Cálculo I diferencial [1, 1 ed.] 84-339-0503-3

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1

c á lc u lo I - diferencial

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colección harper

cálculo I diferencial teoría 476 problem as resueltos 414 ejercicios propuestos

á lva ro p in zó n Moremárico de lo Universidad Nacional de Colombia Miembro de la Mathemancal Socieiy of America y de la Moihematical Associatlon of America

n H A R L A , S. A . de C . V . H a rp e r &

Row

L a tin o a m e ric a n a

www.FreeLibros.org M éxico.

Buenos A ires.

Panamá.

Bogotá

CALCULO I (D IFER EN C IA L) Primera edición Copyright © 1973 por Harper & Ro» Latinoamericana. Haría. S. A de C. V.. An­ tonio Caso. 142, Mélico, D. F.. México. Miembro de la Cámara Nacional de b Industria EditonaL Registro N * 723. Reservados todos los derechos. Queda terminantemente prohibido reproducir este libro total o parcialmente sin permiso «preso de los editores. Es propiedad. Standard Book Number 06-316988-5

Dirección editorial: Wenceslao Ortrga Preparación técnica: José Martínez Alaminos Cubierta c ilustraciones: Secos Lanchas

Cuidado y dirección técnica de H ER O ES. S. A. Editor. Torrelara. 8

Madrid -

Primeé in Spam - Impreso en España

IS B N . 84-339-0503-3

www.FreeLibros.org Depósito legal: M. 4.362-1973

HEROES. S. A.-Torrelara. 8.-Madríd-l6

C o n te n id o PR O LO G O ...............................................................................................................................

7

C A P IT U L O 1. N ú m e ro s re a le s ..........................................................................................

9

L o s axiom as de cuerpo................................................................................. L o s axiom as de orden................................................................................... Valores absolutos y desigualdad triangular................................................

9 II 12

Algebra de los valores absolutos.................................................................. Proxim idad....................................................................................................

25 28

C A P IT U L O 2- N ú m e ro s n a t u r a le s ..................................................................................

34

3. L im ite d e u n a f u n c ió n .............................................................................

45

c a p it u l o

D efinición de lim ite para funciones R -* R (es decir, funciones que ap li­ can reales en reales)...................................................................................... Teorem a sobre lim ite de funciones.............................................................. Teorem a lím ite de la raíz de una función...................................................

50 55 57

Teorem a del lím ite para funciones com puestas.......................................... Teorem a del sandwich.................................................................................. Lim ites laterales.................................................................................... Lim ites que contienen in fin ito ......................................................................

57 58 70 78

Lím ites de la form a lim / U )* u> = C ............................................................

85

4. C o n tin u id a d y d is c o n tin u id a d ...............................................................

103

Preservación de la continuidad .................................................................... Teorem as fundam entales sobre las funciones continuas............................ C lasificación de las discontinuidades. Prolongación continua..................

103 104 105

C A P IT U L O 5. L a d e r iv a d a .................................................................................................

124

C ontinuidad y derivab ilidad......................................................................... D erivación de funciones algebraicas............................................................ D erivación de las funciones trigonom étricas..............................................

127

c a p it u l o

D erivación en cadena................................................................................... D erivada de la función reciproca................................................................. D erivadas de orden superior........................................................................ D erivación im p lícita...................................................................................... D erivación de ecuaciones param ctricas...................................................... A plicaciones geométricas de la d erivad a.................................................... Angulo entre dos grafos...............................................................................

c a p it u l o

128 130 132 133 133 134 136

Longitudes de la tangente, norm al, subtangente y subnorm al..................

137 137 138

6. D ife re n c ia le s ..............................................................................................

169

www.FreeLibros.org D iferenciales de órdenes superiores............................................................. Algebra de diferenciales................................................................................ S

170 170

CONTENIDO

6 7.

R a z o n e s y v e lo c id a d ...........................................................................................

177

C A P IT U L O 8.

F u n c io n e s c re c ie n te s y d e c re c ie n te s . P r e s e rv a c ió n d e l o r d e n . . .

188

Teorem a del increm ento lo ca l....................................................................... Extrem os de las funciones. M áxim os y m ínim os........................................

189

c a p it u l o

Resum en de las técnicas para h a llar m áxim os o m ínim os..........................

190 192

c a p it u l o

9.

T e o r e m a d e l v a lo r m e d io p a ra

p r im e r a s

d e riv a d a s

......

209

c a p it u l o

10. T e o r e m a del v a lo r m e d io p a ra

se g u n d a s

d e r i v a d a s .......

246

C oncavidad .....................................................................................................

250

11. T r a z a d o d e g r a f o s ................................................................................................

256

c a p it u l o

C onstrucción de curvas de la form a y = J { x ) ..............................................

256

C u rvas particulares........................................................................................

256

A P E N D IC E A .

A l g e b r a ......................................................................................................................

277

a p é n d ic e

B.

C á l c u l o ........................................................................................................................

282

a p é n d ic e

C.

G e o m e t r í a ................................................................................................................

286

A P EN D IC E D .

G e o m e t r ía a n a lític a p l a n a ..............................................................................

289

A P E N D IC E E .

G e o m e t r ía a n a lític a d e l e s p a c i o .................................................................

292

F.

T r i g o n o m e t r í a ........................................................................................................

293

L IS TA DE S IM B O L O S ...............................................................................................................

297

D E F IN IC IO N E S Y T E O R E M A S ....................................................................

299

B IB L IO G R A FIA ... .........................................................................................................................

305

I N D I C E .......................................................................................................................................

307

a p é n d ic e

G L O S A R IO DE

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8

PROLOGO

T ras un atento estudio de la teoría que abre cada capitulo, recuérdese que, com o proceso de asim ilación más indicado, se ha de tratar de resolver por propia cuenta los más posibles de los problemas y com parar después los resultados obtenidos con los que aparecen en el lib ro ; y en ocasiones será m uy provechoso revisar previam ente los «trucos» lógicos, por así llam arlos, que permiten m uchas veces emprender la resolución de un problem a de aquellos que constituyen el «dolor de cabeza» de todo principiante. E n suma, la colección de problemas que aquí se presenta obedece a la clara convicción de que todo curso de m atem ática tiene por columna vertebral el estudio y solución de ejercicios y problemas. E l autor desea m anifestar su agradecim iento al profesor Jesús M a ría Castaño por la revisión crítica de la obra y por sus valiosas sugerencias, así com o a los señores Francisco G utiérrez y Wenceslao Ortega, de H arp er & R o w Latinoam ericana, por la colaboración y estím ulo que en todo momento le brindaron. A . P in z ó n

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N ú m e ro s reales LOS

A X IO M A S

DE CU ER PO

A l tratar con el conjunto R de números reales definimos la existencia de dos operaciones lla­ madas adición y multiplicación, tales que para cada par de números reales x y y podemos formar la suma de x y y, que no es otra cosa que el número real designado por x + y , y el producto de x y y designado por x y o po r x •y. Se supone que la suma x + y y el producto xy están uní­ vocamente determinados por x y y. E n otras palabras, dados x y y, hay exactamente un número real x + y y exactamente un número real xy. N o damos ningún significado especial a los sím­ bolos + y •diferente del contenido en los axiomas. Axiom a I. Axiom a 2. Axiom a 3.

Leyes conm utativas, x + y = y + x , x y = yx. Leyes asociativas, x + (y + z) = (x + y ) + r, x fyr) =(xy)z. Ley distributiva. x (y + z) = x y + xz.

Axiom a 4. Existencia de elementos neutros. Existen dos números reales diferentes que designamos por 0 y I. tales que p ar? cada número real x tenemos x + 0 = x y l - x - x . Axiom a 5. Existencia de opuesto. P ara cada número real x hay un número real y tal que x + y = 0. Axiom a 6. Existencia de inverso. P ara cada número real x * 0 hay un número real y tal que x y = I. Nota.

Los números 0 y 1 en los Axiom as 5 y 6 son los mismos del Axiom a 4.

D e los axiomas anteriores podemos deducir todas las leyes usuales del álgebra elemental. Las leyes más im portantes están reunidas aqui com o una lista de teoremas. E n todos estos teoremas los símbolos a, b, c, d representan números reales arbitrarios. Teorema 1-1.

L e y cancclativa para la adición. Si a + b = a + c, entonces b = c. (E n par­

ticular, este teorema demuestra que el número 0 del Axiom a 4 es único.) T eorema 1-2. Posibilidad de sustracción. Dados a y b. hay exactamente un x tal que a + x = b. Este x se designa por b - a. E n particular. 0 - a se escribe simplemente - a y se llam a el opuesto de a. Teorema 1-3.

b - a = b + (- a ).

Teorema 1-4.

—( —a ) ■ a.

Teorema 1-5.

a{b - c) = ab - ac.

T eorema 1-6.

0 •a =* a •0 = 0.

www.FreeLibros.org 9

NUMEROS REALES

10

Teorema 1-7. L e y can celaliva para la m ultiplicación. S i ab - a c y a # 0. entonces h = c (E n p a rticu la r este teorem a demuestra que el número I del Axiom a 4 es único.) Teorem a 1-8.

Posibilid ad de división. Dados a y h con a t 0. hay exactam ente un x tal que

a x = b. Este x se designa po r b/a o — v se llam a cociente de b y a. E n p articular. 1/a tam bién a se escribe a ~ 1 y se llam a inverso de a. Teorem a 1-9.

Si a

Teorema 1-10.

S i a / 0. entonces (a _ l )

0. entonces b/a - b •a ~ x. 1 = a.

Teorema 1-11.

S i ab = 0. entonces a ■ 0 o b = 0.

Teorema 1-12.

{- a )b = - a b y (- « )(- / > ) = ab.

Teorema 1-13.

(a/b) + (c/d) = ( ad + bc)/(bil) si b # 0 y d / 0.

Teorema 1-14.

(a/b){c/d) = (ac)/(bd) si b * 0 y d ¿

0.

Teorema 1-15.

( a/b)!(c/d) = (ad)f(bc) si h ¡e 0. c * 0 y d / 0.

Para ilustrar cóm o estas proposiciones pueden obtenerse com o consecuencia de los axiomas, presentamos las pruebas de los Teorem as 1*1 a 1-4. A quellos lectores que tengan interés pueden encontrar instructivo dem ostrar los restantes teoremas. Prueba de 1-1. D ado a + h = a + c. P o r el Axiom a 5. hay un núm ero y tal que y + a = 0. Puesto que las sumas están unívocam ente determ inadas, tenemos y + (' = a 'fe*

7-

- (a fe» = ( - o/fe) = < > 1-fe)ufe¿0

10.

i » f (fe - c) • a — e.

(a bí - (e/Jí - (ad - fecfcfej v h *

LOS

0yJ

4 0.

A X IO M A S

DE

ORDEN

Este grupo de axiom as tiene que ver con un concepto que establece un orden entre los números reales. Este orden nos permite hacer proposiciones acerca de un número real que esm ayor o menor que otro. Elegimos, para introducir las propiedades de orden com o un conjunto de axiomas, un nuevo concepto sin definir, llam ado posiliiidad. y luego definimos términos como menor que y m ayor que en términos de positividad Supondremos que existe un cierto subconjunto R ' c R . llam ado conjunto J e los número* positivos, el cual satisface los siguientes tres axiom as de orden: Axiom a 7. Axiom a 8. Axiom a 9.

Si x y y están en R *. también estarán x + y y xy. P ara cada número real x * 0 .o x e R* o - x c R *. pero no ambos 0 i R*

Ahora podemos definir los símbolos < . > . . llamados, respectivamente, menor que. m ayor que. menor que o igual a y m ayor que o igual a, com o sigue: x y x y

x significa que x < y; £ >•significa que o x < y o x = y ; í x significa que x $ y.

A s i tenemos x > 0 si. y solo si. x es positivo. S i x < 0. decim os que x es negativo, si x i 0. decim os que x es no negativo. U n par de desigualdades sim ultáneas tales com o x < y, y < se escriben más brevemente x < y < r ; parecidas interpretaciones se dan a las desigualdades compuestas x £ y < : . x < y < ;: y x c los axiom as de orden podemos derivar todas las reglas usuales para operar con desigual­ dades. Las más importantes están anotadas aqui com o teoremas Teorema 1-16. Ley de tricotom ía. Para números reales arbitrarios a y fe. exactamente una de las tres relaciones a < h, h < a, u » fe es válida. Teorema 1-17.

Ix y de transitividad. S i a < b y b < e. entonces a < c.

Teorema 1-18.S i a
0. entonces ac < be.

Teorema 1-20.

Si a e 0. entonces a¡ > 0.

Teorema 1-21.

I > 0.

Teorema 1-22.

S i a < b y e < 0. entonces tic > be.

Teorema 1-22.

S i a < b. entonces - a > -fe. E n particular, si a < 0. entonces - o > 0.

www.FreeLibros.org Teorema 1-24.

Si ab > 0. entonces ambos a y fe son positivos o ambos son negativos.

Teorema 1-25.

S i a < c y fe < d. entonces a ♦ fe < c + d.

NUMEROS REALES

12

D e nuevo probaremos solo unos pocos teoremas para indicar cóm o pueden llevarse a cabo las demostraciones. Las pruebas de los otros se dejan com o ejercicios. Prueba de 1-16. Sea x » 6 - a S i x - 0 , entonces b - a = a - b = 0 , y d e aquí, porel Axiom a 9. no podemos tener a > b o b > a.S\ x * Q,c\ Axiom a 8 nos dice que o x > 0 o x < 0. pero no am bos; esto e s . o a < b o b < a . pero no ambos. P o r tanto, exactamente una de las tres relaciones, a = b. a < b, b < a , es válida. Prueba de 1-17. S i a < b y b < c, entonces b — a > 0 y c — b > 0. P o r el Axiom a 7 podemos sumar para obtener (b - a ) + (c - b) > 0. Esto es, c - a > 0, y, por ;a n to . a < c. Prueba de 1-18. Sea x * a + c, y « b + c. Entonces y - x = b - a. Pero b - a > 0 porque a < b. D e aqui y - x > 0. y esto significa que x < y. Prueba de 1-/9. S i a < b, entonces b - a > 0. Si c > 0. entonces por el Axiom a 7 podemos m ultiplicar c por (b — a) para obtener (b — a)c > 0. Pero (b — a)c = he — ac. D e donde he — ac > 0, y esto significa que a c < he, com o se afirm aba. Prueba de 1-20. Si a > 0, entonces a •a > 0 por el Axiom a 7. Si a < 0, entonces - a > 0. y de aqui ( - a ) •( - a ) > 0 por el Axiom a 7. E n uno u otro caso tenemos a 2 > 0. Prueba de 1-21.

A p licar el Teorem a 1-20 con a = I.

EJERCICIOS P R O P U E S T O S 11.

Pruebe los Teoremas 1-22 a 1-25 usando los teoremas anteriores y los Axiomas

I a 9.

En los Ejercicios 2 a 10 pruebe las proposiciones dadaso establezca la validez de las desigualdades dadas. Puede usar los Axiomas I a 9 y los Teoremas l-l a 1-25. 12.

No hay número real x tal que x* + I - 0.

13.

\a sumo de dos números negativos es negativa.

14.

Si a > 0. entonces l/a > 0; si a < 0. entonces 1/a < 0.

15.

S i 0 < a < b. entonces 0 < b " ‘ < a

16.

S i a £ b y b i c, entonces a s e .

17.

Si a £ b y b £ c, y a = c, entonces b = c.

18.

Para lodo real ti y b tenemos a1 + b1 2 0. Si a y b no son ambos cero, entonces a2 + b1 > 0.

19.

No hay un número real a tal que x £ a para todo real x.

20. Si x tiene la propiedad de que 0 £ x < h para todo número real positivo h, entonces x = 0.

VALO R ES

A B S O LU TO S

Y

D E S IG U A L D A D

T R IA N G U L A R

Los cálculos con desigualdades son bastante frecuentes; son de especial im portancia cuando tratan con la noción de valor absoluto. S i x es un número real, el valor absoluto de x es un nú­ mero real no negativo designado por | x |y definido com o sigue:

www.FreeLibros.org ■ I =

x

si

x 2 0

| -x

j

si

x < 0

NUMEROS REALES

13

Observe que - | x | S x á | x |. Cuando los números reales son representados geométricamente sobre un eje real, el número fx| se llam a la distancia de x a 0. S i a > 0 y si un punto x está situado entre - a y a . entonces | x | está más cerca a 0 que a. L a exposición analítica de este hecho se da por el siguiente teorema. Teorema 1-26.

Si a ¿ 0. entonces | x | y/tu enton­ an + I + v n yjn + l + y/n ccs 2v/ñ-*~T - 2^0 < 2/2y!n = l/v/n, lo cual demuestra la primera parte de ( I) ; la otra parte es análoga. Si se hace n - 2.3,4 en (IK se obtiene 2 y / i

~

2 y J 2


t- » ( | + !/„)■ *1 es decreciente, es decir, que y „ > y . , S o lu c ió n .

= ( I + ± )’" -

( 2 - t J - ) " '* -

|

' 7T+T' “ ™

r. crece -> y, decrece.

www.FreeLibros.org P r o b l e m a 1 -2 0

a, > 0 .a 2 > 0

P r u c bc

a„ > 0 .

|a

d e sig u a ld a d

n a, a 2 ... am £ a* + a"2 + ... + C ,