Regelungstechnik fur Ingenieure: Analyse, Simulation und Entwurf von Regelkreisen, 13. Auflage 3834809004, 9783834809001

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Serge Zacher

I Manfred Reuter

Regelungstechnik für Ingenieure

"Klassische Regelungstechnik in Verbindung mit intelligenter Regelung'" optimal für . V I I" meme or esungen. Prof. Dr.-Ing. E. Schneider, FH Rosenheim

"Stoffauswahl entspricht voll meinen Vorstellungen. Darstellung des Stoffes ist, wie

schon in den vorhergehenden Auflagen, besonders für Studierende geeignet. Dieses lehrbuch beinhaltet alles, was zum Verständnis der Regelungstechnik erforderlich ist."

Prof. Dr. -Ing. Helmut Bode, HTW Dresden

"Die Aufnahme der sog. Hinweise zur Zustandsregelung für zeitkontinuierliche Systeme in den Anhang verleiht diesem lehrbuch einen weiterem Aspekt zum Universallehrbuch der Regelungstechnik. Dieses lehrbuch ist m. E. das beste praxisorientierte Buch auf dem Gebiet der Regelungstechnik, geeignet für Fachschulen u. Berufsakademien.lch habe es in bei den Schularten seit 1992 eingesetzt." Dipl. -Ing. Wolfgang Hoyer

"Klare und verständliche Darstellung des Themas, gut geeignet für BachelorStudierende und auch zum Selbststudium." Professor Dr.-Ing. Stefan Raber

"Übersichtliche Gliederung, verständliche Erläuterungen mit guten praxisnahen Beispielen, Formelzeichenverzeichnis und ausführlicher Anhang mit übersichtlichen Tabellen ...ein wirklich exzellentes Lehrbuch für Ingenieure." Dr.-Ing. B. Klug, TU Cottbus

"Sehr gute Erklärung der Inhalte, sehr gut aufgemacht, kann man jedem Studierenden zusammen mit dem Übungsbuch als das Lehrbuch für Regelungstechnik empfehlen!"

www.viewegteubner.de

Professor Dr.-Ing. Günther Kastner, HS Weingarten

--.

Serge Zacher

I Manfred Reuter

Regelungstechnik für Ingenieure Analyse, Simulation und Entwurf von Regelkreisen 13., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 397 Abbildungen, 96 Beispielen und 32 Aufgaben STUDIUM

11 VIEWEG+

TEUBNER

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1972 2., durchgesehene Auflage 1975 3 Nachdrucke 3., neubearbeitete Auflage 1981 4., durchgesehene Auflage 1983 5., überarbeitete und erweiterte Auflage 1986 6., durchgesehene Auflage 1988 7., überarbeitete und erweiterte Auflage 1989 8., verbesserte Auflage 1991 Nachdruck 1992 9., überarbeitete und erweiterte Auflage 1994 10., vollständig neubearbeitete Auflage 2002 11., korrigierte Auflage 2004 12., korrigierte und erweiterte Auflage 2008 13., überarbeitete und erweiterte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag Lektorat: Reinhard

I Springer Fachmedien Wiesbaden Dapper I Walburga Himmel

GmbH 2011

Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0900-1

v Vorwort zur 1. Auflage

Das vorliegende Buch stellt eine Einführung in die Grundlagen der Regelungstechnik unter besonderer Berücksichtigung der Laplace-Transformation dar und ist für Studenten an Fachhochschulen gedacht. Die zum Teil sehr ausführliche Darstellung soll, wenn nötig, auch ein selbständiges Einarbeiten in das Stoffgebiet ermöglichen. Zur Untersuchung der einzelnen Regelkreisglieder werden die klassischen Methoden wie: Differentialgleichung, Sprungantwort, Frequenzgang, Ortskurve und BodeDiagramm angewandt. Diese sind die Voraussetzung für die in der modernen Regelungstheorie benutzten Verfahren der z-Transformation und der Betrachtung im Zustandsraum. Nach der Einführung der Grundbegriffe der Steuerung und Regelung in Kapitell, wird in Kapitel 2 die mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder erörtert. Ausgehend vom Zeitverhalten der Grundtypen von Regelkreisgliedern in Kapitel 3, werden in Kapitel 4 die Regelstrecken ausführlich behandelt. Für jede Streckenart werden sowohl elektrische als auch für den Maschinenbauer geeignete Beispiele durchgerechnet. Zur Ermittlung des charakteristischen Verlaufs der einzelnen Sprungantworten wird abwechselnd je ein Beispiel nach der klassischen und eines mittels Laplace-Transformation gelöst. Bei der Behandlung der Regeleinrichtungen (Kapitel 5) wird gleichzeitig deren typisches Verhalten an einfachen Regelstrecken untersucht. Über den Störfrequenzgang und die entsprechende Differentialgleichung werden deren Vor-und Nachteile, z. B. der Einfluß der einzelnen Reglerparameter auf die bleibende Regelabweichung und die Dämpfung aufgezeigt. Die für den Regelungstechniker wichtige Darstellung im Bode-Diagramm ist in Kapitel 6 zusammengefaßt. Zur Stabilitätsbetrachtung von Regelkreisen (Kapitel 7) werden die Kriterien von Hurwitz, Nyquist, die Behandlung im Bode-Diagramm und das Zweiortskurvenverfahren abgeleitet und an Beispielen ausführlich erläutert. Das Zweiortskurvenverfahren dient ferner der Behandlung von Nichtlinearitäten mittels der Methode der harmonischen Balance in Kapitel 9. Für verschiedene Nichtlinearitäten werden die Beschreibungsfunktionen abgeleitet. Anschließend werden in Kapitel 10 Zwei- und Dreipunktregler ohne und mit Rückführung erläutert. Das abschließende Kapitel 11 behandelt kurz die Wirkungsweise des Analogrechners. Ferner wird auf die Programmierung der wichtigsten Regler und Regelstrecken eingegangen. Den Anhang (Kapitel 12) bilden eine kurzgefaßte Ableitung der Laplace-Transformation sowie zusammenfassende Tabellen. Zum Schluß möchte ich mich bei meinen Kollegen, den Herren Dipl.-Ing. E. Böhmer, Dipl.-Ing, W. Mengel und Dr.-Ing. W. Zimmermann bedanken, die mir durch Ratschläge und Anregungen geholfen haben. Ferner danke ich dem Verlag Friedr. Vieweg & Sohn und seinen Mitarbeitern, insbesondere Herrn A. Schubert für die stets gute Zusammenarbeit. Siegen, im Januar 1972

Man/red Reuter

VI

Vorwort zur 13. Auflage

"Seit vier Jahrzehnten leistet Reuter seinen wesentlichen Beitrag zur Ausbildung von Diplom-Ingenieuren im Bereich Regelungstechnik. .. Zum Buch greifen Studenten, wenn ein Problem bei der Diplomarbeit entsteht, Ingenieure von renommierten Autoherstellern verwenden es zur Lösung von betrieblichen Aufgabenstellungen." schrieb ich im März 2008 im Vorwort zur 12. Auflage. Das war meine dritte Auflage, die ich seit 2002 aktualisiert habe, und ich hatte damals keine Absicht, noch eine weitere Auflage zu verfassen. Viel mehr konzentrierte ich mich an "Übungsbuch Regelungstechnik", das in diesem Jahr als 4. Auflage im Verlag Vieweg+Teubner erschien. Jedoch die durchaus positiven Meinungen von mehr als hundert Rezensenten und die Nachfrage seitens Studenten führte dazu, dass das Buch sehr schnell vom Verlagslager verschwand. Der Verlag stellte mich vor ein Dilemma: Das Buch für das kommende Semester unverändert weiter drucken oder wieder, wie damals im Jahre 2002, gründlich überarbeiten. Gerade zu dieser Zeit kam die Buchbewertung einer KolleginProfessorin, die keine Wahl zu Überlegungen ließ: "Sehr gute Herangehensweise durch ausführliche mathematische, nachvollziehbare Grundlagen, viele praxisnahe Beispiele zur Veranschaulichung der Materie, geeignete Matlab-Beispiele zur Verwendung in meiner Vorlesung, sehr breites Spektrum (lineare-nichtlineare Regelungstechnik), Reglerauslegung (praktisch-analytisch) und trotzdem sehr kompaktes Buch." Also haben wir uns mit dem Verlag auf eine Kompromisslösung geeinigt, die nun in der vorliegenden 13. Auflage stattgefunden hat, nämlich: • Die grundlegenden Kapitel der Regelungstechnik, die keine Änderungen in den letzten zehn Jahren erwiesen haben, sind unverändert gehalten. Die Ausnahme sind einige veraltete Beispiele und Methoden wie Amplituden- und Phasenlineal (Seiten 159-163) sowie die Seiten 272-274, 299-300, 304-305, 308-309 der vorherigen Auflage, die aktualisiert oder aus dem Buch herausgenommen wurden. All diese Seiten stehen als pdf-Dateien im OnlinePlus-Bereich des Verlags zum Download zur Verfügung. • Die modernen Teile des Buches sind vollständig überarbeitet. Das sind die digitale Regelung (Kapitel 11) sowie die modellbasierte und wissensbasierte Regelung (Kapitel 12). Es entstanden zwei neue Kapitel: Die Zustandsregelung (Kapitel 13) und die Grundlagen der Regelkreisanalyse mit MATLAB (Kapitel 14) . • Das Kapitel 12 "Intelligente Regelung" ist mit neuen Beispielen der prädiktiven und adaptiven Regelungen ergänzt. Der Leser findet im Buch wieder das kleine deutsch-englische Fachwörterbuch und das englisch-deutsche Formelzeichenverzeichnis sowie die aktualisierte Literaturliste. Besonderer Dank für die freundliche Atmosphäre, Unterstützung und jederzeit konstruktive Zusammenarbeit gilt den beteiligten Mitarbeitern des Vieweg+Teubner Verlags, insbesondere Herrn Ewald Schmitt und Herrn Reinhard Dapper. Wiesbaden, im August 2010

Serge Zacher

VII

Inhaltsverzeichnis

Formelzeichen 1

Einleitung (von M. Reuter und S. Zacher) 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

2

Mathematische Behandlung von Regelkreisen (von M. Reuter) 2.1 2.2 2.3

2.4

2.5 2.6

3

Das Prinzip der Regelung Darstellung im Wirkungsplan Gerätetechnische Ausführung eines Regelkreises Das Prinzip der Steuerung Beispiele für einfache Regelkreise Beispiele für vermaschte Regelkreise

XIII

1 3 5 7 8 9 12 15

Beharrungszustand und Zeitverhalten eines Regelkreisgliedes 15 Das Aufstellen der Diffenrentialgleichung 17 Lösung der Differentialgleichung 19 2.3.1 Spezielle Eingangsfunktionen 19 2.3.2 Lösung der Differentialgleichung bei sprunghafter Verstellung der 21 Eingangsgröße 2.3.3 Lösung der Differentialgleichung durch Trennen der Veränderlichen 22 23 2.3.4 Lösung der Differentialgleichung durch geeigneten Ansatz 2.3.5 Lösung mittels Laplace-Transformation. Die Übertragungfunktion .. 25 2.3.6 Lösung der Differentialgleichung bei sinusförmiger Eingangsgröße .30 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich 34 2.4.1 Der Frequenzgang 34 2.4.2 Die Ortskurve 36 39 2.4.3 Beziehung zwischen Ortskurve und Sprungantwort 2.4.4 Das Bode-Diagramm 41 Beschreibung von Regelkreisen mit Übertragungsfunktionen .42 2.5.1 Verbindungsmöglichkeiten von Regelkreisgliedern .42 Behandlung des statischen Verhaltens .44 2.6.1 Statische Kennlinien 45 2.6.2 Statischer Regelfaktor 47 2.6.3 Linearisierung mit analytischen Verfahren .48 2.6.4 Linearisierung mit grafischen Verfahren 50

Regelstrecke (von M. Reuter)

51

3.1 3.2

53 53

P-Strecken ohne Verzögerung P-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung

VIII 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

4

P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung 59 Strecken höherer Ordnung 70 Schwingungsfähige P-Strecken 2. Ordnung 75 I-Strecken ohne Verzögerung 83 86 I-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung Strecken mit Totzeit T t ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 92 Regelstrecken mit Totzeit und Verzögerung 1. Ordnung 96

Regeleinrichtungen (von M. Reuter) 4.1 4.2

4.3

5

Inhaltsverzeichnis

Elektronische Regler mittels Operationsverstärker Führungs- und Störverhalten des geschlossenen Regelkreises 4.2.1 Führungsübertragungsfunktion 4.2.2 Störübertragungsfunktion Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen 4.3.1 P-Regeleinrichtung 4.3.1.1 P-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-TI-Strecke 4.3.2 I-Regeleinrichtung 4.3.2.1 I-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-Tj-Strecke 4.3.2.2 I-Regeleinrichtung zur Regelung einer I-Strecke 4.3.3 PI-Regeleinrichtung 4.3.3.1 PI-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-Tj-Strecke 4.3.3.2 PI-Regeleinrichtung zur Regelung einer I-Strecke 4.3.4 D-Verhalten 4.3.5 PD-Regeleinrichtung 4.3.5.1 PD-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-T2-Strecke 4.3.6 PID-Regeleinrichtung 4.3.6.1 PID-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-T2-Strecke

99 101 104 104 106 106 106 108 112 l14 117 118 120 124 125 127 131 135 140

Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren (von M. Reuter)

143

5.1

Bode-Diagramme einfacher Frequenzgänge

143

5.1.1 Bode-Diagramm eines Po-Gliedes 5.1.2 Bode-Diagramm eines I-Gliedes 5.1.3 Bode-Diagramm eines D-Gliedes 5.1.4 Bode-Diagramm eines P-Gliedes mit Verzögerung 1. Ordnung 5.1.5 Bode-Diagramm eines PI-Gliedes 5.1.6 Bode-Diagramm eines PD-Gliedes 5.1.7 Bode-Diagramm eines P-T2-Gliedes Darstellung in Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm 5.2.1 Konstruktion des Bode-Diagramms mittels Einzelfrequenzgängen 5.2.2 Konstruktion mittels Asymptoten (aktualisiert von S. Zacher) Numerische Berechnung des Bode-Diagramms

144 144 146 147 148 150 152 153 153 156 163

5.2

5.3

Inhaltsverzeichnis

IX

6

Stabilitätskriterien (von M. Reuter)

167

6.1 6.2

168 174

6.3

6.4

7

8

Stabilitätskriterium nach Hurwitz Stabilitätskriterium nach Nyquist 6.2.1 Graphische Ermittlung der Ortskurve bei gegebener PolNullstellenverteilung 6.2.2 Ableitung des Nyquist-Kriteriums 6.2.3 Anwendung des Nyquist-Kriteriums Stabilitätsuntersuchung nach Nyquist im Bode-Diagramm 6.3.1 Vereinfachtes Nyquist-Kriterium 6.3.2 Stabilitätsgüte und Phasenrand Stabilitätsuntersuchung mittels Zweiortskurvenverfahren 6.4.1 Konstruktion der negativ inversen Ortskurve der Strecke

175 178 180 185 190 191 195 197

Das Wurzelortskurvenverfahren (von M. Reuter)

201

7.1 7.2

Analytische Berechnung der Wurzelortskurve Geometrische Eigenschaften von Wurzelortskurven

203 213

Entwurf von linearen Regelkreisen (von S. Zacher)

221

8.1 8.2

221 224 224 228 233 236 236 238 243 243 245 248 251 251 252 254 256 258 258 261 262 265 265

8.3 8.4

8.5

8.6

8.7

Gütekriterien des Zeitverhaltens Praktische Einstellregeln 8.2.1 Grob approximierte Strecke 8.2.2 Fein approximierte Strecke Integralkriterien Einstellregeln im Frequenzbereich 8.4.1 Betragsoptimum 8.4.2 Symmetrisches Optimum Entwurf von Regelkreisen mit instabilen Strecken 8.5.1 Instabile P-T]-Glieder 8.5.2 Instabile P-T2-Glieder 8.5.3 Beispiele von instabilen Regelstrecken Vermaschte Regelung 8.6.1 Regelung mit Hilfsregelgrößen 8.6.2 Kaskadenregelung 8.6.3 Begrenzungsregelung 8.6.4 Störgrößenaufschaltung Mehrgrößenregelung 8.7.1 Regelstrecken mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen 8.7.2 Strukturen der Mehrgrößenregelung 8.7.3 Entwurf eines Diagonalreglers 8.7.4 Stabilität der Zweigrößenregelung 8.7.5 Entwurf eines Entkopplungsreglers

X

9

Inhaltsverzeichnis

Nichtlineare Glieder im Regelkreis (von M. Reuter)

271

9.1 9.2

275 276 277 279 282 285 287 288 292

9.3

Harmonische Balance Ermittlung spezieller Beschreibungsfunktionen 9.2.1 Beschreibungsfunktion eines Gliedes mit Sättigung 9.2.2 Beschreibungsfunktion eines Gliedes mit toter Zone 9.2.3 Beschreibungsfunktion eines Gliedes mit Hysterese 9.2.4 Beschreibungsfunktion eines Dreipunktreglers ohne Hysterese Stabilitätsuntersuchungen an nichtlinearen Regelkreisen 9.3.1 Dreipunktregler mit nachgeschaltetem Stellmotor 9.3.2 Untersuchung eines Regelkreises mit Ansprechempfindlichkeit

10 Unstetige Regelung (von M. Reuter) 10.1 Idealer Zweipunktregler an einer P-Strecke höherer Ordnung 10.2 Zweipunktregler mit Hysterese an einer P-Strecke 1. Ordnung 10.3 Zweipunktregler mit Rückführung 10.3.1 Zweipunktregler mit verzögerter Rückführung 10.3.2 Zweipunktregler mit verzögert-nachgebender Rückführung 10.4 Dreipunktregler 10.4.1 Dreipunktregler mit Rückführung

11 Digitale Regelung (von S. Zacher) 11.1 Digitale Regeleinrichtungen 11.2 Abtastregelung 11.2.1 Wirkungsweise von digitalen Regelkreisen 11.2.2 Rechenzeit 11.2.3 Beschreibungsmethoden 11.3 Quasikontinuierliche Regelung 11.3.1 Wahl der Abtastperiode 11.3.2 Praktische Einstellregeln 11.4 Beschreibung von Abtastsystemen im Zeitbereich 11.4.1 Differenzengleichungen 11.4.2 Aufstellen der Differenzengleichungen 11.4.3 Lösung der Differenzengleichungen mittels Rekursion 11.4.4 Exakte Lösung der Differenzengleichungen 11.4.5 Digitalisierung analoger Regelalgorithmen 11.4.6 Stabilitätsbedingung für Abtastsysteme 11.5 Beschreibung von digitalen Systemen im z-Bereich 11.5.1 Die z-Transformation 11.5.2 Die z-Übertragungsfunktionen 11.5.3 Digitale Übertragungsfunktionen von einzelnen Elementen 11.5.4 Digitale Führungsübertragungsfunktionen 11.5.5 Stabilitätskriterien für digitale Regelkreise

295 296 302 305 306 310 312 313 315 315 319 320 323 324 327 327 327 330 330 330 331 331 335 341 343 343 346 348 351 352

Inhaltsverzeichnis

XI

12 Intelligente Regelung (von S. Zacher)

357

12.1 Modellbasierte Regelung 12.1.1 Kompensationsregler 12.1.2 Smith-Prädiktor 12.1.3 PFC-Regler (Predictive Function Contra1) 12.1.4 Regler mit einem adaptiven Filter.. 12.1.5 Regler mit endlicher Einstellzeit 12.2 Fuzzy-Regler 12.2.1 Funktionsweise und Aufbau eines Fuzzy-Reglers 12.2.2 Fuzzy-Mengen und Zugehörigkeitsfunktionen 12.2.3 Regelbasis und Inferenz 12.2.4 Defuzzifizierung 12.3 Neuro-Regelung 12.3.1 Grundmodell eines künstlichen Neurons 12.3.2 Mehrschicht-KNN und Backpropagation 12.3.3 Regelkreisstrukturen mit KNN

13 Zustandsregelung (von S. Zacher) 13.1 Zustandsebene 13.1.1 Zustandsebene eines linearen Systems 13.1.2 Stabilitätsuntersuchung in der Zustandsebene 13.1.3 Zustandsrückführung eines nichtlinearen Systems 13.2 Zustandsraum 13.3 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit 13.4 Entwurf von Regelkreisen mittels Polzuweisung 13.4.1 Zustandrückführung 13.4.2 Vorfilter 13.4.3 Ausgangsrückführung 13.4.4 Störgrößenaufschaltung 13.4.5 Beobachterentwurf 13.5 Optimale Zustandsregelung nach LQ-Kriterien 13.5.1 Optimale Zustandsrückführung 13.5.2 Entwurf eines optimalen Beobachters

14 Regelkreisanalyse mit MATLAB I Simulink (von S . Zacher) 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6

Grundlagen der MATLAB-Pragramrnierung Grafik mit MATLAB Contral System Toolbox Bode-Diagramm mit MATLAB WOK mit MATLAB Einführung in MATLAB / Simulink

357 357 359 361 364 367 371 371 372 374 375 377 377 379 383 387 387 388 390 394 397 400 .402 402 404 405 408 410 .413 414 .416 417 .417 421 426 429 432 .438

XII

Inhaltsverzeichnis

Anhang

441

Lösungen der Übungsaufgaben (von M. Reuter und S. Zacher) Rechenregeln der Laplace-Transformation (von M. Reuter) Korrespondenztabelle (von M. Reuter) Sätze der Laplace- und z-Transformation (von M. Reuter) Tabelle der Laplace- und z-Transformation (von M. Reuter) Tabelle der wichtigsten Regelkreisglieder (von M. Reuter)

.441 .465 466 .467 .468 .470

Literaturverzeichnis (von S. Zacher)

.476

English-German Symbols Directory (von S. Zacher)

483

Fachwörter Deutsch-Englisch (von S. Zacher)

.491

Sachwortverzeichnis

505

XIII

Formelzeichen Fläche, Querschnitt, Schwingungsamplitude, Gewindesteigung Systemmatrix bzw. Dynamikmatrix Systemmatrix des Beobachters Koeffizienten der charakteristischen Gleichung P(w) Betragsreserve (Amplitudenreserve) ao, a 1... Koeffizienten der Differentialgleichung, der Fourier-Zerlegung, der z-Übertragungsfunktion, Beiwerte der Eingangsgröße und deren Ableitungen Steuermatrix bzw. Eingangsmatrix Dämpfungskonstante

C C

Co Co c D d d E e e( 00)

F

f G G(j w)

Koeffizienten der Differentialgleichung, der Fourier-Zerlegung, der z-Übertragungsfunktion, Beiwerte der Ausgangsgröße und deren Ableitungen Kapazität, Kondensator, Integrationskonstante, Konzentration Beobachtungsmatrix bzw. Ausgangsmatrix Koppelfaktor, Koeffizient, Controlability Matrix Federkonstante, spezifische Wärme Dämpfungsgrad, Determinante Dicke, Sollwert eines Neuronausgangs Störgrößenvektor Fehler eines künstlichen neuronalen Netzes Regeldifferenz bleibende Regeldifferenz e(t) bei t ----7 00 Kraft Funktion, Frequenz Erfüllungsgrad einer Fuzzy-Regel, auch Matrix Frequenzgang

IG(jw)ldB Amplitudengang in dB G(s) Übertragungsfunktion G(z) z-Übertragungsfunktion Ggesch(S) Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises GH(S)

Übertragungsfunktion des Haltegliedes

GHS(Z)

z-Übertragungsfunktion Halteglied/Strecke Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises

GM(S)

Übertragungsfunktion des gewünschten Regelverhaltens

GR(S)

Übertragungsfunktion der Regeleinrichtung

Gs(s)

Übertragungsfunktion der Regelstrecke

Gy(s)

Übertragungsfunktion des Vorfilters

XIV

Formelzeichen

Gvorw(s) Übertragungsfunktion des Vorwärtszweigs Gw(s)

Führungsübertragungsfunktion

Gz(s)

ia

Störübertragungsfunktion Gewichtsfunktion, Erdbeschleunigung Höhe, Füllstandshöhe, magnetische Feldstärke Systemmatrix eines Systems mit Zustandsrückführung Abstand, Höhe (Abweichung vom Arbeitspunkt), Übergangsfunktion Einheitsmatrix Strom Ankerstrom

ie J

Erregerstrom Massenträgheitsmoment, auch Funktional, Integralkriterium

j K K

imaginäre Einheit j = ｾ Übertragungsbeiwerte, Koeffizienten, Konstante Zustandsrückführung

g

H H h

I

KD

Differenzierbeiwert

Kd

Störgrößenaufschaltung

KI

Integrierbeiwert

Kkr

kritischer Proportionalbeiwert

Ko

Kreisverstärkung

Kp

Proportionalbeiwert

KpM

Proportionalbeiwert des Modells

KpR

Proportionalbeiwert des Reglers

Kpr

Proportionalbeiwert des Smith-Prädiktors

Kps

Proportionalbeiwert der Strecke

Kpw

Proportionalbeiwert des geschlossenen Kreises (Führungsverhalten)

KpSy

Proportionalbeiwert der Strecke beim Stellverhalten

Kpsz

Proportionalbeiwert der Strecke beim Störverhalten

KS

Übertragungsbeiwert der Strecke

Ky k L

Ausgangsrückführung Wärmedurchgangszahl, Konstante Leistung, Induktivität, Länge Rückführung des Beobachters Laplace-Transformierte von [...] Länge Masse, Moment Ordnung des Zählerpolynoms der Übertragungsfunktion, Masse Windungszahl einer Wicklung Vorfilter, Scaling Factor

L L[...] I M

m N

N

Formelzeichen Nennerpolynom Beschreibungsfunktion Drehzahl, Anzahl von Halbwellen, Ordnung der Übertragungsfunktion n-I

Anzahl der Pole auf der imaginären Achse

nz

Anzahl der Pole in der linken s-Ebene

nr

Anzahl der Pole in der rechten s-Ebene Observability Matrix Leistung, Druck Vektor der Polstellen Polynom der charakteristischen Gleichung im w-Bereich Polynom der charakteristischen Gleichung im z-Bereich

Ob

P P

P(W) P(z)

Qabs

elektrische Heizleistung Druck, Polstelle Wärmemenge, Durchflüßmenge, Güteindex positiv semidefinierte symmetrische Matrix Betrag der linearen Regelfläche

QITAE

zeitgewichtete Betragsfläche

Qlin

lineare Regelfläche

Qqrs

quadratische Regelfläche Durchfluss elektrischer bzw. magnetischer Widerstand, Gaskonstante positiv definierte symmetrische Matrix

Pe p

Q

Q

q R

R RF

r

statischer Regelfaktor Radius Schnittpunkte der Ortskurve bzw. des Bode-Diagramms Beobachtbarkeitsmatrix Modellmatrix, Matrix des Beobachters Steuerbarkeitsmatrix komplexe Variable s=CY+jOJ Nullstellen Polstellen Zeitkonstante, Periodendauer Abtastzeit Anregelzeit Ausregelzeit Ersatzzeitkonstante Schwingungsperiode Ausgleichszeit Länge des Prädiktionshorizontes

xv

XVI

Formelzeichen Integrierzeit Zeitkonstante des Modells Nachstellzeit Verzögerungszeitkonstante des Reglers Totzeit Verzugszeit Vorhaltzeit Zeitkonstante eines geschlossenen Regelkreises Zeit Ausschaltzeit Einschaltzeit Koordinate des Wendepunktes

tlO, tso U U

U

UD V

V V(s) v

v W

x

x x(t)

x(O) x( 00)

Zeitpunkte für die Regelgröße von 10%,50% stationäres Wertes Spannung zeitlich veränderliche Spannung (Abweichung vom Arbeitspunkt), auch Eingangsgröße Eingangsvektor bzw. Stellgrößenvektor Differenzspannung des Operationsverstärkers Ventil, Volumen, Verstärkungsgrad Hilfsmatrix zur Ermittlung der Ausgangsrückführung Übertragungsfunktion einer Mehrgrößenstrecke in V-kanonischer Struktur Geschwindigkeit, Ausgang verdecktes Neurons Transferfunktion eines Neurons Gewicht eines Neurons Führungsgröße, Sollwert, Operator der bilinearen Transformation Höhe des Sollwertsprungs Regelgröße, Weg Regelbereich Regelgröße (Abweichung vom Arbeitspunkt), Weg Zustandsvektor Sprungantwort Anfangswert bei t = 0 Beharrungswert bei t ｾ 00 Ausgangsgröße (allgemein) Amplitude der Ausgangsgröße Sättigungszone Endwert Eingangsgröße (allgemein)

xeO

Eingangssprung

Formelzeichen

XVII

Amplitude der Eingangsgröße Hysteresebreite Mittelwertabweichung Xm

Überschwingweite

2xo

Schwankungsbreite Rückführgröße

xref

Referenzgröße Sollwert

XSO

tote Zone Zeit-Prozentkennwert

Yh

Stellbereich

Yo Y

Stellgröße im Arbeitspunkt Stellgröße Ausgangsvektor

Xt

y

YR Z Z[ ... ] Z(5)

Zo Z

Zo

a

ß

r A

J

17 ()

tJ

A /1(... )

P (j

r v if>

rp

Stellgröße am Ausgang der Regeleinrichtung Impedanz z-Transformierte von [...] Zählerpolynom Störgröße im Arbeitspunkt Störgröße, komplexe Variable bei z-Transformation, Nullstelle bei Matlab Höhe des Störsprungs Abklingkonstante, Aktivierung, Konstante der Korrespondenztabelle, Skalierungsfaktor, Winkel, Winkelposition Kennkreisfrequenz, Kreisfrequenz des ungedämpften Systems, Zeitskalierungsfaktor, auch Aktivierung eines Neurons spezifisches Gewicht Kennzeichnung von Größenänderung Impulsfunktion, Nadelimpuls Zähigkeit von Gasen, Lernschrittkonstante Schwellenwert Temperatur Wurzel der homogenen Differentialgleichung, Eigenwerte, auch Wärmeleitfähigkeit Zugehörigkeitsfunktion Dichte Einheitssprung Zeit, Maschinenzeit Anzahl der Schnittpunkte der Ortskurve bzw. des Phasengangs Wärmestrom, Fluss, Erregerfluss Winkel, Phasenverschiebungswinkel

Formelzeichen

XVIII

lfRd 0/( W)

w

Phasenreserve Phasengang Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit Durchtritts(kreis)frequenz Eck(kreis)frequenz Eigenkreisfrequenz kritische Kreisfrequenz

Indizes A

Anker-

a

Abfluss- , Ausbreitung-

akt

aktueller Wert

C

Feder- , Kondensator-

D

Dämpfer- , Differenzier-

F

Filter-

f

Feder-

G

Gewicht-

HT

Häher-Tiefer

M

Motor- , Moment-, auch Modell-

m.R.

"mit Regler"-Verhalten

n

negativ

o

Anfangspunkt-, Arbeitspunkt-, aufgeschnittener (offener) Kreis, Leerlauf

o.R.

"ohne Regler"-Verhalten

P

positiv

TG

Tachogenerator-

W

Wasser-

1

1 Einleitung Die Regelungstechnik gehört zu den Grundlagenfächern der Ingenieurwissenschaften, die sich mit der selbsttätigen Regelung einzelner Arbeitsvorgänge sowie geschlossener Produktionsabläufe befasst. Die zunehmende Automation ist durch die rapide Verbreitung von Regelungssystemen und durch eine Expansion ihres Anwendungsbereiches gekennzeichnet. Mit Hilfe von Prozessrechnern werden auch komplexere Regelalgorithmen digital realisiert. Durch die Bustechnologie und die Vernetzung ist es heute möglich kompliziertere Systeme zu regeln, als dies mit den klassischen Regeleinrichtungen möglich war. Das Wesentliche einer Regelung besteht in einem Rückkopplungszweig, der dazu dient, die zu regelnde Größe (die Regelgröße) von Störeinflüssen unabhängig zu machen, so dass sie stets einen vorgegebenen Wert beibehält. In technischen Anlagen sind die zu regelnden Größen physikalischer Natur, so z. B. Druck, Temperatur, Drehzahl, Durchfluss, Flüssigkeitsstand, Strom, Spannung usw. Der Beginn der Regelungstechnik lässt sich nicht genau datieren. Bereits 1765 hat Polsunoweinen Regler zur Wasserstandsregelung in einem Kessel über Schwimmer und Absperrklappe erfunden. Eine größere Bedeutung erlangte der 1788 von farnes Watt erfundene Zentrifugalregulator, der zur Drehzahlregelung von Dampfmaschinen benutzt wurde. Wie Bild 1.1 zeigt, besteht der Zentrifugalregulator aus zwei Massen 1, die durch die Arme 2 pendelnd gelagert sind. Bei Rotation der Welle 3 werden die beiden Massen infolge der Zentrifugalkraft nach außen bewegt. Diese Kraft wirkt über das Gestänge 4 auf die Muffe 5. Als Gegenkraft ist die Feder 6 wirksam, die der durch die Zentrifugalkraft auf die Muffe ausgeübten Kraft das Gleichgewicht hält. Einer bestimmten Federspannung entspricht eine ganz bestimmte Drehzahl.

ｾｄ｡ｭｐｦ Bild 1.1

Zentrifugalregulator

S. Zacher M Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9837-1_1, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

2

1 Einleitung

Nimmt aus irgendeinem Grund die Dampfzufuhr zu und damit die Drehzahl, so wird infolge der größeren Zentrifugalkraft die Feder stärker gespannt, die Muffe angehoben und das Ventil etwas geschlossen. Dadurch wird die Dampfzufuhr gedrosselt, bis die ursprüngliche Drehzahl wieder erreicht ist. Sinkt nun infolge einer höheren Belastung die Drehzahl ab, so würde bedingt durch die Rückkopplung das Ventil so weit geöffnet, bis der durch die Feder eingestellte Sollwert wieder erreicht wird. Der Mensch ist immer bestrebt, empirisch Gefundenes theoretisch zu konsolidieren. Die erste vollständige Theorie des Regelkreises gelang (1868) Clerk Maxwell und (1877) Wyschnegradski. Ein weiteres Problem besteht darin, dass in einem Regelsystem, bedingt durch den Rückkopplungszweig, beim Auftreten einer äußeren Störung eine unerwünschte Erscheinung auftreten kann, die gegebenenfalls zur Zerstörung der Anlage führt und als Instabilität bezeichnet wird. Diese Erscheinung trat erstmals bei der Regelung von Wasserturbinen auf und wurde zuerst von Routh (1877) und Hurwitz (1895) theoretisch gelöst. Später wurde eine weitere Zahl von Stabilitätskriterien entwickelt, mit deren Hilfe es möglich ist, die Bedingungen festzustellen, die zur Instabilität führen und welche Maßnahmen zu treffen sind, um dies zu beseitigen. Diese Entwicklung wurde stark von der Elektrotechnik geprägt, da die Regeleinrichtungen aus analogen Bauelementen wie Operationsverstärker bestanden. Mit Konrad Zuse, der den ersten freiprogrammierbaren digitalen Computer der Welt fertig stellte, fängt der Umbruch der Regelungstechnik an. 30 Jahre später kommt der erste Mikroprozessor auf den Markt (1971) und revolutioniert die Technik von analog zu digital mit einer wachsenden Anzahl von Anwendungen. Heute sind Automatisierungssysteme ohne Mikroprozessoren, Computer und speicherprogramrnierbaren Steuerungen (SPS) undenkbar. Ein Produktionssystem lässt sich als Pyramide, wie im Bild 1.2 gezeigt, darstellen. In der Feld- und Prozessebene findet man alle Komponenten des Regelkreises: Regelstrecke, Messfühler (Sensoren), Regler, Steller.

Feldebene

Prozess '-

Bild 1.2

_

Produktionssystem als Automatisierungspyramide

1.1 Das Prinzip der Regelung

3

Erst im 20. Jahrhundert entdeckte man, angeregt durch die Erfolge der Regelungstechnik, dass die Prinzipien der Regelung nicht allein auf technische Vorgänge beschränkt sind, sondern ebenso im biologischen und sozialen Bereich auftreten. Betrachten wir z. B. den menschlichen Körper, so werden Blutdruck, Blutzuckergehalt, Körpertemperatur usw. ständig durch messende und regulierende Organe in engen Grenzen konstant gehalten. Auch im Zusammenleben verschiedener Lebewesen finden wir regelnde Gesetzmäßigkeiten. So fressen z.B. die Haie die Schollen. Gibt es aus irgendeinem Grund zu viele Schollen, so sind die Lebensbedingungen der Haie besonders günstig. Sie vermehren sich also. Eine größere Anzahl von Haien bedeutet eine Verminderung der Anzahl der Schollen und damit eine Verschlechterung der Lebensbedingungen der Haie, die sich dann ebenfalls wieder reduzieren. Nach einigen Pendelungen stellt sich ein stabiles Gleichgewicht ein bis eine neue Störung auftritt. All diese, in den verschiedensten Wissensgebieten, wie Technik, Biologie, Psychologie, Soziologie, Ökonomie usw. auftretenden analogen Probleme und Gesetzmäßigkeiten legen eine übergeordnete Wissenschaft nahe, für die Norbert Wiener (1948) den Begriff Kybernetik prägte. Die Kybernetik, als verbindende Brücke zwischen den Wissenschaften gedacht, hat sich nicht als eine selbständige, übergeordnete Disziplin durchsetzen können. Nur in der Biologie versuchte die Bio-Kybernetik die im menschlichen Gehirn stattfindenden Vorgänge durch Modelle zu simulieren und zu erklären. 1962 veröffentlicht Frank Rosenblatt sein Konzept der Neurodynamik. 12 Jahre später wurde der erste computergesteuerte Roboter entwickelt. Wenn diese und die nachfolgende Rechenautomaten auch partiell leistungsfähiger sind, so ist die Analogie mit den Regelvorgängen in der Biologie doch nur unvollkommen. Die Verhältnisse in der Biologie sind weit komplizierter, weil an der Regelung einer einzigen Größe sehr viele Faktoren beteiligt sind und eine gegenseitige Abhängigkeit vieler Regelkreise besteht. Heute werden die Untersuchungen in diesem Bereich von Computational Intelligenz oder SoJt-Computing übernommen. Darunter versteht man Fuzzy-Logik, künstliche neuronale Netze, genetische Algorithmen, Data Mining, Image-Prozessing und andere Methoden, mit dem Bestreben, Regelalgorithmen zu finden, deren Funktionen dem menschlichen Verhalten immer ähnlicher werden.

1.1 Das Prinzip der Regelung Die Wirkungsweise und die Begriffe der Regelung sollen an einem einfachen, oft zitierten Beispiel behandelt werden. Raumtemperaturregelung

Es soll die Temperatur 19ist in einem Raum auf einem vorgegebenen Wert 19 so ll (dem Sollwert) gehalten werden. Die Wärmezufuhr erfolgt durch Dampf oder Heißwasser über einen Radiator. Ohne Regler müsste man zunächst ein Thermometer in den Raum bringen, um festzustellen, ob die gewünschte Temperatur 19 soll vorhanden ist. Liegt der Istwert 19 ist

4

1 Einleitung

unterhalb des Sollwertes tJ soll dann wird man das Heizkörperventil mehr aufdrehen. Im umgekehrten Fall entsprechend zudrehen, bis die gewünschte Temperatur vorhanden ist (tJ ist = tJ sol]). Die Differenz zwischen Soll- und Istwert nennt man Rege/differenz tJ e, d. h. (tJ e = tJ soll - tJ ist). Diese Art der Regelung, bei der der Mensch tätig ist, bezeichnet man als manuelle Regelung oder Handregelung.

Es ist nun zu untersuchen, weshalb an einem einmal richtig eingestellten Heizkörperventil überhaupt noch nachträglich Verstellungen zur Aufrechterhaltung der gewünschten Temperatur notwendig sind. Man erkennt leicht, dass sich z. B. die Außentemperatur ändern kann. Nehmen wir an, die Außentemperatur tJ a sinkt, so wird das Wärmegefälle (tJ ist

-

tJ a) größer und damit die Wärmeabgabe durch die Wände und

Fenster; die Temperatur tJ ist fällt. Ferner kann es vorkommen, dass der Energiegehalt des Wassers oder des Dampfes schwankt und somit einer bestimmten Ventilstellung keine konstante Energiemenge pro Zeiteinheit zugeordnet werden kann. Weitere störende Einflüsse können entstehen durch das Öffnen von Fenstern oder durch Veränderung der Anzahl der im Raum befindlichen Personen. All diese Einflüsse, die eine Abweichung von der geforderten Temperatur tJ soll verursachen, nennt man Störgrößen. Da diese Störgrößen nicht konstant sind, ist eine Regelung erforderlich, die sofort eingreift und die Wirkung der Störung beseitigt. Um die Raumtemperatur von Hand auf den Sollwert tJ soll zu regeln, hatten wir folgende Funktionen auszuführen: 1. Messen der zu regelnden Größe 2. Vergleichen der Regelgröße mit dem Sollwert 3. Erzeugen eines geeigneten Stellbefehls 4. Verstellen des Stellorgans. Um die Raumtemperatur selbsttätig zu regeln, müssen die erwähnten vier Funktionen einer Rege/einrichtung übertragen werden, wie in Bild 1.3 schematisch gezeigt ist. MF

Messfühler Regler STV Stellventil y Stellgröße Störgröße z Temperatur-Istwert zJist zJsoll Temperatur-Sollwert Außentemperatur zJ a R

-'Öa

y ］ｴＺｬ＼ｾ

+-Wärmeenergie

Bild 1.3

Raumtemperaturregelung

1.2 Darstellung im Wirkungsplan

5

Hierbei ist jedoch der Begriff des Messens allgemeiner zu fassen. Die Messgröße muss geeignet sein, als Eingangssignal der Regeleinrichtung zu dienen. Ist dies nicht der Fall, so muss die Messgröße erst in einem Messumformer entsprechend umgeformt werden. Beispielsweise verwendet man zur Durchflussmessung von Gasen oder Flüssigkeiten den Differenzdruck an einer Blende; oder zur Messung der Drehzahl die Spannung, die von einem Tachogenerator erzeugt wird. Der eigentliche Regler besteht meistens aus einem Verstärker und einer Einrichtung zur Erzeugung des gewünschten Zeitverhaltens. Je genauer geregelt werden soll, desto empfindlicher muss der Regler auf eine Regeldifferenz reagieren. Die Energie der Regeldifferenz am Eingang des Reglers muss so verstärkt werden, dass am Ausgang genügend Energie zum Betätigen des Stellventils zur Verfügung steht. Unter dem Zeitverhalten eines Reglers versteht man die Reaktion des Reglers beim plötzlichen Auftreten einer Regeldifferenz, d. h. ob die Stellgröße sofort erzeugt wird oder erst nach einer gewissen Verzögerungszeit usw. Verfolgt man nun die einzelnen Stufen des Regelvorganges, so stellt man fest, dass es sich um einen geschlossenen Kreis handelt, dem sogenannten Regelkreis, denn das Stellen wirkt immer wieder auf das Messen zurück. Der Rückkopplungszweig, der durch die Regeleinrichtung gebildet wird und den Messort mit dem Stellort verbindet, ist das wesentliche Merkmal einer Regelung.

1.2 Darstellung im Wirkungsplan Die einzelnen Glieder des Regelkreises werden nach der DIN 19226 durch rechteckige Kästchen, Block genannt, symbolisiert (Bild 1.4a). Die Ein- und Ausgangssignale werden durch Wirkungslinien dargestellt, deren Pfeilspitzen die Wirkungsrichtung angeben. Zur genaueren Kennzeichnung wird in einem Block symbolisch angegeben, wie die Ausgangsgröße bei plötzlicher Änderung der Eingangsgröße reagiert. Außerdem werden die Stellen, an denen mehrere Signale zusammentreffen, durch eine Additionsstelle (Bild l.4b) und Punkte, an denen eine Verzweigung eines Signals stattfindet, durch eine Verzweigungsstelle (Bild 1.4c) dargestellt. Der gesamte Regelkreis lässt sich als Aneinanderreihung von Blöcken wiedergeben. Diese Darstellung, welche die wirkungsmäßigen Zusammenhänge zwischen den b)

a)

'-----

Bild 1.4

Elemente des Wirkungsplanes: a) Blocksymbol = ± Xe 1 ± e2

b)

Additionsstelle

c)

Verzweigungsstelle Xal = Xa2 = xe

Xa

c)

6

1 Einleitung

'Öist

Bild I.S

Wirkungsplan des Temperaturregelkreises

Signalen wiedergibt, wie in Bild 1.5 gezeigt, ohne gerätetechnische Einzelheiten zu berücksichtigen, wird nach der DIN 19226 als Wirkungsplan bezeichnet. Generell kann man nun den Regelkreis in zwei Bereiche unterteilen. Der 1. Bereich ist durch die Anlage gegeben, in dem eine physikalische Größe geregelt werden soll, die sogenannte Regelstrecke. Der 2. Bereich ist der Teil, der dazu dient, die Regelstrecke über das Stellglied so zu beeinflussen, dass die Regelgröße den gewünschten Wert innehält, die sogenannte Regeleinrichtung. Zur Regeleinrichtung zählen also der Messfühler, der Messumformer, bei Bedarf der Vergleicher, der Regler und das Stellglied. Das Stellglied lässt sich sowohl der Regelstrecke als auch der Regeleinrichtung je nach Zweckmäßigkeit zuordnen (Bild 1.6). Die Störgrößen können nun an verschiedenen Stellen des Regelkreises auftreten. In Bild 1.6 ist nur eine Störgröße gezeichnet, die zusammen mit der Stellgröße der Regeleinrichtung YR am Eingang der Strecke angreift. Dies ist aus folgendem Grund erlaubt: Sinkt die Störgröße z (Außentemperatur 1J a) und demzufolge die Regelgröße x (Innentemperatur 1J ist), so registriert der Messfühler eine Temperaturabnahme, kann aber nicht entscheiden, ob die Außentemperatur gesunken ist oder ob das Stellventil mehr zugedreht wurde. Ebenso registriert der Temperaturfühler eine Temperaturabnahme, wenn die zugeführte Wärmemenge pro Zeiteinheit abnimmt. Auch in diesem Fall kann der Messfühler nicht feststellen, ob der zugeführte Energieinhalt pro Zeiteinheit sich geändert hat oder das Stellventil verstellt wurde. Es ist also möglich, alle Störgrößen an den Stellort zu transformieren und als eine einzige Störgröße z zusammen mit der Stellgröße YR am Eingang der Strecke angreifen zu lassen.

w

x

------. +

Bild 1.6

Vereinfachter Wirkungsplan eines Regelkreises

1.3 Gerätetechnische Ausführung eines Regelkreises

7

Einheitsbezeichnungen Die in der Regelungstechnik zu regelnden Größen können sehr unterschiedlicher physikalischer Natur sein. Zur Vereinheitlichung werden die Regelgröße mit Xist, der Sollwert mit Xsol]' die Differenz zwischen Xsoll und Xist als Regeldifferenz e und die Stellgröße mit y bezeichnet, gleichgültig, ob es sich bei der zu regelnden Größe um die Temperatur in einem Glühofen, die Geschwindigkeit eines Walzgutes oder den pHWert einer Säure handelt. Ferner wird die Regelgröße Xist einfach als x bezeichnet und anstelle des Sollwertes Xsoll wird die Bezeichnung Führungsgröße wangewandt. Wie wir noch sehen werden, interessieren bei einer Regelung weniger die Absolutwerte, sondern die Änderungen der Größen. Diese Änderungen werden im Gegensatz zu den Absolutwerten durch kleine Buchstaben gekennzeichnet.

1.3 Gerätetechnische Ausführung eines Regelkreises Es gibt viele Möglichkeiten zur praktischen Verwirklichung der Regelung. Davon soll eine anhand der Positionsregelung einer Antenne behandelt werden (Bild 1.7). Der aktuelle Winkel

ax wird durch ein Potentiometer gemessen und in die Spannung Ux

umgewandelt. Durch einen Vergleich mit dem Sollwert Uw wird die Spannungsdifferenz U = Uw - U gebildet. Ist Uw = U bzw. U = 0, bleibt der Motor stehen. Vergrößert sich der Winkel ax, so vergrößert sich die Spannung Ux ' Da die Sollwertspannung Uw konstant ist, entsteht dabei eine negative Spannung Ue . Diese Spannung verstärkt durch zwei Verstärkungsstufen (Regler, Leistungsverstärker) ergibt die Ansteuerung des Motors UA. Der Motor bewegt die Antenne und den Gleitkontakt des Potentiometers bis Uw = Ux bzw. der Winkel

ax dem Sollwert aw gleich ist. Istwert

PotentiometerMessfühler .

LeistungsVerstärker Bild 1.7

Gerätetechnische Ausführung der Positionsregelung einer Antenne

1 Einleitung

8

1.4 Das Prinzip der Steuerung Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sich eine Größe auch durch Steuern auf einem vorgegebenen Wert, der konstant oder zeitlich veränderlich sein kann, halten. Betrachten wir hierzu als Beispiel die Konstanthaltung der Winkellage einer Antenne durch Steuern unter der vereinfachenden Annahme, dass als einzig maßgebende Störgröße z die Schwankung der Windstärke auf die Antenne wirkt (Bild 1.8). Zunächst sei das Steuergerät so eingestellt, dass der Antennenwinkel LXx gleich dem vorgegebenen Sollwert aw ist und die Ansteuerungsspannung des Motors gleich Null ist. Tritt nun eine Zunahme der Windgeschwindigkeit (Störgröße z) auf, so würde ohne Steuergerät die Winkelposition der Antenne geändert. Mit Steuergerät wird die Zunahme der Windgeschwindigkeit durch den Messfühler dem Steuergerät sofort gemeldet und von diesem der Motor angesteuert. Die vorhandene Änderung der Position wird dadurch ausgeglichen und der Antennenwinkel konstant gehalten. Im Gegensatz zur Regelung handelt es sich um eine offene Wirkungskette (Bild 1.9). Der Nachteil der Steuerung gegenüber der Regelung besteht darin, dass nicht alle Störgrößeneinflüsse eliminiert werden, sondern nur der, dessen Größe vom Steuergerät gemessen wird. Ferner ist Voraussetzung, dass das Verhalten der Strecke zahlenmäßig genau bekannt ist. Als Vorteil gegenüber der Regelung ist hervorzuheben, dass infolge des fehlenden Rückkopplungszweiges keine Instabilität auftreten kann. Im Idealfall wird der Sollwert genau eingehalten, während bei einer Regelung, beim Auftreten einer Störgrößenänderung, zumindest eine vorübergehende Abweichung der Regelgröße vom Sollwert auftritt. Messfühler ｾ

ｾＺｧｲｺ￶￟･

Steuergerät (SPS)

Ｍ Ｚ Ｎｾ

a x Istwert

ｾ ｆ｜ｉ

1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111 1111111111111111

Motor Bild 1.8

Steuerung der Winkellage einer Antenne

z

Bild 1.9

Wirkungsplan einer Steuerung

1.5 Beispiele für einfache Regelkreise

9

1.5 Beispiele für einfache Regelkreise Temperaturregelung

Die Raumtemperatur x soll mittels pneumatischer Regeleinrichtung geregelt werden (Bild 1.10).

ｾ

Pv

Yordrossel

zum Radiator

x

w

Bild 1.10 Gerätetechnische Ausführung einer Raumtemperatur-Regelung

Die Temperatur wird durch ein Flüssigkeitsausdehnungsthermometer gemessen. Bei Temperaturzunahme vergrößert sich das Flüssigkeitsvolumen und expandiert in den Federbalg. Dieser dehnt sich aus und drückt den Hebelarm entgegen der Federkraft, an welcher der Sollwert eingestellt werden kann, nach unten (Vergleichsstelle). Das rechte Ende steuert die Düsenöffnung zu und der Druck PS t in der Steuerleitung steigt an. lnfolge des Druckanstiegs steigt auch die Kraft auf dem Membranteller PsrA, die die Ventilspindel um einen Weg s nach unten bewegt bis die Federkraft gleich der Membrankraft ist. Der Verstärker arbeitet nach dem Düse-Prallplatte-System. Bei geschlossener Düse wird der Steuerdruck PS t gleich dem Vordruck Py. Wird der Abstand Düse-Prallplatte vergrößert, so vermindert sich der Austrittswiderstand, während der Widerstand der Vordrossel konstant bleibt. Zwischen dem konstanten Vordruck Py und dem äußeren Atmosphärendruck besteht ein Druckgefälle, das entsprechend den Drosselwiderstand aufgeteilt wird. Druckregelung in einer Rohrleitung

In einer Rohrleitung soll der Luftdruck unabhängig von Belastungsschwankungen auf einem konstanten Wert gehalten werden. Die Freistrahldüse ist in Punkt 1 drehbar gelagert (Bild 1.11). Der Sollwert X s wird durch die Schraube und Feder eingestellt. Ist die Regelgröße x gleich dem Sollwert x s, dann befindet sich das Strahlrohr in einer symmetrischen Lage zu den beiden gegenüberliegenden Kanälen. Der Druck auf der Unterseite des Steuerkolbens ist gleich dem auf der Oberseite, der Kolben bleibt in

1 Einleitung

10

P=x

Bild 1.11 Luftdruckregelung in einem Windkanal

Ruhe und ebenso die Drosselklappe. Bei geringerem Verbrauch steigt der Druck P und die Membrankraft bewegt die Düse entgegen der Federkraft nach unten. Dadurch wird der untere Kanal mehr beaufschlagt als der obere und der Kolben bewegt sich nach oben. Die Verstellung der Klappe bewirkt eine Druckabnahme in der Rohrleitung und das Strahlrohr bewegt sich nach oben bis es den beiden Kanälen symmetrisch gegenüber steht und der Druck P gleich dem Sollwert X s ist. Ist umgekehrt der Verbrauch zu groß, dann sinkt der Druck, die Düse bewegt sich nach oben, der Kolben nach unten und die Drosselklappe wird mehr geöffnet.

Sendeleistungsregelung eines Mobiltelefons Ein Handy kann unter Vereinfachungen aus zwei Teilen dargestellt werden: einem Register und einem Sender (Bild 1.12). Die Sendeleistung Lh des Mobiltelefons wird

während der Freiraumausbreitung gedämpft. Dadurch wird die Empfangsleistung List der Zentrale geschwächt, d. h. List = Lh - La. Feststation

+

,, ,:

Mobilstation List

+

:Empfangsleistung

Sender Sendeleistung

La Dämpfung bei Ausbreitung

ｾｮ ｾｮ ｾｮ

Höher-Tiefer -Taster

ｾｮ ｾ ｾ

I

r-+-----------------+-.I Höher-Tiefer-Signal SHT

Bild 1.12 Sendeleistungsregelung eines Handy

Register

1.5 Beispiele für einfache Regelkreise

11

In der Feststation (Zentrale) soll die Empfangsleistung List mit Hilfe eines HöherTiefer Tasters (Regler) auf die gewünschte konstante Leistung Lsoll gebracht und in Form eines Höher-Tiefer-Signals SHT an das Handy gesendet werden. Drehzahlregelung eines Gleichstrommotors

Der Gleichstrommotor, dessen Drehzahl geregelt werden soll, hat eme konstante Fremderregung, während die Klemmenspannung UA von einem Thyristor-Stromrichter geliefert wird (Bild 1.13). Die zu regelnde Drehzahl n wird durch einen Tachogenerator TG gemessen, der eine der Drehzahl proportionale Spannung UTG erzeugt. Diese wird durch das nachgeschaltete Tiefpass-Filter geglättet und mit der am Potentiometer einstellbare Spannung Uw (Sollwert) verglichen. Die Differenzbildung erfolgt am Eingang des Drehzahlreglers (Operationsverstärker), dessen Beschaltung mit Widerständen und Kondensator das gewünschte Zeitverhalten erzeugt. Zur Ansteuerung des Thyristor-Stromrichters wird die Ausgangsgleichspannung des Reglers vom Steuersatz in Zündimpulse umgewandelt. Die Phasenlage der Zündimpulse bestimmt den Zündzeitpunkt der Thyristoren und damit den Mittelwert der Motorklemmenspannung. Bei Übereinstimmung von Istdrehzahl und SolIdrehzahl, d. h. Ue = Uw - UTG = 0, ist die Ausgangsspannung des Reglers konstant. Die vom nachfolgenden Steuersatz abgegebenen Zündimpulse bewirken, dass die Ausgangsklemmenspannung des Thyristor-Stromrichters auf einen Wert eingestellt wird, der zur Deckung des erforderlichen Drehmoments notwendig ist. Wird das Lastmoment vergrößert, so fällt zunächst die Drehzahl n und damit die Tachometerspannung UTG. Die Regeldifferenz Ue = Uw - UTG wird größer, was zu einer größeren Aussteuerung des Verstärkers führt. Infolgedessen werden die Zündimpulse Sollwert-

B

!:bLe-lrC=:JDrehzahl.....Regler w

U

Zündimpuls-

ｵＬｾ［ＧＺｉ ＧＭｉｾ

Tiefpassfilter

I Bild 1.13 Drehzahlgeregelter Gleichstromantrieb

Tachogenerator

12

1 Einleitung

so verschoben, dass der Zündwinkel kleiner und damit der Mittelwert der Ankerspannung größer wird. Die Drehzahl steigt so lange an bis Ue = 0 ist. Wird der Motor entlastet, so steigt die Drehzahl n und entsprechend UTO' Die Regeldifferenz wird negativ, was zur Verringerung der Ausgangsspannung des Reglers führt bis schließlich bei Ue = 0 die SolIdrehzahl wieder erreicht ist. Die Tatsache, dass der Regler auch eine Spannung abgibt, wenn die Summe der Eingangsspannungen Null ist, hängt mit der Beschaltung zusammen, die integrierend wirkt und in Kapite14 behandelt wird. Tatsächlich ausgeführte Gleichstromantriebe enthalten einen zusätzlichen Stromregelkreis zur Beschränkung des zulässigen Ankerstromes. Der Ausgang des Drehzahlreglers wirkt dann nicht wie in Bild 1.13 auf den Steuersatz, sondern dient als Sollwert des Stromreglers, der seinerseits den Steuersatz ansteuert. Zur Erfassung des Stromistwertes im Ankerkreis dient ein Stromwandler oder ein Shunt.

1.6 Beispiele für vermaschte Regelkreise Die bisher behandelten Regelkreise waren einläufige Regelkreise, bei denen nur eine Regelgröße mit Hilfe einer Stellgröße eingeregelt werden soll. Derartige einfache Regelkreise sind am häufigsten. Bei schwieriger zu regelnden Strecken ist es oft notwendig, mehrere Regelgrößen auf entsprechenden Sollwerten zu halten. Dabei geht man vom einläufigen zum verrnaschten Regelkreis über. Festwert-Verhältnisregelung

Es soll die Temperatur in einem gasbeheizten Glühofen geregelt werden (Bild 1.14). Außerdem ist das Verhältnis von Gas und Luft konstant zu halten, damit eine optimale Verbrennung stattfindet.

Regler 1

..- Gas

Glühofen ..- Luft

Bild 1.14 Temperaturregelung in einem Glühofen

1.6 Beispiele für verrnaschte Regelkreise Die Temperatur

Xist

13

im Ofen wird von einem Thermoelement gemessen und in der

Regeleinrichtung Regler 1, mit dem Sollwert

Xsoll

verglichen. Ist die Temperatur Xist

kleiner als Xsolh so wird das Ventil 1 mehr geöffnet. Der dadurch erhöhte Gasdurchsatz verursacht an der Messblende Mess 1 einen größeren Differenzdruck, der als Führungsgröße W des Reglers 2 dient. An der Messblende Mess 2 wird der Luftdurchsatz gemessen, in Regler 2 mit w verglichen und das Stellventil so verstellt, bis das gewünschte Verhältnis des Gas-Luft-Gemisches erreicht ist. Hierbei dient zur Regelung der Ofentemperatur eine Festwertregelung und gleichzeitig wird die Gas-LuftZusammensetzung durch eine Verhältnisregelung vorgenommen Kaskadenregelung In einem chemischen Reaktor soll die Temperatur geregelt werden (Bild 1.15). Die Wärmezufuhr erfolgt durch Warmwasser, das in einem Wärmeaustauscher erzeugt wird. Der Wärmeaustauscher wird mit Dampf beheizt. Eine Verstellung am Dampfventil wirkt verzögernd auf die Wassertemperatur und diese nochmals verzögernd auf die Kesseltemperartur. Durch die Verzögerung mehrerer Strecken würde ein einziger Regler, der die Regelgröße Xist durch die Dampfzufuhr regelt, diese nur sehr ungenau einhalten. Man verwendet zusätzlich einen Hiljsregler, der die Schwankungen der Warmwassertemperatur Xhilf erfasst und über das Dampfventil wesentlich schneller ausregelt. Dadurch wird die dem Reaktionskessel zugeführte Wärmemenge konstant gehalten und nur bei Temperaturschwankungen im Reaktionskessel verändert.

Reaktionskessel Wärmeaustauscher

Pumpe ＭＺＮ ｾ］

__ Warmwasser

y

Bild 1.15 Temperaturregelung in einem Reaktionskessel

1 Einleitung

14

Folgeregelkreis Führungsregelkreis

Bild 1.16 Wirkungsplan der Kaskadenregelung

Der Hilfsregler bildet zusammen mit der Teilstrecke (Wärmeaustauscher) einen Regelkreis (Bild 1.16), der vom Hauptregler als eine Teilstrecke behandelt und zusammen mit der zweiten Teilstrecke (Reaktionskessel) in einem übergeordneten Regelkreis geregelt wird. Nach der DIN 19226 wird der Hauptregler als Führungsregler und der Hilfsregler als Folgeregler bezeichnet. Mehrgrößenregelung

Das Stoffgemisch von zwei Produkten wird durch einen Molekularfilter getrennt (Bild 1.17). Der Molekularfilter besteht aus Hohlfaser-Membranen, die zu Hunderten in einer Plastikpatrone zusammengefasst sind. Das Stoffgemisch fließt quer zur Filtermembran und verursacht eine Druckdifferenz Pist, welche den Durchfluss qist durch den Filter bestimmt. Die Änderung des Durchflusses beeinflußt die Konzentration der Lösung, die ihrerseits die Filtratsrate und folglich die Druckdifferenz Pist beeinträchtigt. Die Regelung des Durchflusses erfolgt mit dem Stellventil Vq . Die Druckdifferenz Pist wird mit Hilfe von zwei Geräten vor und nach dem Filter gemessen und mit

.-

-

Produkt A

Ventil Vq

1 1

Bild 1.17 Mehrgrößenregelung einer verfahrenstechnischen Anlage mit dem Molekularfilter

dem Stellventil Vp geregelt. Die Mehrgrößenregelung wird mit zwei gekoppelten Reglern Rp und R q realisiert. Die gegenseitige Wirkung von qist und Pist wird mit Hilfe von Entkopplungsblöcken Rqp und Rpq kompensiert. Durch die Entkopplung wird eine bessere Regelgüte als mit zwei getrennten einschleifigen Regelkreisen erreicht.

15

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen Von den Praktikern wird die genaue Beschreibung einer Strecke gern etwas geringschätzig bewertet mit dem Argument, dass die mathematischen Methoden kompliziert sind und an der Realität vorbeigehen. Jedoch lassen sich die Kennwerte einer Strecke, z. B. eines chemischen Prozesses, experimentell ermitteln und mit Hilfe der Theorie sinnvoll einordnen. Anliegen der Regelungstheorie ist es, die Zusammenhänge im Regelkreis zu erfassen und gegebenenfalls gezielt einzugreifen. Man kennt im voraus die Wirkung eines Regelparameters, ohne auf bloßes Probieren angewiesen zu sein.

2.1 Beharrungszustand und Zeitverhalten eines Regelkreisgliedes Wir haben in den vorangegangenen Betrachtungen gesehen, dass wir den Regelkreis im Wirkungsplan darstellen können und haben diesen in zwei Hauptblöcke unterteilt: •

Die Regelstrecke

•

Die Regeleinrichtung.

Jeder dieser Blöcke lässt sich nun wieder in einzelne rückwirkungsfreie Glieder zerlegen. Jedes dieser gerichteten Glieder hat einen Ein- und einen Ausgang. Rückwirkungsfrei bedeutet, dass das Signal das Glied nur vom Eingang zum Ausgang durchlaufen kann, nicht in umgekehrter Richtung (Bild 2.1).

ｾ｟ｉ

Bild 2.1

Blocksymbol eines Regelkreisgliedes

Man unterscheidet zwischen dem Beharrungszustand (statisches Verhalten) und dem Zeitverhalten (dynamisches Verhalten). Ist der Eingang Xe konstant, so ist bei proportionalen Systemen das Ausgangssignal Xa auch konstant. Nach einer Änderung der Eingangsgröße stellt sich normalerweise nach einer bestimmten Zeit auch eine konstante Ausgangsgröße ein, wie beispielsweise im Bild 2.2 gezeigt ist. Möglich ist es auch, dass ein Beharrungszustand überhaupt nicht erreicht werden kann. Dann ist das Regelkreisglied ohne Ausgleich bzw. instabil.

r ---IJ----a

i

X

a

xaO

o

-- t

o

L

Bild 2.2

Zeitverhalten eines Regelkreisgliedes

S. Zacher M Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9837-1_2, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

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2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Die Zusammenhänge zwischen den Signalen im Beharrungszustand werden mit Hilfe von statischen Kennlinien bzw. Funktionen Xa = !(Xe) beschrieben. Die stationären Ein- und Ausgangsgrößen im Arbeitspunkt eines Regelkreisgliedes werden als Xeo und Xao bezeichnet. Bei der Untersuchung des statischen Verhaltens werden wir uns auf kleine Abweichungen LlXe und LlXa von einem Arbeitspunkt beschränken, da ein betriebsfähiger Regler nur kleine Abweichung in einem Regelkreis zulässt. Dabei ist es zweckmäßig, die kleinen Abweichungen LlXe und LlXa einfach durch die kleinen Buchstaben Xe und X a zu bezeichnen. Die Augenblickswerte setzten sich damit aus den stationären Arbeitspunktwerten und den zeitabhängigen Abweichungen zusammen: Xe(t)=X eO +xe(t)

Im Weiteren werden wir lediglich die Kleinschreibung benutzen, da die Untersuchungen nur für die Abweichungen von einem Arbeitspunkt durchgeführt werden. In einem Regelkreis spielt neben dem statischen Verhalten das dynamische Verhalten eine wesentliche Rolle, somit auch das dynamische Verhalten der einzelnen Glieder. Maßgebend sind hierbei die Augenblickswerte xe(t) und xa(t) sowie deren zeitliche Ableitungen xe (t); xe (t) ... und a (t); x a (t) ...

x

Gleichungen, die den statischen und dynamischen Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangsgröße beschreiben, sind gewöhnliche, lineare Differentialgleichungen von der allgemeinen Form:

... + a3 xa (t) + az x a (t) + al xa (t) + ao x a (t) bO xe(t)+b1 xe(t)+b Z x e (t)+b 3 xe(t)+ ...

(2.1)

Die Ein- und Ausgangsgrößen sowie die konstanten Beiwerte ao, al, ... , an und

bo, bl, ... , b m sind im Allgemeinen dimensionsbehaftet. Die DGL der allgemeinen Form kann in die regelungstechnische Normalform gebracht werden, indem man: •

Die Ausgangsgrößen bzw. deren Ableitungen auf die linke DGL-Seite stellt

•

Die Ausgangsgröße bzw. deren O. Ableitung koeffizientfrei lässt.

Als Beispiel ist unten eine DGL 2.0rdnung gezeigt az x a (t) + al xa (t) + ao x a (t) = b1 xe (t) + bo xe (t) , die durch Division mit ao auf regelungstechnische Normalform gebracht wird: azx.. () al. () () b1 . () bo () a t +-xa t +x a t =-xe t +-xe t . ao ao ao ao

2.2 Das Aufstellen der Differentialgleichung

17

2.2 Das Aufstellen der Differentialgleichung Bei der Aufstellung der Differentialgleichung eines Systems muss man die physikalischen Gesetze anwenden, denen das System unterliegt, so z. B. die mechanischen, hydraulischen, pneumatischen, elektrischen Gesetze usw. •

Beispiel 2.1

m

b

Bild 2.3

Elektropneumatischer Wandler

Die Eingangsgröße Xe eines elektropneumatisches Wandlers (Bild 2.3) ist der Luftdruck über dem Membranteller mit der Fläche A. Dieser erzeugt eine Kraft

F =Axe . Infolge dieser Kraft wird die Kolbenstange um Xl nach unten bewegt. Dadurch wird die Feder um XI zusammengedrückt und erzeugt die Gegenkraft Fe = C X • Außerdem ist eine Dämpfungseinrichtung vorgesehen. Bewegt sich der Kolben nach unten, so muss er die unter dem Kolben befindliche Ölmenge über die Umweg-Leitung mit dem Drosselventil nach oben fördern. Die Kraft, die dazu notwendig ist, ist proportional der Geschwindigkeit, mit der sich der Kolben nach unten bewegt:

Ferner sind die bewegten Teile mit einer Masse m behaftet, so dass eine weitere Gegenkraft entsteht: Fm = m Xl. Nun muss in jedem Augenblick die Summe aller Kräfte gleich Null sein. Daraus folgt:

m Xl + b Xl + C Xl = A xe .

(2.2)

Zwischen Xl und X a besteht die Proportionalität

xa

-

=-

I

Xl

, daraus folgt Xl = -

I

xa .

(2.3)

18

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Setzen wir GI. (2.3) in GI. (2.2) ein, so erhalten wir

m·l b·l c·l --x a +--x a +--xa =Axe · U

U

(2.4)

U

Durch Vergleich mit der allgemeinen Form der DGL (2.1) finden wir die Beiwerte:

c·l

bO =A in [cm2] ,

b·l

= - in

= - in [NsNJ,

U

U

Dividiert man GI. (2.4) durch den Faktor m C

xa (t) + ｾ xa (t) + x a (t) = C

m·l

= - - in

2

U

IV, so folgt eine andere Art der Darstellung

A· U xe (t), c·l

bzw. mit den Abkürzungen:

A·U

c·l ' Xa (t)

b Tl =-; c

+ Tl xa (t) + x a (t) = K

(2.5)

xe (t) .

Tl und T2 haben die Dimension einer Zeit und sind die so genannten Zeitkonstanten.

•

Beispiel 2.2 R

L

e

lxa

0 - - - - - - - - -[J

Bild 2.4

Reihenschwingkreis

und Eingangsgröße des in Bild 2.4 gezeigten Reihenschwingungskreises ist die Spannung Ausgangsgröße ist die Spannung über dem Kondensator X a. Nach dem 2. Kirchhoffschen Satz ist die Summe aller Spannungen in einer Masche gleich Null.

(2.6) Der Spannungsabfall am Widerstand ergibt sich zu UR = i R. Nach dem Induktionsgesetz ist L dildt. Ferner ist der Ladestrom i proportional der Spannungsänderung am Kondensator i = C dxaldt. Diese Beziehungen in die GI. (2.6) eingesetzt ergibt:

UL =

xe (t) = x a (t)

+ R C xa (t) + L C xa (t) .

Auch hier können wir die folgenden Zeitkonstanten einführen: Tl = R C und Tzz = L C. Somit folgt: Xa

+ Tl xa

+ x a (t) = xe (t) .

(2.7)

Man erkennt leicht, dass der Aufbau der beiden DGL (2.5) und (2.7), abgesehen vom Faktor K, übereinstimmt. Beide Systeme verhalten sich analog.

2.3 Lösung der Differentialgleichung

19

2.3 Lösung der Differentialgleichung Mit der gefundenen Differentialgleichung kann man noch nicht allzuviel anfangen. Es interessiert der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße Xa(t) , wenn die Eingangsgröße xe(t) einen bestimmten zeitlichen Verlauf annimmt. Um die Differentialgleichung mit

der Störfunktion xe(t) lösen zu können, muss diese genau bekannt sein. Als Eingangsfunktionen benutzt man spezielle Signale, die leicht realisierbar und vergleichbar sind. Die Eingangsfunktionen werden auch in der Praxis zur experimentellen Ermittlung des zeitlichen Verlaufs des Ausgangssignals angewandt. Ist das Übergangsverhalten für eine spezielle Eingangsfunktion bekannt, so lässt sich daraus das Zeitverhalten bei jeder beliebigen Eingangsfunktion ermitteln. 2.3.1 Spezielle Eingangsfunktionen

a) Die Sprungfunktion Sowohl für theoretische Untersuchungen als auch als praktische Testfunktion hat die Sprungfunktion als Eingangserregung eine große Bedeutung. Sie ist definiert durch xe (t) =

o für t O.

Der Verlauf einer solchen Sprungfunktion ist in Bild 2.5 wiedergegeben. Vielfach wird die Höhe des Eingangssprungs auf den Wert Eins normiert und als Einheitssprung o(t) bezeichnet: O'(t) =

o {1

fürt O.

Wegen der einfacheren Schreibweise wird im Folgenden die Sprungfunktion durch xe (t) = xeO ·O'(t)

ausgedrückt. In Bild 2.5 (links) sind der ideale und der technisch realisierbare Verlauf (gestrichelt) gezeigt.

-----. t Bild 2.5

Sprungfunktion (links) und Anstiegsfunktion (rechts)

20

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Eine ideale Sprungfunktion, d. h. eine physikalische Größe, die sich zum Zeitpunkt t = in unendlich kurzer Zeit um einen endlichen Betrag ändert, ist technisch nicht realisierbar.

°

Mit den elektronischen Bauelementen kommt man zu Anstiegszeiten, die kleiner als eine Nanosekunde sind. Bei anderen physikalischen Größen (Druck, Temperatur usw.) liegen die Zeitkonstanten z. T. wesentlich höher.

b) Die Anstiegs- oder Rampen/unktion Wie Bild 2.5 (rechts) zeigt, steigt xe(t) bei Null beginnend, linear mit der Zeit an xe(t)=KeO"t"CY(t)=

o

für

{K eO "t

""

fur

t 0,

e (t) d' k dX. d'Igkelt . d ' . ls '1St. wo bel" K eO = - le onstante A"" n derungsgesc h wm es Emgangsslgna

dt

Der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße bei einer Anstiegsfunktion am Eingang wird als Anstiegsantwort bezeichnet.

c) Die Impuls/unktion

Ｈｾｆｵｮｫｴｩｯ Ｉ

Die ideale Impulsfunktion zeigt zum Zeitpunkt t = ist gleich Null für t =1= (Bild 2.6, links). xe (t) = J(t)

° {° 00

fürt

=1=

°einen Sprung ins Unendliche und

°

für t = 0.

Diese Funktion kann man sich aus einem rechteckförmigen Impuls der Breite E und der Höhe 11 E für E ｾ 0, mit der Zeitfläche 11, entstanden denken. Zwischen der J:Funktion und dem Einheitssprung o(t) besteht der Zusammenhang J(t) = dCY(t) . dt

Der zeitliche Verlauf des Ausgangssignals bei einer Impulsfunktion am Eingang ist die Impulsantwort oder die Gewichtsfunktion

Bild 2.6 Impulsfunktion (links) und Sinusfunktion (rechts) I

Für praktische Untersuchungen, z. B. mit einem Impulsgenerator, hat die Impulsfläche die Dimension der Amplitude multipliziert mit der Zeit (Vs, As usw.).

2.3 Lösung der Differentialgleichung

21

Technisch kann die Impulsfunktion nur mit endlicher Dauer und Höhe realisiert werden. Die Anwendung einer Sprungfunktion über einen längeren Zeitraum stellt einen massiven, manchmal unzulässigen Eingriff dar. Ein kurzzeitiger Impuls hat den Vorteil, dass die durch ihn verursachte Beeinträchtigung verhältnismäßig gering ist. d) Die sinusförmige Eingangsgröße Neben der Sprungfunktion zur Untersuchung von Regelkreisgliedern hat die Methode durch sinusförmige Eingangserregung eine große Bedeutung. Die Sinusschwingung (Bild 2.6, rechts) hat den zeitlichen Verlauf

xe (t) = Xe sin wt, wobei xe die Schwingungsamplitude und w = 2Jrj die Kreisfrequenz ist, mit j als Frequenz. Die Schwingungsperiode ist T = l/f. e) Die stochastische Eingangsgröße Der Vollständigkeit halber sei eine weitere Zeitfunktion erwähnt, die allerdings im Rahmen dieses Buches keine Berücksichtigung findet. Die unter a) bis d) genannten deterministischen Eingangssignale sind vielfach zur Identifikation ungeeignet. Man benutzt statt dessen die immer vorhandenen stochastischen, d. h. regellos verlaufenden, Störsignale (Bild 2.7), wie z. B. das Rauschen in elektronischen Geräten oder die Stromschwankungen in einer der Elektroden eines Lichtbogenofens während des Einschmelzvorganges.

Bild 2.7

Typischer Verlauf eines stochastischen Signals

Meistens sind die stochastischen Signale klein gegenüber den Betriebswerten. Die Beurteilung, Verknüpfung und Auswertung der Ein- und Ausgangssignale erfolgt mittels statistischer Methoden. Stochastische Signale mit einer Gaußschen Amplitudenverteilung spielen vergleichsweise eine ähnlich fundamentale Rolle, wie sinusförmige Signale bei deterministischer Betrachtungsweise. 2.3.2 Lösung der Differentialgleichung bei sprunghafter Verstellung der Eingangsgröße Die am häufigsten in der Regelungstechnik angewandte Eingangsfunktion ist die Sprungfunktion. Setzt man die Sprungfunktion als Störfunktion in die Differentialgleichung ein und löst die DGL nach xa(t) auf, so erhält man mit xaCt) die so genannte Sprungantwort.

22

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

In den Beispielen 2.1 und 2.2 hatten wir folgende DGL gefunden: Ti Xa (t) + Tl xa (t) + xa (t) = K xe (t) .

Vereinfachend wollen wir annehmen, dass die Zeitkonstante Tz sehr klein sei, und vernachlässigbar. Dies wäre z. B. der Fall, wenn die Masse damit das Glied T22 xa mim Beispiel 2.1 bzw. die Induktivität in Beispiel 2.2 sehr klein bzw. Null wäre. Die so erhaltene Differentialgleichung I. Ordnung (2.8)

bzw. für t > 0 Tl xa (t) + x a (t) = K xeO

(2.9)

wollen wir nun auf verschiedene Arten lösen.

2.3.3 Lösung der Differentialgleichung durch Trennen der Veränderlichen Aus GI. (2.9) findet man durch Umstellen nach dxa/dt dX dt

1 (

a = - K xeO -x -a Tl

)

dX a und ----"----K xeO - x a

dt Tl

Durch Integration beider Seiten folgt: f

dXa = fdt K xeo - xa Tl

bzw.

-ln(K xeo Ｎｾ］ｃＫＩ｡ｸＭ

(2.10)

Tl

Unter der Annahme, dass die Ausgangsgröße xaCtJ des Systems für t = 0 Null ist, ergibt sich die Integrationskonstante C aus (2.10) mit der Anfangsbedingung xa(O) = O. Dies wiederum in Gleichung (2.10) eingesetzt, ergibt -ln(K xeO - x a ) + In(K xeo) =

;1

bzw.

In(1- KX;eo) = -

;1

und nach X a aufgelöst:

ＱＭｾ］･

Ti K xeO

(2.11)

Der Eingangssprung und die Sprungantwort haben dann den in Bild 2.8 dargestellten zeitlichen Verlauf.

2.3 Lösung der Differentialgleichung

i

23

i Bild 2.8 ----. t

Sprungfunktion und Sprungantwort

Die Kurve xaCt) hat für t = 0 die größte Steigung. Legt man an die Kurve xaCt) zum Zeitpunkt t = 0 die Tangente, so schneidet diese den Beharrungswert

xac 00) für t = Tl.

Der Verlauf der Sprungantwort ist durch die Zeitkonstante Tl und den Übertragungsbeiwert K eindeutig bestimmt. 2.3.4 Lösung der Differentialgleichung durch geeigneten Ansatz Die vorangegangene Lösungsmethode bestand darin, dass die Veränderlichen getrennt und anschließend integriert wurden. Dieser Weg ist nur bei DGL 1. und 2. Ordnung möglich. Bereits bei einer DGL 2. Ordnung ist der Aufwand ziemlich umfangreich, weil zunächst die Ordnung reduziert werden muss. a) Lösung der homogenen Differentialgleichung

Bei der Lösung der Differentialgleichung (2.8) Tl

xa (t) + x a (t) = K xe (t)

nach der jetzt zu besprechenden Methode, wird zunächst die homogene Differentialgleichung gelöst, d. h. das Störglied K xe(t) wird Null gesetzt: (2.12) Unabhängig von der Ordnung der DGL macht man nun generell den Ansatz: xa(t)=e

At

.

Es wird deshalb eine e-Funktion gewählt, weil die Ableitung einer e-Funktion ebenfalls wieder eine e-Funktion ergibt. Wir setzen nun xa (t) = e At und xa (t) = ,1 e At in die GI. (2.12) ein und bestimmen den A-Wert so, dass die Gleichung erfüllt ist: At

Ae 1] +e

At

=0 und dann (,11] +1)e At =0.

Dies ist der Fall für (,1 Tl + 1)

= 0,

1

bzw. ,1 =--. Daraus folgt, dass der gewählte Tl

Ansatz mit ,1 = -l/TI eine Lösung der homogenen DGL ist.

24

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Wie man sich leicht durch Einsetzen überzeugen kann, erfüllt auch der Ansatz xa(t)=C1e

A1

(2.13)

die homogene Differentialgleichung. Nun ist aber die zu lösende Differentialgleichung (2.8) nicht homogen, sondern mit einem Störglied Kxe(t) behaftet.

b) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung durch die Methode der Variation der Konstanten nach Lagrange Die Methode der Variation der Konstanten besteht darin, dass die Konstante Cl, in der Lösung der homogenen Differentialgleichung (2.13) durch eine Funktion Cl(t) ersetzt wird. Setzt man den modifizierten Ansatz (2.14) in die inhomogene Differentialgleichung (2.8) ein, so folgt: Tl (\(t)e-

1it

[

.

Tl Cl (t) e

Cl (t)

Nach

t T. 1

-;1

t

C l (t)e-1j

= K Xe

1

+Cl (t)e-

1it =Kxe(t)

bzw.

.

aufgelöst ergibt:

Durch Integration zwischen den Grenzen T= 0 und T= t erhält man: t

t

ｾ

fCl(T)dT=: fXe(T)eTldT.

o

10

Nach dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung ist bzw.

(2.15)

2.3 Lösung der Differentialgleichung

25

(2.15) in (2.14) eingesetzt, führt zu

Unter Berücksichtigung einer allgemeinen Anfangsbedingung xa(O) für t = 0 folgt xa(O)=CI(O) . Somit lautet die vollständige Lösung:

Die Ausgangsgröße setzt sich aus zwei Termen zusammen. Der erste Term berücksichtigt die Abhängigkeit von der Anfangsbedingung, der zweite Term ist die Reaktion der Ausgangsgröße auf die Eingangsgröße. Wählen wir wieder die Anfangsbedingung xa(O) = 0 und als Eingangsgröße die Sprungfunktion

x (t) = e

0 {

fürt 0,

so wird t

--

K

_ x a ( t ) --xeO

Tl

e

Tl

t

r

Je Tl dr o

und damit Xa

(t) = K xeO (1- e Tl ).

(2.16)

Dieses Ergebnis ist identisch mit dem zuvor gefundenen (2.11).

2.3.5 Lösung mittels Laplace-Transformation. Die Übertragungsfunktion

Bei linearen Systemen ist es vorteilhaft, die Lösung von Differentialgleichungen nicht im Zeitbereich, sondern mittels Laplace-Transformation vorzunehmen. Gemäß der Laplace-Transformation erhält man für die einzelnen DGL-Glieder unter der Voraussetzung, dass die Anfangsbedingung Null ist, folgende LaplaceTransformierten:

26

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen L [x(t)] = x(s) = s . x(s)

L

L [X(t)]=S2 ·X(S)

L [fX(t)dt]=+.X(S).

Beispielsweise treten in der DGL (2.8) an die Stelle der Glieder im Zeitbereich nun die Ein-/Ausgangsgrößen im Bildbereich:

1i xa U

+

xa = U

xe(t) U

1i ·s·xa(s)+xa(s)=K xe(s). Die Laplace-Transformierte stellt damit eine algebraische Gleichung dar und lautet: (2.17)

Allgemein ist das Verhältnis der Laplace-Transformierten Ausgangsgröße zur Laplace-Transformierten Eingangsgröße als Übertragungsfunktion G(s) definiert, deren enge Beziehung zum Frequenzgang noch besprochen wird. Für die GI. (2.17) gilt: G(s) = x a (s) = . xe(s) l+sT]

Für die Sprungfunktion xe(t) am Eingang (Bild 2.5) ist die Laplace-Transformierte 1 L [xe(t)]=xe(s)=-xeo. s

Setzt man diese in die Gleichung (2.17) ein, so folgt K

K

1

1+ sT]

1+ sT]

s

xa (s) =---xe(s) = - - - . -xeo, Aus der letzten Beziehung sind die Polstellen, d. h. die Nullstellen des Nenners s (1 + sT]) = 0 mit s] = 0 und s2 =

Ｍｾ

ersichtlich.

Die Rücktransformation in den Zeitbereich kann mittels Partialbruchzerlegung, Residuenzsatz oder Korrespondenztabelle erfolgen. Mit der Korrespondenztabelle (s. Anhang) sofort

xa (t) = K xeo (1- e 1i), die mit den zuvor gefundenen (2.11) und (2.16) identisch ist.

folgt aus der Beziehung 5

(2.18)

2.3 Lösung der Differentialgleichung

27

Im weiteren Verlauf des Buches wird zur Lösung von Differentialgleichungen ausschließlich die Methode der Laplace-Transformation benutzt. •

Beispiel 2.3 R

---+

---+

_1_

S_)_I se

)

1

Bild 2.9

ud·'; = ul')

Darstellung eines Reihenschwingkreises im Bildbereich

o

Die Spannungen U und U a eines Reihenschwingkreises (Bild 2.9) werden als Eingangs- und Ausgangsgrößen betrachtet. Es soll der Einschaltvorgang ermittelt werden, wenn die Eingangsspannung bei t = 0 von 0 auf sprungförmig geändert wird. Zur Berechnung von Einschaltvorgängen in elektrischen Netzwerken ist es nicht nötig, die DGL wie in Beispiel 2.2 aufzustellen, vielmehr kann man die aus der Theorie der Wechselstromlehre bekannten Regeln in modifizierter Form als Übertragungsfunktionen anwenden. Nach dem Ohmschen Gesetz gilt für Bild 2.9 im Zeit- und Bildbereich UR

= R·

0-.

(2.19)

= R·

uR

An der Induktivität (Bild 2.9) sind die Beziehung zwischen zeitlichen und LaplaceTransformierten Strom und Spannung wie folgt gegeben: =

(2.20)

=s.

0-.

Die Verhältnisse an der Kapazität C im Zeit- und Bildbereich sind: = C.

= s . Co Uc

0-.

bzw.

= s . C· u a

(2.21)

Für die Ausgangsspannung folgt die Laplace-Transformierte aus dem 2. Kirchhoffschen Satz:

(2.22) Setzen wir nun die GIn. (2.19) und (2.20) in die Gleichung (2.22) u

=R

+s L

+ ua

und ersetzen wir den Strom i( s) aus der GI. (2.21) durch u a( u

= s R C ua

+ s2 L C u a

so ergibt sich

+ ua (2.23)

Aus letzter Gleichung folgt nach der Differentiationsregel der Laplace-Transformation die DGL

L C ü a (t) + R C ua (t) + u a

= ue

Zur Ermittlung des zeitlichen Verlaufs der Ausgangsgröße bei gegebenem Eingang ist die DGL nicht erforderlich, sondern wird direkt aus GIn. (2.23) in den Zeitbereich zurücktransformiert.

28

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Die Übertragungsfunktion stellt das Verhältnis der Laplace-Transformierten Ausgangsgröße zur Laplace-Transformierten Eingangsgröße dar:

G(s) = u a (s) = I ue(s) s2 LC+sRC+I

(2.24)

Mit den Abkürzungen Tl = L C und Tl = R C ergibt sich die Normalform der 2. Ordnung U

(s)

(2.25)

G(s)=--= 2 2 . ue(s) T2 s +TI s+l ｾ

Aufgabe 2.1

Eine Kettenschaltung von zwei gleichartigen Vierpolen mit Ein- und Ausgangssgrößen ue(s) und ua(s) ist im Bild 2.10 gezeigt.

Bild 2.10 Kettenschaltung von zwei Vierpolen 0>-----I I I

2. Vierpol

1. Vierpol

Gegeben ist die Übertragungsfunktion der Kettenschaltung

G(s) = u a (s) = I ue(s) s2 TI T2 +s(TI +T2 +T3 )+1 mit folgenden Zeitkonstanten:

Ermitteln Sie uaCt) bei dem für t

•

=0 gegebenen Eingangssprung von der Höhe UeO mit

50 kQ

Cl = 20

R2 = 100 kQ

C2 = 10

=

(Lösung im Anhang)

Beispiel 2.4

Es soll die Übertragungsfunktion eines Feder-Masse-Dämpfer Systems (Bild 2.11) ermittelt werden.

ｾＭ

ＧｾＬ Ｇｾ

Bild 2.11 Mechanisches System

c

2.3 Lösung der Differentialgleichung

29

Die Eingangsgröße ist die Kraft F(t), die Ausgangsgröße ist der Weg x(t) der Masse m. Die Wegstrecke x(t) ist von der Federkraft FcCt) und der Dämpfer-Widerstandskraft FD(t) abhängig:

(2.26)

Fe (t) = K e x(t) und F D (t) = K D i(t) ,

worin K c und K D die Federkonstante und die Dämpfungskonstante sind. Aus dem Kräftegleichgewicht

(2.27)

m i(t) = F(t) - Fe (t) - F D (t)

erhält man die Differentialgleichung des mechanischen Systems, indem man die Gleichungen (2.26) in die GI. (2.27) einsetzt: m i(t) = F(t) - K e x(t) - K D i(t) .

Nach Laplace-Transformation folgt daraus mit den Abkürzungen

K 1 Tl = -D- und K = Ke

Ke

die Übertragungsfunktion 2. Ordnung, die mit GI. (2.25) identisch ist: G(s) = x(s) = K . F(s) Tl s2 +TI s+l

ｾ

Aufgabe 2.2

Gegeben sind das in Bild 2.12 gezeigte Netzwerk mit R-, C- und L-Elementen sowie die das System beschreibende Übertragungsfunktion: bzw. G( s ) =

ｾ .....- - - - 0

ui s)

s 2 TI T2 -1

-------''-----=---

(1 + sTI )(1 + sT2 )

Bild 2.12 RCL-Brückenschaltung (Allpaßglied)

1

sC

Die Zeitkonstanten sind durch die folgenden Abkürzungen bezeichnet:

Die Anfangsbedingungen sind Null. Es ist mit R] = 1 kQ C = 0,2 flF R2 = 100 kQ L = 1H zu ermitteln:

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

30

a) Die Ausgangsspannung ua(t) nach einem Einheitssprung der Spannung ue(t) = ueo·o(t). b) Die Werte von ua(t) für t = 0 und t = 00. Hinweis: Zur Rücktransformation in den Zeitbereich geht man am zweckmäßigsten von dem partialbruchzerlegten Ausdruck aus.

2.3.6 Lösung der Differentialgleichung bei sinusförmiger Eingangsgröße Wie ist der Verlauf der Ausgangsgröße, wenn die Eingangsgröße eine sinusförmige Schwingung ist? Diese Frage soll für das in Bild 2.13 gezeigte lineare System beantwortet werden.

Bild 2.13 Zuschalten einer sinusförmigen Spannung auf ein Re-Glied

Die Übertragungsfunktion entspricht den GIn. (2.24) und (2.25) mit Tl = RC und ohne Induktivität L bzw. mit T2 = 0: 1

G(s) = ua(s) = 1 ue(s) l+s·RC

(2.28)

1+ sTI

Die Anfangsbedingung ist Null. Für die sinusförmige Eingangsfunktion bei t> 0 A

•

(

)

A

ue t =ue sm mt+a =ue

e

-e 2j

()

-

ist die Laplace-Transformierte, gemäß der Beziehung 4 der Korrespondenztabelle

ue [e ja

ja ja ja e: -(s- jm)ee (s+ jm)e u e (s) = 2j s _ jm - s + jm = 2j . (s _ jm)(s + jm)

u

(2.29)

Mit (2.29) in (2.28) folgt:

u

ja 1 e (s+jm)eja-(s-jm)e(s)=-_· .-a 2jTI (s - jm)(s + jm) 1 s+Tl

In dieser Form sind die drei Pole mit

s2=-jm bekannt. Die Rücktransformation in den Zeitbereich erfolgt am zweckmäßigsten mittels des Residuensatzes:

2.3 Lösung der Differentialgleichung

31 (2.30)

Für die ersten zwei Pole ergeben sich die Residuen

T, e-ja

Res (s2)=

e-

1

,

1- ｪｏｊｾ

die sich wie folgt zusammenfassen lassen: - (1 + jOJT,) e-

(1- jOJT,)

Res (sI) + Res (s2) = Tl

1

1+ (OJT1)

2

1

bzw. durch trigonometrische Funktionen ausgedrückt: 2 j 1 2 Res (sl)+Res(s2)=

COS

(2.31)

a)] .

ｬＫＨｏｊｾＩ

Das Residuum des dritten Pols (

. ) e ja 1 JOJ --+

( -1 - JOJ . ) e-ja

Ij

Res(s3)=

(-

ｾ

Ij

- JOJ)(-

ｾ

T 1

e

+ JOJ)

wird vereinfacht R es ( S3 ) -

t

ja

7'

e

2

-1]

ｬＫＨｏｊｾＩ

T]

und auch durch trigonometrische Funktionen ausgedrückt: Res(s3)=

2 j

1+

1

2 [sina-OJT]cosa}]e

(2.32)

T]

(2.31) und (2.32) in (2.30) eingesetzt, ergibt: ua

=

e

l+(OJIj)

2 [Sin

+ a) -

ｏｊｾ

COS

+ a) - (sin a-

ｏｊｾ

cos a)e- ;]

l.J

32

2 Mathematische Behandlung von Regelkreisen

Da die Summe bzw. Differenz einer Sinus- bzw. einer Cosinusfunktion, bei gleicher Frequenz, stets wieder eine Sinusschwingung ergibt, kann man für die ersten beiden Terme in der eckigen Klammer schreiben: ｭｾ

sin (mt + a) -

cos (mt + a) = A sin (mt + a+ rp).

Hierin ist A die Schwingungsamplitude und rp der Phasenverschiebungswinkel der resultierenden Schwingung. Mit Hilfe der Additionstheoreme findet man: sin (m t + a + rp) = sin (m t + a) . cos rp + cos (m t + a) . sin rp und somit sin (mt + a) - ｭｾ

cos (mt + a) = A [sin (mt + a)· cos rp+ cos (mt + a)· sin rp].

Setzt man die Glieder mit sin (m t + a) bzw. cos (m t + a) beider Seiten gleich, so ergibt sich: A cos rp = I A sin rp = -m ｾ

.

Durch Division beider Gleichungen erhält man (2.33)

tan ｾｭＭ］ｰｲ und durch Quadrieren und Addieren beider Gleichungen 2 2 2 A (cos rp+sin ｲｰＩ］ｉＫＨｭｾＲ

bzw.

Somit ergibt sich die endgültige Lösung ",(t)=

ｾ [8;n (",t+tl+\1»-8;n (tl+\1»oe-*

l

Nach einer Zeit t = 5 Tl ist das Glied mit dem Faktor e 1) nahezu Null und vernachlässigbar, d. h. der Einschwingvorgang (Bild 2.14) ist abgeschlossen und die Ausgangsgröße ist dann eine ungedämpfte Sinusschwingung mit dem zeitlichen Verlauf u a (t) = ua sin (mt + a+ rp) .

(2.34)

Wie aus GI. (2.34) ersichtlich, hat die Ausgangsgröße U a im stationären Zustand die gleiche Kreisfrequenz wie die Eingangsgröße mit der Schwingungsamplitude ua A

a

u =

ue

ｾｬ + (mTt )2

.

2.3 Lösung der Differentialgleichung Die Amplitude

33

ua ist eine Funktion von mund nimmt mit zunehmendem mab.

i--+--+---jf--+--+....L-+--+----JI--+-H-+--Bild 2.14 Einschwingvorgang beim

i

Einschalten eines sinusförmigen Eingangssignals

Der Phasenverschiebungswinkel rp, den man aus der GI. (2.33) erhält: rp = -arc tan (m1]) ist stets negativ und ebenfalls eine Funktion von m. Mit zunehmender Kreisfrequenz wird der negative Phasenverschiebungswinkel rp größer. Das ist auch aus dem Systemaufbau zu erkennen. Mit zunehmender Frequenz kann die Ausgangsspannung, infolge der durch die Zeitkonstante Re festliegenden Trägheit, der Eingangsspannung nicht mehr folgen. Das behandelte Beispiel, dass zu einer DGL l.Ordnung führte, hat gezeigt, dass bei einer sinusförmigen Eingangserregung am Ausgang ebenfalls eine sinusförmige Schwingung gleicher Frequenz entsteht. Allgemein gilt bei einem linearen System, das zu einer Differentialgleichung beliebiger Ordnung führt, dass eine harmonische Schwingung am Eingang am Ausgang ebenfalls eine harmonische Schwingung erzeugt. Sinusförmige Eingangssignale werden nicht nur zur Untersuchung elektrischer Regelkreisglieder, sondern auch für pneumatische und andere Systeme angewandt. Diese Methode hat besonders bei schnellen Systemen Vorteile gegenüber der Sprungfunktion. Vielfach erfolgt die Anwendung nur theoretisch, wie bei Stabilitäts- und Optimierungsproblemen. ｾ

Aufgabe 2.3

u

Wie müsste der Phasenwinkel der Eingangsfunktion ue(t) = e sin (mt + a) gewählt werden, damit der stationäre Schwingungszustand direkt (ohne Einschwingvorgang) erreicht wird?

34

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

2.4 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich 2.4.1 Der Frequenzgang Die Rechnung bei sinusförmiger Eingangsgröße wird besonders einfach, wenn man die Sinusschwingung xe(t) = xe sin OJt

(2.35)

aus einem, um den Ursprung der Gaußschen Zahlenebene rotierenden Zeiger entstanden denkt, der auf die imaginäre Achse projiziert ist (Bild 2.15).

Bild 2.15 Zusammenhang zwischen Linien- und Zeigerdarstellung

Der Zeiger ist durch die beiden Komponenten xe cos OJ t und j. xe sin OJ t eindeutig festgelegt: xe(t) = xe (cos OJt + j. sin OJt).

Nach der Eulerschen Gleichung ist: cos OJ t + j . sin OJ t = e

•

Damit wird: xe (t) = Xe e

jOJ1

(2.36)

Das heißt, wir betrachten nicht nur die imaginäre Komponente des rotierenden Zeigers, sondern wir nehmen noch die reelle Komponente hinzu. Anstelle von (2.35) schreibt man nun (2.36). Wird ein lineares System am Eingang mit einer Sinusschwingung xe(t) erregt, dann wird, wie im vorherigen Abschnitt abgeleitet, auch die Ausgangsgröße xa(t) im eingeschwungenen Zustand einen sinusförrnigen Verlauf haben. Bei gleicher Frequenz haben Amplitude und Phasenlage von Ein- und Ausgangsgrößen im Allgemeinen verschiedene Werte. Die Ausgangsgröße xa(t) ist gegenüber der Eingangsgröße xe(t) um den Phasenwinkel (jJ verschoben, wie Bild 2.14 zeigt.

35

2.4 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich Der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße ist somit: xa (t) =

xa (sin OJt + rp)

Betrachten wir die Ausgangsgröße entsprechend der Eingangsgröße als rotierenden Zeiger, so können wir schreiben:

x

xa

= a

(2.37)

.

Das Verhältnis der Zeiger von Ausgangs- zur Eingangsgröße bezeichnet man als Frequenzgang. Dieser ist, wie wir später sehen werden, nicht mehr eine Funktion der Zeit, sondern vonjOJ

x

x

G( .OJ) = _a_ = a .

J

xe (t)

jrp

(2.38)

_a__

xe e

xe

Bei elektrischen Systemen gewinnt man den Frequenzgang mittels der Methoden der Theorie der Wechselströme. In diesem Abschnitt soll der Frequenzgang, wie bei nichtelektrischen Systemen üblich, aus der Differentialgleichung abgeleitet werden. Dafür stellen wir zuerst die zeitlichen Funktionen (2.36) und (2.37) der Ein- und Ausgangsgrößen xe(t) und xa(t) im Frequenzbereich als Funktionen vonjOJdar: (2.39) (2.40) Unter Beachtung der Ableitungsregeln der Exponentialfunktionen d -e

dt

.

= JOJ·e

erhalten wir die zeitlichen Ableitungen der Eingangsgröße der GI. (2.39) wie: Xe(jOJ) = jOJ' xe

bzw.

Xe (jOJ) = jOJ' xe (jOJ)

.. (' ｾ xe J OJ) -_ ('J OJ)2 . Xe

bzw.

xe(jOJ) = (jOJ)2 ·xe(jOJ)

ｘｾ (j OJ) = (j OJ)3 . Xe

bzw.

X"e (jOJ) = (jOJ)3 . Xe (jOJ)

usw.

Ähnlich ergeben sich die zeitlichen Ableitungen (2.40) der Ausgangsgröße zu:

xa (jOJ) = jOJ' xa (jOJ)

Nach GI. (2.1) lautet die allgemeine Form der Differentialgleichung:

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

36

... + a3 x·a (t) + az xa (t) + al xa (t) + ao x a (t) bo xe(t)+b l xe(t)+b Z xe (t)+b 3 x·e(t)+···

Setzen wir xevm) und xavm) sowie deren Ableitungen in diese allgemeine Differentialgleichung ein, so wird:

... + a3 . (jm)3 x a (jm) + az . (jm)z xa (jm) + al . (jm) x a (jm) + ao . xa (jm) bo . xe (jm) + b l . (jm) xe (jm) + bz . (jm)Z xe (jm) + b3 . (jm)3 xe (jm) + ... Auf der linken Seite der Gleichung lässt sich der gemeinsame Faktor xaVm) und auf der rechten Seite xeVm) herausziehen. Bildet man nach der GI. (2.38) das Verhältnis xaVm) zu xeVm), so folgt der Frequenzgang GVm) . x (jm) bo + b l . (jm) + bz . (jm)z + b3 . (jm)3 + ... G(j m) = a = ---=---=--------=-------=-----xe(jm) ao +al ·(jm)+az . (jm)z +a3 . (jm)3 + ...

•

Beispiel 2.5

Gegeben ist die Differentialgleichung Tl Xa (t) + Tl xa (t) + x a (t) = K xe (t) (siehe Beispiele 2.1 und 2.2).

Zu ermitteln ist der Frequenzgang GVm). Setzt man die Ein- und Ausgangsgrößen xe(t) und xa(t) als Funktionen vonjm in die DGL ein, so ergibt sich: Tzz . (jm)z x a (jm) + Tl . (jm)xa (jm) + x a (jm) = K xe (jm) . Daraus folgt: G(. ) = x a (jm)

jm

. xe(jm)

= z

zK

TZ ·(jm) +TI ·(jm)+1

.

2.4.2 Die Ortskurve In Abschnitt 2.3.6 wurde gezeigt, dass eine Sinusfunktion als Eingangsgröße eine Sinusschwingung gleicher Frequenz am Ausgang zur Folge hat. Die Amplitude und die Phasenlage der Ausgangsschwingung sind abhängig von der Frequenz. Um das Verhalten eines Regelkreisgliedes durch sinusförmige Erregung beurteilen zu können, genügt es nicht, die Schwingung der Ausgangsgröße bei nur einer Frequenz zu ermitteln, sondern es müssen die Amplitude und die Phasenlage bezogen auf die

2.4 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich Eingangsgröße für alle Frequenzen von m = 0 bis m =

00

37 bekannt sein. Die Eingangs-

größe xe(t) hat immer die gleiche Amplitude xe . In Bild 2.16b und d sind die Sinusschwingungen für Ein- und Ausgangsgröße für zwei verschiedene Frequenzen OJI und Oll dargestellt, wobei OJI < Oll ist. Verwendet man anstelle der Linienbilder die Zeigerbilder, so gelangt man zu der in Bild 2.16a und c gezeigten Darstellung. I

Xe'fl

t A

xe

__

---jh--'-(fJl A

a)

--

Re

.------------

x a1

Im

i --Re .--------------A

c)

x a1

Bild 2.16 Ein- und Ausgangsgröße bei verschiedenen Frequenzen im Zeiger- und Linienbild

Im Zeigerbild bleibt die Länge und die Lage des Zeigers xe für alle Frequenzen gleich. Lediglich die Länge und Lage des Zeigers

xa

ändert sich in Abhängigkeit von der

Frequenz. Normiert man die Eingangsgröße auf den Wert xeO gangsgröße ｾ｡

ｾ｡

.

Für verschiedene Frequenzen

= 1,

dann wird die Aus-

m ergeben sich dann verschiedene

xe

-Werte mit jeweils verschiedenen Phasenwinkeln (jJ zu xeO

= 1.

xe

Zeichnet man die bei den verschiedenen Frequenzen erhaltenen Ausgangszeiger ｾ｡

xe in ein Schaubild, wie in Bild 2.17 gezeigt ist, und verbindet die Endpunkte der Zeiger durch einen geschlossenen Kurvenzug, so stellt dieser die Ortskurve des Frequenzganges dar.

Zur Beschreibung eines Regelkreisgliedes genügt die Ortskurve mit dem Frequenzmaßstab. Ist sie bekannt, so kann daraus der Frequenzgang, die Differentialgleichung und die Sprungantwort ermittelt werden.

38

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder Im

t 0)=0

0)=00

--Re

Bild 2.17 Ortskurve des Frequenzganges

Will man die Ortskurve aus dem Frequenzgang ermitteln, so wird der komplexe Ausdruck in Real- und Imaginärteil zerlegt und für verschiedene Frequenzen in die Gaußsche Zahlenebene eingetragen. Die Ermittlung der Ortskurve aus dem Frequenzgang soll nun an einem Beispiel gezeigt werden. •

Beispiel 2.6

Gegeben ist die Übertragungsfunktion eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung

x a (s) xe(s)

lOundT=O,ls.

1 + sT

Es ist der Verlauf der Ortskurve zu ermitteln. Der Frequenzgang ergibt sich aus der Übertragungsfunktion, indem wir die komplexe Variable s durchjO)ersetzen.

Der Frequenzgang ist eine komplexe Größe, die sich in der Gaußschen Zahlenebene darstellen lässt. Zur Trennung von in Real- und Imaginärteil wird mit dem konjugiert komplexen Ausdruck des Nenners erweitert: =

1+

.11-

=

=Re(G)+

1+

Daraus ergibt sich:

Re (G) =

1+

und Im (G) =

2 .

Variiert man nun 0)= Obis 0)= 00, so ergibt sich für jeden diskreten 0)- Wert je eine reelle und eine imaginäre Komponente, die zusammen einen Punkt in der Gaußschen Zahlenebene ergeben.

39

2.4 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich In der folgenden Tabelle ist das für verschiedene Ortskurve in Bild 2.18 wiedergegeben. OJ

Re(G) Im(G)

2 4 6 9,6 8,6 7,35 -1,92 -3,44 -4,41

0 10 0

8 6,1 -4,88

OJ

-Werte in sec

15 3,07 -4,6

10 5 -5

20 2 -4

-1

durchgeführt und als

30 1 -3

40 0,59 -2,36

00

0 0

Im

t 2

2

4

6

8

01=0

Bild 2.18 Ortskurve eines Gliedes I.Ordnung

Die Ortskurve ist ein Halbkreis im vierten Quadranten. Der Frequenzgang G(jOJ) lässt sich in Betrag I G(OJ) I und Phasenwinkel rp(OJ) zerlegen: IG(OJ)I

= ｾｒ･Ｒ

2 (G) + 1m (G)

=ｾ

K 1+ (OJT)2

Im(G)

rp(OJ) = arctan - - - = -arctan (OJT). Re(G)

Bemerkenswert ist, dass für die so genannte Eckfrequenz OJ = OJE = l/T der Realteil von G(j OJ) gleich dem negativen Imaginärteil von G(jOJ) ist, d. h. Re(G) = - Im(G) =KI2. Oder anders ausgedrückt, der Betrag I G( OJ) I ist für OJE nur noch ｾ

J2

gegenüber dem Betrag K für OJ = o.

Die Phasenverschiebung beträgt bei dieser Frequenz gerade - 45°.

2.4.3 Beziehung zwischen Ortskurve und Sprungantwort Betrachtet man eine Differentialgleichung 1. Ordnung des Typs T xa (t)

+ x a (t) = K

xe (t)

mit dem Eingang XeO = 1 und vergleicht die Sprungantwort (Bild 2.7) mit der Ortskurve (Bild 2.17), so kann man bestimmte Wechselbeziehungen erkennen (Bild 2.19): •

Für t = 0 hat die Sprungantwort den Wert xa(O) = O. Diesen Wert finden wir aus der Ortskurve für OJ = 00 mit IG( 00) I= O. Daraus folgt xa(j OJ)

•

=xa(joo) = O.

Für t = 00 nimmt die Sprungantwort den Wert xi 00) = K XeO an. Den gleichen Wert hat die Ortskurve für

OJ

= 0,

xa xe

=K .

40

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder Im

t

i

.1 T

Bild 2.19 Sprungantwort und Ortskurve eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung

Die Sprungantwort und Ortskurve nehmen die gleichen Werte an für t = 0 und OJ= 00, sowie für t = 00 und OJ = O. Diese Wechselbeziehung gilt allgemein und erklärt sich aus den Grenzwertsätzen: lim xa (t) = lim s· xa (s)

t ---.0

s---'oo

lim

= lim

(2.42)

s ---. 0

t ---'00

Für einen Eingangssprung (siehe Abschnitt 2.3.1, Bild 2.5) ist xe (s) = xeO und somit s G(s) x a (s) = G(s)' xe (s) = - - . XeO S

bzw. s· Xa (s) = G(s)' XeO'

Setzt man nun die letzte GI. in die GIn. (2.41) und (2.42), so wird die Beziehung zwischen Zeit- und Frequenzbereich wie folgt formuliert: lim xa (t) = lim G(s)' xeo

t ---.0

s ---. 00

lim x a (t) = lim G(s)' xeo.

s---.o

t ---'00

Ein weiterer charakteristischer Wert ist die Zeitkonstante •

Bei t =

•

1 Für Eckfrequenz OJE = - gilt

ｾ

Aufgabe 2.4

:

erreicht die Sprungantwort 63% des Beharrungszustandwertes xa(00) OJE) =

-45 0

•

Auf ein System, das durch die Übertragungsfunktion G(s) = - - =

xe(s)

p

v

l+sTI

beschne-

ben wird, wirkt ein Eingangssprung. Es ist für t = 0 und t = 00 im Bildbereich mittels Grenzwertsatz zu bestimmen und mit den entsprechenden Punkten der Ortskurve zu vergleichen.

2.4 Beschreibung von Regelkreisen im Frequenzbereich

41

2.4.4 Das Bode-Diagramm Bei der Ortskurvendarstellung in Abschnitt 2.4.2 wird der Frequenzgang G(jm) in Real- und Imaginärteil zerlegt und in einem einzigen Diagramm in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt. Die Darstellung im Bode-Diagramm erfolgt in zwei getrennten Diagrammen, indem der Frequenzgang in Betrag IG( m) I und Phasenwinkel cp( m) zerlegt und als Funktion der Kreisfrequenz m dargestellt wird. Charakteristisch ist, dass IG(m) I und m im logarithmischen Maßstab (in Dezibel und in Dekaden), cp(m) im linearen Maßstab aufgetragen wird. In Kapitel 5 wird das Bode-Diagramm ausführlich behandelt und die Vorteile dieser Darstellungsart besprochen. •

Beispiel 2.7

. Beispiel . 2. 6 als Ortskurve dargestellte Frequenzgang G() Der m s = xa(jm) . =

xe(}m)

K. l+]mT

mit K = 10 und T = 0,1 s, soll nun im Bode-Diagramm dargestellt werden. Wie in Beispiel 2.6 ermittelt, sind:

IG(m)l= ｾ

1+ (mT)2

und cp(m) =-arctan(mT),

indem der Betrag in Dezibel umgerechnet wird: I C( m) 1 dB = 20 Ig 1 C( m) Variiert man m von 0 bis 00, so erhält man für jeden diskreten m- Wert je einen Wert des Betrags und des Phasenwinkels die in Bild 2.20 als Bode-Diagramm dargestellt sind.

Icl

40dB

dB

i 20dB 20·1gK

ｾ

OdB 0,1

10 I

I I I I

I

0° 0,1

10

100

(w)

i

-4SO Ｍ ｾＭ Ｍ Ｍ Ｍ Ｍ

Bild 2.20 Bode-Diagramm eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung

42

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

2.5 Beschreibung von Regelkreisen mit Übertragungsfunktionen 2.5.1 Verbindungsmöglichkeiten von Regelkreisgliedern In Kapitel I wurde gezeigt, dass man den Regelkreis im Wirkungsplan darstellen und dabei in zwei Hauptblöcke unterteilen kann, in die Regelstrecke und die Regeleinrichtung. Um die mathematische Beschreibung des Regelkreises als Gesamtheit zu vereinfachen, zerlegt man jeden der beiden Hauptblöcke in einzelne, rückwirkungsfreie Glieder, die sich nun besser theoretisch erfassen lassen. Ist die Abhängigkeit zwischen Ausgangsgröße X a und Eingangsgröße Xe sämtlicher zur Regelstrecke bzw. zur Regeleinrichtung gehörenden Glieder bekannt, so lässt sich eine Aussage über die Abhängigkeit zwischen Eingang und Ausgang der Regelstrecke, der Regeleinrichtung und schließlich über das Verhalten des geschlossenen Regelkreises machen. Zur Beschreibung von Regelkreisgliedern gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie die in den vorangegangenen Abschnitten gezeigten Differentialgleichung, die Sprungantwort, die Übertragungsfunktion, sowie Frequenzgänge, Ortskurven und BodeDiagramme. Ist die Übertragungsfunktion bekannt, so gibt diese das Verhältnis der Laplace-Transformierten Ausgangsgröße zur Laplace-Transformierten Eingangsgröße durch die Beziehung: xa

=

wieder. Die Darstellung erfolgt dann wie in Bild 2.21 gezeigt. Bild 2.21 Blockdarstellung im Bildbereich

Bei der rückwirkungsfreien Kopplung mehrerer Übertragungsglieder ergeben sich besonders einfache Beziehungen. Als rückwirkungsfrei bezeichnet man ein System, dessen Signalfluss nur vom Eingang zum Ausgang erfolgt. Im Folgenden werden drei Grundformen der Kopplung von zwei Regelkreisgliedern mit den Übertragungsfunktionen Gj und beschrieben.

a) Reihenschaltung Der Ausgang des ersten Gliedes ist, wie Bild 2.22 zeigt, mit dem Eingang des zweiten Gliedes verbunden. Bild 2.22 Reihenschaltung von Regelkreisgliedern

Betrachtet man die einzelnen Glieder, so ergibt sich: und

2

e

2.5 Beschreibung von Regelkreisen mit Übertragungsfunktionen Ferner ist: xal (s) = 2 (s)

Daraus folgt:

e 2 (s) .

= G 2 (s)·

43

2 (s)

= G 2 (s)· GI (s)· xel (s)

bzw. die Gesamtübertragungsfunktion 2 (s) G(s) = - - =

G 2 (s)· GI

Bei Reihenschaltung von n Gliedern mit den Übertragungsfunktionen GI (s), G2(S), Gn(s) ist die Übertragungsfunktion des gesamten Systems gleich dem Produkt der einzelnen Übertragungsfunktionen G(s) =

GI (s)· G 2 (s)· .... G n (s)

b) Parallelschaltung

Das Eingangssignal

verzweigt sich und wirkt gleichzeitig auf die beiden Eingän-

ge der Glieder mit den Übertragungsfunktionen GI (s) und G2(S) (Bild 2.23). Die beiden Ausgangssignale Xal (s) und X 2(S) werden in einer Additionsstelle addiert.

Bild 2.23 Parallelschaltung von Regelkreisgliedem

+ Für das erste und für das zweite Glied gilt: xal (s)

= GI (s)· xe (s)

Ferner ist:

(s) = xal (s)

und

+

2 (s)

= G 2 (s)· xe (s)

2 (s)

Daraus folgt: X

(s) =

[GI (s) + G 2 (s)]·

bzw. die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems: a (s) G(s) = - - = xe (s)

GI (s) + G 2

Schaltet man n Glieder mit den Übertragungsfunktionen GI (s), G2(S), Gn(s) parallel, so ist die Übertragungsfunktion des gesamten Systems gleich der Summe der einzelnen Übertragungsfunktionen G(s) =

GI (s) + G 2 (s) + ... + G n (s)

44

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

c) Rückführungsschaltung Wie Bild 2.24 zeigt, wird die Ausgangsgröße xa(s) des ersten Gliedes GI (s) über ein zweites Glied mit G2(S) auf den Eingang von GI (s) zurückgeführt und zu der Eingangsgröße xe(s) addiert (Mitkopplung) oder von der Eingangsgröße subtrahiert (Gegenkopplung).

Bild 2.24 Rückkopplungsschaltung

+

Für den oberen Block gilt: x a (s) = GI (s)· [xe(s) ± x a 2 (s)]

und für den unteren Block (im Rückführzweig): x a2 (s) = G2 (s)· x a (s).

Setzt man Xa2(S) in die obere Gleichung ein, so erhält man: xa (s) = GI (s)· [xe(s) ± G2 (s)· xa (s)] bzw. Xa (s) . [1 =+=

GI (s) G2 (s)] = GI (s) . xe (s) .

Daraus folgt die Übertragungsfunktion der Rückführschaltung: G(s)=xa(s)= _ GI(s) , xe (s) 1 + GI (s) G 2 (s)

Mitkopplung Gegenkopplung ｾ

ｾ

negatives Vorzeichen positives Vorzeichen.

2.6 Behandlung des statischen Verhaltens Ein Regelkreis befindet sich unter der Wirkung von Eingangsgrößen, die man mittels Führungs- bzw. Störverhalten abwechselnd untersuchen kann. Der Regler soll den aktuellen Wert der Regelgröße ständig dem vorgegebenen Arbeitspunkt der RegeIstrecke Xo anpassen. Dies erfolgt durch die Ansteuerung der Stellgröße

die im

Arbeitspunkt einen bestimmten Wert Yo annimmt. Von ausschlaggebender Bedeutung für die Aussage über die Güte der Regelung sind die Abweichungen vom Arbeitspunkt, die wir im Abschnitt 2.1 durch Kleinbuchstaben und bezeichnet haben. Zum Beispiel gilt für den in Bild 2.25 gezeigten Regelkreis:

= Xo +

= Yo +

= Zo +

(2.43)

2.6 Behandlung des statischen Verhaltens

45

r---._X_(s_).

Bild 2.25 Wirkungsplan eines Regelkreises mit Führungs- und Störgröße

Im stationären Zustand soll keine Abweichung der Regelgröße vorkommen, d. h. bei t = 00 soll x(t) = 0 und X = Xo, um das Verhältnis Istwert = Sollwert beizubehalten.

2.6.1 Statische Kennlinien Wie in den Abschnitten 2.1 und 2.2 gezeigt wurde, kann das dynamische Verhalten einzelner Regelkreisglieder sowie des gesamten Regelkreises durch gewöhnliche, lineare Differentialgleichungen in allgemeiner Form beschrieben werden. Die Beschreibung des statischen Verhaltens kann man aus der Differentialgleichung des dynamischen Verhaltens erhalten, indem man alle zeitlichen Ableitungen gleich Null setzt. •

Beispiel 2.8

Aus einer DGL der Regelstrecke für das dynamische Verhalten

a3 X(t)+a2 X(t)+aj X(t)+ao X(t)=b O Y(t)+b i Y(t)+CO Z(t)

(2.44)

entsteht die folgende Beschreibung des statischen Verhaltens:

aO X = bO Y + Co Z .

(2.45)

In der GI. (2.45) bewirkt eine Veränderung der Stellgröße oder der Störgröße eine proportionale Veränderung der Regelgröße, somit handelt es sich um eine lineare Regelstrecke. Die GI. (2.45) soll auch für den Arbeitpunkt gelten, d. h.

ao X 0 = bO YO + Co

Zo .

(2.46)

Subtrahiert man die GI. (2.46) von GI. (2.44) und berücksichtigt dabei die Gleichungen (2.43), so entsteht die DGL der Regelstrecke für das dynamische Verhalten von kleinen Abweichungen vom Arbeitspunkt (Kleinbuchstaben):

a3 x"(t) + a2 x(t) + aj x(t) + aO x(t) = bO y(t) + b j jet) + Co z(t) .

Bei realen Regelstrecken liegen jedoch oft Nichtlinearitäten vor, wie z. B. bei Ventilen, die einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen dem Ventilhub und dem Volumenstrom besitzen. Dabei entstehen nichtlineare Beschreibungen, wie folgende Beispiele mit multiplikativen oder nichtlinearen Funktionen und mit konstanten Koeffizienten Kj und K2 zeigen: X=Kj"Y·Z

X = K j • Y + K 2 " sin Z .

46

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

Das statische Verhalten kann grafisch abgebildet werden. Da in einem geschlossenen Regelkreis beim Störverhalten die Ausgangsgröße des Reglers gleichzeitig Eingangsgröße der Regelstrecke ist, wie in Bild 2.26 gezeigt, können die statischen Kennlinien der Regelstrecke und des Reglers in ein Diagramm eingetragen werden. Z

w=o -x - - "0------.

Bild 2.26 Wirkungsplan eines Regelkreises beim Stärverhalten

+

In Bild 2.27 ist das nichtlineare Kennlinienfeld X = !(Y, Z) einer Regelstrecke und die

Kennlinie eines linearen Reglers Y = KpR X mit der Steigung KpR = L1Y / L1X dargestellt, wobei KpR der Proportionalbeiwert des Reglers ist. Die Werte im Arbeitspunkt

A sind Xo, Yo und Zoo Das statische Verhalten des Regelkreises wird durch Einzeichen der Kennlinie des Reglers in das Kennlinienfeld der Regelstrecke, und zwar mit dem Vorzeichenumkehr, dargestellt, wie es beispielsweise in Bild 2.28 für das Störverhalten gezeigt ist.

x

z

i

y

i

I

r"KpR ---7

I

--Y

00

I I

-A

l--

dY

K pR = -

\

dX

.---.--x

Bild 2.27 Kennlinienfeld einer Regelstrecke (links) und Kennlinie eines Reglers (rechts)

x

i

Bild 2.28 Zusammenwirkung von Regler und Regelstrecke beim Stärverhalten

47

2.6 Behandlung des statischen Verhaltens

Nehmen wir zuerst an, dass der Regler unwirksam ist. In diesem Fall wird eine Veränderung der Störgröße z. B. von Zo auf Z2 bei der konstanten Stellgröße Yo zum Wechsel des Arbeitspunktes führen, nämlich vom Punkt A zum Punkt B. Wirkt der Regler im Regelkreis, so entspricht die Stellgröße der Reglerkennlinie (Punkt C). Die Steigung der Reglerkennlinie des Reglers muss also entgegengesetzt zur Steigung der Kennlinien der Regelstrecke sein, um die Abweichung

("mit Regler") ge-

("ohne Regler") zu minimieren. Je größer der Proporti-

genüber der Abweichung

onalbeiwert KpR des Reglers bzw. die Steigung der Reglerkennlinie im Bild 2.27 wird, desto flacher liegt die Gerade im Bild 2.29 und desto kleiner wird die Abweiim geregelten Zustand. Außerdem folgt aus dem Bild chung der Regelgröße 2.28, dass in diesem Kreis ein proportionaler Regler im geregelten Zustand eine Abvom Arbeitspunkt Xo bzw. vom Sollwert W hinterlässt.

weichung

2.6.2 Statischer Regelfaktor Nachdem die Regelgröße einen Beharrungszustand 00) = lim

eingenommen hat, kann der Erfolg der Regelung, wie im Bild 2.29 gezeigt, durch einen Vergleich der bleibenden Regeldifferenzen "mit Regler" 00) ausgedrückt werden.

Regler" lim

Für

(00) und "ohne

= lim s·

= lim s·

= wo = const ist

= Wo s

s· Wo

lim

Gw

(2.47)

und somit ·lim Gw(s).

S

i

____ L w

_

=0

z=o

i

ＭｾＺ｟

.

----. t

Bild 2.29 Sprungantworten beim Führungsverhalten (links) und Störverhalten (rechts)

(2.48)

48

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

Es wird der so genannte reelle bzw. statische Regelfaktor RF eingeführt _ em.R.(oo) R Feo.R. (00)

und unter Beachtung von

00) =

-

00) in folgende Form gebracht:

_ w-xm.R.(oo) R F. w - xo.R. (00)

Dadurch wird angegeben, wie stark die Änderung einer der Eingangsgrößen des Regelkreises (Störgröße oder Führungsgröße) durch die Regelung beseitigt wird. Je kleiner der Regelfaktor ist, desto weniger wirkt die Störgröße auf die Regelgröße und desto effektiver ist der Regler. Abhängig von Eingangsstörung wird der Regelfaktor nach zwei verschiedenen Formeln, wie im Bild 2.29 angedeutet, berechnet: Führungsverhalten

RF =

w - xm.R. (00) w-O

=

Störverhalten

w- xm.R. (00) w

R _ O-xm.R.(oo) _ -xm.R.c oo ) Fo- xo.R.c 00) - xo.R. (00)

Der statische Regelfaktor kann durch die Kreisverstärkung ausgedrückt werden. Sind beispielsweise im Regelkreis (siehe Bild 2.25) der Regler und die Teilstrecke mit Proportionalbeiwerten KpR und KpSy enthalten, so gilt für den statischen Regelfaktor: I RF = - - = I+Vo

I

(2.49)

I+K pR K pSy

Der Regler muss also mit dem Einstellparameter KpR so ausgelegt werden, dass bei stabiler Funktionsweise ein möglichst kleiner Regelfaktor entsteht. In nachfolgenden Kapiteln wird gezeigt, dass ein Regler mit integrierender Wirkung keine bleibende Regeldifferenz 00) hinterlässt und damit einen statischen Regelfaktor von RF = 0 besitzt.

2.6.3 Linearisierung mit analytischen Verfahren Das nichtlineare Kennlinienfeld einer Regelstrecke kann durch die Tangente im Arbeitspunkt (Xo, Y0, Zo) linearisiert werden. Dabei wird die Funktion X = f (Y, Z) durch das Differential

dX = (dX ) . dY + (dX ) . dZ dY dZ

°

°

(2.50)

beschrieben. Der Index 0 steht für die Arbeitpunktwerte Xo, Yo und Zoo Die partiellen Ableitungen im Arbeitspunkt bezeichnet man durch die Koeffizienten KpSy und Kpsz

2.6 Behandlung des statischen Verhaltens

KPSy -_(dX) dY 0

49

KpSz =(dX) . dZ 0

(2.51)

Bezeichnet man dX, dY und dZ in GI. (2.50) unter Beachtung der GI. (2.43) durch kleine Abweichungen x, y und z vom Arbeitspunkt, so ergibt sich aus GIn. (2.50) und (2.51) die linearisierte Beschreibung des statischen Verhaltens

x = K PSy

. Y + K pSz . z .

Das Prinzip der Linearisierung ist in Bild 2.30 verdeutlicht. Die Variablen X, Y, und Z (Großschreibung) beschreiben die ursprüngliche nichtlineare Regelstrecke. Die linearisierte Regelstrecke wird durch die Abweichungen x, y, und z (Kleinschreibung) vom Arbeitpunkt A definiert und besteht aus zwei getrennten Teilstrecken für Stellund Stärsignale, deren Ausgänge addiert werden.

X=f(Y, Z) x

X

ＺｾＭ

I I

°1

I , I ,I' L

_ --

,

-

A

-y .

Yo

-Y

Bild 2.30 Eine nichtlineare Regelstrecke vor (links) und nach (rechts) der Linearisierung •

Beispiel 2.9

Eine Regelstrecke, die durch die Differentialgleichung

T22 'X(t)+T ＮｘＨｴＩＫ］ＳｹＲＵｾｚ

(2.51)

beschrieben wird, soll im Arbeitspunkt Yo = 2 und Zo = 4

linearisiert bzw. in der Form x = K PSy . Y + K PSz . Z dargestellt werden. Für das statische Verhalten sind

X(t) = 0

und

X(t) = 0 . Aus der GI. (2.51) ergibt sich

Die gesuchten Proportionalbeiwerte sind partielle Ableitungen im Arbeitpunkt:

2 Mathematische Behandlung einzelner Regelkreisglieder

50 K pSy

］Ｈｾ Ｉｯ

=(2.3.Y)o =2·3·Yo =12

K PSz = (

ｾ

) 0 = ( 5 , 2Jz

l

=5.

Ｒｾ

= 1,25 .

2.6.4 Linearisierung mit grafischen Verfahren

Wenn das nichlineare Verhalten der Regelstrecke nur im Form eines Kennlinienfeldes gegeben ist, lassen sich die Proportionalbeiwerte KpSy und Kpsz grafisch als die Steigung der Tangente zu Kennlinien X = f(Y) und X = feZ) bestimmen (Bild 2.31). •

Beispiel 2.10

Das Kennlinienfeld einer Regelstrecke ist in Bild 2.32 gegeben. Die Regelstrecke soll im Arbeitspunkt Yo = 4 und Zo = 4 linearisiert werden.

1 4 3 2

Bild 2.31 Kennlinienfeld einer Regelstrecke

o

4

2

6

8 -y

Die Steigung der Tangente zur Kennlinie X = wählten Punkten Mund N: K

PSy

ergibt sich mit Hilfe von zwei beliebig ge-

=(M) = X M -X N = 1,6-4 =035. i1Y 0 YM -YN 0-6,9 '

Um die Kennlinie X = (Z) für die Ermittlung der Steigung der Tangente KpSz nicht gesondert zu skizzieren, wählen wir die Punkte Bund C, die vom Arbeitpunkt Zo = 4 gleichermaßen um ± L1Z = 0,5 entfernt sind. Damit wird die Steigung der Sekante berechnet, die sich von der Tangente für kleine Abweichungen L1Z nur gering unterscheidet: K pS =(M) =XB-X c = 4-1,8 =-22 z

L1Z 0

ZB - Zc

3,5 - 4,5

,.

Das gesuchte statische Verhalten der linearisierten Regelstrecke im Arbeitspunkt ist: x = 0,35 y - 2,2 z.

51

3 Die Regelstrecke Die Regelstrecke ist derjenige Teil einer Anlage, in dem die zu regelnde physikalische Größe (Regelgröße x) durch die Regeleinrichtung beeinflusst wird. In den meisten Fällen ist sie fest vorgegeben und in ihren Kennwerten nur wenig veränderbar. Während die Kennwerte der Regeleinrichtung vom Hersteller rechnerisch oder experimentell ermittelt und bekanntgegeben werden, sind die Kennwerte der Strecken vor der Projektierung der Regelung fast immer unbekannt. Bei der Projektierung einer zu regelnden Anlage sind zunächst die Kennwerte der Regelstrecke experimentell zu ermitteln, die dann eine Einordnung ermöglichen. Mit den so gefundenen charakteristischen Daten lässt sich dann der Regelkreis weiter mathematisch untersuchen, so z. B. auf seine Stabilität oder auf sein optimales Regelverhalten. Bei schwierigen Regeistrecken wird diese zusammen mit der Regeleinrichtung auf einem pe simuliert. Nur in den seltensten Fällen ist die Berechnung von Regelstrecken durch Aufstellen und Lösen von Differentialgleichungen möglich. Die in diesem Kapitel theoretisch behandelten einfachen Grundtypen von Regelstrecken sollen nur dazu dienen, das Zustandekommen der charakteristischen Kenngrößen zu erklären und sollen kein Anreiz zur Berechnung von Regelstrecken sein. Der Wirkungsplan des Regelkreises wurde in Bild 1.6 dargestellt. Ihm entnehmen wir den in Bild 3.1 gezeigten Wirkungsplan der Regelstrecke. Eingangsgröße der Regelstrecke ist y, die Summe aus der Stellgröße YR und der Störgröße z. Ausgangsgröße ist die Regelgröße x. Gs(s) ist die Übertragungsfunktion der Strecke.

z(s)

YR(')

1 +

-----+0 +

Bild 3.1

Y(')

[

•

Gs (s)

ｾ

Wirkungsplan der Regelstrecke

Die Einteilung der Regelstrecken erfolgt nicht nach den zu regelnden physikalischen Größen, sondern nach ihrem zeitlichen Verhalten. Dabei ist es unwichtig, ob es sich um die Drehzahl einer Turbine, die Temperatur in einem Glühofen oder den Druck in einem Behälter handelt. Auch das Zeitverhalten der Regelstrecken kann in den meisten Fällen durch gewöhnliche lineare Differentialgleichungen von der allgemeinen Form beschrieben werden:

... + a3

x(t)

+ a2

+ al

x(t)

+ aO

... + T;

x·(t)

+ T22 x(t) + Tl

x(t)

+ x(t) =

x(t)

x(t) = y(t)

(3.1)

bzw. K PS . y(t) .

(3.2)

Die höchste Ordnung dieser DGL kennzeichnet die Ordnung der Strecke. Eine Strecke mit den Beiwerten ao und al bezeichnet man als eine Strecke 1. Ordnung, eine solche mit den Beiwerten ao, al und a2 als eine Strecke 2. Ordnung usw.

S. Zacher M Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9837-1_3, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

52

3 Die Regelstrecke

Ferner unterteilt man die Regelstrecken in: •

Strecken mit Ausgleich und

•

Strecken ohne Ausgleich.

Man spricht von einer Strecke mit Ausgleich, wenn nach einer sprunghaften Verstellung der Eingangsgröße y(t) die Ausgangsgröße x(t) (Regelgröße) für t ｾ 00 wieder einen neuen Beharrungszustand x( 00) annimmt, wie Bild 3.2 zeigt. Für ｾ 00 wird der Beharrungszustand erreicht, x ist dann konstant, d. h. es findet keine zeitliche Änderung von x mehr statt, folglich sind alle Ableitungen i(t), x(t), x(t) usw. Null.

x

i x(co)

Im Beharrungszustand wird also aus Gleichung (3.1) ao x(oo) = Yo, x(oo)=K pS Yo·

1

__ t

1 x(oo)=-yo, ao

Bild 3.2

(3.3)

Sprungantwort einer Regelstrecke mit Ausgleich

Hierin ist y(t) = YO = konstant der Eingangssprung. Strecken mit Ausgleich bezeichnet man auch als proportionale oder kurz P-Strecken, weil im Beharrungszustand die Ausgangsgröße proportional der Eingangsgröße ist, gemäß GI. (3.3). Bei Strecken ohne Ausgleich wird bei einer Sprungfunktion am Eingang die Regelgröße x keinen Beharrungswert annehmen, sondern monoton anwachsen, wie in Bild 3.3 gezeigt.

I-Strecke x

1

In der Differentialgleichung (3.1) drückt

I-Strecke 1. Ordnung

sich das so aus, dass der Beiwert ao = 0 ist.

... + a3 :f(t) + a2 x(t) + al i(t) = y(t)

I-Strecke 2. Ordnung (gedämpft schwingend)

_t

Bild 3.3

Sprungantwort einer Regelstrecke ohne Ausgleich

bzw.

f

... + a3 x(t) + a2 i(t) + al x(t) = y(t) dt .

(3.4)

Strecken ohne Ausgleich werden wegen der in GI. (3.4) gefundenen Beziehung auch integrale oder kurz I-Strecken genannt.

53

3.2 P-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung

3.1 P-Strecken ohne Verzögerung Eine Regelstrecke, die zur folgenden Gleichung führt ao

bzw.

=

, mit K PS = _1_, ao

= K PS'

in der also die Glieder mit der 1. bis n-ten Ableitung fehlen, bezeichnet man als eine Strecke O. Ordnung. Gibt man auf den Eingang einer solchen Strecke eine Sprungfunktion, so wird die Ausgangsgröße sich ebenfalls sprunghaft ändern, die Ausgangsgröße folgt ohne zeitliche Verzögerung proportional der Eingangsgröße (Bild 3.4).

ｦｾ -l--b,

x

i

x (00) =

Bild 3.4 Eingangssprung (links) und Sprungantwort (rechts) einer Strecke O. Ordnung

Kps'Yo ----+ t

Solche Strecken sind höchst selten, man findet sie näherungsweise in rein ohmschen Netzen oder in hydraulischen Systemen, in denen keine nennenswerte Kompressibilität auftritt.

3.2 P-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung Diese Strecken bzw. die Hintereinanderschaltung solcher Strecken ist die am häufigsten in technischen Anlagen vorkommende. • mw

Warmwasserbehälter (Bild 3.5)

Beispiel 3.1

Masse des Wassers

= 1200 kg Wh/

= 1,163

kg K

= 200 kg = 0,134 Wh/kg K

A d

=3mm = 0,052 W/mK

t9a

= (273 + 15) K

t1a

spezifische Wärme des Wassers Masse des Behälters spezifische Wärme des Behälters Oberfläche des Behälters Dicke der Isolationsschicht Wärmeleitfähigkeit der Isolationsschicht Außentemperatur Anfangstemperatur des Wassers

,------------ 1) werden die beiden Pole negativ s-Ebene reell (aperiodischer Fall).

b) Für a =

ß

jw

(D = 1) ergibt sich eine doppelte Polstelle,

mit SI = s2 = - a (aperiodischer Grenzfall).

jw

--.----+--+ ( j

c) Für a < ß (0< D < I) werden die beiden Pole konjugiert komplex

512 ＲｄＭｉｾ￟ｪﾱ｡Ｍ］

1It-----

, :---a---. ,,,

(gedämpfte Schwingung).

jw

(j

)

d) Für

= 0 (D = 0) wird der Realteil der beiden Pole

Null, d. h. die Pole werden rein imaginär (ungedämpfte Dauerschwingung).

jw

= ±jß

ß (j

ß e) Für a < 0 (D < 0) ist die Abklingkonstante negativ, die beiden Pole haben einen positiven Realteil

51,2 ＲｄＭＱｾ￟ｪﾱ｡Ｋ］ (aufklingende Schwingung).

jw

- - ---lil

,, ,, ,, , , a-:, ,,

(j

-----fc

Für das durch die Übertragungsfunktion (3.28) beschriebene System sind nur die Fälle a) und b) möglich (D ｾ 1), denn

67

3.3 P-Strecken mit Verzögerung 2. Ordnung

Mit der Abkürzung a=

ｾ

Tl T2

bzw.! = a

ｾ

T2 Tl

wird

Daraus folgt a = + I bzw.

=

Die Dämpfung des Systems ist dann

= 1 (ein Minimum), da für a

=+ I die 2. Ableitung 2

d D 1 --2-=3>0 ist.

da

a

Für *ist die Dämpfung stets größer als Eins. Bild 3.12 zeigt die Sprungantworten eines Systems 2. Ordnung bei verschiedener Dämpfung.

i

----+ t

Bild 3.12 Sprungantworten eines Systems 2. Ordnung bei verschiedenen Dämpfungen I - aperiodischer Fall D>I 2 - aperiodischer Grenzfall D= I 3 - gedämpfte Schwingung 0 gedämpfte Schwingungen. ß 2T2 2br Die zugehörige Sprungantwort berechnet sich entsprechend Beispiel 3.5. ｾ

Aufgabe 3.4

Für das durch die Übertragungsfunktion (3.78) gegebene System ist der Verlauf der Ortskurve zu bestimmen. Beweisen Sie, dass für die Resonanzfrequenz

W=W r

］￟ｾＱＭＲｄ

gilt

3.6 I-Strecken ohne Verzögerung Eine Regelstrecke, deren Ausgang proportional dem zeitlichen Integral der Eingangsgröße ist, bezeichnet man als integrale Strecke oder kurz als I-Strecke: = KI

f

0--.

1 s

Die letzte Gleichung entsteht durch Laplace-Transformation und führt zu der Übertragungsfunktion der I-Strecke: =

］ｾＮ

s

Im einführenden Abschnitt dieses Kapitels wurde bereits gesagt, dass eine solche Strecke ohne Ausgleich ist. Es sollen hier noch einige Beispiele zur Erläuterung gebracht werden.

84 •

3 Die Regelstrecke Beispiel 3.7

Bild 3.22 zeigt eine Füllstands-Regelstrecke, deren Zufluss Qe proportional der VentilsteIlung Y (Eingangsgröße) angenommen wird

(3.79)

Qe (t) = k Y(t).

Y

e::::::t*1

Mittels der Pumpe wird aus dem Behälter die Menge Qa abgepumpt. Es ist leicht einzusehen, dass für Qe = Qa das Volumen im Behälter und damit der Flüssigkeitsstand H (Ausgangsgröße) unverändert bleiben wird. Bild 3.22 Füllstands-Regelstrecke Für Qe *- Qa ergibt sich die zeitliche Volumenänderung im Behälter zu

(3.80) und durch Integration

(3.81) Die Integrationskonstante C ergibt sich aus der Anfangsbedingung. Bei konstantem Abfluss Qa (t) = QaO = konst. wird das Eingangsventil mit Y = Yl so eingestellt, dass

und H = Ho ist. Damit folgt aus (3.81)

C=H O' Diese Anfangsbedingung in (3.81) eingesetzt, ergibt

H(t)=

ｾｦ｛ｫｙＨｴＩＭｫｙｪ｝､ｴＫｈｯＮ

(3.82)

Führt man den Integrierbeiwert K,s = k / A ein und betrachtet, wie in der Regelungstechnik üblich, nur die Änderungen von Ein- und Ausgangsgröße (siehe Abschnitt 2.1), so kann man mit

h = H - HO und

y = Y - Yj

schreiben

h(t) = K I f y(t) dt .

(3.83)

3.6 I-Strecken ohne Verzögerung

85

Für einen Eingangssprung y(t) = Ya . a(t)

wird

(3.84)

h(t) = K I . Ya . t mit der in Bild 3.23 gezeigten Sprungantwort.

i

Bild 3.23 Sprungantwort einer I-Strecke ohne Verzögerung

-t Die Übertragungsfunktion ergibt sich aus (3.83) durch Laplace-Transformation zu GS(s)= h(s) y(s) ｾ

］ｾＮ

(3.85)

s

Aufgabe 3.5

Ermitteln Sie den Verlauf der Ortskurve des durch (3.85) gegebenen Systems. Für welche Kreisfrequenz aJwird IGs(JaJ) = I?

I

•

Beispiel 3.8

Bild 3.24 zeigt den Support einer Werkzeugmaschine, der durch die Spindel mit der Gewindesteigung a translatorisch bewegt wird.

Bild 3.24 Support einer Werkzeugmaschine

Dreht sich die Spindel mit der Drehzahl n, so ist die zeitliche Änderung der Längsbewegung des Supports

dX (t) = a . n(t) dt

(3.86)

bzw. der zurückgelegte Weg

X(t) = a In(t) dt

+ x(O).

(3.87)

86

3 Die Regelstrecke

Betrachten wir wiederum nur die Wegänderung gegenüber dem Anfangswert X(O) und bezeichund den Integrierbeiwert = so erhalten wir mit - X(O) = nen x(t)

=

(3.88)

fn(t) dt

eine analoge Beziehung zu GI. (3.83). ｾ

Aufgabe 3.6

Zeigen Sie, dass für einen Kondensator mit der Kapazität C zwischen dem Strom i (Eingangsgröße) und der Spannung u (Ausgangsgröße) eine zu GI. (3.88) analoge Beziehung besteht.

3.7 I-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung Bei I-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung beginnt die Sprungantwort, im Gegensatz zu denen ohne Verzögerung, mit der Anfangssteigung Null. In der Differentialgleichung kommt das durch ein weiteres Glied mit der 1. Ableitung der Ausgangsgröße zum Ausdruck. Die Übertragungsfunktion einer solcher Strecke kann als Reihenschaltung einer I-Strecke mit einer P-TI-Strecke dargestellt werden:

y(s)

•

］ｾＮｾ］

s

l+sTI

s(l+sTI )

Beispiel 3.9

-i

y

1 Bild 3.25 Werkzeugschlitten, angetrieben von einem fremderregten Gleichstrommotor R clPQ n a

=0,3 Q =0,905 Nms 2

(Ankerwiderstand) (Trägheitsmoment der rotierenden Massen) = 2,33 Vs (Erregerfluss) = Drehzahl der Motorwelle = 1 mmlUmdr. (Gewindesteigung)

Eingangsgröße ist die Klemmenspannung y, Ausgangsgröße der vom Werkzeugschlitten zurückgelegte Weg x. Die Ankerinduktivität sei vernachlässigbar klein. Für den Ankerkreis gilt

y(s) = i(s)' R + ccPO . W(s).

(3.89)

87

3.7 I-Strecken mit Verzögerung 1. Ordnung Der Ankerstrom i erzeugt mit dem konstanten Fluss

1. ß 2T2 ' Zu b): Durch Einsetzen von GR und GS in GI. (4.18) erhalten wir die Führungsübertragungsfunktion

G ()= x(s) = w s

w(s)

KpRK pS 2 2 s T2 +sTI +1 + KpRK pS

(4.33)

Für w(s)= wO /s ergibt sich

x(s) =

K PR K PS .W 2 2 0 s(s T2 +sTI +1+K pR K pS )

(4.34)

und daraus nach dem Grenzwertsatz

x(oo) = lim x(t) = lim s· x(s) = wO' lim G w (s) t---?oo

x( 00 ) =

K

PR

s---?O

K

. Wo

PS

s---?O

.

(4.35)

1+ KpRK ps Die bleibende Regeldifferenz

e( 00 ) = Wo - x( 00 ) = ist identisch mit GI. (4.29). Zu c): Aus GI. (4.33) folgt

1

I+K pR K ps

. Wo

(4.36)

4 Regeleinrichtungen

112

Hierin ist 2 _ 1+

ß2

-

PR

Tl

PS

T2 2

und a2 = 2Tf .

Für den geschlossenen Regelkreis errechnet sich die Dämpfung zu

a2 D2 = = ß2 Ｍ［］ｾ

Tl

Ｒｔ ｾＱＫｋｰｒ ｳ

ｾＱＫ

(4.37) KpRK ps

D 2 =0,5 w, so wird sich der Steuerkolben nach oben bewegen, bis infolge der größeren Federkraft wieder ein Gleichgewicht eintritt. Dies bewirkt, dass der mittlere Steuerkolben den Druckkanal freigibt, der auf die Unterseite des Stellkolbens wirkt.

Gleichzeitig wird durch den oberen Steuerkolben der Saugkanal freigegeben, so dass das im oberen Teil des Stellzylinders befindliche Öl abströmen kann. Die Änderungsgeschwindigkeit, mit der sich der Stellkolben nach oben bewegt, ist proportional der freigegebenen Kanalöffnung bzw. proportional der Regeldifferenz, konstanter Öldruck vorausgesetzt. dYR (t) _ e(t) dt

bzw. YR (t) = KIR fe(t)dt.

4.3.2.1 1-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-Tl-Strecke Regelstrecke und Regeleinrichtung sind zu einem Regelkreis gemäß Bild 4.21 zusammengeschaltet.

Bild 4.21 Regelkreis gebildet aus einer P-T 1Strecke und einer I-Regeleinrichtung

Im Folgenden soll wieder das Führungs- und Stärverhalten untersucht werden.

a) Führungsverhalten Ausgehend von der Führungsübertragungsfunktion GI. (4.18) erhalten wir für das System nach Bild 4.21

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen G (s)= x(s) =

GR(s)GS(s)

K1RK ps

=

I + G R (s)G s (s)

w(s)

W

115

(4.43)

s2 T ] + s + KIR K PS

Wie GI. (4.43) zeigt, ist die Ordnung des geschlossenen Kreises um Eins höher als die der ungeregelten Strecke. Indem wir in GI. (4.43) den Koeffizienten der höchsten Potenz von s des Nennerpolynoms zu Eins machen, erhalten wir mit den Abkürzungen ß2 = K1RK pS T]

G () = x(s) W

s

I

a=-

und

=

w(s)

s

2

2T]

ß2

+ s· 2a+ ß

(4.44)

2 .

Ein Maß für die Dynamik des Systems ist die Dämpfung

D=a= ß

1

(4.45)

Ｒｾｋｉｒｰｳｔｬ

Wir sehen aus (4.45), dass durch Vergrößern von KIR die Dämpfung verringert wird und für D < 1 zu gedämpften Schwingungen führt. Der stationäre Endzustand der Regelgröße x bei Annahme einer sprungförmigen Führungsgröße W(t) = Wo . (J'(t)

0--.

w(s) = Wo

s

bestimmt sich aus GI. (4.43) zu x(s)=Gw(s).w(s)=Gw(s). Wo

s

und mittels Grenzwertsatz erhalten wir x(oo) = lim x(t) = lim s· x(s) = wo' lim G w (s) ］ｾｴ

ｯｾｳ

ｯｾｳ

x(oo) = wo.

Das heißt, die bleibende Regeldifferenz e( 00 ) = Wo - x( 00 ) = 0 .

(4.46)

b) Störverhalten

Ganz entsprechend erhalten wir mit der Störübertragungsfunktion GI. (4.20) und den gegebenen Übertragungsfunktionen GR und Gs Gz(s)

= x(s) = z(s)

Gs(s) 1+ ｾ (s)Gs(s)

s·Kps

s

2

11 + s+ KIRK pS

(4.47)

116

4 Regeleinrichtungen

Die Nenner Gz und G w (GI. (4.47) und GI. (4.43», die das dynamische Verhalten eines Systems bestimmen, sind gleich und ebenso die Dämpfung. Mit den Abkürzungen

ß 2=

und a= 1/2 G (s)= x(s) = K z(s) Z

.

erhalten wir s s2+ s . 2a +ß2

(4.48)

und (4.49) Für einen Störsprung z(t) = Zo . C5(t)

0-.

z(s) ］ ｾ

s

wird x(oo)= lim x(t) = lim s·x(s)=O. ｴｾｯ

(4.50)

ｳｾｯ

Das heißt, der Einfluss der Störgröße wird vollkommen beseitigt. Das untersuchte System zeigt bei Führung und Störung das gleiche dynamische Verhalten. Wie in diesem Kapitel noch gezeigt werden wird, ist das nicht generell so. Es kann vorkommen, dass im Zähler- und Nennerpolynom von Gw oder Gz gemeinsame Linearfaktoren enthalten sind, die sich herauskürzen und somit die Ordnung des Systems reduzieren. Der Vorteil der I-Regeleinrichtung besteht darin, dass nur eine vorübergehende, keine bleibende Regeldifferenz auftritt. Trotz bestehender Störgröße wird nach abgeschlossenem Regelvorgang der Sollwert wieder erreicht. Nachteilig ist, dass mit zunehmendem I-Einfluss (größerem KIR) die Dämpfung kleiner wird. •

Beispiel 4.4

Für den Regelkreis nach Bild 4.21, mit KIR

=0,1

s-l

= 2

soll das Führungsverhalten von sich die Dämpfung zu

a

1

D=-=

für

=025 0

ps K zo0 1+ K PR K PS

(4.113)

Da wir nur die Änderung von x infolge z betrachten und nicht die Absolutwerte, stellt (4.113) die durch z verursachte bleibende Regeldifferenz dar. Durch Vergleich von (4.113) mit der in Abschnitt 4.3.1.1 für einen Regelkreis mit P-Regler abgeleiteten

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

135

Beziehung (4.32) wird evident, dass eine PD-Regeleinrichtung ebenso wie eine PRegeleinrichtung nicht in der Lage ist, den Einfluss einer Störung vollkommen zu kompensieren, sondern nur auf K ps

----=-=-- Zo 1+ KpRK ps

zu mindern. Die Gegenüberstellung in Bild 4.37 zeigt, dass die beiden Forderungen nach möglichst gutem Führungs- und Störverhalten kontrovers sind und nicht gleichzeitig erfüllt werden können. So wird z. B. das Führungsverhalten am günstigsten, wenn Ty gleich der größten Streckenzeitkonstante gewählt wird. Das Störverhalten ist dann aber keineswegs optimal. Ein Kompromiss, der ein befriedigendes Führungs- und Störverhalten liefert, wird für D = 11 J2 erreicht. Der Nachteil der PDRegeleinrichtung ist die bei der Regelung von P-Strecken auftretende bleibende Regeldifferenz. Wie durch die GI. (4.79) zum Ausdruck kommt, bringt die Regelung von I-Strecken mittels PI-Regler Schwierigkeiten bezüglich der Dämpfung, während der Einsatz eines PD-Reglers zumindest für das Führungsverhalten keine bleibende Regeldifferenz ergibt. ｾ

Aufgabe 4.6

Gegeben ist ein Regelkreis bestehend aus einer I-Strecke mit

und einer PD-Regeleinrichtung. Ermitteln Sie die Sprungantwort für

W(t) = Wo . (J(t) .

4.3.6 PID-Regeleinrichtung Durch Kombination der drei grundsätzlichen Zeitverhalten (P, I und D) gelangt man zur PID-Regeleinrichtung, deren Stellgröße YR gleich der Addition der P-, 1- und DRegeleinrichtungen ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird: de(t) YR (t) = K PR e(t) + K I e(t)dt + K D - dt

J

(4.114)

bzw.

J

KI K D de(t)] . YR(t)=K pR e(t)+-e(t)dt+---[ K pR K pR dt Mit den bereits bekannten Zeitkonstanten T ］ｾ n

K K

K

I

und T =_D_ y K pR

(4.115)

4 Regeleinrichtungen

136 wird

Je(t)dt + Ty -de(tdt-J] .

YR (t) = K PR e(t) + - 1 [ T

n

(4.116)

Die Übertragungsfunktion der idealen PID-Regeleinrichtung folgt aus (4.116) durch Laplace-Transfonnation zu

[1

]

YR (s) GR(s)=--=K pR l+-+sTy . e(s) sTn

(4.117)

Bringen wir diesen Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner, so wird GR

YR (s)

=--=

e(s)

s2TnTy + sTn + 1

PR Ｍ ＢＭ ＭＧ Ｍ ｾＭ

(4.118)

sTn

Die Nullstellen dieses Ausdrucks liegen bei sI2=1- [ -1±

.

2Ty

Pf4T

Y 1--• . Tn

(4.119)

Für n ｾ 4 y liegen zwei reelle Nullstellen vor und der Zähler in (4.118) lässt sich in zwei reelle Linearfaktoren zerlegen YR(s) , ＨＱＫｳｔｾＩ［ GR(s)=--=K pR e(s) .,

ｔｾ

l1llt K pR =K pR - ; Tn

(4.120)

, sTn n

］ＭｾＮ sI

'

y

__ 1 s2

Die Form (4.120) ist besonders geeignet, wenn Polstellen der Strecke durch Nullstellen der Regeleinrichtung kompensiert werden sollen. Ferner ist diese Zerlegung vorteilhaft zur Darstellung im Bode-Diagramm. Zwischen den Parametern der GIn. (4.118) und (4.120) bestehen die folgenden Beziehungen: PR =

, ( T;) ｔｾ

(4.121)

PR 1 +

Sowohl in (4.118) als auch in (4.120) ist der Zähler von höherer Ordnung als der Nenner, d. h. eine solche PID-Regeleinrichtung ist physikalisch nicht realisierbar. Zur Ermittlung der Sprungantwort erhalten wir mit e(t) = eo . O'(t)

aus GI. (4.117)

0--.

e(s) = ｾ

s

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

YR (s) = KPRe o

[.!. s

++

+Ty

137 (4.122)

-.

s Tn

Durch Rücktransformation in den Zeitbereich folgt aus (4.122) die Sprungantwort der idealen PID-Regeleinrichtung YR(t)=KPReo[l+

;n

YR

+T 5(t)}4.123)

i

mit dem in Bild 4.38 dargestellten Verlauf. Zur Realisierung einer PID-Regelo einrichtung gibt es viele Möglichkeiten, - - - - - - - - - - ｾＭｩＧ z. B. durch parallele Erzeugung des P-, 1Tn----.rl--- Tn und D-T I-Anteils mittels der Schaltung nach Bild 4.11,4.19 sowie 4.30 und Addition der Ausgangsgrößen durch einen Summierer (Bild 4.8).

-- t

Bild 4.38 Sprungantwort eines idealen PIO-Reglers

Bild 4.39 zeigt eine vielfach angewandte Schaltung, ähnlich der PD-T 1Regeleinrichtung nach Bild 4.33. Das in der Rückführung liegende T-Glied ist allerdings durch den als Impedanzwandler geschalteten Operationsverstärker OP2 entkoppelt (s. a. Abschnitt 4.1, Bild 4.6, GI. (4.8a». Man spricht hier von aktiver Rückkopplung, während in Bild 4.33 eine passive Rückkopplung vorliegt. Am nichtinvertierenden Eingang des OP2 liegt die durch den Spannungsteiler gebildete Spannung

(4.124)

Bild 4.39 PIO-T 1-Regeleinrichtung mit aktiver Rückführung

YR(s) 0----------'-+-------''-----4-------0-

Für den invertierenden Eingang V.M. gilt

i1(s) = i z (s)

(4.125)

4 Regeleinrichtungen

138 . . () e(s) mIt I[ s = - -

(4.126)

R[

X2(S)

=-X2(s)

sC 2

(4.127)

1+ sC 2 R 2

1

R2+-sC 2

Setzen wir (4.126) und (4.127) in (4.125) unter Berücksichtigung von (4.124) ein, so folgt: YR(s) R 2 (1+SC2R2)[1+sC3(R3+Rp)] GR(s)=--=-e(s) R[ sC 2R 2 (1+sC 3R p )

(4.128)

und mit den Abkürzungen , 2 pR = - ;

R[

GR Hierin ist

YR(s)

=--=

e(s)

,

,

Tn =C 2 R 2 ;

T =C3 (R 3 +R p );

T[=C 3R p ;

, ＨｬＫｳｔｾＩ pR - - - - = - - - - - - - - ' - - - ｳｔｾ (1 + sT[)

(4.129)

die die Verzögerung bewirkende parasitische Zeitkonstante. Die Über-

tragungsfunktion des realen PID-T [-Reglers kann man sich durch Reihenschaltung des idealen PID-Reglers nach (4.120) und eines P-T [-Gliedes mit 1 G(s)=-1+ sT[ = 0 geht GI. (4.129) in GI. (4.120) über.

entstanden denken. Für Rp = 0 bzw.

•

Sprungantwort

Zur Ermittlung der Sprungantwort der PIDT [-Regeleinrichtung lösen wir (4.129) nach

YR

i

YR(S) auf und erhalten mit e(t) = eo . O'(t)

0--.

e(s) =

ｾ

s

und Vernachlässigung des negativen Vorzeichens )(1 + ｳｔｾ pR (1 + ｳｔｾ YR(s)=eoT'T ( ) n [ 2 1 s s+-

)

(4.130)

Bild 4.40 Sprungantwort einer PID-T [-Regeleinrichtung

Durch Rücktransformation in den Zeitbereich mittels Residuensatz erhält man

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

(s

+tc st (1 +

ｳｔｾＩＨＱ

+ 1 s+Tl

ＫｾＩ ｾ

ｓｔｾＩＮ

Ｈｔｾ

+

139

ｔｾ

+

ＲｳｔｾＩ

- (1 +

ｳｔｾ

)(1 +

ｳｔｾＩ

('+ ;J ｔｾ

n

'

ｔｾＩ

+TI2(1 - - )(1 - - C- ;]) bzw. Tl Tl

T'

ｔｾ Je

-T]t •

cO·

(4.131)

Mit den Beziehungen (4.121) kann die Übertragungsfunktion (4.129) in 2

G (s) - K R

-

PR

s TnTy +sTn +1 sTn (1 + sTI )

(4.132)

umgeformt werden. Für die Sprungantwort erhalten wir dann die Beziehung Tl t Tl Ty -T: YR (t)=K pR l - - + - - ( l - - - - ) C t1 CO, Tn Tn Tn Tl

1

r

(4.133)

Aus den GIn. (4.131) und (4.133) folgt für t = 0 , ｔｾ Ty YR (0) = K PR - Co = K PR - Co . Tl Tl

Für große t-Werte erhalten wir die Gleichung der Asymptote:

ｔｾ

-11 t] co=KpR [1T-l- +t] , [ 1+--,-+-, YRA(t) = K pR - co· Tn Tn Tn Tn Diese nimmt für t = Tl den folgenden Wert an:

,(

YRA (Tl) = K PR 1 + ｔｾｔｾＩ

Co = K PR Co .

Bild 4.40 zeigt den Verlauf der Sprungantwort. • Frequenzgang und Ortskurve Der Frequenzgang des PID-TI-Reglers folgt aus (4.132), indem wir s durchjw ersetzen

140

4 Regeleinrichtungen (4.134)

Zur Diskussion des Ortskurvenverlaufs zerlegen wir (4.134) in Real- und Imaginärteil 2

Tn -1] + OJ TnTy1] Tn [I+(OJ1])2]

Re (G ) = K R

PR

Im

(i)

i Re

Bild 4.41 zeigt den Ortskurvenverlauf des PID-, PID-T)- und PID-T2-Reglers. ｉｾＭ Ｋ ［ ｴ ,...-

PID-T)-Regler: aJ

Re (GR)

Im (GR)

0

K PR (I- ;:)

-00

K pR

0

Ty K pR T)

0

1

ｾｔｮＨｹＭＩ 00

4.3.6.1

y

pR 1]

Bild 4.41 Ortskurvenverlauf des PID-, PID-T)-und PID-T2-Reglers

PID-Regeleinrichtung zur Regelung einer P-Tz-Strecke

Im Folgenden soll der Regelkreis nach Bild 4.42 untersucht werden.

Jz

KpR,Tn,Ty

t- ＭｬｾＺｊＶＮｌｲ｣

K pS ,T),T22

w -0 e

+

J

I GR(s)

+

Gs(s)

Bild 4.42 Regelkreis gebildet aus einer P-T2-Strecke und einer PID-Regeleinrichtung

x

Die Regelstrecke habe eine Dämpfung D > 1, mit der Übertragungsfunktion x(s)

GS(S)=--=

Y(s)

ps

ps

s2 T22 + sT) + 1

(1 + sTa )(1 + sTb )

.

,mIt Tb >Ta.

(4.135)

Für die Übertragungsfunktion der Regeleinrichtung wählen wir GI. (4.120), in der der Zähler in Linearfaktoren zerlegt ist. YR(s) , ＨｬＫｳｔｾＩｉ GR (s) = - - = K pR e(s)

, sTn

(4.136)

4.3 Zeitverhalten stetiger Regeleinrichtungen

141

a)

Die Führungsübertragungsfunktion lautet mit (4.135) und (4.136) in (4.18) G

=

1

=

w

,

a )(1 + b ) " )(1 + PS (1 +

(4.137)

(1 +

ｾｔｳ

PR

Es ist naheliegend, in GI. (4.137) ｔｾ

+1 y )

gleich der größten Zeitkonstante der Strecke

(z. B. ｾｔ = zu wählen und = Somit kürzen sich die beiden Linearfaktoren heraus und reduzieren die Ordnung des Systems auf G

=

w

=

1, 1+s-,----'-'--n

(4.138)

Zur Ermittlung des stationären Endwertes von W(t) =

für

= Wo

0--.

s

erhalten wir aus GI. (4.137) = Gw

= Gw

Wo

s

und mittels Grenzwertsatz = lim

= lim

lim G w

=

t---'too

(4.139)

=

Unabhängig von der Wahl von ｔｾ und und unabhängig von der Ordnung der P-Strecke wird durch den I-Anteil die bleibende Regeldifferenz gleich Null.

b)

Mit (4.135) und (4.136) in (4.20) erhalten wir die Störübertragungsfunktion Gz (S )

=

ｳｔｾｋｰ

=

(1 +

a )(1 +

b) +

(l

+

n )(1 +

Bedingt durch den I-Anteil wird der Einfluss der Störgröße für t = Gz , und mit beseitigt. Aus (4.141) folgt z(t) = zo .

erhalten wir

0--.

= Gz

. ｾＮ

s

=

ｾ

s

Der Grenzwertsatz liefert

•

(4.141)

ｾ

00

vollkommen

y )

(1.141a)

142

4 Regeleinrichtungen x(oo)= 1im x(t) = 1im s·x(s)=zo· 1im Gz(s)=O. ｴｾ］

ｳｾｯ

(4.142)

ｳｾｯ

Im Gegensatz zum Führungsverhalten kann die Ordnung von (4.141) nicht reduziert werden. Wählen wir auch hier ｔｾ =Tb und T; =Ta , so folgt aus (4.141) G (s) = x(s) = z

z(s)

sTbK PS (1 + sTa )(1 + sTb )(K K PS

+ sTb )

bzw. (4.143)

Für die gewählten Reglerparameter sind, wie GI. (4.143) zeigt, sämtliche Pole des Kreises negativ reell und somit das System stabil. Dies ist nicht generell so. Wie in Kapitel 6 gezeigt werden wird, kann bei ungünstiger Wahl von n bzw. ｔｾ das System instabil werden. In diesem Fall, der explizit vorliegenden Pole erhalten wir für (1.l41a) und aus (4.143) mittels Residuensatz die Sprungantwort

(4.144)

mit dem in Bild 4.43 gezeigten Verlauf. Der dritte Term in der eckigen Klammer von GI. (4.144) wird für großes PS vernachlässigbar klein. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass von den in diesem Kapitel behandelten Regeleinrichtungen der PID-Regler, infolge der

x

i -----------1---------

drei Parameter KpR, T und T am anpassungsfähigsten ist. Durch den I-Anteil tritt sowohl beim Führungs- als auch beim Störverhalten eine vorübergehende aber keine bleibende Regeldifferenz auf.

00

Ferner kann die Ordnung des Systems durch geeignete Wahl der Parameter reduziert werden.

Bild 4.43 Störsprungantwort des Regelkreises nach Bild 4.42 für ｾｔ =Tb und T; =Ta

__ t

143

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren Das Bode-Diagramm dient neben der Ortskurve zur graphischen Darstellung des Frequenzganges. Während man bei der Ortskurvendarstellung den Frequenzgang G(jOJ) =

a (jm)

xe (jOJ) nach Betrag und Phase in einem einzigen Diagramm in der Gaußschen Zahlenebene darstellt, werden im Bode-Diagramm der Betrag von G und der Phasenwinkel rp in zwei getrennten Diaframmen als Funktionen der Kreisfrequenz OJ aufgetragen. Für die Darstellung von G I = J( OJ) ist sowohl OJ auf der Abszisse als auch das Amplitudenverhältnis IG I auf der Ordinate im logarithmischen Maßstab geteilt. In einem zweiten Diagramm ist dann der Phasenwinkel rp im linearen über der Kreisfrequenz OJ im logarithmischen Maßstab aufgetragen. Durch die logarithmische Darstellung erhält man leicht zu konstruierende Asymptoten des wirklichen Kurvenverlaufs I G I = J( Bei der Hintereinanderschaltung von mehreren Frequenzgängen ergibt sich der Gesamtfrequenzgang aus dem Produkt der einzelnen Frequenzgänge. Der besondere Vorteil der Darstellung eines solches Frequenzganges im Bode-Diagramm besteht darin, dass durch die Logarithmierung die Produktbildung auf eine einfache Addition zurückgeführt wird.

5.1 Bode-Diagramme einfacher Frequenzgänge Im Folgenden sollen die Bode-Diagramme von Regelkreisgliedern mit elementarem Zeitverhalten behandelt werden, deren Frequenzgänge bereits in den vorherigen Kapiteln abgeleitet wurden. Häufig wird der Amplitudengang wie in der Nachrichtentechnik üblich, in Dezibel (dB) aufgetragen. Definitionsgemäß gilt 1

(5.1)

G(jOJ) I dB = 20 .lgl G(jOJ)

Bei der Darstellung des Amplitudenganges IG(jOJ) I ist Folgendes zu beachten: a)

Für die Ordinate und Abszisse ist der gleiche logarithmische Maßstab zu verwenden (z. B. 50 mmlDekade oder wie bei logarithmisch geteiltem Papier 62,5 mmlDekade).

b)

Die lV-Achse wird stets so gelegt, dass sie die Ordinate bei

I G(jOJ) I

= 1 bzw.

I G(j OJ) IdB = 0 schneidet. c)

Durch die logarithmische Teilung der OJ - Achse lässt sich die Frequenz OJ = 0 nicht darstellen. Im Schnittpunkt der OJ - Achse mit der Ordinate wählt man OJ gleich einer lOer Potenz, die dem darzustellenden Problem angepasst ist, d. h. 2 (l0-1 ... 10- )

x.

Hierin ist

x

die größte Zeitkonstante des Systems.

S. Zacher M Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9837-1_5, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

144

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

5.1.1 Bode-Diagramm des Po-Gliedes Der Frequenzgang eines Po-Gliedes ist: . x a (jm) G(jm) = . = K p = konstant xe(jm) G(jm) = I G(j01) I e j9J (W)

Daraus folgt:

IG(j01) 1= K p

und 1, so lässt sich das P-T2-Glied in zwei P-T I-Glieder zerlegen. Die Darstellung von in Reihe geschalteten Gliedern in Bode-Diagramm soll im folgenden Abschnitt behandelt werden.

5.2 Darstellung in Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm 5.2.1 Konstruktion des Bode-Diagramms mittels Einzelfrequenzgängen Sehr häufig treten in einem Regelkreis Reihenschaltungen der im vorigen Abschnitt behandelten einfachen Übertragungsglieder auf. So kann z. B. ein PIO-Glied als Reihenschaltung eines PI- und eines PD-Gliedes aufgefasst oder in ein 1- und zwei PDGlieder zerlegt werden. Sind n Glieder mit den Frequenzgängen GI (J m), G2(J m), ... Gn(}m) in Reihe geschaltet, so ist der Gesamtfrequenzgang gleich dem Produkt der einzelnen Frequenzgänge G(jm) = GI (jm) . G 2 (jm)· ... · G n (jm) .

(5.23)

Zur Darstellung des Gesamtfrequenzganges im Bode-Diagramm wird G(jm) in Betrag und Phase zerlegt. G(jm) = I G(jm)

I

Auf GI. (5.23) angewandt ergibt:

(5.24)

154

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

G(j())) = I GI (j()))

Ie jqJj (m) ·1 G 2 (j())) Ie j

I

G(j())) = GI (j())) 1·1 G 2 (j()))

..

··1 G n (j())) Ie jqJn (m)

I· .. ··1 G n (j())) I· e j (lpj+qJ2+ .. ·+qJn) .

(5.25)

Durch Vergleich der GIn. (5.25) und (5.24) folgt

I G(j())) I= I GI (j())) 1·1 G 2 (j())) 1· .. ··1 G n (j())) I

(5.26)

und = rpl (())) +

(())) + ... +

rpn (())) .

(5.27)

Infolge der logarithmischen Darstellung des Amplitudenganges aus GI. (5.26) durch Logarithmieren

IG( j ())) I erhält man (5.28)

oder

I G(j())) IdB

=20lgl GI (j())) 1+ 20lg I G 2 (j())) I + ... + 20lg I G n (j()))

I

(5.29)

n I G(j())) IdB = I I Gi (j())) IdB . i=l

I G( j())) I dB ergibt sich Ordinaten der Amplitudengänge I GI (j())) I dB,

Das heißt, der Amplitudengang des Gesamtfrequenzganges durch einfache Addition der einzelnen

IG2(}())) IdB, ... , IGn(}())) IdB. Das Gleiche gilt auch für die Asymptoten. Den Phasengang erhält man, entsprechend GI. (5.27), ebenfalls durch Addition der einzelnen Phasengänge ffJJ (())), CfJ2( ())), ... , ffJn( ())). •

Beispiel 5.1

Zwei P-T j-Glieder und ein PD-Glied sind in Reihe geschaltet, mit den Übertragungsfunktionen

K P_l_ GI (s) = __ l+sTI

Kpl = 2

G 2 (s)= K p2 1+ sT2

KP2=4

2

G3 (s) = K p3 (1 + sTy )

Kp3 = 8

y = 0,25 s.

= 5

s

= 1s

Der Amplituden- und Phasengang der Einzelfrequenzgänge sowie das Bode-Diagramm der Gesamtanordnung ist zu konstruieren. Zunächst werden die Asymptoten der einzelnen Amplitudengänge gezeichnet, gemäß den Abschnitten 5.1.4 und 5.1.6, mit den Eckfrequenzen:

155

5.2 Darstcllung in Reihc gcschaltclcr Glieder im Bodc-Diagramm I 02-1 lVEl =-= , S

T,

I I-I lVE2 =-= S

T2

Am zweckmäßigsten verwendet man einen logarithmischen Maßstab mit 50 mOl/Dekade oder logarithmisch geteiltes Papier mit 62,5 mrnfDekade. Der resultierende Asymptolenverlauf von IG(jo) IdB ergibt sich durch Addition der Asymptotcn von IGl(jo) IdB. IG2(jo) IdB und IG3(jo) IdB· 102

40

IGldB

IGI

I I

5

30

20

IG)I_

2 10 5

10

o

2

,, ,, ,, ,, ,,

5 -10

2

,

,, , ,,

-20

90'

:

: ｾ

Ｍｾｬ 30'

ｯＧＭｫｾＺﾱ］

ｾ

:, , : :

I I I I

:

I I

,,: 10-2 2

10- 1

I

ｾ

I

...1-

2

_ 30"

_

II I I I

5

10

2

5

_wl.,-r

_ 60' - 90"

---------------

--::::-::-:--=-=--=-.=:::::==--=_

• Bild 5.8

Bode-Diagramm dreier in Reihe geschalteter Glieder GI(.I). G2(S) und G3(S)

156

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

Von OJ = 0 bis OJ = OJEl ist der Verlauf der resultierenden Asymptote eine Parallele zur Abszisse. Im Bereich OJEl < OJ< OJE2 laufen die Asymptoten von IG2(jOJ)

I und IG3(jOJ) I paral-

lel zur Abszisse, während die Asymptote von I GI (j OJ)

(1: 1) hat. Die resultie-

I die Steigung -

rende Asymptote hat in diesem Bereich ebenfalls eine Steigung - (I: I). Von OJ = OJE2 bis OJ OJE3 haben die Asymptoten von IGl (jOJ)

I und IG2(jOJ) I je eine Steigung von -

(I: 1), was zu

einer resultierenden Asymptote von - (2: 1) führt. Für OJ > OJE3 kommt die Asymptote von

I G3(jOJ) I

mit der Steigung + (I: 1) hinzu und kompensiert die Steigung einer der beiden

Asymptoten IGI (jOJ) Steigung - (1: 1) hat.

I oder IG2(jOJ) I, so dass die resultierende Asymptote für OJ > OJE3 die

Betrachtet man die Amplitudengänge IGj(jOJ) I, IG 2 (jOJ) I und IG 3(jOJ) I in Bild 5.8, so sieht man, dass sie untereinander kongruent sind. Das heißt, man kann mittels einer Schablone den wahren Verlauf von IGI (j 0)) I, IG 2(j OJ) I und IG 3(j 0)) I zeichnen, indem man diese je nach der Eckfrequenz in der Zeichenebene entsprechend verschiebt, bzw. zum Zeichnen von G 3(jOJ) gegenüber IGI(jOJ) I bzw. IG 2(jOJ) I, parallel zur OJ-Achse umklappt. Das Gleiche gilt für den Phasengang. Zum Zeichnen von /PJ(co) wird die Schablone an der OJ-Achse gespiegelt.

I

I,

Eine andere Möglichkeit zur Gewinnung des exakten Amplituden- und Phasenganges besteht darin, anstelle der Schablone ein Lineal zu benutzen. Das Amplituden- sowie das Phasenlineal sind für einen logarithmischen Maßstab von 50 mmlDekade entwickelt. Der Vorteil besteht darin, dass außer dem gesuchten Amplitudengang lediglich die Asymptoten der einzelnen Frequenzgänge und die des Gesamtfrequenzganges gezeichnet werden müssen. Das Diagramm gewinnt dadurch an Übersichtlichkeit. Der Gedanke, der dem Amplitudenlineal zugrunde liegt, ist im Anhang erläutert und steht im OnlinePlus-Bereich des Verlags zum Download zur Verfügung.

5.2.2 Konstruktion mittels Asymptoten Man kann das Bode-Diagramm einer Reihenschaltung der n Glieder mit den Frequenzgängen GI (jOJ), G2(jOJ), ... Gn(jOJ) direkt nach dem Gesamtfrequenzgang (5.23)

Go (jOJ) = GI (jOJ)' G2 (jOJ)' .... Gn (jOJ) skizzieren, ohne vorher die einzelnen Frequenzgange zu bestimmen und danach zu addieren, wie es im vorherigen Abschnitt beschrieben wurde. Trägt man die Ordinaten

IGo(jOJ) IdB in Dezibel und die Abszissen in Dekaden auf, so entspricht die in vorherigen Abschnitten definierte Steigung -(1:1) einer Steigung von -20 dB/Dek, die Steigung -(2: 1) ist dann in diesen Dimensionen -40 dB/Dek usw. Bei der Bestimmung des gesamten Amplitudenganges geht man aus folgenden Eigenschaften von einzelnen Frequenzgängen aus: 1) Ist ein I-Glied im Gesamtfrequenzgang Go(jOJ) vorhanden, z. B. wie unten: G ('OJ)= K pI K P2 K I (1+ joJI'n) o} jOJTn (1 + j OJ1i)(1 + jOJT2 ) ,

5.2 Darstellung in Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm

157

dann hat die Asymptote des gesamten Amplitudenganges im Bereich der kleinen OJ- Werte, d. h. bei ｏｊｾ «1, die negative Steigung (1:1) bzw. -20 dB/Dek. Dies folgt aus der Annahme, dass sich der Gesamtfrequenzgang bei OJTt« 1 zu einem einzelnen I-Glied reduziert:

So ein I-Glied hat bekanntlich die Steigung der Asymptote von -20 dB/Dek und schneidet die OJ - Achse bei

- K 10- KpIKpzKI .

li{)-

Tn

2) Ist kein I-Glied im Gesamtfrequenzgang Go(jOJ) vorhanden, z. B. G ('OJ)= Kp1 Kpz (l+ jOJTy ) (1 + j OJTt)(1 + j OJTz ) , o } verläuft die Asymptote des Amplitudenganges im Bereich der kleinen OJ- Werte horizontal bzw. mit der Steigung 0 dB/Dek und schneidet die Ordinatenachse bei I Go(jOJ) I dB = 20·1gKp = 20 ·lg(KpIKpz )·

Bei weiterem Verlauf des Amplitudenganges bei der ersten Eckfrequenz OJEl gilt die Näherung 201g1 Go(jOJ)

Tt »1,

I'" 201g K p - 20 ·lg(OJT1)·

Dies bedeutet, dass sich die Steigung der Asymptote des Amplitudenganges bei der Eckfrequenz OJEl Tt »1 um -20 dB/Dek ändert und beträgt folglich

o dB/Dek -

20 dB/Dek = - 20 dB/Dek

Trifft jedoch zuerst die Eckfrequenz OJEy Ty »1 auf, wobei die Zeitkonstante Ty die differenzierende Wirkung hat bzw. sich im Zähler des Gesamtfrequenzganges befindet, dann gilt die folgende Asymptotengleichung: 201g1 GO(jOJ)

I'" 20lg K p + 20 ·lg(OJT1)

Für die Steigungsänderung bedeutet dies die Erhebung um +20 dB/Dek, so dass die die Steigung der Asymptote des Amplitudenganges nach der Eckfrequenz OJEy

o dB/Dek + 20 dB/Dek = + 20 dB/Dek beträgt. 3) Die oben im Punkt 2 beschriebene Ermittlung der Steigungsänderung bei der ersten Eckfrequenz kann für alle nachfolgende Eckfrequenzen verallgemeinert werden, nämlich: die Steigungsänderung nach jeder Eckfrequenz OJEk betrifft ±20 dB/Dek, wobei

158

5 Das Bode Diagramm. Frequenzkennlinienverfahren

+20 dB/Dek einer differenzierenden Zeitkonstante Tk im Zähler des Gesamtfrequenzganges und -20 dB/Dek einer Zeitkonstante Tk im Nenner des Gesamtfrequenzganges (Verzögerung) entspricht. Die Konstruktion des Amplitudenganges des Bode-Diagramms mittels Asymptoten wird am vorherigen Beispiel 5.1 erläutert. Der gegebene Gesamtfrequenzgang Go(s) = GI (s)G (s)G (s) = KplKP2 K p3(1 + sTv ) 2 3 (l + sli)(l + sT2 )

hat keinen I-Anteil, d. h. die erste Asymptote im Bereich der kleinen 0) - Werte verläuft horizontal bzw. mit der Steigung 0 dBlDek und fängt bei der folgenden Ordinate an:

I G(jOJ) I dB

= 20·lgKp = 20·lg(K K 2 K 3 ) = 20·lg(2·4·8) = 36,1236

Da sich die Zeitkonstante die der kleinsten Eckfrequenz entspricht, im Nenner des Gesamtfrequenzganges befindet, hat die nächste Asymptote bei

U-EI =

1

=

02- 1 ,

s

die Steigung (0 dBlDek - 20 dBlDek) = -20 dBlDek. Bei der nächsten Eckfrequenz

U-Ez = -1 = 1s 1 Tz

wirkt Zeitkonstante Tz wiederum verzögert, d. h. die Steigung der Asymptote wird noch um -20 dBlDek geändert: (- 20 dBlDek - 20 dB/Dek) = -40 dB/Dek. Die Zeitkonstante Tv befindet sich im Zähler des Gesamtfrequenzganges und hat differenzierende Wirkung, so dass die Steigung der Asymptote bei der Eckfrequenz

1 4%3=-= S

1

y

um +20 dB/Dek geändert wird: (- 40 dB/Dek + 20 dBlDek)

=-20 dBlDek.

Somit ergibt sich der im Bild 5.9 gezeigte Verlauf der Asymptoten des Amplitudenganges. Um den wahren Verlauf des Amplitudenganges zu erreichen, sollen die Ordinaten bei jeder Eckfre= 3 dB korrigiert werden. quenz um ± ｾｇ

Das Phasengang ergibt sich in ähnlicher Weise wie der Amplitudengang, wobei der folgende Zusammenhang zwischen Steigung des Amplitudenganges und dem Phasenwinkel im Bereich der kleinen ü.) - Werte bzw. bei ｏｊｾ «I besteht: Gesamtfrequenzgang

Steigung der Asymptote im Bereich der kleinen 0)- Werte

Phasenwinkel im Bereich der kleinen 0)- Werte

Ohne I-Anteil

o dBlDek

0°

Mit I-Anteil

-20 dB/Dek

-90°

Mit Doppel-I-Anteil

-40 dB/Dek

-180°

5.2 Darstellung in Reihe geschalteter Glieder im Bode-Diagramm

IGol dB %1=

1

0,2

159

S·l

I I

40dB

:

ｯＭｾ｟Ｇ､ｂ

......-..:::.. ----f

--_

-""

dB -zo--

Dek

"" ｴ｟ｾ ＢＺＮ Ｌ｟ 3dB -------ｾＬＫ

20dB

f

I I

'

>,

-40 dB Dek

I/''
0 wird für t----f

•

Für a

0 wird für

x( 00) = 0

(abklingende Schwingung),

x( 00) = 00

(aufklingende Schwingung),

= 0 ergibt sich eine Dauerschwingung x=konstant.

Setzen wir GI. (6.10) in (6.9) ein, so folgt: a3(a 3 ± joo3a 2 - 3aoo 2

=+=

joo 3 ) + a2(a 2 ± joo2a -

(0

2

)

+ al (a ± joo) + ao =0. (6.11)

Zur Erfüllung dieser Gleichung muss sowohl der Real- als auch der Imaginärteil Null sem.

170

6 Stabilitätskriterien 3

2

2

2

a3(a -3aO) ) +a2(a - 0) ) +a1a+ao = 0

Re:

3

2

2

a3a +a2a +aja+ao =0) (3a3a+a2)'

Im:

a30)3

=+=

ai

(6.12)

± OJ(3a3a2 + 2a2a+al) = 0

= 3a3a 2 + 2a2a + a,

(6.13)

a3

Mit (6.13) in (6.12) folgt:

Ｓ｡ｾ

+ a2a3a2 + aja3a + aOa3

= (3a3a2

+ 2a2a + aj)(3a3a + a2)

bzw.

(6.14)

Unter der Voraussetzung, dass alle Koeffizienten positiv sind, kann man aus GI. (6.14) folgende Bedingungen ableiten: • Ist aja2 - aOa3 > 0, so ist anegativ (abklingende Schwingung, der Kreis ist stabil). • Für aj a2 - aOa3

=

0 ist a= 0 (Fall der Dauerschwingung, Stabilitätsgrenze).

• Ist aja2 - aOa3 < 0, so ist a> 0 (aufklingende Schwingung, der Kreis ist instabil). Dieser Zusammenhang lässt sich durch eine Determinante D ausdrücken. aj

a3

{> 0

D= ao

a2

=0

stabil Stabilitätsgrenze

0 und a3 > 0 aja2 - aOa3 > 0 (stabil).

(6.17)

Dieses Ergebnis ist identisch mit der zuvor abgeleiteten Beziehung (6.15). Für eine Differentialgleichung 4. Ordnung (n = 4) folgt:

D=

al

a3

0

0

ao

a2 : a4

0

__________ J

0

al

a3

0

o

ao

a2

a4

-------------

0

al

a3

=a4 ao

a2

a4 ,

0

al

a3

D=a4(ala2 a 3 -aoaj -af a 4)

(6.18)

und bei Stabilität (für a4 > 0) ala2a3 -aoaj -afa4 >0.

Für eine

｣ｨ｡ｲ ｫｾ･ ｩｳｴ ｣ｨ･Ｌ

,

,

,

,

,

al : a3 : as _____ ,

(6.19)

Gleichung 5. Grades (n = 5) folgt aus GI. (6.16)

'0

0

I

o o o o

ao

a2

a4

0

0

al

a3

as

Der Faktor as in der 5. Zeile und 5. Spalte kann unberücksichtigt bleiben wie in GI. (6.18). Es verbleiben nur noch die ersten vier Zeilen und Spalten. Entwickeln wir diese nach der 4. Spalte, so folgt:

6 Stabilitätskriterien

172

Nach einer Zwischenrechnung erhält man bei Stabilität (aOa3 -ajaz)(azas -a3 a 4)-(aOas -aja4)

•

z >0.

(6.20)

Beispiel 6.1

Gegeben ist ein Regelkreis, bestehend aus einer P-T2-Strecke und einer PI-Regeleinrichtung mit den folgenden Übertragungsfunktionen

Kps = 0,5 = 30 s

Tj 2

ps

und GR(S)=KPRll+_l_). GS(s)= 2 zK s Tz + sTj + 1 sTn

T2 = 200 s2 KpR = 10

=4s Tn Gesucht: a) Ist der Regelkreis stabil? b) Auf welchen Wert müsste Tn vergrößert werden, um die Stabilitätsgrenze zu erreichen? e) Bei gleicher Nachstellzeit wie unter a) soll durch Hinzunahme eines D-Anteils die Stabilitätsgrenze erreicht werden. Wie groß muss T y gemacht werden?

Zu a) Aus GI. (6.1) wurde die Differentialgleichung des geschlossenen Regelkreises entwickelt. Die für die Stabilitätsuntersuchung maßgebende charakteristische Gleichung entspricht der linken Seite von GI. (6.1):

[_1_ + GR (S)] = 0 GS(s)

bzw.

1 --+GR(s)=O. Gs(s)

(6.21 )

Durch Einsetzen der gegebenen Übertragungsfunktionen GR(S) und Gs(s) in GI. (6.21) folgt: 3

Z

Z

s TnTz +s TnTj +sTn(l+KPRKpS)+KpRKpS =0. '-r--' '-v-" , ''--------v----Q3

Q2

Für die Koeffizienten ergeben sich folgende positive Werte: 2 a3 = Tn T2 = a2 ］ ｔ ｮ ｾ

800 s3; 2

=120s ;

=Tn(l+KPRKps)=24s; aO =

PR PS = 5.

6.1 Stabilitätskriterium nach Hurwitz

173

Die Hurwitz-Determinante für eine charakteristische Gleichung 3. Grades, die wir bereits abgeleitet haben, führt zu

D = a3 (a[aZ - aOa3) bzw. a[aZ -aOa3 = 2880 s3 - 4000 s3 = -1120 s3 .

D < 0, d. h. der Regelkreis ist instabil. Zu b)

An der Stabilitätsgrenze ist D

=0 bzw.

ala2 = aOa3

z

1000 s = 5,55 s . 30s·6 Für Tn > 5,55 s ist der Regelkreis stabil. Dies ist noch keine Aussage über die Regelgüte. So würde z. B. für Tn = 6 s die Dämpfung des Systems immer noch zu gering sein. Zu c) Durch den zusätzlichen D-Anteil erhält die charakteristische Gleichung folgende Form: 3

2

2

s T n T 2 +s Tn(T[ +TyKpRKPS)+sTn(l+KPRKpS)+KpRKpS =0. Durch Nullsetzen der entsprechenden Kenngrößen folgt dies auch aus. GI. (6.5). Gegenüber a) hat sich lediglich der Koeffizient az geändert. a2 =Tn(T

+ TyKpRKpS)'

An der Stabilitätsgrenze ist wieder D = 0 bzw. ala2 = aOa3

Für T y > 2,33 s ist der Regelkreis stabil. Die Kreisfrequenz, mit der die Regelgröße an der Stabilitätsgrenze schwingt, erhält man aus GI. (6.12) bzw. (6.13), denn im Fall der DauerO. Aus GI. (6.12) folgt für 0 schwingung ist

174

6 Stabilitätskriterien

und aus GI. (6.13)

Abschließend kann gesagt werden, dass bei einer P-T2-Strecke die Stabilität durch Vergrößern von Tn und Tv vergrößert wird, d. h. Verkleinerung des 1- und Vergrößerung des D-Anteils. ｾ

Aufgabe 6.1

Eine P-T3-Strecke mit K G s (s) = -----'....:::'---(l+sT1 )3

wird von einer P-Regeleinrichtung geregelt. GR (s) = K

Gesucht: a) Für welches KpR = KpRkr wird der Kreis instabil? b) Wie groß ist dann die mittlere bleibende Regeldifferenz e( 00) für w(t) = wo c) Mit welcher Frequenz W= Wkr schwingt die Regelgröße an der Stabilitätsgrenze?

6.2 Stabilitätskriterium nach Nyquist Der vorangegangene Abschnitt hat gezeigt, dass das Hurwitz-Kriterium relativ einfach zu handhaben ist. Es versagt jedoch, wenn der Regelkreis ein Totzeitglied enthält, das nicht durch eine gewöhnliche Differentialgleichung beschrieben werden kann. In diesem Fall wird die charakteristische Gleichung transzendent und die Anwendung des Hurwitz-Kriteriums ist nur näherungsweise möglich, wenn der Term e -sT( in eine Potenzreihe entwickelt wird. Demgegenüber ist das Nyquist-Kriterium universeller und schließt die Untersuchung von Totzeitsystemen mit ein. Zur Herleitung des Nyquist-Kriteriums betrachten wir den in Bild 6.1 gezeigten Regelkreis, dessen Führungs- und Störübertragungsfunktion bereits in Abschnitt 4.2 mit Gw(s)=

GR(s)GS(s) = Go(s) und I+GR(s)GS(s) I+Go(s)

G (s) =

Gs (s) 1+ G R (s)Gs (s)

z

Gs(s)

(6.22)

(6.23)

I+Go(s)

abgeleitet wurden. Hierin ist die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises: Go (s) = G R (s)Gs (s) .

(6.24)

6.2 Stabilitätskriterium nach Nyquist

175

Bild 6.1

Wirkungsplan des Regelkreises Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Systems folgt durch Nullsetzen des Nenners von (6.22) bzw. (6.23) zu I+Go(s)=O.

(6.25)

Maßgebend für die Stabilität eines Systems ist, dass alle Nullstellen von [l + Go(s)], die identisch sind mit den Polen von Gw(s) bzw. Gz(s), in der linken s-Halbebene betrachtet den Verlauf der Ortskurve von [l + Go(jm)],

liegen. Das

die durch Parallelverschiebung von GO(jm) um + 1 in positiv reeller Richtung entsteht. Wie Bild 6.2 zeigt, kann man für die Ortskurve [1 + Go(j m)] den Punkt (- 1, jO) als neuen Ursprung betrachten. Nach Nyquist ist die Winkeländerung des Zeigers [1 + GO(jm)] im Bereich m= 0 ...

00

bei Stabilität abhängig von der Polverteilung von Go(jm), wie in Abschnitt 6.2.2 gezeigt werden wird.

tIm -1

(f)=OO

Bild 6.2

--.

Zusammenhang zwischen GoUOJ) und

Re

[1 +GoUOJ)]

6.2.1 Graphische Ermittlung der Ortskurve bei gegebener PolNullstellenverteilung Gegeben sei die Übertragungsfunktion GO(s) in Linearfaktoren (s-sn1)(s-sn2)(s-sn3)'" (s -

)(s -

)(s -

...

(6.26)

Die in GI. (6.26) expliziten Pole und Nullstellen lassen sich, wie in Bild 6.3 gezeigt, in der s-Ebene darstellen. Betrachten wir den Frequenzgang von GI. (6.26), so wird G

(jm-s n 1)(jOJ-s n2)(jOJ-s n 3)'"

o )

(6.27)

Für einen bestimmten m - Wert stellt jeder der Linearfaktoren in GI. (6.27) einen

176

6 Stabilitätskriterien

Bild 6.3 Pol-Nullstellenverteilung in der s-Ebene

Zeiger dar, der von dem betreffenden Pol bzw. der Nullstelle zum Punkt iOJ auf der ima-ginären Achse zeigt. Die Länge des Zeigers entspricht dem Betrag des Linearfaktors, und die Phasenverschiebung ist der Winkel, den der Zeiger mit der positiv reellen Achse einschließt. GI. (6.27) erhält dann die Form Go (jOJ) = K li OJ li OJ -

snllli OJ - sn211i OJ - sn31··· ej(tpnl+..·-tpPI-"') . spllli OJ - sp21li OJ - sp31···

(6.28)

Der Betrag des resultierenden Zeigers an die Ortskurve Go(jOJ) ergibt sich durch Multiplikation bzw. Division der einzelnen Zeigerlängen liOJ - snd bzw. liOJ - Spi I und dem Faktor K. Entsprechend erhalten wir den resultierenden Phasenwinkel durch Addition bzw. Subtraktion der 1 ist. In Bild 6.17 ist dieser identisch mit m < Schneidet (m)

die negativ reelle Achse, so ist

= i ·180° , mit i = ±l, ±3, ±S,...

0° +-------1------17"--

Bild 6.17 Stabilitätsbetrachtung nach Nyquist anhand der Schnittpunkte im = 0;

= 2)

Im interessierenden Bereich ist SI = + 1 ein positiver Schnittpunkt, da mit wachsender Frequenz die Phase zunimmt. Entsprechend ist S2 = - 1 ein negativer Schnittpunkt (Phase nimmt ab). Der asymptotische Verlauf von ｾ

- 180° für m ｾ

0 wird

vereinbarungsgemäß als ein halber negativer Schnittpunkt So = - 1/2 (Phase nimmt ab) gewertet. Somit erhalten wir für das betrachtete System 1 1 v p -v n =So +SI +S2 =-"2+ 1 1 =-"2'

Die Bedingung (6.61) fordert aber für V

p

-vn

n +1

(6.62)

=2

1

= -r - = + 2 2'

(6.63)

und wird durch GI. (6.62) nicht erfüllt, d. h. der geschlossene Kreis ist instabil. Wir erkennen leicht aus Bild 6.17, dass durch Verkleinern der Kreisverstärkung (z. B. KpR) der gesamte Amplitudengang IGo(jm)1 parallel nach unten verschoben wird (gestrichelte Kurve). Der Phasengang bleibt unverändert. Die Durchtrittsfrequenz rückt damit nach links. Fällt

zwischen die Schnittpunkte SI und S2, so wird

190

6 Stabilitätskriterien 1

1

v P -vn =So +SI =--+1=+2 2' wie durch GI. (6.63) gefordert. Der geschlossene Kreis ist stabil. Eine weitere Verringerung der Kreisverstärkung rückt OJ d noch weiter nach links, bis schließlich, wenn der Durchtritt OJ d zwischen So und SI erfolgt, nur noch So im Bereich IGo(j OJ)I > 1 liegt. Es ist dann 1

vp-vn=So=--· 2 Das heißt, das geschlossene System ist ebenfalls instabil.

6.3.1 Vereinfachtes Nyquist-Kriterium Das durch Bild 6.17 erläuterte Nyquist-Kriterium in der Schnittpunktform gilt allgemein. In praxi sind Systeme, deren Übertragungsfunktionen Go(s) Pole in der rechten s-Halbebene besitzen, äußerst selten. Beschränken wir uns auf den weitaus häufigsten Fall, dass der aufgeschnittene Kreis keine Pole mit positivem Realteil und höchstens einen Doppelpol im Ursprung hat (n = 0; = 0, I, 2), so ist eine weitere Vereinfachung bei der Stabilitätsuntersuchung nach Nyquist im Bode-Diagramm möglich. Unter der Voraussetzung n = 0 sollen die Fälle = 0 oder 1 und = 2 im Folgenden nacheinander diskutiert werden. 1. Für = 0 bzw. = I beginnt der Phasengang q;o(OJ) bei 0° bzw. - 90°. Die Bedingung (6.61) fordert bei Stabilität

Bild 6.18 Stabilitätsbetrachtung nach Nyquist anhand der Schnittpunkte im Bode-Diagramm

0°+-------------+.,,..::....""7

= 0;

= 1)

6.3 Stabilitätsuntersuchung nach Nyquist im Bode-Diagramm

191

d. h., es müssen gleich viele positive und negative Schnittpunkte vorhanden sein. Ist Vp = vn = 0, so ist für alle m-Werte stets lJ{j(m) > - 180°. Bild 6.18 zeigt lJ{j(m) für Vp = Vn = 1. Stabilität ist nur möglich, wenn md links des negativen Schnittpunktes SI oder rechts des positiven Schnittpunktes S2 liegt, d. h. für 1J{j( md) >- 180°. Es ist leicht einzusehen, dass dies für beliebige Vp = Vn gilt.

2. Für nj = 2 r = 0) beginnt der Phasengang 1J{j( m) bei -180°. Bei Stabilität muss nach Bedingung (6.61) V

p

- V

n

nr + 1 -= =2

1 2

.

+- sem.

Zur Diskussion können wir Bild 6.17 heranziehen. Das System ist infolge

nj

= 2

mit So = - 112 bzw. So = + 112 vorbelastet, je nach dem, ob lJ{j(m) für kleine mWerte unter oder über der (- 180 0 )-Linie verläuft. In Bild 6.17 beginnt lJ{j(m) mit So = - 112. Stabilität kann durch einen weiteren positiven Schnittpunkt SI erreicht

werden. Die Durchtrittsfrequenz 0-l:J liegt dann rechts von SI und es ist 1J{j( m d) > -180°. Jeder zusätzliche negative Schnittpunkt S2 erfordert zur Kompensation einen zusätzlichen positiven Schnittpunkt

Das heißt, Stabilität liegt immer dann

vor, wenn für IGoU 0-l:J)1 = 1 1J{j( m d) > -180° ist. Verläuft 1J{j( m) für kleine mWerte über der (- 180 0 )-Linie, so ist So = + 112. Das System ist stabil, wenn keine weiteren negativen und Positiven Schnittpunkt hinzukommen oder paarweise in der Reihenfolge = - 1, S2 = +1), (S3 = - 1, S4 = +1), und usw. Stets führt dies zu 1J{j( md) > -180°. Das vereinfachte Nyquist-Kriterium lässt sich dann wie folgt formulieren: Besitzt die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises keine Pole mit positivem Realteil r = 0) und = 0, 1, 2), so ist höchstens einen Doppelpol im Ursprung das geschlossene System stabil, wenn bei der Durchtrittsfrequenz 0-l:J, d. h. für IGoUO-l:J)1 = 1, die Phasenverschiebung

(6.64)

1J{j( m d) > -180° ist.

6.3.2 Stabilitätsgüte und Phasenrand Das vereinfachte Nyquist-Kriterium (6.64) fordert bei Stabilität, dass für IGo(jO-l:J)I = 1 der zugehörige Phasenwinkel lJ{j(jmd) > - 180° ist. Die Dämpfung des geschlossenen Kreises wird um so geringer, je mehr sich 1J{j(}md) dem Wert - 180° nähert. Als qua-

192

6 Stabilitätskriterien

1itatives Maß für die Stabilitätsgüte dient der Abstand von q:t)(j md) zur (- 180 0 )-Linie und wird als Phasenrand oder Phasenreserve IfRd bezeichnet. Wie Bild 6.18 zeigt, ist (6.65) Als Erfahrungswerte gelten: •

bei Führungsverhalten

IfRd > 40° ... 70° und

•

bei Störverhalten

IfRd > 30°.

Bild 6.19 zeigt den Phasenrand anhand des Ortskurvenverlaufs Im

t

+1

--+ Re

Ortskurve GO(jOJ) mit dem Einheitskreis

-1

•

Bild 6.19 Phasenrand If'Rd, Schnittpunkt der

Beispiel 6.3

Gegeben ist eine Regelstrecke mit Verzögerung I Ordnung und Totzeit gemäß Beispiel 3.10 (Mischbehälter mit nachfolgender langer Leitung), deren Übertragungsfunktion lautet -sT PS . GS ( s ) - - - - e l+sT]

Diese wird von einer PI-Regeleinrichtung mit

G R

=

PR

[1+_1_] sTn

geregelt. Die Kenngrößen haben folgende Werte: Kps = 0,8 KpR = 10 = 100 s Tn = 20 S Tl = 10 s (hier größer als in Beispiel 3.10) Gesucht sind im Bode-Diagramm: a) Ist der geschlossene Regelkreis stabil (CJ1Rd)? b) Welchen Wert muss KpR annehmen, wenn CJ1Rd = 40° sein soll? Zunächst werden die Asymptoten von IGR(jOJ)1 und IGs(jOJ)1 bzw. IGo(jOJ)1 gezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass der Betrag des reinen Totzeitgliedes Eins ist. Die Eckfrequenzen liegen bei:

6.3 Stabilitätsuntersuchung nach Nyquist im Bode-Diagramm

193

-I -I. 1 = 10-2 sund wEl = wE2 = 1 - =5. 10-2 S

TI

Tn

Mittels Amp1ituden- und Phasenlineal ermittelt man dann die in nachfolgender Tabelle angegebenen Werte und zeichnet den Amplituden- und Phasengang (Bild 6.20). Die Winkelwerte =

t

Für

Für

Für OJ /

s-I

LlG pTI

dB LlGrt

dB ｾｬｌ

dB LlGo

dB

q:pn / 0 tpr't / 0

0.'"

0.2

0.'

ｾ

•.5

Iiild 7.3 WOK des Regelkreises nach Bild 7.2 mit GO(5) =

0

0.5

K pR (I+sT ) n

,T"

Wie Bild 7.3 zeigt, sind aber die Bereiche SNI < a< SP2 und a> 0 ausgenommen. und zwar weil hier GI. (7,6) verletzt ist. Betrachten wir z. B. rur (0= 0 einen Punkt SNI < a< SP2. so ist

/PO=qJNI-/PPI-qJP2 =O-;r-;r=-2;r*(2i+I);r. Für einen Punkt mit

(0

= 0 und

= /PNI -qJPI -

a > 0 ist =0-0-0

* (2i + 1)11".

In diesen Bereichen ist zwar tan tru = 0 aber tru kein ungeradzahliges Vielfaches von H.

Ermittlullg der Lage der Pole allfder WllrzeJortsklln'e als PlI"ktioll VOll Kp Die Abhängigkeit der Lage der Pole des geschlossenen Kreises vom veränderlichen Parameter KpR ergibt mit GI. (7.5) auf GI. (7.13) angewandt

206

7 Das Wurzelortskurvenverfahren

(7.17)

bzw.

(hW Tl

K pR = - - . K ps

2J [(H*J'

(H;J

2

+w (7.18)

+w

2

Betrachten wir zunächst den Teil der Wurzelortskurve, der auf der o:-Achse verläuft, so erhalten wir mit Gi. (7.14) in GI. (7.17)

KpRK pS

Tl

lai'la + *1 la+

:J

(7.19)

Im Bereich SP2 < a < SPI ist:

a 0,079 treten die beiden WOKn-Äste aus dem Verzweigungspunkt aus, laufen symmetrisch zur reellen Achse (konjugiert komplexes Polpaar) und schneiden für K = 11,25 «()= 0) die imaginäre Achse. Das System wird für K> 11,25 mit () >

°

instabil.

7.2 Geometrische Eigenschaften von Wurzelortskurven Die im Folgenden als Regeln angegebenen geometrischen Eigenschaften dienten ursprünglich als Hilfsmittel zur Konstruktion von Wurzelortskurven. Da graphische Verfahren heute gegenüber numerischen Verfahren mittels Digitalrechner immer mehr in den Hintergrund treten, dienen diese Regeln zum einen zur Überprüfung numerisch gewonnener Daten und zum anderen können damit die Tendenzen von Parameteränderungen abgeschätzt und die Auswirkungen, die das Hinzufügen zusätzlicher Pol- und Nullstellen (z. B. Lead-Lag-Glied) zur Folge hat, qualitativ beurteilt werden.

Regel 1

Beginn und Ende der WOKn-Äste

Sämtliche Äste der WOK beginnen für K = 0 in den Polen Kreises Go(s) und enden für K ｾ

00

in den Nullstellen

lichen. Den Beweis liefert GI. (7.11). Für S = SPj (i = l...m) wird K = 00. Ferner wird für n > m K =

SNi

SPj

des aufgeschnittenen

von GO(s) bzw. im Unend-

= Ln) wird K = 0 und für S = SNi 00,

wenn S ｾ

00.

Da bei realen Systemen der Grad m des Zählerpolynoms von Go(s) stets kleiner höchstens gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist (m enden von den Ästen m in den Nullstellen und - m) Äste laufen ins Unendliche.

Regel 2

Symmetrie der WOK bezüglich der reellen Achse

Da komplexe Pole und Nullstellen immer nur konjugiert komplex auftreten, ist die WOK symmetrisch zur reellen Achse.

Regel 3

Verschiebung der Pol-Nullstellenkonfiguration parallel zur reellen Achse

Eine Verschiebung der gesamten Pol-Nullstellenkonfiguration von Go( s) parallel zur reellen Achse ändert die Lage der WOK zur imaginären Achse, hat aber keine Änderung der Form der WOK zur Folge.

214

7 Das Wurzelortskurvenverfahren

Regel 4

Verlauf der WOK auf der reellen Achse

Von der reellen Achse der s-Ebene sind die Bereiche Teil der WOK, von deren Punkte aus betrachtet die rechts davon gelegene Summe der auf der reellen Achse gelegenen Pole und Nullstellen ungerade ist. Konjugiert komplexe Pole und Nullstellen liefern keinen Beitrag für Punkte auf der reellen Achse und können unberücksichtigt bleiben.

Regel 5

Schwerpunkt der Asymptoten

Ist n > m, so laufen (n - m) WOKn-Äste ins Unendliche. Die Asymptoten an die ins Unendliche strebenden Äste schneiden sich in einem Punkt auf der reellen Achse, dem n

m -LSNi

Wurzelschwerpunkt 5 s =

Regel 6

i=1

(7.35)

n-m

Anstiegswinkel der Asymptoten

Die Anstiegswinkel der Asymptoten ergeben sich zu (jJi

Regel 7

(1 + 2i)

(i = 0, 1,2, ... ,n - m - 1).

m-n

(7.36)

Austrittswinkel aus einem konjugiert komplexen Polpaar

Die beiden Austrittswinkel sich zu m

=

lfPAi

n

Jr

±-.

(jJNi . 1 1=

aus einem konjugiert komplexen Polpaar ergeben

(7.37)

2

. 1 2

Entsprechend ergeben sich für die beiden Eintrittswinkel plexes Nullstellenpaar m . ·1 1=

Regel 8

n

in ein konjugiert kom-

Jr

±- .

+

(jJNE 1,2 = -

lfNEi

. 1

(7.38)

2

Austrittswinkel aus einem r-fachen Pol auf der reellen Achse

Aus einem r-fachen Pol auf der reellen Achse treten r WOKn-Äste aus. Die Austrittswinkel berechnen sich aus

7.2 Geometrische Eigenschaften von Wurzelortskurven (v -

ｾｐｩ

=

,u - 1r

2i)

·ff

215

(i = 1,2,3,...

(7.39)

Konjugiert komplexe Pol- bzw. Nullstellenpaare liefern keinen Winkelbeitrag und können in (7.39) unberücksichtigt bleiben. Ebenso haben die auf der reellen Achse links von der r-fachen Polstelle gelegenen Pole und Nullstellen den Winkelbeitrag Null. Nur die rechts der r-fachen Polstelle liegenden ,u Pole ergeben -,u' ff und die v Nullstellen + v' JZ: In eine r-fache Nullstelle auf der reellen Achse enden r WOKn-Äste unter den Eintrittswinkeln

=-

ｾｎｩ

Regel 9

(v -

,u -1- 2i) r

'ff

(i

= 1,2,3'00'

(7.40)

Verzweigungspunkte der WOK

Ein Verzweigungspunkt = KA liegt vor, wenn zwei oder im Allgemeinen r WOKnÄste mit zunehmendem K auf einen Punkt zulaufen und ebenso viele WOKn-Äste für

> KA aus dem Verzweigungspunkt austreten. Der Verzweigungspunkt ergibt sich durch Lösen der Gleichung m

1

n

1

L: s-sNi -L:-=O. S-SPj

(7.41)

Das zu lösende Polynom ist infolge ;? m vom Grade und für großes nur numerisch lösbar. Speziell für die Verzweigungspunkte auf der reellen Achse, folgt für 0 bzw. S = (j m

1

n

L: (j-sNi -L: (j-SPj =0.

(7.42)

Regel 10 Winkel zwischen den ein- bzw. austretenden WOKn-Ästen eines Verzweigungspunkts Der Winkel zwischen zwei benachbarten, aus dem Verzweigungspunkt austretenden WOKn-Ästen ist Ｒｐｾａ

2ff r

(7.43)

=-.

Ebenso ergibt sich für den Winkel zwischen zwei benachbarten, gungspunkt eintretenden WOKn-Ästen

In

den Verzwei-

216

7 Das Wurzelortskurvenverfahren 21r

(7.44)

=-.

r

Der Winkel zwischen je emem m den Verzweigungspunkt em- und austretenden WOKn-Ast ist (7.45)

r=2

r=4

Bild 7.7 Verzweigungspunkte für r = 2,3 und 4

Bild 7.7 zeigt Verzweigungspunkte für r = 2, 3, 4. Die Richtungen der Zeiger sind abhängig von der konkreten Pol-Nullstellenverteilung. So zeigen die beiden Verzweigungspunkte in Bild 7.3 für = 0,343 und = 11,66 unterschiedliche Richtungen bezüglich der eintretenden WOKn-Äste. Entsprechend unterschiedlich sind die Richtungen der austretenden WOKn-Äste. Regel 11 Schnittpunkte der WOK mit der imaginären Achse Die Schnittpunkte der WOK mit der imaginären Achse (Stabilitätsgrenze) ergeben sich aus GI. (7.4) für CY= bzw. s = JOJ zu

°

n m

KO .

n n

(jOJ- sNi) +

(jOJ- SPj) = 0.

(7.46)

i=1

Da in GI. (7.46) sowohl die Realteile als auch die Imaginärteile gleichzeitig verschwinden müssen, ergeben sich zwei Gleichungen zur Bestimmung von OJ und K. Vielfach gelangt man durch Auswertung der charakteristischen Gleichung mittels eines Stabilitätskriteriums (z. B. Hurwitz) an der Stabilitätsgrenze schneller zum Ziel. Regel 12 Ermittlung eines unbekannten WOKn-Punktes für ein bestimmtes K Ist m :": : n - 2, so gilt n

L>Pj

n

= LSP2(K) = konst.

(7.47)

Da komplexe Pole immer nur konjugiert komplex auftreten, fallen bei der Summenbildung die imaginären Anteile heraus und es genügt die Bildung der Summe über die Realteile

7.2 Geometrische Eigenschaften von Wurzelortskurven n

217

n

(7.48)

LRe(spj)= LRe(sP,,1(K» =konst. ,,1=1

j=l

Diese Regel kann hilfreich sein, wenn es darum geht, ein noch unbekanntes sn (reell oder konjugiert komplex) für ein bestimmtes K zu ermitteln. Es sei nochmals betont, dass die Beziehung (7.48) auf Systeme m ::; n - 2 beschränkt ist. Die Anwendung und Zweckmäßigkeit der im Vorangegangenen behandelten Regeln 1, ... 12 soll anhand der nachfolgenden Beispiele erläutert werden. •

Beispiel 7.3

Eine PT2-Strecke mit der Übertragungsfunktion

GS(S)=

K pS

K pS =0,4;

2 2 1 + sT + S T2

=0,8s;

T22 = 0,2s 2

wird von einem PDTl-Regler geregelt:

GR(s)=K pR

l+sTy 1+ sT3

' mit

T3 =0,2s.

Ty =2 s;

Der Verlauf der WOK soll mit K - KpR als veränderlichem Parameter anhand der Regeln diskutiert werden. Die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises lautet

-G () G ( )- KpRKpSTy Go () s - R s· S s ' 2 2 3

(s-sNl) , (s - sPl )(s - sp2 )(s - sp3)

mit 2 1 1 05, s ; sNl =--=-

Ty

1 5s 1. sp3 =--=T3

sP12 =---±

,

2T}

(

-

2T}

1

]

. -1

--=(-2±J)s

T}

K = KpRKpSTy

T}T3

Regel 1 Als erstes werden die Pole und Nullstellen des offenen Kreises in die s-Ebene gezeichnet (s. Bild 7.8). Jeder der drei Pole ist Ausgangspunkt eines WOKn-Astes. Da nur eine Nullstelle SNI

vorliegt, enden von den drei WOKn-Ästen zwei im Unendlichen.

Regel 4 Der Bereich sP3 ｾ

(J' ｾ

SNI

der reellen Achse ist Teil der WOK.

7 Das Wurzelortskurvenverfahren

218 Regel 5 Nach GI. (7.35) erhalten wir den Wurzelschwerpunkt n

m

ISpj -ISNi s: _ j=l

us -

= - 2 - 2 - 5 + 0,5 s-] = -425 s-] 2 '

i=l

n-m

Regel 6 Die Anstiegswinkel der beiden Asymptoten folgen aus GI. (7.36) ({Ji

(1 + 2i)

i =0,1, 2, ..., (n - m -1)

= - - - . Jr m-n

3 2

({Jl = --Jr.

Regel 7 Die Austrittswinkel aus den konjugiert komplexen Polen sPlund SP2 ergeben sich nach GI. (7.37) zu ({J Al

= ({JNl -

({JP3

+ 90 0 = (180 0

-

ｾ

arctan _1_) - arctan + 900 = 218 0 1,5 3

Regel 9 Mit GI. (7.42) errechnet sich die Lage des Verzweigungspunktes

1

m

n

1

ICY- ICY -i=l

sNi

j=l

SPj

1

CY+ 0,5

1 CY+2-j

1

CY+2+j

_1_=0. CY+5

Daraus folgt (a 2

+ 4a + 5)·4,5 - (2a + 4)(a 2 + 5,5a + 2,5) = 0

bzw. 2a 3 + 1O,5a 2 + 9a -12,5 = O. Die Lösungen dieses Polynoms 3. Grades sind:

Es liegen demnach zwei Verzweigungspunkte al und a2 vor. Der dritte Verzweigungspunkt liegt außerhalb des gültigen Bereichs.

Oj

Regel 10 Im vorliegenden Fall sind die beiden Verzweigungspunkte jeweils doppelte Polstellen (r = 2). Der Winkel zwischen den symmetrisch ein- und austretenden WOKn-Ästen ist nach GI. (7.45)

7.2 Geometrische Eigenschaften von Wurzelortskurven

219

Regel 11 Die Ermittlung der Schnittpunkte mit der imaginären Achse erübrigt sich, da es, wie der WOKn-Verlauf zeigt, keine Schnittpunkte gibt. Das heißt, das System ist unbegrenzt stabil.

Regel 12 Infolge (n-m) = 2 können der dritte Pol und die K-Werte in den Verzweigungspunkten nach GI. (7.48) berechnet werden. n

m

j=1

i=1

LRe(spj)= LRe(sp,i)=(-2-2-5) s-1 =-9s-1.

Für den Verzweigungspunkt

0"1 =

-2,615 S-1 liegt der dritte Pol auf der reellen Achse bei

0"13 =(-9+2.2,6l5)s-1 =-3,77s- l .

Entsprechend berechnet sich für den zweiten Verzweigungspunkt 0"2

= -3,349 s -I

der dritte

Pol zu 1

0"23 = (-9+2·3,349)s-1 =-2,302s- .

Exemplarisch sollen noch die K-Werte in den Verzweigungspunkten bestimmt werden. Allgemein gilt nach GI. (7.4) n

Il(S-Spj) j=1

m

I l (s-sNi) i=1

Im ersten Verzweigungspunkt ist

K = _ (-2,615 + 2 - j)( -2,615 + 2 + j)( -2,615 + 5) s-2 1

(-2,615 + 0,5)

Im zweiten Verzweigungspunkt ist

K2 =

(-3,349 + 2 - j)( -3,349 + 2 + j)( -3,349 + 5) -2 S

(- 3,349 + 0,5)

2 - (1,349 + 1) ·1,651 s -2 = 1,634 s -2. 22,849

220

7 Das Wurzelonskurvenverfahren

In Bild 7.8 ist der mit dem folgenden MATLAB-Skript berechnete Wurzelortskurververlauf dargeslellt:

»KpR .. 1; KpS = 0.4; »T1 '" 0.8; » T2_2 '" 0.2; »

Tv '" 2;T3 '" 0.2;

»b1 '" KpR·KpS·Tv;

» bO .. KpWKpS; »a3 = T2_2·T3; »a2 = T1·T3+T2_2; »a1 '" (T3+T1); »aO .. 1; »num",[O

0 b1 bOl

»den= [a3 a2 a1 aOl » rloeus (num, den, 'k') » hold on; grid

•

"

,.

"

..

$·EBENE

,

i

, •• ,

• Imagirtare

Auslri_inkel

Achse

.-

" -1 ｾ｟

••

I " .,

"

,.

.,

Bild 7.8 Wurzelortskurve zu Beispiel 7.3 mit

I +sTy GO(s) = K PR K PS - - - - . . . , , - , ; ' - - -

(l+sTI +s2 rh(l+sT)

,. ., ..

"

,

221

8 Entwurf von linearen Regelkreisen In Kapitel 4 wurden verschiedene Regeleinrichtungen mit einfachen Regelstrecken zu Regelkreisen zusammengesetzt und bei Führungs- und Störverhalten untersucht. Als Güteparameter wurden die bleibende Regeldifferenz und die Dämpfung betrachtet. Ein optimal eingestellter Regelkreis soll mit möglichst geringer Regeldifferenz einerseits und möglichst großer Dämpfung andererseits arbeiten. Diese Forderungen widersprechen sich. Beispielsweise führt die Vergrößerung des P- bzw. des I-Anteils eines Reglers bei Regelkreisen mit P-Strecken zur Verringerung der bleibenden Regeldifferenz, gleichzeitig jedoch auch zur Verringerung der Dämpfung und somit zur Instabilität. Die optimale Reglereinstellung erfolgt durch eine Kompromisslösung, die wiederum von der speziellen Regelaufgabe abhängt. Ein wünschenswertes Regelkreisverhalten soll mehrere Gütekriterien optimal oder in gegebenen Grenzen halten. Außer Amplituden- und Phasenreserve, Pol- und Nullstellen, bleibender Regeldifferenz und Dämpfung gehören zur Regelgüte die An- und Ausregelzeit und die Überschwingweite. Diese Merkmale lassen sich aus Sprungantworten direkt ablesen oder aus Differentialgleichungen bzw. Übertragungsfunktionen mit Hilfe von Stabilitätskriterien und Wurzelortskurven (Kapitel 6 und 7) berechnen. Somit ist der Erfolg beim Reglerentwurf im Wesentlichen von Kenntnissen der Regelstrecke abhängig. Nachfolgend wird gezeigt, wie der Regelkreisentwurf direkt im Zeitbereich oder indirekt durch die Optimierung von Frequenzkennlinien erfolgt.

8.1 Gütekriterien des Zeitverhaltens Bild 8.1 zeigt den zeitlichen Verlauf der Regelgröße bei einem Führungssprung. Daraus lassen sich die wichtigsten Gütekriterien des Zeitverhaltens, d. h. die bleibende Regeldifferenz, die Dämpfung, die An- und Ausregelzeit, die Überschwingweite, wie nachfolgend gezeigt wird, nach "Faustforrneln" ermitteln. x

i

maximale Überschwingweite

bleibende Regeldifferenz e(=)

_t

Bild 8.1 Sprungantwort des Führungsverhaltens. Die Güteparameter sind nach DIN 19226, TeilS, eingetragen

S. Zacher M Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9837-1_8, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

222 •

8 Entwurf von linearen Regelkreisen Bleibende Regeldifferenz

Die Regelkreise, die nur aus P-Gliedern mit oder ohne Verzögerung bestehen, weisen immer eine bleibende Regeldifferenz auf. Dies gilt auch für die Glieder mit D-Anteil. Sind in einem Regelkreis mit P-Regler ein oder mehrere Glieder mit I-Anteil vorhanden, so ist der zeitliche Verlauf der Regeldifferenz e(t) vom Ort, an dem die Störgröße angreift und deren zeitlichen Verlauf abhängig. Greift die Störgröße am Ausgang des I-Gliedes an, so wird die Regeldifferenz vollständig ausgeregelt. Tritt die Störgröße am Eingang des I-Gliedes ein, so kann die bleibende Regeldifferenz e( 00) entweder aus der mathematischen Beschreibung des Regelkreises, wie in Kapitel 4 gezeigt wurde, oder direkt aus dem Wirkungsplan des Regelkreises anhand der Eigenschaften eines I-Gliedes ermittelt werden. Diese Eigenschaft besteht darin, dass die Ausgangsgröße eines I-Gliedes überhaupt nur dann einen Beharrungszustand erreichen kann, wenn die Eingangsgröße des I-Gliedes gleich Null wird. •

BeispieI8.!

Am Eingang des I-Gliedes in Bild 8.2 wird im Beharrungszustand stets =0.

Dies führt beim Führungsverhalten mit dem Sprung = 0,

=wo zu

=0 und weiterhin zu e( 00) = 0, d. h. zu keinen bleibenden Regeldifferenz. Bild 8.2 Wirkungsplan eines Regelkreises mit drei Eingangsgrößen w, ZI und Z2

Wirkt nun sprungförmig die Störgröße Zl (t) = ZlQ, so soll diese im Beharrungszustand durch = - ZlO

kompensiert werden, da es aus dem Wirkungsplan des Bildes 8.2 = + ZIO = 0 folgt. Für

00) = - Z 10 wird weiterhin

1 (00) = ---zlQ'

K

was zu einer bleibenden Regeldifferenz führt: I

I

= - - - ,--zlQ K pS K pS

Greift die Störgröße Z2(t) am Ausgang des I-Gliedes an, so ist dieser Fall gleichbedeutend mit dem Führungsverhalten, d. h. e( 00) = O.

8.1 Gütekriterien des Zeitverhaltens

•

223

Überschwingweite

Die Überschwingweite X m ist die größte Abweichung der Regelgröße vom Sollwert während des Übergangsprozesses von einem Beharrungszustand in einen neuen Beharrungszustand beim Führungs- oder Störverhalten. Die Überschwingweite kann verhältnismäßig durch den Beharrungswert 00) ausgedruckt werden, z. B. in Bild 8.1 beträgt die Überschwingweite ca. 30% des Beharrungswertes, d. h. X m = 0,3 x( 00).

•

Anregel- und Ausregelzeit

Die Anregelzeit an ist ein Maß für die Schnelligkeit einer Sprungantwort. Sie wird als die Zeitspanne zwischen der Eintrittzeit eines Stör- oder Führungssprungs und dem Zeitpunkt, wenn die Regelgröße erstmalig in einen vorgegebenen Toleranzbereich eintritt, definiert. Der Toleranzbereich wird meist als ± (2 bis 4) % des Endbeharrungszustandes 00) vereinbart. Die Ausregelzeit Taus zeigt, wie lange dauert der Übergangsprozess von einem Beharin einen neuen Beharrungszustand 00). Der Übergangsprozess gilt rungszustand als abgeschlossen, wenn die Regelgröße in den Toleranzbereich ± (2 bis 4) % des Endbeharrungszustandes 00) zum dauernden Verbleib eintritt.

•

Dämpfung

Die Sprungantwort in Bild 8.1 entspricht einem P-T2-Verhalten (s. Abschnitt 3.5): Gw(s)=K pw ' ß

2

2

s

1

2 .

+s·2a+ß

Den exakten Wert der Dämpfung = a/ßkann man nach GI. (3.72) des Abschnitts 3.5 berechnen. Die Anzahl n der Halbwellen der Sprungantwort lässt sich aus den Zusammenhängen der gedämpften Schwingung ableiten:

ｮ］ｾ

ｾＲ

-1.

Angenähert kann die Dämpfung direkt aus der Sprungantwort abgelesen werden: 1

Dz-. n Beispielsweise weist die Sprungantwort in Bild 8.1 n = 3 Halbwellen auf. Die Dämpfung D liegt damit bei 0,33. Aus dem Abschnitt 3.5 folgen die Formeln für die Berechnung der Ausregelzeit Taus und der Periodendauer Te bzw. der Frequenz % der gedämpften Schwingung:

T aus

= In 25

a

z

3,22

a

T = 2;r = e

e

2;r ￟ｾＱＭｄＲＧ

224

8 Entwurf von linearen Regelkreisen

8.2 Praktische Einstellregeln Eine anspruchsvolle Einstellung des Reglers kann dann erfolgen, wenn ein genügend genaues Modell der Regelstrecke vorliegt. In den Fällen, wenn die mathematische Beschreibung der Regelstrecke nicht bzw. nur angenähert bekannt ist, haben sich die empirischen Einstellregeln mit Erfolg bewährt, deren Vorteil darin besteht, dass kein mathematischer Aufwand notwendig ist. Die praktischen Einstellregeln werden nachfolgend nach dem Genauigkeitsgrad des Streckenmodells eingeteilt. Somit werden wir zwischen den grob und fein approximierten Regelstrecken unterscheiden. Die experimentelle Ermittlung der mathematischen Beschreibung der Regelstrecke wird in der Fachliteratur als Identifikation bezeichnet. Darunter versteht man die Untersuchung des experimentell ermittelten Übergangsverhaltens der Regelstrecke, wenn am Eingang die speziellen Testfunktionen angewendet werden. Die Identifikation als Werkzeug zur Modellbildung wird im Buch nicht betrachtet. Die Eingangsfunktionen, wie die Sprungfunktionen, die Anstieg- und Rampenfunktionen, die Impulsfunktionen und die stochastischen Eingangssignale, wurden bereits im Abschnitt 2.3.1 eingeführt. Hier wird nur die Parameterschätzung anhand von Sprungantworten der Regelstrecke x(t) auf eine sprungförmige Änderung der Stellgröße y(t) behandelt. 8.2.1 Grob approximierte Strecke Ziegler-Nichols- Verfahren

Liegt keine mathematische Beschreibung einer Regelstrecke vor, ist jedoch gegeben, dass diese sich wie eine Reihenschaltung eines Verzögerungsgliedes I.Ordnung (PT I-Glied) und eines Totzeitgliedes Tt oder wie ein P-Tn-Glied verhält, so kommt sofort die Einstellregel nach Ziegier und Nichols zur Anwendung. Zunächst wird am Regelkreis experimentiert. Der Regler wird als P-Regler eingestellt und die Verstärkung KpR solange vergrößert, bis der Regelkreis an die Stabilitätsgrenze gelangt, d. h. Dauerschwingungen ausführt. Dabei wird der kritische Wert von KpR = KPRkr abgelesen und die kritische Periodendauer Tkr der Dauerschwingung gemessen. Die empfohlenen Kenngrößen für verschiedene Reglertypen sind: Parameter KpR

P-Regler

PI-Regler

PID-Regler

0,5· KPRkr

0,45· KpRkr

0,6· KPRkr

0,83·Tkr

0,5· Tkr

Tn

-

Tv

-

-

0,125· Tkr

Die oben angegebene Tabelle gibt die günstige Einstellung des Störverhaltens. Der Regelverlauf ist dabei mit ca. D = 0,2 bis D = 0,3 schwach gedämpft.

8.2 Praktische Einstellregeln

225

Wendetangenten- Verfahren Viele industrielle Regelstrecken lassen sich angenähert als P-T n- oder I-Tn-Strecken darstellen. Aus den Sprungantworten können Verzugszeit Tu bzw. Tl und Ausgleichszeit Tg sowie Proportional- und Integrierbeiwerte Kps oder K,s durch eine grobe Approximation mittels der Wendetangente, wie in Bild 8.3 gezeigt, bestimmt werden. x(t)

x(t)

t

t

x( 00)

!

o

-t u

Bild 8.3

=

t

Approximierung der Sprungantwort nach einem Sprung der Stellgröße y(t) = yo·o(t).

Die nach dem Ziegler-Nichols-Verfahren empfohlene Einstellung kann mit den grob geschätzten Parametern der Regelstrecke auch rechnerisch ermittelt werden. Für eine Regelstrecke, die z. B. aus einem Totzeitglied und einem Verzögerungsglied 1. Ordnung mit den Zeitkonstanten Tu und Tg besteht und mit einem P-Regler mit Verstärkung KpR geregelt wird = K pR .

PS

l+sTg

·e

-sT.

(8.1)

u,

soll die Nyquist-Stabilitätsbedingung (6.64) bei der Dauerschwingung erfüllt werden:

IGo (j lUd)1 = 1, wenn

= -180° .

(8.2)

Der Amplituden- und Phasengang des aufgeschnittenen Regelkreises nach GI. (8.1) wurden bereits in Abschnitten 6.2.3 und 6.3.2 behandelt. Aus GI. (8.2) folgen die Bedingungen für die kritischen Werte KPRkr und KpRkrKpS -1 r-, 2IG O } k)1-

V 1+

:

(8.3)

g)

(8.4)

Ermitteln wir

aus der GI. (8.3)

226

8 Entwurf von linearen Regelkreisen

und setzen diese in GI. (8.4) ein, so ergibt sich die Bedingung Tu

ｾｮ｡ｴ｣ｲ Ｍ ｊ

(KPRkrKPS)2 -1

(8.5)

ｾＨｋｰｒｫｲｓＩＲ｟Ｑ

Tg

Das Verhalten TglTu wird die Regelbarkeit genannt. Aus GI. (8.5) folgt, dass KpRkr vom Proportionalbeiwert Kps und von der Regelbarkeit der Strecke abhängig ist. Die Regelbarkeit (8.5) kann durch die Faustformel Tu Jr 1 -""Tg 2 KpRkrKpS-l

(8.6)

approximiert werden. Daraus folgt g K pRkr ",,_I_[Jr. T +1). K ps 2 Tu

(8.7)

Die entsprechende Ziegler-Nichols-Empfehlung ist unten in der Tabelle dargestellt. Parameter

P-Regler

PI-Regler

PID-Regler

I

0,9

1,2

-

3,3

2,0

-

-

0,5

KpRKpsTu Tg

Tn Tu Ty Tu

Eine andere Empfehlung zur günstigen Einstellung des P-Reglers stammt von Samal: K PR "" _1_. 2K ps

[Jr . Tg )

.

(8.8)

2 Tu

Für PI-Regler gilt nach dieser Regel wie oben noch Tn = 3,3· Tu sowie für PID-Regler Tn = 2,0·Tu und T y = 0,5·Tu. Chien, Hrones und Reswiek haben detaillierte und für verschiedene Anforderungen an das Regelverhalten ausgelegte Einstellregeln empfohlen, die zu einem Regelvedauf für Führungs- und für Störverhalten ohne Überschwingen oder mit der 20%Überschwingen führen. Die nachfolgende Tabelle zeigt diese Einstellregeln für PIund PID-Regler (additive Form) mit Strecken höherer Ordnung, die nach GI. (8.1)

durch den Proportionalbeiwert Kps und die Regelbarkeit gekennzeichnet sind.

8.2 Praktische Einstellregeln Reglereinstellung nach Parameter

Führung

Störung

0,3

0,3

0,7

0,7

0,35

0,6

0,6

0,7

1,2·Tg

4·Tu

1,0·Tg

2,3·Tu

0,6

0,95

0,95

1,2

1,0·Tg

2,4· Tu

1,35·Tg

2,0·Tu

0,5

0,42

0,47

0,42

Tu

P

KpRK pS -

PI

KpRK pS -

Tg

Tu Tg

Tn Tu

KpRK pS -

PID

Regelverlauf mit 20% Überschwingung Führung Störung

Aperiodischer Regelverlauf

Chien, Hrones, Reswiek

Regler

227

Tg

Tn Tv Tu

Regelbarkeit der Strecke Wie oben erwähnt, ist die günstige Reglereinstellung von der Regelbarkeit der Strecke, d. h. vom Verhalten ｾＬ

T

abhängig. Je größer die Regelbarkeit ist, desto größer

Tu

darf die Verstärkung des Reglers gewählt werden, wie GIn. (8.7) und (8.8) zeigen. Die Erfahrungswerte zur Beurteilung der Regelbarkeit sind unten zusammengefasst. gute

ｾＱ

{:::

{:::

--+

Tu = 0 Tg Tu

t

Tu=O

0 0

-- -

Tg

-=00 Tu

ｾｴ

=>

Tu

gute Regelbarkeit von 10 bis 3

ｾｴ

=>

schlechte

=>

x(t)

x(t)

x(t)

ｾ｜ｘ o

Regelbarkeit

{:::

ｉｾ

o Tu

T ｾ＼Ｑ Tu

--+

t

Tu

Tg

-=0 Tu

Ist die Verzugszeit Tu der Strecke sehr klein, so erkennt der Regler verzögerungsfrei einen Störgrößensprung und baut dementsprechend die Störung schnell ab. Man spricht von guter Regelbarkeit. Und umgekehrt, je größer die Verzugszeit ist, desto länger dauert die Übertragung des Störsignals zum Reglereingang. Der Regler wird in diesem Fall mit der größeren Verspätung reagieren und dabei eine viel größere Regeldifferenz abbauen müssen, was für eine schlechte Regelbarkeit spricht.

228

8 Entwurf von linearen Regelkreisen

T-Summen-Regel

Die Identifikation einer P-Tn-Regelstrecke nach diesem Verfahren unterscheidet sich grundsätzlich von der Identifikation nach dem Wendetangenten-Verfahren. Die Summe der Zeitkonstanten TL wird aus der Sprungantwort mit Hilfe einer senkrechten Linie bestimmt, die die zwei gleichen Flächen F l und F 2 bildet, wie in Bild 8.4 gezeigt ist. Daraus folgt ein neues Einstellverfahren, das von U. Kuhn 1995 eingeführt wurde. x( 00)

I

x(t)

i o

Bild 8.4 Auswertung einer Sprungantwort der Regelstrecke nach der T-Summen-Regel

-- t

Mit der Zeitkonstante TE und dem Proportionalbeiwert Kps der Strecke lassen sich die Reglerparameter nach der folgenden Tabelle berechnen. Parameter

P-Regler

PD-Regler

PI-Regler

PID-Regler

KpR Kps

1

1

0,5

1

Tn

-

-

0,5 TL

0,66h

Ty

-

0,33 h

-

0,167 h

Die daraus folgende etwas langsamere Einstellung kann durch andere Einstellvarianten , z. B. für PID-Regler mit KpRKpS = 2; Tn = 0,8 TE und Ty = 0,194 TE wieder schneller gemacht werden.

8.2.2 Fein approximierte Strecke Durch eine verfeinerte Approximation kann eine P-Tn-Strecke mit unbekannten Zeitkonstanten TI, T2 stanten Tl und T2 G(s)=

•••

T n entweder als ein P-T2-Glied mit zwei verschiedenen Zeitkon-

K ps (1 + sT1)(1 + sT2 )

(8.9)

oder als ein P-Tn-Glied mit n gleichen Zeitkonstanten T angenähert werden G(s)=

K ps (1 + sT)n

(8.10)

8.2 Praktische Einstellregeln

229

P-T2- Verhalten Die Sprungantwort einer P-Strecke höherer Ordnung (Bild 8.5) kann als ein P-T2Glied (8.9) mit zwei verschiedenen Zeitkonstanten Tl> T2 für den Wendepunkt x(t)

t

= w

t

Tl T IT2 InT2 Tl -T2

wie folgt angenähert werden: Tu =T2 { Tg =T +t w '

Ist beispielsweise _t

Tl = 2T2 ,

so folgt Bild 8.5 Verfeinerte Approximierung nach dem Wendetangenten-Verfahren

t w = 2T2 ·ln 2 = 1,386T2 .

Einstellregeln nach Strejc Die aus dem Bildes 8.5 resultierende Einstellregel des Proportionalbeiwertes für Pund PI-Regler wurde von Strejc nach dem Verhältnis von Zeitkonstanten k

=!i T2

empfohlen: 1

K

K

k

2

+1

2k

Für die Nachstellzeit eines PI-Reglers gilt dazu: = (k n

2

+ 1)(k + 1) .

k2

+k+l

2'

Zeit-Prozentkennwert- Verfahren Nach diesem Verfahren werden die aus der Sprungantwort der Regelstrecke gemessenen Zeitpunkte

und

tgO

bestimmt, bei denen die Regelgröße 10%, 50% und

90% ihres stationäres Wertes erreicht (Bild 8.6). Die Regelstrecke wird als P-Tn Glied mit n gleichen Zeitkonstanten nach GI. (8.10) approximiert. Die Ordnungszahl n der Regelstrecke wird aufgrund der Kennzahl (8.11)

230

8 Entwurf von linearen Regelkreisen

berechnet. Mit Hilfe der drei weiteren Kennzahlen alO, und Q90 (s. die nachstehende Tabelle) wird die Zeitkonstante der Regelstrecke (8.10) ermittelt = alO t lO

+

+ agotgO

(8.12)

.

3 x(t)

t

x( 00) = 100% t - - - - X90

---::=:::==-=-;F'"-

Ｍ Ｍ Ｌ［ ＯｊＧｾ

Bild 8.6 Verfeinerte Approximierung der Sprungantwort der Regelstrecke nach Zeit-Prozentkennwert-Verfahren

XSO -------0

o

-

t

Das von Schwarze entwickelte Zeit-Prozentkennlinien-Verfahren lässt die Regelstrecke identifizieren und den Regler nach der Methode der Betragsanpassung einstellen. Die Ergebnisse der Identifikation und die Regeln zum Entwurf des Regelkreises mit 10% Überschwingen sind in Tabelle unten für n = 3, 5 und 10 zusammengefasst. Parameter

Identifikation der Regelstrecke: Streckenkenngrößen

J1 n

0,207 3

0,304 5

0,438 10

alO

0,907

0,411

0,161

a50

0,374

0,214

0,103

Q!)O

0,188

0,125

OmO

Einstellregel nach Latzel Kennwerte KpR

Kps n

Tv

PI-

PID-

PI-

PID-

PI-

PID-

0,877

2,543

0,543

1,109

0,328

0,559

1,96

2,47

2,59

3,31

3,73

4,80

-

0,66

-

0,99

-

1,57

• Beispiel 8.2 Gegeben ist die Sprungantwort der Strecke mit Kps = 0,5, tlO = 5 s, t50 = 12 s, t90 = 25 s. Gesucht: a) Die Zeitkonstante der nach GI. (8.10) approximierten Regelstrecke, b) Die Kennwerte des PI-Reglers, bei denen die Regelung mit 10% Überschwingen erfolgt.

8.2 Praktische Einstellregeln

231

Zu a): Aus GI. (8.1l) ist J1 = 0,2. Wir bestimmen aus der oberen Tabelle, dass n = 3 ist, und berechnen aus GI. (8.12) die Zeitkonstante T= (0,907·5 s + 0,374·12 s+ 0,188·25 s) / 3 = 4,574 s. Die Regelstrecke wird damit wie ein P-T3-Glied identifiziert: Kps

Gs(s)=

, mit Kps = 0,5 und T=4,574 s.

(l + sT)3

Zu b): Für J1 = 0,2 bzw. n = 3 folgt aus der unteren Tabelle die Einstellung des PI-Reglers KpRKps = 0,877. Bei Kps = 0,5 und T = 4,574 ergeben sich KpR = 0,877 / Kps = 1,754 und Tn = 1,96·T = 8,965 s. Alternativ dazu gilt die Regel nach Strejc für proportionale Strecken n-ter Ordnung mit gleicher Zeitkonstante: K pR =_1_. K

n+2 =1,25 4·(n-l)

n+2 T =--·T=762s. n 3 '

Reglereinstellung mittels Pe-Simulation Ist die Regelstrecke fein approximiert, und sind die Parameter der Übertragungsfunktion exakt identifiziert, kann die Reglereinstellung auf einfacher Weise anhand einer Simulation des Regelkreises, z. B. mit MATLAB / Simulink erfolgen. •

Beispiel 8.3

Die P-TZ-Regelstrecke mit der Totzeit (KpS = 0,8, Tl = 5 s, TZ = 6 s , Tt = 2 s) soll mit dem PIRegler geregelt werden:

GS (S ) --

K PS -sT! ·e (1 + sTI )(1 + sTz )

GR

= K PR

+ K PR

-

1

.

sTn

Der Regler soll nach dem Ziegler-Nichols-Verfahren eingestellt werden. Dafür sollen zunächst die Kennwerte der Dauerschwingung KPRkr und Tkr ermittelt werden. Dies erfolgt mit Hilfe des in Bild 8.7 gezeigten MATLAB/Simulink-Programms. Der PI-Regler wird zuerst als P-Regler konfiguriert (KpR/Tn

=0).

Nach einigen Versuchen mit dem Regelkreis kann die in Bild 8.8 gezeigte Dauerschwingung (im vorliegenden Fall bei KpRkr = 7,9) erreicht werden. Daraus wird Tkr '" 15 s abgelesen. Nach der Ziegler-Nichols-Tabelle sind die Kennwerte des PI-Reglers wir folgt einzustellen: KpR = 0,45·KpRkr = 3,55 und Tn =0,83·Tkr = 12,45 s.

(J----8 Clück I-Anteil

Bild 8.7

sec

KpR / Tn

Wirkungsplan des Regelkreises mit dem PI-Regler, der als P-Regler betrieben wird

232

8 Entwurf von linearen Regelkreisen

x

Bild 8.8

Ennittlung von Kennwerten der Dauerschwingung KpRkr und Tkr per

Simulation

-2

-4

_6L-_ _---'o 10

---'-20

--'--30

"---_ _----' 40 50

--

---l

60

I/sec

Die Sprungantwort des so eingestellten Regelkreises mit dem PI-Regler nach einem Führungssprung

wo

= I ist in Bild 8.9 gezeigt. Die Überschwingweite beträgt X m = 50% des Behar-

rungswertes bzw. des Sollwertes x( 00) =

wo =

I; die Ausregelzeit bei der Toleranzgrenze von

4% ist Taus'" 60 s. Die Dämpfung lässt sich aus der Anzahl n = 4 der Halbwellen berechnen und beträgt D '" Iin = 0,25. Der Regelkreisverhalten kann per Simulation nachgebessert werden, so dass bei den Kennwerten des Reglers KpR = I und Tn = 8 s eine günstigere Sprungantwort mit X m = 10%; Taus = 35 s und D '" Iin = 0,5 erreicht wird.

ＱＮＵｲＭ Ｌ Ｍ ｾ Ｍ ｾ Ｍ ＭＬ

xC!)

4%

-"",-,J.-t

I I I

_ _ TiiJUS2---J

I 20

3J

04__------

Regelkreisverhalten nach dem Ziegler-NicholsVerfahren (Kurve I mit KpR = 3,55; Tn = 10,4 s) und nach den experimentell eingestellten optimalen Kennwerten (Kurve 2

I I ｾｦＭｬ

Bild 8.9

40

SJ

ffJ

u,' - - - _ " I

70

ElJ

__ tJSec

mit KpR = I; Tn = 8s)

8.3 Integralkriterien

233

8.3 Integralkriterien Unter Integralkriterien versteht man ein Maß, dass geeignet ist, die Güte des Regelverhaltens nach der durch die Sprungantwort abgegrenzten Fläche abzuschätzen, wie beispielsweise im Bild 8.10 anhand der Regeldifferenz e(t) gezeigt ist. Da die resultierende Fläche des Bildes 8.10 für Kreise mit bleibender Regeldifferenz e( 00) einen unendlich großen Wert erhalten würde, wird die Differenz [e(t) - e( 00)] statt e(t) eingeführt. Der somit entstehende Güteindex wird als Zeitintegral Qlin (Bild 8.lla) 00

Qlin

=

(8.13)

f[e(t)-e(oo)]dt

o bzw. als lineare Regelfläche bezeichnet. Um bessere Regelgüte zu erreichen, soll das Integral Qlin durch die Reglereinstellung zu einem Minimum gebracht werden.

co)

1

o

-

Bild 8.10 Sprungantwort beim Führungsverhalten und die von der Regeldifferenz e(t) = abgegrenzte Fläche

t

Bei Regelvorgängen mit Überschwingen setzt sich Qlin, wie aus Bild 8.10 ersichtlich ist, aus den positiv und negativ bezeichneten Flächen zusammen und kann sehr klein werden, ohne den Regelvorgang zu optimieren. So wird das Integral 00

Qsqr

= f[e(t) -

e( 00)]2 dt ,

(8.14)

o die so genannte quadratische Regelfläche (Bild 8.llb), oder das Integral 00

Qabs

= fle(t) -

e( 00)1 dt,

(8.15)

o die so genannte Betragsregelfläche (Bild 8.lle), eingeführt. Der Nachteil dieser Kriterien besteht darin, dass die mit fortlaufender Zeit kleiner werdenden Amplituden den Integralwert kaum beeinflussen, d. h. das Integralkriterium im Wesentlichen nur vom Anfangsteil der Regelfläche bestimmt wird. Durch die Multiplikation mit der Zeitvariable t werden die kleinen Amplituden stärker berücksichtigt (Bild 8.lld). Solch ein Gütekriterium ist als ITAE-Kriterium (Integral 0/ time multiplied absolute value 0/ errar) bekannt QITAE = fle(t) - e( 00

o

)1· t· dt .

(8.16)

234

8 Entwurf von linearen Regelkreisen e(t) - e( 00)

e(t) - e( 00)

Qlin

a)

b)

reet) - e( 00)] --. 0

0

reet) - e( 00)] --. 0

0

--t

,''''Qlin

e(t) - e( 00)

c)

,

--t

e(t) - e( 00)

QITAE

d)

Qabs

reet) - e( 00)] --. 0

0

\ \

, ,

0

__ t

,,

\ \

--t

\_;,"Q1in

\ ...... /' Qlin

Bild 8.11 Integralkriterien: a) Lineare Regelfläche Qlin; b) Quadratische Regelfläche (8.14); c) Betragsregelfläche (8.15); d) Zeitgewichtete Betragsfläche ITAE (8.16)

Integralkriterien wurden von Mandelstamm 1909 vorgeschlagen. Die Berechnungen von Regelflächen wurden in der Regelungstechnik erstmals von Kulebakin 1939 angewendet. Nach diesen Methoden erfolgt die Berechnung von Integralkriterien im Bildbereich. Dadurch kann die umfangreiche Ermittlung der Regeldifferenz im Zeitvermieden werden. Heutzutage kann die Lösung von Differenbereich eU) = wo tialgleichungen und die Optimierung von Regelflächen im Zeitbereich mittels Simulation sehr einfach ermittelt werden. Nachfolgend wird die klassische Berechnungsmethode nur für die lineare Regelfläche Qlin gezeigt. Aus der Laplace-Transformation und dem Grenzwertsatz folgt Qlin (00) = lim Qlin (t) = lim f[e(t) - e(oo)] dt = lim s· Qlin (s) ｴｾｯ

ｴｾｯ

ｳｾｯ

o

Qlin (s) = L[Qlin (t)] = f[e(t) - e(00)] e -st dt .

o Daraus ergibt sich die lineare Regelfläche zu Qiin(oo)= lim Qlin(t)= lim [(e(s)-!.e(oo)]]. ｴｾｯ

ｳｾｯ

s

(8.17)

8.3 Integralkriterien •

235

Beispiel 8.4

Eine P-T2-Strecke mit gegebenen Parametern KpS und Tl

"*

T2 soll mit einem P-Regler bei

einem Störsprung z(t) = zo·a(t) ohne Überschwingen (D ｾ I) geregelt werden:

GS

=

pS -----=--=------

(1 + sT] )(1 + sT2 )

Es soll die lineare Regelfläche minimiert werden. Für die Störübertragungsfunktion gilt

(8.18) Daraus ergeben sich die Regeldifferenz und die bleibende Regeldifferenz im Bildbereich zu

(8.19) Kpsz O

= lim s· s ---. 0

(8.20)

K PR K PS + 1

Die lineare Regelfläche Qlin wird nach Gin. (8.17), (8.19) und (8.20) ermittelt:

Qr = lim [_ m

S---.O

KpSz s[s2T]T2 +s(T] +T2)+KpRKps +1]

+!. s

KpSz ] KpRKps +1

(8.21) Das Minimum der linearen Regelfläche liegt vor, wenn die Ableitung gleich Null wird: PS

dQlin pS

dK PR

+

2) 3 Zo

(8.22)

(l + K PR K PS)

Die Lösung von GI. (8.22) liegt für KpR ｾ 00 vor. Für die optimale RegIereinsteIlung soll die Forderung D ｾ 1 berücksichtigt werden. Die Dämpfung ergibt sich aus GI. (8.18) zu

D=

Tl +T2

Ｒｾｔ｝

. Für D = 1 folgt daraus

(1 + K PR K PS)

(8.23) GI. (8.23) in (8.21) eingesetzt, ergibt den optimalen Wert der linearen Regelfläche für D = 1 Qlin = K PS

+

2 )2 3 2)

236

8 Entwurf von linearen Regelkreisen

8.4 Einstellregeln im Frequenzbereich 8.4.1 Betragsoptimum Die möglichen Verläufe des Amplitudenganges eines geschlossenen Regelkreises sind in Bild 8.12 gezeigt. Die Kenngrößen sind: WR - Resonanzfrequenz, W d - Durchtrittsfrequenz, wB - Bandbreite, M

-

Betrag des Frequenzgangs an der Resonanzstelle.

Eine Optimierung im Frequenzbereich liegt dann vor, wenn der Betrag von Gw(jw) möglichst nahe bei Eins liegt, d. h. IGw(w)1 = 1. Da bei technischen Systemen dies nicht realisierbar ist, soll diese Bedingung nur näherungsweise für eine möglichst große Bandbreite des Frequenzgangs erfüllt sein. Nach dem sogenannten Betragsoptimum-Verfahren wird gefordert, dass die Tangente des Amplitudenganges im Anfangspunkt W = 0 horizontal abläuft: dIGw(Jw)1 =0. dw

(8.24)

Die Lösung der GI. (8.24) führt bei bestimmten Regelkreisstrukturen, z. B. bei der Regelung einer reinen Verzögerungsstrecke, zu einer optimalen Dämpfung von (8.25) und zu daraus folgender Überschwingweite X m = 4,3%. geringe Dämpfung: 0 < D < 0,5

1,0 1

.fi

r-;;;;;;o",==----:t

Ｍｾ

idealer Betrag:

IGw (jm)1 = 1

optimierte Dämpfung: 0,5 ::; D ::; 0,707 große Dämpfung: D2': 1

o

---m

Bild 8.12 Amplitudengänge des geschlossenen Regelkreises beim Führungs-verhalten

Die Reglereinstellung nach GIn. (8.24) bzw. (8.25) für die oft auftretenden Regelkreisstrukturen, die als Grundtypen A und B bezeichnet sind, ist nachfolgend ohne Herleitung aufgeführt. Die Gleichungen der Zeile b) folgen aus Führungsübertragungsfunktionen für alle Werte von Dämpfung, während die der Zeile c) nur für die optimale Dämpfung gelten. Es wird angenommen, dass T2> Tl ist. Für den Fall T2» Tl ist eine Annäherungsformel in Zeile e) aufgeführt.

8.4 Einstellregeln im Frequenzbereich

237

Grundtyp A (mit I-Anteil):

Grundtyp B (ohne I-Anteil):

a) Übertragungsfunktion und Wirkungsplan des offenen Kreises

Go(s)= KpRKpsKrs s (l + sTj ) b)

GO(s) =

KpRK pS (1 + sTj )(1 + sT2 )

Zusammenhang zwischen Reglerverstärkung und Dämpfung

KpRKpSKIS =

1

KpRK pS =

4D 2 T]

(T] +T2 ) 2 4D 2 T]T2

1 J2

c) Optimale RegIereinsteIlung nach dem Betragsoptimum für D =

K

_

PRopt - 2K

1 PS

K

K T

IS]

(T] + T2 ) 2 PRopt - 2KPST] T -

-1

1 K pS

---

2

d) Güteparameter und Sprungantwort beim Führungsverhalten

x(t)

x(t) Xm

0

=4,3%!

Grundtyp B

Grundtyp A

1

e(oo) =

ＡＮｯｾＬＴ］ｭｸ

ＭＺｔ ｾ

0

_/-1 _/

t ｔ｡ｵｳｾ

1+ KpRKpS

ＭＷｽｲＺｾ［

00)

"

_1_1

=

PR PS . I+KpR KpS

t

_ _ _ I ｔ｡ｵｳｾ

11 Tl

ＱｾｘＨ

Tl

]] Tl

e) Optimale RegiereinsteIlung im Sonderfall bei Go(s) =

K

KpRK ps

bei T2 »T]:

sTn (l+sTj ) K

Tn PRopt - 2 K T . PS' ]

ｾ Aufgabe 8.1 Gegeben: eine P-T3-Strecke mit

Kps = 0,08,

Tl = 8,5 s,

Tz = 6,5 s,

_

T2

PRopt - 2 K T . PS' ]

T3 = 1,2 s,

die mit einem PI-Regler geregelt werden soll. Gesucht: Die RegiereinsteIlung nach dem Betragsoptimum.

238

8 Entwurf von linearen Regelkreisen

8.4.2 Symmetrisches Optimum Wird eine Regelstrecke mit 1- oder I-T-Anteil mit den 1-, PI- oder PID Reglern geregelt, so kann die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises durch Annäherung und geeignete Wahl der Reglerparameter wie folgt dargestellt werden: Go(s)= KpRKpsKIS . (l+sTn ). (l+sTI ) s2 Tn

(8.26)

Die Kennwerte Tn und KpR des Reglers lassen sich so einstellen, dass der Phasenwinkel IAJ( OJd) bei der Durchtrittsfrequenz OJd ein Maximum erreicht. Charakteristisch für (8.26) ist das Vorhandensein von zwei in Reihe geschalteten I-Gliedern und die symmetrische Form des Zähler- und des Nennerpolynoms mit Zeitkonstanten Tn und TI. Dies tritt z. B. für folgende Regelkreise auf, die in untenstehender Tabelle zusammengefasst sind. a) I-TI-Strecke und PI-Regler. Hier würde sich GI (8.26) direkt ergeben. b) 1- Tz-Strecke und PI-Regler. Im Fall TI ｾ

5· T2 können die Zeitkonstanten TI und

T2 durch ein P-TI-Glied mit der Ersatzzeitkonstante TE = TI + Tz ersetzt werden. c) I-Tz-Strecke und PID-Regler. Für Tl > Tz wird die zweitgrößte Zeitkonstante durch die Wahl von Ty = Tz kompensiert. d) I-T3-Strecke und PID-Regler. Liegt das Verhältnis T] > Tz > T3 vor, kann die zweitgrößte Zeitkonstante der Strecke wie im Punkt c) durch T y = Tz kompensiert werden. Bei Tl » T3 werden die restlichen P-T]-Glieder in der Nähe der Durch-

trittsfrequenz wie folgt angenähert: (l + sTI)(l + ST3) "" sT3(l + sTI)' Übertragungsfunktionen: Strecke Gs(s), Regler GR(S)

a)

Bedingung

Resultierende Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises

=>

Go(s) = KPRKpsKrs (l+sTn ) sZTn (l + sTI )

Gs(s) = KpsK rs s(l + sTI )

GR(s)= KpR(I+sTn) sTn Gs = b)

KpsK rs s (l + sTI)(l + sTz )

G (s) = K pR (1 + sTn) R sTn Gs = c)

KpsK rs s (1 + sT] )(1 + sTz )

G = K PR (l + sTn )(1 + sTy ) R sTn

Tl

ｺｹＮＵｾ

=> TE =1] +Tz

1] > Tz> T3

=> Ty =Tz

Go(s) = KpRKpsKIS (l+sTn ) (l + sTE ) sZTn

Go(s)= KpRKpsKrs (l+sTn ) (l + sT]) sZTn

8.4 Einstellregeln im Frequenzbereich

239

Im Folgenden wird das Verfahren am Beispiel (8.26) hergeleitet. Aus den Frequenzgang des aufgeschnittenen Regelkreises (8.26) . )_KpRKpsKIS l+ j OlTn _(K IO )2 l+jOlTn o jOl . - -. G( (j Ol)2 Tn 1+ jOlT1 jOl 1+ jOl Tt

(8.27)

'

wobei K [0 = K PR K PsK IS / Tn ist, wird der Amplituden- und der Phasengang 1+ (OlTn )2 1+ (OlT1 )2

(8.28) (8.29)

ermittelt. Für

IGo(j Old)1 = 1 und /ftl( lüct ) > -180° bei der Durchtrittsfrequenz lüct wird

der geschlossene Regelkreis nach dem Nyquist-Kriterium stabil. Die Optimierung besteht nun darin, dass das Maximum der Phase des offenen Regelkreises /ftl( Ol) bei der Durchtrittsfrequenz lüct gesucht wird. Um die Kreisfrequenz Ufu zu bestimmen, für die /ftl( Ufu) ein Maximum ist, differenzieren wir (8.29) und setzen die Ableitung gleich Null ein: dqJo(Ol) _ Tn _ Tt =0 dOl - 1+(OlTn )2 1+(OlT1 )2 .

Daraus folgt: (8.30) d. h. der Phasenrand /ftl( lüct ) wird ein Maximum bei der Durchtrittsfrequenz lüct = Ufu. Setzen wir (8.30) in GI. (8.28) ein, so folgt unter Beachtung der Stabilitätsbedingung (8.31) bzw. KpRKpSKIS = Olm .

(8.32)

Beim Symmetrischen Optimum wird der Regler so eingestellt, dass die Durchtrittsfrequenz lüct = Olm das geometrische Mittel der beiden Eckfrequenzen OlE2

OlE] = 1/ Tu

und

= 1/ li annimmt. Dafür wird der Faktor

Tn

bzw.

n

(8.33)

240

8 Entwurf von linearen Regelkreisen

eingeführt. Daraus folgt UEI = 11 ｾ

= %J.

/.Jk und UE2 = 11 11 = %J..Jk . Aus Stabili-

tätsgründen muss ｾ > 11 gewählt werden, d. h. es gilt die Bedingung k > 1. Nach Kessler wird als Standardeinstellung für symmetrisches Optimum k = 4 empfohlen. Setzen wir GI. (8.32) in (8.26), so wird die Übertragungsfunktion des aufgeschnittenen Kreises (8.26) in folgende Form gebracht Go (s) =

I

lU m - 2 - ·

1+ sTn

(8.34)

.

s Tn 1+ sT

Das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Kreises lässt sich symmetrisch bezüglich der Durchtrittsfrequenz l"4:I = lU m darstellen, wie Bild 8.13 zeigt. Aus dem symmetrischen Verlauf des Amplituden- und Phasenganges resultiert die Bezeichnung des Verfahrens Symmetrisches Optimum. Durch den Faktor k wird die Bandbreite definiert. Aus GIn. (8.30) und (8.33) folgt I

lU m =

.Jk.

(8.35)

. 1+-_ _ k

IT

IT

I

ＭＢ ＼＾｟ＭＴ＾ ｟ｾＭ Ｍ＼＾ ｔＭ ＧｬＭ Ｍ

o

, :, , ,,, ,,, ,

Ｍｾ

-----+

(J)

-----+

(J)

,

i

Bild 8.13 Bode-Diagramm nach dem Symmetrischen Optimum mit D = 0,707 und xm=30%

8.4 Einstellregeln im Frequenzbereich

241

Setzen wir diesen Wert in GI. (8.29), so ergibt sich unter Beachtung lfJRd (lü m ) =

(lü m )

-Jr -

der Zusammenhang zwischen k und der Phasenreserve lfJRd k =cot 2(900 - lfJRd) .

(8.36)

2

Beispielsweise errechnet sich die maximale Phasenreserve für k = 4 zu lfJRd = 37°. Die optimale Reglereinstellung ergibt sich aus GIn. (8.32) und (8.35): KpRopt =

1 ｾ

"1/ k

.

PS .

IS .

Für k = 4 folgt daraus speziell für Standardeinstellung KpRopt

lü m

=

=

1

2 . PS .

=-

1

IS .

und

.

2T

(8.37)

Aus GIn. (8.34) und (8.35) bestimmen wir die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises für das Führungsverhalten (8.38)

Für k = 4 wird Gw

=

= 411, und aus (8.38) folgt 1+ sTn 2 3 2 2 s ·2 Tl +s ·2 Tl +s·2 Tl +1 3

3

3

bzw. (8.39) Die Polstellen haben die Werte 1 sI = - - bzw. nach (8.37) sI = 2T

m und

'

=

-1 ±

j.J3 .

4T

Die Übertragungsfunktion (8.39) mit der Polstelle SI wird wie folgt dargestellt: G (s)=I+sTn .ß2. 1 , w s - sI s2 + s2a + ß2

8 Entwurf von linearen Regelkreisen

242

mit a = _1_ und sind für 0
12 der stabile Schnittpunkt 2 erreicht wird. Bild 9.23 zeigt die graphische Darstellung nach dem Zweiortskurvenverfahren. IM

t

1

---

G(jOJ)

1000

5000

-1000 0,5

Bild 9.23 Graphische Stabilitätsuntersuchung

-1000

Die Amplitude der Regelgröße x = p ergibt sich aus: pes)

Im Schnittpunkt 2 ist A

p

pes)

bzw.

xe = 2,29 . x t . Damit folgt

=- I . 2,29 . x t = 0,092 bar. K1

9.3.2 Untersuchung eines Regelkreises mit Ansprechempfindlichkeit In Bild 9.24 ist ein Regelkreis gezeichnet, dessen Messfühler eine Ansprechempfindlichkeit aufweist. Die Übertragungsfunktionen von Regler und Strecke lauten: I GR(s)=-

KS

Gs(s)=-z-z-----"---

Bild 9.24 Wirkungsplan eines Regelkreises mit Ansprechempfindlichkeit des Messfühlers

s Tz = 0,2 s;

+ sT + I KS = 0,5;

= 5 s;

Die Beschreibungsfunktion der Nichtlinearität ist gemäß Abschnitt 9.2.2

z

.

293

9.3 Stabilitätsuntersuchungen an nichtlinearen Regelkreisen

(9.43) mit

Die Zusammenfassung der linearen Glieder ergibt

Ks

G(s) = G R (s)G s (s) = --2-2-"------sTI (s T2 + sTI + 1)

bzw. den negativ inversen Frequenzgang 1 1 2 - - - .- = - - [ - w TITI G(jw) Ks

.

2 2

+ JwTI(l-w T2

(9.44)

)].

Da die Beschreibungsfunktion (GI. (9.43)) reell ist, verläuft die Ortskurve von N(xe ) auf der positiv reellen Achse. Es genügt demnach die Berechnung des Schnittpunktes der Ortskurve von - l/G(jw) mit der positiv reellen Achse. Im Schnittpunkt ist. Im[- _1_] = G(jw)

1 = 05wd = s ' T2

°und es folgt aus GI. (9.44) 1

Der zugehörige Realteil errechnet sich aus GI. (9.44) für Re[-

Wd

zu

1 ]= TI TI =0,5. G(jwd) KsTi

Wie Bild 9.25 zeigt, schneidet die Ortskurve 1 von -l/G(jw) die Beschreibungsfunktion N(xe ). Die sich in diesem Schnittpunkt einstellende Dauerschwingung ist labil, da gemäß Bild 9.13 N(x e ) mit zunehmendem xe anwächst, mit abnehmendem xe abnimmt. N(x e ) kann als Verstärkungsgrad der Nichtlinearität interpretiert werden. Eine geringe Erniedrigung der Schwingamplitude führt zu abklingenden, eine Erhöhung zu aufklingenden Schwingungen. Man spricht deshalb von einer "Stabilität im Kleinen". Bei zunächst stabilem Regelverhalten kann der Kreis durch auftretende Störungen instabil werden, ein höchst unerwünschtes Verhalten. Aus Bild 9.25 ist ersichtlich, wie groß der Regelparameter TI gemacht werden muss, damit unbegrenzte Stabilität herrscht. Die Ortskurve 1 von - 1 /G(jw) schneidet die

294

9 Nichtlineare Glieder im Regelkreis

IM

r

/'

\s

I

G(jOJ)

-

xe

- -I -

---

0,5

/

G(jOJ)

/'

.,,/

.,,/

/' /'

.-

2

2 "" >-\c;\

/'

(i)

/

-

RE

-0,5

Bild 9.25 Stabilitätsuntersuchung eines Regelkreises mit Ansprechempfindlichkeit Kurve I für

= 0,2 s , Kurve 2 für

= 0,6 s.

positiv reelle Achse für m = md = 1 /

Diese Frequenz ist unabhängig von

Tr. Für

Re[-l/G(jmd)] >1 gibt es keinen Schnittpunkt der Ortskurven von - l/G(jm) und

e ).

Daraus folgt: Re[-

1

]=

> l.

G(jmd)

K s -=O,4s. In Bild 9.25 ist für = 0,6 s > 0,4 s die Ortskurve 2 von gestrichelt eingezeichnet. Dieser Regelkreis ist unbegrenzt stabil, es treten keine Dauerschwingungen auf. ｾ

Aufgabe 9.1

Wie ist das Stabilitätsverhalten des zuvor behandelten Regelkreises, wenn a)

0,4 s,

b) Tr> 0,4 s?

=

°

und

295

10 Unstetige Regelung

Bei einem stetigen Regler hat die statische Kennlinie YR = fee) den in Bild 10.1 gezeigten Verlauf. Verändert man die Eingangsgröße e kontinuierYR lich von emin bis e max , so ändert sich die Stellt größe ebenso kontinuierlich über den gesamten Stellbereich Yh. Betrachtet man demgegenüber die Kennlinie des einfachsten unstetigen Reglers (Zweipunktregler, Bild 10.2), so kann die Stellgröße nur zwei diskrete Zustände annehmen YR = 0 und YR = YRmax . Bild 10.1

Statische Kennlinie YR = fee) eines stetigen Reglers

YR

t

I-"""T"YRmax

ｾ Bild 10.2

Die gerätetechnische Verwirklichung von unstetigen Reglern in Form von Relais, Bimetallschaltern, Kontaktthermometern usw. ist denkbar einfach und preiswert. Wie beim stetigen Regler wird dem Zweipunktregler die Regeldifferenz zugeführt.

Statische Kennlinie eines Zweipunktreglers ohne Hysterese

Ist die Regeldifferenz e = w - x positiv, so schaltet der Zweipunktregler ein, ist sie Null oder negativ, so schaltet der Zweipunktregler ab. Der Hauptnachteil der einfachen unstetigen Regler besteht in der pendelnden Arbeitsbewegung der Stellgröße und somit der Regelgröße um den Sollwert. Ursprünglich wurden diese einfachen unstetigen Regler (vorwiegend Zweipunktregler) zur Regelung einfacher Regelkreise (Raumtemperatur, Bügeleisentemperatur, Kühlschranktemperatur usw.) benutzt. Durch geeignete Maßnahmen können die Schwankungen der Regelgröße um den Sollwert auf ein innerhalb der Genauigkeitsgrenze von Messgeräten liegendes Maß gesenkt werden, so dass sie heute auch zur Regelung komplizierter Regelstrecken verwendet werden. Allerdings sind die elektrischen und elektronischen Regler recht aufwendig, so dass der Preisunterschied im Vergleich zu den stetigen Reglern nicht allzu groß ist. Für Regelstrecken, bei denen eine hohe Stellleistung erforderlich ist, wird eine unstetige Regeleinrichtung mittels Thyristoren, Triacs oder Ähnlichem stets billiger sein als eine entsprechende stetige Regeleinrichtung.

S. Zacher M Reuter, Regelungstechnik für Ingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9837-1_10, © Vieweg+Teubner Verlag I Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

296

10 Unstetige Regelung

10.1 Idealer Zweipunktregler an einer P-Strecke höherer Ordnung Bild 10.3 zeigt einen Wasserdurchlauferhilzer, dessen Temperatur von einem Kontaktthcrmomclcr geregelt wird. Bei Inbetriebnahme der Anlage wird die Heizwicklung eingeschaltet und erwärmt das Wasser. Infolge des Temperaturansliegs steigt die Quecksilbersäule des Kontaktthermomelers. Im unteren Ende des Glaskolbens ist ein Platinkontakt eingeschmolzen, während ein zweiter Platindraht von oben in den Glas-

kolben ragt, der in der Höhe verstellbar ist. Wird das uniere Ende des oberen Platindrahtes auf die Solllcmpcratur eingestellt, so wird. wenn die Quecksilbersäule diese erreicht, die Relaiswicklung kurzgeschlossen und die Heizung ausgeschaltet. Bei Temperaturabnahme wird die Quecksilbersäule den Kontakt unterbrechen und die Heizung erneut einschalten usw.

=======t:;::=J=;===== ｰｾ ｾＭ

KOnlaktthermometer Bild 10.3 ｗ｡ｾｳ･ｲ､ｵ｣ｨｬ｡ｦ･ｲｪｴﾭ zer mit KOnlaktthermorneter zur TemperaiUrregelung

Es soll nun das zeitliche Verhalten eines Zweipunktreglers an vorliegender Strecke behandelt werden. Diese ist mindestens von 2. Ordnung. Schaltet man die Heizspirale ein, so wird die Temperatur im Behälter nach einer e-Funktion ansteigen. Eine weitere Verzögerung I. Ordnung bildet der Glasmantel des Thermometers. Taucht man dieses plötzlich in eine Flüssigkeit mit einer anderen Temperatur, so steigt die Quecksilbersäule ebenfalls nach einer e-Funktion. Vereinfachend soll diese Strecke 2. Ordnung mit Verzugs- und Ausgleichszeit durch eine reine Totzeit Tl und ein Verzögerungsglied I. Ordnung mit der Zeitkonstanlen Tl angenähert werden. Ferner soll der Schaltpunkt des Zweipunktreglers in beiden Richtungen exakt gleich sein. Diese Forderung wird von dem Kontakuhermometer ziemlich genau erHiIlt. Den entsprechenden Wirkungsplan des Regelkreises zeigt Bild 10.4.

+

Bild 10.4 Wirkungsplan eines Regelkreises mit Zweipunktregler zur Regelung eincr P-TI-Tl-Strcckc

Betrachtet man die Strecke zunächst ohne Regler, so wird nach Einschalten der Heizwicklung die Wassertempcratur nach Verlauf der Totzeit Tt nach einer e-Funktion mit

297

10.1 Idealer ZweipunkfregJer an einer P-Strecke höherer Ordnung

der Zeitkonstanten TI ansteigen, bis zum Endwert XE, Schaltet man danach die Heizwicklung ab, so fallt die Wassertemperatur nach Verlauf der Totzeit ebenfalls nach einer e-Funktion ab. Vereinfachend wird angenommen, dass die Zeitkonstanten der Erwärmungs- und Abkühlungskurven gleich sind, was in praxi nicht immer der Fall ist. Die Regelstrecke wird nun mit dem Zweipunktregler in Betrieb genommen, wobei der Sollwert so eingestellt ist, dass er zwischen der Anfangstemperatur temperalUr XE liegt. Zunächst ist die Temperatur x =

XA

XA

und der End-

und die Regeldifferenz

e = 11' - XA positiv, so dass der Zweipunktregler einschaltet und die Wassertemperatur in der zuvor beschriebenen Weise ansteigt. Beim Erreichen des Sollwertes schaltet der Regler ab, die TemperalUr steigt infolge der Totzeit bis zum Wert XI weiter an, um dann entsprechend der Temperaturabkühlungskurve abzufallen. Wird der Sollwert unterschritten, so schaltet wie in Bild 10.5 gezeigt die Heizung erneut ein. Nach Verlauf der Totzeit. in der die Temperatur bis auf den Wert X2 abfällt, beginnt die Temperatur wieder anzusteigen. Dieser Vorgang wiederholt sich periodisch mit einer Temperaturschwankung zwischen Xl und X2 mit der Amplitude xo um den Wert X3.

-T,

x

X

A

= 0

+-+

--- ---

.L

］ＮｉＺＮ ＺＭＬ Ｍ］ ｾＭ ｾＭ］ ｾＭ

T,

To Uild J0,5 Verlauf der Regel- und Stellgröße eines Regelkreises, bestehend aus einer P-T1Strecke mit Totzeit und einem Zweipunktregler

Ermittlullg der Schwallkltllgsbreite Zxo ulld der MittelwertabweiclulI/g xMA Für den oberen Grenzwert der Dauerschwingung erhält man XI =w+(xE -w)·(l-e

mit XE = KSYRmax'

-"

TI),

(10.1 )

298

10 Unstetige Regelung

Entsprechend folgt für den unteren Grenzwert x2: _

x2 = w· e

(10.2)

Subtrahiert man GI. (10.2) von GI. (10.1), so erhält man die Schwankungsbreite

_71

= xl

2·

- x2

= xE

(10.3)

. (1- e 1]).

Die Schwankungsbreite 2xo wird um so größer, je größer die Totzeit Tt und je kleiner die Zeitkonstante Tl ist. Für Tt / Tl

xo =

XE

---7

00

wird 2·xo =

bzw. die Schwingamplitude

12. Bemerkenswert ist, dass xo unabhängig vom Sollwert ist. Wie Bild 10.6

zeigt, weicht der Mittelwert der Regelschwingung XMA

XE

X3

vom Sollwert ab. Die Differenz

wird als Mittelwertabweichung bezeichnet. Es gilt:

x3 =

2

=

'21

l

xE . (1- e

I) +

e

-T: I

j

(10.4)

-------------------Ｍ Ｍ Ｍ ｾ ］ＭｾＭ Ｍ ｟Ｎ

I

W3

="6 xE ＫＭｩＫＭ Ｂ ｦＭ Ｇ ＭＮ ［ ｾＧ Ｇ ｉＭ ｾ｟､ＺＭｾ､｟ＪＭ Ｇ Ｇ ｟Ｚｦ｟

Bild 10.6

Zeitlicher Verlauf der Arbeitsbewegung in Abhängigkeit vom Sollwert bei Zwei-

punktregelung einer P-TI-Strecke mit Totzeit

Die Kurvenform der Regelschwingung ist vom Sollwert abhängig (Bild 10.6). Für kleine w- Werte hat die Erwärmungskurve einen steilen Verlauf und die Abkühlungskurve verläuft flach. Im oberen Bereich für große w-Werte ist es umgekehrt.

10.1 Idealer ZwcipunkfregJer an einer P-Strecke höherer Ordnung

299

Symmetrischer Betrieb Legt man den Sollwert in die Mitte des Regelbereiches IV = XE 12. so wird XMA

=

O. d.

h. .'1'3 fjlh mit dem Sollwert zusammen. Im solchen, so genannten symmetrischen Betrieb, kann man einige Nähemngen vornehmen, was eine vereinfachte Berechnung von Schwingungsparameter ermöglicht. Zunächst wird angenommen, dass ｬ･］ｴＮ Ｗｾ

gilt, woraus laut Bild 10.6 die Schwingdauer wie folgt bestimmt wird: TO =21e +2I(1=4T,

Die Simulation mit MATLAB/Simulink fLir ein Beispiel beim symmetrischen Betrieb 11'

= XE /2 = 0,5 bestätigt diese Annahme (Bild 10.7).

•• Wo

• •

ＵＮｏｾ

•

0.5s+1 Kps .. 1; Tl ..0.5s

.,

•

Tt .0,2s

• To Workspace

•

Clock To Workspac
T, 0 0

0.5

1.5

2

2.5

ßild 10.7 MATLAB/Simulink-Modell und Sprunguntworten eines Regclkreises mit dem Zweipunktrcg1er ohnc Hystcrese und eincr P-Tl-Streckc ps = I: = 0.5 s: = 0.2 s)

Weiterhin kann man den Verlauf der Regelgröße bei einer kleinen Schwankungsbreite 2xo linear betrachten. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecks ABC und Aab folgt dann laut dem Bild 10.7 die BeziehungAB/BC = ab/Ab.

10 Unstetige Regelung

300

ab = Ab = so erhält man eine Setzt man die Werte ein: AB = x EI2, BC = Faustformel, die nur für einen symmetrischen Betrieb und nur für eine kleine Schwankungsbreite gilt: XE 'Fr xo=-'-

2

Nach dieser Formel soll die Amplitude X(J der Arbeitschwingung im obigen Beispiel =1.-. 0,2 =02 2 0,5 ' betragen. In Wirklichkeit bzw. bei der Simulation nach dem Bild 10.7 ist die Amplitude X(J der Arbeitschwingung = 0,6486 - 0,5 = 0,1486 "" 0,15 . Der Fehler von 0,05 deutet darauf hin, dass die Faustformel nur bei groben Berechnungen anzuwenden ist. Im Weiteren wird im Buch auf diese Faustformel verzichtet. Schaltfrequenz und Schwingdauer

Gemäß Bild 10.5 ist die Schwingdauer (10.5)

To = 2Tt +tl +t2'

Ferner ist: (10.6) Durch Einsetzen von GI. (10.1) in GI. (10.6) ergibt sich: (10.7)

Für t2 folgt

_2 W - X2 = (XE - x2 )(1- e

1])

_t2

e

Tl

1

W- X2

XE - W

XE -x2

XE -x2

=1-----=--

Mit GI. (10.2) in GI. (10.8) erhält man

10.1 Idealer Zweipunktregler an einer P-Strecke höherer Ordnung

301

_'Ft t 2 = T] . In ----'='-------

(10.9)

Setzt man die GIn. (10.7) und (10.9) in GI. (10.5) ein, so erhält man für die Schwingdauer folgenden Ausdruck

(10.10)

GI. (10.10) ist in Bild 10.8 durch die Funktion

= f (w / XE) für

= 0,25 dar-

t

gestellt. Sie zeigt für w = 0,5 XE ein Minimum der Schwingdauer bzw. ein Maximum der Schwingfrequenz. Für ein anderes Verhältnis Tt/Tl ergeben sich zwar andere Werte, jedoch liegt das Minimum stets bei w = 0,5 XE. Bild 10.9 zeigt ebenfalls für t / Tl = 0,25 das Verhältnis von Ein- zu Ausschaltzeit te / ta, das für w = 0,5 XE gleich eins wird. 3

3

\

\

1/

/

/

r-rI

,I

oo Bild 10.8

0,2 0,4 0,6 0,8

W

1,0- xE

Abhängigkeit der Schwingdau-

er Ta vom Sollwert w für Tt/Tl = 0,25

I I

1/

oo

Bild 10.9

W

0,2 0,4 0,6 0,8

- -xE 1,0

Verhältnis von Ein- und

Ausschaltzeit als Funktion

für

Tt/T] = 0,25

Der Regelbereich liegt ungefähr zwischen w = 0,2 und w = 0,8 Für größere bzw. kleinere Werte von w nimmt die Schwingdauer stark zu. Ferner verharrt der Regler dann für längere Zeit in der ein- bzw. ausgeschalteten Lage. Im Hinblick auf die Schwankungsbreite wird eine möglichst kleine Totzeit angestrebt, da für

°

t =

°die

Schwankungsbreite 2xa gleich Null wird. Allerdings wird für Tt = die Schwingdauer Null und die Schaltfrequenz unendlich. Mit zunehmender Schaltfrequenz steigt jedoch die Kontaktbeanspruchung, so dass bei mechanischen Relais ein Kompromiss zwischen minimaler Schwankungsbreite und maximal zulässiger Schaltfrequenz getroffen werden muss.

302

10 Unstetige Regelung

10.2 Zweipunktregler mit Hysterese an einer P-Strecke 1. Ordnung Reale Zweipunktregler sind stets mit Hysterese behaftet. Das heißt, dass infolge von Reibung, magnetischen Einflüssen usw. das_Einschalten bei einem höheren Wert der Eingangsgröße liegt als das Ausschalten. Bild 10.10 zeigt den Wirkungsplan einer P-Strecke 1. Ordnung, die von einem Zweipunktregler mit Hysterese geregelt wird.

Bild 10.10 Regelkreis gebildet aus einer P-Strecke I. Ordnung und einem Zweipunktregler mit Hysterese

Ohne Regler würde die Regelgröße nach dem Einschalten verzögert nach einer eFunktion mit der Zeitkonstanten T auf den Endwert XE ansteigen. Vereinfachend wird angenommen, dass die Zeitkonstanten des Ein- und Ausschaltvorganges gleich sind (Bild 10.11). Befindet sich der Regler an der Strecke, wobei der Sollwert auf o::; W ::; XE eingestellt sei, so ist nach Inbetriebnahme zunächst X = 0 und XE = W - X = w. Folglich schaltet der Zweipunktregler ein und die Regelgröße steigt gemäß der Einschaltkurve an. Infolge der Hysterese schaltet der Zweipunktregler beim Erreichen des Sollwertes noch nicht ab, sondern erst bei x = W + XL. Bei abgeschaltetem Regler fällt die Regelgröße entsprechend der Abschaltkurve bis auf den Wert x = W - XL ab, um dann erneut einzuschalten. Dieser Vorgang wiederholt sich periodisch mit der konstanten Schwankungsbreite 2·XL.

o ＭＫ］ＢＧＮｾ

---- t

Bild 10.11 Verlauf der Regelgröße einer Strecke 1. Ordnung, die von einem Zweipunktregler mit Hysterese geregelt wird

10.2 Zweipunktregler mit Hysterese an einer P-Strecke 1. Ordnung

303

Es soll nun die Abhängigkeit der Einschalt- und Ausschaltdauer te und ta sowie die Schwingdauer Ta bzw. die Schaltfrequenz 1 la=Ta

ermittelt werden. Aus Bild 10.11 erhält man für die Einschaltzeit folgende Beziehung: Ｍｾ

2· xL = (XE - W + xL> . (1- e T),

e

Ｍｾ

T =

1- __2_·_X-=L'------_ xE -W+XL

(10.11) Entsprechend folgt die Ausschaltzeit W -

xL =

Ｍｾ (w + xL) . e T

(10.12) Sowohl te als auch ta sind direkt proportional der Zeitkonstanten T der Strecke. Mit zunehmender Hysteresebreite für

W

XL

wird die Ein- und Ausschaltzeit größer. Ferner wird

= 0,5 XE die Ein- gleich der Ausschaltzeit te = tao Durch Addition der GIn.

(10.11) und (10.12) erhält man die Schwingdauer Ta. Ta =T·

[1n xE xE -

W

+ XL +

W - xL

1n

W

+ xL ]

(10.13)

.

W - xL

In Bild 10.12 ist die GI. (10.13) durch die Funktion Ta / T = f (w / XE) mit XL / XE als Parameter graphisch dargestellt. Für mum, um dann für

W

< 0,2

XE

und

W

W

= 0,5 XE hat die Funktion jeweils ein Mini-

> 0,8

XE

stark anzusteigen. Zur Erzielung einer

möglichst kleinen Schwankungsbreite ist man bestrebt, die Hysterese

XL

so klein wie

möglich zu machen. Dem steht entgegen, dass mit abnehmendem XL Ta abnimmt und die Schaltfrequenz unzulässig ansteigt. Die maximale Schaltfrequenz liegt vor für W

= 0,5 XE. Für diesen Wert erhält man aus GI. (10.13):

304

10 Unstetige Regelung 0,5· xE

+xL

T Omin = T . 2 ·ln ----=----=-

0,5'XE -xL

1+2 xL xE

TOmin = 2T ·ln---=1-2 xL xE

Einen guten Näherungswert erhält man für 2 XL / XL

xL

xE

xE

xE

« 1 durch Reihenentwicklung

TOmin z2·T·2·2-=8·T·-. Daraus folgt die maximale Schaltfrequenz: xE

fOmax

1,6

.

\

1,4

1

8 T

z

1,2

\

\

0,8

I I

0,6

\

0,2

"

'-

o

o

0,2

0,1 \i

/ V ｾ

\

0,4

11

xL xE

\

1,0

(10.14)

'xL

I I I I I

ＰＬｾＱｉ

V 0,01

..:> v

0,4 0,6 0,8

Bild 10.12

/

Abhängigkeit der Schwingdauer TO vom Sollwert w, mit XL / XE als Parameter

w ---+ -

xE

Die exakten Parameter der Arbeitsschwingung kann man mittels einer Simulation bestimmen. Die Voraussetzung dafür sind, natürlich, die genauen Kenntnisse über Streckenparameter. Sind beispielsweise die Parameter einer P-Tt-Regelstrecke wie im Bild 10.7 gegeben = 1; = 0,5 s; t = 0,2 s) und hat der Zweipunktregler mit gleichen Stellgrößen YRmin = 0, YRmax = 1 eine Hysterese von XL = ± 0,1, so wird der im Bild 10.7 gezeigte Relay-Block wie folgt konfiguriert: Switch on point 0.1 Switch off point -0.1 Output when on I Output when 0

Die simulierte Sprungantwort bei

= xE

= 0,5 ist im Bild 10.13 gezeigt.

305

10.3 Zwcipunktregler mit RückfLihrung

0.8

A

0.7

'0

To = 0.5 I 52.....{).5052=0. I Xo

= 0.7224.....{).5 = 0.224

y

TO 0.5

> .:0.5152

1.5

2

2.5

nild 10.13 Simulierte Sprungantwort und Schwingungsparameter eines Regelkreises mit einem Zweipunktregler mit Hysterese XL '" ± 0.1 und einer P-TI-Strecke

10.3 Zweipunktregler mit Rückführung Die Abschnitte 10.1 und 10.2 haben gezeigt, dass bei einer Regelung mittels Zweipunktregler der Regelverlauf maßgebend von den Eigenschaften der Strecke beeinnusst wird. So ist z. B. bei einer Strecke mit Totzeit und Verzögerung sowohl die Schwingdauer als auch die Schwingamplitude vom Verhältnis abhängig. Durch Anwendung einer RückfLihrung können diese ständigen Pendelungen der Regelgröße um den Sollwert nahezu beseitigt werden. Ferner ist es möglich, durch geeignete Rückführglieder dem Zweipunktregler ein Zeitverhalten aufzuzwingen, ähnlich dem der stetigen Regler. Man spricht dann von einer sletigiihlllicheil Regelul/g. Den Wirkungsplan eines solchen Regelkreises zeigt Bild 10.14.

xr-I I, N G,

e

+

x,

+

lI!Jt I

J'R

x

+

nild 10.14 Wirkungsplan eines Regelkreises. dessen Strecke von einem Zweipunklregler mit RückfUhrung C r geregelt wird

10 Unstetige Regelung

306

10.3.1 Zweipunktregler mit verzögerter Rückführung Der in Bild 10.14 dargestellte Zweipunktregler mit Rückführglied stellt bereits einen Regelkreis in sich dar. Bevor jedoch näher auf dessen Wirkungsweise eingegangen wird, soll eine Beziehung bei rückgekoppelten stetigen Reglern in Erinnerung gerufen werden. Schaltet man in den Rückführzweig eines idealen stetigen Verstärkers mit dem Verstärkungsgrad V = 00 ein Glied mit der Übertragungsfunktion Gr(s) (Bild 10.15), so ist die Übertragungsfunktion des rückgekoppelten Verstärkers _ YR _ V G R () s e(s) l+V·G r (s)

1 Gr(s)

(10.15)

Bild 10.15

Wirkungsplan eines Zweipunktreglers mit verzögerter Rückführung

Besteht das Rückführglied aus einer Verzögerung 1. Ordnung, mit Kr GR(s)=--, l+sTr

(10.16)

so folgt für den rückgekoppelten Verstärker die Übertragungsfunktion YR 1 GR (s)=--=-(l+sTr ), e(s) Kr

d. h. ein PD-Verhalten. Ein ähnliches Ergebnis erhält man, wenn der Zweipunktregler mit Hysterese ein P-T 1Glied als Rückführung erhält (Bild 10.15). Das zeitliche Verhalten des rückgekoppelten Zweipunktreglers ist in Bild 10.16 dargestellt. Ändert man die Eingangsgröße des rückgekoppelten Zweipunktreglers sprunghaft e(t) = eo·o(t), so ist zum Zeitpunkt t = 0

Xe

= eo, da

X

zunächst Null ist. Am Ausgang

des Reglers und somit am Eingang des Rückführgliedes Gr liegt die Sprungfunktion YR(t) = YRO·o(t}. Die Ausgangsgröße xr(t) des Rückführgliedes antwortet mit einem verzögerten Anstieg (10.17) wie in Bild 10.14 gezeigt. Infolge des Anstiegs der Rückführgröße verringert sich xe

= eo - x r

10.3 Zweipunktregler mit Rückführung

307 Für Xe XL der Zweipunktregler erneut einschaltet. Betrachtet man anstelle

t -- t

e-xr k - - - - - .

t

c)

t

--

der Impulsfunktion YR(t) den Mittelwert )IR so ist ersichtlich, das )IR gegenüber dem eingeschwungenen Zustand zunächst einen größeren Mittelwert )lRmax annimmt (PD-Verhalten). Bei genügend hoher Schaltfrequenz kann man dieses Verhalten einem stetigen gleichsetzen. Das zeitliche Verhalten des Zweipunktreglers mit verzögerter Rückführung ist ganz analog dem des in Abschnitt 10.2 behandelten Regelkreises. Nach GI. (10.14) ergibt sich für e = 1/2 YRoKr die maximale Schaltfrequenz fOmax =

YRO' Kr 8 . r ·XL

-- t

und kann durch Verändern von

r, vari-

iert werden. Ändert man Kr, so ändert sich auch das Verhältnis von Ein- zu Ausschaltdauer. Bild 10.16 Zweipunktregler mit verzögerter Rückführung: a) Sprung der Regeldifferenz; b) Rückführgröße; c) Xe = e - X r; d) Stellgröße des Reglers; e) Mittelwert der Stellgröße

Setzt man in GI. (10.11) anstelle von Xe den Wert YROKr und für

die Regeldifferenz

so erhält man K e )] t e = r .1n [YROKr-e+XL]= r .1n [1+XL/(YRO . YRoK r -e-xL I-XL /(YRoK r -e)

(10.19)

Aus GI. (10.19) ist zu ersehen, dass te mit zunehmendem Kr abnimmt. Im Gegensatz hierzu ist die Ausschaltzeit gemäß GI. (10.12) unabhängig von Kr

10 Unstetige Regelung

308

(10.20)

Bildet man aus den GIn. (10.19) und (10.20) das Verhältnis te / ta, so ist dieses unabhängig von Tr und wird mit zunehmendem Kr kleiner.

te

ta

In[YROKr -e+XLJ YRoK r -e-xL

(10.21)

In[e+XLJ e-xL

Aus Bild 10. 16d) und e) folgt im Beharrungszustand 1 _ e YR =yP =YRO'--=YRO'--· te +ta ｬＫｾ te

(10.22)

Wie bereits anhand der GI. (10.21) diskutiert, wird ta / te mit zunehmendem Kr größer und nach GI. (10.22) YP' bzw. der Proportionalbeiwert K p = YR / e, kleiner. Durch Tr kann also die Schaltfrequenz und durch Kr sowohl die Schaltfrequenz als auch der PAnteil verändert werden. Es soll der Zweipunktregler mit verzögerter Rückführung an einer Strecke 1. Ordnung nach Bild 10.17 betrachtet werden. Die Übertragungsfunktion der Strecke lautet

Gs 1+ sT

wobei T = 2Tr und Kr = Ks gewählt wurde.

z N

ｾＱ

w

e

xe

ｴＮＭ Ｇｉｾ

lC!Jt

KS,T

ｾｅｊｲ

Bild 10.17 Wirkungsplan eines Zweipunktreglers mit verzögerter Rückführung an einer Strecke I. Ordnung

Nimmt man den Regelkreis in Betrieb, so sind zunächst x und

X

gleich Null und

Xe = e = w, d. h. der Zweipunktregler schaltet ein. Damit liegt am Ausgang des Reg-

lers und an den Eingängen von Strecke und Rückführung der Sprung YR(t) = YRO·o(t). Die Ausgangsgrößen der Strecke und des Rückführgliedes steigen verzögert an mit den Zeitkonstanten T bzw. Tr. Infolge Tr < T steigt X r schneller an als x. Wie der zeitliche Verlauf in Bild 10.18 zeigt, schaltet der Zweipunktregler für

10.3 Zweipunktregler mit Rückführung X+X r >w+xL

bzw.

309

xe =W-X-Xr +xL

Der Vorgang wiederholt sich in der in Bild 10.18 dargestellten Weise. Wählt man die Zeitkonstante Tr des Rückführgliedes klein gegenüber T der Strecke, so wird die Schaltfrequenz fast ausschließlich durch Tr bestimmt.

\ \ W

t .........

.........

................................

"- .........

.....

""' ..........

--. -t

t

YRo

+ -t Bild 10.18 Verlauf der Regelgröße x und der Stellgröße YR des in Bild 10.17 gezeichneten Regelkreises bei einem Sollwertsprung

Wie aus Bild 10.18 ersichtlich, ist die Schwingamplitude von x nun nicht mehr gleich XL, sondern kleiner. Ferner tritt, wie bei einem linearen PD-Regler eine bleibende Regeldifferenz e( 00) auf. Diese wird um so kleiner, je kleiner man Kr wählt. Für die Konstruktion des in Bild 10.18 gezeigten Regelverlaufs wurden Tr und Kr so gewählt, dass die charakteristischen Schwingungen noch sichtbar sind. Bei günstiger Wahl von Tr und Kr können die Schwingamplitude und die bleibende Regeldifferenz noch wesentlich verkleinert werden. Der zeitliche Verlauf der Regelgröße x sowie der Rückführgröße X r entsprechen dem bei einem Sollwertsprung wo. Das Beispiel eines Zweipunktreglers mit verzögerter Rückführung zur Temperaturregelung eines Durchlauferhitzers ist im OnlinePlus-Bereich des Verlags zum Download ausgestellt.

10 Unstetige Regelung

310

10.3.2 Zweipunktregler mit verzögert-nachgebender Rückführung Schaltet man in den Rückführzweig eines Zweipunktreglers mit Hysterese eine verzögert-nachgebende Rückführung (Bild 10.19), so zeigt der Regler ein PID-ähnliches Verhalten. Für einen linearen Verstärker wurde der Fall der verzögert-nachgebenden Rückführung in Abschnitt 4.3.6 bereits behandelt. Die Sprungantwort des Rückführgliedes in Bild 10.19 setzt sich aus zwei e-Funktionen zusammen, so dass eine verzögert-nachgebende Rückführung auch durch zwei Verzögerungen 1. Ordnung mit unterschiedlichen Zeitkonstanten, wie in Bild 10.20 dargestellt, gebildet werden kann.

Bild 10.19 Wirkungsplan eines

Bild 10.20 Zweipunktregler mit verzögert-

Zweipunktreglers mit verzögertnachgebender Rückführung

nachgebender Rückführung, erzeugt durch Parallelschaltung von zwei P-T[-Gliedern

Für die Ermittlung der Sprungantwort des Zweipunktreglers mit verzögertnachgebender Rückführung legen wir die Anordnung nach Bild 10.20 zugrunde. Gibt man auf den Eingang des rückgekoppelten Zweipunktreglers nach Bild 10.20 eine Sprungfunktion e(t) = so ist zunächst X r gleich Null und der Zweipunktregler schaltet ein. Am Ausgang des Reglers sowie an den Eingängen von GI und G2 liegt der Sprung YRO' o(t). Die Ausgangsgrößen e-Funktionen mit den Zeitkonstanten x2 -xl >e-xL

bzw.

und

Xl (t)

und X2(t) steigen nach

an. Für

xe =e- x 2 +XI

I

Bild 11.3 Beispiel einer Regler-Konfigurierung (mit freundlicher Genehmigung von EurOlherm Deutschland GmbH. 2(03)

11.2 Abtastregelung In einem digitalen Regelkreis wird eine kontinuierliche Regelstrecke von einer digitalen Regeleinriehtung geregelt. Dafür muss die dem Rechner zugeführte kontinuierlich gemessene Regelgröße in digitaler Form vorliegen. Die Digitalisierung erfolgt mit einem Analog/Digital-Wandler, der die Regelgröße nur in konstanten Zcitabsländen, Ablas/zeit oder Abws/periode TA genannt, abfragt. Einen digitalen Regelkreis kann man sich gedanklich aus zwei Teilen bestehend vorstellen, wie in Bild 11.4 gezeigt.

320

11 Digitale Regelung

nämlich aus linearen zeltmvarianten Gliedern, kurz LZI, und einem diskret arbeitenden Takt- bzw. Impulsgeber. Die Regelung von Regelkreisen, in denen x(t) wenigstens ein Signal nicht kontinuierlich, sondern zeitdiskret ist, nennt man Abtastregelung. Solche Regelkreise lassen sich Bild 11.4 Konzeptueller Aufbau nicht, wie die kontinuierlichen, mittels Difdigitaler Regelung ferentialgleichungen im Zeitbereich bzw. mittels Laplace-Transformation im Bildbereich beschreiben. Neben kontinuierlichen Funktionen, z. B. x(t) treten auch Folgen von abgetasteten Signalen wie A) auf und sollen mit anderen, als denen der kontinuierlichen Methoden behandelt werden. Die Signale zwischen den Abtastpunkten werden nicht berücksichtigt, was Fehler verursachen kann. Bild 11.5 zeigt, dass gleiche abgetastete Impulsfolgen aus zwei verschiedenen Sprungantworten gebildet werden können.

x(t)

Ｏｾｬｲ xß)

t

____ --9"'-=----4---+-

2T

x(kTA ) kT

__

t

A A Die Untersuchungen von Abtastsystemen wurden seit 1924 durchgeführt. Rerich und Bild 11.5 Beispiel einer fehlerGrdina befassten sich mit der Abtastregehaft gewählten Abtastperiode lung von hochtourigen Dampfmaschinen und behandelten dabei die Dynamik mit Differentialgleichungen. Die ersten einheitlichen Beschreibungen von linearen Abtastsystemen findet man bei Oldenbourg, Sartorius, Zypkin (1948 - 1958).

11.2.1 Wirkungsweise von digitalen Regelkreisen Wie an analoge werden auch an digitale Regler drei Grundaufgaben gestellt: •

die Regelgröße messen und die Regeldifferenz bilden;

•

einen geeigneten Regelalgorithmus erzeugen;

•

eine beträchtliche Leistung an Stellglieder übertragen.

Im Gegensatz zu analogen sind bei digitalen Regeleinrichtungen die Regelalgorithmen und die Verstärkungsfunktionen gerätetechnisch voneinander getrennt. Die mittels Mikroprozessoren (CPU) berechneten Stellgrößen werden binär ausgegeben oder durch Digital-Analog-Umsetzer (DIA) in Ströme (0 bis 20 mA) oder Spannungen (0 bis 10 V) umgesetzt.

Die Verstärkungsfunktion und die Anpassung an die Strecke übernehmen die nachgeschalteten Leistungsverstärker, Relais, Motoren usw.

11.2 Abtastregelung

321

In Bild 11.6 ist eine kontinuierliche Regelstrecke gezeigt, die mit digitalen Elementen, wie Mikrorechner, Analog-Digital-Wandler (A/D) und Digital-Analog-Wandler geregelt wird. Die Istwerte bei denen es sich um ganz verschiedenartige physikalische Größen handeln kann, etwa Durchflüsse, Drücke, Temperaturen, Spannungen usw., werden durch die Messumformer auf ein Einheitssignal transformiert. Die Wandlung oder die Abtastung der stetigen Regelgröße erfolgt meist in äquidistanten Zeitabständen (Abtastzeit TA) durch den vorgeschalteten A/D-Wandler. Aus dem kontinuierlichen Signal x(t) entsteht die diskrete Folge x(kTA), die für die Abtastzeit TA konstant gehalten wird. Im Rechner wird aus dieser Istwertfolge x(kTA) und der eingegebenen Führungsfolge w(kTA) die Regeldifferenzfolge e(kTA) gebildet. Anhand eines im Rechner gespeicherten Programms, z. B. dem digitalisierten PIDRegelalgorithmus, wird dann die Stellgrößenfolge YR(kTA) berechnet und über den DIA-Wandler als geglättetes Stellsignal Y*R(kTA) ausgegeben.

Mess-

1 - - - - - - umformer

I

ｾＭ Ｇ

Bild 11.6

I

Wirkungsplan eines Regelkreises mit digitalem Regler

Mit großer Geschwindigkeit und hoher Genauigkeit sollen die analogen Signale von AlD-Wandler abgetastet und in eine zeitdiskrete Folge umgeformt werden. Die Zahlenfolge wird in eine stufenförmige Funktion x(kTA), die so genannte Treppenkurve, umgewandelt. Funktionsmäßig besteht ein A/D-Wandler aus einer Abtastung (Sampie) und einer Speicherung (Hold). Ein Abtast-/Halteglied (S&H) mit der Abtastzeit TA ist in Bild 11.7 dargestellt.

12= -. t

x(kTA ) ,

--

x*(kTA )

--

/

,, ,,

/

/

Abtaster

"'---

----'

Bild 11.7

/

,

Halteglied - . kTA ｾ

..il.-

Umwandlung von analogen Signalen mit Abtast-/Halteglied-Schaltung

-.kTA

322

11 Digitale Regelung

Ein analoges Eingangssignal steht digitalisiert erst nach einer Wandelzeit bzw. Totzeit Tt am Ausgang des Wandlers dem Regler zur Verfügung. Diese Totzeit beträgt TA

Tt

(11.1)

=2'

wie in Bild 11.4 durch einen Vergleich zwischen analogem Eingangssignal x(t) und den aus der Treppenkurve x*(kTA) interpoliertem Ausgangssignal schematisch gezeigt ist. Die mathematische Herleitung findet man im nachfolgenden Beispiel. •

Beispiel 11.2

Die Treppenkurve am Ausgang eines Haltegliedes entsteht aus einer Folge von Rechteckimpulsen, wobei jeder einzelne Impuls als Überlagerung von zwei Einheits-Sprungfunktionen

dargestellt werden kann (Bild 11.8). Die LaplaceTransformierten von Sprungfunktionen sind:

1 L[CJ(t)]=-, S

ｌ｛ｃｊＨｴＭｔａＩ｝］ｾﾷ･ｓ

i

_

x*(kT A) _

ｔａｾ

S

Am Eingang des Haltegliedes wirkt eine t5 - Funktion, die im Bildbereich als

J(t) = dCJ(t) dt

1 L[J(t)]=s·-=l

=>

S

dargestellt wird. Daraus ergibt sich die Übertragungsfunktion des Haltegliedes zu

GH(S)= L[CJ(t)-CJ(t-TA )] ａｔｳＭ･ｾ｟ ］ L[J(t)]

S

S

mit dem entsprechenden Frequenzgang

1_e- jmTA GH(jW)=--.- JW Durch Ansätze

kann GH(jc0 in folgende Form gebracht werden: . roTA

. roTA

- J--

. )_ e

GH ( JW -

2

. roTA

J--

(e

2

- J--

-e

j.2. wTA 2

2)

(jU)

_

I I I I

o

.

L

I

I____ ｾ L (j( t-Ta )

_

Bild 11.8 Zur Ermittlung der Übertragungsfunktion eines Haltegliedes

= 1_es

sTA

(11.2)

323

11.2 Abtastregelung

Bei tiefen Frequenzen wTA «

I bnn das Halteglied wie folgt angenlihen werden:

.wTA

ｾＬＭ

GH(jm) "'TA ·e

2

was einem Totzeilglied mit der Totzeit (11 I) enlspricht.

11.2.2 Rechenzeit Die Rechenzeit TM.. auch Rec!lelllotz.eit genannt, ist die Zeit. die der Regler benötigt, um die Stellgröße )'k aus einer Impulsfolge von Regeldifferenzen ek, ek.l. ek.2 zu berechnen. In Bild 11.9 ist schematisch dargestellt, wie der Regelalgorithmus von der Beziehung zwischen Rechenzeit TM. und Abtastzeit TA abhängig ist, nämlich: •

Im Fall TR TA, wird sie beim Reglernwurf als ein ganzzahliges Vielfaches der Abtastzeit TA angenommen, d. h.

11.2 Abtastregelung

325

mit l=0,1,2...

TR =l1

wobei der Wert l = 0 entspricht dem Fall TR < TA, bei l = 1 gilt der Fall T R

= TA.

b) Diskretisierte Beschreibung im Zeitbereich

Ausschlaggebend für Abtastsysteme ist die Behandlung von abgetasteten Zahlenfolgen x(O), x(TA), x(2TA), ... , x(kTA) anstelle der kontinuierlichen Regelgröße x(t). Mit einer ganzzahligen Variable k anstelle der analogen Zeitvariable t kann der Regelkreis mit Abtastgliedern mit diskreten Signalen xo, XI, ... Xk-I, Xk, Xk+ I beschrieben werden. Die analogen Regelalgorithmen werden diskretisiert, indem die Integration durch Summation und die Differentiation durch Bildung der Differenzquotienten für eine N

Diskretisierungszeit

TA

ersetzt

wird,

z.

B.

f x(t) dt '" TA . L Xk k=O

und

dx(t) '" xk+1 - xk . Die Lösung der Differenzengleichungen erfolgt mittels Rekursiodt TA nen oder mit homogenem und partikulärem Ansatz. c) Beschreibung mittels z-Transformation im Bild- bzw. Frequenzbereich

Zunächst wird die Variable e(t) nach der Abtastung als Folge von Impulsfunktionen J(t)

={

0

fürt:;t:O

00

für t = 0

fJ(t)dt

=1

L[J(t)] =1

dargestellt und mit den diskreten Werten e(kTA) für k = 0, 1,2... 00 gewichtet (s. Bild 11.6). Danach wird das mit dem Summenzeichen zusammengefasste Signal / (t) = Le(kTA ) J(t - kTA )· k=O

nach Laplace transformiert: e * (s) = L[e * (t)].

Da die Abbildung eines einzelnen Impulses

ｾｴＭｫｔ

A) nach der Fourier-Transformation

gleich e- jOJkTA ist, gilt für das ganze Spektrum e*(jOJ) im Frequenzbereich =

/(jOJ) = Le(kTA)e-j(tJkTA k=O

bzw. im Bildbereich unter Beachtung s = jOJ /(s)= Le(kTA)e-skTA .

k=O

(11.3)

326

11 Digitale Regelung

Die Transformation nach GI. (11.3) kann als diskrete Laplace-Transformation bezeichnet werden. Ersetzt man nun e-

durch eine neue Variable z, d. h.

e

=z-I

so folgt aus (11.3) die so genannte z- Transformation der digitalen Größe e(kTA) (11.4)

e(z) = Le(kTA)z-k =Z[kTA ] k=O

Durch z-Transformation von Impulsfolgen am Eingang xe(kTA) und am Ausgang xa(kTA) eines digitalen Elements des Kreises Xa (z) = Z[x a (kTA)]

entstehen die z-Übertragungsfunktionen x a (z) G(z) = - = Z[g(kTA)] . xe (z)

(11.5)

wobei g(kTA) die Gewichtsfunktion ist. Sie wird aus der Übertragungsfunktion G(s) durch Rücktransformation ermittelt L -1[G(s)] = g(t) und als Impulsfolge g(kTA) mit der Abtastzeit TA dargestellt. Im Abschnitt 11.5 wird gezeigt, wie die kontinuierlichen Untersuchungsmethoden für die digitalen Systeme mit Hilfe der z- Transformation umformuliert werden. Die Beschreibungsformen digitaler Regelkreise sind in Bild 11.11 zusammengefasst.

Digitaler Regelkreis

Analoger Regelkreis

Bild 11.11 Darstellung von digitalen Regelkreisen: a) quasikontinuierliche b) diskretisierte c) z - transformierte

*

e _ hk-I)

**

_ hk' hk-I)

ｾｾ ｇ ｈ Ｈ ｚ Ｉ c)

-

Regler mit Abtaster

Halteglied

327

11.3 Quasikontinuierliche Regelung

11.3 Quasikontinuierliche Regelung 11.3.1 Wahl der Abtastperiode Wenn die Abtastzeit TA kleiner als die eigene Verzögerung der Regelstrecke ist, kann sie nach der GI. (11.1) wie eine Totzeit Tt = 0,5 TA berücksichtigt werden. Die Abtastzeit darf nicht zu groß gewählt werden, da der Regelkreis wegen großen Totzeiten instabil werden kann. Andererseits kann sie nicht zu klein gewählt werden, da der Regler überlastet wird und die Realisierung nur mit speziellen Typen von Mikroprozessoren möglich ist. Die Abtastrate ist außerdem durch die Nutzbandbreite begrenzt. In der Praxis orientiert man sich bei der Wahl der Abtastrate auf die Kenngrößen der Regelstrecke. In der nachstehenden Tabelle sind die Abtastzeiten TA in Abhängigkeit von der Verzugszeit Tu, Ausgleichszeit Tg sowie den Zeitprozentwert T95 empfohlen. T95 ist die aus der Sprungantwort abgelesene Zeit, bei der die Regelgröße 95% des Beharrungszustandes 00) erreicht. Experimentell ermittelter Kennwert der Regelstrecke

Anzahl der Abtastungen innerhalb der Zeitperiode

Abtastzeit Ta

Tu und Tg < 10 Tu

von 2 bis 5

von 0,2 -Tu bis 0,5 -Tu

T95

von 10 bis 20

von 0,05 ·T95 bis 0, I -T95

Tg

10 und mehr

kleiner als O,I-Tg

Die Abtastzeit TA kann auch aus den berechneten bzw. simulierten Kenngrößen des geschlossenen analogen Regelkreises abgeleitet werden. Normalerweise soll die Anzahl der Abtastungen innerhalb der Anregelzeit 10 bis 20 betragen. In der Praxis liegen die Abtastzeiten in Größenordnung von 1 bis 10 ms für Antriebstechnik und von 1 bis 20 s für Prozessautomatisierung.

11.3.2 Praktische Einstellregeln Durch die von TA verursachte Vergrößerung der Gesamttotzeit wird die Phasenreserve des digitalen Regelkreises im Vergleich zu den analogen verringert, was zu Verringerung der Dämpfung und gar zu Instabilität führen kann. •

Beispiel 11.3

Ein Regelkreis mit dem analogen PID-Regler hat die Phasenreserve IJ'Rd = 45° bei der Durchtrittsfrequenz 1QI = 10 S-1. Es soll berechnet werden, wie sich die Phasenreserve ändert, wenn der analoge Regler durch einen digitalen PID-Regler mit der gleichen Einstellung und mit der Abtastzeit TA = 0,05 s ersetzt wird. Die Rechenzeit des Reglers ist kleiner als 0,05 s.

328

11 Digitale Regelung

Die Rechenzeit wird vernachlässigt; die Abtastung führt zu einer Totzeit Tt = 0,5· TA = 0,025 s und einer Phasensenkung von ({Jt( OJ) = - OJ-Tl.

die für OJd = lOs· 1 ({Jt(OJd)

= - OJd ·Tt = 0,25 Rad bzw. ({Jt(OJd) = - 14,3°

beträgt. Die Phasenreserve des digitalen Regelkreises ist damit ({JRd digital

= ({JRd + ({Jt(OJ) = 45° - 14,3° = 30,7°.

Zum Entwurf eines quasikontinuierlichen Regelkreises werden die Gütekriterien und Methoden der analogen Regelungstechnik herangezogen. In den im Abschnitt 8.2 vorgestellten praktischen Empfehlungen soll die Totzeit Tt = 0,5 -TA berücksichtigt werden, d. h. anstelle von Tu wird Tu + 0,5 -TA eingesetzt. Auf diese Weise sind z. B. die Einstellregeln für digitale Regelkreise nach Takahashi aus dem Ziegler-NicholsVerfahren für analoge Regelkreise ausgeführt, die allerdings nur für TR < TA gelten: Kennwerte

P-Regler Tg

K pR

KpS(Tu +TA )

PI-Regler

T

0,9·

PID-Regler (additive Form) T.

g

KpS(Tu +0,5TA )

Tn

-

3,33· (Tu + 0,5TA )

Tv

-

-

12· g , Kps(Tu +TA )

2. (Tu + 0,5TA ) Tu +TA

2

0,5· (Tu +TA )

In der nachstehenden Tabelle ist das Verhalten eines Regelkreises mit einer P-T nStrecke und dem digitalen PI-Regler, der nach verschiedenen Regeln eingestellt ist, für verschiedene Abtastzeiten TA gezeigt. Praktische Einstellregel

Abtastzeit TA TA=O,1 Tu

Nach Chien, Hrones und Reswiek

Die zufriedenstellende Dämpfung von 0,3 bis 0,4

TA = 0,3 Tu

Nach Chien, Hrones und Reswiek

Die Dämpfung verringert sich nur gering

Nach Chien, Hrones und Reswiek TA= Tu

Nach Takahashi Nach Ziegler-Nichols

•

Gütekriterien beim Führungsverhalten

Eine Dauerschwingung entsteht (Stabilitätsgrenze) Keine Verbesserung, eine Dauerschwingung entsteht (Stabilitätsgrenze) Verbesserung der Dämpfung auf 0,3

Beispiel 11.4

Der asymptotische Verlauf des Bode-Diagramms eines aufgeschnittenen Regelkreises mit einem analogen P-Regler ist im Bild 11.12 gegeben. Der Proportionalbeiwert des Reglers beträgt KpR = 1,5. Die Phasenreserve ist ({JRd =45° bei Durchtrittsfrequenz von OJd = 0,25 s-I.

329

11.3 Quasikontinuierliche Regelung ..........

......r-, - 20 dB/Dek

ｾ

1111

1- ｾ

1,0

ｾ､

OJ/

Si

f',. ItmTIek

-20dB - - OJ/ S-I !AOJ)

r - °t---1'=t::t::jllitt_-i-rr-liltttt-iitliitti _ 90

-270°

!

If'Rd

-180° ｾｉＭＫ ｾｆ］ Ｑｴ］ｈＭ ｴＭ ｴﾱＫｾＭｕ ｉＭＫ ｴＭｬ Ｍｬ

Bild 11.12 BodeDiagramm des Regelkreises mit analogem P-Regler und I-T]Strecke

'----'---'--'--L--'-'-"-'-_-'-----'---'--'---'-'--'-'-"_ _"----'---'--'--L--'-'--U

Der analoge P-Regler soll durch den digitalen PD-Regler mit der Abtastzeit TA = 2,0 s ersetzt werden. Gesucht ist die Reglereinstellung, bei der der Regelkreis mit digitalem Regler die gleiche Phasenreserve IJ!Rd =45 0 behält. Die Rechenzeit des Reglers wird vernachlässigt. Die Zeitkonstante Tl der Strecke wird sofort durch die Vorhaltzeit des PD-Reglers kompensiert, d. h. Tv = Tl = 1/0,25 s-l = 4 s. Als Hilfsmittel wird zunächst das Bode-Diagramm des aufgeschnittenen Regelkreises mit analogem PD-Regler mit KpR = 1,5 ermittelt, das dann, wie im Bild 11.13 gezeigt, mit dem Totzeitglied Tt = 0,5· TA = 1 s ergänzt wird, was dem digitalen Regelkreis entspricht. !!= 314 S-I Tt

..........

I'-- .....1-1III

ｾ

1,0

I-...OJd

1'---......

1I1

I

1 1 11111

1

I

1- ....

OJ/

'--........l

I

1I1

---+ OJ/ 1

mit analogem PD-Regler

IJ1d!

-

mit digitalem

S-I

}LlK = 9,5 dB

neue 0 dB-Achse -20dB

'

Ｍ＾［･ｬｾ ｒ ｄｐ

ｾ

S-I

Bild 11.13 BodeDiagramm des Kreises mit analogem und digitalem PD-Regler

57Y

ｬｲｾ

Um die gewünschte Phasenreserve IJ!Rd einzustellen, soll man die O-dB-Achse nach unten um LlK'" 9,5 dB bzw.!J.K '" 3 verschieben. Damit erhält man für den Proportionalbeiwert des Reglers

KpR = 1,5'LlK = 4,5.

11 Digitale Regelung

330

11.4 Beschreibung von Abtastsystemen im Zeitbereich 11.4.1 Differenzengleichungen Gleichungen, die den Zusammenhang zwischen abgetasteten Folgen xe(kTA) der Eingangsgröße Xe und abgetasteten Folgen xaCkTA) der Ausgangsgröße X a eines zeitdiskreten Systems beschreiben, nennt man inhomogene Dijferenzengleichungen. Im Folgenden werden die diskreten Eingangswerte xe(kTA +nTA) kurz mit sowie die diskreten Werte xe(kTA+nTA) mit Differenzengleichung n-ter Ordnung

Vk+n

Xe,k+n

bzw.

Uk+n

bezeichnet. Eine lineare inhomogene (11.6)

anVk+n +an-lvk+n-l + ... +alvk+l +aOvk =bOuk

hat Ähnlichkeit mit einer Differentialgleichung gleicher Ordnung: an v(n) (t)

+ an_lV(n-l) (t) +... + alv(t) + aov(t) = bou(t).

11.4.2 Aufstellen der Differenzengleichungen Eine Differenzengleichung kann aus einer Differentialgleichung erstellt, indem man die Integration durch eine Summe k

v(t) = K I fu(t)dt

c:::::::::::>

Vk = K I

L

Vk

i=l

und die Differentiation durch einen Differenzenquotienen ersetzt: _ K

v (t ) •

du(t)

D--

dt

Beispiel 11.5

Gegeben ist die Differentialgleichung 11v(t) + V(t) = K pu(t) mit T1=1 s, Kp= 2 und Gesucht ist die Differenzengleichung mit Abtastzeit T A= 0,25 s und die Lösung. Nach der Approximierung

ergibt sich die Differenzengleichung zu vk = (

11

1i+

JVk-l A

+Kp(

TA

11+

JUk

bzw. vk = 0,8vk-l

A _ kTA

DieLösungbeit=kTA ist vk =Kp(l-e

Tl )uo=2(I-e- O,25k).

+ O,4uk'

Uo

= 1.

11.4 Beschreibung von Abtastsystemen im Zeitbereich

331

11.4.3 Lösung der Differenzengleichungen mittels Rekursion Die Lösung der Differenzengleichung ist die Folge

Die Werte der Ausgangsgröße

für k

xa,k+n

=

1, 2, ... können aus gegebenen Koeffi-

zienten an, an-I, ... , aO, bo und Anfangswerten xa,n bei k = 0 durch die Erhöhung von k jeweils um Eins schrittweise berechnet werden. Die GI. (11.6) wird dafür umgestellt: 1 xak+n =-[-an-lxak+n-l - ... -alxak+l -aOxak +bOxekl. 'an' ' "

Werden die Anfangswerte der Differenzengleichung wie im analogen Fall zu Null angenommen, d. h. xa,n = 0 für n = 0, 1,2, ... und gilt für den Eingangssprung Xe, -1 =

0

Xe,O = Xe,l = Xe ,2 = ... = Xe,k = XeO

so wird der erste Wert der Ausgangsgröße für k = 1 wie folgt berechnet: 1

x a l+n =-[-an-lx an -a n -2 x an-l

'an

'

,

... -alx a 1 -aOx a 1 + bOxe

'"

tl·

Die Lösung mittels Rekursion ist nur numerisch möglich und lässt sich nicht für die Regelkreisanalyse bzw. Stabilitätsbedingungen verallgemeinern. ｾ

Aufgabe 11.1

Die Regelstrecke stellt ein P-Glied mit Kps = 8 dar und wird mit einem analogen I-Regler geregelt. Der Integrierbeiwert des Reglers ist KIR = 2 s-l. Der analoge Regler wird durch einen digitalen Regler mit gleichem Integrierbeiwert ersetzt. Die Abtastzeit des digitalen Reglers beträgt TA = 0,05s. Der Regelalgorithmus wird nach der Trapezregel digitalisiert. Vergleichen Sie die Sprungantworten des geschlossenen Regelkreises mit analogem und digitalem Regler nach einem Sprung der Führungsgröße von wo =2.

11.4.4 Exakte Lösung der Differenzengleichungen Ähnlich einer Differentialgleichung entsteht auch hier die Lösung der GI. (11.6) aus der Lösung a, k der homogenen Differenzengleichung

i

an xa,k+n

+ an-l xa,k+n-l + ... + al xa,k+l + aOxa,k

=

0

(11.7)

und einer partikulären Lösung x a,pakrt , d. h. X

h a,k = x a,k

part + x a,k'

Für die homogene Lösung wird GI. (11.7) mit dem Ansatz h x ak =

C· z k

(11.8)

332

11 Digitale Regelung

zu der so genannten charakteristischen Gleichung der Differenzengleichung gebracht: an C . Z k+n + an-l C . Zk+n-l + ... + al C . Z k+l + ao C . Zk = 0 .

Daraus folgt n +an-lZ n-l + ... +alZ 1 +aoZ 0] = 0 , C ·z k [ anz n n-l 1 0 0 anz +an-lZ + ... +alZ +aoZ = .

(11.9)

Die charakteristische Gleichung (11.9) hat n Nullstellen Zl, Z2, ... , Zn, die reell oder konjugiert komplex sind. Die homogenen Lösung ergibt sich somit zu (11.10) wobei die Koeffizienten Ci aus den Anfangsbedingungen folgen. Bei der partikulären Lösung wird, entsprechend zu Differentialgleichungen, eine Eingangsfunktion, z. B. die Sprungfunktion xe, k = 1, in GI. (11.6) eingesetzt. •

Beispiel 11.6

Gegeben ist die Differentialgleichung eines geschlossenen Regelkreises T1x(s) + x(t) = K pw(t)

mit T1=1 sund Kp = 2. Gesucht ist die exakte Lösung der Differenzengleichung. Die Gesamtlösung ergibt sich als Superposition der homogenen und partikulären Lösungen der charakteristischen Gleichung _TA

_TA

Xk =e Tl Xk-l +Kp (l-e Tl )wk-l bzw. Xk =0,7788xk_l +0,4424wk_l

•

Beispiel 11.7 Der analoge Regler des in Bild 11.14 gezeigten Regelkreises wird durch einen digitalen

PI-Regler mit der Abtastzeit TA = 0,1 s ersetzt. Es soll die Differenzengleichung erstellt und die Lösung bei einem Eingangssprung wo = 2 ermittelt werden. Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises mit dem analogen PI-Regler: x(s) Gw(s)=w(s)= 2

ß2

s +2a·s+ ß

2,(11.11)

Bild 11.14 Wirkungsplan des Regelkreises mit dem analogen PIRegler. Die Kennwerte des Kreises sind: Kps = 0,8; Tl =0,5; T2 = 1 s; Tn = 1 s. KpR = 1,5;

11.4 Beschreibung von Abtastsystemen im Zeitbereich

333 (11.12)

Die Differentialgleichung erhalten wir aus Gi. (11.11) nach der Laplace-Rücktransformation:

+ 2a· s· x(s) + ß2 . x(s) = ß2 . wes)

s2 . x(s)

D

D

d 2 x(t) dt 2

D

+ 2a dx(t)

+ ß2 x(t)

D = ß2 w

(11.13)

dt

Die Digitalisierung erfolgt mit rechter Intervallgrenze, d. h. dx(t) "" xk+l - xk = L1x k dt TA

Setzen wir die obigen Differenzen in Gi. (11.13), so entsteht die Differenzengleichung xk+2

+ 2(dI'A -1)· xk+l + (1- 2dI'A + ß

2

Tl)· xk = ß 2Tl· wk

bzw.

(11.14) mit

al =2(dI'A -1)=-1,8 ao = 1- 2dI'A

+ ß2T

= 0,824 und bO = ß2 T

= 0,024.

Aus der Differenzengleichung (11.14) bilden wir nach (11.9) die charakteristische Gleichung a2z2

+ al zl + aoz O = 0,

bzw. z 2 -1,8z Zl = Z2

(11.15)

+ 0,824 = 0 mit zwei Polstellen:

0,9 + 0,1183j

=0,9-01183j.

Die homogene Lösung der Differenzengleichung für k = 0, 1, 2, ... ist nach (11.10) h

k

k

x k = Cl . zl + C 2 . z2 . Die partikuläre Lösung

xEart

(11.16)

stellt für die Eingangssprungfunktion eine Konstante Co dar und

wird durch Einsetzen in die Differenzengleichung (11.14) bestimmt: a2 C O + alC O + aOC O =bOwk

334

1I Digitale Regelung

bzw.

Co =

2.

1- 1,8 + 0,824

Damit ist die Oesamtlösung f1ir k = 0, I. 2, ... unter Beachulng von (11 16) . -x _ h. .\k k

+x kpan

-c 0+ C J"ZI'

' + C2"Z2"

Die Anfangswcrtc sind bei k = 0 gegeben: .1:0=0 XI

=0.

Setzen wir die Gesamtlösung Xk in der Differenzengleichung (11.15) ergeben sich zwei Gleichungen

Xo =2+C 1z? ｾｚＲｃＫ { ｘｉ］ＲＫｃｉｚ ＫｃＲｚｾ

ruf k = 0 und k =

I ein. so

=-2

=0

=-2,

die zu folgenden Werten fUhren:

Cl =

2 + 2 =-I+O,8453}

C., = ---=2-=+-=2,,',,-1 -

Z2 -

-1-O,8453j.

Z2 - ZI

Die Gesamtlösung

" = 2 + (-I + O,8453jHO,9 + 0,1 183j)' + (-I - O,8453j)' (0,9 - O,1183j)' ist im Bild 11.15 dargestellt. MATLAB-Skript:

2.5

x(kT)

z1 '" 0.9 + Q.1183i; w.2

z2:0.9-0.1183i;

2

Cl ",(-2"z2+2}/(z221); c2 :(-2 + 2' Z1) { (z221);

lork", 1:40 xk=2+Cl"(Zl Ak)+ c2'(z2"k)

0.5

0-

o

bar (k, xk, 'w')

"

20

Bild 11.15 Sprungantwort des digitalen Kreises

30

hold on end;

335

11.4 Beschreibung von Abtastsystemen im Zeitbereich 11.4.5 Digitalisierung analoger Regelalgorithmen

Heutzutage wird der Anwender von der Aufstellen der Differenzengleichungen der Regelalgorithmen verschont, da mehrere Programme und Funktionsbausteine preiswert angeboten und leicht zu testen sind. So werden nachfolgend nur die Grundlagen der Umsetzung von zeitkontinuierlichen PID-Regelalgorithmen ins Zeitdiskrete kurz dargestellt. Unter den vielen möglichen Regelalgorithmen werden gegenwärtig vorwiegend die analogen PI- und PID-Regler digitalisiert. Der kontinuierliche PID-Regelalgorithmus YR (t) = K pe(t) '--v-'

de(t)

f

+ K 1 e(t)dt + K D - '-r----'

YI(t)

ｾ

dt

entspricht einer Summe von drei Anteilen (P-, 1- und D-Anteil): YR (t) = YP (t) + Yl (t)

+ YD (t).

Nach dem Abtastprinzip wird die Regelgröße und durch eine Reihe von Zahlenwerten

xo,

in Zeitabständen TA entnommen

Xl, ... , xk-l, Xk

dargestellt (Bild 11.16).

Die Stellgröße YR(kTA) zum Zeitpunkt t = kTA, kurz YRk, wird als Funktion von Eingängen eo, el, ..., ek-l, ek berechnet und ausgegeben. Sie setzt sich, wie bei analogen Reglern, aus drei digitalisierten Anteilen zusammen: YRk = YPk

(11.17)

+ Ylk + YDk .

Für die Zeitspanne dt wird die Abtastzeit TA gesetzt. Für den Grenzübergang TA ｾ geht die Summe in das Integral über und die Ableitung wird zum Differenzenquotient: 1 2>i +KD ·-(ek -ek-l)· TA

dt

k

YRk =Kp ·ek +K 1 .TA

(11.18)

i=l

Hierin sind: ek = Wk - Xk die Regeldifferenz im k-ten Abtastschritt und YRk die im k-ten Abtastschritt errechnete Stellgröße. Der Regelalgorithmus nach GI. (11.18) heißt Stellungsalgorithmus, da die Stellgröße YRk für jeden Wert der Abtastzeit TA berechnet wird. Solche Algorithmen sind für die X(t)

i

Xk

X _ 1

xk

c::::::>

i

'?-I

X2

X _ 1

xk

Bild 11.16 Durch Abtastung entstehende Folge Xk aus dem kontinuierlichen Signal

11 Digitale Regelung

336

Regelstrecken mit großen Zeitkonstanten und entsprechend großen Abtastzeiten geeignet, z. B. für Temperaturregelstrecken, bei denen TA 20 s und mehr betragen kann. Bei der Regelung von Prozessen mit Abtastzeiten, die in der Größenordnung von einigen ms liegen, z. B. bei Drehzahlregelungen, wird vielfach anstelle des Stellungsalgorithmus der Geschwindigkeitsalgorithmus angewandt, der die aktuelle Stellgröße aus dem Zuwachs L1YRk = YRk - YRk-l berechnet. Die Werte YRk und YRk-l werden nach GI. (11.17) für den k- und (k-1)-ten Abtastschritt errechnet. Zur Berechnung der aktuellen Stellgröße nach dem Geschwindigkeitsalgorithmus soll nun L1YRk berechnet und zu dem im vorhergehenden Abtastschritt ermittelten YRk-l addiert werden, d. h. YRk = YRk-l + L1YRk'

Die Approximation der Integration und der Differentiation in der GI. (11.18) kann durch verschiedene Verfahren vorgenommen werden. Zur Ermittlung des I-Anteils Ylk der Stellgröße kann die Fläche unter der Treppenkurve, die das Integral von e(t) nach darstellt, nach der Rechteck- und der Trapezregel, wie in Bild 11.17 gezeigt, angenähert werden. Analog e(t)

t

ElementarFläche

0

ｾ

,

Rechteckregel ek

Trapezregel

t

t

ElementarFläche= O,5(e i_1 e)T

'

dt

Analoger Algorithmus

Nach Rechteckregel

Nach Trapezregel

YPk =KpR ·ek

YPk = K pR ·ek

P-Anteil: YP (t) = K PR e(t) I-Anteil: Die i-te Elementarfläche:

ej ·TA

Das Integral

k K pR L ejTA = Ylk=T n i=l

pR Yl(t)=K fe(t)dt Tn wird durch eine Summe nachgebildet:

TA k =KpR-Lej Tn i=l

Bild 11.17 Bildung der Summe aus der Folge e(t)

ej-l + ej ·TA 2 k - K PR L ej-l + ej T _ Ylk - - ATn i=l 2

1 TA k =-KpR-L(ej-l +ej) 2 T n i=l

11.4 Beschreibung von Abtastsystemen im Zeitbereich

337

In nachfolgender Tabelle ist die Ermittlung der Differenz LlYRk für den PI-Regelalgorithmus nach Rechteck- und Trapeznäherung gezeigt. Rechteckregel (Euler-Verfahren) YRk

= K PR ek

Trapezregel (Tustin-Verfahren) k

TA k YRk

+ K PR -

I ei T n i=l

= K PR ek

k-l

TA k-l

YRk-l

= KpRek-l

+ KpR - I e i T n i=l LlYRk

LlYRk

= K PR (ek

- ek-l) +

+K pR Tｾｔ [ｩ･ｾ '

-

'ｾ･ｪ -1]

K pR +- -TA - I (ei-l + ei) 2 Tn i=l

YRk-l

= YRk

= KpRek-l

pR TA I +K- - (ei-l +ei) 2 Tn i=l

- YRk-l

LlYRk

= KpR(ek

-ek-l)+ k

K pR +- -TA - I (ei-l + ej) 2 Tn i=l k-l

[, '-1] ｾ･ｩ

-

ｾ･ｩ

pR -K- -TA - I (ei-l +ei) 2 Tn i=l Unter Beachtung k-l

k

I (ei-l +ei)- I (ei-l +ei)=ek-l +ek i=l i=l

=ek

ergeben sich die Formel zur Berechnung der aktuellen Stellgröße nach dem Geschwindigkeitsalgorithmus YRk = YRk-l + LlYRk: LlYRk =

LlYRk =

KpRTA ek = KpR(ek -ek-l)+ Tn

= KpR(ek

-ek-l)+

KpRTA (ek-l +ek) 2Tn

Die Rechtecknäherung kann auf andere Art formuliert werden, nämlich mit dem Wert der so genannten linken Intervallgrenze. Wie Bild 11.18 zeigt, richten sich damit die abgetasteten Werte nicht nach der rechten ei, sondern nach der linken Seite ej-l des Rechtecks aus. Die Elementarfläche wird statt ejTA nun ei-l TA betragen. Wie auch bei der rechten Intervallgrenze werden insgesamt k Elementarflächen addiert, allerdings muss k-l statt k bzw. k-2 statt k-l als obere Grenze bei den Summenzeichen in obiger Tabelle eingesetzt werden. Damit erhält man den folgenden PI-Algorithmus mit linker Intervallgrenze, der auch als Typ I genannt wird: YRk

= YRk-l

+ LlYRk

= YRk-l

+ K PR (ek - ek-l) +

KpRTA

Tn

ek-l·

11 Digitale Regelung

338 Analoge Regeldifferenz

e(t)

i

i

rechte Grenze /

linke Grenze

°

-+ t

Rechtecknäherung mit linker Intervallgrenze

Rechtecknäherung mit rechter Intervallgrenze

i-te ElementarFläche= ei_1TA

i-te ElementarFläche= e7A

°

Bild 11.18 Rechtecknäherung mit linker und rechter Intervallgrenze

Der D-Anteil kann durch den Differenzenquotient mit der Zeitdifferenz TA

auch auf zwei Arten angenähert werden: •

Mit der linken Intervallgrenze (so genannte Differenzbildung rückwärts, Typ I) -

YDk = K PR Tv ----"----"'---"-TA

•

Mit der rechten Intervallgrenze (Differenzbildung vorwärts bzw. Typ 11)

Die Differenzbildung vorwärts wird selten benutzt, weil ein Wert t = kTA noch nicht bekannt ist und der D-Anteil

zum Zeitpunkt

nur verzögert um eine Abtast-

periode zum Zeitpunkt t = (k-1)TA berechnet werden kann. Die Programmierung von Regelalgorithmen ist im Anhang erläutert und steht im On1ineP1us-Bereich des Verlags zum Download zur Verfügung. ｾ

Aufgabe 11.2

Gegeben ist der analoge I-Algorithmus y(t) = K[ fe(t)dt mit K[ = 2s -I und e(t) = 2t 2 . Der Eingangssignal e(t) ist bei t> 0,5 auf maximalen Wert e(t) = 0,5 begrenzt. Gesucht ist der Ausgangssignal des mit der Abtastzeit TA = 0, I s digitalisierten Algorithmus für ｾ t
1 außerhalb des Einheitskreises

Einheitskreis

A

Rechte s-Halbebene

/

/

CY< 0 stabil

/

Im

//

// / '/ ,

/

/

/

/

t

OJ =+00

r< I stabil

CY> 0 instabil

/

/

Stabilitätsgrenze bei

CY =

-r-----7-- -----------------------=-

r=1

t 1,0

r> I instabil

0

"--;,L.-1I-------,--

0

TA

-----.

CY

:t______ __ _

1 instabil

i

Stabilitätsgrenze I bei -1,0

1,0 ----. Re(z)

z-Ebene

Iz I > I

OJ

instabil

Stabilitätsgrenze bei = I

Iz I

o

----. Re(w)

ｾ

Bild 11.26 Zusammenhang zwischen z-Ebene und w-Ebene

Durch das Einsetzen von (11.30) in die Differenzengleichung (11.7) und Multiplikation mit (1-

kann die charakteristische Gleichung (11.9)

P( Z) =anz n +an-lZ n-l + ... +alZ 1 +aoZ 0 = 0

11.5 Beschreibung von digitalen Systemen im z-Bereich

355

in eine neue Polynomgleichung transformiert werden: P(w)=Anw

n

+ An_Iw n- 1 + ... +Alw l + Aow o =0.

(11.31)

Unten sind die Koeffizienten Ai der GI. (11.31) für Systeme mit n = 1,2,3 aufgelistet. n I

2

AI

A2

A3

ao + al

- ao + al

-

-

aO+al+a2

- 2ao + 2a2

aO-al+a2

-

Ao

3

ao + al + a2 + a3 - 3ao - al + a2 + 3 a3

3ao - al - a2 + 3a3

-aO+al-a2+ +a3

c) Hurwitz-Stabilitätskriterium Durch die w- Transformation gelingt es, das Stabilitätskriterium nach Hurwitz, wie bei analogen Systemen, anzuwenden: Für Stabilität eines digitalen Regelkreises müssen alle Koeffizienten Ai der charakteristischen Gleichung P(w) = 0 (11.31) vorhanden und größer Null sein, d. h. Ai

}

* 0 und Ai> 0 für i = 1,2, ..., n.

Beispielsweise kann man für das System 2. Ordnung P(z)=a2z2 +alz+aO =0 bzw. 2

P(w)=A 2 w +Alw+Ao =0

nach Hurwitz-Kriterium die Stabilitätsbedingungen (11.20) aus der obigen Tabelle für a2 = 1 herleiten: 2 =

{

AI = O=

ao -al +1

1+

>0

+2 >0 ao + al + 1 > 0

=>

- 2ao

ao 'k'

(12.8)

_I!L wobei a = e ™ ist. Der PFC-Regler berechnet die Stellgröße )'t zum Beginn jedes Prädiktionshorizonts k so, dass die aktuelle Sprungantwort Xt an die gewünschte Sprunganlwofl -'"rtf (Referenztrajektorie) angepasst wird: xref =XJ.:+iI

=(I-A)ek +x k

'

_.!L wobei A = e Tau, ist. In anderen Worten, zum Abschluss jedes vorherigen Prädiktionshorizonts soll die aus der GI. (12.8) ausgerechnete RegelgräBe XMt mit dem aktuellen Istwert Xk verglichen werden. Daraus wird die neue Stellgröße)"k fLir den nächsten Prädiktionshorizont berechnet. Der Vorteil dieses Verfahrens besteht also darin, dass die möglichen Abweichungen der Modellparameter TM und KpM von den reellen Parametern am Ende jedes ｐｲ￤､ｩｫｴ ｾ onshorizonts erkannt und durch eine geänderte Stellgröße ausgeglichen werden. Jedoch ist der Zusammenhang zwischen Zeitkonstanten 1A"" Th, TM und 71. undurchsichtig, so dass die Wahl des Parameters Tl dem Entwickler überlassen wird. Davon hängt die Wahl des Parameters A

J), A=e

Th

ab und folglich die Stellgröße)"b die unten ohne Herleitung gegeben ist:

Yk =_I_[xMk + I-A(W_Xk )] K PM l-a

(12.9)

Für die optimalen Verhältnisse wird es in der Literatur empfohlen:

T).,

1

1

=STh oder T}, =3Th

Nimmt man abweichend vorn in [104] beschriebenen PFC-Verfahren den Grenzfall

T;,=Th • so wird ａｾ｡

und die GI. (12.9) vereinfacht sich zum folgenden Algorithmus, der nachfolgend SPFC-Algorithmus (simplifled PFC) genannt wird:

12.1 Modellbasicrle Regelung Yk

363

I

I

K pM

K pM

(12.10)

)]

k

Zwar verliert der SPFC-Regler nach der GI. (12.10) gegenüber dem PFC-Regler nach der GI. (12.9) an Regelgüte, ist die Realisierung des SPFC-Regelalgorithmus einfacher, wie unten an einem Beispiel aus dem Übungsbuch r1371 gezeigt wird. •

Beispiel 12.3 =ｾ

Eine P-Tl-Regclstrccke GMü)

=

PM

I+$TM

mit

PM

l+sTs

= I und

mit

= 1.5 und

=90 s soll mit einem Modell

= 10 s ohne bleibende Regeldifferenz geregelt werden.

Der Regelkreis. gebildet nach GI. (12.10). ist im Bild 12.6 gezeigt. Die Voneile dieser Lösung im Vergleich zu einem optimal eingestellten PI-Regler sind aus dem Bild 12.6 ersichtlich.

., 9Os.1

W.,

. .. ... 1/1.5 Gain

>-...

-.

""',[ ,..

x(l)

SPFe-Regler

,..

"[,.,

lOS.1

KpM_l:TpM .10s

" Uild 12.6

ｾｭ

'"

'"

'"

Regelkreis und Sprungantwon nach dem vereinfachten PFC-Verfahren

Wie im obigen Beispiel gezeigt ist, führt die Realisierung des SPFC-Algorithmus nach GI. (12.10) im Regelkreis zum Wirkungsplan des Bildes 12.7.

'.

w

+

K"

x,

t= l::::.: Yk

+ KI'M' TM

ｾ Uild 12.7

ｬ ｾｸ

Wirkungsplan der vereinfachten PFC-Regclung bei h = 7i,

364

12 Intelligente Regelung

Die Übertragungsfunktion des im Bild 12.7 gezeigten Regelkreises ist Gw(z)=x(s)=Gv(s). Go(s) , wes) 1+ Go(s)

(12.11)

wobei sind: Go(s) = GR (s)Gs(s)

Gv (s)=I+GM (s)

Das SPFC-Verfahren stellt also die Regelung im geschlossenen Regelkreis mit einem Vorfilter Gis) dar (Bild 12.8). Wird ein bestimmtes Verhalten Gw(s) gewünscht, kann die Übertragungsfunktion Gis) des Vorfilters aus GI. (12.11) bestimmt werden: G (s)=G (z)·I+Go (s) v w Go(s)

ｾ｛ﾧＭ Ｇ ｉｴ］ｈｾｔ

i

Vorfilter GJs)

'- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ｾ

Bild 12.8

i

1-

Vereinfachtes PFC-Verfahren als Regelung mit einem Vorfilter Gis)

12.1.4 Regler mit einem adaptiven Filter Bislang wurden modellbasierte Verfahren betrachtet, bei denen die Regelung anhand eines vorher bestimmten Modells mit konstanten Parametern erfolgt. In der Praxis ändern sich die Parameter des Modell während des Betriebs. Für solche Fälle gibt es grundsätzlich zwei Regelungsarten, nämlich, adaptive und robuste Regelung. Bei der robusten Regelung wird der Regler so eingestellt, dass seine einmal festgelegte Einstellung für ein möglichst breiten Intervall der Änderung von Parametern der Regelstrecke optimal bleibt. Diese Methoden werden im Buch nicht behandelt. Bei der adaptiven Regelung wird der Regler ständig an die geänderten Streckenparameter im Sinne eines optimalen Gütekriteriums angepasst. Dabei sind zwei Arten der Reglereinstellung möglich: •

Sind die möglichen Parameteränderungen vorher bekannt, so dass man daraus eine, wenn auch umfangreiche, Tabelle von möglichen Zuständen bilden kann, nennt man solche Verfahren der Reglereinstellung Gain-Scheduling.

•

Sind die möglichen Parameteränderungen vorher nicht gegeben oder sind nur einige Merkmale der Regelstrecke bekannt, z. B. dass die Strecke ein P-Verhalten mit der Verzögerung 1. Ordung hat, redet man um die adaptive Filter. Die wichtigste Aufgabe der adaptiven Regelung ist die Identifizierung der Strecke.

12.1 Modellbasicne Regelung

365

In diesem Abschnitt wird beschrieben, wie eine unbekannte Regelstrecke zuerst mit einem Filter identifiziert und dann mit einem PIO-Regler geregelt wird. Es wird angenommen, dass die Strecke ein P-Glied mit Verzögerung oder mit der Totzeit ist. Die Identifizierung erfolgt nach dem aus der Literatur bekannten LMS-Algorithmus Wegen des begrenzten Buchumfangs wird dieser Algorithmus ohne Herleitung dargestellt. Wie im Bild 12.9 gezeigt ist, wird die Differenz zwischen der Sprungantwon der unbekannten Strecke x(l) und dem Ausgang des Filters Xl:(t) nach einem Eingangssprung von der Höhe 5' gebildet und mit Hilfe der FilterFaktoren KO, K I und K2 minimiert. Die reelle Regelstrecke wird durch ein Filter mit diesen Faktoren abgebildet, wie im Bild 12.10 gezeigt ist.

(Leasi

ｾＮ

ｾ ＬｪＭ［Ｚ ｾＱ ｌ

--

'-

ßild 12.9 Identifizierung einer unbekannten Strecke (Ul1k110WIl plallt) mit dem LMSAlgorithmus. Hier sind die Faktoren: KO = 1.31: K I = I 125: K3 = 0.5627.

｡ｾＬ

•

,,ＢＧｾ

Tf..... ｾ

a_

"'" " "'"" "

ｾ

... 3 - .•.

• •

··i

,

;

; ..

2···

·......· ....··..f

..

+

.......+.

e,}--"}---}--,,}--,}--,,,---i..

Ilild 12,10 Filter mit Faktoren KO = 1.5: KI = 1.2: K2 = 1.8. und die Sprunganlwonxl:(t) nach dem Eingangssprung y = J. Die Abtastzeit (Tramport Delay) des Filters T= 2 s.

12 Intelligente Regelung

366

Der adaptive Regler besieht aus einem PIO-Algorithmus und einem Filter des Bildes 12.10 als Strecke, die einen Regelkreis bilden (Bild 12.11). Der PIO-Regler wird anhand einer Simulation optimal eingestellt, wonach seine Kennwerle dem reellen PIDRegler, der an eine reelle Regelstrecke angekoppelt ist, übergeben werden.

Bild 12.11 MATLAB/Simulink.AIgorithmus eines adaptiven Reglers. bestehend aus dem PID· Block (Sillllllillk und einem adaptiven Filter

Der Funktionsbaustein PID hal die folgende Übcrtragungsfunklion: GR(s)

1 = K pR + K] .-+ KO ' s

(12.12)

s

Der Filter wird folgendermaßen durch ein P-Tt-Glied

GS(s}= Kps e- sTt

(12.13)

angenähert, wobei seine Parameter Kps ,

und aus Filter-Parameter KO, K I und K2 bestimmt werden, was im Bild 12.12 erläutert ist

T 2

=-

(12.14)

(12.15)

(12.16) -1

0

1

,

,

,

,

8ild 12.12 Approximicrung dcr Strcckcnparamctcr durch Filtcr-Faktorcn

367

12.1 Modellbasierte Regelung •

Beispiel 12.4

Gesucht ist die optimale Einstellung des adaptiven PI-Reglers mit einer PoTt-Strecke, die mit dem LMS-Algorithmus nach dem Bild 12.9 mit folgenden Filter-Faktoren identifizien ist: KO=I.31

KI=L125

K3 = 0.5627

Die Übenragungsfunklion der Regelstrecke nach GI. (12.13) wird unter Annüherung T. I K pS I Die Übenragungsfunktion e-'" I , = - - - wie folgt vereinfacht: ＭＧ］ＩｾＨｓｇ l+sTr I+slj l+sTt des aufgeschnitten Kreises nach der Kompensation mit ｾＷ

= TI fUhrt zu GO(s) =

woraus der Regler nach dem Betragsoptimum eingestellt wird: K PR =

K K PR

PS

sTn (I + sT\)

•

Tn

2·K ps ·Tt Die Sprungantwort der reellen Strecke mit dem PI-Regler ist im Bild 12.13 gegeben. Die Einstellung des P[-Regler ist nach Filter-Faktoren, wie unten erklärt. berechnel. Unter Beachtung GIn. (12.[4) bis (12.16) wird K pR durch die Fi[ter-Faktoren ausgedrUckt:

Ｚｾｦ｜ｌＧＫ ＨＧＮＺｲ｣ｴｕ ｆＮｾ

0.8

0.6 .OA

ｾＡｬＮｫ｟ＺｭｈｊＮｾ｟

.. 2.

: KO=l,31: : Kl=1125

ﾷ Ｎ ［ ｾ ｏＺＵＶＲＷ ｟ ﾷ Ａ ［ Ｍ

:

: Kps =3 : : T =1 1 :

"" ｾ

;

ｾ

_-:

: ProporUon81: . ＨｋｬＫＱ＼Ｒｩﾷｾﾻ

: :

ｾＮＱｮｴｧ｟

: 1/(K0-H

geeignet. Nur einige Optionen dieses Befehls sind in nachfolgender Tabelle erwähnt. Befehl » orint -f1; » print -f1 -dmeta 'grafik_1 '; » print -f1 -dmeta -append 'bild'; » print -f1 -depsc 'grafik_1 ';

Wirkung des Befehls Figure I auf dem Standarddrucker ausgeben Figure I in Metafile-Format als Datei grafik_I. emf speichern Figure 1 in die Datei bild.em! senden, nicht überschreiben Figure I in Color PostScript als Datei grafik_I. eps speichern

Grundformen des plot-Befehls Es gibt mehrere Optionen des plot-Befehls, einige davon sind unten aufgeführt. •

Mit dem Befehl plot(Y), wobei Yeine (m, n)-Matrix ist, werden die n Spalten als Vektoren betrachtet und die m Vektoren hintereinander dargestellt.

•

Sind und y zwei Vektoren gleicher Art, z. B. zwei Spaltenvektoren (n, 1) mit Elementen Xl, x2, ... Xn und YI, Y2, ... Yn, so werden mit dem Befehl plot(x, y) die Punkte mit Koordinaten (Xk, Yk) durch Linien verbunden.

•

In der Grundform plot(t, y) wird die Variable y(t), z. B. y = sin(2m), grafisch dargestellt.

•

Mit dem Befehl plot(t, yl, t, y2) kann man zwei Signale yl(t) und y2(t) in einem Bild darstellen, allerdings sollen die Farbe, Art der Linien oder die Markierung der Punkte zusätzlich gewählt werden.

•

Der Befehl plot([y1', y2'], t) erstellt eine Grafik, die die Ausgabe des Befehls plot(t, [y1 " y2' J) um 90° gedreht darstellt (gilt nur ab Version 5).

•

Ist Z eine Matrix mit komplexen Elementen, so wird mit dem Befehl plot(Z) der Imaginärteil abhängig vom Realteil in der komplexen Ebene abgebildet, z. B. » a1 = 1; »Z=[a1

b1 = 2; i*b1];

»plot (Z)

Nachfolgend werden die Grundformen von plot anhand von Beispielen erläutert.

14.2 Grafik mit MATLAB

423

Darstellung eines Vektors Im Fall y = [all] wird mit plot(y, ' *') ein Punkt * unter x = 1 und y = all positioniert. Im Fall n = 2 (zwei Spalten) wird der Vektor y = [all, alz] wie in Bild 14.1 gezeigt abgebildet.

3.5

»

% Befehle

»

y = [0 4] ;

»

plot (y)

2.5

1.5

0.5 ｊＮＭ Ｍ Ｍ｟ｾＭ ｾＭｾＭ ｾＭｾｏ

1.2

I

1.4

1.6

1.8

Bild 14.1 Vektor y = [all, al2] mit zwei Spalten

Farbzeichen und Linientypen Für Variablen x, y können mit dem plot - Befehl die Farbe, der Linientyp und die Markierung der Punkte eingestellt werden.

'b' 'c' 'g' 'k'

= = = =

blue cyan green black

Farbzeichen 'm' = 'r' = 'w' = 'y' =

Linientypen magenta red white yellow

, , , , --

' .' , , -

= = = =

Punkten-Markierung

solid dashed dotted dash-dot

'+'

' , , , --

'*'

Bild 14.2 zeigt die Ausgabe eines Programms, das die Punkte mit den Koordinaten (xl, yl), (x2, y2) und (x3, y3) durch Geraden mit Farbe black verbindet. 1.8 1.6 1.4

»% Befehle

1.2

» X = 0.8 0.6

[0 1 4];

»

y = [0 1 2];

»

plot (x, y, , k ')

0.4 0.2 0

0

0.5

Bild 14.2

1.5

2.5

3.5

Verbindung von 3 Spalten bzw. Punkten (0, 0), (1,1) und (4,2)

424

14 Regelkreisanalyse mit MATLAB / Simulink

Darstellung eines Signals im Zeitbereich Die Eingabe einer Zeitspanne erfolgt durch die Anweisung »

1 = O:della:max,

wobei delta für die Schrittweite und max für die rechte Grenze des Zeitrasters steht. In Bild 14.3 ist die Ausgabe eines Programms gezeigt, das erst im Zeitraster 0< t< 1 ein harmonisches Signal y( t) erzeugt und dann zu einer horizontalen Linie übergeht.

" % Mallab-Programm »

1 = 0:0.01 :1;

" y1 = 5*sin(4*pi*I); »

plol (I, y1);

" hold on;

»x = [0 0] ; " plOI (x, 'k'); 1.5

Bild 14.3

Verknüpfung von zwei Signalen

Pol-Nullstellen-Darstellung Für die Ausgabe einer Matrix G mit komplexen Elementen ist die explizite Form des plot-Befehls geeignet, z. B. mit Farbe- (black) und Punkten- (0) Markierung: " plOI (real(G), imag(G), 'ko');

Bild 14.4 zeigt die grafische Darstellung von Pol- und Nullstellen eines Regelkreises mit der Übertragungsfunktion

0.8 0.6

o

0.4 0.2

=

o

Q

N(s)

·0.2 -0.4

o -0.6 ·0.8 -1 ＧＭ Ｍ｟Ｍ ｾＭ ｾＭ ｾＭ Ｍ ＭＧ

·0.6

-0.5

Bild 14.4

·0.4

-0.3

·0.2

Unten ist das entsprechende MATLAB-Programm gegeben. Die Bereiche der x, y-Achsen werden vom Programm automatisch eingestellt.

Pol-Nullstellenverleilung

»

N = [ -0.5 +0.5*i, -0.5 -0.5*i, -0.2+i, -0.2-i, -0.4];

»

Z = [-0.6, -0.3];

»

plOI (real (Z), imag (Z),' wo', real (N) , imag (N), , k * , )

14.2 Grafik mit MATLAB

425

Manuelle Bereichseinstellung

Mit Hilfe der Funktion A = axis, die mit vier Parametern [Xmin, xmax , Ymin, Ymax] definiert wird, können die Bereiche manuell eingestellt werden. Um z. B. nur die Grenzen Xmin und Ymax gegenüber der automatischen Bereichseinstellung zu ändern, könnte der Aufruf der Funktion wie folgt aussehen: »

axis ( [ -6, A(2), A(3), 5] );

3D-Darstellung

Erweitert man den plot-Befehl zu »

plot3 ( x, y, z, 'k * , );

so wird die Grafik dreidimensional mit schwarzen Punkten * ausgegeben. Ein Beispiel der nichtlinearen statischen Kennlinie, die für 50 Punkte berechnet wird, »

x=(0:50) / 10;

»

plot3 ( ( 1-x ), ( 3*x ), ( 1-0.5*x ).*( 1-0.5*x ),' k- ' )

ist in Bild 14.5 gezeigt. Mit dem Befehl »

[X, Y] = meshgrid (x, y);

wird aus Variablen x und Y eine Matrix berechnet, deren Zeilen und Spalten die Vektoren x, Y sind. Eine Funktion, z. B.

2.5 2

1.5

0.5

o

15

kann mit folgenden Grafikfunktionen als Maschenund Kachelplots dargestellt werden:

2

10

W = (Y - 1).* (X - 1) + Y.* X;

o

5

-2

o Bild 14.5

-4

3D-Grafik mit demplot3-Befehl

»

contour (X, Y, W, N);

2D-Darstellung mit N Konturlinien

»

contour3 (X, Y, W);

3D-Höhenlinienplot (perspektivisch)

»

mesh ( X, Y, W );

3D-Gitterdarstellung

»

surf ( X, Y, W );

3D-Flächen (Kachelplot)

Editieren von Grafiken

Die Grafiken in Plotfenster (Figure) lassen sich mit dem MATLAB-Editor getrennt als fig-Datei abspeichern, perspektivisch manipulieren (View/Camera Toolbar) und für das Erstellen der Dokumentation nachbearbeiten (Tools/EditPlot oder Insert usw.). Beim Drucken ist File!Preferences/Figure Copy Template!Copy Options zu beachten.

426

14 Regelkreisanalyse mit MATLAB / Simulink

14.3 Control System Toolbox Diese Toolbox ist ein Zusatz zu MATLAB für regelungstechnische Aufgaben. Die Ermittlung von Kennlinien erfolgt mit dem Control System Toolbox einfach durch Aufruf von Funktionen, die wahlweise unten gezeigt sind. Contral System Toolbox Funktion

Wirkung

»

step

Sprungantwort

»

dstep

Sprungantwort eines digitalen Kreises

»

impuls

Gewichtsfunktion

»

nyquist

Ortskurve

»

bode

Bode-Diagramm

»

roots

Wurzeln der charakteristischen Gleichung

»

pzmap

Pol-lNullstellenverteilung in der s-Ebene

»

rlocus

Wurzelortskurve

Dem Benutzer wird es lediglich überlassen, die Übertragungsfunktion des zu untersuchenden Regelkreises G(s)= Z(s) N(s)

in eine entsprechende Form zu bringen. Grundsätzlich gibt es dafür drei Möglichkeiten, die nachfolgend anhand von Beispielen erläutert werden: sm

+ b rn-I s m-I + ... + b 2 s 2 + b 1s + b 0

•

Polynomform

G(s) =

•

Pol/Nullstellen-Darstellung

(s - sN! )(s - sN2 )...(s - sNrn) G( s) = K 0 -------'=.:...-'-------'-""-'---'-----"-'-"''-'-(s-spI)(s-sP2) (s-spn)

•

Linearfaktoren-Form

G(s)=K

1

2

sn +an_IS n- + ... +a2s +aIs+aO

(1 + sTNI )(1 + sTN2 ) (1 + sTNm) (1 + sTpi )(1 + sTP2 )... (1 + sTpn )

.

Polynomform Hierfür werden Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion als Polynome dargestellt, z. B. 2

G(s) = Z(s) = 2s +s+1 N(s) s3+7s2+9s+1'

die dann im MATLAB als Vektoren eingegeben werden: » »

num = [2 1 1]; den = [1 7 9 1];

14.3 Contral System Toolbox

427

Für ein P-T2-Glied G(s) =

1

a

.

mIt D=s2+ 2a s +ß2 ß

ist eine spezielle MATLAB-Funktion ord2(ß, D) vorhanden. Sind z. B. und D = 0,5, so wird die Übertragungsfunktion wie folgt eingegeben: »

Inum, den]

ß = 2,0

S-l

ord2 (2.0, 0.5);

=

Ein Totzeitglied Tt wird mit einer Pade-Funktion n-ter Ordnung appraximiert: G(s)=e

-sr.t =1-sT +-(sT 1 2 1 3 t t ) --(sTt ) + .... 2!

3!

Die MATLAB-Funktionpade »

Inum, n]

=

n) ist z. B. für die Totzeit Tt = 0,5 sund n = 1:

pade (0.5, 1);

Die Beispiele von MATLAB-Funktionen für die Polynomform sind unten gegeben. Contral System Toolbox Funktion

Wirkung

»

bode (num, den)

Erstellen des Bode-Diagramms

»

dCQain (num,den)

Berechnung der Kreisverstärkung Ko bzw. G(Q)

»

printsys (num, den)

Bildschirmausgabe der Übertragungsfunktion

»

step (num, den)

Ermittlung der Sprungantwort

Pol-Nullstellen-Darstellung Eine durch Pol- und Nullstellen vorgegebene Übertragungsfunktion (s - sNl

- sN2 )

- sNm)

G(s) = K 0 --'--'-"----------''-=---------'-'-'-''---(s-spl)(s-sp2) ... (s-spn)

wird mit der Funktion zp2tfin eine Polynomform transferiert: = I sN1 p = [sP1 »k = Ko; » Z

»

»

I num, den]

sN2 ... sNm]; sP2... sPn]; =

zp2tf ( z, p, k);

Normalform mittels Linearfaktoren Liegt die Übertragungsfunktion zerlegt in Linearfaktoren vor: G(s)=K

(1 + sTNl)(1 + sTN2 ) ...(1 + sTNm)

(1 + sTpI )(1 + sTP2 ) ... (1 + sTpn )

,

so sollte sie entweder in Polynomform oder Pol-/Nullstellen-Darstellung umgewandelt werden. Im letzten Fall werden die Pol- und Nullstellen ermittelt:

428

14 Regelkreisanalyse mit MATLAB / Simulink 1

Zl = - - TNI

Z2

1

=---

T N2

1

1

TP2

T

die dann mittels der Funktion zp2tjin die Polynomform transferiert werden: " z = [z1 z2 ]; » p = [p1 p2 ]; » k = K * (TN1 * TN2 *... ) / (TP1 * TP2 *... ); » [ num, den] = zp2tf (z, p, k); •

Beispiel 14.1

Es soll die Sprungantwort eines P-Tl-Gliedes K pS K pS = -------"--"-----GS = - - bzw. G S 1+ I (s + sPl)

k

s

+ sPI

mit Kennwerten KpS = 2 und Tl = 0,5 s simuliert werden. Das MATLAB-Programm lautet: » z = [ ];

% keine Nullstellen

= [-2]; % Polstelle bei -1/T1 % Proportionalbeiwert k = KPSIT1 »k = 4; » [ num, den] = zp2tf (z, p, k); » step (num, den); Alternativ dazu kann man die Übertragungsfunktion in Polynomform darstellen

»p

°.s + K 1+

PS

I

=

°.

s +2 . 0,5 . s + 1

Dann sieht das MATLAB-Programm wie folgt aus: »num= [0 2]; »den = [0,5 1]; » step (num, den) ｾ Aufgabe 14.1 Gegeben ist die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises

(s - sPI

- sp2)

mit Ko =0,041, Sp! = -0,29, Sp2 = -0,11. Die Sprungantwort des Kreises soll simuliert werden. ｾ Aufgabe 14.2 Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises

KO

= -2-2-=----s 2 + I +1

mit K o = 0,4, Ti = 0,1 s 2 und Tl = 0,6 s ist gegeben. Gesucht ist die Sprungantwort.

14.4 Bode-Diagramm mit MATLAB

429

14.4 Bode-Diagramm mit MATLAB Das Bode-Diagramm kann mit dem MATLAB-Basismodul programmiert oder mit dem Contral System Toolbox aufgerufen werden.

Programmieren mit Basismodul Das nachstehende Programm enthält MATLAB-Befehle zur grafischen Darstellung des Bode-Diagramms eines P-TI-Gliedes im Frequenzbereich 10-2 s-1 bis 104 s-1: G(jOJ) =

K , 1+ jOJT

mit K = 10 und T = I s. Der Amplituden- und Phasengang werden nach m) = - arctan mT

berechnet und im logarithmischen Maßstab in zwei Fenster ausgegeben. Programmtext »

title ('Bode-Diagramm eines P-T1-Gliedes');

»

K = 10;

»

T

=

Kommentar % Überschrift der Grafik % Eingabe von Parametern

1; % Eingabe des Frequenzbereiches

» W =

»

om

»

logspace(-2,4); =

w*T;

OJ

von 10-2 s-l bis 104 s-l. % Argument mT

absG1

»

= 20*log1 O(K); absG2 = -1 0*log1 0(1 +om.*om); absG = absG1 + absG2;

% Berechnung des Amplitudengangs % und Umrechnung mittels % lOer Logarithmen in Dezibel

»

subplot(211);

% Das erste von zwei Fenstern öffnen

»

semilogx(om, absG);

% Ausgabe des Amplitudengangs % im halblogarithmischen Maßstab

»

grid;

% Gitternetz anzeigen

»

subplot(212);

% Das zweite Fenster öffnen

»

phi

»

semilogx(om, phi*180/3.14);

% Ausgabe des Phasengangs % im halblogarithmischen Maßstab % in Grad

»

grid;

% Gitternetz anzeigen

»

= -atan(om);

% Berechnung des Phasengangs

14 Regelkreisanalyse mit MATLAB / Simulink

430

•

Beispiel 14.2

Das Bode-Diagramms eines Totzeitgliedes G(s) = e -sTt

mit T t = 0,5 s soll im Frequenzbereich 0,01

S-l