Aplicații în trigonometrie: probleme rezolvate 9789732701003, 9732701005

Citation preview

Aplicaţii

in ttigonometrie ----

Constantin

IONESCU-ŢIU

c::::, ~

EDITURA ACADEMIEI ROMÂNE

APLICAŢII ÎN TRIGONOMETRIE (PROBLEME REZOLYATE)

COLECTIVUL DE CONDUCERE AL

COLECŢIEI

Acad. CAIUS IACOB, Preşedintele Secţiei de ştiinţe matematice a Academiei. Române, coordonator. Acad. NICOLAE TEODORESCU, Preşedintele Societăţii de ştiinţe matematice din România. Prof. dr. doc. RADU l\UROK, universitatea „Al. I. Cuza" Iaşi. Prof. dr. ION CUCULESCU, Cniversitatea din Bucureşti. Prof. DAN PAPUC, Universitatea din Timişoara . .Prof. dr. PETRU MOCANU, Universitatea din Cluj-Napoca.

Biblioteca profesorului de

CONSTANTIN

matematică

IONESCU-ŢIU

APLICATII

ÎN

,

TRIGONOMETRIE (PROBLEME REZOLVATE)

EDITURA ACADEMIEI RO~IÂNE BUCUREŞTI, 1992

APPLICATIONS IN TRIGONOMETRY

OPMMEHEHIUI B TPI.ff0HOMETPJ1I1

lSBN 973-27-1000-5

:EDITURA ACADEMIEI ROMÂNE R 79 717,

Bucureşti,

Calea. Victoriei nr. 12.5

CUVlNT !NAINTE

ln cadrul învăţămîntului din şcolile generale şi din licee, matemati'cii i acordă astăzi un loc deosebit de important. Considerată ca o disciplin('f cultură generală, matematica educă în primul rînd gîndirea elevilor şi în acelaşi timp le dezvoltă simţul de precizie, ordine, armonie, disciplină. Ea pune totodată la dispoziţia elevilor un eficient instrument de lucru, pe care ei îl folosesc cu mult succes şi la celelalte discipline în cadrul lecţiilor de mecanică, fizică, chimie. Predarea acestor ştiinfe devine categoric mai simplă dacă ea se bazează

se de

pe exprimarea matematică. Aceste funcţii formative ale matematicii au făcut pe un cunoscut matematician român, academicianul Grigore C. Moisil (1906-1973), să afirme chiar că „matematica este latina secolului XX" în sensul că în cadrul învăţă­ mîntului de cultură generală, matematica a luat locul pe care îl ocupa odinioară limba latină, care avea aceleaşi virtuţi formative. Una dintre noţiunile de bază ale matematicii este aceea de funcţie, adică de corespondenţă între elementele a două mulţimi. Noţiunea de funcţie întîlnită de elevi sub o formă mai mascată în clasele mici, apare în toată claritatea şi generalitatea ei în clasele VIII şi IX. Ea este ilustrată prin exemple simple, ca funcţia polinom de gradul I sau II, dar în curînd cadrul acestor exemple se lărgeşte prin introducerea funcţiilor trigonometrice şi atunci importanţa ei devine şi mai uşor sesizabilă de elevi. Astfel, apare acel capitol al disciplinelor matematice care poartă numele de trigonometrie şi constituie un important aport al ştiinţei arabe şi al celei europene medievale. Trigonometria a fost impulsionatcr de aplicaţiile ei la astronomie, ca şi de necesitatea evaluării distanfclor dintre puncte inaccesibile de pe Pămînt sau din spaţiul cosmic, de necesitatea evaluării ariilor suprafeţelor agricole, de diverse măsurători etc. Sub această formă, trigonometria a pătruns în învc'iţămînt alături de geometrie şi de ştiinţa algebrei, care la rîndul ei s-a dezvoltat tot mai mult cu începere din secolul al XVII-iea. Tradiţia predării trigonometriei în şcoală ca o disciplincf a parte s-a oglindit şi în învăţâmîntul nostru, începînd cu lecţiile de „Trigonometria cea dreaptă" ale lui Gheorghe Lazăr, care se ocupa de rezolvarea triunghiurilor plane, iar într-1tn timp se preda în învăţămînt şi trigonometria sferică, cu scopul rezolvârii triunghiurilor sferice. Reluată de Spiru Haret care a modernizat predarea lui Gheorghe Lazăr, tri{',onometria a făcut apoi obiectul 1tnor manuale speciale pentru elevi. Printre acestea, se înscriu în primul rînd acelea ale profesorului Nicolae Avramescu, ca şi a altor profesori de seamă pe care i-a dat în trecut învăţămîntul nostm matematic. Unul dintre stîlpii Gazetei matematice, inginerul Vasile Cristescu, a realizat şi o primă şi foarte apreciată culegere de probleme de trionometric. Dezvoltarea ulterioară în învăţâmîntul liceal a calculului d·1jerenţial şi integral, creaţie a secolelor XVIII şi XIX, a restrîns mult poziţia trigonometriei, reducîndit-i în special aplicaţiile şi însc'işi situaţia ei specială de disciplină aparte, pînă la a fi înglobată în analiza matematică, sau chiar în geometrie, ca ttn capitol de juneţii speciale, aşa-numitele funcţii transcendente elementare 5

sin, cos, tg, ctg, precum şi a funcţiilor lor inverse arcsin, arccos, arctg, arcctg, care au fost stttdiate în primul rînd de marele matematician Leonhard Euler (1707-1783). Dar această circumstanţă nu a redus cu nimic rolul formativ al trigonometriei şi învJţimîntul nostru continuă, şi pe drept cuvînt, să dezvolte capitolele rezervate definiţiilor funcţiilor trigonometrice, a relaţiilor dintre ele şi a identităţilor trigonometrice, precum şi a ecuaţiilor şi inecuaţiilor trigonometrice. Acestea sînt de natură a consolida cunoştinţele generale matematice predate elevilor. ln arta formulării de probleme matematice, plecînd de la unele idei simple, profesorul C. Ionescu-Ţiu, după ce ne-a oferit cunoscutele şi apreciatele lucrări şi culegeri de probleme de geometrie plană şi în spaţiu, aritmetică, algebră, calcul dYerenţial şi"integral, publicate în editurile Albatros, Didactică şi Pedagogică, Tehnică din Bucureşti şi Editura Facla din Timişoara, prezintă astăzi publicului cititor această bogată colecţie de probleme de trigonometrie pentru treapta I de liceu şi pentru şcolile tehnice. Culegerea sa cuprinde nu mai puţin de· 867 de probleme împreună cu soluţiile lor şi cu 180 de teste, la care elevii urmează să-şi încerce singuri forţele. M a_jordatea problemelor sînt accesibile masei largi a elevilor şi autorul a căutat să le pună acestora la îndemînă metode de lucru, care să le permită abordarea şi rezolvarea lor. Elevii vor găsi şi probleme cu caracter recapitulativ, alese în special dintre acelea date la examenele de admitere în facultăţi sau la olimpiade şi concursuri. Cele mai multe probleme sînt datorate autorului, dar în volum s-au inclus şi probleme propuse de alţi autori, numele autorilor şi r~ferinţele bibliografice corespunzătoare fiind date în introducerea volumului. Lucrarea este în primul rînd consacrată capitolelor trigonometriei cuprinse în programa şcolară (funcţii trigonometrice, proprietăţi, relaţii dintre ele, grafice, ecuaţii trigonometrice, identităţi remarcabile, inecuaţii, rezolvarea triunghiurilor). Dar capitolul de aplicaţii în geometrie, algebră, mecanică şi fi::ică n1t este negli_jat şi în culegere se gcfaesc fntmoase probleme cu caracter aplicativ, privind rezolvarea ecuaţiilor binome, teoria numerelor complexe, determinări de distante etc. Lucrarea a' necesitat desigur o mare cantitate de muncă asociată unei bogate experienţe didactice şi publicistice, autorul fiind timp de peste 40 de ani redactor al Gazetei Matematice. Ea denotă acel spirit de dăruire, care caracterizează pe profesorii fruntaşi. Se cade să exprimăm toatii rec11,noştinţa noastră autorului pentru însemnatul serviciu adits cauzei predării matematicii în liceele noastre, iar Editurii Academiei Române, care a acceptat publicarea volumului, ce pune la dispoziţie elevilor şi profesorilor acest bogat material, i se cuvine de .asemenea toată gratitudinea pentrtt această iniţiativă. Acad. CAIUS IACOB Profesor la Facultatea de l\fatematică-Mecanic;i a Uni·rersităţii din Bucureşti

IN.îRODUCERE

Pentru r;regătirea temeinică a matematicilor predate în liceu, precum în stt:diul multor discipline tehnice, are mare rol şi însuşirea temeinică a cunoştinţdor de tri 5onometrie, verificate prin rezolvări de probleme variate. Lucrarea de faţă i:;uprinde exerciţii şi probleme de trigonometric, grupate pe capitole, conform programelor actuale ale liceului, adrcsîndu-sc în egală măsur:'t ele ilor din liceEl~ de orice specialitate', cît şi cadrelor diJactice şi ca material de cercetare pentru cercurile de matematică ale elevilor. Problemele din această lucrare sînt rezolvate complet în cele mai multe cazuri, la unele probleme s-a considerat potrivit '.'ă se dea doar indicaţii de rezolvare. Soluţiile problemelor fiind independente, rezolvarea lor se poate face şi în altă ordine decît cea propusă de autor. Lucrarea mai cuprinde şi un set de probleme recapitulative, date la examenele de admitere în facultăti sau la concursuri, constituind un instrumf nt de lucru util candidaţilor 'care se pregătesc pentru aceste examene. Prin cercetarea cu atenţie a lucrării, elevii vor înţelege frumuseţea şi eleganţa aplicaţiilor trigonometrice, iar prin modul de redactare a soluţiilor, elevii au şanse rcale de înţelegere a diferitelor metode de rezoh·are, lucrarea constituind totodată un instrument util în abordarea multor probleme aplicative cu caracter inter- şi intradisciplinar. Profesorii pot folosi unele probleme în crearea altor probleme aplicative, fragmentare sau mai simple, lucrarea fiind astfel şi un îndrumar de lucru, atît la clasă în cadrul cercurilor de elevi, cit şi în pregătirea olimpiadelor. Lucrarea este accesibili'\ şi atrăgătoare, iar prezentarea metodică a soluţiilor poate duce şi la stabilirea unor generalizări. Pentru a nu le supraîncărca munca, majoritatea problemelor sînt destul de accesibile gamei largi de elevi, soluţiile lor fiind clare, dobîndirea metodelor de rezolvare se face într-un timp scurt. Unele dintre problemele propuse la sfîrşitul capitolului sînt mai grele şi ele reclamă adcYărată virtuozitate matematică, pe care volumul caută să o transmită cititorului. Pc lîngă problemele cu caracter interdisciplinar cu aplicaţii la geometrie, fizică sau mecacanică, mai sînt şi probleme cu caracter aplicativ practic, cum sînt, de exemplu, problemele: 1: 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21; 2: 7; 3 : 4, 35; 4 :7, 9, 26, 27, 30, 33, 115 şi T: 129, 178. În lucrare, s-au folosit şi probleme propuse de autori români în publicaţiile din ţară, indicînd prescurtat astfel: G.M. (Gazeta Matematică), S.G.M. (Suplimentul Gazetei Matematice, R.M.T. (Revista Matematică din Timişoara) şi alte periodice, precum şi Facultăţile unde problemele au fost date la admitere. şi

Lista cu numele autorilor problemelor şi revistelor 1mde s-au publicat: Alger, P. (5: 84); Andreesett, T. (T: 135). Andrica, D. (T: 139, 142), Baltac, V. (3: 151}, Bastius, E. (2: 190), Băluţă, C. (6: 39}, Chiriţă, M. (1: 108, 155), Constantinescu, L. (4: 44), Doboşan, M. (T: 164), Drulea, M. (5: 125), Grecu,E. (2: 96}, Haivas, M. (T: 166}, Huschitt, M. (T: 168), Ionescu-Ţiu, C. 7

( 1: 18-21, 23, 24, 30, 31, 35, 36, 39, 40, 42, 44, 47, 48, 50, 55, 57, 67, 70-73, 75, 77, 78, 85, 86, 96, 103, 109-112, 134, 135, 137, 140, 142, 145, 1~6. 1:6, 2: 6, 12, 14, 15, 19, 28, 30, 31, 33, 38, 40, 43, 47, 52, 55, 58, 59, 61, 64, 66, 72, 74, 75, 78, 81, 84, 87, 93, 97, 99-104, 107, 109, 112, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 132, 133, 135, 137, 138, 140-143, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 158, 160, 161, 163, 164, 169, 172, 174, 176, 178, 183, 184, 186, 188, 190, 191, 3: 2, 3, 25, 26, 33, 37, 40, 52, 53, 55, 57, 61, 63, 65, 66, 68, 71, 90, 103, 104, 106, 115, 118, 120, 122-124, 129, 131, 133, 13.5, 137, 139, 141, 145, 147 -150, 152, 154, 156, 160, 162, 164, 166-170, 172, 174, 176, 178, 179, 180, 4: 28, 30, 32, 34, 38, 58, 60, 62, 68, 70, 72, 74, 76, 80, 86, 89, 105, 108, 109, 113, 114, 5: 6, 64, 75, 77, 83, 86, 93, 94, 104, 106, 108, 109, 110, 112, 113, 117, 6: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 15, 16, 20, 21, 23, 24, 41-43, 45-47, 52, 54, 63, 64, 66, 74, T: (2-47, 49-130, 132, 134, 136, 138, 141, 144, 146-155, 179, 180), Liviu, P. (T: 162), Maghiar, Gh. (3: 119). Mănescu, L. (4: 48). Mihăileanu, N. (4: 55), Panai-topol, L: (6: 37, T: 131), Popescu-Lugoj, Gh. (1: 98), Popescu, O. (2: 155), Rădulescu, M. (T: 160), Rotea, A. (6: 55), Solomon,]. (T: 161), Teodorescu, I. (1: 12), Toma, P. (1: 33), Tomescu, I. (3: 7), Tuţescu, L. (2: 70), Ţiţeica, Gh. (4: 59), Reviste: G.M.B. (1: 12, 30, 31, 33, 35, 37, 39, 42-44, 47, 48, 50, 55, 55, 57, 70-72, 75, 77, 78, 86, 96, 98, 101, 103, 107 -110, 133, 134, 137, 140, 146, 155, 156, 2: 6, 15, 19, 28, 30, 38, 40, 43, 47, 55, 58, 59, 61, 64, 69, 70, 75, 78, 93, 76, 97, 99-102, 104, 109, 112, 116, 118, 120, 126, 128, 133, 138, 140-143, 146, 148, 150, 152, 154-156, 158, 160, 161, 163, 164, 169, 172, 176, 178, 183, 186, 188, 190, 193, 3: 2, 3, 7 26, 33, 37, 40, 52, 53, 55, 61, 63, 65, 66, 68, 71, 77, 106, 115, 119, 120, 124, 126, 129, 131, 133, 135, 139, 141, 147, 150, 151, 152, 156, 160, 162, 164, 167, 168, 170, 172, 178, 179, 4: 28, 30, 38, 44, 48, 55, 58, 59, 62, 72, 74, 76, 89, 105, 108, 109, 113, 5: 6, 64, 75, 84, 86, 94, 95, 104, 110, 113, 117, 119, 6: 4, 6, 8, 13, 15, 16, 21, 23, 24, 37, 39, 41, 42, 43, 45-47, 52-54, '68, T: 113, 115, 116, 118-124, 126, 128-131, 152, 160, 161, 178), S.G.M. {1: 17, 136, 142, 2: 14, 33, 52, 58, 66, 81, 122, 135, 137, 3: 57, 145, 149, 154, 4: 60, 80, 114, 5: 83, 93, T: 125), R.M.T. (2: 180, 3: 148, 176, 4: 70, ·6: 55, T: 134-139, 142), Revista Nurnerus (2: 12, 28, 31, 72), Revista Pitagora (1: 29, 40, 2: 103, 124, 132, 3: 131-143, 166, 169, 180, 4: 68, 86, .5: 77, 6: 10).

CAPITOLUL li

Unghiuri, arce. Relaţii intre funcţiile trigonometrice ale arcelor în diferite cadrane. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale aceluiaşi arc., Operaţii cu vectori.1Proiecţii. Identităţi trigonometrice. Eliminări. Inegalităţi între funcţiile trigonometrice ale aceluiaş! "¼rgument,1 Arce care coresp11nd unei funcţii trigonometrice date. Funcţii periodice şilgraficele lor. Funcţii pa.re şi im?ue. iVal'iaţia şi]graficul funcţiilor trigono.netrice. Inegalităţi trigonometrice simple. Vectorijîn_]plan. Produsul scalar

PROBLEME ENUNŢURI

1.1. Un unghi obtuz A are 1, 21 unghiuri drepte. Să se exprime mă­ t'tmea acestui unghi în grade sexagesimale, în ·grade centesimale şi tn radiani. 1.2. Să se calculeze m'irimea în grade sexagesimale a unghiului di> un ndian. 1.3. Să se exprime unghiul de 57°17'44" în grade centesimale. 1.4. Cite grade sexage5imale are unghiul de 23/ 17 radiani? 1.5. Să se calculeze în grade sexagesimale: unghiul ae = 57C/7; ~ = 0,73895 radiani. 1.6: Să se calculeze unghiul la centru corespunzător arcului AB de '6,396 dm, raza cercului fiind de 8 dm. 1.7. Să se afle lungimea arcului AB corespunzător unghiului la centru de 51°3()'12", raza cercului fiind de 6 dm. 1.8. Acele unui ceasornic care arată minutele şi care arată orele sînt fa un m)nent dit suprap.1;e. S:i se afle unghiul pucurs (ml.turat) de acul arată orele .arată orele.

-care

pini cîn i min~tarul se suprapune din nou pe5te acul care (C.J.1'.).

1.9. lntre ora 3 şi 4 aceb unui ceasornic fac între ele un unghi de un

~adian.

Să

se exprime care este ora

exactă arătată

de ceasornic.

1.10. Un ceasornic arată ora 12h 40m. Să se calculeze unghiul făcut

ace, în grade sexagesimale, în grade centesimale şi în radiani. 1.11. Două puncte A şi B situate pe acelaşi meridian terestru sînt pe un cerc de 40 OOO km lungime. Care este distanţa între aceste puncte mă­ surate pe glob dacă latitudinile lor diferă cu 3° 15'? 1.12. Latitudinea geografică a oraşului Bucureşti este de 44°25' nord· Care este distanţa acestui oraş de ecuator, raportată la meridianul locului? Care este distanţa oraşului, faţă de tropicul de nord (lat. 23°27'20")? Ştiind că lungimea meridianului terestru, după măsurătorile moderne, este L = 40 009,152 km, să se exprime aceste distanţe. (G.M.B., 4500, I. Teodorescu} 1.13. Două roţi angrenate au respectiv 90 dinţi şi 36 dinţi. Dacă roata cu 90 dinţi se roteşte cu 200 rotaţii complete pe minut, să se calculeze viteza unghiulară w în radiani pe secundă a roţii cu 36 dinţi precum şi în grade sexagesimale pe secundă. 1.14. Cinci roţi dinţate sînt angrenate în serie şi au numărul de dinţi respfctiv Z 1 = 60 dinţi, Z 2 = 75 dinţi, Za = 30 dinţi, Z 4 = 45 dinţi şi Z5 = BOO dinţi. Dacă roata cu Za = 30 dinţi face 100 ture pe minut, să se afle numărul de ture pe minut al roţii cu Z 1 = 75 dinţi şi viteza unghiulară 5 în radiani pe secundă a roţii cu Z5 = 300 dinţi. 1.15. Pe o hartă la scara 1 : 50 OOO curbele de nivel sînt trasate echidistant, la o diferenţă de altitudine de 20 m. Care este în procente panta unui teren la care curbele de nivel sînt pe hartă depărtate cu 1 mm? Care va fi distanţa între curbele de nivel de pe hartă la panta de a.0 , ştiind că tga.= 1/15? 1.16. Să se arate că sin3 x(l + ctg x) + cos3 x(l + tg x) = sin x + de cele

+

două

COS X.

1.17. Să se arate că dacă x =f, k · ~. k 2

1

Z, atunci

1

E _ ( 1- sin x) 2 1 1

a)

E

(1- cos x) 2

( 1 + sin x) 2 1

(1

t

= g5

X.

+ cos x) 2

cos x sm x 1 ± sin x 1 ± cos x b) E 2 = - - - - - - - - - = ± ( c o s x-sin x), semnele se corespund. cos x sin x -l±cosx ---+--l ± COS X (S.G.M., VI: 989, C.J. Ţ) 1.18. Să se arate că (tg a+ tg b) (ctg a· ctg b-1) = (ctg a+ ctg b) (1 - tg a· tg b) = = ctg a + ctg b - tg a - tg b. (Revista Pitagora VI: 319 C.I. Ţ) 1.19. Să se arate că dacă x =f, k • '.:_, k 2

(1- cos x)-3

+ (1 + cos x)-

3

.....c------------(1- sin x)- 3 - (1 + sin x)-3 10

(3 (3

E

Z, atunci

+ c~s2 x) c_os7 x + sm2 x) sm7 x

. (G.M.B., 6243, r. Aria acestui corp de rotaţie. numit tor, constituie canalul unui lagăr, în care sînt aşezate n bile una după alta, bilele vecine fiind tangente între ele şi tangente canalului. Să se· exprime raza unei bile în funcţie de R şi n. Care este raza p a cercului pe care se află punctele de contact dintre bile. (G.M.B, 6186. C. Ionescu-Ţiu) 1.22. Să se afle raportul dintre ariile poligoanelor regulate cu cîte n laturi, respectiv circumscrise şi înscrise unui cerc de rază R şi raportul perimetrelor în funcţie de n. 1.23. Să se arate că dacă: 1 ~ cos x = A şi l - sin x = B, x=/:k ~, sm x cos x 2 k e Z, atunci: A2 B2 1 a)---+---=-· 2 2 2 2 4 ._ (1 + A ) (1 + B )

+ (1-BB2)2 + 2i = ( tg x +2 ctg x ) > 1. (G.M.B. 10 413, C.l.Ţ) Să se arate că .Jsin x + 4 cos x + .Jcos x + 4 sin x nu depin-

A2 b) (1-A2)2

2

2

2 2 4 2 1.24. de de x. (G.M.B., 14823, L. Panaitopol) 1.25. Să se calculeze cea mai mică determinare pozitivă a unghiurilor: 1978°, 1908°, 1999°, -5432°. 1.26. Să se arate că: E 1 = sin (90° - a) + sin (90° + a) + 2 cos (180° - a) = O. E 2 = tg (1t/2 + a) · ctg (1t- a) + ctg (1t- a) · tg (1t/2- a) = O. 1.27. Să se verifice identitatea (1- cos b cos c) 2 - sin2 b sin 2 c = (cos b- cos c) 2 • (Admitere în treapta a II-a, Sălaj, 1976) L28. Să se arate că (tg 2 x + sec2 x) (1 + 16 tg2 x · sec2 x) = 15(tg4 x - sec 4 x) + + 16 (tg6 x + sec 6 x). 1.29. Să se stabilească identitatea E = (tg 4 a - 6 tg 2 a + 1) cos 4 a = 1- 8 sin2 a cos2 a. (Rev. Pitagora, VI, 72, C.I. Ţ). 1.30. Să se verifice că dacă numitorii sînt diferiţi de zero, atunci

E1 = cos2 a+ ~ ctg 2a = ctg2 a, x + sma 1sin2 a+ x ...;.._ (1 ___ + sin a);__ = 1 + sin a. E 2 = ______ l+x-sina 2 sin2 a cos a + x cos2 a E,,_ = - - - - - - - - - = cos2 a. (G.M.B., 13 580, C./. Ţ.) x + 2 sin2 a

11

1.31. Să se rezolve şi să se discute natura rădăcinilor ecuaţiei în x: x• -2 · l2 · x 2 + 2- 2tg 2 a= O, unde a e R. (G.M.B., 14090, C.I.Ţ.} 1.32. Să se arate că: 2(sin8 a+ cos 6 a) - 3 (sin4 a+ cos 4 a)+ 1 = O. 1.33. Se dă sin x · cos x = 2/5, x e (O, rt/4). Să se calculeze a) sin x cos x şi cos x - sin x. b) sin2mx cos2mx; m e N. (G.M.B., 15 713, P. Toma) · 2 t2 sm x · g x - 2·2 sm x cos2 x . 1 •34• Să se ara t e c ă - - - - - - - - - - - = sm2 x - cos2 x; 2 tgx - 1 unde tg 2 x of, 1. 1.35. Pentru care valori ale lui x din intervalul [0,360°), e·xistă separat fiecare din egalităţile

+

+

+

+

1

1 - tg 2 1

1

X

+ tg 3x

1 1 - ctg 2

+ 1

+

+

=1· X

,

1 =1; ctg 3x

1 1 + cos2 x

+

1

+

1

+ sin

5x

1 =1; 1 - sec2 x 1

1

+ cos ec 5x

=1·

!(G.M.B., 6021, C.I. Ţ.) - - 1.36. Să se arate că dacă a '1' krt/2, k '1' Z, atunci tgz a+ cotgz a+ 2 = 1/sin2 a· cos2 a. 1.37. Să se arate că: (tg2 a+ 1/tg2 a+ 2) · cos2 a= 1 + 1/tg2 a, tg " ,;. O. (G.M.B., E: 5197, C.I. Ţ.') 1.38. Să se arate că dacă x .,,, krt/2, atunci

E

=

1.39.

cos x + sin x + (1 - sin x) (1- cos x) d . d . --. nu epm e de x. 1 sm x 1 cos x sm x · cos x

+

Să

(1

+

se arate că dacă a şi b diferă de krt/2, k e Z, atunci

+ sin2 a) (1 + sin2 b)

= (1

+ 2tg2 a) (1 + 2tg2 b).

cos2 a cos2 b 3 - 2 sin2 " +tg 2 a 2 cos2 a (G.M.B., E: 3166, - - - = -3 - = -1 + -----. 1 + sin a 1 + 2tg a 2 - cos a 1.40. Să se arate că dacă a :f: (2k + 1) rt/2, k e Z, atunci 2

C.I. Ţ.'j,

2

2

E = tg a+ sec a-(tg a+ sec a)-l = sin a. (Revista Pitagora, 1938, C.I.Ţ.) tg a+ SfC a+ (tg a+ sec a)- 1 1.41. S l se arate

că

a re totdeauna o valoare

~

krc

daca x :f: - , k e 2

z , atunci. expresia .

sin x COS X

+ tg x + ctg x.·

pozitivă.

1.42. lntr-un triunghi echilateral ABC se iau pe laturi punctele A 1„

.A 2 , B 1 , B 2 a~tfel ca~ CBA 1 = ~ ABA 2 =: ~ BAA 2 = 45°. Să se arate că:: "'ăf'I A 1 B 1 I sint5° ~ :-A 2 .B2 I sin 45° = I AB jtg 15 sin 45°.

b) I A1B1 I= 12

(./3

+ 1)

JA 2 B 2 I=

(./3- 1)1 AB I,

(G.M.B., 13072, C.I. Ţ.)

1.43. Să se arate că pentru x E O, 1t/2} avem sin x + cos x + tg x + ctg x + sec x + cosec x > 6. (Concurs elevi, 1975) 1.44. Să se arate că dacă a, b =/: kr., k E Z, atunci:

_l_ sin2 a

+ _l2 _

+

sin b

1.45.

Să

1 sin2 (a+ b)

se arate

= 3 + ctg2 a + ctg2 b + ctg2 (a + b).

că dacă

(G.M.B., 8731, C.J.-Ţ.) Z, atunci:

x =/: k1t/2, k E

tg x - sec x + 1 + ctg x - cosec x + 1 = 0 . tg x - sec x - 1 ctg x + cosec x - 1 tg x + sec x - 1 . ctg x + cosec x - 1 = 1. tg x - sec x - 1 ctg x - cosec x - 1 . 1.46.

= tg

Să

se arate

că dacă

x =/: krc/2, k e Z, atunci

1 + tg' x tg2 X+ ctg2

X

x. 1.47. Să se arate că E = (x sin a+ cos a+ 1) (x sin a+ cos a - 1} (x sin a-cos a- 1) (x sin a- cos a- 1) = = x4 sin4 a - 2(1 + cos2 a) sin2 ax2 + sin4 a. (G.M.B., E: 4067, C.1.-Ţ.) 2

1.48.

Să

se arate

că dacă O

1 ; ~.- + -sm a cos a

~

,--

2 v 2.

a . a a a cos - - sm - > O; ctg - - tg - > O. 2 2 2 2 1.63.

Să

se arate geometric

că

avem egalitatea:

1t 21t 31t 41t 51t 1 cos - -cos- + cos - -cos - + cos - = - . 11

11

11

11

11

2

Generalizare. 1.64.

Să

se arate

că dacă x

=/: k1t/2, k e Z, atunci:

sin X + tg X cos x + ctg x

1 + cos X 1 + sin x

-----"-~:::a----'----"

1.65. ,/ 1 - cos2 x

14

Să

t g2 x.

se afle valorile lui x din intervalul (O, 21t) pentru care

+ cos x ./ secx x -

i = O.

tgA 1

1.66. Dacă într-un triunghi ABC avem: -

tgC . = tgB -- =--, atunci: 2

3

./5 Jfo a/2= b-=C-• 2 3 1.67. Să. se ara te că: a) ./(1 + tg x) 2 + (1-tg x) 2 =

+ tg x)

./21 sec x I, unde xe R.

(1 - tg x) 2 = 2

b)

./(1

c)

./(1 + sinx) 2 + (1 X E (0, 1t/2)

d)

.J (1

2 -

+cosx)

2

./tgx,

= v3 +2./1 + 2sinxcosx,

V3 + 2 ./1 +

- sin x) 2 + (1 - cos x) 2 = x e (O, 1t/2)

1.68. Cite valori distincte ia sin 7 k1t, 180

adică

2 sin x cos x, (C. Ionescu-Ţiu)

sin (7k) 0 , cînd k e Z;

sin x + tg x

= m, unde x e (O, 1t/2), să se

= ../2m cos x - 2 sin x +

1. Să se calculeze în funcţie

relaţia

1.69. Pornind de la

arate că: sin x + cos x de M expresia:

unde x e (O, 1t/2)

2 - -2 cos x. E(x) = tg x cos2 ~ + sin2 x + -1-+2

1.70. a)

Să

că

se arate

cos2 x

(sin x + cos x) 4

~

cos x

8 sin x cos x.

b). ln ce caz avem egalitate? Se va verifica egalitatea pentru valorile lui x cuprinse între O şi 21t. (G.M.F.B. 6 118, C. Ionescu-Ţiu) 1.71. a)

Să

se arate

că dacă

./ 1- sin x +

b)

Dacă x

e [O, 1t/2]

Să

se arate

+•in x

U [31t/2, 21t],

.,/ 1 - sin x + /1 + sin x

1.72.

./1

x e [1t/2, 31t/2], atunci:

că

= ./2- 2 cos x.

atunci: (G.M.B., 14 797, C.J.T.)

= ./2 + 2 cos x.

oricare ar fi x real

şi.

+ sin a

(1 - sin a)x 2

-

2x cos a+ 1

(1 + cos a)x 2

-

2x sin a+ 1 - cos a

(3 + 2 cos a - 2 sin a)x 2 - 2x(cos a

diferit de k1t/2, (k întreg): ~ O. ~

O.

+ sin a) + 1 > O. (G.M.B., 5 809, C.I. Ţ.)

1.13.

Să

se arate

că:

+ ./1-sina) + (-./1 + sina-./1-sina) = 4. (./ 1-=- cosa+ -./1 + cos a) + (-./ 1- cos a- ./1 + cos a) 4. (./1 + tg a+,/ 1-tg a) + (,/1 - tg a- ,/1 + tg a) 2 = 4, a E [0°, 45°)]. (./1 + si1.i:"a

2

2

2

2 '

2

(C.I.Ţ.)

15

1.74. Daci x, y :/: k1t/2, k e Z, să se arate că:

(tgl

%

+ tgl y) •

(-1+ _1_) tg tg y 2

;a,, (tg

X

+ tg y)

2

X

(-1+ _1_). tg tg y X

(Concurs elevi,

1975)

1.75. Să se arate că dacă A şi B sînt unghiurile unui triunghi oarecâr'eatunci: sin A(2- cos2 B) + sin B(2- cos2 A)= (sin A+ sin B) (1 -

-Jsin2 A + sin2 B

+ cos2 A cos2 B- 1). (G.M.B., 14 070, Concurs elevi, 1974).

1.76. Să se arate că dacă r :/: (2k + 1) ~. k e Z, atunci: 2

E 1.77.

Să

se arate

=

V

l-sinx . = I sec x- tg:; 11 +smx

că dacă

x E [O, 1t/2]

U [1t, 31t/2],

atunci:

cos x) (1- sin x) + -J(l + sin x) (1- cos x) = ,Jz.i!. (G.M.B., 14 902, C.I. Ţ.) 1.78. Se dau relaţiile: a= tg x sec2 y: b = tg y sec2 x; c = (tg x + tg y) (1 - tg x tg y), unde x, y E (O, 1t/2}. Să se arate că:

4 (1 +

+

(a + b + c) "a + .b- c) ( -a + b + c) (a- b + c) = 4ci,J a + b + c. [(R.M.F., 189, 1951, C.I. Ţ.) 1.79.

Să

se afle valorile pozitive ale lui x mai mici ca 41t pentru

care avem" 1 +ltg x + ,J2(1 care avem:

.J 1 -

deraţi cantităţi

+ sec x) =

,Jl - tg x.

De as{menea, pentru

tg x + ,J2( 1 + sec x) ·= J 1 + tg x, radicalii fiind . consin:ale şi rozitive. • (G.M.F.B., 1 539, C.I. Ţ.)

1.80. ln planul „oy sînt runctele A (4, 3), B(-1, 2), C(-2, l}. Să se calculeze funcţiile trigoncmetrice sinus, ccsinus şi tangrntă ale cnghiurilor i,e care razele vectoare OA, OB,![OC le face cu Ox. 1.81. Fie P punctul de intersecţie al coardelor perpendiculare între ele AB şi CD dme intr-cri cerc de centru O. ~ă se arate că:

+ OB + oe + OD =

20P.11r PA + IB + l'C + FD =OA+ CB +CC+ CD+ 'llO = 2FO. 1.82. Se dă ptrulaterul ABCD şi no12m cu A 1, B 1, Ci, D 1 , mijloacele B1C1. ~ă se segmentelor I AB I, IEC I, I CD 1, I DA I, iar M = A 1C1 arate că: OA+ OB + cc+ CD= CA1 + CB1 + orl + CD1 = 40M. MA+ MB+ MC + :MD = O; MA 1 + MB1 = MC1MD1, 1rnde O este un p:nct caHcare. OA

n

1.83. Fie A 1 , Bi, Ci, mijJc:.rde laturilor cnui tricnghi AEC şi G crntrul de greutate al triunghiului, iar O un runct caruare. ~ă Ee arate că OA + OB, +oe= CA1 + CB1 + orl = ~(G; CA1 + tB1 + GC1 = o.

+

16

1.84. Dacă a, b şi c sînt trei vectori unitate (versori) care satisfac a+ b c = O, să se calculeze suma a· b b · c c · a.~ ~ - - , c c - ~ 1.85. Notăm cu V un punct oarecare, iar cu G centrul de ~-greutate al' triunghiului ABC. Fie A 1 , B 1, C1 proiecţiile punctelor A, B, C respectiv pe· planul dus prin V perpendicular pe VG. Să se arate că VA1 VB1 VC 1 = o_

+

relaţia:

+

+

+

+

(C.I.Ţ.)

Considerăm

în sistemul de axe dreptunghiulare xOy punctele şi F(5, 3), coordonatele lo:rfiind date în centimetri. Să se arate că: a) Patrulaterul ABCD este un drqtunghi a cărui arie se cere. b) AC+ BD= 4EF. c) MA- MB = MD- MC, unde M este un punct oarecare din plan_ d) 3 tg (~CED) = 2 tg (~BAC). (G.M., 16157, C.I.Ţ.) 1.87, Fie trei vectori AB = c, BC = a şi CA= b. să se exprime cu. ajutorul lui a, b, şic vectorii AM, BN şi CP, unde I AM I, I BN I şi I CP f' sînt medianele triunghiului ABC. 1.88. Să se determine proiecţiile pe axele de coordonate Ox, Oy„ Oz ale unui vector OM de mărime 3, unităţi care se găsesc în planul format de axa Oz şi bisectoarea unghiului xOy, şi face cu Oz un unghi de 60°. b) Să se determine cosinii directori ai vectorului OM. 1.86.

A (-4, 1), B{-2, -3), C(6, 1), D(4, 5), E(l, 1)

JI ...ţC

1.89. ln triunghiul dreptunghic ABC în care li AB li = -16 dm ~f li= 12 cm, pe ipotenuza I BC I se iau punctele D, E, F şi G as He

mc1t:

li BD li = li DE li = li EF li = li FG li = li GC lise calculeze I AB +AD+ AE AF AG AC 11.90. Un pentagon ABCDE are ca vîrfuri punctele A(O, 4), B(l, 3),_ C(2, -3), D( -5, -1), E(7, O). ~ă se calculeze rnărimrn ·vectorului rezultant OR: OA+ OB OC OD +OE= OR şi tg (ROx).

+

Să

+

-

4

+ b).

+

+

1.91." Se cau ncicrii OA

== -~(3a

+

~ă se arate(că:

= a, CB = b, OC =_!_(a+ 3b), OD = 4

OA+ OB = OC

+ OD.]

1.92. Se dă punctul A ( -3, 6) şi vectorii AB = 5i, BC = 2j, CD = -4i j şi DE = i j. Să se exprime vectorii de poziţie OA, OB, OC, OD şi OE şi apoi să se deducă coordonatele punctelor B, C, D şi E.

=

+

+

1.93. Un patrulater ABCD este dat prin vectorii de poziţie OA= a,_ OB = b, OC = c, OD = d. Să se scrie vectorul MN care uneşte mijloacele laturilor I AB I şi I CD J, vectorul RS care uneşte mijloacele laturilor I BC I şi I DA J, apoi vectorul de poziţie OP, unde Peste intersecţia dreptelor MN şi RS. 1.94. Se dă punctul A(5, O) şi vectorul v = 3i - 2j. Să se exprime cu. ajutorul lui i şi j vectorii OB, OC, OD şi OE ştiind că AB = v, AC= - v,. AD= 2v, AE = - 3 v şi să se deducă coordonatele punctelor B, C, D şi E. 2

.

17

1.95. O dreaptă d trece prin punctele A(l, -2) şi B(3, 1). Să se calculeze punctele C, D, E de pe dreapta d definite de vectorii AC = 2AB

AD

=-

3

AB şi AE = - AB; (AD 2

+ AC) ;

,

(AD - )AC.

1.96. FieA 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 mijloacelelaturilorunuihexagonconvex.

Să se arate că triunghiurile A 1A 3 A 5 şi A 2 A 4 A 6 au acelaşi centru de greutate G.

(G.M.B., 15 251, C.I. Ţ.) 1.97. a) Într-un sistem de coordonate xOy cu vectori unitari i, j se -dau punctele A(-4, 6). B(-1, 9), C(2, -1). Să se determine analitic vectorii

AB, BC, CA; AB

+ BC + CA.

b) Să se determine coordonatele punctului D ştiind că CD = AB. l.98. Fie I AM I şi I AN I mediana şi respectiv înălţimea duse din vîrful unghiului drept A al triunghiului dreptunghi ABC ( li AB li > li AC [[). a) Să se exprime vectorii AM, AN şi MN în functie de vectorii AC = b şi AB = c. ' b) Să se arate că dacă 4 li MN li= .../1 · li BC li, atunci li BC [[ 2 = = 4 \\ AB \\ · I\ AC·. (G.M.B.; 16 158, Gh. Popescu- Lugoj) 1.99. Să se stabilească expresia unui vector OM, unde M e AB, iar A(x1, Y1) şi B(x 2 , y 2). iar\\ OA \\=aşi\\ OB \\ = b, iar n· li MA li= m · li MB\I l.100. Fie A(x1 , y 1 ). B(x2 , y 2 ), C(x3 , y 3 ). Să se calculeze rezultanta OA OB + oe = OR. 1.101. a) Suma a trei vectori de modul egal, avînd acelaşi punct de aplicaţie este O .Precizaţi natura poligonului determinat de extremităţile acestor vectori. b) Suma a patru vectori de modul egal avînd acelaşi punct de aplicaţie este O .Precizaţi natura poligonului determinat de extremităţile acestor vectori. (G.M., 14 385, Concurs elevi) 1.102. Se dau punctele A(l-1, 6), B(ll, 1), C(-18,-1). Să se calculeze cos (BAC) şi .q:.BAC. 1.103. Fie octogonul connx A 1A 2 ••• A 8 şi Iii mijlocul laturii A; A,. Să se arate că dreptele care unesc mijloacele laturilor opuse ale patrulaterului 112134156178 şi dreptele care unesc mijloacele laturilor opuse ale patrulaterului 1 23145167181 trec prin acelaşi punct G. (G.M., 15 248, C.I. Ţ.} 1.104. Pe laturile unui triunghi oarecare ABC _se iau punctele Ai, B, C, astfel încît \\ AiB li= li BiC li= li CiA li= k. Să se arate că segmell1 1 \I A 1C li li B1A \I li C1B li tele \I AA 1 [[, li BB 1 li, li CC 1 [!, pot fi laturile unui triunghi.

+

1.105. Fie paralelipipedul ABCD 1 A 1 B 1C1D1 . Se consideră vectorii AB = = a, AD = b, AA 1 = c. Să se exprime în funcţie de a, b, c, vectorii: BC,

CD, ABi, ADi, AC, ACi, CA 1, D1A, A1B1 , BB 1 , B1A, DA 1 , BD, BD 1 şi DB 1 . 1.106. Fie triunghiul echilateral ABC. .astfel încît MA · CA = MB · CB. şi

=

Să

se afle locul punctului M

1.107. Notăm cu O intersecţia diagonalelor unui paralelogram ABCD _cu M un punct oarecare. Să se arate că MA+ MB+ MC MD = 4MO şi AB +AC+ AD= 4AO. (G.M.B., 15 466, C.I. Ţ.)

.18

+

1.108. Fi'e ABCD un patrulater convex. Notăm cu 0 1 mijlocul diagonalei I AC I şi cu 0 2 mijlocul diagonalei I BD J. Dacă 4010 2 = AD- BC, atunci patrulaterul este un paralelogram; (G.M.B., 15 715, M. Chiriţă} 1.109. în triunghiul ABC ducem mediana I AM J. Pe laturile I AB I şi I AC I fie respectiv punctele D şi E astfel că li A B li = m · li AD li şi li AC li = =·n · li AE li, iar F = AM DE. Să se arate că:

n

+ n)AF =

(m

AB

+ AC

şi

m · DF

=

(G.M., 15 885, C.I. Ţ.)

n · FE.

1.110. Pe ipotenuza I AB I a triunghiului dreptunghic OAB se consideră punctele D şi E astfel încît li AD li < li AE 11- Fie F şi G proiecţiile punctelor D şi Epe catetele li OA li şi li OB 11· Notăm L, M, N, P, R mijloacele segmentelor I OF I, I FD I, I DE I, I EG I şi I GO J. Să se arate că vectorii ON, PL, MR pot forma un triunghi. (G.M.B., 15 832, Concurs elevi) 1.111. Fie un patrulater convex ABCD. Notăm cu E, F, G, H mijloaCE, L = cele segmentelor I AB I, I BC I, I CDI, I GE I, iar I= AF EF; M = BI AC. Să se arate că: a) 6 \IL I= li MB 1 şi = BI b) li DI li = 411 HI li(C.I.-Ţ.). 1.112. Să se arate geometric, că

n

1

n

n

21t 41t 61t + cos ---+cos---+cos---+ ... +

O.

2n + 1

Să

2n + 1

2n + 1

1.113. Fie un poligon regulat A 1A 2 se arate că

•••

4n1t

cos---= O. 2n + 1

(C.I.-Ţ.),

A„ înscris într-un cerc de centru

sin (A 10A 1 ) + sin (A 10A 2) + ... + sin (A 10A ) = O, tg (A 10A 2) + tg (A 10A 3) + ... + tg (AiOA,.) = O. (-1)"-1

cos(A 10A 2) + cos(A 10A,.) + ... + cos (A„OA,.) = -

--· 2

1.114. Să se arate că perioada funcţiei /(x) = 2 tg ~ - 3 tg

T

=

1 este

61t. 1.115.

Să

se afle perioada

funcţiei

f(x) = 3 tg 2x + 5 ctg 3x.

1.116. Să se afle perioada funcţiei j(x) = cos ~+sin~.

2

1.117. 1.118.

Să Să

se afle perioada funcţiei /(x) = 3 sin x + sin 2x. se determine perioadele funcţiilor: 2x c) /(x). = cos -5 · .

a) /(x) = sin 3x , 4

b) g(x)

1.119.

= ctg (4x Să

3

+ 1t/6).

se afle perioada

d) g(x) funcţiei

= tg (3x + rr/4).

f(x) = I sin x J.

1.120. Să se afle perioada funcţiei: j(x) = sin rrx 3

+ sin rrx • 4

19

1.121.

Să se afle perioada funcţiei/(x)

1.122.

Să

+ 1t/4) + 3 sin 51tx.

1.124. Să se arate că prntru g(x) = cos ./x).

1.125.

Să

Să

se afle perioada funcţiei/(x)

+ 'cos (90° 1.128. nici

se arate

Să

se arate

Să

se arate

f(x) = 1- 2 sin (1t/5 este o

(Idem,

m sin (ax+ b) - n cos(2ax

-3x sin 2x

+ 2x

+

sin I x I +

2

+

~ ) este o funcţie impară. că funcţia:

/{x) = sin x

1.129. Să se arate că funcţiile/(x) nu sînt pare, nici impare. 1.130.

=

1t.

f(x) = 2 tg x - 3 sin ( -x} - ctg 2x

că funcţia

impară.

+ x)

+ 1t/3) + 2 sin (31tx+

funcţiei: f(x)

+ c), m, n, a, b, c E R. 1.126. Să se arate că funcţia /(x) = + x tg 3x este o funcţie pară. 1.127.

sin (21tx)

= I sin Ix I\. funcţia reală /(x) = ./ tg x are perioada funcţia /(x) = sin .Jx nu este periodică.

se afle perioada

1.123. Să se arate că

=

=

+ cos x

1 + sin x

şi

g{x)

nu este nici· pară, 1 - cos (30°

=

că funcţia

+ I x !) + 3 co3 I x I -

I tg I 2x 11

+ arc cos

+

1- ~

funcţie pară.

1.131.

Să se reprezinte grafic funcţia x =

1.132.

Să

se reprezinte graficul

funcţiei

1.133. Să se arate că 1 - -1- . Jt

1.141.

Să

se arate

că ecuaţia

x4

-

6x2

+ 1=

1

O, admite

+n

rădăcinile_

(G.M.B., 9 008, C.I. Ţ.}

1.142. Fie A 1 , B 1, C 1, picioarele bisectoarelor unui triunghi ABC dreptunghic în A, iar D punctul de intersecţie al dreptelor B 1C1 şi BC. Să se arate că:

li AB1 li= li B 1C li· cos B

şi

li

BD

li= li DC li· tg C. (S.G.M., ·,, 1948, C.I. Ţ.}

1.143. Fără a utiliza tabele să se arate că avem cos~ > tg ~ • 5 5 1.144. Să se afle mulţimea valorilor reale ale lui x pentru care x 2 -3x 2 tg a = - - - - - , unde a e (O, n/4). 2 x - 2x + 1

+

21

1.145. a) Să se arate că ecuaţia 4x3

An, deci tg ~ > sin ~ cos ~ sau 1 > cos 2 ~ n n n n 1C t g-

n A~ -=---. 7t 7t An sm -COS~n

n

it

= nR2 · tg - · n

•

1 cos2 ~ n 7t

tg1 nl' l' n Raportul perimetrelor e s t e _ ! ! = ~ = - - = - - · nln ln . 1t 7t sm- cos n n

+ 1-2 cos x + cos2 x _ 2(1 - cos x) _ 2 123 . . Avema ) 1 + A = 1 - - - - . · sin2 x sin2 x 2 · d ob ţmem · A- - -2- - · A na1og 1 + B 2 = - -2.-- , In1ocum --+ 1 + cos x 1 +sm x · ·· (1 + A 2) 2 , B2 sin2 x cos2 x .1

+ (1 + B

2) 2

=-4-+-4-·

=4.

b) Obţinem l -A2 =

2 cos x ; 1 ~B2 = 2 sin_ x . l+cosx l+sm 2 1 ( tg . tg2 X ctg2 X Prima parte a egalităţii d evme - - + - - + - sau 4 4 2

care

este mai

(1- tg x) 2

;?;

mare ca 1

deoarece

X

+ ctg 2 1

tg x + ctg x = tg x + - tg X

X )2

;?; 2 ;

O, evident.

1.24. ./sin4 x+4cos 2 x+./cos4 x+4sin2 x= ./(1-cos2x) 2 +4cos2 x + ./ ( 1 - sin2 x) 2 + 4 sin2 x = ./ 1 + 2 cos2 x + cos4 x +

+ sin

./1

+

+ 2 sin2 x +

+

+ ./ +

x) = ./ 1 + cos2 x) 2 (1 sin2 x) 2 = 1 + cos2 x + 1 sin2x = 3. 1.25. 1978° = 5 . 360° + 178°; 1908° = 5 . 360° + 108°; 4

1999 o= 5. 360° + 199°; -5432° = -360+ 15 - 32 => 360° - 32° = 378° 1.26. E 1 =cosa+ sin (90°- a) - 2 cos a= cos a+ cos a-2 cosa= o. E 2 = -tg (1t/2-a) · ( -ctg a) -ctg a· ctg a= ctg2 a-ctg 2a =0. 0

•

1.21. Avem sin2 b • sin2 c = (1 - cos2 b) • (1 - cos2 c) = 1 - cos2 b - cos 2 c + cos2 b • cos2 c. Relaţia din enunţ devine 1 + cos2 b • cos2 c - 2 cos b cos c - 1 + cos2 b + cos2 c - cos2 b • cos2 c = = cos2 b + cosi c - 2 cos b · cos c, care este identitate. 1.28. Notăm tg 2 x = a şi deci sec2 x = 1 + a. Relaţia devine succesiv (1 2a) · [1 16a(a1 + a)] = 15[a2 - (1 + a) 2] 16[a3 + (1 + a)3]; sau 1 16a + 16a2 + 2a + 32a2 = -15 30a - 32a3 + 48a + 6, care este evi-

+ +

+

+

dentă.

+

1.29. Folosim relaţiile tg a = sm a şi sin2 a + cos 2 a= 1. cos a " 4

4

" 2

2

smacos-a - sm-a· cos • 4 E = - -a + cos4 a = sm a + cos 4 a - 6 cos2 a • 2 4 cos a cos a · sin11 a = sin 4 a + cos 4 a+ 2 sin2 a cos2 a- 8 sin2 a cos 2 a= (sin 2 a +cos2 a)- 8 sin2 a · cos2 a = 1 - 8 sin2 a · cos2 a. 2 a ( x + x sm • 2 a) 1. 30 . Avem E 1 = cos ----'-------'= ct g2 a,• sin2 a(x + sin2 a) _ ! - sin2 a+ x(l + sin a) (1 + sin a)· (1- sin a+ x) = 1 + sin x. 1 + x - sin a 1 - sin a + x cos2 a(2 sin2 a + x) E 3 = ---'------=cos2 a. x + 2sin2 a

27

+ 2 tg2 a= ./2± -litg2a = ./2 (1 ±

1.31. Avem x 2 = ./2± ./2 - 2

± I tg a I).

Discuţie. tg 2 a > 1 ecuaţia dată are numai două rădăcini reale, {două complexe). Dacă tg2 a ~ 1, ecuaţia are toate cele patru rădăcini reale. Dacă tg2 a > 1 = a e (45°, 90°) U {90°, 135°) U {225°, 270°) U {270°.

315.,).

Dacă

tg 2 a~ 1 => a e [O, 45°]

1.32. (sin 2

U {45°, 90°)

oo [135°, 225]

U [375°, 360°].

a + cos2 a) 3 = sin6 a+ cos6 a+ 3sin 2 a cos2 a(sin2 a+ cos2 a).

sin6 a

+ cos 6 a =

1 - 3 sin2 a cos2 a.

sin 4 a

+ cos' a =

1 - 2 sin2 a cos2_a.

2- 6 sin 2 a cos2 a - 3

+ 6 sin

2

a cos2 a= -1.

1.33. Avem sin x · cos = 2/5 cu x e {O, 1t/4). La relaţia din enunţ înmulţită cu 2 ataşăm relaţia cunoscută sin2 x cos2 x = 1. Aceste două relaţii se adună şi apoi se scad şi se obţine (sin x cos x) 2 = 9/5, (cos x - sin x) 2 = 1/5, de unde rezultă sin x cos X= 3/./3 (1) şi cos x - sin x = 1/5 (2), (s-a ţinut cont de faptul x e (O, 1t/-4) şi că pe acest interval cos x > sin x). b) Din relaţiile (1) şi (2} putem determina pe sin x şi pe cos x; sin x cos x = 3/../5; cos x - sin x = = 1/../5, care prin adunare şi scădere ne dau sin x = 1/../5 şi cos x = 2/../5. Introducînd valorile lui sin x şi cos x în relaţia cerută obţinem

+

+ +

+

+

+

, (2/./5} 2"'

E

+

{1/./5)""' = {4m

+

1)/5m.

1.34. !n ipoteza că tg 2 x - 1 i= O avem

sin 2 x tgx 2 - sin 2 x - sin 2 x tg2 X - 1

+ cos

x

2

-

sin 2 x(tg 2 x - 1) tg 2 X - 1

sin 2 x -cos2 x . 2 (sin 2 x- cos2 x) . - - - - - = sin x - - ' - - - - - - - = s1n2 x - cos2 x. 3 2 2 tg x - 1 sin x - cos x 1 tg2 X 1.35. AV O. 2 2

32

1.63. Arcul de măsură rt/11 este subîntins de latura unui poligon regulat convex cu 22 de laturi. Coardele I A 2A 11 I, I Â 3Â 10 I, I A 4 A 9 I, I A 5 A 8 I, şi • . · ulv rt IIA2A111l jA 8A 7 I smt paralele cu diametrul I A 1A 12 1- Rez ta: cos-= - - - ; 11 2R 2rt IIA 3A 10 li 3rt IIA 4A 9 11 4rt IIA 5A 8 1l . 5rt IIAeA1II c o s - - - - - ; c o s - = - - - ; cos-=---şi cos-= • 11 2R 11 2R 11 2R 11 2R Avem relaţia:!IA 2A 11 1l-llA 3A 10 1l + IIA 4 A 9 \\-IIA 5A 8 11 + IIAeA1II = R = 1/2.

Generalizare. Considerăm un cerc de rază R = 1/2 în care se înscrie poligonul regulat cu 2(2n + 1) laturi. Se ajunge la relaţia: IIA 2A 2i+1 li -

-IIA 3A 2ill + IIA 4A 21:-1 1l- ... + (-l?-1 IIA1:+iA1:+2 1l = R = .

relaţia:

i echivalentă

cu.

rt 2rt 3rt nrt 1 cos----cos---+cos---- ... +(-1)1:-1 cos---=-~ 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2

1_64.

. (1 +-1) cos x = sin x(l + cos x) = 1 + cos x. tg x.

smx

2

1 ) cosx( 1 + - sin x

cos x(l + tg x) 2

2

1 + sin x

1.65. Mai întîi este necesar să avem cos x < O, deoarece suma a două: cantităţi pozitive nu poate fi zero. În acest caz ridicăm la pătrat relaţia:

../t-cos2 x = -cos x · ../sec2 x-1 ~t-cos 2 x = (sec 2 x- 1) · cos2 x sau 1- cos2 x = 1 - cos2 x. Deci x e (rt/2, 3rt/2). 1.66. Din

relaţia dată obţinem:

tg A + tg B + tg C -_ t g A -_ tg A tg B tg C , t g B t g C -_ 6, •msav l ,5 t g B -_ -"-----'-----'---'-------"1+2+3 6 tg C deci tg 2 B = 4; tg B = 2, tg A= 1, tg C = 3; sin A= tg A/b + tg 2 A= = 1/.J2; sin B = 2/.JS; sinC = 2/.JlO. 1.67. Ridicăm la pătrat şi obţinem: a) 2 + 2 tg 2 x = 2 sec2 x, dar 1 + tg 2 x = sec2 x. b) 4 tg X = 4 tg X, tg X > 0. c) 2 + sin2 x + cos2 x + 2(sin x + cos x) = 3 + 2.J(sin x + cos x) 2 = 3 + 2 .,/ 1 + 2 sin x cos x ; sin x > O, cos x > O. d} 3 - 2(sin x + cos x) = 3 + 2 .J (sin x

COS

X
OM = - - , OM = 1-k

- k +_J_k -· b,.

de unde x

=

X

kx 2 1 ; 1-k

39

1 ~ MA MB atunci. OM ___ na - mb ,· y =y-ky -2,• dec1. avem k = m - a d"1ca-=-; 1-k n m n n-m • nx1 - mx2 • ny1 - my2 .. X = - - - - , Y= - - - - ·

n-m n-m 1.100. Fie R(x, y). Avem x1 + x 2 + Xa = x, y 1 + Y2 + Ya = y.

I ORI = ./(x1 + X2 + Xs) 2 + (Y1 + Y2 + Ys) 2 , cos(ROx) =Xi+ Xz + Xs ; sin(ROx) = Yi + Yz + Ya · tg(ROx)= IORI IORI , =Y1 Y2 Ya. X1 + Xz + Xa

+ +

1.101. a) Fie Vi, V2 şi Va vectorii daţi II V1 11 = li V2 11 = 11 V3 11 = r. V 1 + V2 +Va= O, deci V1 + V2 = - V3 . Rezultă că li V1 + V2 li= r. Deci considerînd cercul de centru w (punctul de aplicaţie al vectorilor Vi, V 2 , Va şi de rază r, vectorii Vi, V2, Va şi V1 V2 au extremităţile pe acest cerc. Deci, paralelogramul care are două laturi V1 şi V2 şi o diagonală V1 + V2 este de fapt romb, avlnd o diagonală egală cu latura. Deci, el se descompune în două triunghiuri echilaterale. Unghiul la centru dintre V 1 şi V 2 este de 120°, iar unghiul dintre V1 + V2 şi V3 este de 180° ca să se poată anula. Deci, extremităţile lor sînt vîrfurile unui triunghi echilateral.

+

b) Ştim că li V1 li = li V2 li = li Vs li = li V4 li = r, li V1 + V2 li = + V2 li= li V3 + V4 li- Deci unghiul dintre V1 + V2 şi Va+ V4 este de 180°. Deci triunghiurile wl AB I şi w I CD I sînt egale avî nd laturile (module de vectori) egale. Deci unghiul ix= ~. deci V4 şi V1 sîn t în prelungire şi extremităţile A, A', C, C' sînt vîrfurile unui dreptunghi.

-

I! V3 + V4) li; li V1

1.102. Avem: I AB I = ./(11 13 ./2. cos A= (11 + 1) (-18

+ 1) + (1 -

6) 2 = 13; I AC I = ./338 =

2

+ 1) --1.=_ (1- 6) (-1- 6) = 132 ./2

= ~ BAC =

120°. 1.103. Fie O un punct oarecare. Avem OA 1

+ OA4 = 20134 ; = 2( 01 12

+ 0Aa

+ OAs = 201 + 01 s + 01n). OA 5

4

5

56

şi

OA 7

-16~= _ ,J2 169 ./2 2

+ OA

+ OA

8

=

= 201 12 ; OA 3 +

2

8

= 20178

=~

OA; =

i= 1

Analog avem OA + OA = 201 + OA = 201 OA + OA1 = 20161 şi OA + OA = 20181 =~OA; = 2(012 + + 01 + 0161 + 0181). 2

OA 4

5

8

1

45 ;

23 ;

3

6

8

A,

45

Ia, As I7 si'.,~..L....,,L__1,, A7

Notăm cu B 34 şi B 78 mijloacele segmentelor I 01 23 I şi I 01 45 I re?pectiv I Ia1I 8 1IAvem 01 23 + 0145 = 20B 34 ş1 Ola1 C:,181 . = 20B 78 , dar OB 34 OB 79 = 20G ş1 deci

+

8

~ Fig. 1.103

40

3

i= 1

i=1

OA1 =80G.

+

+

+

+

+

+

De asemenea 01 12 01:w. 0156 011 = 012s 0145 0167 + 0181 40G, G fiind punctul din planul octogonului dat. Rezultă că dreptele care unesc mijloacele opuse ale patrulaterului / 121:w.158 / 78 şi dreptele care unesc mijloacele laturilor opuse ale patrulaterului / 23/g,1 87/ 81 sînt diagonalele a două paralelograme care au acelaşi centru de simetrie G punctul comun al celor patru diagonale concurente.

=

Dacă

1.104.

AA1 + BB1 + CC1 = O condiţia

cerută

este îndeplinită. Dar

_ AC + k · AB . BB _ BA + k • BC . CC = '· CB + k · CA ~ AA1 1+k , i 1+k , i ~ 1+k ~AA1 + BB1 +cel= AC(l - k) + BA(l - k) 1+k

+ CB) · (l (1

+ CB(l -

k) = (AC +('BA+

k) = O, deoarece AC+ BA+ CB = O.

+ k)

1.105. Avem BC = B1C = b, CD= C1D1 = - a, AB1 = DC1 =a+ c AD1 = BC 1 = b + c; AC = A1C1 = a + b; AC 1 = a

+b+

c.

CA 1 = - a - b + c; D1A1 = - b; AB 1 = a, BB 1 = C01 = DD1 = c; BA 1 = CD1 = - a_+ c; DA1 = CB1 = - b + c; BD = - a + b; BD1 = = - a + b + c ş1 DB 1 = a - b + c. M se

1.106. b > O, x e (O, rt/2) şi (a 2 + b) cos x = 2ab atunci:

=

a 2n - b2n (1+ sin x)n -(1 - sin x)n ----=-'-----'--'------'--• a2n + b2n (1+ sin x)n+ (1 - sin x)n

2.42.

Să

că

se arate

tg 4a(l - tg2 a) ( 1- tg2 2a) = 4 tg a.

2.43. Să se arate că dacă a> b > O, x e (O, rt/2), iar (a 2

+ b2) tg2 ~2 =-

·= 2ab, atunci: 10)

an-bn -

(1 +.Jcosx)n-(1-.,Jcosx)n

an+ bn

(1 + .,/cos x)n

+ (1- .,/cos x)n

2°) Ce devine relaţia (1°) dacă x e (rt/2, rt)?

.X

i=

.54

2.44.

Să

k1t ,

k

2

se arate E

Z.

că

1 + tg x + ctg x -----"----"1 + tg X + tg2 X

(G.M.B., 12 319, C.J. Ţ.)

ctg x ---1 + tg 2 X

sin 2x =- , unde 2

2.45.

Să se

2.46.

Să

H,1 =

~ )+

calculeze arcsin (-

arcsec 2 + arccos ( _ ./;) •

se calculeze

sin ( arcctg ./; ) + cos ( 2 arcsin ./;) + tg ( arccos

1) J + sin ( 3 arccos ./; )+ cos [ 2 arcsin ( - ./22 )] ·

E 2= ctg [arctg ( -

2.47. Să se arate că a; b, c sînt arce oarecare, astfel tg b · tg c #- 1 şi tg a · tg c #- 1, atunci :

+

sin (a - b) cos (a + b)

+ sin (c -

sin (b - c) cos (b + c)

a) cos (c + a)

sin(a-b)sin(b-c)sin(c-a) =O. cos (c + b) cos (b + c) cos (c + a) ca

2.48.

Să

să aibă

loc

X y tg - . tg 2 2

relaţie algebrică

o

+ -tg y . tg-Z + tg-Z -tg-X =

2.49. Ce 2.50.

găsească relaţia

se

2

2.51. Ce

2

2

relaţie există

Să se

~)·

între

a şi

+

(RMF . . .• 11 2, 1951, CIT) ....

(Facultatea de

dacă

b

tg a· tg b #- I.

între unghiurile x, y, z, astfel

1.

2

că

tg

a+

matematică,

Cluj-Napoca, 1962). tg b = tg (a+ b)?

verifice identitatea; sin2 a+

1 - cos a = 2 sin2 !!_ • 1 +tg2 a 2 (Institutul Politehnic, Iaşi, 1967)

relaţie există

între a

şi

b

dacă:

sin a./1 - sin2 b + sin b ./1- sin2 a= O. 2.52.

Să

se

arate

că

16 cos( 121; -

•cos( 2:-a)=-cos4a-./3sin4a. 2.53.

Să

se arate

dă

-

a)

a)

cos(~; -

(S.G.M., VII, 267,

C.J.Ţ.)

că

sin2a-sin2 b . E = - - - - - + tg (a + b) = cos2 a- cos2 b 2.54. Se

a) cos(~:

./2 tg (a

a-b)

sin(:+ + b) --'------'cos (a - b)

xe (O, 1t/2). Să se afle:

..

1

.. E

a ) mm1mu expres1e1

1

= -1- +-.1- ·

cosx smx b) maximul expresiei E 2 = sin x + cos x.

55

Să

2.55.

se arate

că:

x2

2(1 + 2 tg2 a) x2 + 1 = (x2 + 2x tg « -

-

-- 1) (x2

-

'= (x 2

2tg2 a - 2 tg a sec a - 1} - (x 2

-

2x tg a - 1} = (x 2 + 2x sec a+ 1} (x2

-

2x sec a+ 1) =

2 tg2 a + 2 tg a sec a -

-

1]

=

= [(x + tg a + sec a) (x + tg a - sec a) (x - tg a + sec a) • fx - tg ~ - sec a)]. 2.56.

Să

se arate

I ax ± by I

că dacă a2 ~

1;

I ay ± bx I

2.57. Să se arate că dacă a

2.58.

Să

şi x 2

+ b2 = 1

=fa

~

1;

(G.M.B., 12 270, C.I. Ţ.) + y 2 = 1, atunci

I ab ± xy I

~ 1.

k ~, k e Z, atunci 2

E = sin 3a _ cos 3a = 2 _ sin a cos a se stabilească identitatea

a)- tg ( ; - ,i) + ctg ( ; - a)-ctg ( ~ + a) = 4 tg 4a.

tg ( ; +

(S.G.M., VII,

2.59.

Să

a) 3/2

~

se arate

că dacă

13°

~ x ~

C.I.Ţ.)

28°, atunci:

sin2 (4x + 8°) + cos2 (4x - 82°) ~ 2;

b) o ~ ctg2 (4x + 8°} + tg 2 (4x-82°) ~ 2/3. (G.M.B., 6 662, C.I.Ţ.) 2.60. Se dă sin a= 4/5,. cos b = 5/13, sin c = 24/25. Să se calculeze -sin (a+ b + c). 2.61. Să se arate că dacă 0° ~ x ~ 10°, atunci: 3/4

~

sin (4x + 60°) cos (6x - 30°)

1/2

~

sin(9x + 45°} cos (9x - 45°)

~ ~

1;

1;

1/2 ~ sin (9x - 45°) cos (9x + 45°) ~ O. (G.M.B., 6829, C.I. Ţ.) 2.62. Să se arate că dacă tg a· tg b = tg2 c, atunci: sin2 (a + c) sin 2a -----=--· sin2 (b + c) sin 2b 2.63. Se dă ctg x = - 3, x e (1t/2, 1t). Să se calculeze cos x, sin 2x, cos~, 2

2.64.

Să

(Admitere în treapta a II-a, se arate fără tabele că: • 7t • 7t . 51t sm- +sm- =sm-, 12 4 12

· - 1t + cos - 1t 2 ( sm 12 12 7t

7t

Caraş-Severin,

1976)

1) ( sm · 51t - + cos 51t - + 1) + 1 =0, 12 12

tg -+ctg- = 4. 12 12

(G.M.B., 13 297 C.

Ionescu-Ţiu)

Să

2.65.

că dacă

se arate

COS

Să

2.66.

=

tg2 .!!:_ • tg2 _.!!_, atunci: 2 2

cosa+cosb X= - - - - - - 1 +cosa· cos b.

că dacă

se arate

tg2 .!.. 2

a =/: k1t, k E Z.

sin 2a sin 4a tg a = - -- - . = ctg a- 2 ctg 2a. • 1 + cos 2a 1+ 2 cos 2a + cos 4a (S.G.M., VI: 218, C.I:Ţ.) 2 2.67. Calculînd rădăcinile ecuaţiei x - 2x - 1 = O să se demonstreze egalităţile: 1t

ctg -

8

31t . 1t 1t 31t -ctg - = sm - cosec - cosec 8

4

8

8

= 2 tg -1t

4

1t

ctg -

8

31t ctg - = 2. 8

2.68. Se dă ctg a= -.,/3, a e (rt/2, 1t). Să se calculeze: sin a, cos a,

. sm 2a, tg a

.

ş1

a cos - · 2

2.69. Să se găsească maximul (O~x~rt/2, O~y~rt/2).

funcţiei

2.70. Se consideră relaţia: a 1

+ a2 +

COS

Să se arate că dacă a 1 ,

Z = x - y, dacă tg x = 3 tg y (G.M.B., 8 179, V. Bărănescu) ... +an= A.

a2 an X2= --"--,•••,cos Xn= - - Â-a2 A-an

a2 , a 3 ,

.... ,

t

an E R+, atunci

tg 2 ~ 2

k=l

=

(G.M.B., 11 933, L. 2.71.

Să

se arate

n - 2• Tuţescu)

că:

.,/ 1 + cos a+ .,/ 1 - cos a = .,/2 · J1 + I sin a I. .,/ 1 + cos a - .,/ 1 - cos a = 2.72.

Să

se arate

JI {

I

cos ;

I-I

sin :

I)·

că:

+ cos a) (.,/ 1 + sin a - .j 1 - sin a) = sin x ( 1+ sin a + .,/1 1 + 2 ctg a ctg 2a = (1 + cos 2a): (1 - cos 2a) = ctg a.

(1

sin a)

2

(Numerus, 3452, C.I. Ţ.} 2.73.

Să

se arate

că dacă

O < a < 1t/2, atunci ctg a > 1 + ctg 2a.

. 2 -1t 2. 74 . Sa~ se ara t e ca~ sm 9

. 2 -21t + sm . 2 41t + sm -

9

9

- -

3 . 2

(C.l.Ţ.)

57

2. 75.

Să

se arate

1(

8

1

cos2

că:

+ -s-in-:-TC-) = /6 (

~

cos21

8

tg2 ~ 8

+

1

+ sin2 1~

12

ctg2 ~ 8

)

14

tg2 _::_ 12

= ,Jl

)

=

)

=

12

= _!_( __l _ +

2.76. Să se arate că funcţia f(x) perioada 2TC/3 şi avem:

2

TC

1

ctg2 ~ 12

1.

(G.M.B., 12 997, ~.I. Ţ.) sin 3x are

+ sin 3x + ,Jl -

cos]; dacă x e ( O,

; )

f(x) = • -3x d aca x e - 1'C , -1'C ) · 2 sin 2 6 3 V

2.77. Să se arate că sin2 (TC/2 + a)- sin2 (TC/8- a) = li· sin a· cos a. 2.78. Să se arate că avem relaţia [cos a+ b) + cos (a - b)] 2 = = 4 cos2a cos2b din care să se deducă relaţia: [sin (a+ b) + cos (a- b)'] 2 = = (1 + sin 2a) {1 + sin 2b) = 4 sin2 (a+ TC/4) sinx2(b + TC/4). (R.M.F., 1950,C.l. Ţ)

!),

2.79.

Să

se calculeze tg ( arcsin

2.80.

Să

se transforme în produse expresia:

E = ,Jtg x +-sin x + ,Jtg x - sin x, unde tg x > O. şi să

se afle valoarea ei pentru x=60°. (Institutul Politehnic, 2.81.

Dacă

/ (sin x) =

Galaţi,

1966).

g(tg ; ),să se arate că

. x) =! (2sinx) g(sm . · 1 + sm2 x

(S.G.M., VII: 1000, C.I. Ţ.)

2.82. Să se afle intervalele de valori ale lui x cuprinse între O şi 2TC, pentru care au loc simultan identităţile

tg 4 x =

V

1 - cos 8x 1 + cos 8x

2.83.

Să

se arate

şi

sec 6x + ,J 1 + tg 2 16x = O (G.M.B., 2345, C.I. Ţ.)

că

V

2 cos_::_= 2+-J2 . 2n fiecare 5S

formulă

avînd (n- 1) radicali.

+ ... + -J2:

2.84. a)

Să

se arate că dacă x e O, 1t/2)

U[ ,

31t/2], atunci

../2.

Ei =h + cos x) (1-sin x) + ../(1 + sin x) (1-cos x) = b) Dacă x e [1t/2, 1t]

U [31t/2,

2:rc], atunci

../2.

E 2 = ../(1 + cos x) (1 + sin x) + ../(1- sin x) (1- cos x) =

(C.I. 2.85.

(

Să

cos 2x cos -

2.86.

x 2

Să

se arate

-

. 2x sm

că

x - sin a cos2 a · sin b d aca -sin ,.--~~ = - - - - cos2 b • sin a sin x- sin b V

J2= ( cos 2a -

.x + sm 2

2 ( cos 2b -

. 2a ) . sm

a .a cos - + sm 2 2

Ţ.)

,

atunci

. 2b sm

)2 .

b .b cos - + sm 2 2

se calculeze valoarea expresiei : E = cos (a- 1t/4) + sin (a- 1t/4) sin (a+ 1t/12) cos (a+ 1t/12)

2.87. a) b)

Să se arate că dacă

x = tg (:

Dacăx2 -2(../6+/i)x+1=0,

± ; ) atunci x 2

-

4x + 1 = O.

atuncix=tg(~+ S1t)· 4 24 (C.I.Ţ.)

2.88.

Să

se scrie expresia:

E = 1 + sin2 x · cos2 x + m (sin 4 x + cos 4 x) - 3m (sin 6 x + cos8 x) în E

funcţie de u = sin 2x, să nu depindă de x.

2.89.

Să

se simplifice

apoi

să

se determine parametrul m astfel încît

fracţia:

sin 5x - ms (1t/2

.L

1

x)

+ sin x

E=----------------s;n (91t/2 + ,1,) + cos 5x + sm (1t/2 + 3x) 2.90. Se dau expresiile:

E 1 = sin x - sin 2x + sin 3x. E 2 = cos x -sin 2x

+ cos 3x.

a) Să se calculeze valorile acestor expresii în cazul cînd tg x = -3/4, pentru 1t/2 < x < 1t. b) Să se transforme Ei şi E 2 în expresii calculabile prin logaritmi. c) Să ~-e determine valorile lui x pentru care Ei = E 2 • (Institutul Politehnic, Bucureşti, 1968 2.91. Să se arate că dacă tg x = tg a · tg b, atunci cos 2a + cos 2b cos 2x =c= - - - - - - 1

+

CO,

2a ·

COS

2b

59

2.92. a) Să se arate că dacă x { 1 + sin 2x-r 1 - sin 2x --=======-~;-;--=-=-=-=-=-=- = l + sin 2x + f 1 - sin 2x

2. 93.

Să

se arate

=

28

[t

că

V

2.95.

V

Să se arate că

,---

(!:_8 ±

Semnele se corespund. 2.94. Sa se ara t e ca 64

(1t/2, 1t/4), atunci

(G.M.B., 12 335, C.I. Ţ.}

tg x - \ftg 2 X - 1.

tg 4

g 2 ( 8k1t

E

~) + ctg4 ( k1t ± -2:....) + 70 16

8

16

=

7t ) 7t )] ± 16 + ctg2 ( 8k1t ± 16 .

(G.M.B., 9 318, C.I. Ţ.) k1t ' 7t ' 21t TI sm - =sin-sin-· k=l 20 5 5 9

'

+ =

1

S=

1

+

cos a • cos (a+ b) (cos (a+ b) · cos (a+ 2b) 1 tg(a nb) - tg a . cos [a+ (n - 1) b] · cos (a+nb) sin b. " 1 tg noe. 2.96. Să se demonstreze identitatea ~ - - - - - - - - = -.- • k=l cos (k- 1) oe.· cos koc. sm oe. unde n este număr natural. (G.M.B., 6 148, Grecu Eftimie) • 31t 51t 7t 21t 2.97 . Sa se ara t e ca sm - 7t · sm · sm - = cos - · cos · 14 14 14 7 7 31t 1 (G.M.B., 8 353, C.I.Ţ.) ·cos-·=-·

+ ... +

V

V

•

+

o

7

8

2.98. Să se arate că dacă O < x < 1t atunci: 1

+ ctg x cos - cos • 2

2

sin 2x cos 2y 60

2

+ sin 2y cos 2x

2

~

O.

(Pitagora, VI: 129, C.J. Ţ.)

Să

2.104.

se arate

că:

cos2 (.x - y) ~ 4(1- sin x cos y) (1 sin2 (.x - y)

,i;;

4(1 + sin .x sin y) (1- cos x cos y).

cos2 (x + y) ~ 4(1 sin2 (x + y)

~

cos x sin y),

sin x cos y) (1 + cos x sin y), sin x sin y) (1 -

cos x cos y). (G.M.B., 8 732, 2.105. Să se arate că sin (2a + b) - 2 sin a cos (a+ b) = sin b. 2.106. Se dau arcele oc şi ~ despre care se ştie că: 4(1 -

C.I.Ţ.)

sin oc + sin ~ = 14/65; cos oc + cos ~ = - 8/65;

Să

se calculeze: tg (oc+ ~)

şi

~

tg oc -

2

•

(Inst. de arhitectură, Bucureşti, 1978) v 1 ( , 31t , 41t ) 21t , 51t 2. 107. Sav se arate casmsm- =cos-sm-· 2

11

+

11

11

11

(C.I. Ţ.} , 51t , 71t , l17t 2. 108• Sa se ara t e ca sm - 7t sm - sm sin 24 24 24 24 2.109. Să se arate că: v

v

•

= -161 •

21t . 31t 1 . 1t a ) sm-+cos--sm- =-· 14 14 14 2

. 1t 21t . 1t . 31t 21t . 31t b) sm-cos --sm-sm--cos-s1n14 14 14 14 14 14 c) sin -

1t

14

sin (a

21t . 31t 1 ·cos · sm - = - • 14

14

8

=

1 2

(G.M.B., 10 580, C.I. Ţ.)

2.110. Dîndu-se sin a+ sin b = p, cos a+ cos b = q să se calculeze b) şi cos (a+ b). 2.111. Se dă tg x = b/a. Să se arate că: a cos 2x b sin 2x = a. (Admitere, I.P. Bucureşti, 1978) 2.112. Să se arate că dacă numitorii sînt diferiţi de zero, avem

+

+

1- sin (a+ b)

cos a+cos b- sin a-sin b

cos (a+ b)

- cos - -(a+ - -b)- = - - - - - ~ - - - =1-+ -sin-(a+ - - b) cos a+cos b + sin a+sin b 1 - sin (a+ b) - cos (a-b) sin a- sin b ---'---------+ -·----= o. 1 - sin (a - b) + cos (a - b)

2.113.

Să

cos a + cos b

(G.M.B13 064,., C.I. Ţ.) se afle cel mai mic unghi pozitiv x care satisface ecuaţia: ctg X ctg 2x

ctg 3x ctg 4x 61,

2.114.

Să

se arate

că

sin2 4x + sin2 3x - cos2 2x- cos2 x + 2 cos x cos 2x cos 5x = O. 2.115. Să se arate că avem cos 5a + 3 cos 7 a + 3 cos 9a + cos 11 a = 8 cos3 a cos 8a. 2.116. Să se arate fără tabele că: 1) sin 10° - cos 20° + cos 40°

=

O.

=

3

./3.

2) ctg 10° + tg 20° - tg 40°

3) tg 10° + ctg 20° - ctg 40° Să

2.117. a)

se arate

= ./3.

că dacă

a+ b

(G.M.B., 10 042, C.l. Ţ.) =I= 2k1t - 1t/2,

1 + sin (a+ b) - cos (a+ b) 1 + sin (a+ b) + cos (a+ b)

sin a+ sin b

= cos a+ cos b ;

cos a+ cos b + sin a- sin b cos a+ cos b- sin a+ sin b

b)

unde a+ b =I= (2k + l)1t. 2.118. Să se arate fără tabele 1) tg 2 20° + tg2 40° + tg2 80°

k e Z, atunci

1 + sin (a- b)

cosJa- b)

că:

=

33.

= tg 10°. . tg 35° = tg 5°.

2) tg 20° . tg 30° . tg 40°

3) tg 15° . tg 25° 2.119.

Să

.

51t

se transforme în produse sm .

Să

2.120. a)

(G.M.B., 10046,

51t

l l 1t

.

C.I.Ţ.)

l l1t

+ cos - - • 24 24 ' 1t

sm-+cos--+sm-• 24 24 6 se transforme în produs expresia

E(x) = cos x + 2 cos 2x + cos 3x + cos 4x + 2 cos 5x + cos ,6x. b}

Să

se

deducă

apoi

relaţia

cos 20° + 2 cos 40° - sin 10° = 4 l3 cos2 10° sin 20°. (G.M.B., 10 421,

2.121.

Să

se arate

că

oricare ar fi x, . 3x cos 2x sm -

COS X

+ COS 2x + COS 3 X =

2

-----.

X

sm2

2.122.

Să

se at!a te

că

sin (a - b) sin (a + b) + sin (b - c) sin (b + c) + + sin (c - a) sin (c + a) = O 62

C.J.Ţ.)

sin (a - b) cos(a + b) + sin (b - c) cos (b + c) + + sin (c - a) cos (c + a) = O. 2.123.

Să

se arate

(S. G. M., VI: 1053,

C.IŢ.).

că

4 sin a sin b sin c sin d + 4 cos a cos b cos c cos d = cos (a + b +

+

C

+ d) + cos (a + b- C - d) + cos (a - b +

C-

d) +

+ COS ( -a + b + C - d). 2.124. Să se arate că sin2 (a+ b - c) - sin2 (a- b + c) + sin (a+ b- c) sin (a -

- b + c) + sin2 a- sin2 (b-c) + sin 2a sin (2b-2c). 2.125. Se dau arcele a

şi

cos a+ cos b = - 8/165. 2.126.

Să

se calculeze

(Pitagora, VII: 63, C.I.Ţ). b despre care se ştie că sin a + sin b = 14/65

şi

Să

se calculeze tg (a+ b)

2

Arhitectură, Bucureşti,

(Inst. de tabele:

fără

şi tg a- b · 1938)

1t(c o s 1t - - s.m 51t) . 7t(, 1t -cos-· 51t) E 1 =cos- -smsm8 24 24 8 24 24 ' . -1t ( sin . - 7t E 2 = sin 8 24 2.127. Să se arate că

71t ) • (G.M.B., 13 108, C.I. Ţ.) 24 numitorul este diferit de zero, atunci:

+ COS dacă

-

sin ax+ sin (a+ b)x + sin (a+ 2b)x + sin (a+ 3b)x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = t g ( a+ -3b) X• cos ax + cos (a + b)x + cos (a+ 2b)x + cos (a+ 3b)x 2.128.

Să

se arate

fără

tabele

2

că:

2(sin 36° + cos 18°) = ctg 18°; 1 1 + 2(sin 18° + cos 24° + sin 42°) = - - -

2 sin 6°

2.129.

Să

se arate

că dacă x

sinx+sin2x 2 COS

X -

l

(G.M., 16 418, C.I. Ţ.)

i= 2k1t + 1t/3, k e Z, atunci

. x c. tg (7t = sin - _.. 6

x) · ctg (1t- + -x) ·

-

2

6

2

. E( x ) = cos-4x+2 cos 8x 2130 . . Se d a~ expresia --6x - +cos --· sin 4 x +2 sin 6x +sin 8x a) b)

Să

Să

se aducă expresia la forma cea mai simplă. se calculeze valoarea expresiei E(x) pentru x = 1t/72. (Instit. de arhitectură, Bucureşti, 1980)

63

2.131. Să se arate că E = sin x

2.132.

+ cos 2x + sin 3x + cos 4x =

= 4 cos x cos(~+ ~)cos(~ - ~)· , 4 2 4 2 se stabilească identitatea:

Să

• E = 2 7 sm

(

7rc +a ) sm . ( 7rc -a ) sm . ( - 5rc +a ) sm . ( 5rc -a ) · 16 16 16 16

. ( 3rc + a ) sm . ( 3rc - a ) sm . ( re - a ) = cos 8a. · sm 16 16 16 (Pitagora, VI: 61, C.I. Ţ.} 2.133. Să se afle intervalele de valori ale lui x cuprinse în intervalul (0,2rc) pentru a avea simultan egalităţile

V+

1-cos 8x . ..J - - - - ş1 sec 6x + 1 + tg2 6x = O. 1 cos 8x 2.134. Să se arate că pentru k E Z, avem

tg 4x =

2.1~5.

Să

(G.M.B., 2345, C.I. Ţ.)

5krc 4krc 7krc 1lkrc cos-- ·cos--= cos - - ·cos--· 16 16 16 16 se arate că

a) E 1 = cos2 (a- b)- cos2 (a+ b) = sin 2a · sin 2b. b) E 2 = cos2 a+ cos2 b = 1 + cos (a+ b) cos (a- b). (S.G.M., 3, 1948, C.I. Ţ.) 2.136. Să se arate că sin 11 ° + sin 25° - cos '29° - cos 43° + cos 7° =0 2.137. Să se arate că a) 1- tg 2 x = 2 ctg 2x (cosec 2x- ctg 2x). b) ctg2 x- 1 = 2 ctg 2x (cosec 2x C

) t g2

2.138.

= =

+ ctg 2x).

cosec 2x - ctg 2x cosec 2x + ctg 2x

(S.G.M., VI: 257,

X=-------• Să

se arate

1°. [cos (a+ b) 4 cos2 a · cos 2 b.

că există relaţiile

+ cos (a- b)] +

2

= (1

+ cos 2a) (1 + cos 2b) =

2°. [sin (a+ b) cos (a- b)J 2 = (1 + sin 2a) (1 + sin 2b) = 4 sin2 (a+ rc/4} sin 2 (b rc/4). (R.M.F., 93, 1950, C.l.Ţ.) 2.139. Să se arate că sin (a - b} sin (a - c) sin (b - c) = a- b . a-c b -c = 4 cos - - s m - - cos - - - · 2 2 2 2.140.

Să

se arate

+

+ 60°) =

+

+

că

a) E = sin (4x - 10°) cos (4x - 30°)

64

C.I.Ţ.)

sin (15x - 150°) sin (7x - 20°).

+ sin (llx + 40°) cos (llx +

+

b) Dacă 12° - x ~ 20°, atunci E ~ ./3/4. c) Dacă x = 20°, atunci 4E = ./3. (G.M.B., 6449, C.J.Ţ.) 2.141. Să se arate că dacă O ~ x ~ 1t/l8, atunci 1/4 ·~ sin (3.x 1t/6) cos (3x - rt/3) ~ 3/4 ~ sin (3x + rt/3) cos (3x- 1t/6) ~ l. (G.M.B., 11 293, C.J.Ţ. 2.142. Să se arate că dacă 13° ~ x ~ 28°, avem.

+

a) 3/2 ~ sin 2 ( 4x + 8°) + cos2 (4x - 82°) ~ 2.

+

b) o ~ ctg2 (4x- 8°) tg 2 (4x- 82°) ~ 2/3. (G.M.B., 6662, C.J.Ţ.) 2.143. Să se arate că dacă 10° ~ x ~ 15°, atunci a) - 1 ~ sin( 12x - 60°) cos ( 12x + 30°) ~ 3/4. ~

b) 1/2

~

sin (18x + 45°) cos (18x- 45°)

l.

c) -1/2 ~ sin (18 x- 45°) cos (18x + 45°) ~ O.

(G.M.B., 6895, C.I.Ţ.)

2.144. Să se arate că (1 + cosec x) (1 + sec x) ~ 3 + 2 ..fi, unde 0 O.

COS X

--+--

sin x

sin x cos x + 1 sm x cos x

1 + sin2 ~ cos2 x

cos x. cos2 x COS X cos 3 x -----=-----= sin x sin x Sln X

cos2 x cos 2 x + sin x cos x + sin 2 x cos x · sin2 x smx

2 sin x cos x

sin2x

2

2

-----=--·

Egalitatea nu are sens pentru x = k1t/2, k e Z. 7t

2.45. Avem

--

+ -re + -3re= -ll 1t·

6

3

. re

12

4

(

re) +

7t

2.46. E 1 = sm T + cos 2 · 4

tg T =

.J3

2

+

13/3 o + "3 = --2 ·

E 2 =ctg(- :)+ sin(3 · ;)+cos[2(-: )] = -1 + 1 +O= O. 2.47.

Ţinem

seama

că:

tg a-tg b 1-tg a tg b

E

sin (a - b) cos (a+ b) ş1 relaţia

tg a-tg b 1 - tg a tg b

+n

sin a cos b - sin b cos a cos a cos b - sin a sin b

de demonstrat devine tg a-tg b

=

O.

1- tg a tg b

Dacă notăm

obţinem

tg a = x, tg b = y, tg c = z şi aducem la acelaşi numitor ~(x - y) ( 1- yz) ( 1-zx) + (x-y) (y- z (- x) = Ocare se justifică

efectuînd înmulţirile. 2.48. Avem tg

rezultă

78

(X

y

Z)

2 + 2 +2

Y + tg !__ -tg ~ tg X tg !__ 2 2 2 2 2 = ----------------1 -(tg _:_ tg Z +tg y tg !__ + tg..::... tg _:_) 2 2 2 2 2 2 tg _:_ 2

(2k+ 1) 1t 2

+tg

sau x + y + z = (2k + 1)

re,

k

E

Z.

2.49.

tg a+ tg b tg a +tg b = - - - - - sau (tg a+ 1 -tg a tg b

+ tg b)

o.

l )= 1 - tg a tg b

1°. de unde tg a + tg b = O deci a + b = krr, k adică

2°. tg a = O,

a = krr, b oarecare, k

3°. tg b = O, unde b = krr

şi

E

E

Z sau

Z.

a oarecare, k

E

Z.

1 - cos a = 2 sin2

2.50. Folosim formulele cos 2 a= - - - - , 1 tg2 a

+

!!... • 2

Avem sin2 a + cos 2 a - cos a = 1 - cos a = 2 sin2 !!... , 2

2.51. Avem sin a= - sin b sau sin a+ sin b =Ode unde a+ b = 2krr, sau a - b = (2k 1)rr, k E Z. 2.52. Ţinem seama de relaţiile

+

cos ( ~~rr -

a)= sin ( ; 4 +a);

17rr -a) = - sm . ( 5rr -a ) · cos ( 24 24

Expresia devine succesiv -16sin(~ +a)cos(_2:__ +a)sin(~ -a)cos(2 -a)= , 24 , 24 24 24 1 = - 4 sin ( ~2

+ 2a) cos (

1

1~

+ 2a)

= - 2 sin (;

+ 4a) =

-/3 sm4a . ) = -cos 4a --/3sm4a. _.

= - 2 ( 2 cos 4a+ 2 2.53. Avem

identităţile

sin 2 a - sin 2 b = sin (a + b) sin (a - b). cos 2 a - cos 2 b = cos (a+ b) cos (a - b). Deci

E = tg a + b) tg (a - b) + tg (a + b) = tg (a + b) [tg(a - b) + 1] -

= tg (a+ b) [tg (a - b) + tg :

J=

-b)

tg (a+ b) ,

t

__ ( sin + a=-l2tg(a+b)· · cos (a- b) .

sin(~+ a '4 rr cos (a - b) cos 4

b) . 79

2.54. a) E 1 > O, 4(1+sin2x) [ = .2 · =4 sm 2 x adică sin 2x = 1, deci

Er

minimul lui E 1 are loc odată cu minimul lui = 1 1 ] . este minim cînd sin 2x este maxim sm2 2x sm 2x sin x = sin 45° = .,/2/2. Rezultă:.

+ .

1 Eminim= - - - . 'i1:

cos -

+ -. -17t- =

.J2 + .,/2 = 2 .,/2.

Slll-

4

4

b) Analog E 2 = 1 + sin 2x care este maxim cînd sin 2x = 1 deci. 7t

7t

.7t

7t

4

4

4

,-

pentru 2 x = - , x = - ; max E 2 = sm - + cos - = "2. 2 2.55. Av~m

x2 - 2( 1 + 2 tg 2 a) x 2 + 1 = x 4 - 2( 1 + 2 sec2 a - 2) x 2 + 1 = = x 4 + 2x 2 + 1 - 4 sec 2 a = (x 2 + 1) 2 - (2 sec a) 2 x 2 =

= (x 2 + 2x sec a+ 1) (x 2 - 2x sec a+ 1); x4

-

2(1 + 2 tg 2 a)x2 + 1 = x 4 - 2(sec2 a+ tg2 a)x 2 +

+ (sec 2 a - tg2 a) 2 = x 4

+ tg

4

a + sec4 a - 2x 2 (tg2 a + sec2 a)

+ 2 tg 2 a sec2 a - 4 tg 2 a sec2 a= (x 2 - tg 2 a- sec2 a) 2 -

4 tg 2 a sec 2 a= (x 2

-

2 tg 2 a- 1) 2

-

+

-

4 tg 2 a sec2 a=

= (x 2 - 2 tg 2 a + 2 tg a sec a - 1) (x 2 - 2 tg2 a - 2 tg a sec a - 1) = = x 4 -2(1 + 2 tg 2 a)x 2 + 1 = x 4 -2x2 + 1-4(tg2 a)x2 = = (x 2

-

1) 2 -4x2 tg 2 = (x2

+ 2x tga + tg a -sec 2

2

+ 2xtga- l)(x

2

-2xtga- 1 = (x 3 +

a) (x 2 - 2x tg a+ tg 2 a- sec 2 a)=

= [(x + tg a) 2 - sec2 a] [(x - tg a) 2 - sec2 a] = = (x + tga + seca) (x + tga-seca)(x-tgaseca)· x-tga-seca). 2.56.

Notăm

a= sin A, b = cos A; x = sin B, y = cos B

şi obţinem

I sin A sin B ± cos A cos B I = I cos(A ± B) I ~ 1. I sin A cos B ± cos A sin B) I = I sin (A ± B I ~ 1. I sin A cos A ± sin B cos B I = I (1/2) (sin 2A ± sin 2B) I ~ 2.57. Avem E =

3 sin a - 4 sin3 a 4 cos3 a - 3 cos a =3- · sin a · cos a

- 4 sin2 a - 4 cos2 a + 3 = 6 - 4 = 2. Deci a = k din numitorii

fracţiilor

din

enunţ

se

anulează,

1t ,

2

k e Z, atunci unul

deci nu are sens.

2.58._Avem: ctg(~ -a )-tg(~ -a)= 2 ctg(: -2a )· 81

1.

ctg (

~ + a) -

tg (:

+ a) =

2 ctg(:

2 ctg (: _ 2a) - 2 tg (: - 2a)

+ 2a) =

2 tg (: - 2a) ·

= 4 ctg ( ; -

2.59. a) Avem cos {4x- 82°) = sin {90° - 4x 8°}. · - 4x) = sin {180° - 8° - 4x} = sin (4x

+

4a) = 4 tg 4 a.

+ 82°) =

sin (172° -

+

Prima inegalitate devine 3/2 < 2 sin2 (4x 8°) O

· kr. 4

4x

=

y

deci

sau tg 4x > O. + ~)} 8

t)u[;, 5;)u[~rr, :rr)u

3

9t )U [ ~rt , 1t )U [ 64rt , 1!rt ) U[ 7: , 1;rt ) U 2rt. doua egalitate este cînd sec > sau cos > kyJ (2krt, 2krt+ ; ) U{2krt + 2rr , 2(k + l)rr}

U [ rt, A

adevărată

=> 6x E

6x

O

6x

O

3

krr, -+krr rr) U (krt rr (k+3l}rr)}· Deci··. sauxe U {( -+-, keZ 3 3 12 3 4 x2e(o, ~) uf~. ~) u(~· ~)u 12 u(~· 4 ~) 3 \ 3 12 u(!!:.., 12 ~-~) 3 3 12 u(\1; , rr)u{rr,{1t;)u{-54rr, :~)u{:rr, \1;)u u (~· u(~· ~ ) u( 212 4rtJ' · 12 ~) 3 3 12 :86

=

=

n

Rezultă

X

Aducînd

fracţiile

X1

X2-

acelaşi

la

numitor avem:

31t) u( 67t, 24 24

x 1 E [o,

U [ 241t

,

24

U [ 301t

271t] 24

24

~)

,

U ( 61t

81t ) 24

u(161t, 24 ,

341t ) 24

24

Rezulta~

U ( l61t 24

,

XE

( O,

, ~) 24

,

401t ) 24

24

U ( 241t

,

26~-) 24

24

,

421t -) 24

1

~=

relaţie

24

,

321t) 24

24

U

= -.Pi • 2

.7t

2

U

U 32r.)u 24

481t . 24

l

U ( 321t

24

,

24

331t) 24

U

481t . 24 7t

cos -4

=

V+

24

= -.Pi2

şi

unghiurile fiind.

yr=cosx ; 2

cos

X

•

2

se mai scrie

I· Icos ;

;

261t)u(3on. 24 24

24

391t ) 24

de la sm 4

cos

.Pi Icos

l61t) 24

,

24

U ( 401t

U ( 301t

2

E1 =

U ( 141t

24

24

în primul cadran folosim formulele sin ~

2.84. a) Prima

.

~7t )

24

24 pleacă

U

61t , -81t ) U ( --81t , -91t) U ( --, 141t 151t) U ( -- U1

U ( 381t 2.83. Se

391t) 24

u

24

24

24

,

24

2fa)u(241t, 24 24

U ( 381t

-21t ) 24

U [ 361t

U 481t

U (~ ,

81t ) 24

24

1s1t)u(E!:_, 24 24

U ( 321t

331t) 24

451t ) 24

24

(o,

,

24

U [ 421t xz E

u[~· ~) u[~· ~) 24 24 24 24

- sin ;

I+ ./2 j cos ; + sin ; I·

• Isin ; I= ./2. Ţinînd E1 =

seama

./2[(cos

2 ;

că

;

E [ O,

: ]

U [; ,

-cos ; sin ; )

+ (sin

31t ] , 4 2 ;

+ sin ;

cos ; ) ] . ./2, evidenL

Bi

b) Avem

E 2 = ./2(Jcos ;

I·

\sin; -cos; J+lsin; -cos ;1•,sin; l)=./2.

rezultă

întrucît ; e [: , ; ] U [ 341t , 1t],

E 2 = ./I(cos2 ~+cos~ +sin~+ sin2 x -cos x sin~)= 2 2 2 2 2 2 = ./2, evident.

2.85. Din

relaţia

Sin

X

condiţie

de

dedueem

('Tt

sin a + sin b = ------=COS 2• 1. + sin a sin b 1-cos(~ -

a -sm2 a )2 ( cos2

(1- sin a) (1- sin b) (1 + sin a) (1 + sin b)

Dar tgz(2:_ 2

-a)=

2.86. Aducem la

a. + sin a ( cos 2 2

1-sin 1 + sin

acelaşi

)

•

1 + sin a· sin b - sin a - sin b 1+ sin a · sin b + sin a+ sin b

-x)

1 + cos(;

:.:-=

x)

7t

x=

(

X

(

( cos

)2

X

b b'2 2 -sin 2 )

2 ( cos 2b + sin 2b )

•

x)2

cos 2 ~sm 2 . X )2 cos -X + sm2 2

numitor

E = cos (a - 1t/4} cos (a + 1t/l2 + sin (a - 1t/4) sin (a + 1t/12) _ sin (a+ 1t/l2 (cos (a+ 1t/12) cos

-

(a+ 1t/l2-a +

~

· sin ( 2a +

2.87. Trebuie a) tg2 ( ~

88

f)

2 cos 2:_ 3

------

; )

să arătăm că

± : )~ 4

tg (:

± : )+

1 = O sau

1

- ·2(7t±7t) 4 6

- cos (7t±") - + (7t±7t) 4 6 4 6

sm -

sm 4.

cos

- = 2("±")' 4 6

0,

sau . ( -1t sm 2

± -1t) = 3

. -1t -1 , a d"1ca~ sm 2 6 .

( 1t

b) Analog avem sm 2

1 . = -şi

2

± -5r. ) = 12

. 7t

./6- ,Fi .d sm - - = - - - - , ev1 ent 12 4

4

.,/

. 51t- = -1 , ev1"d ent. sm 6 2

1 H, - li .j- = - - - - sau: 6+ 2 4

. . 11r. lf;-,/i .d sm - - = - - - - • ev1 ent. 12 4

ş1

4

2

2 2-

2.88. Deoarece sin x + cos x = (sin x + cos x)

=

1-

_!_2 sin2 2x

~ , 2

= 1-

2

2

2 cos x sin x ==

sin6 x + cos6 x = (sin2 x + cos 2 x) 3 . - 3 sin 4 x cos x - 3 sin x cos 4 x = 1 - 3 sin 2 x cos x =

2

2

~- sin 2 2x = 1 - ~ u 2 , 4 4

= 1-

E= 1+

2

4u2

(

găsim

u2 ) -3m (1- Ju2 4 )·

+m 1- 2

= u 2 (_!_ - ~ + 9 m )

E

-

4

2

4

+ 1-

2m.

· d e d e u d ec1· mei · · d e x d aca~ -1 - - m Expresia E nu d epm 4 2 9m-2m..L4 4 = ' = O, de unde m = - - •

4

9m = + -4

7

7t + x) =

2.89. cos (; -f 3x) = - sin 3x; sin ( 92

sin(; + x) =

=tos x; sin(; +3x)=cos 3x· E = sin 5x + sin 3x + sin x _ 2 sin 3x cos 2x + sin 3x _ cos x cos 5x cos 3x 2 cos 3x cos 2x cos 3x

+

+

+

_ sin 3x (2 cos 2x + 1) =tg 3 x. cos 3x (2 cos 2x + 1)

2.90. a) Avem cos x = -

i; 5

sin x = ~; sin 2x = 2 sin x cos x; 5 7 . 117 44 cos2x= ·sm3x= --;cos 3x = cos (2x + x) = - - · 125 25 125

E = ~ · E2 = ~ · 1 125 '

125

89

b), E 1

=

. 2 . ) . X 3X 2 cos x (sm x - sm x = 4 cos x sm - cos-, sau 2 2

+)=

E 1 = 2 sin 2x(cos x -

. 2 x sm . (1t = 4 sm \6

2 sin 2x (cos x- cos ; )

=

- 2X).sm (7t6 + 2X) ·

E 2 = 2 cos 2x cos x - 2 sin x cos x

2 cos x (cos 2x - sin x)

=

=

= 2 cos x [ sin ( ; - 2x ) - sin x] = 4 cos x sin (: - ~x ) . cos (: - ; ) , c) sin x + sin 3x

=

cos x (sin 2x - cos 2x)

=

tg 2x = 1; x Ridicăm relaţia

2.91.

=

cos x + cos 3x; 2 sin 2x cos x

de

O; cos x

condiţie

8 la

7t

= O, x 1 = - + k1t, 2

+ k -2 ,

= -7t

2 cos 2x cos x;

7t

ke Z.

pătrat:

n2 X • 2 · 2 b · 2x sin · sm sm t g2 x = -Sl.- = t.g 2 a · t g 2 b = -a- - sau -- -

cos 2 a · cos 2 b

cos 2 x

_ ( 1 - cos 2a) ( 1 - cos 2b)

1 - cos 2a - cos 2b + cos 2a cos 2b

(1 + cos 2a) (1 + cos 2b)

1 +cos 2a + cos 2b + cos 2a cos 2b

Aplicăm

proprietatea

proporţiilor.

Dacă -A B

= -C ,

. A+B A-B

D

lnversînd

r1 -

1 + cos 2a · cos 2b cos 2a + cos 2b

sin 2x

= ./sin X -

=

f (sin x +

cos 2x

COS X,

./sin x + cos x- ../sin x -

deoarece sin

cos x

__ sin x cos x

-V

Observaţie. Dacă X -

1.

x

sin2 x _ cos2 x E

2

cos x,

2

tg

X -

iar

X> C~S X •

2 sin x - 2 ,Jsin2 x -cos2 x

cos - x- = cos2 x

f sin x +

cos x) 2 =

.Jsin x + cos x + .Jsin x -cos x

- ,.,/ctg 2

b.

C _ D ş1 o ţ1m;m

fracţiile obţinem relaţia cerută.

2.92. Avem: ~ 1 + sin 2x

E=

C+D .

atunci

sin 2 x + cos 2 x cos 2 x - sin 2 x

90

cos 2 x

-

COS X

,Jtg2

X -

1.

(O, 1t/4), atunci membrul doi devine tg x -

krc 2.93. Notam - 8 w

=~

re ± -=

16

x,

k

E

z .ş1. ţmem .

w

seama ca tg x

=

apoi dezvoltăm şi obţinem: 128 sin 4 x cos 4 x - 32 sin 2 x cos 2 x

+

COS X

+ 1 = O, sau 8 sin 4 2x - 8 sin2 2x + 1 = O şi apoi 2(1 - cos 4x) 2 - 4(1 - cos 4x) + 1 = O de unde 2 cos 2 4x - 1 = O sau cos 8x = O. Rezultă 8x = k re± -re d e un d e x = -krc ± -re , d eci· s-a ven·f·icat ega 1·itatea propusa. 2 8 16 w

2. 94. Avem succesiv: . re . 2rc . 3rc . 4rc . 5rc . 6rc . 7rc . 8rc . 9rc .64sm -sin-sm-sm - s m - sin - s m - s m - sm - = 20 20 20 20 20 20 20 20 20

=

=

. re . 21t sm . 3rc . 4rc 41t . 3rc 2rc r. 64 sm - sm - sm cos cos cos cos 20 20 20 20 20 20 20 20

. 2rc . 4rc . 6rc . 8rc 4 sm sm - sm - sm 20 20 20 20 . 4rc = sin -

. 2rc . 4rc 4rc 2rc = 4 sin - sm - cos - cos 20

. 8rc sm 20 20

Adunăm relaţiile

2.95.

sin b

-

+ b)

cos a cos (a

.

20

9

.

relaţia

20

. 21t sin - · 5 5

re

= sin -

evidente tg( a

+ b) -

tg a=

, .. ,,tg(a+nb)-tg[a+(n-l)b]=

sin b bţ' S - - - - - - - - - - - - o 1nem cos (a+nb) cos [a+ (n - l)b]

2.96. rn

20

= tg (a + nb)· - tg a sin b

sin (a - b) tg a - tg b = --=---- facem înlocuirile; cos a cos b

a

=

=

(k- l)ix şi b = ka. şi obţinem relaţia tg (k-1) ix-tg kix

-

sin ( -ix) · Dind lui k valori de la 1 pînă la n şi aducos (k- 1) IX COS kix

:nînd

=

relaţiile găsite obţinem

tg O - tg ix

+ tg ix -

tg 2ix

+ ... +

tg (n - 1) a. - tg n nix =

-sin ix d e un d e ~ -= ~ ~ -------I.I bi

COS

(k - 1)

IX• COS

kix

k=I

-------COS

(k - 1)

IX COS

ka.

tg na. sin ix 91

. 2. 97 . sm

7t . 31t sm . 1'!5rc = cos ( 7t - 7t ) cos ( 7t - 14 3rr ) cos ( 7t sm 14 14 2 14 2 2

rr . rr

5rr ) 31t - 12 =COS 7

.

21t

2 · sm -

7

2rr 7t cos 7 cos?

=

31t

2 sin2:.. 7

21t 31t cos cos 7

21t

2 cos --- sm - cos- cos7 7 7 7

. 41t . 7t sm-sm7 14

7

1

_------------------8 sin ___2:__ cos ___2:__

2 · 2 sin 2:.. 7

1- tg 2

~. 98. 1

8

+ ctg X = 1 +

X

14

11

X

+ 1-

2 tg -

-

2

2

tg 2

X -

2

X

2tg2

2-(tg f- lr X

X

2tg-

2 tg2

2

= ctg -X - -1 ctg -X( tg -X -1 )2 ...; ctg -X , Pentru O< 2

2

2

2

avem -1 ctg -X( tg -X -1 2

2.99. suma a zurile:

că

2

Observăm două laturi

1° sin x

2

2

)2 ;;i: O,

x

< 1t

evident.

mai întîi că sin x, cos x, cos 2x sînt pozitive. Să arătăm este mai mare decît cea de-a treia latură, în toate ca-

+ cos x -

cos 2x = sin x

+ cos x -

cos2 x

+ sin

2

x

=

+ sin x + cos x (1- cos x) > O. 2° sin x - cos x + cos 2x = (cos x- sin x) (cos x + sin x- 1) care este pozitivă deoarece cos x > sin x) iar (cos x + sin x > 1 deoarecex e (O,rt/4.). 3° - sin x + cos x + cos 2x = (cos x- sin x) (sin x + cos x + 1) > O = sin x

Inegalităţile

2.100.

2

se mai pot scrie:

1/2 ...; sin (10 x - î,0°) + sln 90° ...; 3/2 ...; sin (lOx + 30°) + sin 90°...; 2 Ţinem

seama

că

sin 90°

= 1

şi că x e

[O, 6°]. Deci

1/2 ...; sin (10.x - 30°) ...; 1/2 ~ sin {10x + 30°) ~ 1. 10x - 30° lităţile

92

din

e ( -30°, 30°);

enunţ.

lOx +30°

e (30°, 90 °) de unde

rezultă inega-

2.101. Inegalitatea se mai scne

8 cos x cos y sin x sin y- 8 sin 2 x sin 2 y - 1 8 sin

< O,

x sin y cos (x + y) - 1 < O,

1 - 8 sin x sin y cos (x + y) > O, sau 1 + 4 cos (x + y) [cos·(x + y) - cos (x - y)] >O; 1 + 4 cos 2 ( x + y) - 4 cos ( x + y) cos (x - y) > O; sau

[2 cos (x + y) - cos (x - y)] 2 + sin 2 (x - y) > O care este suma a două numere pozitive, deci pozitivă. 2.102. 1° Avem evident a + b > c. Rămîne să demonstrăm că a + c > b şi b + c > a. Notăm m = tg Ot, n = tg ~; O < 0t ,,;; 1t/2. Inegalitatea a + tg X tg ~ . . . + c > b se scne: - - + tg 0t + tg ~ > - - sau sm 0t + sm 0t cos ~ + cos~ cos 0t + cos

0t

sin ~>sin ~; sin

obţinem

sin

~

(0t

(0t

+~)>sin

+ ~) > sin

~

(~ -

~-

0t),

sin

0t;

simplificînd cu-2 cos

care este

(0t

+ ~) >sin~

+ 2

~

,

evidentă.

Inegalitatea b + c > a se reduce, de asemenea, la inegalitatea sin~

0t

evidentă

(0t- ~).

2°. Şi în acest caz a1 + b1 > c1 . Cu tatea a 1 + c1 > b1 se scrie tg 0t + (tg cos 2 ~

0t

aceeaşi notaţie

+ tg ~) (1 - tg

0t

tg ~) >

ca mai sus inegalitg ~ cos 2 :x

sau sin

0t

cos

0t -

sin ~ cos ~ + cos :x cos ~ sin(oc + ~) ( l - tg :x tg ~) > O;

deci sin (:x- ~)+sin (oc + ~) > O. Inegalitatea b1 + c1 > a 1 se reduce la sin(~ - :x) + sin (:x + ~) > O. Ultimele două inegalităţi trigonometrice sînt evidente. . . 3(x 2.103. Prima inegalitate se mai scne cos

+ ·v)

2

,,;; O care se ve-

semnul egal a vînd loc d aca 3(x+y) = -31t a d"1ca x + y = r;. 2 2 A doua inegalitate se mai scrie sin (2x + 2y) ,,;; O care se verifică întrucît 1t ,,;; 2x + 2y ,,;; 21t semnul egal are loc cînd x + y = 1t/2 sau CÎnd X+ y = TC. 2.104. Fie E = cos 2 (x - y) - 4(1 - sin x cos y) (1 - cos x sin y) = = cos2 (x-y)-[2 -sin (x + y)-sin (x-y)J [2 - sin (x + y) + + sin (x- y)] = cos 2 (x-y) - {[2-sin (x + y)] 2 -sin2 (x -y)} = tifică,

W

V

--..C.........

93

= cos 2 (x -y) + sin2 (x-y) -[2 ·-sin (x + y)J 2 = 1 -4 -sin2 (x -y) + + 4 sin (x + y) = [3 - sin (x + y)] [sin (x + y) - lJ ~ O. Semnul este egal dacă sin (x + y) = 1. Dacă în prima relaţie înlocuim pe x cu -x şi y cu 90° - y, x - y devine x - 90° + y, far cos 2 (x - y) devine sin2 (x - y) şi obţinem a doua relaţie.

Apoi, dacă în prima relaţie înlocuim pe y cu -y, obţinem a treia relaţie iar din a doua obţinem a patra relaţie. 2.105. Avem 2 sin a cos (a+ b) = sin (2a + b} - sin b, deci sin (2a + + b) - sin (2a + b) + sin b = sin b, evident. 2.106. Relaţiile date le putem scrie

. a.+f3 x-(3 2sm-- cos - - 2

Prin

2

65 '

împărţire rezultă 2 sin (a.

1 precedentă

f3

iar sin2 a. -

+

2

+ f3). · cos

4

c,.-(3

2--

2

64

avem

65 2

l

f3

56

2

-

=-

înlocuind în

Şl

65

49

+65

2

şi

65

înmulţindu-l

7

65

_

65

14·8 = --

112 a.-(3 avem - - · cos2 - -

65

2

tg a.+ f3 = }_, iar

tg 2 a.+ 2

= 1

2

şi

2

2 tg a.+ f3 2

Dar sin (a.+ (3) =

egalitatea

a.+f3 a.-(3 8 2cos - - - c o s - - = - - ·

14 = -·

deci tg 2

= -112 = cos2 2

a.-(3 --

65

2

=-1 , 65

a. - (3 a. - f3 = 64 => tg - - = 2 2

--

2 tg a.+ f3 2

din tg (a.+ (3) =-----obţinem tg (:t. 1 - tg 2 a.+ f3

+ ~) =

56 -· 33

2

2.107. -

. 31t Avem 21 ( sm 11 71t ) sm . ( 22

21t

1t )

22

1 ( cos 2.108. Avem 4

41t sm . l01t =cos 21t sm . 51t = cos 22 11 11 , 22

41t -

- cos ; ) ( cos : 94

. 41t ) =sm . 71t cos 1t = cos ( 1t-+ sm 7 22 22 11

1t) ( cos cos 3

+ cos ;

)

=

31t -

21t ) cos 3

1-(~ - : )=

= 41 ( cos 41t /6 •

±

8

2.109. a.) Înmult,lnd cu 2 cos-~ se obtine 14 , .

2 sm -

1t

cos -

14

21t

a d1ca sm o

V

,

14

31t

cos -

14

1t

21t

+ 2 cos -

14

14

31t

7t

14

14

+cos -+cos ,

41t

- sm -

14

cos -

=

1t 14

. 31t 1t 1t - 2 sm cos - = cos - • 14

14

14

• 41t • 21t 7t d d - s m - - s i n - = cos-, e un e

14

'd

14

V

O care este ev1 enta

d

14

31t

eoarece -

14

41t

+ -

14

7t

= - · 2

b) Înmulţind cu -2 şi transformăm în sume avem .

1t

.

31t

21t

41t

14

14

14

.

51t

.

1t

l

~--~-+~--~-+~-+~-=. 14

14

14

adică

. -3 1t + 2 sm . -S1t = 1. Î nmu1hm . cu cos -1t . avem, · - 1t - 2 sm 2 sm ş1 14 14 14 ' 14 . 21t . 21t . 4r. d up ă transf ormarea pro d use1or ,m sume; sm - sm - - sm 14 14 14 sin 61t 1t . 4r. . 61t 1t

+

+sm -+sm 14

61t

14

7t

=cos-- sau - - - = cos 14

14

14

, evident, deoarece

7t

14+ 14- 2' c) Înmultind cu 8 cos~ se obţine '

14

. r. r. 21t . 3r: 1t 8 sm , cos - . cos · sm = co~: 14 14 14 14 14

sau . 2r. 2r. . 31t r. 4 sm · cos · sm = cos , de unde 14 14 14 14 . 41t . 31t 1t 3r. . 3r. r. 2 sm - sm- =cos- sau 2 cos - s i n - =cos - , 14 14 14 14 14 14 61t 7t 6r. a d 1ca sm = cos - , evident, deoarece 14 14 14 o

V

•

2.110. Avem 2 sin

a+b 2

a-b

- cos - 2-

=

p;

+-

7t

14

a+b

7t

= - · 2

a-b

2 cos - 2-cos - 2-

= q,

2 tg a+ b

cos a 2 b # O,

=>

2-+ b tg ai b = : ; sin (a + b) = - - - a 1 tg 2 - - · -

+

2

93

p

2. -

q

-2pq -- .

- --=---- = 1 p2/q2

+

pi+ q2

1 - tg2 a+ b 1 - p2/q2

2

c~(a+~=------1 + tg2 a+ b

1 + p2/q2

-·

q2 -p2 q2

+ p2

2

1 - tg2 x 1 +tg 2 X 1 - tg 2 X b

sin2x= __ Z_tg_x_ avem 1 tg 2 X 2 tg X a 2 - b2 = a · ---+ 1 tg 2 X a2 b2

2.111. Deoarece cos 2x = a cos 2x

+ b sin 2x =

a · ---=--- + 1 + tg2 X

+ b.

2ab a2

+ b2

+

· _ ___:;__ +

+

= a.

2.112. Avem 1 - sin2 (a+ b) = cos2 (a+ b).

a+b a-b . a+b a-b 2cos--cos-- - 2 s m - - cos - 2 2 2 2 M2=------------------a+b a-b . a+b a-b 2 cos - - cos - - + 2 sm - - cos - 2 2 2 2 a+ b . (a+ b) cos - - - s m · 2 2

-

-

a+b . a+b cos - - + s m - - 2

Pentru

următoarea

a

b

+

1 - sin (a b) cos (a+ b)

a+b . a+b cos-.--sm2 - 2 2

-

2

2

_

1-sin (a+ b)

--------'---'-'---

-

cos (a+ b) 1 + sin (a+ b)

identitate avem

a b a b . a-b a+b 2 sin ~ cos ~ - 2 sm - - cos - 2 2 2 2 2 --------------+---------2 a-b . a-b a-b a+b a-b 2 cos - - - 2 sm - - - cos - 2 cos - - - cos - 2 2 2 2 2 2 sin 2 ~

-

.

a- b . a- b Sln-2 2 -----+ ----=o. a-b a-b -cos - cos - 2 2 Sln--

2.113. 96

Ecuaţia

cos x · sin 2x cos 3x · sin 4x se mai scne: - - - - - - - - - - - sin x · cos 2x sin 3x · cos 4x

=

Folosind proprietăţi ale proporţiilor derivate obţinem: sin 7 x- sin 3x= O sau cos 5x = O, => x 1 = 18°. . . 1-cos 8x 1- cos6x 2.114. sm2 4x + sm 2 3x - cos 2 2x -cos2 x = - - - - + - - - - -2

2

1 + cos 4x _ 1 + cos 2 x =_!_(cos 8x + cos 6x + cos 4x 2 2 2

+ cos2x) =-= .

=-

~-(cos 8x + cos 2x) - _!_(cos 6x + cos 4x) = - cos 5x cos 3x 2 2 - cos 5x · cos x = - cos 5x (cos 3x + cos x) = - 2 cos 5x • cos 2x · cos x, cff:1 cc justifică identitatea din enunţ. 2.115. Avem cos 5a + cos lla = 2 coş 8a cos 3a; 3(cos 7a + cos 9a) = = 6 cos 8a cos a. Relaţia din enunţ devine succesiv 2 cos 8a (cos 3a +cosa+ 2 cos a) = == 2 cos 8a (2 cos 2a cos a+ 2 cos a) = 4 cos a cos 8a (cos 2a + 1) = = 8 cos3 a cos 8a. 2.116. 1) Prima egalitate se mai scrie 0

sin 10° = cos 20° - cos 40° = 2 sin 10° sin 30°, evident. 2) Egalitatea cerută se mai -scrie tg 80° - tg 60°

=

(tg 40° + tg 60°) + (tg 60° - tg 20°)

sau sin 20° cos 80° cos 60°

--------

sin 100° + ___ sin 40° cos 40° cos 60° cos 60° cos 20°

deci

sin 20° cos 80°

sin 30° sin 40° - -- +-cos 40°

+ 2 sin 20°)

d

cos 20°

sau sin 20°

d . o e un c sm 20

• = sm

10

o (

•

2 sm 40

o

+

= cos 30° - cos 50° +cos 10° - cos 30° =

= cos 10° -

cos 50° = 2 sin 20° sin 30° 3) Egalitatea din enunţ se mai scrie tg 10° + tg 70°

=

=

sin 20°.

tg 60° + tg 50°

sau sin 80° cos 10° cos 70°

--------

sin 70° , cos 60° cos 50°

de unde

sin 80° 2 sin 70° cos 70° sin 140° sin 40 ' cos 10° cos 50° cos 50° cos 50 o evident deoarece sin 80° = cos 10° şi sin 40° = cos 50°. 2.117. Avem

--- - ------- - - - - - ---- -

. 2 a+b . 2 sm --+2sm 2 a+b 2 cos 2 - - - + 2 sin 2

a+b

_a+b

a+b

a+b

1.

---cos-2 2 - - - cos - - 2 2

97

. a+b a+b sm - (. sm -· 2

a+b) + cos -

2

=tg a+ b

2

(. a+b + cos -a+b) cos -a+b 2- . sm - 22--

=

2

.

a+b a+b 2 2 sin a+ sin b - ---------- a+b a-b cos a +cos b 2 cos - - cos ---2 2 . a+b + cos a+ b = O, atunci. n'd'1cm ' d 1a. pawt ra t Observaţie. Dacă sm -2 sm - - cos --·-

2

obţinem

sin (a

Ţ

b) = - 1 deci

.l

a+b

+ b=

2 2kit - r./2, k

a-b

Z.

E

a+b .

a-b

a+b .

a-b

2 cos ·--cos - - + 2 cos - - sin - 2 2 2 2

b) Avem

2

a+b 2

.

a-b . a-b cos - - + s m - 2

a-b

COS - - COS - - -

2

2

COS - - - Sln - -

2

2

(cos T + s i n T Y

2

a-b . a-b cos - - - · - sm - - 2 . 2

l+sin(a-b) cos (a- b).

a-b . a-b cos 2 - - - s m2 - 2

2

Am simpliflcat cu cos (a + b)/2 # O, deci (a+ b)/2 # kr. + r./2 sau a+ b # (2k l)1t, k E Z.

+

+

2;118; · 1°) Egalitatea din: .scc2 20: -

+ scc

2

enunţ

se mai scrie

40° + sec 2 80° = 36 sau

1

cos2 20°

+ cos 140° + --cos 80° 2

2

cos 2 20° cos2 40° + cos 2 40° cos2 80° + cos 2 20° cos 2 80° =36, cos 2 20° cos 2 40° cos 2 80°

întrucît cos2 20° cos 2 40° cos2 80° Rămîne

de

sin2 160° 82 sin2 20°

1

= - - - - = --- . 64

arătat că:

64 [ _(cos 60° + cos 20°) 2

+ (cos

4

60° - c~40°}

+ (cos 60° -cos 80°)

4

2 ]

=

36

4

sau 3 cos 2 60° + 2 cos 20° - 2 cos 80° - 2 cos 40° + cos2 20° + cos2 40° +

+ cos

2

80°

9

3

4

4

= - sau - +

+ cos 80° + -1 -2 - - + -1 --cos -2 -20°- - -94

98

1 + cos 40° + -- + . 2

2 (cos 20° - cos 80° - cos 40°)

care,

întrucît cos 20° - cos 80° -

- cos 40°

+ -1 = -9 , 2

3 O, se mai scnc. --

= cos 20° (1 - 2 cos 60°) = deci se

4

4

+ -1 + -1 + 2

2

,·erifică.

2°) Egalitatea cerută se mai scrie: (sin 20° sin 30°) (sin 40° cos 10°) = (sin 10° cos 40°) (cos 20° cos 30°) sau (cos 10° - cos 50°) (sin 30° - sin 50c) = (cos 10° + cos 50°) (sin 50° - sin 30°) sau cos 10° sin 30° = sin 50° cos 50° sau cos 10° = 2 sin 50° cos 50° = sin 100° = cos 10°. arătat relaţia echivalentă:

3) Avem de

= (cos 15° cos 25°) (sin 5° cos 35°} sau (cos 10° - cos 40°) (sin 30° + sin 40°) = (cos 10° + cos 40°) (sin 40° - sin 30°)

sm 15° sin 25°) (sin]35° cos 5°)

de arătat că sin 30° cos 10° = cos 40° sin 40° sau cos 10° -= 2 cos 40° sin 40° = sin 80°

Efectuînd

simplificările obţinem

= cos 10°.

2.119. a) Avem sin S1t +cos~--::.sin~+sin(~- ll1t 24 24 24 2 24 . 51t = sm -- + 24

. 1t sm 24

. 1t • 1t = 2 sin - sin - · 8

. 51t 111t . 1t b) sm + cos - - + sm 24 24 6

•

12

1t

1t

8

12

= 2 sm - cos - - +

= 4 cos - 1t

1t 1t . + 2 sm cos 12 12

)=

• 51t 1t sin cos - . 48 48

12

2.120. a) Avem cos x + cos 6x

=

7x 5x 2 cos - - cos - ; cos 2x ,. 2 2

+

7x Jx ·7:x x +cos 5x = 2 cos- cos ; cos 3x + cos 4x = 2 cos cos 2

şi tg 2

a- b

---

2

2 tg a+ b 2

tg(a+b)= - - - a+ b 1-tg2 - - -

a- b = 64 sau tg - - = · · 2

±., ..8.

56

=- - · 33

2

2 • 126• E 1 = cos

=

1t (sm . l l 1t - sm . 57t) 24 29

8

. 2 cos -7 tsm -7t cos -7t

-

8,

8_

·- . 7t ) +sms

6

=

+ 2.sm

2··V. 1 =

../3 .

ll1t . 1t( E 2 = sin - cos -,.8 24

=

2

y

1 - cos 45° .

2

V~ 1

. -7t cos -=7t( cos -7t cos -7t = 2 sm

cos 2

8

6

~

V2 -

= .fi-V2-../2 .

( . 1t • 7'-rt •)'·. sm 24 - si~.- ?4- 5~n

8

../3 [ 7t 31t J ·2· cos g+cos8 =

..;2

cos

~

cos

4· '

cos

2

y+ 1

8

· I·

:1i.

.··: .

~ -:-8

°Ţ'\•. ..;r,

71t). = .2 sin . -1t + .cos -.-· 24 . 8 2

7t

~

:r•.

..;;Vi+

cos 45° .

6

1t.

8=

2

cos

cos 30° =

2 101

2.127.

Grupăm

. (a 2 sm

E-=

termenii extremi. Avem

+ -3b ) x cos -3b 2

2 cos ( a

x

2

. ( a + -3b ) x cos -b x + 2 sm

2

2

3b) X cos -i3b X + 2 cos ( a + 2 3b) X cos + -2

= 2. 128 a) 2 (sin 360

tg ( a

+

+ sin 720 ) =

b

-X

2

3; ) x.

4 sin 54° • cos 18° sin 18'. _ sin 18°

2 sin 54° · sin 36°

2 cos 36° • sin .,6°

sin 18°

sin 18°

-

sm 72° cos 18° - - - - = c t " 18°. ~n 1~ ~n I~ b

bj Înmulţim cu 2 sin 6e şi rdaţia cerută se mai scrie

+ 4 (cos 72° sin 6° + cos 24° sin 6° + cos 48 sin 6°) = I ; 2 \;in 6° + 2 (sin 78° -- sin 66° + sin 30° -sin 18° + sin 54° - sin 42°) sau sin 6° + sin 54° + sin 78~ = sin 18° + sin 42° + sin 66°. 2 sin 30° cos 24° + sin 78° = 2 sin 30° cos 12° + sin 66°; Z sin 6°

sin 7b0

-

8

sin 66°

cec=

=

2 sin 30° (cos 12? - cos 24°), de unde

sin 78° - sin 66° = cos 12° - cos 2•P cc-= sin 78° - sin 66°, evi I> prin (rc/2 - b). 2a-b-c b-c 2.139. sin (a- b) sin (a- c) = 2 s i n - - - - cos - - - ;

.

+

2

2

. (b - c )· = 2 sm . ---b - C cos b -C . Pr'1ma parte d evme . sin 2 2

b - C ( • 2a - b 2cos -2- su1 - 2

b-c

.

C

• b- C ) +sm -2--

a-c

a-b

= 4 cos---- sm - - cos - - - .

2 2 2 2.140. a) 2E = sin (8x - 40°) + sin 20° + sin (22x

=

sin (8x - 40°)

+ 110') =

+ sin (Hx

+ 100°)

- sin 20°=

- 260?) = 2 sin (15x - 150°) cos( - 7x

+

2 sin (15x- 150?) sin (7x- 20°) 105

b) 30 ~ 15x - 150° ~- 150°; 60° ~ 7 x - 20° ~ 120° de 'unde

sin (15

x-

150c) ;;,,

~

; sin

20°) ;;,, ./3~2 deci E ~ ,J3J2.

(7 x -

c) Pentru . x = 20°,. E · sin 150° sin 12G = sinl 30° sin 60\ = ./3/2. 0

2.141. Avem cos (3x -1t/3) - cos (1t/3 - 3x) · sin(3x + 1t/6); cos (3x- 1t/6) = cos (1t/6 - 3x) = sin (3x + 1t/3). 0

1/4 < sin 2 (3x + rc/6) < 3/4 < sin 2 (3x + rt/3). Dar 1t/6 < oE:; ox + 1t/6 < 1t/3 sau 1/2 2 < sin 2 (3x + rt/3) < (./3/2) 2 = 3/4, ai:oi rt/3 < "- Bx ~ 1t/2, deci (./3/2) 2 < sin (3x + 1t/3) < 1. . Se mai fOt da ~i alte rnluţii transf01m\r.d pcdm:Ele în s1:me trigonometnce. 2.142. a) Avcmcos(4x-82°)=sin(90°-4x+82°)=sin(l72° - 4x) = sin (180° + 8° - 4.x) = sin (4x 8°). Inegalitatea dnine 3/2 < 2 sin 2 (4x + 8c) < 2 sau 3/4 < sin 2 (4x + 8°) < 1. Dccar(ce 13" < X < ne," Hm((;< '

O.

k=l

ccs 2x x - - - t - - - - = -3+ - - + cos ---

=-

sin 4 x = -

I

2

2

=

k;)r =-

· ( 2x + krr ) + 4 4l [ 1 + 2 cos

+ 2l ( 1+ cos ( 4x + krt 4 ) + cos ( 4x + k-r: 2 )] = 2 )] = 81 [ 3 + 4cos ( 2x + kic S1

=

f{

3 · 16

+ 4(cos (2x +:) + cos(2x + 2;)+ ... +cos(2x+ 1:")] +

+cos (4x + 2Tt) + cos (4x + 2rt) 2 + ... +cos (4x +-16;;)} 2 =-= = -81 S2 =

(3 • 16

1

+ O „' O). =

E [ 1 - 2 cos (2x + k;) + l 8

--[3 · -

1

6.

l

-cos (4x + krc) 2 12 =

24 -O -O]= 9.

2.191. Indicaţie. Se rezolvă. analog cu problema \ine S 1 = 11 şi S 2 = 12.

precedentă şi

se ob-

CAPITOLUL III

Grafice de funcţii trigonometrice. Funcţii trigonometrice inverse. Aplicaţii. Identităţi parţiale. Ecuaţii şi inecuaţii simple trigonometrice. Identităţi condiţionate. Relaţii trigonometrice între unghiurile unui triunghi oarecare

PROBLEME ENUNŢURI

3.1.

Să

se reprezinte graficul

3.2.

Să

y = "'sin 2 x cos x + "'cos2 x sin x. se reprezinte graf icul funcţiei,

3x + sin x + cos x /( X ) = sin ~-=--=--=--===-=-"'l

+ cos 2x

Să

3.3.

funcţiei

+ cos 3x. , X E (O ,2 1t) .

(G.M.B., -13 105,

C.I.Ţ.)

cos 2x se reprezinte graficul funcţiei: "' 1 -

3x - sin x _ cos 3x + cos x (O ) /( X \ _ sin -====--=-----=====- ' X E ' 21t • (G.M.B., 13 101, C.l.Ţ.) · .../ 1 - cos 2x .J l + cos 2x · 3.4. Să se studieze mişcarea rectilinie de ecuaţie orară x = I

=

-

n n) · s~a se precizeze · amp1·1tudi nea, penoa · da · raza

r. t) - 5 sm · ( !+5 cos (.,3 3 1

ş1

iniţială. Cnităţile

3.5. Se

sînt centimetrul s1 secunda ' (Bacalaureat, Strasburg) iunie 1965,

consideră funcţia

sin 2 (31r/8 - x) - sin 2 (n/8 - x) sin(1r/4-x)

( ) Ix=--'---'---'----'-'------'

· Să

se arate că se poate scrie sub forma j(x)

O, a t unei. arctg x 3.14.

Să

se arate

că dacă

3.15.

Să

se arate

că ţinînd

·. . cos (arctg x

=

X

·

2x

x > 1, atunci 2 arctg x

+ arcsin

2

--- = 1 x2

+

1t.

seama de formulele

sin (arccos x) = ,/1

..:os (arctg x)

+ arctg -l = -" ;

:

+

x2 ; sin (arctg x) =

____ .J 1 +i x2

' + arctgy) =

_x_.

,/1+x2 '

obţinem relaţia '

1 - xv

_~__ ../1 +x2 • ../1 +y2 127

3.16. Să se arate că arctg (tg x) = x - 21t dacă şi

31t/2 < x

< 51t/2.

+

(2k 1) ;_ z, )l d·aca-'-----,w (2k 1) 7t arctg (tg x) '-~- a1ctg [tg (x -.,r. l3. x(2

COS

COS X

-

1)

inecuaţia----'-------

2 cos2 x - 1 se determine arcele x care satisfac

+

< O.

inecuaţia

+

4 cos 2 x 2(../3 - 1) sin x ../3 > 4. 3.110. Pentru care valori ale lui x in intervalul (0°, 360°) avem

.,/ 1

+ sin 6x + .,/(1

- sin 6x ~ .,/2(1 - cos 6x)?

ln ce caz avem egalitate? 3.111.

Să se rezolve inecuaţia

(~)cos ax< ../3~ · 4

Ccncurs elevi, 1974)

Braşov,

se rezolve inecuaţia sin (cos x) < O. ~ . . 1 - 2 COS X O 3. 113. Sa se rezol ve mecuaţ1a --- ~ . 3.112.

Să

3.114.

Să

2 -

se rezolve •

sm2 x -

COS X

inecuaţiile:

.,/1 + lî Ism . x I + .J7, < O, 2 4

cos x • cos 3x > cos 5x · cos 7 x. (Matematica v şcole, 1978)' 3.115. Să se arate că ecuaţia x3 - 3(2 - ,J3)x2 - 3x 2 -.J3 = O' admite rădăcinile x 1 = tg 5°, x 2 = ctg 25° şi x 3 = - ctg 35°. (C.I. Ţ.) 3.116. Să se rezolve ecuaţia: [sin2 x (cos 2x - 1) cos2 x] sin2 (1t x) - [sin 2 x(l cos 2x) - cos2 x] sin 2 (31t/2 - x) = 1/2. (Institutul Politehnic, Braşov, 1971} 3.117. a) Să se rezolve ecuaţia tg (x - 1t/4) = tg 2x 2. b) Să se calculeze sin 2x şi cos 2x, în funcţie de valoarea pozitivă. a lui tg x dată de ecuaţia precedentă. (lnsti.tutul Politehnic, Iaşi, 1966)~

+

+

+

+

+

1~3

3.118. Să se rezolve sistemul de inecuaţii - 1~ tg ; ~ 1.

(C.J. Ţ.)

3.119. Să se rezolve ecuaţia: 2 . 32 cos 3x+t + 4 • 12cas 3x + 12cos 3,. + _!_ + 2

+~3 · 42cos 3x+l =

~3 • 12cos 3x.

(G.M.B., 14571, Maghiar Gh.) ~ . sin x cos x 3.120. a) Sa se rezolve ecuatia - - - - - = 2, unde sin 2a,=0. ' cos a sin a

b)

Să

12cos 3x+l + 5 •

se precizeze valorile lui x pentru a= 25°.

(G.M.B., 12408, C.I.Ţ.)

dă

3.121. Se

a)

Să

se arate

ecuaţia

2sin x+c 0 s•x + 4sin x+cos•x

= 1t/6 este o

că x

soluţie

a

=

2(f2 + 2 /2).

ecuaţiei.

b) Să se rezolve ecuaţia dată. (Admitere în treapta a II-a, Cluj-Napoca) 3.122. Să se arate că ecuaţia x 3 - 3 tg 15° · x 2 - 3x + tg 15° = O admite rădăcina x 1 = tg 5°, apoi să se exprime şi celelalte două rădăcini. (C.I.Ţ.) Să

3.123.

se arate

că

a) tg 5° · ctg 15° · ctg 25° · ctg 35° = 1. (C.I.Ţ.)

b) tg 5° + ctg 25° = 3 tg 15° + ctg 35°. 3.124. Să se arate că 1t

91t

131t

171t

20

20

20

20

tg -- + tg - + tg--+ tg-- = 4. 1t

91t

r.

20

20

20

tg - . tg - + tg 91t

131t

91t

20

20

20

131t

. tg -

+ t g - t g - + tg- -tg 1t

tg -

91t

131t

,tg -

,tg -

3.125.

Să

se rezolve

3.126~

Să

se arate

20

20

20 că

,

,x

= k1t, k e

Z.

',2

Să Discuţie.

3.127.

mE 'R.

3.128.

Să

se rezolve se arate

171t

,tg -

20

20

1t

+ tg -

20

171t

. tg -

20

+

171t 131t 171t -+ t g - t g - - =-14. 20 20 20

= 1.

(G.M.B., 12338,

3 sin x + 4 cos x = 5. 1 - Jcos _--;J - - - - ~sin 2 x, egalitatea avînd loc pentru 1 + \cos x\ (G.M.B., 6467, C.I. Ţ.)

ecuaţia

ecuaţia

că dacă

m cos 2x + 2(m2 + 3) sin x --'- 7m .:... O,

a+ b + c = 180°, atunci

. . a . b . C cos a + cos b + cos c -:-- 1 + 4 sm - sm - sm '--- · 2 2 2

134

C.I.Ţ.)

3.129.

Să

că

se arate

în orice triunghi:

C - sin B - sin C . B. A -+ -cos -- - - - - - - = cos B - sm · ctg ~. ·

cos B

1 - sin A - cos A Să

3.130.

se arate

că

2:. (G.M., 4718, 1936, într-un triunghi oarecare ABC

C.I.Ţ.)

"A "B ·c = 4 cos A C sm sm sm - cosB - cos · 2 2 2 3.131. Să ~e arate că dacă a b c = 1t/2, atunci

+

+

+ +

L[cos a sin (b - c)] =O; L[co~ a sin (b - c) cos 2a] · O. , (G.M.B., 8432, CI. Ţ.) 3.132. Să se arate că între unghiurile unui triunghi ABC:· Să

3.133.

L sin 2A = 4 sin A · sin B • sin C. se arate că dacă A B C = 1t, atunci

+ +

a) t A _ cos B g 2 - sin B b) t g A

+ cos C + sin C

sin C -sin B unde B_=f,C cos B -cos C '

m sin A - sin 2B - sin 2C

=

.

+ cos 2B + cos 2C

m cos A

me

R

d A

, un e

r. =f, -

2 (S.G.M. VI: 231, C.J. [.) într-un triunghi oarecare ABC avem

3.134.

Să

se arate

3.135.

Să

L(cos A sin B sin C) = 1 cos A cos B cos C. se arate că dacă a+ b c = 180°, atunci:

4 L ctg 2a

că

,

+

+

+ L tg -a 2

a 2

b 2

c 2

= ctg - ctg - ctg - - 2tg a tg b tg c.

Să

se arate

3.137.

Să

L (sin A cos B cos C) = sin A sin B sin C. se arate că în orice triunghi

L ctg(; 3.138.

Să

+ ~ )= 1t ctg(; + ~ )·

se arate

( tg -B 2 3.139.

cos 2 A 2

Să

că

(S.G.M. VI: 255, în orice triunghi ABC avem

3.136.

se arate

C 2

că

(Rev. Pitagora, VI: 47, C.I. Ţ.)

intr-un triunghi oarecare ABC,

+ tg -C) cos -B 2 2 că

C.J.Ţ.)

C= cos -A .

cos 2

2

într-un triunghi în care A > B > C avem

C)

A cos ( B + A) = cos2 - + cos,_ - + cos -C cos ( A + - · 2

2

2 2 (R.M.F., 175, C.I. Ţ)

·1-36

3.140. Să se arate că într-un triunghi oarecare ABC,

( 1-tgB tg C)cos"!!.-cos C =sin A· 2 2 2 2 2 3.141. Să se arate că într-un triunghi oarecare există relaţiile: (cos A + cos B · cos C) sin A = (cos B + cos C · cos A) sin B =

= (cos C + cos A · cos B) sin C = sin A · sin 3.142.

Să

se arate

că

B · sin C. (R.M.F-, 550, 1953, CJ. Ţ.) într-un triunghi oarecare ABC,

( 1 - tg B tg ~) ( - 1 + ctg B ctg ~) sin B sin C = 4 cos 2 A ,

2 2 3.143. Să se arate

că

2 2 în orice h iunghi ABC, avem

2

2 ~( -~{cos B)-+ cos VI·.6 5 , CI E -_ ,.... - -A· - cos --A- -_ 1 (Rev. p·t 1 agora, . . Ţ). 2 ~(sin A · sin B) + sin A) 3.144. Să se arate că intr-un triunghi oarecare ABC,

A B C 1 A B C cos A + cos B + cos C tg - tg - tg - + - sec - sec - sec - = - - - - - - - - - - 2 2 2 4 2 2 2 sin A + sin B + sin C 3.145. Să se arate că în orice triunghi ABC avem (S.G.M., VI: 390, cos A - < cos -B + cos -C ş1. anaI oagel e. 2 2 2 3.146. Să se arate că într-un triunghi oarecare ABC

3.147.

Să

A B tg- + tg2 2 ~ ctg A+ ctg B = ~ - - - - = 1. A B tg A+ tg B ctg - +ctg2 . 2 se arate că într-un triunghi oarecare avem

.cos2 _.:! - cos 2 S:_ = cos _.:! cos 2 2 2 .3.148.

Să

se arate

că

(B +_}\+cos S:_ cos (A + 2 2

~) · 2

(R.M.F., 175, 1951, în orice triunghi ABC avem:

cos A - sin A + cos B - cos C + 1 = ctg _:! cos A + sin A - sin B + sin C - 1 2 3.149.

C.I.Ţ.)

Să se arate că dacă A+ B +

C=

. 1t,

C ~ A. B. C + cos -4A cos -4B cos--+ ,.... cos - sm - sm - + 4 4 4 4 =

1

,f{

~ cos

C.I.Ţ.)

(R.M.T., 1585, C.I. Ţ.) atunci sin_.:! sin B sin~ 4 4 4

~· A B C ,.... sm - cos - cos 4

4

4

+

=

A

2, (S.G.M., VI, 162, C.I. Ţ)

136

3.150. Să se arate că dacă A, B, C sînt unghiurile unui triunghi oarecare, atunci sin A sin (A + ix) - sin B sin (B + ix) = sin(A - B) sin (A +:B + ix), ix e R. (R.M.F., 313, 1952, C.l. Ţ.) 3.151. Să se arate că între unghiurile unui triunghi avem relaţia

+

tg2 A

+ (tg A + tg B + tg C) (ctg

A

3.152. Să se arate că dacă a

+b+c=

+ ctg

B

+ ctg

C)

= tg B tg C sec2 A

(G.M.F.B., 1978, V. Baltac) 90°, atunci:

+ sin b + sin c • cos (a - b) = 1, 2) cos 2a + cos 2b + cos 2c · cos (2a - 2b) = l, 3) sin 5a + sin 5b + sin 5c · cos (5a - 5b} = l, 4) cos 8a + cos 8b - cos 8c · cos (8a - 8b) = l. (G.M.B., 3.153. Să se arate că dacă a+ b + c + d = 2r., atunci 1)

sin2 a

2

2

2

2

2

2

2

9506, C.I. Ţ.)

tg a + tg b + tg c + tg d = tg a tg b tg c + tg a tg b tg d

+

+ tg a tg C tg d + tg b tg C tg d. 3.154. Să se arate că într-un triunghi oarecare ABC,

(cos A

+ cos B) (1 + cos C) =

(sin A

+ sin B) sin C. • t(S.G.M., 7 1948, C.l. Ţ.)

3.155. Să se arate că un triunghi este isoscel sau dreptunghic dacă

tg B tg C

sin2 B sin2 C

--=--· 3.156. Să se arate că dacă x, ye R+ O< x + y~rc/2 şi me R, atunci (m2 - 2m) cos (x + y) + cos(x- y) > O. (G.M.B., 744'?, C.I. Ţ.) 3.157. Să se arate că într-un triunghi ABC avem: 8 cos A cos B cos C ~ 1. 3.158. Dacă între unghiurile unui triunghi avem 8 cos A cos B cos C

= 1, atunci triunghiul este echilateral.

=

Să se arate că dacă A, B, C sînt unghiurile unui triunghi, asunghi, atunci sin A + sin B + sin C + tg A + tg B + tg C > 2rc. (Matematica v şcole, 2/1964) w • t r-un tnung . h.1 oarecare: ~ A > -9 re sec -A • 3. 160. Saw se ara t e cam ~ cosec

3.159. cuţit

4

2

(G.M.B., 5278, C.I. Ţ.) 3.161. Să se arate că dacă într-un triunghi ABC avem

a) sin C

=

cos A

+ cos B,

atunci

~

A

=

rc/2.

b) sin A = 2 sin B cos C, atunci B = C. 3.162.

Să

sin A sin (A

se arate

că

+ rc/4) -

într-un triunghi oarecare

sin B sin (B

+ rc/4) = sin (A -

B) sin (C- rc/4) (R.M.F., 1951, C.I. Ţ.) 137

3.163. Să se arate că dacă între unghiurile unui triunghi ABC avem

'A sm

·c = + sm 3.164.

Să

2x(l - x2 ) (1 x2)2

+

3.165.

+

Să

2sm · B , atunci· ctg -A + ctg 2 se arate că dacă xy + yz +

+ 2y(l (1

+

y 2) y2)2

1- z x y z + 2z(·-'------'--~ --+--+-- . 2 2 2 2 2 2)

(1

că dacă

se arate

-C = 2 ctg -B · 2 2 xz = 1, atunci

A

+z 1+ x 1+y 1+ z (G.M.B., 8030, C.I. Ţ.) + B + C = 18°, atunci E = I; sin 2A + )

.J3 cos A + 2 cos 6° = 8(cos 12° • cos A cos B cos C - sin 12° • sin A 3.166.

Să

se arate

că

sin B sin C). într-un triunghi cos A

~

ascuţitunghic:

sin B sin C.

cos A cos B - J_ sin C sin 2C < sin A sin B sin C 2

+ cos A cos B cos C.

(Pitagora, S. 90 1937 (C.I.Ţ.) 3.167. Să se arate că dacă A+ B C = 1t/4, există relaţia sin A sin B · sin C + cos A cos B cos C + :E(cos A sin B sin C) + I:(sin A cos B cos C) = = cos 45°(cos 2A + cos 2B + cos 2C). (G.M. B., 2843, C.I.Ţ.) 3.168. Să se arate că în orice triunghi ABC avem

+

2{sin B

+ sin C) ~ 3 +

În ce caz avem egalitate? 3.169. Să se arate că în orice triunghi ABC tg ( : + : ) - tg ( : - : ) + tg ( : +

2 cos A. (G.M.B., 10027, C.I. Ţ;)

~ ) - tg ( :

-

~) =

A 2cos-

2 ------

B

(Pitagora, S. 164, C.I. Ţ.)

C

COS- COS-

2 2 3.170. Să se arate că în orice triunghi ABC avem a cos (B + x) + + b cos (A - x) = c cos x, unde x E R, apoi să se arate dcă dacă A 1 + B 1 + +el= 1t/4, atunci

cos 2A 1 sin (2B 1

-

x) + cos 2B 1 sin (2A 1 + x) =

= cos 2C 1 cos x. (Concurs elevi, 1941, C.I. Ţ.) 3.171. Să se arate că dacă A + B + C = 1t, atunci 3.172.

Să

E = cos2 A + cos2 B + cos 2 C~3/4. se arate că într-un triunghi ABC avem

. A- B . A- C . 3A sm--+sm--+sm2

138

2

2

~

3

-· 2

(G.M.B., 10735, 1970, C.I. Ţ.)

3.173. Să ;,e arate că dacă într-un triunghi ABC există relaţia tg A ·tg B :::.. 1, atunci triunghiul ABC este obtuzunghie. 3.174. Să se arate că dacă A + B + C = 5n/4, atunci

1 + tg A tg B tg C = :E tg A + :E tg A tg B. (C.I. Ţ.) 3.175. Să se arate că dacă a + b + c = n şi n E N, atunci sin 2na + + sin 2nb + sin 2nc = ( - l)n+l 4 sin na sin nb sin ne. 3.176. Să se arate că în orice triunghi ABC avem

E = cos A + cos C + sin B (cos B - cos C) = cos B. (R.M.T., 1593 , C.I. Ţ.) 1 - cos A sin B - sin C 3.177. Să se arate că într-un triunghi oarecare ABC avem 27 sin 2A sin 2B sin 2C ~ 64 cos 3 .:!_ cos 3 B cos3 .!:_. 2 2 2 3.178. Să se arate că oricare ar fi m real şi x > O, y > O, x + y < 1t există relaţia m(m - 1) sin (x + y) + m(sin x - sin y) + sin y > O. (G.M.B., 10032, C.I. Ţ.) 3.179. Să se arate că într-un triunghi ascuţitunghic avem 1+ sin 2A + sin 2B + sin 2C ~O. sin 4A + sin 4B sin 4C 3.180. Să se arate că dacă a+ b + c

+

(G.M.F.B., 3388 , 1959, C.I. Ţ)

= n, atunci

cos 2 a+ cos 2 b + cosj 2 c + 2 cos a cos b cos c 3.181. Să se arate că în orice triunghi

Vv'2 + v' 1 3.182.

Să

cos A + cîă

se arate

=

Vv'2 + "1 - cos B ~ Vv'2 + v' 1 -

1.

cos C.

(Pitagora, S. 141, C.I. Ţ.) într-un triunghi oarecare ABC avem

B-C cos 2 - - 21

~

. A . B . C 8 sm - sm - sm - · 2 2 .2

a- b 3.183. SasearatecaE = sm.a + s~n b +cosa+ cosb + 2cos - 2 y

V

= 4 3.184.

Să

• . . . . . . . _.,

'

•

r2 cos a -2 b ~os a +4 b cos

se arate

că

7t -

=

a - b. 4

într-un triunghi oarecare avem:

A cos A cos ~ 2 .. A. R.C .., - - - - - = 8 Sin - Sln - Slil .B.C 2 2 2 sm-sm2 2

•

139

SOLUŢII ŞI INDICAŢII

3.1. Perioada

funcţiei

este 21t.

Funcţia

se mai scrie

y = I sin xi cos x + I cos xJ sin x.

y =

Rezultă.

I

sin 2x dacă x e [2k1t, 2k1t + 1t/2, k e Z. O dacă x e [2k1t + 1t/2, (2k + l)1t] u [2k1t +31t/2, 2(k + - sin 2x dacă x e (2k1t + 1t, 2k1t + 3r./1 , k e Z. y

'JT

..... Fig.3.1.

Tabloul de

variaţie

pe intervalul [O, 21t] este

~1~1_!:l.i_1~ 1~1 11t/Zll y O

1

O

O

51t/ 4 3

-1

O

27t O

3.2. Avem

1 + cos 2x#,0~2 cos2 x,#0} X#= k1t 1-cos 2x#,0~2 sin 2 x #,O 2

o

lI. 4

I

keZ

2

-2V2 Fig.3.2.

f(x) = 2 sin 2x cos x ./2 cos3 x

+ 2 sin 2~ sin x

= .J1 sin ix(sign cos x) -l -

,J 2 sm?. x

+ ./1 sin 2x (sign x) = 140

1}1tl-

2 ,./2 sin 2x

,

x

O

,

x E (r./2, rc) x E (rc, 3rc/2) x E (3rc/2, 2rc).

pentru pentru - 2 ,./1 sin 2x , pentru O , pentru

f(x) =

E

(O, rc/2)

+

Perioada funcţiei este 2it, iar f(x) E ( - 2 ,./1, 2 ,./2). 2 3.3. Avem 1 - cos 2x=/:0::;,2 sin X=/:0 } X=/:krt/ 2 , k 1 + cos X=/:0::;.2cos 2 X=/:0::;.COS X= O, f(x)

E

z,

= - 2 sin x cos 2x _ !: c~s 2x cos x = ,./ 21sin xi

,,/2 Icos xi

= ,./2, cos 2x(sign sin x) - /2 cos 2x (sign cos x) f(x)

21/2-

X

o

l!.. 4

2

Fig. 3.3.

f( )

: =

I O- 2 ,./1 cos

l

2 ,./1 cos x 0

pentru , pentru pentru , pentru

X,

Perioada funcţiei este 21t, iar f(x) 3.4. Avem cos (;

E (-

x e (O, r./2) x E (rc/2, re) x E (rc, 3rc/2) x E (3rc/2, 2rc).

2 ,./2, 2 ,./ 2).

t) = sin (; - Î t) şi

transformînd

diferenţa

de si-

+

nusuri în produs se obţine x = 5 cos (rc/3 rc/3). Aceasta este elongaţia mişcării oscilatorii armonice a cărei amplitudine este R = 5 cm, a cărei perioadă este T = 2rc/w = 6s; (w - rc/3) şi a cărei fază iniţială este ix = = rc/3 radiani. 3.5. Se cunoaşte egalitatea sin 2 a - sin2 b = sin (a b) sin (a - b)

+

Deci sin2

{3; -x)-sin -x)= ,j; 2sin{: -x)cos(: - x) 2 (;

141

şi

astfel f(x)=

Deci A =

/2 cos(:

arctg _!__ = b. Avem

a;

7

3

1

tg (a + b) =

"'2 sin(:+ x), x,,. : •

"'2 şi ~ = n/4.

Notăm arctg _!__ =

3.6.

- x) =

1

-·+7 3

tg a + tg b 1 -- tg a tg b

1

- - - - = - · Deci 1

1

7

3

2

1--·-

a + b = actg _!__ • 2

3.7. PorQind de la formula tg (a

+b+

c) =

tg a + tg b + tg c - tg a tg b tg c tg a tg b - tg b tg c - tg a tg c

1 că

se deduce

tg (a+ b + c

+ d} += tg [(a+ b +

tg (a+ b + c) + tg d 1 - tg (a+ b + c) tg d că

c) + d] = ~

.~ tg a -

tg a tg b tg c 1 -- ~ tg a tg b + ~ tg a

Dacă notăm a= arctg x; b = arctg y; c = arctg z; d = arctg t, rezultă tg a = x; tg b = y; tg c = z; tg t = d şi a + b + c + d = n. Înlocuind aceste valori in formula de mai sus se obţine tg 1t = O

deci

numărătorul

adică

este egal cu zero,

1 xyzt ( -

+ xzt + yzt = 5

3.8. a) Notam arcsm13 V

,

X

x + y + z + t = xyz + xyt +

+ -y1 .+ -1 +-f1 ) · Z

• 12 b a, arcsm- = .

=

13

Să arătăm că a+ b = n/2; sin (a+ b) =sin; = .

.

5 5 13 13

sm a cos b + cos a sm b = - · -

1.

12 25 + 144 + -12 · = --- = 13 13 169

1.

b ) N otam arccos -5 = b s1• arccos -12 = a· ş1• rezu ltva V

13

.

5

arcs1n - = a

.

.

ş1

13

·

1

.

•

13

.

12 13

·

5 13

b

arcs1n - = arccos - = , •

12 5 13 13

5 12 13 13

1t

cos (a + b) = cos a cos b - sm a sm b = - • - - - • - = O = cos - · .·.

142

·

'

'

2

+ arctg -1) =

3. 9. Avem 4 arctg -1 = 2 ( arctg -1 5

=

5

5 5 2 arctg 12 = arctg 12

5 12

+ arctg

4 arctg -1 - arctg - 1 5 239

5

10/12 arctg 1 _ 25 / 144

=

=

+ aerctg ( -

120 arctg 119

=

2/5 - = 2 arctg - 1 - 1/25 120 arctg 119 ·

-1-) 239

=

120 1 119 239 1t = arctg - - - - - = arctg 1 = - · l 120 1 4 + 119' 239 3.10. Ţinem seama de relaţia cos 2x = 2 cos 2 x - 1 = 1 - 2 sin 2 x deci 2x = 1 -2x2 sau2x 2 2x-1 = O, =x = (../3 -1)/2

+

. 4 . .j3 3. 11 . Avem: arcsm 5 < arcsm 2 = .5 arcsm 13 arcsin -4 5 .

7t

3 ,

.1

1t

1t

1t

1t

2

6

6

3

2

< arcsm - = - ; - + - = - ·

+ arcsin -135 < -2

arcsm

1t

sau ( -4 ) 5

. 5 5 + arcsm 13 = 4

=

2+{-5 )2 < 13

5V

. 4 arcsm(

. ( 4 . 12 + 5 • 3 ) arcsm 5 13 13 5

. 63 = arccos arcsm 65

V

2 1 - (63) 65

. . 16 P nn urmare arcs1n -65

3.12. Trebuie

să

1.

25 1- 169

=

. 63 arcsm 65

+ 135
O, atunci O < y < 1t/2, deci y

. 1

= arctg -

= arcctgy.

X

143'

3.14. Notăm 2 arctg x

. y sin

=

= y,

= x.

deci tg Y

2

Avem

2tg.l... . (sm . y) - - -2 - - -2x- · Avem arcsm 2 y 1 + x 1 + tg 2 -

=

. - 2x arcsm -1 + x2

Pentru

2

x > 1 avem 1t/4 < arctg < 1t/2 sau 1t/2 < 2 arctg x < 1t de unde 1t/2 < y < 1t. în acest

2x

caz avem arcsin 1

+ arcsm. - 2x -- = 1+ x

+x

= 2

1t - y = 1t -2 arctg ix sau 2 arctg

x+

1t.

2

3.15. Avem cos (arctg x

+ arctg y) =

= cos (arctg x) cos (arctg y) - sin (arctg x) sin (arctg y) = 1

1

y

X

- .J 1 + x2 .J 1 + y 2 - .J 1 +

x2 •

1t 1t 3.16. Avem - - < x - 21t < 2 2

1 -xy

.J 1 + y 2 = .J 1+ y 2 .J 1 + x 2

•

31t 51t . 1t < x < - şi - - < 2 2 2

=> -

+

1t (2k - 1} {2k 1} 1t X- k1 t < - « - - - - < X < - - - - • 2 2 2 3.17. a) Ştiind că arcsin (sin x) = x arcsin (sin x)

dacă-

1t/2~x~1t/2

= arcsin [sin (1t - x)] -1t/2 ~ r: -

x ~ 1t/2

sau

1t/2 ~X~ 31t/2. b} arcsin[sin(x -21t)]«- -1t/2~x-21t~1t/2 sau

+ 31t/2


.

+

. 3a . -a ( 1 + 2 cos a) f ormuIa sm - = sm 2

=

x2 • Deoarece - 1t/2 :i.; a :li;,. 1t/2)entru x > O,

-cosa • iar . pentru x < O avem sm . a __ 2 2

V

-

; )

Notăm a= arcsm x, deci sin a= x, unde -1t/2 ~

+ 2 cos a)..

=sin~ (1

= sin ; ( 3 - 4 sin2

;

2

l nlocuim

-Vl

-~osa ••

. . a,

cos a ş1 sm 2 m

. ob ţmem .

ş1

. (3 . )= V x(l+2./~) ___ . + ./

sin - arcs1n x 2

1 - x2) . . 2 tg (arcsin x) 3.19. Avem succesiv tg (2 arcsm x) = - - - = - - ' - - - . 1 - tg 2 ( arcsin x)

-

-x _ __2x/ ./1__ 2

...:...._

1 - x2/(1 - x 2 )

cu

2x

2( 1

./1 -x2

----1 -2x2

restricţiile

impuse în enunţ. 3.20. Notăm arcsin x = y, deci sin y = x, sin 2y = 2 sin y cos y = 1

1

= 2x" 1 - x 2 • Dacă 2x2 < 1, atunGi - ./2