Analyse und Entwurf chemisch-technologischer Verfahren [Reprint 2021 ed.] 9783112539989, 9783112539972

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Analyse und Entwurf chemisch-technologischer Verfahren

Analyse und Entwurf chemisch-technologischer Verfahren von Prof. Dr. sc. techn. Dr. h. c. Klaus Hartmann Merseburg und Dozent Dr. sc. techn. Klaus Kaplick Dresden unter Mitarbeit von Dozent Dr. sc. techn. Wolfgang Kauschus Merseburg Dr.-Ing. Irmfried Hacker Leuna Dr.-Ing. Gerd Zeising Zeitz ' Mit 121 Abbildungen und 55 Tabellen

Akademie-Verlag • Berlin 1985

Erschienen im Akademie-Verlag • Berlin, D D R - 1 0 8 6 Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 © Akademie-Verlag Berlin 1985 Lizenznummer: 202 • 100/457/85 Printed in the German Democratic Republic Gesamtherstellung: V E B Druckhaus „Maxim Gorki", 7400 Altenburg L e k t o r : Fritz Schulz Umschlaggestaltung: Ingo Scheffler LSV 3604, 1204 Bestellnummer: 763 402 7 (6853) 04500

Inhalt

1.

Anliegen und Zielstellung

2.

Einführung — Überblick über die Gesamtproblematik

2.1. 2.2. 2.3.

Hierarchieebenen chemisch-technologischer Objekte Strategie von Systemuntersuchungen Synthese- und Analyseaufgaben Literatur . . . . '

12 • 14 16 20

3.

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

21

3.1.

Ziel u n d Methoden der Analyse und Modellierung

21

3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3.

Prozeßmodelle Grundlagen . . Analytische Modellbildung Experimentelle Modellbildung

28 28 34 57

3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3.

Strukturanalyse und Berechnungsmethoden Grundlagen Methoden zur Strukturanalyse Berechnungsverfahren.

69 69 74 83

3.4. 3.4.1. 3.4.2. 3.4.3.

Modellanpassung und -Überprüfung Vorbereitung des Datenmaterials Parameterbestimmung Überprüfung von Modellen

86 86 88 92

3.5.

Vereinfachung von Modellen

97

3.6. Digitale Simulation 3.6.1. Grundlagen 3.6.2. Anwendung von Programmsystemen zur Simulation 3.7. 3.7.1. 3.7.2. 3.7.3. 3.7.4. 3.7.5. 3.7.6.

Beispiel 1 : Kessel mit dampfbeheiztem Mantel . Beschreibung des Objektes . . Dynamisches Modell Modell f ü r den stationären Zustand Bestimmung der Modellparameter Anwendung des stationären Modells Anwendung des dynamischen Modells

7 .

.

10

98 98 101 102 102 103 105 105 106 107

6

Inhalt

3.8. 3.8.1. 3.8.2. 3.8.3. 3.8.4. 3.8.5. 3.8.6. 3.8.7. 3.8.8.

Beispiel 2: Prozeßanalyse einer Reforminganlage Beschreibung des Verfahrens Ziel- und Einflußgrößen Analytische Modellierung ' Experimentell-statistische Modellierung Vergleich der Ergebnisse mit der Praxis Vergleich der Ergebnisse mit der Theorie Optimierung Nachführung des Modells Literatur

4.

Verfahrensentwurf (Verfahrenssynthese)

4.1. 4.2. 4.2.1. 4.2.2.

Problemstellung Reaktionsweganalyse Methodik der Reaktionsweganalyse Auswahl günstiger Reaktionswege zur Herstellung von tert-Butyl-Oxianisol (BOA) . . . ' . ' ! . 4.2.3. Auswahl günstiger Reaktionswege zur Herstellung von Acetaldehyd . . . 4.3. Entwurf des Reaktors bzw. des Reaktorsystems 4.3.1. Struktursynthese auf der Grundlage von heuristischen Regeln 4.3.2. Struktursynthese von Reaktorsystemen mit der Strukturparametermethode 4.4. 4.4.1. 4.4.2. 4.4.3.

108 108 110 111 114 118 119 119 121 124 126 126 141 143 145 147 147 149 158

Entwurf von Stofftrennsystemen 167 Entwurf von Kolonnensystemen mit heuristischen Regeln 168 Beschreibung verbesserter heuristischer Regeln 172 Struktursynthese von Kolonnensystemen zur Trennung von Komponentengemischen 181

188 4.5. Struktursynthese von Wärmeübertragungssystemen 4.5.1. Formulierung der Aufgabenstellung 188 4.5.2. Struktursynthesealgorithmus auf der Grundlage heuristischer Regeln und unscharfer Methoden 196 4.6. Entwurf heterogener verfahrenstechnischer Systeme 4.6.1. Anwendung der Strukturparametermethode zum optimalen Entwurf heterogener verfahrenstechnischer Systeme 4.6.2. Optimale Strukturierung eines Reaktor-Stofftrennsystems zur Durchführung der Reaktion A! A2 A3 (A2 — Zielprodukt) 4.6.3. Optimale Strukturierung eines Methylaminverfahrens 4.6.4. Optimale Strukturierung von gekoppelten Stofftrennungs- und Wärmeübertragungssystemen • Literatur

212

5.

232

Sachwortverzeichnis

212 215 218 222 229

1. A n l i e g e n und Z i e l s t e l l u n g

Die Vielfalt der in chemisch-technologischen Verfahren hergestellten Produktpalette ist fast unüberschaubar groß, sie umfaßt sowohl anorganische und organische Grundchemikalien, chemische und chemisch-technische Spezialerzeugnisse, Plaste und Chemiefasern als auch Brenn- und Treibstoffe, eine Reihe Metalle, Baumaterialien, Kosmetika, Pharmaka, Lebens- und Genußmittel u. v. a. Diese Produktpalette ändert sich sehr dynamisch, neue Produkte werden hergestellt, ihre Eigenschaften verbessert. Die zur Produktion eingesetzten Roh- und Hilfsstoffe, Energien, apparativen Ausrüstungen sind bezüglich ihrer Verfügbarkeit und ihrer Kosten stetigen Veränderungen unterworfen. Alles das führt dazu, daß die Produktionsverfahren sehr schnell moralisch veralten. Sie müssen deshalb entsprechend den sich verändernden Bedingungen der ökonomisch-technischen Umwelt ständig neu angepaßt, modernisiert und rationalisiert werden, die neuesten Ergebnisse von Wissenschaft und Technik sind für eine verbesserte Verfahrensgestaltung zu nutzen. Neben der Modernisierung und Intensivierung bestehender Verfahren sind neuartige effektive Verfahren für die Herstellung sowohl traditioneller als auch neuer Produkte zu entwerfen und in die Praxis zu überführen. An moderne chemisch-technologische Verfahren werden eine Vielzahl von Forderungen gestellt. Die eingesetzten Rohstoffe und Energien sind auf beste Art und Weise auszunutzen, die Ausrüstungen (Apparate, Maschinen, Rohrleitungen, Automatisierungs- und Sicherheitseinrichtungen usw.) sind mit hoher Investökonomie auszuwählen, die Anlage soll eine hohe Zuverlässigkeit besitzen, eine ausreichende Flexibilität aufweisen (d. h. Überlast- bzw. Unterlastfahrweisen im vorgegebenen Maße gestatten), die Umwelt wenig belasten usw. Die intensive Beschäftigung mit der Untersuchung und dem Entwurf unterschiedlicher Verfahren der Stoffwirtschaft (hierzu gehören viele Industriezweige, wie chemische Industrie, Metallurgie, Baustoff- und Baumaterialienindustrie, Leichtindustrie, Textilindustrie, Nahrungsgüterwirtschaft und Lebensmittelindustrie, Wasserwirtschaft, Energie- und Brerinstoffindustrie) hat gezeigt, daß viele der Verfahren mit einer einheitlichen Methodik bearbeitet werden können. Durch die schöpferische Anwendung neuer Erkenntnisse und Methoden der Systemtheorie, der Kybernetik, Mathematik und Rechentechnik, der Naturwissenschaften und technischer Wissenschaften sowie der Ökonomie

8

Anliegen und Zielstellung

kann diese einheitliche Methodik zu einem effektiven Werkzeug des Problembearbeiters werden. Viele der entwickelten Methoden zur Modellierung, Simulation, Optimierung und zur Struktursynthese sind sehr effektiv. Eine Vielzahl benötigt jedoch einen sjehr großen Informationsumfang und eine leistungsfähige Rechentechnik, die bei Beginn der Problemlösung bzw. bei der Suche nach einem neuen Verfahren bzw. der Verbesserung eines Teilsystems eines bestehenden Verfahrens noch nicht bekannt sind bzw. mit einem vertretbaren Aufwand in der zur Verfügung stehenden Zeit nicht beschafft werden können. Die Entscheidungen über ein neues Verfahren fallen aber oft zu einem Zeitpunkt, nach dem wesentliche Verfahrensänderungen nicht mehr in der Projektierung berücksichtigt werden können. Es muß deshalb zumindest die Struktur des zukünftigen Verfahrens optimal festgelegt sein, die den größten Einfluß auf die Güte des Verfahrens hat. Für die Lösung solcher Aufgaben Rückführungen

Reaktorsystem

Systemeingänge

i i 1 i 1 i 1 L

Separotorsystem

"

•

*

Systemausgänge

t l i i

Energiesystem

_

Automatisierungssystem

und

Sicherheits-

Abb. 1.1. Grundstruktur eines chemisch-technologischen Systems Synthese

Analyse

Eingänge gegeben

und

Systeme

Ein - und gegeben

Ausgänge

Systemgestaltung

Funktionsweise und Ausgänge gesucht

gesucht

Aufgaben:.

Aufgaben; -

Dekomposition

-

-

Modellierung

-

Struktursynthese

-

Simulotion

-Optimierung

Bewertung

-Steuerung

Abb. 1.2. Schematische Darstellung der Aufgaben „Analyse" und „Synthese"

Anliegen und Zielstellung

9

können mit Vorteil bewährte Heuristiken eingesetzt werden insbesondere in Kombination mit unscharfen Methoden. Dieses, unter dem Begriff „knowledge engineering" bezeichnete Vorgehen, ist eine effektive Kombination des Schöpfertums des Bearbeiters und theoretisch gesicherten Wissens. Das Buch wendet sich an alle naturwissenschaftlich-technischen aber auch wirtschaftswissenschaftlich ausgebildeten Problembearbeiter sowie Studenten, die mit den unterschiedlichsten Aufgaben der Verfahrensgestaltung sowie dem Betrieb beschäftigt sind. Schwerpunktmäßig werden Objekte betrachtet, deren Grundstruktur in Abb. 1.1 dargestellt ist. Die Gestaltungsprobleme lassen sich in der Analyse und Synthese unterteilen (Abb. 1.2). Bei der Auswahl der Methoden und der Beispiele wurde Wert auf technische Überschaubarkeit und leichte Nachvollziehbarkeit gelegt. Das Buch stellt eine Einführung in diese Problematik dar, es gibt einen komprimierten "Überblick über wichtige Teilaufgaben und Lösungsmethoden. Für ein tiefergehendes Studium ist die Spezialliteratur, auf die verwiesen wird, zu verwenden. Die Autoren stellen auch neue Lösungsmethoden vor, die in ihren Forschungskollektiven erarbeitet worden sind. Insbesondere wurden Ergebnisse von Dr. sc. techn. W. Kauschus, Dr.-Ing. I. Hacker, Dr.-Ihg. R. Anders und Dr.-Ing. 0. Zeising verwendet.

2. Einführung — Überblick über die Gesamtproblematik

Kennzeichnend und erschwerend für die Lösung der in der Zielstellung genannten Aufgaben ist insbesondere, daß der Untersuchungsgegenstand durch außerordentliche Komplexität und Kompliziertheit charakterisiert wird. Eine chemisch-technologische, stoffwirtschaftliche Anlage besteht aus. einer Vielzahl unterschiedlicher Teile, Apparaten, Maschinen, Rohrleitungen, Armaturen, Betriebs-, Meß-, Regel- und Steuereinrichtungen, Hilfs- und Nebenanlagen, die auf komplizierte Art und Weise miteinander verknüpft sind, sich wechselseitig beeinflussen, einander bedingen. Die zu verarbeitenden Stoffströme können mehrere tausend Tonnen oder nur wenige Kilogramm am Tage betragen (z. B. bei der Rohöldestillation), die Betriebsbedingungen liegen zwischen extremen Temperatur- und Druckbereichen (Hoch- und Tieftemperaturprozesse, Hochdruck- und Vakuum verfahren), die Medien sind oft extrem korrosiv und toxisch bzw. explosiv. Für den Entwurf und die Untersuchung eines solchen scheinbar unüberschaubaren Objektes ist es offensichtlich in erster Linie notwendig, einen Zugang zu finden, der es gestattet, das Unübersichtliche überschaubar zu machen, das scheinbar unentflechtbare Durcheinander zu einem geordneten Nebeneinander bzw. Übereinander zu trennen, das Wichtigste vom weniger Wichtigen des Verfahrens zu bestimmen. Diese Ordnung kann unter Anwendung von Methoden der Systemanalyse durchgeführt werden, die Arbeitsinstrumente der modernsten Technik sind. Durch die Kombination allgemeiner systemtheoretischer Methoden und konkreter technologischer Prinzipien und Grundlagen kann die Einführung der relativ abstrakten Kategorie des Systembegriffs auf stoffwirtschaftliche Objekte zum ordnenden Prinzip und Zugang zur wissenschaftlichen Untersuchung x

System

Dekomposition —

Analyse

S

Aggregation Synthese

Abb. 2.1. Zum Systembegriff chemisch-technologischer Objekte

S

y

Überblick der Gesamtproblematik

11

gemacht werden. Unter einem System (Abb. 2.1) versteht man eine relativ abgegrenzte Menge von Elementen und der zwischen ihnen bestehenden Kopplungen. Alle nicht vom System erfaßten Elemente werden als Umgebung des Systems bezeichnet, das System stellt deshalb eine besondere Einheit mit der Umgebung dar. Jedes System ist ein Element eines übergeordneten Systems. Jedes Element stellt wiederum ein System, jedoch niederer Hierarchiestufe dar. Elemente sind Bausteine eines Systems, die in dem betrachteten Zusammenhang als unzerlegbar angesehen werden. Die Gesamtheit der zwischen den Elementen eines Systems bestehenden Kopplungen wird als Struktur des Systems bezeichnet. Jedes System wird durch eine spezielle Funktion charakterisiert. Unter der Funktion eines verfahrenstechnischen Systems versteht man dessen spezifische Eigenschaft, zielgerichtet die Eingangsgrößen durch Transformationen unterschiedlicher Art in Ausgangsgrößen umzuwandeln. Die Kompliziertheit eines Systems wird durch die Anzahl der Elemente charakterisiert. Die Komplexität eines Systems wird durch die Anzahl und die Art der Kopplungen zwischen den Elementen sowie durch die Vielfalt unterschiedlicher Elemente bestimmt [1], Auf stoffwirtschaftliche Systeme angewendet, gestattet der Systembegriff die Einführung des Begriffes verfahrenstechnisches System als Mensch-Maschine-System, in dem Stoffwandlungen zum Zwecke der wirtschaftlichen Nutzung durchgeführt werden, wobei die Elemente durch Stoff-, Energie-, Kosten- und Informationsströme miteinander und mit der Umgebung verbunden sind [2], Zur verallgemeinerten Kategorie stoffwirtschaftlicher Systeme zählen auch die verarbeitungstechnischen Systeme, in deren Mittelpunkt verarbeitungstechnische Hauptprozesse wie Formen, Trennen, Fügen, Strukturändern u. a. Im Unterschied zum verfahrenstechnischen System ist in diesen Systemen die Veränderung der Form und des Zusammenhaltens des Arbeitsgegenstandes sowie der damit verbundenen Stoffeigenschaften und des Energiezustandes entscheidend [3/6]. Die konsequente Anwendung des System- und Elementbegriffs auf Verfahrens- und verarbeitungstechnische Objekte gestattet die Einführung hierarchischer zueinander geordneter Ebenen, die jeweils wiederum ein System jedoch geringerer — absolut gesehen — aber noch sehr großer Komplexität darstellen. Zwei grundlegende Begriffe der im weiteren verwendeten Methodik der Systemtechnik sind die Analyse und die Synthese. Unter der Analyse eines Systems versteht man die Untersuchung dessen Struktur und Elemente, deren Beziehung untereinander sowie deren Funktionsweise. Die Analyseergebnisse dienen dazu, für vorgegebene Systemeingänge die unbekannten Systemausgänge zu berechnen. Unter der Synthese eines Systems versteht man die Gestaltung (den Entwurf) eines Komplexes von Elementen und deren Kopplung untereinander, das vorgegebene Eingänge in vorgegebene Ausgänge transformiert, d. h. die Synthese beinhaltet die Gestaltung von Systemen mit gewünschten Eigenschaften, in der Regel die Kombination unterschiedlicher Anforderungen zu einem einheitlichen Ganzen.

12

Überblick der Gesamtproblematik

Analyse und Synthese sind eng gekoppelte Problembearbeitungsmethoden. Jeder Syntheseoperation sollte eine analytische Operation folgen, die neben der Untersuchung der Funktionsweise auch eine Bewertung beinhaltet, die Grundlage für weitere Syntheseschritte (Evolution) z . B . in Richtung eines optimalen Systems sind. 2.1. Hierarchieebenen chemisch-technologischer Objekte 1 Hierarchieebene Elementarprozesse/Grundvorgang Dieses Niveau umfaßt die isoliert und unverfälscht durch Überlagerungseffekte ablaufenden Elementarprozesse wie die chemische Reaktion (unter idealisierten Bedingungen), die einzelnen, isoliert auftretenden Mechanismen des Stoff- und Energietransportes (z. B. Leitung, Diffusion, Konvektion), des Impulstransportes, die thermodynamischen Vorgänge, die Zeit- und Raumpunktbilanzen sowie andere Elementarprozesse. Diese sind in der Regel Untersuchungsgegenstand der Naturwissenschaften. Die aus dem Ablaufen der Elementarprozesse resultierenden physikalisch-chemischen Effekte werden Tabelle 2.1 Hierarchieebenen verfahrenstechnischer Prozesse und Systeme Hierarchieebene jg Stoffverbundsystem o00 '3 .g Ve'rfahrenszug/Stoffwirtschaft-2 liches Werk OD ö 1 Ü 1§ Verfahren tH

07

® >1 t» Verfahrensstufe/Prozeßgrtippe G) jS ü 03

*>

'S

Prozeßeinheit/Makroprozeß

S Charakteristischer Teilprozeß © j; g Volumenelement/Mikroprozeß cS ® 'S o Elementarprozeß/Grund& Vorgang 1

Typisches Beispiel Gesamtheit aller erdölverarbeitenden und petrolchemischen Werke der D D R Kopplung aller Stufen der Erdölverarbeitung und Petrolchemie zu einem speziellen Endprodukt, z. B. Polyethylen Erdöldestillation Ammoniaksynthese Reaktor-Abhitzesystem der Ammoniaksynthese/Rührkesselkaskade Destillationskolonne/Reaktor Katalysatorschicht/Boden einer Destillationskolonne Katalysatorkorn/Tropfen/Gasblase Chemische Reaktion/Konduktion/Konvektion von Stoff und Energie

Für verarbeitungstechnische Objekte gilt eine ähnliche Hierarchiestruktur. Ausführlicher s. [3].

Hierarchieebenen chemisch-technologischer Objekte

13

oft als Wirkprinzipien bezeichnet. Die optimale Gestaltung der Bedingungen für das effektivste Ablaufen dieser Wirkprinzipien beeinflußt nachhaltig die übergeordneten Hierarchieebenen. Hierarchieebene der Volumenelemente/Mikroprozeß Erweitert man die räumlichen Grenzen des zu untersuchenden chemischtechnologischen Objektes auf sehr kleine, jedoch endliche Abmessungen, kommt man zum Niveau der Volumenelemente (auch Elementarvolumina genannt). Diese Volumenelemente können natürliche Grenzen besitzen, z. B. in Form eines Tropfens, eines Katalysatorkorns, einer Gasblase u. a. oder gedanklich aus einem größerem Volumen abgetrennt worden sein. In den Volumenelementen wirken die physikalisch-chemischen Prozeßabläufe meist bereits kombiniert ab, z. B . Stoff- und Wärmetransport gekoppelt; innerhalb des Volumenelementes können Gradienten unterschiedlicher intensiver Prozeßgrößen auftreten (Temperatur, Konzentration usw.). Hierarchieebene Teilprozeß Aggregiert man gleiche oder unterschiedliche, jedoch vom Prozeßablauf her zusammenhängende Volumenelemente (z. B. auch Volumenelemente unterschiedlicher Phasen) zu einem, meist durch geometrisch genau festgelegte Grenzen charakterisierten Untersuchungsgegenstand, so ergibt sich das -Niveau Teilprozeß z. B. in Form eines einzelnen Bodens einer Bodenkolonne, eines endlichen Abschnitts einer Füllkörperkolonne oder einer Schüttschicht eines Festbettreaktors oder eines Rohrreaktors usw. Auf diesem Niveau sind neben dem kombinierten Wirken unterschiedlicher Mechanismen die Transportvorgänge an den Grenzen des Teilprozesses von großer Bedeutung. Hierarchieebene Prozeßeinheit/Makroprozeß (Prozeßgruppe) Die Aggregation gleicher oder unterschiedlicher, prozeßtechnisch jedoch gekoppelter Teilprozesse führt zur chemisch-technologischen Prozeßeinheit. Die Grenzen dieser Hierarchieebene fallen meist mit denen der apparativen Hülle, d. h. dem Apparat, in dem der Prozeß stattfindet, zusammen. Das durch die Aggregation mehrerer Böden einer Kolonne oder mehrerer Stufen eines Kompressors usw. entstehende System wird auch als Prozeßgruppe bezeichnet. Eine Prozeßeinheit wird demnach durch eine spezielle Funktion im stoffwirtschaftlichen Verfahren charakterisiert. Sie besitzt eine nach außen durch den Apparat vorgegebene Hülle, sie besteht unter Umständen aus unterschiedlichen Teilprozessen (z. B. Heiz- oder Kühlschlangen oder Heiz- oder Kühlmantel und eigentlichem Reaktionsraum in einem Rührkesselreaktor). Durch diese, die Prozeßeinheit charakterisierenden Bedingungen, ergibt sich ein sehr komplexes Wirken der physikalisch-chemischen Prozeßabläufe.

14

Überblick der Gesamtproblematik

Hierarchieebene Verfahrensstufe/Prozeßgruppe Die Aggregation von Prozeßeinheiten zur Erfüllung einer bestimmten verfahrenstechnischen Teilaufgabe wird als Verfahrensstufe bezeichnet. Die Aggregation identischer und zusammengehöriger Prozeßeinheiten wird auch als Prozeßgruppe bezeichnet. Hierarchieebene Verfahren Die Kopplung von Verfahrensstufen ergibt das Verfahren, das durch die Erzeugung eines Verkaufsproduktes charakterisiert wird. Hierarchieebene Verfahrenszug/Stoffwirtschaftliche Werke Mehrere Verfahren können zu einem Verfahrenszug gekoppelt werden. Ein Verfahrenszug ist charakterisiert durch die Verarbeitung eines komplexen Einsatzproduktes bzw. durch die Weiterveredlung im System erzeugter Produkte. In einem Chemiebetrieb sind meist mehrere Verfahrenszüge vereinigt bzw. er wird durch einen Verfahrenszug charakterisiert. Hierarchieebene Stoffverbundsystem Hierarchieebenen höherer Aggregation wie Verbundsysteme sind z. B. die Gesamtheit der chemischen Betriebe bzw. die gesamte Stoffwirtschaft eines Bezirkes/Landes usw. 2.2. Strategie von Systemuntersuchungen Die Dekomposition (Zerlegung) und Aggregation (Zusammenfassung) von stoffwirtschaftlichen Prozessen, d.h. die Hierarchiestruktur selbst hat nicht nur formale Bedeutung, sondern ist entscheidend für das methodische Konzept der Untersuchung der zur Diskussion stehenden Objekte. Sie gestatten es, die fast unüberschaubare Vielfalt unterschiedlicher Objekte in eine relativ geringe Anzahl gleicher oder ähnlicher Elemente zu zerlegen, die erstens einfacher zu untersuchen sind, da evtl. störende Überlagerungen anderer Effekte eliminiert werden können, zweitens die Untersuchung dieser Elemente mit speziellen (auch vom Standpunkt der experimentellen Untersuchung) Methoden durchgeführt werden kann und drittens die Kombination von Einzeluntersuchungsergebnissen unter - Verwendung geeigneter Verfahren nicht nur zu den bereits bekannten Prozessen, sondern auch zu effektiven Neuentwicklungen führen kann. Außerdem gestattet diese Strategie die arbeitsteilige Untersuchung der Prozesse, sie führt zu einer Reduzierung des Zeit- und Mittelaufwandes für die Prozeßuntersuchung und -gestaltung selbst. Sie liefert auch Hinweise, wie die Informationen, die bei der Untersuchung an Elementen des Systems ermittelt worden sind, auf höheren Ebenen verdichtet werden können (Abb. 2.2). Die Ermittlung der Struktur des konkreten Objektes erfordert außer

15

Strategie von Systemuntersuchungen

den allgemeinen Kenntnissen der Systemtheorie tiefgehende Kenntnisse der konkreten Prozesse. Trotz der oben beschriebenen allgemeinen Systemanalyse stoffwirtschaftlicher Objekte, ist die Klärung der Aufgabe, welche von der Vielzahl der ablaufenden Prozesse auf den jeweiligen Ebenen (Systemen) bestimmend, d. h. dominierend sind — Hauptkettenglieder darstellen — und Tabelle 2.2 Möglichkeiten der Informationsverdichtung bei der Aggregation bezüglich der Zeit

bezüglich des Raumes

bezüglich der Ströme

— Quasistationarität

— Vernachlässigung von Koordinaten

— Mittelung von Stromeigenschaften

— Vernachlässigung von Gradienten des Raumes

— Verwendung von Verteilungsfunktion/Mittelwerten bei dispersen Systemen

— Gleichgewicht — Irreversibilität

— Verwendung effektiver Transportkoeffizienten — Vernachlässigung von Phasen (Quasihomogenität)

— Zusammenfassung von Strömen

— Idealisierung von Abläufen bzw. deren Kombination

damit im Mittelpunkt stehen und alles andere beeinflussen, noch nicht erfolgt. Zur Lösung dieser Aufgabe ist eine hierarchische Ordnung in die qualitativunterschiedlichen Prozesse chemische Umsetzungen, Stofftrennungen, Heizen/ Kühlen, Komprimieren/Entspannen und Transport u. a. zu bringen. Das primäre Ziel in einer stoffwirtschaftlichen Anlage ist die Herstellung einer bestimmten Menge eines Zielproduktes mit vorgegebener Qualität und weiteren vorgeschriebenen Eigenschaften. Bei einem allgemeinen Verfahren, das alle o. g. funktionellen Gruppen enthält, werden die notwendigen Strukturen der Zielprodukte durch chemische Umsetzungen in Reaktoren unterschiedlichen Typs hergestellt. Zur Durchführung der chemischen Reaktionen müssen ganz bestimmte — durch die Thermodynamik und chemische Kinetik festgelegte — Bedingungen bezüglich Temperatur, Druck, Katalysator usw. eingehalten werden, damit die chemischen Umsetzungen in der gewünschten Richtung optimal ablaufen können. Damit sind die Bedingungen am Einund Ausgang des Teilsystems (Stoffwandlung) festgelegt. Vorzugeben sind jedoch auch — zumindest in gewissen Bereichen — die Eigenschaften der eingesetzten Rohstoffe und der gewünschten Zielprodukte, so daß dadurch für die Operationen der Rohstoffvorbereitung und der Reaktionsgemischnachbereitung, ebenfalls die Ein- und Ausgangsbedingungen gegeben sind.

16

Überblick der Gesamtproblematik

Die Reaktionsproduktnachbereitung besteht neben der A bkühlung sehr häufig in der Isolierung der gewünschten Zielprodukte, d. h. in der Abtrennung von Nebenprodukten und nichtumgesetzten Reaktionspartnern, in der Erreichung der festgelegten Qualität und stellt ein Stofftrennproblem dar. Für die Realisierung der Stofftrennung müssen in der Regel ebenfalls — wie für die chemischen Reaktionen — durch thermodynamische Beziehungen wohldefinierte Betriebsbedingungen (z. B. Druck, Temperatur) geschaffen werden, wobei die stoffliche Zusammensetzung vor und nach der Trennung, und die Qualitätsanforderungen an die Zielprodukte festgelegt werden. Eine analoge Funktion hat die Vorbereitung der Rohstoffe auf die Reaktion: Vorbereitung der Rohstoffe vom Systemeingang auf den erforderlichen Zustand zur Durchführung der chemischen Reaktion z. B. Aufheizen, Reinigen, Komprimieren, Zerkleinern, Mischen usw.

2.3. Synthese- und Analyseaufgaben Aus dieser Darstellung wird eine bestimmte Hierarchie innerhalb der unterschiedlichen stoffwirtschaftlichen Operationen deutlich, die folgende Entscheidungs- und Aufgabenebenen umfaßt [4, 5]: — Auswahl der günstigsten Rohstoffe, — Wahl der Reaktionswege und -Bedingungen für die Durchführung chemischer Umsetzungen, — Auswahl eines geeigneten Reaktorsystems, — Auswahl geeigneter Trennsysteme, — Auswahl weiterer relevanter Teilsysteme (z. B. für Komprimierung, Expansion, Transport usw.), — Auswahl zweckmäßiger Wärmeübertragungssysteme, — Festlegung von qualitativen Maßnahmen zur Erhöhung der Zuverlässigkeit des Systems. Im Ergebnis der Lösungen dieser Teilaufgaben entsteht eine geeignete Grobstruktur des zu entwerfenden Systems. Um von vornherein auf einige Schwierigkeiten bei der Realisierung des Entwurfsprozesses aufmerksam zu machen, soll gezeigt werden, wieviel unterschiedliche Strukturvarianten, die alle funktionserfüllend sind, entstehen können, wenn man nur fünf Varianten auf jeder Ebene (jedes Teilsystems) zuläßt. Bei 7 Ebenen auf denen jeweils fünf Varianten möglich sein sollen (wie später zu sehen ist, ist jedoch die Anzahl der möglichen Varianten je Ebene um Größenordnungen höher), die alle miteinander kombiniert werden können, existieren bereits 5 7 = 78 125 unterschiedliche Strukturen. Dabei i&t zu berücksichtigen, daß stark vereinfachende Annahmen getroffen wurden. Daraus wird die Kompliziertheit des Entwurfsproblems deutlich und auch offensichtlich, daß die üblichen Variantenrechnungen bei Entwurfsproblemen für einen optimalen Strukturentwurf nicht

Synthese- und Analyseaufgaben

17

— oder nur beschränkt — in Frage kommen. In Abb. 2 2 ist schematiscji ein solcher Zielbaum vereinfacht dargestellt. Im Gegensatz zur Zergliederung eines Systems in seine Elemente (Dekomposition) wird die Bildung eines Systems aus den erforderlichen Bausteinen als Synthese bezeichnet (Abb. 2.1, s. S. 10). Zur Präzisierung des Syntheseproblems wird die eben beschriebene Aufgabe als Struktursynthese bezeichnet, d. h. als Aufgabe zur Festlegung der notwendigen Systemelemente und deren zweckmäßigste Kopplung zur Gestaltung eines Systems, das bestimmte Anforderungen erfüllt. Reaktion

Aktivierungsart / Phasenverhält russe

RS1

RS2

RS3

RSx • QA{Ay • ^z) • Af]x

— [wx • QA{Ay • Az) -

At]x+jx

y:

[wv • Qa(AX • Az) • At]v

— [wy • Qa(AX • Az) •

At}v+äy

z:

[wz • Qa{AX • Ay) • At],

— [wz • Qa(AX • Ay) •

At]z+âz

33

Prozeßmodelle

Der Transport durch molekulare Diffusion wird beschrieben durch die Massenströme j in der Dimension Masse/Fläche • Zeit: Eingang

Ausgang

z:

[jxA{Ay • Az) • At]x

-

[jxA(Ay • Az) • At]x+Ax

y.

[jyA(Ax • Az) • At]y

-

[jyÄ(Ax • Az) • At]y+/iy

z:

[jA(Ax-Ay)-At]z

-

[jzA{Ax • Ay) • At]z+äz

Der Quellstrom ergibt sich mit Hilfe der Reaktionsgeschwindigkeit rÄ zu rÄ • Ax • Ay • Az • At Werden diese Komponenten dem Erhaltungssatz entsprechend zusammengestellt, so ergibt sich nach Division durch Ax • Ay • Az • Az • At: [ßJt+JT — [ e J f

[®I • 6A]X+AX — K

_

At

• QA]X

Ax [WZ

• QA]Z+JZ

— [Wj • Az

ÜyA]y+Jy Ay

l?yÄ]y

[wy • QA\V+äy — [Wy ' QA~\y

/

Ay

ftlL

[?/]*+/ix — [jxAlx Ax

\jtA~\z+äi Az

[jzA]

+ ^

(3.2)

Wird der Grenzübergang Ax, Ay, Az, At -s- 0 vollzogen, so gilt entsprechend der Definition der partiellen Ableitungen /

8f(x, y, z, t) 8x

=

f{x + Ax, y, z, t) /ix-+a Ax

f(x, y, z, t)

^ ^

für (3.2) 8Qa _

8(QA • wx)

8t Akkumulation ,

dx

8(Qa •

WY)

8y T r a n s p o r t durch konvektive Ströme

_ 8{Qa • w.) _ dj/_ _ 8j/ 8z 8x 8y

_

8jA 8z

rA

(3.4)

T r a n s p o r t durch Diffusion Erzeugung (molekulare S t r ö m e ) (oder Verbrauch)

Entsprechende Gleichungen lassen sich für die Gesamtmassenbilanz, die Energiebilanz und die Impulsbilanzen in den drei Koordinatenrichtungen ableiten. Die Ermittlung der konkreten Ausdrücke für die einzelnen Ströme ist ein Gegenstand der analytischen Modellbildung. Der Erhaltungssatz muß aber auch durch mehr oder weniger empirisch abgeleitete Modelle erfüllt sein. 3

Hartmann

34

3.2.2. Analytische

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

Modellbildung

Der analytische Weg der Modellierung eines Prozesses ist durch folgende Vorgeheilsweise charakterisiert: 1. Der konkrete Prozeß wird in seine wesentlichen Bestandteile, d. h. in seine Grundprozesse zerlegt. 2. Die abstrakten Beschreibungen der Grundprozesse sind zu beschaffen. 3. Das mathematische Modell des konkreten Prozesses wird aus den Beschreibungen der Grundprozesse unter Anwendung der Erhaltungssätze entwickelt. Um diesen Weg beschreiten zu können, müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein: 1. Die Prozeßkenntnis muß es erlauben, die wesentlichen Grundprozesse identifizieren zu können. 2. Die abstrakten Beschreibungen der Grundprozesse müssen vorliegen. 3. Die Überprüfung der Signifikanz des mathematischen Modells muß gewährleistet sein. Demzufolge gilt: Das analytische Modell eines stoffwirtschaftlichen Prozesses ist dessen mathematische Beschreibung, die durch Zerlegung des Prozesses in Grundprozesse und nachfolgende Synthese der abstrakten Beschreibungen durch Anwendung des Erhaltungssatzes gewonnen wurde. Das analytische Modell basiert auf der Prozeßkenntnis, wird diese erweitert oder korrigiert, muß das analytische Modell unter Umständen dem neuen Stand der Kenntnisse angepaßt werden. Die analytische Modellstruktur enthält im allgemeinen freie Parameter, die durch experimentelle Daten belegt werden müssen. Eine Zustandsfolge des realen Prozesses kann im allgemeinen nicht direkt am analytischen Modell nachgebildet werden, sondern dafür sind die Umformung des Modells und ein Lösungsverfahren erforderlich. Ein stoffwirtschaftlicher Prozeß kann als eine komplizierte Überlagerung simultan verlaufender Transport- und Umwandlungsprozesse aufgefaßt werden. Auch für diesen Prozeß gilt unter den genannten Voraussetzungen ein allgemeines Transportmodell, wie es in allgemeiner Form durch (3.1) oder für die Massenbilanz einer Komponente durch (3.4) dargestellt ist. Dieses allgemeine Transportmodell hat jedoch auf Grund seiner Kompliziertheit nur theoretische Bedeutung. Für die praktische Nutzung sind die konkrete Belegung der einzelnen Stromkomponenten und eine Reihe von Vereinfachungen nötig, die zu lösbaren Modellstrukturen führen. Durch entsprechende Annahmen und Vereinfachungen kann das Modell der mikroskopischen Betrachtungsweise schrittweise in die makroskopische Darstellungsform überführt werden, und aus dem allgemeinen Transportmodell ergeben sich dadurch in der Verfahrenstechnik und Stoffwirtschaft bekannte Gesetze.

35

Prozeßmodelle

Setzt man für die molekularen Ströme

und bezieht man qä und rA auf die Molmasse MÄ r

C a

-

~w

7?

6 A

a T ä

so wird unter Anwendung der Produktenregel 8(v • u) du 8v —- = v— + u — ox ox ox 8v und der Annahme konstanter Dichte, d. h. — = 0 aus (3.4) die Beziehung (3.6) in Tab. 3.3. Auf ähnlichem Wege läßt sich die Energiebilanz (3.7) ableiten. In [4] ist eine umfassende Zusammenstellung aller Bilanzen (Komponenten-, Gesamtmasse-, Impuls-, Energiebilanz) in ¿artesischen und zylindrischen Koordinaten gegeben. Geht man von der mikroskopischen Betrachtungsweise zur Darstellungsform der multiplen Gradienten über, so muß man gewisse makroskopische Bereiche des Mediums, die sogenannten Turbulenzballen, berücksichtigen. Das heißt, daß von den Momentanwerten der Prozeßvariablen auf Mittelwerte, Tabelle 3.3 Bilanzgleichungen für die mikroskopische Darstellung in rechtwinkligen Koordinaten Massenbilanz für die Komponente A

8c ^ . 8cA — w„ v 8x 8y

— —

—

8eÄ /82cÄ 82ca 82ca\ w. — + DA — 2 + —¿H -) + RÄ 8z y 8x 8y2 8z2 J

Transport durch Pfropfenströmung

Transport durch Massen-Diffusion

.

Erzeugung

Energiebilanz

8T Ht

/

dT

8T

Transport durch Pfropfenströmung

3*

8T\

l82T

82T

82T\

Transport durch thermische Diffusion

Erzeugung

(3.6)

36

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

die durch Integration der Momentanwerte über ein Zeitintervall berechnet werden, überzugehen ist. Dieses Zeitintervall muß groß gegenüber der turbulenten Schwankungsdauer aber klein gegenüber den Zeitkonstanten des Prozesses sein. Die Prozeßvariablen werden in den Bilanzgleichungen nach folgender allgemeiner Beziehung substituiert: z= 2+

(3.8)

Az

z

— Prozeßvariable

z

— zeitlicher Mittelwert der Prozeßvariablen im Zeitintervall t

Az — m o m e n t a n e Abweichung v o m zeitlichen Mittelwert

Der zeitliche Mittelwert ist definiert als: t+M z =

J

f

t

z

d

oo

(3.22)

39

Prozeßmodelle

• Die Konzentrationsgradienten werden also durch eine unendlich große Intensität der turbulenten Vermischung abgebaut. Die Prozeß variablen werden damit unabhängig vom Ort, diese Prozesse heißen „Prozesse mit konzentrierten Zustandsgrößen". Für die Ableitung ihrer mathematischen Beschreibung muß (3.19) über das ganze Systemvolumen integriert werden: dV

dt

=

—

J ^ d V + f ß ^ d V + f ^ d V

(3.23)

Für die weiteren Betrachtungen werden folgende Annahmen getroffen: — Die über die Systemgrenzen ein- und austretenden Ströme sind konvektive Ströme. Der molekulare Transport und der Einfluß der turbulenten Vermischung unmittelbar an der Systemgrenze seien im Verhältnis zum konvektiven Transport zu vernachlässigen. — Die konvektiven Ströme treten über definierte Flächen ein und aus, die klein im Verhältnis zur Systemoberfläche sind. Die Prozeßvariablen sind über diese Flächen konstant. Die Integrale der Gl. (3.23) lassen sich mit Hilfe des GAUssschen Integralsatzes wie folgt umformen:

f

v

~

J

W

~ Ö x

d

V

f

^

V

V

W C ä

=

8 e W e

'

C ä , e

~~

S a W a C a

'

a

(3.25)

s

s

f EÄ dV = V • Ra

(3.27)

v

Die Fläche S ist die das Systemvolumen begrenzende Oberfläche, SB und SA sind die Teilflächen, über die die konvektiven Ströme ein- und austreten. Findet ein Stoffübergang über S statt, so ist das Integral (3.26) durch die Beziehung für den Stoffübergang Übergangsstrom = Übergangszahl • Fläche • Triebkraft mA = ß-Sä- ACa (3.28) zu setzen. Nimmt man an, daß das Volumen V zeitlich konstant ist und somit SE • vB = SA • vA — v ist, und daß die Konzentration am Ausgang gleich der im

40

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

Volumen V, also cAA — cA ist, so ergibt sich mit (3.24) bis (3.28) aus (3.23) de =

-

v(ca.b

cÄ) +

(3.29)

VmÄ+V-RA

Ist V 4= const, so gilt (3.29a) aus Tab. 3.6. Tabelle 3.6 Bilanzgleichungen für die makroskopische Darstellung Massenbilanz für die Komponente A dmA dt Akkumulation

= VE • cAiE -

VA~- cAA

ein- und austretende Ströme

+

mA

+V-RÄ

Übergangsström

(3.29 a)

Erzeugung

Energiebilanz dE — dt

7 [

= + A

H

+

innere Akkumulation

i

+

i t

\ + H p

+

)

+

kinetische, potent. Energie

ein- und austretende Ströme

+

Qü

+

Q

•—•—'

~

w

(3.30)

Erzeugung Übergangsström

mechanische Arbeit

Die allgemeine Beziehung für die Energiebilanz (3.30) gut durchmischter Systeme in Tab. 3.6 berücksichtigt die innere, die kinetische und die potentielle Energie. Das Symbol A steht für die Differenz Eingangs- minus Ausgangszustand, das Symbol (v) für den zeitlich geglätteten Wert der mittleren Geschwindigkeit über der Fläche S, das ist z. B. für ein Rohr 2ji

R

f f vnr dr dd \

'

In

f

oo

R

jrdrdd

Aus den damit zür Verfügung stehenden Beziehungen lassen sich die bekannten Verweilzeit-Typenmodelle ableiten, wie sie in Abb. 3.11 zusammengefaßt sind. In der Abbildung sind gleichzeitig die Antwortfunktionen dieser idealisierten Typenmodelle auf eine Sprungmarkierung und auf eine Stoßmarkierung angegeben. In der Praxis ist' nicht immer eine hinreichende Übereinstimmung zwischen den realen Objekten und diesen stark idealisierten Typenmodellen zu erreichen.

41

Prozeßmodelle

Typenmodell 1. ¡deoles modell 2. ideales modell

Strömungsschema

mathematisches Modell

h

Verdrängungs-

Form der Antwortfunktion auf eine Sprung- auf eine Stoßmarkierung markierung FM

de dt

r

de "dx

0

dt

V1

b)

zweidimensionales

HÜ-Iâ r

*is_ai£.f0 dz dx dt

e

X

s

r

CK

'

Bx

1

»Ii öx?

r

e

1

3. Diffusionsmodell a) eindimensionales

X

fit

Mischungs-

1 '

CM

r/t

Cfr

dx u>dx1 RdtV

e

t

e

eil )

fk wL

/

t

aJ-vM

U. Zellenmodell i

e

uL

t

y v k \ / y M s e

r

Abb. 3.11. Verweilzeit-Typenmodelle

Dann können jedoch häufig kombinierte oder hybride Modelle aus den Elementen — — — —

ideale Pfropfenströmung (Modell für den maximalen Gradienten), ideale Durchmischung (makroskopisches Modell), einparametrige Verteilung (Modell mit multiplen Gradienten) und Toträume

aufgebaut werden. Eine mögliche Zusammenschaltung dieser einzelnen Elemente zum Modell eines realen Rührkessels zeigt Abb. 3.12.

Abb. 3.12. Hybrides Modell für einen realen Rührkessel

42

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

Im folgenden werden die allgemeinen Bilanzgleichungen auf konkrete Beispiele angewandt, dabei wird von einfachen Objekten zu komplizierteren fortgeschritten. Gleichzeitig werden die erforderlichen Kopplungsbeziehungen mit angegeben. Für einen Behälter, in dem eine Flüssigkeit mit dem Massenstrom ih^ eintritt, und aus dem diese Flüssigkeit mit dem Massenstrom m2 austritt, gilt die Massenbilanz dm —

(3.31)

= Tili — m 2

Wird der Behälter weder beheizt noch gekühlt, so ist die Masse die einzige zu betrachtende Erhaltungsgröße. Wenn die gleiche Flüssigkeit mit gleicher

Hi

fy w2

H2

?

Abb. 3.13. Ausströmen einem Behälter

einer Flüssigkeit

aus

Temperatur ein- und austritt, dann ist die Dichte konstant, und man kann statt mit der Massenbilanz auch die Beziehung für das Volumen V mit den Volumenströmen i) schreiben dV

-df

=

V i

(3.32)

-V°

Ist v2 die gesuchte Ausgangsgröße des Modells, so muß v2 aus v2 — w2 • AR (w2. = Austrittsgeschwindigkeit, AR = Rohrquerschnittsfläche) ermittelt werden. Mit den Bezeichnungen aus Abb. 3.13 gilt nach BEKNOULLI: w22 + P» + e ' 9 ' Hz = J V

+ Pi + ß ' 9 • H,

(3.33)'

Nimmt man auf Grund der stark unterschiedlichen Querschnittsflächen von Behälter und Rohr an, daß w22 w^ und demzufolge w^ = 0, so ist mit H = Hl

—

H2 •WI =

Mit p1 =

folgt w2 =

y - ( P I - F T

+ 9-QH)

•

(3.34)

die Beziehung für den idealisierten Ausfluß Vorgang |/2gr • H

und

v2 = w2 • AR

= AR / 2 g • H

43

Prozeßmodelle

Zur Berücksichtigung des realen Strömungswiderstandes wird eine Ventilkonstante hv eingeführt, in der man zweckmäßigerweise gleich AR mit erfaßt, dann gilt für p 1 = p2 v2

=

(3 35)

]1H

hv

und allgemein v2 = hv

+ g-g-H

- p2

(3.36)

Da q • g • H der Druck der Flüssigkeitssäule ist, ist der am Boden wirkende Druck p ges = + q • g • H. Ist der Querschnitt des Behälters über der Höhe konstant, so ergibt sich mit H = VfA das in Abb. 3.14a dargestellte Modell. Verändert sich der Querschnitt mit der Höhe, so ist dV

_

~dt

~~ dH

m

(A + n • D • H) (Td -

T2

>

für die Berechnung der Temperatur und des Füllstandes im Kessel. Über die Höhe H kann auch der Austrittsstrom i>2 = hv }/H bestimmt werden.

46

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

Wird kein offener, sondern ein geschlossener Kessel durchströmt, Abb. 3.17, so wird der Eingangsstrom, der bisher als unabhängige Variable betrachtet wurde, abhängig von und p2. Nimmt man an, daß für das im Behälter eingeschlossene Gas mit der Masse m das ideale Gasgesetz gilt und der Vorgang isotherm ist, so ergibt sich das in Abb. 3.17 dargestellte Modell. Dabei sind VB das Behältervolumen, Vg das vom Gas und V das von der Flüssigkeit eingenommene Volumen.

P?

dV

.

dr-"i-

. v

V W

t

V6=VS-

•v2

F '9

9

P3

V

P3v6

Vr=m-RT

Abb. 3.17. Kessel

Geschlossener

Die bisher betrachteten Modelle können relativ leicht zu einem Modell für eine Reaktion mit Wärmezufuhr bzw. Kühlung im geschlossenen Kessel zusammengesetzt werden. Allen bisherigen Modellen ist gemeinsam, daß das System als gut durchmischt, also als ein System mit konzentrierten Zustandsgrößen angesehen Wurde. Alle Modelle sind der Schicht der makroskopischen Beschreibung zuzuordnen. Die nächsthöhere Schicht der Beschreibung läßt die Voraussetzung der idealen Durchmischung fallen und den maximalen Gradienten, d. h. den Gradienten in einer Richtung, zu. Die dafür gültigen Gleichungen der Komponentenmassenbilanz und der Energiebilanz sind in Tab. 3.5 (S. 38) angegeben. Als erstes Beispiel dafür wird die Absorption eines Gases in einer Flüssigkeit betrachtet, Abb. 3.18. Für das zu modellierende ideale Objekt wird in diesem Fall angenommen, daß Gas und Flüssigkeit den Apparat als zwei getrennte Phasen mit gasdurchlässiger Phasengrenzfläche im Gegenstrom passieren. Dabei werden folgende Annahmen getroffen: a) Es wird nur die Veränderung der Konzentration in Längsrichtung (xRichtung) des Apparates betrachtet (d. h. d c / d y = 8c¡dz = 0 im multiplen Gradienten-Modell). b) Die Dispersion wird gegenüber der Pfropfenströmung vernachlässigt (d. h. ideale Pfropfenströmung).

Prozeßmodelle

47

c) Der Vorgang sei isotherm (d. h. keine Wärmebilanz erforderlich). d) Es findet keine Reaktion statt (d. h. RÄ = 0). e) Die Geschwindigkeit ist konstant, wx = const. |

.

|

Flüssigkeit•

Abb. 3.18. Gas-Absorber

I*.

I

Mit diesen Annahmen folgt aus (3.20) für die Komponentenbilanz de A ~dt

=

—Wr.z

uo ÔÇa A

dx

1-

mA

Für den stationären Zustand ist für die Gasphase

8cÄjdt

= 0 und es folgt

de A.g

wx

m

A,

dx dcA,f

für die Flüssigphase

Für das Gegenstromprinzip ist die Richtung des Gasstromes der des Flüssigkeitsstromes entgegengesetzt. Außerdem gilt : ihA,g = —mAif Drückt man den Übergangsstrom durch wA,g

—

—

g

• a(cA_g

— cA

g)

kA g — Übergangskoeffizient a — Interphasen-Übergangsfläche/Volumeneinheit c* g — Gleichgewichtskonzentration

aus, so ist die différentielle Stoffbilanz für die Gasphase dcAlg dx

—

^A,g

' a{pA,g

c

*,(

48

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

Mit yA —

Molfraktion von A in i der Gasphase

CA

Massengeschwindigkeit des Gases

rhg = wXtg • Qg

kommt man zu der in der verfahrenstechnischen Literatur üblichen Darstellung dyA — -j= -kA,g Qg dX dx =

• a{yÄ -

rhg 6g

•

yA*)

dyA

A,g - a

K

(VA — VA *\

VA,A

Qg • KA,g Qo

-a j

VA

—VA*

VA

Ha — Höhe einer Übertragungseinheit Nn — Anzahl der Übertragungseinheiten

Als nächstes Beispiel eines Objektes, dessen Zustandsgrößen in einer Koordinatenrichtung verteilt sind, wird ein Doppelrohr-Wärmeübertrager mit Gegenstromprinzip betrachtet, Abb. 3.19. Die Energiebilanz eines derartigen Systems ist in Tab. 3.5 gegeben als (8T

* • * ("F +

8T\

âj

=

„

•

** + Ä

Es soll die Wärmeübertragung zwischen zwei Flüssigkeiten betrachtet werden. Das Heizmedium durchströmt das innere Rohr mit dem Durchmesser D. Das aufzuheizende Medium durchströmt den Mantel. Es findet keine Reaktion in den Flüssigkeiten statt (d. h. SR = 0), die Wärmeverluste nach außen werden vernachlässigt. Da eine partielle Differentialgleichung in zwei Variablen Schwierigkeiten bei der Lösung mit sich bringen kann, soll zunächst der stationäre Zustand, d. h. 8T[dt = 0, betrachtet werden. Damit ist dT

.

Wendet man- diese allgemeine Beziehung konkret auf die durch ein Volumenelement der Länge Ax fließenden Massenströme mM und riiR der Mantelund Rohrseite an und ersetzt man E durch die für den Wärmestrom q übliche Beziehung, so ergibt sich das in Abb. 3.19 dargestellte Modell für den stationären Zustand. Zu diesem Modell wäre man auch durch folgende Betrachtung gekommen. Für hinreichend kleine Elemente Ax ergibt sich die Ausgangstempe-

49

Prozeßmodelle a)

"'

lt I mM

r e

ix>

'—I

i i

i

i^7" i

CÌ

dl

a —

'M,e

Abb. 3.19. Doppelrohr-Wärmeübertrager mit Gegenstromprinzip

dT

ratur bei gegebener Eingangstemperatur T als T + — • Ax (Abb. 3.19c). Da für den stationären Zustand die zeitliche Veränderung des Wärmeinhalts der Elemente gleich Null ist, ergeben sich die Bilanzen durch die Betrachtung Eingang = Ausgang. Damit gilt für die Wärmebilanz auf der Mantelseite d T W'MC'P.MTM

4

Hartmann

+

1 —

^M

• CP,M

( TM

dx

u

A x )

50

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

und die Wärmebilanz auf der Rohrseite

/ dTR A \ mRcp,RTR = rhRcPiR ITÄ + —j— Ax\ — q Diese beiden Gleichungen ergeben ebenfalls das Modell von Abb. 3.19c, jedoch ist es vor allem bei komplizierten Vorgängen einfacher, die allgemeinen Bilanzgleichungen der Tab. 3.3 bis 3.6 durch die jeweils zutreffenden Annahmen zu konkretisieren und zu vereinfachen, als stets alle Bilanzen neu abzuleiten. Die Gl. (3.21) aus Tab. 3.5 kann auch Ausgangspunkt für ein Modell des instationären Zustandes des Wärmeübertragers sein, Abb. 3.20. Für die Dar-

¿x

0}

n-1 Maniel Rohr

n+1

Tm,p-i .J^-Tm^. I t In I

ÏM,n*i

r - wjIPI

77777777 '

i

r

b)

_J

c)

Mögliche Annohmen •

Abb. 3.20. Dynamisches Modell für den DoppelrohrWärmeübertrager

51

Prozeßmodelle

Stellung des Temperaturverlaufes in Abhängigkeit von der Zeit läßt sich diese Gleichung darstellen als

/

dT dt

8T\

•

q • cp

Mit q • wx = mjA, A = V/Ax und E = qjV ergibt sich dT

dt

-

Q* • V(—AT)

+

dT

9

V • Q • cp AT

wenn man gleichzeitig = einsetzt, um die partielle Differentialgleichung in eine gewöhnliche zu überführen. Dabei ist V das Volumen eines betrachteten Elementes der Länge Ax und Querschnittsfläche A (s. Abb. 3.20a). Als Näherung für den Temperaturverlauf kann angenommen werden, daß die Temperaturen an den Trennflächen der Elemente dem arithmetischen Mittel der Temperaturen der Zentren' der benachbarten Elemente entsprechen. So ist z. B. die Temperatur des in die Mantelsektion n eintretenden Stromes ~2 (Tjtf.n

+ TMiU+1).

Damit ergeben sich die Temperaturdifferenzen

ATM

1

Ausgang

Eingang

— — L(TMTJT + 7V,„-i) — (?V,n + TM,n+l)~\

— ATM = — (?V.B+1 — ^V,n-l) —ATR

= — {TRN^ J —

TNN+1)

Hieraus folgt für das Element n das in Abb. 3.20b dargestellte mathematische Modell. Mit Hilfe dieses Modells für einen Abschnitt kann der gesamte Temperaturverlauf für einen Rohrwärmeübertrager entsprechend dem Informationsflußgraphen (Abb. 3.20c) berechnet werden. Für die Austrittstemperatur der in Strömungsrichtung letzten Sektion kann je nach gewünschter Genauigkeit angenommen werden oder

TM,a ^ TM.O

4*

^

TM1 2 ^Ma

—

TMl).

relative

Lange

Abb. 3.21. Übertragungsverhalten eines Doppelrohr-Wärmeübertrager

Prozeßmodelle

53

Abbidung 3.21 zeigt das dynamische Verhalten eines Wärmeübertragers von 3,00 m Länge mit einer Einteilung in zehn Abschnitte von Ax = 0,3 m. Das stationäre Temperaturprofil wurde bei t = t0 dadurch gestört, daß TR e von 75 °C auf 80 °C erhöht wurde. Nach einer Stunde ist der neue stationäre Zustand erreicht. Dieses Stufenprinzip, das hier in der Anwendung ein und desselben Modells auf gedanklich getrennte Abschnitte eines Systems mit verteilten Zustandsgrößen bestand, kann auch bei apparativ getrennten Elementen genutzt werden. Typische Beispiele dafür sind Rührkesselkaskaden und Destillationskolonnen mit Böden. Abbildung 3.22 zeigt einen Informationsflußgraphen für eine iV-stufige Destillationskolonne. Der Berechnung des Verhaltens der Kolonne liegt mit Ausnahme der Rechnung für den Sumpf, den Einlaufboden und den Kondensator immer wieder das Modell eines Bodens zugrunde, wie es in der Literatur mehrfach für die Zweistoff- und die Mehrstoffdestillation zu finden ist. Das Modell ist ein kompliziertes Differentialgleichungssystem,

54

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

seine Anwendung in diesem Informationsfluß erfordert großen Berechnungsaufwand. Nach der Ableitung der allgemeinen Bilanzgleichungen für die unterschiedlichen Schichten der Betrachtung und den Beispielen für konkrete Modelle werden einige Aussagen zu den Anwendungen der Schichten und den Übergängen von einer Schicht zur anderen zusammengefaßt und die Konsequenzen für die Randbedingungen dargestellt. Hierbei sei nochmals auf Tab. 3.2 verwiesen. Die molekulare Beschreibung geht von der Tatsache aus, daß jedes System, auch jedes Stoffsystem in einem Elementarprozeß, aus individuellen Teilchen besteht, von denen jedes bestimmte Gesetze befolgt. Auf dieser Grundlage können z. B. in der Quantenmechanik alle Eigenschaften und Antworten eines Systems theoretisch berechnet werden. Diese Schicht führt aber zu unvertretbaren bzw. unlösbaren mathematischen Problemen für Ingenieuraufgaben. Sie wurde deswegen nicht weiter betrachtet. Im Unterschied hierzu gehen alle folgenden Schichten von der Betrachtung individueller Teilchen zur Betrachtung des Stoffsystems als ein Kontinuum über. Die Gleichungen dieser Schichten sind Beziehungen zwischen den abhängigen und den unabhängigen Variablen. Für ihre Anwendung muß der Ingenieur die Werte der unabhängigen Variablen kennen, also messen oder aus anderen Messungen berechnen können. In der mikroskopischen Betrachtungsweise (Tab. 3.3) stehen z. B. die Geschwindigkeiten wx , wy und wz , für die bei der Betrachtung eines bestimmten Volumenelementes die konkreten Werte einzusetzen sind, die an einem bestimmten Ort des Systems zu einer bestimmten Zeit vorhanden sind. Gleiches gilt z. B. für Konzentrationen und Temperaturen. Aus diesem Grunde hat diese Schicht der Beschreibung für Ingenieuraufgaben nur eingeschränkte Bedeutung. Sie wird — wie in Tab. 3.2 angegeben — z. B. zur Beschreibung laminarer Transportphäonomene in Grundlagenuntersuchungen benutzt. Beim Übergang zur Schicht der multiplen Gradienten geht man von den Momentanwerten der Prozeßvariablen auf zeitliche Mittelwerte über, und eine wesentliche Konsequenz daraus ist, daß man von molaren Koeffizienten zu den effektiven Koeffizienten (z. B. von dem molaren Diffusionskoeffizienten zum effektiven) übergeht. Diese Koeffizienten sind eindeutig empirisch, sie hängen vom Strömungszustand und damit vom Ort ab und müssen für jeden Typ des Objektes experimentell bestimmt werden. Diese Form der Beschreibung muß angewandt werden, wenn einerseits die Voraussetzungen für die mikroskopische Beschreibung nicht erfüllbar sind und andererseits die Gradienten der Zustandsgrößen so groß sind, daß mehr als eine Koordinatenrichtung berücksichtigt werden muß. In der nächsten Schicht wird nur noch der maximale Gradient berücksichtigt, d. h., die Veränderung der Prozeßgrößen wird nur noch in einer Raumkoordinate betrachtet. Diese Größen werden als Mittelwerte über dem Querschnitt angesehen. Durch diesen Schichtübergang werden die Modellgleichungen und ihre Lösung einfacher, allerdings zu Lasten der detaillierteren Infor-

Prozeßmodelle

55

mationen, die die Modelle der vorhergehenden Schichten liefern könnten, wenn ihre Voraussetzungen erfüllbar sind. Dadurch, daß die makroskopische Betrachtung alle inneren Details des betrachteten Systems ignoriert, wird eine noch größere Vereinfachung der mathematischen Beschreibung erreicht. Wenn das System als gut durchmischt angesehen wird, so ist die Folge, daß das mathematische Modell keine räumlichen Gradienten und dementsprechend keine Ableitungen der Prozeßgrößen nach dem Ort enthält. Es verbleiben für dynamische Betrachtungen gewöhnliche Differentialgleichungen mit der Zeit als unabhängige Variable. Abstrahiert man dann auch noch von den zeitlichen Veränderungen, so ergeben sich algebraische Gleichungen. Für die Anwendung der Modelle müssen die in ihnen enthaltenen Differentialgleichungen über Raum und Zeit integriert werden, d. h. ihre allgemeine Gültigkeit ist durch entsprechende Rand- und bzw. oder Anfangsbedingungen auf ein bestimmtes Volumen und einen bestimmten Zeitpunkt zu konkretisieren. Die Ableitung dieser Bedingungen muß unmittelbarer Bestandteil der Modellbildung sein. Die Anzahl dieser Bedingungen muß für jede Differentialgleichung der Ordnung dieser Gleichung entsprechen. Für alle Schichten, die das Medium als ein Kontinuum betrachten, lassen sich die in Tab. 3.7 zusammengefaßten Randbedingungen aufstellen. Dabei wird angenommen, daß die Bilanzraumgrenze an der Stelle x = x0 liegt und die beiden Seiten dieser Grenze durch . + x 0 und —x0 dargestellt werden. Der Unterschied zu den Beschreibungsformen der multiplen und des maxiTabelle 3.7 Randbedingungen Massen-Bilanzen 1. Die Konzentration an einer Grenze ist angegeben; c = c0, 2. Der Massenstrom an einer Grenze ist stetig, [m]a,+ = ["¡•lar» die Konzentration an beiden Seiten einer Grenze steht in funktionellem Zusammenhang, [Cj]z+ = /[cjj.3. Der empirisch bestimmte Massenstrom an einer Grenze ist gegeben durch, M.r=o = k'(c — c*) 4. Die Reaktionsgeschwindigkeit an einer Grenzfläche ist gegeben durch [_NÄ]x=ü = RÄ Energie-Bilanzen 1. Die Temperatur an einer Grenze ist gegeben, T = T0, 2. Der Energiestrom an einer Grenze ist stetig, [g].^ = [?].r-, die Temperatur ist an beiden Seiten einer Grenze gleich [T]x+ = [T]x3. Der empirisch bestimmte Energiestrom an einer Grenze ist gegeben durch

[q]x=0 = k(T - T*) 4. Der Wärmestrom an einer Grenze ist angegeben q = q0.

56

Analyse und Modèflierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

malen Gradienten soll in Zusammenhang mit den Randbedingungen noch am Beispiel der Rohrströmung betrachtet werden. In einem Rohr strömt eine Flüssigkeit, die wärmer ist als die Umgebung des Rohres, Abb. 3.23. Wird als reale Geschwindigkeitsprofil, also auch der Gradient in radialer Richtung

Abb. 3.23. Wärmeübergang in einem Rohr a) unter Annahme eines radialen Temperaturprofils b) unter-Annahme gleicher Temperatur über den Radius

betrachtet, so ergibt sich die Wärmebilanz für die Volumeneinheit in zylindrischen Koordinaten als

18T

8T w„ 8T

8T\ 1 8 /,- 8T\

r 2 8

•1 4 — iv>^2 3* /yi /v* — /v1 / r

.

Zusammengesetzte Versuchspläne Für Modelle, die nichtlinear in bezug auf die Einflußgrößen sind, sind Versuchspläne mit mehr als zwei Niveaus erforderlich. Dabei bringen vollständige Faktorenpläne für eine technisch reale Anzahl von Einflußgrößen außerordental

"2

*2

Abb. 3.26. Zusammengesetzte Versuchspläne a) Zwei- und dreidimensionale zentrale, zusammengesetzte Versuchs pläne b) Nichtzentrale, zusammengesetzte Pläne

b)

lieh hohe Anzahl von Versuchen mit sich. Einen Ausweg bieten die zusammengesetzten Pläne (Abb. 3.26). Zentrale zusammengesetzte Pläne bestehen aus drei äquiradialen Gruppen von Versuchspunkten. a) nE = 2n~r ( r = 0, 1, ...) Eckpunkten des der w-dimensionalen Kugel mit rB = ~§n einbeschriebenen Würfels mit den Koordinaten ( ± 1 , ± 1 , . . . ± 1 ) . b) nA = 2n Achsenendpunkten auf der w-dimensionalen Kugel mit rÄ = x und den Koordinaten (±

A}

=

0

(A beliebig kleine Größe > 0) 2. Die Schätzung soll erwartungstreu oder unverzerrt sein, d. h. E{b)

=

b

3. Gibt es mehrere konsistente Schätzungen für einen Parameter bi, so wählt man die mit der kleinsten Varianz, diese Schätzung heißt höchstwirksam oder effektiv. 4. Die Schätzung wird erschöpfend oder hinreichend genannt, wenn sie die gesamten in der Stichprobe enthaltenen Informationen ausnutzt. Die genannten Forderungen sind nur erfüllbar, wenn a-priori-Informationen über die statistischen Eigenschaften der Störgrößen vorliegen, die dem Modell-

92

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

fehler oder den Ausgangsgrößen überlagert sind. Die notwendigen a-prioriKenntnisse sind in Tab. 3.19 angegeben. Die BAYES-Schätzung erfordert die höchsten Vorkenntnisse, die in der Praxis nicht erfüllbar sind. Man kann zwar Annahmen über die Verteilungsdichtefunktion der noch unbekannten Parameter treffen, aber diese Annahmen werden nur selten vom Resultat bestätigt. Läßt man diese Voraussetzung fallen, so kommt man zur MaximumLiKELiHOOD-Methode. Nimmt man bei dieser wiederum normalverteilte Fehler an, so kommt man zur Anwendung des kleinsten Fehlerquadrates und zwar zunächst zur Methode der gewichteten Fehlerquadrate (MABKOV-Schätzung) und bei einheitlichen Gewichtsfaktoren zur Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Bei normalverteilten, unkorrelierten Störungen liefern die Verfahren der drei letzten Spalten identische Resultate. Für parameterlineare Modelle hat die Methode der kleinsten Quadrate die größte Bedeutung, die davon ausgeht, daß die Summe der Fehlerquadrate minimal wird. Sind mehrere Ausgangsgrößen vorhanden, die nicht unabhängig voneinander sind, so ist im Gütekriterium Q zusätzlich über diese zu summieren. Dabei ist die Differenz wegen möglicher Unterschiede in der Größenordnung der Werte der einzelnen Ausgangsgrößen auf den Mittelwert' y zu beziehen oder ein Gewichtsfaktor g einzuführen, der auch unterschiedliche Wertigkeiten der Ausgangsgrößen innerhalb des Modells ausdrücken kann. Die impliziten Verfahren der Parameterschätzung müssen angewandt werden, wenn a) das Modell nichtlinear in bezug auf die Parameter ist (und eine Transformation z . B . durch Logarithmieren nicht möglich ist oder nicht angewandt werden soll) oder wenn b) das Modell durch laufende Hinzunahme neuer Meßwerte ständig verbessert oder angepaßt werden soll. Für den Fall a) lassen sich Linearisierungsverfahren und Extremwertsuchverfahren anwenden. Die Linearisierung wird iterativ genutzt und das Verfahren konvergiert in vielen Fällen schon nach relativ wenigen Iterationen. Allgemeingültige Bedingungen f ü r die Konvergenz konnten bisher nicht angegeben werden. Die Extremwertsuchverfahren benutzen die verschiedenen numerischen Methoden der Optimierung. Häufig bewährt sich die Kombination von Verfahren, z. B. die Benutzung eines Zufallssuchverfahrens für die Ermittlung einer günstigen Anfangsschätzung mit einem Verfahren, das dann die schrittweise gewonnenen Informationen möglichst effektiv ausnutzt. Für den Fall b), also für die laufende Hinzunahme neuer Meßwerte, kann man die gruppenweise Meßwertverarbeitung oder die rekursive Regression einsetzen. 3.4.3. Überprüfung von Modellen Wenn die Parameterbestimmung durchgeführt wurde, so h a t man ein vollständiges Gleichungssystem einschließlich aller Beiwerte und Konstanten, das das Verhalten des realen Objektes beschreibt bzw. beschreiben soll. Damit liegt aber noch keine Aussage vor, wie gut Modell und Realität übereinstimmen.

Modellanpassung und -Überprüfung

93

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c)

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0

o

o 0

Abb. 3.41. Beispiele zur Analyse der Abweichungen

0

°

o o

o 0 o

96

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

entweder ist kein Zeiteinfluß vorhanden oder er wurde richtig im Modell erfaßt. Jedoch reichen zwei Zeiten zur Beurteilung nicht aus. 3. Abhängigkeit der Reste von den Meßwerten der Ausgangsgrößen Für a und b ergeben sich die gleichen Aussagen wie unter 2. Bei c ist der Fehler proportional zum Meßwert, die Abhängigkeit muß durch einen anderen Ansatz erfaßt werden, für den man keine allgemeinen Angaben machen kann. Die Figur d zeigt eine eindeutig nichtlineare Tendenz, der Ansatz . sollte in die Form y: = y + k • y1 überführt werden. Bei weitgehend theoretisch fundierten Modellen weisen die Fälle c und d auf ungerechtfertigte Annahmen bei der Modellentwicklung hin. Die beiden letzten Figuren deuten auf einen starken Einfluß nichterfaßter Größen hin. Bei e kann die Abhängige bei hinreichender Variation der erfaßten Unabhängigen durch eine nichterfaßte Größe, die in einem breiten Bereich auftritt, beeinflußt werden. Bei der Figur / können z. B. die Unabhängigen praktisch immer gleich sein und die Abhängige ist einer nichterfaßten Größe auf zwei Niveaus unterworfen. So könnten sich z. B. auch Versuche darstellen, die in zwei unterschiedlichen Apparaturen durchgeführt werden. 4. Abhängigkeit der Reste von den Eingangsgrößen • Für die Betrachtung der Diagramme gelten im wesentlichen die gleichen Aussagen wie unter 3. Im Fall c ist eine nichterfaßte Wechselwirkung zwischen der Abszissengröße und einer weiteren Einflußgröße vorhanden, die als Parameter einer Kurvenschar erkennbar sein muß. Bei d ist die Potenz dieser Einflußgröße im Modell zu verändern. Die Analyse der Abweichungen liefert nur Aussagen im Bereich des erfaßten Datenmaterials. Ihr Wert ist abhängig von der Eignung des Versuchsplanes für das Modell, ihr Gültigkeitsbereich auf den Bereich der Meßwerte beschränkt. Sie betrachtet einzelne Punkte innerhalb des Raumes der Messungen, sie gibt jedoch keine systematischen Auskünfte über die Verläufe der Funktionen innerhalb und außerhalb dieses Raumes. Nach der Analyse der Abweichungen ist die Analyse der Tendenzen des Modells, also die Simulation des realen Objektes innerhalb und außerhalb des Bereiches der Messungen, ein geeignetes und notwendiges Verfahren zur Uberprüfung von Modellen. Mit ihrer Hilfe kann man den Gültigkeitsbereich des Modells abgrenzen. Dafür sind die Werte der Ausgangsgrößen für verschiedene Variationen der Einflußgrößen zu berechnen und grafisch darzustellen. Diese Verläufe sind mit den theoretischen Kenntnissen über den Prozeß zu vergleichen. Ein Beispiel für die Unterschiede in den Tendenzen verschiedener ModellVarianten außerhalb des Raumes der Messungen ist schon in Abb. 3.27 gegeben. Wenn die Möglichkeit besteht, so ist es günstig, nach der Analyse der Abweichungen und der Tendenzen das Modell durch einige zusätzliche Experimente zu überprüfen. Diese können eventuell noch bestehende Unklarheiten klären, sie sind auf jeden Fall ein guter Test für das Modell. Selbst wenn sie im gleichen Bereich der Eingangsgrößen liegen wie die Experimente für die

Vereinfachung von Modellen

97

Parameterbestimmung, so ist doch durch die Parameterbestimmung und Modellüberprüfung so viel Zeit vergangen, daß sie über die Zeitvarianz der Anlage und ihre Berücksichtigung im Modell Auskunft geben.

3.5. Vereinfachung von M o d e l l e n Ein mathematisches Modell ist — wie schon Abb. 3.1 zeigte — analog und nicht identisch zu einem Original, und es wird von einem Subjekt für die Lösung einer bestimmten Aufgabe genutzt. Das heißt, es muß bei der Ausarbeitung eines mathematischen Modells ein Gleichungssystem gefunden werden, das einerseits die für die Aufgabe notwendige Analogie zum Original sichert, das aber andererseits auch lösbar und somit anwendbar ist. Im zweiten Schritt des Ablaufplanes der Modellierung (Abb. 3.6) gilt es, eine geeignete abstrakte Struktur des zu modellierenden Objektes zu finden. Die hier getroffene Entscheidung muß nach der Modellüberprüfung korrigiert werden, wenn das Modell die Anforderungen nicht erfüllt, z. B. auch dann, wenn das Modell für die Anwendung zu kompliziert ist. Geht man davon aus, daß ein stoffwirtschaftliches Verfahren stets mehrere Apparate als Elemente enthält und daß man zunächst meist mathematische Modelle für die einzelnen Apparate aufstellt, dann gibt es für die Vereinfachung des Systemmodells zwei grundsätzliche Ansatzpunkte. Man kann die Apparatemodelle, deren Ableitung im Abschn. 3.2. behandelt wurde, vereinfachen oder man kann eine einfachere abstrakte Struktur des Systems dem Systemmodell zugrunde legen. Für die Vereinfachung der Struktur kann man die Anzahl der Elemente dadurch reduzieren, daß man nicht signifikante Elemente streicht oder daß man mehrere Elemente zusammenfaßt. Man kann die Struktur auch dadurch vereinfachen, daß man die Zahl der Kopplungen abbaut. Das hängt aber gleichzeitig mit einer Veränderung der Elementemodelle zusammen, da die Kopplungen zwischen den Elementen ja deren Ein- und Ausgangsgrößen sind. In [7, 8, 26—28] sind die einzelnen Möglichkeiten der Vereinfachung mathematischer Modelle ausführlich beschrieben. Welche dieser Vereinfachungen einzeln oder kombiniert angewandt werden können und müssen, hängt von der Aufgabenstellung für das Modell und der Kompliziertheit und Komplexität des Objektes ab. Diese Vereinfachungen verändern die Form der Funktion des Modells. Weitere Möglichkeiten hierfür sind die Linearisierung nichtlinearer Funktionen, quadratische Näherungen für Funktionen höherer Ordnung, die Vereinfachung von Verteilungsfunktionen usw. Alle hier genannten Modellvereinfachungen sind sowohl bei der Ableitung eines Modells für ein vorgegebenes Objekt als auch für die Modifizierung vorhandener Modelle im Rahmen der Möglichkeiten und Notwendigkeiten anzuwenden. 7

Hartmann

98

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

3.6. Digitale Simulation 3.6.1.

Grundlagen

Unter digitaler Simulation versteht man die Untersuchung des Verhaltens eines Systems mit Hilfe eines Digitalrechners. Grundsätzlich ist dafür ein mathematisches Modell erforderlich. Der für den Anwender mit der Simulation verbundene Aufwand hängt im wesentlichen von den verfügbaren Hilfsmitteln ab. Komfortable und anwenderfreundliche Simulationssysteme können den Aufwand wesentlich senken. Ein Simulationssystem besteht aus den in Abb. 3.42 gezeigten Komponenten. Der Anwender muß die Simulationssprache kennen. In dieser Sprache

Abb. 3.42. Aufbau eines Simulationssystems

werden das mathematische Modell, die Parameter und die Steueranweisungen beschrieben. Höhere Simulationssprachen für bestimmte Einsatzgebiete besitzen als Sprachelemente die Modelle häufig vorkommender Elemente. Die Simulationssprache sollte möglichst eine blockorientierte und eine gleichungsorientierte Schreibweise erlauben, damit der Anwender die für das Problem günstige Notation auswählen kann. Die blockorientierte Modellbeschreibung geht von einem Strukturbild aus. Der Name jedes Blockes besteht aus Blocktyp und Blocknummer. Die Verbindungen tragen die Namen der Blöcke, zwischen denen sie liegen. Die Verbindungen brauchen nicht explizit bezeichnet zu werden, mit Ausnahme der Eingänge und der Verbindungen, die zu Blöcken mit mehreren Ausgängen bestehen. Die Notierung der Blöcke erfolgt in der Form: (Blocktyp, Blocknummer)

((Namen der Eingänge)).

Bei der gleichungsorientierten Modellbeschreibung • repräsentiert jede Verbindung zwischen den Blöcken eine Größe und trägt einen frei wählbaren

99

Digitale Simulation

Namen. Die Blöcke werden nur nach ihrem Typ (Summierer, Integrierer usw.) unterschieden. Bei der Modellbeschreibung wird jeder Block durch einen auf der linken Seite einer Funktionsgleichung stehenden Funktionswert beschrieben : (Funktionswert) = (Blockname)

((Eingang 1), (Eingang 2) ...)

Die Gleichungen können direkt in Funktionswerte übersetzt und somit als Zeile der Modellbeschreibung notiert werden. Das Strukturbild wird also nicht unbedingt benötigt, allerdings gehen damit Anschaulichkeit und Übersichtlichkeit zurück. Die Übersetzung einer gleichungsorientierten Modellbeschreibung ist wesentlich aufwendiger. Abbildung 3.43 zeigt ein einfaches

Strukturbild

ai

Elf)

Xtt)

bi Strukturbild S Elf)

Abb. 3.43. Formen der Modellbeschreibung bei der Simulation [29] a) blockorientiert b) gleichungsorientiert Jlodellbeschreibung

Modellbeschreibung

CON

Y2P v YP YYP1, Y P 2 A1YP A2YP

SI 11 12

OBI Ml

M2 7*

E, X, A l , A2 E, - M I , - M 2

SI

II II, X ORIO, A l OE1D, A2

= = = = = =

S (E, — A1YP, - A 2 Y P ) I (Y2P) I(1P) OR (YP, X ) M(YP1, Al) M (YP2, A2)

100

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

Beispiel in blockorientierter und gleichungsorientierter Notation. Bei der blockorientierten Darstellung werden die Namen der Eingänge des Modells [E(t), X(t), AI, J.2) als Quellblöcke im Sinne von Konstanten hinter der Bezeichnung CON in der ersten Zeile aufgeführt. Außerdem brauchen nur noch jene Verbindungen mit Namen belegt werden, die zu Blöcken mit mehreren Ausgängen führen: OR1C und OR1D. Bei der digitalen Simulation treten folgende Parametertypen auf: Zu den Modellparametern gehören alle Modellgrößen, die in den einzelnen Simulationsrechnungen konstant gehalten oder verändert werden sollen und die Anfangswerte für die Integration. Zu den Integrationsparametern gehören die Anfangs-

101

Digitale Simulation

und Endzeit, die Integrationsschrittweite sowie Angaben zur Schrittweitensteuerung und zur Auswahl von Integrationsverfahren, wenn mehrere Integrationsverfahren zur Verfügung stehen. Die Ausgabeparameter legen die Ausgabeform und -häufigkeit, das Schriftbild und wenn nötig weitere Details fest. Die Parameter sind grundsätzlich vom Anwender des Simulationssystems zur Verfügung zu stellen. Das Simulationsprogramm, z. T. auch Simulator genannt, ist das Kernstück und der von der Erarbeitung her aufwendigste Teil eines Simulationssystems. Es ist auf einen Rechnertyp oder eine Rechnerfamilie zugeschnitten und wird mit dieser angeboten oder für diese entwickelt. Die Abb. 3.44 soll für den Anwender einen groben Überblick über die Arbeitsweise geben. 3.6.2. Anwendung

von Programmsystemen

zur

Simulation

Für die Simulation gibt es folgende Aufgabenstellungen: — Simulation neu zu schaffender Anlagen beim Entwurf und bei der Projektierung, — Simulation bestehender Anlagen zum Zwecke der Bilanzierung, — Simulation bestehender Anlagen für die optimale Steuerung, das Studium des Anlagenverhaltens (auch an den und außerhalb der Grenzen des technologisch möglichen Bereiches) sowie zur Schulung und zum Havarietraining des Anlagenpersonals (hierfür genügt meist eine sehr stark abgerüstete Version oder ein spezielles, aus dem Simulationsprogramm abgeleitetes Programm). Für die Simulation stoffwirtschaftlicher Verfahren müssen die Programm systeme neben den im vorhergehenden Abschnitt genannten allgemeinen Gesichtspunkten folgende Anforderungen erfüllen: a) Das Programm muß die Behandlung von komplizierten und komplexen Systemen, d. h. von Objekten mit vielen Elementen und Kopplungen zwischen diesen Elementen ermöglichen. Daraus folgen die Notwendigkeit der speicherplatzsparenden Notation für die Elementemodelle und die Systemstruktur sowie die Notwendigkeit des Einsatzes von Digitalrechnern mit hoher Rechengeschwindigkeit und hoher Speicherkapazität. b) Für die effektive Nutzung der Programmsysteme muß ein auf die Aufgaben abgestimmter Vorrat von Modellgleichungen, Elementemodellen, Stoffwerten und StoffWertberechnungsprogrammen verfügbar sein. c) Für den Entwurf stoffwirtschaftlicher Verfahren muß das Programmsystem Bilanzierungs- und Optimierungsrechnungen sowohl mit technischen Größen (Stoff- und Energiebilanzen) als auch mit ökonomischen Größen (Kostenrechnungen) durchführen können. Ein spezielles Programmsystem zur digitalen Simulation verfahrenstechnischer Systeme, das Programmsystem DIGSIM, ist in [7] ausführlich beschrieben.

102

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

3.7. Beispiel 1: Kessel mit dampfbeheiztem Mantel 3.7.1. Beschreibung

des

Objektes

Ein Kessel mit dampfbeheiztem Mantel soll zum Verdampfen einer Flüssigkeit benutzt werden, Abb. 3.45. Die Aufgabe sei die Ableitung eines mathematischen Modells für diesen Kessel, das sowohl für die Ermittlung der minimalen Betriebskosten (Anlagen- und Dampfkosten) im stationären Zustand als auch

Heizdampf

Abb. 3.45. Dampfbeheizter Kessel

-

m

für die Simulation des dynamischen Verhaltens dienen kann. Das Vorgehen bei der Modellierung dieses Objektes entspricht dem schon in Abb. 3.6 gezeigten Ablaufplan. Die Struktur des Objektes ist einfach. Es handelt sich um einen einzigen Apparat, der aus drei Bilanzräumen (Volumen der Flüssigkeit, Dampfraum im oberen Behälterteil, dampfbeheizter Mantel) besteht. Alle Bilanzräume sollen als ideal durchmischt angenommen werden. Das heißt, die Aufgabe ist in der Schicht der makroskopischen Beschreibung von Tab. 3.2 angesiedelt. Annahmen und idealisierende Abstraktionen: a) Die Bilanzräume sind ideal durchmischt. b) Die Flüssigkeit ist ein reiner Stoff, d. h. kein Mehrkomponentengemisch. Der Dampf dieser Flüssigkeit erfüllt das ideale Gasgesetz. c) Im Kessel herrscht Siedetemperatur (T = Ts), der Dampf wird nicht überhitzt. d) Es wird mit Sattdampf geheizt, vollständige Kondensation angenommen und die Wärme des Kondensates vernachlässigt. Für den Heizdampf ist ein Druckregler (PC) vorgesehen. Für konstanten Dampfdruck pg ist die Dampftemperatur TH = f(j>H) = const. e) Die Wandtemperatur ist gleich der Dampftemper atur. Im Modell werden folgende Variablen benutzt: unabhängige:

abhängige:

TOj Eingangsstrom

TH

Heizdampftemp.

(flüssig) Tx Eingangstemperatur J>H Druck des Heizdampfes

T

Temp. im Kessel

m,j) aufsteigender

p0

mj) Masse des Dampfes

mF Masse der Flüssigkeit Dampfstrom

Entspannungsdruck

q

Wärmestrom

V VD

austretender Dampfstrom Druck im Kessel Volumen des Dampfraumes Fläche des Wärmeüberganges

Kessel mit dampfbeheiztem Mantel

3.7.2.

Dynamisches

103

Modell

Für die zehn abhängigen Größen sind zehn Gleichungen erforderlich, damit das Modell gelöst werden kann. Die Prozeßanalyse ergab unter Berücksichtigung der Annahmen die Gleichungen, die in Abb. 3.46, dem mathematischen Modell, enthalten sind. Dieses Modell enthält nur drei Bilanzen und davon nur zwei in Form von Differentialgleichungen. Bei einem Objekt mit drei gut

A b b . 3 . 4 6 . M a t h e m a t i s c h e s Modell des d a m p f b e h e i z t e n Kessels D — Durehmesser des Behälters, F 0 — Volumen des Behälters, cp — spezifische Wärmekapazität der Flüssigkeit, rv — Verdampfungswärme, q — Dichte der Flüssigkeit, k — Wärmedurchgangskoeffizient, hv — Ventilbeiwert

durchmischten Bilanzräumen, in dem ein thermischer Vorgang mit einer Einkomponentenflüssigkeit abläuft, enthält das Modell im allgemeinen Fall drei Massen- und drei Temperaturbilanzen. Hier erkennt man den Wert sinnvoll und vertretbar gewählter Annahmen. Auf Grund der Annahme d) sind keine Bilanzen für den Dampfraum erforderlich, die Wandtemperatur ergibt sich als Funktion des einzustellenden Dampfdruckes. Da Siedezustand herrschen soll (Annahme c), ist die Temperatur des Dampfes gleich der der Flüssigkeit, so daß die Wärmebilanz für den Dampfräum entfällt. Aus gleichem Grunde wird aus der Differentialgleichung für die Wärmebilanz der Flüssigkeit eine algebraische Gleichung. Das Gleichungssystem ist somit erheblich leichter zu lösen. Abbildung 3 . 4 7 zeigt ein ALGOL-Programm für das R U N G E - K U T T A Verfahren, das zur Lösung benutzt wurde und die Prozedur für dieses konkrete

104

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

*algoi 'algol': fkt; pavp6: ' b e g i n * ' c o m m e n t ' r a h m e n p r o g r a m m f u e r die i n t e g r a t i o n v o n s y s t e m e n gewoehnlicher differentialgleichungen; ' i n t e g e r * n , m ; read(n,m); ' b e g i n ' ' a r r a y ' y[1 :n),k[1 :m].; ' r e a l ' ta,te,h; ' p r o c e d u r e ' ruku(n,h,ta,te,y,k); ' v a l u e ' ta,te,n,h; ' i n t e g e r ' n ; ' r e a l ' ta,te,h; 'array'y,k; ' b e g i n ' ' c o m m e n t ' U n t e r p r o g r a m m fuer die i n t e g r a t i o n g e w . d g l . - s y s t e m e nach r u n g e - k u t t a ; ' i n t e g e r ' i; ' r e a l ' h2,t; ' a r r a y ' fu,c,k1,k2,k3[1 :n]; t:ssta; h2: = h*0.5; fkt(t,y,fu,k); t : = t + h 2 ; ' f o r ' i: = 1 ' s t e p ' 1 ' u n t i l ' n ' d o ' ' b e g i n * k1[i): = h * f u [ i ) ; c[i}: = y[i] + 0 . 5 * k 1 [ i ] ' e n d ' ; fkt(t,o,fu,k); ' f o r ' i: = 1 ' s t e p ' 1 ' u n t i l ' n ' d o ' ' b e g i n ' k2[i]: = h * f u [ i ) ; c[i]: = y [ i ] + 0 . 5 * k 2 [ i ] ' e n d ' ; fkt(t,o,fu,k); t : = t + h 2 ; 'for' i : = 1 'step' 1 'until' n 'do' ' b e g i n ' k3[i]: = h * f u [ i ] ; c[i]: = y[i] + k3[i] ' e n d ' ; fkt(t,o,fu,k); 'for' 'step' 1 'until' n ' d o ' y[i]: = y[i] + (k1[i] + 2 . 0 * ( k 2 [ i ] + k 3 [ i ) ) + h*fu[i])/6.0; 'comment' druck der Zwischenergebnisse; print(' ' zeit: ' \t,newline); print(y,newline); 'end'; 'comment' hauptprogramm; read(h,ta,te,k,y); p r i n t ( ' ' Schrittweite:' \ h , n e w l i n e , ' ' zeiintervall'', ta,' ' b i s ' ' . t e . n e w l i n e ) ; print(' ' konstanten:' \newline,k,newline); p r i n t ( ' ' anfangswerte:' ',newline,y,newline); ruku(n,h,ta,te,y,k); 'end' 'end' 'eop'

' p r o c e d u r e ' fkt(t,y,f,k); ' v a l u e ' t ; ' r e a l ' t ; ' a r r a y ' y,f,k; ' b e g i n ' ' c o m m e n t ' e x t e r n e p r o z e d u r fuer das k o n t i n u i e r l i c h e sieden, bezeichnungen und hilfsgroessen: y[1 J - mf, y[2] - md. es gilt lineare b e z i e h u n g z w i s c h e n p u n d t s : ts = k[1) + k [ 2 ) * p . fuer das d a m p f v o l u m e n g i l t : vd = v O — m f / r h o , v 0 - k [ 3 ] , r h o - k[4]. heizflaeche: a h = 4 * m f / ( d * r h o ) , d - k[5]. dampfstrom mpunkt2: m p u n k t 2 = h v * s q r t ( p * ( p — p 0 ) ) , hv — k[6] , pO — k[7]. u e b e r die b e h a e l t e r w a n d e i n t r e t e n d e r w a e r m e s t r o m : q p u n k t h = k * a h * ( t h — t s ) , k - k[8] , t h - k[9). uebergehender dampfstrom: m p d = ( q p u n k t h — m p u n k t 1 * c p * ( t s — 1 1 ))/rv m p u n k t l - k [ 1 0 ] , t1 - k [ 1 1 ] , r v - k [ 1 2 ] , cp - k[13]. d r u c k im b e h a e l t e r : p = m d i r * k [ 1 ] / ( v d - k [ 2 ] * m d * r ) , r - k[14]. es folgt die C o d i e r u n g d e r f o r m e i n ; 'real' ts,mp2,vd,ah,md2,qph,mpd,p; v d : = k[3J — y [ 1 ] / k [ 4 ] ; p: = y[2]*k[U]*(k[1] + 273)/(vd-k[2]*y[2]*k[14]); t s : = k[1 ] + k [ 2 ] * p ; a h : = 4 . 0 * y [ 1 )/(k[5]*k[4]); qph: = k[8]*ah*(k[9]—ts); mpd: = (qph-k[10]*k[13]*(ts-k[11]))/k[12]; mp2: = k[6]*sqrt(p*(p —k[7])); ' c o m m e n t ' es folgen die rechten seiten d e r d i f f e n r e n t i a l g l e i c h u n g e n ; f[1]: = k [ 1 0 ] - m p d ; f[2]: = m p d — m p 2 ; 'end' 'eop'

105

Kessel mit dampfbeheiztem Mantel

Modell. Beide Programmteile sind so kommentiert, daß sie für sich verständlich sind. Für ein so einfaches Beispiel ist kein vollständiges Simulationssystem nötig. 3.7.3. Modell für den stationären

Zustand

Sowohl für die Bestimmung des in der Aufgabenstellung geforderten Minimum der Betriebskosten als auch für die Bestimmung der Modellparameter ist es einfacher, von einem Modell für den stationären Zustand auszugehen als das komplizierte dynamische Modell zu benutzen. Setzt man djdt = 0, so folgen k • A(TH

-

m,i = rhu

TS) = ?RÄ1[CP(21S -

und

7\) n,]

(3.64) (3.65, 3.66)

m j = m2

als Bilanzgleichungen für den stationären Zustand: Aus (3.64) kann man mit A = n • D • H die stationäre Höhe i/ s t a t errechnen H^tit

—

k-n-

D(Th

-

[cp(Ts

T,

-

T,)

+

rv]

(3.67)

Im Kessel wird^sich folgender Druck einstellen:

P = =

Vo2 , 4 +

Po + 2 ( - )

3.7.4. Bestimmung der

(3.68)

h*

Modellparameter

Für einen konkreten Eingangsstoff sind o, cp und rv meist aus Tabellen zu entnehmen, während Parameter für den konkreten Apparat, z. B. k und hn häufig auf Grund experimenteller Daten zu ermitteln sind. Es soll ein Apparat untersucht werden, bei dem ein Druckregler das Ventil so verstellt, daß p = const = 9;81 • 104 Pa ist, und aus dem der Dampf zur Weiterverarbeitung in ein Gefäß mit Unterdruck strömt. Deswegen braucht nur k bestimmt zu werden. Aus der allgemeinen Beziehung (3.63) für die Summe der Fehlerquadrate wird für diesen speziellen Fall: S=

Z[W

-

2V, TV)] 2 = Min

H(k, mj,

(3.69)

7= 1

Diese Forderung wird dann erfüllt, wenn die Ableitung dSjdk = 0 wird und es folgt rmj{cp(T

E

-

?V)

n • D(T¿

k = H>

m¿(cp(T

+

-

rv)V T)

2V) +

n - D { T ¿ - T )

rv)

(3.70)

106

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

Zur Bestimmung von k wurden vier Versuche durchgeführt, Tab. 3.20. Bei dem vorgegebenen Eingangsprodukt (Ethylalkohol, T = 78,3 °C, cp = 2,46 kJ/kg. K, rv = 840 kJ/kg für p = 9,81 • 104 Pa) ergab sich für den vorgegebenen Apparat'(D = 1 m) aus den vier Versuchen k = 0,995

k J

m2 • s • K

Tabelle 3.20 Versuche zur Bestimmung des Wärmedurchgangskoeffizienten Versuch

m1

Tx

Th

H

.1 2 3 4

1,0 0,5 1,0 0,5

40 40 20 20

200 150

2,50 2,10 4,35 1,30

150 200

3.7.5. Anwendung des stationären

Modells

In einem Kessel dieser Art ist für vorgegebene Werte von m 1; Tlt p, D und vorgegebene Stoffwerte Hstit = f(TH). J e höher der Druck und damit die Temperatur des Heizdampfes sind, desto niedriger kann der Apparat gebaut werden. Aus diesen gegenläufigen Tendenzen wird sich ein Kostenminimum ergeben, das zu suchen ist. Als Zielfunktion wird gewählt Q* = \ («o + «I ' « i

H

) +

Apparatekosten

6

i ' %

' PH

Dampfkosten

mit a 0 , di als Kostenfaktoren für den Apparat und b l • pH als spezifischer Preis für den Heizdampf des jeweiligen Druckes. Da a0 für die Lage des Minimums in Abhängigkeit von pH uninteressant ist, kann folgende Zielfunktion gewählt werden: Q =

1

+

riiH-pH

(3.71)

Die bei den getroffenen Annahmen erforderliche Heizdampfmenge rhH kann aus folgender Wärmebilanz errechnet werden: m^T

- Tt) + r j = mH • rH

mit

rH = f(pH)

(3,72)

Für die Verdampfung von Ethylalkohol bei p = 9,81 • 104 Pa, k = 1,00 kJ/ m • s • K, rhx = 1 kg/s, D = 1 m,T1 = 20°C ergab sich Abb. 3.48. Aus der 2

107

Kessel mit dampfbeheiztem Mantel

Darstellung a) erkennt man ' schon, daß durch die Addition beider Werte ein Minimum entstehen wird. Die Darstellung b) zeigt, daß Wert und Lage dieses Minimums von der Relation zwischen den Apparate- und Dampfkosten abhängen. Steigen die Dampfkosten relativ zu den Apparatekosten an, so ist es ökonomisch richtig, nur Dampf niederen Druckes einzusetzen und dafür einen etwas höheren Kessel zu bauen.

0,5

0,5

1,0 PH

1.0

1,5 MPo 2,0 '

1,5 MPa 2,0

Abb. 3.48. Bestimmung des optimalen Druckes für den Heizdampf

PH

3.7.6. Anwendung des dynamischen Modells Mit Hilfe des dynamischen Modells kann der zeitliche Verlauf der Ausgangsgrößen in Abhängigkeit von Veränderungen der Eingangsgrößen, also auch das Übergangsverhalten zwischen zwei stationären Zuständen, angegeben werden. Ein dynamisches Modell enthält grundsätzlich Differentialgleichungen, und es ist ein entsprechender Lösungsalgorithmus erforderlich, Abb. 3.47. Abbildung 3.49 zeigt das dynamische Verhalten dieses Kessels. Jeweils von einem stationären Zustand ausgehend, wurde zur Zeit t — 0 bei a) die Eintrittstemperatur Tu sprungförmig von 20 °C auf 40 °C und bei b) der Ventilbeiwert von 0,010 auf 0,015 erhöht. Aus diesen Ergebnissen erkennt man das Übergangsverhalten und auch die Tatsache, daß das Modell das Verhalten des realen Objektes richtig widerspiegelt. Auf eine Erhöhung der Eingangstemperatur folgt eine Senkung der stationären Höhe, weil jetzt eine kleinere Wärmeübergangsfläche ausreicht, um mx zu verdampfen. Demzufolge ändern

108

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

sich mF und mB. Öffnet man das Ventil weiter, wie es einer Erhöhung des Ventilbeiwertes entspricht, so sinkt der Druck im Kessel und damit die Siedetemperatur. Die weiteren Konsequenzen sind in der Darstellung b) zu erkennen. 1,60

a: 1,58

10

Ol

t

990

b

980

mF(t)

£

u. 985 E 980 0,01

0,02

0,03 t in h

0,04

0,05

Abb. 3.49. Bestimmung des dynamischen Verhaltens des dampfbeheizten Kessels

3.8. Beispiel 2: Prozeßanalyse einer R e f o r m i n g a n l a g e 3.8.1. Beschreibung

des

Verfahrens

In diesem Beispiel wird ein vollständiges technologisches Verfahren untersucht. Das Ziel der Untersuchung war, durch eine Prozeßanalyse ein Modell zu erarbeiten, das die Optimierung der stationären Betriebszustände erlaubt. Dafür sollte sowohl der analytische als auch der experimentell-statistische Weg der Modèllierung verfolgt werden. Anschließend war eine für die optimale Steuerung geeignete Modellvariante auszuwählen. Das Objekt der Untersuchung ist der Reformierungsteil einer Reforminganlage eines Erdölverarbeitungswerkes. Aufgabe der Reforminganlage ist es, die Oktanzahl des aus der Rohöldestillation über die Raffination kommenden Rohbenzins durch Aromatisierung, Spaltung und Isomerisierung der niedrigoktanigen Kohlenwasserstoffe zu erhöhen. Gleichzeitig liefert sie Wasserstoff-

Prozeßanalyse einer Reforminganlage

109

reiches Überschußgas und Entspannungsgas über die Gaszerlegung an die Düngemittelfabrik des Werkes. Das flüssige Raffinat mit dem Massenstrom TOI wird durch die. Einspritzpumpe EP in den Kreislaufgasstrom vKG eingespritzt. In den Wärmeübertragern wird das Gemisch auf etwa 400 °C erwärmt und gelangt dann in den Vorheizer F l , in dem die Temperatur soweit erhöht wird, daß die Eingangstemperatur für den ersten Reaktor R\ je nach Fahrweise etwa 480 bis 510°C beträgt, Abb. 3.50. Um die durch die Endothermie der Reaktionen auftretende

Abb. 3.50. Technologisches Schema der Reforming

Abkühlung auszugleichen, sind vor den nächsten Reaktoren die Öfen F2 bis V4 vorgesehen. Die Reaktoren enthalten einen Platin-Tonerde-Katalysator, der wegen der Kohlenstoffablagerungen an der Oberfläche und der damit verbundenen Aktivitätsverminderung in Abständen von etwa drei Monaten durch Abbrennen regeneriert wird. Nach dem letzten Reaktor gibt der heiße Strom einen Teil seiner Wärme in den Wärmeübertragern W ab, wird anschließend in den Kühlern X auf etwa 25 bis 30 °C gebracht und gelangt in das Abstreifergefäß A. Hier trennt sich das stark wasserstoffhaltige Kreislaufgas von der Flüssigkeit, es gelangt über die Gasumlaufpumpe OP wieder an den Anfang der Anlage oder wird teilweise, da bei einigen Reaktionen Wasserstoff frei wird, auch als Überschußgas abgegeben. Im Entspannungsgefäß E wird das Entspannungsgas, das vor allem niedere Kohlenwasserstoffe enthält, abgetrennt, und das unstabilisierte Reformat verläßt die Anlage.

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

110

3.8.2. Ziel-

und

Einflußgrößen

Von den Ausgangsgrößen interessieren folgende für Zielfunktion und Nebenbedingungen : 1. 2. 3. 4. 5.

Oktanzahl des Reformates MOZ Aromatengehalt des Reformates A Flüssigausbeute (Reformatmassenstrom/Raffinatmassenstrom m2/™i) Siedelage des Reformates Überschußgas volumenstrom vffG Zur Ermittlung der Massenbilanz sind außerdem erforderlich

6. Uberschußgasdichte qkg 7. Entspannungsgasvolumenstrom vEG 8. Entspannungsgasdichte gEG Auf den Prozeß wirken folgende Eingangsgrößen, und zwar als Stellgrößen : 1. 2. 3. 4.

Reaktionstemperatur 0 Eingangsmassenstrom m, Kreislaufgasvolumenstrom v KG Druck p

und als Störgrößen 5. Qualität des Eingangsproduktes 6. Katalysatoraktivität Aus diesen Eingangsgrößen wurden einige abgeleitete Einflußgrößen gebildet, und zwar:

als Einflußgröße für die Reaktionstemperatur (T R l , M,lMg tur und Katalysatoranteil im ¿-ten Reaktor)

Eintrittstempera-

Bk = - P ~

(3-74)

* Kat.

als spezifische Kontaktbelastung und das Kreislaufgasverhältnis Vkg

= Vkg m l jQ l

Da der Eingangsaromatengehalt nicht häufig genug gemessen wird, wurde die Eingangsqualität durch die Siedegrenzen tSB und tSE charakterisiert.

Prozeßanalyse einer Reforminganlage

111

Zur Berücksichtigung der jeweiligen Kontaktaktivität wurde die Kontaktlaufzeit r in Tagen seit der letzten Regeneration aufgenommen, da die aktuelle Kontaktaktivität nicht meßbar war. Da die Heizöl-, Kühlwasser- und Elektroenergieverbrauche nicht erfaßt wurden, wurde eine dem maximalen Gewinn sehr nahe kommende und leichter zu handhabende Zielfunktion definiert: Es wird ein vorgegebener Reformatmassenstrom rh2 mit einer Oktanzahl MOZ 2g (MOZ)j und ein Überschußgasvolumenstrom von vtjK {vffG)1 für die Versorgung der nachgeschalteten Anlagen gefordert. Gesucht sind die Werte der Stellgrößen für den kleinstmöglichen Eingangsmassenstrom m u das entspricht der Forderung nach höchster Ausbeute. Außerdem sind die anlagentechnischen Grenzen für alle Temperaturen, Drücke und Förderpumpen sowie die Eingangsqualität und der gegenwärtige Katalysatorzustand zu berücksichtigen. 3.8.3. Analytische

Modellierung

Die analytische Modellierung dieses Objektes führt zu einem komplizierten Gleichungssystem. Stellt man für jeden Apparat ein mathematisches Modell auf, so erhält man ein für den Einsatzzweck viel zu kompliziertes Gleichungssystem. Auf Grund der Besonderheiten der Zielfunktion und der Signifikanz der Elemente brauchen für ein Steuerungsmodell in diesem Fall praktisch nur die Stoffwandlung in den Reaktoren und die Trennung der Reaktionsprodukte im Abscheide- und Entspannungsgefäß modelliert zu werden. Damit konnten begründet wesentliche Vereinfachungen eingeführt werden. Im weiteren wird die Modellierung der Reaktoren betrachtet.

Abb. 3.51. Kinetisches Modell des Reformingprozesses

112

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

Für die mathematische Beschreibung eines Reaktors muß zunächst der Reaktionsmechanismus geklärt werden. Dafür wurde das in Abb. 3.51 gezeigte kinetische Modell genommen, das schon wesentliche Vereinfachungen enthält. Ähnlich werden die anderen Gleichungen für das reaktionskinetische Modell abgeleitet. Erdölprodukte und -fraktionen sind ausgesprochene Vielstoffgemische. Man erhält n 1 Differentialgleichungen für die Änderungen der Konzentrationen aller n Komponenten und der Temperatur in einem Volumenelement. Hier ist es für die Modellvereinfachung unbedingt erforderlich, sogenannte Pseudokomponenten einzuführen, damit die Variablen zusammenzufassen und die Zahl der Gleichungen zu reduzieren. Für die Berechnung der Reaktoren ist dann über alle Volumenelemente eines Reaktors und unter Berücksichtigung der Zwischenaufheizung über alle Reaktoren zu integrieren. Rohrreaktoren mit Festbettkatalysator erfüllen die Annahmen für die ideale Pfropfenströmung meist so gut, daß sie durch eindimensionale räumliche Gradienten hinreichend beschrieben werden können. Mehrdimensionale Verteilungen erfordern meist unvertretbaren mathematischen und rechentechnischen Aufwand ohne höhere Genauigkeit zu bringen. Abbildung 3.52 zeigt einen Ablaufplan für die Berechnung eines Systems von Rohrreaktoren mit Zwischenaufheizung. Mit Hilfe dieses Programms wurden die in Abb. 3.53 dargestellten Verläufe der Änderung des Aromatengehaltes in Reformat ermittelt. Eine Integration über den Reaktorblock dauerte bei 6 ¡xs Zykluszeit des Prozeßrechners etwa 20 Minuten. Für eine Optimierung mit z. B. 30 Suchschritten, und häufig sind mehr erforderlich, würden also zehn Stunden Rechenzeit benötigt. Für die Führung des Prozesses muß das Ergebnis erheblich schneller vorliegen. Insgesamt ständen der analytischen Beschreibung des konkreten Prozesses und besonders der Anwendung des Modells für. die optimale Steuerung des Prozesses folgende Schwierigkeiten entgegen: — Der Reaktionsmechanismus ist nicht hinreichend bekannt. — Es ist eine große Vielzahl von Reaktionskomponenten komplizierter Isomeren beteiligt.

einschließlich

— Schon für relativ einfache Reaktionsmechanismen erreicht man die Grenzen der Analysentechnik. — Die Vorgänge in Katalysatoren sind auch durch komplizierte Diffusionsund Porenmodelle nur angenähert zu beschreiben. — Der Aktivitätsabfall des Katalysators ist in jeder Laufzeit anders und reaktionskinetisch nicht erfaßbar. — Die Entnahme von Proben über der Länge der Reaktoren ist nicht möglich und zwischen den einzelnen Reaktoren aufwendig, kompliziert und ungenau. Damit verbleiben für die Anpassung der Koeffizienten nur Meßwerte für die Zusammensetzung der Ausgangsprodukte und das Temperaturprofil. — Das kinetische Modell liefert Molzahlen und nicht die technologisch interessierenden Größen. Es sind Modelle für die Teilkondensation, die Trennung

Prozeßanalyse einer Reforminganlage

113

der Phasen und die Abhängigkeit der Oktanzahl von den Konzentrationen erforderlich. Diese Modelle sind aufwendig und mit Unsicherheiten verbunden. — Es sind sehr große Rechenzeiten sowohl für die Parameterbestimmung als auch für die Nutzung des Modells erforderlich. Aus diesen Gründen wurde auch ein experimentell-statistisches Modell erarbeitet. Die analytischen Untersuchungen konnten dann zum Vergleich dieses Modells mit der Theorie genutzt werden.

(

START.

)

I

¡ '-o

I

Einführung

der Einlaufmenge

I Volumen

QJ "ö 3 C Cü "o 5 s. o» o» o 2 erfüllt, d. h., die statistische Sicherheit der KoeffizienTabelle 3.21 Ergebnisse der linearen Regression für den Aromatenanteil XQ

i 1 2 3 4 5 6 n! 8

A

Ohne Reduktion 8R = 0,026 B = 0,826 B* = 0,821

xi

B,i

h

&

0,828 0,518 0,739 0,787 0,615 0,278 0,294 0,429

+ 18,0 +8,8 -9,3 -4,3 -13,4 + 10,1 +2,1 -5,4

Ps "KG

VKG

Bk hu hs X

Reihenfolge ^ der Reduktionen

t{

Nr.

2

1

-3,8

-

+2,1

Reduktion bis | 5. Aus Vorzeichen und Betrag von erkennt man die Wirkung der ¿-ten Einflußgrößen auf die Zielgröße. So besagt z. B . bl = 0,0050 K 1 , daß für 10 K Temperaturerhöhung der Aromatengehalt um 0,05 steigt. Steigende Werte von Kreislaufgas Verhältnis, Kontaktbelastung und Kontaktlaufzeit vermindern den Aromatengehalt. Von diesen acht Einflußgrößen, der Analyse der Abweichungen, den Prozeßkenntnissen und theoretischen Überlegungen ausgehend, wurde der in Tab. 3.22 angegebene nichtlineare Ansatz aufgestellt und durchgerechnet. Durch die nichtlinearen Ausdrücke konnte das Bestimmtheitsmaß von B = 0,81 auf B = 0,90 verbessert werden, die Reststreuung ging von sR = 0,027 auf 8*

116

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

sR = 0,020 zurück und liegt damit schon in der Nähe des Streubereiches der Meßwerte. Eine weitere wesentliche Verbesserung ist also nicht mehr zu erwarten. Tabelle 3.22 Ergebnisse der nichtlinearen Regression für den Aromatenanteil

i 0 1 & 2 V 3 VKG

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

YKG

BK T$R X

VIVkg &/T 2

P

VKG

Bk2

T

VKG • T VKG-

YKG

ohne Reduktion «Ä = 0,0199 B = 0,901 B* = 0,895

Reihenfolge der Reduktionen

Reduktion bis \t{ \ sR = 0,0200 B = 0,898 B* = 0,894

Bu

h

Nr.

h

bt

0,921 0,997 0,989 0,995 0,985 0,365 0,489 0,968 0,923 0,717 0,997 0,990 0,983 0,967 0,958

+ 13,7 +5,2 -1,6 -0,7 -3,4 + 12,0 + 4,1 + 2,8 + 4,3 + 6,6 -4,4 + 0,2 +0,4 -8,8 + 7,7

+ 26,0 + 6,8 -3,5

+ 2,471 + 0,0046 +0,029 -0,000033

*

*

0,991

+0,1

mit i,

-2,7

4

2 3

r

-15,0 + 12,3 + 3,9 + 2,9 + 5,3 + 8,0 -5,9

-0,061 +0,0015 +0,00058 +0,00068 + 0,096 + 0,00040 -0,00047

+ 0,2

*

*

+0,4

*

*

-9,7 + 9,0 1

2,8

+ 0,1

*

-0,000024 +0,00000086 *

Drei Reduktionsschritte waren nötig, um die Bedingung \t,\ 2 zu erfüllen Führt man einen weiteren Reduktionsschritt durch, so verändert sich B nicht und die Kreislaufg^sdichte ist vollkommen reduziert Die so erhaltene Form der Gleichung soll für äie weiteren Betrachtungen herangezogen werden. Die Gleichung ist in den Diagrammen der Abb. 3.54 ausgewertet, dabei ist je eine Einflußgröße variiert und eine Kurvenschar für unterschiedliche Werte der Kontaktlaufzeit r (bzw. des Kreislaufgasverhältnisses VKG ) angegeben. Die anderen Einflußgrößen sind jeweils konstant gehalten, und zwar mit den Werten, die durch strichpunktierte senkrechte' Linien gekennzeichnet sind. In den Diagrammen sind einige Meßwerte eingetragen, um die Übereinstimmung von Meß- und Rechen wert zu zeigen.

X

0,2 1,6

,

m °c 5oo Temperatur 8

20

30 at Druck

UO

0,5 r

0,3

0,2 500 1000 1500 2000 Kreislaufgasverhältnis

60 0,7 0,6

80 °C 100 Siedebeginn Raffinat

0,5

120

91

1,5 m Wh 2,5 Kontaktbelastung

160 °C 200 Siedeende Raffinat • t« Sd * t'30'd « t=60d x t=90d

0,5 OA 0,3 0,2

Abb. 3.54. Ergebnisse des experimen tell-statistischen Modells der Refor ming

0,1 30 60 SO d 120 Kontaktlauheit

118

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

Einen vollständigen Vergleich der gemessenen und rechnerischen Werte aller benutzten Wertesätze zeigt Abb. 3.55. Man erkennt die eindeutige Häufung der Werte zwischen wobei sR praktisch gleich der Analysengenauigkeit ist. Die gemessenen Werte überdecken den Bereich von 0,20 bis 0,50. • 0,50

w S

y

0,U5

A

••w

0,1*0

S.V*

s -a ¡»¡n^/ y- s-'-s / •

c

I

0,35

E I

0,30

/

•

¿

y

/

/

/ / / "• 'y.hV '/ .

Abb. 3.55. Abweichungen zwischen Meßwert und Rechenwert bei der nichtlinearen Regression für den Aromatenanteil

€ / y-

0,25

0,22

i 0,25

0,30

0,35

OfiO

• Aromatenanteil,

3.8.5.

Vergleich

der Ergebnisse

Q45

0,50

gemessen

mit der

Praxis

Den Betriebsingenieuren ist die Wirkungsrichtung und teilweise auch die Größenordnung der Auswirkung einer Eingangsgrößenänderung auf die Zielgröße bekannt. Diese Kenntnisse müssen mit den Ergebnissen der Regression verglichen werden. Im Fall der linearen Regression können direkt die Koeffizienten bi für diesen Vergleich herangezogen werden. Bei nichtlinearen Regressionen zeigt nicht der einzelne Koeffizient bi, sondern die partielle Ableitung der Gleichung nach X{ den vollständigen Einfluß von Zum Beispiel zeigt der partielle Differentialquotient M

89

= + 0 , 0 0 4 6 + 0,096 - J — + 0,00040 —, VKG

x

daß sich eine Temperaturerhöhung stets, unabhängig von allen anderen Werten, positiv auf die Aromatenbildung auswirkt, und zwar steigt die Ausbeute an Aromaten linear mit 0, Kopplungen bestehen mit VKG und r, Abb. 3.56. Diese und alle weiteren Vergleiche bestätigen die hinreichende Übereinstimmung zwischen dem Betriebsverhalten und dem statistischen Modell im Rahmen der Meß- und Analysengenauigkeit.

119

P r o z e ß a n a l y s e einer R e f o r m i n g a n l a g e

3.8.6. Vergleich

der Ergebnisse

mit der

Theorie

Mit Hilfe des analytischen Modells wurde in Abb. 3.53 die Veränderung des Aromatenanteils über vier Eingangsgrößen dargestellt. Auf den vier Abszissen ist der durch das Datenmaterial erfaßte Bereich durch Schraffur hervorgehoben. Man erkennt: Die Reaktionstemperatur hat einen nichtlinearen Einfluß, der jedoch innerhalb des erfaßten Bereiches gut linear angenähert werden kann. Die Abweichungen sind kleiner als die Analysengenauigkeit. Der Einfluß des Druckes hat ein Maximum; so daß auch der Druck in der nichtlinearen Regression richtig erfaßt wird. Die Tendenz für den Einfluß des Kreislaufgäsverhältnisses bestätigt den Verlauf aus den nichtlinearen Regressionen für r < 50 d. Der Wiederanstieg der Kurven in Abb. 3.54c für große Werte von VKG und r hängt mit der Wechselwirkung zwischen Wasserstoffpartialdruck und Koksablagerung zusammen. Die Kontaktbelastung hat in Abb. 3.53 einen stark nichtlinearen Einfluß. Nähert man den erfaßten Bereich linear an, so ist die Abweichung etwa so groß wie die Analysengenauigkeit, dadurch ist auch die Reduktion des Gliedes mit BK 2 in der nichtlinearen Regression geklärt. Bei steigendem Siedebeginn und Siedeende hat das Eingangsprodukt einen höheren Naphthenanteil, damit steigt der Naphthenpartialdruck und auch die Aromatenbildurig, also werden auch hier die Ergebnisse der Regression bestätigt. 3.8.7.

Optimierung

Die Zielfunktion wurde schon bei den Ziel- und Einflußgrößen definiert. Neben dem mathematischen Modell und der Zielfunktion spielen die Grenzen bei der Optimierung eine wesentliche Rolle. Durch die Grenzen werden die

120

Analyse und Modellierung stoffwirtschaftlicher Verfahren

anlagentechnischen Gegebenheiten (wie z. B. minimaler und maximaler Pumpendurchsatz, maximale Temperatur aus Werkstoff- oder Ofengründen usw.) sowie die Forderungen, der Betriebleitung (Qualitäten, Mengen usw.) berücksichtigt. Eine unbegrenzte Optimierung hat für die Steuerung von Prozessen keine Bedeutung. Wird nur eine bestimmte Oktanzahl oder nur ein gewisser Überschußgasstrom gefordert, so gibt es unter Ausnutzung der Nebenbedingung m2 = const eine analytische Lösungsmöglichkeit, da man die Nebenbedingung zum Eliminieren einer Variablen ausnutzen kann. Bestehen jedoch, wie in der Praxis, beide Forderungen gleichzeitig, so müssen die Gradientenmethoden oder ein entsprechendes anderes Verfahren benutzt werden. Durch die vielen Einflußgrößen ist das Problem mehrdimensional. Zur Veranschaulichung werden hier zwei Einflußgrößen ausgewählt und alle anderen Bedingungen konstant gehalten, Abb. 3.57. Es ist ein Netz aus Linien konstanter Ausbeute und konstanten Reformatvolumenstromes in Abhängigkeit von der Temperaturfunktion und der Kontaktbelastung aufgetragen. Außerdem sind die schon beschriebenen Forderungen und Grenzen eingezeichnet. Fordert man unter diesen Bedingungen einen Ausgangsvolumenstrom v 2i = 35 m3/h, so liefert die Optimierung den Punkt A als Optimum mit der größtmöglichen Ausbeute. Dies ist hier zufällig der Schnittpunkt der Oktanzahl- und der Überschußgasgrenze, also gilt MOZ = (MOZ)i und vffC = (¿¡?g)i- Fordert man

lemperaturtunktion 0 Abb. 3.57. Optimierung in der Ebene von zwei Einflußgrößen

Prozeßanalyse einer Reforminganlage

121

¿26 = 40 m 3 /h, so liegt das Optimum in