Übungsbuch Signale und Systeme: Aufgaben und Lösungen [3. Aufl.] 9783658303709, 9783658303716

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Bernhard Rieß Christoph Wallraff

Übungsbuch Signale und Systeme Aufgaben und Lösungen 3. Auflage

Übungsbuch Signale und Systeme

Bernhard Rieß • Christoph Wallraff

Übungsbuch Signale und Systeme Aufgaben und Lösungen 3., korrigierte Auflage

Bernhard Rieß FB Elektro- und Informationstechnik Hochschule Düsseldorf Düsseldorf, Deutschland

Christoph Wallraff FB Elektro- und Informationstechnik Hochschule Düsseldorf Düsseldorf, Deutschland

ISBN 978-3-658-30370-9 ISBN 978-3-658-30371-6 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-30371-6 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Vieweg © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2015, 2018, 2020 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag, noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany

Vorwort

Dieses Übungsbuch entstand im Rahmen einer Vorlesung auf dem Gebiet „Signale und Systeme“ an der Hochschule Düsseldorf. Dort wird dieses Fach wie an vielen anderen Universitäten, Hochschulen und Fachhochschulen auch im dritten oder vierten Semester im Studiengang Elektrotechnik gelehrt. Dabei werden insbesondere die Themen reelle und komplexe Fourier-Reihen, Differentialgleichungen, Faltung, Fourier- und Laplacetransformation behandelt, welche in der Elektrotechnik als Methoden zur Berechnung des Ausgangssignals einer gegebenen, linearen zeitinvarianten Schaltung bei gegebenem Eingangssignal eingesetzt werden. Dieses Buch ersetzt kein Lehrbuch oder den Besuch einer Vorlesung. Es soll durch eine Vielzahl von Aufgaben und den zugehörigen Musterlösungen den Studierenden die Vorbereitung auf die Prüfung erleichtern. Durch intensives Üben mit den in diesem Buch angebotenen Aufgaben soll das in der Vorlesung oder der einschlägigen Literatur erworbene theoretischeWissen verfestigt und die routinemäßige Anwendung der verschiedenen Lösungsverfahren durch praktische Anwendung verinnerlicht werden. Jedes Kapitel fasst zunächst die für das jeweilige Thema wichtigen Grundlagen und Formeln kurz zusammen. Im Anschuß daran finden sich dann die Aufgaben und Lösungen. Herzlicher Dank geht an dieser Stelle an Herrn B. Eng. Simon Christmann für den hervorragenden Satz dieses Buches in Latex. Über Feedback, Korrekturhinweise oder andere Anregungen freut sich: [email protected] Düsseldorf im Juli 2015

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V

Vorwort zur zweiten Auflage

In der vorliegenden zweiten Ausgabe dieses Übungsbuchs wurden die Kapitel Differentialgleichungen, Fourier- und Laplacetransformation um insgesamt 21 Aufgaben deutlich erweitert. Damit steigt der Umfang des Buches von ursprünglich 34 auf nun 55 Aufgaben erheblich. Darüber hinaus wurden einige von den Lesern gefundene Fehler der 1. Ausgabe korrigiert. Vielen Dank an alle Leser für das konstruktive Feedback! Herzlicher Dank geht an dieser Stelle an die Herrn B. Eng. Florian Caspers, Tim Adomeit und Andreas Glatow für den hervorragenden Satz dieser Ausgabe in Latex. Über Feedback, Korrekturhinweise oder andere Anregungen freut sich weiterhin: [email protected] Düsseldorf im Mai 2017

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VII

Vorwort zur dritten Auflage

In dieser dritten Auflage wurden alle Kapitel, Aufgaben und Lösungen noch einmal kritisch durchgesehen und alle von den Lesern gefundenen Fehler berichtigt. Die Autoren danken den zahlreichen Lesern herzlich für alle Zuschriften, Kommentare und Korrekturhinweise. Wir freuen uns weiterhin auf Feedback jeder Art an: [email protected] Düsseldorf im April 2020

Bernhard Rieß Christoph Wallraff

IX

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Musterlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 5

2

Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Reelle Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Übungsaufgaben zur reellen Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Musterlösungen zur reellen Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Komplexe Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Übungsaufgaben zur komplexen Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Musterlösungen zur komplexen Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 21 22 27 28 29

3

Differentialgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Musterlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 35 42

4

Impuls- und Sprungantwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Musterlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 84 85

5

Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Musterlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 96 97

6

Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Übungsaufgaben zur Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Übungsaufgaben zur Fourier-Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123 127 133 155 161

XI

XII

7

Inhaltsverzeichnis

Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.1 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.2 Musterlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

1

Grundlagen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die für die folgenden Kapitel grundlegenden mathematischen Funktionen, sowie die Umwandlung von der analytischen in die graphische Darstellung und umgekehrt wiederholt. Neben den grundlegenden mathematischen Funktionen wie Polynomen, Sinus-, Kosinus-, Exponential-, Wurzel- und Betragsfunktion werden zur Charakterisierung von elektrischen Schaltungen folgende Signale vielfach angewendet:

a) Sprungfunktion Die Sprungfunktion ist definiert als: 8 0 beschreibt. Ein ausführlicher Rechenweg ist gefordert. c) Berechen Sie nun den Verlauf der Ausgangsspannung ua .t/ für t > 0 und geben Sie zunächst die allgemeine Lösung der DGL an (d. h. ohne Bestimmen und Einsetzen der Randbedingungen). d) Wie lauten die zwei Anfangs- bzw. Randbedingungen, welche die Lösung der Differentialgleichung erfüllen muss? Bestimmen Sie damit die Konstanten C1 und a0 .

3.1 Übungsaufgaben

41

e) Setzen Sie die Randbedingungen in die DGL ein und vereinfachen Sie die DGL. f) Berechnen Sie nun aus der Sprungantwort a.t/ die Impulsantwort h.t/.

Aufgabe 13 Gegeben ist die folgende Schaltung mit den Widerständen R1 D R2 D R und den Kapazitäten C1 D C2 D C:

R1 uR1 (t) ue (t)

C1

i1 (t)

uC1 (t) R2 i2 (t)

C2 ua (t) i3 (t)

Es gilt ue .t/ D U0   .t/. a) Stellen Sie die Elementgleichungen sowie die Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln für diese Schaltung auf. b) Stellen Sie die Differentialgleichung auf, welche die Spannung ua .t/ in Abhängigkeit von ue .t/ für t > 0 beschreibt. Ein ausführlicher Rechenweg ist gefordert. c) Berechen Sie nun den Verlauf der Ausgangsspannung ua .t/ für t > 0 und geben Sie zunächst die allgemeine Lösung der DGL an (d. h. ohne Bestimmen und Einsetzen der Randbedingungen). d) Wie lauten die ersten zwei Randbedingungen, welche die Lösung der Differentialgleichung erfüllen muss? e) Setzen Sie die erste Randbedingung für ua .t D 0C / in die DGL ein und vereinfachen Sie die DGL, so dass nur noch eine unbekannte Konstante enthalten ist. Vereinfachen Sie soweit wie möglich. f) Setzen Sie nun für die verbliebene Konstante C1 : U0 C1 D p 5 Setzen Sie den Wert für die Konstante C1 in Ihre Gleichung für ua .t/ ein und vereinfachen Sie so weit wie möglich. g) Berechnen Sie nun aus der Sprungantwort a.t/ die Impulsantwort h.t/.

42

3 Differentialgleichungen

3.2

Musterlösungen

Lösung zur Aufgabe 1

R

i(t)

ue(t)

L

ua(t)

a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: uR .t/ D R  i.t/ uL .t/ D L 

di.t/ dt

Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen. ua .t/ D uL .t/ ue .t/ D uR .t/ C uL .t/ Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ue .t/ D R  i.t/ C ua .t/ u0e .t/ D R  u0a .t/ C

di.t/ C u0a .t/ dt

R ua .t/ D u0e .t/ L

mit u0e .t/ D 0 für t > 0 u0a .t/ C

R ua .t/ D 0 L

Ableiten

3.2 Musterlösungen

43

b) Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Lösen der Differentialgleichung: u0a .t/ C

R ua .t/ D 0 L

für t > 0

R 0  D0 L R ) 1 D  L

charakteristische Gleichung: 1 C

Funktion der Lösungsbasis: y1 D e1 t allgemeine Lösung der DGL: yH D C1  y1 yH D C1  e1 t R

) ua .t/ D C1  e L t Bestimmung der Konstanten C1 durch Einsetzen der Randbedingungen: Ströme an Spulen können nicht springen. Das heißt, i.t D 0C / D 0 )

ˇ ˇ ua .t/ˇˇ

D U0

)

R

C

ua .0C / D C1  e L 0 D U0

) C1 D U0

tD0C

)

R

ua .t/ D U0   .t/  e L t

für t 2 R

c) Skizze:

ua (t) U0

0

0

L R

t

44

3 Differentialgleichungen

Lösung zur Aufgabe 2

R

ue (t)

i(t)

C

ua (t)

a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: uR .t/ D i.t/  R i.t/ D C 

dua .t/ dt

Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen. ue .t/ D uR .t/ C ua .t/ D  .t/  U0 Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ue .t/ D i.t/  R C ua .t/ ue .t/ D R  C  u0a .t/ C ua .t/ 1 ua .t/ D RC 1 ua .t/ D u0a .t/ C RC

u0a .t/ C

1  ue .t/ RC U0 für t > 0 RC

b) Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Lösen der Differentialgleichung: u0a .t/ C

1 U0 ua .t/ D RC RC

3.2 Musterlösungen

45

charakteristische Gleichung: 1 C

1 0  D0 RC 1 D 

)

1 RC

1

Funktion der Lösungsbasis: y1 D e1 t D e RC t 1

Allgemeine Lösung der DGL: yH D C1  y1 D C1  e RC t Spezielle Lösung der DGL: Š

Störfunktion: r.t/ D est P.t/ D ) sD0

U0 RC

sD0

)

P.t/ D

U0 D r.t/ RC

ist nicht Lösung der char. Gleichung!

ys D est Q.t/ D Q.t/ D a0 Lösung der inhomogenen DGL: y D yH C ys 1

D C1  e RC t C a0 1

) ua .t/ D C1  e RC t C a0 Bestimmung der Konstanten C1 und a0 durch Einsetzen der Randbedingungen. Spannungen an Kondensatoren können nicht springen: )

ˇ ˇ ua .t/ˇˇ

1

C

D 0 D C1  e RC 0 C a0 D C1 C a0

) C1 D a0

tD0C

Für t ! 1 ist der Kondensator auf U0 aufgeladen: ˇ ˇ ) ua .t/ˇˇ

D U0 D C1  0 C a0

,

a0 D U0

t!1 1

ua .t/ D U0  e RC t C U0

für t > 0

1

ua .t/ D U0  .1  e RC t / 1

ua .t/ D U0   .t/.1  e RC t /

für t 2 R

) C1 D U0

46

3 Differentialgleichungen

c) Skizze:

ua (t) U0

0

0

t

RC

Lösung zur Aufgabe 3

L

iL (t)

uL (t) ue (t)

R

ua (t)

a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: uR .t/ D R  i.t/ uL .t/ D L 

di.t/ dt

Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen. ue .t/ D uL .t/ C ua .t/

mit ue .t/ D U0   .t/

3.2 Musterlösungen

47

Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ua .t/ D ue .t/  uL .t/ D ue .t/  L 

di.t/ dt

D ue .t/  L 

d R1 ua .t/ dt

L dua .t/ D ue .t/ R dt dua .t/ R R C ua .t/ D ue .t/ L L dt ua .t/ C

inhomogene DGL 1.Ordnung mit konst. Koeff.

b) Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Lösen der Differentialgleichung: dua .t/ R C ua .t/ D 0 dt L R Lösung der charakteristischen Gleichung:1 D  L

zugehörige homogene DGL:

R

Allgemeine Lösung der DGL über Exponentialansatz: yH .t/ D C1  e L t

Störglied:

R R ue .t/ D U0  für t > 0 L L

Spezielle Lösung der DGL: Störfunktion: u.t/ D est P.t/ D

R  U0 L

)sD0 ) P.t/ D

R  U0 D u.t/ L

s D 0 ist nicht Lösung der char. Gleichung. ys .t/ D est Q.t/ D Q.t/ D a0

48

3 Differentialgleichungen

Lösung der DGL: ua .t/ D yH .t/ C ys .t/ R

D C1  e L t C a0 Bestimmung der Konstanten C1 durch Einsetzen der Randbedingungen: Ströme an Spulen können nicht springen. Das heißt, i.t D 0C / D 0 ˇ ˇ Anfangsbedingung: ua .t/ˇˇ

R

C

D 0V D C1  e L 0 C a0

tD0C

, C1 D a0 Widerstand der Spule im eingeschwungenen Zustand ist 0: ua .t ! 1/ D U0 D C1  e1 C a0 a0 D U0 C1 D U0

R

) ua .t/ D U0  .1  e L t /  RL t

) ua .t/ D U0   .t/.1  e

für t > 0 /

für t 2 R

c) Skizze:

ua (t) U0

0

0

τ=

L R

t

3.2 Musterlösungen

49

Lösung zur Aufgabe 4

C

i(t)

uC (t) ue (t)

R

ua (t)

a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: ua .t/ D R  i.t/ i.t/ D C 

duc .t/ dt

Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen. ue .t/ D uC .t/ C ua .t/

mit:

ue .t/ D U0   .t/

ua .t/ D ue .t/  uC .t/ Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: Ableiten: dua .t/ due .t/ duC .t/ D  dt dt dt dua .t/ due .t/ ua .t/ D  dt dt RC dua .t/ 1 due .t/ C ua .t/ D D0 dt RC dt

für t > 0

50

3 Differentialgleichungen

b) Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Lösen der Differentialgleichung: Homogene DGL 1. Ordnung mit konst. Koeffizienten: 1 dua .t/ C ua .t/ D 0 dt RC

Lösung der charakteristischen Gleichung: 1 D 

1 RC 1

Allgemeine Lösung der DGL über Exponentialansatz: ua .t/ D C1  e RC t Bestimmung der Konstanten C1 durch Einsetzen der Randbedingungen. Spannungen an Kondensatoren können nicht springen: ˇ ˇ Randbedingung: ua .t/ˇˇ

1

C

D U0 D C1  e RC 0

,

C1 D U0

tD0C 1

Lösung der DGL: ua .t/ D U0   .t/  e RC t c) Skizze:

ua (t) U0

0

0

τ = RC

t

3.2 Musterlösungen

51

Lösung zur Aufgabe 5

R1

i1 (t)

i3 (t)

uR1 (t) ue (t)

R2

L

ua (t)

i2 (t)

a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: uR1 .t/ D R1  i1 .t/ ua .t/ D R2  i2 .t/ ua .t/ D L 

di3 .t/ dt

Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen. i1 .t/ D i2 .t/ C i3 .t/ ua .t/ D ue .t/  uR1 .t/ Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ua .t/ D ue .t/  R1  .i2 .t/ C i3 .t// D ue .t/ 

R1  ua .t/  R1  i3 .t/ R2

52

3 Differentialgleichungen

Ableiten: dua .t/ due .t/ R1 dua .t/ di3 .t/ D   R1   dt dt R2 dt dt dua .t/ due .t/ R1 dua .t/ R1  D    ua .t/ dt dt R2 dt L R1 dua .t/ 1 due .t/ L C  ua .t/ D  dt dt 1 C RR12 1 C RR12

mit

due .t/ D0 dt

dua .t/ R1 C dt L  .1 C

für t > 0

R1 / R2

 ua .t/ D 0

b) Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Lösen der Differentialgleichung: Allgemeine Lösung der DGL über Exponentialansatz: ua .t/ D C1  e1 t mit: 1 D 

R1 R2 L  .R1 C R2 /

ua .t/ D C1  e

 L1

R1 R2 R1 CR2

t

Bestimmung der Konstanten C1 durch Einsetzen der Randbedingungen: Ströme an Spulen können nicht springen. Das heißt, i3 .t D 0C / D 0 ˇ ˇ Anfangsbedingung: ua .t/ˇˇ

D U0

tD0C

Lösung: ua .t/ D U0   .t/ 

R2 D C1  e0 D C1 R1 C R2

R R R2 1 1 2 t  e L R1 CR2 R1 C R2

(Spannungsteiler)

3.2 Musterlösungen

53

c) Skizze:

ua (t)

U0

R2 R 1 +R 2

0

0 τ=

L

t

R1R2 R1+R2

Lösung zur Aufgabe 6

R1

i1 (t)

i2 (t) i3 (t)

ue (t)

C

R2

a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: uR1 .t/ D R1  i1 .t/ i3 .t/ D C 

dua .t/ dt

ua .t/ D R2  i2 .t/

ua (t)

54

3 Differentialgleichungen

Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen. ua .t/ D ue .t/  uR1 .t/ Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ua .t/ D ue .t/  R1  i1 .t/ D ue .t/  R1 .i2 .t/ C i3 .t// D ue .t/  R1  i2 .t/  R1  i3 .t/ D ue .t/  R1  ua .t/ C ua .t/ 

ua .t/ dua .t/  R1  C  R2 dt

dua .t/ R1 D ue .t/ C C  R1 R2 dt

1 dua .t/ 1 1 C ua .t/ C ua .t/ D ue .t/ dt R2 C R1 C R1 C   1 1 dua .t/ 1 C C ua .t/ D  ue .t/ dt R1 C R2 C R1 C b) Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Lösen der Differentialgleichung:

homogene DGL:

dua .t/ C dt



1 1 C R1 R2



1  ua .t/ D 0 C

1 D   C1

Allgemeine Lösung der DGL über Exponentialansatz: yH .t/ D C1  e Störglied:

1  C



1 R1

1 U0 ue .t/ D für t > 0 R1 C R1 C Š

Spezielle Lösung für konstante Störglieder: r.t/ D est P.t/ D )sD0 ) P.t/ D

U0 R1 C

s ist nicht Lösung der char. Gleichung ys .t/ D est Q.t/ ys .t/ D a0

U0 R1 C



1 1 C R1 R2

 C R1 t 2



3.2 Musterlösungen

55

ua .t/ D yH .t/ C ys .t/  C1



D C1  e

1 R1

 C R1 t 2

Ca0

Bestimmung der Konstanten C1 und a0 durch Einsetzen der Randbedingungen: Spannungen an Kondensatoren können nicht springen. Das heißt, ua .t D 0C / D 0 ˇ ˇ ua .t/ˇˇ )

Š

D C1 C a0 D 0 tD0C

C1 D a0

Strom durch den Kondensator ist 0 für t ! 1. ) Spannungsteiler kann angewendet werden: ˇ ˇ ua .t/ˇˇ

Š

D a0 D t!1

ua .t/ D U0 

R2  U0 R1 C R2

R CR R2 1 1 2t .1  e C R1 R2 / R1 C R2

c) Skizze:

ua (t)

U0

R2 R 1 +R 2

0

0

τ=

R1 R2 R 1 +R 2

C

t

56

3 Differentialgleichungen

Lösung zur Aufgabe 7 a) Schaltung

R i(t) i1 (t) ue (t)

L

i2 (t) C

ua (t)

Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: uR .t/ D R  i.t/ di1 .t/ dt dua .t/ i2 .t/ D C  dt

ua .t/ D L 

Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen. ue .t/ D uR .t/ C ua .t/ i.t/ D i1 .t/ C i2 .t/ Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ua .t/ D ue .t/  uR .t/ D ue .t/  R  i.t/ D ue .t/  R  i1 .t/  R  i2 .t/ ua .t/ D ue .t/  R  i1 .t/  RC  u0a .t/ Ableiten: u0a .t/ D u0e .t/  R 

di1 .t/  RC  u00a .t/ dt

3.2 Musterlösungen

u0a .t/ D u0e .t/ 

57

R ua .t/  RCu00a .t/ L

1 0 R 1  ua .t/ C  u0 .t/ ua .t/ D RC RC e L  RC 1 0 1 1 u00a .t/ C ua .t/ C ua .t/ D  u0 .t/ RC LC RC e u00a .t/ C

b) Schaltung

L

ue (t)

C

i(t) R

ua (t)

Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: di.t/ dt duC .t/ i.t/ D C  dt

uL .t/ D L 

ua .t/ D R  i.t/ Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen. ue .t/ D uL .t/ C uC .t/ C ua .t/ Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ua .t/ D ue .t/  uL .t/  uC .t/ D ue .t/  L  ua .t/ D ue .t/ 

di.t/  uC .t/ dt

L 0  u .t/  uC .t/ R a

58

3 Differentialgleichungen

Ableiten: L 00 u .t/  u0C .t/ R a L i.t/ u0a .t/ D u0e .t/   u00a .t/  R C L u a .t/ u0a .t/ D u0e .t/   u00a .t/  R RC R 1 R ua .t/ D  u0e .t/ u00a .t/ C u0a .t/ C L LC L u0a .t/ D u0e .t/ 

c) Schaltung

R1

ue (t)

R2

C1

C2

ua (t)

Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: duC1 .t/ dt dua .t/ iC2 .t/ D C2  dt

iC1 .t/ D C1 

uR1 .t/ D R1  iR1 .t/ uR2 .t/ D R2  iR2 .t/ Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen. ue .t/ D uR1 .t/ C uR2 .t/ C ua .t/ ue .t/ D uR1 .t/ C uC1 .t/ uC1 .t/ D uR2 .t/ C ua .t/ iR1 .t/ D iC1 .t/ C iC2 .t/ iR2 .t/ D iC2 .t/

3.2 Musterlösungen

59

Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ue .t/ D ua .t/ C uR1 .t/ C uR2 .t/ D ua .t/ C R1  .iC1 .t/ C iC2 .t// C R2  iC2 .t/ D ua .t/ C R1  .C1  u0C1 .t/ C C2  u0a .t// C R2  C2  u0a .t/ D ua .t/ C R1  C1  u0C1 .t/ C R1  C2  u0a .t/ C R2  C2  u0a .t/ d .R2  iC2 .t/ C ua .t// C u0a .t/  .R1  C2 C R2  C2 / dt d D ua .t/ C R1  C1  .R2  C2  u0a .t/ C ua .t// C u0a .t/  .R1  C2 C R2  C2 / dt

D ua .t/ C R1  C1 

D ua .t/ C R1  C1  R2  C2  u00a .t/ C R1  C1  u0a .t/ C u0a .t/  .R1  C2 C R2  C2 / D ua .t/ C .R1 C1 C R1 C2 C R2 C2 /  u0a .t/ C R1  C1  R2  C2  u00a .t/ u00a .t/ C

R1 C1 C R1 C2 C R2 C2 0 1 1  ua .t/ C  ua .t/ D  ue .t/ R1 C1 R2 C2 R1 C1 R2 C2 R1 C1 R2 C2

Lösung zur Aufgabe 8 In dieser Aufgabe wird Schritt 4 des Lösungsverfahrens geübt. a) u00a .t/ C

1 0 u .t/ D 0 RC a

Charakteristische Gleichung: 1 D0 2 C RC   1  C D0 RC 1 D 0 2 D 

1 RC

60

3 Differentialgleichungen

Lösungsansätze: 1 !

y1 D e0t D 1

2 !

y2 D e RC t

1

Allgemeine Lösung der DGL: yH D C1  y1 C C2  y2 1

D C1 C C2  e RC t Die Störfunktion ist 0, d. h. die allgemeine Lösung der DGL entspricht der Gesamtlösung der DGL: 1

ua .t/ D C1 C C2  e RC t b) u00a .t/ C 8  u0a .t/ C 7  ua .t/ D U0 Charakteristische Gleichung: 2 C 8 C 7 D 0 . C 4/2 D 9 j C 4j D 3  D 4 ˙ 3 1 D 1 2 D 7 Lösungsansätze: 1 !

y1 D e1 t D et

2 !

y2 D e2 t D e7t

Allgemeine Lösung der DGL: yH D C1  y1 C C2  y2 D C1 et C C2 e7t

3.2 Musterlösungen

61

Störfunktion: Š

r.t/ D est  P.t/ D 1  U0 D U0 s D 0 ist nicht Lösung der char. Gleichung Q.t/ D a0 Spezielle Lösung der DGL: ys D e0t  Q.t/ D a0 Gesamtlösung der DGL: ua .t/ D yH C ys D C1 et C C2  e7t C a0 ua .t/ D C1 et C C2  e7t C a0 c) 1

u00a .t/ C 6  u0a .t/ C 5  ua .t/ D t  e 2 t Charakteristische Gleichung: 2 C 6 C 5 D 0 2 C 2  3 C 5 C 4 D 4 . C 3/2 D 4 j C 3j D 2  D 3 ˙ 2 1 D 1 2 D 5 Lösungsansätze: 1 !

y1 D e1 t D et

2 !

y2 D e2 t D e5t

62

3 Differentialgleichungen

Allgemeine Lösung der DGL: yH D C1  y1 C C2  y2 D C1  et CC2  e5t Störfunktion: 1

Š

r.t/ D est P.t/ D t  e 2 t 1 )sD I 2 P.t/ D t D A0 C A1  t

mit A0 D 0

und

A1 D 1

s ist Lösung der char. Gleichung Spezielle Lösung der DGL: ys D est Q.t/

1 mit s D  und Q.t/ D a0 C a1  t 2

1

D e 2 t .a0 C a1  t/ Gesamtlösung der DGL: ua .t/ D yH C ys 1

ua .t/ D C1  et C C2 e5t C e 2 t .a0 C a1 t/ d) u00a .t/ C 6  u0a .t/ C 5  ua .t/ D t  et Allgemeine Lösung der DGL siehe Aufgabe c) yH D C1  et C C2  e5t

da

Störfunktion: r.t/ D est P.t/ D t  et ) s D 1 s ist Lösung der char. Gleichung ) P.t/ D t

1 D 1;

2 D 5

3.2 Musterlösungen

63

Spezielle Lösung der DGL: ys D t1  et Q.t/ D t1  et .a0 C a1  t/ Gesamtlösung der DGL: ua .t/ D yH C ys ua .t/ D C1 et C C2  e5t C t  et .a0 C a1  t/ e) Umformen der DGL: 2 j u00a .t/ C 20 j u0a .t/ C 18 j ua .t/  ej t C e j t D 0 u00a .t/ C 10u0a .t/ C 9u0a .t/ D

ejt  ejt 2j

u00a .t/ C 10u0a .t/ C 9u0a .t/ D sin.t/ Charakteristische Gleichung: 2 C 10 C 9 D 0 2 C 2  5 C 9 C 16 D 16 . C 5/2 D 16 j C 5j D 4  D 5 ˙ 4 1 D 1 2 D 9 Lösungsansätze: 1 !

y1 D e1 t D et

2 !

y2 D e2 t D e9t

Allgemeine Lösung der DGL: yH D C1  et CC2  e9t

64

3 Differentialgleichungen

Störfunktion: Š

r.t/ D e˛t  sin.ˇt/  P.t/ D e0t  sin.1  t/  1 ) )˛D0 s D ˛ C jˇ D j ) ist nicht Lösung der char. Gleichung )ˇD1 Š

P.t/ D A0 D 1 Spezielle Lösung der DGL: ys D e˛t  .Q.t/  cos.ˇt/ C R.t/  sin.ˇt// D e0t  .a0 cos.t/ C b0 sin.t// D a0 cos.t/ C b0 sin.t/ Gesamtlösung der DGL: y D yH C ys ) ua .t/ D C1  et C C2  e9t C a0 cos.t/ C b0 sin.t/

Lösung zur Aufgabe 9

ue (t)

L

RS

uL (t)

uR (t)

i(t)

R

a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: ua .t/ D R  i.t/ uR .t/ D RS  i.t/ uL .t/ D L 

di.t/ dt

ua (t)

3.2 Musterlösungen

65

Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen: ua .t/ D ue .t/  uL .t/  uR .t/ b) Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ua .t/ D ue .t/  uL .t/  uR .t/ di.t/  RS  i.t/ dt L RS  ua .t/ ua .t/ D ue .t/   u0a .t/  R R L RS ue .t/ D ua .t/ C  u0a .t/ C  ua .t/ R R   L RS C  u0a .t/ ue .t/ D ua .t/  1 C R R ua .t/ D ue .t/  L 

R C RS  ua .t/ C u0a .t/ D L R C RS  ua .t/ D u0a .t/ C L

R  U0 L R  U0 L

c) Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Lösen der Differentialgleichung: Die Differentialgleichung lautet: u0a .t/ C

R C RS R  ua .t/ D  U0 L L

Es handelt sich um eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form: y.1/ C a0  y D r.x/ Die zugehörige homogene DGL lautet: u0a .t/ C

R C RS  ua .t/ D 0: L

Die zu dieser DGL zugehörige charakteristische Gleichung lautet:  C a0 D 0

66

3 Differentialgleichungen

Der konstante Koeffizient a0 ist also: a0 D

R C RS L

Die Lösung der charakteristischen Gleichung und das Einsetzen von a0 ergibt: 1 D a0 D 

R C RS L

Die zugehörige Funktion y1 der Lösungsbasis der DGL ist somit: y1 D e1 x D e

RCRS L

x

Damit ist die allgemeine Lösung der homogenen DGL: yH D C1  e

RCRS L

x

Die Störfunktion r.x/ lautet: r.x/ D

R  U0 L

Die Störfunktion r.x/ hat die Form r.x/ D esx  P.x/. Das Polynom P.x/ ist also: P.x/ D A0 Damit ergeben sich A0 und s zu: r.x/ D esx  P.x/ D esx  A0 D A0 D

R  U0 L

R  U0 L

sD0 Der Ansatz der speziellen Lösung der inhomogenen DGL von yS ist dann mit Q.x/ sowie s eingesetzt: yS D esx  Q.x/ D a0 Die allgemeine Lösung der DGL von y bzw. ua .t/ ergibt sich somit zu: y D yH C yS D C1  e

RCRS L

x

C a0

3.2 Musterlösungen

67

ua .t/ D C1  e

RCRS L

t

für t > 0

C a0

d) 1:

ua .t D C0/ D C1  e

RCRS L

0

C a0 D 0

H) C1 D a0 2:

ua .t ! 1/ D C1  0 C a0 D U0  H) a0 D U0 

R R C RS

R R C RS

H) C1 D U0 

R R C RS

e) ua .t/ D C1  e

RCRS L

t

C a0

RCRS R R  e L t C U0  R C RS R C RS   RCRS R  1  e L t D  .t/  U0  R C RS

D U0 

für t > 0

f) a.t/ D h.t/ D h.t/ D h.t/ D h.t/ D

  RCRS ua .t/ R D  .t/   1  e L t U0 R C RS h i  RCRS d R da.t/ D  .t/   1  e L t dt dt R C RS  i h RCRS R d  .t/   .t/  e L t Produktregel!  R C RS dt  i   h RCRS RCRS R R C RS  e L t  ı.t/  ı.t/  e L t C  .t/   R C RS L i h R C RS  RCRS t R e L  ı.t/  ı.t/ C  .t/  R C RS L

h.t/ D  .t/ 

R  RCRS t e L L

68

3 Differentialgleichungen

Lösung zur Aufgabe 10

C

uC (t) ue (t)

R

ua (t)

a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: ua .t/ D R  i.t/ i.t/ D C 

duC .t/ dt

Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen: ua .t/ D ue .t/  uC .t/ b) Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ua .t/ D ue .t/  uC .t/

j Ableiten

u0a .t/ D u0e .t/  u0c .t/ 1 i.t/ C 11 ua .t/ u0a .t/ D 0  CR 1 ua .t/ D 0 H) u0a .t/ C RC u0a .t/ D 0 

c) Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Lösen der Differentialgleichung: Die Differentialgleichung lautet: u0a .t/ C

1 ua .t/ D 0 RC

3.2 Musterlösungen

69

Es handelt sich um eine homogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form: y.1/ C a0  y D r.x/ Die zu dieser DGL zugehörige charakteristische Gleichung lautet:  C a0 D 0 Der konstante Koeffizient a0 ist also: a0 D

1 RC

Die Lösung der charakteristischen Gleichung und das Einsetzen von a0 ergibt: 1 D a0 D 

1 RC

Die zugehörige Funktion y1 der Lösungsbasis der DGL ist somit: 1

y1 D e1 x D e RC x Damit ist die allgemeine Lösung der homogenen DGL: 1

yH D C1  e RC x Da die Störfunktion r.x/ D 0 ist, ist die allgemeine Lösung der DGL von y bzw. ua .t/: 1 y D yH D C1 e RC x 1

ua .t/ D C1 e RC t

für t > 0

d) 1

ua .t D C0/ D C1 e RC 0 D U0

Spannungen an Kondensatoren können nicht springen!

H) C1 D U0 e) 1

1

ua .t/ D C1  e RC t D U0  e RC t 1  RC t

D  .t/  U0  e

für t > 0

70

3 Differentialgleichungen

f) ua .t/ 1 D  .t/  e RC t U0 i dh da.t/ 1 D  .t/  e RC t Produktregel! h.t/ D dt dt   1 1 1 D ı.t/  e RC t C  .t/    e RC t RC

a.t/ D

D ı.t/   .t/ 

1 1  e RC t RC

Lösung zur Aufgabe 11

L

R

uL (t)

uR (t)

ue (t)

i(t)

C

ua (t)

a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: i.t/ D C 

dua .t/ dt

uR .t/ D R  i.t/ uL .t/ D L 

di.t/ dt

Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen: ua .t/ D ue .t/  uL .t/  uR .t/ b) Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems:

3.2 Musterlösungen

71

ua .t/ D ue .t/  uL .t/  uR .t/ D ue .t/  L

di.t/  R  i.t/ dt

D ue .t/  LCu00a .t/  RCu0a .t/ H)

ue .t/ D LCu00a .t/ C RCu0a .t/ C ua .t/

H)

u00a .t/ C

R 0 1 1 u .t/ C ua .t/ D U0 L a LC LC

c) Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Lösen der Differentialgleichung: Die Differentialgleichung lautet: u00a .t/ C

R 0 1 1 ua .t/ C ua .t/ D U0 L LC LC

Es handelt sich um eine inhomohene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form: y.2/ C a1 y.1/ C a0 y D r.x/ Die zugehörige homogene DGL lautet: u00a .t/ C

R 0 1 ua .t/ C ua .t/ D 0 L LC

Die zu dieser DGL zugehörige charakteristische Gleichung lautet: 2 C a1  C a0 D 0 Die konstanten Koeffizienten a0 und a1 sind also: 1 LC R a1 D L a0 D

Die Lösung der charakteristischen Gleichung und das Einsetzen von a0 und a1 ergibt: 1;2

a1 D ˙ 2

r  a 2 1

2

 a0

72

3 Differentialgleichungen

Einsetzen der Bauelemente führt zu: 1;2

1;2

s 

 R 2 1  2L LC s  2 R 1 R ˙j  D 2L LC 2L R ˙ D 2L

Verwendung der oben genannten Substitution führt zu: 1;2 D ı ˙ j!0 Die zugehörigen Funktionen y1 und y2 der Lösungsbasis der DGL sind somit: y1 D e1 x y2 D e2 x Damit ist die allgemeine Lösung der homogenen DGL: yH D C1 e1 x C C2 e2 x D C1 e.ıCj!0 /x C C2 e.ıj!0 /x Die Störfunktion r.x/ lautet: r.x/ D

1 U0 LC

Die Störfunktiuon r.x/ hat die Form r.x/ D esx  P.x/. Das Polynom P.x/ ist also: P.x/ D A0 Damit ergeben sich A0 und s zu: r.x/ D esx  P.x/ D esx  A0 D A0 D

1 U0 LC

sD0

1 U0 LC

3.2 Musterlösungen

73

Der Ansatz der speziellen Lösung der inhomogenen DGL von yS ist dann mit Q.x/ sowie s eingesetzt: ys D esx  Q.x/ D a0 Die allgemeine Lösung der DGL von y bzw. ua .t/ ergibt sich somit zu: y D yH C yS D C1 e.ıCj!0 /x C C2 e.ıj!0 /x C a0 ua .t/ D C1 e.ıCj!0 /x C C2 e.ıj!0 /x C a0

für t > 0

d) ua .t ! 1/ D a0 D U0

(Kondensator voll aufgeladen)

e) ua .t/ D C1 e.ıCj!0 /t C C2 e.ıj!0 /t C a0 für t > 0   U0 2 .j!0 ı/t U0 1 .j!0 Cı/t e  e D U0 C 1   2 1   2    ı  j!0 .j!0 ı/t ı C j!0 .j!0 Cı/t D U0 1 C e  e 2j!0 2j!0   eıt  j!0 t j!0 t D U0 1 C .ı  j!0 /e  .ı C j!0 /e 2j!0   eıt  j!0 t j!0 t j!0 t j!0 t ıe C ıe D U0 1 C  j!0 e  j!0 e 2j!0    eıt ej!0 t  ej!0 t ej!0 t C ej!0 t  j!0 2 ı2j D U0 1 C 2j!0 2j 2   eıt .ı sin.!0 t/  !0 cos.!0 t// D U0 1 C !0    ı D U0 1  eıt sin.!0 t/ C cos.!0 t/ !0    ı ıt D  .t/  U0 1  e sin.!0 t/ C cos.!0 t/ !0

74

3 Differentialgleichungen

f) 0    ı ua .t/ D  .t/  U0 1  eıt  sin.!0 t/ C cos.!0 t/ !0    ua .t/ ı ıt a.t/ D D  .t/  1  e  sin.!0 t/ C cos.!0 t/ U0 !0    ıt ı d d da.t/ D . .t// C  .t/ e h.t/ D  sin.!0 t/ dt dt dt !0  d   .t/ eıt  cos.!0 t/ C dt

h1 .t/ WD

d . .t// D ı.t/ dt

   ı d  .t/ eıt sin.!0 t/ dt !0    ıt ı ıt ı D ı.t/  .1/   ı  cos.!0 t/  0 C  .t/ ıe sin.!0 t/ C e !0 !0   ı D  .t/  eıt  ı  sin.!0 t/  cos.!0 t/ !0

h2 .t/ WD

 d   .t/ eıt cos.!0 t/ dt   D ı.t/  .1/  1 C  .t/ ıeıt cos.!0 t/  eıt  !0  sin.!0 t/

h3(t) WD

D ı.t/ C  .t/eıt .ı  cos.!0 t/ C !0  sin.!0 t//   !0 sin.!0 t/ D ı.t/ C  .t/eıt ı  cos.!0 t/ C ı h.t/ D h1 .t/ C h2 .t/ C h3 .t/   ı sin.!0 t/  cos.!0 t/ C  .t/eıt ı D  .t/eıt ı  !0   !0 sin.!0 t/  cos.!0 t/ C ı   ı !0 sin.!0 t/ C D  .t/eıt ı  !0 ı  2  ı C !0 sin.!0 t/ D  .t/eıt !0

3.2 Musterlösungen

75

Lösung zur Aufgabe 12

R uR (t) uRS (t)

RS i(t)

ue (t) uL (t)

ua (t)

L

a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: uRS .t/ D RS  i.t/ uL .t/ D L 

di.t/ dt

uR .t/ D R  i.t/ Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen: ua .t/ D ue .t/  uR .t/ ua .t/ D uRS .t/ C uL .t/ b) Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ua .t/ D ue .t/  uR .t/ D ue .t/  R  i.t/

76

3 Differentialgleichungen

D ue .t/  D ue .t/  D ue .t/  D ue .t/  D ue .t/  D ue .t/  D ue .t/ 

R  uRS .t/ RS R  .ua .t/  uL .t// RS   R di.t/  ua .t/  L RS dt   R L duR .t/  ua .t/  RS R dt   R L d.ue .t/  ua .t//  ua .t/  RS R dt   R L L  ua .t/  u0e .t/ C u0a .t/ RS R R R L ua .t/  u0a .t/ RS RS 

H)

ue .t/ D

H)

u0a .t/ C

 R L C 1 ua .t/ C u0a .t/ RS RS

R C RS RS ua .t/ D U0 L L

c) Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Lösen der Differentialgleichung: Die Differentialgleichung lautet: u0a .t/ C

R C RS RS ua .t/ D U0 L L

Es handelt sich um eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form: y.1/ C a0 y D r.x/ Die zugehörige homogene DGL lautet: u0a .t/ C

R C RS ua .t/ D 0 L

3.2 Musterlösungen

77

Die zu dieser DGL zugehörige charakteristische Gleichung lautet:  C a0 D 0 Der konstante Koeffizient a0 ist also: a0 D

R C RS L

Die Lösung der charakteristischen Gleichung und das Einsetzen von a0 ergibt: 1 D a0 D 

R C RS L

Die zugehörige Funktion y1 der Lösungsbasis der DGL ist somit: y1 D e1 x D e

RCRS L

x

Damit ist die allgemeine Lösung der homogenen DGL: yH D C1 e

RCRS L

x

Die Störfunktion r.x/ lautet: r.x/ D

RS U0 L

Die Störfunktion r.x/ hat die Form r.x/ D esx  P.x/. Das Polynom P.x/ ist also: P.x/ D A0 Damit ergeben sich A0 und s zu: r.x/ D esx  P.x/ D esx  A0 D A0 D

RS  U0 L

sD0

RS U0 L

78

3 Differentialgleichungen

Der Ansatz der speziellen Lösung der inhomogenen DGL von yS ist dann mit Q.x/ sowie s eingesetzt: yS D esx  Q.x/ D a0 Die allgemeine Lösung der DGL von y bzw. ua .t/ ergibt sich somit zu: y D yH C yS D C1 e ua .t/ D C1 e

RCRS L

t

RCRS L

x

C a0

für t > 0

C a0

d) ua .t ! 1/ D a0 D U0

RS R C RS

ua .t D C0/ D C1 C U0

RS D U0 R C RS

H)

C1 D U0

(Spannungsteiler) (Ströme an Spulen können nicht springen)

R R C RS

e)  RCRS U0  R  e L t C RS für t > 0 R C RS  RCRS U0  R  e L t C RS D  .t/  R C RS

ua .t/ D

f)  RCRS ua .t/ 1  R  e L t C RS D  .t/  U0 R C RS     RCRS d R RS d da.t/ D  .t/   .t/  h.t/ D  e L t C dt dt R C RS dt R C RS

a.t/ D

D ı.t/ 

RCRS R RS R   .t/   e L t C ı.t/  R C RS L R C RS

D ı.t/   .t/ 

R  RCRS t e L L

3.2 Musterlösungen

79

Lösung zur Aufgabe 13

C1

R1 uR1 (t)

i1 (t)

uC1 (t)

ue (t)

R2 i2 (t)

C2 ua (t) i3 (t)

a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Elementgleichungen aufstellen: duC1 .t/ dt dua .t/ i3 .t/ D C  dt i1 .t/ D C 

uR1 .t/ D R1  i1 .t/ ua .t/ D R2  i2 .t/ Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen: ua .t/ D ue .t/  uR1 .t/  uC1 .t/ i1 .t/ D i2 .t/ C i3 .t/ b) Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Auflösen des in Schritt 1 und 2 entstandenen Gleichungssystems: ua .t/ D ue .t/  uR1 .t/  uC1 .t/ u0a .t/

D

u0e .t/



u0R1 .t/



j Ableiten

u0C1 .t/

1 i1 .t/ C 1  D 0  R i02 .t/ C i03 .t/  .i2 .t/ C i3 .t// C

D u0e .t/  Ri01 .t/ 

80

3 Differentialgleichungen

1 1 i2 .t/  i3 .t/ C C 11 1 1 D R u0a .t/  RCu00a .t/  ua .t/  Cu0a .t/ R CR C 1 D RCu00a .t/  3u0a .t/  ua .t/ RC 3 0 1 u .t/ C ua .t/ D 0 u00a .t/ C RC a .RC/2 D Ri02 .t/  Ri03 .t/ 

c) Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Lösen der Differentialgleichung: Die Differentialgleichung lautet: u00a .t/ C

3 0 1 ua .t/ C ua .t/ D 0 RC .RC/2

Es handelt sich um eine homogene lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten und der Form: y.2/ C a1 y.1/ C a0 y D r.x/ Die zu dieser DGL zugehörige charakteristische Gleichung lautet: 2 C a1  C a0 D 0 Die konstanten Koeffizienten a1 und a0 sind also: a0 D

1 .RC/2

a1 D

3 RC

Die Lösung der charakteristischen Gleichung und das Einsetzen von a0 und a1 ergibt: 1;2

a1 D ˙ 2 D

D

3 RC

2

r  a 2 1

v u u ˙t

3 ˙ 2RC

2

s

3 RC

2

 a0

!2 

5 4.RC/2

1 .RC/2

3.2 Musterlösungen

81

p 5 3 D ˙ 2RC 2RC p 3 ˙ 5 D 2RC p 3 C 5 1 D 2RC p 3  5 1 D 2RC Die zugehörigen Funktionen y1 und y2 der Lösungsbasis der DGL sind somit: y1 D e1 x D e 2 x

y2 D e

De

p 3C 5 2RC x p 3 5 2RC x

Die allgemeine Lösung der DGL von y bzw. ua .t/ ergibt sich somit zu: yH D C1 e ua .t/ D C1 e

p 3C 5 2RC x p 3C 5 2RC t

C C2 e C C2 e

p 3 5 2RC x p 3 5 2RC t

d) 1:

ua .t D 0C / D C1 C C2 D 0 )

2:

C1 D C2

ua .t ! 1/ D 0 C 0 D 0

e) p 3C 5

p 3 5

ua .t/ D C1 e 2RC t  C1 e 2RC t  p p  3C 5 3 5 t t 2RC 2RC D C1 e e  p p  5  5 3 D C1 e 2RC t e 2RC t  e 2RC t

für t > 0

82

3 Differentialgleichungen

f)  p p  5  5 U0 3 ua .t/ D  .t/  p e 2RC t e 2RC t  e 2RC t 5 g)  p p  5  5 ua .t/ 1 3 t t t 2RC 2RC 2RC a.t/ D e D  .t/  p e e U0 5   p p  5  5 1 3 da.t/ d h.t/ D D p e 2RC t e 2RC t  e 2RC t dt dt 5   p  p p  p  5  5 5  5 1 3 d 1 3 t D ı.t/ p e 2RC e 2RC t  e 2RC t C  .t/ p e 2RC t e 2RC t  e 2RC t dt 5 5   p p  5  5 1 d 3 e 2RC t e 2RC t  e 2RC t D  .t/ p 5 dt p  p  p p  p  5  5 5  5 1 3 3 t 1 5 3 t t t e 2RC e 2RC  e 2RC e 2RC e 2RC t C e 2RC t D  .t/ p Cp 5 2RC 5 2RC  p  p p p  5  5 5  5 1 3 t 3 t t t t 2RC 2RC 2RC 2RC 2RC e e D  .t/ Ce p e e 2RC 5

4

Impuls- und Sprungantwort

Zusammenfassung

Impuls- und Sprungatwort sind charakteristische Kenngrößen eines Systems. Die Impulsantwort h.t/ ist das Ausgangssignal y.t/ eines Systems, wenn am Eingang das Signal x.t/ D ı.t/ angelegt wird. ı.t/ ist die Dirac-Funktion, auch Dirac-Impuls, Delta-Funktion, Impulsfunktion, Delta-Distribution oder Dirac-Stoss genannt. Die Sprungantwort a.t/ ist das Ausgangssignal y.t/ eines Systems, wenn am Eingang das Signal x.t/ D  .t/ angelegt wird.  .t/ ist die Sprungfunktion, auch Sigma-Funktion oder Einheitssprung genannt. Achtung: In der Literatur und im Internet werden teilweise auch andere Formelzeichen für die Impuls- bzw. die Sprungantwort benutzt. Oftmals wird für die Impulsantwort g.t/ anstelle wie hier h.t/ verwendet, für die Sprungantwort wird oft h.t/ anstelle wie hier a.t/ benutzt. Impuls- bzw. Sprungantwort können über die folgenden Zusammenhänge ineinander überführt werden:

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 Bernhard Rieß und Christoph Wallraff, Übungsbuch Signale und Systeme, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30371-6_4

83

84

4 Impuls- und Sprungantwort

da.t/ dt Zt a.t/ D h. / d

h.t/ D

1

Im folgenden Kapitel werden diese Zusammenhänge geübt und vertieft.

4.1

Übungsaufgaben

Aufgabe 1 Gegeben sind die folgenden Impulsantworten. Ermitteln Sie jeweils die zugehörige Sprungantwort. Skizzieren Sie für alle Teilaufgaben jeweils die Impulsantwort und die Sprungantwort. h.t/ D ı.t/ t h.t/ D  .t/  e RC h.t/ D  .t/  t  et h.t/ D 8 2  ı.t/ C  .t/  et 0

0

D 2   .t/ C .et 1/ .t/ D .2  1 C et / .t/ D  .t/  .1 C et /

Impulsantwort h(t)

3 2 1 0

t1

0

Sprungantwort a(t)

4 3 2 1 0 0

t1

4.2 Musterlösungen

89

e) h.t/ D  .t/  sin.bt/ Zt a.t/ D

h. / d 1

Zt sin.b / d

D

Bronstein2 Integral Nr. 274

für t > 0 sonst 0

0

1 D  Œcos.b /t0 b 1 D  Œcos.bt/  1 für t > 0 b 1 D Œ1  cos.bt/   .t/ für t 2 R b sin2 .t/ D

Nebenrechnung: mit:

1  cos.2t/ 2

 1  cos 2 b2 t 1  cos.bt/ 1  cos.bt/ D 2  D2 2 2   b t D 2  sin2 2    1 2 b 2 sin t D  .t/  b 2   2 b D  .t/  sin2 t b 2

Impulsantwort 1

h(t)

0

t

–1 b

2 Bronstein I A, Semendjajew K A (2012) Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch, Thun und Frankfurt (Main)

90

4 Impuls- und Sprungantwort

Sprungantwort

a(t) 2 b

t b f) h.t/ D ı.t/  ı.t  1/ Zt a.t/ D h. / d 1 Zt

D

Zt ı./ d 

1

ı.  1/ d

1

D  .t/   .t  1/   1 D rect t  2

Impulsantwort h(t)

1 0

t

–1 0

1

Sprungantwort a(t) 1

0 0

1

t

4.2 Musterlösungen

91

Lösung zur Aufgabe 2 a) a.t/ D  .t/  et da.t/ Produktregel h.t/ D dt t D ı.t/  e C  .t/.1/ et D ı.t/   .t/ et

Sprungantwort a(t) 1

0 0

1

2

3

4

t

Impulsantwort h(t)

1 0

t

–1 0

1

2

3

b) 1

a.t/ D 2   .t/  e RC t da.t/ Produktregel h.t/ D dt   1 1 1  RC t D 2ı.t/  e e RC t C .2/ .t/   RC

4

92

4 Impuls- und Sprungantwort

2 1  .t/ e RC t D 2  ı.t/ C RC   1 1  RC t  .t/ e D2 ı.t/ RC

Sprungantwort a(t)

2 1 0 –1 –2

t RC

Impulsantwort h(t)

2 RC

t

–2 RC c)   R R a.t/ D  .t/  1  e L t D  .t/   .t/  e L t h.t/ D

da.t/ dt

Produktregel  RL t

D ı.t/  ı.t/  e

 R Rt e L C . .t//   L

D ı.t/  ı.t/ C  .t/  D  .t/ 

R Rt e L L



R Rt e L L

4.2 Musterlösungen

93

Sprungantwort a(t) 1

0

t

L R

Impulsantwort h(t) R L

t

L R

d) a.t/ D 3   .t/   .t  1/ h.t/ D

da.t/ dt

D 3  ı.t/  ı.t  1/

Sprungantwort a(t)

3 2 1 0 0

1

2

3

t

94

4 Impuls- und Sprungantwort

Impulsantwort h(t)

3 2 1 0 –1

t 0

1

e)

a.t/ D

8 ˆ ˆ 1 Schritt 5 des Lösungsverfahrens: Eigene Skizze für jeden Fall zeichnen:

1

0

t

–1

– 0.5

0

0.5

1

1.5

τ 2

Schritt 6 des Lösungsverfahrens: Jeweilige Integrationsgrenzen festlegen: Integrationsanfang: Integrationsende:

 D0  D1

Schritt 7 des Lösungsverfahrens: Integration für jeden einzelnen Fall ausführen: Z1 y3 .t/ D

1 d 0

ˇ1 ˇ D  ˇˇ 0

D1

5.2 Musterlösungen

101

Gesamtergebnis: 8 ˆ ˆ 1     1  t C  .t  1/ D  .t/  rect t  2   1 D rect t   t C  .t  1/ 2 d) Skizze: y(t) 1

0

t –1

– 0.5

0

0.5

1

1.5

2

Lösung zur Aufgabe 2 a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Zeichnen des Graphen von h.t/. h.t/ D rect.t  0;5/ h(t) 1

0

t –1

– 0.5

0

0.5

1

1.5

2

102

5 Faltung

b) Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Zeichnen des Graphen von x.t/. x.t/ D rect.t  0;5/

x(t) 1

0

t –1

– 0.5

0

0.5

1

1.5

2

c) Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Entscheiden, welche Funktion x.t/ oder h.t/ leichter gespiegelt und verschoben werden kann: Zt y.t/ D x.t/  h.t/ D

x. /  h. C t/ d 0

Zt D

    1 1  rect t    d rect   2 2

0

Zt D

    1 1  rect  C t  d rect   2 2

0

) Hier sind beide Funktionen h.t/ und x.t/ gleich ) Es ist egal, welche der beiden Funktionen gespiegelt wird. Hier wird nun h.t/ gespiegelt. Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Zeitintervalle für Fallunterscheidungen festlegen: 1. 2. 3. 4.

Fall: t  0 Fall: 0 < t  1 Fall: 1 < t  2 Fall: t > 2

5.2 Musterlösungen

103

1. Fall: t  0 Schritt 5 des Lösungsverfahrens: Eigene Skizze für jeden Fall zeichnen:

1

0

t –3

–2

–1

τ 0

1

2

Schritt 6 des Lösungsverfahrens: Jeweilige Integrationsgrenzen festlegen: Hier gibt es kein Zeitintervall, für das beide Funktionen gleichzeitig ungleich 0 sind. Schritt 7 des Lösungsverfahrens: Integration für jeden einzelnen Fall ausführen: Zt y1 .t/ D

    1 1  rect  C t  d rect   2 2

0

D0 2. Fall: 0 < t  1 Schritt 5 des Lösungsverfahrens: Eigene Skizze für jeden Fall zeichnen:

1

0

t –1

– 0.5

0

0.5

τ 1

1.5

2

Schritt 6 des Lösungsverfahrens: Jeweilige Integrationsgrenzen festlegen: Integrationsanfang: Integrationsende:

 D0  Dt

104

5 Faltung

Schritt 7 des Lösungsverfahrens: Integration für jeden einzelnen Fall ausführen: Zt y2 .t/ D

1  1 d 0

ˇt ˇ D  ˇˇ

0

Dt 3. Fall: 1 < t  2 Schritt 5 des Lösungsverfahrens: Eigene Skizze für jeden Fall zeichnen:

1

0

t –1

– 0.5

0

0.5

1

1.5

τ 2

Schritt 6 des Lösungsverfahrens: Jeweilige Integrationsgrenzen festlegen: Integrationsanfang: Integrationsende:

 Dt1  D1

Schritt 7 des Lösungsverfahrens: Integration für jeden einzelnen Fall ausführen: Z1 y3 .t/ D

1  1 d t1

ˇ1 ˇ D  ˇˇ

t1

D 1  .t  1/ D2t

5.2 Musterlösungen

105

4. Fall: t > 2 Schritt 5 des Lösungsverfahrens: Eigene Skizze für jeden Fall zeichnen:

1

0

t –1

– 0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

τ 3

Schritt 6 des Lösungsverfahrens: Jeweilige Integrationsgrenzen festlegen: Hier gibt es kein Zeitintervall, für das beide Funktionen gleichzeitig ungleich 0 sind. Schritt 7 des Lösungsverfahrens: Integration für jeden einzelnen Fall ausführen: y4 .t/ D 0 Gesamtergebnis:

y.t/ D

8 ˆ ˆ 0 1. Fall: t  0 Schritt 5 des Lösungsverfahrens: Eigene Skizze für jeden Fall zeichnen:

U0 1 RC

0

t

τ

0

Schritt 6 des Lösungsverfahrens: Jeweilige Integrationsgrenzen festlegen: Hier gibt es kein Zeitintervall, für das beide Funktionen gleichzeitig ungleich 0 sind. Schritt 7 des Lösungsverfahrens: Integration für jeden einzelnen Fall ausführen: y1 .t/ D 0 2. Fall: t > 0 Schritt 5 des Lösungsverfahrens: Eigene Skizze für jeden Fall zeichnen: U0 1 RC

0 0

t

τ

108

5 Faltung

Schritt 6 des Lösungsverfahrens: Jeweilige Integrationsgrenzen festlegen:  D0  Dt

Integrationsanfang: Integrationsende:

Schritt 7 des Lösungsverfahrens: Integration für jeden einzelnen Fall ausführen: Zt y2 .t/ D

1 1 e RC U0   . C t/ d RC

0

U0  D RC

Zt

1

e RC  d

0

it U0 h 1  RC  e RC  D 0 RC h 1 i  RC t D U0 e 1 h i t D U0 1  e RC Gesamtergebnis: h i t y.t/ D  .t/  U0 1  e RC d) Skizze: y(t) U0

0 0

τ = RC

Lösung zur Aufgabe 4 a) Schritt 1 des Lösungsverfahrens: Zeichnen des Graphen von h.t/. h.t/ D ı.t  /

t

5.2 Musterlösungen

109 h(t)

1

0 0

π

t

b) Schritt 2 des Lösungsverfahrens: Zeichnen des Graphen von x.t/. 

t 1 x.t/ D sin.t/  rect   2



x(t) 1

0 0

π

t

c) Schritt 3 des Lösungsverfahrens: Entscheiden, welche Funktion x.t/ oder h.t/ leichter gespiegelt und verschoben werden kann: y.t/ D x.t/  h.t/ Zt D

x. /  h. C t/ d 0

Zt sin. /  rect.

D 0

) Spiegelung von h.t/.

1   /  ı. C t  / d  2

110

5 Faltung

Schritt 4 des Lösungsverfahrens: Zeitintervalle für Fallunterscheidungen festlegen: 1. Fall: t    0 , t   2. Fall:  < t  2 3. Fall: t > 2 1. Fall: t    0 , t   Schritt 5 des Lösungsverfahrens: Eigene Skizze für jeden Fall zeichnen:

1

0 t– π

0

π

τ

Schritt 6 des Lösungsverfahrens: Jeweilige Integrationsgrenzen festlegen: Hier gibt es kein Zeitintervall, für das beide Funktionen gleichzeitig ungleich 0 sind. Schritt 7 des Lösungsverfahrens: Integration für jeden einzelnen Fall ausführen: y1 .t/ D 0 2. Fall:  < t  2 Schritt 5 des Lösungsverfahrens: Eigene Skizze für jeden Fall zeichnen:

1

0 0

t– π

π

τ

Schritt 6 des Lösungsverfahrens: Jeweilige Integrationsgrenzen festlegen: Integrationsanfang: Integrationsende:

 D0  Dt

5.2 Musterlösungen

111

Schritt 7 des Lösungsverfahrens: Integration für jeden einzelnen Fall ausführen: Zt y2 .t/ D

sin. /  rect.

1   /  ı. C t  / d  2

0

Zt D

sin. /  ı. C t  / d 0

D sin.t  / 3. Fall: t > 2 Schritt 5 des Lösungsverfahrens: Eigene Skizze für jeden Fall zeichnen:

1

0 0

π

t– π

τ

Schritt 6 des Lösungsverfahrens: Jeweilige Integrationsgrenzen festlegen: Hier gibt es kein Zeitintervall, für das beide Funktionen gleichzeitig ungleich 0 sind. Schritt 7 des Lösungsverfahrens: Integration für jeden einzelnen Fall ausführen: y3 .t/ D 0 Gesamtergebnis: 8 3 Schritt 5 und 6 des Lösungsverfahrens: Eigene Skizze für jeden Fall zeichnen und Integrationsgrenzen festlegen. Auch ohne Skizze ist sofort klar: Hier gibt es kein Zeitintervall, für das beide Funktionen gleichzeitig ungleich 0 sind. Schritt 7 des Lösungsverfahrens: Integration für jeden einzelnen Fall ausführen: y5 .t/ D 0 Gesamtergebnis: 8 1 2 ˆ t ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 0. e) Berechnen Sie den Phasenfrequenzgang für f > 0. Nutzen Sie dabei die Definition der Argumentfunktion:

6.1 Übungsaufgaben zur Fourier-Transformation

129

8 ˆ ˆ arctan. ba / ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ arctan. ba / C  ˆ ˆ ˆ ˆ < arctan. b /   a ' D arg.z/ D arg.a C jb/ D  ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ  ˆ  ˆ 2 ˆ ˆ ˆ : unbestimmt

für a > 0; b beliebig für a < 0; b  0 für a < 0; b < 0 für a D 0; b > 0 für a D 0; b < 0 für a D 0; b D 0

f) Zeichnen Sie den Betrags- und Phasenfrequenzgang der Übertragungsfunktion für f > 0 qualitativ.

Aufgabe 4 Gegeben ist die folgende Schaltung mit dem Kondensator C und dem Widerstand R:

C

uC (t) ue (t)

R

ua (t)

a) Stellen Sie die Elementgleichungen sowie die Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln für diese Schaltung auf und transformieren Sie diese unmittelbar in den Frequenzbereich. Ua .f / auf. b) Lösen Sie das Gleichungssystem nach der Übertragungsfunktion H.f / D Ue .f / c) Um den Frequenzgang zu bestimmen, erweitern Sie den für H.f / ermittelten Bruch konjugiert komplex, so dass sich Real- und Imaginärteil direkt ablesen lassen. d) Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang für f > 0. e) Berechnen Sie den Phasenfrequenzgang für f > 0. Nutzen Sie dabei die Definition der Argumentfunktion:

130

6 Fourier-Transformation

8 ˆ ˆ arctan. ba / ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ arctan. ba / C  ˆ ˆ ˆ ˆ < arctan. b /   a ' D arg.z/ D arg.a C jb/ D  ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ  ˆ  ˆ 2 ˆ ˆ ˆ : unbestimmt

für a > 0; b beliebig für a < 0; b  0 für a < 0; b < 0 für a D 0; b > 0 für a D 0; b < 0 für a D 0; b D 0

f) Zeichnen Sie den Betrags- und Phasenfrequenzgang der Übertragungsfunktion für f > 0 qualitativ.

Aufgabe 5 Gegeben ist die folgende Schaltung mit der Spule L, dem Widerstand R und dem Kondensator C:

ue (t)

L

R

uL (t)

uR (t)

i(t)

C

ua (t)

a) Stellen Sie die Elementgleichungen sowie die Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln für diese Schaltung auf und transformieren Sie diese unmittelbar in den Frequenzbereich. Ua .f / auf. b) Lösen Sie das Gleichungssystem nach der Übertragungsfunktion H.f / D Ue .f / c) Um den Frequenzgang zu bestimmen, erweitern Sie den für H.f / ermittelten Bruch konjugiert komplex, so dass sich Real- und Imaginärteil direkt ablesen lassen. d) Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang für f > 0. e) Berechnen Sie den Phasenfrequenzgang für f > 0. Nutzen Sie dabei die Definition der Argumentfunktion:

6.1 Übungsaufgaben zur Fourier-Transformation

131

8 ˆ ˆ arctan. ba / ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ arctan. ba / C  ˆ ˆ ˆ ˆ < arctan. b /   a ' D arg.z/ D arg.a C jb/ D  ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ  ˆ  ˆ 2 ˆ ˆ ˆ : unbestimmt

für a > 0; b beliebig für a < 0; b  0 für a < 0; b < 0 für a D 0; b > 0 für a D 0; b < 0 für a D 0; b D 0

f) Zeichnen Sie den Betrags- und Phasenfrequenzgang der Übertragungsfunktion für f > 0 qualitativ.

Aufgabe 6 Gegeben ist die folgende Schaltung mit dem Widerstand R, dem Serienwiderstand der Spule RS und der Induktivität L:

R uR (t) uRS (t)

RS i(t)

ue (t) uL (t)

ua (t)

L

a) Stellen Sie die Elementgleichungen sowie die Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln für diese Schaltung auf und transformieren Sie diese unmittelbar in den Frequenzbereich. Ua .f / auf. b) Lösen Sie das Gleichungssystem nach der Übertragungsfunktion H.f / D Ue .f / c) Um den Frequenzgang zu bestimmen, erweitern Sie den für H.f / ermittelten Bruch konjugiert komplex, so dass sich Real- und Imaginärteil direkt ablesen lassen.

132

6 Fourier-Transformation

d) Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang für f > 0. e) Berechnen Sie den Phasenfrequenzgang für f > 0. Nutzen Sie dabei die Definition der Argumentfunktion: 8 ˆ ˆ arctan. ba / ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ arctan. ba / C  ˆ ˆ ˆ ˆ < arctan. b /   a ' D arg.z/ D arg.a C jb/ D  ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ  ˆ  ˆ 2 ˆ ˆ ˆ : unbestimmt

für a > 0; b beliebig für a < 0; b  0 für a < 0; b < 0 für a D 0; b > 0 für a D 0; b < 0 für a D 0; b D 0

f) Zeichnen Sie den Betrags- und Phasenfrequenzgang der Übertragungsfunktion für f > 0 qualitativ.

Aufgabe 7 Gegeben ist die folgende Schaltung mit den Widerständen R1 D R2 D R und den Kapazitäten C1 D C2 D C:

R1 uR1 (t) ue (t)

C1

i1 (t)

uC1 (t) R2 i2 (t)

C2 ua (t) i3 (t)

a) Stellen Sie die Elementgleichungen sowie die Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln für diese Schaltung auf und transformieren Sie diese unmittelbar in den Frequenzbereich. Ua .f / auf. b) Lösen Sie das Gleichungssystem nach der Übertragungsfunktion H.f / D Ue .f / c) Um den Frequenzgang zu bestimmen, erweitern Sie den für H.f / ermittelten Bruch konjugiert komplex, so dass sich Real- und Imaginärteil direkt ablesen lassen. d) Berechnen Sie den Betragsfrequenzgang für f > 0. e) Berechnen Sie den Phasenfrequenzgang für f > 0. Nutzen Sie dabei die Definition der Argumentfunktion:

6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation

8 ˆ ˆ arctan. ba / ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ arctan. ba / C  ˆ ˆ ˆ ˆ < arctan. b /   a ' D arg.z/ D arg.a C jb/ D  ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ  ˆ  ˆ 2 ˆ ˆ ˆ : unbestimmt

133

für a > 0; b beliebig für a < 0; b  0 für a < 0; b < 0 für a D 0; b > 0 für a D 0; b < 0 für a D 0; b D 0

f) Zeichnen Sie den Betrags- und Phasenfrequenzgang der Übertragungsfunktion für f > 0 qualitativ.

6.2

Musterlösungen zur Fourier-Transformation

Lösung zur Aufgabe 1 a) 0 s.t/ D rect.t/ c s Z1 S.f / D

rect.t/  e j 2ft dt

1 1

Z2 D

1  e j 2ft dt

 12

1  j 2ft  12 e  12 j 2f  1  j f e D  ej f j 2f

 1  .1/ ej f  e j f D j 2f 1  sin.f / D f D

D si.f /

134

6 Fourier-Transformation

b) 1 s.t/ D rect.t  / 2 c s Z1 S.f / D 1

Z1

  1  e j 2ft dt rect t  2

1  e j 2ft dt

D 0

1 j 2f 1 D j 2f 1 D j 2f D

 j 2ft 1 e 0

 j 2f  e 1

  e j f e j f  ej f

D si.f / e j f Verschiebungssatz:

  1 1 g D e j 2f 2 Ffrect.t/g Ffrect t  2

c)   1 s.t/ D rect t  2 c s Z1 S.f / D 1

Z1 D

  1  e j 2ft dt rect t  2

1  e j 2ft dt

1

1  j 2ft 1 e 1 j 2f  1  j 2f e D  ej 2f j 2f D

6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation

2 1  sin.2f /  f 2

D

D 2  si.2f / Ähnlichkeitssatz:

!   1 1 f g D 1  si 1 D 2  si.2f / Ffrect t  2 j2j 2

d) s.t/ D ı.t/ c s Z1 S.f / D

ı.t/  e j 2ft dt

1

D e0 D1 e) s.t/ D ejtj c s Z1 S.f / D

ejtj  e j 2ft dt

1

Z0 D

t

e e

 j 2ft

Z1 dt C

1

Z0 D

0

t.1j 2f /

e 1

et  e j 2ft dt

Z1 dt C

et.1Cj 2f / dt

0

t.1j 2f / 0

t.1Cj 2f / 1 1 1 e e D  1 0 1  j 2f 1 C j 2f D

1 1 C 1  j 2f 1 C j 2f

135

136

6 Fourier-Transformation

D

1 C j 2f C 1  j 2f 1 C .2f /2

D

2 1 C .2f /2

f) s.t/ D ı.t/ C ı.t  1/  ı.t  2/ c s Z1 S.f / D

 j 2ft

ı.t/  e

Z1 dt C

1

ı.t  1/  e

1

D 1 C 1  e j 2f 1  e j 2f 2 D 1 C e j 2f  e j 4f g) 1

s.t/ D  .t/  U0  e RC t c s Z1 S.f / D

1

U0  e RC t  e j 2ft dt

0

Z1 D U0 0

D D

1 . RC 1 RC

1

et. RC Cj 2f / dt h i1 U0 1 et. RC Cj 2f / 0 C j 2f /

U0 C j 2f

 j 2ft

Z1 dt  1

ı.t  2/  e j 2ft dt

6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation

h)     1 1  rect t C s.t/ D rect t  2 2 c s Z0 S.f / D

 j 2ft

.1/  e

Z1 dt C

1

1  e j 2ft dt

0

1  j 2ft 1 1 e 0 j 2f j 2f   1  j 2f 1

1  ej 2f  e D 1 j 2f j 2f

 1 1  ej 2f  e j 2f C1 D j 2f  1 j 2f e C e j 2f 2 D j 2f 1 Œcos.2f /  1 D j f 1 Œ1  cos.2f / D j f DC

 j 2ft 0 e  1

i) s.t/ D  .t/  et  cos.t/ c s 1 S.f / D 2

Z1

 et ej t C e j t  e j 2ft dt

0

1 D 2

Z1

etCj tj 2ft C etj tj 2ft dt

0

1 D 2

Z1 0

et.1j C j 2f / C et.1Cj C j 2f / dt

137

138

6 Fourier-Transformation

D

t.1j C j 2f / 1 1

t.1Cj C j 2f / 1 1 1 1  e e C  0 0 2 1  j C2 j f 2 1 C j C j 2f

D

1 1 1 1  C  2 1  j C2 j f 2 1 C j C 2 j f

D

1 1 C j C2 j f C 1  j C2 j f  2 .1  j C2 j f /.1 C j C2 j f /

D

2 C 4 j f 1  2 .1  j C2 j f /.1 C j C2 j f /

D

2 C 4 j f 1  2 1 C j C j 2f  j C1 C 2f C j 2f  2f  4 2 f 2

D

1 C 2 j f 2 C j 4f  4 2 f 2

D

1 C 2 j f 2 C 2 j 2f C .j 2f /2

D

1 C j 2f 1 C .1 C j 2f /2

Lösung zur Aufgabe 2 a) s.t/ D cos.at/ D c s

ej at C e j at 2

Korrespondenztabelle Nr. 9

S.f / D

a a 1 Œı.f  / C ı.f C / 2 2 2

b) s.t/ D U0  sin.2t/ c Korrespondenztabelle Nr. 13 s S.f / D U0 

1 Œı.f  1/  ı.f C 1/ 2j

6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation

139

c)   O  cos.t/  rect t  1 s.t/ D U 2 c Korrespondenztabelle Nr. 10 mit Ti D 1 und f0 D s 1 sin.  .f  12 /  1/ O 1 CU  2 2 .f  12 /  1    O  1 U si. f  / C si .f C D 2 2

O S.f / D U



sin.  .f C 12 /  1/

1 / 2

  .f C 12 /  1 

d) s.t/ D  .t  1/ c s Korrespondenztabelle Nr. 8 + Verschiebungssatz  S.f / D D

1 1 ı.f / C 2 j 2f



 e j 2f 1

1 1  ı.f / C  e j 2f 2 j 2f

e) s.t/ D U0 c s Korrespondenztabelle Nr. 7 S.f / D ı.f /  U0 f) s.t/ D tri.  t/ Möglichkeit 1: Ähnlichkeitssatz Fftri.t/g D si2 .f /

1 2

140

6 Fourier-Transformation

S.f / D Fftri.t/g/ D

1 2 f si . / jj 

D

1 2 si .f / 

Möglichkeit 2: Korrespondenztabelle Nr. 2 S.f / D Ti .si.fTi //2 D

mit

Ti D

1 

1 2 si .f / 

Lösung zur Aufgabe 3 Schritt 1 des Lösungsverfahrens „Schaltung mit Zählpfeilen versehen“ ist bereits in der Angabe enthalten:

L

RS

uL (t)

uR (t)

ue (t)

i(t)

R

ua (t)

a) In dieser Teilaufgabe werden die Schritte 2 „Elementgleichungen und Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen“ und 3 „Gleichungssystem in den Bildbereich transformieren“ unmittelbar hintereinander durchgeführt. Elementgleichungen: ua .t/ D R  i.t/

c

s Ua .f / D R  I.f /

uR .t/ D RS  i.t/

c

s UR .f / D RS  I.f /

di.t/ dt

c

s UL .f / D L  j2f  I.f /

uL .t/ D L 

6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation

141

Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln: c

ua .t/ D ue .t/  uL .t/  uR .t/

s Ua .f / D Ue .f /  UL .f /  UR .f /

b) Ua .f / D Ue .f /  UL .f /  UR .f / D Ue .f /  L  j2f  I.f /  RS  I.f / D Ue .f /  I.f /  .L  j2f C RS / = Ue (f ) − Ua (f ) · 

RS L Ua .f /  1 C j2f C R R



Ua .f /

1 · (j 2πf · L + RS ) R

D Ue .f /

1 RS L Ue .f / C1 j2f C R R 1 R H.f / D  RS C R L j2f C L D

c) RS C R  j2f 1 L  RS C R RS C R  j2f j2f C L L RS C R  j2f R L D   L RS C R 2 C .2f /2 L

R H.f / D  L

142

6 Fourier-Transformation

d)

jH.f /j D

R L

D

R L

D

R L

D

ˇ ˇ ˇ ˇ RS C R ˇ ˇ ˇ ˇ  j2f ˇ ˇ L  ˇ ˇ ˇ RS C R 2 ˇ 2ˇ ˇ C .2f / ˇ ˇ L v0 12 0 12 u u RS C R uB B C C uB 2f B C C L u C C B C 2 2 uB  @ RS C R A A t@ RS C R 2 2 C .2f / C .2f / L L s  RS C R 2 C .2f /2 L    RS C R 2 C .2f /2 L

1 R  s  L RS C R 2 C .2f /2 L

e) 0

1 RS C R BR C  j2f  B C L arg H.f / D arg B   C 2 @L A RS C R 2 C .j2f / L  ! Im H.f /  D arctan Re H.f / 0 1 B 2f C D arctan @ RS C R A L   2fL D arctan RS C R

6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation

143

f) Frequenzgang:

1 H(f)

0.5 0

f

– 0.5

j

–1 – 1.5 0

Lösung zur Aufgabe 4 Schritt 1 des Lösungsverfahrens „Schaltung mit Zählpfeilen versehen“ ist bereits in der Angabe enthalten:

C

uC (t) ue (t)

R

ua (t)

a) In dieser Teilaufgabe werden die Schritte 2 „Elementgleichungen und Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen“ und 3 „Gleichungssystem in den Bildbereich transformieren“ unmittelbar hintereinander durchgeführt. Elementgleichungen: ua .t/ D R  i.t/ i.t/ D C 

duC .t/ dt

c

s Ua .f / D R  I.f /

c

s I.f / D C  j2f  U .f / C

144

6 Fourier-Transformation

Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln: c

ua .t/ D ue .t/  uC .t/

s Ua .f / D Ue .f /  UC .f /

b) Ua .f / D Ue .f /  UC .f / D Ue .f / 

1  I.f / C  j2f

D Ue .f / 

1 1   U a .f / C  j2f R

D Ue .f /  U a .f /  

1 Ua .f /  1 C j2f  RC



Ua .f / Ue .f /

D Ue .f / 1

D

H.f / D

1C

1 j2f  RC

j2f j2f C

c) H.f / D

j2f j2f C

1 RC

1  j2f D  RC 1 1  j2f j2f C RC RC 1 j2f  C .2f /2 RC D   1 2 C .2f /2 RC j2f

D

j2fRC C .2fRC/2 1 C .2fRC/2

1 RC

1 j2f  RC

6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation

145

d) ˇ ˇ ˇ j2fRC C .2fRC/2 ˇ ˇ ˇ jH.f /j D ˇ 1 C .2fRC/2 ˇ p .2fRC/2 C .2fRC/4 D 1 C .2fRC/2 p 1 C .2fRC/2 D 2fRC  1 C .2fRC/2 2fRC Dp 1 C .2fRC/2 e)    j2fRC C .2fRC/2 arg H.f / D arg 1 C .2fRC/2  ! Im H.f /  D arctan Re H.f /   2fRC D arctan .2fRC/2   1 D arctan 2fRC f) Fequenzgang

1.5 j

1

H(f)

0.5 0

0

f

146

6 Fourier-Transformation

Lösung zur Aufgabe 5 Schritt 1 des Lösungsverfahrens „Schaltung mit Zählpfeilen versehen“ ist bereits in der Angabe enthalten:

L

R

uL (t)

uR (t)

ue (t)

i(t)

C

ua (t)

a) In dieser Teilaufgabe werden die Schritte 2 „Elementgleichungen und Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen“ und 3 „Gleichungssystem in den Bildbereich transformieren“ unmittelbar hintereinander durchgeführt. Elementgleichungen: i.t/ D C 

dua .t/ dt

uR .t/ D R  ua .t/ uL .t/ D L 

dua .t/ dt

c

s I.f / D C  j2f  U .f / a

c

s UR .f / D R  I.f /

c

s UL .f / D L  j2f  I.f /

Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln: ua .t/ D ue .t/  uL .t/  uR .t/

c

s Ua .f / D Ue .f /  UL .f /  UR .f /

b) Ua .f / D Ue .f /  UL .f /  UR .f / D Ue .f /  L  j2f  I.f /  R  I.f / D Ue .f /  I.f /  .L  j2f C R/ D Ue .f /  C  j2f  U a .f /  .L  j2f C R/ D Ue .f /  U a .f /  ..j2f /2 LC C j2fRC/

6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation

147

 Ua .f /  1 C .j2f /2 LC C j2fRC D Ue .f / Ua .f / Ue .f /

D

H.f / D

1 1C

.j2f /2 LC

C j2fRC

1 1  R 1 LC C j2f C .j2f /2 LC L

c) 0 H.f / D

1 1  R 1 LC C 2f C .2f /2 LC L

D

1  LC.2f /2  j2fRC 1  2 1  LC.2f / C j2fRC 1  LC.2f /2  j2fRC

D

1  LC.2f /2  j2fRC .1  LC.2f /2 /2 C .2fRC/2

d) 0 ˇ ˇ ˇ 1  LC.j2f /2  j2fRC ˇ ˇ ˇ jH.f /j D ˇ .1  LC.2f /2 /2 C .2fRC/2 ˇ p .1  LC.2f /2 /2 C .2fRC/2 D .1  LC.2f /2 /2 C .2fRC/2 1 Dp .1  LC.2f /2 /2 C .2fRC/2 e) 0  arg H.f / D arg



1  LC.2f /2  j2fRC .1  LC.2f /2 /2 C .2fRC/2

1. Fall: a > 0; b beliebig  < H.f / > 0 1  LC.2f /2 > 0 für

jf j


1 p 2 LC

 arg H.f / D  arctan

gilt: 

2fRC 1  LC.2f /2

 

3. Fall: a D 0; b < 0  < H.f / D 0 1  LC.2f /2 D 0 für

jf j D

1 p

2 LC   arg H.f / D  2

gilt:

Für f > 0 folgt 8   2fRC ˆ ˆ  arctan ˆ ˆ ˆ 1  LC.2f /2 ˆ ˆ ˆ ˆ  <  arg H.f / D  2 ˆ ˆ ˆ   ˆ ˆ 2fRC ˆ ˆ ˆ  arctan  ˆ : 1  LC.2f /2

falls f < falls f D falls f >

1 p

2 LC 1 p

2 LC 1 p

2 LC

f) Frequenzgang:

H(f)

1 0.5 0 – 0.5 –1 – 1.5 –2 – 2.5 –3

f j

0

6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation

149

Lösung zur Aufgabe 6 Schritt 1 des Lösungsverfahrens „Schaltung mit Zählpfeilen versehen“ ist bereits in der Angabe enthalten:

R uR (t) uRS (t)

RS i(t)

ue (t) uL (t)

ua (t)

L

a) In dieser Teilaufgabe werden die Schritte 2 „Elementgleichungen und Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen“ und 3 „Gleichungssystem in den Bildbereich transformieren“ unmittelbar hintereinander durchgeführt. Elementgleichungen: uRS .t/ D RS  i.t/

c

s UR .f / D RS  I.f / S

di.t/ dt

c

s UL .f / D L  j2f  I.f /

c

s UR .f / D R  I.f /

uL .t/ D L 

uR .t/ D R  i.t/

Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln: ua .t/ D ue .t/  uR .t/

c

s Ua .f / D Ue .f /  UR .f /

ua .t/ D uRS .t/ C uL .t/

c

s U .f / D U .f / C U .f / a RS L

150

6 Fourier-Transformation

b) a Ua .f / D Ue .f /  UR .f / D Ue .f /  R  I.f / D Ue .f /  D Ue .f /  D Ue .f /  D Ue .f /  D Ue .f / 

R  U RS .f / RS R   U a .f /  U L .f / RS R   U a .f /  L  j2f  I.f / RS R  L  U a .f /  j2f  U R .f / RS R   R L   U a .f /  j2f  U e .f /  U a .f / RS R

R L L U a .f / C j2f U e .f /  j2f U a .f / RS RS RS     R L L C j2f D Ue .f /  1 C j2f Ua .f /  1 C RS RS RS D U e .f / 

L j2f RS D R L Ue .f / 1C C j2f RS RS

Ua .f /

1C

RS C j2f L H.f / D R C RS C j2f L c) a RS C j2f L H.f / D R C RS C j2f L RS C 2jfL R C RS  2jfL D  R C RS C 2jfL R C RS  2jfL D

RS R C .RS /2  j2fLRS C j2fL.R C RS / C .2fL/2 .R C RS /2 C .2fL/2

D

RS R C .RS /2 C .2fL/2 C j2fLR .R C RS /2 C .2fL/2

6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation

151

d) ˇ ˇ ˇ RS R C .RS /2 C .2fL/2 C j2fLR ˇ ˇ ˇ jH.f /j D ˇ ˇ .R C RS /2 C .2fL/2 q 2 RS R C .RS /2 C .2fL/2 C .2fLR/2 D .R C RS /2 C .2fL/2 Oder alternativ ˇ ˇ ˇ ˇ RS ˇ C j2f ˇ ˇ ˇ L jH.f /j D ˇ ˇ ˇ ˇ R C RS ˇ C j2f ˇ L jRS C j2fLj D jR C RS C j2fLj s .RS /2 C .2fL/2 D .R C RS /2 C .2fL/2 e)    RS R C .RS /2 C .2fL/2 C j2fLR arg H.f / D arg .R C RS /2 C .2fL/2   2fLR D arctan RS R C .RS /2 C .2fL/2 f) Frequenzgang:

1

H(f)

0.75 0.5 0.25 0

j 0

f

152

6 Fourier-Transformation

Lösung zur Aufgabe 7 Schritt 1 des Lösungsverfahrens „Schaltung mit Zählpfeilen versehen“ ist bereits in der Angabe enthalten:

C1

R1 uR1 (t)

i1 (t)

uC1 (t)

ue (t)

C2 ua (t)

R2 i2 (t)

i3 (t)

a) In dieser Teilaufgabe werden die Schritte 2 „Elementgleichungen und Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufstellen“ und 3 „Gleichungssystem in den Bildbereich transformieren“ unmittelbar hintereinander durchgeführt. Elementgleichungen: duC1 .t/ dt dua .t/ i3 .t/ D C  dt

c

s I .f / D C  j2f  U .f / 1 C1

c

s I .f / D C  j2f  U .f / 3 a

uR1 .t/ D R1  i1 .t/

c

s U .f / D R  I .f / 1 R1

ua .t/ D R2  i2 .t/

c

s U .f / D R  I .f / 2 a

i1 .t/ D C 

Maschen- und Knotenpunktgleichungen entsprechend den Kirchhoffschen Regeln: ua .t/ D ue .t/  uR1 .t/  uC1 .t/

c

s U .f / D U .f /  U .f /  U .f / a e R1 C1

i1 .t/ D i2 .t/ C i3 .t/

c

s I .f / D I .f / C I .f / 1 2 3

b) Ua .f / D Ue .f /  UR1 .f /  UC1 .f / D Ue .f /  R  I 1 .f / 

1  I .f / j2fC 1

6.2 Musterlösungen zur Fourier-Transformation

 D Ue .f /  R C  D Ue .f /  R C D Ue .f / 

1 j2fC 1 j2fC



  I 2 .f / C I 3 .f /

   1  U a .f / C Cj2f  U a .f / R

R 1 j2fC U a .f /  j2fRC  U a .f /  U a .f /   U a .f / R j2fRC i2fC

D Ue .f /  2U a .f /  j2fRC  U a .f /   Ua .f /  3 C j2fRC C Ua .f / Ue .f /

1 j2fRC



1 U .f / j2fRC a

D Ue .f /

1

D

3 C j2fRC C

H.f / D

153

1  RC

1 j2fRC

j2f 1 3 C j2f C .j2f /2 .RC/2 RC

c) H.f / D

1  RC

j2f 1 3 j2f C .j2f /2 C .RC/2 RC

1  RC.2f /2  j6f RC D  1 1  RC.2f /2 C j6f  RC.2f /2  j6f RC RC   1 2 2  RC.2f / 3.2f / C j2f RC D  2 1  RC.2f /2 C .6f /2 RC j2f

d) ˇ  ˇˇ  ˇ 1 ˇ 3.2f /2 C j2f 2 ˇ  RC.2f / ˇ ˇ RC ˇ ˇ jH.f /j D ˇ  ˇ 2 ˇ ˇ 1 ˇ ˇ 2 2  RC.2f / C .6f / ˇ ˇ RC

154

6 Fourier-Transformation

s 2    2 1  RC.2f /2 3.2f /2 C 2f RC D  2 1 2 C .6f /2  RC.2f / RC s 2  2f 4 3 9.2f / C  RC.2f / RC D  2 1  RC.2f /2 C .6f /2 RC Oder alternativ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ 1 j2f ˇ ˇ  jH.f /j D ˇ ˇ 1 3 ˇ RC j2f C .j2f /2 ˇˇ C ˇ 2 .RC/ RC D

D

1 jj2f j ˇ ˇ ˇ ˇ 1 3 RC ˇ 2C ˇ j2f  .2f / ˇ ˇ .RC/2 RC 1  s RC

2jf j 1  .2f /2 .RC/2

2

 C

6f RC

2

e) 0

1  1 2 2  RC.2f / 3.2f / C j2f B C  RC B C arg H.f / D arg B  C 2 @ A 1 2 2  RC.2f / C .6f / RC 1  0 1  RC.2f /2 2f  B C RC C D arctan B @ A 2 3.2f /

6.3 Übungsaufgaben zur Fourier-Rücktransformation

155

f) Frequenzgang:

1.5 1

H(f)

0.5 0 – 0.5

j

–1

f

– 1.5 0

6.3

Übungsaufgaben zur Fourier-Rücktransformation

Aufgabe 1 Berechnen Sie die zugehörigen Zeitfunktionen s.t/ durch Lösen des Integrals der Fourier-Rücktransformation. a) S.f / D rect.f / b) S.f / D rect.f  12 /  sin.f  / c) S.f / D  .f /  e2f

Aufgabe 2 Berechnen Sie zunächst S.f / durch Transformation der Signale in den Frequenzbereich. Ermitteln Sie anschließend s.t/ durch Rücktransformation in den Zeitbereich. Nutzen Sie dabei die Korrespondenztabelle. a) s.t/ D rect.t/  rect.t/ b) s.t/ D sin.t/  ı.t  12 / t t c) s.t/ D  .t/  e RC  .t/  e RC

Aufgabe 3 Beweisen Sie die Korrespondenzen a) und b) durch Lösen des Integrals der Fourier-Rücktransformation und bei c) zusätzlich durch den Einsatz von Korrespondenzen anderer Funktionen.

156

a) b) c)

6 Fourier-Transformation 1  Œı.f  f0 /  ı.f C f0 / s 2j 1  Œı.f  f0 / C ı.f C f0 / s 2 1 1 s c  .t/  ı.f / C j 2f 2

c

sin.2f0 t/

c

cos.2f0 t/

In den folgenden Aufgaben 4 bis 8 werden die Schritte 4–6 des in Kap. 6 vorgestellen Standard-Lösungsverfahrens geübt:

Aufgabe 4 Gegeben ist die aus Abschn. 6.1 Aufgabe 3 bekannte Schaltung:

L

RS

uL (t)

uR (t)

ue (t)

i(t)

R

ua (t)

Sie haben die komplexe Übertragungsfunktion dieser Schaltung bereits in Abschn. 6.1 Aufgabe 3 berechnet als:

H.f / D

R  L

1 RS C R j2f C L

Berechnen Sie nun die Antwort ua .t/ dieser Schaltung auf eine Anregung ue .t/ mit dem Rechteckimpuls: 0 B ue .t/ D U0  rect @

t T

T1 2C A

Skizzieren Sie das Eingangssignal ue .t/. Transformieren Sie ue .t/ durch Integration in den Frequenzbereich. Berechnen Sie U a .f / durch Multiplikation von H.f / und U e .f /. Transformieren Sie U a .f / zurück in den Zeitbereich. Nutzen Sie ggf. eine Partialbruchzerlegung und die Korrespondenzentabellen. e) Zeichnen Sie das Ausgangssignal ua .t/ qualitativ.

a) b) c) d)

6.3 Übungsaufgaben zur Fourier-Rücktransformation

157

Aufgabe 5 Gegeben ist die aus Abschn. 6.1 Aufgabe 4 bekannte Schaltung:

C

uC (t) ue (t)

R

ua (t)

Sie haben die komplexe Übertragungsfunktion dieser Schaltung bereits in Abschn. 6.1 Aufgabe 4 berechnet als: H.f / D

j2f j2f C

1 RC

Berechnen Sie nun die Antwort ua .t/ der gegebenen Schaltung auf eine Anregung mit einem podestförmigen Eingangssignal ue .t/: 8 U0 ˆ ˆ ˆ < 2 ue .t/ D U0 ˆ ˆ ˆ :0

falls

0tT

falls

T < t  2T

W

2T < t  3T

sonst

a) Skizzieren Sie das Eingangsignal ue .t/. b) Stellen Sie das Eingangssignal ue .t/ als Summe zweier einfacher Rechteck-Funktionen ue_˛ .t/ und ue_ˇ .t/ dar. c) Durch die Zerlegung von ue .t/ in zwei einfache Rechteck-Funktionen können Sie die Systemantwort durch Überlagerung berechnen. Dafür ist die Kenntnis der Systemantwort auf eine allgemeine Rechteck-Funktion notwendig. Berechnen Sie das Spektrum U r_allg .f / der allgemeinen Rechteckfunktion. d) Berechnen Sie die Systemantwort U a_rect .f / auf eine solche allgemeine Rechteck-Funktion durch Multiplikation der Übertragungsfunktion H.f / der Schaltung mit U r_allg .f /. e) Transformieren Sie U a_rect .f / zurück in den Zeitbereich. Nutzen Sie ggf. eine Partialbruchzerlegung und die Korrespondenztabelle. f) Sie haben nun die Systemantwort auf eine allgemeine Rechteck-Funktion ermittelt. Wenden Sie den allgemeinen Fall nun auf Ihre speziellen Rechteck-Funktionen ue_˛ .t/

158

6 Fourier-Transformation

und ue_ˇ .t/ aus Teilaufgabe b) an und berechnen Sie die beiden Systemantworten ua_˛ .t/ und ua_ˇ .t/. g) Berechnen Sie die ursprünglich gesuchte Systemantwort ua .t/ auf das podestförmige Eingangssignal durch Überlagerung von ua_˛ .t/ und ua_ˇ .t/. h) Zeichnen Sie das Ausgangssignal ua .t/ qualitativ.

Aufgabe 6 Gegeben ist die aus Abschn. 6.1 Aufgabe 5 bekannte Schaltung:

L

R

uL (t)

uR (t)

ue (t)

i(t)

C

ua (t)

Sie haben die komplexe Übertragungsfunktion dieser Schaltung bereits in Abschn. 6.1 Aufgabe 5 berechnet als:

H.f / D

1 1  R LC 1 C j2f C .j2f /2 LC L

Gesucht ist nun die Antwort ua .t/ des Filters auf ein periodisches Sägezahn-Signal. Die Übertragungsfunktion enthält im Nenner bereits ein Polynom zweiten Grades. Durch die Multiplikation der Übertragungsfunktion mit dem Spektrum des Eingangssignals ergibt sich für das Spektrum des Ausgangssignals ein noch höherer Grad. So wird die exakte Berechnung der Systemantwort sehr aufwendig. Eine Möglichkeit, den Aufwand zu verringern, ist, das Eingangssignal durch eine Fourier-Reihe anzunähern. Sie müssen dann nur noch die Systemantwort auf einzelne Sinus- bzw. Kosinusfunktionen berechnen. Beschreiben Sie dazu zuerst das folgende periodische Signal ue .t/ durch eine reelle Fourier-Reihe. Nutzen Sie die aus Abschn. 2.1 bekannten Formeln zur Berechnung der reellen Fourier-Koeffizienten.

6.3 Übungsaufgaben zur Fourier-Rücktransformation

159

ue (t) 1 0

t –T

a) b) c) d) e) f)

g)

h) i) j) k)

0

T

Beschreiben Sie ue .t/ mathematisch. Berechnen Sie den reellen Fourier-Koeffizienten a0 . Berechnen Sie die reellen Fourier-Koeffizienten an . Berechnen Sie die reellen Fourier-Koeffizienten bn . Entwickeln Sie die reelle Fourier-Reihe ue_FR .t/, indem Sie die Koeffizienten a0 , an und bn einsetzen. Der periodische Sägezahn ist nun in eine Summe von Sinusfunktionen und einen Gleichanteil zerlegt. Berechnen Sie das Spektrum einer allgemeinen Sinusfunktion und das Spektrum des Gleichanteils. Berechnen Sie die Fourier-Transformierte der Systemantwort des Filters auf die Anregung mit der errechneten allgemeinen Sinusfunktion im Frequenzbereich. Transformieren Sie Ua_Sinus.f / zurück in den Zeitbereich. Lösen Sie dafür das Integral und vereinfachen Sie so weit, dass der Term keine imaginäre Einheit mehr enthält. Berechnen Sie die Systemantwort des Filters auf die Anregung mit einem Gleichanteil im Frequenzbereich. Nutzen Sie das Spektrum, das Sie in Aufgabe f) errechnet haben. Transformieren Sie Ua_Gleichanteil.f / durch Integration zurück in den Zeitbereich. Geben Sie nun die als Fourier-Reihe genäherte Systemantwort ua_FR.t/ an.

Aufgabe 7 Gegeben ist die aus Abschn. 6.1 Aufgabe 6 bekannte Schaltung: R uR (t) uRS (t)

RS i(t)

ue (t) uL (t)

L

ua (t)

160

6 Fourier-Transformation

Sie haben die komplexe Übertragungsfunktion dieser Schaltung bereits in Abschn. 6.1 Aufgabe 6 berechnet als: RS C j2f L H.f / D R C RS C j2f L Berechnen Sie nun die Antwort ua .t/ der gegebenen Schaltung auf einen durch ue .t/ beschriebenen Abschaltvorgang:

ue.t/ D U0  σ.t/ a) Skizzieren Sie ue .t/. b) Transformieren Sie das Eingangssignal ue .t/ in den Frequenzbereich. Zerlegen Sie ue .t/ dafür in einen geraden und einen ungeraden Anteil. Nutzen Sie dann den Zuordnungssatz, den Ähnlichkeitssatz, den Vertauschungssatz und die Korrespondenztabellen. c) Berechnen Sie U a .f / durch Multiplikation von H.f / und U e .f /. d) Transformieren Sie U a .f / zurück in den Zeitbereich. Führen Sie ggf. eine Partialbruchzerlegung durch und nutzen Sie die Korrespondenztabelle. e) Zeichnen Sie das Ausgangssignal ua .t/ qualitativ.

Aufgabe 8 Gegeben ist die aus Abschn. 6.1 Aufgabe 7 bekannte Schaltung:

R1 uR1 (t)

C1

i1 (t)

uC1 (t)

ue (t)

R2 i2 (t)

C2 ua (t) i3 (t)

Sie haben die komplexe Übertragungsfunktion dieser Schaltung bereits in Abschn. 6.1 Aufgabe 7 berechnet als:

H.f / D

1  RC

j2f 1 3 C j2f C .j2f /2 .RC/2 RC

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

161

Gesucht ist nun die Antwort ua .t/ der gegebenen Schaltung auf ein gleichgerichtetes Sinussignal: ˇ  ˇ ˇ  ˇˇ ue .t/ D U0  ˇˇ sin t T ˇ a) Skizzieren Sie ue .t/. b) Geben Sie die Periodendauer T an und berechnen Sie den reellen Fourier-Koeffizienten a0 . c) Berechnen Sie die reellen Fourier-Koeffizienten an . d) Warum sind die reellen Fourier-Koeffizienten bn D 0? e) Entwickeln Sie die reelle Fourier-Reihe ue_FR .t/, indem Sie die Koeffizienten a0 , an und bn einsetzen. f) Die gleichgerichtete Sinusfunktion ist nun in eine Summe von Kosinusfunktionen und einen Gleichanteil zerlegt. Berechnen Sie das Spektrum einer allgemeinen Kosinusfunktion und das Spektrum des Gleichanteils. Nutzen Sie dazu die Korrespondenztabelle und den Vertauschungssatz. g) Berechnen Sie die Systemantwort des Filters auf die Anregung mit der errechneten allgemeinen Kosinusfunktion im Frequenzbereich. h) Transformieren Sie U a_Kosinus .f / zurück in den Zeitbereich. Lösen Sie dafür das Integral und vereinfachen Sie so weit, dass der Term keine imaginäre Einheit mehr enthält. i) Berechnen Sie die Systemantwort des Filters auf die Anregung mit einem Gleichanteil im Frequenzbereich. Nutzen Sie das Spektrum, dass Sie in Aufgabe f) errechnet haben. j) Transformieren Sie U a_Gleichanteil .f / durch Integration zurück in den Zeitbereich. k) Geben Sie nun die als Fourier-Reihe genäherte Systemantwort ua_FR .t/ an.

6.4

Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

Lösung zur Aufgabe 1 a) a S.f / D rect.f / s c Z1 s.t/ D

S.f /  ej 2ft df

1 1

Z2 D  12

1  ej 2ft df

162

6 Fourier-Transformation

1 j 2ft  12 e  12 j 2t  1 j t e  e j t D j 2t D

D

1  sin.t/ t

D si.t/ b) 1 S.f / D rect.f  /  sin.f  / 2 s c Z1 s.t/ D

S.f /  ej 2ft df

1

Z1 D

sin.f /  ej 2ft df

0

Z1 D

1 jf .e  e j f  /  ej 2ft df 2j

0

D

1 2j

Z1

ej f Cj 2ft df 

0

1 2j

Z1

e j f Cj 2ft df

0

f .j Cj 2t/ 1 1

f .j2tj / 1 1 1 1  e e   0 0 2 j j  C j 2t 2j j 2t  j 

j Cj 2t  1

j 2tj   1 1 1  e e D 1   1 2 j j  C j 2t 2j j 2t  j  3 3 2 2 1 4 j 1 4 j 2t  j  1 1 1 1  ej 2t 15   „ƒ‚… e 15 D e e 2 j j  1 C 2t „ƒ‚… 2 j j  2t  1 D

D1

D1

1 1 j 2t  1 j 2t  1 D e e 1 C 1 2 1 C 2t 2 2t  1



 1 1 1 1 ej t ej t C e j t  ej t ej t C e j t D 2 1 C 2t 2 2t  1

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

1 1 1 1 ej t cos.t/  2  ej t cos.t/  2 2 1 C 2t 2 2t  1   1 1 1 j t e   cos.t/  2 D 2 1 C 2t 2t  1   1 j t 2t  1  2t  1 D e cos.t/  .2t  1/.2t C 1/ D

D

1 j t 2 e cos.t/ 2  4t  1

c) S.f / D  .f /  e2f s c Z1 s.t/ D

S.f /  ej 2ft df

1

Z1 D

e2f  ej 2ft df

0

Z1 D

ef .2j 2t/ df

0

D

1 1  ef .2j 2t/ 0 j 2t  2

D

1 Œ0  1 j 2t  2

D D

1 j 2t  2

1 1  2 1  j t

163

164

6 Fourier-Transformation

Lösung zur Aufgabe 2 a) a s.t/ D rect.t/  rect.t/ c s Korrespondenztabelle Nr. 1 S.f / D si.f /  si.f / D si2 .f / s Korrespondenztabelle Nr. 2 c s.t/ D tri.t/ b) a 1 s.t/ D sin.t/  ı.t  / 2 c 1 s Korrespondenztabelle Nr. 13 und Nr. 6 + Verschiebungssatz mit f0 D 2   1 1 1 1 S.f / D ı.f  /  ı.f C /  1  e j 2f 2 2 2 2j s Korrespondenztabelle Nr. 13 c 1 s.t/ D sin.t  / 2 c) a t

t

s.t/ D  .t/  e RC  .t/  e RC c s Korrespondenztabelle Nr. 5 S.f / D

RC RC  1 C j 2fRC 1 C j 2fRC

D

.RC/2 .1 C j 2fRC/2

D

.RC/2 .RC/2  .1 C j 2fRC/2 .RC/2

D

1 ..RC/1 C j 2f /2

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

165

s

1 c Korrespondenztabelle Nr. 15 für a D .RC/ und n D 2

s.t/ D  .t/  eat 

tn1 .n  1/Š

1

D  .t/  e RC t 

t21 .2  1/Š

t

D  .t/  t  e RC

Lösung zur Aufgabe 3 a) S.f / D s

1  Œı.f  f0 /  ı.f C f0 / 2j

c Z1 s.t/ D

S.f /  ej 2ft df

1

1 D 2j 1 D 2j

Z1

Œı.f  f0 /  ı.f C f0 / ej 2ft df

1 Z1

ı.f  f0 /  e 1

j 2ft

1 df  2j

1 1  1  ej 2f0 t   1  e j 2f0 t 2j 2j 1  j 2f0 t e D  e j 2f0 t 2j D

D sin.2f0 t/

Z1 1

ı.f C f0 / ej 2ft df

166

6 Fourier-Transformation

b) S.f / D s

1 1  ı.f  f0 / C  ı.f C f0 / 2 2

c Z1 s.t/ D

S.f /  ej 2ft df

1

1 D 2

D

Z1 ı.f  f0 / e

j 2ft

1

1 df C 2

Z1

ı.f C f0 / ej 2ft df

1

1 1  1  ej 2f0 t C  1  e j 2f0 t 2 2

D cos.2f0 t/ c) S.f / D s

1 1  ı.f / C 2 j 2f

c Z1 s.t/ D

S.f /  ej 2ft df

1

1 D 2

Z1

j 2ft

ı.f /  e 1

Z1 df C

1 1 D C F 1 2 j 2f „ ƒ‚ … Nr:12

D

1 1 C sgn.t/ 2 2

D  .t/

1

1 1 j 2ft  e df j 2 f

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

167

Lösung zur Aufgabe 4

L

RS

uL (t)

uR (t)

ue (t)

i(t)

R

ua (t)

a) Eingangssignal:

ue (t) U0 U0 2

T 2

T

b) Schritt 4 des Lösungsverfahrens „Bildfunktion des Eingangssignals berechnen“: Ue .f / D Ffue .t/g D

Z1

ue .t/  e j 2ft dt

1

ZT D U0 

e j 2ft dt

0

 j 2ft T 1 e 0  j 2f

 j 2fT  1 e D U0  1  j 2f  U0

1  e j 2fT D j 2f D U0 

D

U0  j fT e sin.fT/ f

t

168

6 Fourier-Transformation

c) Schritt 5 des Lösungsverfahrens „Gleichungssystem auflösen nach Bildfunktion der gesuchten Größe“: Ua .f / D H.f /  Ue .f /  1 1

1  e j 2fT  U0  RS C R j 2f j2f C L 

1 1 U0 R   D  1  e j 2fT C R R L j 2f S j2f C L

D

R  L

d) Schritt 6 des Lösungsverfahrens „Zeitfunktion der gesuchten Größe“ ermitteln: ua .t/ D F 1 fUa .f /g Partialbruchzerlegung:

1  j 2f

0 Ua .f / D

U0 R B 1  @ RS C R j 2f 2

D

U0 R 6 1  4 RS C R j 2f

A 1 B C D RS C R RS C R j 2f j2f C j2f C L L ˇ ˇ L 1 ˇ D AD ˇ RS C R ˇ RS C R j2f C f D0 L ˇ 1 ˇˇ L BD D ˇ RS C R j2πfˇ RS C R fD j2πL 1  1 C

 1  e j 2fT RS C R A j2f C L 1 1  j 2fT e  RS C R j 2f j2f C L C

3

1 7 e j 2fT 5 RS C R j2f C L

s c

Korrespondenzen Nr. 15 und Nr. 12 sowie 5. Verschiebungssatz

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

169

  R CR R CR 1 U0 R 1  S L t  S L .tT/ ua .t/ D  sgn.t  T/ C  .t  T/  e sgn.t/   .t/  e RS C R 2 2 # " T R CR R CR t 2 U0 R  S L t  S L .tT/ D C  .t  T/  e rect. /   .t/  e RS C R T

e) Ausgangssignal:

ua (t) U0 R R S +R

T 2

t

T

Lösung zur Aufgabe 5

C

uC (t) ue (t)

R

ua (t)

170

6 Fourier-Transformation

a) Eingangssignal:

ue (t) U0 U0 2

T

2T

3T

b) ue .t/ D ue_a .t/ C ue_ˇ .t/     t  ˛2 t  ˇ2 C ˇ1  rect D ˛1  rect ˛3 ˇ3 ! ! t  32 T t  32 T U0 U0 D  rect C  rect 2 3T 2 T c) Schritt 4 des Lösungsverfahrens „Bildfunktion des Eingangssignals berechnen“: U r_allg .f / D Ffue_allg .t/g D



Z1 c1  rect 1



Z1 D c1 

rect

1 c2 C

Z





 e j 2ft dt

 e j 2ft dt

c3 2

e j 2ft dt

D c1  c2 

t  c2 c3

t  c2 c3

c3 2

c2 C c3 c1  e j 2ft c  c23 2 2  j 2f i h c3 c3 c1  e j 2f .c2 C 2 /  e j 2f .c2  2 / D  j 2f i h c3 c3 c1 D  e j 2fc2  e j 2f . 2 /  e j 2f . 2 /  j 2f c1  j 2fc2 e  sin .fc3 / D f D

t

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

171

oder alternativ: D

c1 c3  j 2fc2 e  sin .fc3 / fc3

D c1 c3  e j 2fc2  si .fc3 / d) Schritt 5 des Lösungsverfahrens „Gleichungssystem auflösen nach Bildfunktion der gesuchten Größe“:

U a_rect .f / D H.f /  U r_allg .f / D

j 2f j 2f C

1 RC

D

j 2c1 j 2f C

1 RC

D

j 2f j 2f C

1 RC

D

c1 j 2f C

1 RC



c1  j 2fc2 e  sin .fc3 / f

 e j 2fc2  sin .fc3 /

oder auch: i h c3 c3 c1  e j 2f .c2 C 2 /  e j 2f .c2  2 /  j 2f i h c3 c3  e j 2f .c2  2 /  e j 2f .c2 C 2 / 

e) Schritt 6 des Lösungsverfahrens „Zeitfunktion der gesuchten Größe“ ermitteln:  ˚ ua_rect .t/ D F 1 U a_rect .f / ) ( h i c c c1 1  j 2f .c2  23 /  j 2f .c2 C 23 / DF  e e 1 j 2f C RC ( ) c c c1 c1  j 2f .c2  23 /  j 2f .c2 C 23 / D F 1  e  e  1 1 j 2f C RC j 2f C RC Korrespondenz Nr. 15 und 5. Verschiebungssatz   c3  c3 i 1 1 D c1   .t/  e RC t  ı c2    .t/  e RC t  ı c2 C 2 2 h     c3   1 .t.c2  c3 // c3   1 .t.c2 C c3 // i 2 2 D c1   t  c2    t  c2 C  e RC  e RC 2 2 h

172

6 Fourier-Transformation

f) h     c3   1 .t.c2  c3 // c3   1 .t.c2 C c3 // i 2 2 ua_˛ .t/ D c1   t  c2    t  c2 C  e RC  e RC 2 2 i U0 h 1 1 D   .t/  e RC t   .t  3T/  e RC .t3T/ 2 i U0 h 1 1 ua_ˇ .t/ D   .t  T/  e RC .tT/   .t  2T/  e RC .t2T/ 2

g) ua .t/ D ua_˛ .t/ C ua_ˇ .t/ i U0 h 1 1   .t/  e RC t   .t  3T/  e RC .t3T/ D 2 i U0 h 1 1   .t  T/  e RC .tT/   .t  2T/  e RC .t2T/ C 2 U0

1 1 D   .t/  e RC t   .t  3T/  e RC .t3T/ 2  1 1 C  .t  T/  e RC .tT/   .t  2T/  e RC .t2T/

h) Ausgangssignal:

ua (t) U0 2

t –

U0 2

T

2T

3T

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

173

Lösung zur Aufgabe 6

L

R

uL (t)

uR (t)

i(t)

ue (t)

C

ua (t)

a) ue .t/ D

t 1V t D V T T

für t 2 .0jT/

periodisch mit T

b) 2 a0 D T

ZT

2 ue .t/ dt D T

0

2V t  V dt D 2 T T

0



D

ZT

2V 1 2 t T2 2

T D 0

ZT t dt 0

 1V 2 T  0 D 1V 2 T

c) 2 an D T

ZT ue .t/  cos.n!0 t/ dt 0

2 D T

ZT

t  V  cos.n!0 t/ dt T

0

2V D 2 T

ZT t  cos.n!0 t/ dt

Bronstein1 Integral Nr. 318

0

1 Bronstein I A, Semendjajew K A (2012) Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch, Thun und Frankfurt (Main)

174

6 Fourier-Transformation

D

D

D

2V T2 2V T2 2V T2



T

cos.n!0 t/ t  sin.n!0 t/ C .n!0 /2 n!0

" "

cos.n 2 t/ T 2 2 .n T / 1 .n 2 /2 T

C

t

C0

0

sin.n 2 t/ T 2 nT 1

.n 2 /2 T

#T 0

#

C0

D0 d) 2 bn D T

ZT ue .t/  sin.n!0 t/ dt 0

2 D T

ZT

t  V  sin.n!0 t/ dt T

0

2V D 2 T

ZT

Bronstein2 Integral Nr. 279

t  sin.n!0 t/ dt 0

2V D 2 T D

2V T2

 " "

sin.n!0 t/ t  cos.n!0 t/  .n!0 /2 n!0 sin.n 2 t/ T .n 2 /2 T



T

t  cos.n 2 t/ T n 2 T #

0

#T 0

2V T 1 0  2  0 C 0 2 T nT " # 2V T D 2  2 T nT D

D

V n

2 Bronstein I A, Semendjajew K A (2012) Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch, Thun und Frankfurt (Main)

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

175

e) 1

a0 X C an  cos.n!0 t/ C bn  sin.n!0 t/ 2 nD1

ue_FR .t/ D

D

 1  1V X 1V sin.n!0 t/  C 2 n nD1

D

1 1V 1V X 1   sin.n!0 t/ 2  nD1 n

f) Schritt 4 des Lösungsverfahrens „Bildfunktion des Eingangssignals berechnen“: Ffsin.n!0 t/g D Ffsin.2nf0 t/g Korrespondenz Nr. 13 1 Œı.f  nf0 /  ı.f C nf0 / 2j

D

Ff

a0 a0 gD  ı.f / 2 2

Korrespondenz Nr. 11

g) Schritt 5 des Lösungsverfahrens „Gleichungssystem auflösen nach Bildfunktion der gesuchten Größe“: (Teil 1) U a_Sinus .f / D H.f /  Ffsin.n!0 t/g 1  LC

D

1 1 LC

C j 2f "

1 1   D LC 2 j

1 LC

R L

C

.j 2f /2



1 Œı.f  nf0 /  ı.f C nf0 / 2j

ı.f  nf0 /  C j 2f RL C .j 2f /2

1 LC

ı.f C nf0 / C j 2f RL C .j 2f /2

#

h) Schritt 6 des Lösungsverfahrens „Zeitfunktion der gesuchten Größe“ ermitteln: (Teil 1) Z1 ua_Sinus .t/ D

U a_sinus .f /  ej 2ft df

1

Z1 D 1

1 LC



1 2j

 

ı.f nf0 / R 1 Cj 2f C.j 2f /2 LC L



ı.f Cnf0 / R 1 Cj 2f C.j 2f /2 LC L



 ej 2ft df

176

6 Fourier-Transformation

Z1

ı.f nf0 / R 1 Cj 2f C.j 2f /2 LC L

j 2ft

D

1 2 j LC

D

1 1 2 j LC 1 Cj 2nf R C.j 2nf /2 0 0 LC L

e

D

1 2 j LC

 ej 2nf0 t 

1

D

D

1 j 2nf0 t



ı.f Cnf0 / R 1 Cj 2f C.j 2f /2 LC L

1 1 2 j LC 1 j 2nf R C. j 2nf /2 0 0 LC L 1 1 R .2nf0 /2 j 2nf0 LC L

 ej 2ft df

 e j 2nf0 t

 e j 2nf0 t



 e j 2nf0 t



   R R 1 1 .2nf0 /2 ej 2nf0 t j 2nf0 ej 2nf0 t  .2nf0 /2 e j 2nf0 t j 2nf0 e j 2nf0 t LC LC L L 2  2  1 R .2nf0 /2 C 2nf0 2 j LC LC L



 1 R .2nf0 /2 .ej 2nf0 t e j 2nf0 t /j 2nf0 .ej 2nf0 t Ce j 2nf0 t / LC L  2    R 2 1 .2nf0 /2 C 2nf0 2 j LC LC L

D



  R 1 .2nf0 /2 sin.2nf0 t/2 j 2nf0 cos.2nf0 t/ 2j LC L   2   1 R 2 .2nf0 /2 C 2nf0 2 j LC LC L 

D

1 1 R .2nf0 /2 Cj 2nf0 LC L

df 

1 R 1 R

LC .2nf0 /2 j 2nf0 .2nf0 /2 Cj 2nf0 j 2nf0 t 1 L LC L  e          2 2 2 j LC 1 1 R 2 R 2 .2nf0 /2 C 2nf0 .2nf0 /2 C 2nf0 LC L LC L     R j 2nf0 t R  j 2nf0 t 1 1 .2nf0 /2 j 2nf0 e .2nf0 /2 Cj 2nf0 e  LC L LC L  2  2  R 1 .2nf0 /2 C 2nf0 2 j LC LC L

D

D



e

Z1

1 2 j LC

 1 R .n! /2 sin.n!0 t/n!0 cos.n!0 t/ LC  0 L 2     1 R 2 .n!0 /2 C n!0 LC LC L

i) Schritt 5 des Lösungsverfahrens „Gleichungssystem auflösen nach Bildfunktion der gesuchten Größe“: (Teil 2) U a_Gleichanteil .f / D H.f /  Ff D

1  LC

D

a0  ı.f / 2

a0 g 2 1

1 LC

C j 2f

R L

C .j 2f /

2



a0  ı.f / 2

j) Schritt 6 des Lösungsverfahrens „Zeitfunktion der gesuchten Größe“ ermitteln: (Teil 2) Z1 ua_Gleichanteil .t/ D 1

U a_Gleichanteil .f /  ej 2ft df

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

Z1 D 1

1  LC

D

1  LC

D

a0 2

1 LC

177

1 1 LC

C j 2f

R L

C .j 2f /

2



a0  ı.f /  ej 2ft df 2

1 a0 1  C0C0 2

k) Zusammenführung des Schritts 6 des Lösungsverfahrens (Teil 1 und Teil 2) ˚  ua_FR .t/ D F 1 H.f /  Ffue_FR .t/g 1 n 1V 1V X o 1   sin.n!0 t/ D F 1 H.f /  F 2  nD1 n DF

1

DF

1



H.f /  F H.f /  F

n 1V o 2 n 1V o 2

1 1V 1V X 1 D   2  nD1 n



1 n 1V X o 1  H.f /  F  sin.n!0 t/  nD1 n 1 n 1V X o 1 F  H.f /  sin.n!0 t/  nD1 n

 1 R .n! /2 sin.n!0 t/n!0 cos.n!0 t/ LC  0 L  2    R 2 1 .n!0 /2 C n!0 LC L

Lösung zur Aufgabe 7

R uR (t) uRS (t)

RS i(t)

ue (t) uL (t)

L

ua (t)

178

6 Fourier-Transformation

a) Eingangssignal: ue (t) U0

– 2.5

0

2.5

5

7.5

t

b) Schritt 4 des Lösungsverfahrens „Bildfunktion des Eingangssignals berechnen“: 1 1 .ue .t/ C ue .t// D .U0   .t/ C U0   .t// 2 2 U0 U0 . .t/ C  .t// D D 2 2

ue_g .t/ D

1 1 .ue .t/  ue .t// D .U0   .t/  U0   .t// 2 2 U0 sgn.t/ D 2

ue_u .t/ D

˚  SRg .f / D F ue_g .t/ Uo DF 2 D

U0 ı.f / 2

j Slu .f / D F fue_u .t/g o n U D F 0 sgn.t/ 2 U0 1 1 D f 2 j  1j j  1 D

U0 1 2 j f

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

179

U e .f / D SRg .f / C j Slu .f / D

U0 1 U0 ı.f /  2 2 j f

c) Schritt 5 des Lösungsverfahrens „Gleichungssystem auflösen nach Bildfunktion der gesuchten Größe“: U a .f / D H.f /  U e .f /  U0 1 U0 ı.f /  D  2 2 j f   RS C j 2f 1 1 L D U0 RCRS ı.f /   2 j 2f C j 2f L 

RS C j 2f L RCRS C j 2f L

d) Schritt 6 des Lösungsverfahrens „Zeitfunktion der gesuchten Größe“ ermitteln: ˚  ua .t/ D F 1 U a .f / ( ) RS C j 2f U0 RLS C j 2f 1 1 L DF ı.f /  U0 RCRS S 2 RCR C j 2f C j 2f j 2f L L ( ) RS C j 2f 1 U0 RS L  U0 F 1 RCR D S 2 R C RS C j 2f j 2f L Partialbruchzerlegung: RS L

C j 2f B A C D  RCRS j 2f j 2f j 2f C L j 2f C ˇ RS C j 2f ˇˇ RS AD L D RCRS ˇˇ R C RS j 2f C L f D0 ˇ RS C j 2f ˇˇ R BD L D ˇ ˇ j 2f RS C R RS CR f D

RS CR L

L

( ) R U0 RS U0 R S C ua .t/ D  F 1 2 R C RS R C RS j 2f j 2f C RSLCR   RS CR U0 RS RS U0 D sgn.t/ C  .t/R  e L t  2 R C RS R C RS 2

180

6 Fourier-Transformation

  R CR U0 RS RS  SL t D   sgn.t/ C  .t/Re R C RS 2 2 i h RS CR U0  RS   .t/  R   .t/  e L t D R C RS e) Ausgangssignal:

ua (t) RS U 0 R+RS

t

–1

0

1

2

3

Lösung zur Aufgabe 8

R1 uR1 (t) ue (t)

C1

i1 (t)

uC1 (t) R2 i2 (t)

C2 ua (t) i3 (t)

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

181

a) Eingangssignal: ue (t) U0

– 10

0

10

20

30

40 t/ms

b) 0 T D 10ms a0 D

2 T

ZT ue .t/dt D 0

2U0 D T

2 T

ZT

ˇ  ˇ ˇ 2 ˇˇ t ˇ dt U0  ˇˇsin 2T

0

ZT sin

  t dt T

0

  iT 2U0 T h cos t T  T 0   i 2U0 h cos T C cos.0/ D  T 2U0 Π.1/ C 1 D  4 D U0 

D

c) 0 2 an D T

ZT

2 ue .t/  cos .n!0 t/ dt D T

0

2U0 D T

ZT

ˇ  ˇ ˇ 2 ˇˇ cos .n!0 t/ dt U0  ˇˇsin 2T ˇ

0

ZT

    2 t cos n t dt sin T T

0

#T   t t cos T  n 2 cos T C n 2 2U0 T T    D  2 2 T 2 T Cn T 2 T n T 0 "

Bronstein3 Integral Nr. 408

3 Bronstein I A, Semendjajew K A (2012) Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch, Thun und Frankfurt (Main)

182

6 Fourier-Transformation

D D D D D D

  cos . .1 C 2n// cos . .1  2n// 2U0 1 1 1   C C T 2 T 1 C 2n 1  2n 1 C 2n 1  2n   1 U0 1 1 1 C C C  1 C 2n 1  2n 1 C 2n 1  2n   U0 2 2 C  1 C 2n 1  2n   2U0 1 1 C  1 C 2n 1  2n   2U0 1  2n C 1 C 2n  .1 C 2n/ .1  2n/ 1 4U0  1  4n2

d) Die gerade Funktion jsin.:::/j multipliziert mit der ungeraden Funktion sin.:::/ ergibt eine ungerade Funktion. Das Integral über eine ungerade Funkion mit symmetrischen Grenzen ergibt immer 0. e) 1

a0 X an  cos .n!0 t/ C bn  sin .n!0 t/ C ue_FR .t/ D 2 nD1  1  X U0 4 1 4U0 C  cos .n!0 t/ D 2  1  4n2 nD1 D

1 4U0 X 2U0 1 C  cos .n!0 t/   nD1 1  4n2

f) Schritt 4 des Lösungsverfahrens „Bildfunktion des Eingangssignals berechnen“: F fcos .n!0 t/g D F fcos .2nfo t/g D

F

na o 0

2

1 Œı .f  nf0 / C ı .f C nf0 / 2

DF D



2U0 

2U0 ı .f / 

6.4 Musterlösungen zur Fourier-Rücktransformation

183

g) Schritt 5 des Lösungsverfahrens „Gleichungssystem auflösen nach Bildfunktion der gesuchten Größe“: (Teil 1) U a_Kosinus .f / D H.f /  F fcos .n!0 t/g 1  RC

D

j 2f 1 .RC/2

C

3 RC

2

1 1 4  RC 2

D

j 2f C .j 2f /

2



1 Œı .f  nf0 / C ı .f C nf0 / 2

j 2f  ı .f  nf0 / 1 .RC/2

C

3 RC

j 2f C .j 2f /2

C

j 2f  ı .f C nf0 / 1 .RC/2

C

3 RC

j 2f C .j 2f /2

3 5

h) Schritt 6 des Lösungsverfahrens „Zeitfunktion der gesuchten Größe“ ermitteln: (Teil 1) Z1 ua_Kosinus .t/ D

U a_Kosinus .f /  ej 2ft df

1

Z1 D 1

1 1  RC 2

1 1  D RC 2 1 1 RC 2

1 .RC/

Z1

1

D



1 .RC/2



1 .RC/2

j 2f ı.f nf0 / 2 3 2 C RC j 2f C.j 2f /

j 2f ı.f nf0 / 3 j 2f C.j 2f /2 C RC

j 2nf0 ej 2nf0 t 3 C RC j 2nf0 C.j 2nf0 /2

C

1 .RC/

j 2f ı.f Cnf0 / 2 3 2 C RC j 2f C.j 2f /

 ej 2ft C



1 .RC/2



 ej 2ft df

j 2f  ı .f C nf0 / 1 .RC/2

C

3 RC

j 2f C .j 2f /2 

 ej 2ft df

j 2nf0 e j 2nf0 t 3  RC j 2nf0 C.j 2nf0 /2

3 2    2 2 1 3 1 3 j 2nf t  j 2nf0 t j 2nf0 4 .RC/2  RC j 2nf0 C.j 2nf0 / e 0  .RC/2 C RC j 2nf0 C.j 2nf0 / e 5    D 2 2 1 3 1 3 2RC 2 C RC j 2nf0 C.j 2nf0 / 2  RC j 2nf0 C.j 2nf0 / .RC/

2

D

D

j 2nf0 4 2RC

.RC/

3    1 1 2 j 6 nf ej 2nf0 t  2 Cj 6 nf e j 2nf0 t .2nf / .2nf / 0 0 0 0 RC RC .RC/2 .RC/2 5    2 1 6 1 2 j 6 nf / .2nf Cj nf .2nf / 0 0 0 0 2 2 RC RC .RC/

.RC/

2

3  1 6 .2nf0 /2 .ej 2nf0 t e j 2nf0 t /.j RC nf0 /.ej 2nf0 t Ce j 2nf0 t / 2 .RC/ 5  2 2 2 1 6 C. RC nf0 / 2 .2nf0 /

2

3  1 6 .2nf0 /2 2 j sin.2nf0 t/.j RC nf0 /2cos.2nf0 t/ 2 .RC/ 5  2 2 2 1 6 C. RC nf0 / 2 .2nf0 /

j 2nf0 4 2RC

.RC/

D

j 2nf0 4 2RC

.RC/

2nf0 . D  2RC

6 RC nf0





1 .2nf0 /2 sin.2nf0 t/ .RC/2  2 2 1 6 .2nf0 /2 C RC nf0 .RC/2

/cos.2nf0 t/

.

/

184

6 Fourier-Transformation

i) Schritt 5 des Lösungsverfahrens „Gleichungssystem auflösen nach Bildfunktion der gesuchten Größe“: (Teil 2) U a_Gleichanteil .f / D H.f /  F D

1  RC



2U0 

1 .RC/2

C

3 RC

j 2f 2U0 ı.f /  j 2f C .j 2f /2 

j) Schritt 6 des Lösungsverfahrens „Zeitfunktion der gesuchten Größe“ ermitteln: (Teil 2) Z1 ua_Gleichanteil .t/ D

U a_Gleichanteil .f /  ej 2ft df

1

Z1 D 1

D

1  RC

1  RC

1 .RC/2

1 .RC/2

C

3 RC

j 2f a0  ı.f /  ej 2ft df 2 2 j 2f C .j 2f /

0 a0 1  C0C0 2

D0 k) Zusammenführung der beiden Teillösungen zur Gesamtlösung: ua_FR .t/ D F 1 fH.f /  F fue_FR .t/gg ( )) ( 1 4U0 X 1 2U0 1 C DF  cos.n!0 t/ H.f /  F   nD1 1  4n2 ( )) (

1 1 2U0 4U0 X 1 C H.f /  F DF  cos.n!0 t/ H.f /  F   nD1 1  4n2 ) (

1 4U0 X 1 2U0 1 C  H.f /  F fcos.n!0 t/g DF H.f /  F   nD1 1  4n2

1 4U0 X 1 2U0 C D F 1 H.f /  F  F 1 fH.f /  F fcos.n!0 t/gg   nD1 1  4n2 



1 1 2 4U0 X 1 2nf0 . RC6 nf0 /cos.2nf0 t/ .RC/ 2 .2nf0 / sin.2nf0 t/ D0C    2 2 2 1 6  nD1 1  4n RC .2nf0 /2 C. RC nf0 / .RC/2 



1 1 2 . RC6 nf0 /cos.2nf0 t/ .RC/ n 4U0 2f0 X 2 .2nf0 / sin.2nf0 t/   D   2 2 1 6  RC nD1 1  4n2 .2nf0 /2 C. RC nf0 / .RC/2

7

Laplace-Transformation

Zusammenfassung

Die Laplace- ist wie die Fourier-Transformation eine Funktional-Transformation. Sie ermöglicht wie die Fourier-Transformation die Betrachtung eines Zeitsignals im Frequenzbereich. Sie stellt allerdings keine echte Erweiterung, sondern eine Modifikation der Fourier-Transformation dar. Dazu wird der Kern der Fourier-Transformation um den Konvergenzfaktor et ergänzt wodurch die Menge der transformierbaren Signale und Systeme deutlich erweitert wird. Dies führt andererseits auf eine Einschränkung der zu transformierenden Signale auf t  0. Diese Einschränkung spielt in der praktischen Anwendung der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik aber kaum eine Rolle, da Signale in der Regel zu einem bestimmten Zeitpunkt eingeschaltet werden, welcher dann als t D 0 definiert werden kann. In diesem Kapitel wird die Laplace-Transformation vorgestellt.

Ein Problem bei der Anwendbarkeit der Fourier-Transformation ist die Bedingung der absoluten Integrierbarkeit Z1 js.t/j dt < 1 1

welche oftmals nicht erfüllt ist. Diese läßt sich durch Einführen eines Konvergenzfaktors ejtj

mit

lim

!0C

zumindest für „nur“ expotentiell wachsende Funktionen „erzwingen“. © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020 Bernhard Rieß und Christoph Wallraff, Übungsbuch Signale und Systeme, https://doi.org/10.1007/978-3-658-30371-6_7

185

186

7 Laplace-Transformation

Allerdings wird durch den jtj die Transformation auf t  0 eingeschränkt. Unter Hinzunahme des Konvergenzfaktors in den Kern der Fourier-Transformation und unter Beachtung obiger Einschränkung ergibt sich die Laplace-Transformation zu: Z1

s.t/  et  e j 2ft dt

0

Z1 D

s.t/  e.Cj !/t dt

mit

! D 2f

0

Z1 D

s.t/  ept dt

p D  C j!

mit

0

Zusammengefasst lauten die Transformationsformeln der Laplace-Transformation:

Z1 S.p/ D

Laplace-Transformation:

s.t/  ept dt

0

1 s.t/ D j 2

Laplace-Rücktransformation:

Cj Z 1

S.p/  ept dp

j 1

bzw. abgekürzt: S.p/ D Lfs.t/g s.t/ D L1 fS.f /g Die Korrespondenz eines Zeitsignals zu einer Laplace-Transformierten wird wieder durch eine „Hantel“ symbolisiert. s.t/

c

s S.p/

7 Laplace-Transformation

187

Die Laplace-Transformation ist keine echte Erweiterung der Fourier-Transformation. Die Transformation wird zwar durch Hinzufügen des Konvergenzfaktors erweitert allerdings durch die Beschränkung auf Zeitsignale für die gilt s.t/ D 0

8

t 0; 0 sonst

0

1

ı.t/

1

1 pa

eat

2.0a

1 .pa/.pb/

eat ebt ab

2.0b

1 .pa/2

t  eat

2.1a

p .pa/.pb/

aeat bebt ab

2.1b

p .pa/2

.1 C a  t/  eat

2.c

! p2 C! 2

sin.!t/

2.d

! p2 ! 2

sinh.!t/

2.e

p p2 C! 2

cos.!t/

2.f

p p2 ! 2

cosh.!t/

2.g

! p2 C2˛pC.! 2 C˛ 2 /

e˛t  sin.!t/

2.h

!C˛ p2 C2˛pC.! 2 C˛ 2 /

e˛t  cos.!t/

3.0a

1 .pa/.pb/.pc/

.bc/eat C.ca/ebt C.ab/ect .ab/.bc/.ac/

3.0b

1 .pa/.pb/2

eat f1C.ab/tgebt .ab/2

3.0c

1 .pa/3

3.1a

p .pa/.pb/.pc/

a.bc/eat Cb.ca/ebt Cc.ab/ect .ab/.bc/.ac/

3.1b

p .pa/.pb/2

aeat faCb.ab/tgebt .ab/2

3.1c

p .pa/3

3.2a

p2 .pa/.pb/.pc/

a2 .bc/eat Cb2 .ca/ebt Cc2 .ab/ect .ab/.bc/.ac/

3.2b

p2 .pa/.pb/2

a2 eat f2abb2 Cb2 .ab/tgebt .ab/2

3.2c

p2 .pa/3

1 2

.t C

1 2

Bemerkungen

auch für a D 0 a¤b

a¤b

a¤b¤c a¤b

 t2  eat a¤b¤c a¤b

 a  t2 /  eat

.1 C 2at C

1 2

 a2  t2 /  eat

a¤b¤c a¤b

7 Laplace-Transformation

189

Mit Hilfe der Laplace-Transformation kann die Laplace-Transformierte des Ausgangssignals Y.p/ eines linearen zeitinvarianten Systems berechnet werden als Produkt der Laplace-Transformierten des Eingangssignals X.p/ und der Laplace-Transformierten der Impulsantwort H.p/: Y.p/ D H.p/  X.p/ Dieser Rechenweg ist in der Regel wesentlich einfacher als die Lösung der Differentialgleichung oder die Faltung. Die Laplace-Transformierte der Impulsantwort bezeichnet man als Übertragungsfunktion H.p/ des Systems Z1 H.p/ D

h.t/ept dt D Lfh.t/g

0

Die Impulsantwort ist demnach die Laplace-Rücktransformierte der Übertragungsfunktion: Cj Z 1

1 h.t/ D j 2

H.p/ept dp D L1 fH.p/g

j 1

Ein System ist stabil, wenn gilt: H.p/ D

1  LC

1 LC

1 C p RL C p2

d) H.p/ D D

1  LC

1 LC

1 C p RL C p2

1   q LC R R 2 p   2L C  2L

Polstellen: R p11 D  2L C R p12 D  2L 

Nullstellen: Keine

q

 R 2 2L

q

 R 2 2L



1 LC



1 LC

1    q 1 R R 2 p     LC 2L 2L

1 LC



7.2 Musterlösungen

219

e) PN-Diagramm:

1.5

jω

1 0.5 0

σ

– 0.5 –1 – 1.5 – 1.5

–1

– 0.5

0

0.5

1

1.5

f) Das System ist stabil, da sich alle Polstellen in der linken Halbebene befinden. R C