Anaritius' Commentary on Euclid: The Latin Translation, I-IV (Artistarium: Supplementa) (Latin Edition) [Bilingual ed.] 9070419351, 9789070419356

Citation preview

THE LATIN TRANSLATION OF ANARITIUS' COMMENTARY ON EUCLID'S ELEMENTS OF GEOMETRY, BOOKS I-IV

ARTISTARIUM A Series of Texts on Mediaeval Logic, Grammar & Semantics EDITORS L. M. de RIJK & E. P. BOS Leiden

H. A. G. BRAAKHUIS &

C.H.KNEEPKENS Nijmegen

Vol. 1: L. M. de Rijk, Anonymi auctoris franciscani Logica ,,Ad rudium" (edited from the MS Vat. lat. 946), Nijmegen 1981 Vol. 2: Ralph of Beauvais, Glose super Donatum, ed. C.H. Kneepkens, Nijmegen 1982 Vol. 3: L. M. de Rijk, Some 14th Century Tracts on the Probationes terminorum (Martin of Alnwick O.F.M., Richard Billingham, Edward Upton and others), Nijmegen 1982 Vol. 4: Johannes Buridanus, Questiones longe super Librum Perihermeneias, ed. Ria van der Lecq, Nijmegen 1983 Vol. 5: John of Holland, Four Tracts on Logic (Suppositiones, Fallacie, Obligationes, Insolubilia), ed. E. P. Bos, Nijmegen 1985 Vol. 6: Thomas Bricot, Tractatus Insolubilium, ed. E. J. Ashworth, Nijmegen 1986 Vol. 7: L. M. de Rijk, Some Earlier Parisian Tracts on Distinctiones sophismatum, Nijmegen 1988 Vol. 8: Ralph of Beauvais, Liber Tytan, ed. C.H. Kneepkens, Nijmegen 1991 SUPPLEMENTA to ARTISTARIUM: Vol. I: English Logic and Semantics, from the End of the Twelfth Century to the Time of Ockham and Burleigh, Nijmegen 1981 Vol. II: Mediaeval Semantics and Metaphysics. Studies dedicated to L. M. de Rijk, Nijmegen 1985 Vol. III: Logos and Pragma. Essays on the Philosophy of Language in Honour of Professor Gabriel Nuchelmans, Nijmegen 1987 Vol. IV: Ockham and Ockhamists, Nijmegen 1987 Vol. V: Peter of Spain on Composition and Negation, by Joke Spruyt, Nijmegen 1989 Vol. VI: John Buridan's Tractatus de infinito, ed. J.M.M.H. Thijssen, Nijmegen 1991 Vol. VII: Marsilius of Inghen, Nijmegen 1992 Vol. VIII: John Buridan: A Master of Arts, Nijmegen 1993 Vol. IX: Anaritius' Commentary, I-IV, ed. P.M.J.E. Tummers, Nijmegen 1993

ARTISTARIUM SUPPLEMENTA

IX

THE LATIN TRANSLATION OF ANARITIUS' COMMENTARY ON EUCLID'S ELEMENTS OF GEOMETRY BOOKS I-IV

EDITED BY

P.M.J.E. TUMMERS

Nijmegen Ingenium Publishers

1994

ISBN 90 70419 35 1 Copyright 1994 by Ingenium Publishers, P.O. Box 1342, 6501 BH Nijmegen, The Netherlands. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or translated in any form, by print, photoprint, microfilm, microfiche or any other means without written permission from the publisher. PRINTED by KRIPS REPRO MEPPEL, THE NETHERLANDS.

Table of Contents Introduction

Introduction

ix

2.

Contents

ix

3.

The influence of the Latin version of Anaritius

xi

4.

Starting-points for a new edition

1.

xiii

4.1 The edition of M. Curtze

xiii

4.2 The manuscripts; description

xiv

4.3. Method used for the edition; interrelation of the manuscripts

xviii

Anaritius' Latin Text

Book I Book II

73

Book III

90

Book IV

111

Appendices

Appendix 1: Roger Bacon on Anaritius

125 127

Appendix 2: The text of five propositions of book II

133

Notes

139

Indices

153

1.

Sigla

155

2.

List of used or cited MSS.

3.

Index of ancient and medieval authors and names

156 157

4.

Index of modern authors

160

5.

Index of some Latin (technical) terms

162

6.

Survey of the contents of Anari ti us

175

Bibliography

181

1.

Ancient and medieval authors

183

2.

Modem authors

184

INTRODUCTION

1.

Introduction* Abu 'l - 'Abbas al Fa~l ibn I;Iatim al-Nayiiii' (floruit Bagdad ca. 897, died ca. 922) t became

known in the West, under the Latin name Anaritius,

2

chiefly as the author of a commentary on

the first ten books of Euclid's Elements of Geometry. This commentary, of which only one Arabic MS is known, 3 was translated into Latin by Gerard of Cremona4 in the second half of the twelfth century. MSS of only one Latin version of Anaritius' commentary have so far been discovered, and this version is generally assumed to be Gerard's translation. As far as later medieval authors are concerned, the work was known at least to Albertus Magnus and Roger Bacon.5 Since 1899 there has been a printed edition of the Latin version, edited by M. Curtze. The importance of Anaritius' commentary is, first of all, that it is the only Arabic commentary on Euclid that was translated into Latin during the Middle Ages, and secondly that it is also one of the oldest commentaries on Euclid of the Latin West. 6 But this is not all: the contents of the work are also important, because it not only contains remarks by Anaritius himself, but also draws on the commentaries on Euclid by Simplicius and Hero,7 which have subsequently been lost. Moreover, the (MS of the) Latin version of Anaritius is valuable in itself, because it gives the definitions of book I in their entirety and also gives additions and commentary to books VII to X inclusive, unlike the Arabic MS, which begins in the middle of the final definition of book I and stops after the first lines of book VIL The aim of the present publication is to provide an adequate edition of the Latin version of books I-IV of Anaritius. The remaining books V-X will follow in a separate volume. The fact that the edition is limited to the Latin text is justified by the influence and the independent life of this single Latin translation.

2. Contents The contents of Anaritius' commentary on books I-IV of Euclid can be indicated briefly as follows: Anaritius follows Euclid in the general order of the beginning of Book I: definitions, postulates and axioms. As to the definitions, he gives all Euclid's definitions, sometimes combining definitions or partly repeating a definition. 8 Each definition is followed by a commentary, comprising alternative definitions, etc., beginning each time with that what Sambelichius (= Simplicius) propounds in his work; to this are added other data which are, for instance, sometimes taken

ix

from Proclus' commentary.9 As to the postulates, Anaritius lists five, 10 gives a general commentary on the meaning of the concept 'postulate', and then repeats the postulates, now adding Simplicms' commentary. However, a sixth postulate follows, which is to be found in Euclid (and in Anaritius as well) as axiom 9 and according to Simplicus - does not occur in the antiqua scripta. For this postulate a proof is formulated. All but one (nr. 6) of Euclid's axioms are found in Anaritius, but there is also one axiom in Anaritius (nr. 5) that is not to be found in Euclid. I I Anaritius mentions remarks of Simplicius concerning the first two axioms. This part concludes with remarks on the number of axioms and with six additional axioms. It is not clear from which source the latter derive; some of them are to be encountered in the later tradition only in the work of Albertus Magnus. Before dealing with the theorems or propositions of book I, Anaritius discusses the division of geometry into theorica and practica and he mentions the classification of the theorems in scientia, operatio and inventio.12 This is followed by a discussion of the six parts of a theorem (propositio, exemplum, differentia, opus, probatio and conclusio). The introduction ends with

an explanation of a number of concepts and terms, viz. theorema, corrolarium, diversitas positionis, alhaynedi, 13 and convertere ad impossible. This part of book I concludes with the

remark that these are Simplicius' notes on this part of Euclid. In the Latin version of Anaritius there follow alternative proofs and additions to a number of propositions14 of book I, whereas the propositions themselves and Euclid's proofs are left out.

This is true, not only for book I, but for all other books as well. The Arabic MS, on the other hand, has both. These additions etc. are ascribed in six cases to lrinus (== Hero); once to Aganiz as quoted in the commentary by Simplicius; once to Thebit, and once to alii. Twice Anaritius says he has been unable to find the auctor.15 The most important of all these additions are the proof and the theorems connected with it for the postulate of parallels as drawn up by Aganiz.

16

Book II of Anaritius begins with one definition, which is also the first in Euclid. This definition is accompanied by Irinus' commentary. Euclid's second definition is left out. Concerning propositions 1 to 5 inclusive of book II Anaritius gives examples in numbers, each time with the number 10 as the base number. As a commentary to the first proposition Anaritius gives an explanation of the two types of demonstration, dissolutio (analysis) and compositio (synthesis); subsequently, he gives both demonstrations as additions to the

propositions: with propositions 2 and 3 only the dissolutio, and both (now using the term solutio instead of dissolutio) with propositions 4 to 10 inclusive. As a commentary to proposition 11

x

Anaritius says that a figure is always needed for the demonstration, and he also gives an alternative proof. For propositions 12 and 13 Anaritius proves the converse of the propositions, while, finally, he does not give any commentary with proposition 14. It remains to be said that the Latin text of Anaritius' additions with propositions 4, 5, 7, 8 and 9, contains errors or gaps, which have been corrected by the present editor (see Appendix 2). Book III begins with 10 definitions,

17

which follow Euclid fairly closely, except that

Euclid's 7th and 8th definition are combined into one definition by Anaritius: in definition 7 he gives the definition of angulus in portione (angle in a segment) 18 to the term angulus portionis (angle of a segment). To definitions 1, 5 and 9 Anaritius adds a commentary, giving Irinus as his source in the first two cases. In the case of quite a number of propositions Anaritius explicitly mentions that Irinus has not said anything about them.19 To the others he gives additions that are, generally speaking, alternative proofs and alternative casus. Book IV begins with 4 definitions that accurately follow Euclid,20 while in the case of definitions 2 and 4 commentaries are mentioned by Irinus and - surprisingly -Anarizus (def. 2). For propositions 1, 2, 3 and 5 Anaritius gives Irinus' additions, while in the addition to IV 5 again the name Anarizus is mentioned. For propositions 6 to 11 inclusive a solutio is given each time, while in the case of proposition 15 Anaritius discusses the reasons for providing this proposition; an extensive digression follows on the use of proposition 16 in astronomy, and on the centre of regular polygons. As far as the contents of Anaritius' commentary are concerned, this should suffice; more details will be given in the edition of the Latin text.

3. The influence of the Latin version of Anaritius As far as we know today, the Latin version of Anaritius' commentary has influenced at least four works. Firstly there is a Campanus version of Euclid, which is extant in MS Paris,

Bibliotheque nationale, fonds latin, 7215.21 In this MS we find, together with the definitions of book I, a commentary for which the author has drawn heavily on Anaritius. This work does not offer many new starting-points for the establishment of the Latin text of Anaritius'work. This is all the more true, since it can be established that the tradition of MS K of Anaritius was the source for the author of MS Paris 7215; and MS K, as will be shown further on, is not the best MS.

xi

Secondly, there is Roger Bacon's Communia Mathematica, part of which has not be edited, and, following this in the MS (Oxford, Bodleian Digby 76), a commentary on Eucl perhaps also by Roger Bacon.22 In these works there are 15 explicit references to Anariti1 work, all to the first book, and mainly to the definitions. Sometimes Anaritius is paraphrased, 1 mostly there is only a short mention of what the author found in Anaritius. The 15 quotatic have been collected in Appendix 1. Thirdly, there is Campanus' edition of Euclid's Elements of Geometry made ca. 1259. this edition we find pieces which were probably drawn from Anaritius. 23 Lastly, there is Albertus Magnus' commentary on the first four books ofEuclid.24Ample1 is made in this commentary of Anaritius' work: apart from one or two Latin Euclid versions frc the Adelard tradition, Anaritius is Albertus' chief source. When Albertus' borrowings frc Anaritius are studied closely, it becomes clear that Albertus does indeed borrow extensively, l that only on rare occasions (especially in Book II)25 does he actually copy Anaritius: normal Albertus paraphrases Anaritius and so shapes his commentary into a coherent whole. The following survey can be given of the use Albertus has made of Anaritius: in boo Albertus uses Anaritius' commentaries for the definitions, postulates, axioms, and the end oft introduction. As regards Anaritius' commentaries and additions to the propositions, they are us by Albertus in their entirety, except for the following: he does not mention the addition to I 2 the addition to I 25 he puts after I 22; of the additions to I 29 he leaves out the renumbering a Simplicius' commentary; the extension ofl 10 Albertus gives after I 38 instead of after I 31, a he leaves out Anaritius' last addition (to I 47 (=Eucl. 48)). With book II Albertus gives numerical examples, but they do not derive from Anaritius He does adopt as resolutio and compositio the dissolutio or resolutio and the compositio of Irin to all the propositions which are mentioned in Anaritius. As has been noted before,25 the additions to II 4 - 10 have even (for the greater part) been copied word-for-word. Albertus does not completely adopt Anaritius' commentary to the definitions of book III The additions to the propositions in book III are all adopted by him, except for the followir those to III 10, 11,28 30; further, only part of the commentaries to 13 and 15 is borrowt Moreover, Albertus does not give Anaritius' commentary on III 16 until III 18, and then mu more extensively. It remains to be mentioned that Albertus criticizes an addition to III 13 by t hand of Irinus, drawing a line through it in his own text and writing: et est non multum vale1 licet Yrinus posuerit eam. 29 In book IV, Albertus partly borrows Anaritius' commentary on definitions 2 and 4. As far

the propositions are concerned, Albertus gives two additions to IV 1 that he ascribes to Irin

xii

(and so, we might suppose, have borrowed from Anaritius), but only the second can be found in · 1aritius; Albert's source for the first addition is unknown. The rest of Anaritius' additions are I borrowed by Albertus, except those for IV 8 (he only mentions it), 10 (taken over only in rt), 11, and the end of 16, while he puts the rest of Anaritius' commentary on IV 16 with IV

'·

It can be concluded that Albertus borrowed extensively from Anaritius. A comparison of the

·ntents shows - as has been already mentioned that Albertus did not do this in an imitative ay, but that he revised and reformulated Anaritius' commentary himself. As an aside, it should be mentioned that the author of the marginal additions in the Euclid text MS London, British Museum Harley 5266, at least knew Anaritius' name (see 4.2).

4 . Starting-points for a new edition 4 .1 The edition of M. Curtze M. Curtze edited the Latin version of Anaritius' commentary in 1899, on the basis of the 1ly MS known to him, namely the Krakow MS.30 As Curtze himself has remarked, the copyist this MS had no great mathematical knowledge and his Latin was faulty; he made many errors d confused words. Moreover, there are a great many omissions in the text of the MS, caused ·, among other things, homoioteleuta, and repetitions of the same passage.31 Not only is the S unreliable, but so is Curtze's edition, because his reading of the MS itself shows many fects and his critical apparatus is sometimes inaccurate, and even gives references at the wrong aces. Shortly after the edition came out, H. Suter published an article with corrections for the

2nd

mmentary of Book X (ed. Curtze, p. 252-386), on the basis of an earlier edition of this part of o: text.32

Even though Curtze deserves our respect for his pioneering work, the results of his method ve the impression of his being inaccurate; thii:. judgement conforms with Clagett' s remarks on

1rtze's edition oftheVerbafiliorum.33 The present editor agrees with Clagett that there is no 1int in indicating in this edition all the places where Curtze's edition differs from MS K, but, by ay of example, a comparison is given of two pages of Curtze' s edition with the text of MS K 1which his edition was based: ~'

ed. Curtze ie 6 est add. K; 8 firmum: firmatum K; 10 una tantum dimensio: causa sui motus K (Curtze's

xiii

reading is one line further down in the MS); 11 dimittat: dividitur K; 12 tune: inde K; 20 sit add.K; 20 sunt: super K; 21 naturale: videtur K; 24 provenit etiam: proveni et K ~ed.Curtze

line 2 quilibet: quaque K; 3 tune: tamen K; 11 est om. K; 13 eorum: earum K; 15 inveniat: inveniat sive minerat K; eo: ea K; 17 illo contactu inv. K; 18 probantur: probabiliter K; contingunt: credunt K; 21 ipsam: ipsum K; 22 contingit: coniungit K; 23 illud: id K; 25 cum: quando K; que: quod K; 28 sicut om. K; 30 accipimus: acceperimus K; hoc: hac K; 32 illa: illa duo K; mensuremus: mensuraremus K. Many of these errors are most probably caused by rapid reading. One of Curtze's own remarks may point to extenuating circumstances. In an article34 he mentions the conditions in which he had to work while copying the MS: Leider war es mir der Engherzigkeit der Verwaltung der Bibliothek des Konig!. Gymnasiums zu Thorn halber unmoglich, die mir aus Wien (= 5203, P.T.)35 und Krakau gesendeten Handschriften vollstandig ausnutzen zu konnen. Es wurde mir nur gestattet, der ich diese Bibliothek 18 Jahre selbst verwaltet hatte, wochentlich darin vier, sage vier Stunden zu arbeiten. Erst im letzten Augenblicke hat ein Machtwort des Herrn Kultusministers, an welchen ich mich beschwerdefiihrend gewendet hatte, darin Wandel geschaffen, und habe ich wenigstens die wichtigste Handschrift, den Kommentar des An-Nairizi zu den zehn ersten Btichern des Eukleides in den Uebersetzung Gerhards von Cremona, vollstandig abschreiben konnen. Clearly a new edition of this work is needed, not only for the reasons mentioned above, but also because more - and better - MSS are known now. 4.2 The manuscripts The following are the MSS now known to contain the complete text of Anaritius' work: I. Madrid, Bib!. Nacional 10010 (M)

II Vatican, Bib!. Apostolica, f. Reginensis Suev. 1268 (V) II Krakow, Bib!. Jagiellonska 569 (K). Apart from these complete MSS, extracts from Anaritius' work are to be found on 4 folios of MS Oxford, Bodleian Library, Digby 168 (0). More MSS are known for part of the Anaritius text, as edited by Curtze, namely the second commentary on book X (= ed. Curtze, p. 252 - 386). But as this part has later been proved not to be by Anaritius himself, it does not come within the compass of this edition.36 In section 3, moreover, it has already been mentioned that there are four works in which

xiv

Anaritius' commentary is used, and that they sometimes quote him literally. These works and MS 0 have been studied with a view to editing Anaritius' text, but as they offer no new features when compared to the MSS that have the complete text,37 they have not been further used. Bjornbo38 mentions a Spanish MS that he says contains the work of Anaritius. This MS is listed in a catalogue of 1273, and is said to include works by Alfragano, Theodosia, Anaricio,

Mileo con otros Libras de geometria. MS Madrid 10010 comprises works by Theodosius, Anaritius and Menelaos, in that order. However, it has not yet been investigated whether this MS is the one referred to by Bjornbo.39 We know of no other possible identifications of MSS with the Spanish MS from the 1273 catalogue. It should be noted that in the Euclid edition of MS London, British Museum Harley 5266,

the name Analitius or Hanalitius is to be found with a number of marginal remarks. Closer inspection of these additions makes clear that they are not quotations from Anaritius but from Gerard of Cremona' s Euclid translation. 40 In any case the author of the additions must have known Anaritius' name.

Description of the MSS I.

Madrid, Biblioteca Nacional 10010 (M)

This MS was formerly known as MS 98-24, Cathedral of Toledo, nr. 326, inventory of 1727. Millas Vallicrosa's description41 gives the following data: Anaritius' commentary is on folios 13 v to 50r inclusive; the MS is made of parchment, 315 x 217 mm., it consists of 86 folios, of the XIII th or XIVth century, written by a single hand, in one column per page, lined as an exercise-book. It contains only mathematical works;42 Anaritius' text is followed by Scholia on Theodosius' Sphaerica, Menelaos' Sphaerica and Jordanus de Nemore, De Triangulis IV 2628. This is important, because these three treatises also come after Anaritius in the Vatican MS. The sections of Anaritius' text are not in the same order as in Curtze' s edition,but as follows: f.13v-32v Book I to IX inclusive, except IX 13 and 36

Curtze, p. 1-199 and 204, 15-

207, 20). f.32v-36v Book X lst commentary(= Curtze, p. 211-252). f.36v_49v Book X 2nd commentary(= Curtze p. 252-386), ending with: expletus est liber. f.49v-50r Book IX 13 and 36 (= Curtze, p. 200-204, 14 and 207, 21-210). In the margin: none

partis. The following remarks can be made about the manuscript M: the script is regular, the figures

xv

are generally in the margin and only a few extend into the text. In those cases, the text has been written around them, from which it may be concluded that figures and text were completed at the same time. There are not many marginal additions: ten to the definitions etc. (1st part of book I), and four to the propositions of book I; one to the propositions of book II; two large ones and a smaller one to the propositions of book III; and four to the propositions of book IV. There are, however, especially at the beginning, in the text and also above the lines, corrections, additions, etc., of single words or parts of words, which means that the text has been accurately revised. Further, there are section-marks in the first part (up to the theorems), while the commentary to the theorems often begins on a new line, the first (capital) letter of which, however, is always lacking, except on folio 19 r. The text lacks a title, but next to it is written in a later hand: Sohre Euclides. Although it includes a great number of mathematical works, this MS, or in any case this Anaritius text, is not mentioned in the older literature.43

II. Vatican, Bibliotheca Apostolica, Reginensis Suev. 1268

(V)

Bjornbo's description44 mentions that the Anaritius text was written on folios 144r to 207v inclusive; the MS is made of parchment, 256x185 mm., it consists of 238 numbered folios, of the XIVth century, written in one column per page, by several hands of the same period, and is provided with marginal notes from the XIV th or early XVth century, especially in Anaritius' text. The MS comprises, according to Bjombo, 5 originally separate parts. The MS contains only mathematical works,45 and in part 4 Anaritius' text is followed by Scholia on Theodosius etc .. Part 5 has Menelaos' Sphaerica and Jordanus de Nemore, De Triangulis VI 26 - 28. The parts of Anaritius' text are in exactly the same order (different from Curtze's edition) as MS Madrid 10010, namely f.144r-177v

Book I-IX (except IX 13 and 36).

f.177v-183v Book X 1st commentary. f.183v-2Q5v Book X 2nd commentary. f.206r-207v Book IX 13 and 36. The following remarks should be made about manuscript V: it has been written in a good hand, the figures are in the margin and do not extend into the text, except for a few cases in which a letter belonging to a figure has been placed in the text. The initials have not been filled in for the propositions (and for the first word on f.144r), but do occur once on f.156v, f.160r and from f.168r - f.171 r. There are remarkable marginal notes, especially to the first part of book I

XVl

(definitions, postulates, axioms): they are remarks which subdivide the text and give a sort of title or summary to the sections, or (re)name the authors of alternative definitions, etc.; moreover, there are summaries at the bottom of the pages, for instance the five definitions of the point are briefly mentioned at the bottom of f.144r, the three definitions of the line at the bottom off.144 v, etc .. Few real additions to the text are to be found in the margins - one or two words per page at most.46 It is also remarkable that on f.151 r the handwriting stops in the middle of a line, halfway down the page; f.151 vis blank and the text continues on f.152r (see p.xxiv). The text has no title, but an explicit is given in the middle of book I, before the propositions begin, but there is no explicit at the ends of books I, II, etc.

III. Krakow, Bibliotheka Jagiellonska 569 D.D. IV 19) (K) According to the description by Curtze (edition of 1899) and the additions in BjornboVogl,47 the Anaritius text is on pages 7 to 80; the MS is made of parchment, 270 x 200 mm., it consists of 201 folios with text (numbered only on the odd pages) and 3 blank ones, of the late XIVth century, written by one hand. Bjornbo-Vogl suppose the MS came from France to Poland around 1500. The contents are mathematical works.48 Anaritius' work fills pages 7 - 80 (folios lr - 37v); the order of the text is different from that ofMSS Mand V: p. 7-41 Book I to IX (except IX 13 and 36). p. 41-50 Book X 1st commentary. p. 50-51 Book IX 13 and 36. (Curtze replaced them in their proper order). p. 51-80 BookX 2nd commentary. The following remarks can be made about manuscript K: the hand is regular, the figures are all in the margin and do not disturb the marginal line of the text, except on p. 21, where the text has been written across part of the figures. This suggests that text and figures were not completed at the same time. There is only one marginal addition in this part of the text (on p. 29) and there are hardly any corrections, deletions, etc. There are section-marks for each new definition etc., and also for each theorem. The theorems do not always begin on a new line. The text has a title and each new book is indicated by a title, but it is not clear whether this was done by the original copyist or not. The 'D' at the beginning of the text proper is large and beautifully ornamented, while p. 7 (the first written page) has an ornamental border. Finally, in this text it is difficult to distinguish c from1

5

10

15

20

25

< Definitiones > < def. 1 >a Dixit Euclides: Punctum est quod partem non habet. Supra hoc dixit Sambelichiusb: punctum est principium quantitatum et est unde augentur, et ipsum solum est quod non dividitur habens situm. Cum ergo in sua2 habitudine finnatum fuerit et postea motum ac si a primo situ ad alium situm velociter cucurrerit, provenit ex eo ob causam3 sui motus et sui cursus quantitas habens unam dimensionem. Quia enim ipsum non dividitur, non provenit4 ex eo nisi una tantum dimensio que est longitudo tantum. Linea quoque cum se moverit, si fuerit5 eius motus sequens motum puncti, augebit solam sui longitudinem tantum; linea enim non fit nisi ex motu puncti. Si autem linea in se ipsam moveatur et de suo situ primo ad alium6 situm fuerit mota, accidit ex sua remotione alia dimensio que vocatur latitudo, et 7 provenit ex ea quantitas habens duas dimensiones que vocatur superficies, eo quod sit sicut illud quod super corpora est expansum et est illud quod ex8 corporibus videtur. Superficies quoque si moveatur linee sequens motionem, augebit se solarn tantum. Si autem tota moveatur a suo primo situ ad alium situm, proveniet dimensio tertia que vocatur profunditas, et fit ex ea9 corpus, quod cum sit tres habens dimensiones, undique a superficiebus comprehenditur./(C p.2) Exemplum subiciam 10 huiusmodi, sc. quod cum aliqua11 superficies12 mota13 fuit que 14 antequam moveretur, fuerat 15 superficies quadrata, que sc. 16 sit17 superior cubi superficies qui 18 ex eius 19 motu provenit, et sit alia20 superficies in quam21 finitus est motus, que sc. est22 superficies23 cubi inferior: quatuor ergo linee que comprehendunt quadratum, fecerunt quatuor reliquas superficies que comprehendunt cubum. Declaratum est igitur quod corpus undique a superficiebus M f.13v; K p.7,f.lr; C p.1. a. def. 1 = Euclides 1, Adelardus l,(Albertus 1). b. = Simplicius. 1 add K: Incipit expositio Anaritii X primorum librorum geometrie 2 sui K 3 ob causam : causa K 4 add K : inde non 5 om K 6 add K: primum 7 supra lineam add M: sc. linea 8 om K 9 supra lineam add M: sc. superficie 10 add K : quod sit 11 cum aliqua om K 12 add K : que 13 add M marg : sed hoc totum dicitur secundum rectum motum 14 om K 15 fuit K 16 om K 17 fit K 18 quod K 19,20 om K 21 in quam om K 22 que sc. est om K 23 superficie K - 1-

comprehenditur. Si ergo corpus moveatur, impossibile est quin 1 eius motus sit sequens unam suarum2 superlicierum, ideoque in se ipsum augetur et non accidit magnitudini alia dimensio. Et convenit3 necessario quod sit magnitudo dimensionum cum4 rectis angulis, eo quod sit 5 finita; linee vero quarum unam super aliam erigi possibile est super rectos angulos, 5 tres tantum sunt. Ideoque sunt tres dimensiones, sc. longitudo, latitudo, profunditas. Quapropter locales etiam dimensiones fuerunt tres, sc. a sursum deorsum, 6 a dextra in sinistram, ab anteriori ad posterius.

10

Dixit preterea Sambelichius: punctum ideo negando Euclides difinivit quia7 omni complenti deest una dimensio eius quod completur, sicut7 diminutio superliciei8 a

corpore et

diminutio linee a superlicie et

diminutio puncti a linea. Cum ergo corpus sit habens tres dimensiones, punctum necessario nullam earum habet neque habet partem. Vera enim 15 causa ob quam negando difinivit, est quia causa dimensionum ipsum est, et oportet ut causa sit magis propinqua ad hoc ut non dividatur, quam causatum, eo quod ipsa sit magis propinqua uni qui est causa totius. Et quia res magis simplex est causa eius quod9 est post ipsam, cum fuerint ambo unius generis, sc. generis habentis situm, ideo punctum 20 quod in linea est inventum - quod est sicut finis quod proprie geometre sciunt - est magis simplex quam linea neque habet partem, donec ad hoc deductum sit ut non dividatur; et similiter etiam unitas que 10 11 complet tres, exivit a tribus. Punctum vero quod est causa linee, eo quod sit sublimius et simplicius dimensioni/(C p.3)bus, dicitur non 25 habere partem. Non tamen dicitur non habere partem nisi ideo quod non habet dimensionem neque 12 dividitur, et est causa eius quod dividitur habentis dimensionem. Quapropter hec difinitio unitati non convenit,eo quod non sit causa eius quod dividitur dimensionem12 habentis, neque omnino sit unius et eiusdem generis cum eis que habent dimensiones. 30 Motus enim licet habeat continuitatem et dimensionem, non tamen habet eas nisi ex quantitate. Similiter quoque tempus non habet13 eas nisi ex motu. Ergo finis motus et instans non ob aliud sunt non habentia partem et dimensionem nisi propter punctum.

Punctum ergo prius

1 quod non K 2 duarum K 3 sequitur K 4 a K 5 add M marg : ad plus intelligendum est 6 iusum (= inversum?) M, K, (deorsum 0, Alb.) 7 quia ... sicut om K 8 superlicie K 9 qui K 10 ex eo K 11 supra lineam add M : id est a numero 12 neque .... dimensionem mn K 13 K, habeat M (vide r.30) -2-

et posterius est indivisum et indimensum. Manifestum quoque est quod punctum quod est magis simplex quam linea, non diminuit aliquid eorum que habent dimensiones cum partitur ea, neque auget ea, eo quod non habet partem et est finis eorum. Si quis autem puncti virtutem scire 5 quesierit, quod est magis simplex quam linea, in sensibilibus imaginetur centrum totius et polos. Preter hanc vero multe alie difinitiones puncto attribute fuerunt. Hermidesa enim1 dixit quod punctum est principium ornnium quantitatum indivisum, et forsitan non ob aliud sic difinivit nisi ut esset 10 difinitionis conversio manifesta. Aposedoniusb 2 autem3 dixit quod punctum est extremitas non habens dimensionem aut extremitas linee. Sed difinitio magis propinqua intentioni est ut dicatur quod punctum est quod non habet dimensionem quantitatis continue habentis situm. In 15 hac enim difinitione appositum est maius genus quod4 est quantitas quod continuum divisit, per quod punctum separatur ab unitate; hoc est quod licet unitas sit indivisa, est tamen quantitatis discrete. Hoc autem pro/(C p.4)pinquum commune quod est situm, 5 separat punctum a tempore et a6 motu et ab eorum extremitatibus. Et ex hoc quod diximus 20 in hac difinitione punctum non habere dimensionem, separavimus7 punctum a superficie et a linea et8 a corpore que habent9 situm. Quod si loco huius dicti 'non habens dimensionem' diceretur quod10 ipsum est sicut extremitas aut causa,11 separaretur a linea et a superficie et 12 a corpore quoniam nullum horum habet dimensionem. 25 Quidam vero aliic difinierunt punctum dicentes punctum esse unitatem habentem situm, sicut difinierunt unitatem dicentes 13 ipsam14 esse punctum non habens situm. Quam difinitionem dederunt non ut esset vera sed transumptionem faciendo. Hoc est ideo quod continua et discreta diversificantur in situ; ergo erunt15 finis motus et instans magis 30 propinqua puncto quam unitas propter communitatem que est inter ea secundum continuitatem que non est in unitate. Ego autem dico quod unitas est res carens partibus et situ, et est16 principium quantitatis a.= (cf. Alb. 5, 10). b. = Posidonius (cf. Alb. 5, 11). c. cfr Proclus 95, 21 (= Pythagorei), (cf. Alb. 5, 14: Plato). 1 vero K 2 Aposedanius K 3 aia K 4 quam K 5 satum K 6 om K 7 separamus K 8 a linea et : linea K 9 que habent : qualiter K 10 per K 11,12 om K 13 K, dicentem M 14,15,16 om K

-3-

discrete. a Dix.it Euclides: Linea est longitudo sine latitudine. Supra hoc vero dixit Sambelichius: linea habet principium ex quo 1 ipsa fuit, quod est punctum, et ipsa est principium superficiei. Quia ergo2 5 ipsa fuit ex principio indiviso, est longitudo, et quia ipsa est principium latitudinis, est sine latitudine. Linea quoque ab aliis separata est cum difinitione negativa, sed cum qua3 est affirmativa. Hermidesb autem difinivit lineam dicens earn esse quantitatem que habet unarn dimensionem. 10 Aliic autem difinierunt earn dicentes ipsarn esse extremitatem quantitatis continue habentis4 situm quarn separat punctum. Que manifeste apparent in sensibilibus, sc. inter lumen et umbram. 5/(C p.5) d Dixit Euclides: Due extremitates linee sunt duo puncta. Supra hoc Sambelichius dixit: non dixit Euclides quod queque linea 15 sit finita punctis. Impossibile tarnen est quod sit linea infinita. Non tamen iudicare de hiis verbis attinet geometris quia hoc tantum magistro naturalis scientie convenit; geometre tarnen quandoque ponunt lineas esse infinitas; linea quoque circumflexa est infinita. Euclides autem noluit intelligere nisi quod linee finite finiuntur punctis 20 quemadmodum superficies finiuntur lineis et - ut omnino dicarn - sicut finitur omne illud quod est unius generis, per id quod minus est6 illo secundum unarn dimensionem. Et non dixit hoc nisi propter sectionem quantitatum et earum augmentum; hoc est quod cum fuerint fines linearum puncta, manifestum est quod cum punctum diviserit linearn, non 25 minuit7 ex ea dimensionem, et etiam quod si8 linee sese contingant in punctis, nichil augmenti ex contactu illo recipiunt. Geometre vero verba ista probabiliter recipiunt/(M 14r) et credunt. < def. 4 >e Dixit Euclides:

Linea recta est que est

posita super e-

a. def. 2 = Eucl. 2, Ad. 2 W pars), (Alb. 2 W pars)). b. cfr Proclus 97, 7 - 8, (cf. Alb. 6, 8). c. =? (cf.!'lb. 6, 9: Sambellchius). a d. def. 3 - Eucl. 3, Ad. 2 (2 pars), (Alb. 2 (2 pars)). e. def. 4 = Eucl. 4, Ad. 3, (Alb. 3). 1 add M : linea sed exp(?) 2 vero K 3 qui K 4 K, (Alb.), habens M 5 verbum K 6 om K 7 inveniat sive minerat K 8 om K -4-

quale quod est inter omnia duo puncta cadentia super ipsum, ac si vellet dicere illud quod Axamitesa1 intellexit; hoc2 est: brevior dimensio que coniungit3 quod est inter duo puncta. Supra hoc Sambelichius: Euclides vult intelligere quando dicit4 quod 5 est 'equale quod est inter ornnia duo puncta', dimensionem que est inter duo puncta duarum extremitatum suarum. Quia cum nos posuerimus duo puncta que sunt linee extremitates, - non enim difinivit in hoc loco nisi lineam5 finitam - et acceperimus dimensionem que est inter ea ac6 si positum esset lineam non esse inter ea, erit illa dimensio 10 equalis linee cuius illa duo puncta sunt extremitates. Si enim vellemus mensurare dimensiones que sunt inter quedam puncta et alia cum linea, mensuraremus cum breviori linea que est brevior viis que sunt inter res separatas, neque me/(C p.6)tiremur cum linea in qua sit curvitas. 15 Et ideo7 difinivit earn Asamitesb 8 dicens: linea recta est brevior lineis quarum extremitates sunt eedem, et vult dicere quod sit brevior linea que coniungit quod est inter duo puncta. Mensuratio etiam9 non fiet nisi cum linea recta, quoniam ipsa so/(K 8, 1v)la est difinita; hoc est quod nulla aliarum linearum invenitur difinita. Possibile enim 20 nobis est coniungere punctum puncto cum lineis curvis et circumflexis et compositis, quarum alie sunt 10 maiores aliis; 11 quod semper fieri possibile est. Euclides12 quoque 13 cum14 difinivit genus linee et dixit quod est longitudo sine latitudine, processit 15 deinde ad loquendum de speciebus. 25 Species enim linee sunt multe, 16 sc. quod earum alie sunt recte, alie circumflexe, alie medie inter rectas et17 circumflexas que sunt ac si ex eis forent composite. Harum18 vero que sunt medie, quedam sunt inordinate quam ob rem non indigent eis geometre, sicut sectiones piramidum que sunt formate ad animalium19 similitudinem, et alie 30 infinite; quedam sunt quibus geometre utuntur, sicut sectiones piramidum que sunt alternate et que sunt addite et que sunt diminute, et lia. = Archimedes b. =Archimedes, cfr Proclus 110, 10-11, (cf. Alb. 6, 25). 1 Aximithes K 2 hec K 3 add K : id 4 dicere K 5 nisi lineam om K 6 hac K 7 et ideo K bis 8 Asamithes K 9 enim K 10 K, sint M 11 alii K 12 Eucludes K 13 vero K 14 om K 15 processerit K 16 intus sive inter K 17 om K 18 horum K 19 alia K

-5-

nee que sunt leuleviea1 et alie linee multe his similes2 in qui bus sunt multe res mirabiles. Eyr;;lid~s vero quia scivit mensuram et utilitatem prologi, non difinivit nisi rec tam et circumflexarn que sunt simplices. 5 Platob vero difinivit rectarn lineam dicens: linea recta est cuius medium duas ipsius extremitates cooperit. Cum enim aliquis fixerit oculum supra unum punctum3 duarum extremitatum et voluerit videre aliam extremitatem et posuerit oculum in loco puncti, inveniet quod illud quod est in medio, cooperit extremitatem/(C p.7) aliarn que est 10 post ipsum. Hee autem difinitio loco indicis ponitur, 4 sc. quod non ideo quod medium cooperit duas extremitates, est linea recta, sed quia linea est recta, ideo medium cooperit duas extremitates; quod est ideo quod visus transit secundum rectitudinem. Aliic5 vero difinierunt earn dicentes: linea recta est que est bene 15 ordinata. 5 Aliid vero difinierunt earn dicentes: linea recta est cuius omnes6 partes possibile est omnibus superponi partibus undique. Hoc est quod partes circuli licet superponantur7 alie aliis, non tamen superpositio8 illa est undique, id est: 9 si ponatur curvitas extrinseca unius 20 partis eius

super

contingent se cooperient. Si adiungatur non cooperient se. 25 Aliie autem

curvitatem

extrinsecam

alterius

partis ipsius,

in uno puncto sicut circuli se contingent et non se autem intrinseca curvitas intrinsece curvitati obviando superponendo, continget10 earn in duobus punctis et non difinierunt earn dicentes: linea recta est que cum due

1psms extremitates figuntur, figitur et non movetur a suo situ 11 sicut meguar. f Linee enim circumflexe licet earum extremitates sicut poli figantur, non propter hoc tarnen remanet quin moveantur de loco ad locum sicut medietas circuli que est inter duos polos; sed licet ima30

a. = ?, forsitan 'leulab' sive 'laulab'? cfr Albertus Magnus, De Caelo, ed. Colon. V/1, 137 et 167. b. cfr Proclus 109, 20-22, (cf. Alb. 6, 26). c. =?(Alb. 7, 1: Hermides). d. cfr Proclus 110, 20-21, (cf. Alb. 7, 2). e. cfr Proclus 110, 21-22, (c) Alb. 7, 9). f. =axis (cfr. Bjornbo, 1905 , 245-246; Alb. 7, 10). 1 leulavie K 2 similes hie ego. M habet post quibus; his similes Qill K 3 puncta K 4 positum K 5 Alii...ordinata om K 6 cum K 7 supponentur K 8 super punctum K 9 id est : et K 10 contingeret K 11 motu K

-6-

ginaremur 1 lineam rectarn mobilem duabus suis extremitatibus fixis, non tamen de loco suo moveretur. Ideoque aliia difinierunt earn dicentes: linea recta est que cum super2 duas ipsius extremitates rotatur, non movetur de suo loco ad 5 alium locum. Circumferentia vero circuli etsi moveatur super unam suarum extremitatum que est centrum, non tamen movebitur de loco ad locum, sed si moveatur super duo puncta, sicut super duos polos, movebitur de suo loco. Oportet nos itaque scire quod difinitio linee recte quam Euclides 10 dedit, brevior est et/(C p.8) magis conveniens omnibus difinitionibus quas alii dederunt. Quod est ideo quod quidam3 eorum assumpserunt difinitionem loco indicis, et alii assumpserunt difinitionem secundum relationem quam habent alie ad alias. Ex hoc ergo videtur nobis quod linea recta est magis simplex et antiquior circumflexis. Linea enim 15 recta adinvicem cooperit aliam secundum quod posita fuerit; in aliis vero lineis non contingit sic. Linea quoque recta est media et sola; alie vero linee que non sunt recte, simul habent curvitatem exterius et concavitatem interius.4 Sed cum linea recta terminatur res et cum ea5 mensuratur; ipsa est enim minor linea lineis quarum extremitates sunt 20 sue extremitates. Alie vero linee non sunt sic.

< def. 5 >b Dixit Euclides: Superficies est que habet longitudinem et latitudinem. Supra hoc Sambelichius inquit: processit Euclides ad loquendum de secunda specie6 quantitatis, sc. de superficie, quam difinivit secundum 25 eundem modum cum affirmatione et negatione, id est: quod cum dicit 'habens longitudinem et latitudinem', dicit cum affirmatione, et7 cum dicit non plus, dicit cum negatione. Cum enim dicit non plus, tantum valet ac si diceret: 7 non habet profunditatem. Hermidesc8 vero difinivit superficiem dicens: superficies est 30 quantitas habens duas dimensiones, quemadmodum difiniens9 corpus dixit a. cfr Hero 18, 3-5 (Alb. 7, 14: Yrinus). b. def. 5 = Eucl. 5, Ad. 4 W pars),(Alb. 4 W pars)). c. cfr Proclus 114, 17. 1 imaginemur K 2 que cum super : quecumque K 3 quedam K 4 et concavitatem interius : M marg, om K 5 cum ea om K 6 ill1d K : specierum 7 et cum.... diceret om K 8 Hee uides K 9 diffinient K

-7-

ipsum1 esse quantitatem habentem tres dimensiones. Nomen autem superficiei in lingua greca derivatum est ex apparitione, sc. quia2 est hoc quod apparet in corpore. Corpus enim non apparet donec ipsa videatur. a Dixit Euclides: Superficiei extremitates sunt linee. Supra hoc Sambelichius: sicut3 linea cum de suo situ primo mota fuerit, fecit superficiem, ita etiam ex eius extrernitatibus quia mote fuerunt, provenerunt linee que continent superficiem. Ex quo voluit intelligi quod cum/(C p.9) linea mota fuerit a4 suo situ, provenit 10 superficies cui acciderunt duo termini qui sunt due linee que provenerunt ex duabus extrernitatibus linee propter ipsius motum. Duo autem termini qui remanent, sunt due dimensiones quarum una continet locum linee primum, et secunda que occupat locum ubi finitur5 motus. Hoc est quod Euclides in hoc loco non fuit locutus nisi de superficie finita. 6 De 15 infinita vero7 et rotunda nichil dixit. 5

< def. 7 >b Dixit Euclides: Superficies plana est illa que est posita supra dimensionem que est equalis ei quod est inter8 lineas rectas que sunt supra ipsum, ac si vellet dicere: est brevior superficies que coniungit inter duas rectas lineas. 20 Supra hoc Sambelichius: processit Euclides loquendo de genere superficiei communi et transivit9 ad species ipsius que sunt multe - sicut species linee - quarum quedam sunt superficies simplices, 10 quedam superficies 11 composite; compositarum item alie sunt ordinate, 12 alie inordinate. Sed superficies simplices sunt quarum sunt recte linee 25 aut quarum linee sunt rotunde; composite 13 in quibus coniunguntur due species linearum. Compositarum vero que est ordinata, est sicut sernicirculi et eorum 14 partes, et universaliter quas linee comprehendunt ordinate; inordinate vero sunt quas inordinate comprehendunt 15 linee. Euclides tamen non assumpsit de speciebus superficiei 16 nisi a. def. 6 = Eucl. 6, Ad. 4 (2a pars), (Alb. 4 (2a pars)). b. def. 7 = Eucl. 7, Ad. 5, (Alb. 5). 1 om K 2 quod K 3 si K 4 om K 5 fiunt K 6 add K : et 7 om K 8 add K : duas 9 transit K 10 add K : et 11 quedam superficies M marg 12 add K : et 13 om K 14 earum K 15 add K : composite 16 superficierum K

-8-

planam tantum, quemadmodum fecit in lineis, et quod prius difinivit ex eis, est superficies plana quam eodem modo difinivit quo lineam rectam. Linea enim recta ita se habet ad lineas ut superficies plana ad superficies. Dimensio enim superficiei plane est equalis dimensioni 5 que est/(M 14v) inter lineas rectas que ipsam comprehendunt, et est dimensio terminata que est brevior dimensionibus. Quod si etiam accidat quod1 latera ipsius non sint equidistantia, sed fuerit dimensio que est inter lineas, diversa in suis diversis partibus, erit etiam hec difinitio vera. Hoc est ut2 si/(C p.10) assumptum fuerit 10 spatium brevius quod est inter lineas que sunt ipsius fines, in quacumque parte ipsius fuerit, licet spatium brevius quod est inter eas, in quibusque3 locis sit maius et in aliis minus: superficies tamen que est inter lineas illas, ubicumque4 est spatium, debet esse dimensio4 illi spatio5 equalis. 15 AlW autem difinierunt superficiem planam dicentes: superficies plana est in qua est possibile protrahi ab omni puncto ad omne6 punctum lineam rectam. He quidem7 difinitiones omnes difiniunt superficiem planam omnem et non solum superficiem quam8 recte continent linee; quod Euclides 20 difinire voluit cum dixit: quod est equale spatio quod est inter rectas lineas quod ipse comprehendunt. Superficiem enim9 rotundam linee recte non comprehendunt; superficies quoque compositas non tantum recte comprehendunt linee. Oportet autem nos scire antiquos consuevisse nominare omne planum 25 superficiem et posuisse in divisione oppositum corpori. Euclides vero non posuit 10 planum nisi pro specie superficiei, et voluit cum eo secundum hoc quod videtur ex dictis eius in difinitione superficiei, ut esset illud quod linee recte comprehendunt. Sed secundum hoc quod videtur ex hoc quod alias superficies dimisit, non voluit nisi quod 30 omnis superficies super quam recta linea posita fuerit quolibet modo, sit coniuncta cum ea absque divisione ad hoc ut fieret opposita in divisione superficiei sperice et medie, sc. simplici et composite; et dimisit omnes alias superficies, sicut superficiem columpne et pirarnia. =? (cf. Alb. 8, 16: Sambelychius). 1 ut K 2 quod K 3 quibusquedam K 4 ubicumque ...dimensio Q!Il K 5 add K : est 6 esse sive omne K 7 ql' K 8 que K 9 igitur K 10 ponit? K

-9-

dis, eo quod alibi 1 intelliguntur, et voluit intelligere superficies planas que sunt in cubo et in2 basibus columpnarum et piramidum. Quod si quis voluerit reducere hanc difinitionem ad hoc ut non solum sit superficierum quas recte comprehendunt linee, sed etiam superfi5 cierum rotundarum et mediarum, rninuat ex ea parum. Dicat ergo: superficies plana est cuius spatium est equale spatio linee que ipsum/(C p.11) comprehendit aut spatio linearum que ipsum comprehendunt. Ergo hec difinitio erit rectarum et non rectarum.

< def. 8 >a Dixit

Euclides:

Angulus

superficialis est inclinatio

10 duarum linearum in una superficie sibi obviantium non secundum rectitudinem positarum. Supra hoc/(K 9,2') Sambelichius: postquam Euclides tractavit de linea et superficie, incipit loqui de angulo superficiali3 quoniam ipse4 est medius earum, et dixit quod ipse est inclinatio duarum linearum 15 in una superficie sibi concurrentium et non secundum rectitudinem coniunctarum. Quare dixit

'in

superficie', eo

quod

si

due

linee5

secundum

in corpore aut in duabus superficiebus, non esset7 ex eis angulus superficialis, sed diceretur quod esset angulus superfi20 cialis in potentia; sirniliter quoque superficies. 'Ex duabus vero lineis' dixit, qui a impossibile est angulum superficialem ex una linea fieri, neque est possibile ut ex pluribus quam duabus fiat, sed erunt multi anguli. 'Duas vero lineas' dixit et nichil plus, et non hunc modum forent

25

6

dixit 'duas lineas rectas', ideo ut hec difinitio comprehenderet omnes species angulorum superficialium, eos sc. quos due recte comprehendunt linee et quos due circumflexe comprehendunt linee

et8 quos linee

comprehendunt quarum una est circumflexa et altera recta. Angulorum autem sunt, sc. angulus qui 30 gibbosa coniunctis,9

species quos circumflexe continent linee,8 tres fit ex duabus lineis circumflexis a parte

et angulus qui fit ex eis cum ipse a parte curva

iunguntur, et alius qui fit gibbosa9

ex eis cum

una

iungitur

alii a parte

et alia a parte curva.

a. def. 8 = Eucl. 8, Ad. 6, (Alb. 6). 1 alii K 2 om K 3 superficiei K 4,5 om K 6 fierent K 7 esse K 8 et quos ... .linee om K 9 coniunctis .... gibbosa om K

- 10-

5

10

15

20

25

Species quoque 1 angulorum qui fiunt ex linea recta et2 circumflexa que dicuntur cornee, sunt due. Prima species est cum angulus fit ex linea recta coniuncta circumflexe a parte gibbosa, secunda cum fit angulus ex linea recta coniuncta circumflexe a parte curva, sicut ex portionibus3 circuli. Angulorum preterea sunt multe species secundum coniunctionem linearum compositarum. Euclides tamen hie angulum superficialem universaliter4 difinivit; ideo vero posuit/(C p.12) in difinitione 'sibi obviantium' quia si linee due forent5 separate, non proveniret6 ex eis angulus. Et similiter si concursus earum foret secundum rectitudinem, non fieret ex eis angulus, et hoc est quod due linee sic coniuncte fierent una linea et non fieret ex eis angulus. Dicit ergo7 quod due linee sic8 posite quarum una ab altera declinat, sunt angulus. Quidama putant secundum hoc quod dicitur in hac difinitione quod angulus non sit nisi relatio tantum, et quod non sit quantitas. Videtur tamen quod sit quantitas. - Cum enim angulus expansus sit maior recto et acutus recto sit minor, et maius9 et minus sint 10 in quantitate, ergo angulus est quantitas. - Angulus quoque habet qualitatem, sc. quia expansio et acuitas que sunt in angulis, sunt qualitates. - Angulo preterea accidit ut dividatur in duo media quod11 contingit in nona figura prime partis libri Euclidis; sed12 divisum in duo media non est nisi quantitas. - Preterea angulus dividitur cum linea, ac si esset longitudo et latitudo.

Verumtamen secundum hoc quod queque superficies dividitur cum linea in longitudine et latitudine, et angulus dividitur in longitudine de puncto ad punctum et non dividitur in latitudine - quoniam angulus non minuitur propter partes que proveniunt propter lineas que protrahuntur 30 super duas lineas angulum comprehendentes - ideoque videtur quod angulus non habet latitudinem. - Angulus quoque corporeus non habet profunditatem, eo quod secundum a. cfr Proclus 121, 12 sqq., (cf. Alb. 9, 16 sqq.). 1 quorum K 2 cum K 3 proportionibus K 4 universaliter M marg 5 fierent K 6 K, perveniret M, cfr r.29, fil p.12, n.9 7 quoque K 8 K bis 9 magis K 10 K, sunt M 11 qui K 12 si K

- 11 -

5

10

15

20

25

30

profunditatem non dividitur. - Amplius etiam quantitas cum duplatur, remanet quantitas. Angulus vero rectus cum duplatur, non remanet angulus. Ergo angulus non est quantitas. Forsitan tamen Euclides ideo difinivit ipsum per id quod manifeste invenitur in eo, sc. relatio, quoniam procul dubio angulus est medius inter lineam et superficiem1 quantum ad quantitatem. 2 Ideoque Apoloniusa3 difinivit universalem angulum breviori difinitione et/(C p.13) convenientiori qua significatur quod ipse sit medius in quantitate, cum dixit quod angulus est coniunctio superficiei aut corporis ad unum punctum que comprehenduntur a linea curva aut superficie acuta. Ex hoc enim4 significavit quod est quantitas, et significavit quod eius species est medians, cum dixit quod coniunguntur ad unum punctum et quod comprehendit ea5 linea curva aut superficies acuta. Noster6 vero socius Aganiz,b eo quod vidit Apolonium7 excepisse post difinitionem suam, cum dixit quod non convenit ut hec sit universalis difinitio, sed convenit ad coniungendas8 species et numerandas, difinivit angulum hoc modo dicens: angulus est quantitas habens dimensiones cuius extremitates perveniunt9 ad unum punctum. Iste quidem 10 ex hoc quod dixit 'habens dimensiones', coniunxit communitatem que est inter superficialem et corporeum, et intellexit ibi 11 separationem que est inter eos, et voluit ut ex verbis eius intelligeretur quod angulus superficialis habet longitudinem et latitudinem, et est habens duas dimensiones, et angulus 12 corporeus est habens tres dimensiones. 12 Et forsitan convenientius est ut angulus ponatur medians in quantitate, sc. ut superficialis sit medius inter superficiem et lineam, et corporeus sit medius inter superficiem et corpus. Et forsitan aliquisc difiniet angulum et dicet: angulus est quantitas quam comprehendit vicinior quantitas quantitatibus que eo simpliciores existunt, ad unum pervenientes punctum. Eo autem in hac difinitione dictum est 'simpliciores', quoniam si fuerit angulus superficialis,/(M 15') ipse erit13 a. cfr Proclus 123, 15 et 124, 18 sqq., (cf. Alb. 10, 21). b. = Agapius, cfr A.I. Sabra, 1968, p. 13 n. 6, (cf. Alb. 10, 26). (c. Alb. 10, 29 : Yrynus) 1 M add et exp : vel in quantitate 2 filld K : vel in quantitatem 3 Appollonius K 4,5 om K 6 cum K 7 Appollonium K 8 contingendas K 9 K, proveniunt M, cfr p.11, n.6 10 quilibet K 11 i K 12 et angulus ... dimensiones om K 13 cum K - 12 -

medius inter id quod habet unam dimensionem et id quod habet duas, ergo comprehendent eum linee; et si fuerit corporeus, comprehendent1 ipsum superficies. Et quod dictum est in/(C p.14) difinitione 'comprehendit earn', ideo2

additum est ut significetur inclinatio compre5 hendentis. Linee enim recte cum ad unum concurrunt punctum, si secundum rectitudinem coniungantur, nichil comprehendent. Angulus vero superficialis est quantitas quam due comprehendunt linee ad unum concurrentes punctum, quarum comprehensio est3 in uno puncto; quia licet linee non comprehendant angulum undique aut superficies non 10 comprehendant ipsum4 undique, sicut fit in aliis figuris, tamen flexio illa et inclinatio est aliqua comprehensio. Dicimus enim quod introitus portus comprehendit navim.

< def. 9 >a Dixit Euclides: Quando due linee que angulum comprehendunt, fuerint recte. angulus dicetur rectilineus. 15 Supra hoc Sambelichius: quia Euclides difinivit angulum universali difinitione, rediit ad specificandum et significavit secundum hoc quod dixit in una specie, quid in reliquis speciebus sit dicendum. 5 Quoniam intelligitur ex his verbis quod si fuerint due linee que continent angulum, circumflexe, nominabitur angulus cuius duo latera sunt 20 circumflexa, et si fuerint linee que ipsum comprehendunt, composite, anguli latera dicentur composita secundum divisionem que precessit.

< def. 10 >b Dixit Euclides: Cum linea recta super rectam erigitur6 lineam et fiunt duo anguli qui sunt in utraque parte. equales: uterque eorum est rectus et linea erecta dicitur perpendicularis super lineam 25 illam. Supra hoc Sambelichius: quia anguli species duobus modis diversificantur, uno secundum speciem comprehendentis, alio secundum magnitudinem sui ipsius, et Euclides iam dixerat differentias eius secundum id quod ipsum comprehendit, dixit hie differentias superficiales 30 secundum quantitatem ipsius. Angulus ergo rectus est quern due recte comprehendunt linee quarum queque ita7/(C p.15) super aliam est8 ereca. def. 9 = Eucl. 9, Ad. 7, (Alb. 7). b. def.10 = Eucl. 10, Ad. 8, (Alb. 8). 1 comprehenditur K 2 cum K 3,4 om K 5 dicentum M 6 erit igitur K 7,8 omK - 13 -

ta ut nulla in eis sit inclinatio; ideoque rectus vocatur et meruit difinitionem equalitatis. Et ideo cum fuerit linea erecta super aliam 1 lineam non inclinata neque super extremitatem linee alterius erecta, sed in alio loco, et proveniunt ex duabus lineis duo anguli et fuerint 5 equales, quisque eorum erit rectus. Sed cum una linea fuerit super aliam inclinata, 2 proveniet ex illa inclinatione unus duorum angulorum maior recto et alter minor recto. Erunt ergo maior et minor secundum hoc ac si essent relati 3 ad equalitatem, sc. quod maior aut minor equalitate. Et ideo anguli recti sunt difiniti quia4 sunt equales; sunt maiores aut minores rectis, non sunt 10 anguli vero alii quia5 et illud est ideo quod inclinatio diversificatur secundum difiniti,4 augmentum et diminutionem alternatim, id est: quod quantum augetur maior, tantum minuitur minor. Angulus autem qui est maior recto, dicitur expansus, et qui est 15 minor, dicitur acutus. Et licet hec diversitas6 in primis appareat in angulis quos recte linee comprehendunt, ita tamen7 in reliquis angulis necessario contingit proportionaliter.

< def.

lObis

>a Dixit Euclides: Linea erecta dicitur perpendicularis

super lineam super quam est erecta 20 Supra hoc Sambelichius: quia res graves que descendunt a superioribus ad inferiora, naturaliter habent pervenire ad centrum totius, ideo est earum descensus cum equalitate absque inclinatione. Ideoque earum8 motus secundum rectum fit 9 angulum; quapropter linea rectos faciens angulos super lineam super quam est erecta, vocatur perpen25 dicularis super lineam super quam ipsa est erecta, quia eius descensus est ac si naturaliter ad centrum descendere vellet. Et hec linea vocatur perpendicularis cum imaginatur descendens, et vocatur erecta cum imaginatur surgens.

< def. 11

>b

Dixit Euclides: Angulus expansus est angulus maior recto.

30 et angulus acutus est angulus 10 minor recto. Hoc vero declaratum est in capitulo quod precessit. a. def. lObis = vide def. 10. b. def. 11 = Eucl. 11 et 12, Ad. 9, (Alb. 9). 1 aliquam K 2 add K : et 3 relata K 4 quia ... difiniti M marg 5 qui K 6 diversita K 7 tantum K 8 eorum K 9 sit K 10 om K - 14 -

a Dixit Euclides: Terminus est finis rei./(C p.16) Supra hoc Sambelichius: non vult dicere Euclides absolute quod terminus sit finis cuiuslibet rei, sc. noluit1 dicere in hoc loco de puncto, sed voluit dicere terminum qui dividit unam rem ab alia qui sit 5 quantitas. Punctum vero non est sic et hanc nostram dictionem confirrnat illud quod dixit Euclides post hoc. < def 13 >b Dixit Euclides: Figura est que terrnino/CK 10.2v) vel terrninis comprehenditur. Supra hoc Sambelichius: iam declaratum est quod ex necessitate 10 debet habere quantitatem, sc. quod punctum non comprehendit figuram neque unum neque plura, quoniam ipsum caret dimensione. Hee autem difinitio comprehendit figuras superficiales et corporeas2 et3 eas que sunt simplices et composite. Manifestum est ergo quod possibile est4 ut sit.5 figura quam una linea comprehendat circumflexa aut due6 linee 15 circumflexe aut una superficies circumflexa aut6 due superficies circumflexe. Similiter quoque possibile est ut unam rem comprehendant quantitas recta et quantitas circumflexa que utreque aut erunt linee aut superficies, sed quantitatum rectarum - sive sint linee sive sint superficies -, non continet una earum sive due figuram; et pauciores7 20 quas possibile est comprehendere figuram, sunt tres. Et est sciendum quod cum dicimus figuram, non intelligimus tantum lineas que comprehendunt superficiem, sed voluimus8 intelligere lineas simul cum eo quod ipse comprehendunt; et similiter etiam in corporibus. < def. 14 >c Dixit Euclides: Circulus est figura plana quam una linea 25 comprehendit. ad quam omnes linee ab uno punctorum que sunt in ea. protracte sunt equales; quod punctum vocatur circuli9 centrum. Supra hoc Sambelichius: quia Euclides voluit difinire species figure, incepit a simpliciori que est ea quam una comprehendit linea ex simplicibus. Inveniuntur tamen/(C p.17) multe alie figure que neque a. def. 12 = Eucl. 13, Ad. 10, (Alb. 10). b. def. 13 = Eucl. 14, Ad. 11, (Alb. 11). c. def. 14 = Eucl. 15 et 16, Ad. 12, (Alb. 12). 1 necuit K 2 corporales K 3,4 om K 5 K, si M 6 due linee.... circumflexa aut M m.ar.g, om K 7 paucones K 8 sed voluimus : hoc volumus K 9omK

- 15 -

5

10

15

20

25

30

sunt circuli et ab una comprehenduntur linea, sicut sector piramidis qui vocatur sector diminutus, et ei similes; illa autem linea non est simplex, immo composita. Superficies vero quarum latera sunt recta, comprehenduntur a lineis simplicibus que sunt plures duabus. Apparet itaque ex eo quod in difinitione circuli dicitur quod ipse sit figura plana, quod sit separatus1 a figuris que non sunt figurate, sicut sunt superficies que imaginantur infinite, et alie que ab una parte sunt finite et ab alia infinite; et2 separavit etiam ipsum a lineis et corporibus, et etiam separavit ipsum per id quod dixit quod comprehenditur ab una linea, a figuris 3 quas plures quam una comprehendunt linee, sive sint similes sive4 dissimiles. Cum residuo quoque difinitionis separavit ipsum a sectore5 piramidis qui vocatur diminutus, et ab aliis figuris ei similibus quas6 una linea sed composita comprehendit, sc. quod non invenitur in sectore diminuto punctum unum a quo omnes linee recte ad circumferentiam protracte7 sint equales; invenitur tamen m eo punctum a quo omnes linee recte ad circumferentiam protracte sunt equales lineis que ab eodem protracte eis directe coniunguntur. Et vere debent esse linee recte que a centro ad circumferentiam7 protrahuntur, equales quoniam spatium quod est inter duos pedes circini8 ex cuius circumductione9 fit circulus, [quod] 10 est linea recta que est inter centrum et circumferentiam; cum una extremitatum fuit fixa 11 et alia circumducta, 12 proveniet superficies circuli. Unde mihi videtur quod cum hanc dedit difinitionem, qualiter fieret circulus docere13 voluit. In difinitione autem ideo 14 addidit15 quod est punctum intra figuram, ut doceret centrum et ut scirent16 quod punctum datum intra figuram est supra17 centrum, quoniam extra circulum invenitur punctum a quo omnes linee ad circumferentiam protracte sunt equales, et est id quod/(M 15v) vocatur polus. Sed non est unum tantum; 18 unum tamen 19 est in utraque duarum partium. Dico etiam quod inveniuntur in unaquaque duarum partium extra circulum puncta infinita a quibus linee ad circumferentiam protracte sunt equales./(C p.18) Quod autem dixit Sambelichius est propter circulos qui sunt in spera, quia non20 inveniuntur puncta illorum circulorum in 1 quod sit separatus : qui sic separatur K 2 om K 3 a figuris : et figura K 4 add K : sint 5 sectione K 6 que K 7 protracte....circumferentiam om K 8 circuli K 9 circumdatione K 10 qui K 11 fuit fixa : fuerit fixi K 12 circumdacta K 13 acoe K 14 om K 15 addit K 16 scierent K 17 super K 18 add K : et 19 tantum K 20 vero K - 16 -

5

10

15

20

25

30

superficie spere in duabus partibus nisi duo, sed si perpendicularis que est supra centrum, ab utraque parte in infinitum protrahatur, linee que ab infinitis punctis que sunt in linea, ab utraque parte ad circumferentiam protrahantur, 1 sunt equales. Quod autem circumferentia nominavimus circulum, non proprie sed transumptive fecimus; quod tamen factum est propter sectionem que2 circumferentie accidit, et quia etiam invenimus Euclidem nominasse circumferentiam circulum ubi dicit quod circulus non secat circulum nisi in duobus punctis.a Non3 ergo oportet ut difiniamus hunc4 circulum dicentes ipsum esse figuram absolute aut superficiem, sed oportet ut difiniamus4 sic5 dicentes quod ipse est unus terminus et una linea comprehendens figuram intra quam est punctum unum a quo omnes linee protracte et ad ipsum pervenientes6 sunt equales. In precedentibus autem ostensum est quod figura est id quod7 comprehendit terminus sive termini, et apparet quod figura non est id solum quod comprehendit neque id7 solum quod comprehenditur. Unde licet hec difinitio comprehendenti tantum conveniat, figura tamen non est nisi utrumque: figura enim non provenit figura nisi ideo quod est8 comprehensa. Est ergo inquirendum quare in lineis linea recta sit simplicior9 linea circumflexa, et in figuris rotunda sit simplicior rectis. Hoc autem ideo est quoniam invenimus circulum ab una comprehendi linea; linea vero cum est recta, non comprehendit figuram. Ob hoc igitur dicemus quod propter hanc causam linea recta facta est non comprehendens figuram, sc. quod ipsa est simplicior lineis; et ideo 10 sola non comprehendit superficiem quoniam11 ipsa est valde contraria nature superficiei. Rotunda vero, 12 quantum ad se, est ac si esset eius nature cuius est superficies, adeo ut sit aliquo modo sicut figura, etiam si non comprehenderet figuram. Circumferentia enim sola per se sine superficie vide/(C p. l 9)tur esse quasi figura; ideo geometre ea usi fuerunt 13 loco figure, cum dixerunt quod circulus non secat circulum nisi in duobus punctis. Nolunt 14 enim intelligere cum dicunt circua. Eucl. III 10 1 protrahuntur K 2 qui K 3 nee? K 4 hunc .... difiniamus M marg 5 sicut K 6 provenientes K 7 quod... .id om K 8 add K : quod 9 simplicio K 10 et ideo : nam K 11 quod K 12 QID K 13 usi fuerunt: et si sunt vel fuerunt K 14 volunt K - 17 -

lum, nisi circumferentiam, et cum protrahunt in ipso lineas et ponunt ei centrum, faciunt ita ac si esset superficies; ideoque videtur mihi quod cum Euclides difinivit lineam rectam et figuram quam recte comprehendunt linee, et in circulo pretermisit difinire circumferen5 tiam et difinivit figuram rotundam, sc. circulum, ideo fecit ut doceret quod linea rotunda est aliquo modo figura, et etiam quia circulus non fit nisi 1 propter motum linee que protrahitur a centro ad circumferentiam cum fixione centri, et tune fit circumferentia. Ergo ipsa non fit nisi eo modo quo fit superficies, et non fit eo modo quo 10 linea, sc. quia ex linea recta cum ipsa movetur per se, provenit superficies, et etiam quia linea circumflexa cum exterius habeat gibbositatem et interius

concavitatem,

facit extimari quod sit figura,

licet non habeat latitudinem, propter hoc quod habeat2 forrnam de foris 3 et forrnam intus. 15 Preterea querendum nobis est quare Euclides in difinitione figurarum circulum figuris quarum latera sunt recta, et in ordine premisit4 4 figurarum, cum de eis locutus est, premisit figuras quarum latera sunt recta, circulis. Dicaro ergo breviter, sc. quia5 figure rotunde curviores sunt figuris quarum latera sunt recta, 6 oportuit ut pre20 mitteret probationes figurarum quarum latera sunt recta. Ve17 etiam si aliquis

voluerit

querere causam

huius, dicam

quod forsitan ista est

quia figure quarum latera sunt recta, magis note et certiores circulis sunt. Cum enim8 aliquis circulos metiri voluerit, non poterit eos mensurare nisi cum figuris rectilineis, ideo quod proportio unius 25 circulorum ad alterum est sicut proportio quadrati unius diametrorum ad aliud.a/(C p.20

< def. 15

>b Dixit Euclides: Diametrus circuli est linea recta que

transit per centrum circuli cuius due extremitates perveniunt ad circuli circumferentiam. et dividit circulum in duo media. 30 Supra hoc Sambelichius: diametrus greca lingua ideo vocatur diametrus quod transit per totum spatium circuli, ac si metiretur ipsum. a. Eucl. XII 2. b. def. 15 = Eucl. 17, Ad. 13, (Alb. 13). 1 K, om M 2 habet K 3 formis K 5 quod K 6 add K : et 7 et K 8 om K

- 18 -

4 premisit. ... figurarum M marg

Mensurare1 enim est per totarn rem transire, et etiarn inde2 dicitur diarnetrus greca lingua quia dividit circulum in duo media. Neque aliqua aliarum3 linearum que in circulo cadunt, est diarnetrus neque nominatur hoc nomine. Sed quod diarnetrus4 dividat circulum in duo 5 media et non in duas diversas partes, probatur ab eis hoc modo. Ponarn circulum abga cuius centrum sit punctum e et diarnetrus ipsius linea ba. Dico igitur quod medietas circuli que est bga, est equalis medietati circuli que est baa. Probatio eius:5 quoniarn si non fuerit equalis, aut erit maior aut minor. Ponarnus autem prius si est possibile, 10 ut sit maior. Protraharn ergo a centro e linearn rectarn ad arcum bga quocumque modo acciderit, sitque linea eg. Cum ergo6 medietas circuli que est bga, superposita fuerit alii me15 dietati que est baa, excedet7 earn cum sit maior ea, et sit superatio similis 8 portioni bza. Li~ea ergo eg posita est super linearn eaz, et quia punctum e est centrum circuli abga, ergo linea eg est equalis linee ea. Sed linea eg est equalis linee ez, ergo linea ez est equa/(C p.2l)lis linee 20

ea, maior SC. minori equalis, quod est impossibile. Ergo medietas circuli que est bga, non superat medietatem circuli que est baa.

Dico etiarn quod non est minor ea, neque cadit infra ipsarn. Probatio eius: quoniarn reducarn formarn figure ut erat prius, et ponarn medietatem circuli que est bga, cum superponitur, minorem medietate circuli que 25 est bro, et reducetur eius situs super baa; ergo erit etiarn linea eg equalis linee ez et linee ea. Ergo erit linea ea equalis linee ez, minor SC. maiori equalis, quod est impossibile.

30

Quod si quis dixerit quod medietas circuli9 que est bga, cum superponitur alii medietati circuli que est baa, non cadit tota intus neque 10 tota extra, sed secat earn in puncto a, sicut in alia signatum est 11 figura, linea tarnen eg superponetur linee ea et in 1 mensuram K 2 ideo K 3 om K 4 add K : que 5 huius K 6 om K 7 excedit K 8 probationi K 9 om K 10 nee K 11 om K

- 19 -

Mensurare1 enim est per totarn rem transire, et etiarn inde2 dicitur diarnetrus greca lingua quia dividit circulum in duo media. Neque aliqua aliarum3 linearum que in circulo cadunt, est diarnetrus neque nominatur hoc nomine. Sed quod diarnetrus4 dividat circulum in duo 5 media et non in duas diversas partes, probatur ab eis hoc modo. Ponarn circulum abga cuius centrum sit punctum e et diarnetrus ipsius linea ba. Dico igitur quod medietas circuli que est bga, est equalis medietati circuli que est baa. Probatio eius:5 quoniarn si non fuerit equalis, aut erit maior aut minor. Ponarnus autem prius si est possibile, 10 ut sit maior. Protraharn ergo a centro e linearn rectarn ad arcum bga quocumque modo acciderit, sitque linea eg. Cum ergo6 medietas circuli que est bga, superposita fuerit alii me15 dietati que est baa, excedet7 earn cum sit maior ea, et sit superatio similis 8 portioni bza. Li~ea ergo eg posita est super linearn eaz, et quia punctum e est centrum circuli abga, ergo linea eg est equalis linee ea. Sed linea eg est equalis linee ez, ergo linea ez est equa/(C p.2l)lis linee 20

ea, maior SC. minori equalis, quod est impossibile. Ergo medietas circuli que est bga, non superat medietatem circuli que est baa.

Dico etiarn quod non est minor ea, neque cadit infra ipsarn. Probatio eius: quoniarn reducarn formarn figure ut erat prius, et ponarn medietatem circuli que est bga, cum superponitur, minorem medietate circuli que 25 est bro, et reducetur eius situs super baa; ergo erit etiarn linea eg equalis linee ez et linee ea. Ergo erit linea ea equalis linee ez, minor SC. maiori equalis, quod est impossibile.

30

Quod si quis dixerit quod medietas circuli9 que est bga, cum superponitur alii medietati circuli que est baa, non cadit tota intus neque 10 tota extra, sed secat earn in puncto a, sicut in alia signatum est 11 figura, linea tarnen eg superponetur linee ea et in 1 mensuram K 2 ideo K 3 om K 4 add K : que 5 huius K 6 om K 7 excedit K 8 probationi K 9 om K 10 nee K 11 om K

- 19 -

hoc non erit diversitas aliqua; linea enirn eg non egreditur arcurn baa neque retrahitur/(K 11,3') infra ipsurn. 1 Protraharn etiarn a centro e linearn eh et ponarn ut secet arcum baa in puncto t, ergo erit linea et equalis linee ea. Sed linea ea est equalis linee eh, ergo linea et2 equalis 5 linee eh, quod est irnpossibile. Et quia rnedietas circuli, cum superponitur3 alii medietati, non cadit extra neque intus neque secat earn, sed4 undique cooperit earn, ergo est ei equalis.

< def. 16 >a Dixit Euclides: Sernicirculus est figura que comprehenditur a diametro et rnedietate circumferentie. et portio circuli est figura 5 10 que continetur a recta linea et portione arcus circumferentie aut rnaiore semicirculo aut rninore. Supra hoc Sambelichius: quod id6 quod dicitur: sernicirculus sit medietas circuli, vere est, rnanifestum est ex his que prediximus. Quod autem sit figura com/(C p.22)prehensa a linea cornposita ex recta et 15 circurnflexa, verurn est. Sic7 enirn difinivit earn7 post sirnplices figuras.

< def. 17

>b Dixit Euclides: Figure rectorurn laterurn sunt quas recte

comprehendunt linee. sed trilatera figura est quam8 tres comprehendunt linee. et quadrilatera quam8 quatuor comprehendunt recte linee. et plura 20 habens latera est quam plures linee quam quatuor comprehendunt. Supra hoc Sambelichius: postquarn Euclides locutus fuerit9 de simpliciori figura que est quarn una circurnflexa comprehendit linea que est simplex linea, 10 et de figura quarn comprehendit linea recta et linea circurnflexa, processit ad figuras rectilineas et incepit a figura quarn 25 tria continent latera, id est, quod circulum comprehendit una linea et sernicirculum comprehendunt due linee; figurarn vero cuius latera sunt recta, non comprehendit11 una linea tantum neque due tantum. Quo modo enim potest esse ut una recta linea cornprehendat ipsarn, cum ipsa in rectitudine/(M 16') sit tensa12 nullarn in se habens curvitatem neque 30 in suis partibus, neque comprehendat aliquid.

Manifestum est ergo

hoc

a. def. 16 = Eucl. 18 +III def 6, Ad. 14 et 15, (Alb. 14 et 15). b. def. 17 = Eucl. 19, Ad. 16, (Alb. 16). 1 add K : et 2 add K : est 3 superponetur K 4 si K 5 om K 6 hoc K 7 sic ... eam M rnarg 8 que K (bis) 9 locutus fuerit : fuit accutus K 10 una K 11 comprehendunt K 12 sit tensa om K - 20 -

in una ficiem, loco habens 5 latera.

recta linea, sed quod hoc est unum ex his ubi Euclides ipsum tria latera, secunda

due recte linee non comprehendant superque premittuntur; ideoque ~ declarabo in posuit.a Prima figurarum rectilinearum est habens quattuor latera, tertia habens multa

< def. 18 >b Dixit Euclides: Figurarum tria habentium latera alia est triangulus tria habens latera equalia qui dicitur triangulus equilaterus: alia est triangulus duorum equalium laterum qui est cuius duo latera sunt equalia: alia est cuius tria latera sunt diversa. 1 10 Supra hoc Sambelichius: diversorum laterum triangulus ideo vocatus est quod eius motus est tortuosus; 2 sicut enim equalitas est causa3 quare aliquid est stabile,/(C p.23) ita diversitas est causa motus; et ideo cum aliquis voluerit incedere, si fuerint ipsius duo crura diversa, necessario claudicabit. < def. 19 >c Dixit Euclides: Etiam figurarum trilaterarum alia est triangulus orthogonius et est ille qui habet unum rectum angulum: alia est ambligonius qui4 unum angulum habet obliquum: alia est oxigonius cuius omnes anguli sunt acuti. Supra hoc Sambelichius: quia figurarum rectilinearum essentia fuit 20 ex rectis lineis et ex angulis qui ab illis lineis comprehenduntur, ideo fuerunt earum differentie duobus modis. Et ideo, postquam dixit Euclides differentiam que provenit ex lateribus, rediit ad dicendum differentiam que provenit ex angulis. Et quia ex geometria ostensum est quod ornnes tres anguli cuiuslibet trianguli sunt equales duobus 25 rectis,d manifestum est ex hoc quod possibile est in triangulo unum 15

rectum angulum esse et quod sit in eo unus expansus, licet sit maior eo, et erunt in eo ex angulis acutis ad minus5 duo aut ornnes tres. Ideoque dixit Euclides quod triangulus orthogonius est cuius unus angulorum est rectus, et etiam tune unusquisque duorum reliquorum angua. = pet. 6, vide p. 32. b. def. 18 = Eucl. 20, Ad. 17 (la pars), (Alb. 17 (la pars)). c. def. 19 = Eucl. 21, Ad. 17 (2a pars), (Alb. 17 (2a pars)). d. = Eucl. I 32. 1 add M : inequalia (cfr r.10,14; p.22, r.3. Adelardus habet 2 totuosus K 3 est causa : c ea K 4 quod K 5 unus K - 21 -

inequalia)

lorum 1 erit minor recto; et similiter dixit de triangulo ambigonio; de triangulo vero oxigonio2 dixit quod omnes eius anguli sunt acuti. Et possibile est ut iste tres differentie sint in illo cuius latera sunt diversa, et in illo cuius

duo latera sunt equalia; in illo autem cuius omnia

5 latera sunt equalia: quia latera sunt equalia, sunt omnes eius anguli;

ergo omnes sunt acuti necessario.

< def.

20 >a Dixit Euclides: Figurarum quadrilaterarum alia est

q:uadratum cuius omni a lat~ra sunt equalia et omnes eius anguli rec ti; alia est tetraggnus 3 longus cuius anguli sunt reQti, sed latera non 10 sunt euualia; alia est rgmbus cuius omnia latera sunt equalia, sed anguli non sunt r~Qti; 4 alia est romboid~s. id est similis rombo, 5 cuius omnia /CC p.24) latera ex adverso posita sunt equalia et anguli similiter ex adverso constituti sunt ewales, latera tamen omnia IlQil sunt equalia et anguli non sunt recti: alie vero figure omnes quadrilatere 15 dicuntur trapezie. Supra hoc Sambelichius: Figurarum quadrilaterarum est illa cuius et est illa que6 proprie que est in ea. Et illa cuius

omnia latera et omnes anguli sunt equalia, dicitur

quadratum propter

anguli

sunt

equales

equalitatem

et latera

diversa, sicut

figura que vocatur

20 tetragonus longus: ipsius enim longitudo a latitudine est diversa et augmentatur super ipsam neque equatur ei, sicut fit in quadrato, et etiam vocatur hec figura cuius longitudo est augmentata; longitudo enim ipsius rei extense assimilatur. Et earum7 sunt quarum latera sunt equalia et anguli non sunt equales, sicut illa que vocatur rombus, que 25 est sicut quadratum a duabus partibus compressum; 8 et ideo duo anguli ipsius

facti

sunt

acuti

et

alii duo expansi,

fuit quanta fuit acutorum constrictio. 10

Et

earum9

quorum expansio tanta est

illa cuius latera

unumquodque 11

et anguli diversificantur, non tamen laterum ipsius est cuilibet12 lateri13 inequale neque unusquisque angulus unicuique angulo 30 inequalis, sed unumquodque laterum eius est inequale duobus lateribus que ei sunt viciniora; 14 et similiter unusquisque angulorum eius est inequalis duobus angulis sibi

vicinioribus;

et

vocatur

similis

a. def. 20 = Eucl. 22, Ad. 18, (Alb. 18). 1 om K 2 exigonio K 3 tetraganus M 4 add K : et 5 rumbo K 5 qui K 7 eorum K 8 comprehensum K 9 eorum K 10 cum K 11 unum quod est K 12 cuiuslibet M, K 13 latera K 14 viciniorum K - 22-

rombo et est longus 1 a duabus partibus compressus. 2

< def. 20bis >a Et dixit Euclicies: Si fuerint figure alie ab istis quadrilatere. vocantur trapezie. 5 Supra hoc Sambelichius: figure iste vocantur trapezie, eo quod sint3 inordinate quas Asamites4 similiter nominavit. Euclides tamen in libro Divisionumb invenitur dixisse /(C p.25) quod non nominavimus5 figuras quadrilateras trapezias, nisi illas quarum duo latera que sibi opponuntur, sunt equidistantia et alia duo sicuti eveniunt. 6 Alias vero vocamus 7 10 similes trapeziis.

15

20

25

30

< def. 21 >c Dixit Euclides: Linee recte equidistantes sunt que cum sint in una superficie. si utrinwe etiam in infinitum protrahantur. non concurrent in aliquam duarum partium. Supra hoc Sambelichius: linee iste ideo vocate sunt equidistantes quod spatium quod est inter eas, 8 custodiant, ac si semper forent in suo situ uno9 modo in dimensione. Non enim concurrunt donec sint una linea, neque dilatantur ab invicem in tantum ut spatium fiat 10 maius. Neque intelligitur in his lineis solum hoc quod non concurrunt: possibile est enim ut due linee non concurrant, quod contingit cum earum una fuerit in plano ut 11 linea ao, et alia sit in superficie in alto a. ut linea ga. Has enim duas lineas etiam si in infinitum protrahantur, possibile est non concurrere cum superficies fuerint equidistantes. Iste tamen due linee non sunt equidistantes, eo quod spatium quod est inter eas, non est uno modo. Quod si spatium quod est i inter lineas, 12 fuerit uno modo, erunt equidistantes, licet sint in duabus superficiebus. Iste autem licet non sint equidistantes, est13 tamen aliquid distantie inter eas etsi non undique. a. def. 20bis, vide def. 20. b. Vide: R.C. Archibald, Euclid's Book on Divisions, with a restoration ... Cambridge 1915 (cf. Alb. 17, 20). c. def. 21 =Buel. 23, Ad. 19, (Alb. 19).

1 longius K 2 comprehensus K 3 sunt K 4 Asamithes K 5 nominamus K 6 ea erunt K 7 trapezuis K 8 eos cum K 9 immo K 10 sit K 11 ubi K 12 eas K 13 est ... equidistantes (p.24, n.1) om K - 23 -

rombo et est longus 1 a duabus partibus compressus. 2

< def. 20bis >a Et dixit Euclicies: Si fuerint figure alie ab istis quadrilatere. vocantur trapezie. 5 Supra hoc Sambelichius: figure iste vocantur trapezie, eo quod sint3 inordinate quas Asamites4 similiter nominavit. Euclides tamen in libro Divisionumb invenitur dixisse /(C p.25) quod non nominavimus5 figuras quadrilateras trapezias, nisi illas quarum duo latera que sibi opponuntur, sunt equidistantia et alia duo sicuti eveniunt. 6 Alias vero vocamus 7 10 similes trapeziis.

15

20

25

30

< def. 21 >c Dixit Euclides: Linee recte equidistantes sunt que cum sint in una superficie. si utrinwe etiam in infinitum protrahantur. non concurrent in aliquam duarum partium. Supra hoc Sambelichius: linee iste ideo vocate sunt equidistantes quod spatium quod est inter eas, 8 custodiant, ac si semper forent in suo situ uno9 modo in dimensione. Non enim concurrunt donec sint una linea, neque dilatantur ab invicem in tantum ut spatium fiat 10 maius. Neque intelligitur in his lineis solum hoc quod non concurrunt: possibile est enim ut due linee non concurrant, quod contingit cum earum una fuerit in plano ut 11 linea ao, et alia sit in superficie in alto a. ut linea ga. Has enim duas lineas etiam si in infinitum protrahantur, possibile est non concurrere cum superficies fuerint equidistantes. Iste tamen due linee non sunt equidistantes, eo quod spatium quod est inter eas, non est uno modo. Quod si spatium quod est i inter lineas, 12 fuerit uno modo, erunt equidistantes, licet sint in duabus superficiebus. Iste autem licet non sint equidistantes, est13 tamen aliquid distantie inter eas etsi non undique. a. def. 20bis, vide def. 20. b. Vide: R.C. Archibald, Euclid's Book on Divisions, with a restoration ... Cambridge 1915 (cf. Alb. 17, 20). c. def. 21 =Buel. 23, Ad. 19, (Alb. 19).

1 longius K 2 comprehensus K 3 sunt K 4 Asamithes K 5 nominamus K 6 ea erunt K 7 trapezuis K 8 eos cum K 9 immo K 10 sit K 11 ubi K 12 eas K 13 est ... equidistantes (p.24, n.1) om K - 23 -

5

10

15

20

25

30

Ideoque quidam difinierunt lineas equidistantes dicentes: linee equidistantes 1 sunt2 que cum3 in infinitum protracte utrinque4 fuerint, erit spatium quod est inter eas, sc.5 perpendicularis que ab unaquaque illarum protrahitur ad suam comparem, equale semper et non /(C p.26) diversum. He autem due linee quas prediximus, nominantur equidistantes in situ. Quod si quis dixerit quod iste qui difinivit difinitione, apposuit in difinitione quod lineas equidistantes hac6 indiget probatione, sc. quod spatium quod est inter duas equidistantes lineas, 7 est perpendicularis que protrahitur supra eas, 8 et quod Euclides declaravit hoc in figura 28 9 prime partis: dicam quod non indiget difinitio ut in ea ponatur perpendicularis, sed sufficit ut dicatur in ea quod spatium quod est inter eas, est equale; neque appositum fuit in difinitione nisi pro expositione. Phylosophus tamen Aganiz difinivit lineas equidistantes dicens: linee equidistantes sunt que cum sint in una superficie, si utrinque in infinitum protrahantur, erit spatium semper quod est inter eas, unum. Ouidam10 extimant11 quod equalitas spatii quod est inter eas, sit causa quare non concurrant, si non fuerit intentio12 utriusque orationis una. hoc quod appositum est in difinitione, sc. 'in una Et fortasse superficie', non est necessarium, quoniam cum spatium quod est inter eas, fuerit unum, non declinabit una ab altera, 13 ergo necessarium est eas .esse in una superficie, sc. in superficie14 que protracta est inter eas, licet etiam una sit in plana superficie et altera sit15 in alto. Spatium autem quod in difinitione ponitur, est brevior linea que coniungit quod est inter duas lineas, quod in precedentibus est dictum. Hoc quoque spatium quod est inter duo opposita puncta, est linea recta que coniungit quod est inter ea. Linea enim recta est brevior lineis quarum extremitates sunt extremitates eius, sc. id quod est inter duo puncta. Spatium autem quod est inter punctum et lineam aut /(K 12Y) inter punctum et superficiem, est /(C p.27) perpendicularis que a puncto protrahitur ad earn, et est brevior linea que est 1 vide p.23, n.ll 2 super K 3 add K: et 4 om K 5 vel K 6 ac M 7 linea K 8 super eos K 9 28 ? K 10 qui tam K 11 extimaverunt K 12intermino?K 13adalteramK 14sc.insuperficieomK 15omK - 24 -

inter

punctum et

lineam1 aut inter punctum et superficiem. Spatium

vero quod est inter lineam equale ubique et est brevius

et lineam, si spatiis

fuerint equidistantes, erit

que sunt

inter

eas,

et est

perpendicularis super unamquamque earum ubique. 2 Quod si non fuerint 5 equidistantes, minores di/(M 16v)versificantur

linee

que

secundum

coniungunt3 quod4 diversitatem

est inter eas,

punctorum

in

eis

positorum. Hee quoque linea quia protrahitur a puncto ad lineam, est perpendicularis super lineam super quam

protrahitur,

et

non

est

perpendicularis super lineam super quam datum est punctum. Hee autem

10 omnia5 necesse est geometricis probationibus probari. Quod vero in difinitione dicitur 'si protrahantur in duas partes', ideo necessarium fuit quia due recte linee que ab una parte coniunguntur, non coniunguntur6 ab alia parte, immo magis separantur et non sunt equidistantes. 15 Quod autem dixit 'eas protrahi in infinitum', non dixit nisi7 quantum ad imaginationem, - deessent8 enim utreque quoniam earum protractio fieret in spatio quod esset maius spatio quod est inter nos et speram stellarum fixarum -, sed ut9 sit cum posuerimus earum protractionem in aliquo termino ubi non coniunguntur, illud quod est 20 ultra ubi non coniungantur, 10 et iudicemus quod non coniunguntur. Hie quoque fuit usus usque nunc in hoc ut ad vitandam11 verborum multitudinem et comprehendendam brevitatem ponerent hoc. Et punctum est causa rerum continuarum et unitas12 est causa rerum discretarurn. Et punctum13 est radix recte linee et circumflexe, et spera 25 et piramis14 est radix corporum./(C p.28)

< Premittenda > Dixit Euclides: Ea que premittuntur. sunt quinque.

< 1 > Prima est ut linea recta a quolibet puncto ad quodlibet punctum 30

protrahatur;

< 2 > et ut protrahatur linea secundum coniunctionem et rectitudinem alterius linee finite;

< 3 > et ut supra quodlibet centrum quodlibet spatium occupando circu1 add K : et 2 utique K 3 coniunguntur K 4 quid? M 5 iUa K 6 non coniunguntur om K 7 om K 8 dee K 9 iii K 10 coniunguntur K 11 evitandam K 12 veritas? K 13 puncto K 14 piramidis M, K - 25 -

5

10

15

20

25

30

lus circumducatur; < 4 > et omnes recti anguli sunt equales; < 5 > et si linea recta super duas rectas lineas ceciderit et provenerint duo anguli qui sunt ab una parte minores duobus rectis. linee ille protracte coniungentur a parte in qua sunt anguli minores duobus rec tis. Sambelichius: postquam Euclides dedit difinitiones Supra hoc 1 essentiam cuiusque rei difinite significantes,2 processit3 ad numerandum ea que sunt prernittenda. 4 Sed ea que prernittuntur, sunt ea que non sunt concessa. Non tamen dirnittitur5 discipulus quin6 cogatur credere, exempli gratia: ut sit inter7 magistrum8 et eum9 radix posita et concessa, et hec radix aut erit impossibilis, (sicut illud quod Asamites prernisit et petiit ut concederetur ei, sc. ut esset extra mundum. Dixit enim quod si istud 10 concederetur ei, ipse ostenderet quod moveret terram, ubi dixit: "Puer, concede rnihi quod sit possibile me elevari et manere extra mundum, et ego faciam te videre quod ego movebo terram"; et hoc fuit cum iactavit se invenisse virtutem geometricam; et petiit ut prernitteret istud et poneret11 sic esse, licet sit impossibile; quod ideo12 fecit ut post afferret13 doctrinam); aut erit possibilis. Ergo ea que prernittuntur, aut erunt impossibilia, sicut prediximus, aut erunt possibilia, scita a magistris et discipulis ignota, que oportet prernitti ab eis ante doctrinam /(C p.29) in principio doctrine. Sed alia que probantur, sunt etiam14 a magistris scita et discipulis ignota; que non tamen ponuntur pro rebus prernittendis quia non sunt principia, sed sunt probanda. Ea autem que prernittuntur, non ob 15 aliud queruntur16 prernitti, nisi quia sunt17 principia. Ergo eorum 18 sunt quedam que ob hoc solum petuntur prernitti quia sunt necessaria in doctrina, sicut tres prime petitiones; et eorum item19 quedam que parum sunt declaranda, donec concedantur et recipiantur per se. Diferentia tarnen20 inter ea et inter2 1 per se nota est quod per se nota ex quo concipiuntur, recipiuntur per se; sed petitiones sunt naturaliter medie inter per se nota et alia quorum cause sunt ignote discipulis, sicut difinitiones que sunt medie 1 add K : dixit 2 sigcate K 3 processerit K 4 prernittentia K 5 dirnittetur K 6 qui non K 7 vis K 8 magistium ? K 9 cum K 10 illud K 11 ponetur K 12 tune ? K 13 auferret K 14 Q!Il K 15 ad K 16 querantur K 17 sua K 18 earum K 19 sunt K 20 tantum K 21 add K: se - 26-

inter probabilia que ab omnibus recipiuntur, et inter1 per se nota, quoniam petitiones note sunt, sed non omnibus nisi magistris tantum in unoquoque magisterio. Ouidam vero extimant quod iste petitiones geometrice que premit5 tuntur, non ob aliud premittuntur, nisi ut conservetur2 materia. Non enim omnia possunt in ea perfici que perficienda sunt, et haberet aliquis quod contra diceret ex parte materie, et diceret: impossibile est mihi ut protraham lineam rectam supra superficiem maris, et impossibile est mihi ut protraham lineam rectam supra locum in cuius medio 10 sit civitas aut flumen, et impossibile est ut protraham lineam rectam in infinitum, infinitum enim non reperitur. Sed qui3 ista dicit, extimat quod ista que premittuntur, non sunt necessaria, nisi ei cuius geometria consistit in materia tantum. 4 Post vero quid dicet de equalitate rectorum angulorum et quo modo reperiet5 quod premissio6 huius 15 non fuit nisi propter materiam; et similiter etiam in aliis petitionibus que /(C p.30) secuntur. Melius est ergo ut dicatur quod petitiones sunt ea que recipiuntur a discipulo, ex quo primum audit ea quibus indiget in7 probatione. Ergo quedam earum sunt impossibiles, quam ob rem gravis est earum receptio 20 et non facilis, sicut trium primarum est facilis receptio; que tamen non ob aliud petuntur, nisi ut concedantur quatinus doctrina introducatur, sicut dixi. Quedam sunt que sciuntur a magistris, et recepta sunt ab eis, et discipulis sunt prius ignota et non manifesta, et ideo petunt8 a discipulo ut concedat ea9 sicut tria que premittun25 tur. Utilitas autem trium primorum est ut debilitas materie non prohibeat nobis probationes. 10 Illa autem que sunt post illa tria, sunt necessaria probationibus que secuntur.

< pet. 1 >a Dixit Euclides pro peuuone: Ut protraheretur linea recta a11 quolibet puncto ad quodlibet punctum. 30 Supra hoc Sambelichius: non dixit hoc Euclides nisi quia necessario 12 a. pet. 1 = Eucl. 1, Ad. 1 (1 a pars), (Alb. 1 (1 a pars)). 1 .!lJid K : se 2 .!lJid K : vel concedatur 3 quid K 4 add K : propter ? 5 reperit K 6 premissi K 7 indiget in : indigent K 8 potunt K 9 concedat ea : concedata est K 10 probatio K 11 in K 12 necessarium K

- 27 -

5

10

15

20

invenitur inter quelibet1 duo puncta posita brevior dimensio que est inter ea; que cum protracta fuerit, erit linea recta et erunt ipsius extremitates illa duo puncta data. Et1 impossibile est ut linea recta protrahatur transiens per tria2 puncta, nisi3 punctum quod est in medio, fuerit cooperiens duo puncta que sunt extrema, sc. 4 quod illa tria puncta sint in rectitudine posita. Possibile quoque est ut a quolibet puncto ad quodlibet punctum protrahatur arcus circuli. Cum ergo5 protraxerimus lineam rectam que coniungit quod est inter duo puncta, sicut linea oga, et posuerimus punctum g centrum et circumduxerimus circulum secundum spatium quod est inter g et6 a, transibit per punctum o; 7 spatium enim quod est inter g et o, est equale spatio quod est inter g et a, ergo erit linea ab arcus /(C p.31) circuli. Et hoc 8 necessario fuit premittendum quia9 essentia materie geometrie consistit in imaginatione. Si enim foret 10 in corporibus habentibus materiam, superfluum 11 esset ut quereretur premitti 12 quod protraheretur linea recta13 ab Ariete ad Libram.

< pet. 2 >a Dixit Euclides: Ut protraheretur linea recta que coniungatur alii linee recte finite secundum rectitudinem. Supra hoc Sambelichius: coniuncta sunt quorum 14 fines sunt idem. Possibile ergo est ut linea recta protrahatur ab extremitate alterius 25 linee secundum rectitudinem, ita quod sint 15 continue et sint una recta linea; et est possibile etiam ut sit linea protracta continua16 alii linee et tamen non sit continuatio secundum rectitudinem, et hoc est cum comprehendunt angulum; et est etiam possibile ut due linee sint secundum rectitudinem et non sint una linea, quod contingit cum non 30 coniunguntur. a. pet. 2 = Eucl. 2, Ad. 1 (2a pars), (Alb. 1 (2a pars)). 1 quelibet.. .. et : duo puncta posita ipsius extremitates illa duo puncta brevior dimensio que est inter ea; que cum protracta fuerit, erit linea recta quod K 2 duo K 3 ut K 4 om K 5 enim K 6 K, om M 7 .i!dd K : et 8 hac K 9 quod K 10 fieret K 11 super filium K 12 quereretur premitti : que retetur premittenti K 13 linea recta om K 14 add K : finis 15 situs K 16 continue K - 28 -

5

10

15

20

invenitur inter quelibet1 duo puncta posita brevior dimensio que est inter ea; que cum protracta fuerit, erit linea recta et erunt ipsius extremitates illa duo puncta data. Et1 impossibile est ut linea recta protrahatur transiens per tria2 puncta, nisi3 punctum quod est in medio, fuerit cooperiens duo puncta que sunt extrema, sc. 4 quod illa tria puncta sint in rectitudine posita. Possibile quoque est ut a quolibet puncto ad quodlibet punctum protrahatur arcus circuli. Cum ergo5 protraxerimus lineam rectam que coniungit quod est inter duo puncta, sicut linea oga, et posuerimus punctum g centrum et circumduxerimus circulum secundum spatium quod est inter g et6 a, transibit per punctum o; 7 spatium enim quod est inter g et o, est equale spatio quod est inter g et a, ergo erit linea ab arcus /(C p.31) circuli. Et hoc 8 necessario fuit premittendum quia9 essentia materie geometrie consistit in imaginatione. Si enim foret 10 in corporibus habentibus materiam, superfluum 11 esset ut quereretur premitti 12 quod protraheretur linea recta13 ab Ariete ad Libram.

< pet. 2 >a Dixit Euclides: Ut protraheretur linea recta que coniungatur alii linee recte finite secundum rectitudinem. Supra hoc Sambelichius: coniuncta sunt quorum 14 fines sunt idem. Possibile ergo est ut linea recta protrahatur ab extremitate alterius 25 linee secundum rectitudinem, ita quod sint 15 continue et sint una recta linea; et est possibile etiam ut sit linea protracta continua16 alii linee et tamen non sit continuatio secundum rectitudinem, et hoc est cum comprehendunt angulum; et est etiam possibile ut due linee sint secundum rectitudinem et non sint una linea, quod contingit cum non 30 coniunguntur. a. pet. 2 = Eucl. 2, Ad. 1 (2a pars), (Alb. 1 (2a pars)). 1 quelibet.. .. et : duo puncta posita ipsius extremitates illa duo puncta brevior dimensio que est inter ea; que cum protracta fuerit, erit linea recta quod K 2 duo K 3 ut K 4 om K 5 enim K 6 K, om M 7 .i!dd K : et 8 hac K 9 quod K 10 fieret K 11 super filium K 12 quereretur premitti : que retetur premittenti K 13 linea recta om K 14 add K : finis 15 situs K 16 continue K - 28 -

Quod autem in difinitione apponitur ut sit linea finita, bene dictum est quoniam si esset infinita, non posset protrahi. Lineam autem finitam possibile est in infinitum protrahi, si necesse fuerit; quod ideo fit ne linearum brevitas in aliquibus figuris nos impediat. Quod vero linea recta que alii linee recte finite coniuncta secundum 5 rectitudinem /(M 17')a protrahitur, sit cum ea linea una, hac probatione1

probare

possumus, ea

tamen conditione ut una ex petitionibus

sc. ut supra quodlibet centrum que secuntur, concedatur2 nobis, secundum magnitudinem cuiuslibet spatii describatur circulus.h Dico igitur quod si ponam lineam rectam finitam, que sit ab, erit linea 10 que3 secundum illius continuitatem et rectitudinem protrahetur, una linea cum ea. Probatio eius: quoniam si non fuerit una linea /(C p.32) cum ea que secundum continuitatem et rectitudinem illius4 protrahetur, protraham lineam ab in rectitudinem et si est possibile, sint5 linee abg et aba recte.

15

Circumducam ergo circulum super centrum b secundum spatium quod est inter b et a, qui sit circulus aga. Si ergo unaqueque6 duarum linearum abg 20 et aba fuerit recta, unaqueque erit diametrus, quoniam transit per centrum, et queque earum dividit circulum in duo media. Ergo arcus aga est equalis arcui ag, maior sc. minori,/(K 13,4') quod est irnpossibile. Ergo linea que protrahitur secundum continuitatem et rectitudinem linee ab, est una linea cum ea. 25

< pet. 3 >c Dixit Euclides: Et7 ut describatur circulus supra quodlibet punctum quantumlibet occupando spatium. Supra hoc Sambelichius: spatium vult hie intelligi: illud supra quod circumducitur8 circulus, et est utrinque finitum. Manifestum est autem9 quod si est possibile ut a quolibet puncto

protrahatur linea rec-

a. etiam finis V f. 152,' vide p; xicav. N.B. In fine folii M in medio scriptum est: protrahitur b. pet. 3. c. pet. 3 = Eucl. 3, Ad. 2, (Alb. 2). 1 hanc probationem K 2 concedant K 3 K, quod M 4 om K 5 sic sive sit K 6 unaquaque M, K 7 om K 8 circumducatur K 9 est autem om K

- 29 -

Quod autem in difinitione apponitur ut sit linea finita, bene dictum est quoniam si esset infinita, non posset protrahi. Lineam autem finitam possibile est in infinitum protrahi, si necesse fuerit; quod ideo fit ne linearum brevitas in aliquibus figuris nos impediat. Quod vero linea recta que alii linee recte finite coniuncta secundum 5 rectitudinem /(M 17')a protrahitur, sit cum ea linea una, hac probatione1

probare

possumus, ea

tamen conditione ut una ex petitionibus

sc. ut supra quodlibet centrum que secuntur, concedatur2 nobis, secundum magnitudinem cuiuslibet spatii describatur circulus.h Dico igitur quod si ponam lineam rectam finitam, que sit ab, erit linea 10 que3 secundum illius continuitatem et rectitudinem protrahetur, una linea cum ea. Probatio eius: quoniam si non fuerit una linea /(C p.32) cum ea que secundum continuitatem et rectitudinem illius4 protrahetur, protraham lineam ab in rectitudinem et si est possibile, sint5 linee abg et aba recte.

15

Circumducam ergo circulum super centrum b secundum spatium quod est inter b et a, qui sit circulus aga. Si ergo unaqueque6 duarum linearum abg 20 et aba fuerit recta, unaqueque erit diametrus, quoniam transit per centrum, et queque earum dividit circulum in duo media. Ergo arcus aga est equalis arcui ag, maior sc. minori,/(K 13,4') quod est irnpossibile. Ergo linea que protrahitur secundum continuitatem et rectitudinem linee ab, est una linea cum ea. 25

< pet. 3 >c Dixit Euclides: Et7 ut describatur circulus supra quodlibet punctum quantumlibet occupando spatium. Supra hoc Sambelichius: spatium vult hie intelligi: illud supra quod circumducitur8 circulus, et est utrinque finitum. Manifestum est autem9 quod si est possibile ut a quolibet puncto

protrahatur linea rec-

a. etiam finis V f. 152,' vide p; xicav. N.B. In fine folii M in medio scriptum est: protrahitur b. pet. 3. c. pet. 3 = Eucl. 3, Ad. 2, (Alb. 2). 1 hanc probationem K 2 concedant K 3 K, quod M 4 om K 5 sic sive sit K 6 unaquaque M, K 7 om K 8 circumducatur K 9 est autem om K

- 29 -

ta ad quodlibet punctum, et circulus est qui fit cum figitur 1 unum duorum punctorum recte linee quod est centrum circuli, et circumducitur aliud punctum, donec fiat circumferentia, ergo possibile est2 ut circumducatur supra quodlibet punctum quantumlibet occupando spatium 5 circulus.

< pet. 4 >a Dixit Euclides: Et ut omnes anguli recti sunt3 eqy.ales. Supra hoc Sambelichius: qui hec verba secundum logicam perscrutatus fuit, 4 apparebit ei huius veritas manifeste, 5 et hoc est quod si anguli recti sunt qui proveniunt6 /(C p.33) ex linea ita erecta ut non sit 10 in ea inclinatio, et erectio in qua non est inclinatio neque augetur neque rninuitur, sed semper manet uno modo, ergo anguli recti sunt semper equales. Possibile quoque est ut hoc ostendatur7 per lineas geometricas hoc modo. Dico quod est impossibile ut sit angulus rectus maior recto angulo. 15 Quod si possibile est, sint duo anguli recti diversi qui sint anguli abg, ezn, et sit angulus ezn maior angulo abg . ..e < Manifestum est igitur quod cum posuCl, erint angulum abg super angulum ezh 20

,____

_..(,.

et posuerint lineam ab super lineam ez, cadet linea bg infra angulum ezh. Positum enim fuit quod angulus ezh est maior angulo abg. Ponamus ergo quod

iam ceciderit infra8 ipsum, cuius situs est supra lineam ZI. Erit ergo angulus ezh maior angulo ezI; producam ergo lineam zt secundum recti25 tudinem linee zn. Ergo erit angulus ezh equalis angulo ezf quia sunt consequentes; quia linea ez cum fuerit erecta absque inclinatione, erunt duo anguli qui sunt utrinque, equales. Sed angulus ezh est maior angulo eZI, ergo angulus ezf est maior angulo ezI. Producam ergo lineam Zk secundum rectitudinem linee zI, ergo erit angulus eZk equalis 30 angulo eZI quia sunt consequentes et recti. Sed angulus ezf est maior angulo eZI et iam fuit ostensum quod angulus ezI est equalis angulo eZk; ergo angulus

ezt

est maior angulo

eZk.

Ergo minor est maior maiore,

a. pet. 4 = Eucl. 4, Ad. 3, (Alb. 3). 1 figetur K 2 Qill K 3 sit K 4 fuerit K 5 manifesta K 6 perveniunt? K 7 ostendam K 8 intra K

- 30-

ta ad quodlibet punctum, et circulus est qui fit cum figitur 1 unum duorum punctorum recte linee quod est centrum circuli, et circumducitur aliud punctum, donec fiat circumferentia, ergo possibile est2 ut circumducatur supra quodlibet punctum quantumlibet occupando spatium 5 circulus.

< pet. 4 >a Dixit Euclides: Et ut omnes anguli recti sunt3 eqy.ales. Supra hoc Sambelichius: qui hec verba secundum logicam perscrutatus fuit, 4 apparebit ei huius veritas manifeste, 5 et hoc est quod si anguli recti sunt qui proveniunt6 /(C p.33) ex linea ita erecta ut non sit 10 in ea inclinatio, et erectio in qua non est inclinatio neque augetur neque rninuitur, sed semper manet uno modo, ergo anguli recti sunt semper equales. Possibile quoque est ut hoc ostendatur7 per lineas geometricas hoc modo. Dico quod est impossibile ut sit angulus rectus maior recto angulo. 15 Quod si possibile est, sint duo anguli recti diversi qui sint anguli abg, ezn, et sit angulus ezn maior angulo abg . ..e < Manifestum est igitur quod cum posuCl, erint angulum abg super angulum ezh 20

,____

_..(,.

et posuerint lineam ab super lineam ez, cadet linea bg infra angulum ezh. Positum enim fuit quod angulus ezh est maior angulo abg. Ponamus ergo quod

iam ceciderit infra8 ipsum, cuius situs est supra lineam ZI. Erit ergo angulus ezh maior angulo ezI; producam ergo lineam zt secundum recti25 tudinem linee zn. Ergo erit angulus ezh equalis angulo ezf quia sunt consequentes; quia linea ez cum fuerit erecta absque inclinatione, erunt duo anguli qui sunt utrinque, equales. Sed angulus ezh est maior angulo eZI, ergo angulus ezf est maior angulo ezI. Producam ergo lineam Zk secundum rectitudinem linee zI, ergo erit angulus eZk equalis 30 angulo eZI quia sunt consequentes et recti. Sed angulus ezf est maior angulo eZI et iam fuit ostensum quod angulus ezI est equalis angulo eZk; ergo angulus

ezt

est maior angulo

eZk.

Ergo minor est maior maiore,

a. pet. 4 = Eucl. 4, Ad. 3, (Alb. 3). 1 figetur K 2 Qill K 3 sit K 4 fuerit K 5 manifesta K 6 perveniunt? K 7 ostendam K 8 intra K

- 30-

quod est impossibile. Impossibile est ergo quod angulus rectus sit maior /(C p.34) recto angulo aut minor eo, ergo omnes anguli recti sunt equales. Nee tamen omnes anguli equales sunt recti nisi fuerint ad invicem se 5 sequentes. Possibile est1 enim equales angulos esse expansos aut acutos. Nee etiam necesse est ut omnes anguli qui sunt equales rectis, sint recti nisi hoc nomen2 'rectus angulus' impositum fuerit arcubus quia provenient anguli quos arcus comprehendent, recti transumptive. 3 10 Exempli causa: Ponatur angulus rectus supra quern sunt a,b,g. Ponam4 itaque duas notas super duas lineas ab et bg quarum spatia que sunt inter eas et b, sint equalia, que sint puncta a et e, et circumducam a, supra duo puncta5 centra e et a que sunt inter ab et be, duos semicirculos qui sunt semicirculi azb et big. Erit ergo secundum

15

d

It

spatia

angulus abz equalis angulo gbt; cum enim semicirculi fuerint equales, anguli eorum erunt equales. Ponam ergo 20

angulum abt communem; erit ergo totus angulus azbt equalis angulo abg. Sed angulus abg est rectus; ergo angulus azbt qui est lunaris, est equalis angulo recto.

< pet. 5 >a Dixit Euclides: Ouod si recta linea ceciderit super6 duas rectas lineas et fuerint duo anguli qui sunt ab una parte. minores duobus 25 rectis. ille due linee protracte ex parte in qua sunt illi duo anguli. concurrent. Supra hoc Sambelichius: hec peuuo non valde est manifesta, ideo necessarium fuit ut lineis declaretur quod /(C p.35) Amitarash7 et Deiurusc hic8 ostenderunt multis figuris et diversis. 30 Dixit Anarizius9 : hoc equidem exposuimus et interposuimus quod Aganix addidit post probationem figure 26. a. pet. 5 = Eucl. 5, Ad. 4, (Alb. 4). b. = Abthinatus? (cfr. ed. Arab. Anar., p. 25). Vide etiam p. 55. Quis sit, nescio. c. = Diodorus. (cfr. ed. Arab. Anar., p. 25). Vide p. 55, (cf. Alb.21, 30). 1 om K 2 modo K 3 sint K Anaritius K 8 om K 9 Anarizus K

4 puncta K - 31 -

5 om K

6 supra K

7

quod est impossibile. Impossibile est ergo quod angulus rectus sit maior /(C p.34) recto angulo aut minor eo, ergo omnes anguli recti sunt equales. Nee tamen omnes anguli equales sunt recti nisi fuerint ad invicem se 5 sequentes. Possibile est1 enim equales angulos esse expansos aut acutos. Nee etiam necesse est ut omnes anguli qui sunt equales rectis, sint recti nisi hoc nomen2 'rectus angulus' impositum fuerit arcubus quia provenient anguli quos arcus comprehendent, recti transumptive. 3 10 Exempli causa: Ponatur angulus rectus supra quern sunt a,b,g. Ponam4 itaque duas notas super duas lineas ab et bg quarum spatia que sunt inter eas et b, sint equalia, que sint puncta a et e, et circumducam a, supra duo puncta5 centra e et a que sunt inter ab et be, duos semicirculos qui sunt semicirculi azb et big. Erit ergo secundum

15

d

It

spatia

angulus abz equalis angulo gbt; cum enim semicirculi fuerint equales, anguli eorum erunt equales. Ponam ergo 20

angulum abt communem; erit ergo totus angulus azbt equalis angulo abg. Sed angulus abg est rectus; ergo angulus azbt qui est lunaris, est equalis angulo recto.

< pet. 5 >a Dixit Euclides: Ouod si recta linea ceciderit super6 duas rectas lineas et fuerint duo anguli qui sunt ab una parte. minores duobus 25 rectis. ille due linee protracte ex parte in qua sunt illi duo anguli. concurrent. Supra hoc Sambelichius: hec peuuo non valde est manifesta, ideo necessarium fuit ut lineis declaretur quod /(C p.35) Amitarash7 et Deiurusc hic8 ostenderunt multis figuris et diversis. 30 Dixit Anarizius9 : hoc equidem exposuimus et interposuimus quod Aganix addidit post probationem figure 26. a. pet. 5 = Eucl. 5, Ad. 4, (Alb. 4). b. = Abthinatus? (cfr. ed. Arab. Anar., p. 25). Vide etiam p. 55. Quis sit, nescio. c. = Diodorus. (cfr. ed. Arab. Anar., p. 25). Vide p. 55, (cf. Alb.21, 30). 1 om K 2 modo K 3 sint K Anaritius K 8 om K 9 Anarizus K

4 puncta K - 31 -

5 om K

6 supra K

7

< pet. 6 >a Dixit Euclides: Due recte linee non comprehendunt superficiem. Supra hoc Sambelichius: hec petitio non invenitur in antiquis scriptis; que ideo fuerit dimissa quoniarn est manifesta, et ideo dixerunt quod 5 petitiones sunt quinque. Moderni vero probant earn hoc modo. Dixerunt enim1 quod si est possibile ut sint due recte linee comprehendentes superficiem, faciamus ergo ut due recte linee ii.gb, a.ab comprehendant superficiem, sicut in figura apparet. Producarn itaque linearn ii.gb et ..c 10

lineam ii.ab secundum rectitudinem usque ad duo puncta e et2 z, et circumducarn supra centrum b cum spatio bii. circulum ii.ezh. Ergo quia punctum b est centrum circuli ii.ezh3 , erit unaqueque duarum linearum ii.gbz,

15 ().,

a.are diarnetrus circuli; ergo arcus ii.z est equalis arcui ii.ze, maior sc. minori,

quod est impossibile. Ergo due linee recte non comprehendunt superficiem. 20 est

Quod si quis dixerit: arcus non est equalis arcui, sed quantitas aabe equalis quantitati ii.gzb *, necessario concedet quod angulus haa

est equalis angulo hag, quod est impossibile; et ideo est necessarium ut hoc concedat, quoniarn semicirculi cum4 superponuntur, cooperiunt se. Et etiam quia portio aabze est equalis portioni ii.gzb * et punctum b est centrum, ergo unaqueque5 duarum portionum est semicirculus; ergo erit 25 pars aabg extra circulum.

< Propositiones per se note > Dixit Euclides: Propositiones per se note sunt:

< 1 >b

Res uni rei equales. sunt equales;

c

et si equalibus equalia addantur. omnia erunt equalia;

30 < 3 >d

et si de eqµalibus 6 equalia demantur. que relinquuntur erunt

equalia;

* melius : agbz? a. pet. 6 = Eucl. ax. 9, Ad. 5, (Alb. 5). b. ax. 1 = Eucl. 1, Ad. 1,(Alb. 1). c. ax. 2 = Eucl. 2, Ad. 2,(Alb. 2). d. ax. 3 = Eucl. 3, Ad. 3,(Alb. 3). 1,2 om K 3 iibZh M, K 4 Q.!Il K 5 unaquaque M 6 aqualibus M 32-

< pet. 6 >a Dixit Euclides: Due recte linee non comprehendunt superficiem. Supra hoc Sambelichius: hec petitio non invenitur in antiquis scriptis; que ideo fuerit dimissa quoniarn est manifesta, et ideo dixerunt quod 5 petitiones sunt quinque. Moderni vero probant earn hoc modo. Dixerunt enim1 quod si est possibile ut sint due recte linee comprehendentes superficiem, faciamus ergo ut due recte linee ii.gb, a.ab comprehendant superficiem, sicut in figura apparet. Producarn itaque linearn ii.gb et ..c 10

lineam ii.ab secundum rectitudinem usque ad duo puncta e et2 z, et circumducarn supra centrum b cum spatio bii. circulum ii.ezh. Ergo quia punctum b est centrum circuli ii.ezh3 , erit unaqueque duarum linearum ii.gbz,

15 ().,

a.are diarnetrus circuli; ergo arcus ii.z est equalis arcui ii.ze, maior sc. minori,

quod est impossibile. Ergo due linee recte non comprehendunt superficiem. 20 est

Quod si quis dixerit: arcus non est equalis arcui, sed quantitas aabe equalis quantitati ii.gzb *, necessario concedet quod angulus haa

est equalis angulo hag, quod est impossibile; et ideo est necessarium ut hoc concedat, quoniarn semicirculi cum4 superponuntur, cooperiunt se. Et etiam quia portio aabze est equalis portioni ii.gzb * et punctum b est centrum, ergo unaqueque5 duarum portionum est semicirculus; ergo erit 25 pars aabg extra circulum.

< Propositiones per se note > Dixit Euclides: Propositiones per se note sunt:

< 1 >b

Res uni rei equales. sunt equales;

c

et si equalibus equalia addantur. omnia erunt equalia;

30 < 3 >d

et si de eqµalibus 6 equalia demantur. que relinquuntur erunt

equalia;

* melius : agbz? a. pet. 6 = Eucl. ax. 9, Ad. 5, (Alb. 5). b. ax. 1 = Eucl. 1, Ad. 1,(Alb. 1). c. ax. 2 = Eucl. 2, Ad. 2,(Alb. 2). d. ax. 3 = Eucl. 3, Ad. 3,(Alb. 3). 1,2 om K 3 iibZh M, K 4 Q.!Il K 5 unaquaque M 6 aqualibus M 32-

et cum inequalibus equalia addita fuerint, omnia erunt inequalia; 1 et si de inequalibus demantur equalia. que relinquuntur erunt inequalia; 2 et quecumque sunt dupla unius rei. sunt adinvicem3 equalia; et ea que cum4 superponuntur. vicissim se cooperiunt. sunt equalia;

< 8 >e et omne totum est maius sua parte; < 9 >f et due recte linee non comprehendunt superficiem neque locum. Supra hoc Sambelichius: iam diximus in precedentibus per se nota 10 esse que5 necesse est per se ab6 omnibus recipi, et ut per se credantur7 absque medio. 8

< ax. 1 > Dixit Euclides: Ea que sunt equalia uni rei. sunt adinvicem9 equalia. Supra 15 erunt

hoc Sambelichius: si hec verba dicta fuerint in 10 equalibus,

vera et vicina ad intelligendum, sed si communius dicta fuerint,

non erunt vera: licet enim aliqua sint longiora 11 aliqua re, non tamen necessario sequitur quod unum sit longius alio; neque illi qui sunt fratres unius hominis, sunt fratres necessario quando 12 /(C p.37) unus fuerit frater eius ex parte matris et alter ex parte patris./(M 17v) Et ideo 20 oportet ut relatio in hoc 13 sit simplex et ab una et eadem parte accepta, et non a multis partibus diversis, quemadmodum in exemplo fratrum ostendimus; et neque accipiatur a maiori neque a minori, sicut diximus in his que sunt longiora 14 una re.

< ax. 2 > Dixit Euclides: Si equalibus equalia addantur. omnes fient 15 25 equalia. Supra hoc Sambelichius: licet huius intentio

declaretur

ex

numeris

a. ax. 4 Eucl. 4, Ad. 4,(Alb. 4). b. ax. 5, cfr. Eucl. app. crit. c. ax. 6 = Eucl. 5 d. ax. 7 = Eucl. 7, Ad. 7 ,(Alb. 6) e. ax. 8 = Eucl. 8, Ad. 8,(Alb. 7) f. ax. 9 = Eucl. 9. (Vide p. 32, =Pet. 6). 1 equalia K 2 equalia K 3 advicem M 4 et ea que cum : equa que au5 quod K 6 om K 7 dedantur K 8 modo K 9 advicem M tem K 10 Qill K 11 longicaur ? K 12 quoniam K 13 hac K 14 longica-ur ? K 15 fi' K

- 33 -

manifeste, tamen per se manifesta est et recepta. Per se autem nota hec antiquitus non inveniuntur nisi tria, in modernis vero scripturis inveniuntur tria addita que non indigent expositione, et similiter ea que secuntur, quoniam sunt manifesta. Hee autem ideo posita fuerunt ut non essent in 5 geometria aliqua probata ex principiis non concessis. Quidama vero addidit hoc 1 pro per se noto, sc.: < ax. a >b Cum 2 eqyalia addita fuerint diversa, erit superfluitas summe super summam equalis superfluitati additi super additum.

10

Et probat hoc modo: ponamus duas quantitates equates ab, ga et addam super eas duas quantitates diversas ea, zg et sit ea maior. Dico igitur quod augmentum eab super3 zga est equale augmento ae super4 zg. _"-_ _.,., _ _ _ _ _.... ,...__ _ _ _ _ ~ Probatio eius: ut secem ex ae tantum ..... 'L_ _ _ _ _ _

augmentum

eb

_,f....______ tt quantum est zg, sitque

super bh et super

za

fill, et quia

est eh, et est idem augmentum ae

15 super fill et super gz, ergo propter hoc est augmentum be super equale augmento ea super gz.

za

< ax. b >c Et etiam si augmentata5 fuerint super diversa equalia. erit superfluitas

que

est

inter

ea

post /(C p.38) augmentum. eqyalis

superfluitati que erat inter ea ante augmentum.

20

Exempli causa: quoniam nos addidimus super duas quantitates diversas ea, gz duas quantitates equales ab, ga, ergo erit superfluitas

eb

super

za

equalis superfluitati

ea

super

gz,

et hoc est illud quod

ante ostendimus.

25

Addidit6 etiam alia, sc.: d quod superficies secat superficiem super lineam: e et si superficies que sese7 secant. fuerint plane. secabunt se8 super rectam lineam; et linea secat lineas9 super punctum. Hoc enim indigemus in prima figura; d. ax. c = Alb. c e. ax. d =f. ax. e = Alb. d

a. cfr. Proclus 197, 6 sqq(= Pappus). b. ax. a = Alb. b c. ax. b = Alb. a

1 Qll K 2 super hie ego. (vide < b > et argumentationem < a >); M, K habent super PQfil fuerint 3 K, supra M 4 K, supra M 5 augmenta K 6 Aaddidit M 7 se K 8 superficiem K 9 lineam K - 34 -

< ax. f >a

et possibile est superficiem planam et lineam rectam eo quod sint plane. in infinitum protrahi.

5

10

15

20

25

30

Oportet nos preterea ante particularia premittere ista: dico ergo 1 quod intentio geometrie est sicut precessit ex his que diximus, sc. declaratio quantitatum et figurarum et situs et proportionum u/(K 14,4v)nius ad aliud; et intentio eius in unoquoque istorum aut est theorica aut practica. 2 Quod si eius intentio fuerit in eo ad dandam scientiam, nominatur theorica, et si fuerit eius intentio in eo ad demonstrandam operationem, vocatur practica.3 Theorica ergo est cuius finis est aliquid ostendere, sicut figura quarta primi tractatus et que ei sunt similes; et iste figure sunt ille in quarum fine consuetudo est dicere: 'et hoc est illud quod demonstrare voluimus'. Practica4 vero est cuius finis est secundum quod videtur aliquid operari, et iste figure sunt in quarum fine consuetudo est5 dicere: 'et istud est quod facere voluimus'. Quod si quis dixerit: quare ergo dicitis geometrie intentionem esse ad indicandam scientiam solum, cum videamus ipsam simul cum scientia indicare operationem, dicemus quod illarum ope/(C p.39)rationum fines non tribuunt nobis nisi scientiam. Dico ergo quod opus figure que docet facere triangulum equilaterum,b non donat nisi scientiam, et non opus manuum; invenimus enim quosdam hoc bene scientes qui non possunt hoc perficere in materia neque attribuere ei hanc formam; quomodo vero fiat6 et ingenium perficiendi dicere poterit. Possibile tamen est geometriam esse principium aliarum doctrinarum practice7 que manibus exercentur. 8 Opera enim que sunt in geometria, sunt apud sapientes, sicut ea que premittuntur ad declarationem aliorum. Quidamc quoque invenerunt in figuris unam differentiam quam vocaverunt inventum. Et9 hoc est cum non fuerit nostra intentio ad sciendum neque operandum, sed ad inveniendum illud quod est per se inventum,9 sicut nostra intentio quam habemus in prima figura tertie partis: non enim intendimus ibi nisi invenire centrum circuli dati. Sed differentia que est inter inventionem et operationem, est quod inventionis finis non est nisi invenire rem que iam est inventa; et non a. ax. f

b.

= Eucl.

I 1.

1 igitur K 2,3,4 pratica M 5 Qfil K 8 extra centrum K 9 et ... inventum om K - 35 -

c. cf.Alb. 25, 2: 6 nee fiant K

7

Arabes

pratice M

invenire

rem

que

numquam fuit inventa. 1 Et differentia que est inter

earn et scientiam, est quod illud quod2 scientia nobis tribuit, utrum priusquam probetur, inventum sit aut non, ignoramus, sicut quod anguli cuiuslibet3 trianguli sunt equales duobus rectis angulis;a in inven5 tione4 autem scimus quod circulus habet centrum, sed volumus locum ipsius scire, nisi si aliquis dixerit quod rem quam aliquis vult invenire, ignorat an sit5 invenire possibile vel non, sicut si aliquis vellet invenire quantitatem superficiei alicuius circuli dati./(C p.40) Norninantur

tamen omnes figure scientie aut operationes nornine6

10 equivoco;7 unumquodque autem istorum, sc. scientia et operatio et inventio et si qua sunt alia, dividuntur8 in sex partes, id est: propositio, exemplum,9 differentia, opus, probatio, conclusio. Propositio est in hoc loco quam dialectici 10 dicunt esse id quod ad demonstrandum ponitur, et ipsa et conclusio in intentione sunt idem. 15 Exempli causa: ut dicamus quod omnes tres anguli cuiuslibet trianguli sunt equales duobus rectis;a hoc equidem 11 est propositio et est etiam conclusio. Cum12 enim probaverimus quod omnes tres anguli trianguli sunt equales duobus rectis, confirmabitur propositio, ergo fiet 12 conclusio; et hoc est cum dixerimus: iam manifestum est quod omnes 20 anguli cuiuslibet trianguli sunt equales 13 duobus rectis angulis. Hee equidem 14 propos1t10 non est pars probationis; cuius difinitio est oratio que prernittit nobis intentionem quam volumus15 scire aut operari aut invenire. Et si fuerit in intentione aliquid datum aut aliquid quesitum, 16 sicut est in prima figura in qua datur linea recta et queritur 25 ut faciamus triangulum equilaterum, oportet ut in propositione dicatur utrumque, sc. datum et quod quesitum17 est. Exemplum vero est illud quod subicit visui intentionem propositionis. Differentia quoque est que separat illud quod quesitum18 est in 30 propositione et quod positum est in exemplo, sc. quod queritur ad faa. = Eucl. I 32. 1 numquam fuit inventa iam est inventa numquam fuit K 2 quod illud quod : illud quod scientia est quod illud quam K 3 om K 4 in inventione : inventionem K 5 scit K 6 ncce K 7 equivoce K 8 dividunt K 9 K, exemplo M 10 dialetici M, dialtici K 11 eql' K 12 cum ... conclusio om K 13 equale K 14 eql' K 15 voluimus K 16,17,18 que scitum K

- 36 -

5

10

15

20

25

ciendum aut ad probandum, a suo communi genere. ~ vero est ut signet aliquis ea que ad probationem sunt necessaria cum lineis, et1 ut faciat ea que sibi imperantur2 ad faciendum, sicut in figura prima ad protrahenda latera trianguli equilateri et ad circumducendos circulos cum quibus opus trianguli et probatio ipsius completur. Probatio autem est id quod congregat quesitum3 /(C p.41) ex eis que premissa sunt et concessa; que quandoque erit ex eis que primum intelliguntur in ratione et secundum naturam sunt antiquiora; et tune vocatur probatio veraciter, sicut probatio prime figure, quoniam circuli quorum linee que protrahuntur a centris ipsorum ad circumferentias ipsorum, equantur, sunt equales; et ex hac oratione demonstratur quod quesitum4 in hac figura et circulus sunt antiquiora triangulo. Et forsitan 5 erit probatio ex eis que non sunt per se nota, sicut cum probatur quod omnes anguli trianguli sunt equales duobus rectis,a et post quod omnes anguli 6 quadrati sunt equales quatuor rectis, quod non ob aliud probatur nisi quod omne quadratum dividitur in duos triangulos. Quadratum enim naturaliter est post triangulum. Conclusio est reversio propositionis, sicut si dicetur: 7 manifestum est quod omnes tres anguli cuiusque trianguli sunt equales duobus rectis angulis. Dicetur ergo confirmative quoniam probatum est, ideoque nichil additur ei nisi 'ergo'./(M 18') Figure vero 8 perfecte: 9 quedam complentur cum his sex; et alie cum quinque, sicut figura quarta prime partis: non enim fuit in ea necessarium opus; et quedam sunt que complentur cum quatuor, cum non fuerit in figura res, et tune removebitur 10 exemplum et differentia, sicut invenitur in figura 11 septima12 pnrm tractatus. Sed propositio et probatio et conclusio necessaria 13 sunt in omnibus figuris.

Preterea oportet ut ostendam ista, sc. quid sit theorema et quid 30 corrolarium et quid est diversitas positionis et quid est14 alhaynedi et quid est convertere intentionem ad impossibile./(C p.42) a. = Eucl. I 32. 1 om K 2 imponuntur K 3,4 que situm K 5 in scientia K 6 add K : omnis 7 diceretur K 8 add M (supra lineam), K : id est complete 9 perfecti K 10 movebitur K 11 in figura om K 12 septimi K 13 necessario K 14 om K - 37 -

Dico alterius, secunda ipsum,

igitur quod theorema est quod sumitur ad demonstrationem 1 licet in se sit scientia aut figura, sicut accepimus in figura latera duorum triangulorum. Illud ergo aliud facile ostenditur per ideoque oportet ut premittatur aut ponatur post, sed tamen

5 concedatur in probatione cito. Corrolarium vero est illud quod cum probatione eius quod probandum premittitur,2 declaratur. Ex probatione ergo illa adipiscitur corrolarium. Diversitas autem positionis est ut forma intentionis ponatur3 super 10 multos modos in quibus probatio diversificetur. Alhaynedi4 est oratio probationi opposita5 sequens probationem quousque ad finem perveniat. 6 Intentionem vero convertere ad impossibile est ut ponatur contradictoria intentionis, et ostendatur quod ex ea accidit quod est impossibile, 15 sicut accepimus in figura septima7 * latus maius, ut ostenderemus cum eo falsitatem contradictorie intentionis et veritatem intentionis posite. Expleta8 sunt ea que intendit Sambelichius in expositione prologi prime partis libri Euclidis. 8

* melius: sexta? 1 a demonstratione K 2 premittatur K 3 ponitur K 4 alaynedi K 5 oppositiones K 6 post perveniat M lacunam 7 ? K 8 Expleta... Euclidis : Explicit expositio prologi. Incipit expositio prime partis libri Euclidis secundum Anaritium (alia manu?) K

- 38 -

< Theoremata >

5

10

15

20

25

30

< I 1 >a In primo theoremate sunt 1 quinque figure, una Euclidis et 4 lrini. 2 Dixit Irinus:b si quis quesierit3 a nobis quare Euclides voluit ostendere quomodo fieret triangulus equilaterus, et non ostendit quomodo alii trianguli fierent, cum sufficeret ei in suis operibus triangulus duorum equalium laterum absque4 illo, dicemus quod non ideo fecit quin ipse sciret facere triangulum duorum equalium laterum,4 sed quia opus trianguli5 equilateri est discipulo ad discendum facilius et etiam quia ipso habito habetur alius,/(C p.43) sed licet alius habeatur, non tamen habetur iste. Possibile tamen est ut triangulus duorum equalium laterum super datam rectam lineam semper hoc modo constituatur. 'Z Sit linea data ii.I>. Ponam itaque6 a centrum7 et cum spatio quod est inter a et o, describam arcum og, postea8 ponam I> centrum et cum t spatio quod est inter I> et a, describam arcum a.a et protraham lineam ii.I> secundum rectitudinem in duas partes ad duos arcus og et a.a. Et quia gii. est equalis ii.I> et ii.I> est equalis oa, ergo9 ii.g est equalis Da;9 posita ergo ii.I> communi erit go equalis a.a. Post hec ponam a10 centrum et cum spatio quod est inter a et a, describam circulum qui sit circulus aze, deinde ponam I> centrum et secundum spatium quod est inter I> et11 g, describam circulum gzf, et protraham a puncto z, quod est sectio duorum circulorum, duas lineas zii. et zo. Et quia punctum a est centrum circuli zae et iam protracte sunt ab eo ad 12 circumferentiam ipsius due recte linee que sunt ii.aJ(C p.44) et ii.z, ergo ipse sunt equales: ergo linea ii.z13 est equalis linee a.a. Sed linea a.a fuit equalis linee og, ergo linea ii.z est equalis linee og. Et etiam quia I> est centrum circuli gzt14 et ab eo ad circumferentiam iam protracte a. Ad.: Triangulum equilaterum supra datam rectam lineam collocare. b. Hero Alexandrinus, (cf. Alb. 27, 23). 1 om K 2 Yrini K 3 que si erit K 4 absque ... laterum M marg 5 om K 6 ita K 7 add K : circuli 8 post K 9 ergo ... Da M marg 10 a ? K 11 om K 12 ab eo ad : abeycidi K 13 iZ K 14 gyf? K

- 39 -

sunt due linee oz et bg, ergo ipse sunt equales; ergo linea oz est equalis linee bg. Sed linea bg iarn fuit equalis linee az, ergo linea az est equalis linee oz. 1 Et illud est quod demonstrare2 voluimus. Post hec planius locutus3 est ostendens quomodo super rectarn linearn 5 constituatur triangulus ornnia latera habens diversa, et hoc tribus modis: quorum primus est ut sit linea data brevior una duarum reliquarum 4 linearum et longior altera; secundus vero est ut sit linea data brevior quaque5 duarum reliquarum linearum; 6 tertius quoque est ut sit linea data longior quaque7 duarum reliquarum linearum. 10

15

20

25

30

35

< a > Primus autem modus quo ostenditur quod linea data sit brevior -t una duarum reliquarum linearum8 et longior altera, est huiusmodi. Sit linea data ab et ponarn ut a sit centrum supra "' quod secundum9 spatium quod est inter a et b, circumducarn circulum qui sit circulus oga. Ponarn10/(C p.45) etiarn punctum b centrum supra quod cum spatio quod est /(K 15,5') inter b et a, describarn circulum age. Deinde signabo in arcu ge punctum qualitercumque contingat, quod sit punctum z, et coniungarn a cum z. Punctum quoque secundum signabo in linea que est inter punctum z et circumferentiarn circuli oga, quod sit punctum h, et coniungarn b cum h et protraharn ipsarn linearn secundum rectitudinem usque ad punctum t. Manifestum est ergo quod linea an est longior linea ab et linea ab est longior linea oh. Et illud est quod demonstrare voluimus. < b > Secundus vero modus quo ostenditur quod linea data sit brevior quaque 11 duarum linearum reliquarum, in hoc declaratur exemplo. Sit linea data ab quarn secundum rectitudinem in duas protraham partes donec oa sit equalis ag, et sirniliter sit ag equalis ab secundum quod fecimus in /(C p.46) triangulo duorum equalium laterum. Deinde ponam punctum a centrum et cum spatio quod est inter a et a, describarn circulum aez. Ponam etiarn punctum b centrum et secundum spatium quod est inter 1 cz K 2 domonstrare M 3? sed corr (alia manu?) K 4 om K 5 quarum K 6 om K 7 ? K 8,9 om K 10 panam M 11 quarum K - 40-

g, circumducam circulum gez. In 1 circumferentia igitur circuli gez a parte exteriore circuli aez signabo punctum qualitercumque cadat,

b et

t, et coniungam a cum t et b cum t. Linea ergo at a.a, sed linea a.a est equalis linee bg: ergo linea at est longior linea bg. Sed linea bg est equalis linee bt, ergo linea at est longior linea bt. Sed linea bi est longior linea ba, quoniam ipsa est equalis linee bg. Manifestum est ergo quod linea at est longior linea tb et linea tb est longior linea ba. Et illud est quod demonstrare voluimus. quod sit punctum

longior

5

est

linea

----..t----

< c > Tertius quoque modus quo demonstratur2 quod linea data sit 10 longior quaque3 duarum reliquarum linearum, tali .declaratur exemplo. Sit linea data ab. Ponam itaque punctum a centrum et cum spatio quod est inter a et b, describam circulum agb. 4 Post hec ponam 15 punctum b centrum et secundum spatium ab circumducam circulum aae, et producam duas lineas ag, bh donec se supra punctum z secent. Manifestum est itaque quod linea ab est longior unaquaque duarum linearum az et bz. Et illud est quod demonstrare voluimus./(C p.47) 20

8 De secundo theoremate. 5

Cum Euclides dixit: volo ostendere qualiter puncto dato linea copuletur etcetera, noluit intelligere nisi quod punctum sit extremitas linee que ei copulatur; hoc igitur est illud quod ei post necessarium fuit in opere huius libri. Alii vero super alias coniunctiones invigilaverunt invenientes eas 25 multis posse fieri modis, quorum unus est:

< a > ut sit linea data similis linee

bg

et sit punctum datum super

ipsam lineam positum ad similitudinem puncti a. Volo itaque quod6 puncto a linea recta equalis linee bg coniungatur cuius extremitas perveniat ad punctum a. Constituam itaque supra unam sectionem linee, sc. 30 supra sectionem ab, triangulum equilaterum quod fiet secundum probationem prime figure huius partisj(M 18v) sitque triangulus aba. a. Ad.: A dato puncto cuilibet linee recte proposite equam rectam lineam ducere. 1 que K 2 monstratur K mate om K 6 ut K

3 quarum K

- 41 -

4

bga

K

5 de secundo theore-

5

10

15

20

25

30

Deinde protraham duas lineas IX! et aa secundum rectitudinem neque ponam 1 earum protractioni terminum, donec adeo sint longe ut cum circulus circumducetur, remaneat ex unaquaque earum aliquid2 superfluum. Deinde ponam punctum b centrum et cum spatio quod est inter b et g, circumducam circulum gez. Manifestum est ergo quod linea bg est equalis linee bz. Si ergo posuero etiam3 punctum a centrum et cum spatio quod est4 inter a et z, descripsero circulum zht, manifestum est quod /(C p.48) linea az est equalis linee ah. Cum ergo minuerimus duas lineas equales aa et ab ex duabus lineis equalibus za et afi, remanebit linea bz equalis linee iih. Sed iam ostendimus quod linea bz est equalis linee5 bg, et ea que sunt equalia uni rei, sunt equalia: ergo linea iih est equalis linee bg. lam ergo6 adiunximus puncto a lineam iih equalem linee bg cuius extremitas est punctum a. Et illud est quod demonstrare voluimus. < b > Est quoque alius modus quo docetur qualiter protrahatur linea equalis linee date, qui7 est huiusmodi. Ponatur ut non sit punctum a supra lineam gb neque8 punctum a sit extremitas linee quesite, sed sit -l linea go, cum secundum rectitudinem protrahetur, transiens super ipsum. Producam ergo lineam bg secundum ergo super rectitudinem, transibit ~ punctum a. Deinde constituam super lineam ba triangulum equilaterum qui sit trian/ulus aao, et protraham lineam aa secundum rectitudinem usque ad punctum e. Deinde ponam punctum a centrum et cum9 spatio ag describam arcum gefi. Manifestum est ergo quod linea ag est equalis linee ae. Sed linea ba est equalis linee aa, ergo Iinea bg est equalis linee ae. Et illud est quod demonstrare voluimus.

< I 5 >a Hoc quod sequitur quinto theoremati additum est10./(C p.49) a. Ad.: Ornnis trianguli duum equalium laterum angulos qui supra basim sunt, equales esse necesse est; quod si eius duo equa latera directe protrahantur, fient quoque sub basi duo anguli invicem equales. 1omK2adK3inK4,5,6mnK7quodK8etK 9omK lOomK - 42 -

Si quis nobis dixerit quare Euclides probavit in hoc theoremate quod duo anguli qui sunt sub basi, sint equales, cum in libro suo non inveniatur per hos aliquid fecisse, respondebimus quod ipse scivit illud in quo dubitatur in septimo theoremate 1 et in nono. Prernisit itaque eius decla5 rationem ut per earn solveret dubitationem quemadmodum in eis ostendetur. Possibile tamen est ut monstretur quod duo anguli qui sunt supra basim, sunt2 equales absque ostensione equalitatis duorum angulorum qui sunt sub basi, secundum hunc modum. Sint duo latera ab et ag trian10 ().. guli abg equalia; dico igitur quod angulus abg est equalis angulo ago.

15

20

25

30

Probatio eius: quoniam signabo in linea ab punctum a, et secabo ex linea ag lineam ae equalem linee a.a, et protraham lineas ae, ag, eb; et quia ba est equalis ag et linea a.a est equalis linee ea: I "- ergo duo latera ao, ae trianguli aoe sunt equalia duobus lateribus ag et a.a trianguli aga, quodque3 videlicet latus suo relativo est equale, et angulus a4 est communis duobus triangulis. basi ga, et Ex probatione igitur quarte figure erit basis be equalis 4 angulus aeb erit equalis angulo aag et angulus abe equalis angulo aga. Si ergo due linee equales a.a, ae rninuantur ex duabus lineis equalibus ab,5 ag, remanebit linea ao equalis linee eg. Sed iam fuit ostensum quod linea De est equalis linee ga et angulus aoe equalis angulo ega,6 et basis ae est communis: ergo ex probatione figure quarte erit angulus Dae equalis angulo6 gea et angulus Dea equalis angulo gae. Cum ergo rninuerimus eos ex duobus equalibus angulis Dae, gea, remanebit angulus Dag equalis angulo beg; latera quoque ipsos continentia sunt7 equalia, quodque videlicet suo relativo equale, et basis bg est communis /(C p.50) eis. Ex probatione igitur figure quarte erit angulus abg equalis angulo ago. Et illud8 est quod demonstrare voluimus.

< I 6 >a Sexti theorematis propositio potest sic enuntiari: Omnis tria. Ad.: Si duo anguli alicuius trianguli equales fuerint, duo quoque latera eius angulos illos respicientia, erunt equalia. 1 theoraemate M 2 sint K 3 quodcumque K 5 add K: et 6 ega ... angulo om K 7 Q!11 K 8 istud K - 43 -

4

a ...

angulus om K

anguli cuius duo anguli qui sunt supra basim, sunt equales, duo latera sunt equalia. Et sic: Si equantur duo anguli trianguli, latera ipsis 1 subtensa sunt equalia. 5 Ex eis quoque que huic sexto2 theoremati adduntur, est istud quod sequitur: Omnis triangulus cuius duo anguli qui sunt sub basi, sunt equales, est duorum equalium laterum. Exempli causa: sit triangulus abg cuius duo latera ab et ag: cum protrahuntur usque ad duo puncta a et e, sit angulus gba equalis angu10 lo bge: dico igitur quod latus ba est equale lateri ag. Probatio eius: quoniam non est possibile aliter esse. Quod si possibile fuerit quod3 non sit ei equale: ponam ergo quod ba sit maius ag, et 15 ..t. secabo bf equale ag, quemadmodum manifestum est ex probatione figure tertie, et protraham gt et signabo in linea a.a punctum z et abscidam gh equale bz, sicut manifestum est ex probatione figure tertie, et producam duas lineas bh, gz. Et quia 20 divisimus lineam gh equalem bz, ergo si acceperimus bg communem, erunt due linee hg,/(C p.51) gb equales4 duabus lineis zb, bg, et angulus bgh est equalis angulo gbz. Manifestum est ergo ex probatione figure quarte quod basis zg est equalis basi bh, et triangulus bgz est equalis triangulo gbh, et angulus bzg equalis angulo bhg. Cum ergo equalia equalibus 25 addiderimus, erit linea zi equalis linee ah totaliter. Sed iam ostendimus quod bh est equalis gz, et quod5 angulus ahb est equalis angulo azg: ergo duo latera bh, ha sunt equalia duobus lateribus tz, zg, quodque6 latus suo relativo equale, et angulus h est equalis angulo z. Ergo secundum probationem7 figure quarte triangulus hab est equalis triangulo zgf. Sed 30 iam ostendimus quod triangulus hgb est equalis triangulo gbz: cum ergo ex equalibus minuerimus 8 equalia, remanebunt equalia. Remanet ergo triangulus abg equalis triangulo9 bfg, maior SC. equalis 10 minori, quod est contrarium et impossibile. Non est ergo possibile ut sit latus ab maius latere bg neque minus eo: est equale igitur ei. Et illud est quod 35 demonstrare voluimus. 1 ipsius K 2 om K 3 ut K 4 equale K 5 quia K 7 propositionem ? K 8 minuimus ? K 9 angulo K 10 om K - 44-

6 quod est K

a Additum septimo 1 hoc est.b Si quis dixerit: possibile est ut a2 duabus extremitatibus linee ab due linee ag et bg3 protrahantur equales duabus4 lineis aa et ba protactis donec ag sit equalis aa et bg sit equalis ba: dico illud 5

fore impossibile. Probatio eius:

quoniam

producam

&---------a, lineam ga et protraham duas lineas ag et aa secundum rectitudinem usque ad duo puncta e et z:/(C p.52) quia ergo triangulus aga est duorum equalium laterum, latere5 videlicet /(K 16, 10 5v) ag existente equali lateri aa, erunt ex probatione quinte figure duo anguli qui sunt sub basi, equales. Angulus igitur eag6 est equalis angulo zga. 7 Sed angulus bga est maior angulo 8 zga, ergo angulus bga est maior angulo eag. Sed angulus eag est maior8 angulo bag, ergo angulus bga9 est multo maior angulo bag. 10 Et etiam quia triangulus bag est 15 duorum equalium laterum, ergo secundum probationem 11 figure quinte sunt duo anguli qui sunt supra basim, equales: ergo angulus bag est equalis angulo bga. 12 Sed iam ostendimus quod angulus bga est multo 13 maior angulo bag, et hie est ei equalis; quod est contrarium et impossibile. 20 Manifestum est itaque ex hoc quod hie probatur, quod commodum 14 proveniat15 ex eo quod in quinta figura probatur, quod duo anguli qui sunt sub basi, equales existunt./(M 19')

< I 8 >c Adiunctum octavo theoremati relatum ad probationem que fit 16 secundum modum contrarietatis. a. Ad.: Si a duobus punctis aliquam lineam terminantibus due linee ad punctum unum concurrentes exierint, ab eisdem punctis alias duas lineas singulas suis conterminalibus equales que ad alium punctum concurrant, in eandem partem educi impossible est. b. Secundum textum in M datum linea ag protrahitur usque ad e et linea aa usque ad z, sed cfr. figuram et textum. Correxi textum (vide n. 6 et 7). c. Ad.: Omnium duorum triangulorum quorum duo latera unius duobus lateribus alterius fuerint equalia, basisque unius basi alterius equalis, duos angulos equis lateribus contentos equales esse necesse est. 1 septime K 2 ab K 3 et bg : abg K 4,5 QID K 6 zag M,K? 7 ega M 8 angulo ... maior QID K 9 bag K 10 abg K 11 probationes K 12 bag K 13 multum K 14 quod commodum : quemadmodum K 15 perveniat K 16 que fit om K - 45 -

< a >

Basis trianguli

aog

que est og, superponatur basi ez que est trianguli aez., et cadant linee ab, 1 ag ab altera pane sicut linee 1 eh, hi., et con/(C p.53)iungam puncta a et h cum linea aii. Et quia linea ae est equalis

rJ,

5

~

. Do...

_ _,___ ~

linee eh, ergo ex probatione quinte figure sunt duo anguli qui sunt supra

4

· basim, equales. Angulus ergo aiie est equalis angulo nae. Ex hac quoque2 probatione monstratur quod angulus aiii.3 est equalis angulo hai.. 4 Angulus ergo eaz totus est equalis toti angulo ehz. 5 Et illud est quod demonstrare voluimus. ')

10

< b >

15

1----.l

25

possibile est ut linea ag secundum rectitudinem coniungatur linee az, sicut linea ai.h. Quia ergo triangulus aeh duo latera habet eA,. qualia,6 SC. latus ae quod est equale e. lateri he,7 angulus Caii est equalis angulo

D

ehz.

Et illud est quod demonstrare 1. vo uunus. < c >a Positum est quod linea ag sit quasi coniuncta secundum rectitudinem linee az: possibile quoque est ut linea ag linee az. taliter coniungatur quatinus ipsa cum linea az. ab altera o. pane contineat angulum. Sit ergo ita

'}

;.,.

D

sicut linee az, i.h, 8 et producam lineam aii. Et quia triangulus aeh est

4 ' duorum equalium laterum, latere9 ae equali lateri eh, ergo ex eo quod manifestum est ex figura quinta, angulus Caii /(C p.54) est equalis angulo eha. Et etiam quia triangulus ai.h est duorum equalium laterum,9 ergo secundum probationem figure quinte 30 angulus i.aii est equalis angulo z.na. Sed cum de equalibus equalia demuntur, que relinquuntur sunt equalia: remanet ergo angulus eaz. angulo ehz equalis. Et illud est quod demonstrare voluimus.

D

a. Mss. M,K habent figuram hanc quae non correspondit cum textu. Solo K habet figutrun So. ~ ~ 1 ab ... linee QIJl K 2 QID K 3 aoz. K 4 baz K (sed corr?) 5 eoi. K 6 Q!Il K 7 oe ? K; filk1 K : et 8 zo K 9 latere .. .laterum llIIl K

- 46-

~

"'l.

't

..t..

Figure tamen iste probationibus non sint necessarie, quoniam cum basis superponitur basi, non scitur certitudo duorum angulorum a et 1 a. Et illud est quod demonstrare voluimus. 2

< I 9 >a Additio noni theorematis. dixerit quod triangulus equilaterus qui fit super lineam trianguli a.ea que est linea ae, cadit super lineam ab ad similitudinem z: erit ergo equale unicuique duarum latus ae linearum az, ze. Et quia triangulus3 aea 10 est duorum equalium laterum, ergo ex eo quod est manifestum ex probatione figure quinte, angulus4 aeg est equalis angulo rob quia ipsi sunt anguli qui sunt k sub basi. Et etiam quia triangulus aze 15 est duorum equalium laterum, ergo ex eo quod precessit ex probatione figure quinte, etiam erunt duo anguli qui sunt supra basim, equales. Ergo angulus roe est equalis angulo zea, maior videlicet minori, quod est contrarium et impossibile. Quod si dixerit quod egreditur a linea abz, erit magisterium eius 20 turpius. Et illud est quod demonstrare voluimus. 5 Si quis

< I 11 >b Hoc quod sequitur, Irinus5 undecimo6 theoremati7 addidit./(C p.55) Si quis dixerit: volo quod8 a puncto a quod est linee extremitas,linea recta protrahatur que sit perpendicularis 25 super lineam ab: signabo ergo in 9 linea ab punctum g, a quo producam perpendicularem que sit ga, sicut ostensum est ex probatione precedentis figure. Sit itaque protractio ga in infinitum. 30 Secabo autem ex ga quod sit equale a. Ad.: Datum angulum per equalia secare. b. Ad.: Data linea recta a puncto in ea assignato perpendicularem extrahere, duobus quidem angulis equalibus ac rectis utrimque subnixam. 1 om K 2 quod demonstrare voluimus K, om M 3 de triangulis K 4 anguli K 5 annus K 6 v° K 7 theoremate K 8 ut K 9 cum K - 47 -

linee ii.g. Sit itaque1 linea ga, et producam perpendicularem ae quemadmodum protraxi aliam in infinitum, et dividam angulum aga in duo media cum linea recta ex probatione figure none, et producam earn donec concurrat linee ae et ponam ut ipsa concurrat ei in puncto2 e. Deinde 5 coniungam quod est inter duo puncta a et e, producendo lineam ii.e. Dico igitur quod linea ii.e est perpendicularis supra3 lineam ab supra punctum a. Probatio eius: quoniam secuimus lineam ga ad equalitatem linee ga, et fecimus angulum age equalem angulo age, ergo ge communi ex eo quod 10 manifestum est ex probatione figure quarte, erit angulus gii.e equalis angulo gae. Angulus autem gae est rectus, ergo angulus eii.g est rectus. Ergo linea ii.e est perpendicularis supra punctum a linee ab. Et illud est quod demonstrare voluimus. a Quod sequitur, 14 theoremati additum est. 15

Hoc autem4 alio modo probatur secundum viam plenitudinis et usus. Ponam itaque ut a puncto b linee ab due linee bg et oa sint5 protracte et provenerint6 /(C p.56) duo anguli ii.bg, ii.ha duobus rectis angulis ci.. equales. Dico igitur quod ipse7

20 tJ.-

-Cr.

_L

secundum rectitudinem coniunguntur et fiunt linea una. Probatio eius: quoniam possibile est ut a puncto b quod est communis extrernitas linearum bg, oa, protrahatur

linea que supra earum extrernitatem sit -l. perpendicularis: quia si fuerit 25 perpendicularis super lineam bg et non fuerit perpendicularis super lineam8 ba, tune duo anguli ii.bg et ii.ba non sunt equales duobus rectis angulis. Sit itaque9 linea illa linea be. 10 Ponam itaque lineam aliam supra quam sit11 zh, in qua signabo notam t. Deinde protraham a puncto t 30 perpendicularem supra12 lineam zh que sit linea tk. Manifestum est

a. Ad.: Si due linee a puncto unius linee in diversas partes exierint, que duos circa se angulos aut rectos aut duobus rectis equales fecerint, ille due linee sibi invicem directe coniuncte sunt, et linea una. 1 que K 2 punctum K 3 super K 4 K, rte M 5 sic K 6 pervenerint K 7 ipsa K 8 add K : bg 9 que K 10 linea be : ae K 11 sint sive situs K 12 super K - 48 -

itaque

quod

angulus

ztk

est equalis angulo

aoe,

htk1 aoe,

et angulus

angulo goe equatur. Cum ergo superposuerimus angulum ztk angulo ponetur punctum f supra punctum b, et superponetur linea fz linee oa, et linea Ile cadet supra lineam be. Angulus quoque kili. locabitur2 super 5 angulum ebg quoniam etiam3 ipsi sunt equales, et ponetur linea ili. supra lineam bg, et ponetur tune tota linea zili. super lineam ago. Sed linea zili. est una recta linea, ergo linea

aog4

est una recta linea. Et illud est

quod demonstrare voluimus. < I 19 >a Quod sequitur nono decimo additum est theoremati secun10 dum mod.um contrarietatis quod Irinus5 addidit./(C p.57) Ad illud probandum hoc antecedens explanetur: < a > Cum angulus bag qui est trianguli abg, in duo media linea dividetur sicut ostensum est ex probatione figure none, erit

ga

aa6

longi-

or ao. Dico igitur quod linea ga est longior linea ab. Protraham itaque ae

15

secundum rectitudinem

aa

et eius equali-

tatem, et secabo az ad equalitatem oa quemadmodum manifestum est7 ex probatione

20 .t equales duabus lineis

ea

figure

tertie,

et protraham

ez8

quam producam usque ad h, et protraham az. Due ergo linee aa et ao sunt et az, et duo anguli aao, eaz9 oppositilO sunt

equales: secundum probationem igitur figure quarte erit basis ab equalis basi ez, et angulus oaa 11 equalis angulo aez. Sed angulus baa 12 est 25 equalis angulo gaa, quoniam angulus gab fuit divisus in duo media linea aa; et iam fuit ostensum quod angulus baa est equalis angulo hea: necesse est ergo ut angulus hae sit equalis angulo hea. Ergo secundum probationem figure sexte erit linea ah equalis linee 13 he, ergo linea ag est longior linea he. Sed linea he est longior linea ez, et linea ez est 30 equalis linee ab, ergo linea he est longior linea ab. Sed linea ag est longior he, ergo linea ag est multo longior linea ab.

< b > Post hec dico quod si fuerit angulus abg qui est trianguli abg, a.

Ad.: Omnis trianguli maior angulus longiori lateri oppositus est.

1 bile K 2 localiter K 3 om K 4 ahg K 5 Inrus K 6,7 om K 8 az, ez K 9 e ? M sed corr; eza K 10 oppositum K 11,12 bae M, K sed M corr 13 om K -49-

/(M 19v) maior angulo qui est aga, erit latus ag maius 1 latere ab. Dividam itaque latus bg in duo media supra punctum a quemadmodum est manifestum /(C p.58) ex probatione figure decime, et protraham lineam aa quam producam usque ad e, et ponam ut2 ae sit equalis aa, et 5 producam lineam oe. Duo ergo latera Da3 et ae sunt equalia duobus lateribus ga et aa, et angulus aag est4 equalis angulo Dae: triangulus quoque Dae est equalis triangulo aag; ergo angulus aoe ,,,""----r-J,____-'¥ .t est equalis angulo aga. Ergo angulus abg est maior angulo aoe. Dividam itaque angulum abe in duo media cum linea oz, sicut manifestum est ex probatione figure none. Linea ergo ez est maior linea za. Secundum probationem ergo figure que ante hanc est expositaa, erit latus oe maius latere ab. Sed latus be est 15 equale lateri ag, ergo ag est longior5 ab. Et illud est quod demonstrare voluimus.

10

< I 20 >b Quod sequitur theoremati 20 additum est. < a > Sit itaque triangulus abg. Dico igitur quod coniunctio duorum laterum ab et ag maior latere bg, posito quod latus bg sit maius unoquo20 que duorum laterum ab et ag. Probatio eius: quoniam dividam angulum bag in duo media quemadmodum est ostensum ex probatione figure none, extrinsecus itaque angulus trianguli aoa, sc. an/(C p.59)gulus aag, maior existit 25 angulo baa, qui est equalis angulo gaa; 6 quod equidem manifestum est secundum7 probationem [igitur] 8 figure sexte decime. Angulus trianguli aag qui9 est angulus aag,9 maior existit angulo gaa, ergo secundum probationem figure none decime latus ag est 30 longius latere ag. Et secundum similitudinem huius probationis ostenditur quod latus ab est maius latere Da. Ergo coniunctio laterum ab et

1

a. b.

I19a. Ad.: Omnis tranguli duo quelibet latera simul iuncta reliquo latere sunt longiora.

1 minus K 2 si K 3 ba K 4 K ~ 5 longius K 6 equalis K 7 per K 8 sive: ... manifestum est. Secundum probationem igitur... ?? 9 qui ... wg omK

- 50-

ag est maior latere bg. Et illud est quod demonstrare voluimus. < b >Alia figura 20 addita1 theoremati. Sit itaque triangulus abg et sit latus bg longius lateribus ipsius. Secabo ergo ex latere bg quod sit equale ab, sitque IXl, sicut manifestum est ex probatione figure tertie. Secundum ergo probationem figure quinte angulus baa2 est equalis angulo baa, sed secundum probationem figure sexte decime angulus baa est maior angulo aag, et similiter angu10 lus gaa est maior angulo aab. Ergo duo anguli3 qui sunt ab utraque parte linee a.a, cum coniungentur, erunt maius angulo bag solo. Sed angulus Daa4 est equalis angulo4 baa quoniam linea ab est equalis linee IXl. Remanet ergo angulus aag maior angulo gaa, ergo latus ga est maius latere ga. Sed ba est equale ab, ergo coniunctio laterum ab, ag 15 maior est latere bg. Et illud5 est quod demonstrare voluimus. < c > Aliud6 quod additum est 20./(C p.60) Si quis dixerit quod possibile est ut sit triangulus cuius duo latera o..sint7 equalia reliquo tertio lateri: ponam ergo8 triangulum abg et ponam ut coniunc20 tum9 ex lateribus ab, ag sit equale lateri bg. Secabo igitur ba ad equalitatem ab quern't ____ti.....__ _ _..., l admodum manifestum est ex probatione /(K 17 ,6r)

figure tertie; remanebit ergo ag equale ga et protraham lineam a.a. Et quia latus IXl est equale lateri ba, ergo angulus aab est equalis10 25 angulo baa ex probatione figure quinte. Secundum similitudinem quoque huius probationis est manifestum quod angulus aag est equalis angulo gaa. Sed11 duo anguli qui sunt in puncto a ab utraque parte linee aa, equantur duobus rectis, quod ex probatione figure tertie decime patet, et ipsi sunt equales angulo bag. Hoc autem 12 contrarium et impossibile est 30 propter hoc quod linea aa in puncto 13 a erigitur supra coniunctionem duarum linearum ba, ag, et fiunt duo anguli baa, aag equales duobus rectis. Secundum probationem ergo figure quarte decime sequitur ut sint due linee ab, ag secundum rectitudinem coniuncte et fiant linea una recta. Due ergo linee ba, ii.g una recta linea sunt, ergo trianl add K : est 2 bea K 3 angulis K 4 IXla ... angulo om K 5 istud K 6 illud K 7 sunt K 8 autem K 9 coniunclum K 10 equale K 11 dz K 12 om K 13 punctum K - 51 -

gulus a duabus 1 rectis lineis continetur, quod est contrarium et impossibile. Et illud est quod demonstrare voluimus. < d >Hoc quoque quod sequitur, est additum 20. 2 Ponam ut duo latera ab, ag coniuncta sint minus latere bg. Dividam itaque ba ad equalitatem ba, et ge ad equalitatem ga. Secundum /(C p.61) proba-

5

tionem igitur figure quinte erunt duo anguli baa et baa equales, et similiter duo anguli gea, gae equales. Sed angulus aab3 est maior angulo aag, ergo angulus aab est4 multo maior angulo gae; et similiter

10

ostenditur quod angulus aeg est maior angulo baa5 multo. Ergo coniunctio duorum angulorum aab, aeg est maior coniunctione duorum angulorum baa,5 gae. Sed iam fuit ostensum quod ipsi sunt eis equales, quod est 15 contrarium et impossibile. Et illud est quod demonstrare voluimus.

< I 24 >a Additio figure 24. ah protrahatur donec sit equalis lateri ag et postea proa. ducatur eh equalis linee bg, ergo separabitur punctum z et proveniet triangulus ahe. Sed 20 iam protracte sunt a duabus extremitatibus ---~~ ().. unius laterum ipsius quod est ae, due linee que sunt az, ze, 7 quarum extremitates in .../.. puncto z infra triangulum concurrunt. 8 g J, Secundum probationem igitur figure vicesime 25 prime9 erit coniunctio duorum laterum ez, za, quasi 10 linea una, minor coniunctione duarum linearum ah, he positarum quasi linea una. Sed latus ah est equale lateri az, remanet ergo latus eh maius latere ez. Manifestum est autem ex probatione figure quarte quod 11 basis eh est equalis basi bg. Basis /(C p.62) erSi6 linea

a. Ad.: Omnium duorum triangulorum quorum duo latera unius duobus lateribus alterius equalia fuerint, si fuerit angulorum sub illis equis lateribus contentorum alter altero maior, basis quoque eiusdem basi alterius erit maior. 1 duobus K 2 zd K 3 aah K 4 QID K 5 haa K 6 sed K 7 ez K 8 concurrerunt K 9 vicesima prime : 2me 1 M, 20e vicesima prime K 10 que in K 11 quia K

- 52 -

go bg est maior basi ez. Et illud est quod demonstrare voluimus.

5

10

15

20

25

< I 25 >a Hoc quod sequitur, figure 25 additum est absque via contrarietatis; quod equidem1 reperi, 2 sed eius inventorem minime inveni. Ponam itaque ut duorum triangulorum abg, aez latus ab sit equale lat teri ae, et latus ag sit equale lateri az, sed reliquum latus bg sit maius reliquo latere ez. Dico igitur3 quod angulus bag est maior angulo eaz.. 4 Probatio eius: quoniam protraham ..e.. 0. lineam ez usque ad h secundum rectitudinem et ponam ut eh sit equalineam ea lis bg, et producam secundum rectitudinem usque ad punctum t et ponam at equalem ag, et ponam punctum a centrum et cum spatio at describam arcum ITcZ.5 Et quia ta est equalis az. et duo la- tera ab et ag, posita quasi linea /(C p.63) una, sunt maius latere bg quemadmodum ex probatione figure vicesime est manifestum, et latus bg est equale lateri eh, et coniunctio duorum laterum ab, ag positorum quasi linea una, est et: ergo linea et est maior linea eh. Ponam itaque punctum e centrum et cum spatio eh describam arcum hf et protraham ek et ak. Linea ergo ak est equalis linee at. Sed at est equalis ag, ergo linea ak est equalis linee ag.6 Et etiam quia ek est equalis eh7 que posita fuit equalis bg, est linea ek equalis linee bg. 8 Duo ergo latera ea, ak sunt equalia duobus lateribus ba, ag, quodque suo relativo, sc. 9 ab est equale ae et ag equale ak, et basis bg est equalis basi ek: ergo angulus eak est equalis angulo bag, quod quidem 10 ex probatione figure octave11 est manifestum. Sed angulus eak 12 est maior angulo eaz., ergo13 angulus bag est maior angulo eaz. 13 Et illud est quod demonstrare voluimus.

~Dt

a. Ad.: Omnium duorum triangulorum quorum duo latera unius duobus lateribus alterius equalia fuerint, basis vero unius basi alterius maior fuerit, erit quoque angulus trianguli maioris alkaide equis alterius lateribus contentus, angulo alterius se respiciente maior. 1 equalis K 2 operi K 3 ergo K 4 K 8 ag K 9 scel' K 10 ql' K 13 ergo ... eaz. om K

eza K 5 tbz ? K 6 eg K 7 om 11 om K (lacunam) 12 eah K

- 53 -

< I 26 >a Quod sequitur, figure 26e additum est secundum copiositatis modum; quod quidem1 reperi, sed inventorem eius minime inveni. Cum /(M 2C1) angulus b fuerit equalis angulo e2 et angulus g equalis angulo2 z, et latus bg equale lateri ez, ergo si latus bg superponatur

5 L

lateri ez et punctum b ponatur super punctum e- et punctum -g super punctum -z, superponetur3 linea

bg linee ez quoniam ipse

sunt equales, et locabitur4 angulus b super 4 angulum e, et .t angulus g super/CC p.64) Manifestum est igitur quod duo latera ab, ag cooperient5 duo

'l.

z. ea, 6 az, et angulus ii. cooperiet angulum a: quoniam si duo latera ab, ag non cooperuerint duo latera6 ae, az, sed ceciderint ad similitudinem ebz, 7 erit angulus zeb, 8 SC. angulus abg, maior angulo zoo;

10 angulum latera

sed iam fuit ei equalis, quod est contrarium et impossibile. Et si ceci15 derint intra triangulum quemadmodum linee eh, hz, erit angulus zoo maior angulo hez, 9 sc. angulo ii.bg; sed iam fuit ei equalis, quod est contrarium et impossibile. Quod si huius figure addite figure 26elO opus fuerit, sicut opus figure quarte

absque

indicio 11

20 angulus b cooperit angulum

contrarietatis,

e et

angulus

isti duo anguli cooperuerint duos angulos lateri

tune

manifestum

erit

quod

g cooperit angulum z. Et cum e, z, et latus bg superpositum

ez cooperit ipsum, ergo duo reliqua latera superposita duobus

reliquis lateribus cooperiunt ipsa, quodque sc. eorum suum relativum, et angulus

a

cooperit angulum

a

et triangulus cooperit triangulum. Et illud

25 est quod demonstrare voluimus.

< I 6 >b Postquam ergo hoc theorema scitum fuerit, scietur probatio figure sexte absque contrario, que 12 erit huiusmodi: Cum duo anguli alicuius trianguli sunt equales, tune ipse est

duorum

equalium

laterum.

a. Ad.: Omnium duorum triangulorum quorum duo anguli unius duobus angulis alterius uterque se respicienti equales fuerint, latusque unius lateri alterius equale, fueritque latus illud inter duos angulos equales aut uni eorum oppositum, erunt quoque duo unius reliqua latera duobus reliquis alterius trianguli lateribus, unumquodque se respicienti equalia, angulusque reliquus unius reliquo alterius equalis. b. cfr p. 43. 1 ql' K 2 e ... angulo om K 3 superponatur K 4 localiter K 5 cooperierunt K 6 ea, az ... latera om K 7 ehz K 8 zeh K 9 hzt K (?) 10 2e ge K 11 dubio K 12 contrario, que : quasi omnis K - 54 -

Exempli causa: sit angulus 1

abg

triangu-

li abg equalis angulo agb, dico igitur2 quod latus ab est equale lateri ag. Probatio eius: quoniam dividam duo latera

5

ba, ge,

et ponam ut sint equalia, et

protraham duas lineas

be, ga.

Duo ergo

/(C

p.65) latera ab, bg sunt equalia duobus et angulus abg est equalis angulo bge, ergo secundum

~ ~----____;~,(,

lateribus eg,

gb

probationem figure quarte erit basis ag equalis basi 10 equalis angulo bga, et angulus bag equalis angulo igitur figure tercie decime erit reliquus angulus

eb et angulus gbe3 beg. Ex probatione aeb equalis reliquo

angulo aag; et etiam quia reliquus angulus ii.be est equalis reliquo angulo aga, ergo secundum probationem figure antecedentis addite 26e4 erit latus a.a equale lateri ae. Sed iam fuit ostensum quod ba est equalis ge, 15 ergo tota linea ba est equalis toti linee ga; ergo latus ab est equale lateri ag. Et illud est quod demonstrare voluimus. < Pet. 5 >a Postulatum quo probatur figura 29a, quod5 sc. est quod omnes due linee que protrahuntur super duos angulos minores duobus rectis, 6 coniunguntur, non est propositio recepta. 20

Dixit Sambelichius supra hoc: 7 quia hec petitio non satis manifesta est, oportuit ut lineis declaretur, ideoque Antatusb8 et Deiudusc9 declaraverunt earn multis figuris diversis. Ptholomeusd 10 quoque supra hanc suam attulit /(C p.66) probationem, 11 usus est in probatione eius figura XIII et quinta decima et 16a primi tractatus de elementis, et hoc non est

25 extraneum quoniam Euclides non usus est ea in probatione alicuius nisi in probatione 29e figure istius tractatus. Hee quoque petitio ad sui ipsius declarationem12 indiget aliqua consideratione, et etiam13 ut demonstretur quod quemadmodum due linee que protrahuntur super duos rectos angulos, non concurrunt, sed equidistant, ita due linee que protrahuntur super 30 duos angulos minores duobus rectis, coniunguntur. 14 a. vide p. 31. b. = Abthinatus? vide p. 31.

c. = Diodorus, vide p. 31. d. cfr. Proclum 365,5-369,20.

1 triangulus K 2 om K 3 gae K 4 25e M, 5e K 5 que K 6 add M, K: non, sed M lcl1l- 7 hanc K 8 Autatus K 9 Deinde K 10 Ptolomeus K 11 llihl K : et 12 demonstrationem K 13 et etiam : 2 3a K 14 coniungantur K

- 55 -

5

10

15

20

25

Socio vero nostro Aganiz non est visum ut poneret hanc penuonem quoniam eget probatione, sed loco eorum que sunt in elementis, usus est aliis, ita ut probaret figuram 29am absque hac petitione. Deinde vero proba/(K 18,6v)vit hanc petitionem secundum sententias et vias geometricas, cuius verba sunt hec. Dixit Aganiz: quia promisi me ostensurum huius petitionis declarationem que est: quod due linee, cum protrahuntur super duos angulos duobus rectis minores, concurrunt, cum probationibus geometricis, eo quod possibile est aliquem reprehendere geometras in hoc et dicere: quare petitis 1 vobis2 concedi quod non saris manifestum est, et utimini eo in probatione alterius: faciam ergo istud, 3 et fortasse hec intentio est res4 valde magna nec5 indiget, ut video, longa sermocinatione. Dico ergo6 quod nos difinivimus lineas equidistantes dicentes eas esse que cum sint in una superficie, si utrimque in infinitum protrahantur, erit spatium quod est inter eas, semper7 unum; et spatium quod est inter eas, 7 est minor linea que est inter eas, sicut dictum est in spatiis. Oportet ergo ut iste figure primo8 tractatui 9 addantur libri elementorum post figuram 26am, ad hoc ut hec figura reducatur ad hoc ut sit vicesima septima. < a > Si fuerint due recte linee equidistantes, spatium /(C p.67) quod est inter eas, 10 est perpendiculare super unamquamque illarum linearum. Exempli causa: ponam ut sint due linee equidistantes que sint ab, ga, et sit spatium inter eas ez. Dico igitur quod linea ez est perpendicularis super unamquamque duarum linearum ab, .a. .../.., o... ga.

' V

Probatio eius: quoniam si non fuerit ,. linea ez perpendicularis super unamquamque ,,._ duarum linearum ab, ga, duo 11 anguli qui sunt in puncto e, non erunt recti. Sit ergo qui 12 ex eis est acutus, 30 angulus aez. Protraham itaque a puncto z perpendicularem super lineam ab que sit zh, et illud est ut cadat in parte a. Ex probatione igitur figure none decime 13 erit ze longior zh, sed iam fuit positum 14 ut minor linea15 recta que coniungit inter duas lineas ab et ga, sit 1 potitis K 2 nobis K 3 illud K 4 om K 5 neque K 6 igitur K 7 semper ... eas om K 8 prime K 9 om K (lacunam) 10 eos K 11 om K 12 quod K 13 none decime: 10e K 14 ostensum K 15 om K

- 56 -

quod est contrarium et impossibile. Linea ergo ez est1 perpendicularis super unamquamque duarum linearum ab, ga. Et illud est quod

ez,

demonstrare voluimus. < b > Hane sequitur ista alia. 5

Si

recta linea super duas rectas

lineas

ceciderit et fiat

super

unamquamque2 earum perpendicularis, ille due linee erunt equidistantes et perpendicularis est spatium inter eas. Exempli causa: ponam ut sint due recte linee ab, ga super quas cadat 10

,t

.€,.

A-

:J-

linea ez que cum unaquaque illarum contineat duos rectos angulos. Dico igitur quod due linee ab, ga sunt equidistantes. Probatio eius: quoniam si non fuerint

equidistantes, faciam ergo transire SUpra3 punctum z lineam equidistantem li15 nee ab que sit - si est possibile - linea4 zh, et5 ponam ut linea equidistans linee ab sit zh. Sequitur igitur ut linea ez sit spatium quod 'l.

ab et lineam zh, quoniam ipsa est brevior /(C p.68) lineis que protrahuntur a puncto z ad lineam ab. Ergo angulus hze est rectus, quod ex probatione antecedentis figure sequitur. Sed positum est 20 quod angulus eza est rectus, quod est contrarium et impossibile. Ergo due linee ab, ga sunt equidistantes et ez6 est spatium inter eas. Et illud est quod demonstrare voluimus. < c > Alia tertia. a est inter lineam

Si linea recta protrahitur7 supra equidistantes lineas, proveniunt duo 25 anguli coalterni equales et fit8 angulus extrinsecus intrinseco angulo sibi opposito equalis, et fiunt9 duo anguli intrinseci qui sunt in parte una, equales coniunctioni duorum rectorum angulorum. Exempli causa: super10 duas rectas lineas equidistantes ab, ga recta .Ar ..fc. "" 'l- linea ez protrahatur. Dico igitur quod anguli qui proveniunt, sunt secundum quod prediximus. Probatio eius: quoniam protraham ab unoquoque duorum punctorum e et z spatium quod est inter duas lineas ab, ga,

30

a. = Eucl. 29.

1 om K 2 unaqueque M 3 super K 4,5 om K K 8 et fit : ut sit K 9 fuerint K 10 supra K - 57 -

6 ei K 7 protrahetur

que 1 sunt linee et, Zk; 2 sunt ergo quatuor anguli qui proveniunt ex eis, recti. 3 Linea igitur et equidistat linee kz, quod sequitur secundum probationem antecedentis figure, et linea linee

ek:

et

zt

5 Et quia linea

ek

equidistat linee

tz.

Sed due

sunt spatium quod est inter eas, ergo ipse sunt equales.

tz

est equalis linee

ek:

et linea

et

/(M 20v) est equalis

linee Zk, et linee iste equales continent angulos, ergo duo trianguli sunt

tze

equales, et reliqui anguli sunt equales reliquis angulis. Ergo angulus est equalis angulo angulo

hza

zek:,

qui sunt coalterni. Sed angulus

tze

est equalis

quoniam ipsi sunt supra sectionem, quod4 secundum proba-

10 tionem figure 15e sequitur; ergo angulus

zek:

est5 equalis angulo

hza,

extrinsecus /(C p.69) sc. intrinseco sibi opposito. Et etiam quia manifestum est quod anguli coaltemi sunt equales, addam ergo angulum

aze

communem; ergo duo anguli tze, ero qui duobus rectis equantur, sunt equales duobus angulis k:ez, aze; 7 ergo duo anguli intrinseci qui sunt in 6

15 parte una, sunt equales duobus rectis. Et illud est quod demonstrare

voluimus. < d > Alia quarta. as Si linea recta super9 duas rectas lineas protrahatur et fuerint duo anguli coalterni quos ipsa cum duabus lineis comprehendit, equales, aut 20 fuerit angulus extrinsecus angulo intrinseco sibi opposito equalis, aut

fuerint duo anguli intrinseci qui sunt in parte una, duobus rectis equales: due linee erunt equidistantes. Exempli causa: sint due linee ab,

ga

super quas cadat linea

ez

que

cum eis contineat angulos secundum quod numeravimus. Dico igitur 25 quod10 due linee ab, ga sunt equidistantes. Probatio eius: quoniam si linea ez fuerit perpendicularis, manifestum est quod due linee ab, 11

.J,

ga

sunt equidi-

stantes propter hoc quod precessit in secunda harum figurarum que sunt ad30

dite. Quod si linea

ez

non fuerit per-

e ek:.

pendicularis, ergo protraham a puncto ad lineam

ga

perpendicularem que sit

Si ergo angulus e fuerit rectus, tune manifestum est etiam quod due linee ab, ga sunt equidistantes propter a. = Eucl. 27 + 28.

1 qui K 2 zh K 3,4,5

om

K

6

aze K 7 age K 8 tertia K

10 om K 11 ah K - 58 -

9 inter

K

hoc quod precessit in figura tertia harum figurarum que adduntur. Sed si angulus e1 non fuerit rectus, tune producam a puncto e perpendicularem super ek quemadmodum est manifestum ex undecima figura, sitque linea el. Ergo due linee el, ga sunt equidistantes. Ergo anguli earum 5 coalterni sunt equales, quod equidem2 constat ex probatione figure harum figurarum tertie. Ergo unusquisque duorum angulorum /(C p.70) zeb, 3 zeI est equalis angulo gze, 4 quod est impossibile. Ergo due linee ab, ga sunt equidistantes. Et illud5 est quod demonstrare voluimus. 6 10 Aganiz vero secundum positionem suam inquit: reducatur figura 31 a que sic incipie Volo protrahere a puncto dato linee date lineam equidistantem, cuius probatio sit secundum probationem Euclidis; et sirniliter alie figure quas norninabo post istam, ex quibus7 est figura 32a, sic incipiens:b Superficierum equidistantium laterum latera opposita 15 et anguli oppositi sunt equales; et 33a, c Linee uni linee equidistantes, sunt equidistantes; et 34a, d Linee recte que8 coniungunt spatium quod est inter9 lineas equales et equidistantes, sunt etiam equales et equidistantes; et 35a, e Si 10 linea recta super duas rectas lineas ceciderit11 et fuerint duo anguli intrinseci qui sunt in parte una, rninores duobus 20 rectis, due12 linee cum protrahentur in partem duorum angulorum qui sunt rninores duobus rectis, 12 concurrent, quod hoc modo declaratur. Exempli causa: Sint due recte linee ab, ga super quas cadat linea recta ez, et proveniant 13 duo anguli qui sunt14 in parte una, rninores duobus rectis. Dico igitur15 quod due linee ab, ga concurrent in parte 25 illa. Probatio eius: quoniam supra punctum z faciam transire lineam equidistantem linee ab, quemadmodum posse protrahi ex probatione16 Euclidis in figura 31 a est17 manifestum, sitque linea zh. Et protraham spatium inter eas secundum figuram undecimam huius partis, que est li30 nea ze, et ponam super lineam za punctum t 18 quocumque modo cadat, a a. = Eucl. 31. b. = Eucl. 34. c. = Eucl. 30.

d. = Eucl. 33. e. =Pet. 5.

1 est K 2 equalis K 3 zeg K 4 aze K 5 et illud M marg? 6 est ... voluimus K, om M 7 operibus K 8 quod M 9 ru:ld K : duas 10 sed K 11 cecidit K 12 due ... rectis M marg, om K 13 proveniunt K 14 qui sunt : M bis 15 ergo K 16 protractione K 17, 18 om K

- 59 -

5

10

15

20

25

30

quo producam perpendicularem c super lineam ze, sicut manifestum est posse protrahi 1 ex2 figura undecima, sitque linea ii. Et dividam lineam ze in duo media, sicut ostensum est ex probatione figure decime et medietatem eius in duo media, neque cessabo quin hoc semper3 faciam, donec cadat s sectio eius citra punctum i. Cadat ergo sectio eius supra punctum in; est ergo quod punctum in cadit4 /(C p.71) super partem linee ez cum qua5 ratiocinatur. Ponam itaque ut sectio6 eius que cadit citra punctum i, sit sectionis secunde, et producam supra punctum in7 lineam equidistantem duabus lineis zh, ab, que sit linea infl, sicut manifestum est8 ex probatione figure que secundum ordinem Aganiz est 31 a. Et protraham lineam zn9 in infinitum, et ponam ut in zc sit ex multiplicibus zn sicut sunt multiplicia que sunt in ez quantitatis zin. Dico igitur quod due linee ab, ga concurrent 10 supra 11 punctum c. Probatio eius:a quoniam secabo ex linea zc lineam equalem linee zn, sicut manifestum est ex probatione figure tertie, que sit linea no; et protraham supra punctum o /(K 19,7r) lineam equidistantem linee :Ze que sit linea so, 12 et producam /(C p.72) lineam ini1 ad punctum q. Sunt ergo duo latera duorum triangulorum zinfl, noq equalia, SC. latus zii 13 equale lateri iio, et angulus ziiin est equalis angulo qno, quod sequitur ex probatione figure 15.e Sed secundum probationem figure posite secundum positionem 14 Aganizb erit angulus inzii equalis angulo noq quoniam ipsi sunt coalterni. Secundum probationem igitur15 figure 26e erunt reliqua latera equalia reliquis lateribus, quodque videlicet suo relativo equale, et reliquus angulus erit equalis reliquo angulo. Ergo latus zin est equale lateri oq, 16 et latus qs 17 est equale lateri zm quoa. K habet in figura et in textu : s loco o et h loco s, sc. in sequentibus: r. 21 iio, r. 22 o, r. 24 iioq, r. 25 iio, qiio, r. 27 iioq, p. 61 r. 1 so, r. 3 po, r. 7 oz, r.8 fCo, pzo. b. = Aganiz c, Eucl. 29. 1 fieri K 2 add K : hac 3 om K 4 cadat K 5 quo K K 8 QIIl K 9 zh M, K 10 concurrunt K 11 super K K: est 14 petitionem K 15 ergo K 16 cq K 17 quas K - 60

6 secto K 7 ba 12 s K 13 add

niam

ei est oppositum in superficie equidistantium laterum. Ergo linea

est dupla linee

zi'n.

Si ergo protrahatur a puncto

c

so

linea equidistans

duabus lineis ez et os, 1 et producatur supra punctum o2 linea po secundum rectitudinem, equidistans linee3 ii.o, et concurrat linee protracte 5 a puncto c equidistanti linee ez, 4 manifestum est quod ipsa secat ex ea lineam equalem linee zp; protraham ergo ipsam que sit linea cf. Ergo linea fC est equalis linee pz quoniam oc5 est equalis oz et angulus poz6 est equalis angulo cof,7 et angulus !co est equalis angulo pzo quia sunt coalterni. Ergo secundum probationem figure 26e8 sunt latera fC, zp 10 equalia. Sed zp est equalis pe, ergo linea fC est equalis pe. Ergo linea ii.eo9 concurrit linee zc in puncto c, quod sequitur secundum quod ordinavit Aganiz in positione figurea que est: linee que coniungunt quod est inter extrernitates linearum equalium et equidistantium, sunt equales et equidistantes. lam igitur10 ostensum est quod si linea recta cadat 15 super duas rectas lineas et fuerint duo anguli intrinseci qui sunt in parte una, 11 rninores duobus rectis angulis, tune due linee cum protrahentur in parte11 duorum angulorum qui sunt rninores duobus rectis angulis, concurrent. Et illud est quod demonstrare voluimus. 12 Quecumque dicta sunt in hac figura et in eis que ipsam13 /(C p.73) 20 antecedunt, sunt recepta14 pro necessariis secundum petitionem huius prime partis libri Euclidis, et secundum figuras quas 15 ordinavit Aganiz, quas ipse addidit figuris Euclidis, et non est in eis 16 omnibus aliquid dignum reprehensione. Dixit Sambelichius: hec sunt verba Aganiz, et fortasse Euclides non 25 posuit hanc intentionem in petitionibus nisi ut via facilior hac via ad hoc pararetur. Et illud est quia si difinitio linearum equidistantium est, sc.: linee equidistantes sunt quarum spatium quod est inter eas, etiam si utrinque in infinitum protrahantur, 17 semper erit equale; ergo cum conversa fuerit, erit eius conversio vera, que 30 est: cum non fuerit spatium quod est inter18 lineas que sunt in una superficie, equale, non erunt linee equidistantes; ergo si non fuerint equidistantes, concurrent, quod Euclides posuit in figura 29a, ac si a.

= Aganiz 34, Eucl. 33.

1 cs K 2 p K 3 om K 4 cz K 5 es K 6 pci e K 7 Cf K 8 vicesime octave K 9 ii.o K 10 iam igitur : 3a ergo K 11 una ... parte om K 12 demonstrare voluimus K, om M 13 om K 14 sunt recepta om K 15 que K 16 hiis K 17 protrahatur M 18 add K: eas - 61 -

necessario esset recipiendum: et linee que protrahuntur super duos angulos minores duobus rectis, non semper servant unum spatium, ergo concurrunt. Et 1 manifestum est quod concursus erit ex parte in qua est earum inclinatio, quoniam ab alia parte dilatantur, 2 et augmentatur 5 spatium quod est inter eas. Sed quia locutio hec, id est: 3 cum due linee non fuerint equidistantes, concurrent, indiguit explanatione, et etiam quia sectores4 piramidum non sunt equidistantes neque concurrunt, ideo5 Aganiz aborruit hanc pe/(M 2I1)tionem et aposuit6 figuras has. Et etiam quia hec intentio est conversa figure que est: cum super 10 duas lineas rectas ceciderit una recta linea et fuerint duo anguli intrinseci qui sunt ab una parte, equales duobus rectis, linee erunt equidistantes, que fuit probanda,7 ergo hec similiter indiguit probatione. lam ergo diximus omnia que possunt dici de lineis equidistantibus.

< Post I 31 > Huius figure que additur theoremati /(C p.74) 31°, locus sequitur figuram decimam, sed quia eius probatio completur post hanc figuram, fuit conveniens ut hanc figuram sequeretur, sc. 8 31 am, quoniam divisio linee in tres9 equales partes est necessaria in figura 12a partis sexte. Sit ergo linea ab supra cuius duo puncta ii et b duas erigam perpen20 diculares, quantecumque 10 voluerimus quantitatis, que sint ag, oa, et sint equales, quarum quamque in duo media in punctis e et f dividam, et protraham duas lineas gf, ea, et producam a puncto z lineam equidis'f tantem duabus perpendicularibus iig, ~ oa. Et quia iig equidistat oa, SC. ge e25 quidistat ta et equatur ei. Linee vero11 que coniungunt quod est inter extremitates linearum equidistantium J. 12 et equalium, sunt etiam equales et equidistantes; ergo due linee gf, ea 30 sunt equales et equidistantes. Sed linea Zk iam fuit producta equidistans ergo linea Zk equalis linee ge et linea gz equidistat linee ek:, omnia duo latera super/(C p.74)ficierum existit linee ge, quoniam equidistantium laterum que sibi opponuntur, sunt equalia. Ergo linea Zk

15

1 QID K 2 dilitantur M 3 id est : scilicet K 4 sectiones K 5 linee K 6 posuit K 7 protenda K 8 om K 9 in tres : intree K 10 quantocumque K 11 linee vero : et linee K 12 om K - 62-

ea et equidistat ei. Sed super eas cecidit linea az, ergo duo anguli eah, hZk qui sunt coalterni, sunt equales. Sed angulus eaz est rectus, ergo angulus hZk est rectus. Sed angulus Zkh est equalis angulo aeh, quoniam ipsi sunt coalterni. Duo igitur anguli trianguli a.he sunt

equalis est

5 equales duobus angulis alterius trianguli, unus quisque videlicet suo

ae est equalis basi kz, ergo triangulus aeh est equalis

relativo, et basis

triangulo Zkh, et reliqua latera sunt equalia reliquis lateribus; ergo linea ah est equalis linee hz. Et secundum equalitatem huius probationis monstratur quod triangulus Zkh est equalis triangulo bfz, quoniam basis 10 kz est equalis basi bf et duo anguli hZk, zbf sunt recti, et angulus hkz est equalis angulo kZt. Sed angulus kZt est equalis angulo zlli, ergo angulus hkz est equalis angulo zfu; ergo reliqua latera sunt equalia lateri zb. Ergo divisiones reliquis lateribus, sc. latus hz est equale 1 ah, hz, zb sunt equales. Et illud est quod demonstrare voluimus; et 15 secundum hanc viam dividemus lineam2 in quot sectiones voluerimus usque in infinitum. a Quod sequitur, addidit3 Irinus4 figure 38.eS Post

huius

intentionis6

probationem

declaratur

quod

omnes

duo

7

trianguli quorum duo latera unius equantur duobus lateribus alterius, 20 quodque sc. suo relativo lateri, sed angulus unius fuerit maior angulo alterius, qui 8 sc. 9 ab illis10 equalibus lateribus continetur, tunc 11 si hii duo anguli qui ab equalibus lateribus continentur, 11 coniuncti fuerint equales duobus /(C p. 76) rectis, erunt trianguli equales; et si minores duobus rectis fuerint, triangulus cuius angulus est maior, 12 erit maior 25 altero; et si fuerint maiores duobus rectis, triangulus cuius angulus est12 minor, erit maior altero triangulo. 13

< a > Exempli causa: sint duo anguli bag, eaz duorum triangulorum

abg, aez qui 14 secundum formam quam nominavimus, sint primum equales duobus rectis, posito tamen quod angulus bag sit maior. Constituam 30 itaque supra punctum a linee ae angulum eah 15 equalem angulo bag, sicut manifestum est ex probatione figure 23e,

et faciam

transire

supra

a. Ad. Si trianguli super bases equales atque inter duas lineas equidistantes ceciderint, equales eos esse necesse est. 1 K, om M 2 om K 3 addit K 4 Yrinus K 5 35? K 6 intentiones K 7 add K : a 8 quod K 9,10 om K 11 tune ... continentur M marg, om K 12 maior ... est om K 13 angulo K 14 quod K 15 ah K - 63 -

"'

t

punctum z lineam equidistantem linee ae que sit zf, sicut manifestum est ex probatione figure 31 e. et protraham lineam 1 fe. Ergo duo anguli bag, eat sunt

ol.

5

10

15

20

25

los bag, eaz equales duobus rectis, ergo a./,. coniunctio duorum angulorum eat, eaz est equalis duobus rectis. Sed coniunctio duorum angulorum eat, arz est equalis coniunctioni duorum rectorum, quod manifestum est secundum probationem figure 29e, quoniam zt equidistat ea. Si ergo removero angulum communem eaf, remanebit angulus eaz equalis angulo arz. Et quia2 linea zt equidistat linee ae, erit angulus azf equalis angulo eaz. Sed que uni3 rei sunt equalia, sibi invicem sunt equalia, ergo angulus azf4 est equalis angulo arz; ergo latus af est equale lateri az. Sed linea az est equalis linee ag, ergo5 linea at est equalis linee ag. 5 Sed linea ae est equalis linee ab, et /(C p.77) angulus bag est equalis angulo eaf, ergo basis bg est equalis basi ef, et triangulus abg est equalis triangulo aa. Et quia duo trianguli aet, aez sunt super6 unam basim que est ae, et inter duas lineas equidistantes que sunt ae, fz, 7 ergo secundum probationem figure 37e erit triangulus aet equalis triangulo aez. Sed iam fuit ostensum quod triangulus aa est equalis triangulo abg, ergo triangulus abg est equalis triangulo aez. Et illud est quod demonstrare voluimus. < b > Et etiam ponam ut duo anguli bag, eaz8 sint minores duobus rectis et ut angulus bag sit maior angulo eaz et latus ab sit equale lateri ae et latus ag equale lateri9 az; et ostendam sicut prius ostendi quod triangulus abg est maior triangulo aez, et constituam angulum ea.Ii equalem angulo bag, et producam lineam zt equidistantem linee ea. Et quia coniunctio duorum angulorum bag, eaz est minor duobus rectis, -L t ergo10 coniunctio duorum angulorum ea.h,

30

eaz est minor duobus rectis. 10 Sed coniunctio duorum angulorum eat, 11I (K

a,

20,7v) atz est equalis duobus rectis, ergo

cum12 minuero angulum communem

1

J.,

remanebit angulus

eat, eaz minor angulo arz.

1 om K 2 quod K 3 una K 4 atz K 5 ergo ... 7 tk K 8,9 om K 10 ergo ... rectis K, om M 11 M

- 64-

ag om K 6 supra K eaz K 12 K, com

Sed

angulus

ooz

est

equalis angulo

azt

quia sunt coaltemi, ergo

angulus azt est minor angulo arz; ergo secundum probationem figure none decime erit latus -ar minus latere az. Ponam ergo ut latus ah sit equale lateri az, et coniungam eh. Ergo linea ah est equalis ag, et 5 linea ae est equalis ab, et angulus bag est equalis angulo eah: ergo secundum probationem figure quarte erit triangulus abg equalis triangulo aeh. Sed /(C p.78) triangulus aeh est maior triangulo aez, ergo triangulus abg est maior triangulo aez. Et illud est quod demonstrare voluimus. 1 10 < c > Secundum tertium quoque modum ponam ut coniunctio duorum angulorum bag, eaz sit maior duobus rectis. Dico igitur quod triangulus aze est maior triangulo abg; quod est ideo2 quoniam angulus eaz remanet maior angulo arz. Sed angulus ooz est equalis angulo azt, ergo secundum probationem figure decime none erit latus at longius latere az. 15

t

-l.

ol

ZJ A.

2- _

20

~

Secabo itaque ak equalem az et coniungam ke, ergo secundum probationem precedentem erit triangulus aek equalis triangulo abg, et secundum probationem figure 37e

erit

triangu-

I 6 lus aet equalis triangulo aez. Sed triangulus aet est maior triangulo aek, qui est equalis triangulo abg, ergo triangulus aez est maior triangulo abg. Et illud est quod demonstrare voluimus. 3

< I 46 >a Quod sequitur, addidit Irinus4 figure 46,e quod est: volo 25 ostendere quod tres linee, sc. due que protralmntur a duobus angulis duorum quadratorum ad duos angulos5 trianguli ortogonii, et illa que protraliitur ab angulo recto equidistans duobus lateribus quadrati, sese supra /(M 21 v) unum punctum secant, tribus ergo6 intentionibus illud explanando, 7 quarum /(C p.79) prima est: 30 < a > Quod cum protraliitur in triangulo abg linea ae equidistans8 a. = Eucl. 47, Ad. 46, (Alb. 46.); Ad.: In omni trianguli rectangulo quadratum quod a latere opposito recto angulo in se ipsum ducto describitur, equum est duobus quadratis que ex duobus reliquis lateribus conscribuntur. 1 demonstrare voluimus K, om M 2 om K 3 K, om M 4 Yrinus K 5 angulo K 6 igitur K 7 explanabo K 8 equidistat K - 65 -

basi bg et dividatur 1 bg in duo media cum linea ahz, 2 tune linea ah etiam est equalis linee he. Protraham ergo supra punctum a lineam equidistantem bg qui sit Uc, quod verum esse monstratur ex probatione

5

'----"'-------~--~figure

31 e; et similiter faciam transire duas lineas kem, fc!I equidistantes linee ii.z, et protraham az, ez. Duo igitur trianguli ii.bz, ii.zg sunt equales, quoniam sunt 10 super duas equales bases et eorum altitudo est punctum unum, 3 quod est punctum a; quod quidem4 sequitur ex probatione figure5 38e. Et etiam secundum probationem figure 38e: quoniam duo trianguli baz, zge sunt super duas equales bases que sunt bz, zg, et inter duas lineas equidistantes bg, ae, ergo triangulus baz6 est equalis triangulo ezg. Cum ergo 15 minuero eos ex triangulis equalibus ii.bz, ii.zg, remanebit triangulus aaz equalis triangulo ii.ez. Et quia basis cuiusque horum7 duorum triangulorum equalium est linea az, et linea ii.z est basis duarum superficierum equidistantium laterum ii.I, am, ergo unaqueque duarum superficierum equidistantium laterum ii.I, am est dupla sui trianguli, quod consequitur8 ex

a

20 probatione figure 41 e. Sed que uni us rei sunt dupla, sunt equalia; ergo

paralellogramum ii.I est equale paralellogramo am. Sed ipsa sunt super duas bases IZ, zm et inter duas lineas equidistantes, ergo secundum probationem figure 36e a basis IZ est equalis basi zm; et secundum probationem figure 34e erit linea ah equalis linee eh. Et illud est quod 25 demonstrare voluimus. /(C p.80)

< b > lntentio secunda. Si tres linee inter duas lineas ab et ga pertransierint que sunt equidistantes, sese super9 \+-+~--~;_----~

30

unum punctum secantes sicut linee ii.a, bg, ez se supra punctum h secant: ergo si linea gz fuerit equalis linee za, linea ii.e

erit equalis linee eb;

quod

a. = inversio 36e. b. in Mss. omnes casus propositionis 46b in una figura figurati sunt. Male. 1 dividitur K 2 khz K 3 QID K 4 ql' K 5 om K 6 bag K 7 cuiusque horum : K, cuius conorum? M 8 K, cum sequitur M 9 supra K - 66-

etiam alia prius afferendo explano:b 1 Cum fuerit linea ah maior linea ha, tune linea bh2 erit maior linea hg, et si fuerit equalis ei, ergo ipsa erit equalis ei, et si fuerit minor ea, tune ipsa erit minor ea. Ponam itaque ut ah sit maior ha, dico igitur quod bh est maior hg. 5 Quod si non fuerit maior ea, ergo erit aut equalis ei aut minor ea. ut sit ei equalis et protraham ha usque3 ad in, donec sc. sit hm equalis ah. Ergo duo latera ah, hb sunt equalia4 duobus lateribus mh, hg, et angulus bha est equalis angulo Inhg, quod quidem5 est6 manifestum ex probatione figure quinte decime. Sed ex probatione Ponam

ergo

10 figure quarte erit basis mg equalis basi ba, et reliqui

anguli erunt equales reliquis angulis, ergo angulus hgm est equalis angulo abh. Secundum probationem ergo 27e figure erit linea ab equidistans linee gm, ergo erit secundum probationem figure 30e linea7 gin equidistans linee ga. Sed ipse coniunguntur, quod est contrarium et impossibile.

15 Ergo linea bh non est equalis linee hg. Ponam autem quod sit minor ea, et secabo hk equalem bh, et protraham kin. Monstrabo8 igitur secundum equalitatem illius quod kin equidistat linee ba, quod quidem9 est contrarium, cum linea ba fuerit equidistans linee 10 ag. Ergo bh non est minor hg; ergo ipsa est maior ea. Et /(C p.81) similiter ostendam quod 20 cum fuerit ah equalis erit minor ea. 12

na, 11

erit bh equalis hg, et cum fuerit minor ea,

Et quia hoc iam explanatum est, hic 13 itaque ostendam quod si fuerit equalis za, tune ea erit equalis eb.

gz

Ponam itaque ut ah sit minor ha. Ergo manifestum est ex hoc quod 25 explanavimus, quod bh est minor hg. Secabo itaque ht equalem ha, et hk equalem hb, et producam lineam ilk. Due ergo linee ah, hb sunt equales duabus lineis kh, ht, et angulus ahb

est

equalis

angulo tbk,

ergo

basis ab est equalis basi kt, et reliqui anguli sunt equales reliquis angulis, sc. angulus hkI est equalis angulo ebh. Et 14 angulus ehb est 30 equalis angulo khI, et latus bh est equale lateri hk, ergo secundum probationem figure 26e erit latus kI equale lateri be. Manifestum quoque est secundum hanc probationem quod linea ae est equalis linee IT. Et quia angulus htk est equalis angulo bah, ergo secundum probationem figure 27et 5 erit linea ab equidistans linee kt. Sed linea ab 1 explanabo K 2 ah K 3 vusque K 4 add K : a 5 quid K 6 om K 7 lineam K 8 monstro K 9 9e!' K 10 om K 11 hb K 12 erit minor ea om K 13 hec K 14 om K 15 26 M, K - 67 -

equidistat linee gw, ergo secundum probationem figure 308 erit linea kt equidistans linee gi.3. Sed secundum quod ostensum est in intentione prima: cum fuerit gi. equalis z.a, tune erit kl equalis It; ergo linea ea1 erit equalis linee eb. 2 Et similiter ostendetur quod voluimus 3 ex eo si 5 fuerit ah equalis hg aut4 maior ea. < c > Intentio tertia. Si in5 superficie equidistantium laterum ab fuerint duo paralellograma6 aeha, bi.hg et fuerit superficies az. equalis superficiei eg, et produxero /(C p.82) lineam ah et protraxero lineas eka et eg et az. et i.fg, et protraxero lineam ha secundum rectitudinem usque 10 ad f, et coniunxero f cum b producendo lineam lli: dico igitur quod ahlli est linea recta, sc. 7 quod linea af est coniuncta linee lli secundum rectitudinem. Probatio eius: quoniam positum est quod superficies az. equalis existit superficie8 eg, erit triangulus ahz equalis triangulo egh. 15 Assumam autem triangulum hgi. communem, ergo erit triangulus agz. equal is triangulo9 egz.. Sed ipsi sunt .Jr

20

super unam basim que est gz, et inter duas lineas gi. et ae; secundum probationem igitur figure 398 linea gz est equidistans linee ae. Sed linea ek est equalis linee ka, quod ex hoc manifestum est quoniam triangulus aek est equalis

triangulo akh, quod equidem constat secundum probationem figure 348 cum probatione figure 278 et ex 25 probatione figure 26e. Sed secundum probationem intentionis que harum intentionem est secunda, linea gf est equalis linee tz. Linea quoque bi. est equalis gh, 10 quod cons tat ex probatione figure 348 ; ergo duo linee fg, gh sunt equales duabus lineis bi., i.t, et angulus bzf est equalis angulo hgf; et hoc secundum probationem figure 29e. Sed secundum pro30 bationem figure quarte basis bf est equalis basi fh, et angulus btz est equalis angulo gfh. Assumam autem angulum htz communem, ergo coniunctio duorum angulornm gfh, htz est equalis coniunctioni duorum angulorum btz, i.fh. Sed coniunctio duorum angulorum gfh, htz est equalis coniunctioni duorum rectorum angulorum, ergo coniunctio duorum angulo35 rum btz, i.fh est equalis duobus rectis angulis. lam ergo protrahuntur 1 at K 2 ab K 3 voluerimus K 4 erit K 5 si in: sii K 6 add K: tria 7 secundum K 8 superficiei K 9 angulo K 10 bh K - 68 -

a puncto < f >1 /(C p.83) linee zt2 in du as diversas partes due linee que sunt linee at, ib,3 et fiunt4 duo anguli qui sunt in ergo due linee at, ib duabus partibus, equalis duobus rectis, 5 secundum rectitudinem coniunguntur, et fiunt linea una. Et illud est 5 quod demonstrare voluimus. < d > Et quia premisi has intentiones, ergo ponam ut angulus a trianguli abg sit rectus, et constituam supra bg quadratum /(K 21,8r) ga, et faciam supra6 ab quadratum abez, et supra ag quadratum aghf, et protraham a puncto a lineam ill equidistantem linee ba, et coniungendo 10 producam lineam eg. Ergo secat lineam iii supra punctum in, et producam lineam hm. Deinde coniungam punctum in puncto b. Dico igitur quod linea bin est secundum rectitudinem linee hm. Protraham ergo duas lineas /(M 22r) eb, hg secundum rectitudinem, donec concurrant supra punctum n. 7 Producam etiam lineas ez, hf, donec 15 concurrant supra punctum8 s, et faciam transire per punctum in lineam qini equidistantem linee se, et lineam xmc equidistantem linee9 zg, sicut eius protractio manifesta10 est ex probatione figure 31e, et coniungendo puncta protraham lineas sa, fz. Linea itaque fa est equalis linee ag, et linee za est equalis linee ab, ergo due linee ba et ag sunt 20 equales duabus lineis za et at. Et angulus bag est equalis angulo zaf, ergo basis bg est equalis basi fz; et hoc manifestum est · se25 cundum probationem figure ./.,

.t.

30

quarte. Et reliqui anguli sunt equales reliquis angulis, ergo angulus abg est /(C p.84) equalis angulo fza. Sed angulus abg est equalis angulo giik quoniam iik est perpendicularis in triangulo ortogonio abg, ergo angulus fza est equalis angulo

.i.-~~--'~~~~d..

1 om M, K 2 uf ? K 3 fh K 4 fuerint K 5 coniungantur K 6 sibi K 7 punctum n:s et K 8,9 om K 10 manifestum K - 69 -

gak. Sed angulus tza est equalis angulo saz, quoniam in paralellogramo sa sunt protracte due diametri as, zt, se supra punctum a secantes, et sit linea za equalis linee aa; ergo angulus saz est equalis angulo gak. Assumam autem angulum sag communem, ergo coniunctio duorum angulo5 rum saz, sag est equalis coniunctioni duorum angulorum mag, gas. Sed secundum probationem figure tertie decime coniunctio duorum angulorum saz, sag est equalis coniunctioni duorum rectorum angulorum, ergo coniunctio duorum angulorum sag, gain est equalis coniunctioni duorum rectorum. Ergo secundum probationem figure quarte decime linea sam est 10 recta et est diametrus paralellograrni sin. Secundum probationem igitur figure 43e suplementum ax equale suplemento aq_;1 assumpta itaque superficie am communi erit superficies int equalis superficiei inz. Et etiam2 quia zii est paralellogramum cuius diametrus eg existit, et sunt a duabus partibus illius zin et inn paralellograma que sunt suplemen15 ta, ergo suplementum zin est equale suplemento inii. Sed iam fuit ostensum quod superficies zin est equalis suplemento int, ergo superficies inii est equalis superficiei int. Ergo secundum quod probavimus3 in intentione tertia harum trium intentionum huius figure quas explanavimus, erit binh linea recta. Et illud est quod demonstrare voluimus.

< I 46 >a Quod sequitur, addidit Thebit 46e theoremati: Omnis trianguli ortogonii quadratum factum ex latere subtenso angulo recto equale est coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duobus lateribus que continent angulum rectum. Exempli causa: sit triangulus4 abg 25 cuius angulus bag sit rectus: dico igitur quod quadratum factum ex latere bg est equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt /(C p.85) ex ab et ag. Probatio eius: quoniam constituam 30 supra lineam ab5 quadratum aaeb, et protraham lineam ag usque ad punctum z et ponam ut linea ez sit equalis linee ag, et constituam supra lineam ez quadratum ehtz, et producam afk equalem ag. Et quia ag protracta est

20

a. = Eucl. 47, Ad. 46, (Alb. 46). 1 az K 2 om K 3 explanavimus K 4 add K: cuius angulus 5 ago K - 70 -

equalis ez, ergo cum minuerimus 1 communem eg, remanebit ae equalis zg. Sed ae est equalis ab, ergo linea ab est equalis linee gz. Et etiam ak protracta fuit equalis ez, et ez equalis et, ergo ak est equalis et. Removebo ergo communem at et remanebit ae equalis Ile Sed linea ea est 5 equalis linee ab, ergo linea Ile est equalis linee ab. Sed linea ba etiam est equalis linee ab, ergo quatuor latera quatuor triangulorum sunt equalia, SC. ab, gz, ba, Ile. Et similiter ostendam quod quatuor reliqua latera SUilt equalia, SC. ag, 2 z!i, ak, fu, 3 quoniam ag protracta est equalis ez, et linea ez est equalis linee lli quoniam e!i4 est 10 quadratum; ergo linea ag est equalis linee lli. Sed linea5 ak protracta est etiam6 equalis linee ag, et iam fuit ostensum quod linea zli est equalis linee ez, et linea ez protracta est equalis linee ag: iam ergo ostensum est7 quod linee ag, zli, ak, lli etiam8 sunt equales. Et iam ostensum est quod anguli quatuor triangulorum sunt recti, sc. anguli a 15 et z et t et a, erunt corde

ergo que

secundum probationem figure quarte prime partis subtenduntur angulis equales, qui9 sunt recti et

equales; ergo corde bg, gli, hlc, kb sunt equales. Sed angulus abk est equalis angulo abg. Posito igitur angulo gba 10 communi erit11 totus angulus aba equalis toti angulo gbk. Sed angulus aba est rectus, ergo 20 an/(C p.86)gulus gbk est rectus; et similiter ghlc est rectus. Sed superficies bli est equidistantium laterum, ergo duorum angulorum bkli, bgli quisque est rectus; ergo superficies bli est equidistantium laterum et rectorum angulorum. Sed iam ostensum est quod quatuor trianguli sunt equales, sc. triangulus abg et triangulus gzh sunt 25 equales duobus triangulis bak, 12 tkli. Cum ergo posuero trapeziam glTh. et triangulum bill communes, erit totum quadratum bli equale coniunctioni duorum quadratorum aa, e!i. 13 Sed quadratum aa est factum ex latere ab et quadratum eli est factum ex linea ez, 14 et linea ez est equalis lateri ag: ergo coniunctio duorum quadratorum aa et eli que sunt facta ex 30 duobus lateribus ab, 15 ag, est16 equalis quadrato bli quod est factum ex latere bg quod subtenditur angulo recto a. lam ergo ostensum est quod duo quadrata facta ex duobus lateribus ab, ag 16 sunt equalia quadrato facto ex latere bg. Et illud est quod demonstrare voluimus. 1 K, comminuerimus M 2ab K 9 SC. anguli 10 gab K 11 e K K: et 16 est equalis... ag: K bis

3 Ile K 4 lli K 5,6,7 om K 8 et K 12 bok K 13 ek K 14 CZ ? K 15 add

- 71 -

< I 47 >8 Probatio secunda huius figure, id est 47e, que est secundum dicta lrini: 1 ostendam quod omnis trianguli cuius duorum quadratorum coniunctio que fiunt ex duobus lateribus, est equalis quadrato quod est ex tertio latere, angulus cui tertium2 subtenditur latus, est 5 rectus. Dixit Irinus: 3 dico quod linea que protrahitur a puncto b ortogonaliter .e.________ ,.. super lineam bg a parte ab cuius4 quadratum cum quadrato bg equatur quadrato ag, non est alia /(C p.87) nisi 10 linea ab. Quod si est possibile ut sit alia ab ea, non tamen est possibile quin cadat vel ultra earn vel citra earn. Ponam ergo primum ut cadat ultra ipsam, sicut linea ba, et ponarn ut sit angulus abg rectus. Angulus ergo bag est minor recto, quod constat 15 secundum probationem figure 17e; ergo angulus aab est expansus. Remanet ergo angulus aab5 acutus, ergo secundum probationem 19e6 figure latus ab est maius latere ba. Producam ergo ba secundum rectitudinem usque ad punctum e donec sit ab equalis be, et coniungarn eg. Duo ergo7 quadrata que fiunt ex linea be et linea bg, sunt equalia 20 quadrato eg. 8 Sed9 iam fuerunt equalia quadrato ag, 9 ergo linea ag est equalis linee eg. 10 Et linea ab est equalis linee 10 eb, ergo iam protrahuntur a duabus extremitatibus unius recte linee que est linea bg, due linee quarum extremitates supra punctum unum concurrunt11 que sunt linee ba, 12 ga, et protrahitur a protractione cuiusque earum linea 25 sibi equalis in parte illa, que supra aliud punctum concurrunt que sunt linee 12 be, eg; quod secundum probationem figure septime contrarium est13 et impossibile. Et similiter ducitur ad impossibile si fuerit linea cadens citra lineam ab; ergo linea ab est ea que ortogonaliter adiungitur linee bg. Et 30 illud est quod demonstrare voluimus. a. = Eucl. 48, Ad. 47, (Alb. 47); Ad.: Si quod ab uno trianguli latere in se ipsum producitur, equum fuerit duobus quadratis que a duobus reliquis lateribus describuntur, rectus est angulus cui latus illud opponitur. 1 Yrini K 2 om K 3 Yrinus K 4 an' K 5 K, aba M 6 17e M, K 7 om K 8 ag K 9 sed... ag K bis 10 eg... linee om K 11 concurrant K 12 ba... linee Qfil K 13 om K

- 72-

< Liber secundus >1 < Definitiones > < II def. 1 >a (C p. 88) Dixit Euclides: Omnis superficies equidistantium laterum et rectorum angulorum a duabus lineis continetur que 5 unum angulorum eius rectum continent. Supra hoc expositor2 dixit Irinus: 3 ideo4 Euclides superficiei equidistantium laterum et rectorum angulorum bane attribuit proprietatem 'contineri a duobis lateribus angulum rectum continentibus' et non superficiei equidistantium laterum cuius anguli non sunt recti, quoniam super10 ficies equidistantium laterum et rectorum angulorum est illud quod congregatur ex multiplicatione unius duorum laterum continentium rectum angulum in aliud, cum ponuntur. < Theoremata > < II 1 >b Prime figure /(M 22v) exemplum secundum numeros. 15 Sit linea a numerus qui est sex, et linea bg decem et sit linea ba duo et linea ae tres et linea ge sit quinque. Manifestum est igitur quod cum multiplicaverimus sex in 10, erit quod inde/(Cp.89) congregabitur, sexaginta, qui est equalis ei quod5 congregatur ex multiplicatione6 sex7 in 2 et postea in tres et postea8 in 5; quoniam sex in 2 fiunt9 12, et 20 sex in tres fiunt 18, et quinque in 6 fiunt 30. Ergo quod10 proveniet ex coniunctione trium numerorum, erit 60. Dixit Irinus: 11 non 12 est possibile 12 ut huius figure probatio declaretur nisi ambe 13 linee signentur. Aliarum vero figurarum probationes possibile est demonstrare unius tantum linee designatione. 25 Est etiam possibile ut ex unius linee positione quam14 prediximus, duo proveniant probationum modi, quorum unus est modus qui attenditur secundum dissolutionem, alter vero modus qui consideratur secundum a. Eucl. def. 1, Ad. def. l, (cfr Alb. def. 4). b. Ad.: Si fuerint due linee quarum una in quotlibet partes dividatur, illud quod ex ductu unius earum in alteram fit, equum erit his que ex ductu linee indivise in unamquamque partem linee particulatim divise rectangula producentur. 1 Incipit pars secunda expositionis secundum Anaritium K (alia manu?) 2 melius: expositor: dixit ? (cfr Arab. Anar., p.5) 3 Irinus K 4 add K: dixit 5 K, qui M 6 multiplice? K 7 om K 8 post K 9 sunt K 10 om K 11 Yrinus K 12 non est possibile K bis 13 multe K 14 qua K

- 73 -

compositionem. Dissolutio autum est, cum qualibet questione/(K 22,8v) proposita dicimus: ponamus illud in ordine rei quesite que est inventa, deinde

ad rem 1 cuius probatio iam precessit. Cum ergo

reducemus

manifestum est,2 dicimus quod iam inventa est res quesita secundum 5 dissolutionem. Compositio vero est ut inc1p1amus a re nota, deinde componamus3 donec res quesita inveniatur; ergo tune res quesita iam erit manifesta secundum compositionem. Et postquam prediximus ista, revertar4 ad questiones nostras secundum quod prediximus et promisimus hie. Ex hoc vero5 volo ut ostendam

10 quod promisi6 hie in aliis figuris huius partis que sequuntur./(C p. 90)

< II 2 >a Secundi theorematis exemplum in7 numeris. Ponam ut linea ab sit numerus qui est x, que iam fuit divisa in duas sectiones in puncto g, et sit ag tres ex numeris, et linea gb sit septem. Manifestum est igitur8 quod multiplicatio ab que est x, in se ipsam est 15 equalis ei que congregatur9 ex multiplicatione ab que est x, in unumquemque duorum numerorum qui sunt tres et 7em; quoniam x in se ipsum 10 est centum, 11 et x in tres est 30, et x in septem est 70; ergo coniunctio eorum est centum. Et illud est quod demonstrare voluimus. 12 Dixit Irinus: 13 secundum modum dissolutionis, exempli causa, ponam 20 lineam rectam lineam 14 ab quam dividam in divisiones quocumque modo fuerint, supra punctum ..l. 1ab, bg

cum

g.

superficie

Ostendam igitur quod quadratum ab est equaA- le superficiei que continetur a duabus lineis contenta

a

duabus lineis ab, ag. Oportet ergo

ut imaginer lineam ab duas lineas equales quarum una sit divisa et 25 altera indivisa; manifestum est igitur quod due linee sunt equales. Erit ergo superficies que continetur ab his duabus lineis equalibus, equalis quadrato unius

earum;

sit

itaque

equalis

quadrato ab. Ergo

ex eo quod declaratum est ex probatione figure prime, erit coniunctio duarum

superficierum

30 bus ag, gb, equalis

que

fiunt

ex linea

superficiei que continetur

indivisa cum divisionia linea indivisa

et linea

a. Ad.: Si fuerit linea in partes divisa, erit illud quod ex ductu tocius linee in se ipsam, equum his que ex ductu eiusdem in omnes partes suas producentur. 1 ad rem om K 2 om K 3 componemus K 4 reverta K 6 premisi K 7 a K 8 om K 9 congregantur K 10 sepm K 12 vol' M 13 Yrinus K 14 om K

- 74 -

5 om K 11 co K

ab.

Sed/(C p.91) quadratum ab est equale illi superficiei quemadmodum ostensum est, et linea indivisa est equalis linee ab quemadmodum posuimus. Ergo due superficies que continetur ab hac linea ab et unaquaque1 sectionum ag, gb, est equalis quadrato ab. Et illud est quod 5 demonstrare voluimus.

< II 3 >a Tertie figure exemplum in numeris. Ponam ut linea ab ex numeris sit x, quam supra punctum g in duas sectiones dividam, et ponam ut ag sit ex numeris tres, et sectio gb sit 7. Erit ergo multiplicatio ab que est 10, in bg que est 7, ex numeris 70, 10 que est equalis ei quod congregatur2 ex muliplicatione ag que est tres, in gb que est 7, et ex multiplictione gb que est 7, in se ipsam. Quod ideo est quoniam ag in gb3 est 21, et linea gb in se ipsam est 49; coniunctio itaque earum est 70. Et illud est quod demonstrare voluimus. Dicit Irinus4 quod huius figure probatio declaratur ex probatione 15 figure prime. ,,(,.

Ponam itaque ut sint due linee date ab, bg quarum una 'r. o- sit indivisa et altera divisa5 supra punc-

tum g, que est ab, et sit superficies que continetur a linea indivisa et linea ab, equalis coniunctioni superficierum que continentur a linea indivisa et sectionibus linee divise, sc. a6 sectionibus ag, gb. Sed linea 20 indivisa est equalis linee bg, ergo superficies que continetur a linea indivisa/ (C p. 92) et linea ab, est equalis superficiei que continetur ab ag et gb cum7 quadrato gb. 7 Ergo si quelibet linea in duas sectiones dividatur, tune superficies que continetur a tota linea et una sectionum eius, est equalis superficiei que continetur a duabus sectionibus cum 25 quadrato prime sectionis. Et illud est quod demonstrare voluimus.

< II 4 >b Exemplum quarti secundum numeros. Ponam ut linea ab sit ex numeris x quam in puncto g dividam, et sit igitur linea ag septem et sectio gb sit ex numeris tres. Multiplicatio a. Ad.: Si fuerit linea in duas partes divisa, illud quod ex ductu tocius in alterutram partium, equum erit his que ex ductu eiusdem partis in se ipsam et alterius in alteram. b. Ad.: Si fuerit linea in duo divisa, illud quod ex ductu tocius in se ipsam, equum erit his que ex ductu utriusque in se ipsam et alterius in alteram bis. 1 una que est K? 2 congregantur K 3 in gb M bis, sed corr 4 Yrinus K 5 indivisa M sed corr 6 om K 7 cum quadrato gb om K - 75 -

ab in se ipsam ex numeris est centum, et est equalis multiplicationi ag que est 7, in se ipsam, que est 49, et multiplicationi gb que est tres, in se ipsam, que est novem, et duplo eius quod congregatur1 ex multiplicatione ag que est 7, in gb 2 que est tres - duabus vicibus -, quod est 5 42; ergo 3 est centum ex numeris. Et illud est quod demonstrare voluimus. Probatio autem huius figure secundum formam intentionis Irini4 est secundum modum dissolutionis.a Queritur ergo an quadratum factum5 ex linea ab resolvatur in coniunctionem duorum quadratorum que fiunt ex ag ,/, ,_... ~et gb, cum duplo superficiei que continetur a 10 duabus lineis/(C. p.93) ag, gb. Et quia linea ab iam resoluta est in duas lineas ag, gb, ergo secundum probationem figure secunde huius partis resolvitur quadratum factum ex linea ab in coniunctione duarum superficierum quarum una continetur a duabus lineis ba, ag et alia a duabus lineis ab, bg, quoniam est eis equale. Sed iste due superficies 15 resolvuntur in probatione figure tertie huius partis; quod inde6 est quoniam superficies que continetur a duabus lineis ab, ag, est equalis superficiei que continetur a duabus lineis bg, ga, cum quadrato ag. 7 Sed superficies que continetur a duabus lineis ab, bg, est equalis superficiei que continetur a duabus lineis ag, bg, cum quadrato7 bg. Ergo coniunctio 20 duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, bg, cum duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb, est equalis coniunctioni duarum superficierum quarum una continetur a duabus lineis ba, ag, et altera a duabus lineis ab, 8 bg. Sed iam ostendimus quod quadratum linee ab est equale istis duabus superficiebus, ergo iam resolutum est 25 quadratum factum ex linea ba in coniunctionem9 duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, gb, cum duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb, et10 equatur eis. 10 Et illud est quod demonstrare voluimus. Secundum modum autem compositionis consistit etiam hoc.b Incipiam 30 .A, 1: a.. itaque componere a loco ad quern perveni cum resolutione. Dico igitur quod secundum probationem figure tertie huius partis superficies que continetur a duabus

lineis bg, ga

cum

quadrato

a. cfr. Alb. (II 4, resolutio Yrini) b. cfr. Alb. (II 4, compositio) 1 agregatur K 2 ga M,K 3 ga? K 4 Yrini K 5 M in marg 6 tamen? K (ideo Alb.) 7 ag. Sed...cum quadrato om K 8 hb K 9 coniunctione K 10 et ... eis om K - 76 -

ag est equalis superficiei que continetur a duabus lineis ba, ag; et similiter superficies que continetur a duabus lineis ag, gb, cum quadrato

bg est equalis superficiei que continetur/(C p. 94) a duabus lineis ab, bg. 1 lam ergo composita sunt duo quadrata facta ex duabus lineis/ (M 5 23') ag, gb cum duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb, et equantur duabus superficiebus quarum una continetur a

duabus2

lineis ba, ag et alia a duabus lineis ab, bg. Sed iste due superficies componuntur et equantur quadrato facto ex linea ab secundum probationem secunde huius partis, ergo coniunctio duorum quadratorum 10 que fiunt ex duabus lineis ag, gb, cum duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb, tota equatur toto quadrato facto ex linea ab. Et illud est quod demonstrare voluimus. a Quinte figure exemplum in numeris. Ponam ut linea ab sit ex numeris x

et queque3 duarum 15 sectionum ag, gb sit 5, et sectio aa sit 7. Restat ergo ut ab sit tres et sit ga duo. Manifestum et igitur quod illud4 quod5 congregatur ex multiplicatione sectionis bg in se ipsam, est 25, qui est equalis ei quod congregatur ex multiplicatione aa que est septem, in ab que est tres, quod est 21, et multiplicationi sectionis ga que est duo, in se ipsam, que 20 est 4; totum igitur6 quod congregatur, est 25. Et illud est quod demonstrare voluimus./(C p. 95) A,.

Huius autem figure probatio secundum Irini intentionem est secundum "'2; ""'resolutionem,b propter quod queremus ut sciamus

an superficies que continetur a duabus sectionibus aa, 7 ab, cum 25 quadrato linea ga sit equalis quadrato linea gb. Assumam ergo duas lineas quarum una sit iam divisa in sectiones, que est linea aa, et altera indivisa, que est ab. Ergo secundum probationem figure prime huius partis erit superficies que continetur a duabus lineis aa, ab, equalis coniunctioni 7

30 sectionibus

duarum

superficierum

que

continentur

a

linea

ab et

ag, ga. Et quia ag est equalis gb, ergo coniunctio dua-

a. Ad.: Si recta linea in duo equalia duoque inequalia secetur: quod sub inequalibus tocius sectionis rectangulum continetur, cum eo quadrato quod ab ea describitur que est inter utrasque sectiones, equum est ei quadrato quod a dimidio tocius linee describitur. b. Cfr. Alb. (II 5, resolutio Yrini) 1 add M,K (Arab. Anar., p.23; Alb.): cum quadrato facto ex linea correxi 2 dubus M 3 quaque K 4,5,6 om K 7 ad ..... sectionibus om K

- 77 -

bg;~

rum superficierum que continentur 1 a duabus lineis gb, oa et ga, ab, est equalis superficiei que continetur a duabus lineis aa, ab. Remanet autem nobis quadratum ga; ponam ergo ipsum commune. 2 Ergo erit3 coniunctio duarum superficierum que continentur4 a duabus lineis gb, oa5 et duabus 5 lineis ga, ab cum quadrato ga6 equalis superficiei que continetur a duabus lineis aa, ab, cum quadrato ga. Sed superficies que continetur a duabus lineis oa, ag, cum quadrato ag est7 equalis superficiei que continetur a duabus lineis8 gb, ga; quod quidem9 constat secundum10 probationem figure tertie huius partis. Ergo coniunctio duarum super10 ficierum quarum unam continent 11 due linee gb, oa et alteram bg, ga, est equalis superficiei que continetur a duabus lineis aa, ab, cum quadrato ga. Sed due superficies quarum unam continent due 12 linee gb, oa et alteram gb, ga, sunt equales quadrato gb; et hoc secundum probationem figure secunde13 huius partis. Ergo quadratum gb 15 est equale superficiei que continetur a duabus lineis aa, ab, cum quadrato ga. Et illud est quod 14 demonstrare voluimus. 14/(C p. 96) lam ergo 15 resolutum est in probatione figure secunde. Incipiam itaque componere a loco ad quern cum resolutione perveni.a Secundum 20

probationem igitur figure secunde huius partis superficies quam continent ""' "'~ .... due linee gb, oa, cum superficie quam conti-

nent due linee bg, ga, est equalis quadrato linee gb. Sed secundum probationem figure tertie huius partis superficies que continetur a duabus lineis bg, ga, erit equalis superficiei que continetur/(K 23,9r) a duabus lineis ga, ab, cum quadrato ga. Ergo 16 quadratum gb 16 est equale 25 duabus superficiebus quarum unam continent due linee gb, ba et alteram due linee ga, ab, cum quadrato ga. Et quia linea ag est equalis linee gb, erit superficies que continetur a duabus lineis ag, ab, 17 cum superficie quam continent due linee ga, ab, cum quadrato ga equalis quadrato gb. Secundum probationem vero figure prime huius partis erit 30 superficies quam due linee continent ag, 18 ab, cum superficie quam continent due linee ha, 19 ga < equalis20 superficiei quam continent due a. Cfr. Alb. (II 5, compositio) 1 continetur K 2 concurrere K 3 om K 4 continetur K 5 ba M sed corr? (Alb.); om K 6 add K: est 7 Qffi K 8 add K: gb, ba et alteram (vide r.10) 9 eql' K 10 ? K 11 contineant K 12 ab K 13 3? K 14 quod..... voluimus K, om M 15 add K: hoc 16 ergo quadratum gb om K 17 gb M,K (Alb.) 18 ga K 19 ag M,K (Alb.) 20 equalis..... db (p.79, n.1) ~ (cfr Arab. Anar.; p.29), Qffi M,K (Alb.) - 78 -

linee

a.a, ab;

cum quadrato

ergo erit superficies quam continent due linee

a.a, ab

>, 1

ga equalis quadrato facto ex linea gb. Et illud est quod

demonstrare voluimus.

< II 6 >a Figure sexte probatio secundum lineas, quam Irinus2 secun5 dum duos perfecit modos quorum unus est secundum resolutionem3 et alter4 secundum compositionem. Modus autem resolutionis5 est huiusmodi.b Sit linea data6 ab quam supra punctum g in duo secabo media, et adiungam ei in longitudine lineam/(C p. 97) ba, et monstrabo quod figura cl ,t. I o.. .e. que continetur a duabus lineis a.a, ab, cum

gb est equalis quadrato ga. Cum ergo protrahetur ae secundum rectitudinem ga et fuerit ae que protrahitur, equalis ba, manifestum erit quod si posuerimus lineam ab7 communem, erit tota linea eb equalis linee a.a. Sed superficies que continetur a lineis a.a, ab, est equalis superficiei que continetur a duabus lineis eb, ba. Nobis itaque manifestum 15 est quod superficies quam due linee continent eb, ba, cum quadrato linee gb est equalis quadrato linee ga. Illud quidem8 patet quoniam linea ae est divisa in duo media supra punctum g et in duas sectiones

10 quadrato

inequales supra punctum b. Ergo secundum probationem figure 5e huius partis erit superficies quam due linee continent eb, ba, cum quadrato gb 20 equalis quadrato ga. 9 Secundum compositionem vero sic probatur.c Cum ergo composuerimus, 10 erit superficies quam continent due linee eb, ba, cum quadrato oC. -" 1 A.. ~ linee 11 gb quadrato ga equalis. Sed iam fuit ostensum quod superficies quam continent due linee 25

superficiei quam continent due linee a.a, ba. continetur a duabus lineis a.a, ab, cum quadrato to

eb, ba, est equalis

Ergo superficies que gb est equalis quadra-

ga. Et illud est quod demonstrare voluimus./(C p. 98)

a. Ad.: Si recta linea in duo equa dividatur, alia vero ei in longum additur: que ex ductu tocius iam composite in earn que adiecta est, cum eo quod ex ductu dimidie in se ipsam, equum est ei quadrato quod ab ea que constat ex adiecta atque dimidia, in se ipsam ducta describitur. b. Cfr. Alb. (II 6, resolutio) c. Cfr. Alb. (II 6, compositio) 1 vide p.78, n.20 2 unius ? K 3 rectitudinem K 4 sunt K 5 compositionis M,K 6 add K: linea 7 om K 8 ql' K 9 add K: et illud est quod demonstrare voluimus 10 cum posuerimus K 11 om K

- 79 -

5

10

15

20

25

< II 7 >a Probatio figure 7e absque figura 1 secundum Irini intentionem est secundum modum resolutionis ita.b Queram igitur an coniunctio J, ,_ a..- duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, bg, resolvatur in duplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato facto2 ex linea ag et equantur. Dico igitur3 quod quadratum ab resolvitur in probationem figure quarte quod inde est quoniam quadratum factum ex linea ab est equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, gb, et duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb. Ergo coniuncto4 duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, bg, iam resolvitur et equatur duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb,4 cum duplo quadrati facti ex linea gb et cum quadrato facto ex linea ag. 5 Sed secundum probationem figure tertie huius partis erit duplum superficiei que continetur a duabus lineis ag, 6 gb, cum duplo quadrati facti ex linea gb equale < duplo >7 superficiei que continetur a duabus lineis6 ab, bg. lam ergo remanet 8 duplum superficiei que continetur a duabus lineis ab,9 bg, cum quadrato facto ex linea ag equale duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb cum duplo quadrati facti ex linea gb et quadrato facto ex linea ag. Coniunctio igitur duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, bg, iam resoluta est in figuram 10 tertiam, 11 et equatur duplo superficiei que continetur a duabus lineis ab,/(C p.99) bg, cum quadrato facto ex linea ag. Et illud est quod demonstrare voluimus. Secundum compositionem vero probatur sic. Incipiam ergo hie componere. c Dico ergo quoniam coniunctio duorum quadratorum ab, bg resoluta est in probatione figure tertie et equatur duplo superficiei que con}., '} 0..tinetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato facto ex linea ag. Ergo secundum probationem figure tertie huius para. Ad.: Si linea in duas partes dividatur: quod ex ductu tocius in se ipsam cum eo quod ex ductu alterius partis in se ipsam, equum est his que ex ductu tocius linee in eandem partem bis et ductu alterius partis in se ipsam. b. Cfr. Alb. (II 7, resolutio Yrini) c. Cfr. Alb. (II 7, compositio) absque figura om K 2 QID K 3 ergo K 4 coniunctio... ag, gb: quadratum ab et bg est equale ag in gb K 5 add K: ergo quadratum ab et bg est equale ag in gb 6 ag, gb....... lineis om K 7 ~ (cfr Arab.Anar., p.37), om M,K (Alb.) 8 add M,K (Arab.Anar., p.37; Alb.): quadratum factum ex linea ag et; ego correxi 9 ag K 10 figura K 11 1a K

- 80 -

tis erit duplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg < equale1 duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb 1 >, cum duplo quadrati facti ex linea gb; et duplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, 2 bg,. cum quadrato linee ag est equale duplo superficiei 5 que continetur a duabus lineis ag, gb, cum duplo quadrati facti ex linea gb et cum3 quadrato linee ag. Sed secundum probationem figure quarte huius partis erit coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex lineis ag, gb,/(M 23v) < cum4 duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb 4 >, equalis quadrato facto ex linea ab. Remanet ergo quadratum 10 linee bg quod addam super quadratum factum ex linea ab. Fit ergo coniunctio duorum5 quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, bg, equalis duplo superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato facto6 ex linea ag. lam ergo compositum est ex probatione figure tertie et perventum est ad probationem figure quarte, sicut reso15 lutum est ex probatione figure quarte in figuram tertiam. Et illud est quod demonstrare voluimus./(C p.100)

< II 8 >a Modus autem quo Irinus ordinavit probationem figure octave cum signatione unius linee tantum7 et ipsius constitutione8 secundum probationem resolutionis et compositionis, est iste.b 20 Ponam lineam ab quam supra punctum g dividam qualitercumque contingat divisio, et adiungam ei lineam ba equalem linee bg. Cum ergo ..t .k .,... "-resolverimus quadratum linee a.a, resolvetur 9 in probationem figure quarte huius partis. Quod ideo erit quoniam quadratum factum ex linea a.a est equale duplo superficiei quam continent 25 due linee ab, lO ba, cum duobus quadratis factis ex duabus lineis ab, ba. Et quia ba posita est equalis sectioni bg, ergo duplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum duobus quadratis factis ex duabus lineis ab, bg est equale quadrato facto ex linea a.a. Secundum proa. Ad.: Si linea in duas partes dividatur, eique in longum equalis uni dividencium linea iungatur: quod ex ductu tocius iam composite in se ipsam fiat, equum erit his que ex ductu prioris linee in earn que sibi adiecta est quater, et quod ex ductu alterius dividentis in se ipsam. b. Cfr. Alb. (II 8, resolutio Yrini) 1 equale .... ag, gb: ~; om M,K (Arab. Anar., p.39; Alb.) 2 ag K 3 a K 4 cum.... ag, gb ~ (cfr. Arab. Anar., p.39), om M,K (Alb.) 5 duo K 6,7 om K 8 constitutionem K 9 probatione K 10 lab K

- 81 -

5

10

15

20

25

bationem vero 1 figure septime huius partis erunt duo quadrata facta ex duabus lineis ab, bg equalia duplo superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato ag. Cum ergo illud coniungetur,a erit quadruplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato ag equale duplo superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum duobus2 quadratis factis ex lineis ab, ba. 3 Sed iam ostendimus quod ista sunt equalia quadrato facto ex linea aa, ergo quadruplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato ag est equale quadrato aa. Ergo iam resolutum est hoc4 in figuram quartam prius,post in figuram septimam. Et illud est quod demonstrare voluimus./(C p.101) Secundum compositionemb vero incipiam a loco ad quern cum resolutione perveni. Et5 quia quadruplum superficiei que continetur a duabus '1- ),. t (.I,. lineis ab, bg, cum quadrato linee ag equatur duplo superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum duobus quadratis factis ex duabus lineis ab, ba: 6 ergo cum assumpserimus7 loco dupli 8 superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato linee ag coniunctionem duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, bg et addiderimus earn supra duplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, erit tune duplum superficiei que continetur a duabus lineis ii.b, bg, cum duobus quadratis factis ex duabus lineis ab, bg equale quadruplo superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, cum quadrato facto ex linea ag; quod equidem9 est manifestum ex probatione figure 7e huius partis. Sed linea gb est equalis linee ba, ergo duplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, 10 est 11 equale duplo superficiei que continetur a duabus lineis ab, Da. Ergo quadruplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, bg, 11 cum quadrato linee ag est 12 equale duplo 12 superficiei que continetur a duabus lineis ab, oa, cum coniunctione duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, ba. Sed

secundum probationem figure quarte huius partis erit duplum superficiei 30 que continetur a duabus lineis ab, oa, cum coniunctione duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ii.b, oa, 13 equale quadrato a. Id est: additur duplum ab, bg commune. b. Cfr. Alb. (II 8, compositio) 1 om K 2 om K (Alb) 3 bga M sed corr (bg melius est sed cfr n.6; bg 4,5 om K 6 cfr n.3 (bg Alb.) 7 sumpserimus K 8 om K 9 eql' K 10 add M,K (Arab. Anar., p.45; Alb.): cum coniunctione duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, bg; ego correxi 11 est ... ab, bg om K 12 est. .. duplo bis K 13 add K: est

= Da!)

- 82 -

facto ex linea a.a. Ergo quadruplum superficiei que continetur a duabus lineis ab, oa, cum quadrato facto ex linea ag est equale /(C p.102) quadrato ex linea a.a. Et illud1 quod demonstrare voluimus. 2

< II 9 >a Probatio none figure absque figura secundum lrini intenti5 onem est hoc modo.b Quero ut ostendatur quod coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis a.a, ab, sit equalis duplo duorum A,

A.

'

c:l,...

quadratorum que fiunt ex duabus lineis

ag, ga. lam ergo scivimus ex probatione figure quarte huius partis quod quadratum factum ex linea a.a est equale duplo superficiei que continetur 10 a duabus lineis3 ag, ga, cum duobus quadratis que fiunt ex duabus lineis ag, ga. Coniunctio ergo duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis aa, 4 ab, iam resoluta est in hoc ut sit equalis duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, ga, cum duobus quadratis factis ex duabus lineis4 ag, ga cum quadrato ba. Oportet itaque ut ostendam5 quod duplum 15 duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, ga, sit equalis duplo superficiei/(K 24,9v) que continetur a duabus lineis ag, ga, et coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex6 duabus lineis ag, ga, et7 quadrato oa. Cum ergo minuerimus duo quadrata communia que fiunt ex ag, ga, remanebit duplum superficiei que continetur a duabus li20 neis ag, gb, cum quadrato linee oa equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt· a duabus ag, ga. 7 Sed linea ag est equalis linee g b, coniunctio ergo/(C p.103) quadratorum duarum linearum bg, ga est equalis8 duplo superficiei que continetur a duabus lineis bg, ga, cum quadrato facto ex linea ba; quod quidem9 ex probatione figure 7e constat 25 huius partis. Sed secundum probationem figure septime huius partis erit coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis bg,

ga, equa-

lis duplo superficiei que continetur a duabus lineis bg, ga, cum quadrato linee ba. 10 lam ergo resolutum est in probatione figure huius partis 7e et ostensum11 quod coniunctio

duorum

quadratorum

que

fiunt

ex

dua·

a. Ad.: Si linea in duo equalia duoque inequalia dividatur: que fiunt ex ductu inequalium in se ipsas pariter accepta, duplum sunt utrisque pariter acceptis quod quidem ex dimidia eaque que utrique sectioni interiacet, quadratis describuntur. b. cfr. Alb. (II 9, resolutio Irini) 1 add K: est 2 K, om M 3 om K 4 a.a, ab.. .lineis om K 5 ostedam M 6 a K 7 et quadrato... ag, ga om K 8 K, equale M 9 ql' K 10 add K: Sed secundum probationem figure 7e (vide r.25) 11 add K: est

- 83 -

bus lineis a.a, 1 ab, est equalis duplo duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis 1 ag, ga. 2 Et illud est3 quod demonstrare voluimus. Secundum compositionem vero sic.a Hie itaque componere inc1p1am. Et quia cum probatione ad hunc devenimus finem ut coniunctio duorum quael 2 "- dratorum que fiunt ex duabus lineis bg, ga, sit 5 ,.(,, equalis duplo superficiei que continetur a duabus lineis bg, ga, cum quadrato facto ex linea oa, et linea ag est equalis linee gb, ergo coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, ga, est equalis duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, g\l cum qua10 drato facto ex linea ab. Adiungam autem coniunctionem duorum quadratorum ag et ga et accipiam ea4 communia. Fit ergo duplum duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, ga, equale duplo superficiei que continetur a lineis ag, ga, et5 duobus quadratis factis ex duabus lineis ag, ga cum quadrato facto ex linea ab. Sed secundum probationem 15 figure quarte huius partis erit quadratum factum ex linea a.a equale duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, ga, cum duobus quadratis factis ex duabus lineis ag, ga. Ergo coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus/(C p.104) lineis aa, ab, est equalis < duplo >6 coniunctionis7 duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, ga. Et 20 illud est quod demonstrare voluimus. < II 10 >b Probatio xe

figure absque figura secundum intentionem Irini est secundum resolutionem sic.c Et quia iam8 invenimus quod coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis a.a, ab, est equalis coniunctioni dupli duorum quadratorum9 ag, ga: dico igitur 25 quod ex probatione figure quarte erit quadratum factum ex linea aa equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, ga, et duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag 10 et ga. a. Cfr. Alb. (II 9, compositio). b. Ad.: Si linea in duo equa dividatur eique in longum alia linea addatur: quadratum quod describitur a tota cum addita et quadratum quod ab ea que addita est, utraque quadrata simul accepta, ei quadrato quod a dimidia eique quod ab ea producitur que ex dimidia additaque constat, utrisque quadratis pariter acceptis, dupla esse necesse est. c. Cfr. Alb. (II 10, resolutio Yrini) 1 a.a, ab .. .lineis om K 2 gb K 3 Qill M 4 earn K 5 s.l. M (Alb. cum in marg) 6 ~ (cfr Arab. Anar., p.53); om M,K (Alb) 7 coniunctioni M,K (Alb) 8 in earn K 9 add K: que 10 ag et .. .lineis om K (p.85, n.1) - 84 -

Ergo coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, ga, cum duplo superficiei que continetur a/(M 24') duabus lineis 1 ag, ga, et cum quadrato facto ex linea ab est equalis duplo duorum quadratorum tL k t o..- que fiunt ex duabus lineis ag, ga. Cum ergo 5 abstulero duo quadrata communia ag et2 ga ex toto, remanebit duplum superficiei que continetur a duabus lineis ag, ga, cum quadrato facto ex linea ba equale duobus quadratis factis ex duabus lineis ag et ga. Sed ag est equalis gb, ergo duplum superficiei que continetur a duabus lineis ag, ga, est equale duplo superficiei que continetur a duabus lineis 10 ag, gb, et coniunctio duorum quadratorum que/(C p.105) fiunt ex duabus lineis ag, ga, est equalis coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, gb. Ergo duplum superficiei que continetur a duabus lineis ag et gb, cum quadrato facto ex linea ab est equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag et gb. lam ergo 15 resolutum est hoc in probatione figure 7e, et ostensum quod3 coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis a.a et ab, est equalis duplo duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag et ga. Et illud est quod demonstrare voluimus. Secundum compositionis vero modum incipiam componere a loco ad 20 quern cum resolutione perveni.a Dico ergo quia duo quadrata duarum

°':

,(,..

?:

-

linearum ag, gb sunt equalia duplo superficiei que continetur a duabus lineis ag, gb, cum quadrato facto ex linea ab. 4 Sed linea ag est equalis linee gb, ergo coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, ga, est equalis duplo 25 superficiei que continetur a duabus lineis ag et ga, cum quadrato ab. Cum ergo addidero coniunctionem duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag et ga, duobus aliis5 quadratis, sicut ostensum est, ex duabus lineis ag et ga, et addiderimus illud idem6 supra duplum superficiei que continetur a duabus lineis ag et ga, cum quadrato facto ex linea ab, erit 30 duplum duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag et ga, equale duplo superficiei que continetur a duabus/(C p.106) lineis ag et ga, cum quadrato facto ex linea ba et coniunctioni duorum quadratorum duarum linearum ag et7 ga. Sed secundum probationem figure quarte huius partis a.

Cfr. Alb. (II 10, compositio)

1 vide p.84, n.10 2 om K duabus K 6, 7 om K

3 quam K

- 85 -

4 ab? K

5 duobus aliis: a

erit duplum superficiei que continetur a duabus lineis ag, ga, cum duobus quadratis que fiunt ex duabus lineis ag et ga, equale quadrato ex linea aa. lam ergo ostensum est quod coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex lineis aa et ab, est equalis coniunctioni dupli duorum quadratorum que 5 fiunt ex duabus 1 lineis ag et ga. Et illud est quod demonstrare voluimus.

< II 11 >a Dixit Irinus: 2 undecimum theorema3 non4 est possibile probari absque figura, quod ideo est quia quedam questiones sint in quibus necessarium est scire opus quo compleantur. In inquisitione vero probationis est differentia. Nos tamen ostendimus in figuris que 10 precesserunt quod non fuit eis opus, (id5 est dispositio,) 5 necessarium, sed sola indiguerunt probatione et attulirnus probationes sine figuris in his que precesserunt. Sed quia hoc quesitum indiguit operatione, non fuit possibile quod6 absque figura probaretur, et quia hoc sic est, non sit nobis grave aliam ponere probationem decentem et optime investigatam. Ponam itaque ut linea data7 sit linea ab, et ostendam qualiter linea ab 15 dividatur in sectiones8 ut sit superficies que continetur a tota linea et ab una sectione eius, equalis quadrato alterius sectionis. A puncto itaque a9 protraham perpendicularem ag equalem medietati linee ab sicut )., ..... ~ manifestum est ex probatione figure adiuncte Xie figure prime partis, et pro20 ducam lineam gb et secabo ga equalem ga sicut patet ex pro/(C p.107)batione figure ' tertie prime partis. Et quia quadratum factum ex linea gb est equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt 25 ex lateribus ag, ab, et linea ga est equalis linee ga, ergo latus ab est maius latere ba. Dividam itaque ex linea ab quod sit equale linee ba, sitque linea be, sicut manifestum est ex probatione figure tertie 10 prime partis. Dico igitur quod iam divisimus lineam ab supra punctum e in sectiones tales quod superficies que continetur a duabus lineis ba, ae, est 30 equalis quadrato facto ex linea be. Probatio eius: quoniam quadratum factum ex linea gb est equale cona. Ad.: Datam rectam lineam sic secare ut quod sub tota et una portione rectangulum continetur, equum sit ei quod fit ex reliqua sectione quadratum. 1 om K 2 Yrinus K 3 theoremati K 4 om K s.1:6ut K 7 aa K 8 sectione K 9 add K: et 10 om K

- 86 -

5 id est dispositio M

5

10

15

20

25

iunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duabus 1 sectionibus ga, ao, cum2 duplo superficiei que continetur a duabus lineis ga, ao; 2 quod constat ex probatione figure quarte huius partis. Verum secundum probationem figure 46e prime partis quadratum factum ex linea go est equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ag, ab. Sed iam divisimus ga equalem3 iig et divisimus be equalem Da, ergo coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ga, 4 be, cum duplo superficiei que continetur a lineis ag, be, est equalis coniunctioni duorum quadratorum que fiunt ex lineis4 ga, ab. Cum ergo removerimus5 ga6 communem, remanebit duplum superficiei que continetur a lineis ag, eb, 7 cum quadrato facto ex eb equale quadrato facto ex linea ab, et quia linea ab est dupla linee ga, erit duplum superficiei que continetur a lineis ga, eb, equale superficiei que continetur a lineis ab, be ; et hoc secundum probationem figure prime huius partis. Ergo superficies que continetur a lineis ab, be, cum quadrato facto ex linea be est equalis quadrato facto ex linea ab. Sed secundum probationem figure secunde8/(C p.108) huius partis erit coniunctio duarum superficierum quarum unam continent9 lineei 0 ba, ae, et alteram continent due linee ab, be, 11 equalis quadrato facto ex linea ab. Ergo superficies que continetur a lineis ab, be, cum quadrato facto ex linea be est equalis duabus superficiebus quarum unam continent 12 linee ab, be, et alteram linee ab, ae. Cum ergo removero superficiem que continetur13 a lineis ab, be, communem a toto, remanebit tune superficies que continetur a lineis ba, ae, equalis quadrato facto ex linea be. Et illud est quod demonstrare voluimus.

< II 12 >a Irinus autem in figura 12a nichil addidit, sed dixit esse probandam eo modo quo earn probavit Euclides. Euclides autem dixit in prima parteb et probavit quod omnis trianguli orthogonii quadratum linee subtense recto angulo est equale coniun(K 25, lOv)ctioni duorum a. Ad.: In his triangulis que obstusum habent angulum, tanto ea que obtusum subtendit angulum, ambobus lateribus amplius poterit que obtusum continent angulum, quantum est quod tenetur bis sub uno eorum atque ea que sibi directe iuncta ad obtusum angulum a perpendiculari extra deprehenditur. b. =I 46. 1 K, dua M 2 cum ..... ga, ao M in marg 3 equale K 4 ga, be ... .lineis om K 5 nominavimus K 6 add K: ei 7 ab K 8 3e7 K 9 add K: due 10add K: gii. 11 add M,K (Alb.): est 12 filld K: due 13 continent K- 87 -

quadratorum que fiunt ex duobus lateribus continentibus angulum rectum. Et postea dixit quod Euclides addidit aliam figurama post istam in qua ostendit

illius

conversionem,

sc.

quod omnis 1 trianguli cuius unius

laterum quadratum est equale coniunctioni duorum quadratorum que fiunt 5 ex reliquis duobus lateribus, angulus ab eis contentus est rectus./(C p.109) Inquit Irinus: nos vero in hac figura faciemus quod Euclides in prima parte fecit, et ostendemus2 illud3 in hac figura et in figura que sequitur earn. Dicit ergo Euclides quod omnis trianguli ambligonii quadratum factum 10 ex latere quod4

subtenditur angulo expanso, est maius coniunctione

duorum quadratorum que fiunt ex reliquis duobus lateribus continentibus angulum expansum. Nos itaque ostendemusb quod omnis trianguli cuius unius laterum quadratum est maius coniunctione quadratorum que fiunt ex reliquis duobus 15

lateribus, angulus ab illis duobus lateribus contentus est expansus. Sit ergo triangulus datus triangulus abg, et sit quadratum bg maius/(M24v) coniunctione duorum quadratorum5

J.

20

,.

J,.

Probatio eius: quoniam protraham a puncto linee

6-

ba, ag; dico

igitur quod angulus bag est expansus.

a

ag perpendicularem a.a equalem lateri ab

sicut ostensum est ex probatione figure 11,e6 et

ag;. Et quia quadratum ab est equale quadrato a.a, cum ergo accepero quadratum ag commune, erit ergo coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis ab, ag, equalis coniunctioni du25 orum quadratorum aa, ag. Sed nos posuimus quadratum factum ex latere bg maius coniunctione duorum quadratorum que fiunt ex duobus lateribus ab, ag, et7 secundum probationem figure 46e prime partis erit coniunctio duorum quadratorum aa., ag equalis quadrato facto ex latere ga. Ergo quadratum factum ex latere og est maius quadrato facto ex 30 latere ga, ergo latus bg est maius latere ga. Et quia posuimus latus aa equale lateri ab, ergo cum acceperimus latus ag commune,/(C p.110) erunt duo latera oa, ag equalia duobus lateribus aa, ag. Sed basis bg est maior basi ga; secundum probationem igitur figure 25e prime partis erit anproducam lineam

a.=147. b. Cfr. Alb. (II 12). 1 omni K 2 ostedemus M 3 istud K 4 qui K 5 om K 6 12e M,K (= I 11 sive II 11 ?; Alb.: I 11 et I 2), cfr Arab. Anar., p.71. 7 om K - 88 -

gulus bag maior angulo aag. Angulus autem aag est rectus, ergo angulus bag 1 est expansus. Et illud est quod demonstrare voluimus.

< II 13 >a Dixit Irinus: ostendam conversionem2 figure 13e secundum equalitatem eius, cum quo declaravi figuram que hanc precedit. Dico 5 igitur quod omnis trianguli cuius3 quadratum unius laterum4 est minus duobus quadratis reliquorum laterum, angulus qui ab illis lateribus continetur, est acutus. Exempli causa: ponam ut quadratum unius laterum trianguli abg, quod5 tl sit bg, sit6 minus coniunctione duorum qua10 dratorum que fiunt ex duobus lateribus ab, ag. Dico igitur quod angulus bag est acutus. Probatio eius: quoniam constituam supra ..(,. punctum a linee ag perpendicularem aa i ___________.. equalem lateri ab, sicut manifestum est ex

xre prime partis, et coniungam duo linea ag. Cum ergo attulerimus testimonium figure partis, sicut testificati sumus in figura adiuncta7 que in angulo expanso, ostendetur quod angulus bag est quod demonstrare voluimus.

15 probatione figure

20

puncta a et g cum 46e et 25e prime est ante istam,b sc. acutus. Et illud est

< II 14 > Irinus non invenitur addidisse aliquid figure 14,e sed dixit quod oportet demonstravit.

ut

eius probatio8

sit

secundum

hoc quod

Euclides

a. Ad.: Omnis oxigonii tanto ea que acutum respicit angulum, ambobus lateribus angulum acutum contentibus minus poterit quantum est quod bis continetur sub uno eorum cui perpendicularis intra superstat eaque sui parte que perpendiculari anguloque acuto interiacet. b. =II 12. 1 om K 2 secundum versionem K 3 cuius: M,K habent post 'laterum', ego correxi. cfr Alb. 4 vide n.3 5 qui K 6 si K 7 adiunctam K 8 probatione K - 89 -

< Liber tertius >1 (C p.11 l)Expositio secundum Anarizum2 prologi tertie partis Euclidis. < Definitiones > < III def. 1 >a Dixit Euclides: Circuli equales sunt quorum diametri 5 sunt equales. et a quorum centris linee ad circumferentias eorum protracte sunt3 equales. Supra hoc4 Irinus: 5 quod dicitur, manifestum est, quoniam cum fuerint diametri equales,6 tune linee a centris ad circumferentias protracte erunt equales, quia unaqueque earum erit medietas diametri. Manifestum 10 quoque est nobis quod cum linee recte a centris ad circumferentias protracte fuerint equales, circuli erunt equales, quoniam descriptiones circulorum non sunt nisi secundum spatia que sunt inter centra et circumferentias que sunt diametrorum medietates.

< III def. 2 >b Dixit Euclides: Linea recta circulum contingens est que 15 cum circulum contingat et protrahatur in ambas7 partes. non secat circulum. < III def. 3 >c Circuli se adinvicem contingentes sunt qui cum se vicissim tangant. non se secant 20

< III def. 4 >d Linee recte equalis Sl?atii a centro sunt quarum8 perpendiculares que a centris ad eas protrahuntur. sunt equales. < III def. 5 >e Maioris autem fil)acii a centro sunt quarum perpendiculares que ad eas protrahuntur. sunt maiores. Supra hoc Irinus9i voluit Euclides demonstrare 10 spatium quod est a. Eucl. def. 1, Ad. def. partem def. Anar.). b. Eucl. def. 2, Ad. def. 2, c. Eucl. def. 3, Ad. def. 3, d. Eucl. def. 4, Ad. def. 4, e. Eucl. def. 5, Ad. def. 5,

1, (Alb. def. 1; Ad. et Alb. habent solo primam (Alb. def. 2). (Alb. def. 3). (Alb. def. 4). (Alb. comm. def. 4).

1 Incipit pars tercia expositionis Anaritii K (alia manu?) 2 Anaritium K 3 erunt K 4 om K 5 Yrinus K 6 om K 7 alias K 8 om K 9 Yrinus K 10 domonstrare M

- 90-

inter centra et lineas rectas continuas; ideoque dixit: perpendiculares. 1 Quod ideo fecit quoniam2 possibile est ut ab unoquoque puncto ad unumquodque/(C p.112) punctum plures linee producantur, set spatium quod est inter punctum et lineam, est perpendicularis protracta a puncto ad illam 5 lineam rectam. 3 Et propter hoc dixit Euclides quod linee equalis spatii a centro sunt quarum perpendiculares a centris ad eas protracte sunt equales, et maioris spatii sunt quarum perpendiculares ad eas protracte4 sunt maiores. < III def. 6 >a Euclides dixit: 5 Portio circuli est figura que continetur

10 a linea recta et portione arcus circumferentie circuli.

< ill def. 7 >b Angulus portionis est qui6 fit cum signetur quodlibet punctum supra arcum portionis et protrahuntur ab eo ad fines basis portionis due recte linee ipsum continentes. < III def. 8 >c Et cum due linee angulum continentes fuerint con15 tinentes7 arcum. tune ille angulus dicetur compositus supra lineam arcus.

< ill def. 9 >d Sector8 circuli est figura que continetur a duabus rectis lineis continentibus cum arcu angulum qui supra ipsum compositus est, 9 sc. cum arcus 10 subtenditur angulo. Sectoris 11 vero12 species due sunt quarum una est eius cuius angulus 20 supra circumferentiam existit, alia cuius angulus consistit supra centrum. Sed cuius angulus non consitit supra centrum neque supra circumferentias, non est sector; 13 equatur tamen sectori. 14

< ill def. 10 >e Euclides: Portiones circulorum similes sunt qyarum anguli sunt equales: et quarum anguli qyi in eis cadunt. sunt equales, a. Eucl. def. 6; Ad.- (Alb.-). * * * b. Eucl. def. 7,8; Ad. def.*7,8 (Alb. dt;f. 7,8 ). Vide p.3 . c. Eucl. def. 9; Ad. def. 8 (Alb. def. 8 ). d. Eucl. def. 10; Ad. def. 9 (Alb. def. 9). e. Eucl. def. 11; Ad. def. 11 (Alb. def. 11). 1 perpendicularis K 2 quod K 3 om K 4 protracte K 5 om K 6 quod 8 Secto K 9 om K 10 arcus M, arcu K K 7 add K: propter 11 sectoiS K 12 om K 13 sectorum K 14 sectOi K

- 91 -

ipse sunt similes./(C p.113) Irinus: Oportet ut sciarnus quod curn portiones circulorurn fuerint 1 similes, anguli in eis signati erunt equales, et eius conversam, sc. quod cum fuerint 2 anguli3 qui cadunt in portionibus circulorurn, equales, tune 5 ille portiones erunt similes. Figurarum autern species sunt iste: circulus, portio circuli gibbosa, lunaris. Circulus vero est figura quam inter figuras rectarum linearum difinivi.a Sed portio circuli est4 figura que continetur a linea recta et arcu circurnferentie circuli, et cum duo circuli se secant, tune portio eis 10 communis nominatur gibbosa; reliquarum autem portionum figura dicitur lunaris. Expleta5 est expositio prologi. 5

< Theoremata > < III 1 > Irinus nichil invenit6 in prima figura, sed dixit: hec figura 15 manifesta est secundum quod dixit Euclides.

< III 2 > Dixit Irinus7 de secunda figura: cundum declarationem Euclidis.

hec figura probatur se-

< III 3 > De tercia quoque dixit: hec figura secundum Euclidis dicta declaratur. 20

< III 4 > De quarta similiter dixit quod secundum Euclidis dicta demonstratur.

< III 5 > De quinta quoque8 dixit quod ipsa est secundum hoc9 quod dixit Euclides./(C p.114)

< III 6 > In fine vero sexte dixit: omnes figure iste declarantur et 25 constant secundum dicta Euclidis.

a. =I def. 14. 1 sunt K 2 fuerit K 3 om K 4 M bis inveniet K 7 Yrinus K 8 vero K 9 om K

- 92 -

5 expleta ... prologi om K

6

5

10

15

20

25

30

< III 7 >a Dixit Irinus in septima1 figura: ostendit Euclides quod linee centro propinquiores sunt maiores eis que ab eo sunt remotiores. Quod declaravit ubi posuit duas lineas ab una parte centri2 et ostendit quod ea que est propinquior centro, est maior ea que ab eo3 est magis remota. 4 Quod si nobis proposite fuerint due linee a duabus partibus centri quarum una sit altera propinquior centro: ostendemus quod illa que5 est ei propinquior, est maior ea que magis est ab eo remota, cum hac dispositione. Ponam circulum abg cuius diametrus sit bg et centrum nota a,et ponam supra lineam bg punctum e a quo protraham ad circumferentiam duas lineas ea et ez, et ponam ut linea ea sit centro propinquior linea ez. Dico igitur quod linea ea est maior linea ez. Probatio eis: quoniam protraham a a quod est centrum, duas puncto perpendiculares illi et at et protraham etiam lineas aa et az. Et quia linea ae est propinquior/(C p.115) centro linea ze, ergo secundum id quod est prernissum in hoc tractatu, erit perpendicularis at maior perpendiculari ah; ergo quadratum linee at est maius quadrato linee illi. Propter hoc igitur quod unusquisque duorum angulorum are, illie est rectus, erit secundum7 probationem figure 46e prime partis quadratum at cum quadrato te8 equale quadrato ae. Et9 sirniliter quod quadratum illi cum quadrato he est equale quadrato ae, 9 ergo quadratum at cum quadrato fo est equale quadrato illi cum quadrato he. Sed iam fuit ostensum quod quadratum at est maius quadrato illi. Remanet ergo quadratum eh maius quadrato et, ergo linea/(K 26, lOV) eh est maior linea ef. Et etiam quia duorum angulorum aha, z010 quisque est rectus, ergo secundum probationem figure 46e 11 prime partis erit quadratum zt cum quadrato at equale quadrato az, et quadratum ah 12 cum quadrato ha equale quadrato aa. Sed linea aa est equalis 13 linee az a. Ad.: Si in diametro circuli preter centrum signetur punctus et ab eo ad circumferiam linee plures ducantur: que super centrum transierit, omnium erit longissima; que vero diametrum constituat, omnium brevissima; que autem centro proxime, ceteris longiores; quanto vero ei remociores, tanto breviores. Duas vero ei equidistantes linee brevissime collaterales equas esse necesse est. 1 alia K 2 communem K 3 ea K 4 magis remota: remotior K 5 om K 6 in fine folii M add: eo duas lineas 7 om K 8 add K: est 9 et.... ae om K 10 zat K 11 40e K 12 ah K 13 K, equale M

- 93 -

quoniam sunt protracte a centro ad circumferentiam, ergo quadratum fill cum quadrato an est equale quadrato 1 zf cum quadrato fil. Sed iam fuit ostensum quod quadratum fil est maius quadrato an. Cum ergo removerimus ea, remanebit quadratum fill maius quadrato zf; ergo linea fill est 5 maior linea zt. Sed iam fuit ostensum quod linea eh est maior linea et, ergo linea ea est maior linea ez. Et illud est quod demonstrare voluimus. Dicit2 etiam Irinus: 3 si ergo linea que a puncto a protrahitur perpendicularis supra lineam ez, non cadat supra lineam ez sed supra lineam que ei iungitur4 secundum rectitudinem sicut perpendicularis ah. Igitur propter hoc quod linea az est equalis 10 /(C p.116) linee aa quoniam ipse sunt protracte a centro ad circumferentiam, et '} 1----~1------1 ~

quadratum at cum quadrato ta est equale quadrato aa et quadrata ah et Iiz et hz sunt equalia quadrato az, erunt duo quadrata ah 15 et hz equalia duobus quadratis at et ta. Sed quadratum an est maius quadrato at; cum ergo removerimus ea, remanebit quadratum af maius quadrato hz; ergo linea af est maior linea Iiz. Cum ergo removerimus lineam eh et addiderimus lineam ef, manifestum est 20 quod tota linea strare voluimus.

ea

erit multo maior linea

ez.

Et illud est quod demon-

< III 8 >a Dixit lrinus: 5 etiam in octava figura ostendit Euclides quod linee que sunt propinquiores centro, sunt maiores lineis ab eo remotioribus. Sed propter hoc quod probatio huius6 non est in libro de 25 elementis nisi ubi ipse posuit lineas ab una parte, ergo relinquitur ut a e 2:7 probentur8 alia probatione sicut fecimus in figura que precessit. Dico igitur quod cum a duabus partibus diametri due recte linee posite fuerint

quarum una9 sit centro propinquior et altera10

ab eo ma-

a. Ad.: Si extra circulum puncto signato ab ea(!) ad circumferentiam in adversum linee plures circulum secando ducantur: que super centrum transierit, omnium erit longissima; centro autem propinquores, remotioribus longiores. Linee vero partiales ad circumferiam extrinsecus applicate: ea quidem que diametro in directum adiacet, omnium minima; ei vero propinquiores, remotioribus breviores. Due vero que linee brevissime utrinque eque propinquant, equales sunt. 1 om K 2 dixit K 3 Yrinus K 4 adiungitur K 5 Yrinus K 6 eius K 7 nescio quid sit; ae:e:z M, a e z K 8 probetur K 9 om K 10 latera K

- 94-

gis remota: que erit magis propinqua, erit maior ea que erit remotior. Exempli causa: ponam circulum abg et protraham/(C p.117) diametrum eius bg quam secundum rectitudinem producam extra centrum1 que sit sicut linea ga, supra quam ponam notam qualitercumque contingat; sitque nota a a 5 ...,,..~=-+-----,:--i'=-----1 l qua ad circulum abg protraham duas rectas lineas a duabus partibus diametri que sint t ~ linee aa., ae; sitque linea aa. propinquior Centro linea ae. Dico igitur quod linea a.a est maior linea ae. 10 Probatio eius: quoniam inveniam centrum circuli quemadmodum ostensum est debere inveniri ex probatione figure prime huius partis, et ponam ut sit punctum z a quo ad duas lineas a.a et ae protraham duas perpendiculares zh et zt, sicut manifestum est posse protrahi ex probatione figure secunde2 xe prime3 partis. Et quia linea aa4 est 15 propinquior puncto z, quod est centrum, linea ae, ergo5 perpendicularis zh est minor perpendiculari zt. Et etiam quia quadratum linee ah cum quadrato linee hz est equale quadrato linee az, quod equidem constat secundum probationem figure 46e prime partis; et similiter quadratum factum ex linea at cum quadrato facto ex linea fZ est equale quadrato 20 facto ex linea az: ergo coniunctio duorum quadratorum ah et hz est equalis coniunctioni duorum quadratorum at et tz. Sed quadratum linee zh est minus quadrato linee tz; cum ergo removerimus ea, remanebit quadratum linee ah maius quadrato linee at; ergo linea ah est maior linea at. Et etiam quia linea za est equalis linee ze quoniam a centro ad 25 circumferentiam sunt protracte; sed coniunctio quadratorum duorum que fiunt ex lineis zh et ha, est equalis quadrato facto ex linea az, 6 et coniunctio quadratorum que fiunt ex duabus lineis zt et te, est equalis quadrato facto ex linea6 ze: ergo coniunctio duorum quadratorum que fiunt ex duabus lineis zt et te, est equalis7 coniunctioni duorum 30 quadratorum que fiunt ex duabus lineis zh et ha. Sed quadratum fZ est maius quadrato zh; remanet ergo quadratum factum ex linea ahl(C p.118) maius quadrato facto ex linea te; ergo linea ah est maior linea te. Sed iam ostendimus quod linea ah est maior linea at, ergo tota linea

1 melius: circulum 2 tertie M,K (Alb: 12) 3 om K 4 ab M,K 5 add K: est 6 az .. .linea om K 7 iteravit K: quadrato facto ... est equalis (r.2830)

- 95 -

aa est maior linea ae. Et illud est quod demonstrare voluimus. Ostendam etiam quod linearum que concurrunt circumferentie circuli: que magis propinqua fuerit linee que est inter notam et diametrum, erit minor ea que ab ea fuerit magis remota. Et faciam hoc etiam in duabus 5 rectis 1 lineis existentibus a duabus partibus linee que est inter notam2 et inter diametrum. Ponam itaque ut circulus sit circulus abg, cuius diametrus sit linea bg. Producam itaque lineam bg3 ad exteriora3 circuli secundum rectitudinem et ponam supra earn punctum a a quo protraham ad circumferentiam 10 circuli duas lineas ae et az, et ponam ae propinquiorem linee ga linea az.

rL Dixit Irinus9 quod nona figura consistit secundum hoc quod dixit Euclides.

25

30

< III 10 >a a. De decima vero dixit: bane figuram declarabo per nonam. Dico igitur, 10 si est possibile. ut unus circulus alium in pluribus quam in duobus 11 secet locis: secet ergo circulus aogez circulum ohgekz in notis pluribus duabus, SC. in notis o,g,e,z. lnveniarn itaque centrum circuli aoga sicut manifestum est ex probatione figure prime huius 12 partis, et a. Ad.: Si circulus circulum secet, in duobus tantum locis secare necesse est. 1 zs K 2 ae... .lineis ... az K bis 8 ba K

M marg 3,4 contmte K 5 na K 6 ae K 7 ergo 9 Yrinus K 10 ergo K 11 quarn in duobus om K

12omK - 97 -

ponam ut ipsum sit nota t, et protraham lineas fl> et tg 1 et te. Et quia punctum t est centrum circuli abgez, ergo linee fl> et tg et te sunt equates. Et quia a puncto t quod est intra circulum bhgekZ, protrahuntur ad circumferentiam linee fl> et/(K 27, 11 ') tg et

te plures duabus que sunt

5 equates, ergo secundum probationem figure none huius partis punctum t est centrum circuli bhgez1 et ipsum etiam est centrum circuli2 abgez. Duorum ergo circulorum sese secantium unum est centrum, quod est contrarium et impossibile, quoniam iam est manifestum/(C p.121) ex probatione figure quinte huius partis hoc esse inpossibile. Et illud est quod 10 demonstrare voluimus.

< III 11 >a Dixit Irinus: 3 Euclides in figura undecima posuit duos circulos sese intrinsecus contingentes et descripsit figuram supra hoc, et probavit quod querebatur in ea. Ego vero ostendam quatiter sit probandum si contactus exterius fuerit. b 15

Ponam itaque duos circulos ab et ga se supra punctum4 g contingentes, et sit centrum circuli ab punctum z, et punctum h sit centrum ga. Dico igitur quod linea recta que transit per duo puncta z et h, transit per punctum g. Probatio eius: quoniam non est possibile atiter esse. Quod si est

20

possibile:

sit5

linea6

que7

transit per duo puncta z et h non transiens supra punctum8 g, sed sit locus transitus ipsius atius, et sit si25

cut linea zilch. Protraham i-

#

taque duas lineas9 gz et gh, ergo provenit triangulus gzh.

Secundum probationem igitur figure 20e prime partis erunt duo latera zg et gh coniuncta maius latere Zh. Sed linea gh est equatis linee hl:, et li30 nea zt/(C p.122) est equatis linee

zg;

ergo coniunctio duarum linearum

et kh est maior linea hz, minor sc. maior maiore; quod

est

zt

contrarium

a. Ad.: Si circulus circulum contingat, lineaque per centra eorum transeat: ad punctum contactus earn applicari necesse est (= Eucl. III 11+12). b. = Eucl. III 12. 1 bg K 2 bhgez ...circuli M marg (vide p. 14*) 3 Yrinus K 4 om K 5 sic ? K 6, 7 Q!Il K 8 puncto ? K 9 om K - 98 -

et inpossibile. Linea igitur recta que transit per duo puncta transit per punctum g. Et illud est quod demonstrare voluimus.

5

10

15

20

25

30

z

et h, 1

< III 12 >a Dixit Irinus: quoddam propositum premittam quo in figura 12a indigemus: Linea recta non secat circulum in pluribus notis quam in duabus. fuerit possibile, secet ipsum2 supra tres notas, sintque note g,b,a. Inveniam itaque3 centrum circuli, sicut ostensum est ex probatione figure prime huius partis, quod sit punctum e, et producam . lineas ea, eb, eg. Et quia li'} nea bga4 est una linea recta, et angulus eba est extrinsecus trianguli ebg, ergo secundum probationem figure 16e prime5 partis6 angulus eba est maior angulo egb. Sed angulus eba est equalis angulo eab, et hoc secundum probationem figure 5e prime partis; ergo angulus eab est/(C p.123) maior angulo egb. Sed latus ea est equale lateri eg, ergo7 secundum probationem figure 5e partis prime erit angulus eab equalis angulo egb. Sed iam fuit maior eo; quod est contrarium et inpossibile. Linea ergo recta non secat circumferentiam circuli supra notas plures duabus. Et illud est quod demonstrare voluimus. 8 Si vero9 aliquis dixerit: possibile est ut centrum circuli sit supra lineam ab, dicam10 ergo 11 tune quia possibile est; 12 sit itaque supra notam z. Et quia nota13 z est centrum circuli abgd, ergo linea az est equalis linee zo. 14 Et etiam quia linea za15 est {). equalis linee zbg, ergo 16 linea zbg est equalis linee zb; 16 ergo linea gbz que est a. maior, est equalis minori linee zb; quod est 17 18 inconveniens et inpossibile. Linea ergo recta non secat circulum in notis pluribus duabus. Et illud est quod demonstrare voluimus. a. (= Eucl. III 13) Ad.: Si circulus circulum sive extrinsecus sive intrinsecus contingat: in uno tantum loco contingere necesse est. 1 add K: non 2 eum K 3 om K 4 melius: gba ? 5 om K 6 add K: et 7 om K 8 demonstrare voluimus om M 9 om K 10 dicat sed corr M, dico K 11 igitur K 12 om K 13 linea K 14 zd K 15 zb M,K (Alb: za) 16 ergo... zb K bis 17 inveniens? K 18 in K - 99 -

Dixit Irinus 1 etiam in figura 12a: dico in hac figure quod si est possibile ut duo circuli in notis pluribus una se contingant, tune duo circuli ag, oa, contingant2 se intrinsecus in pluribus notis quam una. ()...

5

A

,/,,

Ponam itaque ut contingant3 se supra duas notas a et g, et inveniam centrum circulorum ag, oa, sicut ostensum est ex probatione figure prime huius partis, et ponam ut sint4 intra circulum ag. Quod si

quis dixerit, faciam centrum circuli ag 10 notam h/(C p.124) et centrum circuli oa notam f. 5 Dicam ergo tune quod centrum non cadit extra circulum ag. Si tamen fuerit possibile ut cadat sicut dixit, ergo coniungam duo puncta h et t que sunt centra, cum linea6 hf. Manifestum est itaque secundum probationem figure Xie huius partis quod linea ht cum protra15 hetur in utrasque partes usque in infinitum, cadet supra duo puncta contactus que sunt puncta a et linee locus sicut est locus linee

g. 7

Protraham itaque earn, ergo fit huius ergo8 linea antg 8 secat circulum ag

anig;

supra notas plures duabus. Sed iam manifestum est illud esse inpossibile, non ergo cadit centrum circuli aoga extra circulum ag. 20

Et secundum huius similitudinem ostendam quod non cadit supra arcum

azg.

Si ergo possibile est, sit simile9 puncto

una recta et secat circumferentiam circuli

z; ergo aegz 10

Iinea

ahzg

est linea

supra notas plures

duabus, sc. supra notas a et z et g. Sed illud est inpossibile, ergo inpossibile est ut cadat centrum circuli aoga supra circumferentiam 25 circuli aezg. Et iam ostendimus etiam quod non cadit extra ipsum, ergo cadit intra ipsum sicut dixit 11 Euclides. Et illud est quod demonstrare voluimus.

< III 13 >a Irinus autem figure 13e addidit et ostendit/(C p.125) quod centrum circuli cadit inter duas lineas ez et ga; et descripsit ei 30 formam circuli aoga, et protraxit in eo duas lineas ab et ga que a. (= Eucl.III 14) Ad.: Recte Iinee in circulo si fuerint equales, eas a centro eque distare; et si eque a centro destiterint, equales esse oportet. 1 Yrinus K linea K bis 11 dicit K

2 coniungant K 3 contingat K 4 sit K 5 e K 6 cum 7 .fil1d K: et 8 ergo... ahig om K 9 scl'e K 10 abzg K

- 100-

sunt equales. Dicit ergo quod centrum circuli cadit inter duas lineas 1 ab et2 ga, neque est possibile aliter esse. Quod si est possibile, cadat primum supra duas lineas ab et ga. Ponam ergo ut cadat3 supra lineam ga in puncto e, 5

et protraham duas lineas ea et eb. Et quia punctum e est centrum, ergo linea ea 4 est equalis linee ae. Sed secundum probationem figure 20e partis prime erit coniunctio ae et eb 10 maior ab, ergo linea ga est maior linea ab. Sed nos posuimus eas equales, ergo linea ga · linee ab est equalis et maior ea simul in una hora, quod est contrarium et inpossibile. Secundum huius quoque similitudinem ostendam quod non est possibile ut cadat supra lineam ab, et dico etiam quod neque extrinsecus ab una 15 duarum linearum ab, ga. Quod si possibile est,6 cadat ab extrinseca parte linee ga, et ponam ut sit punctum z, et protraham lineas za, zg, za, zb. Et quia punctum z est centrum circuli, sequitur ut sint due linee az, zg equales duabus lineis za, zb. Sed et7 basis ab est8 equalis basi ga, ergo secundum probationem figure ge prime partis erit angulus azb equalis 20 angulo azg, minor SC. equalis maiori; quod est contrarium et inpossibile. Secundum huius quoque probationis similitudinem ostendam/(M 26r) quod non est possibile ut cadat ab extrinseca parte linee ab. Et illud est quod demonstrare voluimus. Et ostendit etiam Irinus quod centrum circuli abg cadit inter duas 25 lineas equales ab et ga absque contrario. Dico igitur9 quod non potest esse quin due linee ab/(C p.126) et ga sint 10 equidistantes aut non sint 11 equidistantes.a Ponam itaque primum ut ipse sint equidistantes, et coniungam inter duas lineas ag et ab. Anguli igitur coalterni sunt equales, 30 ergo angulus a est equalis angulo g, et angulus a est equalis angulo b. Sed basis ab est equalis basi ag, ergo secundum probationem figure 26e 12 prime partis a. Equidistans: sicut definitum est in libro I. 1 linea K 2 bis M 3 cadet K 4 est...eb: ego (cfr Arab. Anar., p.59, Alb.), om M,K 5,6,7,8 om K 9 ergo K 10 sunt K 11 om K 12 20e K - 101 -

latus ae est equale lateri eg, 1 et latus eb est2 equale lateri eo; ergo due recte linee ag et 1Xl secant se in circulo supra coniunctionem earum. 3 Secundum probationem igitur figure quarte huius partis sequitur ut centrum circuli sit punctum e. Et illud est quod demonstrare voluimus. 5

Ponam etiam ut ipse non sint equidistantes, sc. linee ab et ga. Protraham itaque eas donec supra punctum e concurrant, et protraham duas

et 1Xl sese supra punctum z secantes, et producam lineam ezh. Dico igitur quod centrum circuli est s:.ipra lineam eh. Probatio eius: quoniam angulus bag est equalis angulo !Xlg eo quod 10 sint in una portione circuli.a (Ab huiusmodi enim figuris inducuntur4 probationes, licet posterius sint/(C p.127) descripte, quoniam in ea non sunt antecedentia5 figurarum sequentium hanc figuram, neque etiam hec figura est de elementis illius figure, sed illius figure principia sumuntur ex prima parte et ex figura prima huius partis. Sed quia 15 Irinus6 indigebat ea ad hanc dubitationem solvendam, posuit figuram 20am b huius partis principium huius figure). Et quia angulus bag7 est lineas

ag

equalis angulo

1Xlg8

quoniam sunt in

portione una et eorum

arcus unus quia est arcus equale

est

lateri

ga,

a.a, ergo

corda est9 et latus

ab

secundum

..e. probationem figure 26e prime partis erit .!_l------~W"~l+--_..;~linea 10 az equalis linee za. Et etiam quia

20

angulus ezg est equalis angulo ezb et angulus egz est equalis angulo ebz, ergo secundum probationem figure 32e prime partis erit angulus gez reliquus 25

equalis reliquo angulo oez. Et quia duo anguli aez, eaz trianguli aez sunt equales duobus angulis aez et/(K 28, llv) eoz trianguli aez, ergo latere ez posito communi 11 erit secundum probationem figure 26e prime

partis

latus

ea

equale

lateri

ea.

Ergo

linea

eb

est equalis

linee eg et angulus bet secundum quod ostensum fuit, est 30 equalis 12 angulo get. Sumpta itaque linea et communi erunt duo latera ge et et equalia duobus lateribus De et et, et angulus get est equalis angulo bet. a,b.

Ergo basis

bt

est

equalis

basi tg, ergo angulus

= Eucl. III 21.

1 ag K 2 om K 3 addendum est: in equalia ? 4 indu K id est elementa 6 unus K 7 melius a!Xl 8 melius: aga 10 om K 11 add K: eis 12 add K: angulus equalis

- 102 -

5 M add 9 add K:

s.l.: una

efb est equalis angulo efg, ergo ipsi sunt recti. Ergo supra linearn bg que cadit in circulo abga, iam transivit effi. que ipsam in duo media orthogonaliter divisit.

Ergo secundum probationem figure tertie huius

partis supra lineam efzh existit centrum circuli. Et illud est quod 5 demonstrare voluimus. Dixit1 Irinus: si quis dixerit quod due linee equales secant se intra circulum abga supra notarn e, sicut linea ag secat lineam ba, tune dicam quod non est possibile quin centrum2 sit aut supra sectionem communem duabus lineis ag et ba, SC. supra notam e, aut preter earn. 10

Quod si ceciderit supra notam

e,

ergo ipsum erit/(C p.128) inter duas

lineas ag et ba, et iam erit solutum quod querebatur. Et iam fuit ostensum quod non est possibile ut cadat supra unarn duarum linearum ab et ga. Quod si protervi dixerint, nos ponemus duas lineas

ab et a.a non sese

3

15 intra circulum abga secantes, sed supra eius circumferentiam concurrentes, tune ostendarn quod centrum circuli abga existit inter duas lineas ab et a.a. Protrahama ergo lineam ba, quam4 in duo media supra notam dam, et protraham ae quam producarn usque ad 20 centrum circuli est supra lineam ag.

g.

e5

divi-

6

quod

Dico igitur

Probatio eius: quoniam be est equalis ea, ergo ea assumpta communi erunt due linee be et ea equales duabus lineis ae et ea. Sed et7 basis ba est equalis basi a.a, ergo secundum probationem figure ge prime partis8 erit angulus bea equalis angulo aea. Sed cum linea recta super rectam9 25 erigitur lineam et fuerint 10 duo anguli qui sunt ab utraque. parte 11 equales, tune unusquisque eorum est rectus. Ergo linea ae secat lineam oa in duo media et 12 orthogonaliter, ergo linea ag transit supra centrum circuli; quod quidem13 secundum probationem figure tertie huius partis sic constat esse. 14 Et illud est quod demonstrare voluimus. 30

< III 14 > De quarta decima figura dixit Irinus 15 quod

ipsa declara-

a. Vide figuram supra datam. 1 add K: etiam 2 cetrum K 3 inter K 4 quern K 5 om K 6 ergo K 7 om K 8 par M 9 recta K 10 fiunt K 11,12 om K 13 ql' K 14 om K 15 unius K - 103 -

tur secundum hoc quod dixit Euclides./(C p.129)

5

10

15

20

< III 15 >a In quinta decima figura voluit Euclides quod angulus extrinsecus qui 1 continetur ab arcu gaa et a2 perpendiculari az, esset3 minor omni acuto angulo quoniam non dividitur. Si ergo foret4 divisibilis, caderet inter arcum gaa et lineam az linea recta, quoniam angulorum divisio non est nisi cum lineis rectis que ipsos dividunt. Quia ergo angulus kaz non dividitur, non fuit angulus acutus, quoniam omnes anguli acuti dividuntur. Ipsum tamen a nomine denominavit quod ei necessarium fuit propter alterum angulum intrinsecum,5 et hoc est: 6 quia angulus eaz fuit rectus, cecidit inter lineam ga et perpendicularem az arcus gaa et separavit angulum kaz7 cui non est quantitas, et remansit angulus intrinsecus qui continetur a diametro ga et arcu gaa, maior omni acuto angulo, quoniam acutus est qui separatur ab angulo recto cum alio aliquo acuto angulo. Quia ergo iste angulus intrinsecus non minuitur a recto angulo qui est eaz, cum angulo cui sit quantitas, posuit Euclides quod angulus intrinsecus est maior omni acuto angulo. Et quia non est possibile ut exterior angulus cum linea recta dividatur, posuit ipsum8 minorem omni acuto angulo; quoniam omnis linea cuius esse est ut esse huius, est contingens circulum./(C p.130) Dicit Irinus: hec figura existit9 secundum quod dixit Euclides.

< III 16 >b In figura 16a dixit Irinus: 10 si punctum datum fuerit intra circulum, non erit 11 possibile ut ab eo protrahatur linea contingens circulum, quoniam ipsa secabit circulum. Quod si supra circumferentiam fuerit, possibile erit ut ab eo protrahatur diametrus circuli, 25 et ut supra illud punctum ducatur perpendicularis que contingat 12 a. (= Eucl. III 16) Ad.: Si ab altero terminorum diametri cuiuslibet circuli orthogonaliter ducatur linea, extra circulum earn cadere necesse est, atque inter illam et circulum aliam lineam capi impossibile est. Angulus autem ab illa et circumferia contentum: omnium acutorum angulorum esse angustissimum; angulum vero intrinsecum a diametro et circumferia contentum: omnium acutorum angulorum amplissimum esse necesse est. (Corollarium:) Unde etiam manifestum est omnem lineam rectam a termino diametri cuiuslibet circuli ortogonaliter ductam circulum ipsum contingere. b. (= Eucl. III 17) Ad.: A puncto dato ad datum circulum lineam contingentem ducere. 1 quod K 2 om K 3 erit K 4 fuerit K 5 secum K 6 quod K 7 cdz K 8 om K 9 existi K 10 Yrinus K 11 est K 12 contineat K . 104-

circulum. Et si voluerimus a puncto a ad circumferentiam circuli gz duas lineas ipsum contingentes ducere, protrahemus lineam hz secundum rectitudinem usque ad k, et 5 coniungemus puncta a, k, protrahendo1 lineam ak, 1 que secabit circulum supra punctum I, ,(.. et producam lineam2 ii.I. Manifestum est igitur secundum quod ostendit3 Euclides quod linea ii.I contingit circulum et est equalis li10 nee at. lam ergo manifestum est etiam4 quod due linee que protrahuntur a quolibet puncto dato circulum datum contingentes, sunt equales. Et illud est quod demonstrare voluimus.

15

< III 19 >a In figure nona xa dixit Irinus: cum fuerit angulus positus circumferentiam equalis angulo gao5 et linea aa6 fuerit coniuncta linee ao secundum rectitudinem, manifestum/(C p.131) est quod angulus gab erit duplus anguli gab. Sed si fuerit positio anguli qui est supra circumferentiam, sirnilis positioni anguli geb, ita quod linea ag secet lineam eh,

'} . '-l,. protraham tune lineam aez. Et quia linea ea est equal1s linee ao, ergo angulus oea est equalis angulo eoa7 . Ergo angulus oaz qui est extrinsecus trianguli eba, est duplus anguli aeo. Et etiam quia linea ea est equalis linee ag, ergo angulus aeg est equalis angulo ega; ergo angulus zag8 est duplus anguli aeg. Sed angulus zao ut 25 ostensum est, est duplus anguli oea; cum ergo removerimus eum, remanebit angulus bag duplus anguli beg. Et illud est quod demonstrare voluimus./(M 26v) Dicit9 preterea Irinus: hec figura iam 10 est declarata11 secundum

20

omnem positionem, et secundum omnem constitutionem probata. Nobis 30 tamen est relictum ut ponamus propositionem dictam et 12 probemus earn probatione communi; quoniam si non fuerit probata secundum quod13 earn a. (= Eucl. III 20) Ad.: Si intra circulum angulus supra centrum consistat, alius vero angulus supra circumferiam consistens eandem basim habeat inferior superiore duplus erit. 1 protrahendo... ak M marg 2 bis K 3 ostedit M 4 om K 5 ab K 6 add K: et 7 eab K 8 zat K 9 dixit K 10 om K 11 declata M 12 om K 13 quiaK

- 105 -

probaverimus, non erit nobis possibile ut probemus figuram que est post earn secundum omnem 1 positionem nisi secundum hoc tantum quod posuit Euclides. Sed illud est possibile quoniam necessario convenit quod propositio fiat communis et quod probetur secundum omnem2 positionem, 5 et ut paciatur protervorum contradictionem ne in geometria sit aliquid non probatum. Cum ergo posuerimus hanc propositionem et demonstraverimus figuram, erit totum quod est in figura, manifestum et clarum, et neque remanebit protervis locus contra dicendi in ea, sc. in figura que est post hanc, que est figura 20.a a Oportet/(C p.132) itaque 10 ut propositionem premittamus et figuram ei ponamus. Ipsa autem est huiusmodi:a Angulus qui est supra centrum omnis circuli, est duplus anguli qui est supra circumferentiam ipsius, cum fuerit basis eorum arcus unus, et reliqui anguli qui sunt supra centrum et sunt complentes quatuor angulos 15 rectos, sunt duplum anguli qui est supra circumferentiam arcus qui subtenditur angulo qui est supra centrum. Sit itaque .... angulus qui est supra centrum, angulus geb et ille qui est {. supra circumferentiam, sit angulus gab. Protraham autem duas lineas

25

ge et be secundum

rectitudinem usque ad duo puncta circumferentie z et n, et producam duas3 lineas gf, fb. Dico igitur quod omnes anguli

20

qui cadunt in arcu 4 gab, ubicumque sit eorum casus, medietates anguli geb, cum unus arcus fuerit eorum basis, et quod coniunctio angulorum bez et zen et neg est dupla anguli bfg5 et dupla omnis anguli qui cadit in6 arcu bfg. Probatio eius: quoniam punctum e est centrum circuli, ergo linea eb est equalis linee et. Ergo angulus ebf est equalis angulo efb, ergo angulus7

net cum sit extrinsecus, est duplus anguli efb. Et etiam quia 30 linea et est equalis linee eg, ergo angulus zef est duplus anguli efg; ergo coniunctio duorum angulorem net et zet est dupla anguli big. Set angulus beg est equalis angulo nez, 8 ergo anguli gen, nez, zeb sunt duplum anguli gfb. Manifestum quoque est quod anguli gen, nez, zeb omnes a. = Eucl. III 21. 1 ceh K 2 coein K 3 om K 4 lliid K: punctum e est centrum circuli (vide I,.27) 5 K 8heK - 106

abf. Probatio eus: Quoniam bag K 6 om K 7 angulo

tres sunt 1 duplum anguli btg ubicumque posuerimus eum in arcu btg; ergo omnes/(C p.133) anguli qui cadunt in arcu btg, sunt equales. Et etiam quia iam ostensum est2 quod angulus qui est supra centrum - qui3 est angulus beg3 -, est duplus anguli bag ubicumque cadat eius constitutio: 4 5 ergo omnes anguli qui sunt in una portione,/(K 29,12r) sc. descripti in arcu bag, sunt equales, quoniam iam ostensum est quod angulus beg est duplus cuiusque eorum. Et etiam quia iam declaratum est quod tres anguli bez, zeh, heg sunt duplum anguli btg ubicumque sit in portione btg, ergo omnes anguli qui describuntur in portione btg, sunt equales, 10 quoniam quisque eorum est medietas angulorum dictorum cum coniunguntur. lam ergo manifestum est quod omnes anguli qui cadunt in portione una, sunt equales. Et hoc est illud quod voluimus ostendere universaliter. Et propter hoc posuimus hanc figuram ut quod Euclides dixit, univer15 sali demonstratione claresceret.5 Et quia hoc iam est manifestum, 6 ergo figura que post hanc sequitur.a probatur per earn, et hoc est quod7 dicam quoniam anguli bez, zeh et heg, cum coniunguntur, sunt equales duplo8 anguli btg, et angulus beg est9

duplus

anguli

bag:

ergo

coniunctio

quatuor

angulorum,

sc.

20 angulorum beg et bez et zeh et heg, sunt equales duplo duorum10 angulorum btg et bag. Sed quatuor anguli predicti sunt equales quatuor rectis angulis quod est manifestum secundum probationem figure 15e prime partis, ergo coniunctio duorum angulorum btg et bag est equalis 11 duobus rectis angulis. Ergo omnes duo anguli superficierum habentium 4 latera 25 que sunt in quolibet circulo sibi oppositi, sunt equales duobus rectis./(C p.134) Hee probatio et ea que est ante ipsam, sunt trium figurarum, sc. figure 19e et 20e et 21.eb Et illud est quod demonstrare voluimus.

< III 20 > De 12 figura 20a dixit Irinus: hec figura est secundum quod 30 posuit, et probatur cum figura que earn precedit. 12 a. =III 21 (Buel. III 22). b. =Buel. III 20,21 et 22. 1 add M: du 2 om K 3 qui.:.beg M,K habent post 'constitutio' (r.4); ego correxi (cfr. Arab. Anar., p.85) 4 vide n.3 5 clarescerit K 6 add K: est 7 ut K 8 duplici K 9 cum K 10 om K 11 qualis M 12 De ... precedit om K - 107 -

< III 22 >a In dixit.

figura

22a1

nichil

invenitur

de

his que Irinus2

Quod si quis dixerit quod possibile est ut erigatur in duabus partibus diversis, ergo erit portio aab maior ex alia parte linee ab. Ergo cum 5 erigetur in parte portionis agb, portio equalis portioni a.ab superfluet supra3 portionem agb, et fiet positio eius positio hec que est supra earn, et perveniet4 probatio ad probationem Euclidis. < III 23 > In figura 23a nichil dixit Irinus. Figuram 24am post posuit Irinus5 et posuit earn 31.am 10

Non invenitur Irinus dixisse aliquid in figura 25.a6 In figura 26a nichil dixit Irinus./(C p.135)

< III 27 > In 27a figura nichil invenitur dixisse Irinus. < III 28 > De 28a figura non videtur mihi quod aliquid dicam in ea propter eius facilitatem. 15

< III 29 > In 29a figura nichil invenitur dixisse Irinus. < III 30 >b In figura 30:a7 Si ergo linea bz fuerit 8 diametrus circuli,

manifestum est quod unusquisque duorum angulorum qui sunt ab utraque parte, est rectus9 et equalis unicuique duorum angulorum qui cadunt in portione circuli. Irinus in hac figura nichil invenitur 20 dixisse. a. (Eucl. III 23) Ad.: Duas circuli similes portiones inequales in unarn linearn ex eadem parte cadere impossibile est. b. (Eucl. III 31) Ad.: Si in semicirculo supra arcum rectilineus consistat angulus: erit rectus; si vero in portione semicirculo minore: recto maior; si autem in maiore: recto minor. Itemque etiam portionis angulus semicirculo maioris: recto maior; minoris vero semicirculo portionis angulus: recto angulo minor est. 1 23a7 K 2 Yrinus K (del: Euclides K) 3 super K Yrinus K 6 24a K 7 20a K 8 fuit K 9 erectus K

- 108 -

4 perveniat K

5

(III 24)a Conveniens fuit Irino 1 ut figuram 24am2 poneret sequentem post 29,am sed ipsa sequitur post figuram 30,am et posuit earn in3 loco 31.e Figura autem Irini ·hec est in qua dicit: cum fuerit portio circuli data 5 et voluero ostendere qualiter4 compleatur circulus cuius est portio illa, -a2 Irinus3 in figura tricesima secunda nichi14 dixit5 propter eius debilitatem. < III 33 >b Similiter in 33a nichil dixit.

1 bis K 2 i!dd K: Dixit 3 Yrinus K 4 ubi K 5 add K: esse

- 110 -

< Liber quartus >1 < Definitiones > < IV def. 1 >a (C p.138) Dixit Euclides: Figura2 intra figuram scribi dicitur cum fuerint omnes anguli figure intrinsece contingentes omnia 5 latera figure extrinsece.

< IV def. 2 >b Circa vero figuram dicitur figura describi cum fuerint omnia latera figure extrinsece contingentia omnes angulos figure intrinsece. Dixit Irinus: 3 quidam oposuerunt huic loco et dixerunt: quare Euclides 10 preposuit hec elementa huic parti cum ipse non posuerit in ea nisi figuras descriptas intra4 circulos aut figuras descriptas4 circa circulos, quibus hec elementa in nullis sunt necessaria. Dico autem quod ipse non ob5 aliud6 apposuit nisi ut doctrina foret sufficiens.7 Anarizus: 8 ideo Euclides apposuit hec elementa quia voluit ut prin15 cipia a quibus sumuntur probationes figurarum que scribuntur intra9 alias figuras vel circa alias figuras, non sumantur nisi ex figuris que continentur in hoc libro. Superficiales vero earum quas in hoc posuit libro, sunt figure ille quas in hac parte descripsit; et attulit ex eis duo genera que comprehendunt omnes superficiales, sc. circulum et figuram 20 superficialem10 rectilineam, et ostendit qualiter una intra aliam et alia circa aliam describatur. Et pretermisit apponere probationem supra alias species superficiales habentium recta latera quarum alie fiunt intra alias, quoniam11 secundum hoc quod dixit in his que 12 apposuit in hac parte, 13 innuit quid in aliis sit faciendum; ideoque apposuit omnia elementa que 25 sunt necessaria omnibus que queruntur14 in geometria, in hoc libro. Et etiam alie figure superficiales indigent ad sui proba/(C p.139)tionem auxilio quinte partis et sexte cum quibus perficietur modus perficiendi unam intra aliam et aliam circa aliam. Ideoque Euclides posuit hic 14 hec elementa

communiter,

a. Eucl. def. 1, Ad. def. 1, (Alb. def.l). b. Eucl. def. 2, Ad. def. 2, (Alb. def.2). 1 Incipit expositio quarti libri K (alia manu?) 2 figuram K 3 Yrinus K 4 intra... descriptas om K 5 ab K 6 alio K 7 sufficies K 8 Anaricius K 9 inter K 10 superficiem K 11,12 om K 13 add K: et 14 querunt K 14omK

- 111 -

et ideo dixit Irinus quod Euclides non attulit ea nisi ut doctrina compleretur, secundum quod in dictis Irini invenitur.

< IV def. 3 >a Dixit Euclides: Figura dicitur describi intra circulum cum fuerint omnes anguli figure intrinsece contingentes circumferentiam 5 circuli; 1

< IV def. 4

>b Et figura dicitur circa circulum describi cum fuerint

latera figure descripte circa circulum omnia contingentia exterius circuli circumferentiam. 1 Dixit Irinus: 2 ergo non est tota doctrina sicut ex nostro sermone est 10 premissum, dicere figuram descriptam intra circulum et figuram descriptam circa circulum et circulum descriptum intra figuram et circulum descriptum circa figuram, sed ad doctrine declarationem sciendum est quod commune3 quod est inter figuram et circulum, est ut circuli circumferentia contingat angulum figure aut ipsius latus; circulus enim 15

neque angulum habet neque latera.

< Theoremata > < IV 1 >c De prima figura dixit Irinus4 quod ipsa est secundum quod Euclides dixit. 5 Verumtamen si quis posuerit punctum supra circuli circumferentiam, et 'I voluerimus ostendere qualiter ab eo in circulo 20 protrahatur linea equalis alicui date linee que non sit maior6 diametro circuli: ponemus ut punctum datum sit punctum b quod est in7 circumferentia circuli abg, et linea data sit 25 /(C p.140) linea a. Secabo itaque lineam be et

J.l

ponam ipsam equalem linee

a.

Deinde supra

centrum b secundum spatium be describam circulum aez et protraham lineam ba. lam ergo a puncto b dato protraximus8 Iia. Eucl. def. 3, Ad. -, (Alb. - ). b. Eucl. def. 4, Ad. -, (Alb. - ). c. Ad.: Intra datum circulum date linee que diametro minime maior existat, equalem lineam coaptare.

1 circuli ...circumferentiam om K 2 Yrinus K dixerit K 6 minor K 7 om K 8 proiiiiximus K - 112 -

3 omne K

4 Yrinus K 5

neam ao equalem linee a. Et illud est quod demonstrare voluimus.

< IV 2 >a Secunde figure secundum Irini intentionem taliter invenitur

aez, aez. angulo aze

opponi. Et hoc est quia nos fecimus angulum flao equalem angulo ergo iam scimus 1 quod portio ago recipit angulum equalem angulo 5 Ergo si fecerimus supra punctum a linee2 flt angulum equalem et linea que perfecerit angulum,/(K 30,12v) cooperuit lineam

ao et non

pervenerit in circulo triangulus: dico ergo quod angulus factus est angulus fao, ergo duo anguli flao, oaf sunt equales duobus angulis aez,

aze.

Sed coniunctio duorum angulorum3 flao, fao est equalis coniunctioni 10 duorum rectorum angulorum, et ipsi sunt equales coniunctioni duorum angulorum aez, aze; ergo duo anguli4 trianguli aez5 sunt equales duobus rectis quod est contrarium et inpossibile, quoniam iam est6 ostensum ex probatione figure 17e prime partis quod omnes duo anguli cuiuslibet trianguli sunt minores duobus rectis. 15 Quod si linea agJ(C p.141) que perfecit7 angulum fag equalem angulo

aze,

ao a parte qua sequitur lineam an, sicut in figura apparet, erit tunc coniunctio duorum angulorum flao, fag maior ceciderit extra lineam 8

duobus rectis angulis. Erit ergo tune doctrina magis inpossibilis, quod ideo erit quoniam duo anguli trianguli 9 aez erunt maiores duobus rectis 20 angulis. Et illud est quod demonstrare voluimus. < IV 3 >b Quod autem apposuit Irinus ex oppositionibus 10 in figura tertia, est res debilis; ipsum tamen dicam. Si quis dixerit: cum protraxero duas 11 lineas an, on usque ad duo puncta s et q, et postea fecero angulum oflg equalem 12 angulo aZk, cadet 25 tune linea flg inter duo puncta o, 8: 13 dicam igitur quod14 linea as est recta cum sit diametrus circuli, ergo duo anguli aflg et gfls sunt equales duobus rectis. Sed angulus

ang est equalis duobus angulis

a. Ad.: Intra assignatum circulum trigono assignato equalium angulorum trigonum collocare. b. Ad.: circa assignatum circulum assignato trigono equalem angulorum trigonum designare. 1 scivimus K 2 lineam K 3 add K: trianguli 4 angulorum M,K 5,6 om K 7 perficit K 8 om K 9 M marg 10 propositionibus K 11 et K 12 equaliter? K 13 o, s: quam K 14 quoniam K

- 113 -

aef, azrc et 1 duo anguli aef et ai:k1 sunt

10

15

20

25

maiores duobus rectis, ergo angulus hllg est maior rectis angulis. 2 Sed ipse est mino~ coniunctione duorum angu/(C p.142)lorum ii. fl g, gns qui sunt < sicut duo >4 recti. Hoc vero est5 inconveniens, 6 ergo linea fig non :,,e producitur supra lineam hs a parte puncti b. Quod si dixerit7 quod ipsa cooperit lineam hs: dicam igitur quod erunt tunc 8 duo anguli aet, ai:k equales9 duobus angulis anb, bns. Sed duo anguli ii.fib, bhs sunt e -t equales duobus rectis, ergo duo angu9 10 li aef, ai:k sunt < sicut duo > recti. Hoc autem est inconveniens quoniam ipsi sunt maiores duobus rectis. Linea ergo fig non cooperit lineam ns neque producitur supra earn a parte puncti o. Si vero dixerit quod linea fig cooperit lineam hq coniunctam secundum rectitudinem linee bh: 11 dicam ergo quia angulus ii.ho est factus equalis angulo aet, ergo remanet angulus ai:k equalis duobus angulis bns, sfJ.q, rectis duobus equalibus; quod valde est inconveniens. 12 Adhuc 13 vero magis inconveniens erit si dixerit quod supra lineam hq14 a parte puncti ii. ducitur linea hg, ergo protractio 15 linee gh semper erit inter duo puncta q, s. Postquam igitur 16 hoc declaratum 17 est si aliarum figurarum exempla ponantur secundum quod Euclides posuit, non invenietur locus contra dicendi. Et illud est quod 18 demonstrare voluimus.

< IV 4 > De quarta figura dixit Irin.Y.s 19 quod ipsa est secundum quod dixit Euclides. < IV 5 >a De quinta figura Anarizus: 20 ostendam hie quod linea Ie21 equidistat22 linee ag. Ponam itaque triangulum ii.bg ut supra positus a. Ad.: Circa trigonum assignatum sive illud sit orthogonium sive ambligonium sive oxigonium, circulum describere. I et... ai:k M marg. Signum inserendi est post 'sunt'. Correxi. 2 om K 3 maior K 4 ~. Qill M,K 5 om K 6 conveniens K 7 ducatur K 8 M .s.,L, om K 9 equales .... ai:k Qill K 10 ~. Qill M,K 11 an K 12 conveniens K 13 adh ut K 14 bq ? K 15 protincto K 16 g1 K 17 declatumM 18K,omM 19uniusK 20AnaticiusK 21oeK22omK

°

- 114-

est, et protraham lineam fg. Manifestum est igitur quod duo trianguli are, bie sunt/(C p.143) supra duas1 equales bases et sunt unius altitudinis, ergo triangulus aeI est equalis triangulo bie. Et etiam quia/(M 27v) duo trianguli bre et efg sunt supra duas equales bases que sunt be2 et eg, et eorum3 5 altitudo est una que est punctum I, ergo triangulus bre est equalis triangulo gfe; ergo triangulus gfe est equalis triangulo are. Sed ipsi 4 sunt supra unam basim que est re,5 ergo ipsi sunt inter duas lineas equidistantes que 10 sunt linee re et ag; quad equidem constat secundum6 probationem figure quadragesime prime partis. Et7 illud est quod demonstrare voluimus. Hie quoque declarabo modum quo Euclides pervenit ad hoc ut

15 componeret8 probationem harum9 trium figuram taliter et inciperet et divideret unumquodque trium laterum trianguli in duo media, et protraheret a medietate duorum 10 laterum continentium datum angulum lineas orthogonaliter. Ponam itaque aliquem triangulum, illum sc. supra quem 11 sunt a, b, g, 12 et ponam ut angulus datus sit angulus13 bag. Dico igitur 20 quod non 14 est15 possibile quin 16 centrum sit aut supra lineam bg 17 aut intra lineam bg aut 18 extra lineam bg. Ponam itaque primum ut ipsum consistat 19 supra lineam bg. Ergo linea bg est diametrus circuli et centrum est in medio linee bg supra punctum z. 20 Et 21 quia circumferentia circuli 25 continet triangulum abg et transit per punc'}~---'4.X----~)r ta a, b, g, ergo linea que coniungit22 quod est inter duo unicuique duarum linearum bz et zg. 30 culum in duo media, ergo triangulus abg est igitur ex probatione/(C p.144) figure a.

puncta a23 et z, est equalis Et quia diarnetrus dividit cirest in semicirculo. Manifestum est 30e a quod angulus bag

= Eucl. III 31.

1 add K: lineas 2 fo K 3 earum K 4 ipsa K 5 linee K 6 sccl'm K 7 quod K 8 poneret K 9 linearum K 10 duarum K 11 Q.!Il K 12 q K 13 angulo K 14 vero K 15 cum K 16 quod K 17 eg K 18 llikl K: erit 19 sistet K 20 s K 21 quod K 22 coniungitur K 23 q K

- 115 -

ab, ag in duo media supra duo puncta a et e, et protraxerimus duas lineas az, ez, manifestum erit quod duo 1 linee oa2 et az3 sunt equales duabus lineis aa et az. Sed et4 basis oz est equalis basi5 az, ergo angulis oaz est equalis angulo zaa. Ergo linea az orthogonaliter est erecta supra lineam ab, et similiter linea ze est perpendicularis supra lineam ag. Propter hoc igitur posuit Euclides angulum rectum et divisit6 lineam ab in duo media supra notam7 a, et produxit lineam az ad8 medium linee bg. Deinde ostendit quod linea az equidistat linee ag ut . demonstraret9 quod non protraxit

rectus. Cum ergo diviserimus unamquamque duarum linearum

5

10 earn ms1 ut esset10 perpendicularis. Sed etiam licet non afferet testimonium figure 30e partis tercie, secundum hunc tamen 11 modum foret manifestum quod 12 necessarium est ut linee 13 az, zb, zg 14 sunt equales. Quia igitur linea az 15 est equalis linee oz, 16 erit angulus abz equalis angulo baz. Et 17 etiam quia zg est equalis za, ergo angulus zag

zga; 18 ergo coniunctio duorum angulorum abg, ago19 est equalis angulo bag. Sed tres anguli bag, gba, ago sunt equales duobus rectis augulis, ergo angulus bag20 est rectus. 21 Postea ponam ut centrum circuli sit extra lineam bg; ponam itaque ut

15 est equalis angulo

ipsum sit nota k. Et22 quia centrum circuli

.._, 20

cadit extra, ergo sequitur ut circuli que continet triangulum :J.,.

semicirculo.

Sed

iam

fuit

sit portio abg, minor

ostensum

ex

probatione figure 30e tercie partis quod angulus qui cadit in portione minore 25 semicirculo, est expansus; ergo angulo bag est expansus. Hoc quoque secundum alium modum23 declaratur. 24 Quoniam protraham duas lineas ka, ke; et iam scivimus25 ex probatione figure 3e partis tercie26 quod linee que producuntur a centro ad medium cor/(C p.145) darum, sunt perpendiculares, et27 cum perpendiculares protrahentur28 a 30 centro, ipse dividunt Cordas in duo media. Et quia linea ae est equalis linee eg, ergo linea eh posita communi et basi an equali basi hg, ergo29 angulus egh est equalis angulo gan; et similiter angulus aat 1 due K (Alb.) 2 ge ? K 3 ae ? K 4 om K 5 basim K 6 dimisit K 7 notum K 8 add M: me 9 demonstret K 10 esse K 11 om K 12 quoniam K 13 sit K 14 om K 15 K (Alb.); agz ? M 16 nz K 17 quod K 18 zag K 19 agh K 20 K (Alb.); ba ? M 21 add K (Alb.): et illud est quod demonstrare voluimus 22 quod K 23 mod. K 24 declaratum K 25 secavimus K 26 om K 27 quod K 28 protrahuntur K 29omK - 116 -

est equalis angulo abf. 1 Ergo2 coniunctio duorum angulorum ii.bg, ii.gb est equalis coniunctioni duorum angulorum bii.t, gii.b; 3 ergo totus angulus bii.g est maior duobus angulis ii.bg, ii.gb. Set anguli trianguli sunt equales duobus rectis, ergo angulus bii.g est maior medietate duorum rectorum; 5 ergo est expansus. Si4 ergo5 linea bg in duo media dividatur6 supra punctum7 z et protrahantur due linee az, ze, manifestum erit ex figura que adiuncta8 est figure que hanc precedit,a quad linea az equidistat9 linee ii.g; ergo angulus baz extrinsecus maior est angulo ii.az. Euclides ergo 10 ab hoc 10 loco incepit et componit ut foret manifestum quod due linee erecte supra duo puncta a et e11 concurrunt12 extra lineam bg; fit ergo locus 13 concursus earum centrum. Et illud est quod demonstrare voluimus.

< IV 6 >b De sexta figura dixit14 Irinus quod ipsa est secundum quod dixit 15 Euclides. 15 Hee tamen figura 16 solvitur 17 sic.* Ponam itaque ut quadratum sit factum. Propter hoc igitur quod querimus18 ut linea a.a sit equalis linee ii.b/(C p.146) et angulus ii. sit rectus, manifestum est quod convenit ut linea oa sit diametrus circuli. Et similiter etiam cum querimus 19 ut sit linea ii.b equalis linee bg et angulus < b >20 rectus, sequitur ut sit li20 nea ii.g diametrus circuli. Erit ergo tunc21 punctum e centrum, /(K 31,13r) ergo angulus eii.b22 est equalis angulo ebii.. 23 Remanet ergo tune angulus ii.eb24 rectus. Sed ipse est equalis angulo beg, ergo quatuor anguli qui sunt apud centrum, sunt equales et eorum25 quisque26 est rectus; due itaque diametri se orthogonaliter secant. 27 Euclides igitur ab hoc loco 25 incepit et invenit centrum et fecit super28 ipsum transire duas 29 diametros sese orthogonaliter secantes; ergo invenit quod querebat. a. vide p. 114. b. Ad.: Intra datum circulum quadratum describere. * Nulla figura in Ms.. 3 gii.t K 4 sed K 5 om K 6 dividitur K 7 om K 8 iuncta K 9 om K 10 vero K 11 z K 12 concurrent K 13 om K 14,15 dicit K 16 om K 17 solvunt ? K 18 etiam irinus K 19 qua unus K 20 ~, om M,K 21 tui K 22 cii.b K 23 cbii. K 24 ii.co K 25 .fil1d K: ergo 26 quilibet K (alia manu ?) 27 add K: se 28 supra K 29 duos K

- 117 -

a In septima figura nichil 1 dixit Irinus. Eius2 tamen3 solutio4 sic est. 5 Ponam itaque ut quadratum sit factum circa circulum. Propter hoc igitur quod linea zh contingit circulum supra ,(., '1..Ii_ punctum a, est linea que a puncto a 5

orthogonaliter protrahitur, transiens per centrum; et similiter linee a punctis b et a orthogonaliter protracte perveniunt ad cend. trum. Protraham ergo eas et concurrent supra punctum e quod est centrum. Et quia 10 -l t unusquisque/(C p.147) duorum angulorum a et b est recttls et angulus z positus est rectus, ergo reliquus angulus aeb est rectus. Et similiter ostendam quod angulus aea6 est rectus. lam ergo protrahuntur a puncto e linee ae due linee in duas diversas partes, que sunt linee eb, 7 ea, 8 et fiunt9 duo anguli qui sunt a duabus partibus 15 linee ae, equales duobus rectis. Ergo due linee be, ea 10 secundum rectitudinem coniunguntur et fiunt una linea recta. Linea igitur oa11 est diametrus circuli aoga; et similiter ostendam quod linea ag est12 diametrus, et ipse iam se secant supra punctum e. Euclides itaque incepit et composuit ab hoc loco ubi invenit centrum, et fecit supra ipsum 20 transire duas diametros ag, oa secantes se orthogonaliter, et fecit transire supra extremitates diametrorum lineas 13 circulum contingentes. Deinde complevit reliquam14 probationem. < IV 8 >b De octava figura nichil dixit Irinus. 15 Sed eius solutio est16 talis. * Quia ke est equalis kz et linea ab 25 contingit circulum supra punctum e, et similiter linea a.a contingit circulum supra punctum z, ergo quisque duorum angulorum qui sunt apud 17 z et e, 17 est rectus. Sed etiam angulus a est rectus, relinquitur18 ergo ut angulus k sit rectus; et similiter ostendam quod angulus ekt est rectus, ergo linea zt est coniuncta secundum rectitudinem. a. Ad.: Circa propositum circulum quadratum designare . b. Ad.: Intra quadratum asignatum circulum describere. "''l t.t * Nulla figura in Ms .. .1

1 nobis K 2 earn K 3 om K 4 solam K 5 add K: et 6 aeb K 7 co K 8 ca K 9 sunt K 10 i-----+------1 .(. ca K 11 bo K 12 add K: eius 13 linearum K 14 requis K 15 Yrinus K 16 om K 17 apud ... e: apuct c et est K 18 reliquitur K - 118 -

Secundum huius quoque probationis equalitatem demonstratur quod linea eh est linea una recta. Queritur ergo ut linea ae sit equalis linee eb, 1 et quod linea az sit equalis linee 1 za; et similiter /(C p.148) ostendam ex probatione figure septime huius partis quod circulus ezhf continetur2 5 a quadrato abga. Secundum hoc igitur quod in figura septima demonstratum3 est, ostenditur4 quod linea ae sit equalis linee eb5 et az sit equalis za, 6 et quod unaqueque duarum linearum eh, zt sit linea recta. Euclides ergo ab hoc loco incepit cum compositione et composuit ubi divisit unamquamque duarum linearum a.a, ab in duo media, et protraxit 10 duas lineas eh, zf orthogonaliter. Deinde ordinavit probationem7 secundum ordinem quern premisimus. Irinus vero in hac figura8 nichil dixit. < IV 9 >a Figura vero nona secundum modum solutionis est sic.* 15 Ponam itaque ut circulus sit descriptus circa figuram quadratam./(M 28') Dico igitur quod due linee ae, eb iam sunt coniuncte secundum rectitudinem, et similiter linee9 ae, eg. 10 Et quia linee que a Centro ad circumferentiam protrahuntur, sunt equales, ergo linee ea, eb, eg, ea sunt equales; ergo duo latera ae, eb sunt equalia duobus lateribus ae, ea. Sed 20 et basis aa est equalis basi ab, ergo angulus aeb 11 est equalis angulo aea. 12 lam ergo protrahuntur13 a puncto e linee ae due linee eb, ea secundum rectitudinem et fiunt linea una recta. Ergo linea ab est recta, et similiter linea ag. Euclides igitur hie incepit, et protraxit duas lineas ag, Da. Deinde complevit probationem. 25

b In figura xa nichil dixit Irinus. 14 Verurn/(C p.149)tamen possibile est ut circa triangulum aga describatur circulus, postquam factus fuerit angulus aga15 rectus aut expansus. Dico igitur quia linea oa contingit circulum ga et angulus baa a. Ad.: Circa quadratum assignatum circulum describere. b. Ad.: Duorum equalium laterum triangulum designare cuius uterque J. duorum angulorum quos basis optinet, reliquo duplus existat. * Nulla figura in Ms.. 1 eb ... .linee om K 2 continent K 3 ostensum K 4 ostendit K-5 co K 6 zo K 7 protractionem K 8,9 om K 10 cg K 11 azo K 12 aca K 13 protractum K 14 Yrinus K 15 ag K

- 119 -

5

est acutus, ergo linea que est perpendicularis supra punctum a linee ba, est diarnetrus circuli aga, et est casus eius a linea aa. sicut casus linee az. Portio 1 igitur aga est minor semicirculo, ergo angulus aga est expansus. Ponarn autem

ut centrum circuli aga2 sit nota h, et protraharn linearn ii.h. Manifestum est itaque quod linea at est equalis linee a.a quoniarn ipse sunt producte a centro. Sed linea ht est minor 10 medietate diametri circuli aga. Protraham itaque ipsarn usque ad k et erit equalis medietati diarnetri. Ergo manifestum est quod circulus aga secat circulum eba. Et illud est quod demonstrare voluimus. Secundum solutionis vero modum est ita. Ponam ut3 triangulus aba sit constitutus et quod quisque duorum angulorum aba, aab4 sit duplus5 15 anguli baa. Dividarn ergo angulum aab6 in duo media cum linea ag, ergo unaqueque duarum sectionum est equalis angulo gaa. Quero igitur ut superficies rectorum angulorum que continetur7 a duabus lineis ab et bg, sit equalis quadrato ii.g. Ergo quia angulus baa est equalis angulo aag, erit linea ii.g equalis linee ga, et quia angulus bga est equalis duobus 20 angulis gaa, aag, qui sunt equales, ergo angulus bga est duplus anguli gaa. Angulus igitur bga est equalis umcuique duorum angulorum ii.ha, adb, ergo linea ga est equalis linee oa. Sed linea ga iarn fuit/(C p.150) equalis linee ii.g, ergo linea ii.g est equalis8 oa. Set angulus aga est maior angulo bga, ergo ipse est obliquus. 9 Erigarn itaque supra punctum a li25 nee ba perpendicularem que sit az. Cum ergo constituerimus 10 circa triangulum aga circulum aga, erit linea az diarnetrus circuli et linea ba contingens circulum et 11 punctum b erit extra ipsum. Sed ab ipso protracta est linea bii. secans eum et linea ba contingens ipsum, ergo rectangulum quod continetur 12 ab 13 ab et bg, est equale quadrato ba. 30 Sed ba est equalis ii.g, ergo rectangulum quod continetur 14 ab ab et bg, est equale quadrato ii.g. Ab hoc itaque loco incepit Euclides et posuit quandam linearn sicut linearn ab. Deinde divisit15 earn supra punctum g, et postquarn sic divisit earn, ordinavit probationem16 sicut diximus. Et illud est quod demonstrare voluimus. 1 partio K 2 ii.g K 3 quod K (alia manu?) 4 om K 5 duplum K 6 eii.d K 7 continent K 8 add K (Alb.): linee 9 obliquis K 10 constituimus K 11 a ? K 12 continent K 13 om K 14 continent K 15 diviset K 16 producent sed corr in? (alia manu?) K - 120 -

< IV 11 >a Undecima figura secundum solutionis modum sic declaratur. * Ponam itaque ut pentagonus aagbe sit in circulo descriptus, et queram 1 ut angulus age sit equalis angulo bge, quod manifestum est ex hoc quod arcus be est equalis arcui ea. 2 Et similiter ostendam quod

5

anguli3

aba, 4 bag

duorum angulorum

et5

abg sunt equales, et ostendam quod quisque abg, agb est duplus anguli bag. Euclides igitur ab hoc

loco incepit et ordinavit probationem. Et illud est quod demonstrare voluimus./(C p.151) 10

< IV 15 >b De figura quinta xa dixit Irinus6 quod ipsa est sicut dixit Euclides. Quidam tamen querunt quare Euclides aposuit figuram exagoni et non apposuit figuram decagoni. Sed si quis dixerit quod exagonus est necessarius figuris superficialibus que sunt elementa figurarum corporearum,

15 nos dicemus quod decagonus non minus est necessarius eis quam exagonus; et etiam si dixerint quod descriptio exagoni et decagoni est manifesta, sc. quod cum descripserint in circulo dato7 triangulum equilaterum et diviserint8 quemque arcum laterum in duo media et coniunxerint notas cum lineis, fiet in circulo7 dato exagonus equilaterus et 20 equalium angulorum. Et similiter etiam faciemus in decagono, id est ut faciamus in circulo pentagonum, ergo quia iste tres figure fuerunt9 sicut di/(K 31,13v)ximus, dimisit decagonum et apposuit exagonum. Nos 10 vero dicimus quod Euclides non ideo apposuit exagonum 10 quod est manifesta eius descriptio, sed ideo quod probatur in ipso quod cum 25 fuerit in circulo exagonus equalium laterum et angulorum, erit latus exagoni equale medietati diametri circuli, et cum fuerit in circulo figura equalium a. Ad.:

laterum et fuerit medietas diametri

equalis

uni

late-

Intra datum circulum equilaterum atque equiangulum describere a.. pentagon um. b. Ad.: Intra propositum circulum exagonum equilaterum atque equiangulum designare. Ex hoc igitur manifestum est quod latus exagoni equum est dimidio diametri. * Nulla figura in Ms. 1 carum (?) sed corr in: ponam (alia manu?) 2 ca K 3 angulus K 4 abg K 5 om K 6 Yrinus K 7 dato.... circulo M marg 8 diviserunt K 9 fuerint K 10 nos .... exagonum M marg

K

- 121 -

rum ipsius, erit latus 1 illud latus exagoni. Hoc enim in figuris 2 3 corporeis est necessarium. Preterea dixit Irinus: 4 Licet hoc ita sit, tamen addam hoc, sc. quod Euclides cum hoc quod fecit in exagono, innuit5 quid6 in 7 aliis, que sunt 5 hoc modo, sit faciendum, sicut est decagonus et alie huiusmodi.

< IV 16 >a In figura 16a dixit Irinus8 quod ipsa/(C p.152) est sicut dixit Euclides; que quidem9 est necessaria superioribus speris. In his enim speris necessarium est ut sit in arcu qui 10 est inter circulum equinoctialem et inter unumquemque duorum circulorum solstitialium, figura 10 habens 11 12 bases. Quod 12 astrologi dixerunt, sc. quod arcus qui est inter circulum equinoctii et inter unum duorum circulorum solstitialium, qui 13 sc. est arcus unius circulorum qui transeunt per polos spere, sc. polos totius, recipit figuram 12 basium equalium; et ideo Euclides apposuit hanc figuram ut nichil pretermitteret non 14 probatum. 15

Et postquam iam manifesta sunt ea que diximus, et figure omnes sunt demonstrate, ergo non pretermittam quin faciam figuram cum qua potest describi circulus circa figuram equalium laterum et plurium angulorum aut intra earn. Et ad hoc declarandum premittam propositionem. 15 Dicam ergo: Intra omnem figuram equalium laterum et angulorum quam 20 recte continent linee, est punctum a quo omnes linee recte ad angulos figure protracte, sunt equales; et dico quod omnes perpendiculares a puncto illo ad latera figure protracte, sunt equales; et hoc 25 punctum figure plurium angulorum est centrum, et centrum circuli descripti circa eum et descripti intra ipsum. Exempli causa, ponam figuram abgaez a. Ad.: Intra datum circulum quindecagonum equilaterum atque equiangulum designare. Deinde circa quemlibet circulum assignatum quindecagonum equilaterum et equiangulum, atque intra datum quindecagonum circulum describere. 1 et K 2 K (Alb.); corporis M 3 K (Alb.); necessarius M 4 Yrinus K 5 innuut K 6 quod K 7 ae K 8 Yrinus K 9 ubi K (marg. alia manu?) 10 q M, quod K 11 nus K 12 et K 13 quod K 14 vero K 15 propositorem? K - 122 -

et ponam ut eius latera sint1 equalia et anguli equales. Dico igitur quod intra figuram abgaez est punctum a quo omnes linee ad angulos figure producte, sunt equales, et omnes perpendiculares ab eo ad latera figure protracte, sunt equales. Probatio eius, quoniam dividam duos angulos/(C 5 p.153) figure in duo media qui2 sunt continue se sequentes,2 et ponam ut ipsi3 sint duo anguli abg, bga, cum duabus lineis bh, 4 gh que intra figuram abgaez supra punctum h concurrant. Dico igitur quod punctum h est centrem figure quam recte continent linee, et circuli descripti intra ipsam et descripti extra ipsam. Probatio eius: quoniam angulos gbh est equalis angulo bgh, ergo li10 nea bh est equalis linee gh, et etiam quia ab est equalis linee bg et linea bh est equalis linee gh, ergo due linee ab, bh sunt equales duabus lineis bg, gh. Sed etiam angulus abh est equalis angulo bgh, ergo basis ah est equalis basi bh, ergo tres linee ah, bh, gh sunt equales et angu15 lus bah est equalis angulo gbh. Sed angulus gbh est medietas anguli abg, ergo angulus bah est medietas anguli baz quoniam totus angulus baz est equalis toti angulo abg. Angulus itaque baz iam est in duo media partitus cum linea ah. Secundum huius quoque probationis equalitatem ostenditur5 quod relique linee a puncto h ad angulos figure protracte, 20 sunt equales. Supra igitur h cum spatio unius harum linearum ad angulos protractarum describam circulum continentem figuram abgaez; et dico etiam quod hoc idem punctum est centrum circuli descripti6 intra figuram abgaez, et quod eius circumferentia transit per puncta ad que7 perpendiculares a puncto h ad latera figure protracte perveniunt. 8 25 Protraham ergo perpendiculares ht, hk, hI, hin, hn, hs,9 et quia angulus htb est equalis angulo hsb et angulus abh est equalis angulo gbh, ergo Iatere/(M 28v) bh communi 10 erit per/CC p.154)pendicularis sh equalis11 perpendiculari th; 12 et secundum huius probationis similitudinem ostendam quod relique perpendiculares sunt equales. Cum ergo 30 posuerimus punctum h centrum et circumduxerimus circulum secundum reliqua per perpendicularium, transibit harum unius spatium puncta t, k, I, in, n, s, et linee protracte a puncto h ad hec puncta erunt perpendiculares. Manifestum igitur est ex probatione figure 15e partis tertie quod latera figure contingunt circulum descriptum intra ipsam. Et 35 illud est quod demonstrare voluimus. 1 sunt K 2 qui.. .. sequentes: quod intra continue sequentur K 3 ipsa K 4 eh K 5 ostendit K 6 describi K 7 quern K 8 proveniunt K 9 he ? K 10 comnunis K 11 add K: perpendicularis 12 ah K - 123 -

.

().;

Dicit preterea Irinus: 1 ponam ut due recte linee que dividunt duos angulos abg, oga in duo media, concurrant intra figuram. Ponam itaque figuram equalium laterum et angulorum supra quam sunt a, b, g, a, 2 e, z, et coniungam za

5

zf:l et zg et oa, et dividam angulum abg in duo media cum linea oh. Et quia due linee ba, az sunt equales duabus lineis go, ga et angulus g est equalis angulo a, ergo basis oz est 10 equalis basi3 oa et angulus zba est equalis angulo4 aog. Sed nos iam divisimus angulum abg in duo media cum linea oh, ergo angulus zbh est equalis angulo aoh. Et etiam quia linea zb est equalis linee ab, ergo linea bh5 communi erunt due linee zb, oh equales duabus lineis ao, oh, et angulus zbh est equalis angulo aoh: ergo basis zh est equalis basi na et 15 angulus f:lhz est equalis angulo oha; ergo angulus bhz est rectus. Et6 etiam quia zh est equalis ha, ergo he posita communi erunt due linee zh, he equales duabus lineis ah, he. Sed basis ze est equalis basi ea7 ergo angulus zhe est equalis angulo ahe et angulus zeh est equalis angulo aeh; angulus igitur e iam est divisus in duo media. Sed angu20 lus zhe8 est rectus, et iam fuit ostensum quod etiam angulus zhb9 est rectus, ergo linea f:ln 10 iuncta est linee11 he12 secundum rectitudinem. Linea igitur dividens angulum af:lg pervenit ad/(C p.155) angulum e et et

~

dividit ipsum in duo media, et similiter linea dividens angulum g pervenit ad angulum z et dividit ipsum ·in duo media et secat lineam be supra 25 punctum t. Et illud est quod demonstrare voluimus. 13 Figurarum autem14 quarum numerus laterum fuit 15 impar, linee due que dividunt duos angulos, perpendiculariter cadunt super latera figure, et etiam est manifestum quod intra figuram 16 concurrunt. Et illud est quod demonstrare voluimus.

1 Yrinus K

2

zeh M 9 zhe

cK K

3,4 M marg 5 dh K 6 qe K 7 ea K 8 K (Alb.), K: et 11 linea K 12 om K 13 lliM K: Dixit

10 lliM

Euclides 14,15,16 om K - 124-

APPENDICES

Appendix 1 Ro~er

Bacon on Anaritius

In Roger Bacon's Communia Mathematica (ed. Steele, 1940) the name Anaritius occurs four times, once in the part of the work that,

according to Easton, was written in the late fifties of the 13th century (p. 71-135,

±

1258), and three times in the part that was written after

1267 (p. 1-70; see Easton, 1952, pp. 88, 111, and 186). There is an as yet unedited sequel to the Communia Mathematica in MS Oxford, Bodleian Digby 76 (ff. 69r-76f), 1 in which the name Anaritius occurs six times. Furthermore, this work is followed in the MS by a sort of commentary on Euclid (f.77(76l-78bv), 2 which may also be by the hand of Roger Bacon. In this the name Anaritius occurs five times. In this appendix a survey will be given of these fifteen quotations from Anaritius, in the order in which they occur in Anaritius' work. It is striking that all quotations are from the first book, and are all concerned with definitions, postulates, and with the different types of demonstrations - except on one occasion, for the concept of "parallelism". Only the quotations which are explicitly ascribed to Anaritius (Simplicius, respectively) will be given. 1. I def. 8 (seep. 11) Anaricus vero super librum Elementorum Euclidis in commento disputat hanc questionem de angulo, scilicet an sit species quantitatis, et nichil solvit quod valeat, nee pertinet mathematico de hoc disputare sed ad methaphysicum, a quo mathematicus debet veritatem accipere cum exposicione simplici et fideli. Communia Mathematica I, dist. 2, cap. 3 (ed. cit., p. 28). N.B. A similar remark is to be found in a treatise in MS Paris B.N. f.l. 16089, ,which according to the editor, is a collection of notes made by a student during Roger Bacon's lectures: Ideo Anaricus in libro Elementorum Geometricorum disputat utrum angulus sit species quantitatis nee ne, set non solvit (Ms. cit., f. 93rb). Source: R. Steele, Roger Bacon as Professor. A student's notes, in: Isis, 20 (nr. 58), 1933, p. 53-71, esp. p. 58. - 127 -

2. I def. 14 (seep. 16, 1. 13) Habet autem hec piramis rotunda suum sectorem proprium tripliciter sicut ex libro piramidis Apollonii et ex libro speculorum comburentium patet; que ut ab.bg (5) (insert or add : ag2) [ ag2 +] 2 ab.bg + ag2 =2 ag.gb + 2 gb2 + ag2 ab2 + gb2 = 2 ab.bg + ag2 with II 3.

(6) (7)

The addition < 2 > in step 4 is also given correctly in the Arabic text. The Latin text does not mention step 5, while the Arabic text (in Heiberg's Latin translation) says: restat ag. 2 This is probably the reason for the corrupted text in step 6 of the Latin text. b. Compositio II 3 II 3 add

ab2 + bg2 = 2 ab.bg + ag2 (=7) To be proven! 2 ab.bg < = 2 ag.gb + > 2 gb2 (=4) ag2 (=5)

II 4

2 ab.bg + ag2 = 2 ag.gb + 2 gb2 + ag2 (=6) ag2 + gb2 < + 2 ag.gb > = ab2 (=l) bg2 remains (so combine the last two stages): ab2 + bg2 = 2 ab.bg + ag2 (=7)

The first addition, (in the second step of the compositio), which is necessary because of the parallelism with step 4 of the resolutio, is lacking in addition

the (in

Arabic the

fifth

text

as

well (ed. cit., p. 39). The second

step of the compositio) does occur in the

Arabic text.

- 135 -

4. II 8 Proposition: ad2

a

b

g

d

= 4 ab.bd + ag2

It is proven that ad2 = 4 ab.bg + ag2, as bd = bg. a. Resolutio

(2)

ad2 = 2 ab.bd + ab2 + bd~l bd = bg j

(3) so

2 ab.bg + ab2 + bd2 = ad2

(4)with II 7

ab2 + bg2 = 2 ab.bg + ag2_l 2 ab.bg j

(1) with II 4

add

(6)

4 ab. bg + ag2 = 2 ab. bg + ab2 + bd2 (better: bg2) ad2 = 2 ab.bg + ab2 + bd2 (=l)

(7) so

4 ab.bg + ag2 = ad2

(5) so

b. Compositio 4 ab.bg + ag2 = 2 ab.bg + ab2 + bd2 (=5) 2 ab.bg + ag2 = ab2 + bg2 (=4)

for

add

2 ab.bg

so

2 ab.bg + ab2 + bg2 = 4 ab.bg + ag2 (=5) with II 7

gb = bd (=2) so 2 ab.bg [ + ab2 + bg2 ] (insert this in the previous step:)

= 2 ab.bd*

4 ab.bg + ag2 = 2 ab.bd + ab2 + bd2 with II 4 (so

2 ab.bd + ad2 + bd2 = ad2 (=1) 4 ab.bg + ag2 = ad2)

*Alternative solution: 2 ab.bg + ab2 + bg2 = 2 ab.bd + ab2 + bg2 But the next step vitiates this alternative solution. On the other hand, the Arabic text gives the reading of this alternative solution, but leaves out the next step!

- 136 -

5. II 9

a

d

g

b

Proposition: ad2 + db2 = 2 (ag2 + gd2 )

a. Resolutio ad2 = 2 ag.gd + ag2 + gd2

(1) with II 4

db2

add (2)

ad2 + db2 = 2 ag.gd + ag2 + gd2 + db2

(3) so to be proven

2(ag2 + gd2 ) = 2 ag.gd + ag2 + gd2 + db2

(4) deduct the common

ag2 + gd2

(5) (remains to be ag2 + gd2 = 2 ag.gd + gd2

proven) (6) (so:)

ag=gb

(7) (remains to be

bg2 + gd2 = 2 bg.gd + db2

proven) (8) This tallies with

bg2 + gd2 = bg.gd + 2 bd2

II 7 b. Compositio

bg2 + gd2 = 2 bg.gd + bd2 (=8) ag = gd (=6) so

ag2 + gd2 = 2 ag.gd + db2 (=5)

add

ag2 + gd2 (=4)

so

2(ag2 + gd2)= 2 ag.gd + ag2 + gd2 + bd2 (=3)

with II 4

2

2

2

ad = 2 ag.gd + ag + gd (=1) 2

2

2

2

ad + db = < 2 > (ag + gd

so

~~ J

)

The addition in the last line is obvious. The Arabic text has it as well (ed. cit., p. 53).

- 137 -

NOTES

Notes

*

The name Euclid is used in all cases - apart from the personal name - for the Greek version of his Elements of Geometry.

1.

See for Anaritius' life and works: Dictionary of Scientific Biography (New York), vol. X, p. 5-7 (A.I. Sabra).

2.

The name Anaritius is used by me throughout because this is the one traditionally used. The name Anarizus would be more in accordance with medieval tradition, because the following transcriptions are to be found: I.

In Anaritius' text itself: a) MSS M, V, K: I pet. 5 (p. 31): Anarizius M, V; Anarizus

K; III beginning (p.90): Anarizum M, V; Anaritium K; IV def. 2 (p. 111): Anarizus M, V; Anaricius K; IV 4 (p. 114) Anarizus M, V; Anaticius K; X 23 (3x) Anarizus M, V; Anaricius K. b) MS 0 has: Anarizus. II.

Headings (put in later?) in MS K: Anaritius (Book I, II, III, see pp.1, 73, 90).

III. Albertus Magnus, Geometry: I 21 (ed.cit., p. 56): Anarizus, IV 5 (3x) Anarizus. IV. Roger Bacon, Communia Mathematica : I 2,3 (ed.cit., p. 28); I 5, 4 (p. 66); I 5,5 (p. 70): Anaricus and II 3, 4 (p. 119): Anaricius. In MS Digby 76: lOx: Anaricus (see appendix 1). 3.

Codex Leidensis 399, 1. See edition Besthom-Heiberg, Hauniae (Copenhagen), 1893-

4.

Gerard of Cremona, died 1187. See: B. Boncompagni, Della vita e delle opere di Gherardo

1932. Cremonense tradutorre, Roma 1851 (= Atti dell' Accademia Pontifica de' Nuovi Lincei); K. Sudhoff: Die kurze Vita und das Verzeichnis der Arbeiten Gerhards von Cremona, in:

Archiv far Geschichte der Medizin, 8, 1914, p. 73-82; Dictionary of Scientific Biography, vol. XV, Supplement 1, p. 173-192. A list of his translations can also be found in: Grant, 1974, p. 35-38. 5.

See chapter 3. According to Busard (1961, proposition 5) Nicholas Oresme (XIV) did not know Anaritius' work. Dominicus Gundissalinus, De divisione philosophiae (ed. Baur, Munster 1903), made use of the Arabic text of Anaritius, not of the Latin version. See Tummers, 1984 (3).

6.

Although Adelard III may also be called a commentary (see Clagett, 1953, and Van Ryzin, 1960), it only gives, for instance, the definitions etc., and propositions, while Anaritius gives alternative definitions, etc. and proofs, plus other remarks.

7.

Simplicius, 6th century A.D., cf. Heath, History, vol. II p. 539-540; Hero of Alexandria, 1st century A.D.

141

8.

Survey of the definitions. For the sake of convenience a comparison is given of the definitions in Anaritius, Euclid, the Adelardus II version, and in Albertus' commentary. Anaritius

9. 10.

Euclides

Adelardus

Albertus

2

2

2a

2a

3

3

2b

2b

4

4

3

3

5

5

4a

4a

6

6

4b

4b

7

7

5

5

8

8

6

6

9

9

7

7

10-lObis

10

8

8

11

11-12

9

9

12

13

10

10

13

14

11

11

14

15-16

12

12 13

15

17

13

16

18a +III def.6

14+15

14+15

17

19

16

16

18

20

17a

17

19

21

17b

(17)

20-2Qbis

22

18

18

21

23

19

19 Proclus (410-485), ed. Friedlein, Leipzig 1873/Hildesheim 1967. Survey of the postulates. Anaritius Euclides Adelardus Albertus 2

Ia

1a

2

lb

lb

3

3

2

2

4

4

3

3

4

4

5

5

6

(=ax.9)

(ax.9)

142

5

11.

Survey of the axioms Anaritius

Eu elides

1

Adelardus II

1

Albertus 1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5 6

5

7

7

7

6

8

8

8

7

9

9

a

b

b

a

c

c

d e

d

f 12.

See Tummers, 1984 (3).

13.

Alhaynedi = disceptatio (Exposition). In the Arabic MS: i 'nad (=opposition).

14.

Viz. for I 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 19, 20, 24, 25, 26, 6!, post. 5, 31, 38, 46 (=

15.

Hero, viz. I 1, 11, 19, 38, 46, 47.

Eucl.47) and 47 (= Eucl. 48).

Simplicius: post. 5 (Aganiz). Aganiz = Agapius? 6th century A.D. (see Sabra, Diet. Sc.B., X 7, s.v. Al-Nayrizi)

Thebit: I 46. Thabit ibn Qurra (± 830-901). See Sarton, 1927, vol. 1, p. 599. Alii: I 2.

No author: I 25 and 26. 16.

See Sabra, 1986, esp. p. 13.

17.

Survey of the definitions of book ill. Anaritius

Euclides

Adelardus II

Albertus

1a

la

lb

lb

2

2

2

2

3

3

3

3

143

Anaritius 4

Albertus

4

4

4

5

5

5 6

7

(7

(7

(7

(8

(8

(8

9

8

8

9

10

9

9

10a

ua

11

11

1Qb

19.

Adelardus II

6

8

18.

Euclides

11b

Name

Anaritius

Euclides

Adelardus/Albertus

Angulus portionis

7 (name)

7

7

Angulus in portione 7 (definition) 8 8 Angulus supra arcum 8 9 Prop. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 14 (= Eucli. 15)*, 20, 23, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 32 and 33. The propositions 17, 18, 21and31 are not mentioned.

* N.B.: From proposition 15 onwards the Euclidean propositions are numbered one up; after proposition 30 Anaritius does give an addition to proposition 24. 20.

Survey of the definitions of book IV. Anaritius

21.

Euclides 2

2 3

3

4

4

Adelardus 2

Albertus 2

See Clagett, 1953, p. 29 n. 28: A multiple commentary, based quite largely on the Anaritius commentary is found in Paris BN f.l. 7215, at least for the definitions of

Book I. 22.

a.

Roger Bacon, Communia Mathematica, ed. R. Steele, Oxford 1940. (edited part).

b.

Roger Bacon, Communia Mathematica, (unedited part), to be found in Oxford, Bodleian Digby 76, f.69r-76r.

c.

the Commentary on Euclid, also(?) by Roger Bacon, in MS. cit. f. 77r-78v. Part of the latter may also be found in MS Firenze, B.N.C., Conv. Soppr. J IX 26, f.52r

23.

VII of Busard's text. See: Busard, 1974, p. 199-218).

See Busard, 1985, p.134-135: It is also probable that Campanus used Anaritius'

144

commentary for the composition of his edition. 24.

Edition: Tummers, 1984 (1).

25.

For instance the additions to II 4 to 10 inclusive.

26.

Although with II 5 Albertus exceptionally gives 10 as base number (as does Anaritius), the wording shows that this does not derive from Anaritius.

27.

See note 18 for the problems with definitions 7 and 8.

28.

The contents of Albertus' commentary are the same as those of Anaritius, but Albertus' source is not Anaritius.

29.

'Et est non multum valens, licet Yrinus posuerit earn, et ideo voluimus obrnittere earn'.

30.

Ed. Curtze, Leipzig 1899. Reviews: Bjornbo in BibliothecaMathematica 3e

See Tummers, 1984 (1), Ip. 33. F.2,

1901, p. 363-366; Cantor in Zeitschr. fur Mathern. und Physik, 45, 1900, p. 12. Later Bjornbo's opinion on Curtze's edition was: Curtze ... seine Anaritiusausgabe ist nur leidlich weil er rnit den Herausgebern des arabischen Urtextes nicht zusammen gearbeitet hat, und weil sich spater herausstellte dass eine bessere Handschrift als die einzige von ihm benutzte existiert (This is: Vat. Reg. 1268): Bjornbo 1903, p. 327. 31

See ed. Curtze, p. XII: Qui scripsit librum, eum de mathematica pauca vel nihil scivisse verisimillimum est. Male enim saepe verba et sensum interpretis mutilavit et detorsit. Ut exempla afferam ... Innumerabiles paene sunt ornissiones per homoeoteleuta quae vocantur, interationesque eiusdem verbi vel verborum. Figurae quoque, quamquam optime videntur delineatae, pessime tamen depictae sunt.

32.

See H. Suter, Ueber den Kommentar des Muhammed ben' Abdelbaq! zum zehnten Buche des Euklides, in: Bihl. Math. 3e F. 7, 1906/7, p. 240 ff. Earlier edition: B. Boncompagni, see note 35.

3 3.

"While I am appreciative of the important pioneer work of Curtze, I must say that in the case of this text Curtze commits almost every possible kind of error in setting up a text: using the wrong MS as a base, altering readings without proper indication that he is doing so, making incorrect alterations when the reading of the MS is correct, misreading the MS, rnisinterpretating the nature of the marginal alternate readings, faulty punctuation, and so on". M. Clagett, Archimedes, vol. I, 1964, p. 229, note 5.

34.

Die Quadratwurzelformel des Heron bei den Arabem und bei Regiomontan und damit Zusammenhangendes, in Zeitschr. fur Mathern. und Physik, 42, 1897, hist-lit. Abt., p.146.

35.

Wien, Oesterr. Nazionalbibl. 5203: Mathematical works, written by Regiomontanus.

36.

The second commentary on Book Xis probably by Muh. ibn 'Abd al-Baqi al-Baghdadi.

145

See: review of Curtze's edition by A.A. Bjombo (see note 30), p. 365; A.A. Bjombo, Ueber zwei mathematische Handschriften aus den XIV. Jahrhundert, in Bihl. Math. 3e F. 3, 1902, p. 71; H. Suter, Ueber einige noch nicht sicher gestellte Autorennamen in den Uebersetzungen des Gerhard von Cremona, in: Bihl. Math. 3e F. 4, 1903, p. 22-25 and idem, Ueber den Kommentar (see note 21), p. 234-251. This second commentary on book X was edited by B. Boncompagni under the title De numeris et lineis, 1863/1864, and also by Curtze (1899). MSS, next to the complete Anaritius-MSS, are: Paris, BN. 9335, f. 92v-110v; Paris, BN 7377A, f.lr-33v; Cambridge, Univ. libr. Mm. 2.18, f. 49v-65r. 37. 38.

One exception: deorsum, seep. xix and 2, 1.8. A.A. Bjombo, review of ed. Curtze, in: Bihl. Math., 3e F. 2, 1901, p. 364: Es ist sonderbar dass es nur gelungen ist, eine Anaritius hds zu finden (c. Digby 168 enthalt namlich tiberhaupt nur Fragmente). In dieser Beziehung mochte ich darauf aufmerksam machen, dass es vielleicht sehr lohnend ware in Spanien nachzuforschen. Nach R. Beer (Die Handschriftenschatze Spaniens, 127) befand sich namlich in dem "inventario de las alajas mueblas y libro" des Bischofs Palomeque vom Jahre 1273 als nr. 29: "Alfragano, Teodosio, Anaricio, Mileo con otros libros de geometria". Bjombo, 1902 (I) p. 12-13: Ausserdem liegt vielleicht in Cuern;a (Spanien) eine sehr alte Menelaos handschrift; denn im "Inventario de las alaja mueblas y libro" des Bischofs Palomeque vom Jahre 1273 befindet sich ein Bticherliste worin als nr. 29: "Alfragano, Teodosio, Anaricio, Mileo con otros libros de geometria". Bjombo refers to: Fr. Martinez Marina: Ensayo historico-critico sabre la legislacion, Madrid 1834, Ip. 8 and R. Beer, Die Handschriftenschiitze Spaniens, Wien 1894 (Amsterdam 1970), 127 (= p. 147).

39.

See Millas Vallicrosa (see note 40), p. 17.

40.

In MS London, British Museum, Harley 5266, many marginal notes are to be found with the translation of Euclid; among others, the names of Campanus, Thomas Bradwardine, and Jordanus de Nemore are mentioned. Sometimes we also find Hanalitius or Analitius, and once: Hanalitius vel alia translatio. The name (H)analitius is mentioned with the additions to the propositions: I 1 (f.2v), I 7 (f.3 v), I 23 (f.6r), I 24 (f.6r), I 32 (f.8 r), I 35 (f.8v), I 37 (f.9r), I 39 (f.9r), I 40 (f.9v), I 44 (lQr), I 47 (lOv). It is clear at once that Anaritius can not be meant here, because in his commentary no additions or commentary to the propositions I 23, 35, 37, 39, 40 and 44 are to be found (see note 14). In the first notes it is only briefly mentioned that Hanalitius proposes or does something 'in commento suo', with I 23 and I 35 this is rendered somewhat more extensively, but it is

146

not until I 44 that a large fragment of text is found that is said to be Analitius. Next to it is written: Hanalitius vel alia translatio. When this text is compared with that of the Euclid translation by Gerard of Cremona (ed. van Ryzin, 1960), the two appear to be identical. 41

J.M. Millas Vallicrosa, Las traducciones orientales en Los manuscritos de la Biblioteca

42.

Catedral de Toledo, Madrid 1942, p. 208-211. The contents of MS Madrid 10010: 1.

f. lr-13r Theodosius, De Sphaera, translated by Gerard of Cremona, inc: Spera est figura corporea una quidem superficie contenta, intra quam unum punctum ipsius existit (cf. Bjombo, 1902 (2), p. 67, and 1912, p. 130).

2.

f.13v-50r Anaritius

3.

f.50v-52v Scholia on Theodosius, Geber and a work about the figura sectoris, inc: Hee probationes sunt necessarie in theoremate undecimo partis secunde libri Theodosii de Speris (cf. Vat. Reg. 1268 and paris BN 7377B, f.38r ff.).

4.

f.53r-68r Menelaos' Sphaerica, translated by Gerard of Cremona, inc.: Declare volo qualiter faciam supra punctum datum (cf. Bjombo, 1902 (1), p. 11-14 and 137 ff.).

5.

f.68v Jordanus de Nemore, De Triangulus IV 26-28, inc: Volo ostendere quod omnium trium linearum proportionalium (cf. Clagett, Archimedes, vol. V, p. 601 ff.; R.B. Thomson, Jordanus de Nemore, Opera, in: Medieval Studies, 38, 1976, p. 119-120).

6.

f.69r-77r Ametus filius Josephi, Epistola de proportione et proportionalitate, inc: lam respondi tibi ut scias (cf. Sister M. Walter Reginald Schrader O.P., The Epistola de proportione et proportionalitate of Ametus filius Josephi diss. Wisconsin, 1961. Text "very close to MS Paris 9335").

7.

f.77v-84r Verba filiorum Moysi filii, also called: Liber trium fratrum, translated by Gerard of Cremona + additions (Jordanus), inc: Propterea quia vidimus quod conveniens est (cf. M. Clagett, Archimedes, vol. I, p. 223-367, p. 433-439, p. 658 ff. Text "very close to MS Paris 9335"; and idem, Archimedes, vol. V, p. 592 ff.).

8.

f.84v-86v Thebith ben Chorat, Liber carastonis, translated by Gerard of Cremona, inc: Continet Deus conservationem (cf. E.A. Moody - M. Clagett: The medieval science of weights, Madison 1960, p. 77-117).

43.

C.H. Haskins (Studies in the History of Mediaeval Science, Cambridge (Mass.) 1924, p. 14) does mention some texts from MS M, but not that by Anaritius. So does M. Clagett

(Archimedes vol. I, p. XXIX). J.E. Murdoch drew my attention to the MS (see Clagett,

147

Archimedes, vol. V, p. 485 ff.)

44. 45.

Bjombo, 1902 (1), p. 138-142. The contents of MS Vat. Reg. 1268: 5 parts: I.

1.

f. lr-69r Euclides I-XV, inc: Punctus est cui pars non est.

2.

f. 69r-7 lr Jordanus de Nemore, Algorismus, inc: Communis er consuetus

rerum (cf. R.B. Thomson, see note 41). II.

3.

f. 71 v blank.

1.

f. 72r-91 v Euclides V-VI with commentary, inc: Executus Euclides in superioribus libris quasdam linearum (see Tummers, 1984 (1), vol. I, p. 56; see Busard, 1983, p. 8 and p. 400 ff.).

III

1.

f. 92r-142v Euclides X-XV, inc: Quantitates sive sunt linee sive superficies sive corpora (see Busard 1983, p. 400 ff.).

2.

f. 142v-143v Scholia, inc: In Capitulis que transtulit Isaac ... These are the scholia I, II and III (+ small addition), from the edition by Busard, 1974 (1), p. 98 ff.

IV

1.

f.144r-207v Anaritius.

2.

f.207v-211 v Scholia on Theodosius, Geber and a work about the figura sectoris. Inc: Hee probationes sunt necessarie in theoremate undecimo partis

V.

1.

secundi libri Theodosii de speris (cfr. Madrid 10010). f.212r-238r Menelaos' Sphaerica I-III, inc: Declarare volo qualiter faciam (cf. Madrid 10010).

2.

f.238r-238v Jordanus de Nemore, De triangulis, IV 26-28, inc: Volo ostendere quod omnium ... (cfr. Madrid 10010).

46.

Except: f. 165r: 5 lines at the bottom in the margin, f. 166v a small fragment.

47.

Bjornbo - Vogl, 1912, p. 132-134.

48.

The contents of MS Krakow 569. 1. p. 7-80 Anaritius. 2.

p. 80-99 Euclides XI-XV, inc: Corpus est quod longitudinem et latitudinem et altitudinem habet.

3.

p. 99-102 Ibn al-Haytham (?), De crepusculis, translated by Gerard of Cremona, inc: Ostendere quid sit crepusculum (see on the authorship: A.I. Sabra, The authorship of the liber de Cepusculis (of Abu ibn Mu 'adh), in Isis, 58, 1967, p. 77).

4.

p. 103-132 Theodosius, Sphaerica I-III, inc: Spera est figura solida una tantum

148

superficie connexa (version with 32, 31, 15 propositions, translation by Plato of Tivioli?, cf. Bjornbo-Vogl, o.c., p. 128 and p. 130). 5.

p. 132-235 Jeber, Astronomia (comm. on Almagest), translated by Gerard of Cremona, inc: Scientia species habet quarum melior (see F.J. Carmody, Arabic Astronomical Sciences in Latin Translation. A Critical Biography, Berkeley-Los Angeles, 1956, p. 163).

6.

7.

p. 235-245 Messahalac, De causis orbis et motus eius, translated by Gerard of Cremona, inc: Incipiam et dicam quad orbis est (see F.J. Carmody, o.c., p. 32-33). p. 245-246 Frater Egidius, inc: Quarum causa quare lux. Between p. 246 and 247 some pages are missing.

8

p. 247-250 Alhazen (Ibn al-Haytham), Optica (fragment), from book VII.

9.

p. 250-261 Al-Kindi, Optica, inc: Oportet postquam optamus (edition: Bjornbo-Vogl, 1912, p. 3-41).

10.

p. 261-262 Tideus, De speculis, inc: Scias equidem (edition: Bjombo-Vogl, o.c., p. 73-82).

11.

p. 263-298 Ptolemeus, Optica, inc: Cum considerarem optica Tholomei. p. 299-402 Euclides I-XI, 30, in the version of Campanus. G.D. Macray, Catalogi codicum manuscriptorum Bibliotheca Bodleianae. Pars nona, Codices a ... Kenelm Digby ... donatos, complectens (Oxford, 1883), cc. 172-177. 12.

49. 50. 51.

Cfr. M. Clagett, Archimedes, vol I, 1964, p. XXVI-XXVII. J. Mogenet, Autolycus de Pitane. Histoire du texte, Louvain 1950. E.v.d. Vijver: Henricus Bate, Speculum divinorum et quorundam naturalium, Louvain-Paris 1960. A. Lejeune: l'Optique de Claude Ptolemee dans la version latine ..... , edition critique et exegetique, Louvain 1956.

52.

For this I follow the Latin translation by Heiberg (however many corrections it may require), in the edition of the Arabic text, see note 3.

53.

It is noteworthy that MS Paris B.N. 2389, which contains a text by Adelardus, De eodem

et diverso (ed. H. Willner, Beitrage IV 1, Mi.inster 1903, p. 30) gives sensum iusumque instead of sursum deorsumque. 54.

a.

With the latter passage V has the following text: quoniam in ea non sunt elementa antecedentia figurarum antecendentium sequentium hanc figuram .... b.

The explanatory remark id est disposito (p. 86, n. 5) is super lineam in Mand V, but in the text in K. For this reason, it was included in the edition.

55.

Sometimes K does not have a better reading: cfr. p. 6, n. 2; p. 78, n. 5; p. 96, n. 7.

149

56.

Zie Bjombo-Vogl, 1912, p. 172: Kist eine unkritische, nicht allzugenaue, vermutlich in Frankreich ausgefiihrte HS., die aber eine seht gute Vorlage gehabt hat. Sie ist mit sehr kleiner, aber leidlich lesbarer Schrift geschrieben. Nur mit Vorsicht und Heranziehung moglichst vieler andere HSS diirfte K einer Ausgabe zugrunde liegen. Zu Kollationszweck ist Sie aber wohl verwendbar.

I wish to express my profound gratitude to Mrs B.H. Stuart whose skill helped put the manuscript into shape, to Mrs C.J.G. Oosterling who translated the Dutch text into English and to Dr. R. Lorch who revised the English translation of the Introduction.

150

Notes to appendices

1.

Sequel to Communia Mathematica, MS cit.

Inc. (f.69r): Determinato de parte mathematice prima in qua premisi que necessaria sunt omnibus posterioribus partibus mathematice et specialibus, et hec communia sunt quia nata est nobis via a communibus ad propria. Nunc sequitur pars secunda principalis in qua de specialibus temptabo. expl. (f.76f): Et tamen ut inveni apud Anaricus, Euclidis