Cohomologie galoisienne: Et théorie du corps de classes 9782759820672

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David Harari

Cohomologie galoisienne et théorie du corps de classes

S A V O I R S

A C T U E L S

EDP Sciences/CNRS ÉDITIONS

Imprimé en France.

c 2017, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf,  91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35. ISBN EDP Sciences 978-2-7598-2066-5 ISBN CNRS Éditions 978-2-271-09509-1

TABLE DES MATIÈRES

Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Notations et conventions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Partie I. Cohomologie des groupes et cohomologie galoisienne : généralités 1. Cohomologie des groupes finis : propriétés de base. . . . . . . . . 1.1. Notion de G-module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. La catégorie des G-modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Les groupes de cohomologie H i (G, A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Calcul de la cohomologie avec les cochaînes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Changement de groupe : restriction, corestriction, suite spectrale de Hochschild-Serre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Corestriction ; applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 12 15 18 23 26 33 35

2. Groupes modifiés à la Tate, cohomologie des groupes cycliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Les groupes de cohomologie modifiés de Tate . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Changement de groupe. Transfert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Cohomologie d’un groupe cyclique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Quotient d’Herbrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Cup-produits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Cup-produits pour la cohomologie modifiée. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 39 43 50 51 53 55 63

3. p-groupes, théorème de Tate-Nakayama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Modules cohomologiquement triviaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Théorème de Tate-Nakayama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 65 70 73

iv

TABLE DES MATIÈRES

4. Cohomologie des groupes profinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Notions de base sur les groupes profinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. G-modules discrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Cohomologie d’un G-module discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 75 80 82 88

5. Dimension cohomologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Définitions, premiers exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Propriétés de la dimension cohomologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 91 93 96

6. Premières notions de cohomologie galoisienne. . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Théorème de Hilbert 90 et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Groupe de Brauer d’un corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Dimension cohomologique d’un corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Corps C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99 99 100 101 102 104 106

Partie II. Corps locaux 7. Rappels sur les corps locaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.1. Anneaux de valuation discrète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2. Corps complet pour une valuation discrète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.3. Extensions d’un corps complet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.4. Théorie de Galois d’un corps complet pour une valuation discrète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.5. Théorème de structure ; filtration du groupe des unités. . . . . . . 116 7.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8. Le groupe de Brauer d’un corps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.1. Axiome du corps de classes local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.2. Calcul du groupe de Brauer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.3. Dimension cohomologique ; théorème de finitude . . . . . . . . . . . . . 126 8.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 9. Corps de classes local : l’application de réciprocité. . . . . . . . . 131 9.1. Définition et principales propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.2. Théorème d’existence : lemmes préliminaires et cas d’un corps p-adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10. Dualité locale de Tate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 10.1. Module dualisant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 10.2. Le théorème de dualité locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

TABLE DES MATIÈRES

10.3. 10.4. 10.5. 10.6.

Caractéristique d’Euler-Poincaré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohomologie non ramifiée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Du théorème de dualité au théorème d’existence. . . . . . . . . . . . Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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149 151 152 154

11. Corps de classes local : théorie de Lubin-Tate. . . . . . . . . . . . . 157 11.1. Groupes formels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.2. Changement d’uniformisante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.3. Corps associés aux points de torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11.4. Calcul de l’application de réciprocité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.5. Théorème d’existence (cas général). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 11.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Partie III. Corps globaux 12. Rappels sur les corps globaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.1. Définitions, premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 12.2. Extensions galoisiennes d’un corps global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 12.3. Idèles, théorème d’approximation forte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 12.4. Quelques compléments dans le cas d’un corps de fonctions . . 187 12.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 13. Cohomologie des idèles : axiome du corps de classes. . . . . . 191 13.1. Cohomologie du groupe des idèles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 13.2. La seconde inégalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 13.3. Extensions de Kummer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 13.4. Première inégalité et axiome du corps de classes. . . . . . . . . . . . 202 13.5. Preuve de l’axiome du corps de classes pour un corps de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 13.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 14. Loi de réciprocité et théorème de Brauer-Hasse-Noether 213 14.1. Existence d’une extension cyclique neutralisante. . . . . . . . . . . . 213 14.2. Invariant global et symbole de reste normique. . . . . . . . . . . . . . . 217 14.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 15. Le groupe de Galois abélien d’un corps global. . . . . . . . . . . . . 223 15.1. Application de réciprocité et groupe des classes d’idèles. . . . . 223 15.2. Le théorème d’existence global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 15.3. Le cas du corps de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 15.4. Corps de classes de rayons ; corps de classes de Hilbert. . . . . . 235 15.5. Groupes de Galois de ramification restreinte. . . . . . . . . . . . . . . . 241 15.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

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TABLE DES MATIÈRES

Partie IV. Théorèmes de dualité 16. Formations de classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 16.1. Notion de formation de classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 16.2. La suite spectrale des Ext. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 16.3. Le théorème de dualité pour une formation de classes. . . . . . . 262 16.4. P -formations de classes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 16.5. Du théorème d’existence au théorème de dualité pour un corps p-adique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 16.6. Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 16.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 17. Dualité de Poitou-Tate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 17.1. La P -formation de classes associée à un groupe de Galois de ramification restreinte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 17.2. Les groupes PiS (M ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 17.3. Énoncé des théorèmes de Poitou-Tate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 17.4. Preuve des théorèmes de Poitou-Tate (I) : calcul de deux groupes Ext. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 17.5. Preuve des théorèmes de Poitou-Tate (II) : calcul des Ext à valeurs dans IS et fin de la preuve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 17.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 18. Quelques applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 18.1. Nullité de certains Xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 18.2. Dimension cohomologique stricte d’un corps de nombres . . . . 306 18.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 Appendice Quelques résultats d’algèbre homologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 A.1. Généralités sur les catégories. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 A.2. Foncteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 A.3. Catégories abéliennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 A.4. Catégories de modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 A.5. Foncteurs dérivés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 A.6. Ext et Tor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 A.7. Suites spectrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Index terminologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

AVANT-PROPOS

Les outils issus de la cohomologie galoisienne jouent un rôle fondamental dans la théorie des nombres moderne. Ils permettent en effet d’avoir une meilleure compréhension du groupe de Galois d’un corps local ou d’un corps de nombres, qui sont des objets centraux dans la plupart des grands problèmes arithmétiques de notre époque. La théorie cohomologique du corps de classes, qui s’est développée après la guerre, peut être vue comme une première étape dans la mesure où elle traite principalement des extensions dont le groupe de Galois est abélien. En un sens, c’est le cas de dimension 1 du programme de Langlands, lequel est aujourd’hui l’un des domaines phares de l’arithmétique. L’origine de ce livre est le constat de deux manques dans la littérature existante. Tout d’abord, il n’y a à notre connaissance pas de livre publié en français traitant de façon détaillée de la théorie du corps de classes global. Ensuite, les ouvrages (en anglais) comme [38] ou [41] qui donnent des preuves des théorèmes de Poitou-Tate admettent en général un certain nombre de résultats de la théorie du corps de classes, ce qui ne facilite pas la compréhension de l’enchaînement logique des idées pour l’étudiant. Le but de ce livre est donc de rassembler dans un même ouvrage, et en donnant des démonstrations complètes, les bases de cohomologie (partie I : chapitres 1 à 6), la théorie du corps de classes local (partie II : chapitres 7 à 11) et global (partie III : chapitres 12 à 15), et les difficiles (mais ô combien utiles) théorèmes de dualité de Poitou-Tate (partie IV : chapitres 16 à 18). Les prérequis se limitent aux généralités d’algèbre et arithmétique enseignées à l’université en M1 (théorie de Galois, notions de base d’arithmétique et de théorie des groupes finis), rendant ainsi le livre accessible pour des étudiants de M2. On a en particulier inclus un chapitre de rappels sur les corps locaux (chapitre 7) ainsi que sur les corps globaux (chapitre 12), ainsi qu’un appendice résumant les résultats d’algèbre homologique qui sont

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AVANT-PROPOS

utilisés dans le livre. Nous pensons en effet que quelques connaissances en algèbre homologique (catégories abéliennes, foncteurs dérivés, suites spectrales) seront de toute façon utiles à l’étudiant qui veut poursuivre son apprentissage en algèbre, en arithmétique, ou encore en géométrie algébrique ; de plus, l’utilisation systématique de l’algèbre homologique permet d’avoir une présentation vraiment élégante de certains résultats (par exemple ceux du chapitre 16 sur les formations de classes), qui paraîtraient sinon assez artificiels ; elle est aussi adaptée pour justifier les commutativités des diagrammes, que nous avons essayé de présenter le plus rigoureusement possible tout au long du texte. Nous n’avons par contre pas jugé utile de recourir aux catégories dérivées qui, même si elles peuvent apporter un point de vue nouveau, demandent un effort conséquent et ne sont pas réellement utiles pour les sujets traités dans ce livre ; elles deviennent en revanche rapidement indispensables si on s’intéresse à des théorèmes de dualité plus généraux que ceux de Poitou-Tate, comme ceux faisant intervenir des corps de dimension cohomologique  3 ([18]) ou encore des complexes de modules galoisiens ([19], [16]). Nous n’avons pas non plus (faute de place) fait figurer dans cet ouvrage les aspects analytiques, tels que la preuve à l’aide des séries de Dirichlet de la « première inégalité » (que nous démontrons par une méthode algébrique au chapitre 13) ou encore la preuve du théorème de Čebotarev (qui permet de raffiner quelques résultats du chapitre 18). Il va de soi que les méthodes analytiques apportent un éclairage différent et important sur la théorie du corps de classes global : on pourra consulter [25] ou [32] pour une présentation détaillée de ces méthodes, ou encore [28] pour une vue d’ensemble du domaine. On a aussi laissé de côté des sujets plus avancés tels que la théorie d’Iwasawa, les problèmes de plongements, ou la géométrie anabélienne, pour lesquels on trouvera une excellente introduction dans [41]. Ce livre est organisé pour être particulièrement adapté à des étudiants de M2. Il s’agit d’ailleurs d’une synthèse de deux cours de M2 recherche donnés à Orsay ces dernières années, ce qui permettra aussi au livre d’être utilisé par les enseignants ou les doctorants. Chaque cours durait au total 44 heures, à raison de 4 heures par semaine. Les deux cours traitaient (plus ou moins en détails) les parties I et II du livre. L’un des deux (intitulé Cohomologie galoisienne et théorie des nombres) mettait ensuite l’accent sur la partie IV (en admettant la plupart des résultats de la partie III) ; l’autre (intitulé Théorie du corps de classes) détaillait la partie III (en n’abordant pas la dualité de Poitou-Tate). On a tenu à faire figurer dans ce livre un certain nombre d’exercices (plus de 110 au total) à la fin de chaque chapitre, issus notamment de ceux donnés pendant les cours sus-mentionnés, ainsi que des examens correspondants. Certains de ces exercices constituent des compléments utiles au texte principal ; cependant leurs résultats ne sont pas

AVANT-PROPOS

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utilisés dans les démonstrations des théorèmes dudit texte, ce qui permet au lecteur d’avoir toujours des preuves complètes directement disponibles. Beaucoup de résultats exposés ici possèdent de vastes généralisations, dont certaines font encore l’objet de recherches très actives. Il existe notamment une théorie du corps de classes supérieure, développée dans les années 1980 par Kato et Saito (voir par exemple [42]), pour laquelle il existe maintenant une approche directe ne reposant pas sur la K-théorie (cf. [52]). Par ailleurs, le lecteur désireux d’aller plus loin sur les théorèmes de dualité pourra par exemple consulter le livre [38], ainsi que les articles [19], [16] et [10] pour des théorèmes de dualité en cohomologie étale et plate, y compris pour des schémas en groupes tels que les tores et les variétés abéliennes. Ces théorèmes de dualité sont devenus très présents dans les questions arithmétiques concernant les points rationnels des variétés, notamment les problèmes de principe local-global pour les groupes algébriques linéaires ; on en trouvera un aperçu dans le livre [51], ainsi que dans les articles [44], [3], [18]. Il va sans dire que le matériel couvert dans cet ouvrage est très classique, et s’inspire donc largement de certains textes antérieurs. En particulier, l’influence des livres [38], [39], [41], [45] et [48] est évidente. Je tiens à remercier particulièrement leurs auteurs pour leur travail remarquable, qui m’a permis d’apprécier pleinement la beauté des sujets abordés dans le présent ouvrage. Mes remerciements s’adressent aussi à tous les étudiants qui ont suivi mes cours et m’ont signalé des erreurs ou des améliorations à apporter aux notes que je mettais en ligne chaque semaine, notamment : M. Chen, Z. Gao, C. Gomez, A. Jaspers, Y. Liang, S. Liu, J. Xun. La première version du manuscrit a également bénéficié des précieuses remarques de J.-B. Bost, C. Demarche, D. Izquierdo, G. Lucchini-Arteche, A. Pirutka, J. Riou, A. Smeets, T. Szamuely et O. Wittenberg : je tiens à leur exprimer ici toute ma gratitude. Je remercie enfin C. Sabbah pour m’avoir le premier parlé de la possibilité d’écrire ce livre et pour son très efficace travail éditorial.

NOTATIONS ET CONVENTIONS

Le symbole := signifie que l’égalité en question est une définition. On désignera parfois le cardinal d’un ensemble fini E par #E. On appelle diagramme commutatif exact un diagramme commutatif dont les lignes et les colonnes sont des suites exactes. Si A et B sont des groupes abéliens (que l’on peut voir comme des Z-modules), on notera A ⊗ B pour désigner le produit tensoriel A ⊗Z B. Rappelons aussi que si R est un anneau et si M et N sont respectivement des R-modules à droite et à gauche, alors on peut définir le produit tensoriel M ⊗R N , qui est un groupe abélien (et si R est commutatif c’est un R-module), [4], § 3.1. Pour tout n > 0, le sous-groupe de n-torsion d’un groupe abélien A (dont la loi est notée additivement) est le sous-groupe A[n] := {x ∈ A, nx = 0}, et le sous-groupe de torsion Ators de A est la réunion des A[n] pour n > 0. On dit que le groupe abélien A est de torsion si A = Ators . On notera souvent Z/n le groupe cyclique Z/nZ. Soit p un nombre premier. Un groupe abélien de torsion A est dit pprimaire si tout élément de A est d’ordre une puissance de p. Tout groupe  abélien de torsion A s’écrit p A{p} où, pour chaque p premier, on note A{p} la composante p-primaire de A, c’est-à-dire le sous-groupe de A constitué des éléments d’ordre une puissance de p. Un groupe abélien A est dit p-divisible si la multiplication par p dans A est surjective, divisible si cette propriété est vraie pour tout nombre premier p (ou encore pour tout entier n > 0 à la place de p). Il est dit uniquement divisible si pour tout entier n > 0, la multiplication par n dans A est un isomorphisme. On dit qu’un groupe fini G est un p-groupe si son cardinal est une puissance de p. Un tel groupe est nilpotent, en particulier son centre n’est pas réduit à l’élément neutre. Par convention, tous les systèmes inductifs (Ai )i∈I de groupes abéliens, anneaux commutatifs, modules sur un anneau R, etc. que nous considérerons

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NOTATIONS ET CONVENTIONS

seront associés à des ensembles I ordonnés non vides filtrants, c’est-à-dire tels que si i, j ∈ I, il existe k ∈ I avec i  k et j  k ; ainsi la limite inductive limi∈I Ai sera toujours bien définie en tant que groupe abélien (resp. anneau −→ commutatif, R-module... ), et pas seulement en tant qu’ensemble. Si G est un groupe (resp. un groupe topologique) et H un sous-groupe de G, on désigne par G/H l’ensemble (resp. l’espace topologique quotient) des classes à gauche selon H, c’est-à-dire l’ensemble des aH pour a ∈ G. Si H est distingué dans G, l’ensemble G/H est muni canoniquement d’une structure de groupe quotient (resp. groupe topologique quotient). Un caractère d’un groupe fini (resp. d’un groupe topologique) G est un morphisme (resp. un morphisme continu) de G dans Q/Z (considéré comme un groupe discret). On notera G∗ = Homc (G, Q/Z) le dual d’un groupe topologique G, qui est aussi le dual de son abélianisé (il coïncide avec le classique dual de Pontryagin Homc (G, R/Z) si G est abélien de torsion, mais pas en général). Un morphisme continu f : A → B de groupes topologiques est strict s’il induit un homéomorphisme de l’espace topologique quotient A/ Ker f sur le sous-espace Im f de B ; c’est équivalent à demander que l’image de tout ouvert de A soit un ouvert de f (A) (où f (A) est muni de la topologie induite par celle de B), et pour un morphisme surjectif, c’est équivalent à dire que c’est une application ouverte. Par définition, un espace topologique compact sera pour nous toujours séparé (au sens de Hausdorff) et dénombrable à l’infini ; de même pour un espace localement compact. Un espace topologique est totalement discontinu si ses seules composantes connexes sont les singletons. Avec nos conventions, un morphisme continu surjectif entre groupes localement compacts est automatiquement strict ([21], Th. 5.29). Tous les corps seront supposés commutatifs. Un corps k de caractéristique Car k strictement positive p est parfait si le morphisme x → xp de k dans k est un isomorphisme (exemple : k fini), imparfait sinon. Pour tout entier q puissance d’un nombre premier p, on notera Fq le corps fini à q éléments, qui est de caractéristique p. Une extension d’un corps K est un corps L équipé d’un morphisme de corps (nécessairement injectif) K → L. Une telle extension est dite finie si le K-espace vectoriel L est de dimension finie. Dans ce cas, on notera [L : K] cette dimension. Une extension galoisienne de corps sera dite abélienne si son groupe de Galois est abélien. Quand k est un corps, on désignera par k une clôture séparable fixée de k (qui est aussi une clôture algébrique si k est de caractéristique zéro ou parfait de caractéristique p). Si I, J sont deux idéaux bilatères d’un anneau A, on notera I · J ou IJ l’idéal bilatère constitué des sommes d’un nombre fini d’éléments de la

NOTATIONS ET CONVENTIONS

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forme ij avec i ∈ I et j ∈ J ; en particulier on pose I 2 = I · I. Un anneau A sera dit intègre s’il est commutatif, non nul, et si l’égalité ab = 0, avec a, b ∈ A, implique a = 0 ou b = 0. Un anneau principal A est un anneau intègre tel que tout idéal I de A soit de la forme aA avec a ∈ A. Un anneau intègre A est dit intégralement clos si tout élément de son corps des fractions qui est entier sur A (c’est-à-dire annule un polynôme unitaire à coefficients dans A) est dans A ; c’est le cas par exemple d’un anneau factoriel (et a fortiori d’un anneau principal). Un idéal I d’un anneau commutatif A est premier si le quotient A/I est un anneau intègre, maximal si A/I est un corps.

Cette première partie est consacrée aux résultats généraux sur la cohomologie des groupes finis et profinis, qui peuvent d’ailleurs être utiles dans des domaines des mathématiques autres que la théorie des nombres. Les deux premiers chapitres présentent les bases de la théorie pour les groupes finis. Le troisième est un peu plus spécialisé : il aboutit au théorème de Tate-Nakayama, qui sera un outil essentiel dans notre approche de la théorie du corps de classes local et global. On passe ensuite à la généralisation aux groupes profinis des notions vues dans les deux premiers chapitres, et on développe le très important concept de dimension cohomologique. Enfin, cette partie se termine avec l’une des principales applications de la théorie générale, la cohomologie galoisienne, qui est omniprésente dans tout le livre, et dont on voit au chapitre 6 les premières propriétés.

CHAPITRE 1 COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS : PROPRIÉTÉS DE BASE

Le but de ce chapitre est de définir les groupes de cohomologie associés à un groupe fini G et à ce qu’on appelle un G-module. Cette notion sera essentielle dans toutes les applications arithmétiques que nous traiterons dans cet ouvrage, notamment pour la théorie du corps de classes. Beaucoup de définitions et propriétés de ce chapitre s’étendent à des groupes G non nécessairement finis (on pourra consulter le chapitre VII de [45] ou le chapitre 6 de [53] pour le cas d’un groupe quelconque). Nous avons choisi de nous limiter ici au cas où G est fini qui, avec sa légère généralisation aux groupes profinis (chapitre 4), sera le seul dont nous aurons besoin dans la suite. Cela rendra notre exposé un peu plus simple, et évitera de surcroît une confusion entre la cohomologie des groupes profinis telle qu’elle sera définie au chapitre 4 et la cohomologie des groupes quelconques telle qu’elle est définie dans les références ci-dessus, les deux notions ne coïncidant pas en général pour un groupe profini quelconque. Dans tout le chapitre, G désigne un groupe fini (dont la loi est notée multiplicativement et l’élément neutre 1). Rappelons que l’algèbre du groupe G est l’ensemble Z[G] des sommes formelles 

ng g,

ng ∈ Z

g∈G

muni de l’addition évidente et du produit de convolution  g∈G

ng g

  g∈G

 mg g

:=



ng mg gg  .

(g,g  )∈G×G

En particulier, Z[G] est un anneau, non commutatif si G n’est pas abélien.

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CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

1.1. Notion de G-module Définition 1.1. Un G-module est la donnée d’un groupe abélien (A, +) et d’une action à gauche (g, x) → g · x de G sur A telle que pour tout g de G l’application ϕg : x → g · x de A dans A soit un morphisme de groupes abéliens. Autrement dit, se donner une structure de G-module sur un groupe abélien (A, +) revient à se donner une application G × A −→ A,

(g, x) −→ g · x,

satisfaisant aux règles de calcul : g · (g  · x) = (gg  ) · x,

1 · x = x,

g · (x + y) = g · x + g · y



pour tous g, g de G et pour tous x, y de A. Notons aussi qu’avec les notations de la définition 1.1, ϕg est un automorphisme de A, de réciproque ϕg−1 . Si A est un groupe abélien, dont on note Aut(A) le groupe des automorphismes, se donner une structure de G-module sur A revient à se donner un morphisme de groupes de G dans (Aut(A), ◦). De façon équivalente, un G-module est la donnée d’un module (à gauche) sur l’anneau R := Z[G] : en effet, si A est un module sur l’anneau R, on définit une structure de G-module sur A par g · x = gx pour tout (g, x) ∈ G × A ; réciproquement si A est un G-module, on le munit   d’une structure de module sur R en posant ( g∈G ng g)x = g∈G ng (g · x). Comme G est fini, il est équivalent de dire que A est de type fini en tant que groupe abélien ou en tant que R-module, on dira donc simplement dans ce cas que le G-module A est de type fini . Définition 1.2. Un morphisme de G-modules (ou G-morphisme, ou encore G-homomorphisme) f : A → A est un morphisme de groupes abéliens qui commute aux opérations de G, c’est-à-dire tel que f (g · x) = g · f (x) pour tout x de A et tout g de G. Cela revient à dire que f est un morphisme de R-modules. On définit de manière évidente les notions d’isomorphisme de G-modules, de sous-G-module, de suite exacte de G-modules, etc. Si A et A sont des G-modules, on note alors HomG (A, A ) l’ensemble des G-morphismes de A dans A ; c’est un groupe abélien pour l’addition, qui est un sous-groupe du groupe HomZ (A, A ) des morphismes de groupes abéliens de A dans A (non nécessairement compatibles avec l’action de G). Exemple 1.3. a) Pour tout groupe abélien A, l’action triviale de G sur A (définie par g · x = x pour tout g ∈ G et tout x ∈ A) fait de A un G-module. b) Posons G = {±1} et M = Z. Alors l’opération de G sur M définie par g · x = gx fait de M un G-module.

1.1. NOTION DE G-MODULE

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c) Soit L une extension finie galoisienne de groupe G d’un corps K. Alors le groupe additif L et le groupe multiplicatif L∗ := L − {0} sont tous deux des G-modules pour l’action de G = Aut(L/K). d) Soient A et B des G-modules. Le groupe Hom(A, B) := HomZ (A, B) est muni d’une structure de G-module, définie par (g · f )(x) := g · f (g −1 · x) pour tous g ∈ G, f ∈ Hom(A, B), x ∈ A. e) L’algèbre de groupe Z[G] est un G-module pour l’action à gauche de G. Plus généralement, si H est un sous-groupe de G, alors le groupe  abélien Z[G/H] := g∈G/H Z.g est un G-module, où G/H est l’ensemble des classes à gauche selon H. Nous allons maintenant voir comment on peut, si H est un sous-groupe de G, construire un G-module à partir d’un H-module. Définition 1.4. Soit G un groupe fini et soit H un sous-groupe de G. Soit A H un H-module. On définit un groupe abélien IG (A) comme l’ensemble des applications f : G → A satisfaisant à f (hg) = h · f (g) pour tous g ∈ G, h ∈ H. Ce groupe abélien est alors muni d’une structure de G-module par H la formule (g · f )(g  ) = f (g  g) pour tous g, g  de G. On dit que IG (A) est l’induit de H à G du H-module A. Un cas particulier important est le suivant. Définition 1.5. Soit G un groupe fini. Considérons le sous-groupe trivial {1} de G. Soit A un groupe abélien, que l’on peut voir comme un {1}-module. {1} On note alors IG (A) l’induit IG (A) (cf. définition 1.4 dans le cas H = {1}) et on dit que IG (A) est le G-module induit du groupe abélien A. On dit qu’un G-module M est induit s’il existe un groupe abélien A tel que M soit isomorphe à IG (A). Ainsi IG (A) est le groupe abélien des applications de G dans A, avec l’action de G définie par (g · f )(g  ) = f (g  g). Remarque 1.6. a) Noter que si un groupe abélien A est déjà muni d’une certaine structure de G-module, alors IG (A) est isomorphe au G-module F(G, A) défini (cf. [41], p. 31) comme l’ensemble des applications de G dans A avec l’action (g · f )(g  ) := g · f (g −1 g  ) ; un isomorphisme de F(G, A) dans IG (A) est en effet donné par f → (g → g · f (g −1 )) (je remercie Alexander Schmidt pour cette remarque). b) Soit A un groupe abélien. On peut aussi voir le module induit IG (A) comme le G-module HomZ (Z[G], A), l’action (à gauche) de G étant donnée par l’action naturelle à droite sur le premier facteur. Comme nous avons supposé G fini, il est facile de voir que ce G-module est isomorphe (non canoniquement) à Z[G] ⊗ A, l’action de G étant cette fois-ci à gauche sur le

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CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

premier facteur. On dit parfois(1) que les modules de la forme Z[G] ⊗ A sont co-induits, ce sont aussi les modules M tels qu’il existe un sous-groupe X de M tel que M soit la somme directe des g · X pour g ∈ G. L’hypothèse G fini fait qu’il n’y a pas de différence entre les notions de G-module induit et co-induit. H c) Plus généralement, on peut voir le G-module IG (A) de la définition 1.4 comme le G-module HomH (Z[G], A) des H-morphismes de Z[G] vers A (ou encore des morphismes de Z[H]-modules de Z[G] vers A), qui est un sous-G-module de HomZ (Z[G], A). Là encore, l’hypothèse que G est fini donne que ce G-module est aussi isomorphe à Z[G] ⊗Z[H] A (pour faire le produit tensoriel, on voit Z[G] comme un Z[H]-module à droite et A comme un Z[H]-module à gauche), l’action de G étant à gauche sur le premier H facteur. La correspondance entre IG (A) et Z[G] ⊗Z[H] A est la suivante : on H associe à toute fonction f ∈ IG (A) l’élément  g ⊗Z[H] f (g −1 ) Φ(f ) := g∈G/H

de Z[G] ⊗Z[H] A. Noter que g ⊗Z[H] f (g −1 ) ne dépend pas du représentant g ∈ G de g, et que pour g  ∈ G, on a   g ⊗Z[H] (g  · f )(g −1 ) = g ⊗Z[H] f (g −1 g  ) Φ(g  · f ) = g∈G/H

=



g∈G/H 

(g g) ⊗Z[H] f (g

−1



) = g · Φ(f ),

g∈G/H

ce qui montre bien que Φ est un morphisme de G-modules. Il est par ailleurs facile de voir que Φ est bijectif en prenant un système de représentants S de G/H, qui forment une base du Z[H]-module à droite Z[G] vu que tout élément g de G s’écrit de manière unique g = sh avec s ∈ S et h ∈ H. Si de plus A était déjà muni d’une structure de G-module, alors le G-module Z[G] ⊗Z[H] A est aussi isomorphe à Z[G/H] ⊗Z A, l’isomorphisme étant donné par g ⊗Z[H] m −→ g ⊗Z (g · m), où m ∈ A et g ∈ G.

(1) Quand

on ne suppose pas G fini, on adopte souvent (cf. par exemple le chapitre VII de [45]) la convention inverse d’appeler co-induits les modules de la forme IG (A) et induits les modules de la forme Z[G] ⊗ A. La terminologie que nous utilisons est compatible avec la terminologie traditionnelle utilisée pour les groupes profinis, que nous retrouverons au chapitre 4.

1.2. LA CATÉGORIE DES G-MODULES

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1.2. La catégorie des G-modules Soit f : A → A un morphisme de G-modules. Il résulte immédiatement des définitions que le noyau, l’image et le conoyau de f (vu comme morphisme de groupes abéliens) sont encore des G-modules pour l’action évidente de G. Par suite, les G-modules (le groupe G étant fixé) forment une catégorie abélienne (cf. appendice, paragraphe A.3). On la notera Mod G . Pour tous G-modules A et A , le foncteur covariant HomG (A, .) et le foncteur contravariant HomG (., A ) sont exacts à gauche, comme dans toute catégorie abélienne (cf. appendice, définition A.23). Définition 1.7. Un G-module A est dit projectif si HomG (A, .) est exact. Un G-module A est dit injectif si HomG (., A ) est exact. Bien entendu, ces définitions correspondent à celles d’objet projectif et injectif dans la catégorie Mod R des R-modules à gauche (cf. appendice, définition A.33), où R = Z[G]. Exemple 1.8. a) Tout G-module qui est libre (c’est-à-dire qui possède une base) en tant que module sur l’anneau Z[G] est projectif (plus généralement un G-module est projectif si et seulement s’il est facteur direct d’un Z[G]-module libre). b) Prenons pour G le groupe trivial (de sorte que la notion de G-module coïncide avec celle de groupe abélien). Alors tout groupe abélien A divisible est injectif (cf. appendice, exemple A.35 a), et réciproquement. c) On voit immédiatement qu’une somme directe (éventuellement infinie) de G-modules projectifs est un G-module projectif. De même, un produit direct (éventuellement infini) de G-modules injectifs est injectif. En particulier une somme directe finie de G-modules injectifs est également un G-module injectif (vu qu’elle s’identifie au produit direct des G-modules en question). Proposition 1.9. Soit A un G-module. Soit I un sous-G-module injectif de A. Alors I est un facteur direct de A (autrement dit, il existe un sous-G-module B de A tel que A = I ⊕ B). Démonstration. Par définition d’un G-module injectif, l’identité I → I se prolonge en un morphisme de G-modules r : A → I. Il suffit alors de poser B = Ker r. Proposition 1.10. Pour tout G-module A, il existe un G-module induit I muni d’un G-morphisme injectif A → I. Autrement dit, tout G-module se plonge dans un G-module induit. De plus, on peut demander que I = IG (A) et que A soit un facteur direct de I en tant que Z-module.

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CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

Démonstration. Soit I = IG (A) = HomZ (Z[G], A) l’induit de A. On plonge alors A dans IG (A) en associant à tout a ∈ A l’application g → g · a de G dans A. On vérifie immédiatement avec la définition de IG (A) que ceci définit un morphisme de G-modules, qui est injectif (si g·a = 0 pour tout g de G, on u obtient a = 0 en faisant g = 1). Finalement l’application f −→  f (1) fournit une rétraction du morphisme de Z-modules A → IG (A), ce qui montre que A est facteur direct de I en tant que Z-module (un supplémentaire de A dans I est Ker u). Remarque 1.11. On peut aussi écrire tout G-module A comme quotient d’un induit p 0 −→ A−1 −→ IG (A) −−→ A −→ 0, de telle sorte que la suite ci-dessus soit scindée en tant que suite exacte de  groupes abéliens. Il suffit en effet de définir p par f → g∈G g · f (g −1 ) de IG (A) dans A. Ce procédé sera utile pour des raisonnements par récurrence avec les groupes modifiés de Tate (cf. corollaire 2.7). Notons aussi la propriété suivante des modules de la définition 1.4. Proposition 1.12. Soit G un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G. On H considère un H-module A et l’induit IG (A) de H à G. Alors pour tout H G-module B, le groupe HomH (B, A) s’identifie à HomG (B, IG (A)). Démonstration. Soit ψ ∈ HomH (B, A). Pour tout b de B, on définit un éléH ment ϕ(b) de IG (A) par la formule ϕ(b)(g) = ψ(gb) pour tout g de G, H la propriété ϕ(b) ∈ IG (A) étant assurée par l’hypothèse que ψ est un H-morphisme. Pour tous g, g  de G et tout b de B, on vérifie immédiatement l’égalité ϕ(g · b)(g  ) = ϕ(b)(g  g) = (g · ϕ(b))(g  ), ce qui montre que ϕ est un G-morphisme de B dans IG (A). Posons ϕ = u(ψ), H alors u : HomH (B, A) → HomG (B, IG (A)) est clairement un morphisme de groupes abéliens, et son noyau est nul car si ϕ(b) = 0 pour tout b de B, alors en particulier ϕ(b)(1) = ψ(b) est nul pour tout b de B. Montrons enfin que u est surjective. Soit θ un G-morphisme de B dans H IG (A), on a θ(gb)(g  ) = (g · θ(b))(g  ) = θ(b)(g  g) pour tous g, g  de G et H tout b de B, par définition de l’action de G sur IG (A). En faisant g  = 1, on obtient θ(b)(g) = θ(gb)(1). Définissons alors ψ : B → A par ψ(b) = θ(b)(1) pour tout b ∈ B. Pour tout h ∈ H, on a alors ψ(hb) = θ(hb)(1) = θ(b)(h) = h · (θ(b)(1)),

1.2. LA CATÉGORIE DES G-MODULES

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H la dernière égalité résultant de ce que θ(b) ∈ IG (A). Ainsi ψ(hb) = h · ψ(b), ce qui montre que ψ ∈ HomH (B, A). Posons ϕ = u(ψ), on obtient par définition de u, pour tous g ∈ G et b ∈ B :

ϕ(b)(g) = ψ(gb) = θ(gb)(1) = θ(b)(g), d’où u(ψ) = ϕ = θ. Finalement u est surjective, et c’est donc un isomorH phisme de HomH (B, A) sur HomG (B, IG (A)). Corollaire 1.13. Soit A un groupe abélien et soit IG (A) le G-module induit associé. Alors on a HomZ (B, A) = HomG (B, IG (A)). Démonstration. C’est le cas particulier H = {1}. Remarque 1.14. La proposition 1.12 signifie exactement que le foncteur F H (de Mod H vers Mod G ) défini par A → IG (A) admet comme adjoint à gauche le foncteur d’oubli de Mod G dans Mod H . Comme ce dernier est exact, on en déduit immédiatement que F préserve les injectifs (cf. appendice, proposition A.34). H Le fait que IG (A) soit aussi isomorphe à Z[G] ⊗Z[H] A (avec un isomorphisme explicité dans la remarque 1.6, c) donne aussi, à l’aide de la propriété d’adjonction du produit tensoriel ([4], § 4.1) :

Proposition 1.15. Soit G un groupe fini. Soient H un sous-groupe de G et A un H-module. Alors pour tout G-module B, le groupe HomH (A, B) H s’identifie à HomG (IG (A), B). Un isomorphisme s’obtient en envoyant tout ϕ ∈ HomH (A, B) sur l’élément  f −→ g · ϕ(f (g −1 )) g∈G/H

de

H HomG (IG (A), B).

Ainsi, le foncteur d’oubli de Mod G dans Mod H est aussi adjoint à H droite pour A → IG (A), du fait que ce dernier foncteur est isomorphe à A → Z[G] ⊗Z[H] A. Néanmoins, comme observé dans la version électronique de [41] (note en bas de la page 61), la fonctorialité par rapport à G et H va H dans deux sens différents suivant que l’on considère IG (A) ou Z[G] ⊗Z[H] A. Définition 1.16. On dit qu’un G-module est relativement injectif (ou faiblement injectif) s’il est facteur direct d’un G-module induit IG (A) (où A est un groupe abélien). Notons que d’après les propositions 1.10 et 1.9, tout G-module injectif est relativement injectif.

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CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

La catégorie Mod G possède suffisamment d’injectifs (c’est-à-dire que tout G-module est isomorphe à un sous-module d’un G-module injectif) : c’est une propriété générale des catégories de modules sur un anneau (cf. appendice, exemple A.35 b). Il en résulte que pour tout foncteur additif, covariant et exact à gauche F : Mod G → B (où B est une catégorie abélienne, par exemple la catégorie Ab des groupes abéliens), on peut définir les foncteurs dérivés (à droite) Ri F pour i  0 (appendice, définition A.44). Rappelons qu’en particulier R0 F = F et si 0 −→ A −→ A −→ A −→ 0 est une suite exacte dans Mod G , on a des morphismes naturels (c’est-àdire fonctoriels vis-à-vis des morphismes de suites exactes) δ i : Ri F (A ) → Ri+1 F (A ) qui induisent une suite exacte longue δi · · · −→ Ri F (A ) −→ Ri F (A) −→ Ri F (A ) −−−→ Ri+1 F (A ) −→ · · · , c’est-à-dire que la famille des (Ri F )i0 forme ici un foncteur cohomologique ou δ-foncteur au sens du théorème A.46 de l’appendice (dans lequel les propriétés générales des foncteurs dérivés sont rappelées). Notons aussi que tout G-module est quotient d’un G-module projectif (par exemple d’un module libre sur l’anneau R := Z[G]), autrement dit la catégorie des G-modules possède suffisamment de projectifs. Nous allons voir que les groupes de cohomologie H i (G, A) pour un G-module A, bien que définis comme foncteurs dérivés droits (donc se calculant en théorie au moyen de résolutions injectives de A), se calculent en fait plus facilement à l’aide d’une résolution projective du G-module Z (équipé de l’action triviale de G).

1.3. Les groupes de cohomologie H i (G, A) Pour tout G-module A, notons AG le sous-groupe de A constitué des éléments x qui satisfont à g·x = x pour tout g de G. Le foncteur F : A → AG de Mod G dans Ab est covariant et exact à gauche. On peut donc définir ses foncteurs dérivés à droite Ri F et on pose H i (G, A) := Ri F (A) pour tout G-module A. Ces groupes sont « fonctoriels en A » de façon covariante, c’est-à-dire qu’un morphisme de G-modules ϕ : A → B induit pour tout i  0 un homomorphisme de groupes abéliens ϕ∗ : H i (G, A) → H i (G, B). Si G est le groupe trivial, on a bien entendu H i (G, A) = 0 pour tout i > 0 vu que le foncteur A → AG est évidemment exact dans ce cas.

1.3. LES GROUPES DE COHOMOLOGIE H i (G, A)

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Une résolution injective de A est une suite exacte 0 −→ A −→ I0 −→ I1 −→ I2 −→ · · · , où tous les Ii sont des G-modules injectifs. L’existence d’une telle résolution découle de ce que la catégorie des G-modules possède suffisamment d’injectifs (appendice, proposition A.43). Rappelons comment on obtient les groupes H i (G, A) à partir d’une résolution injective comme ci-dessus : les H i (G, A) sont les groupes de cohomologie du complexe 0 −→ I0G −→ I1G −→ I2G −→ · · · (par exemple H 1 (G, A) s’obtient comme le quotient de Ker[I1G → I2G ] par Im[I0G → I1G ]). Plus généralement, on peut calculer les H i (G, A) avec n’importe quelle résolution (Ij ) telle que tous les Ij soient acycliques, c’est-à-dire satisfont à H i (G, Ij ) = 0 pour tout i > 0 ; cf. appendice, théorème A.46 c). Les propriétés générales des foncteurs dérivés (qui découlent du calcul au moyen de résolutions injectives explicité ci-dessus) donnent alors : Théorème 1.17. a) On a H 0 (G, A) = AG . b) On a H i (G, A) = 0 pour tout G-module injectif A et tout i > 0. c) Pour toute suite exacte courte 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 de G-modules, on a une suite exacte longue δ0 0 −→ AG −→ B G −→ C G −−−→ δ1 H 1 (G, A) −→ H 1 (G, B) −→ H 1 (G, C) −−−→ H 2 (G, A) −→ · · · et les cobords δ i dépendent fonctoriellement de la suite exacte considérée. On obtient aussi immédiatement : Proposition 1.18. Pour tous G-modules A et B, on a H i (G, A ⊕ B) = H i (G, A) ⊕ H i (G, B). Notons que si ϕ : A → A est la multiplication par un entier m > 0, alors ϕ∗ : H i (G, A) → H i (G, A) est également la multiplication par m (observer que ϕ est la composée de la flèche diagonale A → A ⊕ A ⊕ · · · ⊕ A et de l’application somme A ⊕ A ⊕ · · · ⊕ A → A). On en déduit que si A est de m-torsion, alors H i (G, A) est de m-torsion. Remarque 1.19. La proposition 1.18 s’étend sans problème à la somme directe d’une famille finie de G-modules, ou encore au produit direct d’une famille quelconque de G-modules (utiliser le fait qu’un produit direct de

20

CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

G-modules injectifs est injectif). Nous verrons un peu plus loin (proposition 1.25) que l’hypothèse G fini permet de l’étendre à la somme directe d’une famille infinie de G-modules. Comme il est plus facile de construire des G-modules projectifs (par exemple libres) qu’injectifs, on a souvent intérêt à utiliser un autre procédé pour calculer les H i (G, A). On a d’abord le lemme suivant. Lemme 1.20. Soit · · · −→ Pi −→ Pi−1 −→ · · · −→ P1 −→ P0 −→ Z −→ 0 une résolution projective de Z (par exemple par des G-modules libres). Soit A = IG (X) un G-module induit. Alors le complexe (HomG (Pi , A))i0 est exact. Démonstration. Tous les Pi sont des Z[G]-modules projectifs, donc des Zmodules libres (comme facteur direct d’un Z-module libre). En particulier, les noyaux et conoyaux des flèches Pi+1 → Pi sont des Z-modules libres pour i  0. D’autre part, la proposition 1.12 donne HomG (Pi , A) = HomZ (Pi , X). Le résultat découle alors de ce que si 0 −→ M1 −→ M2 −→ M3 −→ 0 est une suite exacte de Z-modules libres, alors elle admet une section ce qui implique que la suite 0 −→ HomZ (M1 , X) −→ HomZ (M2 , X) −→ HomZ (M3 , X) −→ 0 reste exacte. On en déduit(2) : Théorème 1.21. Soit · · · −→ Pi −→ Pi−1 −→ · · · −→ P1 −→ P0 −→ Z −→ 0 une résolution projective de Z. Soit A un G-module. Alors les H i (G, A) sont les groupes de cohomologie du complexe 0 −→ HomG (P0 , A) −→ HomG (P1 , A) −→ HomG (P2 , A) · · · Par exemple, le groupe H 1 (G, A) est le quotient de Ker[HomG (P1 , A) → HomG (P2 , A)] par Im[HomG (P0 , A) → HomG (P1 , A)]. (2) Merci

à Joël Riou qui m’a suggéré cette méthode pour éviter le recours au théorème A.52 de l’appendice, cf. remarque 1.22 ci-après.

1.3. LES GROUPES DE COHOMOLOGIE H i (G, A)

21

Démonstration. Soit P• le complexe obtenu en rajoutant 0 à droite au complexe (Pi )i0 . Comme les Pi sont des G-modules projectifs, le foncteur qui associe à tout G-module A le complexe HomG (P• , A) est exact, ce qui implique (appendice, théorème A.41) que la famille des (H i (HomG (P• , A)))i0 forme un δ-foncteur (S i ), dont on voit immédiatement qu’il est isomorphe à A → H 0 (G, A) pour i = 0. Par universalité des foncteurs dérivés (appendice, théorème A.46), on a un morphisme de δ-foncteurs (f i ) de (H i (G, .)) vers (S i ) qui induit un isomorphisme pour i = 0. D’autre part, pour tout G-module A, on a une suite exacte 0 −→ A −→ I −→ B −→ 0 avec I injectif dans Mod G car la catégorie Mod G possède suffisamment d’injectifs. Pour montrer que f i est un isomorphisme pour tout i  0, il suffit maintenant (en raisonnant par récurrence sur i à l’aide de la suite exacte longue, vu que la cohomologie de I en degré > 0 est triviale) de montrer que le complexe HomG (P• , I)) est exact en degré > 0. Comme I est facteur direct d’un module induit IG (X) (propositions 1.9 et 1.10), le résultat découle alors du lemme 1.20. Remarque 1.22. Voici un argument légèrement différent pour démontrer le théorème 1.21. On observe que le foncteur A → AG de Mod G dans Ab s’identifie au foncteur A → HomG (Z, A) (où l’action de G sur Z est triviale). Il en résulte que H i (G, A) = ExtiG (Z, A), les ExtiG (Z, .) étant par définition les foncteurs dérivés du foncteur HomG (Z, .). Une propriété générale des Ext dans les catégories de modules (appendice, théorème A.52) donne que les ExtiG (Z, A) s’obtiennent également comme les foncteurs dérivés (appliqués à Z) du foncteur contravariant HomG (., A). On peut donc bien les calculer à l’aide d’une résolution projective de Z comme dans le théorème 1.21. On peut maintenant généraliser le théorème 1.17, b). Proposition 1.23. Soit A un G-module relativement injectif. Alors pour tout i > 0 on a H i (G, A) = 0. Autrement dit : les G-modules relativement injectifs sont acycliques. Démonstration. Comme A est facteur direct d’un G-module induit, on se ramène immédiatement, grâce à la proposition 1.18, au cas où A est lui-même induit, c’est-à-dire de la forme A = IG (X) pour un certain groupe abélien X. La proposition découle alors du théorème 1.21 joint au lemme 1.20. Corollaire 1.24. Soit 0 −→ A −→ I −→ B −→ 0

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CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

une suite exacte de G-modules avec I relativement injectif (par exemple induit). Alors pour tout i > 0, on a H i (G, B) = H i+1 (G, A) et la flèche « cobord » H 0 (G, B) → H 1 (G, A) est surjective. Démonstration. Cela résulte de la suite exacte longue de cohomologie et de la proposition précédente. Ce corollaire est utile car il permet souvent de démontrer des propriétés des H i (G, A) par « décalage » en raisonnant par récurrence sur i, comme on l’avait fait dans la preuve du théorème 1.21 en utilisant un plongement de A dans un G-module injectif. Voici un exemple de ce principe. Proposition 1.25. Soit G un groupe fini. Soit (Aj )j∈J un système inductif de G-modules et A := limj Aj le G-module limite inductive des Aj . Alors pour −→ tout i  0, on a un isomorphisme lim H i (G, Aj )  H i (G, A). −→ j

En particulier, on voit que « la cohomologie d’un groupe fini commute avec les sommes directes »(3) . Démonstration. Pour i = 0, le résultat est immédiat. On raisonne ensuite par récurrence sur i. On vérifie immédiatement que, comme G est fini, la flèche canonique limj IG (Aj ) → IG (A) est un isomorphisme de G-modules. −→ En plongeant Aj dans IG (Aj ) (cf. proposition 1.10), on a une suite exacte 0 −→ Aj −→ IG (Aj ) −→ Bj −→ 0. Posons B = limj Bj . Comme limj est un foncteur exact dans la catégorie −→ −→ des groupes abéliens (cf. appendice, proposition A.30, a), on a aussi une suite exacte 0 −→ A −→ IG (A) −→ B −→ 0 qui, comme IG (A) est induit, induit une suite exacte H 0 (G, IG (A)) −→ H 0 (G, B) −→ H 1 (G, A) −→ 0 et des isomorphismes H i−1 (G, B)  H i (G, A) pour i  2, ainsi que les résultats analogues en remplaçant A et B par Aj et Bj . Le cas i = 0 donne alors des isomorphismes lim H 0 (G, IG (Aj ))  H 0 (G, IG (A)); −→ j

(3) Comme

lim H 0 (G, Bj )  H 0 (G, B), −→ j

me l’a fait remarquer J. Riou, l’hypothèse G fini est importante pour cet énoncé ; on n’a par exemple pas l’analogue déjà au niveau des H 1 , pour G = Z(N) agissant trivialement sur une famille infinie de groupes abéliens.

1.4. CALCUL DE LA COHOMOLOGIE AVEC LES COCHAÎNES

23

d’où le résultat pour i = 1 grâce au diagramme commutatif exact limj H 0 (G, IG (Aj )) −→

/ lim H 0 (G, Bj ) −→j

/ lim H 1 (G, Aj ) −→j

/0

 H 0 (G, IG (A))

 / H 0 (G, B)

 / H 1 (G, A)

/ 0.

Le cas i  2 en résulte par récurrence grâce à un diagramme commutatif analogue, joint aux isomorphismes H i−1 (G, B)  H i (G, A);

lim H i−1 (G, Bj )  lim H i (G, Aj ). −→ −→ j

j

1.4. Calcul de la cohomologie avec les cochaînes Pour les petits degrés (i = 1, i = 2), et également pour certains calculs explicites que nous ferons au paragraphe 2.5 avec les cup-produits, on a intérêt à avoir une description explicite des groupes H i (G, A). Pour cela, on va construire une résolution explicite du G-module Z (équipé de l’action triviale de G) par des Z[G]-modules libres. Pour tout i  0, soit Ei l’ensemble des (i + 1)-uplets (g0 , . . . , gi ) d’éléments de G. Soit Li le Z-module libre de base Ei . L’opération de G sur Ei par translation s · (g0 , . . . , gi ) := (sg0 , . . . , sgi )

s ∈ G,

(g0 , . . . , gi ) ∈ Li

définit une structure de G-module sur Li . Comme G opère sans point fixe sur Ei (c’est-à-dire g · x = x avec g ∈ G et x ∈ Ei implique g = 1), le Z[G]-module Li est libre (on en obtient une base en choisissant un élément dans chaque orbite pour l’action de G sur Ei ). Soit alors di : Li → Li−1 le morphisme de G-modules défini par la formule (où le symbole gj signifie comme d’habitude que l’indice j est omis) : di (g0 , . . . , gi ) =

i 

(−1)j (g0 , . . . , gj , . . . , gi )

j=0

si i > 0 et d0 : L0 → Z le morphisme de G-modules qui envoie tout (g0 ) sur 1. Lemme 1.26. La suite d2 d1 d0 → L1 −−− → L0 −−− → Z −→ 0 · · · −→ L2 −−− est exacte (en particulier c’est une résolution de Z par des Z[G]-modules libres, donc projectifs).

24

CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

Démonstration. Montrons d’abord que di ◦ di+1 = 0 pour tout i  0. C’est immédiat pour i = 0. Supposons i  1. Alors pour tout (g0 , . . . , gi+1 ) ∈ Li+1 , on a : (di ◦ di+1 )((g0 , . . . , gi+1 )) = =

i+1  k=0

i+1 

(−1)k di (g0 , . . . , gk , . . . , gi+1 )

k=0  k−1  (−1) (−1)j (g0 , . . . , gj , . . . , gk , . . . , gi+1 ) k

j=0

+

i+1 

(−1)j−1 (g0 , . . . , gk , . . . , gj , . . . , gi+1 ) .

j=k+1

Pour toute paire (r, s) avec 0  r < s  i + 1, le terme (g0 , . . . , gr , . . . , gs , . . . , gi+1 ) apparaît deux fois dans la somme : une fois avec le signe (−1)r+s pour j = r, k = s, et une fois avec le signe (−1)r+s−1 pour k = r, j = s ; la somme est donc bien nulle. Définissons alors des morphismes de groupes abéliens (ce ne sont pas des G-morphismes en général) ui : Li → Li+1 par u0 (1) = (1), et ui (g0 , . . . , gi ) = (1, g0 , . . . , gi ) si i  1. On a alors ui−1 ◦ di + di+1 ◦ ui = IdLi pour tout i  0. En effet : (ui−1 ◦ di + di+1 ◦ ui )(g0 , . . . , gi ) =

i 

(−1)j (1, g0 , . . . , gj , . . . , gi )

j=0

+ (g0 , . . . , gi ) +

i+1 

(−1)j (1, g0 , . . . , gj−1 , . . . , gi )

j=1

qui est bien égal à (g0 , . . . , gi ) (les termes se simplifient deux à deux). Soit alors x dans Ker di , on obtient x = di+1 (ui (x)) donc x ∈ Im di+1 . Comme di ◦ di+1 = 0, on a aussi Im di+1 ⊂ Ker di et donc finalement Im di+1 = Ker di , d’où l’exactitude voulue. Soit alors A un G-module. Un élément de K i := HomG (Li , A) s’identifie à une fonction f : Gi+1 → A satisfaisant à f (s · g0 , . . . , s · gi ) = s · f (g0 , . . . , gi ) (« cochaîne homogène »), les applications cobords K i → K i+1 s’obtenant par une formule analogue à la précédente. Une telle fonction est uniquement déterminée par sa valeur sur les éléments de Gi+1 de la forme (1, g1 , g1 g2 , . . . , g1 · · · gi ). Finalement, on peut voir les éléments de K i comme des cochaînes non homogènes, à savoir :

1.4. CALCUL DE LA COHOMOLOGIE AVEC LES COCHAÎNES

25

Théorème 1.27. Les groupes H i (G, A) pour i  1 s’obtiennent comme les groupes de cohomologie du complexe K 0 −→ K 1 −→ K 2 −→ · · · , où K 0 = A (vu comme l’ensemble des fonctions de G0 := {1} dans A) et pour i  1, K i est le groupe abélien constitué des fonctions f : Gi → A, le cobord di : K i → K i+1 étant donné par la formule df (g1 , . . . , gi+1 ) = g1 · f (g2 , . . . , gi+1 ) +

i 

(−1)j f (g1 , . . . , gj gj+1 , . . . , gi+1 ) + (−1)i+1 f (g1 , . . . , gi ).

j=1

Les cochaînes (non homogènes) de Ker di sont appelées i-cocycles, ou simplement cocycles si i est sous-entendu. Les i-cocycles de l’image de di−1 sont appelés i-cobords, ou simplement cobords. En particulier, l’ensemble des 1-cochaînes K 1 est constitué des fonctions de G dans A, l’ensemble des 1-cocycles Z 1 (G, A) ⊂ K 1 est le sous-groupe des fonctions f satisfaisant de plus à f (g1 g2 ) = f (g1 ) + g1 f (g2 ) pour tous g1 , g2 de G, et l’ensemble des 1-cobords B 1 (G, A) est l’ensemble des fonctions de la forme g → g · a − a avec a ∈ A. On a ainsi H 1 (G, A) = Z 1 (G, A)/B 1 (G, A). Corollaire 1.28. Soit G un groupe fini. Soit A un G-module fini. Alors tous les groupes H i (G, A) sont finis. Remarque 1.29. Ce dernier corollaire peut aussi s’obtenir par décalage avec le corollaire 1.24, en remarquant que A se plonge dans le module induit IG (A) qui est également fini. On verra un peu plus loin que la conclusion est encore valable pour i  1 si A est seulement supposé de type fini. Exemple 1.30. a) Un élément de Z 1 (G, A) s’appelle un homomorphisme croisé. Quand l’action de G sur A est triviale, un homomorphisme croisé est simplement un homomorphisme et B 1 (G, A) = 0, ce qui fait que H 1 (G, A) est alors l’ensemble des morphismes de groupes de G dans A. b) On déduit de a) que pour tout groupe fini G agissant trivialement sur un groupe abélien sans torsion A, on a H 1 (G, A) = 0. De même, si G = Z/p agit trivialement sur un groupe abélien A, on a H 1 (G, A)  A[p], où A[p] est le sous-groupe de p-torsion de A. c) Un 2-cocycle est une application f de G × G dans A satisfaisant à g1 f (g2 , g3 ) − f (g1 g2 , g3 ) + f (g1 , g2 g3 ) − f (g1 , g2 ) = 0. On dit que c’est un système de facteurs. On peut montrer ([53], Th. 6.6.3) que H 2 (G, A) classifie les extensions de groupes E de G par A telles que l’action (par conjugaison dans E) de G sur A correspondant à E soit l’action

26

CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

donnée par la structure de G-module de A. Le cas où cette action est triviale correspond aux extensions centrales. On a maintenant un énoncé analogue à la proposition 1.25 pour les limites projectives, à condition de faire des hypothèses supplémentaires de finitude. Proposition 1.31. Soit G un groupe fini. Soit (An )n∈N un système projectif de G-modules finis, indexé par les entiers. Soit A := limn An le G-module ←− limite projective des An . Alors, pour tout i  0, on a un isomorphisme H i (G, A)  lim H i (G, An ). ←− n

Démonstration. L’énoncé est clair pour i = 0, montrons-le alors par récurrence sur i > 0. On plonge chaque An dans le G-module induit IG (An ) et on pose Bn = IG (An )/An , puis B = limn Bn . On vérifie immédiatement ←− que, G étant fini, la flèche canonique limn IG (An ) → IG (A) est un isomor←− phisme. De plus, on a H i (G, IG (An )) = 0 pour i > 0 car IG (An ) est induit. La preuve est alors identique à celle de la proposition 1.25, une fois que l’on a remarqué que la suite 0 −→ A −→ IG (A) −→ B −→ 0 reste exacte grâce aux hypothèses de finitude, de même que les suites lim H i (G, IG (An )) −→ lim H i (G, Bn ) −→ lim H i+1 (G, An ) ←− ←− ←− n n n −→ lim H i+1 (G, IG (An )) ←− n

pour tout i  0. En effet, ceci résulte de la proposition A.32 de l’appendice, la condition de Mittag-Leffler (ML) étant ici automatiquement satisfaite puisque tous les modules An , IG (An ), IG (Bn ) (ainsi que les groupes de cohomologie du groupe fini G à valeurs dans ces modules) sont finis. Remarque 1.32. La proposition 1.31 est en général fausse si on ne fait pas d’hypothèses de finitude sur les An , voir l’exercice 1.8. On n’aura pas non plus d’analogue avec G profini au lieu de G fini, voir exercice 4.1.

1.5. Changement de groupe : restriction, corestriction, suite spectrale de Hochschild-Serre Dans ce paragraphe, on ne va plus travailler avec un seul groupe G, mais considérer ce qui se passe quand on change le groupe qui agit. Soit donc A un G-module et soit G un groupe équipé d’un morphisme f : G → G. On peut alors munir A d’une structure de G -module en posant g  · a := f (g  ) · a,

g  ∈ G ,

a ∈ A.

1.5. CHANGEMENT DE GROUPE

27

Notons f ∗ A (ou simplement A si cela ne prête pas à confusion) ce G  module. Comme AG est alors un sous-groupe de (f ∗ A)G , on obtient un morphisme de foncteurs de H 0 (G, .) dans H 0 (G , f ∗ ·). La propriété universelle des foncteurs dérivés (appendice, théorème A.46, b) montre alors que pour tout entier i  0, on a une unique famille de morphismes de foncteurs fi∗ : H i (G, .) −→ H i (G , .) qui sont compatibles avec les cobords (c’est-à-dire les applications δ i ) des longues suites exactes de cohomologie (en un sens évident). On a ainsi obtenu un morphisme de foncteurs cohomologiques (ou morphisme de δfoncteurs). Soient maintenant A un G -module et u : A → A un morphisme de groupes abéliens. Si de plus u est f -compatible (4) , c’est-à-dire satisfait à u(f (g  ) · a) = g  · u(a)

g  ∈ G ,

a ∈ A,

alors u est un G -homomorphisme de f ∗ A dans A et il induit un homomorphisme u∗ : H i (G , f ∗ A) → H i (G , A ). En le composant avec fi∗ , on obtient finalement un homomorphisme H i (G, A) −→ H i (G , A ) associé au morphisme de groupes f : G → G et au morphisme f -compatible u : A → A . Cet homomorphisme s’exprime de manière évidente en utilisant la définition explicite des H i par les cochaînes. De plus, si on a un morphisme f -compatible de suites exactes courtes de la suite 0 → A → B → C → 0 vers 0 → A → B  → C  → 0, les morphismes correspondant entre les H i sont encore compatibles avec les applications δ i des longues suites exactes associées à ces suites exactes courtes (on a donc encore un morphisme de foncteurs cohomologiques). Définition 1.33. a) Soient A un G-module et H un sous-groupe de G. En prenant pour f l’injection canonique de H dans G, on obtient pour i  0 un homomorphisme Res : H i (G, A) → H i (H, A) qu’on appelle homomorphisme de restriction. b) Soit A un G-module. Pour tout sous-groupe distingué H de G, le groupe quotient G/H agit sur AH et l’inclusion AH → A est compatible avec la surjection canonique G → G/H. On en déduit pour i  0 un homomorphisme Inf : H i (G/H, AH ) → H i (G, A) qu’on appelle homomorphisme d’inflation. Remarque 1.34. Les homomorphismes de restriction et d’inflation ont une expression très simple au niveau des cocycles : dans le premier cas il suffit de restreindre un cocycle Gi → A au sous-groupe H i ; quant à l’inflation, (4) On

peut aussi dire « u et f sont compatibles », comme dans [45], Chap. VII, § 5.

28

CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

elle correspond à composer la surjection canonique Gi → (G/H)i avec tout cocycle (G/H)i → AH ⊂ A. Remarque 1.35. Soit H un sous-groupe de G. Alors Z[G] est un Z[H]-module à gauche libre (en particulier Z[G] est projectif dans Mod H ) : en effet, une base est constituée d’un système de représentants (gj )j∈J des classes à droite de G selon H car tout élément g de G s’écrit alors de manière unique g = hgj avec j ∈ J. On en déduit immédiatement qu’un G-module induit est également induit en tant que H-module grâce à la remarque 1.6, b) qui identifie les notions de G-modules induits et co-induits pour un groupe G fini. Soit maintenant H un sous-groupe d’un groupe fini G et soit A un HH H module. On dispose du G-module IG (A). En associant à tout u ∈ IG (A) sa H valeur en 1, on obtient un morphisme de groupes abéliens IG (A) → A qui est compatible avec l’injection H → G. On en déduit des homomorphismes (compatibles avec les cobords des suites exactes longues) H H i (G, IG (A)) −→ H i (H, A).

Théorème 1.36 (Lemme de Shapiro). Les homomorphismes H H i (G, IG (A)) −→ H i (H, A)

définis ci-dessus sont des isomorphismes. Démonstration. D’après la remarque 1.14 (qui découle de la proposiH tion 1.12), le foncteur F (de Mod H vers Mod G ) défini par A → IG (A) préserve les injectifs. D’autre part on a, pour tout H-module A, l’égaH H lité (IG (A))G = AH (en effet, si f : G → A est dans (IG (A))G , on a f (sg) = f (s) pour tous g, s de G donc f est constante ; mais cette constante doit être dans AH parce que f (hg) = hf (g) pour tout h de H). Pour obtenir le résultat (au moyen d’une résolution injective du H-module A, à H laquelle on applique IG (.)), il suffit alors de vérifier que F est un foncteur exact. Or on a H (A) = HomH (Z[G], A) IG (remarque 1.6, c) et le résultat découle alors de la remarque 1.35 (on peut aussi vérifier facilement directement l’exactitude de F ). Remarque 1.37. Rappelons (cf. appendice, paragraphe A.6) que si A et B sont des G-modules, les groupes ExtiG (A, B) sont par définition les foncteurs dérivés (appliqués à B) du foncteur exact à droite HomG (A, .) de Mod G dans Ab. De plus, pour B fixé, la famille des (Exti (., B)) forme un foncteur homologique, car si 0 −→ B −→ B 0 −→ B 1 −→ · · ·

1.5. CHANGEMENT DE GROUPE

29

est une résolution injective de B et 0 → A → A → A → 0 une suite exacte courte de G-modules, alors 0 −→ (HomG (A , B j ))j0 −→ (HomG (A , B j ))j0 −→ (HomG (A, B j ))j0 −→ 0 est une suite exacte courte de complexes (par injectivité des Bj ), qui donne donc naissance (appendice, théorème A.41), par définition des groupes Exti , à une suite exacte longue de cohomologie 0 −→ HomG (A , B) −→ HomG (A , B) −→ HomG (A, B) −→ Ext1G (A , B) −→ · · · Par ailleurs, on peut aussi calculer les ExtiG (A, B) comme foncteurs dérivés à gauche de HomG (., B) (appendice, théorème A.52), mais contrairement à la construction précédente, ceci ne se généralisera pas au cas d’un groupe G profini (cf. chapitre 4), faute d’avoir suffisamment de projectifs dans la catégorie des G-modules discrets. On aura besoin aussi du lemme suivant, qui sera généralisé plus tard (proposition 4.25) aux groupes profinis : Lemme 1.38. Soit G un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G. Alors tout injectif de Mod G est aussi injectif dans Mod H . Démonstration. On sait déjà (voir l’appendice, exemple A.35 b) que tout G-module A se plonge dans un G-module injectif de la forme IG (I) = HomZ (Z[G], I), où I est un groupe abélien divisible. Si A est de plus un G-module injectif, c’est un facteur direct de IG (I) et il suffit donc de montrer que IG (I) est injectif comme H-module. Comme Z[G] est un Z[H]module libre de type fini, on voit immédiatement que IG (I) est isomorphe au produit direct d’un nombre fini d’exemplaires de IH (I), donc est bien injectif comme H-module (remarque 1.14, qui repose sur la proposition A.34 de l’appendice). La proposition suivante est un peu analogue au lemme de Shapiro, à ceci H près qu’elle utilise la proposition 1.15 (où le foncteur IG (.) est vu comme adjoint à gauche du foncteur d’oubli) au lieu de la proposition 1.12 (où on le voit comme adjoint à droite de ce même foncteur). Proposition 1.39. Soit G un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G. Soit A un H-module. Alors, on a pour tout G-module B des isomorphismes canoniques H ExtiH (A, B)  ExtiG (IG (A), B),

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CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

définis pour tout i  0. Ces isomorphismes sont compatibles avec les cobords des suites exactes longues (cohomologiques) associées aux suites exactes courtes 0 −→ B −→ B  −→ B  −→ 0, ainsi qu’aux bords des suites exactes longues (homologiques) associées aux suites exactes courtes 0 −→ A −→ A −→ A −→ 0. Démonstration. Pour A fixé, la proposition 1.15 donne un isomorphisme de foncteurs (de Mod G dans Ab) H HomH (A, .)  HomG (IG (A), .).

Comme par ailleurs tout injectif de Mod G reste injectif dans Mod H (d’après le lemme 1.38), on en déduit des isomorphismes H ExtiH (A, B)  ExtiG (IG (A), B)

en prenant une résolution injective de B dans la catégorie Mod G . La compatibilité avec les cobords des suites exactes longues (cohomologiques) associées aux suites exactes courtes « en B » résulte alors des propriétés des foncteurs dérivés. La compatibilité avec les bords des suites exactes longues (homologiques) « en A » s’obtient comme dans la remarque 1.37, en observant qu’une suite exacte de H-modules 0 −→ A −→ A −→ A −→ 0 induit une suite exacte de G-modules H H H 0 −→ IG (A) −→ IG (A ) −→ IG (A ) −→ 0,

puis pour toute résolution injective B • du G-module B (qui en est aussi une résolution injective en tant que H-module), deux suites exactes isomorphes de complexes 0 −→ HomH (A , B • ) −→ HomH (A , B • ) −→ HomH (A, B • ) −→ 0, H H H 0 → HomG (IG (A ), B • ) → HomG (IG (A ), B • ) → HomG (IG (A), B • ) → 0. H (A), B) (ainsi que les groupes Or, les groupes ExtiH (A, B) et ExtiG (IG   analogues avec A et A à la place de A) sont ceux qui apparaissent en prenant les suites exactes longues associées à ces deux suites exactes de complexes.

Une autre construction va être utile dans la suite. Soient G un groupe et A un G-module. Soit t ∈ G ; prenons G = G, A = A, et notons f : g → t−1 gt l’automorphisme intérieur associé à t−1 . L’homomorphisme de groupes abéliens u : a → t·a de A dans A est alors f -compatible, et il induit donc pour tout i  0 un homomorphisme σt : H i (G, A) → H i (G, A).

1.5. CHANGEMENT DE GROUPE

31

Proposition 1.40. L’application σt est l’identité. Démonstration. On procède par récurrence sur i. Le cas i = 0 est immédiat. Dans le cas général, on plonge A dans un module induit I et on pose B = I/A. On a alors un diagramme commutatif à lignes exactes : H i (G, B) σt

 H i (G, B)

δ / i+1 H (G, A)

/0

σt

 δ / i+1 H (G, A)

/0

d’où le résultat par récurrence sur i. Remarque 1.41. Soit A un G-module. Si H est un sous-groupe distingué de G, on peut de même faire opérer G sur H i (H, A) via l’action par conjugaison de G sur H. La proposition 1.40 dit alors que H opère trivialement sur H i (H, A), autrement dit G/H opère sur H i (H, A). Par ailleurs, une résolution injective 0 −→ A −→ I0 −→ I1 −→ I2 −→ · · · de A par des G-modules induits donne aussi une résolution du H-module A par des H-modules induits d’après la remarque 1.35. On en déduit que les groupes H i (H, A) s’obtiennent en prenant la cohomologie du complexe 0 −→ I0H −→ I1H −→ I2H −→ · · · , ce sont donc naturellement des G/H-modules via l’opération de G/H sur les IjH pour j  0. L’opération correspondante de G/H sur les H i (H, A) coïncide avec celle définie plus haut (via l’action par conjugaison de G sur H) : en effet, pour i = 0, les deux opérations sont données par (t, a) → t·a pour t ∈ G/H et x ∈ AH ; on en déduit le résultat pour i quelconque par décalage. Théorème 1.42 (restriction-inflation). Soit H un sous-groupe distingué de G et soit A un G-module. Alors la suite Inf Res 0 −→ H 1 (G/H, AH ) −−−→ H 1 (G, A) −−−−→ H 1 (H, A) est exacte. Démonstration. Il est immédiat (via, par exemple, la description par les cochaînes) que la suite est un complexe. Montrons d’abord l’injectivité de Inf. Soit f : G/H → AH un 1-cocycle cohomologue à 0 dans H 1 (G, A). On peut aussi voir f comme une application de G dans A constante sur chaque classe modulo H. Il existe alors a ∈ A tel que f (s) = s · a − a pour tout s de G, et on obtient sa − a = sta − a pour tout t de H, donc t · a = a en faisant s = 1. Finalement a ∈ AH et f était bien nulle dans H 1 (G/H, AH ).

32

CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

Montrons maintenant qu’un élément de Ker Res est dans Im Inf. Soit f : G → A un 1-cocycle. Dire que Res(f ) = 0, c’est dire qu’il existe a ∈ A tel que f (t) = t · a − a pour tout t de H. Quitte à remplacer f par le cocycle cohomologue t → f (t) − (t · a − a), on peut supposer f (t) = 0 pour tout t de H. Comme f (st) = f (s)+s·f (t), on obtient alors que f se factorise en une application f : G/H → A. Pour s dans H, les classes de st et t dans G/H sont les mêmes (bien noter que H est distingué dans G) ; la formule donne donc f (t) = f (st) = sf (t), ce qui montre que f est à valeurs dans AH ; c’est un cocycle qui induit un élément de H 1 (G/H, AH ) dont l’image par Inf est f . Remarque 1.43. Ce résultat peut aussi se déduire de la suite spectrale de Hochschild-Serre donnée plus bas, mais il est instructif de faire la vérification directement, d’autant que cette méthode se généralise au « H 1 nonabélien », [45], annexe au chapitre VII. Comme on l’a vu notamment dans la remarque 1.41, le groupe G/H opère sur les groupes de cohomologie H i (H, A). On peut alors voir la suite de restriction-inflation comme la suite exacte des termes de bas degré d’une suite spectrale, donnée par le théorème suivant : Théorème 1.44 (Hochschild-Serre). Soit G un groupe. Soient H un sousgroupe distingué de G et A un G-module. Alors on a une suite spectrale E2pq = H p (G/H, H q (H, A)) =⇒ H p+q (G, A). Démonstration. C’est un cas particulier de la suite spectrale des foncteurs composés de Grothendieck (cf. appendice, théorème A.67). Le foncteur A → AG de Mod G dans Ab est le composé du foncteur F1 : A → AH de Mod G dans Mod G/H et du foncteur F2 : B → B G/H de Mod G/H dans Ab. Les foncteurs dérivés de F1 sont les H i (H, .) grâce au lemme 1.38, qui dit(5) qu’une résolution injective de A dans Mod G en donne aussi une résolution injective dans Mod H . Les foncteurs dérivés de F2 sont par définition les H i (G/H, .). Il suffit alors de vérifier que F1 préserve les injectifs, ce qui est facile grâce à la proposition A.34 de l’appendice, car c’est l’adjoint à droite du foncteur d’oubli (qui est exact) de Mod G/H vers Mod G ; de façon explicite on a pour tout G/H-module B (que l’on peut aussi voir comme un G-module avec action triviale de H) et pour tout G-module A : HomG (B, A) = HomG/H (B, AH ). (5) On

peut aussi utiliser le théorème 1.21 joint au fait qu’une résolution de Z par des Z[G]modules projectifs en donne ipso facto une résolution par des Z[H]-modules projectifs.

1.6. CORESTRICTION ; APPLICATIONS

33

Le théorème implique en particulier (cf. appendice, remarque A.61) que pour chaque n > 0, on a une filtration de H n (G, A) par une suite décroissante F 0 = H n (G, A) ⊃ · · · ⊃ F n+1 = 0, où F p /F p+1 (pour p = 0, . . . , n) p,n−p est isomorphe à un sous-quotient E∞ de H p (G/H, H n−p (H, A)). Le début de la suite exacte des termes de bas degré de cette suite spectrale (appendice, proposition A.66) s’écrit Inf Res 0 −→ H 1 (G/H, AH ) −−−→ H 1 (G, A) −−−−→ H 1 (H, A)G/H Inf −→ H 2 (G/H, AH ) −−−→ H 2 (G, A) (la flèche sans nom s’appelle la transgression). On obtient aussi le résultat suivant, qui généralise la suite exacte de restriction-inflation : Corollaire 1.45. Soit G un groupe. Soient H un sous-groupe distingué de G et A un G-module. Soit n  2 un entier, on fait l’hypothèse supplémentaire que H i (H, A) = 0 pour 1  i  n − 1. Alors la suite Inf Res 0 −→ H n (G/H, AH ) −−−→ H n (G, A) −−−−→ H n (H, A)G/H est exacte. Démonstration. L’hypothèse nous dit que les termes E2pq de la page initiale de la suite spectrale sont nuls pour 0 < q < n. On en déduit que les seuls pq n,0 0,n termes E∞ , avec p + q = n, qui peuvent être non nuls sont E∞ et E∞ . n,0 n,0 0,n = E2 et par ailleurs, E∞ L’hypothèse implique immédiatement que E∞ est toujours un sous-groupe de E20,n . On conclut en écrivant la filtration 0 ⊂ F n ⊂ H n (G, A), n,0 0,n et H n (G, A)/F n = E∞ . où F n = E∞

On peut également démontrer ce corollaire directement par récurrence sur i en commençant par plonger A dans le G-module induit IG (A), qui (remarque 1.35) est aussi induit en tant que H-module, cf. [45], Chap. VII, Prop. 5.

1.6. Corestriction ; applications Soit H un sous-groupe d’un groupe fini G. Soit A un G-module. On va voir que l’on peut définir des homomorphismes H i (H, A) → H i (G, A) « en sens inverse » de la restriction. On commence par le cas i = 0. La corestriction est alors définie par la norme :  NG/H : a −→ s·a s∈G/H

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CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

de AH vers AG , où G/H est l’ensemble (qui est fini par hypothèse) des classes à gauche selon H. Il est immédiat que s · a ne dépend que de la classe de s dans G/H (parce que a ∈ AH ) et que NG/H (a) ∈ AG . On peut alors prolonger la corestriction en degré 0 en un unique morphisme du foncteur cohomologique {H i (H, f ∗ .), δ} dans le foncteur cohomologique {H i (G, .), δ}, où f est l’inclusion H → G. Ceci est possible car le premier de ces foncteurs est effaçable en degré  1 (et donc universel ; cf. appendice, remarque A.47) : en effet, si I est induit pour G, il est induit pour H (remarque 1.35) et on a donc H i (H, I) = 0 pour tout i > 0 ; or tout G-module se plonge dans un G-module induit I. On obtient ainsi des homomorphismes de corestriction Cores : H i (H, A) −→ H i (G, A) qui sont compatibles avec les morphismes de suites exactes courtes au sens habituel. Exemple 1.46. Soit K un corps. Soit L une extension finie galoisienne de K de groupe G = Gal(L/K). Soit E une extension finie de K avec E ⊂ L, on pose H = Gal(L/E). Alors la corestricion H 0 (H, L∗ ) → H 0 (G, L∗ ) est la norme NE/K : E ∗ → K ∗ au sens usuel, c’est-à-dire que pour tout x ∈ E ∗ l’élément NE/K (x) est le produit des conjugués de x, ou encore le déterminant de la multiplication par x dans le K-espace vectoriel E. Remarque 1.47. Soit K un corps. Soit E une K-algèbre étale sur K, c’est r à-dire une K-algèbre isomorphe à un produit de corps i=1 Ki , où les Ki sont des extensions finies séparables de K. Pour tout x ∈ E, on peut encore définir NE/K (x) comme le déterminant de la multiplication par x dans le K-espace vectoriel E. Cette norme s’obtient en faisant le produit des normes NKi /K : Ki → K induites par chaque extension Ki . Théorème 1.48. Soit m = [G : H] l’indice de H dans G. Alors la composée Cores ◦ Res est la multiplication par m dans H i (G, A). Démonstration. C’est clair pour i = 0. On en déduit le cas général par décalage (en plongeant A dans un module induit I) grâce au corollaire 1.24. Corollaire 1.49. Soit G un groupe fini de cardinal m. Soit A un G-module. Alors pour i > 0, les groupes H i (G, A) sont de m-torsion. En particulier, si A est de plus de n-torsion avec n premier à m, on obtient H i (G, A) = 0 pour i > 0. Démonstration. Il suffit d’appliquer le théorème 1.48 dans le cas H = {1}.

1.7. EXERCICES

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Corollaire 1.50. Soit G un groupe fini. Alors pour tout G-module de type fini A, on a H i (G, A) fini pour tout i > 0. Démonstration. La description au moyen de cochaînes montre que les groupes H i (G, A) sont de type fini. Comme pour i > 0 ils sont de torsion d’après le corollaire 1.49, ils sont finis. Corollaire 1.51. Soit G un groupe fini. Soit A un groupe abélien uniquement divisible muni d’une action de G (par exemple A = Q avec action triviale de G). Alors H i (G, A) = 0 pour tout i > 0. Démonstration. En effet, le corollaire 1.49 dit que pour i > 0, le groupe H i (G, A) est de torsion ; mais d’un autre côté la multiplication par n dans A est un isomorphisme pour tout n > 0 par hypothèse, donc la multiplication par n dans H i (G, A) est également un isomorphisme. Exemple 1.52. Soit A = Q/Z avec action triviale de G. D’après le corollaire précédent et la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte 0 −→ Z −→ Q −→ Q/Z −→ 0, on a H i (G, Q/Z)  H i+1 (G, Z) pour tout i > 0. En particulier, H 2 (G, Z)  H 1 (G, Q/Z) est le groupe des caractères de G. On a aussi H 1 (G, Z) = 0 vu que Z n’a pas de sous-groupes finis non triviaux. Remarque 1.53. La définition de la corestriction donnée ci-dessus présente l’inconvénient de ne pas être très explicite, mais elle se prête bien à la démonstration des propriétés des homomorphismes Cores. Une définition plus concrète est donnée dans l’exercice 1.1 ci-après. 1.7. Exercices Dans tous ces exercices, G désigne un groupe fini. Exercice 1.1. Soit H un sous-groupe de G. Soit A un G-module. H a) Montrer qu’on définit un homomorphisme surjectif π : IG (A) → A de G-modules par la formule :  H π(f ) = g · f (g −1 ), f ∈ IG (A). g∈G/H H (A)) → H i (G, A) l’homob) Soit i  0. Soit π∗ : H i (H, A) = H i (G, IG morphisme induit sur la cohomologie. Montrer que π∗ est la corestriction.

Exercice 1.2 (suggéré par J. Riou). Soit A un groupe abélien injectif (c’està-dire tel que HomZ (., A) soit un foncteur exact). Montrer que IG (A) est injectif dans Mod G . Retrouver alors que si A est un groupe abélien quelconque, le G-module IG (A) est acyclique.

36

CHAPITRE 1. COHOMOLOGIE DES GROUPES FINIS

Exercice 1.3. Soit I un G-module injectif. Montrer que I est un groupe abélien divisible. Exercice 1.4. Soit I un G-module injectif. Montrer que le G-module IG (I) est injectif. Montrer qu’une limite inductive de G-modules injectifs est un G-module injectif (c’est un cas particulier d’un résultat général sur la catégorie Mod R avec R anneau noethérien à gauche, voir l’exemple A.35 f) de l’appendice). Exercice 1.5. Soit H un sous-groupe de G. Soit A un G-module. Montrer qu’on a pour tout H-module B et tout i  0 des isomorphismes canoniques H ExtiG (A, IG (B))  ExtiH (A, B).

Que donne ce résultat si A = Z ? Exercice 1.6. Donner une autre preuve de la proposition 1.39 en utilisant une résolution projective de A au lieu d’une résolution injective de B. Exercice 1.7. On dit qu’un G-module A est un G-module de permutation s’il est somme directe d’un nombre fini A1 , . . . , Ar de G-modules tels que pour chaque Ai , il existe un sous-groupe Hi de G tel que Ai soit isomorphe Hi à IG (Z) (où Z est muni de l’action triviale). H (Z) au G-module Z[G/H] constitué des sommes formelles a) Comparer IG n s, s ∈ G/H, l’action de G sur Z[G/H] étant donnée par l’action s s∈G/H à gauche de G sur l’ensemble des classes à gauche G/H.



b) Montrer que si A est un G-module de permutation, alors H 1 (G, A) = 0. c) A-t-on H 2 (G, A) = 0 pour tout module de permutation A ? d) Montrer qu’un G-module A est de permutation si et seulement si le Z-module A possède une base finie (e1 , . . . , en ) telle qu’il existe une permutation σ de l’ensemble {1, . . . , n} avec g · ei = eσ(i) pour tout i de {1, . . . , n}. À quelle condition sur l’entier r cette permutation est-elle transitive ? Exercice 1.8. Soit G = Z/p (avec p premier) et soit (pour n ∈ N) An le G-module Z avec action triviale de G. Soit  un nombre premier différent de p, considérons le système projectif (An ), les flèches de transition étant la multiplication par . Comparer limn H 2 (G, An ) et H 2 (G, limn An ). ←− ←− Exercice 1.9. Pour tout G-module A, on définit A∗ comme le G-module HomZ (A, Q/Z), où l’action de G est donnée par (g · f )(x) = f (g −1 · x) pour tout g ∈ G et tout x ∈ A. En particulier, si B est simplement un groupe abélien, le groupe abélien B ∗ est défini. a) Montrer que pour tout groupe abélien B, l’homomorphisme canonique B → (B ∗ )∗ (qui envoie x sur f → f (x) pour x ∈ B et f ∈ B ∗ ) est injectif.

1.7. EXERCICES

37

b) Donner un exemple de groupe abélien B tel que (B ∗ )∗ ne soit pas isomorphe à B. Que se passe-t-il si B est fini ? c) Montrer que si A est un G-module relativement injectif, alors A∗ est encore relativement injectif. Exercice 1.10. Soit p un nombre premier. Pour tout groupe abélien A fini de torsion p-primaire, on note rg(A) le rang de A, c’est-à-dire son nombre minimal de générateurs. a) Montrer que rg(A) est la dimension sur Fp = Z/pZ du sous-groupe de p-torsion A[p] de A, et que c’est aussi la dimension sur Fp de A/pA. b) Soit G un p-groupe fini. On pose n(G) = dimFp H 1 (G, Z/pZ) et r(G) = dimFp H 2 (G, Z/pZ). Montrer que r(G) − n(G) = rg(H 3 (G, Z)).

CHAPITRE 2 GROUPES MODIFIÉS À LA TATE, COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

Dans tout ce chapitre, G désigne encore un groupe fini. On poursuit l’étude du chapitre précédent en introduisant les groupes de Tate, ainsi que quelques outils supplémentaires (cohomologie des groupes cycliques, quotient d’Herbrand, cup-produits). On définit également une nouvelle opération entre groupes de cohomologie, le transfert, pour laquelle on démontre un théorème subtil dû à Furtwängler (théorème 2.13). 2.1. Les groupes de cohomologie modifiés de Tate Il se trouve (notamment pour les théorèmes de dualité en arithmétique, lorsque les corps de nombres considérés ont des places réelles ou encore lorsque l’on veut développer le formalisme des formations de classes) qu’il est souvent commode dans le cas d’un groupe G fini d’introduire des groupes  i (G, A) pour tout i ∈ Z, qui coïncident avec les H i (G, A) pour i  1 mais H donnent un peu plus d’information pour i  0. C’est surtout le cas i = 0 qui sera utile, à part quand nous aborderons les formations de classes où on utilisera aussi le cas i = −2.  Définition 2.1. La norme de l’algèbre de groupe Z[G] est l’élément g∈G g. L’idéal d’augmentation IG de l’algèbre de groupe Z[G] est le noyau de l’homomorphisme d’augmentation Z[G] → Z défini par   ag g −→ ag . g∈G

g∈G

On peut aussi dire que IG est l’ensemble des combinaisons linéaires des (g − 1), g ∈ G. Si A est un G-module, la norme définit un endomorphisme  N : A → A par la formule N (x) = g∈G g · x. Noter que IG A ⊂ Ker N et Im N ⊂ H 0 (G, A). Définition 2.2. Soit A un G-module. Le G-module des co-invariants est le G-module AG = H0 (G, A) := A/IG A.

40

CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

Ainsi AG est le plus grand G-module quotient de A sur lequel G agit trivialement. Par passage au quotient, on a un homomorphisme (que l’on peut aussi noter NA∗ s’il y a ambiguïté) N ∗ : H0 (G, A) −→ H 0 (G, A).  0 (G, A) = Coker N ∗ .  0 (G, A) = Ker N ∗ et H Définition 2.3. On pose H  0 (G, A) = AG /N A, où N A est  0 (G, A) = N A/IG A et H Autrement dit H le noyau de la norme dans A. Noter que ces groupes sont nuls si G est le groupe trivial (ce qui n’était pas le cas de H0 (G, A) et H 0 (G, A)). Le foncteur A → H0 (G, A) est covariant et exact à droite. On peut alors définir les groupes d’homologie Hi (G, A) comme ses foncteurs dérivés à gauche (ils ont un sens pour G quelconque, mais comme pour la cohomologie nous n’aurons besoin que du cas où G est fini). On obtient un foncteur homologique (cf. appendice, commentaire après le théorème A.46), c’est-àdire que si 0 → A → B → C → 0 est une suite exacte de G-modules, on a une suite exacte longue fonctorielle : · · · −→ H1 (G, A) −→ H1 (G, B) −→ H1 (G, C) −→ H0 (G, A) −→ H0 (G, B) −→ H0 (G, C) −→ 0. De plus, Hi (G, A) = 0 pour i > 0 si A est projectif, ou même relativement injectif (dans ce dernier cas, on utilise que A est facteur direct d’un G-module co-induit Z[G] ⊗ X, puisque G est supposé fini) ; les démonstrations sont exactement du même type que pour la cohomologie. Voici un exemple de groupe d’homologie, qui sera utile plus tard (quand on appliquera le théorème de Tate-Nakayama aux corps p-adiques au paragraphe 9.1) : Proposition 2.4. Le groupe d’homologie H1 (G, Z) est l’abélianisé Gab = G/G de G, où G est le sous-groupe dérivé de G. Démonstration. Soit Λ = Z[G] l’algèbre du groupe G. Considérons la suite exacte de G-modules π 0 −→ IG −→ Λ −−→ Z −→ 0,   où π : g ng g → g ng est l’homomorphisme d’augmentation. On a alors 2 H0 (G, IG ) = IG /IG , ce qui fait que l’image de H0 (G, IG ) dans H0 (G, Λ) = Λ/IG Λ est nulle. D’autre part, H1 (G, Λ) = 0 vu que Λ est libre sur Z[G], d’où un isomorphisme (via la suite exacte d’homologie) 2 . d : H1 (G, Z) −→ H0 (G, IG ) = IG /IG 2 par f (g) = g − 1. La formule Définissons alors f : G → IG /IG

gh − 1 = (g − 1) + (h − 1) + (g − 1)(h − 1)

2.1. LES GROUPES DE COHOMOLOGIE MODIFIÉS DE TATE

41

2 (valable pour g, h dans G) montre que c’est un morphisme. Comme IG /IG  2 est abélien, f induit un morphisme (noté encore f ) de G/G vers IG /IG , qui est clairement surjectif. Enfin le morphisme de groupes u : IG → G/G 2 défini par u(g − 1) = g passe au quotient par IG car si x = (g − 1)(h − 1) 2 est dans IG , alors

u(x) = u((gh − 1) − (g − 1) − (h − 1)) = ghg −1 h

−1

est l’élément neutre de G/G vu que ghg −1 h−1 est un commutateur. On 2 obtient donc un morphisme u : IG /IG → G/G tel que u ◦ f soit l’identité, donc f est bijective. On va maintenant « raccorder » les suites exactes longues d’homologie et de cohomologie associées à une suite exacte de G-modules à l’aide des groupes de cohomologie modifiés de Tate. C’est l’objet de la définition suivante : Définition 2.5. Soit G un groupe fini. Soit A un G-module. On définit les  n (G, A) pour n ∈ Z par la formule : groupes H  n (G, A) = H n (G, A) H

n  1,

 0 (G, A) = AG /N A, H  −1 (G, A) = H  0 (G, A) = N A/IG A, H  −n (G, A) = Hn−1 (G, A) H

n  2.

L’intérêt réside dans le théorème suivant. Théorème 2.6. Soit 0 → A → B → C → 0 une suite exacte de G-modules. Alors on a une suite exacte longue « fonctorielle » :  −1 (G, A) −→ H  −1 (G, B) −→ H  −1 (G, C)  −2 (G, C) −→ H ···H δ 0  0 (G, B) −→ H  0 (G, C) −→ H 1 (G, A) −→ · · · (G, A) −→ H −−→ H De plus, si A est relativement injectif (= relativement projectif ), on a n  H (G, A) = 0 pour tout n ∈ Z. Démonstration. Les suites exactes d’homologie et de cohomologie fournissent un diagramme commutatif à lignes exactes : H1 (G, C)  0

/ H0 (G, A) NA∗

 / H 0 (G, A)

/ H0 (G, B) NB∗

 / H 0 (G, B)

/ H0 (G, C) NC∗

 / H 0 (G, C)

Un tel diagramme définit canoniquement un homomorphisme δ : Ker NC∗ −→ Coker NA∗

/0  / H 1 (G, A)

42

CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

(si c ∈ Ker NC∗ , on le relève en b ∈ H0 (G, B), puis on relève NB∗ (b) en a ∈ H 0 (G, A) ; on vérifie alors que la classe a := δ(c) de a dans Coker NA∗  0 (G, C) → H  0 (G, A). ne dépend pas du choix de b). On a donc défini δ : H Le lemme du serpent (appendice, lemme A.29), joint aux suites exactes longues d’homologie et de cohomologie, donne alors la suite exacte voulue  0 (G, M ) est un sous-groupe de H0 (G, M ) vu que pour tout G-module M , H 0  et H (G, M ) est un quotient de H 0 (G, M ) (ce qui permet de faire les « raccords »).  n (G, A) Montrons maintenant que si A est relativement injectif, tous les H sont nuls. Pour n  1, c’est la proposition 1.23. La preuve pour n  −2 est exactement similaire (en remplaçant les induits par les co-induits, les injectifs par les projectifs, etc.). Vérifions-le directement pour n = 0 (le cas n = −1 est similaire). Il suffit de traiter le cas où A = Z[G] ⊗Z X est coinduit (= induit vu que G est fini). Alors X s’identifie à un sous-groupe de A, et A est la somme directe des gX pour g ∈ G. Tout élément x de A  s’écrit alors de façon unique x = g∈G gxg avec xg ∈ X, et un tel élément est dans AG si et seulement si tous les xg sont égaux, c’est-à-dire si et  0 (G, A) = 0. seulement si a = N x avec x ∈ X. Ainsi H  n forment par conséquent un foncteur cohomologique, satisfaisant Les H n  à H (G, A) = 0 pour tout G-module induit (ou co-induit) A et tout n ∈ Z. En particulier, on a : Corollaire 2.7. Soit 0 −→ A −→ I −→ B −→ 0 une suite exacte de G-modules avec I relativement injectif (par exemple  n (G, B) = H  n+1 (G, A). induit). Alors pour tout n ∈ Z, on a H Cela permet de montrer des propriétés par décalage en écrivant un G-module quelconque comme sous-G-module ou G-module quotient d’un induit. Par exemple, l’analogue de la proposition 1.25 reste vraie pour les groupes de cohomologie modifiés. Les groupes d’homologie peuvent se calculer de façon tout à fait analogue aux groupes de cohomologie, au moyen de complexes explicites. On obtient en particulier facilement des formules pour les groupes modifiés de Tate, de la manière suivante : pour tout n  0, notons Xn = X−1−n = Z[Gn+1 ] l’algèbre du groupe fini Gn+1 (muni de sa structure évidente de G-module). On obtient alors un complexe exact X• (« résolution complète standard de Z ») : (2.1)

· · · −→ X2 −→ X1 −→ X0 −→ X−1 −→ X−2 −→ · · · ,

2.2. CHANGEMENT DE GROUPE. TRANSFERT

43

les différentielles ∂n : Xn → Xn−1 pour n > 0 étant définies par n  (−1)i (g0 , . . . , gi , . . . , gn ) ∂n (g0 , . . . , gn ) = i=0

et ∂−n : X−n → X−n−1 pour n > 0 par n  ∂−n (g0 , . . . , gn−1 ) = (−1)i (g0 , . . . , gi−1 , g, gi , . . . , gn−1 ). g∈G i=0

 Enfin, on définit ∂0 : X0 → X−1 par ∂0 (g0 ) = g∈G g. La vérification de l’exactitude de X• est similaire à celle du lemme 1.26, en construisant une famille d’homomorphismes de groupes abéliens ui : Xi → Xi+1 satisfaisant à ui−1 ◦∂i +∂i+1 ◦ui = 0 pour tout i ∈ Z : pour i  0, on prend le même ui que dans le lemme 1.26, pour i < −1, on pose ui (g0 , . . . , g−i−1 ) = 0 si g0 = 1 et ui (1, g1 , . . . , g−i−1 ) = (g1 , . . . , g−i−1 ) ; enfin, on prend u−1 (g) = 0 si g = 1 et u−1 (1) = 1.  n (G, A) Soit alors A un G-module ; on obtient le groupe modifié de Tate H pour tout n ∈ Z comme  n (G, A) = H n ((Hom(Xn , A))G ), (2.2) H c’est-à-dire comme le n-ième groupe de cohomologie du complexe donné par ((Hom(Xn , A))G )n∈Z (les différentielles étant les transposées de celles de Xn sans ajout de signe (1) ) ; ce dernier complexe est obtenu en appliquant le foncteur .G au complexe exact (Hom(Xn , A))n∈Z , qui coïncide pour n  0 avec le complexe des applications de Gn+1 dans A. 2.2. Changement de groupe. Transfert Soit A un G-module. Soit H un sous-groupe de G. Notons NG : A → A et NH : A → A les applications normes associées au G-module et au  H-module A, définies respectivement par NG (x) = g∈G g · x et NH (x) =  h∈H h · x. On a NG A ⊂ NH A (pour le voir, regrouper les éléments de G en classes à droite selon H), d’où par passage au quotient un homomorphisme de  0 (H, A).  0 (G, A) → H restriction Res : H D’autre part, on peut également définir des homomorphismes de restriction et corestriction en homologie. La corestriction Hi (H, A) → Hi (G, A) (i  0) est simplement le morphisme de foncteurs homologiques qui, pour i = 0, correspond à la surjection canonique A/IH A → A/IG A ; la restriction Hi (G, A) → Hi (H, A) est le morphisme de foncteurs homologiques qui, (1) Comme

me l’a fait remarquer J. Riou, cette convention est différente de celle utilisée par exemple dans [12], laquelle serait indispensable si on remplaçait A par un complexe de G-modules.

44

CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

 pour i = 0, est donné par l’homomorphisme NG/H : A/IG A → A/IH A défini, pour tout x de A (de classe x dans A/IG A), par   (x) = s−1 · x NG/H s∈G/H

Cette définition est légitime car d’une part si s et t sont dans la même classe à gauche selon H, alors s−1 · x et t−1 · x coïncident modulo IH A ; d’autre part le terme de droite est nul si x ∈ IG A. Noter que l’on a aussi   (2.3) NG/H (x) = s · x, s∈HG

où H  G est cette fois-ci l’ensemble des classes à droite selon H. On vérifie que l’homomorphisme de restriction H0 (G, A) → H0 (H, A)  0 (G, A) → induit par passage aux sous-groupes un homomorphisme Res : H  0 (H, A). H Finalement on a défini pour tout n ∈ Z des homomorphismes Res :  n (G, A) → H  n (H, A). On obtient alors un morphisme de foncteurs cohoH mologiques grâce au lemme suivant.  n (G, .) → H  n (H, .) est Lemme 2.8. La famille d’homomorphismes Res : H compatible avec les suites exactes. Démonstration. Soit 0 → A → B → C → 0 une suite exacte de G-modules. Il s’agit de vérifier que le diagramme  n (G, C) H Res

 n  H (H, C)

δ

 n+1 (G, A) /H Res

 δ /  n+1 H (H, A)

commute. Ceci a déjà été vu pour n  0 et pour n  −2, il reste à vérifier  n+1 (G, A) =  n (G, C) = N C/IG C et H directement le cas n = −1. Alors H G G A /NG A (et de même pour H). Soit donc c ∈ N C dont on note c la classe  −1 (G, C). La classe de δ(c) s’obtient en relevant c en un b ∈ B dans H et en prenant la classe de NG (b) dans AG /NG A. La classe de NG (b) dans AG /NH A est donc Res(δ(c)).  D’un autre côté, Res(c) est la classe de i∈I si c, où (si )i∈I est un système de représentants des classes à droite H  G. Alors δ(Res(c)) est la classe  (dans AH /NH A) de NH ( i∈I si b), qui est bien égale à celle de NG (b). On a de même des morphismes de corestriction (donnant un morphisme  n (G, A). Pour n = 0,  n (H, A) → H de foncteurs cohomologiques) Cores : H  la corestriction est induite par x → g∈G/H g · x de AH dans AG et pour

2.2. CHANGEMENT DE GROUPE. TRANSFERT

45

n = −1, elle est induite par la surjection canonique H0 (H, A) → H0 (G, A)  0 (G, A).  0 (H, A) et H par passage aux sous-groupes H On alors une généralisation des résultats du chapitre 1 : Théorème 2.9. Soit G un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G d’indice m. Soit n ∈ Z. Alors :  n (G, A). a) La composée Cores ◦ Res est la multiplication par m dans H  n (G, A) est annulé par l’ordre de G. b) Le groupe H  n (G, A) sont finis. c) Si A est de type fini, tous les groupes H Noter en particulier que contrairement à ce qui se passe pour H 0 (G, A) (non modifié), les résultats sont ici valables pour n = 0. Démonstration. C’est tout à fait analogue au théorème 1.48 et à ses corollaires, une fois que l’on a vérifié directement que Cores ◦ Res est la multipli 0 (G, A). cation par m dans H Remarque 2.10. Comme me l’a fait observer J. Riou, il est aussi possible de construire assez formellement restriction et corestriction pour les groupes  n (n ∈ Z), grâce à l’énoncé général d’algèbre homologique suivant modifiés H (que l’on vérifie par décalage) : soient (F n )n∈Z et (Gn )n∈Z deux foncteurs cohomologiques d’une catégorie abélienne C (possédant assez de projectifs et d’injectifs) vers une catégorie abélienne D ; supposons que (F n ) s’annule sur les injectifs et (Gn ) s’annule sur les projectifs. Alors toute transformation naturelle F 0 → G0 se prolonge d’une unique façon en un morphisme de foncteurs cohomologiques (F n )n∈Z → (Gn )n∈Z . On applique cet énoncé à  n (G, .), Gn = H  n (H, .) pour la restriction (et vice-versa pour la Fn = H corestriction), quand H est un sous-groupe d’un groupe fini G. Pour finir ce paragraphe, nous allons étudier le cas particulièrement im −2 (G, Z) → H  −2 (H, Z), autrement portant du morphisme de restriction H dit du morphisme de restriction H1 (G, Z) → H1 (H, Z) en homologie. Rappelons (proposition 2.4) que le groupe H1 (G, Z) s’identifie à l’abélianisé de G, c’est-à-dire au quotient de G par son sous-groupe dérivé G ; de même pour H. Définition 2.11. Soit G un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G. L’homomorphisme V : G/G → H/H  induit par la restriction H1 (G, Z) → H1 (H, Z) s’appelle le transfert (Verlagerung en allemand). Soit IG l’idéal d’augmentation de Z[G] (rappelons que c’est l’idéal bilatère de l’anneau Z[G] défini comme le noyau du morphisme d’augmentation Z[G] → Z). Comme on l’a déjà vu dans la preuve de la proposition 2.4, le bord d de la suite exacte d’homologie induit un isomorphisme 2 H1 (G, Z)  H0 (G, IG ) = IG /IG ,

46

CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

et de même en remplaçant G par H. Le même argument appliqué au H-module induit Z[G] et à son sous H-module IG donne une injection dH : H1 (H, Z) → H0 (H, IG ) = IG /IH IG . La suite exacte 0 −→ IG −→ Z[G] −→ Z −→ 0 et la compatibilité de la restriction avec les flèches de bord en homologie donnent un diagramme commutatif (dont la flèche horizontale supérieure est induite par g → (g − 1)) : d ∼

H1 (G, Z) = G/G (2.4)

/ IG /I 2 G  NG/H

V

  dH / H1 (H, Z) = H/H  IG /IH IG .

Rappelons (formule (2.3) appliquée à A = IG ) que l’homomorphisme  2 NG/H : IG /IG → IG /IH IG est défini par   2 (x mod. IG )= s · x mod. IH IG , ∀ x ∈ IG . (2.5) NG/H s∈HG

On a aussi le diagramme commutatif exact évident : 0

/ IH

/ Z[H]

/Z

/0

0

 / IG

 / Z[G]

 /Z

/ 0.

2 Comme dH est injectif, l’homomorphisme naturel IH /IH → IG /IH IG 2 l’est aussi, autrement dit IH ∩ IH IG = IH , d’où un isomorphisme 2 H/H   IH /IH = (IH + IH IG )/IH IG

induit par h → (h − 1), ce qui peut aussi se vérifier directement (cf. exercice 2.5). La proposition suivante calcule explicitement V ; le a) correspond à la définition classique du transfert en théorie des groupes : Proposition 2.12. Avec les notations ci-dessus, soit R (avec 1 ∈ R) un système de représentants des classes à droite de G selon H. Pour tous σ ∈ G et ρ ∈ R, on écrit ρσ = σρ ρ avec ρ ∈ R et σρ ∈ H (cette décomposition est unique par définition de R). Alors : a) Le transfert V : G/G → H/H  est donné par la formule  

 V (σ mod. G ) = σρ mod. H  . ρ∈R

2.2. CHANGEMENT DE GROUPE. TRANSFERT

47

b) On a un diagramme commutatif : G/G δG

 2 IG /IG

V

/ H/H 

δH  S / (IH + IH IG )/IH IG ,

où les isomorphismes δG , δH sont induits par σ → σ − 1 et l’homomorphisme S est défini par :   2 S(x mod. IG )= ρ x mod. IH IG . ρ∈R

Au passage, on retrouve que l’expression du transfert donnée dans a) ne dépend ni du choix de R, ni du choix d’un représentant σ ∈ G dans une classe de G/G . Noter aussi que dans l’énoncé b), l’isomorphisme δG est le même que l’isomorphisme d de la première ligne du diagramme (2.4), tandis que l’isomorphisme δH est induit par l’injection dH de la deuxième ligne de ce même diagramme. Démonstration. 2 a) Soit σ ∈ G, d’image (σ − 1) ∈ IG /IG par d. Notons encore σ la classe   de σ dans G/G . Par définition de NG/H , on a   (d(σ)) = ρ(σ − 1) ∈ IG /IH IG . NG/H ρ∈R

À l’aide du diagramme (2.4), on en déduit, dans IG /IH IG , les égalités     dH (V (σ)) = σ ρ ρ − ρ= σρ ρ − ρ ρ∈R

ρ∈R

ρ∈R

ρ∈R



car (pour σ fixé) l’application ρ → ρ est une bijection de R sur R. Par ailleurs, dans IG /IH IG , on a          0= (σρ − 1)(ρ − 1) = σρ ρ − ρ − (σρ − 1) . ρ∈R

ρ∈R

Finalement on obtient



ρ∈R

ρ∈R

  dH V (σ) = (σρ − 1) ρ∈R

2 qui correspond à dans IG /IH IG ; or ρ∈R (σρ − 1) est l’élément de IH /IH

 2 σ par l’isomorphisme H/H  I /I vu plus haut. H H ρ∈R ρ

b) La flèche horizontale supérieure d du diagramme (2.4) est un isomorphisme. On en déduit que tous les éléments de l’image du morphisme  2 NG/H : IG /IG → IG /IH IG sont représentés par des éléments de IH ⊂ IG .

48

CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

Le diagramme commutatif cherché résulte alors du diagramme (2.4), joint  à l’expression explicite (2.5) de NG/H . Le théorème suivant (dont la première preuve fut donnée par Furtwängler) sur le transfert servira plus tard dans la preuve du théorème de l’idéal principal (paragraphe 15.4). La preuve que nous donnons ici (en suivant, avec plus de détails, Neukirch [39], Th. 7.6) est due à Witt. Théorème 2.13. Soit G un groupe fini de sous-groupe dérivé G . Soit G le sous-groupe dérivé de G . Alors le transfert V : G/G → G /G est l’homomorphisme trivial. Démonstration. Quitte à remplacer G par G/G (dont le sous-groupe dérivé est G /G ), on peut supposer que G = {1}, c’est-à-dire que G est abélien. Pour tout x ∈ G, posons δx = δ(x) := (x − 1) ∈ IG . On aura besoin de deux lemmes : Lemme 2.14. a) Soient x1 , . . . , xr des éléments de G. Alors il existe des éléments j2 , . . . , jr de IG tels que δ(x1 · · · xr ) = (1 + jr )δxr + (1 + jr−1 )δxr−1 + · · · + (1 + j2 )δx2 + δx1 . b) Si τ = [x, y] = x−1 y −1 xy (x, y ∈ G) est un commutateur de G, alors il existe i, j ∈ IG tels que δ(τ ) = iδ(x) + jδ(y). Pour montrer le lemme 2.14, on observe d’abord que si x, y ∈ G, alors δ(xy) = (1 + δx)δy + δx avec δx ∈ IG , ce qui donne le a) par récurrence sur r. Le b) résulte du a) et du fait que δ(x−1 ) = −(1 + δ(x−1 ))δx avec δ(x−1 ) ∈ IG . On va maintenant démontrer le deuxième lemme suivant. Lemme 2.15. Il existe un élément μ ∈ Z[G] satisfaisant aux deux propriétés suivantes : a) Pour tout σ ∈ G, on a μ(δσ) = 0 mod. IG Z[G]IG = IG IG . b) μ = [G : G ] mod. IG , où [G : G ] ∈ Z est l’indice de G dans G. Démonstration du lemme 2.15. Posons G = {σ1 , . . . , σn }. Soit π : Zn → G/G le morphisme de Z-modules qui envoie le i-ième vecteur εi de la base canonique de Zn sur σi . Le noyau Ker π est d’indice fini dans Zn , il est donc isomorphe à Zn , d’où une suite exacte de Z-modules f π 0 −→ Zn −−→ Zn −−→ G/G −→ 0.

n Posons f (εk ) = i=1 mki εi , et notons M la matrice (mki ) (c’est la transposée de la matrice de f dans la base canonique) ; on peut supposer que M est

2.2. CHANGEMENT DE GROUPE. TRANSFERT

49

de déterminant positif, et donc égal à [G : G ]. Pour chaque k ∈ {1, . . . , n}, on a π(f (εk )) = 0 dans G/G ; ainsi, il existe un élément τk de G tel que n

(2.6)

i=1

σimki = τk .

En remarquant que chaque τk est un produit de commutateurs [σi , σj ], l’égalité (2.6) et le lemme 2.14 donnent alors l’existence d’éléments μk,i ∈ Z[G], satisfaisant à μk,i = mk,i mod. IG , et tels que (2.7)

n 

μki (δσi ) = 0,

k = 1, . . . , n.

i=1

On raisonne alors dans l’anneau commutatif A = Z[G/G ] = Z[G]/IG Z[G]. Soit U la classe de la matrice (μki ) dans Mn (A) et soit μ ∈ Z[G] dont la classe μ dans A est det U . En particulier, on a déjà la propriété b) du lemme, à savoir μ = [G : G ] mod. IG . La comatrice L ∈ Mn (A) de U satisfait alors à LU = U L = μIn dans Mn (A). En relevant L en une matrice (λjk ) à coefficients dans Z[G], on obtient que la matrice produit [λjk ] · [μki ] coïncide avec μIn mod. IG Z[G]. En multipliant à droite par le vecteur colonne (δσ1 , . . . , δσn ) (dont les coordonnées sont dans IG ), l’égalité (2.7) donne n n   λjk μki (δσi ) = 0 mod. IG Z[G]IG , μ(δσj ) = k=1

i=1

soit (2.8)

μ(δσ) = 0 mod. IG Z[G]IG

pour tout σ ∈ G, d’où la propriété a) du lemme 2.15. Fin de la preuve du théorème 2.13. On fixe un système R de représentants des classes (à gauche ou à droite, cela n’a pas d’importance ici puisque G est un sous-groupe distingué de G) de G/G , avec 1 ∈ R. Soit μ ∈ Z[G] comme  dans le lemme 2.15 ; montrons que μ = ρ∈R ρ mod. IG Z[G]. L’élément μ de A = Z[G/G ] peut s’écrire  μ= nρ ρ ρ∈R

avec nρ ∈ Z, où ρ est la classe de ρ dans A. La propriété a) du lemme 2.15 donne μσ = μ pour tout σ ∈ G/G , ce qui implique déjà que tous les nρ sont  égaux à un même entier m. Ainsi μ = m ρ∈R ρ mod. IG Z[G]. Mainte nant, la propriété b) du lemme 2.15 implique m = 1, car ρ∈R ρ = [G : G ] mod. IG vu que R est de cardinal [G : G ]. Soit σ ∈ G (dont on note aussi σ la classe dans G/G ). D’après la propo2 sition 2.12 b), l’image par l’homomorphisme S d’un élément δG (σ) ∈ IG /IG

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CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

est alors donnée par S(δG (σ)) =

  ρ · δσ ∈ Z[G]/IG IG .



ρ∈R

Or, comme δσ ∈ IG et μ = ρ∈R ρ mod. IG Z[G], on a :   ρ · δσ = μ · (δσ) = 0 mod. IG IG , ρ∈R

ce qui montre bien que le transfert V : G/G → G est l’application nulle.

2.3. Cohomologie d’un groupe cyclique Soit G un groupe cyclique de cardinal n. L’un des intérêts de la cohomo q (G, A) logie modifiée de Tate est que dans ce cas, la suite des groupes H (pour q ∈ Z) est 2-périodique, ce qui permet de les calculer facilement  −1 (G, A), qui admettent des descriptions  0 (G, A) et H en se ramenant à H explicites. On a en effet le théorème suivant. Théorème 2.16. On suppose que le groupe fini G est cyclique d’ordre n. Soit A  q (G, A) et H  q+2 (G, A) un G-module. Alors pour tout q ∈ Z, les groupes H sont isomorphes.  q (G, A) à la cohomoDémonstration. La preuve va consister à identifier les H logie d’un certain complexe qui sera 2-périodique par construction. Fixons un générateur s de G et posons D = s − 1 dans Z[G]. On a d’autre part N=

 t∈G

t=

n−1 

si .

i=0

Définissons alors un complexe K(A) par K i (A) = A pour tout i, les cobords di : K i (A) → K i+1 (A) étant donnés par les formules : di est la multiplication par D si i est pair et di est la multiplication par N si i est impair (il s’agit bien d’un complexe car N D = DN = 0). Pour toute suite exacte 0 → A → B → C → 0 de G-modules, on a une suite correspondante de complexes 0 −→ K(A) −→ K(B) −→ K(C) −→ 0 d’où une suite exacte longue associée avec des opérateurs de cobord δ i . On obtient ainsi un foncteur cohomologique (H q (K(.)), δ) qui est clairement 2-périodique par rapport à q. Pour conclure, il nous suffit de montrer qu’il  q (G, .), δ). est isomorphe au foncteur (H Comme G est engendré par s, on a AG = Ker D et IG A = Im D. Il  q (G, A) = H q (K(A)) en résulte que pour q = 0 et q = −1, on a bien H

2.4. QUOTIENT D’HERBRAND

51

et l’opérateur de cobord entre le degré 0 et le degré 1 est le même. En particulier, si A est relativement injectif, on a H q (K(A)) = 0 pour q = −1, 0, donc pour tout q ∈ Z vu que le complexe K(A) est 2-périodique. On  q (G, A) et conclut que pour tout G-module A et tout q ∈ Z, les groupes H H q (K(A)) sont isomorphes en raisonnant par exemple par décalage grâce au corollaire 2.7 (cf. aussi remarque 2.10), après avoir écrit A comme sousmodule (resp. comme quotient) d’un G-module induit I (resp I  ). Remarque 2.17. L’isomorphisme donné par le théorème 2.16 dépend du choix d’un générateur de G. Comme on le verra plus loin (remarque 2.29), un tel choix permet aussi d’expliciter l’isomorphisme du théorème 2.16 à l’aide d’un cup-produit. Exemple 2.18. Dans le cas d’un groupe G = σ cyclique d’ordre n et d’un sous-groupe H = σ d  d’indice d, on a des formules explicites simples pour la restriction et la corestriction. Soit A un G-module. Comme on sait que  0 (G, A) → H  0 (H, A) est induite par passage aux quotients à partir Res : H  −1 (H, A) → H  −1 (G, A) de l’injection canonique AG → AH , et Cores : H est induite par passage aux sous-groupes à partir de la surjection canonique A/IH A → A/IG A, le théorème 2.16 (cf. aussi remarque 2.29) donne l’expression de Res en degré pair et de Cores en degré impair. On obtient les parités inverses en notant (à l’aide des formules du paragraphe 2.2) que  −1 (G, A) → H  −1 (H, A) est induite par la flèche x → d−1 σ k · x Res : H k=0  0 (H, A) → H  0 (G, A) est induite par de A/IG A vers A/IH A ; et Cores : H d−1 x → k=0 σ k · x de AH vers AG . 2.4. Quotient d’Herbrand  0 (G, A) Soit G un groupe fini cyclique. Soit A un G-module. Lorsque H  1 (G, A) sont des groupes finis, on note h0 (A) et h1 (A) leurs cardinaux et H respectifs.  1 (G, A) sont finis. On appelle  0 (G, A) et H Définition 2.19. Supposons que H quotient d’Herbrand h(A) du G-module A le nombre rationnel h(A) :=

h0 (A) . h1 (A)

Les propriétés du quotient d’Herbrand sont résumées dans le théorème suivant : Théorème 2.20. Soit G un groupe cyclique. a) Soit 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0

52

CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

une suite exacte de G-modules. Si deux des quotients d’Herbrand h(A), h(B), h(C) sont définis, il en va de même du troisième et on a h(B) = h(A)h(C). b) Si A est un G-module fini, alors h(A) = 1. c) Soit f : A → B un homomorphisme de G-modules dont le noyau et le conoyau sont finis. Si l’un des quotients d’Herbrand h(A), h(B) est défini, alors il en va de même de l’autre et h(A) = h(B). Démonstration. a) La suite exacte longue de cohomologie modifiée s’écrit ici, en tenant compte du théorème de périodicité 2.16 :  1 (G, C) −→ H  0 (G, A) −→ H  0 (G, B) −→ H  0 (G, C) · · · −→ H  1 (G, A) −→ H  1 (G, B) −→ H  1 (G, C) −→ · · · −→ H Cette longue suite exacte est donc 6-périodique (« hexagone exact »). On en déduit une suite exacte :  0 (G, A) −→ H  0 (G, B) −→ H  0 (G, C) 0 −→ I1 −→ H  1 (G, A) −→ H  1 (G, B) −→ H  1 (G, C) −→ I1 −→ 0, −→ H où  1 (G, C) −→ H  0 (G, A)] = Ker[H  0 (G, A) −→ H  0 (G, B)]. I1 = Im[H Il est alors immédiat que si deux des quotients h(A), h(B), h(C) sont définis, le troisième l’est aussi. Si c’est le cas, le produit alterné des cardinaux dans la suite exacte à huit termes ci-dessus est 1, ce qui donne, en appelant s le cardinal de I1 : h0 (A)h0 (C)h1 (B)s = h0 (B)h1 (A)h1 (C)s, soit h(B) = h(A)h(C). b) Soit s un générateur du groupe cyclique G. Soit D la multiplication par s − 1 dans A, on a donc une suite exacte D 0 −→ H 0 (G, A) −→ A −−−→ A −→ H0 (G, A) −→ 0 vu qu’un élément x de A est dans H 0 (G, A) si et seulement si s · x − x = 0, et l’image de D est précisément IG (A). On a de même une suite exacte  0 (G, A) −→ 0.  −1 (G, A) −→ H0 (G, A) −−N −→ H 0 (G, A) −→ H 0 −→ H Si le cardinal m de A est fini, on obtient donc que H 0 (G, A) et H0 (G, A) ont  −1 (G, A)  H 1 (G, A) même cardinal grâce à la première suite, puis que H 0  et H (G, A) ont même cardinal grâce à la deuxième suite, d’où h(A) = 1.

2.5. CUP-PRODUITS

53

c) Soit I l’image de f . On a des suites exactes 0 −→ Ker f −→ A −→ I −→ 0. 0 −→ I −→ B −→ Coker f −→ 0. D’après b), on a h(Ker f ) = h(Coker f ) = 1. On obtient alors d’après a) que si h(A) (resp. h(B)) est défini, alors h(I) l’est également et on a donc h(B) (resp. h(A)) défini avec h(A) = h(I) = h(B). 2.5. Cup-produits Soit G un groupe fini. Soient A et B deux G-modules, alors on peut voir A ⊗ B := A ⊗Z B comme un G-module via la formule g · (a ⊗ b) = (g · a) ⊗ (g · b) pour tout g ∈ G et tout (a, b) ∈ A × B. On en déduit une application bilinéaire au niveau des groupes de cochaînes homogènes (définies au paragraphe 1.4) : ∪ K p (G, A) × K q (G, B) −−→ K p+q (G, A ⊗ B) définie (pour tous entiers naturels p, q) par la formule : (a ∪ b)(g0 , . . . , gp+q ) = a(g0 , . . . , gp ) ⊗ b(gp , . . . , gp+q ). On a alors (en convenant que dans tout ce paragraphe 2.5, « cocycle » et « cochaîne » désignent respectivement un cocycle homogène et une cochaîne homogène) : Théorème 2.21. Si a et b sont des cocycles, alors a ∪ b est également un cocycle. Si l’une des deux cochaînes a ou b est un cobord et l’autre est un cocycle, alors a ∪ b est un cobord. L’application ∪ induit pour tous p, q  0 une application bilinéaire H p (G, A) × H q (G, B) −→ H p+q (G, A ⊗ B) notée encore ∪, et appelée cup-produit. Démonstration. Il suffit de vérifier la formule : d(a ∪ b) = (da) ∪ b + (−1)p (a ∪ db),

(2.9)

où d est le cobord entre groupes de cochaînes. Or on a d(a ∪ b)(g0 , . . . , gp+q+1 ) =

p 

(−1)i a(g0 , . . . , gi , . . . , gp+1 ) ⊗ b(gp+1 , . . . , gp+q+1 )

i=0

+

p+q+1  i=p+1

(−1)i a(g0 , . . . , gp ) ⊗ b(gp , . . . , gi , . . . , gp+q+1 )

54

CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

et (da ∪ b)(g0 , . . . , gp+q+1 ) =

p+1 

(−1)i a(g0 , . . . , gi , . . . , gp+1 ) ⊗ b(gp+1 , . . . , gp+q+1 )

i=0

ainsi que (a ∪ db)(g0 , . . . ,gp+q+1 ) = a(g0 , . . . , gp ) ⊗

q+1 

(−1)i b(gp , . . . , gp+i , . . . , gp+q+1 )

i=0

= a(g0 , . . . , gp ) ⊗

p+q+1 

(−1)i−p b(gp , . . . , gi , . . . , gp+q+1 ).

i=p

On obtient alors la formule au terme près suivant (−1)p+1 a(g0 , . . . , gp+1 , . . . , gp+1 ) ⊗ b(gp+1 , . . . , gp+q+1 ) + (−1)p a(g0 , . . . , gp ) ⊗ b(gp , . . . , gp , . . . , gp+q+1 ) qui se simplifie, d’où le résultat. Dans [15], Chap. 3, § 4, on trouvera une définition du cup-produit n’utilisant pas de calculs explicites avec les cocycles. Remarque 2.22. Dans le cas particulier p = 0, le cup-produit d’un élément a ∈ H 0 (G, A) par un élément b ∈ H q (G, B) est simplement donné par f∗ (b), où f∗ : H q (G, B) → H q (G, A ⊗ B) est l’homomorphisme induit par le morphisme de G-modules x → a ⊗ x de B dans A ⊗ B. Ceci résulte immédiatement de la définition du cup-produit et de la description de f∗ en termes de cocycles. En particulier, pour p = q = 0, le cup-produit est simplement l’application (a, b) → a ⊗ b de AG × B G dans (A ⊗ B)G . Il est immédiat qu’il est fonctoriel en A et B. On peut alors plus généralement définir un cupproduit associé à un accouplement (c’est-à-dire une application bilinéaire compatible avec l’action de G) ϕ : A × B → C entre G-modules, en utilisant le fait qu’une telle application se factorise à travers A ⊗ B. On notera souvent encore ∪ le cup-produit ainsi obtenu si ϕ est sous-entendue. On a en outre les deux propriétés de compatibilité suivantes du cup-produit. Proposition 2.23. a) Soit B un G-module. Soient 0 −→ A −→ A −→ A −→ 0

et

0 −→ C  −→ C −→ C  −→ 0

2.6. CUP-PRODUITS POUR LA COHOMOLOGIE MODIFIÉE

55

des suites exactes de G-modules. On suppose donné un accouplement A × B → C qui induit des accouplements A × B → C  et A × B → C  . Alors pour tout α ∈ H p (G, A ) et tout β ∈ H q (G, B), on a (δα ) ∪ β = δ(α ∪ β) ∈ H p+q+1 (G, C  ), où δ est le cobord entre groupes de cohomologie. b) Soient 0 → B  → B → B  → 0 et 0 → C  → C → C  → 0 des suites exactes de G-modules. Soit A un G-module, on suppose donné un accouplement A × B → C qui induit des accouplements A × B  → C  et A × B  → C  . Alors pour tout α ∈ H p (G, A) et tout β  ∈ H q (G, B  ), on a α ∪ (δβ  ) = (−1)p δ(α ∪ β  ) ∈ H p+q+1 (G, C  ). Démonstration. Montrons par exemple b). Relevons α en un cocycle a ∈ Z p (G, A) et β  en un cocycle b ∈ Z q (G, B  ). On peut relever b en une cochaîne homogène b ∈ K q (G, B) (en effet, si M est un G-module, on a K q (G, M ) = X q (G, M )G , où X q (G, M ) est le G-module induit constitué des fonctions de Gq+1 dans M ; donc le foncteur K q (G, .) est exact). Identifions B  avec son image dans B ; alors δ(β  ) est représenté par db ∈ Z q+1 (G, B  ) et δ(α ∪ β  ) par d(a ∪ b) ∈ Z p+q+1 (G, C  ). Comme da = 0, la formule (2.9) donne d(a ∪ b) = (−1)p (a ∪ db) d’où le résultat en passant aux classes de cohomologie. Remarque 2.24. Soit A un G-module. Alors A se plonge dans le module induit IG (A) de telle sorte qu’il en soit un facteur direct comme Z-module (proposition 1.10). De ce fait, la suite 0 −→ A −→ IG (A) −→ A/IG (A) −→ 0 reste exacte si on la tensorise par tout G-module B. La proposition 2.23, jointe au fait que le cup-produit est « bifonctoriel » et à sa définition pour p = q = 0, caractérise alors uniquement le cup-produit (par décalage). Il est également possible d’aller dans l’autre sens grâce à la remarque 1.11. 2.6. Cup-produits pour la cohomologie modifiée On va maintenant, en utilisant la remarque 2.24, étendre la définition du cup-produit à la cohomologie modifiée de Tate. Cette définition sera en particulier utile dans le cas p = −2, q = 2, pour appliquer le théorème de TateNakayama à la cohomologie galoisienne des corps locaux (paragraphe 9.1). Théorème 2.25. Soit G un groupe fini. Alors il existe une unique famille d’applications bilinéaires ∪  p+q  q (G, B) −−  p (G, A) × H H →H (G, C)

56

CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

associée à tous p, q ∈ Z et tout accouplement A × B → C de G-modules, satisfaisant à : 1) Pour p = q = 0, ces applications sont induites par la flèche naturelle AG × B G −→ C G . 2) Ces applications sont fonctorielles vis-à-vis des G-modules. 3) Ces applications satisfont aux propriétés analogues aux propriétés a) et b) de la proposition 2.23 vis-à-vis des suites exactes, pour tous p, q ∈ Z. Bien entendu, pour p, q  0, on retrouve le cup-produit habituel défini dans le théorème 2.21, ce qui permet dans ce cas d’en avoir une expression explicite en termes de cocycles. Démonstration. On se ramène immédiatement au cas C = A ⊗ B. Considérons la résolution complète standard (X• , ∂) (c’est-à-dire le complexe (2.1)) de Z. Pour tout G-module M , rappelons que l’on note HomG (X• , A) le complexe dont le n-ième terme est HomG (Xn , A), avec la convention de signe déjà mentionnée pour la formule (2.2). On a alors (en utilisant la définition A.51 de l’appendice pour le produit tensoriel total de deux complexes) un morphisme de complexes (2.10)

HomG (X• , A) ⊗ HomG (X• , B) −→ HomG (X• ⊗ X• , C).

Lemme 2.26. Il existe une famille d’homomorphismes ϕp,q : Xp+q −→ Xp ⊗ Xq ,

p, q ∈ Z

satisfaisant à : a)

ϕp,q ∂ = (∂ ⊗ 1)ϕp+1,q + (−1)p (1 ⊗ ∂)ϕp,q+1 .

b)

(π ⊗ π)ϕ0,0 = π,

où π : X0 = Z[G] → Z est l’homomorphisme d’augmentation. Supposons pour l’instant le lemme 2.26 démontré. Les ϕp,q induisent(2) un homomorphisme de complexes (où X• ⊗ X• dans le terme de gauche désigne comme plus haut le complexe total) HomG (X• ⊗ X• , C) −→ HomG (X• , C). En composant avec (2.10), on obtient un morphisme HomG (X• , A) ⊗ HomG (X• , B) −→ HomG (X• , C),

f ⊗ g −→ f · g

entre complexes de G-modules. (2) Une

subtilité ici (signalée par J. Riou) : les ϕp,q n’induisent en général pas de morphisme de complexes X• → X• ⊗ X• car X• n’est a priori borné d’aucun côté, et donc   l’image de Xn dans p+q=n Xp ⊗ Xq n’est pas incluse dans p+q=n Xp ⊗ Xq . Le passage à HomG (., C) permet néanmoins bien de définir l’homomorphisme voulu de manière évidente.

2.6. CUP-PRODUITS POUR LA COHOMOLOGIE MODIFIÉE

57

La propriété a) donne alors ∂(f · g) = (∂f ) · g + (−1)p f · (∂g), ce qui implique que si f et g sont des cocycles, il en va de même de f · g (et la classe de cohomologie de f · g ne dépend que des classes de f et g). On en déduit, à l’aide de la formule (2.2), une famille d’applications bilinéaires  p (G, A) × H  q (G, B) −→ H  p+q (A, C) H qui satisfont clairement à la propriété 2) du théorème 2.25. La propriété 1) résulte de la propriété b) du lemme 2.26. Enfin, la propriété 3) se démontre exactement comme la proposition 2.23. On a ainsi démontré l’assertion d’existence du théorème 2.25, et l’unicité résulte de la propriété 1) jointe à la remarque 2.24. Il reste à démontrer le lemme 2.26. Pour cela, on définit ϕp,q (g0 , . . . , gp+q ) = (g0 , . . . , gp ) ⊗ (gp , . . . , gp+q ) si p, q  0. Pour p, q  1, on pose ϕ−p,−q (g1 , . . . , gp+q ) = (g1 , . . . , gp ) ⊗ (gp+1 , . . . , gp+q ). Enfin, la définition des ϕp,q si l’un des indices p, q est > 0 et l’autre < 0 dépend du signe de p + q ; plus précisément, on pose, pour tout p  0 et tout q  1 :  ϕp,−p−q (g1 , . . . , gq ) = (g1 , h1 , . . . , hp ) ⊗ (hp , . . . , h1 , g1 , . . . , gq ). (h1 ,...,hp )∈Gp

ϕ−p−q,p (g1 , . . . , gq ) =



(g1 , . . . , gq , h1 , . . . , hp ) ⊗ (hp , . . . , h1 , gq ).

(h1 ,...,hp )∈Gp

ϕp+q,−q (g0 , . . . , gp ) =



(g0 , . . . , gp , h1 , . . . , hq ) ⊗ (hq , . . . , h1 ).

(h1 ,...,hq )∈Gq

ϕ−q,p+q (g0 , . . . , gp ) =



(h1 , . . . , hq ) ⊗ (hq , . . . , h1 , g0 , . . . , gp ).

(h1 ,...,hq )∈Gq

Le lemme résulte alors d’un calcul direct (sans difficulté, mais très fastidieux). La proposition suivante donne un « formulaire » pour le comportement du cup-produit vis-à-vis des opérations usuelles en cohomologie : Proposition 2.27. a) Si on identifie (A ⊗ B) ⊗ C à A ⊗ (B ⊗ C), alors (α ∪ β) ∪ γ = α ∪ (β ∪ γ)  q (G, B), γ ∈ H  r (G, C) (« associativité » du  p (G, A), β ∈ H pour tous α ∈ H cup-produit).

58

CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

b) Si on identifie A ⊗ B et B ⊗ A, on a (α ∪ β) = (−1)pq (β ∪ α) pour tous  q (G, B) (« anticommutativité » du cup-produit).  p (G, A) et β ∈ H α∈H c) Si H est un sous-groupe de G, A et B des G-modules et Res la res p (G, A) et triction, alors Res(α ∪ β) = Res(α) ∪ Res(β) pour tous α ∈ H  q (G, B). β∈H d) Si H est un sous-groupe distingué de G, A et B des G/H-modules et Inf l’inflation, alors Inf(α ∪ β) = Inf(α) ∪ Inf(β)  p (G/H, AH ) et β ∈ H  q (G/H, B H ). pour tous α ∈ H e) Si H est un sous-groupe de G, A et B des G-modules et Cores la co p (H, A) restriction, alors Cores(α ∪ Res(β)) = Cores(α) ∪ β pour tous α ∈ H q  (G, A). et β ∈ H Démonstration. Toutes ces propriétés se démontrent par décalage, en utilisant le théorème 2.25 (qui définit le cup-produit) et la remarque 2.24. Montrons par exemple b) : on plonge A0 := A dans le module induit IG (A) et on pose A1 = IG (A)/A, puis par récurrence on définit Ap = IG (Ap−1 )/Ap−1 pour tout p > 0. On voit facilement qu’en notant JG le module quotient de Z[G] par Z (ce dernier étant vu comme sous-module de Z[G] via  1 → g∈G g), on a A1  A ⊗ J G .

(2.11)

Le corollaire 2.7 donne que le cobord itéré δ p : H n (G, Ap ) → H n+p (G, A) est un isomorphisme pour tout n ∈ Z. Adoptons des notations similaires pour B. En appliquant la propriété 3) du théorème 2.25 (p fois dans le cas a) et q fois dans le cas b), on obtient, pour p, q  0, un diagramme commutatif :  0 (G, Ap ) × H  0 (G, Bq ) H

∪ / 0  0 (G, Ap ⊗ Bq ) H (G, (A ⊗ Bq )p )  H

δp

Id    p (G, A) × H  0 (G, Bq ) H δq    q (G, B)  p (G, A) × H H

∪

δp   p (G, A ⊗ Bq )  p (G, (A ⊗ B)q )  H /H

∪

(−1)pq δ q   p+q (G, A ⊗ B). /H

Id

En effet, on a bien des isomorphismes (A ⊗ Bq )p  Ap ⊗ Bq et (A ⊗ B)q  A ⊗ Bq grâce à (2.11). Comme la formule voulue est claire pour p = q = 0, le résultat pour p, q  0 découle alors de ce que les flèches verticales sont des isomorphismes.

2.6. CUP-PRODUITS POUR LA COHOMOLOGIE MODIFIÉE

59

Le cas où par exemple p est < 0 est similaire, en écrivant une suite exacte 0 −→ A−1 −→ IG (A) −→ A −→ 0, puis en posant A−n−1 = Ker[IG (A−n ) → A−n ] pour tout n  1. La preuve de a), c) et d) est tout à fait analogue, les formules étant claires si p = q = 0. Pour e), le même argument par décalage permet de se ramener à la commutativité du diagramme  0 (H, Ap ) × H  0 (H, Bq ) H O Res   0 (G, Ap ) × H  0 (G, Bq ) H

∪

 0 (H, Ap ⊗ Bq ) /H

∪

Cores   0 (G, Ap ⊗ Bq ), /H

Cores

pour laquelle il suffit de vérifier la commutativité de ⊗

H AH p × Bq O

NG/H 

/ (Ap ⊗ Bq )H

Id ⊗

G AG p × Bq



NG/H

/ (Ap ⊗ Bq )G .

G Or, celle-ci résulte du calcul, valable pour tous a ∈ AH p , b ∈ Aq :   NG/H (a ⊗ b) = ga ⊗ gb = ga ⊗ b = NG/H (a) ⊗ b. g∈G/H

g∈G/H

Enfin, voici une dernière compatibilité qui sera utile pour les théorèmes de dualité : Proposition 2.28. Soient 0 −→ A −→ A −→ A −→ 0;

0 −→ B  −→ B −→ B  −→ 0

des suites exactes de G-modules. Soit C un G-module et ϕ : A × B → C une application bilinéaire (compatible avec l’action de G) telle que ϕ(A ×B  ) = 0, de sorte que ϕ induit des accouplements ϕ : A × B  −→ C

et

ϕ : A × B  −→ C.

Alors, pour p, q  0, les cup-produits induits H p (G, A ) × H q (G, B  ) −→ H p+q (G, C) et H p+1 (G, A ) × H q−1 (G, B  ) −→ H p+q (G, C) sont compatibles (au signe près) avec les cobords δ. Plus précisément, on a (δα) ∪ β + (−1)p (α ∪ δβ) = 0 pour tous α ∈ H p (G, A ) et β ∈ H q−1 (G, B  ).

60

CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

Démonstration. On relève α en un cocycle a ∈ Z p (G, A ) et de même β en b ∈ Z q−1 (G, B  ), puis a et b respectivement en des cochaînes a et b de K p (G, A) et K q−1 (G, B). Alors da et db proviennent respectivement de a ∈ K p+1 (G, A ) et b ∈ K q (G, B  ), qui représentent respectivement δα et δβ. On vérifie alors avec la formule (2.9) que a ∪ b + (−1)p (a ∪ b ) = d(a ∪ b) est un cobord, donc est nul dans H p+q (G, C). Remarque 2.29. Soit G = s un groupe fini cyclique. Considérons la suite exacte i s−1 ε 0 −→ Z −−→ Z[G] −−−−−→ Z[G] −−→ Z −→ 0, où ε est l’augmentation et i est l’injection naturelle. Cette suite de Zmodules libres reste exacte si on la tensorise par A. En coupant la suite alors obtenue en deux suites exactes courtes, on obtient (grâce au corol q (G, A) → H  q+2 (G, A) ; en partilaire 2.7) des isomorphismes θq (A) : H culier pour q = 0 et A = Z, cela donne un isomorphisme θ : Z/mZ =  0 (G, Z) → H  2 (G, Z) (qui dépend du choix d’un générateur s de G fait H au départ). Posons a = θ(1). On obtient alors un isomorphisme explicite  q+2 (G, A) en faisant le cup-produit  q (G, A) avec H (cf. théorème 2.16) de H avec a. En effet, la compatibilité du cup-produit avec les cobords (propriété 3) du théorème 2.25) donne, pour tout G-module A, un diagramme commutatif au signe près :  q (G, A) H

 q (G, A) H

∪a   (A) θ  q (G, A) q  q+2 (G, A). /H H ∪1

 0 (G, Z) est l’identité dans H  q (G, A) Le cup-produit par 1 ∈ Z/mZ = H (c’est immédiat pour q = 0, et se voit ensuite par décalage). Comme θq (A) est aussi un isomorphisme, on obtient bien l’isomorphisme voulu, à l’aide de la formule (valable au signe près) (θq (A))(x) = x ∪ a. Remarque 2.30. La remarque 2.22 s’étend facilement à des classes de coho n (G, B) pour n ∈ Z : cela se voit  0 (G, A) et b ∈ H mologie modifiées a ∈ H par exemple par décalage à partir du cas n = 0. On va terminer ce chapitre par deux calculs explicites de cup-produits en petits degrés. La proposition 2.32 sera notamment utile pour une importante formule de compatibilité que nous établirons plus tard (proposition 9.3). Si A est un G-module et a ∈ A est de norme nulle (resp. est dans AG ), on  −1 (G, A) (resp. a0 sa classe dans H  0 (G, A)). note a0 sa classe dans H

2.6. CUP-PRODUITS POUR LA COHOMOLOGIE MODIFIÉE

61

Lemme 2.31. Soit G un groupe fini. Soient A et B des G-modules. On considère un élément a ∈ A avec NG (a) = 0 et un cocycle f ∈ Z 1 (G, B), dont on note f ∈ H 1 (G, B) la classe de cohomologie. On pose  (t · a) ⊗ f (t) ∈ A ⊗ B. c=− t∈G

Alors

 0 (G, A ⊗ B). a0 ∪ f = c0 ∈ H

Démonstration. On plonge B dans le module induit B  = IG (B) et on pose B  = B  /B. Rappelons que comme B est facteur direct de B  en tant que groupe abélien, la suite 0 −→ A ⊗ B −→ A ⊗ B  −→ A ⊗ B  −→ 0 reste exacte. Comme H 1 (G, B  ) = 0, l’image du cocycle f dans Z 1 (G, B  ) est un cobord, d’où un élément b ∈ B  tel que f (t) = t.b − b pour tout t ∈ G. Si t ∈ G, l’image de t.b − b dans B  est nulle car t.b − b ∈ B, autrement dit l’image b de b dans B  appartient à H 0 (G, B  ). Par définition du cobord d, on a alors d((b )0 ) = f ∈ H 1 (G, B), d’où a0 ∪ f = −d(a0 ∪ (b )0 ) d’après la propriété 3) du théorème 2.25 (plus précisément, d’après l’analogue en cohomologie modifiée de la proposition 2.23, b). La remarque 2.30 donne a0 ∪ (b )0 = a ⊗ (b )0 . Comme le cobord  0 (G, A ⊗ B)  −1 (G, A ⊗ B  ) −→ H d:H  est induit par la norme, en posant d = NG (a ⊗ b ) = t∈G (t · a) ⊗ (t · b ) on obtient : a0 ∪ f = −d0 . Maintenant, on observe que comme NG (a) = 0, on a  (t · a) ⊗ (f (t) + b ) = −c, d= t∈G

d’où le résultat. Rappelons (proposition 2.4) que la suite exacte (2.12)

0 −→ IG −→ Z[G] −→ Z −→ 0

 −1 (G, IG ) = IG /I 2 , d’où un  −2 (G, Z) → H induit un isomorphisme d : H G  −2 (G, Z), obtenu en envoyant s ∈ G sur isomorphisme s → s de Gab sur H d−1 (s − 1), c’est-à-dire sur l’élément s tel que d(s) = (s − 1)0 .

62

CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

Proposition 2.32. Soit B un G-module. Soit f : G → B un cocycle dans Z 1 (G, B), de classe f ∈ H 1 (G, B). Soit s ∈ G. Alors, avec les notations ci-dessus, on a  −1 (G, B). s ∪ f = f (s) ∈ H 0

En particulier, si G est abélien et l’action de G sur B est triviale, le cupproduit s ∪ f s’obtient simplement en évaluant le morphisme f = f : G → B  −1 (G, B) sur s, l’élément de B ainsi obtenu étant alors dans le sous-groupe H de B constitué des éléments de norme nulle. Démonstration. La suite exacte (2.12) est scindée comme suite exacte de groupes abéliens. Elle induit donc une autre suite exacte 0 −→ IG ⊗ B −→ Z[G] ⊗ B −→ B −→ 0 d’où (Z[G] ⊗ B étant induit) un isomorphisme  −1 (G, B) −→ H  0 (G, IG ⊗ B). d:H Il suffit de montrer que les images de s ∪ f et f (s)0 par cet isomorphisme coïncident. La description de d (cf. preuve du théorème 2.6) donne, en po sant x = t∈G t ⊗ (t · f (s)) : d(f (s)0 ) = x0 . D’autre part, la propriété 3) du théorème 2.25 et le lemme 2.31 fournissent l’égalité d(s ∪ f ) = (s − 1)0 ∪ f = y 0 ,

 où y := − t∈G (t · (s − 1)) ⊗ f (t). Ainsi    y= (t − ts) ⊗ f (t) = t ⊗ f (t) − ts ⊗ f (t) t∈G

t∈G

=



t∈G

t ⊗ f (t) −

t∈G



ts ⊗ f (ts) +

t∈G



ts ⊗ (t · f (s))

t∈G

car f est un 1-cocycle. Comme t → ts est une bijection de G dans G, les deux premiers termes se simplifient et on trouve finalement  y= ts ⊗ (t · f (s)). t∈G

Ainsi x−y =



t(1 − s) ⊗ (t · f (s)) = NG ((1 − s) ⊗ f (s)),

t∈G

ce qui implique que x0 = y 0 , comme on le voulait.

2.7. EXERCICES

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2.7. Exercices Dans tous ces exercices, G désigne un groupe fini. Exercice 2.1. Soit A un G-module. On note A∗ le G-module HomZ (A, Q/Z) (cf. exercice 1.9). Montrer que pour tout G-module A et pour tout entier i  0, le groupe Hi (G, A)∗ est isomorphe à H i (G, A∗ ) (on commencera par le cas i = 0). n Exercice 2.2. Étendre le lemme de Shapiro à la cohomologie modifiée H pour tout n ∈ Z. Exercice 2.3. Soit H un sous-groupe de G. Soient A un G-module et B un H-sous-module de A. Pour tout σ ∈ G, on pose σ H = σHσ −1 . a) Montrer que les homomorphismes σ

H −→ H, h −→ σ −1 hσ;

B −→ σB, b −→ σb

sont compatibles et induisent des isomorphismes σ∗ : H n (H, B) −→ H n (σ H, σB) pour tout n  0. b) Montrer que si C est un G-module, on a pour tous α ∈ H p (H, A), γ ∈ H q (H, C), σ ∈ G, la formule σ∗ (α ∪ γ) = σ∗ α ∪ σ∗ γ. Exercice 2.4 (fait suite à l’exercice 1.10). Soient p un nombre premier et G un p-groupe fini.  −1 (G, Z) = 0. a) Montrer que H  −2 (G, Z/pZ) = Gab /pGab . b) Montrer que H c) Avec les notations de l’exercice 1.10, montrer que :  −3 (G, Z/pZ)) − rg(H  −2 (G, Z/pZ)).  −3 (G, Z)) = rg(H rg(H Exercice 2.5. Soit G un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G. Soit R un système de représentants des classes à droite de G selon H, avec 1 ∈ R. On pose H  = H − {1} et R = R − {1}. Soit (nρ,τ )ρ∈R ,τ ∈H  une famille d’entiers. a) Montrer que si on a :  ρ∈R ,τ ∈H 

alors tous les nρ,τ sont nuls.

nρ,τ (τ − 1)ρ ∈ Z[H],

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CHAPITRE 2. COHOMOLOGIE DES GROUPES CYCLIQUES

b) En déduire que si une famille (mρ,τ )ρ∈R,τ ∈H d’entiers satisfait à  mρ,τ (τ − 1)(ρ − 1) ∈ IH , ρ∈R,τ ∈H

alors la somme est en fait nulle. 2 (on observera que si τ, τ  ∈ H et ρ ∈ R, c) Retrouver que IH IG ∩IH = IH  2 alors (τ − 1)(τ ρ − 1) = (τ − 1)(ρ − 1) mod. IH ). Exercice 2.6 (d’après [45], annexe à la quatrième partie, lemme 4). Soit B un G-module. On plonge B dans le module induit B  = IG (B) et on pose B  = B  /B. Soit u : G × G → B un 2-cocycle, de classe de cohomo0  0 (G, B). logie u ∈ H 2 (G, B). Pour tout b ∈ B G , on note b son image dans H  −2 (G, Z) via l’isomorphisme Pour tout s ∈ G, on note s son image dans H ab −2  G → H (G, Z) (cf. proposition 2.32). a) Montrer qu’il existe une 1-cochaîne f  : G → B  satisfaisant à u(x, y) = x · f  (y) − f  (xy) + f  (x) pour tous x, y ∈ G. b) Montrer que la composée f  : G → B  est un 1-cocycle dont la  classe f satisfait à d(f ) = u, où d : H 1 (G, B  ) → H 2 (G, B) est le cobord. Vérifier que NG (f  (s)) ∈ B pour tout s ∈ G. c) En déduire, en utilisant la proposition 2.32, que pour tout s ∈ G, on a 0  0 (G, B). s ∪ u = NG (f  (s)) ∈ H  d) Soit s ∈ G. On pose a = t∈G u(t, s). Montrer que

s ∪ u = a0 . (On pourra utiliser a) en prenant (x, y) = (t, s), et sommer l’égalité obtenue sur t ∈ G.)

CHAPITRE 3 p-GROUPES, THÉORÈME DE TATE-NAKAYAMA

Soit p un nombre premier. Rappelons qu’un p-groupe fini est un groupe fini dont le cardinal est une puissance de p. Un tel groupe est nilpotent, en particulier le centre et l’abélianisé d’un p-groupe non trivial sont non triviaux. Un p-sous-groupe de Sylow (ou en abrégé p-Sylow ) H d’un groupe fini G est un sous-groupe qui est un p-groupe et dont l’indice [G : H] est premier à p. Dans ce chapitre, on va voir que les p-groupes ont des propriétés cohomologiques particulières, qui permettent souvent d’étudier la cohomologie d’un groupe fini en se ramenant à celle de ses p-Sylow. 3.1. Modules cohomologiquement triviaux Lemme 3.1. Soit p un nombre premier. Soient G un p-groupe fini et A un G-module non nul. On suppose que A est de torsion p-primaire. Alors AG = 0. Démonstration. On se ramène immédiatement à A fini en considérant le G-module engendré par un élément non nul de A, qui est fini car de type fini sur Z et de torsion. Soient A1 , . . . , Ar les orbites autres que les éléments de AG pour l’opération de G sur A. Le cardinal de chaque Ai est [G : Gi ], où Gi est le fixateur d’un élément de Ai , ce cardinal est donc divisible par p puisque #Ai > 1. L’équation aux classes  #A = #AG + #Ai i G

donne alors que A et A ont même cardinal modulo p et leurs cardinaux sont des puissances de p, donc AG ne peut pas être de cardinal 1. Lemme 3.2. Soient G un groupe fini et A un G-module. Soient p un nombre premier et H un sous-groupe de G. Alors si p ne divise pas l’indice [G : H], l’application Res : H q (G, A){p} → H q (H, A) est injective pour tout q > 0.

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CHAPITRE 3. p-GROUPES, THÉORÈME DE TATE-NAKAYAMA

Le même résultat vaut pour tout q ∈ Z si on remplace les groupes H q par  q. les groupes modifiés H Démonstration. Cela résulte de la formule (Cores ◦ Res)(x) = [G : H] · x  q est identique pour tout x de H q (G, A) (théorème 1.48). L’argument avec H grâce au théorème 2.9. Lemme 3.3. Soit G un groupe fini. Soient A et B des G-modules. a) Supposons B induit. Alors le G-module Hom(A, B) := HomZ (A, B) est induit. b) Supposons que A soit un G-module projectif. Alors A ⊗ B est un G-module relativement injectif. Rappelons (exemple 1.3, d) que l’action de G sur Hom(A, B) est donnée par (g · f )(x) := g · f (g −1 · x) pour tous g ∈ G, f ∈ Hom(A, B), x ∈ A. Démonstration. a) (Voir aussi [45], Chap. IX, Prop. 1 pour un énoncé un peu plus général.) Dire que B est induit signifie (remarque 1.6, b) qu’il est somme directe des g · X pour g ∈ G, où X est un sous-groupe fixé de B. Alors Hom(A, B) est somme directe des Hom(A, g · X) = g · Hom(A, X) (en effet, Hom(A, g · X) est simplement le sous-groupe de Hom(A, B) constitué des f dont l’image est incluse dans g · X, ce qui équivaut à Im(g −1 · f ) ⊂ X), donc est induit puisqu’il est la somme directe des g · Hom(A, X), Hom(A, X) étant un sousgroupe de Hom(A, B). b) résulte de ce que si A est projectif, il est facteur direct d’un  Z[G]-module libre I Z[G], et de ce que ⊗ commute avec les sommes directes (appendice, proposition A.30, b). Nous aurons aussi besoin de la notation suivante (cf. proposition 1.10, remarques 1.11 et 2.24) : soit G un groupe fini et soit A un G-module. On a (proposition 1.10) un plongement naturel A → IG (A) ; on notera A1 le quotient IG (A)/A, et plus généralement par récurrence on définit Aq = (Aq−1 )1 pour tout q > 0. De même, on peut écrire A comme un quotient de IG (A)  via l’homomorphisme surjectif f → g∈G g · f (g −1 ) ; on appelle alors A−1 le noyau de IG (A) → A et on pose Aq = (Aq+1 )−1 si q < 0. Alors on a par décalage (3.1)

 q (G, A) = H  q−r (G, Ar ) H

pour tous q, r ∈ Z grâce au corollaire 2.7. Définition 3.4. Soit G un groupe fini. On dit qu’un G-module A est cohomologiquement trivial si pour tout n > 0 et tout sous-groupe H de G, on a H n (H, A) = 0.

3.1. MODULES COHOMOLOGIQUEMENT TRIVIAUX

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En particulier, un tel G-module est aussi un H-module cohomologiquement trivial pour tout sous-groupe H de G. Noter qu’un G-module induit est cohomologiquement trivial : cela résulte de ce que A est aussi induit en tant que H-module (remarque 1.35). Lemme 3.5. Soit Gp un p-Sylow de G. Un G-module A est cohomologiquement trivial si et seulement si A est un Gp -module cohomologiquement trivial pour tout nombre premier p. Noter que si Gp est un autre p-Sylow de G, alors A est cohomologiquement trivial comme Gp -module si et seulement s’il est cohomologiquement trivial comme Gp -module. En effet, Gp et Gp sont conjugués (disons par t ∈ G), ce qui permet pour tout sous-groupe H  de Gp d’avoir un homomorphisme bijectif de A dans A (défini par x → t−1 · x) compatible avec l’isomorphisme g → tgt−1 de H  dans H := tH  t−1 , d’où un isomorphisme de H n (H, A) sur H n (H  , A) (cf. aussi exercice 2.3). Par ailleurs, on peut bien sûr se limiter aux nombres premiers qui divisent le cardinal de G, vu que pour les autres le groupe Gp est trivial. Démonstration. Soit H un sous-groupe de G. Soit Hp un p-Sylow de H. Alors Hp est contenu dans un p-Sylow de G, que l’on peut supposer être Gp grâce à la remarque ci-dessus. Le résultat découle alors de ce que pour n  1, la restriction H n (H, A){p} → H n (Hp , A) est injective (lemme 3.2) vu que l’indice [H : Hp ] est premier à p. Théorème 3.6. Soit p un nombre premier. Soient G un p-groupe fini et A un  q (G, A) = 0. G-module de p-torsion. On suppose qu’il existe q ∈ Z tel que H Alors A est un G-module induit (en particulier cohomologiquement trivial). (La preuve va même montrer que A est un Fp [G]-module libre.) Démonstration. On va commencer par trouver un G-module induit V tel que V G soit isomorphe à AG . Pour cela, posons Λ = Fp [G], et choisissons  une base I du Fp -espace vectoriel AG . Posons V = I Λ, alors V est un G-module induit (somme directe d’induits). Comme ΛG = Fp , on obtient un isomorphisme jG : AG  V G . On va maintenant essayer d’étendre cet isomorphisme en un G-morphisme de A dans V . Comme le foncteur Hom(., V ) est exact dans la catégorie des Fp -espaces vectoriels, on a une suite exacte de G-modules 0 −→ Hom(A/AG , V ) −→ Hom(A, V ) −→ Hom(AG , V ) −→ 0 et d’autre part le fait que V soit induit implique, grâce au lemme 3.3, que le G-module M := Hom(A/AG , V ) est induit. On a donc H 1 (G, M ) = 0 d’où une surjection : u : HomG (A, V ) −→ HomG (AG , V ) = HomG (AG , V G ). De ce fait, jG s’étend bien en un G-homomorphisme j : A → V .

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CHAPITRE 3. p-GROUPES, THÉORÈME DE TATE-NAKAYAMA

On observe que le G-module Ker j satisfait à (Ker j)G = 0 car la restriction de j à AG est un isomorphisme de AG sur V G . Comme G est un p-groupe, ceci implique Ker j = 0 par le lemme 3.1. Ainsi j est injective. Soit C son conoyau, la longue suite exacte de cohomologie 0 −→ AG −→ V G −→ C G −→ H 1 (G, A) donne alors les implications H 1 (G, A) = 0 =⇒ C G = 0 =⇒ C = 0 vu que j induit un isomorphisme AG  V G (la dernière implication vient encore du lemme 3.1). On a donc montré que si H 1 (G, A) = 0, alors A  V est un G-module induit.  q (G, A) = 0. On va se ramener au cas q = 1 Soit alors q ∈ Z tel que H par décalage. On a, par la formule (3.1) :  q (G, A) = H 1 (G, Aq−1 ), H ce qui montre que H 1 (G, Aq−1 ) = 0. D’après ce qui précède, ceci implique que Aq−1 (qui est encore de p-torsion) est induit, mais alors on a  2−q (G, Aq−1 ) = 0 H 1 (G, A) = H et A est induit d’après le cas q = 1. Théorème 3.7. Soit G un groupe fini. Soit A un G-module. a) On suppose que pour tout nombre premier p, il existe un entier q ∈ Z (pouvant dépendre de p) tel que  q (Gp , A) = H  q+1 (Gp , A) = 0, H où Gp est un p-Sylow de G. Alors A est cohomologiquement trivial. Si on suppose de plus que A est un Z-module libre, alors A est un Z[G]-module projectif (donc relativement injectif ).  q (H, A) = 0 b) On suppose que A est cohomologiquement trivial ; alors H pour tout sous-groupe H de G et tout q ∈ Z. De plus, il existe une suite exacte 0 −→ R −→ F −→ A −→ 0 de G-modules avec F libre sur Z[G] et R projectif sur Z[G]. Démonstration. On commence par écrire A comme quotient d’un Z[G]module libre F , d’où une suite exacte de G-modules 0 −→ R −→ F −→ A −→ 0. Fixons un nombre premier p et plaçons-nous d’abord sous l’hypothèse de a),  q (Gp , A) = H  q+1 (Gp , A) = 0. Alors comme F est en particuc’est-à-dire H lier relativement injectif, on obtient  q+2 (Gp , R) = 0  q+1 (Gp , R) = H (3.2) H

3.1. MODULES COHOMOLOGIQUEMENT TRIVIAUX

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ce qui, à l’aide de la suite exacte ·p (3.3) 0 −→ R −−−→ R −→ R/pR −→ 0 (noter que R est sans torsion car c’est un sous-module de F ) donne l’égalité  q+1 (Gp , R/pR) = 0. Le théorème 3.6 donne alors que R/pR est un Gp H module induit. On commence par le cas où A est supposé libre sur Z ; on va alors démontrer que A est un facteur direct de F (donc est un Z[G]-module projectif). Soit M le G-module M := Hom(A, R). Lemme 3.8. On a H 1 (G, M ) = 0. Démonstration. La suite exacte (3.3) et le fait que A soit libre sur Z donne un isomorphisme de G-modules M/pM  Hom(A, R/pR) ce qui montre que M/pM est un Gp -module induit par le lemme 3.3 puisque R/pR est un Gp -module induit. De ce fait, H 1 (Gp , M )[p] = 0 grâce au théorème 2.6 et à la suite exacte de cohomologie modifiée  0 (Gp , M/pM ) −→ H 1 (Gp , M ) −−·−p→ H 1 (Gp , M ) 0=H associée à la suite exacte

·p 0 −→ M −−−→ M −→ M/pM −→ 0.

Ainsi on a H 1 (G, M ){p} = 0 (rappelons que la restriction H 1 (G, M ){p} → H 1 (Gp , M ) est injective par le lemme 3.2). Ceci étant valable pour tout p, on obtient bien H 1 (G, M ) = 0. Reprenons alors la preuve que A est un facteur direct de F , toujours sous l’hypothèse que A est libre sur Z. Cette hypothèse implique que l’on a une suite exacte de G-modules 0 −→ M = Hom(A, R) −→ Hom(A, F ) −→ Hom(A, A) −→ 0 et H 1 (G, M ) = 0 donne que HomG (A, F ) se surjecte sur HomG (A, A), ce qui permet (en considérant IdA ) d’obtenir une section de l’homomorphisme surjectif de G-modules F → A. Ainsi F est isomorphe comme G-module à la somme directe A ⊕ R, comme on le voulait. On a ainsi démontré a) dans le cas particulier où A est libre sur Z. Démontrons maintenant a) dans le cas général. Ce qui précède s’applique à R d’après (3.2) car R est libre sur Z en tant que sous-module de F . On obtient donc que R est projectif (en particulier relativement injectif), donc cohomologiquement trivial. Comme c’est aussi le cas de F (qui est induit), le G-module A = F/R est également cohomologiquement trivial (à l’aide de la longue suite exacte). D’où a).

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CHAPITRE 3. p-GROUPES, THÉORÈME DE TATE-NAKAYAMA

Montrons enfin b). Soit A un G-module cohomologiquement trivial. A fortiori, A satisfait aux hypothèses de a) (par exemple pour q = 1). Choisissons une surjection F → A de noyau R avec F libre sur Z[G]. On vient de voir que R était alors projectif (en tant que G-module, donc aussi en tant que H-module pour tout sous-groupe H de G) donc pour tout q ∈ Z, on obtient  q (H, A) = H  q+1 (H, R) = 0 H pour tout sous-groupe H de G, ce qui prouve a). Remarque 3.9. D’après le théorème 3.7 b), on aurait pu aussi dès le départ définir la trivialité cohomologique d’un G-module A (pour G fini) par la propriété d’annulation (pour tout sous-groupe H de G) de tous les groupes  q (H, A). de cohomologie de Tate H 3.2. Théorème de Tate-Nakayama Dans tout ce paragraphe, on désigne par G un groupe fini et pour tout nombre premier p, on fixe un p-sous-groupe de Sylow Gp de G. Lemme 3.10. Soit A un G-module cohomologiquement trivial. Soit B un G-module sans torsion. Alors le G-module A ⊗ B est cohomologiquement trivial. Démonstration. D’après le théorème 3.7, on a une suite exacte 0 −→ R −→ F −→ A −→ 0 avec F libre sur Z[G] et R facteur direct d’un Z[G]-module libre. Alors les G-modules F ⊗ B et R ⊗ B sont tous deux relativement injectifs (lemme 3.3, b), ils sont donc cohomologiquement triviaux. Comme B est sans torsion, la suite 0 −→ R ⊗ B −→ F ⊗ B −→ A ⊗ B −→ 0 reste exacte, d’où on déduit immédiatement à l’aide de la longue suite exacte que le G-module A ⊗ B est aussi cohomologiquement trivial. Remarque 3.11. La même preuve montre qu’il est suffisant de supposer TorZ (A, B) = 0, où TorZ (., B) est le premier foncteur dérivé à gauche du foncteur . ⊗Z B dans la catégorie des modules sur l’anneau Z (cf. appendice, proposition A.56). Proposition 3.12. Soient A et A deux G-modules. Soit f : A → A un Ghomomorphisme. On suppose que pour tout p premier, il existe un entier np tel que l’homomorphisme  i (Gp , A ) −→ H  i (Gp , A) f∗i : H

3.2. THÉORÈME DE TATE-NAKAYAMA

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soit surjectif pour i = np , bijectif pour i = np + 1, et injectif pour i = np + 2. Soit B un G-module sans torsion sur Z. Alors pour tout sous-groupe H de G, l’homomorphisme  i (H, A ⊗ B) −→ H  i (H, A ⊗ B) H induit par f ⊗1 est bijectif pour tout i ∈ Z. En particulier, l’homomorphisme  i (H, A ) → H  i (H, A) induit par f est bijectif pour tout i ∈ Z. H Démonstration. On commence par le cas où f est injectif. Soit A son conoyau. La suite exacte longue associée à la suite exacte 0 −→ A −→ A −→ A −→ 0 jointe à l’hypothèse sur les f∗i donne alors  np (Gp , A ) = H  np +1 (Gp , A ) = 0 H pour tout nombre premier p. D’après le théorème 3.7, le G-module A est cohomologiquement trivial. D’après le lemme 3.10, le G-module A ⊗ B est aussi cohomologiquement trivial. Comme B est sans torsion, la suite 0 −→ A ⊗ B −→ A ⊗ B −→ A ⊗ B −→ 0  q (H, A ⊗ B) → H  q (H, A ⊗ B) est bijectif est exacte, ce qui implique que H pour tout q ∈ Z et tout sous-groupe H de G comme on voulait. Le cas général se ramène au cas particulier f injectif par le procédé  suivant : on plonge A dans le module induit A := IG (A ) et on pose   A∗ = A ⊕ A . On obtient alors (via f et le plongement j : A → A ) une   injection θ = (f, j) : A → A∗ . Comme A et A ⊗B sont cohomologiquement  q (H, A∗ ) et H  q (H, A ⊗ B) = H  q (H, A∗ ⊗ B),  q (H, A) = H triviaux, on a H ce qui permet de se ramener au cas précédent en remplaçant f par θ. Notons que la proposition 3.12 fonctionne encore dès que TorZ (A, B) = TorZ (A , B) = 0, avec une preuve légèrement différente (l’argument cidessus ne s’adapte pas directement car on ne peut pas déduire a priori des hypothèses que TorZ (A , B) = 0). Voir l’exercice 3.6. Proposition 3.13. Soient A, B, C trois G-modules. Soit ϕ : A × B → C une application bilinéaire compatible avec l’action de G. Soient q ∈ Z et  q (G, A) ; pour tout sous-groupe H de G et tout G-module D, on a ∈ H note aH la restriction de a à H et  n+q (H, C ⊗ D)  n (H, B ⊗ D) −→ H f (n, H, D) : H l’homomorphisme défini par le cup-produit avec aH (relativement à l’application bilinéaire induite par ϕ). Supposons que pour tout nombre premier p, il existe un entier np tel que f (n, Gp , Z) soit surjectif pour n = np , bijectif pour n = np + 1, et injectif

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CHAPITRE 3. p-GROUPES, THÉORÈME DE TATE-NAKAYAMA

pour n = np + 2. Alors f (n, H, D) est bijectif pour tout n ∈ Z, tout sousgroupe H de G, et tout G-module sans torsion D (là encore TorZ (B, D) = TorZ (C, D) = 0 suffit).  0 (G, A) = Démonstration. On commence par le cas q = 0. Alors a ∈ H AG /NG A provient d’un élément (noté encore a) de AG . Soit f : B → C  n (Gp , B) → le G-homomorphisme défini par f (b) = ϕ(a, b). Alors f∗ n : H n  (Gp , C) est simplement f (n, Gp , Z) et la proposition 3.12 dit alors que H f (n, H, D) est bijective puisque f (n, H, D) est alors l’homomorphisme induit par f ⊗ Id : B ⊗ D → C ⊗ D. Le cas q quelconque se traite par décalage. Montrons par exemple comment passer de q − 1 à q en plongeant A dans l’induit A = IG (A) (pour aller dans l’autre sens, on écrit A comme quotient de l’induit A) et C dans C = IG (C). Posons A1 = A/A, et de même posons C1 = C/C, ce qui donne une application bilinéaire ϕ1 : A1 × B → C1 induite par l’application bilinéaire ϕ : A × B −→ C,

(f, b) −→ (g −→ ϕ(f (g), g · b)),

∀ f ∈ A, b ∈ B, g ∈ G.

 q−1 (G, A1 ) et a1 définit par On peut alors écrire a = δ(a1 ) avec a1 ∈ H cup-produit des homomorphismes  n (H, B ⊗ D) −→ H  n+q−1 (H, C1 ⊗ D). f1 (n, H, D) : H Comme C ×D est encore cohomologiquement trivial (lemme 3.10), le cobord  n+q (H, C ⊗ D) est un isomorphisme. Or on  n+q−1 (H, C1 ⊗ D) → H δ : H sait que f (n, H, D) s’obtient (au signe près) en composant f1 avec δ vu la compatibilité des cup-produits avec les cobords (proposition 2.23). Si le résultat voulu vaut pour a1 , il vaut donc également pour a d’où le résultat par récurrence sur q. Théorème 3.14 (Tate-Nakayama). Soit A un G-module. On considère un élément a de H 2 (G, A). Supposons que pour tout nombre premier p, les hypothèses suivantes valent : a) On a H 1 (Gp , A) = 0. b) Le groupe H 2 (Gp , A) est d’ordre mp := #Gp et est engendré par la restriction ap de a à H 2 (Gp , A). Alors pour tout G-module sans torsion D et pour tout sous-groupe H de G, le cup-produit par aH = ResH (a) ∈ H 2 (H, A) induit des isomorphismes  n (H, D) −→ H  n+2 (H, A ⊗ D) H pour tout n ∈ Z. En particulier, le cup-produit par aH induit des isomorphismes  n+2 (H, A).  n (H, Z) −→ H H

3.3. EXERCICES

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Démonstration. On applique la proposition précédente avec B = Z, C = A, q = 2, en prenant pour ϕ : A ⊗ Z → A l’application évidente. On choisit np = −1. Le cup-produit  n (Gp , Z) −→ H  n+2 (Gp , A) H induit par ap est surjectif pour n = −1 à l’aide de l’hypothèse a). Pour n = 0, c’est l’application Z/mp Z −→ H 2 (Gp , A) qui envoie le générateur canonique de Z/mp Z sur ap , et l’hypothèse b) dit que cette application est bijective. Enfin, pour n = 1, le groupe H 1 (Gp , Z) est nul donc le cup-produit est bien injectif.  n (H, Z)  H  n+2 (H, A) est dû à Tate. Nous serons Le cas particulier H amenés plus tard à l’appliquer avec n = −2, G = Gal(L/K) et A = L∗ pour une extension finie galoisienne L d’un corps p-adique K (paragraphe 9.1).  0 (G, L∗ ) = On en déduira un isomorphisme de H −2 (G, Z) = Gab sur H ∗ ∗ K /N L , une fois vérifiées les hypothèses du théorème dans ce cadre. On verra aussi (paragraphe 15.1) qu’un énoncé analogue vaut dans le cas global, en remplaçant L∗ par le groupe des classes d’idèles de L. 3.3. Exercices Exercice 3.1. Soit p un nombre premier. Soit G un p-groupe fini. Soit A un G-module de p-torsion. a) Montrer que si H0 (G, A) = 0, alors A = 0 (considérer le G-module A := HomZ (A, Z/p) et appliquer l’exercice 2.1). b) Ce résultat est-il encore vrai si on suppose seulement que A est pprimaire, c’est-à-dire que tout élément de A est d’ordre une puissance de p ? On pourra considérer G = Z/2 et faire agir son élément non trivial via la multiplication par −1 sur Q2 /Z2 . Exercice 3.2. Montrer que le lemme 3.1 peut tomber en défaut si on enlève soit l’hypothèse que G est un p-groupe, soit l’hypothèse que A est de torsion p-primaire. Exercice 3.3. Donner un exemple de groupe fini G et de G-module A tels  q (G, A) = H  q+1 (G, A) = 0, mais que A qu’il existe q ∈ Z satisfaisant à H ne soit pas cohomologiquement trivial (on pourra prendre G = Z/6Z et le faire opérer sur Z/3Z avec une action bien choisie). Exercice 3.4. Soit G un groupe fini. Soit 0 −→ X1 −→ X2 −→ · · · −→ Xn −→ 0

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CHAPITRE 3. p-GROUPES, THÉORÈME DE TATE-NAKAYAMA

une suite exacte de G-modules. Soit j ∈ {1, . . . , n}. Montrer que si Xi est cohomologiquement trivial pour tout i = j, alors Xj l’est également. Exercice 3.5. Soit G un groupe fini. Soit A un G-module cohomologiquement trivial. Montrer que si N est un G-module sans torsion, alors Hom(N, A) est encore un G-module cohomologiquement trivial. Exercice 3.6 (suggéré par J. Riou). Étendre la proposition 3.12 au cas où on suppose seulement TorZ (A, B) = TorZ (A , B) = 0, et non plus forcément B sans torsion. On pourra supposer d’abord que f est surjectif et montrer (en utilisant notamment la proposition A.56 de l’appendice) que si on pose K = Ker f , les G-modules K et K ⊗ B sont cohomologiquement triviaux ; puis on se ramènera à ce cas particulier en remplaçant A par A ⊕ F , où F est un Z[G]-module libre.

CHAPITRE 4 COHOMOLOGIE DES GROUPES PROFINIS

Quand on étudie la cohomologie galoisienne d’un corps k, on est souvent amené à travailler avec le groupe de Galois absolu Γk := Gal(k/k) (où k est une clôture séparable de k) et pas avec une extension finie. Nous allons voir que plus généralement on peut définir la cohomologie d’un groupe profini par un procédé de limite à partir de celle de certains de ses quotients finis (qui dans le cas de Γk correspondent aux groupes de Galois des extensions finies galoisiennes de k).

4.1. Notions de base sur les groupes profinis Définition 4.1. Un groupe topologique G est dit profini s’il est limite projective de groupes finis (munis chacun de la topologie discrète). Rappelons que si (Gi ) est un système projectif d’espaces topologiques, la topologie sur la limite projective est celle qui est induite par la topologie

produit sur Gi . Par définition, ladite topologie produit admet pour base

d’ouverts les ensembles de la forme Ui , où chaque Ui est un ouvert de Gi et presque tous les Ui (c’est-à-dire tous à l’exception d’un nombre fini) sont égaux à Gi . Par ailleurs, dans tout groupe topologique, un sous-groupe ouvert est fermé (comme complémentaire de la réunion des autres classes à gauche suivant ce sous-groupe). Le même argument montre qu’un sousgroupe d’indice fini est fermé si et seulement s’il est ouvert. D’autre part, un sous-groupe d’un groupe topologique est ouvert si et seulement s’il est voisinage du neutre, ce qui implique qu’un sous-groupe qui contient un sousgroupe ouvert est lui-même ouvert. Soit G un groupe profini, dont on notera 1 le neutre. Alors 1 admet une base {Gi } de voisinages constituée de sous-groupes ouverts distingués d’indice fini, et G s’identifie alors à la limite projective des G/Gi . Un groupe topologique G est profini si et seulement s’il est compact et totalement

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CHAPITRE 4. COHOMOLOGIE DES GROUPES PROFINIS

discontinu ([41], Prop. 1.1.3), et changer le système projectif choisi pour définir G ne change pas sa structure de groupe topologique. Les groupes profinis forment une catégorie, les morphismes étant les morphismes continus de groupes. D’autre part, si H est un sous-groupe fermé d’un groupe profini G, il est lui-même profini et l’application continue π : G → G/H entre espaces compacts admet une section (c’est-à-dire une application continue s : G/H → G telle que π ◦ s = IdG/H ), cf. [48], Part. I, § 1, Prop. 1. On en déduit : Proposition 4.2. Soit H un sous-groupe fermé d’un groupe profini G. Alors l’espace topologique G est homéomorphe à l’espace produit H × G/H. En particulier, toute application continue sur H se prolonge en une application continue sur G. Démonstration. Soit s : G/H → G une section, alors l’application H × G/H −→ G,

(h, g1 ) −→ s(g1 )h

est un homéomorphisme d’application réciproque g → (s(π(g))−1 g, π(g)), où π : G → G/H est la surjection canonique. Voici quelques exemples de groupes profinis. Exemple 4.3. a) Les groupes finis sont profinis (!). b) Le groupe de Galois absolu Γk = Gal(k/k) d’un corps k est profini : c’est par définition le groupe des k-automorphismes du corps k, et il s’identifie à la limite projective des Gal(L/k) quand L parcourt les extensions finies galoisiennes de k incluses dans k. c) Si M est un groupe abélien discret de torsion, son dual de Pontryagin M ∗ := Hom(M, Q/Z) est un groupe profini quand on le munit de la topologie de la convergence simple (c’est-à-dire la topologie « compacte-ouverte »). En effet, M est la limite inductive de ses sous-groupes finis N , donc M ∗ est la limite projective des groupes finis N ∗ . On peut montrer que M → M ∗ induit une anti-équivalence de catégories entre groupes abéliens discrets de torsion et groupes abéliens profinis, cas particulier de la dualité de Pontryagin pour les groupes abéliens localement compacts ; cf. [41], Th. 1.1.11. Noter que de même le dual d’un groupe abélien profini G est par définition le groupe discret de torsion constitué des homomorphismes continus Homc (G, Q/Z) de G dans Q/Z. Cette dualité ne marche pas bien pour un groupe discret qui n’est pas de torsion, par exemple pour M = Z on trouve  complété profini de Z (c’est la limite projective M ∗ = Q/Z et M ∗∗ = Z, des Z/nZ). d) Tout sous-groupe fermé d’un groupe profini est profini. De même, tout quotient par un sous-groupe distingué fermé est profini (voir lemme 4.7 pour un énoncé un peu plus précis).

4.1. NOTIONS DE BASE SUR LES GROUPES PROFINIS

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e) Le groupe additif de l’anneau des entiers OK d’un corps local K (= corps complet pour une valuation discrète à corps résiduel fini) est pro∗ fini, par exemple Zp est profini. De même, pour le groupe multiplicatif OK . f) Soit K un corps p-adique, c’est-à-dire une extension finie de Qp (les corps p-adiques sont les corps locaux de caractéristique zéro, voir les rappels du chapitre 7). Soit A une variété abélienne ( := un groupe algébrique connexe et projectif ; le cas de la dimension 1 correspond aux courbes elliptiques) sur K. Le groupe A(K) des K-points de A est profini. Dans les trois derniers exemples, c’est la caractérisation « compact+ totalement discontinu » qui permet le plus facilement de voir qu’on a affaire à des groupes profinis. Remarque 4.4. Attention dans un groupe profini G, les sous-groupes ouverts sont donc d’indice fini, mais la réciproque est en général fausse, même si G est abélien. Un exemple est fourni par le groupe additif OK = Fq [[t]] de l’anneau des entiers d’un corps de séries de Laurent K = Fq ((t)) sur un corps fini : pour le voir, il suffit de prendre le noyau d’une Fq -forme linéaire non continue sur OK . Un autre exemple consiste à prendre pour G le groupe ∗ multiplicatif OK (voir l’exercice 11.3) ou encore le groupe de Galois de l’extension abélienne maximale de Q (qui sera étudié au chapitre 15). Il se trouve que pour un groupe profini, on peut définir l’indice d’un sousgroupe même si ce sous-groupe n’est pas d’indice fini, à l’aide de la notion suivante.

Définition 4.5. Un nombre surnaturel est un produit formel p pnp , où p parcourt l’ensemble des nombres premiers et np ∈ N ∪ {+∞}. On définit de manière évidente le pgcd, le ppcm et le produit d’une famille quelconque de nombres surnaturels. Définition 4.6. Soit G un groupe profini. Soit H un sous-groupe fermé de G. L’indice de H dans G (noté [G : H]) est le nombre surnaturel défini comme le ppcm des indices [G/U : H/(H ∩U )] (qui sont des entiers naturels) quand U parcourt l’ensemble des sous-groupes ouverts distingués de G. L’ordre d’un groupe profini est le nombre surnaturel [G : {1}]. Il n’est pas complètement évident(1) que « d’indice fini » au sens usuel soit la même chose que d’indice fini au sens de la définition précédente. Voici un lemme qui montre que c’est bien le cas. (1) Merci

à Miaofen Chen d’avoir remarqué cette difficulté, et à J. Riou de m’avoir suggéré la méthode simple du lemme 4.7 pour la résoudre ; mon argument initial était plus compliqué.

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CHAPITRE 4. COHOMOLOGIE DES GROUPES PROFINIS

Lemme 4.7. Soit H un sous-groupe fermé d’un groupe profini G. Soit (Ui ) la famille des sous-groupes ouverts distingués de G, on pose Gi = G/Ui . Soit Hi = H/(H ∩ Ui ) l’image de H dans Gi . Alors : a) Le groupe H s’identifie à lim Hi , et l’ensemble G/H à lim(Gi /Hi ), ←− ←− les flèches de transition (associées aux inclusions Uj ⊂ Ui ) étant de plus surjectives dans les deux cas. b) Le sous-groupe H est d’indice fini (au sens usuel) si et seulement s’il existe un indice j tel que pour tout Ui ⊂ Uj , on ait Gi /Hi = Gj /Hj . En particulier, cette condition équivaut à ce que [G : H] (défini comme dans la définition 4.6) soit un entier naturel, et dans ce cas [G : H] est l’indice de H au sens usuel. Ainsi H est ouvert si et seulement si le nombre surnaturel [G : H] est un entier naturel. Démonstration.

a) La flèche canonique H → lim Hi a un noyau trivial car Ui = {1} ←− (les Ui forment une base de voisinages ouverts de {1}). Elle est également surjective car tout élément de lim Hi provient d’un g ∈ G (par définition ←− d’un groupe profini) ; or, si g ∈ H, il existe un indice i tel que gUi ∩ H = ∅ (parce que H est fermé), ce qui contredit le fait que l’image de g dans G/Ui soit dans Hi . Finalement on a bien H  lim Hi . L’autre isomorphisme ←− s’obtient exactement de la même manière, et la surjectivité des flèches de transition est dans les deux cas évidente. b) On observe que si Uj ⊂ Ui , alors le cardinal de l’ensemble fini Gj /Uj est au moins égal à celui de Gi /Ui . La première assertion découle alors de l’identification de G/H avec lim(Gi /Hi ), combinée à la surjectivité des ←− flèches de transition. Le reste est immédiat. Définition 4.8. On dit que G est un pro-p-groupe si son ordre est une puissance de p (cela revient à dire que G est limite projective de p-groupes finis). Un p-groupe de Sylow (ou p-Sylow en abrégé) d’un groupe profini G est un sous-groupe fermé H de G qui est un pro-p-groupe et tel que l’indice [G : H] soit premier à p. La proposition ci-après résume les propriétés des indices et des sousgroupes de Sylow. Sa preuve utilise le lemme facile suivant ([7], § 9.6, Prop. 8). Lemme 4.9. Toute limite projective d’une suite (Xn )n∈N d’ensembles finis non vides est elle-même non vide. De même, pour une limite projective d’une suite d’espaces topologiques compacts non vides.

4.1. NOTIONS DE BASE SUR LES GROUPES PROFINIS

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Proposition 4.10. a) Soient K ⊂ H ⊂ G des groupes profinis. Alors on a l’égalité entre nombres surnaturels : [G : K] = [G : H] · [H : K]. b) Soit G un groupe profini. Pour tout nombre premier p, le groupe G possède des p-Sylow, et ceux-ci sont conjugués. c) Soit G un groupe profini. Alors tout pro-p-sous-groupe de G est contenu dans un p-Sylow. d) Si G est un groupe profini abélien, il est produit direct de ses p-Sylow. Démonstration. a) Soit U un sous-groupe ouvert distingué de G. Pour tout sous-groupe fermé (donc profini) G de G, notons GU = G /(G ∩ U ) son image par la surjection canonique G → G/U , c’est un groupe fini. D’après la formule de multiplicativité des indices pour un groupe fini, on a : [GU : KU ] = [GU : HU ] · [HU : KU ]. Comme tout sous-groupe ouvert distingué de H contient un sous-groupe de la forme H ∩ U avec U sous-groupe ouvert distingué de G, on obtient alors la formule en passant au ppcm sur ces U . b) Soit D la famille des sous-groupes ouverts distingués de G. Pour tout U ∈ D, l’ensemble S(U ) des p-Sylow du groupe fini G/U est fini et non vide d’après le premier théorème de Sylow classique. D’après le lemme 4.9, la limite projective des S(U ) pour U dans D est donc non vide, ce qui fournit un système projectif (HU )U ∈D , où HU est un p-Sylow de G/U . On voit alors immédiatement que limU ∈D HU est un p-Sylow de G. ←− Si maintenant H et K sont deux p-Sylow de G, l’ensemble C(U ) des c ∈ G/U tels que cHU c−1 = KU est fini et non vide d’après le deuxième théorème de Sylow classique, puisque HU et KU sont des p-Sylow du groupe fini HU . Ainsi on a limU ∈D C(U ) = ∅, ce qui donne un x ∈ G tel que ←− xHx−1 = K. c) Soit H un pro-p-sous-groupe de G. Alors, pour tout U de D, l’ensemble S  (U ) des p-Sylow du groupe fini GU qui contiennent HU est fini et non vide (toujours d’après les théorèmes de Sylow classiques). On obtient un système projectif (S  (U ))U ∈D et, d’après le lemme 4.9, il existe un élément (HU )U ∈D dans la limite projective de ce système. Ainsi HU est un p-Sylow de GU qui contient HU . On peut alors considérer limU ∈D HU , c’est un pro-p-Sylow ←− de G qui contient H. d) se déduit facilement de l’énoncé analogue pour les groupes abéliens finis, lequel résulte par exemple du théorème de structure pour ces groupes.

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CHAPITRE 4. COHOMOLOGIE DES GROUPES PROFINIS

Remarque 4.11. Une autre conséquence du lemme 4.9 (qui sera utilisée dans la preuve du théorème 15.10, b) est la suivante. Soit G un groupe topologique abélien séparé. Soit A un sous-groupe compact de G et soit (Bn ) une suite décroissante de sous-groupes compacts de G. Alors

A + Bn = (A + Bn ). n

n

En effet, l’inclusion ⊂ est claire. En sens inverse, si x ∈ n (A + Bn ), alors l’ensemble Xn des couples (a, b) de A×Bn tels que x = a+b forme une suite décroissante de compacts non vides, donc leur intersection est non vide, ce

qui signifie que x ∈ A + n Bn . Exemple 4.12. a) Le groupe Zp est un pro-p-groupe. C’est le p-Sylow de  := lim Z/n = Zp , Z ←−∗ p∈P n∈N

où P désigne l’ensemble des nombres premiers.

 de G est la limite b) Soit G un groupe discret. Le complété profini G  projective des quotients finis de G. Le p-complété Gp de G est la limite projective des quotients de G qui sont des p-groupes finis ; c’est le plus  qui est un pro-p-groupe. grand quotient de G c) Soit K un corps p-adique ; soit Knr son extension maximale non ramifiée et K mr l’extension maximale modérément ramifiée de Knr (cf. paragraphes 7.3 et 7.4). Soit U = Gal(K/Knr ) le groupe d’inertie. La théorie des groupes de ramification (cf. exemple 7.15) donne que Up := Gal(K/K mr ) est l’unique p-Sylow de U , et le quotient U/Up est isomorphe au produit des Z pour  = p. 4.2. G-modules discrets Dans toute la suite, G désignera un groupe profini. Soit A un groupe abélien discret muni d’une action de G. On dira que G opère continûment sur A si pour tout x de A, l’application g → g · x est continue de G dans A. Remarque 4.13. Comme le G-module A est discret, la propriété que G opère continûment est ici équivalente à demander que le fixateur de tout élément de A soit un sous-groupe ouvert de A. Si en effet G opère continûment, alors pour tout x de A le fixateur de x est l’image réciproque de {x} (qui est un ouvert du module discret A) par g → g · x, c’est donc un ouvert de G. En sens inverse, supposons tous les fixateurs ouverts. Soient alors g0 ∈ G et x ∈ A. Comme le fixateur de x est un sous-groupe ouvert U , le translaté g0 U est un ouvert de G contenant g0 , et l’application g → g · x est constante sur g0 U ; elle est donc bien continue en g0 .

4.2. G-MODULES DISCRETS

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Notons aussi que l’on pourrait considérer des groupes A munis d’une autre topologie, pour obtenir de la « cohomologie continue », mais on se limitera dans ce livre au cas A discret. Définition 4.14. Un G-module discret (ou plus simplement G-module si aucune confusion n’est possible) est un groupe abélien A muni d’une action de G telle que G opère continûment sur A. On demande donc, en plus de la définition habituelle d’un G-module, que le fixateur de tout point soit ouvert. Bien entendu, pour G fini, ceci coïncide avec la notion habituelle de G-module. On notera CG la catégorie des G-modules discrets (c’est une sous-catégorie abélienne pleine de Mod G ).  Si A est un G-module discret, on a A = U AU , où U parcourt l’ensemble des sous-groupes ouverts de G. Remarque 4.15. Soit A un G-module discret. Alors A est de type fini sur Z[G] si et seulement s’il est de type fini sur Z, puisque le fixateur de tout point de A est un sous-groupe d’indice fini de G. Ainsi, on pourra parler sans ambiguïté de G-module discret de type fini. Exemple 4.16. Le cas qui va principalement nous intéresser est celui où G = Γk = Gal(k/k) est le groupe de Galois absolu d’un corps k, ou encore un quotient d’un tel groupe. Le théorème principal de la « théorie de Galois infinie » dit que l’application Γ → LΓ induit une correspondance bijective entre les sous-groupes fermés Γ de Γk et les extensions de corps L de k incluses dans k. Les sous-groupes ouverts (= fermés d’indice fini) sont ceux qui correspondent aux extensions finies de k (ce qui n’empêche pas qu’il puisse exister des sous-groupes d’indice fini qui ne sont pas fermés ; ceux-ci ne correspondent à aucune extension de k). a) On peut prendre l’action triviale γ · x = x pour tous γ ∈ Γk , x ∈ M . On l’utilisera beaucoup pour M = Z et M = Z/nZ. Par convention, quand nous parlerons du « Γk -module Z/nZ », cela signifiera que l’action de Γk est triviale. b) Soit n un entier non divisible par la caractéristique de k. On obtient un Γk -module discret en prenant l’action du groupe de Galois sur le groupe multiplicatif k ∗ , ou encore sur les racines n-ièmes de l’unité dans k (on notera ce dernier Γk -module μn ). On peut aussi, pour tout entier m > 0, considérer le Γk -module discret μ⊗m := μn ⊗Z · · · ⊗Z μn (m facteurs), en convenant n que μ⊗0 = Z/nZ. Cela donne des Γk -modules qui sont isomorphes à Z/nZ n comme groupes abéliens, mais en général pas comme Γk -modules. Enfin, on dispose également pour tout m  0 du Γk -module discret Q/Z(m) := limn μ⊗m . −→ n

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CHAPITRE 4. COHOMOLOGIE DES GROUPES PROFINIS

c) Plus généralement, si S est un groupe algébrique commutatif sur k, on peut faire agir Γk sur l’ensemble S(k) de ses k-points. Si Car k = 0, le cas d’un groupe fini sur k (au sens des schémas) correspond à S(k) fini ; c’est le cas par exemple pour Z/nZ et μn . L’action triviale correspond en plus au fait que tous les k-points de S sont définis sur k. Le cas du module k ∗ correspond au groupe multiplicatif Gm . On peut aussi prendre pour S une variété abélienne. d) Supposons Car k = 0. Si M est un Γk -module fini (correspondant à un k-groupe algébrique noté encore M par abus), on peut définir son dual M  au moyen du groupe algébrique fini Hom(M, Gm ) (« dual de Cartier »). Cela signifie que le Γk -module M  est constitué des morphismes ϕ de M dans k ∗ (ou dans μn si M est de n-torsion), l’action de Γk sur M  étant donnée par (γ · ϕ)(x) := γ(ϕ(γ −1 · x)) pour γ ∈ Γk , ϕ ∈ M  , x ∈ M (cette formule peut paraître compliquée, mais elle est nécessaire pour envoyer M ⊗ M  dans k ∗ de façon compatible avec l’action de Γk ; elle est également cohérente avec la formule de l’exemple 1.3, d). Par exemple, Z/nZ et μn sont des Γk -modules duaux l’un de l’autre au sens de Cartier. Plus généralement, on peut définir le dual de Cartier d’un Γk -module de torsion M comme Hom(M, Q/Z(1)).

4.3. Cohomologie d’un G-module discret Il y a plusieurs façons de définir les groupes de cohomologie H n (G, A) quand G est un groupe profini et A un G-module discret. La catégorie CG possède assez d’injectifs (cf. appendice, exemple A.35, c). On peut donc utiliser les foncteurs dérivés du foncteur A → AG de CG dans Ab. Toutefois, une petite difficulté pour les calculer est que contrairement à Mod G , la catégorie CG ne possède pas suffisamment de projectifs si G est infini (noter par exemple que pour G profini et infini, le module Z[G] n’est pas un G-module discret, les fixateurs étant réduits au neutre), cf. exercice 4.2. Comme le but est de se ramener à la cohomologie des groupes finis, il est plus simple d’adopter la définition par cochaînes. Définition 4.17. Soit A ∈ CG . Pour q  0, on note K q (G, A) l’ensemble des applications continues (c’est-à-dire localement constantes) de Gq dans A. Soit d : K q (G, A) → K q+1 (G, A) le cobord défini par la formule usuelle (cf. théorème 1.27). On définit alors les groupes de cohomologie H q (G, A) comme les groupes de cohomologie du complexe (K q (G, A)). On a alors : Proposition 4.18. Soit (Gi ) un système projectif de groupes profinis ; soit (Ai ) un système inductif de Gi -modules discrets, les flèches de transition étant

4.3. COHOMOLOGIE D’UN G-MODULE DISCRET

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compatibles avec celles de (Gi ). Soit G = lim Gi et A = lim Ai . Alors pour ←− −→ tout q ∈ N : H q (G, A) = lim H q (Gi , Ai ). −→ Rappelons que par convention, tous les systèmes inductifs considérés dans ce livre sont associés à des ensembles ordonnés non vides filtrants. Démonstration. Il suffit de démontrer que les homomorphismes canoniques uq : lim K q (Gi , Ai ) −→ K q (G, A) −→ sont des isomorphismes, ce que nous allons faire maintenant. Le fait qu’on ne suppose pas les flèches de transition surjectives complique un peu la preuve. a) Injectivité de uq . Soit fi : Gqi → Ai localement constante. Par compacité de Gqi , l’ensemble F des valeurs qu’elle prend est fini. Supposons que fi induise la fonction nulle de K q (G, A). Par finitude de F , on peut alors supposer, quitte à augmenter i, que la fonction induite : Gq → Ai est nulle. Pour chaque j  i, notons Ej le sous-ensemble de Gqj constitué des x dont l’image dans Ai (par la composée gj de la projection sur Gqi et de fi ) est non nulle. Comme F est fini, chaque Ej est une intersection finie de fermés de Gqj , c’est donc un compact. Les Ej forment alors un système projectif de compacts dont la limite est vide. L’un de ces ensembles Ej est donc vide (lemme 4.9). Cela signifie que l’application gj : Gqj → Ai est nulle, donc a fortiori fj : Gqj → Aj , ce qui démontre en particulier que l’image de fi dans lim K q (Gi , Ai ) est nulle. D’où l’injectivité voulue. −→ b) Surjectivité de uq . On aura besoin de deux lemmes. Lemme 4.19. Soit f : Gq → A une fonction localement constante. Alors il existe un indice j tel que pour tout y de Gq , l’image f (y) ne dépende que de l’image pj (y) de x dans Gqj . Démonstration. Comme f est localement constante avec Gq compact, il existe une partition de Gq en un nombre fini V1 , . . . , Vs d’ouverts, telle que f soit constante sur chacun de ces ouverts. Par définition de la topologie de

q Gq = lim Gqi (qui est induite par celle du produit direct Gi ), on peut ←− supposer que chaque V1 , . . . , Vs est défini par un nombre fini de conditions du type pi (x) ∈ Ui , où Ui est un ouvert de Gqi . Soit I l’ensemble fini de tous les indices qui interviennent ainsi. Soit j un indice plus grand que tous les i ∈ I. Alors si deux éléments y, y  de Gq satisfont à pj (y) = pj (y  ), ils satisfont à pi (y) = pi (y  ) pour tout i ∈ I, et sont donc dans le même ouvert parmi V1 , . . . , Vs . Ainsi f (y) = f (y  ). Ceci démontre le lemme 4.19. Lemme 4.20. Soit f : Gq → A une fonction localement constante. Alors il existe un indice j et une fonction localement constante fj : Gqj → A telle que f = fj ◦ pj .

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CHAPITRE 4. COHOMOLOGIE DES GROUPES PROFINIS

Démonstration. Soit j un indice défini comme dans le lemme 4.19. Par continuité de pj , l’image pj (Gq ) est un compact de Gqj . Soit fj : pj (Gq ) → A définie par fj (pj (y)) = f (y) pour tout y ∈ Gq , ce qui a bien un sens puisque f (y) ne dépend que de pj (y). Pour tout a ∈ A, l’image réciproque de a par fj est pj (f −1 (a)), qui est compact (par continuité de f et pj et compacité de Gq ), donc fermé dans pj (Gq ). Comme par ailleurs l’application fj ne prend (comme f ) qu’un nombre fini de valeurs, elle est continue sur pj (Gq ). Le sous-groupe pj (Gq ) de Gqj est compact, et on peut donc prolonger (d’après la proposition 4.2) fj en une fonction continue (encore notée fj ) de Gqj dans A, qui satisfait clairement à f = fj ◦ pj . Ceci démontre le lemme 4.20. On peut maintenant achever la preuve de la surjectivité de uq . Soit f : Gq → A une fonction localement constante, alors f ne prend qu’un nombre fini de valeurs, ce qui permet de trouver un indice i tel que toutes ces valeurs soient dans l’image de la flèche Ai → A, par définition de A = lim Ai . Soit alors j comme dans le lemme 4.20, qu’on peut suppo−→ ser  i (quitte à le remplacer par max(i, j)). Alors la fonction fj : Gqj → A provient par construction d’une fonction g : Gqj → Aj , qui satisfait alors à uq (g) = f . On en déduit immédiatement les corollaires suivants (dont le premier aurait pu être pris comme définition des groupes H q (G, A)). Corollaire 4.21. Soit A un G-module discret. Alors H q (G, A) = lim H q (G/U, AU ), −→ U

où U parcourt l’ensemble des sous-groupes ouverts distingués de G. Démonstration. On a en effet G = limU (G/U ) et A = limU AU . −→ ←− Corollaire 4.22. Soit A un G-module discret. Alors H q (G, A) = lim H q (G, B), −→ où B parcourt l’ensemble des sous-G-modules de type fini de A. Démonstration. Cela résulte de ce que A est la réunion (et donc la limite inductive) de tels B. Corollaire 4.23. Pour q  1, les groupes H q (G, A) sont de torsion. Démonstration. Cela résulte du corollaire 4.21 et du corollaire 1.49. Remarque 4.24. Si I est injectif dans CG , il est immédiat que les I U sont injectifs dans CG/U pour tout sous-groupe ouvert distingué U de G. On voit alors que les H q (G, A) s’obtiennent bien comme foncteurs dérivés de

4.3. COHOMOLOGIE D’UN G-MODULE DISCRET

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A → AG de CG dans Ab : en effet, les H q (G, .) forment un foncteur cohomologique, coïncidant avec A → AG en degré zéro, et effaçable puisque si on plonge un G-module discret A dans un injectif I de CG , on a, d’après le corollaire 4.21, pour tout q > 0 : H q (G, I) = lim H q (G/U, I U ) = 0 −→ U

U

puisque I est injectif dans CG/U . On conclut avec la remarque A.47 de l’appendice. La proposition A.36 de l’appendice donne une réciproque au début de la remarque ci-dessus, c’est-à-dire qu’un G-module discret I est injectif dans CG si et seulement s’il existe une base de voisinages de 1 dans G constituée de sous-groupes ouverts distingués U avec I U injectif dans CG/U . On en déduit l’énoncé suivant (qui généralise le lemme 1.38), sans doute bien connu mais pour lequel nous n’avons pas trouvé de référence dans la littérature existante. Proposition 4.25. Soit G un groupe profini. Soit H un sous-groupe fermé de G. Soit A un injectif de CG . Alors A est aussi injectif dans CH . Démonstration (d’après J. Riou ; voir l’exercice 4.4 pour un résultat un peu similaire). Le cas où G est fini a déjà été vu (lemme 1.38). Passons au cas général. Soit V un sous-groupe ouvert distingué de H. D’après la proposition A.36, il suffit de montrer que pour tout sous-groupe ouvert distingué V de H, le H/V -module AV est injectif. Soit U un sous-groupe ouvert distingué de G ; alors AU est un G/U -module injectif (remarque 4.24) et d’après le cas fini, AU est aussi injectif comme H  := H/(H ∩U )-module. Posons V  := V /(V ∩ U ), c’est un sous-groupe ouvert distingué de H  et la remarque 4.24  dit que (AU )V est un H  /V  -module injectif, autrement dit AU V est un H/V -module injectif, où U V est le sous-groupe de G engendré par U et V (c’est l’ensemble des produits uv avec u ∈ U et v ∈ V puisque U est distingué dans G). Il ne reste plus qu’à remarquer que AV est la limite inductive des H/V -modules AU V pour U décrivant les sous-groupes ouverts distingués de G, ce qui fait que AV reste un H/V -module injectif (appendice, exemple A.35, f) ou exercice 1.4), le groupe H/V étant fini. Les propriétés de la cohomologie d’un groupe profini G se déduisent immédiatement de celles d’un groupe fini grâce au corollaire 4.21. Il faut juste faire attention, pour les propriétés faisant intervenir un sous-groupe H de G, à se restreindre aux sous-groupes fermés de G, de manière à rester dans la catégorie des groupes profinis (pour les modules définis par des fonctions de G ou Gn dans un G-module A, il faut aussi prendre des fonctions continues). En particulier :

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CHAPITRE 4. COHOMOLOGIE DES GROUPES PROFINIS

1) Pour tout sous-groupe fermé H de G et tout G-module discret A, H on dispose du G-module IG (A) (la définition est la même à condition de se restreindre à des fonctions continues de G dans A). En particulier tout G-module induit IG (A) est acyclique pour le foncteur H 0 (G, .) (ce qui permet les raisonnements habituels par décalage). Par contre il n’y a plus de bonne notion de module co-induit dans CG car Z[G] n’est pas un G-module discret si G est infini. 2) Pour tout sous-groupe fermé H de G, les homomorphismes de restriction et d’inflation sont définis comme dans le paragraphe 1.5, et le lemme H de Shapiro reste vrai (on vérifie directement que le foncteur A → IG (A) est encore exact sur CG ). Il en va de même de la proposition 1.40 et de la suite spectrale de Hochschild-Serre(2) (ainsi que ses conséquences) lorsque H est un sous-groupe distingué fermé de G. 3) Lorsque H est un sous-groupe fermé d’indice fini (c’est-à-dire un sousgroupe ouvert) de G, la corestriction H q (H, A) → H q (G, A) est bien définie. Le théorème 1.48 et le corollaire 1.51 restent valables dans ce contexte. 4) Pour des G-modules discrets A et B, les groupes ExtiG (A, B) sont encore définis, comme foncteurs dérivés (appliqués à B) de HomG (A, .) On ne peut plus les voir comme foncteurs dérivés à gauche (en effet, la catégorie CG n’a pas assez de projectifs si G est infini), mais la remarque 1.37 fonctionne encore. Si H est un sous-groupe ouvert de G, les propositions 1.15 et 1.39 restent valables (avec les mêmes preuves). 5) Si p et q sont deux entiers naturels, le cup-produit H p (G, A) × H q (G, B) −→ H p+q (G, A ⊗ B) est défini comme au paragraphe 2.5 (si ce n’est que dans la définition il faut prendre des cochaînes continues), et jouit des mêmes propriétés. Nous verrons au chapitre 6 des exemples de calculs de groupes de cohomologie quand G = Γk est le groupe de Galois absolu d’un corps. On peut aussi étendre la notion de G-module cohomologiquement trivial (cf. exercice 4.11 pour les propriétés de base de cette notion). Définition 4.26. Soit G un groupe profini. On dit qu’un G-module discret A est cohomologiquement trivial si pour tout n > 0 et tout sous-groupe fermé H de G, on a H n (H, A) = 0. Remarque 4.27. Nous avons jusqu’à présent utilisé la proposition 4.18 dans des cas où les applications de transition entre les groupes Gj étaient surjectives, mais un autre cas est digne d’intérêt : c’est celui où la famille Gj est une famille filtrante de sous-groupes ouverts d’un groupe profini K, les (2) Une

petite subtilité ici : pour faire la même preuve que dans le cas G fini, on doit utiliser soit la proposition 4.25, soit le fait un peu plus faible qu’un G-module induit IG (A) est bien acyclique pour H 0 (H, .), ce qui est l’objet de l’exercice 4.4.

4.3. COHOMOLOGIE D’UN G-MODULE DISCRET

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flèches de transition étant les inclusions. Posons G = Gj , c’est un sous groupe fermé de K. On a alors lim Gj = Gj = G, ce qui permet pour ←− tout K-module A d’identifier H q (G, A) à lim H q (Gj , A). Nous rencontrerons −→ parfois cette situation dans les calculs de groupes de Brauer d’extensions algébriques infinies d’un corps.  0 (G, A). Pour le On peut également avoir besoin parfois du groupe H définir, considérons des sous-groupes ouverts distingués U et V de G avec V ⊂ U . On définit une flèche de déflation :  0 (G/U, AU )  0 (G/V, AV ) −→ H Def : H en passant au quotient l’identité, vu que l’on a  0 (G/V, AV ) = AG /NG/V AV , H

 0 (G/U, AU ) = AG /NG/U AU H

et NG/V AV ⊂ NG/U AU (regrouper les éléments de G/V en classes selon U/V ). Définition 4.28. Soit G un groupe profini. Soit A un G-module discret. On  0 (G, A) comme la limite projecdéfinit le groupe de cohomologie modifié H 0 U  tive des H (G/U, A ) pour U sous-groupe ouvert distingué de G, les flèches de transition étant les flèches de déflation. Alors la restriction et la corestriction sont encore bien définies (sous les  0 , avec la formule Cores ◦ Res = · [G : H] hypothèses habituelles) pour le H quand H est un sous-groupe ouvert de G (on peut également définir les  q (G, A) pour q < 0 par un procédé analogue de limite projective, groupes H cf. [41], Déf. 1.9.3., mais nous ne nous en servirons pas ; en particulier la définition des cup-produits est plus délicate dans ce cadre). Remarque 4.29. Une subtilité ici : si U et V sont des sous-groupes ouverts distingués d’un groupe profini G avec V ⊂ U , on a également une flèche  0 (G/U, AU ) → H  0 (G/V, AV ) (qui permet de faire la limite d’inflation H inductive), obtenue via l’application norme. La situation est en quelque sorte inverse de celle qui permet de définir la flèche de déflation. Dans le cas où les groupes G/U et G/V sont cycliques, les groupes H n (G/U, AU ) et  0 (G/U, AU ) H n (G/V, AV ) pour n pair sont respectivement isomorphes à H 0 V  et H (G/V, A ) (théorème 2.16), les isomorphismes étant compatibles aux flèches d’inflation. Ainsi, si G est procyclique (c’est-à-dire isomorphe à une limite projective de groupes cycliques), on peut calculer les H n (G, A) pour n  0 (G/U, AU ) pour les flèches de transition pair comme limite inductive des H induites par les normes.

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CHAPITRE 4. COHOMOLOGIE DES GROUPES PROFINIS

4.4. Exercices Exercice 4.1. Montrer que l’analogue de la proposition 1.31 ne vaut plus si G est seulement supposé profini, même si le G-module lim An est supposé ←− discret (on pourra prendre G = Zp et An = Z/pn Z, muni de l’action triviale de G). Exercice 4.2. Soit G un groupe profini infini. Soit f : P → Z un morphisme surjectif de G-modules discrets. Soit x ∈ P tel que f (x) = 1, on note U le stabilisateur de x. a) Montrer qu’il existe un sous-groupe ouvert distingué V de G qui ne contient pas U . b) On considère le morphisme d’augmentation π : Z[G/V ] → Z et on suppose qu’il existe un morphisme de G-modules f : P → Z[G/V ] tel que f = π ◦ f. On pose  f(x) = ag g, avec ag ∈ Z. Montrer que

g∈G/V

 g∈G/V

ag = 1.

c) Soit g0 un élément non trivial de U/V ∩ U . Montrer que si h ∈ G/V est dans le sous-groupe H ⊂ G/V engendré par g0 , alors ah·g = ag pour tout g ∈ G/V . d) Soit m l’ordre de g0 dans G/V . En faisant opérer le sous-groupe H par translation sur G/V , montrer qu’il existe un entier d tel que md = 1, et aboutir à une contradiction. En déduire que la catégorie CG n’a pas assez de projectifs. Exercice 4.3. Reprendre l’exercice 1.7 en supposant cette fois que G est un groupe profini et H un sous-groupe ouvert de G. Exercice 4.4. Soit G un groupe profini. Soit H un sous-groupe fermé de G. Soit A un groupe abélien. a) Montrer que H est la limite projective des H/V pour V sous-groupe ouvert de H distingué dans G. b) Pour un tel V , montrer que IG (A)V = IG/V (A) (que l’on peut voir comme un H/V -module) est limite inductive de H/V -modules induits. c) En déduire que pour tout n > 0, on a H n (H, IG (A)) = 0. Exercice 4.5. En utilisant la proposition A.36 de l’appendice, généraliser l’exercice 1.4 au cas d’un groupe G profini.

4.4. EXERCICES

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Exercice 4.6. Soit G un groupe profini. Soit A un G-module fini. a) Montrer que pour tout élément f ∈ IG (A), il existe un sous-groupe ouvert distingué U de G tel que pour tout x ∈ G, la valeur f (x) de f en x ne dépende que de la classe de x dans G/U . U b) En déduire que IG (A) est la limite inductive (ou la réunion) des IG (A), la limite étant prise sur les sous-groupes ouverts distingués U de G.

Exercice 4.7. Soit G un groupe profini. Soit A un G-module fini. Soit n > 0. a) On suppose que H n (G, A) est fini. Montrer qu’il existe un G-module fini B et un morphisme injectif i de G-modules de A dans B, tels que la flèche H n (G, A) → H n (G, B) induite par i soit nulle. b) Donner un exemple où la conclusion de a) ne vaut plus si on ne suppose pas H n (G, A) fini. Exercice 4.8. Soit G un groupe abélien profini. On suppose que pour tout entier n > 0, le groupe G/nG est fini. a) Montrer que nG est un sous-groupe ouvert de G. b) Soit U un sous-groupe ouvert de G. Montrer que nU est un sous-groupe ouvert de G (on pourra comparer G/U et nG/nU ). c) En déduire que si A est un G-module discret fini, alors H 1 (G, A) est fini. Exercice 4.9. Soit G un groupe profini. a) Soit M un G-module isomorphe à Z comme groupe abélien. Montrer qu’il existe un sous-groupe ouvert distingué H de G, agissant trivialement sur M , et tel que [G : H]  2. b) On fixe un sous-groupe ouvert distingué H de G avec [G : H] = 2. Combien y a-t-il de classes d’isomorphismes de G-modules M , isomorphes à Z comme groupes abéliens, et tels que H agisse trivialement sur M ? c) Soit H un sous-groupe ouvert distingué de G avec [G : H] = 2. On considère le G-module M , isomorphe à Z comme groupe abélien, et tel que l’action de G sur M soit définie par g · x = x si g ∈ H et g · x = −x si g ∈ H. Montrer qu’il existe une suite exacte de G-modules : 0 −→ Z −→ Z[G/H] −→ M −→ 0, 1

puis calculer H (G, M ). Exercice 4.10. Soit G un groupe profini. Soit A un G-module discret. On suppose que A est un groupe abélien libre de type fini. a) Montrer que si l’action de G sur A est triviale, alors H 1 (G, A) = 0. b) Montrer qu’il existe un sous-groupe ouvert distingué U de G tel que Inf : H 1 (G/U, AU ) → H 1 (G, A) soit un isomorphisme.

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CHAPITRE 4. COHOMOLOGIE DES GROUPES PROFINIS

c) En déduire que H 1 (G, A) est fini. Cette propriété se généralise-t-elle aux H i (G, A) pour i > 1 ? Exercice 4.11. Soit G un groupe profini. a) Montrer qu’un G-module A est cohomologiquement trivial si et seulement si pour tout sous-groupe ouvert distingué U de G, le G/U -module AU est cohomologiquement trivial. b) Montrer qu’un G-module induit est cohomologiquement trivial. c) Étendre l’exercice 3.5 au cas où G est profini et N est sans torsion de type fini. Exercice 4.12 (suggéré par A. Pirutka). Soit k un corps de caractéristique zéro de groupe de Galois Γk = Gal(k/k). Pour tout Γk -module fini C de n-torsion, on note C(−1) le Γk -module Hom(μn , C). a) Expliciter le Γk -module μn (−1). b) Montrer que si m > 0 est un entier, alors le Γk -module μ⊗m n (−1) est ⊗(m−1) isomorphe à μn . ⊗(−1)

⊗(−m)

= (Z/nZ)(−1) et pour tout m > 0 on définit μn = c) On pose μn ⊗(−1) ⊗(−1) μn ⊗ Z · · · ⊗Z μn (m facteurs). Montrer que pour tous p, q ∈ Z, le ⊗(p+q) ⊗q Γk -module μn est isomorphe à μ⊗p n ⊗ Z μn . ? d) Quel est le dual de Cartier du Γk -module μ⊗m n e) Soit G le groupe de Galois de l’extension k(μn )/k. Montrer que si m est un multiple de l’exposant de G (par exemple si m est divisible par l’indicatrice d’Euler ϕ(n) de n), alors le Γk -module μ⊗m est isomorphe à n Z/nZ. f) Étendre les résultats précédents à un corps k de caractéristique p > 0 quand p ne divise pas n.

CHAPITRE 5 DIMENSION COHOMOLOGIQUE

La notion de p-dimension cohomologique d’un groupe profini est très importante. L’exercice 5.1 montre qu’elle est surtout intéressante pour un groupe infini car la p-dimension cohomologique d’un groupe fini est soit nulle (si p ne divise pas son cardinal) soit infinie (dans le cas contraire).

5.1. Définitions, premiers exemples Définition 5.1. Un G-module discret est simple s’il est non nul et n’admet pas de sous-G-module autre que {0} et lui-même. Définition 5.2. Soit G un groupe profini. Pour tout nombre premier p, la pdimension cohomologique de G (notée cdp (G)) est la borne inférieure (dans N ∪ {+∞}) des entiers n ∈ N satisfaisant à : Pour tout G-module discret de torsion A et tout q > n, la composante p-primaire de H q (G, A) est nulle (ce qui équivaut au fait que le sous-groupe de p-torsion H q (G, A)[p] soit nul). La dimension cohomologique de G est cd(G) = supp cdp (G). Exemple 5.3. Le groupe fini G = Z/2 = Gal(C/R) est de p-dimension cohomologique 0 si p = 2 (grâce au corollaire 1.49), mais infinie si p = 2  0 (G, Z/2) = H  1 (G, Z/2) = Z/2 par un vu le théorème 2.16 et le fait que H calcul immédiat. Si p ne divise pas l’ordre de G, on a cdp (G) = 0 grâce aux corollaires 4.21 et 1.49. Théorème 5.4. Soit G un groupe profini. Soit p un nombre premier et soit n ∈ N. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1) cdp (G)  n. 2) Pour tout q > n et tout G-module discret A qui est un groupe abélien de torsion p-primaire, on a H q (G, A) = 0.

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CHAPITRE 5. DIMENSION COHOMOLOGIQUE

3) On a H n+1 (G, A) = 0 pour tout G-module discret A qui est simple et de p-torsion. Noter au passage qu’un G module A simple et p-primaire est forcément de p-torsion vu que A[p] est un sous-G-module non trivial de A. Démonstration. Écrivons A comme somme directe des A{p}. Alors pour q  1 le groupe H q (G, A{p}) est la composante p-primaire de H q (G, A) (grâce à la proposition 4.18), d’où l’équivalence de 1) et 2). Il est immédiat que 2) implique 3). Supposons donc 3). Montrons d’abord par récurrence sur le cardinal de A que H n+1 (G, A) = 0 lorsque A est fini et p-primaire. C’est évident si A = 0, supposons donc A = 0. Si A est simple, alors A[p] (qui est non nul vu que A est p-primaire) est égal à A et l’hypothèse 3) donne que H n+1 (G, A) = 0. Sinon on a une suite exacte de G-modules 0 −→ A1 −→ A −→ A2 −→ 0 avec A1 et A2 de cardinaux strictement plus petits que celui de A, d’où encore H n+1 (G, A) = 0 via la suite exacte longue et l’hypothèse de récurrence. Maintenant on a encore H n+1 (G, A) = 0 (grâce au corollaire 4.22), pour tout G-module discret A qui est p-primaire car un sous-G-module de type fini de A est alors fini (il est de type fini sur Z et de torsion). On montre alors 2) par récurrence sur q en plongeant A dans le module induit IG (A) (qui est bien p-primaire vu que toute fonction continue de G dans A est localement constante, donc ne prend qu’un nombre fini de valeurs par compacité de G), puis en appliquant l’hypothèse de récurrence au module de torsion p-primaire IG (A)/A. On déduit du théorème 5.4 l’important critère suivant pour majorer la p-dimension cohomologique d’un pro-p-groupe : Théorème 5.5. Soient G un pro-p-groupe et n ∈ N. Alors cdp (G)  n si et seulement si H n+1 (G, Z/p) = 0. Démonstration. Si cdp (G)  n, alors H n+1 (G, Z/p) = 0 par définition de la p-dimension cohomologique. Supposons donc H n+1 (G, Z/p) = 0. D’après le théorème 5.4, on est ramené à montrer que si A est un G-module discret simple de p-torsion, alors H n+1 (G, A) = 0. Pour cela, on va en fait montrer qu’un tel A est forcément isomorphe à Z/p. On a déjà que A est fini : en effet, le G-module M engendré par un élément a non nul de A est fini vu qu’il est de type fini sur Z et de torsion ; or M = A par simplicité de A. On peut donc considérer A comme un G/U -module, avec U sous-groupe ouvert distingué de G. Quitte à appliquer le résultat à G/U et au G/U -module simple A, on est donc ramené au cas où G est un p-groupe fini. Comme A = 0, le lemme 3.1 dit alors que AG = 0

5.2. PROPRIÉTÉS DE LA DIMENSION COHOMOLOGIQUE

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et par simplicité de A, on obtient AG = A, autrement dit l’action de G sur A est triviale. Maintenant on a forcément A = Z/p, car le groupe abélien engendré par un élément non nul de A est un sous-G-module de A, donc il est égal à A (par simplicité de A) et isomorphe à Z/p (car A est de p-torsion). Exemple 5.6. Prenons G = Zp = limn (Z/pn ). On a H 2 (G, Z/p) = 0 grâce à ←− la proposition 4.18 : en effet d’après le théorème 2.16, on a H 2 (Z/pn , Z/p) =  0 (Z/pn , Z/p) = Z/p, où les applications de transition entre les difféH rents groupes H 2 (Z/pn , Z/p) correspondent ici à la multiplication par p (cf. remarque 4.29). Ainsi on a bien limn H 2 (Z/pn , Z/p) = 0. Le théo−→ rème 5.5 dit alors que cdp (Zp )  1, et l’égalité vient de ce que H 1 (Zp , Z/p) = Homc (Zp , Z/p) = Homc (Zp /pZp ) = Z/p = 0. Quand on travaille avec des G-modules qui ne sont plus forcément de torsion, on obtient la notion de dimension cohomologique stricte. Définition 5.7. Soient G un groupe profini, p un nombre premier, et n ∈ N. La p-dimension cohomologique stricte de G est la borne inférieure des n ∈ N tels que pour tout G-module discret A et tout entier q > n, on ait H q (G, A){p} = 0. On la note scdp (G). La dimension cohomologique stricte de G est scd(G) = supp scdp (G). 5.2. Propriétés de la dimension cohomologique On va maintenant comparer cdp et scdp , ainsi que leur comportement par passage à un sous-groupe ou un quotient. On a bien entendu scdp (G)  cdp (G), mais on peut dire beaucoup mieux. Proposition 5.8. Soit G un groupe profini. Alors scdp (G)  cdp (G) + 1 pour tout nombre premier p. En particulier, scd(G)  cd(G) + 1. Démonstration. Soit M un G-module, notons N = M [p] le sous-module de p-torsion de M et Q = M/pM . Notons n la p-dimension cohomologique de G. Soit I = pM . La multiplication par p induit deux suites exactes 0 −→ N −→ M −→ I −→ 0. 0 −→ I −→ M −→ Q −→ 0. Soit alors q > n + 1. Comme N et Q sont de torsion p-primaire, on a H q (G, N ) = H q−1 (G, Q) = 0. Alors les applications H q (G, M ) → H q (G, I) et H q (G, I) → H q (G, M ) respectivement induites par les suites exactes cidessus sont injectives, donc aussi leur composée qui est la multiplication par p dans H q (G, M ). Finalement H q (G, M )[p] = 0 pour tout M , c’est-àdire scdp (G)  n + 1.

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CHAPITRE 5. DIMENSION COHOMOLOGIQUE

Lemme 5.9. Soient G un groupe profini et A un G-module discret. Soient p un nombre premier et H un sous-groupe fermé de G. a) Si p ne divise pas le nombre surnaturel [G : H], l’application Res : H q (G, A){p} → H q (H, A) est injective pour tout q > 0. b) Si de plus H est ouvert et n = cdp (G) (resp. n = scdp (G)) est fini, alors Cores : H n (H, A){p} → H n (G, A){p} est surjective pour tout G-module discret de torsion A (resp. pour tout G-module discret A). Démonstration. a) Si [G : H] est fini, c’est la proposition 3.2. Le cas général s’y ramène grâce au corollaire 4.21 et à la définition de l’indice d’un sous-groupe fermé. H b) Posons I = IG (A), on dispose d’un homomorphisme π : I → A défini par  g · f (g −1 ). f −→ π(f ) := g∈G/H

Cet homomorphisme est surjectif car si a ∈ A, on définit un antécédent f de a par π en posant f (h) = h · a pour h ∈ H et f (g) = 0 si g ∈ H. Si A est de torsion, I (et donc aussi le noyau B de π) est de torsion ; d’autre part l’homomorphisme induit H n (G, I) = H n (H, A) −→ H n (G, A) s’identifie à la corestriction (voir l’exercice 1.1 : cela résulte comme d’habitude de ce qu’on obtient deux transformations naturelles de foncteurs cohomologiques qui coïncident en degré 0). Supposons cdp (G) = n ; comme pour B de torsion, on a H n+1 (G, B){p} = 0, on conclut avec la longue suite exacte de cohomologie (noter qu’une suite exacte de groupes abéliens de torsion reste exacte quand on applique le foncteur {p}). Le raisonnement avec scdp est identique. Proposition 5.10. Soit G un groupe profini et soit H un sous-groupe fermé de G. Alors pour tout nombre premier p, on a cdp (H)  cdp (G) ;

scdp (H)  scdp (G).

Il y a égalité si l’indice [G : H] est premier à p, ou encore si H est ouvert et cdp (G) < +∞. Bien entendu, on a des résultats analogues pour cd(G) et scd(G). Par contre il n’y a pas d’inégalité analogue pour le quotient : par exemple le groupe Z2 est de 2-dimension cohomologique 1, mais il possède un quotient isomorphe à Z/2, dont la 2-dimension cohomologique est infinie. Noter aussi que la dernière assertion de la proposition est en général fausse si cdp (G) n’est pas supposée finie (prendre par exemple G = Z/2, H = 0 et p = 2).

5.2. PROPRIÉTÉS DE LA DIMENSION COHOMOLOGIQUE

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Démonstration. Traitons le cas de cdp (le raisonnement est le même pour H scdp ). Soit A ∈ CH , alors IG (A) (qui est p-primaire si A est p-primaire) H est dans CG et par le lemme de Shapiro H q (G, IG (A)) = H q (H, A), ce qui donne cdp (H)  cdp (G). Si maintenant [G : H] est premier à p, alors on a égalité grâce au lemme 5.9 a). Supposons maintenant que H est ouvert et que cdp (G) = n est finie et > 0 (l’inégalité cdp (H)  cdp (G) est immédiate si n = 0). On peut alors trouver un G-module discret de torsion A tel que H n (G, A){p} =  0. Il suffit n alors de montrer que H (H, A){p} =  0, ce qui résulte du lemme 5.9 b). Corollaire 5.11. Soit Gp un p-Sylow de G. Alors cdp (G) = cdp (Gp ) = cd(Gp ) et scdp (G) = scdp (Gp ) = scd(Gp ).  = cdp (Zp ) = 1. Exemple 5.12. a) D’après le corollaire 5.11, on a cdp (Z) 2 2 D’autre part, H (Zp , Z) = 0 (en effet, H (Zp , Z) = Homc (Zp , Q/Z) =  = scdp (Zp ) = 2. Qp /Zp ), d’où on déduit que scdp (Z) b) On verra plus tard que si k est un corps p-adique et G = Gal(k/k), alors cd(G) = scd(G) = 2. Proposition 5.13. Soit H un sous-groupe distingué fermé de G. Alors pour tout nombre premier p, on a cdp (G)  cdp (G/H) + cdp (H) (et de même pour scdp , cd(G), etc.). Démonstration. On va utiliser la suite spectrale de Hochschild-Serre (théorème 1.44). Soit A un G-module discret de torsion p-primaire. Soit n > cdp (G/H) + cdp (H). Alors si i + j = n, on a soit i > cdp (G/H), soit j > cdp (H) ; dans les deux cas le groupe E2ij = H i (G/H, H j (H, A)) est nul. Finalement H n (G, A) (qui admet une filtration dont les quotients successifs sont des sous-quotients des E2ij pour i + j = n) est nul. On a enfin le critère général suivant (dû à Serre). Proposition 5.14. Soit G un groupe profini de dimension cohomologique n. Alors G est de dimension cohomologique stricte n si et seulement si : pour tout sous-groupe ouvert U de G, on a H n+1 (U, Z) = 0. Bien entendu, on a l’analogue avec la p-dimension cohomologique en se limitant à la torsion p-primaire de H n+1 (U, Z) dans l’énoncé. Démonstration. La condition est clairement nécessaire. En sens inverse, si elle est satisfaite on a (par le lemme de Shapiro) H n+1 (G, A) = 0 pour tout U G-module A qui est de la forme A = IG (Zr ) = Z[G/U ]r avec r  0 et U sous-groupe ouvert distingué de G. Soit alors M un G-module discret de

96

CHAPITRE 5. DIMENSION COHOMOLOGIQUE

type fini. Alors il existe un sous-groupe ouvert distingué U de G qui opère trivialement sur M , d’où une suite exacte 0 −→ B −→ Z[G/U ]r −→ M −→ 0 ce qui implique H n+1 (G, M ) = 0 vu que H n+2 (G, B) = 0 d’après la proposition 5.8. Puisque tout G-module discret A est réunion de G-modules discrets de type fini, on obtient H n+1 (G, A) = 0, d’où le résultat (toujours avec la proposition 5.8). Le calcul de la dimension cohomologique du groupe de Galois absolu Gal(k/k) d’un corps k est un problème en général difficile. On a déjà vu que pour k = R, la p-dimension cohomologique est 0 si p = 2 et infinie si p = 2.  dont la dimension Pour un corps fini, le groupe de Galois est isomorphe à Z, cohomologique est 1. On verra que pour une extension finie de Qp , cette dimension est 2, ainsi que pour une extension finie totalement imaginaire de Q. 5.3. Exercices Exercice 5.1. Soient G un groupe profini et p un nombre premier. a) Montrer que cdp (G) = 0 si et seulement si l’ordre de G (en tant que nombre surnaturel) est premier à p. b) Montrer que la p-dimension cohomologique du groupe fini Z/pZ est infinie. c) Montrer que si cdp (G) n’est ni nul ni infini, alors l’exposant de p dans l’ordre de G est infini. d) Montrer qu’on ne peut pas avoir scdp (G) = 1. Exercice 5.2. Soient G un groupe profini et p un nombre premier tel que cdp (G)  n avec n ∈ N. a) Montrer que si A est un G-module discret p-divisible, alors pour tout q > n la composante p-primaire H q (G, A){p} est nulle. b) En déduire que si A est un G-module discret divisible et cd(G)  n, alors H q (G, A) = 0 pour tout q > n.  = lim Z/n. Exercice 5.3. Soit G le groupe profini Z ←−n∈N∗ a) Soit A un G-module discret. On note F l’automorphisme de A induit  par le générateur topologique canonique s de G (correspondant à 1 ∈ Z)  ∗ et A le sous-groupe de A constitué des a tels qu’il existe n ∈ N avec (1 + F + · · · + F n−1 )a = 0. Montrer que (F − 1)A est un sous-groupe de A et qu’on a H 1 (G, A) = A /(F − 1)A.

5.3. EXERCICES

97

b) Montrer que si A est de torsion, alors A = A. c) Calculer le dual Homc (G, Q/Z) de G. d) Montrer que si A est fini, alors H 2 (G, A) = 0 et retrouver le fait que  = 1 (cf. exemple 5.12, a). cd(Z) Exercice 5.4. Soit G un groupe profini de dimension cohomologique finie. Montrer que G est sans torsion (c’est-à-dire que tout élément de G autre que le neutre est d’ordre infini). Exercice 5.5. Soient n un entier > 0 et p un nombre premier. Soit G un groupe profini avec cdp (G) = n. Montrer que scdp (G) = n+1 si et seulement s’il existe un sous-groupe ouvert H de G tel que H n (H, Qp /Zp ) = 0. Exercice 5.6. Soit Γ un groupe profini et p un nombre premier. On suppose que la p-dimension cohomologique cdp (Γ) est un entier n > 0. Soit U un sous-groupe ouvert distingué de Γ ; on considère un Γ-module de torsion p-primaire A. a) On considère une résolution 0 −→ A −→ X 0 −→ · · · −→ X n −→ · · · par des Γ-modules induits p-primaires et on pose An = Ker[X n → X n+1 ]. Montrer que An est un Γ-module cohomologiquement trivial. b) On considère les flèches de corestriction Cores : H i (U, A) → H i (Γ, A) pour i  0. Montrer qu’elles sont obtenues en prenant la cohomologie du morphisme de complexes NΓ/U : (X • )U → (X • )Γ donné par la norme de Γ/U , puis que Cores induit un homomorphisme (noté encore Cores) H i (U, A)Γ/U → H i (Γ, A) sur le groupe des co-invariants H i (U, A)Γ/U pour l’action de Γ/U sur H i (U, A). c) Montrer qu’on a un diagramme commutatif à lignes exactes, où N désigne la norme NΓ/U : ((X n−1 )U )Γ/U N 

(X n−1 )Γ

/ (AU n )Γ/U N

 / AΓn

/ H n (U, A)Γ/U

/0

Cores

 / H n (Γ, A).

/0

d) Montrer que la flèche verticale de gauche du diagramme est surjective. e) Montrer que la flèche verticale du milieu est injective, et en déduire que la corestriction H n (U, A)Γ/U → H n (Γ, A) est un isomorphisme.

CHAPITRE 6 PREMIÈRES NOTIONS DE COHOMOLOGIE GALOISIENNE

Dans tout ce chapitre, on désigne par k un corps de clôture séparable k et on note Γk le groupe profini Γk := Gal(k/k). Notre but est ici d’introduire la cohomologie galoisienne, cas particulier de la cohomologie d’un groupe profini, et de démontrer quelques-unes de ses propriétés générales. On voit notamment apparaître le groupe de Brauer d’un corps, qui sera beaucoup utilisé dans les parties II et III.

6.1. Généralités Soit M un Γk -module discret. Les groupes de cohomologie H q (Γk , M )  0 (Γk , M )) ont été définis au chapitre précédent. Si pour q  0 (ainsi que H maintenant k1 est une extension de corps de k de clôture algébrique k 1 et j : k → k 1 est un morphisme de corps prolongeant l’inclusion i : k → k1 , alors j définit un homomorphisme continu f : Γk1 → Γk ; on obtient donc (cf. début du paragraphe 1.5) des homomorphismes H q (Γk , M ) −→ H q (Γk1 , M ). Si on change j, on change f par un automorphisme intérieur de Γk , ce qui fait que ces homomorphismes sont en fait indépendants du choix de j d’après la proposition 1.40. En particulier, deux clôtures séparables de k définissent des H q (Γk , M ) canoniquement isomorphes, ce qui permet de noter H q (k, M ) au lieu de H q (Γk , M ). Pour toute extension de corps k1 de k, on a alors des homomorphismes canoniques H q (k, M ) → H q (k1 , M ). Remarque 6.1. Si A est un schéma en groupes commutatif sur k, on peut considérer les groupes de cohomologie galoisienne H q (k, A) := H q (k, A(k)). Si k1 est une extension de k, le procédé ci-dessus fournit alors des homomorphismes canoniques H q (k, A(k)) → H q (k1 , A(k 1 )). Ceci s’applique par

100

CHAPITRE 6. PREMIÈRES NOTIONS DE COHOMOLOGIE GALOISIENNE

exemple au groupe additif Ga défini par Ga (k1 ) = k1 et au groupe multiplicatif Gm défini par Gm (k1 ) = k1∗ . La proposition suivante et son corollaire montrent que la cohomologie du groupe additif est triviale. Proposition 6.2. Soit L une extension finie galoisienne de k. Alors  q (Gal(L/k), L) = 0 H pour tout q ∈ Z. Corollaire 6.3. On a H q (k, k) = 0 pour tout q > 0. Démonstration. Le corollaire se déduit de la proposition grâce au corollaire 4.21. La proposition résulte de ce que d’après le théorème de la base normale (cf. [5], § 10), le Gal(L/k)-module L est co-induit (isomorphe à Z[Gal(L/k)] ⊗Z k), donc induit puisque Gal(L/k) est fini. Proposition 6.4 (Artin-Schreier). Soit k un corps de caractéristique p. Soit Φ l’application de k dans k définie par Φ(x) = xp − x. Alors k/Φ(k)  H 1 (k, Z/p) et H q (k, Z/p) = 0 pour q  2. Démonstration. Comme k est de caractéristique p, l’application Φ est un morphisme de Γk -modules. Il est surjectif car k est séparablement clos et pour tout a ∈ k, le polynôme X p − X − a est séparable (sa dérivée est −1). Le noyau de Φ est le sous-corps premier de k, il est donc isomorphe au Γk -module Z/p (avec action triviale de Γk ) et on a une suite exacte de Γk -modules : Φ 0 −→ Z/p −→ k −−→ k −→ 0. On conclut avec le corollaire 6.3 et la suite exacte longue de cohomologie. 6.2. Théorème de Hilbert 90 et applications On considère ici l’action naturelle du groupe de Galois Γk sur le groupe abélien k ∗ , qui fait de k ∗ un Γk -module discret. Théorème 6.5 (Hilbert 90). Soit L une extension finie galoisienne de k. Soit G le groupe de Galois G = Gal(L/k). Alors H 1 (G, L∗ ) = 0

et

H 1 (k, k ∗ ) = 0.

Démonstration. La seconde assertion se déduit de la première grâce au corollaire 4.21. Soit s → as un cocycle dans Z 1 (G, L∗ ). D’après le théorème d’indépendance linéaire des morphismes de Dedekind ([5], § 7, no 5), on peut trouver un élément c de L∗ tel que l’élément  b := at t(c) t∈G

6.3. GROUPE DE BRAUER D’UN CORPS

101

soit non nul. On a alors, pour tout s de G :   −1 s(at ) · (st)(c) = a−1 s(b) = s ast · (st)(c) = as b t∈G −1

d’où as = s(b

)/b

−1

t∈G

, ce qui montre que s → as est un cobord.

Corollaire 6.6 (« Théorie de Kummer »). Soit n un entier, que l’on suppose inversible dans k. Soit μn le groupe multiplicatif des racines n-ièmes de l’unité dans k. Alors k ∗ /k ∗n  H 1 (k, μn ). Démonstration. Ceci résulte de la suite exacte longue de cohomologie associée à ·n 1 −→ μn −→ k ∗ −−−→ k ∗ −→ 1 et du théorème de Hilbert 90. Contrairement au Γk -module k, on va voir dans le prochain paragraphe que k ∗ n’a pas toujours une cohomologie triviale. Remarque 6.7. Pour tout Γk -module discret M , l’ensemble H 1 (k, M ) peut aussi s’interpréter comme l’ensemble des classes d’isomorphismes d’espaces principaux homogènes (ou torseurs) sur M , cf. [48], Part. I, § 5.2. Dans ce langage, le Z/pZ-torseur associé à un élément a ∈ k/Φ(k) comme dans la proposition 6.4 est donné par l’équation Φ(x) = a et le μn torseur associé à un élément b ∈ k ∗ /k ∗n comme dans le corollaire 6.6 est donné par l’équation xn = b. 6.3. Groupe de Brauer d’un corps Définition 6.8. Soit k un corps de groupe de Galois absolu Γk = Gal(k/k). Le groupe de Brauer de k est le groupe de cohomologie H 2 (Γk , k ∗ ). On le note Br k. Ainsi Br k est la limite inductive (pour L/k finie galoisienne) des groupes Br(L/k) := H 2 (Gal(L/k), L∗ ). Notons aussi que si K est une extension de k, on a un homomorphisme Br k → Br K induit par le morphisme naturel i : ΓK → Γk et l’inclusion k ∗ → K ∗ . En effet, bien que le morphisme i ne soit défini qu’à conjugaison près, le même raisonnement qu’au paragraphe 6.1 montre que l’homomorphisme Br k → Br K est bien défini. Remarque 6.9. Le groupe de Brauer d’un corps k peut aussi être défini sans utiliser la cohomologie galoisienne, au moyen de classes d’équivalence d’algèbres simples centrales de dimension finie sur k, voir par exemple le paragraphe 2.4 de [15] ou encore le chapitre X (paragraphe 5) de [45]. Nous n’utiliserons pas cette caractérisation dans ce livre, bien qu’elle puisse

102

CHAPITRE 6. PREMIÈRES NOTIONS DE COHOMOLOGIE GALOISIENNE

parfois être utile pour certains énoncés (voir par exemple la remarque à la fin de l’exercice 6.1 et le préambule du chapitre 8). Proposition 6.10. Soit L une extension finie galoisienne de k. Alors Br(L/k) = Ker[Br k −→ Br L]. Ainsi Br k est la réunion des Br(L/k) pour L/k finie galoisienne. Démonstration. Ceci résulte du théorème 6.5 (Hilbert 90) et du corollaire 1.45, dans sa version où le groupe G est profini et H est un sous-groupe fermé de G : on prend q = 2, G = Γk et H = ΓL = Gal(k/L), ainsi que A = k∗ . Remarque 6.11. La proposition précédente s’étend immédiatement au cas où L est une extension galoisienne (non nécessairement finie) de k. Proposition 6.12. Soit n un entier inversible dans k. Alors H 2 (k, μn ) = (Br k)[n]. En particulier, si on a de plus μn ⊂ k, alors H 2 (k, Z/n)  (Br k)[n] ( via le choix d’une racine primitive n-ième de l’unité dans k). Démonstration. Ceci résulte de la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte ·n 1 −→ μn −→ k ∗ −−−→ k ∗ −→ 1 compte tenu de ce que H 1 (k, k ∗ ) = 0 (Hilbert 90). Exemple 6.13. a) Par définition, un corps séparablement clos a un groupe de Brauer nul. Comme on le verra un peu plus loin, il en va de même d’un corps fini. b) Le groupe de Brauer du corps R est Z/2 car H 2 (ΓR , C∗ ) est isomorphe  0 (ΓR , C∗ ) = R∗ /R∗+ grâce au théorème 2.16, vu que ΓR est cyclique. àH c) On verra plus tard que le groupe de Brauer d’un corps p-adique est Q/Z.

6.4. Dimension cohomologique d’un corps Soit k un corps de groupe de Galois absolu Γk = Gal(k/k). Pour tout p premier, on dispose pour le groupe profini Γk de la notion de p-dimension cohomologique définie au chapitre 5. On va en déduire la notion de p-dimension cohomologique d’un corps de caractéristique différente de p, ou parfait de caractéristique p.

6.4. DIMENSION COHOMOLOGIQUE D’UN CORPS

103

Définition 6.14. Soient k un corps et p un nombre premier. On suppose la caractéristique de k différente de p, ou k parfait de caractéristique p. La p-dimension cohomologique (resp. la dimension cohomologique si k est de caractéristique zéro ou parfait de caractéristique > 0) de k est par définition celle du groupe de Galois absolu Γk . On la note cdp (k) (resp. cd(k)). Bien entendu, on a aussi une définition analogue pour la dimension cohomologique stricte. Nous ne parlerons pas dans ce livre de p-dimension cohomologique d’un corps imparfait de caractéristique p, la raison étant que la notion précédente n’est en un sens « pas la bonne » dans ce cas (même si certains ouvrages comme [15], [41] ou [50] gardent la convention cdp (k) = cdp (Γk ) dans cette situation). On a en particulier l’énoncé suivant (alors que l’on n’a pas forcément envie de dire que tout corps de caractéristique p est de pdimension cohomologique  1, cf. remarque 6.18 ci-après) : Proposition 6.15. Soit k un corps de caractéristique p > 0. Alors on a cdp (Γk )  1 (et donc scdp (Γk )  2). Démonstration. Soit Gp un p-Sylow de Γk . Par la théorie de Galois, on a Gp = Gal(k/K), où K est une extension de k incluse dans k. Le corollaire 5.11 dit que cdp (Γk ) = cdp (Gp ). D’après le théorème 5.5, il suffit donc de montrer que H 2 (K, Z/p) = 0. Mais ceci résulte de la proposition 6.4, vu que K est de caractéristique p. Remarque 6.16. Pour les corps imparfaits de caractéristique p, plusieurs substituts à la notion de p-dimension cohomologique existent. On peut remplacer la cohomologie galoisienne par la cohomologie plate (cf. la partie III de [38]) et définir la p-dimension cohomologique avec les p-schémas en groupes ; on peut aussi utiliser les groupes Hpr définis par Kato ([26]) et définir la p-dimension cohomologique séparable comme dans [49] § 10, ou encore [2]. Les corps k de dimension cohomologique  1 sont particulièrement importants. Il est remarquable que cette propriété puisse être caractérisée en n’utilisant que le groupe de Brauer des extensions finies de k. Théorème 6.17. Soit k un corps. Soit p un nombre premier différent de la caractéristique de k. Alors les assertions suivantes sont équivalentes : i) On a cdp (k)  1. ii) Pour toute extension algébrique séparable K du corps k, la p-torsion (Br K)[p] de Br K est nulle. iii) Pour toute extension finie séparable K de k, la p-torsion (Br K)[p] de Br K est nulle.

104

CHAPITRE 6. PREMIÈRES NOTIONS DE COHOMOLOGIE GALOISIENNE

Bien entendu, si k est de caractéristique zéro, on peut remplacer partout cdp par cd et (Br K)[p] par Br K. Démonstration. Supposons i) satisfaite. Soit K une extension algébrique séparable de k. Alors son groupe de Galois absolu ΓK est isomorphe à un sous-groupe fermé de Γk , d’où cdp (K)  1 grâce à la proposition 5.10, ce qui implique (Br K)[p] = H 2 (K, μp ) = 0. L’implication ii) ⇒ iii) est triviale. Supposons donc iii). Soit Gp un p-Sylow de Γk et Kp ⊂ k son corps fixe. Alors Kp contient le groupe μp des racines p-ièmes de l’unité de k, car le degré [Kp (μp ) : Kp ] divise p et p − 1. On a donc H 2 (Kp , Z/p) = H 2 (Kp , μp ). Soit Kj ⊂ Kp une extension finie séparable de k contenant μp , alors la propriété iii) donne H 2 (Kj , μp ) = 0, pour tout j. Comme Kp est réunion des extensions Kj , on obtient H 2 (Kp , μp ) = 0 par la remarque 4.27 appliquée aux sous-groupes ouverts Gal(k/Kj ) de Γk , dont l’intersection est Gal(k/Kp ). Finalement H 2 (Kp , Z/p) = 0, donc cdp (k) = cdp (Kp )  1 par le corollaire 5.11 et le théorème 5.5. Remarque 6.18. Si k est un corps parfait de caractéristique p, on a vu que cdp (k)  1 (proposition 6.15), et on a aussi (Br K)[p] = 0 pour toute extension algébrique séparable K de k : en effet, K est encore parfait, donc x → xp est un isomorphisme de K ∗ dans lui-même, ce qui donne (Br K)[p] = 0. Ainsi, le théorème 6.17 est encore vrai pour un corps parfait de caractéristique p. Par contre on peut avoir (Br k)[p] = 0 pour un corps imparfait k de caractéristique p, on verra par exemple que la p-torsion du groupe de Brauer d’un corps local de caractéristique p est isomorphe à Z/p. C’est ce qui conduit certains auteurs comme Serre ([48], Part. II, § 3) à définir, pour tout corps imparfait k de caractéristique p, la propriété dim(k)  1 par la combinaison des conditions cd(Γk )  1 et (Br K)[p] = 0 pour toute extension algébrique (ou toute extension algébrique séparable, ce qui revient au même) K de k. 6.5. Corps C1 Les exemples les plus fréquents de corps de dimension cohomologique 1 sont les corps C1 , qui sont définis par la propriété très concrète suivante. Définition 6.19. On dit qu’un corps k est C1 si tout polynôme homogène f ∈ k[X1 , . . . , Xn ] de degré d < n possède au moins un zéro non trivial. Exemple 6.20. a) Un corps fini est C1 (théorème de Chevalley, [15], Th. 6.2.6.). b) Si k est un corps algébriquement clos, alors k(t) est C1 , ainsi plus généralement que toute extension de k de degré de transcendance 1 (théorème

6.5. CORPS C1

105

de Tsen, [15], Th. 6.2.8.). Il en va de même de k((t)) (résultat dû à Lang, [15], Th. 6.2.1.) c) Lang ([29]) a également démontré que l’extension maximale non ramifiée d’un corps p-adique est C1 . Son résultat vaut plus généralement pour le corps des fractions K d’un anneau de valuation discrète hensélien excellent (cette dernière condition est automatique si Car K = 0) à corps résiduel algébriquement clos. Lemme 6.21. Soit k un corps C1 et soit k1 une extension algébrique de k. Alors k1 est C1 . Démonstration. Soit F un polynôme homogène de degré d en n variables à coefficients dans k1 , avec d < n, dont on veut montrer qu’il a un zéro non trivial. Comme les coefficients de F sont algébriques sur k, il existe une extension finie de k qui les contient et on peut donc supposer que k1 est une extension finie de k, dont on note m le degré. Posons alors f (x) = Nk1 /k (F (x)), alors f est un polynôme homogène de degré dm en nm variables à coefficients dans k (prendre une base (e1 , . . . , em ) de k1 sur k, et décomposer x ∈ k1n sur cette base). Comme k est C1 , le polynôme f a un zéro non trivial, d’où un x ∈ k1n tel que f (x) = 0, ce qui implique F (x) = 0. Théorème 6.22. Soit k un corps C1 . a) Si k est de caractéristique zéro, ou parfait de caractéristique p > 0, on a cd(k)  1 ; en particulier Br k = 0. b) Si k est imparfait de caractéristique p > 0, on a cd(Γk )  1 et Br K = 0 pour toute extension algébrique K de k (en particulier k est de dimension cohomologique  1 au sens « fort » de [48]). Noter que la réciproque est fausse : Ax a construit un corps de dimension cohomologique 1 qui n’est pas C1 , cf. [48], Exer. p. 90. Démonstration. Soit K une extension algébrique (que l’on ne suppose pas séparable dans le cas b) de k. Soit L une extension finie galoisienne de degré d de K. Soit a ∈ K ∗ . Soit N l’application norme de L dans K. Comme K est C1 d’après le lemme précédent, l’équation N (x) = axd0 pour x ∈ L, x0 ∈ K, possède une solution non triviale (x, x0 ) car c’est une équation polynomiale de degré d en d + 1 variables sur K. On a x0 = 0 (sinon N (x) = 0 d’où x = 0), ce qui fait que N (x/x0 ) = a. Finalement la norme NL/K : L∗ → K ∗ est surjective. En combinant cela avec  n (G, L∗ ) = 0 pour n = 0, 1, où le théorème de Hilbert 90, on obtient H G := Gal(L/K). Ceci vaut aussi pour toute extension intermédiaire L/K  de l’extension L/K grâce au lemme 6.21. Le théorème 3.7 permet alors de

106

CHAPITRE 6. PREMIÈRES NOTIONS DE COHOMOLOGIE GALOISIENNE

conclure que le G-module L∗ est cohomologiquement trivial. En particulier, Br(L/K) = H 2 (G, L∗ ) est nul, et en passant la limite on obtient Br K = 0. Le résultat découle alors du théorème 6.17 combiné, en caractéristique p, au fait que cdp (Γk )  1 est automatique. Remarque 6.23. Bien noter que dans b), on n’a pas besoin de supposer que K est une extension séparable de k, grâce au fait que la propriété C1 se propage à toute extension algébrique. Corollaire 6.24. Un corps fini est de dimension cohomologique  1. En particulier, son groupe de Brauer est nul. Ce corollaire peut aussi s’obtenir en notant que le groupe de Galois d’un  corps fini est isomorphe à Z. Remarque 6.25. Il est possible de démontrer le théorème 6.22 sans avoir recours au difficile théorème 3.7, en montrant directement (à l’aide de l’interprétation du groupe de Brauer par les algèbres simples centrales) que le groupe de Brauer d’un corps C1 est nul. C’est la méthode suivie dans [15], Prop. 6.2.3.

6.6. Exercices Exercice 6.1. Soit k un corps parfait (par exemple de caractéristique zéro). 1) Montrer l’équivalence des deux propriétés : a) cd(k)  1. b) Pour toute extension finie K de k et toute extension finie L de K, la norme N : L∗ → K ∗ est surjective. 2) Montrer que si ces propriétés sont satisfaites, alors b) est encore valable pour toute extension algébrique (pas forcément finie) K de k. 3) Montrer que pour avoir ces propriétés, on peut se contenter de supposer b) pour les extensions finies L de K qui sont galoisiennes de degré premier. Remarque. Si on ne suppose b) que pour les extensions finies L de K qui sont galoisiennes de degré premier, on peut quand même déduire a) sans avoir recours au difficile théorème 3.7 (cf. [15], Th. 6.1.8). Par contre, cette approche ne donne pas b) dans toute sa généralité, et ne permet pas non plus d’obtenir la nullité de la partie p-primaire du groupe de Brauer d’un corps C1 imparfait de caractéristique p. Exercice 6.2. Soit k un corps (pas forcément parfait). Soit p un nombre premier. Dans cet exercice, le groupe de Galois absolu d’un corps F sera

6.6. EXERCICES

107

noté GF . Pour toute extension algébrique quasi galoisienne(1) (pas forcément séparable) de corps L/K, on notera encore Gal(L/K) le groupe des automorphismes de L qui induisent l’identité sur K. On pourra utiliser les propriétés des extensions quasi galoisiennes détaillées dans le no 3 de [5], § 9. a) On fixe une clôture algébrique k alg de k et une clôture séparable F de k alg (t). Montrer que Gk est isomorphe à Gal(k alg (t)/k(t)) ; quelle est la dimension cohomologique de Gal(F/k alg (t)) ? b) Comparer Gk(t) et Gal(F/k(t)). c) Montrer que cdp (Gk(t) )  cdp (Gk ) + 1. d) Soit k  une extension algébrique de k. Comparer cdp (Gk ) et cdp (Gk ). e) En déduire que si K est une extension de k de degré de transcendance N , alors cdp (GK )  N + cdp (Gk ). f) Que peut-on conclure quand k est séparablement clos ? Exercice 6.3. Soient p un nombre premier et k un corps de caractéristique = p, de clôture séparable k. Soit n ∈ N∗ . Montrer l’équivalence des propriétés : i) cdp (k)  n ; ii) pour toute extension algébrique séparable K ⊂ k de k, on a H n+1 (K, k ∗ ){p} = 0 et H n (K, k ∗ ){p} est p-divisible ; iii) même énoncé que dans ii) mais en se limitant aux extensions K/k qui sont de plus finies et de degré premier à p. (On pourra d’abord traduire ii) en utilisant le module galoisien μp .) Exercice 6.4. Soit k un corps C1 de caractéristique p > 0. Montrer que [k : k p ] vaut 1 ou p. Exercice 6.5. Soit k un corps parfait de clôture algébrique k et de groupe de Galois absolu Γk = Gal(k/k). Un k-tore T est un groupe algébrique sur k qui devient isomorphe à Grm (pour un certain entier r  0) sur k, où Gm est le groupe multiplicatif. En particulier, il existe une extension finie galoisienne L de k telle que T devienne isomorphe à Grm sur L, ce qui implique que le ΓL -module T (k) des k-points de T est isomorphe à (k ∗ )r avec action naturelle de ΓL := Gal(k/L). Dans toute la suite, on notera H i (k, T ) les groupes de cohomologie galoisienne H i (k, T (k)). (1) On

dit aussi normale au lieu de quasi galoisienne.

108

CHAPITRE 6. PREMIÈRES NOTIONS DE COHOMOLOGIE GALOISIENNE

a) Soit n > 0. Montrer qu’on a une suite exacte de Γk -modules : ·n 0 −→ T (k)[n] −→ T (k) −−−→ T (k) −→ 0. b) Montrer que si d := [L : k], alors H 1 (k, T ) est de d-torsion. c) On suppose que k est un corps parfait de dimension cohomologique  1. Montrer que H 1 (k, T ) = 0 (on montrera d’abord que ce groupe est divisible).

Cette partie est consacrée à la théorie cohomologique du corps de classes pour les corps locaux, qui sont les corps p-adiques (extensions finies de Qp ) et les corps de séries de Laurent sur un corps fini. Après un chapitre de rappels, on étudie en détails le groupe de Brauer d’un corps local, ce qui permet, grâce au théorème de Tate-Nakayama, de démontrer les principales propriétés de l’application de réciprocité au chapitre 9. On en déduit en particulier la structure du groupe de Galois abélien d’un corps p-adique. Le chapitre 10 est consacré au théorème de dualité locale de Tate et à quelquesunes de ses applications. Enfin, au chapitre 11, on décrit la construction de Lubin-Tate qui permet de retrouver certains des résultats précédents sous une forme plus précise et d’étendre le théorème de structure du groupe de Galois abélien au cas d’un corps local de caractéristique strictement positive. Il existe d’autres approches pour la théorie du corps de classes. Mentionnons en particulier celle de J. Neukirch [39], qui fonctionne aussi bien dans le cas local que dans le cas global : elle n’utilise pas les groupes de cohomologie de degré 2 ni le théorème de Tate-Nakayama pour construire l’application de réciprocité, celle-ci étant définie explicitement à partir de l’axiome du corps de classes (dont nous verrons la version locale dans la proposition 8.2 et la version globale dans le théorème 13.23). Dans la mesure où ces notions cohomologiques nous étaient de toute façon indispensables pour les théorèmes de dualité de la partie IV, nous avons choisi d’utiliser ici librement les résultats démontrés dans la partie I (qui ont par ailleurs un intérêt propre), ce qui permet aussi par exemple d’obtenir le très utile calcul de groupe de Brauer. Ce point de vue sera poursuivi dans la partie III.

CHAPITRE 7 RAPPELS SUR LES CORPS LOCAUX

Nous allons rappeler dans ce chapitre quelques résultats standard sur les corps locaux. Pour plus de détails, on pourra consulter les deux premières parties de [45]. 7.1. Anneaux de valuation discrète Définition 7.1. Un anneau de valuation discrète est un anneau commutatif principal(1) A, qui possède un seul idéal premier non nul m (m est donc l’unique idéal maximal de A). Le corps A/m s’appelle le corps résiduel de A. Tout générateur π de m s’appelle une uniformisante de A. Il résulte de cette définition que le groupe A∗ des inversibles de A coïncide avec A − m. Si on fixe une uniformisante π, alors à un inversible près, le seul élément irréductible de A est π. Ainsi tout élément non nul x de A peut s’écrire de manière unique x = u · π n avec n ∈ N et u ∈ A∗ . L’entier v(x) := n s’appelle la valuation de x. En convenant que v(0) = +∞, on obtient les propriétés habituelles des valuations : v(x + y)  min(v(x), v(y)),

v(xy) = v(x) + v(y),

d’où on déduit aussi que v(x + y) = min(v(x), v(y)) si v(x) = v(y). On étend à K = Frac A la valuation en posant v(x/y) = v(x) − v(y), ce qui fait de v : K ∗ → Z un homomorphisme surjectif de noyau A∗ . On dit que A est l’anneau des entiers de K. Noter aussi que si le corps des fractions K de A est de caractéristique p > 0, c’est aussi le cas du corps résiduel κ, et si κ est de caractéristique zéro, c’est aussi le cas de K. Il se peut par contre (cas dit d’inégale caractéristique) que K soit de caractéristique zéro et κ de caractéristique p > 0 (c’est le cas dans les exemples b) et c) ci-après). (1) Rappelons

que, par définition, ceci implique en particulier que A est intègre.

112

CHAPITRE 7. RAPPELS SUR LES CORPS LOCAUX

Exemple 7.2. a) Si k est un corps, l’anneau k[[t]] des séries formelles à coefficients dans k est un anneau de valuation discrète, la valuation d’une série formelle non  nulle n0 an tn étant le plus petit n tel que an = 0. Le corps résiduel de k[[t]] est k et son corps des fractions est le corps k((t)) des séries de Laurent, c’est à-dire des sommes formelles n∈Z an tn telles que parmi les an avec n < 0, seul un nombre fini d’entre eux soient non nuls. b) Soit p un nombre premier. Le sous-anneau Z(p) de Q, constitué des x/y avec x, y ∈ Z et y non divisible par p, est un anneau de valuation discrète de corps des fractions Q et de corps résiduel Z/pZ. La valuation (dite valuation p-adique) de x ∈ Z non nul est le plus grand entier n tel que pn divise x. c) Soit p un nombre premier. L’anneau Zp = limn∈N∗ Z/pn Z des entiers ←− p-adiques est un anneau de valuation discrète, de corps résiduel Z/pZ. Le groupe des inversibles Z∗p correspond aux éléments x = (xn ) avec x1 (qui est dans Z/pZ) non nul, l’idéal maximal de Zp est pZp = Zp − Z∗p . La valuation de x = 0 est 0 si x ∈ Z∗p , le plus grand n tel que xn = 0 sinon. On note Qp = Frac Zp le corps des nombres p-adiques. 7.2. Corps complet pour une valuation discrète Soit A un anneau de valuation discrète de corps des fractions K et de valuation v : K ∗ → Z. Soit a un nombre réel avec 0 < a < 1. On définit une valeur absolue ultramétrique x → |x| sur K en posant |x| = av(x) (on convient que |0| = 0). On a en effet, pour tous x, y de K, les trois propriétés qui caractérisent une telle valeur absolue : |xy| = |x||y|, |x + y|  max(|x|, |y|), |x| = 0 ⇐⇒ x = 0. Cette valeur absolue définit une topologie d’espace métrique (et même ultramétrique) sur K, associée à la distance d(x, y) = |x − y|. Noter que changer a donne une valeur absolue (et donc une distance) équivalente. Cet espace métrique est totalement discontinu. Proposition 7.3. Pour la topologie définie ci-dessus, le corps K est localement compact si et seulement s’il est complet et son corps résiduel est fini. Dans ce cas, l’anneau des entiers A de K est compact (c’est donc un groupe abélien profini). Pour une preuve, voir [45], Chap. II, Prop. 1.

7.3. EXTENSIONS D’UN CORPS COMPLET

113

Définition 7.4. Un corps local (2) est un corps complet pour une valuation discrète, dont le corps résiduel est fini. Noter que que si K est un corps local d’uniformisante π, alors son anneau des entiers A admet comme base de voisinages ouverts de 0 les sous-groupes ouverts π n A pour n  0. Nous préciserons un peu plus loin la structure des corps locaux. Exemple 7.5. a) Soit k un corps. Alors k((t)) est complet pour la valuation définie dans l’exemple 7.2 a). Il est localement compact si et seulement si k est fini. b) Soit p un nombre premier. Le corps Q n’est pas complet pour la valuation p-adique. Son complété est le corps Qp , qui est localement compact. Remarque 7.6. Quand K est un corps complet pour une valuation discrète v et de corps résiduel κ fini, il sera commode (notamment pour obtenir une formule du produit sur les corps globaux) de choisir comme valeur absolue x → q −v(x) , où q est le cardinal de κ. Cette valeur absolue est dite normalisée. 7.3. Extensions d’un corps complet Dans tout ce paragraphe, on désigne par K un corps complet pour une valuation discrète v, d’anneau des entiers A et de corps résiduel κ. On désigne par p l’idéal premier de A. Le théorème suivant (dont on trouvera une preuve dans [45], Chap. II, § 2) résume les propriétés des extensions finies d’un tel corps. Théorème 7.7. Soit L une extension finie de K et soit B la fermeture intégrale de A dans L. Alors : a) B est un anneau de valuation discrète, et c’est un A-module libre de rang n := [L : K]. b) Le corps L est complet pour la topologie induite par B, et il existe une unique valuation w de L qui induit(3) sur K la topologie induite par v. c) Soit pB l’idéal premier de B. Posons pB = peB avec e > 0 et notons f le degré de l’extension de corps (B/pB ) de κ. Alors ef = n. (2) Cette

définition n’est pas universelle, certains auteurs incluant par exemple R et C dans les corps locaux, ou encore ne demandant pas que le corps résiduel soit fini. La définition que nous adoptons ici est la plus fréquente et la plus adaptée aux questions de théorie des nombres. (3) On dit parfois que w prolonge v, mais il faut faire attention que dans le cas d’une extension ramifiée, on ne peut pas à la fois demander que w reste à valeurs dans Z∪{+∞} et que la restriction de w à K soit égale à v, voir remarque 7.9 ci-après.

114

CHAPITRE 7. RAPPELS SUR LES CORPS LOCAUX

d) Deux éléments de L conjugués sur K ont même valuation. La valuation w : L → Z ∪ {+∞} de L est définie par la formule 1 w(x) = v(NL/K (x)) f pour tout x de L, où NL/K désigne la norme de L à K. Autrement dit, la valeur absolue sur K s’étend à L à l’aide de la formule (7.1)

|x|L = |NL/K (x)|K .

Définition 7.8. Avec les notations du théorème 7.7, l’entier e  1 s’appelle l’indice de ramification de l’extension L, et l’entier f  1 son degré résiduel. L’extension est dite non ramifiée si e = 1, avec de plus (B/pB ) extension séparable de κ. Elle est dite totalement ramifiée si f = 1, modérément ramifiée si la caractéristique de κ ne divise pas e. Remarque 7.9. Si L est une extension non ramifiée de K, alors la restriction de la valuation w : L → Z ∪ {+∞} de L à K est exactement v (dans le cas général, c’est e · v, où e est l’indice de ramification). Exemple 7.10. a) Si a est un élément de Z∗p qui n’est pas un carré modulo p et p = 2, √ alors Qp ( a) est une extension quadratique non ramifiée de Qp . √ b) L’extension Qp ( p) est totalement ramifiée. Elle est modérément ramifiée si et seulement si p = 2. c) Si k est un corps, les extensions finies non ramifiées de k((t)) sont les k  ((t)) avec k  extension finie séparable de k. Exemple 7.11. Soit A un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions K et corps résiduel κ. Soit L une extension non ramifiée de degré n de K et soit B la fermeture intégrale de A dans L. Alors il existe un polynôme unitaire f ∈ A[X] (de degré [L : K]), dont la réduction dans κ[X] est séparable, et tel que B soit isomorphe à A[X]/f et L à K[X]/f . Cela résulte de [45], Chap. I, Prop. 16 et du fait que toute extension finie séparable du corps résiduel de A est monogène par le théorème de l’élément primitif. Réciproquement, une extension de corps L de K de ce type est non ramifiée (loc. cit., corollaire 2). Par exemple, l’extension quadratique non ramifiée √ de Q2 est Q2 ( 5) = Q2 [X]/(X 2 + 3X + 1). Exemple 7.12. Soit R un anneau de valuation discrète d’idéal maximal m et de corps des fractions F . Un polynôme d’Eisenstein est un polynôme de R[X] de la forme P = X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 , avec ai ∈ m pour tout i ∈ {0, . . . , n − 1} et a0 ∈ m2 . Un tel polynôme est irréductible ([45], Chap. I, corollaire à la proposition 17). Si R est complet, le

7.4. THÉORIE DE GALOIS D’UN CORPS COMPLET

115

corps L = F [X]/(P ) est une extension totalement ramifiée de F (loc. cit.) ; réciproquement, toutes les extensions totalement ramifiées s’obtiennent de cette façon (loc. cit., Prop. 18). 7.4. Théorie de Galois d’un corps complet pour une valuation discrète Dans ce paragraphe, on considère un corps K complet pour une valuation discrète, d’anneau des entiers A et de corps résiduel κ. On suppose pour simplifier que κ est parfait (par exemple de caractéristique zéro, ou fini). Le résultat suivant (théorème 2 de [45], Chap. III, § 5) fait le lien entre extensions du corps résiduel et extensions non ramifiées. Théorème 7.13. a) Soit κ une extension finie de κ. Alors il existe une extension finie non ramifiée K  , unique à isomorphisme unique près, dont l’extension résiduelle correspondante est isomorphe à κ /κ. L’extension K  /K est galoisienne si et seulement si κ /κ l’est. b) Soit κ la clôture algébrique de κ. Soit Knr la limite inductive des extensions non ramifiées correspondant aux sous-extensions finies de κ. Alors le corps Knr est une extension galoisienne (infinie en général) de K, et on a Gal(Knr /K)  Gal(κ/κ). Définition 7.14. On dit que Knr est l’extension maximale non ramifiée de K. Si on fixe une clôture séparable K de K, alors on peut voir Knr comme une sous-extension de K. Le sous-groupe Gal(K/Knr ) de Gal(K/K) s’appelle le groupe d’inertie de K. Noter que d’après la remarque 7.9, la valuation de K s’étend de manière unique en une valuation discrète v de Knr . Il faut par contre faire attention au fait que Knr n’est plus nécessairement complet pour cette valuation (il reste hensélien, au sens où son anneau des entiers satisfait la conclusion du théorème 7.16 ci-après), voir exercice 7.3. Exemple 7.15. a) Soit k un corps parfait. Alors l’extension maximale non ramifiée de k((t)) est la réunion des k  ((t)) pour k  extension finie de k (attention ce n’est pas k((t)), qui est en général plus gros). Si k est supposé algébriquement clos, toutes les extensions de k((t)) sont totalement ramifiées ; si de plus k est de caractéristique zéro, alors la clôture algébrique de k((t)) est la réunion des k((t1/n )) pour n > 0 ([45], Chap. IV, Prop. 2). b) Supposons que K soit un corps local, c’est-à-dire le corps résiduel κ est fini. Alors pour tout n > 0, il existe une unique extension de degré n de κ et son groupe de Galois est cyclique. On en déduit qu’il existe une

116

CHAPITRE 7. RAPPELS SUR LES CORPS LOCAUX

unique extension non ramifiée de degré n de K, et celle-ci est galoisienne  Le de groupe de Galois Z/nZ. On a donc Gal(Knr /K)  Gal(κ/κ) = Z. groupe Gal(κ/κ) possède un générateur topologique canonique F , appelé Frobenius, et que l’on peut aussi voir comme un élément de Gal(Knr /K). Il correspond à l’automorphisme x → xq de κ, où q est le cardinal de κ. Si L est une extension finie galoisienne d’un corps local K, alors le groupe Gal(L/K) est résoluble ([45], Chap. IV, Cor. 5). Dans le cas où K est une extension finie du corps Qp , on a ([45], Chap. IV, Cor. 4 ou [41], Prop. 7.5.2) que le groupe d’inertie I de Gal(K/K) possède un unique p-Sylow Ip qui est

distingué dans I, et le quotient V := I/Ip est isomorphe à Zp := =p Z . Plus précisément, on a Ip = Gal(K/Kmr ), où Kmr est l’extension maximale modérément ramifiée de K.

7.5. Théorème de structure ; filtration du groupe des unités On commence par l’important résultat suivant, démontré (sous des hypothèses plus générales) dans [45], Chap. II, Prop. 7 : Théorème 7.16 (Lemme de Hensel). Soit K un corps complet pour une valuation discrète d’anneau des entiers A et de corps résiduel κ. Soit f ∈ A[X] un polynôme, de réduction f ∈ κ[X] modulo l’idéal maximal de A. Alors toute racine simple de f dans κ se relève (de manière unique) en une racine de f dans A. Le théorème suivant (démontré par exemple dans un cadre beaucoup plus général dans [45], Chap. II, Th. 2 et Th. 4) décrit la structure des corps locaux, suivant que leur caractéristique est 0 ou p > 0. Théorème 7.17. Soit K un corps complet pour une valuation discrète, dont le corps résiduel κ est fini de caractéristique p. Alors : a) Si K est de caractéristique zéro, alors K est une extension finie du corps Qp . On dit dans ce cas que K est un corps p-adique. b) Si K est de caractéristique p, alors il est isomorphe au corps des séries de Laurent κ((t)). Soit K un corps local d’anneau des entiers OK et de corps résiduel κ. On ∗ note UK = OK le groupe des unités de K, qui est le groupe multiplicatif des éléments de valuation nulle, de sorte que le groupe multiplicatif K ∗ est isomorphe (via le choix d’une uniformisante) à Z × UK . On définit une filtration de UK en posant, pour tout i  1 : i UK = {x ∈ K, v(1 − x)  i}.

7.5. THÉORÈME DE STRUCTURE ; FILTRATION DU GROUPE DES UNITÉS 117

1 i Les sous-groupes UK , UK , . . . , UK , . . . forment une suite décroissante de 1 sous-groupes de UK dont l’intersection est {1}. Les éléments de UK s’appellent les unités principales. Par définition de la topologie définie par la i valuation, le groupe UK est profini et les UK forment une base de voisinages i 1 1 pour i  1. ouverts de {1}. Le groupe UK est la limite projective des UK /UK

Théorème 7.18. Avec les notations ci-dessus : i+1 1 i  κ∗ et pour i  1, le groupe UK /UK est isomorphe a) On a UK /UK 1 au groupe additif κ. En particulier UK est un pro-p-groupe. b) Supposons que K soit un corps p-adique avec [K : Qp ] = n. Alors m 1 UK ⊂ K ∗p pour m assez grand et le groupe abélien UK est isomorphe à un n produit direct Zp × F  OK × F , où F est un groupe fini cyclique d’ordre une puissance de p. c) Sous les hypothèses et notations de b), le groupe UK est isomorphe au 1 produit direct UK × κ∗ , et le groupe K ∗ à Znp × F × κ∗ . Pour a) (qui est valable sans supposer le corps résiduel fini), voir [45], Chap. IV, Prop. 6. Le b) (qui est classique quand K = Qp ) est une conséquence immédiate de loc. cit., Chap. XIV, Prop. 9 et 10. Montrons c). Le groupe multiplicatif κ∗ du corps fini κ est cyclique d’ordre m premier à p. Le lemme de Hensel montre alors que l’équation xm = 1 possède m racines distinctes dans UK , d’où on déduit que la suite exacte de groupes abéliens : 1 1 −→ UK −→ UK −→ κ∗ −→ 1 1 est scindée. Ainsi UK  UK × κ∗ , et par b) on obtient K ∗  Znp × F × κ∗ . On peut préciser un peu le b) du théorème 7.18 :

Corollaire 7.19. Soit K un corps p-adique. Alors pour tout n > 0, le sousgroupe K ∗n des puissances n-ièmes est ouvert dans K ∗ . Tout sous-groupe d’indice fini de K ∗ est ouvert. Démonstration. La deuxième assertion résulte de la première, vu qu’un sousgroupe d’indice n de K ∗ contient K ∗n . Montrons la première assertion. Pour n premier à p, cela résulte immédiatement du lemme de Hensel. Ceci permet de se ramener au cas où n est une puissance de p, auquel cas le résultat provient du théorème 7.18, b). Remarque 7.20. Si K est un corps local de caractéristique p, le sousgroupe K ∗p n’est plus ouvert (il est encore fermé par compacité de UK , m vu que K ∗  Z × UK ), sinon il contiendrait UK pour m assez grand, ce qui n’est clairement pas le cas vu que l’équation 1 + π m = xp implique π m = (x − 1)p , ce qui n’est pas possible si la valuation m du terme de gauche n’est pas divisible par p. D’autre part, on peut montrer que le

118

CHAPITRE 7. RAPPELS SUR LES CORPS LOCAUX

1 ∗ groupe UK est alors isomorphe à ZN p (exercice 7.4). En fait, dans ce cas K a des sous-groupes d’indice fini qui ne sont pas fermés, cf. exercice 11.3. Le lemme de Hensel donne toutefois encore que pour n premier à p, le sous-groupe K ∗n est ouvert dans K ∗ .

7.6. Exercices Exercice 7.1. Soit K un corps local d’anneau des entiers OK . On note mK l’idéal maximal de OK . a) Montrer qu’un élément x de K est dans mK si et seulement si pour tout n > 0 non divisible par p, il existe y ∈ K ∗ tel que 1 + x = y n . b) En déduire que tout morphisme de corps f de K dans K est continu (on montrera d’abord que pour tout s > 0, l’idéal msK de OK est stable par f ). c) Quels sont les automorphismes de corps de Qp ? Exercice 7.2. Soit d ∈ Z un entier non nul sans facteur carré. Soit p un nombre premier impair. √ a) Montrer que Qp ( d) est une extension non ramifiée de Qp si et seulement si p ne divise pas d. b) Montrer que d est un carré dans Q2 si et seulement si d est congru à 1 modulo 8 (pour montrer « si », on pourra utiliser une série formelle F à coefficients dans Q telle que F 2 = 1 + X). √ c) Montrer que Q2 ( d) est une extension non ramifiée de Q2 si et seulement si d est congru à 1 modulo 4. d) Soient p1 , . . . , pr des nombres premiers deux à deux distincts et congrus à 1 modulo 4. Soit  un nombre premier quelconque. Montrer que l’indice √ √ de ramification de l’extension Ql ( −p1 · · · pr , p1 )/Q est au plus 2. Exercice 7.3. Soit K un corps local de corps résiduel κ. On note κ la clôture algébrique du corps fini κ. a) On suppose que K = κ((t)) est un corps de fonctions. On choisit un ensemble infini {a0 , . . . , an , . . .} d’éléments de κ. Montrer que la suite (un ) n définie par un = k=0 ak tk est une suite d’éléments de Knr qui ne converge pas dans Knr , et en déduire que Knr n’est pas complet (pour la valuation discrète qui prolonge celle de K). b) Quelle est la complétion de Knr pour K = κ((t)) ? c) On suppose maintenant que K est un corps p-adique. Montrer que Knr n’est pas complet. d) Soit K un corps local de clôture séparable K et de valuation v. On munit K de la valuation (non discrète) v : K → Q∪{∞} obtenue en passant

7.6. EXERCICES

119

à la limite sur les extensions finies séparables L de K (chaque L étant muni de la valuation vL : L → ( 1e Z/Z) ∪ {∞} qui prolonge v, où e est l’indice de ramification de L sur K). Montrer que K n’est pas complet pour cette valuation (on observera que si une suite d’éléments de Knr converge dans K, sa limite est dans une extension finie L de K, et on montrera ensuite que cette limite doit rester dans Knr ). Exercice 7.4 (d’après [54], Chap. II.3, Prop. 10). Soit K = κ((t)) un corps local de caractéristique p > 0, de valuation v. On fixe une uniformisante π de K et on note m son idéal maximal. Soit (α1 , . . . , αf ) une base de κ sur Fp . Le but de cet exercice est de déterminer la structure du groupe multiplicatif 1 UK = {x ∈ K, v(1 − x) > 0}. 1 peut être muni d’une structure de Zp -module par la a) Montrer que UK formule 

an pn n a · x := x n0 an p = x n0  pour tout x ∈ UK et tout a = n0 an pn (avec an ∈ Z) de Zp . b) Soit N > 0, on pose N = npν avec n non divisible par p et ν  0. Soient a1 , . . . , af ∈ N. Montrer la formule   f f

n ai p ν (1 + αi π ) ≡1+ ai βi π N mod. mN +1 , i=1

i=1

ν αip .

où βi := c) Soit x1 quelconque dans m. Montrer qu’on peut définir par récurrence une suite (xN ) avec xN ∈ mN pour tout N > 0, en posant 1 + xN +1 = −1 (1 + xN )yN , où yN est défini par la formule yN =

f

ν

(1 + αi π n )ai p ,

i=1

et où les ai ∈ {0, . . . , p − 1} ont été choisis tels que yN ≡ 1 + xN mod. mN +1 (on a encore posé N = npν avec n non divisible par p). Montrer de plus qu’un tel yN est unique et que ∞

1 + x1 = yN . N =1 1 UK

s’écrit de manière unique sous forme d) Montrer que tout élément de d’un produit infini de facteurs de la forme (1 + αi π n )b avec 1  i  f , n entier positif premier à p, et b ∈ Zp . 1 est isomorphe (comme Zp -module ou comme e) En déduire que UK N groupe profini) à Zp .

CHAPITRE 8 LE GROUPE DE BRAUER D’UN CORPS LOCAL

Dans tout ce chapitre, on désigne par K un corps local, c’est-à-dire un corps complet pour une valuation discrète v à corps résiduel fini κ de caractéristique p. Rappelons (voir le théorème 7.17) que quand K est de caractéristique zéro, c’est un corps p-adique (= extension finie de Qp ) ; sinon K est de caractéristique p et il est alors isomorphe au corps des séries de Laurent κ((t)). Nous commençons ici la théorie du corps de classes local, dont le but est la description des extensions abéliennes d’un corps local K et de leur groupe de Galois, ainsi que leur lien avec les sous-groupes ouverts d’indice fini de K ∗ . La première étape, qui est le but principal de ce chapitre, consiste à calculer le groupe de Brauer Br K. Un point crucial dans ce calcul consiste à montrer que Br K = Br(Knr /K), par exemple en montrant que le groupe de Brauer de l’extension maximale non ramifiée Knr est trivial (ou même que Knr est de dimension cohomologique 1). On peut obtenir ceci directement si on connaît le théorème (assez difficile) de Lang qui dit que Knr est C1 ([29]), ou encore le montrer avec la même technique que dans le théorème 6.22 (voir aussi exercice 6.1) au moyen de calculs de normes dans les corps locaux ([45], § XII.1). Une autre option est d’utiliser la caractérisation du groupe de Brauer en termes d’algèbres simples centrales ([45], § XII.2). Nous allons suivre ici la méthode de [41] (voir aussi l’exposé de Serre dans [9], Chap. VI), qui est un peu moins générale au sens où elle utilise l’hypothèse κ fini, mais qui a l’avantage de ne s’appuyer que sur ce qui a été vu précédemment dans ce livre.

8.1. Axiome du corps de classes local Rappelons (paragraphe 7.5) que l’on a une filtration du groupe des unités ∗ i U K = OK par les sous-groupes UK , i  1.

122

CHAPITRE 8. LE GROUPE DE BRAUER D’UN CORPS LOCAL

Lemme 8.1. Soit L une extension finie galoisienne de K de groupe G. Alors il existe un sous-G-module V1 de UL1 qui est d’indice fini (dans UL ou UL1 ) et cohomologiquement trivial. Démonstration. D’après le théorème de la base normale ([5], § 10), il existe α ∈ L tel que la famille (g · α)g∈G soit une base du K-espace vectoriel L. Pour a ∈ K ∗ de valuation suffisamment grande, on a alors M ⊂ OL , où M est le OK -module engendré par (ag · α)g∈G . On note que le G-module M est isomorphe à OK [G], et par ailleurs c’est un sous-groupe ouvert du groupe profini OL (en effet, il est défini par une condition du type : x ∈ M si et seulement si chacune de ses coordonnées xg sur la base (g·α) est de valuation supérieure ou égale à celle de a). En particulier, M est d’indice fini dans OL , d’où un entier m  1 tel que M ⊃ π m OL , où π est une uniformisante de K. On définit alors un sous-G-module Vi de UL1 par Vi = 1 + π m+i M (le fait que ce soit un sous-groupe pour la multiplication résultant de la propriété M ⊃ π m OL ). Chaque Vi /Vi+1 est isomorphe à M/πM via vi −→ π −m−i (vi − 1)

(πM )

ce qui implique que ce sont des G-modules finis et cohomologiquement triviaux (isomorphes à l’induit (OK /π)[G]). Par récurrence, il en va de même des V1 /Vi pour i  1. Comme la cohomologie d’un groupe fini commute avec les limites projectives (indexées par les entiers) de modules finis grâce à la proposition 1.31, on en déduit que la limite projective V1 des V1 /Vi est également un G-module cohomologiquement trivial. De plus, V1 est clairement d’indice fini dans UL1 . Proposition 8.2 (« Axiome du corps de classes local »). Soit L une extension finie et galoisienne de K, de groupe G cyclique.  0 (G, L∗ ) est de cardinal [L : K]. Alors H 1 (G, L∗ ) = 0 et H Démonstration. La première assertion vient de Hilbert 90. Appliquons le lemme précédent. Le quotient d’Herbrand h(G, V1 ) est 1 car V1 est cohomologiquement trivial, et h(G, UL /V1 ) = 1 grâce au théorème 2.20, b). On en déduit h(G, UL ) = 1 par le théorème 2.20, a). Comme le G-module Z (avec action triviale) est isomorphe au quotient L∗ /UL , on obtient h(G, L∗ ) =  0 (G, Z) = Z/[L : K]Z. Comme h(G, Z) = [L : K] vu que H 1 (G, Z) = 0 et H 1 ∗  0 (G, L∗ ) est [L : K] comme H (G, L ) = 0, ceci donne que le cardinal de H on le voulait.

8.2. Calcul du groupe de Brauer On commence par un énoncé important sur la cohomologie du groupe des unités.

8.2. CALCUL DU GROUPE DE BRAUER

123

Proposition 8.3. Soit L une extension finie galoisienne de K de groupe de Galois G = Gal(L/K). On suppose que l’extension L/K est non ramifiée. Alors UL et UL1 sont des G-modules cohomologiquement triviaux. En parti 0 (G, UL ) = UK /NL/K UL est le groupe trivial. culier, H Démonstration. Soit λ le corps résiduel de L. Comme l’extension L/K est non ramifiée, on a aussi G = Gal(λ/κ). On a par ailleurs une filtration du groupe des unités de L : UL ⊃ UL1 ⊃ · · · ⊃ ULi ⊃ · · · avec un isomorphisme de G-modules ULi /ULi+1  λ pour tout i > 0 (par le théorème 7.18, a). Il en résulte que chaque ULi /ULi+1 est un G-module cohomologiquement trivial grâce à la proposition 6.2, et par récurrence sur i on en déduit immédiatement qu’il en va de même pour UL1 /ULi pour tout i > 0. On en déduit (avec la proposition 1.31) que UL1 = limi>0 (UL1 /ULi ) est ←− un G-module cohomologiquement trivial. D’autre part, pour tout sous-groupe H de G (correspondant à une extension finie κ de κ), on a H 1 (H, λ∗ ) = 0 par Hilbert 90, et H 2 (H, λ∗ ) = 0 par la nullité du groupe de Brauer du corps fini κ . Le théorème 3.7 dit alors que λ∗ est un G-module cohomologiquement trivial. C’est donc aussi le cas de UL via la suite exacte 0 −→ UL1 −→ UL −→ λ∗ −→ 0. Pour une généralisation de l’énoncé sur UL1 , voir exercice 8.5. Soit maintenant Knr l’extension maximale non ramifiée de K. Le groupe  K = Gal(Knr /K)  Gal(κ/κ) (que nous noterons simplement Γ  de Galois Γ  s’il n’y a pas de confusion possible) est isomorphe à Z ; il est topologiquement engendré par le Frobenius F (exemple 7.15, b). On a des isomorphismes : β γ δ −1 ∗  Knr  Z) −−  Q/Z) −− H 2 (Γ, ) −−→ H 2 (Γ, −−→ H 1 (Γ, → Q/Z.  Ici β est induit par la suite exacte de Γ-modules (cf. remarque 7.9) v ∗ 0 −→ UKnr −→ Knr −−→ Z −→ 0, ∗ où UKnr ⊂ Knr est le sous-groupe des unités, c’est-à-dire des inversibles de  UK ) = 0 pour tout i > 0 par l’anneau des entiers de Knr : en effet, H i (Γ, nr la proposition 8.3, en passant à la limite grâce à la proposition 4.18. L’isomorphisme δ vient de la trivialité de la cohomologie de Q (corollaire 1.51).  Q/Z) sur χ(F ). Enfin γ est obtenu en envoyant tout caractère χ ∈ H 1 (Γ,

124

CHAPITRE 8. LE GROUPE DE BRAUER D’UN CORPS LOCAL

 K , K ∗ ) → Q/Z la composée des isomorProposition 8.4. Soit invK : H 2 (Γ nr phismes ci-dessus. Soit L une extension finie de K. Alors on a un diagramme commutatif : ∗  K , Knr H 2 (Γ )

Res 

 L , L∗nr ) H 2 (Γ

invK / Q/Z ·[L : K] invL /  Q/Z.

Démonstration. Soit e l’indice de ramification de L/K et f le degré résiduel. On a [L : K] = ef (théorème 7.7). Comme l’isomorphisme ∗  K , Knr  K , Z) est induit par la valuation (et de même ) → H 2 (Γ βK : H 2 (Γ  pour ΓL ), on a (avec la remarque 7.9) βL ◦ Res = e. Res ◦βK . La compatibilité de Res avec les suites exactes longues donne, avec des notations −1 −1 similaires, δL ◦ Res = Res ◦δK . Enfin, on a γL ◦ Res = f. Res ◦γK car   K est la puissance f -ième du Frobenius l’image du Frobenius de ΓL dans Γ  de ΓK . Le résultat découle alors de la définition de invK . Remarque 8.5. Noter que l’on n’a pas besoin de l’hypothèse que L soit une extension séparable de K dans l’énoncé précédent. ∗  K , Knr ) = Br(K nr /K) est un sous-groupe du groupe On sait que H 2 (Γ de Brauer Br K. Le très important énoncé suivant montre que c’est en fait Br K tout entier. La méthode que nous avons suivie ne repose finalement que sur des résultats généraux de cohomologie des groupes combinés avec les propriétés de base des corps locaux. Par contre elle passe par le lemme 8.1 et la proposition 8.2, qui utilisent de façon essentielle le fait que le corps résiduel de K est fini, alors que d’autres méthodes fonctionnent pour tout corps K complet pour une valuation discrète à corps résiduel parfait.

Théorème 8.6. On a Br(K nr /K) = Br K. Démonstration. Soit L une extension finie galoisienne de K de groupe de Galois G. Soit n = [L : K]. La preuve repose sur deux lemmes : Lemme 8.7. Le groupe H 2 (G, L∗ ) est fini et son cardinal divise n. Démonstration. Si G est cyclique, cela résulte immédiatement de la proposition 8.2 et du théorème 2.16. Si maintenant G est un -groupe avec  premier, son centre est non trivial et il possède donc a fortiori un sousgroupe distingué H = Gal(L/K1 ) de cardinal . On obtient alors le résultat par récurrence sur le cardinal de G via la suite exacte (qui découle de la proposition 6.10) 0 −→ H 2 (Gal(K1 /K), K1∗ ) −→ H 2 (G, L∗ ) −→ H 2 (Gal(L/K1 ), L∗ ).

8.2. CALCUL DU GROUPE DE BRAUER

125

Dans le cas général, soit S l’ensemble des nombres premiers divisant n et considérons, pour  ∈ S, un -Sylow G de G. Comme H 2 (G, L∗ ) =  2 ∗ ∈S H (G, L ){}, le lemme 3.2 dit que la restriction  2 H (G , L∗ ) H 2 (G, L∗ ) −→ ∈S

est injective. Le cas des -groupes (appliqué à l’extension finie de K associée à chaque G par la correspondance de Galois) donne alors que le cardinal

de H 2 (G, L∗ ) est fini et divise ∈S #G = n. Lemme 8.8. Soit Kn l’extension non ramifiée de K de degré n. Alors on a H 2 (G, L∗ ) = H 2 (Gal(Kn /K), Kn∗ ), où on a identifié les deux groupes avec leur image dans Br K. Démonstration. D’après le lemme 8.7, le cardinal de H 2 (G, L∗ ) divise n = [L : K] = [Kn : K], qui est le cardinal de H 2 (Gal(Kn /K), Kn∗ ) d’après la proposition 8.2 et le théorème 2.16 puisque Kn /K est cyclique (cf. exemple 7.15, b). Il suffit donc de montrer que H 2 (Gal(Kn /K), Kn∗ ) ⊂ H 2 (G, L∗ ). D’après la proposition 8.4, on a un diagramme commutatif dont les flèches invK et invL sont des isomorphismes et la première ligne est exacte : 0

/ H 2 (G, L∗ )

/ Br K O

Res

/ Br L O

Res / 2  ∗  K , Knr H 2 (Γ ) H (ΓL , L∗nr ) invK

 Q/Z

·n

invL  / Q/Z.

∗  K , Knr Soit a ∈ H 2 (Gal(Kn /K), Kn∗ ). Alors on a na = 0 et a ∈ H 2 (Γ ) puisque Kn /K est non ramifiée. Le diagramme donne alors que la restriction de a à Br L est nul, c’est-à-dire a ∈ H 2 (G, L∗ ).

Fin de la démonstration du théorème 8.6. Comme Br K est la limite inductive (sur les extensions finies galoisiennes L de K) des H 2 (Gal(L/K), L∗ ), le lemme précédent donne que Br K est inclus dans la limite inductive (sur n > 0) des H 2 (Gal(Kn /K), Kn∗ ), donc dans Br(Knr /K). On en déduit : Théorème 8.9. Soit K un corps local. Alors on a un isomorphisme invK : Br K −→ Q/Z.

126

CHAPITRE 8. LE GROUPE DE BRAUER D’UN CORPS LOCAL

Si L est une extension finie de K, la restriction Br K → Br L correspond à la multiplication par [L : K] dans Q/Z et si de plus L/K est séparable, la corestriction Br L → Br K correspond à l’identité de Q/Z. Démonstration. Cela résulte du théorème 8.6, de la proposition 8.4, et de la formule du théorème 1.48, qui dit que Cores ◦ Res est la multiplication par [L : K]. Corollaire 8.10. Sous les hypothèses du théorème 8.9, un élément a de Br K a une image nulle dans Br L si et seulement si na = 0, où n := [L : K]. Si de plus on suppose que L/K est galoisienne, l’image de Br(L/K) = H 2 (Gal(L/K), L∗ ) par invK est le sous-groupe ( n1 Z)/Z de Q/Z. 8.3. Dimension cohomologique ; théorème de finitude Soit G un groupe profini. Rappelons que l’on a défini l’ordre de G et l’indice d’un sous-groupe fermé de G en tant que nombres surnaturels (définition 4.6). On déduit du théorème 8.6 la dimension cohomologique d’un corps local. Théorème 8.11. Soit K un corps local. Soit  un nombre premier. On note K nr l’extension maximale non ramifiée de K. a) Soit L une extension algébrique séparable de K de groupe de Galois absolu ΓL . Si ∞ divise [L : K], alors cd (ΓL )  1 et (Br L){} = 0. b) Le groupe de Galois absolu I de Knr (qui est le groupe d’inertie de K) satisfait à cd(I)  1, et on a Br Knr = 0. c) Si  est différent de la caractéristique de K, on a cd (K) = 2. En particulier, cd(K) = 2. Démonstration. a) Noter déjà que si  est la caractéristique de K, la propriété cd (ΓL )  1 est automatique par la proposition 6.15. Il suffit donc maintenant de montrer que (Br L1 ){} = 0 pour toute extension algébrique séparable L1 de L (grâce au théorème 6.17), et on est immédiatement ramené au cas L1 = L vu que ∞ divise a fortiori [L1 : K]. On observe que Br L est la limite inductive des Br K  pour K  extension finie de K incluse dans L, les flèches de transition étant les restrictions (cela résulte de la remarque 4.27). Soit K  une telle extension et soit α ∈ Br K  un élément de m -torsion avec m > 0. Alors il existe une extension intermédiaire K1 de L/K  , finie sur K  , et dont le degré sur K  est divisible par m vu que ∞ divise [L : K  ]. La restriction de α dans Br K1 est nulle par le corollaire 8.10, donc a fortiori son image dans Br L. Finalement on a montré (Br L){} = 0, comme on le voulait.

8.3. DIMENSION COHOMOLOGIQUE ; THÉORÈME DE FINITUDE

127

b) On applique a) à L = K nr , ce qui est légitime vu que pour tout   est divisible par ∞ . premier, l’ordre de Gal(K nr /K)  Z c) Soient ΓK = Gal(K/K) et I = Gal(K/K nr ). On vient de voir que cd (I)  1 et par ailleurs cd (ΓK /I)  1 car ΓK /I est le groupe de Galois absolu du corps résiduel κ, qui est supposé fini, donc de dimension cohomologique  1 par le corollaire 6.24. On obtient alors cd (K)  2 par la proposition 5.13. D’autre part, pour  différent de la caractéristique de K, on a H 2 (K, μ ) = (Br K)[] = 0, donc cd (K) = 2. Remarque 8.12. Si K est de caractéristique p > 0 et de groupe de Galois absolu ΓK , on a cdp (ΓK ) = 1 par la proposition 6.15 mais le théorème 8.9 montre qu’on n’a pas (Br K)[p] = 0. Ainsi on n’a pas cdp (K)  1 au sens « fort » de Serre ([48], Part. II, § 3). Par contre l’assertion a) donne qu’une extension algébrique séparable de K telle que p∞ divise [L : K] (par exemple Knr ) satisfait à cette propriété plus forte. On verra par ailleurs plus tard (théorème 10.6 et remarque 10.7) que pour  = Car K, on a scd (K) = 2. Proposition 8.13. Soit K un corps p-adique. Soit n > 0. n

1) Le groupe H 1 (K, μn )  K ∗ /K ∗ est fini. 2) On a H 2 (K, μn )  Z/nZ. Démonstration. 1) On a déjà vu (via la suite exacte de Kummer et Hilbert 90) l’isomorn phisme H 1 (K, μn )  K ∗ /K ∗ . Le fait que ces groupes soient finis résulte du 1 théorème 7.18, b) et de l’isomorphisme K ∗  Z×κ∗ ×UK (théorème 7.18, a), où κ est le corps résiduel de K. 2) Comme Br K  Q/Z, on a H 2 (K, μn ) = (Br K)[n]  Z/nZ. Remarque 8.14. Si K = k((t)), avec k fini de caractéristique p > 0, il n’est p plus vrai que K ∗ /K ∗ ni H 1 (K, Z/p) soient finis. Par contre la proposition 8.13 est encore vraie pour n non divisible par p du fait que les puissances n-ièmes constituent un sous-groupe ouvert du groupe profini UK (cf. remarque 7.20), et de même le corollaire qui suit est encore valable si l’ordre de M n’est pas divisible par p. Corollaire 8.15. Soient K un corps p-adique et M un ΓK -module fini. Alors H r (ΓK , M ) est fini pour tout r  0. Démonstration. Soit n l’ordre de M . D’après ce que l’on a vu, H r (K, μn ) est fini pour r = 0, 1, 2, et nul pour r  3. Comme M est fini, on peut trouver une extension finie galoisienne L/K telle que l’action de ΓL sur μn et sur M soit triviale ; en particulier le ΓL -module M est isomorphe à une somme directe de μni . Comme on a alors H q (ΓL , M ) fini pour tout q  0

128

CHAPITRE 8. LE GROUPE DE BRAUER D’UN CORPS LOCAL

d’après l’étude de la cohomologie de μn , la suite spectrale (théorème 1.44) de Hochschild-Serre H p (Gal(L/K), H q (ΓL , M )) =⇒ H p+q (ΓK , M ) permet de conclure que tous les H r (ΓK , M ) sont finis. 8.4. Exercices Exercice 8.1. Soit p un nombre premier. Soient K = Fp ((t)) et K une clôture séparable de K. On note ΓK le groupe de Galois absolu de K et Γp un pSylow de ΓK . Soit L ⊂ K le corps fixe de Γp et ΓL = Gal(K/L) son groupe de Galois absolu. a) Montrer que cd(ΓL )  1. b) A-t-on Br L = 0 ? Exercice 8.2. Soit  un nombre premier. Soit K une extension finie de Ql de groupe de Galois G = Gal(K/K). On fixe un nombre premier p (qui peut être égal à ). a) Soit L une extension algébrique de K. On suppose que [L : K] est divisible par p∞ . Que vaut (Br L){p} ? b) Soit GK (p) = G/I le plus grand quotient de G qui soit un pro-pgroupe : on a donc GK (p) = Gal(K(p)/K), où K(p) est une extension algébrique de K et I = Gal(K/K(p)). Montrer que cdp (I)  1. c) Montrer que tout homomorphisme de I dans un pro-p-groupe est trivial. En déduire que si A est un GK (p)-module de torsion p-primaire, on a H 1 (I, A) = 0. d) Soit A un GK (p)-module de torsion p-primaire. Montrer que pour tout entier i  0, l’homomorphisme d’inflation H i (GK (p), A) → H i (G, A) est un isomorphisme. Exercice 8.3. Soit K un corps p-adique de groupe de Galois absolu ΓK . Soit M un ΓK -module de type fini. Montrer que H 1 (K, M ) est fini. Exercice 8.4. Soit G un groupe profini. Soit M un G-module discret divisible. Pour tout groupe abélien A, on note A[n] le sous-groupe de n-torsion de A et A/n le quotient de A par le sous-groupe des éléments de la forme ny avec y ∈ A. a) Montrer que pour tout n > 0 et tout i > 0, on a une suite exacte 0 −→ H i−1 (G, M )/n −→ H i (G, M [n]) −→ H i (G, M )[n] −→ 0. b) On suppose dans toute la suite de l’exercice que G = Gal(K/K) est le groupe de Galois absolu d’un corps p-adique K, et que M est isomorphe

8.4. EXERCICES

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en tant que groupe abélien à (K ∗ )m avec m ∈ N∗ . Montrer que pour tout entier n > 0, le groupe H i (G, M )[n] est fini. c) On suppose de plus qu’il existe une extension finie galoisienne L de K tel que M soit isomorphe en tant que Gal(K/L)-module à (K ∗ )m . Montrer que H 1 (G, M ) est fini. Exercice 8.5. a) Soit G un groupe fini. Soit M un G-module filtré par une suite décroissante (Mn )n1 de sous-modules M = M 1 ⊃ M 2 ⊃ · · · ⊃ Mn ⊃ · · · tels que l’application canonique M → limn (M/Mn ) soit un isomorphisme. ←− Soit q un entier naturel tel que H q (G, Mn /Mn+1 ) = 0 pour tout n  1. Montrer que H q (G, M ) = 0 (on pourra raisonner directement avec des cocycles). b) Soit K un corps complet pour une valuation discrète à corps résiduel parfait κ. Soit L une extension finie galoisienne non ramifiée de K, on pose G = Gal(L/K). Soit UL1 le groupe multiplicatif des x ∈ L tels que vL (1 − x) > 0, où vL est la valuation de L. Montrer que H q (G, UL1 ) = 0 pour tout q > 0. Exercice 8.6. Soit K un corps local de caractéristique p > 0. Montrer que le groupe H 1 (K, Z/pZ) est infini. (Si on le calcule pour la cohomologie « fppf », le groupe H 1 (K, μp ) est également infini : dans ce cadre le faisceau μp est non trivial et s’insère ·p dans une suite exacte 0 → μp → Gm −→ Gm → 0, où Gm est le groupe multiplicatif, cf. [38], Part. III ; tandis qu’en cohomologie galoisienne, on a μp (K) = 0 en caractéristique p.)

CHAPITRE 9 CORPS DE CLASSES LOCAL : L’APPLICATION DE RÉCIPROCITÉ

Dans tout ce chapitre, on désigne par K un corps local. Nous commençons l’étude du groupe de Galois abélien Gal(K ab /K), qui sera complétée dans les deux chapitres suivants. Les résultats généraux sur l’application de réciprocité sont en particulier utilisés dans toutes les démonstrations du théorème d’existence, dont nous verrons une première preuve à la fin de ce chapitre dans le cas d’un corps p-adique.

9.1. Définition et principales propriétés Définition 9.1. Soit L une extension finie galoisienne de groupe G de K. Soit n := [L : K]. On appelle classe fondamentale de l’extension L/K l’unique élément uL/K de Br(L/K) = H 2 (G, L∗ ) tel que invK (uL/K ) = 1/n ∈ Q/Z. Rappelons que l’on a un isomorphisme invK : Br K → Q/Z (théorème 8.9) et que le groupe Br(L/K) est précisément le sous-groupe de n-torsion de Br K (corollaire 8.10), ce qui justifie la définition ci-dessus. Nous pouvons alors appliquer le théorème 3.14 (Tate-Nakayama) au G-module A = L∗ et à l’élément uL/K de H 2 (G, L∗ ). Soit en effet Gp = Gal(L/Kp ) un p-Sylow de G. On a bien H 1 (Gp , L∗ ) = 0 par Hilbert 90, et H 2 (Gp , L∗ ) = Br(L/Kp ) est d’ordre #Gp , engendré par la restriction uL/Kp de u à H 2 (Gp , L∗ ) (d’après le théorème 8.9). En prenant n = −2 et en appliquant la proposition 2.4, on obtient, en notant NL/K (ou plus simplement N s’il n’y a pas d’ambiguïté) la norme de l’extension L/K : Théorème 9.2. Soit L une extension finie galoisienne d’un corps local K. Alors le cup-produit par uL/K définit un isomorphisme θL/K : Gab −→ K ∗ /N L∗ ,

132

CHAPITRE 9. CORPS DE CLASSES LOCAL : RÉCIPROCITÉ

où G := Gal(L/K). L’isomorphisme −1 : K ∗ /N L∗ −→ Gab ωL/K := θL/K

s’appelle isomorphisme de réciprocité associé à l’extension L/K. Pour simplifier, on notera aussi ωL/K la surjection K ∗ → Gab induite par l’isomorphisme de réciprocité. La proposition suivante fait le lien entre cet isomorphisme et le cup-produit. Proposition 9.3. Soit L une extension finie abélienne d’un corps local K. Soient G = Gal(L/K) et χ : G → Q/Z un caractère de G, dont on note dχ l’image dans H 2 (G, Z) via le cobord associé à la suite exacte 0 −→ Z −→ Q −→ Q/Z −→ 0.  0 (G, L∗ ) = K ∗ /N L∗ . Alors Soit a ∈ K d’image a ∈ H ∗

χ(ωL/K (a)) = invK (a ∪ dχ ), où invK : Br(L/K) → Q/Z est l’invariant local. Notons qu’il n’y a pas ici à se préoccuper de l’ordre dans lequel on fait le cup-produit (cf. proposition 2.27, b) car a ∪ dχ = dχ ∪ a vu que les classes de cohomologie considérées sont en degré pair. Démonstration. Soit u = uL/K ∈ H 2 (G, L∗ ) la classe fondamentale. Soit  −2 (G, Z) (rappelons que G est abélien). Notons s = ωL/K (a) ∈ G = H n := [L : K]. Par définition de l’isomorphisme de réciprocité, on a  0 (G, L∗ ) u∪s=a∈H d’où, par associativité du cup-produit (proposition 2.27, a) et compatibilité avec les cobords (proposition 2.23) a ∪ dχ = u ∪ (s ∪ dχ ) = u ∪ (d(s ∪ χ)),  −1 (G, Q/Z) et on a encore noté d le cobord H  −1 (G, Q/Z) → où s ∪ χ ∈ H 0   −1 (G, Q/Z) H (G, Z). Comme l’action de G sur Q/Z est triviale, le groupe H 1 est simplement le sous-groupe n Z/Z de Q/Z et d’après la proposition 2.32, le cup-produit s ∪ χ s’identifie à χ(s). Posons alors χ(s) = r/n avec r ∈ Z.  0 (G, Z) = Z/nZ d’où Il est immédiat que d(r/n) = r ∈ H u ∪ (d(s ∪ χ)) = u ∪ r = r · u ∈ Q/Z. Or on a précisément l’égalité invK (r · u) = r/n par définition de u donc finalement invK (r · u) = χ(s), ou encore invK (a ∪ dχ ) = χ(s), comme on le voulait.

9.1. DÉFINITION ET PRINCIPALES PROPRIÉTÉS

133

Corollaire 9.4. Soit L une extension finie galoisienne de K. Soit M une extension finie galoisienne de K contenant L. On a un diagramme commutatif : ωM/K / Gal(M/K)ab K ∗ /NM/K M ∗   ωL/K / Gal(L/K)ab K ∗ /NL/K L∗ où les flèches verticales sont les surjections canoniques. Démonstration. On se ramène immédiatement au cas où L et M sont de plus des extensions abéliennes de K, quitte à les remplacer par les extensions abéliennes maximales de K respectivement incluses dans L et M . Soit alors a ∈ K ∗ d’image aL dans K ∗ /NL/K L∗ et aM dans K ∗ /NM/K M ∗ . Soit χ un caractère quelconque de Gal(L/K) ; notons encore χ le caractère qu’il induit sur Gal(M/K) (dont Gal(L/K) est un quotient). On a alors, par la proposition 9.3 et la fonctorialité du cup-produit : χ(ωL/K (aL )) = invK (aL ∪ dχ ) = invK (aM ∪ dχ ) = χ(ωM/K (aM )), ce qui montre la compatibilité voulue, le caractère χ étant arbitraire. Le corollaire précédent permet de passer à la limite, ce qui justifie la définition suivante. Définition 9.5. L’homomorphisme ω : K ∗ −→ Γab K obtenu à partir des ωL/K par passage à la limite sur les extensions finies abéliennes L de K, s’appelle application de réciprocité. Elle est d’image dense et induit un isomorphisme de limL K ∗ /N L∗ sur Γab K. ←− Ici Γab K est l’abélianisé de ΓK en tant que groupe profini (c’est le quotient de ΓK par l’adhérence de son sous-groupe dérivé au sens usuel). La densité de l’image de ω résulte de la surjectivité des ωL/K et de ce que les Gal(L/K) (pour L/K finie abélienne) forment une base de voisinages ouverts de {1} dans Γab K. Nous verrons au paragraphe 9.2 que, pour un corps p-adique, l’application de réciprocité ω : K ∗ → Γab K induit un isomorphisme du complété profini de K ∗ sur Γab , et donc que ce complété profini est isomorphe à limL K ∗ /N L∗ K ←− (la limite étant prise sur les extensions finies abéliennes L de K) ; mais ceci nécessite de connaître le théorème d’existence, dont nous donnerons une première preuve dans le cas p-adique à la fin de ce chapitre. Pour l’instant, on déduit juste des résultats précédents que limL K ∗ /N L∗ est un quotient ←−  ∗ de K ∗ . du complété profini K

134

CHAPITRE 9. CORPS DE CLASSES LOCAL : RÉCIPROCITÉ

Corollaire 9.6. Soit K un corps local de groupe de Galois ΓK = Gal(K/K). ∗ Soit χ un caractère de Γab K (ou de ΓK , cela revient au même). Soit b ∈ K . Alors : a) On a invK (b ∪ χ) = χ(ω(b)), où, dans le cup-produit, χ est vu comme un élément de H 2 (K, Z) et b comme un élément de H 0 (K, K ∗ ). ab b) Soit n > 0. Notons Γab K /n le quotient du groupe ΓK (noté additivement) ab par son sous-groupe nΓK . Soit a la classe de b dans H 1 (K, μn ) = K ∗ /K ∗n . On suppose que χ est dans le sous-groupe de n-torsion H 1 (K, Z/nZ) de H 1 (K, Q/Z) = H 2 (K, Z), de sorte que χ induit un caractère (encore noté χ) ∗ ∗n de Γab → Γab K /n. On note ωn : K /K K /n l’application induite par ω. Alors on a

invK (χ ∪ a) = χ(ωn (b)), où χ ∪ a est vu dans H 2 (K, μn ) = n Br K. Démonstration. a) résulte de la proposition 9.3 par passage à la limite sur les extensions finies abéliennes L de K. On obtient b) à partir de a) et de la compatibilité du cup-produit, à un changement de signe près (proposition 2.28), avec les suites exactes 0 −→ μn −→ K ∗ −→ K ∗ −→ 0 ;

0 −→ Z −→ Z −→ Z/nZ −→ 0.

La proposition suivante donne une autre compatibilité des applications de réciprocité et une application aux sous-groupes de K ∗ définis par les normes, que nous retrouverons au paragraphe 9.2. Proposition 9.7. Soit K un corps local de clôture séparable K. Soit E ⊂ K une extension finie séparable de K. Soient ΓK = Gal(K/K) et ΓE = Gal(K/E) les groupes de Galois absolus respectifs de K et E. a) On a un diagramme commutatif : E∗

ωE / ab Γ E

NE/K

 K∗



i

ωK / ab Γ K

où i est induite par l’inclusion ΓE → ΓK . b) Soit L l’extension abélienne maximale de K incluse dans E. Alors NE/K E ∗ = NL/K L∗ .

9.1. DÉFINITION ET PRINCIPALES PROPRIÉTÉS

135

Démonstration. a) Soit F une extension finie galoisienne de K contenant E. On observe que l’application iF : Gal(F/E)ab → Gal(F/K)ab induite par l’inclusion Gal(F/E) → Gal(F/K) correspond à la corestriction  −2 (Gal(F/E), Z) H1 (Gal(F/E), Z) = H  −2 (Gal(F/K), Z), −→ H1 (Gal(F/K), Z) = H grâce à la proposition 2.4 et à la définition de la corestriction en homologie donnée au début du paragraphe 2.2. Comme la norme H 0 (Gal(F/E), F ∗ ) = E ∗ −→ H 0 (Gal(F/K), F ∗ ) = K ∗ correspond également à la corestriction, la compatibilité du cup-produit aux −1 corestrictions (proposition 2.27, e) et la définition de θF/E = ωF/E donnent un diagramme commutatif : E∗ (9.1)

ωF/E

/ Gal(F/E)ab

NE/K

iF   ωF/K / Gal(F/K)ab . K∗

On obtient alors le résultat en passant à la limite sur les extensions finies galoisiennes F de K contenant E. b) L’inclusion NE/K E ∗ ⊂ NL/K L∗ résulte de la transitivité des normes. Montrons l’inclusion inverse (qui résulterait facilement du corollaire 9.4 si on supposait de plus E/K galoisienne). Soit F la clôture galoisienne de E sur K, posons G = Gal(F/K) et H = Gal(F/E). On a donc K ⊂ L ⊂ E ⊂ F. 

Soit G le sous-groupe dérivé de G. Par définition de L, la théorie de Galois dit que Gal(F/L) est le plus petit sous-groupe distingué G1 de G tel que H ⊂ G1 et G/G1 soit abélien, cette dernière condition étant équivalente à G ⊂ G1 . Autrement dit, on a Gal(F/L) = G .H. Soit a ∈ NL/K L∗ , le corollaire 9.4 appliqué aux extensions K ⊂ L ⊂ F dit que ωF/K (a) est dans l’image de l’application canonique H ab = H/H  → G/G . Le diagramme (9.1) et la surjectivité de ωF/E donnent alors qu’il existe b ∈ E ∗ tel que ωF/K (NE/K (b)) = ωF/K (a). Comme le noyau de ωF/K est NF/K F ∗ , on peut trouver b ∈ F ∗ tel que a = NE/K (b).NF/K (b ), ce qui montre que a ∈ NE/K E ∗ car NF/K (b ) ∈ NE/K E ∗ par transitivité des normes.

136

CHAPITRE 9. CORPS DE CLASSES LOCAL : RÉCIPROCITÉ

Pour finir ce paragraphe, on va montrer un lemme sur l’application de réciprocité qui sera utile dans la suite (notamment pour la théorie de LubinTate). Lemme 9.8. Soit K un corps local de groupe de Galois ΓK = Gal(K/K). Soit ωK : K ∗ → Γab K l’application de réciprocité. Alors : a) Si K  est une extension finie non ramifiée (donc cyclique) de K, on a, pour tout x de K ∗ , (9.2)

v(x)

ωK  /K (x) = FK

,

où FK est le générateur canonique de Gal(K  /K). b) L’image par l’application de réciprocité ωK du groupe des unités UK de l’anneau des entiers OK est exactement le sous-groupe d’inertie abélien ab IK = Gal(K ab /Knr ) de Γab K. On verra un peu plus tard (corollaire 9.15) que ωK est en fait injective, ab et donc induit un isomorphisme de UK sur IK . Démonstration. a) résulte facilement du fait que pour tout caractère χ de Gal(K  /K), on a χ(ωK  /K (x)) = invK (x ∪ χ) (proposition 9.3) et de la définition de invK donnée avant la proposition 8.4. Pour b), il suffit de faire la vérification à niveau fini ; plus précisément, soit L une extension finie abélienne de groupe G de K, il s’agit de montrer que l’image de UK par l’application de réciprocité ωL/K : K ∗ → G est exactement le sous-groupe d’inertie I de G. Écrivons I = Gal(L/K  ), où K  est l’extension maximale non ramifiée de K incluse dans L. Identifiant Gal(K  /K) avec le groupe de Galois de l’extension résiduelle Gal(κ /κ), on déduit de a) que pour x ∈ UK , l’image de x par ωK  /K est triviale, ce qui signifie que ωL/K (x) est dans I = Gal(L/K  ). Soit réciproquement t ∈ I ; comme ωL/K est surjective (de noyau NL/K L∗ ), on peut écrire t = ωL/K (a) avec a ∈ K ∗ . Posons m = [K  : K] = [κ : κ] (c’est le degré résiduel de l’extension L/K). Comme l’image de t dans Gal(K  /K) est triviale, la formule (9.2) donne que m divise v(a). On sait que pour tout b ∈ L∗ , on a v(NL/K (b)) = mv(b) par le théorème 7.7 d). Choisissons b dans L∗ de valuation v(a)/m, on obtient alors que a et NL/K (b) ont même valuation. Posons alors u = a/NL/K (b), alors u ∈ UK et t = ωL/K (a) = ωL/K (u), ce qui montre bien que t est dans l’image de UK par ωL/K .

9.2. THÉORÈME D’EXISTENCE

137

9.2. Théorème d’existence : lemmes préliminaires et cas d’un corps p-adique On commence par un lemme, qui est la première étape pour toutes les démonstrations du théorème d’existence local. Il sera généralisé plus tard aux formations de classes (proposition 16.31), ce qui peut par exemple s’avérer utile pour le théorème d’existence global (théorème 15.8). Lemme 9.9. Soit K un corps local. a) Soit U un sous-groupe de K ∗ . On suppose que U contient un sousgroupe V de la forme V = NL/K L∗ , où L est une extension finie abélienne de K. Alors U est lui-même de la forme U = NF/K F ∗ pour une certaine extension finie abélienne F de K contenue dans L. b) On fixe une clôture séparable K de K. Soient L et M des extensions abéliennes finies de K, incluses dans K, et telles que NL/K L∗ = NM/K M ∗ . Alors L = M . c) Soit F une extension abélienne finie de K. Alors NF/K F ∗ est un sousgroupe ouvert et d’indice fini de K ∗ . Notons que l’on sait déjà (corollaire 7.19) que pour K p-adique, tout sousgroupe d’indice fini de K ∗ est ouvert. D’autre part, la proposition 9.7, b) dit que tout sous-groupe de K ∗ de la forme NE/K E ∗ (où E est une extension finie séparable de K) s’écrit aussi NL/L L∗ avec L/K finie abélienne. Démonstration. a) L’image de U par l’application de réciprocité ωL/K : K ∗ → Gal(L/K) est de la forme Gal(L/F ), où F est une extension intermédiaire entre K et L. Comme par hypothèse U contient V = Ker ωL/K , on a −1 (Gal(L/F )). U = ωL/K

On en déduit que U = NF/K F ∗ à l’aide du diagramme commutatif K∗

K∗

ωL/K

/ Gal(L/K)

ωF/K

 / Gal(F/K)

et le fait que le noyau de ωF/K : K ∗ → Gal(F/K) est NF/K F ∗ . b) Soit K ab ⊂ K l’extension abélienne maximale de K. Les images réciproques de Gal(K ab /L) et Gal(K ab /M ) par l’application de réciprocité (dont l’image est dense) ω : K ∗ → Gal(K ab /K) sont les mêmes. On en déduit Gal(K ab /L) = Gal(K ab /M ), car si on avait par exemple un élément x ∈ Gal(K ab /L) avec x ∈ Gal(K ab /M ), on pourrait trouver un voisinage ouvert V de x dans Gal(K ab /K) ne rencontrant pas le sous-groupe fermé

138

CHAPITRE 9. CORPS DE CLASSES LOCAL : RÉCIPROCITÉ

Gal(K ab /M ). Comme V rencontre Im ω par densité, on obtiendrait une contradiction. On conclut alors que L = M par la théorie de Galois. c) On sait que l’application de réciprocité induit un isomorphisme de K ∗ /NF/K F ∗ sur Gal(F/K), ce qui montre que NF/K F ∗ est d’indice fini dans K ∗ . D’autre part, la norme NF/K : F ∗ → K ∗ est continue (si on fixe une base du K-espace vectoriel F , c’est un polynôme en les coordonnées) et propre (l’image réciproque d’un compact est compacte) : en effet, la valuation dans K de NF/K (x) est d.vF (x) (où vF est la valuation dans F et d le degré résiduel de F/K) grâce au théorème 7.7 d), ce qui montre que l’image réciproque de UK par NF/K (qui est fermée dans F ∗ par continuité de NF/K ) est contenue dans UF (qui est compact), donc est elle-même compacte. Or tout compact de K ∗ est contenu dans une union finie de translatés de UK vu que UK est un sous-groupe ouvert de K ∗ , ce qui montre que l’image réciproque d’un compact par NF/K est bien compacte. La propreté de NF/K implique alors ([7], § 10, Prop. 7) que NF/K est fermée, donc NF/K F ∗ est d’indice fini et fermé dans K ∗ , c’est-à-dire ouvert d’indice fini. L’étape cruciale dans la preuve du théorème d’existence que nous allons donner ici dans le cas d’un corps p-adique est basée sur les extensions de Kummer (que nous retrouverons dans le cas global, cf. paragraphe 13.3), c’est-à-dire les extensions obtenues en extrayant des racines n-ièmes. Il est commode de formuler les résultats en termes de symboles locaux . Plus précisément, soit k un corps de groupe de Galois absolu Γk . Soit n un entier > 0 non divisible par Car k, et tel que k contienne une racine primitive n-ième ζ de l’unité. Soit a ∈ k ∗ ; le choix de ζ (que l’on fixe une fois pour toutes dans la suite de ce paragraphe) permet de définir un caractère χa de Γk = Gal(k/k) associé à a, en identifiant l’image a de a dans k ∗ /k ∗n = H 1 (k, μn ) à un élément de H 1 (k, Z/n). En particulier, χa est un caractère de Γk dont le noyau est Gal(k/k(a1/n )), et Gal(k(a1/n )/k) est un groupe cyclique d’ordre divisant n. Ainsi χa est un élément de n-torsion du groupe des caractères de Γk . Définition 9.10. Soient a, b dans k ∗ . On définit le symbole (a, b) ∈ (Br k)[n] comme le cup-produit b ∪ χa de b ∈ H 0 (k, k ∗ ) = k ∗ avec χa ∈ H 2 (k, Z)  H 1 (k, Q/Z). C’est une application bilinéaire du groupe multiplicatif k ∗ × k ∗ dans le groupe additif Br k. Exemple 9.11. Pour n = 2, le symbole (a, b) est le classique symbole de Hilbert, que l’on peut voir à valeurs dans Z/2Z ou dans {±1} quand k est un corps p-adique ou le corps R. Dans le cas particulier où k = Qp avec p premier, on dispose de formules explicites pour calculer ces symboles, au moyen de calculs locaux résultant assez facilement du lemme de Hensel et de

9.2. THÉORÈME D’EXISTENCE

139

ses raffinements, cf. [46], Chap. III, Th. 1. Le résultat est le suivant : pour p premier impair et x entier non divisible par p (ou encore x ∈ F∗p ), définissons le symbole de Legendre ( xp ) par ( xp ) = 1 si x est un carré modulo p, et ( xp ) = −1 sinon. Pour x impair, désignons également par ε(x) la classe de (x − 1)/2 modulo 2 et par ω(x) la classe de (x2 − 1)/8 modulo 2. Alors, si on écrit a = pα u et b = pβ v avec α, β ∈ Z et u, v ∈ Z∗p , on a, en voyant le symbole de Hilbert (a, b) dans {±1} :  u β  v α (a, b) = (−1)αβε(p) p p si p = 2 et (a, b) = (−1)ε(u)ε(v)+αω(v)+βω(u) si p = 2. Pour (a, b) dans R∗ , on a bien entendu (a, b) non trivial si et seulement si a et b sont tous deux < 0. Proposition 9.12. Soit k un corps qui contient une racine primitive n-ième de l’unité, avec n non divisible par Car k. Soient a, b ∈ k ∗ . a) Si b est une norme de l’extension k(a1/n )/k, alors (a, b) = 0. b) On a (a, −a) = 0 et (a, b) = −(b, a) ; si a = 1, on a de plus (a, 1 − a) = 0. c) Supposons de plus que k soit un corps p-adique. Si un élément b de k ∗ satisfait à (a, b) = 0 pour tout a de k ∗ , alors b ∈ k ∗n . Démonstration. a) Soit L = k(a1/n ). Posons G = Gal(L/k). Alors χa s’identifie à un élément de H 2 (G, Z), de sorte (proposition 2.27, d) que χa ∪ b est aussi  0 (G, L∗ ) = k ∗ /NL/k L∗ . Le le cup-produit de χa avec l’image de b dans H résultat en découle. b) Soit x ∈ k tel que xn − a = 0. Soit α une racine n-ième de a, de sorte que k(α) = k(a1/n ). Alors xn − a =

n−1

(x − ζ i α).

i=0

Soit d  1 le plus grand diviseur de n tel que a possède une racine d-ième dans k, posons m = n/d. Alors l’extension k(a1/n )/k est cyclique de degré m et les conjugués de (x − ζ i α) sont les (x − ζ j α) avec j congru à i modulo d. Ainsi d−1

xn − a = Nk(a1/n )/k (x − ζ i α), i=0

ce qui montre que x −a est une norme de l’extension k(a1/n )/k. D’après a), on a donc (a, xn − a) = 0. On obtient alors (a, −a) = 0 en faisant x = 0, et n

140

CHAPITRE 9. CORPS DE CLASSES LOCAL : RÉCIPROCITÉ

(a, 1 − a) = 0 en faisant x = 1. On a enfin : (a, b) + (b, a) = ((a, b) + (a, −a)) + ((b, a) + (b, −b)) = (a, −ab) + (b, −ba) = (ab, −ab) = 0. c) D’après b), on a (b, a) = 0, soit χb ∪ a = 0. D’après le corollaire 9.6, on a χb (ωk (a)) = 0 pour tout a de k ∗ . Ceci implique χb = 0 (par densité de l’image de l’application de réciprocité ωk : k ∗ → Γab k ), ou encore que la classe de b dans k ∗ /k ∗n  H 1 (k, Z/n) est nulle. Théorème 9.13 (Théorème d’existence). Soit K un corps p-adique de clôture algébrique K fixée. On considère un sous-groupe U d’indice fini de K ∗ . Alors il existe une unique extension abélienne finie L ⊂ K de K telle que U = NL/K L∗ . Démonstration. L’unicité est le b) du lemme 9.9. Montrons maintenant l’existence. Soit U un sous-groupe d’indice fini n de K ∗ . Alors U contient le sous-groupe K ∗n car tout élément x de K ∗ /U satisfait à xn = 1. Il suffit donc, grâce au lemme 9.9, de montrer que K ∗n est de la forme NL/K L∗ pour une certaine extension finie abélienne L de K. On peut pour cela supposer que K contient une racine primitive n-ième de l’unité ζ : en effet, si F est une extension finie de K contenant ζ et si F ∗n = NE/F E ∗ avec E extension finie de K, alors K ∗n ⊃ NF/K (F ∗n ) = NE/K E ∗ , ce qui suffit, grâce à la proposition 9.7 b) et au lemme 9.9 a). Supposons donc que K contient une racine primitive n-ième de 1. Soit Γ = Gal(K ab /K) le groupe de Galois de l’extension abélienne maximale de K, alors le sous-groupe nΓ de Γ est fermé (car compact), et le dual Homc (Γ/n, Q/Z) du groupe profini Γ/n est H 1 (K, Z/n) qui est fini par le corollaire 8.15. Il en résulte que le groupe Γ/n est lui-même fini, et par la théorie de Galois on peut l’écrire Γ/n = Gal(L/K), où L est une extension finie abélienne de K. Considérons alors l’application ωn : K ∗ −→ Γ/n induite par l’application de réciprocité ωK . Son noyau contient K ∗n . Soit réciproquement b ∈ Ker ωn . Soit a ∈ K ∗ , on a (a, b) = b ∪ χa . Comme χa (ωK (b)) = 0 puisque par hypothèse ωK (b) est dans nΓ et χa est de ntorsion, le corollaire 9.6 implique que (a, b) = 0. Ceci étant valable pour a quelconque, la proposition 9.12 c) dit que b ∈ K ∗n . Finalement K ∗n est le noyau de l’application de réciprocité K ∗ → Gal(L/K), et donc K ∗n = NL/K K ∗ (théorème 9.2). Remarque 9.14. On sait réciproquement que tous les sous-groupes de la forme NL/K L∗ pour L/K sont ouverts et d’indice fini (lemme 9.9, c).

9.3. EXERCICES

141

Corollaire 9.15. Soit K un corps p-adique. L’application de réciprocité ω : K ∗ → Gal(K ab /K) induit un isomorphisme du complété profini (K ∗ )∧ de K ∗ sur Gal(K ab /K). En particulier, ce groupe est isomorphe au produit  × UK . De plus, ω est injective, autrement dit le groupe des normes direct Z

universelles L NL/K L∗ (l’intersection étant prise sur toutes les extensions finies abéliennes L de K) est réduit à {1}. Démonstration. On sait (cf. définition 9.5) que ω induit un isomorphisme de limL K ∗ /NL/K L∗ sur Gal(K ab /K). Le théorème d’existence identi←− fie limL K ∗ /NL/K L∗ au complété profini (K ∗ )∧ de K ∗ , d’où on déduit ←− (vu que K ∗ est isomorphe au produit direct Z × UK , qui s’injecte dans son  × UK ) que la flèche canonique K ∗ → lim K ∗ /NL/K L∗ complété profini Z ←−L est injective, donc ω l’est aussi. Corollaire 9.16. L’application de réciprocité ω : K ∗ → Gal(K ab /K) induit ab un isomorphisme du groupe des unités UK sur le groupe d’inertie abélien IK . Démonstration. Combiner le corollaire 9.15 et le lemme 9.8. Remarque 9.17. La méthode utilisée dans ce paragraphe pour prouver le théorème d’existence, basée sur les extensions de Kummer, ne fonctionne pas pour un corps local de caractéristique p > 0 si on considère des sousgroupes ouverts de K ∗ d’indice divisible par p. On peut à la place utiliser des extensions d’Artin-Schreier , voir [45], Chap. XIV, § 5 et 6.

9.3. Exercices Exercice 9.1. On reprend les hypothèses et notations de la proposition 9.7. a) Montrer que l’indice [K ∗ : N E ∗ ] divise [E : K], et lui est égal si et seulement si E est une extension abélienne de K. b) La proposition 9.7 b) et le a) de cet exercice valent-ils encore si E n’est plus supposée séparable sur K ? (Pour une généralisation des résultats de la proposition 9.7 et de cet exercice aux formations de classes, voir la proposition 16.29.) Exercice 9.2. Soit K un corps local. Soit L une extension finie galoisienne non triviale de K. En utilisant la structure du groupe de Galois absolu de K (cf. exemple 7.15), montrer que le groupe K ∗ /NL/K L∗ est de cardinal au moins 2. Ce résultat vaut-il encore si l’extension L/K est seulement supposée finie séparable ?

142

CHAPITRE 9. CORPS DE CLASSES LOCAL : RÉCIPROCITÉ

Exercice 9.3. Soit K un corps local. Soient E une extension finie galoisienne de K et L ⊂ E une sous-extension. Montrer qu’on a un diagramme commutatif : i / L∗ K∗ ωE/K

 Gal(E/K)ab

ωE/L  v / Gal(E/L)ab

où i est l’inclusion, ωE/K et ωE/L sont les applications de réciprocité, et v : Gal(E/K)ab → Gal(E/L)ab est le transfert (cf. définition 2.11) associé à l’inclusion Gal(E/L) → Gal(E/K). (On comparera avec la proposition 9.7, a). Cet exercice sera également généralisé aux formations de classes, voir proposition 16.30). Exercice 9.4. Sous les hypothèses et notations de la proposition 9.12, montrer la réciproque du a) : si (a, b) = 0, alors b est une norme de l’extension k(a1/n )/k. Exercice 9.5. Soit k un corps de clôture séparable k. Soit n > 0 un entier non divisible par Car k. On suppose que k contient une racine primitive n-ième de 1, et on fixe une telle racine ζ, ce qui permet d’identifier k ∗ /k ∗n (resp. H 2 (k, μn )) à H 1 (k, Z/n) (resp. H 2 (k, Z/n)). Pour a, b dans k ∗ , on note ϕa , ϕb leurs images respectives dans H 1 (k, Z/n), ce qui permet de considérer leur cup-produit ϕa ∪ ϕb ∈ H 2 (k, Z/n). Soit i l’injection H 2 (k, Z/n) → Br k induite par la suite exacte ·n 0 −→ Z/n −→ k ∗ −−−→ k ∗ −→ 0. Démontrer que i(ϕa ∪ ϕb ) coïncide avec le symbole (a, b). Exercice 9.6. Soit K un corps p-adique. Soit n > 0 tel que K contienne une racine primitive n-ième de 1. Soit a ∈ K ∗ . Montrer qu’on a (a, b) = 0 pour tout b ∈ UK si et seulement si K(a1/n ) est une extension non ramifiée de K.

CHAPITRE 10 DUALITÉ LOCALE DE TATE

Dans ce chapitre, on désigne par K un corps p-adique. Le but est ici de donner une démonstration du théorème de dualité locale de Tate. En combinant cette dualité avec les résultats du chapitre 9, on va en déduire une démonstration légèrement différente du théorème d’existence pour les corps p-adiques. Ce théorème d’existence sera démontré par une autre méthode (théorie de Lubin-Tate), valable aussi pour les corps locaux de caractéristique p, au chapitre 11. Les quatre premiers paragraphes de ce chapitre sont indépendants du chapitre 9, et en particulier ne reposent pas sur le théorème de Tate-Nakayama.

10.1. Module dualisant Soit G un groupe profini de dimension cohomologique n < +∞. Rappelons que si B est un groupe abélien discret de torsion (par exemple un groupe abélien fini), on a B ∗ = Hom(B, Q/Z). Le foncteur B → B ∗ (de la catégorie des groupes abéliens discrets de torsion vers la catégorie des groupes abéliens) est exact. f On considère le foncteur A → H n (G, A)∗ de la catégorie CG des G-modules discrets finis vers la catégorie des groupes abéliens. Il se trouve que l’on a un résultat général qui garantit, sous des hypothèses assez faibles, que ce foncteur est représentable par un G-module discret de torsion. Plus précisément : Théorème 10.1. Soit G un groupe profini de dimension cohomologique f n < +∞. On suppose que pour tout A ∈ CG , le groupe H n (G, A) est fini. Alors il existe un G-module discret de torsion I tel que les foncteurs f HomG (., I) et H n (G, .)∗ (de CG dans Ab) soient isomorphes. On dit que I est le module dualisant du groupe profini G.

144

CHAPITRE 10. DUALITÉ LOCALE DE TATE

Démonstration. C’est une conséquence d’un théorème général d’algèbre hof mologique, le théorème A.26. En effet, la catégorie CG est clairement noethérienne, et l’hypothèse cd(G) = n implique immédiatement que le foncteur H n (G, .) est exact à droite, donc que le foncteur contravariant H n (G, .)∗ est exact à gauche. Il existe donc un système inductif (Ij ) de G-modules discrets finis tels que les foncteurs A → H n (G, A)∗ et A → limj HomG (A, Ij ) −→ f (définis sur CG ) soient isomorphes. Posons I = limj Ij ; alors I est un −→ G-module discret de torsion et la condition que A soit fini permet d’identifier limj HomG (A, Ij ) et HomG (A, I). −→ Autrement dit, on a HomG (A, I)  H n (G, A)∗ (l’isomorphisme étant fonctoriel) pour tout G-module discret fini A, ou encore une dualité parfaite de groupes finis  , A : HomG (A, I) × H n (G, A) −→ Q/Z. Notons que si A est un G-module discret de torsion (pas forcément fini), on obtient en passant à la limite que le groupe discret H n (G, A) est dual du groupe profini HomG (A, I) (muni de la topologie de la convergence simple), ce qui permet de définir  , A pour un tel A, par exemple pour I. On a aussi un théorème et des définitions analogues avec la p-dimension cohomologique (en se limitant aux modules de torsion p-primaire). Pour tout G-module A, notons A le G-module A = HomZ (A, I) ; on a donc HomG (A, I) = H 0 (G, A ). On a la compatibilité suivante(1) de l’accouplement de dualité avec le cup-produit : Proposition 10.2. Soit i : H n (G, I) → Q/Z l’homomorphisme défini par IdI , .I : x → IdI , xI . Alors pour tout G-module discret fini A, l’accouplement  , A est la composée du cup-produit H 0 (G, A ) × H n (G, A) −→ H n (G, I) avec i. Démonstration. Soit ρ : A → I un élément quelconque de H 0 (G, A ) = HomG (A, I). Cet élément induit une flèche ρ∗ : H n (G, A) −→ H n (G, I), et aussi pour tout G-module M un homomorphisme ρ∗ : HomG (I, M ) −→ HomG (A, M ), (1) Merci

à C. Demarche, qui m’a fait remarquer la nécessité de cette vérification pour démontrer ultérieurement le théorème 10.9.

10.1. MODULE DUALISANT

145

ce qui s’applique notamment à M = I. Par fonctorialité de la dualité, on a un diagramme commutatif :  , A / Q/Z HomG (A, I) × H n (G, A) O ρ∗ ρ∗   , I / Q/Z. HomG (I, I) × H n (G, I) On conclut en observant que ρ∗ (IdI ) = ρ et que pour tout α ∈ H n (G, A), le cup-produit ρ ∪ α n’est autre que ρ∗ (α) grâce à la remarque 2.22. Remarque 10.3. Il résulte immédiatement des propriétés ci-dessus que le couple (I, i) est unique à isomorphisme unique près, ce qui justifie de parler du module dualisant (et pas seulement d’un module dualisant). L’existence du module dualisant ne nécessite en fait pas d’hypothèse de finitude sur H n (G, A) ; il est possible d’en donner une description explicite sans supposer son existence a priori (et donc sans utiliser le théorème A.26) mais cela demande pas mal d’efforts (voir [48], Part. I, Ann. 1, ou encore [41], § III.4). Nous allons ici calculer le module dualisant d’un corps p-adique et en déduire une application à la dimension cohomologique stricte d’un corps p-adique et au théorème de dualité de Tate. Comme d’habitude les résultats seront valables pour un corps local de caractéristique p, à condition de se limiter à des modules sans p-torsion. Proposition 10.4. Soit G un groupe profini de dimension cohomologique n ∈ N∗ , satisfaisant aux hypothèses du théorème 10.1. Soit U un sousgroupe ouvert de G. Soit I le module dualisant de G. Alors : a) le module dualisant de U est I vu comme U -module. b) L’homomorphisme H n (U, A) → H n (G, A) obtenu en dualisant l’injection canonique HomG (A, I) → HomU (A, I) est la corestriction. Démonstration. a) On a cd(U ) = cd(G) par la proposition 5.10. Le résultat découle alors du lemme de Shapiro et de la proposition 1.15 (laquelle s’étend de manière immédiate au cas d’un sous-groupe ouvert d’un groupe profini), en prenant U M = IG (A) (où A est un U -module fini) dans la propriété qui caractérise le module dualisant. b) La corestriction H n (U, A) → H n (G, A) s’obtient (voir la preuve du lemme 5.9 b), ou encore l’exercice 1.1) en appliquant le foncteur H n (G, .) au morphisme de G-modules  U π : IG (A) −→ A, f −→ g · f (g −1 ). g∈G/U

146

CHAPITRE 10. DUALITÉ LOCALE DE TATE

En utilisant a) et la définition du module dualisant, on obtient que le dual de la corestriction est l’homomorphisme U (A), I) HomG (A, I) −→ HomG (IG

induit par π, lequel s’identifie, d’après la proposition 1.15, à l’injection canonique HomG (A, I) → HomU (A, I). Soit maintenant K un corps p-adique. On a vu (théorème 8.11) que son groupe de Galois Γ := ΓK était de dimension cohomologique 2 et que H 2 (Γ, A) était fini pour tout Γ-module fini A (corollaire 8.15). On peut donc appliquer les résultats précédents avec n = 2. La proposition suivante calcule le module dualisant de Γ. Proposition 10.5. Le module dualisant I de Γ est canoniquement isomorphe au Γ-module μ = Q/Z(1) des racines de l’unité de K ∗ . Démonstration. Soit n > 0, notons In le noyau de la multiplication par n dans I. Pour tout sous-groupe ouvert U de Γ, I est aussi le module dualisant de U (proposition 10.4, a) d’où, en appliquant la définition du module dualisant : HomU (μn , In ) = HomU (μn , I)  H 2 (U, μn )∗  Z/nZ, le dernier isomorphisme venant de la proposition 8.13. De plus ces isomorphismes sont compatibles entre eux pour les différents U grâce à la proposition 10.4 b) et au théorème 8.9. Ainsi le groupe HomU (μn , In ) est indépendant de U et on obtient que Hom(μn , In )  Z/nZ, avec en plus le fait que Γ opère trivialement sur ce groupe (en prenant U = Γ) et que les isomorphismes pour les différents n sont compatibles entre eux. On choisit le générateur fn de HomΓ (μn , In ) correspondant à 1 ∈ Z/nZ. L’homomorphisme fn est injectif car d’ordre n. Il est également surjectif sinon on aurait un x de In qui n’est pas dans son image, d’où un homomorphisme de μn dans In qui ne serait pas dans le sous-groupe engendré par fn . En définissant f par f|μn = fn , on obtient un isomorphisme de Γ-modules de μ dans I, à l’aide de la propriété fonctorielle du module dualisant et du fait que dans l’isomorphisme H 2 (K, μn )  Z/nZ de la proposition 8.13, la flèche H 2 (K, μn ) → H 2 (K, μm ) induit l’injection canonique de Z/nZ dans Z/mZ si m divise n. On en déduit : Théorème 10.6. Soit K un corps p-adique. Alors il est de dimension cohomologique stricte 2. Démonstration. On utilise la proposition 5.14. Soit U un sous-groupe ouvert de Γ. On a alors H 3 (U, Z) = H 2 (U, Q/Z) (exemple 1.52). D’après la proposition 10.5, ce dernier groupe est dual de HomU (Q/Z, μ). Soit L/K

10.2. LE THÉORÈME DE DUALITÉ LOCALE

147

l’extension finie correspondant à U . Alors l’image d’un homomorphisme f : Q/Z → μ de U -modules doit être divisible et incluse dans H 0 (L, μ). Mais L (qui est un corps p-adique) ne contient qu’un nombre fini de racines de l’unité d’après le théorème 7.18, donc H 0 (L, μ) est fini. On en conclut que Im f = 0, soit HomU (Q/Z, μ) = 0, ce qui achève la preuve. Remarque 10.7. La même preuve montre que si K est un corps local de caractéristique p > 0, alors scd (K) = 2 si  = p. Concluons ce paragraphe par une remarque topologique : Remarque 10.8. Le dual A∗ = Homc (A, Q/Z) d’un groupe topologique A se comporte bien (il coïncide avec le classique dual de Pontryagin) si A est profini ou encore discret de torsion (cf. exemple 4.3), mais pour des groupes abéliens localement compacts et complètement discontinus quelconques, la situation est plus compliquée puisque par exemple avec notre définition, le  (ce qui montre que l’appellation dual de Z est Q/Z mais celui de Q/Z est Z ∗ traditionnelle de dual de A pour A est dangereuse !). Par ailleurs, si 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 est une suite exacte courte (les morphismes étant supposés continus) de groupes abéliens localement compacts et complètement discontinus, la suite duale 0 −→ C ∗ −→ B ∗ −→ A∗ −→ 0 est bien exacte (cf. [18], Lem. 2.4). On prendra garde que ceci n’implique pas que le dual d’un morphisme continu injectif entre de tels groupes est surjectif, par exemple Z → Zp est injectif, mais le morphisme dual Qp /Zp → Q/Z n’est pas surjectif (le problème est que le quotient Zp /Z n’est pas séparé, ou encore que le morphisme considéré n’est pas strict. Du coup on n’a pas une suite exacte courte dont les trois termes non nuls restent dans la catégorie considérée). 10.2. Le théorème de dualité locale Soit k un corps de groupe de Galois absolu Γk = Gal(k/k). Soit μ ⊂ k ∗ le groupe multiplicatif de toutes les racines de l’unité. Pour tout Γk -module fini M de torsion non divisible par Car k, on note M  := HomZ (M, k ∗ ) = Hom(M, μ) son dual de Cartier , qui est un Γk -module fini pour l’action définie dans l’exemple 4.16, d). Si M est de n-torsion, on a aussi M  = Hom(M, μn ). Pour M fini, on peut identifier (M  ) à M , mais on prendra garde que ce n’est pas le cas en général si M est seulement supposé de n-torsion (cf. exercice 10.8).

148

CHAPITRE 10. DUALITÉ LOCALE DE TATE

On a un accouplement de Γk -modules M × M  −→ μ ⊂ k ∗ qui définit un cup-produit. Théorème 10.9 (Tate). Soient K un corps p-adique de groupe de Galois Γ, et M un Γ-module fini. Alors pour i = 0, 1, 2, le cup-produit H i (Γ, M ) × H 2−i (Γ, M  ) −→ H 2 (K, K ∗ ) = Q/Z est une dualité parfaite de groupes finis. Démonstration. La finitude de tous les groupes a déjà été vue (corollaire 8.15). Pour i = 2, le théorème exprime que les groupes H 2 (Γ, M ) et H 0 (Γ, M  ) sont en dualité via l’application bilinéaire (x, a) → x ∪ a de H 2 (Γ, M ) × H 0 (Γ, M  ) dans H 2 (Γ, μ) = Q/Z ; or ceci résulte de la proposition 10.5 jointe à la proposition 10.2. Le cas i = 0 est symétrique car (M  ) = M . Pour traiter le cas i = 1, il suffit donc de montrer que l’homomorphisme H 1 (Γ, M ) −→ H 1 (Γ, M  )∗ induit par le cup-produit est injectif (car en appliquant ensuite le même résultat à M  , on obtiendra en plus que le cardinal du groupe de gauche est au moins celui du groupe de droite). Pour cela, on écrit une suite exacte 0 −→ M −→ B −→ C −→ 0 telle que B et C soient finis et la flèche H 1 (Γ, M ) → H 1 (Γ, B) soit nulle. Pour trouver un tel B (cf. aussi exercice 4.7), on commence par plonger M dans le module induit IΓ (M ) (qui est de torsion), puis on remarque que H 1 (Γ, M ) est fini (corollaire 8.15) et que 0 = H 1 (Γ, IΓ (M )) est la limite inductive des H 1 (Γ, F ) pour F fini inclus dans IΓ (M ), d’après la proposition 4.18. D’après les propriétés de compatibilité du cup-produit vis-à-vis des suites exactes (proposition 2.28), on a un diagramme commutatif (au signe près) exact : H 0 (Γ, B)

/ H 0 (Γ, C)

/ H 1 (Γ, M )

 H 2 (Γ, B  )∗

 / H 2 (Γ, C  )∗

 / H 1 (Γ, M  )∗ .

/0

D’après le cas i = 0, les deux premières flèches verticales sont des isomorphismes (noter ici l’importance d’avoir choisi B et C finis, cf. exercice 10.8). On en déduit l’injectivité de la troisième par chasse au diagramme.

10.3. CARACTÉRISTIQUE D’EULER-POINCARÉ

149

Remarque 10.10. Pour les corps locaux de caractéristique p, le théorème reste vrai (avec la même preuve) à condition de se limiter à des M dont la torsion est première à p. Sinon le résultat analogue (dû à Shatz) est nettement plus compliqué (voir [50], Chap. VI, ou [38], § III.6), ne serait-ce que parce que H 1 (Γ, M ) n’est pas fini en général. Par ailleurs, il existe une généralisation du théorème 10.9 au cas où A est seulement supposé de type fini sur Z (dans ce cas la situation n’est plus symétrique, le Γ-module A étant alors le groupe des K-points d’un groupe de type multiplicatif sur K). Voir [48], Part. II, § 5.8, ainsi que le théorème 16.26 et l’exercice 16.3. 10.3. Caractéristique d’Euler-Poincaré Soit K un corps p-adique de groupe de Galois absolu Γ = Gal(K/K). Soit A un Γ-module fini. Notons hi (A) le cardinal du groupe fini H i (K, A) = H i (Γ, A). Définition 10.11. La caractéristique d’Euler-Poincaré de A est le nombre rationnel strictement positif χ(A) :=

h0 (A) · h2 (A) . h1 (A)

Si 0 → A → B → C → 0 est une suite exacte de Γ-modules finis, alors on obtient χ(B) = χ(A).χ(C) à l’aide de la suite exacte longue de cohomologie. Un théorème de Tate ([48], Th. 5 p. 109) donne l’égalité χ(A) = 1/[OK : aOK ], où a est le cardinal de A (en particulier χ(A) ne dépend que de a). La démonstration de ce théorème est longue et fait appel à des résultats fins de la théorie des représentations des groupes finis. Nous allons donc seulement traiter un cas particulier plus simple, qui suffira pour l’application à la cohomologie non ramifiée. La version fine du théorème de Tate est par contre indispensable si on veut démontrer un autre de ses théorèmes de dualité, concernant les variétés abéliennes sur un corps local ([38], Part. I, Chap. 3). Proposition 10.12. Supposons que le cardinal a de A soit premier à p. Alors χ(A) = 1. Démonstration. Soit IK le groupe d’inertie Gal(K/Knr ). Le quotient Γ/IK  et IK possède un unique p-Sylow Ip qui est distingué est isomorphe à Z

dans IK , tel que le quotient V := IK /Ip soit isomorphe à Zp := =p Z (cf. exemple 7.15, b). Lemme 10.13. Le groupe H i (IK , A) est fini pour tout i  0 et nul si i  2.

150

CHAPITRE 10. DUALITÉ LOCALE DE TATE

Démonstration. Le cas i = 0 est immédiat. On sait (théorème 8.11, b) que IK est de dimension cohomologique  1 d’où H i (IK , A) = 0 pour i  2. D’autre part, H i (Ip , A) = 0 pour i  1 grâce au théorème 1.48, car Ip est un pro-p-groupe et le cardinal de A est premier à p. Ainsi H 1 (IK , A) = H 1 (V, AIp ) via la suite exacte de restriction-inflation et on est ramené à montrer que H 1 (V, AIp ) est fini. En décomposant le V -module fini AIp en somme directe finie de ses composantes -primaires (pour  premier différent de p), on voit (toujours avec le théorème 1.48, joint à la suite exacte de restriction-inflation appliquée au sous-groupe Zl de V ) qu’il reste à vérifier que H 1 (Z , B) est fini pour tout module fini -primaire B. Soit W un sous-groupe ouvert de Z qui agit trivialement sur B, alors grâce à la suite de restriction-inflation il suffit de voir que H 1 (W, B) est fini (vu que Z /W est fini, donc aussi H 1 (Z /W, B)) et donc que Homc (W, B) est fini. Mais si B est de cardinal m , alors Homc (W, B) = Hom(W/m W, B) est fini car W/m W est fini (le sous-groupe ouvert W du groupe profini Z est d’indice fini dans Z et m Z est d’indice fini dans Z ; il suffit alors d’appliquer le lemme des cinq). Reprenons la preuve de la proposition 10.12. La suite exacte des premiers termes de la suite spectrale de Hochschild-Serre H i (Γ/IK , H j (IK , A)) =⇒ H i+j (Γ, A) =1: donne, compte tenu des résultats ci-dessus et du fait que cd Z  H 0 (IK , A)); H 0 (K, A) = H 0 (Z,

 H 1 (IK , A)) H 2 (K, A) = H 1 (Z,

et une suite exacte  H 0 (IK , A)) −→ H 1 (K, A) −→ H 0 (Z,  H 1 (IK , A)) −→ 0. 0 −→ H 1 (Z, Pour conclure, il suffit d’appliquer le lemme suivant (cf. aussi exercice 5.3)  aux Z-modules finis H 0 (IK , A) et H 1 (IK , A).   M ) et H 1 (Z,  M ) sont Lemme 10.14. Soit M un Z-module fini. Alors H 0 (Z, finis de même cardinal.  inDémonstration du lemme. Le générateur topologique canonique 1 de Z duit un automorphisme F de M . Soit s = mn, où n et m sont des entiers choisis tels que le m-ième itéré F m de F opère trivialement sur M et M = M [n]. Alors on peut voir M comme un Z/s-module et la norme NZ/s : M → M est l’application nulle vu que pour tout x de M , on a NZ/s (x) = (1 + F + · · · + F mn−1 )x = n(1 + F + · · · + F m−1 ) · x = 0.  M ) est le noyau de l’endomorphisme F − 1 de M , tandis que Alors H 0 (Z, i i 1  H (Z, M ) est la limite inductive sur i des H 1 (Z/i, M F ), où M F est le sousmodule de M constitué des éléments fixés par F i . Par définition d’une limite

10.4. COHOMOLOGIE NON RAMIFIÉE

151

 M) inductive, on peut se limiter aux i multiples de s, ce qui fait que H 1 (Z, 1 est simplement la limite inductive pour i multiple de s des H (Z/i, M ).  −1 (Z/i, M ) (théorème 2.16) est le conoyau de F − 1 Mais H 1 (Z/i, M ) = H puisque NZ/i est nulle pour i multiple de s, d’où le résultat.

10.4. Cohomologie non ramifiée Définition 10.15. Soit A un Γ-module. On dit que A est non ramifié si le groupe IK = Gal(K/Knr ) opère trivialement sur A. Dans ce cas, on définit i les groupes Hnr (K, A) := H i (Gal(Knr /K), A). Proposition 10.16. Soit A un Γ-module fini et non ramifié. Alors on a les 0 i (K, A) = H 0 (K, A) et Hnr (K, A) = 0 pour i  2. Le groupe égalités Hnr 1 Hnr (K, A) s’identifie à un sous-groupe de H 1 (K, A) et son cardinal est celui de H 0 (K, A). Démonstration. L’assertion sur H 0 est immédiate, celle sur H i pour i  2  = 1. Enfin, l’assertion sur H 1 vient de la suite exacte résulte de ce que cd(Z) de restriction-inflation et du lemme 10.14 appliqué à A. Théorème 10.17. Soit A un Γ-module fini, non ramifié, d’ordre premier à p. Alors son dual A possède ces mêmes propriétés. De plus, dans la dua1 lité entre H 1 (K, A) et H 1 (K, A ), chacun des sous-groupes Hnr (K, A) et 1  Hnr (K, A ) est l’orthogonal de l’autre. Démonstration. Soit μ le Γ-module des racines de l’unité dans K ∗ (c’est le module dualisant de Γ) et soit μ le sous-module formé des éléments d’ordre premier à p. Comme les racines n-ièmes de l’unité pour n premier à p sont dans Knr , le Γ-module μ est non ramifié, ce qui implique immédiatement que A = Hom(A, μ) est non ramifié. Le cup-produit 1 1 Hnr (K, A) × Hnr (K, A ) −→ H 2 (k, μ) 2 1 se factorise par Hnr (k, μ) qui est nul, ce qui implique que Hnr (K, A) et 1 Hnr (K, A ) sont orthogonaux. Pour conclure, il suffit de montrer que le cardinal h1 (A ) de H 1 (K, A ) est le produit h1nr (A) · h1nr (A ) des cardinaux 1 1 de Hnr (K, A) et Hnr (K, A ). En effet, cela donnera que l’homomorphisme 1 1 Hnr (K, A) −→ (H 1 (K, A )/Hnr (K, A ))∗

qui est induit par la dualité locale est un isomorphisme (on sait déjà que cet homomorphisme est injectif par le théorème 10.9). Or h1nr (A) = h0 (A) et h1nr (A ) = h0 (A ) = h2 (A) par la proposition 10.16 et le théorème 10.9. Ce dernier théorème donne aussi h1 (A) = h1 (A ). Le résultat découle alors de la proposition 10.12.

152

CHAPITRE 10. DUALITÉ LOCALE DE TATE

Remarque 10.18. La proposition 10.12, la définition 10.15, ainsi que le théorème 10.17 s’étendent immédiatement, mutatis mutandis, pour un corps local de caractéristique p > 0 et un module A de cardinal premier à p. Par ailleurs, Milne a généralisé ces résultats sous des hypothèses beaucoup plus faibles, voir [38], Chap. III.1 et III.7. Exemple 10.19. Soit K un corps p-adique de groupe de Galois absolu Γ et de nr groupe d’inertie IK = Gal(K/Knr ). Soit OK l’anneau des entiers de Knr . Alors, pour n premier à p, le Γ-module μn est non ramifié. Le lemme de Hensel (appliqué aux extensions finies non ramifiées de K) donne une suite exacte ·n nr∗ nr∗ 0 −→ μn −→ OK −−−→ OK −→ 0, d’où on déduit une suite exacte de Γ/IK = Gal(Knr /K)-modules : ∗

∗ ∗n nr 0 −→ OK /OK −→ H 1 ((Γ/IK ), μn ) −→ H 1 ((Γ/IK ), OK ), 1 (K, μn ). En passant à la limite dans la proposiavec H 1 ((Γ/IK ), μn ) = Hnr 1 nr∗ tion 8.3, on obtient H ((Γ/IK ), OK ) = 0, d’où finalement 1 ∗ ∗n (K, μn )  OK /OK . Hnr

Ce résultat vaut aussi (avec la même preuve) pour un corps local de caractéristique p. 10.5. Du théorème de dualité au théorème d’existence Dans ce paragraphe, nous allons voir une démonstration du théorème d’existence pour les corps p-adiques dont l’argument final ne repose pas sur les extensions de Kummer comme dans le paragraphe 9.2, mais sur la dualité locale de Tate (dont nous avons donné une preuve reposant sur le calcul du module dualisant). On commence par retrouver à l’aide de la dualité locale un énoncé qui avait été vu comme conséquence du théorème d’existence (corollaire 9.15). Théorème 10.20. Soit K un corps p-adique de groupe de Galois absolu Γ. L’application de réciprocité ωK : K ∗ → Γab induit un isomorphisme (K ∗ )∧ = lim (K ∗ /K ∗n )  Γab . ←−∗ n∈N

ab

Ainsi Γ

 × UK . est isomorphe (non canoniquement) à Z

Noter que le complété profini (K ∗ )∧ de K ∗ est bien la limite projective des K ∗ /K ∗n car ceux-ci sont finis (proposition 8.13) et de plus les sousgroupes K ∗n forment une famille cofinale parmi les sous-groupes d’indice fini de K ∗ (en effet, si U et V sont deux tels sous-groupes, alors U ∩ V en est aussi un, donc U ∩ V contient K ∗n pour un certain n > 0).

10.5. DU THÉORÈME DE DUALITÉ AU THÉORÈME D’EXISTENCE

153

Démonstration. Soit n > 0. L’application de réciprocité induit une flèche n

ωn : K ∗ /K ∗ = H 1 (K, μn ) −→ Γab /n = H 1 (K, Z/n)∗ qui, d’après le corollaire 9.6 b), n’est autre que la flèche induite par le cupproduit H 1 (K, μn ) × H 1 (K, Z/n) −→ H 2 (K, μn )  Z/n −→ Q/Z, c’est-à-dire l’isomorphisme donné par la dualité locale de Tate. On conclut en passant à la limite projective sur n. Remarque 10.21. Le théorème 10.20 vaut aussi pour une extension finie de Fp ((t)) à condition de se limiter au complété de K ∗ pour la topologie définie par les sous-groupes ouverts d’indice fini. Cela peut par exemple se déduire du théorème de dualité de Shatz ou des résultats du prochain chapitre. Théorème 10.22 (Théorème d’existence). Soit K un corps p-adique de clôture algébrique K fixée. On considère un sous-groupe U d’indice fini de K ∗ . Alors il existe une unique extension abélienne finie L ⊂ K de K telle que U = NL/K L∗ . Démonstration. Comme on l’a vu au début de la première preuve (cf. théorème 9.13), il suffit de montrer que si n > 0 est un entier, alors K ∗n est de la forme NL/K L∗ pour une certaine extension finie abélienne L de K. Comme le sous-groupe nΓab de Γab est compact (image continue d’un compact par une application continue), c’est un sous-groupe fermé de Γab . Le théorème 10.20 dit que l’application de réciprocité induit un isomorphisme du groupe fini K ∗ /K ∗n sur Γab /n. Ceci implique que nΓab est fermé d’indice fini dans Γab , il est donc (par la théorie de Galois infinie) de la forme Gal(K/L), où L est une extension finie abélienne de K, d’où Γab /n = Gal(L/K). Ceci implique que K ∗n est le noyau de l’application de réciprocité ωL/K : K ∗ → Gal(L/K), et donc K ∗n = NL/K L∗ grâce au théorème 9.2. Remarque 10.23. C’est juste la méthode pour montrer que K ∗n est le noyau d’une certaine application de réciprocité ωL/K : K ∗ → Gal(L/K) qui diffère de celle du chapitre 9, et fait intervenir le théorème de dualité locale. On sait par ailleurs que tous les sous-groupes NL/K L∗ sont fermés (lemme 9.9, c). Notons aussi que si n est divisible par p, cette méthode ne fonctionne pas non plus dans le cas d’un corps local de caractéristique p. On verra au prochain chapitre une méthode uniforme permettant d’obtenir un théorème d’existence dans ce contexte.

154

CHAPITRE 10. DUALITÉ LOCALE DE TATE

10.6. Exercices Exercice 10.1. En utilisant l’exercice 5.5, retrouver qu’un corps p-adique K satisfait à scd(K) = 2. Exercice 10.2. Soit K un corps p-adique de groupe de Galois absolu Γ. Soit M un Γ-module qui est libre et de type fini en tant que groupe abélien. On suppose que M est non ramifié. 1 (K, M ) est égal à H 1 (K, M ). a) Montrer que Hnr 2 b) Donner un exemple où Hnr (K, M ) est non nul, et montrer qu’on a une suite exacte 2 ∗ r 0 −→ Hnr (K, M ) −→ H 2 (K, M ) −→ (IK ) , ∗ où IK est le groupe d’inertie de K, IK désigne le dual du groupe profini IK , et r est le rang de M en tant que Z-module.

Exercice 10.3. Soit p un nombre premier impair. a) Montrer que l’équation xp = 1 admet pour seule solution x = 1 dans Qp . b) Montrer que H 2 (Qp , Z/pZ) = 0. Le résultat est-il encore vrai si on remplace Z/pZ par le module galoisien μp des racines p-ièmes de l’unité dans Qp ? c) Donner un exemple de corps p-adique K tel que H 2 (K, Z/pZ) soit non nul. d) Soit K un corps p-adique. Peut-on avoir limn1 H 2 (K, Z/pn Z) non −→ nul ? Exercice 10.4. Soient p un nombre premier et K un corps p-adique de groupe de Galois absolu GK = Gal(K/K). On note K(p) la p-extension maximale de K : par définition cela signifie que le groupe de Galois GK (p) := Gal(K(p)/K) est le plus grand quotient de GK qui soit un pro-p-groupe. On admettra le résultat suivant (cf. exercice 8.2) : pour tout GK (p)module A de torsion p-primaire et tout i  0, l’homomorphisme d’inflation H i (GK (p), A) −→ H i (GK , A) est un isomorphisme. a) On suppose d’abord que K ne contient pas de racine primitive p-ième de 1. Montrer que H 2 (GK (p), Z/pZ) = 0, et en déduire la p-dimension cohomologique de GK (p). Calculer, en fonction de l’entier N = [K : Qp ], la dimension du Z/pZespace vectoriel H 1 (GK (p), Z/pZ) (on calculera d’abord F/pF , où F est le sous-groupe de torsion du groupe des unités UK de K). b) On suppose maintenant que le corps K contient toutes les racines p-ièmes de 1. Montrer que la p-dimension cohomologique de GK (p) est 2.

10.6. EXERCICES

155

Quelle est (en fonction de l’entier N ) la dimension du Z/pZ-espace vectoriel H 1 (GK (p), Z/pZ) ? Exercice 10.5. Soit K un corps p-adique. Soit A une variété abélienne sur K. Pour n > 0, soit An le sous-groupe de A(K) constitué des éléments de n-torsion. On rappelle les faits suivants : la multiplication par n dans A(K) est surjective ; le module galoisien An est dual (ceci résulte des propriétés de l’accouplement de Weil) de An , où A est la variété abélienne duale de A, la transposée de l’inclusion Am → An pour m divisant n étant la multiplication par n/m de An dans Am ; de plus A(K) = H 0 (K, A(K)) est un groupe de Lie p-adique compact (ce qui implique en particulier qu’il est isomorphe comme groupe topologique au produit d’un groupe fini et de ZN p pour un certain N ). a) Montrer que H 2 (K, A) = limn H 2 (K, An ). −→ b) Montrer que le sous-groupe de torsion de A (K) est fini. c) En déduire que H 2 (K, A) = 0.  qui est de dimension cohomoloExercice 10.6. Soit G le groupe profini Z, gique 1. Calculer le module dualisant de G (utiliser l’exercice 5.3). Exercice 10.7. Soit G un groupe profini avec cd(G) = n, satisfaisant aux hypothèses du théorème 10.1. Soient I le module dualisant de G et A un G-module fini. Montrer que le groupe HomZ (A, I) est la limite inductive des duaux des H n (H, A) pour H parcourant l’ensemble des sous-groupes ouverts de G, les flèches de transition étant les transposées des corestrictions. Exercice 10.8 (suggéré par J. Riou). Soit K un corps p-adique de groupe de Galois absolu Γ. Soit  un nombre premier. On considère le Γ-module de  -torsion A = N Z/Z (somme directe infinie dénombrable de Z/Z avec action triviale de Γ). a) Quel est le dual A = Hom(A, μ ) de A ? b) Montrer que pour tout entier n > 0, il existe un Γ-module B et une suite exacte scindée de Γ-modules n

0 −→ μl −→ A −→ B −→ 0. i=1

c) Montrer que l’injection canonique A → (A ) n’est pas un isomorphisme. d) Montrer que H 2 (Γ, A ) est un Z/Z-espace vectoriel de dimension infinie et que A est dénombrable. e) Montrer que la flèche H 0 (Γ, A) → H 2 (Γ, A )∗ induite par le cupproduit H 0 (Γ, A) × H 2 (Γ, A ) → H 2 (Γ, μ )  Z/Z n’est pas un isomorphisme, bien que A soit de -torsion.

CHAPITRE 11 CORPS DE CLASSES LOCAL : THÉORIE DE LUBIN-TATE

Le but de ce chapitre (qui peut se lire indépendamment du précédent) est de donner une description explicite, utilisant les groupes formels, de l’extension abélienne maximale d’un corps local. Cela permettra en particulier de donner une preuve facile (et valable en toute caractéristique) du théorème d’existence (déjà démontré dans le cas p-adique aux paragraphes 9.2 et 10.5 avec deux approches légèrement différentes) ; de plus on obtiendra des formules explicites pour calculer les symboles locaux (a, L/K) := ωL/K (a) quand a ∈ K ∗ et L est une extension abélienne d’un corps local K. Ces formules seront également utiles pour la théorie du corps de classes global. Dans toute la suite, on désigne par K un corps local (c’est-à-dire complet pour une valuation discrète, à corps résiduel fini) d’anneau des entiers OK . ∗ On pose aussi UK = OK et on note mK l’idéal maximal de OK . 11.1. Groupes formels 1 := 1 + mK correspond à la loi La loi de groupe multiplicative sur UK additive sur mK donnée par (X, Y ) → X + Y + XY . Cette observation est à l’origine de la définition suivante.

Définition 11.1. Soit A un anneau commutatif. Soit F ∈ A[[X, Y ]] une série formelle en deux variables. On dit que F est une loi de groupe formel commutatif si les propriétés suivantes sont satisfaites : a) (associativité) F (X, F (Y, Z)) = F (F (X, Y ), Z) ; b) (neutre) F (0, Y ) = Y et F (X, 0) = X ; c) (symétrique) Il existe un unique G(X) ∈ A[[X]] tel que : F (X, G(X)) = 0 ; d) (commutativité) F (X, Y ) = F (Y, X) ; e) F (X, Y ) ≡ X + Y (mod. deg 2).

158

CHAPITRE 11. CORPS DE CLASSES LOCAL : THÉORIE DE LUBIN-TATE

(Deux séries formelles sont congruentes modulo deg n si elles ont les mêmes termes de degré < n ; on peut vérifier que c) et e) peuvent se déduire des trois autres propriétés. Rappelons aussi que si n est un entier strictement positif, on peut substituer une famille de n séries formelles sans terme constant dans toute série formelle en n variables.) Si on pose A = OK , on peut alors définir x  y := F (x, y) pour x, y dans mK , ce qui fait de mK un groupe commutatif que l’on notera F (mK ). On peut de même définir le groupe F (mL ) (que l’on peut voir aussi « concrètement » comme un sous-ensemble de L) pour toute extension finie L de K, et même pour toute extension algébrique en passant à la limite. Le cas de 1 + mK correspond à la loi de groupe formel F (X, Y ) = X + Y + XY . Remarque 11.2. La définition ci-dessus correspond aux lois de groupe formel de dimension 1. Plus généralement, on a une loi de groupe formel de dimension n (c’est-à-dire faisant intervenir une famille de n séries formelles en 2n variables) associée à tout schéma en groupes commutatif de dimension n : la loi est définie à partir des coordonnées, en prenant comme origine l’élément neutre. Ceci s’applique notamment aux schémas abéliens, par exemple aux courbes elliptiques sur un corps, auxquelles sont associées des lois de groupe formel au sens de la définition 11.1. Soit maintenant κ le corps résiduel du corps local K et soit q le cardinal de κ. On fixe une uniformisante π de K. On note Fπ l’ensemble des séries formelles f ∈ A[[X]] telles que f (X) ≡ πX mod. deg 2 et f (X) ≡ X q mod. π (la deuxième condition signifie que f (X) − X q est divisible par π dans A[[X]]). On peut prendre par exemple f (X) = πX + X q , ou encore f (X) = (1 + X)p − 1 sur K = Qp . Théorème 11.3. Soit f ∈ Fπ . Alors il existe une unique loi de groupe formel Ff ∈ A[[X, Y ]] telle que f (Ff (X, Y )) = Ff (f (X), f (Y )) (autrement dit, f est un endomorphisme pour la loi Ff ). On dit que Ff est la loi de groupe formel de Lubin-Tate associée à f et π. La preuve est basée sur la proposition suivante. Proposition 11.4. Soient f, g ∈ Fπ . Soit n ∈ N∗ et soit φ1 (X1 , . . . , Xn ) une forme linéaire en n variables à coefficients dans A. Alors il existe une unique série formelle φ ∈ A[[X1 , . . . , Xn ]] satisfaisant à : a) φ ≡ φ1 mod. deg 2 ; b) f (φ(X1 , . . . , Xn )) = φ(g(X1 ), . . . , g(Xn )). (On notera parfois (g, g, . . . , g) la famille (g(X1 ), . . . , g(Xn )), et φ ◦ g la série formelle en n variables φ ◦ (g, g, . . . , g) := φ(g(X1 ), . . . , g(Xn )).)

11.1. GROUPES FORMELS

159

Démonstration. On construit φ par approximations successives : on va montrer par récurrence sur r  1 que, pour tout r  1, il existe une série formelle φ(r) ∈ A[[X1 , . . . , Xn ]], unique modulo deg(r + 1), satisfaisant à a), ainsi que b) modulo deg(r + 1). Cela donnera bien comme unique solution du problème la série formelle φ définie par φ ≡ φ(r) modulo deg(r + 1) pour tout r  1. Noter en particulier que l’on devra avoir φ(r+1) − φ(r) congru à 0 mod. deg(r + 1). On commence par prendre φ(1) = φ1 (et c’est unique modulo deg 2 d’après a). Supposons que φ(i) a été construit pour i  r, et posons φi = φ(i) − φ(i−1) (avec la convention φ(0) = 0), de sorte qu’on a φ1 + · · · + φr = φ(r) . La condition b) donne f ◦φ(r) = φ(r) ◦g mod. deg(r+1), où on a écrit pour simplifier g au lieu de (g, g, . . . , g). On cherche alors φ(r+1) sous la forme φ(r+1) = φ(r) + φr+1 , et comme on l’a vu φr+1 doit être congru à 0 modulo deg(r + 1). On a f ◦ φ(r) ≡ φ(r) ◦ g + Er+1

mod. deg(r + 2)

avec Er+1 ≡ 0 mod. deg(r + 1), et il s’agit de corriger l’erreur Er+1 . Comme le terme de degré 1 de f (sa dérivée en 0) est π et φr+1 est congru à 0 modulo deg(r + 1), on obtient f ◦ φ(r+1) ≡ f ◦ φ(r) + πφr+1

mod. deg(r + 2)

et de même φ(r) ◦ g + φr+1 ◦ g ≡ φ(r) ◦ g + π r+1 φr+1

mod. deg(r + 2)

d’où f ◦ φ(r+1) − φ(r+1) ◦ g ≡ f ◦ φ(r) + πφr+1 − (φ(r) ◦ g + φr+1 ◦ g) ≡ Er+1 + (π − π r+1 )φr+1

mod. deg(r + 2).

On voit alors que l’unique solution est φr+1 = −Er+1 /π(1 − π r ) et il faut juste encore vérifier que φr+1 reste à coefficients dans A, ou encore que Er+1 est divisible par π. Comme pour φ ∈ Fq [[X]] on a φ(X q ) = (φ(X))q et que f (X) ≡ g(X) ≡ X q mod. π, on a : f ◦ φ(r) − φ(r) ◦ g ≡ (φ(r) (X))q − φ(r) (X q ) ≡ 0

mod. π,

ce qui conclut la preuve de la proposition. Démonstration du théorème 11.3. On applique la proposition précédente en prenant pour Ff (X, Y ) l’unique solution de Ff (X, Y ) ≡ X + Y mod. deg 2 et f ◦ Ff = Ff ◦ (f, f ). Pour vérifier les axiomes de groupe formel, on

160

CHAPITRE 11. CORPS DE CLASSES LOCAL : THÉORIE DE LUBIN-TATE

utilise l’unicité dans la proposition : par exemple pour a), on note que Ff (Ff (X, Y ), Z) et Ff (X, Ff (Y, Z)) sont tous deux solutions de  H(X, Y, Z) = X + Y + Z mod. deg 2 H(f (X), f (Y ), f (Z)) = f (H(X, Y, Z)). Proposition 11.5. Soit f ∈ Fπ . Soit Ff la loi de groupe formel associée à f comme dans le théorème 11.3. Alors pour tout a de A = OK , il existe une unique série formelle [a]f ∈ A[[X]] satisfaisant à : [a]f ◦ f = f ◦ [a]f et [a]f ≡ aX mod. deg 2. De plus, [a]f est un endomorphisme pour la loi de groupe formelle Ff . En particulier, [1]f est l’identité et [π]f = f . Démonstration. Pour f, g dans Fπ , définissons [a]f,g (T ) ∈ A[[T ]] comme l’unique série formelle (cf. proposition 11.4) satisfaisant à [a]f,g (T ) ≡ aT mod. deg 2 et f ([a]f,g (T )) = [a]f,g (g(T )). Posons [a]f = [a]f,f . Alors l’unicité dans la proposition 11.4 donne l’égalité Ff ([a]f,g (X), [a]f,g (Y )) = [a]f,g (Fg (X, Y )). En effet, chaque membre de cette égalité est une série formelle H(X, Y ) ∈ A[[X, Y ]], congrue à aX + aY mod. deg 2, et satisfaisant à H(g(X), g(Y )) = f (H(X, Y )). Cela signifie donc que [a]f,g est un homomorphisme de groupes formels de Fg dans Ff , et en particulier [a]f est un endomorphisme de Ff . Les deux propriétés voulues résultent de la définition de [a]f,f , et l’unicité est claire, toujours grâce à la proposition 11.4. Proposition 11.6. L’application a → [a]f est un homomorphisme injectif d’anneaux de A dans End(Ff ). Démonstration. Comme dans la proposition précédente, on montre que [a + b]f,g (T ) = Ff ([a]f,g (T ), [b]f,g (T )) et (11.1)

[ab]f,h (T ) = ([a]f,g ◦ [b]g,h )(T ).

Par exemple, les deux membres de la première égalité sont congrus à aT + bT mod. deg 2 et sont solutions de l’équation f (H(T )) = H(g(T )). En prenant f = g = h on obtient que a → [a]f est un homomorphisme d’anneaux de A dans End(Ff ). Il est injectif car le terme de degré 1 de [a]f est aX. Remarque 11.7. Se donner comme ci-dessus un homomorphisme d’anneaux de A dans End(Ff ) peut s’exprimer en disant qu’on munit ainsi Ff d’une structure de A-module formel. Ainsi, si L est une extension algébrique de K, alors Ff (mL ) (défini comme la réunion des Ff (mL ) pour toute extension finie L de K incluse dans L) est muni d’une structure de A-module.

11.2. CHANGEMENT D’UNIFORMISANTE

161

Proposition 11.8. Soient f, g ∈ Fπ . Alors les lois de groupes Ff et Fg associées respectivement à f et g sont isomorphes. Démonstration. Par définition de [a]f , on a [1]f (T ) = T . On en déduit, grâce à (11.1), que si a est dans A∗ , alors [a]f,g est inversible d’inverse [a−1 ]g,f , et [a]f,g induit donc un isomorphisme de Fg dans Ff . 11.2. Changement d’uniformisante On a vu au paragraphe précédent qu’un changement d’élément f dans Fπ donnait des lois de groupes formels isomorphes. Il n’en va plus de même si c’est l’uniformisante π de A := OK qu’on change. On va voir cependant que l’on retrouve des lois isomorphes à condition de monter sur l’anneau nr := O  de la complétion K  nr de l’extension maximale non des entiers A Knr ramifiée Knr de K. On note comme d’habitude UK nr le groupe multipli∗nr et κ la clôture algébrique de κ ; ainsi κ est le corps résiduel de catif A  nr . On note σ le prolongement continu du Frol’anneau des entiers de K  nr . Si x ∈ K  nr , on note σx le transformé benius (cf. exemple 7.15, b) à K  nr [[X]] est une série formelle, on note σθ la de x par σ, et de même si θ ∈ K série formelle obtenue en appliquant σ à tous les coefficients de θ. On pose ∗ . également τx = σ(x)/x pour tout x de K nr nr (resp. c ∈ U  ). Alors l’équation σx − x = c Lemme 11.9. Soit c ∈ A Knr nr (resp. dans U  ). (resp. τx = c) a une solution dans A Knr nr satisfaisant à σx = x, alors x ∈ A. De plus, si x est un élément de A

 nr , Démonstration. Notons que l’uniformisante π reste de valuation 1 dans K d’où (théorème 7.18, a), qui est valable sans l’hypothèse de finitude du corps résiduel) des isomorphismes σ-équivariants du groupe multiplicatif n+1 ∗ 1 n UK nr /UK  nr  nr sur κ , et aussi de UK  nr /UK  nr sur κ pour n  1. Soit c ∈ UK ∗ d’image c dans κ . L’équation σ x = x · c a une solution dans κ∗ car elle s’écrit xq = x · c (où q est le cardinal de κ) et κ est algébriquement clos. 1 Cela permet d’écrire c = τx1 ·a1 avec x1 ∈ UK nr et a1 ∈ UK  . Par récurrence nr

i−1 n τ on peut écrire c = τ(x1 · · · xn ) · an avec xi ∈ UK  nr ; d’où c = x,  nr et an ∈ UK où x est le produit infini des xi (qui converge par complétude de UK nr , vu nr que son terme général tend vers 1). Le cas de l’équation σx − x = c dans A

est similaire, via les isomorphismes x → x/π n (modulo mK nr ) du groupe additif mnK /mn+1 sur κ.  K nr

nr

nr satisfait à σx = x, on montre par récurrence sur Si maintenant x ∈ A nr : pour n = 1, n > 0 que x s’écrit x = xn + π n yn avec xn ∈ A et yn ∈ A σ la propriété x = x donne que l’image x de x dans κ est dans κ, donc x

162

CHAPITRE 11. CORPS DE CLASSES LOCAL : THÉORIE DE LUBIN-TATE

nr ; il suffit ensuite d’appliquer s’écrit x = x1 + πy1 avec x1 ∈ A et y1 ∈ A le même raisonnement à yn au lieu de x. Alors x est la limite des xn , donc reste dans A puisque A est complet. Lemme 11.10. Soient π et ω deux uniformisantes de K, on pose ω = u · π avec u ∈ UK . Soient f ∈ Fπ et g ∈ Fω . Soit H ∈ A[[X]] l’unique série formelle congrue à uX mod. deg 2, et satisfaisant à f ◦ H = H ◦ f . Alors il nr [[X]], congrue à εX mod. 2, existe ε ∈ UK nr et une série formelle φ(X) ∈ A tels que : a) σφ = φ ◦ H; b) σφ ◦ f = g ◦ φ. Démonstration. La première étape consiste à déterminer une série formelle α(X) satisfaisant à la condition a). On l’obtient comme la limite d’une suite r nr [X], satisfaisant à de polynômes αr (x) = i=1 ai X i dans A αr (X) − αr (H(X)) ≡ cr+1 X r+1

σ

mod. deg(r + 2),

nr . Pour r = 1, cela signifie juste que u = τa1 , qui a bien une avec cr+1 ∈ A solution a1 = ε dans UK nr d’après le lemme 11.9. Supposons αr construit et posons αr+1 (X) = αr (X) + ar+1 X r+1 nr est solution de σa − a = −cr+1 /(εu)r+1 avec ar+1 = a · εr+1 , où a ∈ A (une telle solution existe par loc. cit.). Comme σε = εu, on obtient ar+1 − ar+1 ur+1 = (σa − a) · (εu)r+1 = −cr+1

σ

d’où on déduit αr+1 (X) − αr+1 (H(X)) ≡ (cr+1 + (σar+1 − ar+1 ur+1 ))X r+1 ≡ 0

σ

modulo deg(r + 2), comme on le voulait. On observe maintenant que toute série formelle du type φ = β ◦ α avec β ∈ A[[X]] et β ≡ X mod. deg 2 satisfait encore à la condition a), car on a alors σ φ = σ(β ◦ α) = σβ ◦ σα = β ◦ α ◦ H = φ ◦ H. Il s’agit maintenant de choisir β telle que φ satisfait aussi à b). Pour cela, on pose h = σα ◦ f ◦ α−1 = α ◦ H ◦ f ◦ α−1 , où α−1 est la série formelle sans terme constant réciproque de α (bien définie car α(X) ≡ εX mod. deg 2 avec ε inversible). On cherche β telle que g ◦ β = β ◦ h, ce qui impliquera bien g ◦ φ = g ◦ β ◦ α = β ◦ h ◦ α = β ◦ σα ◦ f = σφ ◦ f comme recherché.

11.2. CHANGEMENT D’UNIFORMISANTE

163

Rappelons que l’on a σα = α ◦ H, et donc α−1 = H ◦ σα−1 . On observe d’abord que h = σα ◦ H ◦ f ◦ σα−1 = σα ◦ f ◦ H ◦ σα−1 = (σα ◦ f ) ◦ α−1 = h

σ

donc h ∈ A[[X]] d’après le lemme 11.9. D’autre part, h(X) ≡ σεπε−1 X ≡ uπX ≡ ωX mod. deg 2, et h(X) ≡ σα(f (α−1 (X)) ≡ σα(α−1 (X)q ) ≡ σα(σα−1 (X q )) ≡ X q

mod. π

(observer que modulo π, le Frobenius σ agit comme l’élévation à la puissance  q-ième et que σ(α−1 ) = (σα)−1 ). On détermine alors β = i1 bi X i comme limite de polynômes βr de degré  r, que l’on construit par récurrence pour vérifier g(βr (X)) − βr (h(X)) ≡ cr+1 X r+1 mod. X r+2 , avec cr+1 ∈ A, ce qui donnera bien g ◦ β = β ◦ h. D’après ce qui précède, on peut prendre b1 = 1. On note que cr+1 est nul mod. π car g(βr (X)) ≡ βr (X)q ≡ βr (X q ) ≡ βr (h(X))

mod. π.

On pose alors βr+1 (X) = βr (X) + br+1 X r+1 avec br+1 = −cr+1 /(ω − ω r+1 ), qui est bien dans A. Alors g(βr+1 (X))−βr+1 (h(X)) ≡ (cr+1 +(ω−ω r+1 )br+1 )X r+1 ≡ 0 mod. deg(r+2) comme recherché, ce qui termine la récurrence. Proposition 11.11. Soient π et ω = u · π deux uniformisantes de K. nr [[X]] avec Soient f ∈ Fπ et g ∈ Fω . Alors il existe ε ∈ UK nr et φ ∈ A φ(X) ≡ εX mod. 2, tels que : a) σφ = φ ◦ [u]f ; b) φ ◦ Ff = Fg ◦ (φ, φ); c) φ ◦ [a]f = [a]g ◦ φ pour tout a ∈ OK . En particulier, φ est un isomorphisme de A-modules de Ff sur Fg . Démonstration. On applique le lemme 11.10 à H := [u]f (voir la proposinr [[X]] avec φ(X) ≡ εX mod. 2 et ε ∈ U  , tion 11.5). On obtient φ ∈ A Knr σ satisfaisant déjà à φ = φ ◦ [u]f et σφ ◦ f = g ◦ φ. Montrons par exemple b) nr [[X]] la série formelle sans (la preuve de c) est analogue). Soit φ−1 ∈ A terme constant réciproque de φ (qui existe bien car φ(0) = 0 et φ (0) est inversible). Posons G(X, Y ) = φ(Ff (φ−1 (X), φ−1 (Y )), il s’agit de montrer que G = Fg . Or G(X, Y ) ≡ X + Y mod. deg 2, et on a aussi G ∈ A[[X, Y ]] car on a G = φ ◦ Ff ◦ φ−1 d’où −1 G = σφ ◦ Ff ◦ σφ−1 = φ ◦ [u]f ◦ Ff ◦ [u]−1 =G f ◦φ

σ

164

CHAPITRE 11. CORPS DE CLASSES LOCAL : THÉORIE DE LUBIN-TATE

(rappelons que [u]f commute avec Ff ). Il ne reste plus (à l’aide de l’unicité dans la proposition 11.4) qu’à vérifier que g ◦ G = G ◦ g. Or g ◦ G = g ◦ φ ◦ Ff ◦ φ−1 = σφ ◦ f ◦ Ff ◦ φ−1 = σφ ◦ Ff ◦ σφ−1 ◦ g = σG ◦ g = G ◦ g (en effet, f commute avec Ff , et G ∈ A[[X, Y ]] donne σG = G).

11.3. Corps associés aux points de torsion Dans toute la suite de ce chapitre, on fixe une clôture séparable K de K ; toutes les extensions algébriques séparables de K considérées seront supposées incluses dans K. On note A = OK l’anneau des entiers de K et on pose n UK = A∗ . Pour tout n > 0, on dispose du sous-groupe multiplicatif UK de UK , constitué des éléments x tels que v(1 − x)  n. Soient π une uniformisante de K et f ∈ Fπ ; on a défini plus haut la loi de groupe (et même de A-module) formel Ff , et on peut donc considérer (cf. remarque 11.7) le A-module Ff (mK ). Soit Efn le noyau de l’endomorphisme [π n ]f , c’est donc le sous-module de π n -torsion de Ff (mK ) et  Ef := n Efn est le sous-module de torsion de Ff (mK ). On peut également voir Ff (mK ) et Ef comme des sous-ensembles de K.  On pose aussi Kπn = K(Efn ) et Kπ = n K(Efn ). Noter que ces extensions ne dépendent pas du choix de f grâce à la proposition 11.8, car on a de plus qu’un isomorphisme entre les lois de groupes formels opère sur mK par x → F (x), où F ∈ A[[X]] ; or pour x ∈ mK , un tel F (x) reste dans le corps K(x) engendré par K et x (F (x) est une limite d’éléments de K(x), qui est fermé dans K car c’est un espace vectoriel de dimension finie sur K). Chaque extension K(Efn ) est galoisienne sur K car les conjugués sur K de tout élément de Efn restent dans Efn , par définition de Efn comme sousmodule de π n -torsion de Ff (mK ) : en effet, π n agit via la série formelle [π n ]f , qui est à coefficient dans K. Le groupe de Galois Gπ := Gal(Kπ /K) est la limite projective des Gπ,n := Gal(K(Efn )/K). On obtient alors un homomorphisme Gπ → AutA (Ef ) obtenu en faisant agir Gπ sur les points de torsion de Ff (mK ). Rappelons aussi que le composé de deux extensions abéliennes est une extension abélienne, traduction du fait que si H et H  sont deux sous-groupes distingués d’un groupe G avec G/H et G/H  abéliens, alors G/(H ∩ H  ) est abélien. Lemme 11.12. Il existe un isomorphisme de A-modules de Ef sur K/A. En particulier, le groupe AutA (Ef ) est isomorphe à A∗ .

11.3. CORPS ASSOCIÉS AUX POINTS DE TORSION

165

Démonstration. D’après la proposition 11.8, on peut prendre f comme on veut dans Fπ . Soit donc f = πX + X q , où q est le cardinal du corps résiduel κ de A = OK . On a [π]f = f par la proposition 11.5, ce qui fait que Efn est l’ensemble des racines de la n-ième itérée fn de f . On note que pour tout α ∈ mK , l’équation f (x) = α a alors q racines distinctes dans K (le polynôme f − α étant séparable), et ses solutions restent de valuation > 0, donc dans mK . Ainsi le A-module Ff (mK ) est divisible (la multiplication par π étant surjective), donc aussi son sous-module de torsion Ef . En particulier, comme A est principal et admet π comme seul élément irréductible à inversible près, le A-module Ef est isomorphe à une somme directe de copies de K/A ([6], § 2, Exer. 3) ; mais comme Ef1 (qui est le sous-groupe de π-torsion du A-module Ef ) a exactement q éléments (les racines de f ), la seule possibilité est que Ef soit isomorphe à K/A. Théorème 11.13. a) Le morphisme composé Φ : Gπ → AutA (Ef )  A∗ est un isomorphisme, qui transforme la filtration de Gπ par les sous-groupes Gal(Kπ /Kπn ) n en la filtration de A∗ = UK par les sous-groupes UK . En particulier, l’extension Kπ /K est abélienne. b) Pour tout n > 0, l’uniformisante π est une norme de l’extension Kπn /K. Démonstration. a) Gardons f et fn comme on les a choisis dans la preuve du lemme 11.12. Soit τ ∈ Gπ . Il induit un automorphisme du A-module Ef , lequel automorphisme (par le lemme 11.12) est la multiplication par un élément de A∗ = UK . On obtient ainsi un homomorphisme Φ : Gπ → UK , qui est injectif par définition de Kπ . Il reste à vérifier que Φ est surjectif. Notons que Φ n induit une flèche injective Φn : Gal(Kπn /K) → UK /UK car Efn correspond 1 n n au sous-groupe de π -torsion πn OK /OK de K/A = K/OK , sur lequel UK n−1 agit trivialement. Soit α ∈ Efn  Ef et posons h = fn /fn−1 . Comme f /X = X q−1 + π, on a h = f (fn−1 )/fn−1 = (fn−1 (X))q−1 + π, ce qui montre que h est de degré q n − q n−1 et est irréductible car c’est un polynôme d’Eisenstein (cf. exemple 7.12). Comme α est racine de h, le degré [K(α) : K] est celui de h (puisque h est le polynôme minimal de α). On obtient donc que le cardinal de Gal(Kπn /K) est au moins q n − q n−1 , n 1 qui est le cardinal de UK /UK (en effet, UK /UK est isomorphe à κ∗ , et les i+1 i quotients UK /UK pour i > 0 sont isomorphes à κ, par le théorème 7.18). Ceci implique que Φn est un isomorphisme et K(α) = Kπn . En passant à la limite, on obtient que Gπ est isomorphe à UK via Φ.

166

CHAPITRE 11. CORPS DE CLASSES LOCAL : THÉORIE DE LUBIN-TATE

b) Soit α comme ci-dessus, on a Kπn = K(α) et le polynôme h construit en a) est le polynôme minimal de α ; son terme constant est π, ce qui implique que π est la norme de −α pour l’extension Kπn /K. 11.4. Calcul de l’application de réciprocité On a défini au paragraphe précédent une extension abélienne Kπ de K associée à une uniformisante π de A = OK . Elle a été construite au moyen du groupe formel de Lubin-Tate associé à π. L’extension Kπ dépend du choix de l’uniformisante π. Néanmoins, on a : Proposition 11.14. Soient π et ω deux uniformisantes de K. Soient Lπ = Knr · Kπ et Lω = Knr · Kω . Alors Lπ = Lω . Noter que ce résultat est plus facile si on suppose le théorème d’existence déjà connu (cf. [39], où le théorème d’existence est démontré directement en caractéristique zéro par la méthode classique des extensions de Kummer, méthode que nous avons rencontrée au paragraphe 9.2) ; l’approche que nous suivons ici est celle de l’exposé de Serre ([9], Chap. VI) qui a l’avantage de donner ensuite une preuve rapide du théorème d’existence en toute caractéristique à partir de la théorie de Lubin-Tate. Démonstration. Soient f ∈ Fπ et g ∈ Fω . La proposition 11.11 dit que les A nr . En particulier, les corps modules formels Ff et Fg sont isomorphes sur K  nr et les points de torsion respectifs de Ff (m ), Fg (m ) engendrés par K K K  nr .Kω A fortiori, les complétions  nr · Kπ = K sont les mêmes, c’est-à-dire K  de K) respectives de Lπ et Lω (vues comme sous-corps de la complétion K sont égales. On conclut avec le lemme suivant. Lemme 11.15. Soit E une extension algébrique (finie ou infinie) d’un corps  Soit α ∈ E.  Si α est algébrique séparable sur E, local, de complétion E. alors α ∈ E. Démonstration. Soit E une clôture séparable de E. Soit E  l’adhérence de E dans E, on peut alors voir α comme un élément de E  (par définition de la complétion). On observe que tout élément de Gal(E/E) est une application continue sur E : en effet, E est réunion d’extensions algébriques finies normales d’un corps local F ; il suffit donc de vérifier que si L/F est une extension finie de corps locaux, alors tout automorphisme du F -espace vectoriel L est continu, ce qui résulte de ce que la topologie définie sur L par sa valeur absolue est la même que sa topologie de F -espace vectoriel normé de dimension finie (on peut aussi utiliser l’exercice 7.1). On en déduit que tout élément de Gal(E/E) induit par continuité l’identité sur E  , d’où E  = E par la théorie de Galois, et donc α ∈ E.

11.4. CALCUL DE L’APPLICATION DE RÉCIPROCITÉ

167

On a maintenant le lien suivant entre l’extension abélienne Kπ de K et l’application de réciprocité. Proposition 11.16. Soit Lπ = Knr · Kπ l’extension abélienne de K composée de Knr et Kπ . Soit θ = ωLπ /K : K ∗ → Gal(Lπ /K) l’application de réciprocité, définie en passant à la limite sur les applications de réciprocité ωK  /K pour K  extension finie de K incluse dans Lπ . Alors Kπ est le sous-corps fixe par θ(π) de Lπ et θ(π) induit le Frobenius sur Knr . De plus, les corps Knr et Kπ sont linéairement disjoints, autrement dit le groupe Gal(Lπ /K) est le produit direct des groupes Gal(Knr /K) et Gπ . En particulier, toutes les extensions finies de K intermédiaires entre K et Kπ sont totalement ramifiées. Démonstration. Comme Lπ ⊃ Knr , on a une suite exacte 0 −→ H −→ Gal(Lπ /K) −→ Gal(Knr /K) −→ 0, où H := Gal(Lπ /Knr ) et Gal(Knr /K) est topologiquement engendré par le Frobenius σ. Comme θ(π) ∈ Gal(Lπ /K) est un relèvement de σ d’après le lemme 9.8 (en passant à la limite sur les extensions finies K  ⊂ Knr de K), on obtient que Gal(Lπ /K) est le produit direct de H et du sous-groupe fermé Iπ engendré par θ(π). Autrement dit, on a Lπ = Knr K  avec Knr et K  linéairement disjointes sur K, où K  est le corps fixe de Lπ par θ(π). Pour tout n > 0, l’application de réciprocité K ∗ → Gal(Kπn /K) est triviale sur l’image de la norme (Kπn )∗ → K ∗ , ce qui implique, d’après le théorème 11.13 b), que ωKπ /K (π) est trivial. D’après la compatibilité entre ωLπ /K et ωKπ /K (corollaire 9.4), on obtient que la restriction de θ(π) à Kπ est l’identité, d’où Kπ ⊂ K  . Comme on a aussi Lπ = Knr · Kπ , la seule possibilité est Kπ = K  car le sous-groupe H  := Gal(Lπ /Kπ ) contient Iπ et satisfait à H ∩ H  = {1}, il est donc égal à Iπ vu que Gal(Lπ /K) est le produit direct de H et Iπ . On peut maintenant démontrer le théorème principal de ce paragraphe, qui relie la construction de Lubin-Tate à l’application de réciprocité. Théorème 11.17. Soit K un corps local. Soient π une uniformisante de K et f ∈ Fπ . Soit Lπ = Knr .Kπ . On définit un homomorphisme rπ : K ∗ −→ Gal(Lπ /K) par les propriétés : a) rπ (π) est l’identité sur Kπ et coïncide avec le Frobenius σ sur Knr ; b) Pour tout u de UK , rπ (u) est l’identité sur Knr et agit par [u−1 ]f sur Kπ . Alors rπ est indépendant du choix de l’uniformisante π, et est égal à l’application de réciprocité ωLπ /K : K ∗ → Gal(Lπ /K).

168

CHAPITRE 11. CORPS DE CLASSES LOCAL : THÉORIE DE LUBIN-TATE

Notons que rπ est bien défini car K ∗ est le produit direct des sousgroupes UK et π Z , et les extensions Knr et Kπ sont linéairement disjointes. Rappelons aussi que [u−1 ]f peut être vu comme un A-endomorphisme de Ef , donc induit un automorphisme de Kπ par le théorème 11.13 a). On verra au paragraphe suivant que Lπ est en fait l’extension abélienne maximale de K, mais on ne le sait pas encore à ce stade. Démonstration. On a déjà vu (proposition 11.14) que l’extension Lπ ne dépend pas de π. Soit ω = uπ une autre uniformisante. On va montrer que rπ (ω) = rω (ω), ce qui montrera que pour toute uniformisante ω, rπ (ω) est indépendant de π et donc que rπ est indépendant de π car K ∗ est engendré par les uniformisantes. On sait déjà que rπ (ω) et rω (ω) coïncident sur Knr car rπ (ω) = rπ (u).rπ (π), ce qui donne que rπ (ω) et rω (ω) induisent tous deux le Frobenius sur Knr . Il reste à montrer que rπ (ω) est l’identité sur Kω . nr [[X]] comme On a par définition Kω = K(Eg ) avec g ∈ Fω . Soit φ ∈ A dans la proposition 11.11. Tout élément λ de Eg s’écrit λ = φ(μ) avec μ ∈ Ef . Posons s = rπ (ω) ; il s’agit de vérifier que s(λ) = λ, ou encore s (φ(μ)) = φ(μ). On note que s = rπ (π).rπ (u). Comme φ est à coefficients  nr , on a dans K s φ = σφ = φ ◦ [u]f . D’autre part, s

(φ(μ)) =s φ(s μ) =s φ([u−1 ]f (μ))

car μ ∈ Kπ d’où s

(φ(μ)) = φ ◦ [u]f ([u−1 ]f (μ)) = φ(μ),

comme on le voulait. Cela prouve que rπ = rω . On sait (proposition 11.16, jointe à l’égalité Lπ = Lω ) que l’application de réciprocité θ : K ∗ → Gal(Lπ /K) satisfait, pour toute uniformisante ω, à la propriété que θ(ω) induit le Frobenius σ sur Knr et l’identité sur Kω . D’après ce que l’on vient de voir, θ(ω) = rπ (ω). Ceci étant valable pour toute uniformisante ω, on obtient bien que rπ = rω est la même application que θ. Pour achever la description de l’extension abélienne maximale K ab de K, il reste à prouver que K ab = Knr · Kπ , ce qui est l’objet du paragraphe suivant. 11.5. Théorème d’existence (cas général) Dans ce paragraphe, nous retrouvons par une autre méthode (et étendons aux corps locaux de caractéristique p > 0) le théorème d’existence démontré aux paragraphes 9.2 et 10.5. On fixe une uniformisante π de K et f ∈ Fπ .

11.5. THÉORÈME D’EXISTENCE (CAS GÉNÉRAL)

169

On dispose des extensions abéliennes Kπn (pour n > 0) et Kπ de K définies dans les paragraphes précédents. On pose L = Knr · Kπ . Définition 11.18. On dit qu’un sous-groupe M du groupe multiplicatif K ∗ est un groupe de normes s’il existe une extension abélienne finie E de K telle que M = NE/K E ∗ . On a en fait que tout sous-groupe de la forme NF/K F ∗ , où F est une extension finie séparable (pas forcément abélienne) de K est un groupe de normes par la proposition 9.7, b) (voir aussi l’exercice 9.1). Le théorème d’existence donne à la fois une caractérisation des groupes de normes, et l’identification de l’extension abélienne maximale de K avec Knr · Kπ . L’étape principale (qui va découler de la théorie de Lubin-Tate) est la proposition suivante : Proposition 11.19. Soit K un corps local. Alors tout sous-groupe ouvert d’indice fini de K ∗ est de la forme NE/K E ∗ , où E est une extension finie de K incluse dans L. Démonstration. Soit M un sous-groupe ouvert d’indice fini de K ∗ . Le fait n que M soit ouvert implique l’existence d’un n > 0 tel que M ⊃ UK , et le m fait qu’il soit d’indice fini implique l’existence d’un m > 0 tel que π ∈ M . n Ainsi M contient le sous-groupe Vn,m engendré par UK et π m . Soit Km n l’extension non ramifiée de K de degré m, posons E = Kπ · Km : c’est une sous-extension de L. Soient u ∈ UK et a ∈ Z. D’après le théorème 11.17, l’image (u · π a , E/K) de u · π a par l’application de réciprocité ωE/K vaut [u−1 ]f sur Kπn et σ a (où σ est le Frobenius) sur Km . Il en résulte que le noyau de ωE/K est exactement Vn,m (rappelons que le théorème 11.13 a) n donne que [u]f agit trivialement sur Kπn si et seulement si u ∈ UK ), d’où ∗ Vn,m = NE/K E . On conclut avec le lemme 9.9 a). Théorème 11.20 (Théorème d’existence). Soient K un corps local et π une uniformisante de K. On fixe une clôture séparable K de K. Soit L = Knr ·Kπ . Alors : a) L’application E → NE/K E ∗ est une bijection de l’ensemble des extensions finies abéliennes E ⊂ K de K sur l’ensemble des sous-groupes ouverts d’indice fini de K ∗ . b) L’extension L est l’extension abélienne maximale de K. Démonstration. Soit F une extension finie abélienne de K. On sait déjà (lemme 9.9, c) que le sous-groupe NF/K F ∗ de K ∗ est ouvert et d’indice fini. Le a) en découle : l’injectivité résulte du lemme 9.9, b) et la surjectivité de la proposition 11.19. Montrons b). La proposition 11.19 dit que l’on peut écrire le sous-groupe ouvert d’indice fini NF/K F ∗ de K ∗ sous la forme NF/K F ∗ = NE/K E ∗ ,

170

CHAPITRE 11. CORPS DE CLASSES LOCAL : THÉORIE DE LUBIN-TATE

où E est une extension finie de K incluse dans L. Le lemme 9.9, b) dit alors que E = F . En particulier, F ⊂ L et on a finalement montré que L contient toutes les extensions finies abéliennes de K incluses dans K, ou encore L = K ab puisque L est une extension abélienne de K. On retrouve au passage un énoncé que l’on avait obtenu dans le cas d’un corps p-adique (corollaire 9.15 et théorème 10.20). Corollaire 11.21. L’application de réciprocité ωK : K ∗ → Gal(K ab /K) induit un isomorphisme du complété de K ∗ (pour la topologie définie par les sous-groupes ouverts d’indice fini) sur Gal(K ab /K). Ce dernier groupe est  × UK . isomorphe à Z En effet, le théorème d’existence dit que les sous-groupes ouverts d’indice fini de K ∗ sont précisément les groupes de normes et on sait que l’application de réciprocité induit un isomorphisme de limL K ∗ /N L∗ sur Gal(K ab /K), ←− la limite étant prise sur les extensions finies abéliennes de K. Remarque 11.22. Si K est un corps p-adique, le corollaire 7.19 donne que tout sous-groupe d’indice fini de K ∗ est ouvert. Par contre, si K est un corps local de caractéristique p > 0, le groupe K ∗ contient des sous-groupes d’indice fini qui ne sont pas fermés (cf. exercice 11.3) et on peut juste dire que tout sous-groupe d’indice fini premier à p de K ∗ est fermé. Exemple 11.23 (le cas de Qp ). Pour K = Qp , on peut prendre π = p et f = (X + 1)p − 1 = pX + Cp2 X 2 + · · · + X p . Alors la loi de groupe formelle Ff est simplement Ff (X, Y ) = X + Y + XY, et Ff (mK ) est donc isomorphe au groupe 1 + MK muni de la multiplication usuelle. Ainsi Ef = Up∞ est constitué des racines de l’unité d’ordre une puissance de p, et l’extension abélienne maximale Qab p de Qp est obtenue nr ∞ ∞ = Q .Q , où Q est le corps obtenu en ajoutant à Qp comme Qab p p p p les racines de l’unité d’ordre une puissance de p. Finalement, si u ∈ Z∗p , l’élément [u] = [u]f associé agit sur Up∞ via l’identification de Up∞ avec le  groupe additif Qp /Zp , c’est-à-dire par x → xu . Si on écrit u = n0 an pn

n avec a0 non divisible par p, cela donne xu = n0 xan p , qui a bien un sens quand x ∈ Up∞ . Noter aussi que Qab p est simplement le corps obtenu à partir de Qp en ajoutant toutes les racines de l’unité. On déduit de cet exemple et du théorème 11.17 la conséquence suivante, qui sera utile pour démontrer la loi de réciprocité globale (théorème 14.9).

11.6. EXERCICES

171

Corollaire 11.24. Soit ζ une racine de l’unité dans Qp . Soit K = Qp (ζ). Soit θK/Qp : Q∗p → Gal(K/Qp ) l’application de réciprocité. Soit x = pm · u avec m ∈ Z et u ∈ Z∗p . Alors θK/Qp (x) · ζ = ζ p

m

si l’ordre de ζ est premier à p, et θK/Qp (x) · ζ = ζ u

−1

si l’ordre de ζ est une puissance de p. Démonstration. La condition que l’ordre de ζ est premier à p signifie ζ ∈ Qnr p ; au contraire, ζ est d’ordre une puissance de p si et seulement si (avec les notations du théorème 11.17) ζ ∈ (Qp )π . Dans le premier cas, θK/Qp (u) agit trivialement sur ζ et θK/Qp (pm ) agit par la m-ième itérée du Frobenius, c’est-à-dire par l’élévation à la puissance pm . Dans le deuxième cas, c’est θK/Qp (pm ) qui agit trivialement sur ζ et θK/Qp (u) agit par [u−1 ], −1 c’est-à-dire envoie ζ sur ζ u . 11.6. Exercices Exercice 11.1. Soit K un corps local. Soient K1 et K2 deux extensions finies abéliennes de K. On note E le corps composé E = K1 K2 . Montrer que NE/k E ∗ = NK1 /K K1∗ ∩ NK2 /K K2∗ . Exercice 11.2. Soit K un corps local. Montrer que le groupe des normes

universelles L NL/K L∗ (où L décrit les extensions finies abéliennes de K) est réduit à {1}. En déduire que l’application de réciprocité ωK : K ∗ → Gal(K ab /K) est injective, et induit un isomorphisme du groupe des uniab tés UK sur le groupe d’inertie abélien IK de K (cf. corollaires 9.15 et 9.16 pour le cas où K est p-adique). Exercice 11.3. Soit K un corps local de caractéristique p > 0. On rappelle 1 est alors isomorphe à G = ZN (cf. exercice 7.4) que le groupe profini UK p . (N)

a) Montrer que le sous-groupe D = Zp (constitué des suites presque nulles d’éléments de Zp ) est dense dans G. b) Montrer qu’il existe un morphisme non nul de groupes abéliens G → Z/pZ qui s’annule sur D. c) En déduire que K ∗ possède un sous-groupe d’indice p qui n’est pas fermé.

Cette partie est consacrée à la théorie du corps de classes global, qui est le pendant pour les corps de nombres (extensions finies de Q) et les corps de fonctions (de degré de transcendance 1 au-dessus d’un corps fini) de la théorie locale vue dans la partie II. L’approche que nous suivons dans ce livre utilise fortement l’arsenal cohomologique de la partie I (en particulier le groupe de Brauer y joue un grand rôle), ainsi que les résultats locaux de la partie II. La démarche est d’ailleurs très similaire à celle du cas local, bien que techniquement nettement plus compliquée. Après un chapitre introductif rappelant les bases de la théorie des corps globaux (complétions, idèles, groupe des classes, théorème des unités de Dirichlet), on étudie de façon détaillée au chapitre 13 la cohomologie du groupe des classes d’idèles d’un corps global : les résultats principaux sont les deux classiques inégalités de la théorie du corps de classes, aboutissant à l’axiome du corps de classes global (théorème 13.23), pour lequel nous donnons une preuve complète (y compris dans le cas du corps de fonctions, à condition de connaître un peu de géométrie algébrique). Dans le chapitre 14, on calcule le groupe de Brauer d’un corps global, une étape essentielle étant de démontrer (en utilisant les calculs locaux de Lubin-Tate) la loi de réciprocité globale (théorème 14.9). Enfin, on termine la description du groupe de Galois abélien d’un corps global au chapitre 15, grâce à un théorème d’existence similaire à celui du cas local. On y explique également la formulation plus ancienne des résultats en termes d’idéaux et de corps de classes de rayon. La théorie du corps de classes s’est développée de manière complexe, avec des points de vue à la fois différents et complémentaires. On trouvera de bonnes expositions de ses aspects historiques(1) dans les articles de Hasse (exposé XI de [9]) et d’Iyanaga ([22], [23]), ainsi que dans le livre de Roquette [43]. Mentionnons en particulier l’approche analytique, remontant à Hey et Zorn, reposant sur les fonctions ζ des corps gauches ([54], [27]). Cette approche prend un relief tout particulier de nos jours, avec le développement de la théorie des formes automorphes et du programme de Langlands, qui peuvent être vus comme de vastes généralisations non commutatives de la théorie du corps de classes.

(1) Je

remercie J.-B. Bost pour m’avoir éclairé sur ces aspects historiques et pour m’avoir communiqué les références correspondantes.

CHAPITRE 12 RAPPELS SUR LES CORPS GLOBAUX

Dans ce chapitre, nous allons rappeler rapidement les notions de base sur les corps globaux. Pour des démonstrations détaillées, on pourra se reporter par exemple à l’exposé II de [9].

12.1. Définitions, premières propriétés Définition 12.1. Un anneau de Dedekind est un anneau commutatif intègre A qui est noethérien, intégralement clos et de dimension  1 (cette dernière propriété signifie que tout idéal premier non nul est maximal). Les anneaux locaux de Dedekind (autres que les corps) sont les anneaux de valuation discrète. Plus généralement, un anneau intègre noethérien A est de Dedekind si et seulement si pour tout idéal premier non nul p de A, le localisé Ap est de valuation discrète ([45], Chap. I, Prop. 4). Par exemple, tout anneau principal est de Dedekind (et un anneau de Dedekind est principal si et seulement s’il est factoriel). Définition 12.2. Soit A un anneau de Dedekind de corps des fractions K. Un idéal fractionnaire I de A est un sous-A-module de type fini de K (ou, de manière équivalente, un sous A-module de K satisfaisant à : il existe d non nul dans A avec dI ⊂ A). Le produit IJ de deux idéaux fractionnaires I et J est l’idéal fractionnaire engendré comme A-module par les produits ij avec i ∈ I et j ∈ J. Un idéal fractionnaire est principal s’il est de la forme xA avec x ∈ K ∗ . Le théorème suivant est l’analogue pour les anneaux de Dedekind de la décomposition en produit d’irréductibles dans les anneaux factoriels. Pour une preuve, voir [45], Chap. I, Prop. 5 et 7.

176

CHAPITRE 12. RAPPELS SUR LES CORPS GLOBAUX

Théorème 12.3. Soit A un anneau de Dedekind de corps des fractions K. Alors tout idéal fractionnaire non nul I de A est inversible (c’est-à-dire qu’il existe un idéal fractionnaire J de A tel que IJ = A). De plus, un tel I s’écrit de manière unique

I= pvp (I) , p∈Spec A,p={0}

où Spec A désigne l’ensemble des idéaux premiers de A et (vp (I)) est une famille presque nulle d’entiers. Les vp (I) sont tous  0 si et seulement si I est un idéal de A. Corollaire 12.4. L’ensemble des idéaux fractionnaires non nuls d’un anneau de Dedekind A forme un groupe abélien pour la multiplication. Le quotient de ce groupe par le sous-groupe des idéaux fractionnaires non nuls principaux s’appelle le groupe des classes d’idéaux de A. Le groupe des classes d’idéaux sera noté Cl(A), ou encore Pic A (c’est le groupe de Picard de Spec A dans le langage de la géométrie algébrique, cf. [20], Part. II, Chap. 6). Rappelons aussi ([8], § 2, Prop. 1) : Proposition 12.5. Soit A un anneau de Dedekind. Si A n’a qu’un nombre fini d’idéaux premiers, il est principal (et donc de groupe des classes nul). On en vient à la définition d’un corps global que nous utiliserons dans toute la suite : Définition 12.6. Un corps global est soit une extension finie du corps Q des nombres rationnels (on parle alors de corps de nombres), soit une extension finie séparable de Fq (t) (on parle alors de corps de fonctions sur Fq ). Si k est un corps de nombres, son anneau des entiers Ok est l’anneau de Dedekind défini comme la fermeture intégrale de Z dans k. Une place d’un corps global k est une classe d’équivalence de valeurs absolues non triviales sur k (deux valeurs absolues sont équivalentes si l’une est une puissance de l’autre). Pour tout α ∈ k ∗ , il n’y a qu’un nombre fini de places v pour lesquelles la valeur absolue correspondante |α|v de α est = 1 (cf. [9], Exp. II, Lem. p. 60). Plus précisément : – Dans le cas d’un corps de nombres, il y a un nombre fini non nul de places v archimédiennes, qui peuvent être réelles ou complexes (le complété kv de k pour une telle place est respectivement R ou C). Les autres places (en nombre infini) sont dites non archimédiennes ou finies : elles correspondent bijectivement aux idéaux premiers non nuls p de l’anneau des entiers Ok de k. Pour un tel p, l’intersection p ∩ Z est un idéal premier non nul de Z, et s’écrit donc p ∩ Z = pZ, où p est un nombre premier. Le complété kv en la place correspondant à p est alors un corps p-adique de corps résiduel Ok /p et les valeurs absolues associées à v sont de la forme

12.1. DÉFINITIONS, PREMIÈRES PROPRIÉTÉS

177

|x| = a−vp (x) avec a > 1, où vp est la valuation sur k associée à l’idéal premier p. – Dans le cas d’un corps de fonctions sur Fq , toutes les places sont non archimédiennes, et les complétés kv sont isomorphes à un corps local de caractéristique p = Car k. Si X est une courbe projective et lisse (ici lisse signifie simplement que la courbe est non singulière au sens usuel) sur Fq de corps des fonctions k, les places de k correspondent bijectivement aux points fermés (au sens de la géométrie algébrique) de la courbe X. Par exemple, pour k = Fq (t), ces points fermés correspondent bijectivement au point à l’infini et aux polynômes irréductibles unitaires de Fq [t] (noter qu’il n’y a par contre pas d’analogue canonique de l’anneau des entiers d’un corps de nombres). Les valeurs absolues associées à un point fermé x sont de la forme |f | = a−vx (f ) avec a > 1, où vx est la valuation de l’anneau de valuation discrète OX,x (anneau local de la courbe X en x). Noter aussi que si x∞ est un point fermé de la courbe projective lisse X, la courbe Y := X − {x∞ } est affine au sens de la géométrie algébrique (elle correspond au spectre d’un anneau de Dedekind, l’anneau des fonctions régulières sur Y ), cf. [20], Part. IV, Exer. 1.3. Définition 12.7. La valeur absolue normalisée associée à une place v d’un corps global k est : dans le cas où v est réelle, la valeur absolue usuelle de R ; dans le cas où v est complexe, le carré du module usuel ; dans le cas non archimédien, la valeur absolue donnée par |x|v = q −v(x) , où q est le cardinal du corps résiduel du corps local kv . Une des raisons pour adopter ces conventions est ([9], Exp. II, p. 60) : Théorème 12.8 (formule du produit). Soit k un corps global. Soit α ∈ k ∗ . Alors on a

|α|v = 1, v

où v décrit l’ensemble des places de k et |α|v est la valuation normalisée associée à v. Noter que d’après ce que l’on a vu plus haut, on a bien |α|v = 1 pour presque toute place v de k ( := pour toute place v de k à l’exception d’un nombre fini d’entre elles). Remarque 12.9. Soit k un corps global. Alors pour tout M > 0, il n’y a qu’un nombre fini de places de k dont le cardinal du corps résiduel est  M (cela se déduit immédiatement des cas k = Q et k = Fq (t) qui sont évidents). Définition 12.10. Si S est un ensemble de places de k (contenant les places archimédiennes dans le cas d’un corps de nombres), on note Ok,S l’anneau

178

CHAPITRE 12. RAPPELS SUR LES CORPS GLOBAUX

des S-entiers de k, lequel est constitué des éléments x de k qui sont entiers en dehors de S (c’est-à-dire tel que v(x)  0 si v ∈ S). Remarque 12.11. Si k est un corps de nombres, alors Ok,S est un localisé de l’anneau des entiers Ok . Si k est un corps de fonctions d’une courbe X sur Fq , alors pour S = ∅ l’anneau Ok,S est un corps, fermeture algébrique de Fq dans k ; pour S = ∅, l’anneau Ok,S est un localisé de l’anneau de Dedekind des fonctions régulières sur la courbe affine X  {v0 }, où v0 ∈ S. Dans tous les cas Ok,S est donc un anneau de Dedekind. Pour toute place v de k et toute extension finie séparable K de k, on a une décomposition (12.1)

k v ⊗ k K = Kw1 × · · · × Kwr ,

où w1 , . . . , wr sont les prolongements de v à K ([9], Exp. II, Th. p. 57). On dit que les places w1 , . . . , wr divisent v, ou encore qu’elles sont au-dessus de v. En particulier, r  [K : k] et pour v non archimédienne, chaque corps local Kwi est une extension finie séparable du corps local kv . Si p est l’idéal premier de Ok correspondant à v, les idéaux premiers de OK correspondant aux wi sont ceux qui interviennent dans la décomposition de l’idéal pOK de OK . On dira que v est non ramifiée dans l’extension K/k si toutes les extensions Kwi /kv sont non ramifiées, ce qui est le cas pour presque toutes les places v de k. En effet, si on choisit un ensemble fini non vide S de places de k (contenant les places archimédiennes si k est un corps de nombres), et si v est une place de k non dans S, alors v est non ramifiée dans K/k si et seulement si l’idéal premier p correspondant à v ne divise pas le discriminant δB/A (qui est un idéal non nul de l’anneau de Dedekind A := Ok,S ) de l’extension B/A, où B est la fermeture intégrale de A dans K ([45], Chap. III, § 5, Cor. 1 et 2). On notera la différence qu’il y a avec la situation où k est un corps local (ou plus généralement un corps complet pour une valuation discrète, cf. théorème 7.7) : ici le prolongement de v à l’extension K n’est en général pas unique. On va voir aussi au prochain paragraphe que l’on peut dire nettement plus de choses si l’extension K/k est galoisienne. √ Exemple 12.12. Soit k = Q et K = Q( −1). Soit v la place de Q qui correspond au nombre premier 5. Alors K ⊗Q Q5 = Q5 × Q5 (en effet −1 est un carré dans Q5 grâce au lemme de Hensel), donc il y a deux places de K au-dessus de v. Par contre pour p = 2 ou p = 3, K ⊗Q Qp reste un corps et il n’y a qu’une place de K au-dessus de p (ramifiée pour p = 2, non ramifiée pour p = 3).

12.2. EXTENSIONS GALOISIENNES D’UN CORPS GLOBAL

179

12.2. Extensions galoisiennes d’un corps global Soit k un corps global. Soit L une extension finie galoisienne de k de groupe G = Gal(L/k). Le groupe G opère sur les places de L suivant la formule |a|σw := |σ −1 a|w pour tout a ∈ L et tout σ ∈ G, ce qui est cohérent avec l’action naturelle σ · p = σ(p) de G sur les idéaux premiers non nuls de Ok dans le cas d’un corps de nombres (resp. les points fermés de la courbe projective lisse associée à L dans le cas d’un corps de fonctions(1) ). En particulier, on a bien (στ )w = σ(τ w) pour tous σ, τ dans G. Tout σ ∈ G induit aussi un kv -isomorphisme entre les complétés Lw et Lσw . Définition 12.13. Soit w une place de L au-dessus d’une place v de k Le groupe de décomposition Gw de w (relativement à l’extension galoisienne L/k) est le sous-groupe de G constitué des σ tels que σw = w. On observe que Gσw = σGw σ −1 , ce qui fait qu’à conjugaison près, le groupe de décomposition est déterminé par v (ce qui permet par exemple de le noter Gv si G est abélien). Pour une preuve de la proposition suivante, voir par exemple l’exposé VII de [9], Prop. 1.2. Proposition 12.14. Soit w une place de L au-dessus d’une place v de k. L’extension Lw /kv est galoisienne et l’injection Gw → Gal(Lw /kv ) est un isomorphisme. De plus, pour chaque place v de k, le groupe G opère transitivement sur les places de L au-dessus de v. On en déduit par exemple que la propriété que Lw soit une extension non ramifiée (resp. triviale) de kv ne dépend pas de la place w de L divisant v (si Lw /kv est triviale, on dira que v est totalement décomposée dans l’extension L/k). Plus généralement, l’indice de ramification e et le degré résiduel f de Lw sur kv ne dépendent pas de v, ce qui fait qu’on a [L : k] = n · ef , où n est le nombre de places de L au-dessus de v ([45], Chap. I, Prop. 10). Le cas totalement décomposé correspond à n = [L : k], et e = f = 1. Dans le cas d’une place v finie et non ramifiée pour l’extension L/k, on obtient que, pour toute place w de L au-dessus de v, le sous-groupe de décomposition Gw de G est isomorphe au groupe de Galois de l’extension résiduelle Fw /Fv , où Fw , Fv désignent respectivement les corps résiduels de kw , kv . En particulier, le Frobenius x → xNv (où Nv est le cardinal du corps fini Fv ) admet un unique relèvement Fw à Gw , qu’on appelle Frobenius associé à w. À conjugaison près, il ne dépend que de v et on notera FL/k (v) sa classe de conjugaison dans G. Comme tout élément dans cette classe (1) Stricto

sensu, comme me l’a fait remarquer J. Riou, cette action sur les points fermés est une action à droite car le foncteur qui associe à une courbe son corps des fonctions est contravariant. En transformant cette action en une action à gauche, on retrouve l’action naturelle au niveau des idéaux.

180

CHAPITRE 12. RAPPELS SUR LES CORPS GLOBAUX

est d’ordre le degré résiduel f , on obtient que v se décompose dans L en [G : σ] places, où σ ∈ G est un représentant du Frobenius. En particulier, elle est totalement décomposée si et seulement si FL/k (v) est trivial. Noter enfin que, pour G abélien, le Frobenius en v est un élément bien déterminé de G pour toute place v de k non ramifiée dans L.

12.3. Idèles, théorème d’approximation forte Définition 12.15. Soit k un corps global. Soit Ωk l’ensemble de toutes les

places de k. Un idèle de k est une famille (xv )v∈Ωk dans v∈Ωk kv∗ , satisfaisant à v(xv ) = 0 (c’est-à-dire |xv |v = 1) pour presque toute place v de k (autrement dit : xv ∈ Ov∗ pour presque toute v, où Ov est l’anneau des entiers du corps local kv ). Notons que comme il n’y a qu’un nombre fini de places archimédiennes (dans le cas d’un corps de nombres), on peut remplacer partout « presque toute place » par « presque toute place finie », ce qui justifie de parler de la valuation v(xv ) ou de l’anneau Ov dans la définition ci-dessus. Les idèles forment un groupe multiplicatif, que l’on notera Ik (ou simplement I s’il n’y a pas d’ambiguïté). Ce groupe est donc le produit restreint des kv∗ relativement aux Ov∗ . Équipé de sa topologie de produit restreint (pour laquelle une base de voisinages ouverts de 1 est constituée des sous-ensembles du



type v∈S Uv × v∈S Ov∗ , où S ⊂ Ωk est fini et Uv est un ouvert de kv∗ pour v ∈ S), c’est un groupe localement compact. Ce groupe est de plus totalement discontinu dans le cas d’un corps de fonctions (dans le cas d’un corps de nombres, le groupe des idèles finis, constitué des idèles dont la composante aux places archimédiennes est 1, est totalement discontinu). Attention, la topologie sur Ik n’est pas celle induite par la topologie pro

duit de v∈Ωk kv∗ . Définition 12.16. Un idèle principal est un idèle de la forme (x, x, . . . , x, . . . ) avec x ∈ k ∗ . Le groupe des classes d’idèles de k est le quotient Ck := Ik /k ∗ , où on a encore noté k ∗ le sous-groupe des idèles principaux de k. C’est ce groupe Ck qui va jouer en théorie du corps de classes global un rôle comparable à celui du groupe multiplicatif en théorie du corps de classes local. Le théorème suivant nous dit que si S est un ensemble fini de places (que l’on peut supposer contenir les places archimédiennes si k est un corps de

nombres), on peut approcher une famille d’éléments (αv ) de v∈S kv par un élément β ∈ k (« approximation faible », qui marche dans un contexte beaucoup plus général, voir [31], Th. XII.1.2.), en imposant en plus (ce qui est spécifique aux corps globaux) que β soit entier en dehors de S et d’une

12.3. IDÈLES, THÉORÈME D’APPROXIMATION FORTE

181

place v0 fixée au départ. On ne peut pas espérer mieux, à cause de la formule du produit. Plus précisément, on a (pour une preuve, voir [9], Exp. II, § 14 et 15) : Théorème 12.17 (approximation forte). Soit k un corps global et soit v0 une place de k. On se donne un ensemble fini S de places de k avec v0 ∈ S, des éléments αv ∈ kv pour v ∈ S, et ε > 0. Alors il existe β ∈ k avec |β − α|v  ε pour v ∈ S et |β|v  1 (c’est-à-dire v(β)  0 si v est non archimédienne) pour toute v ∈ S ∪ {v0 }. La preuve du théorème d’approximation forte utilise notamment le lemme suivant (proche du théorème de Minkowski en géométrie des nombres), que l’on utilisera un peu plus loin (voir [9], Exp. II, Lem. p. 66 pour une preuve). Lemme 12.18. Soit k un corps global. Alors il existe une constante C > 0 (ne dépendant que de k) satisfaisant à : pour tout idèle (αv ) ∈ Ik tel que

∗ v∈Ωk |αv |v  C, il existe β ∈ k tel que |β|v  |αv |v pour toute place v de k. La proposition suivante implique en particulier que le groupe des classes d’idèles Ck est séparé (et donc localement compact comme quotient de Ik ). Proposition 12.19. Le groupe k ∗ est discret (et donc fermé) dans Ik . Démonstration. Soit S un ensemble fini non vide de places de k, contenant l’ensemble des places archimédiennes si k est un corps de nombres. Soit U le voisinage ouvert de 1 dans Ik défini par (αv ) ∈ U si et seulement si |αv − 1|v < 1 pour tout v ∈ S et |αv | = 1 pour v ∈ S. Alors si x ∈ k ∗ n’est

pas égal à 1, on a v∈Ωk |x−1|v = 1 à l’aide de la formule du produit, ce qui exclut x ∈ U sinon on aurait |x−1|v < 1 pour v ∈ S et |x−1|v  max(|x|v , 1)

pour v ∈ S, ce qui impliquerait v∈Ωk |x − 1|v < 1. Ainsi 1 est un point isolé du sous-groupe image de k ∗ dans Ik , ce qui montre que ce sous-groupe est discret. Considérons l’homomorphisme continu |.| : Ik −→ R∗+ ,

(αv ) −→



|αv |v

v∈Ωk

et notons Ik0 son noyau. À l’aide de la formule du produit, on a k ∗ ⊂ Ik0 , d’où un homomorphisme induit |.| : Ck → R∗+ de noyau Ck0 = Ik0 /k ∗ . Ce groupe ∗ va jouer en théorie du corps de classes un rôle analogue à celui de OK quand K est un corps local (noter par exemple que si k est un corps de ∗ nombres, on a Ck  Ck0 × R∗+ , tout comme on a K ∗ = OK × Z pour un corps local K). En particulier, on a : Théorème 12.20. Le groupe Ck0 est compact. Pour démontrer ce théorème, commençons par rappeler :

182

CHAPITRE 12. RAPPELS SUR LES CORPS GLOBAUX

Définition 12.21. Une adèle de k est une famille (αv )v∈Ωk avec αv ∈ kv pour toute place v et αv ∈ Ov pour presque toute v. On note Ak l’anneau des adèles, équipé de la topologie de produit restreint par rapport aux Ov . On voit immédiatement que le groupe multiplicatif Ik des idèles est simplement le groupe des inversibles de Ak . Attention par contre à la topologie : la topologie de Ik n’est pas induite par celle de Ak . Le théorème d’approximation forte est un énoncé de densité de k dans l’anneau des « adèles tronquées en v0 » (produit restreint des kv pour v = v0 ) pour la Ak -topologie. La preuve du théorème 12.20 repose sur le lemme suivant, qui compare les deux topologies sur Ik0 . Lemme 12.22. Le sous-ensemble Ik0 est fermé dans Ak pour la Ak -topologie. De plus, les topologies induites par Ak et Ik sur Ik0 coïncident. Démonstration. Soit α = (αv ) une adèle qui n’est pas dans Ik0 . Il s’agit de trouver un voisinage ouvert W de α dans Ak qui ne rencontre pas Ik0 . Notons déjà que comme presque tous les |αv |v sont  1, le produit in

fini C = v∈Ωk |αv | a un sens dans R+ , vu que la série de terme général log(|αv |v ) est à termes négatifs ou nuls à partir d’un certain rang. Distinguons deux cas : a) Supposons C < 1. Comme α est une adèle, seul un nombre fini de places v de k satisfont à |αv |v  1. La propriété C < 1 implique alors que l’on peut trouver un ensemble fini S de places de k tel que S contienne

toutes les places v telles que |αv |v  1, avec de plus v∈S |αv |v < 1. Il suffit alors de prendre W défini par |ξv − αv |v < ε pour v ∈ S (pour ε assez petit) et |ξv |v  1 pour v ∈ S. b) Supposons C  1. Montrons d’abord que α est forcément un idèle, et donc que C > 1 puisque par hypothèse α ∈ Ik0 . Pour v non archimédienne, la plus grande valeur absolue < 1 dans kv est q −1 , où q est le cardinal du corps résiduel de Ov . La remarque 12.9 dit alors qu’il existe un ensemble fini S de places de k tel que, pour v non dans S, on ait ou bien |αv |v = 1, ou bien |αv |v  1/2 (comme α est une adèle, on peut dès le départ supposer

que |αv |v  1 si v ∈ S). Mais comme le produit infini |αv |v converge vers un réel > 0, son terme général tend vers 1, ce qui implique que seuls un nombre fini de |αv |v sont  1/2. Finalement, quitte à agrandir S, on peut supposer que |αv |v = 1 pour v non dans S, et α est bien un idèle avec C > 1. Quitte à agrandir S, on peut maintenant aussi supposer que pour toute v non dans S, la propriété |ξv |v < 1 implique |ξv |v < (2C)−1 (toujours en utilisant la remarque 12.9). Enfin, par définition de C, on peut aussi imposer

1< |αv | < 2C. v∈S

12.3. IDÈLES, THÉORÈME D’APPROXIMATION FORTE

183

Maintenant, pour ε > 0 assez petit, la condition |ξv − αv |v < ε pour v ∈ S implique

(12.2) 1< |ξv |v < 2C. v∈S

On peut alors prendre W défini par |ξv − αv |v < ε pour v ∈ S et |ξv |v  1 pour v ∈ S. En effet, une adèle ξ = (ξv ) de W ne peut pas alors satisfaire à |ξ |= 1, vu l’inéquation (12.2) et le fait que pour v ∈ S, |ξv | est ou bien égal à 1 ou bien < (2C)−1 . Finalement Ik0 est bien fermé dans Ak et il reste à montrer que les topologies induites sur Ik0 par Ak et Ik sont les mêmes. Soit donc α = (αv ) ∈ Ik0 . Il est immédiat qu’un Ak -voisinage de α contient un Ik -voisinage de α par définition des topologies de produit restreint vu que Ov∗ ⊂ Ov pour toute place finie v de k. Soit réciproquement H un Ik -voisinage de α, il contient un Ik -voisinage ouvert du type |ξv − αv |v < ε pour v ∈ S et |ξv |v = 1 pour v ∈ S, où S contient les places archimédiennes (si k est un corps de nombres) et toutes les places v telles que |αv |v = 1. En particulier,

0 v∈S |αv | = 1 car α ∈ Ik . On peut aussi supposer comme ci-dessus que pour v non dans S, la condition |ξv |v < 1 implique |ξv |v < 1/2. Mainte

nant la propriété v∈S |αv | = 1 permet en plus de choisir ε tel que tout élément (ξv ) de Ik0 satisfaisant à |ξv − αv |v < ε pour v ∈ S et |ξv |v  1

pour v ∈ S satisfait à v∈S |ξv |v < 2, donc satisfait à en fait |ξv |v = 1 pour v ∈ S (sinon on aurait une place v ∈ S avec |ξv |v < 1/2, ce qui contredirait (ξv ) ∈ Ik0 ). Il en résulte que H ∩ Ik0 contient un Ak -voisinage de α dans Ik0 , comme on le voulait. Démonstration du théorème 12.20. D’après le lemme 12.22, il suffit de trouver un ensemble Ak -compact W ⊂ Ak tel que le passage au quotient W ∩ Ik0 → Ik0 /k ∗ soit surjectif. Choisissons un idèle α = (αv ) tel que

|α| := v αv soit > C, où C est la constante donnée par le lemme 12.18. On choisit alors pour W le compact (comme produit de compacts) de Ak défini par |ξv |v  |αv |v pour toute place v. Le lemme 12.18 dit alors que si β = (βv ) est dans Ik0 , alors on a un η ∈ k ∗ tel que |η|v  |βv−1 αv |v pour toute place v, c’est-à-dire ηβ ∈ W , comme on le voulait. Le théorème 12.20 permet de retrouver deux résultats fondamentaux de la théorie des corps globaux : la finitude du groupe des classes d’idéaux, et le théorème des unités de Dirichlet (on peut aussi aller dans l’autre sens et démontrer le théorème 12.20 en partant de ces propriétés). Disons d’abord quelques mots sur le premier de ces résultats. Supposons pour commencer que k est un corps de nombres dont on note Ωf l’ensemble des places finies. Soit Ik le groupe des idéaux de k, c’est-à-dire le groupe abélien constitué des  sommes formelles presque nulles v∈Ωf nv v avec nv ∈ Z (dans le langage de la géométrie algébrique, c’est le groupe des diviseurs Div(Spec Ok ), cf. [20],

184

CHAPITRE 12. RAPPELS SUR LES CORPS GLOBAUX

Part. II, Chap. 6). Le groupe Ik est isomorphe (grâce au théorème 12.3) au groupe multiplicatif des idéaux fractionnaires de Ok , les idéaux de Ok  (au sens usuel) correspondant aux sommes formelles presque nulles v nv ·v avec nv  0 (« diviseurs effectifs »). L’application  v(αv ) · v Ik −→ Ik , (αv ) −→ v∈Ωf

est continue (Ik étant muni de la topologie discrète) par définition de la topologie de Ik . Par ailleurs l’image de k ∗ est par définition le groupe des idéaux principaux Pk , et le quotient Ik /Pk est isomorphe au groupe des classes d’idéaux de Ok . On obtient une surjection (parce qu’il y a au moins une place archimédienne dans k) continue Ik0 /k ∗ → Ik /Pk . Comme un compact discret est fini, le théorème 12.20 donne alors : Théorème 12.23. Soit k un corps de nombres. Alors le groupe des classes d’idéaux Pic(Ok ) = Ik /Pk est fini. La même preuve montre que dans le cas d’un corps de fonctions d’une courbe projective lisse X sur Fq , le groupe Ik0 /Pk = Pic0 X est fini, où Ik0 est le groupe des diviseurs de degré zéro sur X. Ici le groupe des diviseurs Ik  est composé des sommes formelles presque nulles v∈Ωk nv v avec v ∈ Z,  et le degré d’un tel diviseur est v nv dv , où dv est le degré sur Fq du corps résiduel de X en v. En particulier, si on enlève un point fermé v0 de X, l’anneau de Dedekind des fonctions régulières de la courbe affine Y = X  {v0 } a un groupe des classes d’idéaux fini (en effet, si on note d le degré du point fermé v0 , les diviseurs de Y dont le degré est dans dZ forment un sous-groupe d’indice fini de Div Y , et ce sous-groupe est isomorphe à Div0 X). Soit maintenant k un corps global et soit S un ensemble fini de places de k, tel que (si k est un corps de nombres) S contienne l’ensemble Ω∞ des places archimédiennes. Il est parfois utile de travailler avec le groupe Ik,S des S-idèles de k, défini comme

∗

∗ Ik,S = kv × Ov . v∈S

v∈S

Noter en particulier que Ik est la réunion des Ik,S pour S fini. Proposition 12.24. Pour S fini assez grand, on a Ik = Ik,S · k ∗ (et donc Ck = Ik,S · k ∗ /k ∗ ). Démonstration. Soit Ok l’anneau des entiers de k si k est un corps de nombres (resp. l’anneau des fonctions régulières sur la courbe affine X  {v0 }, où X est une courbe projective lisse sur Fq de corps des fonctions k, et v0 est un point fermé de X, dans le cas où k est un corps de fonctions). La finitude du groupe des classes d’idéaux de Ok permet

12.3. IDÈLES, THÉORÈME D’APPROXIMATION FORTE

185

de choisir des places v1 , . . . , vr de k correspondant à des idéaux premiers p1 , . . . , pr de Ok tels que les pi engendrent ce groupe des classes d’idéaux. Soit S un ensemble fini de places de k contenant les places archimédiennes dans le cas d’un corps de nombres (resp. v0 dans le cas d’un corps de fonctions) et les places v1 , . . . , vr . Soit alors α = (αv ) ∈ Ik . Notons pv l’idéal premier associé à une place



v(α ) v(α ) finie v de k. L’idéal fractionnaire v∈Ω∞ pv v (resp. v=v0 pv v si k est un corps de fonctions) de Ok s’écrit (x) · I, où I est un idéal fractionnaire appartenant au sous-groupe engendré par les pi . Il en résulte que l’idèle α · x−1 a toutes ses composantes en dehors de S inversibles, donc est dans Ik,S · k ∗ . Le lemme suivant est une conséquence facile du théorème 12.20 (cf. [9], Exp. II, § 18), et nous sera utile plus tard. Soit S un ensemble fini non vide de places de k, contenant toutes les places archimédiennes si k est un corps de nombres. Soit Ek,S = k ∗ ∩ Ik,S le groupe des S-unités de k ; c’est le ∗ groupe des inversibles Ok,S de l’anneau Ok,S des S-entiers de k. Lemme 12.25. Avec les notations ci-dessus, soit V le R-espace vectoriel des applications de S dans R. Soit λ : Ek,S → V l’homomorphisme défini par λ(a) = fa , où fa (v) = log |a|v pour toute v ∈ S. Alors λ a un noyau fini, et son image est un réseau engendrant le R-espace vectoriel V 0 des f ∈ V  telles que v∈S f (v) = 0. Démonstration. On observe d’abord que si c et C sont des constantes avec 0 < c < C, alors l’ensemble des S-unités η telles que ∀ v ∈ S,

c  |η|v  C

est fini comme intersection d’un compact de Ik avec le sous-groupe discret (cf. proposition 12.19) k ∗ . En particulier, les éléments x satisfaisant à |x|v = 1 pour toute place v sont en nombre fini et forment un groupe multiplicatif, c’est donc exactement le groupe des racines de l’unité. Ceci montre que Ker λ est fini. Pour obtenir l’assertion sur son image, on observe que l’on peut définir λ par la formule analogue sur les S-idèles Ik,S , et l’image de I 0 := Ik,S ∩ Ik0 engendre(2) le R-espace vectoriel des f satisfaisant à  S v∈S f (w) = 0, qui est de dimension s − 1. Le groupe λ(Ek,S ) est discret (parce qu’il n’y a qu’un nombre fini de η ∈ Ek,S avec 1/2  |η|v  2 pour toute place v de S) et λ(IS0 )/λ(Ek,S ) est compact via la compacité de IS0 /Ek,S qui résulte du théorème 12.20 (noter que IS0 /Ek,S est un sousgroupe ouvert, donc fermé de Ik0 /k ∗ ). Finalement λ(Ek,S ) est un réseau qui engendre le R-espace vectoriel V 0 . (2) et

même lui est égal si k est un corps de nombres et S est l’ensemble des places archimédiennes.

186

CHAPITRE 12. RAPPELS SUR LES CORPS GLOBAUX

On obtient en corollaire le théorème des unités de Dirichlet. Théorème 12.26. Le groupe des S-unités Ek,S est isomorphe au produit direct d’un groupe fini (les racines de l’unité de k ∗ ) et de Zs−1 , où s est le cardinal de S. Terminons ce paragraphe avec un énoncé qui nous sera utile pour la dualité de Poitou-Tate (proposition 17.10). Proposition 12.27. Soit k un corps global. Soit S un ensemble fini de places de k (contenant les places archimédiennes si k est un corps de nombres). Soit n un entier positif, premier à la caractéristique de k si k est un corps de fonctions. Soit E l’ensemble des éléments a ∈ k ∗ /k ∗n tels que l’image av de a dans kv∗ /kv∗n soit dans Ov∗ /Ov∗n pour toute place v ∈ S telle que n soit inversible dans Ov . Alors E est fini. Démonstration. Quitte à agrandir S, on peut supposer que n est inversible dans tous les Ov pour v ∈ S (vu l’hypothèse faite dans le cas d’un corps de fonctions), et aussi que l’anneau des S-entiers Ok,S est principal (grâce à la finitude du groupe des classes d’idéaux de Ok,S ). On observe alors que E est l’ensemble des a ∈ k ∗ /k ∗n dont l’image dans kv∗ /kv∗n appartient à Ov∗ /Ov∗n pour toute place v ∈ S. Cela signifie que la valuation v(a) est multiple de n pour toute v ∈ S. Comme Ok,S est supposé principal, on peut alors trouver un élément b ∈ k ∗ satisfaisant à v(b) = v(a)/n pour toute v ∈ S. Alors, ∗ l’élément c := a/bn satisfait à c ∈ Ok,S , ce qui montre finalement que E est ∗ ∗n inclus dans Ok,S /Ok,S . Or ce dernier groupe est bien fini grâce au théorème des unités de Dirichlet. Une version plus fine de l’énoncé précédent est le classique théorème suivant (qui se démontre par des méthodes de géométrie des nombres, [40], Chap. III, § 2). Théorème 12.28 (Hermite-Minkowski). Soit k un corps de nombres, on note δk/Q le discriminant de l’extension d’anneaux de Dedekind Ok /Z, que l’on peut voir comme un entier > 0. Alors, pour tout entier N > 0, il n’existe qu’un nombre fini de corps de nombres k ⊂ Q dont le discriminant est au plus N . De plus, le seul corps de nombres de discriminant 1 est Q. Corollaire 12.29. La seule extension finie de Q non ramifiée en tout nombre premier est Q. Démonstration. Si k est une extension de Q de degré > 1, son discriminant est aussi > 1, donc admet un diviseur premier, qui est alors ramifié dans l’extension k/Q.

12.4. CAS D’UN CORPS DE FONCTIONS

187

Le théorème d’Hermite-Minkowski permet aussi de retrouver la proposition 12.27 (cf. [48], Part. II, § 6, Lem. 6) en montrant le théorème des extensions non ramifiées, qui dit que si S ⊃ Ω∞ est un ensemble fini de places de k et d est un entier, il n’y a qu’un nombre fini d’extensions de k non ramifiées en dehors de S de degré  d (voir aussi l’exercice 12.5 pour un cas particulier). Ce théorème possède une version sur les corps de fonctions de caractéristique p > 0, à condition de se limiter à des extensions de degré premier à p.

12.4. Quelques compléments dans le cas d’un corps de fonctions Dans ce paragraphe, nous supposerons que le lecteur a une certaine familiarité avec le langage de la géométrie algébrique, et notamment avec la théorie des courbes algébriques. Pour plus de détails concernant les diviseurs et le groupe de Picard, on pourra consulter le chapitre II.6 de [20] ; on pourra se référer à [36] et [37] pour ce qui concerne les variétés abéliennes et les jacobiennes. Les résultats que nous présentons ici seront utilisés dans la preuve de l’axiome du corps de classes (corollaire 13.29, voir aussi le théorème 13.23) pour un corps global de caractéristique p, notamment dans le cas où le degré de l’extension considérée est divisible par p. On considère une courbe projective, lisse, et géométriquement intègre X sur un corps parfait κ (le cas qui nous intéresse est celui où κ est un corps fini) de clôture algébrique κ. Ainsi κ est algébriquement fermé dans le corps des fonctions k := κ(X) de la courbe. Posons X = X ×κ κ ; désignons par κ(X) = k ×κ κ le corps des fonctions de X et par X (1) l’ensemble de ses points fermés. Soit Γκ = Gal(κ/κ) le groupe de Galois absolu de κ. Si Div X  désigne le groupe des diviseurs sur X (c’est-à-dire le groupe w∈X (1) Z ·  w  w∈X (1) Z), on peut associer à toute fonction f ∈ κ(X)∗ son diviseur Div f ∈ Div X, en prenant la valuation de f en chaque w ∈ X (1) . L’image de κ(X)∗ par f est le sous-groupe des diviseurs principaux Div0 X et le noyau de f est réduit aux fonctions constantes (parce que X est projective). Le  κ (Z), groupe Div X a une structure de Γκ -module, isomorphe à v∈X (1) IΓΓκ(v) où κ(v) désigne le corps résiduel de v. On obtient donc une suite exacte de Γκ -modules : (12.3)

Div 0 −→ κ∗ −→ κ(X)∗ −−−−→ Div0 X −→ 0.

D’autre part, notons Pic X le quotient de Div X par Div0 X (c’est le groupe de Picard de X, cf. [20], Part. II, Cor. 6.16). On a une autre suite exacte de Γκ -modules : (12.4)

0 −→ Div0 X −→ Div X −→ Pic X −→ 0.

188

CHAPITRE 12. RAPPELS SUR LES CORPS GLOBAUX

Proposition 12.30. Supposons que le corps κ soit de dimension cohomologique  1 (par exemple fini). Alors la flèche H 2 (κ, κ(X)∗ ) → H 2 (κ, Div0 X) induite par Div est un isomorphisme. Démonstration. Comme cd(κ)  1, on a Br κ = H 2 (κ, κ∗ ) = 0 d’après le théorème 6.17 et la remarque 6.18. De plus, H 3 (κ, κ∗ ) = 0 car scd(Γκ )  2 d’après la proposition 5.8. Le résultat découle alors de la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite (12.3). Par ailleurs, la structure du groupe Pic X est la suivante : on a une suite exacte de Γκ -modules : (12.5)

deg 0 −→ Pic0 X −→ Pic X −−−−→ Z −→ 0,

où deg est l’application degré et le noyau Pic0 X de deg s’identifie au groupe J(κ) des κ-points d’une κ-variété abélienne J, appelée la jacobienne de X ([37], Th. 1.1). En particulier, le groupe Pic0 X = J(κ) est divisible ([36], Th. 8.2). De plus, la jacobienne a pour dimension le genre de la courbe X. On a l’important théorème suivant, dû à Lang ([30]) : Théorème 12.31. Soit A un groupe algébrique lisse, commutatif et connexe (par exemple une variété abélienne) sur un corps fini κ. Alors le groupe H 1 (κ, A) := H 1 (Γκ , A(κ)) est nul. En particulier, sous les hypothèses et notations ci-dessus, on a H 1 (κ, Pic0 X) = 0. Remarque 12.32. Le théorème de Lang s’étend au H 1 non abélien (que nous n’avons pas considéré dans ce livre) des groupes algébriques connexes non commutatifs, mais pas aux variétés abéliennes sur un corps de dimension cohomologique  1 quelconque, il est par exemple faux en général sur C((t)). Corollaire 12.33. Supposons le corps κ fini. Alors H 1 (κ, Pic X) = 0. De plus la flèche H 2 (κ, Div0 X) → H 2 (κ, Div X) induite par l’inclusion Div0 X → Div X est injective. Démonstration. En utilisant la suite exacte longue associée à (12.4), on voit qu’il suffit de montrer que H 1 (κ, Pic X) = 0. Comme H 1 (κ, Z) = 0, la suite (12.5) et le théorème 12.31 donnent le résultat. 12.5. Exercices

√ Exercice 12.1. Montrer que Z[ −5] est un anneau de Dedekind non factoriel. Exercice 12.2. Soit k un corps global. Soit K une extension finie séparable (pas forcément galoisienne) de k. On note F la clôture galoisienne de K et on pose G = Gal(F/k). Pour toute place λ de F , on note Gλ ⊂ G son groupe de décomposition.

12.5. EXERCICES

189

a) Soit H le sous-groupe Gal(F/K) de G. Montrer que

gHg −1 = {1}. g∈G

b) Soient v une place de k et w une place de K au-dessus de v. On dit que w est décomposée dans K/k si Kw = kv , et que v est totalement décomposée dans K/k si toutes les places de K au-dessus de v sont décomposées (ceci étend au cas non galoisien les définitions classiques). Montrer l’équivalence des trois propriétés : i) La place w est décomposée dans K/k. ii) Pour toute place λ de F au-dessus de w, on a Gλ ⊂ H. iii) Il existe une place λ de F au-dessus de w avec Gλ ⊂ H. c) Montrer qu’une place v de k est totalement décomposée dans K/k si et seulement si le groupe de décomposition Gv de v dans F/k est {1} (ceci est non ambigu, le groupe Gv étant défini à conjugaison près dans G). On verra au chapitre 18 comme application du théorème de Čebotarev qu’il y a une infinité de places v qui satisfont à cette condition. d) Soit v une place de k. Soit D le groupe de décomposition d’une place de F au-dessus de v. Soient w1 , . . . , wr les places de K au-dessus de v. Montrer que les degrés [Kwi : kv ] pour i = 1, . . . , r sont les indices [D : (D ∩ gHg −1 )] pour g ∈ G (ou encore pour g ∈ G/H). En déduire qu’il existe une place w de K au-dessus de v et décomposée dans K/k si et seulement s’il existe g ∈ G tel que Gv ⊂ gHg −1 . Montrer que si de plus v est non ramifiée dans l’extension F/k, l’existence d’une  telle place w est équivalente à Gv ⊂ g∈G gHg −1 (on verra dans l’exercice 18.7 qu’il existe une infinité de places v de k qui ne satisfont pas à cette condition). e) Montrer qu’il existe une seule place de K au-dessus de v si et seulement si l’image de Gv par la surjection canonique G → G/H est G/H tout entier (on montrera que cette condition a bien un sens, bien que Gv ne soit défini qu’à conjugaison près). Exercice 12.3. Soit k un corps global. a) Trouver une suite d’éléments de Ik qui converge vers 1 pour la topologie de Ak , mais ne converge pas pour la topologie de Ik . b) L’ensemble Ik est-il fermé dans Ak pour la topologie de Ak ? √ Exercice 12.4. Soit k = Q( 2). √ a) Montrer que le sous-groupe H de Ik engendré par {±1} et 1+ 2 n’est pas compact. b) En déduire que k ∗ n’est pas fermé dans le produit restreint des kv∗ pour v finie (relativement aux Ov∗ ), c’est-à-dire dans les « idèles finis ».

190

CHAPITRE 12. RAPPELS SUR LES CORPS GLOBAUX

Exercice 12.5. Soit n > 0 un entier. Soit k un corps de nombres (dont on fixe une clôture algébrique k) contenant les racines n-ièmes de l’unité. Soit S un ensemble fini de places de k (contenant les places archimédiennes). En utilisant la proposition 12.27, montrer le cas particulier suivant du théorème des extensions non ramifiées : le corps k n’admet qu’un nombre fini d’extensions cycliques k  ⊂ k de degré divisant n et non ramifiées en dehors de S. Généraliser au cas où on ne suppose plus que k contient les racines n-ièmes de l’unité, puis à des extensions abéliennes (pas forcément cycliques). Exercice 12.6. On rappelle (corollaire 12.29) que le corps Q n’admet pas d’extension finie, non ramifiée en tout nombre premier p, autre que Q. Soit L une extension finie et abélienne de Q. Le but de cet exercice est de démontrer que L est une extension cyclotomique (théorème de KroneckerWeber) par voie purement locale. a) Soit p un nombre premier ramifié dans L/Q. Soit Lp le complété de L en un premier au-dessus de p. Montrer qu’il existe un entier np > 0 tel que Lp ⊂ Qp (μnp ), où Qp (μnp ) est l’extension obtenue en adjoignant à Qp les racines np -ièmes de l’unité (cf. exemple 11.23). Dans toute la suite, on écrit np = pep .mp avec mp premier à p, et on pose

n = p pep , le produit étant sur tous les nombres premiers ramifiés dans L/Q (dont on note R l’ensemble). On pose aussi M = L(μn ). b) Montrer que si un nombre premier p est ramifié dans M/Q, alors il est ramifié dans L/Q. c) Soit (pour p ∈ R) Ip ⊂ Gal(Mp /Qp ) le sous-groupe d’inertie. Montrer que Ip est isomorphe à Gal(Qp (μpep )/Qp ). d) Soit I le sous-groupe de Gal(M/Q) engendré par les Ip . Montrer que le corps fixe M I est Q. e) Montrer que le cardinal de I est au plus [Q(μn ) : Q] et en déduire que L ⊂ Q(μn ).

CHAPITRE 13 COHOMOLOGIE DES IDÈLES : AXIOME DU CORPS DE CLASSES

Dans ce chapitre, nous commençons à investiguer les propriétés cohomologiques des groupes Ik et Ck définis au chapitre précédent pour un corps global k. Le but est de démontrer un analogue global de la proposition 8.2, où le groupe des classes d’idèles va remplacer le groupe multiplicatif d’un corps local. C’est ce résultat qui (comme en théorie du corps de classes local) est la première étape dans la détermination du groupe de Brauer d’un corps global. 13.1. Cohomologie du groupe des idèles Dans tout ce paragraphe, on fixe un corps global k et une clôture séparable k de k. On considérera des extensions finies séparables K de k, qui seront toujours implicitement supposées incluses dans k. Pour toute place v de k, on fixe une clôture séparable kv de kv et un k-plongement iv : k → kv , ce qui fournit une place v de k au-dessus de v, en prenant pour v la restriction de la place de kv induite par v. Ceci permet pour toute extension algébrique séparable K ⊂ k de k d’avoir une place v • de K privilégiée audessus de v ; on notera pour simplifier Kv := iv (K)kv le corps Kkv (par exemple (k)v = kkv ), qui est de plus la complétion de K en v • si [K : k] est fini. On notera de même UK,v le groupe des unités de Kv∗ , et Gv (K/k) (ou même Gv s’il n’y a pas d’ambiguïté) le groupe de décomposition de v • dans G = Gal(K/k) si K est une extension galoisienne de k. Soit K une extension finie galoisienne de k de groupe G. On peut écrire le groupe des idèles de K comme le produit restreint des IK (v) pour v place de k par rapport aux UK (v), où on a posé

∗

IK (v) := Kw ; UK (v) := UK,w . w|v

w|v

(UK,w est le groupe multiplicatif de l’anneau des entiers de Kw pour w place finie de K.) Chacun des IK (v) et des UK (v) est un G-module via le kv -isomorphisme Kw  Kσw induit par chaque σ ∈ G. On peut également

192

CHAPITRE 13. COHOMOLOGIE DES IDÈLES

voir IK (v) comme le groupe des inversibles de l’anneau K ⊗k kv , sur lequel le groupe G agit kv -linéairement (via son action naturelle sur K). La proposition 12.14 donne facilement que IK (v) (resp. UK (v)) s’identifie Gv Gv (Kv∗ ) de Kv∗ (resp. à IG (UK,v )). à l’induit IG Proposition 13.1. Avec les notations ci-dessus : a) On a Ik = H 0 (G, IK ). b) Pour tout i ∈ Z, on a  i (G, IK ) =  H  i (Gv , K ∗ ). H v v∈Ωk

Démonstration. a) On a une injection naturelle de Ik dans IK via la décomposition (12.1). Soit α ∈ Ik . Pour tout σ ∈ G et toute place w de K au-dessus d’une place v de k, la composante (σα)σw de σα en σw est σαw = αw = ασw donc σα = α. Réciproquement, si α = (αw ) est dans H 0 (G, IK ), alors (σα)σw = σαw = ασw pour tout σ ∈ G. Pour σ ∈ Gw , cela donne déjà αw ∈ kv∗ . Le fait que G opère transitivement sur les places w au-dessus de v (proposition 12.14) donne alors que les αw pour w|v proviennent d’un même αv ∈ kv∗ via les ∗ plongements kv∗ → Kw , d’où α ∈ Ik . b) Le lemme de Shapiro donne  i (G, IK (v)) = H  i (Gv , Kv∗ ) H et par ailleurs si v est non ramifiée dans l’extension K/k, on a  i (G, UK (v)) = H  i (Gv , UK,v ) = 0 H car UK,v est un Gv -module cohomologiquement trivial par la proposition 8.3. Considérons les ensembles finis S de places de k, contenant les places ramifiées dans K/k et les places archimédiennes. Posons



IK,S = IK (v) × UK (v). v∈S

v∈S

Alors IK est la limite inductive des IK,S . On en déduit (à l’aide de l’analogue pour les groupes modifiés de la proposition 1.25, cf. aussi commentaire après le corollaire 2.7) :  i (G, IK ) = lim H  i (G, IK,S ) H −→ S  

   i G,  i G,

= lim H I (v) × H U (v) K K v∈S v∈S −→ S  

 i (G, IK (v)) × H  i (G, UK (v) H = lim −→ v∈S v∈S S

i  i ∗ = lim H (Gv , Kv ) = H (Gv , Kv∗ ). −→ v∈S v∈Ωk S

13.1. COHOMOLOGIE DU GROUPE DES IDÈLES

193

Corollaire 13.2. On a H 1 (G, IK ) = H 3 (G, IK ) = 0. Démonstration. D’après la proposition précédente, il s’agit de voir que pour toute place v de k, on a H 1 (Gv , Kv∗ ) = H 3 (Gv , Kv∗ ) = 0. La première assertion résulte du théorème de Hilbert 90. La deuxième en résulte pour v réelle grâce au théorème 2.16. Pour v finie, le théorème de Tate-Nakayama (théorème 3.14) donne un isomorphisme de H 1 (Gv , Z) = 0 sur H 3 (Gv , Kv∗ ). Notons aussi le lemme suivant sur le comportement des groupes d’idèles vis-à-vis de la norme. Lemme 13.3. Soit K une extension finie galoisienne de k. Un idèle α = (αv ) ∈ Ik est dans NK/k IK si et seulement si pour toute place v de k, sa composante locale αv ∈ kv∗ est une norme pour l’extension Kv /kv (rappelons que Kv désigne le complété de K pour une place w au-dessus de v). Démonstration. Cela résulte immédiatement de la proposition 13.1 b) appliquée à i = 0. On peut aussi simplement observer que la norme NK/k :

IK → Ik s’obtient en prenant l’application ( w|v NKw /kv ) : IK (v) → kv∗ sur chaque IK (v), où v décrit l’ensemble des places de k. On aimerait « passer à la limite » dans certaines des assertions précédentes. Notons I := limK IK le groupe des idèles de k, la limite étant prise −→ sur les extensions finies séparables K de k (attention, ce n’est pas le produit restreint des (k)∗v ). On appelle aussi C := I/k ∗ le groupe des classes d’idèles de k, qui est la limite inductive des CK . La proposition 13.1 a) et le théorème de Hilbert 90 donnent : Proposition 13.4. Si K est une extension finie galoisienne de k de groupe G, on a H 0 (G, CK ) = Ck . De même, on a H 0 (k, I) = Ik et H 0 (k, C) = Ck . En passant à la limite dans la proposition 13.1 b), on obtient  H i (k, I) = H i (Gv (k/k), (k)∗v ) v∈Ωk

pour tout i  1. On aimerait dans cet énoncé remplacer (k)v par la clôture séparable kv de kv . On a effectivement que (k)v = kkv est aussi kv , mais cet énoncé est non trivial ; il utilise le lemme suivant. Lemme 13.5 (Krasner). Soit F un corps complet pour une valeur absolue ultramétrique (pas forcément associée à une valuation discrète), de clôture séparable F . Soit α ∈ F , on note α1 = α, . . . , αn ses conjugués sur F . Soit β ∈ F satisfaisant à |α − β| < |α − αi | pour i = 2, . . . , n, où |.| est l’unique prolongement de la valeur absolue de F à F . Alors on a l’inclusion de corps F (α) ⊂ F (β).

194

CHAPITRE 13. COHOMOLOGIE DES IDÈLES

Démonstration. Soit L la clôture galoisienne sur F (β) de l’extension de corps F (α, β)/F (β). Soit σ ∈ G := Gal(L/F (β)). Alors σ(β −α) = β −σ(α). On a aussi que σ conserve |.| par unicité du prolongement de la valeur absolue dans le cas complet, qui résulte de l’équivalence des normes sur les espaces vectoriels de dimension finie sur un corps complet (l’existence d’un prolongement sur une extension finie d’un corps complet peut par exemple s’obtenir à l’aide de la formule (7.1) du théorème 7.7). Ainsi on obtient |β − σ(α)| = |β − α| < |αi − α| pour i = 2, . . . , n. On en déduit |α − σ(α)| < |α − αi | pour i = 2, . . . , n car |·| est ultramétrique. Finalement σ(α) = α, c’est-à-dire α ∈ F (β), comme on le voulait. On en déduit le résultat annoncé. Proposition 13.6. Soit k un corps global. Soit v une place de k. Alors (k)v (avec les conventions expliquées au début du paragraphe) s’identifie à la clôture séparable kv de la complétion kv de k en v. Démonstration. On a une inclusion naturelle (k)v → kv . On peut supposer que v est une place finie (le cas archimédien est trivial). Soit α ∈ kv , de polynôme minimal f ∈ kv [X]. Comme k est dense dans kv , on peut trouver un polynôme séparable g ∈ k[X] très proche de f , ce qui implique que |g(α)|

peut être rendu aussi petit que l’on veut. Écrivons g(X) = (X − βj ) avec βj ∈ k ⊂ (k)v . Alors g possède une racine β qui peut être rendue aussi proche que l’on veut de α, donc en particulier qui satisfait à |β −α| < |αi −α| pour tous les conjugués αi ∈ kv de α autres que α. Le lemme de Krasner donne alors α ∈ kv (β) = k(β)v ⊂ (k)v .  Corollaire 13.7. Pour tout i  1, on a H i (k, I) = v∈Ωk H i (kv , k ∗v ), où k v est la clôture séparable de kv . En particulier, H 1 (k, I) = 0. Noter que d’après ce que l’on vient de voir, la notation k v n’est pas ambiguë. 13.2. La seconde inégalité Le but de ce paragraphe est de montrer : Théorème 13.8. Soit k un corps global. Soit K une extension galoisienne de k de groupe de Galois G cyclique d’ordre n. Soit h(G, CK ) le quotient d’Herbrand du G-module CK , où CK = IK /K ∗ est le groupe des classes d’idèles de K. Alors h(G, CK ) = n.

13.2. LA SECONDE INÉGALITÉ

195

On en déduit : Corollaire 13.9 (« seconde inégalité »). Sous les hypothèses du théorème précédent, le cardinal du groupe Ck /NK/k CK = Ik /k ∗ NK/k IK est au moins n. Démonstration. En appliquant Hilbert 90 et la proposition 13.1 a), on a  0 (G, CK ) = Ck /NK/k CK = Ik /k ∗ NK/k IK . Le H 0 (G, CK ) = Ck , d’où H corollaire découle alors de la définition du quotient d’Herbrand.  0 (G, CK ) = n Le but de ce chapitre est de démontrer que l’on a en fait #H dans le corollaire ci-dessus. Pour cela, on aura besoin de la première inégalité qui, bien que pouvant se démontrer en utilisant le corollaire 13.9 (voir les paragraphes suivants), a historiquement été prouvée plus tôt par voie analytique (cf. [9], Exp. VIII), d’où la terminologie que nous adoptons ici (certains auteurs adoptent la convention inverse, c’est le cas par exemple dans [9], Exp. VII). Le corollaire 13.9 s’utilise surtout pour démontrer que K = k quand des informations arithmétiques permettent de vérifier que Ik = k ∗ NK/k IK . La preuve du théorème 13.8 s’appuie sur le lemme suivant. Lemme 13.10. Soit G un groupe fini. a) Soient M et M  deux modules sur l’anneau Q[G], de dimension finie  sur Q, et tels que les R[G]-modules MR := M ⊗Q R et MR soient iso morphes. Alors les Q[G]-modules M et M sont isomorphes. b) On suppose que G est cyclique. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie équipé d’une action de G. Soient L et L deux réseaux de E, stables pour l’action de G, et engendrant le R-espace vectoriel E. Alors si l’un des quotients d’Herbrand h(L), h(L ) est défini, l’autre l’est aussi et on a h(L) = h(L ). Démonstration. a) Tout Q[G]-homomorphisme ϕ : M → M  induit un R[G]-homomor phisme ϕ⊗1 : MR → MR et l’application ϕ → ϕ⊗1 induit un isomorphisme de R-espaces vectoriels :  ). (HomQ[G] (M, M  )) ⊗Q R −→ HomR[G] (MR , MR

Fixons des bases respectives des Q-espaces vectoriels M et M  , qui ont la même dimension. Le déterminant d’un élément de HomQ[G] (M, M  ) ou  de HomR[G] (MR , MR ) dans ces bases est alors bien défini. Soit alors (ξi ) une base du Q-espace vectoriel HomQ[G] (M, M  ), l’isomorphisme ci-dessus  montre que c’est encore une base du R-espace vectoriel HomR[G] (MR , MR ).  L’hypothèse que MR et MR sont isomorphes implique alors que le polynôme  F (t1 , . . . , tn ) := det( ti ξi ) ∈ Q[t1 , . . . , tm ] i

196

CHAPITRE 13. COHOMOLOGIE DES IDÈLES

n’est pas identiquement nul sur Rm tout entier, donc pas non plus sur Qm vu que Q est infini. On a donc bien un Q[G]-isomorphisme de M sur M  .  sont tous deux b) Posons M = L ⊗ Q et M  = L ⊗ Q. Alors MR et MR R[G]-isomorphes à E. Par a), il existe un Q[G]-isomorphisme ϕ : M → M  . Alors ϕ induit un homomorphisme injectif ϕ : L → (1/N )L pour un certain entier N > 0. Ceci implique que f := N ϕ est un homomorphisme injectif de L dans L . Comme L et L sont des réseaux de même rang, le conoyau de f est fini et on conclut en appliquant le théorème 2.20, c). Démonstration du théorème 13.8. D’après la proposition 12.24, on peut trouver un ensemble fini non vide S de places de k (contenant les places archimédiennes et les places ramifiées dans K/k) tel que IK = K ∗ IK,S , où



∗

∗ IK (v) × UK (v) = ( Kw ) × ( UK,w ). IK,S = v∈S

v∈S

v∈S w|v

v∈S w|v

Soit T l’ensemble (fini) des places de K qui sont au-dessus d’une place de S. On a alors CK = IK /K ∗ = IK,S /EK,T , où on rappelle que EK,T := K ∗ ∩ IK,S est le groupe des T -unités de K. D’après le théorème 2.20, on a alors, en abrégeant h(G, ·) en h(·), h(CK ) = h(IK,S )/h(EK,T ) dès que le membre de droite est défini (l’intérêt d’introduire S et T est précisément que cela va permettre à cette condition d’être satisfaite, alors  0 (G, K ∗ ) = K ∗ /N L∗ est en général que h(K ∗ ) n’est pas défini vu que H infini). On calcule d’abord h(IK,S ) de façon purement « locale ». Pour v ∈ S, la place v est non ramifiée dans K/k, ce qui implique comme on l’a déjà vu (conséquence du lemme de Shapiro et de la proposition 8.3) que le G-module UK (v) est cohomologiquement trivial. Soit maintenant v ∈ S, notons nv := [Kv : kv ] le degré local de K/k en v. Le lemme de Shapiro implique que pour v dans S, on a : h(IK (v)) = h(Gv , Kv∗ ) = nv par l’axiome du corps de classes local (proposition 8.2) d’où finalement

h(IK,S ) = nv . v∈S

On passe maintenant au calcul de h(EK,T ), qui est la partie « globale »

de la preuve. Il s’agit de montrer que n · h(EK,T ) = v∈S nv . Pour cela, on va utiliser le lemme 13.10. Soit V l’espace vectoriel des applications de T dans R, qui est donc isomorphe à Rt avec t = #T . Le groupe G opère sur V par la formule (σf )(w) = f (σ −1 w) pour tous f ∈ V , σ ∈ G, w ∈ T . Soit N le réseau constitué des f ∈ V dont l’image est incluse dans Z. Il

13.2. LA SECONDE INÉGALITÉ

197

est clair que N engendre le R-espace vectoriel V et est stable pour l’action



de G. Le G-module N est isomorphe à v∈S ( w|v Zw ), avec Zw = Z ; plus

précisément, si on pose (pour v fixée dans S) Nv := w|v Zw , alors Nv est un sous-G-module de N et G agit sur Nv par permutation des Zw . Le lemme de Shapiro donne alors, pour tout q ∈ Z :  q (Gv , Z)  q (G, N ) = H H v∈S

ce qui implique immédiatement h(N ) =



nv .

v∈S

Pour a ∈ EK,T , notons fa : T → R l’application définie par fa (w) = log |a|w et appliquons le lemme 12.25. Il nous dit que l’application λ : EK,T −→ V,

a −→ fa

a un noyau fini, et que l’image de f est un réseau M 0 qui engendre le R espace vectoriel V 0 ⊂ V constitué des f telles que w∈T f (w) = 0. On a h(EK,T ) = h(M 0 ) par le théorème 2.20, c). Soit g ∈ V défini par g(w) = 1 pour tout w ∈ T , posons M = M 0 + Zg. Alors le réseau M engendre le R-espace vectoriel V = V 0 + Rg ; comme M 0 et Z · g sont tous deux stables par G, on peut écrire h(M ) = h(M 0 ) · h(Z) = nh(M 0 ) = nh(EK,T ). Comme M et N engendrent le même R-espace vectoriel, le lemme 13.10 implique que h(N ) = h(M ). Finalement n · h(EK,T ) = h(N ), ou encore

nv , n · h(EK,T ) = v∈S

comme on le voulait. On en déduit : Proposition 13.11. Soit K une extension finie abélienne d’un corps global k. On suppose qu’il existe un sous-groupe D de Ik satisfaisant à : D ⊂ NK/k IK et k ∗ D est dense dans Ik . Alors K = k. Démonstration. Si F est une extension cyclique de k incluse dans K, on a D ⊂ NK/k IK ⊂ NF/k IF par transitivité des normes. Ainsi, si on sait traiter le cas d’une extension cyclique, on obtient que toute sous-extension F de K avec F/k cyclique est triviale, ce qui implique que K/k est triviale par la théorie de Galois puisque K/k est supposée abélienne. On peut donc supposer que K est une extension cyclique de k. Maintenant, le théorème 11.20, a) dit que chaque NKv /kv Kv∗ est un sousgroupe ouvert de Kv∗ ; de plus NKv /kv Kv∗ contient Uv := Ov∗ pour presque  0 (Gv , UK,v ) = 0 avec toute place v puisque v non ramifiée implique H

198

CHAPITRE 13. COHOMOLOGIE DES IDÈLES

Gv = Gal(Kv /kv ) (proposition 8.3). On en déduit, avec le lemme 13.3, que NK/k IK est un sous-groupe ouvert de Ik , donc aussi k ∗ NK/k IK (réunion d’ouverts). Ainsi k ∗ NK/k IK est un sous-groupe fermé (car ouvert) et dense (car il contient k ∗ D) de Ik , d’où k ∗ NK/k IK = Ik . Le corollaire 13.9 donne alors [K : k] = 1, c’est-à-dire K = k. Proposition 13.12. Soit S un sous-ensemble fini de places de k, contenant les places archimédiennes si k est un corps de nombres. Soit K une extension finie abélienne de k, non ramifiée en dehors de S. Alors le groupe de Galois G = Gal(K/k) est engendré par les Frobenius FK/k (v) pour v ∈ S. Démonstration. Notons déjà que comme ici G est abélien, le Frobenius Fv := FK/k (v) est bien défini comme élément de G (et pas seulement à conjugaison près). Soit G le sous-groupe de G engendré par les Fv pour v ∈ S et soit E son corps fixe. Alors l’image de Fv dans Gal(E/k) = G/G est triviale pour v ∈ S, ce qui donne Ev = kv , et donc tout élément de kv est une norme de Ev /kv pour v ∈ S. Notons alors D le sous-groupe de Ik constitué des idèles (αv ) tels que αv = 1 pour tout v ∈ S. Alors d’après le lemme 13.3 et ce que l’on vient de voir, on a D ⊂ NE/k IE . D’autre part, le théorème d’approximation forte 12.17 (ou même sa forme « faible », c’està-dire sans la condition en dehors de S) donne que k ∗ D est dense dans Ik . La proposition 13.11 donne alors E = k, ou encore G = G. Corollaire 13.13. Soit K une extension abélienne non triviale de k. Alors il y a une infinité de places v de k qui ne sont pas totalement décomposées dans K. Si de plus K/k est cyclique de degré m avec  premier, il existe une infinité de places de k qui sont inertes dans K/k (c’est-à-dire non ramifiées et telles que le groupe de décomposition associé soit G := Gal(K/k) tout entier). Notons qu’une place inerte v correspond à un Frobenius FK/k (v) qui engendre Gal(K/k), ou encore à une place non ramifiée telle qu’il existe une seule place w de K au-dessus de v. Démonstration. La première assertion vient de la proposition 13.12 jointe au fait que les places v totalement décomposées dans K correspondent à FK/k (v) = 1. La deuxième assertion s’obtient en appliquant la première à l’extension intermédiaire E/k de degré , qui correspond à l’unique sousgroupe d’ordre m−1 de Gal(K/k) : on obtient une infinité de places v pour lesquelles le Frobenius FK/k (v) a une image non triviale dans le quotient d’ordre  de G, donc engendre G. Par exemple, le corollaire ci-dessus donne qu’un élément de Z qui n’est pas un carré ne peut pas devenir un carré modulo tous les nombres premiers à l’exception d’un nombre fini d’entre eux. On a en fait un énoncé

13.3. EXTENSIONS DE KUMMER

199

plus précis et plus général que le corollaire 13.13, le théorème de Čebotarev (cf. chapitre 18). 13.3. Extensions de Kummer Dans ce paragraphe, nous établissons des résultats généraux sur les extensions de Kummer, qui seront utiles aussi bien dans le prochain paragraphe que pour le théorème d’existence global. On fixe un corps k et un entier n > 0 non divisible par la caractéristique de k, tel que k contienne une racine primitive n-ième de l’unité ζ. Définition 13.14. Une extension de √Kummer de k est une extension de corps K de k de la forme K = k( n Δ), où Δ est un sous-groupe de k ∗ , contenant k ∗n , et tel que Δ/k ∗n soit fini.(1) √ Noter que comme ζ ∈ k, la notation k( n Δ) n’est pas ambiguë, et le choix d’une racine primitive n-ième de l’unité dans k permet d’identifier les √ modules galoisiens μn et Z/n. Comme pour tout a ∈ Δ, l’extension k( n a) est cyclique de degré divisant n (elle correspond à l’élément de H 1 (k, Z/n)  H 1 (k, μn ) = k ∗ /k ∗n donné par la classe de a), une extension de Kummer est une extension finie abélienne de k dont le groupe de Galois est d’exposant divisant n (isomorphe à un sous-groupe de (Z/n)r , où r est le cardinal de Δ/k ∗n ). Réciproquement, une extension cyclique de k de degré divisant n correspond à un élément de H 1 (k, Z/n)  k ∗ /k ∗n , et elle est donc de la √ forme k( n a). Plus généralement, on a : Proposition 13.15. Soit K une extension finie √ abélienne de k dont le groupe de Galois G est d’exposant n. Alors K = k( n Δ) avec Δ = K ∗n ∩ k ∗ . De plus, on a un isomorphisme u : Δ/k ∗n −→ Hom(G, Z/n). Réciproquement, si Δ est un sous-groupe de k ∗ contenant k ∗n et si on pose √ n K = k( Δ ), alors on a Δ = K ∗n ∩ k ∗ . Ainsi, pour une extension abélienne K de k de groupe de Galois d’exposant n, on a un et un seul sous-groupe Δ de k ∗ contenant k ∗n tel que √ n K = k( Δ). √ Démonstration. On a clairement k( n Δ) ⊂ K. Réciproquement, l’extension K/k est la composée de toutes ses sous-extensions E/k cycliques puisqu’elle est abélienne (vu qu’un groupe abélien fini est produit direct de groupes (1) Certains

cas infini.

auteurs ne demandent pas cette condition, mais nous n’aurons pas besoin du

200

CHAPITRE 13. COHOMOLOGIE DES IDÈLES

cycliques). Une telle extension E est de√degré divisant n, donc s’écrit √ E= √ k( n a) avec a ∈ k ∗ ∩ K ∗n , d’où E ⊂ k( n Δ) et finalement K ⊂ k( n Δ). On définit alors un morphisme u : Δ → Hom(G, Z/n) par u(a) = χa , où √ √ (13.1) χa (σ) = σ( n a)/ n a est défini à l’aide de l’identification de Z/n avec le sous-groupe des racines nièmes de l’unité de k ∗ . Le noyau de u est k ∗n car χa est trivial si et seulement √ si n a ∈ k ∗ . Il reste à montrer que u est surjectif. Soit χ ∈ Hom(G, Z/n) = Hom(G, μn ), alors χ devient un 1-cobord (par Hilbert 90) quand on le voit comme une application de G dans K ∗ . Ceci signifie que l’on a un b ∈ K ∗ tel que χ(σ) = σ(b)/b pour tout σ ∈ G. Alors σ(bn ) = (σb)n = χ(σ)n bn = bn d’où a := bn ∈ k ∗ ∩ K ∗n = Δ, et finalement χ = χa .

√ Soient enfin Δ un sous-groupe de k ∗ contenant k ∗n et K := k( n Δ ). n Posons Δ = K ∗ ∩ k ∗ et montrons que Δ = Δ . L’inclusion Δ ⊂ Δ est évidente. Notons H le sous-groupe de G = Gal(K/k) constitué des σ tels que χa (σ) = 1 pour tout a ∈ Δ , c’est-à-dire que H est l’orthogonal de la famille (χa )a∈Δ pour la dualité entre G et Hom(G, Z/n). Par bidualité, l’orthogonal de H est le sous-groupe de Hom(G, Z/n) constitué des χa pour a ∈ Δ , ce qui signifie que l’image de Δ /k ∗n par l’isomorphisme u : Δ/k ∗n → Hom(G, Z/n) est exactement Hom(G/H,√Z/n). Par ailleurs, la formule (13.1) montre que H fixe tout élément √ de n Δ , donc il fixe K n tout entier (qui est l’extension de k engendrée par Δ ). La théorie de Galois dit alors que H est le groupe trivial ; comme u est un isomorphisme, ceci implique que Δ/k ∗n = Δ /k ∗n et finalement Δ = Δ , comme on le voulait. Remarque 13.16. Le lien entre la proposition précédente et la théorie de Kummer cohomologique du chapitre 6.2 (corollaire 6.6) est le suivant : le groupe H 1 (G, Q/Z) = H 1 (Gal(K/k), Z/n) est (par la suite de restrictioninflation) donné par H 1 (G, Q/Z) = Ker[H 1 (k, Z/n) −→ H 1 (K, Z/n)]. En identifiant (via le choix de ζ) les modules galoisiens Z/n et μn , on obtient un isomorphisme de H 1 (G, Q/Z) avec le noyau de la flèche k ∗ /k ∗n → K ∗ /K ∗n , c’est-à-dire avec Δ/k ∗n . On aura besoin également du résultat « local » suivant. Lemme 13.17. Soit K un corps local. Soit n > 0 un entier non divisible par la caractéristique du corps résiduel κ de K, on suppose que K contient une racine primitive n-ième de l’unité (et donc n divise q−1, où q = #κ). Alors,

13.3. EXTENSIONS DE KUMMER

201

√ pour x ∈ K ∗ , l’extension L = K( n x)/K est non ramifiée si et seulement si x ∈ UK K ∗n . Démonstration. Supposons que x = u · y n avec u ∈ UK et y ∈ K ∗ . On √ veut montrer que K( n u) est non ramifiée sur K. Par le lemme de Hensel, le polynôme X n − u se décompose en produits de facteurs linéaires sur l’extension non ramifiée K  de K dont le corps résiduel est le corps de √ décomposition de la réduction X n − u sur κ ; ainsi n u ∈ K  et on a bien √ √ K( n u) non ramifiée sur K. Réciproquement, si K( n x)/K est non ramifiée, écrivons x = u · π r avec u ∈ UK et π uniformisante de K. Alors la valuation √ n vL ( u · π r ) vaut n1 vL (π r ) = n1 vK (π r ), ce qui montre que n divise r. Enfin, les extensions de Kummer sont liées à un autre résultat « local », que nous utiliserons au prochain paragraphe. Proposition 13.18. Soit k un corps global. Soit v une place de k. Soit n > 0 un entier non divisible par la caractéristique de k (ce qui est automatique si k est un corps de nombres), et tel que μn ⊂ kv . Alors le cardinal de kv∗ /kv∗n est n2 /|n|v et, si v est finie, le cardinal de Ov∗ /Ov∗n est n/|n|v . Démonstration. Le cas où v est archimédienne est immédiat, en notant que pour v réelle on a forcément n = 1 ou n = 2, et pour v complexe |n|v = n2 par convention. Supposons donc v finie. Comme kv∗  Z×Ov∗ , il suffit de calculer le cardinal de Ov∗ /Ov∗n . Pour cela, on fait opérer le groupe Z/n trivialement sur Ov∗ , et on considère le quotient d’Herbrand associé hn (Ov∗ ). Comme H 1 (Z/n, Ov∗ ) = Hom(Z/n, Ov∗ ) est de cardinal n (parce que kv ⊃ μn ), on a hn (Ov∗ ) =

#Ov∗ /Ov∗n . n

On est donc ramené à montrer que hn (Ov∗ ) = |n|−1 v . Si k est un corps de fonctions de caractéristique p, l’hypothèse faite sur n implique que |n|v = 1, et par ailleurs le sous-groupe d’indice fini Uv1 de Uv = Ov∗ est un pro-p-groupe (théorème 7.18, a), donc satisfait à hn (Uv1 ) = 1 puisque p ne divise pas n. On conclut avec le théorème 2.20. Si k est un corps de nombres, le groupe Uv1 possède un sous-groupe d’indice fini isomorphe au groupe additif Ov (théorème 7.18, b). Comme H 1 (Z/n, Ov ) = Ov [n] = 0, le théorème 2.20 donne alors hn (Uv ) = hn (Uv1 ) = hn (Ov ) = #(Ov /nOv ) = |n|−1 v , comme on le voulait.

202

CHAPITRE 13. COHOMOLOGIE DES IDÈLES

13.4. Première inégalité et axiome du corps de classes On commence par un lemme d’algèbre linéaire : Lemme 13.19. Soient  un nombre premier et m un entier positif ou nul. On pose n = m . Soit A l’anneau Z/nZ. Soient M un A-module libre de type fini et M1 un sous-A-module de M tel que M/M1 soit libre. Alors M1 est libre de type fini. Démonstration. Comme M2 := M/M1 est libre, on a M  M1 ⊕M2 . Comme groupe abélien, M est isomorphe à (Z/nZ)r avec r  0. Le théorème de structure des groupes abéliens finis dit que le groupe abélien M1 de n-torsion est isomorphe à une somme directe de groupes de la forme (Z/n Z), où n est une puissance de . Mais l’unicité dans ce même théorème impose alors n = n (on aurait pu aussi utiliser le théorème plus avancé selon lequel tout module projectif de type fini sur un anneau local est libre, cf. [35], Part. I, Th. 2.9). Nous revenons aux corps globaux. Dans toute la suite de ce paragraphe, k désigne un corps global ; dans tous les énoncés avant le théorème 13.23, on note n une puissance d’un nombre premier  différent de la caractéristique de k, tel que k contienne une racine primitive n-ième de l’unité ζ. Le but va d’abord être de calculer (par une méthode due à Chevalley) le groupe de normes NK/k CK pour une extension de Kummer K/k (au sens de la définition 13.14) de groupe de Galois G = (Z/n)r . On commence par fixer un ensemble fini S de places de k, contenant toutes les places archimédiennes (si k est un corps de nombres), les places au-dessus de , les places ramifiées dans K/k, et tel que Ik = Ik,S k ∗ (cf. proposition 12.24). On note s le cardinal de S. Proposition 13.20. Avec les notations ci-dessus, on a s  r. De plus, il existe un ensemble T de places de k, disjoint de S et de cardinal s − r, tel que √ n K = k( Δ), où Δ est le noyau de l’application diagonale

∗ ∗n Ek,S −→ kv /kv , v∈T

avec de plus Δ = K

∗n

∩ Ek,S .

(Rappelons que Ik,S est le groupe des S-idèles et Ek,S = k ∗ ∩ Ik,S est le groupe des S-unités). √ Démonstration. On commence par montrer que √K = k( n Δ) avec Δ = K ∗n ∩ Ek,S . La proposition 13.15 donne K = k( n D) avec D = K ∗n ∩ k ∗ . √ Pour x ∈ D, le choix de S donne que k( n x)/k est non ramifiée pour v ∈ S, d’où x = uv yvn avec uv ∈ Uv := Ov∗ et yv ∈ kv∗ (lemme 13.17). Posons yv = 1 pour v ∈ S, on obtient un idèle y = (yv ) (en effet, x est de valuation nulle

13.4. PREMIÈRE INÉGALITÉ ET AXIOME DU CORPS DE CLASSES

203

en dehors d’un nombre fini de places), que l’on peut écrire (toujours par le choix de S) y = α · z avec α ∈ Ik,S et z ∈ k ∗ . Alors x/z n ∈ Ik,S ∩ k ∗ = Ek,S donc x/z n ∈ Δ. Ainsi D √ ⊂ Δ·k ∗n , et l’inclusion en sens inverse est évidente, n d’où finalement K = k( Δ).  Posons N = k( n Ek,S ), alors N ⊃ K puisque Ek,S ⊃ Δ. Comme n n n Ek,S k ∗n /k ∗n = Ek,S /Ek,S (observer que k ∗n ∩ Ek,S = Ek,S , où Ek,S désigne le sous-groupe des puissances n-ièmes de Ek,S ), la proposition 13.15 donne n , Z/n). Gal(N/k)  Hom(Ek,S /Ek,S

D’autre part, Ek,S contient les racines n-ièmes de l’unité et c’est donc un groupe abélien isomorphe (par le théorème des unités de Dirichlet) à n Zs−1 × μq , où q est un entier tel que n divise q ; ceci donne que Ek,S /Ek,S est un Z/n-module libre de rang s, donc c’est aussi le cas de Gal(N/k). Comme son quotient G = Gal(K/k) est par hypothèse un Z/n-module libre de rang r, on obtient déjà r  s et Gal(N/K) est un Z/n-module libre grâce au lemme 13.19. Choisissons alors une Z/n-base σ1 , . . . , σs−r de Gal(N/K), et appelons Ni

le corps fixe de σi pour i = 1, . . . , s − r. Alors K = 1is−r Ni . D’après le corollaire 13.13, on peut trouver pour chaque i un idéal premier pi de Ni , au-dessus d’une place finie vi de k, tel que : les places vi sont deux à deux distinctes, ne sont pas dans S, et chaque pi est inerte dans l’extension N/Ni (rappelons que les N/Ni sont cycliques d’ordre n, avec n puissance d’un nombre premier ). Ceci signifie que le Frobenius associé à pi engendre Gal(N/Ni ), ou encore qu’il y a un seul premier pi = pi ON de N au-dessus de Ni . Nous allons montrer que T = {v1 , . . . , vs−r } convient. Montrons d’abord que Gal(N/Ni ) est le groupe de décomposition Di de vi dans N/k. La place vi est non ramifiée dans l’extension N/k d’après le lemme 13.17. En particulier, Di est cyclique, engendré par le Frobenius FN/k (vi ). D’autre part, Di ⊃ Gal(N/Ni ) car tout élément de Gal(N/k) qui induit l’identité sur Ni laisse fixe pi , donc pi . Comme Gal(N/Ni ) est d’ordre n et Di est cyclique d’exposant  n, la seule possibilité est finalement Di = Gal(N/Ni ), comme on le voulait. Comme Gal(N/K) est le produit direct des Gal(N/Ni ), on obtient que K/k est la sous-extension maximale de N/k dans laquelle toutes les places vi sont totalement décomposées : en effet, cette propriété revient à dire que K est la sous-extension maximale de N/k telle que tous les FN/k (vi ) soient dans Gal(N/K). Soit alors x ∈ Ek,S . On obtient : √ √ x ∈ Δ ⇐⇒ k( n x) ⊂ K ⇐⇒ kvi ( n x) = kvi , ∀ i = 1, . . . , s − r,

s−r ce qui signifie exactement que Δ est le noyau de Ek,S → i=1 kv∗i /kv∗n . i

204

CHAPITRE 13. COHOMOLOGIE DES IDÈLES

On en vient au résultat le plus compliqué de ce paragraphe, qui inclut en particulier la « première inégalité » dans le cas d’une extension de Kummer. Théorème 13.21. Sous les hypothèses et notations de la proposition 13.20, on pose (pour toute place non archimédienne v de k) Uv := Ov∗ et

∗n

∗

Ik (S, T ) := kv × kv × Uv . v∈S

v∈T

v∈S∪T

Soit Ck (S, T ) = Ik (S, T ) · k ∗ /k ∗ . Alors on a NK/k CK ⊃ Ck (S, T ) et [Ck : Ck (S, T )] = [K : k]. Si de plus l’extension K/k est cyclique, on a Ck (S, T ) = NK/k CK (et donc [Ck : NK/k CK ] = [K : k]). On commence par un lemme. n Lemme 13.22. On a Ik (S, T ) ∩ k ∗ = Ek,S∪T . n ⊂ Ik (S, T )∩k ∗ . Démonstration. Il est immédiat que l’on a l’inclusion Ek,S∪T √ ∗ Soit réciproquement y ∈ Ik (S, T ) ∩ k , posons M = k( n y). Pour montrer que M = k, il suffit d’après le corollaire 13.9 de voir que Ck = NM/k CM .

Montrons d’abord que l’application diagonale f : Ek,S → v∈T Uv /Uvn est surjective, où Uvn est le sous-groupe des puissances n-ièmes dans Uv . Son noyau est Δ d’après la proposition 13.20, et on a

#(Ek,S /Δ) =

n #Ek,S /Ek,S . n #Δ/Ek,S

Comme on l’a vu dans la preuve de la proposition 13.20 (conséquence du n théorème des unités de Dirichlet), le cardinal de Ek,S /Ek,S est ns ; d’autre n ∗n ∗n part le cardinal de Δ/Ek,S = Δk /k est celui de G = Gal(K/k) par la proposition 13.15, c’est donc nr . Finalement le cardinal de Ek,S /Δ est ns−r , et il suffit pour obtenir la surjectivité voulue de voir que c’est aussi celui de

n v∈T Uv /Uv . Or c’est bien le cas d’après la proposition 13.18, vu que v ne divise pas  si v ∈ T et n est une puissance de . Soit maintenant α = (αv ) ∈ Ik,S , d’image [α] ∈ Ck = Ik,S k ∗ /k ∗ . On veut montrer que [α] ∈ NM/k CM . La surjectivité de f permet de trouver x ∈ Ek,S tel que pour toute place v de T , on ait αv = x · unv avec uv ∈ Uv . Posons α = α/x, il suffit de voir que α est dans NM/k IM , ce que l’on peut vérifier composante par composante d’après le lemme 13.3. Pour v ∈ S, on a y ∈ kv∗n donc Mv = kv , ce qui implique évidemment que αv est une norme de l’extension Mv /kv . Pour v ∈ T , cela marche aussi parce que αv = unv est une puissance n-ième. Enfin, pour v ∈ S∪T , on a Mv /kv non ramifiée et αv ∈ Uv , ce qui suffit à assurer que αv est une norme locale d’après la proposition 8.3. n Finalement on a bien M = k, soit y ∈ k ∗n ∩ Ik (S, T ) ⊂ Ek,S∪T , comme on le voulait.

13.4. PREMIÈRE INÉGALITÉ ET AXIOME DU CORPS DE CLASSES

205

Démonstration du théorème 13.21. On utilise la suite exacte : 1 −→ Ik,S∪T ∩ k ∗ /Ik (S, T ) ∩ k ∗ −→ Ik,S∪T /Ik (S, T ) −→ Ik,S∪T · k ∗ /Ik (S, T )k ∗ −→ 1 et on calcule les cardinaux des différents termes. Comme Ik = Ik,S∪T · k ∗ , l’ordre du groupe de droite est [Ck : Ck (S, T )]. D’après le lemme 13.22, n l’ordre du groupe de gauche est [Ek,S∪T : Ek,S∪T ] = n2s−r comme on l’a déjà vu (car le cardinal de S ∪ T est 2s − r). Enfin, le cardinal du



groupe du milieu est celui de v∈S [kv∗ : kv∗n ], soit v∈S n2 /|n|v d’après la proposition 13.18. Or, comme S contient toutes les places archimédiennes et divisant , on a par la formule du produit (rappelons que n est une puissance de ) :



1= |n|v = |n|v d’où

v∈Ωk



2

v∈S

v∈S

2s

n /|n|v = n . On obtient donc [Ck : Ck (S, T )] = nr = [K : k].

comme voulu. Montrons maintenant que Ck (S, T ) ⊂ NK/k CK . Soit α ∈ Ik (S, T ), il suffit de vérifier (lemme 13.3) que chaque composante αv de α est une norme locale. Pour v ∈ S, on a αv ∈ kv∗n , qui est une norme locale via l’isomorphisme de réciprocité local kv∗ /N Kv∗  Gal(Kv /kv ) et le fait que Gal(K/k) soit d’exposant n. Pour v ∈ T , on a Kv = kv car Δ ⊂ kv∗n , donc la condition voulue est automatiquement satisfaite. Enfin, pour v ∈ S ∪ T , αv est une unité et Kv /kv est non ramifiée par le lemme 13.17 donc cela marche encore (proposition 8.3). Si maintenant K/k est cyclique, on a r = 1 et le corollaire 13.9 donne [K : k]  [Ck : NK/k CK ]  [Ck : Ck (S, T )] = [K : k] ce qui prouve l’égalité NK/k CK = Ck (S, T ). On en déduit enfin : Théorème 13.23 (Axiome du corps de classes global). Soit k un corps global. Soit K une extension finie galoisienne de k de groupe de Galois G cyclique.  0 (G, CK ) est de cardinal [K : k], et H 1 (G, CK ) = 0. Alors H On verra un peu plus loin que la nullité de H 1 (G, CK ) est encore valable  0 (G, CK ) est également si G est un groupe fini quelconque. L’assertion sur H valable (sous une forme plus précise) dès que G est fini abélien, comme conséquence de résultats que nous verrons dans les deux prochains chapitres. On en déduira aussi que dans le théorème 13.21, l’égalité Ck (S, T ) = NK/k CK est encore vraie si on suppose seulement que l’extension K/k est abélienne.

206

CHAPITRE 13. COHOMOLOGIE DES IDÈLES

Démonstration dans le cas où la caractéristique de k ne divise pas [K : k]. Nous reportons au prochain paragraphe le cas où k est un corps de fonctions de caractéristique p > 0 divisant [K : k], qui doit se traiter à part. On peut pour cela utiliser la méthode de [1], Chap. 6, mais il nous a semblé plus parlant d’employer une approche géométrique, basée sur les résultats du paragraphe 12.4. Pour l’instant, nous supposerons donc que k est un corps de nombres, ou un corps de fonctions dont la caractéristique est première à [K : k]. Comme on sait que le quotient d’Herbrand h(G, CK ) vaut n := [K : k] par  −1 (G, CK ) (qui est aussi H 1 (G, CK ) le théorème 13.8, il suffit de voir que H par le théorème 2.16) est de cardinal 1. On raisonne par récurrence sur n. Considérons une sous-extension M/k de K/k de degré premier . Si  < n, l’hypothèse de récurrence et la suite exacte de restriction-inflation donnent H 1 (G, CK ) = 0. Supposons donc que n =  est premier ; notons μ le groupe des racines -ièmes de l’unité (dans une clôture algébrique de k) et posons k  = k(μ ), K  = K(μ ). Alors K  /k  est une extension de Kummer  0 (Gal(K  /k  ), CK  ) cyclique et le théorème 13.21 donne que le groupe H   1   est de cardinal [K : k ], donc H (Gal(K /k ), CK  ) = 0 (toujours avec le théorème 13.8). Comme [k  : k]   − 1, l’hypothèse de récurrence donne aussi H 1 (Gal(k  /k), Ck ) = 0 d’où H 1 (Gal(K  /k), CK  ) = 0 par la suite de restriction-inflation, et a fortiori H 1 (G, CK ) = 0 par la même suite. Corollaire 13.24 (Principe de Hasse normique). Soit k un corps global et soit K une extension finie cyclique de k. Alors un élément x ∈ k ∗ est une norme de l’extension K/k si et seulement si son image xv dans kv∗ est une norme de Kv /kv pour toute place v de k. Attention, ce résultat n’est pas vrai pour une extension abélienne quelconque (voir par exemple l’exercice 5 de [9]).  −1 (G, CK ) = 0, la suite exacte Démonstration. Soit G = Gal(K/k). Comme H  0 (G, IK ),  0 (G, K ∗ ) → H de cohomologie modifiée donne une injection H ce qui permet de conclure avec la proposition 13.1, b). Théorème 13.25. Soit K/k une extension finie galoisienne de corps globaux de groupe G. Alors H 1 (G, CK ) = 0. Démonstration. Pour G cyclique, le résultat fait partie de l’axiome du corps de classes (théorème 13.23). D’autre part, rappelons que (pour tout nombre premier p) l’abélianisé d’un p-groupe est un p-groupe non trivial, donc tout p-groupe a un quotient d’ordre p. On en déduit que le théorème vaut quand G est un p-groupe par récurrence sur le cardinal de G, en prenant une sous-extension E/k galoisienne de degré p et en utilisant la suite exacte

13.5. PREUVE DE L’AXIOME DU CORPS DE CLASSES

207

de restriction-inflation 0 −→ H 1 (Gal(E/k), CE ) −→ H 1 (G, CK ) −→ H 1 (Gal(K/E), CK ). Finalement, pour G quelconque, on considère, pour tout p divisant #G, un p-Sylow Gp de G et son corps fixe Kp . Alors, comme H 1 (G, CK ) est la somme directe des H 1 (G, CK ){p}, l’application

H 1 (G, CK ) −→ H 1 (Gal(K/Kp ), CK ) p

obtenue via les restrictions est injective par le lemme 3.2, ce qui donne le résultat d’après le cas où G est un p-groupe. Corollaire 13.26. Soit C = limK CK = Ik /k ∗ . Alors H 1 (k, C) = 0. −→

13.5. Preuve de l’axiome du corps de classes pour un corps de fonctions Dans ce paragraphe, on considère un corps global k de caractéristique p, que l’on voit comme le corps des fonctions k = κ(X) d’une courbe projective, lisse, et géométriquement intègre X sur un corps fini κ. Nous allons ici suivre la méthode de [38] (Part. I, App. A) pour démontrer l’axiome du corps de classes global (théorème 13.23) dans cette situation. En un sens, la théorie du corps de classes pour un corps de fonctions est plus simple que pour un corps de nombres, à condition de connaître les résultats géométriques du paragraphe 12.4. En effet, cette approche va par exemple donner l’axiome du corps de classes (ainsi que le théorème 13.25 et le corollaire 13.26) bien plus facilement qu’avec la méthode des extensions de Kummer que nous avons suivie au paragraphe précédent, et elle a de plus l’avantage de fonctionner aussi dans le cas où p divise le degré de l’extension (que nous avions laissé en suspens). L’approche géométrique admet également de vastes généralisations en dimension supérieure, dont on trouvera un exposé très complet dans [47]. Les notations de ce paragraphe sont analogues à celles du paragraphe 12.4. Pour toute extension finie κ ⊂ κ de κ, posons Xκ = X ×κ κ et notons κ (X) = κ(X) ⊗κ κ le corps des fonctions de la courbe Xκ ; ainsi κ (X) est une extension finie du corps global k. Soit Iκ(X) la limite inductive sur ces κ des groupes d’idèles Iκ (X) . On a une inclusion naturelle i de κ(X)∗ dans Iκ(X) . Proposition 13.27. La flèche H 2 (κ, κ(X)∗ ) → H 2 (κ, Iκ(X) ) induite par i est injective.

208

CHAPITRE 13. COHOMOLOGIE DES IDÈLES

Démonstration. Tout point fermé w de Xκ définit une valuation discrète valw sur le complété κ (X)w , d’où par définition de Iκ (X) une flèche induite   valw : Iκ (X) −→ Z · w = Div Xκ . (1)

(1)

w∈Xκ

w∈Xκ

On a donc, par définition de l’application Div (cf. paragraphe 12.4), un diagramme commutatif : / Iκ (X)

κ (X)∗ Div

 Div0 Xκ

 / Div Xκ .

En passant à la limite sur les κ , on obtient un diagramme commutatif : κ(X)∗ Div

 Div0 X

i

/ Iκ(X)  / Div X.

La proposition 12.30 et le corollaire 12.33 nous disent que les flèches H (κ, κ(X)∗ ) → H 2 (κ, Div0 X) et H 2 (κ, Div0 X) → H 2 (κ, Div X) induites par ce diagramme sont injectives. Le résultat en découle. 2

Fixons maintenant une clôture séparable k de k = κ(X) contenant κ et considérons une extension finie galoisienne k  ⊂ k de k. Soit κ la fermeture algébrique de κ dans k  . Notons Ik le groupe des idèles du corps global k  , et de même Iκ (X) celui de κ (X). On a un diagramme commutatif : k O

∗

κ (X)∗

/ Ik  O / Iκ (X)

d’où, en passant à la limite sur les k  , un diagramme commutatif : kO ∗

/I

κ(X)∗

/ Iκ(X)

k O

(13.2)

Ici I := Ik est le groupe des idèles de k tel qu’il a été défini au paragraphe 13.1, et on dispose aussi du groupe des classes d’idèles C = I/k ∗ de k.

13.5. PREUVE DE L’AXIOME DU CORPS DE CLASSES

209

Théorème 13.28. Le groupe Br k est isomorphe à H 2 (κ, κ(X)∗ ). La flèche Br k = H 2 (k, k ∗ ) → H 2 (k, Ik ) induite par le diagramme ( 13.2) est injective. Démonstration. Considérons les extensions algébriques (de degré infini) de corps k = κ(X) ⊂ κ(X) ⊂ k. Le groupe de Galois de κ(X)/κ(X) s’identifie à Γκ = Gal(κ/κ). Comme H 1 (κ(X), k ∗ ) = 0 par Hilbert 90, on a par le corollaire 1.45 (dans sa version profinie) une suite exacte Inf 0 −→ H 2 (κ, κ(X)∗ ) −−−→ H 2 (k, k ∗ ) = Br k −→ H 2 (κ(X), k ∗ ) = Br(κ(X)). Mais le corps κ(X) est C1 par le théorème de Tsen (exemple 6.20, b), donc de groupe de Brauer nul (théorème 6.22), ce qui donne un isomorphisme H 2 (κ, κ(X)∗ )  Br k. D’où le premier point. Montrons maintenant que l’application Inf : H 2 (κ, Iκ(X) ) −→ H 2 (k, Ik ) déduite du diagramme (13.2) est injective. Soient k  ⊂ k une extension finie galoisienne de k et κ la fermeture algébrique de κ dans k  . Il suffit de montrer que Inf : H 2 (Gal(κ (X)/k), Iκ (X) ) → H 2 (Gal(k  /k), Ik ) est injective (on passe ensuite à la limite sur k  ). Posons K = κ (X). On applique la proposition 13.1 b) aux extensions finies de corps globaux K/k et k  /k, ce qui permet de se réduire à montrer que si v est une place de k, l’application ∗

Inf : H 2 (Gal(Kv /kv ), Kv∗ ) −→ H 2 (Gal(kv /kv ), kv ) est injective ; or ceci est bien le cas d’après Hilbert 90 et le corollaire 1.45. On déduit alors du diagramme (13.2) un diagramme commutatif : BrO k Inf H 2 (κ, κ(X)∗ )

/ H 2 (k, I ) O k Inf / H 2 (κ, Iκ(X) ).

On a vu que la flèche verticale de gauche est un isomorphisme et la flèche verticale de droite est injective. La proposition 13.27 dit que la flèche horizontale du bas est également injective, d’où le résultat. Corollaire 13.29 (Axiome du corps de classes). On a H 1 (k, C) = 0. Si K est une extension finie galoisienne de k de groupe de Galois G, alors en notant CK le groupe des classes d’idèles de K, on a H 1 (G, CK ) = 0. Si de  0 (G, CK ) est de cardinal [K : k]. plus G est cyclique, le groupe H Démonstration. La suite exacte longue de cohomologie associée à 0 −→ k ∗ −→ I −→ C −→ 0

210

CHAPITRE 13. COHOMOLOGIE DES IDÈLES

et le théorème 13.28 joint à H 1 (k, I) = 0 (corollaire 13.7) donnent l’égalité H 1 (k, C) = 0. La suite exacte de restriction-inflation implique alors (avec la proposition 13.4) que H 1 (G, CK ) = 0, et on conclut alors que pour G  0 (G, CK ) est [K : k] grâce au théorème 13.8. cyclique, le cardinal de H Noter que l’on a ici directement démontré la nullité de H 1 (k, C) et H 1 (G, CK ) sans avoir eu besoin de passer par le cas où G est cyclique comme dans le cas d’un corps de nombres. Remarque 13.30. La suite exacte (12.3) donne que Br k est isomorphe à H 2 (κ, Div0 X) car on vient de voir qu’il est isomorphe à H 2 (κ, κ(X)∗ ), tandis que les groupes Br κ et H 3 (κ, κ∗ ) sont nuls vu que cd(κ)  1. Comme H 1 (κ, Pic X) = 0 (corollaire 12.33) et scd(κ)  2, la suite exacte (12.4) donne alors une suite exacte 0 −→ Br k −→ H 2 (κ, Div X) −→ H 2 (κ, Pic X) −→ 0. Par le lemme de Shapiro, on a  H 2 (κ, Div X)  H 2 (κ(v), Z)  v∈X (1)

 v∈X (1)

H 1 (κ(v), Q/Z),

 et ce dernier groupe est aussi isomorphe à v∈X (1) Br kv grâce au théorème 8.9. D’autre part, on a H i (κ, Pic0 X) = 0 pour i  2 car comme Pic0 X est divisible, on a pour tout n > 0 une surjection de H i (κ, (Pic0 X)[n]) sur H i (κ, Pic0 X)[n] ; or H i (κ, (Pic0 X)[n]) = 0 puisque cd(κ)  1. On en déduit avec la suite exacte (12.5) que H 2 (κ, Pic X)  H 2 (κ, Z)  Q/Z. Finalement, on obtient une suite exacte  0 −→ Br k −→ Br kv −→ Q/Z −→ 0, v∈X (1)

qui est la suite de Brauer-Hasse-Noether que nous rencontrerons un peu plus loin (théorème 14.11). On voit donc que là encore, ce résultat peut s’obtenir directement dans le cas d’un corps de fonctions ; toutefois, l’identification des flèches obtenues par cette méthode avec celles du théorème 14.11 n’est pas complètement évidente.

13.6. Exercices Exercice 13.1. Soit K un corps local. Soit n un entier premier à la caractéristique de √ K, et tel que K contienne les racines n-ièmes de l’unité. On pose L = K( n K ∗ ). Montrer que L est une extension finie abélienne de K et que le groupe des normes NL/K L∗ est exactement K ∗n .

13.6. EXERCICES

211

Exercice 13.2. Soit k un corps global. Soit K une extension finie galoisienne de k. Montrer qu’on a une injection  Br(Kv /kv ). Br(K/k) −→ v∈Ωk

Exercice 13.3. Soit k un corps global. Soit K une extension finie galoisienne non triviale de k (pas forcément abélienne). Montrer qu’il existe une infinité de places v de k telles que l’extension K/k ne soit pas totalement décomposée en v. En utilisant l’exercice 12.2, montrer que ce résultat (qui sera raffiné dans l’exercice 18.7) vaut encore pour K/k non galoisienne. Exercice 13.4. Soit k un corps global. Soit F une extension finie galoisienne non triviale de k de groupe G. Pour toute place v de k, on note Fv le complété de F en une place au-dessus de v. Montrer qu’on a une suite exacte  ∗  0 (G, CF ). k ∗ /NF/k F ∗ −→ kv /NF /k Fv∗ −→ H v∈Ωk

v

v

En utilisant l’exercice 13.3, montrer que dans cette suite exacte, le terme du milieu est infini (pour une suite, voir l’exercice 15.1).

CHAPITRE 14 LOI DE RÉCIPROCITÉ ET THÉORÈME DE BRAUER-HASSE-NOETHER

Dans ce chapitre, on va calculer le groupe de Brauer d’un corps global, par une méthode assez similaire à celle du cas local, à ceci près que le rôle joué par les extensions non ramifiées sera ici tenu par des extensions cycliques d’un type particulier, dites cyclotomiques (c’est-à-dire engendrées par des racines de l’unité). Un point très important sera de démontrer la loi de réciprocité globale associée au symbole normique (dont un cas très particulier est la classique loi de réciprocité quadratique). Pour cela, nous utiliserons les calculs locaux provenant de la construction de Lubin-Tate pour Qp . Dans tout le chapitre, on désigne par k un corps global, par Ik le groupe des idèles de k, et par Ck = Ik /k ∗ son groupe des classes d’idèles. On utilisera également les groupes I = Ik := lim IK −→ K

et

C = Ck := lim CK = I/k ∗ , −→ K

la limite étant prise sur les extensions finies (galoisiennes) K de k. On note Ωk (resp. Ωf , ΩR ) l’ensemble des places (resp. des places finies, des places réelles) de k.

14.1. Existence d’une extension cyclique neutralisante Dans ce paragraphe, on va montrer que pour tout élément α du groupe de Brauer Br k d’un corps global, il existe une extension finie cyclique K/k de k telle que la restriction de α à Br K soit nulle. Proposition 14.1. Soit p un nombre premier. Soit L/k une extension galoisienne (infinie) de k. Si p = 2 et k est un corps de nombres, on suppose que L est totalement imaginaire (c’est-à-dire n’a pas de plongements réels). On fait l’hypothèse que pour toute place finie v de k, l’extension Lv /kv est

214

CHAPITRE 14. LOI DE RÉCIPROCITÉ

de degré divisible par p∞ (au sens de la définition 4.5). Alors on a H 2 (L, I){p} = 0,

H 2 (Gal(L/k), IL ){p}  H 2 (k, I){p}.

où IL = I Gal(k/L) est la limite inductive des IK pour les sous-extensions K/k finies galoisiennes de L/k. Rappelons qu’ici Lv désigne le corps Lkv , qui est aussi la réunion des Kv pour K extension finie de k incluse dans L (avec les conventions rappelées au début du paragraphe 13.1). Démonstration. Comme H 1 (K, I) = 0 (corollaire 13.2) pour toute extension finie K de k incluse dans L, on a H 1 (L, I) = 0 en passant à la limite (proposition 4.18). On a donc une suite exacte de restriction-inflation 0 −→ H 2 (Gal(L/k), IL ) −→ H 2 (k, I) −→ H 2 (L, I) qui permet de se ramener à montrer que H 2 (L, I){p} = 0. Le corollaire 13.7 donne (toujours par passage à la limite) H 2 (L, I){p} =



∗

H 2 (Lv , Lv ){p}.

v∈Ωk

Supposons d’abord que v est une place finie de k. Alors l’hypothèse que p∞ ∗ divise le degré de Lv sur kv donne H 2 (Lv , Lv ){p} = (Br Lv ){p} = 0 par le théorème 8.11, a). Si v est une place archimédienne, on a encore ∗ H 2 (Lv , Lv ){p} = 0 : c’est immédiat si p = 2, et résulte de l’hypothèse pour p = 2. Soit k(μ) l’extension de k qui est obtenue en rajoutant toutes les racines de l’unité. Si k est le corps des fonctions d’une courbe sur Fq , avec Fq algébriquement fermé dans k (rappelons que l’on peut toujours se ramener à cette situation, quitte à remplacer Fq par sa fermeture algébrique dans k), le corps k(μ) s’obtient simplement en prenant le corps des fonctions Fq (C) = kFq . On pose alors  k = k(μ), et on observe que Gal( k/k) est  Dans le cas d’un corps de nombres, notons (pour tout p preisomorphe à Z. mier) k(μp∞ ) le corps obtenu en rajoutant à k toutes les racines de l’unité d’ordre une puissance de p. Le groupe Gp := Gal(k(μp∞ )/k) est alors un sous-groupe ouvert de Gal(Q(μp∞ )/Q)  Z∗p , donc Γp := Gp /(Gp )tors est k(p) le isomorphe (grâce au théorème 7.18) au groupe additif Zp . Soit alors  sous-corps de k(μp∞ ) fixe par (Gp )tors , c’est une extension de k de groupe de Galois isomorphe à Zp .

14.1. EXISTENCE D’UNE EXTENSION CYCLIQUE NEUTRALISANTE

215

Définition 14.2. On dit que  k(p) est la Zp -extension cyclotomique de k. L’extension composée  k de toutes les extensions  k(p) pour p premier s’ap(1)  pelle la Z-extension cyclotomique de k.  ce qui implique que toute extension finie K de k On a donc Gal( k/k)  Z,   sont cycliques). incluse dans k est cyclique (puisque les quotients finis de Z Dans le cas d’un corps de nombres, toutes les places archimédiennes de k  est sans torsion. sont totalement décomposées dans  k, vu que Z On a par ailleurs : Lemme 14.3. Soit v une place finie de k. Alors le groupe de décomposition  Dv := Gv ( k/k) est isomorphe à Z.  ; comme tout Démonstration. Le groupe Dv est un sous-groupe fermé de Z groupe abélien profini est produit direct de ses pro-p-Sylow (cf. proposition 4.10, d), on obtient que Dv est isomorphe à un groupe de la forme

p Hp , où Hp est un sous-groupe fermé de Zp et le produit est sur tous les nombres premiers p. Il suffit alors de montrer que chaque Hp est isomorphe à Zp , ou encore que chaque Hp est non nul. Or, par construction de  k(p), il existe une extension finie de  k(p) (et donc aussi une extension finie L(p) de  k) qui contient toutes les racines de l’unité d’ordre une puissance de p. Si l’un des Hp était nul, un complété de L(p) en une place au-dessus de v serait une extension finie de kv (puisque  k/k serait totalement décomposée en v), et donc une extension finie de Q (où  est le nombre premier que divise v) contiendrait toutes les racines de l’unité d’ordre une puissance de p, ce qui est impossible (par exemple d’après le théorème 7.18). Proposition 14.4. Le groupe H 2 (k, I) est la réunion des H 2 (Gal(K/k), IK ) où K ⊂ k parcourt les extensions finies cycliques de k. On peut de plus se restreindre aux sous-extensions K de  k si k n’a pas de places réelles (resp. de  k1 , où k1 est une extension quadratique totalement imaginaire quelconque de k, si k a au moins une place réelle). √ En particulier, en prenant k1 = k( −1), on voit que l’on peut toujours choisir pour K une extension cyclique cyclotomique (c’est-à-dire engendrée par des racines de l’unité) de k. Le cas d’un corps de fonctions sur Fq est en un sens plus agréable, car K peut donc être choisie (à l’instar du cas local) partout non ramifiée, ce qui simplifiera par exemple la preuve de la loi de réciprocité (théorème 14.9). (1) Merci

à Joël Riou pour m’avoir signalé une imprécision dans la définition initiale que j’avais adoptée et dans la première version du lemme 14.3 correspondant.

216

CHAPITRE 14. LOI DE RÉCIPROCITÉ

Démonstration. Soit K une extension finie et galoisienne de k de groupe G. Comme H 1 (K, I) = 0 (corollaire 13.2), on a une suite exacte 0 −→ H 2 (G, IK ) −→ H 2 (k, I) −→ H 2 (K, I), ce qui permet d’identifier H 2 (G, IK ) au sous-groupe de H 2 (k, I) constitué des éléments dont la restriction à H 2 (K, I) est nulle. Soit x ∈ H 2 (k, I). D’après le corollaire 13.7, on peut décomposer x en x = xa + xf avec   xa ∈ v∈ΩR H 2 (kv , k ∗v ) et xf ∈ v∈Ωf H 2 (kv , k ∗v ). La proposition 14.1 (ou plutôt sa preuve) jointe au lemme précédent dit que k, I) est nulle, d’où une extension finie K ⊂  k telle la restriction de xf à H 2 ( que la restriction de xf à H 2 (K, I) soit nulle, ce qui termine la preuve si k n’a pas de places réelles puisque l’extension K/k est alors automatiquement cyclique. Dans le cas où k est un corps de nombres possédant au moins une place réelle et k1 est une extension quadratique totalement imaginaire de k, k ; en notons K1 l’extension cyclique de degré 2[K : k] de k incluse dans  particulier K1 est une extension quadratique de K, et elle est disjointe de k1 sur k (car totalement décomposée aux places réelles de k alors √ que k1 n’a √ pas de places réelles). On a donc K1 = K( a) et k1 = k( b) avec a, b dans K. On a aussi Gal(K1 /k)  Z/2n (où n := √ [K : k]) et Gal(k1 K1 /k) est isomorphe à Z/2n × Z/2. Si on pose L = K( ab), l’extension L de k est cyclique : en effet, son groupe de Galois est isomorphe au quotient de Z/2n × Z/2 par le sous-groupe d’ordre 2 engendré par (n, 1). Le corps de nombres L est totalement imaginaire car pour toute place réelle v de K, on a av > 0 et bv < 0 vu que K1 est totalement décomposées aux places réelles de k et k1 totalement imaginaire. Ceci implique que la restriction de x à H 2 (L, I) est nulle. On en déduit la première étape dans le calcul de Br k : Proposition 14.5. Le groupe de Brauer Br k est la réunion des Br(K/k) pour les extensions K/k finies cycliques (et on peut même se restreindre aux K comme dans la proposition 14.4). Démonstration. Soit K une extension finie galoisienne de k de groupe G. Comme les groupes H 1 (K, C), H 1 (k, C), H 1 (G, CK ) sont nuls ainsi que H 1 (K, k ∗ ) et H 1 (K, I), on a un diagramme commutatif à lignes et colonnes exactes : / H 2 (K, I) / Br K 0 O O 0

/ Br k O

/ H 2 (k, I) O

0

/ H 2 (G, K ∗ ) O

/ H 2 (G, IK ) O

0 On conclut alors avec la proposition 14.4.

0

14.2. INVARIANT GLOBAL ET SYMBOLE DE RESTE NORMIQUE

217

14.2. Invariant global et symbole de reste normique On va fabriquer ici les analogues de l’invariant local et de l’application de réciprocité locale dans le contexte global. Définition 14.6. Soit K/k une extension finie galoisienne de groupe G. Pour toute place v de k, on note Gv = Gal(Kv /kv ) le sous-groupe de décomposition associé à v. On définit alors 1 Z/Z ⊂ Q/Z [K : k]

invK/k : H 2 (G, IK ) −→ par la formule : invK/k (c) =



invKv /kv (cv ),

v∈Ωk

où cv est la composante en v de c ∈ H 2 (G, IK ) =

 v∈Ωk

H 2 (Gv , Kv∗ ).

Ici invKv /kv est l’invariant local induit par invv : Br kv → Q/Z (pour v réelle c’est juste l’isomorphisme de Br R avec Z/2, et pour v complexe c’est l’application nulle). D’autre part, pour toute place v de k, on dispose de l’application de réciprocité (., Kv /kv ) : kv∗ → Gab v et de sa composée (notée ab encore (., Kv /kv )) avec la flèche naturelle Gab (si v est archimév → G dienne on prend pour (·, Kv /kv ) l’application induite par l’homomorphisme 2 surjectif de kv∗ /kv∗ sur Gab v ). On définit alors le symbole de reste normique associé à l’extension K/k par

(14.1) (., K/k) : Ik −→ Gab , (α, K/k) = (αv , Kv /kv ). v∈Ωk

Le produit est bien défini car si v est non ramifiée dans K/k et αv ∈ Uv = Ov∗ , alors (αv , Kv /kv ) = 1 (en effet, tous les éléments de Uv sont des normes de Kv /kv par la proposition 8.3). La proposition 9.3 donne facilement : Proposition 14.7. Soit K/k une extension finie galoisienne de groupe G. Alors pour tout χ ∈ H 1 (G, Q/Z) et tout α ∈ Ik , on a χ((α, K/k)) = invK/k (α ∪ χ), où, pour le cup-produit, α est vu dans H 0 (G, IK ) et χ dans H 2 (G, Z). On en déduit, si M est une extension galoisienne (que l’on peut supposer abélienne) de k contenant K, une compatibilité entre (., K/k) et (., M/k) analogue à celle du cas local (corollaire 9.4). Les propriétés de l’invariant local (théorème 8.9) donnent aussi :

218

CHAPITRE 14. LOI DE RÉCIPROCITÉ

Proposition 14.8. Soit L une extension finie galoisienne de k. Soit K une sous-extension. Alors on a des diagrammes commutatifs : H 2 (Gal(L/K), IL ) O

invL/K /

1 [L:K]

Z/Z ·[K : k]

Res H 2 (Gal(L/k), IL )

O

invL/k /

1 [L:k]

Z/Z

et H 2 (Gal(L/K), IL )

invL/K /

Cores

 invL/k / H 2 (Gal(L/k), IL )

Z/Z

1 [L:K]

1 [L:k]



j Z/Z

où l’application 1 1 Z/Z −→ Z/Z [L : K] [L : k] est l’inclusion. Si de plus K/k est galoisienne, alors invL/k prolonge invK/k via l’inclusion H 2 (Gal(K/k), IK ) → H 2 (Gal(L/k), IL ). j:

On a aussi, en passant à la limite sur les extensions finies galoisiennes K de k, une application inv : H 2 (k, I) −→ Q/Z. Une propriété essentielle pour toute la théorie est le théorème suivant : Théorème 14.9 (Loi de réciprocité globale). Soit K une extension finie de k de groupe de Galois G abélien. Alors : a) L’application invK/k : H 2 (G, IK ) → Q/Z est nulle sur l’image de 2 H (G, K ∗ ) dans H 2 (G, IK ). b) Soit a un idèle principal. Alors on a : (a, K/k) = 1. Démonstration. Notons déjà que a) implique b) grâce à la proposition 14.7 et au fait qu’un élément du groupe abélien G est trivial si et seulement si son image par tout caractère de G est trivial. Pour démontrer a), il suffit de démontrer que l’application inv : H 2 (k, I) → Q/Z est triviale sur l’image de Br k = H 2 (k, k ∗ ) grâce à la dernière assertion de la proposition 14.8. Soit donc α ∈ Br k. D’après la proposition 14.5, on peut supposer dans le cas d’un corps de fonctions que α ∈ Br(K/k) avec K = k(ζn ), où n est premier à la caractéristique de k. Dans le cas d’un corps de nombres, on se ramène d’abord à k = Q en observant que si α ∈ Br(L/k) avec L finie galoisienne sur k, alors inv(α) = invL/Q (Cores α), où Cores désigne la corestriction de Br k vers Br Q (ceci résulte de la proposition 14.8). La

14.2. INVARIANT GLOBAL ET SYMBOLE DE RESTE NORMIQUE

219

proposition 14.5 permet de plus de supposer que α ∈ Br(K/Q), où K est une sous-extension cyclique de Q(ζn )/Q pour un certain n. Soit alors G = Gal(K/k) et soit χ un générateur du groupe H 1 (G, Q/Z).  0 (G, K ∗ ) Le cup-produit par δχ ∈ H 2 (G, Z) est un isomorphisme de H 2 ∗ sur H (G, K ) (remarque 2.29), ce qui permet d’écrire tout élément de H 2 (G, K ∗ ) sous la forme a ∪ δχ avec a ∈ k ∗ . D’après la proposition 14.7, on est donc ramené à prouver l’assertion b) du théorème dans les deux cas particuliers : i) k corps de fonctions sur Fq et K = k(ζn ) avec n premier à la caractéristique de k ; ii) k = Q et K = k(ζ), où ζ est une racine de l’unité (rappelons que si E est une sous-extension de k(ζ), alors (a, E/k) est l’image de (a, k(ζ)/k) dans le quotient Gal(E/k) de Gal(k(ζ)/k)). Le cas i) est plus simple : en effet, pour toute place v de k, l’extension Kv /kv est non ramifiée et le lemme 9.8 a) s’applique ; on obtient que (a, Kv /kv ) est F (v)v(a) , où F (v) est le Frobenius en v (qui agit sur ζn par l’élévation à la puissance n(v), où n(v) est le cardinal du corps résiduel en v). On a donc (a, Kv /kv ) · ζn = ζnn(v) d’où

v∈Ωk

(a, K/k) · ζn = ζn par la formule du produit car n(v) ce cas-là.

v(a)

=

v(a)

n(v)v(a)

|a|−1 v

= ζn

ce qui conclut la preuve dans

Dans le cas ii), nous allons utiliser les calculs locaux explicites provenant de la théorie de Lubin-Tate. Soit θp : Q∗p → Gal(Kp /Qp ) l’application de réciprocité locale définie pour p premier ou p = ∞ (on convient que Q∞ = R). On a déjà θ∞ (x) · ζ = ζ ε(x) , où ε(x) est le signe de x. Pour p premier, soit x = pm u avec u ∈ Z∗p et m ∈ Z. Le corollaire 11.24 donne : m

θp (x) · ζ = ζ p , −1

θp (x) · ζ = ζ u , Up

∀ ζ ∈ Up ∀ ζ ∈ U p∞ ,

où (resp. Up∞ ) est l’ensemble des racines de l’unité d’ordre premier à p

(resp. d’ordre une puissance de p). Pour montrer la formule p θp (a) = 1 (a ∈ Q∗ ) dans le groupe Gal(K/k) (où le produit correspond à la composition des automorphismes), il suffit de traiter le cas a = −1 et le cas a = q

avec q premier, et de regarder l’action de p θp (a) = 1 sur une racine de

220

CHAPITRE 14. LOI DE RÉCIPROCITÉ

l’unité ζ ∈ U∞ avec  premier. Or, ceci résulte des formules (pour p premier ou p = ∞) : θ∞ (−1) · ζ = ζ −1 ;

θ (−1) · ζ = ζ −1 ;

θp (−1) · ζ = ζ, ∀ p = , ∞.

Pour q =  : θp (q) · ζ = ζ, ∀ p = , q ;

θ (q) · ζ = ζ q

−1

θq (q) · ζ = ζ q .

;

Et enfin : θp () · ζ = ζ ;

∀ p.

Corollaire 14.10. Soit K une extension finie cyclique de k de groupe G. Alors on a une suite exacte (14.2)

invK/k 0 −→ H 2 (G, K ∗ ) −→ H 2 (G, IK ) −−−−−−→

1 Z/Z −→ 0. [K : k]

Démonstration. Montrons d’abord la surjectivité de invK/k dans le cas où [K : k] = pm avec p premier. D’après le corollaire 13.13, il existe une place finie v de k qui est inerte dans K. Comme on a alors [Kv : kv ] = [K : k], le fait que l’invariant local invKv /kv soit un isomorphisme de H 2 (Gv , Kv∗ ) sur 1 1 [Kv :kv ] Z/Z implique que invK/k est surjectif sur [K:k] Z/Z. On en déduit immédiatement la même surjectivité pour G cyclique quelconque grâce à la proposition 14.8. Maintenant, les égalités H 1 (G, CK ) = 0 et H 3 (G, K ∗ ) = H 1 (G, K ∗ ) = 0 (rappelons que G est cyclique) donnent une suite exacte 0 −→ H 2 (G, K ∗ ) −→ H 2 (G, IK ) −→ H 2 (G, CK ) −→ 0. Ainsi le conoyau de la flèche H 2 (G, K ∗ ) → H 2 (G, IK ) a pour cardinal celui  0 (G, CK ), soit [K : k] d’après l’axiome du corps de de H 2 (G, CK ) = H classes. Comme le théorème 14.9 donne que la suite (14.2) est un complexe et que l’on a de plus vu que sa dernière flèche était surjective, on en déduit finalement que cette suite est exacte. On en déduit le théorème principal de ce chapitre : Théorème 14.11 (Brauer-Hasse-Noether). Soit k un corps global. Alors on a une suite exacte 0 −→ Br k −→



inv Br kv −−−−k→ Q/Z −→ 0,

v∈Ωk

où l’application invk est définie comme la somme des invariants locaux invv : Br kv → Q/Z.

14.2. INVARIANT GLOBAL ET SYMBOLE DE RESTE NORMIQUE

221

Démonstration. On passe à la limite sur les extensions cycliques K de k dans le corollaire 14.10. Les propositions 14.4 et 14.5 nous disent qu’on obtient alors une suite exacte 0 −→ Br k −→ H 2 (k, I) −→ Q/Z −→ 0.  La flèche H 2 (k, I) → Q/Z est obtenue en identifiant H 2 (k, I) à v∈Ωk Br kv (cf. proposition 13.1), puis en prenant la somme des invariants locaux (d’après la définition 14.6, qui construit invK/k quand K est une extension finie galoisienne de k). Le résultat en découle. Remarque 14.12. Soit n > 0. Si k contient une racine primitive n-ième de l’unité, on obtient que pour a, b ∈ k ∗ , la somme (sur toutes les places v de k) des symboles locaux (cf. définition 9.10) (a, b)v ∈ Br kv → Q/Z est nulle. Prenons n = 2 et k = Q. Si p et q sont deux nombres premiers impairs distincts, on peut calculer les symboles de Hilbert locaux (p, q)v pour toute place v de Q par les formules de l’exemple 9.11. Pour tout nombre entier impair x, soit ε(x) la classe de (x − 1)/2 modulo 2. On obtient, en passant en notation multiplicative (c’est-à-dire en voyant les symboles de Hilbert locaux (p, q)v dans {±1}) : q p (p, q)2 = (−1)ε(p)ε(q) ; (p, q)∞ = 1; (p, q)p = ; (p, q)q = , p q et (p, q) = 1 pour les nombres premiers  ∈ {p, q}. La loi de réciprocité globale redonne alors la classique loi de réciprocité quadratique : q p q  = · (−1)ε(p)ε(q) = · (−1)(p−1)(q−1)/4 . q p p Corollaire 14.13. Soit p un nombre premier. Soit L une extension de corps de k, algébrique et séparable, supposée totalement imaginaire si k est un corps de nombres et p = 2. Supposons que p∞ divise [Lv : kv ] pour toute place finie v de k. Alors cdp (L)  1. Rappelons qu’ici on note Lv := Lkv . Bien entendu, ce corollaire ne s’applique pas à des extensions finies de k. Démonstration. Il suffit de vérifier que (Br L ){p} = 0 pour toute extension algébrique séparable L de L grâce au théorème 6.17. Comme L satisfait aux mêmes hypothèses que L, on est ramené à montrer que (Br L){p} = 0. Or Br L s’injecte dans la somme directe (pour v place de k) des Br Lv (passer à la limite dans le théorème de Brauer-Hasse-Noether). On conclut alors avec le théorème 8.11.

222

CHAPITRE 14. LOI DE RÉCIPROCITÉ

14.3. Exercices Exercice 14.1. Soit k un corps de nombres. Soit p un nombre premier. On suppose que p = 2 ou que k est totalement imaginaire. Montrer que la dimension cohomologique cdp (k) est 2 (utiliser le corollaire 14.13 pour une extension bien choisie de k). Énoncer et démontrer un analogue pour les corps globaux de caractéristique positive. Exercice 14.2. Soit k un corps global. Soit S un ensemble de places de k. Donner une condition nécessaire et suffisante sur S pour que l’application diagonale  Br k −→ Br kv v∈S

soit surjective. Même question en remplaçant « surjective » par « injective ».

CHAPITRE 15 LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

Nous continuons avec les notations du chapitre précédent. En particulier k désigne toujours un corps global dont on note Ik le groupe des idèles et Ck le groupe des classes d’idèles. On note Gk = Gal(k/k) le groupe de Galois absolu de k. On note aussi I = Ik la limite inductive des IK pour K extension finie galoisienne de k, et C = I/k ∗ celle des CK .

15.1. Application de réciprocité et groupe des classes d’idèles On a défini au chapitre précédent une application invk : H 2 (k, I) → Q/Z en passant à la limite sur les applications invK/k : H 2 (Gal(K/k), IK ) → Q/Z. On aimerait en déduire des applications analogues sur H 2 (k, C). Une difficulté est qu’en général le groupe H 2 (Gal(K/k), IK ) ne se surjecte pas sur H 2 (Gal(K/k), CK ), mais nous allons voir que le problème disparaît si on passe à la limite. Lemme 15.1. Soit K une extension finie galoisienne de k de groupe G. Alors le cardinal de H 2 (G, CK ) divise [K : k]. Démonstration. C’est tout à fait analogue à l’énoncé local correspondant (lemme 8.7). Le cas d’une extension cyclique fait partie de l’axiome du corps de classes (théorème 13.23). On en déduit le cas où G est un p-groupe par récurrence sur [K : k], en utilisant la suite exacte (valable grâce au corollaire 1.45, parce que H 1 (Gal(K/E), CK ) = 0 pour toute sous-extension galoisienne E de k) : 0 −→ H 2 (Gal(E/k), CE ) −→ H 2 (G, CK ) −→ H 2 (Gal(K/E), CK ). Enfin, le cas général se traite en considérant (pour p divisant #G) un p-Sylow Gp = Gal(K/Kp ) de G et en utilisant l’injectivité de la flèche de restriction  2 H 2 (G, CK ) −→ H (Gal(K/Kp ), CK ). p

224 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

 Soit maintenant  k la Z-extension cyclotomique de k (définition 14.2). Po  = 2 (exemple 5.12), on a H 3 (G,    sons G = Gal(k/k). Comme scd Z k ∗ ) = 0, d’où une suite exacte    I ) −→ H 2 (G,  C ) −→ 0. 0 −→ H 2 (G, k ∗ ) −→ H 2 (G, k

k

Mais d’autre part, en passant à la limite dans le corollaire 14.10, on a aussi une suite exacte    I ) −→ Q/Z −→ 0, 0 −→ H 2 (G, k ∗ ) −→ H 2 (G, k

où la dernière flèche est induite par invk . Rappelons que si K ⊂  k est une extension finie de k, la flèche H 2 (Gal(K/k), CK ) → H 2 (k, C) est injective par le corollaire 1.45 car H 1 (K, C) = 0. On obtient un isomorphisme  C )  Q/Z. inv : H 2 (G, k/k

k

La proposition suivante est l’analogue global du théorème local 8.6. Proposition 15.2. La suite 0 −→ Br k −→ H 2 (k, I) −→ H 2 (k, C) −→ 0 est exacte. Démonstration. Soit K une extension finie galoisienne de k de degré n,   la Z-extension dont on note G := Gal(K/k) le groupe de Galois. Soit K  cyclotomique de K. Soit kn l’unique sous-extension de k de degré n sur k. On va montrer exactement comme dans le lemme 8.8 que les sous-groupes H 2 (G, CK ) et H 2 (Gal(kn /k), Ckn ) de H 2 (k, C) coïncident. L’axiome du corps de classes donne que le cardinal de H 2 (Gal(kn /k), Ckn )  0 (Gal(kn /k), Ck ) puisque kn /k est cyclique) (qui est aussi celui de H n est n, et le lemme 15.1 dit alors que le cardinal de H 2 (G, CK ) divise  C ) est un sous-groupe n = #H 2 (Gal(kn /k), Ckn ). On observe que H 2 (G, k 2  de H (Gal(K/k), CK ) grâce au théorème 13.25 et au corollaire 1.45. De même, on a des inclusions  C ) −→ H 2 (k, C). H 2 (Gal(kn /k), Ck ) −→ H 2 (G, n

k

Avec la proposition 14.8, on obtient alors un diagramme commutatif dont la première ligne est exacte : 0

/ H 2 (G, CK )

H 2 (Gal(kn /k), Ckn )

/ H 2 (k, C) O

Res

/ H 2 (K, C) O

 C ) Res / H 2 (Gal(K/K,  / H 2 (G, CK ) k invk/k

 Q/Z

·n

invK/K   / Q/Z.

15.1. APPLICATION DE RÉCIPROCITÉ

225

Comme H 2 (Gal(kn /k), Ckn ) est de cardinal n et invK/K est un isomor phisme, la deuxième ligne du diagramme est un complexe. On en déduit que H 2 (Gal(kn /k), Ckn ) est inclus dans H 2 (G, CK ) et comme on sait déjà que le cardinal de H 2 (G, CK ) divise celui de H 2 (Gal(kn /k), Ckn ), on obtient finalement H 2 (G, CK ) = H 2 (Gal(kn /k), Ckn ), comme on le voulait. Cela donne que H 2 (k, C) est la réunion des H 2 (Gal(kn /k), Ckn ) et, en particulier, la réunion des H 2 (Gal(K/k), CK ) pour K extension cyclique de k. Par ailleurs, on a l’énoncé analogue avec K ∗ et IK (propositions 14.4 et 14.5). On obtient alors le résultat voulu en passant à la limite la suite exacte 0 −→ Br(K/k) −→ H 2 (G, IK ) −→ H 2 (G, CK ) −→ 0 qui est valable pour toute extension cyclique K de k. Corollaire 15.3. La flèche inv : H 2 (k, I) → Q/Z induit un isomorphisme invk : H 2 (k, C) → Q/Z. Démonstration. Cela résulte immédiatement du théorème de Brauer-HasseNoether, combiné avec la proposition précédente. Soit maintenant K/k une extension finie galoisienne de groupe G. Comme la restriction H 2 (k, C) → H 2 (K, C) correspond à la multiplication par [K : k] dans Q/Z par la proposition 14.8, on en déduit un isomorphisme 1 Z/Z. invK/k : H 2 (G, CK ) −→ [K : k] Comme dans le cas local, on appelle classe fondamentale de H 2 (G, CK ) l’élément qui s’envoie sur 1/[K : k] par invK/k . Les propriétés ci-dessus, jointes à H 1 (G, CK ) = 0, donneront au chapitre 16 que les isomorphismes invK : H 2 (GK , C) → Q/Z constituent une formation de classes sur le Gk -module C. Le théorème suivant est d’ailleurs un cas particulier d’un résultat général sur les formations de classes (proposition 16.6) et il est tout à fait analogue à celui que l’on avait vu dans le cas local (théorème 9.2). Théorème 15.4. Soit K une extension finie galoisienne de k de groupe G. Le cup-produit par la classe fondamentale uK/k de H 2 (G, CK ) induit un isomorphisme Gab → Ck /NK/k CK . L’isomorphisme réciproque ωK/k = (., K/k) : Ck /NK/k CK −→ Gab est obtenu par passage au quotient à partir du symbole de reste normique (., K/k) : Ik → Gab ; on l’appelle isomorphisme de réciprocité. Démonstration. Le fait que le cup-produit par uK/k induise un isomor 0 (G, CK ) est une conséphisme de Gab  H −2 (G, Z) sur Ck /NK/k CK  H quence immédiate du théorème de Tate-Nakayama (théorème 3.14). La

226 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

deuxième assertion résulte de la définition des applications de réciprocité locales et de celle du symbole de reste normique donnée par la formule (14.1). La compatibilité des symboles de reste normique (qui résulte de la proposition 14.7) permet alors en passant à la limite de définir un homomorphisme de réciprocité reck = rec : Ck −→ Gab k

qui est continu ; son image est dense et son noyau K NK/k CK (l’intersection étant prise sur toutes les extensions galoisiennes finies, ou encore abéliennes finies ; on verra au lemme 15.7 c) que c’est aussi l’intersection des NK/k CK sur les extensions K finies séparables) est le groupe des normes universelles. Le théorème 15.4 donne immédiatement : Corollaire 15.5. Pour toute extension finie abélienne de k de groupe G, le  0 (G, CK ) est [K : k]. cardinal de H Ainsi l’énoncé de l’axiome du corps de classes global se généralise à toute extension abélienne (pas forcément cyclique). On en déduit aussi le lemme 15.6 qui sera utile au paragraphe suivant. Lemme 15.6. Avec les hypothèses et notations du théorème 13.21, l’égalité Ck (S, T ) = NK/k CK est valable sans l’hypothèse que K/k est cyclique. En effet, le théorème dit que [Ck : Ck (S, T )] = [K : k] et Ck (S, T ) ⊂ NK/k CK , mais on sait maintenant que [Ck : NK/k CK ] = [K : k] dès que K est une extension finie abélienne de k. 15.2. Le théorème d’existence global Le but de ce paragraphe est d’énoncer le pendant global du théorème local 11.20 et de le démontrer dans le cas d’un corps de nombres (dans le cas de caractéristique p > 0, on verra qu’il y a une difficulté liée aux sousgroupes de Ck d’indice divisible par p). Si k est un corps global, définissons un groupe de normes dans Ck comme un sous-groupe de Ck de la forme NK/k CK , où K est une extension finie abélienne de k. On commence par un lemme qui rassemble des résultats analogues au cas local ; ses résultats seront étendus un peu plus tard aux formations de classes (propositions 16.31 et 16.29). Lemme 15.7. a) Tout sous-groupe de Ck qui contient un groupe de normes est un groupe de normes.

15.2. LE THÉORÈME D’EXISTENCE GLOBAL

227

b) L’intersection de deux groupes de normes est un groupe de normes. c) Si K est une extension finie séparable de k (pas forcément galoisienne), alors NK/k CK est un groupe de normes. Démonstration. a) L’argument est exactement le même que dans le cas local (lemme 9.9, a). b) (cf. aussi l’exercice 11.1 pour le cas local). Si K et L sont deux extensions finies abéliennes de k et E = KL est le corps composé, alors on a par transitivité des normes : NK/k CK ∩ NL/k CL ⊃ NE/k CE , ce qui permet de conclure avec le a). L’inclusion ci-dessus est d’ailleurs en fait une égalité : en effet, les deux membres correspondent au noyau de l’application de réciprocité ωE/k vu la compatibilité des applications de réciprocité (qui vient de la proposition 14.7) et la trivialité du noyau de Gal(E/k) → Gal(K/k) × Gal(L/k). c) Une fois connu le théorème 15.4, l’argument est identique à celui du cas local, lequel est détaillé dans la proposition 9.7, a) et b). Rappelons aussi que l’on désigne par Ck0 = Ik0 /k ∗ le noyau de l’homomorphisme

| · | : Ck −→ R∗+ , (αv ) −→ |αv |v . v∈Ωk

C’est un sous-groupe compact de Ck (théorème 12.20). Théorème 15.8 (Théorème d’existence global). Soit k un corps global. Alors les sous-groupes ouverts d’indice fini de Ck sont exactement les sous-groupes de normes, c’est-à-dire les sous-groupes de la forme NK/k CK , où K est une extension finie abélienne de k. De plus, tout sous-groupe de normes N est associé à une unique extension finie abélienne K ⊂ k de k, que l’on appelle le corps de classes de N . Démonstration. Soit K une extension finie et abélienne de k. Alors NK/k CK est d’indice fini dans Ck d’après le théorème 15.4. Montrons que NK/k CK est un sous-groupe fermé de Ck . L’application NK/k est continue sur CK , ce qui 0 est compacte ; par ailleurs, si k fait que l’image du sous-groupe compact CK est un corps de nombres, le groupe topologique Ck est isomorphe à Ck0 ×R∗+ : plus précisément on obtient un sous-groupe Γ de représentants de Ck /Ck0 isomorphe à R∗+ en considérant une place archimédienne v0 de k, puis en définissant Γ comme l’image dans Ck des idèles de la forme (x, 1, 1, . . . , 1, . . . ), avec x dans R∗+ , où la première composante est celle en v0 . L’image de Γ 0 dans CK est alors aussi un sous-groupe de représentants de CK /CK et on a 0 0 0 × NK/k Γ = NK/k CK × Γn = NK/k CK ×Γ NK/k CK = NK/k CK

228 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

0 avec n := [K : k], vu que Γ est divisible. Comme NK/k CK est compact, 0 0 NK/k CK × Γ est fermé dans Ck = Ck × Γ. L’argument est analogue dans le cas où k est le corps de fonctions d’une courbe projective lisse X sur un corps fini, en choisissant un point fermé v0 de X et en remplaçant Γ par le sous-groupe dZ de Z, où d est le degré de v0 .

D’autre part, si N est un groupe de normes, l’unicité de l’extension K telle que N = NK/k CK se montre exactement comme dans le cas local (cf. lemme 9.9, b), qui sera généralisé aux formations de classes dans la proposition 16.31). Soit alors N un sous-groupe ouvert d’indice fini de Ck ; on veut montrer que N est un sous-groupe de normes. On distingue deux cas. a) Cas d’un corps de nombres, ou d’un corps de fonctions quand l’indice [Ck : N ] n’est pas divisible par la caractéristique de k. Il reste seulement, d’après le lemme 15.7 a), à montrer que N contient un groupe de normes. On se ramène d’abord au cas où n est une puissance d’un nombre premier  (différent de Car k), en décomposant n sous la forme

i n = i pm (avec pi premier), puis en observant que si Ni ⊂ Ck est le i sous-groupe d’indice pni qui contient N , alors N est l’intersection de la famille (finie) des Ni (et chaque Ni contient N , donc est ouvert), donc par le lemme 15.7 b), il suffit de savoir que chaque Ni est un groupe de normes. Soit alors J ⊂ Ik l’image réciproque de N , c’est un sous-groupe ouvert de Ik ; ceci implique que J contient un sous-groupe de la forme



{1} × Uv , UkS := v∈S

v∈S

où S est un ensemble fini de places de k, contenant les places archimédiennes. On peut de plus supposer que S contient les places divisant  et (d’après la proposition 12.24) que Ik = Ik,S k ∗ . Par ailleurs, comme J est



d’indice n dans Ik , il contient aussi le groupe v∈S kv∗n × v∈S {1}, et donc finalement J contient le groupe

∗n

kv × Uv . Ik (S) = v∈S

v∈S

Il suffit donc de montrer que Ck (S) := Ik (S).k ∗ /k ∗ contient un groupe de normes. On commence  par le cas où k contient les racines n-ièmes de 1. Posons alors K = k( n Ek,S ). C’est une extension de Kummer (cf. chapitre 13, paragraphe 13.3) qui, d’après la proposition 13.15, satisfait à n ), Z/n). Gal(K/k)  Hom((Ek,S /Ek,S n ] = ns , où s est le En particulier, l’extension K/k est de degré [Ek,S : Ek,S cardinal de S (cf. proposition 13.20). Le théorème 13.21 et sa conséquence (lemme 15.6) s’appliquent avec ici r = s, c’est-à-dire T = ∅. On obtient donc Ck (S) = NK/k CK .

15.2. LE THÉORÈME D’EXISTENCE GLOBAL

229

Dans le cas général, on note k  l’extension cyclotomique de k obtenue en adjoignant à k les racines n-ièmes de 1. D’après le cas où μn ⊂ k, on ∗ peut supposer (quitte à augmenter S) que Ik = Ik ,S  k  et Ck (S  ) = NK  /k CK  , où S  est l’ensemble des places de k  au-dessus d’une place de S  et K  := k  ( n kS  ). La formule (facile à vérifier), valable pour β ∈ Ik :

Nkw /kv βw (Nk /k (β))v = w|v



donne Nk /k (Ik (S )) ⊂ Ik (S) d’où NK  /k (CK  ) ⊂ Nk /k (NK  /k CK  ) = Nk /k (Ck (S  )) ⊂ Ck (S). Ainsi Ck (S) contient NK  /k (CK  ). Bien qu’on ne sache même pas ici si K  est galoisienne sur k, on conclut alors avec le lemme 15.7, c). b) Cas d’un corps global k de caractéristique p et d’un sous-groupe de Ck d’indice divisible par p. Nous ne donnerons pas dans ce livre la preuve complète du théorème d’existence dans ce cas (voir aussi la remarque 15.14 ci-après), mais nous expliquerons au prochain paragraphe comment ce théorème peut se déduire de la trivialité du groupe des normes universelles pour un tel corps k (qui est montrée dans [1], § 6.5). On va maintenant déduire du théorème d’existence une description du groupe de Galois abélien d’un corps de nombres. Théorème 15.9. Soit k un corps de nombres de groupe de Galois Gk . Alors on a une suite exacte de groupes topologiques : rec (15.1) 0 −→ Dk −→ Ck −−−→ Gab k −→ 0, où Dk est la composante connexe neutre de Ck . Le groupe Dk est égal au groupe des normes universelles

NGk C = NK/k CK , K

où K décrit les extensions finies abéliennes de k (ou encore toutes les extensions finies de k), et c’est aussi le noyau du morphisme de complétion profinie Ck → Ck∧ , c’est-à-dire l’intersection des sous-groupes ouverts d’indice fini de Ck . Démonstration. Comme R∗+ n’a pas de quotient fini non trivial, l’image de Ck = Ck0 × R∗+ par l’application de réciprocité rec est la même que celle de Ck0 . Cette image est donc dense et compacte, c’est-à-dire que c’est Gab k tout entier. On sait par ailleurs déjà que le noyau de rec est NGk C. Définissons Dk comme la composante connexe neutre de Ck . On observe que dans une décomposition Ck = Ck0 × R∗+ , on a R∗+ ⊂ Dk (car R∗+ est

230 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

connexe) d’où une décomposition Dk = Dk0 × R∗+ , où Dk0 est la composante connexe neutre de Dk . Le groupe Ck /Dk est compact car isomorphe à Ck0 /Dk0 , il est donc profini puisqu’il est complètement discontinu. Tous i sont donc d’indice fini et leur intersection est ses sous-groupes ouverts U triviale. Ainsi l’intersection de leurs images réciproques Ui dans Ck est Dk et, par ailleurs, tout sous-groupe ouvert de Ck contient Dk (son intersection avec le sous-groupe connexe Dk est non vide, ouverte, et fermée dans Dk , donc cette intersection est Dk ). Finalement Dk est bien l’intersection de tous les sous-groupes ouverts d’indice fini de Ck . Le théorème 15.8 donne alors que Dk est aussi l’intersection des sous-groupes de normes, c’est-à-dire Dk = NGk C (que l’on peut définir en faisant l’intersection des NK/k CK sur toutes les extensions finies de K ou sur les extensions finies abéliennes, d’après le lemme 15.7 c). Par ailleurs, la compacité de Ck /Dk donne que la topologie sur le groupe profini Gab k correspond à la topologie quotient sur Ck /Dk , ce qui fait que (15.1) est bien une suite exacte de groupes topologiques. On aura besoin pour les théorèmes de dualité globaux de quelques propriétés supplémentaires de la composante connexe neutre Dk . Théorème 15.10. Avec les notations ci-dessus : 0 → Dk0 est a) Pour toute extension finie K de k, la norme NK/k : DK surjective, et il en va de même de NK/k : DK → Dk . b) Le groupe abélien Dk est divisible et on a aussi

n Ck , Dk = n>0

⊂ Ck est le sous-groupe des puissances n-ièmes dans Ck . c) L’application rec induit un isomorphisme de Ck modulo son sousgroupe divisible maximal (1) sur Gab k .

où

Ckn

Démonstration. a) Le théorème 15.9 et les décompositions Ck = Ck0 × R∗+ ;

Dk = Dk0 × R∗+

vues ci-dessus donnent que Dk0 est le groupe des normes universelles

0 NGk C 0 = K NK/k CK de C 0 . Fixons une extension finie K de k. Soit 0 a ∈ Dk . Pour toute extension finie L de K, soit E(L) l’ensemble des élé0 ments b ∈ CK tels que NK/k b = a et tels que de plus il existe c ∈ CL0 tel que b = NL/K c. Alors E(L) est non vide car comme a est une norme universelle de C 0 , il s’écrit a = NL/k (c) avec c ∈ CL0 et l’élément b = NL/K (c) est (1) Rappelons

qu’un groupe abélien A possède toujours un plus grand sous-groupe divi sible D, qui est un sous-groupe de D  := n>0 nA ; mais il peut arriver que D soit  strictement inclus dans D .

15.2. LE THÉORÈME D’EXISTENCE GLOBAL

231

alors dans E(L) par transitivité des normes. Les E(L) forment alors une 0 famille filtrante décroissante de compacts (car CK , CL0 et Ck0 sont compacts et la norme est continue) non vides. Leur intersection est donc non vide (lemme 4.9), et tout élément b de cette intersection satisfait à NK/k b = a, 0 0 . Finalement NK/k : DK → Dk0 est bien ainsi que b ∈ NGK C 0 = DK surjective (pour un énoncé similaire dans le cadre des formations de classes, voir la proposition 16.33). L’assertion analogue pour NK/k : DK → Dk s’en déduit immédiatement, en notant que l’application induite par NK/k sur R∗+ est x → x[K:k] , qui est aussi surjective. b) Comme R∗+ est divisible, il suffit de montrer que Dk0 est divisible, ou encore que pour tout nombre premier , l’application x → x est surjective de Dk0 dans lui-même. Soit K une extension finie de k contenant les racines -ièmes de 1. Pour S ensemble fini de places de K (contenant les places    archimédiennes et les places au-dessus de ), posons K = K( EK,S ), où EK,S est le groupe des S-unités dans K. Définissons, comme dans la preuve du théorème 15.8 :

∗

∗ Kv × Ov IK (S) = v∈S

v∈S

et CK (S) = IK (S)K ∗ /K ∗ ⊂ CK . Pour S assez grand, on a IK = IK,S K ∗ (proposition 12.24), et alors (lemme 15.6) CK (S) = NK  /K (CK  ). Comme DK est le groupe des normes universelles dans CK , on en tire DK ⊂ CK (S), d’où DK ⊂ (CK ) US , où US est constitué des classes d’idèles (uv ) avec uv = 1 si v ∈ S et uv ∈ Ov∗ si v ∈ S. Puisque tout élément u de US satisfait 0 0  0  à |u| = 1, on obtient DK ⊂ (CK ) US . Comme US et (CK ) sont compacts, la remarque 4.11 donne que l’intersection (sur tous les S assez grands)

0  0  0  0 0  des (CK ) US est (CK ) ·( S US ) = (CK ) . Ainsi DK ⊂ (CK ) et, en prenant la norme, on trouve 0  Dk0 ⊂ (NK/k CK ) d’après a). Fixons alors a ∈ Dk0 . Pour toute extension finie K de k contenant les 0 racines -ièmes de 1, notons XK l’ensemble des x ∈ NK/k CK ⊂ Ck0 tels que  x = a. On vient de voir que les XK sont non vides, et ils sont compacts 0 par compacité de Ck0 , CK (plus la continuité de la norme). Leur intersection est donc non vide. Or, si b est dans cette intersection, on a b = a, mais b est aussi une norme universelle donc d’après le théorème 15.9, on a b ∈ Ck0 ∩ Dk = Dk0 . Finalement Dk0 est bien -divisible.

Réciproquement, si x ∈ n>0 Ckn , alors x est dans le noyau de Ck → Ck∧ car il est dans tout sous-groupe d’indice fini de Ck , et donc x ∈ Dk d’après le théorème 15.9. c) D’après b), le groupe Dk n’est autre que le sous-groupe divisible maximal de Ck . On conclut avec le théorème 15.9.

232 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

Remarque 15.11. Pour k = Q, on a facilement DQ  R∗+ et pour k quadratique imaginaire, on a Dk  C∗ (cf. exercice 15.2), mais en général la structure de Dk peut être très compliquée. Pour d’autres propriétés de Dk , voir [41], Chap. VIII, § 2. 15.3. Le cas du corps de fonctions Dans ce paragraphe, on suppose que k est un corps global de caractéristique p > 0. Pour avoir le théorème d’existence, y compris pour les sous-groupes de Ck d’indice divisible par p, l’étape-clef est le théorème suivant, dont on peut trouver une démonstration dans [1], § 6.5 : Théorème 15.12. Pour un corps global k de caractéristique p > 0, l’application de réciprocité rec : Ck → Gab k est injective. Autrement dit le groupe des normes universelles NGk C est trivial. Rappelons aussi au passage le résultat topologique suivant ([21], Th. 3.5 du chapitre I et Th. 7.11 du chapitre II). Proposition 15.13. Soit G un groupe topologique localement compact et totalement discontinu. Soit H un sous-groupe fermé de G. Alors le quotient G/H est également localement compact et totalement discontinu. Remarque 15.14. La proposition 15.13 donne que Ck est totalement discontinu (comme quotient du groupe localement compact et totalement discontinu Ik par le sous-groupe fermé k ∗ ) et Ck0 est donc profini. Le quotient Ck /Ck0 est isomorphe à Z, ce qui implique déjà que NGk C est inclus dans Ck0 , et donc est profini (car fermé dans Ck0 ). Il suffit donc pour prouver le théorème 15.12 de savoir que NGk C est -divisible pour tout nombre premier . La méthode du théorème 15.10, b) fonctionne encore pour  = p, mais il faut des arguments spécifiques pour  = p. On voudrait maintenant déduire du théorème 15.12 le théorème d’existence, y compris pour les sous-groupes d’indice divisible par p. Pour cela, il est plus commode (contrairement à ce que nous avons fait dans le cas d’un corps de nombres) de d’abord déterminer la structure du groupe de Galois abélien de k. Écrivons k comme le corps des fonctions d’une courbe (projective et lisse) C sur un corps fini κ = Fq . On peut supposer κ algébriquement fermé dans k (c’est-à-dire la courbe C géométriquement intègre sur κ). Pour toute place v de k, correspondant à un point fermé de C, notons κ(v) le corps résiduel de v ; c’est une extension finie de κ. On définit l’application degré  deg : Ik −→ Z, α = (αv )v∈Ωk −→ v(αv ) · [κ(v) : κ]. v∈Ωk

15.3. LE CAS DU CORPS DE FONCTIONS

233

Lemme 15.15. a) Soit α ∈ Ik . Soit F le générateur topologique canonique x → xq de Gal(κ/κ). Alors l’image de rec(α) ∈ Gab k par la surjection canonique π :  est F deg α ; autrement dit, π(rec(α)) correspond à → Gal(κ/κ)  Z Gab k  l’entier (deg α) ∈ Z ⊂ Z. b) L’application deg se factorise en une application surjective (notée encore deg) de Ck dans Z, dont le noyau est Ck0 . Démonstration. a) Posons α = (αv )v∈Ωk . Pour toute extension finie abélienne K de k, soit ωK/k : Ik → Gal(K/k) le symbole de reste normique. On a, par la formule (14.1) :

ωKv /kv (αv ), ωK/k (α) = kv∗

v∈Ωk

où ωKv /kv : → Gal(Kv /kv ) ⊂ Gal(K/k) est l’application de réciprocité locale associée à l’extension Kv /kv . Posons fv = [κ(v) : κ]. Soient FK/k l’automorphisme x → xq de Gal(K/k) et πK/k : Gal(K/k) → Gal(K(v)/κ(v)) la projection, où K(v) est le corps résiduel de Kv . D’après le lemme 9.8 a), on a dans Gal(K/k) : fv πK/k (ωKv /kv (αv )) = (FK/k )v(αv ) fv puisque FK/k est le générateur canonique de Gal(K(v)/κ(v)). On en déduit :

fv ·v(αv ) πK/k (ωK/k (α)) = FK/k . v∈Ωk

En passant à la limite sur K dans l’égalité précédente on obtient, dans Gal(κ/κ) :

fv v(αv ) F = F deg α . π(rec(α)) = v∈Ωk

b) D’après le point a), l’entier deg α ne dépend que de l’image de α par rec. La loi de réciprocité globale (théorème 14.9) implique alors que deg se factorise en une application de Ck dans Z. De plus, comme rec est d’image  ce dense et π est surjective, l’image de π ◦ rec est dense dans Gal(κ/κ)  Z qui, avec la formule du a), montre que deg : Ik → Z est surjective. Enfin, le noyau de deg : Ik → Z est par définition Ik0 , ce qui donne la dernière assertion vu que Ck0 = Ik0 /k ∗ . Remarque 15.16. Pour montrer b), on pourrait aussi utiliser [20], Part. II, Cor. 6.10 et (pour la surjectivité de deg) le fait que la courbe C a des points sur Fqn pour n assez grand (corollaire du théorème de Lang-Weil [33]). On en déduit la description du groupe de Galois abélien de k, qui est en un sens plus simple que dans le cas d’un corps de nombres, car totalement analogue au cas local.

234 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

Théorème 15.17. Soit k un corps global de caractéristique p > 0. Alors, on a une suite exacte rec  0 −→ Ck −−−→ Gab k −→ Z/Z −→ 0. De plus, l’application de réciprocité rec induit un isomorphisme de groupes  profinis de Ck0 sur G0k := Ker[π : Gab k → Z]. Démonstration. D’après le lemme 15.15, on a un diagramme commutatif à lignes exactes : 0

/ C0 k

0

rec  / G0 k

(15.2)

/ Ck 

deg

rec

/ Gab k

π

/Z

/0

i   /Z

/ 0.

Fixons un élément c de Ck avec deg c = 1. Le théorème 15.12 dit que rec est injective. Son image est dense et Ck est le produit direct de Ck0 et du sous-groupe engendré par c, ce qui donne avec le diagramme que l’image de Ck0 par rec est dense dans G0k . Comme Ck0 est compact et G0k séparé, on en déduit finalement que rec induit un isomorphisme de Ck0 sur G0k , d’où on tire immédiatement la suite exacte voulue. Démonstration du théorème 15.8 pour un corps de fonctions, à partir du théorème 15.17. Nous pouvons maintenant démontrer le cas général du théorème d’existence pour un corps global de caractéristique p > 0 (en gardant à l’esprit que nous n’avons pas donné dans ce livre la démonstration du théorème 15.12, qui est le point difficile). Comme on l’a vu au paragraphe 15.2, il reste juste à montrer que tout sous-groupe ouvert d’indice fini de Ck est un sous-groupe de normes (y compris quand l’indice est divisible par la caractéristique p de k). Soit U un sous-groupe ouvert d’indice fini de Ck . L’image de U par l’application deg : Ck → Z est de la forme dZ avec d > 0. Posons U0 = U ∩ Ck0 , alors U0 est un sous-groupe ouvert (donc compact) de Ck0 et d’après le théorème 15.17, l’application rec induit un isomorphisme de U0 sur un sous l’adhérence de rec(U ) dans Gab . 0 de G0 . Soit alors U groupe compact U k k   Le diagramme (15.2) donne π(U ) = dZ. Le même argument que dans la preuve du théorème 15.17 (utilisant le fait que U est le produit direct du sous-groupe compact U0 et d’un sous-groupe isomorphe à dZ) donne que  ce qui fait que ce noyau est  → dZ, rec(U0 ) est dense dans le noyau de π : U  exactement U0 . On a ainsi une suite exacte π  −→ 0.  −− 0 −→ U → dZ 0 −→ U

15.4. CORPS DE CLASSES DE RAYONS

235

 est un sous-groupe compact d’indice fini (donc aussi Ceci montre que U ab  = Gal(k ab /K), où K est une extension ouvert) de Gk . Ceci implique que U finie abélienne de k.  , donc Montrons que U = NK/k Ck . On a par construction rec(U ) ⊂ U l’image de U par l’application de réciprocité ωK/k : Ck → Gal(K/k) est réduite au neutre, ce qui montre que U ⊂ NK/k Ck . D’autre part,

0 ]·d = [Gab  [Ck : U ] = [C0 : U0 ]·d = [G0k : U k : U ] = [K : k] = [Ck : NK/k CK ], ce qui permet de conclure que U = NK/k Ck . 15.4. Corps de classes de rayons ; corps de classes de Hilbert Dans ce paragraphe, on va utiliser le théorème d’existence pour relier les extensions abéliennes de k aux corps de classes de rayon qui sont historiquement apparus avant la formulation idélique de la théorie. Pour simplifier les notations, nous supposerons que k est un corps de nombres. Les résultats sont analogues pour le corps des fonctions d’une courbe projective lisse C sur Fq avec quelques changements (notamment en remplaçant les cycles par les cycles de degré 0, le groupe des classes d’idéaux de Ok par Pic0 C, etc.). Définition 15.18. Soit k un corps de nombres. Un cycle M de k est un produit

formel M = v∈Ωk v nv , où nv ∈ N, nv est nul pour presque toute v, et nv ∈ {0, 1} si v est archimédienne. Pour v finie et nv  1, on note comme d’habitude Uvnv le groupe multiplicatif des x ∈ Ov∗ tels que v(x − 1)  nv , ainsi que Uv0 = Uv = Ov∗ . Pour v complexe, on pose Uvnv = kv∗  C∗ . Pour v réelle, on pose Uv1 = R∗+ ⊂ kv∗ et Uv0 = kv∗  R∗ . La notation αv ≡ 1 mod. v nv signifiera v(αv − 1)  nv si v est finie et nv  1 (et on convient que pour nv = 0 la condition est toujours satisfaite). Pour v complexe ou v réelle avec nv = 0, cette condition sera par définition toujours satisfaite et pour v réelle avec nv = 1, elle signifiera juste

αv > 0. Soit M = v v nv un cycle et soit α ∈ Ik . On notera α ≡ 1 mod. M pour la condition : αv ≡ 1 mod. v nv pour toute place v de k. Définition 15.19. Soit M un cycle de k. Posons IkM = {α ∈ Ik , α ≡ 1 mod. M} =



Uvnv .

v∈Ωk

L’image CkM = IkM · k ∗ /k ∗ du groupe IkM dans Ck s’appelle le sous-groupe de congruence modulo M de Ck . Le quotient Ck /CkM est le groupe de classes de rayon modulo M. Le cas où M = 1 est le cycle trivial est particulièrement intéressant :



on a alors Ik1 = v∈Ω∞ kv∗ × v∈Ωf Uv , d’où on tire que Ck /Ck1 = Ik /Pk

236 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

est le groupe des classes d’idéaux de Ok . Son cardinal est le nombre de classes h(k). Théorème 15.20. Un sous-groupe de Ck est un groupe de normes si et seulement s’il contient un sous-groupe de congruence CkM .

Démonstration. Soit M = v v nv un cycle. Le groupe CkM est un sous

nv groupe ouvert de Ck car IkM = est un ouvert de Ik . Par v∈Ωk Uv M ailleurs, Ck est d’indice fini dans Ck car [Ck : Ck1 ] = h(k) est fini et

[Ck1 : CkM ] est majoré par l’ordre de Ik1 /IkM = v Uv /Uvnv qui est bien fini (rappelons que nv = 0 pour presque toute place v et Uv0 := Uv ). Finalement, CkM est un groupe de normes par le théorème 15.8. Soit réciproquement N un groupe de normes, alors son image réciproque J dans Ik est ouverte, donc J contient un sous-ensemble de la forme



v∈S Wv × v∈S Uv , où S ⊃ Ω∞ est un ensemble fini de places et Wv est un voisinage ouvert de 1 dans kv∗ . Pour v ∈ S finie, on peut supposer que Wv = Uvnv avec nv ∈ N car les Uvm , m  0 forment une base de voisinages de 1. Pour v archimédienne, les seuls sous-groupes de kv∗ engendrés par un voisinage ouvert de 1 sont kv∗ ou R∗+ si v est réelle. On en déduit que J contient un sous-groupe de la forme IkM , et donc que N contient un sous-groupe de congruence CkM . Définition 15.21. Le corps de classes k M qui est associé au sous-groupe de congruence CkM s’appelle le corps de classes de rayon modulo M. Le corps k 1 s’appelle le corps de classes de Hilbert de k. On a donc Gal(k M /k)  Ck /CkM , et toute extension finie abélienne de k est contenue dans un corps de classes de rayon. On a aussi 



M|M =⇒ k M ⊂ k M =⇒ CkM ⊃ CkM . On a en particulier Gal(k 1 /k)  Ik /Pk , ce qui fait que le degré [k 1 : k] est le nombre de classes h(k) de k. Définition 15.22. Soit K un corps local et soit L une extension finie galoisienne de K de groupe G. Le conducteur F(L/K) de l’extension L/K est le plus petit entier n  0 tel que l’application de réciprocité ωL/K : K ∗ → Gab n 0 soit triviale sur UK (toujours avec la convention UK = UK ). Notons que comme le noyau de ωL/K est un sous-groupe ouvert de K ∗ , n ce sous-groupe contient UK pour n assez grand et le conducteur est bien défini. Par ailleurs, le calcul de l’application de réciprocité via Lubin-Tate (théorème 11.17) donne : Proposition 15.23. Le conducteur F(L/K) est nul si et seulement si l’extension L/K est non ramifiée.

15.4. CORPS DE CLASSES DE RAYONS

237

On généralise la notion de conducteur à K = R ou K = C, en prenant F(L/K) = 0 ou F(L/K) = 1 suivant que l’extension L est égale à K ou non. Définition 15.24. Soit k un corps de nombres. Soit K une extension finie et abélienne de k, associée au groupe de normes NK := NK/k CK . Le conducteur F de l’extension K/k (ou de NK ) est le pgcd des cycles M tels que K ⊂ k M (ou encore CkM ⊂ NK/k CK ). Autrement dit, k F est le plus petit corps de classes de rayon qui contient K ; attention, ceci n’implique pas que le conducteur de k M M est M car M → CK est décroissante, mais pas injective en général (voir l’exercice 15.3). Proposition 15.25. Soit K une extension finie et abélienne d’un corps de nombres k, de conducteur F. Alors on a

F (Kv /kv ) F= v . v∈Ωk

Démonstration. On commence par un lemme : Lemme 15.26. Pour xv ∈ kv∗ , notons [xv ] l’idèle (1, . . . , 1, xv , 1, . . . , ). Soit K une extension finie abélienne de k. Alors la classe de [xv ] dans Ck est dans NK/k CK si et seulement si xv ∈ NKv /kv Kv∗ . De plus, si α est un idèle tel que la classe de [αv ] dans Ck soit dans NK/k CK pour toute place v de k, alors la classe de α dans Ck est aussi dans NK/k CK . Démonstration du lemme. Supposons xv ∈ NKv /kv Kv∗ . Alors on a par définition du symbole de reste normique : ([xv ], K/k) = (xv , Kv /kv ) = 1 ce qui montre que la classe de [xv ] appartient à NK/k CK par le théorème 15.4. Réciproquement, supposons que la classe de [xv ] soit dans NK/k CK . Cela signifie qu’il existe β ∈ IK et a ∈ k ∗ tels que [xv ]·a = NK/k β. Ceci implique que a est une norme de Ku /ku pour toute place u de k autre que v. Mais alors, on obtient que a est aussi une norme de Kv /kv grâce à la loi de réciprocité (théorème 14.9, b), ce qui prouve que xv ∈ NKv /kv Kv∗ . Pour la deuxième assertion, on note que si α = (αv ) est un idèle tel que pour toute place v de k, on ait αv ∈ NKv /kv Kv∗ , alors α ∈ NK/k IK par le lemme 13.3, et donc a fortiori la classe de α dans Ck est dans NK/k CK . On peut maintenant démontrer la proposition 15.25. Soit N = NK/k CK

et soit M = v v nv un cycle. Pour tout idèle α ∈ Ik , considérons les trois conditions suivantes : i) α ≡ 1 mod. M. ii) La classe de [αv ] dans Ck est dans N pour toute place v de k.

238 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

iii) La classe de α dans Ck est dans N . D’après la seconde partie du lemme 15.26, ii) implique iii). De plus, si α satisfait à i), alors [αv ] satisfait aussi à i) pour toute place v. De ce fait, les deux conditions suivantes sont équivalentes : a) Tout α ∈ Ik qui satisfait à i) satisfait aussi à ii). b) Tout α ∈ Ik qui satisfait à i) satisfait aussi à iii). Maintenant, la condition CkM ⊂ N signifie précisément que b) est satisfaite. C’est donc équivalent à dire que a) est satisfaite, et avec la première partie du lemme 15.26, c’est encore équivalent à dire que : αv ≡ 1 mod. v nv pour toute place v implique αv ∈ NKv /kv Kv∗ pour toute place v, ou encore : pour toute place v, on a Uvnv ⊂ NKv /kv Kv∗ . Finalement, on a montré que CkM ⊂ N équivaut à F(Kv /kv )  nv pour

toute place v, ce qui signifie exactement que F = v v F (Kv /kv ) . Remarque 15.27. Noter par contre que, comme me l’a fait remarquer J. Riou, la condition iii) ci-dessus n’implique pas la condition ii). Il suffit pour le voir de prendre un idèle principal α ∈ k ∗ qui n’est pas une norme locale en une certaine place v. C’est pour contourner cette difficulté que l’on a introduit les idèles de la forme [αv ] au lieu de se contenter de raisonner avec les αv ∈ kv∗ . Corollaire 15.28. Soit K une extension finie et abélienne d’un corps de nombres k, de conducteur F. Alors une place v est ramifiée dans K/k si et seulement si v divise F (on convient que pour une place archimédienne, non ramifiée signifie totalement décomposée). Le corps de classes de Hilbert est l’extension abélienne maximale de k qui est non ramifiée en toute place de k (y compris les places archimédiennes). Démonstration. Si v est une place finie, la proposition précédente dit qu’elle divise F si et seulement si le conducteur local F(Kv /kv ) est non nul, autrement dit si et seulement si Kv /kv est ramifiée d’après la proposition 15.23. Si v est complexe, on a automatiquement F(Kv /kv ) = 0 donc la proposition 15.25 dit que v ne divise pas F, tandis que par définition Kv /kv est une extension totalement décomposée. Si enfin v est réelle, on obtient que v divise F si et seulement si F(Kv /kv ) = 1, c’est-à-dire si et seulement si Kv /kv est une extension non triviale, ce qui est équivalent à v ramifiée dans K/k au sens de l’énoncé du corollaire. Les propositions 15.25 et 15.23 disent qu’une extension finie et abélienne K de k est non ramifiée en toute place de k si et seulement si son

15.4. CORPS DE CLASSES DE RAYONS

239

conducteur est 1, autrement dit (par définition du conducteur) si et seulement si le corps de classes de Hilbert k 1 contient K. Ainsi k 1 est bien l’extension abélienne maximale de k non ramifiée en toute place de k. L’énoncé suivant est le célèbre théorème de l’idéal principal. La réduction de cet énoncé à un résultat de théorie des groupes que nous avons déjà rencontré (théorème 2.13) est due à Artin. Théorème 15.29. Soit k un corps de nombres. Soit K1 son corps de classes de Hilbert. Alors tout idéal de Ok devient principal dans OK1 . Démonstration. Soit K2 le corps de classes de Hilbert de K1 , qui est donc une extension abélienne de K1 . La définition de l’application de réciprocité et l’interprétation du transfert (resp. de l’inclusion i : Ck ⊂ CK1 ) comme la restriction  −2 (Gal(K2 /k), Z) −→ H  −2 (Gal(K2 /K1 ), Z) H resp.

H 0 (Gal(K2 /k), CK2 ) −→ H 0 (Gal(K2 /K1 ), CK2 )

donne un diagramme commutatif(2) : Ck i 

CK1

ωK2 /k

ωK2 /K1

/ Gal(K2 /k)ab V  / Gal(K2 /K1 )ab ,

où V est le transfert. On a vu que K1 était l’extension abélienne maximale de k non ramifiée partout et totalement décomposée aux places archimédiennes, c’est donc la sous-extension abélienne maximale de K2 /k ; autrement dit, Gal(K1 /k) est l’abélianisé de Gal(K2 /k), ou encore Gal(K2 /K1 ) est le sous-groupe dérivé de Gal(K2 /K). Comme K2 est une extension abélienne de K1 , on obtient finalement un diagramme commutatif : Ik /Pk = Ck /NK1 /k CK1 i 

IK1 /PK1 = CK1 /NK2 /K1 CK2

ωK1 /k

ωK2 /K1

/ Gal(K1 /k) 

V

/ Gal(K2 /K1 ),

où les flèches horizontales sont des isomorphismes. Le théorème 2.13 nous dit alors que la flèche V du diagramme est nulle, ce qui donne le résultat. (2) On

a un diagramme analogue pour toute formation de classes, voir la proposition 16.30, et aussi l’exercice 9.3 pour le cas local.

240 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

Remarque 15.30. À la lumière du théorème précédent, il est naturel de se demander si la tour de corps de classes K0 = k ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ · · · (où, pour i  0, Ki+1 est le corps de classes de Hilbert de Ki ) est forcément finie, ce qui impliquerait que le dernier corps dans la tour a un nombre de classes égal à 1 (et pas seulement que les idéaux de Ok y deviennent principaux). Ce problème, posé par Furtwängler, trouva finalement une réponse négative par Golod et Shafarevich en 1964 ; voir les exercices 15.5 et 15.6, qui sont tirés de [48], Part. I, § 4.4 et Ann. 3. Remarque 15.31. Soit S un ensemble non vide de places de k, contenant les places archimédiennes. La même preuve donne un résultat analogue au théorème 15.29 (lequel correspond au cas S = Ω∞ ) pour les idéaux de l’anneau Ok,S des S-entiers : ils deviennent tous principaux dans une extension finie de k, à savoir l’extension abélienne maximale de k non ramifiée en dehors de S et totalement décomposée aux places de S. Cela vaut aussi sur un corps de fonctions (grâce à l’hypothèse S = ∅, laquelle assure la finitude du groupe des classes de Ok,S ). On conclut ce paragraphe avec le théorème de Kronecker-Weber (que l’on peut aussi déduire de sa version sur Qp , cf. exercice 12.6). Théorème 15.32. L’extension abélienne maximale du corps Q est l’extension Q(μ∞ ) engendrée par toutes les racines de l’unité. Soit ζm une racine primitive m-ième de l’unité. Notons que si un nombre premier p ne divise pas m, alors l’extension Q(ζm )/Q est non ramifiée en p (en effet la réduction modulo p du polynôme X m − 1 est alors un polynôme séparable sur Fp ). On sait déjà que toute extension cyclotomique Q(ζm ) est abélienne, il suffit donc de montrer que toute extension finie abélienne de Q est contenue dans Q(ζm ) pour un certain m. Pour cela, on va montrer la forme plus précise suivante.

Théorème 15.33. Soit m = pnp ∈ N∗ . Soit p∞ la place réelle de Q. Soit M le cycle m·p∞ . Alors le corps de classes de rayon modulo M de Q est Q(ζm ). n

Démonstration. Posons m = m · pnp (pour p fixé). Alors Up p est inclus dans le groupe de normes de l’extension non ramifiée Qp (ζm )/Qp , et aussi dans celui de Qp (ζpnp )/Qp par Lubin-Tate (cf. exemple 11.23). On en dén duit que Up p est inclus dans le groupe de normes de Qp (ζm )/Qp , car par compatibilité des applications de réciprocité, son image par ωQp (ζm )/Qp est

n M M triviale. Comme IQ = p=p∞ Up p × R∗+ , on obtient CQ ⊂ N CQ(ζm ) par le lemme 13.3. Par ailleurs, on a M 1 M 1 M [CQ : CQ ] = [IQ .Q∗ : IQ .Q∗ ] = [IQ : IQ ]



1 M [IQ ∩ Q ∗ : IQ ∩ Q∗ ]

15.5. GROUPES DE GALOIS DE RAMIFICATION RESTREINTE

241

1 M car [CQ : CQ ] = 1 vu que Z = OQ est principal. Or IQ ∩ Q∗ = {1} et 1 ∗ IQ ∩ Q = {±1} d’où



M [CQ : CQ ] = 1/2 · [Up : Upnp ] · 2 = ϕ(pnp ) = ϕ(m), p=p∞

soit finalement [CQ :

M CQ ]

p=p∞

= [Q(ζm ) : Q] = [CQ : N CQ(ζm ) ], ce qui conclut.

15.5. Groupes de Galois de ramification restreinte Il est souvent utile pour les applications de travailler non plus avec le groupe de Galois absolu Gk d’un corps global k, mais avec certains quotients GS de Gk associés à un sous-ensemble non vide S de l’ensemble Ωk des places de k. Ceci interviendra en particulier lorsque nous voudrons obtenir une version assez générale de la dualité de Poitou-Tate. Dans toute la suite, on désigne par S un sous-ensemble non vide de Ωk , contenant toutes les places archimédiennes si k est un corps de nombres. On attire l’attention du lecteur sur le fait qu’ici (contrairement aux conventions le plus souvent adoptées précédemment), l’ensemble S n’est pas supposé fini. On notera Ω∞ l’ensemble des places archimédiennes de k et ΩR l’ensemble de ses places réelles. On fixe une clôture algébrique k de k et on note Ok,S l’anneau des S-entiers de k. Par exemple, si S = Ωk , on a simplement Ok,S = k ; si k est un corps de nombres et S = Ω∞ , on a Ok,S = Ok . Si v est une place finie de k, on note comme d’habitude Ov l’anneau des entiers de kv (et par convention on posera Ov = kv si v est archimédienne). Définition 15.34. On note kS l’extension maximale de k incluse dans k qui est non ramifiée en dehors de S et on pose GS = Gal(kS /k). On dit que GS est le groupe de Galois de ramification restreinte à S de k. Exemple 15.35. Si S est fini, l’extension kS est « peu ramifiée ». Dans le langage de la géométrie algébrique, le groupe GS est le groupe fondamental étale du schéma affine U = Spec(Ok,S ). Ici U est un ouvert de Zariski de Spec(Ok ) si k est un corps de nombres (resp. un ouvert affine de X si k est le corps des fonctions d’une courbe projective lisse X sur un corps fini). Si par exemple S = Ω∞ , alors kS est l’extension maximale de k non ramifiée en tout idéal premier de Ok . Si on suppose de plus que k n’a pas de places réelles, l’extension kΩ∞ est le corps de classes de Hilbert de k (cf. corollaire 15.28) et GΩ∞ est le groupe des classes d’idéaux de Ok . Si au contraire S contient presque toutes les places de k (c’est-à-dire toutes les places à l’exception d’un nombre fini d’entre elles), l’extension kS est « proche » de k, le cas S = Ωk correspondant à kS = k.

242 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

On aimerait maintenant étendre certains résultats du paragraphe 15.2 au groupe de Galois de ramification restreinte GS . On va travailler avec des extensions finies F de k (que l’on supposera le plus souvent galoisiennes) ; pour simplifier les notations, on appellera souvent encore S l’ensemble des places de F divisant une place de k appartenant à S. Il se trouve que le bon analogue du groupe des classes d’idèles dans ce contexte est le suivant. Définition 15.36. Soit F une extension finie de k, de groupe des idèles IF et

∗ de groupe des classes d’idèles CF = IF /F ∗ . Soit UF,S  w∈S Ow le sousgroupe de IF constitué des familles (aw )w∈ΩF dont la composante en w est triviale (resp. inversible) si la place w ∈ ΩF est dans S (resp. n’est pas dans S). On pose CS (F ) := CF /UF,S et on appelle CS la limite inductive des CS (F ) quand F décrit les extensions finies galoisiennes de k incluses dans kS . Noter que l’hypothèse S = ∅ implique F ∗ ∩ UF,S = {1}, ce qui permet de considérer aussi UF,S comme un sous-groupe de CF . On commence par un lemme qui compare CS (F ) à un groupe CF,S qui peut sembler plus naturel à définir. La raison pour laquelle CS (F ) est plus utile est que, comme on va le voir (proposition 15.38, c), il satisfait à une bonne propriété de descente galoisienne, ce qui n’est pas le cas de CF,S en général. Lemme 15.37. Définissons JF,S comme le sous-groupe de IF constitué des familles (aw )w∈ΩF dont la composante en w est triviale pour toute place w ∈ ΩF non dans S. Soit ∗ CF,S := JF,S /OF,S

le quotient de JF,S par le groupe des unités de OF,S . Alors il existe une suite exacte 0 −→ CF,S −→ CS (F ) −→ ClF,S −→ 0, où ClF,S est le groupe des classes d’idéaux de OF,S . Si S contient presque toutes les places de k, alors CF,S = CS (F ). Noter que JF,S est une sorte de « groupe des idèles tronqué en S » : il s’identifie en effet au produit restreint des Fw∗ pour w place de F au-dessus d’une place de S ; on prendra garde de ne pas le confondre avec le groupe IF,S des S-idèles introduit dans la proposition 12.24. ∗ Démonstration. Le groupe OF,S s’identifie à un sous-groupe de JF,S via la flèche i : a → (a, a, . . . , a, 1, 1, . . . ) (où les a apparaissent aux places de S et les 1 aux places non dans S). Dans IF , on a alors ∗ ∗ JF,S ∩ (F ∗ · UF,S ) = i(OF,S )  OF,S .

15.5. GROUPES DE GALOIS DE RAMIFICATION RESTREINTE

243

On en déduit un plongement j : CF,S −→ CF /UF,S = CS (F ). D’autre part, le groupe JF,S · UF,S est le sous-groupe de IF constitué des idèles dont la composante en toute place v ∈ S est dans Ov∗ . Le conoyau de j s’identifie à IF /JF,S · UF,S .F ∗ , c’est-à-dire au quotient de IF /JF,S · UF,S   ∗ v∈S Z par l’image de F relativement à l’application  F ∗ −→ Z, a −→ (w(a))w∈S . v∈S

Ainsi ce conoyau est bien isomorphe au groupe des classes d’idéaux de OF,S (noter que les idéaux premiers non nuls de OF,S correspondent aux places de F non dans S ; en langage géométrique ClF,S est le groupe des classes de diviseurs de Spec(OF,S ), cf. théorème 12.23). Enfin, si S contient presque toutes les places de k, alors OF,S est un anneau de Dedekind qui n’a qu’un nombre fini d’idéaux premiers, c’est donc un anneau principal (proposition 12.5), c’est-à-dire que son groupe des classes est nul. La proposition suivante sera utile un peu plus tard, pour définir une P -formation de classes associée à GS (théorème 17.2). Proposition 15.38. a) Le groupe CS = limF ⊂k CS (F ) est aussi la limite inductive des CF,S . −→ S b) Pour toute extension finie galoisienne F de k, le Gal(F/k)-module UF,S est cohomologiquement trivial. Le GS -module US := limF ⊂k UF,S est −→ S cohomologiquement trivial. c) On a CSGS = CS (k). Démonstration. a) Grâce au lemme précédent, il suffit de vérifier que limF ⊂k ClF,S = 0. −→ S Ceci est une conséquence immédiate du théorème de l’idéal principal (théorème 15.29 et remarque 15.31). b) Le même argument que dans la proposition 13.1 donne  i (Gal(F/k), UF,S ) =  H  i (Gal(Fv /kv ), Ov∗ ) H v∈S

pour tout i ∈ Z, après quoi le résultat pour UF,S découle de la proposition 8.3 vu que pour v ∈ S, l’extension Fv /kv est non ramifiée. On en Gal(kS /F ) déduit le résultat pour US en passant à la limite, vu que UF,S = US . c) Soit C(kS ) la limite inductive des CF pour F extension finie galoisienne de k incluse dans kS . En passant à la limite dans la définition de CS (F ), on obtient une suite exacte (15.3)

0 −→ US −→ C(kS ) −→ CS −→ 0.

244 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

On applique alors la suite exacte de cohomologie pour l’action du groupe GS (noter que USGS = Uk,S est clair et on a aussi C(kS )GS = Ck , cf. proposition 13.4). Comme US est un GS -module cohomologiquement trivial, on a H 1 (GS , US ) = 0 d’où CSGS = Ck /Uk,S = CS (k). Lemme 15.39. Soit A un groupe abélien localement compact, de composante connexe neutre A0 . Soit K un sous-groupe compact de A. Alors l’image B de A0 par la projection π : A → A/K est la composante connexe neutre de A/K (muni de la topologie quotient). Démonstration. On a déjà que B est connexe, car image du connexe A0 par l’application continue π. Il suffit donc de vérifier que le quotient (A/K)/B = A/(K +A0 ) est totalement discontinu. Or le groupe topologique A/(K +A0 ) est le quotient du groupe localement compact et totalement discontinu A/A0 par le sous-groupe compact (donc fermé) (K + A0 )/A0 , ce qui permet de conclure avec la proposition 15.13. Voici l’analogue des théorèmes 15.10 et 15.17. Proposition 15.40. a) Soit k un corps de nombres. Soit DS (k) la composante connexe du neutre dans CS (k). Alors on a DS (k) = Dk Uk,S /Uk,S . Le groupe DS (k) est divisible et on a une suite exacte ω 0 −→ DS (k) −→ CS (k) −−→ Gab S −→ 0, où ω est le morphisme induit par l’application de réciprocité reck : Ck → Gab k (cf. théorème 15.4). b) Soit k un corps de fonctions sur Fq . Alors on a une suite exacte ω  0 −→ CS (k) −−→ Gab S −→ Z/Z −→ 0. Démonstration. a) Le groupe CS (k) est le quotient de Ck par le sous-groupe compact Uk,S . Le lemme 15.39 donne donc que l’image de la composante neutre Dk de Ck par p est la composante neutre de CS (k), ce qui prouve la première assertion. Alors DS (k) est divisible comme quotient de Dk , qui est divisible d’après le théorème 15.10 b). Maintenant, on voit que l’image de Uk,S par reck : Ck → Gab k est, d’après le lemme 9.8 et la formule (14.1), le sous-groupe H de Gab k engendré par les sous-groupes d’inertie Iv pour v ∈ S, ce qui fait que le corps fixe de H est la sous-extension maximale de k ab non ramifiée en dehors de S, c’està-dire kSab (en effet, un sous-groupe de Gab k contient Iv si et seulement si l’extension de k qui lui correspond est non ramifiée en v). On a donc, par

15.6. EXERCICES

245

le théorème 15.9, un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes et les flèches verticales injectives : 0

/ Dk ∩ Uk,S

/ Uk,S

0

 / Dk

 / Ck

/ Gal(k ab /k ab ) S  reck / Gal(k ab /k)

/0

/ 0.

Comme DS (k), CS (k) et Gab S sont les conoyaux respectifs des flèches verticales de gauche, du milieu et de droite, le résultat découle du lemme du serpent. b) L’argument est exactement le même que dans a), en appliquant le théorème 15.17 au lieu du théorème 15.9. 15.6. Exercices Exercice 15.1. Soit k un corps global. Soit F une extension finie galoisienne non triviale de k. En utilisant l’exercice 13.4, montrer que le groupe k ∗ /NF/k F ∗ est infini (voir l’exercice 18.8 pour une généralisation au cas non galoisien). √ Exercice 15.2. Soit k = Q( −d) (avec d entier strictement positif sans facteur carré) un corps quadratique imaginaire. Soient Ck = Ik /k ∗ le groupe des classes d’idèles de k et Dk la composante connexe neutre de Ck . a) Montrer que k possède une et une seule place archimédienne, qui est complexe. b) On note Ikf le produit restreint des kv∗ pour v place finie de k (relativement aux Ov∗ ). Montrer qu’il existe un morphisme de groupes injectif C∗ → Ck tel que le groupe topologique quotient Ck /C∗ soit isomorphe à Ikf /k ∗ . c) En déduire que Dk est isomorphe à C∗ . Exercice 15.3. Soit k = Q ; on note M le cycle p∞ , où p∞ est la place réelle de Q. Montrer que le conducteur de k M est 1, et non pas M (utiliser le corollaire 12.29). Exercice 15.4. Soit K une extension cyclique de Q de degré m avec  premier. Soit F ⊂ K l’extension intermédiaire telle que [F : Q] = . Soit p =  un nombre premier ramifié dans l’extension F/Q ; on note Kp le complété de K en une place divisant p. a) Montrer que l’extension Kp /Qp est totalement ramifiée. m

b) Montrer que tout x ∈ 1 + pZp satisfait à x ∈ Q∗p . c) En déduire que le conducteur de l’extension Kp /Qp est 1.

246 CHAPITRE 15. LE GROUPE DE GALOIS ABÉLIEN D’UN CORPS GLOBAL

d) Montrer que p ≡ 1 mod. m (on pourra d’abord montrer que l’application de réciprocité induit une surjection de Z∗p sur Gal(Kp /Qp )). e) Soit E une extension quadratique de Q, non ramifiée et inerte en 2. √ Montrer que E s’écrit E = Q( m), où m est un entier avec m ≡ 5 mod. 8 (utiliser l’exemple 7.11). f) Déduire de d) et e) que si K est une extension cyclique de Q de degré 8, alors 2 ne peut pas être non ramifié et inerte dans K/Q (« contre-exemple de Wang au théorème de Grunwald », 1948). Exercice 15.5. Soit k un corps de nombres. On dira dans cet exercice qu’une extension finie galoisienne de k est non ramifiée si elle est non ramifiée en toute place finie de k, et totalement décomposée en toute place archimédienne de k. On fixe un nombre premier p. Soit K une extension finie galoisienne non ramifiée de k, dont le groupe de Galois G = Gal(K/k) est un p-groupe. On suppose que K n’a pas d’extensions qui sont à la fois non ramifiées et cycliques d’ordre p. On note ΩK,∞ (resp. ΩK,f ) l’ensemble des places archimédiennes (resp. finies) de K. a) i) Montrer que le cardinal h(K) du groupe des classes d’idéaux Cl(K) de K n’est pas divisible par p.  q (G, Cl(K)) pour tout q ∈ Z. ii) Calculer H 1 le sous-groupe de IK b) Soit IK le groupe des idèles de K. On note IK défini par



1 ∗ := Kw × Uw , IK w∈ΩK,∞

où Uw =

∗ Ow

w∈ΩK,f

∗ est le groupe des unités de l’anneau des entiers de Kw .

On note aussi CK = IK /K ∗ le groupe des classes d’idèles de K et EK = 1 K ∩ IK le groupe des unités de OK .  q (G, I 1 ) = 0 pour tout q ∈ Z (on pourra s’inspirer du i) Montrer que H ∗

K

paragraphe 13.1).  q (G, CK )  ii) Montrer que pour tout q ∈ Z, on a un isomorphisme H q+1  H (G, EK ).  0 (G, EK ) et H  −3 (G, Z) sont isomorphes. c) i) Montrer que les groupes H  −3 (G, Z) (c’est-à-dire son nombre minimal ii) En déduire que le rang de H de générateurs) est au plus r, où r est le nombre de places archimédiennes de k, puis qu’il en va de même pour le groupe H 3 (G, Z) (utiliser l’exercice 2.1). iii) Avec les notations de l’exercice 1.10, montrer que r(G) − n(G)  [k : Q].

15.6. EXERCICES

247

Exercice 15.6 (fait suite au précédent). Soit p un nombre premier. On admet l’inégalité de Golod-Shafarevich ([48], Part. I, Ann. 3) qui dit qu’avec les notations des exercices 1.10 et 15.5, on a r(G) > n(G)2 /4 pour tout p-groupe fini G = {1}. a) Soit k un corps de nombres, supposé totalement imaginaire si p = 2. Soit k(p) la plus grande extension galoisienne non ramifiée de k dont le groupe de Galois G est un pro-p-groupe. Montrer qu’il existe une constante C(d) (ne dépendant que du degré d := [k : Q]) tel que si le degré [k(p) : k] est fini, on a n(G)  C(d). En déduire qu’alors le rang de la composante p-primaire du groupe des classes d’idéaux Cl(k) est au plus C(d). b) On prend p = 2. On considère les corps quadratiques imaginaires √ k = Q( −p1 · · · pN ), où les pi sont des nombres premiers deux à deux √ distincts congrus à 1 modulo 4, et leurs extensions ki = k( pi ). Montrer que l’extension ki /k est non ramifiée en toute place de k (on pourra utiliser l’exercice 7.2). Montrer alors qu’il existe un tel corps k tel que le degré [k(2) : k] soit infini (des exemples analogues existent pour tout nombre premier p). c) En déduire que pour un tel corps k, toute extension finie de k a un nombre de classes divisible par 2. En particulier, la « tour de corps de classes », obtenue en posant k0 = k et ki+1 := corps de classes de Hilbert de ki pour i  0, est infinie. C’est la fameuse réponse négative au problème des tours de corps de classes, posé par Furtwängler, et resté ouvert pendant une quarantaine d’années jusqu’à sa résolution en 1964 par Golod et Shafarevich, voir aussi l’exposé IX de [9].

Dans cette dernière partie, nous nous intéressons aux théorèmes de dualité arithmétique. Le but est de démontrer les théorèmes de Poitou-Tate, qui sont des outils essentiels dans beaucoup de questions modernes de théorie des nombres. Cet objectif est atteint au chapitre 17, après un chapitre consacré aux formations de classes dans lequel on présente un théorème de dualité abstrait qui sera une étape cruciale de la démonstration des théorèmes de Poitou-Tate, et permet aussi de retrouver et d’étendre le théorème de dualité locale de Tate du chapitre 10. On termine ce livre par un chapitre consacré à quelques applications classiques, telles que le théorème de Grunwald-Wang et le calcul de la dimension cohomologique stricte d’un corps de nombres. Il existe de nombreuses généralisations des théorèmes de dualité exposés dans ce livre. On en trouvera un exposé très complet, avec en particulier de multiples extensions en cohomologie étale et plate, dans [38]. Mentionnons d’ailleurs que la cohomologie étale est un outil puissant, permettant par exemple de donner une preuve en un sens plus naturelle des théorèmes de Poitou-Tate, en passant par ce que l’on appelle le théorème de dualité d’Artin-Verdier (loc. cit., paragraphe II.3). Une preuve complète du théorème 17.13 utilisant cette approche est exposée dans [24]. Les théorèmes de dualité et leurs applications font encore aujourd’hui l’objet de recherches actives, voir par exemple les articles [10], [16], [18] et [19].

CHAPITRE 16 FORMATIONS DE CLASSES

Dans ce chapitre, on développe une sorte de théorie « abstraite » du corps de classes, en introduisant le formalisme général des formations de classes. Le but principal est de démontrer le théorème général de dualité 16.21 (dû à Tate), qui permet de retrouver et d’étendre le théorème de dualité local 10.9, et surtout sera un outil important dans la démonstration des théorèmes de dualité de Poitou-Tate sur les corps globaux. Les principaux exemples de formations de classes sont associés au groupe de Galois absolu d’un corps local ou global, à l’aide des propriétés démontrées dans les parties II et III (cf. exemple 16.5). 16.1. Notion de formation de classes Soit G un groupe profini. Soit C un G-module discret. On considère une famille(1) d’isomorphismes invU : H 2 (U, C)  Q/Z indexés par les sousgroupes ouverts U de G. Définition 16.1. On dit qu’un système (C, {invU }) (que l’on pourra aussi noter (C, G)) comme ci-dessus est une formation de classes (associée à G) si les deux propriétés suivantes sont satisfaites : a) Pour tout sous-groupe ouvert U de G, on a H 1 (U, C) = 0. b) Pour tous sous-groupes ouverts U , V de G avec V ⊂ U , le diagramme suivant est commutatif : H 2 (U, C) (16.1)

invU

 Q/Z

Res / 2 H (V, C) ·n

invV  / Q/Z

où n := [U : V ]. (1) La définition que nous adoptons ici est celle de [38], § I.1. Elle est légèrement moins générale que celle d’Artin et Tate ([1], Chap. 14 ; [45], Chap. XI), mais elle sera suffisante pour les applications.

252

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

Soit (C, {invU }) une formation de classes. La définition et le corollaire 1.45 donnent, pour toute paire de sous-groupes ouverts U et V de G avec V distingué d’indice n dans U , un diagramme commutatif à lignes exactes : 0

/ H 2 (U/V, C V )

0

invU/V  / 1 Z/Z n

/ H 2 (U, C) Res / H 2 (V, C) invU  / Q/Z

·n

invV  / Q/Z

/0

/ 0.

En particulier, si U est un sous-groupe ouvert distingué de G d’indice n, on a un isomorphisme invG/U : H 2 (G/U, C U )  n1 Z/Z. Définition 16.2. On notera uG/U l’unique élément de H 2 (G/U, C U ) qui s’envoie sur 1/n par invG/U ; on dit que uG/U est la classe fondamentale de G/U . Remarque 16.3. On peut noter qu’avec notre définition, l’existence d’une formation de classes associée à G implique que l’ordre de G (en tant que nombre surnaturel) est divisible par tout élément de N∗ . Si en effet il existait un nombre premier p tel que cet ordre ne soit pas divisible par pr+1 avec r ∈ N, alors pour U ouvert distingué dans G on aurait H 2 (G/U, C U ){p} annulé par pr (car tout élément de H 2 (G/U, C U ){p} est annulé par l’ordre de G/U et par une puissance de p, donc par leur pgcd). Ainsi H 2 (G, C){p} serait annulé par pr et ne pourrait pas être isomorphe à (Q/Z){p}. Proposition 16.4. Soit (C, {invU }) une formation de classes. Soient U, V des sous-groupes ouverts de G avec V ⊂ U . Alors : a) On a un diagramme commutatif : H 2 (V, C)

Cores / 2 H (U, C)

invV

 Q/Z

Id

invU  / Q/Z.

b) On suppose de plus U et V distingués dans G. Alors l’image de la classe fondamentale uG/U ∈ H 2 (G/U, C U ) par l’inflation H 2 (G/U, C U ) → H 2 (G/V, C V ) est [U : V ] · uG/V . Démonstration. a) résulte immédiatement des axiomes d’une formation de classes et de la formule Cores ◦ Res = ·[U : V ]. Pour b), on écrit un diagramme commutatif : H 2 (G/U, C U )

Inf

/ H 2 (G, C) invG / Q/Z

Inf

/ H 2 (G, C) invG / Q/Z

Inf

 H 2 (G/V, C V )

16.1. NOTION DE FORMATION DE CLASSES

253

et le résultat découle alors de la définition de uG/U et uG/V , qui s’envoient respectivement sur 1/[G : U ] et 1/[G : V ] dans Q/Z. Exemple 16.5. a) Soit G = Gal(K/K) le groupe de Galois absolu d’un corps p-adique K. Posons C = K ∗ . Alors d’après le théorème de Hilbert 90 et la proposition 8.4, les isomorphismes invL : Br L → Q/Z (définis pour tout sousgroupe ouvert U = Gal(K/L) de G, c’est-à-dire pour toute extension finie L de K) définissent une formation de classes.  (par exemple G peut être le groupe de Galois d’un corps b) Soit G = Z fini). Prenons C = Z, muni de l’action triviale de G. Soit σ un générateur topologique de G. Pour m > 0, l’unique sous-groupe U d’indice m de G est engendré topologiquement par σ m . La suite exacte 0 −→ Z −→ Q −→ Q/Z −→ 0 induit un isomorphisme δ : H 1 (U, Q/Z) → H 2 (U, Z). On obtient alors une formation de classes en prenant pour invU : H 2 (U, Z) → Q/Z la composée de δ −1 : H 2 (U, Z) → H 1 (U, Q/Z) avec l’évaluation χ → χ(σ m ) de H 1 (U, Q/Z) dans Q/Z. c) Soit k un corps global de groupe de Galois absolu Gk . Soit C la limite inductive (pour K/k extension finie séparable) des groupes de classes d’idèles CK = IK /K ∗ . Les propriétés vues au paragraphe 15.1 donnent que les isomorphismes invK : H 2 (GK , C) −→ Q/Z constituent une formation de classes sur le Gk -module C. Proposition 16.6. Soit (C, {invU }) une formation de classes. Soit U un sousgroupe ouvert distingué de G. Alors pour tout G/U -module M sans torsion, le cup-produit par uG/U :  r (G/U, M ) −→ H  r+2 (G/U, M ⊗ C U ) H est un isomorphisme pour tout r ∈ Z. Démonstration. C’est le théorème de Tate-Nakayama (théorème 3.14). Proposition 16.7. Soit (C, {invU }) une formation de classes. Alors on a un homomorphisme canonique ωG : C G −→ Gab

d’image dense, et de noyau le groupe des normes universelles U NG/U C U (l’intersection étant prise sur les sous-groupes ouverts distingués U de G). On dit que ωG est l’application de réciprocité associée à la formation de classes (C, {invU }).

254

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

Démonstration. C’est exactement le même argument que l’on a utilisé pour le théorème 9.2 et la définition 9.5. On prend r = −2 et M = Z dans la proposition précédente. On obtient des isomorphismes (G/U )ab → C G /NG/U C U , et des isomorphismes réciproques ωG/U : C G /NG/U C U −→ (G/U )ab qui sont compatibles entre eux en un sens évident (cf. corollaire 9.4, a), à l’aide du même calcul que dans la proposition 9.3. Ceci permet de passer à la limite et d’obtenir un isomorphisme lim C G /NG/U C U −→ Gab . ←− U

On obtient alors ωG en composant l’homomorphisme canonique C G −→ lim C G /NG/U C U ←− U

avec cet isomorphisme. L’assertion sur le noyau de ωG est alors évidente et la densité de Im ωG vient de ce que sa composée avec la projection Gab → (G/U )ab est surjective pour tout U . Remarque 16.8. Le même argument que dans le corollaire 9.6 donne, pour tout c de C G et pour tout caractère χ de Gab , la formule invG (c ∪ χ) = χ(ωG (c)), où, pour faire le cup-produit, c est vu dans H 0 (G, C) et χ dans H 2 (G, Z). Remarque 16.9. Pour définir le groupe des normes universelles, on peut se limiter à faire l’intersection des NG/U C U pour les U qui satisfont de plus à G/U abélien, comme il résultera de la proposition 16.29 b) ci-après (voir aussi l’exercice 9.1). Dans le cas de la formation de classes associée à un corps local (exemple 16.5, a), le groupe des normes universelles est trivial, corollaire du théorème d’existence (cf. exercice 11.2 ou corollaire 9.15 pour le cas p-adique). 16.2. La suite spectrale des Ext Dans ce paragraphe, nous allons rappeler quelques résultats standard sur une suite spectrale qui intervient souvent en cohomologie des groupes. On désigne toujours par G un groupe profini et par CG la catégorie des G-modules discrets. La catégorie des groupes abéliens sera notée Ab. Considérons des objets M et N de CG . Une difficulté est que si M n’est pas supposé de type fini, le G-module Hom(M, N ) = HomZ (M, N ) (l’action de G étant définie par la formule habituelle, cf. exemple 1.3, d) n’est en général pas discret (autrement dit, le stabilisateur d’un élément n’est pas toujours ouvert), cf. exercice 16.1.

16.2. LA SUITE SPECTRALE DES EXT

255

Définition 16.10. Soient M et N des G-modules discrets. On définit alors le G-module discret Hom(M, N ) par la formule  Hom(M, N ) = Hom(M, N )U , U

où U décrit l’ensemble des sous-groupes ouverts de G (ou encore des sousgroupes ouverts distingués, cela revient au même puisque ceux-ci forment une base de voisinages de 1). Pour tout sous-groupe fermé distingué H de G, on note de même  Hom H (M, N ) = Hom(M, N )H = Hom(M, N )U , U ⊃H

où la réunion est sur l’ensemble des sous-groupes ouverts de G contenant H. C’est un G/H-module discret. Définition 16.11. Soit H un sous-groupe fermé d’un groupe profini G. On suppose H distingué dans G. Soit M un G-module discret. Pour tout r  0, on définit Ext rH (M, N ) comme le r-ième foncteur dérivé à droite du foncteur N −→ Hom H (M, N ) : CG −→ CG/H . Ainsi Ext rH (M, N ) est un G/H-module discret. Remarque 16.12. Le G/H-module Hom H (M, N ) correspond au Hom interne dans la catégorie CG/H , pour les G/H-modules M H et N H , et les Ext H (M, N ) aux Ext internes correspondants. Quand G est le groupe de Galois d’un corps k, on peut identifier M et N à des faisceaux étales sur Spec k ([35], Part. II) et on retrouve la distinction entre Hom (resp. Ext) et Hom (resp. Ext) pour des faisceaux. Remarque 16.13. Rappelons que l’on dispose aussi des ExtrH (M, .), définis comme les foncteurs dérivés de HomH (M, .) (de la catégorie CH vers la catégorie Ab des groupes abéliens). Grâce à la proposition 4.25, on voit(2) que si on restreint ces foncteurs ExtrH (M, .) à la catégorie CG (en voyant les G-modules discrets comme des H-modules discrets), on obtient aussi les foncteurs dérivés de HomH (M, .) de la catégorie CG vers Ab (ou vers CG/H ). Si de plus M est de type fini, on a HomH (M, N ) = Hom H (M, N ) pour tout N ∈ CG , et il n’y a donc pas lieu de distinguer entre ExtrH (M, N ) et Ext rH (M, N ). Rappelons aussi que la remarque 1.37 fonctionne encore pour G profini, ainsi que la proposition 1.39 si le sous-groupe H est supposé ouvert. Enfin, on démontre exactement comme le lemme de Shapiro (2) L’importance

de connaître ici la proposition 4.25 ne semble pas avoir été observée dans les ouvrages antérieurs à ce livre.

256

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

(cf. aussi exercice 1.5) que l’on a, pour tout G-module discret A et tout H-module discret B, des isomorphismes canoniques H ExtiG (A, IG (B))  ExtiH (A, B).

Quand H = {1}, on notera Ext r (M, N ) au lieu de Ext r{1} (M, N ). On notera aussi Extr (M, N ) ou ExtrZ (M, N ) les Ext dans la catégorie des groupes abéliens (qui correspondent aux ExtrH (M, N ) pour H = {1}). Théorème 16.14. Soit H un sous-groupe fermé distingué d’un groupe profini G. Soient N, P ∈ CG et soit M un G/H-module discret sans torsion. Alors on a une suite spectrale E2r,s = ExtrG/H (M, Ext sH (N, P )) =⇒ Extr+s G (M ⊗ N, P ). Comme d’habitude TorZ (M, N ) = 0 (au lieu de M sans torsion) serait suffisant. Démonstration. Soit M un G/H-module discret quelconque (pour l’instant on ne le suppose pas sans torsion). On peut considérer M comme un G-module discret avec action triviale de H. On a alors HomG/H (M, Hom H (N, P )) = HomG (M, Hom H (N, P )) (16.2) = HomG (M ⊗ N, P ) car HomG (M, Hom H (N, P )) = HomG (M, Hom(N, P )) (l’action de H sur M étant triviale) et HomG (M, Hom(N, P )) = HomG (M, Hom(N, P )) (car M est un G-module discret, donc réunion des M U pour U sous-groupe ouvert de G). On en déduit que pour tout injectif I de CG et tout N ∈ CG sans torsion, le G/H-module Q := Hom H (N, I) est injectif dans CG/H car HomG/H (., Q) est le composé des trois foncteurs exacts : M → M de CG/H vers CG , . ⊗ N et HomG (., I). Supposons maintenant que M est sans torsion et que N est quelconque dans CG . Pour appliquer la suite spectrale des foncteurs composés de Grothendieck (appendice, théorème A.67), il suffit de vérifier que pour tout injectif I de CG , le G/H-module Hom H (N, I) est acyclique dans CG/H pour le foncteur HomG/H (M, .). Pour cela, on écrit une résolution de N par des G-modules discrets N1 et N0 sans torsion 0 −→ N1 −→ N0 −→ N −→ 0. Ceci est possible car tout x de N engendre un G-module qui est un quotient de Z[G/U ] pour un certain sous-groupe ouvert U de G, ce qui implique que N est quotient d’une somme directe de tels modules (qui sont

16.2. LA SUITE SPECTRALE DES EXT

257

sans torsion). Alors I reste injectif en tant que U -module pour tout sousgroupe ouvert U de G (c’est un cas particulier de la proposition 4.25, qui peut d’ailleurs se traiter directement comme le cas particulier où G est fini, cf. lemme 1.38). Pour un tel U , on obtient donc une suite exacte 0 −→ HomU (N, I) −→ HomU (N0 , I) −→ HomU (N1 , I) −→ 0. En passant à la limite inductive sur les U qui contiennent de plus H, on obtient une suite exacte 0 −→ Hom H (N, I) −→ Hom H (N0 , I) −→ Hom H (N1 , I) −→ 0 qui est donc (d’après ce qui a été vu plus haut à propos de Q) une résolution injective du G/H-module Hom H (N, I). Ceci implique déjà que si r  2, on a ExtrG/H (M, Hom H (N, I)) = 0. Pour r = 1, il faut juste vérifier que la flèche HomG/H (M, Hom H (N0 , I)) −→ HomG/H (M, Hom H (N1 , I)) reste surjective. D’après (16.2), cette flèche s’identifie à la flèche naturelle HomG (M ⊗ N0 , I) −→ HomG (M ⊗ N1 , I) qui est bien surjective vu que I est injectif et la flèche M ⊗N1 → M ⊗N0 reste injective vu que M est sans torsion (le noyau est TorZ (M, N )). Finalement on a bien ExtrG/H (M, Hom H (N, I)) = 0 pour tout r  1, autrement dit Hom H (N, I) est acyclique pour le foncteur HomG/H (M, .). Exemple 16.15. a) Pour M = N = Z, on retrouve la suite de Hochschild-Serre vu que Ext rH (Z, .) = ExtrH (Z, .) = H r (H, .) pour tout r  0. b) Prenons M = Z et H = {1}. On obtient alors une suite spectrale H r (G, Ext s (N, P )) =⇒ Extr+s G (N, P ). Proposition 16.16. Soient N et P des G-modules discrets. On suppose N de type fini. a) On a une suite exacte (16.3) 0 −→ H 1 (G, Hom(N, P )) −→ Ext1G (N, P ) −→ H 0 (G, Ext1Z (N, P )) −→ H 2 (G, Hom(N, P )) −→ · · · De plus, les ExtrG (N, P ) sont de torsion pour tout r  1. b) Si de plus N est sans torsion, on a H r (G, Hom(N, P )) = ExtrG (N, P ) pour tout r  0.

258

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

c) Soit (Gi ) un système projectif de groupes profinis ; soit (Pi ) un système inductif de Gi -modules discrets, les flèches de transition étant compatibles avec celles de (Gi ). Soit G = lim Gi et P = lim Pi . Alors on a des isomor←− −→ phismes lim ExtrGi (N, Pi )  ExtrG (N, P ). −→ i

Démonstration. a) Comme N est de type fini, la suite spectrale de l’exemple 16.15 b) devient H r (G, Exts (N, P )) =⇒ Extr+s G (N, P ). s En utilisant le fait que ExtZ (N, P ) est nul pour s  2 (appendice, proposition A.54), on obtient la suite exacte voulue grâce à la proposition A.65 c) de l’appendice. Comme groupe abélien N est somme directe de copies de Z/n et de Z, et Ext1Z (Z, P ) = 0 ; ceci implique qu’il existe un entier m > 0 tel que Ext1Z (N, P ) soit de m-torsion, donc avec la suite exacte tous les ExtrG (N, P ) le sont aussi pour r  1. b) Notons que Ext1Z (N, P ) = 0 est nul si N est de plus sans torsion, car comme groupe abélien N est alors isomorphe à la somme directe d’un nombre fini de copies de Z. Le a) donne alors H r (G, Hom(N, P )) = ExtrG (N, P ) pour tout r  0. c) On écrit la suite exacte (16.3) pour Gi et Pi , puis on passe à la limite inductive. Comme N est de type fini, les foncteurs Hom(N, .) et Ext1Z (N, .) commutent avec les limites inductives. La proposition 4.18 donne alors pour tout r  0 des isomorphismes lim H r (Gi , Hom(N, Pi ))  H r (G, Hom(N, P )), −→ i

lim H r (Gi , Ext1Z (N, Pi ))  H r (G, Ext1Z (N, P )). −→ i

On conclut avec le lemme des cinq. Soient maintenant M , N et P des G-modules discrets. On a un accouplement (cf. appendice, définition A.57, voir aussi [38], p. 4) ExtrG (M, N ) × ExtsG (P, M ) −→ Extr+s G (P, N ). Comme H s (G, .) = ExtsG (Z, .) pour tout entier s, on en déduit (en faisant P = Z) un accouplement (16.4)

ExtM,N : ExtrG (M, N ) × H s (G, M ) −→ H r+s (G, N )

qui, pour r = 0, est l’application (f, a) → f∗ (a) de HomG (M, N )×H s (G, M ) dans H s (G, N ). Cet accouplement est fonctoriel en M et N . Il est également

16.2. LA SUITE SPECTRALE DES EXT

259

compatible (en un sens évident) avec les suites exactes longues associées aussi bien aux suites exactes 0 −→ M −→ M  −→ M  −→ 0 (compatibilité « à gauche ») qu’aux suites exactes 0 −→ N −→ N  −→ N  −→ 0 (compatibilité « à droite »). Cet accouplement admet aussi la compatibilité suivante avec le cupproduit : Proposition 16.17. Soit M , N , P des G-modules discrets. Soit ϕ : M × N −→ P un accouplement de G-modules (c’est-à-dire une application bilinéaire compatible avec l’action de G). Notons u : M → Hom(N, P ) l’homomorphisme de G-modules correspondant. Soit v : H r (G, M ) −→ ExtrG (N, P ) la composée de u∗ : H r (G, M ) → H r (G, Hom(N, P )) avec la flèche H r (G, Hom(N, P )) −→ ExtrG (N, P ) provenant de la suite spectrale du théorème 16.14. Alors le diagramme suivant est commutatif : ∪

/ H r+s (G, P )

ExtN,P

Id  / H r+s (G, P ).

H r (G, M ) × H s (G, N ) (v, Id) 

ExtrG (N, P ) × H s (G, N )

Pour une preuve(3) (dans un cadre plus général), voir [35], Prop. V.1.20. On aura besoin aussi de la compatibilité suivante entre les accouplements ci-dessus, les isomorphismes de Shapiro, et ceux de la proposition 1.39 (dans leurs versions où G est profini, cf. remarque 16.13) : Proposition 16.18. Soit G un groupe profini. Soit U un sous-groupe ouvert U de G. Soient M et N des G-modules discrets. Soit M∗ = IG (M ). Alors on a un diagramme commutatif : ExtpU (M, N ) × H q (U, M ) O Sh i  ExtpG (M∗ , N ) × H q (G, M∗ ) (3) Ce

/ H p+q (U, N ) Cores  / H p+q (G, N ),

genre de vérification est nettement plus simple quand on connaît le formalisme des catégories dérivées, voir la remarque A.58 de l’appendice.

260

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

où la flèche verticale de gauche est l’isomorphisme donné par la version profinie de la proposition 1.39, celle du milieu est l’isomorphisme du lemme de Shapiro et celle de droite est la corestriction. Démonstration. On commence par le cas q = 0. Il s’agit de montrer que le diagramme / H p (U, N )

ExtpU (M, N ) × M U i 

ExtpG (M∗ , N )

× (M∗ )

G

Cores  / H p (G, N )

commute. Pour p = 0, cela résulte de la définition explicite de l’isomorphisme de gauche, donnée par la proposition 1.15 (qui s’étend immédiatement au cas d’un sous-groupe ouvert d’un groupe profini), et de la définition de la corestriction en degré zéro : on trouve en effet que pour tout ϕ ∈ HomU (M, N ) et tout a ∈ M U = (M∗ )G , l’accouplement du haut ϕ · a est ϕ(a) ∈ N U ; tandis que l’image de ϕ dans HomG (M∗ , N ) est f →  −1 )) qui, accouplé en bas avec la fonction constante f = a, g∈G/U g · ϕ(f (g  donne g∈G/U g · ϕ(a) ∈ N G . Or ce dernier terme est bien Cores(ϕ(a)). Pour passer à p quelconque (toujours dans le cas q = 0), on procède par décalage en écrivant une suite exacte 0 −→ N −→ I −→ N1 −→ 0 avec I injectif dans CG . Supposons le résultat vrai pour p, et montrons-le pour p + 1. L’hypothèse de récurrence et la compatibilité de l’accouplement (16.4) avec les cobords « à droite » donnent un diagramme commutatif :

ExtpU (M, N1 ) × M U

/ H p+1 (G, N ) O ∂ / H p (G, N1 ) O Cores / H p (U, N1 )

∂ U Extp+1 U (M, N ) × M

∂  / H p+1 (U, N ).

G Extp+1 G O (M∗ , N ) × (M∗ ) ∂

(16.5)

ExtpG (M∗ , N1 ) × (M∗ )G O i

Par ailleurs, la compatibilité avec les cobords de la corestriction, ainsi que des isomorphismes i (proposition 1.39, dans sa version profinie) donne

16.2. LA SUITE SPECTRALE DES EXT

261

des diagrammes commutatifs : H p (G, N1 ) O

∂ / p+1 H (G, N ) O

ExtpU (M, N1 )

Cores

Cores H p (U, N1 )

∂

i

 ExtpG (M∗ , N1 )

/ H p+1 (U, N )

∂

/ Extp+1 (M, N ) U

i  ∂ / Extp+1 G (M∗ , N ).

Le cobord ∂ : ExtpU (M, N1 ) → Extp+1 U (M, N ) est de plus surjectif (et p+1 même bijectif si p > 1) car ExtU (M, I) = 0 vu que I est injectif dans CG (donc aussi dans CU , proposition 4.25 dans le cas particulier d’un sousgroupe ouvert). On obtient alors le diagramme commutatif voulu (qui correspond au rectangle reliant la première ligne du diagramme (16.5) à la dernière) pour q = 0, par récurrence sur p. Le cas où q est quelconque se traite exactement par la même méthode de décalage (c’est-à-dire par récurrence sur q) en écrivant une suite exacte 0 −→ M −→ I −→ M1 −→ 0 avec I injectif de CG . La suite 0 −→ M∗ −→ I∗ −→ (M1 )∗ −→ 0 reste alors exacte. Considérons le diagramme ExtpU (M, N ) × H q+1 (U, M ) O ∂ ∂  q Extp+1 U (M1 , N ) × H O (U, M1 ) Sh i  q Extp+1 G ((M1O )∗ , N ) × H (G, (M1 )∗ ) ∂ ExtpG (M∗ , N )



/ H p+q+1 (U, N )

/ H p+q+1 (U, N ) 

Cores

/ H p+q+1 (G, N )

∂

× H q+1 (G, M∗ )

/ H p+q+1 (G, N ).

Il est commutatif grâce à la compatibilité de l’accouplement (16.4) « à gauche » avec les cobords et à l’hypothèse de récurrence. Le cobord H q (U, M1 ) → H q+1 (U, M ) est surjectif (car I est un injectif de CG , donc de CU ), et on a aussi la compatibilité des isomorphismes de Shapiro avec les cobords des suites exactes longues de cohomologie et la compatibilité des isomorphismes i avec les bords des suites exactes longues d’homologie (cf. dernière assertion de la proposition 1.39). On en déduit le diagramme commutatif voulu (avec q + 1), qui correspond encore au rectangle reliant la première ligne à la dernière.

262

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

16.3. Le théorème de dualité pour une formation de classes Dans tout ce paragraphe, on désigne par G un groupe profini et par (C, {invU }) une formation de classes associée à G. L’expression « G-module » désignera comme d’habitude un G-module discret. Pour simplifier l’écriture, on conviendra que H i (G, . . . ) = 0 si i est un entier strictement négatif. Pour tout G-module M , on a (pour r ∈ N) un accouplement ExtrG (M, C) × H 2−r (G, M ) −→ Q/Z obtenu en composant ExtM,C : ExtrG (M, C) × H 2−r (G, M ) → H 2 (G, C) avec invG : H 2 (G, C) → Q/Z. On en déduit, pour r ∈ N, des homomorphismes de groupes abéliens (fonctoriels et compatibles avec les cobords associés aux suites exactes courtes) : αr (G, M ) : ExtrG (M, C) −→ H 2−r (G, M )∗ . Pour r = 0 et M = Z, l’homomorphisme α0 (G, Z) va simplement de C G dans Gab = H 2 (G, Z)∗ . On a aussi Ext1G (Z/m, C) = C G /m, du fait de la suite exacte ·m (16.6) 0 −→ Z −−−−→ Z −→ Z/m −→ 0 et de l’axiome H 1 (G, C) = 0. De même, Ext2G (Z/m, C) = H 2 (G, C)[m]. On commence par décrire explicitement les αr (G, M ) pour M = Z et M = Z/m. Lemme 16.19. a) L’application α0 (G, Z) est l’application de réciprocité ωG : C G → Gab . La source et le but de l’homomorphisme α1 (G, Z) sont nuls et α2 (G, Z) : H 2 (G, C) → Q/Z est égale à invG . b) La composée de l’application α0 (G, Z/m) : (C G )[m] → H 2 (G, Z/m)∗ avec l’application naturelle H 2 (G, Z/m)∗ → H 2 (G, Z)∗ [m] = Gab [m] est la restriction C G [m] → Gab [m] de l’application ωG . L’application α1 (G, Z/m) : C G /m → H 1 (G, Z/m)∗ = Gab /m est induite par ωG et l’application 1 α2 (G, Z/m) : H 2 (G, C)[m] −→ m Z/Z est induite par invG . Démonstration. Les assertions sur les applications α1 (G, Z) et α2 (G, Z) sont immédiates. La proposition 16.17 jointe au fait que l’homomorphisme ωG : H 0 (G, C) → H 2 (G, Z)∗ soit induit par le cup-produit (remarque 16.8) donne l’assertion sur α0 (G, Z). Les assertions sur les αr (G, Z/m) se déduisent alors immédiatement de celles sur les αr (G, Z) à partir des identifications Ext1G (Z/m, C) = C G /m et Ext2G (Z/m, C) = H 2 (G, C)[m], qui proviennent des suites exactes longues associées à la suite exacte (16.6).

16.3. LE THÉORÈME DE DUALITÉ POUR UNE FORMATION DE CLASSES 263

Lemme 16.20. Soit M un G-module de type fini. Alors ExtrG (M, C) = 0 si r  4. Si on suppose de plus M sans torsion, alors Ext3G (M, C) = 0. Démonstration. On peut trouver une suite exacte de G-modules 0 −→ M1 −→ M0 −→ M −→ 0 avec M0 de type fini et sans torsion, et donc M1 également de type fini (car c’est un sous-module d’un module de type fini sur Z) et sans torsion. À l’aide de la longue suite exacte, on est donc ramené à montrer que si r  3, on a ExtrG (M, C) = 0 pour M de type fini et sans torsion. Soit alors N le G-module N = Hom(M, Z). Les G-modules N ⊗ C et Hom(M, C) sont isomorphes, via la flèche ϕ ⊗ c −→ (m −→ ϕ(m)c),

ϕ ∈ Hom(M, Z), c ∈ C, m ∈ M,

d’où un isomorphisme ExtrG (M, C)  H r (G, N ⊗ C) grâce à la proposition 16.16 b). Comme N est de type fini, on a N = N U (et donc le U -module N est isomorphe à Zm avec m ∈ N) pour U sous-groupe ouvert distingué assez petit de G, ce qui fait que l’on a H r (G, N ⊗ C) = lim H r (G/U, N ⊗ C U ), −→ U

où la limite est prise sur les sous-groupes ouverts distingués U de G tels que N = N U . La proposition 16.6 (conséquence immédiate du théorème de TateNakayama) dit alors que pour tout r  3 (cette hypothèse est nécessaire pour assurer que les groupes modifiés de Tate coïncident avec les groupes de cohomologie usuels), le cup-produit par la classe fondamentale uG/U donne un isomorphisme H r−2 (G/U, N )  H r (G/U, N ⊗ C U ). On a alors, pour V ouvert distingué inclus dans U , un diagramme commutatif, dont les flèches horizontales sont des isomorphismes : H r−2 (G/U, N )

∪ uG/U

/ H r (G/U, N ⊗ C U )

[U : V ] · Inf

Inf   ∪ uG/V / H r (G/V, N ⊗ C V ). H r−2 (G/V, N )

Le fait que le diagramme commute découle des formules Inf(uG/U ) = [U : V ] · uG/V (proposition 16.4) et Inf(a ∪ b) = Inf(a) ∪ Inf(b)

264

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

(proposition 2.27, d). D’autre part, pour r  3, le groupe H r−2 (G/U, N ) est de torsion et l’ordre de U (en tant que nombre surnaturel) est divisible par tout entier n (remarque 16.3). De ce fait, la limite inductive des H r−2 (G/U, N ) (pour les applications de transition [U : V ]·Inf) est nulle : en effet, si α est un élément de m-torsion (avec m > 0) dans un H r−2 (G/U, N ), on peut trouver un sous-groupe ouvert distingué V de G inclus dans U tel que l’indice [U : V ] soit divisible par m, et l’image de α dans H r−2 (G/V, N ) est alors nulle. Finalement H r (G, N ⊗ C) est nul, comme on le voulait. On arrive maintenant au théorème principal de ce chapitre, qui est un théorème de dualité général pour les formations de classes. Théorème 16.21 (Tate). Soit M un G-module de type fini. a) L’homomorphisme αr (G, M ) : ExtrG (M, C) −→ H 2−r (G, M )∗ est bijectif pour tout r  2 et, si M est sans torsion, α1 (G, M ) est également bijectif. En particulier, ExtrG (M, C) = 0 pour tout r  3. b) Supposons α1 (U, Z/m) bijectif pour tout m > 0 et tout sous-groupe ouvert (distingué) U de G. Alors α1 (G, M ) est bijectif. c) Gardons les hypothèses de b) et supposons de plus M fini. On fait en outre l’hypothèse que α0 (U, Z/m) est surjectif (resp. bijectif ) pour tout m > 0 et tout sous-groupe ouvert (distingué) U de G. Alors α0 (G, M ) est surjectif (resp. bijectif ). Démonstration. D’après le lemme 16.20, on a bien le résultat si r  4, on suppose donc r  3. Montrons d’abord le théorème quand G agit trivialement sur M . Dans ce cas, M est somme directe de G-modules isomorphes à Z ou à Z/n et il suffit donc de traiter ces deux cas. Pour M = Z (où on se limite à 1  r  3 puisque Z n’est pas fini), c’est le lemme 16.19 a) et le lemme 16.20. Pour M = Z/n, c’est le lemme 16.19 b) si r = 2 et l’hypothèse b) (resp. c) du théorème si r = 1 (resp. r = 0). Enfin, pour r = 3, on déduit Ext3G (Z/m, C) = 0 de Ext3G (Z, C) = 0 (lemme 16.20) à l’aide de la suite exacte 0 −→ Ext2G (Z, C)/m −→ Ext3G (Z/m, C) −→ Ext3G (Z, C) (laquelle provient de la suite exacte (16.6)) et du fait que Ext2G (Z, C)  Q/Z est divisible. On obtient donc que le théorème vaut dès que l’action de G sur M est triviale. Passons au cas général. Comme M est de type fini, on peut trouver un sous-groupe ouvert distingué U de G qui agit trivialement sur M . On écrit alors une suite exacte 0 −→ M −→ M∗ −→ M1 −→ 0

16.3. LE THÉORÈME DE DUALITÉ POUR UNE FORMATION DE CLASSES 265

U avec M∗ = IG (M ). Le lemme de Shapiro donne H r (G, M∗ )  H r (U, M ). D’autre part, on a ExtrU (M, C)  ExtrG (M∗ , C) (version profinie de la proposition 1.39). On obtient alors un diagramme commutatif (les commutativités non évidentes(4) viennent de la proposition 16.18 et de ce que la corestriction H 2 (U, C) → H 2 (G, C) induit via invU et invG l’identité sur Q/Z par la proposition 16.4 a) à lignes exactes :

···

/ ExtrG (M1 , C)

/ ExtrU (M, C)

/ ExtrG (M, C)

/ Extr+1 (M1 , C) / · · · G

αr (G, M1 )

αr (U, M ) αr (G, M ) αr+1 (G, M1 )     · · · / H 2−r (G, M1 )∗ / H 2−r (U, M )∗ / H 2−r (G, M )∗ / H 1−r (G, M1 )∗

/ ···

Pour r = 3, on sait déjà, par le lemme 16.20 et le cas où l’action de G est triviale, que Ext3U (M, C) et Ext4G (M1 , C) sont nuls ; il en va donc de même de Ext3G (M, C). Comme ceci est vrai pour tout G-module de type fini M , cela s’applique aussi à M1 d’où Ext3G (M1 , C) = 0. Finalement tous les termes du diagramme sont nuls pour r = 3. Pour r = 2, on sait maintenant que α3 (G, M1 ) a une source et un but nuls, et d’autre part α2 (U, M ) est un isomorphisme (l’action de U sur M étant triviale). Ainsi α2 (G, M ) est surjective (pour tout M ), donc aussi α2 (G, M1 ). Le lemme des cinq donne alors que α2 (G, M ) est un isomorphisme. Si de plus M est sans torsion, c’est aussi le cas de M∗ et M1 et on montre de la même façon que α1 (G, M ) est un isomorphisme. Enfin la preuve des assertions b) et c) suit exactement le même schéma. Remarque 16.22. On vérifie facilement que dans les assertions b) et c), il suffit de supposer que pour m fixé, les hypothèses sur α1 (U, Z/m) et α0 (U, Z/m) valent pour U suffisamment petit. En effet, dans la preuve du cas général, on peut toujours remplacer le sous-groupe U qui intervient par n’importe quel sous-groupe ouvert inclus dans U . Exemple 16.23.  (par exemple le groupe de Galois aba) Soit G un groupe isomorphe à Z solu d’un corps fini) et soit C la formation de classes associée à un générateur topologique σ de G (cf. exemple 16.5, b). Ici l’application de réciprocité est l’inclusion n → σ n de Z dans G. D’après le lemme 16.19, la source et le but de l’application α0 (U, Z/m) sont nuls pour tout entier m et tout sous-groupe ouvert U de G (en effet, cd(G) = 1, donc aussi cd(U )  1, ce qui implique H 2 (U, Z/m) = 0). L’application α1 (U, Z/m) est aussi un isomorphisme car  c’est l’application naturelle Z/m → Z/m. Le théorème implique alors que si r  1, alors αr (G, M ) est un isomorphisme pour tout G-module de type fini M , et la même propriété vaut quand r = 0 si M est fini. (4) Merci

à Clément Gomez d’avoir attiré mon attention sur cette difficulté.

266

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

b) Soit K un corps de groupe de Galois absolu G = Gal(K/K) et supposons que l’on ait une formation de classe (G, C) associée à G. Soit M un G-module de type fini et sans torsion, et soit N le G-module N = Hom(M, Z) (M peut être vu comme le module galoisien des caractères d’un K-tore algébrique T et N comme son module des co-caractères). D’après le théorème 16.21, on a pour tout r  1 des isomorphismes ExtrG (M, C) −→ H 2−r (G, M )∗ mais d’autre part ExtrG (M, C) = H r (G, HomZ (M, C)) (proposition 16.16). Comme HomZ (M, C) = N ⊗ C, la proposition 16.17 donne que le cupproduit H r (G, N ⊗ C) × H 2−r (G, M ) −→ H 2 (G, C)  Q/Z induit un isomorphisme H r (G, N ⊗ C) → H 2−r (G, M )∗ pour r  1. Pour r = 1, on obtient même une dualité parfaite de groupes finis (utiliser le fait que H 1 (U, Z) = 0, et donc par la suite de restriction-inflation on a H 1 (G, M ) = H 1 (G/U, M ), où U est un sous-groupe ouvert distingué de G tel que M = M U ; puis appliquer le corollaire 1.50). Pour r ∈ {0, 2}, il faut faire un peu attention car si par exemple on prend pour K un corps p-adique (avec la formation de classes habituelle associée à C = K ∗ ) et M = Z, on obtient N = Z d’où H 0 (G, N ⊗ C) = K ∗ ;

H 2 (G, M ) = (Gab )∗

 ∗ (corolor le dual du groupe discret (Gab )∗ est le groupe profini Gab = K ∗ 2 laire 9.15), complété profini de K . De même H (G, N ⊗C) = Br K  Q/Z,  complété de H 0 (G, M ) = Z. Le fait qu’il faille « comdont le dual est Z, 0 pléter les H » pour avoir de bons théorèmes de dualité faisant intervenir ces groupes est un problème récurrent quand on ne travaille plus avec des modules finis. Nous verrons un peu plus loin comment le théorème 16.21 s’applique au groupe de Galois d’un corps local pour retrouver (et étendre) le théorème de dualité de Tate (la démonstration initiale de Tate passait d’ailleurs par la cohomologie des tores, évoquée dans l’exemple 16.23 b). Nous appliquerons aussi à la fin de ce livre le théorème 16.21 pour démontrer la dualité de Poitou-Tate sur les corps globaux. 16.4. P -formations de classes Il est parfois utile de considérer une notion légèrement plus générale que celle de formation de classes telle que nous l’avons définie. Pour un groupe profini G et un ensemble P de nombres premiers, on définit une P -formation de classes (C, {invU }) par les mêmes axiomes qu’une formation de classes

16.5. DU THÉORÈME D’EXISTENCE AU THÉORÈME DE DUALITÉ

267

à part qu’au lieu de demander que les invU soient des isomorphismes, on demande seulement que ce soient des injections satisfaisant les deux axiomes suivants : a) Pour tout sous-groupes ouverts U et V de G avec V distingué dans U , la flèche invU/V : H 2 (U/V, C V ) −→ [U : V ]−1 Z/Z est un isomorphisme. b) Pour tout sous-groupe ouvert U de G et tout  ∈ P , la restriction invU : H 2 (U, C){} −→ Q /Z est un isomorphisme. Remarque 16.24. a) Si P est l’ensemble de tous les nombres premiers, une P -formation de classes est donc une formation de classes au sens où nous l’avons définie précédemment, et si P = ∅ une P -formation de classes est une formation de classes au sens d’Artin et Tate (cf. [45], Chap. XI). b) Si tous les autres axiomes sont satisfaits, l’axiome b) est équivalent au fait que l’ordre de G est divisible par ∞ pour tout  ∈ P . Notons aussi que si (G, C) est une formation de classes et H est un sous-groupe fermé distingué de G, alors (G/H, C H ) est une P -formation de classes, où P est l’ensemble des nombres premiers  tels que ∞ divise [G : H]. Le théorème 16.21 s’étend immédiatement aux P -formations de classes pourvu que l’on se restreigne partout aux composantes -primaires des groupes considérés avec  ∈ P (rappelons que, pour r  1, les groupes ExtrG (M, N ) sont toujours de torsion quand M est un G-module de type fini par la proposition 16.16 ; pour r = 0, on se limite de toute façon à M fini). Ceci sera utile pour la dualité de Poitou-Tate, quand nous aurons défini la P -formation de classes associée à un groupe de ramification restreinte (théorème 17.2).

16.5. Du théorème d’existence au théorème de dualité pour un corps p-adique Dans ce paragraphe, nous suivons en quelque sorte la démarche inverse de celle du chapitre 10 : supposant connu le théorème d’existence, nous allons redémontrer (et même généraliser un peu) le théorème 10.9 (dualité locale de Tate) à partir du théorème général de dualité 16.21 pour les formations de classes. Dans toute la suite, on désigne par K un corps p-adique et on pose Γ = Gal(K/K). On a défini au paragraphe 16.3 des applications αr , pour

268

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

lesquelles on dispose du théorème de dualité 16.21, que nous allons maintenant appliquer. Proposition 16.25. Soit M un Γ-module discret de type fini. Alors les applications αr (Γ, M ) : ExtrΓ (M, K ∗ ) −→ H 2−r (Γ, M )∗ sont des isomorphismes pour tout r  1. Si de plus M est fini, alors α0 est également un isomorphisme (de groupes finis). Démonstration. On applique le théorème de dualité 16.21 à la formation de classes (Γ, K ∗ ). Soit U = Gal(K/L) un sous-groupe ouvert de Γ. Alors α1 (U, Z/n) est l’application L∗ /L∗n −→ U ab /n induite par l’application de réciprocité ωL (lemme 16.19, b). Le théorème d’existence (théorèmes 9.13 et 11.20) identifie le complété profini (L∗ )∧ = limn L∗ /L∗n à la limite projective des L∗ /NK/L F ∗ , la limite étant prise ←− sur les extensions finies abéliennes F de L. On en déduit que l’application de réciprocité ωL induit un isomorphisme ω L de (L∗ )∧ sur U ab , et donc (en regardant cet isomorphisme modulo n) que α1 (U, Z/n) est un isomorphisme. Le théorème 16.21 dit alors que αr (Γ, M ) est bien un isomorphisme pour r  1. Si maintenant M est fini d’ordre s il suffit de vérifier que α0 (U, Z/n) est bijective pour tout n divisant s et tout U suffisamment petit (voir la remarque 16.22). On peut donc supposer que L contient les racines n-ièmes de l’unité. Alors on a des flèches μn (L) −→ H 2 (L, Z/n)∗ −→ (U ab )[n] et on sait que la flèche composée (induite par l’application de réciprocité d’après le lemme 16.19, b) est un isomorphisme, car ω L est un isomorphisme, tandis que L∗ et son complété profini ont même sous-groupe de n-torsion. On en déduit que la première flèche (qui est α0 (U, Z/n)) est injective, mais comme H 2 (L, Z/n) = H 2 (L, μn ) = (Br L)[n]  Z/n est de cardinal n, on en déduit que α0 (U, Z/n) est également surjective. On en déduit une nouvelle preuve (et une extension aux modules de type fini) du théorème de dualité locale de Tate : Théorème 16.26 (Tate). Soit K un corps p-adique. Soit M un Γ-module fini de dual M  = Hom(M, K ∗ ). Alors pour tout r  0 le cup-produit H r (K, M ) × H 2−r (K, M  ) −→ Br K = Q/Z est un accouplement parfait de groupes finis. Pour r = 1, le même énoncé est vrai si on suppose seulement M de type fini.

16.6. COMPLÉMENTS

269

Démonstration. Supposons d’abord M fini. On sait déjà que tous les groupes qui interviennent sont finis (corollaire 8.15). Par ailleurs, on a la compatibilité des accouplements définis par les Ext et les cup-produits (proposition 16.17). Il suffit alors d’appliquer le résultat précédent en remarquant que ExtrΓ (M, K ∗ ) = H r (K, M  ) pour tout r  0 grâce à la proposition 16.16, vu que ExtiZ (M, K ∗ ) = 0 pour i > 0 par divisibilité de K ∗ (ce point est essentiel et n’a pas d’analogue dans le cas d’un corps de nombres totalement imaginaire, cf. [48], Part. I, Ann. 1). La preuve pour M de type fini quand r = 1 est exactement la même, à condition de vérifier que H 1 (K, M ) reste fini (cf. exercice 8.3). Pour cela, on se ramène d’abord au cas où M est libre en remarquant que Mtors est fini et M/Mtors libre de type fini. Si alors L est une extension finie galoisienne de K telle que l’action de Gal(K/L) sur M soit triviale, on obtient H 1 (K, M ) = H 1 (Gal(L/K), M ) par restriction-inflation, et on conclut avec le corollaire 1.50. Remarque 16.27. Pour M de type fini (mais pas fini), il faut, pour r = 0 ou r = 2, remplacer les H 0 par leurs complétés profinis pour retrouver un bon théorème de dualité, voir exercice 16.3 ou [48], Part. II, § 5.8. 16.6. Compléments Dans ce paragraphe, nous donnons quelques compléments sur les formations de classes, qui généralisent notamment des propriétés déjà vues dans le cas particulier de la formation de classes associée à un corps local ou à un corps global. Dans toute la suite, on désignera par (C, G) une formation de classes (on vérifiera d’ailleurs que tous les résultats de ce paragraphe restent valables pour une P -formation de classes, où P est un ensemble quelconque de nombres premiers, par exemple P = ∅ qui est l’hypothèse minimale ; le point est que la proposition 16.6 reste valable telle quelle). Pour toute paire (U, V ) de sous-groupes ouverts de G avec V ⊂ U , on dispose d’un homomorphisme norme  NU/V : C V −→ C U x −→ s · x. s∈U/V

On a par ailleurs la transitivité des normes : si W ⊂ V ⊂ U , alors NU/W est la composée de NV /W et NU/V . Définition 16.28. Un sous-groupe de normes de C U est un sous-groupe de la forme NU/V (C V ) pour un certain sous-groupe ouvert V de U .

270

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

La proposition suivante généralise la proposition 9.7 (dans le cas global, on l’a aussi rencontrée dans la preuve du théorème d’existence). Sa preuve est tout à fait similaire. Proposition 16.29. Soit (C, G) une formation de classes. Soit (U, V ) une paire de sous-groupes ouverts de G avec V ⊂ U . a) Supposons que V soit distingué dans U . Alors on a un isomorphisme (de réciprocité) C U /NU/V C V −→ (U/V )ab . En particulier, si U/V est abélien (c’est-à-dire que V contient le sous-groupe dérivé profini D(U ) de U ), on obtient un isomorphisme de C U /NU/V C V sur U/V . b) Dans le cas général, soit W le plus petit sous-groupe fermé de U contenant V , distingué dans U , et tel que U/W soit abélien (W est le sous-groupe engendré par V et D(U )). Alors on a NU/V (C V ) = NU/W (C W ). c) Le groupe des normes NU/V (C V ) est d’indice fini dans C U . Cet indice divise [U : V ], et lui est égal si et seulement si V est distingué dans U avec U/V abélien. Noter que si U est le groupe de Galois absolu d’un corps K et V correspond à une extension L de K, alors W correspond à la plus grande extension abélienne de K incluse dans L. Quand V est un sous-groupe distingué de U , on notera (x, U/V ) l’image d’un élément x de C U par l’application de réciprocité C U → (U/V )ab de a). Démonstration. a) C’est la proposition 16.6 (qui est un corollaire de Tate-Nakayama) appliquée à la formation de classes (U, C) et au sous-groupe V de U , avec r = −2 et M = Z. b) L’inclusion NU/V (C V ) ⊂ NU/W (C W ) résulte de la transitivité des normes. Soit a ∈ NU/W (C W ), montrons que a ∈ NU/V (C V ). Soit Z un sousgroupe ouvert de U inclus dans V et distingué dans U . Posons J = U/Z et H = V /Z. Alors W/Z = J  .H, où J  est le sous-groupe dérivé de J. L’inclusion H → J induit un homomorphisme canonique i : H ab = H/H  → J ab = J/J  . L’image (a, U/W ) de a dans U/W = J/J  H est triviale, ce qui veut dire que (a, U/Z) ∈ (J/J  ) provient de H/H  . On a un diagramme commutatif, qui résulte de la définition de l’application de réciprocité comme inverse de l’application « cup-produit par la classe fondamentale », et de la

16.6. COMPLÉMENTS

271

compatibilité du cup-produit avec les corestrictions (proposition 2.27, e) : CV (16.7)

NU/V

(., V /Z)

 H/H 

i

/ CU (., U/Z)  / J/J  .

Comme C V se surjecte sur H/H  par l’application de réciprocité, le diagramme donne alors l’existence d’un a dans C V tel que (a, U/Z) = (NU/V a , U/Z). Ainsi NU/V a − a s’écrit NU/Z (a ) avec a ∈ C Z , d’où a = NU/V (a − NZ/V (a )). c) D’après b), on a C U /NU/V (C V ) = C U /NU/W (C W ), qui est fini d’indice [U : W ] d’après a). Le résultat en découle. On a également la formule de compatibilité suivante (qu’on comparera avec celle du diagramme (16.7)), qui dans le cas global est intervenue dans la preuve du théorème 15.29. Proposition 16.30. Soient U et V des sous-groupes ouverts de G avec V ⊂ U et V distingué dans G. Alors on a un diagramme commutatif : CG ωG/V

 (G/V )ab

i

/ CU

ωU/V  v / (U/V )ab

où i est l’inclusion, ωG/V et ωU/V sont les applications de réciprocité, et v : (G/V )ab → (U/V )ab est le transfert (cf. définition 2.11) associé à l’inclusion U/V → G/V . Démonstration. Cela résulte immédiatement de la définition de l’application de réciprocité et de ce que le transfert (resp. l’inclusion i) corres −2 (U/V, Z) (resp. à la restriction  −2 (G/V, Z) → H pond à la restriction H  0 (U/V, C V )).  0 (G/V, C V ) → H H On a aussi une généralisation du lemme 9.9, a) et b) (et dans le cas global, ces arguments ont également été utilisés dans la preuve du théorème d’existence) : Proposition 16.31. Soit U un sous-groupe ouvert du groupe G. On note Ab U l’ensemble des sous-groupes ouverts V de U tels que V soit distingué dans U et U/V soit abélien (c’est-à-dire que V contienne le sous-groupe dérivé D(U ) de U ). Pour V dans Ab U , notons IV = NU/V C V . Alors l’application

272

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

V → IV est une bijection croissante de Ab U sur l’ensemble des sous-groupes de normes de C U . On a de plus, pour tous V, W de Ab U : IV ∩W = IV ∩ IW et tout sous-groupe de C U qui contient un groupe de normes est un groupe de normes. Démonstration. Notons déjà que si V et W sont dans Ab U , alors V ∩ W l’est encore. Le fait que V → IV soit croissante résulte de la transitivité des normes, ce qui donne en particulier l’inclusion IV ∩W ⊂ IV ∩ IW . Réciproquement, si a ∈ IV ∩ IW , alors l’élément (a, U/(V ∩ W )) de U/(V ∩ W ) a une image triviale dans U/V et U/W , donc est trivial, ce qui implique que a ∈ IV ∩W . Si maintenant IV ⊃ IW , alors IV ∩W = IW donc V ∩ W et W ont même indice dans U , ce qui donne V ⊃ W . Avec la proposition 16.29 b), on obtient finalement bien que la correspondance est bijective. Soit I un sous-groupe de C U qui contient un sous-groupe de normes NU/V C V . On peut supposer (toujours grâce à la proposition 16.29, b) que U/V est un groupe abélien. Alors l’image de I par l’application de réciprocité C U → U/V est un sous-groupe W/V , où W est un sous-groupe ouvert de U qui contient V . On en déduit que I est le noyau de l’application de réciprocité C U → U/W , donc I = NU/W C W est un groupe de normes. Supposons maintenant de plus qu’on s’est donné une structure de groupe topologique séparé (au sens de Hausdorff) sur chaque C U , telle que pour V ⊂ U la topologie sur C U soit celle induite par C V ⊃ C U , et pour −1 tout s de G l’application C U → C sU s , a → s · a soit continue (ce qui implique que NU/V : C V → C U est continue). L’exemple typique est celui ∗ où G = Gal(K/K) est le groupe de Galois d’un corps local K et C = K . Alors les sous-groupes ouverts U correspondent aux extensions finies L de K, et on munit C U = L∗ de la topologie usuelle associée à sa valuation. L’application NU/V est la norme (au sens habituel) NL/K : L∗ → K ∗ . Un autre exemple est celui de la formation de classes (C, Gk ) associée à un corps global k (exemple 16.5, c), en munissant chaque CK = IK /K ∗ de la topologie quotient. Faisons maintenant de plus l’hypothèse suivante, qui est satisfaite dans les deux exemples précédents (cf. preuve du lemme 9.9, c) et preuve du théorème 15.10). Hypothèse (H). Pour toute paire V ⊂ U de sous-groupes ouverts de G, la norme NU/V : C V → C U a une image fermée et un noyau compact (si on travaille avec des groupes localement compacts et dénombrables à l’infini, cela signifie que NU/V est une application propre).

16.7. EXERCICES

273

Cette hypothèse implique que NU/V C V est un sous-groupe ouvert de C U : en effet, il est d’indice fini d’après la proposition 16.29, c). Définition 16.32. Soit U un sous-groupe ouvert de G. On note DU l’intersection de tous les sous-groupes de normes de U . C’est aussi le noyau de l’application de réciprocité C U → U ab . Pour U = G, nous avions déjà rencontré DG , groupe des normes universelles de C G , au paragraphe 16.1. Proposition 16.33. Supposons (H) satisfaite. Alors pour toute paire V ⊂ U de sous-groupes ouverts de G, on a NU/V DV = DU . Démonstration. L’inclusion NU/V DV ⊂ DU résulte de la transitivité des normes. Soit inversement a ∈ DU . Pour tout sous-groupe ouvert W de V , notons K(W ) l’ensemble des b de C V de norme a (dans C U ), et qui sont norme d’un élément de W . L’hypothèse (H) dit que K(W ) est compact ; il est non vide car a ∈ DU , donc a s’écrit comme norme d’un élément c de C W et on peut prendre b = NV /W (c) via la transitivité des normes. Comme la famille des K(W ) est filtrante décroissante, son intersection sur tous les W est non vide. Or un élément b de cette intersection satisfait clairement à b ∈ DV et NU/V (b) = a. Pour obtenir un théorème d’existence général pour une formation de classes, il est nécessaire de faire des hypothèses supplémentaires. C’est l’objet de [45], Chap. XI, § 5, que nous avons repris dans les exercices 16.5 et 16.6.

16.7. Exercices Exercice 16.1. Donner un exemple de groupe profini G et de G-modules discrets M, N , tels que le G-module HomZ (M, N ) ne soit pas discret (on pourra prendre pour G le groupe de Galois absolu d’un corps et pour M une somme directe infinie de Z). Exercice 16.2. a) Soit A un groupe abélien fini. Montrer que ExtrZ (A, Z) = 0 si r = 1 et Ext1Z (A, Z) = A∗ , où A∗ = Hom(A, Q/Z) est le dual de A.  muni de sa formation de classes habituelle. Montrer que b) Soit G = Z, pour r = 0, 1, le cup-produit H r (G, M ) × H 1−r (G, M ∗ ) −→ H 1 (G, Q/Z) = Q/Z est non dégénéré si M est un G-module fini.

274

CHAPITRE 16. FORMATIONS DE CLASSES

Exercice 16.3 (d’après [38], pages 26–28). Soit G = Gal(K/K) le groupe de Galois d’un corps p-adique K. Soit M un G-module discret de type fini. On note M  = Hom(M, K ∗ ) le dual de Cartier de M . On pourra admettre que si 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 est une suite exacte de groupes topologiques abéliens avec B localement compact, totalement discontinu et engendré par une partie compacte, telle que A → B soit un morphisme strict (cette notion est rappelée dans les notations et conventions au début du livre) d’image fermée et l’application B → C soit ouverte, alors la suite des complétés profinis 0 −→ A∧ −→ B ∧ −→ C ∧ −→ 0 reste exacte (cf. [19], appendice). a) Avec les notations de la proposition 16.25, montrer que α0 (G, M ) induit un isomorphisme du complété profini HomG (M, K ∗ )∧ sur H 2 (G, M )∗ (on pourra commencer par le cas où G agit trivialement sur M ). b) Montrer que le cup-produit induit une dualité de Pontryagin entre le groupe profini H 0 (K, M )∧ et le groupe discret H 2 (K, M  ), ainsi qu’entre le groupe profini H 0 (K, M  )∧ et le groupe discret H 2 (K, M ) (on pourra utiliser la proposition 16.16 et le a) de cet exercice). c) On suppose de plus que M est non ramifié et de torsion première à p. nr∗ Soit N le sous-module Hom(M, OK ) de M  . On note I ⊂ G le groupe d’inertie de K. Montrer que dans la dualité H 1 (G, M ) × H 1 (G, M  ) −→ Q/Z, les groupes H 1 (G/I, M ) et H 1 (G/I, N ) sont les orthogonaux l’un de l’autre (on se ramènera au cas fini en montrant d’abord que si M est sans torsion, alors N est cohomologiquement trivial et H 1 (G/I, M ) = H 1 (G, M )). Exercice 16.4. Soit (C, G) une formation de classes. On adopte dans cet exercice les notations du paragraphe 16.6. Soient U et V des sous-groupes ouverts de G avec V sous-groupe distingué de U . Soit s ∈ G. Montrer qu’on a un diagramme commutatif : CU

s1

ωU/V

 (U/V )ab

s2

/ C sU s−1 ωsU s−1 /sV s−1  / (sU s−1 /sV s−1 )ab ,

où s1 envoie tout c ∈ C U sur s · c et s2 envoie g ∈ (U/V )ab sur sgs−1 . Exercice 16.5. On considère une formation de classes (C, G). On suppose que les C U sont munis d’une structure de groupe topologique comme à la fin du paragraphe 16.6 et que l’hypothèse (H) est satisfaite. On suppose de

16.7. EXERCICES

275

plus que pour tout nombre premier p et tout sous-groupe ouvert U de G, le noyau de la multiplication par p dans C U est compact. Enfin, on suppose que G contient un sous-groupe ouvert Up tel que pour tout sous-groupe ouvert V de Up , l’image de la multiplication par p dans C V contient DV (intersection de tous les sous-groupes de normes de V ). a) Montrer que si p est un nombre premier, alors DU = pDU (soit a ∈ DU ; on pourra considérer, pour tout sous-groupe ouvert V de U ∩ Up , l’ensemble L(V ) des b ∈ C U tels que pb = a et b ∈ NU/V C V ).

b) Montrer que DU = n>0 nC U . On suppose désormais de plus que pour tout sous-groupe ouvert U de G, il existe un sous-groupe compact H de C U tel que tout sous-groupe fermé d’indice fini de C U qui contient H soit un groupe de normes. Soit I un sous-groupe fermé d’indice fini n de C U . c) Montrer que DU ⊂ I. d) Soit I  le complémentaire de I dans C U . Montrer qu’il existe un sousgroupe de normes N de C U tel que I  ∩ N ∩ H = ∅, c’est-à-dire tel que I ⊃ N ∩ H. e) Montrer qu’alors N ∩ (H + (N ∩ I)) ⊂ I. f) Montrer que si A est un groupe topologique abélien séparé, F est un sous-groupe fermé de A, et G est un sous-groupe compact de A, alors F + G est un sous-groupe fermé de A. g) En déduire que H + (N ∩ I) est un sous-groupe fermé d’indice fini dans C U , puis que I est un groupe de normes. Exercice 16.6 (suite de l’exercice 16.5). Soit K un corps p-adique de groupe ∗ de Galois absolu Γ. Soit (K , Γ) la formation de classes associée. Le but de cet exercice est de retrouver le théorème d’existence pour K directement à partir du théorème d’existence général de l’exercice 16.5. On ne supposera donc pas connu ici le théorème 9.13 ni ses corollaires. a) Soit  un nombre premier (distinct ou non de p). Soit K le corps obtenu en adjoignant à K toutes les racines -ièmes de l’unité, on pose U = Gal(K/K ). Soit V = Gal(K/L) un sous-groupe ouvert de U . Montrer  que si x ∈ L∗ est une norme universelle, alors x ∈ L∗ (on pourra utiliser la proposition 9.12). b) Soit H = UK le groupe des unités de OK . Soit I un sous-groupe d’indice fini de K ∗ qui contient H. Montrer qu’il existe un entier n tel que I soit l’image réciproque de nZ par la valuation, puis que si K  désigne l’extension non ramifiée de K de degré n, le groupe I est le noyau de l’application de réciprocité ωK  /K : K ∗ → Gal(K  /K). c) En appliquant le résultat de l’exercice 16.5 g), retrouver le théorème d’existence pour K.

CHAPITRE 17 DUALITÉ DE POITOU-TATE

Ce chapitre est consacré à l’énoncé et à la démonstration des difficiles théorèmes de Poitou-Tate, qui sont des théorèmes de dualité pour la cohomologie galoisienne des corps globaux. Bien que les corps de nombres totalement imaginaires et les corps de fonctions soient de dimension cohomologique 2 (cf. exercice 14.1, ou encore le corollaire 17.14 et la remarque 17.15), la méthode passant par le module dualisant (que l’on a utilisée au chapitre 10 pour les corps locaux) ne marche pas bien ici, le problème étant que le module dualisant n’est pas divisible. Le même obstacle empêche d’obtenir la dualité de Poitou-Tate comme application directe du théorème de dualité pour les formations de classes, contrairement au cas local (théorème 16.26). On va donc à la place suivre la méthode de [38], Chap. I.4, qui utilise de façon essentielle le théorème de dualité 16.21 pour une (P )-formation de classes. Pour une autre méthode (reposant sur des notions plus élaborées, notamment la cohomologie étale, mais se prêtant mieux à des généralisations), on pourra consulter [24].

17.1. La P -formation de classes associée à un groupe de Galois de ramification restreinte On reprend ici les notations et conventions du paragraphe 15.5, qui seront en vigueur dans tout ce chapitre. En particulier, k est un corps global et S un ensemble non vide de places de k, contenant toutes les places archimédiennes si k est un corps de nombres. Le lecteur désirant se familiariser avec la dualité de Poitou-Tate est invité à sauter ce paragraphe en première lecture et à supposer dans le reste de ce chapitre que S est l’ensemble Ωk de toutes les places de k, ce qui évite quelques complications liées à la ramification restreinte. On dispose de l’extension maximale kS de k non ramifiée en dehors de S, et du groupe de Galois de ramification restreinte GS = Gal(kS /k). On

278

CHAPITRE 17. DUALITÉ DE POITOU-TATE

notera P l’ensemble des nombres premiers  tels que ∞ divise l’ordre de GS (en tant que nombre surnaturel). Remarque 17.1. Si k est un corps de fonctions sur Fq , l’ensemble P contient  est un quotient de GS . Si k tous les nombres premiers car Gal(Fq /Fq ) = Z est un corps de nombres, on a au moins que P contient tous les  inversibles dans Ok,S (c’est-à-dire tels que S contienne toutes les places divisant ) car pour un tel , le corps kS contient toutes les racines de l’unité d’ordre une puissance de  et on sait que si ζm est une racine primitive m -ième de l’unité, alors Q(ζm ) est de degré m−1 ( − 1) sur Q. Par ailleurs, si S contient presque toutes les places de k, alors (exercice 17.1) P contient tous les nombres premiers.(1) Pour toute extension finie F de k, on dispose (définition 15.36) du groupe

∗ CS (F ), quotient du groupe des classes d’idèles CF par UF,S  w∈S Ow . On a vu (proposition 15.38) des propriétés de la limite CS des CS (F ) et de la limite US des UF,S , quand F décrit les extensions finies galoisiennes de k incluses dans kS . Le théorème suivant dit que l’on peut définir une P -formation de classes (GS , CS ), au sens du paragraphe 16.4 : Théorème 17.2. La formation de classes (Gk , C) de l’exemple 16.5, c) induit une P -formation de classes (GS , CS ). Démonstration. Soit HS := Gal(k/kS ). On sait (vu la définition de P et la remarque 16.24, b) que la formation de classes (Gk , C) induit une P formation de classes (GS , C HS ). Ici C HS est la limite inductive C(kS ) des CF (pour F extension finie galoisienne de k incluse dans kS ). Comme (d’après la proposition 15.38) le GS -module US est cohomologiquement trivial, la suite exacte (15.3) montre que les groupes de cohomologie H i (GS , C HS ) s’identifient aux H i (GS , CS ) pour i  1, d’où le résultat. Terminons ce paragraphe par une conséquence de la remarque 17.1, qui sera utile dans la preuve de la dualité de Poitou-Tate (plus précisément pour la proposition 17.25) : Lemme 17.3. Soit  un nombre premier inversible dans Ok,S . Soit v une place de k (qui peut être ou non dans S). Pour toute extension finie galoisienne F de k incluse dans kS , notons Fv le complété de F en une place au-dessus de v. Soit r  1 un entier. Alors lim H r (Gal(k v /Fv ), k ∗v ){} = 0. −→

F ⊂kS

(1) On a en fait beaucoup mieux : G. Chenevier et L. Clozel ont démontré dans [11] que s’il existe au moins deux nombres premiers p, q tels que S contienne toutes les places au-dessus de p et q, alors l’ensemble P contient tous les nombres premiers.

17.2. LES GROUPES PiS (M )

279

∗ Démonstration. Comme par hypothèse  ∈ Ok,S , on sait (remarque 17.1) ∞ que  divise alors l’ordre de GS . On en déduit, grâce à la proposition 8.4 :

lim (Br Fv ){} = 0, −→

F ⊂kS

soit lim H 2 (Gal(k v /Fv ), k ∗v ){} = 0. −→

F ⊂kS

On a d’autre part également lim H r (Gal(k v /Fv ), k ∗v ){} = 0 −→

F ⊂kS

pour r = 1 (Hilbert 90), et aussi pour r  3 : en effet, si v est finie cela résulte de ce que le groupe de Galois absolu de Fv est de dimension cohomologique stricte au plus 2 (théorème 10.6, remarque 10.7 et proposition 6.15) ; si v est réelle, cela vient du théorème 2.16 joint aux cas r = 1 et r = 2. 17.2. Les groupes PiS (M ) Dans toute la suite de ce chapitre, on considère des GS -modules discrets (on dira comme d’habitude simplement « GS -module » pour « GS -module discret ») de type fini M , dont le sous-groupe de torsion Mtors est de cardinal inversible dans Ok,S . Cette condition est en particulier toujours satisfaite dans le cas d’un corps de nombres si S = Ωk , et elle équivaut à ce que le cardinal de Mtors soit premier à la caractéristique de k dans le cas d’un corps de fonctions. On va définir dans ce paragraphe des groupes obtenus à partir des groupes de cohomologie galoisienne « locaux » H i (kv , M ). Si v est une place de k, on note Gv ⊂ Gk le sous-groupe de décomposition en v, qui s’identifie au groupe de Galois absolu du complété kv (cf. paragraphe 13.1) ; si v est finie, on note k(v) le corps résiduel en v, et G(v) le groupe de Galois absolu de k(v). On a des applications de restriction H i (GS , M ) → H i (Gv , M ) (définies pour toute place v de k ; on s’en servira surtout pour v ∈ S). Définition 17.4. Attention, on conviendra dans ce chapitre que H i (kv , M ) désigne H i (Gv , M ) sauf pour i = 0 et v archimédienne, auquel cas ce sera  0 (Gv , M ), c’est-à-dire {0} si v par convention le groupe modifié de Tate H GR est complexe et le quotient de M par le groupe des normes NGR M si v est réelle, où GR := Gal(C/R). La raison de cette convention est qu’elle est adaptée aux théorèmes de dualité, voir notamment le lemme 17.9 ci-après. Soit maintenant v une place finie du corps global k et supposons de plus que M est non ramifié en v (c’est-à-dire non ramifié pour l’action induite de Gv : cf. définition 10.15 et remarque 10.18). Pour i  0, on dispose donc

280

CHAPITRE 17. DUALITÉ DE POITOU-TATE

i des groupes de cohomologie non ramifiée Hnr (kv , M ). On posera aussi pour i i simplifier Hnr (kv , M ) = H (kv , M ) si v est une place archimédienne. Noter que M est non ramifié en dehors d’un nombre fini de places (car il est de type fini, et tout élément de M est fixé par un sous-groupe ouvert d’indice fini de GS ; or, une extension finie de k n’est ramifiée qu’en un nombre fini de places, voir les rappels du paragraphe 12.1). Cela justifie la définition suivante.

Définition 17.5. Soit M un GS -module de type fini tel que #Mtors soit inversible dans Ok,S . On définit PiS (k, M ) (ou PiS (M ) si k est sous-entendu) comme le produit restreint pour v dans S des H i (kv , M ) par rapport aux i (kv , M ). Hnr Ainsi PiS (k, M ) est constitué des familles (xv )v∈S avec xv ∈ H i (kv , M ) i pour toute place v ∈ S, et xv ∈ Hnr (kv , M ) pour presque toute v. Quand i S = Ωk , on abrègera PΩk (k, M ) en Pi (k, M ). Les définitions et le fait que, pour v finie, le groupe de Galois absolu du corps kv soit de dimension cohomologique stricte 2 (théorème 10.6, remarque 10.7 et proposition 6.15) donnent immédiatement :

Proposition 17.6. On a P0S (k, M ) = v∈S H 0 (kv , M ). Si de plus M est fini,  ce groupe est compact et on a aussi P2S (k, M ) = v∈S H 2 (kv , M ), qui est  alors un groupe discret. Pour i  3, on a PiS (k, M ) = v∈ΩR H i (kv , M ), où ΩR désigne l’ensemble des places réelles de k. Remarque 17.7. a) Si on ne suppose pas M de type fini, la définition des Pi est plus compliquée, et s’interprète mieux dans le langage de la cohomologie étale. On n’utilisera donc pas cette notion dans ce livre (voir néanmoins l’exercice 17.8). b) Si M est un GS -module de type fini (avec #Mtors inversible dans Ok,S ) et v ∈ S, alors M est non ramifié en v puisque kS est non ramifiée en dehors de S. c) Supposons M fini (et toujours d’ordre inversible dans Ok,S ). Le groupe P1S (k, M ), muni de sa topologie de produit restreint (chaque H 1 (kv , M ) étant considéré comme discret), est alors localement compact. Soit en effet T une partie de S avec S − T fini et M non ramifié aux places de T . Posons



1 PT = v∈S−T H 1 (kv , M ) × v∈T Hnr (kv , M ). Alors tous les H 1 (kv , M ) 1 (et donc aussi les Hnr (kv , M )) sont finis grâce au corollaire 8.15 et à la remarque 8.14, ce qui montre que PT est compact (produit de compacts). Cet argument s’étend facilement au cas où M est de type fini (cf. exercice 8.3). Lemme 17.8. Soit M un GS -module de type fini tel que #Mtors soit inversible dans Ok,S . Soit i  0. L’image de l’application diagonale (induite par les

17.2. LES GROUPES PiS (M )

restrictions) β i : H i (GS , M ) −→



281

H i (kv , M )

v∈S

est incluse dans PiS (k, M ). Démonstration. Soit x ∈ H i (GS , M ). Il existe une extension finie galoisienne F ⊂ kS de k telle que l’action de Gal(kS /F ) sur M soit triviale et x soit dans l’image de H i (Gal(F/k), M ). La restriction de x à H i (kv , M ) est i alors dans Hnr (kv , M ) dès que v est non ramifiée dans l’extension F/k, donc pour presque toute place v de k. Le lemme suivant est l’analogue du théorème de dualité locale 10.9 pour le corps des réels (pour le corps des complexes, l’assertion est triviale, du fait de nos conventions sur H 0 (kv , M )). Lemme 17.9. Soit M un GR -module fini de dual de Cartier M  . Alors le cup-produit  i (GR , M ) × H  2−i (GR , M  ) −→ Br R  Z/2Z H est une dualité parfaite de groupes finis de 2-torsion pour tout i ∈ Z. Notons que d’après le théorème 2.16 (et la remarque 2.29, qui décrit explicitement l’isomorphisme de périodicité comme un cup-produit), la cohomologie modifiée du groupe cyclique GR est 2-périodique ; il suffit donc d’avoir le résultat quand i ∈ {0, 1, 2} pour le déduire pour tout i ∈ Z. Démonstration. Comme le groupe de Galois GR de R est d’ordre 2, on peut supposer (grâce au corollaire 1.49) que M est de torsion 2-primaire. On peut également supposer M simple en procédant par récurrence sur l’ordre de M et en utilisant le lemme des cinq (joint à la compatibilité du cup-produit avec les suites exactes, proposition 2.28) pour montrer que le cup-produit induit  i (GR , M ) avec le dual de H  2−i (GR , M  ). Maintenant, un isomorphisme de H le seul GR -module simple est Z/2Z avec action triviale (utiliser le lemme 3.1 pour voir d’abord que l’action est triviale) puisque GR est un 2-groupe. Finalement pour M = Z/2Z avec action triviale, tous les groupes considérés valent Z/2Z et il suffit donc de voir que l’accouplement n’est pas nul. Or c’est immédiat pour i = 0 et i = 2 grâce à la remarque 2.22 ; pour i = 1, le 2 cup-produit des classes de a, b ∈ R∗ dans H 1 (GR , Z/2Z)  R∗ /R∗ est le symbole de Hilbert (a, b), lequel est non nul si on choisit a et b tous deux négatifs (exemple 9.11, voir aussi exercice 9.4). Proposition 17.10. Soit M un GS -module fini dont le cardinal n est inversible dans Ok,S . Alors l’application β 1 : H 1 (GS , M ) −→ P1S (k, M )

282

CHAPITRE 17. DUALITÉ DE POITOU-TATE

est propre (c’est-à-dire que l’image réciproque d’une partie compacte de P1S (k, M ) est finie). Démonstration. Soit T une partie de S avec S − T fini et M non ramifié



1 (kv , M ), aux places de T . On pose PT = v∈S−T H 1 (kv , M ) × v∈T Hnr c’est un compact (remarque 17.7 c) et tout sous-ensemble compact P de P1S (k, M ) est contenu dans un PT (recouvrir P par les ouverts P ∩ PT , et en extraire un recouvrement fini en notant que PT ⊂ PT  si T  ⊂ T ). Il suffit donc de montrer que l’image réciproque XT de PT par β 1 est finie. Il existe une extension finie galoisienne F ⊂ kS de k telle que Gal(kS /F ) opère trivialement sur M et F contienne les racines n-ièmes de l’unité. Pour v ∈ T , l’image de XT dans H 1 (F, M ) est non ramifiée en toute place de F au-dessus de v. Or H 1 (GS , M ) est un sous-groupe de H 1 (k, M ) et le noyau de H 1 (k, M ) → H 1 (F, M ) est fini (théorème 1.42) ; il suffit donc de montrer que l’image de XT dans H 1 (F, M ) est finie, c’est-à-dire qu’on se ramène au cas où l’action de GS sur M est triviale et où k contient les racines n-ièmes de l’unité, ce qui permet de se limiter à traiter le cas où M = μn . Un élément de H 1 (GS , μn ) ⊂ H 1 (k, μn ) dont l’image dans H 1 (kv , μn ) est non ramifiée pour toute place v ∈ T a aussi une image non ramifiée pour toute v ∈ S (par définition de GS ), donc finalement pour toute v ∈ S − T . Comme S − T est fini, le résultat découle alors de la proposition 12.27 (on pourrait aussi utiliser directement le théorème des extensions non ramifiées, cf. [48], Part. II, § 6, Lem. 6). Pour un GS -module fini M dont l’ordre n est inversible dans Ok,S , les racines n-ièmes de l’unité de k sont en particulier dans kS . Ainsi le GS -module M  = Hom(M, k ∗ ) (dual de Cartier de M ) est aussi Hom(M, kS∗ ). Rappelons que l’action de GS sur M est définie par la formule : (γ · ϕ)(x) := γ(ϕ(γ −1 · x)) pour γ ∈ GS , ϕ ∈ M  , x ∈ M (exemple 4.16, d). On utilisera aussi dans la suite la notion de dual A∗ = Homc (A, Q/Z) d’un groupe topologique abélien A (cf. remarque 10.8). Proposition 17.11. Soit M un GS -module fini avec #M inversible dans Ok,S . Alors la dualité de Tate locale induit des isomorphismes entre : a) le dual P0S (k, M )∗ du groupe compact P0S (k, M ) et le groupe discret

P2S (k, M  ) ;

b) le dual P1S (k, M )∗ du groupe localement compact P1S (k, M ) et le groupe localement compact P1S (k, M  ). Démonstration. On applique la formule classique donnant le dual d’un produit restreint (cf. [41], Prop. 1.1.13). La proposition résulte alors des théorèmes 10.9 et 10.17 (noter que pour presque toute place v de k, le cardinal

17.3. ÉNONCÉ DES THÉORÈMES DE POITOU-TATE

283

de M est bien premier à la caractéristique résiduelle de Ov ), combinés au lemme 17.9 et aux remarques 10.10 et 10.18.

17.3. Énoncé des théorèmes de Poitou-Tate Ce paragraphe est consacré à l’énoncé du théorème principal de dualité pour la cohomologie galoisienne d’un corps global. Plus précisément, on fixe comme précédemment un ensemble non vide S de places de k (contenant les places archimédiennes si k est un corps de nombres) et on considère dans toute la suite un GS -module M fini et dont l’ordre est inversible sur Ok,S . En particulier, tous les nombres premiers  divisant l’ordre de M sont dans l’ensemble P associé à S comme dans le paragraphe 17.1 (remarque 17.1). On pourra dans une première lecture se limiter au cas S = Ωk , auquel cas il n’y a pas de condition sur l’ordre de M et P est l’ensemble de tous les nombres premiers. En utilisant la proposition 17.11, on a pour i = 0, 1, 2 des applications continues γ i : PiS (k, M ) −→ H 2−i (GS , M  )∗ obtenues en dualisant les applications β 2−i (associées à M  ) du lemme 17.8. Pour i = 1, 2, on définit XiS (k, M ) = Ker[β i : H i (GS , M ) −→ PiS (k, M )] (on notera parfois XiS (M ) pour XiS (k, M ) si k est sous-entendu). Remarque 17.12. Pour S = Ω∞ , le groupe XiS (M ) est donc le sousgroupe de H i (k, M ) constitué des éléments qui s’annulent « partout localement ». La lettre cyrillique X (prononcer « Sha ») vient du mathématicien russe I.R. Shafarevich, le groupe X1 (k, M ) étant l’analogue du classique groupe de Tate-Shafarevich d’une variété abélienne (cf. par exemple [38], Chap. I.6). Nous pouvons maintenant énoncer le résultat principal de ce chapitre (et peut-être de tout ce livre !). Théorème 17.13 (Poitou-Tate). Soit M un GS -module fini dont le cardinal est inversible(2) dans Ok,S . Soit M  = Hom(M, k ∗ ) le dual de Cartier de M . Alors :  a) Pour r  3, on a H r (GS , M )  v∈ΩR H r (kv , M ). b) Les groupes X1S (k, M  ) et X2S (k, M ) sont finis et duaux.

(2) K. Česnavičius

[10] a obtenu une version de la suite exacte de Poitou-Tate sans cette hypothèse ; voir aussi González-Avilés [16] pour le cas du corps de fonctions.

284

CHAPITRE 17. DUALITÉ DE POITOU-TATE

c) On a une suite exacte à 9 termes de groupes topologiques (dite suite exacte de Poitou-Tate) : 0

0

γ0 / 2 0 / H 0 (GS , M ) β / H (GS , M  )∗ v∈S H (kv , M )

/ H 1 (GS , M )

β1

/ P1 (k, M ) S

γ1

/ H 1 (GS , M  )∗

2  γ2 / 0 2 / H 2 (GS , M ) β / H (k , M ) H (GS , M  )∗ v v∈S

/ 0,

où les flèches « sans nom » viennent de l’assertion b). Noter que le premier terme est fini, les deux termes suivants sont compacts, et le quatrième terme est discret. De façon duale, le dernier terme est fini, les deux termes précédents sont discrets, et le sixième terme est compact. Le « terme du milieu » P1S (k, M ) est seulement localement compact. Si on dualise la suite, on obtient la même suite avec M et M  échangés (grâce à la proposition 17.11). Corollaire 17.14. Soit p un nombre premier inversible dans Ok,S , et que l’on suppose différent de 2 si k a des places réelles. Alors GS est de p-dimension cohomologique  2. Démonstration. Cela résulte de l’assertion a) du théorème 17.13. Remarque 17.15. Soit p un nombre premier, supposé impair si k est un corps de nombres qui n’est pas totalement imaginaire. Pour S = Ωk , on a plus précisément cdp (Gk ) = 2 si k est un corps de nombres vu que H 2 (Gk , μp ) = (Br k)[p] est non nul (théorème de Brauer-Hasse-Noether), et de même pour un corps de fonctions de caractéristique = p ; on retrouve ainsi les résultats de l’exercice 14.1. Par ailleurs, la détermination de scdp (GS ) (qui vaut 2 ou 3 d’après le corollaire 17.14 et la proposition 5.8) dans le cas d’un corps de nombres est un problème très difficile, qui est encore ouvert en général et est lié à la conjecture de Leopoldt ([41], Chap. X, § 3). On verra dans le prochain chapitre (théorème 18.15) que si S contient presque toutes les places de k, alors scdp (GS ) = 2 (toujours sous les hypothèses du corollaire précédent). Pour un corps de fonctions, on a bien scd (GS ) = 2 pour tout nombre premier  dès que S est non vide, mais ce résultat ne semble pas (pour S quelconque) se déduire facilement de la théorie du corps de classes, même en connaissant les théorèmes de Poitou-Tate ; voir [41], Th. 8.3.17 ou encore [38], Rem. I.1.12.

17.4. PREUVE DES THÉORÈMES DE POITOU-TATE (I)

285

Exemple 17.16. Si k est un corps de nombres et p n’est pas inversible dans Ok,S , la question de déterminer si cdp (GS ) est finie est également difficile, voir [41], Chap. X. Si S = Ω∞ , il est possible que le groupe GS soit fini et non trivial déjà pour un√corps quadratique imaginaire, voir Yamamura [55] ; par exemple, si k = Q( −771), on obtient GS = S4 × Z/3Z. Quand GS est fini, l’exercice 5.1 donne que cdp (GS ) est infini pour tout nombre premier p divisant le cardinal de GS . Corollaire 17.17. Supposons S fini. Soit M un GS -module fini d’ordre inversible dans Ok,S . Alors les groupes H r (GS , M ) sont finis pour tout r  0. Démonstration. Ici les groupes PrS (k, M ) sont finis grâce au corollaire 8.15 et à la remarque 8.14 ; le résultat découle alors de la finitude de XrS (k, M ) pour r = 1, 2, et de l’assertion a) du théorème 17.13 pour r  3. 17.4. Preuve des théorèmes de Poitou-Tate (I) : calcul de deux groupes Ext Nous commençons dans ce paragraphe la preuve du théorème 17.13. On va travailler avec des extensions finies galoisiennes F de k incluses dans kS . On a défini dans le lemme 15.37 le groupe JF,S (groupe des idèles tronqué en S) comme le sous-groupe du groupe des idèles IF constitué des familles (aw )w∈ΩF dont la composante en w est triviale pour toute place w ∈ ΩF ∗ non dans S. Soit EF,S := OF,S le groupe des inversibles de OF,S , on pose CF,S = JF,S /EF,S ; on note IS la limite inductive (sur les F ⊂ kS ) des JF,S et ES celle des EF,S . Le GS -module CS de la P -formation de classes du théorème 17.2 satisfait à (proposition 15.38, a) : CS = lim CF,S . −→ F

La suite exacte 0 −→ EF,S −→ JF,S −→ CF,S −→ 0 donne alors en passant à la limite une suite exacte (17.1)

0 −→ ES −→ IS −→ CS −→ 0.

Le théorème 17.13 va être obtenu en écrivant la suite exacte longue obtenue en appliquant le foncteur HomGS (M  , .) à cette suite exacte, et en calculant les Ext qui apparaissent. Dans ce paragraphe, on s’occupe des Ext à valeurs dans CS et ES ; ceux à valeurs dans IS (qui sont plus compliqués) feront l’objet du prochain paragraphe. Théorème 17.18. Soit M un GS -module de type fini. Soit  ∈ P . Alors l’homomorphisme αr (GS , M ){} : ExtrGS (M, CS ){} −→ H 2−r (GS , M )∗ {}

286

CHAPITRE 17. DUALITÉ DE POITOU-TATE

(cf. théorème 16.21) est un isomorphisme pour tout r  1. En particulier, les groupes ExtrGS (M, CS ){} sont nuls pour r  3. Noter que l’hypothèse sur M pour cet énoncé est très légèrement plus générale que celle des théorèmes de Poitou-Tate (on autorise des M de type fini, éventuellement infinis). Pour M fini de cardinal inversible sur Ok,S , l’ensemble P contient tous les nombres premiers divisant #M grâce à la remarque 17.1, et le théorème 17.18 s’applique pour  quelconque. Démonstration. On applique la version « P -formations de classes » du théorème 16.21. Quitte à passer à une extension finie de k incluse dans kS (correspondant à un sous-groupe ouvert U de GS ), il suffit de vérifier que pour tout m > 0, l’application α1 (GS , Z/m ) est bijective. On note que H 0 (GS , CS ) = CS (k) (proposition 15.38, c). Alors, d’après le lemme 16.19 b), l’application m α1 (GS , Z/m ) : CS (k)/m → Gab est induite par l’application de réciS / procité reck et la proposition 15.40 montre alors que c’est un isomorphisme (noter l’importance du fait, démontré dans la proposition 15.40, que dans le cas d’un corps de nombres, le noyau DS (k) de la flèche ω : CS (k) → Gab S induite par reck soit divisible ; dans le cas d’un corps de fonctions, on utilise  juste que Z/Z est uniquement divisible). Remarque 17.19. Pour v ∈ S finie, on peut aussi considérer M comme un Gv -module ; les isomorphismes αr (GS , M ) du théorème 17.18 sont alors compatibles (en un sens évident) avec les isomorphismes αr (Gv , M ) de la proposition 16.25, lesquels donnent ensuite la dualité locale de Tate. En effet les αr (Gv , M ) viennent aussi du théorème de dualité 16.21 (appliqué à la formation de classes associée à Gv ). On a une compatibilité analogue pour les places archimédiennes à condition de considérer des groupes modifiés. Remarque 17.20. Il est vraisemblable que α0 (GS , Z/m ) est surjective pour un corps de nombres totalement imaginaire (ou si  = 2), mais ceci semble conditionnel à l’hypothèse que H 2 (GS , Q /Z ) = 0 (cf. exercice 17.2) ; or ce résultat (qui est une forme de la conjecture de Leopoldt) n’est pas connu en général. Il est vrai sur un corps de fonctions, mais ne semble pas pouvoir se déduire facilement de la théorie du corps de classes, l’argument de cardinalité utilisé dans le cas local (proposition 16.25) ne marchant pas ici. Voir aussi la remarque 17.15. Passons aux Ext à valeurs dans ES . On rappelle que si v est une place de k, on note Gv  Gal(k v /kv ) le groupe de décomposition en v ; si v est finie, on note k(v) le corps résiduel en v, et G(v) le groupe de Galois absolu de k(v). Lemme 17.21. Soit M un GS -module fini, dont le cardinal est inversible dans Ok,S . Soit r  0 un entier. Alors :

17.4. PREUVE DES THÉORÈMES DE POITOU-TATE (I)

287

a) On a ExtrGS (M, ES )  H r (GS , M  ). ∗

b) Pour toute place v non dans S, on a ExtrG(v) (M, Ovnr )  H r (k(v), M  ), et les deux groupes sont nuls pour r  2. c) Soit v une place quelconque de k. Alors ExtrGv (M, k ∗v )  H r (Gv , M  ) (rappelons que ce dernier groupe est aussi noté H r (kv , M  ) si r  1 ou si v est non archimédienne). Notons que dans l’assertion a), M  désigne le GS -module Hom(M, kS∗ ), qui est aussi Hom(M, k ∗ ) ou Hom(M, ES ) parce que #M est inversible dans Ok,S . Pour l’assertion b), on regarde M comme un G(v)-module (comme ∗ v ∈ S, M est non ramifié en v) et M  désigne son dual Hom(M, k(v) ) ; la nr notation Ov signifie que l’on considère l’extension maximale non ramifiée de Ov , c’est-à-dire l’anneau des entiers de kvnr . Enfin, dans l’assertion c), on voit M comme un Gv -module, de dual M  = Hom(M, k ∗ ) = Hom(M, k ∗v ). Démonstration. a) Montrons d’abord que ES est -divisible pour tout nombre premier  inversible dans Ok,S . L’hypothèse implique que k(μ )/k est non ramifiée en dehors de S ; si maintenant a ∈ ES , soit K = k(μ , a). Alors K/k est non √ ramifiée en dehors de S, et K(  a) est une extension de Kummer de K, non ramifiée aux places qui ne sont pas au-dessus de S grâce au lemme 13.17 et √ ∗ à l’hypothèse que a ∈ ES ∩ K = OK,S . Ainsi  a ∈ kS , d’où on conclut en √ remarquant que  a reste de valuation nulle en toute place v ∈ S. Maintenant, la multiplication par un tel  est surjective dans Ext1Z (M, ES ) via la suite exacte · 0 −→ ES [] −→ ES −−−→ ES −→ 0 et le fait que On en déduit Ext1Z (M, ES ), la proposition

les Ext2Z sont toujours nuls (appendice, proposition A.54). que la multiplication par #M est surjective et nulle dans donc finalement Ext1Z (M, ES ) = 0. La suite exacte (16.3) de 16.16 donne alors le résultat.

b) Soit  un nombre premier divisant #M . Comme v ∈ S, v ne divise ∗ pas  grâce à l’hypothèse #M inversible dans Ok,S . On en déduit que Ovnr est -divisible en appliquant le lemme de Hensel aux extensions finies non ramifiées de kv (cf. exemple 10.19). L’argument est alors similaire au a). D’autre part, H r (k(v), M  ) = 0 si r  2 parce que la dimension cohomologique du corps fini k(v) est 1. c) La preuve est tout à fait analogue à celle de a) vu que k ∗v est un groupe divisible.

288

CHAPITRE 17. DUALITÉ DE POITOU-TATE

17.5. Preuve des théorèmes de Poitou-Tate (II) : calcul des Ext à valeurs dans IS et fin de la preuve Nous poursuivons la preuve du théorème 17.13. On désigne toujours par M un GS -module fini dont le cardinal est inversible dans Ok,S . L’étape la plus difficile consiste à calculer ExtrGS (M, IS ). On pourra ensuite exploiter la suite exacte (17.1). Définition 17.22. On note E l’ensemble des paires (F, T ), où : a) T est un sous-ensemble fini de S, contenant toutes les places archimédiennes, les places où M est ramifié, et les places au-dessus des nombres premiers divisant #M (en particulier M est un GT -module dont l’ordre est inversible dans Ok,T et on a aussi kT ⊂ kS ), b) F est une extension finie galoisienne de k avec F ⊂ kT , telle que l’action de Gal(kS /F ) sur M soit triviale. Pour (F, T ) ∈ E, on pose JFT =

w∈TF

Fw∗ ×

w∈SF −TF

∗ Ow ,

où TF (resp. SF ) est l’ensemble des places de F au-dessus de T (resp. de S), Fw est le complété de F en w et Ow son anneau des entiers. On peut notamment voir JFT (qui est un sous-groupe du groupe IF des idèles de F ) comme un Gal(F/k)-module. Notons que les paires (F, T ) de E forment un ensemble ordonné filtrant pour la relation : (F, T )  (F  , T  ) si F ⊂ F  et T ⊂ T  . Le lemme ci-après permet d’interpréter ExtrGS (M, IS ) comme une limite inductive sur E d’Ext « définis à un niveau fini ». Pour simplifier, on note comme d’habitude Fv le complété de F en une place au-dessus de v. Lemme 17.23. Avec les notations ci-dessus, on a pour tout entier r  0 : (17.2) 

ExtrGS (M, IS ) 



lim ExtrGal(Fv /kv ) (M, Fv∗ ) × ExtrGal(Fv /kv ) (M, OF∗ v ) . −→ v∈T v∈S−T

(F,T )∈E

Ces groupes s’identifient aussi à la limite inductive (prise sur les paires (F, T ) ∈ E) des ExtrGal(F/k) (M, JFT ). Démonstration. Rappelons que pour toute extension finie F ⊂ kS fixée de k, le groupe JF,S (défini dans le lemme 15.37) s’identifie au produit restreint des Fw∗ pour w place de SF , ou encore à la limite inductive (sur les T satisfaisant à la condition a) de la définition 17.22) des JFT . Une telle extension F

17.5. PREUVE DES THÉORÈMES DE POITOU-TATE (II)

289

de k est non ramifiée en dehors d’un nombre fini de places, elle est donc incluse dans kT pour T fini assez grand. Comme IS est par définition la limite inductive des JF,S pour F comme ci-dessus, on obtient : IS =

lim JFT . −→

(F,T )∈E

On a aussi GS = lim(F,T )∈E Gal(F/k). La proposition 16.16 c) donne ←− alors ExtrGS (M, IS )  lim ExtrGal(F/k) (M, JFT ). −→ (F,T )∈E

Maintenant, on utilise le fait que les ExtrGal(F/k) (M, .) commutent aux produits (appendice, proposition A.53). D’autre part, si w1 est une place de F au-dessus de v ∈ S, le groupe Gal(Fw1 /kv ) s’identifie à un sous

groupe de décomposition de Gal(F/k), et le Gal(F/k)-module w|v Fw∗

∗ ∗ (resp. w|v Ow ) au module induit de Fw∗ 1 (resp. Ow ) relativement à ce 1 sous-groupe (cf. propositions 12.14 et 13.1). Le résultat en découle grâce au « lemme de Shapiro pour les Ext » (voir la fin de la remarque 16.13). Il s’agit maintenant de calculer les termes locaux dans la formule (17.2). Le deuxième est plus facile : Lemme 17.24. Soit (F, T ) ∈ E. Soit v ∈ S − T . Alors ExtrGal(Fv /kv ) (M, OF∗ v )  H r (G(v), M  ) pour tout entier r  0, et ce groupe est nul si r  2. ∗

Rappelons qu’ici M  désigne le dual Hom(M, k(v) ) du G(v)-module M , ce qui a un sens puisque M est non ramifié en dehors de T . Démonstration. Par définition de E, l’extension F/k est non ramifiée en ∗ dehors de T donc Fv ⊂ kvnr et OF∗ v ⊂ Ovnr . Écrivons la suite spectrale des Ext (théorème 16.14) avec N = Z, G = G(v) = Gal(kvnr /kv ), H = ∗ Gal(kvnr /Fv ) et P = Ovnr , on obtient la suite spectrale ∗

∗

nr ExtrGal(Fv /kv ) (M, H s (H, Ovnr )) =⇒ Extr+s G(v) (M, Ov ). ∗

Le G-module Ovnr est cohomologiquement trivial grâce à la proposition 8.3 et au fait que Z est de type fini, ce qui fait que tous les termes ∗

∗

∗

Ext sH (Z, Ovnr ) = ExtsH (Z, Ovnr ) = H s (H, Ovnr ) ∗

sont nuls pour s > 0 ; pour s = 0, ce terme vaut H 0 (H, Ovnr ) = OF∗ v . On obtient donc ∗

ExtrGal(Fv /kv ) (M, OF∗ v )  ExtrG(v) (M, Ovnr ) qui vaut H r (G(v), M  ) d’après le lemme 17.21 b), que l’on peut bien appliquer puisque v ∈ T et M est un GT -module d’ordre inversible sur Ok,T . Si

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CHAPITRE 17. DUALITÉ DE POITOU-TATE

de plus r  2, alors H r (G(v), M  ) est nul car G(v) (groupe de Galois absolu d’un corps fini) est de dimension cohomologique 1. Pour calculer ExtrGS (M, IS ), on distingue maintenant les cas r  2 et r=1: Proposition 17.25. Soit r  2. Alors ExtrGS (M, IS ) 



H r (kv , M  ).

v∈S



Observons que v∈S H r (kv , M  ) est ici PrS (k, M  ) puisque r  2. Dans cet énoncé, on désigne à nouveau par M  le dual de Cartier Hom(M, k ∗ ) du GS -module M . Démonstration. D’après les lemmes 17.23 et 17.24, on a

ExtrGal(Fv /kv ) (M, Fv∗ ). ExtrGS (M, IS )  lim −→ v∈T (F,T )∈E

On observe (en utilisant notamment que les limites inductives commutent avec les sommes directes) que cette limite inductive est aussi   lim ExtrGal(Fv /kv ) (M, Fv∗ )  lim ExtrGal(Fv /kv ) (M, Fv∗ ), −→ −→ v∈S v∈S F ⊂kS

F ⊂kS

la limite étant prise sur les extensions finies galoisiennes F ⊂ kS de k. Soient alors  un diviseur premier du cardinal de M et v une place de S. Comme ∗ par hypothèse  ∈ Ok,S , le lemme 17.3 donne lim H s (Gal(k v /Fv ), k ∗v ){} = 0 −→

F ⊂kS

pour tout s  1. Comme ceci est valable pour tout nombre premier  divisant l’ordre de M , la suite spectrale des Ext (théorème 16.14, appliqué encore avec N = Z) donne alors, en passant à la limite sur les extensions finies F ⊂ kS : lim ExtrGal(Fv /kv ) (M, Fv∗ )  ExtrGv (M, k ∗v ) −→ F ⊂kS

et ce dernier terme vaut bien H r (Gv , M  ) = H r (kv , M  ), par le lemme 17.21 c). Le résultat en découle. Proposition 17.26. On a Ext1GS (M, IS )  P1S (k, M  ). Démonstration. D’après les lemmes 17.23 et 17.24, on sait que le groupe Ext1GS (M, IS ) est isomorphe à 



lim Ext1Gal(Fv /kv ) (M, Fv∗ ) × H 1 (G(v), M  ) . −→ v∈T v∈S−T (F,T )∈E

17.5. PREUVE DES THÉORÈMES DE POITOU-TATE (II)

291

La suite des termes de bas degré de la suite spectrale des Ext et le théorème de Hilbert 90 donnent, pour v ∈ T : Ext1Gal(Fv /kv ) (M, Fv∗ )  Ext1Gv (M, k ∗v ) qui vaut encore H 1 (Gv , M  ) par le lemme 17.21 c) ; ce terme est indépendant 1 de F . D’autre part, pour v ∈ S − T , le groupe H 1 (G(v), M  ) = Hnr (kv , M  ) est encore indépendant de F . Ceci donne finalement que le terme à calculer est 

1  1  H (kv , M ) × Hnr (kv , M ) , lim −→ v∈T v∈S−T T

la limite étant prise sur les T ⊂ S finis. Par définition du produit restreint, cette limite vaut précisément P1S (k, M  ). Démonstration du théorème 17.13. On utilise la suite exacte courte (17.3)

0 −→ ES −→ IS −→ CS −→ 0

et les résultats précédents pour calculer les termes de la suite exacte longue ExtrGS (M  , −) associée à (17.3). Montrons a). Supposons d’abord r  4. Alors le théorème 17.18 dit que r−1 (M  , CS ) et ExtrGS (M  , CS ) sont nuls, d’où un isomorphisme entre ExtG S r ExtGS (M  , ES ) et ExtrGS (M  , IS ), ce qui donne le résultat avec la proposition 17.25 et le lemme 17.21. En appliquant alors la proposition 17.25 pour r = 2, 3, le lemme 17.21 pour r = 3, et le théorème 17.18 pour r = 2, 3, on obtient une suite exacte γ2 β3 P2S (k, M ) −−−→ H 0 (GS , M  )∗ −→ H 3 (GS , M ) −−−→ P3S (k, M ) −→ 0.

0 0  0  La flèche βM  : H (GS , M ) → v∈S H (kv , M ) est injective puisque pour M non nul, S contient au moins une place finie (rappelons que le cardinal de M est inversible dans Ok,S par hypothèse). Comme c’est une flèche entre groupes profinis (le premier est même fini), sa flèche duale est surjective. Or d’après la proposition 17.11, cette flèche duale est précisément la flèche γ 2 : P2S (k, M ) → H 0 (GS , M  )∗ , qui est donc surjective. Finalement la flèche β 3 : H 3 (GS , M ) → P3S (k, M ) est bien un isomorphisme, ce qui achève la preuve du point a). Montrons b). On applique la proposition 17.26, le théorème 17.18 pour r = 1, et le lemme 17.21 pour r = 1, 2. Avec ce que l’on a déjà vu, cela donne les six derniers termes de la suite exacte de Poitou-Tate. On a en particulier, en utilisant la proposition 17.11, une suite exacte P1S (k, M  )∗ −→ H 1 (GS , M  )∗ −→ X2S (k, M ) −→ 0, ce qui démontre que X2S (k, M ) est dual de X1S (k, M  ), lequel est fini grâce à la proposition 17.10. D’où b).

292

CHAPITRE 17. DUALITÉ DE POITOU-TATE

Montrons c). Avec ce qui précède, il reste juste à prouver l’exactitude de

0 H (kv , M ) −→ H 2 (GS , M  )∗ −→ X1S (k, M ) → 0. 0 → H 0 (GS , M ) −→ v∈S

Or, ceci s’obtient (avec b) et la proposition 17.11) en dualisant la fin de la suite appliquée à M  :  2 H (kv , M  ) −→ H 0 (GS , M )∗ → 0, 0 → X2S (k, M  ) −→ H 2 (GS , M  ) −→ v∈S

ce qui ne pose pas de problèmes puisqu’on dualise une suite de groupes discrets de torsion. Remarque 17.27. a) L’identification des flèches β i dans la suite de Poitou-Tate est immédiate (elles sont induites par les inclusions F ∗ → Fv∗ , tout comme la flèche ES → IS ). Le fait que ce soient bien les flèches γ i qui apparaissent dans la suite résulte de leurs définitions, de la compatibilité entre les accouplements donnés par les cup-produits et ceux donnés par les Ext (proposition 16.17), et de la remarque 17.19. Les flèches « sans nom » sont plus compliquées à décrire ; on peut les préciser à l’aide d’une description explicite de l’accouplement entre X1S (M ) et X2S (M  ), cf. [38], p. 65. b) La finitude de X2S (M ) permet de déduire immédiatement l’analogue de la proposition 17.10 en degré 2 puisque dans ce cas P2S (M ) est discret. Il semble difficile (impossible ?) de démontrer cette finitude sans passer par la dualité de Poitou-Tate ! c) Les théorèmes de Poitou-Tate admettent de nombreuses généralisations à des modules M plus généraux que les modules finis : modules de type fini et tores (exercice 17.8 et [41], Chap. VIII, § 6), variétés abéliennes ([38], Part. I, Chap. 6), ou même « 1-motifs » ([19], [16]). d) Au lieu d’obtenir le début de la suite de Poitou-Tate par dualité à partir des six derniers termes, il est également possible (comme dans [38], pages 61–62) de les calculer directement en appliquant HomGS (M  , .) à la suite exacte (17.3). Cette approche a l’avantage de donner toute la suite de Poitou-Tate à partir des Ext∗GS (M  , .) appliqués à (17.3), mais le calcul du troisième terme est alors nettement plus compliqué (cf. remarque 17.20).

17.6. Exercices Exercice 17.1. Soit k un corps de nombres. Soit S un sous-ensemble de Ωk , contenant Ω∞ . On suppose que S contient presque toutes les places de k. On rappelle la version faible du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet : pour tout entier b  1, il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo b.

17.6. EXERCICES

293

a) On suppose d’abord que k = Q. Montrer que l’ensemble P de nombres premiers associé à S (cf. remarque 17.1) contient tous les nombres premiers (considérer des extensions cyclotomiques Q(ζn ) avec n bien choisi). b) En utilisant a), généraliser à un corps de nombres quelconque. Exercice 17.2. Soit k un corps de nombres. Soit S un sous-ensemble de Ωk contenant les places archimédiennes. Soit  un nombre premier inversible dans Ok,S . On suppose que H 2 (GS , Q /Z ) = 0 (avec les notations du texte). Montrer que l’homomorphisme α0 du théorème 17.18 est surjectif (la question de savoir si H 2 (GS , Q /Z ) = 0 pour S quelconque, sous l’hypothèse habituelle que  = 2 si k a des places réelles, est ouverte). Exercice 17.3. Étendre la proposition 17.10 au cas où M est seulement supposé de type fini. Même question avec le lemme 17.9. Exercice 17.4. Avec les notations du texte, soient k un corps global et M un GS -module fini dont le cardinal est inversible dans Ok,S . Soit T un sousensemble fini de S tel qu’il existe au moins une place finie de S qui n’est pas dans T . On fixe une telle place w. a) Soit χ : H 0 (k, M  ) → Q/Z un caractère de H 0 (k, M  ). Montrer qu’il existe aw ∈ H 2 (kw , M ) tel que pour tout b de H 0 (k, M  ), on ait −invw (aw ∪ bw ) = χ(b), où bw est l’image de b dans H 0 (kw , M  ). b) En déduire que l’application diagonale  2 H 2 (GS , M ) −→ H (kv , M ) v∈T

est surjective. Exercice 17.5. Soit k un corps global de groupe de Galois absolu Gk . Soit M un Gk -module fini, dont le cardinal est premier à la caractéristique de k si k est un corps de fonctions. On note M  le dual de Cartier de M . Soit T un ensemble fini de places de k. On pose  1 X1 (T, M ) := Ker[H 1 (k, M ) −→ H (kv , M )]. v∈T

a) En utilisant la suite exacte de Poitou-Tate, montrer qu’il existe une suite exacte  1 θ X1 (T, M  ) −→ H (kv , M  ) −−→ H 1 (k, M )∗ . v∈T

Donner une description de la flèche θ. b) En déduire une suite exacte  1 H 1 (k, M ) −→ H (kv , M ) −→ X1 (T, M  )∗ −→ X2 (M ) −→ 0, v∈T

où X (M ) = Ker[H 2 (k, M ) → 2

v∈Ωk

H 2 (kv , M )].

294

CHAPITRE 17. DUALITÉ DE POITOU-TATE

Exercice 17.6. On considère le corps k = Q et l’ensemble de places S réduit à la place à l’infini. On pose M = Z et M  = Gm (qui joue le rôle du dual de M , cf. exercice 17.7 ci-après) ; si K est un corps de clôture séparable K et de groupe de Galois absolu ΓK = Gal(K/K), on a donc (cf. remarque 6.1) H i (K, Gm ) := H i (ΓK , K ∗ ). En utilisant le corollaire 12.29, montrer que l’analogue des propositions 17.25 et 17.26 est faux dans ce contexte (quand S contient presque toutes les places de k, on verra dans l’exercice 17.8 que la situation est meilleure). Exercice 17.7. Soit k un corps de nombres de groupe de Galois absolu Gk = Gal(k/k). Soit M un Gk -module de type fini. Pour tout entier r  3, on considère l’application diagonale  θr (M ) : H r (k, M ) −→ H r (kv , M ) v∈ΩR

induite par les restrictions H (k, M ) → H r (kv , M ). r

a) On suppose que le Gk -module M est sans torsion. Montrer que pour tout entier i  2, on a un isomorphisme H i−1 (k, M ⊗Z Q/Z)  H i (k, M ). Montrer que pour tout entier n  1, le Gk -module M ⊗Z Z/nZ est fini, puis que pour tout r  4, l’homomorphisme θr (M ) est un isomorphisme. b) On ne suppose plus que M est sans torsion. Montrer qu’il existe un entier s  0 et une suite exacte de Gk -modules 0 −→ N −→ P −→ M −→ 0 U (Z))s pour un certain sous-groupe avec P de la forme Z[Gk /U ]s  (IG k ouvert distingué U de Gk , et N de type fini et sans torsion.

c) Soit r  4. Montrer que l’homomorphisme θr (M ) est un isomorphisme. (On verra dans l’exercice 18.1 que le résultat de c) est encore valable pour r = 3). Exercice 17.8. Soit k un corps de nombres. On garde dans cet exercice les notations du texte : en particulier S est un ensemble de places contenant toutes les places archimédiennes et pour toute place finie v, on désigne respectivement par Gv et G(v) les groupes Gal(k v /kv ) et Gal(kvnr /kv ), ce dernier étant le groupe de Galois absolu du corps résiduel k(v) en v. On désigne par M un GS -module de type fini, tel que n := #Mtors soit inversible dans Ok,S . On note N le GS -module Hom(M, ES ), et pour v telle que M soit non ramifié en v (par exemple v ∈ S), on note N (v) le G(v)-module ∗ Hom(M, Ovnr ). Enfin, pour toute place v de k, on note Nv le Gv -module Hom(M, k ∗v ).

17.6. EXERCICES

295

A) a) Montrer qu’il existe une suite exacte de G(v)-modules : 0 −→ F −→ N (v) −→ N1 −→ 0, avec F cohomologiquement trivial et N1 fini de n-torsion (utiliser l’exercice 3.5 et sa généralisation aux groupes profinis). b) En déduire que H 2 (k(v), N (v)) = 0 et si M est sans torsion, on a de plus H 1 (k(v), N (v)) = 0. c) Pour r  1, on appelle PrS (k, N ) le produit restreint des H r (kv , Nv ) pour v ∈ S, relativement aux images des H r (k(v), N (v)) dans H r (kv , Nv ). Montrer que  2 P2S (k, N ) = H (kv , Nv ) v∈S

et que si M est sans torsion, on a de plus  1 P1S (k, N ) = H (kv , Nv ). v∈S

d) Montrer que pour tout r  0, l’analogue du lemme 17.21 vaut encore, c’est-à-dire : i) on a des isomorphismes : ExtrGS (M, ES )  H r (GS , N ) ; ii) pour toute place v de k, on a : ExtrGv (M, k ∗v )  H r (Gv , Nv ) ; iii) pour toute place v non dans S, on a : ∗

ExtrG(v) (M, Ovnr )  H r (k(v), N (v)), avec de plus H r (k(v), N (v)) = 0 si r  2. On pourra utiliser l’exercice 17.3. B) On suppose jusqu’à la fin de l’exercice que S contient presque toutes les places de k ; en particulier (exercice 17.1), l’ensemble P associé à GS comme dans la remarque 17.1 contient tous les nombres premiers. a) Montrer que si v ∈ S, on a lim Fv∗ = k ∗v , −→

F ⊂kS

la limite étant sur les extensions finies galoisiennes F de k incluses dans kS (si L est une extension finie de kv , on l’écrira L = kv [T ]/Q(T ), où Q est un polynôme séparable de kv [T ], et on appliquera le théorème d’approximation faible et le lemme de Krasner en s’inspirant de la preuve de la proposition 13.6).

296

CHAPITRE 17. DUALITÉ DE POITOU-TATE

b) En s’inspirant de la preuve de la proposition 17.25, montrer que, pour tout r  2, on a  r ExtrGS (M, IS )  PrS (k, N ) = H (kv , Nv ). v∈S

c) En s’inspirant de la preuve de la proposition 17.26, montrer qu’on a Ext1GS (M, IS )  P1S (k, N ). d) En déduire que l’on a encore une suite exacte de type Poitou-Tate H 1 (GS , N )

/ P1 (k, N )

/ H 1 (GS , M )∗

/ H 2 (GS , N )

/ P2 (k, N )

/ H 0 (GS , M )∗

S

S

/ 0.

(Pour la surjectivité de la dernière flèche, procéder par dualité en utilisant l’exercice 16.3, b).) d) Montrer que les groupes X2S (N ) et X1S (M ) (avec des notations similaires à celles du texte) sont finis et duaux (utiliser l’exercice 16.3, c). e) On suppose de plus que M est sans torsion. Pour tout groupe abélien B, on note B ∧ son complété profini. Montrer qu’on a une autre suite exacte de type Poitou-Tate 0 ∧ /

/ H 2 (GS , N )∗ / H 0 (GS , M )∧ 0 v∈S H (kv , M )

/ H 1 (GS , M ) /

v∈S

H 1 (kv , M )

/ H 1 (GS , N )∗ .

C) Comment les résultats précédents s’étendent-ils à un corps de fonctions ? Remarque. On peut voir ici N comme un schéma en groupes de type multiplicatif sur Spec(Ok,S ), et la paire (Nv , N (v)) comme un schéma en groupes de type multiplicatif sur Spec Ov quand M est non ramifié en v. Le cas où M est sans torsion correspond au cas où N est un tore. Dans ce langage, il est possible d’étendre (au prix de plus d’efforts, le bon cadre pour les démonstrations étant la cohomologie étale) les suites ci-dessus en des suites à 9 termes, et d’obtenir aussi la dualité entre X2S (M ) et X1S (N ) ; cf. par exemple [19]. La méthode de cet exercice ne s’applique pas directement pour ce prolongement, à cause du problème pour appliquer le théorème 17.18 avec r = 0. Une autre approche consiste à utiliser une version du théorème de dualité sur les formations de classes qui utilise la cohomologie modifiée de Tate des groupes profinis, ce qui nécessite de bien définir les cup-produits dans ce contexte ; voir [41], Th. 3.1.11, 8.4.4. et 8.6.7.

17.6. EXERCICES

297

Exercice 17.9. Soit k un corps de nombres. Soit K une extension finie (pas forcément galoisienne) de k. On pose Gk = Gal(k/k) et U = Gal(k/K). On définit un Gk -module de type fini M par la suite exacte : U (Z) −→ M −→ 0, 0 −→ Z −→ IG k U U où la flèche Z → IG (Z) envoie a ∈ Z sur la fonction f ∈ IG (Z) définie par k k f (x) = a pour tout x de Gk . a) Montrer que M est sans torsion. U (Z), k ∗ ). Comparer R et b) Soit T := Hom(M, k ∗ ) et R := Hom(IG k U ∗ IGk (k ). Montrer qu’on a une suite exacte de Gk -modules

N 0 −→ T −→ R −−−→ k ∗ −→ 0, où N est induite par la norme (K ⊗k k)∗ → k ∗ (cf. remarque 1.47). c) Montrer que H 1 (k, R) = 0, et en déduire que H 1 (k, T ) = k ∗ /NK/k K ∗ . Montrer que si v est une place de k et Kv désigne la kv -algèbre K ⊗k kv , alors H 1 (kv , Tv ) = kv∗ /NKv /kv Kv∗ , où NKv /kv : Kv∗ → kv∗ est la norme et Tv := Hom(M, k ∗v ). d) En utilisant les exercices 4.10 et 17.8, montrer que s’il existe une infinité de places v de k telles que le groupe kv∗ /NKv /kv Kv∗ soit non trivial, alors le groupe k ∗ /NK/k K ∗ est infini. On verra dans l’exercice 18.8 que cette condition est en fait toujours satisfaite si [K : k]  2, ce qui généralise l’exercice 15.1 au cas non galoisien.

CHAPITRE 18 QUELQUES APPLICATIONS

On garde les notations du chapitre précédent. En particulier, k désigne un corps global, S un ensemble non vide de places de k (contenant toutes les places archimédiennes si k est un corps de nombres) et GS = Gal(kS /k) est le groupe de Galois de l’extension maximale de k non ramifiée en dehors de S. On note également OS = Ok,S l’anneau des S-entiers, Ωk (ou simplement Ω) l’ensemble des places de k, et Ωf l’ensemble de ses places finies. 18.1. Nullité de certains Xi Le but de ce paragraphe est de présenter quelques résultats d’annulation des groupes Xi (GS , M ) quand M est un GS -module fini et l’ensemble S est « gros ». On va voir en particulier que si S contient presque toutes les places de k, alors X1S (M ) = 0 si l’action de GS sur M est triviale, et le même résultat vaut si l’action de GS sur le dual de Cartier M  est triviale pourvu que l’on évite un cas particulier. On commence par rappeler l’important théorème de théorie des nombres suivant. ˇ Théorème 18.1 (Cebotarev). Soit L une extension finie galoisienne de k, dont on note G le groupe de Galois. Soit C une classe de conjugaison de G. Pour toute place finie v de k qui est non ramifiée dans l’extension L/k, on note Frobv le Frobenius en v (c’est un élément de G bien défini à conjugaison près). Alors la densité de Dirichlet δL/k (C) des places v telles que Frobv ∈ C est δL/k (C) = #C/#G. Pour une preuve de ce résultat (qui est de nature analytique), voir par exemple [14], Th. 5.6. Rappelons que la densité de Dirichlet de S ⊂ Ωk est la limite (si elle existe)  −s p∈S∩Ωf (N p) δ(S) := lim  , −s s→1 p∈Ωf (N p) où la norme absolue N p est le cardinal du corps résiduel de p.

300

CHAPITRE 18. QUELQUES APPLICATIONS

Le théorème de Čebotarev implique en particulier que la « proportion » de places v totalement décomposées dans l’extension L/k est 1/[L : k]. On peut également se limiter aux places de degré absolu 1 de k (c’est-à-dire qui induisent une place de Q totalement décomposée dans l’extension k/Q), les autres places formant en effet un ensemble de densité nulle parmi les places de k. Proposition 18.2. Soit S un ensemble de places de k contenant toutes les places archimédiennes. Soit A un groupe abélien fini muni de l’action triviale de GS . Soit T ⊂ S un ensemble de places tel que δ(T ) > 1/p, où p est le plus petit diviseur premier de #A. Alors l’application naturelle (induite par les restrictions H 1 (GS , A) → H 1 (kv , A))

1 H 1 (GS , A) −→ H (kv , A) v∈T

est injective. En particulier, si δ(S) > 1/p, on a X1S (A) = 0. Démonstration. On se ramène immédiatement au cas A = Z/r Z avec r ∈ N∗ et  premier. Le noyau de l’application considérée correspond alors aux homomorphismes continus ϕ : GS −→ Z/r Z dont la restriction au sous-groupe de décomposition en v est triviale pour toute place v de T . Le noyau de ϕ est donc de la forme Gal(kS /L), où L est une extension finie de k qui est de degré s (avec s  r et   p) et totalement décomposée aux places de T . Soit X l’ensemble des places de k où L/k se décompose totalement, on a donc T ⊂ X. Le théorème de Čebotarev implique que δ(X) = 1/s , d’où 1 1 < δ(T )  δ(X) = s .   Ainsi s = 0, c’est-à-dire que ϕ est l’homomorphisme trivial. Remarque 18.3. Dans le cas où T contient presque toutes les places de k, le théorème de Čebotarev n’est pas nécessaire, il suffit d’appliquer à la place le corollaire 13.13, qui en est une version faible. De ce fait, les théorèmes 18.9 et 18.15 ci-après, ainsi que leurs corollaires, nécessitent seulement l’emploi du corollaire 13.13, et pas du théorème de Čebotarev général. Corollaire 18.4. Soit T un ensemble de places de k de densité > 1/2 (par exemple contenant presque toutes les places de k). Soit A un groupe abélien fini muni de l’action triviale de Gk = Gal(k/k). Alors l’application naturelle

1 H 1 (k, A) −→ H (kv , A) v∈T

est injective. C’est le cas particulier S = Ωk dans la proposition 18.2.

18.1. NULLITÉ DE CERTAINS X i

301

Corollaire 18.5. Soit S un ensemble de places de k contenant toutes les places archimédiennes. Soit A un GS -module fini, d’ordre inversible dans OS , et tel que l’action de GS sur le dual de Cartier A soit triviale. On suppose de plus que δ(S) > 1/p, où p est le plus petit diviseur premier de #A. Alors X2S (A) = 0. Démonstration. Cela résulte de la proposition précédente et de la dualité de Poitou-Tate (théorème 17.13, b) entre X2S (A) et X1S (A ). L’étude de X1S (A) quand l’action de GS sur A est triviale (par exemple A = μn ) est plus compliquée. On aura besoin du lemme suivant : Lemme 18.6. Soit p un nombre premier. Soit r un entier > 0 et soit G un sous-groupe de (Z/pr Z)∗ que l’on peut voir aussi comme un sous-groupe de Aut(Z/pr Z). Soit A le G-module isomorphe à Z/pr Z comme groupe abélien, avec l’action naturelle de G. Alors  i (G, A) = 0, ∀ i ∈ Z H  i (G, A) = Z/2 pour sauf dans le cas p = 2, r  2, et −1 ∈ G, auquel cas H tout i ∈ Z. Bien entendu, le fait qu’il y ait un cas exceptionnel pour p = 2 est lié à la non-cyclicité du groupe (Z/2r Z)∗ pour r  3. Démonstration. On notera vp la valuation p-adique sur Z. Supposons d’abord p = 2. Alors le groupe (Z/pr Z)∗ est cyclique d’ordre pr−1 (p − 1). Soit π : (Z/pr Z)∗ → (Z/pZ)∗ la surjection canonique, alors le p-Sylow π de G est le groupe G1 = Ker[G −→ (Z/pZ)∗ ]. Comme la restriction  i (G, A) → H  i (G1 , A) est injective par le lemme 3.2, on est ramené au cas H où G ⊂ G1 . Fixons alors α ∈ Z dont la classe α modulo pr Z engendre G et notons pr−s l’ordre de α (on a s  1). On peut écrire α = 1 + ps u avec vp (u) = 0. Alors AG est le noyau de α − 1 : A → A, ce qui donne AG = pr−s A. D’autre part, on a pr−s −1

r−s

αi =

i=0

−1 αp = pr−s v α−1

avec vp (v) = 0 : en effet, on a (18.1)

αp

r−s

= 1 + pr u + r−s

pr+s (pr−s − 1) 2 u + ··· , 2

− 1) = pr car p  3 et s  1. On en déduit ce qui montre que vp (αp r−s G  0 (G, A) = 0 ; comme A est fini, NG (A) = p A = A . Finalement H son quotient d’Herbrand est 1 (théorème 2.20, b) d’où H 1 (G, A) = 0 et on conclut avec la 2-périodicité de la cohomologie d’un groupe cyclique (théorème 2.16).

302

CHAPITRE 18. QUELQUES APPLICATIONS

Supposons maintenant p = 2 (et r  2). Alors le groupe (Z/2r Z)∗ est produit direct du sous-groupe {±1} par un sous-groupe cyclique C d’ordre 2r−2 . Trois cas se présentent alors. Si G ⊂ C, alors G est cyclique et engendré par la classe d’un α ∈ Z tel que v2 (α−1) = s  2. Ce cas se traite exactement r−s comme le cas p = 2 car alors, on a encore v2 (α2 − 1) = 2r à l’aide de la formule (18.1). Le deuxième cas est celui où G est cyclique et engendré par un élément qui n’est pas dans C, c’est-à-dire par la classe d’un α ∈ Z congru à 3 modulo 4 et tel que α = −1. Posons β = −α, alors β ∈ C et v2 (β − 1) = s avec 2  s  r − 1. Comme v2 (α − 1) = 1, on a AG = 2r−1 A. De plus, 2 l’ordre de G est 2 fois l’ordre de α2 = β , soit 2r−s . Alors 2r−s −1

r−s

αi =

i=0

+1 −β 2 β+1

est de valuation 2-adique r − 1 (toujours par la formule (18.1), appliquée à β). On en déduit que NG (A) = 2r−1 A et on conclut de la même façon que plus haut. Reste le cas où G est de la forme G = {±1}× < α > avec α congru à 1 modulo 4, qui est le seul cas où p = 2 et −1 ∈ G. Soit alors H le sous-groupe engendré par α, il est d’ordre 2r−s avec s  2, et s est le plus grand entier  r tel que 2s divise α − 1. Dans ce cas, on a 2r−s −1

i

α +

i=0

2r−s −1

−αi = 0,

i=0

 i (G, A) = ce qui donne NG A = 0. De plus, A = 2r−1 A et IG A = 2A, d’où H  i (H, A) = 0 pour Z/2 pour i = −1, 0. Comme d’après ce qui précède on a H tout i, le corollaire 1.45 donne pour tout i  1, que G

H i (G, A) = H i ({±1}, AH ) = H i ({±1}, 2r−s A)  0 ({±1}, 2r−s A) (puisque {±1} est cyclique), dont le cardinal est celui de H c’est-à-dire 2. Le même argument avec l’homologie donne que le cardinal de  i (G, A) est 2 pour i < −1. H On va appliquer le lemme précédent aux extensions cyclotomiques d’un corps F . Soit m  2 un entier. Soit F (μm ) le corps obtenu en adjoignant les racines m-ièmes de l’unité à F . Le choix d’une racine primitive m-ième de l’unité permet d’identifier le groupe des racines de l’unité μm au groupe additif Z/mZ. Le groupe Gm := Gal(F (μm )/F ) se plonge alors dans Aut(Z/mZ) et l’action de Gm sur μm correspond à son action par automorphismes de Z/mZ, comme dans le lemme 18.6.

18.1. NULLITÉ DE CERTAINS X i

303

Remarque 18.7. Soient F un corps et r  1. Si Car F = 0, on dit que le corps Q(μ2r ) ∩ F est réel s’il possède une place réelle, ce qui est équivalent à dire que toutes ses places archimédiennes sont réelles, puisque c’est une extension galoisienne (abélienne) de Q. Le groupe G2r = Gal(F (μ2r )/F ) est un sous-groupe de Gal(Q(μ2r )/Q) ; il se peut qu’il ne soit pas cyclique mais isomorphe au produit de Z/2Z par un groupe cyclique si r  3, tandis que Gpr est toujours cyclique pour p premier  3. Si F un corps de caractéristique positive  = p, l’extension F (μpr )/F est toujours cyclique car son groupe de Galois Gpr est isomorphe à celui de l’extension de corps finis F (μpr )/(F (μpr ) ∩ F ). Corollaire 18.8. Soient p un nombre premier et r ∈ N. Soit F un corps de caractéristique = p. On pose Gpr := Gal(F (μpr )/F ). Alors on a  i (Gpr , μpr ) = 0 H pour tout i ∈ Z, sauf dans les cas, dits exceptionnels, où p = 2, r  2, et : – soit (cas « Ex0 ») F est de caractéristique zéro et Q(μ2r ) ∩ F est réel ; – soit (cas « Ex ») F est de caractéristique   3, on a  ≡ −1 mod. 2r , et F (μ2r ) ∩ F = F . De plus, dans les cas exceptionnels, on a  i (Gpr , μpr ) = Z/2Z H pour tout i ∈ Z. Démonstration. Supposons d’abord F de caractéristique zéro et posons F0 = F ∩ Q(μpr ) ; le groupe Gpr est isomorphe à Gal(Q(μpr )/F0 ) et on peut le voir comme un sous-groupe de Aut(Z/pr Z)  (Z/pr Z)∗ . On applique alors le lemme 18.6. Le cas exceptionnel se produit pour p = 2 et r  2, quand l’élément −1 ∈ (Z/2r Z)∗ est dans G2r ; cette dernière condition se traduit par le fait que la conjugaison complexe (laquelle envoie toute racine de l’unité ζ sur ζ −1 ) sur Q(μpr ) induit l’identité sur F0 , ou encore par F0 réel. Supposons maintenant que F est de caractéristique   3. Posons alors Fq = F ∩ F (μpr ), le corps fini Fq ⊂ F (μpr ) est une extension de F . Le groupe Gpr est maintenant isomorphe à Gal(F (μpr )/Fq ), qui est un sous-groupe de (Z/pr Z)∗ . Le lemme 18.6 donne encore que le cas exceptionnel correspond à p = 2 et r  2, si de plus −1 ∈ G2r . Comme G2r est engendré par le Frobenius x → xq , la condition s’écrit : le sous-groupe multiplicatif engendré par q dans (Z/2r Z)∗ contient −1. Mais le seul sous-groupe cyclique de (Z/2r Z)∗  (Z/2Z)×(Z/2r−2 Z) qui contient −1 est {±1} (noter que {±1} correspond au sous-groupe (Z/2Z) × {0} ⊂ (Z/2Z) × (Z/2r−2 Z)). Dès lors, si on pose n = [Fq : F ], la condition s’écrit q = n ≡ −1 mod. 2r .

304

CHAPITRE 18. QUELQUES APPLICATIONS

Comme n (qui est une puissance de 2) est égal à 1 ou pair, la seule possibilité est n = 1 et  ≡ −1 mod. 2r , puisque r  2 et −1 n’est pas un carré modulo 4. Théorème 18.9. Soit k un corps global. Soit S un ensemble de places de k contenant toutes les places archimédiennes. Soient p1 , . . . , pn des nombres premiers deux à deux distincts dans OS∗ et m un entier de la forme m = pr11 · · · prnn . Soit T un sous-ensemble de S, on suppose que T contient presque toutes les places de k. On suppose enfin que si k est un corps de nombres, on n’est pas dans le cas exceptionnel suivant : (Ex0,T ) L’un des pi est 2 avec ri  3, le cas exceptionnel (Ex0 ) du corollaire 18.8 se produit pour l’extension k(μ2ri )/k, et aucune place de T n’est inerte dans k(μ2ri )/k. Alors l’homomorphisme

1 βS,T,m : H 1 (GS , μm ) −→ H (kv , μm ) v∈T

(induit par les restrictions H 1 (GS , μm ) → H 1 (kv , μm )) est injectif. En particulier, X1S (k, μm ) = 0. Remarque 18.10. On peut affaiblir l’hypothèse sur T (en la formulant en termes de densité de Dirichlet ; en particulier la preuve fonctionne si on suppose T de densité de Dirichlet 1, à condition de connaître le théorème de Čebotarev). On peut aussi décrire plus précisément le cas exceptionnel pour un corps de nombres, et en particulier montrer qu’on a bien alors dans ce cas X1S (k, μm ) = Z/2Z, cf. [41], Th. 9.1.9. Démonstration. Comme le GS -module μm est isomorphe au produit des μpri , on se ramène immédiatement au cas où m = pr avec p premier. Soit i alors K = k(μm ). Alors K est bien une sous-extension de kS car m est inversible dans OS . On pose G = Gal(K/k) et on note Gv le sous-groupe de décomposition de K/k en v, lequel est bien défini puisque G est abélien. Notons X1S (T, m) le noyau de βS,T,m et X1 (K, T, m) celui de l’homomor

phisme H 1 (G, μm ) → v∈T H 1 (Gv , μm ) induit par les restrictions. Soit TK l’ensemble des places de K au-dessus d’une place de T . On a (via la suite exacte de restriction-inflation) un diagramme commutatif à lignes et colonnes exactes, dont les flèches i1 , i2 et i3 sont injectives :

1 / X1 (K, T, m) / H 1 (G, μm ) / 0 v∈T H (Gv , μm ) i1 0

/



X1S (T, m)

i2 

/ H (GS , μm ) 1

 H 1 (GK,S , μm )

/

i3



i4 /

v∈T

w∈TK

 H 1 (kv , μm )  H 1 (Kw , μm )

18.1. NULLITÉ DE CERTAINS X i

305

où GK,S := Gal(kS /K) et la flèche verticale en bas à droite est induite par

les flèches H 1 (kv , μm ) → w|v H 1 (Kw , μm ) pour v ∈ T . Comme l’action de GK,S sur μm est triviale, la proposition 18.2 dit que la flèche i4 est injective. On en déduit par chasse au diagramme que X1S (T, m) = X1 (K, T, m). D’autre part, si on n’est pas dans l’un des cas exceptionnels du corollaire 18.8, alors H 1 (G, μm ) = 0 et on obtient tout de suite X1 (K, T, m) = 0, d’où X1S (T, m) = 0. Si on est dans l’un de ces cas exceptionnels, alors p = 2 et r  2 ; dans le cas d’un corps de nombres, l’hypothèse faite si r  3 assure alors qu’il existe une place v ∈ T qui est inerte pour l’extension k(μ2r )/k, et si r = 2 c’est encore vrai grâce au corollaire 13.13 car cette extension est alors quadratique ou triviale. Dans le cas d’un corps de fonctions, cette extension est toujours cyclique (cf. remarque 18.7), et l’hypothèse que T contient presque toutes les places de k implique alors encore (avec le corollaire 13.13) que l’une des places v de T est inerte pour k(μ2r )/k. On a alors X1 (K, T, m) = 0 puisque les groupes G et Gv sont alors égaux, ce qui conclut. Remarque 18.11. Le cas exceptionnel du théorème 18.9 peut effectivement se produire si m est divisible par 8, même si T = S est l’ensemble √ de toutes les places, √ voir exercice 18.6 d). Il n’existe par contre pas dès que −1 ∈ k, le corps k( −1) n’étant pas réel. Corollaire 18.12. Soit S un ensemble de places de k contenant toutes les places archimédiennes et tel que Ωk − S soit fini. Soit m ∈ OS∗ un entier. On suppose de plus que si k est un corps de nombres, on n’est pas dans le cas exceptionnel (Ex0,S ) du théorème 18.9. Alors X2S (k, Z/m) = 0. Démonstration. Cela résulte directement de la dualité de Poitou-Tate entre les groupes X2S (k, Z/m) et X1S (k, μm ), et du théorème 18.9 appliqué à T = S. Corollaire 18.13 (Grunwald-Wang). Soit m  1 un entier. Soit T un sousensemble de places de k avec Ωk − T fini. On suppose de plus que si k est un corps de nombres, on n’est pas dans le cas exceptionnel Ex0,T du théorème 18.9. Alors l’application

∗ ∗m m kv /kv k ∗ /k ∗ −→ v∈T ∗

(induite par les restrictions k →

kv∗ )

est injective. m

m

Démonstration. On a H 1 (k, μm ) = k ∗ /k ∗ et H 1 (kv , μm ) = kv∗ /kv∗ . On applique alors le théorème 18.9 avec S = Ωk . Remarque 18.14. Le même résultat vaut (avec la même preuve, à condition de connaître le théorème de Čebotarev) si T est seulement supposé de densité de Dirichlet 1. De même, dans le corollaire 18.12, il est suffisant de

306

CHAPITRE 18. QUELQUES APPLICATIONS

supposer S de densité de Dirichlet 1. Historiquement, le premier exemple du cas exceptionnel du corollaire 18.13 est dû à Wang (1948) : il se produit pour k = Q, T = ΩQ − {2}, m = 8 et est relié au fait que la restriction H 1 (Q, Z/8) → H 1 (Q2 , Z/8) n’est pas surjective ; voir l’exercice 15.4 et l’exercice 18.6, b) et c). 18.2. Dimension cohomologique stricte d’un corps de nombres Soit S un ensemble de places de k tel que S contienne toutes les places archimédiennes. Comme on l’a déjà observé (remarque 17.15), déterminer scdp (GS ) pour p premier inversible dans OS est un problème ouvert en général dans le cas d’un corps de nombres. On a cependant une réponse quand S contient presque toutes les places de k. Théorème 18.15. Soit k un corps global. Soit S un ensemble de places de k contenant toutes les places archimédiennes et tel que Ωk − S soit fini. Soit p un nombre premier inversible dans OS . On suppose de plus que k est totalement imaginaire si k est un corps de nombres et p = 2. Alors scdp (GS ) = 2. En particulier, on a scd(k) = 2 pour tout corps de nombres totalement imaginaire. Démonstration. D’après le corollaire 17.14, on a cdp (GS )  2. D’autre part, p (et même p∞ ) divise l’ordre de GS par la remarque 17.1, ce qui implique qu’il existe des extensions cycliques de degré p de k incluses dans kS , et donc en particulier que H 2 (GS , Z)[p] = H 1 (GS , Q/Z)[p] est non nul. On en déduit que scdp (GS )  2. Il suffit donc, d’après la proposition 5.14, de vérifier que H 2 (U, Qp /Zp ) = 0 pour tout sous-groupe ouvert U de GS . Comme toute extension finie k  de k incluse dans kS satisfait aux hypothèses du théorème (en remplaçant S par l’ensemble des places de k  divisant une place de√S), on est ramené à montrer que H 2 (GS , Qp /Zp ) = 0. Si p est impair ou −1 ∈ k, ou encore si k est un corps de fonctions, le corollaire 18.12 donne, en passant à la limite, que l’application

2 H 2 (GS , Qp /Zp ) −→ H (kv , Qp /Zp ) v∈S

est injective. On conclut avec le fait (théorème 10.6, remarque 10.7 et proposition 6.15) que le groupe de Galois absolu Γv de kv vérifie scdp (Γv ) = 2 pour v finie, joint à la remarque que pour v archimédienne, les hypothèses faites impliquent scdp (kv ) = 0. Supposons maintenant que k est un corps de nombres totalement imagi√ naire avec p = 2 et −1 ∈  k. D’après ce que l’on vient de voir, si on pose √ 2 K = k( −1), on a H (GK,S , Q2 /Z2 ) = 0, où GK,S = Gal(kS /K). Mais on sait que la corestriction H 2 (GK,S , Q2 /Z2 ) −→ H 2 (GS , Q2 /Z2 ) est surjective (lemme 5.9) puisque cd2 (GS ) = 2, d’où le résultat.

18.3. EXERCICES

307

Remarque 18.16. Là encore, supposer S de densité de Dirichlet 1 est suffisant. Corollaire 18.17. Soit k un corps global. On a H 3 (k, Z) = 0 et pour r  4, l’application naturelle  H r (kv , Z) H r (k, Z) −→ v∈ΩR

est un isomorphisme. En particulier, pour r  3, le groupe H r (k, Z) est nul si r est impair, et isomorphe à (Z/2)t si r est pair, où t est le nombre de places réelles de k. Démonstration. Supposons d’abord r  4 (cf. aussi exercice 17.7 pour ce cas, dans un contexte un peu plus général). Alors H r (k, Z)  H r−1 (k, Q/Z)  lim H r−1 (k, Z/n) −→ n

est aussi isomorphe à

 H r−1 (kv , Z/n). lim −→ n v∈ΩR

En effet, ceci résulte du théorème 17.13 appliqué aux Z/n (puisqu’on a   (r−1)  3). Or limn v∈ΩR H r−1 (kv , Z/n) est aussi v∈ΩR H r−1 (kv , Q/Z), −→ du fait que les limites inductives commutent avec les sommes directes. Le résultat en découle (pour la dernière assertion, on observe que pour v réelle,  0 (R, Z) le groupe H r (kv , Z) est isomorphe à H 1 (R, Z) si r est impair et à H si r est pair grâce au théorème 2.16). √ Il reste à montrer que H 3 (k, Z) = 0. Si −1 ∈ k, alors k est totalement imaginaire et le résultat √ découle du théorème 18.15. Sinon, soit Gk = Gal(k/k), posons L = k( −1) et U = Gal(k/L). Le corps L (et donc le groupe profini U ) est de dimension cohomologique stricte 2, ce qui implique, pour tout r  3, H r (Gk , Z[Gk /U ]) = H r (U, Z) = 0. Soit σ le générateur du groupe Gk /U (qui est d’ordre 2), on a une suite exacte de Gk -modules 1−σ σ → 1 1+σ 0 −→ Z −−−−−→ Z[Gk /U ] −−−−−→ Z[Gk /U ] −−−−−−→ Z −→ 0 qui fournit (en coupant cette suite exacte en deux suites exactes courtes) des isomorphismes H r (Gk , Z)  H r+2 (Gk , Z) pour tout entier r  3. En particulier, on a H 3 (Gk , Z) = H 5 (Gk , Z) = 0.

18.3. Exercices Exercice 18.1. Montrer que le résultat de l’exercice 17.7, c), est encore valable pour r = 3 (utiliser l’exercice 17.7, b).

308

CHAPITRE 18. QUELQUES APPLICATIONS

Exercice 18.2 (d’après Sansuc [44], § 1). Soit k un corps global de groupe de Galois absolu Gk . Soit A un Gk -module fini. On note X1ω (A) le sousgroupe de H 1 (k, A) constitué des a dont l’image av ∈ H 1 (kv , A) est nulle pour presque toute place v de k. a) Montrer que si l’action de Gk sur A est triviale, alors X1ω (A) = 0. b) On fixe une extension finie galoisienne K de k telle que l’action de GK = Gal(k/K) sur A soit triviale. Montrer que X1ω (A) est un sous-groupe de H 1 (G, A), où G := Gal(K/k), et en déduire que X1ω (A) est fini. c) Montrer que X1ω (A) est le sous-groupe de H 1 (G, A) constitué des b tels que la restriction de b à H 1 (H, A) soit nulle pour tout sous-groupe cyclique H de G. d) Montrer que X1ω (A) est aussi le sous-groupe de H 1 (k, A) constitué des a dont la restriction à H 1 (C, A) est nulle pour tout sous-groupe fermé procyclique (c’est-à-dire engendré topologiquement par un élément) C de Gk . En déduire que si b ∈ X1ω (A), alors pour tout complété réel kv de k, la restriction bv ∈ H 1 (kv , A) est nulle. e) Peut-on généraliser les résultats précédents au cas où A est seulement supposé de type fini ? f) On définit de manière analogue X2ω (A) comme le sous-groupe de H (k, A) constitué des éléments dont l’image dans H 2 (kv , A) est nulle pour presque toute place v de k. Montrer que pour A fini, on a X2ω (A) = H 2 (k, A) (ce groupe est infini si A = 0, voir exercice suivant), mais que si A est un Z-module libre de type fini, l’analogue des résultats de a, b), c), et d) vaut encore. 2

Exercice 18.3. Soit k un corps de nombres de groupe de Galois absolu Gk . Soit A un Gk -module fini non nul. a) Soit n un entier  2. Montrer que si v est une place finie de k, les groupes H 1 (kv , μn ), H 1 (kv , Z/n) et H 2 (kv , μn ) sont non nuls. Peut-on dire la même chose de H 2 (kv , Z/n) ? b) En utilisant le théorème de Čebotarev, montrer qu’il existe une infinité de places v de k tel que le groupe H 1 (kv , A) soit non nul. Même question avec H 2 (kv , A). c) Montrer que le groupe H 2 (k, A) est infini. Exercice 18.4 (suite de l’exercice précédent). Soient k un corps de nombres de groupe de Galois absolu Gk et A un Gk -module fini non nul. On mu

nit v∈Ωk H 1 (kv , A) de la topologie produit (chaque groupe fini H 1 (kv , A) étant muni de la topologie discrète) et on note H 1 (k, A) l’adhérence de

l’image de H 1 (k, A) dans v∈Ωk H 1 (kv , A).

18.3. EXERCICES

309

a) Avec les notations de l’exercice 18.2, montrer qu’on a une suite exacte

H 1 (kv , A) −→ X1ω (A)∗ −→ X2 (A) −→ 0, 0 −→ H 1 (k, A) −→ v∈Ωk

où

∗

désigne comme d’habitude le dual (utiliser l’exercice 17.5).

b) En utilisant l’exercice 18.3, montrer que H 1 (k, A) est infini. Exercice 18.5 (autour de Grunwald-Wang, cf. [41], Th. 9.2.3). Soit k un corps de nombres. Soient S un ensemble de places de k contenant toutes les places archimédiennes et T un sous-ensemble fini de S. Soit A un GS -module fini dont l’ordre est inversible dans Ok,S , on note A le dual de Cartier de A. a) On note N le noyau de l’application naturelle

H 1 (GS , A ) −→ H 1 (kv , A ) v∈S−T 1 : H 1 (GS , A) → et C le conoyau de la flèche βS,T qu’on a une suite exacte

 v∈T

H 1 (kv , A). Montrer

0 −→ X1S (k, A ) −→ N −→ C ∗ −→ 0. (voir aussi l’exercice 17.5). b) On suppose que l’action de GS sur A est triviale et que la densité δ(S) 1 est > 1/p, où p est le plus petit diviseur premier de #A. Montrer que βS,T est surjective. c) On suppose que A = Z/mZ (avec action triviale de GS ) avec m inversible dans Ok,S . On fait l’hypothèse supplémentaire que S√contient presque toutes les places de k. Montrer que si m est impair ou si −1 ∈ k, 1 alors βS,T est surjective. Exercice 18.6. √ a) Montrer que −1 n’est pas un carré dans Q2 , mais que Q2 ( 7) est une extension de corps de Q2 dans laquelle −1 devient un carré (on observera que −1 = 7(1 − 8/7)). b) Soit a la classe de 16 dans Q∗ /Q∗8  H 1 (Q, μ8 ). Montrer que la restriction ap de a à H 1 (Qp , μ8 ) est nulle pour p premier impair et p = ∞, mais √ qu’elle est non nulle pour p = 2 (on observera que 16 = 24 = (−2)4 = (1 + −1)8 ). c) En utilisant l’exercice 17.5, retrouver le résultat de l’exercice 15.4, à savoir que la restriction H 1 (Q, Z/8) → H 1 (Q2 , Z/8) n’est pas surjective. √ d) Soit k = Q( 7). Montrer que la classe de 16 dans k ∗ /k ∗8 est dans le noyau de l’homomorphisme naturel

∗ ∗8 k ∗ /k ∗8 −→ kv /kv . v∈Ωk

310

CHAPITRE 18. QUELQUES APPLICATIONS

Exercice 18.7. Cet exercice donne quelques applications du théorème de Čebotarev. a) Soit a et m deux entiers strictement positifs premiers entre eux. En considérant l’extension cyclotomique Q(ζ)/Q, où ζ est une racine primitive m-ième de l’unité, retrouver le théorème de Dirichlet qui dit qu’il existe une densité > 0 de nombre premiers congrus à a modulo m. b) Soit G un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G avec H = G. Montrer que  gHg −1 = G g∈G −1

(on observera que gHg ne dépend que de la classe à gauche de g selon H). c) Soit k un corps de nombres. Soit K une extension finie (pas forcément galoisienne) de k avec [K : k]  2. Montrer qu’il existe une densité > 0 de places v telles qu’aucune place w de K au-dessus de v ne satisfait à Kw = kv (utiliser l’exercice 12.2). d) Soient L/k une extension finie (pas nécessairement galoisienne) de corps de nombres et L une extension galoisienne cyclique de L. Montrer qu’il existe une densité > 0 de places v de k telles qu’il existe une place wL de L au-dessus de v satisfaisant à : wL est décomposée dans L/k, et inerte pour l’extension L /L. Exercice 18.8. Soit G un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G avec H = G. On admet le résultat de théorie des groupes(1) suivant ([13]), qui utilise la classification des groupes finis simples, et étend l’exercice 18.7 b) : il existe un élément de G dont l’ordre est une puissance d’un nombre premier  et qui n’est pas dans g∈G gHg −1 . Soient k un corps de nombres et K une extension finie non triviale de k. a) Montrer qu’il existe un nombre premier p tel que pour une infinité de places v de k, tous les degrés [Kw : kv ] (pour w place de K au-dessus de v) soient divisibles par p (utiliser l’exercice 12.2, d). b) En utilisant l’exercice 17.9, montrer que k ∗ /NK/k K ∗ est infini. c) Montrer que le noyau de la restriction Br k → Br K est infini.

(1) Merci

à J.-L. Colliot Thélène et O. Wittenberg, qui m’ont signalé cette référence.

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

Dans cet appendice, nous allons rappeler (sans démonstration, sauf quand nous n’avons pas trouvé de référence complète) quelques résultats de base que nous avons utilisés dans le livre. Pour plus de détails, on pourra consulter [34] pour les généralités sur les catégories et [53] pour ce qui concerne plus précisément l’algèbre homologique.

A.1. Généralités sur les catégories Définition A.1. Une catégorie C est la donnée : – d’une classe Ob(C) d’objets ; – pour tout couple (A, B) d’objets de C d’un ensemble HomC (A, B) (ou plus simplement Hom(A, B) si C est sous-entendue) de morphismes de A vers B ; un élément f de Hom(A, B) sera noté f : A → B ; – pour tout objet A ∈ Ob(C), d’un morphisme identité IdA : A → A ; – pour tout triplet (A, B, C) d’objets, d’une fonction de composition Hom(A, B) × Hom(B, C) −→ Hom(A, C) notée (f, g) → g ◦ f (on abrègera souvent g ◦ f en gf ), satisfaisant aux deux axiomes : • (hg)f = h(gf ) pour tous morphismes f : A → B, g : B → C, h : C → D; • f = IdB ◦f = f ◦ IdA pour tout morphisme f : A → B. Exemple A.2. a) Les ensembles forment une catégorie (que l’on notera Ens), en prenant comme morphismes les applications au sens usuel. b) Les groupes forment une catégorie (notée Gr), les morphismes étant les morphismes de groupes. De même, pour les groupes abéliens, ou encore

314

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

pour les anneaux (les morphismes étant alors les morphismes d’anneaux), dont on note respectivement Ab et Ann la catégorie. c) Si R est un anneau, les R-modules à gauche forment une catégorie notée Mod R , les morphismes étant les morphismes de R-modules. On a bien entendu un résultat analogue pour les R-modules à droite. d) Les espaces topologiques forment une catégorie Top, les morphismes étant les applications continues. Notons qu’en général Ob(C) n’est pas un ensemble (sinon on arrive rapidement à des paradoxes du genre « ensemble de tous les ensembles ») ; une catégorie dont les objets forment un ensemble est dite petite. Définition A.3. Un isomorphisme dans C est un morphisme f : A → B tel qu’il existe un morphisme g : B → A (nécessairement alors unique, on le notera g = f −1 ) satisfaisant à f g = IdB et gf = IdA . Un monomorphisme dans C est un morphisme f : B → C tel que pour toute paire e1 , e2 de morphismes A → B, l’égalité f e1 = f e2 implique e1 = e2 . Un épimorphisme dans C est un morphisme f : B → C tel que pour toute paire e1 , e2 de morphismes A → B, l’égalité e1 f = e2 f implique e1 = e2 . Par exemple, dans la catégorie Ab (resp. dans Mod R , dans Top), les monomorphismes sont les morphismes injectifs. Les épimorphismes dans Ab ou Mod R sont les morphismes surjectifs, mais ce n’est plus vrai par exemple dans la catégorie des anneaux (prendre l’inclusion Z → Q) ou des espaces topologiques séparés (prendre l’inclusion Q → R). Définition A.4. Soit B un objet d’une catégorie C. Un sous-objet A de B est un objet équipé d’un monomorphisme i : A → B (on convient d’identifier deux sous-objets i : A → B et i : A → B si i se factorise par i et i se factorise par i ). On a de même la notion d’objet quotient en remplaçant monomorphisme par épimorphisme et en renversant le sens des flèches. Définition A.5. Un objet A d’une catégorie C est noethérien si toute suite croissante (pour la relation d’ordre « être un sous-objet ») de sous-objets de A est stationnaire. Une catégorie C est noethérienne si elle est équivalente à une petite catégorie et tous ses objets sont noethériens. Par exemple, la catégorie des modules de type fini sur un anneau commutatif noethérien est une catégorie noethérienne. On a de même la définition d’une catégorie artinienne en travaillant avec les objets quotients et en renversant les flèches.

A.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES CATÉGORIES

315

Définition A.6. On dit qu’un objet A de C est initial (resp. final ) si pour tout objet B de C, il existe un et un seul morphisme A → B (resp. un et un seul morphisme B → A). Un objet qui est à la fois initial et final est appelé objet-zéro (ou simplement zéro, ou objet nul ), que l’on notera en général 0. Noter que deux objets initiaux (resp. finaux) sont isomorphes dans C et l’isomorphisme entre eux est unique. On pourra donc parler de « l’objet initial » (resp. final) de C quand il existe. Exemple A.7. a) Dans Ens, le seul objet initial est ∅, les objets finaux sont les singletons (il n’y a donc pas de zéro). b) Dans Ab ou Mod R , le groupe trivial (resp. le R-module trivial) 0 est un objet-zéro. Définition A.8. Soit C une catégorie possédant un zéro 0. Si A et B sont deux objets de C, notons encore 0 le morphisme A → B composé de A → 0 et 0 → B. a) Un noyau d’un morphisme f : B → C est un morphisme i : A → B satisfaisant à f i = 0, et universel pour cette propriété (au sens : pour tout morphisme i : A → B avec f i = 0, il existe un unique morphisme g : A → A tel que i = ig). b) Un conoyau d’un morphisme f : B → C est un morphisme p : C → D tel que pf = 0, et universel pour cette propriété (au sens : pour tout morphisme p : C → D avec p f = 0, il existe un unique morphisme g : D → D tel que p = gp). Noter que tout noyau est un monomorphisme, et deux noyaux d’un même morphisme sont isomorphes (en un sens évident). De même, un conoyau est un épimorphisme et deux conoyaux d’un même morphisme sont isomorphes. Bien entendu, les notions de noyau et conoyau dans les catégories Ab ou encore Mod R coïncident avec les notions usuelles. On peut également définir la notion de co-image de f comme un épimorphisme p : B → D tel qu’il existe f : D → C vérifiant f = f ◦ p, avec p universel pour cette propriété. Définition A.9. Soit C une catégorie. La catégorie opposée C op de C est la catégorie dont les objets sont les mêmes que ceux de C, mais les morphismes et leur composition sont renversés. Pour tout morphisme f : A → B dans C, on a donc un morphisme f op : B → A dans C op . Le morphisme f est un monomorphisme si et seulement si f op est un épimorphisme (et vice-versa) ; de même, passer au morphisme opposé transforme les noyaux en conoyaux (et vice-versa), et le passage dans la catégorie opposée échange la notion d’objet initial et final.

316

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

Définition A.10. Une sous-catégorie d’une catégorie C est une catégorie C  dont les objets sont certains objets de C, et telle que pour tous objets A, B de C  , l’ensemble HomC  (A, B) est un sous-ensemble de HomC (A, B). On dit que cette sous-catégorie est pleine si on a HomC  (A, B) = HomC (A, B) pour tous objets A, B de C  . Par exemple, les groupes abéliens forment une sous-catégorie pleine de la catégorie des groupes. Définition A.11. Soit C une catégorie. Soit (Ai )i∈I une famille d’objets

de C. Un produit A = i∈I Ai est un objet de C, équipé de morphismes pi : A → Ai , tel que pour tout objet B de C et toute famille de morphismes fi : B → Ai , il existe un unique morphisme f : B → A tel que pi ◦ f = fi pour tout i ∈ I.

Par définition, si un produit i∈I Ai existe, il est unique à isomorphisme unique près. Les produits existent par exemple dans la catégorie des ensembles, groupes, des groupes abéliens, des R-modules (si R est un anneau), mais pas dans la catégorie des corps. Le produit de deux objets A × B existe dans la catégorie des Z-modules de type fini, mais pas le produit d’une famille infinie. Définition A.12. Soit C une catégorie. Soit (Ai )i∈I une famille d’objets  de C. Un coproduit A = i∈I Ai est un objet de C, équipé de morphismes ui : Ai → A, tel que pour tout objet B de C et toute famille de morphismes gi : Ai → B, il existe un unique morphisme g : A → B tel que g ◦ ui = gi pour tout i ∈ I. Un coproduit dans C est donc un produit dans C op (et vice-versa). Le coproduit dans la catégorie des ensembles est l’union disjointe, dans Mod R c’est la somme directe. A.2. Foncteurs Définition A.13. Un foncteur (on dit parfois « foncteur covariant ») F d’une catégorie C dans une catégorie D est la donnée pour tout objet A de C d’un objet F (A) (que l’on pourra aussi noter F A) de D, et pour tout morphisme f : A → B dans C d’un morphisme F (f ) : F (A) → F (B), satisfaisant à : F (IdA ) = IdF (A) pour tout objet A de C. F (gf ) = F (g)F (f ) pour tous morphismes f, g dans C. Un foncteur contravariant de C dans D est un foncteur de C op dans D. On définit de manière évidente la composée GF de deux foncteurs F : C → D et G : D → E, et le foncteur identité Id : C → C. Il arrivera fréquemment que pour définir un foncteur, on définisse seulement F (A)

A.2. FONCTEURS

317

pour les objets A de C, la règle de définition des morphismes F (f ) pour f morphisme dans C étant évidente. Exemple A.14. a) On définit un foncteur de Gr dans Ab en associant à tout groupe G son abélianisé Gab (c’est-à-dire le quotient de G par son sous-groupe dérivé). b) En associant à tout groupe abélien G le groupe produit G × G, on obtient un foncteur de Ab dans elle-même. c) On peut construire des foncteurs dits d’oublis en ne retenant que certaines structures sur les objets d’une catégorie. Par exemple, on obtient un tel foncteur de Ab dans Gr (resp. de Gr dans Ens) en considérant le groupe sous-jacent à un groupe abélien (resp. l’ensemble sous-jacent à un groupe). d) Soit k un corps. On obtient un foncteur contravariant de la catégorie des k-espaces vectoriels dans elle-même en associant à tout k-espace vectoriel E son dual E ∗ . Définition A.15. Soient C et D deux catégories. Soient F et G deux foncteurs de C vers D. Une transformation naturelle (ou morphisme de foncteurs) η de F dans G est la donnée pour tout objet A de C d’un morphisme ηA : F (A) → G(A) dans D, de telle sorte que pour tout morphisme F : A → A dans C, le diagramme suivant soit commutatif : F (A)

F (f )

/ F (A )

ηA

η A   G(f ) / G(A ) G(A)

Si de plus tous les ηA sont des isomorphismes, on dit que η est un isomorphisme naturel. Une équivalence de catégories est un foncteur F : C → D tel qu’il existe un foncteur G : D → C et des isomorphismes naturels IdC  GF et IdD  F G. Exemple A.16. a) Soit T le foncteur de Ab dans elle-même qui associe à tout groupe abélien A son sous-groupe de torsion T (A). Alors l’inclusion T (A) → A induit une transformation naturelle de T dans IdAb . b) Soit k un corps. Soit C la catégorie des k-espaces vectoriels de dimension finie. Le foncteur contravariant E → E ∗ est une équivalence de catégories de C dans sa catégorie opposée (on parle parfois d’antiéquivalence de catégories de C dans C). c) Le foncteur d’oubli qui à un Z-module associe le groupe abélien sousjacent est une équivalence de catégories entre Mod Z et Ab.

318

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

Définition A.17. Un foncteur F : C → D est fidèle si pour tous morphismes f1 , f2 dans C avec f1 = f2 , les morphismes F (f1 ) et F (f2 ) sont distincts. Le foncteur F est dit plein si tout morphisme g : F (A) → F (B) dans D est de la forme F (f ) avec f : A → B morphisme dans C. Un foncteur à la fois plein et fidèle sera dit pleinement fidèle. On dit que le foncteur F est essentiellement surjectif si tout objet de D est isomorphe à F (A) pour un certain objet A de C. Le théorème suivant ([34], § IV.4, Th. 1) donne un critère utile pour avoir une équivalence de catégories. Théorème A.18. Soit F : C → D un foncteur. Alors F est une équivalence de catégories si et seulement s’il est pleinement fidèle et essentiellement surjectif. Enfin, la notion suivante joue souvent un rôle important, notamment dans les catégories abéliennes (qui font l’objet du paragraphe suivant). Définition A.19. Soient C et D deux catégories. Deux foncteurs L : C → D et R : D → C sont dits adjoints si pour tous objets A de C et B de D, on a une bijection τ = τAB : HomD (L(A), B)  HomC (A, R(B)) qui est naturelle en A et B, au sens où on demande que pour tous morphismes f : A → A dans C et g : B → B  dans D, le diagramme suivant commute : HomD (L(A ), B) τ  HomC (A , R(B))

Lf ∗ / HomD (L(A), B) f

∗

τ  / HomC (A, R(B))

g∗

Rg∗

/ HomD (L(A), B  ) τ  / HomC (A, R(B  )).

On dit aussi dans ce cas que L est adjoint à gauche de R, ou encore que R est adjoint à droite de L. Par exemple, si R est un anneau et B est un R-module à gauche, on peut voir pour tout groupe abélien C le groupe HomZ (B, C) comme un R-module à droite via l’action de R à gauche sur le premier facteur. Le foncteur HomZ (B, .) (des groupes abéliens vers les R-modules à droite) a alors pour adjoint à gauche A → A ⊗R B (cf. [4], § 4.1). A.3. Catégories abéliennes Définition A.20. Une catégorie additive C est une catégorie dont les ensembles HomC (A, B) (pour A, B objets de C) sont munis d’une structure de groupe abélien, satisfaisant aux propriétés suivantes :

A.3. CATÉGORIES ABÉLIENNES

319

i) La composition des morphismes est distributive par rapport à l’addition : si A, B, C, D sont des objets de C et f : A → B, g : B → C, g  : B → C, h : C → D sont des morphismes, on a h(g + g  )f = hgf + hg  f ∈ Hom(A, D). ii) C possède un objet-zéro 0. iii) Si A et B sont des objets de C, le produit A × B existe. En particulier, dans une catégorie additive, Hom(A, A) est équipé d’une structure d’anneau pour tout objet A (l’unité étant le morphisme identité). De plus, il est facile de voir que le produit A × B est aussi coproduit de A et B ; il sera souvent noté A ⊕ B (dans Mod R , il correspond à la somme directe usuelle). Définition A.21. Une catégorie abélienne (notée C) est une catégorie additive satisfaisant de plus à : i) Tout morphisme dans C a un noyau et un conoyau. ii) Tout monomorphisme est le noyau de son conoyau. iii) Tout épimorphisme est le conoyau de son noyau. On voit facilement que dans une catégorie abélienne, tout morphisme f : A → B se factorise de manière unique sous la forme f = i ◦ p, où p : A → B  est un épimorphisme et i : B  → B est un monomorphisme, avec i défini comme le noyau du conoyau de f . Le sous-objet B  := Im f de B s’appelle l’image de f . En particulier, la notion de suite exacte (finie ou infinie) · · · −→ An−1 −→ An −→ An+1 −→ · · · est définie par la propriété habituelle que l’image d’une flèche doit être le noyau de la suivante. Les morphismes injectifs (= de noyau nul) coïncident avec les monomorphismes et les morphismes surjectifs (= de conoyau nul) avec les épimorphismes. On peut aussi synthétiser les axiomes a) et b) par la propriété que le morphisme qu’induit f entre sa co-image et son image est un isomorphisme. Exemple A.22. a) La catégorie des groupes abéliens Ab est abélienne. b) Si R est un anneau, la catégorie Mod R est abélienne. c) La catégorie opposée d’une catégorie abélienne est abélienne. d) Soit R un anneau commutatif. Les R-modules de type fini forment une sous-catégorie additive de Mod R . Cette sous-catégorie est abélienne si et seulement si R est noethérien.

320

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

e) Une sous-catégorie pleine d’une catégorie abélienne qui contient 0 et est stable par somme directe est additive. Si de plus elle est stable par noyau et conoyau, c’est une catégorie abélienne. Un foncteur additif F entre deux catégories abéliennes C et D est un foncteur tel que si A et B sont des objets de C, l’application induite entre les groupes abéliens HomC (A, B) et HomD (F (A), F (B)) est un morphisme de groupes abéliens. Quand on parlera de foncteur entre deux catégories abéliennes, il sera sous-entendu (sauf mention expresse du contraire) que ce foncteur est additif. Définition A.23. Soit F : C → D un foncteur défini entre deux catégories abéliennes. On dit que F est exact à gauche (resp. exact à droite) si pour toute suite exacte 0 −→ A1 −→ A2 −→ A3 −→ 0, la suite 0 −→ F (A1 ) −→ F (A2 ) −→ F (A3 ) (resp. la suite F (A1 ) → F (A2 ) → F (A3 ) → 0) est exacte. On dit que F est exact s’il est exact à la fois à gauche et à droite. On définit de même la notion de foncteur contravariant F exact à gauche (resp. exact à droite, resp. exact) par le fait que le foncteur covariant correspondant F  : C op → D ait cette même propriété. On voit facilement que l’exactitude à gauche d’un foncteur F équivaut à ce que pour toute suite exacte 0 −→ A1 −→ A2 −→ A3 , la suite 0 −→ F (A1 ) −→ F (A2 ) −→ F (A3 ) soit exacte. Un énoncé similaire vaut pour l’exactitude à droite. Exemple A.24. a) Si C est une catégorie abélienne et A est un objet de C, le foncteur covariant HomC (A, .) de C dans Ab est exact à gauche, tout comme le foncteur contravariant HomC (., A). Si D est un groupe abélien divisible, le foncteur Hom(., D) de Ab dans elle-même est exact (conséquence du théorème de Zorn, voir aussi [53], Cor. 2.3.2). b) Soit R un anneau commutatif. Soit A un R-module. Le foncteur . ⊗ A de Mod R dans elle-même est exact à droite. On dit que A est plat si ce foncteur est exact, c’est par exemple le cas si R est un anneau principal et A est sans torsion. c) Si G est un groupe fini, le foncteur A → AG (de la catégorie des G-modules dans la catégorie des groupes abéliens) est exact à gauche.

A.3. CATÉGORIES ABÉLIENNES

321

Définition A.25. Soit C une catégorie abélienne. Un foncteur F : C → Ab est dit représentable par un objet A de C s’il existe un isomorphisme naturel de F sur le foncteur HomC (A, .). Un foncteur contravariant de C dans Ab est dit représentable par un objet I de C s’il est naturellement isomorphe à HomC (., I). Le théorème (essentiellement « formel ») suivant (cf. [17], § 3 : ici on considère le cas d’une catégorie noethérienne, qui est la catégorie opposée d’une catégorie artinienne) a été utilisé dans le livre pour montrer l’existence du module dualisant (paragraphe 10.1). Théorème A.26. Soit C une catégorie abélienne noethérienne. Soit F un foncteur contravariant exact à gauche de C dans Ab. Alors le foncteur F est Ind-représentable au sens suivant : il existe un système inductif filtrant (Ii ) d’objets de C tel que le foncteur F soit naturellement isomorphe au foncteur A −→ lim Hom(A, Ii ). −→ i

Démonstration. Considérons les couples (A, x) avec A ∈ C et x ∈ F (A). On dira qu’un tel couple est minimal si pour tout épimorphisme A → B dans C qui n’est pas un isomorphisme, on a x ∈ F (B) (rappelons que comme F est contravariant et exact à gauche, on peut voir F (B) comme un sous-groupe de F (A)). Si maintenant (A, x) et (A , x ) sont des couples comme ci-dessus (pas forcément minimaux), on dira que (A , x ) domine (A, x) s’il existe un morphisme u : A → A tel que x = F (u)(x ). Observons que comme la catégorie C est noethérienne, tout couple (A, x) est dominé par un couple minimal : en effet, pour obtenir un tel couple, il suffit de considérer un sous-objet A0 de A, tel que A/A0 contienne un élément y satisfaisant à F (p)(y) = x (où p : A → A/A0 est la projection), avec A0 maximal pour cette propriété. Montrons maintenant un lemme : Lemme A.27. Un morphisme u : A → A comme ci-dessus est unique si l’on suppose de plus que (A , x ) est minimal. Si v : A → A satisfait à x = F (v)(x ), alors (F (u−v))(x ) = 0. Comme F est exact à gauche, l’épimorphisme (u − v) : A → Im(u − v) induit une injection F (u − v) : F (Im(u − v)) → F (A), ce qui montre que x est dans le noyau de F (i) : F (A ) → F (Im(u − v)), où i : Im(u − v) → A est l’injection canonique. Posons B = Coker(u − v). La suite exacte i 0 −→ Im(u − v) −−→ A −→ B −→ 0 donne, en appliquant F , que F (B) est le noyau de F (i), et donc finalement que x ∈ F (B). La minimalité de (A , x ) impose alors B = A , c’est-à-dire u = v. Ceci achève la preuve du lemme.

322

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

On a ainsi une relation d’ordre sur l’ensemble des couples minimaux en posant (A, x)  (A , x ) si (A , x ) domine (A, x). Cette relation d’ordre est filtrante car si (A1 , x1 ) et (A2 , x2 ) sont deux couples minimaux, alors ils sont dominés par (A1 ⊕ A2 , (x1 , x2 )), lequel est lui-même dominé par un couple minimal comme on l’a vu plus haut. Soit alors (Ii , xi )i∈I le système inductif filtrant associé. Notons F (I) := limi F (Ii ) ; les xi définissent alors ←− un élément canonique x = (xi ) de F (I). Si A est un objet de C et f = (fi ) est dans Hom(A, I) := limi Hom(A, Ii ), on associe à f l’élément F (f )(x) de −→ F (A). On définit ainsi un homomorphisme Φ de Hom(A, I) dans F (A), qui est clairement fonctoriel en A. Il reste à prouver que Φ est un isomorphisme. Il est injectif car si fi : A → Ii est un morphisme avec F (fi )(xi ) = 0, le fait que le couple (Ii , xi ) soit minimal implique fi = 0 grâce au lemme A.27 (en effet, le morphisme nul de A dans Ii induit le morphisme nul de F (Ii ) dans F (A)). Pour voir que Φ est surjectif, on se donne x ∈ F (A). On sait que le couple (A, x) est dominé par un certain couple minimal (Ii , xi ). Alors, la relation (A, x)  (Ii , xi ) fournit un morphisme fi : A → Ii tel que F (fi )(xi ) = x, c’est-à-dire que x = Φ(f ), où f ∈ Hom(A, I) est induit par fi .

A.4. Catégories de modules Les catégories abéliennes que l’on rencontre le plus fréquemment sont des sous-catégories de Mod R , où R est un anneau. Le théorème suivant (voir [53], Th. 1.6.1) permet en pratique, même si on est dans une catégorie abélienne qui n’est pas petite, de toujours se ramener à raisonner dans une sous-catégorie d’une catégorie de modules. Par exemple, on peut démontrer des propriétés par « chasse au diagramme » en considérant la catégorie abélienne engendrée (en un sens évident) par les objets et les morphismes du dit diagramme. Théorème A.28 (Freyd-Mitchell). Soit C une petite catégorie abélienne. Alors, il existe un anneau R et un foncteur exact, pleinement fidèle, de C dans Mod R , qui identifie C à une sous-catégorie pleine de Mod R . Ceci permet en particulier d’étendre à toute catégorie abélienne le lemme suivant, que l’on peut démontrer facilement par chasse au diagramme dans une catégorie de modules :

A.4. CATÉGORIES DE MODULES

323

Lemme A.29 (Lemme du serpent). Soit C une catégorie abélienne. On considère un diagramme commutatif à lignes exactes dans C : / B

A

g

f

 /A

0

p /  C

i

/0

h

 / C.

 /B

Alors on a une suite exacte ∂ Ker f −→ Ker g −→ Ker h −−→ Coker f −→ Coker g −→ Coker h, où ∂ est défini par la formule : ∂(c ) = i−1 gp−1 (c ) pour tout c ∈ C  (en notant abusivement p−1 (c ) un relevé quelconque de c dans B  par p, et i−1 le morphisme réciproque de i : A → Im i ⊂ B). De plus, si A → B  est un monomorphisme, il en va de même de Ker f → Ker g. Si B → C est un épimorphisme, il en va de même de Coker f → Coker g. Soit R un anneau. Dans la catégorie Mod R , la limite inductive (ou colimite) limi∈I Ai d’un système inductif (Ai )i∈I indexé par un ensemble or−→ donné filtrant I est bien définie dans Mod R , la limite inductive des ensembles Ai étant naturellement munie d’une structure de R-module grâce à l’hypothèse que I est filtrant. On a de plus ([53], Th. 2.6.15 pour a), et propriété universelle du produit tensoriel pour b) : Proposition A.30. a) Le foncteur limi∈I (défini des systèmes inductifs de R-modules indexés −→ par I vers Mod R ) est exact. b) Si R est un anneau commutatif, (Ai )i∈I un système inductif de Rmodules, et B un R-module, on a : (lim Ai ) ⊗R B = lim(Ai ⊗ B). −→ −→ i∈I

i∈I

Le b) s’applique notamment à la somme directe d’une famille (Ai )i∈I de R-modules, qui est un cas particulier de limite inductive. La situation est plus compliquée pour les limites projectives. Soit (An )n∈N un système projectif de R-modules indexés par les entiers, c’est-à-dire une famille · · · −→ An+1 −→ An −→ · · · −→ A1 −→ A0 de R-modules équipés de morphismes dn : An+1 → An pour tout n ∈ N. La limite projective (ou simplement limite) limn An est bien définie dans Mod R , ←−

324

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

mais c’est en général seulement un foncteur exact à gauche (de la catégorie abélienne Mod N R des systèmes projectifs de R-modules dans Mod R ). Définition A.31. On dit qu’un système projectif (An , dn ) comme ci-dessus satisfait à la condition de Mittag-Leffler (en abrégé ML) si pour tout n ∈ N, l’image des applications de transition An+m → An est la même pour tout m suffisamment grand. Notons que la condition (ML) est automatiquement satisfaite si les modules An sont tous finis, ou encore si toutes les applications de transition dn sont surjectives. Proposition A.32 (cf. [41], Prop. 2.7.4). Soit 0 −→ (An ) −→ (Bn ) −→ (Cn ) −→ 0 une suite exacte courte dans Mod N R . On suppose que le système projectif (An ) satisfait à (ML). Alors la suite 0 −→ lim An −→ lim Bn −→ lim Cn −→ 0 ←− ←− ←− n

n

n

est exacte.

A.5. Foncteurs dérivés Dans tout ce paragraphe, on désigne par C une catégorie abélienne. Définition A.33. Un objet I de C est dit injectif si le foncteur contravariant HomC (., I) (de C dans Ab) est exact. Un objet P de C est dit projectif si le foncteur covariant HomC (P, .) est exact. On dit que C a assez d’injectifs (resp. assez de projectifs) si tout objet est isomorphe à un sous-objet d’un objet injectif (resp. pour tout objet A, il existe une surjection P → A avec P projectif). La proposition suivante ([53], Prop. 2.3.10) se déduit facilement des définitions. Proposition A.34. Soient C et D deux catégories abéliennes. Soit F : D → C un foncteur. Si F possède un foncteur adjoint à gauche qui est exact, alors pour tout objet injectif I de D l’objet F (I) est injectif dans C (on dit que F préserve les injectifs). De même, un foncteur qui possède un adjoint à droite exact préserve les projectifs. Par exemple, si I est un groupe abélien injectif, le R-module (à droite ou à gauche) HomZ (R, I) est injectif dans Mod R , car HomZ (R, .) admet pour adjoint à gauche le foncteur d’oubli de Mod R dans Ab.

A.5. FONCTEURS DÉRIVÉS

325

Exemple A.35. a) Les injectifs de la catégorie Ab sont les groupes abéliens divisibles ([53], Cor. 2.3.2). Les projectifs sont les groupes abéliens libres. Le seul projectif de la catégorie des groupes abéliens finis est le groupe trivial 0. b) Plus généralement, les projectifs de la catégorie Mod R sont les modules projectifs au sens usuel, c’est-à-dire les facteurs directs d’un module libre. Ainsi la catégorie Mod R possède assez de projectifs. Elle possède aussi assez d’injectifs ([53], Cor. 2.3.11 et exercice 2.3.5) : soit en effet I un groupe abélien divisible, par exemple I = Q/Z. Alors tout R-module à droite A est quotient d’un R-module libre, ce qui implique (en appliquant HomZ (., I)) que tout R-module à gauche se plonge dans un module M de la forme HomZ (R, J), où J est un groupe abélien injectif (comme produit d’injectifs) ; un tel M est injectif dans Mod R grâce à la proposition A.34. Par ailleurs, le critère de Baer ([53], Crit. 2.3.1, p. 39) dit qu’un R-module à gauche A est injectif dès que pour tout idéal à gauche J de R, l’homomorphisme induit HomR (R, A) → HomR (J, A) est surjectif, autrement dit dès que tout morphisme de R-modules de J dans A s’étend en un morphisme de R-modules de R dans A. c) Si G est un groupe fini, la catégorie des G-modules discrets (qui est équivalente à la catégorie des modules à gauche sur l’anneau Z[G]) possède assez d’injectifs et aussi assez de projectifs. Si G est seulement profini, cette catégorie CG a toujours assez d’injectifs ([53], Lem. 6.11.10) : le point est que si A est un G-module discret, il se plonge dans un G-module I qui est injectif dans la catégorie des G-modules ; il est facile de voir qu’alors A  se plonge aussi dans U I U (où U décrit les sous-groupes ouverts de G) et que ce dernier est injectif dans CG . Par contre pour G profini infini, la catégorie CG n’a pas assez de projectifs (exercice 4.2). d) La catégorie ShX des faisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique X possède assez d’injectifs ([53], Ex. 2.3.12). e) Un objet est injectif dans C si et seulement s’il est projectif dans C op , et vice-versa. f) Si R est un anneau noethérien à gauche (par exemple l’anneau Z[G], où G est un groupe fini), une limite inductive de R-modules à gauche injectifs est un R-module à gauche injectif. Ceci se voit facilement en utilisant le critère de Baer et le fait que tout idéal à gauche J de R est engendré par un nombre fini d’éléments : en effet, cette dernière propriété implique qu’un morphisme de J dans une limite inductive lim Ai de R-modules à gauche −→ provient d’un morphisme J → Ai pour un certain i. On a utilisé dans le livre (pour démontrer la proposition 4.25) la caractérisation suivante des injectifs de CG :

326

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

Proposition A.36. Soit G un groupe profini. Soit A un G-module discret. Alors A est injectif dans CG si et seulement si G possède une base B de voisinages de 1 constituée de sous-groupes ouverts distingués U satisfaisant à : le G/U -module AU est injectif. Démonstration (d’après J. Riou). Si A est injectif dans C G , alors il est immédiat que pour tout sous-groupe ouvert U de G, le G/U -module AU est injectif. Supposons donc réciproquement que pour tout U de B, le G/U -module AU soit injectif. On utilise le lemme suivant. Lemme A.37. Supposons que pour tout U de B et pour tout morphisme injectif de G-modules M → Z[G/U ], l’homomorphisme induit HomG (Z[G/U ], A) −→ HomG (M, A) soit surjectif. Alors le G-module A est injectif. Supposons pour l’instant le lemme démontré. Soit B → Z[G/U ] un morphisme injectif de G-modules. Soit B → A un morphisme de G-modules. Comme B est un sous-G-module de Z[G/U ], on a B = B U , et le morphisme B → A se factorise en un morphisme B → AU , que l’on peut voir comme un morphisme de G/U -modules. Comme AU est injectif dans CG/U , ce morphisme s’étend en un morphisme de G/U -modules Z[G/U ] → AU , que l’on peut aussi voir comme un morphisme de G-modules Z[G/U ] → A. Ainsi le critère du lemme est bien satisfait. Reste à montrer le lemme. L’argument est le même que pour la preuve du critère de Baer. Soit i : B → C un morphisme injectif de G-modules. Soit f : B → A un morphisme de G-modules, que l’on cherche à étendre en un morphisme C → A. Le lemme de Zorn implique qu’il existe un sousG-module B  de C muni d’un morphisme f  : B  → A étendant f , et maximal pour cette propriété (au sens où si f1 : B1 → A est un morphisme de G-modules avec B  ⊂ B1 ⊂ C et f1 étend f  , alors B1 = B  et f1 = f  ). Supposons par l’absurde que B  = C. On a donc un élément c ∈ C qui n’est pas dans B  , et comme C est un G-module discret, il existe un sous-groupe ouvert U de G (que l’on peut supposer dans B, quitte à le rétrécir) qui fixe c. Ceci implique que l’on a un morphisme de G-modules j : Z[G/U ] → C dont l’image n’est pas contenue dans B  . Soit M ⊂ Z[G/U ] l’image réciproque de B  par j. L’hypothèse dit alors que le morphisme f  ◦ j : M → A s’étend en un morphisme g : Z[G/U ] → A. Posons B1 = B  + Im j. On peut alors prolonger f  en un morphisme de G-modules f1 : B1 → A en posant f1 (x + j(y)) = f  (x) + g(y) pour tout x ∈ B  et tout y ∈ Z[G/U ], ce qui a un sens car si x ∈ B  s’écrit aussi x = j(y), alors y ∈ M et f  (x) = g(y) puisque g prolonge f  ◦ j sur M . On obtient alors une contradiction car B1 contient strictement B  .

A.5. FONCTEURS DÉRIVÉS

327

Définition A.38. Un complexe A• dans C est une famille d’objets Ai , i ∈ Z et de morphismes (appelés cobords, on peut aussi dire (co)différentielles) di : Ai → Ai+1 tels que di+1 ◦ di = 0 pour tout i (si les objets ne sont précisés que sur un certain intervalle, ex. i  0, on pose Ai = 0 pour les autres i). Un morphisme de complexes f : A• → B • est une famille de morphismes f i : Ai → B i qui commutent avec les cobords di . On voit tout de suite que les complexes dans C forment une catégorie abélienne. On peut aussi parler de morphisme de degré d entre deux complexes A• et B • pour désigner un morphisme de A• dans le complexe décalé B • [d] (défini par (B • [d])i = B i+d ). Définition A.39. Le i-ième objet de cohomologie d’un complexe A• est hi (A• ) := Ker di / Im di−1 . Si f : A• → B • est un morphisme de complexes, il induit une flèche naturelle hi (f ) : hi (A• ) → hi (B • ). Remarque A.40. Les définitions ci-dessus correspondent aux complexes de cochaînes et à leur cohomologie, qui seront ceux auxquels on s’intéresse principalement dans le livre. On peut également définir des complexes de chaînes (Ai )i∈Z pour lesquels on a des bords (au lieu de cobords) di : Ai → Ai−1 satisfaisant à di ◦ di+1 = 0, et pour lesquels on peut considérer les objets d’homologie hi (A• ) := Ker di / Im di+1 . On passe d’une notion à l’autre via l’identification Ai = A−i , ce qui revient aussi à passer dans la catégorie opposée. Une application du lemme du serpent est ([53], Th. 1.3.1) : Théorème A.41. Soit

f g 0 −→ A• −−→ B • −−→ C • −→ 0

une suite exacte courte de complexes. Alors on a des flèches naturelles δ i : hi (C • ) → hi+1 (A• ) qui donnent naissance à une suite exacte longue hi (f ) hi (g) δi · · · −→ hi (A• ) −−−−−→ hi (B • ) −−−−−→ hi (C • ) −−−→ hi+1 (A• ) −→ · · · Définition A.42. On dit que deux morphismes de complexes f, g sont homotopes (et on écrira f ∼ g) s’il existe une famille de morphismes k i : Ai → B i−1 (ne commutant pas forcément avec les di ) tels que f − g = dk + kd. Si f ∼ g, les morphismes hi (f ) et hi (g) induits sur la cohomologie sont les mêmes. Deux complexes A• et B • sont homotopes s’il existe des morphismes f : A• → B • et g : B • → A• tels que f ◦ g et g ◦ f soient homotopes à l’identité (dans ce cas la cohomologie des deux complexes est la même, cf. [53], Lem. 1.4.5).

328

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

La théorie des foncteurs dérivés est basée sur la proposition suivante ([53], Lem. 2.2.5, Th. 2.2.6, Lem. 2.3.6 et Th. 2.3.7). Proposition A.43. Soit C une catégorie abélienne possédant assez d’injectifs. Alors tout objet A de C admet une résolution injective, c’est-à-dire qu’il existe un complexe I • = 0 −→ I 0 −→ I 1 −→ · · · (défini en degrés i  0) et un morphisme A → I 0 tels que tous les objets de I • soient injectifs et que l’on ait une suite exacte 0 −→ A −→ I 0 −→ I 1 −→ · · · De plus, deux résolutions injectives sont homotopes. On a un résultat analogue si C possède assez de projectifs, en remplaçant résolution injective par résolution projective, c’est-à-dire suite exacte · · · −→ P1 −→ P0 −→ A −→ 0, où chaque Pi est projectif. On en déduit la définition suivante. Définition A.44. Soit C une catégorie abélienne avec assez d’injectifs. Soit F : C → D un foncteur covariant exact à gauche. Les foncteurs dérivés (à droite) Ri F, i  0 sont définis de la manière suivante : pour tout objet A de C, on fixe une résolution injective I • de A et on pose Ri F (A) = hi (F (I • )). Cette définition est justifiée par le fait que les foncteurs dérivés sont indépendants de la résolution choisie à isomorphisme de foncteurs additifs près ([53], Lem. 2.4.1 appliqué à F op : C op → Dop ), ce qui résulte de la proposition A.43. Noter que le foncteur F est isomorphe à R0 F car (R0 F )(A) = Ker[F (I 0 ) −→ F (I 1 )] = F (A) vu que F est exact à gauche. On a d’autre part Ri F (I) = 0 si I est injectif et i > 0, une résolution injective de I étant alors simplement 0 −→ I −→ I −→ 0. On définit de même les foncteurs dérivés à gauche d’un foncteur covariant exact à droite dans une catégorie possédant suffisamment de projectifs en travaillant avec l’homologie d’une résolution projective. On a aussi les mêmes notions pour un foncteur contravariant (s’il est exact à gauche, on obtient des foncteurs dérivés à droite en travaillant avec des résolutions projectives ; s’il est exact à droite, on obtient des foncteurs dérivés à gauche en travaillant avec des résolutions injectives).

A.5. FONCTEURS DÉRIVÉS

329

Exemple A.45. a) Soit G un groupe fini. Pour tout G-module A, les groupes de cohomologie H i (G, A) sont les foncteurs dérivés à droite du foncteur A → AG (lequel est exact à gauche) de la catégorie des G-modules vers celle des groupes abéliens. Il en va de même si G est supposé profini. b) Si X est un espace topologique et F un faisceau de groupes abéliens sur X, les groupes H i (X, F) sont de même les foncteurs dérivés à droite du foncteur « section globale » F → Γ(X, F) de la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur X dans Ab. c) Soit R un anneau. Si A et B sont des R-modules à gauche, les groupes ExtiR (A, B) sont définis comme les foncteurs dérivés à droite du foncteur HomR (A, .) (appliqués à B) de Mod R dans Ab. Ceci s’applique en particulier à R = Z, ou encore à R = Z[G] pour tout groupe fini G. On peut plus généralement définir les groupes ExtiC (A, B) si A et B sont deux objets d’une catégorie abélienne possédant assez d’injectifs, en considérant les foncteurs dérivés de HomC (A, .). Les ExtiC (A, .) forment alors un foncteur cohomologique (cf. théorème A.46 plus bas), et les ExtiC (., B) un foncteur homologique (l’argument est le même que dans la remarque 1.37). d) Soit R un anneau. La catégorie Mod N R des systèmes projectifs de R-modules (indexés par N) possède assez d’injectifs. Le premier foncteur dérivé lim1 du foncteur limn (de Mod N R dans Mod R ) peut être non nul, par ←− ←− contre les dérivés supérieurs sont toujours nuls ([41], Prop. 2.7.4). Si (An ) est un système projectif de R-modules satisfaisant à (ML), alors sa lim1 est ←− nulle. Le théorème suivant ([53], Th. 2.4.6, théorème 2.4.7, et exercice 2.4.3 appliqués à F op : C op → Dop ) résume les principales propriétés des foncteurs dérivés. Théorème A.46. Soit C une catégorie abélienne possédant suffisamment d’injectifs. Soit F : C → D un foncteur covariant exact à gauche. a) La famille des (Ri F )i0 forme un foncteur cohomologique (appelé aussi δ-foncteur), c’est-à-dire : pour toute suite exacte (A.1)

0 −→ A −→ A −→ A −→ 0

dans C, on a des morphismes cobords δ i : Ri F (A ) → Ri+1 F (A ) qui induisent une suite exacte longue δi · · · −→ Ri F (A ) −→ Ri F (A) −→ Ri F (A ) −−−→ Ri+1 F (A ) −→ · · · et tels que si on se donne un morphisme de la suite exacte courte ( A.1) dans une autre suite exacte courte 0 → B  → B → B  → 0, alors les δ i

330

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

induisent un diagramme commutatif : Ri F (A )

δi

/ Ri+1 F (A )

 Ri F (B  )

δi

 / Ri+1 F (B  ).

b) La famille des (Ri F )i0 forme un δ-foncteur universel au sens suivant : si S = (S i )i0 est un autre δ-foncteur et f 0 : R0 F = F → S 0 est une transformation naturelle, alors il existe un unique morphisme de δ-foncteurs (f i )i0 de (Ri F )i0 dans S qui prolonge f 0 (« morphisme de δ-foncteurs » signifie famille de transformations naturelles f i : Ri F → S i commutant avec les δ i ). c) Si (J j )j0 est une famille d’objets acycliques pour le foncteur F (c’està-dire tels que Ri F (J j ) = 0 pour tout i > 0) induisant une résolution 0 −→ A −→ J 0 −→ J 1 −→ · · · d’un objet A, alors pour tout i  0, on a Ri F (A)  hi (F (J • )) (ainsi on peut calculer les foncteurs dérivés en utilisant des résolutions acycliques, pas forcément injectives). On a bien entendu des résultats analogues avec les autres foncteurs dérivés (en partant d’un foncteur F contravariant, ou exact à droite), qui donnent suivant les cas des foncteurs dérivés cohomologiques ou homologiques. Remarque A.47. On a en fait un résultat un peu plus général que b) : tout δ-foncteur cohomologique T tel que les T i pour i > 0 soient effaçables (c’està-dire que pour tout objet A, il existe un monomorphisme u : A → I tel que T i (u) = 0) est universel, [53], Exer. 2.4.5. La preuve de ce fait est similaire à celle de l’universalité des foncteurs dérivés. On a parfois besoin (notamment pour définir le produit tensoriel de deux complexes, ou encore pour définir des suites spectrales) de la notion suivante : Définition A.48. Soit C une catégorie abélienne. Un complexe double A•• est une famille d’objets (Apq )p,q∈Z équipés de morphismes (appelés en général différentielles) dpq : Apq → Ap+1,q et dpq : Apq → Ap,q+1 , satisfaisant à (avec des notations évidentes) : d ◦ d = 0, d ◦ d = 0, et d ◦ d + d ◦ d = 0 (la dernière égalité est souvent appelée règle des signes). Définition A.49. On suppose de plus que C est une catégorie Mod R de modules sur un anneau R. Le complexe total T • = Tot(A•• ) associé à un

A.6. EXT ET TOR

331

 pq complexe double A•• est défini par T n = p+q=n A , les différentielles n n+1 étant données par la somme des flèches d:A →A d = d + d : Apq −→ Ap+1,q ⊕ Ap,q+1 . Le fait que T • soit bien un complexe résulte de la règle des signes de la définition A.48 ([53], alinéa 1.2.6). Remarque A.50. Nous avons adopté ici la définition de Tot(A•• ) qui utilise la somme directe (et non pas le produit) des Apq car c’est cette définition qui permet de définir le produit tensoriel de deux complexes (cf. définition A.51 ci-après). La définition avec le produit (notée TotΠ ou simplement Tot dans [53]) serait indispensable si on voulait par exemple considérer le Hom interne entre complexes. Voir aussi la note de bas de page dans la preuve du théorème 2.25. Définition A.51. Soit R un anneau commutatif. Soient C • et D• deux complexes dans la catégorie abélienne Mod R . Le produit tensoriel A•• = C • ⊗R D• est le complexe double défini par Apq := C p ⊗R Dq , avec les différentielles dpq = dpC ⊗R IdDq ;

dpq = (−1)p IdC p ⊗R dqD .

S’il n’y a pas de risque de confusion, on notera aussi C • ⊗R D• le complexe total associé à A•• .

A.6. Ext et Tor Soit R un anneau. Soit A un R-module à gauche. Rappelons que dans la catégorie Mod R , les foncteurs ExtiR (A, .) sont définis comme les foncteurs dérivés à droite du foncteur HomR (A, .) de Mod R dans Ab. On peut en fait calculer ExtiR (A, B) en dérivant « de l’autre côté » à l’aide du résultat suivant ([53], Th. 2.7.6) : Théorème A.52. Soient A et B deux R-modules. Alors, pour tout i  0, on a : ExtiR (A, B) = (Ri HomR (A, .))(B) = (Ri HomR (., B))(A), où les Ri HomR (., B) sont les foncteurs dérivés à droite du foncteur contravariant (lequel est exact à gauche) HomR (., B). En particulier, si A ou B est de m-torsion (pour un certain entier m > 0), alors les groupes ExtiR (A, B) sont de m-torsion. On a aussi un bon comportement des Ext vis-à-vis des produits et des sommes directes ([53], Prop. 3.3.4) :

332

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

Proposition A.53. Soient (Ai ) et (Bj ) deux familles de R-modules. Soient A et B deux R-modules. Alors, pour tout n  0, on a 

ExtnR ( Ai , B) = ExtnR (Ai , B), i



ExtnR (A, Bj ) = ExtnR (A, Bj ). j

j

Dans le cas particulier R = Z, la catégorie Mod Z est simplement celle des groupes abéliens. On a dans ce cas le résultat d’annulation suivant ([53], Lem. 3.3.1), qui résulte facilement du fait que les injectifs de Ab sont les groupes abéliens divisibles et qu’un quotient d’un groupe abélien divisible est divisible : Proposition A.54. Soient A et B des groupes abéliens. Alors ExtiZ (A, B) = 0 pour i  2. Corollaire A.55. Si B est un groupe abélien, on a Ext1 (Z/pZ, B) = B/pB. Si R est un anneau commutatif, on peut également définir les ToriR (A, B) aussi bien comme foncteurs dérivés (à gauche) de . ⊗R B que de A⊗R . ([53], Th. 2.7.2). Ces foncteurs dérivés sont donc triviaux si A ou B est un Rmodule plat. On a en particulier, quand R = Z ([53], Prop. 3.1.2, 3.1.3. et 3.1.4) : Proposition A.56. Soient A et B deux groupes abéliens. Alors le groupe TorZ (A, B) := Tor1Z (A, B) est un groupe abélien de torsion, et ToriZ (A, B) = 0 si i  2. Le groupe TorZ (Q/Z, B) est le sous-groupe de torsion Btors de B. Si A ou B est sans torsion, on a aussi TorZ (A, B) = 0. Il est par ailleurs possible de définir des groupes ExtiC (A, B) quand A et B sont deux objets d’une catégorie abélienne quelconque C, en termes de r-extensions de Yoneda ([53], Vista 3.4.6). Quand C possède suffisamment d’injectifs (ou suffisamment de projectifs), ils coïncident avec les groupes Exti définis au moyen de foncteurs dérivés. Définition A.57. Soit C une catégorie abélienne, dont on suppose pour simplifier qu’elle possède assez d’injectifs. Soient M , N , P des objets de C. On dispose pour tous r, s  0 d’une application bilinéaire (compatible avec la structure de foncteur cohomologique des Ext « à droite » et la structure de foncteur homologique des Ext « à gauche ») : ExtrC (N, P ) × ExtsC (M, N ) −→ Extr+s C (M, P ),

(f, g) −→ f · g

qui peut par exemple être définie via l’interprétation des groupes ExtrC en termes de r-extensions de Yoneda : pour f ∈ ExtrC (N, P ) et g ∈ ExtsC (M, N ), on obtient f · g ∈ Extr+s C (M, P ) en concaténant la r-extension de N par P correspondant à f et la s-extension de M par N correspondant à g.

A.7. SUITES SPECTRALES

333

Remarque A.58. L’application bilinéaire (f, g) → f ·g se comprend bien dans le langage des catégories dérivées, le groupe ExtrC (M, N ) pouvant alors être vu comme Hom(M, N [r]) (dans la catégorie dérivée de C) où N [r] est le complexe à un terme obtenu en plaçant N en degré −r, cf. [53], § 10.7. C’est équivalent à voir ExtrC (M, N ) comme l’ensemble des classes d’homotopie de morphismes M • → N • de degré r entre complexes, où M • et N • sont des résolutions injectives respectivement de M et N . Il se trouve que l’interprétation des suites spectrales dans le langage des catégories dérivées (loc. cit., § 10.8) est très utile pour vérifier des compatibilités comme celle de la proposition 16.17.

A.7. Suites spectrales Les suites spectrales (et en particulier la suite spectrale des foncteurs composés de Grothendieck, que nous allons voir plus bas) sont un outil puissant pour avoir des informations sur les groupes de cohomologie, sur lesquels elles fournissent des filtrations. Elles servent notamment à obtenir des théorèmes d’annulation ou encore de finitude sur ces groupes. Nous allons nous limiter ici aux suites spectrales concentrées dans le premier quadrant, qui sont les seules que nous utilisons dans le livre, et pour lesquelles les résultats sont un peu plus simples à énoncer que par exemple pour les suites spectrales bornées au sens de [53], Déf. 5.2.5. (et a fortiori que pour les suites spectrales non nécessairement bornées). Dans tout ce paragraphe, C désigne une catégorie abélienne. Définition A.59. Soit a ∈ N. Une suite spectrale cohomologique concentrée dans le premier quadrant (nous dirons par la suite simplement suite spectrale), démarrant avec Ea , est la donnée : i) d’une famille (Erpq ) d’objets de C définis pour r  a, p  0, q  0 (on conviendra que pour les autres indices, Erpq = 0). ii) de morphismes pq p+r,q−r+1 dpq r : Er −→ Er p−r,q+r−1 tels que les composées dpq soient nulles. Autrement dit, si pour r r ◦dr pq fixé on place l’objet Er au point de coordonnées (p, q) du réseau Z2 , les objets sur la droite de pente (1 − r)/r forment un complexe de cochaînes, les flèches allant de gauche à droite. On dit parfois que pour r fixé, les Erpq forment la page Er de la suite spectrale. pq iii) d’un isomorphisme entre Er+1 et la cohomologie en Erpq du complexe défini ci-dessus, soit pq p−r,q+r−1 Er+1 = Ker dpq . r / Im dr

334

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

Une telle suite spectrale sera notée (Erpq )ra ou simplement (Eapq ). Pour éviter les confusions d’indices, on notera aussi parfois Erp,q pour Erpq . Par exemple, pour r = 1, on obtient un complexe sur chaque ligne (= droite de pente 0) du réseau. Les objets de la « page » Er+1 se déduisent de la page précédente Er en prenant la cohomologie des différents complexes de Er ; noter aussi que la pente des différentielles dr change à chaque page, pq et que chaque différentielle dpq r augmente le degré total p + q de l’objet Er pq de 1. Par ailleurs, le fait que l’on ait imposé Er = 0 si p ou q est < 0 implique immédiatement que pour p, q fixés, il existe r0  a tel que Erpq = Erpq0 pour r  r0 . pq Définition A.60. On notera E∞ la valeur « stable » de Erpq , c’est-à-dire l’objet Erpq pour r assez grand. 0,p Remarque A.61. Pour tout p, l’objet E∞ est un sous-groupe de l’objet Ea0,p q,0 de la page initiale et pour tout q, l’objet E∞ est un quotient de l’objet Eaq,0 p,q de la page initiale. Plus généralement E∞ est toujours un sous-quotient de l’objet Eap,q d’après le point iii) de la définition A.59.

Définition A.62. Soit H ∗ = (H n )n1 une famille d’objets de C. On dit que la suite spectrale (Erpq )ra converge vers H ∗ si chaque H n possède une filtration finie 0 = F n+1 H n ⊂ F n H n ⊂ · · · ⊂ F 1 H n ⊂ F 0 H n = H n telle que pour chaque p, q, on ait pq E∞  F p H p+q /F p+1 H p+q .

On notera souvent alors (Eapq ) =⇒ H p+q . 0,n n,0 Les flèches H n → E∞ ⊂ Ea0,n et Ean,0 → E∞ ⊂ H n s’appellent les flèches de bord de la suite spectrale convergeant vers H n .

Exemple A.63. Soit A•• un complexe double dans une catégorie de modules Mod R , avec Apq = 0 si p < 0 ou q < 0. Soit T • le complexe total associé à A•• . Soit E1pq = H q (Ap• , d ) les groupes de cohomologie de A•• « dans la direction q ». Alors on a (cf. [53], § 5.6 pour la version en homologie) une suite spectrale E1pq =⇒ H p+q (T • ). On peut aussi commencer cette suite spectrale avec E2pq = H p (H q (A•• )).

A.7. SUITES SPECTRALES

335

La proposition suivante est une conséquence immédiate du fait que si une suite spectrale converge vers H ∗ , alors chaque objet H n est filtré par des pq objets dont les quotients successifs sont des E∞ de degré total p + q = n. Proposition A.64. Supposons que la suite spectrale (Erpq )ra converge vers H ∗ = (H n )n1 . Soit n  1 fixé. Si tous les Eapq initiaux de degré total n sont nuls (resp. finis), alors H n est nul (resp. fini). Nous appliquerons souvent la proposition précédente aux suites spectrales de Grothendieck (qui démarrent à E2 ), obtenues à l’aide de la suite spectrale des foncteurs composés ci-après, par exemple dans la suite spectrale de Hochschild-Serre (théorème 1.44) où les H n sont des groupes de cohomologie de degré n. Les suites spectrales qui convergent vers une famille H ∗ sont surtout intéressantes lorsque les familles Erpq comportent beaucoup de termes nuls. Voici une proposition que l’on déduit aisément des définitions, qui résume les situations les plus courantes dans lesquelles on peut calculer les H n . Proposition A.65. Soit (Erpq )ra une suite spectrale convergeant vers H ∗ = (H n )n1 . a) (effondrement). Soit r  a fixé. Supposons qu’il existe un indice q0 tel que l’on ait Erpq = 0 si q = q0 (resp. il existe un indice p0 tel que Erpq = 0 si p = p0 ). Alors H n est le terme Ern−q0 ,q0 (res. Erp0 ,n−p0 ). On dit dans ce cas que la suite spectrale s’effondre à la page Er . b) (suite spectrale à deux colonnes). Supposons que E2pq = 0 si p > 1. Alors on a, pour tout n  1, une suite exacte 0 −→ E21,n−1 −→ H n −→ E20,n −→ 0. c) (suite spectrale à deux lignes). Supposons que E2pq = 0 si q > 1. Alors on a une suite exacte longue 0 −→ E21,0 −→ H 1 −→ E20,1 −→ E22,0 −→ H 2 −→ E20,2 −→ · · · Il est également possible, en écrivant les définitions des filtrations sur H 1 et H 2 , d’obtenir la suite exacte des bas degrés associée à une suite spectrale commençant à la page E2 . Proposition A.66. Soit (Erpq )r2 une suite spectrale convergeant vers H ∗ = (H n )n1 . Alors on a une suite exacte 0 −→ E21,0 −→ H 1 −→ E20,1 −→ E22,0 −→ Ker[H 2 −→ E20,2 ] −→ E23,0 et la suite Ker[H 2 −→ E20,2 ] −→ E23,0 −→ H 3 est un complexe.

336

QUELQUES RÉSULTATS D’ALGÈBRE HOMOLOGIQUE

Toutes les suites spectrales utilisées dans ce livre sont obtenues à partir du théorème général suivant ([53], Th. 5.8.3), qui est la suite spectrale des foncteurs composés de Grothendieck . Théorème A.67. Soient A, B, C des catégories abéliennes telles que A et B possèdent assez d’injectifs. Soient G : A → B et F : B → C des foncteurs covariants, exacts à gauche. On suppose que G envoie tout objet injectif de A sur un objet F -acyclique B (c’est-à-dire sur un objet B de B tel que Ri F (B) = 0 pour tout i > 0, par exemple un objet injectif dans B). Alors, si A est un objet de A, on a une suite spectrale convergente (démarrant à la page E2 ) : E2pq = (Rp F )((Rq G)(A)) =⇒ Rp+q (F G)(A). Des exemples d’application de ce théorème sont : a) La suite spectrale de Hochschild-Serre (théorème 1.44). b) La suite spectrale des Ext (théorème 16.14). Dans ces deux cas, on utilise souvent les propositions A.64 et A.65 pour obtenir des renseignements intéressants sur les groupes de cohomologie ou les groupes Ext, quand on a des théorèmes de finitude ou d’annulation pour les termes E2pq .

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INDEX TERMINOLOGIQUE

A adèle, 182 algèbre d’un groupe, 11 anneau de Dedekind, 175 de valuation discrète, 111 des entiers, 111, 176 des S-entiers, 178 intégralement clos, 7 intègre, 7 principal, 7 B Brauer-Hasse-Noether (th. de- ), 220 C caractère, 6, 266 co- , 266 catégorie, 313 équivalence de- , 317 abélienne, 15, 319 additive, 318 antiéquivalence de- , 317 artinienne, 314 avec suffisamment d’injectifs, 18, 324 avec suffisamment de projectifs, 18, 324 noethérienne, 314 opposée, 315 petite, 314 sous- , 316 pleine, 316 Cebotarev (th. de- ), 299 classe fondamentale, 131, 225, 252 cobord, 19, 24, 25, 327, 329 cochaîne, 24

cocycle, 25 cohomologie d’un complexe, 327 groupes de- , 18, 82 modifiée, 41 complété p- , 80 profini, 80 complexe, 327 double, 330 homotope, 327 produit tensoriel de- , 331 total, 330 composante p-primaire, 5 conducteur, 236 conoyau, 315 coproduit, 316 corestriction, 34 corps de fonctions, 176 de nombres, 176 global, 176 imparfait, 6 local, 113 p-adique, 116 parfait, 6 résiduel, 111 corps de classes, 227 axiome du- , 122, 205, 209 de Hilbert, 236 de rayon, 236 cup-produit, 53 cycle, 235

342

INDEX TERMINOLOGIQUE

D degré absolu, 300 résiduel, 114 diagramme commutatif exact, 5 dimension cohomologique d’un corps, 103 d’un groupe profini, 91 p- , 91 stricte, 93 diviseur, 187 principal, 187 dual d’un groupe topologique, 6 de Cartier, 82, 147 de Pontryagin, 76 E Eisenstein(polynôme d’- ), 114 espace topologique compact, 6 localement compact, 6 totalement discontinu, 6 Euler-Poincaré (caractéristique d’-), 149 existence (th. d’- ), 140, 153, 169, 227 extension abélienne, 6 cyclotomique, 215 d’Artin-Schreier, 141 de corps, 6 de Kummer, 199 de Yoneda, 332 finie, 6 maximale non ramifiée, 115 non ramifiée, 114 normale, 107 quasi galoisienne, 107 totalement ramifiée, 114 F filtrant (ensemble ordonné), 6 foncteur, 316 additif, 320 adjoint, 318 cohomologique, 18, 329 contravariant, 316 δ- , 18, 329 d’oubli, 317 dérivé, 18, 328 effaçable, 34, 330 essentiellement surjectif, 318 exact, 320 exact à gauche, à droite, 320

fidèle, 318 Ind-représentable, 321 plein, 318 pleinement fidèle, 318 représentable, 321 universel, 330 formation de classes, 251 P-P - , 266 G G-module, 12 co-induit, 14 de permutation, 36 de type fini, 12, 81 des co-invariants, 39 discret, 81 faiblement injectif, 17 induit, 13 injectif, 15 projectif, 15 relativement injectif, 17 simple, 91 Golod-Shafarevich (inégalité de), 247 groupe formel de Lubin-Tate, 158 d’inertie, 115 de Brauer, 101 de décomposition, 179 de normes, 169, 226, 269 de ramification restreinte, 241 de Sylow, 65, 78 de Tate, 41 des idéaux, 183 des idèles, 193 des normes universelles, 141, 226, 253 des unités, 116 des unités principales, 117 formel, 157 p- , 5, 65 pro-p- , 78 procyclique, 87 profini, 75 groupe abélien divisible, 5 p-divisible, 5 p-primaire, 5 uniquement divisible, 5 groupe des classes d’idéaux, 176 d’idèles, 180, 193 de rayon, 235 Grunwald-Wang (th. de- ), 305

INDEX TERMINOLOGIQUE

H homologie (groupes d’- ), 40 homomorphisme croisé, 25 d’augmentation, 39 I idéal d’augmentation, 39 fractionnaire, 175 maximal, 7 premier, 7 principal, 175 principal (th. de l’-), 239 produit, 175 idèle, 180 fini, 180 principal, 180 S- , 184 indice d’un sous-groupe fermé, 77 de ramification, 114 inflation, 27 J jacobienne, 188 L loi de réciprocité globale, 218 quadratique, 221 M Mittag-Leffler (condition de- ), 324 module dualisant, 143 G- , 12 non ramifié, 151 plat, 320 morphisme épi- , 314 de Frobenius, 116 de complexes, 327 de foncteurs, 317 de foncteurs cohomologiques, 27 de Frobenius, 179 de G-modules, 12 mono- , 314 strict, 6 N nombre p-adique, 112 surnaturel, 77 norme, 33, 39, 269 absolue, 299 noyau, 315

O objet acyclique, 19, 330 d’une catégorie, 313 final, 315 initial, 315 injectif, 324 noethérien, 314 projectif, 324 sous- , 314 zéro (ou nul), 315 ordre (d’un groupe profini), 77 P place, 176 archimédienne, 176 décomposée, 189 divisant une autre place, 178 finie, 176 inerte, 198 non ramifiée, 178 totalement décomposée, 179, 189 Poitou-Tate suite exacte de- , 284 théorème de- , 283 produit dans une catégorie, 316 restreint, 180, 280 propre (application), 138 Q quotient d’Herbrand, 51 R réciprocité application de- , 133 homomorphisme de- , 226 isomorphisme de- , 132, 225 résolution complète standard, 42 injective, 19, 328 projective, 328 restriction, 27 S sous-groupe de congruence, 235 de torsion, 5 suite spectrale, 333 convergente, 334 de Hochschild-Serre, 32 des foncteurs composés, 336 effondrée, 335 symbole, 138 de Hilbert, 138 de Legendre, 139

343

344

de reste normique, 217 local, 138 T Tate-Nakayama (th. de- ), 72 tore, 107 transfert, 45 transgression, 33

INDEX TERMINOLOGIQUE

U uniformisante, 111 V valuation, 111 p-adique, 112 variété abélienne, 77