Bestimmung der allgemeinen Lösung der Schrödinger-Gleichung für Coulomb-Potential [Reprint 2021 ed.] 9783112502488, 9783112502471

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B E R I C H T E Ü B E R DIE V E R H A N D L U N G E N D E R SÄCHSISCHE^ A K A D E M I E D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU L E I P Z I G

Mathematisch-naturwissenschaftliche

Klasse

Band 97 • Heft 8

HELMAR

KRUPP

BESTIMMUNG DERxALLGEMEINEN LÖSUNG DER

SCHRÖDINGER-GLEICHUNG

FÜR COULOMB-POTENTIAL

19 5 0

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN

BERICHTE ÜBER DIE VERHANDLUNGEN DER SÄCHSISCHEN A K A D E M I E D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU L E I P Z I G Mathematisch-naturwissenschaftliche

Klasse

Band 97 • Heft 8

HELMAR

KRUPP

BESTIMMUNG DER ALLGEMEINEN DER

LÖSUNG

SCHRÖDINGER-GLEICHUNG

FÜR

COULOMB-POTENTIAL

1950

AKADEMIE-VERLAG

• BERLIN

Vorgelegt von Herrn F. Hund in der Sitzung vom 12. Dezember 1949 Manuskript eingeliefert am 15. Jan. 1950 Druckreif erklärt am 19. Juli 1950

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH., Berlin N W 7, Schiffbauerdamm 19 Lizenz Nr. 156 • 100/21/50 Satz u n d Druck Buchdruckerei Oswald Schmidt GmbH., Leipzig M 1 1 8 Bestell- und Verlagsnummer: 2027/97/8 Preis: DM 5,50

Aufgabenstellung Die ScHRÖDiNGER-Gleichung des Wasserstoffatoms lautet nach Abseparierung der Winkelabhängigkeit: D/ \ ,

2

d

D/ \ , \ 2 m l v r

i ( i + l ) l D/ \

«

Übergang zu atomaren Einheiten und Einführung der Energiequantenzahl n durch E = —1/2 n2 liefert (1)

R"(r) + ~ R'(r) + 2 [ - 2ra2 +1 |r -

1

2r2 _ R(r) = 0.

Fordert man als Randbedingung, daß R (r) bei r = 0 endlich bleibt und daß R (r) 0, wenn r-> dann erhält man für ganzzahlige re als Lösung von (1) die bekannten Wasserstoff-Eigenfunktionen, die sich multiplikativ aus der Exponentialfunktion, den LAGUEREEschen Polynomen und einer Potenz von r zusammensetzen. Bei verschiedenen theoretisch-physikalischen Problemen lassen sich die Atomeigenfunktionen in größeren Kernabständen durch Lösungen von (1) annäherr), die aber im allgemeinen die innere Randbedingung nicht mehr erfüllen (VII). Andere Fragestellungen erfordern solche Lösungen, die der äußeren Randbedingung lim R(r) = 0 nicht genügen. Daher wird im folgenden die a l l g e m e i n e Lösung von (1) ohne Berücksichtigung von Randbedingungen für beliebige Werte der Parameter n und l bestimmt. I*

4

HELMAR KRUPP

Lösungswege (vgl. V I I und die dort angegebene Literatur) Die Gleichung (1) kann auf zwei Weisen durcli geeignete Substitutionen auf Differentialgleichungen transformiert werden, deren allgemeine Lösungen in der mathematischen Literatur bekannt sind: a) mit den Substitutionen x = — u n d R(r) = R{x) =

^

erhält man die sog. WiiiTTAKEKSche Differentialgleichung

Die Lösungen dieser Gleichung werden in W H I T T A K E E - W A T S O N , „Modern Analysis", I I I . Aufl., S. 337-351, ausführlich diskutiert. In der vorliegenden Arbeit wird folgender, für die numerische Auswertung bequemere Weg gewählt: 2r

t>) Man setze x = — und R(r) = R{x) und substituiere in ( 1 ) T

R{r)~r e~' y[ l

n

Hierdurch gelangt man zu der konfluenten hypergeometrischen Differentialgleichung (I) (2)

x • y" + (b - x) • if - a • y = 0

mit a = l+ 1— n b = 2(1 + 1). Nachfolgend wird die allgemeine Lösung von (1) durch Angabe eines Fundamentalsystems von (2) bestimmt.

5

Bestimmung der allgemeinen Lösung

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (2) Durch den Reihenansatz y =

oo &

c„

x*

K=0

erhält man die charakteristische Gleichung e(e

+ 6 - i) = o

und schließlich in bekannter Weise für nichtganzzahlige b das Fundamentalsystem oo

y

n

=

z?/

i

F

1

u

\

{ a , b , x ) =

i ,

\ +

r'fl(»+l)-(«+»-l)'>!"

2 j

6 ( 6

+

1

)...(

yoz = xí~b iF^a — b+1,2 — b,x)

6

+

x

_ i ) .

x !

\ b\* 0,1, 2, •••

a beliebig.

Auf die Wiedergabe der diesbezüglichen elementaren^ Rechnungen sei verzichtet. Die Null in den Indizes von y01 2 soll andeuten, daß die Reihen (3) Entwicklungen um x = 0 darstellen, während die Ziffern 1, 2 die beiden linear unabhängigen Lösungen numerieren. Zur Konstruktion eines für ganzzahlige b gültigen Fundamentalsystems verwendet man zweckmäßigerweise die sog. Methode von F B O B E N I U S (II). Die Durchführung dieses Verfahrens liefert nach etwas umständlichen Rechnungen, die bei K I E N A S T (II) skizziert sind, für positiv-ganzzahlige ¿-Werte das Fundamentalsystem 00

- tF, (a, M-l + Z Zt^XV^X: X = 1

2/02=

(4)

( 5 Z 1 )

y o i ( a > b , x ) - l n x

a (a + 1) • • • (a + » — 1) x* 2-1 6(6 + 1) •••(& — 1) x\2-¡ U+" x=l

v=0

l

b+v

L_V 1 + vj

6

HELMAR

KRUPP

Das entsprechende Lösungssystem für negativ-ganzzahlige b braucht hier nicht erwähnt zu werden, da für die physikalischen Anwendungen nur positive ¿»-Werte in Betracht kommen. Für die numerische Berechnung der Funktionen (4) benötigt man eine asymptotische, für große x gültige Darstellung, da die Potenzreihen (3) bzw. (4) schon bei Werten x > 4 numerisch schlecht konvergieren. Die Bestimmung der asymptotischen Darstellung eines Fundamentalsystems von (2) geschieht in folgender Weise : Man setze in (2) x = 1/| und y(x) = rj (!). Dann ergibt sich die Differentialgleichung (5)

Prj"+

[£+(2-b)P]t)'-ati

= 0.

Der Reihenansatz OO

*=0 liefert nach Einsetzen in (5) zur ^-Bestimmung die Rekursionsformel (x + ß - 1) (x + q - b) c x _! + (x + q - a)cx = 0. Bei x = 0 erhält man q = a\ und mit c0 = 1 wird 1v,g(q+!)••.(/7(&- * - 2) cos w (6 - x - 1) = - (—l)''— /7(& - x - 2).

1_\

10

Helmar Krupp

Die letzte Summe wird dann

Xl-b n(a

6 - 2

(-l) b- K(a-b+l)...(a-b + x)^(b-2-X )\

und man erhält schließlich

ffth-1\n(a-h\— 77(6 — 1) 77(a— 6)

VoolSS ( - 1 )

+

2/02

' 77(a-l)j"

Zusammen mit (7) ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen den Lösungen (4) und (6): p/lv

(9) l»J

Voi (a, yx2 (a, b, x) S/(6 — 1) 1 V«>2 yot /(a,u b,\ x)/ es >rv (-1\) br(a)C+Y(a yxl - — 1)p— (a _6 + 1) b = 2, 3, 4, • 1, 0,. a * b-l,b-2,..., Zusammenhangsformeln für den Fall o = 0 , - 1 , - 2 - . . und 6 = 2 , 3 . . .

Man bemerkt, daß die Reihen y01 und yxl für diese Parameterwerte nach (1 — a) Gliedern abbrechen. Der Ansatz y01 = constans • y x l liefert daher durch Vergleich der Koeffizienten gleicher Potenzen von x die Zusammenhangsformel (iö)

y o l M (

_i).Tgi^yaBl.

Die entsprechende asymptotische Entwicklung von y02 erhält man durch Ausführung geeigneter Grenzübergänge an den Formeln (7). Zunächst gilt 2/ooZ

77 (g— 6) _ 77 (a— 1) - 7 7 ( 1 - 6 ) y° 2 77(6 —2) 2/001 "

Übergang zu a = 0, —1, ... liefert n ( a - 1) 77(6 - 2)

77(1-6) sin7t(2— 6) 77(—a) sinji(l-a)

v

«*»+.+! 77(1-6) ' n(—a) '

11

Bestimmung der allgemeinen Lösung

wenn m a n bei sinw(2 — &)/sinjr(l — a) gleichzeitig noch b gegen 2, 3, . . . gehen läßt. Mit (10) k a n n m a n schreiben ,,77(1 - 6 ) 7 7 ( 6 - q - 1 ) 77 ( — a ) ü ( b — 1)

77 (a — 6) Voo2"' 77(i_6) 77 (a— 6) y0o2->- 77(1 _ 6)

(a — 6 + 1) • • • (o — 6 + ») 77(1—6 + x)x!

(—1)6-177(6 — a — 1) 77(—a) 77 (6 — 1) 2/oi

•E

1/77(1-6) Grenzübergang zu ganzzahligen ¿-Werten gibt f ü r den ersten Faktor 77(as —6) , 1 8 + 1 71(6-2) 77(1 — 6) ' v 77(6 — a—1)" Der zweite F a k t o r wird wieder durch Differentiation von Zähler u n d Nenner nach b ausgewertet. Nach Rechnungen, die denen von S. 9 analog sind, erhält m a n : y™*

77(6-o-l)l

7 7 ( 1 - 6 + »)»! {a —

6 +

1) • • • ( a —

b +

x)

x*

77(1 — 6 + *)*! 1 a

—6+ 1

• +1

• • • . +

'

a —

b +

x

-!F(1

-b + x)

(—1)6+177(6 — a — 1)

2/oi

77(-o)77(6

El

x - i ) x * i

(6 + 1).-.(6 + x

y i

— \ ) x \ \ ^ j

i

\

b + v )

I n der geschweiften Klammer gehe jetzt b gegen 2 , 3 , 6—2 + 1-6 x= 0

- ( f i l ! ) [C+W(-a)-W(b-a-

1)] yol

12

HELMAR K R U P P

leb — 1\ V~Ta---(a+,*! — l)x* / U —11 JZJ

&•••(&+* —

v=0

(ö _ i) [[^(^ — « — 1) — y i a---(a + x-l)-x* (6 + x—

X=1 Man erhält schließlich

(11)

I yi

I

1_\ a+ v~

1+v)

— 1 6+ v

?=o

^(6 — a)'' a+b C + ¥(-a)-¥(b(-1) I7(-a)

a = 0,-1,-2,...

1)

2/coi ~ r{b — a) yx2

6 = 2,3, 4 , - . . .

Auswahl eines Fundamentalsystems und Normierung Wegen des singulären Verhaltens der zweiten Lösung (4) am Nullpunkt lassen sich die üblichen Normierungsvorschriften nicht anwenden. Daher wird die endgültige Auswahl des Fundamentalsystems und des offengelassenen Normierungsfaktors (in Hinsicht auf die physikalischen Anwendungen) so getroffen, daß die Bedingungen (12)

lim 1 Ä(n J Z,r) = - i = / i i + 1 (V87 ; ) «—>• °o f zr

lim a Ä(»,/,r) = -^=iV Il + 1 (V87) »-K» V2r für n = v/2 mit v = 1, 2, 3 , . . . erfüllt sind. Ijc und Nie sind resp. die BESSEL- und NEUMANNsche Funktion

der Ordnung k. Den Bedingungen (12) genügt folgendes Fundamentalsystem, das den numerischen Rechnungen zugrunde gelegt wird: aÄ

(n, l, r) = j ^ y - , e-Tln

2M

(a, b, x)

x = 2 r/n

Bestimmung der allgemeinen Lösung

13

mit

(

ir

K

(13)

( a ,

M

X

6 ,

a;)

=

~

n ( b

'

I I ( b —

v

1 ]

a —

1)

o o 1

"

b , x ) s s

( a ,

n ( a

—

y

l )

002

w o b e i s i c h d e r o b e r e A u s d r u c k auf d e n F a l l a = 0, — 1, — 2, • • •, d e r u n t e r e auf a ^ b — i , b — 2, ••• 1 , 0 , — 1, ••• b e z i e h t .

jt

2

( a , 6, z ) =

M

[In a; +

!P (6 -

1)]

M

X

( a , b,

x )

X— 1

00

+

-

C

v~i g . - . ( g + * — l ) s » 6-..(6+* —

y i /_1 U + "

x=l

1 + v

b

1_\ 1+»/

f=0

+

2

* \ b ~ l j

*

)

" l

-

x

)

+

\

W

= 0

(

a

-

l

)

M

1

(

a

,

b

v

(-l)»/7(-fl)/7(6-l)yooa

a =

0,-l,...

—

1)

I I { a

c + 6 - 1 , - ,

1, 0 , - 1 , . . . .

Die Wahl von

x a

M ist so g e t r o f f e n , d a ß f o l g e n d e

Bekursions-

( — l )

b

I I ( b

formeln gelten (I, V, M

(a

+

X

t

-

M ( a

=

b ( M

=

(

n

=

M

jo

=

b (a

a

M

n

)

M

I f

a ) x M

1

0

m

J l m

d h

—

X

M

-

00

-

< >

M

r

M

a

0

=

( x

1

=

b ( x

0

00

~

+

1

-

( a

1

2

a

b

M

M

-

(

-

0

b

—

b

~

a

)

b

-

0

)

M

1 ) M

0 1

r

x )

M

m

+

u

b a

+

1

M

ß ,

)

0

b)

x )

+

+

0

M

b

~

0

-

+

b

M

b ) M

+

-

a ,

0

-

0

J l m d x

y^i

=

u

a M

{b

,

l

M

a&

b)

VI):

x

x

( 1 4 )

—

M

x ( b

0

0

-

a)

0

+

(

0

+

6 ( 1

b

M

-

-

a

0

)

1

M

b ) M

_

0

1

0

_j

,

x

)

Helmab Krupp

14

Daß jilf diesen Formeln genügt, geht aus den zitierten Literaturstellen hervor. Die Gültigkeit für 2 M läßt sich am schnellsten durch Benutzung der angegebenen asymptotischen Darstellungen nachweisen. Es sei noch bemerkt, daß der in (13) gewählte Normierungsfaktor durch (12) und (14) nur hinsichtlich reiner Zahlenfaktoren eindeutig bestimmt wird. Die Eindeutigkeit bezüglich geeigneter Ausdrücke in n und l, die bei dem Grenzübergang eins werden, ist nicht gewährleistet. Erhebt man außer (12) und (14) zusätzlich die Forderung größter Einfachheit, dann ist die gewählte Normierung eindeutig festgelegt.

Zusammenstellung der Lösungen der Gleichung (1) n nichtganzzahlig, l = 0,1,2,•••

T n R(n,l,r) = ^ e~ \F l Wl 1(l-n

+ i,2l + 2,^)

n« + i +1 eTU r(l — n + 1) (2 r)
S IA IS IO «

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22

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