Chirurgie des grassmanniennes - Surgery on Grassmannians

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https://doi.org/10.1090/crmm/019

Volume 1 9

CR M R MONOGRAP H M SERIE S r

Centre d e Recherche s Mathematique s Universite d e Montrea l

Chirurgie de s grassmannlennes L. Lafforgu e The Centr e d e Recherche s M a t h e m a t i q u e s (CRM ) o f t h e Universite d e Montrea l w a s create d i n 1 96 8 t o promot e r e s e a r c h i n p u r e a n d applie d m a t h e m a t i c s a n d relate d disciplines. Amon g it s activitie s ar e specia l t h e m e years , s u m m e r schools , w o r k s h o p s , postdoctora l programs , a n d publishing. Th e CR M i s s u p p o r t e d b y t h e Universit e d e Montreal, th e Provinc e o f Quebe c (FCAR) , a n d th e Natural Science s a n d Engineerin g Researc h Counci l o f C a n a d a . I t i s affiliate d wit h t h e Institu t de s Science s M a t h e m a t i q u e s (ISM ) o f Montreal , w h o s e c o n s t i t u e n t m e m b e r s ar e Concordi a University , McGil l University , t h e Universite d e Montreal , t h e Universit e d u Quebe c a Montreal, a n d t h e Ecol e Polytechnique . Th e CR M m a y b e reached o n th e We b a t www.crm.umontreal.ca .

American Mathematica l Societ y Providence, Rhod e Islan d US A ^ATDED

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T h e p r o d u c t i o n o f t h i s volum e wa s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e Fond s p o u r l a F o r m a t i o n de Chercheur s e t l'Aid e a l a Recherch e (Fond s F C A R ) a n d t h e N a t u r a l Science s a n d Engineering Researc h Counci l o f C a n a d a ( N S E R C ) .

2000 Mathematics Subject

Classification.

P r i m a r y 1 4N20 , 52B40 , 1 4M1 5 , 1 5A75 , 1 4M25 , 14D20.

For additiona l informatio n a n d u p d a t e s o n thi s book , visi t www.ams.org/bookpages/crmm-19

Library o f Congres s Cataloging-in-Publicatio n D a t a Lafforgue, Laurent . Chirurgie de s grassmannienne s / L . Lafforgue . p. cm . — (CR M monograp h series , ISS N 1 065-859 9 ; v. 1 9 ) Includes bibliographica l references . ISBN 0-821 8-3358- 8 (acid-fre e paper ) 1. Grassman n manifolds . 2 . Matroids . 3 . Compac t ificat ions. 4 . Surger y (Topology ) I. Title . II . Series . QA613.6.L34 200 3 514 / .72—dc21 2003045 0

5

C o p y i n g an d reprinting . Individua l reader s o f thi s publication , an d nonprofi t librarie s acting fo r them , ar e permitte d t o mak e fai r us e o f th e material , suc h a s t o cop y a chapte r fo r us e in teachin g o r research . Permissio n i s grante d t o quot e brie f passage s fro m thi s publicatio n i n reviews, provide d th e customar y acknowledgmen t o f th e sourc e i s given . Republication, systemati c copying , o r multipl e reproductio n o f an y materia l i n thi s publicatio n is permitte d onl y unde r licens e fro m th e America n Mathematica l Society . Request s fo r suc h permission shoul d b e addresse d t o th e Acquisition s Department , America n Mathematica l Society , 201 Charle s Street , Providence , Rhod e Islan d 02904-2294 , USA . Request s ca n als o b e mad e b y e-mail t o [email protected] . © 200 3 b y th e America n Mathematica l Society . Al l right s reserved . The America n Mathematica l Societ y retain s al l right s except thos e grante d t o th e Unite d State s Government . Printed i n th e Unite d State s o f America . @ Th e pape r use d i n thi s boo k i s acid-fre e an d fall s withi n th e guideline s established t o ensur e permanenc e an d durability . This volum e wa s submitte d t o th e America n Mathematica l Societ y in camer a read y for m b y th e Centr e d e Recherche s Mathematiques . Visit th e AM S hom e pag e a t http://www.ams.org / 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

8 07 06 05 04 0 3

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Introduction Le cadr e genera l pou r l'ensembl e d e c e text e consist e e n u n espac e vectorie l d e dimension finie (c'est-a-dir e u n modul e libr e d e ran g fini su r Z ) gradu e

somme d e n - f 1 facteur s direct s E a, 0 partielles

< a < n, e t mun i d e toute s le s somme s

Ei = @E a, J C { 0 , l , . . . , n }

.

Pour tou t ran g r , l a grassmannienn e Gir'E =

{F ^ E

\ dimF =

r}

est u n schem a projecti f e t liss e su r SpecZ . Ell e s e decompos e e n strate s localemen t fermees GT2E =

{F aei J

di, V J >

et so n sous-ensembl e S = S R H N n + 1 = S R f l S r , n de s point s entiers . Dan s l e presen t texte, le s ensembles S R OU S associe s a des matroide s d seront appele s de s « convexes entiers » (dan s l a litteratur e mathematiqu e su r l e suje t qu e Tauteu r n' a commenc e a decouvri r qu e tardivement , o n parl e pluto t d e « polytopes d e matroide s ») . li s apparaissent dan s l'etud e de s cellule s d e Schuber t mince s a caus e d e l a propositio n fondamentale suivant e : PROPOSITION. Si S C S r,n est dans la grassmannienne Gvr'E ^ P ( A

r

un convexe entier associe a un matroide d, alors

€

E) = \ (x^es^

la cellule de Schubert mince par

G r J est

riA^.-wU,

definie comme sous-schema localement

ferme

x%_ = 0 , V i ^ 5 ,

x^o,

Vies .

Voici le s propriete s de s convexe s entier s qu i son t importante s pou r c e qu e nou s allons fair e : (1) S i S R et S son t associe s a u n matroid e d = (dj) , o n a pou r tout e parti e / de { 0 , . . . , n } dj = min < /^ jiQ i = ( i 0 j . . . ,z n ) G S , n Ej = Fs»/F s» H Fs» HEj = entre sous-objets et

Ej dans

Fs>/F s> H Ej dans

objets quotients dans

Ej = E/E

Jf

Ej = E/E

Iy

les deux suites exactes

0 - > F S / H Ej - • F s> - > Fs>/Fs> H ET - > 0 , 0- F

5 //

H ^j - > F 5 // - > F 5 / / / F 5 / / HEj^O.

L'etape suivant e dan s le s construction s consist e a « m e t t r e e n famill e » le s schemas G r J associe s au x different s pavage s S_ d'un mem e convex e entie r S C S r,n. On commenc e pa r « mettre e n famill e » le s pavage s eux-meme s e n construisan t u n « cham p toriqu e » A s j A% (l e cham p quotien t d'un e variet e toriqu e A s pa r so n tore A%) don t il s son t le s point s : Si S_ es t u n pavag e d e S pa r de s convexe s entiers , o n not e C§ C R 5 l e con e de s fonctions « convexes » v: S-+R telles que , pou r tout e cellul e S' d e S , i l exist e un e fonctio n affin e £: S — » R verifian t

^ < v e t S ' = { i e S | ^ ( i ) = i;(i)} . Quand C f n'es t pa s vide , o n di t qu e S_ est u n « pavage entie r convex e » d e S. S i 0 design e l e pavag e trivia l d e 5 , C% est l e sous-espac e de s fonction s affine s £: S — » R ; tou s le s cone s C f son t stabilise s pa r C%. On montr e qu e l a famill e de s cone s quotient s C^jC% C M? )C% constitu e u n eventail e t don e defini t un e variet e toriqu e A s d e tor e l e quotient A% — G ^ / ( G ^ ) 0 de G ^ pa r l e sous-tor e ( G ^ ) ^ de s fonction s affine s S —> • G m . Le s orbite s «A | son t indexees pa r le s pavage s entier s convexe s 5 d e 5 et , etan t donne s deu x pavage s 5 et [/ , o n a *4 f C v4 ^ s i e t seulemen t s i S_ raffin e U_. Comme Valer y Alexee v l' a fai t remarque r a I'auteur , l e livr e [Gel'fand , Ka pranov e t Zelevinsky , 1 994 ] contien t l a construction , pou r t o u t polyedr e convex e engendre pa r se s point s entiers , d e l a variet e toriqu e d e se s pavage s pa r de s poly edres convexe s engendre s pa r leur s point s entiers . Dan s l e ca s d'u n convex e entie r (en notr e sens ) 5 , l a variet e toriqu e A s es t simplemen t u n ouver t dan s cell e d e Gel fand, Kaprano v e t Zelevinsk y ; son existenc e result e d e l a propriet e (3 ) de s convexe s entiers. Valer y Alexee v a egalemen t appri s a I'auteu r qu e le s even t ails d e fonction s convexes qu i definissen t le s variete s torique s d e pavage s on t et e introduit s de s 1 90 7 dans l'articl e [Voronoi , 1 907] . Le premie r theorem e d e c e text e es t qu'o n peu t m e t t r e e n famill e le s schema s Gr^ associe s au x pavage s entier s convexe s S_ d e S pou r obteni r un e compactifica tion d e G r 5 : T H E O R E M E . Dans le schema produit

AsxGm\l[{AiE.-{0}), \ies il existe un sous-schema ferme

Q

SjE

tel

que :

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viii I N T R O D U C T I O

N

(i) ft s>E est invariant par Aut(E.) = A u t ( £ 0 ) x • • • x A u t ( E n ) et par G ^ / G (agissant sur A via A K- > A- 1 et sur le second facteur coordonnee par coordonnee). (ii) La fibre de ft s,E au-dessus

de

m

1 G A% C A s est

(iii) Plus generalement, la fibre de ft ,E au-dessus du Vorbite A§ associee a un pavage S_ est

point distingue as

de

Grf. o rp

(iv) Le quotient ft ' de ft s,E par Vaction libre project if. / / est muni d'un morphisme

de G ^ / G

m

est

un schema

ns'E-^As/As0 O rp

et done de strates localement fermees ft$ qui des points A§ jA% de

A s/A%. Sa

sont les images reciproques

strate ouverte est

^ • E = G///(G^)0 = GT/ . Bien sur , c e theorem e defini t l e ferm e ft s,E d e manier e uniqu e comm e ensembl e mais a priori pa s comm e schema . Pou r leve r t o u t e ambiguite , o n defini t ft S'E pa r des familie s explicite s d'equation s obtenue s e n « tordant » le s equation s d e Pliicke r au moye n de s caractere s d e A s. O n renvoi e pou r cel a a u paragraph e 2.3 . Dans l e cas particulie r de s espace s d e configurations , e'est-a-dir e quan d r g i ^ , = rp

oo

1 = r a, 0 < a < n, o n not e simplemen t ft a

u lie u d e ft ' . o rp

Tout d e suit e apre s l a constructio n de s schema s S I ' , i l convien t d e donne r leurs propriete s fonctorielle s don t voic i le s plu s importante s : L e s m o r p h i s m e s d e faces . S i S' es t un e fac e d e 5 , o n a de s morphisme s naturels s'inscrivan t dan s u n diagramm e commutati f :

As/A% >A

S

'/AS0

Le morphism e d u hau t prolong e Gr ^—> • Gr^' , e t celu i d u ba s associ e a tou t pavag e entier convex e d e S l e pavag e indui t d e l a fac e S'. L e s i s o m o r p h i s m e s d e f a c t o r i s a t i o n . S i S C 5 r , n es t u n convex e entie r de dimensio n n — p ave c le s decomposition s associee s { 0 , . . . , n } = J Q II • • • II J p , S = S° x • • • x 5 ^ , o n a de s isomorphisme s canonique s compatible s :

^ H S ' EJ° X • • • X ti S"'Ej*

rf'B ^

I

As/A% -^+

A

s

°/As0° x

I

• • • xA

SP

/AS0P

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INTRODUCTION i

x

En particulier , le s pavages entier s convexe s d e S son t le s produit s d e pavage s entier s convexes d e S ° , . . . , S p. Dans l e cas de s espace s d e configurations , le s composes de s morphisme s d e face s et d e factorisatio n compactifien t le s morphisme s d'oubl i d'un e parti e de s point s d'une configuratio n o u d e passag e a l a configuratio n quotien t pa r l e sous-espac e projectif engendr e pa r un e sous-famille . On peu t cite r auss i : Les i s o m o r p h i s m e s d e d u a l i t e . S i r v = rgE — r , l'isomorphism e G r ^ ^ Gr ±

(F^E)» (F

rV £V

'

- f £ v ) = Ker(E v - » F v )

induit de s isomorphisme s entr e cellule s d e Schuber t mince s

GrS B ^ G r ^

£V

qui s e prolongen t naturellemen t au x compactification s :

AS/AS0-^ASV/A0V La premier e questio n qu e pos e l e theorem e ci-dessu s es t l a suivant e : QUESTION 1 . Pour E = £ 0 © • • • © E n, r et S C S r'n arbitrages, faux que la strate ouverte f£ 0 ' =

Gr ^ est

schematiquement dense

est-il

vrai ou

dans Q, ' ?

L'auteur n e connai t pa s d e contre-exemple . Mai s i l n e sai t pa s demontre r qu e l a reponse es t affirmative , mem e dan s le s « situations generique s » comm e le s compac tifications de s P G L ™ + 1 / P G L r o u de s espace s d e configuration s d e n + 1 point s e n position general e dan s P r - 1 . I I es t clai r qu e l e theorem e ren d compt e a u moin s e n partie d u phenomen e selo n leque l I'adherenc e d'un e cellul e d e Schuber t minc e n'es t pas e n genera l un e reunio n d e cellule s d e Schuber t mince s (voi r l e corollair e 2.1 1 ) . En u n sens , l a questio n 1 consiste a s e demande r s'i l e n ren d compt e completemen t ou non . Dans c e texte , o n montr e qu e \l 0 = G r 5 es t schematiquemen t dens e dan s o1 7 1

Vl ' seulemen t dan s le s ca s n < 2 o u r — 2 comm e consequenc e d'un e propriet e beaucoup plu s fort e : T H E O R E M E . Si n + 1

< 3 ou bien si r = 2, on a :

(i) Le morphisme de

structure Q,

' — » A j A% est lisse.

(ii) Pour toute face S' de S, le morphisme

fi -

n x

As'/A%>

A s/A%

est lisse. REMARQUES. -

S i r = 2 ou n + 1 = 2 , les varietes torique s A s son t toujour s o1 7 1

lisses s i bien qu e l'assertio n (i ) signifi e qu e le s 0 ' son t lisse s su r Spe c Z e t qu e leur s bords son t de s diviseur s a croisement s normau x relatifs . E n revanche , s i n + 1 = 3 ,

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x INTRODUCTIO

N

les variete s torique s A s n e son t pa s lisse s e n genera l e t le s schema s Q ' on t les memes singularite s qu'elles . - S i r = 2 e t rgE a — 1 = r a , 0 < a < n , le s espace s d e configuration s Q

2

E2

n

fl0 = Gr 5 ' = C 5 s'identifien t au x espace s d e module s jMo,n+ i d e courbe s d e genre 0 (isomorphe s a P 1 ) ave c n - j - 1 points marques , e t le s schemas projectif s Q s'identifient au x compactification s .A/fo,n+ i construite s pa r Grothendiec k e t Knud sen. I I faut signale r ic i que la descriptio n d e la combinatoir e de s strates d e bor d d e A4o,n+i e n terme s d e pavages d e S = {(i a)^=o | 0 < 2 a < l , V a e t ^ i a = 2 } figur e deja dan s Particl e [Kapranov , 1 993] . Plu s generalement , Kaprano v y construi t de s compactifications d e tou s le s espaces d e configuration s « generiques » , c'est-a-dir e classifiant le s familie s d e n + 1 point s e n positio n general e dan s P r _ 1 , et montr e qu'a chaqu e poin t d u bor d es t associ e u n pavag e (entie r convex e dan s notr e ter minologie) d e l' « hypersimplex e » S = {(i a)^=o | 0 < i a < 1 5 V a e t ^2i a = r }. g

C'est l a meme descriptio n combinatoir e qu e pour le s strates de s Q correspondant s mais l'auteu r ignor e encor e quell e es t l a relatio n exact e entr e le s compactification s de Kaprano v e t le s siennes dan s l a mem e situation . - S i r = 2 , E& = A 2 , Va e t S = £ 2 ' n , 0 ' es t un e compactificatio n equiva riante e t liss e d e PGL^" 1 " / P G L 2 . Ce s compactifications son t auss i construite s pa r une autr e method e dan s Particl e [Faltings , 2001 ] qui contien t l a premier e preuv e correcte d e leu r lissite . -S in = 1

,Ea=

A r , a G {0,1 } e t S = AS 7*'1 , Q ' es

t l a compactificatio n d e

De Concin i e t Proces i d e P G L ^ / P G L r . O n remarque qu e ces compactifications fon t done parti e d e la mem e theori e qu e les Alo,n+i Q rp

- S i n = 2 , E a = A r , a G { 0 , 1, 2} e t S = S' r ' 2 , Q ' es t un e compactificatio n equivariante d e P G L ^ / P G L r qu i es t liss e su r l e cham p toriqu e de s pavage s d u triangle 5 r ' 2 = {(^o ? *I? ^2) ^ N 3 | io + i\ + 1 2 = r}. Ell e a et e introduit e dan s l a prepublication [Lafforgue , 1 998 ] qui contien t un e preuv e de s propriete s d e lissit e differente d e cell e donne e dan s l e paragraph e 3. 5 d u presen t texte . Muni e de s 3 morphismes d e faces, ell e compactifi e l a multiplicatio n dan s P G L r . Cel a perme t d e compactifier auss i l e revetemen t d e Lan g d e P G L r au-dessu s d'u n corp s fini . O n renvoie a u paragraph e III.3 c d e Particl e [Lafforgue , 2002 ] pou r un e applicatio n d e cette constructio n a l a resolution de s singularites de s compactifications de s champ s de chtouca s d e Drinfel d ave c structure s d e nivea u san s multiplicites . Dans Particl e [Lafforgue , 1 999] , on pretendait e t o n croyait demontre r qu e dan s le ca s des compactifications de s P G L | ? + / P G L r l e morphism e d e structur e aL ^

t/\. J / l 0

est toujour s lisse . Ce t enonc e es t encor e vra i pou r P G L 3 / P G L 3 mai s i l est fau x e n general. L e premier contre-exempl e es t P G L 4 / P G L 4 o u le morphism e d e structur e n'est pa s plat (mem e su r Q). O n peut remarque r auss i qu e chaque foi s qu e la strat e ouverte d'u n Q ' es t no n vid e e n caracteristiqu e 0 mai s qu e certaines strate s d e bord n'existen t qu'e n caracteristiqu e p (c e qui se produit pou r le s compactification s des P G L ^ + 1 / P G L r o u des espaces d e configurations generique s quan d r > 3 et que n es t asse z grand) , l e morphism e d e structur e consider e au-dessu s d e Z p o u mem e de F p = Z / p Z ne peu t etr e plat .

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INTRODUCTION x

i

D'autre part , i l result e d u theorem e d e Mne v qu e dej a dan s l e ca s de s espace s de configuration s d e point s dan s l e pla n projecti f l a fibre generiqu e d u morphism e de structur e

US'E^AS/AS0 peut avoi r de s singularite s arbitraires . Cependant, pou r qu e l a theori e general e de s schema s Q ' devienn e interes sante, i l faudrai t certainemen t pouvoi r produir e de s familie s « grande s » (dison s C LP

par exempl e universelle s a u sen s de s motifs ) d e schema s ft ' don t o n sach e decrir e et resoudr e le s singularites . E t l'auteu r n e voi t pa s quell e autr e propriet e o n pour rait demande r qu e l a lissit e d u morphism e d e structur e 0 ' — > A s / A% consider e au-dessus d e Q o u d e ¥ p. Voici un e premier e ide e simpl e qu'o n peu t avoi r pou r essaye r d e construir e de s schemas Q lisse s su r leu r bas e A s / A% a parti r d'u n espac e d e configuration s arbi t r a g e Cg Q dan s l e pla n projecti f P 2 e t d'u n poin t generiqu e rj de Cg Q . Ajouton s aux configuration s d e Cg Q tou s le s point s d'intersectio n d e paire s d e droite s re liant de s point s d e l a configuration , e t metton s su r l'ensembl e de s ancien s e t de s nouveaux point s toute s le s relation s d'alignemen t o u d e non-alignemen t qu i son t verifiees e n 77 . Cela defini t u n nouve l espac e d e configuration s Cg x qu i es t reli e a u precedent pa r l e morphism e d'oubl i de s nouveau x point s -^3,ni -^3,n

0

ce morphism e es t un e immersio n localemen t ferme e don t l'imag e contien t rj. O n peut rrecommence e r l a mem e constructio n a parti r d e Cg x e infinie - ^ 3 , n2 -^3,n i -^3 '••^CS2 ^C Si ^C

t obteni r ains i un e tou r

, n0 So

d'espaces d e configuration s Cg k d e plu s e n plu s fins. Tou s contiennen t 7 7 mai s deviennent arbitrairemen t petits . I I es t clai r qu'apre s u n nombr e fini d e pa s il s son t o

lisses su r l e corp s d e bas e Q o u F p . Passan t maintenan t a no s compactification s Q 3 n,

des Cg k ,

elle s s'ordonnen t e n un e tou r 2

^ rf *

- nSi *

- n5°

^ AS*/AS02 — ^ i 5 i / 4 — > A S°/AS0° qui prolong e l a precedent e e t o u le s morphisme s d e transitio n son t de s morphisme s de faces . QUESTION 2 . Se plagant sur Q ou sur F p, est-il vrai ou faux que dans la construction ci-dessus, sur A

Sk

IA

k 0

des

la

compactification f

£ de

Cg k devient

automatiquement lisse

que k est assez grand ?

Si l a repons e a cett e questio n etai t affirmativ e su r F p , cel a impliquerai t un e forme d e resolutio n de s singularite s e n caracteristiqu e p d'apre s l e theorem e 3.1 0 du paragraph e 3. 3 auque l nou s renvoyon s (e t l e theorem e d e resolutio n equivariant e des singularite s pou r le s variete s toriques) .

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xii I N T R O D U C T I O

N

Bien qu e jusqu'a presen t nou s n e sachion s rie n dir e d e l a geometri e de s schema s o p

projectifs ft ' generau x e t qu'e n particulie r nou s ignorion s l a repons e au x ques q p

tions 1 et 2 , nou s montron s dan s c e text e qu e pou r tou t convex e entie r 5 , O ' es t solution d e deu x probleme s d e module s different s (e t mem e d e quatr e s i o n tien t compte de s isomorphisme s d e dualite ) associe s a 5 . L'auteu r a et e amen e a ce s ca racterisations modulaire s pa r l'etud e d u travai l d e Falting s su r le s compactification s des P G L ? + 1 / P G L r . Rappelons que l es t l e poin t d e vu e d e Faltings . II par t d'u n poin t g d e PGL™ + / P G L r a valeur s dan s l e corp s de s fraction s K d'u n annea u d e valuatio n discret e A e t i l cherch e a l e prolonge r su r A d'un e maniere o u d'un e autre . Pou r cela , i l releve c e poin t e n u n (#c h • • • > 9n) £ GL™ + (K) et i l consider e le s position s relative s de s reseau x M a = g a(Ar), 0 < a < n , dan s Kr. A multiplicatio n pre s pa r de s puissance s d e l'uniformisante , le s reseau x d e l a forme M — Ao • Mo - f • • • + A n • Mn ave c A o , . . . , A n G K x, son t e n nombr e flni , e t les fibre s projectif s associe s P ( M ) su r Specy l on t l a mem e fibr e generiqu e P ( i ^ r ) . L'adherence schematiqu e P g d e l a diagonal e ¥(K r) dan s l e produi t de s P ( M ) es t u n schema projecti f e t pla t su r Spe c A qu e Falting s appell e u n « schema d e Delign e » . II montr e qu e P g es t semi-stabl e c'est-a-dir e regulie r ave c u n diviseu r a croisement s normaux pou r fibr e speciale . Cependant , l a formatio n d u schem a d e Delign e P g n e commute pa s ave c le s changement s d e bas e A —> A f pa r de s anneau x d e valuatio n discrete A' ramifie s su r A. Falting s construi t alor s u n autr e schem a P m i n projecti f et pla t su r Spec^ l qu'i l appell e u n « model e minima l d e l'espac e projecti f » e t qui es t un e contractio n d e P g a u sen s qu'i l es t mun i d'u n morphism e birationne l surjectif P g — > P m i n don t l a restrictio n au-dessu s d e Spe c K es t u n isomorphisme . L e schema P m-m n'es t plu s semi-stabl e e t a de s singularite s toroi'dale s mai s s a formatio n commute au x changement s d e base . Mieux , Falting s construi t un e compactificatio n ft d e PGLJ? + / P G L r muni e d'un e fibration projectiv e e t plat e P tell e qu e tou t modele minima l P m i n s e dedui t d e P pa r l e morphism e d e changemen t d e bas e Spec A — > £1 qu i prolong e l e poin t donn e S p e c i f— » P G L j ? + 1 / P G L r . Au chapitr e 5 , nou s construison s de s fibration s projective s e t plate s generalisan t o pi

celles d e Falting s su r tou s le s schema s Q ' (pa s seulemen t le s compactification s des P G L ? + 1 / P G L r ) , nous decrivon s leu r geometri e e t nou s montron s qu'elle s son t universelles relativemen t a u n certai n problem e d e modules . Avant cela , o n introdui t e t etudi e a u chapitr e 4 u n autr e problem e d e modules , different mai s equivalen t e n definitive , e t qu i apparai t comm e u n intermediair e na o p

turel pou r passe r d e l a premier e constructio n de s ft ' a leur s fibration s projective s universelles. Afin d e formule r ce s deu x probleme s d e modules , o n a besoi n d'introduir e un e seconde variet e toriqu e A s plu s fin e qu e cell e A s de s pavage s d'u n convex e entie r S c .S fr ' n . Si S_ es t u n pavag e entie r convex e d e S e t S f un e facett e d e 5 (c'est-a-dir e un e cellule o u un e fac e d e cellule) , o n not e C§ s , C W s l e con e de s fonction s convexe s v: S - • R telles qu e v G 0$ e t S f — {i G S \ v(i) = min(v)} . Le s cone s Cg s , son t invariant s par l e sous-espac e R de s fonction s constante s e t o n montr e qu e l a famill e de s cone s quotients C f 5 , / R C R 5 / R constitu e u n eventail . Ell e defini t un e variet e toriqu e

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I N T R O D U C T I O N xii

As d e tor e A% = G ^ / G m don t le s orbite s A§ facette distingue e (S_,S f). P R O P O S I T I O N . (i

, son t indexee s pa r le s pavage s ave c

s

) Uhomomorphisme de s

s

A% = G JGm se prolonge en guee »

i

quotient s

* G m/(G m)0 =

un morphisme equivariant As - > A

s

A%

d'«

oubli de la facette distin-

.

(ii) Ce morphisme est projectif et plat [de dimension relative fibres sont geometriquement reduites.

di m S) et ses

Comme o n v a voir , l a fibration projective , plat e e t equivariant e A s— > A s formalise e n terme s d e geometri e algebriqu e l e recollemen t de s cellule s entr e elle s pour constitue r u n pavage , e n plu s de s relation s d e raffinemen t entr e pavage s dej a formalisees pa r A s. Cette fibratio n es t respecte e pa r l e tor e GJ^ +1 agissan t vi a G ^ + 1 - (G

S

J0 (A

0)

• • •, An) . - ( i = ( t s

0)...

,i„ ) ~ A

0°...

Ajr) .

s

Si S_ est u n pavag e d e 5 , l a fibr e Ys_ de A — » A au-dessu s d u poin t distingu e as de l'orbit e A$ es t u n schem a projecti f geometriquemen t redui t mun i d'un e actio n de G ^ + 1 . Voic i s a descriptio n geometriqu e : L E M M E . (i ) Ys_ est reunion finie d du pavage 5 .

'orbites Ys> indexees par les facettes S

f

(ii) Si di m 5 ' = n — p et { 0 , . . . , n} = J o I I • • • II J p est la decomposition associee, le fixateur dans GJ^ +1 de n'importe quel point de Y$' es t l e soustore « diaqonal »

(G^l)s> = ( ?

+1 m

= C m x - x C m M G i » x . . . x G i = G^ 1 .

(iii) L'adherence schematique Ys' de Y$' dans Ys est une variete torique (normale) projective de tore GJ^ +1 / ' ( G ^1) s ' • Ses orbites sont les Ys>> indexees par les faces S" de S f. Ainsi, le s composante s irreductible s de s fibre s d u morphism e A s— > As son t indexees naturellemen t pa r le s cellules de s pavage s d e 5 . C e son t le s varietes torique s des face s d e ce s cellule s e t elle s son t recollee s entr e elle s pou r constitue r le s fibre s suivant le s meme s regie s combinatoire s qu e le s cellule s d'u n pavag e pou r constitue r ce pavage . Revenant maintenan t a u schem a Q S'E au-dessu s d e A s, l e produi t fibr e SE U ' x As A s es t mun i d'un e actio n d e G ^ / G m = A% (qu'o n fai t agi r su r A s o rp

via A H^ A - 1 ) . L a premier e caracterisatio n modulair e d e Q = sur l e resul t at suivan t :

Q

S,E

jA% repos

e

PROPOSITION. On a un morphisme canonique QS'E x qui est respecte par I'action de particulier de G ^ + 1 .

As

A

s

- > Gr>£

A% et equivariant sous

celles de Aut(E 9) et

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en

xiv I N T R O D U C T I O

Si (Fs' &s_,S'

son

c

t les

N

Q S,E au-dessus

-> E)s'£S_ est un point de la fibre G r J de points distingues des

((Fs>)s>es;as,s>) sur

c

de

orbites Ys> —> Y$_, ce morphisme envoie

as et les chaque

F s sur X et un homomorphisme lineaire G 1 ^ -equivariant

a= 0

{oil p r x designe la projection X — • X). r$ On not e Vec r,b l e sous-cham p ou ^ On not e Vec r,b l e sous-cham p ouver t d e Vec ' o r © a = o P x £ot es t injecti f e n tou t poin t d e X

u l'homomorphism e £ o rp

Voici l a premier e caracterisatio n modulair e de s schema s O

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INTRODUCTION

THEOREME. On a un carre cartesien QSlE ^

Vec r>s D

oil la premiere fleche horizontale (qui done est lisse et surjective) est et la seconde fleche verticale est £ — i > (£Q )™ =0 .

definie par £

s

Cheminant maintenan t ver s l a second e caracterisatio n modulaire , o n consider e un poin t (X — > A s I A%, £) d u cham p Vec r,s a valeur s dan s u n schem a X. Pa r defi nition d e Vec r,s comm e ouver t d e Vec ' , le fibr e £ su r X es t mun i d'u n plongemen t canonique n

a=0

On not e £ Fouver t d e £ imag e reciproqu e d e r i a = o ( ^ — W ) P u ^ s ^ ( ^ ) * e quotien t de £ pa r Factio n libr e d e G ^ + 1 . P R O P O S I T I O N . Pour £ comme ci-dessus, F(£) est une fibration projective et plate sur X qui est munie d'un morphisme

lisse de dimension relative

r.

La geometri e de s fibration s P(£ ) es t decrit e dan s l e paragraph e 5.3 . Leu r cons truction es t universell e a u sen s d u theorem e suivan t : THEOREME. Soit Vroj r'S le schema X muni d'un morphisme

champ algebriqu e sur A s/ A% qui associe a tout

X-A le groupoi'de des fibrations projectives

et

s

/As0

plates

p: P->X verifiant p*Op — dimension relative

l

Ox et R p*Op = r qui releve p

P

0, \/i > 1 , et munies d'un

morphisme lisse

de

: p - > X/Gn; + 1

Alors le morphisme Vec r ' 5 - • Vroj

rS

'

£ ^ F(£) est une immersion ouverte. Ce theorem e qu i occup e l e chapitr e 5 e t dernie r d u presen t text e appell e plu sieurs commentaire s e t questions . Tout d'abord , Fauteu r doi t dir e qu'i l n e sai t pa s caracterise r Vec r,s comm e ouvert dan s l e cham p algebriqu e Vroj r,s. Mai s o n peu t pose r l a questio n suivant e :

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xvi I N T R O D U C T I O

N

QUESTION 3 . Est-il vrai ou faux que I'immersion ouverte Vecr>s ^ Vrop est aussi fermee, autrement connexes ?

dit

s

que son image est une reunion de

composantes

Quand o n reflechi t a u sen s concre t d e cett e question , l e premie r ca s qu i s e pre sente es t celu i d'u n schem a projecti f e t liss e su r l e spectr e d'u n annea u d e valuatio n discrete A don t l a fibr e generiqu e es t u n espac e projectif . Est-i l vra i alor s qu e l a fibre special e es t auss i u n espac e projectif ? Comm e Fabrizi o Catanes e l' a montr e a 1'auteur, l a repons e es t oui , mem e s i A es t d e caracteristiqu e positiv e o u mixte . Pour demontre r l e theorem e ci-dessus , o n doi t prouve r e n particulie r qu'u n point d e Vec r,s adme t le s meme s deformation s qu e so n imag e dan s Vroj r,s. Pou r c e faire, 1 'auteu r a et e inspir e pa r Petud e cohomologiqu e de s deformation s de s « schemas d e Delign e » qu i figurait dan s un e versio n preliminair e d e Particl e [Faltings , 2001] (mai s a dispar u d e l a versio n definitiv e publiee) . O n montr e e n fai t (c'es t l'objet de s paragraphe s 5. 4 e t 5.5 ) qu e le s complexe s cotangent s relatif s associe s aux deu x probleme s d e module s Vec r,s e t Vroj r'S on t l a mem e cohomologi e no n seulement e n degre s 0 , 1 e t 2 comm e i l aurai t suff i mai s e n tou s degres . O n verifi e au paragraph e 5. 8 qu'a u moin s su r l a strat e ouvert e u n phenomen e identiqu e s e produit pou r le s isomorphisme s d e dualit e : quan d deu x fibrations d e typ e P(£ ) sont duale s l'un e d e l'autre , leur s fibres tangent s logarithmique s on t mem e coho mologie e n tou s degre s bie n qu e le s dimension s d e ce s fibrations soien t differente s en general . Cela sugger e qu' a l a fago n pa r exempl e d e 1 'articl e [Ciocan-Fontanin e e t Ka CI ?

pranov, 2001 ] , tou s le s schema s projectif s Q ' devraien t s e releve r naturellemen t en de s « schemas differentiel s gradue s » qu i seraien t lisse s su r le s champ s torique s de pavage s A s j A%. S i d'ailleur s o n reli t l a fauss e demonstratio n d e l a lissit e d u morphisme d e structur e ft ' — » As/'A% dan s Particl e [Lafforgue , 1 999 ] (dan s l e cas d e s P G L P + 1 / P G L r ) , o n y trouv e u n fau x calcu l d e dimensio n qu i es t e n fai t u n calcul d e caracteristiqu e d'Euler-Poincare . I I doi t pouvoi r s'interprete r comm e u n calcul d e dimensio n d'u n « schema differentie l gradu e » liss e qu i relev e ft ' . Cependant, le s remarque s e t question s qu i interessen t l e plu s 1 'auteu r a propo s du theorem e ci-dessu s son t peut-etr e celle s relatives a l a definitio n mem e de s champ s

Vrops. Ces champ s son t muni s d'u n morphism e d e structur e su r A s/A% e t a fortiori su r A sIA% s i bie n qu'il s son t reunion s d e strate s localemen t fermee s Vrofy indexees pa r le s pavage s entier s convexe s 5 de s convexe s entier s S. La strat e ouvert e Vroj^ associe e a u pavag e trivia l d'u n S classifi e de s variete s projectives munie s d'u n morphism e liss e su r l e cham p quotien t Ys/G 7^1 d e l a va riete toriqu e Ys de s face s d e S pa r l e tor e GJ^ +1 . Cel a revien t a classifie r de s variete s projectives munie s d e structure s logarithmique s d'u n typ e donn e relativemen t aux quelles elle s son t lisses . Autremen t di t encore , o n classifi e de s variete s projective s dont le s singularite s son t prescrite s e t qu i son t munie s d'un e famill e d e diviseur s dont le s intersection s mutuelle s on t de s singularite s prescrites . Si maintenan t S_ es t u n pavag e entie r convex e d e 5 , l a strat e d e bor d Vrofy classifie de s schema s projectif s muni s d'u n morphism e liss e su r l e cham p quotien t

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I N T R O D U C T I O N xvi

i

Y s / G ^ + 1 d u schem a equivarian t Ys_ des facette s d e S_ par GJ^ +1 . Le s composante s ir reductibles d e ce s schema s projectif s son t le s image s reciproque s d e celle s Ys> /G 7^1 de Y s / G J ^ 1 , elle s son t indexee s pa r le s cellule s S' d u pavag e 5 , c e son t de s point s des champ s Trofy e t elle s son t recollee s entr e elle s suivan t le s meme s regie s com binatoires qu e le s cellule s S' pou r constitue r l e pavag e S_. On reconnai t l a un e situatio n frequent e e n geometri e algebriqu e (fibre s stables , chtoucas d e Drinfeld , variete s abelienne s e t semi-abeliennes , . . . ) ou , e n voulan t compactifier de s espace s d e module s classifian t u n certai n typ e d'objet s prescri t par un e donne e combinatoire , o n voi t apparaitr e a u bor d de s strate s localemen t fermees qu i classifien t de s familie s d'objet s d e type s similaire s mai s prescrit s pa r des donnee s combinatoire s « plus petite s » e t qu i son t recolle s entr e eu x suivan t certaines regies . Dans notr e situation , auss i bie n le s type s d'objet s classifie s qu e le s regie s d e recollement pou r le s strate s d e bor d e t qu e l e passag e contin u d e l a strat e ouvert e aux strate s d e bor d (o u le s singularite s prescrite s changent ) son t formalise s pa r l e systeme simpl e de s deu x variete s torique s l'un e su r l'autre , cell e A s de s pavage s e t celle A s de s pavage s ave c facett e distinguee . II es t frappan t d e constate r qu e dan s l a definitio n de s champ s Vroj r,s l e carac C zp

tere lineair e d e l a constructio n initial e de s schema s projectif s Q ' a completemen t disparu e t o n peu t s e demande r jusqu'o u l a theori e peu t etr e generalise e pou r en glober peut-etr e certain s espace s d e module s classique s d e l a geometri e algebriqu e et leur s compactifications . I I sembl e clai r qu e l a theori e classiqu e l a plu s proch e d e o pp

celle de s O ' es t cell e de s champ s modulaire s M. g,n d e courbe s d e genr e g ave c n point s marque s e t d e leur s compactification s M. g,n '• le s « morphismes d e face s » O rp

reliant le s different s Q ' corresponden t au x morphisme s d'oubl i d'un e parti e de s points marque s o u au x morphisme s « triviaux » consistan t a oublie r tou t sau f te l o u tel poin t marqu e e t le s strate s localemen t fermee s d u bor d de s AA g,n s e construisen t en recollan t de s M. g^n' a u moye n d e ce s morphismes . o pp

QUESTION 4 . Existe-t-il une generalisation commune de la theorie des Q ' et de celle des M. g,n ? En particulier, est-il possible de formaliser la combinatoire des M g^n et de leurs strates de bord au moyen d'une famille de paires de champs relies (C —> • C) dont les points de Vun correspondraient a des pavages d'un certain type d'objets et les points de Vautre a des pavages avec facette distinguee ? Comme o n a vu , l a theori e de s Ct ' e t cell e de s M g,n on t un e intersectio n no n vide consistan t e n le s A^o,n - S i o n s e rappell e qu e le s courbe s elliptique s degeneren t en « polygones d e Nero n » c'est-a-dir e e n familie s d e droite s projective s recollee s circulairement, o n es t tent e d e pense r qu e l a combinatoir e de s M.\, n pourrai t s'ex primer e n terme s d e pavage s d'objet s ayan t l e mem e typ e d'homotopi e qu e l e cercl e (alors qu e dan s l a situatio n « lineaire » d u presen t texte , le s objet s qu'o n pav e pou r exprimer l a combinatoir e de s O e t e n particulie r de s A4o, n son t de s polyedre s convexes, don e homotopiquemen t triviaux) . Quoi qu'i l e n soi t d e l a questio n 4 , l'auteu r pens e qu e le s schema s ft ' n e doivent pa s etr e etudie s isolemen t mai s relie s entr e eu x pa r le s differents morphisme s fonctoriels, e n particulie r le s morphisme s d e faces , e t pa r le s processu s d e passag e

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xviii I N T R O D U C T I O

N

aux strate s d e bor d e t d e decompositio n d e ce s strates , d e mem e qu e l a theori e d e la « tour d e Teichrmille r » consist e a regarde r le s M g,n tou s ensemble . Remerciements A l a fin d e cett e introduction , j e sui s particulieremen t heureu x d e remercie r les personne s qu i a u n momen t o u u n autr e m'on t manifest e leu r intere t pou r cette recherch e longue , difficil e e t balbutiante , Gerar d Laumo n depui s l e jou r o u j ' a i commenc e a lu i parle r d e pavage s d u triangl e e t d e recollemen t d e morceau x de grassmanniennes , Alai n Genestier , Ng o Ba o Chau , Michae l R a p o p o r t qu i m' a appris qu e dan s l a litteratur e mathematiqu e le s Gr ^ s'appelaien t de s cellule s d e Schubert mince s e t qu i m ' a renvoy e au x article s [Gel'fand , Goresky , MacPherso n et Serganova , 1 987 ] e t [Gel'fan d e t Serganova , 1 987] , Jean-Frangoi s Bouto t qu i m' a appris l'existenc e d u theorem e d e Mnev , Miche l Brion , C.S . Seshadri , C . D e Concini , Fedor Bogomolov , Vladimi r Drinfeld , . . . Je remerci e auss i beaucou p le s quelque s auditeur s d e l a seri e d'expose s qu e j ' a i q pp

faite su r le s schema s Q ' a u printemp s 200 1 a 1 'IHES . J'exprim e e n particulie r m a profonde reconnaissanc e enver s Ofe r Gabbe r qu i pa r se s tre s nombreuse s questions , remarques e t correction s a enormemen t contribu e a ameliore r e t clarifie r l e conten u des exposes . A u cour s d e l a redactio n d u texte , j ' a i auss i souven t benefici e d e so n aide pou r repondr e a de s question s d e geometri e algebrique . Plu s qu e tout , s a remarque (facil e mai s qu e j e n'avai s pa s faite ) e n novembr e 200 0 qu e le s espace s de configuration s son t universel s a u sen s de s motif s a relanc e pou r mo i l'intere t d e toute l a theorie . Je remerci e egalemen t l e Centr e d e recherche s mathematique s (CRM ) d e l"Uni versite d e Montrea l e t e n particulie r so n directeur , Jacque s Hurtubise , d e m'avoi r invite dan s l e cadr e d e l a « chaire Aisenstad t » , d e m'avoi r ains i donn e l'occasio n d e faire un e nouvell e seri e d'expose s su r l e conten u d e c e livre , a Montrea l e n ma i 2002 , puis d e m'avoi r propos e d e l e publie r dan s l a seri e de s monographie s d u CRM . Enfin c'es t vraimen t u n tre s gran d plaisi r pou r mo i d e remercie r Mm e Cecil e Cheikhchoukh d e 1 'IHE S pou r so n travai l d e frapp e d e l'ensembl e d u manuscrit , effectue ave c un e rapidit e impressionnante , ave c perfectio n e t toujour s dan s l a bonn e humeur, e t d e remercie r auss i beaucou p Mm e Marie-Claud e Vergn e qu i a realis e tous le s dessins .

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Sommaire Introduction ii Remerciements xvii

i i

Chapitre 1 . Cellule s d e Schuber t mince s e t espace s d e configuration s d e matro'ides 1.1. Matro'ides , convexe s entier s e t cellule s d e Schuber 1 t mince s 1.2. Propriete s de s convexe s entier s 3 1.3. Restrictio n au x face s 5 1.4. Morphisme s simpliciau x 7 1.5. L e ca s o u tou s le s E a son t d e ran g r 8 1.6. Lie n ave c le s espace s d e configuration s quan d le s E a son t d e ran g 1 9 1.7. Applicatio 1 n d u theorem e d e Thale s 1.8. L e theorem e d e Mne v

2 4

Chapitre 2 . Compactification s : Pavage s d e convexe s entier s e t recollemen t 1 des cellule s d e Schuber t mince s 2.1. L e cham p toriqu e de s pavage s 1 d'u n convex e entie r 2.2. Recollemen t de s cellule s d e Schuber t mince s 2 2.3. Mis e e n famille . Projectivit e 2 2.4. Restrictio n au x face s 2 2.5. Morphisme s simpliciau x 3 2.6. Restrictio n d'u n pavag e a un e d e se s facette s 3 2.7. Changemen t de s espace s ambiant s 3 2.8. Dualit e 4

9 9 3 3 8 4 7 9 0

Chapitre 3 . E t u d e d e quelque s familie s simple s d e compactification s 4 3.1. Le s ca s de s rang s r — 1 e t r = 2 4 3.2. Espace s d e configuration s e n rang s r = 1 e t r = 2 e t leur s duau x 4 3.3. U n lemm e d e Cho w pou r le s espace s d e configuration s 5 3.4. Consequence s d e Factio n d u group e A u t ( £ o ) x • • • x Aut(.E n ) 5 3.5. Lissit e pou r le s multiplicite s n + 1 < 3 6 3.6. Relatio n entr e strate s de s compactification s e t produit s fibres d'espace s de configuration s 6 3.7. Le s pave s entier s pe t its e n dimensio n n = 3 7 3.8. Exame n de s rang s r = 2 , 3 e t 4 e n dimensio n n — 3 7

3 3 8 3 6 3 9 3 5

Chapitre 4 . L e fibre equ i variant universe l su r l a variet e toriqu e de s facette s des pavage s 8 1 4.1. L e cham p toriqu e de s pavage s ave c facett e distingue e 8 1 4.2. L e morphism e d'oubl i de s facette s distinguee s 8 3

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xx S O M M A I R

E

4.3. L e fibre equ i variant canoniqu e 8 8 4.4. L e cham p de s fibres equivariant s 9 1 4.5. Decompositio n d'u n convex e entie r e n facteur s e t fibres equivariant s 9 6 4.6. Restriction s au x face s d'u n convex e entie r o u au x facette s d'u n pavage 0 0 4.7. Universalit y d u fibre 1 equivarian t canoniqu e 0 3 4.8. Cohomologi e equivariant 1 1 e e t deformation s 5 Chapitre 5 . Variation s d e variete s projective s rationnelle s ave c structure s logarithmiques 2 1 5.1.1 L a fibration projectiv e canoniqu e 2 1 5.2. Resolutio n canoniqu e d u cham p toriqu e de s face s d'u n convex e entier 2 4 5.3. Geometri e de s fibres 1 2 9 5.4. Cohomologi e coherent e de s fibres 1 tangent s relatif s 3 5 5.5. L e ca s d'u n pav e entie r e t1 d e so n pavag e trivia l 4 0 5.6. Fibre s inversible s su r l a fibration projectiv 1 e canoniqu e 5 1 5.7. Universalit e d e l a fibration projectiv 1 e canoniqu e 5 7 5.8. Retou r su r l a dualit e 6 3 References bibliographique s

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169

https://doi.org/10.1090/crmm/019/01

CHAPITRE 1

Cellules d e Schuber t mince s e t espace s d e configurations d e matroide s 1.1. M a t r o i d e s , c o n v e x e s e n t i e r s e t c e l l u l e s d e S c h u b e r t m i n c e s On consider e u n ran g r > 1 et u n espac e gradu e E= E0© • • • ©E

n

somme d e n + 1 sous-espace s vectoriel s E a, 0 < a < n. On not e G r r ^ l a grassmannienn e de s sous-espace s d e dimensio n r dan s E. O n a l e plongemen t d e Pliicke r G r r ^ c + p ( A r E) et l a puissanc e exterieur e A r E s e decompos e e n

A r £= 0 h±E. ieS1"'71

n+1

i = ( i 0 , . . . , i n ) eN

J2^ a=0

et, pou r i = ( z o , . . . , i n) G AiE. =

5 r ' n , o n a not e A io E 0 0 A' 1 Ei 0 • • • 0 A

in

£ n.

Pour tout e parti e / d e { 0 , . . . , n } , o n peu t considere r l a somm e partiell e Ei = a G / E a dan s £ . On appell e « matroi'de » d e ran g r su r { 0 , . . . , n} tout e famill e d'entier s d^ > 0 indexes pa r le s partie s / d e { 0 , . . . , n} qu i verifi e le s condition s : 0

(M) |

4 = 0 'd {0,....n}=*-' \df+dSjn aei J

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2

1. CELLULE S D E S C H U B E R T MINCE S

En fonction du

sous-espace F E, le matroi'de (dj) est dsj = d i m ( F n £ / ) , V / C { 0 , . . . , n }

donne par .

D E M O N S T R A T I O N . O n rappeller a a u paragraph e suivan t commen t demontre r l'unicite d u matroi'd e (df ) d e ran g r qu i defini t u n convex e entie r S donne . Ici, contentons-nou s d e remarque r qu e l a famill e de s d^ = d i m ( F P i £ 7 ), I C { 0 , . . . , n} verifi e le s condition s (M ) e t montron s qu e l e convex e entie r associ e S= 1 ie S

rn

'

ael ) coincide ave c SF = {iGS

rn

' \Xi^0}.

Pour tout e parti e / d e { 0 , . . . , n } , o n a u n isomorphism e canoniqu e A r F 9* A d* {F n Ej) Ar ~ ^ (F/F n

E x)

d'ou i l result e (i0,...,in), Xi^0>. dj — min< 2_. ia [aei II suffi t don e d e prouve r qu e s i j = ( j o , . . . , jn ) es t u n uple t d e 5 r ' n te l qu e Uj = 0 , i l exist e un e parti e / d e { 0 , . . . , n} tell e qu e

Vz = ( z o , . . . , i n ) , X ^ a aei aei

X ^

a ==

>u

i = ®-

Considerons le s homomorphisme s E^ — » F v , 0 < a < n , duau x de s F E —+ Ea. L'hypothes e su r j signifi e qu e 1 'homomorphism e A j0 EQ ® A j l E± (g ) • • • AJn E^ — » A r F v es t nul . Autremen t dit , chaqu e foi s qu'o n choisi t j o vecteur s dan s EQ , . . . , j n vecteur s dan s E^ , l a famill e de s r = j o + • • • + j n vecteur s image s dan s F v es t liee . Soit alor s un e famill e d e n +1 entier s j 0 , . . . , j n no n tou s nuls , verifian t 0 < j 0 < jo, • • •, 0 < j ' n < j n , tel s qu e chaqu e foi s qu'o n pren d j 0 vecteurs dan s EQ ,..., j ' n vecteurs dan s E„, l a famill e de s j 0 -f • • • 4- jn vecteur s image s dan s F v es t liee , e t qui soi t minimal e pou r cett e propriete . Cel a signifi e qu e pou r tou s entier s fco,.. • , fcn verifiant 0 < fc 0 < j 0 , •. . , 0 < k n < j n e t A: 0 H h kn = j 0 H h j£ - 1 , i l es t possible d e choisi r & o vecteurs dan s E ^ , . . . , k n vecteur s dan s E^ tel s qu e l a famill e des & 0 + ' " • + kn vecteur s image s dan s F v soi t lineairemen t independante . Soit / l e sous-ensembl e no n vid e d e { 0 , . . . , n} constitu e de s indice s a tel s qu e

fa > 0 En remplagan t a u besoi n l e corp s d e definitio n d e F pa r un e extension , o n peu t choisir JQ vecteur s dan s EQ , . . ., j ' n vecteur s dan s E^ t d e tell e faco n qu e chaqu e fois qu'o n enlev e u n vecteu r a l a famill e imag e dan s F v , ell e devien t lineairemen t independante. Comm e cett e famill e imag e es t liee , ell e engendr e dan s F v u n sous espace F ,v d e dimensio n j ' 0 H \-j' n — l. D e plus , pou r tou t a £ / , s i o n remplac e Tun de s j ' a vecteurs choisi s d e E^ pa r u n vecteu r arbitrair e d e E 1 ^, l a nouvell e famille imag e dan s F v engendr e u n sous-espac e d e dimensio n j f0 + • • • + j ' n — 1 qu i est necessairemen t F' y. Cel a signifi e qu e F' y es t l a somm e de s image s d e tou s le s homomorphismes

El^F\ aei, Licensed to AMS. License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/publications/ebooks/terms

1.2. P R O P R I E T E S D E S C O N V E X ES E N T I E R S

et o n a pou r tou t uple t i = ( i g , . . . , i n) d e S > >

^ ley

3

r,n

= > Xi

.U

et a plu s fort e raiso n

ZN

X^ — U.

1>a. dL / j J a ^

C'est c e qu'on voulait . D Un convex e entie r S C S r,n etan t donne Lonne,, o n note n n e soit pa s vide. Un e conditio n necessair e evident e est r g £ a >r

a

= r-df 0M_{a}, V

a G {0, . . . , n } .

1.2. P r o p r i e t e s d e s c o n v e x es e n t i e r s A tou t matroi'd e (d/)/c{o,...,n } d e rang r est associe u n convexe entie r S qu i es t une parti e d e S r>n = {i = (z 0 ,'..'., in) G N™+1 | ^ Lo *« = r }De meme , o n peut lu i associer dan s l'espac e affin e ree l M. r,n = { x = ( x o , . . . , xn ) G Rn + 1 | ^ ™ = 0 x « = r ) ^ e polyhedre convex e SR = < x = ( x 0 , . . . , x n ) G R ' Si Z r , n = { i = ( i o , . . . , i n ) G

^2%a > di, VI

Zn + 1 | y ^ ^ = n ^ a =

r

} design e l e resea u de s point s

5 = 5 M nZ r ' n . r n

Les polyedre s convexe s d e M ' qu i son t dermi s d e cette fago n son t appele s polyedre s convexes entiers . Leurs principale s propriete s son t enoncee s e t demontree s dan s l e lemm e 2 du paragraphe l a et dans le s paragraphes 2 a et 2b de Particle [Lafforgue , 1 999 ] auxquel s on renvoie . Contentons-nou s ic i de recopier le s enonces. On a d'abor d l e lemme facil e :

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4

1. CELLULE S D E SCHUBER T MINCE S

LEMME 1 .2 . Soient (dj) un matroi'de de rang r sur {0 , . . . , n} et SR = {x = ( x o , . . . , x n) G Mr ' n | X^ae i x a > di, V / } / e polyedre convexe entier associe. Alors, si x = (XQ, . . . , x n ) es t i m poin t d e 5 R e t / , J detw : parties de { 0 , . . . , n } te//es g^x e ^ x a= on a di + dj = d InJ +

d/e

d 7 u j et Ylaeinj

t y^Xg

=

dj,

& = ^/nJ , S a e / u J x « = d/uj - •

x

Puis o n montr e le s deu x caracterisation s suivante s de s polyedre s convexe s en tiers : LEMME 1 .3 . Un polyedre convexe SR de R r ' n est entier si et seulement si pour toute suite SR = Si Q, S ^ 0 + i , . . . , S n constitute de polyedres convexes St, £Q < £ < n, de codimension £ dont chacun est un bord du precedent, il existe une permutation r de { 0 , 1 , . . . , n}, une permutation a de { 1 , . . . , n} et des entiers d\, c ^ , . . . , d n G N tels que, pour tout £, £Q < £ < n, les coordonnees xo,...,x n des points de Si verifient les equations : x

x

x

x

r{a{l)) + r{a{2)) +

KXT( Gr^ , depen d d'u n choi x d'equation s associ e a u choi x d e la suit e S = So , S i , . . . , Sk = S' pou r passe r d e S a 5 ' . O n peu t donne r un e repre sentation canoniqu e d e c e morphism e e n utilisan t l e fai t que , d'apre s l e lemm e 1 .2 , l'ensemble de s partie s I C { 0 , . . . , n} telle s qu e l'equatio n Yla^i ^ = ^i S01 ^ verifie e dans l a fac e S ; es t stabl e pa r intersection s e t reunions. ) • On rappell e qu'o n a appele s pave s entier s ceu x de s convexe s entier s d e S r ' n qui son t d e dimensio n maximal e n. O n peu t vouloi r decrir e l a structur e de s cellule s de Schuber t mince s G r J associee s a de s convexe s entier s S qu i peuven t s'ecrir e comme de s face s c'est-a-dir e son t d e codimensio n > 1 . D'abord , o n a : L E M M E 1 .7 . Soit S un convexe entier de S r,n qui Alors il existe une unique partition

est de codimension p.

p

{0,l,...,n} = J J j, 2=0

de { 0 , . . . , n} en p + 1 parties non triviales Ji, 0 < i < p, telle que

df = d sJonI + ---+d sJpnI, V / C { 0 , . . . , n }

.

Si pour tout indice i, 0 < i < p, on note n^ = \Ji\ — 1 et Ti = d Sj., avec done n + l = Y^i=o( ni + 1 ) et

r

— ro + • • • + r p, on peut ecrire S= S0x Six • •• xS

p

ou chaque Si est un pave entier de

Sn'n* = I (ia)« eji e NJ* qui est defini par la famille

D E M O N S T R A T I O N . D'apre s l e lemm e 1 .3 , i l exist e un e partitio n d e { 0 , . . . , n } en p + 1 parties no n triviale s J^ , 0 < i < p, e t de s entier s r o , . . . , r p tel s qu e Vz = ( z 0 , . . . , i n ) e S, Vie { 0 , . . . , p }

, ^2

*i = = T, — (i \°aa — Z^t(/3 )= L(3)=*Jp)*=o

€ S r ' n son

image pa r *,* , on a u n homomorphism e injecti f

A^E.-^AIE',, et l a somm e d e ceux-c i n'es t autr e qu e la puissanc e exterieur e

ArE^ArE'. On a : LEMME 1 .9 . Pour toute application i\ { 0 , . . . , p } —• { 0 , . . ., n } comme ci-dessus, S un convexe entier de S r,n et S f son image reciproque par i* supposee non vide, le morphisme

Gm\ H^E. - w) -^ G- \ n ( A -^ - {°}) \ies \ies> envoie G r ^ dans

Gr^ , .

Si F est un point de G r J et

F' le point image dans G r J , , le plongement F' E'

est Vimage de Uhomomorphisme injectif

compose

F^E-^E'. • 1.5. L e c a s o u t o u s le s E a s o n t d e r a n g r Un ca s particulier es t celu i o u tous le s Ea, 0 < a < n, son t de s copies d u mem e espace vectorie l canoniqu e A r d e ran g r , ave c don e E = ( A r ) n + 1 . C'est l e cadr e envisag e dan s Particl e [Lafforgue , 1 999 ] ou o n a not e G r r ' = r n Gr ' . Le group e GL™ + agi t su r la grassmannienne G r r ' n e t il respecte s a stratificatio n en cellule s d e Schuber t mince s Gr^' n associee s au x convexe s entier s S d u simplex e

Sr'n = { 1 = (*o , • • •, O £ r N n+1 | Ea=o ** = r }' La strat e ouvert e G r ^ n = G r ^ n associe e a S = S r,n classifi e le s sous-espace s de dimensio n r dan s ( A r ) n + 1 = E don t toute s le s projections su r le s n-\-1 facteur s A r son t de s isomorphismes . Ell e es t homogen e sou s Tactio n d e GL™ + e t contien t comme poin t distingu e l a diagonal e A r d e ( A r ) n + 1 ; le stabilisateu r d e celle-c i es t G L r plong e diagonalemen t dan s GL™ +1 e t don e Gr^ 77, s'identifi e a G L ™ + 1 / G L r . Son quotien t pa r Tactio n libr e d e G ^ + 1 / G m s'identifi e a P G L ™ + 1 / P G L r .

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1.6. LIE N AVE C LE S ESPACE S D E C O N F I G U R A T I O N S

9

La famill e de s cellule s G r ^ n , n G N , mimi e de s morphisme s simpliciau x L* : Gr^ 71 — • G r ^ p associe s au x application s i\ { 0 , . . . , p } — • { 0 , . . . , n } constitu e un schem a simplicia l qu i s'identifi e a u classifian t ( G L ™ + 1 / G L r ) n > o d u group e G L r . 1.6. L i e n a v e c le s e s p a c e s d e c o n f i g u r a t i o n s q u a n d le s E a s o n t d e r a n g 1 On consider e d'abor d l e ca s genera l d'u n espac e gradu e E = E 0 © E1 0 • • • 0 E

n

ou le s E a, 0 < a < n , son t d e rang s arbitraire s > 1 . LEMME 1 .1 0 . Si S est un pave entier c'est-a-dire un convexe entier de dimension maximale n dans S r,n, Vaction de G J ^ + 1 / G m sur la cellule de Schubert mince Gr^' n est libre. +1

DEMONSTRATION. Soi t (A 0, Ai,..., An) u n point d e G^ qu i fixe u n point F de Gr^' n . I I s'agi t d e prouve r qu e A o = A i = • • • = A n . Le poin t F peu t etr e represent s pa r u n uple t d e coordonnee s no n nulle s dan s les A 1 Em^ i G 5, qu i es t bie n determin e a multiplicatio n pre s pa r u n scalaire . Done i l exist e u n scalair e A tel qu e pou r tou t poin t i = (io , • • • , in) dan s 5 , o n ait A0°A11 . . . A^ n = A . Comme S es t d e dimensio n maximal e n , i l contien t d'apre s l a propositio n 1 .5(iv ) une famill e generatric e d u resea u Z r ' n — {i = (ZQ , . . . , z n ) G Z n + 1 | X^a= o ^ = r i et pou r tou t poin t i = ( i o , . . . , i n) d e Z r,n o n a encor e A

0

A

l"

'

A

n—

A

-

On e n dedui t aussito t qu e pou r t o u t e pair e d'indice s a , a ' , o n a AQ/AQ,/ = I . n

Si don e 5 es t u n pav e entie r d e 5 r , n , o n not e Gvg l e schem a quotien t d e Gr^ ' par Tactio n libr e d u tor e G ^ + 1 / G m . Si S es t u n convex e entie r d e 5 r ' n d e codimensio n p , o n a ave c le s notation s d u lemme 1 . 7 e t d u corollair e 1 . 8 un e partitio n canoniqu e {0,...,ra} = J o I I . - . I I J

p

et un e decompositio n Gr r 9 ' B = G/°> Ej° x . . . x G r f L'action d e G 7^~1 /Grn su r G r § s

J p

.

e factoris e a traver s so n quotien t

G # / G m x G*/G m x • •. x Gix/Gm lequel agi t libremen t puisqu e So ? S i , . . . , S p son t de s pave s entiers . L e quotien t Gr^ 0 ' °

x • • • x Gr 5 P ' v

d e Gr^ ' pa

r cett e actio n libr e es t not e Gr ^ .

Supposons maintenan t qu e EQ, E\ ,..., E n son t tou s d e ran g 1 . Soi t S u n con vexe entie r d e S r,n te l que , pou r t o u t a , 0 < a < n, o n ai t

ra{=r-ds{0M_{a}) =

l.

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1. CELLULE S D E S C H U B E R T M I N C E S

10

L'espace d e configuration s C p n d u convex e entie r S (o u d u matroid e (df) ) es t l e schema classifian t de s familie s d e n + 1 point s d e P r ~ 1 telle s que , pou r tout e parti e no n vid e I C { 0 , . . . , n}, l e sous-espace projecti f Pj d e P r _ 1 engendr e pa r le s P a, a E I, soi t d e dimensio n

dim(P/)=r-l-df0_n}_/. II es t mun i d'un e actio n d u group e projecti f P G L r . THEOREME 1 .1 1 (Gelfand , MacPherson) . Supposons que EQ, Ei,...,E n sont tous de rang 1 et considerons un convexe entier S de S r,n qui a un espace de configurations non vide Cg' n . Alors Vaction de P G L r sur Cg' n est libre si et seulement si S est de dimension maximale n. Dans ce cas, le quotient C$ de C r ' n par Vaction libre de P G L r s'identifie au quotient Gr

s'

de

G r J par

Vaction libre de G ^

+1

/Gm.

D E M O N S T R A T I O N . Soi t P = ( P 0 , P i , . . ., P n ) u n poin t d e C rs:n. Comm e d% = 0, le s P a , 0 < a < n , engendren t l'espac e projecti f P r _ 1 tou t entier . D'apre s l e lemme 1 .7 , dir e qu e S es t d e dimensio n < n equivau t a dir e qu'o n peu t scinde r l a famille de s P a , 0 < a < n , e n deu x sous-familie s qu i engendren t de s sous-espace s projectifs supplementaire s dan s P r _ 1 . C'es t equivalen t a demande r qu e l e poin t P soit fixe pa r u n sous-group e no n trivia l d e P G L r . Supposons maintenan t qu e S es t d e dimensio n maximal e n c'est-a-dir e es t u n pave entier . Soit F ^ E 0 © • • • © En = E u n poin t d e G r J . On peu t associe r a F le s point s P a , 0 < a < n , d e P ( P V ) qu i son t le s hyperplan s d e F noyau x de s homomorphisme s surjectifs F —> • Ea ; il s n e dependen t qu e d e I'orbit e d e F sou s G ^ + 1 / G m . S i o n choisit un e bas e d e P v , il s definissen t u n poin t d e C j n . E n effet , s i pou r tout e partie no n trivial e / d e { 0 , . . . , n } , Pj design e l e sous-espac e projecti f engendr e pa r les P a , a G /, o n a r- 1

- d i m ( P 7 ) = dim f Kerj^ F - > Ej =

0 £ a j J = df 0 ,...n}-J-

L'oubli d e l a bas e F y revien t a considere r l e poin t imag e dan s Cg . Reciproquement, s i P = (PQ , . . . , P n) es t u n poin t d e C^' n , chaqu e P a peu t etr e vu comm e un e droit e d e A r pou r laquell e o n p e u t choisi r u n isomorphism e ave c E^. O n obtien t u n homomorphism e

£v = © ^ - ^ dont l e dual A r— > E es t u n plongement . Quotiente r pa r G L r revien t a n e considere r que so n imag e F qu i es t u n poin t d e Gr^ ' . E t oublie r le s isomorphisme s P a = E^ revient a quotiente r pa r GJ^ +1 . On a defin i deu x morphisme s

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1.6. LIE N AVE C LE S ESPACE S D E C O N F I G U R A T I O N S

11

qui son t inverse s l'u n d e l'autre . • Si S es t u n convex e entie r d e S r,n qu i a u n espac e d e configuration s C^ n mai s est d e codimensio n p > 1 , ecrivon s le s decomposition s canonique s d u lemm e 1 . 7 e t du corollair e 1 . 8 : {0,...,n} = JoII---IIJp , r = r 0-\ h r

p,

n + 1 = (n 0 + l ) + -- - + (n p + l ) , S = So x • • • x S G^E =

G/s

O,EJo

x

. . .

p,

x G r

£ ^ .

r Alors r o , . • •, r p son t de s entier s > 1 , le s pave s entier s So,... ,S P dan s S °>n°,..., r n n P p S pi p on t de s espace s d e configuration s C ^ ° ' ° , . . . , C 5 ' e t o n peu t note r

°5—

°50X

• • • X 05p

avec don e u n isomorphism e canoniqu e

On a u n morphism e nature l 7^ r ' n 7 qui consist e a associe r a tou t poin t P — y 5(PQx , . . .' , 'P' nx ) °d5e . C p n le s configuration s de s 0 families d e point s (P a)aeJn 0 < 2 ; < p , dan s le s espace s projectif s P j z d e dimension s ri — 1 qu'elle s engendrent . I I fai t d u schem a C$ u n quotien t categoriqu e d e C^ n par P G L r . Dans l e context e de s espace s d e configurations , l a propositio n 1 . 6 s'interpret e de l a manier e suivant e : COROLLAIRE 1 .1 2 . Soient S un pave entier de S r,n qui a un espace de configurations Cg' n et S f un bord de S (e'est-a-dire une face de codimension1 ) defini par une equation "}2 aeIia — df - Notons J= {0,...,n}-J , n

0

= |/ | - 1

r0 = dj, r i = r - r

,n 0

x

= \J\ - 1

,

,

avec done S' = So x S\ ou So, S\ sont deux paves entiers dans S r°'n°, S Alors le morphisme

quotient de

G r ^— > G r^ pa r Vaction de

Tl,ni

.

G ^ + i consiste a associer a toute confi-

guration P — (PQ , • • • •> Pn) dans C 5 ' la paire (P 0 > f i) ^ Cs° 0' ° x ^Si * °^ - P x es/ : / a configuration des P a, a £ J, dans Vespace projectif Pj qu'ils engendrent, - P 0 est la configuration des points images des P a, a G I, dans Vespace projectif quotient de P r _ 1 par Pj. • EXEMPLE. Pou r r = 3 e t n = 6 , consideron s le s configuration s dan s l e pla n projectif P 2 qu i son t d u typ e d e l a figur e 1 . 1 :

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12 .

CELLULE S D E S C H U B E R T M I N C E S

F I G U R E 1 .1

.

- S i / = { 0 , 1 , 6}, on a r o = 1 , ri = 2 , C 5°o' ° est trivial e t C^ x es t l'espac e de configuration s d e quatr e point s distinct s su r la droit e projectiv e P 1 . L e morphisme C$ —> • C s ' consist e a associe r a l a figure 1 . 1 ci-dessu s l a configuration d e P2, P3, P±, P5 sur la droite qu'il s engendrent . - S i I = {6} , o n a r o = 2 , 7* 1 = 1 , C s^ es t trivia l e t C s^ es t l'espac e de configuration s d e quatr e point s distinct s P^ P 3 = P Q , ^4 = ^ i > ^ 5 s ur P 1 . L e morphisme C s '— > C5 ' consist e a associe r a l a figure ci-dessu s l a configuration de s images P ^ , 0 < a < 5, des Pa su r la droite a l'infin i pa r l a projection d e centre PQ. Enfin, voyon s commen t le s morphisme s simpliciau x d u lemme 1 . 9 s'interpreten t en terme s d'espace s d e configurations . Considerons don e deu x espace s gradue s E = E 0 0 • • • © En ,

E' = E

/ 0®---®E p

par de s sous-espaces E a e t E'* d e rang 1 et i\ { 0 , . . . , p }— » { 0 , . . ., n) un e application tell e qu e Ep — EL^, V/3 . Soit S u n convexe entie r d e Sr,n qu i a un espace d e configurations C^ n. L'imag e reciproque S' d e S pa r *, * : S r,p— * S r,n es t non vid e si et seulement s i pour n'import e quel poin t P = (PQ , . . . , P n ) d e C p n , l a sous-famill e de s PQ , a G Im(^), engendr e P r _ 1 tou t entier . Dans c e cas, l e morphisme C$ — > C5'/ dedui t d e G r J n —> • Gr^'f par passag e aux quotient s consist e a associe r a toute configuratio n P = (PQ , . . . , P n ) l a configu ration de s PQ — Pt(/3), 0 < / ? < p . Quan d £ est injective, cel a signifi e qu'o n gard e p + 1 des 7 1+1 point s d e la configuration e t qu'o n oubli e le s autres. 1.7. A p p l i c a t i o n d u t h e o r e m e d e T h a l e s Considerons le s espaces d e configurations C s'n e n rang r = 3. lis classifien t le s families P = (PQ , . . . , P n) d e n + 1 points P a , 0 < a < n , dan s le pla n projecti f P 2 telle s que - V a , / 3 , P a ^ P/ 3 s i 4 o , . . . , n } - { ^} = 1 et P a = P ^ si ds{0ji}_{af3} = 2, - V a , / 3 , 7 , P a , P/9 et P 7 son t aligne s s i et seulement s i d?0 n

n

} _ { a # T\ > 0.

Les espace s d e configurations C y classifien t don e le s families finies d e point s du pla n projecti f P 2 don t toute s le s relations d'alignemen t e t d e non-alignemen t sont specifiees . On a :

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1.7. A P P L I C A T I O N D U T H E O R E M E D E T H A L E S

13

PROPOSITION 1 .1 3 . Pour tout schema X de type fini sur Z et reduit, il existe un entier n et un pave entier S de S 3:U tel que Vespace de configurations

CT = C^n/PGLr soit isomorphe a

un ouvert non vide U de X.

D E M O N S T R A T I O N . O n peu t suppose r qu e X es t affin e e t integr e e t qu'i l es t defini pa r u n nombr e fini d'equation s d e l a form e P= Q ou le s P , Q son t de s polynome s e n u n nombr e fini d e variable s don t le s coefficient s sont de s entier s positifs . Par consequent , o n peu t represente r X e n choisissan t de s variable s X Q , X I , . . . , X m e t e n posan t de s equation s d e l a form e

- x 0 = i, - X 7 = X a + X ^ pou r u n certai n nombr e d e triplet s (a , /?, 7) dan s { 0 , 1 , . . . , m } , - X 7 = X aXp pou r u n certai n nombre s d'autre s triplet s (a , /? , 7 ). Choisissons un e origin e 0 dan s P 2 , disposon s tou s le s X o = 1 , X i , . . . , X m comme de s point s su r un e droit e projectiv e P 1 plonge e dan s P 2 e t contenan t l'ori gine 0 et prenon s enfi n u n poin t auxiliair e A e n dehor s d e P 1 e t deu x point s a I'infin i sur P 1 e t (OA). L a droit e qu i reli e ce s deu x dernier s es t l a « droite a I'infin i » , figuree en pointille s dan s le s dessin s ci-dessous . II result e d u theorem e d e Thale s qu e le s deu x type s d e relation s Xj = X a -\- XQ e

t X^,

= X

aXg

peuvent etr e representee s pa r de s relation s d'alignemen t dan s P 2 (figure s 1 . 2 e t 1 .3) . Quant a toute s le s autre s relation s d'alignement s o u d e coincidence s d e points , o n demande qu'elle s soien t verifiee s o u pa s suivan t qu'elle s l e son t o u no n a u poin t generique d e X . De prendr e l e quotien t Cg d e notr e espac e d e configuration s C s'n pa r Tactio n libre d e PGL 3 revien t a s e debarrasse r d u choi x d e l'origin e 0 , d e l'ax e P 1 , de s point s bases 1 e t A e t de s deu x point s a I'infin i su r P 1 e t (OA). I I n e rest e plu s qu e le s variables X Q = 1 , X\ 1 ..., X m e t le s equation s qu i le s relient . •

FIGURE 1 .2

.

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14

. CELLULE S D E S C H U B E R T M I N C E S

F I G U R E1 .3

.

1.8. L e t h e o r e m e d e M n e v On renvoi e a l'expos e [Mnev , 1 988 ] pou r l'enonc e dan s u n context e topolo gique e t un e esquiss e d e demonstratio n d u theorem e d e Mnev , e t a u livr e [Richter Gebert, 1 996 ] o u a Particl e [Giinzel , 1 996 ] pou r de s demonstration s completes . Ici , on present e a nouvea u c e theorem e e t s a demonstratio n dan s l e context e puremen t algebrique d e l a theori e de s schemas . THEOREME 1 .1 4 ([Mnev , 1 988]) . Soit X un schema affine de type fini sur SpecZ. Alors il existe deux entiers N et n et un ouvert U C X x A se projetant 3n

surjectivement sur X tel que U soit isomorphe a un espace de configurations C 5' 2 d'un pave entier S de S 3,n dans le plan projectifF . D E M O N S T R A T I O N . L e schem a X es t defin i pa r u n nombr e fini d'equation s po lynomiales a coefficient s dan s Z e n de s variable s Y\ ,..., Y& . Ajoutons un e variabl e supplemen t aire T (c e qu i revien t a remplace r X pa r X x A 1 ) e t ecrivon s le s equation s e n fonctio n de s variable s X0 = T, X

l

=

Y i+T, . . .

,X

k

= Yk+ T

sous l a form e P= Q ou le s P e t Q son t de s polynome s e n Xo , X\, ..., Xk a coefficient s entier s positifs . Quitte a a j outer a tou s le s P e t Q un e mem e puissanc e XQ = T ave c d asse z grand , on peu t suppose r qu e chaqu e P o u Q compren d u n uniqu e monom e d e degr e tota l maximal > 1 et qu e c e monom e es t affect e d u coefficien t 1 . Representons alor s l'expressio n de s polynome s P , Q e n fonctio n d e X Q , X\, ..., Xk e n introduisan t u n certai n nombr e d e variable s supplemen t aires X f c + i , . . . , X m et e n imposan t u n certai n nombr e d'equation s d e l a form e X7 = X

aXp,

ou Xj — Xa + Xp ,

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1.8. L E T H E O R E M E D E M N E V

15

OU

X^ = X a -\- 1 . Chacune de s variable s X ^ + i , . . . , X m a un e expressio n polynomial e a coefficient s entiers e n fonctio n d e XQ, X\, ..., X^ e t o n peu t suppose r qu e dan s chacun e d e ce s expressions polynomiale s i l y a u n uniqu e monom e d e degr e tota l maxima l > 1 e t que c e monom e es t affect e d u coefficien t 1 . Le s equation s P = Q son t exprimee s pa r le fait qu e certaine s de s variable s X 7 , k < 7 < m , on t deu x expression s polynomiale s en fonctio n d e XQ , X\ ,..., Xk • Maintenant, traduison s tou t cel a e n terme s d e configuration s dan s l e pla n pro jectifP2. On choisi t d'abor d u n poin t « origin e » 0 e t pou r tou t a , 0 < a < m, o n represente X a sou s l a form e d'u n birappor t Xa =

[0 , IQ, , P a, OOQ;] .

Autrement dit , le s o o a son t de s point s deu x a deu x distinct s qu i son t « a I'infin i » c'est-a-dire su r un e mem e droit e 0 0 n e passan t pa s pa r 0 , e t pou r tou t a , l a e t P a sont deu x point s su r l a droit e (0 , ooa ) tel s qu e 0 , l a , P a, o o a soien t deu x a deu x distincts. O n voi t l a variabl e X a comm e l e birappor t de s quatr e point s 0 , l a, P a, 00 a su r l a droit e projectiv e qu'il s engendrent . Pour chaqu e equatio n (e ) d e l a form e X1 = X

aX/3,

ou X1 — Xa + X/3 , ou X1 = X a -f-1 , on introdui t u n poin t « a I'infin i » (c'est-a-dir e su r l a droit e 00 ) supplementair e oo e differen t d e tou s le s autres , plu s deu x point s l e e t P e su r l a droit e (0 , o oe ) ; o n impose l a relatio n d'alignemen t d e l a figur e 1 . 4 plu s l a relatio n d'alignemen t d e l a figure 1 . 5 dan s l e ca s X 1 — X^X^, cell e d e l a figur e 1 . 6 dan s l e ca s X y = X a + Xp et cell e d e l a figur e 1 . 7 dan s l e ca s X 1 — X a + 1 . [Dan s tou s ce s dessins , l'ar c d e cercle e n pointille s represent e l a droit e a 1 'infin i 00. ]

FIGURE 1 .4

.

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16

1. CELLULE S D E S C H U B E R T M I N C E S

• «>

FIGURE1 .5 .

FIGURE1 .6

.

FIGURE1 .7

.

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17

1.8. L E THEOREM E D E MNE V

II est clai r qu e si les o o a , l a pui s le s oo e , l e son t choisi s le s uns apres le s autre s de fago n generique , i l n' y a pa s d'autre s relation s d'alignemen t qu e celle s qu e nou s avons specifiee s e t don e pa s d'autre s relation s qu e les equations (e) . Nous avon s defin i u n certai n espac e d e configuration s C s,n. L e passag e a so n 3n

quotient Cg pa r Tactio n libr e d e PGL 3 revien t a oublie r l e choi x d e l'origin e 0 , des deu x premier s point s a l'infin i oo o e t oc i definissan t l a droit e o c e t de s deu x points base s l o e t l i su r le s droites (OOOQ ) e t (Oooi) . E n revanche , l e choi x d e tou s les autre s point s 0 0 a e t oo e su r l a droit e 0 0 et l a , l e su r le s droite s (OOOQ,) , (0oo e ) equivaut a l'introductio n d'autan t d e variable s affine s supplementaire s dan s A 1 . 3n

Ainsi l'espac e d e configurations Cg est-i l naturellemen t isomorph e a un ouver t U d'u n produi t I x A ^ . La projectio n U —> • X es t surjectiv e ca r pou r tou t poin t d e X d e coordonnee s Y i , . . . , Yk e t pou r T generique , toute s le s Xo , X i , . . . , X m (reliee s entr e elle s pa r les equation s (e ) e t au x Y\ ,..., Yk pa r XQ = T , X\ = Y\ - f T , . . . , X^ = Yk + T ) verifient Xa ^ 0 , X a ^ 1 , 0 < a < m. Cela result e d e c e qu e le s expression s polynomiale s de s X a, k < a < m, e n fonc tion d e Xo , X i , . . . , X & comprennen t chacun e u n uniqu e raonome d e degr e tota l maximal > 1 et qu e celui-c i es t affect e d u coefficien t 1 . • 3n

II result e d u theorem e d e Mne v qu e les espaces d e configuration s Cg e t don e aussi le s cellule s d e Schuber t mince s Gr^ ' classifian t de s sous-espace s d e dimen sion 3 d'espace s gradue s E — E$ © • • • ® En presenten t de s singularite s arbitraire s lorsqu'on autoris e n a etr e arbitrairemen t grand . I I e n es t a fortiori d e mem e de s C$ e t Gr^ ' pou r n'import e que l r > 3 .

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https://doi.org/10.1090/crmm/019/02

CHAPITRE 2

Compactifications : Pavages d e convexe s entier s e t recollement de s cellule s d e Schuber t mince s 2.1. L e cham p toriqu e de s pavage s d'u n convex e entie r On consider e u n convex e entie r arbitrair e S c 5 r'n defini pa r u n matroi'd e (df )/c{o,...,n } d e ran g r su r { 0 , 1 , . . . , n } . Dans l'espac e vectorie l ree l d e dimensio n fini e de s fonction s S — * M , soi t C 5 l e cone de s fonction s v : 5 —> • I R telles qu e pou r tout e fonctio n affin e £ : 5 — > R verifian t £ < v, l'ensembl e {i G *S | •£(£) = i>(£) } es t u n convex e entie r s'i l n'es t pa s vide . Appelons pavage s entier s d e S le s familie s finie s d e convexe s entier s S' C 5 d e meme dimensio n s qu e S telle s qu e le s polyedre s convexe s engendre s S^ dan s M r ' n forment u n pavag e d u polyedr e 5 R . S i 5 es t u n te l pavag e entie r d e S , o n not e C§ l e cone convex e de s fonction s v : S — » M telles qu e pou r tou t elemen t 5 ' d e 5 i l exist e une applicatio n affin e £5/ : 5 — > M verifiant ^5 / < v e t 5 ' = { i G 5 | -^s'(i) = w(z)} . Ceux de s pavage s entier s 5 d e 5 pou r lesquel s C§ n'es t pa s vid e seron t appele s les pavage s entier s convexe s d e S. EXEMPLES. 5 7 "'1 = {(io,h) G N2 I 2 o +n = r} es t l'intervall e d e longueu r r, se s convexe s entier s son t se s sous-intervalle s d e borne s entiere s e t se s pavage s entiers convexe s son t se s partition s e n de s sous-intervalle s tel s ceu x d e l a figur e 2.1 . i — . — . — . — . — J — . — 1 — . — . — 1

F I G U R E 2 1.

.

- Dan s l e ca s n = 2 , S r, • I L Pou r tou t pavag e entie r convex e S_ d e S , on a 5 Cf + C | = C f d a n s R . On peu t recopie r dan s l e context e genera l d'u n convex e entie r S C proposition 3 d u paragraph e l a d e Particl e [LafTorgue , 1 999 ] :

5 r'n l a

PROPOSITION 2.1 . (i ) Le cone C s est la reunion disjointe des cones convexes C f quand S_ decrit Vensemble des pavages entiers convexes de S. a

(ii) Pour tout S_, Vadherence C s de Cf dans R 5 est la reunion disjointe des Cg, oil S_ decrit Vensemble des pavages entiers convexes de S plus grossiers que S_. De plus, C s est un cone convexe polyedral rationnel (c'est-a-dire engendre par un nombre fini de ses elements prenant leurs valeurs dans Z ) et les faces de C s sont les C s> indexes par les pavages S_ plus grossiers que S_. (iii) Etant donnes deux pavages entiers convexes S_ et S_' de S, Vensemble des pavages entiers convexes de S plus grossiers a la fois que S_ et S_' admet gC

un plus fin element

g

5 V S_ . L 7 inter section de C s et C s> est egale a C

SySi.

DEMONSTRATION. C'es t l a mem e qu e dan s l e ca s particulie r S — S r,n e t nou s renvoyons a u paragraph e 2 c d e Particl e [LafTorgue , 1 999] . Pour le s partie s (ii ) e t (iii) , l e poin t l e plu s importan t es t que , d'apre s l a pro position 1 .5(v) , u n polyedr e convex e d e dimensio n arbitrair e qu i adme t u n pavag e par de s polyedre s convexe s entier s es t lui-mem e entier . Pour (ii) , o n s e ser t auss i d e c e que , quell e qu e soi t l a dimensio n s d e S, i l exist e dans S un e famill e d e s + 1 point s qu i es t generatric e a u sen s qu'ell e engendr e l e reseau de s point s entier s d u sous-espac e affin e d e W ,n engendr e pa r 5 . Cel a result e de l a propositio n 1 .5(iv ) combine e ave c l e lemm e 1 .7 . • o

D'apres cett e proposition , l a famill e de s cone s convexe s polyedrau x rationnel s

CsjC% constitu e u n even t ail dan s l e quotien t d e I'espac e de s fonction s S — » M pa r le sous-espac e de s fonction s affines . L a theori e general e de s variete s torique s tell e qu'exposee dan s [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973 , §2 ] associ e a ce t eventai l un e variet e torique normal e A s d e tor e A% — G ^ / ( G ^ j 0 o u ( C ^ ) 0 C G ^ design e l e sous tore de s fonction s affine s S — > G m . (O n remarqu e qu e tou t choi x d'un e famill e generatrice d e s + 1 points d e S determin e u n isomorphism e ( G ^ ) 0 ^ G^ 1 .) Les orbite s dan s A s son t de s sous-schema s localemen t ferme s indexe s naturelle ment pa r le s pavage s entier s convexe s S_ d e S ; o n le s not e A§. Chacun e a u n poin t distingue a^ don t l e stabilisateu r ( G ^ ) s dan s G ^ es t l e sous-tor e de s fonction s S— » G m don t l a restrictio n a tou t elemen t S' d u pavag e S_ es t affine . L'adherenc e d'une orbit e Ag es t l a reunio n de s Ag, pou r S_' raffinant S_ e t l a reunio n de s A^, pour S_' plus grossie r qu e S_ es t l e plu s peti t ouver t invarian t contenan t *4f . On peu t dir e auss i qu e le s pavage s entier s convexe s 5 d e S son t le s point s d u « cham p toriqu e » A s jA% quotien t d e l a variet e toriqu e A s pa r so n tor e A%. U n point S_' est dan s I'adherenc e d'u n autr e S_ s i e t seulemen t s i l e pavag e 5 X raffin e l e pavage S_.

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2.1. L E C H A M P T O R I Q U E DE S PAVAGE S D ' U N C O N V E X E E N T I E R 2 1

Quand S = S r'n, qu i es t l e ca s trait e dan s Particl e [Lafforgue , 1 999] , o n not e rn

C ' , C r£n, CS n, *4 r'n, A r£, AT pluto t qu e Cs^\ Cf\ Cf

r,n

, A sr,\ Af\

A%'\

s

La variet e toriqu e A es t affin e s i e t seulemen t s i S adme t u n pavag e entie r convexe plu s fi n qu e tou s le s autres . C'es t l e ca s s i n — 1 (S C S V:1 es t alor s u n intervalle e t adme t pou r plu s fin pavag e celu i constitu e d e tou s le s intervalle s entier s de longueu r 1 qu'i l contient ) o u s i n = 2 (dan s l e triangl e S r'2, S adme t alor s pou r plus fin pavag e celu i constitu e d e tou s le s petit s triangle s entier s equilaterau x d e cote 1 qu'i l contient ) mai s c e n'es t pa s vra i e n general . Montron s : L E M M E 2.2 . Pour tout convexe entier S C S r,n, la projective.

variete torique A

s

est

quasi

D E M O N S T R A T I O N . D'apre s l e theoreme 1 3 de fSaint-Dona t e t Kempf , 1 973 , §3], il suffi t d e construir e un e fonctio n /:C s

s

^ R

5

sur l e con e C C R , invariant e pa r l e sous-espac e C% des fonction s affine s S — * R et tell e qu e pou r tou t pavag e entie r convex e 5 d e 5 , i l exist e un e fonctio n lineair e rationnelle y?s:R5/C|->R verifiant cps_ < f su r C s e t

c j = {v € C s | VR + V^ \/v,v

G E n v ( C5 ) , V A G R + , f

GEnv(C

5

).

5

On preten d d'autr e par t qu e pou r tout e v G E n v ( C ) e t tou t poin t i G 5, o n a

m(i) = v(i). s

On l e sai t dej a quan d v G C . Dan s l e ca s general , ecrivon s v sou s l a form e v — v\ + • • • -\-Vk ave c v\ ,..., Vk G Cs. L e poin t i s'ecri t quan t a lu i i = OL\ *ii + • ' *+^ m *i m avec a i , . . . , a m de s coefficient s > 0 d e somm e 1 e t i ll..., z m de s point s d e 5 e n lesquels t' R e t v coinciden t e t qu i verifien t VRH) =

a i • vdj) H

h

am • v(i

m).

Pour 1 < k' < fc, o n a ^fc'(i) < a i • Vfe'(ii) + -- - + a m • v f c /(i m ) d'ou e n faisan t l a somm e v(i) < a i • ^(ix ) + h

am • v(£ m ) < v

R(i)

et finalement v(z ) = v^(i) comm e voulu .

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22 2

. COMPACTIFICATION S g

Enfin, o n remarqu e qu e l a restrictio n a chacu n de s cone s convexe s C s d e Tap plication v \—> VR est lineaire . Pour tou t choi x d'u n pavag e entie r convex e 5 ' d e 5 , d'u n elemen t S f d e 5 ' e t d'une famill e e d e s + 1 element s d e 5 " qu i n e son t pa s lie s dan s M r , n , associon s d'abord a tout e v G Env(C^) l'uniqu e fonctio n affin e ^ , s , e : S R—>• R qu i coincid e avec t ; o u v^ e n le s point s d e e. Soi t alor s / 5 ' , 5 ' > c : Env(C

s

)-*R

5

la fonctionnell e qu i associ e a v G Env(C ) l'integral e su r l'envelopp e convex e d e e de l a differenc e tg, s , e — v^. Cett e fonctionnell e verifi e le s propriete s suivante s : - Ell e es t invariant e pa r l e sous-espac e C%. - Pou r tout e v G Env(C 5 ) C M 5 qu i es t a valeur s rationnelles ,

- Pou r toute s v, v' G Env(C 5 ) e t A G M+ , o n a / s ' , 5 ' , e ( A - v ) = Xfs',S',e(v), V') < fs>,S>Av) +

fs>,S>Av +

/s'.S',^' )

(puisque ( v + i / ) R > v R + ^ e t ^ 5 \ e = ^|,s', e + ^l',S',e) > convexe su r E n v ( C 5 ) . - Pou r tou t i ; G E n v ( Cs ) , o n a

et don c

/s',S', e es t

/s',S'»>0 et i l y a egalit e s i e t seulemen t s i l a restrictio n d e v^ a l'envelopp e convex e de e es t affine . g

- L a restrictio n d e fs',S',e & chacu n de s cone s convexe s C s es t lineaire . Formons alor s l a somm e d e toute s ce s fonctionnelle s pou r deflni r / = Y. fs'>s f>*: E n v ( C 5 ) - ^ ] R . S/,S',e

C'est un e fonctionnell e invariant e pa r C%. Montron s qu'ell e repon d a l a questio n posee. Si S_ est u n pavag e entie r convex e d e 5 , o n peu t choisi r pou r tou t triple t S_\ S' , e ave c S_ f ^ S_ un e form e lineair e rationnell e g

telle qu e H Ei = F s»/Fs» f FS" nEj =

l Ej dans

F s>/Fs> H Ei dans

Ei = E/Ej, Ej = E/Ej. •

2.3. M i s e e n famille . P r o j e c t i v i t e On consider e toujour s u n convex e entie r S C 5 r ' n . Le tor e G ^ / G m agi t composant e pa r composant e su r l e schem a ambian t

\ies

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24

2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

mais i l n e stabilis e pa s le s sous-schema s ferme s Gr ^ associe s au x pavage s entier s convexes 5 d e S. D ' a u t r e part , i l agi t su r l a variet e toriqu e A s vi a so n quotien t G ^ / ( G ^ ) 0 = s A On peu t compose r cett e deuxiem e actio n ave c Phomomorphism e A h-» A - 1 d e passage a l'invers e pui s considere r Tactio n induit e d e G ^ / G m su r l e produi t

AsxGm\Y[(A^E.-{Q}). Montrons : THEOREME 2.4 . (i

) Dans le schema produit

/ x G m \ J](A^.-{0}) , \ies il existe un sous-schema ferme Q S,E tel que : - ft s,E est stabilise par la double action de Aut(i?o ) x • • • x Aut(E et du tore G ^ / G m et done il est muni d'un morphisme equivariant QS'E -

A

s

n)

;

- pour tout pavage entier convexe S_ de S, la fibre de ft ' E au-dessus du point distingue as_ de Vorbite A% de A s n'est autre que Gr ^ . (ii) Le quotient Q, ' de projectif.

£l S:E par Vaction libre du tore G ^ / G m est un schema

R E M A R Q U E . A priori, le s proprietes d e (i ) n e caracterisen t pa s completemen t l e schema Q SjE mai s seulemen t se s fibres au-dessu s de s point s d e A s. A u chapitr e 4 , o n donnera un e caracterisatio n modulair e global e qu i defini t san s ambiguit e l e schem a QS'E te l qu e construi t dan s l a preuv e ci-dessous . DEMONSTRATION.

Ell e es t base e su r le s fait s suivant s :

- d'apre s l a propositio n 1 .1 , le s cellule s d e Schuber t mince s Gr ^ definissen t une stratificatio n d e l a grassmannienn e Gr r ' ; - celle-c i es t muni e d'un e actio n d e Aut(Eo) x • • • x Aut(2£ n ) e t e n particulie r de GJ^ 1 "1 qu i respect e se s s t r a t e s ; - e'es t u n schem a projectif . (i) Consideron s u n pavag e entie r convex e 5 d e S. L a reunio n A' de s orbite s Ag, d e A s indexee s pa r le s pavage s entier s convexe s S_ f de S plu s grossier s qu e S_ constitue un e sous-variet e toriqu e ouvert e affin e d e A s. Au-dessus d e ce t ouver t affine , nou s allon s defini r l e sous-schema ferm e invarian t QS,E ^

A

sx

G

\

Y[(A±E. -

{0} )

\i£S

par un e famill e d'equations , quitt e a verifie r ensuit e qu e le s sous-schema s ferme s au-dessus de s different s ouvert s s e recollent . Soit {P} un e famill e d e polynome s homogene s partou t dermi s su r r L e S r ' n ArE* — A r E e t qu i definissen t l a grassmannienn e Gr r ' comm

e sous-schem a ferm e d e

7

^ m V r i i e S ^ A-~ Em) — {0}. O n consider e le s restrictions d e ce s polynomes a u produi t partiel Yii^s ^~E

m,

le s autre s paquet s d e coordonnee s etan t fixes egau x a 0 . Comm e

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25

2.3. MIS E E N FAMILLE . P R O J E C T I V I T E

la grassmannienn e Gr r ' es t stabilise e pa r Tactio n d e GJ^ +1 , o n peu t suppose r qu e l e tore (G^ l)0 de s fonction s affine s 5 — » G m agi t su r chacu n de s polynome s P G {P} par u n caracter e \P'- ( 6 ^ ) 0 —> G m . Pour tou t elemen t S' d u pavag e 5 , choisisson s dan s S f un e famill e es> de s + 1 points qu i es t generatric e (c'est-a-dir e engendr e l e resea u de s point s entier s dan s l e sous-espace affin e d e R r ' n engendr e pa r S' o u S). L'homomorphism e

de restrictio n au x point s d e es f indui t u n isomorphism e ( G m ) 0 — * & Sm

et defini t u n scindag e aes,:Gsm^(Gsm)0, b

es,:

G sJ(Gsm)0 -+

G

s m

de l a suit e exact e 1^ (G£)

0

- G *- G

s S m/(G J0

-

>1 .

f

Pour tou t polynom e P G { P } e t tou t elemen t S d u pavag e 5 , l e polynom e P s'etend e n u n polynom e P es, su r l e produi t

As0x]jA^E. ies par l a formul e

pour\€A 0=Gi/(G%l)0.

Pes,{\(xi))=P(besl(\)-(xi))

s

Sous Tactio n d u tor e G ^ , l e polynom e P e£?/ es t transforme d pa r l e caracter e XP°0 G^ corresponden t alors a regarde r le s valeur s de s fonction s convexe s choisie s e n le s different s point s de *S ; ces valeur s son t automatiquemen t positive s e t e'es t c e qu'o n voulait . On peu t maintenan t defini r l e schem a Q S,E au-dessu s d e chaqu e ouver t affin e 1 A d e A s associ e a u n pavag e entie r convex e S_ comm e l e sous-schem a ferm e d e

A'xGm\ ]J{A

i

Em-{0})

\ies ou s'annulen t tou s le s polynome s P e ,. Cel a n e depen d pa s d u choi x d e l a famill e { P } n i de s familie s generatrice s es 1 (s i o n remplac e celles-c i pa r d'autres , le s po lynomes P es, s e trouven t multiplie s pa r de s caractere s d e A% qu i son t bie n defini s et inversible s su r tou t Touver t consider e d e A s). D e cec i result e qu e ce s different s

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2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

sous-schemas ferme s son t invariant s pa r Aut(E"o ) x • • • x Aut(E n) e n plu s d e G ^ / G m et qu'il s s e recollen t pou r defini r fl s,E au-dessu s d e A s tou t entier . E n l e poin t distingu e as_ de l'orbit e Ag indexe e pa r u n pavag e 5 , e t pou r tou t element 5 " d e 5 , le s composante s d e b es, : A% — G ^ / ( G ^ )0— » G ^ don t l'indic e i appartient a S' prennen t l a valeu r 1 et le s autre s l a valeu r 0 (puisqu e tout e fonctio n convexe 5 — > R qu i es t dan s l e con e C§ e t qu i s'annul e e n le s point s d e l a famill e generatrice es r vau t 0 su r tou t S' e t pren d de s valeur s strictemen t positive s e n dehors d e S'). Comm e l a famill e de s polynome s P defini t l a grassmannienn e G r r ' dans ( ^m\(Y[ieSr'ri A 1 - ^ ) — {0} , on voi t qu e l a fibr e d e fl S'E au-dessu s d e as_ n'es t autre qu e G r J . (ii) I I suffi t d e prouve r qu e l e morphism e

ils>E^Gm\]l(AiE.-{0}) \ies est projecti f e t pou r cel a qu'i l verifi e l e criter e valuati f d e propret e puisqu e d'apre s le lemm e 2. 2 l a variet e toriqu e A s es t quas i projective . Pour S_ u n pavag e entie r convex e d e 5 , soi t (xij^s u n poin t d e Ylies^'E* ~ {0}) a valeur s dan s u n corp s K mun i d'un e valuatio n discret e VK e t qu i represent e un poin t x d u schem a G r J . Soi t v: S — » Z l'applicatio n qu i a tou t indic e i G S associe l e minimu m de s valuation s de s coordonnee s d e x\. D'apres l a definitio n d e l'eventai l C s qu i defini t l a variet e toriqu e A s, i l s'agi t de montre r qu e pou r tout e applicatio n affin e £\ S f — > R defini e su r u n elemen t S f du pavag e S_ et verifian t £ < v , l'ensembl e {i G S f \ £(i) — v(i)} es t u n convex e entier de s lor s qu'i l n'es t pa s vide . Comme v pren d se s valeur s dan s Z , o n peu t suppose r qu e £ pren d le s sienne s dans Q e t mem e dan s Z , quitt e a remplace r l e corp s K pa r un e extensio n finie suffisamment ramifiee . Dan s ce s conditions , i l exist e u n elemen t A G ( G ^ ) 0 (K) dont l'imag e (Xijies dan s (K x)s verifi e ^(i) = ^ ( A i ) , VieS

f

.

Alors l e uple t (X~ 1 XjL)ies/ defini t u n poin t d u schem a r i i G S ' C ^ 1 ^ " " {0}) ^ valeur s dans l'annea u d e valuatio n A d e K e t i l represent e l'uniqu e poin t d e Gr r ' (A) qu i prolonge l e poin t imag e sous-ensembl e de s i G S' o u l a specialisation d e A ~ x^ n'es t pa s null e est , d'apre s l a propositio n 1 .1 , u n convex e entier d e S' e t c'es t c e qu'o n voulait . • Pour tou t pavag e entie r convex e 5 d e 5 , o n peu t note r fig l localement ferm e d e fl de fl^

,£/

S:E

s

e sous-schem a

imag e reciproqu e d e l'orbit e Ag d e A e t fig l

pa r Tactio n libr e d u tor e G ^ / G

m

e quotien t

. Ayan t design e pa r ( G ^ ) s l e sous-tor e

de G ^ stabilisateu r d u poin t distingu e ag_, on a auss i

nlE = Gr

r E s £ /((G m)s/Gm).

a zp o

Les fig constituen

pp

t un e stratificatio n d u schem a projecti f fl ' . Pour tou t pavag e o tp o

entier convex e 5 , l a reunio n de s fl s) pou contient fig comm

fp

r 5 ' raffinan t S_ es t u n ferm e d e fl ' qu i

e ouvert . E n particulier , Gr 5 ' =

fi

0'

=

Gr J / ( ( G ^ ) 0 / G

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m)

27

2.3. MIS E E N FAMILLE . P R O J E C T I V I T E

est ouver t dan s ft ' qu i don e e n es t un e compactificatio n projectiv e (ave c cepen dant l e bemo l qu'e n genera l o n e n sai t pa s s i l'ouver t Gr 5 ' es t dens e dan s fi ' ) . De fago n plu s synthetiqu e e t plu s forte , o n peu t dir e qu e l e schem a projec t if 0 ' es t mun i d'u n morphism e

Tf'E^AsIA% sur l e cham p toriqu e A s j A% quotien t d e l a variet e toriqu e A s pa r so n tor e A%. Ses strate s Q s' son

t le s image s reciproque s de s point s loealemen t ferme s A^/A%

de A sIA% e t e n particulie r l a strat e ouvert e £2 0' = Gr ^ es t l'imag e reciproqu e du poin t ouver t dens e A%jA%. I I es t egalemen t mun i d'un e actio n compatibl e d u groupe PGL(£0) x PGL(£i ) x • • • x PGL(£ n). Quand tou s le s E a, 0 < a < n , son t de s copie s d e A r ave c don e E = ( A r ) n + 1 e t S — 5 , r ' n , o n not e ^ r ' n , ^ ^ ' n , Vt ,

£75' comm e dan s l'articl e [Lafforgue , 1 999 ] pluto t

que

fiS'-",B) nf n'E, W ' '*, Tig ' ** . Dan s c e cas , Q ' constitu e un e compactifi cation equivariant e sou s l e group e PGLJ? + d e 0 ^ = G r 0 = PGLJ? + / P G L r ; ell e est muni e d'u n morphism e d e structur e Enfin, o n rappell e qu e lorsqu e tou s le s E a son t d e ran g 1

e t l e convex e entie r

r,E

S es t d e dimensio n maximal e s = n , Gr 5 ' s'identifi e d'apre s l e theorem e 1 .1 1 d e GeFfand e t MacPherso n a l'espac e d e configuration s

CT = C rsn/PGLr. Le schem a ft ' fourni t un e compactificatio n projectiv e d e ce t espac e ; il n e depen d pas d e l'espac e E somm e d e n + 1 facteur s d e ran g 1 e t o n l e noter a simplemen t g

Q . I I es t mun i d'u n morphism e nature l

ns -

A

S

/A%

sur l e cham p toriqu e de s pavage s entier s convexe s d e S. EXEMPLE. L e premie r espac e d e configuration s Cg no n trivia l es t celu i qu i classifie le s configuration s d e 4 point s distinct s su r l a droit e projectiv e P 1 . Dans c e cas , o n a n = 4 - 1 = 3 puisqu'o n consider e 4 point s e t r = l + l = 2 puisqu'on es t su r l a droit e projectiv e P 1 . L e convex e entie r correspondan t S es t u n pave d u simplex e S 2^ = {(20^1 ,22,23 ) € N 2 | i$ + i\ + %2 + 2 3 = 2 } (figur e 2.3) . I I est defin i dan s 6' 2 , 3 pa r le s inegalite s 20 , 21 , 22, 23 < 1 . Autremen t dit , i l s'obtien t e n enlevant a u tetraedr e S 2,3 d e cot e 2 le s 4 petit s tetraedre s d e cot e 1 qui s e trouven t aux 4 coin s (figur e 2.4) . II compt e exactemen t troi s pavage s entier s convexe s no n triviau x qu i consisten t a l e coupe r e n deu x suivan t le s troi s plan s abed, bdef o u acef. E n plu s d u tor e A% = G ^ / G ^ , l a variet e toriqu e associe e A s compt e don e troi s orbites , toute s d e codimension 1 , e t ell e es t lisse . On sai t qu e l e birappor t defini t u n isomorphism e d c notr e espac e d e configu 23 s

rations C$ su r P 1 — { 0 , 1 , oc}. Le s troi s strate s d e bor d Vt s d e l a compactificatio n §2

3.

Q d e Cg associee

s au x troi s pavage s no n triviau x 5 d e S consisten t chacun e e n

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2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

28

F I G U R E 2.3

.

F I G U R E 2.4

.

un point . C e son t le s troi s point s 0 , 1 , o c qu'i l fau t ajoute r a P 1 — {0 , l , o c} pou r obtenir s a compactificatio n P 1 . O n voi t qu e dan s c e ca s particulie r l e morphism e o

tt— > A s /A% es t lisse . Les demonstration s seron t donnee s a u paragraph e 3.7 . 2.4. R e s t r i c t i o n a u x face s Soient S u n convex e entie r dan s 5 r ' n e t S' un e fac e d e S. La trac e dan s S' d e tou t convex e entie r conten u dan s S es t un e fac e d e celui-c i et d'apre s l a propositio n 1 .5(ii ) c'es t encor e u n convex e entier . Pa r consequent , l a restriction a S r de s fonction s v : 5 — > R defini t un e applicatio n lineair e Cs -^C

s>

'.

Pour tou t pavag e entie r convex e 5 d e 5 , s a trac e S ' dan s S' es t u n pavag e entie r convexe e t l e con e C§ es t envoy e dan s C | , . E n particulier , l e sous-espac e C% es t envoye dan s C% et o n a un e applicatio n cs/ct •C»S'/CinS': qui respect e le s structure s d'eventails . On e n dedui t qu e l a restrictio n

^;

G:s'

A*

A s'

induit u n homomorphism e d e tore s

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2.4. R E S T R I C T I O N AU X FACE S

29

qui s e prolong e e n u n morphism e equivarian t d e variete s torique s

AS^AS'. E t a n t donn e u n espac e gradu e E = EQ © • • • © E n, nou s pouvon s maintenan t etendre au x compactification s l e morphism e d e l a propositio n 1 . 6 : PROPOSITION 2.5 . Pour S un convexe entier de S T:n et S' une face de S, Voubli des coordonnees en dehors de S'

Gm\ n ^- - w) -* QA n (A1 s. - {o}) \ies \ies'

{xijies *-*

(xi)ies

f

definit un morphisme nS,E

s

^

Q

S',E

s

au-dessus de A —> A . II respecte les actions de Aut(i^o ) x • • • x Aut(E n) et tores G ^ / G m ? G ^ / G m relies par la restriction G ^— » G ^ .

des

D E M O N S T R A T I O N . O n consider e don e l e morphism e produi t

Ai

AS x cm \ n( \ies \ies'

^ - i°}) -A S' x Qrn\ n (Ai^- -{°})

qui es t evidemmen t equivariant . I I s'agi t d e prouve r qu e l e sous-schem a ferm e Q S,E du schem a d e gauch e s'envoi e dan s l e sous-schema ferm e Q s iE d u schem a d e droite . Si To n s e restrein t au x fibres au-dessu s de s point s d e A s e t A s , cela result e d e la propositio n 1 . 6 combine e ave c l e corollair e 2.3 . Consideron s e n effe t u n pavag e entier convex e S_ de S e t l e pavag e S_ qu'i l indui t dan s S' . L e morphism e

G m \ Y[(AiE. - {0} ) -+ Gm \ J ] (A^E. - {0} ) \ies \ies' envoie bie n l a fibre Gr^ ' d e 0

5,jE

au-dessu s d e as_ dan s l a fibre Gr^ , d e Q

au-dessus d e asf : H consist e a associe r a tou t poin t d e Gr^ ' qu de sous-espace s (Fs 1 ^-> E)s1es_ l a famill e (F' s, c ->- E)s'es f ou

s jE

i es t un e famill e

> pou r tou t elemen t

S[ d e S_' et s i Si es t u n elemen t d e S_ dont l a trac e dan s S' es t S[, F' s, es t l'imag e de Fs x pa r l e morphism e

GrSf -+ Gr-f de l a propositio n 1 .6 . Ceci prouv e dej a qu e £l s,E s'envoi e dan s Q s ,E comm e ensembles . Afi n d e mon trer qu e cel a es t mem e vra i comm e schemas , i l fau t reveni r a l a constructio n precis e de Q S'E e t ft s ,E dan s l a demonstratio n d u theorem e 2.4(i) . O n rappell e qu'o n par t d'une famill e {P} d e polynome s homogene s su r f]^ G 5 r j T1 A 1 ^ . qu i definissen t l a grassmannienne G r r ' e t son t transforme s pa r l e tor e ( G ^ ' ) 0 de s fonction s affine s gr,n _ ^ Q^ suivan t de s caractere s \P-> P £ {P}- O n consider e leur s restriction s P e t P a YiieS ^- l ^ m e ^ TiieS' ^- lE» ( e n fixant le s autre s paquet s d e coordonnee s egau x a 0 ) e t enfi n o n tor d ceux-c i pa r certain s caractere s d e G ^ e t G ^ qu i prolongen t les caractere s d e (G^ n)0 e t ( G ^ ) 0 induit s pa r \P (quan d il s existent ; sino n le s restrictions P o u P son t nulles) . On peu t prendr e pou r famill e {P} le s equation s d e Pliicker . C e son t de s com binaisons lineaire s d e monome s d e l a form e z 7 Zj o u Zj , z ? son t de s coordonnee s

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30

2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

sur deu x facteur s A 1 1 £ . , A i2 E 9 don t le s indice s z 1 ? z 2 on t pou r moyenn e | i x + | z un poin t i P G Mr ' n qu i n e depen d qu e d e P.

2

Considerons u n elemen t P G {P} te l qu e P ^ 0 . O n a necessairemen t i P G 5 ^ . Mais alors , s i Zj, Zi es t u n monom e qu i apparai t dan s P ave c don e i^i 2 ^ ^ o n doit avoi r z 1 ? i 2 ^ S " puisqu e |ij _ + \i 2 es t dan s 5 ^ e t qu e S r es t un e fac e d e S. Cela signifi e qu e P es t l'imag e reciproqu e d e P pa r l e morphism e d e restrictio n

On e n dedui t facilemen t c e qu'o n voulait . • Dans l a situatio n d e cett e proposition , o n obtien t e n passan t au x quotient s par le s action s libre s de s tore s G ^ / G m e t G ^ / G m u n morphism e entr e compac tifications projective s ft — > Q qu s'inscrit dan s u n carr e commutati f :

i prolong e l e morphism e Gr ^—-

> Gr^, e t

Y

As/A% *A

S

'/A%

Pour tou t pavag e entie r convex e S_ d e S e t s i 5 ' design e l e pavag e indui t d e S" , o n a u n morphism e indui t entr e strate s aIQ ^

a la'

Considerons maintenan t u n convex e entie r S d e S r,n qu i peu t s'ecrir e comm e une face , e'est-a-dir e es t d e codimensio n p > 1 . Ecrivon s le s decomposition s d u lemme 1 . 7 : p

{ 0 , 1 , . . . , n } = ] j [ J z ave

c |J, | = n * + 1 ,

z=0

r = r 0H +

r

pi

S= 5 0x • • • xS

p,

ou chaqu e S^ , 0 < z < p , es t u n pav e entie r dan s

s ™ = | (i a ) aeJi G N J* X) i « = r4aeJi J

lI

D'apres l e corollair e 1 .8, o n a u n isomorphism e canoniqu e G r

^^

Gr;

o,B

-'° x Gr r , 1 , B j l x • • • x G/*' EJ» .

On veu t savoi r c e qu'i l e n es t a u nivea u de s compactifications . Tou t d'abord , o n a : LEMME 2.6 . Dans la situation ci-dessus, exactement ceux de la forme

les

pavages entiers convexes de S sont

O —: O n X ij_-i X • • • X O

p

avec 5 n , 5 X , . . . , S_ v des pavages entiers convexes de So, S\ ,..., S

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p.

2.4. R E S T R I C T I O N AU X FACE S

On a deux homomorphismes injectifs

canoniques

entre

31

tores vm-)

pms i m isomorphisme equivariant As ^ ^

As0 x

DEMONSTRATION. S

canonique

.. . x

A sp^ x

i v 0, vx,... , i>

p

de

varietes toriques

^|)/(„4| o x .. . x ^s P)_ sont de s fonction s dan s le s cones C

S

\CSK

Sp

. . . ,C d e fonction s convexe s su r So , S i , . . . , S p qu i induisen t de s pavage s entier s convexes S 0 , S 1 ? . . . , S p , l a fonctio n v = Vo + • • • + v p: i = ( z 0 , . . . , i p )— i > • v(i) = ^o(io) + ' ' ' + ^ ( i p ) e s t dan s l e con e C s e t ell e indui t l e pavag e S_ = S. 0 x • • - x S[ p de S = S o x • • • x S p . D e plus , s i o n ajout e de s fonction s constante s a VQ, VI, .. . , v p, la fonctio n v es t elle-mem e modifie e pa r un e fonctio n constante . Reciproquement, consideron s un e fonctio n convex e v G Cs e t S l e pavag e entie r convexe d e S = S o x • • • x S p qu'ell e induit . Remarquons d'abor d qu e d'apre s l e lemm e 1 .7 , tou t convex e entie r S' C S d e meme dimensio n s = n — p qu e S es t d e l a form e *T) — OQ X • • • X 0 „

ou chaqu e S 2', 0 < z < p , es t u n pav e entie r dan s S n ' n * = {(fc a ) a e./i ^ ^ Ji I S a e j z a — ri}- E n effet , S ' indui t l a mem e decompositio n { 0 , . . . , n } = U f = 0 ^ que S puisqu'i l engendr e l e mem e sous-espac e affin e d e E r , n . S i alor s VQ > VI,. .. ,V P sont de s fonction s su r So , S i , . . . , S p telle s qu e v e t vo + V\ + • • • + v p coinciden t su r

^{/Jx-x©, { l i l x S l x ^ x - x ^ } ,

{iol x ••• x {ip-i} x s ; pour u n certai n poin t i ' = (ZQ , . . ., j/ ) d e S' , le s fonction s ^o 5 v\,... ,v p son t affine s sur SQ , S[,..., S' p et vo + VI + • — + v p coincid e ave c v su r t o u t S' . Ayant chois i u n poin t i = (i 0 , ^ , . . ., i ) d e S = S o x • • • x S p , noton s i > i , . . . , v p les restriction s d e v a {z 0 } x S i x {i 2} x • • • x { i p } , . . . , {i 0} x • • • x { i p _ i } x S p puis i> o l a restrictio n de v — (v\ + - • • + v p) a S o x {i-^} x • • • x {i p}. Le s fonction s v e t VQ + v\ + • • • + v p prennen t l a mem e valeu r a u poin t i. E n utilisan t c e qu i precede, o n montr e d e proch e e n proch e qu'elle s coinciden t su r tou s le s element s S' d u pavag e S . Le s fonction s Vo, •.., v p son t dan s C 5 ° , . . . , C 5 p , elle s induisen t de s pavages S 0 , . . . , S_ p de S o , . . . , S p et o n a O — — o^o X • • • X o_ .

Enfin, pou r un e fonctio n arbitrair e v: S — > R, le s familie s d e fonction s t?o,. . . , v p sur S o , . . . , S p verifian t v — VQ + • • • + v p sont , quan d elle s existent , bie n determinee s a additio n pre s d e constantes . En definitive , o n a montr e qu e 1 'applicatio n injectiv e

O o , . ..,v p) H-

> v 0 H \-v

p

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32

2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

induit un e bijectio n CSo/R x • • • x C Sp/R ^ C s/R qui respect e le s decomposition s polyedrales . O n a encore C^/Rx---xCS0p/R^C^/R, v P Sl+c^ cSo/c%° x • • • x:SP/CcsS*icl c s/Cls'/c0,

d'ou l a conclusion . • Considerons a nouveau l'espac e gradu e E = EQ 0 • • • © En. Dan s l a situatio n du lemm e 2. 6 o u D — D o X • • • X Op ,

on a pou r tou t poin t i = (i 0 , • • • , ip) d e £ un isomorphism e canoniqu e A^o Ei Q • • • A-p E J.V ^ A

l

E..

Nous pouvon s enonce r : PROPOSITION 2.7 . Dans la situation du lemme 2.6, le produit tensoriel des paquets de coordonnees

G m \ J ] ( Ai ° E »° - {0} ) x • • • x G m \ J J (A^ p E J.* -{0} ) ^ G r o \ J j A * E. - {0}) \i 0 eSo \ i P e s p \ies (K)i 0 6So> • • •. K , ) iP e s J • - (a * = xio • • • ® zi p )i=( io ,...,i p)e s definit un isomorphisme ((ns°'EJo x

• • • x f ^f i J p ) x G * / Gm ) / ( G * > / G m x • • • x G sm*/Gm) ^ "

S,B

au-dessus de ({ASo x

•-. x ,4 s ") x ^ | ) / ( ^ | ° x • • • x .4§ p ) - ^ ^5

qui prolonge Visomorphisme du corollaire 1 . 8 Gr; o , £ j ° x • • • x G r^ ^ OQ Op

Gr

r

/.

O

// respecte Vaction de Aut(£o) x • • • x Aut(.En ) et celle du tore G ^ / G m . DEMONSTRATION.

O n a un morphisme bien defini e t equivarian t a valeurs dan s

le schema produi t / x G m \ ]\(A^E.-{0}). \ies II s'agi t d e prouve r qu'i l s e factoris e a travers l e sous-schem a ferm e Q S,E e t qu'il induit u n isomorphism e su r celui-ci . Verifions-le a u nivea u de s fibres. Soien t don e 5 0 , 5 1 ? . . . , S_ p des pavages entier s convexes d e So , S\ ,..., S p e t 5 = 5 0 x fi^x• • • x S_p le pavag e produi t d e 5 = So x S\ x • • • x Sp. O n a bien u n isomorphism e indui t G/s°'Ej° x

G r^ x

• • • x Gvr;'Ejp -

Gr

entre le s fibres au-dessu s de s points distingue s (as o , a^,..., 0: a associe r a toute famill e d e sous-espace s Fs > ^ E

Jo

r E

l

—V

,F

s.^EJl,

...,

F

S>

5 ) et a^. I I consiste

-* EJp,

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33

2.4. R E S T R I C T I O N AU X FACE S

de rang s r*o , T\,... , r p e t indexe s pa r le s pave s 5 Q G 5 0 , S[ G 5 l 5 . . . , 5 p G £ p , l a famille de s sous-espace s d e ran g r FS/

^ £

- £

Jo

©

E JX

© • •• ©E

Jp

f

indexes pa r le s element s S = O n X Oi X • • • X 5' d u pavag e S_ qu i son t dermi s pa r

L'isomorphisme reciproqu e associ e a tou t poin t (Fs* ^ E)s'es d e G r J le s p + 1 families d e sous-espace s (Fs f. ^- > Ej^s'es.i 0 < z < p , ou > pou r tou t elemen t S^ d u pavage S ^ e t s i 5 ' design e n'import e que l elemen t d e S_ don t l a projectio n su r Si est St, o n a pos e

Fsi = Fs* n i ^ . Cette definitio n n e depen d pa s d u choi x d e S' d'apre s le s condition s d e recollemen t que doi t verifie r l a famill e (Fs f c - > E)s eeS_ dan s l'enonc e d u corollair e 2.3 . Ceci prouv e dej a qu e notr e morphism e defini t un e bijectio n su r 1 'ensembl e sous-jacent a Q S,E. O n laiss e a u lecteu r l e soi n d e verifie r qu'i l defini t mem e u n isomorphisme entr e le s schemas . D e tout e fagon , c e ser a un e consequenc e d e l a ca racterisation modulair e global e de s schema s Q S,E qu'o n donner a a u chapitr e 4 . • Dans l a situatio n d e cett e propositio n o u O — O o X • • • X Op ,

on obtien t e n passan t au x quotient s pa r le s action s libre s d u tor e G ^ / G m u n iso morphisme entr e compactification s projective s ft '

°

x • • • x qu

prolonge l'isomorphism e Gr 5 °' J ° x • • • x Gr^ T J p —> • Gr 5 ' e

i

t s'inscri t dan s u n

carre commutati f :

aSo'Bj° x • • • x n Sp'Bj' — ^ ^ n s'E As°/As0° x

• • • x A S/AS0P — ^ A

s

/As0

Pour tou s pavage s entier s convexe s S_ 0,..., S_ d e So,.. ., S p e t s i S_ = S 0 x • • • x S_ designe l e pavag e produi t dan s S, o n a u n isomorphism e indui t entr e strate s

o|°o'£j° x • • • x u s £ E j > ^ n 3sE. A titr e d'application , o n peu t donne r l e corollair e suivan t d e l a propositio n 2. 5 combinee ave c l a propositio n 2. 7 dan s l e context e de s espace s d e configuration s : COROLLAIRE 2.8 . Soient S un pave entier de 5 r , n qui a un espace de configurations Cg' n et S' un bord de S (c'est-a-dire une face de codimension1 ) qui done est de la forme S' = S 0x S i ou So, S\ sont deux paves entiers dans des simplexes S r°'n°, 5 n + 1 = (n 0 + l ) + (n i + l ) . Alors le morphisme entre espaces de configurations

ri ni

'

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avec r — ro + r i ,

34

2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

qui est explicite dans le corollaire 1 .1 entre compactifications ft

2 se prolonge naturellement en

— > ft x

ft qui

US ^ft

As/A% >

s'inscrit dans

So

- A s° /A

s

Sl

xQ

0°

un morphisme

un carre commutatif :

x A s' /Al

1 n

2.5. M o r p h i s m e s s i m p l i c i a u x Comme dan s l e paragraph e 1 .4 , o n consider e un e applicatio n arbitrair e L: { 0 , l , . . . , p } - ^ { 0 , l , . . . , n } et l'applicatio n affin e qu'ell e indui t . Q riP qr,n

V t(/3)=

Q7

a

=°

r,n

Soit 5 u n convex e entie r d e S don t I'imag e reciproqu e S f pa r £ * n'es t pa s vide. Alor s S' es t auss i u n convex e entier . Pour tout e fonctio n v : S — > R qu i es t dan s l e con e C 5 de s fonction s convexes , son imag e t> ' = v o 6* : S "—• > R es t dan s l e con e C s e t l e pavag e entie r associ e a v' es t I'image reciproqu e d e celu i associ e a v. Autremen t dit , l'applicatio n d e compositio n avec £ * Rs - > R 5 ' envoie C s dan s C 5 , Cjf dan s C% et ell e indui t un e applicatio n lineair e

CSIC%-*CS' IC% qui respect e le s structure s d'eventails . Elle correspon d a u n morphism e d e variete s torique s As -

A

s

'

qui es t equivarian t relativemen t a l'homomorphism e A% — • A% indui t pa r G ^— * G*'. Considerons maintenan t deu x espace s gradue s £ = So © # i 0 • • • © £ „ ,

£' = ^©J5i©.-.©^, tels qu e E'Q = E L^^ 0

< / ? < p , e t l a famill e d'homomorphisme s injectif s associe s

pour le s couple s d'indice s i G 5 r ' n , j G S r ' p relie s pa r i — L*(j). L'enonce d u lemm e 1 . 9 s'amplifi e e n :

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35

2.5. M O R P H I S M E S SIMPLICIAU X

PROPOSITION 2.9 . Dans la situation ci-dessus ou Sf — t^1(S), le produit

morphisme

Gm\ n(A1^ - w) -^ G-\ n ( A -^ - w) \ieS \ j e S

"

definit un morphisme au-dessus de A s—> • ^ l5 . J Z est equivariant relativement aux homomorphismes Aut(Eo) x . .. x Aut(S n ) - > A u t ( ^) x ••• x Aut(££) e t C ^ / Gm - > G ^ / G m . DEMONSTRATION. Bie n sur , quand i es t injectiv e l e resulta t es t dej a conn u car alor s L* identifi e S r,p a un e face d e S r'n e t l'enonc e ci-dessu s devien t u n cas particulier d e la proposition 2.5 . Quand i est arbitraire, o n considere l e morphisme produi t

As x

G m \ l[(A lE. -

{0} ) - > A3' x G m \ J ] ( A ^ - {0} )

qui es t evidemment equivarian t e t on doit prouve r qu e le sous-schema ferm e tt s,E du schema de gauche s'envoie dan s le sous-schema ferm e ft s ,E d u schema de droite. On l e verifie a u niveau de s fibres. Si S_ est un pavage entie r convex e d e S e t S_ f le pavag e indui t d e S", on voit qu e Gr^ s'envoi e effectivemen t dan s Gr^' , . Cel a resulte encor e un e fois d u corollaire 2. 3 combine ic i avec le lemme 1.9. On laiss e en exercice la verification d e ce que s'envoi e dan s Q s :E comm e schemas. Ell e est semblable a celle de la proposition 2.5 . • Dans l a situation d e cette proposition , o n obtient ic i encore qu e le morphism e Grg— » Gig/ s e prolonge e n un morphisme entr e compactification s qu i s'inscri t dans u n carre commutati f :

ns'E -ff' As/A% >A

£

'

S

'IA%

Donnons deu x application s d e cette constructio n generale . P r e m i e r e application . Compactificatio n d u classifiant d e PGL r . On suppos e ic i que tous le s Ea e t E' R sont egau x a A r e t qu e S = S r ' n avec done S' = Sr ' p . Alors l'applicatio n i\ {0,.. . ,p } —> { 0 , . . . , n } indui t de s homomorphismes GL?+1->GL£+\ G£+1-G£+\

( G m )ef

— • ( Gm )

0

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2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

36

et le s morphisme s simpliciau x ^ 0 VjrJL r

J\JYJ T

^

^ 0 •>

—> V j r i j r

/Vjij r,

PGL^+1/PGLr - > PGL^

+1

/PGLr

se prolongen t e n de s morphisme s compatible s entr e eu x e t ave c toute s le s action s

Q u a n d o n fai t varie r n , p e t t, le s familie s (*4 r'n)n>o> ( ^ r ' n ) n > o , ( ^ ' )n> o deviennent de s schema s simpliciaux . Comm e chaqu e ft ' es t u n schem a projec V ft V

71

_i

_1

tif qu i contien t comm e strat e ouvert e tig — G r^ = PGL ™ / P G L r , l e schem a simplicial ( O ' ) n >o peu t etr e consider e comm e un e compactificatio n equivariant e du schem a simplicia l (PGL™ + / P G L r ) n > o classifian t d u group e P G L r . I I es t mun i T n d'un morphism e su r l e cham p toriqu e simplicia l (A r,n /A 0 )n>o. D e u x i e r n e a p p l i c a t i o n . Compactificatio n de s morphisme s d'oubl i partie l e t de repetitio n de s point s d'un e configuration . On suppos e ic i qu e tou s le s facteur s E a e t Eg son t d e ran g 1 , qu e l e convex e entier S C S r,n a u n espac e d e configuration s C^ n e t qu e so n imag e reciproqu e Sf pa r L* : S r'p—- » S r,n n'es t pa s vide . C'es t l a situatio n envisage e a l a fin d u paragraphe 1 .6 . Alors l e morphism e entr e espace s d e configuration s —r,n -^r,p

P = (P„ , • • • , Pn) ~ E =

(Pf, = P,w)

P

p=o

§ g'

se prolong e e n u n morphism e entr e compactification s f 2— » $1 qu i s'inscri t dan s un carr e commutati f :

ns * AsjA% >A

• sf' S

'IA%

Quand i es t injectiv e e t qu e S e t S' son t d e dimension s maximale s n e t p (ce qu i signifi e qu e pou r n'import e quell e configuratio n P_ — (Po > • • • 5 Pn) d e C j n , ni l a famill e de s P QC1 0 < a < n , n i mem e l a sous-famill e de s P aj a G Im(t) , n ' a d m e t t e n t d e partitio n e n sous-ensemble s don t le s sous-espaces engendre s seraien t supplement aires dan s P r _ _ 1 ) 5 c'es t u n ca s particulie r d u corollair e 2.8 . Quand i es t surjective , l e morphism e

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2.6. R E S T R I C T I O N D'U N PAVAG E A UN E D E SE S F A C E T T E S

37

consiste a repete r certain s point s e t c'es t u n isomorphisme . O n laiss e e n exercic e l a verification d e c e qu e le s deu x fleche s AS/AS0^AS /A

0

c

q'

si ->s r sont egalemen t de s isomorphisme s dan s c e cas . 2.6. R e s t r i c t i o n d ' u n p a v a g e a u n e d e se s f a c e t t e s On consider e u n convex e entie r S d e S r,n e t u n pavag e entie r convex e S_ d e S. On not e .4 — l e sous-schem a ferm e invarian t d e l a variet e toriqu e A s qu i es t 1'adherence schematiqu e d e l'orbit e Ag. C'es t un e variet e toriqu e d e tor e A^ — ^m/(^m)s_ e ^ don t le s orbite s A~g, = Ag, son t indexee s pa r le s pavage s entier s convexes 5 ' d e S qu i raffinen t l e pavag e 5 \ L'eventai l qu i l a defini t es t plong e dan s l'espace quotien t R ^ / C ^ d e R 5 pa r l e sous-espac e C~^ des fonction s v : S — » R don t la restrictio n a chaqu e elemen t S' d e S. e s t affine . C'es t l e quotien t C—fC^ pa r C^ du con e C — des fonction s v : S — > R don t l a restrictio n a chaqu e S' G 5 es t convex e c'est-a-dire es t dan s C s . Pour E 1 = EQ 0 • • • © E n u n espac e gradue , o n not e Q- ,E l e sous-schem a ferm e invariant d e Q S,E imag e reciproqu e d e A— par l e morphism e d e structur e tt s— > A s et Q - ' so n quotien t pa r Tactio n libr e d e G ^ / G m . L e schem a fl~ : es t projecti f q j?

q

XT'

et i l contien t Q^ — Q s' = morphisme d e structur e

rp

r

Gig comm

»/ x /

u' '

sur l e cham p toriqu e A—/A^ de

e sous-schem a ouvert . I I es t mun i d'u n «^T. 0

s pavage s entier s convexe s S_ f de S qu i raffinen t 5

et s e decompos e e n strate s localemen t fermee s Q^, — Q s) = Gr^' z qu i son t le s images reciproque s de s point s d e c e champ . Considerons maintenan t un e facett e S' d u pavag e S_ de S c'est-a-dir e u n elemen t de I'ensembl e constitu e de s cellule s d e S_ (qu i on t mem e dimensio n qu e S) e t d e leur s faces. L a restrictio n a 5 ' C 5 de s fonction s v : S — > R defini t un e applicatio n lineair e Rs ^R

s

\

et don e qui respect e le s structure s d'eventaiis . Ell e indui t de s morphisme s compatible s d e tores e t d e variete s torique s A$- _ > A

s

'

A^-+AS'. Le morphism e quotien t A—/A^ — » ^4 5 /*4 § consist e a associe r a tou t raffinemen t S_f de 5 l e pavag e indui t d e l a facett e S' d e S. De fago n analogu e a l a propositio n 2.5 , o n montr e :

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2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

38

PROPOSITION 2.1 0 . Pour S_ un pavage convexe entier de S C S r'n et facette de S_ comme ci-dessus, Voubli des coordonnees en dehors de S'

S f une

em\ ri( Ai ^ - w)-* G-\ n ( AI ^ - w) f

\ies \ies

definit un morphisme au-dessus de A— — > *4 5 . i Z respecte les actions de Aut(jE?o ) x • • • x Aut(i£ n ) et des tores G ^ / G m ; G ^ / G m relies par la restriction G ^— » G ^ . D II suffi t d'etudie r ce s morphisme s dan s l e ca s o u S' es t un e cellul e d e 5 , l e ca s general s'e n deduisan t pa r compositio n ave c le s morphisme s d e l a propositio n 2.5 . Dans c e ca s o u d i m S " = di m 5, expliciton s l e morphism e Q- ,E— > tt s ,E a u niveau de s fibres . S i U_ est u n pavag e entie r convex e d e S qu i raffin e S , l e pavag e induit C/ 7 d e S' es t u n sous-ensembl e d e U_ e t l e morphism e indui t entr e fibre s au-dessus d e OL\J_ e t cx\y

Grjf - Gr£ f consiste a associe r a tout e famill e d e sous-espace s (Fu °- > E)ueu_ comm e dan s l e corollaire 2. 3 l a sous-famill e (Fu c -> E)uen /' Dans l a situatio n d e l a propositio n ci-dessus , o n obtien t e n passan t au x quo tients pa r le s action s libre s de s tore s G ^ / G m e t G ^ / G m u n morphism e entr e compactifications fi~' — > ft '

qu i prolong e l e morphism e Gr^—

» Gr 5 ',

et s'inscri t dan s u n carr e commutati f :

On peu t note r l a consequenc e suivant e d u theorem e 2. 4 : COROLLAIRE 2.1 1 . Soient S et S' deux convexes entiers de 5 r ' n et F un point de la cellule de Schubert mince GrJ , qui est dans Vadherence schematique de Gr ^ dans Gr r ' (ce qui impose S' C S). Alors il existe un pavage entier convexe S_ de S dont S' soit une facette et tel que le morphisme contienne F

dans son image.

D E M O N S T R A T I O N . P a r hypothese , i l existe u n poin t F^ d e l a cellul e d e Schuber t mince Gr ^ a valeur s dan s l e poin t generiqu e d'u n trai t T e t don t l a specialisatio n Fs dan s G r r ' soi t egal e a F. Le poin t F^ indui t u n poin t F^ d e l'ouver t Gr 5 ' = Q.

I I s e prolong e e n u n poin t d e Q a

£7 0' d e l a variet e projectiv e

valeur s dan s T don t l a specialisatio n

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2.7. CHANGEMEN T DE S ESPACE S AMBIANTS

39

r s es t contenue dan s l a strate G r 5 = iz ^ associe e a un certain pavag e entie r convexe 5 d e 5 . Ce pavag e S_ compte necessairemen t S' parm i se s elements e t il repond a la question posee . D r,E

Ce corollair e impliqu e que , pour qu e Gr5 ', rencontr e 1' adherence d e Gr^' , il faut no n seulemen t qu e S' C S mai s auss i qu e 5 a d m e t t e un pavag e entie r convex e comptan t S' parm i se s facettes . - Quan d S = {i = (i a) G Sr,n \ ia < rgEa,\/a} (e t en particulier quan d tou s les E a son t egau x a Ar et 5 = 5 r ' n ) , l'hypothes e d u corollaire es t automatiquemen t verifiee ca r alor s l a strate G r J es t ouverte e t dense dan s l a grassmannienne Gr r ' . REMARQUES.

2.7. C h a n g e m e n t d e s e s p a c es a m b i a n t s On consider e toujour s u n espace gradu e E = E0 0 • • • 0 E n r n

et u n convexe entie r S d e S ' . Pour tou t indic e a , 0 < a < n, on note r*=r-

d

{0,...,n}-{a}'

Les morphisme s naturel s Gr

r,E

QTra,Ea

(PH£)H(F/FnB

{ 0

_

n }

w

Ea)

se prolongen t e n les morphisme s simpliciau x

n

S,E

ra,Ea

ns'E associes au x n + 1 application s

{0}->{0,l,...,n} 0i— * a

par l a proposition 2.9 . On a done u n morphisme produi t QS,E

>

. Grro,Bo x . . . x

Gr

rn,En

ns'E qui es t equivariant relativemen t a Taction d e Aut(E'o) x • • • x Aut(E n) laquell transitive su r la base. On prouv e facilemen t :

e est

L E M M E 2.1 2 . Dans la situation ci-dessus, la fibre de Q,S,E au-dessus de tout point (E' 0, .^,E fn) de Gr r o , j t , ° x • • • x G r r n , £ ? n 5 'identifie a Q5 ' ^ ' si Ef designe V espace f gradue E' — E 0(&- • -®E' n. Cette identification est compatible avec les projections sur la variete torique A , avec Vaction de G ^ / ( Gm et avec les actions du stabilisateur

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40

2. C O M P A C T I F I C A T I O N S

P0 x • • • x Pn de E' 0,..., E' n dans A u t ( £ 0 ) x • • • x Aut(E n) et de A u t ( ^ o ) x • • • x Aut(E'n) relies par la restriction des automorphismes Po — • A u t ( 2 ? o ) , . . . , P n— * Aut(E'n). 0 II result e d e c e lemm e qu e pou r etudie r tou s le s schema s Gr ^ ,

Gr 5 ' , Q

S,E

,

r

Q ' , i l suffi t d e l e fair e dan s l e ca s o u tou s le s facteur s E a son t egau x a A , ave c done E = ( A r ) n + 1 . Mai s alors , d'apre s c e qu'o n a v u a u p a r a g r a p h s preceden t 2.6 , tous ce s schema s apparaissen t dan s I'etud e de s f T ' n e t Vt ' qu i compactifien t le s PGL?+1/PGLr. 2.8. D u a l i t e Dans c e paragraphe , o n fixe un e famill e d'entier s eo , e i , . . . , e n > 1 d e somm e e = e 0 H he n. Si r es t u n entie r verifian t 0 < r < e et r v design e l a differenc e e—r , l'applicatio n affine i = (^o^i,- - -,*n ) ^ i V = (e o - *o,e i - i i , . . . , e n - z n ) definit un e bijectio n d u convex e entie r S r ' s = {i= ( i

i n ) e 5 r ' n | za < e a , V a }

0,...,

sur S r V ' - = { i = (io , • • •, in) e S r^n | v

v

r

ia < e Q , V « } .

r

On a ( r ) = r e t le s deu x bijection s 5 ' -— * iS '- , S r ' -— > 5 r ' - son t inverse s l'un e de 1 'autre . Cette bijectio n S r'- - ^ S r ' - echang e le s convexe s entier s d e par t e t d'autre . v

Si S es t u n convex e entie r d e 5 r ' - e t S so n imag e dan s S r '- , l a compositio n d e la bijectio n induit e S — > 5V ave c le s fonction s v : 5 V— > M definit u n isomorphism e lineaire

et don e

c s v /cf ^c

s

/cs0

qui respect e le s structure s d'eventails . Ell e indui t de s isomorphisme s compatible s de tore s e t d e variete s torique s ,5V^

AsV ^

AS

A

s

.

Le morphism e quotien t associ e a tou t pavag e entie r convex e d e 5 V so n imag e reci proque pa r l a bijectio n affin e S — > S v. Considerons maintenan t u n espac e gradu e

E dont le s facteur s Eo, ..., E

n

= E0 e • • • e En

son t d e rang s e o , . . . , e n , e t so n dua l

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2.8. D U A L I T E

41

Pour tou t poin t i = ( i o , . . . , z n ) d e 5 r ' - d'imag e z v = (e o — io, • • • , e n — z n ) dan s S '- , o n a de s isomorphisme s canonique s r

AlE. -

^ (A*

v

E.) v ®

u de t E = A e E,

det £ o

et don e A^£. - ^ > ( A ^ ^ ) ( g ) d e t £ . En faisan t l a somm e su r tou s le s point s i d e 5 r ' - , o n obtien t u n isomorphism e

Gm\ J ] (A 1 ^. ~ {0}) ^> Gm\ J ] (A^. v -{0}). v e

\iesr>e. \ j e 5 -

-

II indui t l'isomorphism e entr e grassmannienne s

qui consist e a associe r a tou t sous-espac e d e ran g r d e E F E v

le sous-espac e d e ran g r = e — r d e i £

v

qui es t l'orthogona l d e F F±=Ker[Ev -

» F v].

Pour tou t convex e entie r 5 C S r,~, ce t isomorphism e transform e l a strat e Gr^ ' d G r r ' E e n l a strat e G r ^ ' ^ d e G r r V ' s V . Ici encore , o n prouv e :

e

PROPOSITION 2.1 3 . Dans la situation et avec les notations ci-dessus, si S est un convexe entier dans 5 r ' - et S v son transforme dans S r '- , I'isomorphisme

Gm\ U^-E. - < o »^ GA n ( ALE. - {°» produit des isomorphismes canoniques A 1 £. - ^ ( A ^ £. v ) ® det E, i

G

5,

induit un isomorphisme au-dessus de A s —> • ^ l 5 . I Z respecte les actions de Aut(E'o ) x • • • x Aut(E n) et Aut(E'of) x • • • x A u t ( E ^ ) re/ie s p a r (w 0 , • • • ,u n) »- » ( t ^ 1 , . . . , lu~l) et des tores V Gi/Gm, G^ / G m relies par G * ^ G * v . D Si S_ es t u n pavag e entie r convex e d e S e t 5 l'isomorphisme indui t Vjrro' >

V

l e pavag e correspondan t d e £

v

Cjrrov'

entre fibres au-dessu s d e as_ e t a^ v consist e a associe r a tout e famill e d e sous espaces (Fs* • E)s>es_ comm e dan s l e corollair e 2. 3 l a famill e de s sous-espace s orthogonaux (Fg-, ^- » £ v ) s ' e s .

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,

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https://doi.org/10.1090/crmm/019/03

CHAPITRE 3

E t u d e d e quelque s familie s simple s d e compactifications 3.1. Le s ca s d e s r a n g s r = 1

etr = 2

r n

Quand l e ran g r es t ega l a 1 , l e simplex e 5 ' = 5 1 ' 7 1 = {(io , • .. , i n ) £ N n + 1 | ^o + * * ' + in — 1 } n e compt e pa s d'autre s point s entier s qu e se s sommet s e t don e il n e contien t pa s d e pav e entie r plu s peti t e t n ' a d m e t pa s d e pavag e entie r no n trivial. O n a Si E = EQ © • • • © E n es t u n espac e gradue , o n a pou r S = S QS,E =

U S0E = G r " ^ - F(E 0) x 1

En particulier , s i E = ( A )

n+1

. . . x F(E

1 ,n

n).

1 71

etS = S ' ,ona

J) ' = tt

0

=

Gr s =

Cg =

{pt} .

A parti r d e maintenant , nou s voulon s etudie r l e ca s o u l e ran g r es t ega l a 2 . Tout d'abord , nou s allon s considere r le s variete s torique s A s associee s au x pave s S du simplex e S 2,n e t montre r e n particulie r qu'elle s son t lisses . O n commenc e pa r : L E M M E 3.1 . Pour n > 1 une multiplicity arbitraire, soit S un convexe entier du simplexe S 2,n qui est de codimension 1 et n'est pas contenu dans une face de 5 2 ' n . Alors S est ^intersection de S 2,n avec Vhyperplan qui le supporte. D E M O N S T R A T I O N . L'hyperpla n qu i support e S es t defin i pa r un e equatio n d e la form e Y2 aei ^ a = ^ > P o u r I u n e parti e no n trivial e d e { 0 , 1 , . . . , n }. Notan t J la parti e complemen t aire d e / e t n o = | / | — 1, ri\ = \J\ — 1 , l'intersectio n d e g2,n _ | ^ o ^ # . # 5 2n ) £ N n + 1 | X^a= o *" = 2 } ave c ce t hyperpla n s'ecri t (ia)aei ^

N

l \ =s

7

ael J

1

>no x ^ '

n i

.

I

Elle es t necessairemen t egal e a S puisqu e S 1 ,n° e t S 1 ,ni n entiers plu s petits . •

e contiennen t pa s d e pave s

On dedui t d e c e lemm e : PROPOSITION 3.2 . Soient S un pave entier dans le simplexe 5 n et de cote 2 et S_ un pavage entier convexe de S.

2,n

de dimension

(i) Associons a S_ le graphe dont les sommets correspondent aux paves de S_ et les aretes aux faces de codimension 1 qui sont communes a deux paves de S_. Alors ce graphe est un arbre connexe. 43 Licensed to AMS. License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/publications/ebooks/terms

44 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

(ii) Si \S] designe le nombre des paves de S_, le pavage S_ est le raffinement commun de \S] — 1 pavages entiers convexes consistant chacun en exactement deux paves. D E M O N S T R A T I O N . (i ) Comm e S es t convexe , c e graph e es t connexe . C'es t un arbr e car , d'apre s l e lemm e 3.1 , se s arete s corresponden t a de s hyperplan s dan s S2,n e t i l n'es t possibl e d e passe r d'u n cot e a l'autr e d'u n te l hyperpla n qu'e n traversant l'aret e correspondante . (ii) I I s'agit de s pavage s a deu x pave s dermi s pa r le s hyperplan s d e 5 2 ' n associe s aux \S\ — 1 arete s d e l'arbr e d e 5 . D Puis cett e propositio n impliqu e : COROLLAIRE 3.3 . Pour toute multiplicite n > 1 et tout pave entier S de S 2'n, la variete torique A s des pavages entiers convexes de S est lisse. Ses orbites de codimension1 sont celles associees aux pavages constitues de deux paves et plus generalement la codimension d'une orbite A$ associee a un pavage S_ est egale a \S] — 1. Les pavages les plus fins de S sont ceux dont tous les paves sont minimaux au sens qu'on ne peut les subdiviser en paves strictement plus petits. D E M O N S T R A T I O N . Soien t 5 u n pavag e entie r convex e d e S e t v: S — • Z un e 5

fonction qu i es t dan s l e con e C s. S i H\, ... ,Hk (ave c k = \S_\ — 1) designen t le s hyperplans correspondan t au x arete s d e l'arbr e d e 5 , o n peu t alor s ecrir e v = vi H h

Vk

ou pou r tou t i, 1 < i < k, Vi es t un e fonctio n su r S, a valeur s dan s Z , qu i es t dan s le con e C s e t don t l a restrictio n a chaqu e cot e d e l'hyperpla n Hi es t affine . Ceci prouv e qu e l a variet e toriqu e A s es t lisse . Le s autre s assertion s son t im mediates. • Bien sur , s i S es t u n convex e entie r dan s S 2'n d e codimensio n > 1 , l e lemm e 2. 6 s'applique e t l a variet e toriqu e A s es t encor e lisse . Considerons maintenan t u n espac e gradu e E = EQ ® • • • ® En e t venons-e n au x cellules d e Schuber t minces . LEMME 3.4 . Pour tout convexe entier S du simplexe S 2'n tel 2 — d? 0 n

ra=

-i_r a -p 0 < a < n, la cellule de Schubert mince associee Gr^ ' dans

grassmannienne G (i) GT

que rgE a >

2 E S'

est

r ' verifie

la

:

non vide, lisse et geometriquement connexe.

f

(ii) Si S est une face de S, le morphisme Gr ses fibres sont geometriquement connexes.

5 '—

» Gr5 ', est

lisse surjectif et

(iii) Si S 1 est un convexe entier contenu dans S', Gr^ v est contenue dans Vadherence schematique de Gr 5 ' dans la grassmannienne G r ' . (iv) Si S est un pave minimal, Faction est transitive.

de Aut(E'o ) x • • • x Aut(E n) sur

Gr^ '

(v) Si tous les E a sont de rangs > 2 , S est un pave minimal et S' est une face de S de codimension1 qui n'est contenue dans aucune face de S 2,n, le sous-tore s Kev[(Gsm)0 ^ (G m)0\

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3.1. LE S CA S DE S R A N G S r = l E T r = 2 4

5

sur S f agit transitivement sur

des fonctions affines S — > G m qui valent 1 les fibres de Gr 5 ' — • G r^ .

D E M O N S T R A T I O N . L e schem a Gr 5 ' classifi e l a donne e d'u n espac e F d e di mension 2 e t d e n + 1 homomorphisme s lineaire s E 1 ^— > F v , 0 < a < n , tel s que - F

v

es t engendr e pa r le s image s de s E^ — » F v ,

- pou r tou t a , 22 ^ - > F v es t nu l s i df 0 ,...,n}-{a} = 1 e t d e ran g 2 s i df 0 ,...,n}-{a} = 0 , - pou r tou s a,/ 3 tel s qu e d? 0 ni-jo, ) = 1 phismes d e ran g 1 Eya^Fw, E%^F

= d?

2

'

Qn

de ran

S1

sid

{o,...,n}-{a} =

-._ r^-p le s deu x homomor -

W

ont mem e imag e s i e t seulemen t s i d? 0 n | _ r a ^ i = 1 . On e n dedui t aussito t le s assertion s (i ) e t (iii) . Quand S' es t un e fac e d e S defini e pa r un e equatio n i a = 0 , l e morphism e Gr 5 '— > Gr 5 ', consist e a oublie r l'homomorphism e E% — » F v e t a garde r me e moire de s autre s EY — » F v , j3 ^ a. Quan d S " es t defini e pa r Y2 aei ^ a = 1 ^ ue a res sur es 1 v q S a e / ^ — ^ [ P- ^ 1 ] ^ tou s * homomorphisme s E ^— > E , a e I [resp. a ^ J ] son t d e ran g 1 et on t mem e imag e E / v e t l e morphism e Gr 5 '— > Gr^' , consiste a considere r le s homomorphisme s induit s E^ — » E/ v , a E I [resp . a ^ / ] et E^ - • F v / F / V , / 3 ^ I [resp . / ? G / ]. D'ou l'assertio n (ii) . Quand S es t u n pav e minimal , deu x ca s son t possible s : o u bie n Tu n de s ho momorphismes E^ — > Ev es t d e ran g 2 e t tou s le s autre s son t d e ran g 1 e t on t meme image , o u bie n tou s le s homomorphisme s E^ —> F v son t d e ran g 1 e t le s droites image s son t a u nombr e d e 3 exactement . Cel a impliqu e (iv) . Pou r (v) , o n remarque qu e l a fac e S f correspon d a considere r l a droit e imag e [resp . l'un e de s 3 droites images ] E / v dan s F v e t l e morphism e Gr 5 '— » Gr^', associ e a F comm e ci-dessus l a famill e de s homomorphisme s induit s dan s F ,y e t E v / E / V . D 2W

Passant au x recollement s Gr^ ' de 2

s cellule s d e Schuber t minces , o n obtien t :

L E M M E 3.5 . Soient S un pave entier du simplexe S 2,n tel que r g E a > r a = ~ ~ ^fo n } - { a } ' 0 < a < n, et S_ un pavage entier convexe de S. Alors : (i) Le schema Gr^ ' est

lisse et geometriquement connexe

S' de S_, le morphisme de restriction Gr ^— ses fibres sont geometriquement connexes. (ii) Si S_ f est un raffinement de Vadherence schematique de

» Gr^.', est

S_ obtenu en subdivisant un

en deux paves dont Vun est minimal, le PL$ dans

Q,

et

lisse surjectif et unique pave de S_

schema Gr^' , est S,E

pour tout pave

contenu dans

.

D E M O N S T R A T I O N . D'apre s l e lemm e 2.1 2 , i l suffi t d e traite r l e ca s o u tou s le s Ea son t d e ran g 2 . Partons d e l a cellul e d e Schuber t minc e Gr^' , associe e a u n pav e S f d e S_. Ce pav e correspon d a u n somme t d e I'arbr e connex e associ e a S_. On peu t alor s 2 h1

recoller Tun e apre s I'autr e le s cellules d e Schuber t mince s Gr 5 '„ associee s au x autre s paves S" d e S_ c'est-a-dire au x autre s sommet s d e I'arbr e e n progressan t l e lon g de s branches a parti r d u somme t initial .

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46 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

Alors (i ) result e de s assertion s (i ) e t (ii ) d u lemm e 3. 4 e t (ii ) result e de s asser tions (iii) , (v ) e t (ii ) d e c e lemme . • Nous somme s pare s pou r prouve r : THEOREME 3.6 . Soient E = EQ(&- • -®En un espace gradue et S un pave entier du simplexe S 2'n tel que rgE a > r a = 2 — . Le morphism e PL /S'E— > As su r l a variet e toriqu e normal e A s es t equidimen sionnel e t se s fibres son t lisses . I I es t don e lisse . So n imag e es t u n ouver t invarian de A s qu i contien t toute s le s orbite s fermees , e'es t A s tou t entiere . Cel a impos Q'S,E _ _ QS,E p U i S q U e i e s fibre s d e Q S,E—> > A s son t toute s lisse s d e l a mem dimension e t geometriquemen t connexes . Ainsi l e morphisme Vt S'E— > A s est-i l liss e e t d e mem e Q ' -^

A s jA%.

Comm

t e e e

o fp

d'apres l e corollair e 3. 3 l a variet e toriqu e A s es t lisse , l a compactificatio n f £ ' d e Gig es

t liss e e t so n bor d es t u n diviseu r a croisement s normaux .

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3.1. LE S CA S DE S R A N G S r = 1

ETr = 2 4

7

(ii) I I suffi t d e traite r l e ca s o u l a fac e S' d e S es t d e codimensio n 1 et o u tou s les E a son t d e ran g 2 . Comme (i ) es t dej a connu , o n a seulemen t besoi n d e montre r qu e s i S_ es t u n pavage entie r convex e d e S qu i o u bie n es t trivia l o u bie n n e peu t etr e raffin e e t s i S_f designe l e pavag e indui t d e S' , l e morphism e Gr^ '— > Gr^ , es t lisse . Si S_ es t trivia l o u plu s generalemen t s i S_ es t trivia l (c e qu i es t l e ca s d'apre s le lemm e 3. 1 s i l a fac e S f d e S n'es t contenu e dan s aucun e fac e d e S' 2'77'), l a lissit e de Gig —> Gr 5 ', result e d u lemm e 3.4(ii ) e n recollan t le s pave s d e S_ le s un s apre s les autre s l e lon g d e leu r arbr e e n par t ant d e celu i don t S f es t un e face . Reste l e ca s o u l e pavag e S_ ne peu t etr e raffin e (don e es t constitu e d e pave s minimaux) e t o u l e pavag e indui t S_' est no n trivial . On peu t trouve r un e fac e T' commun e a deu x cellule s d e S[ e t qu i es t d e codimension 1 dans S' (o u dan s l a fac e d e 5 2 , n identifie e a 5 2 , n _ 1 qu i support e 5" ) puis un e fac e T commun e a deu x pave s d e 5 , qu i es t d e codimensio n 1 dan s S o u S 2 ' n e t qu i verifi e T n S' = T . On a u n carr e commutati f

Gr| E ^G4'

£

Gr| B G4'

f

ou, d'apre s l e lemm e 3.4(v) , le s tore s ( G ^ ) ^ e t (G m)s_f de s fonction s S — > G mi. S'— > G m qu i son t affine s su r chaqu e cellul e d e S o u S " agissen t transitivemen t su r les fibre s de s deu x morphisme s horizontau x (lesquel s son t lisse s e t surjectifs) . Comme Tliomomorphism e d e restrictio n

est surjecti f e t qu e l e morphism e

est trivialemen t liss e (o n es t redui t a u ca s r = 1 ) , o n conclu t qu e l e morphism e Gr2/- > Gr

2

/

est liss e e t surjectif . (iii) D'apre s (ii) , o n peu t suppose r qu e S f es t u n pav e d e S_. Ici encore , i l suffi t d e prouve r qu e s i U_ es t u n pavag e entie r convex e d e S qu i raffine * S et C/ ; design e l e pavag e indui t d e S" , l e morphism e

Grf/B - + Gr^ B est iiss e e t surjectif . Cei a result e d u iemm e 3.4(ii ) e n completan t pa s a pa s i'arbr e de H* jusqu'a obteni r celu i d e U_. D On voi t e n particulie r e n prenan t E — ( A 2 ) n + 1 e t S = S 2n 2

n _i

2,n

qu e toute s le s

_i

compactifications equivariante s Q ' de s G r ^ = PGL 2 / P G L 2 son t lisse s e t qu e leurs bord s son t de s diviseur s a croisement s normaux . Comm e o n a di t dan s l'in troduction, l a premier e demonstratio n correct e d e c e resulta t (ave c un e method e —2 n de t n different e pou r le s compactification s Vt ' ) figure dan s l'articl e [Fal de construc constructio tings, 2001 ] .

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48 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

De plus , pou r tout e applicatio n injectiv e i\ { 0 , . . . ,p }— > { 0 , . . . , n } (qu i iden tifie S 2,p a un e fac e d e dimensio n p d u simplex e S 2 ' n ) , l e morphism e simplicia l associe 02'n,

0 2'Pv

|2,n//i2,n

/

est lisse . 3.2. Espace s d e configuration s e n rang s r = 1

e t r = 2 e t leur s d u a u x

Dans tou t c e paragraphe , o n consider e u n espac e gradu e E = J5" o 0 • • • 0 P n tous le s facteur s E a son t de s copie s d e A 1 .

o u

—1 n

Pour r = 1 , i l y a u n uniqu e espac e d e configuration s C 5 ' : c'est l e classifian t des familie s d e n + 1 points (necessairemen t tou s confondus ) dan s P° . I I es t ega l a u schema trivia l redui t a u n point . 2p

Pour r = 2 et S = { ( z 0 , . . . ,i n) G

S 2 ' n | i Q < 1 , V a } , Gr 5 ' s'identifi e a 1 ' espace

2n

C 5 ' qu i classifi e ( a actio n pre s d u group e projecti f PGL2 ) le s configuration s d e n + 1 point s deu x a deu x distinct s su r l a droit e projectiv e P 1 . C'es t l e schem a A^o,n+i classifian t le s courbe s d e genr e 0 ave c n + 1 point s marques . D'apre s l e Q

2

E2

n

theoreme 3.6(i) , l a compactificatio n Q d e Gr^- ' = Cg es t liss e e t so n bor d es t u n diviseur a croisement s normaux . Ell e es t isomorph e a l a compactificatio n A^o,n+ i de A4o,n+ i construit e pa r Grothendiec k e t Knudsen . L'indexatio n de s strate s d e bord pa r le s pavage s d e S figure dej a dan s l'articl e [Kapranov , 1 993] . Le ca s r = 2 , n = 3 , es t l e birappor t

c2/^?1-{0,1,00}, n

5

^ ?1

explicite dan s l'exempl e a l a fin d u paragraph e 2.3 . Voyons maintenan t c e qu e deviennen t ce s espace s d e configuration s e t leur s compactifications pa r le s isomorphisme s d e dualit e r ^ ( n + 1 ) — r d e l a proposi tion 2.1 3 . Quand r — n , l e pav e entie r {(io > • • • >^n ) ^ N n + 1 | i o + • • • + i n = n e t i a < 1, V a} = 5 C S f n , n n e contien t pa s d e pav e entie r plu s petit . L'espac e d e configura tions C g ' n classifi e le s familie s d e r - f 1 points PQ, ... ,P r e n positio n general e dan s P r _ 1 . E t a n t donne e un e tell e famille , i l existe u n uniqu e elemen t pp 0 ,... j p r d u group e projectif P G L r qu i envoi e PC H • • • > Pr su r ( 1 , 1 , . . . , 1 ) , (1 , 0 , . . ., 0 ) , . . . , ( 0 , . . . , 0,1 ) . On retrouv e l e fai t qu e l e quotien t Cg es t trivia l redui t a u n point . Quand n — r + 1 , consideron s u n pav e entie r S C { ( i 0 , . . . , t n ) e N n + 1 | i 0 + -- - + 2 n = r - e t i a < 1 , V a } dont l'intersectio n ave c l a fac e d'equatio n i\ n — 0 soit d e dimensio n maximal e n — 1 = r. L'espac e d e configuration s C^ n classifi e le s familie s d e r + 2 point s P o , . . . , P r , P teiles qu e Po , P i , . . . , P r soien t e n positio n general e e t qu e P verifi e vis-a-vi s d e P o , . . . , P r le s relation s d e dependanc e o u d'independanc e lineair e prescrite s pa r S. D'apres l e theorem e 3.6(i ) combin e ave c l a propositio n 2.1 3 , l a compactificatio n £1 de C§ es t liss e e t so n bor d es t u n diviseu r a croisement s normaux . On a : L E M M E 3.7 . Quand n = r + l et S Q { ( i 0 , . . . ,i n) ^ pave entier comme ci-dessus, la fleche

S r'n I

(P0,---,Pr,P)»9Po,...MP)

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ia < l , V a } est un

3.2. ESPACE S D E C O N F I G U R A T I O N S E N R A N G S r = 1

E T r = 2 E T LEUR S D U A U X 4

definit un isomorphisme de C$ sur un ouvert d'un sous-espace affine // se prolonge en un morphisme partout bien defini

de

P

r_1

9

.

ff -»P r"1 . D E M O N S T R A T I O N . L a premier e assertio n result e d e l a definitio n mem e d e l'es pace d e configuration s C^ n puisqu e C$ es t so n quotien t pa r Tactio n libr e d e PGLr. rn

§

g

Comme Cg es t u n ouver t dens e dan s Vt qu i es t lisse , l e prolongemen t £1 — » P r _ 1 es t uniqu e s'i l existe . So n existenc e n' a besoi n d'etr e verifie e qu e localement . Considerons don e u n pavag e entie r convex e S d e 5 e t restreignons-nou s a I'ou vert invarian t A! d e A s qu i es t l a reunio n de s orbite s associee s au x pavage s plu s a

grossiers qu e 5 e t a l'imag e reciproqu e d e A 1 /A% dan s Q, . La fac e S' d e S defini e pa r l'equatio n i n = 0 est d e dimensio n maximal e n — l = r. Ell e es t egal e a u pav e { ( i o , . . . , z r ) G N r + 1 | io + • • • + i r — r e t i a < 1 , V a} qu i ne contien t pa s d e pav e plu s petit . Don e l e pavag e d e S' indui t pa r S_ es t trivial . II exist e dan s S_ un uniqu e pav e S o qu i adme t S' comm e face . Choisisson s dan s So une famill e es 0 d e n -f - 1 point s qu i es t generatric e (c'est-a-dir e engendr e l e resea u des point s entier s Z r , n dan s R r ' n ) . Ell e defini t u n scindag e a es0 : ^m - * ( G m ) 0 , b eSo : G m / ( G m ) 0— > G m de l a suit e exact e

1 -+ (GSJ0 - G * ^ G sJ(Gsm)0 Pour tou t poin t i G 5, o n not e %So: A%

= G^/(G^) 0 - + G

m

le caracter e d e A% qu i es t l a composant e d'indic e i d e b es . Su r I'ouver t consider e A! d e A s, i l s e prolong e e n u n morphism e equivarian t

qui es t a valeur s dan s G m s i i G SoPour 1 < a < r , o n not e z ^ l e poin t d e S' C S r ' n don t toute s le s coordonnee s valent 1 sauf celle s d'indice s a e t n = r + 1 qu i valen t 0 . E t o n not e j l e poin t d e S r ' n don t toute s le s coordonnee s valen t 1 sau f celle s d'indice s 0 e t a qu i valen t 0 . Comme S o es t u n pav e don t S' es t un e face , Fu n a u moin s de s point s j , 1 < a < r , est dan s SQ. Comme tou s le s E a, 0 < a < n , son t de s copie s d e A 1 , chaqu e A 1 ^ , i G 5 , s'identifie a A 1 e t l a fleche (\,(Xi)ies)

^ S 0 (A ) ' X ia J a = l (ou o n pos e fr| So (A ) • a^ = 0 s i i ^ *S ) defini t u n morphism e

\ze5 qui es t invarian t pa r l e tor e G ^ / G II indui t u n morphism e

m

.

nSxAS/A%A'/As0^Fr-1

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50 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

dont l a restrictio n a l'ouver t dens e Q 0 = donne. D'ou l a conclusion . •

C$ coincid

e ave c celu i qu'o n s'etai t

Donnons auss i l'enonc e dua l d u lemm e 3. 7 ave c cett e foi s r = 2 e t n arbitraire . On consider e don e u n pav e entie r S C { ( z 0 , . . . , i n) G N n + 1 | Z Q + • • • + i n = 2 e t i>a < l , V a } don t l'intersectio n ave c l a fac e d'equatio n i n = 1 soi t d e dimensio n maximale n — 1 . L'espace d e configuration s C s'n classifi e le s familie s d e n- f 1 point s Po, • • • ? Pn-ii Poo d e P 1 telle s qu e Po , • • • ? ^ n -i soien t different s d e P ^ e t verifien t entre eu x le s relation s d'egalit e o u d e differenc e prescrite s pa r S. Comm e S es t un pave , P i , . . . , P n _ i n e peuven t etr e confondu s ave c P o e t o n peu t suppose r pa r exemple qu e S prescri t P i ^ PQ. On not e P — i > [Po, P i, P , Poo] l e birappor t qu i a pou r valeu r 0 s i P = P Q , 1 s i P = P i e t o o s i P = Poo . Voic i Tenonc e dua l d u lemm e 3. 7 : COROLLAIRE 3.8 . Etant donne S C { ( i 0 , . . . , i n ) G £ 2 ' n | i a < 1 , Vft} i m pav e entier comme ci-dessus, la fleche (Po,Pl, •

• • j - ^ n - l j - f o o) , ~> ([^0>-pL5-Paj^oo])a= 2

definit un isomorphisme de Cg sur un ouvert d'un sous-espace affine // se prolonge en un morphisme partout bien defini 5 n 2

de A

n 2

~.

n ^p ~ . •

Considerons maintenan t deu x entier s arbitraire s r e t n e t u n pav e entie r S C { ( z 0 , . . . ,i n) G 5 r ' n | i a < 1 , V a} don t l'intersectio n ave c l a fac e defini e pa r i a = 0 , V a > r , soi t d e dimensio n maximal e r. L'espac e d e configuration s C^ ,n classifi e le s families d e n + 1 points PQ , . . . , P n dan s P r _ 1 verifian t le s relation s d e dependanc e ou d'independanc e lineair e prescrite s pa r S e t tel s e n particulie r qu e P o , . . . , P r soient e n positio n generale . Pour tou t a , r < a < n, noton s S a l a fac e d e S defini e pa r le s equation s ip = 0 pour tou s le s (5 > r ave c (3 / a. On a de s morphisme s induit s Oo —

* U oQ O

UO

G;

— > O oot

qui consisten t a conserve r le s point s P o , . . . , P r e t P a e t a oublie r le s autres . D'apres l a propositio n 2.9 , il s s e prolongen t naturellemen t e n de s morphisme s

au-dessus d e A s / A%— > A s 0 est un entier, I'image

De plus, si I est une partie de proque dans Q du

7)

E T r = 2 E T LEUR S DUAU X 5 1

sous-schema ferme

7

1

reci-

7

(p *- )™- " defini par

de

dim(P/) < d est de la forme ttS X avec A un sous-schema ferme

As/A%

invariant de

A/A

S 0

la variete torique A

s

'.

D E M O N S T R A T I O N . L a premier e assertio n result e d e l a definitio n d e l'espac e d e configurations C j n (dan s l a discussio n qu i preced e l'enonc e d u theorem e 1 .1 1 d e Gel'fand e t MacPherson ) puisqu e Cg es t so n quotien t pa r Tactio n libr e d e P G L r . Pour l a deuxiem e assertion , nou s allon s d'abor d nou s place r au-dessu s d e l'ou vert invarian t affin e A f d e A s reunio n de s orbite s Ag, indexee s pa r le s pavage s plu s grossiers qu'u n pavag e entie r convex e fix e 5 d e 5 . Comme S' — { ( i o , . . . ,z n ) G S r,n \ i a < 1 , \/a e t i a = 0, Ma > r} n e contien t pas d e convex e entie r plu s peti t d e mem e dimension , S' es t un e fac e d e S e t l e pavage d e S' indui t pa r S es t trivial . Dan s S , i l y a u n pav e S o qu i adme t S comm e face. I I es t uniqu e ca r s'i l y e n avai t u n autr e SQ , il existerai t de s decomposition s non triviale s r = s + s ; , { 0 , . . . , n} = J I I J' telle s qu e ( i 0 , . . . , z n ) G S 0 => y^ja

>

(z 0 ,. •. , i n) G S 0 => y]i aeJ'

s, a>s'

d'ou #(Jn{0,...,r})>s+ l , #(J'n{0,...,r})>s'+ l ce qu i es t impossible . Comme dan s l a demonstratio n d u lemm e 3.7 , consideron s alor s un e famill e generatrice es 0 dan s S o e t l e scindag e b

= & sJ(Gsm)0 -

es0 = (^hes: A%

G

s m

qu'elle indui t pou r l a suit e exact e 1 -+ (G * ) 0 - G

s m

- G * / ( G * ) 0 -* 1 .

Pour tou t i G S, l e caracter e 6| S Q s e prolong e e n &|So : , * ' - + A 1 . II rest e a valeur s dan s G m s i i G SQ .

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52 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S S I M P L E S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

Si 1 < Oi < r , o n not e i a l e poin t d e S' don t le s coordonnee s valen t 1 e n le s indices d e { 0 , . . . , r } — {a} e t 0 ailleurs . E t s i 1 < a < r , r + 1 < f3 < n , o n not e i^ l e point d e S r,n don t le s coordonnee s valen t 1 en le s indice s d e {/? } U { 1, . . ., r } — {a} et 0 ailleurs . Alors l a restrictio n d u morphism e

a l'ouver t U

S:E

x

As

A!

d e Q S,E plong e comm e sous-schem a ferm e dan s

/xGm\H(A^.-{0}) \ies s'ecrit

bkAX)-^ (A (Xi)ie5

'

''

"

^ (\)-x- J

*

Oes 0 lAJ

a;

W

la/a=l//3=T.+i

Mais s i o n revien t a l a constructio n d u schem a Sl s>E dan s l a demonstratio n d u theoreme 2.4 , o n voi t qu e l a famill e d e coordonnee s

completee pa r 0 e n le s indice s i G S r,n —

5, defini t u n poin t d e l a grassmannienn e

rE

Gr ' E x^s A'

r

E).

l a conditio n ferme e dim(Pj) < d

est equivalent e a Vi = (i 0 , ...,i n)eS, ^ i

a

> d+ 2 ^ b

L eSo{X)'Xi:

= Q.

a m , et d e relation s d e l a form e

X)=X),+X)„, OU •V-% \ri A A

j~

\ri

3' '

A

J'"

Maintenant, representon s tou t cel a e n terme s d e configuration s dan s l e pla n projectif P 2 . Commengons pa r choisi r un e origin e 0 , deu x point s « a l'infin i » distinct s o c e t 00A e t u n troisiem e point , A, su r l a droit e (Ooo^) . Voyons le s variable s homogene s X\ ,.. . , X m comm e de s point s deu x a deu x distincts su r l a droit e (Ooo ) — {0, 00}. Pour tou t i , 1 < i < m, ce s point s representen t aussi le s variable s X j , 1 < j < m, s i o n decid e d e considere r Xi comm e l'unite .

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54 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

F I G U R E 31.

.

Puis introduison s le s autre s variable s X j , j > m , sou s l a form e d'autre s point s su r la droit e (Ooo) . Pour 1 < i < m , o n introdui t encor e l e poin t A 1 defin i pa r le s relation s d'ali gnement d e l a figure 3.1 . E t o n represent e toute s le s relation s choisie s X =

j

X

j' +X

j"'

ou comme dan s l a demonstratio n d e l a propositio n 1 .1 3 , mai s e n faisan t joue r a u poin t Xi — X\ l e rol e d e l'unit e su r l a droit e (Ooo ) de s variables . Quant a toute s le s autre s relation s d'alignemen t o u d e coincidenc e d e points , on demand e qu'elle s soien t verifiee s o u pa s suivan t qu'elle s l e son t o u no n a u poin t generique d e X. Si n + 1 design e l e nombr e tota l d e point s d e P 2 qu'o n a introduit , o n a defin i un espac e d e configuration s C s'n associ e a u n certai n pav e entie r S d e S 3}Tl. E n associan t a tout e configuratio n comm e ci-dessu s l a famill e de s birapport s

([o,^,x;,oo])-=1, on defini t u n morphism e 3n

qui n e depen d pa s d e i , 1 < i < m. I I es t clai r qu e c'es t u n isomorphism e d e C$ sur u n ouver t no n vid e d e J ^ P m _1 . II rest e a prouve r qu e ce t isomorphism e s e prolong e naturellemen t e n u n mor phisme ftS ^ p m - l g

et qu e pou r tou t polynom e homogen e P G {-P}, l e sous-schem a ferm e d e Q o u P s'annule es t d e l a form e pour u n certai n sous-schem a ferm e invarian t A d e A Notons Cg, l'espac

s

.

e d e configuration s de s point s 0 , o o e t J*Q , 1 < i < m , e n 5'

position general e su r l a droit e projectiv e (Ooo ) e t Q s

a compactification .

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3.3. U N L E M M E D E C H O W P O U R LE S E S P A C E S D E C O N F I G U R A T I O N S

55

D'apres l e corollair e 2.8 , l e morphism e ^S "

^ ^ S'

d'oubli de s point s autre s qu e 0 , o o e t X^ 1 un morphism e

< i < ra, s e prolong e naturellemen t e n

C Q'

au-dessus d e A s / A% - > A s> / A s0. Son compos e ave c l e morphism e mm —1

du corollair e 3. 8 es t u n morphism e n5_ • pm-1 qui prolong e l'immersio n localemen t ferme e

gg

Pour tou t z , 1 < z < ra, consideron s l'ouver t f ^ d e Q constitu e de s point s dont Fimag e dan s P m - 1 a s a coordonne e d'indic e z non nulle . Considerons auss i l'immersio n localemen t ferme e C3sn _ > ( P 2 ) - " 3 qui es t defini e e n envoyan t le s point s A 1 , 0 , oo , oo ^ su r le s point s d e coordonnee s ( 1 , 1 , 1 ) , (1 ,0 , 0), ( 0 , 1 , 0 ) , (0 , 0,1) dan s P 2 . Comm e o n a v u dan s l a discussio n qu i precede l'enonc e d e l a propositio n 3.9 , ell e s e prolong e naturellemen t e n u n mor phisme 7r2:n5->(P2)n-3. Par c e morphisme , l a composant e X{ — X\ es t envoye e su r l e poin t d e P

2

d e

g

coordonnees ( 1 , 1 , 0 ) . L'ouver t Q i s e defini t don e e n demandan t qu e le s image s de s composantes Xj = X 1 - (qu i son t necessairemen t su r l a droit e passan t pa r ( 1 , 0 , 0 ) et (0,1 ,0) ) soien t distincte s d u poin t ( 0 , 1 , 0 ) . D'apre s l a propositio n 3.9 , i l exist e un ouver t invarian t A 1 C A s te l qu e Q i soi t l'imag e reciproqu e d e A 1 /A% pa r l e o

morphisme d e structur e ft —>

A s' /A%. g

Si P es t u n polynom e homogen e d e l a famill e { P } , l'equatio n P — 0 su r ft 5

est equivalent e su r chaqu e ouver t ft { a Pi = 0 o u encor e Qi = Ri. Or , d'apre s l a proposition 3.9 , toute s le s relations d'alignemen t qu'o n a posee s pou r defini r l'espac e de configuration s C§ son l

2 n

t encor e verifiee s pa r le s composante s d u morphism e

3

7T : ft— > ( P ) ~ . Cel a impliqu e qu e su r l'ouver t ft { , l'equation Qi = Ri equivau t a l a coincidenc e d e deu x de s composante s dan s P 2 d u morphism e 7r \ Toujour s d'apres l a propositio n 3.9 , l e ferm e qu'ell e defini t es t d e l a form e

pour A 1 f l A u n sous-schem a ferm e invarian t d e A 1 . On peu t suppose r qu e A 1 H A es t minima l parm i tou s le s sous-schema s ferme s invariants d e A 1 verifian t cett e propriete .

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56 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

Alors le s different s A 1 H A, 1

< i < ra, s e recollen t pou r defini r u n sous-schem a c

s

ferme invarian t A d e A te l qu e 1 'equatio n P = 0 definiss e dan s Q l e sous-schem a ferme imag e reciproqu e d e AjA%. Cela termin e l a demonstration . • La t o u r d e s raffinement s successif s d ' u n e c o n f i g u r a t i o n . O n remarqu e 3n

qu'a parti r d u momen t o u o n a u n espac e d e configuration s Cg e t s a compactifi cation Q, verifian t le s conclusion s d u theorem e 3.1 0 relativemen t a u n schem a X , alors o n e n a un e infinit e qu i s'ordonnen t e n u n system e projecti f au-dessu s d e X. Considerons e n effe t u n entie r n > 3 e t u n pav e entie r S C S 3'n qu i a u n espac e 3n

de configuration s Cg qu i es t u n schem a quas i projecti f integre . Ajoutons a l a configuratio n qu e defini t S u n nombr e fini n f — n de point s d u pla n projectif qu i son t de s intersection s d e paire s d e droite s relian t de s point s dej a traces . Puis imposan t a l'ensembl e constitu e d e ce s nouveau x point s e t de s ancien s toute s les relation s d'alignemen t o u d e non-alignemen t qu i son t verifiee s generiquement . Cela defini t u n typ e d e configuration s e'est-a-dir e u n pav e entie r S' dan s S 3,n . L'oubli de s nouveau x point s defini t u n morphism e Cs,—

>C

s

qui, pa r constructio n meme , es t un e immersio n ouverte . D'apre s l a propositio n 2.9 , il defini t auss i u n morphism e entr e compactification s projective s

rf' - > ns qui prolong e l e preceden t e t s'inscri t dan s u n carr e commutati f :

ns' ^n As'/As0 >A

s

S

/A%

Bien sur , o n peu t reproduir e a parti r d e S' l e mem e typ e d e raffinemen t qu'o n a applique a S, e t cel a un e infinit e d e foi s s i To n v e u t . . . Si C s'n e t £1 verifien t le s conclusion s d u theorem e 3.1 0 relativemen t a u n schema X , i l e n es t d e mem e d e tou s le s nouveau x espace s d e configuration s qu'o n peut construir e pa r l e proced e d e raffinement s successif s ci-dessus . 3.4. C o n s e q u e n c e s d e P a c t i o n d u g r o u p e Aut(J^o ) X • • • X Aut(E Pour E = EQ 0 E\ 0 • • • 0 E n u n espac e gradu e e t r > 1 cellules d e Schuber t mince s G r J e

Tl)

un entie r arbitraire , le s

5

t le s schema s O ' ^ , ft ' son t muni s d'action s

naturelles d u group e Aut(Eo ) x • • • x A u t ( £ ' n ) qu i respecten t le s morphisme s d e s structure fl S'E -+ A s', U S'E - > A /A%. Dans c e paragraphe , nou s allon s tire r quelque s consequence s generale s d e l'exis tence d e ce s actions . Cel a p e r m e t t r a e n particulie r d e montre r qu e dan s l e ca s d e multiplicites n + 1 < 3 le s morphisme s d e structur e Q S>E— > As son t lisses . Cel a g pp

ramenera auss i dan s un e larg e mesur e l'etud e de s compactification s $Y"' ^ a cell e de s espaces d e configuration s C s, . On commenc e pa r de s resultat s preliminaires .

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3.4. C O N S E Q U E N C E S D E L ' A C T I O N D U G R O U P E A u t ( £ 0 ) x • • • x A u t ( J 5 n ) 5

7

Pour S u n convex e entie r d e S r,n defin i pa r l e matroi'd e (dj)jc{o,...,n} > o n note So e t 5 ° se s face s inferieur e e t superieur e c'est-a-dir e le s convexe s entier s de s simplexes Uii,...,i„)eNn

E< « = » • - 4} > = &-*>

|(ii,...,i„)eNn

Eia=4,...,n}[=Sd?1--n

et

d: = l J qui son t defini s pa r ( i i , . . . , i n ) G 5 0 ( d | o } , z i , . . . ,z n ) G 5 , et

(zi,...,in) G 5 ° 4= ^ ( r - d f

, i i , . . . , z n ) G 5.

1 ? n}

On a : LEMME 3.1 1 . Si S est un convexe entier defini par les families (d j )/c{o,...,n} > /es convexes entiers So et S° sont definis par les families

d?°=4)}ui-4>}' ' C { l , . . . , n } df =df , K { l , . . , n }

,

.

D E M O N S T R A T I O N . C'es t un e consequenc e immediat e d u lemm e 1 .4 . • Si F E 1 = Eo 0 • • • © E n es t u n poin t d e l a cellul e d e Schuber t minc e G r J , on not e d e mem e

F0 = F/FnE

1 0^E

®-.-(BEn,

F° = FD £ { i,..., n } - > £ { i,..., n } = S i © • • • © E n. On remarqu e : LEMME 3.1 2 . Pour tout convexe entier S de S r , n , la donnee d'un point F de la cellule de Schubert mince Gr^ ' est equivalente a celle de - un sous-espace F{ 0 } de Eo de dimension d? 0y, - un point de Gr ^ {0} 1'

''"'r* c'est-a-dire un

sous-espace FQ

de E\ © • • • © E

tel que, pour toute partie I C { 1 , . . . , n}, F Q D £7 soit de dimension droiui " ~ a

{op - un homomorphisme u:F0^E0/F{0} tel que, pour toute I C { 1 , . .. , n}, le noyau de la restriction m^onE^Eo/F^y de u a FQ D Ej soit de dimension df. D E M O N S T R A T I O N . Dan s cett e equivalence , o n a F^y = FnE 0, F 0 = F/FHEQ et F C Eo © FQ C EO © E\ © • • • © E n = E es t i'imag e reciproqu e d u grapli e d e u par l a projectio n EQ © FQ — > Eo/F{ 0y © ^o - D Faisons maintenan t agi r l e group e Aut(£'o ) :

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n

58 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

PROPOSITION 3.1 3 . Soient S un pave entier de 5 r , n (c'est-a-dire un convexe entier de dimension maximale n) et F un point ( d valeurs dans un corps) de la cellule de Schubert mince G r J . Alors Vorbite de F sous Vaction de Aut(.Eo ) dans Gr ^c —> Grr ' contient dans son adherence un point F' de Gr r ' dont le convexe entier associe S' est un pave qui verifie 4o}

+

= r

4l,-,n}

-1-

D E M O N S T R A T I O N . Representee s F sou s l a form e (F^ 0y,F0,u: F Q — • E 0/F^) du lemm e 3.1 2 . Comme S es t u n pave , o n a d? 0 , + d? x n | < r — 1. Supposon s d^ L + d ? : ^ < r — 2 ; cela signifi e qu e rhomomorphism e u es t d e ran g > 2 . L'hypothese qu e S es t u n pav e es t equivalent e a dir e qu e pou r toute s partie s I, J ^ 0 ave c J I I J = { 1 , . . . , n } e t F 0 = ( F 0 H £ /) 0 ( F 0 D £7j), o n a i^o 2 (F° n £7/ ) 0 ( F 0 n £ j ) qui s'ecri t encor e (P) u^O

surF

0

n^/.

Faisons agi r su r u l e sous-group e d e Aut(E'o ) qu i preserv e l e sous-espac e F{o} « L'adherence d e l'orbit e d e u es t l e sous-espac e lineair e de s homomorphisme s F$ — > Eo/F{oy don t l e noya u contien t celu i d e u. I I contien t certainemen t u n homomor phisme u' d e ran g 1 qu i continu e a verifie r l a propriet e (P) . Alors l e sous-espac e F' d e E = E$ 0 ' • * 0 E n qu i correspon d a u triple t (-F{0}> Fo,u': FQ —» EQ/F{$}) repon d a l a questio n posee . D On dedui t d e cett e propositio n : COROLLAIRE 3.1 4 . Soient S un convexe entier de S r,n, S_ un pavage entier convexe de S et F un point ( d valeurs dans un corps) du schema associe G r J . On suppose que Vadherence dans ft s,E de Vorbite de F sous la double action de Aut(E'o ) x • • • x A\it(E n) et de G ^ / G m est contenue dans la strate fl s: . Alors tous les hyperplans d'equations r — d?0 n

\-sa\) dans

i

a

— equivariant sous

r a=r—d?0 ,

Vaction de

r E

^°

A u t ( ^ o ) x • • • x Aut(E

n).

(ii) Si S_ est un pavage a tranches de S, les fibres du morphisme equivariant

ft3/ ^f[DrVU' sont isomorphes a

un sous-schema ferme

r E

^ ° du

tore

GsJ(Gsm)s (oil on rappelle que (G^)s _ designe le sous-tore de point distingue as_ de A$).

G ^ stabilisateur du

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60 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S C rp

(iii) Si S_ est un pavage entier convexe de S tel que la strate 0 dans Q , S_ est un pavage a tranches et 0,$ est et equivariant de

5'

soit

fermee

un revetement fini, plat

D E M O N S T R A T I O N . (i ) Pou r tou t elemen t j_ = ( j o , - - - , J n ) d e 5 , l e poin t {j} es t un e facett e d u pavag e S_ c. D'apres l a propositio n 2.1 0 , l a flech e G

m

\ Jli^E. \ies

{0} ) - > G m\(A±E. (xi)ies H-

{0} )

> x 3_

definit u n morphism e equivarian t ^ , E ^

{ l h

E _

Mais d'apre s l a propositio n 2.7 , o n a u n isomorphism e canoniqu e UUhE

^

n

b o } , £ o x . . . x U {jn},En =

_

GiJOtEo x

_x

Grin>En

_

Pour tou t a , 0 < a < n , e t tou t entie r d a G [df a \ 5 r a ] , o n a don e un e famill e d e morphismes equivariant s ^SC,E ^

,Ea

Gvda

indexes pa r le s element s j = ( j o , . . . , j n) G 5 tel s qu e j a = d a. On doi t prouve r le s deu x assertion s suivante s : (1) Ce s morphisme s n e dependen t pa s d e j . (2) Pou r tou t a , 0 < a < n , l e morphism e indui t

se factoris e a traver s l e sous-schem a ferm e D r w

rQ!

J'a .

Pour (1 ) , consideron s n ' i m p o r t e quell e facett e S' d u pavag e S_ c qui es t contenu e dans l'hyperpla n d'equatio n i a = d a. D'apre s l e lemm e 1 .7 , ell e es t d e l a form e S' = {d a} x S" o u S" es t u n convex e entie r d e r d ,n-l

YJifi=r-da\= S

~«

(3=0

D'apres le s proposition s 2.1 0 e t 2.7 , o n a u n morphism e ^

E^

U

S>,E =

^

{da},Ea x

^S",E,E

a=

GidaiEa

x

^,E/E

a

a traver s leque l s e factorisen t tou s le s morphisme s f£~ c'—> • Gr a r a indexe s pa r les point s j G S', e t ceux-c i son t don e egaux . Pour (2) , consideron s u n entie r d a verifian t d ? - , < d a < r a. O n peu t certaine ment relie r le s deu x hyperplan s d'equation s i a — da e t i a = d a + 1 par un e facett e

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3.4. C O N S E Q U E N C E S D E L ' A C T I ON D U G R O U PE Aut(£? 0 ) x • • • x Aut(E n) 6 1

S' d e S_c de dimension 1 . D'apres l e lemme 1 .7 , i l existe u n indice a f ^ a te l que cette facett e soi t d e l a form e

s'=s"x n { j0} 0=o t

avec S" = {(d a,ja,),(da +

lja,1- )}.

Toujours d'apre s le s proposition s 2.1 0 e t 2.7, o n a un morphism e

a traver s leque l s e factorisent le s deux morphisme s f£ - c '— » Gr Q! ''EQ, S7 _ C '—> Gr a + ' a . Mais comm e S" ' es t u n segmen t d e longueu r 1 et n'admet pa s d e pavag e non trivial , o n a

= Dr

[d a ,d t t +i],£; a x

Dr

[j^JQ'-i]^Q'#

Le resulta t s'e n dedui t aussitot . (ii) Comm e Aut(2£o ) x • • • x A u t ( £ ' n ) agi t transitivemen t su r l a base

J ] Dr [d:f a j . r . , ] , ^ a=0

toutes le s fibres d e Qg su commutatif nature l Tf£E =

r celle-c i son t isomorphe s entr e elles . O n a un diagramm e

Grr//((G^)s/Gm)c -

( 1 , soi t A% l e sous-schem a ferm e redui t invarian t de A s reunio n de s orbite s A% associee s a de s pavage s S_ dont tou t raffinemen t no n trivial correspon d a un e orbit e d e A^_ v Nous voulon s montre r pa r recurrenc e su r k > 0 qu e Q S,E Xjs Af. es t liss e d e dimension d su r A% e t conten u dan s Q ,S'E. O n l e sai t dej a pou r k — 0 d'apre s le s hypotheses. Si k > 1 , supposons l e resulta t dej a conn u pou r k — 1. Ains i l e schem a Q S,E x ^ s Al e t so n sous-schem a ferm e £l f^,E x ^ s A^. coincident-il s au-dessu s d e A^._iComme Q ,S>E — • As es t universellemen t ouver t e t qu e Af — Af_^ es t un e reunio n finie d'orbite s ouverte s dan s A%, o n obtien t qu e Q S,E x^s Af. — » A% es t universel lement ouver t pui s qu e so n ouver t d e lissit e contien t Q S:E x ^ s A^_ x. Ce t ouver t d e lissite es t stabl e pa r l a doubl e actio n d e Aut(J^o ) x • • • x A\it(E n) e t d e G ^ / G m s i

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3.5. LISSIT E P O U R LE S M U L T I P L I C I T E S n + 1 < 3

63

bien que , d'apre s l e corollair e 3.1 4 , i l contien t le s strate s Q s' associee s au x orbite s A§ Q A% — A^_1 telle s qu e l e pavag e S_ ne soi t pa s a tranches . E t d'apre s l'hypo these i l contien t auss i le s strate s au-dessu s d e A% — A^_1 qu i son t associee s a de s pavages a tranches . Ainsi, fl s>E x As A% — > Af, es t liss e e t i l en es t d e mem e d e Q ,S'E x As A% — • A%. Cela impliqu e qu e £l fS>E x As A% es t u n sous-schem a a l a foi s ouver t e t ferm e de Q S'E x As A%. L a differenc e es t u n sous-schem a ferm e d e Q S'E qu i s'envoi e dans A% — Af,_ v D'apre s l e corollair e 3.1 4 , le s pavage s associe s a se s point s son t necessairement a tranche s s i bie n qu e l'hypothes e impliqu e qu e cett e differenc e es t vide c'est-a-dir e qu e Vt S'E x As A^ es t conten u dan s Q! S>E. (ii) Pa r hypothese , le s deu x schema s Q- ,E e t Q s ,E x As> A— son t lisse s su r l a variete toriqu e normal e A— . L e lie u d e lissit e d u morphism e ;E XAS ,A S QS ns,E ^ est u n ouver t d e ft- ,E qu i es t stabl e pa r l a doubl e actio n d e Aut(I?o ) x • • • x Aut(E' n ) et d e ( G ^ ) s / G m . D'apre s l'hypothese , i l contien t le s fibre s GrJ ) associee s a tou s les rafflnement s U_ de S_ qui son t a tranches . L e corollair e 3.1 4 impliqu e qu'i l es t egal a fi- ,jE; tou t entier . (iii) s e prouv e comm e (ii) . • 3.5. L i s s i t e p o u r le s m u l t i p l i c i t e s n + 1

< 3

On consider e toujour s dan s c e paragraph e u n espac e gradu e E = EQ © • • • © E n. Nous allon s prouve r qu e lorsqu'o n a n < 2 , tous le s morphismes d e structur e £} S'E— > As son t lisses . On commenc e pa r le s faits suivant s qu i son t propre s au x multiplicite s n - f l < 3 : L E M M E 3.1 7 . Considerons un rang r arbitraire, un entier n < 2 et un convexe entier S dans 5 r ' n = { ( z 0 , . . . , i n) G Nn + 1 \ i0-\ h in = r}. Alors : (i) Le convexe S est defini par des inequations de da < i a
A s est egal a G ^ tout entier. D E M O N S T R A T I O N . (i ) Cel a result e d e c e qu e dan s {0,1 } e t { 0 , 1 , 2}, tout e partie no n trivial e es t d e cardina l 1 o u a u n complementair e d e cardina l 1 . (ii) L a premier e assertio n es t consequenc e immediat e d e (i) . Le s cellule s d u pavage 5 C son t de s simplexe s : de s segment s d e longueu r minimal e 1 s i S es t d e dimension 1 et de s triangle s equilaterau x d e cot e minima l 1 si S es t d e dimensio n 2 . Comme ( G ^ ) ^ es t l e sous-tor e de s fonction s S — • Gm don t l a restrictio n a chaqu e cellule d e S_ c est affine , i l es t ega l a G ^ tou t entier . • On illustr e (i ) dan s l e ca s n = 2 e n disan t qu e dan s l e triangl e equilatera l 5 r ' 2 les convexe s entier s son t le s hexagone s (eventuellemen t degeneres ) don t le s cote s sont parallele s a ceu x d u triangl e (figur e 3.2) .

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64

3. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

F I G U R E 3.2

.

II result e d e (ii ) qu e pou r n < 2 le s variete s torique s A s son t toujour s affines . Elles son t lisse s s i n = 1 (o u n — 0) mai s elle s n e l e son t pa s e n genera l s i n = 2 . Puis passon s au x cellule s d e Schuber t mince s e t a leur s recollement s : LEMME 3.1 8 . Pour n < 2 et r un rang arbitraire, soient S un convexe entier de S r,n et S_ c son pavage par les hyperplans de coordonnees. Si E = EQ 0 • • • 0 E est un espace gradue tel que r — d? 0 n \-{a} ~ r a — rS ^ c o 0 < a Q S',E XAS , ^ S

ses fibres sont geometriquement connexes.

D E M O N S T R A T I O N . (i ) I I suffit d e dir e qu e tt s>E— > A s es t surjecti f ca r i l es t lisse e t so n imag e contien t I'uniqu e orbit e fermee . Se s fibre s son t geometriquemen t connexes ca r elle s l e son t au-dessu s d e l'orbit e associe e a I'uniqu e pavag e a tranches . De mem e pou r (ii ) e t (iii) . • Quand o n pren d E — ( A r ) n + 1 e t S = S r , n , o n obtien t e n particulie r pou r le s schemas O r , x e t f£ r ' 2 (don t o n rappell e qu e le s fibre s au-dessu s de s point s unite s d e A-1 e t A— s'identifien t a G L 2 / G L r e t G L ^ / G L r ) : C O R O L L A I R E 3.20 . (i lisses surjectifs de

) Les morphismes fT' dimensions respectives r

1 2

— > A^ 1 et et 2 r 2 .

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fT' 2— > A r'2 sont

3.5. LISSIT E P O U R LE S M U L T I P L I C I T E S n + 1 < 3

(ii) Pour toute application injective plicial induit

t:

67

{0,1 } — • { 0 , 1 , 2 }; le morphisme sim-

r 2. •

est lisse de dimension relative

Ainsi, l a compactificatio n equivariant e f £ ' d e P G L r / P G L r est-ell e liss e su r l e champ toriqu e A r'1 /' Afg de s pavage s d e l'intervall e S 7*'1 — [0 , r]. Cel a signifi e qu'ell e est liss e e t qu e so n bor d es t u n diviseu r a croisement s normau x qu i compt e r — 1 composantes. Ell e n'es t autr e qu e l e cas particulie r G = P G L r de s compactification s de D e Concin i e t Proces i de s groupe s algebrique s G semi-simple s d e typ e adjoint . —r2

Q

De meme , l a compactificatio n O ' d e P G L r / P G L r es t liss e sur l e c h a mp toriqu e Ar'2/AT0 de s pavage s entier s convexe s d u triangl e S r'2 equilatera l d e cot e r . Mai s il fau t fair e attentio n a c e que , e n dehor s d u ca s r = 2 , c e cham p toriqu e n'es t pa s lisse. A p p l i c a t i o n a l a c o m p a c t i f i c a t i o n d e P i s o g e n i e d e L a n g d e P G L r . Nou s pouvons rappele r l'applicatio n d u preceden t corollair e a Pisogeni e d e Lan g qu i es t faite dan s l e dernie r paragraph e 3 d d e Particl e [Lafforgue , 1 999] . On s e plac e su r u n corp s fini ¥ q. On not e po > Vii V2 l e s troi s morphisme s simpliciau x AC' 2— > A T:1 o u £l r'2— > Q, r'1 qui son t induit s pa r le s troi s identification s (io,^i ) ^ ( 0 , i o , i i ) , (2o,0,ii) , ( i o , H , 0 ) du segmen t S r^ = {(io,ii ) G N2 | io + i\ = r} au x troi s cote s d u triangl e S r ' 2 . Soit alor s A r'T l a variet e toriqu e qu i es t l e noya u d u diagramm e Po

Ar>2 t

A^ 1

Frob opi

dans l a categori e de s variete s torique s normales . L e tor e d e A ££ =

2

T}T

2

es t l e sous-tor e

G r / 6 m d e Af = G%' /(G%' )0 o u: - S r>Tr = {(i^hM) e N 3 | i 0 + ii+i 2 = r,i 0 + 0 } £ ^ 2 , - G ^ ' r es t plong e dan s G^ pa r ( A W l , , 2 ) ^ 0 ^ ( ^ o , u , ^ ) a v e c A o,*i,* 2 = si e tA KUQM ^° o,o,r = 1, - G m es t plong e dan s G^ r '" e t G^ 2 pa r A i-> (A; 0 ; i l ^ 2 = A ' 0 + 9 H ) . La variet e toriqu e ^ 4 r ' r es t l a normalisatio n d e l'adherenc e schematiqu e d e A^ T dans A r>2. Le morphism e equivarian t A r,T— > *4r ' 2 indui t un e injectio n d e l'ensembl e de s orbites d e A r,r dan s l'ensembl e de s orbite s d e A r'2. P a r consequent , le s point s d u champ toriqu e quotien t A r,T/'A^r s'identifien t a u n certai n typ e d e pavage s entier s convexes d u triangl e S r'2 qu'o n peu t appele r g-convexes . L a figure 3. 4 present e quelques exemple s (lesquel s apparaissen t mem e dan s l a resolutio n de s singularite s des compactification s de s champ s d e chtouca s d e Drinfel d d e ran g r ave c struc ture d e nivea u A T sans multiplicite s qu i es t construit e dan s l e paragraph e III.3 c d e [Lafforgue, 2002]) . On a dessin e ic i 6 pavage s entier s g-convexe s qu i induisen t l a mem e partitio n du cot e inferieu r d u triangl e c'est-a-dir e s e projetten t vi a p2 su r l e mem e poin t d e Ar'11'Ar0 = A r~1 /G 7^1 . O n remarqu e d'autr e par t qu e comm e tou s le s pavage s entiers g-convexes , chacu n de s 6 indui t l a mem e partitio n de s cote s gauch e e t droit e du triangl e (qu i corresponden t a p i e t po). Cependant , l'ensembl e de s pavage s entier s g-convexes n'es t pa s symetriqu e (o n n e peu t echange r le s indice s 0 e t 1 dan s l a

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68 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

F I G U R E 3.4

.

relation po = Fro b op x) e t o n voi t qu e le s 6 dessins presenten t un e sort e d'orientatio n commune. On obtien t comm e consequenc e immediat e d u corollair e 3.2 0 : THEOREME 3.21 . Soit Q I 'equation

r,T

le sous-schema ferme

de

fT' 2 x Ar,2 A r'T defini

par

Po = Fro b op ! 1

dans f F ' . II est muni d'actions du groupe algebrique G L r , du groupe fini G L r ( F g ) et du tore G ^ commutant entre elles et d 'un morphisme equivariant

qui est lisse de dimension relative

r

2

.

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3.6. S T R A T E S E T P R O D U I T S F I B R E S D ' E S P A C E S D E C O N F I G U R A T I O N S 6

Sa fibre au-dessus de

Vunite du tore A^ s'identifie Ker

9

a

Po

GL^/GLrZZZj:GL^/GLr Frob opi

Enfin, le quotient ft ' de

ft r,r par

Vaction libre du tore G ^ ' est r r

D E M O N S T R A T I O N . L e morphism e Q ' — > A lisse su r A r,T e t l e morphism e p0: tt r'2 x

Ar,2

A r'T - > tt^

1

r,T

projectif. r2

es t liss e ca r ft ' x

Ar,2

A

r,T

es t

rT

x Ar,i A

'

est liss e e t don e transversa l a u morphism e Fro b op x. Le quotien t ft ' es t projecti f ca r l e morphism e ft — projectif. •

> fi ' es t fini e t £ 1 ' es t

On peu t considere r le s deu x morphisme s

ftr>Tz Xfi

Tl

.

p o = F r o b opi

Au-dessus de s element s unite s d e A r,T e t A r'1 , po = F r o b o ^ ! es t u n isomorphism e sur G L ^ / G L r ^ G L r tandi s qu e P2 s'identifi e a l'isogeni e d e Lan g v j r i j r — > \jLi

r

g^Frobig)'1 o

g.

En c e sens , l e schem a equivarian t ft ' mun i d e se s deu x morphisme s

compactifie l'isogeni e d e Lan g d e P G L r . 3.6. R e l a t i o n e n t r e s t r a t e s d e s c o m p a c t i f i c a t i o n s e t p r o d u i t s fibres d'espaces d e configuration s On consider e a nouvea u u n ran g r , u n entie r n e t u n espac e gradu e E — Eo 0 • • • 0 E n qu i son t arbitraires . On rappell e qu e pou r 5 u n convex e entie r d e S r,n e t S_ un pavag e entie r convex e O LP

O

de 5 , o n a construit l a strate ftg d

Tp

u schem a projecti f £1 ' e n deu x temp s : D'abor d

on a form e l e produi t fibre Gr ^ de

s cellule s d e Schuber t mince s G r J , associee s

aux facette s S f d u pavag e 5 pui s o n a defin i ft$ comm par Tactio n libr e d u tor e ( G ^ ) s / G

m

e l e quotien t d e G r J

de s fonction s S — > G m (modul o le s fonction s

constantes) don t l a restrictio n a chaqu e cellul e d e S_ est affine . On peu t songe r a interverti r l'ordr e d e ce s deu x operation s : Pour t o u t e facett e „1 7 1

S' d e 5 , o n consider e d'abor d l e quotien t Gr 5'/ d e l a cellul e d e Schuber t minc e G r J , pa r Tactio n libr e d u tor e ( G ^ ) 0 / G m de s fonction s affine s S' — > G m (modul o les constantes) . S i S " es t un e fac e d e S" , o n a u n morphism e indui t Gig, —

• Gig,, .

r,E

Cela perme t d e defini r l e produi t fibre de s schema s Gr^ / associe r,E

facettes d u pavag e S_ ; on l e no t era Gr 5 ' . On a u n morphism e canoniqu e

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s a toute s le s

70 3

. E T U D E D E Q U E L Q U E S FAMILLE S SIMPLE S D E C O M P A C T I F I C A T I O N S

qui respect e le s action s d u group e A u t ( ^ o ) x • • • x Aut(E

n). r

LEMME 3.22 . Pour tout pavage entier convexe S[ d'un convexe entier S de S le morphisme equivariant Qg—

> Gr5 '

est une immersion fermee. DEMONSTRATION. Montron s d'abor d qu e c'es t un e immersio n localemen t fer mee. II suffi t d e prouve r qu e s i x e t y son t deu x point s d e G r J a valeur s dan s u n anneau artinie n A qu i on t mem e imag e dan s Gr 5 ' , il s differen t pa r u n elemen t d e ((G*)s/Gm)(A). Les point s x e t y s e representen t pa r de s uplet s {xi)i^s des

e

t (yi)ies d'element

s

(A±E.-{0})(A). Tout i G S es t elemen t d'a u moin s un e cellul e S' d e S_ e t comm e x e t y on t mem e r

Tp

image dan s Gr s '/ , o n voi t qu e Xi e t y^ differen t d'u n elemen t A ^ de G m (^4). De plus , pou r tout e cellul e S' d e 5 , e t comm e x e t y on t mem e imag e dan s „ pp

Gig, , l a fonctio n S f 3 i — i > A^ G Gm(A) es t affin e c e qu i signifi e exactemen t qu e l e uplet (Xi)ies es t u n poin t d u sous-tor e (Gj^J s d e G ^ . —

xp

o

II rest e a prouve r qu e l e morphism e Q$ — _ r,E

~

derons u n poin t x d e Gr ^ a

schema ferm e fl~'

c

71

» Gr 5 ' es

~

t propre . Pou r cela , consi -

_

valeur s dan s u n trai t T e t don t l a generisatio n x o pp c

se relev e e n u n poin t x

pp

r

d e fig .

1 1

pp

Comm e fig es

t l a strat e ouvert e d u sous -

-> fl ' qu i es t projectif , l e poin t x^ d e fig s

e prolong e e n

a pp

un poin t x d e fl~' a fllj) =

fig/ associe

valeur s dan s T. L a specialisatio n x s d e x es t dan s l a strat e e a u n pavag e entie r convex e S_ d e 5 qu i raffln e S e t o n a

seulement a montre r £ ' = S_. Cel a result e d e c e qu e pou r tout e cellul e S f d e 5 , l e morphisme fig —

» Grg, s e prolong e e n u n morphism e fl~' — » f£ ' au-dessu s qui envoi e necessairemen t x su r l a composant e d'indic e S'

de x. • Un convex e entie r S d e S r,n ser a di t « petit » s i pou r tou t indic e a G { 0 , . . ., n } , on a d

{a}+di0,...M-{*}=r-1Onr' II es t clai r qu e le s face s d'u n convex e entie r peti t son t egalemen t petites . D'autr e part, i l result e d e l a definitio n qu'u n pavag e entie r convex e S d'u n convex e entie r S est « a tranche s » s i e t seulemen t s i toute s se s cellule s (e t mem e toute s se s facettes ) sont petites . Un convex e entie r S C S r,n es t peti t s i e t seulemen t s i i l s'ecri t sou s l a form e S=(d0,...,dn) + S' ou do, ..., d n son t de s entier s e t S f es t u n convex e entie r d e S r ' (do + • * • - h d n)) qu i verifi e

n

(ave c r' — r —

c'est-a-dire pou r leque l o n peu t parle r d'espac e d e configuration s associ e C^/

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n

.

3.6. S T R A T E S E T P R O D U I T S F I B R E S D ' E S P A C E S D E C O N F I G U R A T I O N S 7 1

On a necessairemen t da = r - df

0>...,n}-{a}

- 1 = rQ - 1 , 0

< a < n,

ce qu i signifie qu e I'ecriture ci-dessu s es t uniqu e quan d ell e existe . Dan s c e cas, le lemme 1 . 7 induit pou r S e t S' l a meme decompositio n d e { 0 , . . ., n) {0,...,n} = J o I I . . . I I J p . On a S = So x Si x - - x S p ==

ij

UQ

X D-^ X • • • X D

ou pou r tou t z , 5i et 5^ sont de s paves entier s de STi'ni e t S Ti'ni (ave c | J^| =71 2 + 1) translates l'u n de I'autre. L a reunion de s Ji tel s qu e ni = 0 est egale a l'ensembl e des a e { 0 , . . . , n} tel s que d

fa} + d {0,...,n}-{a}= r -

On rappell e qu e par definitio n

1 2=0 =

0 71* >1

On convien t d e noter encor e avec don e un e egalite

cT=f[crsrrti>\

Dire qu'u n convex e entie r S d e S r,n es t peti t es t equivalen t a dir e qu e son pavage S_ c pa r les hyperplans d e coordonnees es t trivial. Dan s c e cas, on a d'apre s la propositio n 3.1 5 un morphisme equivarian t canoniqu e G T /-

f

[ Dr

[ d

f«}'r-d?0,....n}-{a}]^a

a=0

ou le s intervalles [d;?- . ,r — - f Q > ^ E a . I I consiste e n un e famill e d e sous-espace s emboite s 0 C F a C F a C E a, 0 A 2'3 est lisse . Quand r = 3 e t S = S 3 ' 3 , l e cardina l d e S es t 1 + 3 + 6 + 1 0 = 20 . II y a dan s S exactemen t 4 paves petit s d e typ e Su e t i l est facil e d e s e convaincr e que pou r tou t pavag e a tranche s S_ de S le s relation s qu i definissen t l e sous-tor e (G^m)s d e G ^ n e presenten t pa s d e redondanc e s i bie n qu e rg(G^)5/Gm = 2 0 - 4 - S - l = 1 5 - s

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3.8. E X A M E N DE S R A N G S r = 2 , 3 E T 4 E N DIMENSIO N n = 3 7

7

ou 5 design e l e nombre , compri s entr e 0 e t 4 , d e pave s d e typ e S n qu e compt e l e pavage 5 . 33

D'autre part , l a strat e Qg es t u n sous-schem a ferm e d e ( P 1 - { 0 , l , o o } ) s x (Dr

A3 4

)

lequel a pou r dimensio n s - f 4 x 3 = 1 2 + s . —3 3

—3 3

Mais s i Qg rencontr e l'adherenc e schematiqu e d e 0,^ , o n doi t avoi r r g ( G * ) s / G m + d i m H j 3 > nr 2 = 2 7 d'ou o n conclu t qu e n3/ = 33

(P 1 )4 x ( D r A 3 ) 4 , f i | 3 = (P

1

- { 0 , l , o o } ) s x (Dr

A3 4

) ,

33

33

et qu e £7 C' e t le s £lg son t contenu s dan s l'adherenc e schematiqu e d e Q.& . Pou r tout pavag e a tranche s 5 , Gig es

t liss e d e dimensio n (1 5 — s) + (1 2 -\-s) — TJ~ nr

2

et d'apre s l a propositio n 3.1 6(i) , o n obtien t : P R O P O S I T I O N 3.27 . Pour n = 3 et r = 3 , le morphisme de structure SI 3 ' 3 — • A est lisse de dimension relative 27 . Autrement dit, la compactification equivariante Q ' de O ^ = P G L 3 / P G L 3 3,3

est lisse sur le champ torique ^4 3 ' 3 / A& des 3 3

5 ' = {(i 0 ,ii,22,1 3) e N

4

|z

0

pavages entiers convexes du

tetraedre

+ 2 i + i 2 + i 3 = 3} . •

Enfin, examinon s l e ca s o u r = 4 e t S = 5 4 , 3 . Le tetraedr e S d e cot e 4 compt e 1 + 3 + 6 + 1 0 + 1 5 = 3 5 point s e t i l contien t 1 - f 3 -f 6 = 1 0 pave s entier s petit s d e typ e Su. II es t facil e d e s e convaincr e qu e pou r tou t pavag e entie r convex e a tranche s S_ de 5 , le s relation s qu i definissen t l e sous-tor e ( G ^ ) 0 d e G ^ presenten t a u plu s une uniqu e redondance . Celle-c i apparai t quan d dan s l a figure 3.1 0 le s 6 paralle logrammes 1 245 , 2367 , 31 89 , 491 / 2 / , 872 / 3 / e t 6 5 3 T son t chacu n conten u dan s u n pave d e typ e Su d e S_ ou ega l a un e fac e commun e d e 2 pave s d e typ e S[±. I I y a une redondanc e ca r l e produi t de s 6 equation s A1A5 _ A2A A2A4 A3A A2^4 _ Ai'Ag

7 _ A3A 6 AlA A3/A8 _ A2'A7

9_ s Aj/A6 _ A3/A5

est ega l a 1 = 1 . Ainsi, s i s design e l e nombr e d e pave s d e typ e Su contenu s dan s l e pavag e a tranches 5 , o n a rg(G* ) s / G m = 3 5 - 1

0- s - 1

= 2 4- 5

quand i l n' y a pa s redondance , e t rg( Ms , ^ 6 verifien t entr e eu x l a relatio n MlM2M3M4^5M6 = 1 ce qu i defini t u n sous-schem a ferm e integr e d e codimensio n 1 noterons P. Ainsi, fi c ' es t u n sous-schem a ferm e d e P x (Dr

dans ( P 1 ) 1 0 qu e nou s

A4 4

) .

Or o n doi t avoi r 15 + d i m H ^ ' 3 > nr 2 = 4 8 = 1 5 + d i m ( P x ( D r

A4 4

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) )

3.8. E X A M E N DE S RANG S r = 2 , 3 E T 4 E N D I M E N S I O N n = 3 7

9

et o n conclu t qu e

$t 3 = P x (Dr AY et qu e tt^

es t conten u dan s l'adherenc e schematiqu e d e £2 ^ =

PGL

4/PGL4

dans ft ' . Trois ca s son t possible s pou r u n pavag e entie r convex e a tranche s S_ de S = 5 (1) S i l a relatio n //i/i2^3M4M5/^ 6 = 1 defini t dan s l e schem a

4,3

:

(P1-{0,1,00})" un sous-schem a d e codimensio n 1 (c e qu i n e s e produi t qu e s i S_ presente un e redondance), celui-c i es t liss e e t l a fibre Gr ^ es t liss e d e dimensio n 48 . (2) S i cett e relatio n n'es t jamai s verifie e dan s ^ - { 0 , 1 , oo})' , Gr^ es t vid e e t l'imag e d e ft — » *44 ' 3 n e contien t pa s l'orbit e Ag . (3) S i cett e relatio n es t toujour s verifie e dan s 4,3

^ - { 0 , 1 , oo})' , on a Q|3= (P

1

-{0,l,oo})sx(DrA4)4,

et l a fibre Gr 5 ' es t lisse . S a dimensio n vau t 4 8 s i 5 n e present e pa s d e redondanc e mais ell e vau t 4 9 s i S_ presente un e redondance . En conclusion , o n a montr e : P R O P O S I T I O N 3.28 . Pour n = 3 et r = A, le morphisme de 4 3

structure

4 3

n < -* A y

n a pas une image ouverte, a fortior i il n'est ni lisse ni plat. Au-dessus des orbites associees aux pavages entiers convexes de S' 4,3 qui sont a tranches, ses fibres non vides sont toutes lisses mais certaines ont la dimension 4 8 et d'autres la dimension 49 . •

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https://doi.org/10.1090/crmm/019/04

CHAPITRE 4

Le fibre equivarian t universe l su r l a variet e toriqu e des facette s de s pavage s 4.1. L e c h a m p t o r i q u e d e s p a v a g e s a v e c f a c e t t e d i s t i n g u e e On consider e u n convex e entie r arbitrair e

SES"=

(i=(« i,)e«'*

'

E*-

defini pa r u n matroi'd e (df )/c{o,...,n } d e ran g r su r { 0 , 1 , . . . , n }. On rappell e qu'o n a not e C s C R s l e con e de s fonction s « convexes » v : S — » R telles que , pou r tout e fonctio n affin e £: S — > ]R verifian t £ < f , l e sous-ensembl e {z G 5 | £(i) = f (£)} soit u n convex e entie r s'i l n'es t pa s vide . I I a un e decompositio n Cs = U C f e n cone s convexe s C f indexe s pa r le s « pavages entier s convexe s » S_ d e S e t qu i son t invariant s pa r l e sous-espac e C% de s fonction s affine s £: S — > R . Dan s Pespace quotien t R ^ / C f , le s C^jC% constituen t u n eventai l qu i defini t l a variet e torique A s d e tor e A% = G ^ / ( G ^ ) 0 . Soit alor s C s C C s C R 5 l e con e de s fonction s v: 5 - ^ R qui son t « convexes » c'est-a-dir e element s d e C s, son t a valeur s > 0 e t son t telle s que Pensembl e {% G S \ v(i) = 0 } n e soi t pa s vide . Pour tou t coupl e ( 5 , S') form e d'u n pavag e entie r convex e 5 d e S e t d'un e facette S' d e c e pavage , o n not e C§ s , l e sous-con e convex e no n vid e d e C s constitu e des fonction s v: S — > R + telle s qu e S_ soit l e pavag e associ e a v c'est-a-dir e v G C§ et qu e S' = {i G 5 | v(i) = 0} . En particulier , s i 0 design e l e coupl e form e d u pavag e trivia l d e 5 e t d e so n unique cellul e S, l e con e C% es t l e poin t {0 } dan s R 5 . De fago n analogu e a l a propositio n 2.1 , on a : P R O P O S I T I O N 4.1 . Pour S C S r,n un

convexe entier arbitraire, on

a :

s

(i) Le cone C est la reunion disjointe des cones convexes C§ s , quand ( 5 , S f) decrit Vensemble des pavages entiers convexes S_ de S avec facette distinguee S f. (ii) Pour tout (SL,S'), Vadherence jointe des

Cfjjj ouU_

C§

s,

de C§ s , dans

decrit Vensemble des

plus grossiers que S_ etU Vensemble

R

5

est la reunion dis-

pavages entiers convexes de S

des facettes de

U_ qui contiennent S'

De plus, Cg s , est un cone convexe polyedral rationnel dont sont les adherences Cy

v

de ces Cfj

v

.

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les faces

'.

4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T UNIVERSE L

82

(iii) Etant donnes deux pavages entiers convexes S_ x et S_ 2 de S avec deux facettes distinguees S\ et S2, Vensemble des pavages avec facette distinguee (77 , U) tels que U_ soit plus grossier a la fois que S_ x et S_ 2 e ^ Q ue U contienne a la fois Si et S2 n'est pas vide et il admet un plus petit element (IL01U0). L 'intersection de D E M O N S T R A T I O N . (i cones C§ s ,.

Cg

s

et

C§

s

est

egale a Cfj u .

) result e d e l a propositio n 2.1 (i ) e t d e l a definitio n de s

(ii) L'adherenc e Cg s , d e C§ s , dan s M 5 es t constitut e de s fonction s v: S — » R qui son t convexes , element s d e C f (c'est-a-dir e don t l a restrictio n a chaqu e cellul e ou facett e d e S_ est amne) , a valeur s > 0 , e t telle s qu e S' C {i G 5 | v(i) = 0 } . Ains i (ii) resulte-t-i l d e l a propositio n 2.1 (ii) . (iii) Ce t ensembl e n'es t pa s vid e ca r i l contien t l e coupl e form e pa r l e pavag e trivial d e S e t so n uniqu e cellul e S. Noton s (C^ , E / i ) , . . ., (C/ fc, Uk) se s element s e t choisissons de s fonction s v\,. .., Vk dan s le s sous-cone s associe s d e W s. Le s pavage s entiers convexe s J / 1 ? . . . ,U_k s o n ^ P m s grossier s qu e S_ x (o u 5 2 ) don e d'apre s l a proposition 1 .5(v ) toute s le s cellule s d u pavag e U_ 0 defin i pa r intersectio n de s cellule s de f/ 1 ?..., U_ k s o n ^ encor e de s convexe s entiers . L e con e Cfj contien t l a fonctio n ^0 — ^1 + • • • + Vk e t don e L[ 0 e s ^ u n pavag e entie r convex e d e S. On a v 0 > 0 e t l e sous-ensembl e UQ = { i G S \ vo(i) = 0 } es t un e facett e d u pavage U_ 0 qu i contien t a l a foi s S\ e t 52 - Pa r construction , (C/ 0 , UQ) es t l e plu s peti t element d e 1 'ensembl e {(L[ l5 C / i ) , . . ., (f/ fc, C/fc)} . La deuxiem e assertio n es t consequenc e immediat e d e l a premier e e t d e l a parti e (ii) dej a demontree . • D'apres cett e proposition , l a famill e de s cone s convexe s polyedrau x rationnel s C§ s , constitu e u n eventai l dan s l'espac e M 5 de s fonction s S — > M. L a theori e ge nerale de s variete s torique s tell e qu'expose e dan s [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973 , §2 ] associe a ce t eventai l un e variet e toriqu e normal e A /S d e tor e A'gj = G ^ . O n a : LEMME 4.2 . Pour tout convexe entier S C S r'n, Videntification G

A0 = se prolonge en un morphisme equivariant A's dont les composantes sont

de

m

varietes toriques partout defini

> ( A 1 ) 5 - {0 }

des caracteres notes Xi:A's->A\ ieS.

Le tore G

m

agit librement sur

A'

s

.

DEMONSTRATION. O n a u n morphism e equivarian t partou t defin i A's -

(A

1

) 5 - {0 }

car l e con e C s C M 5 qu i defini t l a variet e toriqu e A'* 3 es t conten u dan s celu i de s fonctions v > 0 qu i s'annulen t e n a u moin s u n poin t d e S. La deuxiem e assertio n es t consequenc e immediat e d e l a premiere . •

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4.2. L E M O R P H I S M E D ' O U B L I DE S F A C E T T E S D I S T I N G U E E S 8

On not e A s l a variet e toriqu e normal e d e tor e A% = G ^ / G

m

3

qu i es t l e quotien t

,s

de A pa r Tactio n libr e d e G m . Ell e es t muni e d'u n morphism e equivarian t As - ^ P ( ( A

1

)5).

Les orbite s dan s A s son t le s quotient s pa r G m d e celle s d e A' s. C e son t de s sous-schemas localemen t ferme s indexe s naturellemen t pa r le s couples ( 5 , S') forme s d'un pavag e entie r convex e 5 d e 5 e t d'un e facett e (dit e « facette distingue e » ) S' de 5 ; on le s not e A$ s ,. Chacune a u n poin t distingu e a^s' don t l e stabilisateu r ( G ^ ) ^ / dan s G ^ es t le sous-tor e de s fonction s S — » Gm don t l a restrictio n a tout e cellul e d u pavag e S_ est affin e e t don t l a restrictio n a l a facett e S' es t cons t ante. L'adherence d'un e orbit e *A | s , es t l a reunio n de s Afj v pou r U_ raffinan t S_ e t U un e facett e d e U_ contenu e dan s S'. L a reunio n de s Afj

v

pou r U_ u n pavag e plu s

grossier qu e S_ e t U contenan t S' es t l e plu s peti t ouver t invarian t contenan t Ag s , ; il es t affine . On peu t dir e auss i qu e le s pavage s entier s convexe s S_ de S ave c facett e dis tinguee S' son t le s point s d u cham p toriqu e A s jA% quotien t d e l a variet e toriqu e As pa r so n tor e A%. U n poin t (/7 , U) es t dan s l'adherenc e d'u n autr e ( 5 , S') s i e t seulement s i l e pavag e U_ rafhn e l e pavag e S_ e t l a facett e U es t contenu e dan s S'. Quand S — 5 r ' n , o n pourr a note r C r ' n , C rgns,, A r,n, A Vgns, pluto t qu e C 5 , C§ S t,

4 . 2 . L e m o r p h i s m e d'oubl i d e s f a c e t t e s d i s t i n g u e e s On consider e toujour s u n convex e entie r 5 C S L'homomorphisme d e passag e a u quotien t

r,n

.

Rs - > R s/C% envoie l e con e C s su r l e con e C s jC% e t i l respect e le s structure s d'eventails . Pa r consequent, i l defini t u n morphism e d e variete s torique s As -^A

S

qui es t equivarian t relativemen t a l'homomorphism e

As0 = G sJGm^GsJ(Gsm)0 =

As0.

Pour tou t pavag e ave c facett e distingue e ( 5 , S') d e 5 , c e morphism e envoi e l'or bite Ag £ / su r l'orbit e *4 f e t plu s precisemen t l e poin t distingu e as_ ts' s u r a S_- L e morphisme indui t entr e champ s torique s As/A% -

>A

s

/A%

represente don e l'oubl i d e l a facett e distingue e S' dan s le s couple s ( 5 , S'). Remarquons qu'o n a u n homomorphism e surjecti f

(A 0 , • • • , A n ) »- > (S 3 i = ( 2 0 , . . . , i n ) ^ A 0° • • • AJ?). Montrons :

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84 4

. L E FIBR E EQUIVARIAN T UNIVERSE L

PROPOSITION 4.3 . Pour tout convexe entier S C S r'n de

dimension s , on a :

Le morphisme produit As ->A est une immersion fermee jective. (i) Le morphisme d'oubli

S

1

xP((A

)5)

si bien que la variete torique A

s

est

quasi pro-

des facettes distinguees AS^AS

est projectif et

plat de dimension relative

s.

Ses fibres sont geometriquement reduites. (ii) Si (S , S') est un pavage avec facette distinguee, le tore (G^Jg r ou G ^ + 1 agit transitivement sur I'intersection de Vorbite A§ s , et de la fibre au-dessus de as_. Si p est la codimension de S f dans S r'n et { 0 , . . . , n} = J o LI- • -II Jp est la partition de { 0 , . . . , n} canoniquement associee a S f dans le lemme 1 .7 , +1 le stabilisateur du point distingue o>s,S' dans GJ^ est le sous-tore diagonal (G^+1)s, = G :

1 +

=C

m

x...xG

r a

M G ^ x . . . x G i=

G^

1

.

D E M O N S T R A T I O N . (i ) O n sai t dej a d'apre s l e lemm e 2. 2 qu e l a variet e torique A s es t quas i projective . I I suffi t don e d e prouve r qu e l e morphism e A,s ^ A

s

x

[(A

1

)5-^}]

est un e immersio n fermee . Tout d'abord , i l verifi e l e criter e valuati f d e propret e pa r definitio n mem e de s cones C s jC% e t C s auxquel s son t associee s le s variete s torique s A s e t A ,s : t o u t e fonction v : S — > R qu i es t convex e e'est-a-dir e es t elemen t d e C s e t qu i es t > 0 e t s'annule e n a u moin s u n poin t es t dan s l e con e C s C R s. Placons-nous au-dessu s d'u n ouver t affin e invarian t arbitrair e A d e A s ; e'es t la reunio n de s orbite s associee s au x pavage s plu s grossier s qu'u n certai n pavag e entier convex e S_ de S. E t pou r i u n poin t d e S , consideron s I'ouver t affin e (A 1 )f d e ( A 1 ) 5 — {0} defin i pa r l a conditio n qu e l a coordonne e d'indic e i soi t no n nulle . S i S' est l a plu s petit e facett e d e 5 qu i contien t i , l'imag e reciproqu e d e A x (A x )f dan s A/S es t I'ouver t affin e A' qu i es t l e plu s peti t ouver t invarian t contenan t I'orbit e Ag £/ . Ainsi , l e morphism e A'-* Ax

(A

1

)?

est fini puisqu'i l es t affin e e t propre . Notan t A" l e sous-schem a ferm e d e A x (A 1 )f qui es t so n imag e schematique , l e morphism e indui t A! - A" est fini e t birationnel ; i l s'agi t d e prouve r qu e e'es t u n isomorphisme . II suffi t d e verifie r cel a e n codimensio n < 2 . O n peu t don e suppose r qu e l a facette S f d e S_ est d e dimensio n s o u s — 1 o u bie n qu e S_ est l e pavag e trivia l d e 5 e t qu e S' es t un e fac e d e S d e codimensio n 2 . Soit x : A'g — > G m u n caracter e d u tor e A'^ — 1

A . O n doi t montre r qu e x

es

G^ qu i s e prolong e e n x '• A' — •>

^ bie n defin i dej a su r A".

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4.2. L E M O R P H I S M E D ' O U B L I DE S F A C E T T E S D I S T I N G U E E S

85

Si S' a l a mem e dimensio n s qu e 5 , ell e contien t un e famill e es> = { e o , . . . , e s} de s -f- 1 points qu i es t generatric e d u resea u de s point s entiers . Cett e famill e defini t un scindag e bes,: A% = G £ / ( G * ) 0 - > G * = A'i de l a suit e exact e 1 -+ (G£) 0 - G * - ^ G*/(G * ) 0 - + 1 qui s e prolong e e n u n morphism e partou t defin i bes/ :A->A'. En effet , s i o n associ e a tou t elemen t d e C s jC% C R s' /C% qu i es t dan s l e con e d e A so n uniqu e representan t v : S — » R dan s IR 5 qu i s'annul e e n le s point s d e eg / e t done d e S" , c e representan t v es t dan s l e con e d e A'. Alors x = X ° ^e s / e s t u n caracter e d e A% qu i s e prolong e a A. Notons p l a projectio n d e A' o u .A " su r A e t pou r tou t poin t e d e 5 , designon s par Xe l e caracter e d e A. § = G ^ qu i es t l e projectio n su r l a coordonne e d'indic e e . On peu t ecrir e X-(X°P)-Xe0°---Xe; pour certain s entier s n o , . . . , n s G Z . Le s caractere s x eo> • • • •> Xe s s e prolongen t su r A!' e t resten t inversible s puisqu e le s point s e o , . . . , e s son t dan s S' . Cel a prouv e qu e X es t bie n defin i su r A". Si l a facett e S f d e S_ es t d e dimensio n s — let n'es t pa s contenu e dan s un e fac e de 5 , ell e es t fac e commun e a exactemen t deu x cellule s S[ e t S r2 d e dimensio n s du pavag e S_. On peu t trouve r de s point s e i , . . . , e 5 d e S " e t de s point s e j , 6Q de S( e t ^ 2 tel s qu e le s familie s eg' = {ej , e i , . . ., e s} e t e^ / = {e^ , e i , . . ., e s } soien t generatrices d u resea u de s point s entiers . Elle s determinen t deu x section s

de l a projectio n p\ A! —* A. Alors X i — X ° ^e s / e ^ X 2 ~ X ° be s, son t deu x caractere s bie n defini s su r A e t on peu t ecrir e

x = (XI°P) -xjxei ---xe; (— \

n

22 2 0n ln

X= {X2°P) 'XjXel

"'Xe;

s

ou n j , n j , . . . , n] e t rig , n\ ,..., n ^ son t de s element s d e Z qu i verifien t n ^ = — n\ (si bie n qu e n j o u n ^ es t > 0) . Tou s le s caractere s x e • • • X e s o n ^ bie n defini s e t inversibles su r A" e t le s deu x autre s x 1 ? X 2 sont bie n defini s su r A " . Don e x e

oe

es

t

o

bien defin i su r A". Si S ' es t contenu e dan s un e fac e d e S e t a pou r dimensio n 5 — 1 , ell e es t fac e d'exactement un e cellul e S[ d u pavag e 5 . O n peu t trouve r de s point s e i , . . . , e s dan s S" e t u n poin t e o d e S ^ tel s qu e l a famill e e ^ = {eo , e i , . . . , es } soi t generatrice . Alors l e compos e X = X ° ^e c / d e X a v e c l a sectio n associe e b e„, : A — > A! es t 1 0] L ' . un caracter e bie n defin i su r A e t o n peu t ecrir e

X = (X°P)-X£X£"-X £ Licensed to AMS. License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/publications/ebooks/terms

86

4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

avec no , n i , . . . , n s G Z . L e caracter e \ es t u n elemen t d e l'espac e dua l d e R 5 . I I doit prendr e de s valeur s > 0 su r le s fonction s v : S — > R qu i son t amnes , a valeur s > 0 e t s'annulen t su r S'. Cel a impos e n o > 0 . Le s caractere s \e 0-> • • • >Xe s s o n ^ bie n definis su r A!' et , sau f peut-etr e l e premier , il s son t inversibles . Don e x es t bie n defini su r A". Voyons enfi n l e cas o u l e pavage 5 es t trivia l e t S' es t un e fac e d e S d e codimen sion 2 . Elle es t fac e commun e a exactemen t deu x face s S^ , S[ d e S d e codimensio n 1 . On peu t trouve r de s point s e 2 , . . . , e s d e 5 ' , u n poin t e o d e 5 Q et u n poin t e\ d e S[ tels qu e l a famill e es = {eo , e i , . . ., e s} soi t generatrice . Alors X ~ X° b es es t bie n defin i su r A e t o n peu t ecrir e

avec no , n i , . . . , n s G Z . L e caracter e Xi v u comm e form e lineair e su r R 5 , doi t prendre de s valeur s > 0 su r le s fonction s afflne s v: S — • R qu i son t a valeur s > 0 et s'annulen t su r S Q ou bie n su r S[. Cel a impos e n o > 0 e t ri\ > 0 . Le s caractere s Xe0 5 • • • 5 Xe s s o n ^ bie n defini s su r A" et , sau f peut-etr e x eo e t X ei •> ^ s s o n ^ inversibles . Done x es t bie n defin i su r A". Cela termin e l a preuv e d e (i) . (iii) S i S_ es t u n pavag e entie r convex e d e S e t S' un e facett e d e 5 , l e stabilisa teur dan s G ^ d u poin t distingu e a^ d e A s es t l e tor e de s fonction s 5 — • Gm don t la restrictio n a chaqu e cellul e d e S_ es t affine , e t l e stabilisateu r d u poin t distingu e &s_,S' de A s es t l e sous-tor e d e ce s fonction s S — » G m qu i valen t 1 su r S'. Pa r consequent, l'intersectio n d e l a fibre d e A s au-dessu s d e a^ e t d e l'orbit e A§ s f de a^s' es t muni e d'un e actio n simplemen t transitiv e d u quotien t ( G ^ ) 0 / G m pa r G m d u tor e ( G ^ ) 0 de s fonction s affine s S' — » G m . O r l'homomorphism e compos e G^ + 1 -+ (G

s

m)0

-+

(G

s

m)0/Gm

est surjectif . Ave c le s notation s d e I'enonce , i l rest e seulemen t a prouve r qu e so n noyau es t l e sous-tor e

D'apres l e lemm e 1 .7 , o n peu t ecrir e O =z

On

X

j iX

• •• X O

ou, ave c r = r^ -f - • • • + r p e t rii = | Ji\ — 1, 0 < i < p , chaqu e S ^ es t u n pav e entie r (e'est-a-dire u n convex e entie r d e dimensio n maximal e n$ ) dan s

fcjaGJ, e N Ji

£

aeJi

De plus , d'apre s l a propositio n 1 .5(iv) , chaqu e S[ engendr e l e resea u Z n , n * de s points entier s dan s R r *' n * = {x = {x ot)oc^ji G RJ i | ^2 aeJ. x a = r^} . On conclu t e n remarquant qu e l e noya u d e l'homomorphism e

G ^ ( A a ) a E ^ ( I IA « ) est G m plong e diagonalement .

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4.2. L E M O R P H I S M E D ' O U B L I D E S F A C E T T E S D I S T I N G U E E S

87

(ii) O n sai t dej a d'apre s (i ) qu e l e morphism e A s— * A s es t projecti f e t d'apre s (iii) qu'i l es t equidimensionne l d e dimensio n relativ e s. Comm e A s es t normale , o n n'a plu s qu' a montre r qu e se s fibre s son t geometriquemen t reduite s ou , c e qu i es t equivalent, celle s d e A rS— » A s. Comme dan s l a preuv e d e (i) , o n peu t s e restreindr e a deu x ouvert s affine s invariants A' e t A d e A /S e t A s. L'uniqu e orbit e ferme e d e A correspon d a u n pavage entie r convex e S_ d e S e t o n peu t suppose r qu e l'uniqu e orbit e ferme e d e A! correspond a u coupl e form e d e S_ et d'un e facett e d e dimensio n 0 c'est-a-dir e u n sommet i d e S_. On consider e u n caracter e \ d e A!% — G^ par t out bie n defin i su r A. I I s'agi t de prouve r qu e s'i l s'annul e su r toute s le s orbite s d e A' associee s au x cellule s S' d e S_ qui contiennen t z , alor s i l es t dan s l'idea l engendr e pa r l'idea l d e A qu i defini t 1'orbite ferme e A§. D'apres (i ) dej a demontre , l e caracter e x

es

^ d e l a form e

X=(X°P)'Xi'Xe1"- Xe

m

ou x e s ^ u n caracter e partou t defin i su r A qu'o n compos e ave c p: A' — > A, n es t un entie r dan s Z e t e\ ,..., e m son t de s point s d e S different s d e i. Si l e caracter e x : A -^ A 1 s'annul e su r 1 'orbit e ferme e A | , o n a termine . Sinon , on es t dan s l'u n de s deu x ca s suivant s : o u bie n i l y a parm i le s point s e i , . . . , e m deux point s e e t e' tel s qu e {e , e'} n e soi t conten u dan s aucun e cellul e d u pavag e S_, ou bie n i l y a parm i e i , . . . , e m a u moin s u n poin t e qu i n'es t conten u dan s aucun e cellule d e S_ qu i contienn e i = e'. II suffi t d e prouve r qu e l e caracter e XeXe>

•

% ~+

A

1

est divisibl e pa r u n caracter e d e A qu i s'annul e su r A§. Noton s e" l e milie u d u segment [e , e']. C'es t u n poin t d e S^ C M r ' n don t le s coordonnee s son t dan s | Z . Pour tout e fonctio n v : S —• > M qui es t dan s l e con e C f (don t l e quotien t pa r l e sous-espace C% definit l a variet e toriqu e affin e .4) , o n design e pa r v^: S^ — • 1 R son unique prolongemen t e n un e fonctio n su r 5 R don t l a restrictio n a S^ pou r tout e cellule S' d e 5 , soi t affine . Alors l'applicatio n v .- > 2v

R{e")

est un e fonctionnell e lineair e qu i pren d de s valeur s entiere s e n le s v : S — • Z. Bie n sur ell e pren d de s valeur s > 0 su r l e con e C | r ^ qu i defini t l a variet e toriqu e affin e A'. I I lu i es t associ e u n caracter e %' : ^4 r— ^ A 1 , bie n defin i a multiplicatio n pre s pa r un caracter e inversibl e su r A!. La fonctionnell e lineair e v \-+ v(e) + v(e') -2v

R(e")

prend auss i de s valeur s entiere s e n le s v : S — » Z , ell e s'annul e su r l e sous-espac e C% des fonction s affine s e t ell e pren d de s valeur s > 0 su r l e con e C§ e t mem e > 0 su r son interieu r C§ (puisqu'i l n'exist e pa s d e cellul e d e S_ qu i contienn e a l a foi s e e t ef). I I lu i es t associ e u n caracter e x' '• A —> A 1 , bie n defin i a multiplicatio n pre s pa r

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88 4

. L E FIBR E EQUIVARIAN T UNIVERSE L

un caracter e inversibl e su r A e t qu i es t dan s I'idea l d e definitio n d e I'orbit e ferme e La conclusio n result e alor s d e l'egalit e XeXe' = ( x ' ° P ) -X', vraie a multiplicatio n pre s pa r u n caracter e inversibl e su r A. On a termin e l a demonstratio n d e l a proposition . • 4.3. L e fibre equivarian t canoniqu e On consider e maintenan t u n espac e gradu e et u n convex e entie r arbitrair e S C { t = ( i 0 ) . . . , i n ) € S r'n \i a su r la variete torique A a ete construit comm e sous-schema ferm e d u produi t As x

G m \ l[(A lE. {0}) . \ies En faisan t u n changemen t d e bas e pa r l e morphism e equivarian t

Is -+ As, on voi t qu e l e produi t fibr e

ns'E x

AS A

S

est u n sous-schem a ferm e dan s l e produi t

l5xGm\U(A^l-{0}). \i€S

II es t invarian t pa r l a doubl e actio n d u tor e A% = G ^ / G m (qu e To n fai t agi r sur l e deuxiem e facteu r composant e pa r composant e e t su r l e premie r facteu r vi a l'homomorphisme A — i > A - 1 d e passag e a l'inverse ) e t d u group e Aut(J^o ) x • • • x Aut{En). Rappelons qu'o n a notees x% '• A ,s— • A1, i G 5, le s composantes d u morphism e equivariant A ,s —> (A 1 ) 5 — {0} d u lemm e 4.2 . O n peu t le s voi r auss i comm e le s composantes homogene s d e A 5— > P((A 1 ) 5 ). Considerons enfi n l a grassmannienn e Gr r ' plonge e comm e sous-schem a ferm e de

¥(ArE) = Grn\ I H A^E.) -{0 } et muni e d e Tactio n d e Aut(E 0) x On a :

• • • x Aut(E

n).

PROPOSITION 4.4 . La fleche

I5xGm\[](A^.-{0})-,Gm\ J \ies \\ies

J A*E.)-{0 } r n

> J

(A, (x^ies) •- > ((Xi(A ) • x L)ies, (0)

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iG 5-.»-s)

4.3. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T C A N O N I Q U E

89

definit un morphisme As x As Cl s>E - + G r 7 ^ qui est respecte par faction de A% — G ^ / Gm sur la source et commute aux actions de Aut(.Eo ) x • • • x A\it(E n). Au-dessus de I'ouvert dense A%, il s'envoie dans la cellule de Schubert mince Girg et se releve en un isomorphisme AS0 x

As

B

n|'

^ (G

s

Gr r/.

JGm) x

DEMONSTRATION. Cett e flech e defini t u n morphism e equivarian t A,s x

sE AsQ '

r

^F(A

E)

et o n a seulemen t a montre r qu'i l s e factoris e a traver s l e sous-schem a ferm e G r r ' . On sai t d'apre s l a propositio n 4.3(ii ) qu e l e morphism e A' s x As Q, S>E—> QS>E est pla t e t qu e se s fibre s son t geometriquemen t reduites . I I suffi t don e d e prouve r qu'il y a factorisatio n au-dessu s d'u n ouver t d e A /S x As Q S,E qu i soi t dens e fibr e a fibre . O n peu t s e place r au-dessu s d'u n ouver t affin e A! d e A rS qu i es t l e plu s petit ouver t invarian t contenan t l'orbit e associe e a u coupl e form e d'u n pavag e entie r convexe 5 d e S e t d'un e cellul e (d e mem e dimensio n qu e S) S' d u pavag e 5 . Soit A l e plu s peti t ouver t affin e invarian t d e A s qu i contienn e l'orbit e A§. L a projection A' s— > A s s e localis e e n p\ A! — > A. Dans l a cellul e S" , o n peu t choisi r un e famill e es f d e dim(S' ) - f 1 points qu i es t generatrice d u resea u de s point s entier s d u sous-espac e affin e d e R r ' n engendr e pa r 5 . Cett e famill e defini t un e sectio n equivariant e

bes, :A^A' de l a projectio n p: A! —* A. Soit {P} un e famill e d e polynome s homogene s su r ( r L e s A 1 £•) — {0} qu i de finissent l a trac e d e l a erassmannienn e G i ^ . O n peu t suppose r qu'il s son t trans formes pa r l e tor e ( 6 ^ ) 0 de s fonction s affine s S — > G m suivan t de s caractere s Xp: ( G m ) 0— > G m . D'apres l a constructio n d u schem a Q S'E dan s l a preuv e d u theorem e 2.4 , le s points (A, (xi)i es) a valeur s dan s l e schem a

A,xGm\]l(AiE9-{0}) \ies qui s e factorisen t a traver s l e sous-schem a ferm e

A! x As n s'E verifient e n particulie r le s equation s

Or i l exist e u n caracter e partou t bie n defin i X:

A ' ^ ( A - 1 ) . Pour conclure , i l suffi t d e remarque r qu'ave c cett e identificatio n l e quotien t d e Taction d e G ^ + 1 su r A s x As Q S'E qu i es t trivial e su r A s e t deduit e d e G ^ + 1 E correspon d a Tactio n d e GJ^ +1 su r ft ' x

As/js

^ - 5 / ^ 0 Q u i e s ^ trivial e su r ft ' e t deduit e d e Thomomorphism e GJ^ +1 - » ( G ^ ) 0 / G m
2= 0

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

92

respectee par Vaction de GJ^ +1 et telle que chaque S^g, soit lement libre de rang d^j sur lequel le stabilisateur (GJ^ caractere Xs

1

1 +

un fibre loca-

)s/ agisse par son

•

Alors ce probleme de modules est representable par un unique champ algebrique rS

Vec ' muni

d'un morphisme

Vec'S - > A s jA\ DEMONSTRATION. Le s fibres equivariant s considere s verifien t l a propriet e d e descente cente pou r l a topologi e etal e e t le s isomorphisme s entr e eu x constituen t de s § r§ r ceau: Don e il s definissen t u n cham p Vec ' mun i d'u n morphism e Vec ' — > faisceaux.

ASIA%.

r

5

II s'agi t d e prouve r qu e c e cham p Vec ' es t algebriqu e a u sen s d'Artin . O n peut procede r comm e pou r l a demonstratio n d u theorem e 4.6.2. 1 d e Laumo n e t Moret-Bailly [2000] . r

5

Si £, £' son t deu x point s d e Vec ' a valeur s dan s u n schem a X e'est-a-dir e deu x s fibres GJ^ +1 -equivariants su r X — X x As/js A '/ A%, i l result e d e [Grothendieck , 1960-1967, III , paragraph e 7.7 ] qu e l e faiscea u de s isomorphisme s lineaire s d e £ su r £' es t representabl e pa r u n schem a V d e typ e fini su r X. C e schem a es t mun i d'un e action d e G^ 1 " 1 e t l e sous-faiscea u de s isomorphisme s equivariant s d e £ su r £' es t representable pa r l e sous-schem a ferm e d e V defin i comm e l e lie u fixe d e GJ^ 1 "1 . II rest e a construir e u n schem a P e t u n morphism e d e presentatio n P - * Ve7'

S r

g

representable, surjecti f e t lisse . Pou r cela , o n peu t auss i bie n remplace r Vec ' pa r l e r

§

torseur Vec ' x ^ s / ^ s A qu i associ e a tou t schem a X l'ensembl e de s morphisme s X— > .4 ^ muni s d'u n fibre G^ + 1 -equivariant d e ran g r su r X x^s A s qu i verifi e le s conditions (*) . On sai t qu e l e morphism e A s— > A s es t projectif , pla t e t respect e pa r Tactio n de G ^ + 1 . O n peu t choisi r su r A s u n fibre inversibl e G^ + 1 -equivariant 0(1 ) qu i es t ample relativemen t a A s. Pou r tou s entier s TV , n > 1 , o n consider e l e schem a d e Hilbert (o u pluto t d e Grothendieck ) Quo t ' n qu i classifi e le s faisceau x coherent s N sur A s relativemen t a A s qu i son t ecrit s comm e quotient s d e 0(—n) . 1 1 Nn Puis, pou r tout e representatio n p d e GJ^ " dan s G L ^ , o n not e P ' 'P l e sous schema localemen t ferm e d e Quo t ,n qu i classifi e le s faisceau x coherent s £ tel s que : - £ es t localemen t libr e d e ran g r (conditio n ouverte) , - l'homomorphism e surjecti f d e quotien t 0(-n)N ^

£

induit u n isomorphism e A^ =

H°(O

N

)^

H°

(£ 0 O ( n )

)

(condition ouverte) , - s i o n consider e Tactio n d e G ^ + 1 su r Quo t ' n qu i es t induit e pa r cell e su r 0(—n)N defini e comm e produi t tensorie l d e cell e su r O(-n) e t d e p , £ es t

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4.4. L E C H A M P DE S F I B R E S E Q U I V A R I A N T S

93

un poin t fixe sou s cett e actio n (conditio n fermee ) e t don e E es t u n fibre GJ^ +1 equi variant, - le s fibres d u fibre equivarian t £ au-dessu s de s point s de s strate s Ag 5 / d e A s verifient le s condition s (* ) (qu i son t a l a foi s ouverte s e t fermees) . Alors le s champ s algebrique s quotient s de s P N'n>P pa r le s groupe s de s automor phismes d e A ^ qu i respecten t p s'identifien t a de s ouvert s d e Vec ' x ^ s / j s A s e t ils e n formen t u n recouvrement . • r

5

Ayant defin i l e cham p Ve c ' , nous pouvon s reformule r e t precise r d e l a manier e suivante l e corollair e 4. 5 : COROLLAIRE 4.7 . Pour tout espace gradue E = EQ 0 • • • 0 E n, le riant canonique S

au-dessus de

s

sur

ft ' x^s/js

A

s

fibre equiva-

'/ A% peut etre vu comme un morphisme

A s'/ A%.

D E M O N S T R A T I O N . L a seul e chos e a verifie r es t qu e l e fibre 8 s satisfai t le s conditions (* ) d u lemm e 4.6 . On rappell e qu'i l es t l'imag e reciproqu e d u fibre canoniqu e d e ran g r su r G r r ' par l e morphism e equivarian t

As x

As

n s'E -

Gv

rE

' .

Si S_ est u n pavag e entie r convex e d e S e t S' un e facett e d e S_ (avec { 0 , . . . , n} = Jo I I • • • II J p l a decompositio n associee) , l e morphism e indui t

se factoris e a traver s l a cellul e d e Schuber t minc e Gr^ , • Celle-ci classifi e de s sous espaces F - E qu i s e decomposen t e n somme s directe s F= F00 • •• 0 F

p

ou, pou r tou t i , 0 < i < p, Fi es t u n sous-espac e d e Ej i d e dimensio n d j . . U n te l sous-espace F e t s a decompositio n son t respecte s pa r

£f0 se releve en un morphisme equivariant

sur

X

£-*£'. Ce relevement est unique s HI n'existe pas de paire de caracteres \ , x' £ M qui apparaissent dans les decompositions de r(X°,£°) et r(X°,£ /0) (vues comme representations de T) et qui verifient XX'-1 G

M+ .

D E M O N S T R A T I O N . (ii ) S i £ e t £' son t de s fibres localemen t fibres e t equi variants su r X , i l e n es t d e mem e d e Hom(£, £ ') = £' (8 ) £ e t o n a H o m ( £ , 0 = r(X,£: / (8>£), Hom(£°,£/0) = r ( X ° , £

/0

® E°) = r ( X ° , £ ' ° )

MMo]

r(X°,£°) v.

II suffi t don e d e traite r l e ca s o u £ es t l e fibre inversibl e trivia l OxLes module s T(X,£') e t T(X°,£ f0) son t projectif s su r k[M x] e t k[M%] respec tivement e t il s son t gradue s c'est-a-dir e s e decomposen t canoniquemen t e n somme s directes

r(x,f)=0r(x,£')x xeM

r{x°,£'°)= 0 r ( i V ° ) x d'espaces d e dimension s finies T{X,£') X e t T(X° 1 £,0)X su r lesquel s l e tor e T agi t par le s caractere s xDe plus , chaqu e r ( X ° , £ / 0 ) x s'identifi e a u quotien t d e T(X,£') X pa r l e sous espace engendr e pa r le s image s de s application s lineaire s

de multiplicatio n pa r le s caractere s \' £ ^xSi 1 design e l e caracter e trivia l d e T , o n voi t qu e tou t elemen t d e r{X°,£,0)1=RomT(Oxo,£f0) se relev e e n u n elemen t d e r(X,£')1=RomT(Ox,£') et c e relevemen t es t uniqu e s i o n suppos e

r(x,£')x,-i=o, v

x 'eM+.

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4.4. L E C H A M P DE S F I B R E S E Q U I V A R I A N T S

95

(i) D'apre s (ii) , tou t isomorphism e

£° ^ > £'° entre le s restriction s a X° d e deu x fibre s localemen t libre s e t equivariant s £ ,£' su r X s e relev e e n u n morphism e equivarian t £^£' qui es t necessairemen t u n isomorphism e puisqu e s a restrictio n a l'uniqu e orbit e fermee d e X Tes t e t qu e £ e t £ f son t localemen t libres . Pour conclure , i l suffi t d e remarque r qu e l a categori e de s fibres equivariant s su r X° es t equivalent e a cell e de s representation s d e dimensio n finie d u sous-group e d u tore T fixateur d e n'import e que l poin t d e X° e t qu e tout e tell e representatio n es t somme direct e d e representation s d e dimensio n 1 . • Enfin, o n a : LEMME 4.9 . Soient X un schema muni de Vaction du tore G localement libre et G m -equivariant sur X. Soit x\ un point de X tel que le morphisme G m— • X A

m

et £ un fibre

i— • A • x\

se prolonge en un morphisme A 1 -+X. On note Xo le point de X image de 0 G A 1 . On suppose que la fibre £$ de £ en xo, munie de Vaction de en une somme directe

G m ; s e decompose

telle que G m agisse sur £' Q et £Q par deux caracteres A >— > Am et A — i > Am avec m! < m"'. Alors la fibre £\ de £ en X\ s'inscrit dans une suite exacte canonique 0 - • £(j - > £ i - * £' Q - > 0 . D E M O N S T R A T I O N . O n peu t suppose r qu e X es t A 1 mun i d e Tactio n canoniqu e de G m e t qu e x\ = 1 , XQ — 0. On s e propos e d e defini r u n homomorphism e u: £\ — > £ o pa r e h- > li m A~ m • e et u n homomorphism e v : £ o— > £\ vi a so n dua l v v : £± — > 5 ^ v

v

.; (e )=limA

m//

e n

posan t

v

.e .

AH^O

II s'agi t d e verifie r qu e u e t v son t bie n dermi s e t qu e Imu = £Q, Keri > = £Q , Ker

w = Imi> .

Pour tou t entie r m G Z , noton s 0(m) l e fibre inversibl e trivia l A 1 x A 1 su r A 1 muni d e Pactio n equivariant e d e G m defini e pa r l e caracter e A ^ A m . D'apres l e lemm e 4.8(i) , £ peu t s'ecrir e comm e un e somm e direct e d e facteur s egaux a G{m') o u 0{m") e t i l suffi t d e traite r l e ca s o u £ — 0(m f) o u £ = 0{m"). Si £ — 0(m'), o n a £o = £Q , £Q ' = 0 , i ; = 0 e t u es t u n isomorphisme . Si £ = 0(m n), o n a £ Q = ^o' ? ^ o = ^ , ^ = 0 e t v es t u n isomorphisme . •

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

96

4 . 5 . D e c o m p o s i t i o n d ' u n c o n v e x e e n t i e r e n f a c t e u r s e t fibres e q u i v a r i a n ts Comme dan s l a second e parti e d u paragraph e 2.4 , o n consider e ic i u n convex e entier N n + 1 | i 0 + • • • + i n = r}

S c S r>n = { ( i 0 , . . • , i n) G

qui es t d e codimensio n p > 1 dans 5 r ' n . O n ecri t le s decomposition s d u lemm e 1 . 7 : p

{0, l , . . . , n } = ] J J * ave c \Ji\ = 7 ^ + 1 , i=0

r = r 0H h r

p,

»b = D o X • • • X o

p,

ou chaqu e 5^ , 0 < z < p , es t u n pav e entie r dan s " = ^ (*«)a 6 J, € N J
A% . O n a : LEMME 4.1 4 . II y a une immersion fermee As' x au-dessus de

A s qui

AS>

A

s

-^A

est equivariante relativement

naturelle s

aux

actions de A% et a fortiori

Si 5 est un pavage entier convexe de S et S_ f designe le pavage induit de S', le morphisme induit entre les fibres au-dessus de a^ consiste a identifier A s x ^ s ' as' au sous-schema ferme invariant de A s x As a # qui est la reunion des orbites (sous GJ^ +1 ) associees aux facettes de S_ qui sont contenues dans S f. Le morphisme entre champs toriques qui s'en deduit As'/A^xAS,/As,As/As0^As/As0 associe a tout triplet constitue d'un pavage S_ f de S', d'une facette U f de S_ f et d'un pavage S_ de S dont la trace dans S f est 5 ' le couple ( 5 , U') oil U' est vue comme une facette de S.

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4.6. R E S T R I C T I O N S AU X FACE S

DEMONSTRATION.

101

Consideron s dan s A s Porbit e A?

0s

,^ associe e a u coupl e

f

(0,S") form e d u pavag e trivia l 0 d e S e t d e s a facett e S . L e fixateur dan s A 0 — G ^ / G m d e so n poin t distingu e cx^^s') es t l e quotien t pa r G m d u sous-tor e de s fonctions S —> G m qu i sont affine s su r S e t constante s su r S' . L e quotient d e A% par ce fixateur s'identifi e don e a u produit fibre A% x^s f A% et l'adherenc e schematiqu e A?0 s ,s d e A? 0 5 ,x dan s A s es t un e variet e toriqu e d e tor e A% x As' A s

0.

s

Son con e es t celui de s couple s (v',v) o u v' G C /K , v G C /C 0 e t v',v on t meme imag e dan s C s /C 0 . Sa decomposition polyedral e es t indexe e pa r le s couple s (U',S) forme s d'u n pavag e entie r convex e S_ de S e t d'un e facett e U' d e S_ contenue dans S'. U n vecteur (V , v) es t dan s l e cone associe a {V,S) quan d v G C§/C 0 e t U' est l a parti e d e S f o u n'import e quell e representant e S' — * R d e v' pren d s a valeu r minimale. Cec i prouv e qu e A

* S' X

(0,S') =

S

AS' A

.•

A parti r d e c e lemme, o n obtien t immediatemen t : COROLLAIRE 4.15. Pour S C 5 r ' n un convexe entier et S f une face de S comme dans le lemme precedent, associons a tout schema X muni d Jun morphisme X -+ A s/A% et a tout fibre £ de rang r et G 7^1 -equivariant sur XX

A*,A* A

S

IA%

le fibre de rang r et G 7^1 -equivariant sur XX

AS'/A%' &'l*%

qui est Vimage reciproque de £ par le morphisme xX

AS'/A%' A

s

'/As0 -

+X x^

s/jl|

A

s

/A%

deduit des morphismes equivariants A s— > A 5 et As' x

As
A s.

Cela definit un morphisme de champs algebriques Vec —* s

au-dessus de A /'A%— > A

s>

Vec

jA%.

DEMONSTRATION. L a seul e chos e a verifie r es t qu e le s propriete s (* ) d u lemme 4. 6 son t conservees , mai s e'es t evident . •

Considerons maintenant u n convexe entier S d e 5 r , n e t un pavage entier convex e SdeS. Comme dans le paragraphe 2.6 , on note A— l a variete torique des pavages entier s convexes d e S qu i raffinen t 5 . So n tor e A^ es t l e quotien t d e G^ pa r l e sous-tor e (G^)s de s fonctions S — • G m don t l a restriction a toute cellul e de 5 es t affine . Ell e est plonge e dan s A s comm e sous-schem a ferm e invariant .

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102

4. L E FIBR E EQUIVARIAN T UNIVERSE L

Si S' es t un e facett e d u pavag e 5 , o n a v u qu e rhomomorphism e d e restrictio n G* - G

S m

induit u n morphism e equivarian t d e variete s torique s

A^^AS'. En notan t ^4 — le produi t fibre A s x G^/Gm e t don e d e G ^ + \ o n a :

As

A—

LEMME 4.1 6 . II y a une immersion fermee s

A'x au-dessus de

AS>

mun i d e Tactio n naturell e d e A% =

naturelle

A^^M

A— qui est equivariante relativement

aux

actions de A% et a fortior i

deGtf1Si U_ est un pavage entier convexe de S qui raffine S_ et U_ f designe le pavage induit de S', le morphisme induit entre les fibres au-dessus de ajj consiste a identifier As x^s' C*JJ> au sous-schema ferme invariant de A— x As_ajj — As x As au qui est la reunion des orbites (sous G 7^1 ) associees aux facettes de U_ qui sont contenues dans S' '. Le morphisme qui s'en deduit As'/As0 x

As>/As>

A^/A%

-

> M/A s0

A s/A%

associe a tout triplet constitue d'un pavage U_ de S', d'une facette U' de U_ et d'un pavage U_ de S raffinant S_ dont la trace dans S' est Jf le couple (U_, U') ou U' est vue comme un facette de U_. D E M O N S T R A T I O N . Ell e es t semblabl e a cell e d u lemm e 4.1 4 . Dans l a variet e toriqu e A s', o n consider e l'adherenc e schematiqu e Af l'orbite A?

ss

ss

,^ d e

,^ associe e a u coupl e form e d u pavag e 5 e t d e s a facett e S'. C'es t u n

sous-schema ferm e invarian t d e A s qu i es t conten u dan s A—. D'autre part , c'es t un e variet e torique . So n tor e es t l e quotien t d e G ^ pa r l e sous-tore (G^j^s' de s fonction s S — > Gm don t l a restrictio n a chaqu e cellul e d e 5 est affin e e t don t l a restrictio n a S f es t constante . I I s'identifi e a A% x As' A^. E t son con e es t celu i de s fonction s v : S — > R don t l a restrictio n a chaqu e cellul e d e S_ est convexe , modul o le s fonction s S — > R don t l a restrictio n a chaqu e cellul e d e S_ est affin e e t l a restrictio n a S' es t constante . On e n dedui t un e identificatio n A

(S,S>) =

AS

'X

AS' A ~- D

Considerant toujour s u n convex e entie r S d e S r,n e t u n pavag e entie r convex e r

s

r

§

5 d e 5 , o n not e Vec ' ~ l e sous-cham p ferm e d e Vec ' obten u pa r l e changemen t d e baseA£/A%-+As/A%. A tou t schem a X mun i d'u n morphism e X — > A—/A%, i

l associ e l e groupoi'd e

+1

des fibres GJ^ -equivariants d e ran g r su r X x A s _ , A s A—/A% qu i verifien t l a pro priete (* ) d u lemm e 4.6 . On dedui t immediatemen t d u lemm e 4.1 6 :

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4.7. U N I V E R S A L I T E D U F I B R E E Q U I V A R I A N T C A N O N I Q U E

103

COROLLAIRE 4.1 7 . Pour S C S r,n un convexe entier, 5 un pavage entier convexe de S et S f une facette de S_ comme dans le lemme precedent, associons a tout schema X muni d'un morphisme X - > A^/A% et a tout fibre £ de rang r et Q 7^1 -equivariant sur xx

le fibre de rang r et GJ^

+1

AyA% A-IA&

-equivariant sur x

*AS'/A%>

S

A

'IA%

qui est Vintage reciproque de £ par le morphisme XX

X

-

AS'/A%' &'l*%

X

A1 /A% A-IA%

A— —> • A et

deduit des morphismes equivariants

As' x As> A^^M. Ceci definit un morphisme de

champs algebriques Vec—

au-dessus de

A-/A% —

> Vec

s

> A ' IA%. D

4.7. U n i v e r s a l i t y d u fibre e q u i v a r i a n t c a n o n i q u e r,n

On a v u dan s l e corollair e 4. 7 qu e s i S C S EQ(&- • -(BE n es t u n espac e gradu e te l qu e r — d?Q s

le fibre equivarian t canoniqu e £ su r Q S,E

\l—

a X

S

n

S

^ S

j A% defini t u n morphism e

A /A ^

,—-r,

es t u n convex e entie r e t E = i _ r a | = r a < rgE a, 0 < a < n,

S

> Vec

au-dessus d e A s /A%. Nous allon s prouve r dan s c e paragraph e qu e c e morphism e es t liss e e t qu e so n image es t u n ouver t Vec r'S qu i perme t d e reconstitue r completemen t Q ' . r

g

Considerons pou r cel a u n poin t arbitrair e d e Vec ' a

valeur s dan s u n schem a

s

X mun i d'u n morphism e X — * A '/ A% ; i l consist e e n u n fibre £ localemen t libr e de ran g r e t GJ^

+1

-equivariant su r X — X x ^

s/

^sA

s

j A% qu i verifi e l a propriet e

(*) d u lemm e 4.6 . Pour tou t a , 0 < a < n , noton s S a C 5 r ' n = { ( i 0 , . • . , i n) € N n + 1 | i 0 + • • • + 2 n = r } l a fac e d e S qu i es t defini e pa r l'egalit e i a = r a. D'apre s l e lemm e 4.1 4 e t le corollair e 4.1 5 , o n a un e immersio n ferme e GJ^ 1 -equivariante canoniqu e X x ^ a / i | « A sa/As0a + X x ^ s / ^ s A s/A% = X et o n peu t considere r l e fibre G^ + 1 -equivariant £s S']. Prouvons alor s pa r recurrenc e decroissant e su r le s pave s S f qu e l'homomor phisme donn e su r Y so s e prolong e d e manier e uniqu e su r Y >s/ e t Y>s f. Supposons l e prolongemen t £ —> £o [resp

. £' —> £o, resp . £Q —> £Q]

deja construi t su r Y >sf- I I s'agi t d e montre r qu'i l y a u n uniqu e homomorphism e equivariant us' £ —> £o [resp

. £' — > £§, resp . £Q —> £Q]

f

sur l a variet e toriqu e Ys comcidan t ave c l'homomorphism e vP s, donn e su r l e sous schema ferm e connex e invarian t Y$' r\Y >sf = Yg,. Pour t o u t somme t i d u pav e 5 ' , noton s ic i a^ G Ys< l e poin t (fix e pa r GJJ+ 1 ) associe e t Y| , l'uniqu e ouver t affin e invarian t d e Ys> qui contien t a^. Le s Yg, formen t un recouvremen t d e l a variet e toriqu e Ys* • Si i G S" ° = { ( i o , . . . ,i n) E S' \ io = r — d?0 n | _ r 0 | } , l e con e M de s carac teres d e GJ^ +1 qu i son t dermi s su r Y^, es t constitu e d'element s ( m o , m i , . . . , m n ) G Z n + 1 qu i verifien t e n particulie r m$ + • • • + m n = 0 e t m o < 0 . L'uniqu e carac tere pa r leque l G^ 1 agi t su r l a fibr e d e £o e n a * es t ( 1 , 0 , . . . , 0) e t le s carac teres qu i apparaissen t dan s l a decompositio n d e l a fibre d e £,£' o u £Q son t le s ( 0 , . . . , 0 , 1 , 0 , . . . , 0) . Autremen t dit , G ^ + 1 agi t su r le s espace s d e section s T(a^ £Q) d'une par t e t T(a^ £ ) , r ( a ^ , £') o u T(a^ £$) d'autr e par t pa r le s caractere s inverse s (—1, 0 , . . ., 0 ) e t ( 0 , . . . , 0 , —1 , 0 , . . . , 0 ) respectivement . O n dedui t d u lemm e 4.8(ii ) qu e l'homomorphism e donn e entr e le s fibres e n Oii se relev e d e manier e uniqu e e n u n homomorphism e GJ^ +1 -equivariant us' su r I'ouvert Y^,. Comm e ce s relevement s son t auss i caracterise s pa r leur s restriction s a n'importe quell e orbit e associe e a un e facett e d e S' contenu e dan s 5 / 0 , il s coinciden t sur le s diverse s intersection s d e ce s Y| , e t s e recollent . Passons maintenan t a u n i G S' Q = { ( i o , . . . , i n ) £ S' I io = ^fo>} - L'homo morphisme us' es t dej a bie n defin i su r 1 'orbit e ouvert e d e Yg, e t o n doi t montre r qu'il s e prolong e (d e fago n necessairemen t unique ) su r Y^, tou t entier . Ic i encore , les caractere s d e G ^ + 1 qu i apparaissen t dan s l a decompositio n d e l a fibre e n a^ d e £o (g ) £-> £o ® £' o u £Q (g) £Q son t le s (1 , 0 , . . ., 0 , — 1, 0 , . . ., 0 ) e t ( 0 , . . . , 0) . Comm e i G SQ , tous son t dan s l e con e de s caractere s qu i son t p a r t o u t bie n defini s e n t a n t que fonction s su r Yg, e t i l e n result e qu e tout e sectio n invariant e d e £Q ® £, £o ® £' ou £Q ® £Q su r l'orbit e ouvert e d e Y^ f s e prolong e su r t o u t Y|, . Plagons-nous enfi n su r I'ouver t Yg, associ e a u n somme t i d e S' qu i n'es t n i dans 5 / 0 n i dan s S f0. O n a necessairemen t a ^ G Y^/. I I exist e u n bor d S" d e 5 ' qu i contient i e t qu i es t defin i dan s S' pa r un e equatio n d e l a form e V ^ i a = d j ave

c0 ^ J .

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4.7. U N I V E R S A L I T E D U F I B R E E Q U I V A R I A N T C A N O N I Q U E

107

L'orbite associe e a c e bor d S" es t contenu e dan s Yg, e t don e r h o m o m o r p h i s m e equivariant us* es t dej a bie n defin i su r so n adherenc e schematiqu e dan s Yg,. C o m m e Yg, es t affine , i l s e relev e e n u n homomorphism e equivarian t (v u comm e sectio n invariante d e £ 0 0 £ , £ o (g ) £' o u £Q ® £Q) s u r tou t Yg,. D e plus , i l result e encor e un e fois d u lemm e 4.8(h ) qu e c e relevemen t es t uniqu e e t caracteris e pa r s a restrictio n a l'orbit e associe e a S" . I I s e recoll e automatiquement . On a fini d e construir e l'uniqu e prolongemen t d e notr e homomorphism e equi variant d e Y >s' a Y>s f e t cel a termin e l a demonstratio n d u lemm e 4.2 0 e t don e d e la propositio n 4.1 8 . • Considerons encor e u n pavag e convex e entie r S_ d'un convex e entie r S d e S r,n. Sous Tactio n d e GJ^ +1 , l a fibre projectiv e A s x^s as_ es t decompose e e n orbite s indexees pa r le s facette s S' d e S_ et chacun e a u n poin t distingu e as_,s'Si S' es t un e facett e de S_ et I un e parti e no n trivial e d e { 0 , 1 , . . . , n } , o n not e toujours Sj l a fac e d e S' defini e pa r l'equatio n Ylaei ^ ~ ^i dan s &'• Et o n design e par hi rhomomorphism e G m — • G ^+ 1 don t l a composant e d'indic e ce , 0 < a < n , est A »—>• A si a E I e t A *—» 1 s i a £ I. L e morphism e Gm - > As x

As

A H hi(X) • as,s

as_

se prolong e su r A 1 e t envoi e 0 su r a$,s'

c

e

f

qu'o n peu t ecrir e

lim ft/(A) -a^s' = « 5 , S ' j

-

Si maintenan t £ es t u n fibre localemen t libr e d e ran g r e t GJ^ + 1 -equivariant su r Xj^s as_ qui verifi e l a propriet e (* ) d u lemm e 4.6 , Tactio n d e G m vi a hi su r l a fibre £s,s' d e £ au-dessu s d e as,S' n e ^ a ^ interveni r qu e le s deu x caractere s A — i >1 et A — i > A . D'apres l e lemm e 4.9 , rhomomorphism e hi indui t don e deu x application s lineaires %,S'—

• £s_,S'j

£s_,s'j— > £s_,s' de rang s respectif s r — df e t d f don t le s noyau x e t image s son t egau x dan s £5,5 ' et £s,s' r On dedui t d e l a propositio n 4.1 8 : r

5

COROLLAIRE 4.21 . Considerons un point arbitraire de Vec ' d valeurs dans un schema X, consistant en un morphisme X — > A s /A% et un fibre £ de rang r et G7^1 -equivariant sur

X = X x^

(i) Les conditions suivantes (1) L'homomorphisme

s

, ^ s A s/A%. Alors

sont G^

1

:

equivalentes : -equivariant de

la proposition 4.1

8

n a=0

est un plongement dont le conoyau est localement libre. (2) Apres tout changement de base par un point geometrique de X dont Vimage dans A s /A% est un pavage entier convexe S_, on a pour toute facette S f de S_ et toutes parties I', J non triviales de { 0 , . . . , n} I n J = 0 = > Im(% £s.s>) H Im(£s.& - > £s,s') = 0 .

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

108

(3) La condition de (2 ) est verifiee par les facettes S' de 5 qui sont des cellules {de dimension maximale egale a celle de S) et les parties I, J de la forme I = { a } , J = { 0 , . . . , n} - {a}, 0 (ii) Pour que les conditions equivalentes r

de

< a < n.

(i ) soient verifiees,

il

faut et il

g

suffit que X —* Vec ' se Vecr>s de Vec

factorise a

travers un certain sous-champ ouvert

(i) Montron s don e l'equivalenc e de s condition s (1 ) , (2 ) DEMONSTRATION. et (3) . (1) = > (2) . S i l a conditio n (1 ) es t verifiee , ell e l e rest e apre s tou t changemen t de l a bas e X , e n particulie r pa r u n poin t geometrique . Pa r consequent , o n peu t supposer qu e X es t u n poin t geometriqu e qu i s'envoi e su r u n pavag e entie r convex e SdeS. Pour un e facett e S' d e S_ et un e parti e no n trivial e / d e { 0 , . . . , n } , noton s su

£'s s , l e sous-espac e d e £s,s'

r

leque l G m c —> GJ^ +1 agi t trivialemen t e t £'$ s, l e

sous-espace supplemen t aire su r leque l i l agi t pa r A i—• A. L a fibre d e ® ^ = 0 P x ^ e n ^ + 1 agi t su r 0 le poin t as,s'j es t 0 ™ = o £ a e t ar +1 (&a#j£a P A i—• 1. L e plongemen t GJ^ -equivariant

a G /

£

OL

pa r A — i > A et su r

n

a=0

induit u n plongemen t 0-

en

-^ °s_,s ,I

eaei°

a

C •

%

S_,S'I

.

0 a = O £ G 1 + 1 su r £ e t © ^ = o P x ^ * # Dan s 0 Q = Q ^ Q consider e comm e u n espac e ambiant , on a don e l'egalit e Im(£s,s> - £s,s>)

= £s,s>

n 0

4

et cel a prouv e l a conditio n (2) . (2) => (3 ) es t tautologique . (3) => 1( ) . D'apre s l a propositio n 4.1 1 , o n peu t suppose r qu e S C S r,n es t un pav e entier , e'est-a-dir e u n convex e entie r d e dimensio n maximal e n. D'autre part , (1 ) es t verifie e s i e t seulemen t s i l'homomorphism e equivarian t n

a=0

induit u n plongemen t e n tou t poin t geometriqu e d e X fixe pa r G ^ + 1 . O n peu t supposer encor e qu e X es t u n poin t geometriqu e qu i s'envoi e su r u n pavag e S_ d e 5 , c t i l suffi t d e montre r qu e pou r tou t cv > 0 < c\ < n. e t tout e facett e S f d e 5

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4.7. U N I V E R S A L I T E D U F I B R E E Q U I V A R I A N T C A N O N I Q U E

109

ou l a coordonne e i a es t constant e (c'est-a-dir e don t l a decompositio n associe e d e { 0 , . . . , n } compren d l e singleto n {»}) , l'homomorphism e entr e le s fibre s e n a^s' £s,s'— > £ot induit u n plongemen t dan s £ a d u sous-espac e £$$, d e £s_,s' es

ou

l e fixateur ( G ^

+1

)s/

a

agit pa r l e caracter e Xs ' (qu i ^ ^ projectio n su r l e facteu r G m d'indic e a). Quitte a renumeroter , o n pen t prendr e a — 0. Mettons encor e un e foi s su r I'ensembl e de s pave s S' d e S_ un ordr e tota l qu i verifie le s propriete s d u lemm e 4.1 3 . Pou r tou t pav e 5 ' , o n not e S" ° e t S f0 se s face s definies pa r le s egalite s z o = r — d? 0 n }_/o} e ^ ^ ° = ^fo v Montron s pa r recurrenc e decroissante su r S f qu e le s deu x homomorphisme s

sont injectifs . Pou r l e premier , cel a result e d e l a definitio n d e £Q quand 5 / 0 C S° e t de l'hypothes e d e recurrenc e quan d S f0 % S°. Pou r l e second , o n remarqu e qu'o n a un diagramm e commutati f c{0}

°S,S'°

^ £0

£0

^ £0

ou le s monomorphisme s horizontau x d e gauch e son t dermi s pa r /i{ 0} : G m ^ ^ m +1 et le s epimorphisme s horizontau x d e droit e pa r /i{i v .. ? n }: G m c ^ G J ^ 1 selo n l e lemme 4.9 . La conditio n (3 ) di t qu e l e compos e £$ $, —- » f^ J / 0 es t injectif . O n conclu t comme voul u qu e £g J ,— » £ 0 es t injecti f puisqu'o n sai t dej a qu e £g g, 0 — • £0 l'est . Cela termin e l a preuv e d e (3 ) => (1 ) . (ii) L a conditio n (1 ) d e (i ) defini t u n sous-cham p ouver t Vec

T:S

d e Vec ' ca r

r5

etant donn e u n poin t arbitrair e £ d e Vec ' a des point s d e X o u l'homomorphism e

valeur s dan s u n schem a X , I'ensembl e

n

oc=0

est injecti f es t u n ouver t e t X es t u n schem a propr e su r X. • Dans l a discussio n qu i preced e l'enonc e d e l a propositio n 4.1 8 , o n a v u comm e r

g

consequence d e l a propositio n 4.1 1 qu' a tou t poin t £ d e Vec ' a valeur s dan s u n schema X son t associe s de s fibre s £ a , 0 < a < n , d e rang s r a su r X. Si pou r t o u t entie r r' , o n not e Vec r l e cham p de s espace s vectoriel s d e ran g r' (c'est-a-dire l e classifian t d e G L r / ) , cel a signifi e qu'o n a u n morphism e nature l n -r,S

Vec -

Yl

Vec r «

rv= 0

Pour E' u n espac e vectorie l d e ran g > r ' , o n a u n morphism e d'oubl i d u plongemen t G r r / ' ^ - + Vec r

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

110

il es t liss e d e dimensio n r' rg(E') e t se s fibre s son t homogene s sou s Tactio n d u groupe A u t ( £ " ) . Nous pouvon s maintenan t montre r : THEOREME 4.22 . Soient S un convexe entier de S r'n et E = E 0® • • • 0 E n un espace gradue tel que rgE a > r a = r — d? Q n \-fa\> 0 < a < n. Alors le morphisme du corollaire 4. 7

ns'E -* v^' s se factorise a tesien

Vec r ' et

travers le sous-champ ouvert

il s'inscrit dans

un carve car-

Vec r's

ff'^ > D

ni:=o Gr--*-—-n: = 0 vec(ou la fleche verticale de gauche est celle consideree au paragraphe 2.7) . En particulier, le morphisme Q ' — > Vec T:S est surjectif et lisse de dimension YlZ=o T( * rS ( ^ * ) e t ses fibres sont homogenes sous Vaction du groupe Aut(E'o ) x • •• x Aut(E n). D E M O N S T R A T I O N . O n doi t montre r qu e l e morphism e O ' — > Vec ' s e facto rise a traver s I'ouver t Vec r , , s , qu e l e carr e nS'E *

Vec

rs

'

n:=0Gr-^—-nLoVecest commutati f e t enfi n qu'i l es t cartesien . D'apre s l e lemm e 2.1 2 , i l suffi t d e consi derer l e ca s o u pou r tou t a , 0 < a < n , E a es t d e ran g r a = r — d?{0,...,n}-{a} si ( bien qu e l e schem a G r

rQ a

'

es t trivia l redui t a u n point .

Rappelons commen t a et e construi t l e fibr e equ i variant canoniqu e £ Q

X

S

S

A /A A

s

s

su

r

s

j A% qu i defini t l e morphisme Q ' — > Vec ' au-dessu s d e A / A% :

on es t part i d u fibr e canoniqu e d e ran g r su r l a grassmannienn e Gr r ' , son imag e reciproqu e pa r l e morphism e

o n a form e

puis o n es t pass e a u quotien t pa r Pactio n d u tor e A%. O r l e fibre canoniqu e d e ran g r sur Gr r ' es t naturellemen t mun i d'u n plongemen t dan s l e fibre trivia l EQ(B- • -(&E n. On e n dedui t qu e £ s es t egalemen t mun i d'u n plongemen t GJ^ + 1 -equivariant dan s le fibr e trivia l ega l a E o ® - " ® E n . P a r unicit e de s homomorphisme s equivariant s £— > £ a construit s dan s l a propositio n 4.1 8 , o n voi t qu e le s £ a son t canoniquemen t isomorphes au x E a e t qu e l'homomorphism e £ — > @™ = 0 £ a es t p a r t o u t u n plonge ment. Cel a montr e a l a foi s qu e ft ' s'envoi e dan s I'ouver t Vec r,s d e Vec ' e t qu e

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4.7. UNIVERSALIT E D U FIBR E EQUIVARIAN T CANONIQU E

111

le carr e QS'E ^

Vec r>s

n la=0 LoVecest commutatif . Le produi t fibre Vec r,s X(Y\ n_ vec r ^) # e s t u n cham p algebriqu e qu i n' a pa s d'au tomorphismes, don e e'es t u n espac e algebriqu e (voi r l e corollair e 8.1 . 1 d u livr e [Laumon e t Moret-Bailly , 2000]) ; i l es t separ e ca r i l verifi e l e criter e valuati f d e separation. Comm e Q ' es t u n schem a projectif , l e morphism e TlS,E ^Vec

rS

' x{m^Vecra).

est lui-mem e projectif . Pou r montre r qu e e'es t u n isomorphisme , i l suffi t d e prouve r r #a que tou t poin t £ d e Vec r,sX(nn_ Vec ^) valeur s dan s u n annea u artinie n A s e releve dan s O ' d e manier e unique . Un te l poin t £ consist e e n u n morphism e Spe c A — > A s jA%, u n fibre G ^ equivariant e t localemen t libr e d e ran g r su r Spec^ l x As/As A

s

+1

-

' / A% qu i verifi e l a

propriete (* ) d u lemm e 4. 6 e t qu'o n not e auss i £ e t u n homomorphism e lineair e G^ + 1 -equi variant e t partou t injec t if su r Spe c A ~>< As/js A s / A% n

On rappell e qu'o n fai t agi r GJ^ +1 su r chaqu e facteu r E a pa r so n caracter e (Ao, • • • , A n )— i > X a. Rappelons d'autr e par t qu e d'apre s l a propositio n 4.3(i) , o n a un e immersio n fermee equivariant e naturell e As ->A

S

xP((A

1

)5).

Or l'espac e projecti f P ( ( A 1 ) 5 ) es t mun i d u fibre inversibl e 0(—l) don t l a fibre e n n'importe que l poin t d e P((A 1 )' 5 ) v u comm e un e droit e vectoriell e d e ( A 1 ) 5 es t l'ensemble de s vecteur s d e cett e droite . Su r c e fibre, i l y a Tactio n d u tor e GJ^ +1 definie pa r G^+1 x (A 1 )5 - > (A 1 )5 ( ( A 0 , . . . , A n ), {xi) ies) >-

> (AQ ° • . • K?Xi)i=(io,--.,i

n)es-

Par imag e reciproque , o n obtien t su r A^ u n fibre inversibl e G J ^ - e q u i v a r i a n t qu e n Ton not e encor e < 5 ( - l ) . Pou r tou t n G Z, o n peu t note r &(n) = 6(-l)®(~ \ s Soit S_ le pavag e entie r convex e d e S qu i es t l'imag e dan s A jA% d u poin t ferme d e Spe c A. Pou r tou t somme t i d u pavag e 5 , l e poin t distingu e as.i d e l a fibre A" x ^ s as qu i correspon d a i a pou r imag e dan s p ( ( A 1 ) " ) l e poin t don t toutes le s coordonnee s son t 0 sau f cell e d'indic e i. I I e n result e qu e l e tor e G ^ +1 agit trivialemen t su r l a fibre e n l e poin t a^i d u fibre inversibl e (A r £) (g ) 0(1). A fortiori, pou r tout e facett e 5 " d u pavag e 5 , l e fixateur ( G ^ 1 ) ^ / agi t trivialemen t sur l a fibre e n as,s' &e (A r £) (X ) 0(1 ).

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

112

On conclu t alor s d'apre s l e lemm e 4.1 2 qu'i l y a u n isomorphism e equivarian t sur Spe c A ^ AsjX% A

s

jA% 0(-l) -^A

r

£ = det £

et qu e ce t isomorphism e es t uniqu e a multiplicatio n pre s pa r u n elemen t inversibl e de A. Considerons maintenan t rhomomorphism e equivarian t compos e

O(-l)^A7^Ar(£0®-®£n)= 0

A

1

^.

r n

ies > et se s composante s d'indice s le s element s i G S r'n

d(-l)-^AlE.. Si o n le s ecri t dan s un e bas e d e A 1 ^ . , o n voi t qu e ce s composante s son t formee s d'elements d e

H°(SpecAxAS/JszAs/As0,d(l))Xi c'est-a-dire d e section s d e 0 ( 1 ) su r Spe c A X GJ^

+1

S S A /A

s

^

/A% su

r lesquelle s l e tor e

agi t pa r l e caracter e Xi:(Ao,-..,An)^A»°...AJr

O U i = (io,...,*n) . Or o n a l e lemm e suivan t : LEMME 4.23 . Soient S_ un pavage entier convexe d'un convexe entier S de S r,n et i = (io,...,i n) un point de S r'n. Alors, dans les espaces de cohomologie de s (9(1) sur Ys_ = A x As as_, les parties sur lesquelles G 7^1 agit par le caractere \% verifient : (i) Si i £ S, on a H°(Ys,O(l))Xi=0 et

H

l

(Ys,O(l))^=0.

(ii) Si i G 5, on a H1(YtL,O(l))Xi=0, Vespace H°(Y^ 0 1( )

) est

de dimension 1

et il est engendre par le mor-

phisme qui est la projection de

(A 1 )" 5 sur sa composante d'indice

i.

D E M O N S T R A T I O N D U L E M M E. Pou r tout e facett e S' d e 5 , o n not e Y s> l e sous schema ferm e invarian t d e Ys_ qui es t I'adherenc e schematiqu e d e l'orbit e d u poin t a s_,S' s o u s l'actio n d u tor e G ^ + 1 . Le s Ys> sont de s variete s toriques . Le schem a Ys_ e t se s sous-schema s ferme s Y$' son t plonge s dan s P ( ( A 1 ) S ) d'apres l a propositio n 4.3(i ) s i bie n qu e l e fibre inversibl e equivarian t 0 ( 1 ) su r Ys_ e t le s Y$> es t tre s ample . Pou r tout e facett e S' d e 5 , cel a signifi e d'apre s l e theoreme 1 3 d u § 3 d e [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973 ] qu e l a fonctio n lineair e pa r morceaux associe e a 0 ( 1 ) su r l e compiex e polyedra l rationne l d e l a varict c toriqu e

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4.7. U N I V E R S A L I T E D U F I B R E E Q U I V A R I A N T C A N O N I Q U E

113

Ys' es t strictemen t convexe . Comm e Ys> est propre , so n complex e polyedra l ration nel es t I'espac e vectorie l tou t entie r engendr e pa r le s caractere s (voi r l e theorem e 8 du § 2 d e [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973] ) e t a fortiori i l es t convexe . O n dedui t alor s du corollair e 2 d u § 3 d e [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973 ] qu e

W(Ys,,O(l))=0, V i > l

.

Enfin, tou t sous-schem a ferm e invarian t Y de Ys^ est reunio n d'u n nombr e fini d e schemas Ys' associe s a de s facette s S' d e S_ e t o n obtien t pa r devissag e Hl(Y,d{l)) =

0 , Vz

>1 .

Cela es t vra i e n particulie r pou r Y — Ys_. Interessons-nous maintenan t au x espace s d e section s i J ° ( Y s / , 0 ( l ) ) su

r les -

quelles l e tor e G 7^1 agi t pa r l e caracter e \% '• (Ao > • • • -> An) ^- * AQ ° . .. AJj \ Comme le s Ys' son t de s variete s torique s e t le s 0 ( 1 ) de s fibres equivariant s inversibles su r celles-ci , les H° (Ys' , 0 ( 1 ) ) s o n f d e dimensio n 0 ou 1 . Par ailleurs , il s contiennent l e morphism e 0 ( — 1) — ^ A 1 d e projectio n d e ( A 1 ) 5 su r s a composant e d'indice i , e t c e morphism e es t no n nu l s i e t seulemen t s i i G S'. On voi t don e qu e s i i £ S" , I'espac e H°(Ys', 0 (1 ) ) es t d e dimensio n 1 e t engendre pa r Xi. On preten d d'autr e par t qu e s i i ^ S' , alor s

H°(Ys.,d(l))Xt=0. En effet , remarquon s d'abor d qu e s i i n'es t pa s dan s l e sous-espac e affin e d e IR r ' n engendr e pa r S" , l e noya u d e \% n e contien t pa s l e noya u d e Tactio n d e GJ^ +1 sur 0 ( 1 ) restrein t a Y$> et o n a necessairemen t

H°(Ys,,d(l))Xi=0. Supposons don e qu e i es t dan s l e sous-espac e affin e engendr e pa r S f. L'eventail qu i deflni t l a variet e toriqu e Ys* es t un e decompositio n d e I'espac e des fonction s affine s £: S f— > K . modulo le s fonction s constante s : une fonctio n affin e £: S f— > R es t dan s l e con e convex e polyedra l associ e a un e fac e S" d e 5 ' s i S" es t l'ensemble de s point s o u £ prend s a valeu r minimal e mms'(£) su r 5 ' . Pour qu e H° ( l ^ / , 0 ( 1)) ^ 0 , il faudrait qu e pou r t o u t e fonctio n affin e £ : S' — > R prolonge e canoniquemen t su r I'espac e affin e engendr e pa r S' , o n ai t £(i) — mms f(£) > 0 . C e n'es t pa s vrai , e t don e H°(Y S>, 0 ( 1 ) ) = 0. On dedui t immediatemen t d e c e qu i preced e qu e s i i £ 5 , o n a

H°(Ys,O(l))Xi=0. Si a u contrair e i G S, noton s S^ l a plu s petit e facett e d u pavag e 5 qu i contien t le poin t i. Pou r tout e facett e S' d e S_ qu i n e contien t pa s S| , o n a

H0(Ys/,O(l))x=0, et pou r tout e facett e S' qu i contien t S^ I'espac e H° ( y S / , 0 ( 1 ) ) es

t d e dimensio n

1, se s element s son t de s multiple s d e Xi_ et le s coefficient s d e proportionnalit e n e

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4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

114

dependent qu e des restrictions de s sections a Y$'. c -^ Ys'• O n en dedui t qu e l'espac e H°(Ys_, 0(l)) es

t d e dimensio n 1 et engendr e pa r AQ .

Cela termin e l a demonstratio n d u lemme . • F I N D E LA DEMONSTRATION D U THEOREME 4^22 . O n peu t choisi r u n releve ment Spe c A— » As d u morphism e Specv 4— » As /A%. s Pour tou t poin t x d u schem a Spe c A x As/js A '/A% = Spe c A x As A s a valeurs dan s u n schem a X , l a restrictio n a X d e £ v u comm e sous-fibr e d e ran g r de EQ 0 • • • 0 . En — E defini t u n point d e la grassmannienne G r r ' a valeur s dan s X. Si o n not e Xi, i £ 5 , le s coordonnee s projective s d e l'imag e d u poin t x dan s P ( ( A 1 ) 5 ) , i l resulte d u lemme preceden t qu e les coordonnees d e PKicker dan s A r E = ®iesr>n k-E % d u poin t X — > Grr , £ ; son t d e l a form e

ou le s di, i E S, son t de s point s de s A 1 ^ . a valeur s dan s A qu i n e dependen t qu e du morphism e O(-l) -^- » Ar £ c —> Ar E e t pa s de x. Considerons l e cas ou x es t l e point a^s' associ e a un e cellule S r d u pavag e 5 . Notant £s_,s' l a fibre d e £ e n c e point, o n a l e plongemen t

Comme o n a v u dan s l a demonstratio n d u corollair e 4.2 1 (i), pou r tout e parti e no n triviale / d e { 0 , 1 , . . . , n } , l'intersectio n d e £s_ :s' a v e c El — @aei ^a s'identifi e a u facteur £g s , d e l a fibre £s,s' s u r leque l l'homomorphism e hj : G m— » G ^+ 1 (don t les composante s d'indice s a , 0 < a < n , son t A ^ A s i a G / e t A ^ l sinon ) agi t par l e caracter e A — i > A. Comm e £ verifi e l a conditio n (* ) d u lemm e 4.6 , chaqu e telle intersectio n £s_,s' ^ Ej e s ^ d e dimensio n dj 1 = dj e t l e poin t £s_,s f d e G r r ' est dan s l a cellul e d e Schuber t minc e G r J, . Cela impos e qu e tou s le s a^ i G 5 , son t de s point s a valeur s dan s A de s A-i£ # — {0} et pri s ensembl e il s definissent u n poin t a valeur s dan s A d e

/xG

m

\ U(AiJ5.-{0}) .

On preten d qu'i l es t dan s l e sous-schema ferm e Q S,E. Pou r cela , i l faut reveni r a l a constructio n explicit e d e Q S,E dan s l a demonstratio n d u theorem e 2.4(i ) : on considere n'import e quell e cellul e S' d u pavag e S_ et un e famille generatric e es f d e S1'. Elle defini t u n scindag e A% — > *Aj| de la suite exact e 0 — » ( G ^ ) 0 / G m— > . 40— > *A0— » 1 qui se prolonge e n un e section s d e A s —* A s bie n defini e a u voisinag e d e l'orbite ^4 § et e n particulie r su r Spe c A D'apres c e qu'o n vien t d e voir , l e poin t ( a ^ J ^ s dan s

As x Gm \ Hi^E. -

{0} )

\ies multiplie pa r l e uple t de s coordonnee s d e l a sectio n s es t u n poin t d e ( Sm\(E[iG5 r n A 1 ^ ) — {0} qui represent s l e poin t d e Gr r ' a valeur s dan s A qu i est l'imag e reciproqu e de £ c -^ EQ © • • • © E n = E su r Spe c A vi a l a sectio n s: Spec A — » Spec .A x ^ s A 5 . I I verifi e don e le s equation s d e l a grassmannienn e Gr r ' dan s G r n \(f| i G 5 . r . T l A~E 9) — {0} et e'es t c e qu'o n voulait .

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4.8. C O H O M O L O G I E E Q U I V A R I A N T E E T D E F O R M A T I O N S

115

On a don e defin i u n morphism e

SpecA^nS'E qui es t l'uniqu e relevemen t d u poin t donn e Specv4— > Vec r ' 5 X(j-jn_ o V e c r a ) # compatible ave c l e relevemen t chois i

SpecA^As du compos e Spe c A— > Vec r,s — • As / A 0-s Comme o n a u n carr e cartesie n nS,E

S,E

^

As ^A le compos e SpecA^Q S'E ^

n*

s

/A

e s t l 'unique relevemen t d e

Spec A - » V e c r ' 5 x ( n - = o v e c - ) . , ce qu i achev e l a preuv e d u theorem e 4.22 . • 4.8. Cohomologi e equivariant e e t deformation s On consider e toujour s u n convex e entie r S C S r,n = { ( i o , . . . , i n ) € N n + 1 | ^o + ' ' ' + in = r} e t u n espac e gradu e E — EQ 0 • • • 0 J2 n te l qu e rgE^ > r a = Le theorem e 4.2 2 perme t maintenan t d e donne r u n criter e cohomologiqu e d e lissite d u morphism e ft ' — > A s j A% e n n'import e que l poin t e t un e formul e pou r la dimensio n d e so n espac e tangen t relatif , comm e applicatio n d e l a theori e general e des deformation s expose e pa r exempl e dan s l e livr e [Illusie , 1 971 -1 972 ] : COROLLAIRE 4.24 . Soient A un anneau artinien, I

un ideal de carre 0 dans A,

x un point d e l l ' a valeurs dans A = A/1 et a son image dans A s j A%. Soient £ Vimage de x dans le champ Vec r,s vue comme un fibre localement s libre de rang r et G 7^1 -equivariant sur Spe c A x As/As A / A% et TLom{£,£ (g ) / ) le faisceau GJ^ Alors :

+1

-equivariant des

homomorphismes lineaires

(i) Si a est un point de A s / A% a

valeurs dans

£ —> £ ® I. A qui releve 'a, le point

x G O {A/ 1 ) se releve en un point x G ft (A) au-dessus de a si et seulement si le fibre £ se releve en un fibre GJ^ +1 -equivariant £ sur s Spec A x As/As0 A /A%. L'obstruction a I''existence de tels relevements git cohomologie equivariante # £ „ + 1 (Spec(A/I) x

AS/Js

A

s

dans le groupe de

/As0,Hom(£,£®I)).

n cette obstruction est nulle, Vensemble des classes d mations £ de £ est un torseur sous Vaction du group ff£„+1 ( S p e c ( A / I ) x

AS/js

A

s

/As0,Hom{£,I®I))

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116

4. L E FIBR E EQUIVARIAN T UNIVERSE L

et le groupe des automorphismes de a

chacune est canoniquement isomorphe s

ff£n+i (Spec(A/J ) x As/As A

/As0,Hom(£,£®I)).

(ii) Quand A/1 est un corps et si S_ designe le pavage entier convexe de S associe au point a, la dimension de Vespace tangent en He a la fibre de ft ' au-dessus du point A$/A% de A s/A% est egale a dim H^ n+i (A

s

x

As

as_,

Hom(£, £)) - di m H^ n+1 (A

s

x

As

a s , Hom(£, £))

+ Yl r

arg(Ea)-dim(S).

0 Vecr,s es t liss e d e dimensio n relative ]Ca= o r " r &(^*) e t qu e A s/A0— -TgA% +rgA%

=

» As / A% es t liss e d e dimensio n relativ e

- r g ( G ^ ) 0 / G m = -dim(S) . D

Considerons maintenan t un e fac e S' d e S. On a l e morphism e equivarian t A s— » As d e restrictio n de s pavage s d e S a S' puis, d'apre s l e lemm e 4.1 4 , l'immersio n ferme e equivariant e As' x

AS>

A

s

->A

S

d'identification de s facette s d e pavage s dan s S' a de s facette s d e pavage s dan s S. Elle indui t u n morphism e Vecr,S

_

> Vec r,S>

qui s'inscri t dan s u n diagramm e commutati f US'E Vec

QS',E „

rs

s

' A

Vec

r,S> .

A

s

/A% A

S'/AS0 _

A

/As0

S'/AS0

011 les fleches h o r i z o n t a l s d e droit e e t d e gauch e son t lisses . Pour ^4 , /, A/1 , x,aet£ comm e dan s l'enonc e d u corollair e precedent , noton s encore x f e t £ le s point s a valeur s dan s A/1 image s d e x dan s ft ' l'immersion ferme e Spec A/I x

As>/As;

A

s

' / A% ^s A s / A% dont la restriction a Spec A x As'/As' ^ /^ 0 est isomorphe a £'. L'obstruction a Vexistence de cohomologie equivariante

tels relevements git

dans le groupe de

S AS/A

H^rt+i ( S p e c ( A / J ) X

Si cette obstruction est nulle, Vensemble des classes d'isomorphie des deformations £ de £ qui induisent £' est un torseur sous Vaction du groupe s

fl^„+1 ( S p e c ( A / / ) x Asfxs A et le groupe des automorphismes de a

chacune est canoniquement isomorphe s

/As0,Homs/s>(£,£®I)).

F°„ + 1 (Spec(A/I) x AS/J% A (ii) Quand A/1

est

IAs0,HomS/s>{£,£®I))

un corps et si 5 designe le pavage de S associe au point

a, la dimension de

x a la fibre de ft ' au-dessus

Vespace tangent en

de

qf rp

V imagede x dans ft ' dimif^n+i (A s x

As

as_,Horn

x

AS',As'

s/s,{£,£))

s

A

-

/' A%

est eg ale a

dim#°„

+1

(A s x

As

a^Hom

S/S'{£,£))

n

+ J >

Q

- r'J r g E a - dim(S ) + dim(S" )

a=0

ou on a pose r' a = r — d?0

n

\_/Qp 0 < a < n . 'V

C Z ? C"

Pour que le morphisme 0 — point x, il suffit que Hlz+i(As x

As

as_,Hom

> ft

1

X

s/s,(£,£))

AS'/ASI A =

s

0.

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/ A% SG ^ ^

sse au

4. L E F I B R E E Q U I V A R I A N T U N I V E R S E L

118

(iii) Les groupes de cohomologie equivariante de exacte longue 0 - * H^ +1 (Hom

s/s>

(£,£)) - > ff£»

+i

(ii ) s 'inscrivent dans

une suite

{Kom(£,£))

-> H^ +1 (Hom{l\t))

-+

H^ +1 (nom

s/s>

(£,£))

-

•

••

D E M O N S T R A T I O N . L a suit e exact e longu e d e (iii ) es t associe e a l a suit e exact e courte d e faisceau x coherent s GJ^ +1 -equi variants su r A x As as 0 - > Ham S/s'(£,£) -+

Hom{£,£) -

> Hom(£\t) -

> 0.D

Considerons enfi n u n pavag e entie r convex e S_ de S e t un e facett e S' d e c e pavage. O n a l e morphism e equivarian t A— — » .4 . d e restrictio n a S f de s pavage s de S qu i raffinen t 5 puis , d'apre s l e lemm e 4.1 6 , un e immersio n ferme e equivariant e

As' x

AS>

A^^M

ou o n a designe pa r A— le produit fibr e A s x AsA—. Notan t Vec r '- = Vec ' ~ n V e c r ' 5 l e sous-champ ferm e d e Vec r,s obten u pa r l e changemen t d e bas e A~jA% — > A s'/'A%, cette immersio n ferme e indui t u n morphism e Vecr^ - > Vec r ' 5 ' qui s'inscri t dan s u n diagramm e commutati f ^S,E „

^ , ,5^

A

S/JS „

A

S/AS0

Y US',B

.

Vec

,,S' .

^S'/^S '„

A

S'/AS0

ou le s fleches horizontale s d e gauch e e t d e droit e son t lisses . On peu t alor s donne r pou r l e problem e d e relevemen t de s point s infinitesimau x par l e morphism e Vecr,S

_ > V e c r , 5 ' XASt/J%t

A

^jA%

OU

et pou r l a descriptio n de s espace s tangent s a leur s fibres u n enonc e exactemen t analogue a u corollair e preceden t 4.25(i) , (ii) , (iii) . Comm e s a formulatio n serai t parfaitement l a meme , nou s n e l'ecrivon s pas . Remarquons enfi n qu e pou r l'etud e de s groupe s d e cohomologi e GJ^ +1 -equivariante qu i apparaissen t dan s le s enonce s d e c e paragraphe , o n dispos e d u resul t at suivant : L E M M E 4.26 . Soit X un schema sur un corps qui est muni de Vaction d'un tore T. Alors pour tout Ox-module quasi coherent et T-equivariant A4 sur X, chaque espace de cohomologie equivariante H?r(X,M) s'identifie a

la partie invariante sous

T de Vespace de cohomologie ordinaire H\X,M).

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4.8. C O H O M O L O G I E E Q U I V A R I A N T E E T D E F O 1 1 RMATION S

9

DEMONSTRATION. I I suffit d e prouve r qu e su r l a categorie abelienn e de s espace s vectoriels V su r u n corp s k muni s d e Tactio n d'u n tor e T , l e foncteu r V i— » VT de s vecteurs fixes pa r T es t exact . D'apres l e lemm e qu i sui t l a definitio n 1 . 3 d e [Mumfor d e t Fogarty , 1 982 , cha pitre I , §1 ] , tout te l espac e V es t reunio n filtrante d e sous-espace s d e dimensio n finie stables pa r T e t o n peu t s e limite r a l a categori e de s representation s d e dimensio n finie d e T . On peu t auss i suppose r qu e l e corp s d e bas e k es t algebriquemen t clos . Alor s toute representatio n d e dimensio n finie d e T es t somm e direct e d e caractere s e t l'assertion es t evidente . •

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https://doi.org/10.1090/crmm/019/05

CHAPITRE 5

Variations d e variete s projective s rationnelle s ave c structures logarithmique s 5.1. L a fibration

projectiv e canoniqu e

On consider e encor e u n convex e entie r S dan s S r,n = { ( z o , . . . , ^ n ) £ N n + 1 | io + • • • + i n — r} e t l e cham p algebriqu e d e typ e fini Vec r'S qu i lu i a et e associ e r

g

dans l e paragraph e 4. 7 comm e sous-cham p ouver t d e Vec ' . r

5

On rappell e qu'u n poin t d e Vec ' a morphisme

valeur s dan s u n schem a X consist e e n u n S

X- A

IA%

et e n u n fibre £ localemen t libr e d e ran g r e t GJ^ projectif su r X x=

x

X

AS/A% -A

/A

+1

-equivariant su r l e schem a

0

qui verifi e l a propriet e (* ) d u lemm e 4.6 . D'apres l a propositio n 4.1 8 , i l existe su r X de s fibres £ a, 0 < a < n , localemen t fibres d e rang s r a = r — d? 0 n i _ r a i e t bie n determine s pa r £ a uniqu e isomor phisme pres , ave c de s homomorphisme s lineaire s (CJ^ +1 -equivariants canonique s c— > Px^a sur le s image s reciproque s de s £ a pa r px ' X — » X. On suppos e qu e l e poin t X — > Vec ' s e factoris e a traver s l'ouver t Vec definition d e Vec r ' 5 , cel a signifi e qu e l'homomorphism e somm e

r,s

;

pa r

n

est injecti f e n tou t poin t d e X. On a : P R O P O S I T I O N 5.1 . Soit £ un point du champ Vec rjS a valeurs dans un schema X comme ci-dessus. Considerant £ comme un schema fibre sur X, Vouvert £ de £ constitue des points dont les images dans les p^£ a, 0 < a < n, sont toutes non nulles, n'est pas vide si et seulement si r a = r — d? 0 n y_ra\ > 1 , V a , c'est-a-dire si S n'est r,N contenu dans aucune face du simplexe S . Dans ce cas, le quotient P ( £ ) de £ par Vaction libre de GJ^ +1 est une fibration sur X qui est projective, plate de dimension relative r + d i m ( 5 ) — (n + 1 ) et a fibres geometriquement reduites. 121 Licensed to AMS. License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/publications/ebooks/terms

122 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

Elle est munie d'un morphisme F(£) -+ X/G^

+l

et a fortior i elle est lisse de dimension relative

qui est lisse de dimension r d i m ( 5 ) — (n + 1 ) sur

r -f

D E M O N S T R A T I O N . Chaqu e £ a, 0 < a < n , es t u n fibr e su r X qu i es t localemen t libre d e ran g r a. Pou r qu'i l contienn e de s vecteur s no n nul s i l faut don e avoi r r a > 1 . Reciproquement, supposon s cett e conditio n verifie e pa r tou s le s indice s a. Pou r montrer qu e £ n'es t pa s vide , o n peu t suppose r qu e X es t u n poin t (l e spectr e d'un corps ) qu i s'envoi e dan s A s / A% su r l e poin t correspondan t a u n pavag e entie r convexe S_ de 5 . Un e quelconqu e cellul e S' (d e mem e dimensio n qu e S) d e S_ n'es t contenue dan s aucun e fac e d e S r,n. Alors , s i £s_,s' design e l a fibr e d e £ au-dessu s du poin t distingu e a^s' d e A s, tou s le s homomorphisme s induit s entr e espace s vectoriels % S ' - > £* , 0

< a < n,

r sont no n nul s ca r leur s noyau x son t d e dimension s d? 0 n \-sa\ < - P a r consequent , o u us es il y a u n ouver t no n vid e d e £s,s' t° l vecteur s on t de s image s no n nulle s dans le s £ a e t o n a £ ^ 0 . Supposons don e qu e r a > 1 , V a . On a u n plongemen t partou t injecti f entr e fibres vectoriel s su r X

n

Si £ es t v u comm e u n schem a fibr e su r X e t le s £ a comm e de s schema s fibres su r X1 c e plongemen t s'interpret e comm e un e immersio n ferme e £^ X

x

x

£o

xx ' • • xx

qui indui t un e immersio n ferme e £ ^ X x

x

( £

0

- {0}

)x x•

• • x x (£

n

- {0}) .

Mais d'apre s l a propositio n 4.3(i) , l e morphism e Px •• X - X est projectif ; s a sourc e es t muni e d'u n fibr e inversibl e tre s ampl e relati f 0 ( 1 ) (dedui t du fibre 0 ( 1 ) d e P ^ A 1 ) ^ su r leque l o n fai t agi r A% = G SJG m pa r u n scindag e de l a suit e exact e 1 — •> G m —> G^— » G ^ / Gm— > 1) ave c actio n naturell e d u tor e G

™+1-

En faisan t l e quotien t pa r le s action s libre s d e GJ^ +1 , o n obtien t u n morphism e projectif nature l ¥(£)^F(£0)xx---xxF(£n) et o n conclu t qu e P ( £ ) es t projecti f su r X. Enfin, comm e £ v u comm e schem a es t liss e d e dimensio n relativ e r su r X , i l en es t d e mem e d e ¥(£) su r l e cham p quotien t X / G ^ + 1 . L'actio n d e GJ^ +1 su r A s

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5.1. L A F I B R A T I O N P R O J E C T I V E C A N O N I Q U E

123

se factoris e a traver s l e tor e quotien t GJ^ + 1 /(GJ^ + 1 ) l s' leque l es t d e ran g dim (S) e t done P ( £ ) es t liss e d e dimensio n relativ e r + di m (5) — (n + 1 ) su r

X/(G^/(G^l)s). Cela impliqu e qu e P(£ ) es t pla t su r X d e dimensio n relativ e r + d i m ( 5 ) — (n-f-1 ) e t a fibre s geometriquemen t connexe s ca r d'apre s l a propositio n 4.3(ii) , l e morphism e As— > As es t pla t d e dimensio n dim(S ) e t a fibres geometriquemen t connexes . Cela achev e l a preuv e d e l a proposition . • Supposons maintenan t qu e S es t u n convex e entie r d e S r,n qu i n'es t conten u dans aucun e d e se s faces . Noton s p s a codimensio n dan s S V}Tl e t ecrivon s encor e un e fois le s decomposition s canonique s d u lemm e 1 . 7 : p

{0, l , . . . , n } = J J J * ave c \Ji\ = n

%

+1 ,

i=0

r = r 0 H hr

p,

S = So x • • • x S p, ou chaqu e 5^ , 0 < 2 < p , es t u n pav e entie r dan s

II

aeJz )

D'apres l e lemm e 4.1 0 , o n a deu x isomorphisme s canonique s au-dessu s Tu n d e l'autre

ASIA% ^

A

So

/As0° x

• •• xA

S

*/AS0P,

As/A% ^

A

s

°/As0° x

• •• xA

S

"/AS0P,

puis, d'apre s l a propositio n 4.1 1 , pour tou t poin t d e Vec ' a valeur s dan s u n schem a X represent s pa r u n fibre £ d e ran g r e t GJ^ + 1 -equivariant su r X, i l exist e un e unique famill e d e point s de s Vec a valeur s dan s X represente s pa r de s fibres £j t de rang s V{ et G^j-equivariant s su r le s X x s . , ~s% A Si / A% 1 tell e qu e £ s'identifi e a l a somm e direct e de s image s reciproque s de s £j^ Cett e decompositio n d e £ es t compatible ave c le s homomorphisme s lineaire s equivariant s

aeJi

et ave c l a decompositio n

a = 0 z=

0 \a£j t /

On e n dedui t : LEMME 5.2 . Pour S = So x • • • x S p un convexe entier de codimension p Sr'n comme ci-dessus, I'isomorphisme V^'s ^

V^

ro,So

x • • • x V^ rp'Sp

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dans

124 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

de la proposition 4.1

1 fait se correspondre les r

r

s

ouverts

5

Vec > - ^ Vec °' ° x • • • x Vec

r Sp

^ .

Si £ — ( £ j 0 , . . . ,£j ) est un point de ceux-ci a valeurs dans un schema X et si £ et les £j t sont vus comme des schemas sur X, on a des isomorphismes canoniques £ ^£j 0 x £ ^£

J o

x

x

x

•• • x ••

x

£/p,

• XX£J

P,

et F(£)^F(£j0)xx---xxn£jp). Ce dernier est compatible avec les morphismes lisses

¥(£Jt)^(XxASi/Js0iASl/A

de structure

'Si \ f^Ji 0

et avec les decompositions

X^(X x

ASo/Xs0

A

s

°/As0°) x x---xx(X x

Asp/JiP

A

s

'/A%'),

II resulte d e c e lemm e qu e pou r etudie r le s fibration s F(£) induite s pa r u n poin t £ d e Vec r ' 5 , i l suffi t d e s e limite r a u ca s o u S es t u n pav e (d e dimensio n maximal e n) dan s S r^. Alors P ( £ ) es t pla t d e dimensio n relativ e r — 1 su r l e schem a d e bas e X. 5.2. R e s o l u t i o n c a n o n i q u e d u c h a m p t o r i q u e d e s face s d'un convex e entie r Pour S u n convex e entie r d e 5 ' r ' n , o n a v u a u paragraph e preceden t qu e tou t point £ d e Vec r,s a valeur s dan s u n schem a X indui t un e fibration projectiv e ¥(£) sur X. A chaqu e fibre d'un e tell e fibration es t associ e u n pavag e entie r convex e S_ de S e t ell e es t muni e d'u n morphism e liss e su r l e cham p quotien t pa r GJ^ +1 d e

Ys_ = A

s

xAsas_.

Dans l e bu t d'etudie r le s fibrations P ( £ ) , o n commenc e don e pa r etudie r le s fibres Ys_. On sai t dej a d'apre s l a propositio n 4.3(ii ) qu'elle s son t geometriquemen t reduites. Sou s Tactio n d u tor e G ^ + 1 , chaqu e tell e Ys_ es t reunio n finie disjoint e d'orbites Ys> = G 1 ^1 /(G 7^1 )sf indexee s naturellemen t pa r le s facettes S' d u pavag e S_. Un e orbit e Y$" es t dan s l'adherenc e d'un e autr e Ys> si e t seulemen t s i S" es t un e face d e S'. E n particulier , le s composante s irreductible s d e Ys_ sont le s adherence s schematiques Ys> de s orbite s associee s au x cellule s (d e mem e dimensio n qu e S) S' d u pavag e S_ et s i S[, S r2 son t deu x telle s cellules , l'intersectio n Y$ f H Y$f es t l'adherence Y$" d e l'orbit e associe e a l a plu s grand e fac e S" commun e a S j e t a S' 2. On a : L E M M E 5.3 . (i ) Pour toute facette S' d'un pavage entier convexe S_ de S comme ci-dessus, Vadherence schematique Ys r de Vorbite Ys> est une variete torique normale et projective de tore G ^ + 1 / ( G ^ + 1 ) 5 / = I 5 / . Elle ne depend pas de S_ ni de S .

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5.2. R E S O L U T I O N C A N O N I Q U E D U C H A M P T O R I Q U E DE S1 FACE S 2

5

(ii) Les orbites de Ys> (c''est-a-dire les points du champ torique Y$> /Ys>) correspondent naturellement aux faces du convexe entier S'. (iii) L'eventail qui definit Ys> est une decomposition en cones convexes polyedraux rationnels de I'espace des fonctions affines £: S' — > R modulo les fonctions constantes : Une fonction affine £: S f— » R est dans le cone associe a une face S" de S' si S" est Vensemble des points de S r oil £ atteint son minimum. D E M O N S T R A T I O N . (ii

) a dej a et e vu .

(i) L e schem a Ys' es t projecti f ca r i l est plong e comm e sous-schem a ferm e dan s Ys qu i es t projecti f d'apre s l a propositio n 4.3(i) . L a variet e toriqu e A s es t normal e par constructio n don e i l en es t d e mem e d e l'adherenc e schematiqu e Ag s , d e l'orbit e A$ 5 / (voi r l a propositio n 2 d e [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973 , §2] ) pui s d e l'ouver t de celle-c i imag e reciproqu e d e l'orbit e A§ e t enfi n d e s a fibre au-dessu s d u poin t distingue a^ qu i n'es t autr e qu e Ys' . Pour prouve r qu e Ys> ne depen d pa s d e 5 e t 5 , i l suffi t d e montre r (iii) . (iii) result e d e l a form e de s eventail s C s jC% e t (C s + M)/ R qu i definissen t le s varietes torique s ^4 ^ e t A s e t d e c e qu e Ys' es t l a fibre d e Ag

s

, au-dessu s d u poin t

s

as_e Ag_C A . D Pour tout e parti e no n trivial e / d e { 0 , 1 , . . . , n } , o n not e £j I'applicatio n affin e Sr'n - > R

eventuellement prolonge e a I'espac e R r , n . O n not e d e l a mem e fago n s a restrictio n a n'import e que l convex e entie r S' d e S r'n o u a so n envelopp e convex e S^. Pa r definition, l a fac e Sj d e S' es t l'ensembl e de s point s d e AS " OU I'application £j attein t son minimu m qu i es t d f . On a : PROPOSITION 5.4 . (i

) Pour toute application affine

il existe une unique suite strictement croissante

de

parties non triviales

0 £ / ! £ . • • £ / * £{0,1 ,...,n } et une unique suite de reels strictement positifs ai > 0 , . . .,a k >

0,

tels que la difference

£-(a1£Il + . .

.+

a

^/J

soit une fonction constante. (ii) Si S f est un convexe entier de tersection des faces

5 r , n et £\ S f -^ R a la forme de

S>hn---ns*lk est Vensemble des

points de S' oil £ prend sa valeur minimale.

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(i) , Vin-

126 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

DEMONSTRATION. (i ) Su r M r ' n = { ( x 0 , . . . , x n ) e i n + 1 | x 0-\ Vx une fonctio n affin e £ est d e l a form e

n

= r),

(x 0 , • • • , xn) »- > £0x0 + £\X\ H h son

ou £o ; ^ i , . .. , ^ n t de s coefficient s reels . Quitt e a modifie r £ par un e constante , on peu t suppose r qu e tous le s £a son t > 0 et qu e l'un a u moin s es t 0 . Soit J o l a parti e no n vide d e { 0 , . . . , n} constitut e de s a tel s qu e £ a = 0 . Si J o £ { 0 , 1 , . . . , ?7-} , noton s J\ l a parti e no n vide d e { 0 , . . . , n} — J o o u le s £ a sont maximaux . Si J o U J\ £ { 0 , 1 , . . . , n } , notons J 2 l a partie no n vide d e { 0 , . . . , n} — ( J 0 U J\) ou le s £a son t maximaux . Et ains i d e s u i t e . . . Posant alor s I\ = J i , J 2 = J\ U J2, Is = J\ I I J2 II J 3, etc. , on voi t qu e £ est de la form e £ — ai^ii + • • • + a / c ^ ave

c a\ > 0 , . . . , a^ > 0 .

Cette ecritur e es t uniqu e ca r J Q = { 0 , . . . , n} — Ik es t I'ensembl e de s indice s a tel s qu e l e coefficien t £ a soi t minimal , J\ — I\ es t I'ensembl e de s indice s a G { 0 , . . . , n } — Jo tel s qu e £ a soi t maximal , J 2 = I2 — I\ es t I'ensembl e de s a € { 0 , . . . , n } — (J o II J i) tel s qu e ^ a soi t maximal , etc . (ii) I I suffi t d e prouve r qu e 1 'intersectio n Sj f l • • • H S'Ik n'es t pa s vid e car , comme o n a demand e a i , . . . , a & > 0 , i l est alor s equivalen t qu e £ soit minimal e e n un poin t d e S " ou que ^ , . . ., ^/ fc l e soient simultanemen t e n ce point. O r cec i n'es t autre qu e la caracterisatio n de s convexes entier s donne e pa r l e lemme 1 .4 . • On dedui t aussito t d e cett e propositio n : COROLLAIRE 5.5 . (i

) Dans Vespace des fonctions affines

modulo les constantes, associons a toute suite strictement croissante Ii £ • • • £ J/ e de parties non triviales de { 0 , . . ., n} le cone convexe des fonctions de la forme £ — a\£i1 - f • • • + ctk£i k avec Ceci definit un eventail et l toreY£ = GZ+ /Gm.

a i , . . . , a^ > 0 .

done une variete torique normale

Y

n

de

(ii) La variete torique Y n est lisse et projective. Ses orbites sont naturellement indexees par les suites I\ £ • • • £1 Ik de parties non triviales; on les note YJ1 j . La codimension d'une orbite YJ lijk est la longueur k de la suite associee. (iii) Si S f est un pave entier {de dimension maximale n) dans S r,n, Videntification des tores Y£ = G J ^ + 1 / C m = Ys* se prolonge en un morphisme equivariant projectif partout defini Yn - Y n

qui fait de Y une resolution des Par ce morphisme, toute

S'

smgularites de

orbite Y} ™ Ik

I 5 /.

de Y n s'envoie

r

Ys" de Ys associee a la face S" = Sj D • • • fl Sj de

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S'.

sur

Vorbite

5.2. R E S O L U T I O N C A N O N I Q U E D U C H A M P T O R I Q U E DE S1 FACE S 2

7

REMARQUE. A tou t polyedr e convex e rationne l d e dimensio n n (qu'i l soi t « entier » e n notr e sen s o u non ) es t associ e naturellemen t un e variet e toriqu e propr e d e tore G J ^ + 1 / G m don t le s orbite s corresponden t au x face s : so n eventai l es t obten u en decomposan t I'espac e de s fonction s affine s suivan t le s face s o u elle s prennen t leurs valeur s minimales . E t reciproquemen t tout e variet e toriqu e propr e s'obtien t de cett e fagon . On sai t pa r l a theori e general e qu e toute s a d m e t t e n t de s resolution s de s singu l a r i t y equivariante s mai s no n canoniques . Nous voyon s ic i qu e celle s associee s au x pave s entier s d e S r,n on t un e resolutio n canonique qu i es t toujour s Y n. D E M O N S T R A T I O N D U COROLLAIRE. (i ) D'apre s l a proposition 5.4(i) , tout e £ a un e uniqu e ecritur e d e l a form e a\£i x + • • - + ak£ik. Cel a signifi e qu e I'espac e tota l des fonction s affine s £: R r ' n— > R modul o le s constante s es t l a reunio n disjoint e de s cones {a\ti 1 + • • • + dk£i k \ a\,..., a^ > 0} . Ce s cone s son t de s simplexe s e t leur s faces son t ceu x associe s au x sous-suite s d e / i £ • • • £ /& . (ii) Pou r tout e suit e I\ £ • • • £ I n e t tout e fonctio n d e l a form e £ — ai£j 1 + • • • + a n£jn ave c a i , . . . , a n > 0 , le s coefficient s a i , . . . , a n son t entier s s i e t seule ment s i £ pren d de s valeur s entiere s su r l e resea u Z r ' n . E n effet , quitt e a re numeroter le s coordonnees , o n peu t suppose r qu e I\ = {1 } , I2 — { 1 , 2 } , . . . , In = { 1 , . . . , n } e t alor s i l suffi t d e teste r le s valeur s d e £ e n le s n point s d e co ordonnees ( r — 1 , 0 , . . ., 0 , 1 , 0 , . . ., 0 ) ; elle s son t egale s a a n + • • • + a± , a n + • • • -f ci2, an + • • • + a>3 •> • • • 5 a n •

Cela signifi e qu e le s cone s {a\£i x + •• • + a n£jn \ a i , . . . , a n > 0 } son t de s simplexes egalemen t ave c leur s structure s entiere s e t don e Y n es t lisse . La variet e toriqu e Y n es t propr e ca r so n eventai l recouvr e tou t I'espac e de s fonctions affine s £: M r ' n — • R modul o le s constantes . A u n elemen t £ — a\£ix + • • • + dk^i k d e ce t espace , associon s l e nombr e ree l (p(£) = 0 1 H Va

k.

La fonctio n

0 } et s i £ 1 £' son t deu x element s d e I'espac e qu i n'appartiennen t pa s a u n mem e cone , on a

D'apres l e theorem e 1 3 d u § 3 d e [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973] , cel a impliqu e qu e Yn adme t u n faiscea u inversibl e ampl e e t don e es t projective . (iii) I I result e d e l a propositio n 5.4(ii ) qu e l'eventai l qu i defini t Y n raffin e celu i qui defini t Ys> e t don e o n a u n morphism e birationne l equivarian t p a r t o u t bie n defini

Yn^Ys,. La second e assertio n reformul e alor s l a propositio n 5.4(h) . • Dans l e ca s o u S' n'es t pa s u n pav e entie r mai s es t d e codimensio n p > 1 dan s 5 r , n , o n revien t encor e au x decomposition s canonique s d u lemm e 1 . 7 : p

{ 0 , 1 , . . . , n } = ] J Ji ave

c \Ji\ = n % + 1 ,

2= 0

r = r 0-\ \-r

p,

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128 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

ou chaqu e S^ 0 < i < p, es t u n pav e entie r dan s

Sr-n> = { (i a)a€Ji e

N J< |

J2*c

Pour resoudr e le s singularites d e Ys> , on a besoi n d e : L E M M E 5.6 . Pour S f — Sf0 x • • • x S' un convexe entier de codimension p gr,n comme ci-dessus, la variete torique Ys> de tore &^+1/(Gnm+l)s> = s 'identifie au

G # / Gm x • • • x G&/G

dans

m

produit Ys,x---xYs,

des varietes toriques

.. ., S'.

des faces des paves entiers SQ,

DEMONSTRATION. Modul o le s fonctions constantes , tout e fonctio n affin e £: S f —> ]R s'ecrit d e manier e uniqu e comm e un e somm e £Q + £i + • • • + £ p d e fonction s affines £Q : S fQ—>> M , . . . , £ p: S' — > M . Avec cett e ecritur e l e lieu o u £ est minimal e es t le produi t de s lieux o u £o, ... ,£ p son t minimales . • II result e d e c e lemm e qu e s i S f es t u n convex e entie r d e codimensio n p ecri t comme produi t d e p +1 pave s entier s 5Q , • . •, Sfp de dimensions n o , . . . , n p , la variet e torique de s face s d e S' Ys, = Y s,x---x Y

s>p

admet pou r resolutio n equivariant e canoniqu e Y— = Y n° x • • • x Y

Up

ou o n a not e n = ( n o , . . . , n p). Terminons c e paragraphe pa r l e resulta t genera l suivan t qu i s'appliqu e e n particulier au x variete s torique s Ys f e t a leur s resolution s Y n o u Y— : LEMME 5.7 . Soient T un tore et T, T deux varietes toriques de tore T telles que Videntite T = T se prolonge en un morphisme equivariant partout bien defini et propre q = Tf - • T . Alors pour tout module quasi coherent et T-equivariant M. nonique en categorie derivee

sur T la fleche ca-

M-^Rq.o Rq*M est un isomorphisme. DEMONSTRATION. O n peu t suppose r qu e l a bas e es t u n corps , qu e l a variet e torique T es t affin e e t qu e Ai es t u n modul e coherent . U n te l modul e adme t un e resolution pa r de s sommes d e module s localemen t libre s d e ran g 1 et don e o n peu t supposer encor e qu e Ai es t u n modul e inversible . La variet e toriqu e affin e T es t defini e pa r u n certai n con e convex e polyedra l rationnel a e t l e modul e inversibl e M. es t defin i pa r un e fonctio n affin e ip sur a. L'eventail d e T es t u n pavag e d e a e t q* AA es t toujour s defin i pa r cp. D'apres l e corollaire 2 du § 3 de [Saint-Dona t e t Kempf , 1 973] , o n voi t dej a qu e R%q*M =

0, V z > 0

.

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5.3. G E O M E T R I E DE S F I B R E S

129

De plus , pou r tou t caracter e % : T ^ G m d u tor e T e t e n notan t (p x l a fonc tion lineair e induit e su r cr , l'homomorphism e entr e espace s d e section s su r T e t T transformees pa r l e caracter e x

T(T,M)x^r(T',q*M)x est u n isomorphisme , ca r ce s deu x espace s s'identifien t a l a fibre d e A4 e n l e poin t unite 1 G T s i l a fonctio n cp — ip x es t > 0 su r a e t il s son t nul s dan s l e ca s contraire .

•

De c e lemme , o n dedui t aussito t : COROLLAIRE 5.8 . PourT, T et T comme dans Uenonce du lemme 5.7 , considerons deux schemas X et X' qui s 'inscrivent dans un carre cartesien X' —

>X

• Y

T'

jT >

Y

T/T

oil les deux fleches verticales sont plates. Alors, pour tout module quasi coherent Ai sur X, Vhomomorphisme canonique en categorie derivee M-+Rq*o Rq*M est un isomorphisme. • 5 . 3 . G e o m e t r i e d e s fibres Pour S u n convex e entie r d u simplex e S r,n qu i n'es t conten u dan s aucun e fac e de celui-ci , consideron s u n poin t £ d u cham p Vec r,s a valeur s dan s u n corps . II lu i es t associ e u n pavag e entie r convex e S_ de S e t £ peu t etr e v u comm e un fibre localemen t libr e d e ran g r e t G^ + 1 -equivariant su r l e schem a projec t if Ys_ = A s x ^ s as_. Pou r tout e facett e S' d u pavag e 5 , o n not e ic i Fs' l a fibre d e £ en l e poin t distingu e a^s' d e l'orbit e Y$' indexe e pa r S' dan s Ys_. D'apres l a propositio n 4.1 8 , o n peu t associe r canoniquemen t a £ de s espace s vectoriels E a, 0 < a < n , d e rang s r a = r — d?0 n i r a - i > 1 , tel s qu e s i o n fai t agi r GJ^ +1 su r E — EQ 0 • • • 0 E n facteu r pa r facteur , £ es t mun i d'u n homomorphism e equi variant £ -^ E 0®'--®En =

E

sur E v u comm e fibre constan t su r Ys_ ; cet homomorphism e es t injecti f e n tou t poin t par definitio n d u cham p Vec r ' comm e ouver t d e Vec ' . Pou r tout e facett e S' d e 5 , l a fibre Fs' d e £ peu t don e etr e vu e comm e u n sous-espac e d e E — EQ 0 • • • 0 E de dimensio n r , e t o n peu t considere r le s sous-espace s Fs> DEj intersection s d e Fs< avec le s somme s partielle s Ej — ©a G j E a, I ^ { 0 , . . . , n}. Il s son t d e dimension s d i m ^ / f l E / ) = df. Le schem a ¥(£) associ e a £ pa r l a propositio n 5. 1 es t projecti f e t i l es t mun i d'un morphism e liss e d e dimensio n r ¥(£) -+ Ys_/G^

1 +

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n

130 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

sur l e cham p quotien t d e Ys_ par G ^ + 1 . I I s e decompos e e n reunio n disjoint e d e strates localemen t fermee s ¥{£)s' indexee s pa r le s facette s S' d u pavag e S_ qu i son t les image s reciproque s de s point s localemen t ferme s Ys> /G7^1 — •/(G7}£~l)s/ d e c e champ. Nous voulon s decrir e geometriquemen t le s strate s F(£)s f e t leur s adherence s schematiques ¥(£)s> dan s P ( £ ) qu i son t le s image s reciproque s de s quotient s Ys> /G7^1 pa r l e morphism e liss e ci-dessus . Alors l a geometrie d e ¥(£) ser a connu e ca r nou s voyon s dej a qu e le s composante s irreductibles d e P ( £ ) son t le s P ( £ ) s ' indexee s pa r le s cellule s (d e mem e dimensio n que S) S

f

d e S_ et qu e l'intersectio n d e deu x composante s ¥(£)$' e

t ¥(£)$' es

tle

schema F(£)s" index e pa r l a plu s grand e fac e S" commun e a S[ e t S' 2. Considerons don e un e facett e arbitrair e S' d e S. Notant p s a codimensio n dan s S' r ' n , o n a le s decomposition s canonique s p

{ 0 , 1 , . . . , n} = J J Ji ave

c |J^ | = m + 1 ,

2= 0

r = r 0 H \-r

p

ave

c Vi = dj. ,

ou chaqu e S[ es t u n pav e entie r dan s S Vi,rii = {(i a)aeji G NJi \ ^2 aeJ. i a — r i}Le sous-espac e Fs> de i^ o 0 • • • 0 E n = E s e decompos e canoniquemen t e n un e somme direct e

FS> ou chaqu e F ^ , = Fs>^Ej On a d'abor d :

%

LEMME 5.9 . Pour S

= F%, e • • • e F*,

es t u n sous-espac e d e dimensio n r 2 dan s E ^ = f

— S' 0 x • • • x S p une facette de

Fs = Fg, 0 • • • 0 Fg, la fibre de £ en le point distingue a^s* de ¥(£) s'identifie

au

. E" a .

a G J

S_ comme ci-dessus

r

la strate localement fermee ¥(£)s' de

0

s

A x^s

a^

et

= Ys_,

produit

P(F§,) x . . . x P ( F f , ) ou chaque ¥(Fg,), 0 < i < p, est le complementaire dans ¥(Fg f) des sous-espaces fermes ¥{F ls, f l E / ) J ^ J r Elle est non vide si et seulement si S' n'est contenue dans aucune face du simplexe 5 r ' n . DEMONSTRATION. Cel a result e d e c e qu e ¥(£) s> es t l e quotient pa r ( G ^ + 1 ) s / = ^rrt ^ ^m x ' *' xG m = G 7^1 d e l'ouver t d e Fs* complementair e de s sous-espace s ^ n E j , / £ { 0 r . . , n } .D l

Supposons don e qu e l a facett e S f = S f0 x • • • x S fp n'es t contenu e dan s aucun e face d e S r'n. Cel a signifi e qu e le s dimensions T{ des espace s F ls, — Fs>C\Ejz son t > 1 . Pour tou t z , 0 < i < p, le s Fs> PI Ej, I £ J 2 , son t de s sous-espace s no n triviau x de Fg, e t o n peu t introduir e l e schem a projecti f ¥(Fg f) qu i es t construi t a parti r de ¥(Fg,) d e l a manier e suivant e : - Dan s ¥(Fg,), o n eclat e le s sous-espaces ferme s ¥(Fg,nEi) associe s au x I ^ Ji dont l e cardina l es t 1 .

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5.3. GEOMETRI E DE S FIBRE S

131

- Dan s l e schema ains i obtenu , o n eclat e le s transformes strict s de s sous-espace s F(Fg, f l Ej) associe s au x I ^ Ji don t l e cardina l es t 2 . - Pui s o n eclat e le s transforme s strict s de s sous-espace s F(Fg, f l Ej) associe s aux I ^ Ji don t l e cardina l es t 3 . - E t ains i d e suit e jusqu'a u cardina l \I\ = n ^ . . . On rappell e qu e Ys> est un e variet e toriqu e d e tor e G 7^1 /(G 1 ^1 )s1 •> qu'ell e s e decompose e n Ys' = Y$' x • • • x Ys f e t que , notan t n = ( n o , . . . , n p ) , ell e adme t l a resolution canoniqu e no

y™ = Y

x

• • • x Y n? - • Y s>0 x • • • x Y s> = Y s>.

Nous pouvon s maintenan t enonce r : PROPOSITION 5.1 0 . (i ) Dans la situation ci-dessus, chaque schema projectif F(Fg,) est muni naturellement d'un morphisme lisse de dimension Ti sur le champ quotient

En particulier, il maux.

est lisse et son bord est un diviseur a

(ii) Le schema projectif et birationnel sur duit de celle-ci par le morphisme de s'identifie au produit

croisements nor-

la strate fermee F(S)s' qui est de1 resolution Y-fG 7]^ — » Ys> /G 7^1

P(F£) x ••• x P ( ^ ) avec son morphisme lisse 7 1

Y^/G ^ =

de structure sur n

Y °/G% x

• •• x yn*/G£.Q

Afin d e demontre r cett e proposition , o n a besoi n d u lemm e suivan t qu i complet e le corollair e 5.5(i) , (ii ) : LEMME 5.1 1 . (i verse

) Pour tout entiern, Vhomomorphisme

de

passage a Vin-

Y£ = C V Gm - + G^+1/Gm A » A" 1 se prolonge en un morphisme equivariant

partout

defini

yn->P((A1)n+1). (ii) Pour toute suite i i £ • • • £ if c de parties non triviales de morphisme envoie Vorbite Yf Ik de Y n sur Vorbite {(a?o, • • • -> x n) I

x

a — 0 si a ^ I\, x

a

{ 0 , 1 , . . . , n), ce

^ 0 si a G I±}

deP^A1)*1*1). (iii) A partir de

P ( ( A 1 ) n + 1 ) 7 Y n se

construit de

la maniere suivante

:

On considere tous les fermes {(#o , • • • > x n) \ %a = 0 si a ^ 1 } associes aux parties non triviales I de { 0 , . . . , n } . On eclate alors ceux associes aux parties de cardinal 1 , puis les transformes stricts de ceux associes aux parties de cardinal 2, puis les transformes stricts de ceux associes aux parties de cardinal 3 V . .et ainsi de suite jusqu'au cardinal n.

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132 5

. VARIATION S D E VARIETE S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

D E M O N S T R A T I O N . Faison s agi r G ^ + 1 / G m su r P ( ( A 1 ) n + 1 ) vi a l'homomor phisme A H-» A - 1 d e passag e a l'inverse . Le s orbite s son t indexee s pa r le s partie s I ^ 0 d e { 0 , 1 , . . . , n} e t s'ecriven t {(XQ, . . ., x n) \ x a — 0 s i a £ I, x a ^ 0 s i a G / } . Dans l'espac e R n + 1 / R , l e con e convex e polyedra l qu i correspon d a l'orbit e in dexee pa r un e parti e I j^ 0 es t l'ensembl e de s (£o,... ,£ n) tel s que , pou r tou t a G {0,. . . , n } , a G I £ a = m a x { ^ | 0 < (5 < n}. Si £ es t un e fonctio n affin e su r R r ' n qu i s'ecri t sou s l a form e Mr'n 3

(X 0, .

. . , X n ) I- > £ 0X0 -\ h

4^ n

et auss i sou s l a form e £ = ai£ h H

h

afe^/ fc

pour un e suit e I\ £ • • • ^ 4 d e partie s no n triviale s d e { 0 , . . . , n) e t de s reel s a i , . . . , a>k > 0 , o n a £a = max{£i3 | 0 < ft < n} a G h. On voi t qu e Teventai l d e Y n raffin e celu i d e P ( ( A 1 ) n + 1 ) e t plu s precisemen t que l e con e d u premie r index e pa r un e suit e J i £ • • • £ / & es t conten u dan s l e con e du secon d index e pa r I\. Cela prouv e (i ) e t (ii) . (iii) Noton s Y f0 l a variet e toriqu e P ( ( A 1 ) n + 1 ) muni e d e s a famill e d e sous sehemas ferme s invariant s Y/ ° = {(XQ, . . ., x n) \ x a = 0 s i a £ / } , I £ 1 { 0 , . . . , n } , 1 ^ 0 . Puis , pou r 1 < k < n , noton s Y ,k l a variet e toriqu e deduit e d e Y ,k~x e n eclat ant le s transformer s strict s de s Y/° , | / | = k. II s'agi t d e prouve r qu e Y ,n = Y n. Tout d'abor d o n montr e facilemen t pa r recurrenc e su r /c , 0 < k < n , qu e : - L a variet e toriqu e F / f c es t lisse . - Pou r | / | > /c , le transforme r stric t Y/ fc d e Y/ ° dan s F / / c es t lisse . - Pou r l/i l > fc, | J 2 | > fc, l'intersectio n Y{ knY{k es t egal e a l/'fni a s i \h^h\ > k et ell e es t vid e sinon . Pour 0 < / c < n e t | / | > / c , noton s cp k l a fonctio n affin e pa r morceau x su r n+1 R / R qu i correspon d a I'idea l d e definitio n d u sous-schem a ferm e Yj k d e Y ,k. O n a pou r |7 | > 0 (f°j(£o, • • • An) = ma x J 0 , m a x { £ a } — m a x { ^ } | puis pou r k > 1 e t | / | > k l a formul e d e recurrenc e Vi = Vi -

ma x , Snd(£)) S

H^ +1 (Y s> - AY S T et F un fibre localement libre et T' -equivariant sur T tel que toute section invariante par T 1 de F sur T se prolonge sur T tout entier. Alors on a un isomorphisme H°T,(T,F)^H°T,(T,F) et HlT,(T,F) =

0 , Vi

>1 .

DEMONSTRATION D U LEMME . L a premier e assertio n reformul e l'hypothes e ca r rhomomorphisme d e restrictio n

H^{T,F)-^H^(T,F) est injecti f de s lor s qu e F es t u n fibr e localemen t libr e e t qu e T es t schematiquemen t dense dan s T . La second e assertio n result e d e c e qu e le s FL %T, (T, F) s e calculen t « a l a Cec h » : Si T i , . . . , T n es t un e famill e d'ouvert s invariant s d e T qu i son t affine s e t recouvren t T, le s H %T, (T, F) son t le s groupe s d e cohomologi e d u complex e de s

l Hl 0 - > 0 ,

Pour montre r qu e H* — » H= 0 es t u n quasi-isomorphisme , i l suffi t don e d e prouve r Que pou r tou t m > 1 l a rnhomnlnp-i p d n comnlex e H m es t 0 .

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144 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

Pour tout e suit e ( M i £ • • • £ M m ) d e partie s no n minimales d e { 0 , . . . , n } , notons H* M M l e complexe don t l a composante d e degre k es t la somm e ($Rom(FhjF/FIk) restreinte au x suites (J i £ • • • £ 1 /&) qui comprennent m partie s no n minimale s egales a M i , . . . , M m et k — m partie s minimales . Pour tou t m > 1 , l e complex e H= m es t l a somm e direct e de s complexe s H*M M e t il suffit d e demontrer qu e chaque complex e H^ M es t homotop e a 0. 1 '' Dans l e complexe H* M M , la differentielle d va du degre k vers le degre k + 1. Si ( i i £ • • • £ Tfc ) et ( J i £ • • • £ Jfc+i ) s o n ^ deux indice s qu i apparaissent dan s l a definition d e H* M M , la projection d e d sur H o m ( H o m ( F / l , F/F Ik), H o m ( F

Jl,

F/F

Jfe+1

))

est egal e a - l a projection naturell e H o m ( F 7 l , F/F Ik) ^

Hom(F

Jx,

F/F

1 Jk+

)

multipliee pa r le signe (—1 ) J _ 1 s i { J i , . . ., Jk+i} es t la reunion d e { / i , . . ., Ik} et d'un e parti e J j , - 0 sinon . Ann d e construire un e homotopie h de H*M M , remarquons qu e pour tout e partie no n triviale I d e { 0 , . . ., n } , l'ensemble de s parties V C I telle s qu e Fj> — Fj est stabl e pa r intersections; i l contien t un e plus petit e parti e qu'o n not e 7 m m ca r elle es t minimale . L'homotopie h de H*M M doi t alle r du degre k vers le degre k—1 . Definissons la e n demandant qu e si (I\ £ • • • £ i& ) et ( J i £ • • • £ J ^ - i ) sont deu x indice s qui apparaissent dan s H^ M , sa projection su r H o m ( H o m ( F 7 l , F/F Ik), H o m ( F

Jl,

F/Fj^J)

est egal e a - l'isomorphism e reciproqu e d e H o m ( F J l , F/F Jk_,) ^

Hom(F

/l,

F/F

Ik)

multiplie pa r le signe (—1 )* +1 s i { J i , . . . , Jk-i} es t deduit d e {/]_,..., Ik} e n enlevant un e partie Ii e t si 7^ + i = M i e t Ii = Mf 1 1 1 1 , - 0 sinon . Si (Ii £ • • • ^ Ik) e t ( Ji £ • • • £ Jfc ) sont deu x indice s qu i apparaissent dan s HM ... M J voyons maintenan t le s projections d e dh, hd pui s d/ i + hd sur H o m ( H o m ( F 7 l , F / F 7 ( o ) , Hom( i ^, F / F j J ) . Si { J i , . . . , Jk} ^ { / i , . . . , 7/c} , i l fau t pou r qu e la projectio n d e dh o u d e hd soit no n nulle qu'i l exist e deu x indice s i e t j tel s que

et {Ji,...,Jfc} = { / , , . . . , 4 } - { / i } u { J , - } .

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5.5. L E CA S D'U N PAV E E N T I E R E T D E SO N PAVAG E T R I V I A L

145

Dans c e cas , l a projectio n d e dh + hd es t egal e a rhomomorphism e nature l H o m ( F J l , F/F Ik) -

YLom{F

Jl,

F/F

Jk)

multipliee pa r l e scalair e ( - 1 ) * + 1 • ( - I ) ' ' "1 + ( - l ) J ' - 1 • ( - l )i + 2 s

i Jj £ M i ,

ou

( - i ) m • i-iy- 1 + (-iy - (-i) i + 1 s i J, D Mi. Elle es t don e nulle . Si a u contrair e { J i , . . . , J& } = { / i , . . . ,//c} , noton s z l'uniqu e indic e te l qu e Ii+i = Ji+ i = M i . Comm e l a parti e U — Ji es t minimal e e t F\ i — Fj i P i FM 1 — F^ ^ ^M m i n — ^ n Mm i n ) o n a I j C Mf 1 1 1 1 . Alor s l a projectio n d e dh + /i d es t egal e a l'identit e HomCF^, F/F Ik) ^

Hom(F

Jl,

F/F

Jfc)

multipliee pa r l e scalair e ( - 1 ) * + 1 • ( - 1) ' "1 = 1

m

s i Ii = Mf

,

ou (-I)1 •

( - 1)2 + 2 = 1

s i A £ M^

On a montr e comm e voul u qu e dan s l e complex e H* M M

1 1

. l'identit

e es t homotop e

a 0 . Cel a achev e l a preuv e d e (ii) . (iii) O n revien t a u schem a projecti f F(F) dedui t d e F(F) e n eclatan t successi vement tou s le s sous-espace s P ( F / ) (o u pluto t leur s transforme s stricts) . D'apre s l a proposition 5.1 0 , o n a u n carr e cartesie n o u le s fleches verticale s son t lisse s P(F) - P ( 1 Y y n / G n + l ,Y

^

1 + S/GZ

et l'imag e reciproqu e Tp su r P ( F ) d u fibre Tg su r F(£)s es t l e fibre tangen t relati f du morphism e P ( F )—* • Y n/G7^rl. Le s homomorphisme s canonique s Hi(V(£)s,Te)-+Hi(P(F),fF) sont de s isomorphisme s d'apre s l e corollair e 5.8 . Le schem a F(F) es t liss e e t so n bor d dF(F) es t u n diviseu r a croisement s nor maux don t le s composante s irreductible s F(F)i son t indexee s pa r le s partie s no n triviales / d e { 0 , . . . , n } qu i son t « minimales pou r F » a u sen s d e (ii) . L'intersec tion d e composante s deu x a deu x distincte s P ( F ) / 1 , . . . , P ( F ) / f c es t no n vid e s i e t seulement s i o n a I\ £ * • • £ Ik apre s permutatio n convenabl e de s partie s minimale s i i , . . . ,if c ; on l a not e alor s P ( F ) / l v . . j f c . L'espace projecti f P ( F ) = (F — { 0 } ) / G m es t mun i d'u n morphism e F(F) — » • / G m = B G m qu i n'es t autr e qu e l e fibre inversibl e 0{1 ). O n not e Tp l e fibre localement fibre d e ran g r su r F(F) qu i es t l e fibre tangen t relati f a u morphism e F(F)— » • / G m . Su r l e schem a F(F) o n dispos e de s troi s fibres localemen t fibres de ran g r qu e son t Tp, l'imag e reciproqu e d e Tp pa r l e morphism e F(F) — > F(F) encore note e Tp e t l e fibre constan t ega l a F.

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146 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

On dispos e auss i su r P ( F) de s fibres inversible s O ( n ) , n G Z, images reciproque s de ceu x d e P ( F ) . On a besoi n d u lemm e suivan t : L E M M E 5.20 . Soit I\ £ • • • £ Ik une suite de parties minimales de Alors : (i) La strate fermee P(F)/

l j ... } / f e

s'identifie au

{ 0 , . . . , n}.

produit

F(Fh)xF(FIJFIl)x---xF(F/FIk). (ii) Si qo, #i,...,#f c designent les k + 1 projections de P ( F ) / l v . . j / f c sit r se s facteurs, la restriction dP(F)/ 1 ) > i i ) / f c du fibre tangent relatifTp s'identifie a QoTFll © q{fFlJFli 0 - •• 0 ^2> /F/fc • P ( F ) / l v . . j / f c a 7^ /i&re T p d e P ( F) s'inscrit dans

(iii) L a restriction a exacte 0- ^T

F/i

- T

F | ? ( F ) j i jf

D E M O N S T R A T I O N D U L E M M E . (i

c

une suite

- > 9 5 ( 0 ( 1) ) ® ( F / F 7 l ) - > 0. ) result e d e l a constructio n d e P ( F ) pa r

eclatements successif s a parti r d e P ( F ) . (ii) Noton s J o = I i , J\ — I2 — h, • • • ? A = { 0 , . . . , n } — /& e t | J»| = n ^ + 1 , Vz . Cette identificatio n result e d e ce qu'on a u n diagramm e commutati f e t cartesie n : P ( F 7 l ) x P ( F / 2 / F 7 l ) x •• • x F(F/F Ik)^-P(F)Iu...Jkt - P ( F

II Y

Y

)

° I

y n °/^° x rni /G^ x ... x Ynk/G% ^-^—*£,...,// ^y

Y

n1 +

/c^

(iii) L e fibre T p su r P ( F) tangent a u morphism e P ( F )—» # / Gm s'identifi e a u quotient d e ( F — {0} ) x F pa r G m agissan t pa r A1—>• (A, A). S a restriction a u sous espace P ( F / 1 ) = (Fi 1 — { 0 } ) / Gm s'inscri t dan s un e suit e exact e o u l e sous-obje t est [(Fh - {0} ) x F h]/Gm =

T Fli

et l'obje t quotien t es t \(Fh - {0} ) x (F/F h)]/Gm lequel s'identifi e a u produi t tensorie l d u fibre inversibl e 0 ( 1 ) par le fibre constan t egal a F/Fi 1 . La conclusio n result e d e c e que la strat e ferme e P ( F ) j l v . . j f c d e F(F) s'envoi e sur P ( F 7 l ) pa r le morphisme P ( F ) -> P ( F ). D S U I T E D E LA D E M O N S T R A T I O N D E LA P R O P O S I T I ON 5.1 8(iii) . O n r a p p e l l e q u e

d'apres l e lemm e 5.1 1 l'isomorphism e G^+1/Gm - G^ A ^ A"

1 +

/Gm

1

se prolong e e n un morphism e projecti f equivarian t yn^p((A1)n+1).

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5.5. L E CA S D'U N PAV E E N T I E R E T D E SO N PAVAG E T R I V I A L

147

Or Tactio n d e C ^ + 1 / G m su r P ( ( A 1 ) n + 1 ) s e relev e naturellemen t e n un e actio n d e G ^ + 1 su r l e fibre 0(1 ). L'imag e reciproqu e d e (9(1 ) su r Y n es t u n fibre inversibl e G^ + 1 -equivariant qu'o n peu t voi r comm e u n morphism e y™/G«+i

_ + ,

/ G m

.

Ce morphism e ren d commutati f l e carr e P(F)>

- P ( F)

yn/Gn+l^

# / G m

car l e compos e P ( F ) - + P ( F ) -- > P ( E 0 0 • • • 0 E n) es t l e quotien t pa r G ^ compose d e l'immersio n ferme e Yn X y n / c ^

1

TO ^

Yn

x

+1

d u

[(^ o - {0} ) x • • • x (E n - {0})] ,

du produi t pa r (E 0 - {0} ) x • • • x (E n - {0} ) d e Y n - • P ( ( A 1 ) n + 1 ) e t d e P ( ( A 1 ) ^ + 1 ) x [(E 0 - {0} ) x • . . x (E n - {0}) ] - > P ( £ 0 0 • • • 0 E

n)

( ( A 0 , . . . , A n ), ( e 0 , . . . , e n ) ) »- > ( A 0 e 0 , . . . , A n e n ) . Le carr e commutati f ci-dessu s indui t u n homomorphism e entr e fibres d e ran g r sur P ( F )

D'apres l e lemm e 5.20(iii) , i l y a su r P ( F ) u n complex e simplicia l d e faisceau x coherents don t l e term e d e degr e 0 es t TF et don t le s terme s d e degre s k > 1 son t le s 0 g(P(F

/li...|7fc),P(F/l))*0(l)

0 (F/F

Jfc)

ou (/ i £ • • • £ /fc ) decri t l'ensembl e de s suite s strictemen t croissante s d e partie s non triviale s d e { 0 , . . . , n } qu i son t minimale s e t g(P(F/ l v .. 5 / f c ),P(F/ 1 )) design e l a projection

TO1,...,/J-TO1)-,P(F/l) si bie n qu e ^ ( P ( F / l j . . . ) / f c ) J P ( F / l ) ) * ( 9 ( l ) 0 (F/F Ik) es rang dim(F/Fj k) su

r P(-F)/

l v ..j f c

t u n fibre localemen t libr e d e

qu e To n voi t comm e u n faiscea u coheren t su r

P(F). Comme l e bor d 1 et so n faiscea u d e cohomologi e e n degr e 0 est localemen t libr e de ran g r . D'apre s l e lemm e 5.20(h ) e t (iii) , c e faiscea u d e cohomologi e s'identifi e a Tp e n codimensio n 1 don e i l s'identifi e a Tp su r P ( F ) tou t entier . En utilisan t l a propositio n 5.1 8(h) , o n voi t qu e pou r prouve r l a propos i tion 5.1 8(iii ) i l suffi t d e montre r le s assertion s suivante s :

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148 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

(1') O n a H°{F(F),TF) =

Hom(F,F )

et i T ( P ( F ) , T F ) =0 s i i>l. (2') Pou r tout e suit e I i ^ • • • ^ 4 d e parties minimales , o n a H0(F(F)Iu...Jk,q*O(l) ®

F/FIk) = Rom(Fh, F/F

Ik)

et i/ i (P(F) / l ) ..., / f c ,g*0(l) ® F/F/ f e ) = 0 s i i > 1, en notan t q$ la projectio n

W/x,...,/* = WJ x •'' x P(F/F/fc) - P(F 7l). Pour (T) , on a d'apres l e lemme 5.1 2 et le lemme 5.1 4 des isomorphismes canonique s Hm(F(F),TF) ^-

iT(P(F),7 » ^ F

V

® F = Hom(F,F) .

Et pou r (2') , on a d'apre s l e lemme 5.1 2 , la formul e d e Kiinneth e t le s formule s connues pou r l a cohomologie de s espaces projectif s H'(¥(F)h_Ik,q*0O(l)®F/FIk) * iT(POFYJ , 0(1)) ® i f ( P ( F/ 2 / F 7 l ) , O) ® • • • ® H'(F(F/FIk), O) * F 7^ ® ( F / Fr J = H o m ( F

® F/F / f c

/l)F/F/J.

Cela termin e la demonstration d e la proposition 5.1 8 . • F I N D E L A DEMONSTRATIO N D E L A PROPOSITIO N 5.1 7 . I I rest e seulemen t a verifier que , dans l e cas ou S' = S es t un pav e entie r d e # r ' n , les deux familie s d'isomorphismes qu'o n a construit s de s H ln+1 (Ys ,Snd(E)) e t de s H l(¥(£)s,Tz) sur le s groupes d e cohomologie d u complexe de s @7 c-.-cj Hom(F/ 1 , F/Fjk) com mutent ave c le s homomorphismes d e restriction

IPG^+1(Ys,£nd(S)) -

H\F(£)

S,T£).

Comme l e carre cartesie n f(F) ^f(£)t a yn/Gn+l ^

F S/G^+1

induit de s carres commutatif s H*(P(5)s,r£) ^

JJ*(P(F),T £ )

# ^ „ + 1 (y S ) £nd(5)) - ^ U - ff£„ +1 ( y n , fnd(f) ) ou le s fieches horizontales son t de s isomorphismes, i i suffit d e ie prouver pou r les homomorphismes d e restriction WGn+1(Yn,£nd(£)) ^

W(¥(F),T

£).

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5.5. L E CA S D'U N PAV E E N T I E R E T D E SO N PAVAG E T R I V I A L

149

Les H. in+i (Y n, £nd(£)) on t et e calcule s concretemen t e n exhiban t pou r £nd(£) sur Y n un e resolutio n pa r de s faisceau x coherent s equivariant s acyclique s qu i son t les ®End(S)®0{dYn)Iu...tIk. On remarqu e qu e chaqu e composant e £nd(£) 0 0(dY n)jlj^jk es

t d e l a form e

y

£ ®MIu...,Ik ou Mi lt...jk — £®0{dY )i1^^jk es t u n modul e coheren t G^ + 1 -equivariant d e Y n 1 + sur leque l l a diagonal e G m ^ GJ^ agi t pa r l e ca r act ere A —• A. D'apres l e lemm e 5.1 3 , l e fibre ( G ^ + 1 / G m ) - e q u i v a r i a n t Tg su r l a fibration pro jective F(£) = (£ - {0})/ G m au-dessu s d e Y n s e trouv e mun i d'un e resolutio n acyclique pa r le s faisceau x equivariant s n

0 ^ , ..,Ik o na

et pou r tout e suit e (I\ £ • • • £ Ik)-,

-Hom(F/l,F/F/J. D'autre part , l e schem a projecti f F{F) es t l e quotien t pa r Tactio n libr e d e G^/Gm d'u n certai n ouver t invarian t F(£) = £/G m d e P ( £ ) . Les image s reciproque s dan s P(£ ) de s faisceau x coherent s d e P ( F ) indexe s pa r les suite s ( i i £ • • • £ ifc ) d e partie s minimale s d e { 0 , . . . , n } Q ( P ( F ) / l , . . . , / f c , P ( F / l ) ) * 0 ( l ) ® ( F / F / f c ) (e 7 1

sont de s faisceau x coherent s (G ^ /G

t 7>s ik = 0)

m)-equivariants

•T7/!,...,/* qui son t acyclique s e t verifien t H

°G^/Gjn£)^h,..Jk) =

Hom(F

7l,F/F/fc).

Le complex e de s

constitue un e resolutio n equivariant e d e l a restrictio n T £i^£^ d e Tg a l'ouver t F(£) de P ( £ ) . Sur ce t ouvert , T ^ / ^ x adme t auss i un e resolutio n pa r le s restriction s 0T

Milt...Jk\H£)

et o n remarqu e qu'un e tell e restrictio n T

^/

M

^ n'es t no n null e qu e s i le s

parties J i , . . . , Ik son t toute s minimales . Comme su r P ( F ) o n a l'encadremen t TV - > T F ^ f

F 0(dF(F)),

on a su r F(£) de s homomorphisme s naturel s ^>i,...,/ fc "^ : TM Ili ..., /fc |iP(£)

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150 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

qui fon t commute r le s diagramme s

Eom(Fh,F/FIk) ^^,

H^

1 + /GJF(£),TMli

,

J

et qu i definissen t u n homomorphism e entr e le s deu x resolution s d e T £]^,gs qu'o n

note T e t T

M.^gy

La resolutio n T m es t compose e d e faiseeau x acycliques , l a resolutio n T M,^,£, ne Tes t pa s a prior i mai s i l exist e certainemen t un e autr e resolutio n equivariant e acyclique T'* d e Tg^,^ ave c u n homomorphism e d e resolution s T-

> T ,m

—

•L M*\¥(S)

^

•

L'homomorphisme compos e >-p9

rp

/£*/•

induit necessairemen t u n quasi-isomorphism e

et cel a prouv e c e qu'o n voulait . On a termin e l a demonstratio n d e l a propositio n 5.1 7 e t don e d u theorem e 5.1 5 .

• Pour etr e comple t e t bie n qu e cel a n e soi t pa s necessair e pou r l a suite , montron s encore : L E M M E 5.21 . Sous les hypotheses de mologie H ^ {Y

s,£nd(£))

3

la proposition 5.1 8 , les espaces de coho-

* f £ „+ 1 (Y s - AY s,£nd(£)) *

H*(P(£)

S,T£)

s 'identifient egalement aux groupes de cohomologie du complexe dont la composante de degre k, 0 < k < n, est

0 End

F/i,...,Fv(F)

kf =n — k

ou, pour toute suite (I\ £ ** • £ Ik') de parties non Endi? r ,...,F 7 (F) designe Vespace des endomorphismes de tration F h C • • • C F Ik, C F.

triviales de {0 , . . . , n } , F qui respectent la fil-

D E M O N S T R A T I O N . C'es t u n calcu l d e cohomologi e d e Cech . D'apres l e lemm e 5.7 , o n a de s isomorphisme s WG„+1 (Y s, £nd(£)) ^

H

G^1 +

(Y n, £nd{£))

et o n peu t travaille r su r l a resolutio n Y n d e I 5 . Pour tout e suit e I\ £ 1 • • • £ 7^/ , noton s t// lv ..,/ fc/ l e plus peti t ouver t invarian t d e la variet e toriqu e Y n qu i contien t 1 'orbit e Yj 1 7 f e t noton s 3/j lv ..,j fc/ so n immersio n ouverte dan s Y n.

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5.6. F I B R E S INVERSIBLE S SU R L A F I B R A T I O N P R O J E C T I V E C A N O N I Q U 1 E 5 1

Sur Y n, l e complex e 0 (u h_Ik,Unh,...jk,rSrul(£) Ji£-£V£{0,...,n} k'=n — k

fournit un e resolutio n d e £nd(£) pa r de s module s quas i coherent s e t equivariants . Ces module s son t acyclique s ca r tou s le s ouvert s Ur 1 ,...jk, son t affines . Comme o n a vu dan s l a demonstratio n d e l a propositio n 5.1 8(i) , chaqu e ouver t ^/i,...,/ fc / e s t d e l a form e

Ui^.j^Y,

CNJ

\rn

h.-Jy

X

Ao Afc/_

i

Ai Xk

et l a fibre d e £nd(£) e n l e poin t distingu e d e 1 'orbit e YJ 1 j directe

s'identifi e a la somm e

0 HomiF^jF^F^jF!,) 0 e t d'apre s l a propositio n 5.1 0(h) , l e produi t fibre P

Ws" Ys_. D'apres l e corollair e 5. 8 e t l a formul e d e Kiinneth , o n a u n isomorphism e H9(F(£)s>,0) =

H 9(F(F%,), O) • • • if • ( P ( F f / ) , O )

tandis qu e d'apre s l e lemm e 5.1 2 o n a de s isomorphisme s H'(P(Fts,),0) ^

H'(¥(F

l s,),0),

0^P*{OpXxX>) soit un isomorphisme. Alors le champ Vicp/x Q poi'de des fibres inversibles sur localement de type fini sur X.

u

^ associe a tout schema X' sur X le grouP Xx X 1 est algebrique au sens d'Artin et

// admet un espace de modules grossier P i c p / x Qui represente le faisceau associe au prefaisceau des classes d'isomorphie de fibres inversibles. C'est un espace algebrique en groupes commutatifs sur X qui est localement de type fini. Sa fibre en tout point x de X est I 'extension d 'un groupe commutatif discret engendre par un nombre fini d'elements par un schema en groupes commutatifs connexe et de type fini. (ii) Supposons de verifie

plus qu'en tout point x de X, la H2(Px,O) =

Alors le champ Vicp/x (iii) Supposons enfin

e

fibre P

x

= P X j x de P

0.

t I'espace algebrique Picp/x sont

lisses sur X.

qu'en tout point x de X, on ait a la fois H1(Px,O) =

0 et

H

2

(Px,O) =

Alors Picp/x es t un groupe commutatif discret bre fini d''elements) localement constant sur X.

0. (engendre par un nom-

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154 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

D E M O N S T R A T I O N . (i ) L a premier e assertio n es t u n ca s particulie r d u theo reme 4.6.2. 1 d u livr e [Laumo n e t Moret-Bailly , 2000] . Le cham p Vicpjx a u n espac e grossier associ e P i c p / x d'apre s l e corollaire 1 0. 8 d e c e livr e ca r l e schema e n groupe s des automorphisme s d e n'import e que l poin t d e Vicp/x es t ega l a G m . Enfin , e n tout poin t x d e X , l e group e de s composante s connexe s d e l a fibre d e P i c p / x e s t engendre pa r u n nombr e fini d'element s d'apre s l e theorem e d e Neron-Sever i (voi r par exempl e [Berthelot , Grothendiec k e t Illusie , 1 971 , expose XIII , theorem e 5.1 ]) . (ii) S i H 2(PX,G) = 0 e n tou t poin t x d e X , i l n' y a jamai s d'obstructio n a relever le s point s infinitesimau x d u cham p Vicpjx c e qu i signifi e qu e celui-c i es t formellement lisse . (iii) S i H l(Px, O) — 0, l a composant e neutr e d e l a fibre d e P i c p / x e n x n' a pa s d'algebre d e Li e e t ell e es t triviale . • Revenant a notr e fibration P ( £ )— > X associe e a u poin t £ G V e cr ' 5 ( X ) , i l result e des deu x proposition s precedente s qu e l e group e d e Picar d relati f PiCp/£w x es t u n groupe commutati f discre t engendr e pa r u n nombr e fini d'element s e t localemen t constant su r X. On peu t s e demande r quel s element s d e PiCp/£w x o n connait . Tout d'abord , rappelon s que , d'apre s l a propositio n 4.1 8 , son t canoniquemen t associes a £ de s fibres £ a , 0 < a < n , localemen t constant s d e rang s r a = r — ^fo n l - i a i s u r X e ^ u n n o m o m o r p h i s m e GJ^ +1 -equivariant su r X £ -+ (£0 X X

•••

xx

qui es t u n plongemen t pa r definitio n d e Vec r,b comm e sous-cham p ouver t d e Vec ' . L'ouvert £ d e £ es t l'imag e reciproqu e d e (£Q — {0}) X x • • • x ^ (£ n — {0}), e t e n passant a u quotien t pa r Tactio n libr e d e GJ^ +1 o n obtien t n - f 1 morphisme s P(£) - » P ( £ a ) , 0 G m - Gi

- + G sJGm =

.*§- > 1 ,

le passag e a u quotien t pa r le s action s induite s d e A% defini t de s fibres inversible s sur X/G 7^1 pui s P(£ ) qu'o n not e 0{k). Enfin, l e fibre tangen t Tg a u morphism e liss e F(£) - X / G ^

+1

est localemen t libr e d e ran g r su r P(£ ) e t o n peu t considere r l e fibre inversibl e dua l de so n fibre determinan t

u£ = {A

r

T£)\

Toutefois, u)£ definit l e mem e poin t d e PiCp/^w^ - qu e l e fibre inversibl e (9(1 ) : LEMME 5.24 . Pour tout point £ du champ Vec r,s a valeurs dans un schema X, les fibres inversibles uj£ et 0 ( 1 ) sur F(£) son t isomorphes localement sur X pour la topologie de Zariski. D E M O N S T R A T I O N . L e fibre A r Tg s'identifi e a Timag e reciproqu e pa r l e mor phisme F(£) — > X / G ^ + 1 d u quotien t pa r GJ^ +1 d u fibre inversibl e det(£ ) su r X . II s'agit don e d e prouve r qu e le s deux fibres inversible s GJ^ + 1 -equivariants det(£ ) et O(-l) su r X son t isomorphe s localemen t su r X pou r l a topologi e d e Zariski . O r ceci a dej a et e v u a u cour s d e l a demonstratio n d u theorem e 4.2 2 : On remarqu e qu e s i x es t u n poin t d e X e t S_ le pavag e correspondan t d e S avec don e

Xxxx^As x

As

a^ = Yg^ PftA

1

) 5 ),

et s i i = (io , •. • , i n) G 5 es t u n somme t d u pavag e 5 , Tactio n d u tor e G 7^1 su r le s fibres d e det(£ ) e t d e 0{—l) a u poin t distingu e a^i d e Ys_ est donne e pa r l e mem e caractere

(Ao,...,An)^AJ°...AJl». Et o n conclu t d'apre s l e lemm e 4.1 2 . D On a dej a v u qu e l e morphism e pla t d e projectio n F{£) - * X est projectif . I I es t facil e d'exhibe r su r F(£) u n fibre inversibl e universe l tre s ampl e relativement a c e morphism e : LEMME 5.25 . Pour tout point £ de Vec r ' a inversible sur F(£)

valeurs dans un schema X, le fibre

0(l)®(g)0 Q (r a + l) (oil r a = r — F(E 0) x

x

•

- • x xF(En) ^

X

ou £Q > • • • > £n son t le s fibres localemen t libre s d e rang s T*O , . . ., r n su r X associe s a E. Le premie r morphism e e n facteu r es t l e quotien t pa r Tactio n libr e d e GJ^ +1 d e £ -+ (S 0 - {0} ) x x •

• • x x (£

n

- {0} )

qui s'ecri t comm e l e compos e d e rimmersio n ferme e £ — (So - {0} ) x x •

• • xx (£

n

- {0} ) x x X

= (£ 0 - {0} ) x x---xx(Sn- {0} - > (So - {0} ) x x • • • x x (S

n

S

) x AS/js A s

- {0} ) x AS/js (A

x

P((A

1

/AS0

)S)M|

et d e I'oubl i d u facteu r P ( ( A 1 ) 5 ) . L e fibr e inversibl e equivarian t 0 ( 1 ) su r £ es t done tre s ampl e relativemen t a u morphism e £^E0-{0}xx.--xx£n-{0}. Le morphism e £ — > P ( ( A 1 ) 5 ) es t defin i pa r l a famill e d e section s d e 0 ( 1 ) fournie s par le s coordonnee s X^ d e ( A 1 ) 5 indexee s pa r le s point s i d e 5 . Pou r tou t te l poin t i = (io,..., i n) € S, le tor e G ^ + 1 agi t su r l a sectio n Xi pa r l e caracter e (A0,...,An)^A^...A^. Si don e o n choisi t localemen t su r X de s section s no n nulle s e ^ , . • •, e^ de s fibres Sym*° £ 0 V , . . . , Sym i n £ £ , l e produi t e%(e) el(e)

i

V;

definit un e sectio n rationnell e d e 0 ( 1 ) su r £ qu i es t invariant e pa r GJJ+ 1 , e'est-a dire un e sectio n rationnell e note e XJi^ . . . e^ ) d e 0 ( 1 ) su r P ( £ ) . Le s element s e^, • • •, e^ peuven t auss i etr e vu s comm e de s section s invariante s de s fibres 0o(io) 5 . . . , O n(in) e t l e produi t tensorie l

e0 . . . e n est un e sectio n p a r t o u t defini e d u fibre inversibl e 0 ( 1 ) 0 (0o(*o ) 0 • • • 0 0 sur P ( £ ) . Comm e i = ( i o , . . . , i n)

es

n(^n))

t u n poin t d e 5 , o n a necessairemen t

et tou t choi x d e nouvelle s section s e ^ , . . . , e^ v d e S y m r ° _ z ° £ ^ , . . . , S y m r n _ 2 n £ ^ localement su r X defini t un e sectio n global e -^H®((eo®4v)®---®(e^®e'nv)) de 0 ( 1 ) ® (O 0(ro) ® • • • ® O n ( r n ) ) su r P ( £ ) .

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5.7. U N I V E R S A L I T E D E L A F I B R A T I O N P R O J E C T I V E C A N O1 NIQU E 5

7

Pour tou t poin t d e P(£o ) x x • * • x x^(£n), o n a p u choisi r le s section s e g ,. • . , e ^ et eQ V,. . ., e^ 7 n e s'annulan t pa s e n c e poin t e t cel a signifi e qu e localemen t su r X l e fibre inversibl e su r P(£ ) n

0(l)®(g)0 a (r Q ) a=0

a suffisammen t d e section s globale s pou r defini r u n plongemen t dan s l e produi t d e P(£o) x x ''' x x P(£n ) e t d'u n espac e projectif . On conclu t qu e l e produi t tensorie l

0(l)®(g)0«(r a ) L

X. • Dans l e ca s de s espace s d e configuration s o u tou s le s r a , 0 < a < n , valen t 1 , la demonstratio n ci-dessu s s e redui t a dir e qu e l e quotien t pa r le s action s libre s d e GJ^ +1 d e Timmersio n ferme e £ < - (So - {0} ) x x •

• • xx (£

n

- {0} ) x x X

est un e immersio n ferme e ¥(£) ^ X qu'on peu t compose r ave c Timmersio n ferme e

X = X x Asa% A

s

/A% - > X y~ As,xsz [A s x P((A 1 ) S )]/J|

pour conclur e qu e l e fibre inversibl e 0(1 ) su r F(£) es t tre s ampl e relativemen t a X. 5.7. U n i v e r s a l i t y d e l a fibratio n p r o j e c t i v e c a n o n i q u e Pour tou t schem a X mun i d'u n morphism e X — > A s /A%, o n a not e X = x

. 4 s / . 4 5 ^ ^ / ^ 0 - C'es t un e fibration projectiv e e t plat e su r X , muni e d'un e actio n

du tor e C ^ + 1 e t don t le s fibres son t geometriquemen t reduite s e t n e compten t qu'u n nombre fini d'orbite s sou s Tactio n d e GJ^ +1 . On a v u qu' a tou t poin t £ d u cham p Vec r,s a valeur s dan s u n schem a arbitrair e X es t associe e un e fibration propr e e t plat e ¥(£) — » X muni e d'u n morphism e liss e de dimensio n relativ e r F(£) - X/G^ 1+ et qu i adme t u n fibre tre s ampl e uog ® a = o ^ a ( r a + l) - I I est don e nature l d e cherche r a classifie r c e typ e d e structures . O n commenc e pa r l e resulta t suivan t : PROPOSITION 5.26 . Le champ Vroj qui des fibrations projectives et plates

a tout schema X associe le groupoi'de

p: P^X telles que Rlp*OP =

0, V z > 2

est un champ algebrique au sens d'Artin et

,

localement de

type fini.

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158 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

D E M O N S T R A T I O N . S i P x e t P% sont deu x point s d e Vroj a valeur s dan s u n schema X , l e foncteu r qu i associ e a tou t schem a X' su r X l'ensembl e de s isomor phismes

P.xxX' ^P

2xxX'

est representabl e pa r u n sous-schem a ouver t d e presentatio n finie dan s l e « schem a de Hilber t » classifian t le s sous-schema s ferme s r d e P i x ^ P 2 au-dessu s d e X : il es t defin i pa r l a conditio n ouvert e qu e le s deu x projection s r — > Pi e t T — » P X comme dan s l'enonc e qu i son t munie s d'u n fibre inversibl e C d e P verifian t : - C es t tre s ampl e relativemen t a p , - pou r tou t entie r n > 1 , pX®n est u n fibre localemen t libr e d e ran g x ( n ) l

n

R p,C® = e

su r

X e tona

0 , Vz>l .

x

Pour tout e x / ^ cham p Vroj s'ecri t comm e u n quotien t pa r l e group e P G L ^ ) d'un sous-schem a ouver t d u « schema d e Hilber t » classifian t le s sous-schema s fer mes d e P(A X ^^) don t l e polynom e d e Hilber t es t \- H e s ^ algebriqu e a u sen s d'Arti n et localemen t d e typ e fini. D'apres l'hypothes e d'annulatio n de s R lp*Op, i > 2 , l e morphism e d'oubl i d u fibre tre s ampl e C Vrojx— > Vroj est formellemen t lisse . S i U x es t un e presentatio n d e Vroj x c'est-a-dir e u n schem a de typ e fini mun i d'u n morphism e liss e U x— > Vroj x, l e morphism e compos e JJX _ ^ p rojx—

> Vroj

est representabl e d e presentatio n finie e t formellemen t liss e don e lisse . Comme tou t poin t geometriqu e d e Vroj es t dan s l'imag e d'a u moin s u n Vroj x, on peu t conclur e qu e l e cham p Vroj es t algebriqu e a u sen s d'Arti n e t localemen t de typ e fini. • Revenant a notr e convex e entie r S d e S r'n1 nou s pouvon s maintenan t montre r : P R O P O S I T I O N 5.27 . SoitVroj r,s le champ sur A s/ A% qui associe a tout schema X muni d'un morphisme X — > A s/A% le groupoi'de des fibrations projectives et plates p: P-^X munies d'un

morphisme lisse

de dimension relative

r qui releve p

et telles que Vhomomorphisme naturel OX^P*OP

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5.7. U N I V E R S A L I T E D E L A F I B R A T I O N P R O J E C T I V E C A N O1 NIQU E 5

soit un isomorphisme et

que if^e>P = 0 , Vz

Alors Vroj

r,s

est

9

>1 .

un champ algebrique au sens d'Artin et

localement de

type

fini. D E M O N S T R A T I O N . D'apre s l a propositio n precedente , i l suffi t d e montre r qu e la fibre d u morphism e d'oubl i Vroj^s -

> A s jA% x

Vroj

au-dessus d e n'import e que l poin t (X — > A s jA%, P — » X) a valeur s dan s u n schema X es t u n cham p algebriqu e localemen t d e typ e fini su r X. Tout d'abord , le s condition s supplementaire s Ox ^P*0

Py

R

l

p*0P =

$,

sont representable s pa r un e immersio n ouvert e e t s i o n le s suppos e verifiee s pa r p , il n e rest e plu s qu' a classifie r le s relevement s lisse s p. Or construir e p signifi e pa r definitio n construir e u n GJ^ + 1 -torseur Q su r P e t un morphism e GJ^ +1 -equivariant h: Q^X au-dessus d e X. Le choi x d u G^ + 1 -torseur Q equivaut a u choi x d e n + 1 fibres inversible s su r P. II es t representabl e pa r l e cham p {Viep/x) n+1 qu i es t algebriqu e a u sen s d'Arti n e t localement d e typ e fini su r X. Une foi s fixe Q, s e donne r h revien t a s e donne r u n sous-schem a ferm e

T^(gxxX)/Gnm+1 dans l e quotien t d e Q Xx X pa r Tactio n libr e d e G 7^1 qu i es t pla t su r X e t don t l'image reciproqu e V dan s Q Xx X es t tell e qu e l a projectio n

soit u n isomorphisme . Le quotien t {Q Xx X)/G^ 1 es t u n schem a projecti f e t pla t su r X e t l e choi x de r es t representabl e pa r l e « schema d e Hilber t » d e Q Xx X su r X don t o n sai t qu'il es t localemen t d e typ e fini su r X. 7 La projectio n r ;— > Q est u n isomorphism e s i e t seulemen t s i T — > P = Q/G 1 ^ est u n isomorphism e e t cett e conditio n es t representabl e pa r un e immersio n ouverte . Enfin, demande r qu e l e morphism e p: P —* X/G 7^1 defin i pa r h soi t liss e d e dimension relativ e r es t representabl e pa r un e immersio n ouverte , c e qu i achev e d e demontrer l a proposition . • Voici enfi n l e theorem e principa l d u presen t chapitr e 5 : THEOREME 5.28 . Soit S un convexe entier de 5 r ' n qui n'est contenu dans aucune face, Le foncteur qui associe a tout point £ du champ Vec r,s a valeurs dans un schema X muni d'un morphisme X — > A s /A% la fibration projective plate P(£) - + X

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160 5

. VARIATION S D E V A R I E T E S AVE C S T R U C T U R E S L O G A R I T H M I Q U E S

munie du morphisme lisse

de dimension relative

F(£) - X/G^ definit un morphisme de

1

=

r 1 s s /A 0]/G^

[X x CAS/M AS/A[A

champs Vec r ' 5 - > Vrop

s

au-dessus de A s jA%. C'est une immersion ouverte du champ algebrique de type fini Vec champ algebrique localement de type fini Vroj r'' . R E M A R Q U E . L'auteu r ignor e commen t caracterise r l'imag e d e Vec qu'ouvert dan s Vroj r'S.

r,s

dans

r,s

e n tan t

le

D E M O N S T R A T I O N D U T H E O R E M E. S i £ es t u n poin t d e Vec r'S a valeur s dan s un schem a X, l a fibration ¥(£) su r X muni e d u morphism e P ( £ )—- > X /G 7^1 verifi e toutes le s propriete s qu i definissen t le s point s d e Vroj r,s d'apre s l a propositio n 5. 1 et l a propositio n 5.22 . Cel a signifi e qu e l e foncteu r £ *-> ¥(£) definit u n morphism e d e champ s algebrique s Vecr's ^

rS

Vroj

'.

Considerons u n annea u artinie n A, u n idea l J d e A d e carr e J 2 = 0 e t u n poin t £ d u cham p Vec r,s a valeurs dan s A/J. S i on not e x = Spe c A,x = (Spe c A) x As/js As/A% pui s x , x le s reduction s d e x 1 x modul o J , o n a d'apre s l e theorem e 5.1 5 des isomorphisme s ij2„ + 1 (S,Wom(£,£ J ) ) -^>H 2{¥(£), T-£® H^+1(w,7iam(£,£^J)) ^ :

H

H^+l(x ,Hom(£,£®J)) -^

1

J) ,

(¥(£),T^® J),

H°{¥(£), T-£®

J).

Interpretes geometriquemen t e n terme s d e l a theori e de s deformations , il s signifien t que : - pou r tou t morphism e x = Spe c A— > A s /A% qu i relev e x = Spe c Aj J -^ As JA%, l e point P ( £ ) d e Vroj r,s' (x) peu t etr e relev e e n u n poin t d e Vroj r'S (x) si e t seulemen t s i l e poin t £ d e Vec r ' (~x) peut etr e relev e e n u n poin t d e Vec r ' 5 (x), - s'i l exist e d e tel s relevements , l e foncteu r £ •- > P(£ ) definit un e equivalenc e d u groupoi'd e de s relevement s £ d e £ su r l e groupo'id e des relevement s d e P ( £ ) (c'est-a-dir e qu e le s ensemble s d e classe s d'isomor phie son t e n bijectio n e t qu e le s groupe s d'automorphisme s son t isomorphes) . Par consequent , l e morphism e Vec r ' s ' - • Vrop

s

est liss e e t s a fibre au-dessu s d e n'import e que l poin t d e Vroj r' a valeur s dan s un schem a X es t u n cham p algebriqu e a u sen s d e Deligne-Mumfor d (d'apre s l e theoreme 8. 1 d e [Laumo n e t Moret-Bailly , 2000] ) qu i es t etal e su r X.

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5.7. U N I V E R S A L I T E D E L A F I B R A T I O N P R O J E C T I V E C A N O1 NIQU E 6 1

Pour conclure , i l rest e seulemen t a verifie r qu e s i £\ e t £2 son t deu x point s du cham p Vec r,s a valeur s dan s l e spectr e x d'u n corp s algebriquemen t clos , tou t isomorphisme

P(f 0 ^ P(£ 2) dans Vroj r,s (x)

s e relev e d e manier e uniqu e e n u n isomorphism e £ i ^ £

2

dans Vec r'S(x). Le poin t geometriqu e x s'envoi e su r u n poin t d e A s j A% qu i correspon d a u n pavage entie r convex e S_ de S. Notan t toujour s Ys_ la fibre d e A s au-dessu s d u poin t distingue as d e A , £\ e t £2 peuven t etr e vu s comm e de s fibres localemen t fibres d e rang r su r l e cham p quotien t Y s / G ^ + 1 tandi s qu e P(£*i ) e t ¥(£2) son t de s schema s projectifs su r x muni s d e morphisme s lisse s d e dimensio n relativ e r

P(£i) - ^ YsJGX 1 , F(£

2)

^ Ys/G^

1

dont le s image s son t egale s a l'ouver t (YR-AYs)/Gnm+1 (ou AYs_ design e l e sous-schem a ferm e invarian t d e Y ^ reunio n de s orbite s corres pondant au x facette s d u pavag e S_ qu i son t contenue s dan s un e fac e d e S r,n). Les fibres tangent s relatif s Ts 1 e t Tg 2 au x morphisme s d e structur e p\ e t P2 sont muni s d'isomorphisme s canonique s su r P ( £ i ) e t ¥(£2)

L'isomorphisme au-dessus d e Y s / G J ^ 1 s e relev e e n u n isomorphism e

f£l^u*f£2. Pour i = 1 o u 2 , le s deu x image s reciproque s d e T^ % su r P(£^ ) x y / Gn+i P(£^ ) s'identifient au x fibres tangent s relatif s de s deu x projection s e t don e l a permutatio n des deu x facteur s de s P(