo de comentarios y sugerencias que permitan mejorarlo en ediciones futuras. Finalmente, deseamos manifestar nuestro agradecimiento a la Universitat Politècnica de Catalunya, a la cual pertenecemos, por concedernos un premio a la elaboración de material docente que ha facilitado la elaboración del presente texto, a los becarios Natalia Montolío y Santiago Fernández, que han colaborado en la recopilación de los problemas y la elaboración de las tablas que figuran en el libro, así como a Pia Margarit por su trabajo en la edición del primer original.

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Albert Prat Xavier Tort-Martorell Pere Grima Lourdes Pozueta

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

Índice

1

El entorno de la calidad total

1.1

1.3 1.4

Evolución histórica del concepto de control de la calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.1.1 Inspección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 1.1.2 Control estadístico de procesos (C.E.P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.1.3 Calidad en la etapa de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Mantenimiento, mejora e innovación en la calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.2.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 1.2.2 El ciclo PDCA como estrategia básica de los procesos de mejora continua . . . . . . .20 Conceptos básicos de la gestión de la calidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Métodos estadísticos en la calidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

2

Herramientas básicas para la mejora de la calidad

1.2

2.1 Plantillas para la recogida de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 2.2 Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 2.3 Diagramas de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 2.4 Diagramas causa-efecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 2.5 Diagramas bivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 2.6 Estratificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 Apéndice 2A Datos e información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 3

Causas y medidas de la variabilidad

3.1 3.2

Causas de la variabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 Medidas de la variabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 3.2.1 Variabilidad en una muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 Densidad de probabilidad. Variabilidad en la población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 Esperanza matemática y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

3.3 3.4 3.5 3.6

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

π

3.7

El caso bivariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.7.1 Variabilidad muestral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.8 Densidades de probabilidad conjunta y densidades marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 3.8.1 Densidades marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 3.9 Densidades condicionales e independencia de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 3.10 Covarianza y coeficiente de correlación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 3.11 Esperanza matemática y varianza de combinaciones lineales de variables aleatorias . . . . .58 3.12 Ejemplo del “helicóptero” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 4

Algunos modelos probabilísticos

4.1

10

La ley normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 4.1.1 Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68 4.2 La ley binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70 4.3 Ley de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 4.4 Distribución de estadísticos en muestras aleatorias simples de poblaciones normales . . . . .74 4.5 Distribución de Y (σ2 conocida) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 4.6 La ley de Chi-cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 4.7 La ley t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 4.8 Distribución de S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 4.9 Distribución de Y (σ2 desconocida) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 4.10 El caso de dos poblaciones normales independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 4.11 La ley F-Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 4.12 Distribución del cociente de dos varianzas muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 5

Comparación de dos tratamientos

5.1

Caso 1: comparación de dos productos en un proceso de curtido de piel . . . . . . . . . . . . . .85 5.1.1 Planteamiento del problema. Recogida de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 5.1.2 Análisis exploratorio. Formalización del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 5.1.3 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 5.2 Generalización del caso de la comparación de dos productos para el curtido: comparación de medias en diseños totalmente ateatorizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 5.3 Caso 2: comparación de dos tratamientos superficiales para lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 5.3.1 Planteamiento. Recogida de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 5.3.2 Análisis exploratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 5.3.3 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 5.4 Generalización del caso de la comparación de dos tratamientos superficiales de lentes: . . . . . comparación de medias en diseños en bloques aleatorizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 5.5 Aleatorización y bloqueo: recapitulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 5.6 Contraste de hipótesis. Formalización y limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 5.7 Un análisis alternativo: intervalos de confianza para la diferencia de medias . . . . . . . . . . .97 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 Apéndice 5A Test de comparación de medias cuando no puede asumirse la igualdad de varianzas poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102 Apéndice 5B Pruébelo Ud. mismo. Comparación de dos tipos de helicóptero . . . . . . . . . . . . . . .103

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6

EL ENTORNO DE LA CALIDAD TOTAL

Comparación de más de dos tratamientos: análisis de la varianza

6.1

Método gráfico de comparación de medias para poblaciones independientes . . . . . . . . . .106 6.1.1 Ideas básicas para la aplicación del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 6.1.2 Requisitos de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 6.1.3 Caso de la comparación de procedimientos de montaje. Aplicación del método . .110 6.2 Caso de la comparación de procedimientos de montaje con datos bloqueados. Hipótesis sobre el modelo de la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 6.2.1 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 6.3 Método clásico de análisis de la varianza. Tabla ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 6.3.1 Planteamiento de un caso y cuestiones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 6.3.2 Construcción e interpretación de la tabla ANOVA en diseños totalmente aleatorizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 6.3.3 Tabla ANOVA para diseños bloqueados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

7

Diseños factoriales

7.1

Necesidad de la experimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 7.1.1 Avance del conocimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 7.1.2 Diferencia entre experimentar y analizar datos existentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 7.1.3 Modelos mecanicistas y empíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 7.2 Posibles estrategias experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 7.2.1 Estrategia secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 7.2.2 Diseños factoriales frente a intuición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 7.2.3 Concepto de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 7.3 Variabilidad de la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 7.3.1 Variabilidad en el sistema de medición de la respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135 7.4 Diseños factoriales con las variables a dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135 7.4.1 Diseños factoriales a dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 7.4.2 Matriz de diseño. Construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 7.4.3 Aleatorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 7.4.4 Réplicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139 7.5 Cálculo de los efectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 7.5.1 Cálculo de los efectos a partir del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 7.5.2 Algoritmos de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142 7.6 Significación de los efectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 7.6.1 Significación cuando se dispone de réplicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145 7.6.2 Papel probabilístico normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 7.7 Interpretación de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150 7.7.1 Cálculo de residuos. Diagnosis del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 7.8 Diseños a dos niveles bloqueados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152 Apéndice 7A Relación entre los algoritmos de cálculo y el método de los mínimos cuadrados . .153 Apéndice 7B Papel probabilístico normal para diseños con ocho y dieciséis experimentos y casos prácticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

11

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

8

π

Diseños factoriales fracciónales

8.1

12

Utilidad y justificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165 8.1.1 Justificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165 8.2 Ejemplo introductorio. Cinco variables en dieciséis experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . .166 8.2.1 Confusión de los efectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169 8.3 Construcción de diseños fraccionales y cálculo de las confusiones introducidas . . . . . . . .170 8.3.1 Construcción de diseños fraccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170 8.3.2 Cálculo de las confusiones introducidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 8.3.3 Concepto de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 8.4 Otros diseños fraccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 8.4.1 Medias fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172 8.4.2 Fracción complementaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 8.4.3 Diseños saturados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 8.4.4 Diseños intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 8.5 Bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 8.5. 1 Bloqueo de factoriales completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 8.5.2 Ejemplo de proceso químico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180 8.5.3 Factoriales completos divididos en más de dos bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 8.5.4 Fraccionales divididos en bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183 8.6 Tablas de diseños fraccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184 8.7 Estrategia secuencial utilizando diseños fraccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187 8.7.1 Advertencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188 8.7.2 Fracciones complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188 8.7.3 Efecto bloque al añadir fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191 8.7.4 Adición de experimentos para conseguir clarificaciones puntuales . . . . . . . . . . . . .191 Apéndice 8A Teoría de la proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 Apéndice 8B Significación de las interacciones de dos factores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198 9

Introducción a la metodologia de superficie de respuesta

9.1 Introducción. Necesidad de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201 9.2 Grado de conocimiento y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202 9.3 Estrategias de la metodología de superficie de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203 9.4 Aproximación lineal a las condiciones óptimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206 9.5 Aproximación por el camino de máxima pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209 9.6 Aproximación cuadrática. Diseños centrales compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212 9.7 Análisis canónico de la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221 10

Diseño de productos robustos

10.1 10.2 10.3 10.4

Concepto de producto robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223 Variabilidad funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224 Metodología del diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225 Diseño de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

π

EL ENTORNO DE LA CALIDAD TOTAL

10.5 Matriz de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227 10.6 Ejemplo de producto robusto a ruido externo: suavizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229 10.7 Ejemplo de producto robusto a ruido interno: tubo calefactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236 10.8 Diseño de tolerancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238 Apéndice 10A Función de pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239 Apéndice 10B Método de Taguchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242 11

Control estadístico de procesos

11.1 11.2

Evolución del CEP y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243 Proceso en estado de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 11.2.1 Comportamiento esperado de las observaciones individuales en un proceso en estado de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 11.2.2 Comportamiento de la media de un proceso en estado de control . . . . . . . . . . . . . .246 11.3 ¿Qué es un gráfico de control? Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247 11.4 Gráficos de control para variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248 11.4.1 Gráficos X-R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249 11.4.2 Gráfico de observaciones individuales y gráfico de rangos móviles . . . . . . . . . . . .251 11.4.3 Gráfico de medias móviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252 11.4.4 Interpretación de los gráficos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252 11.4.5 Estudios de capacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255 11.5 Gráficos de control para atributos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258 11.5.1 Gráfico P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258 11.5.2 Gráfico NP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261 11.5.3 Gráfico C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263 11.5.4 Gráfico U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265 11.6 Otros gráficos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266 11.6.1 Gráfico CUSUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266 11.6.2 Gráficos EWMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269 11.7 El precontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271 11.8 Gráficos de control para observaciones dependientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274 Apéndice 1: Tablas estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277 Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295 Bibliografía

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

13

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

[KANO87] [KARA91] [KHUR87] [LUKA56] [MACG90] [MAGH90] [MILL84] [MONT91] [PATE82] [PEÑA86] [ROSS88] [RYAN88] [SHEW31] [SHOE91]

300

[SNED37] [TAGU86] [TORT85]

[TRIB89] [VACH92] [WU87]

KANO, NONAKI.

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© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

Índice alfabético

Aleatorizar 89, 95, 138 Algoritmo de Yates 142-144, 153, 154, 176, 177, 204 Análisis exploratorio de los datos 90, 94, 108, 118 Bloque 93-95, 113, 114, 116, 164, 179-183, 188, 191-193, 198-200, 210, 212-216 Bloquear 95, 152, 164, 179, 181, 183, 185-187 Brainstorming 35 Calidad total 15, 18, 21, 23, 244 Capacidad 15, 16, 69, 83, 135, 201, 223-225, 254-258, 275, 276 Causa asignable 48, 49, 60, 225, 245, 250, 253, 254, 260, 267, 269, 271 común 48, 49, 60, 244, 248, 249, 273 fundamental 34 potencial 36 primaria 35, 36 trivial 32 Ciclo PDCA 20, 203 Cliente 16, 18, 22, 223-226, 229, 233, 239, 244, 247, 257, 261 Competitividad 15, 16 Condición experimental 139, 145, 146, 151, 164, 175, 199, 230 Confusión de los efectos 128, 154, 169, 175 Control de calidad 16, 36, 255 Correlación 36, 37, 39-42, 56, 57, 63, 193 Covarianza 56, 57, 63 Creatividad 15, 19, 188 Criterio de ortogonalidad 212

Criterio de rotabilidad 212 Cultura de la calidad 21 Curvas de nivel 132, 202, 204, 215, 216 Datos apareados 105 inconsistentes 128 Densidad 23, 28, 47, 50-52, 54-56, 60, 62, 63, 66-68, 74, 76-78, 106, 128, 129, 133, 157 Densidad condicional 55 de probabilidad 23, 28, 47, 50-52, 54-56, 60, 63, 66, 68, 74, 76-78 de probabilidad conjunta 54, 56 marginal 55 Desviación tipo 23, 67, 70, 83, 92, 94, 97, 107, 111, 115, 135, 145-147, 256, 276 Diagrama 33-37, 39-42, 94, 129, 130 bivariante 37, 39, 42, 129, 130 causa-efecto 36, 42 de barras 33 de Pareto 31-34 Diferencia de medias 86, 95, 97, 98 Diseño central compuesto 204, 205, 212 de experimentos 18, 22, 23, 130, 135, 223, 225, 271 de productos robustos 23, 223, 225, 238 de tolerancias 226, 238 en bloques aleatorizados 102 estrella 205, 212-214 factorial 136, 153, 154, 162-165, 179, 199, 200, 205, 212 factorial a dos niveles 136, 155 primario 225

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π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

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secundario 226 terciario 226 Distribución 19, 20, 23, 30, 47, 48, 52, 53, 55, 62, 63, 65, 67-71, 73-79, 81, 82, 88-90, 9295, 100, 102, 105-108, 112-114, 117, 121, 123, 146, 147, 149, 184, 215, 229, 231, 233, 246-248, 252, 255-257, 261, 263, 265, 270 Efecto aditivo 93, 114 bloque 93, 114, 179, 181, 183, 188, 191, 192, 199, 212-216 principal 140-143, 150, 176, 196, 199 Estadísticamente significativa 89, 94, 96, 105 Estadístico de prueba 94, 95, 123 Estado de control 49-52, 59, 68, 243, 244, 246248, 250, 253, 255-259, 262, 269-272 Estimador 75, 79, 88, 90, 97, 111, 116, 119, 120, 262 Estrategia experimental 130 secuencial 130, 131, 147, 158, 175, 177, 187-189 Estructura organizativa 17 Evaluación 20, 138 Experimentar 127, 130, 132, 136, 152, 175, 192, 203, 205, 209, 210, 236, 237, 240 Experimentos independientes 70 Factor de control 227, 232 de escala de la t-Student 111 Fracción complementaria 173, 174, 188, 191 Frecuencia absoluta 28, 29 relativa 28, 29, 51, 54, 60 Gestión de la calidad total 21 Grado de libertad 145, 183, 192, 211 Gráfico C 263, 264 CUSUM 266-268 de control 246-248, 254, 256, 260, 261, 263, 264, 269, 270, 275 de observaciones individuales 251, 252 EWMA 269, 270 NP 261 P 258-262 R 250, 252, 254 Shewart 271 U 265 Heterocedasticidad 109, 110 Hipótesis alternativa 86, 90, 96, 111 Hipótesis nula 86, 89, 95, 96, 98, 110, 111, 113, 211

Histograma 28-30, 48, 50, 51, 54, 60, 103, 255 Igualdad de varianzas poblacionales 88, 90, 102 Independencia de las diferencias 94 de las poblaciones 90 Índice de capacidad 256, 257 Innovación 15, 18, 19 Inspección 16-18, 30, 225, 243, 250, 260 Intervalo de confianza 97-99 de confianza para la diferencia de medias 97 Límite de control 248 Mantenimiento 15, 18, 19, 35, 47, 72, 224, 225, 238, 255 Media muestral 74, 83, 119, 250 poblacional 52, 119 ponderada de las varianzas muestrales 111 fracciones 172, 173, 175, 177, 188 Mejora continua 15, 18-20, 244, 247, 256 Método de matriz producto 230 de Taguchi 226, 240, 241 Modelo de segundo orden 207, 211, 214, 217, 221, 237 Muestra aleatoria simple 74, 79, 94 Muestreo 16, 17, 45, 247, 248, 260, 272 Nivel codificado 137, 138 Normalidad de las poblaciones 89 Planificar 19, 72, 89, 113, 130 Plantilla 26, 33, 250, 256, 268, 269 Población conceptual 51, 54, 59, 61, 74 Población normal 75, 121 Proceso en estado de control 49-52, 59, 68, 244, 246, 247, 258, 259, 270, 272 Productividad 16, 22, 93, 110, 111, 113, 116, 117 Producto robusto 223, 229, 236 Quality function deployement (QFD) 18 Rango 30, 41, 128, 129, 154, 202, 231, 248252, 257 Recogida de datos 25, 26, 41, 45, 89, 90, 9395, 113, 203, 248 Región de operabilidad 206 Relación no causal 129 Réplica 139, 163, 164 Residuo 151 Resolución 22, 34, 45, 87, 92, 110, 114, 172, 173, 175, 177, 178, 183-185, 187, 189-191, 195, 196, 198, 200, 203, 228-230, 233

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ÍNDICE ALFABÉTICO

Responsabilidad 19, 22, 48 Recurso humano 130 Riesgo 91, 247, 267, 268 Ruido externo 226, 227, 229, 232, 235, 236 Ruido interno 226, 227, 236-238 Sesgado 30 Sistema 48, 49, 68, 134, 135, 139, 144, 145, 149, 158, 188, 193, 248 Suceso 74 Tolerancia 30, 69, 275 Tratamiento 23, 89, 91, 92, 94, 95, 111, 113, 115, 117, 118, 229, 271 Valor de prueba 39, 40 Valor previsto 115, 151, 270 Variabilidad funcional 224 Variable aleatoria 23, 49, 51-54, 60, 62, 65-67, 70, 74, 76, 121 Variable oculta 129, 154 Varianza 23, 51, 52, 58, 62, 71, 73, 77-81, 88, 90, 97, 105, 108-111, 115-121, 133, 141, 144-146, 152, 231, 236, 238, 239, 241, 248, 61, 263, 266 Volante de Deming 20

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1 El entorno de la calidad total

En este capítulo se justifica la importancia de la calidad de los productos y servicios como elemento estratégico para la competitividad de las organizaciones que los producen. El concepto de calidad que subyace a lo largo de este libro es el de que la calidad es inversamente proporcional a las pérdidas e inconvenientes de todo tipo que un producto o servicio provoca al usuario. Los métodos utilizados en la industria para asegurar la calidad de sus productos han evolucionado a lo largo del tiempo. En este capítulo se analiza críticamente dicha evolución y se refuerza la idea de que el mejor momento para considerar la calidad de un producto es cuando se está diseñando. A continuación, y siguiendo todavía en el ámbito de calidad de los productos (o servicios), se analizan tres clases de actividad que requieren distintos tipos de actitud por su distinta complejidad. Dichas actividades son las de mantenimiento o control de la calidad, actividades de mejora continua y, finalmente, las de innovación o creatividad. En el apartado 1.4 se discuten los aspectos culturales, organizativos e instrumentales necesarios para que la calidad sea un elemento básico en la gestión de las organizaciones, y para que éstas sean capaces de satisfacer a sus clientes tanto en calidad como en precio, plazo de entrega y servicio postventa de sus productos. Finalmente, y dado que este libro trata sobre métodos estadísticos para el control, la mejora y la innovación de la calidad, se discute el papel que tiene el método científico en general y la estadística en particular dentro de las organizaciones para el desarrollo de los tres tipos de actividad.

1.1 Evolución histórica del concepto de control de la calidad Desde sus orígenes, probablemente el ser humano ha considerado de vital importancia el disponer de productos de alta calidad. Es de suponer que el cazador que disponía de mejores flechas obtenía más y mejores presas y que este hecho no debía pasar inadvertido a nuestros antepasados. La organización del trabajo en la era industrial ha añadido otros puntos de vista acerca del producto tales como costes, plazo de entrega, servicio postventa, seguridad, fiabilidad, etc. La prioridad asignada a los diversos conceptos ha ido evolucionando con el tiempo. Así, por ejemplo, en situaciones en las que la demanda de productos ha sido muy superior a la capacidad de oferta, la gestión empresarial se ha orientado hacia la producción y ha dado alta prioridad a la

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

Fig. 1.1 Historia del control de calidad

productividad, mientras que cuando la demanda de ciertos productos ha sido menor que la capacidad de oferta, la gestión se ha orientado hacia el cliente y la calidad ha sido altamente prioritaria. En la actualidad pocos discuten la importancia estratégica de la calidad como factor de competitividad industrial en una situación de fuerte saturación y globalización de los mercados. Paralelamente, también ha ido evolucionando la etapa del desarrollo de un producto en la que se ha intentado asegurar su calidad. Dicha evolución está representada en la figura 1.1.

1.1.1 Inspección Durante el inicio de la era industrial la calidad de los productos se intentaba asegurar mediante la inspección de los mismos antes de ser enviados al mercado. El modelo conceptual del enfoque basado en la inspección es el de la figura 1.2. 16

Fig. 1.2 Enfoque conceptual de la inspección

A la inspección, ya sea exhaustiva (100%) o mediante muestreo estadístico, se le asignan dos objetivos: a) separar el producto defectuoso para ser reprocesado o desechado, y b) advertir al responsable del proceso de fabricación sobre la aparición del producto defectuoso para que aquél pueda tomar las medidas de ajuste que estime oportunas.

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EL ENTORNO DE LA CALIDAD TOTAL

Es bien conocido el hecho de que la inspección, incluso si es al 100%, no cumple eficazmente el objetivo (a), debido a la fatiga del inspector entre otras causas. Pero aunque pudiésemos suponer una inspección perfecta, no se debe olvidar que el producto detectado como defectuoso ya ha sido producido y, por lo tanto, se han consumido recursos de mano de obra, materia prima, energía, etc que incrementarán el coste del producto. Además, en el producto considerado como aceptable puede existir una proporción elevada de unidades cuya calidad no se diferencie mucho de las unidades rechazadas, y el operario se puede desentender de la calidad confiando en la inspección. Si añadimos a lo anterior que la inspección es una actividad no productiva, y que en muchas organizaciones la estructura organizativa no facilita la comunicación necesaria para hacer posible la consecución del objetivo (b), se entiende que este enfoque para asegurar la calidad claramente no es adecuado. 1.1.2 Control estadístico de procesos (C.E.P.) Durante los años que precedieron al inicio de la II Guerra Mundial, y debido principalmente a los trabajos de W. Shewhart (1931), el aseguramiento de la calidad se desplazó a la etapa de fabricación de los productos. El esquema conceptual del C.E.P. (o S.P.C. en abreviación inglesa) es el de la figura 1.3.

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Fig. 1.3 Modelo conceptual del control estadístico de procesos

Se trata, esencialmente, de minimizar la producción de unidades defectuosas reduciendo el tiempo que transcurre entre la ocurrencia y la detección de algún desajuste en el proceso de fabricación, así como la identificación de las causas del mismo a fin de evitar su repetición. Este tipo de control, que se desarrolla en el capítulo 11 de este libro, se implementa mediante muestreo de características físicas del producto (longitud, peso, diámetro, etc.), o de variables del proceso (temperatura, presión de rodillo, etc.). Dado que el C.E.P. no conseguirá eliminar por completo la fabricación de unidades defectuosas, puede ser necesario mantener cierto grado de inspección final tal como se indica en la figura 1.3. Ahora, sin embargo, la inspección tiene como finalidad el separar el producto defectuoso.

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1.1.3 Calidad en la etapa de diseño Tanto la inspección como el C.E.P. son mecanismos internos de la organización. Es por ello que, aunque en una cierta empresa funcionasen a la perfección tanto las inspecciones a la recepción de materias primas como las de producto acabado, así como el control estadístico de los principales procesos de la misma, nada o muy poco aportarían estos procedimientos a algo tan importante como saber los problemas que los productos de la empresa en cuestión provocan a sus clientes cuando los utilizan, o por qué algunas personas utilizan productos de la competencia, etc. Es por ello que, en la actualidad, el control de la calidad es una actividad globalizadora, que incluye, no sólo a todas las personas y procesos de una cierta empresa, sino también a los proveedores y a los distribuidores, tal como queda reflejado en la figura 1.4.

18 Fig. 1.4 Modelo conceptual de la calidad total

En esta figura destaca, en primer lugar, que la calidad ha de venir determinada por las necesidades y expectativas del cliente y no por necesidades internas de la propia organización. En segundo lugar se observa que el mejor momento para asegurar la calidad de los productos o servicios es durante el diseño de los mismos. Para ello es necesario, por un lado, actuar sobre los proveedores para poder mejorar la calidad de los componentes no fabricados en la empresa y, por otro, la utilización de herramientas como el diseño de experimentos (DEX) o el Quality Function Deployement (QFD) para intentar que las expectativas de los clientes se introduzcan y optimicen en la etapa de diseño y prototipo.

1.2 Mantenimiento, mejora e innovación en la calidad 1.2.1 Conceptos básicos En el terreno de la calidad es conveniente distinguir tres tipos de actividades diferentes: mantenimiento, mejora continua e innovación. El lector puede encontrar una buena presentación de estos conceptos en el libro Kaizen de Imai (1986). Por actividades de mantenimiento entendemos todas aquellas actividades tendentes a conservar los estándares tecnológicos, de gestión y de operación actuales. mantenimiento = estandarizar + control

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EL ENTORNO DE LA CALIDAD TOTAL

Parece recomendable que, antes de embarcarse en cualquier programa de mejora de la calidad, una empresa estandarice la mejor forma conocida de operar y se asegure de que todo el personal trabaja de acuerdo a dichos estándares. En nuestra opinión, los estándares deben ceñirse a las operaciones verdaderamente importantes, deben estar redactados de forma clara y ser comprendidos por el personal que debe seguirlos. El control del cumplimiento de dichos estándares es responsabilidad de la gestión de la empresa Por actividades de mejora continua (Kaizen en japonés) entendemos todas aquellas actuaciones dirigidas hacia la mejora constante de los estándares actuales. Tal como indica Bill Hunter, todo proceso u operación además de producto físico, genera información suficiente para mejorarlo. Hasta tal punto es cierta esta afirmación que es muy probable que cuando un estándar está en vigor más de seis meses sin ser modificado, ello sea debido a que no es seguido por nadie dentro de la propia organización. Las actividades de mejora constante se realizan mediante la secuencia (Plan, Do, Check, Action), es decir, planificar la mejora, implementarla, verificar sus efectos y actuar en función de los resultados de dicha verificación, tal como explicamos en el apartado 1.2.2. Creemos importante destacar que a toda mejora en los estándares operativos deben seguir actividades de mantenimiento, ya que de lo contrario es casi seguro que los efectos beneficiosos de la mejora desaparecerán rápidamente (ver figura 1.5). Por actividades de innovación entendemos aquellas actividades sistemáticas tendentes a la creación de productos/servicios con funciones, operatividad, coste, etc., nunca experimentados antes. Uno de los activos intangibles que toda empresa debería incrementar, lo constituyen las metodologías y herramientas que permiten utilizar los conocimientos y la creatividad de todo el personal de la organización para crear nuevos productos que satisfagan con creces las necesidades y expectativas de los clientes potenciales. Cada una de las actividades que acabamos de describir requiere distinto nivel de conocimiento y de responsabilidad por parte del personal que la realiza. Así, por ejemplo, Imai (1986) Fig. 1.5 Mantenimiento, mejora e innovación considera que la distribución del tiempo de trabajo de los distintos niveles de responsabilidad en las distintas actividades se distribuye en Japón según el gráfico de la figura 1.6. Destacan el poco tiempo dedicado a las actividades de mantenimiento (el día a día) por parte de la alta dirección, y el tiempo que dedican capataces y trabajadores a las actividades de mejora Fig. 1.6 Concepción japonesa de las funciones continua.

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1.2.2 El ciclo PDCA como estrategia básica de los procesos de mejora continua Desde su primera visita a Japón en 1950, Deming transmitió a los ejecutivos e ingenieros japoneses que asistían a sus sesiones de consulta la importancia transcendental de la interacción constante entre I+D, diseño, fabricación y servicio postventa. Esta idea se generalizó en lo que diversos autores (Imai (1986), Ishikawa (1985)) han llamado el volante de Deming, también conocido por el ciclo PDCA (Plan, Do, Check, Action). La versión de Ishikawa del ciclo PDCA se encuentra en la figura 1.7. Este ciclo es útil para actividades tan diversas como la planificación estratégica de una empresa, o la mejora del proceso de distribución del correo interno en la misma. En el contexto que discutimos en este capítulo, se propone el ciclo PDCA como la estrategia a seguir en toda actividad de mejora constante de los estándares existentes en una organización. En primer lugar debe planificarse (Plan) la mejora. La etapa de planificación comprende, entre otras actividades: Fig. 1.7 El ciclo PDCA 20

a) definición de los objetivos a alcanzar, b) definición de medidas que permitan saber en un momento dado el nivel de cumplimiento de sus objetivos, c) definición del equipo responsable de la mejora, d) definición de los recursos o medios necesarios para alcanzar los objetivos propuestos. En segundo lugar aparece la ejecución (Do) de las tareas necesarias para implementar la mejora. En esta etapa es importante considerar la necesidad de educar y entrenar al personal responsable de la implementación de la mejora. La omisión de esta actividad suele hacer fracasar una buena parte de los proyectos de mejora. Evidentemente la fase de ejecución requiere la puesta en práctica de las modificaciones del producto o del proceso que han sido consideradas como oportunas y efectivas por el equipo de trabajo. En tercer lugar tenemos la etapa de evaluación (Check). Esta fase es de enorme importancia. Se trata de verificar los resultados de la implementación de la mejora comparándolos con los objetivos iniciales. Es importante aclarar en este punto que, en general, no es suficiente evaluar los resultados finales. En efecto, si fuese cierto algo del tipo: “Si se aplica la solución Y debería obtenerse el resultado X”, no se trataría de verificar si se ha obtenido X sino también si se ha aplicado la solución Y. Finalmente, en cuarto lugar, tenemos la etapa de actuación (Action). De la etapa de verificación debe desprenderse la necesidad de actuar sobre el proceso para corregir los aspectos que hayan merecido una evaluación negativa. La actuación puede implicar y mejorar el propio plan, por ejemplo, fijando nuevos objetivos, o mejorando el proceso de educación del personal, o modificando la asignación de recursos para el proyecto de mejora, etc. Una vez completado el ciclo es importante seguir dando vueltas al volante PDCA, repitiendo las cuatro etapas en un nuevo proceso de mejora. Sólo mediante esta perseverancia puede una empresa mejorar realmente todos los procesos y, en consecuencia, la calidad de sus productos y servicios.

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EL ENTORNO DE LA CALIDAD TOTAL

1.3 Conceptos básicos de gestión de la calidad total Este libro no cuenta entre sus objetivos entrar en el detalle de las diferentes teorías existentes sobre la gestión de la calidad total, que se encuentran desarrolladas en las obras de Deming (1982), Juran & Gryna (1980) e Ishikawa (1985), entre otros muchos autores. De todas maneras, lo que tienen en común las teorías de estos pensadores de la calidad total es que ésta se asienta sobre tres pilares: cultura de la calidad, sistemas y recursos humanos, y utilización de la estadística. Si en una organización falla alguno de estos tres pilares, será difícil, por no decir imposible, introducir la gestión de la calidad total. En la figura 1.8 se resume lo que el consultor norteamericano Brian Joiner llama la teoría Q. La cultura de la empresa respecto a la calidad es un pilar esencial. Hoy en día es difícil encontrar directivos en las organizaciones que no digan que para ellos, la calidad es lo más importante. Pero por desgracia, los hechos no siempre concuerdan con estas afirmaciones. Es fundamental que los propietarios o la alta dirección se involucren en la introducción de esta cultura de la calidad en sus empresas.

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CULTURA

MÉTODO CIENTÍFICO

UN SOLO EQUIPO

Fig. 1.8 La teoría Q de Brian Joiner

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Dicha cultura empieza por reconocer que la calidad viene definida por las necesidades y expectativas del cliente, y no por consideraciones internas de los departamentos de la empresa. La idea fundamental es que los productos y servicios deben cumplir siempre las especificaciones del cliente e incluso sorprender al mismo con prestaciones en las que ni tan siquiera había pensado. Es esta calidad excitante (en la denominación de Kano (1987)) la que puede captar nuevos usuarios y ampliar la cuota de mercado de la organización que sea capaz de fabricar este tipo de productos. Además, cuando se habla de cliente, hay que tener en cuenta que nos referimos, tanto al cliente externo o destinatario final de los productos y servicios, como al cliente interno. En este sentido es importante tener presente que toda unidad operativa dentro de la empresa se caracteriza por tener proveedores (el proceso anterior), tener clientes (el siguiente proceso) y realizar las operaciones propias de la unidad. Todo proceso debe, pues, intentar satisfacer las expectativas del proceso que le sigue (cliente interno) y, por descontado, intentar no crearle problemas o inconveniencias. Otra idea básica en el aspecto cultural de las organizaciones es que la calidad se mejora únicamente mejorando todos los procesos de la organización. La mejora constante de la calidad es responsabilidad de todo el personal. De hecho podría decirse que en cualquier descripción de las funciones de un puesto de trabajo debería figurar la de mejorarlo constantemente. Atendiendo al elevado porcentaje de componentes en un producto final que son comprados a proveedores externos, pero que el cliente final asociará a la empresa que sitúa el producto en el mercado, se ha impuesto la idea de que es importante asociar a los proveedores en la responsabilidad de la mejora de la calidad. Esta idea, que en la versión de Deming se debería realizar mediante colaboración entre proveedor y comprador en beneficio mutuo y en convenios a largo o medio plazo, no siempre se aplica con este enfoque y puede generar importantes tensiones entre las partes involucradas. Los distribuidores pueden aportar información pertinente sobre el comportamiento de los productos cuando están en manos del cliente y, en consecuencia, aportar a la empresa datos sobre las necesidades y expectativas del mercado que deberían ser satisfechas por los productos y servicios de la organización. Finalmente, el tercer pilar lo constituye la utilización masiva del método científico y más en concreto de la estadística. El lector habrá observado que hemos puesto en cursiva la palabra masiva. En efecto, no se trata tanto de que un porcentaje reducido del personal utilice métodos estadísticos altamente complejos sino de que en toda la organización se utilicen datos fiables para la toma de decisiones a todos los niveles. Como decía Bill Hunter, (1) si una organización desea mejorar sus niveles actuales de calidad y productividad debe actuar, es decir, tomar decisiones; (2) para tomar decisiones es necesario disponer de buena información y, (3) la estadística es la disciplina especializada en convertir datos en información. De este simple razonamiento se desprende la importancia del tercer pilar. Creemos conveniente insistir en la necesidad de la existencia de los tres pilares en toda organización que quiera situar la calidad en el centro de sus actividades, y que desee mejorar su productividad y sus costes por el único camino real, que es la mejora de la calidad. Así, por ejemplo, de poco serviría que se utilizasen gráficos de control o diseño de experimentos en una empresa donde no existiera la cultura necesaria, o se quisieran solucionar los problemas de calidad mediante la introducción de círculos de calidad sin que éstos supiesen utilizar las herramientas estadísticas básicas y sin que la alta dirección asumiera la responsabilidad en la resolución de los problemas que sólo ella pudiese abordar. Es importante insistir en esta idea dado que el presente libro se refiere exclusivamente a métodos estadísticos y el lector podría deducir, equivocadamente, que son sólo estos métodos los necesarios para mejorar la calidad de los productos y servicios de una organización.

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EL ENTORNO DE LA CALIDAD TOTAL

1.4 Métodos estadísticos en la calidad total En este libro presentamos algunos de los métodos estadísticos más utilizados para la mejora y el control de la calidad de productos y servicios. No pretendemos ser exhaustivos y quedan fuera de este trabajo algunos métodos de uso muy extendido como la regresión múltiple, la fiabilidad y los experimentos con mezclas, entre otros. En el capítulo 2 se presentan algunas herramientas básicas, conocidas como las herramientas de Ishikawa, cuyo uso sistemático y masivo en toda la organización es suficiente para resolver un porcentaje muy elevado de problemas de calidad. Uso sistemático significa entender las organizaciones como sistemas y tener en cuenta, por lo tanto, que una modificación o mejora en un cierto proceso puede influir en otros procesos de la organización. El lector deberá, pues, prestar más atención al concepto de uso sistemático y, uso por parte de todas las personas con un enfoque claro de mejora de la calidad, que en las técnicas o herramientas en sí mismas. En el capítulo 3, se estudian de manera conceptual algunas ideas básicas de la teoría de la probabilidad, tales como variable aleatoria, densidad de probabilidad y función de distribución y los modelos probabilísticos más usuales. El capítulo 4 se dedica al estudio de las distribuciones asociadas a muestras aleatorias simples de poblaciones normales, que constituyen la base teórica necesaria para el desarrollo del resto del libro. En el capítulo 5 se presentan los métodos basados en la t-Student para comparar dos poblaciones. En la práctica es frecuente que un mismo producto sea fabricado en dos o más procesos idénticos que funcionan en paralelo. Antes de mezclar las producciones de dos máquinas, deberíamos asegurarnos de que, efectivamente, están trabajando con la misma media y desviación tipo. Esta comprobación puede hacerse mediante pruebas de significación basadas en la t-Student para diseños totalmente aleatorizados. Otro tipo de problemas que se resuelven con los métodos de la t-Student para diseños en bloques aleatorizados son, por ejemplo, comparar una población de individuos antes y después de haber sido sometida a un tratamiento, como podría ser un plan de formación. En el capítulo 6 se generalizan los métodos estudiados en el capítulo 5, al caso de comparar más de dos poblaciones. Dicha comparación se realiza mediante técnicas de análisis de la varianza que se presentan para el caso de diseños totalmente aleatorizados y para diseños en bloques aleatorizados. Los capítulos 7 y 8 están dedicados a la presentación de los conceptos y métodos para el diseño de experimentos con factores a dos niveles. Se estudian tanto los diseños factoriales como los factoriales fraccionales con o sin bloqueo. El capítulo 9 extiende los conceptos de los dos capítulos anteriores al estudio de las superficies de respuesta. Las aportaciones de G. Taguchi al diseño de productos robustos y las posibles mejoras a sus métodos, son objeto de estudio en el capitulo 10. Finalmente el capítulo 11 se dedica al estudio del control estadístico de procesos.

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2 Herramientas básicas para la mejora de la calidad

Es práctica habitual en todas las empresas fijar unos objetivos en cuanto a ventas, producción, stocks, beneficios, etc., y periódicamente ir comprobando si los resultados obtenidos coinciden con las previsiones realizadas, para tomar las acciones correctoras oportunas en el caso de que las desviaciones respecto a lo previsto sean importantes. Sin embargo, las acciones en cuanto a la mejora de la calidad se toman en muchas ocasiones basándose en sensaciones, impresiones u opiniones, pero no en el análisis científico de datos objetivos. Cada vez está más extendida la idea de que los problemas de calidad deben ser atacados mediante la aplicación de métodos científicos de recogida y análisis de datos (estadística). Pero el uso de esta práctica no debe quedar restringido a un grupo reducido de “expertos en calidad” sino que todo el personal puede (¡y debe!) participar en el proceso de control y mejora de la calidad. Naturalmente, no todos deben aplicar las mismas técnicas. Por ejemplo, los planes de experimentación para la optimización de productos (que se estudian con detalle en los capítulos 7 y 8 de este libro) exigen la utilización de importantes recursos materiales y requieren un cierto nivel de especialización y conocimientos; por tanto, deben quedar en manos de los cuadros técnicos. No obstante, existen otras técnicas que sí deben ser conocidas y utilizadas por todo el personal de la empresa. Estas técnicas se conocen con el nombre de “Las siete herramientas básicas de Ishikawa”, ya que ha sido este ingeniero japonés el que más ha promocionado su uso, primero en Japón, con notable éxito, y después en el resto del mundo. Existe unanimidad entre los expertos de más prestigio en temas de calidad respecto a que estas sencillas herramientas, bien utilizadas por parte de todo el personal de la empresa, permiten solucionar en torno al 90 % de los problemas de calidad que se presentan. Conviene, por tanto, tenerlas presentes y fomentar su utilización. Las herramientas son: > Plantillas para la recogida de datos. > Histogramas. > Diagramas de Pareto. > Diagramas causa-efecto. > Diagramas bivariantes. > Estratificación. > Gráficos de control. En este capítulo se presentan con detalle las seis primeras. A los gráficos de control, por su mayor envergadura, se les dedica el capítulo 11 de este libro.

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

2.1 Plantillas para la recogida de datos No es difícil suponer que para mejorar la calidad se necesitan datos. Pero muchas veces los datos se toman de forma desordenada o mal documentada, haciendo imposible su análisis posterior. Otras veces los datos son incorrectos porque se han tomado de forma distinta a la prevista, y las conclusiones que se obtienen a partir de éstos carecen de sentido por mucho esmero que se ponga en su análisis. Por tanto, la recolección de datos debe efectuarse de manera cuidadosa y exacta, y para ello nada mejor que utilizar plantillas especialmente diseñadas para cada caso. Los objetivos que se pretenden con el uso de las plantillas son: > facilitar las tareas de recogida de la información, > evitar la posibilidad de errores o malos entendidos, > permitir el análisis rápido de los datos. Las plantillas para la recogida de datos pueden tener distintas finalidades: controlar una variable de un proceso, llevar un control de productos defectuosos, estudiar la localización de defectos en un producto, estudiar las causas que originan los defectos o realizar la revisión global de un producto. Las figuras 2.1 a 2.4 muestran algunos ejemplos. CONTROL DE SERPENTINES Identificaci\n Tipo: Lote: Hoja de ruta:

Fecha: LRnea: Operario: Total revisado:

26 Defectos: Tipo

Total

Soldadura Poro Deformado Incompleto Otros Notas e incidencias:

Fig. 2.1 Ejemplo de plantilla para el control de productos defectuosos. El conocimiento de cuáles son los defectos que se presentan más corrientemente permite dar prioridad a las acciones que se deben tomar

Fig. 2.2 Plantilla para la localización de poros en guantes de goma. Obsérvese la diferencia que supone conocer la información que aquí figura respecto a saber que “se presentan muchos poros”. (Tomado de J.M. Juran Manual de Control de Calidad)

La experiencia demuestra que en la recogida de datos conviene seguir algunas reglas, éstas son: 1. No tomar datos si después no se van a utilizar. Puede parecer obvio pero es una costumbre bastante arraigada. Los datos inútiles sólo sirven para dificultar la localización de los útiles. 2. Asegurarse de que los datos se toman de forma que se análisis sea fácil, de lo contrario es probable que no se haga nunca. Entretenerse en el diseño de la plantilla de recogida de datos es una de las actividades más rentables que pueden realizarse. 3. No pasar los datos “a limpio”. Es una pérdida de tiempo y una fuente de errores. Es necesario anotarlos de forma clara y ordenada a la primera.

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

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2.2 Histogramas En muchos casos, si los datos han sido tomados de forma correcta, las conclusiones que se pueden obtener a partir de los mismos son inmediatas. Si no es así, raramente se precisan análisis estadísticos complicados, suele bastar con una adecuada representación gráfica. La tabla de datos que figura a continuación corresponde a una muestra, tomada aleatoriamente durante 20 días, del peso en gramos de cierto embutido que puede ser elaborado por dos máquinas distintas (1 y 2), que a su vez son atendidas indistintamente por dos operarios (A y B).

28

DÍA

OPERAR.

MÁQUINA 1

MÁQUINA 2

1 2 3 4 5

A B B B A

220.3 215.8 220.4 221.5 215.7

215.5 222.0 218.7 227.0 225.3

219.1 218.9 218.6 219.5 223.0

219.2 213.6 219.6 222.5 218.0

220.3 216.9 222.9 223.1 216.0

208.0 213.4 219.7 215.3 210.9

214.4 217.7 209.4 220.4 221.4

219.2 217.7 221.6 215.6 210.9

6 7 8 9 10

A A B B A

222.7 216.0 219.4 219.8 220.2

215.1 218.8 218.3 222.6 219.5

219.6 217.9 216.7 219.1 222.4

217.3 213.0 224.1 217.7 219.9

212.1 216.9 216.2 216.2 222.9

213.0 216.0 218.4 212.2 214.3

218.0 213.5 216.6 216.9 219.1

216.5 219.2 214.9 214.9 216.7

11 12 13 14 15

B B B A A

218.0 219.3 220.0 223.9 218.1

223.9 219.6 214.1 220.6 218.8

219.6 218.8 224.3 219.5 218.4

221.9 219.9 217.4 219.6 217.9

214.9 219.0 218.0 211.8 214.6

212.6 216.7 219.5 218.2 215.7

219.4 216.4 219.5 218.3 218.0

212.3 213.5 222.3 217.4 216.4

16 17 18 19 20

B B A A A

216.9 217.9 224.2 214.1 221.1

221.6 225.7 216.2 219.7 225.0

220.6 222.2 219.9 222.4 222.7

222.6 216.1 220.4 224.5 222.2

215.6 212.5 215.8 213.7 212.5

220.4 214.6 219.9 209.7 217.5

217.3 209.7 216.5 216.9 217.4

216.2 211.3 211.9 213.1 215.7

Tabla 2.1 Datos sobre el peso (en gramos) de cierto embutido

Las especificaciones del peso son 220 ± 10 g, y últimamente se han detectado ciertos problemas a este respecto. Veamos cuál sería el diagnóstico de la situación y la propuesta de medidas a tomar a la vista de estos datos. Cuando se trata, como en este caso, de analizar la dispersión que presentan unos datos, la representación gráfica más adecuada es el histograma. Para realizar un histograma se marcan una serie de intervalos sobre un eje horizontal, y sobre cada intervalo se coloca un rectángulo de altura proporcional al número de observaciones (frecuencia absoluta) que caen dentro de dicho intervalo. Si se pretende comparar varios histogramas construidos con distinto número de datos, es preferible que las alturas de los rectángulos sean proporcionales al porcentaje de observaciones en cada intervalo o al tanto por uno (frecuencia relativa). Utilizando la frecuencia relativa en el eje de ordenadas también se facilita la comparación entre el histograma obtenido y un determinado modelo teórico representado por una función densidad de probabilidad (véase el capítulo 3). En este caso se considera que la frecuencia relativa es proporcional al área definida por cada columna. Puede interpretarse la función densidad de probabilidad como la representación del histograma cuando el número de observaciones tiende a infinito y la anchura de los rectángulos tiende a cero.

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En la figura 2.5 se han realizado dos histogramas con todos los datos (en total 160). En el histograma de la izquierda se ha colocado la frecuencia absoluta en el eje vertical y en el de la derecha la frecuencia relativa. La única diferencia es la escala vertical, pero naturalmente las conclusiones que se pueden obtener son las mismas: El proceso está descentrado y se está produciendo un cierto porcentaje de unidades fuera de tolerancias (por defecto). A partir de estos histogramas no puede obtenerse ninguna otra conclusión, pero la forma en que se han anotado los datos permite construir histogramas para las unidades producidas por cada operario y también por cada máquina.

Fig. 2.5 Histograma de los datos globales, colocando en el eje vertical la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa

Los histogramas realizados por operario no revelan nada útil, pero los realizados por máquina (figura 2.6) ponen de manifiesto el origen del problema. Mientras que la máquina 1 está centrada y produce dentro de tolerancias, la máquina 2 está descentrada, y esto es lo que produce que un cierto porcentaje esté por debajo del peso mínimo.

Fig. 2.6 Histogramas correspondientes a las unidades producidas por cada máquina

También pueden realizarse gráficos por operario y máquina, pero no revelan nada que no sepamos ya. No hay diferencias entre operarios, la diferencia está en las máquinas.

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Los histogramas que se han presentado han sido elaborados con ayuda de un paquete de software estadístico. En algunos casos, especialmente si son los operarios los que analizan los datos que ellos mismos recogen, puede ser más rápido y cómodo construir los histogramas a mano. En este caso, conviene seguir una sistemática adecuada como la siguiente: 1. Colocar los datos a representar en filas de aproximadamente 10 números. 2. Identificar y señalar el máximo y el mínimo de cada fila. 3. A partir del máximo y el mínimo de cada fila, localizar el máximo y el mínimo globales. 4. Calcular el rango (R) de los datos. R = Valor máximo - Valor mínimo 5. Optar por un número de intervalos (k), en primera aproximación, utilizando la siguiente tabla:

NÚM. DE DATOS

NÚM. DE INTERVALOS

250

5-7 6 - 10 7 - 12 10 - 20

6. Determinar la amplitud (h) de los intervalos, haciendo: h=

30

R k

y redondeando el valor obtenido a un múltiplo exacto de la precisión de los datos. 7. Fijar los límites de los intervalos. Para evitar el problema que se presenta al asignar un valor a un intervalo cuando dicho valor coincide con el extremo superior de un intervalo y el extremo inferior del otro, conviene fijar dichos extremos con una precisión igual a la mitad de la precisión de los valores. Así, si los datos se presentan con un solo decimal y los extremos de los intervalos son de la forma 2,15 - 2,35, está claro que los valores 2,2 y 2,3 deberán situarse en este intervalo, 2,4 en el intervalo siguiente, etc. 8. Rellenar la tabla de frecuencias, indicando el número de veces que aparecen datos dentro de cada uno de los intervalos definidos. 9. Construir el histograma. En la figura 2.7 se presentan varias formas de histograma que responden a patrones de comportamiento típico. El histograma 1 corresponde a la forma de campana habitual que representa la variabilidad debida a causas aleatorias. El histograma 2, con dos máximos diferenciados, responde a una distribución denominada bimodal y se presenta cuando están mezclados datos de distinto origen centrados en valores distintos. El histograma 3 se denomina, por su forma, sesgado a la derecha, y responde a la variabilidad que presentan ciertas variables que no siguen una ley normal, como los tiempos de vida. También puede representar una magnitud con un “cero natural”, como la tolerancia entre eje y cojinete. Al histograma 4 parece faltarle una parte y por ello se le llama censurado (en este caso, a la izquierda). No representa una variabilidad natural y por tanto hay que sospechar que se han eliminado algunos valores. Esto ocurre si después de la producción se realiza una inspección al 100 % para separar las unidades fuera de tolerancias. En los histogramas 5 y 6 aparecen datos que no siguen el patrón de comportamiento general (anomalías, errores, etc.). Su variabilidad puede atribuirse a alguna causa asignable que deberá ser identificada y eliminada.

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Fig. 2.7 Diversas formas típicas que pueden presentar los histogramas

2.3 Diagramas de Pareto Existen muchos aspectos de cualquier actividad industrial (y también no industrial) susceptibles de mejora. En algunos casos, la mejora es obligada, pero el problema a abordar es de tal envergadura que parece imposible de resolver. Pensemos, por ejemplo, en una línea de envasado que sufre frecuentes paradas por avería en alguno de los módulos (no siempre el mismo) de que está compuesta. Puede plantearse la necesidad de cambiar la línea entera, pero en muchas ocasiones ésta es una inversión importante que se va postergando. Supongamos que después de tomar datos durante seis meses, la información obtenida puede resumirse mediante la tabla 2.2.

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NÚM. DE PARADAS

CAUSA

MaZ. Rotura hilo Cinta Vibrador Tornillo sin fin Apelmazamiento Rotura saco Otros

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

18 15 92 1 0 2 1

Tar. 24 10 88 6 1 1 0

TIEMPO DE PARADA

E 42 25 180 7 1 3 1

MaZ. 20 12 62 2 0 4 8

Tar. 31 10 68 8 1 1 0

E 51 22 130 10 1 5 8

Tabla 2.2 Número de paradas y tiempo de parada en una línea de envasado

La información que contienen estos datos se manifiesta de forma más clara construyendo unos gráficos como los de la figura 2.8.

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Fig. 2.8 Diagramas de Pareto para el número total de paradas y el tiempo de parada total

Estos gráficos se denominan “diagramas de Pareto” y ponen de manifiesto que, cuando se analizan las causas de un problema, en general son unas pocas las responsables de su mayor parte. A estas pocas se les llama causas fundamentales, al resto, que son muchas pero ocasionan una pequeña parte del problema se les denomina causas triviales. En el caso que estamos analizando, sólo dos causas han ocasionado en torno al 80 % del problema (el 79,7 % del tiempo de parada y el 85,7 % del número de paradas). Por tanto, éstas serán las primeras causas a atacar. Todo el esfuerzo debe concentrarse en la eliminación de las causas fundamentales, ignorando en principio las triviales, que ya serán atacadas más adelante. Los diagramas de Pareto pueden aplicarse a situaciones muy distintas con el fin de establecer las prioridades de mejora, y siempre reflejan el mismo principio de “pocas fundamentales y muchas triviales”. La construcción de estos diagramas puede realizarse siguiendo los pasos que a continuación se indican:

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1. Plantear exactamente cuál es el problema que se desea investigar, qué datos serán necesarios, cómo recogerlos (no olvidar el diseño de la plantilla) y durante qué período. 2. Tabular los datos recogidos. Si se trata de analizar las reclamaciones de clientes durante un año, dicha tabulación tendrá el aspecto que se indica en la tabla 2.3.

CAUSA

TABULACIÓN

A

TOTAL

10

... ...

B C

42 6

... ...

D

104

E

4

F

20

Otras

14 200

TOTAL

Tabla 2.3 Tabulación de los datos recogidos para la relación de un diagrama de Pareto

3. Rellenar el formulario previo a la construcción del diagrama. Las causas deben ordenarse de mayor a menor importancia, situando “otras” siempre al final. Para los datos de la tabla anterior, el formulario tiene el aspecto que se indica en la tabla 2.4. 4. Iniciar la realización del diagrama dibujando los ejes. Se coloca un eje horizontal dividido en tantas partes como causas figuran en el formulario anterior, y dos ejes verticales. El eje de la izquierda se marca desde 0 hasta el total (de reclamaciones, en este caso) y el eje de la derecha, que sirve colocar los porcentajes, se marca del 0 al 100 %. 5. Construir el diagrama de barras. La altura de cada barra debe corresponder al número de observaciones correspondientes a cada causa, de acuerdo con la graduación del eje de la izquierda. 6. Construir el polígono de frecuencias acumulado y añadir toda la información relativa al gráfico para que pueda ser fácilmente interpretado. El resultado final tiene el aspecto que se presenta en la figura 2.9. NÚM. DE RECLAMACIONES

TOTAL ACUMULADO

PORCENTAJE

PORCENTAJE ACUMULADO

D B F A C E Otras

104 42 20 10 6 4

104 146 166 176 182 186 200

52 21 10 5 3 2 7

52 73 83 88 91 93 100

TOTAL

200

CAUSA

14

100

Tabla 2.4 Formulario previo a la construcción del diagrama de Pareto

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Siempre que sea posible, es conveniente utilizar unidades monetarias en el eje vertical izquierdo. Consideremos, por ejemplo, que se ha realizado una auditoría final a un lote de productos y se han detectado 200 defectos por causas indicadas en la tabla 2.5. Con esta información, y realizando el diagrama de Pareto por número de defectos, se llegaría a la conclusión de que la primera causa a atacar es la A. Sin embargo, considerando los costes que origina cada tipo de defecto, la tabla podría ser la 2.6 y, por tanto, vista la situación de esta forma, la causa que tendría un interés prioritario sería la B. Otra recomendación importante es recoger Fig. 2.9 Ejemplo de representación de un diagrama de Pareto los datos de forma que puedan ser fácilmente estratificados según su origen (turno, operario, máquina, día de la semana, tipo de materia prima, etc.). No hay que conformarse con un diagrama de Pareto global, sino estratificar según el origen de los datos, comparar los diagramas y sacar conclusiones. NÚM. DE DEFECTOS

TIPO DE CAUSA

110 45 22 6 17

A B C D Otras

34

PROPORCIÓN

PROPORCIÓN ACUMULADA

0.55 0.23 0.11 0.03 0.08

0.55 0.78 0.89 0.92 1.00

Tabla 2.5 Causas ordenadas según su frecuencia de aparición TIPO DE CAUSA

B A C D Otras

NÚM. DE DEFECTOS

45 110 22 6 17

COSTE UNITARIO

5 1 3 2 1.5

COSTE POR CAUSA

PROPORCIÓN COSTE

PROPORCIÓN ACUMULADA

0.51 0.25 0.15 0.03 0.06

0.51 0.76 0.91 0.94 1.00

225 110 66 12 22.5

Tabla 2.6 Causas ordenadas según el coste ocasionado por cada una de ellas

2.4 Diagramas causa-efecto En muchas ocasiones, cuando se presenta un problema, se confunde su resolución con la eliminación de los efectos que produce, y esta práctica suele traer consigo malas consecuencias. Ishikawa, en su libro ¿Qué es el control total de calidad?, presenta un caso de su propia experiencia. Explica que cierto dispositivo iba unido a una máquina por medio de cuatro pernos. El perno 1 se rompía con frecuencia por lo que se decidió sustituirlo por otro de mayor diámetro. A partir del cambio no se volvió a romper el perno 1, pero empezó a romperse el perno 2. Ante la nueva situación se decidió que los cuatro pernos deberían ser más grandes y se procedió al cambio. Ya no

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se volvió a romper ningún perno, pero empezaron a aparecer fracturas en la placa de hierro en la que estaba situado el dispositivo. Se cambió la placa de hierro por otra más gruesa y se anunció que el problema había quedado resuelto definitivamente. Un estudio más profundo realizado posteriormente puso de manifiesto que una vibración que llegaba al dispositivo era lo que ocasionaba los fenómenos de Fig. 2.10 Dispositivo unido a una máquina por cuatro pernos ruptura, y que si no se eliminaba acabaría rompiendo la nueva placa metálica o inutilizando el dispositivo con graves consecuencias. Lo que se había hecho era intentar evitar el efecto del problema, pero sin eliminar su causa, y si la causa permanece, el efecto vuelve a manifestarse, de forma aún todavía más perjudicial. Para solucionar un problema deben estudiarse sus causas y eliminarlas (en el caso de Ishikawa la causa era la vibración, aunque también debería haberse investigado el origen de la misma). La idea está clara, para solucionar un problema: ¡atacar las causas, no los efectos! Pero descubrir el entramado de posibles causas que hay detrás de un efecto no es fácil. Para hacerlo es conveniente seguir una determinada metodología y construir el llamado “diagrama causa-efecto”1. Una buena forma de hacerlo es siguiendo los puntos que ha continuación se describen: 1. Determinar e identificar claramente cuál es el efecto (el problema, la característica de calidad, etc.) a estudiar. 2. Reunir a las personas que puedan aportar ideas sobre el origen del problema y realizar un brainstorming de posibles causas. Existen distintas formas de organizar este tipo de reuniones, pero el objetivo básico es siempre asegurarse de que cada participante aporta todo lo que lleva dentro. Una posibilidad es establecer rondas de intervenciones en las que todos participen siguiendo un orden establecido. Cada persona deberá ir aportando posibles causas hasta que las ideas se hayan agotado totalmente. 3. Realizar una selección de las causas aportadas. Seguramente algunas de las causas que aparecen en el brainstorming son descabelladas o están repetidas. Es necesario, por tanto, realizar una selección acordada de cuáles son las causas que deben aparecer en el diagrama. 4. Construir el diagrama. Con todas las causas aportadas, una sola persona, especialista en estas tareas y con un buen conocimiento del problema estudiado, debe ser la responsable de construir el diagrama. En el diagrama las causas se presentan de forma jerarquizada y agrupadas en unos cuatro o seis grandes grupos denominados “causas primarias”, las cuales suelen ser: mano de obra, maquinaria, materiales, métodos, medio ambiente y mantenimiento (conocidas como las seis M). Cada causa primaria está integrada por varias secundarias, estas últimas por terciarias, y así sucesivamente, tal como Fig. 2.11 Disposición jerarquizada de causas en un diagrama causa-efecto se indica en la figura 2.11.

1

También “diagrama de espina de pez” o “diagrama de Ishikawa”

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En la figura 2.12 se reproduce un diagrama en el que sólo se han considerado cuatro causas primarias. No debe perderse de vista que las causas anotadas en el diagrama son causas potenciales. Por tanto, será necesario recoger datos para confirmar que las relaciones causa-efecto realmente existen. Como consecuencia de lo anterior, el diagrama causa-efecto debe ser considerado un diagrama vivo. Es decir, un Fig. 2.12 Ejemplo de diagrama causa-efecto diagrama que va cambiando a medida que se van adquiriendo nuevos conocimientos sobre el fenómeno estudiado. Algunas causas desaparecen porque se han logrado eliminar, otras porque se ha constatado que no influyen. Cuando una causa deja de ser considerada, debe tacharse, más que borrarse, para dejar constancia de que ya se ha estudiado. También pueden aparecer nuevas causas potenciales que en un primer momento no se habían considerado.

2.5 Diagramas bivariantes

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Una forma de comprobar si existe relación entre una característica de calidad y un factor que puede afectarle es la construcción de diagramas bivariantes. El profesor Hajime Karatsu, en su libro CTC. La sabiduría japonesa, explica un interesante caso en el que la utilización de este tipo de diagramas permitió resolver un importante problema. Dice así: “El sintonizador suele ser lo primero que se estropea en un televisor. Actualmente los botones electrónicos son algo corriente, pero en el pasado todos los selectores de canal tenían que girarse manualmente y podían funcionar mal si el sintonizador tenía un contacto pobre. El sintonizador es el punto en que las ondas magnéticas se captan por primera vez. Los sintonizadores estandarizados se producían en masa y se empleaban en distintos modelos de televisor. Hace algún tiempo, un experto en control de calidad investigó el nivel de mal funcionamiento de los sintonizadores. Descubrió que, aunque se utilizaban sintonizadores idénticos, la proporción de mal funcionamiento era muy distinta de un modelo de televisor a otro. Se dio cuenta de que el problema debería estar relacionado con alguna cosa que no fuera el propio sintonizador; no obstante, seguía teniendo el problema de descubrir el verdadero factor entre varias alternativas posibles. La gente utiliza sus televisores de distinta manera; algunos los colocan en rincones polvorientos, otros los tienen en el salón, más o menos como un objeto decorativo. La frecuencia de uso y la fuente de electricidad también pueden ser distintas. En consecuencia, la avería de un televisor podía estar causada por el entorno o por un simple error en el proceso de fabricación. Los datos reunidos en cientos y cientos de televisores revelaron, sin embargo, que los sintonizadores se estropeaban en función del tipo de televisor en que habían sido instalados. El experto en control de calidad analizó los datos desde distintos ángulos y descompuso en factores cada una de las condiciones concebibles y su relación con la proporción de averías: ¿Estaba relacionada con el tamaño de la caja, o con un aumento de la temperatura? ¿Se trataba de la longitud del eje del sintonizador o de la diferencia en unidades de corriente eléctrica? Durante bastante tiempo, parecía que no había ninguna correlación entre ninguno de los factores, pero al final surgió la causa.

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La correlación residía en la distancia entre el sintonizador y el altavoz. Cuanto más cerca estaba el sintonizador del altavoz, con más frecuencia se averiaba; cuanto más lejos, menor era la proporción de mal funcionamiento. Una vez establecida esta correlación, los fabricantes empezaron a colocar los altavoces tan lejos de los sintonizadores como permitían los cajas, y el resultado fue que las quejas de los consumidores se redujeron drásticamente”. Fig. 2.13 Diagrama de correlación entre la proporción (figura 2.13) de averías y la distancia altavoz-sintonizador, obtenida La construcción de un diagrama a partir de los datos de un gran conjunto de televisores bivariante puede realizarse de la siguiente forma: 1. Reunir pares de datos de las variables cuya relación se desea investigar. Con OBS. TEMP. REND. OBS. TEMP. REND. menos de 30 pares es difícil sacar conclusiones. En torno a 50 suele ser 94.0 160 26 94.6 162 1 91.3 110 27 93.0 154 2 suficiente. 92.5 138 28 93.9 148 3 2. Trazar los ejes. Decidir las escalas de 92.0 140 29 92.7 116 4 forma que ambos ejes tengan aproxi92.2 150 30 92.8 152 5 madamente la misma longitud. 92.0 134 31 92.5 136 6 93.5 162 32 93.5 158 7 Marcar los ejes con valores fáciles de 95.2 180 33 91.5 126 8 leer. 92.1 142 34 93.8 140 9 Si una variable es una característica de 92.4 152 35 93.6 160 10 92.9 170 36 92.6 160 11 calidad y la otra un factor (de diseño o 91.5 150 37 94.1 160 12 de producción), se sitúa la primera en el 93.0 160 38 92.9 144 13 eje vertical. 91.0 104 39 91.0 120 14 3. Situar los puntos en el gráfico. Si dos o 92.5 130 40 92.0 126 15 93.1 160 41 92.4 134 16 más puntos coinciden, se señala mar93.0 138 42 93.4 164 17 cando círculos concéntricos. 93.4 152 43 93.6 162 18 4. Incorporar toda la información perti93.4 130 44 92.3 132 19 92.0 110 45 91.1 130 20 nente que ayude a interpretar el gráfico 92.5 120 46 93.0 170 21 (título del diagrama, número de pares 92.3 110 47 91.4 148 22 de datos, título y unidades de cada eje, 92.8 152 48 93.0 144 23 identificación del autor, etc.). 92.0 172 49 91.6 112 24 92.6 126 50 92.0 126 25 Los datos de la tabla 2.7 indican la temperatura a que se ha realizado cierta reacción química y el rendimiento que se ha obtenido en Tabla 2.7 Datos correspondientes a las temperaturas de la misma. A partir de esta tabla se obtiene el realización y el rendimiento obtenido en 50 reacciones químicas gráfico de la figura 2.14. Los diagramas bivariantes pueden presentar distintos aspectos según el tipo de relación que exista entre las variables. En la figura 2.15 se han representado los diversos tipos de diagramas que pueden aparecer. En algunas ocasiones no está claro si existe o no correlación. Para estos casos, Ishikawa propone la realización del llamado “test de correlación de las medianas”. Para ello se sigue el siguiente procedimiento:

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Fig. 2.14 Diagrama bivariante elaborado a partir de los datos de la tabla 2.7

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Fig. 2.15 Distintos aspectos que puede presentar un diagrama bivariante

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π

HERRAMIENTAS BÁSICAS PARA LA MEJORA DE LA CALIDAD

1. Determinar las medianas de las x (variable colocada en el eje horizontal) y de las y (variable colocada en el eje vertical). 2. Trazar ambas medianas en el diagrama bivariante. De esta forma, el diagrama queda dividido en cuatro cuadrantes, que son notados como I, II, III y IV, a partir del extremo superior derecho y en sentido contrario a las agujas del reloj. 3. Contar los puntos que quedan en cada cuadrante excluyendo los que están situados sobre las medianas. Determinar la suma de puntos en los dos cuadrantes opuestos (I y III o II y IV) que presenten la suma menor. Este número se denomina “valor de prueba”. 4. Comparar el valor de prueba en la tabla 2.8. Si el valor de prueba obtenido es igual o inferior a la cantidad límite que se da en la tabla, puede decirse que existe correlación con una probabilidad de error igual o menor al 5 %. La justificación teórica de las cantidades límite de la tabla requiere el uso del modelo binomial que se estudia en el capítulo 4.

NÚM. DE PUNTOS

LÍMITE DEL VALOR DE PRUEBA

NÚM. DE PUNTOS

LÍMITE DEL VALOR DE PRUEBA

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9 9 9 10 10 11 12 12 12 13 13 14 14 15 15 15 16 16 17 17 18 18 18 19 19

56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

20 20 21 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 25 26 26 27 27 28 28 28 29 29 30 30 31 31 32 32 32 33 33 34 34 35

Tabla 2.8 Límites del valor de prueba para el test de correlación de Ishikawa

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39

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

CUADRANTE

I II III IV

PUNTOS

π

En el diagrama temperatura-rendimiento (figura 2.16), los puntos que se obtienen en cada cuadrante son:

18 5 18 5

Por tanto, en este caso el valor de prueba será 10 (número de puntos en los cuadrantes II+IV). El número de puntos a considerar es de 46, ya que del total se restan los que caen sobre las medianas (cuatro en este caso). El valor límite que da la tabla para N=46 es 15, y como 10 Normalidad de las dos poblaciones. En realidad lo que se supone es la normalidad de yB-yA, aunque, como en el caso de los diseños totalmente aleatorizados, ésta es una hipótesis poco crítica, ya que siempre se podrá suponer que la diferencia media sigue una distribución normal.

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93

π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

>

Independencia de las diferencias. O lo que es lo mismo, las diferencias son una muestra aleatoria simple de la población de diferencias. Si se ha aleatorizado correctamente y la recogida de datos se ha llevado a cabo con la meticulosidad requerida, en general se podrá suponer el cumplimiento de esta hipótesis. El obligado análisis exploratorio de los datos servirá también para poner de manifiesto que no existen pruebas de incumplimiento de la hipótesis anterior. Además del gráfico del tipo que se visto en la figura 5.4, puede realizarse, por ejemplo, un gráfico de las diferencias en función del orden de obtención de los datos. En el caso de las lentes, tendrá el aspecto que se indica en la figura 5.6, que pone de manifiesto un patrón de comportamiento aleatorio en torno a su valor medio, tal como era de esperar. Una vez se tienen los datos, los cálculos que se Diferencia deben desarrollar son los siguientes: B-A 1. Calcular las diferencias dentro de cada bloque, y 1.2 también la media ( d ) y la desviación tipo (sd) de 0.8 dichas diferencias. 2. Calcular el valor del estadístico de prueba. 0.4 0.0

t

-0.4

=

d sd n

-0.8

3. Comparar el valor del estadístico de prueba con su distribución de referencia, que será una t de Student Individuo con n-1 grados de libertad. Determinar la probabilidad de que en dicha distribución se presente un valor igual Fig. 5.6 Diagrama que representa la diferencia de desgaste para cada individuo que el obtenido o superior. Esta probabilidad será el nivel de significación de la prueba. Si el nivel de significación es bajo se rechazará la hipótesis de igualdad de medias y diremos que la diferencia observada entre un tratamiento y otro es estadísticamente significativa. -1.2

94

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5.5 Aleatorización y bloqueo: recapitulación En una prueba para la comparación de dos tratamientos, puede considerarse que en los datos obtenidos influyen cuatro tipos de factores: i) El factor cuyo efecto se desea estudiar (el tipo de recubrimiento superficial en el caso que hemos visto anteriormente). ii) Factores identificados que pueden influir en la respuesta, pero que es posible mantener constantes para los dos tratamientos (como podría ser el tipo de montura, que quizá influya en el desgaste de lente, pero cuyo efecto se podría neutralizar utilizando siempre monturas del mismo tipo). iii) Factores identificados que pueden influir en la respuesta y que resulta imposible mantener constantes para los dos tratamientos (como el trato que se da a las gafas y el desgaste que sufren). iv) Otros factores, no identificados, que también pueden tener influencia en los resultados obtenidos (quizá el orden en que se efectúan las mediciones por la existencia de pequeñas derivas en el aparato de medida, tal como se ha comentado anteriormente).

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π

COMPARACIÓN DE DOS TRATAMIENTOS

Obviamente, el factor estudiado debe afectar de forma distinta a cada tratamiento (en el caso de afectar igual sería imposible detectar su posible efecto). ¿Qué hacer con los factores identificados del tipo ii? No nos interesará que afecten de forma distinta a cada tratamiento, por tanto, deberán mantenerse exactamente igual tanto en un tratamiento como en el otro. Pero, ¿y si no es posible mantenerlos constantes? (caso de los factores tipo iii). En este caso será necesario bloquear, es decir, analizar las diferencias dentro de bloques homogéneos en los que estos factores afecten por igual. En general, a medida que transcurre el tiempo, y cuanto mayor es el período en el que se procede a la recogida de los datos, mayor es la probabilidad de que aparezcan variabilidades no deseadas (los lunes se trabaja de forma distinta a los viernes, la humedad o la temperatura varían con el tiempo, etc.). En estos casos, suele ser una buena idea utilizar períodos de tiempo como bloques. Así, en el caso de que se comparen dos métodos de trabajo a partir de un dato por turno, pero se sospeche que el turno de la mañana puede dar un nivel de respuesta distinto del de la tarde, la mejor forma de diseñar la recogida de datos sería la que se indica en la figura 5.7.

Fig 5.7 Diseño bloqueado por días debido a la diferencia entre turnos

Dentro de cada día (bloque) conviene aleatorizar para protegernos de la influencia de posibles factores del tipo iv (factores no identificados). Si éstos existen, al aleatorizar cabe esperar que su efecto se difumine entre los dos tratamientos y no altere las conclusiones del análisis. La consigna en el diseño de la recogida de datos podría ser “Bloquear lo que se pueda y aleatorizar el resto”. Bloquear neutraliza la influencia de fuentes de variación conocidas, pero no deseadas. Aleatorizar protege del efecto de posibles factores con cierta influencia, pero no identificados. Volvamos, para terminar este apartado, al caso del curtido de pieles. Si se aprecia que las porciones de cuero no son idénticas (lo cual es bastante posible) un diseño mejor que el propuesto consistiría en tomar sólo 10 retales, dividirlos por la mitad, aplicar a un trozo el tratamiento A y al otro el B. Aleatoriamente, por supuesto.

5.6 Contraste de hipótesis. Formalización y limitaciones El procedimiento seguido en el análisis de los datos para la comparación de medias puede resumirse en las siguientes etapas: 1. Formular las hipótesis nula (H0) y alternativa (H1). 2. A partir de los datos disponibles se calcula un valor relevante (estadístico de prueba) mediante una determinada expresión. Si no existe diferencia de medias, el valor obtenido pertenece a una determinada distribución de probabilidad denominada “distribución de referencia”. 3. Se compara el estadístico de prueba con su distribución de referencia, determinando la probabilidad (nivel de significación) de que un valor como el observado (o mayor) sea debido al azar en el caso de que la hipótesis nula sea cierta.

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95

π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

4. Si el nivel de significación es pequeño se rechaza la hipótesis de igualdad de medias y se dice que la diferencia obtenida es “estadísticamente significativa”. Este esquema de razonamiento, muy usado en estadística, recibe el nombre de contraste de hipótesis, ya que lo que hace es suponer que se cumple una determinada hipótesis (H0) y contrastar si los datos de que se dispone son o no coherentes con ésta. Normalmente, la hipótesis nula es del tipo de las que se han planteado en los caso anteriores, es decir: H0: µA = µB La hipótesis alternativa puede ser de la forma: H1 : µ A > µ B

o

H1 : µ A < µ B

o

H1 : µ A ≠ µ B

Los dos primeros planteamientos son, en esencia, el mismo (si no son iguales, una media es mayor que la otra), pero el tercero refleja una mayor desinformación sobre el fenómeno que se estudia, lo cual se traduce en una distinta medida del nivel de significación. La tabla 5.2 indica el enfoque que se da al análisis de los datos en función del resultado obtenido y de cuál sea la hipótesis alternativa planteada. Nótese que si la hipótesis alternativa es del tipo µA ≠ µ B se esperan diferencias de medias tanto positivas como negativas. De hecho, en este caso, dada una diferencia, se considera igualmente probable la diferencia en sentido contrario y, por tanto, el nivel de significación (área de cola) se multiplica por 2 en este caso. PLANTEAMIENTO DEL CONTRASTE

96

RESULTADO OBTENIDO

y A < yB

y A > yB

y A = yB

H0: :A=:B H1: :A:B

Resultado esperado. Se tratará de analizar, mediante el procedimiento adecuado, si la diferencia obtenida es estadísticamente significativa o no.

No hace falta que realicemos ningún cálculo. Con el resultado obtenido es obvio que no podemos rechazar H0 para quedarnos con H1.

No hace falta que realicemos ningún cµB). También puede plantearse en función del enfoque que se dé al problema. Si tenemos un proveedor habitual (A), del que estamos básicamente satisfechos, y se plantea la posibilidad de cambiar a otro (B), que podría ser mejor, la hipótesis alternativa debería ser del tipo µA H0 = Modelo esperado: y = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β12 x1 x 2 + β11 x12 + β 22 x 22 + ε > H1 = Modelo “temido”2: o en forma matricial Y = X β +ε > H0 = Modelo esperado: Y = X β +Zγ +ε > H1 = Modelo “temido”: (9.8) donde Z corresponde a la matriz de términos cuadráticos y γ al vector de sus coeficientes. El test que se debe utilizar para tomar una decisión en (9.8) está relacionado con las consecuencias que se derivan de aceptar como mejor aproximación la que da un modelo lineal (H0), cuando en realidad la mejor es la de un modelo cuadrático (H1). En efecto, si se estiman los parámetros del modelo como en (9.5), suponiendo que H0 es cierta, cuando en realidad lo es H1 se obtiene

[

E [ b] = E ( X ' X ) 208

es decir,

−1

]

X 'Y = ( X ' X )

−1

X ' E[Y ] = ( X ' X ) E [b]

=

X '( X β + Z γ ) = β + ( X ' X )

−1

β + Aγ

E [ b1 ] = β 1 ;

(

X'Zγ

(9.9) (9.10)

con A = (X’X)-1X’Z denominada matriz de alias o de confusiones. Esta confusión en las estimaciones para el caso de las tapas de aluminio es 2 E b0 = β 0 + β + β 22 3 11

[ ]

−1

)

E [ b2 ] = β 2

(9.11)

Por lo tanto, en caso de que b11+b22 fuese significativo, al aproximar la superficie mediante modelos lineales se comete un error en la estimación de la constante del modelo. Los diseños de primer orden no pueden estimar por separado β11 y β22, pero sí su efecto conjunto, β11+β22. La estimación de tal efecto por mínimos cuadrados es equivalente a comparar los promedios de la porosidad en el centro de la superficie con el promedio en las esquinas del cubo, tal como lo muestra la figura 9.6. Luego el test de hipótesis planteado en (9.8) sobre la necesidad de modelos de segundo orden es equivalente al test de hipótesis:  H 0 : Ycubo − Ycentro   H1 : Ycubo − Ycentro 2

= 0  ≠ 0 

(9.12)

The Feared Model tal como lo denomina el profesor N. Draper, autor, junto con G. Box, del libro Empirical Model-Building and Response Surfaces.

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π

INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

sobre la existencia de curvatura, que puede comprobarse comparando el valor del estadístico Ycubo − Ycentro

(9.13)

s / ncubo + s 2 / ncentro 2

con el valor de la t de Student con ν grados de libertad, siendo ν los grados de libertad con los que se ha estimado σ,. a partir de s. En el ejemplo de las tapas, al aplicar la ecuación 9.12 se obtiene 6.14 − 6.025 0.012 / 4 + 0.012 / 2

= 1.21

con s2=0.012 estimada con 3 grados de libertad. Por lo tanto, al obtener un valor no significativo, no encontramos evidencia de curvatura. En consecuencia, no se puede rechazar Ho en (9.8), y concluimos que el modelo lineal realiza una aproximación suficientemente buena de la respuesta de interés. En consecuencia, se intuye que se está lejos de la región óptima y, por lo tanto, la siguiente estrategia será la de en alejarse lo más rápidamente posible en la dirección de máximo decrecimiento (se desea obtener llantas con mínimo índice de porosidad) hacia las condiciones óptimas de experimentación, y allí volver a plantear un diseño de primer orden con puntos centrales, o directamente uno de segundo si existe alguna evidencia de curvatura.

(9.14)

Fig. 9.6 Figura que representa la diferencia entre la respuesta en el centro y en las esquinas del cubo en una superficie que presenta curvatura

9.5 Aproximación por el camino de máxima pendiente En este momento del experimento, la estrategia que se debe adoptar es la de experimentar a lo largo de la dirección de máximo decrecimiento hasta que la porosidad deje de disminuir. Tal hecho indicará que, o bien se ha cruzado la zona óptima, o bien hay que rectificar la dirección de máximo decrecimiento. Siguiendo con el ejemplo de las tapas de aluminio, a partir del modelo Y = 6.10 - 0.29 T + 0.33 P

(9.14)

obtenido de (9.7), se puede obtener la dirección de máximo crecimiento de la respuesta a través de la dirección del gradiente, la cual se obtiene derivando respecto a cada factor, ∂Y = − 0.29 ∂T ∂Y = 0.33 ∂P

(9.15)

y, por lo tanto, la dirección de máximo decrecimiento será la opuesta, d=[0.29, -0.33]

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(9.16)

209

π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

la cual marca una dirección orientativa sobre la dirección a seguir en los nuevos experimentos. Si se desea experimentar en puntos a distancias de una unidad, similar a la distancia entre las condiciones experimentales anteriores, se puede utilizar el vector unidad como vector orientativo. u

=

0.33   0.295  0.44 , − 0.44   

[0.67 , − 0.75]

=

(9.17)

El número de experimentos que deben realizarse y la cercanía de éstos (º C) (Kg/cm2) POROSIDAD depende en todo momento del cono1 3 u = (2.01, -2.25) 670 920 4.53 cimiento que tenga el experimentador 2 5u = (3.35, -3.75) 685 880 3.28 sobre el proceso. En el ejemplo de las 3 7u = (4.69, -5.25) 700 845 2.54 tapas se han realizado cuatro 4 9u = (6.03, -6.85) 710 805 4.15 experimentos más, cada uno a dos unidades de distancia del anterior, tal como lo muestra la tabla 9.3. Tabla 9.3 Experimentos adicionales en la dirección de máximo decrecimiento Cabe notar que, para obtener los valores originales de la temperatura y la presión, basta con descodificar las unidades de la tabla 9.3 utilizando las expresiones: T − 650 P − 975 x1 = x2 = 10 25 (9.18) POSICIÓN

210

TEMPERATURA

PRESIÓN

T = 650 + 10 x1

ÍNDICE DE

P

=

975 + 25 x 2

donde x1 y x2 son los valores de la temperatura y la presión en unidades codificadas. La dirección de máximo decrecimiento se ha de tomar como un camino orientativo, pero los experimentos no tienen porqué coincidir exactamente con tal dirección. En el ejemplo de las tapas, los valores en unidades originales resultantes de descodificar las cuatro posiciones se han adaptado a la operabilidad del proceso. Como se puede observar, la porosidad ha ido disminuyendo excepto en el experimento 4, donde ha vuelto a aumentar significativamente. Ello induce a pensar que se ha “atravesado” la superficie y que por lo tanto, no es recomendable proseguir experimentando por este camino, aunque exista incertidumbre sobre la zona por donde se ha atravesado. Si ésta es la zona óptima, la superficie ha de mostrar una curvatura tal, que será necesario utilizar modelos de segundo orden para aproximarla. En cambio, si no es así, pudiera ser que la aproximación por modelos de primer orden fuese todavía lo suficientemente buena como para continuar por este camino. En tal situación, se seguiría experimentando posteriormente a lo largo de una dirección del steepest descent rectificada. En cualquier caso, la MSR permite experimentar secuencialmente utilizando un diseño de primer orden para estimar el “modelo plano”, pudiendo añadir en un segundo bloque uno de segundo orden, si se llega a la conclusión de que el modelo lineal no se ajusta suficientemente bien a la respuesta. En el ejemplo de las tapas, seleccionando el experimento 3 de la tabla 9.3 como el centro de la nueva región de experimentación, se ha decidido utilizar un diseño de primer orden y se han obtenido los resultados que aparecen en la tabla 9.4. El experimento señalado con una flecha es el experimento 3 de la etapa anterior; se ha considerado conveniente incluirlo para una mejor estimación de la respuesta.

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π

INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

Con las réplicas de este experimento se puede obtener una estimación del error experimental con dos grados de libertad. Asimismo, se puede obtener otra estimación del error con un grado de libertad con las réplicas del primer experimento, que se encuentran en la tabla 9.2. Ponderando estas dos TEMPERATURA PRESIÓN ÍNDICE DE estimaciones se obtiene una estimación de σ2 con tres (ºC) (kg/cm2) POROSIDAD grados de libertad de s2 = 0.0318. Esta estimación, obtenida -1 (690) -1 (820) 2.20 a través de réplicas, se denomina “error puro”. +1 (710) -1 (820) 3.71 A continuación se trata de repetir los pasos del -1 (690) +1 (870) 2.86 apartado 9.4 para confirmar si el modelo lineal realiza una +1 (710) +1 (870) 3.49 aproximación suficientemente buena a la superficie o si, por 0 (700) 0 (845) 2.53 el contrario, existen indicios de curvatura. Aplicando el test 0 (700) 0 (845) 2.30 de curvatura de (9.13) para los datos en la tabla 9.4 se obtiene: 0 (700) 0 (845) 2.54 7 Ycubo − Ycentro s / ncubo + s / ncentro 2

2

=

3.06 − 2.46 . 014 1/ 4 + 1/ 3

(9.19)

Tabla 9.4 Resultados del experimento 3 en el ejemplo de las llantas de aluminio.

que es un valor estadísticamente significativo en la t de Student con tres grados de libertad. Por lo tanto, en el test planteado en (9.8) se rechaza la hipótesis nula y se acepta que el modelo de segundo orden: y = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β12 x1 x 2 + β11 x12 + β 22 x 22 + ε (9.20) se aproxima mejor a la respuesta. Así pues, ahora es el momento de comenzar a utilizar las estrategias de segundo orden, que están esquemáticamente representadas en la figura 9.7.

Fig. 9.7 Estrategias de segundo orden

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211

π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

9.6 Aproximación cuadrática. Diseños centrales compuestos En estos momentos de la experimentación se ha de añadir un segundo diseño al realizado anteriormente en la tabla 9.4 si se quiere estimar un modelo cuadrático con la precisión suficiente. El hecho de realizar la experimentación en dos tiempos puede provocar un efecto bloque (ver el apartado 7.8 del capítulo 7 sobre efectos bloque si se quiere ampliar el tema), que puede afectar a la estimación de los efectos si las condiciones experimentales del segundo diseño no se han seleccionado adecuadamente. Para que esto no ocurra, es decir, para que la estimación de los factores sea independiente del hecho de haber experimentado en dos bloques, el efecto bloque ha de ser ortogonal a efectos de las demás variables. Si además se desea que las estimaciones de los factores sean independientes entre sí, los dos diseños han de ser ortogonales en sus factores y ortogonales con los bloques. El primer diseño,

X

212

1 −1 −1 1 1 −1   1 −1 1    = 1 1 1  1 0 0   1 0 0 1 0 0  

ya cumple la condición de ortogonalidad, basta con multiplicar las columnas del diseño entre sí y observar que todos los productos se anulan. El segundo diseño, denominado diseño estrella, contiene los experimentos dispuestos de la siguiente forma

X

1 −α 1 α  1 0  = 1 0 1 0  1 0 1 K 

0 0  −α   α 0  0 K 

donde α y el número de puntos centrales n0e se han de determinar según los criterios que se explican a continuación. El resultado de añadir un diseño factorial y un diseño estrella se conoce como diseño central compuesto o central composite design. La forma de tal diseño para tres factores se puede ver en la figura 9.4. La selección de α y n0e está basada en dos criterios: el criterio de ortogonalidad mencionado anteriormente y el criterio de rotabilidad. Se dice que un diseño es rotable si la precisión en la estimación de la superficie es igual para todos los puntos equidistantes del centro del diseño,

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π

INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

independientemente de la dirección en que se encuentren; es decir, se puede girar la superficie sobre su centro y la precisión en la estimación es la misma. La rotabilidad en diseños centrales compuestos sólo depende del valor de α y del número de experimentos que se haya realizado en el cubo sin contar los puntos centrales, Nc, a través de la fórmula,

α

=

4

(9.23)

Nc

La condición de ortogonalidad en cambio, implica que las estimaciones de los parámetros en el modelo (9.20) son independientes entre sí e independientes a su vez del efecto bloque. Para que esto ocurra se han de cumplir dos condiciones: 1. Cada bloque debe contener un diseño ortogonal. 2. La fracción del total de la suma de cuadrados de cada variable xi en cada bloque debe ser igual a la fracción del número total de observaciones distribuidas en cada bloque. Es decir, para cada variable i y sobre cada bloque b se ha de cumplir: nb

∑ xbij2 j =1 N

∑x j =1

=

2 bij

nb N

(9.24)

i = Indicador de la variable i. j = Indicador de la observación j de la variable i en el bloque b. nb = Número de observaciones en el bloque b. N = Número total de observaciones. Llamando n0c y n0e al número de puntos centrales en el cubo y en el diseño estrella respectivamente, y k al número de factores en el diseño, al aplicar la condición de ortogonalidad (9.24) al caso particular de los diseños compuestos centrales se obtiene la fórmula simplificada siguiente

α

=

N c ( 2k + noe ) 2 ( N c + noc )

(9.25)

donde Nc el número de puntos en el primer diseño exceptuando los puntos en el centro. (Nc será de la forma 2k o 2k-p.) La tabla 9.5 muestra algunos diseños compuestos centrales con los correspondientes valores de α si se quiere obtener ortogonalidad y rotabilidad. Como se puede observar, algunas veces no se pueden conseguir los dos criterios exactamente. Volviendo al ejemplo de las tapas de aluminio, si se desea añadir un nuevo diseño ortogonal al presentado en la tabla (9.4) y tal que el conjunto sea rotable, basta con sustituir los valores de las constantes: k=2, Nc=4 y n0c=3 en las expresiones (9.23) y (9.25), y se obtiene:

α =

4 ( 4 + noe ) 2 ( 4 + 3)

y

α =

4

4 =

2

(9.26)

para la condición de ortogonalidad y rotabilidad respectivamente. Por lo tanto, si se han de cumplir las dos condiciones, el número de puntos centrales que ha de contener el diseño estrella será de noe =3.

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213

π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

k

2

3

4

5

5(1/2)

6

Fracción del cubo

1

1

1

1

½

½

Nc

4

8

16

32

16

32

Bloques en cubo

-

2x4

2x8

4x8

-

2 x 16

Ne=2 k

4

6

8

10

10

12

nco por bloque

3

2x2

2x2

2x4

6

4x2

nso

3

2

2

4

1

2

N total

14

20

30

54

33

54

α (ortogonalidad)

1.4142

1.6330

2.000

2.3664

2.000

2.3664

α (rotabilidad)

1.4142

1.6818

2.000

2.3784

2.000

2.3784

Generadores de bloque

-

B=123

B=1234

B1=123 B2=2345

-

B=123

Generadores del diseño fraccional

-

-

-

-

5=1234

6=12345

Tabla 9.5 Algunos diseños centrales compuestos

α =

214

4 ( 4 + noe ) 2 ( 4 + 3)

=

2

⇒

noe = 3

(9.27)

La matriz del diseño estrella resultante, junto con los resultados de la experimentación, se puede encontrar en la tabla 9.6. Además, en la figura 9.8 se puede 3.02 localizar el conjunto de los experimentos realizados 4.40 hasta el momento y desde el comienzo con las dife3.90 rentes estrategias utilizadas. 3.76 Con los datos de los dos diseños en las tablas 3.20 9.4 y 9.6 se puede estimar un modelo de segundo 3.28 orden por mínimos cuadrados, resolviendo la 3.17 ecuación (9.5) para el modelo en (9.20). Si además Tabla 9.6 Diseño estrella y resultados en el ejemplo de se añade una variable con signos -1 y 1, se logrará las tapas de aluminio con los puntos en la estrella a una estimar el efecto bloque como diferencia entre los distancia de 1.41 promedios de los dos bloques dependiendo de si los experimentos vienen del primer La ecuación de regresión es diseño o del segundo. Porosidad = 2.84+0.36 B + 0.51T + 0.26 T2 + 0.32 P2 - 0.22 T·P El resultado del análisis por regrePredictor Coef. Stdev. t-ratio p-valor sión se encuentra en la tabla 9.7. El modelo 0.000 59.65 0.048 2.84 Constante así obtenido explica un porcentaje elevado 0.000 11.70 0.031 0.36 Bloque de la variabilidad en el índice de porosidad 0.000 12.42 0.041 0.51 Temperatura en función de los dos factores estudiados: 0.000 6.07 0.043 0.26 (Temperatura)2 0.000 7.47 0.043 0.32 (Presión) presión y temperatura. 0.005 -3.78 0.058 -0.22 Temp. · Presión Se observa que existe un efecto bloque estadísticamente significativo, es s = 0.1165 (8 g. l.) R-Sq = 98.0 % R-Sq(adj) = 96.7 % decir, el hecho de realizar el experimento en dos tiempos diferentes ha afectado a la Tabla 9.7 Resultado del análisis por medio de regresión lineal de los datos de la tabla 9.6 respuesta con un aumento de 0.71 unidades TEMPERATURA

PRESIÓN

(ºC) −-/22 (685) /22 (715) 0 (700) 0 (700) 0 (700) 0 (700) 0 (700)

(kg/cm2) 0 (845) 0 (845) −-/22 (810) /22 (880) 0 (845) 0 (845) 0 (845)

ÍNDICE DE POROSIDAD

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π

INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

de porosidad del segundo al primer experimento. Este hecho induce a una investigación por parte de los técnicos para encontrar las condiciones que han cambiado en las dos etapas y que provocan este cambio en la porosidad. Antes de aceptar el modelo obtenido por regresión se ha de hacer una prueba de ajuste de los datos al modelo. Esta prueba se realiza comparando dos estimaciones independientes de σ2, una de las cuales depende totalmente de la bondad del ajuste del modelo. La estimación de σ2 en la tabla 9.7 ha sido obtenida como un promedio de otras dos estimaciones: 2 stotal

>

>

=

2 4 s 2puro + 4 sajust

(9.28)

8

Donde sp2 es la obtenida a través de las seis réplicas (una vez eliminado el efecto bloque) y denomina estimación pura sp2 =0.011 con 4 g. l. (9.29) 2 Y saj es la obtenida a través de los residuos por falta de ajuste de los datos al modelo. A esta estimación se le denomina “estimación por falta de ajuste” y tendrá 3 g. l. Llevando el valor de (9.29) a (9.28) se obtiene saj2 =0.016 con 4 g. l.

(9.30) Fig. 9.8

Dirección del camino de máximo descenso

Por lo tanto, si el modelo se ajusta bien a los (steepest descent) datos, los valores en (9.29) y (9.30) son estimaciones independientes de σ2 y, según se vio en el capítulo 3, el cociente de ambos valores será un valor típico en la distribución F de Snedecor con cuatro y cuatro grados de libertad. 2 sajuste

s 2puro

=

0.016 0.011

= 145 .

(9.31)

lo cual es cierto. En consecuencia, se acepta que la aproximación a la respuesta en la región próxima a las condiciones de 700 ºC y 845 kg/cm2 por el modelo y = 2.84 + 0.36 B + 0.51 Temp. + 0.26 Temp.2 + 0.32Presion2 - 0.22 Temp. * Presión

(9.32)

es una buena aproximación. Una vez obtenida la aproximación cuadrática a la respuesta, se ha de analizar si la región en que se ha aproximado contiene las condiciones óptimas de porosidad. Para poder resolver este dilema se ha de realizar el análisis canónico que se presenta en el próximo apartado.

9.7 Análisis canónico de la superficie La interpretación del modelo resultante puede hacerse bien a través de curvas de nivel, o bien en función del análisis canónico del modelo. El análisis gráfico es posible cuando se estudian dos o tres factores. Si el número de factores aumenta no se pueden representar conjuntamente los factores y la respuesta en un mismo gráfico. Cuando el número de factores es alto, se puede trabajar con proyecciones sobre un subconjunto de dos o tres factores, pero entonces la interpretación de la superficie es más compleja.

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215

π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

Para k=2 factores, éstos se representan en los ejes de ordenadas y abcisas indistin3.7 tamente. Entonces, sustituyendo pares de 3.1 valores de la temperatura y la presión en (9.32) se obtiene el valor de la respuesta, el cual se 850 lleva al gráfico situándolo sobre el punto representado por el par de condiciones. Una 6.1 vez obtenida una cantidad suficiente de valores 6.7 de la respuesta, se trazan líneas de nivel para 7.3 800 7.9 valores de respuesta similar. Las líneas así 8.5 formadas representan la proyección tridimen675 685 695 705 715 725 sional de la respuesta en el plano de experiTemperatura mentación formado por los dos factores. Veámoslo en el ejemplo de las tapas de Fig. 9.9. Análisis gráfico de la porosidad por curvas de nivel aluminio. La representación se ha realizado promediando el efecto bloque, ya que el efecto bloque no influye en la localización del óptimo. Para el gráfico se han utilizado las variables en unidades originales. Del análisis gráfico se observa que las curvas de nivel son concéntricas y su valor disminuye conforme se acercan al punto central. Existe, por lo tanto, una única condición óptima en cuanto a porosidad mínima en torno a la condición: temperatura 690 ºC y presión 835 Kg/cm2. Las coordenadas de tal punto también se pueden encontrar derivando la ecuación de la respuesta respecto a sus parámetros e igualando a 0. 900

4.9

5.5

Presión

4.3

216

(

)

2 2 ∂ Y ∂ 2.84 + 0.36 B + 0.51T + 0.26 T + 0.32 P − 0.22 T ∗ P = = 0.51 + 0.52 T − 0.22 P = 0 ∂T ∂T

∂Y ∂P

=

(

∂ 2.84 + 0.36 B + 0.51T + 0.26 T 2 + 0.32 P 2 − 0.22 T ∗ P ∂P

)

(9.33)

= 0.64 P − 0.22 T = 0

T = -1.15, P = -0.39 Las coordenadas del punto crítico en unidades originales, así como el valor estimado de la porosidad, son: Pc (688.5 ºC, 835.1 Kg/cm2) YPc = 2.19 (Bloque 1) (9.34) YPc = 2.91 (Bloque 2) Análisis canónico El conjunto de todas las superficies cuadráticas se clasifican según su forma canónica. Ésta corresponde a la representación de la superficie con ejes de simetría paralelos a los ejes de coordenadas y centrada en el origen (de coordenadas 0 en todas las variables x). Las superficies que se obtienen de la metodología de superficie de respuesta no tienen por qué cumplir las dos condiciones anteriores y, en tal caso, resulta difícil conocer el tipo de superficie de que se trata. Sin embargo, mediante las dos operaciones que a continuación se detallan, se puede recodificar la superficie para expresarla en su forma canónica. Estas dos operaciones son: > Utilizar los ejes de simetría como nuevos ejes de coordenadas. > Seleccionar el punto crítico de la superficie como nuevo origen de coordenadas.

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INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

La ecuación resultante de la primera operación se denomina forma canónica A y, si se aplica la segunda condición, la ecuación resultante se denomina forma canónica B. Si llamamos,

b0 = ( b0 )

 x1  x   2  x3  X =  K  K     x k 

b1  b   2 b3  b=  K K   bk 

1 / 2b12 b11 1 / 2b b22 12 B= K K  / / 2b2 k 1 2 1 b 1k 

K K K K

1 / 2b1k  1 / 2b2 k   K  bkk 

(9.35)

el método general de obtener las dos formas canónicas es muy simple y está basado en las propiedades algebraicas de la matriz B. Para ello, primero expresaremos el modelo de segundo orden para la superficie de respuesta en forma matricial, Y = b0 + X’b + X’ B X (9.36) Ahora, si M es la matriz en cuyas columnas están los vectores propios estandarizados de B: m1, m2, ..., mk, siendo λ1, λ2, ...,λk, sus valores propios, se cumple: BM = MΛ M’= M (9.37) M’BM = M’MΛ’ = Λ donde Λ es la matriz diagonal con λ1, λ2, ...,λk, en la diagonal. Dado que M’M = I, se puede intercalar este producto de matrices en la ecuación (9.36), y agrupando convenientemente se obtiene Y

=

b0 + ( x ' M ) ( M ' b ) + ( x ' M ) ( M ' BM ) ( M ' x )

(9.38)

Utilizando las propiedades en (9.37) en (9.38), la ecuación (9.36) puede reescribirse como, Forma canónica A Y = b0 + X’θ + X’ΛX (9.39) X=M’x y θ=M’b La forma canónica A obtenida en (9.39) sólo contiene términos cuadráticos puros, ya que han desaparecido las interacciones. Si se representa de nuevo la superficie, pero ahora respecto a las nuevas variables X, se observa que los ejes de simetría de la superficie son paralelos a los ejes de coordenadas. Para hallar la forma canónica B hay que determinar la distancia a la que se encuentran los puntos críticos de la superficie (máximo, mínimo, punto silla, zona de máximos, etc.) del origen de coordenadas. Si la zona crítica está dentro de la región de experimentación, se considera que la aproximación de la superficie será igual de válida alrededor del nuevo origen de coordenadas. Si en cambio la región crítica está lejos de la zona de experimentación, no tiene sentido extrapolar la superficie hasta la zona crítica y, por lo tanto, no se halla la forma canónica B. En el ejemplo de las tapas, la distancia del punto crítico al centro de experimentación es d

=

115 . 2 + 0.39 2

= 1.2

(9.40)

y; por lo tanto, podemos considerar que la aproximación obtenida en (9.26) puede extenderse a la región alrededor de este punto.

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217

π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

Por consiguiente, para obtener la forma canónica B, se puede realizar la segunda operación de cambiar el origen de coordenadas de (0,0) por (-1.15,-0.39), si se trabaja en unidades codificadas originales, o de (0,0) por M’ (-1.15,-0.39), si se trabaja con las coordenadas nuevas. Dado que el resultado final es independiente del orden en que se realicen estas dos operaciones (cambio de ejes de coordenadas y traslación del origen), en aquellos casos en que se han calculado con anterioridad las coordenadas del punto crítico, es más sencillo trabajar con las coordenadas del punto crítico en unidades originales x. Por lo tanto, si se aplica este cambio de origen en (9.38) antes de pasar a cambiar los ejes, se obtiene la expresión =

Y

Y0 +

(( x − x )' M ) ( M ' b) + (( x − x )' M )( M ' BM ) ( M ' ( x − x )) 0

0

0

(9.41)

que se simplifica dando lugar a la forma canónica B, que aparece en (9.39) en su forma general. Forma canónica B Y

~ Xi

218

=

~ ~ ~ Y0 + λ1 X 12 + λ 2 X 22 + K + λ k X k2

M ' ( xi − xio ) d

=

=

M ' xi − M ' xio

=

(9.42)

X i − X io

Es decir, las nuevas coordenadas se pueden obtener trasladando xo (en unidades originales codificadas) y girando con M, o girando con M para obtener las nuevas coordenadas X y trasladando X0 respecto a las coordenadas del punto estacionario (en las nuevas coordenadas). Con la ecuación (9.42) se está en situación de interpretar la superficie. El signo de los valores propios λi determinarán el tipo de superficie, y su valor absoluto determina el tamaño de los ejes de simetría. La figura 9.9 contiene la clasificación de las superficies para dos factores. Para interpretar superficies con más factores se pueden seleccionar subgrupos de dos factores e interpretar la proyección de la superficie en ellos. En el caso de las tapas de aluminio, para hallar la forma canónica B se han de obtener los valores propios y los vectores propios de la matriz B en el modelo (9.32).  x1  X =   x2 

b0 = (2.84)

M

=

 −0.61 0.79  0.79 0.61  

0.51 b=   0 

λ1

=

.   0.26 −011 B= − 011 . 0 .32  0.40

λ2

=

(9.43)

018 .

Por lo tanto, llevando los valores de (9.43) a (9.42) se obtiene la forma canónica B: Y

=

~ ~ 2.55 + 0.36 B + 0.40 X 12 + 018 . X 22

(9.44)

donde la relación entre las nuevas coordenadas y las anteriores es: ~ X1 = − 0.61( x1 + 115 . ) + 0.79 ( x2 + 0.39) = − 0.61 x1 + 0.79 x2 − 0.39 ~ X2

= 0.79 ( x1 + 115 . ) + 0.61( x2 + 0.39) = 0.79 x1 + 0.61 x2 − 115 .

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(9.45)

π

INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

donde x1 y x2 los son valores de la presión y la temperatura en unidades codificadas. Una vez en la última etapa de la investigación (figura 9.6) se ha de hacer un estudio de la forma canónica de la superficie si se desean conocer las condiciones óptimas y la manera en que se relaciona la porosidad con los factores de control. Analizando la forma canónica se puede contestar a los objetivos planteados en el apartado 9.2. Se aprecian los siguientes hechos: 3 37 40

2 43

B

1

46 49

0 -1 -2 -3 -3

-2

-1

0

1

2

3

A

3 18.5 16.0

2

13.5

B

1

11.0 8.5

8.5

3.5 6.0

0

6.0

3.5

11.0

-1

13.5 -2

219

16.0 18.5

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

A 3 2 3.5

5.0 6.5 8.0

9.5

8.0 6.5

9.5

5.0

3.5

B

1 0 -1 -2 -3 -3

-2

-1

0

1

2

3

A 3 6 2

4

2

0

8

B

1 10

0 -1 12

-2 -3 -3

-2

-1

0

1

2

3

A

Figura 9.10 Representación de superficies cuadráticas en dos factores. a) Máximo (λ1 y λ2 0); b) Punto silla (λ1 y λ2 de distinto signo); c) Teja horizontal (λ2 = 0 ); d) Teja inclinada (λ2 =0) y término lineal en X1)

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π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

>

>

Al ser positivos los coeficientes de los términos cuadráticos en la forma canónica B, existe un único punto donde se obtiene un índice de porosidad mínimo. Las coordenadas de este punto son aproximadamente (688.5ºC, 835.1 kg/cm2). Si se desean hacer predicciones del valor de la respuesta para determinadas condiciones de los factores, se puede obtener el modelo en unidades originales. No obstante, hay que tener en cuenta que el modelo obtenido es una aproximación local de la superficie en la zona de experimentación y que, cuanto más alejado de tal zona se esté, menor precisión en la predicción se obtendrá. La manera más sencilla de obtener el modelo en unidades originales es descodificando la ecuación (9.32) mediante: x1

T − 700 10

=

x2

=

P − 845 25

(9.46)

para obtener el modelo en unidades originales, (9.47) = 1087 ⋅ 6 + 0.36 B − 2.85 T − 0.25 P + 0.0026 T 2 + 0.00051 P 2 − 0.00088 T ∗ P ~ ~ ~ ~ La porosidad cambia más rápidamente en la dirección de X 1 ( X 2 = 0 ) que en la de X 2 ( X 1 = 0 ) ello Y

>

es debido a que el valor propio λ1 =0.39 es mayor que λ2 = 0.17. La dirección de mínimo cambio en porosidad viene determinada por ~ X1

=

=

0

− 0.61 x1 + 0.79 x 2 − 0.39

(9.48)

. 0.79 x1 + 0.61x 2 + 115

(9.49)

y la de máximo por ~ X2

220

>

=

0

=

es decir, manteniendo similares los valores de x1 y x2 , se logra la mínima variación en la porosidad al variar las condiciones de temperatura y presión. Dada una porosidad límite, existe una variedad de combinación de condiciones para la temperatura y la presión que permite trabajar con menor porosidad. Basta con hallar la curva de nivel apropiada para este valor y seleccionar cualquier combinación que quede en la región interna de la curva de nivel.

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INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA DE SUPERFICIE DE RESPUESTA

Ejercicios 9.1. a) b)

c) d)

Se realiza un experimento con dos variables codificadas x1 = (X1-450)/10 y x2 = (X2-130)/5 y se obtienen los siguientes resultados: ¿Es necesario el uso de un modelo de segundo orden para aproxix1 x2 y marnos a la superficie estimada por y? 44.1 -1 -1 Razonar si un modelo de primer orden se ajusta bien a la superficie de 53.2 -1 1 47.3 1 -1 respuesta representada por y. (Use algún tipo de test de ajuste del 56.4 1 1 modelo.) 49.5 0 0 ¿Está el punto (X1,X2) = (268,98) en el camino de máximo decre51.0 0 0 cimiento? Dé un modelo que permita predecir los valores de la respuesta a través de los valores de X1 y X2 sin codificar.

Un experimentador ha realizado un diseño 25-1 con cuatro puntos añadidos en el centro y desea añadir una estrella a una distancia axial α y ne0 puntos en el centro. a) ¿Qué valor de se ha de seleccionar si se quiere conseguir rotabilidad? b) ¿Y si se quiere conseguir que los dos bloques sean ortogonales? c) ¿Se puede conseguir rotabilidad y ortogonalidad a la vez?

9.2.

9.3.

Realice un análisis canónico de la superficie: y = 6.88 + 0.0325 x1 + 0.2588 x2 - 0.1363 x3 - 0.1466 (x1)2 -0.0053 (x2)2 + 0.1359 (x3)2 obtenida por un análisis de regresión usando las variables codificadas: x1=(x1-5)/3, x2 =(x2-4)/10 y x3=(x3-25)/9 a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto estacionario y el valor de la respuesta en tal punto? b) ¿Qué tipo de superficie es? c) Realice un gráfico de contornos en función de x1 y x2 (variables codificadas originales) alrededor del punto estacionario, dejando fijo el valor de x3 en la coordenada que posee el punto estacionario.

9.4.

Un experimentador realiza un experimento con dos variables x1 y x2 alrededor del punto (90,20), para el que realiza cinco experimentos:

a) Ajuste un modelo a los datos y diga cuál de las siguientes observaciones estarían en la dirección del steepest ascent. El experimentador decide ahora combinar los dos experimentos de coordenadas (X1,X2,Y) = (43.25, 53, 65) y (34.75, 59,68) con las seis siguientes:

X1

80

100

80

100

90

X2

10

10

30

30

20

Y

11

0

29

6

12

X1

64.5

47.5

39

30.5

43.25

X2

38

50

56

62

53

34.75 59

Y

43

58

72

62

65

68

X1

34.75

43.25

39

39

39

39

X2

53

59

56

56

56

56

Y

71

68

71

72

72

73

b) Ajuste un modelo de primer orden a los datos. c) Realice un test de falta de ajuste usando las réplicas. d) Realice un dibujo de cómo han sido expuestos los experimentos con los respectivos valores de la respuesta.

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221

10 Diseño de productos robustos

Las metodologías de diseño de experimentos y superficie de respuesta presentadas en los capítulos anteriores han sido utilizadas para la determinación de los factores que afectaban a una característica particular de calidad, para la selección de los niveles óptimos de tales factores, y para la estimación local de la relación existente entre la respuesta y los factores de diseño en la región de las condiciones óptimas. En la práctica, muchas características de calidad vienen afectadas por factores de difícil control o que no han podido ser controlados durante la obtención del producto, incluso por factores que aparecen una vez que el producto está en manos del cliente. Una manera de atacar este problema sería mediante el control de tales fuentes de variación, lo cual resulta caro y muchas veces imposible. Por el contrario, se pueden diseñar productos o procesos robustos que sean insensibles a estas causas. En este capítulo vamos a presentar la aplicación de las técnicas anteriormente citadas en la consecución de tales objetivos.

10.1 Concepto de producto robusto La definición que da el diccionario a la palabra robusto es “fuerte, vigoroso, sano, saludable”. Por ejemplo, decimos que un ciclista es robusto cuando su rendimiento queda poco afectado por los cambios que se producen en su entorno: pedalea con igual intensidad en días de sol o en días de lluvia, no le afectan las críticas de los periódicos, se adapta a los diferentes tipos de bicicletas, etc. En la industria también se desea obtener productos robustos y serán aquellos que mantengan sus características de calidad con un mínimo nivel de variabilidad. Como veremos en el apartado 10.2, esta variabilidad en el nivel de calidad es debida a factores externos (temperatura ambiente, humedad, etc.), internos (deterioro, etc.) y de producción (capacidad de los procesos de fabricación). Veamos dos situaciones en las que se desea obtener productos robustos, que serán analizadas en detalle a lo largo del capítulo. > Se desea obtener una fórmula para fabricar un suavizante de ropa. La característica de calidad que se estudia es su viscosidad. Se conocen el tipo de materia prima, la cantidad de estabilizante, el Ph del producto y el tipo y la cantidad de sales que han de entrar en la fórmula del producto. Ahora bien, la viscosidad así obtenida puede verse alterada una vez que el

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223

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

224

π

producto esté en manos del cliente, debido al tiempo en que el envase del producto permanece abierto o debido a características del agua de lavado. El suavizante que se desea ha de ser robusto a estos factores externos a su fórmula, es decir, su viscosidad debe mantenerse en un nivel aceptable sea cual sea el agua de lavado o el tiempo en que el envase esté abierto. > Se desea diseñar un tubo calefactor seleccionando los niveles de tres parámetros de diseño: temperatura interior y exterior del cilindro calefactor y proporción entre diámetro exterior e interior. El tubo resultante, además de permitir el paso de un flujo determinado de calor por su superficie, ha de ser robusto, o insensible, a pequeñas variaciones en los parámetros de diseño. Esta preocupación reciente en las empresas por obtener productos robustos ha sido motivada por las demandas actuales del cliente dentro de un entorno competitivo muy particular. Un mismo producto puede ser fabricado en empresas situadas en zonas geográficas lejanas, las cuales pueden ser aprovisionadas por diferentes proveedores, e incluso tener diseñados sus procesos de diferente manera. Sin embargo, cuando el cliente compra un producto quiere que sea robusto a estas condiciones del mercado o a otras tales como las características culturales, condiciones ambientales, etc. El producto es identificado por la marca y no por la empresa que lo fabrica. Un cliente no satisfecho puede reclamar una compensación económica por la falta de calidad o incluso puede cambiarse a un producto de la competencia. Ello conlleva unas pérdidas económicas a la empresa que se estima que son directamente proporcionales a la desviación cuadrática de la característica de calidad respecto a su valor nominal u objetivo. Algunos autores prefieren hablar de una función matemática que mide la calidad de un producto en función de la desviaciones cuadráticas de cada individuo respecto al valor nominal. El ingeniero Genichi Taguchi (1986), por ejemplo, define la función de pérdidas que presentamos en el apéndice 10.A. El objetivo del diseñador es por lo tanto definir productos en los que las pérdidas debidas a estas fuentes de variación sean mínimas. No basta con fabricar bajo el nivel nominal, hay que hacerlo con la mínima variabilidad.

10.2 Variabilidad funcional La variabilidad entre productos una vez que éstos están en manos del cliente es inevitable. Sin embargo, si se identifican las causas de tales variaciones, se pueden tomar medidas con el fin de reducirla. Las causas que originan tal variabilidad pueden englobarse en tres grupos: > Causas que provocan variabilidad en el proceso que da lugar al producto, y que determinan la capacidad de aquél: variaciones en la materia prima, métodos de trabajo, mantenimiento, etc. > Causas en el entorno en que se usa el producto: variaciones humanas en el uso del producto, condiciones ambientales, etc. > Causas relacionadas con las características internas del producto: envejecimiento, deterioro de partes, etc. El efecto, en general impredicible, que estas causas producen sobre la característica de interés se denomina “ruido” y, por extensión, a las causas de tal variabilidad se las denomina factores ruido. Para reducir el ruido la empresa puede adoptar varias posturas. Una sería controlar los factores ruido que estén a su alcance (aquellos que aparecen antes de que el producto salga de la empresa), y segmentar la producción de acuerdo con los hábitos del consumidor. Esta postura es en general costosa y resulta imposible imaginársela implantada totalmente en las empresas. (Ello no quiere decir que sea totalmente descabellada; por ejemplo, algunas multinacionales del sector del automóvil ya están reduciendo al máximo el número de proveedores, lo cual reduce una gran fuente de variabilidad.)

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DISEÑO DE PRODUCTOS ROBUSTOS

Una segunda estrategia más económica y eficaz, consistiría en tomar contramedidas contra cada una de las causas de variabilidad a lo largo de las etapas de desarrollo de un nuevo producto. La tabla 10.1 (Kackar 1985) presenta en qué fases del desarrollo de un producto es posible actuar para minimizar el efecto de cada una de las causas de variabilidad. CAUSAS DE VARIABILIDAD

(RUIDO) FASES DEL DESARROLLO DE UN PRODUCTO

O Contramedidas posibles X Imposibilidad de contramedidas

Externas (Ambiente)

Internas (Deterioro)

Producción (Fabricación)

Diseño del producto

O

O

O

Diseño del proceso

X

X

O

Proceso de producción

X

X

O

Tabla 10.1 Contramedidas posibles en cada una de las fases del desarrollo de un producto

Estas etapas, de una manera simplificada, son las siguientes: Etapa de diseño del producto de acuerdo con las expectativas del cliente. Etapa de diseño del proceso que ha de generar los productos diseñados en la etapa anterior. Etapa de producción de acuerdo con las etapas anteriores en la que se obtendrá el producto final. La estadística, como ciencia que estudia los fenómenos a través de la cuantificación de la información procedente de los mismos, es de una gran ayuda en estas fases. Así, en la fase de producción, mediante la utilización del control estadístico de procesos (SPC) se controla el proceso para identificar la aparición de “causas asignables” de variabilidad y actuar sobre ellas de una manera adecuada para mantener el proceso bajo control (en el capítulo 11 se presenta este tema de una manera más amplia). En general, la reducción de variabilidad utilizando sólo SPC (o por otra parte inspección del producto acabado) requiere inversiones económicas considerables (seleccionar los mejores proveedores, aumentar el mantenimiento de las máquinas, etc.); y el resultado final, una vez más, dependerá de lo bien que esté diseñado el proceso. En el diseño del proceso de producción también se pueden tomar medidas contra la variabilidad en la producción, escogiendo máquinas con la mínima capacidad o variabilidad, lo cual es también costoso. Sin embargo, sólo en la fase de diseño del producto se pueden tomar medidas contra cada una de las diferentes causas de variabilidad. Las técnicas estadísticas que hemos denominado diseño de experimentos robustos son técnicas que, aplicadas en las etapas del diseño del producto y del proceso, producen una reducción considerable de la variabilidad final del producto en manos del cliente y con una inversión económica, en general, inferior a cuando se utiliza sólo SPC. > > >

10.3 Metodología del diseño Las primeras ideas para conseguir el aseguramiento de la calidad de un producto centrando los esfuerzos especialmente en su fase de diseño, se deben al ingeniero Genichi Taguchi, quien comenzó a aplicar las técnicas de diseño de productos robustos a comienzos de los años 80. G. Taguchi (1986) divide la etapa de diseño del producto en tres fases claramente diferenciadas: > Diseño primario: consiste en el diseño conceptual o funcional del producto para responder a una necesidad del mercado. En esta fase utilizan conocimientos especializados del dominio.

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

π

>

Diseño secundario, o diseño de los parámetros: consiste en la obtención de los valores nominales óptimos de los factores, para minimizar la variabilidad de las características de calidad del producto. En esta fase se necesita de la colaboración de los técnicos del producto y de personal conocedor de las técnicas estadísticas de diseño y análisis de experimentos. > Diseño terciario: diseño de tolerancias, para garantizar la mínima variabilidad requerida, cuando la variabilidad final del diseño secundario es todavía excesiva. En este capítulo presentaremos las técnicas estadísticas que ayudan a la consecución del diseño secundario o diseño de parámetros. Estas técnicas comprenden la selección de una matriz de diseño adecuada y el análisis e interpretación de los resultados. A pesar de que existe una metodología ampliamente divulgada denominada “metodología de Taguchi”, para llevar a cabo los objetivos anteriormente citados, en los últimos años se han presentado críticas en cuanto a sus aspectos estadísticos y metodológicos y se han propuesto alternativas como las de Box (1986), Grima (1993), Maghsoodloo (1990), Ryan (1988), Shoemaker (1991), Tort-Martorell (1985), Tribus (1989) y Wu (1987). En este capítulo hemos optado por tomar aquellos aspectos del método de Taguchi que, siendo útiles por su simplicidad, no se alejan demasiado de la técnica óptima. Por otra parte, aquellos aspectos débiles en la metodología, tales como el análisis de los resultados, los hemos sustituido por métodos alternativos. El lector interesado en conocer los aspectos fundamentales de la metodología de Taguchi puede dirigirse al apéndice 10.B.

226

10.4 Diseño de parámetros El diseño de parámetros consiste principalmente en una estrategia de experimentación durante la etapa de diseño del producto o del proceso mediante la cual, con un análisis adecuado de los resultados, se determinan los niveles de los factores o parámetros del diseño, bajo los cuales se obtienen productos que cumplen el doble objetivo de presentar la característica de calidad lo más cercana al valor nominal deseado y con mínima variabilidad. La experimentación se realiza con los dos tipos de factores que hemos introducido anteriormente y que hemos denominado: > factores de control, > factores ruido. Los primeros son los factores cuyos valores pueden ser seleccionados por el experimentador durante el diseño del producto (o proceso): temperatura del horno, tiempo en el horno, porcentaje de enzima, etc. Llamamos factores ruido a aquellos factores que, afectando a la característica de calidad del producto (bien en las fases iniciales de fabricación, o bien cuando el cliente utiliza el producto), no pueden ser controlados, bien por los costes que ello implica o por otras causas, si bien en muchas situaciones será posible realizar experimentos con valores controlados de este tipo de factores. Algunos de estos factores son: la temperatura ambiente en la línea de fabricación, el conocimiento por parte del operario del proceso, la humedad relativa cuando se utiliza el producto, etc. La presencia de variabilidad, como ya hemos comentado en al apartado 10.2, es consecuencia del ruido externo y del ruido interno. Es decir, de la variabilidad provocada por factores no controlables y la transmitida por los factores de control. Durante la experimentación, los factores de control y algunos de estos factores ruido son seleccionados y prefijados para conocer su efecto en la característica de calidad.

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DISEÑO DE PRODUCTOS ROBUSTOS

Así, se podrán tomar contramedidas contra la presencia de variabilidad, si ocurre alguna de estas dos circunstancias: 1 Ruido externo: existen interacciones entre factores de control y factores ruido. Ello implica que el efecto del factor ruido en la respuesta depende del nivel en que se encuentre el factor de control. En consecuencia, se podrá seleccionar un nivel de este último donde la respuesta sea más insensible al ruido externo (ver figura 10.1). 2 Ruido interno: la relación entre los factores de control y la respuesta no es lineal. De esta manera, se puede seleccionar aquel nivel del factor de control en que la respuesta sea más robusta al ruido interno. A continuación presentaremos un método de selección de la matriz de diseño, así como la manera de analizar los resultados.

227

Fig. 10.1 Variabilidad transmitida por un factor ruido R para diferentes niveles del factor de diseño D a) La variabilidad transmitida por el factor R al cambiar de Ro a R1 es la misma para cualquier nivel de D. b) La variabilidad transmitida por R es diferente dependiendo del nivel en que se encuentre el factor de diseño D: existe por lo tanto una interacción entre el factor de diseño y el factor ruido. En este ejemplo, cuando D está en el nivel D1 la variabilidad transmitida es menor.

Fig. 10.2 Relación lineal y no lineal entre los parámetros del producto (o proceso) y la característica de calidad a) Si la relación entre el parámetro y la respuesta es lineal, la variabilidad que se transmite a Y, por la relación f(x), es de la misma magnitud en x0 o en x1. b) Sin embargo, si la relación entre el parámetro del diseño y la característica no es lineal, la variabilidad se transmite de manera diferente, dependiendo del valor en que esté fijado el parámetro. En x1 la variabilidad transmitida es menor que en x0.

10.5 Matriz de diseño Las dos circunstancias anteriormente citadas pueden ser detectadas mediante la experimentación, si se selecciona adecuadamente la matriz de diseño y se analiza convenientemente los resultados. En este apartado estudiaremos la selección de una matriz de diseño para diseñar productos robustos a la variabilidad externa. La metodología a seguir cuando se trabaja con ruido interno se presentará en el apartado 10.7 con un ejemplo.

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π

La matriz de diseño deberá permitir estimar un modelo del tipo Y = β o + Σβ i X i + Σβ ij X i X j + Σβ k Z k + Σβ kl Z k Z l + Σβ ik X i Z k + ε

228

(10.1)

en el que una vez estimados sus parámetros, su correcta interpretación debe permitir alcanzar el valor nominal con la mínima variabilidad. > Aquellos efectos βik que sean significativos nos permitirán seleccionar los niveles de los factores de control Xi en que el producto sea más robusto a la variabilidad transmitida por los factores ruido Zk. > Aquellos factores Xi que sean significativos pero que no interaccionen con factores ruido, permitirán llevar la respuesta a su nivel nominal. > Aunque la estimación de los efectos de los factores ruido βk en principio no es útil, puesto que son factores que no se controlan, el conocimiento de su significación puede servir a los técnicos para replantear el diseño del producto o proceso. Por lo tanto, el diseño seleccionado debe permitir estimar, como mínimo, los efectos asociados a los factores Xi , XiXj, y Xi Zk (10.2) y será de ayuda si además permite estimar los efectos asociados a los factores ruido. Las soluciones dadas a este problema han sido principalmente tres: > Diseñar por separado las matrices para los factores de control y para los factores ruido y cruzar las dos para dar lugar a una matriz producto. Esta matriz producto puede ser obtenida a través de los diseños 2k-p propuestos en los capítulos 7 y 8 y también de los orthogonal arrays propuestos por Taguchi (1986). > Realizar un diseño fraccional de resolución V con todos los factores de control y ruido estudiados conjuntamente. > Seleccionar diseños especiales de resolución IV que no confundan las interacciones a estudio. La primera opción es la más sencilla. Además, permite seleccionar un grado de fraccionamiento diferente para cada tipo de factores. En general, el diseño para los factores ruido suele ser más fraccionado de lo que se acostumbra cuando se trabaja con factores de control. Ello es debido a que no estamos tan interesados en la estimación, libre de confusiones, de las interacciones entre factores ruido. Aunque la tercera opción conlleva la realización de menos experimentos que la primera y la segunda, la matriz producto está más difundida en la industria y es más fácil que sea seleccionada por personal poco experto. Es esta la razón principal que nos ha hecho decidirnos por presentar esta matriz en este capítulo aunque existen otras razones de tipo analítico (con esta matriz se puede desglosar mejor la variabilidad debida al ruido en: la transmitida por los factores ruido que han intervenido en el z1 experimento y el ruido ajeno a estos). z1 Factores ruido Factores ruido z2 z2 Matriz externa La matriz de diseño se representa con Matrizexterna z3 z3 Factoresde Factores dediseño diseño dos entradas tal como aparece en la figura 10.3. .. x1, x2 x2, x3. ... . x1 x3 . Por una parte aparecen los k factores de control combinados según un diseño 2k-p y, por otra, los r factores ruido combinados según otro diseño Matriz interna Matrizproducto Matriz producto Matriz interna 2r-q. Por consiguiente, se obtienen 2k-p · 2r-q condiciones experimentales. Una vez aleatorizado el orden de experimentación de las 2k-p · 2r-q condiciones experimentales, se realiza cada experimento y se Fig. 10.3 Diseño de la matriz de experimentación 2k-p · 2r-q mide la característica de calidad. Las filas de la

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DISEÑO DE PRODUCTOS ROBUSTOS

matriz pueden ser consideradas como prototipos idénticos de un producto diseñado con los niveles de los parámetros de la parte izquierda de la tabla y sometidos a diferentes condiciones de los factores ruido. Si la muestra fuese lo suficientemente grande, la representación gráfica en histogramas de la característica de calidad en estos individuos daría una idea general de la distribución de la calidad del producto; bastaría con observar el centro de la distribución y su dispersión. Esta manera intuitiva de interpretar la matriz de diseño ha dado lugar a un análisis de los datos basándose en la información obtenida para cada “fila” o condición de los parámetros de diseño. Una vez más, existen diferencias en el tratamiento de estos datos. Remitimos al lector al apéndice 10.B si quiere obtener información sobre el método seguido por Taguchi basado en la señal ruido. Nosotros introduciremos al lector dos métodos de análisis que creemos que mejoran sustancialmente el enfoque expuesto en dicho apéndice: > El primero está basado en el análisis de los datos directamente de la matriz producto. Para llevarlo a cabo se obtendrán la media y la variabilidad para cada condición de diseño y se aplicarán las técnicas de análisis de los capítulos 7 y 8. Ello permitirá estimar los parámetros de un modelo del tipo: Y= β0 + Σ βi Xi + Σ βij Xi Xj + ε (10.3) > Para aplicar el segundo método juntaremos los factores de control y los factores ruido en una única matriz 2(k+r)-(p+q) y pasaremos a estimar los parámetros del modelo en (10.1) que es sensiblemente diferente al modelo en (10.3), puesto que incorpora los factores ruido en su estructura. Debemos decir que, si uno planifica analizar los resultados del experimento con la segunda opción, puede seleccionar la matriz producto de tal forma que el diseño 2(k+r)-(p+q) resultante sea óptimo en el sentido de máxima resolución a costa de, en general, no reproducir todas las condiciones de los factores ruido para cada condición de los factores de control. A continuación presentamos el ejemplo de suavizante donde se aplicarán los métodos de análisis aquí mencionados.

10.6 Ejemplo de producto robusto a ruido externo: suavizante El experimento que se presenta a continuación está relacionado con un suavizante de ropa. La característica de calidad que se estudiará es la viscosidad del producto; es deseable que sea lo mínima posible y robusta a factores externos. En un principio se han seleccionado cinco FACTORES DE CONTROL + factores de control partícipes en la fórmula del A Tipo de materia prima M1 M2 suavizante, y tres factores ruido que aparecen una B Cantidad de estabilizante baja alta vez el suavizante está en manos del cliente final. C Ph del producto 2.5 3.5 La tabla 10.2 presenta estos factores junto con los D Tipo de sales S1 S2 niveles en que se trabajó. E Cantidad de sales baja alta El diseño seleccionado ha sido un 25-2 · 23-1 con generadores: FACTORES RUIDO + > D=AB y E=BC para los factores M Tiempo que el producto está abierto < 10 días ≥ 10 días de control, N Tipo de agua blanda dura > O=MN para los factores ruido. O Temperatura del agua fría templada Nótese que, si juntamos dos k-p r-q diseños de la forma 2 y 2 , el resultado se podrá interpretar como un Tabla 10.2 Factores que toman parte en la experimentación con sus niveles

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

diseño 2(k+r)-(p+q) que, en general, no es de máxima resolución. En este caso podemos considerar el diseño como un 28-3. La matriz del diseño junto con los resultados de la viscosidad medida en centipoises se encuentra en la tabla 10.3.

M.PRIMA

ESTABILZ.

PH

T. SALES

C. SALES

TIEMPO

-

+

-

T. AGUA

-

-

+

+ +

ºC AGUA

+

-

-

+

-

-

-

+

+

3200

4500

175

1560

+

-

-

-

+

37.5

42.5

300

242.5

-

+

-

-

-

1600

475

137.5

60

+

+

-

+

-

1900

2200

302.5

3660

-

-

+

+

-

125

112.5

965

1900

+

-

+

-

-

250

325

325

1920

-

+

+

-

+

50

112.5

445

2050

+

+

+

+

+

175

97.5

492.5

340

Tabla 10.3 Matriz de diseño y resultado del experimento para el ejemplo del suavizante

230

En la parte izquierda están definidos los niveles en que se han colocado los factores de control para todas las condiciones de ruido situadas en la parte superior derecha de la tabla. Para cada una de estas condiciones se obtienen cuatro suavizantes (en el orden de experimentación preestablecido), que son sometidos a las condiciones de ruido que vienen dadas por los niveles de la parte superior derecha de la matriz Así, en la primera fila aparecen los cuatro suavizantes fabricados con la fórmula determinada por la materia prima M1, el estabilizante E1, con ph 2.5, con el tipo de sal S2 y con una cantidad de sal alta. Éstos, como todos los demás, han sido sometidos a las cuatro condiciones de ruido. M. PRIMA

ESTABILIZ.

PH

T. SALES

C. SALES

Y

LOG(s)

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

+ + + +

2358.7 155.6 568.1 2015.6 775.6 705.0 664.4 276.3

3.28 2.13 2.85 3.14 2.92 2.90 2.97 2.25

Tabla 10.4 Media y variabilidad en el ejemplo del suavizante

Análisis de los datos. Método de matriz producto Como hemos comentado anteriormente, para cada condición experimental de los factores de control deberemos hallar la media y la variabilidad a lo largo de las condiciones de ruido, y obtendremos los resultados de la tabla 10.4. Para estimar los parámetros del modelo (10.3) para la media, por una parte, y para la variabilidad por otra, se pueden utilizar los mismos procedimientos utilizados en los capítulos 7 y 8.

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DISEÑO DE PRODUCTOS ROBUSTOS

EFECTOS

MEDIA

LOGN(S)

media A+BD B+AD+CE C+BE D+AB E+BC AC+DE AE+CD

939.9 -303.6 -117.7 -669.2 833.3 -152.3 74.2 -992.0

2.81 -0.40 -0.01 -0.09 0.18 -0.30 0.03 -0.53

Tabla 10.5 Efectos sobre la media y la variabilidad en el ejemplo del suavizante (A= Materia prima; B= Estabilizante; C= Ph; D= Tipo de sales; E= Cantidad de sales)

Para ello se tomarán como respuestas la media, x , y una transformación logarítmica de la variabilidad, ln(s). (El uso de la transformación logarítmica es muy común cuando se modela la varianza debido a que los residuos no siguen la distribución normal. En este ejemplo, además, es doblemente aconsejable esta transformación por existir un rango muy amplio de variación en los datos.) Aplicando el algoritmo de los signos a las dos respuestas, se obtienen las estimaciones de los efectos para la media y el logaritmo de la variabilidad que aparecen en la tabla 10.5. Llevando estos resultados a un gráfico en papel probabilístico normal se obtienen los gráficos representados en la figura 10.4.

D+AB

E+BC A+BD

C+BE AE+CD

AE+CD

231 A

B

Fig. 10.4 Representación en papel probabilístico normal de los efectos sobre la media A) y sobre la variabilidad B). (A= Materia prima; B= Estabilizante; C= Ph; D= Tipo de sales; E= Cantidad de sales)

Se puede apreciar que los grupos de efectos significativos son: > >

AE+CD, C+BE y D+AB para la media, AE+CD, A+BD y E+BC para la variabilidad.

Aunque existen confusiones debido al fraccionamiento del experimento, los expertos en el tema consideraron que no tenía sentido la existencia de la interacción AE y BE, así como que D era un fuerte candidato a tener influencia en la viscosidad media, lo cual por otra parte tiene bastante sentido. Por lo tanto, para el estudio de la media se seleccionaron C, D y su interacción CD. En el estudio de la variabilidad se seleccionaron como posibles efectos significativos (a falta de experimentos para confirmarlo) los efectos A, E y su interacción AE. Con los resultados del análisis se pueden obtener los modelos que permitan una aproximación lineal en la zona de experimentación (ver el capítulo 9 para aproximaciones más complejas) de la media y la variabilidad de la viscosidad en función de los factores de diseño. Estos modelos son: > Viscosidad media = 940 - 335 Ph + 417 T. Sales -496 Ph · T. Sales + e V(e) = 259.52 > Logn(s) = 281 - 0.20 M. prima - 0.15 C. sales - 0.27 M. prima · C. Sales + e V(e) = 0.1432 En ninguno de los dos modelos se ha detectado evidencia alguna de comportamiento anómalo en los residuos; por lo tanto, a continuación pasaremos a seleccionar aquellos niveles que optimicen las dos funciones.

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Optimización de la variabilidad Se desea un suavizante con una viscosidad lo más robusta posible a influencias de factores ruido, esto se traduce en que la variabilidad de la viscosidad del suavizante fabricado bajo una fórmula determinada (mismas condiciones de los factores de control) ha de ser mínima. Del análisis de la figura 10.5 se extrae que ello se consigue fabricando el suavizante con: Log(s) > materia prima: M2, C. sales (baja) > cantidad de sales: alta. En tal caso la variabilidad media C. sales (alta) esperada en los suavizantes, independientemente de los valores en que trabaje en los demás factores de control, será de M1 M2 M. prima logn(s) = 2.81 - 0.2 - 0.15 - 0.27 = 2.19 Fig. 10.5 Gráfico de la interacción materia prima · cantidad de s = exp (2.19) = 8.93 centipoises sales en el estudio de la variabilidad.

Optimización de la viscosidad media 232

Para la selección de aquellos niveles de los factores ph y tipo de sales que minimicen la viscosidad, es preciso analizar la interacción entre ellos, y para ello se ha construido la figura 10.5. Los niveles de los factores de control que minimizan la viscosidad son por lo tanto: > Ph: 2.5 > Tipo de sales: S1 Viscosidad Tipo sal (S2) Además, la viscosidad media esperada en media estos suavizantes será de: Tipo sal (S2) Visc. media = 940+335-417-496=362 centipoises. Por lo tanto, se concluye que el diseño del suavizante robusto al ruido externo queda 2.5 3.5 Ph definido por: > materia prima: M2 > cantidad de sales: alta Fig. 10.7 Gráfico de la interacción ph · tipo de sales en el > ph: 2.5 estudio de la viscosidad media > tipo de sales: S1 De los suavizantes fabricados en tales condiciones se esperará una viscosidad media de 362 centipoises con una variabilidad de s=8.93 centipoises. Análisis de los datos. Método de una única matriz (Box-Jones) Como comentamos en el apartado 10.3 de este capítulo, las técnicas de diseño robusto a la variabilidad externa se basan en la interacción existente entre factores de control y factores ruido. Este hecho provoca que la característica de calidad, al verse afectada por diferentes condiciones de factores ruido, varíe de manera diferente dependiendo del nivel en que se encuentre el factor de control.

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DISEÑO DE PRODUCTOS ROBUSTOS

En el análisis realizado anteriormente, en ningún momento se ha trabajado con interacciones entre factores de control y factores ruido. Para que estas interacciones, que aparecen en el modelo (10.1), puedan ser analizadas, se tienen que ordenar las condiciones experimentales de la matriz producto como si pertenecieran a una matriz única de un diseño fraccional con ocho factores en 32 experimentos. La matriz producto estaba formada por dos diseños, de generadores: > D=AB y E=BC en el diseño 25-2 para los factores de control > O=MN en el diseño 23-1 para los factores ruido. Si los interpretamos conjuntamente tendremos un diseño 2(5+3)-(2+1) =28-3, con tres generadores: D=AB, E=BC y O=MN y con relación de definición: I= ABD = EBC = MNO = ACDE = ABDMNO = EBCMNO = ACDEMNO. Como se puede comprobar, aunque este diseño es de resolución III, permite estimar sin confusiones las interacciones entre factores de control y factores ruido. Para analizar el problema del suavizante como un diseño 28-3 , los datos han sido colocados tal como aparecen en la tabla 10.6, y para las estimaciones de los efectos que se encuentran en la tabla 10.7 se ha utilizado la regla de los signos. Podemos clasificar los efectos estimados en tres grupos: 1 El grupo que incluye los factores de control y las interacciones entre ellos. 2 El grupo que incluye los factores ruido y las interacciones entre ellos. 3 El grupo que incluye interacciones de factores de control con factores ruido. Los efectos significativos (tanto efectos principales como interacciones) pertenecientes a factores del primer grupo determinarán los factores de control que influyen en la viscosidad media del suavizante. Los efectos significativos asociados a factores pertenecientes al segundo grupo nos informarán de aquellos factores ruido que afecten a la viscosidad media. Debido a la naturaleza de estos factores no se podrán seleccionar sus niveles óptimos. (Esta información es realmente importante en aquellos casos en que exista la posibilidad de cambiar el proceso para pasar a controlar algún factor ruido.) Los factores del tercer grupo que posean efecto significativo identificarán los factores de control que pueden ser seleccionados para que la variabilidad transmitida por los factores ruido sea mínima. Además, quedarán perfectamente identificados aquellos factores ruido que provocan tal variabilidad. (Una vez más esto puede hacer pensar a los técnicos del problema en la posibilidad de cambiar el diseño del proceso, el método de distribución de los productos,.etc.) En el ejemplo que nos ocupa, llevando los datos de la tabla 10.7 al papel probabilístico normal se observa que los grupos de efectos significativos son: AE+CD, C+BE, D+AB, M+NO, O+MN, CN, CDM+AEM y ACN+DEN >

>

>

Se observa que: aparecen los mismos factores de control afectando a la viscosidad media que en el análisis trabajando con la matriz producto: AE+CD, C+BE, D+AB. Por las mismas consideraciones anteriores seleccionaríamos C, D y CD como los que contribuyen a la viscosidad; los factores ruido M = “Tiempo en que el recipiente del suavizante está abierto” y O = “Temperatura del agua” influyen notablemente en la viscosidad media. Estos factores dependen totalmente del cliente, pero existe la posibilidad de desarrollar un recipiente de suavizante que cierre herméticamente, de tal forma que el factor M no sea tan importante; el grupo de interacciones CN, CDM+AEM y ACN+DEN puede ser utilizado para controlar la variabilidad en la viscosidad, seleccionando aquellos niveles de los factores de control en que el suavizante es más robusto a cambios en los factores ruido.

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

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M. PRIMA

ESTABILZ.

PH

T. SALES

C. SALES

TIEMPO

T. AGUA

ºC AGUA

VISCOSIDAD

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

3200 37.5 1600 1900 125 250 50 175 4500 42.5 475 2200 112.5 325 112.5 97.5 175 300 137.5 302.5 965 325 445 492.5 1560 242.5 60 3660 1900 1920 2050 340

Tabla 10.6 Matriz de diseño 28-3 y resultados de la experimentación en el problema del suavizante

MEDIA A+BD B+AD+CE C+BE D+AB E+BC AC+DE AE+CD

939.9 -303.6 -117.7 -669.2 833.3 -152.3 74.2 -992.0

M+NO N+MO O+MN AM BM CM DM EM

569.8 -20.5 504.0 60.8 -83.3 -66.1 309.5 -61.1

AN BN CN DN EN AO BO CO

339.8 130.2 919.2 -343.9 -305.8 51.1 192.7 -12.0

DO EO ACM+DEM CDM+AEM ACN+DEN CDN+AEN ACO+DEO CDO+AEO

-2 -317.7 -204.5 -640.2 -681.1 242 -181.7 -271.7

Tabla 10.7 Estimación de los efectos en el ejemplo del suavizante para el diseño 28-3 (excepto en los seis últimos grupos, se han omitido las interacciones de orden 30 superior)

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DISEÑO DE PRODUCTOS ROBUSTOS

Si consideramos las interacciones CN y ACN como las de mayor contribución con el factor ruido N, y la AEM para el factor M, los gráficos en las figuras 10.7 y 10.8 ayudan notablemente en la interpretación y selección de las condiciones óptimas de diseño. Como se puede observar en la figura 10.7, la naturaleza de esta interacción no permite seleccionar un nivel para los factores M. prima y ph tales que la variación transmitida por el tipo de agua sea mínima. En todo caso los gráficos sugieren que tal vez con un ph intermedio se puedan lograr resultados esperanzadores. De la interpretación de la figura 10.8 en la que está representada la interacción de m. prima · c. sales con el factor ruido tiempo abierto se obtienen mejores resultados.

Ph (2.5)

Ph (3.5)

M. prima (M1) Viscosidad media

Viscosidad media

M. prima (M2)

M. prima (M2)

Blanda

M. prima (M1)

Dura

Tipo de agua

Blanda

Tipo de agua

Dura

Fig. 10.7 Gráfico de la interacción m. prima · ph · tipo de agua. M. prima (M1)

235

M. prima (M2)

C. sal (alto) C. sal (bajo) Viscosidad media

Viscosidad media C. sal (bajo) C. sal (alto) >10 días

10 días

ph de 2.5 y sales del tipo S1 si queremos conseguir mínima viscosidad; > con m. prima del tipo M2 y cantidad alta de sales o con menos sal si se trabaja con la materia prima M1 si se desea conseguir un suavizante robusto a la variabilidad transmitida por el efecto del tiempo abierto. Como el lector habrá comprobado, esta última forma de analizar los experimentos permite conocer más sobre el producto, ya que quedan identificados: > los factores ruido que tienen influencia en la media: M y O; > los factores ruido que pueden ser contrarrestados por medio de una selección adecuada del diseño: M y N.

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

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Sin embargo, con el primer método de análisis de la matriz producto, la variabilidad estimada para cada condición de diseño tiene una componente debida a aquellos factores ruido ajenos a los controlados en la experimentación y, por lo tanto, podríamos decir que el producto resultante es “más robusto” que el obtenido con el método de la única matriz. Por la experiencia que hemos ido adquiriendo en la aplicación de las técnicas de análisis de los diseños de experimentos, no podemos decir que un método de análisis sea mejor que el otro. Por el contrario, ambos son válidos y complementarios. Del análisis conjunto los técnicos pueden obtener importantes conclusiones tanto para el objetivo particular que les ocupa como para futuras líneas de experimentación. (En todos los análisis aquí considerados se ha asumido que el orden de experimentación ha sido aleatorio. En la práctica algunos experimentadores no cumplen este requisito, fabrican prototipos seguidos para cada condición de la matriz de diseño y los someten uno detrás de otro a las condiciones de ruido. El experimentador que se encuentre en esta situación está rompiendo una de las hipótesis en que se basan los análisis aquí presentados y para un correcto análisis de los datos tendrá que aplicar las técnicas de análisis de varianza denominada split-plot (Milliken y Johnson (1984).)

10.7 Ejemplo de producto robusto a ruido interno: tubo calefactor

236

Se entiende por ruido interno la variabilidad que presentan ciertas características de calidad de los productos debido a que los valores que realmente toman sus factores de diseño no son los nominales, o, si lo son al principio, sufren una cierta variación a lo largo del tiempo. De forma análoga al caso de la existencia de ruido externo, la T1 metodología que se propone consta de las siguientes fases: > Establecer una hipótesis sobre el modelo de la respuesta. b T2 > Seleccionar un diseño apropiado que permita estimar los parámetros del modelo. a > Estimar los parámetros del modelo. > Analizar la media y la varianza en la respuesta. Como ya comentamos en el apartado 10.4 se puede analizar la variación transmitida por los factores internos y minimizarla sólo si la relación entre éstos y la respuesta es no lineal (ver figura 10.2). Fig. 10.9 Sección cilíndrica del Para poder detectar este tipo de relaciones no lineales debemos tubo calefactor experimentar con diseños que así nos lo permitan. Algunos de estos diseños, los denominados diseños centrales compuestos, fueron presentados en el capítulo 9. El ejemplo que vamos a presentar se trata del diseño de un tubo calefactor, tal como el que aparece en la figura 10.9, en el que la característica a estudio es el flujo de calor que pasa por la superficie. El objetivo es obtener un tubo de flujo 1400 cal/seg y lo más robusto posible a pequeñas variaciones en los parámetros de diseño. Éstos son: > T1 :Temperatura en el exterior del cilindro (ºC). > T2 :Temperatura en el interior del cilindro (ºC). > b :Diámetro exterior del cilindro (cm.). > a :Diámetro interior del cilindro (cm.). Para la realización del experimento se toma un tubo de 1 cm de largo, con un coeficiente de conductividad térmica de k=0.92 cal/seg cm ºC. Como se conoce la ley física que relaciona el flujo de calor con los parámetros de diseño:

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π

DISEÑO DE PRODUCTOS ROBUSTOS

Flujo = 2p(T2-T1)/ln(b/a) (10.5) no haría falta experimentar. Sin embargo, vamos a seguir los pasos que seguiría el experimentador en caso de desconocer tal ley, aunque los datos serán obtenidos al sustituir los parámetros de diseño en la fórmula. T1 T2 r FLUJO El modelo que el experimentador desea estimar será un 909.7 modelo de segundo orden del tipo: + 303.2 Y= β0 + Σ βi Xi + Σ βij Xi Xj + Σ βiiX2i + ε (10.6) + 4245.1 y para ello se han seleccionado las condiciones experimentales que + + 3638.7 aparecen en la tabla 10.8, + 330.5 basándose en las diseños que se presentaron en el capítulo 9. + + 110.2 Los niveles de los factores son: + -1.2 1.2 0 0 0 0 0

NIVELES DE LOS FACTORES

T1 T2 r

-1.2

-1

0

+1

+1.2

19

20ºC

25ºC

30ºC

31ºC

29.5ºC

35ºC

62.5ºC

90ºC

95.5ºC

1.08

1.1

1.2

1.3

1.32

Aplicando las técnicas expuestas en el capítulo 9 el modelo estimado por mínimos cuadrados es el que aparece en (10.7) una vez expresado en unidades originales. En éste, e representa la parte del flujo que no queda explicada por el modelo.

+ + 0 0 -1.2 1.2 0 0 0

+ + 0 0 0 0 -1.2 1.2 0

1542.1 1321.8 1188.8 1381.5 996.2 129.2 2248.4 2871.7 777.3

Tabla 10.8 Resultados de la experimentación con el tubo calefactor obtenidos de la fórmula física

Flujo = 57199 + 270.4 (T2-T1) - 95421 r - 193.1 (T2-T1) r + 39605 r2 + e (10.7) Si se realiza un análisis canónico a esta superficie utilizando las técnicas del capítulo 9, se observa que esta aproximación local de la superficie representa una cresta no estacionaria. La curvatura de la cresta la da la relación cuadrática del flujo con r, y la no estacionalidad la da la relación lineal con (T2-T1). Por lo tanto, para minimizar la variabilidad transmitida por los factores ruido, debemos utilizar la relación cuadrática existente entre el flujo y r. Veamos lo que ocurre si hacemos fijo T2-T1 = 50ºC. En tal caso el modelo anterior queda de la forma Flujo = 70719 - 105076 r + 39605 r2 + ε

(10.8)

y la transmisión de la variabilidad debido al ruido interno puede obtenerse a través de la expresión

∂ 2 sFuncion = ∑  Funcion ∂ X  s 2X  i  que en este caso particular toma la forma:

[

i

]

2 s Flujo = 10 9 11 − 16.6r + 6.3r 2 sr2

(10.9)

(10.10)

Tal expresión, para un valor fijo de Sr2 , es decreciente en el intervalo (1, 1.3) y tiene un mínimo en r =1.3. En consecuencia, si fijamos r =1.3 conseguimos un tubo calefactor lo más robusto posible al ruido interno (por supuesto que r no tiene que ser estrictamente 1.3; este resultado debe de confrontarse posteriormente con el de la media de flujo que se desee). Cabe notar que el valor seleccionado para r será válido para cualquier valor de T2-T1, a pesar de que ha sido hallado con un valor particular de T2-T1 =50.

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237

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

π

Una vez minimizada la varianza, el valor medio del flujo de este calefactor se puede conseguir seleccionando adecuadamente el valor de T2-T1 . Así, si se sustituye en el modelo general (10.7) el valor r =1.3, se obtiene Flujo = 84.15 + 19.37 (T2 - T1) + e (10.11) y se logra el flujo deseado vario T2-T1. Puesto que el valor objetivo era 1400 cal/seg el valor de (T2-T1) ha de situarse en 73 ºC. En general podemos decir que la metodología de diseño de productos robustos a ruido interno: > utiliza las relaciones no lineales de la característica a estudio con determinados factores para seleccionar un nivel de estos últimos en el que la variación transmitida sea mínima, > utiliza las relaciones lineales de la característica a estudio con determinados factores para llevar el valor medio de la característica a su valor nominal.

10.8 Diseño de tolerancias

238

En el apartado 10.3 hemos citado el diseño de tolerancias como una de las fases diferenciadas en la etapa de diseño de un producto o proceso, al cual se recurre cuando una vez aplicada la fase de diseño de parámetros la variabilidad resultante no es todavía satisfactoria. En el diseño de tolerancias se toman decisiones sobre la variabilidad que se está dispuesto a admitir en las componentes de un producto. Una de las implicaciones es que hay que poner cotas de variación a los parámetros de diseño. Para ello hay que evaluar la variabilidad transmitida por cada componente del diseño en el producto final, a partir del modelo estimado en el diseño de parámetros. La aplicación del diseño de tolerancias es costosa en general, ya que conlleva la selección de proveedores más caros, máquinas más capaces, mantenimiento más rígido, etc. En el ejemplo del tubo calefactor del apartado 10.7, se trataría de seleccionar aquellos proveedores de tubos calefactores que fuesen más capaces en el suministro de tubos de determinada proporción r = b/a. Es decir, aquellos cuya sr fuese menor. Asímismo habría que seleccionar aparatos precisos de medida, etc. A aquellos lectores que deseen ampliar el tema les recomendamos la lectura de Taguchi (1986).

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DISEÑO DE PRODUCTOS ROBUSTOS

Apéndice 10A. Función de pérdidas El ingeniero Genichi Taguchi introdujo una nueva filosofía de la calidad impulsada por los cambios que los sistemas productivos han experimentado en los últimos años. Taguchi da una medida de calidad de un producto basada en la pérdida económica que supone la variación de las características de tal producto respecto de los valores nominales para los cuales está definido. En general, dada una característica de calidad Y con valor nominal τ, la relación existente entre diferentes valores de tal característica y las pérdidas económicas ocasionadas por tales variaciones puede ser aproximada por una función cuadrática P(y): P( y ) = k ( y − τ ) 2

(10.12)

Tal función puede ser interpretada como una función determinante de la calidad de un individuo cuya característica de calidad tiene el valor y. Aunque la relación real sea más compleja, P(y) puede ser considerada como una aproximación local obtenida con los términos cuadráticos del desarrollo de Taylor de la función teórica en torno el valor mínimo τ. La figura 10.A.1 representa la función P(y). Como se observa, cuanto más alejado se esté del valor nominal, más pérdidas se ocasiona al cliente y, por lo tanto, según la definición anterior, menos calidad tiene el producto. Cuando el producto está en el valor nominal τ, el coste del producto es el mínimo que se puede obtener. Por otra parte el valor de la constante k queda determinada en el momento que se conoce las pérdidas en cualquier valor de la característica distinta del valor nominal. Por ejemplo si se conoce la pérdida en el valor y = a, k se obtendrá mediante la fórmula 239

P( a ) k= ( a − τ )2

(10.13)

Sin embargo, cuando se habla de un producto, se engloban las diferentes unidades fabricadas por el proceso considerado. Tales unidades presentarán variabilidad en cuanto a la característica de calidad a estudio y, por lo tanto, cada una de ellas poseerá diferente calidad. Por consiguiente, la pérdida esperada para un proceso en su conjunto, en cuanto a una característica de calidad determinada, se obtendrá promediando la calidad de las diferentes unidades producidas. Esta calidad se obtiene hallando el valor esperado de la función de pérdidas P(y), L( y ) = E ( P( y )) = E ( k ( y − τ ) 2 ) = k (σ 2 + ( µ − τ ) 2 )

donde µ y σ2 representan la media y la varianza que presenta la característica una vez está en manos del cliente. Dado que en general se procurará que µ = E(y) = τ (10.15) se tendrá (10.16) L(y) = k σ2 De (10.16) se deduce que no basta con centrar un proceso en su valor nominal, sino que hay que hacerlo con la mínima variabilidad.

Figura 10.A.1 Función de pérdidas

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π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

Apéndice 10B Método de Taguchi

240

Las aportaciones de Genichi Taguchi a la ingeniería de la calidad son unánimemente reconocidas como una de las más importantes en los últimos tiempos (Box 1988), (Kackar 1985), (Ross 1988). A él se deben las primeras ideas para dar mayor énfasis a la etapa de diseño del producto en la mejora de la calidad, tal como se ha comentado en el apartado 10.2. Esquemáticamente, esta metodología puede resumirse en las siguientes etapas: a. Identificación de los factores de diseño, de los factores de ruido y de sus niveles de experimentación. El diseñador del producto debe identificar las variables que presumiblemente afectan a las características de interés, así como los niveles a los que conviene experimentar. Igualmente deberá identificar los factores de ruido y decidir entre qué niveles de estos factores se desea que el producto sea insensible. b. Construcción de las matrices de diseño (para los factores de control y para los factores de ruido), y planificación del experimento. Las matrices de diseño, tanto para los factores de control como para los de ruido, son, en esencia, del tipo de las comentadas en los capítulos 7 y 8, aunque Taguchi utiliza los denominados orthogonal arrays (ver Taguchi (1986)). Los experimentos se realizan para cada una de las condiciones de la matriz de factores de ruido (matriz externa) en cada una de las condiciones de los factores de control (matriz interna), formando la llamada matriz producto. (Véase la figura 10.B.1.) c. Realizar los experimentos y evaluar el estadístico adecuado. Una vez obtenidos los resultados experimentales para cada una de las condiciones de la matriz de diseño, se calculan dos estadísticos: la media y el denominado “proporción señal-ruido” (θ). La optimización de los valores de los factores de diseño se resuelve en dos etapas: i) Determinar los factores que afectan a la proporción señal-ruido y escoger los valores que lo maximizan. ii) Seleccionar algún factor que, teniendo influencia sobre el nivel de la respuesta tenga un efecto lo menor posible sobre la prporción señal-ruido. Éste será el factor que se utilizará para llevar la respuesta al nivel deseado.

Factores ruido Factores de ruido

Factores de diseño Factoresdediseño

x1 ... . x1 x2 x2x3x3

z1 z1 z2 z2 z3 z3 ..

Matriz externa Matrizexterna

. .

Matriz interna Matriz interna

Matriz producto Matriz producto

Figura 10.B.1: Matriz producto según el plan experimental propuesto por Taguchi

Taguchi propone diferentes proporciones señal-ruido según el objetivo que se persiga. Así, si lo que se pretende es minimizar la respuesta, se deberá trabajar en las condiciones que maximicen:

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DISEÑO DE PRODUCTOS ROBUSTOS

 ∑ Yi r θ ( x ) = − 10 log  i =1  n  n

2

  

(10.18)

Si el objetivo es que la respuesta sea lo mayor posible, se maximiza:  ∑ n (1 Y ) 2  r i  θ ( x ) = − 10 log  i =1   n   Y si se trata de mantener la respuesta en su valor nominal, se maximizará:

(10.19)

r Y2 θ ( x ) = −10 log 2 s

donde: r x: Vector que representa una determinada combinación de niveles de los factores de diseño. Yi: Respuesta en la condición i-ésima de la matriz externa. n: Número de condiciones experimentales de la matriz externa. s2: Varianza de las respuestas obtenidas en cada una de las condiciones experimentales r definidas por la matriz externa, para un determinado valor de X . d. Analizar la significación de los efectos. Los resultados se analizan mediante tablas de análisis de la varianza. Esta técnica de análisis de la significación de los efectos es uno de los aspectos más controvertidos del método de Taguchi. (Box (1986), entre otros, ha realizado un detallado análisis crítico sobre este aspecto.) e. Realización de experimentos confirmatorios. Antes de dar definitivamente por bueno el resultado obtenido, Taguchi propone la realización de una serie de experimentos para confirmar que las condiciones obtenidas como óptimas son efectivamente las mejores.

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241

π

MÉTODOS ESTADÍSTICOS. CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

Ejercicios 10.1. Con el objetivo de fabricar un material que, tras haber sido usado durante un cierto tiempo bajo condiciones extremas diferentes, presentase el mínimo desgaste en una prueba estándar, siendo ese desgaste lo más independiente posible de aquellas condiciones externas, se realizaron ocho experimentos con los resultados siguientes: FACTORES C

CONDICIONES EXTERNAS

A

B

D

E

-1 1 -1 1 -1 1 -1 1

-1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 1 Diseño actual

-1 1 1 -1 1 -1 -1 1

c1 12 6 9 8 16 18 14 16 17

c2 12 10 10 8 14 26 22 13 22

c3 10 3 5 5 8 4 7 5 7

c4 13 5 4 4 8 2 5 4 12

c5 3 3 2 3 3 3 3 11 10

c6 3 4 1 4 2 3 4 4 8

c7 16 20 3 9 20 7 19 14 18

c8 20 18 2 9 33 10 21 30 25

a) Encuentre el diseño óptimo del producto razonando el método que se ha utilizado para llegar a él. b) ¿Qué factor transmite más variabilidad en el desgaste? (Suponer σA2 = σB2 = σC2 = σD2 = σE2) c) Comparar el diseño óptimo óptimo con las condiciones actuales 242

10.2. Se dispone de tres factores controlables A, B, C y un factor ruido 0. Tras conducir un experimento adecuado se obtiene: MEDIA

A

B

C

AB

AC

BC

ABC

7.8 0.3

0.5 -0.8

0.4 0.1

-1 -0.2

0.8 0.3

0.2 0.0

-0.1 0.5

0.2 0.2

Efecto nivel (media) Efecto variable (log S)

¿Cuál sería la manera de conseguir una respuesta lo más baja posible con el mínimo de variabilidad? 10.3. En un departamento de una empresa se quieren conocer los factores que influyen en el contenido de CO en determinado motor con el fin de reducir su presencia. Para ello se han seleccionado siete factores A, B, C, D, E, F, G, y se han realizado bajo ocho condiciones experimentales diferentes tres experimentos en condiciones adversas al proceso. Los resultados obtenidos de CO (en gramos) están en la tabla siguiente:

Nº

1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

C

D

E

F

G

R1

R2

R3

1 1 1 1 1 2 2 2 2

2 1 1 2 2 1 1 2 2

3 1 1 2 2 2 2 1 1

4 1 2 1 2 1 2 1 2

5 1 2 1 2 2 1 2 1

6 1 2 2 1 1 2 2 1

7 1 2 2 1 2 1 1 2

1.04 1.42 1.01 1.50 1.28 1.14 1.33 1.33

1.20 1.76 1.23 1.87 1.34 1.26 1.42 1.52

1.54 2.10 1.52 2.25 2.05 1.88 2.10 2.13

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a) ¿Qué factores afectan a la media y a la variabilidad del contenido en CO? b) ¿Cuáles son las condiciones óptimas de trabajo? ¿Qué concentración media se espera encontrar? ¿Con qué variabilidad?

11 Control estadístico de procesos

Consideremos que el proceso de relleno de botellas de agua mencionado en el capítulo 3, que tenía de especificaciones 200 ± 2 cm3, está en estado de control rellenando con una media µ=200 cm3 y desviación típica σ = 0.7 cm3. Supongamos que cada hora se toman datos del contenido de un número determinado de botellas. ¿Qué estrategia se ha de seguir, basándose en esta información, para poder detectar lo antes posible cambios en el proceso que provoquen el relleno de botellas fuera de tolerancias? En este capítulo se presentará la herramienta estadística denominada control estadístico de procesos (CEP o SPC en términos anglosajones), que ayudará a llevar a cabo los objetivos que presentamos en el siguiente apartado, uno de los cuales es el anteriormente planteado con la línea de embotellado. El CEP utiliza gráficos de control que dependen del tipo de característica a estudio y de la naturaleza de cada proceso. Los gráficos que presentaremos en este capítulo son los que corresponden a las situaciones más generales que presentan los procesos. Para aquellas situaciones más específicas, se recomienda al lector la bibliografía que se propone al final del libro: Box y Kramer (1992), Douglas y Montgomery (1991), MacGregor (1990) y Montgomery (1991) entre otros.

11.1 Evolución del CEP y objetivos Las técnicas de control estadístico de procesos comenzaron a ser desarrolladas en 1920 en EEUU por W. A. Shewart, cobrando especial importancia su utilización durante la Segunda Guerra Mundial en las empresas de armamento. Hasta entonces las pruebas de calidad que se adoptaban en las empresas estaban basadas principalmente en la inspección de los productos una vez acabados, eliminando los defectuosos. Este procedimiento se reveló ineficaz por los motivos expuestos en el capítulo 1 de este libro y el control de la calidad se desplazó al proceso de fabricación. A partir de entonces el control de procesos ha ido evolucionando respondiendo a las necesidades de la industria dando lugar a dos corrientes. La primera, que sigue denominándose control estadístico de procesos (Statistical Process Control, SPC), ha estado más relacionada con las industrias de producción en serie y se desarrolló principalmente a partir de la crisis de los años 70 en empresas relacionadas con el sector de automoción. A la segunda corriente se la denomina control adaptativo o automático de procesos (Automatic Process Control, APC) y ha estado más ligada a empresas de

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, así como la exportación e importación de ejemplares para su distribución y venta fuera del ámbito de la Unión Europea.

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

244

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

π

producción continua, como pueden ser las empresas químicas. Hoy en día la utilización de unas técnicas u otras es compartida cada vez más por ambos sectores industriales. En este capítulo presentaremos el CEP remitiendo al lector a la lectura de Box y Kramer (1992) si desea comparar ambas técnicas o encontrar referencias sobre la práctica de APC. En primer lugar, podemos decir que los objetivos principales del CEP son los siguientes: 1) Minimizar la producción defectuosa. 2) Mantener una actitud de mejora continua del proceso. 3) Comparar la producción respecto a las especificaciones. Para poder llevar a cabo estos objetivos hay que tener en cuenta, como diría Bill Hunter, que todo proceso genera un producto, pero además genera información. Información que se puede obtener tomando datos numéricos de las características de los productos que salen del proceso y tratándola adecuadamente. La información permite “escuchar” el proceso y poder llevar a cabo los objetivos anteriormente citados. Con la actual filosofía de la calidad total, no basta con conseguir el objetivo 1) de minimizar la producción defectuosa; hay que mantenerse en una mejora continua, tal como se comentó en el capítulo 1, y los estándares internos de fabricación se han de ir cambiando independientemente de las especificaciones externas del cliente. Además, las técnicas de CEP han de ser aplicadas lo más próximas posible al proceso que genere la información para poder disminuir el tiempo de reacción ante el proceso. Por ello, han de ser sencillas de utilizar e interpretar para que los operarios puedan utilizarlas sin apenas necesitar la ayuda de los especialistas en CEP. Para un correcto seguimiento de este capítulo es recomendable que se revisen los conceptos desarrollados en los capítulos 3 y 4.

11.2 Proceso en estado de control En el apartado 3.1 del capítulo 3 se definió un proceso en estado de control como aquel que sólo está afectado por causas comunes de variación. En la tabla 3.1 del mismo capítulo se presentaron las principales características asociadas a las causas comunes y asignables, una de las cuales es la posibilidad de modelar matemáticamente la variabilidad asociada al efecto de las primeras. Para presentar las filosofía de los gráficos de control es necesario identificar el modelo que subyace en un proceso en estado de control, es decir, se ha de clasificar la característica de interés bajo los modelos más comunes presentados en el capítulo 4: ley Normal, Binomial y Poisson. 11.2.1 Comportamiento esperado de las observaciones individuales en un proceso en estado de control Volvamos al ejemplo del proceso de relleno de botellas de agua que, en estado de control, trabaja con media µ=200 cm3 y desviación típica σ =0.7 cm3. Supongamos que se toma una botella a intervalos de tiempo fijo y se anota su contenido en un gráfico como el que aparece en la figura 11.1. Como ya se mencionó en el apartado 4.1, el modelo matemático que caracteriza tal proceso es la ley normal y observamos que “la mayoría” de estas botellas están dentro de unos límites representados por µ±3σ del proceso. En este caso particular, los límites son 197.9 y 202.1 cm3, obtenidos por el conocimiento previo que se tenía de los parámetros (en el apartado 11.4.1 se explica cómo estimar estos parámetros cuando sean desconocidos). Además, observamos que los valores

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π

aparecen de forma aleatoria alrededor del valor central representado por la media. Supongamos ahora que durante el proceso de toma de datos se desajusta la máquina de relleno en 1 cm3 pasando a rellenar con media 201 cm3 e igual dispersión, tal como muestra la figura 11.2.a. Observamos que ha habido un aumento considerable de las observaciones apareciendo por encima de la media. Incluso, alguna de estas observaciones aparece más allá de los límites marcados por el proceso anterior. Si, en cambio, el desajuste de la máquina provoca un aumento en la variabilidad del proceso de relleno, pasando de σ=0.7 a σ = 1, los valores en la figura 11.2.b aparecen más dispersos, aunque en torno al mismo valor central. Se observa que el contenido de alguna de las botellas va más allá de los límites originales. De lo hasta aquí expuesto se intuye que una herramienta de control de aparición de causas asignables podría ser un gráfico que contenga: > una línea central que representa a la media del proceso; > dos límites, superior e inferior, a distancia de 3 σ de la línea central. Así, el control se realizaría tomando un individuo del proceso, midiendo la característica de interés y anotando este valor en el gráfico. Si estos valores surgen más allá de los límites se interpreta como que una causa asignable ha entrado en el proceso. (Lo mismo ocurre si se detecta cualquier otro patrón de tendencia en los datos, como se verá en el apartado 11.4.4.) Uno de los inconvenientes que presentan los gráficos así construidos es que si el desajuste en el proceso es “pequeño”, la aparición de botellas más allá de los límites de ± 3 σ puede no ocurrir o hacerlo con mucha demora. Por ello es necesario obtener los límites de

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

Fig. 11.1 Contenido en cm3 de 50 botellas de agua de un proceso en estado de control

245

Fig. 11.2 Contenido en 50 botellas cuando el proceso se ha desajustado: a) la media de 200 cm3 a 201 cm3. b) la desviación típica de 0.7 cm3 a 1 cm3 con media de 200 cm3

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

π

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

control de modo que se acorte el tiempo de detección de un desajuste sin que, por otro lado, aumente mucho la probabilidad de “falsas alarmas”. Esto se puede conseguir en el proceso de embotellado si, en lugar de tomar una botella cada vez, se toma una muestra de botellas y se analiza el comportamiento del contenido medio de la muestra. Como se vio en el apartado 4.9, la distribución muestral de la media de un proceso en estado de control es N(µ, σ/ n ) y, por lo tanto, el gráfico de control tendrá los límites más estrechos. 11.2.2 Comportamiento de la media de un proceso en estado de control

246 Fig. 11.3 Gráfico del contenido medio de 4 botellas con µ=200 y σ=0.7 (observaciones1-20), con µ=201 y σ=0.7 (Observaciones 21-40) y con µ=200 y σ=1 (últimas 20 observaciones)

DESAJUSTE DEL PROCESO EN MEDIA

n=1 n=2

n=3

n=4

n=5

0.5 σ 0.6 % (464) 1.3 %* 1.4 %** (271)*** 1.9 % 1.6 % (181) 2.6 % 2.7 % (130) 5.0 % 5.1 % (52)

1σ 2.3 % (130) 4.5 % 5.6 % (52) 6.7 % 10.2 % (28) 8.8 % 15.9 % (18) 16.3 % 43.2 % (6)

1.5 σ 6.7 % (44) 12.9 % 19 % (14) 18.7 % 34.4 % (7) 24.2 % 50 % (5) 42.5 % 89.3 % (2)

2σ 15.9 % (18) 29.2 % 43.2 % (6) 40.4 % 67.9 % (3) 49.9 % 84.1 % (2) 74.9 % 99.6 % (1)

Tabla 11.1 Probabilidad de detección de cambios en la media del proceso * Tomando n observaciones aisladas. ** Tomando medias de n observaciones. *** Nº de muestras de tamaño n que se han de tomar para que exista una probabilidad de al menos 95% de detectar el cambio en el proceso.

La figura 11.3 ha sido obtenida al tomar cuatro botellas y anotar el contenido medio en las tres situaciones que se han trabajado en el apartado 11.2.1. Se observa que, al ser los límites más estrechos, el poder de detección aumenta. En efecto, se observa un mayor número de observaciones fuera de límites, y además el tiempo que transcurre desde que se produce el cambio hasta que se detecta es mucho menor que cuando se tomaba una única botella. De hecho, se puede comparar el poder de detección del gráfico de la media para distinto tamaño de muestra en función del cambio que se produce en el proceso. La tabla 11.1 presenta un análisis comparativo para cuando el desajuste se realiza en media. Se puede observar que para cambios moderados de 2 σ o más, la probabilidad de detección cuando se trabaja con una muestra es mucho mayor que cuando se trabaja con el mismo número de observaciones individuales. Además, hay que tener en cuenta en todos los casos que para obtener n observaciones individuales se deben esperar n unidades de tiempo, lo cual implica que el proceso está produciendo con este desajuste durante más tiempo. Por otra parte se observa que si el cambio es de 1.5 σ o menos, ninguno de los dos métodos de control, el de observaciones individuales o el de medias, son muy eficaces. En el apartado 11.6 se presentan gráficos alternativos para este tipo de cambios.

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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

En el siguiente apartado profundizaremos sobre algunos de los aspectos más importantes de la estructura de los gráficos de control, tales como los límites del gráfico, la frecuencia de muestreo, quién ha de utilizarlos, etc.

11.3 ¿Qué es un gráfico de control? Metodología Un gráfico de control es un gráfico en el que se representa el comportamiento de un proceso anotando sus datos ordenados en el tiempo. El objetivo principal de los gráficos de control es detectar lo antes posible cambios en el proceso que puedan dar lugar a la producción de unidades defectuosas, y ello se consigue minimizando el tiempo que transcurre desde que se produce un desajuste hasta que se detecta. Asimismo, como ya se mencionó en el apartado 11.1, el CEP hay que verlo también como una herramienta de mejora continua de la calidad de los productos, puesto que hoy en día se mide la calidad de un producto como un valor que es inversamente proporcional a la variabilidad que presentan sus características de calidad en el cliente (ver apartado 3.1). Puesto que reducir la variabilidad debido a las causas comunes resulta más complejo, en general el CEP ayuda a la detección de causas asignables para tomar acciones en función de su naturaleza. Por lo tanto, el objetivo primordial de los gráficos es la detección rápida de la presencia de causas asignables en un proceso y para ello son importantes los siguientes puntos: 1) El riesgo que se está dispuesto a admitir cada vez que se decida que una causa asignable ha entrado en el proceso. 2) El cambio mínimo en el valor del parámetro que se desea detectar. 3) El tiempo medio esperado entre desajustes. Se entiende que un gráfico de control da “falsas alarmas” cuando las observaciones de un proceso en estado de control llevadas al gráfico son interpretadas erróneamente como señales de aparición de causas asignables. Para que esto no ocurra con frecuencia, se toman los límites tales que la probabilidad de falsa alarma sea del orden de un 3‰, es decir, se ha de estar muy seguro para aceptar que el proceso ha cambiado. Para ello, en el caso de la distribución normal los límites de control se han de situar a una distancia de la línea central de tres desviaciones típicas del estadístico que se sitúa en el gráfico. En cuanto al punto (3), el tiempo medio en que se producen los desajustes en el proceso determinará la frecuencia de muestreo: cuanto más estable es un proceso menos inversión (tiempo y dinero) debe dedicarse a controlarlo. Puesto que se ha de minimizar el tiempo de detección de un cambio en el proceso, la frecuencia de muestreo ha de ser superior a la del tiempo esperado entre cambios, tal como muestra la figura 11.4. Por otra parte, además del tiempo medio entre desajustes, es importante estimar los costes de producir fuera de control en este T(1) tiempo, de tomar datos del proceso y de ajustarlo y, en función de ellos, realizar una T(2) política de control lo más óptima posible. En el ejemplo de la figura 11.4, la Fig. 11.4 Frecuencia de muestreo T(1) y T(2) para un proceso opción T(1) es más cara desde el punto de vista en que se controla la media

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

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CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

del coste de control que la opción T(2), ya que la frecuencia de muestreo es mayor, pero tal vez los beneficios obtenidos al detectar antes un cambio en el proceso sean mayores en T(1). Por último, de poco o nada sirve lo hasta aquí expuesto, si la información que emana de los gráficos de control tarda en ser “escuchada” por aquellas personas que directamente pueden actuar sobre el proceso, o no se le presta la debida atención. Es decir, poner en marcha un sistema de control estadístico de procesos no consiste en: > rellenar plantillas de recogida de datos por parte de los operarios, para ser llevados a final de mes a un gráfico por parte de los técnicos y posteriormente ser archivados; > realizar un gráfico con los límites obtenidos la primera vez que se implementó el CEP, los cuales se observan que poco tienen que ver con la situación actual del proceso. El CEP es una técnica que ha de ser utilizada cerca del proceso y, por lo tanto, es recomendable que sean los operarios los que la utilicen. Para ello, los gráficos de control han de ser sencillos de construir e interpretar. En cuanto a la actualización de los límites de control en los gráficos, hemos de decir que los límites no se han de cambiar mientras no se tenga evidencia de que el sistema de causas comunes haya cambiado o de que cambia el procedimiento de toma de datos. A continuación presentamos los gráficos de control más comunes clasificados, de acuerdo con el tipo de característica que se controla, en gráficos de control para variables y para atributos.

11.4 Gráficos de control para variables 248

Se denominan así los gráficos de control para características continuas del producto o del proceso tales como: contenido en cm3 de un líquido, peso de un saco de pienso, viscosidad de una resina, intensidad de una tinta, temperatura de un horno, etc., las cuales, cuando el proceso está en estado de control, se distribuyen en general según la ley normal1. Un proceso del cual se está controlando una característica continua puede abandonar su estado de control por verse afectada su media, su variabilidad o ambas a la vez. Por consiguiente, hay que construir gráficos para controlar ambos parámetros por separado, no sólo la media. El control de la media del proceso se realiza, siempre que se pueda, a través de las medias de muestras de tamaño n, tal como se vio en el apartado 11.2.2. Si de las mismas muestras se calcula la desviación típica muestral s, se puede construir un gráfico de control para σ utilizando la distribución teórica de s presentada en el apartado 4.8 s2

≈

(

σ2

)

n −1

X n2−1

(11.1)

Así, tomando los percentiles adecuados de la chi-Cuadrado, se tendría un gráfico para s2 (notar que este gráfico no es simétrico). En la práctica, el cálculo de la varianza muestral resulta difícil para personal poco familiarizado con la estadística y se recurre a calcular el rango de variación muestral R, que se define como la diferencia entre las observaciones extremas. Se puede demostrar matemáticamente que existe una relación entre s2 y el rango muestral para muestras de tamaño n y tal relación es:

1

Si no se distribuyen las observaciones individuales, si lo hacen las medias para tamaño suficientemente grande (teorema central del límite.)

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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

s = σ$ =

R d2

(11.2)

donde d2 se puede encontrar, para diferentes tamaños de muestra, en la tabla H del apéndice 1 al final del libro. A continuación se presentan los gráficos más utilizados para características continuas.

11.4.1 Gráficos X -R El CEP utilizando gráficos X -R se lleva a cabo tomando muestras de n individuos (entre dos y seis), calculando la media y el recorrido muestral y llevando estos valores a los gráficos correspondientes. Las muestras han de ser obtenidas de tal forma que contengan individuos homogéneos, es decir, producidos bajo las mismas condiciones; así, los estadísticos que se obtengan de ellos, la media y el recorrido, serán buenos estimadores de los parámetros del proceso. Es decir, debe procurarse que, durante el tiempo que el proceso fabrica los individuos que forman parte de una muestra, sólo hayan actuado causas comunes de variabilidad. Los límites en los gráficos se colocan en

σ n µ o σ µ −3 n µ+3

Límite superior Gráfico X

Límite central Límite inferior

Gráfico R

Límite superior

D4 R

Límite central

R

Límite inferior

D3 R

x + A2 R

o

(11.3)

x

249

x − A2 R

o

(11.4)

donde los valores de A2, D3 y D4 se pueden encontrar, para distintos tamaños de muestra, en la tabla H del apéndice 1 al final del libro. En aquellos casos en que no se tenga una estimación de los parámetros del proceso en el momento de implementar los gráficos de control, o se desee recalcularlos, se han de seguir los siguientes pasos: 1) Tomar k (al menos 20) muestras de tamaño n (entre dos y seis) de forma consecutiva y a intervalos de tiempo iguales, calculando la media y el rango de cada muestra: xi 1 + xi 2 + K + xin Ri = max. xij − min. xij j = 1, 2 , 3,K , n n 2) Calcular la media de las k medias muestrales y la media de los k rangos: xi

( )

=

( )

k

x

=

k

∑ xi i =1

k

(11.5)

R

=

∑ Ri i =1

k

3) Calcular los límites de control del gráfico mediante las expresiones (11.3) y (11.4).

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(11.6)

MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

250

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CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

4) Llevar los valores de las medias y los rangos de las muestras obtenidas a los gráficos y comprobar que no hay ningún tipo de comportamiento anómalo en ninguno de ellos. En tal caso, pasar al apartado siguiente. Si existe evidencia de que durante la construcción del gráfico el proceso no ha estado bajo control, se han de buscar las causas asignables y actuar sobre ellas. Sólo en este caso se reconstruirá el gráfico eliminando las anomalías y comenzando en el paso 2). En aquellos casos en que hayan variado notablemente las características del proceso, debe comenzarse desde el principio. 5) Mantener los límites de control calculados en el apartado 3) y establecer un plan de control para el futuro con el objetivo de realizar un seguimiento del proceso. Para ello, dependiendo de las características del proceso (coste de inspección, producción diaria, coste de producir fuera de especificaciones) se toman muestras de tamaño n en intervalos de tiempo determinado y se lleva la media muestral, x i, y el recorrido, Ri, a los gráficos correspondientes. Una llamada de atención en uno de los gráficos, equivale a que una causa asignable ha entrado en el proceso. En este caso, se ha de buscar la causa asignable y deben tomarse las acciones adecuadas para llevar al proceso a su estado de control. Cuando la construcción de los gráficos se hace manualmente, existen plantillas que han sido adoptadas con pequeñas variantes en las empresas. En ellas, además del espacio reservado para los gráficos, existen casillas donde se debe anotar toda la información que pueda ayudar a una posterior interpretación del gráfico. Un ejemplo de esta plantilla se presenta al final del capítulo. El gráfico de la figura 11.3 es un caso particular del uso del gráfico X . En él, los límites se han calculado a partir de las primeras 20 observaciones que se encuentran en la tabla 11.2. Límite superior = 200 + 0.729 x 1.48 = 201.1 Límite central = 200 Límite inferior = 200 - 0.729 x 1.48 = 198.9 Como ya se comentó en el apartado 11.2.2, con este gráfico se han detectado cambios en el proceso debidos a cambios en la media y también a un incremento de la variabilidad. Para el gráfico de la variabilidad, se llevan los rangos de la tabla 11.2 a un gráfico como el de la figura 11.5, donde los límites de control se han calculado a partir del rango medio y los valores de D3 = 0 y D4 = 2.282 correspondientes a una muestra de tamaño 4. Los límites así calculados son los siguientes: Límite superior = 2.282 x 1.48 = 3.38 Límite central = 1.48 Límite inferior = 0x 1.48 = 0 Como se puede observar en el gráfico R, el aumento de la media del proceso a partir de la observación 20 provoca un ligero incremento en los rangos, aunque este aumento es más manifiesto cuando aumenta la variabilidad del proceso a partir de la observación 40, llegando incluso a salir los rangos fuera de los límites. Fig. 11.5 Gráfico R para la variabilidad del proceso de embotellado. Con µ=200 y σ=0.7 (observaciónes 1-20), con µ=201 y σ=0.7 (observaciones 21-40) y con µ=200 y σ=1 (últimas 20 observaciones)

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

X1

X2

X3

X4

202.016 200.390 200.08 198.584 199.413 199.701 199.380 201.435 199.440 200.857 200.445 200.109 199.985 200.580 199.796 199.277 200.612 199.899 200.310 198.692

200.218 200.18 199.420 201.011 199.453 198.761 200.491 200.279 199.155 201.021 199.933 200.900 200.006 199.934 199.759 200.722 198.605 201.027 199.998 198.650

200.588 198.385 200.045 200.260 200.012 200.001 200.361 199.727 199.966 199.526 200.030 200.116 200.659 199.789 199.880 198.398 199.194 199.998 200.571 200.686

199.930 199.120 199.985 200.097 200.720 200.118 200.057 200.513 200.129 200.654 199.044 201.751 200.600 199.699 200.340 200.410 199.998 200.806 199.250 201.191

MEDIA

Ri

200.688 199.520 199.884 199.988 199.900 199.645 200.072 200.488 199.672 200.515 199.863 200.719 200.312 200.001 199.944 199.702 199.602 200.432 200.032 199.805

2.085 2.005 0.665 2.427 1.306 1.357 1.111 1.707 0.974 1.496 1.401 1.642 0.673 0.881 0.581 2.324 2.007 1.129 1.322 2.541

X = 200

R = 1.48

Tabla 11.2 Contenido en cm3 de 20 muestras de tamaño 4 de botellas de agua

11.4.2 Gráfico de observaciones individuales y gráfico de rangos móviles Estos gráficos son similares a los gráficos X -R con la diferencia de que los primeros se utilizan en aquellos casos en que se obtiene una única observación en cada instante. Algunas situaciones en las que esto ocurre son: > sólo puede obtenerse una observación por lote o partida de material; > en procesos continuos o de batch en los cuales no tiene sentido hablar de “individuos”; > se requiere realizar una comparación directa con las especificaciones. Para la implementación de los gráficos de observaciones individuales y de rangos móviles se han de seguir los pasos presentados para los gráficos X -R, teniendo en cuenta que, al ser n=1, se tendrán que realizar algunas modificaciones. Así, con las k observaciones obtenidas según el paso 1) del apartado 11.4.1 se estima la media del proceso, µ, según, k

x

=

µ$ =

∑ xi i =1

k

donde

xi observación i-ésima y

k total de observaciones

El rango medio se obtiene promediando los rangos móviles obtenidos al hacer muestras de tamaño w de la siguiente manera: para obtener R1 se toman las primeras w observaciones (x1, x2, ...,xw) y se calcula el rango. R2 se obtiene a partir de (x2, x3, ..., xw, xw+1), y así sucesivamente. Así, se obtiene la media de rangos,

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

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CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

k − w +1

R

=

∑ Ri

(11.7)

i =1

k − w+1 donde: k: total observaciones, w: nº de observaciones utilizadas en el cálculo del rango móvil, Ri: rango del grupo móvil (xi,...,xi+w-1), R: media de rangos móviles, De esta manera el control estadístico de la media del proceso se realiza llevando las observaciones individuales a un gráfico que tiene de límites,

252

Límite superior

x +3

Límite central

x

Límite inferior

x −3

R d2

(11.8) R d2

Para el control estadístico de la variabilidad se utilizan los rangos móviles calculados anteriormente, siendo el gráfico similar al gráfico R en (11.4). En ambos gráficos para el cálculo de los valores d2, D3 y D4 se considera n=w. Hay que notar que w ha de ser seleccionado de tal manera que los elementos en un mismo grupo sean lo más homogéneos posibles. Un valor de w muy utilizado es w=2, y en tal caso d2 es aproximadamente 9/8. El gráfico de observaciones individuales es menos sensible que el gráfico X , como ya se comentó en el apartado 11.2.1. Además, si la distribución de los datos no sigue una ley normal, hay que tener mucho cuidado en la interpretación del gráfico. Téngase en cuenta por otra parte, que el hecho de que los valores Ri no sean totalmente independientes también dificulta la interpretación del gráfico de la variabilidad. 11.4.3 Gráfico de medias móviles El gráfico de medias móviles, o gráfico MA (Moving Average), es un gráfico para controlar la media del proceso y se emplea en general en aquellos casos en los que, obteniéndose observaciones individuales del proceso, se desea analizar el mismo con la sensibilidad que permite un gráfico de medias. Para ello, las medias móviles se obtienen de igual manera que se han obtenido los rangos móviles en el apartado anterior y los límites de control se obtienen ahora directamente de (11.3) para n=w. Estos gráficos “suavizan” el comportamiento observado en el de observaciones individuales y muestran mejor la tendencia del proceso. Por otra parte, y tal como ocurría en el gráfico de rangos móviles, las observaciones no son independientes, lo cual dificulta la interpretación. 11.4.4 Interpretación de los gráficos de control El objetivo de la utilización de los gráficos de control para el seguimiento de un proceso es primordialmente el de detectar cualquier evidencia de que la media y la variabilidad del proceso no se

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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

han mantenido constantes a lo largo del tiempo. Es decir, se pretende detectar la aparición de causas asignables de variabilidad. Con tal objetivo en el gráfico se han representado dos cotas o límites de variabilidad las cuales evidencian la presencia de tales causas si son sobrepasadas. Este patrón de inestabilidad fue el que se mantuvo durante los primeros años de la implantación de los gráficos Shewart. Los gráficos así construidos tenían varios inconvenientes: > Permanecían impasibles ante aquellas causas asignables que afectaban al proceso sin llegar a provocar individuos fuera de límites. > Detectaban algunas anomalías demasiado tarde. > No tenían en cuenta la información histórica del proceso. Para contrarrestar los puntos anteriormente citados, se incorporaron nuevos patrones de inestabilidad. Estos últimos tienen la particularidad de ser tan poco probables de ser presenciados en un proceso bajo control como el hecho de obtener una observación fuera de límites; además, tienen en cuenta el comportamiento histórico del proceso a corto plazo. Para la detección de tales patrones, se han de dividir las dos áreas alrededor del límite central en tres zonas: A, B y C. Las figuras 11.6.a y 11.6.b presentan los patrones más utilizados en la interpretación de los gráficos de control. Si alguno de los ocho patrones presentados aparece en el gráfico, se interpreta que el proceso está siendo afectado por causas asignables. En tal caso, si se está seguro de cuál es la causa que ha provocado la anomalía y se sabe cómo actuar sobre ella, se han de tomar las acciones adecuadas para llevar al proceso a su estado de control. Nótese, además, que cuanto más se muestrea más posibilidades existen de obtener falsas alarmas y tomar, por lo tanto, acciones que, en lugar de disminuir la variabilidad del proceso, la aumentan. Por lo tanto, no se ha de actuar si no se está seguro de la presencia de causas asignables y se conoce su identidad. Patrón 1 Un punto fuera de los límites

Patrón 3 4 puntos de 5 al mismo lado de B

Patrón 2 2 puntos de 3 al mismo lado de A

Patrón 3 8 puntos consecutivos al mismo lado de C

Fig. 11.6.a Patrones 1-4 de inestabilidad

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

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CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

Patrón 5 15 puntos consecutivos en la zona C

Patrón 7 14 puntos seguidos alternados

Patrón 6 8 puntos seguidos a los dos lados de la línea central y ninguno en C

Patrón 8 6 puntos seguidos creciendo o decreciendo

Fig. 11.6.b Patrones 5-8 de inestabilidad

254

Generalmente, cuesta identificar una causa asignable entre todas las posibles. En la práctica lo que se hace es estar atento al proceso cuando éste comienza a mostrar anomalías y tratar de analizar la disposición de los datos entre los cuales van apareciendo estos patrones de inestabilidad. La manera en que aparecen las anomalías puede ayudar a identificar las causas asignables pero no existe una regla general ya que: > cada proceso tiene unas características particulares que hacen que un tipo de inestabilidades sean más frecuentes que otras; > dado un patrón de inestabilidad, las causas que pueden provocarlo son variadas y dependen totalmente del proceso con el que se está trabajando. Por consiguiente, para la interpretación de los gráficos de control es primordial conocer el proceso. En general, las causas que afectan a la media del proceso son aquellas que cuando intervienen afectan a todo el producto de forma parecida. Por el contrario, las causas que afectan a la variabilidad afectan sólo a una parte del producto. Por supuesto que ciertas causas pueden afectar a la media y a la variabilidad del proceso a la vez. Por ello, si se trabaja con los gráficos X -R es recomendable analizar el comportamiento de la media y el recorrido por separado. Primero el comportamiento del gráfico R, que es más sensible a cambios en el proceso, después el gráfico X y finalmente los dos a la vez. (No tiene sentido interpretar el gráfico X si el gráfico R no está bajo control.) Recomendamos al lector la lectura del manual de AT&T (1985) sobre el control estadístico de procesos si desea ampliar el tema de interpretación de los gráficos de control. Por último hemos de insistir en el hecho de que el objetivo en la interpretación de un gráfico de control es analizar si el proceso se comporta de una forma estable a lo largo del tiempo. Este análisis no pretende comparar las características del proceso con sus especificaciones o tolerancias. Cuando tal comparación sea necesaria se realizará un estudio de capacidad, tal como se describe en el apartado 11.4.5, el cual será fiable sólo cuando el proceso esté bajo control.

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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

11.4.5 Estudios de capacidad Consideremos el proceso de relleno de botellas utilizado a lo largo de este capítulo. Cuando tal proceso está en estado de control, a la amplitud del intervalo de variabilidad de las observaciones individuales, se la denomina capacidad. A tal capacidad contribuirán entre otros, las características de las máquinas, el personal, el servicio de mantenimiento del proceso, la forma de la boca de la botella, etc., que varían a lo largo del tiempo. Por este motivo se habla de capacidad a largo plazo. También podemos preguntarnos sobre la capacidad de la máquina embotelladora por Fig. 11.7 Capacidad de máquina y de proceso, capacidad a corto y a largo plazo sí sola. En tal caso nos referimos estrictamente a la variabilidad atribuible a la máquina cuando el resto de las características permanecen lo más homogéneas posible, lo cual ocurre a corto plazo y, por lo tanto, se denomina a esta capacidad de máquina, capacidad a corto plazo. La idea de “capacidad” sugiere una característica positiva, de forma que cuanto más mejor, pero en este contexto, capacidad = variabilidad y, por lo tanto, cuanto menos mejor. La capacidad es una característica innata a cada máquina o proceso e independiente de las tolerancias o especificaciones del producto que genera. Es más, la capacidad de una máquina se puede especificar incluso antes de ser vendida y, por Figura 11.8 Histogramas representando la variabilidad de un proceso supuesto, antes de saber las tolerancias del producto que va a elaborar. Si tomásemos 40 botellas obtenidas del proceso de rellenado estando éste en estado de control, un histograma de los contenidos de agua obtenidos no tendría, seguramente, ninguna de las formas que se indican en la figura 11.8.a, sino que sería del tipo de la figura 11.8.b recordando a una distribución normal. Como esta variabilidad debida a causas aleatorias sigue una distribución normal, la capacidad de una máquina se define tradicionalmente como la amplitud 6σ, intervalo que contiene el 99.7% de las unidades. Actualmente, y especialmente en el sector del automóvil, prefiere hablarse de 8σ e incluso 10σ, intervalos que dejan fuera 63.4 y 0.6 unidades por millón respectivamente, lo cual equivale prácticamente a hablar del total de la producción. Los estudios de capacidad son una herramienta fundamental para la racionalización del control de calidad. Es necesario saber lo que la máquina es realmente capaz de hacer, y no sólo deben saberlo las personas involucradas en la fabricación, sino también los comerciales cuando negocian con los clientes las características de los productos.

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

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CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

Para el cálculo de la capacidad de una máquina el proceso a seguir es el siguiente: 1. Asegurarse de que la máquina se encuentra en estado de control. 2. Tomar un mínimo de 50 unidades consecutivas (normalmente entre 50 y 100), midiendo para cada una la característica que se quiere estudiar estudiar. 3. Verificar la normalidad de los datos. Esta verificación suele hacerse representando la función de distribución de los datos en papel probabilístico normal. 4. Estimar la desviación tipo del proceso o, directamente, su capacidad. Puede verse una explicación detallada de este procedimiento en el libro de J.L. Vachette, Mejora continua de la calidad (ver bibliografía). La capacidad del proceso se determina igual que la capacidad de una máquina pero a partir de muestras tomadas en toda la variedad de condiciones en que debe trabajar la máquina (variedad de turnos, operarios, materias primas, etc.), y se toma el intervalo de 6σ para definirla. Una vez se tienen los datos, éstos se representan en un gráfico de control para asegurarse de que no existen causas de variabilidad asignables. Si, por ejemplo, se presentan puntos fuera de límites, debe identificarse la causa que ha producido esa variación inusual y eliminarla. Si no se es capaz de identificar cuál ha sido la causa, no hay razón para eliminar el dato, y debe considerarse, al menos provisionalmente, que esa variación forma parte del proceso. Por otra parte, las tolerancias del producto deben ser fijadas al concebir el producto en función de las necesidades y expectativas de los clientes (no en función de las características del proceso, obviamente). Sin embargo, una vez definidas las especificaciones de un producto es necesario compararlas con la capacidad del proceso. Dado un proceso y dadas unas especificaciones diremos que un proceso es capaz, si puede producir dentro de las especificaciones exigidas, es decir, si su capacidad es menor que las tolerancias. Para poder comparar estas dos características se define un índice, el índice de capacidad, que es una medida de lo que se puede conseguir con el proceso teniendo en cuenta las especificaciones. Los índices de capacidad son universalmente empleados en la relación de las empresas con los proveedores y con los clientes. Así por ejemplo Ford, empresa pionera en la filosofía de mejora continua de la calidad, impone a sus proveedores que la dispersión de la máquina o proceso debe estar contenida dentro de la especificaciones del producto que compra. El índice de capacidad viene definido, dependiendo de si es para una máquina (corto plazo) o para un proceso (largo plazo), de la manera siguiente:

Cm Cp

=

Tolerancia 8σ

=

Tolerancia 6σ

=

LTS − LTI 8σ

Capacidadde demáquina maquina Capacidad

=

LTS − LTI 6σ

Capacidad de proceso

(11.9)

La diferencia de la definición estriba en que para poder conseguir que el Cp sea aceptable comparando con las especificaciones, se ha de ser más estricto en el Cm de las máquinas que componen el proceso. El valor de Cp da una idea de la variabilidad transmitida por el proceso a los individuos. Si Cp>1 se dice que el proceso es capaz; si por el contrario, Cp1.33 o incluso superiores. Para aquellos procesos que no están centrados en el valor nominal, los índices de capacidad sólo muestran la posibilidad de la máquina, o proceso en su caso, de producir dentro de tolerancias en caso de que se consiga centrarlos. Es decir, es un índice que indica la capacidad potencial de poder cumplir con las especificaciones, pero no tiene por qué coincidir con el comportamiento real. Para subsanar este hecho se define un nuevo índice de capacidad que se desvía del valor de Cp cuanto mayor es el descentramiento del proceso respecto al valor nominal. Estos índices denominados Cmk y Cpk, dependiendo de si se refieren a máquinas o a procesos, vienen definidos de la siguiente manera: LTS − X X − LTI LTS − X X − LTI Cmu = Cml = C pu = C pl = 4σ 4σ 3σ 3σ (11.10) mínimo Cmk = minimo Cmu , Cml C pk = mínimo minimo C pu , C pl

(

)

(

)

Es fácil comprobar que Cmk # Cm y Cpk # Cp. En el caso de procesos centrados y simétricos, la media del proceso coincide con el punto medio de las especificaciones (valor nominal) y, por lo tanto, se verifica Cmk = Cm y Cpk = Cp . Ocurre que cuanto mayor es la diferencia entre los dos índices mayor es el descentramiento. Los valores Cmk y Cpk podrían ser interpretados como índices de capacidad p respecto a la tolerancia más próxima. La tabla 11.3 muestra la relación existente entre distintos valores de Cp y Cpk, y el porcentaje que tales procesos producen dentro de especificaciones cuando están en estado de control. Cabe notar que para valores negativos de Cpk, el porcentaje fuera de especificaciones es similar, independientemente del valor de Cp. En el ejemplo de la planta embotelladora podemos realizar un estudio de capacidad con los datos de la tabla 11.2 sabiendo que las especificaciones del cliente son 200 ± 2 cm3. La capacidad de este proceso puede ser estimada a través del rango medio obtenido con grupos de cuatro observaciones utilizando la expresión (11.2). Así, capacidad del proceso = 6 s = 6 x 1.48/2.06 = 4.32 Para los índices de capacidad, observamos que el proceso está centrado en el valor nominal, entonces Cp = Cpk = 4/4.32 = 0.93 La producción defectuosa se puede hallar utilizando la distribución de referencia que es la ley normal (200, 0.72): 198 − 200  202 − 200    Pr ( x < 198) + Pr ( x > 202) = Pr  z −  + Pr  z >  = 2 ∗ Pr ( z > 2.78) = 2.4 % o   0.72  0.72 

En consecuencia, el proceso de embotellado tiende a producir cinco botellas de cada 1.000 fuera de especificaciones, lo cual puede ser un número no demasiado elevado. Sin embargo, el hecho de que el valor Cp sea aproximadamente 1 implica que hay que tener cuidado con este proceso, ya que si por alguna causa se descentra, el porcentaje defectuoso se eleva rápidamente, tal como muestra la tabla 11.3.

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257

MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

π

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

Cp

0.33

0.33

0.33

0.67

0.67

0.67

0.67

Cpk

0.33

0

-0.33

0.67

0.33

0

-0.33

Media

µ=N

µ = N"σ

µ = N"2σ

µ=N

µ = N"σ

µ = N"2σ

µ = N"3σ

% Fuera de tolerancias

31.7 %

52.3 %

84.3 %

4.6 %

16 %

50 %

84.1%

Cp

1

1

1

1

1.33

1.33

0.67

0.67

Cpk

1

0.33

0

-0.33

1.33

0.67

0.33

-0.33

Media

µ=N

µ = N"2σ

µ = N"3σ

µ = N"4σ

µ=N

µ = N"2σ

µ = N"3σ

µ = N"5σ

% Fuera de tolerancias

0.3 %

15.9 %

50 %

84.1 %

63 ppm

2.3 %

15.9 %

84.1%

N= valor nominal. Tabla 11.3 Relación entre los índices de capacidad Cp y Cpk, y el % fuera de tolerancias

11.5 Gráficos de control para atributos

258

Existen situaciones en que la característica de calidad que interesa controlar no es una característica medible, sino que es cierto atributo que puede poseer o no el producto. Incluso se pueden estudiar varias cualidades del mismo producto y analizar si permanecen estables a lo largo del tiempo. A veces el atributo va ligado a una característica medible, por ejemplo, cuando en la línea de relleno de botellas presentado a lo largo de este capítulo se controla el número de las mismas que salen fuera de tolerancias. En tales casos, aunque resulta más fácil realizar el control por atributos que por variables, perderemos la información continua que nos puede aportar un control por variables del contenido de cada botella. Un punto muy importante que hay que tener en cuenta en los gráficos de control por atributos, pues de no considerarlo lleva a interpretaciones erróneas en cuanto al funcionamiento del proceso: es el criterio empleado para decidir si un individuo posee la característica a estudio. Tal criterio ha de ser claro y no ha de cambiar mientras se mantienen los límites de control, en caso contrario se han de recalcular los límites y comenzar de cero. 11.5.1 Gráfico P El gráfico P se utiliza cuando los individuos de un proceso se clasifican en defectuosos-no defectuosos, enfermos-sanos, fuera-dentro de tolerancias, etc., y se desea controlar la proporción p de individuos en uno de estos grupos. El control del proceso se realiza anotando la proporción de individuos defectuosos en el gráfico. Los límites del gráfico P son hallados utilizando el modelo teórico que sigue el estadístico a controlar p, que como ya se presentó en el apartado 4.2 puede ser obtenido de la ley binomial. Los límites del gráfico serán obtenidos de tal forma que la probabilidad de ocurrencia más allá de los límites estando el proceso en estado de control sea entorno a un 3‰. Estos límites serán prácticamente simétricos respecto el límite central para tamaños de muestra suficientemente grande y np> 5, (debido a la convergencia a la ley normal), y no tanto cuando las muestras sean pequeñas.

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π

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

El control de la proporción p se realiza analizando el comportamiento de las proporciones muestrales a lo largo del tiempo. Para ello, se aconseja tomar muestras de tamaño lo suficientemente grandes como para dar oportunidad a que aparezcan, al menos, tres o cuatro unidades defectuosas. Por ejemplo, si extraemos muestras de tamaño 10 en un proceso que genere un 5% de individuos defectuosos difícilmente podremos detectar un aumento en la proporción defectuosa a un 10%, puesto que en ambos casos la mayoría de las muestras no contendrán individuos defectuosos. El poder de detección de este cambio, sin embargo, aumenta si las muestras se toman de tamaño 100. Una vez presentadas las puntualizaciones anteriores pasemos a la construcción del gráfico. Notemos que a diferencia de los gráficos por variables, aquí sólo hay un parámetro independiente del proceso que es la proporción p (la variabilidad muestral en este parámetro una vez elegido n es p(1-p)/n). Pasos a seguir en la implementación del gráfico P (supondremos que se clasifican los individuos según sean o no defectuosos) 1) Investigar si existe información histórica de la proporción p de individuos defectuosos generados por el proceso en estado de control. En tal caso construir el gráfico como en 5), sustituyendo la estimación del parámetro. 2) Seleccionar ni permitiendo que aparezcan al menos cuatro defectuosos en media en una muestra. Tomar k (al menos 20) muestras de tamaño ni (n no tiene por qué ser fija) de forma consecutiva y a intervalos de tiempo iguales. 3) Calcular la fracción de individuos defectuosos para cada muestra. pi

=

n º defectuosos en muestra i ni

i

= 1, 2 , K , k

(11.11)

4) Calcular la estimación de p a través del total de individuos defectuosos encontrados. p

=

∑ ni pi ∑ ni

 Total defectuosos     Total muestreado 

=

259

(11.12)

El valor p será una estimación de la proporción p de defectuosos del proceso si éste ha permanecido estable, sólo afectado por causas comunes, durante la toma de las muestras. 5) Calcular los límites de control del gráfico mediante las fórmulas que siguen. (Si se trabaja con p en %, los límites son iguales excepto que debe aparecer 100-p en lugar de 1-p.)

Límite superior

p+3

Límite central

p

Límite inferior

p−3

p (1 − p ) ni

( L. S .) ( L. C.)

p (1 − p ) ni

(11.13)

( L. I .)

Nótese que los valores de los límites superior e inferior cambian con el tamaño del subgrupo: cuanto mayor es n más precisión se tiene en la estimación del parámetro p y antes se detecta un cambio en el proceso. Los límites de control así elegidos están basados en la aproximación a la normal. En general, esta aproximación es válida para la mayoría de los procesos industriales en los cuales la proporción defectuosa se puede estimar en partes por cien. En aquellos otros procesos industriales en los cuales se habla de defectos por mil, se utiliza más la aproximación a la ley Poisson.

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

260

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

π

6) Llevar los valores de los pi obtenidos de las k muestras al gráfico, y comprobar que no haya evidencia de que alguna causa asignable haya estado actuando durante la recogida de los datos. En tal caso pasar al apartado siguiente. Si se detecta alguna anomalía, antes de implementar los gráficos aquí construidos se han de identificar las causas asignables y emprender las acciones pertinentes. Sólo en este caso se pueden eliminar las observaciones anómalas y reconstruir el gráfico comenzando por el paso 4). Una vez más, si el cambio en el proceso ha sido notable se ha de comenzar por el apartado 2). 7) Mantener los límites de control calculados en el apartado 5) y establecer un plan de control para el futuro con el objetivo de detectar cambios en la proporción de individuos defectuosos que genera el proceso. Este plan contendrá: > el criterio a utilizar para clasificar a un individuo como defectuoso, que será idéntico al utilizado para calcular los límites; > el número de individuos que contendrá cada grupo, n; > la frecuencia de muestreo. Los dos primeros puntos ya se han tratado anteriormente. En cuanto a la frecuencia de muestreo, que ya se comentó en parte en el apartado 11.3, dependerá de varios factores, entre ellos el ritmo de producción, el coste de inspección y las exigencias de los clientes. Además, esta frecuencia no tiene por qué ser fija. Por ejemplo, puede ser severa cuando se pone un proceso en marcha y algo más relajada cuando el proceso es estable a unos niveles de calidad aceptables. Una vez establecido el plan, los pasos a seguir serán: NÚM. BOTELLAS TAMAÑO DE PROPORCIÓN > Extraer una muestra de tamaño ni. MUESTRA DEFECTUOSAS LA MUESTRA DEFECTUOSA > Contar el número de elementos defec1 6 100 6% tuosos y hallar pi, la fracción defectuosa. 2 7 150 4.7 % > Llevar pi al gráfico. 3 5 120 4.2 % > Ajustar los límites si ni no es fijo mante4 10 100 10 % niendo el valor de p. 5 8 140 5.7 % > Comprobar si existe evidencia de que 6 7 90 7.8% alguna causa asignable ha entrado en el 7 4 100 4% proceso. 8 2 100 2% > Emprender acciones: actuar cuando alguna 9 1 100 1% causa asignable entre en el proceso o 10 9 150 6% seguir mientras no haya evidencia de ello. 11 12 145 8.3 % Existen plantillas para el gráfico P 12 5 130 3.8 % para el caso en que el control se realice 13 6 100 6% manualmente. En ellas es conveniente 14 11 160 6.9 % apuntar, aparte de la información signifi15 3 120 2.5 % cativa del proceso, cualquier incidencia que 16 14 140 10 % haya ocurrido durante la toma de datos y que 17 4 100 4% pueda ayudar a la interpretación del compor18 7 90 7.8 % tamiento del proceso. 19 6 100 6% A continuación construiremos el gráfico 20 9 100 9% de control para la proporción de botellas Total = 136 Total defectuosas en el proceso de embotellado. Los =2.335 criterios seguidos para rechazar una botella han Tabla 11.4 Botellas defectuosas encontradas en 20 muestras. sido, además de comparar el contenido con las

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π

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

especificaciones del cliente, defectos de las botellas, mal etiquetado y defectos de cierre. Los datos obtenidos se encuentran en la tabla 11.4. Para la implementación del gráfico P estimaremos la proporción de botellas defectuosas, tomando la proporción de botellas defectuosas encontradas en estas 20 muestras y no el promedio de las proporciones de cada una de las muestras. Por lo tanto, p

136 2.335

=

= 5.82 %

(11.14)

A partir de (11.13) se obtiene el gráfico de control de la figura 11.9 que en este caso por ser el tamaño de muestra variable, no tiene los límites fijos. Para las dos primeras muestras se obtiene, L. superior = 5.82 + 3 5.82 (100 − 5.82) / 100 = 12.84    Muestra 1 n = 100 L. central = 5.82     L. inferior = 5.82 − 3 5.82 (100 − 5.82) / 100 ≈ 0

(11.15)

L. superior = 5.82 + 3 5.82 (100 − 5.82) / 150 = 1155 .    Muestra 2 n = 150 L. central = 5.82    L. inferior = 5.82 − 3 5.82 (100 − 5.82) / 150 = 0.09  261

Gráfico p 0.120

Proporción

El control de la proporción defectuosa se realizará tomando muestras de botellas a intervalos de tiempo fijo y llevando la proporción defectuosa hallada al gráfico de control, que mantendrá el límite central en p = 5.82 %, y los límites superior e inferior variables según la expresión (11.13).

UCL

P = 0.05824

0.060

LCL

0.000 0

5

10

15

20

Número de muestra

11.5.2 Gráfico NP

Fig. 11.9 Gráfico P para la proporción de botellas defectuosas

El gráfico NP se aplica al mismo tipo de problemas que el gráfico P, pero cuando el tamaño de muestra es fijo. En tales casos, el control de la calidad en el proceso se puede realizar por el número de individuos defectuosos observados en lugar de la proporción defectuosa. El primero es más fácil de construir que el segundo, ya que no hace falta hallar la fracción defectuosa, y si se quiere interpretar en términos de proporciones sólo se tiene que dividir por n la escala vertical del gráfico. Para la construcción del gráfico se utiliza de distribución de referencia la ley binomial (n, p). En esta distribución, el número medio de individuos defectuosos es igual a np y la varianza igual a np(1-p). Como en el apartado anterior, sólo se realiza un gráfico y éste controlará el número medio de unidades defectuosas en n.

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

π

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

Una vez seleccionado n, si no se conoce p se ha de estimar su valor. Para ello es recomendable seguir los pasos que a continuación se señalan, puesto que además de dar una estimación de np comprueban si el proceso ha estado bajo control durante la estimación del parámetro. Los pasos a seguir son: 1) Investigar si existe información histórica de la proporción p de individuos defectuosos que genera el proceso. En tal caso elegir n y construir los gráficos basándose en los límites: Límite superior

=

np + 3 np (1 − p )

( L. S .)

Límite central

=

np

( L. C.)

Límite inferior

=

np − 3 np (1 − p )

( L. I .)

(11.16)

pasando directamente al paso 7). 2) Seleccionar n permitiendo que al menos aparezcan cuatro o cinco defectuosos en media por muestra. Tomar k (al menos 20) muestras de tamaño n de forma consecutiva y a intervalos de tiempo iguales. 3) Contar el número de defectuosos en cada muestra. di = n pi

con i=1, 2, ..., k

4) Calcular el número medio de defectuosos por muestra promediando por el total de muestras. 262

d

=

k

di i =1 k

∑

=

np1 + np2 + K + npk k

=

 p + p2 + K + p k  n 1    k

=

np

(11.17)

Este valor será un estimador de np, la media teórica de elementos defectuosos del proceso en grupos de tamaño n. 5) Calcular los límites de control del gráfico mediante las fórmulas en (11.16), sustituyendo el valor de np por su estimador n p . Nótese que la amplitud del gráfico, o cotas de variabilidad permisible en estado de control, aumenta con el tamaño del subgrupo. Ello no quiere decir que se consiga menos precisión cuanto mayor es el valor de n, sino todo lo contrario. (Dejamos al lector tal comprobación que se puede obtener simplemente con un cambio de la escala dividiendo por n.) Al igual que en los gráficos P estos límites están basados en la aproximación de la binomial a la normal bajo las condiciones comentadas en el apartado 4.2. 6) Llevar los valores del número de defectuosos por grupo al gráfico, y comprobar que durante la obtención de las muestras el proceso ha estado bajo control. En tal caso tomar el estimador obtenido de np para el futuro y pasar a la fase siguiente. Si existe evidencia de que alguna causa asignable ha entrado en el proceso, antes de continuar se ha de identificar tal causa y tomar las medidas adecuadas. Sólo en tal caso se eliminará la información de los grupos afectados y se reconstruirán los gráficos a partir del paso 4). En aquellos casos que las medidas correctivas hayan producido un cambio significativo en la naturaleza del proceso, se deberá comenzar el proceso desde el paso 1). 7) Mantener los límites de control calculados siempre y cuando no se cambie el diseño del proceso y el criterio de clasificación de los productos, y establecer un plan de control para el futuro tal como se comentó para el gráfico P.

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π

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

11.5.3 Gráfico C (2) En muchas ocasiones la característica que nos interesa controlar no es el número de individuos defectuosos sino el número de defectos que aparecen en un individuo. Este tipo de control puede ser más completo que los presentados anteriormente puesto que: > el individuo puede no ser defectuoso y presentar defectos; > el carácter defectuoso puede ser de distinta magnitud dependiendo de la cantidad de defectos que presenta. En aquellos procesos que no generan individuos, como por ejemplo, los procesos continuos, también nos puede interesar el control del número de defectos por cierta unidad definida: metro, metro cuadrado, hora, etc. Otros ejemplos en los que se puede aplicar estos gráficos son cuando se desea controlar el nº de pasajeros que toman un vuelo determinado por día, o el nº de camas ocupadas en un hospital por semana, o el nº de personas que pasan por una caja registradora de unos grandes almacenes por hora. En uno u otro caso, este tipo de control puede ser llevado tomando la distribución de referencia de la ley Poisson (λ), donde λ representa el número medio de ocurrencias por unidad de tiempo, superficie, etc. Cuando λ es suficientemente grande se puede hacer una aproximación de la ley Poisson por la ley normal, tal como se vio en el apartado 4.3. Para la implementación del gráfico de control hay que tener en cuenta que sólo hay un parámetro independiente a controlar, λ, ya que la varianza en la ley Poisson es también λ. Supondremos en lo que sigue que se mide el número de defectos de estampación por metro cuadrado de tela. Los pasos que se deben seguir en la construcción del gráfico C son los siguientes: 1) Seleccionar lo que va a ser una unidad de medición: un individuo, un metro de cable, un metro cuadrado de tela, una hora, etc., permitiendo que en tal unidad ocurran en media al menos 10 ocurrencias del fenómeno a estudio. 2) Investigar si existe información histórica del parámetro λ: número medio de defectos por metro cuadrado. En tal caso construir los gráficos basándose en los límites: Límite superior = λ + 3 λ λ

Límite central

=

Límite inferior

= λ −3 λ

( L. S .) ( L. C.)

(11.18)

( L. I .)

pasando directamente al paso 5). 3) Tomar k (al menos 20) piezas de un metro cuadrado de tela de forma consecutiva y a intervalos de tiempo iguales. Contar el número de defectos en cada pieza y calcular el valor medio λ

=

λi i =1 k k

∑

i = 1, 2, K , k

(11.19)

llevando este valor a la expresión (11.18). Cuando el valor de λ no es muy grande, la convergencia a la normal no es muy buena. En tales casos el límite inferior suele ser negativo, lo cual no tiene ningún sentido, y se sustituye por 0.

2

Llamado gráfico C porque controla las no-conformidades. Aunque en la mayoría de libros se utiliza la notación de la letra C en lugar de la λ, nosotros utilizaremos esta última.

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263

MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

π

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

4) Acomodar los datos obtenidos en 3) y seguir las mismas reglas de control que con los gráficos anteriores. 5) Con los gráficos definitivos, establecer un plan de control para el futuro. Como ejemplo de aplicación presentamos los datos de la tabla 11.5, que recogen el número de defectos de estampación encontrados por m2 en un proceso textil. A partir de estos datos, durante la recogida de los cuales se puede comprobar en la figura 11.10 que el proceso ha estado bajo control, se elaborará el gráfico de control a utilizar en un futuro. A partir de estos datos se puede estimar el valor de λ utilizando la expresión (11.19), λ$

∑ defectos ∑ unidades

=

235 30

=

=

7.83

(11.20)

y, por lo tanto, los límites de control del gráfico C se mantendrán en 7.83 ± 3 7.83 , tal como aparecen en la figura 11.10.

264

NÚM. DE

NÚM. DEFECTOS

OBSERVACIÓN

POR m

2

NÚM. DE

NÚM. DEFECTOS

OBSERVACIÓN

POR m

1

9

16

2

9

17

9

3

7

18

13

4

14

19

7

5

8

20

6

6

5

21

11

7

5

22

5

8

5

23

8

9

6

24

10

10

9

25

6

11

4

26

5

12

7

27

10

2

6

13

4

28

8

14

11

29

9

15

10

30

9

Tabla 11.5 Nº de defectos de estampación por m2 en un proceso de estampación textil

Total = 235

Fig. 11.10 Gráfico C para el número de defectos de estampación por m2 en un proceso textil

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π

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

11.5.4 Gráfico U El gráfico U se utiliza para el mismo tipo de problemas que el gráfico C, pero en aquellos casos en que no se puede tomar una unidad del mismo tamaño para controlar el número de defectos. A continuación se presentan algunos ejemplos donde esto ocurre y que pueden ser representativos de las situaciones generales: > >

>

Puede resultar difícil tomar exactamente un metro cuadrado de tela, por lo que se toman piezas similares de aproximadamente un metro cuadrado. En el control del número de personas que acuden a una máquina registradora en una tienda, en lugar de tomar las mediciones en intervalos de tiempo iguales, se toman las mediciones en intervalos más flexibles. Cuando se mide el número de defectos por lote, éste puede no contener un número fijo de individuos.

En el gráfico U se colocan igualmente el número de defectos por unidad, pero ahora no tiene porqué ser un valor entero. La distribución de referencia en la cual está basado el gráfico U puede ser calculada a través de la ley Poisson. En efecto, si ci = nº de defectos en la muestra i, ni = unidades inspeccionadas en la muestra i, ui = ci / ni será el nº de defectos por unidad en la muestra i, los valores ui seguirán una distribución de Poisson de media: u

=

∑ ci ∑ ni

i

= 1, K , k

265

(11.21)

Cuando en lugar de tomar una unidad tomamos ni unidades, la variabilidad muestral de ui es, V [ui ] =

V [ci ]

ni u u (11.22) = = ni ni2 ni2 y, por lo tanto, los límites de control del gráfico U se obtendrán a partir de las expresiones (11.18), (11.21) y (11.22) como, u +3

Límite Limite superior Límite Limite central

u

Limite inferior Límite

u −3

u ni

( L. S .)

( L. C.) u ni

(11.23)

( L. I .)

Por lo tanto, los pasos a seguir en la implementación del gráfico U serán idénticos a los seguidos para el gráfico C con la diferencia que: > >

el valor que se lleva al gráfico es ui, el número medio de defectos por unidad, y no el número de defectos encontrados en la muestra (conteniendo ni unidades); los límites de control no son fijos sino que dependen del tamaño de muestra.

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MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

π

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

11.6 Otros gráficos de control 11.6.1 Gráfico CUSUM

266

El gráfico CUSUM (sumas acumuladas) puede ser aplicado en áreas muy variadas tales como control de procesos industriales, administración, ciencias médicas, marketing, comercio, biología, etc. En este capítulo presentaremos la aplicación de los gráficos CUSUM al control de procesos industriales. Los gráficos de control CUSUM surgieron como una alternativa a los gráficos Shewart para detectar cambios moderados en los parámetros del proceso (en torno a 0.5-2 σ, siendo σ la desviación estándar de los valores observables). Las diferencias principales entre los dos gráficos se deben a los objetivos que persiguen. Mientras que el objetivo de los gráficos Shewart es detectar la aparición de causas asignables de variabilidad, el objetivo del CUSUM es algo diferente. Durante el control con CUSUM se desea fabricar en torno a un valor nominal o target T y se pretende detectar cualquier evidencia de alejamiento por parte del proceso de T en una magnitud superior a un valor preestablecido. Este valor T puede ser, dependiendo de la característica a estudio: > Un valor constante: el valor nominal de una variable continua, la varianza del proceso σ2, una proporción de individuos defectuosos p, etc. > Un valor no constante: los valores que predice un modelo teórico. Para la presentación de los gráficos CUSUM nos basaremos en el caso particular en el que se pretende controlar la media de cierta característica y en tal caso T=µ. A igual que en los gráficos X -R se han de tomar muestras de tamaño n del proceso, a intervalos de tiempo equidistantes, y se ha de calcular la media x i y el recorrido, Ri. A partir de estos datos, en cada instante k, se obtiene el estadístico Ck: Ck =

k

∑ ( xi i =1

− T ),

siendo en este caso particular

T =µ

(11.24)

que es el que se llevará al gráfico CUSUM. Este valor acumula las discrepancias de los valores observados respecto al valor nominal. Si el proceso está bajo control produciendo con media µ=T, los sumandos positivos y negativos se compensarán unos con otros y observaremos a Ck oscilar alrededor de 0 (u otro valor fijo), tal como se muestra en la figura 11.11. Por el contrario, si la media del proceso no coincide con T, las discrepancias de los valores observados respecto T se acentuarán en un sentido, dependiendo de si T es superior o inferior al verdadero valor de µ, y por lo tanto el gráfico CUSUM tendrá una apariencia similar a una de las presentadas en la figura 11.12. Fig. 11.11 Gráfico CUSUM cuando el proceso está bajo control con T=µ Por lo tanto, en un gráfico CUSUM la magnitud del valor representado no tiene tanto interés como en los gráficos Shewart, pues aquí la importancia la tiene la pendiente que forma una trama de puntos. En consecuencia, una trama de puntos horizontales, sea cual sea su magnitud, puede ser interpretada como que en ese período de tiempo no hay evidencia de que la media del proceso no sea T. Por el contrario, el alejamiento de la horizontal da pruebas de cambios en la media del proceso: cuanto mayor sea la pendiente, mayor será la discrepancia entre µ y T.

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π

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

0

0

Fig. 11.12 gráficos CUSUM cuando el proceso no está bajo control: a) µ > T. b) µ< T

Por ejemplo, la figura 11.13 presenta un proceso que se ha mantenido con media µ=T al comienzo de la implementación del gráfico CUSUM; posteriormente la media del proceso ha pasado a ser más pequeña, volviendo a su valor original T durante un período intermedio. Al final la media del proceso nuevamente cambia a un valor mayor que T. Si comparamos esta pendiente creciente con la anterior decreciente, podemos sospechar que el último cambio experimentado en la media es de mayor magnitud. Fig. 11.13 gráfico CUSUM para la media de un proceso Como ya se ha mencionado, el análisis de los gráficos CUSUM se hará analizando la pendiente de una trama de observaciones seguidas. Por lo tanto, los límites de control en lugar de estar formados por líneas paralelas estarán formados por dos “pendientes”, que representarán las máximas pendientes permitidas antes de concluir que hay pruebas de que causas asignables están actuando en el proceso provocando un cambio en media superior a la admitida. La pendiente de los límites de control dependerá de cuatro factores: > La escala del gráfico. > La variabilidad innata del proceso, σ. > El cambio en el parámetro del proceso que se pretende detectar. > El riesgo que se admite tomar en las decisiones (α). En cuanto a la escala del gráfico se recomienda que la escala del eje vertical (o escala CUSUM) tenga la siguiente relación con la escala del eje horizontal (o escala del tiempo), 1 unidad escala horizontal = 2 σe escala vertical = A, (11.25) donde σe es la desviación estándar del estadístico del cual se obtienen las sumas acumuladas. Por ejemplo, si σe =5, y colocamos las observaciones en el gráfico CUSUM con una separación de un centímetro en la horizontal, en la escala vertical un centímetro representará 10 unidades de la característica que se mida. La variabilidad innata del proceso influye directamente en los límites de control: a mayor variabilidad más fácil es encontrar tramas de puntos en pendiente y más acentuadas pueden ser éstas aun estando el proceso bajo control. Por lo tanto, para la construcción del gráfico se ha de estimar σe , o desviación estándar del estadístico obtenido de la muestra. Ésta puede tomar diferentes expresiones dependiendo de la característica que se estudie, y puede ser estimada de la misma manera que en los gráficos Shewart.

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267

MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

π

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

Algunas de las formas que puede tomar σe son: n si se toma la medida de cierta característica que varía con desviación típica σ; p (1 − p ) / n si se toman proporciones de individuos defectuosos;

> σ / > > >

np (1 − p ) si se toma número de individuos defectuosos; λ si se toma número de ocurrencias por unidad.

A continuación daremos las pautas a seguir en la construcción de los gráficos CUSUM. Para ello nos referiremos al caso particular en el que se quiera controlar la media de un proceso que, en el momento de la implementación del CUSUM, esté centrada en el valor nominal µ=T. 1) Tomar muestras de tamaño n a intervalos de tiempo equidistantes y obtener la media, x i, y el recorrido, Ri, de la característica a estudio para cada una de las muestras. 2) Calcular en cada instante la suma acumulada de las discrepancias de los valores obtenidos en 1) con el valor nominal T=µ. Ck

=

k

∑ ( xi − µ ) i =1

T=µ

(11.26)

3) Obtener una estimación de σ$ e = se = s n . Ésta puede ser obtenida en función del recorrido medio de un número suficientemente grande de muestras como: se

268

=

R / d2

(11.27)

n

4) Determinar el nivel de probabilidad α, o riesgo que se está dispuesto a asumir en la toma de decisiones, en cada uno de los lados del gráfico. ( α= 0.00135 en los gráficos Shewart.) 5) Definir el factor de escala del gráfico. Es recomendable que 1 unidad horizontal =2 se unidad vertical = A

(11.28)

y$ t

6) Determinar el menor cambio D en media que se quiere detectar y calcular δ = D/ se

(11.29)

7) Obtener, a partir de δ, la distancia principal d d=

2 ln (1 − β / α )

δ

2

o, si β es pequeña, d =

−2 ln (α )

δ2

donde β es la probabilidad de no detectar un cambio de D unidades en la media, y el ángulo θ θ = arctg ( D / 2 A)

8) A partir de d y θ construir la plantilla que definen los límites de control, tal como se muestra en la figura 11.14. Para la interpretación del gráfico CUSUM, el punto O en la plantilla se ha de colocar en el último valor de Ck obtenido. Si alguno de los puntos anteriores queda cubierto por la plantilla, se interpreta que alguna causa asignable ha entrado en el proceso y ha provocado un cambio en la media superior a D unidades. Además se ha de tener en cuenta que: > el primer punto cubierto por la plantilla muestra el momento en que el proceso ha dejado de estar bajo control; > si los puntos están cubiertos por encima de la plantilla es que la media del proceso ha disminuido; > si los puntos están cubiertos por debajo de la plantilla es que la media del proceso ha aumentado.

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+1

π

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

En la interpretación de los gráficos CUSUM de la manera aquí expuesta hay que tomar ciertas precauciones. La primera es que la variabilidad del proceso ha de permanecer constante, para ello se ha de llevar un control aparte de la misma. En segundo lugar, los gráficos así construidos no son muy eficaces en la detección de cambios graduales en media o en los cambios que surgen y desaparecen rápidamente del proceso. Por lo tanto es recomendable usar los gráficos CUSUM para detectar “saltos” en la media del proceso y paralelamente los gráficos Shewart para ayudarnos a interpretar otro tipo de anomalías.

Fig. 11.14 Gráfico de control CUSUM con la plantilla de control

11.6.2 Gráficos EWMA El gráfico EWMA (Exponentially Weighted Moving Average), o gráfico de medias móviles con pesos exponenciales, fueron introducidos en 1971 por Wortham y Ringer, una vez más para suplir la deficiencia de los gráficos Shewart en detectar determinados alejamientos del proceso de su estado de control. Esta necesidad surgió de las empresas de procesos químicos. Tales procesos, ante la presencia de causas asignables, veían modificados sus parámetros generalmente de una manera muy lenta y de modo gradual, no a saltos. Cuando tal hecho ocurría, la aplicación de gráficos Shewart era insensible a tales cambios o, en el mejor de los casos, de efectos muy retardados. Por otra parte los gráficos CUSUM tampoco eran adecuados puesto que los cambios no eran escalonados y, por consiguiente, se interpretaba mal el funcionamiento de los procesos. El gráfico EWMA posee “memoria”, pero ésta es de diferente naturaleza que la de los gráficos CUSUM. Mientras que estos últimos daban igual peso a cualquier instante en el pasado, lo que se denomina “memoria de elefante”, los primeros dan pesos a los datos de una manera exponencial: contribuyendo en mayor cantidad al presente y cada vez menos cuanto más alejados están en el pasado, lo que se denomina “memoria humana”. Este hecho queda plasmado en la figura 11.15. Una característica que diferencia a los gráficos EWMA del resto es que la interpretación del gráfico se hace en función del comportamiento esperado del proceso en el instante siguiente. Para ver todos estos puntos definamos primero el estadístico a utilizar en el gráfico EWMA. Éste es una media, Fig. 11.15 Pesos de los datos en la interpretación del gráfico en el pero con pesos exponenciales, presente t para gráficos Shewart, CUSUM y EWMA

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269

MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

EWMA

π

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

=

y$ t +1

=

λ y t + λ (1 − λ ) y t −1 + λ (1 − λ ) y t − 2 + λ (1 − λ ) y t − 3 + K 2

3

(11.30)

Tal estadístico depende de los datos anteriores a través de un peso que decrece de forma exponencial. Operando con la anterior expresión, y$ t +1

=

(

)[

(

)

(

λ y t + 1 − λ λ y t −1 + λ 1 − λ y t − 2 + λ 1 − λ

]

2

yt − 3 + K

( ) + λ ( y − y$ )

y$ t +1

=

λ y t + 1 − λ y$ t

y$ t +1

=

y$ t

y$ t + 1

=

se llega a la expresión

)

t

(11.31)

t

y$ t + λ et

(11.32)

En ella, a y$ t +1 se le denomina “predicción” para el instante t+1 hecha en el instante t, y puede obtenerse a partir de la “predicción” en el instante t-1 hecha para t y el “error de predicción”, corregida por un factor de λ. Hay que entender que este estadístico así construido no predice el valor que se va a obtener en el proceso, puesto que el valor previsto para observaciones independientes de un proceso en estado de control es la media. En cambio, es un valor que acumula la información del pasado, permitiendo así detectar pequeños cambios graduales en la media del proceso. Así, si el proceso está afectado únicamente por causas comunes, el estadístico y$ t +1 se obtendrá por suma de datos independientes distribuidos según una ley normal de parámetros N(µ,σ2) y, por lo tanto, y$ t +1 seguirá una distribución normal con: 270

[ ]

E y$ t +1

[ ] (

) [ ]

E [ y$ t +1 ] = µ

[ ]

V y$ t +1

(

= λ E y t + λ 1 − λ E y t −1 + λ 1 − λ

[ ]

(

∞

∑ λ (1 − λ )

) E [ y ] + λ (1 − λ ) E [ y ] + K 2

(11.33)

= µ

) [ ]

(

2

t −3

k

k =0

) [ ]

3

t −2

4

(

) [ ] 6

= λ2 V yt + λ2 1 − λ V yt −1 + λ2 1 − λ V yt − 2 + λ2 1 − λ V yt − 3 + K V [ y$ t +1 ] = σ 2 λ2

∞

∑ (1 − λ )

2k

k =0

λ = σ 2−λ

(11.34)

2

Es decir, al ser y$ t +1 distribuido según una N ( µ , σ 2 λ / 2 − λ ) , podemos utilizar los límites de control definidos por Límite superior superior = Limite

µ + 3σ

Limite central central = Límite

µ

Límite inferior inferior = Limite

µ − 3σ

(λ / 2 − λ) (11.35)

(λ / 2 − λ)

y construir así el gráfico de control EWMA. En él representaremos las predicciones y$ t +1 para el tiempo t+1. Si se detecta alguna de las anomalías descritas en el apartado de gráficos X -R, se tomarán las medidas oportunas en el tiempo t. Además, recomendamos añadir en el gráfico EWMA las observaciones originales del proceso, con sus límites correspondientes, ya que así,

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π

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

> >

no se pierde las referencias reales de la característica de calidad bajo estudio; permite calcular de una manera sencilla los valores del EWMA, y$ t +1 , en cada instante. La sensibilidad los gráficos EWMA para detectar cambios en el proceso depende del valor que adopte λ. Si λ 6 1, el valor de EWMA depende totalmente de las observaciones más recientes y el comportamiento del gráfico es similar al del gráfico Shewart. Sin embargo, conforme λ 6 0 se da más peso al comportamiento histórico del proceso, y en tal caso estamos acercándonos al tratamiento de los gráficos CUSUM. Aunque la elección de λ es libre y a juicio del investigador, si se usan los gráficos EWMA para aplicarlos sobre procesos que en estado de control generan observaciones que se pueden considerar independientes, λ será seleccionado en función del cambio que se desea detectar. Para aquellos procesos que en “estado de control” generan datos dependientes, bien porque las causas asignables no se pueden eliminar o bien porque las mediciones se toman muy seguidas, por ejemplo cuando se realizan lecturas automáticas, no se recomienda la aplicación de estos gráficos, sino una variante de los mismos que se presenta al final del capítulo.

11.7 El precontrol El precontrol se utiliza como un método de control estadístico de procesos, que responde al objetivo de controlar la variabilidad del proceso que pueda provocar la aparición de individuos fuera de tolerancias. Tal variabilidad puede ser provocada tanto por causas comunes como asignables. Respondiendo a tal objetivo, algunos casos en que se utiliza el precontrol son: > procesos en los que existe una variación importante de la característica a controlar dentro de su margen de tolerancias; > procesos de corta duración en los que se sabe que existen problemas de “puesta a punto” al comienzo de la producción, pero requieren poco seguimiento posteriormente. Por lo tanto, la intervención en el proceso sólo se realiza en función de la posición del individuo respecto de sus especificaciones, y se dice que un proceso está en estado de control si permanece dentro de las líneas de precontrol que a continuación presentamos, independientemente de si está afectado por causas asignables de variabilidad. El gráfico precontrol se construye de acuerdo con las especificaciones del producto, y se divide en tres zonas a cada lado de la línea central que son pintadas de diferentes colores: verde, amarillo y rojo. A los límites que separan las zonas verdes de las amarillas se las denomina líneas de precontrol. La implementación de estos gráficos se lleva a cabo de la siguiente manera: 1) Construir el gráfico tal como se ha comentado anteriormente. 2) Para determinar si el proceso es capaz, tomar cinco mediciones consecutivas del proceso. Si todas caen en la zona verde, se considera que el proceso está en estado de control y se ha de continuar la producción en las condiciones actuales. Si en cambio, al menos una no cae en la zona verde, se considera que el proceso no está bajo control y se ha de intentar reducir la variabilidad, bien identificando causas asignables o bien utilizando técnicas de diseño de experimentos. Una vez realizadas las acciones adecuadas se comienza otra vez. 3) Una vez el proceso está bajo control, tomar dos mediciones consecutivas periódicamente. La posición de estas unidades determinará las medidas que se deban tomar: > Si las dos caen en la zona verde, o una en la verde y una en la amarilla, se continúa. > Si las dos caen en la zona amarilla al mismo lado se ha de ajustar el proceso. > Si las dos caen en la zona amarilla en distinto lado, se ha de estar atento al proceso para una posible intervención.

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271

MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

π

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

>

Fig. 11.16 Gráfico precontrol

frecuencia =

Si alguna cae en la zona roja, se ha de parar la producción, buscar las causas que han provocado esta unidad defectuosa y eliminarlas. Nótese que siempre que se actúe sobre el proceso se ha de comenzar el precontrol a partir del paso 2). La frecuencia del muestreo puede variar en función de la salida del proceso siendo recomendable tomar dos unidades con una frecuencia de: tiempo medido entre dos paradas del proceso 6

lo cual hace que aquellos procesos que se comporten bien sean muestreados con poca frecuencia. Los gráficos precontrol son muy sensibles cuando actúan sobre procesos en los que 6 es mayor que las especificaciones y obligan a una mejora del proceso. Sin embargo, para aquellos procesos en que 6 es mucho menor que el intervalo de especificaciones, el precontrol permite producir muchas unidades sin actuar sobre el proceso.

272

11.8 Gráficos de control para observaciones dependientes El presente capítulo ha tratado el control estadístico de procesos en el supuesto de que el proceso en estado de control muestre observaciones independientes entre sí. Con tal hipótesis, toda evidencia de no aleatoriedad era interpretada como presencia de causas asignables y, por tanto, se debían emprender acciones para encontrar las causas asignables y actuar adecuadamente sobre ellas. Sin embargo, existen procesos que muestran dependencia entre las observaciones debido a la presencia de ciertas causas asignables, que actúan continuamente sin poder ser eliminadas. Los procesos continuos son un claro ejemplo de estos procesos. En tales procesos, la aplicación de las técnicas clásicas de SPC conlleva la aparición continua de patrones anómalos sin que se pueda actuar sobre ellos en la mayoría de las veces. La estrategia a seguir para el control de procesos con datos dependientes es, por tanto, diferente a la presentada en este capítulo, existiendo dos maneras de analizar y, en consecuencia, de actuar. La primera se sigue denominando SPC y consiste en acomodar los gráficos anteriores al modelo que sigue la variabilidad del proceso. Tales modelos, así como los gráficos de control apropiados, pueden ser estimados empleando la metodología BoxJenkins (1976). La segunda técnica utilizada se denomina control estadístico y automático, o adaptativo, de procesos (ASPC) y consiste en, además de realizar un control estadístico Fig. 11.17 Esquema del control adaptativo de procesos del proceso para la detección de causas

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π

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

asignables de variabilidad, realizar ajustes en el proceso siempre y cuando éste se aleje considerablemente de su valor nominal. La figura 11.17 presenta un esquema de esta técnica. Igualmente es necesario estimar el modelo que sigue el proceso Zt, afectado por causas comunes, y conocer el mecanismo de corrección del proceso o función de transferencia Yt = F(Xt, Xt-1,...), siendo Xt una variable del proceso que puede ser modificada convenientemente para ajustar el proceso una cantidad Yt. Si además se incluyen los criterios de costes, la estrategia de control varía. Una vez más el lector que quiera ampliar conocimientos sobre el tema puede hacerlo a través de las lecturas recomendadas al comienzo del capítulo.

273

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

π

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

Ejercicios 11.1. En un cierto proceso de fabricación, una de las operaciones consiste en efectuar un corte en una pieza de plástico. Dicho corte debe tener una profundidad especificada en los planos. Dado que en el procesado posterior de dichas piezas se tenían problemas debido a piezas con cortes no adecuados, un ingeniero decide recoger información del proceso. Para ello recogió datos de 25 conjuntos de piezas cada uno a intervalos de tiempo de 15 minutos y midió la profundidad del corte obtenido. Los datos obtenidos son los de la tabla adjunta. CONJUNTO Nº

274

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

PROFUNDIDAD DEL CORTE

160.0 159.7 159.2 159.5 159.6 159.8 159.7 159.2 159.4 159.5 159.4 159.5 159.7 159.3 159.7 159.1 159.2 160.0 159.9 159.5 159.9 159.6 159.8 159.3 159.3

159.5 159.5 159.7 159.7 159.3 160.5 160.2 159.6 159.3 159.5 159.6 160.0 159.3 159.9 158.8 158.9 159.8 159.9 159.7 160.6 159.9 159.5 159.4 160.3 159.7

159.6 159.5 159.7 159.2 159.6 160.2 159.5 159.6 159.3 159.5 159.6 160.0 159.3 159.9 158.8 158.9 159.8 159.9 159.7 160.6 159.9 159.5 159.4 160.3 159.7

159.7 159.5 159.5 159.2 159.5 159.3 159.0 160.0 159.9 158.9 159.8 159.3 159.4 158.5 160.6 159.6 159.8 160.3 159.6 160.6 159.5 159.7 160.0 159.9 160.1

159.7 160.0 160.2 159.1 159.4 159.5 159.7 159.9 159.5 159.5 159.8 159.4 159.2 159.5 159.1 159.7 159.7 159.3 159.3 159.8 161.0 159.5 159.7 160.0 160.1

X

R

159.7 159.6 159.7 159.3 159.5 159.9 159.6 159.7 159.6 159.5 159.4 159.6 159.4 159.4 159.5 159.5 159.7 160.0 159.7 159.9 160.0 159.9 159.8 160.0 159.8

0.5 0.5 1.0 0.6 0.3 1.2 1.2 0.8 0.6 1.3 1.5 0.7 0.5 1.4 1.8 0.8 0.8 1.2 0.8 1.1 1.5 1.6 0.8 1.3 0.8

a) Represente las medias de cada conjunto de cinco piezas, en secuencia temporal y comente la información que contiene dicho gráfico. b) Represente la secuencia temporal de evolución de la amplitud y, a la vista de la información obtenida con los dos gráficos anteriores, haga un resumen del comportamiento de los datos de la operación de corte. 11.2. En una determinada empresa, se producen piezas A y B que se ensamblan tal como se muestra en la figura: Los siguientes datos (en micras) corresponden a mediciones de la dimensión b de la pieza B, y son las medias y rangos de 24 subgrupos (1 cada hora) de cuatro unidades cada uno. Los datos se tomaron durante los tres turnos de un día de producción.

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

π

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

TURNO

1

TURNO

2

TURNO

3

SUB

X

R

SUB

X

R

SUB

X

R

1 2 3 4 5 6 7 8

288.50 281.75 294.25 284.75 293.00 293.00 291.25 300.25

16 19 15 17 28 18 17 3

9 10 11 12 13 14 15 16

296.00 292.75 289.25 299.00 282.75 296.00 284.25 295.00

2 12 22 8 9 16 21 20

17 18 19 20 21 22 23 24

296.00 301.25 296.75 294.00 296.00 298.00 289.50 285.00

6 26 23 13 18 16 19 15

a) Representar y comentar el gráfico medias-rangos. La capacidad del proceso (6σ) de fabricación de la pieza B con respecto a la dimensión de b es de 45.6. b) ¿Que relación hay, y bajo que condiciones entre la capacidad del proceso y los límites de control? ¿Se cumple en este caso? 11.3. Después de un lamentable accidente, una empresa de ascensores decide implantar el control estadístico en su proceso de fabricación de pernos. Para ello, se toman cuatro pernos en cada turno y se someten a una prueba de resistencia. Los datos, después de ocho días de trabajo son los siguientes: DÍA

1 2 3 4 5 6 7 8

TURNO 1

X 27.0 29.0 30.8 24.3 23.5 26.8 30.3 5.3

TURNO 2

R 5 2 12 11 18 12 18 12

X 25.3 26.5 21.5 17.8 30.5 8.1 30.0 14.8

R 11 28 13 33 14 4 15 14

TURNO 3

X 26.5 26.5 25.5 19.3 29.3 10.3 20.0 18.0

R 3 24 13 35 12 3 10 9

Realizar los gráficos de control que se crea convenientes y comentarlos.

X = 22.79 R = 13.79

11.4. Se quiere realizar un gráfico de control X -R tomando muestras de cuatro unidades. Se comprueba que los límites de control LCL y UCL toman los valores de la tolerancia inferior y superior respectivamente, y el valor nominal coincide con LC. ¿Cuál es la proporción esperada de piezas defectuosas? 11.5. En una máquina que produce bobinas de papel aparecen en promedio 0.7 manchas cada 10 metros. Cada treinta minutos el operador observa pasar 10 m de papel y anota el número de manchas en un gráfico. ¿Cuál es el gráfico adecuado y cuáles son los límites de control? 11.6. Una máquina produce piezas de mica. Se toman 50 piezas consecutivas y se mide el grosor: 8.0 10.0 12.0 12.0 11.5

12.5 10.5 10.5 12.5 9.0

12.5 8.0 13.5 15.5 9.5

14.0 15.0 11.5 13.5 11.5

13.5 9.0 12.0 12.5 12.5

12.0 13.0 15.5 17.0 14.0

14.0 11.0 14.0 8.0 11.5

12.0 10.0 7.5 11.0 13.0

10.0 14.0 11.5 11.5 13.0

14.5 11.0 11.0 17.0 15.0

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998.

275

MÉTODOS ESTADÍSTICOS.

π

CONTROL Y MEJORA DE LA CALIDAD

a) Realizar el estudio de capacidad de los datos anteriores, dando el valor de la media, la desviación tipo y la capacidad de la máquina. b) Si se consideran aceptables las piezas entre 6.75 y 15.75, ¿es capaz dicha máquina? ¿Cúal es su Cp? ¿Qué fracción de la producción será defectuosa? c) Hacer el estudio gráfico para que sólo el 1% de las piezas sean más grandes de 14.0 y sólo un 3% sean más pequeñas que 7. ¿Cuáles serán los nuevos valores de la media, desviación tipo y capacidad? 11.7. Una característica de calidad de un producto con tolerancias (7.9, 12.1), se distribuye según una normal N(10, 1). El proceso se descentra y pasa a fabricar alrededor de 10.5. ¿Qué se puede decir de la capacidad del proceso? 11.8. Un fabricante de botellas de PVC detecta que el número de botellas producidas es inferior al que debería ser, dado el consumo de materia prima (PVC). Se sospecha que la diferencia es debida a que se producen botellas con un peso superior al especificado (33 ± 0.4gr.) Para comprobarlo se decide realizar un estudio de capacidad pesando 50 botellas. Los datos recogidos, en gramos, son: 33.0 32.6 33.0 32.8 32.6

276

32.7 32.9 32.8 33.4 33.3

33.0 32.8 33.0 33.5 33.0

33.2 33.4 32.4 32.6 33.1

32.7 32.7 33.1 33.4 32.9

33.1 33.0 33.0 32.7 32.9

32.9 33.4 33.2 32.8 33.1

33.1 32.9 33.1 32.8 33.1

33.2 33.0 33.3 33.1 32.5

32.9 33.2 32.9 32.9 33.0

a) Realizar un estudio de capacidad, determinando la media y la desviación tipo. b) ¿Qué porcentaje de piezas se puede esperar que no estén dentro de los límites especificados? c) Según el estudio realizado, para conseguir que como máximo se produjesen el 1% de botellas con exceso de peso y un 5% con un peso inferior al especificado, ¿debería variar la media? ¿Y la desviación tipo? ¿Cuáles son los valores que se deberían tomar? 11.9. Una empresa de helados se dedica en una de sus plantas a la fabricación de helados de chocolate. El helado es vendido en tarrinas de 1.5 dl. Se decide comenzar un estudio de control del proceso, y para ello se extraen cuatro tarrinas durante la producción, a intervalos de tiempo de 10 minutos. Las medidas de las pesadas están en la tabla que sigue: N1 GRUPO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

202 200 202 201 210 202 198 206 206 208 198 204

201 202 201 200 196 206 196 204 204 214 201 204

198 212 208 200 200 205 202 204 203 213 199 202

199 202 201 202 198 203 199 206 204 207 198 206

R 4 12 7 2 14 4 6 2 3 7 3 4

X

N1 GRUPO

200.00 204.00 203.00 200.75 201.00 204.00 198.75 205.00 204.25 210.50 199.00 204.00

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

203 214 192 207 205 204 205 202 204 206 204 206

204 212 198 208 214 208 204 202 206 206 202 205

204 206 204 206 215 196 205 208 209 206 204 204

203 208 198 204 212 196 204 208 202 210 207 202

R 1 8 12 4 10 12 1 6 7 4 5 4

X

203.50 210.00 198.00 206.25 211.50 201.00 204.50 205.00 205.25 207.00 204.25 204.25 X = 203.95

Hacer un estudio del proceso e interpretarlo.

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