Anleitung zum Gebrauch des Zweiskalen- und Dreiskalen-Rechenschiebers: Mit kurzem Anhang über den Elektro-Schieber [Reprint 2019 ed.] 9783486749441, 9783486749434

Citation preview

ANLEITUNG ZUM GEBRAUCH DES

ZWEISKALEN- UND DREISKALENRECHENSCHIEBERS MIT KURZEM ANHANG ÜBER DEN

ELEKTRO-SCHIEBER VON

DIPL-ING. FELIX GOLDMANN

ASSISTENT AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE MÜNCHEN

MIT 8 ABBILDUNGEN IM T E X T

M Ü N C H E N U N D BERLIN 1923 DRUCK UND VERLAG VON R. OLDENBOURG

A l l e Reefite, einschließlich des Übersetzungsrechtes, v o r b e h a l t e n

Der Rechenschieber.

Notwendige Eigenschaften des Rechenschiebers: Übersichtlichkeit (Teilungen auseinandergerückt, nicht zu viele Teilungen!). Leichter und gleichmäßiger Gang, aber soviel Reibung, daß die Zunge an jeder Stelle sicher stehen bleibt. Unabhängigkeit von Luftfeuchtigkeit und Temperatur: Stellschrauben (namentlich lange Schieber neigen zum Klaffen zwischen den Schrauben), besser: Federung der beiden Wangen gegeneinander. Breiter Glasläufer mit schmaler Fassung (Dreistrichläufer). Schmale Läufer und breite Einfassung erschweren die Ablesung.

Allgemeines über die Rechnung mit dem Rechenschieber. Der Rechenschieber ist eine graphische Logarithmentafel. Daher sind die Regeln des logarithmischen Rechnens anzuwenden. Die Genauigkeit der Rechnung ist abhängig von der Länge des Schiebers und der Übung des Rechnenden. F ü r technische Zwecke genügt der 25-cm-Schieber. Beim 50-cmSchieber steht dem Vorteil der größeren Genauigkeit der Nachteil der Unübersichtlichkeit und damit der schwereren Ablesbarkeit gegenüber. Bei Ablesung zwischen zwei Teilungsstrichen kann die Genauigkeit (Schätzung weiterer Stellen!) durch genaue Mittelstel1*

4 lung

Läufer Stäcfi in /littelsfel/ung *

des

Läuferstriches

zwischen

diese T e i l u n g s s t r i c h e erhöht w e r d e n : A b b . i : Ablesung: 2135. B e i der E i n s t e l l u n g einer Z a h l empfiehlt

es

sich,

diese

nicht

in

der g e w ö h n l i c h e n Weise z u nennen, sondern

A b b . I.

in der w i r k l i c h e n

Reihen-

folge der Z i f f e r n , also »1056« nicht

»tausendsechsundfünfzig«,

sondern

»eins

null

fünf

sechs«.

H i e r d u r c h w i r d der h ä u f i g e Fehler der E i n s t e l l u n g von »1560« anstatt

»1056« vermieden.

Ärten des Rechenschiebers: F ü r Maschineningenieure ist der Dreiskalenschieber, S y stem R i e t z (»Kubusschieber«), n o r m a l g e w o r d e n (Grundteil u n g , Q u a d r a t t e i l u n g , K u b u s t e i l u n g , L o g a r i t h m e n t e i l u n g auf der Vorderseite, sin-, t g - u n d — w o m ö g l i c h — (sin-tg)-Teilung auf der R ü c k s e i t e ) . D a n e b e n ist noch der alte Zweiskalenschieber im G e b r a u c h (Grundteilung u n d O u a d r a t t e i l u n g auf der Vorderseite, sinTeilung, t g - T e i l u n g , L o g a r i t h m e n t e i l u n g auf der Rückseite). F ü r E l e k t r o i n g e n i e u r e sind verschiedene A r t e n v o n E l e k troschiebern im G e b r a u c h (s. A n h a n g ) , die j e d o c h alle weniger übersichtlich sind. Bezeichnung

und Einteilung

(Zweiskalenschieber 1

des

Dreiskalen - Schiebers 1 )

entsprechend).

K, Oki 0Z,

°zl

V

ki

u

°Km Oz„ Uz

0K2

*3

1*

1 Ozr "zs Kr

U

A b b . 2.

Kly

K2,

K3:

die drei

Kubusteilungen.

Oft, O z l , O k2 , Oz%\ die beiden Q u a d r a t t e i l u n g e n auf

Kör-

per u n d Z u n g e . 1 ) Für das Verständnis des Folgenden ist genaues Einprägen der Bezeichnungen unbedingt erforderlich. — Eine Wiederholung der Abbildung zum Abtrennen und Nachsehen der Bezeichnungen während des Studiums befindet sich auf der letzten Seite.

5 (Zeiger »k« = Körperteilung, Zeiger »z« = Zungenteilung). Uk, Uz: Grundteilung. L: Logarithmenteilung. Auf der Rückseite der Z u n g e : sin-, tg- und (sin-tg)-Teilung.

fsm

1

Rückseite

A b b . 3.

Die Endstriche der einzelnen Teilungen sind mit denselben k l e i n e n Buchstaben bezeichnet mit dem zweiten Zeiger »/« = links, »m« = Mitte, >w« = rechts Rechnung stets in »£/«! (größere Genauigkeit gegenüber >>0«), Rechnung in »0« nur zum Potenzieren und Radizieren. Stellenzahlen für das Rechenschieber-Rechnen: Im Gegensatz z u m logarithmischen 15610:

5-stellig,

1,5610:

Rechnen:

i-stellig,

0,1561:

o-stellig,

0,001561: — 2 - s t e l l i g . Stets w ä h r e n d d e s R e c h n e n s f o r t l a u f e n d d i e S t e i l e n zahl bestimmen, da sonst ein H a u p t v o r t e i l des R e c h e n s c h i e b e r s v e r l o r e n g e h t ! Hierzu sind nur zwei Arten von Regeln nötig: 1. Multiplikation — Division und 2. Potenzieren — Radizieren. Fällt eine Ablesung gerade auf den Endstrich einer Teilung (Ablesung »1000 «), so sind die Steilenzahlregeln nicht unmittelbar anwendbar. Man hilft sich dann dadurch, daß man für einen Augenblick eine der Rechnungsgrößen um eine Kleinigkeit vergrößert oder verkleinert. Hierdurch rückt die Ablesung für diesen Augenblick v o m Endstrich weg, und die Stellenzahlregel ist anwendbar. B e i s p i e l : 5,1 • 19,6 = 100,0. Man bildet vorübergehend 5,1 • 19,7 = 100,5 u n d bestimmt die Stellenzahl zu 3 Stellen.

6 Die Rechnungsarten. 1. Die Multiplikation. Die Multiplikation wird als Addieren der Logarithmen so ausgeführt, daß die auf dem Rechenschieber als Strecken aufgetragenen Logarithmen aneinander gefügt werden. Z. B. 2 X 3 = 6 : log 2 in »U « + log 3 in » U z « = log 6 in » U k « . k

loa 3 h 2\ \

log e

Jl 61 ; A b b . 4.

Stellenzahl des Ergebnisses gleich Summe der Stellenzahlen der Faktoren, jedoch vermindert um 1, wenn das Ergebnis von der Einstellung mit dem Endstrich der Zungenteilung aus betrachtet nach der rechten Seite fällt, die mit » P — 1« (Produkt: — 1 ) bezeichnet ist, wenn also der Multiplikand mit »mj(« eingestellt wurde. B e i s p i e l e : 1. 6 2 0 - 4 1 = 2 5 4 2 0 , Stellenzahl 3 + 2 = 5 Stellen; 2. 65 • 140 = 9100. Stellenzahl 2 + 3 = 5 , Ablesung nach der Seite »P — 1«: 5 — 1 = 4 Stellen. Diese Stellenzahlregel ist bei der Multiplikation mit beliebig vielen Faktoren nach jeder Einstellung des Rechenschiebers fortlaufend anzuwenden, ohne daß die Zwischenergebnisse abgelesen werden.

2. Umgekehrte Multiplikation. Bei 1. ist es oft unangenehm, daß man nur durch Probieren finden kann, ob mit »uzl« oder »uzr« eingestellt werden muß, wenn das Ergebnis in die Nähe von 100 . . . fällt. Dies wird vermieden bei der umgekehrten Multiplikation: Die Zunge wird herausgezogen und auf dem Kopfe stehend wieder eingeschoben. Der Multiplikand wird nun mit dem Läuferstrich in » U « eingestellt und der Multiplikator in »U « (auf dem Kopfe stehend) ebenfalls unter den Läuferstrich gek

z

7 bracht. Das Ergebnis wird dann unter »o2!« oder »o ir «, was sich nun von selbst ergibt, in »£/„« abgelesen. loa 3

1\

log 2

Z\

,

6\

/O.Q 6 Abb. 5.

Stellenzahlregel unverändert wie unter i . Die Methode ist nur bei einer größeren Zahl hintereinander auszuführender Multiplikationen zu empfehlen. Das Suchen, ob mit i>uzl« oder »wzr« eingestellt werden muß, kann auch durch Rechnung in »0« vermieden werden. Jedoch ist hier das Ergebnis w e n i g e r g e n a u . Nicht zu empfehlen ! Die Stellenzahlregel ist für die Rechnung in »0« ebenfalls unverändert, jedoch ist jedes Übergehen bei einer Ablesung von der Teilung »Oj« nach der Teilung »0 2 « so zu werten, als ob die Ablesung von der Einstellung in »0 k « aus nach der anderen Seite läge (die Teilung, in der man gerade rechnet, darf eigentlich nicht verlassen werden). 3. Die Division. Die Division ist ein Abziehen der Logarithmen voneinander, indem man von dem in »Uk( Uk« dieselbe Zahl erscheint (Umkehrung der Multiplikation der Basis mit sich selbst). Ist bei der Einteilung in zweistellige Gruppen wie unter a) die vorderste Gruppe ungeradstellig, so ist das Ergebnis unter »Okl« mit >)uzl«, ist sie geradstellig, unter »Ok2 zweistellig: Einstellung des Radikanden in dK2«, » » dreistellig: Einstellung des Radikanden in »Ka«. Stellenzahl wie bei a).

12. 4. Potenz. l

a wird aufgelöst in (a 2 ) 2 : w a in »£/«, dann (a2)2 durch Übergang von »U« nach »0«.

13. 4. Wurzel. ]/ a wird aufgelöst in ~ffa- fa durch Übergang von »0« nach »£/«, dann f f a in »U« nach 8b. 1 4 a 2 ' 3 — a 0 ' 666 . a) Z w e i s k a l e n s c h i e b e r : Man bildet zuerst a 2 durch Übergang von »f7« nach »0« und zieht hieraus die 3. Wurzel nach 11 a. b) D r e i s k a l e n s c h i e b e r : Zuerst die Wurzel! 8,

Man bildet zuerst die y a durch Übergang von »K« nach »U« nach 11b und dann das Quadrat des Ergebnisses, das

15 nicht abgelesen zu werden braucht, durch Übergang von )>U« nach »0«. (Übergang von ))K« nach »0«.) 15. a*i2 — a 1 , 5 . a) Z w e i s k a l e n s c h i e b e r : Man bildet a 3 nach i o a und zieht daraus die Wurzel. b) D r e i s k a l e n s c h i e b e r : Zuerst die Wurzel! Man bildet }' a durch Übergang von »0« nach »U« und erhebt das — nicht abgelesene — Ergebnis durch Übergang von »[/« nach »K« in die 3. Potenz (Übergang von »0« nach »K«). Stellenzahl für 12 bis 15 nach den bisherigen Einzelregeln. B e i s p i e l : 615^'. a) Zweiskalenschieber: y 6152 = ]/378 1000 = 72,3, b) Dreiskalenschieber: (j/615 ) 2 = (8,5o)2 = 72,3.

16. Logarithmen. a) Z w e i s k a l e n s c h i e b e r : Teilung »Z.« auf der Rückseite der Zunge. Man stellt »uz,« auf den Numerus des gesuchten Logarithmus in »Uk« ein. Dann erscheint der Logarithmus an der rückseitigen Körpermarke in »L«. (Beim Aufsuchen des Numerus eines Logarithmus sinngemäß umgekehrter Vorgang.) Beim Ablesen ist darauf zu achten, daß die Teilung von rechts nach links läuft! (log 2 =0,301, nicht 0,299!) Eine fortlaufende Logarithmentafel kann hergestellt werden: U m k e h r e n und A u f - d e n - K o p f - S t e l l e n der Zunge, dann Bilden des Logarithmus durch unmittelbaren Übergang von »Uk« auf die auf dem Kopf stehende Teilung »L«. b) D r e i s k a l e n s c h i e b e r : Unmittelbarer Übergang von »Uk« in die darunterstehende Teilung »L«.

16 Die Behandlung der Stellenzahl beim Logarithmieren mit dem Rechenschieber erfordert besondere Aufmerksamkeit und Übung: 1. Gemäß den gewöhnlichen Regeln für das Logarithmieren ist die Stellenzahl eines Logarithmus immer um eins kleiner als die Stellenzahl für das sonstige Rechnen mit dem Rechenschieber. 2. Während beim sonstigen Rechnen mit dem Rechenschieber die Stellenzahl nur im Kopf gebildet und behalten wird, muß die Stellenzahl des Logarithmus mit in die Rechnung genommen werden. 3. Beim Übergang vom Logarithmus zum Numerus muß die Stellenzahl wieder abgetrennt und nur mit der Mantisse gerechnet werden. Beispiele: 1. 6 1 5 3 : log 615 = 2,7890 (2,... = Stellenzahl); in »U«: 2 , 7 8 9 - 3 = 8 , 3 6 7 = l o g 6 i 5 3 . Übergang zum Numerus: Stellenzahl wieder abtrennen: Mantisse 367, num log dazu: 2325. Stellenzahl: 8, entsprechend 9 Stellen vor dem Komma: 615 3 = 232500000. 2. o,9i5 1 2 : log 0,915 = 0 , 9 6 1 5 — 1 ; in »£/«: 0,9615 • 1 2 = 11,54, ferner: —• 1 • 1 2 = — 1 2 ; log o,9i5 1 2 = 1 1 , 5 4 — 1 2 . Übergang zum Numerus: Mantisse: 54, num log: 3468, Stellenzahl 1 1 — 12 == — 1 ; 0 , 9 1 s 1 2 = 0,3468.

17. Die Festwerte. Die Zahl m« sollte auf jedem Rechenschieber in »£/« und »0« angegeben sein (sonst wenigstens in »U« selbst einritzen!). .In »02« befindet sich gewöhnlich bei 0,785 ein längerer 7t

Strich ohne Bezeichnung. Dieser bedeutet »—« und wird gebraucht, um aus dem Durchmesser d eines Kreises seine Fläche

17 zu berechnen: d2 • — . Bildung von ds durch Übergang von 7t »t/« nach »O«, Multiplikation mit — in »0«. Diese Rechnungsart wird jedoch überflüssig durch die Marken »c« und »%« in »£/«. Diese Marken dienen zur Berechnung der Kreisfläche aus dem Durchmesser auf folgende Weise:

4 Die Strecke »c«-—• »ozl« = »c x «— »o2TO« ist gleich —, die gleiche Strecke in »U« gleich Rechnungsgang: Man sucht d in »i7&« auf, dividiert durch »c« und quadriert das Ergebnis, praktisch: »c« (oder »cx«) in »U z « auf d in »Uk«, Ablesen der Fläche über »oz!« (bzw. »oZTO«) in »Ofc«. »Cj« ist so bestimmt, daß die Strecke »q«—• w zm « ebenso groß ist wie die Strecke »c«—»o 2l «. Der Zahlenwert von »i^« hat keinerlei Bedeutung. »Cj« ist nur aufgetragen, damit bei Rechnungen auf der rechten Seite des Schiebers die Zunge nicht so weit verschoben werden muß. Stellenzahl: Da »c« = 1,129 n u r wenig von »1« abweicht, bestimmt man die Stellenzahl der Kreisfläche so, als ob man nur d 2 durch Übergang von »C« nach »0« gebildet hätte. Maßgebend, ob die Stellenzahl »2« — 1« oder »2 n« heißt (s. Abschn. 7), ist nur die Teilung von »0« (also »0Ä1« oder »Oj-2«), in der man abliest. Bei Durchmessern, die einen kleineren Ziffernwert als 1 1 2 5 haben, fällt die Ablesung noch vor »0^«, kann jedoch mit »ozr« in ))Ok2« gemacht werden. Sinngemäß ist hier die Stellenzahl der Fläche »2 n — 2«. Beispiele: d — 3,4 mm, F = 9,09 qmm. Steilenzahl: Ablesung in »Okl«, daher: 2 • 1 — 1 = 1.

18 d = I i mm, F = 95,03 qmm. Stellenzahl: Ablesung mit >>ozr« in »Ok2«, daher: 2-2 — 2 = 2 . Die umgekehrte Rechnung von F auf d wird entsprechend durch Übergang von »0« nach »U« ausgeführt. F wird mit »ozl« (oder »ozm«) in »0« eingestellt, und zwar in »Okl« oder in »Oj-g«, je nachdem die Flächenzahl zur Ziehung der zweiten Wurzel in »0fcl« oder »0t2« eingestellt werden müßte. Der Durchmesser kann dann unter »c« (bzw. »cL«) in )> TJk« abgelesen werden. Die Stellenzahl des Durchmessers ist •—• entsprechend den Regeln beim Ziehen der 2. Wurzel — gleich der Anzahl der zweistelligen Gruppen, in die man die Flächenzahl vom Komma aus einteilen kann (s. Abschn. 8). Lediglich bei Flächen, die einen Ziffernwert zwischen 785.. und 1000... bei gerader Stellenzahl haben, bei denen also die Flächenzahl mit »ozr« in »Oj;2« eingestellt, das Ergebnis aber unter »c« in »Uk« abgelesen wird, ist die Stellenzahl um 1 größer als die Zahl dieser Gruppen. Demselben Zweck wie die Marken »c« und »f^« dient der Dreistrichläufer. Die Entfernung der beiden äußeren Striche — oder, bei manchen Läufern, nur des rechten Außenstriches — vom Mittelstrich des Läufers ist gleich der Entfernung »ozl«—- »c«, so daß genau dieselbe Rechnung wie für »c« vorbeschrieben mit dem Läufer allein ohne Verschieben der Zunge ausgeführt werden kann. Der Dreistrichläufer versagt ebenfalls bei Kreisflächen, deren Ziffernwert bei gerader Stellenzahl zwischen 785... und 1000... liegt. Man kann sich hier dadurch helfen, daß man die Teilung »Ofc2« bzw. »Uk« durch die Teilung »Ozl« bzw. »U z « verlängert (»wz!« auf »ukr«). Bei den Dreistrichläufern, bei denen nur der rechte Außenstrich mit dem Mittelstrich die Entfernung »c« einschließt, dient der linke Außenstrich zur Umrechnung von PS in K W . Seine Entfernung vom Mittelstrich entspricht dem Wert 1,36 oder 0,736 der T e i l u n g »O«! 1 KW =

q

PS = 1,36 PS: in der Teilung »0« gibt in

jeder Stellung des Läufers der linke Außenstrich die K W — Zahl zu der vom Mittelstrich eingestellten PS-Zahl an.

19 Bei vielen einfachen Läufern stimmt zufällig die Entfernung vom Strich bis zur Seiteneinfassung mit einem der beiden vorbeschriebenen Festwerte überein, oder kann leicht übereinstimmend gemacht werden. Auf manchen Rechenschiebern finden sich die Festwerte Q', Q", Q,,. Diese dienen zur Berechnung der Bogenlänge kleiner Winkel. Für kleine Winkel ist angenähert die Bogenlänge b dem Sinus und Tangens des Winkels gleich Für den Radius R = i und den Winkel in Minuten gilt: b = arc a' = a' •

271

360 • 60

Qr,

a

360 • 60 •b = 2•n

Q'.b,

für den Winkel in Sekunden: b —- arc a" — a"

2n 360 • 60 • 60 360 • 60 • 60 > — Q" 2 71

360•60 = 3438 2 71 360 • 60 • 60 :206265 e" = 2 71 400 • 100 -100 gilt für die »neue Kreisß = 636620, f K n= 2 71 j • teilung.« {q" und q„ ist auf den Rechenschiebern öfters verwechselt!) Für kleine Winkel gilt: sin a = tg a = arc a = b = — • a. Q Beispiele: sin 23' = tg 23' = — , - = 0,0067 = b', b = sin a = tg a = 0,00352, a" =(>"• 0,00352 = 7 2 7 " = = 12' 07" = 0,00352 • q' = 12'oy". Für beliebigen Radius R gilt: B B = R, a — qIT

R— — -B. a

20 Weitere vorkommende oder selbst anzubringende Festwerte : = 4,429, auf manchen Schiebern mit }r~ bezeichnet, z. B. zur Berechnung der Geschwindigkeit von Wasser aus der Stauhöhe h:

w = iz

g'~fh.

Bei der Anbringung von Festwerten ist es besonders vorteilhaft, ihren reziproken Wert aufzutragen und durch denselben zu dividieren, statt mit dem Festwert selbst zu multiplizieren, da die Einstellung der Zunge dann ohne Suchen erfolgen kann, z. B . : p

zur Verwandlung von K W in PS. (auf manchen Schiebern »M« genannt) zur Berechnung von Kreisumfängen:

= n- d.

18. Die Winkelfunktionen. Der zahlreichen verschiedenen und ungleichartigen Regeln wegen kann die Benutzung des Rechenschiebers zur Rechnung mit Winkelfunktionen im allgemeinen nicht empfohlen werden! A. A u f s u c h e n der F u n k t i o n . Zu unterscheiden sind a) Rechenschieber mit einfacher sin- und tg-Teilung auf der Rückseite der Zunge, b) Rechenschieber mit sin-, tg- und (sin-tg)-Teilung. Diese Teilungen beziehen sich auf die Teilungen »£/« oder »0« der Vorderseite des Schiebers. Da aber ganz verschiedene Beziehungen im Gebrauch sind, muß für jeden Schieber an Hand einer bekannten Winkelfunktion festgestellt werden, auf welche Teilung der Vorderseite sich die Winkelfunktionsteilung der Rückseite bezieht. Der Rechnungsgang ist aber in allen Fällen derselbe. Bei Rechenschiebern nach a) bezieht sich gewöhnlich die sin-Teilung auf »0« und die tg-Teilung auf »U«, bei Schiebern nach b) sind gewöhnlich alle drei Teilungen auf »i7« bezogen. Gelegentlich kommt auch die Beziehung aller drei Teilungen auf »0« vor.

21 Die Ablesung kann auf zwei Arten erfolgen: 1. Umkehren der Zunge und Einschieben so, daß sich die Winkelfunktionsteilungen der Zungenrückseite gerade mit den Teilungen »Uk« und »0Ä« decken. Dann bilden die Teilungen von Zunge und Körper miteinander eine Tafel der Winkelfunktionen. Ohne Verschieben der Zunge kann für jeden Winkel die zugehörige Funktion (sin oder tg) aus der Teilung >>Uk« bzw. »Oj.« entnommen werden. 2. Einstellen des Winkels bei normaler Lage der Zunge an den Marken auf der Rückseite des Körpers. Die zugehörige Funktion kann dann in der entsprechenden Teilung »Uz« bzw. »02« (der Zunge!) an den Endstrichen der Körperteilungen abgelesen werden. Unmittelbar ablesbar ist aber zunächst nur der Sinus der Winkel von 35' ab und der Tangens der Winkel zwischen 35' und 45 0 . Alle übrigen Funktionen müssen durch Hilfsrechnungen hieraus abgeleitet werden. Rechnungsgang: sin. a) Rechenschieber mit »sin«- und »tg«-Teilung. 1. Durch Umkehren der Zunge, sin-Tafel, wie vorbeschrieben. 2. Einstellen des Winkels in der »sin «-Teilung der Zungenrückseite an der entsprechenden Marke der Körperrückseite, Ablesen des Sinus in »02« unter »OJT«.

Stellenzahl: 35' —• 5°43': Ablesung in »Oj«, entsprechend 0,01 •—0,1: —i-stellig. 5°43' — 90 0 : Ablesung in »02«, entsprechend 0,1 •—1,0: o-stellig. Beispiele: sin 40' = 0,0116, sin 35 0 = 0,574. b) Rechenschieber mit sin-, tg- und (sin-tg)-Teilung. 1. Durch Umkehren der Zunge. 2. Einstellen des Winkels an der Rückenmarke, Ablesung in »Uz« über »ukr«, und zwar werden die

22 Winkel zwischen 35' und 5°43' in »sin-tg«, die Winkel von 5 e 43' •—-90° in »sin« eingestellt. Stellenzahl: 35' — 5°43' in »sin-tg«: —- i-stellig. 5°43' — 9°° i n »sin«: o-stellig. cos. Der Cosinus wird gebildet auf Grund der Gleichung cos a — sin (90 •— a). Beispiele: cos 87° 30' = sin 2° 30' = 0,0436. cos 73 0 30' = sin 16 0 30' = 0,284. tg-

a) Winkel < 5 0 43': man setzt tg a = sin ct. ß) ^ 5 ° 4 3 ' - 4 5 ° : Entweder Umkehrung der Zunge oder Einstellung des Winkels in »tg« an der Rückenmarke und Ablesung in »Uz« über m kr « (die »tg «-Teilung ist nur ausnahmsweise auf »O« bezogen). Bei manchen Schiebern, besonders Zweiskalenschiebern, liegen die Rückenmarken für »sin« und »tg« an entgegengesetzten Enden der Körperrückseite. In diesem Fall Ablesung in »Uz«

über »ukl«.

Stellenzahl entsprechend 0,1 •—1,0: o-stellig. B e i s p i e l : tg 35 0 = 0,70.

y) Winkel > 4 5 ° : tg a = cot (90 — a). cot. Der Cotangens wird gebildet auf Grund der Gleichung 1 cot a = tg a a) Winkel < 5° 43' : cot a = ß) ^ 5 ° 4 3 ' - 4 5 ° :

1

Einstellung wie beim Aufsuchen des Tangens, jedoch Ablesung in »U k « unter »uzr« bzw. »wzi«, entsprechend ^ ^ ! Stellenzahl entsprechend 10,0 — 1,0: i-stellig.

23 y) Winkel > 4 5 ° : cot a = tg (90 — a). B e i s p i e l e : cot 6o° = tg 300 = 0,577, cot 89° = tg i ° = sin i ° = 0,0175, cot 34 0 = 1,483. Für Winkel < 34' setzt man sin a = tg a = arc a (siehe Abschnitt 17 »Festwerte«). B. B e s t i m m u n g d e s W i n k e l s a u s d e r

Funktion,

sin. Auch hier kann die Rechnung durch Umkehren der Zunge und Herstellen einer Tafel ausgeführt werden. Sonst: sin a < 0,1: — i-stellig: a) Schieber mit »sin«- und »tg«-Teilung: Man stellt den Sinus in »0 zl « unter »okr« ein und liest den Winkel an der Rückenmarke in »sin« ab. b) Schieber mit »sin«-, »tg«- und »(sin-tg)«-Teilung: Man stellt den Sinus in »U z « über »ukr« ein und liest den Winkel an der Rückenmarke in »(sin-tg)« ab. sin a > 0,1: o-stellig: a) Man stellt den Sinus in »022« unter wkTH ein und liest den Winkel an der Rückenmarke in »sin« ab. b) Man stellt den Sinus in »U z « über »uhr« ein und liest den Winkel an der Rückenmarke in »sin« ab. B e i s p i e l e : 0,05 = s i n 2 ° 5 2 ' ,

0,5 = sin 300.

cos. Auf Grund von cos a = sin (90 •— a). Man sucht den Winkel so auf, als ob der gegebene Cosinus der Sinus wäre und zieht das Ergebnis von 900 ab. B e i s p i e l : 0,5 = sin 300 = cos 6o°. tga) tg a: — 2-stellig. Winkel < 3 5 ' . t g a = a r c a . a'=Q'-b (s. A b s c h n . 1 7 : »Festwerte«). B e i s p i e l : tg a = 0,00873 = b, a' = Q' • 0,00873 = 3438 • 0,00873 = 30'.

24 ß) tg a: — i-stellig. Winkel zwischen 35' und 5°43'. Man setzt t g a = s i n a (s. oben). B e i s p i e l : tg a = 0,0408 = sin a, a = 2°2o'. y) t g a : o-stellig. Winkel zwischen 5°43' und 45 0 . Man stellt den Tangens in »C/s« über f>ukr« bzw. je nach dem Schieber )>ukl« ein und liest den Winkel an der Rückenmarke in »tg« ab. B e i s p i e l : tg a = 0,8,