Analyse et équations aux dérivées partielles 9782759831401

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Thomas Alazard

Analyse et équations aux dérivées partielles

S A V O I R S

A C T U E L S

EDP Sciences/CNRS ÉDITIONS

Illustration de couverture : Approximation d'une courbe de type Hilbert remplissant le carré ; illustration reproduite avec la permission de Jean-Francois COLONNA (CMAP/ École polytechnique, www.lactamme.polytechnique.fr).

Imprimé en France.

© 2023, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35. ISBN EDP Sciences 978-2-7598-3139-5 (papier) – 978-2-7598-3140-1 (ebook) ISBN CNRS Éditions 978-2-271-14916-9 (papier) – 978-2-271-14917-6 (ebook)

Pour Adèle et Charles

TABLE DES MATIÈRES

Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Partie I. Analyse fonctionnelle 1. Espaces vectoriels topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Parties convexes, bornées, équilibrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Semi-normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. L’espace des fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 7 10 13 17 22 30

2. Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Rappels de calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Théorème du point fixe de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Théorème du point fixe de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. . . . . . . . . . . . 2.8. Théorème de Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 34 35 37 38 40 47 52 58

3. Analyse hilbertienne, dualité et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Introduction aux espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Bases hilbertiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Théorème de Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Convergence faible, convergence faible étoile. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Théorème de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 62 67 69 76 78 83 85

iv

TABLE DES MATIÈRES

Partie II. Analyse harmonique 4. Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Fonctions de carrés intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Applications de la formule de Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Théorème de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 95 99 104 105 108

5. Transformation de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.2. Classe de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.3. Distributions tempérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4. Décomposition de Littlewood-Paley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6. Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1. Définition du produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2. Approximations de l’identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité. . . . . . . . 144 6.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.6. Inégalités de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes. . . . . . . . . 151 6.8. Théorème taubérien de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque. . . . . . . . . 170 7.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.5. Injections de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . 186 7.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.1. Propriété de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8.2. Solution fondamentale du laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.3. Régularité des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

TABLE DES MATIÈRES

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Partie III. Analyse microlocale 9. Opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.1. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.2. Continuité des opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . 213 9.3. Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 9.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10. Calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.1. Introduction au calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 10.2. Intégrales oscillantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 10.3. Adjoint et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 10.4. Applications du calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 10.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 11. Équations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 11.1. Équations de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 11.2. Équations hyperboliques pseudo-différentielles . . . . . . . . . . . . . . 256 11.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 12. Singularités microlocales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.1. Propriétés locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.2. Front d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 12.3. Théorème de propagation des singularités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 12.4. Problèmes non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 12.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Partie IV. Analyse des équations aux dérivées partielles 13. Le problème de Calderón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 13.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 13.2. Densité des produits de fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . 284 13.3. Équations à coefficients variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 13.4. Théorème de Sylvester-Uhlmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 13.5. Un exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 14. Théorème de De Giorgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 14.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 14.2. Sous-solutions et transformations non linéaires. . . . . . . . . . . . . . 298 14.3. Itérations de Moser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 14.4. Inégalité de Harnack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 14.5. Régularité höldérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 14.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

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TABLE DES MATIÈRES

15. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 15.1. Moyennes locales et équations elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 15.2. Moyennes locales et espaces de Hölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 15.3. Théorème de Campanato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 15.4. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 15.5. Régularité H 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 15.6. Régularité des surfaces minimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 15.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 16. Estimations dispersives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 16.1. L’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 16.2. Estimée de Strichartz-Bourgain pour KdV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 16.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Partie V. Rappels et solutions des exercices 17. Rappels de Topologie générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 A. Espaces topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 B. Séparabilité, compacité et complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 C. Théorème de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 D. Fonctions régulières à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 E. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 18. Inégalités dans les espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 A. Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 B. Inégalités de Hölder, Minkowski et Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 C. Fonction de distribution et théorème de Marcinkiewicz. . . . . . . . 373 D. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 19. Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 Développements pour l’agrégation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

AVANT-PROPOS

Il s’agit d’une introduction à quatre domaines de l’analyse. Les trois premières parties portent sur l’analyse fonctionnelle, l’analyse harmonique et l’analyse microlocale. La dernière partie, plus difficile, concerne l’analyse des équations aux dérivées partielles. Il s’agit d’un sujet très vaste et j’ai choisi de donner des démonstrations complètes d’une sélection de théorèmes majeurs : résolution du problème de Calderón, théorème de propagation des singularités de Hörmander, théorème de De Giorgi ainsi qu’une inégalité de Strichartz-Bourgain. Nous étudierons également les équations aux dérivées partielles elliptiques, hyperboliques ou dispersives. Un appendice contient des rappels concernant la topologie générale et les espaces de Lebesgue. Niveau. Ce livre retranscrit les notes de plusieurs cours différents donnés successivement à l’ENS Paris et à l’ENS Paris-Saclay. Je n’ai rien ajouté dans ce livre qui n’ait pas été enseigné et toutes les démonstrations qui figurent dans ce livre ont été écrites au tableau in extenso. J’ai essayé de proposer un enseignement exigeant mais néanmoins accessible au niveau du Master. Les deux premières parties traitent de techniques fondamentales qui sont accessibles dès le début du M1. Le niveau des deux dernières parties correspond à celui des cours de M2, ce qui demandera un investissement personnel plus important pour lire les démonstrations. Néanmoins, il ne nécessite aucun prérequis et de fait, j’ai enseigné les deux dernières parties telles quelles pendant plusieurs années. Agrégation. Ce livre peut également être utilisé pour préparer l’agrégation de mathématiques. Des suggestions de développements sont données page 423.

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AVANT-PROPOS

Exercices. Des exercices complètent cette présentation et proposent de démontrer de nombreux résultats célèbres : théorème de Nash pour les équations paraboliques, condition de Hörmander sur les sommes de carrés de champs de vecteurs, construction des mesures microlocales de défaut de Gérard et Tartar... Certains exercices sont corrigés à la fin du livre. Des applications et des problèmes corrigés supplémentaires se trouvent dans le livre [1] écrit avec Claude Zuily. Remerciements. Je tiens à remercier Claude Sabbah et les rapporteurs pour leur lecture très attentive et pour leurs conseils qui ont grandement contribué à améliorer la présentation et la structure de ce livre. Je remercie très chaleureusement Cécile Huneau, Isabelle Tristani et Irène Waldspurger, qui ont donné des Travaux Dirigés sur les parties Analyse microlocale et EDP de ce cours, et pour m’avoir permis d’utiliser certains de leurs énoncés et de leurs corrections. Je remercie également Arthur Leclaire, Ayman Rimah et Rémi Tesson, qui ont donné des Travaux Dirigés sur les parties liées à l’Analyse harmonique et à l’Analyse fonctionnelle, ainsi que Charles Arnal, Malo Jézequel, Ayman Rimah et Haocheng Yang pour leurs commentaires sur une version préliminaire. Enfin, j’aimerais remercier Olivier Biquard, Karim Boulabiar, Didier Bresch, Nicolas Burq, Patrick Gérard, Guy Métivier, Frédéric Pascal, Alain Trouvé et Claude Zuily pour les nombreuses discussions que nous avons eues sur l’enseignement de l’Analyse.

PARTIE I

ANALYSE FONCTIONNELLE

CHAPITRE 1 ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

En 1850, Weierstrass donnait la première définition précise, avec des ε et des δ, de la notion de limite d’une fonction en un point. Il utilisait la notion de nombres arbitrairement petits et la notation « lim » introduites par L’Huilier et utilisées par Cauchy dans son cours d’Analyse. Il introduisait la notion de voisinage d’un point ainsi que la notation |x| pour la valeur absolue de x. Bolzano a également contribué à démontrer des résultats d’Analyse qui étaient considérés comme intuitivement vrais, comme le théorème des valeurs intermédiaires (voir [22, 128]). Plus tard, il est apparu naturel de considérer l’existence de limites de suites de fonctions, ainsi que d’étudier la notion de continuité de certaines applications qui agissent, non pas sur des nombres, mais sur des fonctions. Le concept le plus important est celui d’espace métrique, où les notions de distance et de norme généralisent la valeur absolue. Cette généralisation était indispensable pour étudier la convergence des séries trigonométriques que Fourier avait introduites en 1812 pour étudier l’équation de la chaleur [41]. Cette généralisation a aussi permis à Riemann de résoudre le problème de Dirichlet par une méthode de minimisation (étant donné un ouvert Ω de Rn , le problème de Dirichlet consiste à trouver une fonction harmonique u : Ω → R dont la valeur sur le bord ∂Ω est une fonction donnée). Ces travaux ont conduit à l’émergence d’un langage, connu sous le nom de topologie générale, qui permet de parler rigoureusement de limite et de continuité dans un cadre abstrait très général. Les principales définitions sont rappelées dans l’appendice au chapitre 17. Les notions de la topologie sont fondamentales en analyse fonctionnelle, qui est la branche de l’analyse qui étudie les espaces de fonctions ; un des principaux objectifs étant de résoudre des équations linéaires dont l’inconnue est une fonction (pensons à l’étude des équations aux dérivées partielles). Pour étudier de telles équations, le cadre le plus naturel est celui

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CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

des espaces vectoriels de dimension infinie ayant une topologie compatible avec leur structure algébrique : ce sont les espaces vectoriels topologiques que nous étudierons dans ce chapitre. Nous commencerons ce chapitre par des rappels sur les espaces normés. Nous nous intéresserons ensuite à des espaces dont la topologie n’est pas définie par une norme, mais par une famille de semi-normes. Nous verrons les propriétés spécifiques à la dimension finie puis étudierons les résultats de Banach sur la continuité des applications linéaires. Nous étudierons également plusieurs résultats importants concernant l’espace des fonctions continues. 1.1. Espaces vectoriels normés Commençons par des rappels sur les notions de norme et de distance. Définition 1.1. Une distance sur un ensemble X est une application d : X × X −→ [0, +∞[ qui vérifie les trois propriétés suivantes : pour tous x, y, z dans X, (i) (séparation) d(x, y) = 0 si et seulement si x = y ; (ii) (symétrie) d(x, y) = d(y, x) ; (iii) (inégalité triangulaire) d(x, z) ⩽ d(x, y) + d(y, z). Le couple (X, d) est un espace métrique. Étant donné un point x dans X et un réel strictement positif r, on appelle boule ouverte de centre x et de rayon r l’ensemble  B(x, r) := y ∈ X : d(x, y) < r . Par définition, la boule fermée de centre x et de rayon r est l’ensemble  Bf (x, r) := y ∈ X : d(x, y) ⩽ r . Définition 1.2. Soit E un espace vectoriel sur le corps K = R ou C. Une application ρ de E dans [0, +∞[ est une semi-norme si elle vérifie, pour tout λ ∈ K et tout (x, y) ∈ E 2 , (i) (homogénéité) ρ(λx) = |λ| ρ(x) ; (ii) (inégalité triangulaire) ρ(x + y) ⩽ ρ(x) + ρ(y). Une semi-norme est une norme si de plus ρ(x) = 0 implique x = 0 (remarquons que la propriété d’homogénéité implique que ρ(0) = 0). Les normes se notent habituellement ∥·∥, un couple (E, ∥·∥) est appelé espace vectoriel normé. L’application d définie sur E × E par d(x, y) = ∥x − y∥ est alors une distance sur E. Le fait que l’on puisse associer une distance à une norme permet de munir un espace vectoriel normé d’une topologie. Étant donné un espace

1.1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS

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vectoriel E muni d’une norme ∥·∥, on supposera toujours que E est muni de la topologie induite par la distance d(x, y) = ∥x − y∥. Une base de voisinages pour cette topologie est donnée par l’ensemble des boules ouvertes B(x, r) avec x ∈ E et r > 0, B(x, r) = {y ∈ E : ∥x − y∥ < r}. Proposition 1.3. Considérons un espace vectoriel normé (E, ∥·∥). Les opérations d’addition vectorielle (x, y) 7→ x+y et de multiplication par un scalaire (λ, x) 7→ λx sont continues. Démonstration. Montrons que l’addition A : E × E → E, avec A(x, y) = x + y, est continue. Soit U un ouvert de E. On veut montrer que A−1 (U ) est ouvert. Pour cela, considérons (x, y) ∈ A−1 (U ) de sorte que x+y appartient à U . Comme U est ouvert, il existe δ > 0 tel que B(x + y, δ) ⊂ U . D’après l’inégalité, triangulaire, on en déduit que u + v appartient à A−1 (U ) pour tout u ∈ B(x, δ/2) et tout v ∈ B(y, δ/2). Ceci prouve que B(x, δ/2) × B(y, δ/2) est inclus dans A−1 (U ). Comme le produit de deux boules est un ouvert pour la topologie produit, on a montré que la préimage d’un ouvert est un ouvert, ce qui démontre que A est continue. On démontre de la même manière que la multiplication par un scalaire est continue. Rappelons qu’un homéomorphisme est une bijection continue dont l’inverse est continue. Corollaire 1.4. Les translations et les dilatations sont des homéomorphismes. Démonstration. Soit u ∈ E et soit Tu l’application de translation par u, définie par Tu (x) = x + u. Alors T est continue (car l’addition vectorielle est continue et que l’application v 7→ (u, v) est continue de E dans E × E). De plus, Tu est inversible et son inverse, qui est T−u , est continue. Ce qui montre que la translation par u est un homéomorphisme. On procède de même pour étudier la dilatation x 7→ λx. Deux normes ∥·∥1 et ∥·∥2 sont équivalentes s’il existe deux constantes c1 et c2 strictement positives telles que, pour tout x ∈ E, c1 ∥x∥1 ⩽ ∥x∥2 ⩽ c2 ∥x∥1 . Dans ce cas, on vérifie facilement que les topologies induites par les distances d1 (x, y) = ∥x − y∥1 et d2 (x, y) = ∥x − y∥2 sont les mêmes. Les applications linéaires continues jouent un rôle fondamental, aussi on donne plusieurs critères simples pour les caractériser. Proposition 1.5. Soient (E, ∥·∥E ) et (F, ∥·∥F ) deux espaces vectoriels normés et T : E → F une application linéaire. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

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CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

(i) T est continue ; (ii) T est continue en 0 ; (iii) T est bornée sur un voisinage de l’origine, ce qui signifie qu’il existe un voisinage V de l’origine tel que supx∈V ∥T (x)∥F < +∞. Démonstration. Montrons que (iii) implique (ii). Pour montrer que T est continue en 0, comme T (0) = 0, il suffit de montrer que, pour toute boule BF (0, r) dans F , il existe une boule BE (0, ρ) dans E telle que BE (0, ρ) est incluse dans T −1 (BF (0, r)). Comme T est bornée sur un voisinage de l’origine par hypothèse, il existe R > 0 et M > 0 tels que ∥T (u)∥F ⩽ M pour tout u vérifiant ∥u∥E ⩽ R. Posons alors ρ = (rR)/(2M ) et supposons que x appartient à BE (0, ρ). Alors u = (2M/r)x vérifie ∥u∥E ⩽ R donc ∥T (u)∥F ⩽ M . Or T (u) = (2M/r)T (x), de sorte que ∥T (x)∥F ⩽ r/2, ce qui prouve que x ∈ T −1 (BF (0, r)) et démontre le résultat voulu. Notons que (i) implique trivialement (ii). Réciproquement, montrons que (ii) implique (i). Pour cela, rappelons que la translation par un vecteur quelconque est un homéomorphisme d’après le corollaire 1.4. Donc, si T est continue en 0, elle est continue en un point quelconque, ce qui implique que T est continue sur E. Enfin, la propriété (ii) implique directement (iii). Il suffit d’écrire qu’il existe une boule de centre 0 et de rayon r > 0 incluse dans la préimage de BF (0, 1). On note L (E, F ) l’ensemble des applications linéaires continues de E vers F . C’est un espace vectoriel. On définit une norme sur cet espace vectoriel en posant ∥T (x)∥F ∥T ∥ := sup · ∥x∥E x̸=0 Un cas particulier important est celui où E = F . Dans ce cas, on peut composer deux applications linéaires continues T1 et T2 pour obtenir une autre application linéaire continue (notée couramment T1 T2 au lieu de T1 ◦ T2 ). On vérifie que ∥T1 T2 ∥ ⩽ ∥T1 ∥ ∥T2 ∥ . Un autre cas particulier important est celui où F est le corps K muni de la topologie induite par la valeur absolue si K = R ou par le module si K = C. On note E ′ = L (E, K) cet espace, que l’on appelle le dual topologique de E (on utilise aussi la notation E ∗ pour désigner le dual topologique). Nous verrons au chapitre 3 qu’un point de vue très fructueux est d’étudier l’espace dual. Cela permettra d’introduire une notion duale de la convergence au sens des normes, qui correspond à une notion de convergence au sens des coordonnées.

1.2. PARTIES CONVEXES, BORNÉES, ÉQUILIBRÉES

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Définition 1.6. Un espace vectoriel normé qui est complet pour la distance induite par la norme est appelé espace de Banach. Proposition 1.7. Soient E un espace vectoriel normé quelconque et F un espace de Banach. Alors L (E, F ) est un espace de Banach. En particulier, le dual topologique de n’importe quel espace vectoriel normé est un espace de Banach. Démonstration. Soit (Tn )n∈N une suite de Cauchy dans (L (E, F ), ∥·∥). Pour tout x ∈ E, on a (1.1)

∥Tn (x) − Tp (x)∥F ⩽ ∥Tn − Tp ∥ · ∥x∥E ,

donc (Tn (x))n∈N est une suite de Cauchy dans F . Comme F est complet par hypothèse, cette suite converge vers un élément noté T (x). Par linéarité de la limite, on vérifie que E ∋ x 7→ T (x) ∈ F est une application linéaire. De plus, la suite (∥Tn ∥)n∈N est elle aussi de Cauchy dans R, donc bornée. En écrivant ∥Tn (x)∥ ⩽ ∥Tn ∥ ∥x∥ et en passant à la limite, on trouve que ∥T (x)∥ ⩽ M ∥x∥ avec M = supn∈N ∥Tn ∥, ce qui implique que T est bornée sur un voisinage de l’origine et donc continue. Montrons pour conclure que (Tn )n∈N converge vers T dans (L (E, F ), ∥·∥). Étant donné ε > 0, il existe un entier N tel que le membre de droite de (1.1) est plus petit que ε∥x∥ lorsque n ⩾ N et p ⩾ N . En faisant tendre p vers +∞, on en déduit que ∥Tn (x) − T (x)∥F ⩽ ε∥x∥E , pour tout n ⩾ N et tout x dans E. En particulier, ∥Tn − T ∥ ⩽ ε, ce qui démontre le résultat voulu.

1.2. Parties convexes, bornées, équilibrées La notion d’espace vectoriel topologique généralise celle d’espace vectoriel normé. Définition 1.8. Un espace vectoriel topologique est un K-espace vectoriel E, avec K = R ou C, muni d’une topologie séparée telle que les opérations d’addition vectorielle (x, y) 7→ x + y et de multiplication par un scalaire (λ, x) 7→ λx sont continues. Il suit que les translations et les dilatations sont des homéomorphismes (la démonstration est exactement la même que celle du corollaire 1.4). Quand on étudie les espaces vectoriels topologiques, les notions principales qui interviennent sont les trois propriétés suivantes. Définition 1.9. Soit E un espace vectoriel topologique sur le corps K = R ou C, et soit A un sous-ensemble de E.

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CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

(i) On dit que A est borné si, pour tout voisinage V de 0, il existe s > 0 tel que A ⊂ tV pour tout t ⩾ s. (ii) On dit que A est convexe si, pour tout couple (x, y) d’éléments de A, le segment [x, y] = {λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]} est inclus dans A. (iii) On dit que A est équilibré si λA ⊂ A pour tout scalaire λ ∈ K vérifiant |λ| ⩽ 1. Proposition 1.10. Soit A un sous-ensemble d’un espace vectoriel topologique E. Alors les propriétés suivantes sont vérifiées : T (i) A = V (A + V ) où l’intersection est prise sur tous les voisinages V de l’origine ; (ii) A + B ⊂ A + B ; (iii) tout voisinage V de l’origine contient un voisinage équilibré ; (iv) pour tout voisinage ouvert V de l’origine, il existe un voisinage ouvert U de l’origine tel que U + U ⊂ V ; (v) tout voisinage ouvert V de l’origine contient un voisinage ouvert équilibré U de l’origine tel que U + U ⊂ V ; (vi) si A est borné, alors A est borné. Démonstration. (i) Rappelons que x ∈ A si et seulement si tout voisinage de x rencontre A. Soient x ∈ A et V un voisinage de l’origine. Alors x−V est un voisinage de x car l’application y 7→ x−y est un homéomorphisme. Donc x−V rencontre A et on en déduit que x appartient à A+V . Réciproquement, T supposons que x appartient à V (A + V ) et considérons un voisinage W de x. Comme x − W est un voisinage de 0, x appartient à A + ({x} − W ) ce qui implique qu’il existe a ∈ A et w ∈ W tel que x = a + (x − w). On en déduit que a = w d’où A ∩ W ̸= ∅, ce qui démontre que x ∈ A. (ii) Soit x ∈ A + B. Montrons que x ∈ A + B. Il suffit d’après le point (i) de démontrer que, pour tout voisinage V de l’origine, on a x ∈ A + B + V . Notons pour cela que, par continuité de l’addition, il existe deux voisinages ouverts de l’origine, V1 et V2 , tels que V1 + V2 ⊂ V . On conclut en observant que x ∈ A + V1 + B + V2 ⊂ A + B + V . (iii) Soit V un voisinage ouvert de l’origine. Par continuité de la multiplication par un scalaire en 0, il existe δ > 0 et W voisinage de 0 dans E tels S que tx ∈ V pour |t| ⩽ δ et x ∈ W . Alors U = |t|⩽δ tW est un voisinage ouvert de l’origine qui est équilibré et contenu dans V . (iv) Considérons un voisinage V de l’origine. Comme nous l’avons déjà dit, par continuité de l’addition, il existe deux voisinages ouverts de l’origine, V1 et V2 , tels que V1 +V2 ⊂ V . Posons W = V1 ∩V2 de sorte que W +W ⊂ V . Le même argument implique qu’il existe un voisinage ouvert de l’origine tel que U + U ⊂ W . Alors, le point (ii) implique que U + U ⊂ U + U et le point (i) implique que U + U ⊂ (U +U )+W . Or U +U +W ⊂ W +W ⊂ V , ce qui conclut la démonstration.

1.2. PARTIES CONVEXES, BORNÉES, ÉQUILIBRÉES

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(v) C’est une conséquence directe de (iii) et (iv). (vi) Supposons que A est borné et considérons un voisinage ouvert de 0 noté V . Nous avons vu qu’il existe un ouvert équilibré W tel que W ⊂ V . Comme A est borné, il existe s > 0 tel que A ⊂ tW pour tout t ⩾ s. Par ailleurs, le point (i) implique que A ⊂ A + W . On en déduit que A ⊂ tW ⊂ tV pour tout t ⩾ s + 1, ce qui montre que A est borné. Définition 1.11. Soit (E, T ) un espace vectoriel topologique. On dit que E est normable s’il existe une norme ∥·∥ sur E telle que la topologie induite par cette norme coïncide avec T . Proposition 1.12. Un espace vectoriel topologique est normable si et seulement s’il existe un voisinage convexe et borné de l’origine. Démonstration. Soit E un espace vectoriel topologique sur le corps K = R ou C. Si E est normable, alors la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1 est un voisinage convexe et borné de l’origine. Réciproquement, supposons qu’il existe un voisinage C convexe et borné de l’origine. Lemme 1.13. Il existe un voisinage U convexe et équilibré de l’origine tel que U ⊂ C. T Démonstration. Considérons V = |λ|=1 λC et notons U l’intérieur de V . On vérifie que U est convexe (car V est convexe) et équilibré. On définit alors la fonctionnelle de Minkowski de U par µ(x) = inf{t > 0 : x ∈ tU }. L’idée est la suivante : si (E, ∥·∥) est un espace normé, alors ∥x∥ = inf{t > 0 : x ∈ tB(0, 1)}. Le lemme suivant énonce que µ est précisément une norme et que U correspond à la boule unité pour cette norme. Lemme 1.14. La fonctionnelle de Minkowski µ est une norme sur E. Démonstration. Notons I(x) = {t > 0 : x ∈ tU }. Cet ensemble est non vide car U est un voisinage de l’origine et ainsi, par continuité de la multiplication par un scalaire, εx appartient à U pour |ε| assez petit ce qui est équivalent à x ∈ tU pour t assez grand. Maintenant, considérons un élément t de I(x). Il existe alors a ∈ U tel que x = ta. Pour tout s > t, en écrivant  t t  x=s a+ 1− 0 , s s et en notant que le vecteur entre parenthèses appartient à U par convexité, on voit que s ∈ I(x). En particulier, I(x) est une demi-droite : I(x) = ]µ(x), +∞[ ou I(x) = [µ(x), +∞[.

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CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

Montrons que µ vérifie l’inégalité triangulaire : µ(x + y) ⩽ µ(x) + µ(y). Considérons deux vecteurs x et y et deux réels s et t tels que s > µ(x) et t > µ(y). Il suit que x ∈ sU et y ∈ tU . Comme précédemment, en écrivant  s

 t x + y = (s + t) s−1 x + t−1 y , s+t s+t on en déduit que x + y appartient à (s + t)U par convexité de U . Ceci implique que µ(x + y) ⩽ s + t. En prenant la borne inférieure en s puis en t, on en déduit l’inégalité désirée µ(x + y) ⩽ µ(x) + µ(y). Ensuite, on vérifie directement que µ(λx) = λµ(x) pour tout λ > 0. Puis, en utilisant le fait que U est équilibré (λU ⊂ U pour tout scalaire λ ∈ K de module plus petit que 1), on trouve que µ(λx) = |λ| µ(x). Il reste à vérifier que µ(x) = 0 si et seulement si x = 0. On a clairement µ(0) = 0. Réciproquement, considérons x dans E tel que µ(x) = 0 et montrons que x = 0. Supposons par l’absurde que x ̸= 0. Comme le singleton {0} est fermé, on en déduit qu’il existe un voisinage V de 0 qui ne contient pas x. Comme U est borné, il existe r > 0 tel que U ⊂ rV . En particulier, on en déduit que rx n’appartient pas à U (sinon rx appartient à rV dont x appartiendrait à V ). Ceci implique que µ(x) ⩾ r−1 . Montrons pour conclure que la topologie induite par la norme µ est celle de E. Pour cela, notons que la collection des ensembles {rU : r > 0} forme une base locale de l’origine. En effet, pour tout voisinage V de l’origine, il existe t > 0 tel que U ⊂ tV . On en déduit que t−1 U ⊂ V . Par ailleurs, rU est exactement la boule de centre 0 et de rayon r pour la norme µ. Donc les deux bases locales de l’origine coïncident.

1.3. Espaces de dimension finie Rappelons deux résultats fondamentaux et élémentaires dans l’étude des espaces de dimension finie : (i) la boule unité fermée est compacte en dimension finie et (ii) toutes les normes sont équivalentes sur un espace de dimension finie. Nous allons étudier dans cette section deux prolongements de ces résultats. 1.3.1. Compacité et dimension finie Théorème 1.15 (Riesz). Soit E un espace vectoriel normé. Si la boule unité fermée est compacte, alors E est de dimension finie.

1.3. ESPACES DE DIMENSION FINIE

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Démonstration. Nous allons raisonner par contraposition et montrer que si E est de dimension infinie alors la boule unité fermée n’est pas compacte. Pour cela, nous utiliserons le lemme suivant. Lemme 1.16. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de E, différent de E. Alors il existe un vecteur u ∈ E tel que ∥u∥E = 1 et dist(u, F ) ⩾ 1/2. Démonstration. Soit un élément x appartenant à E ∖ F . Comme F est un ensemble fermé, on a dist(x, F ) > 0. Donc 2 dist(x, F ) > dist(x, F ) et par définition de la distance d’un point à un ensemble, on en déduit qu’il existe y dans F tel que ∥x − y∥ ⩽ 2 dist(x, F ). Posons 1 u= (x − y). ∥x − y∥ Alors u est clairement de norme 1 et de plus, pour tout z dans F , on a

1 1 1

x − y − ∥x − y∥ z ⩾ ∥u − z∥ = dist(x, F ) ⩾ , ∥x − y∥ ∥x − y∥ 2 où l’on a utilisé le fait que y + ∥x − y∥ z appartient à F et le fait que ∥x − y∥ ⩽ 2 dist(x, F ) par définition de y. Nous allons utilisé ce lemme pour construire une suite (un ) de vecteurs de norme 1 vérifiant la propriété suivante : 1 (1.2) ∀(n, m) ∈ N × N, n ̸= m =⇒ ∥un − um ∥ ⩾ . 2 Pour cela, on choisit un premier vecteur u0 de norme 1 puis on construit la suite par récurrence, en appliquant au rang n le lemme précédent avec le sous-espace Fn engendré par les vecteurs définis dans les étapes précédentes. Alors la suite (un ) n’a pas de valeur d’adhérence, ce qui démontre que l’espace E n’est pas compact. 1.3.2. Unicité de la topologie en dimension finie. Théorème 1.17. Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur le corps K = R ou K = C. Il existe une et une seule topologie séparée qui munisse E d’une structure d’espace vectoriel topologique. Démonstration. Notons d la dimension de E et choisissons une base arbitraire β = (β1 , . . . , βd ) de E. Nous définissons la norme ∥·∥ par X 1/2 d d X 2 x= xi βi =⇒ ∥x∥ = |xi | . i=1

i=1

Enfin, nous considérons une topologie τ séparée et compatible avec les opérations algébriques. Nous noterons En le couple (E, ∥·∥), et Eτ le couple (E, τ ). Nous allons montrer que l’application identité I est un homéomorphisme de En sur Eτ .

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CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

(a) I est continue de En vers Eτ . Soit U un voisinage quelconque de 0 dans Eτ . L’application que l’on introduit ci-dessous est continue car τ est compatible avec l’addition de E, Eτ × · · · × Eτ ∋ (x1 , . . . , xd ) 7−→ x1 + · · · + xd ∈ Eτ . La continuité de cette application en 0 implique l’existence de d voisinages ouverts de 0, Vi ∈ τ , tels que V1 + · · · + Vd ⊂ U . Posons (1.3)

W =

d T

Vi

qui vérifie

W + · · · + W ⊂ U.

i=1

L’ensemble W est un voisinage ouvert de 0 dans Eτ , la continuité de la multiplication par un scalaire se traduit par l’existence de d réels strictement positifs ε1 , . . . , εd tels que :     (1.4) ∀i ∈ {1, . . . , d}, ∀ξ ∈ K, |ξ| < εi =⇒ ξβi ∈ W . Posons ε = min{εi : 1 ⩽ i ⩽ d}, alors la boule de En centrée en 0 et de rayon ε est incluse dans U d’après les relations (1.3) et (1.4). Donc I est continue en 0, et par linéarité I est continue (de En vers Eτ ). (b) I est continue de Eτ vers En . Soit V un voisinage quelconque de 0 dans En , V contient une boule ouverte Bρ = {x ∈ E : ∥x∥ < ρ}. Soit S la frontière de cette boule, c’est un ensemble fermé et borné dans un espace vectoriel normé de dimension finie, donc c’est un sous-ensemble compact de En (voir le lemme ci-dessous). Par continuité de I de En vers Eτ prouvée ci-dessus, S est un sous-ensemble compact de Eτ , et τ étant séparée, S est un fermé de τ . Comme 0 ∈ / S , il existe W ∈ τ , tel que S ∩ W = ∅. Par continuité de la multiplication par un scalaire en 0, il existe δ > 0 et W ′ voisinage de 0 tels que tx ∈ W pour |t| ⩽ δ et x ∈ W ′ . Donc S U= tW ′ ⊂ W. |t|⩽δ

Nous affirmons que U ⊂ V . En effet, supposons qu’il existe x ∈ U ∖ V , en particulier ∥x∥ ⩾ ρ. Posons λ = ρ/∥x∥ et y = λx, |λ| ⩽ 1 et x ∈ U implique que y ∈ U . D’autre part, ∥y∥ = ρ donc y ∈ S , ce qui contredit S ∩W = ∅. Nous avons bien montré que I est continue en 0, et par linéarité continue de Eτ vers En . L’application I est donc un homéomorphisme, ce qui montre En = Eτ . Pour conclure la démonstration, il reste à démontrer le lemme suivant qui a été utilisé ci-dessus. Lemme 1.18. Soit K une partie fermée et bornée de En . Alors K est compacte.

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1.4. SEMI-NORMES

Démonstration. Nous choisissons une base β = (β1 , . . . , βd ) de E de façon arbitraire, et nous définissons l’isomorphisme linéaire : d X d I : E −→ K , xi βi 7−→ (x1 , . . . , xd ). i=1

Par définition ∥x∥ =

X d

2

1/2

|xi |

,

i=1

ainsi I est un isomorphisme isométrique, donc un homéomorphisme. En particulier, I(K ) est fermé borné dans Kd donc compact, et par continuité de I −1 , K est une partie compacte de En . Ceci conclut la démonstration du théorème. Corollaire 1.19. Il y a équivalence des normes en dimension finie. Démonstration. Considérons deux normes ∥·∥1 et ∥·∥2 sur l’espace vectoriel X. D’après le théorème précédent, l’application identité I est un homéomorphisme de (X, ∥·∥1 ) sur (X, ∥·∥2 ). En traduisant la continuité de I, et de sa réciproque, en 0, on déduit l’existence de deux constantes telles que : (1.5)

∥x∥1 ⩽ δ1 =⇒ ∥x∥2 ⩽ 1,

(1.6)

∥x∥2 ⩽ δ2 =⇒ ∥x∥1 ⩽ 1.

La propriété d’homogénéité des normes appliquée aux relations (1.5) et (1.6) implique 1 δ2 ∥x∥1 ⩽ ∥x∥2 ⩽ ∥x∥1 , δ1 ce qui est le résultat désiré d’équivalence des deux normes. 1.4. Semi-normes Dans cette section, nous allons nous intéresser à des espaces vectoriels topologiques dont la topologie n’est pas induite par une norme, mais par une famille de semi-normes. Nous n’allons pas développer la théorie générale de ces espaces mais plutôt considérer le cas le plus simple, qui sera suffisant pour décrire tous les espaces dont nous aurons besoin dans ce livre(1) . Définition 1.20. (i) Une famille graduée de semi-normes est une famille dénombrable {ρn }n∈N de semi-normes vérifiant ρ0 (f ) ⩽ ρ1 (f ) ⩽ ρ2 (f ) ⩽ · · · pour tout f dans E. (1) Pour

une exposition détaillée des résultats classiques sur les espaces vectoriels topologiques, nous renvoyons aux ouvrages de Bony [11], Brezis [12], Hörmander [65], Rudin [124] et Zuily [150, 151].

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CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

(ii) Une famille {ρn }n∈N de semi-normes est séparante si et seulement si x = 0 ⇐⇒ ∀n ∈ N, ρn (x) = 0. Dans la suite, nous ne considérons que des familles graduées séparantes de semi-normes. Exemple 1.21. (i) Si (E, ∥·∥E ) est un espace vectoriel normé et ρn = ∥·∥E pour tout n, alors {ρn }n∈N est une famille graduée de semi-normes. ∞ (ii) Considérons un compact K ⊂ Rd et notons CK (Rd ) l’espace des fonctions C ∞ (Rd ) à support dans K. Alors on définit une famille graduée de semi-normes par ρn (f ) = max sup |∂xα f (x)| . |α|⩽n x∈K

Ces semi-normes sont mêmes des normes mais, en général, on dit quand même semi-norme dans la pratique. La raison en est que la topologie natu∞ relle sur CK (Rd ) (donnée par la proposition 1.22 ci-dessous) n’est pas celle d’un espace vectoriel normé. (iii) Soit k ∈ N et soit Ω un ouvert de Rd . On veut définir une famille graduée de semi-normes sur E = C k (Ω). Pour cela, on considère une suite exhaustive de compacts recouvrant Ω (par définition, c’est une suite (Kn )n∈N de croissante de compacts, telle que Kn ⊂ int(Kn+1 ) et vérifiant S n∈N Kn = Ω). On obtient une telle suite en posant Kn = {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) ⩾ 1/n} ∩ B(0, n). Alors on peut définir une famille graduée de semi-normes par ρn (f ) = max sup |∂xα f (x)| . |α|⩽k x∈Kn

(iv) Notons Lploc (Ω) l’espace des fonctions dont la restriction à un ouvert borné quelconque appartient à Lp (Ω). Alors on définit une famille graduée de semi-normes en posant ρn (f ) = ∥f ∥Lp (Kn ) . Rappelons la notion de base de voisinages. Considérons un espace topologique X muni d’une topologie T ainsi qu’une collection B de parties de X. On dit que : – B est une base de la topologie T si tout ouvert de la topologie est une réunion d’éléments de B. – Si B est une collection de parties de X qui est une base pour la topologie T , alors on dit que T est la topologie induite par B (on vérifie qu’il y a unicité de la topologie induite par B).

1.4. SEMI-NORMES

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– B est une base de voisinages d’un point x0 si pour tout voisinage V de x0 , il existe U ∈ B tel que x0 ∈ U ⊂ V . Proposition 1.22. Considérons un espace vectoriel E muni d’une famille séparante et graduée de semi-normes {ρn }n∈N . Étant donnés x ∈ E et ε > 0, introduisons Bn (x, ε) = {y ∈ E : ρn (y − x) < ε}, et munissons E de la topologie induite par la collection B = {Bn (x, ε) : n ∈ N, x ∈ E, ε > 0}. Alors on a les propriétés suivantes : (i) pour tout x0 ∈ E, Bx0 = {Bn (x0 , ε) : n ∈ N, ε > 0} est une base de voisinage de x0 ; (ii) E est un espace vectoriel topologique ; (iii) la convergence d’une suite (xj )j∈N vers x est équivalente à la convergence de ρn (xj − x) vers 0 pour tout n ; (iv) cette topologie est métrisable et elle est induite par la distance X ρn (x − y) d(x, y) = 2−n . 1 + ρn (x − y) n∈N

Démonstration. (i) Considérons un élément x0 de E et V un voisinage de x0 . Alors V contient un ouvert U qui contient x0 . Par définition de la topologie induite par une base, V contient une boule : il existe n ∈ N, x1 ∈ E et ε > 0 tels que x0 ∈ Bn (x1 , ε) ⊂ U. En particulier, on a ρn (x0 − x1 ) < ε. Posons alors δ = (ε − ρn (x0 − x1 ))/2. Alors, pour tout x ∈ Bn (x0 , δ), en utilisant l’inégalité triangulaire, on voit que ρn (x − x1 ) ⩽ ρn (x − x0 ) + ρn (x0 − x1 ) < δ + ρn (x0 − x1 ) 1 1 1 ⩽ (ε − ρn (x0 − x1 )) + ρn (x0 − x1 ) ⩽ ε + ρn (x0 − x1 ) < ε. 2 2 2 Ce qui démontre que Bn (x0 , δ) ⊂ Bn (x1 , ε) et donc que V contient un élément de Bx0 . (ii) Soit (x0 , y0 ) ∈ E × E et soit V un voisinage de x0 + y0 . D’après le point (i), il existe n ∈ N et ε > 0 tels que Bn (x0 + y0 , ε) ⊂ V . Alors, pour tout x dans Bn (x0 , ε/2) et pour tout y dans Bn (y0 , ε/2), on a x + y ∈ Bn (x0 +y0 , ε) ⊂ V d’après l’inégalité triangulaire. Ceci montre que la somme vectorielle est continue en tout point de E × E, donc continue. (iii) Considérons une suite (xj )j∈N et un point x ∈ E. La convergence de la suite (xj ) vers x signifie par définition que, pour tout voisinage V de x, il existe N tel que xj appartient à V pour tout j plus grand que N . En appliquant ce résultat avec V = Bn (x, 1/k), on en déduit que ρn (xj − x)

16

CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

converge vers 0 quand j tend vers +∞, pour tout n. Réciproquement, supposons que, pour tout n, ρn (xj − x) converge vers 0 quand j tend vers +∞. Considérons un voisinage V de x. Alors, d’après le premier point, il existe n ∈ N et ε > 0 tel que Bn (x, ε) ⊂ V . Comme ρn (xj − x) converge vers 0, on en déduit que xj appartient à Bn (x, ε) ⊂ V pour j assez grand. Donc (xj )j∈N converge vers x. (iv) Montrons que l’application d est une distance. Déjà, si d(x, x) = 0 alors x = 0 car la famille (ρn )n∈N est séparante. Ensuite, notons que d(x, y) = d(y, x) car ρn (x − y) = ρn (y − x). Pour vérifier que l’inégalité triangulaire pour d, il suffit de montrer que pour chaque entier n, la fonction (x, y) 7→ ρn (x − y)/(1 + ρn (x, y)) vérifie l’inégalité triangulaire. Pour cela, notons que la fonction t 7→ t/(1 + t) est croissante sur R+ donc ρn (x − y) ρn (x − z) + ρn (z − y) ⩽ . 1 + ρn (x − y) 1 + ρn (x − z) + ρn (z − y) Ensuite, on vérifie que pour tous t1 , t2 dans R+ , on a t1 + t2 t1 t2 ⩽ + , 1 + t1 + t2 1 + t1 1 + t2 ce qui démontre que d est une distance. Il reste à montrer que la topologie T de E coïncide avec la topologie induite par d. Nous devons donc montrer que l’identité est un homéomorphisme de (E, T ) vers (E, d). Pour cela, il suffit de montrer que tout élément Bn (x0 , ε) de la base B contient une boule pour la distance d, et réciproquement. Notons B(x, ε) la boule de centre x et de rayon ε pour la distance d. Alors on a B(x0 , 2−n−1 ε) ⊂ Bn (x0 , ε) car d(x, x0 ) < 2−n−1 ε implique directement que 2−n

ε ρn (x − x0 ) > 2−n , 2 1 + ρn (x − x0 )

d’où l’on déduit que ρn (x − x0 ) < ε/(2 − 2ε) ⩽ ε pour ε ⩽ 1/2. Réciproquement, considérons une boule B(x0 , ε) pour la distance d. Choisissons un entier N tel que 2−N < ε/2 et supposons que x ∈ BN (x0 , ε/2). Alors, comme ρ0 ⩽ ρ1 ⩽ · · · ⩽ ρN , on a, en utilisant la croissance de la fonction t 7→ t/(1 + t) sur R+ , d(x, x0 ) ⩽

X 0⩽n⩽N

2−n

X ρN (x − x0 ) + 2−n , 1 + ρN (x − x0 ) n>N

d’où ε < ε, 2 ce qui démontre que BN (x0 , ε/2) ⊂ B(x0 , ε). Ce qui achève de montrer que la topologie induite par d est la même que celle de E. d(x, x0 ) ⩽ 2ρN (x − x0 ) +

1.5. ESPACES DE BANACH

17

Définition 1.23. Considérons un espace vectoriel topologique dont la topologie est induite par une famille graduée de semi-normes {ρn }n∈N . On dit que E est un espace de Fréchet s’il est complet pour la distance X ρn (x − y) d(x, y) = 2−n . 1 + ρn (x − y) n∈N

∞ Proposition 1.24. Les espaces locaux Lploc (Ω), C k (Ω) et CK (Ω), munis des familles de semi-normes introduites à l’exemple 1.21, sont des espaces de Fréchet.

Démonstration. C’est est un corollaire du fait que les espaces correspondants de fonctions restreints à Kn sont des espaces complets. 1.5. Espaces de Banach Nous allons dans cette section démontrer des résultats fondamentaux qui reposent sur des utilisations fines du théorème de Baire. Rappelons la définition suivante. Définition 1.25. On dit qu’un espace topologique est un espace de Baire si toute intersection dénombrable d’ouverts denses est un sous-ensemble dense. Remarque 1.26. Il est équivalent de dire qu’un espace topologique est un espace de Baire si toute réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide est un ensemble d’intérieur vide. Théorème 1.27 (Baire). Tout espace métrique complet est un espace de Baire. Ce théorème est démontré dans le chapitre 17 de Topologie générale en appendice. Pour utiliser ce résultat, l’idée est souvent de trouver une représentation de l’espace tout entier comme une réunion dénombrable de fermés. On obtiendra alors le résultat voulu en utilisant le fait que l’un de ces fermés est d’intérieur non vide. Le résultat le plus simple à démontrer en utilisant ce principe est qu’un espace de Banach est de dimension finie ou non dénombrable. Proposition 1.28. Soit E un espace de Banach. Supposons qu’il existe un ensemble I ⊂ N et une famille {ei }i∈I tels que E = Vect{ei : i ∈ I}. Alors I est fini. Démonstration. Notons En l’espace vectoriel engendré par {ei : i ∈ I et i ⩽ n}. Alors En est un espace vectoriel de dimension finie et donc il est fermé. Comme E est la réunion des ensembles En , le théorème 1.27 de Baire implique que l’un des ensembles En , noté En0 , est d’intérieur non vide. Par

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CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

suite, En0 contient une boule B(a, r). Comme a ∈ En0 , par translation, on peut se ramener au cas où a = 0. Mais alors, si B(0, r) ⊂ En0 , par homogénéité, on voit que En0 contient n’importe quelle boule B(0, λr) où λ est un nombre réel positif quelconque. Ce qui implique que E = En0 . Soient E et F deux espaces vectoriels normés. Rappelons que l’on note L (E, F ) l’ensemble des applications linéaires continues de E vers F . C’est un espace vectoriel, que l’on peut munir d’une norme(2) ∥T ∥L (E,F ) := sup x̸=0

∥T x∥F . ∥x∥E

Théorème 1.29 (Banach-Steinhaus). Soient E un espace de Banach et F un espace vectoriel normé. On considère une famille quelconque {Tα }α∈A d’applications linéaires continues de E dans F qui est simplement bornée au sens où ∀x ∈ E,

sup ∥Tα x∥F < +∞.

α∈A

Alors cette famille est bornée dans L (E, F ) : sup ∥Tα ∥L (E,F ) < +∞.

α∈A

Démonstration. Pour tout entier k ∈ N, introduisons Ek = {x ∈ E : ∀α ∈ A, ∥Tα x∥F ⩽ k}. Par hypothèse, chaque élément x de E appartient à l’un de ces ensembles et donc E peut s’écrire comme la réunion des ensembles Ek . De plus, chaque ensemble Ek est fermé car c’est une intersection de fermés : on a T Ek = {x ∈ E : ∥Tα x∥F ⩽ k}, α∈A

et chacun des ensembles ci-dessus est fermé car les applications x 7→ ∥Tα x∥F sont continues par continuité des applications Tα et par continuité de la norme. Ainsi, comme la réunion des Ek est d’intérieur non vide, le théorème 1.27 de Baire implique que l’un au moins des ensembles Ek , notons-le EK , est d’intérieur non vide. Supposons que B(a, r) ⊂ EK et considérons x ∈ E avec x ̸= 0. Alors l’élément y défini par r y =a+ x, 2∥x∥E (2) À

partir de maintenant, on notera simplement T x l’image de x par une application linéaire, au lieu de T (x) (par analogie avec la notation Ax pour l’image d’un vecteur x par une matrice A).

1.5. ESPACES DE BANACH

19

appartient à la boule B(a, r). On obtient alors le résultat voulu en écrivant que

 2∥x∥ 

E ∥Tα x∥F = Tα (y − a) r F
2∥x∥E ⩽ ∥Tα y∥F + ∥Tα a∥F r 4K ⩽ ∥x∥E , r où l’on a d’abord utilisé l’inégalité triangulaire puis le fait que a et y appartiennent à B(a, r) ⊂ EK pour obtenir la seconde inégalité. Remarque 1.30. L’exercice 1.3 propose une démonstration élémentaire du théorème de Banach-Steinhaus, qui ne repose pas sur le théorème de Baire. Corollaire 1.31. Soient E et F deux espaces de Banach. Considérons une suite (Tn )n∈N d’applications linéaires continues qui converge simplement : pour tout x ∈ E, la suite (Tn x)n∈N converge vers une limite notée T x. Alors T est une application linéaire continue. Démonstration. Le fait que T est linéaire est évident. L’hypothèse implique que ∀x ∈ E, sup ∥Tn x∥F < +∞. n∈N

Le théorème de Banach-Steinhaus implique qu’il existe une constante C telle que, pour tout x ∈ E, ∥Tn x∥F ⩽ C∥x∥E . On peut passer à la limite dans cette inégalité pour obtenir que ∥T x∥F ⩽ C∥x∥E , ce qui implique que T est continue. Nous allons conclure l’étude du théorème de Banach-Steinhaus en montrant comment étendre ce résultat au cadre des espaces vectoriels topologiques. Définition 1.32. Soient X et Y deux espaces vectoriels topologiques, et soit F une famille d’applications linéaires continues de X dans Y . (i) On dit que la famille F est simplement bornée si, pour tout x dans X, l’ensemble {f (x) : f ∈ F } des images de x par les éléments de F est borné dans Y . (ii) On dit que F est équicontinue si, pour tout voisinage V ⊂ Y de 0, il existe un voisinage U ⊂ X de 0 tel que f (U ) ⊂ V pour tout f dans F . Théorème 1.33 (Banach-Steinhaus). Soient X un espace de Fréchet, Y un espace vectoriel topologique et soit F une famille d’applications linéaires continues de X dans Y. Si F est simplement bornée, alors F est équicontinue.

20

CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

Démonstration. Soit V un voisinage ouvert de 0 dans Y . Nous voulons montrer qu’il existe un voisinage ouvert U ⊂ X de 0 tel que (1.7)

∀f ∈ F ,

f (U ) ⊂ V.

Nous avons vu à la proposition 1.10 qu’il existe un voisinage ouvert équilibré W tel que W + W ⊂ V . Posons T −1 E := f (W ). f ∈F

Par continuité des éléments de F , E est une intersection d’ensembles fermés et donc E est fermé. Le but est de montrer que E est d’intérieur non vide. En effet, si on sait qu’il existe un ouvert U inclus dans E, alors la propriété recherchée (cf. (1.7)) sera vérifiée. Pour cela, nous allons appliquer le théorème de Baire (voir le théorème 1.27) en commençant par montrer que S X= nE. n⩾1

Pour obtenir cette égalité, considérons les ensembles Fx = {f (x) : f ∈ F }. Pour tout x dans X, l’ensemble Fx est borné par hypothèse faite sur F . Donc il existe un entier nx tel que Fx est inclus dans nx W . Aussi, f (x) appartient à nx W , ceci pour tout f dans F . Ainsi, x ∈ f −1 (nx W ), pour tout f dans F , et comme f est linéaire ∀f ∈ F . S Ceci implique x ∈ nx E et on a bien X = n⩾1 nE. On peut alors utiliser le théorème de Baire pour obtenir que E est d’intérieur non vide. Soit x0 ∈ E ◦ , on pose U := x0 − E ◦ , c’est un voisinage de 0. Pour f ∈ F , on conclut que x ∈ nx f −1 (W ),

f (U ) = f (x0 ) − f (E ◦ ) ⊂ W − W = W + W ⊂ V. On a utilisé le fait que W est équilibré car W est équilibré. Nous allons maintenant étudier un autre résultat célèbre de Banach. Théorème 1.34 (isomorphisme de Banach). Soient E et F deux espaces de Banach et T : E → F une application linéaire continue, bijective de E vers F . Alors l’application réciproque est continue. Démonstration. Nous devons montrer qu’il existe une constante C telle que, pour tout y dans F ,

−1

T y ⩽ C ∥y∥ . F E Par linéarité, ceci est équivalent à montrer que
T −1 BF (0, 1) ⊂ BE (0, C).

1.5. ESPACES DE BANACH

21



Or, comme T est bijective, on a T T −1 BF (0, 1) = BF (0, 1). Aussi, il nous suffit de démontrer qu’il existe C > 0 telle que BF (0, 1) ⊂ T (BE (0, C)). Il est bien sûr équivalent de montrer qu’il existe δ > 0 tel que (1.8)

BF (0, δ) ⊂ T (BE (0, 1)).

Commençons par montrer le lemme suivant. Lemme 1.35. Si il existe une constante c > 0 telle que BF (0, c) ⊂ T (BE (0, 1)), alors BF (0, c/2) ⊂ T (BE (0, 1)). Démonstration. Soit y ∈ BF (0, c). Alors y appartient à T (BE (0, 1)). Par conséquent, il existe y0 ∈ T (BE (0, 1)) tel que ∥y − y0 ∥F ⩽ c/2. Par homogénéité, l’hypothèse du lemme implique que BF (0, c/2) ⊂ T (BE (0, 1/2)). On peut donc trouver y1 ∈ T (BE (0, 1/2)) tel que ∥y − y0 − y1 ∥F ⩽ c/4. En procédant par récurrence, on définit une suite (yn ) telle que
yn ∈ T BE (0, 2−n ) et ∥y − y0 − · · · − yn ∥F ⩽ 2−n−1 c. P Soit xn ∈ BE (0, 2−n ) tel que yn = T xn . Comme ∥xn ∥E < 2−n , la série xn converge normalement et donc converge car E est un espace de Banach. La limite de cette série, notée z, est de norme strictement plus petite que 2 et vérifie y = T z. On a montré que BF (0, c) ⊂ T (BE (0, 2)), ce qui implique le résultat voulu par linéarité. D’après ce qui précède, pour conclure la démonstration, il reste uniquement à montrer qu’il existe c > 0 telle que BF (0, c) ⊂ T (BE (0, 2)) ; on obtient alors le résultat voulu (1.8) avec δ = c/4. Pour cela, nous allons appliquer le théorème 1.27 de Baire avec la suite de fermés Fn définis par Fn = T (BE (0, n)). Comme T est surjective, on a S F = Fn . n∈N

Le théorème de Baire implique que l’un des fermés est d’intérieur non vide. Comme Fn = nT (BE (0, 1)), on en déduit qu’il existe un élément y0 ∈ F et un nombre c positif tels que BF (y0 , c) ⊂ T (BE (0, 1)). Par symétrie, −y0 appartient aussi à T (BE (0, 1)). Il suit que BF (0, c) ⊂ T (BE (0, 2)). Ce qui conclut la démonstration du théorème. Corollaire 1.36 (Équivalence des normes). Soit E un espace vectoriel muni de deux normes ∥·∥1 et ∥·∥2 . On suppose que E est un espace de Banach pour ces deux normes. Supposons de plus qu’il existe une constante C telle que ∀x ∈ E, ∥x∥1 ⩽ C∥x∥2 .

22

CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

Alors il existe une constante C ′ telle que, ∀x ∈ E,

∥x∥2 ⩽ C ′ ∥x∥1 .

Démonstration. Il suffit d’appliquer le théorème 1.34 à l’application identité, de (E, ∥·∥2 ) dans (E, ∥·∥1 ). Définition 1.37. Considérons deux espaces vectoriel normés E et F et une application linéaire T : E → F . Par définition, le graphe de T est le sousensemble noté G(T ) de E × F défini par G(T ) = {(x, y) ∈ E × F : y = T x}. Théorème 1.38 (Théorème du graphe fermé). Soient E et F deux espaces de Banach et T : E → F une application linéaire. Alors T est continue si et seulement si son graphe est fermé dans E × F . Démonstration. Supposons que T est continue. Alors G(T ) est un ensemble fermé. En effet, si (x, y) appartient à l’adhérence de G(T ), alors il existe une suite (xn ) qui converge vers x et telle que T xn converge vers y. Par continuité on a y = T x et donc (x, y) ∈ G(T ). Ce qui démontre que G(T ) = G(T ). Il reste à démontrer que si le graphe de T est fermé, alors T est continue. Pour cela, introduisons l’application N : E → [0, +∞[ définie par N (x) = ∥x∥E + ∥T x∥F . Alors on vérifie facilement que c’est une norme sur E. Montrons que E, muni de cette nouvelle norme, est un espace de Banach. Considérons une suite de Cauchy (xn )n∈N pour la norme N . Alors (xn )n∈N est une suite de Cauchy dans (E, ∥·∥E ) et (T xn )n∈N est une suite de Cauchy dans (F, ∥·∥F ). Donc il existe x ∈ E et y ∈ F tels que ∥xn − x∥E et ∥T xn − y∥F convergent vers 0 quand n tend vers +∞. Comme le graphe de T est fermé par hypothèse, on en déduit que y = T x. Ceci démontre que N (xn − x) tend vers 0, et donc E est un espace de Banach pour la norme N . Comme on a trivialement ∥x∥E ⩽ N (x), il suit du corollaire 1.36 qu’il existe une constante C telle que N (x) ⩽ C∥x∥E pour tout x dans E, ce qui implique que ∥T x∥F ⩽ C∥x∥E . Ceci démontre que T est continue. 1.6. L’espace des fonctions continues Dans cette section, nous allons considérer un exemple central dans l’étude des espaces de Banach : l’espace des fonctions continues et bornées, muni de la norme uniforme. Il est classique qu’il s’agit d’un espace de Banach. Nous allons étudier les parties compactes de cet espace (théorème d’ArzelàAscoli) et exploiter sa structure d’algèbre pour étudier l’existence de sousalgèbres denses (un exemple central, traité par Weierstrass, concerne le cas des polynômes ; on peut aussi étudier les polynômes trigonométriques de

1.6. L’ESPACE DES FONCTIONS CONTINUES

23

Fourier). Enfin, nous verrons des liens subtils, reliés aux travaux de Baire et Banach, entre continuité et convergence uniforme. 1.6.1. Théorème d’Arzelà-Ascoli. Définition 1.39. Soient (X, T ) un espace topologique, (Y, ρ) un espace métrique et F une famille de fonctions f : X → Y . Étant donné un élément x de X, on note V (x) l’ensemble des voisinages de x. Par définition, F est une famille de fonctions équicontinues dès que ∀x ∈ X, ∀ε > 0, ∃O ∈ V (x) / ∀z ∈ O, ∀f ∈ F ,

ρ(f (x), f (z)) < ε.

Théorème 1.40 (Arzelà-Ascoli). Soient (X, T ) un espace topologique séparable, (Y, ρ) un espace métrique et F = {fn : X → Y }n⩾0 une suite de fonctions équicontinues. Si {fn (x)}n⩾0 est relativement compacte pour tout x ∈ X, alors : (i) il existe une sous-suite de F qui converge simplement vers une fonction continue f : X → Y ; (ii) la convergence est uniforme sur tous les compacts. Démonstration. Notons D = {xn }n⩾0 une partie dénombrable dense dans X. Par hypothèse, l’adhérence de la suite {fn (x0 )}n⩾0 est un ensemble compact dans Y . Comme Y est un espace métrique, cette suite est séquentiellement compacte. On en extrait une sous-suite, notée {f0,n (x0 )}n⩾0 , convergente. On construit alors successivement une suite {fj+1,n (xj+1 )}n⩾0 à partir de {fj,n (xj+1 )}n⩾0 telle que la suite {fj+1,n (xj+1 )}n⩾0 converge. Puis, pour tout j ⩾ 1, on considère, par extraction diagonale, la suite {fn,n (xj )}n⩾j . C’est une sous-suite de {fj,n (xj )}n⩾0 donc elle converge. On pose gn = fn,n . Par construction, cette suite de fonctions {gn } converge simplement sur D. Nous allons maintenant montrer que la suite {gn }n⩾0 converge simplement sur X tout entier. Pour cela, il suffit de montrer que, pour tout élément x ∈ X, la suite {gn (x)}n⩾0 est de Cauchy dans Y . En effet, {gn (x) : n ∈ N} est inclus dans {fn (x) : n ∈ N} ⊂ Y , qui est un ensemble compact et donc complet. Fixons ε > 0. Puisque F est équicontinue, il existe un voisinage O de x tel que ∀n ∈ N, ∀z ∈ O, ρ(gn (x), gn (z)) < ε/3. Comme D est dense dans X, il existe xi ∈ D tel que xi ∈ O. Enfin, par convergence de {gn (xi )}n⩾0 , il existe N tel que, pour m, n ⩾ N , on a ρ(gn (xi ), gm (xi )) < ε/3. On en déduit que : ρ(gn (x), gm (x)) ⩽ ρ(gn (x), gn (xi )) + ρ(gn (xi ), gm (xi )) + ρ(gm (xi ), gm (x)) ⩽ ε/3 + ε/3 + ε/3.

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CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

Ceci montre que {gn }n⩾0 est une suite de Cauchy et donc converge. Notons f la limite simple de cette suite. Montrons que f est continue(3) . Soient x dans X et ε > 0. Il existe un voisinage O ⊂ X de x tel que, pour tout entier n, ∀z ∈ O,

ρ(fn (x), fn (z)) < ε/3.

Alors, pour tout entier n, et tout z dans O, on a trivialement l’inégalité ρ(gn (x), gn (z)) < ε/3. Par ailleurs, par convergence simple, il existe N tel que si n ⩾ N alors ρ(f (x), gn (x)) ⩽ ε/3 et ρ(f (y), gn (y)) ⩽ ε/3. On utilise à nouveau l’inégalité triangulaire pour écrire que, pour tout y dans O, ρ(f (x), f (y)) ⩽ ρ(f (x), gn (x)) + ρ(gn (x), gn (y)) + ρ(gn (y), gn (y)) ⩽ ε/3 + ε/3 + ε/3. Ce qui montre que f est continue au point x. Soit maintenant K un compact de X. Montrons que la convergence est uniforme sur K. La propriété d’équicontinuité implique que, pour tout élément x de X, il existe un voisinage Ox de x tel que, ∀z ∈ Ox , ∀f ∈ F ,

ρ(f (x), f (z)) < ε.

Alors (Ox )x∈K forme un recouvrement ouvert de K, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini indexé par x1 , . . . , xM . On peut donc trouver N tel que pour tout n ⩾ N et pour tout i ∈ {1, . . . , M }, ρ(gn (xi ), g(xi )) < ε/3. Maintenant, pour tout x ∈ K : ρ(gn (x), g(x)) ⩽ ρ(gn (x), gn (xi )) + ρ(gn (xi ), g(xi )) + ρ(g(xi ), g(x)) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε. Ce qui implique le résultat voulu et conclut la démonstration du théorème.

1.6.2. Théorème de Stone-Weierstrass. L’espace des fonctions continues a la propriété d’être une algèbre. Il est naturel de chercher à déterminer si certaines sous-algèbres remarquables sont denses. L’exemple principal concerne l’étude de l’approximation des fonctions continues par des fonctions polynômes. Il y a deux résultats fondamentaux. Le premier, dû à Weierstrass, énonce que l’on peut approcher n’importe quelle fonction continue sur un intervalle compact par des polynômes algébriques P (x) = PN n n=0 an x . Le second montre que l’on peut approcher une fonction continue périodique par des polynômes trigonométriques, de la forme P (x) = PN c0 + n=0 (an cos(nx) + bn sin(nx)). Nous énoncerons et démontrerons ces (3) En

général, la continuité n’est pas préservée par passage à la limite simple. Par exemple, la suite fn : x 7→ xn , sur [0, 1], converge simplement vers une fonction discontinue au point 1.

1.6. L’ESPACE DES FONCTIONS CONTINUES

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résultats à la fin de cette section. Nous allons commencer par démontrer un résultat général dû à Stone [132]. Théorème 1.41 (Stone-Weierstrass). Soit X un espace topologique compact. Munissons l’espace C(X; R) des fonctions continues à valeurs réelles de la norme uniforme, ∥f ∥ = supx∈X |f (x)|. Considérons une sous-algèbre A de C(X; R) unitaire (c’est-à-dire un sous ensemble de C(X; R) qui contient les fonctions constantes et qui est stable par addition et multiplication : si f, g sont dans A alors f +g et f g sont dans A). On suppose de plus que A sépare les points de X au sens où pour tous x, y dans X avec x ̸= y, il existe f ∈ A telle que f (x) ̸= f (y). Alors A est dense dans C(X; R). Démonstration. La démonstration repose sur trois idées différentes. La première concerne la résolution du problème de l’approximation de la fonction valeur absolue par des polynômes. Lemme 1.42. Pour tout a > 0, il existe une suite de polynômes {pn }n∈N qui converge uniformément vers la fonction valeur absolue sur [−a, a]. Démonstration. Par le changement élémentaire de variables u(x) 7→ u(x/a), on se ramène au cas a = 1. Nous allons commencer par construire une suite auxiliaire de polynômes qui converge uniformément vers la fonction racine carrée sur l’intervalle [0, 1]. Considérons pour cela la suite de fonctions Pn : [0, 1] → R définie par :
1 (1.9) P0 = 0 et Pn+1 (x) = Pn (x) + x − Pn (x)2 . 2 Alors Pn est une fonction polynomiale telle que 0 ⩽ Pn (x). Montrons par √ récurrence que Pn (x) ⩽ x pour tout x dans [0, 1]. Pour cela, on écrit √ 1 √ Pn+1 (x) − Pn (x) = ( x − Pn (x))( x + Pn (x)), 2 puis on utilise l’hypothèse de récurrence pour étudier le membre de droite. √ On obtient que le premier facteur x − Pn (x) est positif ou nul et que le √ second x + Pn (x) est majoré 2, d’où le résultat voulu : √ √ Pn+1 (x) ⩽ Pn (x) + ( x − Pn (x)) = x. Maintenant, en revenant à la définition de la suite (1.9), on voit que la √ propriété 0 ⩽ Pn (x) ⩽ x implique que la suite {Pn (x)}n⩾0 est croissante et majorée et donc convergente. La limite P (x) vérifie l’équation P (x) = √ P (x)+ 12 (x−P (x)2 ), d’où P (x) = x. Ensuite, on utilise un lemme classique de Dini (voir le lemme 1.45) pour montrer que la suite {Pn }n⩾0 converge √ uniformément vers sa limite x sur [0, 1]. Ensuite, on pose pn (x) = Pn (x2 ) pour obtenir une suite de polynômes qui converge uniformément vers la fonction valeur absolue sur l’intervalle symétrique [−1, 1], ce qui conclut la démonstration.

26

CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

La seconde idée de la démonstration est que A vérifie une propriété de stabilité particulière donnée par le résultat suivant. Lemme 1.43. Si f et g sont deux éléments de A, alors max{f, g} et min{f, g} appartiennent à A. Démonstration. Soient f, g dans A. Alors f + g et f − g appartiennent à A. Pour démontrer ce lemme, nous allons démontrer de plus que A est stable pour la valeur absolue, ce qui signifie que si f appartient à A, alors |f | aussi. On en déduira le résultat voulu à partir des identités élémentaires x + y + |x − y| x + y − |x − y| max{x, y} = , min{x, y} = . 2 2 Considérons une fonction f appartenant à A et montrons que |f | ∈ A. Il existe une suite {fp }p∈N qui converge vers f uniformément sur X. Comme X est compact, f (X) est bornée dans R, d’où l’on déduit qu’il existe a > 0 tel que fp (X) ⊂ [−a, a] pour tout p ∈ N. Nous avons démontré au lemme 1.42 qu’il existe une suite de polynômes {pn } qui converge vers la valeur absolue | · | uniformément sur [−a, a]. Alors, pour tout ε > 0, on peut trouver deux indices n et p tels que ∥fp − f ∥ ⩽ ε/2 et supt∈[−a,a] |pn (t) − |t|| ⩽ ε/2. Il suit directement que ∥pn (fp ) − |f |∥ ⩽ ∥pn (fp ) − |fp |∥ + ∥|fp | − |f |∥ ⩽

sup |pn (t) − |t|| + ∥fp − f ∥ ⩽ ε. t∈[−a,a]

Comme A est une algèbre, pn (fp ) appartient à A, ce qui implique que |f | appartient à A. Il reste ensuite à expliquer comment cette propriété d’être stable par passage à la valeur absolue intervient. C’est l’objet du dernier lemme. Lemme 1.44. Soit X un espace topologique compact qui contient au moins deux éléments. Soit H une partie de C(X; R) vérifiant les deux conditions suivantes : (a) pour tous u, v dans H, les fonctions max{u, v} et min{u, v} sont dans H ; (b) pour tout couple de points distincts de X, si α1 et α2 sont deux nombres réels, il existe u ∈ H tel que u(x1 ) = α1 et u(x2 ) = α2 . (On dit que H est un treillis.) Alors H est dense dans C(X; R). Démonstration. Soient f ∈ C(X; R) et ε > 0. Fixons un point x ∈ X. Pour tout y ̸= x, il existe vy ∈ H tel que vy (x) = f (x) et vy (y) = f (y). Soit Oy = {z ∈ X : vy (z) > f (z) − ε}. Pour tout y ∈ X, par continuité de la fonction vy , l’ensemble Oy est un S ouvert qui contient y et x donc X = y̸=x Oy . Par compacité, on peut

1.6. L’ESPACE DES FONCTIONS CONTINUES

27

Sr extraire un sous-recouvrement fini : X = j=1 Oyj , avec yj ̸= x pour tout j. Soit alors ux = max{vy1 , . . . , vyr }. Cette fonction vérifie ux ∈ H et de plus ux (x) = f (x) et ∀x′ ∈ X, ux (x′ ) > f (x′ ) − ε. On fait maintenant varier x et on pose, pour chaque x ∈ X, Ωx = {x′ ∈ X : ux (x′ ) < f (x′ ) + ε}. Ainsi, Ωx est un ouvert de X par continuité de ux . De plus, Ωx contient x. On peut utiliser à nouveau la compacité de X pour obtenir un nombre fini Sp de points tels que X = i=1 Ωxi . Soit enfin u = min{ux1 , . . . , uxp }. Alors u ∈ H et, pour tout x ∈ X, on a f (x) − ε < u(x) < f (x) + ε. Ceci démontre que ∥f − u∥ < ε, ce qui termine la démonstration. La fin de la démonstration du théorème de Stone-Weierstrass est facile. Déjà, si X est réduit à un seul élément alors le résultat est trivial car C(X; R) est constitué de fonctions constantes, qui sont dans A par hypothèse. Si, maintenant, X contient au moins deux éléments, le lemme 1.43 montre que H = A vérifie la première hypothèse du lemme 1.44. Il reste uniquement à vérifier que H = A vérifie la seconde hypothèse. Pour cela, considérons x1 , x2 dans X et deux réels α1 et α2 . Comme A sépare les points, il existe f dans A telle que f (x1 ) ̸= f (x2 ). On pose alors f (x) − f (x1 ) . f (x2 ) − f (x1 ) Comme A est une algèbre qui contient les fonctions constantes, on vérifie que la fonction u appartient à A (donc à A) et vérifie la propriété voulue. Ce qui termine la démonstration du théorème de Stone-Weierstrass. u(x) = α1 + (α2 − α1 )

Pour être complet, nous rappelons le lemme de Dini que nous avons utilisé dans la démonstration du théorème de Stone-Weierstrass. Lemme 1.45 (Dini). Soit I un intervalle compact de R. Considérons une suite de fonctions continues fn : I → R avec n ⩾ 0, qui est croissante au sens où fn ⩽ fn+1 . Si la suite converge simplement vers une fonction continue f ∈ C 0 (I), alors elle converge uniformément vers f . Démonstration. Soit ε > 0. Pour tout entier n on pose Ωn = {x ∈ I : fn (x) > f (x) − ε}. Les ensembles Ωn sont ouverts car les fonctions fn et f sont continues. De plus, ils forment une suite croissante exhaustive de I, car la suite (fn )n∈N est croissante et converge simplement vers f . Par la propriété de BorelLebesgue, il existe un entier m tel que I = Ωm , et donc tel que pour tout x ∈ I, fm (x) > f (x) − ε. Par convergence croissante, on a l’autre inégalité :

28

CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

fm (x) ⩽ f (x). Ainsi, supx∈I |f (x) − fm (x)| ⩽ ε, ce qui démontre que la convergence est uniforme. Corollaire 1.46 (Stone-Weierstrass complexe). Soit X un espace métrique compact. Munissons l’espace C(X; C) des fonctions continues à valeurs complexes de la norme uniforme, ∥f ∥ = supx∈X |f (x)|. Considérons une sousalgèbre A de C(X; C) unitaire, stable par conjugaison (si f ∈ A alors f appartient à A) et séparant les points de X. Alors A est dense dans C(X; C). Démonstration. Notons que si f ∈ A alors Re f et Im f appartiennent à A. Posons H = A ∩ C(X; R). Alors H est une sous-algèbre de C 0 (X; R) qui est unitaire et qui sépare les points (si x ̸= y et si f ∈ A est telle que f (x) ̸= f (y), alors soit Re f convient, soit Im f convient). Donc H est dense dans C(X; R). Ce qui implique le résultat voulu par décomposition en parties réelles et imaginaires. On peut maintenant en déduire des résultats de densité fondamentaux. Corollaire 1.47 (Densité des polynômes algébriques). Soit f une fonction continue sur un intervalle compact [a, b] ⊂ R, à valeurs complexes. Alors, pour tout ε > 0, il existe un polynôme P tel que, pour tout x ∈ [a, b], on ait |f (x) − P (x)| < ε. Démonstration. On vérifie aisément que l’ensemble des polynômes est une sous-algèbre unitaire, stable par conjugaison et séparant les points (la fonction identité x 7→ x est un polynôme qui sépare trivialement les points). Le résultat voulu est donc un corollaire du théorème de Stone-Weierstrass dans la version à valeurs complexes. Définition 1.48. Un polynôme trigonométrique est une fonction P : Rd → C de la forme X P (x) = cn ein·x |n|⩽N

avec N ∈ N, n = (n1 , . . . , nd ), cn ∈ C et n · x = n1 x1 + · · · + nd xd . Corollaire 1.49 (Densité des polynômes trigonométriques). Considérons une fonction f : Rd → C continue et 2π-périodique par rapport à chaque variable. Pour tout ε > 0, il existe un polynôme trigonométrique P tel que supx∈Rd |f (x) − P (x)| < ε. Démonstration. Notons S 1 le cercle des nombres complexes de module 1, Td = S 1 × · · · × S 1 , le produit de d copies de S 1 (qui est un espace topologique compact), et considérons l’algèbre C 0 (Td ; C) des fonctions f : Td → C qui sont continues. Notons A la sous-algèbre formée des fonctions de la forme P P (z) = |n|⩽N cn z n où z n = z1n1 · · · zdnd . Alors A est une sous-algèbre de C(Td ; C), unitaire, stable par conjugaison et séparant les points (en effet,

1.6. L’ESPACE DES FONCTIONS CONTINUES

29

si x ̸= y, alors il existe un indice 1 ⩽ k ⩽ d tel que Pk (x) ̸= Pk (y) pour l’application Pk (z) = zk ). Le théorème de Stone-Weierstrass (dans la version à valeurs complexes) implique que A est dense. Pour conclure la démonstration, considérons maintenant f : Rd → C continue et 2π-périodique par rapport à chaque variable. Alors on peut définir une fonction F : Td → C par F (eix1 , . . . , eixd ) = f (x1 , . . . , xd ) et appliquer le résultat précédent. 1.6.3. Continuité et convergence simple. Proposition 1.50. Soit X un espace topologique compact. Supposons que l’espace C 0 (X) est complet pour une norme ∥·∥ qui vérifie la propriété suivante : si limn→+∞ ∥fn ∥ = 0, alors (fn (x))n∈N converge vers 0 pour tout x ∈ X. Alors la norme ∥·∥ est équivalente à la norme ∥f ∥∞ = supx∈X |f (x)|. Démonstration. On note E le couple (C 0 (X), ∥·∥) et étant donné x ∈ X, on note Λx l’application linéaire définie par Λx (f ) := f (x). Démontrons que pour tout x dans X l’application Λx est continue. Pour cela, nous allons utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité donnée par le résultat suivant. Lemme 1.51. Soient (Y1 , d1 ) et (Y2 , d2 ) deux espaces métriques et y ∈ Y1 . Une application T : Y1 → Y2 est continue au point y si et seulement si elle est séquentiellement continue (ce qui signifie que pour toute suite (yn ) qui converge vers y dans Y1 , la suite (T (yn )) converge vers T (y) dans Y2 ). Démonstration. Si T est continue au point y alors, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que ∀x ∈ Y1 ,

d1 (x, y) < δ =⇒ d2 (T (x), T (y)) < ε.

On en déduit directement que si (yn ) qui converge vers y dans Y1 , alors la suite (T (yn )) converge vers T (y). Réciproquement, supposons que T n’est pas continue au point y. Alors, il existe ε > 0 et pour tout entier n ∈ N il existe xn ∈ Y1 tel que d(xn , y) < 1/n et d2 (T (xn ), T (y)) ⩾ ε. Ce qui implique directement que T n’est pas séquentiellement continue. Montrons que pour tout x ∈ X l’application Λx est continue. Il suffit par linéarité de montrer que Λx est continue en 0. D’après le lemme précédent, il suffit donc de montrer que Λx est séquentiellement continue en 0. Considérons alors une suite (fn ) telle que ∥fn ∥ converge vers 0 quand n tend vers +∞. Par hypothèse, la suite (fn ) converge aussi simplement vers 0. En particulier, (fn (x)) converge aussi vers 0. Par définition de Λx , ceci implique que la suite (Λx (fn )) converge vers 0.

30

CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

Notons ensuite que la famille F := {Λx : x ∈ X} est simplement bornée. En effet, pour tout x dans X et tout f appartenant à C 0 (X), |Λx (f )| = |f (x)| ⩽ sup |f (y)| < +∞, y∈X

où l’on a utilisé le fait que f (X) est un compact de R pour obtenir la dernière majoration. Ainsi, le théorème de Banach-Steinhaus assure que la famille F est uniformément bornée dans l’espace des applications linéaires continues de E vers R. Ce qui ce traduit par l’existence d’une constante C telle que : ∀x ∈ X, ∀f ∈ E,

|f (x)| = |Λx (f )| ⩽ ∥Λx ∥L (E,R) ∥f ∥ ⩽ C ∥f ∥ .

Et donc, ∥f ∥∞ := sup |f (x)| ⩽ C ∥f ∥ . x∈X

On complète la démonstration en utilisant la complétude de E et le corollaire 1.36 qui énonce que deux normes sur un espace de Banach sont équivalentes dès que l’une domine l’autre. 1.7. Exercices Exercice (corrigé) 1.1. Considérons un espace vectoriel normé E de dimension infinie. En utilisant la suite introduite dans la démonstration du lemme 1.16, montrer qu’il existe une fonction continue F : E → E qui est continue et non bornée sur la boule unité fermée. Exercice (corrigé) 1.2. Soit A un sous-ensemble non borné de R. Prouvez que si f : A → R est une limite uniforme de fonctions polynomiales sur R, alors f est un polynôme (ce qui explique pourquoi il est nécessaire de travailler sur un ensemble borné pour prouver le théorème de Stone-Weierstrass). Exercice (corrigé) 1.3. Le but de cet exercice est de donner une démonstration élémentaire, due à Alan Sokal [129], du théorème de BanachSteinhaus. Considérons un espace de Banach (E, ∥·∥E ) et un espace normé (F, ∥·∥F ). On note L (E, F ) l’espace des applications linéaires continues de E dans F , muni de la norme d’opérateur ∥T ∥L (E,F ) = sup ∥T x∥F . ∥x∥E =1

(1) Soit T ∈ L (E, F ). Montrer que, pour tout x ∈ E et tout ξ ∈ E, on a ∥T ξ∥F ⩽ max{∥T (x + ξ)∥F , ∥T (x − ξ)∥F }. (2) En déduire que, pour tout x ∈ E et tout r > 0, sup {x′ ∈E:∥x′ −x∥E =r}

∥T x′ ∥F ⩾ ∥T ∥L (E,F ) r.

31

1.7. EXERCICES

(3) Considérons une famille {Tα }α∈A d’applications Tα ∈ L (E, F ) qui est simplement bornée (c’est-à-dire telle que, pour tout x ∈ E, on a supα∈A ∥Tα x∥F < +∞). Supposons par l’absurde que {Tα }α∈A n’est pas bornée dans L (E, F ) et considérons (αn )n∈N telle que ∥Tαn ∥L (E,F ) ⩾ 4n . Montrer qu’il existe une suite (xn )n∈N de E telle que x0 = 0,

∥xn − xn−1 ∥E = 3−n ,

∥Tαn xn ∥F ⩾

2 −n 3 ∥Tαn ∥L (E,F ) . 3

En déduire le théorème de Banach-Steinhaus. Exercice 1.4. Soit E un espace de Banach et soit T : E → E ′ une application linéaire telle que, pour tout (x, y) ∈ E × E, ⟨T x, y⟩ = ⟨T y, x⟩. Monter que T est continue. Exercice 1.5. Soit E un espace de Banach. On considère une application linéaire continue T : E → E vérifiant la propriété suivante : pour tout x ∈ E, il existe mx ∈ N∗ tel que T mx (x) = 0. Montrer que supn∈N ∥an T n ∥ < +∞ pour toute suite (an )n∈N de nombres réels, puis en déduire qu’il existe un entier n tel que T n = 0. Exercice 1.6. Le but de cet exercice est de montrer que toute inclusion entre deux sous-espaces vectoriels complets continuellement inclus dans L1loc (Ω) est en fait une inclusion continue (dans le sens où l’injection canonique est continue). Plus précisément, considérons un ensemble ouvert Ω ⊂ Rn et considérons deux sous-espaces vectoriels E et F de l’espace L1loc (Ω). On suppose que E et F sont dotés de normes ∥·∥E , ∥·∥F , qui les rendent complètes et telles que toute suite (fn ) qui converge vers 0 pour ∥·∥E (resp. pour ∥·∥F ) converge vers 0 dans L1loc (Ω) dans le sens suivant : pour tout φ ∈ C0∞ (Ω), Z fn (x)φ(x) dx −→ 0. n→+∞

Supposons que E ⊂ F . Prouvez qu’il existe C > 0 tel que ∥u∥F ⩽ C∥u∥E pour tout u ∈ E. (Indice : utilisez le théorème du graphe fermé). Exercice 1.7 (Principe de continuation de Schauder). On considère un espace de Banach (B, ∥·∥B ) et un espace vectoriel normé (V, ∥·∥V ). Considérons deux opérateurs linéaires continus L0 : B → V et L1 : B → V . Pour t dans [0, 1], on définit Lt = (1 − t)L0 + tL1 . On suppose qu’il existe une constante A > 0 telle que ∀t ∈ [0, 1], ∀u ∈ B,

∥u∥B ⩽ A∥Lt u∥V .

32

CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

(1) Supposons que Ls est surjective pour un certain s ∈ [0, 1]. Montrer que Ls est bijective et que son inverse est une application linéaire continue vérifiant

−1

Ls ⩽ A. V →B (2) Soit f ∈ V et soit s ∈ [0, 1] tel que Ls est surjective. Observer que pour tout t ∈ [0, 1], f = Lt u ⇐⇒ f = Ls u + (t − s)(L1 − L0 )u. Introduire une application Ts,t : B → B dépendant de f et s, t et vérifiant les deux propriétés : (i)

f = Lt u ⇐⇒ u = Ts,t (u),

et (ii)

Ts,t est une contraction si |t − s| < δ =

1 . A(∥L0 ∥B→V + ∥L1 ∥B→V )

(3) En déduire que Lt est surjective pour tout t ∈ [0, 1] tel que |t − s| ∈ [0, δ[. Puis montrer que si L0 est surjective alors L1 est surjective.

CHAPITRE 2 THÉORÈMES DE POINT FIXE

Nous abordons dans ce chapitre la question de la résolution d’une équation Φ(x) = 0 du point de vue de l’Analyse. L’inconnue x peut appartenir à un espace vectoriel de dimension infinie. Nous allons voir plusieurs situations dans lesquelles on peut garantir l’existence d’une solution et aussi obtenir la solution comme limite d’une suite définie itérativement. Nous démontrerons plusieurs résultats fondamentaux : le théorème du point fixe de Banach, le théorème d’inversion locale, le théorème de Cauchy-Lipschitz, le théorème de Brouwer et le théorème d’invariance du domaine. Nous aborderons aussi l’étude du principe variationnel d’Ekeland et du théorème des fonctions implicites de Nash qui joue un rôle clé dans de nombreux domaines de recherche.

2.1. Rappels de calcul différentiel Soient E et F deux espaces vectoriels normés réels et soit U un ouvert de E. Considérons une application f : U → F et un point a ∈ U . On dit que f est différentiable au point a au sens de Fréchet s’il existe une application linéaire continue L : E → F et une application ε : E → F telles que f (x) = f (a) + L(x − a) + ∥x − a∥E ε(x − a) avec

lim

∥h∥E →0

ε(h) = 0.

L’existence de L dépend du choix de la norme ∥·∥E . Une telle application linéaire L est nécessairement unique et on l’appelle la différentielle de f en a, notée df (a) ou da f ou f ′ (a). Par abus, nous dirons simplement différentiable au lieu de différentiable au sens de Fréchet. Rappelons le résultat suivant. Théorème 2.1 (Inégalité des accroissements finis). Soit f : U ⊂ E → F une application différentiable sur un ouvert convexe U . Supposons qu’il existe

34

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

une constance C telle que ∀a ∈ U,

∥d f (a)∥L (E,F ) ⩽ C.

Alors, pour tout couple (x, y) dans U × U , on a ∥f (x) − f (y)∥F ⩽ C ∥x − y∥E . Supposons que f soit différentiable en tout point de U . On note alors d f l’application a 7→ df (a), appelée différentielle de f . Si l’application df est continue de U dans L (E, F ), alors on dit que f est de classe C 1 sur U et on note f ∈ C 1 (U ). Si l’application df est différentiable tout point a de U , alors on dit que f est deux fois différentiable sur U et on note d2 f l’application obtenue. Si cette application est continue de U dans L (E, L (E, F )), alors on dit que f appartient à l’espace noté C 2 (U ) des fonctions de classe C 2 sur U . Par induction, on définit plus généralement la notion de fonction de classe C k pour tout entier k. On dira que f appartient à l’espace C ∞ (U ) des fonctions de classe C ∞ sur U si f est de classe C k pour tout k. Enfin, étant donné un fermé K ⊂ U , on dira que f est de classe C k sur K s’il existe un ouvert V tel que K ⊂ V ⊂ U et tel que f appartient à C k (V ). 2.2. Théorème du point fixe de Banach Commençons par l’exemple fondamental de la résolution de Φ(u) = 0 dans le cas où Φ−I est une application contractante, au sens de la définition suivante. Définition 2.2. Soient (E, d) un espace métrique et k un nombre réel positif. On dit qu’une application f : E → E est k-lipschitzienne si, pour tout couple (x, y) dans E × E, d(f (x), f (y)) ⩽ kd(x, y). On dit que f est contractante si elle est k-lipschitzienne pour un certain k appartenant à [0, 1[. Théorème 2.3. Soient E un espace métrique complet et f : E → E une application contractante. Il existe un unique point fixe x∗ de f dans E, c’està-dire tel que f (x∗ ) = x∗ . De plus, toute suite (xn )n∈N d’éléments de E vérifiant xn+1 = f (xn ) converge vers x∗ . Démonstration. Soit x0 ∈ E et soit (xn )n∈N la suite définie par xn+1 = f (xn ). Alors d(xm+1 , xm ) ⩽ kd(xm , xm−1 ) donc d(xm+1 , xm ) ⩽ k m d(x1 , x0 ). Comme xn+p − xn = xn+1 − xn + · · · + xn+p − xn+p−1 , on en déduit d(xn+p , xn ) ⩽ (k n + · · · + k n+p−1 )d(x1 , x0 ) ⩽ k n

1 d(x1 , x0 ), 1−k

2.3. THÉORÈME D’INVERSION LOCALE

35

donc la suite (xn )n∈N est de Cauchy. Comme E est un espace complet, cette suite converge vers un élément noté x∗ . Pour montrer que x∗ est un point fixe de f nous allons utiliser l’inégalité précédente d(xm+1 , xm ) ⩽ k m d(x1 , x0 ) qui entraîne que d(f (xm ), xm ) ⩽ k m d(x1 , x0 ). Comme k < 1 et que f est continue, on peut passer à la limite dans cette inégalité pour déduire que d(f (x∗ ), x∗ ) = 0, ce qui montre que x∗ est un point fixe de f . 2.3. Théorème d’inversion locale Dans cette section, nous allons voir la démonstration du théorème d’inversion locale dans les espaces de Banach. Définition 2.4. Considérons deux espaces normés B1 , B2 et des ouverts U ⊂ B1 et V ⊂ B2 . On dit qu’une application f : U → V est un C k -difféomorphisme, avec k ∈ N ∪ {∞}, si : – f est de classe C k ; – f est une bijection de U sur V ; – l’application réciproque f −1 est de classe C k . Théorème 2.5. Soit f : U → B2 une application C 1 d’un ouvert U d’un espace de Banach B1 à valeurs dans un espace de Banach B2 . Si df (x0 ) est un isomorphisme de B1 sur B2 alors f est un C 1 difféomorphisme d’un voisinage de x0 sur un voisinage de f (x0 ). Remarque 2.6. De plus, on démontre que si f est injective et si pour tout x de U la différentielle df (x) est un isomorphisme bicontinu, alors f (U ) est un ouvert et la bijection réciproque, de f (U ) dans U , est de classe C 1 . Démonstration. On commence par se ramener au cas B1 = B2 , x0 = 0, f (x0 ) = x0 et df (x0 ) = I, où l’on note I l’application identité. Pour cela, e des éléments x tels que x0 + x appartient on remplace U par l’ensemble U à U , et on remplace f par l’application fe(x) = (df (x0 ))−1 (f (x0 + x) − f (x0 )). Introduisons alors φ(x) = x − f (x). La différentielle d φ(0) de φ est nulle en 0 donc il existe r > 0 tel que Br est incluse dans U et tel que la norme de la différentielle de φ soit toujours inférieure à 1/2 sur cette boule. On introduit W = Br/2 et V = Br ∩ f −1 (W ). Montrons que f est bijective de V dans W . Surjectivité. Soit y ∈ W . On cherche x ∈ V tel que y = f (x). Pour cela, on écrit l’équation y = f (x) sous la forme x = h(x) avec

h(x) = y + φ(x) = x + y − f (x),

et on cherche un point fixe de h.

36

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

L’inégalité des accroissements finis implique que φ est 1/2-lipschitzienne sur Br . Ainsi, ∥φ(x)∥ ⩽ r/2 pour tout x ∈ Br . Pour tout y ∈ W = Br/2 , on a ∥y∥ < r/2 donc h envoie Br dans Br par l’inégalité triangulaire. De plus, h, comme φ, est 1/2-lipschitzienne. Donc h admet un point fixe x dans Br (d’après le théorème 2.3 du point fixe). On vérifie que x appartient à Br car x = h(x). De même, on a x ∈ f −1 (W ) car f (x) = y. Ce qui démontre que pour tout y ∈ W , on peut trouver x ∈ V tel que f (x) = y. Injectivité. Pour tout (x1 , x2 ) ∈ V × V , ∥x1 − x2 ∥ = ∥φ(x1 ) + f (x1 ) − φ(x2 ) − f (x2 )∥ 1 ⩽ ∥x1 − x2 ∥ + ∥f (x1 ) − f (x2 )∥ 2 donc (2.1)

∥x1 − x2 ∥ ⩽ 2 ∥f (x1 ) − f (x2 )∥ ,

ce qui implique que f : V → W est injective. Régularité. D’abord, on observe que df (x) = I − dφ(x) et dφ(x) est de norme inférieure à 1/2 < 1 pour tout x dans V . Donc df (x) est d’inverse bornée d’après un résultat classique démontré ci-dessous, et son inverse est P donnée par n∈N (dφ(x))n , de norme plus petite que 2. Montrons ensuite que f −1 est différentiable et que sa différentielle est l’inverse de df (f −1 (x)). Pour cela, fixons y ∈ W , notons x = f −1 (y) et posons L = (df (f −1 (y)))−1 . On veut montrer que

−1

f (y + z) − f −1 (y) − Lz = o(∥z∥). (2.2) Pour cela, introduisons h tel que x + h = f −1 (y + z). Alors

−1

f (y + z) − f −1 (y) − Lz = ∥x + h − x − L(f (x + h) − f (x))∥


= L f (x + h) − f (x) − L−1 h

⩽ 2 f (x + h) − f (x) − L−1 h , car ∥L∥L (E) est majoré par 2. Maintenant, on utilise L−1 = df (x) pour conclure

−1

f (y + z) − f −1 (y) − Lz ⩽ 4 ∥h∥ . On peut alors utiliser l’inégalité (2.1) pour conclure que ∥h∥ ⩽ 2 ∥z∥, ce qui finit de démontrer (2.2). Comme f −1 est différentiable, elle est continue et x 7→ (df (f −1 (x)))−1 est continue par composition de fonctions continues. Lemme 2.7 (Série de Neumann). Soient B un espace de Banach et T ∈ L (B) vérifiant ∥T ∥ < 1. Alors I − T est inversible et son inverse est donnée par ∞ X (I − T )−1 = T n. n=0

37

2.4. THÉORÈME DE CAUCHY-LIPSCHITZ

Démonstration. La démonstration repose d’une part sur le fait que L (B) est un espace de Banach (car B en est un) et d’autre part sur le fait que la norme d’opérateur sur L (B) vérifie l’inégalité suivante : ∥T1 T2 ∥L (B) ⩽ ∥T1 ∥L (B) ∥T2 ∥L (B) . 0 n Considérons la somme partielle . Alors (I −T )Sn = n =

Sn+1

T +T +· · ·+T n+1 n+1

I−T converge vers I car T ⩽ ∥T ∥ L (B) et ∥T ∥L (B) < 1 L (B) par hypothèse. De plus, la série Sn converge normalement donc converge car L (B) est un espace de Banach. Ce résultat, classique, se démontre directement de la façon suivante : puisque ∥Sn+m − Sn ∥L (B) ⩽

n+m X

+∞ X

j

∥T ∥L (B) ⩽

j=n+1

j

∥T ∥L (B) ,

j=n+1

et puisque le membre de droite de l’inégalité précédente converge vers 0, la suite (Sn ) est de Cauchy et par conséquent c’est une suite convergente de l’espace de Banach L (B).

2.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz Théorème 2.8. Soient n ⩾ 1 et f ∈ C 1 (R × Rn ; Rn ) une application. Alors, pour tout y0 dans Rn , il existe T > 0 tel que le système d’équations différentielles y ′ = f (t, y) a une unique solution y ∈ C 1 ([−T, T ]; Rn ) vérifiant y(0) = y0 . Démonstration. Fixons un paramètre T > 0. Notons que y est solution de y ′ = f (t, y(t)),

(2.3)

y|t=0 = y0 ,

si et seulement si la fonction z(τ ) = y(T τ ) − y0 vérifie (2.4)

z ′ (τ ) = T f (T τ, z(τ ) + y0 ),

z|τ =0 = 0.

Donc, si on sait trouver T > 0 tel qu’il existe une solution z définie sur un intervalle de temps [−1, 1] on aura une solution du problème initial, définie sur un intervalle de temps [−T, T ]. Introduisons les espaces B0 = C 0 ([−1, 1]; Rn ) et B1 = {z ∈ C 1 ([−1, 1]; Rn ) : z(0) = 0}. Ceux sont des espaces de Banach pour les normes ∥u∥B0 := sup |u(τ )|, [−1,1]

∥u∥B1 := sup |u(τ )| + sup |u′ (τ )|, [−1,1] n

[−1,1]

où |·| désigne une norme quelconque sur R . Introduisons aussi la fonctionnelle Φ : R × B1 → R × B0 définie par
Φ(T, z) = (T, v) où v(τ ) = z ′ (τ ) − T f T τ, z(τ ) + y0 .

38

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

Alors Φ est une application C 1 et la différentielle en (0, 0) est donnée par l’application d Φ(0, 0) · (T, h) = (T, u) avec

u(τ ) = h′ (τ ) − T f (0, y0 ).

Cette application est un isomorphisme linéaire de R × B1 sur R × B0 , dont l’inverseR est l’application L définie par L(T, v) = (T, w) où w(τ ) = τ T τ f (0, y0 ) + 0 v(s) ds. On peut alors appliquer le théorème d’inversion locale, qui implique que Φ est un C 1 -difféomorphisme d’un voisinage U ⊂ R × B1 de (0, 0) sur Φ(U ). Comme (0, 0) appartient à U , Φ((0, 0)) appartient à Φ(U ). Or, par définition de Φ, on a Φ((0, 0)) = (0, 0). Par ailleurs, Φ(U ) est un ouvert, car c’est l’image réciproque de l’ouvert U par l’application continue Φ−1 . En particulier, il existe T1 > 0 tel que le couple (T, 0) appartient à Φ(U ) pour tout T ∈ ]0, T1 ]. Il existe donc un couple (T ′ , z) dans R × B1 tel que Φ((T ′ , z)) = (T, 0). On en déduit que T ′ = T et que z est solution de l’équation (2.4). Alors, comme on l’a expliqué au début de la démonstration, la fonction y(t) = y0 + z(t/T ) est solution de (2.3) sur l’intervalle de temps [−T, T ]. Il reste à montrer l’unicité. Supposons que y1 et y2 sont deux solutions définies sur [−T, T ]. Posons, pour j ∈ {1, 2}, zj,T (τ ) = yj (T τ ) − y0 . Notons que ∥zj,T ∥B1 ⩽ 2T sup |y1′ (t)| . [−T,T ]

Aussi, il existe T2 > 0 tel que, si T ∈ ]0, T2 ] alors (T, z1,T ) et (T, z2,T ) appartiennent à l’ouvert U construit à l’étape précédente. Comme zj,T est solution de Φ(T, zj,T ) = (T, 0), et comme Φ est une bijection de U sur son image, il suit que z1,T = z2,T et donc y1 = y2 . En prenant T = min{T1 , T2 }, on obtient l’existence et l’unicité d’une solution définie sur l’intervalle de temps [−T, T ]. Ce qui conclut la démonstration.

2.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland Nous allons montrer dans cette section un résultat célèbre d’Ekeland [37] qui garantit l’existence de solutions presque optimales à certains problèmes d’optimisation, sans faire d’hypothèse de compacité. Ce résultat permet de démontrer très rapidement un autre théorème de point fixe, celui de Caristi [20], qui est très utile pour résoudre le problème de Cauchy pour certaines équations aux dérivées partielles non-linéaires (nous renvoyons au chapitre 8 de l’ouvrage de référence de Lieberman [95]).

2.5. THÉORÈMES DE CARISTI ET D’EKELAND

39

Théorème 2.9 (Principe variationnel d’Ekeland). Soit (E, d) un espace métrique complet et soit F : E → R une application continue, bornée inférieurement (inf E F > −∞). Considérons ε > 0 et x ∈ E tels que F (x) ⩽ inf F + ε. E

Pour tout δ > 0, il existe y ∈ E tel que (i)

F (y) ⩽ F (x);

(ii)

d(x, y) ⩽ δ;

(iii)

∀z ∈ E ∖ {y},

F (z) > F (y) −

ε d(y, z). δ

Démonstration. On peut supposer que ε = 1 = δ (quitte à remplacer la distance d par la distance δ(x, y) = d(x, y)/δ, et F par l’application Fe(x) = F (x)/ε). On définit une suite (xn )n∈N par récurrence en partant de x0 = x. Supposons xn connu. Il y a alors deux cas : (1) Soit, pour tout z ∈ E ∖ {xn }, on a F (z) > F (xn ) − d(xn , z), et alors on pose xn+1 = xn . (2) Soit il existe z ̸= xn tel que F (z) ⩽ F (xn ) − d(xn , z). Auquel cas on considère l’ensemble Sn des éléments vérifiant cette condition et on choisit xn+1 ∈ Sn tel que  1 (2.5) F (xn+1 ) − inf F ⩽ F (xn ) − inf F . Sn Sn 2 Nous allons voir que la suite (xn ) est de Cauchy. Pour cela, notons que dans les deux cas de l’alternative précédente, on a d(xn , xn+1 ) ⩽ F (xn ) − F (xn+1 ), de sorte que par sommation télescopique, pour tout couple d’entiers 0 ⩽ n ⩽ p, on a (2.6)

d(xn , xp ) ⩽ F (xn ) − F (xp ).

Or la suite (F (xn )) est décroissante (par construction) et bornée inférieurement (car F l’est), donc elle converge. La suite (F (xn )) est donc de Cauchy, ce qui prouve que (xn ) est de Cauchy. On note y la limite de la suite (xn ). Il est immédiat que F (y) ⩽ F (x) car la suite (F (xn )) est décroissante. De plus, pour tout entier p, en appliquant (2.6) avec n = 0, on a d(x, xp ) ⩽ F (x) − F (xp ) ⩽ F (x) − inf F ⩽ 1 E

(par hypothèse sur x).

En passant à la limite quand p tend vers +∞, on vérifie que d(x, y) ⩽ 1. Il reste à montrer la propriété (iii). Supposons qu’elle ne soit pas vrai et qu’il existe z ∈ E tel que F (z) ⩽ F (y) − d(y, z). Nous allons combiner cette

40

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

inégalité avec celle obtenue en passant à la limite quand p tend vers +∞ dans (2.6), c’est-à-dire : ∀n ∈ N,

F (y) = lim F (xp ) ⩽ F (xn ) − d(xn , y). p→+∞

Alors, en utilisant l’inégalité triangulaire, on trouve que, pour tout n ∈ N, F (z) ⩽ F (y) − d(y, z) ⩽ F (xn ) − d(xn , y) − d(y, z) ⩽ F (xn ) − d(xn , z), ce qui implique que z ∈ Sn pour tout n ∈ N. On peut alors utiliser l’inégalité (2.5) pour écrire 2F (xn+1 ) − F (xn ) ⩽ inf F ⩽ F (z). Sn

En passant à la limite, il suit que F (y) ⩽ F (z), ce qui contredit la définition de z. Corollaire 2.10 (Point fixe de Caristi). Soit (E, d) un espace métrique complet et soit ϕ : E → [0, +∞[ une application continue. Pour toute application continue f : E → E vérifiant (2.7)

∀x ∈ E,

d(x, f (x)) ⩽ ϕ(x) − ϕ(f (x)),

il existe un point fixe y (tel que y = f (y)). Démonstration. On applique le théorème 2.9 à la fonction ϕ, avec δ = 1 et ε = 1/2 et x un point quelconque tel que ϕ(x) ⩽ inf E ϕ + 1/2. On en déduit l’existence de y ∈ E tel que, 1 ∀z ∈ E, ϕ(z) ⩾ ϕ(y) − d(y, z). 2 En appliquant cette inégalité avec z = f (y), on obtient 1 ϕ(y) − ϕ(f (y)) ⩽ d(y, f (y)), 2 de sorte que l’hypothèse (2.7) entraîne d(y, f (y)) ⩽ 12 d(y, f (y)). Ce qui implique que y = f (y). 2.6. Théorème du point fixe de Brouwer Étant donné un vecteur x = (x1 , . . . , xn ) de Rn , on note |x| la norme 2 euclidienne définie par |x| = x21 + · · · + x2n . Le but de cette section est de démontrer le résultat fondamental suivant : Théorème 2.11 (Brouwer). Soient n ⩾ 1 et B = {x ∈ Rn : |x| ⩽ 1} la boule unité fermée de Rn . Toute application continue ψ : B → B admet un point fixe. Corollaire 2.12. Soit C ⊂ Rn un ensemble homéomorphe à B. Alors toute application continue ϕ : C → C admet un point fixe.

2.6. THÉORÈME DU POINT FIXE DE BROUWER

41

Démonstration. Considérons un homéomorphisme κ : C → B (c’est-à-dire une application continue et bijective, dont l’inverse κ−1 : B → C est aussi continue). Alors l’application ψ = κ ◦ ϕ ◦ κ−1 : B → B est continue, donc admet un point fixe y ∈ B d’après le théorème 2.11. Alors x = κ−1 (y) ∈ C est un point fixe de ϕ. Remarque 2.13. En particulier, on en déduira à l’exercice corrigé 2.2 que le théorème 2.11 reste vrai si on remplace la norme euclidienne par n’importe quelle norme. Démonstration du théorème 2.11. Nous commençons par montrer qu’il suffit de démontrer le lemme suivant. Lemme 2.14. Considérons une fonction continue θ : B → B telle que θ(x) = x pour x appartenant à la sphère Sn−1 . Alors B = θ(B). Démonstration du théorème à partir du lemme. On raisonne par l’absurde. Supposons que ψ(x) ̸= x pour tout x dans B. Considérons x dans B et notons Dx la demi-droite d’origine ψ(x) qui passe par x : Dx = {ψ(x) + λ(x − ψ(x)) : λ > 0}. Cette demi-droite intersecte la sphère Sn−1 en un point unique, noté θ(x). Alors on vérifie facilement que l’application θ : B → Sn−1 est continue et de plus θ(x) = x pour tout x ∈ Sn−1 . Le lemme précédent implique que B = θ(B), ce qui est absurde car θ(B) ⊂ Sn−1 par construction. Il reste à démontrer le lemme 2.14. Il existe de nombreuses démonstrations de ce résultat. Celle qui est présentée ci-dessous est due à Peter Lax [87] et repose sur la formule du changement de variables dont nous commençons par rappeler l’énoncé. Théorème 2.15 (Changement de variables dans une intégrale). Soit κ : U → V un difféomorphisme de classe C 1 (voir la définition 2.4). Alors, pour toute fonction borélienne f : V → R+ , on a Z Z f (y) dy = f (κ(x)) |J(x)| dx, V

U

′

où J(x) = dét(κ (x)) = dét(∂κj /∂xi ) est le jacobien de κ. L’idée de Peter Lax, très astucieuse, consiste à montrer la formule du changement de variables pour une intégrale multiple, sans supposer que le changement de variable soit un difféomorphisme. Lemme 2.16 (Peter Lax). Soit f : Rn → R une fonction continue à support compact et soit φ : Rn → Rn une fonction de classe C 2 qui coïncide avec

42

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

l’identité en dehors de la boule unité. Alors : Z Z (2.8) f (φ(x))J(x) dx = f (y) dy, Rn

Rn

où J = dét (∂φj /∂xi ) est le jacobien de φ. Remarque 2.17. R (i) Notons que l’intégrale Rn f (φ(x))J(x) dx fait intervenir le jacobien de φ et pas la valeur absolue du jacobien. (ii) Le point clé est que l’on ne suppose pas que φ est un difféomorphisme. Si φ était un difféomorphisme, alors ce résultat serait une conséquence du théorème 2.15. En effet, si φ est un difféomorphisme, la fonction J = dét (∂φj /∂xi ) ne s’annule pas sur Rn donc elle garde un signe constant. Comme J est égale à 1 en dehors de la boule B (car φ est l’identité hors de B), on en déduit que J est une fonction positive et donc que J = |J|. (iii) Peter Lax a également montré (cf. [88]) que l’on peut déduire le théorème 2.15 à partir de ce lemme. Démonstration. Soit f : Rn → R une fonction continue à support compact. Étant donné y = (y1 , . . . , yn ), introduisons Z y1 g(y) = f (s, y2 , . . . , yn ) ds. −∞

Fixons c ⩾ 1 suffisamment grand pour que supp f soit inclus dans le cube Q = [−c, c]n . Alors on a f (φ(x)) = 0 si x ∈ / Q et Z Z f (φ(x))J(x) dx = (∂y1 g)(φ(x))J(x) dx. Rn

Q

La démonstration repose sur des propriétés élémentaires de la fonction déterminant. On commence par noter que ∂g ∂g (φ(x))J(x) = (φ(x)) dét(∇φ1 , . . . , ∇φn ) ∂y1 ∂y1
= dét ∇(g(φ(x)), ∇φ2 , . . . , ∇φn ) , où l’on a utilisé le fait que, pour tout k différent de 1, on a dét (∇φk , ∇φ2 , . . . , ∇φn ) = 0. Puis, en développant le déterminant dét (∇(g(φ(x)), ∇φ2 , . . . , ∇φn ) par rapport à la première colonne, on obtient dét(∇(g(φ)), ∇φ2 , . . . , ∇φn ) = M1 ∂1 (g(φ)) + · · · + Mn ∂n (g(φ)), où l’on a noté Mj le mineur du terme ∂xj (g(φ)). Donc, Z Z (2.9) f (φ)J dx = − g(φ) (∂1 M1 + · · · + ∂n Mn ) dx + B, Rn

Q

2.6. THÉORÈME DU POINT FIXE DE BROUWER

43

où le terme B est donné par : Z


B= ∂1 M1 g(φ) + · · · + ∂n Mn g(φ) dx. Q

Le point clé (dû à Kronecker) provient de l’annulation suivante ∂1 M1 + · · · + ∂n Mn = 0.

(2.10)

Démontrons cette identité. Pour cela, nous utiliserons l’identité formelle ∂1 M1 + · · · + ∂n Mn = dét(∇, ∇φ2 , . . . , ∇φn ), qui s’obtient elle aussi en développant le déterminant dans le membre de droite par rapport à la première colonne. Alors, si n = 2, on a directement   ∂ ∂ φ ∂1 M1 + ∂2 M2 = dét 1 1 2 = ∂1 ∂2 φ2 − ∂2 ∂1 φ2 = 0, ∂2 ∂2 φ2 où la dernière annulation provient du théorème de Schwarz (symétrie de la matrice hessienne) qui s’applique car on a supposé que φ est de classe C 2 . Considérons maintenant le cas n ⩾ 3. Notons A la matrice A = (∇, ∇φ2 , . . . , ∇φn ). On utilise la définition du déterminant à partir de permutations(1) pour écrire, X Y dét(∇, ∇φ2 , . . . ,∇φn ) = ε(σ) aσ(j)j σ∈Sn

=

X

ε(σ)∂σ(1)

=

 ∂σ(j) φj

j=2

σ∈Sn

X

Y n

ε(σ)(∂σ(1) ∂σ(2) φ2 )(∂σ(3) φ3 ) · · · (∂σ(n) φn ) + · · ·

σ∈Sn

+

X

ε(σ)(∂σ(2) φ2 ) · · · (∂σ(n−1) φn−1 )(∂σ(1) ∂σ(n) φn ).

σ∈Sn

Montrons que les n − 1 termes du membre de droite ci-dessus sont tous nuls. Pour fixer les idées, étudions le premier de ces n termes : X Π := ε(σ)(∂σ(1) ∂σ(2) φ2 )(∂σ(3) φ3 ) . . . (∂σ(n) φn ). σ∈Sn

(1) Notons

Sn le groupe symétrique de E = {1, . . . , n}, c’est-à-dire l’ensemble des applications bijectives de E sur E, appelées permutations, muni de la loi de composition d’applications. Une transposition est une permutation particulière qui échange deux éléments en laissant les autres inchangés ; on note alors (k, ℓ) la transposition qui échange l’élément k avec l’élément ℓ. Toute permutation σ peut s’écrire comme un produit de transpositions. Une telle écriture n’est pas unique. Toutefois, on peut définir un invariant : la parité du nombre de termes d’un tel produit ne dépend que de la permutation. On parle alors de permutation paire ou impaire. On définit alors la signature ε(σ) d’une permutation σ de la façon suivante : ε(σ) = 1 si σ est paire et ε(σ) = −1 sinon.

44

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

Soit τ ∈ Sn une permutation quelconque. Comme l’application σ 7→ σ ◦ τ est une bijection du groupe symétrique vers lui-même, on vérifie que X Π= ε(σ ◦ τ )(∂σ◦τ (1) ∂σ◦τ (2) φ2 )(∂σ◦τ (3) φ3 ) · · · (∂σ◦τ (n) φn ). σ∈Sn

Nous appliquons ceci avec la transposition τ = (1, 2) donnée par τ (1) = 2 et τ (2) = 1. Alors on a ε(σ ◦ τ ) = −ε(σ) et d’après le théorème de Schwarz ∂σ◦τ (1) ∂σ◦τ (2) φ2 = ∂σ(1) ∂σ(2) φ2 . Par ailleurs, σ ◦ τ (k) = σ(k) pour k ⩾ 3. Il suit que Π = −Π ce qui démontre que Π = 0. On conclut que l’identité (2.9) entraîne Z Z


f (φ)J dx = ∂1 M1 g(φ) + · · · + ∂n Mn g(φ) dx. Rn

Q

Notons que g(x) = 0 si x = (x1 , . . . , xn ) est tel que |xk | ⩾ c pour un certain indice k tel que 2 ⩽ k ⩽ n. En combinant cette remarque avec le fait que φ(x) = x si |x| ⩾ 1, on en déduit que, pour tout indice k tel que 2 ⩽ k ⩽ n, Z
∂k Mk g(φ) dx = 0. Q

On en déduit que Z

Z f (φ)J dx =

(2.11) Rn


∂1 M1 g(φ) dx.

Q

Notons que Z Z
∂1 M1 g(φ) dx =

θ(x2 , . . . , xn ) dx2 · · · dxn

où

[−c,c]n−1

Q

θ(x2 , . . . , xn ) = (M1 g(φ))(c, x2 , . . . , xn ) − (M1 g(φ))(−c, x2 , . . . , xn ). Par définition, M1 est le déterminant de la matrice carrée (∂φj /∂xi )2⩽i,j⩽n . Comme φ(±c, x2 , . . . , xn ) = (±c, x2 , . . . , xn ) car c ⩾ 1 et car φ(y) = y si y ̸∈ B (par hypothèse), on en déduit que M1 (±c, x2 , . . . , xn ) = 1. Par ailleurs, il suit de la définition de g et de l’hypothèse supp f ⊂ [−c, c]n que l’on a Z ∞ g(φ)(−c, x2 , . . . , xn ) = 0 et g(φ)(c, x2 , . . . , xn ) = f (t, x2 , . . . , xn ) dt. −∞

Nous avons donc démontré que Z Z
∂1 M1 g(φ) dx = Q

f (y) dy.

Rn

Ce qui conclut la démonstration au vu de (2.11).

2.6. THÉORÈME DU POINT FIXE DE BROUWER

45

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le lemme 2.14. Pour cela, nous allons procéder en deux temps. On commence par étudier une forme faible du lemme 2.14 où l’on suppose que l’application est de classe C 2 (et pas uniquement continue). Lemme 2.18. Considérons φ : Rn → Rn de classe C 2 et telle que φ(x) = x si |x| ⩾ 1. Alors on a B ⊂ φ(B). Démonstration. Par l’absurde. Supposons qu’il existe un élément y0 de B qui n’appartient pas à φ(B). Comme φ coïncide avec l’identité sur l’extérieur de la boule ouverte, on vérifie que y0 appartient à B. Comme B est compacte, l’ensemble image φ(B) est aussi compact et donc fermé. On en déduit que le complémentaire Rn ∖ φ(B) est ouvert donc il existe r > 0 tel que la boule B(y0 , r) est incluse dans B ∩(Rn ∖φ(B)). L’idée est alors d’utiliser l’identité Z Z f (φ(x))J(x) dx = f (y) dy, Rn

Rn

C0∞ (Rn )

avec f ∈ choisie telle Rque supp f est inclus dans B(y0 , r). Pour une telleRfonction f on trouve que f (φ(x))J(x) dx = 0. Ce qui est absurde dès que f ̸= 0. Fin de la démonstration du lemme 2.14. On commence par prolonger θ : B → B en une fonction continue φ : Rn → Rn en posant φ(x) = θ(x) si x ∈ B et φ(x) = x si |x| ⩾ 1. Ensuite, nous allons utiliser une méthode de convolution(2) pour approcher φ par des fonctions φε de classe C 2 , vérifiant φε (x) = x si |x| ⩾ 1 + ε. Pour cela, nous introduisons les fonctions Z x − y 1 φε (x) = n ρ φ(y) dy, ε Rn ε où ρ est une fonction C ∞ àR support dans la boule unité, vérifiant ρ(y) = ρ(−y), telle que ρ ⩾ 0 et Rn ρ(x) dx = 1. Pour tout ε > 0, φε est de classe C ∞ par dérivation d’une intégrale à paramètres. Montrons que φε (x) = x si |x| ⩾ 1 + ε. Pour cela, par un changement de variables élémentaire, on commence par écrire que Z 1 φε (x) = n ρ (y/ε) φ(x − y) dy. ε Rn Considérons x tel que |x| ⩾ 1 + ε. Si y/ε appartient au support de ρ, alors |y| ⩽ ε donc |x − y| ⩾ 1 d’après l’inégalité triangulaire. Il suit que Z Z 1 1 φε (x) = n ρ (y/ε) (x − y) dy = n ρ (y/ε) x dy = x, ε Rn ε Rn (2) La

convolution sera étudiée en détails au chapitre 6.

46

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

R R où l’on a utilisé le fait que ρ(y) dy = 1 et yρ(y) dy = 0 (car ρ est paire). De plus, il suit de résultats classiques (voir la démonstration du théorème 6.8) que ces fonctions convergent uniformément vers φ au sens où lim sup |φε (x) − φ(x)| = 0.

ε→0 x∈Rn

Enfin, on introduit la fonction 1 φε ((1 + ε)x), 1+ε de sorte que φ eε : Rn → Rn est de classe C 2 et vérifie φ eε (x) = x si |x| ⩾ 1. Maintenant, considérons un élément y de la boule B. D’après le lemme 2.18, il existe x eε dans B tel que φ eε (e xε ) = y. Par compacité de B, il existe une suite (e xεk )k∈N qui converge vers un élément x ∈ B. En passant à la limite, on vérifie que φ(x) = y. Ceci conclut la démonstration du lemme 2.14 et donc celle du théorème de point fixe de Brouwer. φ eε (x) =

Le théorème du point fixe de Brouwer a de très nombreuses applications (voir [104, 44, 115]). Nous verrons au paragraphe suivant une application (difficile) à la démonstration du théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. Nous montrons ici comment utiliser ce théorème de point fixe pour montrer un résultat célèbre sur les matrices à coefficients positifs ou nuls. Corollaire 2.19 (Théorème de Perron-Frobenius). Soit n ⩾ 1 et soit A = (aij )1⩽i,j⩽n une matrice telle que aij ∈ [0, +∞[ pour tous i, j tels que 1 ⩽ i, j ⩽ n. Alors A admet une valeur propre λ ∈ [0, +∞[. Démonstration. Si A n’est pas inversible, alors 0 est valeur propre. Si A est inversible, on introduit la fonction f : Rn ∖ {0} → Rn définie par f (x) = Ax/ |Ax|1 , où nous avons utilisé la notation |(y1 , . . . , yn )|1 = |y1 | + · · · + |yn |. On considère également l’ensemble C = {(x1 , . . . , xn ) ∈ [0, 1]n : x1 + · · · + xn = 1} . On vérifie que C est un convexe compact de Rn , qui est homéomorphe(3) à la boule unité fermée Bn−1 de Rn−1 , c’est-à-dire 2 Bn−1 = {(X1 , . . . , Xn−1 ) ∈ Rn−1 : X12 + · · · + Xn−1 ⩽ 1}.

Maintenant, on observe que f (C) ⊂ C par construction de f , en utilisant le fait que, si les coordonnées de x sont positives, alors Ax est aussi un vecteur de coordonnées positives (car les coefficients de A sont positifs). Par conséquent, le théorème de Brouwer (voir le corollaire 2.12) implique (3) On

ne détaille pas ici la preuve que C est homéomorphe à Bn−1 ; on renvoie à l’exercice corrigé 2.2 où une construction similaire est proposée.

2.7. THÉORÈME DE L’INVARIANCE DU DOMAINE DE BROUWER

47

que f |C admet un point fixe x ∈ C, ce qui implique que |Ax|1 est une valeur propre de A. 2.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer Le but de ce paragraphe est de démontrer le théorème d’invariance du domaine dû à Brouwer(4) . Théorème 2.20 (Invariance du domaine). (i) Considérons un entier n ⩾ 1 et U ⊂ Rn un ouvert. Si f : U → Rn est continue et injective, alors l’ensemble image f (U ) est ouvert. (ii) Considérons deux entiers n, m ⩾ 1. Si Rn est homéomorphe à Rm alors n = m. (iii) Considérons un entier n ⩾ 1. Soient U ⊂ Rn ouvert et f : U → Rn une injection continue. Alors f est un homéomorphisme de U sur f (U ). Remarque 2.21. – Il existe f : ]0, 1[ → ]0, 1[2 qui est bijective et continue mais dont l’inverse n’est pas continue. Par exemple, la fonction définie par : f (x) = (y, z) où y = 0, d1 d3 d5 . . . où x = 0, d1 d2 . . . =

∞ X dj j 10 j=1

avec

et z = 0, d2 d4 d6 . . . . dj ∈ {0, . . . , 9}.

Cette application est bijective et continue mais sa réciproque n’est pas continue. En effet, les nombres a = 0, 1 et bp = 0, 099 . . . 9, contenant p copies du chiffre 9, sont arbitrairement proches, alors que la distance entre les nombres f −1 (a, a) = 0, 11 et f −1 (bp , bp ) = 0, 0099 . . . 9 est minorée par 0, 1). – Le résultat est faux en dimension infinie. Par exemple, τ : ℓ∞ (N) → ∞ ℓ (N) définie par τ (x0 , . . . , xn , . . . ) = (0, x0 , . . . , xn , . . . ). Cette application est continue et injective, mais l’ensemble τ (ℓ∞ (N)) n’est pas un ouvert. – Il existe f : R → R2 , continue, injective et dont l’image n’est pas ouverte (par exemple f (t) = (t, 0)). Ce qui montre qu’il faut supposer que les dimensions des espaces de départ et d’arrivée sont les mêmes. (4) Ce

résultat a été annoncé par Poincaré. Il a été démontré pour la première fois par Brouwer [13]. Nous allons ici donner une démonstration très simple due à Kulpa [84]. Terence Tao reprend cette démonstration dans ses notes de cours (voir [137, §6.2]) et nous allons suivre sa version de la démonstration de Kulpa (voir également le texte de Mawhin [97] et les très nombreuses références qu’il contient).

48

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

Démonstration. Pour démontrer le théorème d’invariance du domaine, nous allons utiliser le lemme suivant. Lemme 2.22. Notons B la boule fermée B(0, 1). Si f : B → Rn est une application continue et injective, alors f (0) appartient à l’intérieur de f (B). Admettons momentanément ce lemme et démontrons le théorème. Démonstration de l’énoncé (i). Considérons y0 ∈ f (U ). Il existe x0 élément de U tel que f (x0 ) = y0 . Soit ε > 0 suffisamment petit, de sorte que x0 +εB ⊂ U . Considérons alors l’application F : B → Rn définie par F (x) = f (x0 + εx). C’est une application continue et injective par hypothèses sur f . D’après le lemme 2.22, y0 = F (0) appartient à l’intérieur de F (B). Or F (B) ⊂ f (U ) donc f (U ) est un voisinage de y0 . Ce qui démontre que f (U ) est un ouvert. Démonstration de l’énoncé (ii). Supposons par l’absurde qu’il existe un homéomorphisme f : Rn → Rm avec m ̸= n. Quitte à échanger n et m, on peut supposer que m < n. Posons Em = Rm ×{0}n−m et considérons l’application p : Rm → Rn définie par p : (x1 , . . . , xm ) 7→ (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0). Alors l’application F : Rn → Rn , définie par F (x) = p(f (x)), est continue et injective comme application composée de deux applications continues et injectives. Donc F (Rn ) est ouvert d’après l’énoncé (i). Ce qui est absurde car F (Rn ) ⊂ Em et qu’aucune boule de Rn n’est incluse dans Em . Démonstration de l’énoncé (iii). L’application f est bijective de U sur f (U ). Notons g = f −1 : f (U ) → U son inverse. Considérons un ouvert V de U . Alors V est un ouvert de Rn . Comme g −1 (V ) = f (V ), le résultat de l’énoncé (i) implique que g −1 (V ) est ouvert. Ce qui montre que g = f −1 est continue, donc f est un homéomorphisme de U sur f (U ). Nous en venons maintenant à la partie principale de la démonstration. Démonstration du lemme 2.22. Nous allons utiliser le résultat suivant. Théorème 2.23 (Tietze). Considérons un espace métrique X et un nombre réel M > 0. Pour toute application f : A → [−M, M ] continue sur un fermé A de X, il existe une application g : X → [−M, M ] continue telle que g|A = f . Démonstration. La démonstration repose sur le lemme suivant. Lemme 2.24. Soit f : A → [−M, M ] une fonction continue sur un fermé A de X. Il existe une fonction continue fe: X → [−M/3, M/3] telle que 2M (2.12) ∀x ∈ A, f (x) − fe(x) ⩽ . 3 Démonstration. Introduisons les deux fermés F1 = f −1 ([−M, −M/3]) et F2 = f −1 ([M/3, M ]). Notons que ces deux ensembles sont disjoints. Remarquons que la fonction X ∋ x 7→ dist(x, F1 ) + dist(x, F2 ) ∈ R+ ne s’annule

2.7. THÉORÈME DE L’INVARIANCE DU DOMAINE DE BROUWER

49

pas. En effet, si dist(x, F1 ) = 0, alors x ∈ F1 car F1 est fermé, donc x ̸∈ F2 par hypothèse et il suit que dist(x, F2 ) > 0 car F2 est fermé. On peut alors poser M dist(x, F2 ) M dist(x, F1 ) fe(x) = − + . 3 dist(x, F1 ) + dist(x, F2 ) 3 dist(x, F1 ) + dist(x, F2 ) Cette fonction est continue, à valeurs dans [−M/3, M/3]. Elle vaut −M/3 sur F1 et M/3 sur F2 , et l’on déduit (2.12) de l’inégalité triangulaire en étudiant séparément les cas x ∈ F1 , x ∈ F2 et x ∈ A ∖ (F1 ∪ F2 ). En utilisant ce lemme, on construit par récurrence une suite (fk )k∈N∗ de fonctions continues fk : X → R telles que n X n (2.13) ∀x ∈ A, f (x) − fk (x) ⩽ (2/3) M, k=1

M . 2 P D’après (2.14), la série fk converge normalement donc uniformément et P sa somme g = k∈N∗ fk vérifie |g| ⩽ M et coïncide avec f sur A d’après (2.13). Ce qui conclut la démonstration du théorème 2.23. ∀x ∈ X,

(2.14)

|fk (x)| ⩽ (2/3)

k

Par hypothèse, l’application f : B → f (B) est une bijection continue. On veut montrer que f (0) appartient à l’intérieur de f (B). Considérons l’application g : f (B) → B définie par g(x) = f −1 (x). Montrons que c’est une application continue. Soit F un fermé de B. Alors F est un compact de Rn , donc g −1 (F ) = f (F ) est compact car c’est l’image d’un compact par une application continue. En particulier, g −1 (F ) est fermé, ce qui montre que g est continue. On utilise alors le théorème 2.23 de Tietze pour obtenir l’existence d’une application G : Rn → Rn continue qui prolonge g (on applique le théorème de Tietze à chaque coordonnée de g). Par construction, on a G(f (0)) = g(f (0)) = f −1 (f (0)) = 0, donc G s’annule. L’idée de la démonstration est de construire une petite perturbation de G qui ne s’annule pas, puis d’en déduire une contradiction. Supposons que f (0) n’appartient pas à l’intérieur de f (B). Par continuité de G, il existe ε > 0 tel que 1 |G(y)| < , ∀y ∈ B(f (0), 2ε). 3 De plus, il existe c dans Rn tel que |c − f (0)| < ε et c ̸∈ f (B). Alors |G(y)| < 1/3 si y ∈ B(c, ε). On pose : Σ = Σ1 ∪ Σ2

avec

Σ1 = {y ∈ f (B) : |y − c| ⩾ ε} et Σ2 = ∂B(c, ε).

50

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

L’application G ne s’annule pas sur Σ1 . En effet, si y ∈ f (B), alors G(y) = g(y) = f −1 (y) et donc G(y) = 0 implique y = f (0). Or, si y ∈ Σ1 , on a y ∈ f (B) et y ̸= f (0). Comme Σ1 est compact, G est minoré sur Σ1 par une constante strictement positive. Il existe δ > 0 tel que (2.15)

inf |G(y)| > δ.

y∈Σ1

On peut bien sûr supposer que δ ⩽ 1/3. Il suit que G ne s’annule pas sur Σ1 . Nous allons montrer que l’on peut perturber G pour obtenir une fonction qui ne s’annule pas non plus sur Σ2 . Lemme 2.25. Il existe une fonction continue P : Rn → Rn telle que (2.16)

sup |P (y) − G(y)| ⩽ δ, y∈f (B)

et qui ne s’annule pas sur Σ1 ∪ Σ2 . Démonstration. Comme f (B) est compact, on peut utiliser le théorème de Stone-Weierstrass (voir le corollaire 1.47) pour déduire l’existence d’une fonction Q : Rn → Rn dont les coordonnées sont des polynômes et qui vérifie (2.17)

sup |Q(y) − G(y)| ⩽ y∈f (B)

δ . 2

Montrons maintenant que l’ensemble image Q(Σ2 ) est de mesure nulle. Pour cela, notons que pour tout nombre réel µ > 0, on peut recouvrir la SN sphère Σ2 par une collection finie de boules Σ2 ⊂ j=1 B(xj , rj ) de sorte que X |B(xj , rj )| ⩽ µ, 1⩽j⩽N

où |B(xj , rj )| est la mesure de Lebesgue n-dimensionnelle de la boule B(xj , rj ). Comme Q est de classe C 1 , elle est lipschitzienne sur les parties bornées d’après l’inégalité des accroissements finis (voir le théorème 2.1). Aussi, il existe d’une constante K > 0 telle que |Q(B(xj , rj ))| ⩽ SN K |B(xj , rj )|. Alors, en écrivant Q(Σ2 ) ⊂ j=1 Q(B(xj , rj )), on obtient l’inégalité |Q(Σ2 )| ⩽ Kµ. Comme cette inégalité est vraie pour tout µ > 0, on obtient bien que Q(Σ2 ) est de mesure nulle. En particulier, la boule B(0, δ/2) n’est pas incluse dans Q(Σ2 ) ce qui montre qu’il existe un vecteur e ∈ B(0, δ/2) tel que e ∈ / Q(Σ2 ). On considère alors la fonction P : Rn → Rn définie par P (x) = Q(x) − e. Cette fonction vérifie (2.16) par inégalité triangulaire et de plus ne s’annule pas sur Σ2 par construction. Enfin, il suit directement de (2.15) et de l’inégalité triangulaire que P ne s’annule pas sur Σ1 .

2.7. THÉORÈME DE L’INVARIANCE DU DOMAINE DE BROUWER

51

e : f (B) → Rn définie par Introduisons la fonction G  n ε o  e G(y) = P c + max , 1 (y − c) . |y − c| e est bien Comme c n’appartient pas à f (B) par hypothèse, la fonction G définie et elle est continue sur f (B). De plus, pour tout y ∈ f (B), on a n ε o z := c + max , 1 (y − c) ∈ Σ. |y − c| En effet, si |y − c| ⩾ ε, alors z = y et donc z ∈ Σ1 . Si |y − c| < ε, alors |z − c| = ε et donc z ∈ Σ2 . Dans les deux cas on vérifie que z appartient e à Σ = Σ1 ∪ Σ2 . On en déduit que G(y) ̸= 0 pour tout y ∈ f (B) car la fonction P ne s’annule pas sur Σ. Si y ∈ f (B) avec |y − c| ⩾ ε, alors e = |G(y) − P (y)| ⩽ δ. G(y) − G(y) Si y ∈ f (B) et |y − c| < ε, alors |G(y)|
1. Supposons que P (f ) = 1/n + bn xn et considérons le développement en série formelle de f : f = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · . Alors P (f ) = a0 + (1 − a0 )a1 x + (a2 − a21 − 2a0 a2 )x2 + (a3 − 3a1 a2 − 3a0 a3 )x3 + · · · peut s’écrire sous la forme P (f ) = a0 + α1 x + · · · + αk xk + · · · avec α1 = (1 − a0 )a1 ,

αk = (1 − ka0 )an + Qk (a1 , . . . , ak−1 ) pour k ⩾ 2,

où Qk vérifie Qk (0) = 0. Nécessairement, a0 = 1/n et donc a0 ̸= 1 si n > 1. Alors (1−a0 )a1 = 0, donc a1 = 0. On montre alors par récurrence que ak = 0 pour k < n. Alors αn = (1 − na0 )an et donc αn = 0 car a0 = 1/n. Il est ainsi impossible d’imposer αn = bn et donc de résoudre P (f ) = 1/n + bn xn . Remarque 2.26. Le problème provient du fait que DP (f ) peut être non inversible pour f arbitrairement petit. En effet, DP (1/n)xk = (1 − k/n)xk donc DP (1/n)xn = 0. Même si DP (0) est l’identité, DP (f ) peut être non inversible pour f arbitrairement proche de 0. Dans les hypothèses du théorème de Nash-Moser, on supposera que la différentielle est inversible dans (5) Ce

contre exemple est extrait de l’article de revue de Hamilton [53].

53

2.8. THÉORÈME DE NASH

un voisinage du point considéré. Notons le contraste avec le théorème d’inversion locale qui assure que l’on peut résoudre une équation non linéaire à partir de la résolution d’une seule équation linéaire. Par souci de simplicité, nous allons démontrer le théorème de Nash-Moser dans le contexte le plus simple(6) . Le contexte est donné par une échelle d’espaces de Banach (X σ , ∥·∥σ )σ⩾0 . On pensera à σ comme étant un paramètre mesurant la régularité d’une fonction, c’est-à-dire le nombre de dérivées que l’on contrôle dans une certaines norme (par exemple X k = C k (R) pour k ∈ N). Nous verrons dans ce cours plusieurs échelles d’espaces de Banach, la plus importante dans les applications étant celle des espaces de Sobolev. Définition 2.27. On dit qu’une famille d’espaces de Banach (X σ , ∥·∥σ )σ⩾0 est une échelle d’espaces de Banach si les deux propriétés suivantes sont vérifiées : (P1) Pour tous σ ′ , σ tels que 0 ⩽ σ ′ ⩽ σ < ∞, T ′ Xσ , X ∞ ⊂ X σ ⊂ X σ ⊂ X 0 , X ∞ := σ⩾0

et ∥·∥σ′ ⩽ ∥·∥σ . (P2) Il existe une régularisation : il existe une famille (S(N ))N ⩾1 d’opérateurs linéaires régularisants S(N ) : X 0 → X ∞ tels que lim ∥S(N )u − u∥0 = 0,

N →+∞

∀u ∈ X0 ,

et, pour tous s, t ⩾ 0, ∥u − S(N )u∥s ⩽ C(t)N −t ∥u∥s+t , ∥S(N )u∥s+t ⩽ C(t)N t ∥u∥s . Il est intéressant d’observer que sous cette seule hypothèse on peut démontrer une inégalité d’interpolation. Lemme 2.28. Soient λ1 , λ2 tels que 0 ⩽ λ1 ⩽ λ2 et soit α ∈ [0, 1]. Il existe une constante A telle que, pour tout u ∈ Xλ2 , α ∥u∥λ ⩽ A∥u∥1−α λ1 ∥u∥λ2 , (6) Le

λ = (1 − α)λ1 + αλ2 .

théorème de Nash-Moser intervient dans de nombreux problèmes issus de domaines différents : géométrie (plongement isométrique), systèmes dynamiques (stabilité en mécanique céleste), étude des équations aux dérivées partielles (équations hamiltoniennes en dimension infinie). Le but commun est la résolution d’une équation non linéaire à partir de la résolution d’équations linéaires, au moyen d’un schéma itératif quadratique. Nous allons traiter la situation la plus simple et, pour une exposition détaillée des méthodes à employer pour résoudre les cas généraux, nous renvoyons aux articles originaux de Kolmogorov [83], Nash [111], Arnold [7], Moser [106, 107], Zehnder [149], et Herman [59], ainsi qu’aux textes d’introduction d’Alinhac-Gérard [3], Craig [31], Ghys [47], Hamilton [54], Hörmander [63], Nirenberg [114], Poschel [118] et Wayne [147].

54

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

Démonstration. Soit N > 0. On peut décomposer u sous la forme u = S(N )u + (I − S(N ))u et en déduire que ∥u∥λ ⩽ ∥S(N )u∥λ + ∥(I − S(N ))u∥λ ⩽ CN λ−λ1 ∥u∥λ1 + CN −(λ2 −λ) ∥u∥λ2 . On obtient le résultat voulu en optimisant cette inégalité. Considérons une échelle d’espaces de Banach (X σ ) et une application u 7→ Φ(u) de domaine de définition X m pour un certain m ⩾ 0 et d’image contenue dans X 0 . Nous voulons résoudre l’équation Φ(u) = 0, en supposant que l’on connaisse une bonne solution approchée, c’est-à-dire un élément u0 ∈ X ∞ tel que Φ(u0 ) est suffisamment petit dans X k avec k grand. La méthode de Nash-Moser est une élaboration du schéma de Newton qui permet de résoudre l’équation Φ(u) = 0 dans certaines situations où l’inverse de Φ′ (0) n’est pas bornée. Cette méthode construit une solution u de Φ(u) = 0 comme la limite d’une suite (un )n∈N définie par un+1 = un − S(Nn )Φ′ (un )−1 Φ(un ), où S(Nn ) est un opérateur régularisant. L’idée est que la convergence très rapide du schéma permet de compenser le fait que l’inverse de Φ′ (un ) n’est pas bornée. L’hypothèse principale est que Φ est C 2 (ou C 1,α avec α > 0) et que l’équation linéarisée
1 lim Φ(u + tv) − Φ(u) = Φ′ (u)v = g t→0 t a des solutions approchées, non seulement pour u = 0 mais pour tout u dans un voisinage de 0. Hypothèse 2.29. Dans toute la suite, on fixe m ⩾ 0 et considère une fonction u 7→ Φ(u) de domaine de définition X m et d’image contenue dans X 0 . On suppose qu’il existe des constantes Kj ⩾ 1 (1 ⩽ j ⩽ 4) et τ ⩾ 0 telles que pour tout s ⩾ 0 les propriétés suivantes sont vérifiées : – (condition C 0 ) Φ : X s+m → X s et ∀u ∈ X ∞ ;

∥Φ(u)∥s ⩽ K1 (1 + ∥u∥s+m ),

(2.18)

– (condition C 1,1 ) Φ : X s+m → X s est différentiable et ∥Φ′ (u)h∥s ⩽ K2 ∥h∥s+m ,

(2.19)

∀u, h ∈ X ∞ ,

et la partie quadratique Q(u, u′ ) = Φ(u′ ) − Φ(u) − Φ′ (u)[u′ − u] est estimée par (2.20)

2

∥Q(u, u′ )∥s ⩽ K3 ∥u′ − u∥s+m ,

∀u, u′ ∈ X ∞ ;

55

2.8. THÉORÈME DE NASH

– (inversion de la différentielle avec perte de dérivée) pour tout u ∈ X ∞ , il existe un opérateur linéaire L(u) : X τ → X 0 vérifiant
Φ′ (u) L(u)h = h, ∀h ∈ X ∞ et tel que (2.21)

∥L(u)h∥s ⩽ K4 ∥h∥s+τ ,

∀h ∈ X ∞ .

Théorème 2.30 (Nash). Soit s0 > m + τ . Si ∥Φ(0)∥s0 +τ est assez petit alors il existe une solution u ∈ X s0 de l’équation Φ(u) = 0. Remarque 2.31. On peut autoriser les constantes K1 , K2 , K3 , K4 dans l’hypothèse 2.29 à dépendre de certaines normes de l’inconnue, à la condition que les estimations soient douces au sens donné par Hamilton [53], c’est-à-dire : soit F un espace de Fréchet gradué et soit P : U ⊂ F → F une fonction. On dit que P vérifie une estimation douce de degré r et de base b si ∥P (f )∥n ⩽ C(1 + ∥f ∥n+r ) pour tout f ∈ U et tout n ⩾ b (avec une constante C qui peut dépendre de n). On dit que P est une application douce si P est définie sur un ensemble ouvert et est continue et satisfait une estimation douce au voisinage de chaque point. Démonstration. Nous allons construire par récurrence une suite (un )n∈N telle que (2.22)

∥Φ(un )∥s0 −m < Mn−1 ,

(2.23)

∥un+1 − un ∥s0 < Mn−1 ,

où Mn est une suite rapidement croissante telle que Mn+1 = Mnγ pour un certain γ > 1. La seconde estimation implique que (un )n∈N est une suite de Cauchy dans X s0 et donc qu’elle converge. La première estimation et la continuité de Φ entraîne que la limite est solution de Φ(u) = 0. En partant de u0 = 0, nous définirons la suite (un )n∈N en résolvant, de façon approchée, l’équation Φ′ (un )(un+1 − un ) + Φ(un ) = 0. Ce qui veut dire qu’à chaque étape, on utilise un opérateur régularisant pour compenser le fait que Φ′ (u) n’est pas inversible à cause d’une perte éventuelle de dérivée. Soit 2 < N0 < N1 < · · · une suite rapidement croissante donnée par Nn := exp(λχn ),

Nn+1 = Nnχ ,

χ :=

3 , 2

56

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

avec λ assez grand qui dépend de m, τ, Kj , s0 , que l’on choisira plus tard. On définit vn := −L(un )Φ(un ) un+1 := un + S(Nn+1 )vn de sorte que un ∈ X estimer

∞

et ainsi Φ(un ) ∈ X ∞ pour tout n ⩾ 0. On veut εn := ∥Φ(un )∥s0 −m .

Comme Φ(un ) = Φ′ (un )L(un )Φ(un ), nous avons Φ(un+1 ) = Φ(un ) + Φ′ (un )(un+1 − un ) + Q(un , un+1 ) = Φ′ (un )(I − S(Nn+1 ))L(un )Φ(un ) + Q(un , un+1 ). Cette identité et les estimations ∥Φ′ (un )h∥s0 −m ⩽ K2 ∥h∥s0 , ∥Q(un , un+1 )∥s0 −m ⩽ K3 ∥un+1 − un ∥2s0 , nous donnent ∥Φ(un+1 )∥s0 −m ⩽ K2 ∥(I − S(Nn+1 ))L(un )Φ(un )∥s0 + K3 ∥S(Nn+1 )L(un )Φ(un )∥2s0 . Ainsi, pour tout β ⩾ 0, −β ∥Φ(un+1 )∥s0 −m ⩽ CNn+1 ∥L(un )Φ(un )∥s0 +β 2m+2τ + CNn+1 ∥L(un )Φ(un )∥2s0 −m−τ ,

avec C = C(β, s0 , m, τ, K2 , K3 ). Dans la suite, nous noterons C plusieurs constantes différentes qui ne dépendent que de β, s0 , m, τ, Kj . Nous écrirons parfois simplement A ≲ B pour dire qu’il existe une constante C qui ne dépend que de β, s0 , m, τ, Kj telle que A ⩽ CB. Notons que le paramètre β sera choisi en fonction de s0 , m, τ, Kj . En utilisant l’estimation pour L(un ), nous trouvons ensuite que −β 2m+2τ 2 εn+1 ≲ Nn+1 ∥Φ(un )∥s0 +β+τ + Nn+1 εn .

L’idée est que la convergence super-rapide du schéma de Newton compense 2m+2τ le facteur Nn+1 qui provient du caractère non borné de la dérivée de Fréchet et de son inverse. Nous montrerons que si β et λ sont assez grands alors le premier terme vérifie (2.24)

∥Φ(un )∥s0 +β+τ ⩽ Nnβ ,

57

2.8. THÉORÈME DE NASH

−β de sorte que Nn+1 ∥Φ(un )∥s0 +β+τ tend vers 0 rapidement car Nn /Nn+1 tend vers 0 rapidement. Nous démontrons (2.24) par récurrence sur n. Pour n = 0, la condition (2.24) est que

∥Φ(0)∥s0 +β+τ ⩽ eλβ ,

(2.25)

qui est vérifiée pour λ assez grand car ∥Φ(0)∥s0 +β+τ ⩽ K1 . Supposons maintenant (2.24) est démontré au rang n − 1 avec n > 0. Comme ∥Φ(un )∥s0 +β+τ ⩽ K1 (1 + ∥un ∥s0 +β+τ +m ), l’inégalité triangulaire implique que n   X ∥Φ(un )∥s0 +β+τ ⩽ K1 1 + ∥uk − uk−1 ∥s0 +β+τ +m 

k=1 n X



k=1 n X

⩽ K1 1 + ⩽ K1 1 +

∥S(Nk )L(uk−1 )Φ(uk−1 )∥s0 +β+τ +m CNkτ +m ∥L(uk−1 )Φ(uk−1 )∥s0 +β





k=1

≲1+

n X

Nkτ +m ∥Φ(uk−1 )∥s0 +β+τ .

k=1

L’hypothèse de récurrence entraîne ∥Φ(un )∥s0 +β+τ ≲ 1 +

n X

β Nkτ +m Nk−1 .

k=1

Puisque

 1 χ−1 Nk+1 Nn−1 ⩽ ⩽ ⩽ 2−n , Nn Nn Nn−1

nous avons β β ∥Φ(un )∥s0 +β+τ ≲ (1 + n2−n )Nnτ +m Nn−1 ⩽ CNnτ +m Nn−1 . Maintenant, nous vérifions que, si λ et β sont assez grands, (2.26)

β>

χ(τ + m) , χ−1

λ⩾

log(C) , (χ − 1)β − χ(m + τ )

alors

β CNnτ +m Nn−1 = C exp λ(χτ + χm + β)χn−1 ⩽ Nnβ = exp λβχn . Ce qui démontre (2.24). Il suit que −β 2m+2τ 2 εn+1 ⩽ CNn+1 Nnβ + CNn+1 εn , avec C qui ne dépend que de β, mτ, s0 , Kj . Si les inégalités suivantes sont vraies χ−1 2χ log(C) β>ν> (m + τ ), λ ⩾ , χ 2−χ (2 − χ)ν − 2χ(m + τ )

58

CHAPITRE 2. THÉORÈMES DE POINT FIXE

et λ⩾ alors on peut démontrer

log(C) , (χ − 1)β − χν εn ⩽ Nn−ν

pourvu que ε0 ⩽ N0−ν . Par définition de ε0 , la dernière condition est vérifiée dès que ∥Φ(0)∥s0 −m ⩽ e−λν . Ce qui conclut la démonstration. 2.9. Exercices Exercice (corrigé) 2.1. Soit E un espace de Banach et soit F : [0, +∞[×E → E une application continue vérifiant la propriété suivante : il existe C > 0 telle que, ∀t ∈ [0, +∞[, ∀(x, y) ∈ E × E,

∥F (t, x) − F (t, y)∥E ⩽ C ∥x − y∥E .

Le but de ce problème est de donner deux démonstrations du fait que, pour tout u0 dans E, il existe une unique fonction u ∈ C 1 ([0, +∞[; E) solution de du = F (t, u), u|t=0 = u0 . dt (1) Nous cherchons une solution u de l’équation Φ(u) = u avec Z t Φ(u) = u0 + F (s, u(s)) ds. 0

Étant donné T > 0, on note XT = C 0 ([0, T ]; E). Montrer que Φ est une contraction de XT dans XT pour T assez petit. (2) En déduire que, si T est assez petit, alors pour tout u0 dans E, il existe une unique fonction u ∈ C 1 ([0, T ]; E) solution de du = F (t, u), u|t=0 = u0 . dt Puis en déduire l’existence d’une solution définie pour tout temps en recollant des solutions définies sur des intervalles de temps de longueur T . (3) On veut donner un autre argument qui permet d’obtenir directement un résultat d’existence globale en temps. Étant donné un paramètre λ > 0, introduisons l’espace des fonctions à croissance au plus exponentielle de facteur λ : n o X = u ∈ C 0 ([0, +∞[; E) : sup e−λt ∥u(t)∥E < +∞ . t∈[0,+∞[

Vérifier que c’est un espace de Banach pour la norme ∥u∥X =

sup t∈[0,+∞[

e−λt ∥u(t)∥E .

2.9. EXERCICES

59

Soit u appartenant à X. Montrer que Φ(u) appartient aussi à X. Montrer de plus que pour tout u et tout v dans X, on a C ∥Φ(u) − Φ(v)∥X ⩽ ∥u − v∥X . λ Conclure. Exercice (corrigé) 2.2 (Théorème du point fixe de Brouwer). On pose B = {x ∈ Rn : |x| ⩽ 1} où |·| est la norme euclidienne, définie 2 par |x| = x21 +· · ·+x2n . Nous avons démontré (voir la section 2.6) le résultat suivant : toute application continue de B dans B admet un point fixe. Une question naturelle est de chercher à savoir si le résultat précédent est vrai si on remplace la norme euclidienne par une autre norme. (1) Considérons maintenant un ensemble K ⊂ Rn homéomorphe à la boule unité de Rn . Montrer que toute application continue de K dans K admet un point fixe. ˚ Montrer que (2) Soit C un compact convexe non vide de Rn avec 0 ∈ C. l’application µ : Rn → [0, +∞[ définie par µ(x) = inf{t > 0 : x/t ∈ C}, vérifie les propriétés suivantes : (a) ∃r, R > 0, ∀x ∈ Rn , |x|/R ⩽ µ(x) ⩽ |x|/r ; (b) ∀λ ⩾ 0, µ(λx) = λµ(x) ; (c) ∀x, y ∈ Rn , µ(x + y) ⩽ µ(x) + µ(y) ; (d) µ est continue ; (e) x ∈ C si et seulement si µ(x) ⩽ 1. (3) Montrer que C est homéomorphe la boule unité de Rn et en déduire que toute application continue de C dans C admet un point fixe. (4) Considérons une norme N sur Rn . Montrer que B = {x ∈ Rn : N (x) ⩽ 1} est un compact convexe et que 0 appartient à l’intérieur de B. Déduire de ce qui précède que le théorème de Brouwer reste vrai si on remplace la norme euclidienne par n’importe quelle norme.

CHAPITRE 3 ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

Ce chapitre introduit plusieurs notions essentielles en Analyse fonctionnelle et fait le lien entre la dualité et la géométrie. Nous commençons par une théorie simple et puissante : l’étude des espaces de Hilbert. Ceux sont les espaces pour lesquels nous disposons d’un analogue du théorème de Pythagore, de sorte que nous pourrons utiliser les méthodes de la géométrie euclidienne en dimension infinie. Nous allons étudier les propriétés d’orthogonalité et de convexité et voir comment elles interviennent dans l’étude du dual topologique. Un des objectifs de ce chapitre est d’introduire le point de vue de la dualité, qui consiste à étudier un espace vectoriel topologique en étudiant les formes linéaires continues opérant sur lui. Nous pouvons penser à une forme linéaire comme à une coordonnée, par exemple l’application (x1 , . . . , xn ) 7→ x1 de Rn dans R. En dimension infinie, il est non trivial de démontrer ne serait-ce que l’existence d’une forme linéaire continue non nulle. Dans le cas d’un espace de Hilbert H, nous démontrerons le théorème de Riesz-Fréchet, qui permet d’identifier l’espace des formes linéaires continues sur H avec l’espace H lui même : toute forme linéaire continue peut-être représentée par un produit scalaire par un vecteur donné. Ce résultat est fondamental car c’est un théorème d’existence. En effet, il est souvent utilisé pour garantir l’existence d’une solution à une équation dont l’inconnue est une fonction (nous donnerons plus loin une application de ce principe à la résolution du problème de Dirichlet). Nous verrons également dans le cadre hilbertien une notion de convergence faible : au lieu d’étudier la convergence au sens de la norme, nous nous intéresserons aux suites qui convergent coordonnée par coordonnée. Il s’agit là d’un point de vue très fructueux qui permet d’étudier la compacité de parties bornées, dans un sens faible, même en dimension infinie. Les sections suivantes concernent l’extension de ce point de vue aux espaces de Banach. Nous n’aurons alors pas d’analogue du théorème de Riesz-Fréchet qui nous permet d’étudier le dual. Le théorème clé ici sera

62

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

le théorème de Hahn-Banach. Il s’agit d’un résultat abstrait duquel nous déduirons l’existence de nombreuses formes linéaires. Cela nous conduira à étudier la convergence faible dans les espaces de Banach. La notion de convexité jouera également un rôle important dans cette partie. 3.1. Introduction aux espaces de Hilbert Dans cette section, nous allons introduire la notion d’espace de Hilbert et démontrer les principaux résultats : inégalité de Cauchy-Schwarz, projection sur un convexe, théorème de représentation de Riesz-Fréchet et compacité faible de la boule unité(1) . Dans toute cette section, K désignera soit R soit C et nous noterons z le complexe conjugué de z ; on utilisera aussi la notation z lorsque z est un nombre réel. Nous souhaitons considérer des espaces de Hilbert réels ou complexes et nous rédigerons les définitions et les démonstrations de sorte qu’elles s’appliquent aussi bien au cas réel qu’au cas complexe. 3.1.1. Produit scalaire. Considérons un K-espace vectoriel H. Par définition, un produit scalaire est une application de H ×H dans K, notée (· , ·), telle que, pour tous x, y, z ∈ H et tout λ, µ ∈ K, (a) (x, x) ⩾ 0 avec égalité si et seulement si x = 0 ; (b) (x, y) = (y, x) ; (c) (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z). De (b) et (c) on déduit que (z, λx + µy) = λ(z, x) + µ(z, y). Si K = R, alors bien sûr (y, x) = (y, x) et de même λ = λ (comme nous l’avons mentionné, nous rédigeons les définitions et les démonstrations de sorte qu’elles s’appliquent aussi bien au cas réel qu’au cas complexe). Théorème 3.1 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). Supposons que (· , ·) est un produit scalaire sur un K-espace vectoriel H quelconque. Pour tout x, y ∈ H, p p |(x, y)| ⩽ (x, x) (y, y). Démonstration. Étant donné un élément quelconque x de H, nous noterons p ∥x∥ = (x, x). Soit λ ∈ K de module 1 et soit (x, y) ∈ H × H. On vérifie que

2


2 0 ⩽ x ∥y∥ − λ∥x∥y = 2∥x∥2 ∥y∥ − ∥x∥ ∥y∥ (x, λy) + (λy, x)
⩽ 2∥x∥ ∥y∥ ∥x∥ ∥y∥ − Re(x, λy) . (1) La

théorie des espaces de Hilbert joue un rôle fondamental en mathématiques et en physique. Nous renvoyons aux livres de Brezis [12], Landsman [86], Lax [89], Reed et Simon [121, 120], ainsi qu’aux notes de cours de Golse, Laszlo, Pacard et Viterbo [48], Landsman [85], Robert [122] et Saint-Raymond [125].

3.1. INTRODUCTION AUX ESPACES DE HILBERT

63

L’inégalité de Cauchy-Schwarz est triviale si |(x, y)| = 0. Si |(x, y)| ̸= 0, on peut poser λ = (x, y)/|(x, y)| et alors Re(x, λy) = |(x, y)| et on en déduit que ∥x∥ ∥y∥ − |(x, y)| ⩾ 0. Corollaire 3.2. Supposons que (· , ·) est un produit p scalaire sur H. Alors l’application ∥·∥ : H → [0, +∞[ définie par ∥x∥ = (x, x) est une norme sur H. On appelle cette norme la norme induite par le produit scalaire. De plus, cette norme vérifie l’identité dite du parallélogramme : pour tous x, y dans H, on a (3.1)

2

2

2

∥x + y∥ + ∥x − y∥ = 2∥x∥2 + 2 ∥y∥ .

Démonstration. Par définition du produit scalaire, on a directement que ∥x∥ = 0 si et seulement si x = 0. De même, ∥λx∥ = |λ| ∥x∥ pour tout λ ∈ K et tout x ∈ H. Il reste à vérifier l’inégalité triangulaire. Pour cela, on écrit que 2 2 ∥x + y∥ = (x + y, x + y) = ∥x∥2 + ∥y∥ + 2 Re(x, y), puis on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour obtenir 2

2

∥x + y∥ ⩽ ∥x∥2 + ∥y∥ + 2∥x∥ ∥y∥ = (∥x∥ + ∥y∥)2 , d’où ∥x + y∥ ⩽ ∥x∥ + ∥y∥. Ce qui démontre que ∥x∥ est une norme. L’identité (3.1) s’obtient directement en écrivant que 2

2

∥x + y∥ + ∥x − y∥ = (x + y, x + y) + (x − y, x − y), puis en développant le membre de droite. Remarquons que le produit scalaire est continu de (H, ∥·∥) dans K. Cela se déduit directement de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Définition 3.3. Par définition, un espace de Hilbert est un K-espace vectoriel, muni d’un produitp scalaire (· , ·), qui est complet pour la norme associée (définie par ∥x∥ = (x, x)). Exemple 3.4. Les trois exemples d’espaces de Hilbert les plus importants sont les suivants : P 2 – l’espace Rn muni de la norme euclidienne |x| = 1⩽i⩽n x2i ; – l’espace ℓ2 (N; C) des suites (un )n∈N à valeurs complexes, de carré somP 2 mable c’est-à-dire telles que ∥u∥2ℓ2 = n∈N |un | < +∞ ; – l’espace L2 (Ω; C) des fonctions de carré intégrable (quotienté par la relation d’équivalence d’égalité presque partout). Proposition 3.5. Considérons un espace de Hilbert H. Toute partie A ⊂ H qui est convexe et fermée admet un unique élément de norme minimale. Remarque 3.6. C’est dans la démonstration de ce résultat que l’on utilise le fait que toute suite de Cauchy converge.

64

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

Démonstration. Considérons une suite (xn ) d’éléments de A telle que ∥xn ∥ converge vers δ := inf x∈A ∥x∥. Comme A est convexe, pour tous entiers n, m, le milieu (xn + xm )/2 appartient à A et donc ∥(xn + xm )/2∥ ⩾ δ. L’identité du parallélogramme implique que 2

2

2

∥(xn − xm )/2∥ + δ 2 ⩽ ∥(xn − xm )/2∥ + ∥(xn + xm )/2∥ 1 1 2 ⩽ ∥xn ∥ + ∥xm ∥2 . 2 2 Le membre de droite de l’inégalité converge vers δ 2 quand n et m tendent vers +∞. On en déduit que limn,m→+∞ ∥xn − xm ∥ = 0. Ainsi, (xn ) est une suite de Cauchy, qui converge par complétude de H. La limite appartient à A car A est fermée. Ceci démontre l’existence d’un élément de norme minimale, et l’unicité se déduit à nouveau de l’identité du parallélogramme. 3.1.2. Orthogonalité. Soit H un espace de Hilbert. On dit que deux vecteurs x, y sont orthogonaux si (x, y) = 0. On note alors x ⊥ y. On note {x}⊥ l’ensemble des vecteurs qui sont orthogonaux à x. Plus généralement, si F est un sous-espace quelconque de H, on pose F ⊥ = {x ∈ H : ∀y ∈ F, (x, y) = 0}. C’est un sous-espace vectoriel fermé. De plus, de la continuité de y 7→ (x, y) on déduit facilement que F ⊥ = (F )⊥ . Théorème 3.7. (i) Soit F un sous-espace fermé de H. Il existe une application linéaire PF : H → F telle que ∥x − PF (x)∥ = dist(x, F ) = inf y∈F ∥x − y∥. (ii) On a x − PF (x) ∈ F ⊥ . Démonstration. (i) Soit x ∈ H. Notons Ax = F − {x} = {y − x : y ∈ F }. Alors Ax est un ensemble convexe. La proposition 3.5 implique qu’il existe un unique vecteur z ∈ Ax de norme minimale. On défini PF (x) par PF (x) = z + x, de sorte que PF (x) ∈ F et ∥x − PF (x)∥ = ∥z∥ = inf ∥y − x∥ = dist(x, F ). y∈F

(ii) Soit y ∈ F non nul. Nous voulons montrer que x−PF (x) est orthogonal à y. Pour cela, considérons λ ∈ K (à choisir ultérieurement) et écrivons que, par définition de PF (x) via un argument de minimisation, 2

2

∥PF (x) − x − λy∥ ⩾ ∥PF (x) − x∥ . En développant le membre de gauche, on en déduit que 2

2

|λ| ∥y∥ − 2 Re(PF (x) − x, λy) ⩾ 0. On choisit ensuite λ ̸= 0 de sorte que 2

2

|λ| ∥y∥ − 2 Re(PF (x) − x, λy) = − |λ| |(PF (x) − x, y)|

3.1. INTRODUCTION AUX ESPACES DE HILBERT

65

(on vérifiera que c’est possible) pour en déduire que |(PF (x) − x, y)| = 0. Ceci implique que y est orthogonal à PF (x) − x. En conséquence, du théorème 3.7, on obtient directement le résultat suivant. Corollaire 3.8. (i) Si F est un sous-espace fermé, alors H = F ⊕ F ⊥ . (ii) Si F est un sous-espace vectoriel quelconque de H, alors (F ⊥ )⊥ = F . (iii) Soit F ⊂ H un sous-espace vectoriel quelconque. Alors F est dense si et seulement si F ⊥ = {0}. Nous en venons à un résultat fondamental qui permet d’identifier le dual topologique d’un espace de Hilbert H à H lui-même. Définition 3.9. On note H ′ le dual topologique de H. C’est l’ensemble des formes linéaires continues φ : H → K. Théorème 3.10 (Théorème de Riesz-Fréchet). Soit H un espace de Hilbert. Pour tout φ ∈ H ′ , il existe un unique f ∈ H tel que ∀v ∈ H,

φ(v) = (v, f ).

Démonstration. Étant donné f ∈ H, on note Θf : H → K l’application définie par Θf (v) = (v, f ). L’inégalité de Cauchy-Schwarz implique que |Θf (v)| = |(v, f )| ⩽ ∥v∥∥f ∥ ce qui montre que Θf est une forme linéaire continue sur H. Soit φ ∈ H ′ . On veut montrer qu’il existe f ∈ H tel que φ = Θf . Si φ = 0, alors le résultat est trivialement vérifié avec f = 0. Supposons que φ ̸= 0 et introduisons F = ker φ, qui est un sous-espace fermé par continuité de φ. Le corollaire précédent implique que H = F ⊕F ⊥ . Montrons que F ⊥ est de dimension 1. Pour cela, considérons deux vecteurs x, y non nuls dans F ⊥ . Comme F ∩ F ⊥ = {0} et que x ̸= 0 par hypothèse, on a x ̸∈ F = ker φ ce qui implique que φ(x) ̸= 0. On peut alors écrire que  φ(y)  φ y− x = 0, φ(x) ce qui implique que le vecteur y − (φ(y)/φ(x))x appartient à ker φ = F . Par ailleurs, ce vecteur appartient à F ⊥ car x et y sont dans le sous-espace F ⊥ . En réutilisant que F ∩ F ⊥ = {0}, on en déduit que ce vecteur est nul, ce qui prouve que F ⊥ est de dimension 1. Pour démontrer qu’il existe f ∈ F ⊥ tel que φ = Θf , il reste juste à choisir f dans F ⊥ tel que φ(f ) = ∥f ∥2 . En effet, avec ce choix, φ et Θf sont nulles donc coïncident sur F . Et, par ailleurs, ces deux applications

66

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

coïncident aussi sur F ⊥ car elles sont égales au point f ∈ F ⊥ et que F ⊥ est de dimension 1. Alors φ = Θf sur H = F ⊕ F ⊥ . Définition 3.11. Considérons une suite (xn ) d’éléments d’un espace de Hilbert H. On dit que cette suite converge faiblement vers x ∈ H si, pour toute forme linéaire continue φ ∈ H ′ , on a lim φ(xn − x) = 0.

n→+∞

D’après le théorème précédent, il est équivalent de dire que (xn ) converge faiblement vers x si, pour tout y ∈ H, on a lim (y, xn ) = (y, x).

n→+∞

On note alors xn ⇀ x. Remarque 3.12. La convergence forte implique la convergence faible : lim ∥xn − x∥ = 0 =⇒ xn −⇀ x.

n→+∞

Par ailleurs, le théorème de Banach-Steinhaus implique que toute suite faiblement convergente est bornée (voir la proposition 3.42 pour une généralisation de cette remarque). Les deux résultats qui vont suivre expliquent l’intérêt fondamental de la convergence faible : il y a des suites qui admettent des sous-suites faiblement convergentes alors qu’elles n’admettent aucune sous-suite fortement convergente. Proposition 3.13. Considérons un espace vectoriel H de dimension infinie qui est muni d’un produit scalaire (on dit que H est un espace pré-hilbertien). Alors la boule unité fermée n’est pas compacte. Remarque 3.14. C’est un cas particulier du théorème 1.15. Démonstration. Nous rappellerons ci-dessous le principe d’orthonormalisation qui permet ici de construire une suite d’éléments (en ) de H telle que 2 (en , em ) = 1 si n = m et 0 sinon. Alors, si n ̸= m, on a ∥en − em ∥ = 2 2 ∥en ∥ + ∥em ∥ = 2. Cette suite ne peut donc pas admettre une sous-suite qui soit de Cauchy. Théorème 3.15. Soit H un espace de Hilbert. Alors, toute suite (xn )n⩾0 bornée d’éléments de H possède une sous-suite faiblement convergente. Démonstration. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, la suite de terme général (x0 , xn ) est bornée dans K et donc elle admet une sous-suite convergente. En réutilisant cet argument, on construit par récurrence une suite de fonctions φk : N → N strictement croissantes telles que, pour tout k ∈ N,
la suite (xk , xφ0 ◦···◦φk (n ) n∈N converge dans K.

3.2. BASES HILBERTIENNES

67

On pose yn = xφ0 ◦···◦φn (n) et on va montrer que cette sous-suite converge faiblement. Par linéarité, pour tout v dans l’espace vectoriel E engendré par {xn : n ∈ N}, la suite de terme général (v, yn ) converge vers un élément U (v) de K. On vérifie que U est une forme linéaire sur E à valeurs dans K, qui est bornée car |(v, yn )| ⩽ M ∥v∥ où M = sup ∥xn ∥. L’espace E muni du produit scalaire de H est un espace de Hilbert, ce qui nous permet d’utiliser le théorème de représentation de Riesz dans cet espace pour conclure qu’il existe x ∈ E tel que U (v) = lim(v, yn ) = (v, x) pour tout v ∈ E. ⊥ Par ailleurs, si v ∈ E , alors v ∈ E ⊥ d’où (v, yn ) = 0. Donc, pour tout ⊥ v ∈ E ⊕ E , on a lim (v, yn ) = (v, x).

n→+∞

⊥

Comme E est fermé, on a H = E ⊕ E et ce qui précède montre que la sous-suite (yn ) converge vers x faiblement.

3.2. Bases hilbertiennes Une suite (en )n∈N d’éléments d’un espace de Hilbert H est appelée un système orthonormal si et seulement si (en , em ) = δnm

∀n, m ∈ N,

où δnm vaut 1 si n = m et 0 sinon. Proposition 3.16 (Orthonormalisation de Gram-Schmidt). Soit H un espace vectoriel muni d’un produit scalaire. Considérons une famille finie ou dénombrable (un )n∈I de vecteurs linéairement indépendants. Alors il existe un système orthonormal (en )n∈I tel que, pour tout N ∈ N, Vect{e0 , . . . , eN } = Vect{u0 , . . . , uN }. Démonstration. On pose e0 = u0 /∥u0 ∥ et on définit les éléments suivants par récurrence, de sorte que en = vn / ∥vn ∥

où vn = un − (un , e0 )e0 − · · · − (un , en−1 )en−1 .

On vérifie en effet que en est orthogonal à Vect{e0 , . . . , en−1 }. Lemme 3.17 (Inégalité de Bessel). Considérons un système orthonormal (en )n∈N et f un élément de H. Alors ∞ X n=0

2

|(f, en )| ⩽ ∥f ∥2 .

68

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

Démonstration. Posons SN f =

N X

(f, en )en . On a

n=0

X

2

∥SN f ∥ =

(f, en1 ) (f, en2 ) (en1 , en2 ) =

N X

2

|(f, en )| .

n=0

0⩽n1 ,n2 ⩽N

On en déduit que (f, SN f ) =

N X

(f, (f, en )en ) =

n=0

N X

2

|(f, en )|2 = ∥SN f ∥ .

n=0 2

L’inégalité de Cauchy-Schwarz entraîne que ∥SN f ∥ ∥SN f ∥ ⩽ ∥f ∥.

⩽ ∥f ∥ ∥SN f ∥ d’où

Théorème 3.18. Considérons un espace de Hilbert séparable H. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) l’espace vectoriel engendré par les {en } est dense dans H ; +∞ X 2 (ii) pour tout f ∈ H, ∥f ∥2 = |(f, en )| ; n=0 X (iii) pour tout f ∈ H, la série (f, en )en converge vers f ; (iv) si f ∈ H vérifie (f, en ) = 0 pour tout n ∈ N alors f = 0. Démonstration. Les implications (iii) ⇒ (i) et (iii) ⇒ (iv) sont triviales. Démontrons que (ii) ⇒ (iii). Pour cela, on utilise l’identité déjà vue (f, SN f ) = 2 ∥SN f ∥ pour déduire que 2

2

2

∥f − SN f ∥ = ∥f ∥2 + ∥SN f ∥ − 2 Re(f, SN f ) = ∥f ∥2 − ∥SN f ∥ , ce qui implique (3.2)

N N

2 X X

2 (f, en )en = ∥f ∥2 − |(f, en )| .

f − n=0

n=0

PN

PN 2 Cela entraîne que f − n=0 (f, en )en converge vers 0 si n=0 |(f, en )| 2 converge vers ∥f ∥ . Considérons l’implication (i) ⇒ (ii). Rappelons que ∥SN f ∥ ⩽ ∥f ∥ pour tout f ∈ H. Soit E l’espace vectoriel engendré par {en }n∈N . Soit ε > 0 et soit f ′ ∈ E tel que ∥f − f ′ ∥ < ε. Pour N assez grand on a SN f ′ = f ′ . Par ailleurs, ∥SN f − SN f ′ ∥ = ∥SN (f − f ′ )∥ ⩽ ∥f − f ′ ∥ ⩽ ε, donc ∥SN f − f ∥ ⩽ ∥SN f − SN f ′ ∥ + ∥SN f ′ − f ′ ∥ + ∥f ′ − f ∥ ⩽ ε + 0 + ε,

3.3. THÉORÈME DE HAHN-BANACH

69

donc (f − SN f ) converge vers 0. Maintenant, on peut passer à la limite dans P+∞ 2 (3.2) et on obtient ∥f ∥2 = n=0 |(f, en )| , ce qui conclut la démonstration de (i) ⇒ (ii). Montrons que (iv) ⇒ (iii) (c’est ici que l’on utilise le fait que H est Pp complet). Posons an = (f, en ) et fp = n=1 an en . L’inégalité de Bessel enPm 2 2 traîne (an ) ∈ ℓ2 . Maintenant, pour m > p on a ∥fm − fp ∥ = n=p+1 |an | ′ et donc la suite (fp ) est de Cauchy et converge vers un élément noté f . Mais alors (en considérant les sommes partielles et en passant à la limite), on trouve que (f ′ , en ) = an pour tout n, ce qui implique que (f − f ′ , en ) = 0 P∞ pour tout n. On en déduit que f = n=1 an en , ce qui conclut la démonstration.

3.3. Théorème de Hahn-Banach Nous proposons maintenant d’étendre certains des résultats sur les espaces de Hilbert aux espaces de Banach. Nous n’aurons plus le théorème de Riesz-Fréchet qui nous permet d’étudier le dual d’un espace de Hilbert. En fait, dans un espace de Banach, il est déjà non trivial de montrer l’existence de formes linéaires non nulles. Le théorème clé ici sera le théorème de Hahn-Banach qui est un résultat d’existence de formes linéaires. Nous commencerons par une version dite analytique qui permet d’étendre des formes linéaires. Nous verrons ensuite une forme géométrique qui concerne la séparation d’ensembles convexes au moyen d’un hyperplan (qui est le noyau d’une forme linéaire). 3.3.1. Version analytique. Dans tout ce paragraphe, K désignera soit R soit C. Rappelons que si (E, ∥·∥) un K-espace vectoriel normé, on note E ′ son dual topologique. C’est l’ensemble des formes linéaires continues ℓ : E → K. Alors E ′ est un K-espace vectoriel, muni de la norme ∥ℓ∥E ′ = sup |ℓ(x)| = sup x∈E ∥x∥=1

x∈E x̸=0

|ℓ(x)| . ∥x∥

Théorème 3.19 (Forme analytique). Soit (E, ∥·∥) un K-espace vectoriel normé avec K = R ou K = C, F ⊂ E un sous-espace vectoriel et f : F → K une forme linéaire continue. Alors il existe une forme linéaire continue g : E → K qui prolonge f (de sorte que g|F = f ) et telle que ∥g∥E ′ = sup |g(x)| = sup |f (x)| = ∥f ∥F ′ . x∈E ∥x∥=1

x∈F ∥x∥=1

70

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

Démonstration. Par souci de simplicité, nous démontrons ce résultat dans le cas où E est un K-espace vectoriel normé séparable(2) (c’est-à-dire qui admet une partie dénombrable dense). Cas réel. Supposons que K = R. Considérons une famille {en }n∈N∗ dense dans E. On introduit une famille croissante de sous-espaces vectoriels définis par : F0 = F,

Fn = Vect{F ∪ {e1 , . . . , en }}.

Cette suite est croissante mais pas strictement croissante. Montrons que l’on peut construire par récurrence une suite de formes linéaires continues fn : Fn → R qui vérifient f0 = f,

fn |Fn−1 = fn−1

et

∥fn ∥F ′ = ∥f ∥F ′ . n

On définit alors g par g(x) = fn (x) si x ∈ Fn et on étend g par prolongement par densité sur E tout entier grâce à un résultat classique de prolongement d’application uniformément continues (voir le lemme 17.7). Montrons maintenant comment construire la suite (fn )n∈N . Supposons avoir construit la suite jusqu’au rang n − 1 et expliquons commet construire fn . On distingue deux cas. Si Fn = Fn−1 , on pose fn = fn−1 . Si Fn ̸= Fn−1 alors en ̸∈ Fn−1 et on a une décomposition unique d’un élément u de Fn sous la forme u = x + ten avec x ∈ Fn−1 et t ∈ R. On cherche fn sous la forme fn (x + ten ) = fn−1 (x) + tan

avec an ∈ R.

Alors fn est bien une forme linéaire, qui coïncide avec fn−1 sur Fn−1 . Il suffit pour conclure de montrer que l’on peut choisir an tel que ∥fn ∥Fn′ = ∥f ∥F ′ . On a ∥fn ∥Fn′ ⩾ ∥f ∥F ′ car fn coïncide avec f sur F0 = F . Il reste à montrer que ∥fn ∥Fn′ ⩽ ∥f ∥F ′ . Précisément, nous devons montrer qu’il existe an tel que, pour tout x ∈ Fn−1 et tout t > 0, fn−1 (x) + tan ⩽ ∥f ∥F ′ ∥x + ten ∥, fn−1 (x) − tan ⩽ ∥f ∥F ′ ∥x − ten ∥. Quitte à diviser par t > 0 et remplacer x par u = x/t, il suffit de montrer qu’il existe an ∈ R tel que fn−1 (u) + an ⩽ ∥f ∥F ′ ∥u + en ∥, fn−1 (u) − an ⩽ ∥f ∥F ′ ∥u − en ∥.

(2) Le

cas général n’est pas plus difficile, à ceci près que la démonstration utilise l’axiome du choix (voir [12]).

71

3.3. THÉORÈME DE HAHN-BANACH

L’existence de an ∈ R vérifiant les deux inégalités précédentes pour tout u ∈ Fn−1 est équivalente à l’inégalité mn ⩽ Mn où  Mn := inf ∥f ∥F ′ ∥u + en ∥ − fn−1 (u) , u∈Fn−1  mn := sup fn−1 (v) − ∥f ∥F ′ ∥v − en ∥ . v∈Fn−1

Pour voir que mn ⩽ Mn , on commence par écrire |fn−1 (u) + fn−1 (v)| = |fn−1 (u + v)| ⩽ ∥fn−1 ∥F ′

n−1

⩽ ∥fn−1 ∥F ′

n−1

Comme ∥fn−1 ∥F ′

n−1

∥u + v∥

(∥u + en ∥ + ∥v − en ∥).

= ∥f ∥F ′ par hypothèse de récurrence, on en déduit que

fn−1 (v) − ∥f ∥F ′ ∥v − en ∥ ⩽ ∥f ∥F ′ ∥u + en ∥ − fn−1 (u). On montre alors que mn ⩽ Mn en prenant le supremum du membre de gauche et l’infimum du membre de droite, ce qui conclut la récurrence et donc la démonstration. Cas complexe. Supposons que K = C. Soit (E, ∥·∥) un C-espace vectoriel normé. Considérons un sous-espace vectoriel F ⊂ E et une forme linéaire continue f : F → C. Comme f (ix) = if (x), on a (3.3)

∀x ∈ E,

Im f (x) = −(Re f )(ix).

Cette identité montre que Re f détermine entièrement f , ce qui va nous permettre de déduire le cas complexe du cas réel. Pour cela, notons que l’espace E est muni trivialement d’une structure de R-espace vectoriel normé pour laquelle l’application linéaire Re f : F → R est continue. D’après ce qui précède, il existe une forme linéaire continue g : E → R qui prolonge Re f et telle que (3.4)

∀x ∈ E,

|g(x)| ⩽ ∥Re f ∥F ′ ∥x∥ ⩽ ∥f ∥F ′ ∥x∥.

On définit alors une application h : E → C par h(x) = g(x) − ig(ix). On vérifie que c’est une application C-linéaire. Comme g est à valeurs réelles, on a Re h = g et l’identité (3.3) entraîne que h prolonge f . Montrons pour conclure que (3.5)

∀x ∈ E,

|h(x)| ⩽ ∥f ∥F ′ ∥x∥.

Comme Re h(x) = g(x), l’inégalité (3.4) implique que ∀x ∈ E,

|Re h(x)| ⩽ ∥f ∥F ′ ∥x∥.

En particulier, pour tout λ ∈ C avec |λ| = 1, on a |Re h(λx)| ⩽ ∥f ∥F ′ ∥x∥.

72

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

On obtient alors (3.5) en appliquant cette inégalité avec λ = h(x)/ |h(x)| (notons que si |h(x)| = 0 alors (3.5) est vraie). Remarque 3.20. Dans le cas où E est un R-espace vectoriel, nous avons en fait montrer un résultat plus fort. Précisément, considérons un R-espace vectoriel E et une application p : E → R+ telle que, pour tout (x, y) ∈ E ×E et tout λ ∈ [0, +∞[, p(x + y) ⩽ p(x) + p(y),

p(λx) = λp(x).

Alors, pour tout sous-espace vectoriel F et toute forme linéaire f : F → R vérifiant f (x) ⩽ p(x) pour tout x ∈ F , il existe une forme linéaire fe: E → R qui prolonge f et qui vérifie fe ⩽ p. Nous allons maintenant voir plusieurs applications du théorème de HahnBanach. Proposition 3.21. Soit (E, ∥·∥E ) un K-espace vectoriel normé. Pour tout élément non nul u dans E, il existe une forme linéaire continue ℓ ∈ E ′ telle que ∥ℓ∥E ′ = 1 et ℓ(u) = ∥u∥E . En particulier, ∥u∥E =

sup |ℓ(u)|. ℓ∈E ′ ∥ℓ∥E ′ =1

De plus, l’application J : E → (E ′ )′ définie par J(u)(ℓ) = ℓ(u) est une isométrie de E dans (E ′ )′ . Notation 3.22. On note simplement E ′′ le dual de E ′ , appelé bi-dual de E. Démonstration. Soient F = Ku et f : F → K définie par f (λu) = λ∥u∥E . Alors f est une forme linéaire continue (car |f (λu)| ⩽ ∥λu∥E ). D’après le théorème de Hahn-Banach, on peut étendre f en une forme linéaire continue ℓ : E → K qui vérifie ∥ℓ∥E ′ = ∥f ∥F ′ = 1. De plus, ℓ(u) = f (u) = ∥u∥E . Ceci implique directement que ∥J(u)∥E ′′ =

sup |J(u)(ℓ)| = ℓ∈E ′ ∥ℓ∥E ′ =1

sup |ℓ(u)| = ∥u∥E ,

ℓ∈E ′ ∥ℓ∥E ′ =1

ce qui conclut la démonstration. Corollaire 3.23. Soit E un K-espace vectoriel normé avec K = R ou K = C. Considérons un sous-ensemble B ⊂ E. Si ϕ(B) est borné pour toute forme linéaire continue ϕ ∈ E ′ , alors B est borné. Démonstration. Considérons la famille d’applications Tb : E ′ → K définies par Tb (ϕ) = ϕ(b) avec b ∈ B. Comme E ′ est un espace de Banach pour tout espace vectoriel normé E, on peut appliquer le théorème de BanachSteinhaus (voir le théorème 1.29). L’hypothèse que ϕ(B) est borné pour

3.3. THÉORÈME DE HAHN-BANACH

73

tout ϕ ∈ E ′ implique que la famille {Tb }b∈B est simplement bornée et donc bornée d’après Banach-Steinhaus. Ce qui signifie qu’il existe Λ > 0 tel que ∀b ∈ B,

∥Tb ∥E ′′ ⩽ Λ.

On en déduit que, ∀ϕ ∈ E ′ ,

|ϕ(b)| = |Tb (ϕ)| ⩽ Λ∥ϕ∥E ′ .

Or, d’après la proposition 3.21, pour tout b ∈ B, il existe ℓ ∈ E ′ telle que ℓ(b) = ∥b∥E et ∥ℓ∥E ′ = 1. Il suit que, pour tout b ∈ B, on a ∥b∥E ⩽ Λ, ce qui démontre que B est borné. Proposition 3.24. Soient E un espace vectoriel normé sur K et F un sousespace vectoriel fermé. Considérons un élément u de E n’appartenant pas à F . Alors il existe une forme linéaire continue ℓ ∈ E ′ qui s’annule sur F et telle que ℓ(u) = 1. Démonstration. Considérons l’espace quotient E/F muni de la norme quotient. Par définition, les éléments de E/F sont les classes d’équivalence pour la relation d’équivalence suivante : x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ F. On note v˙ la classe d’équivalence de v qui est donc v + F = {v + f : f ∈ F }. C’est un espace vectoriel pour les opérations suivantes : z}|{ ˙ z }| ˙ { v˙ + w˙ = v + w, λv˙ = λv . On munit E/F de la norme ∥v∥ ˙ E/F = inf{∥x∥ : x ∈ v}. ˙ Alors on vérifie (exercice) que c’est bien une norme et que ∥v∥ ˙ E/F = inf ∥v + f ∥E = inf ∥v − f ∥E = dist(v, F ) ⩽ ∥v∥E , f ∈F

f ∈F

où l’on a utilisé que 0 appartient à F pour obtenir la dernière inégalité. Introduisons maintenant la forme linéaire f : Ku˙ → K définie par f (λu) ˙ = λ. Comme u ̸∈ F on a ∥u∥ ˙ E/F ̸= 0, ce qui permet d’écrire
f λu˙ = |λ| =

1 ∥λu∥ ˙ E/F . ∥u∥ ˙ E/F

Ceci montre que f est continue. Alors, en utilisant le théorème de HahnBanach, on en déduit qu’on peut étendre f en une forme linéaire continue g : E/F → K. Puis on définit ℓ : E → K par ℓ(v) = g(v). ˙ On vérifie que ℓ est continue en écrivant |ℓ(v)| ⩽ ∥g∥(E/F )′ ∥v∥ ˙ E/F ⩽ ∥g∥(E/F )′ ∥v∥E , où l’on a utilisé l’inégalité ∥v∥ ˙ E/F ⩽ ∥v∥E , qui a été démontrée plus haut. ˙ = 0 pour tout De plus, ℓ(u) = g(u) ˙ = f (u) ˙ = f (1 · u) ˙ = 1 et ℓ(v) = g(0) v ∈ F.

74

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

Corollaire 3.25. Soient E un K-espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel. Alors F est dense dans E si et seulement si la seule forme linéaire continue qui s’annule sur F est la forme nulle. Démonstration. C’est une conséquence immédiate du résultat précédent.

Nous allons maintenant étudier un résultat dont la démonstration permet d’illustrer le théorème de Hahn-Banach et le théorème de Stone-Weierstrass. Proposition 3.26. Pour a > 1, on définit fa (x) = 1/(x − a). Considérons une suite (an )n∈N de nombres réels an > 1 telle que limn→+∞ an = +∞. Nous allons montrer que V := Vect{fan : n ∈ N} est dense dans l’espace des fonctions continues C 0 ([0, 1]) muni de la norme de convergence uniforme. Démonstration. Considérons une forme linéaire µ, continue sur C 0 ([0, 1]) et telle que ⟨µ, fan ⟩ = 0 pour tout n ∈ N. Nous voulons montrer que µ = 0, et le résultat voulu résultera alors du critère de densité déduit de Hahn-Banach. P Posons Θk : x 7→ xk , alors la série de fonctions k⩾0 a−k n Θk converge normalement sur [0, 1] vers −an fan . On en déduit par continuité de µ que X ⟨µ, Θk ⟩ = 0. akn

(3.6)

k∈N

Posons, φ(z) = k∈N ⟨µ, Θk ⟩z k , la suite (⟨µ, Θk ⟩)k∈N est bornée par ∥µ∥, donc φ est holomorphe sur le disque unité ouvert. De plus, d’après (3.6), φ(1/an ) = 0 pour tout n ∈ N. Or la suite (1/an )n∈N converge vers 0, aussi le principe des zéros isolés implique que φ = 0. Par conséquent, ⟨µ, Θk ⟩ = 0 pour tout k ∈ N. Ainsi, µ s’annule sur le sous-espace dense des fonctions polynômes, donc s’annule sur C([0, 1]), ce qui conclut la démonstration. P

3.3.2. Version géométrique. Dans le cas d’un espace vectoriel réel, on peut aussi montrer : Théorème 3.27 (Hann-Banach forme géométrique). Soient E un espace vectoriel normé réel et A, B deux sous-ensembles convexes, non vides et disjoints. (i) On suppose que A est ouvert. Alors il existe un hyperplan affine fermé qui sépare A et B au sens large. Cela signifie qu’il existe une forme linéaire f : E → R continue non nulle telle que sup f ⩽ inf f. A

B

3.3. THÉORÈME DE HAHN-BANACH

75

(ii) On suppose que A est fermé et B est compact. Alors il existe un hyperplan affine fermé qui sépare A et B au sens strict. Cela signifie qu’il existe une forme linéaire f : E → R continue non nulle telle que sup f < inf f. A

B

Démonstration. (i) Supposons que B = {u} et que A est un ouvert convexe contenant 0. On introduit la fonctionnelle de Minkowski de A, µ(x) = inf{t > 0 : x ∈ tA}. Alors, comme nous l’avons vu dans la démonstration du lemme 1.14, µ est sous-additive et homogène : µ(x + y) ⩽ µ(x) + µ(y),

µ(λx) = λµ(x)

(x, y ∈ E, λ ⩾ 0),

et de plus A = µ−1 ([0, 1[). On considère alors la forme linéaire f : Ru → R définie par f (tu) = t. Montrons que f (tu) ⩽ µ(tu). C’est évident si t ⩽ 0 car f (tu) = t ⩽ 0 alors que µ(tu) ⩾ 0. Pour t ⩾ 0, on utilise le fait que u n’appartient pas à A pour obtenir que µ(u) ⩾ 1 donc f (tu) = t ⩽ tµ(u) = µ(tu). En appliquant la version du théorème de Hahn-Banach donnée à la remarque 3.20, on peut étendre f en une forme linéaire sur E vérifiant f (x) ⩽ µ(x) pour tout x dans E. Alors, pour tout x dans A on a f (x) ⩽ µ(x) < 1, donc supA f ⩽ f (u). Dans le cas général, on choisit a ∈ A, b ∈ B et on pose C = A − B − a + b. Alors C est ouvert, convexe et contient l’origine. L’hypothèse A ∩ B = ∅ implique que u = b − a ̸∈ C. On applique alors le cas précédent. (ii) Considérons ε > 0 et introduisons les ensembles Aε = {x ∈ E : dist(x, A) < ε} ,

Bε = {x ∈ E : dist(x, B) ⩽ ε} .

Montrons que Aε ∩ Bε = ∅ pour ε assez petit. En effet, si cela est faux alors il existe une suite (xn ) dans E telle que dist(xn , A) ⩽ 1/n et dist(xn , B) ⩽ 1/n. Par définition de la distance d’un point à un ensemble, on en déduit qu’il existe une suite (yn ) de points de B telle que ∥xn − yn ∥ ⩽ 2/n. Comme B est compact, on peut extraire une sous-suite (yθ(n) ) de (yn ) qui converge vers un élément y de B. Or, d’après l’inégalité triangulaire, la distance de xθ(n) à y est majorée par ∥xθ(n) − yθ(n) ∥ + ∥yθ(n) − y∥,

76

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

donc xθ(n) converge vers y. Comme A est fermé on en déduit que y ∈ A. Ce qui est absurde car A ∩ B = ∅. Donc il existe ε > 0 tel que Aε ∩ Bε = ∅. Par ailleurs, on vérifie (exercice) que Aε et Bε sont des ensembles convexes et que Aε est ouvert. On peut donc appliquer le point (i), pour en déduire qu’il existe f : E → R non nulle telle que sup f ⩽ sup f. Aε

Bε

Alors f (u + εw) ⩽ f (v + εw′ ),

∀u ∈ A, ∀v ∈ B, ∀w, w′ ∈ BE (0, 1).

Comme sup

f (w) = ∥f ∥,

inf

f (w) = −∥f ∥,

w∈BE (0,1)

w∈BE (0,1)

il suit que, pour tout u dans A et v dans B, ε ε f (u) + ∥f ∥ ⩽ f (v) − ∥f ∥, 2 2 ce qui implique le résultat désiré puisque ∥f ∥ > 0.

3.4. Espaces de Lebesgue Rappelons que nous avons déjà vu que tout espace de Hilbert peut être identifié à son dual. Théorème 3.28. Considérons un espace de Hilbert H muni du produit scalaire (· , ·). Pour toute forme linéaire continue φ ∈ H ′ , il existe un unique g ∈ H tel que ∀u ∈ H,

φ(u) = (u, g).

L’exemple fondamental est celui de l’espace L2 (Ω; R) des fonctions de carré sommable à valeurs réelles. Dans ce cas, le résultat précédent implique que pour toute forme linéaire continue sur L2 (Ω), il existe f ∈ L2 (Ω) telle que Z 2 ∀u ∈ L (Ω), φ(u) = f (x)u(x) dx. Ω

Rappelons maintenant un résultat classique sur les espaces de Lebesgue(3) L (Ω) qui généralise la discussion précédente (cf. [32, 94, 123, 136] pour sa démonstration). p

(3) Voir

le chapitre 18 pour des rappels sur ces espaces.

3.4. ESPACES DE LEBESGUE

77

Théorème 3.29. Soit Ω un ouvert de Rn . Soient p ∈ [1, +∞[ et p′ = p/(p−1) l’exposant conjugué de p (si p = 1 alors p′ = +∞). Pour toute forme linéaire ′ continue Λ : Lp (Ω) → R, il existe un unique élément f ∈ Lp (Ω) tel que, pour tout u ∈ Lp (Ω), Z Λ(u) = f (x)u(x) dx. Ω

De plus, ∥Λ∥(Lp )′ = ∥f ∥Lp′ . Remarque 3.30. R (i) On en déduit que l’application f 7→ Θf définie par Θf (u) = Ω f u dx ′ est une isométrie bijective de Lp (Ω) dans (Lp (Ω))′ . Ce résultat permet ′ ′ d’identifier (Lp (Ω))′ et Lp (Ω), et l’on dit couramment que Lp (Ω) est le dual de Lp (Ω). (ii) Il suit que Lp (Ω) est un espace de Banach réflexif pour 1 < p < ∞. (iii) Ce théorème reste vrai si on remplace Ω muni de la mesure de Lebesgue par un espace mesuré (X, µ) qui est σ-fini (c’est-à-dire que X peut s’écrire comme la réunion d’une suite dénombrable d’ensembles de mesure finie). Notons que le théorème précédent implique que L∞ (Ω) est le dual de L (Ω). La proposition suivante énonce que le dual topologique de (L∞ (Rn ))′ est strictement plus gros que L1 (Rn ). Pour pouvoir comparer ces deux espaces, il faut commencer par plonger L1 (Rn ) dans L∞ (Rn ). Pour cela, étant donnée une fonction f ∈ L1 (Rn ) à valeurs réelles,R nous considérons la forme linéaire Θf : L∞ (Rn ) → R définie par Θf (u) = Rn f u dx. Alors Θf est clairement une forme linéaire continue. 1

Proposition 3.31. Il existe une forme linéaire continue Λ : L∞ (Rn ) → R qui n’est pas de la forme Θf avec f dans L1 (Rn ). Démonstration. Introduisons le sous-espace  V = u ∈ C 0 (R) : u est bornée sur R et u admet une limite en +∞ . Introduisons aussi l’application linéaire ℓ : V → R définie par ℓ(u) = lim+∞ u. On a |ℓ(u)| ⩽ ∥u∥L∞ (R) . On peut donc utiliser le théorème de Hahn-Banach sous forme analytique pour étendre ℓ en une forme linéaire continue Λ sur L∞ (R). Supposons que l’on puisse écrire Λ = Θf avec f ∈ L1 (R) et montrons que l’on obtient alors une absurdité. Pour cela, donnons-nous maintenant ξ ∈ R et ε > 0. Alors les fonctions cos(xξ) exp(−εx2 ) et sin(−xξ) exp(−εx2 ) appartiennent à V et ont une

78

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

limite nulle à l’infini. Il suit que Z 2 2
2
f (x) cos(xξ)e−εx dx = Θf cos(xξ)e−εx = Λ cos(xξ)e−εx R 2

= ℓ cos(xξ)e−εx




=0 2

2

et on a un résultat analogue en remplaçant cos(xξ)e−εx par sin(−xξ)e−εx . Alors Z 2

f (x)e−ix·ξ−εx dx = 0.

R

Comme f ∈ L1 (R), on peut appliquer le théorème de convergence dominée et faire tendre ε vers 0. On obtient que, pour tout ξ ∈ R, Z f (x)e−ix·ξ dx = 0. R

Pour conclure, nous utilisons le théorème d’injectivité de Fourier (qui sera vu plus loin, voir le corollaire 5.14) et dont nous donnons ici l’énoncé : si R −iξ·x 1 n f ∈ L (R ) est telle que e f (x) dx = 0 pour tout ξ ∈ Rn , alors f = 0. Il suit que ℓ est identiquement nulle, ce qui est absurde.

3.5. Convergence faible, convergence faible étoile Dans cette section, (E, ∥·∥E ) désigne un espace vectoriel normé sur K = R ou C. On note E ′ le dual topologique de E ; c’est l’ensemble des formes linéaires f : E → K continues. Rappelons que E ′ est muni de la norme ∥f ∥E ′ = sup∥x∥E ⩽1 |f (x)| et que c’est un espace de Banach pour cette norme (insistons sur le fait que E ′ est un espace de Banach pour tout espace normé E ; la complétude de E ′ provient du fait que K est complet). Nous allons nous intéresser à deux topologies sur E et E ′ , appelées respectivement topologie faible et topologie faible-∗. Pour définir ces topologies, nous avons besoin d’introduire la notion de topologie engendrée. Topologie engendrée. Commençons par des rappels de topologie (voir la section A.2 du chapitre 17 en appendice). Considérons un ensemble X et une collection A ⊂ P(X) de parties de X. Par définition, la topologie engendrée par A , notée TA , est la topologie la moins fine contenant A (ce qui veut dire que c’est la plus petite topologie au sens de l’inclusion). Alors TA est constituée de l’ensemble vide, de X et de toutes les réunions d’intersections finies d’éléments de A . La notion de topologie engendrée permet de définir la notion de topologie engendrée par une famille d’applications. Il s’agit de la topologie la moins fine qui rend continue une famille d’applications donnée. Précisément, considérons un ensemble X et F = {fα : X → Y }α∈A une famille d’applications de X vers un espace topologique Y muni d’une

3.5. CONVERGENCE FAIBLE, CONVERGENCE FAIBLE ÉTOILE

79

topologie TY . Par définition, la topologie engendrée par F sur X est égale à la topologie engendrée TA par la collection  A := fα−1 (U ) : α ∈ A, U ∈ TY . Définition 3.32. Considérons un espace vectoriel normé E. Notons E ′ le dual topologique de E et E ′′ le dual topologique de E ′ . (i) La topologie faible sur E, notée σ(E, E ′ ), est la topologie engendrée par E ′ . (ii) La topologie faible sur E ′ , notée σ(E ′ , E ′′ ), est la topologie engendrée par E ′′ . (iii) Étant donné x ∈ E, notons Jx la forme linéaire de E ′ dans K définie par Jx (f ) = f (x). La topologie faible-∗ sur E ′ , notée σ(E ′ , E), est la  topologie engendrée par la famille F = Jx : x ∈ E . Définition 3.33. Considérons un espace vectoriel normé E. On dit que E est réflexif si l’application J : x 7→ Jx est un isomorphisme de E vers son bi-dual E ′′ = (E ′ )′ . Remarque 3.34. (i) Comme le dual d’un espace vectoriel normé est toujours complet, un espace réflexif est nécessairement un espace de Banach. (ii) Notons qu’il existe un espace de Banach qui est isomorphe à son bidual sans être réflexif (contre-exemple dû à James). Ceci montre que pour définir la réflexivité, il faut faire intervenir l’application J ci-dessus. Étant données deux topologies T1 et T2 sur un même ensemble X, rappelons que l’on dit que T2 est plus fine que T1 si T1 ⊂ T2 . Il suit directement de la définition des topologies faibles que l’on a les propositions suivantes. Proposition 3.35. Soit E un K-espace vectoriel normé. La topologie faible est moins fine que la topologie forte et la topologie faible-∗ est moins fine que la topologie faible sur E ′ , c’est-à-dire σ(E, E ′ ) ⊂ T (∥·∥E ),

σ(E ′ , E) ⊂ σ(E ′ , E ′′ ),

où l’on a noté T (∥·∥E ) la topologie induite sur E par la structure d’espace normé. Proposition 3.36. Soit E un K-espace vectoriel normé. Alors (E, σ(E, E ′ )) et (E ′ , σ(E ′ , E)) sont des espaces vectoriels topologiques. Remarque 3.37. En général, les topologies σ(E ′ , E ′′ ) et σ(E ′ , E) sont différentes. Proposition 3.38. Soit E un K-espace vectoriel normé. (i) La topologie faible σ(E, E ′ ) est séparée. (ii) La topologie faible-∗ σ(E ′ , E) est séparée.

80

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

Démonstration. (i) Supposons que K = R. Considérons x, y dans E avec x ̸= y. Comme y − x ̸= 0, d’après le théorème de Hahn-Banach (voir la proposition 3.21), il existe une forme linéaire f ∈ E ′ telle que f (y − x) > 0. On pose h = (f (x) + f (y))/2 et on introduit U = f −1 (] − ∞, h[) et V = f −1 (]h, +∞[). Par définition de la topologie faible, ce sont deux ouverts faibles. Ils sont disjoints et on a par construction x ∈ U et y ∈ V . Supposons maintenant que K = C. On note ER l’espace E muni de sa structure de R-espace vectoriel normé induite canoniquement par sa structure de C-espace vectoriel normé. Comme précédemment, il existe une forme linéaire f ∈ ER′ telle que f (x) < f (y). On pose h = (f (x) + f (y))/2 et on introduit U = f −1 (] − ∞, h[) et V = f −1 (]h, +∞[). Montrons que ceux sont deux ouverts faibles. Pour cela, introduisons l’application linéaire g : E → C définie par g(x) = f (x) − if (ix). Alors on vérifie facilement que g ∈ E ′ . On en déduit que f = Re g ∈ E ′ et donc que U et V sont des ouverts faibles. (ii) Considérons deux formes linéaires distinctes f et f ′ dans E ′ . Alors il existe x dans E tel que f (x) ̸= f ′ (x). Posons ε = |f (x) − f ′ (x)| > 0 et V := {g ∈ E ′ : |g(x) − f (x)| < ε/2}, V ′ := {g ∈ E ′ : |g(x) − f ′ (x)| < ε/2}. Ce sont deux ouverts pour la topologie σ(E ′ , E), disjoints et tels que f ∈ V et f ′ ∈ V ′ . Cela démontre le résultat voulu. Corollaire 3.39. Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, alors les topologies faible, faible-∗ et forte coïncident. Remarque 3.40. C’est en fait une condition nécessaire et suffisante. En effet, en dimension infinie, la topologie faible n’est pas métrisable (voir l’exercice 3.3). Démonstration. C’est une conséquence du théorème 1.17 et du fait que la topologie faible munit X d’une structure d’espace vectoriel topologique séparée. 3.5.1. Convergence faible Définition 3.41. Soit (E, ∥·∥E ) un K-espace vectoriel normé. (i) Soit (xn )n∈N une suite d’éléments de E. On dit que cette suite converge fortement vers x ∈ E si ∥xn − x∥E tend vers 0 quand n tend vers +∞. On se contente le plus souvent de dire que la suite (xn )n∈N converge vers x et on le note xn → x. (ii) Soit (xn )n∈N une suite d’éléments de E. On dit que cette suite converge faiblement vers x si, pour tout f dans E ′ , la suite (f (xn ))n∈N converge vers f (x) dans K. On le note xn ⇀ x.

3.5. CONVERGENCE FAIBLE, CONVERGENCE FAIBLE ÉTOILE

81

Proposition 3.42. Soit (xn )n∈N une suite d’éléments d’un espace vectoriel normé E et soit x ∈ E. On a alors les propriétés suivantes. (i) Si (xn )n∈N converge fortement vers x alors (xn )n∈N converge aussi faiblement vers x. (ii) La suite (xn )n∈N converge vers x pour la topologie σ(E, E ′ ) si et seulement si (xn )n∈N converge faiblement vers x (xn ⇀ x). (iii) Si (xn )n∈N converge faiblement vers x et vers x′ , alors x = x′ . (iv) Si (xn )n∈N converge faiblement vers x, alors la suite (xn )n∈N est bornée dans E. Démonstration. (i) Si xn → x, alors f (xn ) → f (x) pour tout f ∈ E ′ et donc xn ⇀ x. (ii) Supposons que (xn )n∈N converge vers x pour la topologie σ(E, E ′ ). Soit f ∈ E ′ . Comme f est continue pour la topologie faible (par définition de la topologie faible), on a f (xn ) → f (x). Ce qui montre que xn ⇀ x. Réciproquement, supposons que xn ⇀ x. Considérons un voisinage de x pour la topologie faible. On peut supposer que ce voisinage est de la forme T U = 1⩽i⩽N fi−1 (Vi ) où Vi est un voisinage ouvert de fi (x). Pour tout i, il existe un entier Ni tel que xn appartient à fi−1 (Vi ) pour n ⩾ Ni . Donc, pour tout n plus grand que le maximum de ces Ni , on a xn ∈ U . Ce qui montre que (xn )n∈N converge vers x pour la topologie σ(E, E ′ ). (iii) C’est une conséquence du fait que la topologie faible est séparée. (iv) Introduisons l’application linéaire Tn : E ′ → K définie par Tn (f ) = f (xn ). Comme f (xn ) converge vers f (x) pour tout f dans E ′ , on en déduit que la suite (Tn (f ))n∈N est bornée pour tout f dans E ′ . Ce qui signifie que (Tn )n∈N est une famille simplement bornée d’applications linéaires. Comme E ′ est un espace de Banach, on peut appliquer le théorème 1.29 de Banach-Steinhaus, qui implique que cette famille est bornée : il existe C > 0 telle que sup |Tn (f )| ⩽ C∥f ∥. n∈N

Donc, pour tout f ∈ E ′ , (3.7)

|f (xn )| ⩽ C∥f ∥.

Maintenant, on rappelle que d’après le théorème de Hahn-Banach (voir la proposition 3.21), pour tout n ∈ N, il existe ℓn ∈ E ′ telle que ∥ℓn ∥E ′ = 1 et ℓn (x) = ∥xn ∥E . En appliquant (3.7) avec f = ℓn , on trouve que ∥xn ∥E ⩽ C pour tout n ∈ N, ce qui est le résultat cherché. Proposition 3.43. Soient E un espace vectoriel normé réel et C un sousensemble de E qui est convexe. Alors C est fortement fermé si et seulement si C est faiblement fermé. En particulier, si C est fortement fermé et si (xn ) est une suite d’éléments de C qui converge faiblement vers x, alors x appartient à C.

82

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

Démonstration. Tout ensemble ouvert pour la topologie faible est ouvert pour la topologie forte (par définition de la topologie faible). Donc tout ensemble fermé pour la topologie faible est fermé pour la topologie forte. Aussi, il suffit de montrer que si C est convexe et fortement fermé, alors C est faiblement fermé. On va montrer que le complémentaire de C est faiblement ouvert. Pour cela, il suffit de montrer que E ∖ C est un voisinage de chacun de ses points. Considérons donc un élément x0 de E ∖ C. Alors {x0 } est une partie convexe compacte (pour la topologie forte). D’après le théorème de Hahn-Banach géométrique, on peut séparer {x0 } et C au sens strict. Il existe f ∈ E ′ telle que sup f (x) < f (x0 ). x∈C

Posons ε = f (x0 ) − supx∈C f (x). Alors V = {y ∈ E : f (y) > f (x0 ) − ε/2} est un ouvert pour la topologie faible qui contient x0 et qui est disjoint de C. Ce qui termine la démonstration. Proposition 3.44. Considérons deux espaces de Banach E et F et une application linéaire T : E → F . Alors T est continue pour les topologies fortes sur E et F si seulement si T est continue pour les topologies faibles sur E et F . Démonstration. Supposons que T est continue pour les topologies fortes. Alors la continuité pour les topologies faibles est un exercice de topologie laissé au lecteur. Réciproquement, supposons que T est continue pour les topologies faibles. Introduisons le graphe de T :  G(T ) = (x, y) ∈ E × F : y = T x . Commençons par montrer que cet ensemble est faiblement fermé. Pour le voir, notons que G(T ) = Λ−1 ({0}) où Λ : F × E → F est définie par Λ(y, x) = y − T x. Nous avons vu que la topologie faible est séparée. Par conséquent, les singletons sont fermés pour la topologie faible. On en déduit que G(T ) est fermé pour la topologie faible comme image réciproque d’un fermé faible par une application continue. Pour conclure la démonstration, on note ensuite que G(T ) est un ensemble convexe (ce qui est immédiat). Alors, d’après la proposition 3.43, il est fortement fermé. On en déduit que T est continue pour les topologies fortes en appliquant le théorème du graphe fermé. 3.5.2. Convergence faible étoile. Définition 3.45. Soit (E, ∥·∥E ) un K-espace vectoriel normé. (i) Soit (fn )n∈N une suite d’éléments de E ′ . On dit que cette suite converge fortement vers f ∈ E ′ si ∥fn − f ∥E ′ tend vers 0 quand n tend

3.6. THÉORÈME DE BANACH-ALAOGLU

83

vers +∞. Par souci de simplicité, on se contente souvent de dire que la suite (fn )n∈N converge vers f (sans préciser fortement) et on note fn → f . (ii) Soit (fn )n∈N une suite d’éléments de E ′ . On dit que cette suite converge faiblement-∗ vers x si, pour tout x dans E, la suite (fn (x))n∈N converge vers f (x) dans K. On le note fn ⇀ f faible-∗. Proposition 3.46. Soit (E, ∥·∥E ) un K-espace vectoriel normé. Considérons une suite (fn )n∈N d’éléments de E ′ ainsi que f ∈ E ′ . On a alors les propriétés suivantes : (i) si (fn )n∈N converge fortement vers f dans E ′ , alors (fn ) converge faiblement-∗ vers f ; (ii) (fn )n∈N converge vers f pour la topologie σ(E ′ , E) si et seulement si fn ⇀ f faiblement-∗ ; (iii) si (fn )n∈N converge faiblement-∗ vers f et vers f ′ , alors f = f ′ ; (iv) si (fn )n∈N converge faiblement-∗ vers f , alors la suite (fn )n∈N est bornée dans E ′ . La démonstration est similaire à celle de la proposition 3.42. Elle est laissée en exercice. 3.6. Théorème de Banach-Alaoglu Considérons un espace de Banach E. Un résultat fondamental, appelé théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki, énonce que la boule unité de E ′ est compacte pour la topologie faible-∗ et que, de plus, si E est séparable, alors la topologie σ(E ′ , E) est métrisable de sorte que la boule unité est séquentiellement compacte. Dans cette section, nous démontrerons ce résultat de compacité uniquement dans le cas où E est un espace de Banach séparable. Dans ce cas, le résultat est dû à Banach ; la démonstration est plus simple et c’est le cas le plus important pour les applications. Théorème 3.47 (Compacité faible étoile de la boule unité). Supposons que K = R ou K = C. Considérons un K- espace de Banach E séparable. Toute suite (fn ) bornée dans E ′ admet une sous-suite qui converge faiblement-∗. Démonstration. Considérons une partie dénombrable dense D = {ej }j∈N dans E. Comme la suite (fn (e0 ))n∈N est bornée, par hypothèse sur la suite (fn )n∈N , on peut en extraire une sous-suite convergente (fθ0 (n) (e0 ))n∈N . On construit ainsi, par récurrence, une suite de fonctions strictement croissantes θj : N → N telles que (fθ0 ◦···◦θj (n) (ej ))n∈N converge. En utilisant le principe d’extraction diagonale, on considère alors la suite extraite gn = fθ0 ◦···◦θn (n) . Par construction, la suite (gn (e))n∈N converge pour tout e ∈ D. Notons g : D → K la limite.

84

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

Soit e et e′ dans D. L’hypothèse que la suite (fn ) est bornée dans E ′ implique qu’il existe Λ > 0 tel que ∀n ∈ N, ∀x ∈ E,

|fn (x)| ⩽ Λ∥x∥E .

En appliquant ce résultat avec x = e − e′ et en passant à la limite quand n tend vers +∞, on trouve que |g(e) − g(e′ )| ⩽ Λ∥e − e′ ∥E , ce qui montre que g est lipschitzienne. On peut alors utiliser le lemme 17.7 pour étendre g en une fonction lipschitzienne ge : E → K. Rappelons que la convergence faible-∗ correspond à la convergence simple. On a vu que (gn )n∈N converge vers ge sur D. Pour conclure la démonstration, il nous reste à voir que (gn )n∈N converge simplement vers g sur E tout entier et que g est une application linéaire. Considérons un élément x dans E et un nombre réel ε > 0. Par densité de D, il existe ej ∈ D tel que Λ∥x − ej ∥E ⩽ ε/3. Si n est assez grand, on a |gn (ej ) − ge(ej )| ⩽ ε/3 de sorte que |gn (x) − ge(x)| ⩽ |gn (x) − gn (ej )| + |gn (ej ) − ge(ej )| + |e g (ej ) − ge(x)| ε ⩽ Λ ∥x − ej ∥E + + Λ ∥ej − x∥E ⩽ ε. 3 Ce qui montre que (gn )n∈N converge faiblement-∗ vers ge. Il reste juste à montrer que ge est linéaire. Pour cela, considérons λ ∈ K, x, y dans E et considérons trois suites d’éléments de D telles que xn → x, yn → y, zn → λx + y. Alors  ge(zj ) − λe g (xj ) − ge(yj ) = lim gn (zj ) − λgn (xj ) − gn (yj ) . n→+∞

Or, par linéarité de gn , l’expression |gn (zj ) − λgn (xj ) − gn (yj )| est majorée par Λ∥zj − λxj − yj ∥E qui converge vers 0 quand j tend vers +∞. On en déduit que ge(λx + y) − λe g (x) − ge(y) = 0, ce qui est le résultat désiré. Un corollaire direct de ce résultat de compacité faible-∗ est que la boule unité d’un espace de Banach réflexif est faiblement compacte. Corollaire 3.48. Supposons que E est un espace de Banach réflexif dont le dual est séparable. Alors toute suite (xn ) bornée dans E admet une soussuite convergeant faiblement. Démonstration. Posons F = E ′ . Par hypothèse, F est un espace de Banach séparable. Considérons une suite (xn ) bornée dans E. Comme l’application J : E → E ′′ est une isométrie, la suite de terme général ϕn = Jxn est bornée dans F ′ . D’après le théorème précédent, elle admet une sous-suite (ϕθ(n) )n∈N qui converge faiblement-∗ vers une application ϕ. Ce qui signifie que pour

3.7. EXERCICES

85

tout f ∈ F , on a ϕn (f ) → ϕ(f ). Or ϕθ(n) (f ) = Jxθ(n) (f ) = f (xθ(n) ). Comme E est réflexif, l’application J est surjective et donc il existe x ∈ E telle que Jx = ϕ. Alors ϕ(f ) = Jx (f ) = f (x). On a donc montré que f (xθ(n) ) converge vers f (x) pour tout f ∈ F = E ′ , ce qui signifie que la suite (xθ(n) )n∈N converge faiblement vers x. 3.7. Exercices Exercice (corrigé) 3.1 (Théorème de Lax-Milgram). Soit H un espace de Hilbert sur R muni du produit scalaire noté ⟨· , ·⟩. Soit a : H × H → R une forme bilinéaire continue vérifiant la propriété suivante : ∃c > 0/ ∀x ∈ H,

a(x, x) ⩾ c∥x∥2 .

(1) Montrer que, pour tout u ∈ H, il existe Au ∈ H tel que : ∀v ∈ H,

a(u, v) = ⟨Au , v⟩.

(2) Montrer que A est linéaire et continue. (3) Montrer que Im(A) est un fermé de H puis en déduire que Im(A) = H. (4) En déduire que, pour toute forme linéaire continue ϕ ∈ H ′ , il existe un unique u ∈ H tel que : ∀v ∈ H,

a(u, v) = ϕ(v).

Exercice (corrigé) 3.2 (Suites de Bessel). Soit H un espace p de Hilbert réel muni d’un produit scalaire (· , ·) et de la norme ∥x∥ = (x, x). (1) Considérons une suite (xn )n∈N dans H. On dit que cette suite est un « frame » s’il existe deux réels strictement positifs A et B tels que, X 2 (∗) ∀x ∈ H, A∥x∥2 ⩽ |(x, xn )| ⩽ B∥x∥2 . n∈N

(a) Supposons que (en )n∈N est une base hilbertienne de H. Dire si les quatre familles suivantes sont ou ne sont pas des frames (donner à chaque fois une justification succincte) : – E1 = (en )n∈N ; – E2 = (en+1 )n∈N ; – E3 = (e0 , e0 , e1 , e1 , e2 , e2 , e3 , e3 , . . .) où chaque élément est répété deux fois ; – E4 = (en /(n + 1))n∈N .  (b) Supposons que (xn )n∈N est un frame. Notons V = Vect xn : n ∈ N . Montrer que V est un sous-espace dense dans H. (2) (a) Soit (xn )n∈N une suite d’éléments de H telle que X 2 ∀x ∈ H, |(x, xn )| < +∞. n∈N

86

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

Introduisons l’application U : H → ℓ2 (N) définie par
U (x) = (x, xn ) n∈N . Montrer à l’aide d’un théorème général sur les espaces de Banach que l’application U est continue. En déduire qu’il existe B > 0 telle que X 2 (∗∗) ∀x ∈ H, |(x, xn )| ⩽ B∥x∥2 . n∈N

(b) Considérons une suite (xn )n∈N dans H qui vérifie la propriété (∗∗). Considérons un ensemble fini F ⊂ N et une suite (cn )n∈N ∈ ℓ2 (N). Montrer que

X

2 X  X 

2 cn xn ⩽ sup |cn |2 |(y, xn )| .

y∈H, ∥y∥=1 n∈F

n∈F

n∈F

(c) En déduire que

X

2 X

cn x n ⩽ B |cn |2 .

n∈F

Puis montrer que la série

P

n∈F

cn xn converge.

Nous renvoyons au livre de Christensen [26] pour un traitement complet de ces notions. Exercice (corrigé) 3.3 (La topologie faible n’est pas métrisable). Soit E un R-espace vectoriel de dimension infinie. On note σ(E, E ′ ) la topologie faible sur E. Par construction, une base de voisinage de l’origine pour σ(E, E ′ ) est donnée par la famille des ensembles de la forme N T

{y ∈ E : |φk (y)| < ε} avec

N ⩾ 1,

φk ∈ E ′

et ε > 0.

k=1

(1) Montrer qu’en dimension infinie une intersection finie d’hyperplans contient toujours une droite. En déduire que tout voisinage faible de l’origine contient une droite Ry. (2) On suppose que la topologie faible σ(E, E ′ ) est métrisable, c’est-àdire qu’il existe une distance d : E → R+ telle que les boules Bd (x, r) = {y ∈ E : d(x, y) < r} forment une base de voisinages de σ(E, E ′ ). (a) Montrer qu’il existe une suite (xn )n∈N de E vérifiant ∥xn ∥E = n et xn ⇀ 0. (b) En déduire une contradiction. Exercice 3.4. Considérons la suite de fonctions 1 (n ∈ N, x ∈ R). fn (x) = 1 + (x − n)2 (1) Vérifier que cette suite ne converge pas fortement vers 0 dans L2 (R).

3.7. EXERCICES

87

(2) Soit g ∈ C00 (R) (l’espace des fonctions continues à support compact, qui est dense dans L2 (R)). Montrer que Z ∞ lim fn (t)g(t) dt = 0. n→+∞

−∞

(3) En déduire que (fn )n∈N converge faiblement vers 0 dans L2 (R). √ (4) Mêmes questions pour la suite de fonctions hn (x) = n/(1 + n |x|) : montrer que cette suite ne converge pas fortement vers 0 dans L2 (R) mais qu’elle converge faiblement vers 0 dans L2 (R). Exercice 3.5 (Optimisation convexe). (1) Considérons un espace topologique X. On dit qu’une fonction F : X → R est semi-continue inférieurement si, pour tout λ ∈ R, l’ensemble  F −1 (] − ∞, λ]) = x ∈ X : F (x) ⩽ λ est fermé. (a) Soient F : X → R semi-continue inférieurement et (xn ) une suite de points de X convergeant vers x. Montrer que lim inf F (xn ) ⩾ F (x). n→+∞

(b) Supposons que X est compact et considérons une fonction F : X → R semi-continue inférieurement. Montrer que F atteint son minimum sur X. (2) On suppose maintenant que E est un espace de Banach et on considère une fonction F : E → R. On dit que F est convexe si ∀(x, y) ∈ E × E, ∀λ ∈ [0, 1],

F (λx + (1 − λ)y) ⩽ λF (x) + (1 − λ)F (y).

Montrer que si F : E → R est une fonction convexe et semi-continue inférieurement pour la topologie forte, alors F est aussi semi-continue inférieurement pour la topologie faible. De plus, si (xn ) converge faiblement vers x, alors lim inf F (xn ) ⩾ F (x). n→+∞

(3) Soit E un espace de Banach réflexif dont le dual est séparable. Considérons une application F : E → R convexe et semi-continue inférieurement. Considérons un sous-ensemble C ⊂ E convexe, borné, fermé et non vide. Montrer qu’il existe x ∈ C tel que F (x) = inf F (c). c∈C

Exercice 3.6 (Étude du pendule de Kapitza par la convergence faible). L’exercice suivant nécessite de connaître les espaces de Sobolev, qui seront étudiés au chapitre 7.

88

CHAPITRE 3. ANALYSE HILBERTIENNE, DUALITÉ ET CONVEXITÉ

Fixons trois nombres strictement positifs a, b, T . Étant donnés (α, β) ∈ R2 et ε ∈ ]0, 1], on admet l’existence d’une fonction θε ∈ C 2 ([0, T ]) vérifiant    b ′′   θε (t) = a + ε cos(t/ε) sin(θε (t)), t ⩾ 0, (∗) θε (0) = α,    ′ θε (0) = β. On admet l’existence de θε . L’équation précédente régit la dynamique d’un pendule inversé (où le poids est en haut) soumis à une oscillation verticale rapide. Si b = 0, la solution nulle est instable. Le but de ce problème est de montrer que la solution nulle est stable si |b| est assez grand(4) . (1) Montrer que si θε est solution de (∗) si et seulement si θε (0) = α et (∗∗) θε′ (t) = β + b sin(t/ε) sin(θε (t)) Z t
+ a sin(θε (s)) − b sin(s/ε) cos(θε (s))θε′ (s) ds. 0

(2) On rappelle l’inégalité de Gronwall : si u : [0, T ] → [0, +∞[ est une fonction continue vérifiant Z t u(t) ⩽ A + B u(s) ds, 0 Bt

alors u(t) ⩽ Ae pour tout t ∈ [0, T ]. En appliquant ceci à uε (t) = |θε′ (t)|, en déduire qu’il existe une constante C ne dépendant que de (a, b, α, β, T ) telle que, sup max |θε′ (t)| ⩽ C.

ε∈]0,1] t∈[0,T ]

En déduire qu’il existe une constante C ′ , ne dépendant que de (a, b, α, β, T ) telle que, sup max |θε (t)| ⩽ C ′ . ε∈]0,1] t∈[0,T ]

(3) En déduire qu’il existe θ ∈ C 0 ([0, T ]) ∩ H 1 ([0, T ]) telle que l’on peut extraire une sous-suite (θεn )n∈N où εn tend vers 0, convergeant vers θ fortement dans C 0 ([0, T ]) et faiblement dans H 1 ([0, T ]). (4) Soit ψ ∈ C0∞ (]0, T [). Montrer que Z T Z T ψ(t)θε′ (t) sin(t/ε) dt = Rε + bψ(t) cos2 (t/ε) sin(θε (t)) dt, 0

0

où Rε = O(ε). Indication : utiliser l’équation (∗) et une intégration par parties. (4) Ce

résultat est dû à Kapitza [78] et nous allons voir une démonstration donnée par Evans et Zhang [39] ; nous renvoyons à cet article pour la solution.

3.7. EXERCICES

89

(5) Montrer que cos2 (t/ε) converge faiblement vers la fonction constante 1/2 lorsque ε tend vers 0. En déduire que b θε′ n (t) sin(t/εn )−⇀ sin(θ(t)) dans L2 (]0, T [). 2 (6) En utilisant (∗∗), montrer que la dérivée au sens faible de θ est donnée par Z t  b2 ′ θ (t) = β + a sin(θ(s)) − sin(2θ(s)) ds. 4 0 (7) Montrer que θ ∈ C 2 ([0, T ]) et θ vérifie  b2  ′′   θ = a sin(θ(t)) − 4 sin(2θ(t)), t ⩾ 0, (∗∗∗) θ(0) = α,    θ′ (0) = β. En déduire que (θε )ε∈]0,1] converge vers θ quand ε tend vers 0 (et pas uniquement la suite extraite (θεn )n∈N ).

PARTIE II

ANALYSE HARMONIQUE

CHAPITRE 4 SÉRIES DE FOURIER

Joseph Fourier est l’un des mathématiciens les plus célèbres(1) . Il est principalement connu pour avoir introduit la décomposition d’une fonction périodique en une somme infinie de fonctions trigonométriques de fréquences dont chacune est un multiple d’une fréquence fondamentale. Il avait conjecturé que toute fonction était représentable par une série trigonométrique convergente, ce qui est inexact. Nous verrons des contre-exemples à la convergence ponctuelle des séries de Fourier et montrerons des résultats sur la convergence des séries de Fourier dans le cadre des fonctions intégrables.

4.1. Introduction Nous allons nous intéresser à l’étude de fonctions périodiques f : Rn → C. Pour alléger les notations, plutôt que de considérer des périodes arbitraires, nous supposerons que les fonctions sont 2π-périodiques par rapport à chaque variable (on peut se ramener à cette situation par un changement de variables de la forme f (x1 , . . . , xn ) 7→ f (T1 x1 /(2π), . . . , Tn xn /(2π))). Par définition, une fonction f : Rn → C est 2π-périodique par rapport à chaque variable si f (x + 2πej ) = f (x) (1) Il

pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n,

a eu une vie hors du commun à travers l’Ancien régime, la Révolution, l’Empire et la Restauration. Orphelin à l’âge de dix ans, brillant élève passionné de mathématiques, il ne peut entrer dans le corps de l’artillerie car il n’est pas noble, ni dans une abbaye car la dissolution des ordres religieux après la révolution l’empêche de prononcer ses voeux. Il participe à la campagne d’Égypte et est préfet du département du Rhône (l’université de Grenoble, qu’il a créée, a porté son nom) avant de devenir secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences. Pour une introduction à sa vie, son influence et la reconnaissance tardive de son importance, nous renvoyons aux textes de Jean-Pierre Kahane [72, 73, 75].

94

CHAPITRE 4. SÉRIES DE FOURIER

où (e1 , . . . , en ) est la base canonique de Rn . Nous dirons simplement dans p la suite que f est périodique. Pour p dans [1, ∞], nous noterons Lper (Rn ) n l’espace des fonctions mesurables f : R → C, qui sont périodiques et telles p p que |f | est intégrable sur le cube [0, 2π]n (alors |f | est intégrable sur tout n p n compact de R par périodicité). On note Lper (R ) l’espace quotient pour la relation d’équivalence d’égalité presque partout (voir le chapitre 18 en appendice pour plus de détails). C’est un espace de Banach pour la norme Z 1/p p ∥f ∥Lpper = |f (x)| dx . [−π,π]n

En 1812, Joseph Fourier a expliqué comment représenter une fonction périodique f : Rn → C comme une somme infinie de fonctions sinusoïdales. Cette théorie permet d’approximer une fonction périodique par des polynômes trigonométriques et pour cette raison elle joue un rôle central dans de nombreux domaines. Rappelons qu’un polynôme trigonométrique est une fonction de la forme X (4.1) P (x) = ak eik·x , ak ∈ C, k ∈ Zn , |k|⩽N

où l’on a utilisé les notations(2) k · x = k1 x1 + · · · + kn xn ,

|k| = |k1 | + · · · + |kn | .

Notons ek la fonction (appelée exponentielle oscillante) définie par ek (x) = eik·x = exp(ik · x), et introduisons le produit scalaire (· , ·) défini sur L2per (Rn ) par Z 1 (f, g) = f (x)g(x) dx. (2π)n [0,2π]n Le point clé est la relation d’orthogonalité (ek , ek′ ) = δkk

′

(égal à 1 si k = k ′ et 0 sinon),

qui se vérifie par un calcul direct. On en déduit que les coefficients ak dans (4.1) vérifient Z 1 ak = P (x)e−ik·x dx, ∀k ∈ Zn . (2π)n [0,2π]n Cela motive la définition suivante. (2) En

général, pour un vecteur x ∈ Rn , la notation |x| désigne la norme euclidienne q |x| = x21 + · · · + x2n . Cependant, lorsqu’on considérera des multi-indices k ∈ Zn (c’està-dire des vecteurs dont les coordonnées sont des entiers), la notation |k| désignera la norme |k| = |k1 | + · · · + |kn |.

4.2. FONCTIONS DE CARRÉS INTÉGRABLES

95

Définition 4.1. Étant donnée une fonction f ∈ L1per (Rn ), on définit le k ème coefficient de Fourier de f par Z 1 fb(k) = (f, ek ) = f (x)e−ik·x dx, (2π)n [0,2π]n et on appelle série de Fourier de f la suite (SN (f ))N ∈N définie par X SN f (x) = fb(k)eik·x . |k|⩽N

Nous allons dans ce chapitre étudier la question de la convergence en norme de la série de Fourier(3) . Nous démontrerons en particulier le résultat suivant. Théorème 4.2. (i) Pour tout n ⩾ 1 et tout f ∈ L2per (Rn ), lim ∥SN f − f ∥L2 = 0.

N →∞

0 (ii) Il existe f ∈ Cper (R) telle que ∥SN f − f ∥L∞ ne tend pas vers 0. 1 (iii) Il existe g ∈ Lper (R) telle que ∥SN g − g∥L1 ne tend pas vers 0.

4.2. Fonctions de carrés intégrables Le résultat le plus simple et peut-être le plus important à savoir sur les séries de Fourier est le théorème suivant. Théorème 4.3. Pour tout f ∈ L2per (Rn ), on a X f= fb(k)eik·x k∈Zn

avec convergence dans L2per (Rn ), ce qui signifie que lim ∥f − SN f ∥L2 = 0

où

N →+∞

SN f (x) =

X

fb(k)eik·x .

|k|⩽N

De plus, ∥f ∥2L2 =

X

|fb(k)|2 .

k∈Zn 2

n

P Réciproquement, si c = (ck ) ∈ ℓ (Z ), alors la série k∈Zn ck eik·x converge dans L2per (Rn ) vers une fonction f vérifiant fb(k) = ck . (3) Nous

nous intéressons ici à la convergence pour une norme, donc de manière globale, et non à la convergence ponctuelle. Mentionnons un résultat majeur de Carleson [21] qui énonce que la série de Fourier d’une fonction L2 converge ponctuellement presque partout (sans extraire de sous-suite). Nous renvoyons aux livres d’Arias de Reya [6], Katznelson [79], et Muscalu et Schlag [109, 110].

96

CHAPITRE 4. SÉRIES DE FOURIER

Démonstration. Nous avons déjà remarqué que (ek )k∈Zn est une famille orthonormée : (ek , ek′ ) = 0 si k ̸= k ′ et ∥ek ∥L2 = 1. Ainsi, d’après le théorème sur les bases hilbertiennes (voir le théorème 3.18), pour démontrer ce résultat, il suffit de montrer que l’espace vectoriel engendré F = vect{ek : k ∈ Zn } est dense dans L2per (Rn ). Soient f ∈ L2per (Rn ) et ε > 0. 0 Comme l’ensemble Cper (Rn ) des fonctions continues et 2π-périodiques est 2 n 0 dense dans Lper (R ), il existe g ∈ Cper (Rn ) telle que ∥f − g∥L2 ⩽ ε. Par ailleurs, nous avons vu que le théorème de Stone-Weierstrass implique que 0 les polynômes trigonométriques sont denses dans Cper (Rn ). Précisément, la proposition 1.49 entraîne qu’il existe h ∈ vect{ek : k ∈ Zn } telle que ∥g − h∥L∞ ⩽ ε. On en déduit que ∥f − h∥L2 ⩽ ∥f − g∥L2 + ∥g − h∥L2 ⩽ ε + ∥g − h∥L∞ ⩽ 2ε. Ce qui montre que F est dense dans L2per (Rn ), ce qui termine la démonstration. La démonstration précédente repose sur une propriété des bases hilbertiennes et sur la propriété de densité des polynômes trigonométriques. Nous allons donner une autre démonstration de la densité des polynômes trigonométriques qui repose sur une construction explicite (au lieu d’utiliser le théorème de Stone-Weierstrass). Pour simplifier les notations, dans la suite de ce paragraphe nous supposons que la dimension n est égale à 1. Théorème 4.4 (Théorème de Fejer). Soit f ∈ Lpper (R) avec 1 ⩽ p < ∞. Posons N 1 X σN f (x) = Sm f (x). N + 1 m=0 Alors Z

2π

N →+∞

p

|σN (f ) − f | dx = 0.

lim

0

Si f est une fonction continue 2π-périodique, alors lim

sup |σN (f )(x) − f (x)| = 0.

N →+∞ x∈[0,2π]

Remarque 4.5. Soit f ∈ L∞ per (R) telle que limN →+∞ ∥σN (f ) − f ∥L∞ = 0. Comme σN (f ) est une fonction continue, on en déduit que f est nécessairement continue (car la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue). Démonstration. Introduisons le produit de convolution f ∗ g de deux fonctions 2π-périodiques f et g, défini par : Z π f ∗ g(x) = f (x − y)g(y) dy. −π

4.2. FONCTIONS DE CARRÉS INTÉGRABLES

97

Alors on a SN f (x) =

Z π Z π N 1 X 1 f (y)eik(x−y) dy = DN (x − y)f (y) dy, 2π 2π −π −π k=−N

où DN est le N ème noyau de Dirichlet, défini par DN (x) =

N 1 X ikx 1 sin((N + 12 )x) e = , 2π 2π sin( 12 x) k=−N

où l’on a utilisé l’identité (a − 1)(1 + a + · · · + aℓ ) = aℓ+1 − 1 avec ℓ = 2N . Par ailleurs, σN f (x) =

N 1 X Sm f (x) = FN ∗ f (x), N + 1 m=0

où FN est le N ème noyau de Fejer, défini par (4.2)

FN =

N sin2 ( N2+1 x) 1 X 1 Dm = , N + 1 m=0 2π(N + 1) sin2 ( 12 x)

où l’on a écrit que N X m=0

X  N

sin (m + 1/2)x = Im exp i(m + 1/2)x m=0

puis utilisé la même identité algébrique. Nous utiliserons deux résultats élémentaires sur le produit de convolution. Le premier lemme est un cas particulier de l’inégalité de Young qui sera étudiée au chapitre 6. Lemme 4.6. Soit p ∈ [1, +∞[. Considérons deux fonctions f ∈ L1per (R) et g ∈ Lpper (R). Alors f ∗ g ∈ Lpper (R) et de plus ∥f ∗ g∥Lp ⩽ ∥f ∥L1 ∥g∥Lp . Démonstration. Notons I l’intervalle [−π, π]. Par périodicité, en utilisant un changement de variables élémentaire, on voit que Z f ∗ g(x) = g ∗ f (x) = f (x − y)g(y) dy. I

98

CHAPITRE 4. SÉRIES DE FOURIER

On utilise ensuite l’inégalité de Minkowski (voir la proposition 18.4) pour écrire p 1/p Z 1/p Z Z p |f ∗ g(x)| dx = f (x − y)g(y) dy dx I

I

I

p 1/p Z Z g(x − y)f (y) dy dx = I I 1/p Z Z p ⩽ |g(x − y)f (y)| dx dy (Minkowski) I

I

Z Z

p

|g(x − y)| dx

⩽ ZI

1/p |f (y)| dy

I

∥g∥Lp |f (y)| dy = ∥g∥Lp ∥f ∥L1 .

⩽ I

Ce qui conclut la démonstration. Le second résultat est lié à la notion d’approximation de l’identité pour des fonctions périodiques qui sera aussi étudiée au chapitre 6. Définition 4.7. Une suite (KN )N ∈N de fonctions 2π-périodiques continues est une approximation de l’identité si Rπ (i) −π KN (x) dx = 1 pour tout N ; Rπ (ii) supN −π |KN (x)| dx < ∞ ; (iii) pour tout δ > 0, on a Z lim |KN (x)| dx = 0. N →+∞

|x|>δ

Notons que les noyaux de Dirichlet ne forment pas une approximation de l’identité car ∥DN ∥L1 tend vers +∞ quand n tend vers +∞ (voir le lemme 4.10). En revanche, on vérifie facilement (exercice) que la suite des noyaux de Fejer (FN ) (voir (4.2)) est une approximation de l’identité. Par conséquent, pour démontrer le théorème de Fejer, il suffit de démontrer le lemme suivant. Lemme 4.8. Considérons une approximation de l’identité (KN )N ∈N . Si f appartient à Lp ([−π, π]) avec 1 ⩽ p < ∞, ou si p = ∞ et f est une fonction continue 2π-périodique, alors lim ∥KN ∗ f − f ∥Lp ([−π,π]) = 0.

N →+∞

Pour démontrer ce lemme, on commence par étudier le cas p = ∞. Comme [−π, π] est compact, si f est continue alors f est uniformément continue. Par conséquent, pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que sup

sup |f (x − y) − f (x)| < ε.

x∈[−π,π] |y| 0 telle que f (0) − f (y)
⩽ C |y|α−1 . (4.8) ∀y ∈ [−π, π], sin 12 y (4.7)

∀x ∈ [0, π/2],

sin(x) ⩾

102

CHAPITRE 4. SÉRIES DE FOURIER

Donc la fonction g définie par g(y) = (f (0) − f (y))/ sin( 12 y) est localement intégrable. D’après le lemme de Riemann-Lebesgue, on a Z π lim g(y)eiky dy = 0. k→+∞

−π

En développant sin((N + 1/2)y), on déduit que Z π
lim g(y) sin (N + 1/2)y dy = 0, n→+∞

−π

ce qui démontre que SN (f )(0) converge vers f (0). 4.3.3. Convergence uniforme. Après avoir étudié la convergence en norme Lp et la convergence simple des séries de Fourier, nous allons voir des conditions suffisantes qui entraînent la convergence normale de la série de Fourier. Nous reviendrons sur cette question à la section 4.5 consacrée au théorème de Wiener. Proposition 4.14. Considérons une fonction f : R → C de classe C 2 et 2πpériodique. Alors sa série de Fourier converge normalement et de plus 2 X fb(k) ⩽ π ∥f ′′ ∥ ∞ + ∥f ∥L∞ . (4.9) L 3 k∈Z

Remarque 4.15. Puisque supx∈R fb(k)eikx = fb(k) , la convergence absolue des coefficients de Fourier implique la convergence normale de la série de Fourier et donc sa convergence uniforme. Par ailleurs, comme la proposition 4.12 implique qu’il y a convergence simple de la série de Fourier vers f , par unicité de la limite, on déduit que la série de Fourier de f converge uniformément vers f . Démonstration. En intégrant par parties, on vérifie directement que Z π Z 1 ik π ′ ′′ −ikx ′′ c f (k) = f (x)e dx = f (x)e−ikx dx 2π −π 2π −π Z (ik)2 π = f (x)e−ikx dx = −k 2 fb(k). 2π −π P −2 On en déduit l’inégalité voulue car k∈Z |k| = π 2 /3. La proposition suivante montre qu’il suffit de supposer que les fonctions sont α-höldériennes avec α > 1/2. Proposition 4.16. Soient f : R → C une fonction 2π-périodique et α-höldérienne. Si α > 1/2, la série de Fourier de f converge normalement vers f : X fb(p) < +∞. p∈Z

4.3. CONVERGENCE SIMPLE ET CONVERGENCE UNIFORME

Démonstration. Celle-ci repose ces(4) . Précisément, nous allons X (4.10)

103

sur un découpage dyadique des fréquenmontrer qu’il existe C > 0 telle que fb(p) ⩽ C2(1−2α)n/2 .

2n−1 1/2 implique que le membre de droite est le terme général d’une série convergente. Ainsi, le résultat voulu sera une conséquence directe de (4.10). Étant donné un paramètre h > 0, considérons la fonction fh = f (· + h) − f (· − h). Alors les coefficients de Fourier de fh se calculent à partir de ceux de f : Z π Z π 1 1 −ikx c fh (k) = f (x + h)e dx − f (x − h)e−ikx dx 2π −π 2π −π = (eikh − e−ikh )fb(k) = 2i sin(kh)fb(k). L’identité de Parseval implique que 2 Z X 4 sin2 (kh) fb(k) =

π

2

|f (x + h) − f (x − h)| dx.

−π

k∈Z

Soit n ∈ N∗ et h = 2−n . L’identité précédente implique que X 2 X 2 4 sin2 (ph) fb(p) ⩽ 4 sin2 (ph) fb(p) 2n−1 0. La fonction u est donc solution de ∂t u + i∂x2 u + λu = 0. Montrer que E ′ (t) + 2λE(t) = 0 et en déduire l’inégalité E(t) ⩽ e−2λt E(0).

109

4.6. EXERCICES

(2) On s’intéresse dans cette question à l’équation avec χ = 0. On suppose donc que u est solution de ∂t u + i∂x2 u = 0. (a) Posons u0 (x) = u(0, x) et notons (cn )n∈Z les coefficients de Fourier P 2 de la fonction u0 . Montrer que u(t, x) = Z cn einx+in t est bien définie et est solution. (b) Montrer que Z 2π X X 2 2 cn einx+in t dt = 2π |cn |2 . 0

Z

Z

(c) Soient a, b tels que 0 < a < b < 2π. Montrer que Z b Z 2π 2 |u(t, x)| dt dx ⩾ 2π(b − a)∥u0 ∥2L2 . a

0

(3) Soit u0 : R → C une fonction C ∞ et 2π-périodique. On suppose dans cette question que χ une fonction vérifiant χ ⩾ 0 et χ(x) = 1 pour tout x ∈ [a, b] avec 0 < a < b < 2π. La fonction u est donc solution de ∂t u + i∂x2 u + χu = 0,

u(0, x) = u0 (x).

(a) Montrer que si w est une fonction C ∞ vérifiant ∂t w + i∂x2 w + χw = 0, Rπ 2 alors la fonction E(t) = −π |w(t, x)| dx est décroissante. En déduire que le problème de Cauchy pour u admet au plus une solution C ∞ . (b) En déduire que u = U + v où les fonctions U et v sont définies par ∂t U + i∂x2 U = 0, et

∂t v + (c) Montrer que

U (0, x) = u0 (x),

i∂x2 v

+ χv = −χU,

Rπ

|u(t, x)| dx décroît exponentiellement vers 0.

−π

2

v(0, x) = 0.

CHAPITRE 5 TRANSFORMATION DE FOURIER

5.1. Introduction Nous allons étudier une décomposition analogue à la décomposition en séries de Fourier, mais sans faire d’hypothèse de périodicité. Ici aussi, le but est d’écrire une fonction comme une somme d’exponentielles oscillantes. Rappelons qu’une exponentielle oscillante est par définition une fonction de la forme x 7→ exp(ix · ξ) avec ξ ∈ Rn . La différence avec les séries de Fourier est que cette somme sera une intégrale sur Rn au lieu d’être une somme indexée par k ∈ Zn . La décomposition en séries de Fourier d’une fonction périodique se comprend bien : c’est la décomposition d’un élément d’un espace de Hilbert sur une base hilbertienne. En revanche, la décomposition d’une fonction non périodique comme une somme (au sens des intégrales) d’exponentielles oscillantes est moins intuitive. Pour comprendre comment on obtient cette décomposition, nous allons partir de la décomposition en série de Fourier pour des fonctions qui sont 2T -périodiques par rapport à chaque variable, puis faire tendre T vers +∞. L’idée heuristique est de voir une fonction définie sur Rn comme une fonction périodique de période +∞ par rapport à chaque variable. Considérons une fonction f qui est C ∞ et à support compact. Pour T assez grand, le support de f est inclus dans QT = ] − T, T [n . Nous allons calculer la décomposition de Fourier de f dans L2 (QT ) etR faire tendre T vers +∞. Pour cela, introduisons le produit scalaire (f, g) = QT f (x)g(x) dx sur L2 (QT ) et posons ek (x) = (2T )−n/2 exp(iπk · x/T ) où k ∈ Zn . Ces fonctions sont 2T -périodiques par rapport à chaque variable et on a (ek , eℓ ) = δkℓ . Les coefficients de Fourier de f sont donnés par fbk = (u, ek ) =

1 (2T )n/2

Z QT

 iπk · x  f (x) exp − dx. T

112

CHAPITRE 5. TRANSFORMATION DE FOURIER

Fixons x ∈ Rn . Comme f ∈ C0∞ (QT ), on a X f (x) = fbk ek (x) k∈Zn

(avec convergence normale et donc ponctuelle). On peut donc écrire que X f (x) = fbk ek (x) k∈Zn

=

X k∈Zn

1 (2T )n

Z QT

 iπk · y    iπk · x  f (y) exp − dy exp . T T

Comme le support de f est inclus dans QT , on observe que Z  iπk · y    iπk · x  1 f (y) exp − dy exp = F (k/T ) 2n T T QT avec Z

1 F (ξ) := n exp iπξ · x f (y) exp −iπξ · y dy. 2 Rn P Si on pose h = 1/T , alors f (x) est égal à k∈Zn hn F (kh). Quand T tend vers +∞, le pas h tend vers 0 et cette R somme est une somme de Riemann (1) qui converge, formellement , vers Rn F (ξ) dξ. On trouve que Z  Z 1 eiπx·ξ e−iπy·ξ f (y) dy dξ. f (x) = n 2 Rn Rn On préfère écrire la relation précédente sous la forme Z  Z 1 ix·ξ −iy·ξ (5.1) f (x) = e e f (y) dy dξ. (2π)n Rn Rn Cette formule correspond à une description fréquentielle de la fonction f (dansp la littérature physique, on appelle ξ le vecteur d’onde et on dit que |ξ| = ξ12 + · · · + ξn2 est la fréquence). Définition 5.1. Soit f ∈ L1 (Rn ). On appelle transformée de Fourier de f la fonction, notée fb ou F (f ), définie pour tout ξ ∈ Rn par Z (5.2) fb(ξ) = e−ix·ξ f (x) dx. Rn

L’hypothèse que f est une fonction intégrable est l’hypothèse minimale pour que la formule (5.2) ait un sens pour l’intégrale de Lebesgue. C’est pourquoi on commence par définir la transformation de Fourier sur L1 (Rn ). Mais nous allons voir qu’il est naturel de travailler avec d’autres espaces de fonctions. Il y a plusieurs raisons à cela. La première est que nous souhaitons nous le verrons plus tard, il est facile de montrer que si f est C ∞ à support compact sur Rn , alors la fonction F est intégrable sur Rn . Ce qui permet de justifier le passage à la limite quand T tend vers +∞. (1) Comme

5.2. CLASSE DE SCHWARTZ

113

donner un sens à la formule (5.1), dite formule d’inversion de Fourier(2) , qui s’écrit Z 1 f (x) = eix·ξ fb(ξ) dξ. (2π)n Rn Dans une autre direction, nous allons chercher à étendre la transformation de Fourier à des espaces différents de L1 (Rn ). Nous allons voir deux résultats dans cette direction. Comme pour les séries de Fourier, un résultat essentiel est que la transformation de Fourier préserve la norme L2 (à une constante dépendant de π près). Cela permet de prolonger la définition de la transformation de Fourier de L1 (Rn ) ∩ L2 (Rn ) à L2 (Rn ). Nous verrons par ailleurs comment définir la transformation de Fourier sur un espace beaucoup plus gros, l’espace des distributions tempérées, qui contient tous les espaces de Lebesgue Lp (Rn ) ainsi que les espaces de Lebesgue Lpper (Rn ) de fonctions périodiques, et ceci quel que soit p tel que 1 ⩽ p ⩽ ∞. En particulier, cette transformation de Fourier étendue à l’espace des distributions tempérées contient également la théorie des séries de Fourier. Rajoutons que l’espace des distributions tempérées contient aussi de nombreux autres espaces utiles dans la théorie des équations aux dérivées partielles. Nous étudierons le cas des espaces de Hölder, et introduirons la décomposition de Littlewood-Paley pour donner une caractérisation de ces espaces qui est très utile. 5.2. Classe de Schwartz Pour construire une transformation de Fourier sur un espace qui soit le plus gros possible, nous allons utiliser un argument de dualité(3) . Il s’agit de chercher un espace, le plus petit possible, tel que la transformation de Fourier soit un isomorphisme de cet espace dans lui même. Ce principe est très simple mais nous allons voir que sa mise en œuvre est subtile. Déjà, concernant le choix d’un espace de fonctions le plus petit possible, la proposition suivante montre que l’on ne peut pas utiliser l’espace auquel (2) Notons

que Cauchy et Poisson auraient redécouvert la formule intégrale de Fourier (qui figure dans le mémoire de Fourier, publié en 1822, qui lui valut de remporter le prix pour sa réponse donnée en 1812 à une question posée par l’Académie en 1811). Ceci est expliqué dans l’article d’Annaratone [5] publié dans la Revue d’Histoire des Mathématiques. (3) Le principe est le suivant : si T est une application linéaire continue de E dans E alors T ∗ est continue de E ′ dans E ′ . De plus, si E ⊂ L1 (Rn )′ , alors L1 (Rn ) ⊂ E ′ . Donc, pour étendre la définition de la transformation de Fourier à un espace plus gros que L1 (Rn ), on va chercher à la définir comme l’adjoint d’un isomorphisme d’un espace E inclus dans L1 (Rn ). Attention : ceci ne correspond que très approximativement à ce que nous allons faire. En effet, on ne pourra pas se contenter de travailler dans le cadre des espaces de Banach. Nous devrons travailler dans le cadre des espaces de Fréchet.

114

CHAPITRE 5. TRANSFORMATION DE FOURIER

on pense spontanément (c’est-à-dire l’espace C0∞ (Rn ) des fonctions C ∞ à support compact). Proposition 5.2. Il n’existe pas de fonction f ∈ L1 (R), non nulle, à support compact et dont la transformée de Fourier est également à support compact. Démonstration. Soit f ∈ L1 (R) à support compact. Alors on peut définir F : C → C par Z F (z) = e−ixz f (x) dx. R

Notons que F (ξ) = fb(ξ) pour tout ξ dans R. A fortiori, F s’annule sur un intervalle. Comme F est une fonction entière (holomorphe sur C), on obtient que F = 0 car une fonction entière non nulle ne peut s’annuler que sur un ensemble discret. Au lieu de travailler avec des fonctions C ∞ à support compact, nous allons travailler avec des fonctions C ∞ qui sont à décroissance rapide à l’infini, au sens de la définition ci-dessous due à Laurent Schwartz(4) . Définition 5.3. (i) On dit qu’une fonction f est à décroissance rapide si le produit de f par un polynôme quelconque est une fonction bornée. (ii) On dit qu’une fonction f ∈ C ∞ (Rn ) appartient à la classe de Schwartz S (Rn ) si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide. Il est équivalent de dire que les quantités suivantes X

α β

x ∂x f ∞ Np (f ) = L |α|⩽p,|β|⩽p

sont finies pour tout p. Remarque 5.4. Notons que C0∞ (Rn ) ⊂ S (Rn ). L’exemple fondamental d’une fonction de S (Rn ) qui n’est pas un élément de C0∞ (Rn ) est la gaussienne x 7→ exp(−|x|2 ). Cette fonction joue un rôle spécial dans l’étude de la transformation de Fourier. Plus généralement, pour 2 tout nombre complexe z de partie réelle Re z > 0, la fonction exp(−z |x| ) n appartient à S (R ). (4) Premier

Français à obtenir la médaille Fields, en 1950, pour avoir introduit la théorie des distributions [127], qui généralisent les fonctions et les mesures et permettent de dériver (dans un certain sens) des fonctions qui, au sens usuel, ne sont pas dérivables. Nous étudierons une partie de cette théorie au chapitre 7.

5.2. CLASSE DE SCHWARTZ

115

Remarquons que Np est une norme sur S (Rn ) pour tout entier p. Cependant, si on considère S (Rn ) comme un espace normé pour cette norme, alors on n’obtient pas un espace de Banach (une suite de Cauchy pour cette norme ne converge pas en général vers un élément C ∞ ). La bonne notion topologique est celle d’espace vectoriel topologique muni d’une famille de semi-normes. Dans ce cas, comme nous l’avons vu dans le chapitre sur la topologie, on obtient une topologie métrisable. On vérifie facilement que S (Rn ) est complet et on peut alors énoncer le résultat suivant. Proposition 5.5. La classe de Schwartz est un espace de Fréchet pour la topologie induite par la famille de semi-normes {Np }p∈N . La proposition suivante contient plusieurs propriétés simples très utiles. Proposition 5.6. Supposons que f appartient à la classe de Schwartz S (Rn ). Alors, (i) pour tous multi-indices α et β dans Nn , on a xα ∂xβ f ∈ S (Rn ) (et l’application f 7→ xα ∂xβ f est continue de S (Rn ) dans S (Rn )) ; (ii) le produit de deux éléments de S (Rn ) appartient à S (Rn ) (et l’application produit est continue de S (Rn ) × S (Rn ) dans S (Rn )) ; (iii) pour tout p ∈ [1, +∞], on a f ∈ Lp (Rn ) (et l’injection de S (Rn ) dans Lp (Rn ) est continue) ; (iv) C0∞ (Rn ) est dense dans S (Rn ) ; (v) la transformée de Fourier fb appartient à C 1 (Rn ) et, pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n et tout ξ ∈ Rn , ∂ξj fb(ξ) = F ((−ixj )f ) ; (vi) pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n et tout ξ dans Rn ,
ξj fb(ξ) = −iF ∂xj f (ξ). Démonstration. Les deux premiers points sont des conséquences immédiates de la définition de S (Rn ). Pour montrer (iii), on commence par observer que Z ∥f ∥L1 = |f (x)| dx (5.3) n oZ dx ⩽ CNn+1 (f ). ⩽ sup (1 + |x|)n+1 |f (x)| (1 + |x|)n+1 Ensuite, on observe que f ∈ L∞ (Rn ) (direct) et on conclut que f ∈ Lp (Rn ) pour tout p ∈ [1, +∞] car L1 (Rn ) ∩ L∞ (Rn ) est inclus dans Lp (Rn ). Pour démontrer le point (iv), on considère une fonction χ ∈ C0∞ (Rn ) et on montre que, pour toute fonction f de S (Rn ), la suite χ(·/k)f converge vers f dans S (Rn ) quand k tend vers +∞. Pour cela, il suffit de vérifier

116

CHAPITRE 5. TRANSFORMATION DE FOURIER

que, pour tout p ∈ N, les semi-normes Np (f − χ(·/k)f ) tendent vers 0. Ce calcul est laissé en exercice. Pour démontrer le point (v), il suffit d’observer que les hypothèses du théorème de dérivation de Lebesgue sont vérifiées puis d’appliquer ce résultat. Enfin, le point (vi) s’obtient en écrivant que ξj e−ix·ξ = i∂xj e−ix·ξ , puis en intégrant par parties : Z Z
ξj fb(ξ) = i∂xj e−ix·ξ f (x) dx = −i e−ix·ξ ∂xj f (x) dx
= −iF ∂xj f (ξ). Cette manipulation est justifiée car f est à décroissance rapide (on peut alors faire une intégration par parties sur une boule B(0, R) puis faire tendre R vers +∞). Proposition 5.7. La classe de Schwartz S (Rn ) est dense dans Lp (Rn ) pour tout p ∈ [1, +∞[. Démonstration. C’est une conséquence de l’inclusion C0∞ (Rn ) ⊂ S (Rn ) et du corollaire 6.9 qui sera démontré dans le chapitre sur la convolution. La proposition suivante montre pourquoi S (Rn ) est le bon espace pour étudier la transformation de Fourier. Proposition 5.8. La transformation de Fourier applique S (Rn ) dans luimême, et il existe des constantes Cp telles que, pour tout f dans S (Rn ), (5.4)

Np (fb) ⩽ Cp Np+n+1 (f ).

En particulier, la transformation de Fourier est continue de S (Rn ) dans S (Rn ). Démonstration. Soit f ∈ S (Rn ). Alors on peut utiliser la proposition précédente pour obtenir α β 
ξ ∂ fb(ξ) = F ∂xα xβ f (x) . ξ

Supposons que |α| ⩽ p et |β| ⩽ p. En utilisant l’inégalité ∥b u∥L∞ ⩽ ∥u∥L1 et la formule de Leibniz, il vient X α β

β ′ α′
ξ ∂ fb(ξ) ⩽ ∂xα xβ f 1 ⩽ K

x ∂x f 1 . ξ L L |α′ |⩽p,|β ′ |⩽p

On en déduit l’inégalité voulue en appliquant (5.3). Nous avons dit que les fonctions gaussiennes jouent un rôle important dans l’étude de la transformation de Fourier. C’est en raison du résultat suivant, qui énonce que la transformée de Fourier d’une fonction gaussienne est une fonction gaussienne.

117

5.2. CLASSE DE SCHWARTZ

Proposition 5.9. Pour tout a > 0 et toute dimension n ⩾ 1,  π n/2 2 2 F (e−a|x| ) = e−|ξ| /4a . a Démonstration. Commençons par le cas de la dimension 1 d’espace, avec 2 a = 1. Posons f (x) = e−|x| . La transformée de Fourier de f , notée F (f )(ξ), est une fonction régulière qui vérifie Z Z 2 i ′ −ixξ −x2 (F f ) (ξ) = (−ix)e e dx = e−ixξ ∂x e−x dx 2 R R Z −i −ixξ −x2 = (−iξ)e e dx, 2 R donc 1 (F f )′ (ξ) = − ξ(F f )(ξ). 2 En utilisant Z

2

e−x dx =

√

π,

R

on en déduit que (F f )(ξ) = e−ξ

2

/4

(F f )(0) =

√

π e−ξ

2

/4

.

On en déduit le résultat par des manipulations simples : si f ∈ L1 (Rn ) alors la transformée de Fourier de f (x/λ) est |λ|n fb(λξ). De plus, la transformée de Fourier de f1 (x1 ) · · · fn (xn ) est fb1 (ξ1 ) · · · fbn (ξn ). On est alors en mesure de démontrer le résultat suivant qui est fondamental. Théorème 5.10 (Inversion de Fourier). Si u appartient à S (Rn ), alors, pour tout x dans Rn , Z 1 (5.5) u(x) = eix·ξ u b(ξ) dξ. (2π)n Remarque 5.11. On a vu que si u ∈ S (Rn ) alors u b ∈ S (Rn ). On a aussi vu n 1 n ix·ξ que S (R ) ⊂ L (R ) et donc la fonction ξ 7→ e u b(ξ) est bien intégrable. La formule précédente a un sens pour tout x ∈ Rn . Démonstration. Étant donné ε > 0, introduisons Z 2 1 2 1 uε (x) = eix·ξ u b(ξ)e− 2 ε |ξ| dξ. (2π)n

118

CHAPITRE 5. TRANSFORMATION DE FOURIER

En utilisant le lemme précédent on calcule (en ne manipulant que des intégrales convergentes) ZZ 2 1 2 1 uε (x) = ei(x−y)·ξ u(y)e− 2 ε |ξ| dy dξ (2π)n Z 2 1 1 = u(y)e− 2ε2 |x−y| ε−n dy n/2 (2π) Z
1 2 1 = u(x + εy) − u(x) e− 2 |y| dy + u(x). n/2 (2π) Puisque |u(x + εy) − u(x)| ⩽ ε |y| ∥∇u∥L∞ , on obtient le résultat voulu en passant à la limite quand ε tend vers 0. Corollaire 5.12. La transformation de Fourier F est un isomorphisme de S (Rn ) dans lui-même, et (5.6)

F −1 f =

1 F (f ). (2π)n

Démonstration. Nous avons déjà vu que la transformation de Fourier est continue de S (Rn ) dans S (Rn ). Il suffit donc de démontrer que, pour tout f ∈ S (Rn ), on a 1 F −1 f = F (f ). (2π)n Ce qui suit directement de la formule (5.5) et du fait que Z Z 1 1 ix·ξ b f (x) = e f (ξ) dξ = e−ix·ξ fb(ξ) dξ (2π)n (2π)n Z 1 = e−ix·ξ fb(−ξ) dξ, (2π)n équivalent au résultat recherché. Théorème 5.13 (Identité de Plancherel). Si f et g appartiennent à S (Rn ), alors Z Z 1 (5.7) f (x)g(x) dx = fb(ξ)b g (ξ) dξ. (2π)n Rn Rn En particulier, pour tout élément f de S (Rn ), on a

1

fb 2 2 . (5.8) ∥f ∥2L2 = n L (2π) Démonstration. Nous allons commencer par montrer que, si φ, ψ ∈ S (Rn ), alors Z Z b dy. (5.9) φ(x)ψ(x) b dx = φ(y)ψ(y)

119

5.3. DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

Comme φ et ψ sont à décroissance rapide, on peut appliquer le théorème de Fubini pour obtenir  Z Z Z −iy·x φψ b dx = e φ(y) dy ψ(x) dx  Z Z Z −iy·x = e ψ(x) dx φ(y) dy = φψb dy. Considérons maintenant deux fonctions f et g de la classe de Schwartz S (Rn ). On applique l’identité (5.9) avec φ = f et ψ = F −1 (g). Alors Z Z Z Z f g = φψb = φψ b = fbF −1 g. Puis on obtient (5.7) en vérifiant (à l’aide de la formule d’inversion de Fourier, voir (5.6)) que Z Z −1 −n iyξ −n (F g)(ξ) = (2π) e g(y) dy = (2π) e−iyξ g(y) dy = (2π)−n gb(ξ). L’identité (5.8) de Plancherel est alors un corollaire évident de (5.7). Corollaire 5.14. Soit f ∈ L1 (Rn ). Si fb = 0, alors f = 0. Démonstration. La démonstration utilise le théorème précédent et le fait que la classe Schwartz est dense dans L1 (Rn ) (voir la proposition 5.7). Soit g ∈ S (Rn ) et soit (fn )n∈N une suite de fonctions de la classe de Schwartz qui converge vers f dans L1 (Rn ). On a directement Z (fn − f )(x)g(x) dx ⩽ ∥fn − f ∥ 1 ∥g∥L∞ −→ 0. L n→+∞ Par ailleurs, comme fb = 0, on a Z Z c b fc g (ξ) dξ = (fn − f )(ξ)b g (ξ) dξ n (ξ)b



⩽ c fn − fb L∞ gb L1 ⩽ ∥fn − f ∥L1 gb L1 −→ 0, n→+∞

où l’on a utilisé le fait que gb ∈ S (R ) ⊂ L (R )R pour tout g ∈ S (Rn ) (voir la proposition 5.8). Il suit du théorème 5.13 que f (x)g(x) dx = 0 pour tout g ∈ S (Rn ), d’où f = 0 (c’est un résultat classique, voir le corollaire 6.10). n

1

n

5.3. Distributions tempérées 5.3.1. Définition des distributions tempérées. Définition 5.15. L’espace des distributions tempérées, noté S ′ (Rn ), est le dual topologique de S (Rn ).

120

CHAPITRE 5. TRANSFORMATION DE FOURIER

Notation 5.16. Soit u ∈ S ′ (Rn ) et f ∈ S (Rn ). On notera ⟨u, f ⟩S ′ ×S (plutôt que u(f )) le nombre complexe que l’on obtient en faisant agir la forme linéaire u sur f . Il suit qu’une application linéaire T : S (Rn ) → C appartient à S ′ (Rn ) si et seulement s’il existe p ∈ N et C > 0 tels que X

α β

x ∂x f ∞ . ∀f ∈ S (Rn ), |⟨T, f ⟩S ′ ×S | ⩽ CNp (f ) = C L |α|⩽p,|β|⩽p

Montrons à titre de premier exemple que toute fonction u ∈ L∞ (Rn ) permet de définir une distribution tempérée. On définit une forme linéaire U : S (Rn ) → C par Z (5.10) ⟨U, v⟩S ′ ×S = u(x)v(x) dx. Rn

On vérifie que U est bien continue de S (Rn ) dans C d’après l’estimation suivante |⟨U, v⟩S ′ ×S | ⩽ ∥u∥L∞ ∥v∥L1 Z  dx n+1 ⩽ ∥u∥L∞ sup (1 + |x|) v(x) , n+1 x∈Rn (1 + |x|) qui implique |⟨U, v⟩S ′ ×S | ⩽ C∥u∥L∞ Nn+1 (v). En raisonnant de façon similaire, on montre que la formule (5.10) définit une distribution tempérée pour toute fonction u ∈ Lp (Rn ) avec p ∈ [1, +∞]. Ce procédé nous permet de plonger les espaces de Lebesgue dans S ′ (Rn ). En fait, on peut plonger beaucoup d’autres espaces et nous verrons plus loin l’exemple fondamental des espaces de Sobolev. Définition 5.17. Étant donné un espace de fonctions X et une distribution tempérée U ∈ S ′ (Rn ), nous dirons que U appartient à X s’il existe u ∈ X telle que, Z ∀v ∈ S (Rn ),

⟨U, v⟩S ′ ×S =

u(x)v(x) dx. Rn

5.3.2. Extension aux distributions tempérées. Nous avons vu au paragraphe précédent que l’on peut plonger tous les espaces de Lebesgue dans S ′ (Rn ). On peut aussi y plonger les espaces de Hölder et ceux de Sobolev (les deux seront définis plus loin). Il faut penser à l’espace des distributions tempérées comme au plus gros espace dans lequel on souhaite travailler(5) . Il est alors naturel de vouloir étendre la définition des opérateurs importants en analyse à S ′ (Rn ). Nous allons voir que ceci peut se faire très simplement. (5) Il

y a des espaces plus gros, comme l’espace des distributions, mais nous n’étudierons pas ces espaces dans ce livre.

5.3. DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

121

Définition 5.18. Considérons une application linéaire A : S (Rn ) → S (Rn ) qui est supposée continue. Nous dirons que A admet un adjoint continu sur S (Rn ) s’il existe une application linéaire continue A∗ : S (Rn ) → S (Rn ) telle que, pour tout (u, v) ∈ S (Rn ) × S (Rn ), Z (Au, v) = (u, A∗ v) où (f, g) = f (x)g(x) dx. Exemple 5.19. (i) Considérons le cas de la transformation de Fourier A = F (qui est bien une application continue de S (Rn ) dans S (Rn ) d’après la proposition 5.8). Nous allons voir que dans ce cas, l’application A∗ est donnée par A∗ g = F (g). Ceci impliquera que F admet un adjoint continu sur S (Rn ). Pour le voir, nous rappelons l’identité (5.9) qui énonce que, pour tout φ, ψ ∈ S (Rn ), on a Z Z b dy. φ(x)ψ(x) b dx = φ(y)ψ(y) En appliquant ceci avec φ = f et ψ = g, on en déduit que Z Z (Af, g) = (fb, g) = fb(x)g(x) dx = f (y)b g (y) dy = (f, A∗ g). (ii) Soit j tel que 1 ⩽ j ⩽ n. Si A = ∂xj , alors A est bien continue de S (Rn ) dans S (Rn ) car Np (Au) ⩽ Np+1 (u) et on a, en intégrant par parties, (Au, v) = (u, A∗ v) avec A∗ = −∂xj . (iii) Notons Cb∞ (Rn ) l’espace des fonctions C ∞ bornées ainsi que toutes ses dérivées. Si c ∈ Cb∞ (Rn ), alors l’opérateur Ac défini par Ac (f )(x) = c(x)f (x) vérifie cette propriété. Alors (Ac )∗ = Ac . (iv) Si A et B vérifient cette propriété alors A ◦ B aussi avec (A ◦ B)∗ = B ∗ ◦ A∗ . On déduit des deux points précédents que tout opérateur difféP rentiel A, de la forme A(f )(x) = |α|⩽m cα (x)∂xα f (x) avec cα ∈ Cb∞ (Rn ), vérifie cette propriété. (v) On verra un autre exemple plus tard qui généralise la notion d’opérateur différentiel (voir la partie consacrée aux opérateurs pseudodifférentiels). Considérons une application linéaire continue A : S (Rn ) → S (Rn ) qui admet un adjoint A∗ continu sur S (Rn ). Nous allons montrer qu’il existe e : S ′ (Rn ) → S ′ (Rn ) linéaire continue qui prolonge la définition de A. A Pour cela on définit ∀u ∈ S ′ (Rn ), ∀v ∈ S (Rn ),

e v⟩S ′ ×S = ⟨u, A∗ v⟩S ′ ×S . ⟨Au,

Montrons que l’opérateur ainsi construit prolonge la définition de A.

122

CHAPITRE 5. TRANSFORMATION DE FOURIER

Proposition 5.20. Considérons l’application T : u ∈ S (Rn ) 7→ Tu ∈ S ′ (Rn ) définie par Z Tu (v) = (u, v) =

u(x)v(x) dx.

Alors cette application est bien définie, linéaire, continue et injective et de plus e u = TAu . ∀u ∈ S (Rn ), AT Remarque 5.21. La première partie du résultat signifie que T est une injece coïncide avec A tion de S (Rn ) dans S ′ (Rn ) ; la seconde partie signifie que A n sur S (R ). Démonstration. Pour tout u, v ∈ S (Rn ) nous avons déjà vu que |⟨Tu , v⟩S ′ ×S | ⩽ ∥u∥L∞ ∥v∥L1 ⩽ CN0 (u)Nn+1 (v), ce qui montre que Tu appartient à S ′ (Rn ) et que u 7→ Tu est continu de S (Rn ) dans S ′ (Rn ). De plus, T est injective car Tu1 = Tu2 implique Tu1 −u2 (u1 − u2 ) = 0, donc ∥u1 − u2 ∥L2 = 0, d’où u1 = u2 . Avec les définitions précédentes, pour tous u, v dans S (Rn ), on a e u , v⟩S ′ ×S = ⟨Tu , A∗ v⟩S ′ ×S = (u, A∗ v) = (Au, v) = ⟨TAu , v⟩S ′ ×S . ⟨AT e u = TAu . Ce qui démontre que AT e l’opérateur étendu Dans la suite, on notera simplement A au lieu de A ′ n à S (R ). En utilisant cette construction, on peut ainsi définir la dérivée partielle ∂xj de toute distribution tempérée ! Par définition, on a ∀u ∈ S ′ (Rn ), ∀v ∈ S (Rn ),

⟨∂xj u, v⟩S ′ ×S = −⟨u, ∂xj v⟩S ′ ×S .

On en déduit que l’on peut définir ∂xα u pour tout α ∈ Nn et tout u ∈ S ′ (Rn ). On peut donc dériver à tout ordre n’importe quelle distribution (ce qui est bien sûr faux pour les fonctions). Nous allons maintenant appliquer la construction précédente avec la transformation de Fourier. Rappelons que (cf. (5.9)), pour tous φ, ψ dans S (Rn ), on a Z Z b dy. φ(x)ψ(x) b dx = φ(y)ψ(y) Considérons une distribution tempérée u ∈ S ′ (Rn ). On peut alors appliquer le principe précédent pour définir sa transformée de Fourier, notée F (u), par ⟨F (u), v⟩S ′ ×S = ⟨u, vb⟩S ′ ×S . On note également u b la transformée de Fourier d’une distribution tempérée. Proposition 5.22. La transformation de Fourier F est un isomorphisme de S ′ (Rn ) dans lui-même (application linéaire continue d’inverse continue). De plus, on a F −1 u = (2π)−n F (u).

5.3. DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES

123

Démonstration. C’est une conséquence directe de la proposition 5.8 et du corollaire 5.12. Nous avons déjà remarqué que l’on peut plonger les espaces de Lebesgue dans S ′ (Rn ). On peut en particulier considérer la transformée de Fourier d’une fonction Lp (Rn ). Le cas le plus important en pratique est celui de L2 (Rn ). Dans ce cas, on a le résultat suivant. Proposition 5.23. Si u ∈ L2 (Rn ), alors F (u) appartient à L2 (Rn ) et ∥u∥2L2 =

1 2 ∥F (u)∥L2 . (2π)n

Remarque 5.24. Avec les conventions précédentes, le fait que F (u) appartient à L2 (Rn ) signifie qu’il existe une fonction h ∈ L2 (Rn ) telle que R ⟨F (u), v⟩S ′ ×S = Rn h(x)v(x) dx pour tout v ∈ S (Rn ). Alors on a

2 ∥u∥2 2 = 1 n h 2 . L

(2π)

L

Démonstration. On utilise la définition de F sur S ′ (Rn ) et le théorème 5.13 pour écrire Z |⟨F (u), v⟩S ′ ×S | = |⟨u, vb⟩S ′ ×S | = ub v dx ⩽ ∥u∥L2 ∥b v ∥L2 = (2π)n/2 ∥u∥L2 ∥v∥L2 . On en déduit que l’application S (Rn ) ∋ v 7→ ⟨F (u), v⟩S ′ ×S ∈ C s’étend en une forme linéaire continue sur l’espace de Hilbert L2 (Rn ). D’après le théorème 3.10 de Riesz-Fréchet, il existe h ∈ L2 (Rn ) telle que ⟨F (u), v⟩S ′ ×S = R h(x)v(x) dx, ce qui est le résultat voulu. Définition 5.25. On dit qu’une fonction m appartenant à C ∞ (Rn ) est à croissance lente si m et toutes ses dérivées sont à croissance au plus polynomiale α ∈ Nn , il existe Cα > 0 et Nα ∈ N tels α : pour tout multi-indice N que ∂ξ m(ξ) ⩽ Cα (1 + |ξ|) α pour tout ξ ∈ Rn . Si m est une fonction à croissance lente et si v ∈ S (Rn ), alors mv appartient aussi à la classe de Schwartz S (Rn ). On vérifie donc directement que l’on peut définir un opérateur, noté m(Dx ) sur S ′ (Rn ) de la façon suivante : F (m(Dx )u) = mF u. On dit que m(Dx ) est un multiplicateur de Fourier. Ces opérateurs interviennent très souvent. Nous les reverrons dans le chapitre consacré au calcul symbolique pour les opérateurs pseudo-différentiels.

124

CHAPITRE 5. TRANSFORMATION DE FOURIER

5.4. Décomposition de Littlewood-Paley 5.4.1. Décomposition dyadique de l’unité. Nous allons introduire une décomposition dyadique de l’unité. Cette décomposition permet d’introduire un paramètre (grand ou petit) dans un problème qui n’en comporte pas. C’est une idée simple et extrêmement fructueuse(6) . Lemme 5.26. Soit n ⩾ 1. Il existe ψ ∈ C0∞ (Rn ) et φ ∈ C0∞ (Rn ) telles que les propriétés suivantes sont vérifiées : (i) (conditions de support) nous avons 0 ⩽ ψ ⩽ 1, 0 ⩽ φ ⩽ 1 et n3 o supp ψ ⊂ {|ξ| ⩽ 1}, supp φ ⊂ ⩽ |ξ| ⩽ 2 ; 4 (ii) (décomposition de l’unité) Pour tout ξ ∈ Rn , 1 = ψ(ξ) +

(5.11)

∞ X

φ(2−p ξ);

p=0

(iii) (presque orthogonalité) pour tout ξ ∈ Rn , +∞ X 1 ⩽ ψ 2 (ξ) + φ2 (2−p ξ) ⩽ 1. 3 p=0

(5.12)

Démonstration. Soit ψ ∈ C0∞ (Rn ; R) une fonction radiale vérifiant ψ(ξ) = 1 pour |ξ| ⩽ 3/4, et ψ(ξ) = 0 pour |ξ| ⩾ 1, et décroissante (si |ξ| ⩾ |η| alors ψ(ξ) ⩽ ψ(η)). Ensuite, on définit φ(ξ) = ψ(ξ/2) − ψ(ξ) et on remarque que φ est supportée dans la couronne {3/4 ⩽ |ξ| ⩽ 2}. Pour tout nombre entier N et tout ξ ∈ Rn , on a ψ(ξ) +

N X

φ(2−p ξ) = ψ(2−N −1 ξ),

p=0

ce qui implique immédiatement (5.11) en faisant tendre N vers +∞. Il reste à prouver (5.12). Pour tout entier N , on a ψ 2 (ξ) +

N X p=0

N  2 X φ2 (2−p ξ) ⩽ ψ(ξ) + φ(2−p ξ) . p=0

D’autre part, on remarque que, pour tout ξ ∈ Rn , il n’y a jamais plus de trois termes non nuls dans l’ensemble {ψ(ξ), φ(ξ), . . . , φ(2−p ξ), . . .}. Par (6) Pour

une introduction à l’utilisation de cet outil dans des travaux de recherche récents, nous renvoyons le lecteur à Bahouri [8] ou Danchin [33]. Il existe de nombreux livres qui développent une étude systématique de la décomposition de Littlewood-Paley : Coifman et Meyer [27, 103], Métivier [99], Alinhac et Gérard [3], Bahouri, Danchin et Chemin [9], Tao [134] ou Taylor [142, 143].

125

5.4. DÉCOMPOSITION DE LITTLEWOOD-PALEY

conséquent, en utilisant l’inégalité élémentaire (a + b + c)2 ⩽ 3(a2 + b2 + c2 ), on obtient N N  2   X X ψ(ξ) + φ(2−p ξ) ⩽ 3 ψ 2 (ξ) + φ2 (2−p ξ) . p=0

p=0

On obtient alors (5.12) en faisant tendre N vers +∞ dans les inégalités précédentes. Définissons, pour p ⩾ −1, les multiplicateurs de Fourier ∆p comme suit :
∆−1 := ψ(Dx ) et ∆p := φ 2−p Dx (p ⩾ 0). Introduisons également, pour p ⩾ 0, les multiplicateurs de Fourier Sp : p−1 X
Sp := ψ 2−p Dx = ∆k . k=−1

La partition de l’unité implique également une partition de l’identité. Proposition 5.27. On a I=

X

∆p ,

p⩾−1

P au sens des distributions : pour tout u ∈ S ′ (Rn ), la série ∆p u converge P ′ vers u dans S ′ (Rn ), ce qui signifie que ⟨∆ u, φ⟩ p S ×S converge vers p n ⟨u, φ⟩S ′ ×S pour tout φ ∈ S (R ). Démonstration. Soit u ∈ S ′ (Rn ) et θ ∈ S (Rn ). Posons up = ∆p u. Les PN −1 sommes partielles SN u = p⩾0 up sont bien définies et ⟨F (SN u) , θ⟩ = ⟨ψ(2−N ξ)F (u), θ⟩ = ⟨F (u), ψ(2−N ξ)θ⟩, or

lim ψ(2−N ξ)θ = θ dans S (Rn ) donc

N →+∞

F (SN u) −→ F (u) dans S ′ (Rn ). p→+∞

Par continuité de F

−1

: S (Rn ) → S ′ (Rn ) on a bien u = ′

P

p⩾−1

up .

5.4.2. Caractérisation des espaces de Hölder. Dans ce paragraphe, nous allons montrer que l’on peut décrire les espaces de Hölder à l’aide de la transformation de Fourier. Rappelons la définition des espaces de Hölder. Définition 5.28. (i) Soit r ∈ ]0, 1[. On note C 0,r (Rn ) l’espace des fonctions bornées sur Rn vérifiant ∃C > 0/ ∀x, y ∈ Rn ,

r

|u(x) − u(y)| ⩽ C |x − y| .

126

CHAPITRE 5. TRANSFORMATION DE FOURIER

(ii) Soient k ∈ N et α ∈ ]0, 1]. On note C k,α (Rn ) l’espace des fonctions C (Rn ) dont toutes les dérivées jusqu’à l’ordre k appartiennent à C 0,α (Rn ). (iii) Soit r ∈ R+ ∖ N de sorte que r = k + α avec k ∈ N et α ∈ ]0, 1]. Alors on note simplement C r (Rn ) l’espace C k,α (Rn ). k

Pour r ∈ ]0, 1[, l’espace C r (Rn ) est muni d’une structure d’espace de Banach par la norme ∥u∥C r = ∥u∥L∞ + sup x̸=y

|u(x) − u(y)| . r |x − y|

Nous donnons ci-après une norme équivalente. Proposition 5.29. Soit r ∈ ]0, 1[. Il existe une constante Ar > 0 telle que les deux propriétés suivantes aient lieu : (i) Si u ∈ C r (Rn ) alors, pour tout p ⩾ −1, ∥∆p u∥L∞ ⩽ Ar ∥u∥C r 2−pr . (ii) Réciproquement, si, pour tout p ⩾ −1, ∥∆p u∥L∞ ⩽ C2−pr , alors u ∈ C r (Rn ) et ∥u∥C r ⩽ Ar C. Démonstration. (i) Considérons p ⩾ 0. Pour démontrer le premier point, on commence par écrire ∆p u sous forme intégrale, Z pn (5.13) ∆p u(x) = 2 F −1 (φ)(2p (x − y))u(y) dy. Le reste de la preuve, ainsi qu’un calcul précis des constantes, utilise juste le fait que les moments de F −1 (φ) sont tous nuls. Ainsi, avec le moment d’ordre 0, on obtient Z ∆p u(x) = 2pn F −1 (φ)(2p (x − y)) (u(y) − u(x)) dy pour p ⩾ 0, d’où |∆p u(x)| ⩽ 2pn ∥u∥C r −pr

=2

Z Z

∥u∥C r

−1 F (φ)(2p (x − y)) |y − x|r dy −1 F (φ)(z)z dz.

Le cas p = −1 se traite de manière similaire. On écrit Z ∆−1 u(x) = F −1 (ψ)(x − y)u(y) dy, puis on utilise que F −1 (ψ) ∈ S (Rn ) et donc F −1 (ψ) appartient à L1 (Rn ). On en déduit que la norme L∞ de ∆−1 u est contrôlée par la norme L∞ de u.

127

5.4. DÉCOMPOSITION DE LITTLEWOOD-PALEY

P

(ii) Montrons la réciproque. On vérifie que u ∈ L∞ car ∆p u ∈ L∞ et ∆p u converge normalement si ∥∆p u∥L∞ ⩽ C2−pr . Il reste à estimer |u(x) − u(y)| . |x − y|r |x−y|⩽1

sup x̸=y,

(Noter que l’on peut se restreindre évidemment à |x − y| ⩽ 1.) Pour cela, on pose, pour un entier p à déterminer, u = Sp u + Rp u,

Sp u =

p−1 X

∆q u et Rp u =

∆q u.

q=p

q=−1

Par hypothèse, il vient X X ∥Rp u∥L∞ ⩽ ∥∆q u∥L∞ ⩽ C2−qr = q⩾p

+∞ X

q⩾p

C 2−pr . 1 − 2−r

2C −pr d’où l’on déduit évidemment que |Rp u(y) − Rp u(x)| ⩽ 1−2 . D’autre −r 2 part p−1 X |Sp u(x) − Sp u(y)| ⩽ |x − y| ∥∇∆q u∥L∞ . q=−1

D’après la formule rappelée au début de la preuve, nous obtenons ∥∇∆q u∥L∞ ⩽ C ′ 2q ∥∆q u∥L∞ ⩽ C ′′ C2q−qr . Avec pour q = −1, ∥∇u−1 ∥L∞ ⩽ C ′′′ C. Comme r < 1, on a 1 − r > 0 et donc p−1 X 1 2q−qr ⩽ 1−r 2p(1−r) . 2 − 1 q=0 Regroupons les deux estimations : il existe deux constantes K1 et K2 qui ne dépendent que de r telles que |u(y) − u(x)| ⩽ K1 C |x − y| 2p−pr + K2 2−pr . Choisissons p tel que 2−1 ⩽ 2p |x − y| ⩽ 1 (ce qui est possible car on suppose |x − y| ⩽ 1). Alors r

|u(y) − u(x)| ⩽ K3 C |x − y| , ce qui achève la preuve. 5.4.3. Espaces de Zygmund. On a montré que si r ∈ ]0, 1[, u ∈ C r (Rn ) ⇐⇒ sup 2pr ∥∆p u∥L∞ < +∞. p

En fait, on a plus généralement (5.14)

∀r ∈ R+ ∖ N,

u ∈ C r (Rn ) ⇐⇒ sup 2pr ∥∆p u∥L∞ < +∞. p

128

CHAPITRE 5. TRANSFORMATION DE FOURIER

Définition 5.30. Soit r un réel. On désigne par C∗r (Rn ) le sous-espace des distributions tempérées défini par u ∈ C∗r (Rn ) ⇐⇒ sup 2pr ∥∆p u∥L∞ < +∞. p⩾−1

Remarque 5.31. Noter que l’on définit ces espaces pour tout r ∈ R et pas seulement r ⩾ 0. Ainsi, le résultat précédent donne directement r ∈ R+ ∖ N =⇒ C∗r (Rn ) = C r (Rn ). De plus, pour k ∈ N, on montre facilement que ∀k ∈ N,

C k (Rn ) ⊂ W k,∞ (Rn ) ⊂ C∗k (Rn ).

Cependant, on peut montrer que r ∈ N =⇒ C∗r (Rn ) ̸= C r (Rn ). Donnons par exemple une caractérisation élémentaire de C∗1 (Rn ). Proposition 5.32. L’espace C∗1 (Rn ) est l’espace des fonctions bornées u telles que ∃C > 0/ ∀x, y ∈ Rn ,

|u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)| ⩽ C |y| .

Démonstration. Supposons que u ∈ C∗1 (Rn ). Considérons alors un point y ∈ B(0, 1) non nul. En utilisant la décomposition dyadique de l’espace des fréquences et l’inégalité de Taylor à l’ordre 2 entre y et 0, il vient   X X 2 q −q |u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)| ⩽ C ∥u∥C∗1 |y| 2 +4 2 , q⩽N

q>N

où N est un entier quelconque. En choisissant N tel que 2qN = |y|−1 , on obtient |u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)| ⩽ C ∥u∥C∗1 |y| . Réciproquement, choisissons une fonction u telle que, pour tout y dans Rn , on ait |u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)| ⩽ C |y| . Le fait que la fonction φ soit radiale, donc paire, entraîne que Z ∆q u(x) = 2qn F −1 φ(2q ·) ∗ u(x) = 2qn F −1 φ(2q y)u(x − y) dy Z qn =2 F −1 φ(2q y)u(x + y) dy. Introduisons h(z) = F −1 φ(z). Comme φ est nulle près de l’origine on en déduit que h est d’intégrale nulle, donc Z qn −1 q qn−1 2 F φ(2 ·) ∗ u(x) = 2 F −1 φ(2q y)(u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)) dy.

129

5.5. EXERCICES

Comme la fonction z 7→ |z| h(z) est intégrable, on a ∥∆q u∥L∞ ⩽ C2−q sup

y∈Rn

|u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)| , |y|

ce qui démontre que u appartient à C∗1 (Rn ). 5.5. Exercices Exercice 5.1. Considérons les fonctions f (x) = ex et g(x) = ex cos(ex ). Montrer que f ̸∈ S ′ (R) et g ∈ S ′ (R). Exercice 5.2. (1) Montrer qu’il existe une constante C telle que, pour tout ε ∈ ]0, 1[ et toute fonction f appartenant à l’espace de Hölder C 0,ε (Rn ), on ait  ∥f ∥C 0,ε  C ∥f ∥L∞ ⩽ ∥f ∥C 0 log e + . ∗ ε ∥f ∥C 0 ∗

Indication : utiliser la décomposition de Littlewood-Paley et, pour N ∈ N à choisir, écrire que X X ∥f ∥L∞ ⩽ ∥∆q f ∥L∞ + ∥∆q f ∥L∞ . q⩽N −1

q⩾N

(2) Considérons la distribution tempérée u=

∞ X

q

ei2 x .

q=0

Montrer que u appartient à C∗0 mais pas à L∞ . Exercice 5.3 (Inégalité de Nash). Considérons un entier n ⩾ 1 et une fonction u dans la classe de Schwartz S (Rn ). (1) Calculer la transformée de Fourier de ∇u et montrer qu’il existe une constante C1 > 0 telle que, pour tout ρ > 0, on a Z Z 2 C1 c 2 dξ. u ∇u(ξ) b(ξ) dξ ⩽ 2 ρ Rn |ξ|⩾ρ (2) Montrer qu’il existe une constante C2 > 0 telle que, pour tout ρ > 0, on a Z 2 u b(ξ) dξ ⩽ C2 ρn ∥u∥2L1 . |ξ|⩽ρ

(3) En déduire qu’il existe une constante C > 0 telle que, pour tout u ∈ S (Rn ), on a 1+2/n

2/n

∥u∥L2 (Rn ) ⩽ C∥u∥L1 (Rn ) ∥∇u∥L2 (Rn ) .

130

CHAPITRE 5. TRANSFORMATION DE FOURIER

Exercice 5.4 (Le lemme div-rot de Murat et Tartar). L’exercice suivant nécessite de connaître les espaces de Sobolev, qui seront étudiés au chapitre 7. Pour la solution, nous renvoyons aux articles originaux de Murat [108] et Tartar [138] ainsi qu’aux notes de cours de Prange [119]. Notations : Soit Ω un ouvert de Rn . On note C ∞ (Ω) l’espace des fonctions u : Ω → R qui sont la restriction à Ω de fonctions C ∞ sur Rn . On note C0∞ (Ω) les fonctions C ∞ et à support compact dans Ω. Considérons un ouvert borné Ω ⊂ R2 et deux suites de champs de vecteurs, En : Ω → R2 et Bn : Ω → R2 . On note (En1 , En2 ) et (Bn1 , Bn2 ) les coordonnées de En et Bn . On suppose que : (H1) En et Bn appartiennent à C ∞ (Ω)2 pour tout entier n. (H2) On a   sup ∥En ∥L2 (Ω)2 + ∥Bn ∥L2 (Ω)2 + ∥div En ∥L2 (Ω) + ∥rot Bn ∥L2 (Ω) < +∞,

n∈N

q 2 2 où ∥En ∥L2 (Ω)2 = ∥En1 ∥L2 (Ω) + ∥En2 ∥L2 (Ω) , et où div En et rot Bn sont des fonctions à valeurs dans R définies par div En = ∂x1 En1 + ∂x2 En2 ,

rot Bn = ∂x2 Bn1 − ∂x1 Bn2 .

(H3) Il existe E ∈ L2 (Ω)2 et B ∈ L2 (Ω)2 telles que En ⇀ E et Bn ⇀ B dans L2 (Ω)2 , ce qui signifie que chaque coordonnée converge faiblement (Enj ⇀ E j pour j = 1, 2 et de même pour Bn ). Le but de cet exercice est de montrer un résultat, dû à François Murat [108] et Luc Tartar [138], qui énonce que, pour tout φ ∈ C0∞ (Ω), Z Z (∗) φ(x)En (x) · Bn (x) dx −→ φ(x)E(x) · B(x) dx, n→+∞

Ω

Ω

où y · y ′ est le produit scalaire de R2 . (1) Fixons une fonction φ ∈ C0∞ (Ω) et considérons χ ∈ C0∞ (Ω) valant 1 sur le support de φ, de sorte que χφ = φ. On introduit vn = φEn ,

wn = χBn ,

v = φE,

2

w = χB.

On étend ces fonctions par 0 sur R ∖Ω (et on les note toujours vn , wn , v, w). Montrer que vn et wn appartiennent à H 1 (R2 )2 . Montrer que vn converge faiblement vers v dans L2 (R2 )2 et que de même wn converge faiblement vers w dans L2 (R2 )2 . (2) Si f = (f 1 , f 2 ) est une fonction à valeurs dans R2 , on note fb = (fc1 , fc2 ) sa transformée de Fourier. Montrer que (b vn ) et (w bn ) sont bornées dans L2 (R2 )2 et dans L∞ (R2 )2 . (3) Montrer que (∗) est équivalent à Z Z (∗∗) vbn (ξ) · w bn (ξ) dξ −→ vb(ξ) · w(ξ) b dξ. R2

n→+∞

R2

131

5.5. EXERCICES

(4) Montrer que, pour tout ξ ∈ R2 , les suites (b vn (ξ))n∈N et (w bn (ξ))n∈N convergent vers vb(ξ) et w(ξ), b respectivement. (5) Soit R > 0. Notons B(0, R) la boule de centre 0 et de rayon R dans R2 . Montrer que Z Z vbn (ξ) · w bn (ξ) dξ −→ vb(ξ) · w(ξ) b dξ. n→+∞

B(0,R)

B(0,R)

(6) Soit ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ R2 non nul. Posons ξ ⊥ = (ξ2 , −ξ1 ). Montrer que, pour tout X ∈ R2 , on a   ξ ξ ξ⊥  ξ⊥ X= X· + X· . |ξ| |ξ| |ξ| |ξ| Montrer ensuite que, pour tous X, Y dans R2 , on a
1 |X · Y | ⩽ |Y | |X · ξ| + |X| Y · ξ ⊥ . |ξ| (7) Montrer que les suites de fonctions ξ 7→ ξ · vbn (ξ) et ξ 7→ ξ ⊥ · w bn (ξ) sont bornées dans L2 (R2 ). (8) En déduire que, pour tout R > 0, on a Z sup vbn (ξ) · w bn (ξ) dξ −→ 0, n∈N

|ξ|>R

et conclure la démonstration de (∗).

R→+∞

CHAPITRE 6 CONVOLUTION

La convolution se trouve partout en analyse, mais en tant que notion c’est l’une des dernières nées : le terme de convolution ne s’est imposé que dans la seconde moitié du xxe siècle. Au moins Wiener en avait fait sous le nom de Faltung un merveilleux usage, qui a servi de modèle à plusieurs égards à la théorie des distributions de Schwartz. Jean-Pierre Kahane [74] La notion de convolution est à la fois très naturelle et peu enseignée. Le but de ce chapitre est précisément d’en présenter une étude systématique. Nous allons en fait introduire deux outils très utiles dans la pratique pour étudier les moyennes locales d’une fonction : le produit de convolution f ∗ g et la fonction maximale M (f ). Ces deux outils vont nous permettre d’étudier des approximations de l’identité et de prouver des inégalités fondamentales dues à Hardy, Littlewood et Sobolev. Dans les deux dernières sections, nous étudierons deux résultats liés à la notion de convolution et qui ont été au cœur des préoccupations de l’analyse harmonique au xxe siècle : la décomposition en ondelettes de Calderón, Grossmann et Morlet ainsi que le théorème taubérien de Wiener.

6.1. Définition du produit de convolution Le produit de convolution de deux fonctions f : R → R et g : R → R est la fonction h : R → R définie formellement par Z ∞ h(x) = f (x − y)g(y) dy. −∞

Le produit de convolution est un outil très utile qui intervient dès que l’on ne s’intéresse pas à une fonction mais à ses moyennes locales. Par exemple,

134

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

si f est l’indicatrice de [−1/2, 1/2], alors Z x+1/2 h(x) = g(y) dy, x−1/2

donc h(x) est la moyenne de g sur [x − 1/2, x + 1/2]. De même, si fε = (2ε)−1 1[−ε,ε] , alors hε (x) = fε ∗ g(x) est la moyenne de g sur [x − ε, x + ε], Z x+ε 1 hε (x) = g(y) dy. 2ε x−ε On s’attend à ce que hε (x) converge vers g(x) quand ε tend vers 0. Cette situation se produit très naturellement dans les applications (car en Physique, par exemple, on ne connaît pas une fonction ponctuellement : on n’a accès qu’à ses moyennes locales). Elle se produit aussi pour des questions théoriques. Par exemple, pour approximer une fonction par des fonctions régulières, il est naturel de remplacer la valeur en un point par une moyenne calculée sur un voisinage de ce point. Nous allons étudier les principaux résultats concernant le produit de convolution. Le premier résultat concerne la définition de f ∗ g sous des hypothèses générales. Théorème 6.1 (Young). Considérons p, q, r tels que (6.1)

1 ⩽ p, q, r ⩽ ∞,

1 1 1 + =1+ · p q r

Alors, pour tout f dans Lp (Rn ) et tout g dans Lq (Rn ), l’intégrale Z f ∗ g(x) = f (x − y)g(y) dy Rn n

converge pour presque tout x ∈ R . De plus, f ∗ g appartient à Lr (Rn ) et ∥f ∗ g∥Lr (Rn ) ⩽ ∥f ∥Lp (Rn ) ∥g∥Lq (Rn ) . On appelle f ∗ g le produit de convolution de f et g et on dit que l’opération binaire ∗ est le produit de convolution. Remarque 6.2. Considérons le cas particulier où f appartient à L1 (Rn ), comme dans l’exemple des moyennes locales donné dans l’introduction. Alors le théorème précédent implique que l’opérateur g 7→ f ∗ g est borné de Lq (Rn ) dans Lq (Rn ) pour tout q ∈ [1, ∞]. Démonstration. Commençons par vérifier que l’on peut supposer que f et g sont des fonctions à valeurs réelles positives. En effet, supposons que le résultat du théorème est vrai dans ce cas. Alors on R peut l’appliquer aux fonctions |f | et |g|. On en déduit que l’intégrale |f (x − y)| |g(y)| dy est finie pour presque tout x, ce qui implique d’après l’inégalité triangulaire

6.1. DÉFINITION DU PRODUIT DE CONVOLUTION

135

que f ∗ g(x) est bien définie pour presque tout x. De plus, |f ∗ g| ⩽ |f | ∗ |g|, toujours d’après l’inégalité triangulaire, donc ∥f ∗ g∥Lr (Rn ) = ∥|f ∗ g|∥Lr (Rn ) ⩽ ∥|f | ∗ |g|∥Lr (Rn ) ⩽ ∥|f |∥Lp (Rn ) ∥|g|∥Lq (Rn ) ⩽ ∥f ∥Lp (Rn ) ∥g∥Lq (Rn ) . Ceci montre qu’il suffit de supposer que f et g sont des fonctions à valeurs positives. Dans ce cas, la fonction h = f ∗ g est bien définie ponctuellement car l’intégrale d’une fonction positive est toujours bien définie dans [0, +∞]. Notons par ailleurs que le résultat est évident si f est nulle ou si g est nulle. On peut donc supposer de plus que ∥f ∥Lp (Rn ) = 1 = ∥g∥Lq (Rn ) . Il s’agit maintenant de montrer que la fonction h = f ∗ g appartient à Lr (Rn ) et que sa norme est plus petite que 1. Si r = ∞ alors p et q sont deux exposants conjugués (1/p + 1/q = 1) et le résultat est une conséquence de l’inégalité de Hölder. Si r = 1, alors nécessairement p = 1 et q = 1. Dans ce cas, le résultat voulu est une conséquence du théorème de Fubini, en notant que ZZ |f (x − y)| |g(y)| dx dy = ∥f ∥L1 (Rn ) ∥g∥L1 (Rn ) . Il reste à traiter le cas 1 < r < ∞. Dans ce cas, p et q sont nécessairement finis et on peut écrire que |f (x − y)g(y)| = α(x, y)β(x, y) avec α(x, y) = |f (x − y)|

p/r

q/r

β(x, y) = |f (x − y)|

1−p/r

|g(y)|

,

1−q/r

|g(y)|

.

En utilisant le théorème de Fubini, on a directement que ZZ (6.2) α(x, y)r dx dy = ∥f ∥pLp (Rn ) ∥g∥qLq (Rn ) = 1. Nous allons montrer que, pour presque tout x, Z ′ 1 1 (6.3) β(x, y)r dy ⩽ 1 où =1− . r′ r Pour cela, on note que ′

p/s

β(x, y)r = |f (x − y)| avec

|g(y)|

q/t

1 1 1 1 1 1 = r′ − , = r′ − . s p r t q r On utilise alors l’hypothèse (6.1) pour vérifier que 1 1 2  1 1 1 r r−1 + = r′ + − = r′ 1 − = · = 1. s t p q r r r−1 r

136

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

Donc s et t sont deux nombres réels conjugués et l’inégalité (6.3) s’obtient facilement en appliquant l’inégalité de Hölder. Ensuite, on utilise à nouveau l’inégalité de Hölder avec les exposants conjugués r et r′ pour écrire que Z 1/r Z 1/r′ r r′ |h(x)| ⩽ α(x, y) dy β(x, y) dy , donc, en tenant compte de (6.3) puis de (6.2), Z ZZ r |h(x)| dx ⩽ α(x, y)r dy dx ⩽ 1. Ce qui est l’inégalité voulue. Nous allons ensuite étudier certaines propriétés du produit de convolution dont nous aurons fréquemment à nous servir, en commençant par une propriété qui relie le produit de convolution à la transformation de Fourier. Proposition 6.3. Soient f et g deux fonctions de L1 (Rn ). Alors f ∗ g appartient à L1 (Rn ) et pour tout ξ ∈ Rn on a f[ ∗ g(ξ) = fb(ξ)b g (ξ). Démonstration. Le théorème de Young assure que le produit de convolution f ∗ g appartient à L1 (Rn ), ce qui permet d’utiliser le théorème de Fubini pour obtenir que  Z Z Z −ix·ξ −i(x−y)·ξ e f ∗ g(x) dx = e f (x − y) dx e−iy·ξ g(y) dy, qui implique directement le résultat voulu. On en déduit facilement que le produit de convolution est commutatif, associatif et distributif par rapport à l’addition. Corollaire 6.4. Pour tout triplet de fonctions f, g, h dans L1 (Rn ), on a f ∗ g = g ∗ f, f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h, f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h). Proposition 6.5. Le produit de convolution de deux éléments de la classe de Schwartz S (Rn ) appartient à S (Rn ) et l’application produit de convolution est continue de S (Rn ) × S (Rn ) dans S (Rn ). Démonstration. Considérons f et g dans S (Rn ). Alors le produit de convolution f ∗ g est C ∞ sur Rn et, pour tout multi-indice β dans Nn , on a ∂xβ (f ∗ g) = (∂xβ f ) ∗ g. Par ailleurs, pour tout m ∈ N, on a m

|x|

m

⩽ (|x − y| + |y|)m ⩽ (2 max{|x − y|, |y|})m ⩽ 2m (|x − y|m + |y| ).

6.2. APPROXIMATIONS DE L’IDENTITÉ

137

Donc xα ∂xβ (f ∗ g)(x) est majoré par Z   |α| |x − y||α| ∂xβ f (x − y) |g(y)| + ∂xβ f (x − y) |y| |g(y)| dy. On utilise ensuite l’inégalité évidente ∥F ∗ G∥L∞ ⩽ ∥F ∥L∞ ∥G∥L1 et les points (i) et (iii) de la proposition 5.6 pour majorer les normes L1 de g et y α g par des semi-normes de g dans S (Rn ). Rappelons que le support d’une fonction continue f est défini comme l’adhérence de l’ensemble des points où elle ne s’annule pas : supp f = {x ∈ Rn : f (x) ̸= 0}. Soit φ une fonction C ∞ à support compact. Alors, pour toute fonction f dans Lp (Rn ), le produit de convolution φ∗f est bien définie (en effet on a φ ∈ L1 (Rn ) donc le théorème 6.1 garantit que φ ∗ f appartient à Lp (Rn )). Une propriété essentielle de la convolution est que cette fonction est régulière. Proposition 6.6. (i) Soit φ ∈ C0∞ (Rn ). Pour tout p ∈ [1, ∞] et tout f ∈ Lp (Rn ), la fonction φ ∗ f est C ∞ sur Rn . (ii) Si de plus f est à support compact, alors φ∗f est à support compact et supp(φ ∗ f ) ⊂ supp φ + supp f. Démonstration. (i) Le premier point est un corollaire direct du théorème de dérivation des intégrales à paramètres. (ii) Supposons que φ ∗ f (x) ̸= 0. Alors il existe y ∈ Rn tel que φ(x − y)f (y) ̸= 0. On en déduit que x = (x − y) + y ∈ supp φ + supp f. Ce qui démontre que {x ∈ Rn : φ ∗ f (x) ̸= 0} ⊂ supp φ + supp f. Comme supp φ et supp f sont compacts, la somme de ces deux ensembles est aussi compacte donc fermée. Il suit que supp(φ ∗ f ) = {x ∈ Rn : φ ∗ f (x) ̸= 0} ⊂ supp φ + supp f, ce qui conclut la démonstration. 6.2. Approximations de l’identité Le but de cette section est de construire une suite d’opérateurs linéaires (It )t∈]0,1] qui a les propriétés suivantes : (1) si f appartient à Lp (Rn ), alors It (f ) appartient à Lp (Rn ) si 1 ⩽ p ⩽ ∞ et de plus ∥It (f )∥Lp ⩽ ∥f ∥Lp ; (2) It (f ) est une fonction C ∞ ;

138

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

(3) It (f ) converge vers f quand t tend vers 0 (dans un sens qui sera précisé). Ces opérateurs permettent donc d’approximer une fonction par des fonctions régulières. Pour les construire, nous allons considérer le produit de convolution par des fonctions régulières à support compact. Lemme 6.7. Il existe une fonction Φ : Rn → [0, +∞[ à support compact et normalisée, de sorte que Z supp Φ ⊂ B(0, 1) et Φ(x) dx = 1, Rn

et telle que Φ est : – radiale : Φ(x) = Φ(y) si |x| = |y| ; – décroissante : Φ(x) ⩽ Φ(y) si |x| ⩾ |y|. Démonstration. Considérons la fonction ϕ : R → R+ définie par pour y > 0, ϕ(y) = exp (−1/y) ;

pour y ⩽ 0, ϕ(y) = 0.

Cette fonction est C ∞ sur R (voir la démonstration de la proposition 17.33). Il suffit alors de poser 2

Φ(x) = Aϕ(1 − |x| ), R où A est choisie de sorte que Φ dx = 1. (6.4)

Étant donné t ∈ ]0, 1], posons Φt (x) =

1 Φ(x/t). tn

Nous nous proposons d’étudier l’opérateur(1) It : f 7→ f ∗ Φt de convolution par Φt . La famille {It }t∈]0,1] est appelée une approximation de l’identité. Théorème 6.8. (i) Si f est uniformément continue et bornée sur Rn , alors f ∗Φt converge vers f uniformément : lim sup |f ∗ Φt (x) − f (x)| = 0.

t→0 x∈Rn

(ii) Si p ∈ [1, +∞[ alors f ∗ Φt converge vers f dans Lp (Rn ). Démonstration. (6.5)

(i) Fixons x ∈ Rn et ε > 0. En utilisant Z Z Φt (y) dy = Φ(y) dy = 1, Rn

(1) Ces

Rn

opérateurs ont été introduits par Friedrichs [42] et sont aujourd’hui utilisés de façon systématique pour étudier les équations aux dérivées partielles.

139

6.2. APPROXIMATIONS DE L’IDENTITÉ

nous pouvons écrire Z f (x) =

f (x)Φt (y) dy, Rn

d’où

Z f ∗ Φt (x) − f (x) =


Φt (y) f (x − y) − f (x) dy.

Rn

Par continuité uniforme, il existe δ > 0 tel que |f (x − y) − f (x)| < ε si |y| ⩽ δ. On écrit f ∗ Φt (x) − f (x) comme la somme de At et Bt avec Z Z

At = Φt (y) f (x−y)−f (x) dy, Bt = Φt (y) f (x−y)−f (x) dy. |y|⩽δ

|y|>δ

On a alors directement que At est majoré par ε et que Bt peut être majoré par Z Z Bt ⩽ 2∥f ∥L∞ Φt (y) dy = 2∥f ∥L∞ Φ(y) dy, |y|>δ

|y|>δ/t

et on vérifie que le membre de droite tend vers 0 quand t tend vers 0 (il est nul pour t suffisamment grand). Ce qui conclut la démonstration du premier point. (ii) Considérons une fonction g continue à support compact. On décompose f ∗ Φt − f sous la forme f ∗ Φt − f = g ∗ Φt − g + (f − g) ∗ Φt + g − f. Alors, en utilisant l’inégalité de Young (avec p = 1 dans (6.1)), on trouve que ∥(f − g) ∗ Φt ∥Lp (Rn ) ⩽ ∥f − g∥Lp (Rn ) , donc ∥f ∗ Φt − f ∥Lp (Rn ) ⩽ ∥g ∗ Φt − g∥Lp (Rn ) + 2∥f − g∥Lp (Rn ) . Le second terme du membre de droite peut être rendu arbitrairement petit par densité de l’espace des fonctions continues à support compact dans Lp (Rn ) (car p est fini). Il reste donc uniquement à montrer que le premier terme tend vers 0 pour toute fonction g continue à support compact. Soit g une telle fonction et notons K le compact K = supp g + B(0, 1). On vérifie directement que g∗Φt est une fonction à support compact et que son support est inclus dans K. On peut alors écrire que

1/p ∥g ∗ Φt − g∥ p n = ∥g ∗ Φt − g∥ p ⩽ |K| g ∗ Φt − g ∞ n , L (R )

L (K)

L

(R )

où |K| est la mesure de Lebesgue de K. En conséquence, nous pouvons appliquer le résultat du point (i) pour obtenir que ∥g ∗ Φt − g∥Lp (K) converge vers 0. On en déduit deux résultats très utiles. Corollaire 6.9. L’ensemble C0∞ (Rn ) des fonctions C ∞ à support compact est dense dans Lp (Rn ) pour tout n ⩾ 1 et pour tout p ∈ [1, +∞[.

140

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

Démonstration. Considérons une fonction f ∈ Lp (Rn ) et une famille {Φt }t∈]0,1] comme ci-dessus. Alors les fonctions Φt ∗ f sont C ∞ d’après la proposition 6.6. Considérons de plus une fonction θ qui est C ∞ , telle que 0 ⩽ θ ⩽ 1, à support compact et qui vaut 1 sur la boule unité (une telle fonction est construite à la proposition 17.34). Notons θk la fonction θk (x) = θ(x/k). Alors ∥f − θk (Φt ∗ f )∥Lp ⩽ ∥f − θk f ∥Lp + ∥θk (f − Φt ∗ f )∥Lp ⩽ ∥f − θk f ∥Lp + ∥f − Φt ∗ f ∥Lp . Le premier terme du membre de droite tend vers 0 quand k tend vers +∞ par convergence dominée et le second terme tend vers 0 quand t tend vers 0 d’après le théorème 6.8. Corollaire 6.10. Soit f ∈ L1loc (Rn ) telle que Z ∞ n (6.6) ∀φ ∈ C0 (R ), f (y)φ(y) dy = 0. Rn

Alors f = 0. Démonstration. Nous suivons la démonstration de Friedrichs de ce résultat classique. Pour montrer que f = 0, il suffit de montrer que χf = 0 pour toute fonction χ à support compact. Or χf ∈ L1 (Rn ) donc les fonctions Φt ∗ (χf ) convergent vers χf dans L1 (Rn ) quand t tend vers 0 d’après le théorème 6.8. Par définition du produit de convolution, on a Z (Φt ∗ (χf ))(x) = χ(y)f (y)Φt (x − y) dy. Rn

Or l’hypothèse (6.6) appliquée avec φ(y) = χ(y)Φt (x − y) entraîne que cette dernière intégrale est nulle pour tout t > 0 et pour tout x ∈ Rn . En conséquence, Φt ∗ (χf ) = 0 et en passant à la limite quand t tend vers 0, on conclut que χf = 0. 6.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood Nous allons étudier la fonction maximale de Hardy-Littlewood(2) . C’est un outil très utile qui va nous permettre d’étendre les résultats précédents sur le produit de convolution dans deux directions différentes : (i) étude de la convergence ponctuelle d’une approximation de l’unité et (ii) étude du n−α produit de convolution par une fonction singulière de la forme 1/ |x| , (2) Hardy

et Littlewood sont deux mathématiciens anglais, professeurs à l’université de Cambridge durant la première moitié du vingtième siècle, dont la collaboration est à l’origine de nombreuses méthodes en analyse. Ils ont notamment introduit la fonction maximale en 1930 [57]. Pour une exposition détaillée des propriétés de la fonction maximale, nous renvoyons aux livres de Stein [130, 131] et Tao [136].

6.3. FONCTION MAXIMALE DE HARDY-LITTLEWOOD

141

avec 0 < α < n (qui sont singulières au sens où elles n’appartiennent à aucun espace de Lebesgue Lp (Rn )). Considérons une fonction localement intégrable f : Rn → C. Par définition, la fonction maximale de Hardy-Littlewood est la fonction M f : Rn → [0, +∞] définie par   Z 1 (6.7) (M f )(x) = sup |f (y)| dy . |B(x, r)| B(x,r) r>0 Cette fonction intervient naturellement lorsqu’on démontre certaines inégalités ou lorsqu’on cherche à montrer certains résultats de passage à la limite. Pour les besoins de certaines démonstrations, il est peut-être utile de considérer des variantes, comme par exemple la fonction maximale décentrée définie par Z ff )(x) = sup 1 (M |f (y)| dy, x∈B B B où le supremum est pris sur toutes les boules contenant x (et pas uniquement celles qui sont centrées en x). On a directement ff )(x). (M f )(x) ⩽ (M Réciproquement, pour toute boule B(z, δ) contenant x, on a B(z, δ) ⊂ B(x, 2δ) donc, en utilisant la monotonie de l’intégrale, on vérifie que Z Z 1 B(x, 2δ) 1 |f (y)| dy ⩽ |f (y)| dy ⩽ 2n (M f )(x) B(z, δ) B(z,δ) B(z, δ) B(x, 2δ) B(x,2δ) d’où l’inégalité ff )(x) ⩽ 2n (M f )(x). (M On pourrait donc, pour ce qui va suivre, utiliser indifféremment l’une ou l’autre de ces fonctions maximales. Dans la suite, nous ne considérons que la fonction maximale M f donnée par (6.7). Nous allons nous intéresser à la continuité de l’opérateur M sur les espaces de Lebesgue. Pour commencer, notons qu’il n’est même pas évident que M f soit mesurable (car on prend un supremum sur un ensemble non dénombrable). Néanmoins, on va pouvoir montrer directement un résultat plus fort. Proposition 6.11. Pour toute fonction f localement intégrable, la fonction maximale M f est semi-continue inférieurement et donc mesurable. Démonstration. Nous devons montrer que Uλ := {x ∈ Rn : (M f )(x) > λ} est ouvert pour tout λ > 0. Soit x ∈ Uλ . Alors par définition de M f , il existe r > 0 tel que Z 1 |f (y)| dy > λ. |B(x, r)| B(x,r)

142

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

Par un argument immédiat de continuité, il existe r′ > r tel que Z 1 |f (y)| dy > λ. |B(x, r′ )| B(x,r) Soit z ∈ Rn avec ε = |z − x| petit, de sorte que B(x, r) ⊂ B(z, r + ε) ⊂ B(x, r′ ). Par monotonie de l’intégrale, on en déduit que Z 1 (M f )(z) ⩾ |f (y)| dy |B(z, r + ε)| B(z,r+ε) Z 1 ⩾ |f (y)| dy > λ, |B(x, r′ )| B(x,r) ce qui prouve que z ∈ Uλ et donc que Uλ est un ensemble ouvert. Le résultat central est le théorème suivant. Théorème 6.12 (Hardy-Littlewood). (i) Pour tout f dans L1 (Rn ), on a ∥M f ∥L1w ⩽ 2 · 3n ∥f ∥L1 . (ii) Pour tout p ∈ ]1, +∞], il existe une constante Cp (dépendant aussi de la dimension n) telle que ∥M f ∥Lp ⩽ Cp ∥f ∥Lp . Remarque 6.13. Il est important de noter que la norme L1 de M f est finie si et seulement si f = 0. En effet, supposons que f est non nulle. Quitte à faire une translation et une dilatation, on peut supposer que l’intégrale de |f | sur B(0, 1) est strictement positive. Alors, pour tout x de norme plus grande que 1, on peut écrire Z Z 1 1 (M f )(x) ⩾ |f (y)| dy ⩾ |f (y)| dy. B(x, 2 |x|) B(x,2|x|) B(x, 2 |x|) B(0,1) On en déduit que C n, |x| ce qui prouve que M f ne peut pas appartenir à L1 (Rn ). (M f )(x) ⩾

Démonstration. La démonstration du premier point repose sur le lemme de recouvrement suivant. Lemme 6.14 (Vitali). Soit E ⊂ Rn un ensemble mesurable de mesure finie. Supposons que E est inclus dans la réunion d’une famille (Ba )a∈A de boules ouvertes de Rn . Alors il existe une famille finie (Ba )a∈J , J ⊂ A fini, de boules disjointes deux à deux et vérifiant S Ba ⩾ 2−1 3−n |E| . a∈J

6.3. FONCTION MAXIMALE DE HARDY-LITTLEWOOD

143

Démonstration. La théorie de la mesure assure qu’il existe un compact K ⊂ E dont la mesure |K| est supérieure à la moitié de celle de E. Par compacité, il existe un ensemble fini I1 et une sous-famille {Ba }a∈I1 de boules qui recouvrent K. Choisissons une boule, notée B1 , de rayon maximal parmi les Ba avec a ∈ I1 . Puis considérons la sous-famille {Ba }a∈I2 des boules Ba avec a ∈ I1 qui n’intersectent pas B1 . Supposons que cette sous-famille est non vide. Notons B2 une boule de rayon maximal parmi les boules Ba avec a ∈ I2 . On procède comme cela par récurrence jusqu’à ce que l’algorithme se termine, et cela nous fournit une famille finie Bi , 1 ⩽ i ⩽ N , de boules. Considérons maintenant une boule B quelconque de la première famille {Ba }a∈I1 . Soit cette boule fait partie de la collection {Bi : 1 ⩽ i ⩽ N }, soit elle n’en fait pas partie et alors on peut considérer le plus petit indice i0 tel que B ∩ Bi0 est non vide. Alors, par construction, le rayon de Bi0 est plus grand (au sens large) que celui de B. On en déduit que B est incluse dans la boule notée 3Bi0 qui est la boule de même centre que Bi0 et de rayon égal à 3 fois celui de Bi0 . On peut alors écrire que N N S S X X 1 |E| ⩽ |K| ⩽ Ba ⩽ 3Bi ⩽ |3Bi | ⩽ 3n |Bi | . 2 a∈I1 1⩽i⩽N i=1 i=1

Ce qui conclut la démonstration. Fixons maintenant λ > 0 et considérons un ensemble mesurable E de mesure finie contenu dans {M f > λ}. Pour tout x appartenant à E, il existe une boule Bx = B(x, rx ) contenant x telle que Z 1 |f (y)| dy > λ. |Bx | Bx Considérons la famille {Bx }x∈E . D’après le lemme précédent, il existe une sous-famille finie {Bxi : 1 ⩽ i ⩽ N } telle que |E| ⩽ 2 · 3n

N X

|Bxi | .

i=1

Ceci entraîne |E| ⩽ 2 · 3n

Z N X 1 |f (y)| dy. λ Bxi i=1

Comme les boules Bxi sont deux à deux disjointes, on peut majorer le membre de droite par 2 · 3n λ−1 ∥f ∥L1 . En prenant maintenant le supremum sur tous les ensembles mesurables E de mesure finie inclus dans {|M f | > λ}, on en déduit que λ |{|M f | > λ}| ⩽ 2 · 3n ∥f ∥L1 , ce qui conclut la démonstration du point (i).

144

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

Il reste à démontrer l’énoncé (ii). Notons que le résultat voulu est trivial dans le cas p = +∞ car on vérifie directement que ∥M f ∥L∞ ⩽ ∥f ∥L∞ . Le cas p ∈ ]1, +∞[ s’en déduit grâce au théorème d’interpolation de Marcinkiewicz (voir le théorème 18.12 dans l’appendice 18). On fera attention au fait que l’application f 7→ M f n’est pas linéaire, mais on peut quand même appliquer le théorème de Marcinkiewicz car, comme cela est expliqué dans sa démonstration, ce résultat d’interpolation est vrai pour les applications sous-additives, ce qui est le cas de M . 6.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité Nous avons étudié les approximations de l’identité à la section 6.2. Nous allons maintenant changer de point de vue et étudier la question de la convergence simple. Rappelons qu’on ne peut pas déduire la convergence simple de la convergence en norme Lp (on peut seulement en déduire qu’une suite extraite converge presque partout) ; voir l’exercice 18.1. Rappelons les notations introduites au paragraphe 6.2. Nous fixons une fonction Φ : Rn → [0, +∞[ intégrable et normalisée, de sorte que Z Φ(x) dx = 1. On suppose de plus que Φ est : – radiale : Φ(x) = Φ(y) si |x| = |y| ; – décroissante : Φ(x) ⩽ Φ(y) si |x| ⩾ |y|. On introduit ensuite 1 Φt (x) = n Φ(x/t) où t ∈ ]0, 1]. t Le résultat principal de cette partie énonce que l’on a convergence de f ∗ Φt (x) vers f (x) pour presque tout x. Théorème 6.15. Soit Φ comme ci-dessus et soit f ∈ Lp (Rn ) pour un certain p ∈ [1, ∞]. Alors, pour presque tout x ∈ Rn , on a lim f ∗ Φt (x) = f (x).

t→0

Démonstration. L’observation clé est fournie par le lemme suivant. Lemme 6.16. Soit Φ comme ci-dessus et soit f ∈ Lp (Rn ). Pour presque tout x ∈ Rn , on a (6.8)

sup |f ∗ Φt (x)| ⩽ (M f )(x). t>0

Démonstration. Comme |f ∗ Φt | ⩽ |f | ∗ Φt et comme la fonction maximale M f est égale à M |f |, on peut supposer sans perte de généralité que f ⩾ 0. Rappelons que, par hypothèse, Φ est une fonction radiale décroissante. Nous

6.4. CONVERGENCE SIMPLE D’UNE APPROXIMATION DE L’IDENTITÉ

145

allons alors raisonner par approximation et commencer par supposer qu’il existe des rayons ρp et des nombres positifs ap , avec 1 ⩽ p ⩽ N , tels que PN Φ = p=1 ap 1B(0,ρp ) . Alors Z Z 1 x − y 1 X f ∗ Φt (x) = Φ f (y) dy = a f (y) dy, p tn t tn p B(x,tρp ) d’où, par définition de la fonction maximale, X 1 f ∗ Φt (x) ⩽ n (M f )(x) ap |B(x, tρp )| = ∥Φ∥L1 (M f )(x). t p Pour une fonction quelconque Φ appartenant à L1 , radiale et décroissante, on peut trouver une suite de fonctions de la forme précédente qui converge vers Φ. On utilise alors le théorème de convergence monotone pour passer à la limite dans l’inégalité précédente et obtenir le résultat désiré. Pour démontrer le théorème, nous allons utiliser un argument de densité en utilisant le fait que si f est une fonction uniformément continue et bornée, alors c’est une conséquence du premier point du théorème 6.8. Introduisons θ(f )(x) = lim sup |f ∗ Φt (x) − f (x)| . t→0

On veut montrer que θ(f ) est nulle presque partout. Pour cela, on va montrer que la mesure de l’ensemble {θ(f ) > ε} est nulle pour tout ε > 0. Remarquons que le premier point du théorème 6.8 implique que θ(g) = 0 pour toute fonction g uniformément continue et bornée sur Rn . On en déduit que θ(f ) = θ(f − g). D’après l’inégalité triangulaire et le lemme 6.16, on a θ(f − g) ⩽ |f − g| + M (f − g). Alors |{θ(f − g) > ε}| ⩽ |{|f − g| > ε/2}| + {M (f − g) > ε/2} . Supposons que p = 1. Alors l’inégalité de Chebyshev rappelée au lemme 18.9 implique que 2 |{|f − g| > ε/2}| ⩽ ∥f − g∥L1 ε et le théorème 6.12 de Hardy-Littlewood sur la fonction maximale implique que 4 · 3n ∥f − g∥L1 . |{M (f − g) > ε/2}| ⩽ ε On a donc, pour toute fonction g intégrable, continue et bornée, C |{θ(f ) > ε}| = |{θ(f − g) > ε}| ⩽ ∥f − g∥L1 . ε Or l’ensemble des fonctions uniformément continues et bornées est dense dans L1 (car cet ensemble contient celui des fonctions continues à support

146

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

compact). Ceci implique que |{θ(f ) > ε}| = 0. Si 1 < p < ∞, on procède de même en utilisant que 2p |{|f − g| > ε/2}| ⩽ p ∥f − g∥pLp , ε et 2p 2p p |{M (f − g) > ε/2}| ⩽ p ∥M (f − g)∥Lp ⩽ Cpp p ∥f − g∥pLp . ε ε Enfin, pour p = ∞, on se ramène au cas précédent en multipliant f par la fonction indicatrice de B(0, n). On montre alors que l’ensemble {x ∈ B(0, n/2) : θ(f )(x) > 0} est de mesure nulle pour tout n, ce qui implique le résultat désiré. Le théorème précédent admet un corollaire très connu qui énonce que les moyennes locales de f sur des boules centrées en x convergent pour presque tout x vers f (x). Corollaire 6.17 (Théorème de différentiation de Lebesgue). Soit f ∈ L1 (Rn ). Alors, pour presque tout x ∈ Rn , on a Z 1 f (x) = lim f (y) dy. t→0 |B(x, t)| B(x,t) Démonstration. Pour

1 1B(0,1) , |B(0, 1)| Z 1 f ∗ Φt (x) = f (y) dy. |B(x, t)| B(x,t) Φ=

on a

Le théorème de différentiation de Lebesgue est donc une conséquence du théorème précédent. Comme exemple d’application, notons qu’en posant 1 2 Φ(x) = exp(−|x| /4), (4π)n/2 on obtient le résultat suivant. Corollaire 6.18. Soit f ∈ L1 (Rn ) et soit t un nombre réel strictement positif. On définit la fonction ut par Z  |x − y|2  1 (6.9) ut (x) = exp − f (y) dx. 4t (4πt)n/2 Rn Alors lim ut (x) = f (x),

t→0+ n

pour presque tout x dans R .

6.5. INÉGALITÉ DE HARDY-LITTLEWOOD-SOBOLEV

147

Remarque 6.19. (i) Pour interpréter ce résultat, commençons par noter que Z 2 1 (6.10) ut (x) = e−t|ξ| eix·ξ fb(ξ) dξ. n (2π) Rn Nous avons déjà étudié la question de la convergence de ut vers f dans la démonstration du théorème d’inversion de Fourier. Nous avons montré que ut converge vers f dans L1 (Rn ) quand t tend vers 0. Cependant, comme nous l’avons rappelé, ceci n’implique pas la convergence presque partout. (ii) La fonction u(t, x) = ut (x) définie par (6.9) est (formellement) solution de l’équation de la chaleur ∂t u − ∆u = 0. Ce résultat donne un sens au fait que u est la solution de donnée initiale u|t=0 = f . 6.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev On appelle potentiels de Riesz les opérateurs Iα définis pour α > 0 par Z f (y) Iα (f )(x) = dy. n−α Rn |x − y| Notons que Iα f (x) est bien définie pour tout α > 0 et toute fonction f à support compact. Pour le voir, on décompose le domaine d’intégration en deux parties : la boule de centre x et de rayon 1, B(x, 1), et son complémentaire. Comme f est bornée, le fait que l’intégrale sur B(x, 1) est bien définie provient du critère de Riemann et de l’hypothèse α > 0. Sur le complémentaire, il n’y a aucun problème d’intégration car l’intégrande est bornée et à support compact. Théorème 6.20. Soit n ∈ N∗ . Considérons trois nombres réels (p, q, α) strictement positifs tels que 1 1 α n − = , 1 0, que l’on fixera ultérieurement, pour décomposer l’intégrale en deux parties : Iα (f )(x) = Iα,R (f )(x) + IαR (f )(x),

148

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

avec Z Iα,R (f )(x) = B(x,R)

f (y) dy, IαR (f )(x) = |x − y|n−α

Z Rn ∖B(x,R)

f (y) dy. |x − y|n−α

On peut écrire Iα,R (f )(x) comme le produit de convolution de f et de la fonction α−n Ψ(x) = 1B(0,R) |x| . Notons γ(R) la norme L1 de Ψ et posons Φ = Ψ/γ(R). Alors on peut appliquer l’inégalité (6.8) avec t = 1, pour en déduire que |Iα,R (f )(x)| ⩽ γ(R)M (f )(x). En utilisant les coordonnées polaires, on calcule que n−1 Z Z R n−1 S r dr γ(R) = dθ = Rα . rn−α α Sn−1 0 Pour estimer IαR (f )(x), on procède autrement. On utilise directement l’inégalité de Hölder pour écrire Z +∞ 1/p′ R (α−n)p′ +n−1 Iα (f )(x) ⩽ C∥f ∥Lp r dr ⩽ C∥f ∥Lp Rα−n/p , R

où l’on a utilisé l’hypothèse p < α/n. En rappelant que ∥f ∥Lp = 1 et en combinant ce qui précède, on arrive à |Iα (f )(x)| ⩽ CRα M (f )(x) + CRα−n/p . On choisit alors R de sorte que Rα M (f )(x) = Rα−n/p , ce qui nous amène à la conclusion |Iα (f )(x)| ⩽ C(M (f )(x))1−αp/n . Puis, par définition de q, il suit que q

|Iα (f )(x)| ⩽ C(M (f )(x))p . Comme p > 1 par hypothèse, on peut appliquer le théorème 6.12 de HardyLittlewood et l’hypothèse ∥f ∥Lp = 1 pour déduire que q

∥Iα (f )∥Lq ⩽ C ′ ∥f ∥pLp = C ′ . Ceci démontre le résultat voulu.

6.6. Inégalités de Sobolev Un corollaire fondamental du théorème 6.20 de Hardy-LittlewoodSobolev énonce que l’on peut estimer des normes Lq d’une fonction par des normes Lp de ses dérivées.

6.6. INÉGALITÉS DE SOBOLEV

149

Théorème 6.21 (Injections de Sobolev). Soit n ⩾ 2 et soit p ∈ ]1, n[. Définissons p∗ par 1 1 1 = − . ∗ p p n Il existe une constante C telle que, pour toute fonction f ∈ C0∞ (Rn ), ∥f ∥Lp∗ (Rn ) ⩽ C∥∇f ∥Lp (Rn ) . Démonstration. Nous verrons au chapitre 8 (cf. (8.6)) que, pour tout f ∈ C0∞ (Rn ), Z 1 (x − y) · ∇f (y) f (x) = − n−1 dy, |S | Rn |x − y|n donc 1 |f | ⩽ n−1 I1 (|∇f |). |S | (Une démonstration directe et élémentaire de cette inégalité est proposée à l’exercice 7.9.) Le résultat voulu est alors une conséquence du théorème 6.20 de Hardy-Littlewood-Sobolev. Nous concluons ce chapitre avec un résultat qui étend le théorème 6.21 au cas de dérivées fractionnaires(3) . Théorème 6.22 (Injections de Sobolev fractionnaires). Considérons un entier n ⩾ 1 et deux nombres réels s ∈ ]0, 1[ et p ∈ ]0, n/s[, puis posons np p∗ = · n − sp Il existe une constante C telle que, pour toute fonction f dans la classe de Schwartz S (Rn ) et tout x dans Rn , on a Z p ∗ |f (x) − f (y)| p∗ dy. |f (x)| ⩽ C∥f ∥pLp−p ∗ n+ps Rn |x − y| Il suit que Z Z 1/p p |f (x) − f (y)| 1/p ∥f ∥Lp∗ ⩽ C dy dx . n+ps Rn ×Rn |x − y| Démonstration. Nous noterons C plusieurs constantes différentes qui ne dépendent que de n et p et dont la valeur peut changer d’une ligne à l’autre. Nous commençons par vérifier que l’intégrale Z p |f (x) − f (y)| dy n+ps Rn |x − y| (3) Nous

ne définirons pas la notion de dérivée fractionnaire et renvoyons au livre de Ponce [117] où l’on trouve en particulier la démonstration du théorème 6.22 avec une remarque qui crédite Brezis pour le résultat et la démonstration. Une démonstration similaire est donnée par Brué et Nguyen dans [14] (voir aussi [15]).

150

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

est bien définie pour tout f dans S (Rn ) et tout x dans Rn . Pour cela, il suffit de tronquer l’intégrale en deux parties : l’intégrale sur B(x, 1) et celle sur Rn ∖ B(x, 1). Sur B(x, 1), nous utilisons l’estimation |f (x) − f (y)| ⩽ K|x − y| avec

K = sup |∇f (m)| , m∈Rn

n

et sur R ∖ B(x, 1) on écrit |f (x) − f (y)| ⩽ 2 sup |f |. Fixons maintenant x ∈ Rn et un nombre réel t > 0. Notons Ct la couronne Ct = B(x, 2t) − B(x, t) = {y ∈ Rn : t ⩽ |y − x| < 2t}, et |Ct | sa mesure de Lebesgue. Alors Z 1 p p |f (x)| = |f (x)| dy |Ct | Ct Z
p 1 ⩽ |f (y) − f (x)| + |f (y)| dy. |Ct | Ct Comme p

|a + b| ⩽ (2 max{|a|, |b|})p ⩽ 2p |a|p + |b|p ), nous en déduisons que Z Z 2p 2p p p p |f (x)| ⩽ |f (y) − f (x)| dy + |f (y)| dy. |Ct | Ct |Ct | Ct Notons que p∗ > p par définition de p∗ . On peut alors appliquer l’inégalité de Hölder ∥uv∥L1 ⩽ ∥u∥Lr ∥v∥Lr′ avec r = p∗ /p, pour obtenir Z p/p∗ Z 1−p/p∗ Z 1 1 p p∗ |f (y)| dy ⩽ |f (y)| dy dy . |Ct | Ct |Ct | Ct Ct Notons que |Ct | ∼ tn . On en déduit qu’il existe une constante C telle que Z 1 p p |f (y)| dy ⩽ C ∥f ∥Lp∗ tsp−n . |Ct | Ct Par conséquent, il existe C telle que p

sp−n

|f (x)| ⩽ Ct

p ∥f ∥Lp∗

C + |Ct |

Z

p

|f (y) − f (x)| dy. Ct

En utilisant à nouveau |Ct | ∼ tn et le fait que sur Ct nous avons t ∼ |y − x|, il suit que Z p |f (y) − f (x)| p p |f (x)| ⩽ Ctsp−n ∥f ∥Lp∗ + Ctsp n+ps dy. Rn |y − x| Nous choisissons ensuite t tel que p

∥f ∥Lp∗ tsp−n = tsp et on en déduit l’inégalité désirée.

Z Rn

|f (y) − f (x)| n+ps

|y − x|

p

dy

6.7. FORMULE DE RECONSTRUCTION DE CALDERÓN ET ONDELETTES 151

6.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes Considérons un signal f = f (t), c’est-à-dire une fonction f : R → C dépendant du temps t. La théorie du signal vise à en extraire les informations pertinentes, dont la nature et l’origine peuvent être très diverses suivant les phénomènes considérés. L’analyse de Fourier permet une analyse des fréquences contenues dans ce signal. Par exemple, si le signal f correspond à l’enregistrement d’un morceau de musique, on pourra retrouver les notes qu’il contient en regardant sa transformée de Fourier. Néanmoins, la décomposition de Fourier ne permet pas d’analyser un signal simultanément en fréquence et en temps. Cela veut dire que l’on ne pourra pas dire quelle note a été jouée en premier. Plusieurs autres décompositions d’un signal ont été introduites pour résoudre ce problème, notamment par Alfred Haar [51] et Denis Gabor [43] (nous verrons au chapitre 9 une utilisation de la transformation de Gabor, aussi connue sous le nom de transformation en paquets d’ondes). La décomposition en ondelettes est relativement récente : elle a été introduite indépendamment par Alberto Calderón [16] en 1964 et par Alex Grossmann et Jean Morlet [50] en 1984. Le lien entre les travaux théoriques de Calderón et ceux de Grossmann et Morlet a été fait par Yves Meyer, qui a obtenu en 2017 le prix Abel « pour son rôle central dans le développement de la théorie mathématique des ondelettes » selon la citation même du jury (voir le texte de Stéphane Jaffard [68]). Par souci de simplicité, nous nous bornerons à présenter la transformation en ondelettes continue (par opposition à une transformation discrète), pour des fonctions régulières (afin de garantir que les intégrales sont bien définies) et en dimension un (pour simplifier les notations). Définition 6.23. (i) On appelle ondelette une fonction ψ ∈ S (R) à valeurs réelles et de moyenne nulle. (ii) Étant donnée une ondelette ψ ∈ S (R) et s > 0, on introduit les fonctions : 1 fs (t) = ψs (−t). ψs (t) = √ ψ (t/s) , ψ s (iii) Soit f ∈ S (R). On note W f (u, s) les coefficients de la transformation en ondelettes définis par Z 1 W f (u, s) = f ∗ ψes (u) = f (t) √ ψ ((t − u)/s) dt avec s > 0 et u ∈ R. s R Remarque 6.24. (i) Pour tout s > 0, on a ∥ψs ∥L2 = ∥ψ∥L2 ,

cs (ξ) = ψ

√

b sψ(sξ).

152

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

Par ailleurs, en utilisant le fait que ψs est à valeurs réelles, on vérifie directement que √ c fs (ξ) = s ψ(sξ). b (6.11) ψ (ii) Le nom ondelette provient du fait que le graphe d’une fonction régulière, à décroissance rapide et de moyenne nulle, fait penser à une onde. La décomposition en ondelettes est particulièrement adaptée pour étudier la régularité d’un signal. En guise d’illustration, nous allons montrer comment étudier la régularité de la fonction de Weierstrass. Cette fonction fut le premier exemple trouvé d’une fonction qui est continue partout, mais dérivable nulle part. Il s’agit en fait d’une famille de fonctions fa,b : R → R dépendant de deux paramètres a ∈ ]0, 1[ et b ⩾ 0, définies par : fa,b (t) =

+∞ X

ak cos(bk t).

k=1

La fonction fa,b est bien définie et continue pour tout a ∈ ]0, 1[ et tout b ⩾ 0 (par convergence normale). Weierstrass a montré qu’elle n’est dérivable nulle part dès que b est un entier impair vérifiant ab > 1+3/2π. Hardy [56] a plus tard démontré qu’il suffit de supposer que ab ⩾ 1, avec une démonstration assez difficile. Nous allons donner une démonstration directe du résultat de Hardy, due à Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset [90], qui utilise uniquement la notion de transformation en ondelettes. Théorème 6.25 (Hardy). Considérons deux nombres réels positifs a, b tels que a ∈ ]0, 1[ et ab ⩾ 1. Alors la fonction de Weierstrass fa,b (t) = P+∞ k k k=1 a cos(b t) est continue en tout point, mais dérivable nulle part. Démonstration. Nous suivons la démonstration de(4) [90]. Soit g ∈ L1 (R). Par définition de la transformée de Fourier, on a Z Z
k k
1 1 cos(bk t)g(t) dx = eib t + e−ib t g(t) dt = gb(bk ) + gb(−bk ) , 2 R 2 R donc, par convergence uniforme, Z +∞
1X k f (t)g(t) dt = a gb(bk ) + gb(−bk ) . 2 R k=1

Nous allons appliquer cette identité aux fonctions gs,u (t) = ψs (t − u), dont les transformées de Fourier sont données par √ −iξu −iξu c b gd = sψ(sξ)e . s,u (ξ) = ψs (ξ)e (4) La

démonstration dans [90] utilise des conventions qui la rende encore plus simple et naturelle. Nous préférons ici conserver les notations utilisées dans la définition 6.23 pour ne pas créer de confusions.

6.7. FORMULE DE RECONSTRUCTION DE CALDERÓN ET ONDELETTES 153

En conséquence, Z +∞  k 1 X k √  b k −ibk u b a s ψ(sb )e + ψ(−sbk )eib u . W f (u, s) = f (t)gs,u (t) dt = 2 R k=1

Puis, en choisissant l’échelle s = b−p avec p ∈ N∗ , on a +∞  k b−p/2 X k  b k−p −ibk u b W f (u, b−p ) = a ψ(b )e + ψ(−bk−p )eib u . 2 k=1

Maintenant, nous allons appliquer cette formule pour une fonction ψ bien choisie, telle que sa transformée de Fourier Ψ = ψb est supportée dans une couronne de la forme {ξ ∈ R : α ⩽ |ξ| ⩽ β} où les nombres α et β sont tels que 0 < α < 1 < β < αb. Notons que les conditions ab ⩾ 1 et a ∈ ]0, 1[ impliquent que b > 1, ce qui garantit l’existence d’un couple (α, β) vérifiant les conditions précédentes. De plus, on a β < αb < bℓ pour tout ℓ ⩾ 1. En conséquence, Ψ(bℓ ) = 0 dès que ℓ ̸= 0 et on conclut que   p p 1 (6.12) W f (u, b−p ) = ap b−p/2 Ψ(1)e−ib u + Ψ(−1)eib u . 2 Nous allons maintenant calculer W f (b−p , u) par une autre manière. Supposons par l’absurde que f est différentiable au point t0 , de sorte que l’on peut écrire f (t0 + h) = f (t0 ) + f ′ (t0 )h + hε(h) où ε est de limite nulle à l’origine (et de plus ε est bornée sur R puisque f est bornée). Par hypothèse sur le support de Ψ, on a Z Z ψ(t) dt = Ψ(0) = 0, tψ(t) dt = iΨ′ (0) = 0, R

R

ce qui entraîne −p

W f (t0 , b

Z


1 f (t) √ ψ (t − t0 )/b−p dt −p b R Z p/2 =b f (t)ψ (bp t − bp t0 ) dt R Z −p/2 =b f (t0 + b−p t′ )ψ(t′ ) dt′ R Z −3p/2 =b ε(b−p t)ψ(t) dt.

)=

R

Le théorème de convergence dominée implique alors que (6.13)

W f (t0 , b−p ) = o(b−3p/2 ).

En combinant (6.12) appliquée au point u = t0 et (6.13), on obtient limp→+∞ ap bp = 0, ce qui contredit l’hypothèse ab ⩾ 1. Ce qui termine la démonstration.

154

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

Comme la démonstration précédente l’a bien illustré, la décomposition en ondelettes est un outil très puissant, tant pour l’analyse harmonique théorique que pour les applications(5) . Nous allons uniquement démontrer deux résultats élémentaires qui sont à l’origine de cette théorie(6) . Proposition 6.26. Considérons une ondelette ψ ∈ S (R). Alors Z +∞ b 2 ψ(ξ) Cψ = dξ < +∞, ξ 0 et, pour tout f ∈ S (R), Z Z +∞ Z 1 ds 2 2 |f (t)| dt = |W f (u, s)| du 2 . Cψ 0 s R R Démonstration. Comme ψ ∈ S (R), on a ψb ∈ S (R) (voir la proposi R +∞ b 2 /ξ dξ < +∞. tion 5.8). On en déduit que ψb ∈ L2 (R), donc 1 ψ(ξ) R b Par ailleurs, comme ψ(0) = R ψ(t) dt = 0 et comme ψb est de classe C 1 , b ⩽ Kξ pour ξ ∈ [0, 1], ce qui implique évidemment que on a ψ(ξ) 2 R 1 b /ξ dξ < +∞. On en déduit que Cψ < +∞. ψ(ξ) 0

Notons W f (·, s) la fonction W f (·, s) : u 7→ W f (u, s). Pour tout s > 0, l’identité (6.11) entraîne que √ c b W\ f (·, s)(ξ) = fb(ξ)ψes (ξ) = fb(ξ) s ψ(sξ). Alors, l’identité (5.8) de Plancherel implique que Z 2 √ 1 2 b fb(ξ) s ψ(sξ) dξ. ∥W f (·, s)∥L2 = 2π R En observant que Z +∞ Z +∞ Z +∞ √ 2 ds 2 ds b b b 2 dθ = Cψ , s ψ(sξ) ψ(sξ) ψ(θ) = = 2 s s θ 0 0 0 puis en utilisant le théorème de Fubini (pour des fonctions à valeurs positives) et l’identité (5.8) de Plancherel à nouveau, on obtient Z +∞ Z Z +∞ ds 2 2 ds |W f (u, s)| du 2 = ∥W f (·, s)∥L2 2 s s 0 R 0 Z Cψ b 2 = f (ξ) dξ = Cψ ∥f ∥2L2 , 2π R ce qui termine la démonstration. (5) Nous

renvoyons au très bel article d’Yves Meyer [102], et notamment à la section 11 qui contient une autre application des ondelettes à l’étude de la différentiabilité d’une série introduite par Riemann, question qui avait inspiré Weierstrass. (6) Nous renvoyons le lecteur aux livres de Kahane et Lemarié-Rieusset [76], Mallat [96] et Meyer [100] pour la théorie générale.

6.7. FORMULE DE RECONSTRUCTION DE CALDERÓN ET ONDELETTES 155

Nous allons en déduire une formule de reconstruction de f à partir de sa transformée en ondelettes(7) . Théorème 6.27 (formule de reconstruction de Calderón). Considérons une ondelette ψ ∈ S (R). Alors, pour tout f ∈ S (R), Z +∞ Z +∞Z 1 1 ds fs ∗ψs (t) ds = 1 f= f ∗ψ W f (u, s) √ ψ ((t − u)/s) du 2 2 Cψ 0 s Cψ 0 s s R au sens où les fonctions {Sε,ρ }0 0, la fonction f ∗ ψ en utilisant des identités déjà vues dans la démonstration de la proposition précédente, nous avons successivement 2 c fs ∗ ψs )(ξ) = fb(ξ)ψ fs (ξ)ψ cs (ξ) = fb(ξ)s ψ(sξ) b F (f ∗ ψ et 1 Sd ε,ρ (ξ) = Cψ

Z ε

ρ

  Z sρ 2 ds 1 b b 2 dζ , ψ(ζ) fb(ξ) ψ(sξ) = fb(ξ) s Cψ sε ζ

ce qui implique le résultat de convergence voulu, d’après le théorème de convergence dominée et l’identité (5.8) de Plancherel.

(7) Le

fait qu’une telle formule se doit d’exister se comprend bien d’un point de vue formel. En effet, nous venons de voir que l’application f 7→ W f est une isométrie au sens où ∥f ∥L2 (R;dt) = ∥W f ∥L2 (R×R+ ;du ds/s2 ) . En utilisant une identité de polarisation, on en déduit que ⟨g, f ⟩L2 (R;dt) = ⟨W g, W f ⟩L2 (R×R+ ;du ds/s2 ) = ⟨g, W ∗ W f ⟩L2 (R;dt) , et donc (formellement) f = W ∗ W f . Notons que le même principe s’applique pour toutes les décompositions qui sont des isométries entre deux espaces de type L2 (X; dµ). En particulier, cette observation s’applique pour la transformation de Fourier et permet d’obtenir la formule d’inversion de Fourier à partir de l’identité (5.8) de Plancherel (notons qu’au chapitre 5 nous avons fait l’inverse : nous avons démontré l’identité de Plancherel après avoir démontré la formule d’inversion de Fourier). Ce principe s’applique aussi pour la transformation en paquets d’ondes que nous introduirons plus tard au lemme 9.9.

156

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

6.8. Théorème taubérien de Wiener Considérons deux fonctions f et h dans L1 (Rn ) avec n ⩾ 1 quelconque. On s’intéresse à l’équation fonctionnelle f ∗ g = h d’inconnue g ∈ L1 (Rn ). Cette équation n’admet pas de solution exacte en général mais un théorème important de Wiener [148] montre qu’elle admet des solutions approchées dès que la transformée de Fourier de f ne s’annule pas. Rappelons que l’on note fb = F f la transformée de Fourier d’une fonction f ∈ L1 (Rn ), définie R par fb(ξ) = Rn e−ix·ξ f (x) dx. Théorème 6.28 (Wiener). Soit f ∈ L1 (Rn ) telle que fb(ξ) ̸= 0 pour tout ξ ∈ Rn . Pour tout h ∈ L1 (Rn ) et pour tout ε > 0, il existe g ∈ L1 (Rn ) telle que (6.14)

∥f ∗ g − h∥L1 < ε.

Démonstration. Introduisons le sous-espace A de Cb0 (Rn ) défini par A = F (L1 (Rn )). D’après le résultat d’injectivité de la transformation de Fourier (voir le corollaire 5.14), pour tout U ∈ A , il existe un unique u ∈ L1 (Rn ) tel que U = u b. On peut donc définir une norme sur A en posant ∥U ∥A = ∥u∥L1 . Comme la transformation de Fourier F est une isométrie et une bijection de L1 (Rn ) sur A , on obtient que (A , ∥·∥A ) est un espace de Banach. Vérifions ensuite que A est une algèbre, c’est-à-dire montrons que A est stable par multiplication. Considérons deux fonctions U ∈ A et V ∈ A . Alors il existe deux fonctions intégrables u, v dans L1 (Rn ) telles que U = u b et V = vb. La proposition 6.3 implique que le produit de convolution u ∗ v appartient à L1 (Rn ), vérifie ∥u ∗ v∥L1 ⩽ ∥u∥L1 ∥v∥L1 et, de plus, U V = u bvb = F (u ∗ v). On en déduit que le produit U V appartient à A avec de plus l’estimation (6.15)

∥U V ∥A ⩽ ∥U ∥A ∥V ∥A .

Considérons maintenant deux fonctions f ∈ L1 (Rn ) et h ∈ L1 (Rn ). On souhaite montrer que pour tout ε > 0, il existe g ∈ L1 (Rn ) telle que (6.16)

∥f ∗ g − h∥L1 < ε.

La discussion qui précède permet de reformuler ceci de la façon équivalente suivante : nous voulons montrer qu’il existe G ∈ A telle que ∥F G − H∥A < ε où F = fb,

H =b h.

On obtiendra alors (6.16) avec l’unique fonction g ∈ L1 (Rn ) telle que G = gb. Nous avons réduit la démonstration du théorème de Wiener à montrer que l’ensemble F A est dense dans A , dès que F ∈ A est une fonction qui ne s’annule pas. Ce qui est l’objet du lemme suivant.

6.8. THÉORÈME TAUBÉRIEN DE WIENER

157

Lemme 6.29. Soit f ∈ L1 (Rn ) telle que fb(ξ) ̸= 0 pour tout ξ ∈ Rn . Posons F = fb. Alors, (1) C0∞ (Rn ) ⊂ A et C0∞ (Rn ) est dense dans A ; (2) C0∞ (Rn ) ⊂ F A . Démonstration Étape 1 : C0∞ (Rn ) ⊂ A . Soit F ∈ C0∞ (Rn ). Alors F appartient à la classe de Schwartz S (Rn ). Or la transformation de Fourier est un isomorphisme de S (Rn ) dans S (Rn ) (voir le corollaire 5.12), donc il existe f ∈ S (Rn ) telle que F = fb. Comme S (Rn ) ⊂ L1 (Rn ), ceci prouve F ∈ A . Étape 2 : densité de C0∞ (Rn ) dans A . Considérons maintenant une forme linéaire continue µ : A → C. Comme F : L1 (Rn ) → A est continue (par définition de la norme ∥·∥A ), on en déduit que µ ◦ F : L1 (Rn ) → C est une forme linéaire continue. D’après un résultat classique sur la dualité des espaces de Lebesgue (voir le théorème 3.29), ceci implique qu’il existe une fonction g ∈ L∞ (Rn ) telle que Z ∀φ ∈ L1 (Rn ),

µ ◦ F (φ) =

gφ dx. Rn

On en déduit que ∀F ∈ A ,

Z µ(F ) =

gF −1 (F ) dx.

Rn n

Supposons que µ s’annule sur C0∞ (R ). Considérons une fonction Φ ∈ C0∞ (Rn ) non nulle et posons ϕ = F −1 (Φ) (alors ϕ ̸= 0). Considérons la fonction Φa,b (ξ) = eia·ξ Φ(ξ + b). Alors Φa,b ∈ C0∞ (Rn ) et F −1 (Φa,b )(x) = e−ia·b e−ib·x ϕ(a+x). Par conséquent, en écrivant que µ(Φa,b ) = 0, on obtient Z ∀(a, b) ∈ Rn × Rn , g(x)e−ib·x ϕ(a + x) dx = 0. Rn

Notons que la fonction x 7→ g(x)ϕ(a + x) appartient à L1 (Rn ). L’identité précédente implique que la transformée de Fourier de cette fonction est nulle, et donc cette fonction est nulle d’après le théorème d’injectivité de la transformation de Fourier (voir le corollaire 5.14). Ceci veut dire que pour presque tout x ∈ Rn , et pour tout a ∈ Rn , on a g(x)ϕ(a + x) = 0. Or ϕ ∈ S (Rn ) est non nulle, donc, évidemment, pour tout x ∈ Rn , il existe a ∈ Rn tel que ϕ(a + x) ̸= 0 et on en déduit que g(x) = 0, d’où µ = 0. Cela démontre bien que C0∞ (Rn ) est dense dans A par le corollaire 3.25 du théorème de Hahn-Banach. Étape 3 : un lemme technique. Considérons deux fonctions F ∈ A et G ∈ C0∞ (Rn ) et un nombre réel ε ∈ ]0, 1]. Montrons que les fonctions Fε définies par Fε (ξ) = (F (ξ) − F (0))G(ξ/ε) convergent vers 0 dans A quand ε tend vers 0.

158

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

Soit g ∈ L1 (Rn ) telle que G = F (g). Alors ξ 7→ G(ξ/ε) est la transformée de Fourier de x 7→ εn g(εx). Donc Fε = F (hε ) où Z  hε (x) = f ∗ gε (x) − f dy gε (x) Z  Z = gε (x − y)f (y) dy − f dy gε (x) Z
= εn g(ε(x − y)) − g(εx) f (y) dy. Alors Z

ZZ |hε (x)| dx ⩽

|g(u − εy) − g(u)| |f (y)| dy du

qui tend vers 0 par le théorème de convergence dominée. Étape 4 : le cas de fonctions localisées dans des boules de rayons suffisamment petits. Soit ε ∈ ]0, 1]. Considérons maintenant une fonction Ψ ∈ C0∞ (Rn ) égale à 1 sur la boule B(0, 1) et nulle en dehors de B(0, 2). Nous allons montrer que, si ε est assez petit, alors Ψ(·/ε) ∈ F A . Notons que si Ψ(ξ/ε) ̸= 0, alors Ψ(ξ/2ε) = 1. En conséquence, on vérifie que  Ψ(ξ/ε) Ψ(ξ/ε) Ψ(ξ/ε) 1   = = , où   Ψ(ξ/2ε)(F (ξ)−F (0))  F (ξ) F (0) 1 + Rε (ξ) F (0) 1 + F (0)

   Rε (ξ) = Ψ(ξ/2ε)(F (ξ) − F (0)) . F (0) Par ailleurs, le résultat technique démontré à l’étape précédente entraîne que la fonction Rε tend vers 0 dans A quand ε tend vers 0. En particulier, pour ε ⩽ ε0 assez petit, on a ∥Rε ∥A < 1. Comme A est une algèbre de P+∞ k k Banach, on en déduit que la série k=0 (−1) Rε converge normalement (et donc converge) vers la fonction 1/(1 + Rε ) et que cette dernière fonction appartient à A . Comme Ψ(·/ε) ∈ C0∞ (Rn ) ⊂ A (d’après la première étape), en utilisant le fait que A est une algèbre, nous avons donc démontré que (6.17)

Ψ(·/ε) Ψ(·/ε) 1 = ∈A ·A ⊂A. F F (0) 1 + Rε

En particulier, en multipliant les deux membres de (6.17) par F , on en déduit que (6.18)

Ψ(·/ε) ∈ F A .

Étape 5 : conclusion. Considérons maintenant une fonction H ∈ C0∞ (Rn ) et notons K = supp H qui est compact par hypothèse. Pour tout ε > 0, il existe N ∈ N et une collection {Bℓ }1⩽ℓ⩽N de boules de rayon ε telles

6.9. EXERCICES

159

S que K ⊂ 1⩽ℓ⩽N Bℓ . La proposition 17.35 entraîne qu’il existe une partition de l’unité subordonnée à ce recouvrement, c’est-à-dire N fonctions ζℓ , 1 ⩽ ℓ ⩽ N , C ∞ et telles que supp ζℓ ⊂ Bℓ avec de plus la propriété : ∀ξ ∈ K,

N X

ζℓ (ξ) = 1.

ℓ=1

On peut alors décomposer H sous la forme d’une somme H = H1 +· · ·+HN avec Hℓ = ζℓ H. Pour tout ℓ, la fonction ζℓ appartient à C0∞ (Rn ) et donc à A d’après le résultat montré à la première étape. Alors Hℓ ∈ A comme produit de deux éléments de A . Par ailleurs, comme les fonctions Hℓ sont à support dans des boules de rayons ε, on a Hℓ (ξ) = Ψ((ξ − ξℓ )/ε)Hℓ (ξ) pour un certain ξℓ ∈ Rn . Maintenant, observons que Ψ((· − ξℓ )/ε) ∈ F A (le résultat précédent (6.18) est bien sûr invariant par translation par ξℓ ). En combinant ce qui précède, on conclut que Hℓ ∈ F A · A ⊂ F A . Donc la somme H = H1 + · · · + HN appartient aussi à F A . D’après le raisonnement expliqué avant l’énoncé du lemme précédent, ceci termine la démonstration du théorème de Wiener. Le théorème taubérien de Wiener que nous venons de démontrer est relié au théorème de Wiener démontré à la section 4.5. Pour les liens entre ces énoncés, nous renvoyons à l’article original de Wiener [148] ainsi qu’à Gårding [45, Section 5] et Kahane [71]. Une autre formulation classique (voir le chapitre 9 du livre de Rudin [124]) concerne la densité de sousespaces vectoriels engendrés par les translatées de fonctions de L1 . 6.9. Exercices Exercice 6.1. (1) Soient f ∈ L1 (R) et g ∈ L∞ (R). Montrer que f ∗ g est une fonction continue et bornée. On pourra admettre que l’espace des fonctions continues et à support compact C0 (Rn ) est dense dans L1 (Rn ). (2) Considérons un ensemble A ⊂ [0, 1] de mesure de Lebesgue |A| > 0. Notons f la fonction indicatrice de A et posons g(x) = f (−x). Montrer que f ∗g(0) > 0 et en déduire que l’ensemble A−A contient un intervalle ouvert. Exercice 6.2 (Lemme de Friedrichs). RConsidérons une fonction ρ : R → R+ , ∞ C ∞ à support compact et telle que −∞ ρ(x) dx = 1. Pour tout ε > 0, on pose 1 ρε (x) = ρ(x/ε), ε et on note Jε l’opérateur défini par Jε u = ρε ∗ u.

160

CHAPITRE 6. CONVOLUTION

(1) Démontrer proprement que, pour tout u dans L2 (R), on a Jε u ∈ C (R). Rappeler l’énoncé général qui implique que, pour tout u dans L2 (R), Jε u converge vers u dans L2 (R) quand ε tend vers 0. (2) Considérons une fonction a : R → R qui est de classe C 1 , bornée et dont la dérivée est bornée. On note L l’opérateur différentiel défini par Lu = au′ où u′ est la dérivée de u. Montrer que L est continu de H 1 (R) dans L2 (R). (3) On note [Jε , L] le commutateur défini par ∞

[Jε , L]u = Jε (Lu) − L(Jε u) = ρε ∗ (au′ ) − a(ρε ∗ u)′ . Montrer que pour tout u ∈ C01 (R), [Jε , L]u converge vers 0 dans L2 (R) quand ε → 0. (4) Notons ρ′ε la dérivée de la fonction ρε . Vérifier que pour tout u ∈ C01 (R), Z Z ′ [Jε , L]u(x) = ρε (x − y)(a(y) − a(x))u(y) dy − ρε (x − y)a′ (y)u(y) dy, puis montrer que Z ρ′ε (x − y)(a(y) − a(x))u′ (y) dy ⩽ C (|xρ′ε | ∗ |u|) . (5) En déduire qu’il existe une constante C telle que, pour tout u ∈ C01 (R), ∥[Jε , L]u∥L2 ⩽ C∥u∥L2 . Puis en déduire que [Jε , L] s’étend en un opérateur linéaire continu sur L2 (R) à valeurs dans L2 (R) et que, [Jε , L]u tend vers 0 quand ε → 0 pour tout u dans L2 (R).

CHAPITRE 7 ESPACES DE SOBOLEV

Nous allons nous intéresser à des espaces fonctionnels introduits(1) en 1935 par Sobolev, et qui jouent depuis, un rôle absolument central dans l’étude des équations aux dérivées partielles.

7.1. Introduction Considérons deux fonctions u : [a, b] → R et ϕ : [a, b] → R de classe C 1 . La formule d’intégration par parties s’écrit Z b Z b u′ (x)ϕ(x) dx = u(b)ϕ(b) − u(a)ϕ(a) − u(x)ϕ′ (x) dx. a

a

Si le support de ϕ est contenu dans un compact de l’intervalle ouvert ]a, b[, alors ϕ(a) = 0 et ϕ(b) = 0, de sorte que Z b Z b ′ u (x)ϕ(x) dx = − u(x)ϕ′ (x) dx. a

a

Rappelons maintenant le résultat suivant. (1) À

la fin des années trente et au début des années quarante, Sergueï Sobolev, Jean Leray et Laurent Schwartz ont compris qu’il était nécessaire de généraliser la notion de dérivée, et d’introduire des espaces adaptés à ces nouvelles définitions, afin de pouvoir résoudre des équations aux dérivées partielles. Sobolev s’intéressait aux équations hyperboliques et Leray, dans son article fondamental [91], donnait une définition implicite de l’espace H 1 , utilisé pour étudier les solutions dites turbulentes de l’équation de NavierStokes. Schwartz fut le premier français à obtenir la médaille Fields pour sa théorie des distributions qui généralise la notion de dérivée au sens faible introduite par Sobolev et Leray [127]. Les liens entre les travaux de Sobolev et ceux de Leray et Schwartz, et plus généralement les liens profonds qui unissaient les écoles russe et française de mathématiques dans l’entre-deux-guerres, grâce notamment à Jacques Hadamard, sont expliqués par Jean-Michel Kantor (voir [77]).

162

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

Lemme 7.1. Soit (a, b) ∈ [−∞, ∞]2 et soit p tel que 1 ⩽ p ⩽ ∞. Si f ∈ Lp (]a, b[) vérifie Z b ∀ϕ ∈ C0∞ (]a, b[), f (x)ϕ(x) dx = 0, a

alors f est la fonction nulle. Démonstration. C’est une conséquence directe du corollaire 6.10. On déduit de ce lemme et du calcul qui le précède que la dérivée u′ est l’unique fonction v : [a, b] → R telle que Z b Z b ∀ϕ ∈ C0∞ (]a, b[), v(x)ϕ(x) dx = − u(x)ϕ′ (x) dx. a

a

Notons alors que les deux membres de cette identité sont bien définis pour toutes les fonctions u et v qui sont intégrables sur [a, b]. Cela suggère de considérer une généralisation de la notion de dérivation. Définition 7.2. Soit p ∈ [1, ∞] et soit I ⊂ R un intervalle ouvert. On dit qu’une fonction u ∈ Lp (I) admet une dérivée au sens faible dans Lp (I) s’il existe v ∈ Lp (I) telle que Z Z ∀ϕ ∈ C0∞ (I), v(x)ϕ(x) dx = − u(x)ϕ′ (x) dx. I

I

′

On note v = u (ou ∂u/∂x ou ∂x u). Proposition 7.3. Toute fonction u de classe C 1 sur un intervalle compact [a, b] est dérivable au sens faible dans Lp (]a, b[) pour tout p tel que 1 ⩽ p ⩽ ∞. Démonstration. C’est une conséquence de la discussion qui précède. Remarque 7.4. Insistons sur le fait qu’il faut supposer que u est de classe C 1 sur un intervalle compact. La fonction u(x) = 1/x par exemple est de classe C 1 sur ]0, 1[ mais n’est pas dans Lp (]0, 1[), quelque soit p. Un autre exemple intéressant est celui de la fonction x−1/3 qui est de classe C 1 sur ]0, 1[, qui appartient à Lp (]0, 1[) si 1 ⩽ p < 3, mais dont la dérivée usuelle n’appartient à aucun espace Lp (donc x−1/3 n’est pas dérivable au sens faible dans Lp sur ]0, 1[). Le résultat suivant garantit l’unicité de la dérivée au sens faible. Proposition 7.5. Soient p tel que 1 ⩽ p ⩽ ∞, I un intervalle ouvert de R et u ∈ Lp (I). Si u admet une dérivée au sens faible dans Lp (I), alors celle-ci est unique. Démonstration. C’est une conséquence du lemme 7.1.

7.1. INTRODUCTION

163

Il existe des fonctions qui sont dérivables au sens faible sans être dérivables au sens classique (voir l’exercice 7.1). Il y a des fonctions L1 qui n’ont pas de dérivée au sens faible dans L1 . Nous avons déjà vu l’exemple de la fonction x 7→ x−1/3 sur ]0, 1[ ; voir aussi l’exercice 7.2. On peut généraliser la définition précédente au cas de la dimension quelconque. Supposons que Ω est un ouvert quelconque de Rn et considérons une fonction u ∈ C 1 (Ω) (ce qui signifie qu’il existe un ouvert U qui contient Ω et une fonction v ∈ C 1 (U ) telle que u = v|Ω ). Considérons une fonction ϕ ∈ C0∞ (Ω). L’analogue de la formule d’intégration par parties est donné par le théorème de la divergence (l’exercice corrigé 17.3 propose une démonstration de ce résultat classique). Ce théorème(2) implique que Z Z ∂ϕ ∂u ∞ ∀ϕ ∈ C0 (Ω), u dx = − ϕ dx. Ω ∂xj Ω ∂xj Définition 7.6. Soit Ω un ouvert de Rn et soit p un nombre réel dans [1, ∞]. On dit qu’une fonction u : Ω → R qui appartient à Lp (Ω) admet une dérivée au sens faible dans Lp (Ω) par rapport à la variable xj , s’il existe v ∈ Lp (Ω) telle que Z Z ∂ϕ (7.1) ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), vϕ dx = − u dx. Ω Ω ∂xj On note v = ∂u/∂xj ou ∂xj u ou simplement ∂j u. Si u est à valeurs complexes, on dit que u admet une dérivée au sens faible si sa partie réelle et sa partie imaginaire admettent des dérivées au sens faible. On définit de même la dérivée au sens faible d’une fonction à valeurs dans Rm ou Cm . Par définition, l’espace de Sobolev W 1,p (Ω) est l’ensemble des fonctions u (à valeurs dans Rm ou Cm avec m ⩾ 1) appartenant à Lp (Ω) et qui admettent des dérivées au sens faible ∂j u dans Lp (Ω) pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n. Remarque 7.7. (i) Si u admet une dérivée au sens faible dans Lp (Ω) par rapport à la variable xj , alors celle-ci est unique d’après le corollaire 6.10. (ii) Supposons que Ω est un ouvert borné et que u ∈ C 1 (Ω). Nous avons déjà vu que Z Z ∂ϕ ∂u ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), u dx = − ϕ dx. Ω ∂xj Ω ∂xj (2) En

général, pour appliquer le théorème de la divergence, il faut faire une hypothèse de régularité sur le bord de Ω, mais ici nous n’en avons pas besoin car la fonction ϕ s’annule sur un voisinage du bord. Ce qui permet de remplacer dans le calcul l’ouvert Ω par n’importe quel ouvert régulier Ω′ tel que supp ϕ ⊂ Ω′ ⊂ Ω.

164

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

De plus, comme Ω est un ouvert borné, la fonction ∂xj u qui est continue sur Ω est bornée sur Ω et donc ∂xj u appartient à Lp (Ω) pour tout p dans [1, ∞]. On en déduit que u est dérivable au sens faible par rapport à xj et que sa dérivée faible est donnée par ∂xj u. Par conséquent, pour tout ouvert borné Ω et tout p dans [1, ∞], l’espace C 1 (Ω) est inclus dans W 1,p (Ω). Pour les mêmes raisons, quelque soit l’ouvert Ω inclus dans Rn , l’espace C01 (Ω) est inclus dans W 1,p (Ω). Cependant, C 1 (Ω) n’est pas inclus dans W 1,p (Ω). En effet, C 1 (Ω) n’est pas inclus dans Lp (Ω) comme nous l’avons déjà vu (penser par exemple à exp(x2 ) sur Ω = R ou 1/ |x| sur Ω = ]0, 1[). Dans l’identité (7.2), on dit que ϕ est une fonction test. Notons que dans la définition de la dérivée au sens faible on peut supposer que les fonctions tests appartiennent à C01 (Ω) au lieu de C0∞ (Ω). Proposition 7.8. Soit p ∈ [1, +∞]. Considérons un entier 1 ⩽ j ⩽ n et deux fonctions u et vj dans Lp (Ω). Alors vj est la dérivée au sens faible de u par rapport à xj si et seulement si Z Z ∂ϕ (7.2) ∀ϕ ∈ C01 (Ω), vj ϕ dx = − u dx. ∂x j Ω Ω Démonstration. Notons que (7.2) implique trivialement (7.1). Réciproquement, supposons que (7.1) est vérifiée et considérons une fonction ϕ ∈ C01 (Ω). Introduisons une fonction Φ qui est C ∞ , à support compact, radiale, décroissante et d’intégrale 1 (voir (6.4)). Posons Φt (x) = t−n Φ(x/t) où t ∈ ]0, 1]. Alors la proposition 6.6 implique que Φt ∗ ϕ est une fonction C ∞ à support compact et de plus son support est inclus dans Ω pour t assez petit. On peut utiliser (7.1) pour écrire Z Z Z  ∂(Φt ∗ ϕ) ∂ϕ  (7.3) vj (Φt ∗ ϕ) dx = − u dx = − u Φt ∗ dx. ∂xj ∂xj Ω Ω Ω Or, comme ϕ ∈ C01 (Rn ), le théorème 6.8 implique que R Φt ∗ ϕ converge vers ϕ dans RL1 (Rn )∩L∞ (Rn ). On en déduit que l’intégrale Ω vj (Φt ∗ϕ) dx converge vers Ω vj ϕ dx. On procède de même pour étudier le membre de droite de (7.3) et on en déduit (7.2). Notation 7.9. On note H 1 (Ω) l’espace de Sobolev W 1,2 (Ω). C’est l’ensemble des fonctions u ∈ L2 (Ω) qui admettent des dérivées au sens faible ∂j u dans L2 (Ω) pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n. Proposition 7.10. L’espace de Sobolev H 1 (Ω) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire ⟨· , ·⟩ défini par Z X Z ⟨u, v⟩ := (∂i u)(∂i v) dx + uv dx. 1⩽i⩽n

Ω

Ω

7.1. INTRODUCTION

165

On a donc ⟨u, v⟩ = (∇u, ∇v) + (u, v) où, par abus de notations, on note de la même façon (· , ·) le produit scalaire usuel sur L2 (Rn ) et sur L2 (Rn )n . Démonstration. Il est clair que ⟨· , ·⟩ est un p produit scalaire. Montrons que H 1 (Ω) est complet pour la norme ∥u∥ = ⟨u, u⟩. Soit (uk )k∈N une suite de H 1 (Ω) qui est de Cauchy pour cette norme. Alors la suite (uk , ∂1 uk , . . . , ∂n uk ) est de Cauchy dans L2 (Ω)n+1 . Par complétude de L2 (Ω), cette suite converge vers (u, v1 , . . . , vn ) dans L2 (Ω)n+1 . Fixons j tel que 1 ⩽ j ⩽ n et considérons une fonction ϕ dans C01 (Ω). Alors ϕ appartient à L2 (Ω) et par continuité du produit scalaire sur L2 (Ω) × L2 (Ω), en passant à la limite dans l’identité Z Z ∂ϕ (∂j uk )ϕ dx = − uk dx, ∂x j Ω Ω on vérifie que u est dérivable au sens faible par rapport à la variable xj et que sa dérivée est donnée par vj . Alors (uk )k∈N converge vers u dans L2 (Ω) et (∂xj uk )k∈N converge vers ∂xj u dans L2 (Ω), ce qui démontre que (uk )k∈N converge vers u dans H 1 (Ω). Proposition 7.11. Soit p ∈ [1, +∞]. L’espace de Sobolev W 1,p (Ω) est un espace de Banach pour la norme X ∥u∥W 1,p = ∥u∥Lp + ∥∂xj u∥Lp . 1⩽j⩽n

Démonstration. La démonstration est analogue à celle de la proposition 7.10. Dans la notation W 1,p (Ω), l’indice 1 fait référence au fait que u admet des dérivées partielles au sens faible d’ordre 1 dans Lp . On peut également définir des dérivées au sens faible d’ordre supérieur. Pour cela, on utilise une définition similaire à celle des espaces de fonctions C k : une fonction C k est une fonction C 1 dont les dérivées sont des fonctions C k−1 . Définition 7.12 (Espaces de Sobolev d’ordres supérieurs). Soit k ∈ N∗ et soit p ∈ [1, ∞]. On dit qu’une fonction u appartient à l’espace de Sobolev W k,p (Ω) si u appartient à W 1,p (Ω) et si les dérivées au sens faible Lp de u appartiennent à W k−1,p (Ω). L’espace W ∞,p (Ω) est l’intersection de tous ces espaces : T W ∞,p (Ω) = W k,p (Ω). k∈N∗

166

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

Proposition 7.13. Soit k ∈ N∗ et soit p ∈ [1, +∞]. L’espace de Sobolev W 1,p (Ω) est un espace de Banach pour la norme X ∥u∥W k,p = ∥∂xα u∥Lp . |α|⩽k

De plus, C0∞ (Rn ) est dense dans W k,p (Rn ) pour tout k ⩾ 1 et pour tout p ∈ [1, +∞[. Démonstration. La démonstration est analogue à celle de la proposition 7.10. La notion de dérivée au sens faible permet de généraliser la notion de dérivée. De la même manière, on peut généraliser la notion de solution en introduisant une notion de solution faible grâce à la théorie des distributions. Un des objectifs de ce chapitre est justement de permettre une introduction à cette théorie. Pour cela, nous allons définir la notion de solution faible de l’équation −∆u = f. P Rappelons que le laplacien ∆ est défini par ∆ = 1⩽j⩽n ∂x2j . Définition 7.14 (Solution faible). Soient Ω un ouvert de Rn et f ∈ L1loc (Ω). Une solution faible de l’équation −∆u = f est une fonction u ∈ H 1 (Ω) vérifiant Z X Z (7.4) ∀ϕ ∈ C01 (Ω), (∂i u)(∂i ϕ) dx = f ϕ dx. 1⩽i⩽n

Ω

Ω

Remarque 7.15. (i) Soit Ω un ouvert borné régulier de sorte que l’on peut appliquer le théorème de la divergence(3) : Z Z div X dx = X · ν dσ, Ω

∂Ω

pour tout champ de vecteurs X : Ω → Rn qui est de régularité C 1 (Ω), où ν désigne la normale unitaire sortante. Considérons f ∈ C 0 (Ω) et supposons que u ∈ C 2 (Ω) vérifie −∆u = f au sens classique. Alors u est aussi une solution faible comme on va le vérifier à l’aide de la formule de la divergence. Pour cela, on utilise que ϕ s’annule sur le bord de Ω pour écrire Z Z 0= ϕ∂ν u dσ = div(ϕ∇u) dx. ∂Ω

(3) Voir

Ω

l’exercice 17.3 et sa correction pour la notion d’ouvert régulier et pour le théorème de la divergence.

167

7.2. INÉGALITÉ DE POINCARÉ ET PROBLÈME DE POISSON

Maintenant, on utilise la formule(4) div(f X) = ∇f · X + f div X, pour déduire que div(ϕ∇u) = ∇ϕ · ∇u + ϕ∆u. On conclut alors que Z
∇ϕ · ∇u + ϕ∆u dx = 0. Ω

Puis en utilisant −∆u = f , nous obtenons l’équation (7.4). (ii) Il existe des solutions faibles qui ne sont pas C 2 et pour lesquelles l’équation −∆u = f n’a pas de sens ponctuel. Par exemple, on vérifie (exercice) que la fonction u(x) = sign(x)x2 est une solution faible de ∂x2 u = 2 sign(x) mais l’équation précédente n’a pas de sens ponctuellement en x = 0. (iii) On obtient une définition équivalente en remplaçant ϕ par ϕ dans (7.4). (iv) L’hypothèse que f est R localement intégrable est l’hypothèse minimale pour donner un sens à Ω f ϕ dx. 7.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson 7.2.1. Inégalité de Poincaré. Nous avons étudié à la section 4.4 du chapitre 4 l’inégalité de Poincaré-Wirtinger. Cette inégalité permet de contrôler la norme L2 d’une fonction périodique de moyenne nulle par la norme L2 de son gradient. Une telle inégalité est clairement fausse pour les fonctions constantes. L’hypothèse que u est périodique et de moyenne nulle permet de « filtrer » les fonctions constantes. Considérons plus généralement une fonction u : Ω → R où Ω est un ouvert de Rn avec n entier quelconque. Une façon de filtrer ces fonctions constantes consiste à supposer que u s’annule sur une partie de l’ouvert. Une difficulté est qu’il faut préciser dans quel sens la fonction s’annule sur le bord. Pour cela, nous allons considérer des fonctions qui sont limites de fonctions nulles sur un voisinage du bord. Définition 7.16. On définit l’espace H01 (Ω) comme l’adhérence de C0∞ (Ω) dans H 1 (Ω). Remarque 7.17. (i) En particulier, C0∞ (Ω) est inclus dans H01 (Ω) trivialement. On peut aussi montrer (par convolution) que C01 (Ω) est inclus dans H01 (Ω). (ii) L’espace C0∞ (Rn ) est dense dans H 1 (Rn ) (c’est un cas particulier de la proposition suivante). En particulier, on a H 1 (Rn ) = H01 (Rn ). (4) En

effet, div(f X) = ∇f · X + f div X.

P

1⩽j⩽n

∂xj (f Xj ) =

P

1⩽j⩽n (∂xj f )Xj

+

P

1⩽j⩽n

f ∂xj Xj =

168

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

Proposition 7.18. L’ensemble C0∞ (Rn ) est dense dans W 1,p (Rn ) pour tout n ⩾ 1 et pour tout p ∈ [1, +∞[. Démonstration. La démonstration est parallèle à celle du corollaire 6.9 et nous utiliserons les notations qui y sont introduites. Posons Qk,t (f ) = f − θk (Φt ∗ f ). Nous avons vu dans la démonstration du corollaire 6.9 que les fonctions Qk,t (f ) sont C ∞ et convergent vers 0 dans Lp quand k tend vers +∞ et t tend vers 0. Il suffit donc de démontrer que les dérivées au sens faible ∂xj Qk,t (f ) convergent aussi vers 0. Pour cela, on commence par vérifier que

∂xj (Φt ∗ f ) = Φt ∗ ∂xj f . Par ailleurs, l’inégalité ∂xj θn L∞ ⩽ C/n entraîne que




∂x Qk,t (f ) p = ∂x f − θn (Φt ∗ f ) p j j L L

C

⩽ ∂xj f − θn (Φt ∗ ∂xj f ) Lp + ∥Φt ∗ f ∥Lp . n Notons que le premier terme du membre de droite est égal à la norme Lp de Qk,f (∂xj f ), qui converge vers 0 d’après ce qui a été vu, car ∂xj f appartient à Lp . Pour estimer le second terme, on utilise l’inégalité de Young ∥Φt ∗ f ∥Lp ⩽ ∥Φt ∥L1 ∥f ∥Lp et le fait que ∥Φt ∥L1 = 1. Il suit que

∂xj Qk,t (f ) p converge vers 0 quand k tend vers +∞ et t tend vers 0. L Théorème 7.19 (Inégalité de Poincaré). Supposons que Ω est un ouvert de Rn inclus dans la bande R = {x = (x′ , xn ) ∈ Rn−1 × R : |xn | ⩽ R}. Alors, pour tout u ∈ H01 (Ω), on a (7.5)

∥u∥L2 (Ω) ⩽ 2R∥∇u∥L2 (Ω) .

Démonstration. Comme C0∞ (Ω) est dense dans H01 (Ω) (par définition de H01 (Ω)) et comme les deux termes de l’inégalité (7.5) sont continus pour la norme ∥·∥H 1 , il suffit de démontrer (7.5) pour u ∈ C0∞ (Ω). Considérons une fonction u ∈ C0∞ (Ω). On commence par étendre u par 0 sur Rn , on pose : ( u(x) si x ∈ Ω, u e(x) = 0 si x ̸∈ Ω. La fonction u e appartient à C0∞ (Rn ). De plus, supp u e = supp u ⊂ Ω et comme Ω est inclus dans R, on voit que u e s’annule sur le bord ∂R de cette bande. On peut alors écrire que Z xn ∂e u ′ u e(x′ , xn ) = (x , t) dt (x′ = (x1 , . . . , xn−1 )). −R ∂xn L’inégalité de Cauchy-Schwarz implique que Z xn  Z xn u ′ 2 2 ∂e |e u(x′ , xn )| ⩽ 1 dt (x , t) dt. −R −R ∂xn

7.2. INÉGALITÉ DE POINCARÉ ET PROBLÈME DE POISSON

On en déduit trivialement que Z 2 ′ |e u(x , xn )| ⩽

R

Z 1 dt

−R

169

R

∂e u ′ 2 (x , t) dt. −R ∂xn

Puis, en intégrant par rapport à la variable x′ sur Rn−1 , Z ZZ u ′ 2 ′ 2 ∂e 2 |e u(x′ , xn )| dx′ ⩽ 2R (x , t) dx dt ⩽ 2R ∥∇e u∥L2 (R) . ∂x n−1 n R R En intégrant ensuite par rapport à la variable xn , il vient ZZ 2

R

2

|e u(x′ , xn )| dx′ dxn ⩽ (2R)2 ∥∇e u∥L2 (R) .

Cela implique directement l’inégalité voulue (7.5). 7.2.2. Application au problème de Poisson. Fixons un entier n ⩾ 1 et considérons un ouvert borné Ω ⊂ Rn . Considérons une fonction V ∈ L∞ (Ω), positive ou nulle, et une fonction f : Ω → R. Le problème de Poisson consiste à étudier l’existence et l’unicité d’une solution u : Ω → R des équations suivantes : −∆u + V u = f dans Ω, u|∂Ω = 0. On rappelle que le laplacien ∆u d’une fonction u est défini par n X ∂2u ∆u = · ∂x2i i=1 Pour u et v appartenant à H 1 (Ω), on introduit Z n X ∂u ∂v B(u, v) = (∇u · ∇v + V uv) dx où ∇u · ∇v = · ∂xi ∂xi Ω i=1 C’est une application bilinéaire. La forme quadratique associée à B est appelée l’énergie de u, elle est donnée par Z
2 E(u) = B(u, u) = |∇u(x)| + V u2 dx. Ω

C’est une quantité positive ou nulle car V ⩾ 0 par hypothèse et que l’on considère des fonctions à valeurs réelles. Lemme 7.20. La forme B est un produit scalaire sur H01 (Ω) et l’application u 7→ E(u)1/2 est une norme équivalente à la norme ∥·∥H 1 (Ω) . Démonstration. Il est clair que B(· , ·) est un produit scalaire. Comme Ω est un ouvert borné par hypothèse, on peut appliquer l’inégalité de Poincaré (7.5) qui implique que, pour tout u ∈ H01 (Ω), 1 E(u) ⩽ ∥u∥2H 1 (Ω) ⩽ (1 + C(Ω)2 )∥∇u∥2L2 ⩽ (1 + C(Ω)2 )E(u), 1 + ∥V ∥L∞ équivalent au résultat voulu.

170

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

Définition 7.21. Soit f ∈ L2 (Ω). Une fonction u ∈ H 1 (Ω) est une solution faible du problème de Dirichlet homogène −∆u + V u = f,

u|∂Ω = 0,

si les deux propriétés suivantes sont vérifiées : (i) u est une solution faible de −∆u + V u = f au sens suivant : Z Z
∀ϕ ∈ C01 (Ω), ∇u · ∇ϕ + V uϕ dx = f ϕ dx. Ω

Ω

(ii) u ∈ H01 (Ω) (c’est le sens que nous donnons au fait que u s’annule sur le bord). Proposition 7.22. Soit V ∈ L∞ (Ω) une fonction positive ou nulle. Pour tout f ∈ L2 (Ω), le problème de Poisson −∆u + V u = f,

u|∂Ω = 0,

a une unique solution faible u ∈ H01 (Ω). Démonstration. L’application ϕ 7−→ (f, ϕ)L2 est une forme linéaire continue sur L2 (Ω) et donc a fortiori une forme linéaire continue sur (H01 (Ω), ∥·∥H 1 (Ω) ) puisque la norme ∥·∥H 1 (Ω) domine la norme ∥·∥L2 (Ω) . p Posons ∥u∥H01 (Ω) = B(u, u). Nous avons vu que c’est une norme équivalente à la norme ∥·∥H 1 (Ω) . On en déduit deux choses. D’abord, l’application ϕ 7→ (f, ϕ)L2 est une forme linéaire continue sur (H01 (Ω), ∥·∥H 1 (Ω) ). 0 Et deuxièmement, l’espace H01 (Ω) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire B(· , ·). On peut alors appliquer le théorème 3.10 de représentation de Riesz-Fréchet pour en déduire l’existence et l’unicité d’un élément u de H01 (Ω) tel que B(u, v) = (f, v)L2 pour tout v ∈ H01 (Ω). Comme C01 (Ω) ⊂ H01 (Ω), ceci démontre l’existence et l’unicité d’une solution faible. 7.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque Considérons un ouvert quelconque Ω de Rn . Nous allons voir dans ce paragraphe quelques résultats techniques très utiles pour étudier les espaces de Sobolev H 1 (Ω). Nous commencerons par étudier la règle de Leibniz dans les espaces de Sobolev. Nous verrons ensuite un critère qui permet de montrer qu’une fonction appartient à H 1 (Ω) et appliquerons ce critère pour démontrer un résultat de changement de variables dans les espaces de Sobolev. Nous utiliserons aussi ce critère pour montrer comment étendre un élément de H 1 (Ω) en un élément de H 1 (Rn ).

7.3. ESPACES DE SOBOLEV DÉFINIS SUR UN OUVERT QUELCONQUE

171

Rappelons que, par définition, une fonction u ∈ L2 (Ω) admet une dérivée au sens faible dans L2 (Ω) par rapport à la variable xj si il existe vj ∈ L2 (Ω) telle que Z Z ∂ϕ (7.6) ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), vj ϕ dx = − u dx. Ω Ω ∂xj On note vj = ∂u/∂xj ou simplement ∂j u. De plus, nous avons vu à la proposition 7.8 qu’il suffit de supposer que ϕ ∈ C01 (Ω) dans (7.6). Proposition 7.23. Soit Ω un ouvert de Rn . Soient u ∈ H 1 (Ω) et v ∈ Cb1 (Ω) (l’indice b signifie que v et ses dérivées sont des fonctions bornées sur Ω). Alors le produit uv appartient à H 1 (Ω), les dérivées au sens faible vérifient (7.7)

∂j (uv) = u∂j v + (∂j u)v,

j = 1, . . . , n,

et de plus ∥uv∥H 1 (Ω) ⩽ 2∥u∥H 1 (Ω) ∥v∥W 1,∞ (Ω) ,

(7.8)

où l’on a utilisé la notation ∥v∥W 1,∞ (Ω) = sup |v(x)| + sup |∇v(x)| . x∈Ω

x∈Ω

Démonstration. Comme le produit d’une fonction f dans L∞ (Ω) et d’une fonction g de L2 (Ω) appartient à L2 (Ω), on obtient que uv appartient à L2 (Ω) et que si (7.7) est vraie, alors on a l’estimation (7.8). Il suffit donc de montrer que uv a une dérivée au sens faible dans L2 (Ω) et que la relation (7.7) est vérifiée. Soit φ ∈ C01 (Ω). Alors ϕ = vφ appartient à C01 (Ω) on peut appliquer (7.2) pour écrire Z Z (∂j u)vφ dx = − u∂j (vφ) dx, Ω

Ω

ce qui implique Z




Z

u∂j v + (∂j u)v φ dx = − Ω

uv∂j φ dx. Ω

De plus, on vérifie que u∂j v+(∂j u)v est une fonction de L2 (Ω) (trivialement, car u et ∂j u appartiennent à L2 (Ω) alors que v et ∂j v appartiennent à L∞ (Ω)). Alors, par définition de la dérivation au sens faible, on conclut que uv a une dérivée au sens faible dans L2 (Ω) par rapport à la variable xj et que cette dérivée vérifie (7.7). Nous montrons ensuite un critère d’appartenance à H 1 (Ω) qui est basé sur un argument de dualité.

172

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

Proposition 7.24. Soit Ω un ouvert de Rn et soit u ∈ L2 (Ω). Alors u admet une dérivée au sens faible dans la direction xj si et seulement s’il existe une constante C > 0 telle que, pour tout ϕ ∈ C0∞ (Ω), Z u∂j ϕ dx ⩽ C∥ϕ∥L2 (Ω) . (7.9) Ω

1

Alors u ∈ H (Ω) si seulement si le résultat précédent est vrai pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n. Démonstration. Si u admet une dérivée au sens faible dans la direction xj alors il suit de l’inégalité de Cauchy-Schwarz et de (7.2) que l’inégalité (7.9) est vérifiée avec C = ∥∂j u∥L2 (Ω) . Le point délicat est de montrer la réciproque. Pour cela, considérons l’application linéaire Θ : C0∞ (Ω) → C définie par Z Θ(ϕ) = u∂j ϕ dx. Ω

Cette application est bien définie (c’est immédiat) et l’inégalité (7.9) implique que |Θ(ϕ)| ⩽ C∥ϕ∥L2 (Ω) . Comme C0∞ (Ω) est dense dans L2 (Ω), ceci signifie que l’on peut étendre Θ par continuité en une forme linéaire continue sur L2 (Ω). Le théorème de représentation de Riesz-Fréchet implique l’existence d’une fonction wj ∈ L2 (Ω) telle que Z Θ(ϕ) = (ϕ, wj ) = ϕwj dx. Ω

En posant vj = −wj , on obtient ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω),

Z

Z vj ϕ dx = −

Ω

u∂j ϕ dx, Ω

ce qui démontre le résultat voulu. Nous sommes maintenant en mesure de montrer que la notion d’espace de Sobolev est invariante par difféomorphisme. Proposition 7.25. Considérons deux ouverts Ω1 et Ω2 et un difféomorphisme θ : Ω1 → Ω2 qui est C 2 (θ ∈ C 2 (Ω1 ), θ−1 ∈ C 2 (Ω2 )) et tel que : – ∇θ est
bornée sur Ω1 ; – ∇ θ−1 est bornée sur Ω2 . Si u ∈ H 1 (Ω2 ), alors u ◦ θ ∈ H 1 (Ω1 ). Remarque 7.26. (i) Ce résultat reste vrai si on suppose seulement que θ est un C 1 -difféomorphisme.

7.3. ESPACES DE SOBOLEV DÉFINIS SUR UN OUVERT QUELCONQUE

173

(ii) On peut montrer de plus que les dérivées au sens faible de u ◦ θ sont données par n   ∂θ X ∂ ∂u k (u ◦ θ) = ◦θ , ∂xj ∂xk ∂xj k=1

où 1 ⩽ j ⩽ n et où on a noté θk les coordonnées de θ = (θ1 , . . . , θn ). Démonstration. Soit u ∈ H 1 (Ω2 ). Le fait que u ◦ θ appartient à L2 (Ω1 ) provient des résultats généraux sur l’intégration. Aussi, il suffit de montrer qu’il existe C > 0 telle que, pour tout ϕ ∈ C0∞ (Ω1 ) et pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n, on a Z (7.10) u(θ(x))∂j ϕ(x) dx ⩽ C∥ϕ∥L2 (Ω1 ) . Ω1

Nous renvoyons à la solution de l’exercice corrigé 7.4 page 390 pour le cas n = 1. On suppose dans cette démonstration que n ⩾ 2. Posons κ = θ−1 et notons J la matrice jacobienne de κ, donnée par J(y) = dét(∇κ1 , . . . , ∇κn ) où κ1 , . . . , κn sont les coordonnées de κ. Alors on a Z Z u(θ(x))∂1 ϕ(x) dx = u(y)(∂1 ϕ)(κ(y)) |J(y)| dy. Ω1

Ω2

Comme J(y) ne change pas de signe sur Ω2 , on a Z Z . u(y)(∂ ϕ)(κ(y)) |J(y)| dy = u(y)(∂ ϕ)(κ(y))J(y) dy 1 1 Ω2

Ω2

On observe alors que
(∂1 ϕ)(κ(y))J(y) = dét ∇(ϕ ◦ κ), ∇κ2 , . . . , ∇κn . On peut ensuite développer le déterminant et écrire
dét ∇(ϕ ◦ κ), ∇κ2 , . . . , ∇κn = M1 ∂1 (ϕ ◦ κ) + · · · + Mn ∂n (ϕ ◦ κ). Comme κ est C 2 par hypothèse, on peut écrire M1 ∂1 (ϕ ◦ κ) + · · · + Mn ∂n (ϕ ◦ κ) = ∂1 (M1 ϕ ◦ κ) + · · · + ∂n (Mn ϕ ◦ κ)
− ∂1 M1 + · · · + ∂n Mn ϕ ◦ κ. Rappelons l’identité remarquable suivante ∂1 M1 + · · · + ∂n Mn = 0 (cf. (2.10)). On en déduit que Z n Z X
u(y)(∂1 ϕ)(κ(y))J(y) dy = u(y)∂k Mk ϕ ◦ κ dy. Ω2

k=1

Ω2

Or, comme u ∈ H 1 (Ω2 ), il existe une constante C > 0 telle que Z ∀φ ∈ C01 (Ω2 ), u(y)∂j φ(y) dy ⩽ C∥φ∥L2 (Ω2 ) . Ω2

174

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

On vérifie aisément que, pour tout k, la fonction Mk ϕ ◦ κ appartient à C01 (Ω2 ). Il suit que Z n X ⩽C u(y)(∂ ϕ)(κ(y)) |J(y)| dy ∥Mk ϕ ◦ κ∥L2 (Ω2 ) . 1 Ω2

k=1

On conclut la démonstration en observant que, d’une part, Mk est bornée car les dérivées de κ sont bornées par hypothèse et que, d’autre part, ∥ϕ ◦ κ∥L2 (Ω2 ) ⩽ C ′ ∥ϕ∥L2 (Ω1 ) , comme on peut le voir en utilisant encore une fois la formule de changement de variables pour une intégrale et l’hypothèse que la dérivée de θ est bornée. Rappelons que l’espace H01 (Ω) a été défini au début de ce chapitre comme étant l’adhérence de C0∞ (Ω) dans H 1 (Ω). Proposition 7.27. Soit Ω un ouvert quelconque de Rn . Étant donnée une fonction u définie sur Ω, notons u e la fonction définie par ( u(x) si x ∈ Ω, u e(x) = 0 si x ∈ Rn ∖ Ω. Alors, pour tout u ∈ H01 (Ω), la fonction u e appartient à H 1 (Rn ). Démonstration. Soit v ∈ H 1 (Ω). Nous avons déjà vu qu’il existe une constante C telle que, pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n et tout ϕ ∈ C01 (Ω), Z v(∂j ϕ) dx ⩽ C∥ϕ∥L2 (Ω) . Ω

Le point clé est de montrer que, si u ∈ H01 (Ω), alors Z u(∂j ϕ) dx ⩽ C∥ϕ∥L2 (Ω) , (7.11) Ω

pour toute fonction ϕ ∈ C01 (Rn ) (insistons sur le fait que l’on ne suppose pas que ϕ est à support dans Ω). Pour obtenir ce résultat, notons que par définition de H01 (Ω), il existe une suite (un ) de fonctions appartenant à C01 (Ω) et qui converge vers u dans H 1 (Ω). Pour toute fonction ϕ qui est C 1 et à support compact dans Rn , on obtient que Z Z un (∂j ϕ) dx = (∂j un )ϕ dx ⩽ ∥∂j un ∥ 2 ∥ϕ∥L2 (Ω) . L (Ω) Ω

Ω

En passant à la limite, on obtient (7.11). Maintenant, pour tout ϕ ∈ C01 (Rn ), on a directement Z Z e(∂j ϕ) dx = u(∂j ϕ) dx ⩽ C∥ϕ∥L2 (Ω) ⩽ C∥ϕ∥L2 (Rn ) . nu R

Ω

D’après la proposition 7.24, ceci implique que u e appartient à H 1 (Rn ).

7.3. ESPACES DE SOBOLEV DÉFINIS SUR UN OUVERT QUELCONQUE

175

Proposition 7.28. Soit Ω un ouvert borné. Supposons que u ∈ H 1 (Ω) est une fonction à support compact dans Ω et telle que supp u est à une distance strictement positive de ∂Ω. Alors u appartient à H01 (Ω). Démonstration. Considérons un ouvert Ω′ tel que supp u ⊂ Ω′ ⊂ Ω avec

dist(∂Ω′ , ∂Ω) > 0.

Soit χ une fonction C ∞ sur Rn qui vaut 1 sur supp u et 0 en dehors de Ω′ . Prolongeons u par 0 sur Rn ∖Ω. On note toujours u cette fonction, qui appartient à H 1 (Rn ) d’après la proposition 7.27. Comme C0∞ (Rn ) est dense dans H 1 (Rn ) (cf. proposition 7.18), il existe une suite de fonctions un ∈ C0∞ (Rn ) qui convergent vers u dans H 1 (Rn ). Comme la multiplication par χ est un opérateur linéaire continu de H 1 (Rn ) dans H 1 (Rn ) (voir la proposition 7.23), on en déduit que χun converge vers χu. Or χu = u car χ vaut 1 sur le support de u. Comme χun ∈ C0∞ (Ω), ceci montre que u est la limite dans H 1 (Ω) d’une suite de fonctions C ∞ à support dans Ω. Donc u appartient à H01 (Ω) par définition de H01 (Ω). La proposition suivante donne un autre exemple de situation où l’on peut prolonger explicitement une fonction à Rn en préservant la propriété d’appartenir à un espace de Sobolev. Proposition 7.29. Notons Rn+ le demi-espace tel que xn > 0. Soit u ∈ H 1 (Rn+ ). Notons u∗ la fonction définie sur Rn par ( u(x) si xn ⩾ 0, ∗ u (x) = ′ u(x , −xn ) si xn < 0, où x′ = (x1 , . . . , xn−1 ). Alors u∗ ∈ H 1 (Rn ) et l’application u 7→ u∗ est continu de H 1 (Rn+ ) dans H 1 (Rn ) avec une norme d’opérateur majorée par 2. Remarque 7.30. Soit B la boule de centre 0 et de rayon 1. Notons B+ = B ∩ Rn+ . Nous utiliserons ci-dessous le fait que le résultat précédent est vrai lorsqu’on remplace Rn+ par B+ et Rn par B. La démonstration est la même. Démonstration. Nous renvoyons à l’exercice corrigé 7.5. Pour certains ouverts Ω, en combinant les deux résultats précédents, nous allons pouvoir étendre n’importe quelle fonction u ∈ H 1 (Ω). Pour cela, il faut faire une hypothèse sur Ω qui va nous permettre de se ramener aux deux cas traités précédemment. Introduisons les notations suivantes : B = B(0, 1),

B+ = B ∩ {(x′ , xn ) : x′ ∈ Rn−1 , xn > 0},

B0 = B ∩ {(x′ , 0) : x′ ∈ Rn−1 }.

176

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

On dit qu’un ensemble ouvert Ω ⊂ Rn est de classe C k si, pour tout x ∈ ∂Ω, il existe un voisinage U de x dans Rn et une application bijective θ : B → U telle que θ ∈ C k (B),

θ−1 ∈ C k (U ),

θ(B+ ) = U ∩ B,

θ(B0 ) = U ∩ ∂Ω.

Théorème 7.31. Supposons que Ω est un ouvert C 2 et que le bord ∂Ω est borné. Alors il existe un opérateur linéaire d’extension E borné de H 1 (Ω) dans H 1 (Rn ), tel que pour tout u ∈ H 1 (Ω), la restriction de Eu à Ω est égale à u et tel que ∥Eu∥H 1 (Rn ) ⩽ C∥u∥H 1 (Ω) . Démonstration. Par compacité, on peut trouver une partition de l’unité (voir la proposition 17.35) qui vérifie la propriété suivante : il existe une collection finie d’ouverts {Ui }0⩽i⩽N et des applications ζ0 , . . . , ζN telles que, pour tout indice i tel que 0 ⩽ i ⩽ N , ζi vérifie les propriétés suivantes : (1) 0 ⩽ ζi ⩽ 1 ; SN (2) ζi ∈ C ∞ (O) où O = Ω ∪ i=0 Ui ; (3) ζ0 ∈ C0∞ (Ω) et ζi ∈ C0∞ (Ui ) pour 1 ⩽ i ⩽ N ; et de plus telles que, N X ∀x ∈ O, ζi (x) = 1. i=0

Pour i tel que 0 ⩽ i ⩽ N , notons ui = ζi u. On définit v0 = u f0 . Alors v0 ∈ H 1 (Rn ). Pour 1 ⩽ i ⩽ N , on commence par définir wi = ui ◦ θi−1 . Cette fonction appartient à H 1 (B+ ). On peut l’étendre en une fonction wi∗ appartenant à H 1 (B). Alors wi ◦ θi appartient à H 1 (Ui ) et la fonction ζi wi appartient à H01 (Ui ). On pose alors vi = ζg i wi , c’est-à-dire que l’on prolonge PN n ζi wi par 0 sur R ∖ Ui . Alors la fonction v définie par v = v0 + i=1 vi vérifie v ∈ H 1 (Rn ) et v|Ω = u. De plus, l’opérateur P : u 7→ v est linéaire et continue de H 1 (Ω) dans H 1 (Rn ). Corollaire 7.32. Si Ω est un ouvert C 2 , alors C ∞ (Ω) est dense dans H 1 (Ω). Démonstration. Soit u ∈ H 1 (Ω). Alors l’extension v = P u ∈ H 1 (Rn ) est la limite dans H 1 (Rn ) d’une suite de fonctions appartenant à C0∞ (Rn ). En restreignant ces fonctions à Ω, on obtient une suite de fonctions C ∞ (Ω) qui converge vers u dans H 1 (Ω). 7.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev Nous avons étudié les espaces de Sobolev H k (Ω) où k est un entier naturel et Ω un ouvert quelconque de Rn . Nous avons également rappelé dans un autre chapitre que l’on peut étendre la définition de la transformation de Fourier à l’espace L2 (Rn ) et même à l’espace S ′ (Rn ) des distributions tempérées, qui est le dual topologique de la classe de Schwartz S (Rn ). Dans

7.4. ANALYSE DE FOURIER ET ESPACES DE SOBOLEV

177

le cas particulier Ω = Rn , en utilisant cette transformation de Fourier, nous allons définir et étudier, dans cette section, les espaces de Sobolev H s (Rn ) où l’indice s est un nombre réel positif quelconque. Notation 7.33. Nous utiliserons souvent la notation 2

⟨ξ⟩ = (1 + |ξ| )1/2 . On dit couramment que ⟨ξ⟩ est le crochet japonais de ξ. Définition 7.34. Soit s ∈ R. On dit qu’une distribution tempérée u ∈ S ′ (Rn ) appartient à l’espace de Sobolev H s (Rn ) si ⟨ξ⟩s u b appartient à L2 (Rn ). Remarque 7.35. On peut éviter le recours à la théorie des distributions en se bornant à considérer le cas s ⩾ 0, qui est le cas le plus important dans la pratique. Si Ω = Rn , on a donc deux définitions possibles pour les espaces H k (Ω) avec k ∈ N. L’équivalence entre ces deux définitions est un résultat dont la démonstration est l’objet de l’exercice corrigé 7.6. Proposition 7.36. Soit s ∈ R. Muni du produit scalaire Z (u, v)H s = (2π)−n (1 + |ξ|2 )s u b(ξ) vb(ξ) dξ, et donc de la norme

∥u∥H s = (2π)−n/2 (1 + |ξ|2 )s/2 u b L2 , l’espace de Sobolev H s (Rn ) est un espace de Hilbert. Démonstration. L’application u 7→ (2π)−n/2 (1 + |ξ|2 )s/2 u b est par définition s n 2 n une bijection isométrique de H (R ) sur L (R ). Ce dernier espace étant complet, il en est de même de H s (Rn ) muni de la norme définie ci-dessus. Rappelons que la classe de Schwartz S (Rn ) a été introduite à la définition 5.3. Proposition 7.37. L’espace de Schwartz S (Rn ) est dense dans H s (Rn ) pour tout s ∈ R. Démonstration. Considérons l’isométrie u 7→ (2π)−n/2 (1 + |ξ|2 )s/2 u b de H s (Rn ) sur L2 (Rn ). L’isométrie inverse transforme le sous-espace dense S (Rn ) de L2 (Rn ) en un sous-espace dense de H s (Rn ). Or cette application est une bijection de S (Rn ) sur lui-même. On en déduit que S (Rn ) est dense dans H s (Rn ). Proposition 7.38. Pour tout nombre réel s > n/2, H s (Rn ) ⊂ C 0 (Rn ) ∩ L∞ (Rn ), avec injection continue.

178

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

Démonstration. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout f∈ S (Rn),





(7.12) ∥f ∥L∞ ⩽ fb L1 ⩽ ⟨ξ⟩−s L2 ⟨ξ⟩s fb L2 , et on en déduit le résultat par densité de S (Rn ) dans H s (Rn ). Théorème 7.39. Pour tout nombre réel s > n/2, le produit de deux éléments de H s (Rn ) est encore dans H s (Rn ). De plus, il existe une constante C telle que, pour tous u, v dans H s (Rn ), ∥uv∥H s ⩽ C∥u∥H s ∥v∥H s . Démonstration. La preuve repose sur l’inégalité suivante : pour tous ξ, η dans Rn , on a n o ∀s ⩾ 0, (1 + |ξ|2 )s/2 ⩽ 2s (1 + |ξ − η|2 )s/2 + (1 + |η|2 )s/2 , inégalité qui se déduit de l’inégalité triangulaire et de la majoration (a + b)r ⩽ 2r (ar + br ) pour tout triplet (a, b, r) de nombres positifs. Écrivons alors que pour tous u, v dans S (Rn ), on a (vérifier la formule suivante en exercice) Z −n u cv(ξ) = (2π) u b(ξ − η)b v (η) dη. En multipliant les deux membres par ⟨ξ⟩s et en utilisant l’inégalité précédente, on trouve Z Z ⟨ξ⟩s |c uv(ξ)| ⩽ C ⟨ξ − η⟩s |b u(ξ − η)| |b v (η)| dη + C |b u(ξ − η)| ⟨η⟩s |b v (η)| dη. Si s > n/2, alors F (H s (Rn )) ⊂ L1 (Rn ) comme nous l’avons déjà vu (cf. (7.12)). On reconnaît alors ci-dessus deux produits de convolution entre une fonction de L1 (Rn ) et une autre de L2 (Rn ), qui appartiennent à L2 (Rn ) d’après le théorème 6.1. Ce qui implique que ⟨ξ⟩s u cv ∈ L2 (Rn ), d’où le résuls n tat voulu uv ∈ H (R ). Nous avons vu que, tout nombre réel s > n/2, le produit de deux éléments de H s (Rn ) est encore dans H s (Rn ). La proposition suivante montre que l’on peut définir également le produit φu pour tout φ ∈ S (Rn ) et tout u ∈ H s (Rn ) avec s un nombre réel quelconque. Proposition 7.40. Pour tout s ∈ R, si u ∈ H s (Rn ) et φ ∈ S (Rn ) alors φu ∈ H s (Rn ). Démonstration. La preuve utilise une inégalité, appelée inégalité de Peetre, qui énonce que pour tous ξ, η dans Rn , on a ∀s ∈ R,

(1 + |ξ|2 )s ⩽ 2|s| (1 + |η|2 )s (1 + |ξ − η|2 )|s| .

179

7.5. INJECTIONS DE SOBOLEV

Supposons s ⩾ 0. Pour obtenir cette inégalité, il suffit d’utiliser l’inégalité triangulaire 2

2

2

2

1+|ξ|2 ⩽ 1+(|η|+|ξ − η|)2 ⩽ 1+2 |η| +2 |ξ − η| ⩽ 2(1+|η| )(1+|ξ − η| ), puis d’élever les deux membres à la puissance s ⩾ 0. Si s < 0, alors −s > 0 et l’inégalité précédente entraîne (1 + |η|2 )−s ⩽ 2−s (1 + |ξ|2 )−s (1 + |ξ − η|2 )−s . On obtient le résultat voulu en divisant par (1 + |η|2 )−s (1 + |ξ|2 )−s . On procède alors comme dans la preuve du théorème 7.39. En effet, on peut encore écrire pour u ∈ H s (Rn ) et φ ∈ S (Rn ), φu(ξ) c sous la forme d’un produit de convolution. Comme φ(ζ) b est dans la classe de Schwartz, la fonction ⟨ζ⟩|s| φ(ζ) b appartient à la classe de Schwartz et donc à l’espace L1 (Rn ). L’inégalité précédente permet de faire apparaître le produit de convolution d’une fonction de L1 et de ⟨η⟩s |b u(η)| qui est dans L2 . Proposition 7.41 (Interpolation dans les espaces de Sobolev). Soient s1 < s2 deux nombres réels et s ∈ ]s1 , s2 [. Écrivons s sous la forme s = αs1 + (1 − α)s2 avec α ∈ [0, 1]. Il existe une constante C(s1 , s2 ) telle que pour tout u ∈ H s2 (Rn ), 1−α ∥u∥H s ⩽ C(s1 , s2 )∥u∥α H s1 ∥u∥H s2 .

Démonstration. Écrivons que Z 2 2 −n ∥u∥H s = (2π) ⟨ξ⟩2s |b u(ξ)| dξ Z 2α 2(1−α) = (2π)−n ⟨ξ⟩2αs1 |b u(ξ)| ⟨ξ⟩2(1−α)s2 |b u(ξ)| dξ, de sorte que l’inégalité voulue est une conséquence de l’inégalité de Hölder.

7.5. Injections de Sobolev Nous allons maintenant étudier plusieurs résultats d’injections des espaces de Sobolev dans les espaces de Lebesgue. C’est une propriété fondamentale, que nous utiliserons par exemple plus tard dans le cadre de la théorie de De Giorgi-Nash-Moser. Nous commençons par étudier le cas des espaces de Sobolev définis sur Rn . Théorème 7.42. Soit n ⩾ 1 et s un réel tel que 0 ⩽ s < n/2. Alors l’espace de Sobolev H s (Rn ) s’injecte continûment dans Lp (Rn ) pour tout p tel que 2⩽p⩽

2n . n − 2s

180

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

Remarque 7.43. Le théorème 7.42 énonce que, pour tout nombre réel s dans [0, n/2[, on a ∥f ∥L2n/(n−2s) ⩽ Cs ∥f ∥H s . En fait, nous allons montrer un résultat plus fort (cf. (7.13)) : Z 1/2 2 ∥f ∥L2n/(n−2s) ⩽ C∥f ∥H˙ s := |ξ|2s fb(ξ) dξ . En particulier, pour s = 1, ceci implique que 2n q= =⇒ ∥f ∥Lq ⩽ C∥∇f ∥L2 . n−2 Démonstration. Nous allons montrer qu’il existe une constante C telle que, pour tout f ∈ S (Rn ), on a Z 1/2 2 2n (7.13) p = =⇒ ∥f ∥Lp ⩽ C∥f ∥H˙ s := C |ξ|2s fb(ξ) dξ . n − 2s C’est un résultat plus fort que celui énoncé. En effet, pour tout réel 2 ⩽ p < 2n/(n − 2s), il existe s′ ∈ [0, s[ tel que p = 2n/(n − 2s′ ) et alors ∥f ∥Lp ⩽ C∥f ∥H˙ s′ ⩽ C∥f ∥H s (attention : on ne peut pas majorer ∥f ∥H˙ s′ ′ par ∥f ∥H˙ s car on n’a pas |ξ|2s ⩽ |ξ|2s pour |ξ| ⩽ 1). Nous utilisons la démonstration de Chemin et Xu (cf. [25]) qui repose sur la mesure des ensembles de niveaux. Nous noterons {|f | > λ} l’ensemble {x ∈ Rn : |f (x)| > λ} et |{|f | > λ}| la mesure de Lebesgue de cet ensemble. Considérons une fonction f ∈ S (Rn ). On peut supposer sans perte de généralité que ∥f ∥H˙ s = 1. On part de l’identité classique (voir le lemme 18.8), Z +∞ ∥f ∥pLp = p λp−1 |{|f | > λ}| dλ. 0

Pour majorer |{|f | > λ}|, nous allons utiliser une décomposition en termes de basses et hautes fréquences. Pour tout λ > 0, nous allons décomposer f sous la forme f = gλ + hλ où les fonctions gλ et hλ sont définies par leurs transformées de Fourier : b gc gc si |ξ| > Aλ λ (ξ) = f (ξ) si |ξ| ⩽ Aλ , λ (ξ) = 0 cλ (ξ) = 0 h

si |ξ| ⩽ Aλ ,

cλ (ξ) = fb(ξ) si |ξ| > Aλ , h

pour une certaine constante Aλ à déterminer. Alors, d’après l’inégalité triangulaire, {|f | > λ} ⊂ {|gλ | > λ/2} ∪ {|hλ | > λ/2}. Nous allons choisir la constante Aλ de sorte que {|gλ | > λ/2} = ∅. Alors on aura 4 2 |{|f | > λ}| ⩽ |{|hλ | > λ/2}| ⩽ 2 ∥hλ ∥L2 , λ

7.5. INJECTIONS DE SOBOLEV

181

car 2

Z

∥hλ ∥L2 ⩾

2

|hλ | dx ⩾ {|hλ |>λ/2}

λ2 |{|hλ | > λ/2}|. 4

En combinant les observations précédentes, on obtiendra Z +∞ 2 p (7.14) ∥f ∥Lp ⩽ 4p λp−3 ∥hλ ∥L2 dλ. 0

Choix de Aλ . D’après le théorème d’inversion de Fourier, on a Z Z 1 1 ix·ξ ix·ξ b |gλ (x)| = e gc e f (ξ) dξ . λ (ξ) dξ = (2π)n (2π)n |ξ|⩽Aλ

Comme 2s < n, on peut utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz et écrire que Z 1/2 Z 1/2 2 1 −2s 2s b dξ |gλ (x)| ⩽ |ξ| dξ |ξ| f (ξ) . (2π)n |ξ|⩽Aλ En passant en coordonnées polaires, on obtient Z Z Aλ Z |Sn−1 |An−2s λ |ξ|−2s dξ = rn−1−2s dθ dr = . n − 2s |ξ|⩽Aλ 0 Sn−1 Comme ∥f ∥H˙ s = 1 par hypothèse, on obtient finalement (n/2)−s

∥gλ ∥L∞ ⩽ C1 (s, n)Aλ

.

On définit alors Aλ par λ . 2 Alors ∥gλ ∥L∞ ⩽ λ/2. Comme par ailleurs gλ est une fonction continue (c’est la transformée de Fourier d’une fonction intégrable), on en déduit que {|gλ | > λ/2} = ∅, ce qui est le résultat voulu. (n/2)−s

C1 (s, n)Aλ

=

Fin de la démonstration. Par définition de hλ , en utilisant l’identité (7.14) et la formule (5.8) de Plancherel, on trouve Z +∞ Z 2 ∥f ∥pLp ⩽ 4p(2π)n λp−3 fb(ξ) dξ dλ. |ξ|⩾Aλ

0

Par définition de Aλ , si |ξ| ⩾ Aλ alors λ ⩽ Λ(ξ) := 2C1 (s, n)|ξ|(n/2)−s , donc, en utilisant le théorème de Fubini, il vient  Z Z Λ(ξ) 2 p n p−3 ∥f ∥Lp ⩽ 4p(2π) λ dλ fb(ξ) dξ, Rn

d’où ∥f ∥pLp

0

Z ⩽ C2 (s, n) Rn

2 Λ(ξ)p−2 fb(ξ) dξ,

182

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

Or, si p = 2n/(n − 2s), on vérifie que n  − s (p − 2) = 2s. 2 En utilisant à nouveau que ∥f ∥H˙ s = 1, on obtient finalement Z 2 ∥f ∥pLp ⩽ C3 (s, n) |ξ|2s fb(ξ) dξ = C3 (s, n), Rn

équivalent au résultat voulu. Corollaire 7.44 (Inégalités de Gagliardo-Nirenberg). Soient n et p tels que 2n n ⩾ 3, 2 ⩽ p < . n−2 Alors, il existe une constante C telle que, pour tout u appartenant à H 1 (Rn ), on a σ ∥u∥Lp (Rn ) ⩽ C∥u∥1−σ L2 (Rn ) ∥∇u∥L2 (Rn ) , avec σ = n(p − 2)/2p. Démonstration. Pour la valeur de σ qui est donnée par l’énoncé, il suit directement de (7.13) que l’on a l’inégalité ∥u∥Lp ⩽ C∥u∥H˙ σ . On déduit alors le résultat par un argument d’interpolation. Précisément, on utilise le fait que l’inégalité de la proposition 7.41 reste vraie quand on remplace les normes ∥·∥H s par les semi-normes ∥·∥H˙ s ; ce qui se démontre en remplaçant ⟨ξ⟩ par |ξ| dans la démonstration de la proposition 7.41. Nous avons vu à la remarque 7.43 que, pour tout f ∈ H 1 (Rn ) avec n ⩾ 3, on a ∥f ∥L2n/(n−2) ⩽ C∥∇f ∥L2 . Une conséquence directe du théorème 6.20 de Hardy-Littlewood-Sobolev démontré au chapitre 6 est que l’on peut généraliser ce résultat de la façon suivante. Théorème 7.45 (Injections de Sobolev pour W 1,p ). Soit n ⩾ 2 et soit p ∈ ]1, n[. Définissons p∗ par 1 1 1 = − . ∗ p p n Alors il existe une constante C telle que, pour toute fonction f ∈ W 1,p (Rn ), ∥f ∥Lp∗ (Rn ) ⩽ C∥∇f ∥Lp (Rn ) . Démonstration. On a démontré au théorème 6.21 qu’il existe une constante C telle que ∥f ∥Lp∗ (Rn ) ⩽ C∥∇f ∥Lp (Rn ) , pour toute fonction f qui est C ∞ et à support compact. On en déduit le résultat voulu car C0∞ (Rn ) est dense dans W 1,p (Rn ) pour p < +∞.

7.5. INJECTIONS DE SOBOLEV

183

Nous allons ensuite voir comment déduire du résultat précédent sur les espaces de Sobolev définis sur Rn un résultat analogue sur l’espace H01 (Ω) où Ω est un ouvert quelconque. Dans ce contexte, en supposant que Ω est borné, nous pourrons de plus obtenir des injections compactes. Théorème 7.46 (Théorème de Rellich-Kondrachov). Soit n ⩾ 2 et soit Ω un ouvert borné de Rn . Si 2 ⩽ q < 2n/(n − 2), alors H01 (Ω) s’injecte de façon compacte dans Lq (Ω). Démonstration. Considérons une suite (um ) qui est bornée dans H01 (Ω). Alors cette suite admet une sous-suite (uθ(m) ) convergeant faiblement dans H 1 (Ω) car H 1 (Ω) est un espace de Hilbert. Notons u ∈ H 1 (Ω) la limite faible. Comme H01 (Ω) est fermé par définition, il est aussi fermé au sens faible d’après la proposition 3.43, et on en déduit que u ∈ H01 (Ω). Quitte à remplacer um par uθ(m) − u, on peut supposer sans perte de généralité que la suite (um ) converge faiblement vers 0 dans H 1 (Ω). Pour démontrer le théorème, nous devons montrer que (um ) converge fortement vers 0 dans Lq (Ω) pour 2 ⩽ q < 2n/(n − 2). Lemme 7.47. Notons u em la fonction obtenue en prolongeant um par 0 sur n R ∖Ω. Alors u em appartient à H 1 (Rn ), la suite (e um ) est bornée dans H 1 (Rn ) 1 n et converge faiblement vers 0 dans H (R ). Démonstration. La proposition 7.27 implique que (e um ) est bornée dans H 1 (Rn ). De plus, la démonstration de la proposition 7.27 montre que la dérivée au sens faible de u em vérifie ∂j u em = ∂] j um . Alors, en notant (· , ·)H 1 (Rn ) 1 n le produit scalaire de H (R ), pour tout v ∈ H 1 (Rn ), on peut écrire que Z Z (e um , v)H 1 (Rn ) = u em v dx + ∇e um · ∇v dx n n ZR ZR ] = u em v dx + ∇u m · ∇v dx Rn Rn Z Z = um v dx + ∇um · ∇v dx = (um , v)H 1 (Ω) . Ω

Ω

Or (um , v)H 1 (Ω) converge vers 0 quand m tend vers +∞. Ceci montre que u em converge faiblement vers 0 dans H 1 (Rn ), ce qui conclut la démonstration du lemme. La démonstration du théorème de Rellich-Kondrachov repose alors sur le lemme suivant. Lemme 7.48. Soit (wm ) une suite bornée dans H 1 (Rn ) et convergeant faiblement vers 0 dans L2 (Rn ). Alors, pour tout q tel que 2 ⩽ q < 2n/(n − 2) et pour toute fonction χ ∈ C0∞ (Rn ), la suite (χwm ) converge fortement vers 0 dans Lq (Rn ).

184

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

Démonstration. La démonstration est en deux étapes. On montre d’abord le résultat pour q = 2 puis on considère le cas général. Cas q = 2. Posons vm = χwm . Comme la multiplication par une fonction de la classe de Schwartz est continue de H 1 (Rn ) dans H 1 (Rn ), la suite (vm ) est aussi bornée dans H 1 (Rn ). Par ailleurs, vm = χwm appartient à L1 (Rn ) en utilisant le fait que vm est à support compact. On peut alors considérer sa transformée de Fourier Z vc e−ix·ξ χ(x)wm (x) dx. m (ξ) = D’après l’identité (5.8) de Plancherel, pour montrer que (vm ) converge fortement dans L2 (Rn ), il nous suffit de montrer que (vc m ) converge fortement vers 0 dans L2 (Rn ). Pour cela, utilisons la décomposition Z Z Z 2 2 2 |vc (ξ)| dξ ⩽ | v c (ξ)| dξ + |vc m m m (ξ)| dξ, |ξ|⩽R

|ξ|>R

où R est un paramètre arbitraire. La convergence faible de (wm ) vers 0 dans L2 (Rn ) entraîne que, pour tout ξ ∈ Rn , vc m (ξ) converge vers 0 quand m tend vers +∞. D’après ce qui précède, on peut appliquer le théorème de converR 2 gence dominée pour montrer que |ξ|⩽R |vc m (ξ)| dξ tend vers 0 quand m tend vers +∞. Par ailleurs, on la majoration évidente Z Z 1 2 2 2 |vc (ξ)| dξ ⩽ (1 + |ξ| ) |vc m (ξ)| dξ m 1 + R2 |ξ|>R |ξ|>R Z (2π)n 1 2 2 ⩽ (1 + |ξ| ) |vc ∥vm ∥2H 1 . m (ξ)| dx = 2 1 + R Rn 1 + R2 R 2 Comme (vm ) est bornée dans H 1 (Rn ), on peut rendre |ξ|>R |vc m (ξ)| dξ arbitrairement petit en prenant R assez grand. Ce qui achève de démontrer que (vm ) converge vers 0 dans L2 (Rn ). Cas général. Soit 2 ⩽ q < 2n/(n − 2). Alors il existe C > 0 et λ ∈ [0, 1[ tels que, pour tout u ∈ L2 (Rn ) ∩ L2n/(n−2) (Rn ), on a λ ∥u∥Lq ⩽ C∥u∥1−λ L2 ∥u∥L2n/(n−2) .

Nous avons vu que la suite (vm ) est bornée dans H 1 (Rn ). Le théorème d’injection de Sobolev implique que vm ∈ L2 (Rn ) ∩ L2n/(n−2) (Rn ) et que (vm ) est bornée dans L2n/(n−2) (Rn ). Le résultat voulu se déduit alors de l’inégalité précédente et du lemme précédent qui implique que ∥vm ∥L2 converge vers 0. Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème. Considérons une fonction χ ∈ C0∞ (Rn ) qui est telle que χ(x) = 1 pour x ∈ Ω. Une telle fonction existe car Ω est borné par hypothèse. En utilisant les

7.5. INJECTIONS DE SOBOLEV

185

deux lemmes précédents, on obtient que la suite (χe um ) converge vers 0 fortement dans Lq (Rn ), ce qui implique directement que (um ) converge vers 0 fortement dans Lq (Ω). La démonstration précédente utilise une propriété des éléments de H01 (Ω), à savoir que si on les prolonge par 0 en dehors de Ω, on obtient une fonction qui appartient à H 1 (Rn ). Si Ω est un ouvert C 2 , on a vu qu’il existe un opérateur d’extension. En procédant comme ci-dessus, on peut alors en déduire le résultat suivant. Théorème 7.49 (Théorème de Rellich-Kondrachov). Soit Ω un ouvert borné de Rn de classe C 2 (ou le produit de n intervalles ouverts bornés). – Si n ⩾ 2 et 2 ⩽ q < 2n/(n − 2), H 1 (Ω) s’injecte de façon compacte dans Lq (Ω). – Si n = 1, H 1 (Ω) s’injecte de façon compacte dans C 0 (Ω). Nous avions vu au début de ce chapitre l’inégalité de Poincaré-Wirtinger (lemme 4.17). Nous allons maintenant déduire des injections de Sobolev une généralisation en dimension quelconque. Théorème 7.50 (Inégalité de Poincaré-Sobolev). Soit Ω un ouvert borné de Rn de classe C 2 (ou le produit de n intervalles ouverts bornés). Étant donnée une fonction u ∈ H 1 (Ω), notons uΩ sa moyenne sur Ω. Il existe une constante C(Ω) telle que ∀u ∈ H 1 (Ω),

∥u − uΩ ∥L2 (Ω) ⩽ C(Ω)∥∇u∥L2 (Ω) .

Démonstration. Supposons par l’absurde que ce résultat est faux. Alors on peut trouver une suite (un ) d’éléments de H 1 (Ω) tels que Z Z Z 1 2 2 un (x) dx = 0, |un (x)| dx = 1, |∇un (x)| dx ⩽ . n Ω Ω Ω Comme (un ) est bornée dans H 1 (Ω), on peut extraire une sous-suite (unk ) qui converge fortement dans L2 (Ω) vers une fonction u. Comme ∇unk converge fortement vers 0 dans L2 , on en déduit que (unk ) est en fait une suite de Cauchy dans H 1 (Ω), qui converge dans H 1 (Ω). On en déduit que Z Z Z 2 2 u(x) dx = 0, |u(x)| dx = 1, |∇u(x)| dx = 0. Ω

Ω

Ω

Donc u est une fonction non nulle, constante et nulle en moyenne. D’où la contradiction. Remarque 7.51. Le résultat précédent n’est pas quantitatif dans la mesure où il ne dit pas comment la constante C(Ω) dépend de Ω. Une estimation quantitative est donnée à l’exercice 7.3, où nous reproduisons la démonstration originale, très élégante, de Poincaré.

186

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

L’inégalité optimale a été obtenue par Payne et Weinberger [116]. Ils ont démontré le résultat suivant : si Ω ⊂ Rn est un domaine ouvert et convexe, alors pour toute fonction u ∈ H 1 (Ω), on a ∥u − uΩ ∥L2 ⩽

diam Ω ∥∇u∥L2 . π

7.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev Dans ce paragraphe, nous utilisons la décomposition de Littlewood-Paley introduite au chapitre 5 (cf. section 5.4) pour caractériser les espaces de Sobolev. Proposition 7.52. (i) Pour tout u ∈ L2 (Rn ), X X 2 (7.15) ∥∆p u∥2L2 ⩽ ∥u∥L2 ⩽ 3 ∥∆p u∥2L2 . p⩾−1

p⩾−1

(ii) Considérons s ∈ R. Une distribution tempérée u ∈ S ′ (Rn ) appartient à l’espace de Sobolev H s (Rn ) si et seulement si (1) ∆−1 u ∈ L2 (Rn ) et pour tout p ⩾ 0, ∆p u ∈ L2 (Rn ) ; (2) la suite δp = 2ps ∥∆p u∥L2 appartient à ℓ2 (N ∪ {−1}). De plus, il existe une constante C telle que +∞ X 1/2 1 ∥u∥H s ⩽ δp2 ⩽ C∥u∥H s . C p=−1

(7.16)

Démonstration. Le premier point découle immédiatement de (5.12) et de l’identité (5.8) de Plancherel. Puisque ∥u∥H s = ∥⟨Dx ⟩s u∥L2 , en appliquant (7.15) avec u remplacée par ⟨Dx ⟩s u, on obtient X X 2 2 2 ∥∆p ⟨Dx ⟩s u∥L2 ⩽ ∥u∥H s ⩽ 3 ∥∆p ⟨Dx ⟩s u∥L2 . p⩾−1

p⩾−1

Considérons p ⩾ 0 et écrivons que Z 2 ∥∆p ⟨Dx ⟩s u∥L2 = (2π)−n

Rn

2 (1 + |ξ|2 )s φ2 (2−p ξ) u b(ξ) dξ.

Puisque (1 + |ξ|2 )s φ2 (2−p ξ) ∼ 22ps sur le support de φ2 (2−p ξ), on voit que 1 2ps 2 2 ∥∆p u∥2L2 ⩽ ∥∆p ⟨Dx ⟩s u∥L2 ⩽ C22ps ∥∆p u∥2L2 , C pour une certaine constante C ne dépendant que de s. Nous avons une estimation similaire pour ∆−1 u et le résultat recherché suit facilement. (7.17)

7.6. CARACTÉRISATION DYADIQUE DES ESPACES DE SOBOLEV

187

Proposition 7.53. (i) Considérons s ∈ R et R ⩾ 1. Supposons que (uj )j⩾−1 soit une suite de fonctions dans L2 (Rn ) telle que n1 o supp ud supp ubj ⊂ 2j ⩽ |ξ| ⩽ R2j , −1 ⊂ {|ξ| ⩽ R}, R et, en outre, X 2 (7.18) 22js ∥uj ∥L2 < +∞. j⩾−1

Alors la série

P

uj converge vers une fonction u ∈ H s (Rn ) et de plus, X 2 ∥u∥2H s ⩽ C 22js ∥uj ∥L2 , j⩾−1

pour une certaine constante C ne dépendant que de s et R. (ii) Si s > 0, alors le résultat précédent est valable sous l’hypothèse plus faible que supp ubj est inclus dans la boule B(0, R2j ). P Démonstration. (i) Nous commençons par prouver que la série uj est normalement convergente dans Hr (Rn ) pour tout r < s. En supposant que supp ubj est inclus dans une boule |ξ| ⩽ R2j , par une démonstration parallèle à celle de (7.17), on voit que ∥uj ∥H r ⩽ C2jr ∥uj ∥L2 . Donc, l’inégalité de Cauchy-Schwarz implique que  X 1/2  X 1/2 X 2 ∥uj ∥H r ⩽ 22js ∥uj ∥L2 22j(r−s) < +∞. j⩾−1

j⩾−1

j⩾−1

P

Ceci montre que la série uj est normalement convergente et donc converP gente dans H r (Rn ). Maintenant, nous pouvons définir u = j⩾−1 uj . Notre but est alors de prouver que u appartient à H s (Rn ). Si supp ubj est inclus dans un anneau R1 2j ⩽ |ξ| ⩽ R2j , alors il existe un entier N dépendant uniquement de R tels que ∆p uj = 0 si |j − p| > N . Par conséquent, X X ∥∆p u∥L2 ⩽ ∥∆p uj ∥L2 ⩽ ∥uj ∥L2 , |j−p|⩽N

|j−p|⩽N

d’où le résultat. (ii) Si on suppose seulement que supp ubj est inclus dans une boule {|ξ| ⩽ R2j }, alors on a juste, pour un entier N , X ∆p u = ∆p uj . j⩾p−N

Il découle de l’inégalité triangulaire que X 2ps ∥∆p u∥L2 ⩽ 2(p−j)s 2js ∥uj ∥L2 . j⩾p−N

188

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

Maintenant, puisque s > 0, la suite (2(p−j)s )j⩾p−N appartient à ℓ1 et l’inégalité de convolution ℓ1 ∗ ℓ2 ,→ ℓ2 donne le résultat. Théorème 7.54. Considérons n ∈ N∗ , s ∈ ]0, +∞[, k ∈ N et α ∈ ]0, 1] tels que n s > + k + α. 2 Alors H s (Rn ) s’injecte continûment dans l’espace de Hölder C k,α (Rn ) donné par la définition 5.28. Démonstration. Nous allons démontrer un résultat plus général qui porte sur les injections des espaces de Sobolev dans les espaces de Zygmund définis à la section 5.4.3. Lemme 7.55. (i) Pour tout entier n ⩾ 1 et pour tout s ∈ R, on a s−n/2

H s (Rn ) ⊂ C∗

(Rn ),

avec injection continue. (ii) En particulier, H ∞ (Rn ) ⊂ C ∞ (Rn ). Démonstration. Soit u ∈ H s (Rn ). Nous avons vu que X u= up , où up = ∆p u. p⩾−1

Alors up (x) = (2π)−n

Z Rn

eix·ξ u bp (ξ) dξ = (2π)−n

Z Cp

eix·ξ u bp (ξ) dξ,

où Cp est la couronne donnée par {ξ ∈ Rn : 2p−1 ⩽ |ξ| ⩽ 2p+1 }. Donc Z −n ∥up ∥L∞ ⩽ (2π) |b up (ξ)| dξ Cp

−n

⩽ (2π)

1/2 Z 1/2  1 + |ξ|2 s 2 |b up (ξ)| dξ dξ 2(p−1) Cp 1 + 2 Cp

Z

⩽ K2p(n/2−s) ∥u∥H s , ce qui implique le résultat. Le théorème s’en déduit directement car il suit de (5.14) que s−n/2

C∗

(Rn ) ⊂ C k,α (Rn ) si s > n/2 + k + α.

7.7. EXERCICES

189

7.7. Exercices Exercice (corrigé) 7.1. Montrer que la fonction x 7→ |x| admet une dérivée au sens faible sur tout intervalle ouvert borné I ⊂ R et que sa dérivée est donnée par H|I où H = 1[0,+∞[ − 1]−∞,0[ est la fonction égale à 1 sur [0, +∞[ et −1 sur ] − ∞, 0[, appelée fonction de Heaviside. Exercice (corrigé) 7.2. Montrer que la fonction 1]0,1[ , indicatrice de ]0, 1[, n’est pas dérivable au sens faible dans Lp (R) pour tout p ∈ ]1, +∞]. Exercice (corrigé) 7.3. Le but de cet exercice est de donner une démonstration directe, due à Henri Poincaré, de l’inégalité qui porte son nom. Soit un entier n ⩾ 1, un nombre réel r > 0 et B une boule de rayon r dans Rn . (1) Considérons u : B → R de classe C 1 et de moyenne nulle sur B. (a) Montrer que Z ZZ 1 1 u2 dx = (u(x) − u(y))2 dx dy. |B| B 2|B|2 B2 (b) En déduire que Z ZZ Z 1 1 (2r)2 2 2 u dx ⩽ |∇u(tx + (1 − t)y)| dt dx dy. |B| B 2|B|2 2 B 0 (c) Montrer que pour tout σ dans B, on a : Z  tn  1tB+(1−t)y (σ) dy ⩽ min 1, |B|. (1 − t)n B (d) En déduire qu’il existe une constante C telle que  1/2  1/2 Z Z 1 1 2 2 u dx ⩽ Cr |∇u| dx . |B| B |B| B (2) Conclure que pour toute fonction u ∈ H 1 (B), à valeurs complexes, on a  1/2  1/2 Z Z 1 1 2 2 |u − uB | dx ⩽ Cr |∇u| dx , |B| B |B| B où uB est la moyenne de u sur B. Exercice (corrigé) 7.4. Démontrer (7.10) dans le cas n = 1. Exercice (corrigé) 7.5. Soient p ∈ [1, +∞], Ω = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 > 0} et considérons une fonction u ∈ W 1,p (Ω). On étend u par parité en une fonction u∗ définie sur Rn de la façon suivante : ( u(x1 , x2 , . . . , xn ) si x1 > 0, u∗ (x1 , . . . , xn ) = u(−x1 , x2 , . . . , xn ) si x1 < 0. Montrer que u∗ ∈ W 1,p (Rn ). Calculer ∥u∗ ∥p et, pour tout i, ∥∂i u∗ ∥Lp en fonction de ∥u∥Lp et des ∥∂i u∥Lp .

190

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

Exercice (corrigé) 7.6 (Espaces de Sobolev d’ordre fractionnaire). Soit s ∈ R. On définit :  H s (Rn ) = f ∈ S ′ (Rn ) : (1 + |ξ|2 )s/2 fb ∈ L2 (Rn ) , où fb est la transformée de Fourier de f au sens des distributions tempérées. On munit cet espace de la norme suivante :

∥f ∥H s = (1 + |ξ|2 )s/2 F f L2 . (1) Montrer que si s ∈ N, cette définition est équivalente à la définition 7.12 de l’espace de Sobolev W s,2 (Rn ). On pourra utiliser que, si f ∈ W s,2 (Rn ) et si α ∈ Nn est un multi-indice de longueur |α| ⩽ s, alors la transformée de Fourier de ∂xα f est donnée par (iξ)α fb. (2) Montrer que, pour s ∈ ]0, 1[, cette définition est équivalente à : Z n o |f (x) − f (y)|2 H s (Rn ) = f ∈ L2 (Rn ) : dx dy < +∞ . n+2s Rn |x − y| Exercice 7.7. (1) Considérons un entier n ⩾ 3 et un réel s > n/2. Vérifier que Z dξ < +∞. 2 2 s−1 Rn |ξ| (1 + |ξ| ) En déduire qu’il existe une constante C telle que, pour tout u ∈ H s (Rn ), (7.19)

∥u∥L∞ (Rn ) ⩽ C∥∇u∥H s−1 (Rn ) .

(2) Montrer que ,pour tous entiers j, k tels que 1 ⩽ j, k ⩽ n, il existe une constante C telle que, pour tout u ∈ H 2 (Rn ),

∂xj ∂x u 2 n ⩽ C∥∆u∥L2 (Rn ) . k L (R ) En déduire qu’il existe une constante C telle que, pour tout u ∈ H 2 (R3 ), ∥u∥L∞ (R3 ) ⩽ C∥∇u∥L2 (R3 ) + C∥∆u∥L2 (R3 ) . En appliquant le résultat précédent à la fonction v définie par v(x) = u(λx), pour un paramètre λ bien choisi, démontrer qu’il existe une constante C telle que, pour tout u ∈ H 2 (R3 ), 1/2

1/2

∥u∥L∞ (R3 ) ⩽ C∥∇u∥L2 (R3 ) ∥∆u∥L2 (R3 ) . (3) Montrer que l’inégalité (7.19) est fausse en dimension n = 2. Exercice 7.8. Soit ϕ ∈ S (Rn ) telle que ϕ(0) = 1. Définissons pour tout h ∈ ]0, 1] un opérateur linéaire Ah : S (Rn ) → S (Rn ) par Z −n (Ah u)(x) = (2π) eix·ξ ϕ(hξ)b u(ξ) dξ.

191

7.7. EXERCICES

Montrer que, pour tout r ∈ [2, +∞], tout u ∈ S (Rn ) et tout h ∈ ]0, 1], ∥Ah u∥Lr ⩽ Ch−n(1/2−1/r) ∥u∥L2 , pour une constante C que l’on précisera. Exercice 7.9. Considérons un entier n ⩾ 2 et un réel p ∈ [1, n[. Nous avons vu que l’espace de Sobolev W 1,p (Rn ) s’injecte dans Lq (Rn ) pour tout réel q tel que np p ⩽ q ⩽ p∗ := . n−p Nous allons voir une autre démonstration dans le cas p ⩽ q < p∗ . (1) Soit f ∈ C01 (Rn ) une fonction continûment différentiable à support compact. Montrer que, pour tout v ∈ Sn−1 , Z +∞ |f (x)| ⩽ |(∇f )(x + tv)| dt. 0

En déduire (cf. rappel à la fin de l’exercice) que Z 1 1 |f (x)| ⩽ n−1 |∇f (x − y)| dy. |S | Rn |y|n−1 (2) Posons F1 (x) = et

1 |Sn−1 | 1

Z |y|⩾1

Z

1 n−1

|y|

|∇f (x − y)| dy,

1

n−1 |∇f (x − y)| dy. |y| En utilisant l’inégalité de Hölder ou de Young, montrer que

F2 (x) =

∥F1 ∥L∞ ⩽ C1 ∥∇f ∥Lp ,

|Sn−1 |

|y|⩽1

∥F2 ∥Lq ⩽ C2 ∥∇f ∥Lp

pour tout p ⩽ q < p∗ .

(3) En déduire qu’il existe une constante C telle que, pour tout f ∈ C01 (Rn ), ∥f ∥Lq ⩽ C∥f ∥Lp + C∥∇f ∥Lp . En déduire que W 1,p (Rn ) ⊂ Lq (Rn ) pour tout q ∈ [p, p∗ [. (4) Par un argument d’homogénéité, montrer que l’inclusion précédente est fausse pour q > p∗ . Exercice 7.10. Soit d ⩾ 1 et soit φ : Rn → [0, +∞[ une fonction C ∞ , radiale, qui vaut 1 sur la boule {|ξ| ⩽ 1} et qui s’annule à l’extérieur de la boule {|ξ| ⩽ 2}. Pour tout j ∈ Z, on définit


−j −j+1 d ∆ ξ u b(ξ). j u(ξ) = φ 2 ξ − φ 2 (1) Montrer que, pour tous p, q tels que 1 ⩽ p ⩽ q ⩽ +∞, il existe une constante C telle que, pour tout j ∈ Z, ∥∆j u∥Lq (Rd ) ⩽ C2j(n/p−n/q) ∥∆j u∥Lp (Rn ) .

192

CHAPITRE 7. ESPACES DE SOBOLEV

(2) Montrer que pour tout p tel que 1 ⩽ p ⩽ +∞, il existe une constante C telle que, pour tout j ∈ Z, ∥∆j |∇| u∥Lp (Rn ) ⩽ C2j ∥∆j u∥Lp (Rn ) . (3) Soient N ∋ n ⩾ 1 et p, q ∈ [1, ∞] avec p < q, tels que n n θ := − ∈ ]0, 1[. p q On souhaite montrer qu’il existe une constante C telle que, pour tout u ∈ W 1,p (Rn ), θ ∥u∥Lq (Rn ) ⩽ C∥u∥1−θ Lp (Rn ) ∥∇u∥Lp (Rn ) . Vérifier que l’inégalité est invariante par homothétie (u(x) 7→ λu(x)) et changement d’échelles (u(x) 7→ u(λx)). En déduire que l’on peut supposer P que ∥u∥Lp (Rn ) = 1 = ∥∇u∥Lp (Rn ) . En écrivant u sous la forme j∈Z ∆j u, conclure en utilisant les inégalités de la question précédente.

CHAPITRE 8 FONCTIONS HARMONIQUES

8.1. Propriété de la moyenne Dans tout ce chapitre, on note n ⩾ 2 la dimension d’espace, |x| la norme 2 euclidienne d’un vecteur x = (x1 , . . . , xn ) de Rn , de sorte que |x| = x21 + 2 · · · + xn , et B(x, r) la boule ouverte de centre x et de rayon r > 0 pour cette norme. Par hypothèse, Ω désignera toujours un ouvert borné de Rn . Définition 8.1. Soit u ∈ C 2 (Ω) une fonction à valeurs réelles. On dit que u est harmonique si ∆u =

n X

∂x2j u = 0.

j=1

Les fonctions harmoniques sont des fonctions remarquables. En particulier, elles vérifient est la propriété de la moyenne, ce qui signifie que pour tout x ∈ Ω, u(x) est égale à la moyenne de u sur toute boule B ⊂ Ω qui est centrée en x. Théorème 8.2. Soit u ∈ C 2 (Ω). Alors u est harmonique si et seulement si, pour tout x ∈ Ω et tout r > 0 tel que B(x, r) ⊂ Ω, on a Z 1 (8.1) u(x) = u(y) dy. |B(x, r)| B(x,r) Démonstration. Soit x ∈ Ω. Notons r0 = dist(x, ∂Ω) = inf y∈Rn ∖Ω |x − y| et considérons la fonction ϕ : [0, r0 [→ R, définie par Z Z 1 1 ϕ(r) = u(y) dy = u(x + rζ) dζ. |B(x, r)| B(x,r) |B(0, 1)| B(0,1)

194

CHAPITRE 8. FONCTIONS HARMONIQUES

En dérivant l’intégrale, on vérifie que Z 1 ϕ′ (r) = ζ · (∇u)(x + rζ) dζ |B(0, 1)| B(0,1) Z   1 1 2 = divζ |ζ| (∇u)(x + rζ) dζ |B(0, 1)| B(0,1) 2 Z 1 r 2 − |ζ| (∆u)(x + rζ) dζ. |B(0, 1)| B(0,1) 2 On utilise alors la formule de la divergence (voir l’exercice corrigé 17.3), qui énonce que pour un champ de vecteurs X ∈ C 1 (B(0, 1); Rn ), on a Z Z div X(ζ) dζ = X(ζ) · ζ dS(ζ). B(0,1)

∂B(0,1)

Comme |ζ| = 1 sur le bord de la boule B(0, 1), ceci implique que Z Z   2 divζ |ζ| (∇u)(x + rζ) dζ = (ζ · ∇u)(x + rζ) dS(ζ) B(0,1) ∂B(0,1) Z 1 = ζ · ∇ζ (u(x + rζ)) dS(ζ) ∂B(0,1) r Z 1 = ∆ζ (u(x + rζ)) dζ B(0,1) r Z = r(∆u)(x + rζ) dζ, B(0,1)

où l’on a utilisé à nouveau la formule de la divergence. Il suit que Z r 2 (8.2) ϕ′ (r) = (1 − |ζ| )(∆u)(x + rζ) dζ. 2 |B(0, 1)| B(0,1) On en déduit que si ∆u = 0, alors la dérivée ϕ′ est nulle. Comme ϕ(r) converge vers u(x) lorsque r tend vers 0, ceci démontre que si u est harmonique, alors u vérifie la propriété de la moyenne. Réciproquement, si u vérifie la propriété de la moyenne (8.1) pour tout x ∈ Ω et tout r > 0 tel que B(x, r) ⊂ Ω, alors on a ϕ′ (r) = 0 et (8.2) implique que Z r 2 I(r) = (1 − |ζ| )(∆u)(x + rζ) dζ = 0. 2 |B(0, 1)| B(0,1) Supposons que ∆u(x) est non nul pour un certain x ∈ Ω et, dans ce cas, on peut supposer de plus que ∆u(x) > 0 sans perte de généralité. Alors, pour r assez petit, on a (∆u)(x + rζ) > 0 pour tout ζ ∈ B(0, 1) et donc l’intégrale I(r) est nécessairement strictement positive, ce qui est absurde. On en déduit que ∆u = 0, ce qui conclut la démonstration.

8.1. PROPRIÉTÉ DE LA MOYENNE

195

Nous allons voir plusieurs conséquences de la propriété de la moyenne. Commençons par le principe du maximum qui énonce que le maximum est atteint au bord. Théorème 8.3. Soit Ω un ouvert borné et connexe. Si u ∈ C 0 (Ω) ∩ C 2 (Ω) est une fonction harmonique, alors (8.3)

max u = max u. Ω

∂Ω

De plus, s’il existe x0 ∈ Ω tel que u(x0 ) = maxΩ u, alors u est constante sur Ω. Démonstration. La fonction u atteint son maximum sur Ω car elle est continue et car cet ensemble est compact par hypothèse. Si le maximum est atteint sur le bord, le résultat (8.3) est démontré. Supposons donc que le maximum est atteint à l’intérieur de Ω et considérons x0 ∈ Ω tel que u(x0 ) = M := maxΩ u. On choisit ensuite r > 0 tel que la boule B(x0 , r) est incluse dans Ω. En utilisant le principe de la moyenne, on obtient alors Z 1 M = u(x0 ) = u(y) dy. |B(x0 , r)| B(x0 ,r) Comme u ⩽ M par définition de M , on en R déduit que u(y) = M pour tout y ∈ B(x0 , r) (sinon la moyenne |B(x10 ,r)| B(x0 ,r) u(y) dy serait strictement plus petite que M ). Ainsi, l’ensemble {x ∈ Ω : u(x) = M } est ouvert. Comme il est aussi fermé par continuité de u, il est égal à Ω par connexité.

On en déduit le résultat d’unicité suivant. Corollaire 8.4. Si u ∈ C 0 (Ω) ∩ C 2 (Ω) vérifie ( ∆u = 0 dans u=0

sur

Ω, ∂Ω,

alors u = 0. En particulier, si u ∈ C02 (Rn ) est harmonique, alors u = 0. Démonstration. Le principe du maximum implique que max u ⩽ 0. Comme −u vérifie les mêmes propriétés, on a aussi min u ⩾ 0, donc u = 0. Le résultat suivant est une autre traduction de l’effet de moyennisation : le supremum d’une fonction harmonique peut être contrôlé par son infimum. Nous reviendrons plus tard à la section 14.4 sur ce résultat, dans le cadre beaucoup plus difficile des équations à coefficients variables.

196

CHAPITRE 8. FONCTIONS HARMONIQUES

Théorème 8.5 (Inégalité de Harnack). Soient Ω un ouvert et ω un sousensemble ouvert, connexe, borné et tel que ω ⊂ Ω. Alors, il existe une constante C telle que, pour toute fonction harmonique u : Ω → [0, +∞[, sup u ⩽ C inf u. ω

ω

Démonstration. Soit r = 14 dist(ω, ∂Ω). Notons que l’on peut recouvrir l’ensemble compact ω par une collection de boules (Bi )1⩽i⩽N incluses dans Ω et de rayon r. Nous allons montrer que pour tout x ∈ ω et tout y ∈ ω on a u(x) ⩾ 2−nN u(y) ; ce qui implique que sup u(y) ⩽ 2nN inf u(x), x∈ω

y∈ω

qui est le résultat recherché avec C = 2nN . Soit x, y dans ω. Pour démontrer l’inégalité u(x) ⩾ 2−nN u(y), commençons par supposer que |x − y| ⩽ r. Alors, en utilisant la formule de la moyenne et l’hypothèse u ⩾ 0, on trouve Z Z 1 1 u(x) = u dz ⩾ u dz (car u ⩾ 0) |B(x, 2r)| B(x,2r) |B(x, 2r)| B(y,r) Z |B(y, r)| 1 1 = u dz = n u(y). |B(x, 2r)| |B(y, r)| B(y,r) 2 On en déduit que si x et y sont dans une même boule de rayon r, alors u(x) ⩾ 2−n u(y), ce qui implique le résultat voulu. Supposons maintenant que x et y ne sont pas dans une même boule de rayon r. En utilisant le fait que ω est un ouvert connexe, donc connexe par arcs, il existe une suite de boules (Bj′ )1⩽j⩽N ′ avec 2 ⩽ N ′ ⩽ N et ′ ′ ′ Bj′ ∈ {B1 , . . . , BN } telles que x ∈ B1′ , y ∈ BN ′ et Bj ∩ Bj+1 ̸= ∅ pour ′ 1 ⩽ j ⩽ N −1. Notons x0 = 0, xN ′ +1 = y et considérons pour 1 ⩽ j ⩽ N ′ −1 ′ un point xj quelconque dans Bj′ ∩ Bj+1 . En utilisant successivement le fait que xℓ et xℓ+1 sont dans une même boule de rayon r, on déduit de qui précède que u(x) ⩾ 2−n u(x1 ) ⩾ · · · ⩾ 2−n(N

′

−1)

′

u(xN ′ −1 ) ⩾ 2−nN u(y).

On en déduit que u(x) ⩾ 2−nN u(y) pour tout x, y dans ω, ce qui conclut la démonstration.

8.2. Solution fondamentale du laplacien Nous allons maintenant introduire la notion de solution fondamentale du laplacien sur Rn et l’utiliser pour avoir une formule de représentation d’une fonction à partir de son gradient, ce qui nous servira plus loin à démontrer les inégalités de Sobolev.

8.2. SOLUTION FONDAMENTALE DU LAPLACIEN

197

Pour trouver des exemples non triviaux de fonctions harmoniques, on peut commencer par chercher des fonctions u radiales, de la forme u(x) = v(|x|) où v est définie sur ]0, +∞[. En procédant ainsi, on obtient les solutions particulières suivantes  si n = 2, a log(|x|) + b a u(x) = si n ⩾ 3.  n−2 + b |x| Définition 8.6. On appelle solution fondamentale du laplacien la fonction  1   si n = 2,  − 2π log(|x|) φ(x) = 1 1   si n ⩾ 3,  (n − 2) |S n−1 | |x|n−2 où S n−1 est la mesure de la sphère ∂B(0, 1). Alors, avec ce choix, on obtient le résultat suivant. Proposition 8.7. Supposons que f ∈ C02 (Rn ). Alors la fonction u, définie par l’intégrale convergente Z (8.4) u(x) = φ(x − y)f (y) dy, Rn 2

n

est de classe C sur R et de plus −∆u = f. Remarque 8.8. On peut étendre ce résultat pour considérer des fonctions f moins régulières et qui ne sont pas à support compact. Pour nos besoins, ce qui est important est uniquement de disposer d’une formule de représentation pour les fonctions C ∞ à support compact. Démonstration. Nous considérons le cas n ⩾ 3 (le cas n = 2 est similaire). Fixons x dans Rn . Alors la fonction y 7→ φ(x−y) est localement intégrable et on vérifie immédiatement que l’intégrale (8.4) est bien définie. Le fait que u soit C 2 s’obtient en écrivant, par changement de variables élémentaire, Z u(x) = φ(y)f (x − y) dy, Rn

puis en utilisant le théorème de dérivation des intégrales à paramètres. On obtient ainsi que Z ∆u(x) = φ(y)(∆f )(x − y) dy. Rn

Mais attention : on ne peut pas utiliser ce résultat pour calculer ∆u à partir de la formule (8.4) car la fonction ∆φ n’est pas intégrable (si on pouvait dériver sous l’intégrale on trouverait ∆u = 0 car ∆φ = 0, or nous allons

198

CHAPITRE 8. FONCTIONS HARMONIQUES

démontrer que ∆u = −f ). Pour contourner cette difficulté, introduisons les fonctions Z 1 2 2 −(n−2)/2 (|y| +ε ) et uε (x) = φε (y)f (x−y) dy, φε (y) = (n − 2) |S n−1 | où ε > 0. Alors uε ∈ C 2 et de plus Z ∆uε (x) = φε (y)(∆f )(x − y) dy. Rn

En utilisant le théorème de convergence dominée, on trouve que ∆uε (x) converge vers ∆u(x) pour tout x ∈ Rn . Par ailleurs, comme φε est une fonction C 1 sur Rn et que f est à support compact, on peut intégrer par parties pour obtenir que Z ∆uε (x) = − (∆φε (y))f (x − y) dy. Un calcul direct nous donne que ∆φε (y) = −

ε2

n |S n−1 |

2

(|y| + ε2 )1+n/2

,

aussi on obtient, après un changement de variables élémentaire, Z n f (x − εz) ∆uε (x) = − n−1 dz. 2 |S | (1 + |z| )1+n/2 Pour démontrer que −∆u(x) = f (x), il ne reste plus qu’à vérifier que n−1 Z S 1 (8.5) . 2 1+n/2 dz = n (1 + |z| ) Pour cela, on calcule l’intégrale en coordonnées polaires puis on effectue le changement de variable r = 1/s, pour obtenir Z Z n−1 +∞ 1 rn−1 S dz = dr 2 (1 + r2 )1+n/2 (1 + |z| )1+n/2 0 Z n−1 +∞ s = S ds 2 )1+n/2 (1 + s 0  +∞ 1 = S n−1 − , n(1 + s2 )n/2 0 ce qui implique (8.5) et conclut la démonstration. Nous allons en déduire une formule de représentation de u à partir de son gradient. Corollaire 8.9. Supposons que n ⩾ 2. Pour toute fonction u ∈ C02 (Rn ) on a Z 1 (x − y) · ∇u(y) (8.6) u(x) = n−1 dy. |S | Rn |x − y|n

8.2. SOLUTION FONDAMENTALE DU LAPLACIEN

199

Démonstration. On peut montrer ce résultat par plusieurs calculs directs. Nous choisissons de le déduire de la proposition précédente. Écrivons que −∆u = f avec f = − div(∇u). Alors l’identité (8.4) implique que Z u(x) = − φ(x − y) div(∇u(y)) dy. Rn

Formellement(1) , le résultat (8.6) s’obtient en intégrant par parties : Z Z u(x) = ∇(φ(x − y)) · ∇u(y) dy − (∇φ)(x − y) · ∇u(y) dy, Rn

Rn

car, pour n = 2 et aussi pour n ⩾ 3, on a ∇φ(z) = −

1 z . |S n−1 | |z|n

Pour justifier cette intégration par parties, il faut être soigneux car la fonction φ est singulière à l’origine. Pour cela, nous allons écrire que
(8.7) φ(x − y) div(∇u(y)) = div φ(x − y)∇u(y) + (∇φ)(x − y) · ∇u(y), puis, étant donnés ε, R > 0, on intègre cette relation sur la couronne B(x, R) ∖ B(x, ε) et on fait tendre R vers
+∞ et ε vers 0. Il suffit de vérifier que l’intégrale de div φ(x − y)∇u(y) converge vers 0. Pour cela, utilisons le théorème de la divergence (voir l’exercice corrigé 17.3) : Z Z
div φ(x − y)∇u(y) dy = φ(x − y)∂ν u(y) dS(y) B(x,R)∖B(x,ε) ∂B(x,R) Z − φ(x − y)∂ν u(y) dS(y). ∂B(x,ε)

Le premier terme s’annule pour R assez grand car u est à support compact. Pour le second terme, on utilise la majoration Z φ(x − y)∂ν u(y) dS(y) ⩽ |∂B(0, ε)| ∥φ∥L∞ (∂B(0,ε)) ∥∇u∥L∞ (Rn ) , ∂B(x,ε)

et on note que la norme L∞ de φ sur la sphère ∂B(0, ε) est de taille O(ε2−n |log ε|) (en toute dimension). Donc, en multipliant ceci par la mesure de la sphère ∂B(0, ε), on obtient une quantité négligeable quand ε tend vers 0, ce qui conclut la démonstration.

(1) Quand

on dit que l’on calcule formellement, on sous-entend que l’on manipule les expressions de façon symbolique, en faisant comme si les fonctions étaient régulières.

200

CHAPITRE 8. FONCTIONS HARMONIQUES

8.3. Régularité des fonctions harmoniques Pour conclure, nous nous intéressons à la régularité des fonctions harmoniques au sens faible. Par définition, une fonction u à valeurs réelles et appartenant à l’espace de Sobolev H 1 (Ω) est harmonique au sens faible si Z ∞ (8.8) ∀φ ∈ C0 (Ω), ∇u · ∇φ dx = 0. Ω 2

Notons que si u ∈ C (Ω) vérifie ∆u = 0 ponctuellement alors u ∈ H 1 (Ω) et (8.8) est vérifiée. Théorème 8.10 (Weyl). Si u ∈ H 1 (Ω) est harmonique au sens faible, alors u ∈ C ∞ (Ω). Démonstration. La démonstration suivant utilise l’inégalité de Caccioppoli (nous reverrons ce lemme fondamental dans l’étude de la théorie de De Giorgi-Nash-Moser). Lemme 8.11 (Inégalité de Caccioppoli). Supposons que u ∈ C ∞ (Ω) est harmonique et considérons deux boules concentriques B(r) = B(x0 , r), B(R) = B(x0 , R) avec B(r) ⊂ B(R) ⊂ Ω où x0 ∈ Ω et 0 < r < R. Alors, pour tout c ∈ R, nous avons Z Z 16 2 2 |∇u| dx ⩽ |u − c| dx. 2 (R − r) B(r) B(R)∖B(r) Démonstration. Introduisons une fonction η ∈ C0∞ (B(R)), 0 ⩽ η ⩽ 1, telle que 2 (8.9) η|B(r) = 1, |∇η| ⩽ . R−r Pour construire une telle fonction, on peut procéder en trois temps. On commence par choisir une fonction lipschitzienne, qui vaut 1 sur B(0, r + ε) avec ε > 0, et qui vaut 0 hors de la boule B(0, R − ε). Puis ensuite, on régularise cette fonction par convolution avec une fonction radiale de la forme Φt (x) = t−n Φ(·/t) où Φ est donnée par (6.4). Comme la convolution est une moyenne locale, pour t > 0 assez petit, le produit de convolution est vaut 1 sur B(0, r) et 0 hors de B(0, R). De plus, comme la pente de la fonction initiale est égale à 1/(R − r − 2ε), la fonction que l’on obtient par convolution a une pente majorée par 2/(R − r) pour ε et t assez petits. On obtient alors la fonction η désirée en translatant par x. Posons maintenant φ = (u − c)η 2 (qui appartient à C0∞ (Ω)). Comme u R est harmonique, nous avons ∆u = 0 donc Ω φ∆u dx = 0. Comme φ est à support compact on peut intégrer par parties. Nous obtenons Z   ∇u · η 2 ∇u + 2(u − c)η∇η dx = 0. Ω

201

8.3. RÉGULARITÉ DES FONCTIONS HARMONIQUES

On en déduit, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, Z Z 2 2 η |∇u| dx ⩽ 2 |u − c| η |∇u| |∇η| dx Ω

Ω

Z

2

2

1/2 Z

2

|∇u| η 2 dx

|u − c| |∇η| dx

⩽2 Ω

1/2 ,

Ω

ce qui implique immédiatement le résultat voulu en divisant les deux
1/2 R 2 membres par |∇u| η 2 dx puis en utilisant les propriétés de la Ω fonction η. Lemme 8.12. Considérons une boule B(x0 , R) ⊂ Ω. Pour tout k ∈ N∗ , il existe une constante K(R, k) telle que pour tout u ∈ C ∞ (Ω) vérifiant ∆u = 0 on a Z Z k 2 ∇ u dx ⩽ K(R, k) u2 dx. B(x0 ,R/2)

B(x0 ,R)

Démonstration. Posons B(ρ) = B(x0 , ρ). Le lemme précédent implique que pour tout R′ < R, Z Z 2 ′ |∇u| dx ⩽ C(R, R ) |u|2 dx. B(R′ )

B(R)

∞

Si u ∈ C (Ω) et ∆u = 0, alors les dérivées de u sont harmoniques. L’inégalité précédente peut être appliquée avec les dérivées de u et on en déduit que Z Z 2 2 2 ∇ u dx ⩽ nC(R′ , R′′ ) |∇u| dx ′ ′′ B(R ) B(R ) Z ′ ′′ ⩽ nC(R , R )C(R, R′ ) |u|2 dx. B(R)

On obtient le résultat voulu en itérant cet argument. Introduisons une approximation de l’identité ϕε (y) = ε−n ϕ(y/ε)

(ε ∈ (0, 1]),

R où ϕ ∈ C0∞ (Rn ) est à support dans la boule unité et telle que ϕ ⩾ 0 et ϕ = 1. Introduisons l’ouvert Ωε = {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > ε} et définissions, pour x ∈ Ωε , Z uε (x) = u(y)ϕε (x − y) dy. Ω

Par le théorème de dérivation des intégrales, on a uε ∈ C ∞ (Ωε ) et Z ∇uε (x) = u(y)∇x ϕε (x − y) dy. Ω

202

CHAPITRE 8. FONCTIONS HARMONIQUES

Notons que, pour tout x ∈ Ωε , le support de la fonction y 7→ ϕε (x − y) est inclus dans Ω. Comme u ∈ H 1 (Ω), on peut alors, par définition même de la dérivation au sens faible, écrire que : Z Z ∇uε (x) = − u(y)∇y (ϕε (x − y)) dy = ∇u(y)ϕε (x − y) dy Ω Z Ω = (∇u)(x − z)ϕε (z) dz, B(0,ε)

où l’on a utilisé le fait que ϕε est supportée dans la boule B(0, ε) pour restreindre le domaine d’intégration à cette boule dans la dernière intégrale. Montrons que uε est harmonique au sens faible dans Ωε . Pour cela, on commence par écrire que, pour toute fonction φ ∈ C0∞ (Ωε ),  Z Z Z ∇uε · ∇φ dx = (∇u)(x − z)ϕε (z) dz · ∇φ(x) dx Ωε

Ωε

Z

B(0,ε)

Z

 ∇u(x − z) · ∇φ(x) dx ϕε (z) dz

= B(0,ε)

Z

Ωε

Z

= B(0,ε)

 ∇u(t) · ∇φ(t + z) dt ϕε (z) dz = 0.

Ω

Notons que si z ∈ B(0, ε) alors la fonction t 7→ φ(t + y) est à support dans Ω car φ est supportée dans Ωε . Par conséquent, l’hypothèse que u est harmonique au sens R faible dans Ω implique que l’intégrale intérieure est nulle, ce qui entraîne Ωε ∇uε ·∇φ dx = 0, d’où le fait que uε est harmonique au sens faible dans Ωε . On peut alors appliquer l’inégalité du lemme précédent à uε . Comme uε converge vers u dans L2 (B(R)), on obtient que uε est une suite de Cauchy dans H k (B(R/2)) et en passant à la limite on obtient que u ∈ H k (B(R/2)). Ce qui prouve que, pour tout s ∈ N, il existe Rs > 0 tel que u ∈ H s (B(Rs )). Étant donnée une fonction φ ∈ C0∞ (B(Rs )), on a φu ∈ H s (B(Rs )) et, en prolongeant par 0 en dehors de B(Rs ), on déduit que φu ∈ H s (Rn ). Le lemme 7.55 implique que, si s > n/2 et s−n/2 n’est pas un entier (ce que l’on peut supposer sans perte de généralité), alors φu est une fonction de classe C s−(n/2) . Comme ceci est vrai pour toute fonction φ et pour tout s, on en déduit que u est C ∞ , ce qui est le résultat voulu. Nous allons voir d’autres applications de l’inégalité de Caccioppoli. Proposition 8.13. Si u ∈ H 1 (Ω) est harmonique au sens faible, alors il existe une constante θ < 1 telle que, pour tour r ⩾ 1 et pour toute boule B(r) incluse dans Ω, Z Z 2 2 |∇u| dx ⩽ θ |∇u| dx. B(r)

B(2r)

203

8.4. EXERCICES

Démonstration. ZNous avons vu que pour tout c, Z 16 2 2 (8.10) |∇u| dx ⩽ 2 |u − c| dx. r B(r) B(2r)∖B(r) On va appliquer cette inégalité avec c = uB(2r)∖B(r) (la moyenne de u sur B(2r) ∖ B(r)). Nous avons vu dans la démonstration de l’inégalité de Poincaré que si Ω est inclus dans une bande {(x′ , y) : |y| ⩽ R} alors la constante C(Ω) dans l’inégalité de Poincaré peut-être majorée par 2R. En particulier, C(B(2r) ∖ B(r)) ⩽ C(n)r et on en déduit que Z Z 2

2

|u − c| dx ⩽ C(n)r B(2r)∖B(r)

|∇u| dx. B(2r)∖B(r)

En combinant cette inégalité avec (8.10), on trouve qu’il existe C ′ (n) telle que pour tout rZ⩾ 1, Z 2 2 ′ |∇u| dx ⩽ C (n) |∇u| dx. B(r)

B(2r)∖B(r)

R

2

Maintenant, nous ajoutons B(r) |∇u| dx aux deux membres de cette inégalité pour en déduire le résultat voulu avec θ = C(n)/(1 + C(n)) < 1. Corollaire 8.14. Si u ∈ H 1 (Rn ) est une fonction harmonique alors u = 0. Démonstration. En passant à la limite r → +∞ dans l’inégalité (8.10) appliquée avec c = 0, on obtient que ∇u = 0 ce qui implique que u est constante. Comme u ∈ L2 (Rn ), on conclut que u = 0. 8.4. Exercices Exercice 8.1 (Lemme des trois droites de Hadamard). (1) Soit Ω un ouvert connexe borné du plan complexe. Soit f une fonction holomorphe sur Ω et continue sur Ω. En utilisant le principe du maximum pour les fonctions harmoniques, montrer que supΩ |f | = sup∂Ω |f | et que, de plus, le maximum de |f | ne peut être atteint qu’en un point de ∂Ω sauf si f est constante dans Ω. (2) Soit S = {x+iy : x ∈ [0, 1], y ∈ R} ⊂ C une bande du plan complexe, et soit φ : S → C une fonction continue et bornée, qui est de plus holomorphe dans l’intérieur de S. On veut montrer que supS |φ| = sup∂S |φ|. (a) Traiter le cas où φ a pour limite 0 à l’infini. (b) Soient δ > 0 et z0 ∈ S tel que |φ(z0 )| ⩾ (1−δ) supS |φ|. En appliquant 2 le résultat du (a) à la fonction ψε (z) = eε(z−z0 ) φ(z), montrer que, pour tout ε > 0, sup |φ| ⩾ e−ε (1 − δ) sup |φ| . ∂S

En déduire le résultat voulu.

S

204

CHAPITRE 8. FONCTIONS HARMONIQUES

(3) Pour θ ∈ [0, 1], on veut estimer Mθ := supy∈R |φ(θ + iy)| en fonction de M0 et M1 . En appliquant le résultat précédent à la fonction ϕ(z) = e−λz φ(z) (λ est un réel à choisir), montrer que, pour tout θ ∈ [0, 1], Mθ ⩽ M1θ M01−θ . Ce résultat s’appelle le lemme des trois droites de Hadamard. Exercice 8.2. Considérons une fonction harmonique u ∈ C 3 (B1 ) où B1 ⊂ Rd désigne la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1. Considérons une fonction ζ ∈ C0∞ (Rd ) à support dans B1 et telle que ζ(0) = 1 et considérons la fonction 2 w := ζ 2 |∇u| + λ|u|2 , où λ est une constante à déterminer et où |·| désigne la norme euclidienne. (1) En utilisant l’inégalité 2a2 + 8ab + 8b2 ⩾ 0 (à démontrer), montrer que 2 2
∆w ⩾ |∇u| 2λ + ∆(ζ 2 ) − 8 |∇ζ| . En déduire que, pour λ bien choisi, on a ∆w ⩾ 0. (2) En utilisant le principe du maximum, en déduire que |∇u(x0 )| ⩽ K max |u| B1 (x0 )

pour une certaine constante K qui ne dépend que de la dimension d. (3) En déduire que |∇u(x0 )| ⩽

K′ max |u|. R BR (x0 )

(4) On rappelle que u ∈ C ∞ (BR (x0 )). En déduire que pour tout indice i tel que 1 ⩽ i ⩽ d, on a |∇∂xi u(x0 )| ⩽

K′ max |∂x u|, R/2 BR/2 (x0 ) i

et que |∇∂xi u(x0 )| ⩽

 2K ′ 2

max |u|. R BR (x0 ) (5) Par récurrence, montrer le résultat suivant. Proposition 8.15. Considérons un domaine borné connexe Ω et u ∈ C(Ω) ∩ C ∞ (Ω) harmonique dans Ω. Alors, pour tout multi-indice α et tout x ∈ Ω, on a  N |α| |α| |Dα u(x)| ⩽ sup u. dist(x, ∂Ω) Ω Exercice 8.3. Soit Pn l’ensemble de toutes les fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n. Définissons l’opérateur 2
T u = ∆ (1 − |x| )u .

205

8.4. EXERCICES

(1) Montrer que si u ∈ Pn alors T u ∈ Pn . (2) En utilisant le principe du maximum, montrer que si T u = 0 alors u = 0. (On appliquera le principe du maximum sur un domaine bien choisi). (3) En déduire que si f, g sont des polynômes, il existe une unique fonction polynomiale u ∈ C 2 (B1 ) telle que ∆u = f

dans B1 ,

u=g

sur ∂B1 .

(4) On veut en déduire la proposition suivante. Proposition 8.16. Soit g ∈ C 0 (Rd ). Il existe une unique solution u ∈ C 2 (B1 )∩ C 0 (B1 ) de ∆u = 0 dans B1 , u = g sur ∂B1 . Pour cela, on considérera une suite de polynômes gn qui converge uniformément vers g sur ∂B1 . En utilisant le principe du maximum, on montrera que les solutions un (données par la question précédente) forment une suite de Cauchy. En utilisant l’exercice 8.2, on en déduira la convergence de Dα un pour tout multi-indice α.

PARTIE III

ANALYSE MICROLOCALE

CHAPITRE 9 OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS

Comment agir sur une fonction pour étudier sa régularité ? Comment agir sur une équation aux dérivées partielles pour la conjuguer à une équation plus simple ? Il existe de nombreuses réponses à ces questions. Celles que nous allons étudier dans cette partie proviennent de l’analyse microlocale. C’est une théorie développée depuis les années soixante sous l’impulsion notamment de Lars Hörmander, Alberto Calderón, Robert Kohn et Louis Nirenberg. Il s’agit d’un sujet très vaste(1) . Nous nous bornerons à étudier l’un des principaux objets de cette théorie : les opérateurs pseudo-différentiels. Un de nos objectifs sera de construire un calcul pseudo-différentiel, c’est-à-dire un moyen d’associer à une fonction a = a(x, ξ) définie sur Rn × Rn et ayant certaines propriétés de décroissance quand on la dérive par rapport à la variable ξ, un opérateur Op(a) dont on peut comprendre les propriétés (adjoint, continuité sur les espaces fonctionnels, composition...) simplement en regardant les propriétés de a. Dans ce chapitre, nous commencerons par étudier la définition de ces opérateurs.

9.1. Symboles P Considérons un opérateur différentiel P = |α|⩽m pα (x)∂xα où les coefficients pα appartiennent à l’espace, noté Cb∞ (Rn ; C), des fonctions C ∞ qui (1) Nous

référons à Hörmander [66] pour la théorie générale ainsi qu’à Alinhac et Gérard [3], Chazarain et Piriou [24], Grigis et Sjöstrand [49], Lerner [93], Métivier [99], Saint-Raymond [126], Taylor [140], Trèves [144] ou Zworski [152]. Les liens entre l’analyse microlocale et l’analyse harmonique sont étudiés dans les livres de Stein [131], Coifman et Meyer [27] et Meyer [100, 101].

210

CHAPITRE 9. OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS

sont bornées ainsi que toutes leurs dérivées. La fonction X p : Rn × Rn −→ C, p(x, ξ) = pα (x)(iξ)α |α|⩽m

est appelée symbole de P . Avec cette définition, on a P (eix·ξ ) = p(x, ξ)eix·ξ . Considérons maintenant une fonction u dans la classe de Schwartz. En utilisant la formule d’inversion de Fourier Z 1 u(x) = eix·ξ u b(ξ) dξ, (2π)n Rn et le théorème de dérivation des intégrales dépendant d’un paramètre, nous voyons que l’on peut écrire P u(x) sous la forme Z 1 P u(x) = eix·ξ p(x, ξ)b u(ξ) dξ. (2π)n Rn Dans les années soixante, ce point de vue a été utilisé(2) pour introduire des opérateurs qui généralisent les opérateurs différentiels. Ce sont des opérateurs de la forme précédente, mais où la fonction p(x, ξ) n’est pas nécessairement une fonction polynomiale. Nous nous proposons dans ce chapitre d’étudier la définition de ces opérateurs lorsque p(x, ξ) est un symbole, c’està-dire une fonction vérifiant les propriétés de la définition suivante. Notation 9.1. Soit Ω un ouvert d’un espace Rd avec d ⩾ 1. On note Cb∞ (Ω) l’ensemble des fonctions C ∞ sur Ω qui sont bornées ainsi que toutes leurs dérivées. Définition 9.2. Soient m ∈ R et ρ ∈ [0, 1]. La classe des symboles d’ordre m, m notée Sρ,0 (Rn ), est l’ensemble des fonctions a ∈ C ∞ (Rn × Rn ) à valeurs complexes telles que, pour tous multi-indices α et β dans Nn , il existe une constante Cαβ telle que ∀(x, ξ) ∈ Rn × Rn , ∂xα ∂ξβ a(x, ξ) ⩽ Cαβ (1 + |ξ|)m−ρ|β| . Notation 9.3. On ne va s’intéresser dans ce cours qu’à deux sous-classes m 0 particulières : la classe S1,0 et la classe S0,0 . Nous noterons simplement (9.1)

m S m (Rn ) = S1,0 (Rn )

et 0 Cb∞ (R2n ) = S0,0 (Rn ). m L’indice 0 dans la notation Sρ,0 (Rn ) est superflu bien sûr ; on l’a maintenu par souci de cohérence avec les notations utilisées dans la littérature (voir la section 9.3). (2) Notamment

mander [61].

par Unterberger et Bokobza [145, 146], Kohn et Nirenberg [82] et Hör-

211

9.1. SYMBOLES

On rappelle (voir la notation 7.33) que l’on note ⟨ξ⟩ le crochet japonais défini par ⟨ξ⟩ = (1 + |ξ|2 )1/2 . Notation 9.4. On introduit aussi T m S −∞ := S

et S +∞ =

m∈R

Sm.

S m∈R

Définition 9.5 (Symboles elliptiques). Soit m ∈ R. Un symbole a ∈ S m (Rn ) est elliptique s’il existe deux constantes R et C strictement positives telles que, ∀(x, ξ) ∈ R2n , |ξ| ⩾ R =⇒ |a(x, ξ)| ⩾ C⟨ξ⟩m . Les règles élémentaires du calcul différentiel impliquent la proposition suivante. ′

Proposition 9.6. Si a ∈ S m , b ∈ S m , α, β ∈ Nn alors ∂xα ∂ξβ a ∈ S m−|β| ,

′

ab ∈ S m+m .

On a bien sûr S 0 (Rn ) ⊂ Cb∞ (R2n ). Exemples. (1) Si p est une fonction de x uniquement et p ∈ Cb∞ (Rn ) alors p ∈ S (Rn ). (2) Si p = p(x, ξ) appartient à C0∞ (R2n ) (support compact en x et ξ) alors p ∈ S −∞ . (3) Supposons que p(x, ξ) soit un polynôme en ξ d’ordre m ∈ N dont les coefficients sont des fonctions Cb∞ (Rn ), X p(x, ξ) = pα (x)ξ α (pα ∈ Cb∞ (Rn )). 0

|α|⩽m

Alors p ∈ S m (Rn ). (4) Pour tout m ∈ R, le symbole ⟨ξ⟩m appartient à S m (Rn ). En effet, la fonction R × Rn ∋ (τ, ξ) 7→ (τ 2 + |ξ|2 )m/2 est positivement homogène d’ordre m sur Rn+1 ∖ {0} et donc ∂ξα ((τ 2 + |ξ|2 )m/2 ) est homogène d’ordre m − |α|, bornée par Cα (τ 2 + |ξ|2 )(m−|α|)/2 . Comme la dérivation en ξ et la restriction à τ = 1 commutent, on en déduit le résultat. (5) Le symbole |ξ| n’est pas dans S 1 (Rn ) car il n’est pas régulier en 0. (6) Soit a = a(ξ) ∈ C ∞ (Rn ∖ 0) une fonction homogène de degré m, vérifiant ∀λ > 0, a(λξ) = λm a(ξ). Pour toute fonction χ ∈ Cb∞ (Rnξ ) nulle au voisinage de 0, on a χ(ξ)a(ξ) ∈ S m (Rn ).

212

CHAPITRE 9. OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS

(7) Soit a = a(x, ξ) un symbole elliptique d’ordre m. Alors il existe χ ∈ C0∞ (Rn ) tel que 1 − χ(ξ) ∈ S −m (Rn ). a(x, ξ) (8) Soit f = f (x) dans Cb∞ (R). Le symbole p(x, ξ) = f (x) sin(ξ) appartient à Cb∞ (R2 ) mais pas à S 0 (R) car la dérivée en ξ d’ordre α ne décroît pas comme (1 + |ξ|)−α . 9.1.1. Définition d’un opérateur pseudo-différentiel. Soient m ∈ R m et ρ ∈ [0, 1]. Pour tout a ∈ Sρ,0 (Rn ), toute fonction u ∈ S (Rn ) dans la classe de Schwartz et tout x ∈ Rn , la fonction ξ 7→ a(x, ξ)b u(ξ) appartient à S (Rnξ ). A fortiori, elle est intégrable et on peut définir Z −n Op(a)u(x) = (2π) eix·ξ a(x, ξ)b u(ξ) dξ. On dit que Op(a) est un opérateur pseudo-différentiel et on appelle a son symbole. m Théorème 9.7. Soient m ∈ R et ρ ∈ [0, 1]. Si a ∈ Sρ,0 (Rn ) et u ∈ S (Rn ), la formule précédente définit une fonction Op(a)u de S (Rn ). De plus, Op(a) est continu de S (Rn ) dans S (Rn ).

Démonstration. Notons que a(x, ξ) est une fonction C ∞ sur R2n qui est bornée ainsi que toutes ses dérivées par des puissances de ⟨ξ⟩. Par ailleurs, u b ∈ S (Rn ), donc on peut appliquer les formules du calcul intégral de Lebesgue et on vérifie facilement que Op(a)u ∈ C ∞ (Rn ). Nous nous contenterons de démontrer des estimations.

En utilisant ∥⟨ξ⟩−m a∥L∞ < +∞ et ⟨ξ⟩m+2n u b L∞ < +∞, nous obtenons l’inégalité Z



|Op(a)u(x)| ⩽ (2π)−n ⟨ξ⟩−m a L∞ ⟨ξ⟩m+2n u b L∞ ⟨ξ⟩−2n dξ, qui implique que Op(a)u est bornée avec ∥Op(a)u∥L∞ ⩽ CNm+2n (b u)

α β P

où l’on a noté Np (φ) = |α|⩽p,|β|⩽p x ∂x φ L∞ les semi-normes canoniques sur l’espace de Schwartz (voir la définition 5.3) ; rappelons (voir la proposition 5.8) que la transformation de Fourier est continue de S (Rn ) dans S (Rn ) et que Nm+2n (b u) ⩽ Cm+2n Nm+3n+1 (u). Pour estimer les autres semi-normes dans S de Op(a)u, il faut maintenant regarder les dérivées et les multipliés par les monômes de Op(a)u.

9.2. CONTINUITÉ DES OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS

213

Pour cela, on se ramène au cas déjà étudié à l’aide des formules (à vérifier en guise d’exercice) ∂xj Op(a)u = Op(a)(∂xj u) + Op(∂xj a)u, xj Op(a)u = Op(a)(xj u) + i Op(∂ξj a)u. Ainsi, xα ∂xβ Op(a)u peut se récrire comme une combinaison linéaire de termes
Op ∂xγ ∂ξδ a (xα−δ ∂xβ−γ u). On s’est ramené au cas précédent. Ce qui montre que Op(a)u appartient à S (Rn ) et que l’on a des estimations des semi-normes de Op(a)u en fonction d’une somme de semi-normes de u.

9.2. Continuité des opérateurs pseudo-différentiels Théorème 9.8. Si a ∈ Cb∞ (R2n ), l’opérateur Op(a) se prolonge de manière unique en un opérateur continu L (L2 (Rn )). Ce résultat est dû à Calderón et Vaillancourt [18]. Nous allons suivre la démonstration de Hwang (voir [67, 93]) et, pour simplifier les notations, nous supposerons que la dimension d’espace n est inférieure ou égale à 3 2 (sinon il suffit de remplacer le polynôme P (ζ) ci-dessous par (1 + |ζ| )k , où k est un entier tel que 4k > n). Introduisons le polynôme 2

P (ζ) = 1 + |ζ|

(ζ ∈ Rn , n = 1, 2, 3).

Lemme 9.9. Étant donnée une fonction u ∈ S (Rn ), on introduit sa transformée en paquets d’ondes, qui est la fonction Z W u(x, ξ) = e−iy·ξ P (x − y)−1 u(y) dy ((x, ξ) ∈ R2n ). (i) Alors W u est une fonction Cb∞ (R2n ) et de plus pour tous multi-indices α, β, γ, sup P (x)|ξ|γ (∂xα ∂ξβ W u)(x, ξ) < +∞. R2n

(ii) Il existe une constante A telle que (9.2)

∥W u∥L2 (R2n ) = A∥u∥L2 (Rn )

pour tout u dans S (Rn ). (iii) Pour tout γ ∈ Nn , il existe Aγ telle que ∥∂xγ W u∥L2 (R2n ) ⩽ Aγ ∥u∥L2 (Rn ) .

214

CHAPITRE 9. OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS

Démonstration.

(i) On calcule que Z
ξ γ (∂xα ∂ξβ W u)(x, ξ) = i|γ| ∂yγ e−iy·ξ (−iy)β ∂xα (P (x − y)−1 )u(y) dy

et on intègre par parties ξ γ (∂xα ∂ξβ W u)(x, ξ)  ′′ 1  X γ!(−i)|γ| Z
γ′ β |γ ′′ | = ∂ u(y)(−iy) (−1) ∂ γ +α (x − y)e−iy·ξ dy. y ′ !γ ′′ ! γ P ′ ′′ γ +γ =γ

Le fait (déjà vu) que ⟨ξ⟩−2 soit un symbole d’ordre −2 entraîne α −2 ∂ζ ⟨ζ⟩ ⩽ Cα ⟨ζ⟩−2−|α| ⩽ Cα ⟨ζ⟩−2 d’où l’on déduit que |∂ α (1/P )(x − y)| ⩽ Cα (1 + |x − y|2 )−1 ⩽ 2Cα (1 + |x|2 )−1 (1 + |y|2 ), où la dernière inégalité provient du fait que 1 + |x|2 = 1 + |x − y + y|2 ⩽ 1 + 2|x − y|2 + 2|y|2 ⩽ 2(1 + |x − y|2 )(1 + |y|2 ). (ii) Pour tout x ∈ Rn , W u(x, ·) est la transformée de Fourier de y 7→ u(y)P (x − y)−1 . Donc Z Z 2 2 |W (x, ξ)| dξ = (2π)n u(y)P (x − y)−1 dy d’après la formule (5.8) de Plancherel. Alors ZZ ZZ 2 u(y)P (x − y)−1 2 dydx = A2 ∥u∥2 2 n . |W (x, ξ)| dξ dx = (2π)n L (R ) (iii) Le dernier point s’obtient directement en combinant les observations précédentes. Remarque 9.10. Définissons pour x ∈ Rn , (y, η) ∈ Rn × Rn , φy,η (x) = ei(x−y)·η P (x − y)−1 , et f u(y, η) = ⟨u, φy,η ⟩L2 (Rn ) = eiy·η W u(y, η). W On a alors la formule de reconstruction ZZ 1 f u(y, η)φx,η (y) dy dη, u(x) = W A où A est la constante définie par (9.2). En effet, d’après (9.2), l’opérateur √ f / A est une isométrie donc W := W W ∗ W = I, et on en déduit le résultat voulu.

9.2. CONTINUITÉ DES OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS

215

Lemme 9.11. On a u b(ξ) = e−ix·ξ (I − ∆ξ ) eix·ξ W u(x, ξ) et v(x) =





1 −ix·ξ ix·ξ e (I − ∆ ) e W v b (ξ, x) . x (2π)n

Démonstration. Comme (I − ∆ξ )eiX·ξ = P (X)eiX·ξ , on a Z Z ix·ξ i(x−y)·ξ e u b(ξ) = e u(y) dy = (I − ∆ξ ) ei(x−y)·ξ P (x − y)−1 u(y) dy. De façon duale, en utilisant la transformation de Fourier inverse, nous avons Z 1 ix·ξ e v(x) = ei(ξ−η)·x vb(η) dη (2π)n Z 1 = (I − ∆ ) ei(ξ−η)·x P (ξ − η)−1 vb(η) dη, x (2π)n qui implique la seconde identité. Démonstration du théorème 9.8. Compte tenu de la densité de S (Rn ) dans L2 (Rn ), il suffit de démontrer l’inégalité ∥Op(a)u∥L2 ⩽ C∥u∥L2 pour tout u dans S (R ). Considérons deux fonctions u, v dans S (Rn ) et posons ZZ I := eix·ξ a(x, ξ)b u(ξ)v(x) dξ dx. n

On veut montrer que |I| ⩽ C∥u∥L2 ∥v∥L2 . Pour cela, nous allons récrire I comme un produit scalaire dans L2 (R2n ) de fonctions faisant intervenir W u et W vb. Commençons par écrire I sous la forme ZZ h
i I= a(x, ξ) (I − ∆ξ ) eix·ξ W u(x, ξ) v(x) dξ dx.
Comme (I − ∆ξ ) eix·ξ W u(x, ξ)v(x) appartient à S (R2n ), on peut intégrer par parties en ξ et déduire que ZZ h i I= (I − ∆ξ )a(x, ξ) W u(x, ξ)eix·ξ v(x) dξ dx. En utilisant l’identité pour v, il vient ZZ h i
I= (I − ∆ξ )a(x, ξ) W u(x, ξ)(I − ∆x ) eix·ξ W vb(ξ, x) dξ dx et en intégrant par parties en x, ZZ h i
I= (I − ∆x ) (I − ∆ξ )a(x, ξ) W u(x, ξ) eix·ξ W vb(ξ, x) dξ dx,

216

CHAPITRE 9. OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS

donc I=

X

ZZ Cαβγ

(∂xα ∂ξβ a(x, ξ))∂xγ W u(x, ξ)W vb(ξ, x)eix·ξ dx dξ.

|β|⩽2,|α|+|γ|⩽2

On conclut la démonstration avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz et les résultats précédents : ∥∂xγ W u∥L2 (R2n ) ⩽ Aγ ∥u∥L2 (Rn ) ,



W vb(ξ, x) 2 2n = A vb 2 = A(2π)n/2 ∥v∥L2 (Rn ) , L (R ) L où l’on a utilisé la formule (5.8) de Plancherel dans la dernière inégalité.

9.3. Généralisations Définition 9.12. Pour m ∈ R et 0 ⩽ δ ⩽ ρ ⩽ 1, la classe de symboles m Sρ,δ (Rn ) est l’espace des fonctions a ∈ C ∞ (R2n ; C) telles que, pour tous les multi-indices α dans Nn et β dans Nn , il existe un constante Cαβ telle que α β ∂x ∂ a(x, ξ) ⩽ Cαβ (1 + |ξ|)m+δ|α|−ρ|β| . ξ On dit que a est un symbole d’ordre m et de type (ρ, δ). 0 Remarque 9.13. Notons que Cb∞ (R2n ; C) = S0,0 (Rn ).

Pour tout nombre réel m ∈ R et 0 ⩽ δ ⩽ ρ ⩽ 1, et pour tout symbole m a ∈ Sρ,δ (Rn ), en utilisant des arguments similaires à ceux utilisés pour prouver le théorème 9.7, on peut prouver que Op(a) est un opérateur continu de S (Rn ) à S (Rn ). Énonçons une généralisation du théorème 9.8 au cas de symboles généraux. 0 Théorème 9.14 (Calderón-Vaillancourt). Soit a dans Sρ,δ (Rn ) avec 0 ⩽ δ ⩽ ρ ⩽ 1 et δ < 1. Alors Op(a) peut être étendu comme un opérateur borné de L2 (Rn ) à lui-même. De plus, ∥Op(a)∥L (L2 ) ⩽ C sup sup sup (1 + |ξ|)δ|α|−ρ|β| ∂xα ∂ξβ a(x, ξ) n 2n |α|⩽[ n 2 ]+1 |β|⩽[ 2 ]+1 (x,ξ)∈R

pour une certaine constante absolue C ne dépendant que de n, ρ, δ. Nous n’utiliserons pas ce résultat et nous nous référerons à [19] pour la preuve. La borne précise en termes des semi-normes de p est prouvée par exemple par Coifman et Meyer [27]. Remarque 9.15 (continuité sur Lp ). Un opérateur pseudo-différentiel d’ordre 0 et de type (ρ, δ) n’est pas borné en général sur les espaces de Lebesgue Lp (Rn ) avec p ̸= 2. Néanmoins, Fefferman a prouvé dans [40] que, pour tous

217

9.4. EXERCICES

nombres réels δ et ρ tels que 0 ⩽ δ ⩽ ρ ⩽ 1 avec δ < 1, et tout symbole m a ∈ Sρ,δ (Rn ), l’opérateur Op(a) appartient à L (Lp (Rn )) à condition que 1 1 m ⩽ −n(1 − ρ) − . 2 p Nous renvoyons également à David et Journé (voir [34]) pour le caractère borné des opérateurs pseudo-différentiels sur Lp (Rn ) lorsque ρ = 1 = δ. Le but d’un des exercices donnés à la fin de ce chapitre est de montrer que le théorème 9.14 n’est plus vrai lorsque (ρ, δ) = (1, 1). Ceci signifie qu’un opérateur d’ordre 0 et de type (1, 1) n’est pas borné en général de L2 (Rn ) dans L2 (Rn ). Cependant, le résultat suivant, dû à Stein, affirme que un tel opérateur est borné de H s (Rn ) dans H s (Rn ) pour tout s > 0. 0 Théorème 9.16 (Stein). Supposons que a ∈ S1,1 (Rn ). Alors l’opérateur s n Op(a) ∈ L (H (R )) pour tout s > 0 et Op(a) ∈ L (C 0,α (Rn )) pour tout α ∈ (0, 1).

Nous n’utiliserons pas ce résultat et renvoyons au livre de Métivier [99] pour la preuve. 9.4. Exercices Exercice (corrigé) 9.1 (Opérateurs semi-classiques). Soit h ∈ ]0, 1] et soit a = a(x, ξ) un symbole qui appartient à Cb∞ (R2n ). On définit Z 1 Oph (a)u(x) = eix·ξ a(x, hξ)b u(ξ) dξ. (2π)n Nous voulons montrer que ∥Oph (a)∥L (L2 ) ⩽ C sup |a| + O(h1/2 ). R2n

(1) Montrer que
Oph (a)u(x) = Op(ah )uh (h−1/2 x) où ah (x, ξ) = a(h1/2 x, h1/2 ξ), uh (y) = u(h1/2 y). (2) En déduire qu’il existe une constante C et un entier M tels que pour tout a ∈ Cb∞ (R2n ) et tout h ∈ ]0, 1], ∥Oph (a)∥L (L2 ) ⩽C

sup (x,ξ)∈R2n

|a(x, ξ)| + C

sup

sup

1⩽|α|+|β|⩽M (x,ξ)∈R2n

h1/2(|α|+|β|) ∂xα ∂ξβ a .

Nous renvoyons au livre de Zworski [152] pour une étude systématique des opérateurs semi-classiques.

218

CHAPITRE 9. OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS

Exercice 9.2 (Transformation en paquets d’ondes). Soit u : R → C dans la classe de Schwartz S (R). La transformée en paquets d’ondes de u est la fonction W u : R × R → C définie par Z 2 W u(x, ξ) = ei(x−y)ξ−1/2(x−y) u(y) dy. R

(1) Montrer que (x, ξ) 7→ xW u(x, ξ) et (x, ξ) 7→ ξW u(x, ξ) sont bornées sur R2 . Montrer plus généralement que W u appartient à la classe de Schwartz S (R2 ). (2) Montrer que, pour tout x ∈ R, Z Z 2 2 2 |W u(x, ξ)| dξ = 2π e−(x−y) /2 |u(y)| dy. En déduire qu’il existe une constante A > 0 telle que, pour tout u dans S (R), on a ZZ Z 2 2 |W u(x, ξ)| dx dξ = A |u(y)| dy. (Il n’est pas demandé de calculer A.) (3) Montrer que pour toute fonction u dans la classe de Schwartz S (R), W u(x, ξ) = c eixξ (W u b)(ξ, −x), pour une certaine constante c (il n’est pas demandé de calculer c). (4) Soient ε ∈ ]0, 1] et u dans la classe de Schwartz S (R2 ). On introduit Z 2 W ε u(x, ξ) = ε−3/4 ei(x−y)·ξ/ε−(x−y) /2ε u(y) dy. R −1/2

ε

Vérifier que A W est une isométrie puis montrer qu’il existe K telle que, pour tout ε ∈ ]0, 1] et toutes fonctions u et v dans la classe de Schwartz S (R),

vW ε u − W ε (vu) 2 2 ⩽ Kε1/2 ∥∂x v∥L∞ (R) ∥u∥L2 (R) . L (R ) (5) Montrer qu’il existe K ′ telle que, pour tout ε ∈ ]0, 1] et toute fonction u dans la classe de Schwartz S (R),

iξW ε u − W ε (ε∂x u) 2 2 ⩽ Kε1/2 ∥u∥L2 (R) . L (R ) Nous renvoyons aux articles de Córdoba et Fefferman [28] et Lerner [92] pour l’étude de la transformée en paquets d’ondes. Exercice 9.3 (Un opérateur non borné sur L2 ). Soit χ ∈ C0∞ (R) telle que supp χ ⊂ {ξ ∈ R , 2−1/2 ⩽ |ξ| ⩽ 21/2 },

χ(ξ) = 1 si 2−1/4 ⩽ |ξ| ⩽ 21/4 .

Posons a(x, ξ) =

+∞ X j=1

exp(−i2j x)χ(2−j ξ).

219

9.4. EXERCICES

(1) Montrer que a ∈ C ∞ (R2 ) vérifie |∂xα ∂ξβ a(x, ξ)| ⩽ Cα,β (1 + |ξ|)|α|−|β|

∀α, β ∈ N2 , ∀(x, ξ) ∈ R2 .

Est-ce que a appartient à S 0 ou à Cb∞ (R2 ) ? (2) Soit f0 une fonction de la classe de Schwartz dont la transformée de Fourier fb0 est à support dans l’intervalle [−1/2, 1/2]. Pour N ∈ N, on pose fN (x) =

N X 1 j=2

j

exp(i2j x)f0 (x).

En utilisant la formule de Plancherel, montrer que 2

∥fN ∥L2 =

N X

 2 j −2 ∥f0 ∥L2 ⩽ c.

j=2

(3) Montrer que Op(a)fN =

N X

 j −1 f0 .

j=2

(4) Conclure. Exercice 9.4. Fixons M > 0. Soit q(x, ξ) une fonction C ∞ sur Rn × Rn , à support dans {(x, ξ) : |ξ| ⩽ 3}. On suppose que, pour tout β ∈ Nn tel que |β| ⩽ (n/2) + 2, on a ∀(x, ξ) ∈ Rn × Rn , ∂ξβ q(x, ξ) ⩽ M. Z −n (1) Introduisons Q(x, z) = (2π) eiz·ξ q(x, ξ) dξ. En utilisant la relaRn

tion ∂ξ eiz·ξ = izeiz·ξ , montrer que, pour α ∈ Nn , on peut écrire la fonction z 7→ z α Q(x, z) sous la forme d’une transformée de Fourier d’une fonction que l’on précisera. (2) En déduire que, pour tout |α| ⩽ (n/2) + 2, il existe une constante Cα telle que Z 2α

|z| Puis en déduire que

R

2

|Q(x, z)| dz ⩽ Cα M 2 .

|Q(x, z)| dz ⩽ CM .

(3) Soit f ∈ S (R ). Montrer que Op(q)f (x) = n

Z Q(x, x − y)f (y) dy

puis en déduire ∥Op(q)f ∥L∞ ⩽ CM ∥f ∥L∞ . Exercice 9.5 (Continuité sur les espaces de Hölder). Le but de ce problème est d’étudier l’action d’un opérateur pseudo-différentiel sur les espaces de Hölder. Nous renvoyons aux notes de cours de Guy Métivier [98, Chap. 10] ou à son livre [99] pour la correction.

220

CHAPITRE 9. OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS

On notera C, Cα , Cα,β , . . . des constantes absolues (où Cα dépend du multi-indice α...) qui ne dépendent ni des symboles, ni des inconnues. Considérons un symbole p = p(x, ξ) qui est C ∞ sur Rn × Rn et tel que ∀(x, ξ) ∈ Rn × Rn , ∂xα ∂ξβ p(x, ξ) ⩽ Cα,β (1 + |ξ|)−|β| . On rappelle que les espaces de Hölder peuvent être étudiés à l’aide de la décomposition de Littlewood-Paley (voir le paragraphe 5.4.2). Pour fixer les notations, rappelons qu’il existe deux fonctions χ0 et χ, C ∞ sur Rn , à support respectivement dans la boule {|ξ| ⩽ 1} et dans la couronne {1/3 ⩽ |ξ| ⩽ 3} et telles que : ∀ξ ∈ Rn ,

χ0 (ξ) +

+∞ X

χ(2−j ξ) = 1.

j=0

Introduisons p−1 (x, ξ) = p(x, ξ)χ0 (ξ),

pj (x, ξ) = p(x, ξ)χ(2−j ξ) pour j ∈ N.

(1) Montrer qu’il existe M > 0 telle que, pour tout β ∈ Nn vérifiant |β| ⩽ (n/2) + 2, on a β ∂ p−1 (x, ξ) ⩽ M, ξ β ∂ pj (x, ξ) ⩽ M 2−j|β| (∀j ∈ N). ξ (2) Montrer que ∥Op(p−1 )f ∥L∞ ⩽ C∥f ∥L∞ . (3) Soient a = a(x, ξ) un symbole et λ ∈ R+ ∗ . Posons b(x, ξ) = a (x/λ, λξ). Notons Hλ l’application qui à la fonction u = u(x) associe (Hλ u)(x) = u(λx). Montrer que Op(a) = Hλ ◦ Op(b) ◦ Hλ−1 et en déduire que, si Op(b) est borné de L∞ dans L∞ , alors Op(a) l’est également et ils ont alors la même norme. (4) Pour tout j ∈ N, montrer que l’on peut choisir λj de sorte que pej (x, ξ) = pj (λ−1 j x, λj ξ) soit à support dans {(x, ξ) : |ξ| ⩽ 3}. En utilisant l’exercice 9.4, en déduire que ∥Op(pj )f ∥L∞ ⩽ C∥f ∥L∞ . (5) Introduisons f−1 = χ0 (Dx )f et fk = χ(2−k Dx )f pour k ⩾ 0. Montrer que X Op(pj )f = Op(pj )fk . |j−k|⩽3

(6) Montrer qu’il existe C > 0 telle que pour tout j ∈ N et tout f ∈ S (Rn ), on ait ∥Op(pj )f ∥L∞ ⩽ C∥f ∥C 0,r 2−jr .

9.4. EXERCICES

221

(7) Soit α ∈ Nn vérifiant |α| ⩽ 1. Montrer que pour tout j ∈ N ∪ {−1}, on a
∂xα Op(pj ) = Op(qj ) où qj (x, ξ) = (iξ + ∂x )α pj (x, ξ). En répétant les étapes précédentes, montrer que ∥∂xα Op(pj )f ∥L∞ ⩽ Cα 2j(|α|−r) ∥f ∥C 0,r . (8) (∗) Soit (fj ) une suite de fonctions C 1 (Rn ) qui vérifient ∥∂xα fj ∥L∞ ⩽ M 2j(|α|−r) pour tout |α| ⩽ 1. P Montrer que f = fj appartient à C 0,r (Rn ) et que sa norme est bornée par CM . (9) Conclure : Op(p) est borné de C 0,r (Rn ) dans lui-même pour tout r ∈ ]0, 1[.

CHAPITRE 10 CALCUL SYMBOLIQUE

10.1. Introduction au calcul symbolique Rappelons (voir (9.2)) que l’on dit qu’une fonction a = a(x, ξ) définie sur Rn × Rn et à valeurs complexes appartient à la classe S m (Rn ), pour un certain nombre réel m, si pour tous multi-indices α et β dans Nn , il existe une constante Cαβ telle que ∀(x, ξ) ∈ Rn × Rn , ∂xα ∂ξβ a(x, ξ) ⩽ Cαβ (1 + |ξ|)m−|β| (α, β ∈ Nn ). Étant donnés m ∈ R, un symbole a ∈ S m (Rn ) et une fonction u dans la classe de Schwartz S (Rn ), nous avons vu que l’on peut définir Op(a)u ∈ S (Rn ) par Z −n Op(a)u(x) = (2π) eix·ξ a(x, ξ)b u(ξ) dξ. Nous avons aussi vu que si a ∈ S 0 (Rn ), alors Op(a) s’étend de manière unique en un opérateur borné de L2 (Rn ) dans L2 (Rn ). Considérons deux opérateurs pseudo-différentiels A = Op(a) et B = Op(b) de symboles a, b ∈ S m (Rn ). Alors λA + µB est un opérateur pseudodifférentiel de symbole λa + µb ∈ S m (Rn ). Les questions qui vont nous intéresser dans ce chapitre concernent les opérateurs A◦B et A∗ . Nous allons voir que ce sont aussi des opérateurs pseudo-différentiels et que l’on peut calculer leurs symboles. Le calcul symbolique est justement le procédé qui permet de manipuler des opérateurs en travaillant au niveau des symboles. Dans cette première section, nous allons voir trois situations bien distinctes dans lesquelles on peut facilement étudier la composition et le passage à l’adjoint pour les opérateurs pseudo-différentiels. Ces situations correspondent aux cas suivants : (A) les multiplicateurs de Fourier (symboles ne dépendant pas de x) ; (B) les opérateurs différentiels (symboles polynômiaux en ξ) ; (C) les opérateurs de microlocalisation (symboles à support compact dans R2n ).

224

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

A. Multiplicateurs de Fourier. Soit A = Op(a) avec a = a(ξ) indépendant de x. Alors A est un cas particulier de multiplicateur de Fourier. Rappelons qu’un multiplicateur de Fourier est un opérateur linéaire qui agit sur L2 ou S ′ en multipliant la transformée de Fourier d’une fonction (ou d’une distribution tempérée) par une fonction donnée, appelée le symbole. Étant donnée une fonction m = m(ξ) à valeurs complexes, le multiplicateur de Fourier de symbole m est l’opérateur, noté m(Dx ), défini par \ b m(D x )f (ξ) = m(ξ)f (ξ). Si m ∈ L∞ (Rn ) alors m(Dx ) est bien défini sur L2 (Rn ) et m(Dx ) ∈ L (L2 ). Si m ∈ C ∞ (Rn ) est à croissante lente au sens de la définition 5.25, alors m(Dx ) est continu de S ′ (Rn ) dans S ′ (Rn ). On vérifie directement que m1 (Dx )m2 (Dx ) = m(Dx ) avec m(ξ) = m1 (ξ)m2 (ξ), m(Dx )∗ = m∗ (Dx ) avec m∗ (ξ) = m(ξ). Exemples de multiplicateurs de Fourier – ∂xj est le multiplicateur de Fourier de symbole iξj . 2 – Le laplacien ∆ est le multiplicateur de Fourier de symbole − |ξ| . – La transformation de Hilbert est le multiplicateur de Fourier de symbole −iξ/|ξ| (ξ ∈ R). – La p racine carrée de −∆ est le multiplicateur de Fourier de symbole |ξ| = ξ12 + · · · + ξn2 . – Soit s ∈ R. L’opérateur qui réalise l’isomorphisme canonique de H s sur L2 est le multiplicateur de Fourier de symbole ⟨ξ⟩s où ⟨ξ⟩ = (1+|ξ|2 )1/2 . – Considérons l’équation ∂t u + i⟨Dx ⟩s u = 0,

u|t=0 = u0 .

Cette équation peut se résoudre par le théorème de Hille-Yosida (voir [12]) ou par la transformation de Fourier. L’opérateur qui envoie la donnée initiale u0 sur la solution au temps t est le multiplicateur de Fourier de symbole exp(−it⟨ξ⟩s ). B. Opérateurs différentiels. Considérons deux opérateurs différentiels X X A= aα (x)∂xα , B = bα (x)∂xα |α|⩽m

|α|⩽m′

où les coefficients aα , bα appartiennent à Cb∞ (Rn ). Introduisons leurs symboles X X a(x, ξ) = aα (x)(iξ)α , b(x, ξ) = bα (x)(iξ)α , |α|⩽m

|α|⩽m′

10.1. INTRODUCTION AU CALCUL SYMBOLIQUE

225

de sorte que A = Op(a) et B = Op(b). Notons eξ la fonction exponentielle x 7→ eix·ξ . Alors (Aeξ )(x) = a(x, ξ)eξ (x),

(Beξ )(x) = b(x, ξ)eξ (x).

De plus, pour toute fonction régulière b(x, ξ), X
A(beξ )(x) = aα (x)∂xα eix·ξ b(x, ξ) α

=

X


aα (x) (iξ + ∂x )α b(x, ξ) eix·ξ

α

 1  = eix·ξ a x, ξ + ∂x b(x, ξ) i X 1

= eix·ξ ∂ξβ a(x, ξ) ∂xβ b(x, ξ) , |β| i β! β∈Nn où l’on a utilisé la formule de Taylor pour un polynôme. On en déduit le résultat suivant. Proposition 10.1. Si A et B sont des opérateurs différentiels, alors A ◦ B est un opérateur différentiel de symbole X 1

a#b(x, ξ) = ∂ξα a(x, ξ) ∂xα b(x, ξ) . |α| i α! α∈Nn Noter que la somme est finie puisque ∂ξα a = 0 si |α| > m. Démonstration. L’opérateur A ◦ B est bien sûr un opérateur différentiel et on a vu que (A ◦ B)eξ = (a#b)eξ . Exercice. Soit A est un opérateur différentiel. Montrer que A∗ est un opérateur différentiel de symbole X 1 a∗ (x, ξ) = ∂ α ∂ α a(x, ξ). |α| α! ξ x i α C. Opérateurs de microlocalisation. Les opérateurs de localisation, de la forme u 7→ φu où φ ∈ C0∞ (Rn ), sont essentiels en Analyse. De même que les opérateurs de localisation en fréquence, qui sont des multiplicateurs de Fourier u 7→ φ(Dx )u avec φ ∈ C0∞ (Rn ). Les opérateurs pseudo-différentiels permettent une localisation simultanée en x et en ξ, en considérant un opérateur Op(a) avec a ∈ C0∞ (R2n ). Si a ∈ C0∞ (R2n ), on dit que Op(a) est un opérateur de microlocalisation. Nous allons voir que l’adjoint d’un opérateur de microlocalisation est un opérateur pseudo-différentiel dont le symbole n’appartient pas nécessairement à C0∞ (R2n ) mais appartient à tous les espaces S m (Rn ) pour m ⩽ 0.

226

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

Proposition 10.2. Soit a = a(x, ξ) un symbole appartenant à C0∞ (R2n ). Alors Z ∗ −n a (x, ξ) = (2π) e−iy·η a(x − y, ξ − η) dy dη définit un symbole a∗ appartenant à S −∞ et (Op(a)u, v) = (u, Op(a∗ )v) pour tous u, v dans S (Rn ). Remarque 10.3. Un objectif de ce chapitre sera de démontrer un résultat qui étend la proposition précédente au cas d’un symbole général a ∈ S +∞ . Nous commençons par regarder le cas a ∈ S −∞ car l’analyse est alors beaucoup plus facile. Le lecteur notera en particulier que les intégrales qui apparaissent dans la démonstration ci-dessous n’ont aucun sens si a est un symbole général. Démonstration. Soit u ∈ S (Rn ). Comme a est à support compact, on peut utiliser le théorème de Fubini pour écrire Z Op(a)u(x) = (2π)−n eix·ξ a(x, ξ)b u(ξ) dξ Z  Z −n ix·ξ −iy·ξ = (2π) e a(x, ξ) e u(y) dy dξ ZZ = (2π)−n ei(x−y)·ξ a(x, ξ)u(y) dy dξ  Z Z = (2π)−n ei(x−y)·ξ a(x, ξ) dξ u(y) dy. Donc Z Op(a)u(x) =

K(x, y)u(y) dy

où K = K(x, y) (appelé noyau de Op(a)) est donné par Z −n K(x, y) = (2π) ei(x−y)·ξ a(x, ξ) dξ = (2π)−n (Fξ a)(x, y − x), R où Fξ a(x, ζ) = e−iξ·ζ a(x, ξ) dξ est la transformée de Fourier de a par rapport à la seconde variable. On en déduit que K ∈ S (R2n ). Maintenant, si v est aussi dans S alors  Z Z (Op(a)u, v) = K(x, y)u(y) dy v(x) dx Z

Z =

u(y)

 K(x, y)v(x) dx dy,

10.2. INTÉGRALES OSCILLANTES

227

donc (Op(a)u, v) = (u, (Op(a))∗ v) avec Z ∗ (Op(a)) v(x) := K(y, x)v(y) dy. Retenons que Op(a)∗ est un opérateur de noyau Z K ∗ (x, y) = K(y, x) = (2π)−n ei(x−y)·θ a(y, θ) dθ. On veut écrire K ∗ (x, y) sous la forme K ∗ (x, y) = (2π)−n (Fξ a∗ )(x, y − x). Alors on doit avoir Z a∗ (x, ξ) = (2π)−n eiξ·z (Fξ a∗ )(x, z) dz Z = K ∗ (x, x + z)eiz·ξ dz Z = K ∗ (x, x − y)e−iy·ξ dy  Z Z = (2π)−n ei(x−(x−y))·θ a(x − y, θ) dθ e−iy·ξ dy ZZ = (2π)−n eiy·(θ−ξ) a(x − y, θ) dy dθ ZZ = (2π)−n e−iy·η a(x − y, ξ − η) dy dη. Les calculs déjà faits au début de la démonstration entraînent que Op(a)∗ est l’opérateur pseudo-différentiel de symbole a∗ .

10.2. Intégrales oscillantes Pour étendre les résultats de la section précédente à des opérateurs pseudo-différentiels généraux, nous aurons besoin de définir certaines intégrales, appelées intégrales oscillantes, qui jouent un rôle crucial en analyse microlocale. Elles sont de la forme Z eiϕ(x) a(x) dx (x ∈ RN , N ⩾ 1). On dit que ϕ est une phase et que a est une amplitude. On supposera toujours que a est une fonction C ∞ de RN dans C et que ϕ est à valeurs réelles. On note N ici la dimension car on appliquera les résultats de cette partie avec N = 2n. En effet, ces intégrales apparaissent naturellement pour définir des symboles. Par exemple, remarquons que pour (x0 , ξ0 ) fixé dans Rn ×Rn , Z ∗ −n a (x0 , ξ0 ) = (2π) e−iy·η a(x0 − y, ξ0 − η) dy dη

228

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

s’écrit sous la forme Z

∗

a (x0 , ξ0 ) =

eiϕ(x) u(x) dx

avec N = 2n, x = (y, η) et ϕ(x) = −y · η. Si a est le symbole d’un opérateur différentiel, polynomial en x, l’intégrale est évidemment divergente au sens classique. Pour lui donner un sens, l’idée est que, sous une hypothèse de forte oscillation du terme eiϕ(x) , on peut compenser la croissance de a. A. Lemme de la phase non stationnaire. L’analyse des intégrales oscillantes est basée sur le lemme de la phase non stationnaire, qui exprime la décroissance d’une intégrale oscillante en fonction d’un grand paramètre. Lemme 10.4 (Lemme de la phase non stationnaire). Soit N ⩾ 1, φ ∈ Cb∞ (RN ) une fonction à valeurs réelles et f ∈ C0∞ (RN ). Soit V un voisinage du support de f . On suppose que inf |∇φ(x)| > 0. V

Alors, pour tout entier k et pour tout λ ⩾ 1, Z eiλφ(x) f (x) dx ⩽ Ck λ−k sup ∥∂xα f ∥L1 (RN ) . |α|⩽k

où Ck est une constante indépendante de λ et de f . Démonstration. Introduisons l’opérateur différentiel X ∂φ ∂ ∇φ · ∇ L := −i où ∇φ · ∇ = 2 , ∂xj ∂xj |∇φ| 1⩽j⩽N qui est bien défini car la différentielle de la phase ne s’annule pas. De plus, L vérifie, pour tout λ ∈ R, L(eiλφ ) = λeiλφ , et donc Lk (eiλφ(x) ) = λk eiλφ(x) . Alors, en faisant des intégrations par parties successives, on en déduit que Z Z λk eiλφ(x) f (x) dx = eiλφ(x) (t L)k f (x) dx, où t

Lf = i

X 1⩽j⩽N

t

k

∂  1  ∂φ  f . ∂xj |∇φ|2 ∂xj

Notons que ( L) est un opérateur différentiel d’ordre k dont les coefficients sont C ∞ (et dépendent de

φ). On obtient donc le résultat voulu en majorant la dernière intégrale par (t L)k f L1 . On obtient de plus que la constante Ck 2 ne dépend que de k, inf |∇φ| et sup|α|⩽k+1 ∥∂ α φ∥L∞ .

10.2. INTÉGRALES OSCILLANTES

229

B. Définition d’une intégrale oscillante Définition 10.5. Soit m ⩾ 0 un nombre réel. L’espace Am des amplitudes d’ordre m est l’espace des fonctions a ∈ C ∞ (RN ; C) telles que ∀α ∈ NN , sup (1 + |x|)−m ∂xα a(x) < +∞. x∈RN

On introduit les normes ∥a∥m,k := max sup (1 + |x|)−m ∂xα a(x) . |α|⩽k x∈RN

Nous supposerons que ϕ est une forme quadratique non dégénérée, de la forme ϕ(x) = (Ax) · x (x ∈ RN ), où A ∈ MN (R) est une matrice symétrique inversible. Alors ∇ϕ(x) = Ax et nous pourrons appliquer le lemme de la phase non stationnaire. Théorème 10.6. Soient m ⩾ 0, ϕ une forme quadratique non dégénérée sur RN , a ∈ Am et ψ ∈ S (RN ) telle que ψ(0) = 1. Alors la fonction Z I(ε) := eiϕ(x) a(x)ψ(εx) dx convergeR quand ε tend vers 0 vers une limite indépendante de ψ, qui est égale àR eiϕ(x) a(x) dx si a ∈ L1 . Quand a ̸∈ L1 , on continue de noter la limite eiϕ(x) a(x) dx et on a Z iϕ(x) (10.1) a(x) dx ⩽ Cϕ,m ∥a∥m,m+N +1 . e Démonstration. Nous voulons utiliser le lemme de la phase non stationnaire, ce qui nécessite de faire apparaître un grand paramètre. Pour cela, nous allons utiliser une décomposition dyadique de l’unité. Rappelons comment obtenir une telle décomposition : commençons par considérer une fonction χ0 ∈ C0∞ (RN ; R) qui est radiale et qui vérifie χ0 (x) = 1 pour |x| ⩽ 1/2, et χ0 (x) = 0 pour |x| ⩾ 1. On pose ensuite χ(x) = χ0 (x/2) − χ0 (x). Cette fonction χ est supportée dans la couronne {1/2 ⩽ |x| ⩽ 2}. De plus, pour tout x ∈ RN , on a l’égalité 1 = χ0 (x) +

∞ X

χ(2−j x).

j=0

Rappelons que la convergence de cette série ne pose pas de problèmes car, pour tout x ∈ RN , on a χ(2−p x) = 0 pour tout entier p assez grand. Posons Sp (x) = χ0 (x) +

p X j=0

χ(2−j x) = χ0 (2−p−1 x)

230

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

et introduisons les intégrales (convergentes) Z Z Ip := eiϕ(x) a(x)Sp (x) dx, Rp (ε) := eiϕ(x) a(x)(1 − ψ(εx))Sp (x) dx. Il suit du théorème de convergence dominée que Z Z I(ε) = eiϕ(x) a(x)ψ(εx) dx = lim eiϕ(x) a(x)ψ(εx)Sp (x) dx. p→+∞

Aussi, par définition, Z eiϕ(x) a(x)ψ(εx)Sp (x) dx = Ip − Rp (ε). Par conséquent, il suffira de démontrer que la limite limp→+∞ Ip existe et que limp→+∞ Rp (ε) = O(ε). Cela établira que l’intégrale I(ε) a une limite quand ε tend vers 0 et que cette limite est indépendante de ψ. Après changement de variables z = 2−p x, on a Z 2p Ip − Ip−1 = ei2 ϕ(z) a(2p z)χ(z)2N p dz, où l’on a utilisé le fait que ϕ est quadratique pour écrire ϕ(tz) = t2 ϕ(z). Sur le support de χ(z) on a |z| ⩾ 1/2, donc inf

z∈supp χ

|∇ϕ(z)| ⩾ c0 > 0

et on va pouvoir appliquer le lemme de la phase non stationnaire. Précisément, en utilisant le lemme 10.4 avec f (x) = a(2p x)χ(x) et λ = 22p , on obtient que, pour tout k ∈ N, Z Z α
i22p ϕ(z) p Np N p−2pk ∂x a(2p x)χ(x) dx, e a(2 z)χ(z)2 dz ⩽ Ck 2 max |α|⩽k

|x|⩽2

où l’on a utilisé le fait que supp χ est contenu dans la boule B(0, 2). L’hypothèse que a est une amplitude d’ordre m entraîne qu’il existe une constante K > 0 telle que pour tout p ⩾ 1, Z α
∂x a(2p x)χ(x) dx ⩽ K2p(|α|+m) ∥a∥ m,|α| . |x|⩽2

On en déduit que Z 2p ei2 ϕ(z) a(2p z)χ(z)2pN dz ⩽ KCk 2p(N +k+m−2k) ∥a∥m,k . On choisit k = N + m + 1 en sorte que |Ip − Ip−1 | ⩽ KCN +m+1 2−p ∥a∥m,N +m+1 . De même, on obtient que |Rp (ε) − Rp−1 (ε)| ⩽ εC2−p . Ce qui implique le résultat voulu.

10.2. INTÉGRALES OSCILLANTES

231

C. Une inégalité de Hörmander. Le but de ce paragraphe est de prouver un joli résultat, dont la démonstration permet de mettre en œuvre plusieurs idées très utiles en pratique. Considérons une famille d’opérateurs Th , dépendant d’un petit paramètre h, de la forme Z (Th f )(ξ) := eiϕ(x,ξ)/h a(x, ξ)f (x) dx (x, ξ ∈ Rn ). Supposons que la phase ϕ est à valeurs réelles et que l’amplitude a est à support compact en x et en ξ. Alors, on vérifie facilement que, pour tout h > 0, Th est une application linéaire continue de L2 (Rn ) vers L2 (Rn ). Nous allons démontrer une estimation, due à Hörmander [62], qui énonce que si la hessienne mixte ϕ′′xξ n’est pas singulière sur le support de l’amplitude, alors h−n/2 Th est uniformément borné dans L (L2 ). Théorème 10.7. Soit a ∈ C0∞ (Rn × Rn ). Si ϕ ∈ C ∞ (Rn × Rn ) est à valeurs réelles et vérifie  2  ∂ ϕ (x, ξ) ∈ supp a =⇒ dét (x, ξ) ̸= 0, ∂x∂ξ alors il existe une constante C telle que, pour tout h ∈ ]0, 1] et tout f ∈ L2 (Rn ), ∥Th f ∥L2 ⩽ Chn/2 ∥f ∥L2 . Remarque 10.8. En combinant cette inégalité avec le fait que ∥Th f ∥L∞ ⩽ ∥f ∥L1 et le théorème de convexité de Riesz-Thorin 18.13, on trouve que, si p ∈ [1, 2] et 1/p + 1/p′ = 1, alors ′

∥Th f ∥Lp′ ≲ hn/p ∥f ∥Lp ,

f ∈ C0∞ (Rn ).

Démonstration. Nous utiliserons des résultats classiques sur les opérateurs bornés sur L (L2 ). D’abord, l’égalité ∥T ∥L (L2 ) = ∥T ∗ ∥L (L2 ) . On en déduit 2

que ∥T T ∗ ∥L (L2 ) ⩽ ∥T ∗ ∥L (L2 ) . Comme par ailleurs ∥T ∗ f ∥L2 = ⟨T ∗ f, T ∗ f ⟩ = ⟨T T ∗ f, f ⟩ ⩽ ∥T T ∗ ∥L (L2 ) ∥f ∥2L2 , on vérifie que 2

2

∥T ∥L (L2 ) = ∥T ∗ ∥L (L2 ) = ∥T T ∗ ∥L (L2 ) .

232

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

Par conséquent, il suffit de démontrer que la norme(1) d’opérateur de Th Th∗ est bornée par Chn . Écrivons Z (Th Th∗ f )(ξ) = Kh (ξ, η)f (η) dη où

Z Kh (ξ, η) =

ei(Φ(x,ξ)−Φ(x,η))/h a(x, ξ)a(x, η) dx.

On utilise ensuite le lemme de Schur (démontré à la fin de cette preuve) qui énonce qu’un opérateur à noyau, de la forme Z (T f )(x) = K(x, y)f (y) dy, vérifie

Z 2 ∥T ∥L (L2 ) ⩽ sup

Z |K(x, y)| dx + sup

y

|K(x, y)| dy.

x

Il reste donc à estimer le noyau Kh . Quitte à introduire une partition de l’unité (voir la proposition 17.35), on peut toujours supposer que le support de a est inclus dans une boule de diamètre δ petit. On peut donc se borner à considérer le cas où ξ et η sont proches. Alors
|∂x Φ(x, ξ) − Φ(x, η) | = |Φ′′xξ (x, η)(ξ − η)| + O(|ξ − η|2 ) ⩾ c|ξ − η|, et on est en mesure d’utiliser le lemme de la phase non stationnaire pour obtenir la majoration  |ξ − η| −N |Kh (ξ, η)| ⩽ CN , h pour tout N ∈ N. Comme par ailleurs Kh est bornée, on en déduit que ′ |Kh (ξ, η)| ⩽ CN (1 + |ξ − η| /h)−N ,

d’où

Z

n

|Kh (ξ, η)| dξ ⩽ Ch ,

sup η

Z sup

|Kh (ξ, η)| dη ⩽ Chn ,

ξ

ce qui conclut la démonstration. Lemme 10.9 (Lemme de Schur). Soit K(x, y) une fonction continue sur Rn × Rn telle que Z Z sup |K(x, y)| dx ⩽ A1 , sup |K(x, y)| dy ⩽ A2 . y

x

Alors l’opérateur P de noyau K, défini pour u ∈ C00 (Rn ) par Z P u(x) = K(x, y)u(y) dy, (1) On

utilise fréquemment le fait qu’il est plus commode d’estimer la norme d’opérateur de T T ∗ que celle de T ; on dit alors que l’on utilise « l’argument T T ∗ ».

10.3. ADJOINT ET COMPOSITION

233

se prolonge de façon unique en un opérateur continu de L2 (Rn ) dans L2 (Rn ) et p ∥P u∥L2 ⩽ A1 A2 ∥u∥L2 . Démonstration. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz Z Z Z 2 2 2 |P u(x)| ⩽ |K(x, y)| |u(y)| dy |K(x, y)| dy ⩽ A2 |K(x, y)| |u(y)| dy, d’où Z

2

ZZ

|P u(x)| dx ⩽ A2

2

|K(x, y)| |u(y)| dy dx Z Z  2 ⩽ A2 |u(y)| |K(x, y)| dx dy Z 2 ⩽ A1 A2 |u(y)| dy,

ce qui implique l’inégalité voulue. Remarque 10.10. Le lemme de Schur implique que si f ∈ L1 et g ∈ L2 , alors ∥f ∗ g∥L2 ⩽ ∥f ∥L1 ∥g∥L2 . Pour le voir, il suffit d’observer que Z f ∗ g(x) = K(x, y)g(y) dy où K(x, y) = f (x − y). L’inégalité voulue provient du lemme de Schur avec A = ∥f ∥L1 . 10.3. Adjoint et composition Soit s ∈ R. Rappelons que l’espace de Sobolev H s (Rn ) est l’espace des distributions tempérées f telles que (1 + |ξ|2 )s/2 fb(ξ) appartient à L2 (Rn ). On munit cet espace de la norme Z 2 1 ∥f ∥2H s := (1 + |ξ|2 )s fb(ξ) dξ. n (2π) Pour énoncer le résultat principal de ce chapitre, il sera commode d’utiliser la définition suivante. Définition 10.11. Soit m ∈ R. On dit qu’un opérateur est d’ordre m s’il est borné de H µ (Rn ) dans H µ−m (Rn ) pour tout µ ∈ R. Exemple 10.12. – L’identité est un opérateur d’ordre 0 et le laplacien est un opérateur d’ordre 2. P α – Un opérateur différentiel P = |α|⩽k pα (x)∂x avec k ∈ N et pα ∈ Cb∞ (Rn ) est un opérateur d’ordre k (non trivial à démontrer en partant de la définition des espaces de Sobolev pour µ ∈ R ∖ N).

234

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

– L’opérateur de convolution par une fonction dans la classe de Schwartz est un opérateur d’ordre −∞ (ce qui veut dire qu’il est d’ordre −n pour tout S n ∈ N ou encore qu’il envoie H −∞ (Rn ) = s∈R H s (Rn ) dans H ∞ (Rn ) = T s n s∈R H (R )). Dans ce chapitre, nous démontrerons (et donnerons un sens à) l’énoncé suivant. Théorème 10.13. (i) Si a ∈ S m (Rn ) alors Op(a) est d’ordre m. ′ (ii) Supposons que a ∈ S m (Rn ) et b ∈ S m (Rn ). Alors Op(a) ◦ Op(b) est un opérateur pseudo-différentiel de symbole noté a#b et défini par ZZ −n a#b(x, ξ) = (2π) ei(x−y)·(ξ−η) a(x, ξ)b(y, η) dξ dy. De plus, Op(a) ◦ Op(b) = Op(ab) + R où R est d’ordre m + m′ − 1 et plus généralement, l’opérateur X 
α
1 α Op(a) ◦ Op(b) − Op ∂ a(x, ξ) ∂ b(x, ξ) x i|α| α! ξ |α|⩽k

est d’ordre m + m′ − k − 1, pour tout entier k ∈ N. (iii) L’adjoint Op(a)∗ est un opérateur pseudo-différentiel de symbole a∗ défini par ZZ a∗ (x, ξ) = (2π)−n e−iy·η a(x − y, ξ − η) dy dη. De plus, Op(a)∗ = Op(a) + R où R est d’ordre m − 1 et plus généralement X  1 α α Op(a∗ ) − Op ∂ ∂ a(x, ξ) i|α| α! ξ x |α|⩽k

est d’ordre m − k − 1 pour tout entier k ∈ N. ′

Corollaire 10.14. Si a ∈ S m (Rn ) et b ∈ S m (Rn ). Nous noterons {a, b} le crochet de Poisson de a et b défini par X  ∂a ∂b ∂b ∂a  {a, b} = − · ∂ξj ∂xj ∂ξj ∂xj 1⩽j⩽n

Alors le commutateur [Op(a), Op(b)] = Op(a) ◦ Op(b) − Op(b) ◦ Op(a) est un opérateur d’ordre m + m′ − 1 dont le symbole c peut s’écrire sous la forme ′ 1 c = {a, b} + c′ , où c′ ∈ S m+m −2 . i

10.3. ADJOINT ET COMPOSITION

235

Pour démontrer le théorème 10.13, nous commençons par étudier l’adjoint avec la proposition suivante. Proposition 10.15. Soit m ∈ R. Si a ∈ S m (Rn ) alors l’intégrale oscillante ZZ a∗ (x, ξ) = (2π)−n e−iy·η a(x − y, ξ − η) dy dη définit un symbole a∗ qui appartient à S m (Rn ). Démonstration. Notons ϕ(y, η) = −y · η. Alors ϕ est une forme quadratique non dégénérée sur R2n (on a ϕ(X) = (AX)·X où A est la matrice symétrique inversible A = − 12 ( I0 I0 )). Étant donné (x, ξ) ∈ Rn ×Rn , on note bx,ξ (y, η) = a(x − y, ξ − η). Pour étudier bx,ξ , nous allons utiliser l’inégalité suivante qui a déjà vu dans la démonstration de la proposition 7.40. Lemme 10.16 (Lemme de Peetre). Soit n ⩾ 1. Pour tout m ∈ R et tout ξ, η dans Rn , on a ⟨ξ + η⟩m ⩽ 2|m| ⟨ξ⟩|m| ⟨η⟩m . Le lemme précédent implique que ⟨ξ − η⟩m ⩽ 2|m| ⟨ξ⟩m ⟨η⟩|m|

∀ξ, η ∈ Rn .

Alors, l’hypothèse que a est un symbole entraîne que α β ∂y ∂η a(x − y, ξ − η) ⩽ Cαβ ⟨ξ − η⟩m−|β| ⩽ Cαβ ⟨ξ − η⟩m ⩽ Cαβ 2|m| ⟨ξ⟩m ⟨η⟩|m| ⩽ Cαβ 2|m| ⟨ξ⟩m (1 + |y|2 + |η|2 )|m|/2 pour tous α, β dans Nn . Par définition des classes d’amplitudes, on en déduit que bx,ξ ∈ A|m| (R2n ) et de plus ∥bx,ξ ∥|m|,|m|+2n+1 =

max

|α|+|β|⩽|m|+2n+1

⟨(y, η)⟩−|m| ∂yα ∂ηβ bx,y (y, η) ⩽ C⟨ξ⟩m .

Comme a∗ (x, ξ) est une intégrale oscillante : ZZ ∗ a (x, ξ) = eiϕ(y,η) bx,ξ (y, η) dy dη, l’estimation précédente et l’inégalité (10.1) impliquent que ⟨ξ⟩−m a∗ est une fonction bornée. Il reste à estimer les dérivées. Pour cela, nous allons démontrer que a∗ est C ∞ et que, pour tout tout multi-indices α, β, on a ∂xα ∂ξβ (a∗ ) = (∂xα ∂ξβ a)∗ .

236

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

Admettons cette identité. Alors l’argument précédent appliqué avec le symbole ∂xα ∂ξβ a ∈ S m−|β| (Rn ) au lieu de a ∈ S m (Rn ) implique que ⟨ξ⟩−(m−|β|) ∂xα ∂ξβ (a∗ ) est bornée pour tous α, β dans Nn . Ce qui prouve que a∗ est dans S m (Rn ). Il reste à démontrer que ∂xα ∂ξβ (a∗ ) = (∂xα ∂ξβ a)∗ . Pour cela, nous allons montrer que l’on peut différencier l’intégrale oscillante qui définit a∗ sous le signe somme. Rappelons que, pour toute fonction ψ ∈ C0∞ (R2n ) telle que ψ(0) = 1, on a ZZ ∗ a (x, ξ) = lim e−iy·η a(x − y, ξ − η)ψ(εy, εη) dy dη. ε→0

Nous allons utiliser encore une fois un argument d’intégration par parties qui repose sur l’identité (1 + |y|2 )−k (1 + |η|2 )−k (I − ∆y )k (I − ∆η )k e−iy·η = e−iy·η . Comme on intègre des fonctions régulières à support compact, on peut intégrer par parties et obtenir que ZZ e−iy·η a(x − y, ξ − η)ψ(εy, εη) dy dη   ZZ a(x − y, ξ − η)ψ(εy, εη) = e−iy·η (I − ∆y )k (I − ∆η )k dy dη. (1 + |y|2 )k (1 + |η|2 )k Rappelons que l’on a montré que γ δ ∂y ∂η a(x − y, ξ − η) ⩽ Cγδ 2|m| ⟨ξ⟩m (1 + |η|2 )|m|/2 . Par ailleurs, γ ∂y (1 + |y|2 )−k ⩽ Ck,γ (1 + |y|2 )−k ,

δ ∂η (1 + |η|2 )−k ⩽ Ck,δ (1 + |η|2 )−k .

On vérifie alors facilement que, si k > (n + |m|)/2, alors on peut utiliser le théorème de convergence dominée et en déduire que   ZZ a(x − y, ξ − η) a∗ (x, ξ) = e−iy·η (I − ∆y )k (I − ∆η )k dy dη. (1 + |y|2 )k (1 + |η|2 )k Le point clé est que l’on a écrit a∗ (x, ξ) sous la forme d’une intégrale convergente au sens de Lebesgue, et dont l’intégrande dépend de façon C ∞ des paramètres x, ξ. On vérifie pour conclure que l’on peut appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme pour les intégrales convergentes au sens usuel de Lebesgue. Proposition 10.17. Soient m ∈ R et a ∈ S m (Rn ). Alors, pour tous u, v dans S (Rn ) on a (Op(a)u, v) = (u, Op(a∗ )v), R où (f, g) = Rn f (x)g(x) dx.

10.3. ADJOINT ET COMPOSITION

237

Démonstration. Pour démontrer ce résultat, nous allons faire l’hypothèse supplémentaire que a est à support compact en x. La démonstration est basée sur des arguments de continuité et on commence par munir les classes de symboles S m (Rn ) de la topologie la plus naturelle, qui est celle d’espace de Fréchet. Rappelons que la classe de Schwartz S (Rn ) est aussi un espace de Fréchet dont la topologie est induite par la famille de semi-normes suivante, indexée par p ∈ N, X Mp (φ) = sup xα ∂xβ φ(x) . |α|+|β|⩽p

x∈Rn

La convergence d’une suite (φk )k∈N de S (Rn ) vers une fonction φ ∈ S (Rn ) équivaut donc à ∀p ∈ N,

lim Mp (φk − φ) = 0.

k→∞

De façon similaire, la topologie sur la classe de symboles S m (Rn ) est induite par la famille de semi-normes suivante, indexée par p ∈ N, n X o Npm (a) = sup ⟨ξ⟩−(m−|β|) ∂xα ∂ξβ a(x, ξ) · |α|+|β|⩽p

(x,ξ)∈Rn ×Rn

La convergence d’une suite de symboles équivaut à la convergence au sens des semi-normes : pour m ∈ R, on dit qu’une suite (ak ) de symboles appartenant à S m (Rn ) converge vers a dans S m (Rn ) si et seulement si ∀p ∈ N,

lim Npm (ak − a) = 0.

n→+∞

Lemme 10.18. Soient m ∈ R, a ∈ S m (Rn ) et (ak ) une suite de symboles appartenant à S m (Rn ) et qui converge vers a dans S m (Rn ). (i) Pour tout u ∈ S (Rn ), la suite (Op(ak )u) converge vers Op(a)u dans S (Rn ). (ii) La suite (a∗k ) converge vers a∗ dans S m (Rn ). (iii) Soient ℓ ∈ R, b ∈ S ℓ (Rn ) et (bℓ ) une suite de symboles appartenant à S ℓ (Rn ) et qui converge vers b dans S ℓ (Rn ). Alors (ak bk ) converge vers ab dans S m+ℓ (Rn ). Démonstration. On a déjà vu que si a ∈ S m (Rn ) et u ∈ S (Rn ) alors Op(a)u ∈ S (Rn ). La démonstration de ce résultat entraîne directement le résultat énoncé au point (i). De même, la proposition précédente démontre le résultat de continuité énoncé au point (ii). Enfin, le résultat énoncé au point (iii) est une conséquence directe de la règle de Leibniz. Lemme 10.19. Soit χ ∈ C0∞ (Rn ) vérifiant χ(0) = 1. Introduisons rε (ξ) = χ(εξ) − 1. Alors rε converge vers 0 dans S 1 (Rn ).

238

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

Démonstration. On va montrer que ∂ξα rε (ξ) ⩽ Cα ε⟨ξ⟩1−|α| pour tout multi-indice α dans Nn . Pour α = 0, on écrit Z 1 rε (ξ) = ε χ′ (tεξ) · ξ dt 0

et on en déduit ⟨ξ⟩−1 rε (ξ) = O(ε) car χ′ est bornée. Pour |α| > 0, on vérifie directement que |α|−1 α ⟨ξ⟩ ∂ξ rε (ξ) = ε ε|α|−1 ⟨ξ⟩|α|−1 ∂ξα χ(εξ) puis on utilise la majoration |α|−1 |α|−1 α ε ⟨ξ⟩ ∂ξ χ(εξ) ⩽ ⟨εξ⟩|α|−1 ∂ξα χ(εξ) ⩽ sup ⟨ζ⟩|α|−1 ∂ξα χ(ζ) Rn

pour obtenir le résultat désiré. On est maintenant en mesure de démontrer le théorème. Considérons un symbole a = a(x, ξ) ∈ S m (Rn ). On fixe χ ∈ C0∞ (Rn ) vérifiant χ(0) = 1 et on introduit, pour tout k ∈ N∗ , ak (x, ξ) = χ (ξ/k) a(x, ξ). Comme ak est à support compact en ξ et aussi en x (par hypothèse supplémentaire sur a), on peut appliquer la proposition 10.2 pour écrire que (10.2)

(Op(ak )u, v) = (u, Op(a∗k )v).

Pour démontrer le théorème, il nous reste à voir que l’on peut passer à la limite dans cette égalité. Pour cela, on commence par combiner le lemme 10.19 avec le point (iii) du lemme 10.18 pour obtenir que (ak ) converge vers a dans ′ S m (Rn ) pour tout m′ > m. Le point (ii) du lemme 10.18 implique alors que ′ (a∗k ) converge vers a∗ dans S m (Rn ). On peut alors appliquer le point (i) de ce lemme pour obtenir que Op(ak )u converge vers Op(a)u dans S (Rn ) et de même, on obtient que Op(a∗k )u converge vers Op(a∗ )u dans S (Rn ). On peut alors passer à la limite dans l’identité (10.2), ce qui conclut la démonstration. On peut maintenant définir l’action de Op(a) sur une distribution tempérée. Pour cela, rappelons le principe que nous avons vu dans le chapitre sur la transformation de Fourier. Soit a ∈ S m (Rn ) avec m ∈ R. Alors Op(a) : S (Rn ) → S (Rn ) une application linéaire continue. On définit alors un opérateur A de S ′ (Rn ) dans S ′ (Rn ) par ∀(u, v) ∈ S (Rn )2 ,

⟨Au, v⟩S ′ ×S = ⟨u, Op(a∗ )v⟩.

Alors la proposition 5.20 montre que l’opérateur A ainsi défini prolonge la définition de Op(a). On le note donc encore Op(a). Nous allons pour conclure ce paragraphe considérer la composition des opérateurs pseudo-différentiels.

10.3. ADJOINT ET COMPOSITION

239

Soient A1 = Op(a1 ) et A2 = Op(a2 ) deux opérateurs pseudo-différentiels. Supposons que a1 et a2 appartiennent à C0∞ (R2n ) et considérons u ∈ S (Rn ). Alors Z d A1 A2 u(x) = (2π)−n eix·ξ a1 (x, ξ)A 2 u(ξ) dξ et Z

e−iy·ξ A2 u(y) dy ZZ = (2π)−n e−iy·(ξ−η) a2 (y, η)b u(η) dη dy

d A 2 u(ξ) =

donc A1 A2 u(x) = (2π)−2n

ZZZ

eiy·η+iξ·(x−y) a1 (x, ξ)a2 (y, η)b u(η) dξ dy dη.

Ainsi, on obtient que A1 A2 u(x) est égal à   Z ZZ −n ix·η −n i(x−y)·(ξ−η) (2π) e (2π) e a1 (x, ξ)a2 (y, η) dξ dy u b(η) dη. Formellement, A1 A2 = Op(b) où ZZ (10.3) b(x, η) = (2π)−n ei(x−y)·(ξ−η) a1 (x, ξ)a2 (y, η) dξ dy. La formule qui définit b est encore une convolution. Proposition 10.20. Si a1 ∈ S m1 (Rn ) et a2 ∈ S m2 (Rn ), alors Op(a1 )◦Op(a2 ) = Op(b), où b = a1 #a2 ∈ S m1 +m2 (Rn ) est donné par l’intégrale oscillante ZZ b(x, η) = (2π)−n ei(x−y)·(ξ−η) a1 (x, ξ)a2 (y, η) dξ dy. Nous ne verrons pas la démonstration, analogue à celle concernant l’adjoint. Nous avons vu dans cette section que, pour tout m ∈ R et tout a ∈ S m (Rn ), on peut définir Op(a) sur l’espace des distributions tempérées. En particulier on peut définir Op(a)u pour tout u dans un espace de Sobolev H s (Rn ) avec s ∈ R quelconque. Grâce à la proposition précédente sur la composition, nous allons maintenant voir que Op(a) est un opérateur d’ordre m comme cela a été affirmé dans le point (i) du théorème 10.13. Proposition 10.21. Soient m ∈ R et a ∈ S m (Rn ). L’opérateur Op(a) applique H s (Rn ) dans H s−m (Rn ) pour tout n ⩾ 1 et tout s ∈ R. Démonstration. Pour µ ∈ R, notons (1 − ∆)µ/2 le multiplicateur de Fourier de symbole ⟨ξ⟩µ = (1 + |ξ|2 )µ/2 . Alors (1 − ∆)µ/2 est un isomorphisme de H µ (Rn ) sur L2 (Rn ). Il suffit donc de montrer que l’opérateur As,m := (I − ∆)(s−m)/2 ◦ Op(a) ◦ (I − ∆)−s/2

240

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

est borné de L2 (Rn ) dans L2 (Rn ). Remarquons que si b = b(ξ), alors Op(a) ◦ Op(b) = Op(ab) donc Op(a) ◦ (1 − ∆)−s/2 est l’opérateur de symbole a(x, ξ)⟨ξ⟩−s . Comme a ∈ S m (Rn ) et que ⟨ξ⟩−s ∈ S −s (Rn ), le produit de ces deux symboles appartient à
S m−s (Rn ). D’un autre côté, pour manipuler (I − ∆)(s−m)/2 ◦ Op a⟨ξ⟩−s/2 , on utilise le théorème de composition qui implique que As,m est un opérateur pseudo-différentiel dont le symbole appartient à S 0 (Rn ). C’est donc un opérateur borné sur L2 (Rn ) d’après le théorème de continuité démontré dans le chapitre précédent. Il reste pour conclure à démontrer la partie concernant le calcul symbolique des opérateurs pseudo-différentiels. Pour cela, introduisons la notion de somme asymptotique de symboles. Cette notion permet de donner un sens rigoureux à des affirmations telles que : a est la somme d’un terme (généralement son symbole dit principal) et d’un reste « meilleur ». Définition 10.22. Soit aj ∈ S mj (Rn ) une suite indexée par j ∈ N de symboles, telle que mj décroît vers −∞. On dira que a ∈ S m0 (Rn ) est la somme asymptotique des aj si ∀k ∈ N,

a−

k X

aj ∈ S mk+1 (Rn ).

j=0

On note alors a ∼

P

aj .

Proposition 10.23. (i) Soient m ∈ R et a ∈ S m (Rn ). Alors X X a∗ ∼ Aj avec Aj = j

|α|=j

1 i|α| α!

∂ξα ∂xα a.

(ii) Soient m1 , m2 ∈ R. Si a1 ∈ S m1 (Rn ) et a2 ∈ S m2 (Rn ), alors X X 1

a1 #a2 ∼ Aj avec Aj = ∂ξα a1 ∂xα a2 . |α| i α! j |α|=j

Remarque 10.24. Dans la pratique, par abus de notations, on écrit simplement X 1 ∂α∂αa a∗ ∼ i|α| α! ξ x α et a1 #a2 ∼

X α



1 ∂ α a1 ∂xα a2 . i|α| α! ξ

10.3. ADJOINT ET COMPOSITION

241

Démonstration. Nous nous bornerons à démontrer le point (i). On utilise la formule de Taylor (dont l’énoncé est rappelé à la fin de la démonstration de cette proposition) a(x − y, ξ − η) =

X |α+β| 0 telles que, pour tout u ∈ S (Rn ), 2

Re(Op(a)u, u) ⩾ C0 ∥u∥H m/2 − C1 ∥u∥2H (m−1)/2 . Remarque 10.29. La proposition précédente reste vraie si a est un symbole à valeurs matricielles (dans ce cas Re a = a + a∗ ). La démonstration se réduit à montrer que, pour tout symbole a ∈ S 0 tel que a(x, ξ) est hermitienne uniformément [pour (x, ξ) ∈ Rd × Rd ] définie positive, il existe b ∈ S 0 tel que b(x, ξ)∗ b(x, ξ) = a(x, ξ). Démonstration. Pour démontrer cette inégalité, qui est une relation entre la positivité d’un symbole et celle de l’opérateur associé, nous allons utiliser le calcul symbolique pour écrire A = Op(a) sous la forme d’un carré (c’està-dire P ∗ P ) plus un opérateur d’ordre m − 1.

10.4. APPLICATIONS DU CALCUL SYMBOLIQUE

245

Posons 1 (A + A∗ ) , 2 de sorte que Re(Au, u) = (Bu, u). Comme A∗ ∈ Op(a) + Op S m−1 , on a B = Op(b) avec b = 12 (a + a∗ ) = Re a + d où d ∈ S m−1 . On note alors e la racine carrée positive de Re a, qui est un symbole appartenant à S m/2 . De plus, la composition des symboles est telle que B := Re A =

f := e∗ #e − Re a ∈ S m−1 . On en déduit que b = e∗ #e + g où g = d − f ∈ S m−1 . On peut alors écrire Re(Au, u) = (Op(b)u, u) = (Op(e)∗ Op(e)u, u) + (Op(g)u, u) 2

= ∥Op(e)u∥L2 + (Op(g)u, u) 2

⩾ ∥Op(e)u∥L2 − ∥Op(g)u∥H (1−m)/2 ∥u∥H (m−1)/2 . La proposition précédente implique que ∥u∥H m/2 ⩽ K0 ∥Op(e)u∥L2 + K1 ∥u∥H (m/2)−1 , et le théorème de continuité des ΨDOs implique que ∥Op(g)u∥H (1−m)/2 ⩽ K2 ∥u∥H (m−1)/2 . En combinant les inégalités précédentes, on obtient le résultat voulu. Exercice. Montrer l’amélioration suivante. Soient m ∈ R+ et a ∈ S m (Rn ). Supposons qu’il existe deux constantes c, R telles que, |ξ| ⩾ R =⇒ Re a(x, ξ) ⩾ c|ξ|m . Alors, pour tout N , il existe une constante CN telle que, c 2 Re(Au, u) ⩾ ∥u∥H m/2 − CN ∥u∥2H −N , 2 pour tout u ∈ S (Rn ). [On utilisera les inégalités suivantes : (i) 2xy ⩽ ηx2 + (1/η)y 2 et (ii) pour tout ε > 0 et tout N > 0, il existe Cε,N > 0 telle que ∥u∥H −1 ⩽ ε∥u∥L2 + Cε,N ∥u∥H −N , ce qui résulte de l’inégalité facile ⟨ξ⟩−2 ⩽ ε2 + Cε,N ⟨ξ⟩−2N .] Rappelons la notation du crochet de Poisson, X ∂a ∂b ∂b ∂a {a, b} = − · ∂ξj ∂xj ∂ξj ∂xj 1⩽j⩽n

246

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

Théorème 10.30. Soit P = Op(p) un opérateur pseudo-différentiel tel que p = p1 + p0 avec p1 ∈ S 1 (Rn ) et p0 ∈ S 0 (Rn ). Supposons qu’il existe une constante c telle que, i{p1 , p1 } ⩾ c(1 + |ξ|). Alors il existe une constante C telle que ∥u∥H 1/2 ⩽ C ∥P u∥L2 + C∥u∥L2 . Remarque 10.31. La condition précédente sur i{p1 , p1 } s’appelle la condition d’hypoellipticité de Hörmander. On vérifie facilement que pour tout p ∈ C 1 (Rn ) à valeurs complexes, le crochet de Poisson i{p, p} est une fonction à valeurs réelles. Démonstration. Introduisons l’opérateur Q = P ∗ P − P P ∗ . Alors 2

∥P u∥L2 = (P ∗ P u, u)
= (P P ∗ u, u) + (P ∗ P − P P ∗ )u, u 2

= ∥P ∗ u∥L2 + (Qu, u) ⩾ (Qu, u). Ainsi, toute estimation de positivité de Q donnera une estimation sur 2 ∥P u∥L2 . Rappelons d’abord que si A = Op(a) ∈ Op S m1 et B = Op(b) ∈ Op S m2 , sont deux opérateurs pseudo-différentiels, alors A∗ ∈ Op S m1 et [A, B] ∈ Op S m1 +m2 −1 . De plus, 1  A∗ ∈ Op(a) + Op S m1 −1 , [A, B] ∈ Op {a, b} + Op S m1 +m2 −2 . i Donc Q = Op(q) avec q = q1 + q0 où q1 ∈ S 1 (Rn ), q0 ∈ S 0 (Rn ) et 1 {p1 , p1 }. i Par hypothèse, on en déduit que Re q1 ⩾ c|ξ| si |ξ| ⩾ R. L’inégalité de Gårding implique que 1 2 Re(Qu, u) ⩾ ∥u∥H 1/2 − C∥u∥2L2 . C Ce qui conclut la démonstration. q1 =

10.5. Exercices Exercice (corrigé) 10.1 (Calculs d’intégrales oscillantes). (1) Soit a ∈ Am (Rn × Rn ). Montrer que, pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n, Z Z −iy·x e xj a(x, y) dx dy = −i e−iy·x ∂yj a(x, y) dx dy.

10.5. EXERCICES

247

(2) Soit a ∈ Am (Rn ). Montrer que : Z Z 1 1 −iy·x e a(y) dy dx = e−iy·x a(x) dy dx = a(0). (2π)n (2π)n (3) Soient α, β ∈ Nn . Montrer que : ( Z α β 0 si α ̸= β, 1 −iy·x y x e dy dx = (2π)n α!β! (−i)|α| /α! si α = β. Exercice (corrigé) 10.2 (Somme asymptotique de symboles). (1) Soit (mj )j∈N une suite strictement décroissante d’entiers telle que limj→+∞ mj = −∞. Considérons une suite de symboles (aj )j∈N vérifiant aj ∈ S mj ainsi qu’une fonction χ ∈ C0∞ (Rn ) telle que χ = 1 au voisinage de 0. (2) Montrer qu’il existe une suite εj → 0 telle que, pour tous α, β si on pose e aj (x, ξ) = (1 − χ(εj ξ))aj (x, ξ), on a, pour tout j assez grand : 1 ∀(x, ξ) ∈ Rn × Rn , ∂xα ∂ξβ e aj (x, ξ) ⩽ j (1 + |ξ|)1+mj −|β| . 2 P (3) On pose a = j∈N e aj . Montrer que cela définit bien une fonction C ∞ . P (4) Montrer que, pour tout k ∈ N∗ , a − j 0 tels que |ξ| ⩾ R =⇒ |P (ξ)| ⩾ C|ξ|m . Si P (ξ) vérifie ces propriétés, on dit que le multiplicateur de Fourier P (D) est elliptique. (1) Soit χ ∈ C0∞ (Rn ) telle que χ = 1 sur la boule B(0, R) = {|ξ| ⩽ R}. Montrer que, pour tout u ∈ C0∞ (Rn ), l’intégrale suivante a un sens (au sens des intégrales oscillantes) ZZ 1 1 − χ(ξ) eix·ξ u(x) dx dξ. (2π)n P (ξ)

10.5. EXERCICES

249

(2) Soit U un ouvert borné ne contenant pas 0. On considère la distribution T sur C0∞ (U ) définie par : ZZ 1 1 − χ(ξ) T (u) = eix·ξ u(x) dx dξ. (2π)n P (ξ) Montrer que T s’identifie à une fonction de L2 (U ). (3) De même, montrer que, pour tout α ∈ Nn , ∂ α T s’identifie à une fonction de L2 (U ). En déduire que, sur C0∞ (Rn ∖ {0}), T s’identifie à une fonction de C ∞ (Rn ∖ {0}). (4) Montrer que P (D)T = δ0 + r avec r ∈ C ∞ (Rn ). La distribution T est appelée paramétrice de P (D). (5) Montrer que pour tout ε > 0, on peut trouver une paramétrice de P (D) à support dans B(0, ε). Exercice 10.6 (Sommes de carrés de champs de vecteurs). Le but de cet exercice (qui est très difficile) est de montrer un résultat célèbre de Lars Hörmander [60] sur l’hypoellipticité de certains sommes de carrés de champs de vecteurs. Nous suivrons la démonstration de Kohn [81] et renvoyons aux ouvrages de Helffer et Nier [58] et Trèves [144] pour la solution. Notations On considère uniquement des fonctions à valeurs réelles définies sur un ouvert de Rn avec n ⩾ 1 un entier quelconque. Étant donné s ∈ R, on note H s (Rn ) l’espace de Sobolev d’ordre s et ⟨Dx ⟩s le multiplicateur de Fourier s 2 s/2 2 n de symbole R ⟨ξ⟩ = (1+|ξ| ) . On note ⟨u, v⟩ le produit scalaire sur L (R ), ⟨u, v⟩ = Rn u(x)v(x) dx. On pensera à utiliser : – l’inégalité de Cauchy-Schwarz ; – le fait que ∥u∥H s = (2π)−n/2 ∥⟨Dx ⟩s u∥L2 ; – la dualité : ⟨Au, v⟩ = ⟨u, A∗ v⟩ et |⟨u, v⟩| ⩽ ∥u∥H s ∥v∥H −s pour s ∈ R. Étant donnés deux opérateurs A et B, on note AB le composé A ◦ B (donc A2 = A ◦ A) et [A, B] = AB − BA leur commutateur. On s’intéresse dans ce problème à l’opérateur d’ordre 2 X L= Xj2 , 1⩽j⩽m

où X1 , . . . , Xm sont des opérateurs différentiels d’ordre 1 : pour 1 ⩽ j ⩽ m, Xj est défini par X ∂u (Xj u)(x) = ai,j (x) (x), ∂xi 1⩽i⩽n

où ai,j est C ∞ sur Rn à valeurs dans R pour tout i tel que 1 ⩽ i ⩽ n. Noter que l’on suppose seulement que fonctions ai,j sont C ∞ (et pas C ∞ et bornées ainsi que leurs dérivées). Par exemple, on souhaite étudier le cas L = ∂x2 + x2 ∂y2 = X12 + X22 avec X1 = ∂x et X2 = x∂y .

250

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

Questions préliminaires (1) Montrer que l’adjoint Xj∗ de Xj vérifie Xj∗ u = −Xj u + cj u où cj ∈ C (Rn ) est une fonction que l’on déterminera. C’est-à-dire montrer que pour tous u, v ∈ C0∞ (Rn ), Z Z
(Xj u)(x)v(x) dx = −u(x)(Xj v)(x) + cj (x)u(x)v(x) dx. ∞

Rn

Rn

(2) Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que, pour tout u ∈ C0∞ (Rn ), X 2 2 ∥Xj u∥L2 ⩽ C ∥Lu∥L2 + C∥u∥2L2 . 1⩽j⩽m

Étude d’une classe d’opérateurs Fixons un ouvert V borné. On note Ψ0V l’ensemble des opérateurs P ∈ L (L2 (Rn )) qui peuvent s’écrire sous la forme P u = φ1 Op(a) φ2 u) avec – φ1 , φ2 ∈ C0∞ (Rn ) et supp φk ⊂ V pour k = 1, 2 ; – a est un symbole à valeurs complexes appartenant à S 0 . Soit ε ∈ ]0, 1/2]. On note Aε l’ensemble des opérateurs P ∈ Ψ0V tels que ∃C > 0/ ∀u ∈ C0∞ (V ),

2

2

∥P u∥H ε ⩽ C ∥Lu∥L2 + C∥u∥2L2 .

(1) Montrer que si P1 et P2 appartiennent à Ψ0V , alors P1 P2 ∈ Ψ0V et ∈ Ψ0V . (2) Montrer que si P ∈ Aε alors P ∗ ∈ Aε . (3) Montrer que tout ε ∈ ]0, 1/2], Aε est stable par composition à gauche ou à droite par un pseudo de Ψ0V : si P ∈ Aε et Q ∈ Ψ0V , alors P1∗

QP ∈ Aε ,

P Q ∈ Aε .

(4) Soient θ1 et θ2 deux fonctions C ∞ à support compact telles que supp θk ⊂ V pour k = 1, 2 et θ1 ≡ 1 sur le support de θ2 . Introduisons l’opérateur S défini par Su = θ1 ⟨Dx ⟩−1 (θ2 u). Montrer que Xj S ∈ Ψ0V . Montrer de plus que, pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n et tout ε ∈ [0, 1/2], on a Xj S ∈ Aε . (5) Soit ε, δ ∈ ]0, 1/2] avec δ ⩽ ε/2. Considérons P ∈ Aε . Nous voulons montrer dans cette question que [Xj , P ] ∈ Aδ pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n.

251

10.5. EXERCICES

2

(a) Écrire ∥[Xj , P ]u∥H δ sous la forme ⟨[Xj , P ]u, T u⟩ où T = Op(τ ) est un opérateur pseudo-différentiel avec τ ∈ S 2δ . (b) Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que 2

2

|⟨P Xj u, T u⟩| ⩽ ∥Xj u∥L2 + ∥T P ∗ u∥L2 + C∥u∥2H 2δ−1 . (c) Obtenir une estimation similaire pour |⟨Xj P u, T u⟩| et conclure. (6) On note A l’ensemble des opérateurs P ∈ Ψ0V tels que P ∈ Aε pour un certain ε ∈ ]0, 1/2]. C’est-à-dire P ∈ Aε si et seulement si 2

∃ε ∈ ]0, 1/2], ∃C > 0/ ∀u ∈ C0∞ (V ),

2

∥P u∥H ε ⩽ C ∥Lu∥L2 + C∥u∥2L2 .

Soient i, j tels que 1 ⩽ i, j ⩽ m. Montrer que le commutateur [Xi , Xj ] = Xi Xj − Xj Xi est un opérateur différentiel d’ordre 1. Montrer que pour tous j, k tels que 1 ⩽ j, k ⩽ m, on a [Xj , Xk ]S ∈ A . (Indication : observer que [Xj , Xk S] ∈ A .) Le sous-laplacien sur le groupe de Heisenberg Considérons le cas de la dimension d’espace n = 3. Considérons l’opérateur L = X2 + Y 2 avec X = ∂x2 + 2x1 ∂x3 ,

Y = ∂x1 − 2x2 ∂x3 .

(1) Soit V un ouvert borné. Montrer que, pour tout k tel que 1 ⩽ k ⩽ 3, ∃ε ∈ ]0, 1/2], ∃C > 0/ ∀u ∈ C0∞ (V ),

2

2

∥∂xk (Su)∥H ε ⩽ C ∥Lu∥L2 + C∥u∥2L2 .

(2) En déduire que, pour tout compact K ⊂ Rn , il existe ε > 0 et une constante C > 0 telle que, pour tout u ∈ C0∞ (Rn ) avec supp u ⊂ K, 2

∥u∥2H ε ⩽ C ∥Lu∥L2 + C∥u∥2L2 . Cas général P On identifie un opérateur différentiel X = 1⩽i⩽n ai ∂xi , avec le champ de vecteurs a = (a1 , . . . , an ) : Rn → Rn . Étant donné x ∈ Rn , on note X(x) le vecteur a(x) ∈ Rn . P 2 On considère à nouveau un opérateur général L = 1⩽j⩽m Xj et on ∗ n suppose qu’il existe r ∈ N tel que pour tout x ∈ R , n o vect [Xi1 , [Xi2 , . . . , [Xip−1 , Xip ] . . .]](x) : p ⩽ r, ik ∈ {1, . . . , m} = Rn . (a) Montrer que cette condition est vérifiée pour les deux exemples suivants : – n = 2, X1 = ∂x et X2 = x∂y ; – n = 4 (on note (x, y, z, t) les coordonnées d’un point de R4 ). On considère les deux champs X1 = ∂x , X2 = 21 x2 ∂t + x∂z + ∂y .

252

CHAPITRE 10. CALCUL SYMBOLIQUE

(b) Montrer que [Xi1 , [Xi2 , . . . [Xip−1 , Xip ] . . .]]S ∈ A pour tout p-uplet d’indices. (c) Montrer que, pour tout compact K ⊂ Rn , il existe ε > 0 et une constante C > 0 telle que, pour tout u ∈ C0∞ (Rn ) avec supp u ⊂ K, 2

∥u∥2H ε ⩽ C ∥Lu∥L2 + C∥u∥2L2 . Complément (1) On considère maintenant l’opérateur X L = Xj2 + X0 , 1⩽j⩽m

où X0 , X1 , . . . , Xm sont m + 1 champs comme précédemment. Montrer qu’il existe une constante C telle que, pour tout u ∈ C0∞ (Rn ), X 2 2 ∥Xi u∥L2 ⩽ C ∥L u∥L2 + C∥u∥2L2 . 1⩽i⩽m

On dit que P ∈ Ψ0V appartient à AL si et seulement si 2

∃ε ∈ ]0, 1/2], ∃C > 0/ ∀u ∈ C0∞ (V ),

2

∥P u∥H ε ⩽ C ∥L u∥L2 + C∥u∥2L2 .

Montrer que, avec S comme précédemment et P ∈ Ψ0V , X0 S ∈ AL ,

[X0 , P ] ∈ AL

et que, pour tous i, j tels que 0 ⩽ i, j ⩽ m, on a [Xj , Xk ]S ∈ AL . En déduire que AL = Ψ0V s’il existe r ∈ N tel que n o vect [Xi1 , [Xi2 , . . . , [Xip−1 , Xip ] . . .]](x) : p ⩽ r, ik ∈ {0, . . . , m} = Rn . (2) On a donc montré que, pour tout compact K ⊂ Rn , il existe ε > 0 et C > 0 tels que, pour tout u ∈ C0∞ (Rn ) avec supp u ⊂ K, 2

∥u∥2H ε ⩽ C ∥L u∥L2 + C∥u∥2L2 . On dit que c’est une estimation de sous-ellipticité. En utilisant cette estimation et la structure de L, montrer que L est hypoelliptique : ce qui signifie que si u ∈ D ′ (Ω) vérifie Lu ∈ C ∞ (ω) avec ω ⊂ Ω alors u ∈ C ∞ (ω). Néanmoins, un opérateur peut vérifier une estimation de sous-ellipticité sans être hypoelliptique. Considérons par exemple l’opérateur □u = (∂t2 − ∂x2 )u. Alors cet opérateur n’est pas hypoelliptique (il existe des solutions non C ∞ de □u = 0) mais il vérifie l’estimation précédente. Montrer (de façon directe) qu’il existe une constante C telle que pour tout u ∈ C0∞ (R2 ), 2 ∥u∥2H 1 ⩽ C ∥□u∥L2 + C∥u∥2L2 .

CHAPITRE 11 ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES

Nous allons nous intéresser aux équations hyperboliques, qui sont des équations aux dérivées partielles fondamentales pour la théorie comme pour les applications, car elles régissent les phénomènes de propagation.

11.1. Équations de transport Soient n ⩾ 1 et v ∈ Rn . L’équation de transport est le prototype d’une équation hyperbolique du premier ordre. C’est l’équation ∂t u + v · ∇u = 0 où l’inconnue u = u(t, x) est une fonction à valeurs réelles de classe C 1 , définie sur R × Rn . Proposition 11.1. Soit u0 ∈ C 1 (Rn ). Il existe une unique fonction u ∈ C 1 (R × Rn ) qui est solution du problème de Cauchy ( ∂t u + v · ∇u = 0, u|t=0 = u0 . Cette solution est donnée par la formule u(t, x) = u0 (x − tv). Démonstration. L’idée est d’introduire une fonction t 7→ X(t) telle que, si u est solution de ∂t u + v · ∇u = 0 alors u(t, X(t)) est une fonction constante. Ici, cela revient à introduire X(t) = x+vt avec x ∈ Rn quelconque. En effet, d u(t, x + vt) = (∂t u + v · ∇u)(t, x + vt). dt Donc, si u est solution du problème de Cauchy alors u(t, X(t)) = u(t, x + vt) = u(0, X(0)) = u(0, x) = u0 (x), d’où u(t, x) = u0 (x − vt). Réciproquement, on vérifie directement que (t, x) 7→ u0 (x − tv) est une fonction C 1 qui est solution du problème de Cauchy.

254

CHAPITRE 11. ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES

Dans le cas où le vecteur constant v est remplacé par une fonction à coefficients variables, on dispose encore d’une formule de représentation de la solution basée sur l’utilisation des courbes caractéristiques du champ de vecteurs. Comme nous n’allons pas utiliser ce point de vue, nous nous bornerons dans cette section à définir ces courbes et énoncer(1) le résultat principal. Commençons par rappeler le lemme de Gronwall. Ce lemme, très simple, joue un rôle fondamental dans l’étude des équations d’évolution. Lemme 11.2 (Lemme de Gronwall). Soient A, B ⩾ 0 et b, ϕ : R+ → R+ , deux fonctions continues telles que Z t Z t ϕ(t) ⩽ A + B ϕ(s) ds + b(s) ds 0

0

pour tout t ⩾ 0. Alors, pour tout t ⩾ 0, Z t Bt ϕ(t) ⩽ Ae + b(s)eB(t−s) ds. 0

Démonstration. Introduisons Z w(t) = A + B

t

Z

t

ϕ(s) ds + 0

b(s) ds. 0

Par hypothèse, cette fonction est de classe C 1 sur R+ et w′ (t) = Bϕ(t) + b(t) ⩽ Bw(t) + b(t). Donc
′ w(t)e−Bt ⩽ b(t)e−Bt , et on en déduit le résultat voulu en intégrant cette inégalité. Soit T > 0 et (t, x) 7→ V (t, x) ∈ Rn un champ de vecteurs défini pour (t, x) ∈ R × Rn , admettant des dérivées partielles d’ordre 1 par rapport aux variables xj pour j = 1, . . . , n et vérifiant les hypothèses suivantes (H1)

V et ∇x V sont continues sur [0, T ] × Rn ,

et il existe une constante κ > 0 telle que, pour tout (t, x) ∈ [0, T ] × Rn , (H2)

|V (t, x)| ⩽ κ(1 + |x|).

Rappelons que l’on dit que γ est une courbe intégrale du champ V passant par x à l’instant t si γ : s 7→ γ(s) ∈ Rn vérifie d γ(s) = V (s, γ(s)), γ(t) = x. ds Le théorème de Cauchy-Lipschitz entraîne l’existence locale d’une telle courbe intégrale. (1) Nous

renvoyons le lecteur aux livres d’Alinhac [2], Courant et Hilbert [29, 30] et John [69].

11.1. ÉQUATIONS DE TRANSPORT

255

En utilisant le lemme de Gronwall, l’hypothèse (H2) permet de montrer que pour tout (t, x) ∈ [0, T ] × Rn la courbe intégrale s 7→ γ(s) de V passant par x à l’instant t est définie pour tout s ∈ [0, T ]. Dans la suite, on notera s 7→ X(s, t, x) cette courbe intégrale, qui est donc par définition solution de ∂s X(s, t, x) = V (s, X(s, t, x)),

X(t, t, x) = x.

L’identité principale énonce que pour tous t1 , t2 , t3 ∈ [0, T ], on a X(t3 , t2 , X(t2 , t1 , x)) = X(t3 , t1 , x). Pour obtenir cette identité, notons que les applications t3 7−→ X(t3 , t2 , X(t2 , t1 , x)) et t3 7→ X(t3 , t1 , x) sont deux courbes intégrales de V passant par X(t2 , t1 , x) pour t3 = t2 . Par unicité dans le théorème de Cauchy-Lipschitz, ces applications coïncident sur leur intervalle maximal de définition. Nous énonçons le résultat suivant sans le démontrer (car nous n’utiliserons pas ce point de vue dans la suite). Proposition 11.3 (méthode des caractéristiques). Pour tout (s, t) ∈ [0, T ] × [0, T ] l’application X(s, t, ·) : x 7−→ X(s, t, x) est un C 1 -difféomorphisme de Rn sur lui-même. De plus, X ∈ C 1 ([0, T ] × [0, T ] × Rn ; Rn ) et ∂t X(0, t, x) +

d X

Vj (t, x)∂xj X(0, t, x) = 0,

pour tout (t, x) ∈ [0, T ] × Rn .

j=0 1

n

Si u0 ∈ C (R ; R), la fonction définie par u(t, x) = u0 (X(0, t, x)) est C 1 sur [0, T ] × Rn et vérifie ∂t u(t, x) + V (t, x) · ∇u(t, x) = 0,

u(0, x) = u0 (x).

Si ∂t u + c · ∇u = 0 et u(0) = u0 , on a vu que u(t, x) = u0 (x − ct). On en déduit que toute les normes Lp de u0 sont préservées par l’équation. Ce qui signifie que ∥u(t)∥Lp = ∥u0 ∥Lp pour tout p tel que 1 ⩽ p ⩽ +∞. En particulier, ∥u(t)∥L2 = ∥u0 ∥L2 . Nous allons voir comment démontrer une estimation analogue pour une équation à coefficients variables (sans utiliser le fait que l’on peut intégrer une telle équation par la méthode des caractéristiques). Considérons maintenant V ∈ Cb∞ (R×Rn ) à valeurs réelles et une solution régulière u ∈ C 1 (R; L2 (Rn )) de l’équation ∂t u + V (t, x) · ∇u = 0.

256

CHAPITRE 11. ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES

En multipliant l’équation par u et en intégrant, on obtient que Z Z Z d u(t, x)2 dx = 2 u∂t u dx = −2 u(V · ∇u) dx dt Rn Rn et en intégrant par parties, on déduit que Z Z 1 u(V · ∇u) = − (div V )u2 dx, 2 Rn Rn d’où Z Z d u(t, x)2 dx ⩽ ∥div V ∥L∞ u2 dx. dt Rn Rn Le lemme de Gronwall donne alors ∀t ⩾ 0,

2

2

∥u(t)∥L2 (Rn ) ⩽ et∥div V ∥L∞ ∥u0 ∥L2 (Rn ) .

Remarquons que si div V = 0 alors la norme ∥u(t)∥L2 (Rn ) est conservée. 11.2. Équations hyperboliques pseudo-différentielles On considère des symboles at (x, ξ) dépendant d’un paramètre t ∈ R, à valeurs complexes. Dans toute la suite de ce chapitre, x, ξ ∈ Rn où n ⩾ 1 est un entier quelconque fixé. Définition 11.4. (i) Considérons un symbole a = a(x, ξ) appartenant à S 1 (Rn ). On dit que a est hyperbolique si a peut s’écrire sous la forme a = a1 + a0 où a1 ∈ S 1 (Rn ) est un symbole à valeurs imaginaires pures et a0 appartient à S 0 (Rn ). Il est équivalent de dire que a est un symbole de S 1 (Rn ) dont la partie réelle appartient à S 0 (Rn ). (ii) Considérons une famille (at )t∈R de symboles de S 1 (Rn ) telle que t 7→ at est continue et bornée de R dans S 1 (Rn ). On dit que (at )t∈R est un symbole d’ordre 1 dépendant du temps. Par définition, ce symbole est hyperbolique si Re(at ) est bornée dans S 0 (Rn ). Exemple 11.5. L’exemple le plus simple d’un symbole hyperbolique est le suivant : a(x, ξ) = iξ en dimension n = 1, alors Op(a)u = ∂x u. En dimension n ⩾ 1 quelconque, notons que le symbole at (x, ξ) = iV (t, x) · ξ est hyperbolique et dans ce cas, on a Op(a)u = V (t, x) · ∇u. Considérons un symbole (at )t∈R hyperbolique et une fonction u continue de R dans S ′ (Rn ). Par définition, Op(a)u est définie par (Op(a)u)(t) = Op(at )u(t). Si u ∈ C 0 (R; H s (Rn )) avec s ∈ R, alors le résultat de continuité des opérateurs pseudo-différentiels sur les espaces de Sobolev (voir la proposition 10.21) entraîne Op(a)u ∈ C 0 (R; H s−1 (Rn )). Donnons-nous de plus : – un temps T > 0 et un nombre réel s quelconques ;

11.2. ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES PSEUDO-DIFFÉRENTIELLES

257

– une fonction u0 ∈ H s (Rn ), appelée donnée initiale ; – une fonction f ∈ C 0 ([0, T ]; H s (Rn )), appelée le terme source. On s’intéresse au problème de Cauchy suivant   ∂u + Op(a)u = f, ∂t (11.1) u |t=0 = u0 , où l’inconnue est la fonction u = u(t, x), la variable t ∈ R+ correspond au temps et la variable x ∈ Rn (n ⩾ 1) correspond à la variable d’espace. Théorème 11.6. Soient T > 0, n ⩾ 1 et s ∈ R. Pour toute donnée initiale u0 ∈ H s (Rn ) et tout f ∈ C 0 ([0, T ]; H s (Rn )), il existe une unique fonction u ∈ C 0 ([0, T ]; H s (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H s−1 (Rn )) qui vérifie ∂u + Op(a)u = f ∂t et qui est telle que u(0) = u0 . Démonstration. Le premier ingrédient pour démontrer ce théorème est une estimation a priori. Lemme 11.7. Soit s ∈ R, T > 0. Il existe une constante C telle que pour tout u ∈ C 1 ([0, T ]; H s ), tout f ∈ C 0 ([0, T ]; H s ), tout u0 ∈ H s et tout t ∈ [0, T ], si u est solution de (11.1) alors Z t ′ Ct (11.2) ∥u(t)∥H s ⩽ e ∥u0 ∥H s + eC(t−t ) ∥f (t′ )∥H s dt′ . 0

De plus, il existe deux constantes K et N qui ne dépendent que de s telles
que, en notant αt := a∗t − at + 2 Re at où a∗t est le symbole de l’adjoint de Op(at ), nous avons : X C⩽K sup sup ⟨ξ⟩−|β| ∂xα ∂ξβ αt (x, ξ) . |α|+|β|⩽N

t∈[0,T ] x,ξ

Démonstration. On commence par le cas s = 0. Comme u est C 1 à valeurs dans L2 on peut écrire que d d 2 ∥u(t)∥L2 = (u(t), u(t)) dt dt (11.3) = 2 Re (∂t u(t), u(t))
= −2 Re (Op(at )u(t), u(t)) + 2 Re f (t), u(t) . On a vu au chapitre précédent que l’adjoint Op(at )∗ est un opérateur pseudo-différentiel dont le symbole, noté a∗t , est tel que a∗t = at + bt avec bt ∈ S 0 (Rn ). On peut alors écrire (Op(at )u(t), u(t)) = (u(t), Op(at )∗ u(t)) = (u(t), Op(at )u(t) + Op(bt )u(t)) .

258

CHAPITRE 11. ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES

L’hypothèse que (at ) est hyperbolique signifie que at = −at + 2 Re at avec Re at ∈ S 0 (Rn ). Donc a∗t = −at + αt où αt appartient à S 0 (Rn ) (uniformément en t). On en déduit que
(Op(at )u(t), u(t)) = u(t), − Op(at )u(t) + Op(αt )u(t) , d’où
2 Re (Op(at )u(t), u(t)) = u(t), Op(αt )u(t) . L’inégalité de Cauchy-Schwarz et le théorème de continuité des opérateurs pseudo-différentiels d’ordre 0 sur L2 (voir la proposition 10.21 avec m = 0 par exemple) impliquent que 2

|(Op(αt )u(t), u(t))| ⩽ K sup ∥Op(αt )∥L (L2 ) ∥u(t)∥L2 ⩽ C0 ∥u(t)∥2L2 , t

où C0 est une constante qui ne dépend pas de t. En reportant cette inégalité dans (11.3), on conclut que (11.4)

d 2 2 ∥u(t)∥L2 ⩽ C0 ∥u(t)∥L2 + 2∥f (t)∥L2 ∥u(t)∥L2 . dt 2

d d On aimerait écrire que dt ∥u(t)∥L2 = 2 ∥u(t)∥L2 dt ∥u(t)∥L2 et simplifier l’inégalité en divisant par ∥u(t)∥L2 . Comme on ne sait pas encore que ∥u(t)∥L2 ne peut pas s’annuler (sauf si u est identiquement nulle), on procède de la façonqsuivante : étant donné δ > 0, on déduit de (11.4) que la 2

∥u(t)∥L2 + δ vérifie

fonction y(t) =

d y(t)2 ⩽ C0 y(t)2 + 2∥f (t)∥L2 y(t), dt 2

et comme ∥u(t)∥L2 + δ > 0, la fonction y(t) est C 1 et on peut simplifier dy(t) ⩽ C0 y(t) + 2∥f (t)∥L2 . dt Le lemme de Gronwall implique que Z t ′ ∥u(t)∥L2 ⩽ y(t) ⩽ y(0)eC0 t/2 + ∥f (t′ )∥L2 eC0 (t−t )/2 dt′ , 2

0

pour tout δ > 0. En faisant tendre δ vers 0, on obtient que Z t ′ C0 t/2 ∥u(t)∥L2 ⩽ ∥u(0)∥L2 e + ∥f (t′ )∥L2 eC0 (t−t )/2 dt′ , 0

ce qui conclut la démonstration du lemme dans le cas s = 0. Maintenant, pour s quelconque, on commute L = ∂t + Op(a) à Λs = ⟨Dx ⟩s , ce qui donne e s u, Λs Lu = LΛ

e = ∂t + A, e L

e = Λs Op(a)Λ−s . A

e est un opérateur ΨDO de symbole hyperbolique. On conclut Notons que A e la preuve en appliquant l’estimation L2 à L.

11.2. ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES PSEUDO-DIFFÉRENTIELLES

259

Démontrons maintenant le théorème 11.6. (i) Vérifions l’unicité. Si u1 et u2 sont deux solutions différentes, alors la différence appartient à C 1 ([0, T ]; H s−1 (Rn )). On peut utiliser l’estimation d’énergie (11.2) appliquée avec s remplacé par s − 1, et on obtient que u1 = u2 . (ii) Démontrons maintenant l’existence. Nous allons commencer par démontrer l’existence d’une solution faible, au sens de la définition suivante. Définition 11.8. Soit s ∈ R. Considérons u ∈ C 0 ([0, T ]; H s (Rn )). On dit que u est une solution au sens des distributions du problème de Cauchy (11.1) si la propriété suivante est vérifiée. Pour toute fonction φ = φ(t) appartenant à C0∞ (] − ∞, T [) et toute fonction ψ = ψ(x) appartenant à la classe de Schwartz S (Rn ), on a Z −

T

Z

′

φ (t)⟨u(t), ψ⟩ dt + 0

T

φ(t)⟨Op(at )u(t), ψ⟩ dt 0

Z =

T

φ(t)⟨f (t), ψ⟩ dt + φ(0)⟨u0 , ψ⟩, 0

où ⟨v, ψ⟩ désigne le produit de dualité entre une distribution tempérée v et une fonction ψ de la classe de Schwartz. Notons L = ∂t + Op(a) et L∗ = −∂t + Op(a)∗ . On considère l’espace T des fonctions v = v(t, x) ∈ R qui sont C ∞ et de la forme v(t, x) = φ(t)ψ(x) où supp φ ⋐] − ∞, T [ et ψ ∈ S (Rn ), et on note E le sous-espace vectoriel E = L∗ (T ). Commençons par démontrer qu’il existe une constante C telle que, pour tout v ∈ T , Z T (11.5) sup ∥v(t)∥H −s ⩽ C ∥L∗ v(t)∥H −s dt. t∈[0,T ]

0

Pour cela, introduisons ve(t, x) = v(T − t, x) et remarquons que (∂t + Op(a)∗ )e v = (L∗ v)(T − t, x),

ve(0, x) = 0.

Nous avons vu dans le chapitre précédent que Op(a)∗ est un opérateur pseudo-différentiel dont le symbole, noté a∗ , vérifie a∗ − a ∈ S 0 (Rn ). Alors Re a∗ − Re a ∈ S 0 (Rn ) et on voit que a est hyperbolique si et seulement si a∗ l’est. On peut donc appliquer l’inégalité (11.2) en remplaçant a par a∗ . De plus, comme ve(0, x) = 0, l’inégalité (11.5) est une conséquence de l’estimation a priori (11.2) appliquée avec s remplacé par −s (notons que les hypothèses qui permettent d’utiliser l’estimation (11.2) sont vérifiées car ve ∈ C 1 ([0, T ]; H −s (Rn ))).

260

CHAPITRE 11. ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES

Soit y un élément de E. Par définition, y peut s’écrire y = L∗ v avec v ∈ T . De plus, si v ′ ∈ T est tel que y = L∗ v ′ , alors L∗ (v − v ′ ) = 0. L’estimation (11.5) entraîne ve = ve′ et donc v = v ′ . Nous avons démontré que pour tout y appartenant à E, il existe un unique v ∈ T tel que y = L∗ v. Soit y = L∗ v ∈ E avec v ∈ T . On définit Ψ(y) par Z T Ψ(y) = ⟨f (t), v(t)⟩ dt + ⟨u0 , v(0, ·)⟩ 0

On a  |Ψ(y)| ⩽

Z

T

∥u0 ∥H s +

 ∥f (t)∥H s dt

0

sup ∥v(t)∥H −s

t∈[0,T ]

et de plus l’estimation (11.5) implique que Z T Z sup ∥v(t)∥H −s ⩽ C ∥L∗ v∥H −s dt = C t∈[0,T ]

0

0

T

∥y∥H −s dt

donc  Z |Ψ(y)| ⩽ C ∥u0 ∥H s + 0

T

Z ∥f (t)∥H s dt

0

T

∥y∥H −s dt.

Ψ : E → R est donc une forme linéaire continue. Avec le théorème de Hahn-Banach, on étend Ψ en une forme linéaire continue Ψe définie sur L1 ([0, T ]; H −s ). Les formes linéaires continues sur L1 ([0, T ]; H −s ) se représentant par des fonctions de L∞ ([0, T ]; H s ), on a montré l’existence de u ∈ L∞ ([0, T ]; H s ) tel que Z T Z T ∀v ∈ T , ⟨u(t), L∗ v(t)⟩ dt = ⟨f (t), v(t)⟩ dt + ⟨u0 , v(0)⟩. 0

0

Le lemme suivant énonce que les solutions faibles sont en fait des solutions au sens classiques. Lemme 11.9. On a u ∈ C 1 ([0, T ]; H s−2 (Rn )), de plus u(0) = u0 et enfin on a l’égalité suivante entre fonctions de C 0 ([0, T ]; H s−2 (Rn )) : ∂u + Op(a)u = f. ∂t Démonstration. Nous allons juste esquisser la démonstration. Soit ψ ∈ S (Rn ) et soit φ ∈ C0∞ (]0, T [). L’identité précédente appliquée avec v = φ(t)ψ(x) implique que Z T Z T ′ − φ (t)⟨u(t), ψ⟩ dt = φ(t) (−⟨Op(a)u, ψ⟩ + ⟨f (t), ψ⟩) dt. 0

0

Il suit que, au sens des distributions, on a ∂u = − Op(a)u + f. ∂t

11.3. EXERCICES

261

On en déduit que u ∈ L∞ ([0, T ]; H s ) est telle que sa dérivée en temps appartient à L∞ ([0, T ]; H s ). On en déduit que u ∈ C 0 ([0, T ]; H s−1 ), d’où Op(a)u ∈ C 0 ([0, T ]; H s−2 ). En utilisant l’équation à nouveau, on montre que u ∈ C 1 ([0, T ]; H s−2 ). Pour conclure, nous allons régulariser f et u0 , construire une suite de solutions régulières et passer à la limite. On introduit deux suites (f n )n∈N et (un0 )n∈N avec f n ∈ C 0 ([0, T ]; H s+2 ) et un0 ∈ H s+2 qui converge vers f dans C 0 ([0, T ]; H s ) et vers u dans H s , respectivement. Le travail précédent donne une suite de solutions un appartenant à C 1 ([0, T ]; H s ). L’estimation d’énergie (11.2) montre alors que la suite des solutions aux problèmes approchés est de Cauchy dans C([0, T ]; H s ), donc converge vers u ∈ C 0 ([0, T ]; H s ) qui est la solution cherchée.

11.3. Exercices Exercice (corrigé) 11.1 (Résolution par régularisation). Le but de cet exercice est de montrer que la solution obtenue à la section 11.2 est la limite de solutions de problèmes approchés. Ce résultat peut être vu comme une autre façon de prouver l’existence d’une solution une fois que l’on a démontré une estimation a priori. Soit at un symbole hyperbolique dépendant du temps. Soient T > 0, s ∈ R, u0 ∈ H s (Rn ) et f ∈ C 0 ([0, T ]; H s (Rn )). Soit ε ∈ ]0; 1[. Considérons le problème de Cauchy suivant : (11.6)

∂t u + Op(at )Jε u = f,

u(0) = u0 ,

où Jε , appelé multiplicateur de Friedrichs, est défini par : d J v (ξ), ε v(ξ) = χ(εξ)b avec χ une fonction de C ∞ (Rn , R), à support dans B(0, 2) et valant 1 sur B(0, 1). (1) Montrer que Op(at )Jε = Op(aεt ), où : aεt (x, ξ) = at (x, ξ)χ(εξ). (2) Montrer qu’il existe une unique solution uε ∈ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )) de (11.6). (3) Montrer qu’il existe une constante C telle que, pour tout ε > 0, tout t ∈ [0; T ] et toute fonction v ∈ C 1 ([0, T ]; H s (Rn )), Z t ∥v(t)∥H s ⩽ C∥v(0)∥H s + C ∥(∂t v + Op(aε )v)(τ )∥H s dτ. 0

En déduire que (uε )ε∈]0;1[ est bornée dans C 0 ([0, T ]; H s (Rn )). (4) Montrer que (uε )ε∈]0;1[ est de Cauchy dans C 0 ([0, T ]; H s−2 (Rn )).

262

CHAPITRE 11. ÉQUATIONS HYPERBOLIQUES

(5) Soient s1 < s2 deux nombres réels et σ ∈ ]s1 ; s2 [. Écrivons σ sous la forme σ = αs1 + (1 − α)s2 avec α ∈ [0, 1]. Montrer qu’il existe une constante C(s1 , s2 ) telle que, pour toute u ∈ H s2 (Rn ) : (11.7)

1−α ∥u∥H σ ⩽ C(s1 , s2 )∥u∥α H s1 ∥u∥H s2 .

En déduire que (uε ) est de Cauchy dans C 0 ([0, T ]; H σ (Rn )) pour s − 2 < σ < s et que uε converge dans C 0 ([0, T ]; H σ (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ]; H σ−1 (Rn )) vers une limite qu’on note u. (6) Montrer que u ∈ C 0 ([0, T ]; H s )∩C 1 ([0, T ]; H s−1 ) et que u est solution de l’équation : ∂t u + Op(at )u = f, u(0) = u0 .

CHAPITRE 12 SINGULARITÉS MICROLOCALES

Nous nous proposons dans ce chapitre de donner une introduction à l’analyse microlocale qui est l’étude des singularités des fonctions de plusieurs variables réelles.

12.1. Propriétés locales Soient u ∈ C0∞ (Rn ) et a ∈ S m (Rn ) avec m un réel quelconque. Le théorème de continuité des opérateurs pseudo-différentiels implique que Op(a) est continu de H s (Rn ) dans H s−m (Rn ) pour tout s ∈ R. Puisque C0∞ (Rn ) est inclus dans H s (Rn ) quelque soit s ∈ R, on en déduit que
Op(a) C0∞ (Rn ) ⊂ H ∞ (Rn ) ⊂ Cb∞ (Rn ), où la seconde inclusion provient du théorème d’injection de Sobolev. On peut se demander si on a mieux. Par exemple, est-il vrai que Op(a)u est une fonction à support compact ? Ce résultat est vrai, trivialement, si a est un polynôme en ξ (à coefficients dépendant de x). En effet, dans ce cas, Op(a) est un opérateur différentiel et Op(a)u est supportée dans supp u. Inversement, un résultat classique de calcul différentiel énonce que les opérateurs locaux (qui n’accroissent pas le support) sont forcément des opérateurs différentiels. Aussi, étant donné un opérateur pseudo-différentiel, il est faux en général que si u appartient à C0∞ (Rn ), alors Op(a)u ∈ C0∞ (Rn ). On dispose toutefois de plusieurs résultats concernant la théorie locale des opérateurs pseudo-différentiels et nous allons les décrire. Parmi ces résultats, le plus simple est donné par la proposition suivante. Proposition 12.1. Soient a ∈ S m (Rn ) et u ∈ L2 (Rn ) une fonction à support compact. Considérons une fonction φ ∈ Cb∞ (Rn ) qui s’annule sur un voisinage du support de u. Alors φ Op(a)u est une fonction Cb∞ (Rn ).

264

CHAPITRE 12. SINGULARITÉS MICROLOCALES

Démonstration. Considérons une fonction ψ ∈ C0∞ (Rn ) qui vaut 1 sur le support de u et dont le support est inclus dans φ−1 ({0}). Par définition des opérateurs pseudo-différentiels, si a = a(x) ne dépend pas de ξ, et si b = b(x, ξ) est un symbole quelconque, alors Op(a)◦Op(b)u = a(Op(b)u) = Op(ab)u. Ici, cela entraîne φ Op(a)u = Op(φa)u. Par ailleurs, on a u = ψu. Le théorème de composition implique que
φ Op(a)u = Op(φa){ψu} = Op (φa)#ψ u. De plus, (φa)#ψ ∼

X α

1 φ(∂ξα a)(∂xα ψ). i|α| α!

Par hypothèse sur φ, ψ, on a φ(∂xα ψ) = 0 pour tout α ∈ Nn , donc (φa)#ψ ∼ 0. On en déduit que Op((φa)#ψ) est un opérateur régularisant, borné de H s1 (Rn ) dans H s2 (Rn ) pour tous nombres réels s1 , s2 . Ce qui conclut la démonstration. Rappelons que S +∞ (Rn ) =

S −∞ (Rn ) =

S m (Rn ),

S m∈R

T

S m (Rn ).

m∈R

Ainsi, S ∞ (Rn ) est l’espace de tous les symboles tandis que S −∞ (Rn ) est l’espace des symboles régularisants. On a bien sûr S −∞ (Rn ) ⊂ S +∞ (Rn ). On note S s n T m n H −∞ (Rn ) = H (R ), H +∞ (Rn ) = H (R ), s∈R +∞

n

s∈R −∞

n

et on a cette fois H (R ) ⊂ H (R ). On a vu que si a ∈ S m (Rn ) avec m ∈ R et u ∈ H s (Rn ) avec s ∈ R alors Op(a)u ∈ H s−m (Rn ). Si m ⩽ 0 alors Op(a)u est plus régulier que u. En particulier a ∈ S −∞ (Rn ), u ∈ H −∞ (Rn ) =⇒ Op(a)u ∈ H ∞ (Rn ) ⊂ Cb∞ (Rn ). Proposition 12.2. Considérons un opérateur pseudo-différentiel Op(a) régularisant, tel que a ∈ S −∞ (Rn ). Alors Op(a) est continu de H −∞ (Rn ) dans S (Rn ). Démonstration. Soient a ∈ S −∞ (Rn ) et u ∈ H −∞ (Rn ). Ce qui précède démontre que Op(a)u appartient à H ∞ (Rn ) et donc à Cb∞ (Rn ). Puis on applique un raisonnement déjà rencontré (voir la démonstration du théorème 9.7) qui nous dit que, pour tout α ∈ Nn , xα Op(a)u est une combinaison linéaire de termes Op(∂ξδ a)(xα−δ u), qui appartiennent à Cb∞ (Rn ) pour les mêmes raisons (H −∞ (Rn ) est stable par dérivation et par multiplication par une fonction lisse). Ainsi, on conclut au fait que Op(a)u ∈ S (Rn ). On rappelle la définition du support singulier d’une distribution.

12.2. FRONT D’ONDE

265

Définition 12.3. On dit qu’une distribution f ∈ S ′ (Rn ) est de classe C ∞ au voisinage de x0 , s’il existe un voisinage ω de x0 tel que pour toute fonction φ ∈ C0∞ (ω), on a φf ∈ C ∞ (Rn ). Le support singulier de f , noté supp sing f , est le complémentaire de l’ensemble des points au voisinage desquels f est C ∞ . Cette notion permet de généraliser la proposition 12.1. Proposition 12.4. Pour tout a ∈ S +∞ (Rn ) et tout u ∈ H −∞ (Rn ), on a supp sing Op(a)u ⊂ supp sing u. Démonstration. Soient a ∈ S +∞ (Rn ), u ∈ S ′ (Rn ) et Ω = Rn ∖ supp sing u. Ainsi, ψu ∈ C0∞ (Rn ) pour tout ψ ∈ C0∞ (Ω). De plus, pour tout φ ∈ C0∞ (Ω), on peut trouver ψ ∈ C0∞ (Ω) avec ψ = 1 sur le support de φ (car on a dist(supp(φ), ∂Ω) > 0), et
φ Op(a)u = φ Op(a) (ψu) + φ Op(a) (1 − ψ)u . Le premier terme est dans S puisque ψu ∈ C0∞ (Rn ) ⊂ S , et le second terme peut s’écrire Op(b)u où b = φa#(1−ψ). Comme nous l’avons déjà vu, le symbole b vérifie b ∼ 0 puisque supp(φ)∩supp(1−ψ) = ∅ par construction de ψ. Par ailleurs, si u ∈ H −∞ (Rn ), alors on a aussi (1 − ψ)u ∈ H −∞ (Rn ). On en déduit que φ Op(a) ((1 − ψ)u) ∈ H +∞ (Rn ). Donc, pour tout φ ∈ C0∞ (Ω), on a φ Op(a)u ∈ C0∞ (Ω). On en déduit que Op(a)u ∈ C ∞ (Ω) (la régularité est une notion locale) ce qui est la propriété recherchée. 12.2. Front d’onde Le front d’onde d’une distribution tempérée f ∈ S ′ (Rn ), noté WF(f ), est un sous-ensemble de Rn ×(Rn ∖{0}), qui décrit non seulement les points où f est singulière, mais encore les co-directions dans lesquelles celle-ci est singulière. Cet ensemble est défini par son complémentaire. Définition 12.5. Soit f ∈ S ′ (Rn ). (i) On dit que f est microlocalement de classe C ∞ en un point (x0 , ξ0 ) ∈ R × (Rn ∖ {0}) s’il existe un ouvert ω ⊂ Rn contenant x0 et un cône ouvert Γ de Rn ∖ {0} contenant ξ0 tels que l’on ait c (ξ) ⩽ CN (1+|ξ|)−N . (12.1) ∀φ ∈ C0∞ (ω), ∀N ∈ N, ∃CN > 0, ∀ξ ∈ Γ, φf n

(ii) L’ensemble des points (x0 , ξ0 ) où f n’est pas microlocalement C ∞ est appelé front d’onde de f et noté WF(f ). Le front d’onde est un sous-ensemble conique de Rn × (Rn ∖ {0}), ce qui signifie que pour tout t > 0, (x, ξ) ∈ WF(f ) ⇐⇒ (x, tξ) ∈ WF(f ).

266

CHAPITRE 12. SINGULARITÉS MICROLOCALES

Le front d’onde permet de préciser la notion de support singulier. En effet, on a la proposition suivante. Proposition 12.6. La projection sur Rn de WF(u) est supp sing(u). Démonstration. Soit x0 ∈ Rn n’appartenant pas à supp sing(u). Si φ ∈ C0∞ (Rn ) est à support dans une boule suffisamment petite centrée en x0 , alors φu est une fonction C ∞ à support compact et donc appartient à la classe de Schwartz. Comme la transformée de Fourier d’une fonction de S (Rn ) appartient à S (Rn ), on en déduit que φu c est à décroissance rapide dans toutes les directions. En particulier, aucun (x0 , ξ0 ) n’appartient à WF(u). Réciproquement, supposons que x0 est tel qu’aucun (x0 , ξ0 ) n’appartient à WF(u). Pour chaque ξ0 , on peut trouver un ouvert ω contenant x0 et un cône Γ contenant ξ0 tels que (12.1) soit valide. Par compacité de la sphère, on peut trouver un nombre fini de tels couples (ωj , Γj ) de manière que les Γj recouvrent Rn ∖ {0}. Pour φ ∈ C0∞ (Rn ) dont le support est contenu dans T c est à décroissance rapide, ce qui j ωj , on en déduit que la fonction φu achève la démonstration. Si P est un opérateur différentiel d’ordre m dont les coefficients pα sont réels et C ∞ , X P = pα (x)∂xα . |α|⩽m

Une question importante en EDP est de déterminer le front d’onde des solutions distributions de l’équation P f = 0. Les résultats de base relient la géométrie de l’opérateur à la géométrie des singularités de ses solutions. Les deux objets géométriques les plus simples que l’on associe à l’EDP P (f ) = 0 sont les suivants. (i) Le symbole principal pm (x, ξ) = im

X

pα (x)ξ α ,

|α|=m

qui est un polynôme homogène de degré m en ξ. (ii) La variété caractéristique de P que l’on note Car(P ) et qui est le fermé (homogène en ξ) défini par  Car(P ) = (x, ξ) ∈ Rn × (Rn ∖ {0}) : pm (x, ξ) = 0 . Le premier résultat important de la théorie est le suivant, qui énonce que les singularités microlocales sont contenues dans la variété caractéristique. Théorème 12.7 (Sato-Hörmander). Si P est un opérateur différentiel à coefficients appartenant à Cb∞ (Rn ), alors pour tout u ∈ S ′ (Rn ), P (u) = 0 =⇒ WF(u) ⊂ Car(P ).

12.2. FRONT D’ONDE

267

Démonstration. Nous commençons par un lemme technique. Étant donné un opérateur différentiel Q et une fonction φ ∈ C0∞ (Rn ), on cherche ψ ∈ C0∞ (Rn ) qui vérifie, approximativement, l’équation
Q ψeix·ξ = φeix·ξ . Résoudre approximativement signifie que nous aurons une erreur et que cette erreur est mesurée en fonction du paramètre naturel qui est la fréquence |ξ| (ici |ξ| est grand). Observons aussi que e−ix·ξ Q(f eix·ξ ) = qm (x, ξ)f + · · · où les pointillés cachent un polynôme en ξ de degré inférieur à m − 1. Ainsi, en première approximation, on cherche ψξ,N comme une perturbation de φ/qm (x, ξ). P α Lemme 12.8. Considérons un opérateur différentiel Q = |α|⩽m aα (x)∂x P d’ordre m et notons qm (x, ξ) = |α|=m aα (x)(iξ)α son symbole principal. Soient ω un ouvert de Rn et V ⊂ Rn ∖ {0} un cône tels que ∃C > 0/ ∀(x, ξ) ∈ ω × V,

|qm (x, ξ)| ⩾ C|ξ|m .

Pour tout entier N , pour tout φ ∈ C0∞ (ω) et tout ξ ∈ V , il existe ψξ,N ∈ C0∞ (ω) et rξ,N ∈ C0∞ (ω) telles que  ψ (x)  ξ,N Q eix·ξ = φeix·ξ + rξ,N eix·ξ qm (x, ξ) avec supRn |ξ|N |∂xα rξ,N | < ∞ pour tout multi-indice α ∈ Nn . Démonstration. Introduisons un opérateur Rξ (qui dépend de ξ) en posant   ψ Q eix·ξ = (ψ + Rξ (ψ))eix·ξ . qm (x, ξ) Il s’agit alors de résoudre, approximativement, l’équation ψ + Rξ (ψ) = φ. Commençons par donner une expression de Rξ (ψ). Pour cela, on calcule   ψ e−ix·ξ Q eix·ξ , qm (x, ξ) directement avec la règle de Leibniz, en séparant l’expression en plusieurs termes : le premier terme correspond au cas où les dérivées d’ordre |α| = m agissent sur le facteur oscillant eix·ξ ; la somme des autres termes correspond à Rξ (ψ), c’est la somme des termes pour lesquelles soit |α| ⩽ m−1 et toutes les dérivées agissent sur eix·ξ , soit au moins une dérivée agit sur le facteur ψ/qm (x, ξ). On trouve   ψ e−ix·ξ Q e−ix·ξ = (I) + Rξ (ψ), qm (x, ξ)

268

CHAPITRE 12. SINGULARITÉS MICROLOCALES

où (I) = e−ix·ξ

X |α|=m

Rξ (ψ) = e−ix·ξ

ψ aα (x)∂xα (eix·ξ ), qm (x, ξ)

X |α|⩽m−1

ψ aα (x)∂xα (eix·ξ ) qm (x, ξ)

+ e−ix·ξ

X

X

|α|⩽m β+γ=α |β|>0

aα (x)∂xβ



 ψ ∂ γ (eix·ξ ). qm (x, ξ) x

Alors (I) = ψ car X

aα (x)∂xα (eix·ξ ) = qm (x, ξ)eix·ξ ,

|α|=m

par définition de qm . Posons ψξ,N :=

N −1 X

(−Rξ )n (φ),

rξ,N = (−1)N +1 RξN (φ).

n=0

Alors ψξ,N + Rξ (ψξ,N ) = φ + rξ,N et on vérifie que rξ,N vérifie les propriétés voulues. Démontrons maintenant le théorème. Soit (x0 , ξ0 ) ̸∈ Car(P ). Considérons un ouvert ω de Rn et un cône Γ ⊂ Rn ∖ {0} tels que ∃C > 0 /(x, ξ) ∈ ω × Γ =⇒ |pm (x, ξ)| ⩾ C|ξ|m . Alors, avec Q = t P et V = −Γ, on a ∃C > 0 /∀(x, ξ) ∈ ω × V,

|qm (x, −ξ)| ⩾ C|ξ|m .

Fixons une fonction φ ∈ C0∞ (ω). Pour montrer que (x0 , ξ0 ) ̸∈ WF(u), nous allons estimer φu(ξ). c Le lemme précédent implique que, pour tout entier N et tout ξ ∈ V , il existe ψξ,N ∈ C0∞ (Rn ) et rξ,N telles que ψ  ξ,N −ix·ξ t P e = φe−ix·ξ + rξ,N e−ix·ξ qm avec sup |∂xα rξ,N | = O(|ξ|−N ). Alors on peut écrire
φu(ξ) c = ⟨u, φe−ix·ξ ⟩ = ⟨u, t P (ψξ,N /qm )e−ix·ξ − rξ,N e−ix·ξ ⟩ = ⟨P u, (ψξ,N /qm )e−ix·ξ ⟩ − ⟨u, rξ,N e−ix·ξ ⟩ = −⟨u, rξ,N e−ix·ξ ⟩, où l’on a utilisé que P u = 0.

12.3. THÉORÈME DE PROPAGATION DES SINGULARITÉS

269

Rappelons que par définition des distributions tempérées, il existe un entier p et une constante C tels que α β x ∂x κ(x) , ∀κ ∈ S (Rn ), |⟨u, κ⟩| ⩽ C sup x∈Rn ,|α|+|β|⩽p

∞ où CK est l’espace des fonctions C ∞ à support dans K. Comme rξ,N est une fonction C ∞ à support dans ω, il existe un entier M qui ne dépend que de ω tel que, pour tout ξ ∈ Γ, X
⟨u, rξ,N e−ix·ξ ⟩ ⩽ C sup ∂xα rξ,N e−ix·ξ |α|⩽M


mais sup ∂xα rξ,N e−ix·ξ = O(|ξ||α|−N ) donc ⟨u, re−ix·ξ ⟩ ⩽ CN ⟨ξ⟩M −N . (La constante CN dépend de ω et de φ, mais ceci ne pose aucun problème.) En prenant N assez grand, on conclut la démonstration.

12.3. Théorème de propagation des singularités Le théorème de propagation des singularités dit que non seulement le front d’onde (les singularités) de la fonction est contenu dans la variété caractéristique, mais en plus c’est forcément une réunion de trajectoires pour un système dynamique naturel(1) . Définition 12.9. Considérons une fonction b = b(x, ξ) ∈ C 2 (R2n ) à valeurs réelles. On note Hb : R2n → R2n le champ de vecteurs défini par  ∂b  ∂b ∂b ∂b (12.2) Hb (x, ξ) = (x, ξ), . . . , (x, ξ), − (x, ξ), . . . , − (x, ξ) . ∂ξ1 ∂ξn ∂x1 ∂xn On dit que Hb est le champ hamiltonien de b. Ses courbes intégrales sont appelées des bicaractéristiques. Pour (x, ξ) ∈ Rn ×Rn , on note t 7→ ΦtHb (x, ξ) = (x(t), ξ(t)) l’unique solution maximale du système (12.3)

(1) Pour

∂b dx = (x(t), ξ(t)), dt ∂ξ x(0) = x, ξ(0) = ξ.

dξ ∂b = − (x(t), ξ(t)), dt ∂x

expliquer qu’un tel résultat se doit d’exister, citons un argument de G. Lebeau. Le postulat de départ de cet argument est qu’une équation doit réduire le nombre de variables indépendantes. Cela signifie que si f = f (x) avec x ∈ Rn est solution d’une équations aux dérivées partielles P (f ) = 0, alors f ne dépend en fait que de n−1 variables. Quand on microlocalise, on double le nombre de variables pour passer de 2n à 2n − 2 variables. Quand on dit que le front d’onde est contenu dans la variété caractéristique, on passe de 2n à 2n − 1. Pour passer de 2n − 1 dimensions à 2n − 2, il faut utiliser le théorème de propagation des singularités.

270

CHAPITRE 12. SINGULARITÉS MICROLOCALES

Remarque 12.10. On utilise aussi la notation n  X ∂b ∂ ∂b ∂  Hb = − , ∂ξj ∂xj ∂xj ∂ξj j=1 pour désigner le champ de vecteurs donné par (12.2). Proposition 12.11. Supposons que b est un symbole à valeurs réelles avec b ∈ S 1 (Rn ). Alors le flot ΦtHb : R2n → R2n est défini pour t ∈ R. De plus, si p ∈ S 0 (Rn ), alors p(ΦtHb (x, ξ)) défini un symbole qui appartient à S 0 (Rn ) uniformément en t. Démonstration. Étant donné (x, ξ) ∈ R2n , le problème de Cauchy (12.3) peut s’écrire sous la forme ( ′ M (t) = Hb (M (t)) où M (t) = (x(t), ξ(t)), M (0) = (x, ξ). Puisque b est une fonction C ∞ , le champ de vecteurs Hb est C 1 et donc le théorème de Cauchy-Lipschitz implique qu’il existe une unique solution maximale m : [0, T ∗ ) → R2n . Prouvons que cette solution est globalement définie, ce qui signifie que T ∗ = +∞. Rappelons l’alternative suivante : soit T ∗ = +∞, soit lim supt→T ∗ |m(t)| = +∞. Pour prouver que cette der2 nière condition est impossible, nous allons estimer y(t) = |m(t)| . Puisque b 1 appartient à S , il existe une constante C > 0 telle que |Hb (m)| ⩽ C +C |m| pour tout m ∈ R2n . Il s’ensuit que dy 2 (t) = 2m′ (t) · m(t) ⩽ 2C(1 + |m|) |m| ⩽ C + 3Cy(t)2 . dt Il découle alors du lemme de Gronwall que 1 y(t)2 ⩽ y(0)2 e3Ct + (e3Ct − 1), 3 ∗ d’où l’on déduit que T = +∞. De plus, la dépendance régulière de la solution d’une équation différentielle ordinaire par rapport aux données initiales implique que, pour tout t ⩾ 0, le flot (x, ξ) 7→ ΦtHb (x, ξ) est C ∞ . Notons Φt (x, ξ) = (X t (x, ξ), Ξt (x, ξ)). Nous affirmons que, pour tous les multi-indices α et β dans Nn , il existe des ′ constantes Cαβ et Cαβ telles que (12.4) ∀(x, ξ) ∈ R2n , ∂xα ∂ξβ X t (x, ξ) ⩽ Cαβ ⟨ξ⟩−|β| si |α| + |β| > 0, ′ (12.5) ∀(x, ξ) ∈ R2n , ∂xα ∂ξβ Ξt (x, ξ) ⩽ Cαβ ⟨ξ⟩1−|β| pour tous α, β ∈ Nn . Nous commençons par étudier Ξt (x, ξ). Puisque ∂x b est un symbole d’ordre 1, comme ci-dessus, nous avons dΞ t (12.6) (x, ξ) ⩽ C + C Ξt (x, ξ) , dt

271

12.3. THÉORÈME DE PROPAGATION DES SINGULARITÉS

et puisque Ξ0 (x, ξ) = ξ, le même argument implique que t Ξ (x, ξ) 2 ⩽ |ξ|2 e3Ct + 1 (e3Ct − 1). 3 Ceci prouve que (12.5) lorsque α = β = 0. De plus, cela implique qu’il existe t1 suffisamment petit (notamment pour e3Ct1 < 4), pour tout t ∈ [0, t1 ], nous avons |Ξt (x, ξ)| ⩽ 2(1 + |ξ|). Fixons maintenant t0 = 1/(6C) (remarquons que t0 ⩽ t1 ). Ensuite, en reportant l’estimation |Ξt (x, ξ)| ⩽ 2(1 + |ξ|) dans (12.6) il s’ensuit que, pour tout t ∈ [0, t0 ], Z t t 1 d s Ξ (x, ξ) − ξ ⩽ Ξ (x, ξ) ds ⩽ (1 + |ξ|). 2 0 ds Par conséquent, pour tout (x, ξ) dans R2n et tout temps t dans [0, t0 ], 1 3 1 1 (12.7) |ξ| − ⩽ Ξt (x, ξ) ⩽ + |ξ|. 2 2 2 2 Posons ! dx X t ⟨ξ⟩ dξ X t St (x, ξ) = , ⟨ξ⟩−1 dx Ξt dξ Ξt où les différentielles dx X t , dξ X t , dx Ξt et dξ Ξt sont identifiées par des matrices. On peut former une équation d’évolution sur St , à savoir ∂ St (x, ξ) = A(t, x, ξ)St (x, ξ) ∂t

;

S0 (x, ξ) = IR2n ,

où A=

! ⟨ξ⟩ dξ ∇ξ b ◦ Φt (x, ξ)

dx ∇ξ b ◦ Φt (x, ξ)

−⟨ξ⟩−1 dx ∇x b ◦ Φt (x, ξ) − dξ ∇x b ◦ Φt (x, ξ)

.

Supposons que (12.4) et (12.5) soient valables pour tous les multi-indices α, β tels que |α| + |β| ⩽ k avec k ∈ N∗ . Il s’ensuit que, si |α| + |β| ⩽ k alors (12.8) sup ⟨ξ⟩|β| ∂xα ∂ξβ St (x, ξ) < +∞. R2n

Nous voulons prouver une estimation similaire pour A. Nous affirmons que, si |α| + |β| ⩽ k, alors (12.9) ∀t ∈ [0, t0 ], sup ⟨ξ⟩|β| ∂xα ∂ξβ A(t, x, ξ) < +∞. R2n

Pour voir cela, nous observons d’abord que, pour toute fonction F ∈ C ∞ (R2n ), et pour tous multi-indices α, β, ∂xα ∂ξb F (Φt (x, ξ)) est une combinaison linéaire de termes de la forme ′

′

Π(x, ξ)(∂xα ∂ξβ F )(Φt (x, ξ)), où le facteur Π est un produit de la forme : a′α′ b′α′

a′ b′

a|α′ | b|α′ | | | | | Π = ∂xa1 ∂ξb1 Xit1 · · · ∂x ∂ξ Xit α′ ∂x 1 ∂ξ 1 Xjt1 · · · ∂x ∂ξ Ξtj β′ , |

|

| |

272

CHAPITRE 12. SINGULARITÉS MICROLOCALES

avec a1 + · · · + a|α′ | + a′1 + · · · + a′|β ′ | = α,

b1 + · · · + b|α′ | + b′1 + · · · + b′|β ′ | = β.

De plus, pour tout symbole r ∈ S 0 , on a α′ β ′ (∂x ∂ r)(Φt (x, ξ)) ⩽ C⟨Ξt (x, ξ)⟩−|β ′ | ⩽ C ′ ⟨ξ⟩−|β ′ | , ξ où nous avons utilisé (12.7). En utilisant l’inégalité précédente avec r = ∂ξj ∂xk b,

r = ⟨ξ⟩−1 ∂x2j xk b ou r = ⟨ξ⟩∂ξ2j ξk b,

(qui sont des symboles d’ordre 0) et en combinant cela avec l’hypothèse de récurrence, nous obtenons le résultat voulu (12.9). Il s’ensuit que ∂ α β ∂ ∂ St (x, ξ) = R(t, x, ξ) + A(t, x, ξ)∂xα ∂ξβ St (x, ξ), ∂t x ξ ∂xα ∂ξβ S0 (x, ξ) = δα0 δb0 IR2n , où R(t, x, ξ) est une combinaison linéaire de termes de la forme ′

′

′

′

(∂xα−α ∂ξβ−β A)(∂xα ∂ξβ St ) avec |α′ | + |β ′ | < |α′ | + |β ′ | ⩽ k. En particulier, il découle de (12.8) et (12.9) que ∀t ∈ [0, t0 ], sup⟨ξ⟩|β| |R(t, x, ξ)| < +∞. R2n

Alors le lemme de Gronwall implique que sup⟨ξ⟩|β| ∂xα ∂ β St (x, ξ) < +∞. ξ

Maintenant, directement à partir de la définition de St , nous déduisons que l’hypothèse de récurrence tient au rang k + 1. Considérons maintenant un symbole p dans S 0 , un temps t dans [0, t0 ] et posons q(x, ξ) = p(Φt (x, ξ)). Il découle des estimations (12.4) et (12.5) et des arguments utilisés pour estimer A ci-dessus, que q est un symbole d’ordre 0. L’argument ci-dessus est valable pour tout temps t suffisamment petit, à savoir pour t ∈ [0, t0 ]. Pour conclure que le résultat est valable pour tous les temps, nous allons voir qu’il suffit d’itérer. Pour commencer, prouvons d’abord le résultat souhaité sur l’intervalle de temps [0, 2t0 ]. Pour cela, définissons q = p ◦ Φt0 et considérons τ ∈ [0, t0 ]. Puisque Φt0 +τ = Φt0 ◦Φτ , nous avons p◦Φt0 +τ = q◦Φτ . Nous appliquons le résultat précédent deux fois, pour obtenir successivement que q est un symbole d’ordre 0 puis que q ◦ Φτ est aussi un symbole d’ordre 0, uniformément par rapport à τ . Plus généralement, par récurrence on prouve successivement que, pour tout entier N , p ◦ Φt appartient à S 0 pour tout t ∈ [0, N t0 ], uniformément en temps. Ceci conclut la démonstration. Considérons un symbole a ∈ S 1 (Rn ). On suppose que a peut s’écrire sous la forme a1 + a0 où

12.3. THÉORÈME DE PROPAGATION DES SINGULARITÉS

273

(1) a0 ∈ S 0 (Rn ) ; (2) a1 ∈ S 1 (Rn ) est un symbole à valeurs imaginaires pures et homogène en ξ d’ordre 1. Par exemple, a(x, ξ) = iV (x)ξ avec V ∈ Cb∞ (Rn ) une fonction à valeurs réelles. Nous avons montré au chapitre précédent comment résoudre le problème de Cauchy pour l’équation ∂u + Op(a)u = 0. ∂t On note S(t, s) = e(s−t) Op(a) : L2 → L2 l’opérateur solution qui à une fonction u0 ∈ L2 (Rn ) donnée associe la valeur au temps t de l’unique solution du problème de Cauchy qui vaut u0 au temps s. C’est-à-dire : u(t) = S(t, s)u0 est l’unique fonction u ∈ C 0 (R; L2 (Rn )) telle que ∂u + Op(a)u = 0, ∂t

u(s) = u0 .

Théorème 12.12. Soit P0 = Op(p0 ) ∈ Op S 0 (Rn ) un opérateur pseudodifférentiel. Alors, pour tout t ∈ R, modulo un opérateur régularisant, S(t, 0)P0 S(0, t) est un opérateur pseudo-différentiel : il existe un symbole qt ∈ S 0 (Rn ) tel que, pour tout u0 ∈ L2 (Rn ), S(t, 0)P0 S(0, t)u0 − Op(qt )u0 ∈ H +∞ (Rn ). De plus, −1 qt (x, ξ) − p0 (Φ−t (Rn ), H (x, ξ)) ∈ S

où ΦtH est le flot associé au champ de vecteurs n

H=

1 X ∂a1 ∂ ∂a1 ∂  − . i j=1 ∂ξj ∂xj ∂xj ∂ξj

Démonstration. En dérivant par rapport à t, nous trouvons que P (t) = S(t, 0)P0 S(0, t) vérifie   P ′ (t) + Op(a), P (t) = 0, P (0) = P0 . Nous allons construire une solution approchée Q(t) de cette équation puis montrer que P (t) − Q(t) est un opérateur régularisant. On cherche donc Q(t) = Op(qt ) avec q ∈ S 0 (Rn ) solution de   Q′ (t) + Op(at ), Q(t) = R(t), Q(0) = P0 , où R(t) est une famille d’opérateurs régularisants. On va construire q de la forme q(t, x, ξ) ∼ q (0) (t, x, ξ) + q (−1) (t, x, ξ) + · · ·

274

CHAPITRE 12. SINGULARITÉS MICROLOCALES

où q (−k) est un symbole d’ordre −k. Alors le symbole de [Op(at ), Q(t)] est de la forme i X 1 h 1 α α α α (12.10) Hq + {Op(a0 ), q} + (∂ a)(∂ q) − (∂ q)(∂ a) . ξ x ξ x i i|α| α! |α|⩾2

(0)

Cela suggère de définir q par ∂  + H q (0) (t, x, ξ) = 0, ∂t

q (0) (0, x, ξ) = p0 (x, ξ).

Ainsi, q (0) (t, x, ξ) = p0 (Φ−t H (x, ξ)), le symbole donné par l’énoncé du théorème. On a q (0) (t, x, ξ) ∈ S 0 (Rn ). Par récurrence, on résout ∂  + H q (−j) (t, x, ξ) = b(−j) (t, x, ξ), q (−j) (0, x, ξ) = 0, ∂t où b−j est déterminé par récurrence, de manière à obtenir une solution de (12.10). Finalement, il reste à démontrer que P (t) − Q(t) est un opérateur régularisant. De façon équivalente, nous allons montrer que v(t) − w(t) = S(t, 0)P0 f − Q(t)S(t, 0)f ∈ H ∞ (Rn ). Notons que ∂v + Op(a)v = 0, ∂t

v(0) = P0 f,

alors que ∂w + Op(a)w = g, w(0) = P0 f, ∂t avec g = R(t)S(t, 0)w ∈ C 0 (R; H ∞ (Rn )). En prenant la différence des deux équations, on trouve ∂ (v − w) + Op(a)(v − w) = −g, v(0) − w(0) = 0. ∂t Alors le théorème sur la résolution des équations hyperboliques entraîne que v(t) − w(t) ∈ H ∞ (Rn ) pour tout t et tout f ∈ H −∞ (Rn ). Ce qui complète la démonstration. On peut maintenant calculer l’action de l’opérateur solution exp(t Op(a)) sur le front d’onde de la donnée initiale. Rappelons que nous avons montré la proposition suivante. Proposition 12.13. Soit m ∈ R et soit a ∈ S m . Considérons u ∈ S ′ (Rn ) telle que Op(a)u ∈ C ∞ (Rn ) et |a(x, ξ)| ⩾ |ξ|m pour tout (x, ξ) ∈ ω × Γ où ω est un voisinage de x0 et Γ est un cône contenant ξ0 . Alors (x0 , ξ0 ) ̸∈ WF(u). Théorème 12.14. Si u vérifie ∂u + Op(a)u = 0, ∂t

u|t=0 = u0

12.4. PROBLÈMES NON LINÉAIRES

275

avec u0 ∈ L2 (Rn ) alors u ∈ C 0 ([0, T ]; L2 (Rn )) et, pour tout t ∈ [0, T ], WF(u(t, ·)) = ΦtH (WF(u0 )). Démonstration. Supposons que (x0 , ξ0 ) ̸∈ WF(u0 ). Alors il existe un voisinage ω de x0 , un cône Γ contenant ξ0 et un symbole p0 ∈ S 0 tel que |p0 (x, ξ)| ⩾ 1 (pour tout (x, ξ) ∈ ω × Γ) et vérifiant Op(p0 )u0 ∈ S (Rn ). En utilisant l’opérateur Q introduit dans la preuve du théorème précédent, on obtient que (∂t + Op(a))Qu = Ru ∈ C 0 ([0, T ]; H ∞ ),

Qu|t=0 ∈ S (Rn ).

On en déduit que Q(t)u(t) ∈ H ∞ (Rn ) ⊂ C ∞ (Rn ) et donc ΦtH (x0 , ξ0 ) ̸∈ WF u(t, ·). Comme on peut renverser le sens du temps, on trouve le résultat désiré.

12.4. Problèmes non linéaires Dans cette section, nous présentons le calcul paradifférentiel introduit par Jean-Michel Bony (voir [10, 99]) pour étudier les singularités des équations aux dérivées partielles non linéaires, de la forme F ((∂xα f )|α|⩽m ) = 0. On ne sait pas décrire pour une équation aussi générale l’ensemble des points où la fonction n’est pas microlocalement C ∞ . En particulier, nous n’avons pas d’analogue du théorème 12.7. En revanche, grâce au calcul paradifférentiel, on peut dire des choses si l’on remplace C ∞ par un espace de fonctions à régularité limitée (par exemple H r avec r < +∞). Pour cela, nous utiliserons la définition suivante. On dit que u est microlocalement H r en (x0 , ξ0 ) s’il existe un symbole φ = φ(x, ξ) homogène d’ordre 0 en ξ, vérifiant φ(x0 , ξ0 ) ̸= 0, tel que Op(φ)u ∈ H r . Théorème 12.15. Soient n, m ⩾ 1 et s0 = n/2+m. Considérons une solution f ∈ H s (Rn ) avec s > s0 de F ((∂xα f )|α|⩽m ) = 0.

(12.11) Introduisons le symbole pm (x, ξ) =

X ∂F ((∂ α f (x))|α|⩽m )(iξ)α . ∂fα x

|α|=m

En tout point (x0 , ξ0 ) ∈ Rn × (Rn ∖ {0}) tel que pm (x0 , ξ0 ) ̸= 0, f est microlocalement deux fois plus régulière : elle est microlocalement de classe H t pour tout t < 2s − s0 .

276

CHAPITRE 12. SINGULARITÉS MICROLOCALES

Pour la démonstration de ce résultat, nous renvoyons à l’article original de Bony [10], ainsi qu’aux livres de Hörmander [64], Métivier [99] et Taylor [141]. Dans l’énoncé précédent, le symbole pm dépend de l’inconnue f et cela explique que la démonstration de ce résultat nécessite de travailler avec des symboles de régularité limitée. Définition 12.16. Soient m ∈ R et k ∈ N. La classe des symboles d’ordre m et n de régularité C k en x, notée Γm ρ (R ), est l’ensemble des fonctions a = a(x, ξ) telles que, pour tous multi-indices β dans Nn , il existe une constante Cβ telle que

β

∂ a(·, ξ) k ⩽ Cβ (1 + |ξ|)m−|β| . ξ C La quantification paradifférentielle de Bony associe à un symbole a l’opérateur Ta défini par Z −n Td u(ξ) = (2π) χ(ξ − η, η)b a(ξ − η, η)ψ(η)b u(η) dη, a R où b a(θ, ξ) = e−ix·θ a(x, ξ) dx, et les fonctions de troncature ψ et χ vérifient ψ(η) = 0

pour |η| ⩽ 1,

ψ(η) = 1

pour |η| ⩾ 2,

et, pour ε1 , ε2 assez petits, χ(θ, η) = 1 si |θ| ⩽ ε1 |η| ,

χ(θ, η) = 0

si |θ| ⩾ ε2 |η| .

Le point central dans la démonstration du théorème précédent est de montrer que, si f vérifie l’équation (12.11), alors Tpm f ∈ H t (Rn ), qui est une équation paradifférentielle. On dit que l’on a paralinéarisé (12.11). 12.5. Exercices Exercice 12.1 (Une autre caractérisation du front d’onde). Soit s ∈ R. Considérons une fonction donnée f ∈ H s (Rn ). On veut montrer l’équivalence entre les deux propriétés suivantes : (i) (x0 , ξ0 ) ∈ / W F (f ) ; (ii) il existe un voisinage conique Γ de (x0 , ξ0 ) tel que, pour tout symbole régularisant a ∈ S +∞ vérifiant supp(a) ⊂ Γ, on a Op(a)f ∈ H ∞ (Rn ). (1) Montrer (ii) ⇒ (i). (2) Réciproquement, soit (x0 , ξ0 ) ∈ / W F (f ). (a) Montrer qu’il existe un symbole a ∈ S 0 vérifiant les deux propriétés suivantes : – Op(a)f ∈ H ∞ .

277

12.5. EXERCICES

– Il existe un voisinage conique Γ de (x0 , ξ0 ) et R > 0 tels que : ∀(x, ξ) ∈ Γ,

|ξ| ⩾ R,

|a(x, ξ)| ⩾ 1.

(b) Soient a, Γ comme précédemment. Soit Γ′ un voisinage conique ou′ vert de (x0 , ξ0 ) tel que Γ ⊂ ˚ Γ et soit b ∈ S +∞ tel que supp(b) ⊂ Γ′ . Montrer +∞ qu’il existe c ∈ S tel que : Op(b) − Op(c) Op(a) ∈ Op(S −∞ ) (c) Conclure. Exercice 12.2 (Mesures microlocales de défaut). Avertissement : cet exercice est difficile. Son but de démontrer la construction de mesures microlocales de défaut, qui s’inspire de l’étude des singularités microlocales. Ces mesures ont été introduites indépendamment par Patrick Gérard [46] et Luc Tartar [139]. Elles jouent un rôle fondamental dans de nombreux domaines. Le but de ce problème est d’étudier la construction de ces mesures. Pour cela, nous suivons l’approche de Patrick Gérard. Notations On considère des fonctions à valeurs complexes définies sur un ouvert quelconque Ω de Rd avec d ⩾ 1. Précisément, nous considérons une suite (un )n∈N de fonctions appartenant à L2loc (Ω) (un appartient à L2 (K) pour tout compact K ⊂ Ω) qui converge faiblement vers 0 au sens où : Z ∀φ ∈ L2comp (Ω), un (x)φ(x) dx −→ 0, Ω

L2comp (Ω)

n→+∞

où nous avons noté l’espace des fonctions φ ∈ L2 (Ω) à support compact dans Ω. Le but de ce problème est de caractériser le défaut de convergence forte grâce aux opérateurs pseudo-différentiels. Dans tout le problème, χ désigne une fonction à valeurs réelles telle que χ ∈ C0∞ (Ω). Si u ∈ L2loc (Ω), alors χu ∈ L2 (Ω) et on peut étendre χu par 0 sur Rd ∖ Ω pour obtenir une fonction appartenant à L2 (Rd ). On notera toujours cette fonction χu. Cela nous permet de définir la transformée de Fourier de χu, notée χ cu, ainsi que Op(a)(χu) pour tout symbole a ∈ S m (Rd ) (où m est un nombre réel quelconque). Étant donné s ∈ R, on note H s (Rd ) l’espace de Sobolev d’ordre s et ⟨Dx ⟩s l’opérateur pseudo-différentiel de symbole ⟨ξ⟩s = (1R + |ξ|2 )s/2 . On note (u, v) le produit scalaire sur L2 (Rd ), défini par (u, v) = Rd u(x)v(x) dx. On pensera à utiliser : – l’inégalité de Cauchy-Schwarz ; – le fait que ∥u∥H s = ∥⟨Dx ⟩s u∥L2 par définition de la norme ∥·∥H s ; – la dualité : pour tout s ⩾ 0, (u, v) ∈ H s (Rd ) × L2 (Rd ) ⇒ |(u, v)| ⩽ ∥u∥H s ∥v∥H −s .

278

CHAPITRE 12. SINGULARITÉS MICROLOCALES

Problème (1) Soit (un )n∈N une suite qui converge faiblement vers 0 dans L2loc (Ω). (a) Soit χ ∈ C0∞ (Ω). Montrer que : (i) la suite (χun ) est bornée dans 2 L (Rd ) ; (ii) la suite (χu dn ) est bornée dans L∞ (Rd ) et (iii) pour tout ξ ∈ Rd , limn→+∞ χu dn (ξ) = 0. (b) Soit χ ∈ C0∞ (Ω). Montrer que ∥χun ∥H −1/2 (Rd ) tend vers 0 quand n tend vers +∞. Indication : écrire Z 2 2 ∥χun ∥H −1/2 (Rd ) = (1 + |ξ|2 )−1/2 |χu dn (ξ)| dξ Z |ξ|⩽R 2 + (1 + |ξ|2 )−1/2 |χu dn (ξ)| dξ, |ξ|⩾R

où R est un grand paramètre. (2) Soit χ ∈ C0∞ (Ω) et soit (un )n∈N une suite qui converge faiblement vers 0 dans L2loc (Ω). (a) Montrer que, pour tout symbole a ∈ S 0 (Rd ), la suite (Op(a)(χun ), χun ) est bornée dans C. (b) Montrer que, pour tout symbole τ ∈ S −1 (Rd ), on a (Op(τ )(χun ), χun ) −→ 0. n→+∞

Rappel : Inégalité de Gårding. Soit ε > 0. Considérons un symbole a ∈ S 0 (Rd ) tel que Re a(x, ξ) ⩾ ε pour tout (x, ξ) dans R2d . Nous avons vu en cours l’inégalité de Gårding qui énonce qu’il existe deux constantes positives cε et Cε telles que pour tout u ∈ L2 (Rd ), 2

Re(Op(a)u, u) ⩾ cε ∥u∥L2 − Cε ∥u∥2H −1/2 . En particulier, on a Re(Op(a)u, u) ⩾ −Cε ∥u∥2H −1/2 . (3) Soit χ ∈ C0∞ (Ω) et soit (un )n∈N une suite qui converge faiblement vers 0 dans L2loc (Ω). Considérons un symbole a ∈ S 0 (Rd ) tel que Re a(x, ξ) ⩾ 0 pour tout (x, ξ) dans R2n . Montrer que lim inf Re(Op(a)(χun ), χun ) ⩾ 0. n→+∞

0

d

(4) Soit a ∈ S (R ). On suppose que a peut s’écrire sous la forme a = a0 + a−1 où a−1 appartient à S −1 (Rd ) et a0 ∈ S 0 (Rd ) vérifie Im a0 = 0. Montrer que Im(Op(a)(χun ), χun ) −→ 0. n→+∞

0

d

(5) Soit a ∈ S (R ). On pose M = sup(x,ξ)∈R2n |a(x, ξ)|. Montrer que lim sup ∥Op(a)(χun )∥L2 (Rd ) ⩽ M C(χ) où C(χ) = lim sup ∥χun ∥L2 (Rd ) . n→+∞

n→+∞

279

12.5. EXERCICES

Indication : on pourra introduire une fonction χ′ ∈ C0∞ (Ω) telle que χ′ χ = χ ainsi que l’opérateur B défini par Bv = M 2 χ2 v − χ Op(a)∗ Op(a)(χv). (6) (difficile) Considérons un compact K ⊂ Ω. Introduisons : 0 – l’ensemble CK (Ω) des fonctions continues à support contenu dans K ; ∞ – l’ensemble CK (Ω × S d−1 ) des fonctions C ∞ sur Ω × S d−1 et à support dans K × S d−1 ; 0 – l’espace SK (Rd ) des symboles a ∈ S 0 (Rd ) qui sont tels que a(x, ξ) est homogène en ξ d’ordre 0 pour |ξ| ⩾ 1/2 et de plus supp a ⊂ K × Rd . ∞ On admet que CK (Ω × S d−1 ) est séparable (i.e., il existe une partie dénombrable dense). 0 En déduire qu’il existe une forme linéaire continue ΛK,χ : SK (Rd ) → C 0 d telle que, pour tout a ∈ SK (R ), (Op(a)(χun ), χun ) −→ ΛK,χ (a). n→+∞

(7) Montrer que ΛK,χ ne dépend pas de χ puis démontrer le théorème suivant. Théorème 12.17. Soit (un )n∈N une suite qui converge faiblement vers 0 dans L2loc (Ω). Il existe une sous-suite (uθ(n) ) et une mesure de Radon µ positive sur Ω × S d−1 telles que le résultat suivant est vrai : si a ∈ S 0 (Rd ) et χ ∈ C0∞ (Ω) vérifient : – a est homogène en ξ d’ordre 0 pour |ξ| ⩾ 1/2 ; – pour certain compact K ⊂ Ω on a supp a ⊂ K ×Rd et χ = 1 sur K, alors Z (12.12) (Op(a)(χuθ(n) ), χuθ(n) ) −→ a(x, ξ) dµ(x, ξ). n→+∞

Ω×S d−1

Définition 12.18. On dit que µ est la mesure microlocale de défaut de (uθ(n) ). (8) Soit (un )n∈N une suite qui converge faiblement vers 0 dans L2loc (Ω) et admettant une mesure microlocale de défaut µ. Considérons un opérateur P différentiel d’ordre m, P = |α|⩽m aα (x)∂xα avec aα ∈ Cb∞ (Rd ). On note P pm = |α|=m aα (x)(iξ)α le symbole principal de P . Supposons que, pour tout χ ∈ C0∞ (Ω), la suite χP (un ) converge fortement vers 0 dans H −m (Rd ). En déduire que  supp µ ⊂ (x, ξ) ∈ Ω × S d−1 : pm (x, ξ) = 0 . 2

Indication : écrire ∥χP un ∥H −m (Rd ) sous la forme (Op(a)(χ′ un ), χ′ un ). (9) (difficile) Soit (un )n∈N une suite qui converge faiblement vers 0 dans L2loc (Ω) et admettant une mesure microlocale de défaut µ. Considérons un P opérateur différentiel d’ordre m, P = |α|⩽m aα (x)∂xα avec aα ∈ Cb∞ (Rd ). On suppose de plus que P ∗ = P et que, pour tout χ ∈ C0∞ (Ω), la suite χP (un ) converge vers 0 fortement dans H 1−m (Rd ). Montrer que, pour toute

280

CHAPITRE 12. SINGULARITÉS MICROLOCALES

fonction a ∈ C ∞ (Ω×(Rd ∖{0})) homogène d’ordre 1−m en ξ pour |ξ| ⩾ 1/2 et à support compact en x, on a Z {a, pm }(x, ξ) dµ(x, ξ) = 0. Ω×S d−1

Indication : introduire χ telle que χa = a.

PARTIE IV

ANALYSE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

CHAPITRE 13 LE PROBLÈME DE CALDERÓN

13.1. Introduction Étant donnés un ouvert C ∞ borné Ω de Rn , une fonction V ∈ L∞ (Ω) telle que V ⩾ 0 et une fonction f ∈ H 1 (Ω), nous nous intéressons au problème suivant, d’inconnue la fonction u : Ω → R, ( − ∆u + V u = 0 dans Ω, u=f

sur ∂Ω.

Ce problème admet une unique solution u appartenant à H 1 (Ω). Un opérateur très important dans les applications est l’opérateur de DirichletNeumann, défini par  ΛV (f ) = ∂ν u∂Ω , où ∂ν u désigne la dérivée normale de u. Sylvester et Uhlmann ont démontré (cf. [133]) qu’en dimension n ⩾ 3 l’opérateur ΛV détermine le potentiel V . Précisément, leur résultat énonce que l’application V 7→ ΛV est injective. Ce théorème répond à une question posée et étudiée pour la première fois par Calderón (voir [17]) et qui est désormais au cœur de préoccupations actuelles dans l’étude des problèmes inverses. La méthode de démonstration de Sylvester et Uhlmann suit une idée surprenante introduite par Calderón. Elle consiste à travailler avec des fonctions harmoniques (solutions de ∆u = 0), de la forme x 7→ exp(ζ · x) où ζ = (ζ1 , . . . , ζn ) ∈ Cn est tel que ζ12 + · · · + ζn2 = 0. Calderón avait montré, grâce à ces fonctions, que l’espace vectoriel engendré par les produits de fonctions harmoniques est dense dans L2 . La démonstration de ce résultat repose sur le théorème d’injectivité de Fourier. Nous verrons ensuite la construction de Sylvester et Uhlmann de fonctions qui jouent un rôle analogue dans le cas où l’équation ∆u = 0 est remplacée par −∆u + V u = 0. La différence fondamentale est qu’il s’agit d’une équation à coefficients variables. Un des objectifs de ce chapitre est

284

CHAPITRE 13. LE PROBLÈME DE CALDERÓN

justement de montrer comment aborder un problème à coefficients variables en utilisant la notion de solution approchée. La démonstration donnée par Sylvester et Uhlmann comportait un passage assez technique qui a été simplifié par Hähner [52]. Nous suivrons sa démonstration, très élégante qui nous permettra de donner une illustration originale de la décomposition sur une base hilbertienne. Enfin, dans la dernière partie, nous expliquerons formellement comment ces constructions permettent de démontrer l’injectivité de V 7→ ΛV .

13.2. Densité des produits de fonctions harmoniques Dans ce chapitre, on considère principalement des fonctions à valeurs réelles. Lorsqu’on considérera des espaces de fonctions à valeurs complexes, on l’indiquera explicitement (en utilisant la notation L2 (Ω, C) par exemple). Théorème 13.1 (Calderón). Soit Ω un ouvert borné de Rn avec n ⩾ 2. L’espace vectoriel engendré par les produits de fonctions harmoniques est dense dans L2 (Ω). De même, l’espace vectoriel engendré par les produits scalaires de gradients de fonctions harmoniques est dense dans L2 (Ω). Démonstration. Les deux résultats se démontrent de façon analogue et on ne considérera que le cas de produits scalaires de gradients de fonctions harmoniques. Introduisons  H = u ∈ C ∞ (Ω) : ∆u = 0},  Π = ∇u · ∇v : (u, v) ∈ H × H }, X = Vect Π. R On veut montrer que si φ ∈ L2 (Ω) et Ω φf dx = 0 pour tout f ∈ X, alors φ = 0. Ce qui entraînera que X ⊥ = {0}, d’où le fait que X est dense dans L2 (Ω) (voir le corollaire 3.8). Considérons l’ensemble  A := ρ ∈ Cn : ρ · ρ = ρ21 + · · · + ρ2n = 0 . Notons que ρ∈A

2

2

⇐⇒

|Re ρ| − |Im ρ| + 2i Re ρ · Im ρ = 0

⇐⇒

| Re ρ| = | Im ρ| et

Re ρ · Im ρ = 0.

L’observation essentielle est que si ρ ∈ A, alors u1 (x) = eix·ρ , u2 = eix·ρ sont des fonctions harmoniques. En effet, ∇u1 = iρeix·ρ d’où ∆u1 = −(ρ · ρ)eix·ρ = 0 et de même ∆u2 = 0. Nous allons utiliser ces remarques avec ρ choisi de la façon suivante : on se donne η ∈ Rn et k ∈ Rn tels que η · k = 0 et |η| = |k|. Alors ρ = −iη + k vérifie ρ · ρ = 0.

13.3. ÉQUATIONS À COEFFICIENTS VARIABLES

285

R Considérons φ ∈ L2 (Ω) telle que Ω φf dx = 0 pour tout f ∈ X. Il faut faire attention ici au fait que X est un espace de fonctions à valeurs réelles alors que les fonctions u(x) = eix·ρ et v(x) = eix·ρ sont à valeurs complexes. Mais on vérifie directement que si ∆u = 0, alors Re u et Im u sont des R fonctions harmoniques. Par conséquent, l’hypothèse sur φ entraîne que φf dx = 0 pour tout f dans l’ensemble Ω n o ∇ Re u1 · ∇ Re u2 , ∇ Re u1 · ∇ Im u2 , ∇ Im u1 · ∇ Re u2 , ∇ Im u1 · ∇ Im u2 . On en déduit que Z φ∇u1 · ∇u2 dx = 0. Ω

En rappelant que ρ = −iη + k avec |η| = |k|, on en déduit que Z 0= φ(x)ρ · (−ρ)eix·ρ eix·ρ dx Ω Z = φ(x)(−2|k|2 )eix·(−iη+k)+ix·(iη+k) dx Ω Z Z = −2|k|2 φ(x)e2ix·k dx = −2|k|2 (χΩ φ)(x)e2ix·k dx, Ω

Rn

où χΩ est la fonction indicatrice de Ω. La fonction χΩ φ appartient à L1 (Rn ) et donc sa transformée de Fourier χd Ω φ est une fonction continue. Le calcul précédent implique que χd φ = 0. Pour conclure la démonstration, il ne Ω reste plus qu’à observer que φ = 0 d’après le théorème d’injectivité de la transformation de Fourier (voir le corollaire 5.14), dont nous rappelons ici R l’énoncé : si f ∈ L1 (Rn ) est telle que e−iξ·x f (x) dx = 0 pour tout ξ ∈ Rn , alors f = 0. 13.3. Équations à coefficients variables La preuve du théorème 13.1 repose sur l’utilisation des exponentielles eix·ρ avec ρ ∈ A := {ζ ∈ Cn : ζ · ζ = 0}. Ces exponentielles sont des exemples de fonctions harmoniques et nous nous proposons d’étudier l’existence de fonctions similaires pour des équations à coefficients variables. Considérons une fonction V ∈ L∞ (Ω, R) et un opérateur P défini par(1) P u = −∆u + V u. (1) La

terminologie, issue de la Mécanique quantique, est la suivante : on dit que V est un potentiel et on appelle P l’opérateur de Schrödinger associé au potentiel V . On note simplement P = −∆ + V en identifiant la fonction V avec l’opérateur de multiplication par la fonction V .

286

CHAPITRE 13. LE PROBLÈME DE CALDERÓN

La fonction eix·ρ avec ρ ∈ A n’est pas dans le noyau de P si V ̸= 0, mais nous allons voir que l’on peut trouver une solution approchée de l’équation (−∆ + V )u = 0 de la forme u(x) = eiρ·x (1 + r(x)) où r est un terme correctif qui sera petit (de taille O(|ρ|−1 )) pour une certaine norme. L’idée de chercher une solution approchée plutôt que de chercher une solution exacte est une idée essentielle pour étudier un problème à coefficients variables (et encore plus un problème non linéaire). Une autre idée essentielle est de relaxer le problème en cherchant une solution généralisée. Nous n’allons pas chercher une solution de l’équation −∆u + V u = 0 au sens classique. Nous allons chercher une solution au sens dit faible (voir la définition 7.14). Soit u ∈ H 1 (Ω, C) et V ∈ L∞ (Ω). Alors la fonction f = V u vérifie f ∈ L2 (Ω) et donc f ∈ L1loc (Ω). On peut déduire de la définition 7.14 que u est une solution faible de l’équation −∆u + V u = 0 si et seulement si Z X Z ∀ϕ ∈ C01 (Ω, C), (∂i u)(∂i ϕ) dx + V uϕ dx = 0. 1⩽i⩽n

Ω

Ω

Nous allons chercher une solution faible de l’équation −∆u + V u = 0 de la forme u = eiρ·x (1 + r(x)), avec r dans l’espace de Sobolev H 1 (Ω). Il est commode de conjuguer l’équation par eix·ρ . Pour faire ce calcul, on écrit formellement(2) que   (−∆ + V ) eiρ·x (1 + r) = 0 ⇐⇒ e−iρ·x (−∆ + V ) eiρ·x (1 + r) = 0 ⇐⇒ (−∆ − 2iρ · ∇ + V )(1 + r) = 0

(13.1)

⇐⇒ (−∆ − 2iρ · ∇ + V )r = −V. Notons que si r ∈ H 1 (Ω, C) et V ∈ L∞ (Ω), alors −2iρ · ∇r + V r + V appartient à L1loc (Ω, C). Par conséquent, la définition 7.14 implique que r est une solution faible de (−∆ − 2iρ · ∇ + V )r = −V si et seulement si, pour tout ϕ ∈ C01 (Ω, C), on a Z Z X Z (∂i r)(∂i ϕ) dx + (−2iρ · ∇r + V r)ϕdx + V ϕdx = 0. 1⩽i⩽n

Ω

Ω

Ω

Le lemme suivant énonce que le calcul formel (13.1) a un sens pour les solutions faibles (la démonstration est laissée au lecteur). (2) C’est-à-dire

en calculant comme si les fonctions étaient régulières, sans se préoccuper du fait qu’on manipule en fait des solutions faibles.

13.3. ÉQUATIONS À COEFFICIENTS VARIABLES

287

Lemme 13.2. Soit r ∈ H 1 (Ω, C). Alors u = eiρ·x (1+r) appartient à H 1 (Ω, C) et u est une solution faible de (−∆ + V )u = 0 si et seulement si r est une solution faible de l’équation (−∆ − 2iρ · ∇ + V )r = −V . Il reste maintenant à résoudre l’équation conjuguée, ce qui est l’objet de la proposition suivante. Proposition 13.3. Soit V ∈ L∞ (Ω). Il existe une constante C0 qui ne dépend que de Ω et de n telle que, pour tout ρ ∈ A = {ζ ∈ Cn : ζ · ζ = 0} vérifiant |ρ| = l’équation

√

ρ · ρ ⩾ max(C0 ∥V ∥L∞ , 1), et pour tout F ∈ L2 (Ω, C), (−∆ − 2iρ · ∇ + V )r = F

a une solution faible r ∈ H 1 (Ω, C) qui vérifie (13.2)

C0 ∥F ∥L2 , |ρ| ⩽ C0 ∥F ∥L2 (Ω) .

∥r∥L2 ⩽ ∥∇r∥L2

Démonstration. La démonstration, assez longue, est décomposée en deux étapes. Étape 1 : résolubilité de l’EDP conjuguée dans le cas V = 0. On souhaite trouver une solution faible r ∈ H 1 (Ω, C) de l’équation (−∆ − 2iρ · ∇)r = F, vérifiant les estimations (13.2). Lemme 13.4. Pour tout ρ ∈ A tel que |ρ| ⩾ 1, il existe un opérateur borné Qρ : L2 (Ω, C) → H 1 (Ω, C) tel que (−∆ − 2iρ · ∇)Qρ = I et vérifiant, pour tout F ∈ L2 (Ω, C), C0 ∥F ∥L2 , |ρ| ⩽ C0 ∥F ∥L2 (Ω) ,

∥Qρ F ∥L2 ⩽ ∥∇Qρ F ∥L2

où C0 est une constante qui ne dépend que de Ω et de n. Démonstration. Nous allons suivre une démonstration très astucieuse de ce résultat ρ = s(ω1 + iω2 ) avec s = √ qui est due à Hähner [52]. Écrivons n |ρ|/ 2 et ω1 , ω2 sont des vecteurs de R orthogonaux. On peut sans perte de généralité supposer que ω1 = (1, 0, . . . , 0) et ω2 = (0, 1, 0, . . . , 0) sont les deux premiers vecteurs de la base canonique de Rn . On peut également

288

CHAPITRE 13. LE PROBLÈME DE CALDERÓN

supposer que Ω est inclus dans le cube Π = [−π, π]n . Étendons F par 0 dans Π. On se ramène à résoudre l’équation (−∆ − 2is(∂1 + i∂2 ))r = F

dans Π.

L’idée, astucieuse, est d’introduire une base hilbertienne bien choisie (on renvoie à la section 3.2 du chapitre 3 pour l’étude des bases hilbertiennes). Introduisons   1 ek (x) = exp i(k + ω2 ) · x (k ∈ Zn ). 2 On vérifie directement que Z 1 (ek , el ) = ek (x)el (x) dx = δkl , (2π)n Π donc (ek )k∈Zn est une famille orthonormale de L2 (Π, C) pour le produit scalaire précédent (produit scalaire usuel sur L2 (Π), normalisé par la mesure de Π). De plus, si v ∈ L2 (Π, C) vérifie (v, ek ) = 0 pour tout k ∈ Z, alors (ve−1/2ix2 , eik·x ) = 0 pour tout k ∈ Zn , ce qui implique ve−1/2ix2 = 0, d’après le théorème d’unicité du développement en série de Fourier. On en déduit que v = 0. D’après le théorème 3.18, ceci prouve que (en )n∈N est une base hilbertienne. En conséquence, on peut alors développer F sur cette P base : on a F = k∈Zn Fk ek avec Fk = (F, ek ) et X ∥F ∥2L2 = |Fk |2 . k∈Zn

P On cherche également r sous la forme r = k∈Zn rk ek . Notons que  1  ∇ek = i k + ω2 ek , 2 d’où (−∆ − 2is(∂1 + i∂2 ))ek = pk ek où

   1 2 1  k + ω2 − 2is ik1 − k2 + . 2 2 Ainsi, l’équation (−∆ − 2is(∂1 + i∂2 ))r = F suggère de définir rk par pk :=



pk rk = Fk . 1 2 )|

⩾ s > 0 donc pk ne s’annule jamais et on Notons que |Im pk | = |2s(k2 + peut résoudre l’équation précédente. De plus, 1 1 |rk | ⩽ |Fk | ⩽ |Fk |, |pk | s ce qui implique que r ∈ L2 (Π, C). Pour montrer que r appartient à l’espace de Sobolev H 1 (Π), nous devons montrer que r admet une dérivée au sens faible dans L2 . Pour cela, nous allons utiliser le fait que r est la somme d’une série de termes qui sont C ∞ et

13.3. ÉQUATIONS À COEFFICIENTS VARIABLES

289

appartiennent donc à H 1 (Π). Il suffit de montrer que la série converge norP malement, c’est-à-dire que |rk | ∥∇ek ∥L2 < +∞. Ce sera une conséquence de l’inégalité suivante  1  k + e2 rk ⩽ 4|Fk |, k ∈ Zn , 2 ce qui impliquera ∥∇r∥L2 ⩽ 4∥F ∥L2 . Pour obtenir cette inégalité, on considère deux cas : si |k + 12 e2 | ⩽ 4s alors  1  4s k + e2 rk ⩽ |Fk | ⩽ 4|Fk |, 2 s et si |k + 12 e2 | ⩾ 4s, alors 1 2 1 2 |Re pk | = k + e2 + 2sk1 ⩾ k + e2 − 2s |k1 | 2 2 2 1 1 ⩾ k + e2 − 2s k + e2 2 2 1 ⩾ 2s k + e2 , 2 d’où  |k + 12 e2 | 1  |k + 12 e2 | 1 |Fk | ⩽ |Fk | ⩽ |Fk |. k + e2 rk ⩽ 1 2 |Re pk | 2s 2s|k + 2 e2 | P Ceci implique que la série rk ek converge normalement dans H 1 (Π). Comme H 1 (Π) est un espace de Hilbert, cette série converge dans H 1 (Π) et donc que sa somme r appartient à H 1 (Π). Alors r est une solution faible dans H 1 (Π), ce qui entraîne directement que r est une solution faible dans H 1 (Ω). En effet, si la formulation faible est vraie pour toutes les fonctions tests à supports dans Π, alors elle est vérifiée a fortiori pour toute fonction test à support dans Ω. Ceci conclut la démonstration du lemme. Étape 2 : résolubilité de l’EDP conjuguée dans le cas V ̸= 0. On considère maintenant l’équation (−∆ − 2iρ · ∇ + V )r = F, dans le cas général V ∈ L∞ (Ω). On cherche une solution faible r ∈ H 1 (Ω, C) vérifiant les estimations (13.2). Pour V = 0, la solution est donnée par r = Qρ F . Pour V ̸= 0, en s’inspirant de la méthode de variation de la constante, on cherche r sous la forme Qρ Fe où Fe ∈ L2 (Ω, C) est une fonction à déterminer. Notons que (−∆ − 2iρ · ∇ + V )Qρ Fe = Fe + V Qρ Fe, et on s’est donc ramené à résoudre l’équation Fe + V Qρ Fe = F.

290

CHAPITRE 13. LE PROBLÈME DE CALDERÓN

Rappelons que ∥Qρ F ∥L2 ⩽ (C0 /|ρ|)∥F ∥L2 . Notons Tρ l’opérateur défini par Tρ f = −V Qρ f . On en déduit que, si |ρ| ⩾ max(2C0 ∥V ∥L∞ , 1),



Tρ Fe 2 ⩽ 1 Fe 2 , L L 2 ce qui montre que I − Tρ est un opérateur inversible sur L2 (Ω) grâce à un résultat classique sur les séries de Neumann (voir le lemme 2.7). Alors r = Qρ (I − Tρ )−1 F vérifie l’équation ; on déduit les estimations sur r de celles démontrées précédemment. Ceci termine la démonstration de la proposition 13.3. Nous aurons également besoin d’une variante de la proposition 13.3 qui donne des solutions de la forme u(x) = eiρ·x (a(x) + r(x)) (nous n’avons pour l’instant considéré que le cas a = 1). Nous allons voir que si a est assez régulière, alors on peut obtenir directement de telles solutions à partir de la proposition 13.3. La notion de régularité qui nous convient est celle d’appartenir à l’espace H 2 (Ω). Corollaire 13.5. Soit V ∈ L∞ (Ω). Il existe une constante C0 qui ne dépend que de Ω et de n telle que, pour tout ρ ∈ A = {ζ ∈ Cn : ζ · ζ = 0} vérifiant |ρ| ⩾ max(C0 ∥V ∥L∞ , 1), et pour toute fonction a ∈ H 2 (Ω, C) vérifiant ρ · ∇a = 0, l’équation (−∆ + V )u = 0 a une solution u de la forme u = eiρ·x (a + r) où r ∈ H 1 (Ω, C) vérifie C0 ∥(−∆ + V )a∥L2 , |ρ| ⩽ C0 ∥(−∆ + V )a∥L2 (Ω) .

∥r∥L2 ⩽ ∥∇r∥L2

Démonstration. La fonction u = eiρ·x (a + r) est une solution faible de (−∆ + V )u = 0 si et seulement si (−∆ − 2iρ · ∇ + V )(a + r) = 0. Comme ρ · ∇a = 0, on en déduit l’équation suivante sur r : (−∆ − 2iρ · ∇ + V )r = −(−∆ + V )a. L’existence d’une solution à ce problème est obtenue en appliquant la proposition précédente. Nous sommes maintenant en mesure de démontrer un résultat qui, en dimension plus grande que 3, généralise le théorème de Calderón vu au paragraphe 13.2.

13.3. ÉQUATIONS À COEFFICIENTS VARIABLES

291

Théorème 13.6. Soit Ω un ouvert borné de Rn . Supposons que la dimension d’espace est n ⩾ 3. Considérons deux fonctions V1 et V2 appartenant à L∞ (Ω, R) et introduisons les ensembles  Aj = u ∈ H 1 (Ω, R) : −∆u + Vj u = 0 . Supposons que φ ∈ L∞ (Ω, R) est telle que, pour tout uj dans Aj (j = 1, 2), on a Z u1 (x)u2 (x)φ(x) dx = 0, Ω

alors φ = 0. Remarque 13.7. La démonstration montre que l’on a un résultat analogue pour des fonctions à valeurs complexes. R Démonstration. Notons que si φ ∈ L∞ (Ω, R), alors l’intégrale Ω u1 u2 φ dx est bien définie d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Nous cherchons à montrer que φ = 0. Pour cela, nous allons utiliser un théorème d’injectivité. Comme dans la démonstration du théorème de Calderón, nous utiliserons le théorème d’injectivité pour la transformation de Fourier (qui énonce que si la transformée de Fourier s’annule, alors la fonction est nulle). L’idée de la démonstration est alors de chercher à approximer eix·ξ (ξ quelconque dans Rn ) par des produits u1 u2 avec uj ∈ Aj . Ceci sera possible, grâce à l’hypothèse n ⩾ 3 et un raisonnement assez astucieux. Fixons ξ ∈ Rn . En utilisant l’hypothèse n ⩾ 3, on introduit deux vecteurs ζ1 , ζ2 de Rn tels que ξ ⊥ ζ1 ,

ξ ⊥ ζ2 ,

ζ 1 ⊥ ζ2 ,

|ζ1 | = |ζ2 | = 1.

Étant donné s > 0, posons ρs = s(ζ1 + iζ2 ), de sorte que ρs ·ρs = 0. Notons que ρs ·ξ = 0 et donc ρs ·∇eix·ξ = 0. De plus, comme Ω est borné, les fonctions eix·ξ et la fonction constante 1 appartiennent à H 2 (Ω). On peut donc appliquer le résultat précédent avec a = eix·ξ ou a = 1. On en déduit que si s est assez grand, il existe deux fonctions u1,s et u2,s dans H 1 (Ω, C) qui sont solutions faibles de (−∆ + Vj )uj,s = 0 et qui sont de la forme u1,s = eiρs ·x (eix·ξ + r1,s ), u2,s = e−iρs ·x (1 + r2,s ), où ∥rj,s ∥L2 ⩽ C/s pour j = 1, 2. Alors les parties réelles et imaginaires de u1,s (resp. u2,s ) appartiennent à A1 (resp. A2 ). Par hypothèse sur φ,

292

CHAPITRE 13. LE PROBLÈME DE CALDERÓN

R l’intégrale Ω φf dx s’annule lorsque f est le produit de fonctions de A1 et A2 et donc Z Z φ Re u1,s Re u2,s dx = · · · = φ Im u1,s Im u2,s dx = 0. Ω

On en déduit que

Ω

R

φu1,s u2,s dx = 0, d’où Z φ(eix·ξ + r1,s )(1 + r2,s ) dx = 0.

Ω

Ω

En passant à la limite quand s → +∞, il suit que Z φ(x)eix·ξ dx = 0. Ω

Comme cela est vrai pour tout ξ ∈ Rn , on a montré que χd Ω φ = 0. Ceci implique que φ = 0, ce qui conclut la démonstration.

13.4. Théorème de Sylvester-Uhlmann Nous voulons dans cette partie expliquer comment utiliser le résultat précédent pour résoudre le problème qui avait motivé le travail de Calderón. Nous nous bornerons à faire des calculs formels et nous ne chercherons pas à les justifier rigoureusement. Rappelons le contexte. On considère un ouvert Ω qui est C ∞ et borné. Étant donné une fonction V ∈ L∞ (Ω) telle que V ⩾ 0 et une fonction f : Ω → R, on s’intéresse au problème de Dirichlet d’inconnue la fonction u : Ω → R, ( − ∆u + V u = 0 dans Ω, u=f

sur ∂Ω.

Ce problème admet une unique solution u appartenant à H 1 (Ω). Pour le voir, on cherche u sous la forme v + f avec v ∈ H01 (Ω) solution faible de −∆v + V v = ∆f + V f . On montre ensuite que le membre de droite appartient au dual topologique de H01 (Ω), puis on répète les arguments utilisés à la section 7.2.2. On peut alors définir l’opérateur de Dirichlet-Neumann par ΛV (f ) = ∂ν u|∂Ω . Si l’on dispose du bon cadre fonctionnel, on peut montrer que c’est un opérateur linéaire continu auto-adjoint (de l’espace de Sobolev H 1/2 (∂Ω) dans son dual, voir par exemple les livres de Brezis [12] et Evans [38]). Un théorème important, dû à Sylvester et Uhlmann énonce que, en dimension n ⩾ 3, l’opérateur ΛV détermine le potentiel V . Précisément, leur résultat énonce que l’application V 7→ ΛV est injective.

13.4. THÉORÈME DE SYLVESTER-UHLMANN

293

Nous allons expliquer, par des calculs formels, comment ce résultat est relié à ce que nous avons fait précédemment. Pour cela, considérons deux fonctions u1 , u2 vérifiant, au sens faible, −∆u1 + V1 u1 = 0,

−∆u2 + V2 u2 = 0.

Introduisons les traces de u1 et u2 sur le bord, notées f1 , f2 , définies par f1 = u1 |∂Ω ,

f2 = u2 |∂Ω .

Alors ΛV1 f1 = ∂ν u1 |∂Ω et donc, en notant ⟨· , ·⟩ le produit scalaire sur L2 (∂Ω) (il faudrait, pour être rigoureux, comprendre le calcul suivant au sens de la dualité), Z ∂u1 ⟨ΛV1 f1 , f2 ⟩ = u2 dS. ∂Ω ∂ν Si u1 et u2 sont des fonctions régulières, alors on peut écrire Z Z ∂u1 u2 dS = X · ν dS avec X = u2 ∇u1 ∂Ω ∂ν Z∂Ω = div X dx Ω Z = div (u2 ∇u1 ) dx ZΩ = u2 ∆u1 + ∇u2 · ∇u1 dx, Ω

et comme ∆u1 = V1 u1 , on en déduit que Z ⟨ΛV1 f1 , f2 ⟩ = ∇u1 · ∇u2 + V1 u1 u2 dx. Ω

De même, Z ⟨ΛV2 f2 , f1 ⟩ =

∇u1 · ∇u2 + V2 u1 u2 dx. Ω

Comme ΛV2 est auto-adjoint, on en déduit Z ⟨(ΛV1 − ΛV2 )f1 , f2 ⟩ = (V1 − V2 )u1 u2 dx. Ω

Si ΛV1 = ΛV2 , alors il suit que Z 0 = (V1 − V2 )u1 u2 dx, Ω

pour toutes fonctions u1 , u2 dans H 1 (Ω) vérifiant −∆uj +Vj uj = 0. Le théorème 13.6 entraîne alors le résultat voulu : V1 = V2 .

294

CHAPITRE 13. LE PROBLÈME DE CALDERÓN

13.5. Un exercice Exercice (corrigé) 13.1 (Énergie de Dirichlet). Soit Ω un ouvert borné de bord régulier. On considère l’application Q : γ ∈ C ∞ (Ω) → Qγ définie par Z Qγ : f ∈ H 1/2 (∂Ω) −→ γ|∇u|2 dx Ω 1

avec u solution dans H (Ω) du problème de Dirichlet suivant : ( div(γ∇u) = 0 dans Ω, u = f sur ∂Ω. Montrer que, pour toute fonction f : Z dQ|γ=1 (h)(f ) =

h|∇v|2 dx

Ω

où v est solution de :

(

∆v = 0 dans Ω, v = f sur ∂Ω.

CHAPITRE 14 THÉORÈME DE DE GIORGI

14.1. Introduction Soient n ⩾ 2 et Ω un ouvert borné de Rn . Considérons un opérateur L d’ordre 2, de la forme suivante X Lu = ∂i (aij ∂j u), 1⩽i,j⩽n

où les coefficients aij : Ω → R sont des fonctions mesurables. On dit que L est sous forme divergence car il peut s’écrire Lu = div(A∇u),

A = (aij )i,j .

Définition 14.1. On dit que L est un opérateur elliptique s’il existe deux constantes strictement positives λ, Λ telles que X 2 (14.1) ∀(x, ξ) ∈ Ω × Rn , λ |ξ| ⩽ aij (x)ξi ξj , 1⩽i,j⩽n

et (14.2)

sup ∥aij ∥L∞ (Ω) ⩽ Λ. i,j

Nous allons nous intéresser à la régularité des solutions de l’équation Lu = 0. Puisque l’on suppose seulement que les coefficients appartiennent à L∞ (Ω), l’équation Lu = 0 est à comprendre au sens faible. Définition 14.2. Une solution faible de l’équation Lu = 0 est une fonction u ∈ H 1 (Ω) vérifiant X Z (14.3) ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), aij (∂j u)(∂i ϕ) dx = 0. 1⩽i,j⩽n

Ω

296

CHAPITRE 14. THÉORÈME DE DE GIORGI

Nous allons étudier la régularité des solutions faibles. La proposition suivante énonce que si L est elliptique, alors de telles solutions existent toujours. Proposition 14.3. Pour tout opérateur L comme ci-dessus et pour tout ouvert borné Ω ⊂ Rn , il existe des solutions faibles non nulles. Démonstration. Soit B(0, R) une boule ouverte qui contient strictement Ω. e le prolongement de la matrice des coefficients A = (aij )i,j à Rn , Notons A obtenu en posant A(x) = I en dehors de Ω. Les hypothèses (14.1) et (14.2) entraînent que, quitte à changer la valeur des constantes λ et Λ, l’extension vérifie e

(A(x)ξ) ·ξ e ∞ n ⩽ Λ.

A inf ⩾ λ, 2 L (R ) |ξ| (x,ξ)∈Rn ×(Rn ∖{0}) Introduisons la forme bilinéaire B définie par Z e B(u, ϕ) = (A∇u) · ∇ϕ dx. B(0,R)

e entraînent que B est une forme biliAlors les propriétés précédentes de A 1 néaire continue et coercive sur H0 (B(0, R)). Considérons maintenant une fonction f ∈ L2 (B(0, R)) quelconque. Alors l’application Z ϕ 7−→ −

f ϕ dx, B(0,R)

est une forme linéaire continue sur L2 (B(0, R)) et a fortiori sur l’espace de Hilbert H01 (B(0, R)). Le théorème de Riesz-Fréchet implique qu’il existe un unique u ∈ H01 (B(0, R)) tel que Z ∀v ∈ H01 (B(0, R)), B(u, v) = − f v dx. B(0,R)

Comme u ∈ H01 (B(0, R)) ⊂ H 1 (B(0, R)), on a trivialement u ∈ H 1 (Ω). Si on choisit f s’annulant sur Ω, alors on vérifie directement que u vérifie (14.3). Remarque 14.4. (i) Si le bord est assez régulier, on peut aussi construire des solutions faibles en résolvant un problème de Dirichlet (c’est-à-dire construire u vérifiant (14.3) en cherchant une fonction u telle que Lu = 0 dans Ω et u|∂Ω = f ; voir les livres de Brezis [12] et Evans [38]). (ii) On constate que la définition 14.1 est très générale au sens où les hypothèses sur les coefficients sont nécessaires pour garantir que B est une forme bilinéaire continue et coercive sur H01 (Ω).

14.1. INTRODUCTION

297

Nous allons étudier le principal théorème de la théorie(1) de De GiorgiNash-Moser. Le résultat principal, spectaculaire, énonce que les solutions faibles appartiennent à un espace de Hölder(2) . Définition 14.5 (Espaces de Hölder). Soient O un ouvert de Rn , u : O → R et α ∈ ]0, 1]. On définit ∥u∥α,O := sup x̸=y∈O

|u(x) − u(y)| . |x − y|α

Par définition, l’espace de Hölder C 0,α (O) est l’ensemble des fonctions u continues et bornées sur O telles que ∥u∥α,O < ∞. C’est un espace de Banach (exercice) pour la norme ∥u∥C 0,α (O) := sup |u(x)| + sup x∈O

x̸=y∈O

|u(x) − u(y)| . |x − y|α

Théorème 14.6 (De Giorgi). Pour toute boule B ⊂ Ω, il existe α ∈ ]0, 1] et C > 0 tels que ∥u∥C 0,α (B) ⩽ C∥u∥L2 (Ω) , pour toute solution faible u ∈ H 1 (Ω) de Lu = 0. Il est intéressant de comparer ce théorème et les résultats des chapitres précédents sur l’analyse microlocale, qui portaient eux aussi sur la régularité des solutions d’un problème elliptique linéaire. Il y a deux différences fondamentales : (i) Différence de contexte. Le théorème de De Giorgi s’applique sous des hypothèses très générales sur les coefficients. On ne fait aucune hypothèse de régularité sur les coefficients aij , alors que dans les chapitres précédents sur l’analyse microlocale on considérait des équations à coefficients réguliers. (ii) Différence dans la méthode de démonstration. Le fait que l’on ne fasse aucune hypothèse de régularité sur les coefficients entraîne que l’on ne pourra pas utiliser une approche qui consiste à modifier l’équation (par conjugaison ou par calcul symbolique). Au lieu de modifier l’équation, la démonstration du théorème de De Giorgi consistera à transformer l’inconnue. L’élément clé à retenir est que ce résultat, qui est un résultat sur les solutions d’une équation linéaire, repose sur des changements d’inconnues non linéaires. (1) Pour

une exposition détaillée de cette théorie, nous renvoyons aux articles originaux de De Giorgi [35], Nash [112] et Moser [105] ainsi qu’aux livres de Han et Lin [55], Jost [70], Taylor [141, 143] et aux notes de cours d’Ambrosio [4]. (2) Nous avons déjà introduit et étudié ces espaces à la section 5.4.2, grâce à la transformation de Fourier, dans le cas de fonctions définies sur l’espace entier. Nous les étudierons à nouveau par d’autres méthodes à la section 15.2.

298

CHAPITRE 14. THÉORÈME DE DE GIORGI

14.2. Sous-solutions et transformations non linéaires La démonstration du théorème de De Giorgi consiste à introduire des changements d’inconnues non linéaires, de la forme v = Φ(u). Cela va nécessiter plusieurs idées. Il faudra bien sûr choisir ces fonctions Φ. L’obstacle principal est que v = Φ(u) n’est pas une solution faible de Lv = 0. L’idée pour pouvoir travailler avec des expressions non linéaires va reposer sur deux principes : (i) relaxer la notion de solution (on considérera des sous-solutions, ce qui revient à dire que Lv ⩾ 0) et (ii) considérer des changements d’inconnues non linéaires particuliers compatibles avec la notion de sous-solution (ce sera le cas si Φ est une fonction convexe croissante). En guise d’introduction à cette approche, commençons par considérer des solutions régulières. Définition 14.7. Soit u ∈ C 2 (Ω) et supposons que aij ∈ C 1 (Ω). On dit que u est une sous-solution si Lu ⩾ 0. De même, on dit que u ∈ C 2 (Ω) est une sur-solution si Lu ⩽ 0. Proposition 14.8. Soit Φ ∈ C 2 (R) une fonction convexe croissante. Si u ∈ C 2 (Ω) est une sous-solution alors Φ(u) est une sous-solution. P Démonstration. On a L(Φ(u)) = Φ′′ (u) aij (∂i u)(∂j u) + Φ′ (u)Lu. Or, par P 2 hypothèse, on a aij (∂i u)(∂j u) ⩾ λ |∇u| . Par ailleurs, Φ′′ (u) ⩾ 0 et ′ Φ (u) ⩾ 0 par hypothèse sur Φ et Lu ⩾ 0 par hypothèse sur u. On vérifie donc que L(Φ(u)) ⩾ 0, ce qui est le résultat désiré. La proposition précédente concerne les solutions régulières de Lu = 0 alors qu’un aspect crucial du théorème de De Giorgi est qu’il concerne les solutions faibles. Nous allons donc donner une définition de sous-solution au sens faible, puis montrer que l’on peut étendre la proposition précédente à ce contexte. Définition 14.9. Une sous-solution faible est une fonction u ∈ H 1 (Ω) telle que, pour tout ϕ ∈ C01 (Ω) avec ϕ ⩾ 0, X Z aij (∂j u)(∂i ϕ) dx ⩽ 0. 1⩽i,j⩽n

Une sous-solution faible positive est une sous-solution faible vérifiant u ⩾ 0. Une sur-solution faible est une fonction u ∈ H 1 (Ω) telle que −u est soussolution faible : pour tout ϕ ∈ C01 (Ω) avec ϕ ⩾ 0, on a X Z aij (∂j u)(∂i ϕ) dx ⩾ 0. 1⩽i,j⩽n

14.2. SOUS-SOLUTIONS ET TRANSFORMATIONS NON LINÉAIRES

299

Remarque 14.10. Comme C0∞ (Ω) est dense, par définition, dans l’espace H01 (Ω), on a aussi X Z aij (∂j u)(∂i ϕ) dx ⩽ 0, 1⩽i,j⩽n

pour toute fonction positive ϕ appartenant à H01 (Ω). Proposition 14.11. Soit Φ : R → [0, +∞[ une fonction convexe C 2 , croissante, avec Φ′ bornée et telle que Φ′′ (y) = 0 si |y| ⩾ R pour un certain R > 0. Supposons que u ∈ H 1 (Ω) est une sous-solution faible. Alors Φ(u) ∈ H 1 (Ω) et Φ(u) est aussi une sous-solution. Démonstration. Rappelons que Ω est un ouvert borné par hypothèse. Lemme 14.12. Soit G ∈ C 1 (R) une fonction telle que G′ est une fonction bornée sur R. Si u ∈ H 1 (Ω), alors la fonction composée G(u) appartient à H 1 (Ω) et de plus les dérivées au sens faible de G(u) vérifient ∂i G(u) = G′ (u)∂i u,

i = 1, . . . , n.

Démonstration. Par hypothèse sur G, en posant M = supR |G′ |, on a (14.4)

∀(s, t) ∈ R2 ,

|G(t) − G(s)| ⩽ M |t − s|.

On en déduit que |G(u(x))| ⩽ |G(0)| + M |u(x)|, ce qui entraîne que G(u) appartient à L2 (Ω). Par ailleurs, comme G′ est une fonction bornée, la fonction G′ (u)∂j u appartient à L2 (Ω) pour tout j. Il ne reste donc qu’à démontrer que, pour tout indice j et pour toute fonction test ϕ ∈ C01 (Ω), on a Z Z (14.5) G(u)∂j ϕ dx = − ϕG′ (u)∂j u dx. Ω

Ω

Notons que cette formule est vraie si u ∈ C 1 (Ω). En effet, dans ce cas c’est un corollaire de la formule d’intégration par parties. On considère donc une suite (un ) de fonctions C 1 à support compact qui converge vers u dans L2 (Ω), qui converge vers u presque partout et telle que ∇un converge vers ∇u dans L2 (ω) pour tout ω ⋐ Ω (on n’a pas convergence dans L2 (Ω) en général). Alors, en utilisant l’inégalité (14.4), on déduit que G(u R R n ) tend vers G(u) dans L2 (Ω) donc que G(u )∂ ϕ dx converge vers G(u)∂j ϕ dx. n j Ω Ω R Pour étudier l’intégrale Ω ϕG′ (un )∂j un dx, on utilise le fait que ϕ est à support compact et on note que, quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que un converge presque partout vers u et que ∂j un converge presque partout vers ∂j u, de sorte queR le théorème de converge dominée entraîne la converge des intégrales vers Ω ϕG′ (u)∂j u dx. On obtient (14.5) en passant à la limite.

300

CHAPITRE 14. THÉORÈME DE DE GIORGI

Le lemme précédent et les hypothèses sur Φ garantissent que Φ(u) ∈ H 1 (Ω). Considérons ϕ ∈ C01 (Ω) à valeurs positives. On veut montrer que Z X (14.6) aij (∂j Φ(u))(∂i ϕ) dx ⩽ 0. Ω i,j

Le lemme 14.12 implique que, pour tout j tel que 1 ⩽ j ⩽ n, ∂j Φ(u) = Φ′ (u)∂j u,

∂j Φ′ (u) = Φ′′ (u)∂j u.

En utilisant la proposition 7.23, on peut alors écrire que Z X Z X aij (∂j Φ(u))(∂i ϕ) dx = aij Φ′ (u)(∂j u)(∂i ϕ) dx = (I) + (II) Ω i,j

Ω i,j

(I) =

Z X

aij (∂j u)∂i (Φ′ (u)ϕ) dx,

Ω i,j

Z (II) = −

Φ′′ (u)ϕ

Ω

X

aij (∂i u)(∂j u) dx.

i,j

Comme Φ′ (u) appartient à H 1 (Ω) (d’après le lemme 14.12) et comme ϕ ∈ C01 (Ω), on a Φ′ (u)ϕ ∈ H 1 (Ω) d’après la proposition 7.23. De plus, en utilisant que ϕ est une fonction à support compact, on montre que Φ′ (u)ϕ appartient à l’espace H01 (Ω) (car cette fonction est la limite pour la norme ∥·∥H 1 (Ω) d’une suite de fonction appartenant à C01 (Ω)). De plus, Φ′ (u)ϕ ⩾ 0 car ϕ ⩾ 0 et car Φ est croissante. Alors, comme cela a été mentionnée à la remarque 14.10, on a (I) ⩽ 0. Il nous reste à montrer que (II) ⩽ 0. Pour cela, on utilise d’une part l’hypothèse de convexité, pour obtenir que Φ′′ (u) ⩾ 0, et d’autre part l’hypothèse d’ellipticité (14.1) qui implique que P i,j aij (∂i u)(∂j u) ⩾ 0. On obtient donc (II) ⩽ 0, ce qui complète la démonstration de (14.6). La proposition est démontrée. L’argument essentiel pour étudier la régularité elliptique est l’inégalité de Caccioppoli. Nous avons déjà vu cette inégalité à la section 8.3 consacrée à la régularité des fonctions harmoniques. Nous allons maintenant voir que cette inégalité reste vraie pour des sous-solutions d’un problème général à coefficients variables. Considérons deux ouverts ω, Ω avec ω ⊂ Ω et une fonction u ∈ H 1 (Ω) sous-solution faible de l’équation Lu = 0. L’inégalité de Caccioppoli permet d’estimer ∥∇u∥L2 (ω) en fonction de ∥u∥L2 (Ω) . Lemme 14.13 (Lemme de Caccioppoli pour les sous-solutions). Considérons une sous-solution faible positive v ∈ H 1 (Ω) et un ouvert ω ⋐ Ω. Il existe une constante C, ne dépendant que de Ω, ω, n, λ, Λ, telle que Z Z 2 (14.7) |∇v| dx ⩽ C v 2 dx. ω

Ω

14.2. SOUS-SOLUTIONS ET TRANSFORMATIONS NON LINÉAIRES

301

Dans le cas où Ω = B(x0 , ρ) et ω = B(x0 , r) avec 0 < r < ρ, on a K , (ρ − r)2

C⩽

(14.8)

où K est une constante qui ne dépend que de n, λ, Λ. Démonstration. Comme nous l’avons mentionné à la remarque 14.10, on a X Z (14.9) aij (∂j v)(∂i ϕ) dx ⩽ 0, 1⩽i,j⩽n

pour toute fonction positive ϕ appartenant à H01 (Ω). Considérons maintenant une fonction ψ ∈ C01 (Ω), à valeurs dans [0, +∞[, et qui vaut 1 sur ω. Comme nous l’avons rappelé dans la démonstration de la proposition précédente, la fonction ϕ = ψ 2 v appartient à H01 (Ω). De plus, cette fonction est positive car v est positive par hypothèse. On peut utiliser la proposition 7.23 et la relation (14.9) pour écrire que Z Z X X ψ2 aij (∂i v)(∂j v) dx ⩽ −2 ψv aij (∂j v)(∂i ψ) dx. Ω

Ω

i,j

i,j

Introduisons la matrice A = (aij )1⩽i,j⩽n . D’après l’inégalité de CauchySchwarz, on a Z Z 1/2 Z 1/2 X 2 2 2 2 ψv aij (∂j v)(∂i ψ) dx ⩽ ψ |A∇v| dx v |∇ψ| dx . Ω

Ω

i,j

Ω

Par ailleurs, les hypothèses (14.1) et (14.2) sur les coefficients aij entraînent que |A∇v| ⩽ nΛ |∇v| et Z Z X 2 2 λ ψ |∇v| dx ⩽ ψ2 aij (∂i v)(∂j v) dx. Ω

Ω

i,j

En combinant les inégalités précédentes, on vérifie qu’il existe une constante C, ne dépendant que de Ω, ω, n, λ, Λ, telle que Z 1/2 Z 1/2 Z 2 2 2 ψ 2 |∇v| dx ⩽ C ψ 2 |∇v| dx v 2 |∇ψ| dx , Ω

Ω

d’où l’on déduit que Z Ω

Ω

2

ψ 2 |∇v| dx ⩽ C

Z

2

v 2 |∇ψ| dx.

Ω

On en déduit le résultat voulu (14.7). Pour obtenir l’estimation (14.8) de la constante, il suffit de considérer une fonction ψ ∈ C01 (B(x0 , ρ)) qui vaut 1 sur B(x0 , r) et qui tend vers 0 linéairement entre ∂B(x0 , r) et ∂B(x0 , ρ).

302

CHAPITRE 14. THÉORÈME DE DE GIORGI

Nous allons maintenant combiner le lemme de Caccioppoli et la proposition 14.11. Le but est de pouvoir considérer des changements d’inconnues plus généraux, de la forme v = Φ(u) où Φ est n’importe quelle fonction convexe croissante telle que Φ(u) appartient à L2 (Ω). Proposition 14.14. Soit Φ : R → [0, +∞[ une fonction convexe et croissante. Considérons une sous-solution faible u ∈ H 1 (Ω) et considérons un ouvert ω ⋐ Ω. Si v = Φ(u) appartient à L2 (Ω), alors v ∈ H 1 (ω) et v est une sous-solution positive dans ω, ce qui signifie que, pour tout ϕ ∈ C01 (ω) avec ϕ ⩾ 0, X Z aij (∂j v)(∂i ϕ) dx ⩽ 0. 1⩽i,j⩽n

ω

Démonstration. Commençons par montrer que l’on peut approximer la fonction Φ par une suite de fonctions Φp qui vérifient les hypothèses de la proposition 14.11. Lemme 14.15. Il existe une suite de fonctions Φp : R → [0, +∞[, convexes, croissantes, de classe C 2 , telles que Φ′′p (y) = 0 pour |y| ⩾ Rp pour une certaine constante Rp dépendant de p et vérifiant ∀y ∈ R,

0 ⩽ Φp (y) ⩽ Φ(y)

et

lim Φp (y) = Φ(y).

p→+∞

Démonstration. Rappelons que si f : R → R est convexe alors le taux d’accroissement τ (x) = (f (x) − f (a))/(x − a) est une fonction croissante pour tout a ∈ R. Cette propriété nous permet de définir une fonction convexe et croissante, qui coïncide avec Φ sur [−p, p] et qui est affine en dehors de cet intervalle, de la façon suivante :  Φ(y) − Φ(−p)  , α(y + p) + Φ(−p) si y ⩽ −p, où α = lim   y→−p  y+p   yp e p (y) ⩽ Φ(y). On pose ensuite Notons que Φ e+ e Φ p (y) = max{0, Φp (y)}. e + (y) est convexe, affine pour |y| assez grand et 0 ⩽ Φ e + ⩽ Φ. Alors y 7→ Φ p p e + . Considérons une fonction réguPour conclure, il reste à régulariser Φ p R lière ρ : R → [0, +∞[ vérifiant R ρ(t) dt = 1 et telle que supp ρ ⊂ [0, 1]. Posons e + (y) , ρp (y) = pρ (py) . Φp (y) = ρp ∗ Φ p

14.3. ITÉRATIONS DE MOSER

303

Il suit directement de la définition du produit de convolution que Φp est régulière, convexe et vérifie Φp ⩾ 0. De plus, comme ρp est à support dans e+ [0, 1], en rappelant que Φ p est croissante, on vérifie que Z Z e+ e+ e+ Φp (x) = ρp (y)Φ (x − y) dy ⩽ ρp (y)Φ p p (x) dy = Φp (x) R

R

e + ⩽ Φ. Enfin, comme Φ e + coïncide avec Φ sur [−p, p], la donc Φp ⩽ Φ p p convergence simple de Φp vers Φ provient des résultats sur la convergence des approximations de l’identité vus au chapitre 6. Comme Φ(u) ∈ L2 (Ω) par hypothèse et que 0 ⩽ Φp (u) ⩽ Φ(u), le théorème de convergence dominée implique que Φp (u) converge vers Φ(u) dans L2 (Ω). Par ailleurs, le lemme de Caccioppoli et la proposition 14.11 impliquent que Φp (u) est bornée dans H 1 (ω) pour tout ω ⋐ Ω. Comme H 1 (ω) est un espace de Hilbert, on peut extraire une sous-suite (Φp′ (u)) qui converge faiblement dans H 1 (ω). Par unicité de la limite, on en déduit que v = Φ(u) appartient à H 1 (ω). De plus, v est une sous-solution car la limite faible d’une suite de sous-solutions est toujours une sous-solution. Lorsque Φ est une fonction convexe, qui n’est pas nécessairement croissante, on dispose d’un résultat analogue mais qui ne s’applique qu’aux solutions faibles (il est faux en général pour les sous-solutions faibles). Proposition 14.16. Soit Φ : R → [0, +∞[ une fonction convexe monotone. Considérons une solution faible u ∈ H 1 (Ω) et considérons un ouvert ω ⋐ Ω. Si v = Φ(u) appartient à L2 (Ω), alors v ∈ H 1 (ω) et v est une sous-solution positive dans ω. Démonstration. Si Φ est croissante alors le résultat est un corollaire direct de la proposition précédente. Considérons alors le cas où Φ est décroissante. e : R → [0, +∞[ définie par Φ(t) e Dans ce cas, la fonction Φ = Φ(−t) est e une fonction convexe croissante et on a v = Φ(−u). Comme u est solution faible, −u est aussi solution faible, donc a fortiori une sous-solution faible. Le résultat voulu est un donc une conséquence de la proposition précédente.

14.3. Itérations de Moser On note B(x0 , ρ) la boule ouverte de centre x0 et de rayon ρ > 0. Théorème 14.17. Fixons x0 ∈ Ω et considérons r, ρ avec 0 < r < ρ tels que B(x0 , ρ) ⊂ Ω. Il existe une constante c > 0 telle que pour tout v ∈ H 1 (Ω) sous-solution positive de L, on a ∥v∥L∞ (B(x0 ,r)) ⩽ c∥v∥L2 (B(x0 ,ρ)) .

304

CHAPITRE 14. THÉORÈME DE DE GIORGI

Démonstration. La preuve que nous suivons est due à Moser. Fixons x0 ∈ Ω et considérons r, ρ avec 0 < r < ρ tels que B(x0 , ρ) ⊂ Ω. On autorisera toutes les constantes à dépendre de x0 , r, ρ. Considérons une suite de boules Bj = B(x0 , Rj ) avec Rj = r + (ρ − r)2−j de sorte que T Bj+1 ⊂ Bj ⊂ · · · ⊂ B0 = B(x0 , ρ) et B∞ := Bj = B(x0 , r). j∈N

Le principe de la démonstration est qu’il existe κ > 1 tel que l’on peut estimer ∥v∥L2κj+1 (Bj+1 ) en fonction de ∥v∥L2κj (Bj ) . L’existence de la constante κ provient du corollaire suivant de l’injection de Sobolev. Lemme 14.18. Soit κ ∈ [1, n/(n − 2)] pour n ⩾ 3 et κ ∈ ]1, +∞[ si n = 2. Il existe une constante γ telle que, pour tout j ∈ N, tout v ∈ H 1 (Bj+1 ) on ait (14.10)

2

2κ ∥v κ ∥L2 (Bj+1 ) ⩽ γ∥∇v∥2κ L2 (Bj+1 ) + γ∥v∥L2 (Bj+1 ) .

Démonstration. L’inégalité de Sobolev implique que  2κ 2 ∥v κ ∥L2 (Bj+1 ) ⩽ C∥v∥2κ . H 1 = C ∥∇v∥L2 (Bj+1 ) + ∥v∥L2 (Bj+1 ) On utilise alors que la fonction t 7→ t2κ est croissante pour obtenir que (s + t)2κ ⩽ (2 max{s, t})2κ ⩽ 22κ (s2κ + t2κ ), et on en déduit l’inégalité recherchée. Lemme 14.19. Fixons κ ∈ ]1, n/(n − 2)] pour n ⩾ 3 et κ ∈ [1, +∞[ si n = 2. Supposons que v ∈ H 1 (Bj ) est une sous-solution faible positive. Alors v κ appartient à H 1 (Bj+1 ) et est une sous-solution faible positive dans Bj+1 . De plus, 2 ∥v κ ∥L2 (Bj+1 ) ⩽ C(22κj + 1)∥v∥2κ L2 (Bj ) , où C > 0 est une constante qui ne dépend que de n, λ, Λ, r, ρ. Démonstration. Considérons la fonction convexe Φ : R → [0, +∞[ définie par ( 0 si t ⩽ 0, Φ(t) = κ t si t ⩾ 0. Comme v est positive par hypothèse, notons que Φ(v) = v κ . De plus, par hypothèse, on a v ∈ H 1 (Bj ), donc l’injection de Sobolev implique que Φ(v) appartient à L2 (Bj ). On peut alors appliquer la proposition 14.14 avec ω = Bj+1 . On en déduit que v κ = Φ(v) appartient à H 1 (Bj+1 ) et que v κ est une sous-solution faible positive dans Bj+1 . Pour démontrer l’estimation recherchée, on utilise l’injection de Sobolev (14.11)

2

2κ ∥v κ ∥L2 (Bj+1 ) ⩽ γ∥∇v∥2κ L2 (Bj+1 ) + γ∥v∥L2 (Bj+1 ) .

De plus, on a l’inégalité de Caccioppoli ∥∇v∥L2 (Bj+1 ) ⩽ Cj ∥v∥L2 (Bj ) .

305

14.3. ITÉRATIONS DE MOSER

Pour contrôler la constante Cj , nous allons utiliser la propriété (14.8) (en faisant attention au fait que dans (14.8) on a une inégalité pour le carré des normes). Comme la différence entre le rayon de Bj et celui de Bj+1 est proportionnelle à 2−j , on obtient que l’on peut choisir Cj de sorte que Cj ⩽ K2j , où K > 0 est une constante qui ne dépend que de n, λ, Λ, r, ρ. En combinant lesh inégalités précédentes, il vient i 2

2κ 2κ 2κ ∥v κ ∥L2 (Bj+1 ) ⩽ γ Cj2κ ∥v∥2κ L2 (Bj ) + ∥v∥L2 (Bj+1 ) ⩽ γ(Cj + 1)∥v∥L2 (Bj ) ,

équivalent au résultat recherché. On introduit alors une suite de fonctions définies par j vj = v κ . Alors, si v ∈ H 1 (B0 ) est une sous-solution faible positive, on obtient à partir du lemme précédent, par récurrence, que vj appartient à H 1 (Bj ) et est aussi une sous-solution faible dans Bj . Notons que vj+1 = (vj )κ et posons 1/κj

Nj = ∥v∥L2κj (Bj ) = ∥vj ∥L2 (Bj ) . On a j+1 2 2κ 2κj+1 Nj+1 = ∥vj+1 ∥L2 (Bj+1 ) ⩽ C(22κj + 1) ∥vj ∥L2 (Bj ) = C(22κj + 1)Nj2κ . Donc

2 Nj+1 ⩽ C(22κj + 1)

On trouve lim sup Nj2 ⩽ j→+∞

∞ Y


1/κj+1

Nj2 .


1/κj+1

N02 ⩽ c2 N02 .

C(22κj + 1)

j=0

Ceci démontre que la suite (Nj ) est bornée. Nous allons pour conclure en déduire que v appartient à L∞ (B(x0 , r)). En effet, notons M = supj∈N Nj . Alors, par définition de Nj , on a Z Z j 2κj 2κj |v| dx ⩽ |v| dx ⩽ M 2κ . B(x0 ,r)

Posons Alors

Bj

 A = x ∈ B(x0 , r) : |v(x)| > 2M . Z j 2κj |A| (2M )2κ ⩽ |v| dx. B(x0 ,r) j

Donc, en combinant ces deux inégalités, il suit que |A| ⩽ 2−2κ pour tout j ∈ N, ce qui entraîne |A| = 0. Ceci démontre que v est bornée par 2M en dehors d’un ensemble de mesure nulle ; ce qui prouve que v appartient à L∞ (B(x0 , r)). De plus, on a démontrée l’estimation désirée de ∥v∥L∞ (B(x0 ,r)) par un multiple de N0 qui est la norme L2 de v sur la boule B(x0 , ρ). Ceci conclut la démonstration.

306

CHAPITRE 14. THÉORÈME DE DE GIORGI

14.4. Inégalité de Harnack Nous avons déjà vu l’inégalité de Harnack pour les fonctions harmoniques, c’est-à-dire les fonctions u telles que ∆u = 0 (voir le théorème 8.5). Cette inégalité énonce que si Ω est connexe et borné, et que u est une fonction harmonique positive sur Ω, alors supx∈Ω u(x) est majorée par C inf x∈Ω u(x) où C est une constante universelle. La démonstration reposait sur la formule de la moyenne. Nous allons ici considérer le cas beaucoup plus difficile d’une équation à coefficients variables. Dans ce cas, on ne dispose plus de la formule de la moyenne, ni d’aucune autre formule de représentation. Cependant, nous allons voir que l’on peut démontrer, pour une équation à coefficients L∞ , une version affaiblie de l’inégalité de Harnack. Théorème 14.20. Supposons que u ∈ H 1 (B(x0 , 4R)) est une solution faible positive vérifiant |{x ∈ B(x0 , 2R) : u(x) ⩾ 1}| ⩾ ε|B(x0 , 2R)|, avec ε > 0. Alors il existe une constante c > 0 qui ne dépend que de ε, n, λ, Λ, R telle que inf u ⩾ c. B(x0 ,R)

Pour démontrer ce théorème, nous utilisons la version suivante de l’inégalité de Poincaré. Lemme 14.21. Considérons une boule B ⊂ Rn de rayon R. Pour tout ε > 0, il existe une constante C = C(ε, n) telle que pour tout u ∈ H 1 (B) vérifiant |{x ∈ B : u = 0}| ⩾ ε|B| on ait

Z

u2 dx ⩽ CR

B

Z

2

|∇u| dx. B

Démonstration. Par l’absurde, si cela est faux on peut construire une suite (um ) d’éléments de H 1 (B) telle que Z Z 2 |{x ∈ B : um = 0}| ⩾ ε|B|, u2m dx = 1, |∇um | dx −→ 0. B

B

Alors on peut supposer que (um ) converge vers u0 ∈ H 1 (B), fortement dans L2 (B) et faiblement dans H 1 (B). Alors u0 est une constante non nulle. De plus, Z 2 0 = lim |um − u0 | dx m→+∞ B Z 2 2 ⩾ lim |um − u0 | dx ⩾ |u0 | inf |{um = 0}| > 0, m→+∞

{um =0}

d’où la contradiction recherchée.

m

14.4. INÉGALITÉ DE HARNACK

307

Démonstration du théorème 14.20. On peut supposer que u ⩾ δ > 0 (quitte à appliquer le résultat à u + δ, puis à faire tendre δ vers 0). Le résultat va être obtenu en examinant v = max(− log u, 0). Introduisons Φ : R → [0, +∞[, de la forme Φ(t) = αt + β

si t ⩽ δ,

Φ(t) = − log(t) si δ ⩽ t ⩽ 1, Φ(t) = 0

si 1 ⩽ t,

où α et β sont choisis de façon à obtenir une fonction convexe. Comme u ⩾ δ on a v = Φ(u). Nous voulons montrer que v est une sous-solution. Notons que Φ est décroissante. Comme u est une solution faible, et pas uniquement une sous-solution faible, on peut utiliser la proposition 14.16. Ainsi, pour montrer que v appartient à H 1 (B(x0 , 2R)) et que v est une sous-solution sur B(x0 , 2R), il suffit de savoir que v ∈ L2 (B(x0 , 3R)). Or cela est un corollaire immédiat du fait que u appartient à L∞ (B(x0 , 3R)) d’après le théorème 14.17. On peut également appliquer l’estimation L∞ donnée par le théorème 14.17 à v, ce qui implique ∥v∥L∞ (B(x0 ,R)) ⩽ c∥v∥L2 (B(x0 ,2R)) .

(14.12) Notons que

|{x ∈ B(x0 , 2R) : v = 0}| = |{x ∈ B(x0 , 2R) : u ⩾ 1}| ⩾ ε|B(x0 , 2R)|. L’inégalité de Poincaré précédente entraîne que ∥v∥L2 (B(x0 ,2R)) ⩽ C∥∇v∥L2 (B(x0 ,2R)) .

(14.13)

Nous voulons montrer que le membre de droite est borné. Pour cela, nous allons utiliser une variante de l’inégalité de Caccioppoli obtenue en considérons la fonction test ϕ = ζ 2 /u où ζ ∈ C01 (B(x0 , 4R)). Comme u ⩾ δ, la fonction ζ est bien définie et appartient à H01 . Comme u est une solution faible, on obtient que Z X 0= aij (∂j u)(∂i ϕ) dx B(x0 ,4R)

Z =− B(x0 ,4R)

Z ζ2 X ζX a (∂ u)(∂ u) dx + 2 aij (∂j u)(∂i ζ) dx, ij i j 2 u ij B(x0 ,4R) u ij

ce qui implique (en utilisant la condition d’éllipticité et l’inégalité de Hölder) Z Z 2 2 2 ζ |∇ log u| dx ⩽ C |∇ζ| dx. B(x0 ,4R)

B(x0 ,4R)

Donc, en choisissant ζ égal à 1 sur B(x0 , 2R) puis allant linéairement vers 0 sur ∂B(x0 , 4R), on trouve Z 2 |∇ log u| dx ⩽ C. B(x0 ,2R)

308

CHAPITRE 14. THÉORÈME DE DE GIORGI

En combinant cette inégalité avec (14.12) et (14.13) (et le fait que f 7→ max{f, 0} est bornée de H 1 dans H 1 ), on en déduit sup v ⩽ C B(x0 ,R)

ce qui donne inf B(x0 ,R) u ⩾ e−C > 0. Le théorème est démontré. 14.5. Régularité höldérienne Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème 14.6 de De Giorgi, dont l’énoncé est équivalent au résultat suivant. Théorème 14.22 (De Giorgi). Considérons un ouvert Ω, un point x1 de Ω et un rayon R > 0 tels que B(x1 , 5R) ⊂ Ω. Alors il existe α ∈ ]0, 1] et C > 0 tels que toute solution faible u ∈ H 1 (Ω) de Lu = 0 appartient à C 0,α (B(x1 , R/2)) et de plus ∥u∥C 0,α (B(x1 ,R/2)) ⩽ C∥u∥L2 (B(x1 ,5R)) . Remarque 14.23. Le même résultat est vrai si on remplace dans l’énoncé ci-dessus 5R (resp. R/2) par R′ (resp. R′′ ) où R′ (resp. R′′ ) est un nombre réel quelconque strictement plus grand (resp. plus petit) que R. Pour le voir, il suffit d’utiliser un argument de changement d’échelle, comme cela sera fait dans la démonstration du lemme 14.25. Démonstration. Nous commençons par montrer que u appartient à L∞ , quitte à travailler sur une boule plus petite. Lemme 14.24. On a u ∈ L∞ (B(x1 , 2R)) et de plus ∥u∥L∞ (B(x1 ,2R)) ⩽ C∥u∥L2 (B(x1 ,4R)) , où la constante C ne dépend que de n, λ, Λ, R. Démonstration. Considérons les fonctions convexes y 7−→ max{y, 0},

y 7−→ max{−y, 0}.

Comme u est une solution faible (et pas uniquement une sous-solution), on peut appliquer la proposition 14.16 pour en déduire que max{u, 0} et max{−u, 0} sont des sous-solutions faibles positives. On utilise alors l’estimation L∞ pour les sous-solutions positives donnée par le théorème 14.17. On en déduit que max{u, 0} et max{−u, 0} appartiennent à L∞ (B(x1 , 2R)), ce qui implique le résultat voulu. Maintenant que l’on sait que u appartient à L∞ (B(x1 , 2R)), il reste à montrer que |u(x) − u(y)| (14.14) sup ⩽ C∥u∥L2 (B(x1 ,5R)) . |x − y|α x̸=y∈B(x1 ,R/2)

14.5. RÉGULARITÉ HÖLDÉRIENNE

309

Pour cela, il sera commode de fixer x0 ∈ B(x1 , R/2) et de montrer qu’il existe une constante C, indépendante de x0 , telle que |u(x) − u(x0 )| ⩽ C∥u∥L2 (B(x0 ,4R)) , α |x − x0 |

(14.15)

pour tout x ∈ B(x0 , R) ∖ {x0 }. Nous expliquerons plus loin comment en déduire facilement l’inégalité (14.14). Pour démontrer (14.15), nous allons étudier l’oscillation de u sur les boules B(x0 , r) avec r ⩽ 2R. Par définition, l’oscillation de u sur la boule B(x0 , r) est la quantité ω(r) = sup u(x) − inf B(x0 ,r)

u(x).

B(x0 ,r)

Lemme 14.25. Il existe γ ∈ [0, 1[ tel que, pour tout r ∈ ]0, R], ω(r) ⩽ γω(2r). Démonstration. La démonstration est en deux étapes. On commence par démontrer le résultat dans le cas particulier où r = R. Ensuite, on en déduira le résultat pour tout r ∈ ]0, R] par un argument de changement d’échelle. Étape 1 : cas r = R. Quitte à ajouter une constante à u, on peut supposer que 1 sup u(x) = − inf u(x) = ω(2R). 2 B(x ,2R) 0 B(x0 ,2R) Posons M = ω(2R)/2 et u u , u− = 1 − . M M Alors u− et u+ sont solutions faibles de Lu+ = Lu− = 0 et de plus ces fonctions sont positives sur B(x0 , 2R). Notons que u+ = 1 +

|{x ∈ B(x0 , 2R) : u+ ⩾ 1}| + |{x ∈ B(x0 , 2R) : u− ⩾ 1}| = |{x ∈ B(x0 , 2R) : u ⩾ 0}| + |{x ∈ B(x0 , 2R) : u ⩽ 0}| ⩾ |B(x0 , 2R)|. Par conséquent, soit |{x ∈ B(x0 , 2R) : u+ ⩾ 1}| ⩾

1 |B(x0 , 2R)|, 2

soit 1 |B(x0 , 2R)|. 2 Supposons pour fixer les idées que u+ vérifie cette condition (sinon on se ramène à ce cas en changeant u en −u). Alors l’inégalité de Harnack donnée par le théorème 14.20 implique que |{x ∈ B(x0 , 2R) : u− ⩾ 1}| ⩾

u+ (x) > c dans B(x0 , R),

310

CHAPITRE 14. THÉORÈME DE DE GIORGI

pour une certaine constante c > 0. Par définition de u+ = 1 + u/M , on en déduit que −M (1 − c) ⩽ u(x) dans B(x0 , R). Or, par définition de M , on a aussi u(x) ⩽ M dans B(x0 , 2R) et a fortiori cela reste vrai dans B(x0 , R). Par construction, on a ω(2R) = 2M et on conclut que ω(R) =

sup u − B(x0 ,R)

inf

u

B(x0 ,R)

 c ⩽ M − (−M (1 − c)) = 2M − cM = 2M 1 − 2  c ⩽ γω(2R) avec γ := 1 − . 2 Notons que γ dépend de n, λ, Λ et éventuellement de R. Nous allons voir dans l’étape suivante que γ est en fait indépendante de R. Étape 2 : cas r ∈ ]0, R[. Introduisons     r r u e(x) = u x0 + (x − x0 ) , e aij (x) = aij x0 + (x − x0 ) . R R P Comme u est une solution faible de ∂i (aij ∂j u) = 0, on vérifie directeP ment que u e est une solution faible de l’équation ∂i (e aij ∂j u e) = 0. De plus, les coefficients e aij vérifient les hypothèses (14.1) et (14.2) avec les mêmes constantes positives λ et Λ. On peut donc appliquer le résultat de l’étape précédente pour obtenir que ω e (R) =

sup u e(x) −

B(x0 ,R)

inf B(x0 ,R)

u e(x) ⩽ γ ω e (2R).

Or ω e (R) = ω(r) et ω e (2R) = ω(2r). On en déduit donc le résultat voulu. Considérons x0 dans la boule B(x1 , R/2) et considérons maintenant x ∈ B(x0 , R) avec x ̸= x0 . Posons r = |x − x0 |. Alors il existe n ∈ N∗ tel que 2−n+1 R > r ⩾ 2−n R. On peut alors écrire que |u(x) − u(x0 )| ⩽ sup u − inf B(x0 ,r)

B(x0 ,r)

u = w(r) ⩽ γ n−1 ω(2n−1 r).

n−1

De plus, comme 2 r ⩽ R on a ω(2n−1 r) ⩽ 2∥u∥L∞ (B(x0 ,R)) (directement par définition de ω) et donc, d’après l’estimation L∞ donnée par le lemme 14.24, nous avons ω(2n−1 r) ⩽ K∥u∥L2 (B(x0 ,4R)) . Comme r ⩾ 2−n R on a rα ⩾ 2−nα Rα pour tout α ∈ ]0, 1[. Alors |u(x) − u(x0 )| ⩽ γ n−1 2nα R−α K∥u∥L2 (B(x0 ,4R)) . α |x − x0 |

311

14.6. EXERCICES

On choisit maintenant α tel que 2α γ ⩽ 1 (alors α ∈ ]0, 1/2[). Alors |u(x) − u(x0 )| ⩽ R−α K∥u∥L2 (B(x0 ,4R)) , α |x − x0 | pour tout x ∈ B(x0 , R) ∖ {x0 }. On prend maintenant la borne supérieure lorsque x0 parcourt B(x1 , R/2), pour obtenir que |u(x) − u(x0 )| |u(x) − u(x0 )| ⩽ sup sup α α |x − x0 | |x − x0 | x0 ,x∈B(x1 ,R/2) x0 ∈B(x1 ,R/2) x∈B(x0 ,R) sup

x0 ̸=x

x̸=x0

sup

⩽

x0 ∈B(x1 ,R/2)

R

−α

K∥u∥L2 (B(x0 ,4R))

⩽ R−α K∥u∥L2 (B(x1 ,5R)) . Comme le lemme 14.24 nous donnait déjà une estimation L∞ , ceci conclut la démonstration du théorème.

14.6. Exercices Exercice 14.1 (Théorème de Nash). Dans cet exercice, on étudie une équation parabolique générale et on montre un résultat analogue au théorème 14.17. Nous renvoyons au livre de Taylor [141] pour la solution. Fixons T > 0 et R > 0. On note BR la boule de centre 0 et de rayon R, et on pose Q = [0, T ] × Ω. Considérons l’opérateur X L= ∂xj ajk ∂xk ·) 1⩽j,k⩽n

où les coefficients ajk vérifient ajk = akj et ajk ∈ L∞ (BR ) pour tous j, k tels que 1 ⩽ j, k ⩽ n. On suppose de plus qu’il existe deux constantes λ, Λ > 0 telles que X X X λ ξj2 ⩽ ajk (x)ξj ξk ⩽ Λ ξj2 1⩽j⩽n

1⩽j,k⩽n

1⩽j⩽n

pour tout ξ dans Rn et presque tout x ∈ BR . Nous avons étudié en cours la régularité des solutions de l’équation elliptique Lu = 0 et démontré en particulier le théorème de De Giorgi. Le but de ce problème est de démontrer le théorème de Nash qui concerne les solutions u : Q → R de l’équation parabolique ∂t u − Lu = 0. Dans ce problème, on ne montrera que des estimations a priori : on démontre des estimations pour des fonctions régulières ; l’obtention de ces estimations pour des fonctions moins régulières ne sera pas demandée.

312

CHAPITRE 14. THÉORÈME DE DE GIORGI

(1) Soit v = v(t, x) une fonction appartenant à C 2 (Q). On dit que v est une sous-solution si (∂t − L)v ⩽ 0. Soient κ ∈ [1, +∞[ et v = v(t, x) une fonction positive appartenant à C 2 (Q). Montrer que si v est une sous-solution alors v κ est une aussi une sous-solution. (2) Soient V = (V1 , . . . , Vn )(t, x) et W = (W1 , . . . , Wn )(t, x). On note ⟨V, W ⟩ la fonction définie par X ⟨V, W ⟩(t, x) = ajk (x)Vj (t, x)Wk (t, x). 1⩽j,k⩽n

p On note ∥V ∥ la fonction ⟨V, V ⟩. Montrer que ⟨V, W ⟩ ⩽ ∥V ∥ ∥W ∥. Soit v ∈ C 2 (Q). Supposons que w ∈ C 2 (Q) s’annule au voisinage de [0, T ] × ∂Ω. Montrer que ZZ ZZ ZZ w(∂t − L)v dx dt = ⟨∇x v, ∇x w⟩ dx dt + w∂t v dx dt. Q

Q

Q

Posons g = (∂t v − Lv) et considérons une fonction ψ ∈ C ∞ (Q) qui s’annule au voisinage de [0, T ] × ∂Ω. En utilisant l’identité précédente (appliquée avec w choisie convenablement), montrer que pour tout (T1 , T2 ) ∈ [0, T ]2 , Z T2 Z 2 ψ 2 ∥∇x v∥ dx dt T1

Ω

Z

T2

Z

Z

= −2 1 2

Z

T2

T1

Z

Z

⟨ψ∇x v, v∇x ψ⟩ dx dt + T1

+

T2

Ω

T1

(∂t ψ 2 )v 2 dx dt −

Ω

1 2

Z

ψ 2 gv dx dt

Ω

ψ 2 v 2 (T2 , x) dx +

Ω

1 2

Z

ψ 2 v 2 (T1 , x) dx.

Ω

En déduire Z T2 Z Z 2 ψ 2 ∥∇x v∥ dx dt + ψ 2 v 2 (T2 , x) dx T1

Ω

Ω

Z

T2

Z

⩽ T1


2 v 2 4 ∥∇x ψ∥ + ∂t ψ 2 dx dt

Ω

Z

T2

Z

+2 T1

ψ 2 gv dx dt +

Ω

Z

ψ 2 v 2 (T1 , x) dx.

Ω

(Indication : 2xy ⩽ 12 x2 + 2y 2 .) (3) Soient (Tj )j∈N et (Rj )j∈N deux suites telles que T0 = 0, R0 = R,

Tj+1 ⩾ Tj , Rj+1 ⩽ Rj ,

Tj+1 − Tj = Aj −2 T, Rj − Rj+1 = Bj

−2

R,

lim Tj = T /2, lim Rj = R/2.

avec A, B > 0 deux constantes données. On pose Qj = [Tj , T ] × BRj . Noter que Qj+1 ⊂ Qj (faire un dessin en dimension 1.)

313

14.6. EXERCICES

Soit v ∈ C 2 (Q) une sous-solution positive de ∂t − L. Montrer que ∥∇x v∥L2 (Qj+1 ) +

sup t∈[Tj+1 ,T ]

∥v(t, ·)∥L2 (BR

j+1

)

⩽ Cj ∥v∥L2 (Qj ) ,

où la constante Cj vérifie Cj ⩽ Cj 2 + C avec C indépendante de j. (4) Fixons κ = 1 + 2/n. – Soient R/2 ⩽ r ⩽ R et Br la boule de centre 0 et de rayon r. Soit w = w(x) appartenant à H 1 (Br ). On admet qu’il existe une constante γ = γ(R) telle que 2

4/n

2κ ∥w∥2κ L2κ (Br ) ⩽ γ ∥∇x w∥L2 (Br ) ∥w∥L2 (Br ) + γ∥w∥L2 (Br ) .

(Expliquez pourquoi, si vous savez démontrer cette inégalité.) – Montrer qu’il existe une constante γ telle que, ∀j ∈ N,

2

2

∥v κ ∥L2 (Qj ) ⩽ γσj (v)4/n ∥∇x v∥L2 (Qj ) + γ∥v∥2κ L2 (Qj ) ,

où σj (v) =

2

sup ∥v(t, ·)∥L2 (BR ) .

t∈[Tj ,T ]

j

(5) Soit v ∈ C 2 (Q) une sous-solution positive de ∂t − L. Montrer que 2

∥v κ ∥L2 (Qj+1 ) ⩽ γ(Cj2κ + 1)∥v∥2κ L2 (Qj ) . (6) En déduire qu’il existe K > 0 telle que, pour tout v ∈ C 2 (Q) soussolution positive de ∂t − L, on ait ∥v∥L∞ (Q′ ) ⩽ K∥v∥L2 (Q) ′

où Q = [T /2, T ] × BR/2 .

CHAPITRE 15 THÉORÈME DE SCHAUDER

Dans ce chapitre, nous allons développer l’étude de la régularité höldérienne des solutions d’équations elliptiques. Le résultat principal est un théorème classique de Schauder. En combinant ce résultat avec le théorème de De Giorgi, nous dériverons un résultat de régularité C ∞ pour les surfaces minimales. 15.1. Moyennes locales et équations elliptiques Un des objectifs de ce chapitre est d’expliquer comment utiliser la notion de moyenne locale pour étudier la régularité des solutions d’équations elliptiques. Définition 15.1. Soient A un sous-ensemble mesurableR borné de Ω et u ∈ L1loc (Ω). Dans toute la suite, on utilisera les notations −A et uA définies par Z Z 1 uA = − u dx = u dx. |A| A A On dit que uA est la moyenne de u sur A. Nous avons vu au chapitre 13 que les fonctions harmoniques, c’est-àdire les fonctions u ∈ C 2 (Ω) telle que ∆u = 0, vérifient la propriété de la moyenne : u(x) = uB(x,r)

pour tout r tel que B(x, r) ⊂ Ω.

Nous allons dans cette section commencer par voir deux inégalités qui traduisent cet effet de moyennisation pour les solutions d’un problème elliptique à coefficients constants. Proposition 15.2. Considérons une matrice A à coefficients constants vérifiant ∃λ > 0/ ∀ξ ∈ Rn , λ|ξ|2 ⩽ Aξ · ξ.

316

CHAPITRE 15. THÉORÈME DE SCHAUDER

Supposons que u ∈ H 2 (B(x0 , R)) est une solution faible de div(A∇u) = 0. Alors, pour tout r tel que 0 < r < R, Z  r n Z 2 (15.1) |u| dx ⩽ c |u|2 dx, R B(x ,r) B(x0 ,R) Z 0  r n+2 Z 2 u − uB(x ,R) 2 dx. (15.2) |u − uB(x0 ,r) | dx ⩽ c 0 R B(x0 ,r) B(x0 ,R) Démonstration. Prouvons (15.1). Par un argument de changement d’échelle élémentaire, il suffit de supposer que R = 1 et r < 1. Notons que le résultat est trivial si 1/2 ⩽ r ⩽ 1 (en effet, l’inégalité est alors vraie trivialement avec c = 2n pour toute fonction u ∈ L2 ). Considérons le cas r ⩽ 1/2. En écrivant Z |u|2 dx ⩽ 2n rn sup |u|2 ⩽ 2n rn sup |u|2 , B(x0 ,r)

B(x0 ,r)

B(x0 ,1/2)

on voit qu’il suffit de montrer que sup B(x0 ,1/2)

2

Z

|u| ⩽ C

|u|2 dx,

B(x0 ,1)

ce qui a déjà été vu dans le chapitre précédent (cf. le théorème 14.17). Démontrons (15.2). Supposons d’abord que r < R/2. Comme A est une matrice constante, on vérifie que ∂i u ∈ H 1 (B(x0 , R/2)) est une solution faible de div(A∇∂i u) = 0. On peut alors utiliser (15.1) avec u remplacée par ∇u, ce qui donne Z  r n Z 2 2 |∇u| dx ⩽ c1 |∇u| dx. R B(x0 ,r) B(x0 ,R/2) Par ailleurs, nous avons l’inégalité de Poincaré (cf. l’exercice 7.3 et sa solution 12) Z Z 2 |u − uB(x0 ,r) |2 dx ⩽ c2 r2 |∇u| dx, B(x0 ,r)

B(x0 ,r)

et l’inégalité de Caccioppoli qui énonce que, pour(1) tout c ∈ R, on a Z Z c3 2 2 |∇u| dx ⩽ 2 |u − c| dx. R B(x0 ,R) B(x0 ,R/2) En utilisant cette inégalité avec c = uB(x0 ,R) et en combinant le résultat avec l’inégalité de Poincaré, nous trouvons que Z  r n+2 Z |u − uB(x0 ,r) |2 dx ⩽ c1 c2 c3 |u − uB(x0 ,R) |2 dx. R B(x0 ,r) B(x0 ,R) (1) Le

fait que l’inégalité soit vraie avec c ∈ R quelconque provient simplement du fait que si u est solution de div(A∇u) alors v = u − c est solution de la même équation. Par ailleurs, on a ∇v = ∇u.

15.2. MOYENNES LOCALES ET ESPACES DE HÖLDER

317

Ce qui est le résultat désiré. Il reste à considérer le cas R/2 ⩽ r ⩽ R. Pour cela, commençons par vérifier que uB(x0 ,r) est un minimiseur de la fonction Z 2 m 7−→ |u(x) − m| dx. B(x0 ,r)

Pour le voir, écrivons que Z Z 2 |u − m| dx = B(x0 ,r)

Z

2

|u| dx − 2m

B(x0 ,r)

u dx + m2 |B(x0 , r)|,

B(x0 ,r)

donc

Z Z d 2 |u − m| dx = 0 pour m = − u dx dm B(x0 ,r) B(x0 ,r) et on en déduit le résultat annoncé. Cela implique que (en rappelant que 1/2 ⩽ r/R ⩽ 1) Z Z |u(x) − uB(x0 ,r) |2 dx ⩽ |u(x) − uB(x0 ,R) |2 dx B(x0 ,r) B(x0 ,r)  r n+2 Z ⩽ 2n+2 |u − uB(x0 ,R) |2 dx. R B(x0 ,R) Ce qui conclut la démonstration. 15.2. Moyennes locales et espaces de Hölder Dans la suite, on considère un ouvert Ω de Rn et on notera dΩ = supx,y∈Ω |x − y| le diamètre de Ω. Rappelons l’inégalité de Jensen. Lemme 15.3 (Jensen). Soient (X, A , µ) un espace mesuré avec µ(X) = 1, g une fonction µ-intégrable à valeurs dans un intervalle I, et ϕ une fonction convexe de I dans R. Alors Z  Z ϕ g dµ ⩽ ϕ(g) dµ. X

X

En particulier, pour tout p ∈ [1, +∞[, Z p |uΩ | ⩽ − |u|p dx. Ω

La définition des espaces de Campanato fait intervenir un analogue Lp de la variance. Pour motiver cette définition, commençons par étudier Z p Jp (u) = inf |u − m| dx (u ∈ Lp (Ω)). m∈R

Ω

Dans la démonstration de la proposition 15.2, nous avons vu que pour p = 2, on a Z 2

|u − uΩ | dx.

J2 (u) = Ω

318

CHAPITRE 15. THÉORÈME DE SCHAUDER

Nous allons voir un résultat analogue pour le cas général 1 ⩽ p < ∞. Lemme 15.4. Pour tout p ∈ [1, ∞[, on a Z p Jp (u) ⩽ |u − uΩ | dx ⩽ 2p Jp (u). Ω

R p Démonstration. L’inégalité Jp (u) ⩽ Ω |u − uΩ | dx est triviale.
Considérons v ∈ Lp (Ω). On utilise l’inégalité |a + b|p ⩽ 2p−1 |a|p + |b|p pour déduire Z Z Z p p p p−1 p−1 |v − vΩ | dx ⩽ 2 |v| dx + 2 |vΩ | dx Ω

Ω

Ω

En notant que Z

p

Z

p

|vΩ | dx ⩽ Ω

|v| dx Ω

(d’après l’inégalité de Jensen), on en déduit que Z Z p p |v − vΩ | dx ⩽ 2p |v| dx. Ω

Ω

En appliquant cette inégalité avec v = u − m (alors v − vΩ = u − uΩ ) et en prenant l’infimum pour m ∈ R, on obtient le résultat désiré. Nous allons maintenant voir le lien entre régularité höldérienne et variance. Pour cela, nous allons nous intéresser aux moyennes locales d’une fonction plutôt qu’à ses valeurs ponctuelles. On commence par introduire une notation. Définition 15.5. Soient Ω un ouvert de Rn , x0 ∈ Ω et r > 0. On note Ω(x0 , r) = Ω ∩ B(x0 , r). Si f : Ω → R, on pose Z fx0 ,r = fΩ(x0 ,r) = −

f dx.

Ω(x0 ,r)

(Notons u la fonction obtenue en prolongeant f par 0 sur Rn ∖ Ω. Alors fx0 ,r = uB(x0 ,r) .) Lemme 15.6. Supposons que f ∈ C 0,α (Ω). Alors, pour tout x0 et tout r > 0, Z p |f (x) − fx0 ,r | dx ⩽ 2αp ∥f ∥pC 0,α ωn rn+αp , Ω(x0 ,r)

où ωn est le volume de la boule unité (noter que l’intégrale Rdu membre de gauche est une intégrale usuelle et pas une valeur moyenne −Ω(x0 ,r) ).

15.3. THÉORÈME DE CAMPANATO

319

Démonstration. Comme f (x) − fx0 ,r =

1 |Ω(x0 , r)|

Z


f (x) − f (y) dy,

Ω(x0 ,r)

on a 1 |f (x) − fx0 ,r | ⩽ |Ω(x0 , r)|

Z

∥f ∥C 0,α |x − y|α dy ⩽ ∥f ∥C 0,α (2r)α .

Ω(x0 ,r)

On conclut en élevant le membre de gauche à la puissance p et en intégrant sur Ω(x0 , r). Définition 15.7 (Espaces de Campanato). Soient Ω un ouvert de Rn , λ > 0, p ∈ [1, ∞[. Une fonction f ∈ Lp (Ω) appartient à l’espace de Campanato L p,λ (Ω) si  1/p Z p ∥f ∥L p,λ := sup sup r−λ |f (x) − fx0 ,r | dx < ∞. 0 0 telle que, pour tout x0 ∈ Ω et tout r ∈ ]0, dΩ [, (15.3)

|Ω ∩ B(x0 , r)| ⩾ c∗ rn .

Théorème 15.9 (Campanato). Considérons un ouvert lipschitzien borné Ω ⊂ Rn , c’est-à-dire vérifiant la condition (15.3). Soit p ∈ [1, ∞[ et soit λ ∈ ]n, n + p]. Alors L p,λ (Ω) ⊂ C 0,α (Ω)

avec α =

λ−n . p

Démonstration. On note par c diverses constantes qui ne dépendent que de p, λ, n et c∗ . Lemme 15.10. Considérons un ouvert lipschitzien Ω. Soient x0 ∈ Ω et r, ρ avec 0 < r < ρ < dΩ . Alors |fx0 ,r − fx0 ,ρ | ⩽

2 1/p c∗

∥f ∥L p,λ r−n/p ρλ/p .

320

CHAPITRE 15. THÉORÈME DE SCHAUDER

Démonstration. On a p

p

c∗ rn |fx0 ,r − fx0 ,ρ | ⩽ |Ω(x0 , r)| |fx0 ,r − fx0 ,ρ | =

Z

p

|fx0 ,r − fx0 ,ρ | dx. Ω(x0 ,r)


|a|p + |b|p on en déduit

En utilisant l’inégalité |a + b|p ⩽ 2p−1 p

c∗ rn |fx0 ,r − fx0 ,ρ | Z p−1 ⩽2

p

|fx0 ,r − f (x)| dx +

Ω(x0 ,r)

⩽ 2p−1 ⩽2

p−1

Z

p



|f (x) − fx0 ,ρ | dx Ω(x0 ,r)

Z

p

Z

|fx0 ,r − f (x)| dx + Ω(x0 ,r) ∥f ∥pL p,λ rλ

+ρ

λ




⩽2

p

p



|f (x) − fx0 ,ρ | dx

Ω(x0 ,ρ) p ∥f ∥L p,λ ρλ ,

d’où le résultat. Soit R < dΩ /2. Posons Ri = R/2i pour i ∈ N et appliquons l’inégalité du lemme 15.10 avec r = Ri+1 et ρ = Ri . Nous trouvons que fx0 ,Ri+1 − fx0 ,Ri ⩽ 2 ∥f ∥L p,λ R−n/p Rλ/p = c′ 2i(n−λ)/p R(λ−n)/p ∥f ∥L p,λ . i+1 i 1/p c∗ Comme λ > n la série j > i ⩾ 0, (15.4)

P

2i(n−λ)/p converge et on en déduit que, pour tout

fx0 ,Rj − fx0 ,Ri ⩽ cR(λ−n)/p ∥f ∥L p,λ . i

Par conséquent, (fx0 ,Ri )i∈N est une suite de Cauchy. Le théorème de différentiation de Lebesgue (cf. le corollaire 6.17) implique que cette suite de Cauchy converge vers f (x0 ) pour presque tout x0 dans Ω. Alors, on déduit de (15.4) (appliqué avec i = 0 et en faisant tendre j vers +∞) que (15.5)

|f (x0 ) − fx0 ,R | ⩽ c∥f ∥L p,λ Rα

avec α =

λ−n . p

Fixons R > 0. Comme x0 7→ fx0 ,R est bornée (car f appartient à L (Ω)), on en déduit que f est aussi bornée. Il reste à prouver que f est α-höldérienne. Étant donnés x, y dans Ω et R := 2|x − y|, on chercher à estimer |f (x) − f (y)| en fonction de Rα . D’après (15.5), on a p

|f (x) − f (y)| ⩽ |f (x) − fx,R | + |fx,R − fy,R | + |fy,R − f (y)| ⩽ 2c∥f ∥L p,λ Rα + |fx,R − fy,R |,

321

15.4. THÉORÈME DE SCHAUDER

et il reste seulement à estimer |fx,R − fy,R |. Pour cela, on écrit que p

c∗ 2−n Rn |fx,R − fy,R | Z p ⩽ |fx,R − fy,R | ds Ω(y,R/2)

⩽2

p−1

Z

p

|f (s) − fx,R | ds + Ω(x,R)

⩽2

p

Z

 |f (s) − fy,R | ds p

Ω(y,R)

∥f ∥pL p,λ Rλ ,

d’où |fx,R − fy,R | ⩽ c∥f ∥L p,λ R(λ−n)/p = c∥f ∥L p,λ Rα , En rappelant que R = 2|x − y| et en combinant les identités précédentes, on a montré que |f (x) − f (y)| ⩽ c∥f ∥L p,λ |x − y|α , ce qui conclut la démonstration. 15.4. Théorème de Schauder Théorème 15.11 (Schauder). Soient α ∈ ]0, 1[ et u ∈ H 1 (Ω) une solution faible de l’équation div(A(x)∇u) = 0, où A ∈ C 0,α est une matrice symétrique vérifiant ∃c0 > 0/ ∀x ∈ Ω, ∀ξ ∈ Rn ,

A(x)ξ · ξ ⩾ c0 |ξ|2 .

1,α Alors u ∈ Cloc (Ω) et pour tout compact F ⊂ Ω, il existe une constante C > 0 telle que ∥u∥C 1,α (F ) ⩽ C∥u∥H 1 (Ω) .

Démonstration. Fixons un ensemble borné K ⊂ Ω tel que dist(K, ∂Ω) > 0. On fait cette hypothèse pour garantir qu’il existe r0 > 0 tel que B(x, r0 ) ⊂ Ω pour tout x ∈ K. Lemme 15.12. Soit λ ∈ ]0, n[. Il existe R0 > 0 tel que, pour tout x0 ∈ K, Z 2 −λ (15.6) sup r |∇u| dx < +∞. 0 0 et R1 > 0 tels que, si r/R ⩽ θ et R ⩽ R1 , on ait    r n−λ  r −λ 2α C + R ⩽ 1. R R Alors f (r) ⩽ f (R) pour tout (r, R) ∈ [0, θR1 ] × [0, R1 ] d’où bien sûr f (r) ⩽ f (R1 ) pour tout r ⩽ R0 = θR1 . Comme f (R1 ) < +∞, ceci conclut la démonstration. Lemme 15.13. Soit λ ∈ ]0, n]. S’il existe R0 > 0 tel que Z 2 −λ (15.11) sup sup r |∇u| dx < +∞, x0 ∈K 0 n/2. En effet, dans ce cas, on sait que H s (Rn ) est une algèbre de Banach : le produit de deux éléments de H s (Rn ) appartient à H s (Rn ) si s > n/2. La formule précédente a donc un sens clair et on peut énoncer le résultat suivant. Proposition 16.3. Soient n ⩾ 1, σ ∈ N et s > n/2. Pour toute donnée initiale u0 ∈ H s (Rn ), il existe T > 0 tel qu’il existe une unique fonction u ∈ C([0, T ], H s (Rn )) vérifiant Z t
2 u(t) = S(t)u0 − i S(t − t′ ) |u(t′ )| u(t′ ) dt′ . 0

Notons T ∗ le temps de vie de la solution maximale. Alors, soit la solution maximale est définie pour tout temps, soit lim sup ∥u(t)∥L∞ = +∞. t→T ∗

16.1. L’ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

335

La démonstration de cette proposition repose sur le théorème du point fixe, le fait que le produit de deux éléments de H s (Rn ) appartient à H s (Rn ) si s > n/2. Le critère d’explosion est une conséquence de l’injection de Sobolev H s (Rn ) ⊂ L∞ (Rn ) pour s > n/2. Il est naturel de chercher à étendre ce résultat en considérant des données initiales moins régulières, appartenant à des espaces de Sobolev d’indice s ⩽ n/2. Il y a plusieurs motivations. D’abord, un tel résultat donne des informations sur la nature des éventuelles singularités. Aussi, afin d’obtenir des résultats d’existence globale en temps, il est paradoxalement plus facile de travailler dans des espaces de faible régularité associés à une invariance d’échelle ou à la conservation des quantités naturelles (masse et énergie). Introduisons la masse M et de l’énergie E définies par Z M (t) = |u(t, x)|2 dx, Rn Z Z 1 1 E(t) = |∇u(t, x)|2 dx + |u(t, x)|4 dx. 2 Rn 2 Rd Alors

dM dE (t) = 0, (t) = 0. dt dt Par exemple, pour n = 1, pour résoudre globalement en temps le problème de Cauchy dans la classe des fonctions C ∞ , on utilise l’injection de Sobolev H 1 (R) ⊂ L∞ (R) qui permet de montrer dans un premier temps que le problème de Cauchy est globalement bien posé dans H 1 (R). Proposition 16.4. Supposons que n = 1. Pour toute donnée initiale u0 ∈ H 1(R), il existe une unique solution u ∈ C(R+ , H 1 (R)) de (16.1). On montre ensuite un résultat de propagation de la régularité. Proposition 16.5. Soit u ∈ C(R+ , H 1 (R)) une solution de (16.1). Si u0 ∈ H s (R) avec s > 1, alors u ∈ C(R+ , H s (R)). En combinant les deux propositions précédentes, on obtient que Corollaire 16.6. Supposons que n = 1. Soit s ⩾ 1. Pour toute donnée initiale u0 ∈ H s (R), il existe une unique solution u ∈ C(R+ , H s (R)) de (16.1). En dimension 2, H 1 (R2 ) ̸⊂ L∞ (R2 ) et le problème est plus difficile. Cependant, le défaut d’injection est faible et on dispose de l’estimation logarithmique    ∥f ∥H 2 (R2 )  1/2 ∥f ∥L∞ (R2 ) ⩽ C∥f ∥H 1 (R2 ) log 1 + . ∥f ∥H 1 (R2 ) Cette estimation a permis à Brézis et Gallouët de démontrer que le problème de Cauchy pour l’équation cubique défocalisante est globalement bien posé

336

CHAPITRE 16. ESTIMATIONS DISPERSIVES

dans H 2 (R2 ). Cette méthode d’analyse fonctionnelle ne permet cependant pas de traiter le cas de non linéarités d’ordre supérieure, ni de considérer des données dans l’espace d’énergie, c’est-à-dire pour une donnée initiale appartenant à H 1 (R2 ). Dès la dimension 2, pour résoudre le problème de Cauchy dans des espaces de faible régularité, on doit utiliser une propriété fondamentale de l’équation. Précisément, le fait qu’il s’agit d’une équation dispersive, ce qui signifie que la variété caractéristique de l’équation libre est courbée. Cela entraîne les inégalités de dispersion et de Strichartz. Théorème 16.7. Pour tout triplet (n, p, q) vérifiant 2 n n + = , p q 2

(p, q) ̸= (2, +∞),

p ⩾ 2,

il existe une constante C(p, q, n) telle que

it∆

e u0 p ⩽ C(p, q, n)∥u0 ∥L2 (Rn ) , L (R ;Lq (Rn )) +

2

n

pour tout u0 ∈ L (R ). Strichartz avait prouvé l’estimation pour (n, p, q) = (2, 4, 4). Keel et Tao ont obtenu le cas limite (p, q) = (2, 2n/(n − 2)) pour n ⩾ 3. Les autres estimations sont dues à Ginibre et Velo ainsi qu’à Yajima. Les estimations de Strichartz donnent une amélioration par rapport à l’injection de Sobolev qui peut être vue comme un gain de dérivée, ce qui explique que ces estimations sont à l’origine d’une amélioration très nette de la compréhension du problème de Cauchy. Définition 16.8. Soient s ⩾ 0 et n ⩾ 1. On dit que le problème de Cauchy pour l’équation de Schrödinger non linéaire est bien posé sur H s (Rn ) si, pour toute boule ouverte B de H s (Rn ), il existe un temps T > 0 et un espace de Banach XTs ,→ C 0 ([0, T ]; H s (Rn )) tels que 2

(1) pour tout v ∈ XTs la fonction |v| v est bien définie et appartient à L (]0, T [; H s (Rn )) ; (2) pour tout u0 ∈ B, il existe une unique solution u ∈ XTs de l’équation Z t
2 u(t) = S(t)u0 − i S(t − t′ ) |u(t′ )| u(t′ ) dt′ . 1

0

(3) Si u0 ∈ H σ (Rn ) pour un σ > s, alors u ∈ C 0 ([0, T ]; H σ (Rn )). On dit parfois pour clarifier l’énoncé que le problème de Cauchy est bien posé localement en temps. On dit que le problème de Cauchy est globalement bien posé si le résultat précédent est vrai pour tout T > 0. Théorème 16.9. Supposons que n = 2. Le problème de Cauchy pour l’équation de Schrödinger non linéaire est globalement bien posé sur H 1 (R2 ).

337

16.1. L’ÉQUATION DE SCHRÖDINGER

La démonstration des inégalités de Strichartz repose sur un argument d’interpolation appliqué d’une part avec l’inégalité

it∆

e u0 2 n ⩽ ∥u0 ∥L2 (Rn ) , L (R )

(qui est en fait une égalité) et d’autre part avec

it∆

e u0 ∞ n ⩽ K ∥u0 ∥L1 (Rn ) . (16.2) L (R ) tn/2 Nous avons déjà vu la première inégalité (qui est en fait une égalité). La seconde égalité s’obtient par un calcul direct de la solution fondamentale, qui s’écrit : Z 2 1 (eit∆ u0 )(x) = ei|x−y| /(2t) u0 (y) dy. n/2 (iπt) Rn Considérons maintenant le même problème mais dans le cas où la donnée initiale u0 et la solution u sont périodiques en la variable spatiale x. Définition 16.10 (Espaces de Sobolev périodiques). On note L2per (Rn ) l’espace des fonctions u ∈ L2loc (Rn ) qui sont 2π-périodiques par rapport à chaque variable, ce qui est équivalent à u(· + γ) = u pour tout γ ∈ (2πZ)n . Rappelons que les fonctions u ∈ L2per (Rn ) se représentent en série de Fourier (voir le théorème 4.3) X u= ck eik·x . k∈Zn

Soit s ∈ [0, +∞[. Par définition,  P 2 s Hper (Rn ) = u ∈ L2per (Rn ) : k∈Zn (1 + |k|2 )s |ck | < +∞ . Remarque 16.11. Si s ∈ N, alors on a  s Hper (Rn ) = u ∈ L2per (Rn ) : ∀α ∈ Nn , |α| ⩽ s, ∂xα u ∈ L2per (Rn ) , où ∂xα désigne la dérivée au sens faible de u (cf. les définitions 7.6 et 7.12). Les résultats qui sont basés uniquement sur des arguments d’analyse fonctionnelle ou d’analyse de Fourier sont encore vrais. Par exemple, si s > n/2, s le problème de Cauchy est bien posé sur Hper (Rn ). Mais on ne dispose plus de l’estimation de dispersion (16.2). En effet, on a



1 ≲ ∥u0 ∥L2per (Rn ) = eit∆ u0 L2 (Rn ) ≲ eit∆ u0 L∞ (Rn ) . per

L1per (Rn )

per

it∆

n Ce qui montre que, si u0 ∈ est non nul, alors ∥e u0 ∥L∞ ne per (R ) peut pas tendre vers 0 quand t tend vers +∞. Donc l’inégalité (16.2) ne peut pas être vraie pour tout t grand. En fait, l’obstruction est beaucoup plus profonde.

n Proposition 16.12. Pour tout t ⩾ 0, S(t) n’envoie pas L1per (Rn ) dans L∞ per (R ).

338

CHAPITRE 16. ESTIMATIONS DISPERSIVES

Toutefois, on dispose d’un analogue des inégalités de Strichartz, ce qui a permis à Bourgain de montrer que le problème de Cauchy est bien posé y compris pour des données initiales qui sont périodiques. Théorème 16.13. Si n = 2 ou n = 3, alors le problème de Cauchy pour 1 l’équation de Schrödinger non linéaire est bien posé sur Hper (Rn ) localement en temps. 16.2. Estimée de Strichartz-Bourgain pour KdV Considérons maintenant l’équation de Korteveg-de-Vries ut + uxxx + uux = 0.

(16.3)

Un résultat majeur de Bourgain est que le problème de Cauchy pour cette équation est globalement bien posé sur L2per (R). Nous allons voir dans cette section un élément de la démonstration. L’idée est d’introduire des espaces dont la définition est basée sur l’étude du groupe (e−t∂xxx )t∈R associé à l’équation linéaire ut + uxxx = 0. Considérons une solution u = u(t, x) 2π-périodique en t et en x de l’équation linéaire ut + uxxx = 0. Considérons sa transformée de Fourier, définie par ZZ u e(τ, k) =

e−itτ −ixk u(t, x) dx dt

(τ, k ∈ Z).

T2

Alors u e est supportée dans la variété caractéristique :  supp u e ⊂ (τ, k) ∈ Z × Z : τ = k 3 . Cette propriété de localisation spectrale exacte n’est pas vraie pour les solutions de l’équation non linéaire (16.3). Il est donc important d’introduire des espaces de fonctions qui sont approximativement spectralement localisées près de la variété caractéristique. Définition 16.14. Soient s ∈ R+ , b ∈ R+ et u = u(t, x) ∈ L2 (T2 ) une fonction L2 , 2π-périodique en t et en x. On introduit XX
b 2
s 2 ∥u∥2X s,b (T2 ) := 1 + |τ − k 3 |2 1 + |k| |e u(τ, k)| , τ ∈Z k∈Z

ainsi que l’espace de Bourgain  X s,b (T2 ) = u ∈ L2 (T2 ) : ∥u∥X s,b (T2 ) < +∞ . Remarque 16.15. En particulier, si u vérifie ut + uxxx = 0 avec u(0) ∈ s Hper (R), alors u ∈ X s,b (T2 ) pour tout b ⩾ 0. Proposition 16.16. Il existe une constante C telle que ∥u∥L4 (T2 ) ⩽ C∥u∥X 0,1/3 (T2 ) .

16.2. ESTIMÉE DE STRICHARTZ-BOURGAIN POUR KDV

339

Remarque 16.17. Ce résultat joue un rôle fondamental dans l’étude du problème de Cauchy pour l’équation non linéaire (16.3). Pour comprendre en quoi ce résultat est surprenant, considérons une solution u de l’équation linéaire ∂t u + ∂xxx u = 0. Si la donnée initiale u0 appartient à L2per (R), alors u ∈ X 0,b (T2 ) pour tout b ⩾ 0 comme nous l’avons déjà vu. On peut donc appliquer cette proposition pour en déduire que ∥u∥L4 (T2 ) ⩽ C∥u∥L2 (T2 ) . C’est une amélioration nette de l’injection de Sobolev, qui énonce en dimension 2 que ∥u∥L4 (T2 ) ⩽ C∥u∥H 1/4 (T2 ) . Démonstration. La démonstration suivante est due à Nikolay Tzvetkov. Décomposons X XX u= up , où up = (2π)−2 eiτ t+ikx u e(τ, k). p∈N

τ,k∈Z 2p ⩽⟨τ −k3 ⟩ 0 tel que X X ∥up up+m ∥L2 (T2 ) ⩽ K2−εm 22p/3 ∥up ∥2L2 (T2 ) , p∈N

p∈N

pour une constante K indépendante de m. En utilisant l’inégalité de CauchySchwarz, on voit que cette inégalité sera une conséquence de (16.4)

∥up up+m ∥L2 (T2 ) ⩽ K2−εm 2p/3 ∥up ∥L2 (T2 ) (2m 2p )1/3 ∥up+m ∥L2 (T2 ) ,

340

car X

CHAPITRE 16. ESTIMATIONS DISPERSIVES

22p/3 ∥up ∥2L2 (T2 )

1/2 X

p

2

(2m 2p )2/3 ∥up+m ∥L2 (T2 )

1/2

p

⩽

X

22p/3 ∥up ∥2L2 (T2 ) .

p

Notre but est donc de démontrer l’inégalité (16.4). Notons que l’on peut supposer sans perte de généralité que ∥up ∥L2 (T2 ) = 1 = ∥up+m ∥L2 (T2 ) . Écrivons up et up+m sous la forme X X up = eiτ1 t+ik1 x u ep (τ1 , k1 ), up = eiτ2 t+ik2 x u ep+m (τ2 , k2 ). τ1 ,k1 ∈Z

τ2 ,k2 ∈Z

avec u ep (τ, k) = φp (τ − k 3 )e u(τ, k) où φp (y) la fonction qui vaut 1 si 2p ⩽ p+1 ⟨y⟩ < 2 et 0 sinon. Alors X up up+m = c(τ, k)eiτ t+ikx τ,k

avec X

c(τ, k) =

X

u ep (τ1 , k1 )e up+m (τ2 , k2 ).

τ1 +τ2 =τ k1 +k2 =k

On décompose cette somme en deux parties. On introduit ( 1 c(τ, k) si |k| ⩽ 2 3 (p+m) , c1 (τ, k) = 1 0 si |k| > 2 3 (p+m) , et c2 (τ, k) =

( 0

1

si |k| ⩽ 2 3 (p+m) , 1

c(τ, k) si |k| > 2 3 (p+m) .

Posons pour j = 1, 2, Uj =

X

cj (τ, k)eiτ t+ikx .

τ,k

Pour démontrer (16.4), nous allons montrer que (16.5)

∥Uj ∥L2 (T2 ) ⩽ K2−εm 2p/3 ∥up ∥L2 (T2 ) (2m 2p )1/3 ∥up+m ∥L2 (T2 ) ,

Commençons par étudier U2 . D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz X 2 X Xα ⩽ (#A) Xα2 α∈A

α∈A

et la propriété de localisation, nous obtenons X X 2 2 2 |c2 (τ, k)| ⩽ a(τ, k) |e up (τ1 , k1 )| |e up+m (τ2 , k2 )| k1 +k2 =k τ1 +τ2 =τ

16.2. ESTIMÉE DE STRICHARTZ-BOURGAIN POUR KDV

341

où a(τ, k) est le cardinal de l’ensemble A(τ, k) des quadruplets (k1 , k2 , τ1 , τ2 ) dans Z4 qui vérifient (16.6) k1 + k2 = k,

τ1 + τ2 = τ,

τ1 = k13 + O(2p ),

τ2 = k23 + O(2m+p ).

Pour démontrer (16.5) pour j = 1, en utilisant l’inégalité de Plancherel, on se ramène à montrer que X 2 |c2 (τ, k)| ⩽ K2((2/3)−2ε)m 24/p3 . τ,k

Par ailleurs, comme ∥up ∥L2 (T2 ) = 1 = ∥up+m ∥L2 (T2 ) , en utilisant Fubini nous obtenons X X X 2 2 |e up (τ1 , k1 )| |e up+m (τ2 , k2 )| = 1. τ,k k1 +k2 =k τ1 +τ2 =τ

Ainsi, il suffit de montrer que a(τ, k) ⩽ C2((2/3)−2ε)m 24/p3 ,

(16.7)

pour tout τ ∈ Z et tout k ∈ Z vérifiant |k| ⩾ 2(p+m)/3 . Fixons (k, τ ) et estimons a(τ, k). Sous les contraintes (16.6) précédentes, on a τ = k13 + k23 + O(2m+p ). Comme k = k1 + k2 , on en déduit τ = k 3 − 3kk1 k2 + O(2m+p ), ce qui implique  k 2 3 1 3k k1 − = −3kk1 k2 + k 3 = τ − k 3 + O(2m+p ). 2 4 4 Par hypothèse, si c1 est non nul on a |k| ⩾ (2m+p )1/3 . On en déduit alors que 
k 2 k1 − = e(τ, k) + O 22(m+p)/3 , 2 où e(τ, k) est un nombre
fixé qui ne dépend que de τ et k. En particulier, il y a au plus O 2m/3 2p/3 solutions possibles pour k1 (et donc pour (k1 , k2 )). Une fois que k1 est choisi, il y a au plus O(2p ) entiers τ1 qui vérifient τ1 = k13 + O(2p ). Il y a donc au plus O(2p ) couples (τ1 , τ2 ) qui vérifient les contraintes τ1 + τ2 = τ,

τ1 = k13 + O(2p ),

τ2 = k23 + O(2m+p ).

En combinant ces deux remarques, on trouve que |a(τ, k)| = O(2m/3 24/p3 ). On obtient donc l’inégalité désirée (16.7) dans laquelle on peut prendre alors ε = 1/6. Il reste à démontrer (16.5) pur j = 1. On veut montrer que (16.8)

∥U1 ∥L2 (T2 ) ⩽ 2((1/3)−ε)m 22p/3 ∥up ∥L2 (T2 ) ∥up+m ∥L2 (T2 ) .

342

CHAPITRE 16. ESTIMATIONS DISPERSIVES

Posons J = [−2(m+p)/3 , 2(m+p)/3 ] et notons ∥f ∥ℓ2k (J;ℓ2τ (Z)) la semi-norme définie par XX 2 ∥f ∥2ℓ2 (J;ℓ2 (Z)) = |f (τ, k)| . τ

k

k∈J τ ∈Z

En utilisant Plancherel et l’inégalité de Minkowski, on trouve

X X



∥U1 ∥L2 (T2 ) = u ep (τ1 , k1 )e up+m (τ − τ1 , k2 )

ℓ2k (J;ℓ2τ (Z))

k +k =k τ1

1 2

X ⩽



ℓ2τ (Z)

X

u ep (τ1 , k1 ) u ep+m (·, k2 )

k1 +k2 =k τ1

.

ℓ2k (J)


2 P P En utilisant l’inégalité ⩽ (#A) α∈A Xα2 et en observant α∈A Xα comme précédemment que, pour tout k1 , il y a O(2p ) éléments τ1 vérifiant τ1 = k13 + O(2p ), on obtient X X 2 1/2 u u ep (τ1 , k1 ) ≲ 2p/2 ep (τ1 , k1 ) . τ1

τ1

Ainsi,

X

p/2

∥U1 ∥L2 (T2 ) ⩽ 2

k1 +k2 =k







u

ep (·, k1 ) ℓ2 u ep+m (·, k2 ) ℓ2

τ

τ

ℓ2k

m/6 2p/3

∥up ∥L2 (T2 ) ∥up+m ∥L2 (T2 ) ,
2 P P où l’on a utilisé à nouveau l’inégalité ⩽ (#A) α∈A Xα2 et le α∈A Xα fait que si k ∈ J alors |k| ⩽ C2(m+p)/3 dans la dernière ligne. On obtient donc (16.8) avec ε = 1/6. ≲2

2

16.3. Exercices Exercice (corrigé) 16.1. On s’intéresse au comportement, lorsque le paramètre λ tend vers +∞, des intégrales oscillantes Z b Ia,b,ϕ (λ) = eiλϕ(x) dx, a 2

2

où (a, b) ∈ R et ϕ ∈ C (R) est une fonction à valeurs réelles. (1) Supposons qu’il existe deux constantes c, C > 0 telles que, ∀x ∈ [a, b],

|ϕ′ (x)| ⩾ c et

|ϕ′′ (x)| ⩽ C.

En utilisant la relation 1 d iλϕ
e , iλϕ′ dx montrer que, pour tout λ > 0, on a 1  2 C(b − a)  |Ia,b,ϕ (λ)| ⩽ + . λ c c2 eiλϕ =

343

16.3. EXERCICES

(2) Montrer que pour tout (a, b) ∈ R2 , pour tout λ > 0 et pour toute fonction ϕ ∈ C 2 (R) telle que ϕ′ est monotone et ne s’annule pas sur [a, b], 4 1 |Ia,b,ϕ (λ)| ⩽ . inf a⩽x⩽b |ϕ′ (x)| λ R R (On pourra utiliser que |(f (g(x))′ | dx = | (f (g(x)))′ dx| si f et g sont deux fonctions monotones.) (3) Montrer que, pour tout (a, b) ∈ R2 , tout λ > 0 et toute fonction ϕ ∈ C 2 (R) vérifiant ϕ′′ ⩾ 1 sur [a, b], on a 10 |Ia,b,ϕ (λ)| ⩽ 1/2 . λ (On pourra utiliser que {x ∈ [a, b] : |ϕ′ (x)| ⩽ λ−1/2 } est un intervalle de longueur au plus égale à 2λ−1/2 .) Exercice (corrigé) 16.2. (1) Soit ψ ∈ C 1 (R) une fonction à valeurs réelles ou complexes. Montrer que Z b Z b eiλϕ(x) ψ(x) dx = ψ(b)Ia,b,ϕ (λ) − ψ ′ (x)Ia,x,ϕ (λ) dx. a

a

(2) En déduire que, pour tout (a, b) ∈ R2 , tout λ > 0, toute phase telle que ϕ′′ ⩾ 1 sur [a, b], et tout ψ ∈ C 1 (R), Z b   Z b iλϕ(x) ′ ⩽ 10 |ψ(b)| + e ψ(x) dx |ψ (x)| dx . λ1/2 a a (3) (Application) Montrer qu’il existe une constante C telle que, pour tout t ∈ R et pour tout R > 0, Z R i(ξ+tξ 2 ) −1/2 ⩽ C. e |ξ| dξ −R

Exercice 16.3. Le but de cet exercice est de démontrer l’inégalité

Z



|Dx |−1/4 e−it∂x2 g(t, x) dt ⩽ C ∥g∥ 4/3 1 .

2 Lx Lt R

Lx

Afin de simplifier, on pourra supposer que g ∈ S (R × R) et que sa transformée de Fourier gb(s, ξ) par rapport à x est supportée dans un compact A ⊂ R indépendant de s. (1) Montrer qu’il suffit de démontrer que

Z

|Dx |−1/4 ei(t−s)∂x2 g(s, x) ds 1 .

4 ∞ ⩽ C ∥g∥L4/3 x Lt R

Lx Lt

(2) Montrer que Z ZZ 2 −1/4 i(t−s)∂x |Dx | e g(s, x) ds = K(s − t, x − y)g(s, y) dyds, R

344

CHAPITRE 16. ESTIMATIONS DISPERSIVES

avec

Z K(t, x) =

2

ei(xξ+tξ ) |ξ|−1/2 dξ.

A

(3) Conclure en utilisant l’exercice 16.2 et le théorème 6.20 de HardyLittlewood-Sobolev. (4) Montrer que l’inégalité que l’on a démontrée implique que la solution u = u(t, x) de i∂t u + ∂x2 u = 0, u|t=0 = u0 ∈ S (R), vérifie (∗)

1/4 ∥u∥L4x L∞ ⩽ C |Dx | u0 L2 . t

(5) En utilisant l’argument T T ∗ , déduire l’estimation (∗) à partir de l’estimation donnée à la question (1). (6) Comparer cette estimation avec celle obtenue par estimation d’énergie. Exercice 16.4 (Effet régularisant pour Schrödinger et Airy). Soit n ⩾ 1. On note L2 (Rn ) l’espace des fonctions à valeurs complexes et de carré intégrable, muni du produit scalaire Z (f, g) = f (x)g(x) dx. Rn

Étant donnés deux opérateurs A et B, on note AB l’opérateur composé et [A, B] = AB − BA le commutateur de A et B. Soit m ∈ N. Considérons un symbole a ∈ S m (Rn ) et posons A = Op(a). On note A∗ l’adjoint de A et on suppose que A − A∗ est un opérateur d’ordre 0, de sorte que (16.9)

∀f ∈ H m (Rn ),

∥Af − A∗ f ∥L2 (Rn ) ⩽ K0 ∥f ∥L2 (Rn ) .

On fixe un temps T > 0 et on considère une fonction u ∈ C 1 ([0, T ]; H m (Rn )) solution de (16.10)

∂t u = iAu.

On admet l’existence d’une telle solution. (1) Considérons les opérateurs suivants : – A1 = ∆ ; – A2 = div(γ(x)∇·) où γ ∈ Cb∞ (Rn ; R) (ce qui signifie que γ est une fonction à valeurs réelles, C ∞ et bornée sur Rn , ainsi que toutes ses dérivées) ; – n = 1 et A3 = i∂x3 + iV (x)∂x où V ∈ Cb∞ (R; R). Écrire ces opérateurs sous la forme Aj = Op(aj ) où aj est un symbole d’ordre mj (pour un mj à préciser). Puis vérifier que ces opérateurs vérifient l’hypothèse (16.9).

345

16.3. EXERCICES

(2) Soient f, g ∈ C 1 ([0, T ]; H) où H est un espace de Hilbert muni du produit scalaire (· , ·)H . Montrer que la fonction (f, g)H : t 7→ (f (t), g(t))H est C 1 et que  df   d dg  (f (t), g(t))H = (t), g(t) + f (t), (t) . dt dt dt H H Considérons un symbole b = b(x, ξ) appartenant à S 0 (Rn ). On pose B = Op(b). Montrer que

d (Bu(t), u(t)) = i[B, A]u(t), u(t) + Bu(t), i(A − A∗ )u(t) . dt (3) En appliquant ceci avec b = 1 montrer que d 2 ∥u(t)∥L2 (Rn ) ⩽ K0 ∥u(t)∥2L2 (Rn ) , dt où K0 est définie par (16.9), puis qu’il existe une constante K1 ne dépendant que de T et K0 telle que 2

sup ∥u(t)∥L2 (Rn ) ⩽ K1 ∥u(0)∥2L2 (Rn ) .

t∈[0,T ] 0

(4) Soit b ∈ S (Rn ) quelconque. Posons C = i[B, A]. Déduire des questions précédentes qu’il existe une constante K2 (ne dépendant que de T, A, B) telle que Z T (Cu(t), u(t)) dt ⩽ K2 ∥u(0)∥2L2 (Rn ) . 0

(5) Supposons n = 1 et A = ∂x2 . (a) Écrire C sous la forme Op(p) + R où p ∈ S 1 (R) est un symbole dépendant de b à calculer et R un opérateur d’ordre 0. Déduire de ce qui précède qu’il existe une constante K3 ne dépendant que de T, A, B telle que Z T (Op(p)u(t), u(t)) dt ⩽ K3 ∥u(0)∥2L2 (R) . 0

(b) Choisissons 1 ξ b(x, ξ) = − 2 ⟨ξ⟩

Z 0

x

dy ⟨y⟩2

2

où ⟨ζ⟩ = (1 + |ζ| )1/2 .

Vérifier que b ∈ S 0 (R) puis que Op(p) = −⟨x⟩−2 Λ−1 ∂x2 , où Λ−1 = Op(⟨ξ⟩−1 ). (c) En déduire qu’il existe une constante K4 (ne dépendant que de T, A) telle que Z T


2 dt ⩽ K4 ∥u(0)∥2L2 (R) .

∂x Λ−1/2 ⟨x⟩−1 u(t) 0

L2 (R)

346

CHAPITRE 16. ESTIMATIONS DISPERSIVES

Montrer alors que Z T

−1

⟨x⟩ u(t) 2 1/2 dt ⩽ K4 ∥u(0)∥2 2 . (16.11) L (R) H (R) 0

(6) Supposons n = 1 et A = i∂x3 + iV (x)∂x . Soit M > 0 et considérons une fonction croissante φ ∈ C ∞ (R; R) telle que φ(x) = x si |x| ⩽ M et φ′ (x) = 0 si |x| ⩾ 2M . Posons b(x, ξ) = φ(x) (indépendant de ξ). Écrire C sous la forme Op(p) + R où R est d’ordre 0 (attention à utiliser le calcul symbolique avec le bon ordre) et vérifier que C = 3∂x (φ′ (x)∂x ·) + R où R est d’ordre 0. En déduire que Z TZ M Z 2 2 |∂x u(t, x)| dx dt ⩽ K |u(0, x)| dx, 0

−M

R

pour une constante K ne dépendant que de T et de M . (7) (∗) Montrer que l’estimation (16.11) est vraie pour A = ∆ en dimension n quelconque.

PARTIE V

RAPPELS ET SOLUTIONS DES EXERCICES

CHAPITRE 17 RAPPELS DE TOPOLOGIE GÉNÉRALE

Dans ce chapitre, nous allons rappeler quelques notions de Topologie générale(1) , démontrer le théorème de Baire ainsi que l’existence de fonctions régulières à support compact. A. Espaces topologiques Considérons un ensemble X et notons P(X) l’ensemble de ses parties. Définition 17.1. Une topologie sur X est une collection T ⊂ P(X) de parties de X telle que : (i) T contient l’ensemble vide et l’ensemble X ; (ii) toute union d’éléments de T appartient à T ; (iii) toute intersection finie d’éléments de T appartient à T . On dit simplement que T est stable par union arbitraire et par intersection finie. Le couple (X, T ) est appelé espace topologique. Par abus de notations, on note en général X le couple (X, T ). Dans ce chapitre, et uniquement dans ce chapitre, on utilisera la notation X = (X, T ) pour distinguer l’ensemble X de l’espace topologique (X, T ). Par définition, les éléments de T sont les ouverts de l’espace topologique X . Tout complémentaire d’un ensemble ouvert est dit fermé. Il suit des propriétés ci-dessus que toute intersection et toute réunion finie d’ensembles fermés est un ensemble fermé. De même, l’ensemble vide et l’ensemble X sont des fermés. Chaque ensemble X non vide possède au moins deux topologies triviales : – la topologie T1 = {∅, X} (appelée topologie grossière) ; – la topologie T2 = P(X) (appelée topologie discrète). (1) Voir

Dixmier [36], Kelley [80] et Rudin [124].

350

CHAPITRE 17. RAPPELS DE TOPOLOGIE GÉNÉRALE

Étant données deux topologies T1 et T2 sur un même ensemble X, nous dirons que T2 est plus fine que T1 si T1 ⊂ T2 . Une topologie plus fine contient donc davantage d’ensembles d’ouverts. Soit X = (X, T ) un espace topologique et E un sous-ensemble de X. La topologie induite par T sur E est  TE := U ∩ E : U ∈ T . Définition 17.2. Soit A un sous-ensemble de X. – L’intérieur de A est par définition la réunion de tous les ouverts de T contenus dans A ; cet ensemble est noté A◦ . – La fermeture de A, aussi appelée adhérence de A, est l’intersection de tous les fermés contenants A, noté A. – La frontière de A, aussi appelée bord de A, est l’ensemble ∂A = A∖A◦ . – Un voisinage de A est un ensemble quelconque qui contient un ouvert qui contient A. Un voisinage d’un élément x de X est par définition un voisinage de {x}. Il suit directement de ces définitions que l’intérieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A alors que la fermeture de A est le plus petit fermé contenant A. Notons que ∂A est un ensemble fermé car c’est l’intersection de deux ensembles fermés : A et le complémentaire de A◦ . Un sous-ensemble A de X est dit dense dès que sa fermeture est l’en◦ semble X lui-même, alors qu’il est dit nulle part dense si (A) est l’ensemble vide. S’il existe un sous-ensemble de X qui est dénombrable et dense on dira que la topologie est séparable. Soient A un sous-ensemble de X et x un point de X, x est dit point d’accumulation de A si A ∩ (U ∖ {x}) est non vide pour tout voisinage U de x. Il suit que la fermeture d’un ensemble A est la réunion de A et de ses points d’accumulation. Aussi, A est fermé si et seulement s’il contient l’ensemble de ses points d’accumulation. Considérons une topologie T sur X et un point x ∈ X. Une base de voisinages ouverts de x pour T est une collection B ⊂ T d’ouverts contenant x, telle que tout voisinage V de x contient un élément U de B (c’est-à-dire que U ⊂ V ), ou encore : un ensemble B de parties de X tel que les voisinages de x sont exactement les parties de X qui contiennent un élément de B. Une base d’ouverts de T est une collection d’ouverts qui contient une base de voisinages ouverts de tout point de X. Une famille B ⊂ P(X) est une base d’ouverts de T si et seulement si tout ouvert de T est réunion d’éléments de B. Aussi, la donnée d’une base d’ouverts d’une topologie définit entièrement la topologie. La notion de topologie permet de définir la continuité des applications. Définition 17.3. Soient (X, TX ) et (Y, TY ) deux espaces topologiques, f : X → Y une application et x un point de X. L’application f est continue

A. ESPACES TOPOLOGIQUES

351

au point x si et seulement si f −1 (V ) est un voisinage de x pour tout voisinage V de f (x). On dit que f est continue sur X si et seulement si f −1 (V ) appartient à TX pour tout V ∈ TY . On note C(X ; Y ) l’ensemble des fonctions f : X → Y qui sont continues. En fait, par abus, on notera toujours cet ensemble C(X; Y ) car les topologies sous-jacentes étant en général clairement identifiées par le contexte. On démontre facilement les énoncés suivants : – une fonction est continue si et seulement si la préimage d’un fermé est fermée ; – une fonction est continue sur X si et seulement si elle est continue en tout point ; – la composée de deux applications continues est continue. Considérons une bijection f : X → Y . On dit que c’est un homéomorphisme si f et f −1 sont continues. On dit que deux espaces topologiques sont homéomorphes s’il existe un homéomorphisme entre eux. A.1. Espaces métriques. Définition 17.4. Une distance sur un ensemble X est une application d : X × X −→ [0, +∞[ qui vérifie les trois propriétés suivantes : pour tous x, y, z dans X, (i) (séparation) d(x, y) = 0 si et seulement si x = y ; (ii) (symétrie) d(x, y) = d(y, x) ; (iii) (inégalité triangulaire) d(x, z) ⩽ d(x, y) + d(y, z). Le couple (X, d) est un espace métrique. Étant donné un point x dans X et un réel strictement positif r, on appelle boule ouverte de centre x et de rayon r l’ensemble  B(x, r) := y ∈ X : d(x, y) < r . Par définition, la boule fermée de centre x et de rayon r est  Bf (x, r) := y ∈ X : d(x, y) ⩽ r . Attention : ce n’est pas nécessairement l’adhérence de la boule ouverte de mêmes centre et rayon (on peut très bien avoir Bf (x, r) ̸= B(x, r)). La collection notée Td des sous-ensembles U de X vérifiant ∀x ∈ U, ∃r > 0 / B(x, r) ⊂ U est une topologie sur X, appelée topologie induite par la distance d. On montre que l’ensemble des boules ouvertes est une base d’ouverts. De façon générale, on dira qu’un espace topologique X = (X, T ) est métrisable lorsqu’il existe une distance d sur X telle que T = Td (c’est-à-dire

352

CHAPITRE 17. RAPPELS DE TOPOLOGIE GÉNÉRALE

lorsqu’il existe une distance sur X telle que tout ouvert de T peut s’écrire comme réunion de boules ouvertes pour cette distance). Considérons deux espaces métriques (X, d) et (Y, ρ) ainsi qu’un élément x de X. Une application f : X → Y est continue au point x si et seulement si, ∀ε > 0, ∃δ > 0 / ∀y ∈ X,

d(x, y) ⩽ δ =⇒ ρ(f (x), f (y)) ⩽ ε.

Définition 17.5. Considérons une suite (xn )n∈N d’un espace métrique (X, d). (i) On dit que cette suite converge vers x ∈ X si, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que d(xn , x) < ε pour tout n ⩾ N . (ii) On dit que c’est une suite de Cauchy si, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que d(xp , xn ) < ε quand n et p sont plus grands que N . (iii) On dit que ℓ est une valeur d’adhérence de cette suite si, pour tout ε > 0, et pour tout entier N ∈ N, il existe n ⩾ N tel que d(xn , ℓ) < ε. Par exemple, toute suite convergente est une suite de Cauchy. Définition 17.6. On dit qu’un espace métrique (X, d) est complet si et seulement si toute suite de Cauchy est convergente. On remarque que toute sous-suite d’une suite de Cauchy est une suite de Cauchy. Une suite de Cauchy qui a une valeur d’adhérence converge vers cette valeur (en d’autres termes : si une sous-suite d’une suite de Cauchy converge alors la suite entière converge). La propriété d’être complet permet souvent de construire des objets par prolongement continu, en utilisant le lemme élémentaire suivant. Lemme 17.7. Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques, D une partie dense de X, et g une application uniformément continue de (D, d) dans (Y, δ). Si Y est complet, alors il existe une unique application continue ge de (X, d) dans (Y, δ) telle que ge|D = g et telle que ge est de plus uniformément continue. Et de plus, si g est Λ-lipschitzienne, alors ge est aussi Λ-lipschitzienne. Démonstration. Par densité, un tel prolongement est nécessairement unique s’il existe. Pour montrer l’existence, considérons x ∈ X et une suite (xn )n∈N d’éléments de D qui converge vers x. Soit ε > 0. Par uniforme continuité de g, il existe η > 0 tel que ∀x, x′ ∈ D,

d(x, x′ ) < η =⇒ δ(g(x), g(x′ )) < ε.

Par ailleurs, par convergence de la suite (xn )n∈N vers x, il existe N ∈ N tel que d(xn , x) < η si n ⩾ N . On vérifie alors que d(g(xn ), g(xp )) < ε pour tous n, p ⩾ N . La suite (g(xn ))n∈N est donc une suite de Cauchy dans l’espace métrique complet Y , et donc elle converge vers un élément noté ge(x). On vérifie que cette limite ne dépend pas de la suite (xn )n∈N choisie. En effet, si (xn )n∈N et (x′n )n∈N sont deux suites qui convergent vers x, alors

A. ESPACES TOPOLOGIQUES

353

on peut introduire une troisième suite (x′′n )n∈N définie par x′′2n = xn et x′′2n+1 = x′n converge aussi vers x. La suite (g(x′′n ))n∈N est de Cauchy, donc converge, et comme elle admet deux sous-suites convergentes, on en déduit l’unicité des limites de celles-ci. En particulier, si x ∈ D, on peut considérer la suite (xn )n∈N constante xn = x, ce qui montre que ge(x) = g(x) et donc que ge est un prolongement de g. On vérifie enfin que ge est uniformément continue (resp. Λ-lipschitzienne) si g est uniformément continue (resp. Λ-lipschitzienne), directement en passant à la limite dans les inégalités qui caractérisent ces propriétés. A.2. Topologie engendrée, topologie faible. Nous souhaitons maintenant introduire la notion fondamentale de topologie engendrée, dont les exemples les plus importants sont les topologies produit et faible. Pour cela, nous commençons par deux remarques. La première est que si {Tβ }β∈B est une collection de topologies sur un même ensemble X alors l’intersection des Tβ est encore une topologie sur X. La seconde remarque est que, puisque P(X) est une topologie sur X, pour toute collection A ⊂ P(X), il existe toujours une topologie T sur X telle que A ⊂ T . Ce qui permet de définir la topologie engendrée par A comme étant l’intersection de toutes les topologies contenant A . Proposition 17.8. Soit A ⊂ P(X). La topologie engendrée par A est constituée de l’ensemble vide, de l’ensemble X et de toutes les réunions d’intersections finies d’éléments de A . Démonstration. Soit B l’ensemble formé de X et de toutes les intersections finies possibles d’éléments de A . Considérons la famille T de toutes les réunions d’ensembles pris dans B, à laquelle on rajoute l’ensemble vide, que l’on peut aussi définir par  T := U ∈ P(X) : ∀x ∈ U, ∃V ∈ B / x ∈ V ⊂ U . Alors on peut vérifier (exercice) que T est une topologie. Cette topologie est plus fine que la topologie engendrée par A (car celle ci doit, par les axiomes définissant une topologie, contenir entre autres les réunions d’intersections finies d’éléments de A ). On en déduit que T est la topologie engendrée par A . Topologie produit. Soit {(Xα , Tα )}α∈A une famille quelconque d’espaces toQ pologiques. Nous voulons munir l’ensemble produit X = α∈A Xα d’une topologie. Pour cela, étant donné a ∈ A, nous considérons la projection πa définie par πa : X −→ Xa , x = (xα )α∈A 7−→ xa . Par définition, la topologie produit sur X est la topologie engendrée par  A = πa−1 (Ua ) : a ∈ A, Ua ∈ Ta .

354

CHAPITRE 17. RAPPELS DE TOPOLOGIE GÉNÉRALE

Proposition 17.9. Soient A un ensemble quelconque, {Xα }α∈A une famille d’espaces topologiques et X l’espace topologique produit. Soient Y un espace topologique et F = {fα : Y → Xα }α∈A une famille d’applications. L’application φ : Y −→ X, y 7−→ (fα (y))α∈A est continue si et seulement si toutes les applications fα sont continues. Démonstration. Soit V un ouvert de X . Par définition de la topologie proQ duit V contient un ouvert U de la forme U = α∈A Uα où Uα ∈ Tα est égal à Xα pour tous les indices α sauf un nombre fini d’entre eux, notés α1 , . . . , αn . Alors T −1 T φ−1 (U ) = fα (Uα ) = fα−1 (Uαℓ ). ℓ α∈A

1⩽ℓ⩽n

Tous les éléments de ces intersections sont ouverts car les fα sont continues. Donc φ−1 (U ) est une partie ouverte de Y comme intersection finie d’ouverts. On en déduit que la préimage par φ d’un ouvert est un ouvert, ce qui démontre que φ est continue. En particulier, la somme, le produit (usuel ou scalaire), la différence, le quotient (lorsqu’il a un sens) d’applications continues à valeurs numériques (ou vectorielles) sont continus. Topologie engendrée par une famille d’applications. Soient X un ensemble et F = {fα : X → Yα }α∈A une famille d’applications de X vers des espaces topologiques Yα = (Yα , Tα ). La topologie engendrée par F sur X est la topologie la moins fine qui rende continues toutes les applications fα . Plus précisément, c’est la topologie engendrée par  A := fα−1 (Uα ) : α ∈ A, Uα ∈ Tα . Ainsi, la topologie produit est la topologie induite par la famille des projections πα . Topologie faible. Considérons un espace vectoriel normé E sur le corps K = R ou C. Rappelons que l’on note E ′ son dual topologique, qui est l’ensemble des formes linéaires continues sur E. Par définition, la topologie faible sur E, notée σ(E, E ′ ), est la topologie engendré par E ′ . B. Séparabilité, compacité et complétude B.1. Séparabilité. Par définition : – un espace topologique est séparable s’il admet une partie dénombrable dense ; – une topologie est à base dénombrable d’ouverts lorsqu’elle possède une base d’ouverts dénombrable.

B. SÉPARABILITÉ, COMPACITÉ ET COMPLÉTUDE

355

B.2. Espaces séparés et espaces normaux. On dit qu’un espace topologique est un espace séparé (on dit aussi espace de Hausdorff ) s’il vérifie la propriété suivante : si x ̸= y, il existe deux ouverts disjoints U, V tels que x ∈ U et y ∈ V . Notons qu’un produit d’espaces séparés est encore un espace séparé. On dit qu’un espace topologique est normal si les deux propriétés suivantes sont vérifiées : (1) si x ̸= y, il existe un ouvert qui contient x et qui ne contient pas y ; (2) pour tout couple (F1 , F2 ) de fermés disjoints, il existe deux ouverts disjoints U1 , U2 tels que F1 ⊂ U1 et F2 ⊂ U2 . Par exemple, on vérifie (exercice) que les espaces métriques sont des espaces topologiques normaux. La proposition suivante donne une formulation équivalente de la première propriété. On en déduit en particulier qu’un espace topologique normal est séparé. Proposition 17.10. Considérons un espace topologique X . Alors les deux énoncés suivants sont équivalents : (i) si x ̸= y, il existe un ouvert qui contient x et qui ne contient pas y ; (ii) les singletons {x} sont fermés pour tout x ∈ X. Démonstration. Si X vérifie la propriété (i), pour tout x ∈ X et pour tout y ̸= x, il existe un ouvert Uy tel que x ̸∈ Uy . On peut alors écrire S c c {x} = y̸=x Uy ce qui montre que {x} est ouvert comme réunion d’ouverts, donc {x} est fermé. Réciproquement, supposons les singletons fermés. c Soient x et y deux éléments distincts de X, alors y appartient à l’ouvert {x} qui ne contient pas x. Proposition 17.11. Un espace topologique X est séparé si et seulement si la diagonale ∆ := {(x, x) : x ∈ X} est fermée dans X × X. Démonstration. Supposons que X est séparé et montrons que ∆ est fermé. Si (x, y) ∈ ∆c , alors x ̸= y et il existe deux ouverts disjoints U et V tels que (x, y) ∈ U × V . Comme U et V sont disjoints U × V ⊂ ∆c . Aussi, ◦ ◦ (x, y) ∈ (∆c ) et donc ∆c = (∆c ) est un ensemble ouvert. Supposons que ∆ est fermé et montrons que X est séparé. Si x ̸= y, alors (x, y) ∈ ∆c qui est un ouvert. Par définition de la topologie produit, ∆c contient un voisinage de x de la forme U × V où U et V sont deux ouverts de T , nécessairement disjoints. La proposition suivante se prouve facilement. Proposition 17.12. Tout espace topologique homéomorphe à un sous-espace d’un espace topologique séparé (resp. normal) est lui aussi séparé (resp. normal).

356

CHAPITRE 17. RAPPELS DE TOPOLOGIE GÉNÉRALE

Proposition 17.13. Soient X un espace topologique et Y un espace topologique séparé. Considérons deux applications f et g continues de X vers Y . Alors l’ensemble E := {x ∈ X : f (x) = g(x)} est fermé. Démonstration. D’après la proposition 17.11, la diagonale ∆Y = {(y, y) : y ∈ Y } est fermée puisque Y est séparé. Soit φ : X → Y × Y définie par φ(x) = (f (x), g(x)). Cette application est continue car f et g le sont. Alors, avec ces notations, E = φ−1 (∆Y ) et donc E est fermé comme préimage d’un fermé par une application continue. On déduit de cette proposition, sous ces mêmes hypothèses, que si f = g sur un sous-ensemble dense de X, alors f = g sur X tout entier. B.3. Compacité. On se donne pour cette partie un espace topologique X . On appelle recouvrement de X toute collection de parties de X, {Uα }α∈A (A ensemble quelconque), telle que S X= Uα . α∈A

On dit que c’est un recouvrement ouvert si les ensembles Uα sont ouverts. Un sous-recouvrement de {Uα }α∈A est une sous-famille {Uβ }β∈B avec B ⊂ A, telle que {Uβ }β∈B est un recouvrement de X. Un recouvrement est dit fini si l’ensemble des indices A est fini, et dénombrable si l’ensemble A est dénombrable. Définition 17.14. Un espace topologique X est compact s’il est séparé et si de tout recouvrement ouvert de X on peut extraire un sous-recouvrement fini. On veut ensuite définir la notion de sous-ensemble compact d’un espace topologique. Soient X = (X, T ) un espace topologique et E un sousensemble de X. Rappelons que la topologie induite par T sur E, notée TE  est définie par TE := U ∩ E : U ∈ T . Un sous-ensemble E de X est dit compact si (E, TE ) est un espace topologique compact. Proposition 17.15. Considérons un espace topologique X compact et un espace topologique Y séparé. Pour toute fonction continue f : X → Y , l’image f (X) est compacte. En particulier, la propriété d’être compacte est invariante par homéomorphisme. Démonstration. Donnons-nous un recouvrement ouvert de f (X). Il suit que l’ensemble des pré-images par f des éléments de ce recouvrement est un recouvrement ouvert de X (en effet, f étant continue, la pré-image d’un ouvert est un ouvert). Donc, par compacité de X , on peut en extraire un

B. SÉPARABILITÉ, COMPACITÉ ET COMPLÉTUDE

357

sous recouvrement fini de X. Les images par f des éléments de ce sousrecouvrement de X forment alors un sous-recouvrement fini de f (X). Cependant, la pré-image d’un compact par une application continue f n’est pas nécessairement compacte. Lorsque c’est le cas, on dit que f est une application propre. On donne maintenant une caractérisation de la compacité qui fait intervenir un critère portant sur des intersections de fermés, plutôt que sur des réunions d’ouverts. Proposition 17.16. Un espace topologique X est compact si et seulement si toute famille de fermés d’intersection vide admet une sous-famille finie d’intersection vide. Démonstration. Cette proposition se déduit de la définition 17.14 en termes de recouvrement ouvert par passage au complémentaire. Corollaire 17.17. Considérons un espace topologique compact X et une suite {Fp }p∈N de fermés non vides, qui est décroissante au sens où Fp+1 ⊂ Fp T pour tout entier p. Alors l’intersection p∈N Fp est non vide. T Démonstration. Supposons par l’absurde que l’intersection p∈N Fp est vide. Alors la proposition précédente implique qu’il existerait une partie fiT nie J ⊂ N telle que j∈J Fj = ∅. Comme la suite {Fp }p∈N est décroissante, cela entraîne Fsup J = ∅. Ce qui contredit l’hypothèse que les fermés Fp sont non vides. Considérons une suite (xn )n∈N de points d’un espace topologique. Rappelons que l’on dit que ℓ est une valeur d’adhérence de cette suite si, pour tout voisinage V de ℓ, et pour tout entier N ∈ N, il existe n ⩾ N tel que xn ∈ V . Corollaire 17.18. Dans un espace topologique compact, toute suite admet une valeur d’adhérence. Démonstration. Considérons une suite (xn )n∈N et introduisons les fermés Fp définit par Fp = {xn : n ⩾ p}. C’est une suite décroissante de fermés qui est d’intersection non vide d’après T le corollaire 17.17. Puis on vérifie que tout élément ℓ ∈ p∈N Fp est une valeur d’adhérence. Proposition 17.19. Considérons un espace topologique séparé X . (i) Si K un sous-ensemble compact et x appartenant à X ∖ K. Alors il existe deux ouverts disjoints V et W tels que x ∈ V et K ⊂ W . (ii) Si K est un sous-ensemble compact de X, alors K est fermé dans X.

358

CHAPITRE 17. RAPPELS DE TOPOLOGIE GÉNÉRALE

(iii) Si X est compact et que F est un sous-ensemble fermé de X, alors F est compact. Démonstration. (i) Soit y un point de K. Puisque x ̸= y et que X est séparé, il existe deux ouverts disjoints Vy et Wy tels que x ∈ Vy et y ∈ Wy . La collection {Wy }y∈K est un recouvrement de K donc on peut par compacité de K en extraire un sous recouvrement fini indexé par un nombre fini de points de K : y1 , . . . , yn . On pose alors T S V := Vyℓ , W := Wyℓ , 1⩽ℓ⩽n

1⩽ℓ⩽n

et on obtient le résultat désiré. (ii) Montrons que le complémentaire de K est ouvert. C’est équivalent à montrer que X ∖ K est un voisinage de chacun de ses points. On doit donc montrer que pour tout x ∈ X ∖ K, il existe un ouvert V ⊂ X ∖ K tel que x ∈ V . Ceci est une conséquence directe du point (i). (iii) Montrons déjà que F est séparé. Notons T la topologie sur X et TF la topologie induite par T sur F . Considérons deux points distincts x et y dans F . Comme X est séparé (par définition de la compacité), il existe deux ouverts disjoints U, V de T tels que x ∈ U et y ∈ V . Alors U ∩ F et V ∩ F sont deux ouverts disjoints de la topologie induite TF . Ce qui démontre que TF est séparée. Pour montrer que F est compact, il suffit maintenant de montrer que toute famille {Fα }α∈A de fermés (pour la topologie induite TF ) d’intersection vide admet une sous-famille finie d’intersection vide. Par compacité de X, il suffit donc de montrer que les ensembles Fα sont aussi des fermés pour la topologie T . Pour cela, écrivons que F ∖ Fα est un ouvert de TF implique qu’il existe un ouvert Uα de T tel que F ∖ Fα = Uα ∩ F . On vérifie alors (exercice) que X ∖ Fα = (X ∖ F ) ∪ Uα . Comme X ∖ F et Uα sont fermés, l’ensemble X ∖ Fα est ouvert donc Fα est fermé. Un sous-ensemble E de X est dit relativement compact si sa fermeture est un sous-ensemble compact de X. Comme tout fermé d’un espace topologique compact X est compact d’après la proposition précédente, on en déduit que tout sous-ensemble d’un espace topologique compact est relativement compact. Proposition 17.20. Soient X un espace topologique séparé, K1 et K2 deux sous-ensembles compacts disjoints. Alors il existe deux ouverts disjoints V1 et V2 tels que Ki ⊂ Vi (i = 1, 2). Démonstration. D’après la proposition 17.19, pour tout x dans K1 , il existe deux ouverts disjoints Vx et Wx tels que x ∈ Vx et K2 ⊂ Wx . Les ouverts {Vx }x∈K1 forment un recouvrement de K1 , dont on peut extraire un sous

359

C. THÉORÈME DE BAIRE

recouvrement fini : {Vxℓ }1⩽ℓ⩽n . On pose S V1 := Vxℓ , V2 := 1⩽ℓ⩽n

T

Wxℓ ,

1⩽ℓ⩽n

et on vérifie aisément que V1 ∩ V2 = ∅ et Ki ⊂ Vi (i = 1, 2). Corollaire 17.21. Tout espace topologique compact est normal. Démonstration. C’est une conséquence de la proposition 17.20 et du fait que tout fermé d’un espace compact est compact. Définition 17.22. Un espace topologique X est séquentiellement compact si de toute suite d’éléments de X, on peut extraire une sous-suite convergente. Un sous-ensemble E de X est dit séquentiellement compact si (E, TE ) est séquentiellement compact. Définition 17.23. Un espace métrique (X, d) est pré-compact si, pour tout ε > 0, X peut être recouvert par un nombre fini de boules de rayon ε. On rappelle sans démonstration les équivalences suivantes. Théorème 17.24. Considérons un espace métrique (X, d). Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : (1) X est compact ; (2) X est pré-compact et complet ; (3) X est séquentiellement compact. Proposition 17.25. Tout espace métrique compact est séparable. Démonstration. Soit (X, d) un espace métrique. Pour tout n ∈ N∗ , la famille {B(x, 1/n)}x∈X recouvre X donc on peut en extraire un sous recouvrement fini {B(xpn , 1/n)}p∈In où In est fini. L’ensemble  D := xpn : n ∈ N∗ , p ∈ In est alors un ensemble dénombrable dense.

C. Théorème de Baire Définition 17.26. On dit qu’un espace topologique est un espace de Baire si toute intersection dénombrable d’ouverts denses est un sous-ensemble dense. Il est équivalent (à vérifier en exercice) de dire que toute réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide est un ensemble d’intérieur vide. Théorème 17.27. Tout espace métrique complet est un espace de Baire.

360

CHAPITRE 17. RAPPELS DE TOPOLOGIE GÉNÉRALE

Remarque 17.28. Considérons l’espace métrique (Q, d) avec d(x, y) = |x−y|. Comme Q est dénombrable, on voit que Q est une réunion dénombrable de singletons. Ces singletons sont fermés car un espace métrique est toujours séparé, et que les singletons sont fermés dans un espace séparé. De plus, ces singletons sont d’intérieur vide. Cependant, la réunion, égale à Q, est d’intérieur non vide. Ceci montre que (Q, d) n’est pas un espace de Baire. Le résultat peut donc être faux dans un espace métrique qui n’est pas complet. Démonstration. Considérons un espace métrique X et une suite (Ωn )n∈N T d’ouverts denses. Nous voulons montrer que l’intersection Ω = n∈N Ωn est un sous-ensemble dense de X. Pour cela, il faut montrer que, pour tout ouvert V , l’intersection V ∩ Ω est non vide. Nous allons démontrer cette propriété en construisant une suite de Cauchy, notée (xn )n∈N , qui convergera par complétude vers un élément de V ∩ Ω. Pour définir le premier terme, nous utilisons le fait que Ω0 est dense pour déduire que V ∩ Ω0 est non vide. Ce qui nous permet de choisir un point, noté x0 , dans V ∩ Ω0 . Comme V ∩ Ω0 est ouvert (intersection de deux ouverts), il existe ρ0 ∈ ]0, 1] tel que B(x0 , ρ0 ) ⊂ V ∩Ω0 . En posant r0 = ρ0 /2, on déduit que B(x0 , r0 ) ⊂ V ∩Ω0 . Puis nous utilisons le fait que Ω1 est dense pour déduire que B(x0 , r0 ) ∩ Ω1 est non vide. On en déduit qu’il existe x1 ∈ B(x0 , r0 ) ∩ Ω1 et un rayon ρ1 ∈ ]0, 1/2] tel que B(x1 , ρ1 ) ⊂ B(x0 , r0 ) ∩ Ω1 . En posant r1 = ρ1 /2, il vient B(x1 , r1 ) ⊂ B(x0 , r0 ) ∩ Ω1 . Par récurrence, on construit une suite (xn )n∈N de points de X et une suite de rayons (rn )n∈N telles que 1 B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ B(xn , rn ) ∩ Ωn+1 , 0 < rn ⩽ . n+1 Considérons un entier N et deux entiers n, p plus grands que N . Alors xn et xp appartiennent à la boule fermée B(xN −1 , rN −1 ), et donc la distance entre xn et xp est majorée par 2rN −1 , ce qui démontre que cette suite est de Cauchy. Elle converge vers un élément x, qui appartient à B(xN −1 , rN −1 ) pour tout N . On en déduit que x appartient à V ∩ Ω, ce qui est le résultat voulu. Nous concluons cette section en donnant deux définitions associées au théorème de Baire, qui servent fréquemment lorsque l’on cherche à caractériser la taille d’un ensemble. Définition 17.29. (i) On dit qu’une propriété est générique si elle est vérifiée au moins pour tous les éléments d’une intersection dénombrable d’ouverts denses. (ii) On dit qu’un ensemble est maigre au sens de Baire s’il est contenu dans une réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide.

C. THÉORÈME DE BAIRE

361

Pour conclure, nous allons montrer qu’un ensemble peut-être maigre et pourtant être de mesure pleine (au sens où le complémentaire est de mesure nulle). L’exemple que nous donnons est issue de l’étude de l’approximation diophantienne. De façon informelle, on peut présenter ce domaine comme une branche de la théorie des nombres qui étudie de façon quantitative la densité de Q dans R, c’est-à-dire la propriété que pour tout réel x et tout ε > 0, il existe un couple d’entiers (p, q) dans Z × N∗ tel que |x − p/q| < ε. On aimerait avoir des informations sur la taille minimale que l’on peut imposer à ε. On vérifie facilement que l’on peut prendre ε = 1/q. Le théorème suivant est un résultat classique de Dirichlet qui améliore cette borne. Théorème 17.30 (Dirichlet). Pour tout nombre réel x et tout entier N positif non nul, il existe un nombre rationnel p/q tel que p 1 et 1 ⩽ q ⩽ N. x − ⩽ q Nq Démonstration. On peut supposer sans perte de généralité que x est un nombre irrationnel positif. Notons {y} la partie fractionnaire d’un réel y positif (la différence entre y et sa partie entière ; c’est un élément de [0, 1[). Considérons maintenant les N +1 nombres (distincts deux à deux car x ̸∈ Q) 0, {x}, {2x}, . . . , {N x}, et les N intervalles hN − 1 h 1h h1 2h , , ,..., ,1 . N N N N Comme x est irrationnel, les N + 1 nombres appartiennent forcément à ces intervalles ouverts. De plus, deux tels nombres appartiennent forcément au même intervalle d’après le principe des tiroirs. On en déduit qu’il existe deux entiers 0 ⩽ i, j ⩽ N distincts tels que h

0,

1 . N Ce qui implique le résultat voulu avec q = |i − j|. |{ix} − {jx}| ⩽

On peut maintenant introduire l’ensemble des nombres diophantiens, qui sont des nombres réels irrationnels qui sont difficiles à approcher par des rationnels. Définition 17.31. Considérons deux nombres réels K, ν positifs. Un nombre irrationnel ρ est de type (K, ν) si pour tout rationnel p/q (q > 0) on a p K ρ − > ν · q q

362

CHAPITRE 17. RAPPELS DE TOPOLOGIE GÉNÉRALE

Un nombre irrationnel ρ est diophantien s’il est de type (K, ν) pour un certain ν > 2. Proposition 17.32. L’ensemble des nombres irrationnels diophantiens est à la fois maigre au sens de Baire et de mesure de Lebesgue pleine. Démonstration. Notons D l’ensemble des nombres diophantiens. Alors n 1 o D = ρ ∈ R : ∃r ∈ N, ∃n ∈ N, ∀(p, q) ∈ Z × N∗ , |ρ − p/q| ⩾ r . nq On voit que D est une réunion dénombrable indexée par r et n de fermés qui sont clairement d’intérieur vide (car ces fermés ne peuvent pas contenir de rationnels). Ceci montre que D est maigre au sens de Baire, par définition de cette propriété. Pour montrer que le complémentaire de D est de mesure nulle, il suffit de montrer que c’est le cas pour D ∩ [0, 1]. Fixons ν > 2 et introduisons n o Dν = ρ ∈ [0, 1] : ∃K ∈ R∗+ , ∀(p, q) ∈ Z × N∗ / |ρ − p/q| ⩾ K/q ν . Le complémentaire est q ip T +∞ S S K p Kh − ν, + ν . q q q K>0 q=1 p=0 q

On a +∞ q ip Xq+1 K p K h S S − ν , + ν ⩽ 2K = O(K) q q q qν q=1 p=0 q q pour ν > 2. Donc le complémentaire de Dν est une intersection indexée par K > 0 d’ensemble de mesure O(K). Il est donc négligeable.

D. Fonctions régulières à support compact Nous allons nous intéresser aux fonctions régulières f : Rn → R, de classe C ∞ , et qui sont à support compact. On note C0∞ (Rn ) l’ensemble de ces fonctions. Nous commençons par étudier dans ce paragraphe la question de l’existence de fonctions à support compact. Le premier résultat énonce que, pour tout fermé F de Rn , il existe une fonction C ∞ qui s’annule exactement sur F . Ce qui est équivalent à dire que, pour tout ouvert Ω de Rn , il existe une fonction C ∞ qui ne s’annule pas sur Ω, et qui est nulle sur son complémentaire F = Rn ∖ Ω. Proposition 17.33. Pour tout ouvert Ω ⊂ Rn , il existe une fonction φΩ appartenant à C ∞ (Rn ), vérifiant 0 ⩽ φΩ ⩽ 1 et telle que Ω = {x ∈ Rn : φΩ (x) > 0}.

D. FONCTIONS RÉGULIÈRES À SUPPORT COMPACT

363

Démonstration. Commençons par rappeler que, pour tout ouvert Ω de Rn , il existe une collection dénombrable de boules ouvertes telles que S Ω= B(am , rm ) (am ∈ Rn , rm ∈ R+ ∗ ). m∈N

En effet, pour tout x ∈ Ω, par densité de Q dans R, il existe q(x) ∈ Qn et S r(x) ∈ Q+ tels que x ∈ B(q, r) ⊂ Ω. Donc Ω = x∈Ω B(q(x), r(x)). Introduisons maintenant l’ensemble A = {(q(x), r(x)) : x ∈ Ω}. Cet ensemble est dénombrable, car c’est un sous-ensemble de Qn × Q+ , donc on peut l’écrire sous la forme A = {(am , rm ) : m ∈ N}. Nous posons alors (17.1)

φΩ (x) =

2 X e−1/rm  |x − am |  ϕ 1 − , 2 2m+1 rm

m∈N

où ϕ : R → R+ est définie par : pour y > 0, ϕ(y) = exp(−1/y);

pour y ⩽ 0, ϕ(y) = 0.

On vérifie que φΩ (x) est bien définie car 0 ⩽ ϕ(y) ⩽ 1, donc la série converge absolument en chaque point. De plus, φΩ (x) = 0 si x n’appartient pas à Ω (car tous les termes de la série sont nuls) et φΩ (x) > 0 si x appartient à Ω (car au moins un des termes de la série est strictement positif et que tous les autres sont positifs ou nuls). Pour conclure, nous devons montrer que φΩ est de classe C ∞ sur Rn . On commence par étudier la fonction ϕ. Il est clair que ϕ est continue en 0 donc continue sur R. Puis on vérifie que la dérivée à droite de ϕ en 0 est nulle, comme la dérivée à gauche, ce qui implique que ϕ est de classe C 1 . Plus généralement, on montre par récurrence que pour tout entier k ⩾ 1 et tout y > 0, on a ∂yk ϕ(y) = Pk (1/y) exp(−1/y), où Pk est un polynôme. Ce qui montre que ∂yk ϕ(y) tend vers 0 quand y tend vers 0 à droite. Comme la dérivée ∂yk ϕ(y) à gauche est trivialement nulle (car ϕ est nulle à gauche), on en déduit que ϕ est de classe C ∞ sur R. Pour voir que φΩ est de classe C ∞ sur Rn , il suffit de montrer que, pour tout α ∈ Nn , la série 2  X e−1/rm |x − am |  sup ∂xα ϕ 1 − m+1 2 2 rm x∈Rn

m∈N

est convergente. Or, si |α| ⩽ p cette série est majorée par C(p)

X e−1/rm r−p , 2m+1 m

m∈N

364

CHAPITRE 17. RAPPELS DE TOPOLOGIE GÉNÉRALE

où C(p) est une constante qui ne dépend que de p. Pour en déduire le résultat voulu, on commence par noter que e−1/r r−p ⩽ e−p pp (ce qui se montre en vérifiant que la fonction r 7→ e−1/r r−p atteint son maximum au point r = 1/p). Il suit que 2  X e−1/rm X |x − am |  α sup ϕ 1 − 2−m+1 e−p pp < +∞. ∂ ⩽ C(p) x m+1 2 2 rm Rn m m∈N

Ce qui termine la démonstration. Le but des deux propositions qui suivent est de déduire de ce qui précède l’existence de fonctions C ∞ particulières, qui nous serviront dans la suite lorsqu’on utilisera des arguments de localisation. Proposition 17.34. Considérons deux ouverts Ω et Ω′ de Rn , tels que Ω′ ⊂ Ω. Alors il existe une fonction χ ∈ C ∞ (Rn ) telle que 0 ⩽ χ ⩽ 1 et χ(x) = 1 si x ∈ Ω′ ,

χ(x) = 0 si x ̸∈ Ω.

Démonstration. Il suffit d’appliquer la proposition 17.33 avec les ouverts Ω et Rn ∖ Ω′ . On en déduit qu’il existe deux fonctions φ, ψ dans C ∞ (Rn ) et telles que 0 ⩽ φ, ψ ⩽ 1 et Ω = {x ∈ Rn : φ(x) > 0},

Rn ∖ Ω′ = {x ∈ Rn : ψ(x) > 0}.

Alors la fonction φ + ψ est C ∞ sur Rn et strictement positive en tout point (car tout point x de Rn appartient soit à Ω soit à Rn ∖ Ω′ ). Il suit que la fonction φ(x) χ(x) = , φ(x) + ψ(x) est bien définie et C ∞ sur Rn . De plus, si x ∈ Ω′ , on a ψ(x) = 0, donc χ(x) = 1. Proposition 17.35. Soit K un compact de Rn et soit {Ui }1⩽i⩽N un recouvrement ouvert de K. Alors, il existe une famille finie {ζi }1⩽i⩽N de fonctions C ∞ sur Rn telles que 0 ⩽ ζi ⩽ 1 et supp ζi ⊂ Ui pour tout indice i tel que 1 ⩽ i ⩽ N , et vérifiant X ζi (x) = 1, 1⩽i⩽N

pour tout x appartenant à K. Remarque 17.36. (i) On dit que {ζi }1⩽i⩽N est une partition de l’unité C ∞ qui est subordonnée au recouvrement {Ui }1⩽i⩽N . (ii) On rappelle que supp ζi = {x ∈ Rn : ζi (x) ̸= 0}.

D. FONCTIONS RÉGULIÈRES À SUPPORT COMPACT

365

Démonstration. Elle se fait en deux étapes. Première étape : construction d’un meilleur recouvrement. On commence par construire une collection de N ensembles ouverts {Ui′ }1⩽i⩽N tels que (17.2)

K⊂

N S

Ui′

i=1

et Ui′ ⊂ Ui

(∀i ∈ {1, . . . , N }).

Pour cela, introduisons la notation suivante : si i ∈ {1, . . . , N } et ε ∈ ]0, +∞[, on note Uiε = {x ∈ Ui : dist(x, ∂Ui ) > ε}. Remarquons que, pour tout ε > 0 et tout indice i, on a Uiε ⊂ Ui . Il suffit SN donc de montrer qu’il existe ε > 0 tel que K ⊂ i=1 Uiε . Pour cela, notons que pour tout élément x ∈ K, comme {Ui }1⩽i⩽N est un recouvrement de K, il existe i(x) ∈ {1, . . . , N } tel que x ∈ Ui(x) . De plus, comme Ui(x) est ouvert, ε(x)

il existe ε(x) > 0 tel que x ∈ Ui(x) . On peut alors écrire que S ε(x) K⊂ Ui(x) . x∈K

Cela donne un recouvrement ouvert de K, dont on peut extraire par comS ε(x ) pacité un sous-recouvrement fini K ⊂ 1⩽ℓ⩽p Ui(xℓℓ) . Ce qui démontre la propriété recherchée en prenant pour ε la valeur minimale des ε(xℓ ). Deuxième étape : construction de la partition de l’unité. Considérons le sous-recouvrement construit à l’étape précédente, vérifiant (17.2). D’après la proposition 17.33, pour tout indice i ∈ {1, . . . , N }, il existe une fonction φi : Rn → [0, 1], de classe C ∞ et telle que {x ∈ Rn : φi (x) > 0} = Ui′ . Alors on a φi (x) = 0 si x ̸∈ Ui′ , ce qui implique directement que supp φi ⊂ Ui′ ⊂ Ui . Par ailleurs, en appliquant la proposition 17.33 à l’ouvert Rn ∖ K, on en déduit qu’il existe une fonction Φcomp tel que {x ∈ Rn : Φcomp (x) > 0} = Rn ∖ K. Posons maintenant Φ = Φcomp +

N X

φi .

i=1

Alors Φ est C ∞ sur Rn (car somme finie de fonctions C ∞ ) et Φ(x) > 0 pour tout x dans Rn (car, soit x ∈ Rn ∖ K et alors Φcomp (x) > 0, soit il existe un indice 1 ⩽ i ⩽ N tel que x ∈ Ui′ et donc tel que φi (x) > 0). On en déduit que la fonction 1/Φ est bien définie et C ∞ sur Rn . On pose alors ζi (x) =

φi (x) φi (x) = · PN Φ(x) Φcomp (x) + i=1 φi (x)

366

CHAPITRE 17. RAPPELS DE TOPOLOGIE GÉNÉRALE

Ces fonctions sont C ∞ et on vérifie directement que, par construction, supp ζi ⊂ supp φi ⊂ Ui′ ⊂ Ui . De plus, si x ∈ K alors Φcomp (x) = 0 donc N X X φi (x) ζi (x) = = 1. PN i=1 φi (x) i=1 1⩽i⩽N Ce qui conclut la démonstration.

E. Exercices Exercice 17.1. On utilise les définitions de la section B.1. (1) Montrer qu’un espace topologique à base dénombrable d’ouverts est séparable. (2) Montrer qu’un espace métrique séparable est à base dénombrable d’ouverts. Exercice 17.2. Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques. Supposons que (X, d) est complet et (Y, δ) est séparable. Considérons une suite de fonctions continues fn : X → Y qui converge simplement vers une fonction f : X → Y . On veut montrer que f est continue sur un ensemble dense. (1) Montrer qu’il existe une famille dénombrable B = {Bp }p∈N de boules fermées dans (Y, δ) telle que tout ouvert de Y peut s’écrire comme une union d’éléments de B. (2) Montrer que l’ensemble D des points de discontinuités de f vérifie ◦ S∞ D ⊂ p=1 Wp ∖ Wp avec Wp := f −1 (Bp ). (3) Montrer que chaque ensemble Wp est une union dénombrable d’ensembles fermés. (4) En déduire que f est continue en tout point d’un ensemble dense. Exercice (corrigé) 17.3 (théorème de la divergence). Soit n ⩾ 2. Soit Ω ⊂ Rn un ouvert borné. On suppose que, pour tout x0 ∈ ∂Ω, il existe un voisinage V de x0 et un voisinage U de 0, ainsi qu’un C ∞ -difféomorphisme ϕ : U → V vérifiant : ϕ(U ∩ (R∗− × Rn−1 )) = V ∩ Ω. On note(2) alors n(x0 ) la normale à ∂Ω en x0 , c’est-à-dire l’unique vecteur unitaire orthogonal à dϕ0 ({0} × Rn−1 ) dont le produit scalaire avec dϕ0 (1, 0, . . . ) est positif. (2) Par

souci de cohérence avec les notations utilisées dans ce livre, on utilisera la même notation n pour la normale et pour la dimension d’espace.

E. EXERCICES

367

Si f ∈ C 0 (Ω, Rn ) est à support inclus dans un ouvert V comme précédemment, on définit l’intégrale de f sur ∂Ω par : Z Z e |dét(dϕ(y))| e f dS = f ◦ ϕ(y) dy, f U

∂Ω

f = {(e e x) = ϕ(0, x où U x1 , . . . , x en−1 ) ∈ R : (0, x e1 , . . . , x en−1 ) ∈ U } et ϕ(e e) f pour tout x e∈U. R Si f ∈ C 0 (Ω, Rn ) est nulle sur ∂Ω, on définit ∂Ω f dS = 0. Enfin, si f ∈ C 0 (Ω, Rn ) n’est dans aucune de ces deux situations, on utilise la proposition 17.35 pour définir l’intégrale par : Z N Z X f dS = (ϕi f ) dS. n−1

∂Ω

i=1

∂Ω

PN où les fonctions C ∞ ϕi sont choisies de telle sorte que i=1 ϕi = 1 et, pour tout i, le support de ϕi est d’intersection vide avec ∂Ω ou bien est inclus dans un ouvert V de la forme précédente. (1) Soit f : Ω → Rn une fonction de classe C 1 . Supposons que le support de f est inclus dans un compact de la forme [a1 ; b1 ] × · · · × [an ; bn ], qui est lui-même inclus dans Ω. Montrer que : Z div(f ) dx = 0. Ω

(2) Supposons que le support de f est inclus dans un ouvert V , qui vérifie la propriété décrite dans l’énoncé, pour un U de la forme [a1 ; b1 ] × · · · × [an ; bn ] (avec a1 < 0 < b1 ). Montrer que : Z Z div(f ) dx = f · n dS. Ω

∂Ω

(3) Montrer que, dans le cas général, on a la formule de la divergence : Z Z div(f ) dx = f · n dS. Ω

∂Ω

(4) On suppose que u, v : Ω → R sont respectivement C 2 et C 1 . Démontrer la formule de Green : Z Z Z ∂u ∂u v dS = (∆u)v dx + ∇u · ∇v dx avec = n · ∇u. ∂n ∂Ω ∂n Ω Ω

CHAPITRE 18 INÉGALITÉS DANS LES ESPACES DE LEBESGUE

Le but de ce chapitre est de rappeler plusieurs inégalités fondamentales concernant les espaces de Lebesgue et de démontrer le théorème d’interpolation de Marcinkiewicz. Nous supposons connu les propriétés de base de ces espaces(1) dont nous rappellerons uniquement les énoncés au paragraphe A.

A. Les espaces Lp Soit n ⩾ 1 et Ω un ouvert de Rn . Pour p ∈ [1, +∞[, on note L p (Ω) l’ensemble des fonctions f : Ω → C qui sont Lebesgue mesurables et telles que Z 1/p p p ∥f ∥L := |f (x)| dx < +∞. Ω

L’application f 7→ ∥f ∥Lp est une semi-norme (l’inégalité triangulaire est démontrée au paragraphe suivant) mais pas une norme sur L p (Ω). En effet, la relation ∥f ∥Lp = 0 entraîne seulement que f est nulle presque partout. On note Lp (Ω) = L p (Ω)/N le quotient de l’espace L p (Ω) par le sousespace vectoriel des fonctions nulles presque partout N = {f ∈ L p (Ω) : f = 0 presque partout}. Autrement dit, Lp (Ω) est l’ensemble des classes d’équivalence des fonctions de L p (Ω) pour la relation d’équivalence f ∼ g si et seulement si f et g sont égales presque partout. En pratique, on confond les éléments de Lp (qui sont des classes d’équivalence de fonctions) avec leurs représentants (qui sont des fonctions). (1) Nous

renvoyons aux livres de Lieb et Loss [94], Rudin [123] et Tao [136] ainsi qu’aux notes de cours de Danchin [32].

370

CHAPITRE 18. INÉGALITÉS DANS LES ESPACES DE LEBESGUE

L’espace L ∞ (Ω) est par définition l’espace vectoriel des fonctions qui sont essentiellement bornées, c’est-à-dire les fonctions bornées sur le complémentaire d’un ensemble de mesure nulle, muni de la semi-norme appelée borne supérieure essentielle, définie par ∥f ∥L∞ = inf{C ⩾ 0 : |f (x)| ⩽ C pour presque tout x}. L’espace vectoriel normé L∞ (Ω) est le quotient de cet espace par le sousespace des fonctions nulles presque partout. Rappelons le résultat suivant (cf. [32, 94, 123, 136]). Théorème 18.1 (Riesz-Fischer). Pour tout p ∈ [1, ∞], l’espace Lp (Ω) est un espace de Banach pour la norme ∥·∥Lp . On renvoie à la section 3.4 pour des résultats concernant le dual topologique de l’espace Lp (Ω). On retiendra que : (1) si 1 < p < ∞, alors Lp (Ω) est un espace de Banach réflexif séparable ′ dont le dual peut-être identifié à Lp (Ω) avec p′ = p/(p − 1) ; (2) l’espace L1 (Ω) est séparable, non réflexif et son dual peut-être identifié à l’espace L∞ (Ω) ; (3) l’espace L∞ (Ω) n’est ni réflexif ni séparable et son dual contient strictement L1 (Ω).

B. Inégalités de Hölder, Minkowski et Hardy Nous rappelons dans cette section des inégalités fondamentales dans l’étude des espaces de Lebesgue Lp ; Dans toute la suite, le nombre entier n ⩾ 1 désigne la dimension d’espace, p un nombre réel appartenant à [1, +∞], et Ω un ouvert de Rn . Noter que l’on autorise la valeur p = +∞ et dans ce cas 1/p = 0. Proposition 18.2 (Hölder). Considérons trois nombres réels p, q, r dans [1, +∞], vérifiant 1 1 1 + = · p q r p Pour tout couple de fonctions (f, g) ∈ L (Ω) × Lq (Ω), le produit f g appartient à Lr (Ω) et de plus (18.1)

∥f g∥Lr ⩽ ∥f ∥Lp ∥g∥Lq .

Démonstration. Le résultat est trivial si f = 0 ou si g = 0. Il suffit donc de supposer que f et g sont non nulles et, dans ce cas, on peut supposer sans perte de généralité que ∥f ∥Lp = 1 et ∥g∥Lq = 1. Il s’agit alors de montrer que f g ∈ Lr (Ω) et que ∥f g∥Lr ⩽ 1.

B. INÉGALITÉS DE HÖLDER, MINKOWSKI ET HARDY

371

La démonstration repose sur un argument de convexité. Précisément, comme r r + =1 p q par concavité du logarithme, pour tout couple (a, b) ∈ ]0, +∞[2 , on a r r r r  log(a) + log(b) ⩽ log a + b . p q p q La fonction exponentielle étant croissante, on en déduit que r r ar/p br/q ⩽ a + b. p q En appliquant cette inégalité avec A = a1/p et B = b1/q , il suit que, pour tout (A, B) ∈ ]0, +∞[2 , on a r r Ar B r ⩽ Ap + B q . p q En particulier, pour tout x dans Rn , on a r r r p q |f (x)g(x)| ⩽ |f (x)| + |g(x)| . p q En intégrant cette inégalité, on vérifie alors que Z Z Z r r r r r r p q ∥f g∥Lr = |f (x)g(x)| dx ⩽ |f (x)| dx + |g(x)| dx = + = 1. p q p q Ce qui conclut la démonstration. En particulier, si p et q sont tels que 1 1 + = 1, p q on a ∥f g∥L1 ⩽ ∥f ∥Lp ∥g∥Lq .

(18.2)

On dit que q est l’exposant conjugué de p, que l’on note en général p′ . Si p = +∞, alors p′ = 1 et si p ∈ [1, +∞[, on a p p′ = · p−1 Proposition 18.3 (Inégalité de Minkowski). Soit p ∈ [1+∞]. Pour tout couple de fonctions (f, g) ∈ Lp (Ω) × Lp (Ω), on a ∥f + g∥Lp ⩽ ∥f ∥Lp + ∥g∥Lp .

(18.3)

Démonstration. Le résultat est une conséquence directe de la définition de la norme ∥·∥L∞ si p = +∞. On suppose donc que p est fini (p ∈ [1, +∞[). On peut alors utiliser l’inégalité triangulaire dans R pour écrire que p

p−1

(18.4) |f (x) + g(x)| ⩽ |f (x)| |f (x) + g(x)|

+ |g(x)| |f (x) + g(x)|

p−1

.

372

CHAPITRE 18. INÉGALITÉS DANS LES ESPACES DE LEBESGUE

En appliquant l’inégalité de Hölder (18.2), on a Z

p−1

|f (x)| |f (x) + g(x)| Z

p

dx

1/p Z

|f (x)| dx

⩽

p−1
p/(p−1)

|f (x) + g(x)|

1/p′ dx

⩽ ∥f ∥Lp ∥f + g∥p−1 Lp , ainsi qu’une estimation similaire pour le second terme du membre de droite de (18.4). En combinant ces deux estimations, nous obtenons ∥f +

g∥pLp

Z =


p |f (x) + g(x)| dx ⩽ ∥f ∥Lp + ∥g∥Lp ∥f + g∥p−1 Lp ,

ce qui implique directement (18.3). Proposition 18.4 (Inégalité intégrale de Minkowski). Considérons deux espaces σ-finis (S1 , dx) et (S2 , dy) et une fonction mesurable F : S1 × S2 → R. Alors, pour tout p ∈ [1, +∞[, p 1/p Z Z Z Z 1/p p F (x, y) dy dx ⩽ |F (x, y)| dx dy.

(18.5)

S2 S1

S1

S2

Démonstration. Grâce à l’inégalité triangulaire, on peut supposer sans perte de généralité que F est une fonction positive (quitte à démontrer l’inégalité pour |F |), ce qui nous permettra d’appliquer le théorème de Fubini pour les fonctions positives. Introduisons alors les fonctions positives Z f (x) =

F (x, y) dy,

φ(x) =

S1

1 f (x)p−1 , ∥f ∥p−1 Lp

de sorte que, d’une part, Z S2

Z

S1

p 1/p Z Z F (x, y) dy dx = S2

p F (x, y) dy

1/p dx

S1

et d’autre part, Z ∥φ∥Lp′ = 1 et ∥f ∥Lp =

f (x)φ(x) dx. S2

= ∥f ∥Lp ,

C. FONCTION DE DISTRIBUTION ET THÉORÈME DE MARCINKIEWICZ 373

On peut alors écrire que Z ∥f ∥Lp = f (x)φ(x) dx S2 Z Z = F (x, y)φ(x) dy dx S S Z 2Z 1 = F (x, y)φ(x) dx dy S1

p

1/p Z

F (x, y) dx

⩽

1/p′

p′

φ(x) dx

dy

(Hölder)

S1

Z Z

p

1/p

F (x, y) dx

⩽ S2

(par Fubini)

S2

Z Z S2

(par définition de f )

dy

(car ∥φ∥Lp′ = 1).

S1

Ce qui prouve (18.5). Proposition 18.5 (Hardy). Pour tout nombre réel p ∈ ]1, +∞[ et pour toute fonction f dans Lp (]0, +∞[), on a p Z +∞ Z x  p p Z +∞ 1 p dx ⩽ f (y) dy |f (x)| dx. x p−1 0

0

0

Démonstration. Voir l’exercice 18.3 et sa solution page 414. C. Fonction de distribution et théorème de Marcinkiewicz Il est souvent utile pour étudier une fonction de mesurer ses ensembles de niveaux. Précisément, pour étudier les normes Lp d’une fonction mesurable f : Rn → C, un point de vue fécond est de considérer la mesure de Lebesgue des ensembles {x ∈ Rn : |f (x)| > λ}, où λ est un nombre réel positif. Notation 18.6. Nous noterons {|f | > λ} l’ensemble {x ∈ Rn : |f (x)| > λ}. Aussi, rappelons que notons |A| la mesure de Lebesgue d’un ensemble mesurable A. Définition 18.7. La fonction de distribution de f est la fonction F : R → [0, +∞[ définie par F (λ) = |{|f | > λ}|. Nous commençons par deux lemmes qui relient la fonction de distribution F aux normes Lp de f . Lemme 18.8. Soit p ∈ [1, +∞[. Alors Z ∞ p ∥f ∥Lp = p λp−1 F (λ) dλ. 0

374

CHAPITRE 18. INÉGALITÉS DANS LES ESPACES DE LEBESGUE

Démonstration. Cette formule s’obtient en écrivant que Z Z |f (x)| ∥f ∥pLp = pλp−1 dλ dx, Rn

0

puis en utilisant le théorème de Fubini. Lemme 18.9 (Inégalité de Chebyshev). Pour tout p ∈ [1, +∞[ et tout λ > 0, on a F (λ) ⩽ λ−p ∥f ∥pLp .

(18.6)

Démonstration. En effet, on a Z Z p ∥f ∥pLp = |f (x)| dx ⩾

λp dx = λp F (λ),

{|f |>λ}

ce qui implique directement le résultat voulu. Cette inégalité suggère d’introduire les espaces suivants. Définition 18.10. Soit p ∈ [1, +∞[. On définit l’espace de Lebesgue faible Lpw (Rn ) comme l’ensemble des fonctions mesurables f : Rn → C telle que 1/p
∥f ∥Lpw := sup λ |{|f | > λ}| < +∞, λ>0

quotienté par la relation d’équivalence d’égalité presque partout. Remarque 18.11. L’inégalité de Chebyshev donnée par le lemme 18.9 implique que Lp (Rn ) ⊂ Lpw (Rn ) mais la réciproque n’est pas vraie car, par exemple, la fonction 1/ |x| appartient à l’espace L1w (R). Le résultat le plus important concernant ces espaces est le théorème d’interpolation suivant. Théorème 18.12 (Marcinkiewicz). Soit q ∈ ]1, +∞]. Considérons une application linéaire T définie sur L1 (Rn ) ∩ Lq (Rn ) et à valeurs dans L1w (Rn ) ∩ Lq (Rn ) et supposons qu’il existe deux constantes C1 et Cq telles que (18.7)

∀f ∈ L1 (Rn ), q

n

∀f ∈ L (R ),

∥T (f )∥L1 ⩽ C1 ∥f ∥L1 , w

∥T (f )∥Lq ⩽ Cq ∥f ∥Lq .

Alors, pour tout p ∈ ]1, q], T s’étend de manière unique en une application linéaire continue de Lp (Rn ) dans Lp (Rn ). Démonstration. Nous allons montrer ce résultat sous des hypothèses plus faibles (cette version nous servira plus tard). Précisément, nous ne supposerons pas que T est linéaire mais seulement que T vérifie la propriété de sous-additivité suivante : il existe une constante A > 0 telle que |T (f1 + f2 )(x)| ⩽ A |T (f1 )(x)| + A |T (f2 )(x)| .

C. FONCTION DE DISTRIBUTION ET THÉORÈME DE MARCINKIEWICZ 375

Commençons par considérer le cas q < +∞. L’idée de la démonstration est que Lp (Rn ) ⊂ L1 (Rn ) + Lq (Rn ). En effet, pour tout γ > 0, on peut décomposer f sous la forme f = f γ + fγ où ( ( f (x) si |f (x)| > γ, 0 si |f (x)| > γ, γ f (x) = fγ (x) = 0 si |f (x)| ⩽ γ, f (x) si |f (x)| ⩽ γ. On vérifie directement que q

∥f γ ∥L1 ⩽ γ 1−p ∥f ∥pLp ,

∥fγ ∥Lq ⩽ γ q−p ∥f ∥pLp .

Nous allons utiliser cette décomposition en faisant varier le paramètre γ. Soit f ∈ Lp (Rn ). Pour tout λ > 0, par hypothèse de sous-additivité, on a |T (f )(x)| ⩽ A T (f λ )(x) + A T (fλ )(x) , donc, d’après l’inégalité triangulaire,   {|T (f )| > λ} ⊂ T (f λ ) > λ/(2A) ∪ |T (fλ )| > λ/(2A) . Par conséquent, en utilisant l’inégalité de Chebyshev (voir le lemme 18.9), les hypothèses (18.7) entraînent que

(2A)q Cqq q 2AC1

f λ 1 +

fλ q . |{|T (f )| > λ}| ⩽ L L λ λq En utilisant le lemme 18.8, il suit que Z ∞ p ∥T (f )∥Lp = p λp−1 |{|T (f )| > λ}| dλ 0 Z ∞ Z ∞



q ⩽ 2AC1 p λp−2 f λ 1 dλ + (2A)q Cqq p λp−1−q fλ q dλ. L

0

Or, par définition de f λ , Z ∞ Z

p−2 λ λ f L1 dλ = 0

L

0

∞ p−2

Z

 |f (x)| dx dλ

λ

{|f |>λ}

0

Z |f (x)|  |f (x)| λp−2 dλ dx Rn 0 Z 1 p = |f (x)| dx, p − 1 Rn où nous avons utilisé le théorème de Fubini. En raisonnant de même on obtient que Z  Z ∞ Z ∞

q q λp−1−q fλ Lq dλ = λp−1−q |f (x)| dx dλ Z

=

0

0

Z

q

Z

{|f |⩽λ} ∞ p−1−q

|f (x)| λ Rn |f (x)| Z 1 p = |f (x)| dx. q − p Rn =

 dλ dx

376

CHAPITRE 18. INÉGALITÉS DANS LES ESPACES DE LEBESGUE

Nous avons démontré qu’il existe une constante Cp telle que, pour tout f ∈ L1w (Rn ) ∩ Lq (Rn ), ∥T (f )∥Lp ⩽ Cp ∥f ∥Lp . Ceci conclut la démonstration dans le cas q < +∞. Supposons maintenant que q = +∞. Alors ∥T fλ ∥L∞ ⩽ C∞ ∥fλ ∥L∞ ⩽ C∞ λ. Par conséquent, on peut écrire que  |{|T f | > 2AC∞ λ}| ⩽ T f λ > C∞ λ , et on conclut comme précédemment. D. Exercices Exercice (corrigé) 18.1. Construire une suite (fn )n∈N qui converge vers 0 dans Lp ([0, 1]) pour tout p tel que 1 ⩽ p < +∞ et telle que, pour tout x ∈ [0, 1], la suite (fn (x))n∈N n’admet pas de limite. Exercice (corrigé) 18.2. Soient p et q tels que 1/p + 1/q = 1. (1) Supposons qu’il existe une constante C ⩾ 1 telle que, pour toute dimension n ⩾ 1 et pour tout f ∈ Lp (Rn ) et pour tout g ∈ Lq (Rn ), on a ∥f g∥L1 (Rn ) ⩽ C∥f ∥Lp (Rn ) ∥g∥Lq (Rn ) . Soit k ⩾ 1 un nombre entier. En appliquant cette inégalité aux fonctions F : (Rn )k → C et G : (Rn )k → C définies par F (x1 , . . . , xk ) = f (x1 ) · · · f (xk ),

G(x1 , . . . , xk ) = g(x1 ) · · · g(xk ),

(c’est-à-dire que F et G sont les produits tensoriels de k copies de f et g) en déduire que l’inégalité de Hölder est vraie avec la constante C = 1. (2) Soit p ∈ [1, +∞[. Démontrer l’inégalité de Hölder Lp · Lq ,→ L1 à partir de la représentation de la norme L1 à partir des ensembles de niveaux (voir le lemme 18.8) : Z ∞ ∥f g∥L1 = |{x ∈ Rn : |f (x)g(x)| > λ}| dλ. 0

Indication : commencer par vérifier que n o n o |{|f (x)g(x)| > λ}| ⩽ |f (x)| > λ1/p + |g(x)| > λ1/q . Exercice (corrigé) 18.3. Le but de cet exercice est de démontrer un lemme dû à Stein, puis d’en déduire l’inégalité de Hardy. Considérons p ∈ ]1, +∞[ et une fonction continue K : ]0, +∞[2 → R et homogène de degré −1, au sens où 1 ∀λ > 0, ∀(x, y) ∈ ]0, +∞[2 , K(λx, λy) = K(x, y). λ R +∞ et vérifiant la condition d’intégrabilité 0 |K(1, y)| y −1/p dy < +∞.

377

D. EXERCICES

(1) Montrer que pour toute fonction f ∈ C00 (]0, +∞[) continue à support compact, et pour tout x ∈ ]0, +∞[, l’intégrale suivante est bien définie Z +∞ T (f )(x) = K(x, y)f (y) dy. 0

(2) Vérifier que Z T (f )(x) =

+∞

K (1, r) f (rx) dr, 0

puis, en utilisant l’inégalité de Minkowski, montrer qu’il existe une constante C telle que, pour toute fonction f ∈ C00 (R) continue à support compact, on a Z +∞ 1/p Z +∞ 1/p p p |T (f )| dx ⩽C |f (x)| dx . 0

0

(3) Démontrer l’inégalité de Hardy : pour tout p ∈ ]1, +∞[ et pour toute fonction f dans Lp (]0, +∞[), on a p 1/p Z +∞ Z x Z +∞ 1/p 1 p p dx f (y) dy ⩽ |f (x)| dx . x p−1 0 0 0 Exercice 18.4. Soient p, q ∈ ]1, ∞[ tels que 1 1 + = 1. p q Considérons une fonction k : Rn × Rn → [0, +∞[, continue et telle que Z Z sup k(x, y) dx ⩽ C1 < +∞, sup k(x, y) dy ⩽ C2 < +∞. y∈Rn

x∈Rn

Rn

Rn

Considérons deux fonctions f, g : Rn → [0, +∞[ continues et à support compact. (1) Rappeler la démonstration de l’inégalité suivante : pour tout (a, b) ∈ ]0, +∞[2 on a ap bq ab ⩽ + · p q (2) Montrer que ZZ k(x, y)f (y)g(x) dx dy ⩽ Rn ×Rn

C1 C2 ∥f ∥pLp + ∥g∥qLq . p q

(3) En appliquant ce qui précède à λf et λ−1 g, en déduire que ZZ 1/p 1/q k(x, y)f (y)g(x) dx dy ⩽ C1 C2 ∥f ∥Lp ∥g∥Lq . Rn ×Rn

378

CHAPITRE 18. INÉGALITÉS DANS LES ESPACES DE LEBESGUE

(4) En déduire que l’opérateur K, défini sur l’espace des fonctions u continues et à support compact par Z Ku(x) = k(x, y)u(y) dy, Rn

s’étend par continuité en un opérateur continu de Lp (Rn ) dans Lp (Rn ). Exercice 18.5 (Inégalité d’interpolation de Riesz-Thorin). Le but est de démontrer le résultat suivant. Théorème 18.13 (Riesz-Thorin). Soient (Ω, µ) et (Λ, ν) deux espace mesurés σ-finis, et considérons quatre exposants 1 ⩽ p0 , p1 , q0 , q1 ⩽ +∞. Soit T une application linéaire continue de Lp0 (Ω) + Lp1 (Ω) dans Lq0 (Λ) + Lq1 (Λ). Alors, pour tout θ ∈ ]0, 1[, 1−θ

θ

∥T ∥Lpθ →Lqθ ⩽ ∥T ∥Lp0 →Lq0 ∥T ∥Lp1 →Lq1 , où

1 1−θ θ = + , pθ p0 p1

1 1−θ θ = + . qθ q0 q1

On utilisera les deux résultats élémentaires rappelés ici : (i) Densité des fonctions simples. Soit (Ω, µ) un espace mesuré σ-fini. P Alors l’ensemble des combinaisons linéaires finies αj 1Aj où les αj sont des nombres complexes et les Aj sont des parties mesurables de Ω de mesure finie, est dense dans l’espace Lp (Ω, µ) pour tout p ∈ [1, +∞[. (ii) Représentation de la norme par dualité. Soit (Ω, µ) un espace mesuré σ-fini. Alors, pour tout q ∈ [1, +∞] et tout f ∈ Lq (Ω, µ), on a   Z 1 1 1 ∥f ∥Lq = sup fg , + ′ = 1. ′ q q g∈Lq′ ∥g∥Lq En outre, on peut limiter le supremum ci-dessus aux fonctions simples. (1) Traiter le cas où pθ = +∞. (2) On suppose maintenant que pθ = ̸ +∞. Posons 1 − z  1 − z z z α(z) = pθ + , β(z) = qθ′ + , p0 p1 q0′ q1′ et, pour f et g fonctions simples (cf. le préambule), on introduit α(z)

fz (x) = |f (x)|

f (x) , |f (x)|

β(z)

gz (x) = |g(x)|

g(x) . |g(x)|

Montrer que la fonction Z φ : z 7−→

(T fz )gz dx,

est bien définie, holomorphe sur la bande S et continue sur S.

D. EXERCICES

379

(3) En appliquant le lemme des trois droites (voir le paragraphe 8.1), en déduire que Z θ (T f )g dx ⩽ ∥T ∥1−θ ′ p Lp0 →Lq0 ∥T ∥Lp1 →Lq1 ∥f ∥L ∥g∥Lq . (4) Conclure.

CHAPITRE 19 SOLUTIONS

Solution 1 (Solution de l’exercice 1.1). Utilisons la suite (un ) définie dans la démonstration du théorème 1.15. Rappelons que c’est une suite de vecteurs de norme 1 qui vérifie la propriété suivante : ∀(n, m) ∈ N × N,

n ̸= m =⇒ ∥un − um ∥ ⩾

1 . 2

Introduisons la fonction F (x) =

X n∈N

n 1 o n max 0, − ∥x − un ∥ . 5

Cette fonction est bien définie car, pour tout x dans B, au plus un seul des termes de la somme est non nul. En effet, si ∥x − un ∥ ⩽ 1/5 et ∥x − um ∥ ⩽ 1/5, alors ∥un − um ∥ ⩽ 2/5 donc n = m. On en déduit directement que F est continue. De plus, F n’est pas bornée car elle est égale à n sur la boule de centre un et de rayon 1/5. Solution 2 (Solution de l’exercice 1.2). Soit (Pn )n∈N une suite de polynômes qui converge uniformément vers f . Alors il existe N ∈ N tel que, pour tout n ⩾ N , on a sup |Pn (x) − PN (x)| ⩽ 1. A

Puisque Pn − PN est un polynôme et que les seuls polynômes bornés sur A sont les sont des polynômes constants, on en déduit qu’il existe αn ∈ R tel que Pn (x) = PN (x) + αn . Comme la suite (Pn − PN )n⩾N est une suite convergente, elle est de Cauchy et on en déduit que (αn )n⩾N est une suite de Cauchy dans R. Elle converge donc vers un nombre réel noté α. Donc, pour tout x ∈ R, on a f (x) = lim (Pn (x)) = lim (PN (x) + αn ) = PN (x) + α. n→∞

n→∞

Ceci prouve que f est une fonction polynomiale.

382

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Solution 3 (Solution de l’exercice 1.3). (1) Pour tout x ∈ E et tout ξ ∈ E, on a 1 1 T (x + ξ) − T (x − ξ). 2 2 Il suit de l’inégalité triangulaire que 1 1 ∥T ξ∥F ⩽ ∥T (x + ξ)∥F + ∥T (x − ξ)∥F , 2 2 d’où le résultat voulu en utilisant l’inégalité élémentaire max{a, b}. (2) Par définition de la norme d’opérateur, on a Tξ =

1 2a

+

1 2b

⩽

r ∥T ∥L (E,F ) = r sup ∥T y∥F = sup ∥T (ry)∥F = sup ∥T ξ∥F . ∥y∥E =1

∥y∥E =1

∥ξ∥E =r

Or, d’après la première question, si ∥ξ∥E = r, ∥T ξ∥F ⩽ max{∥T (x + ξ)∥F , ∥T (x − ξ)∥F } ⩽

sup {x′ ∈E:∥x′ −x∥E =r}

∥T x′ ∥F ,

ce qui entraîne le résultat voulu. (3) On construit la suite (xn )n∈N par récurrence. Il suit du résultat de la question précédente appliqué avec r = 3−n que sup {x′ ∈E:∥x′ −xn−1 ∥E =3−n }

∥Tαn x′ ∥F ⩾ 3−n |Tαn ∥L (E,F ) ,

ce qui entraîne (par définition de la borne supérieure) qu’il existe xn tel que 2 −n 3 ∥Tαn ∥L (E,F ) . 3 Par construction, la suite (xn )n∈N est de Cauchy, donc converge car E est un espace de Banach. Notons x sa limite. On vérifie que ∥x − xn ∥E ⩽ 12 3−n , ce qui implique que ∥Tαn (x − xn )∥F ⩽ 12 3−n ∥Tαn ∥L (E,F ) . Alors, on a (19.1)

∥xn − xn−1 ∥E = 3−n ,

∥Tαn xn ∥F ⩾

∥Tαn x∥F ⩾ ∥Tαn xn ∥F − ∥Tαn (x − xn )∥F 2 1 ⩾ 3−n ∥Tαn ∥L (E,F ) − 3−n ∥Tαn ∥L (E,F ) 3 2 1 −n n ⩾ 3 4 6 Ce qui est absurde car ∥Tαn x∥F est bornée par

(inégalité triangulaire) (d’après (19.1)) (car ∥Tαn ∥L (E,F ) ⩾ 4n ). hypothèse.

Solution 4 (Solution de l’exercice 2.1). (1) On vérifie facilement que l’espace XT est un espace de Banach pour la norme ∥u∥∞ = sup ∥u(t)∥E . t∈[0,T ]

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

383

De plus, Z ∥Φ(u) − Φ(v)∥∞ ⩽ sup

t

∥F (s, u(s)) − F (s, v(s))∥ ds

t∈[0,T ]

0

Z

t

C ∥u(s) − v(s)∥ ds

⩽ sup t∈[0,T ]

Z

0

T

C ∥u(s) − v(s)∥ ds ⩽ T C∥u − v∥∞ .

⩽ 0

Ce qui montre que Φ est une contraction si T C < 1. (2) Posons T = 1/(2C) de sorte que T C < 1. Le théorème du point fixe implique qu’il existe une unique fonction u ∈ XT solution de Z t ∀t ∈ [0, T ], u(t) = u0 + F (s, u(s)) ds. 0

Il reste à définir une solution sur l’intervalle de temps [0, +∞[. Pour cela, l’observation principale est que l’intervalle de temps donné par l’argument précédent ne dépend pas de la donnée initiale. Aussi, on va pouvoir construire une solution définie pour tout temps en recollant des solutions définies sur des intervalles de temps de taille T . Posons pour commencer uT = u(T ). Alors l’argument précédent implique qu’il existe une unique fonction notée U appartenant à C 0 ([0, T ]; E) et solution de Z t ∀t ∈ [0, T ], U (t) = uT + F (s + T, U (s)) ds. 0

Définissons u e ∈ C 0 ([0, 2T ]; E) par u e(t) = u(t) si t ∈ [0, T ] et u e(t) = U (t − T ) si t ∈ [0, 2T ]. Alors u e ∈ C 0 ([0, 2T ]; E) et de plus on vérifie que Z t ∀t ∈ [0, 2T ], u e(t) = u0 + F (s, u e(s)) ds. 0

En itérant cet argument on construit la solution recherché sur [0, +∞[. Il reste enfin à vérifier que u est C 1 en temps à valeurs dans E, ce qui est une conséquence directe du fait que u est donnée par l’intégrale en temps d’une fonction continue. (3) L’espace n o X = u ∈ C 0 ([0, +∞[; E) : sup e−λt ∥u(t)∥E < +∞ t∈[0,+∞[

est un espace de Banach pour la norme ∥u∥X =

sup t∈[0,+∞[

e−λt ∥u(t)∥E .

384

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Soit u appartient à X. En écrivant F (u) = F (u)−F (0)+F (0) et en utilisant l’inégalité triangulaire, nous obtenons que Z t −λt −λt e ∥Φ(u)(t)∥E ⩽ e ∥u0 ∥E + t ∥F (0)∥E ) + e−λt C ∥u(s)∥E ds. 0

Puis écrivons que Z t Z t C −λt e C ∥u(s)∥E ds ⩽ C∥u∥X e−λ(t−s) ds ⩽ ∥u∥X , λ 0 0 pour obtenir que Φ(u) appartient aussi à X. De plus, Z t ∥Φ(u) − Φ(v)∥X ⩽ sup e−λt ∥F (s, u(s)) − F (s, v(s))∥E ds 0 Z t ⩽ sup e−λt C ∥u(s) − v(s)∥E ds, 0

donc comme ci-dessus, on en déduit que C ∥u − v∥X . λ Pour λ > C, on vérifie que Φ est une contraction et on conclut à l’aide du point fixe qu’il existe u ∈ X solution de Φ(u) = u. ∥Φ(u) − Φ(v)∥X ⩽

Solution 5 (Solution de l’exercice 2.2). (1) Considérons un compact K homéomorphe à B et soit f : K → K une application continue. Considérons un homéomorphisme ϕ : K → B, c’està-dire une application bijective, continue, dont l’inverse est aussi continue. Alors l’application g = ϕ◦f ◦ϕ−1 est une application continue de la boule B dans elle-même. Elle admet d’après le théorème 2.11 un point fixe, c’est-àdire un élément x ∈ B tel que g(x) = x. Alors f (ϕ−1 (x)) = ϕ−1 (x), ce qui prouve que ϕ−1 (x) est un point fixe de f . (2) Le premier point provient du fait qu’il existe par hypothèse deux nombres strictement positifs r, R tels que B(0, r) ⊂ C ⊂ B(0, R). Les trois points suivants ont été démontrés au premier chapitre, où nous avons montré que l’application µ est une norme. Montrons que µ est continue. Pour cela, utilisons l’inégalité triangulaire pour écrire µ(x + y) − µ(x) ⩽ µ(y),

µ(x) ⩽ µ(x + y) + µ(−y).

Alors les inégalités du premier point impliquent que |y| |y| ⩽ −µ(−y) ⩽ µ(x + y) − µ(x) ⩽ µ(y) ⩽ · − r r Ce qui implique directement que µ est continue. Il reste juste à démontrer que x ∈ C si et seulement si µ(x) ⩽ 1. Supposons que x ∈ C. Alors 1 ∈ {t > 0 : x/t ∈ C} donc µ(x) ⩽ 1 trivialement.

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

385

Réciproquement, supposons que µ(x) ⩽ 1. Alors il existe une suite décroissante (tn ) qui tend vers µ(x) et une suite (cn ) d’éléments de C telle que x = tn cn . Si µ(x) < 1, alors tn < 1 pour n assez grand, et comme 0 ∈ C, on en déduit que x ∈ C par convexité. Si µ(x) = 1, alors la suite tn tend vers 1 donc l’identité cn = x/tn implique que cn tend vers x. Comme C est fermé, ceci implique que x ∈ C. (3) Considérons l’application   µ(x) x si x ̸= 0, |x| ϕ : C −→ B, x 7−→  0 si x = 0. Notons que (19.2)

∀x ∈ C,

|ϕ(x)| ⩽ µ(x) ⩽

|x| · r

(Notons que cette inégalité est vraie pour x = 0 et x ̸= 0.) Cette inégalité justifie le fait que ϕ est à valeurs dans B car, si x ∈ C, on a vu que µ(x) ⩽ 1. Par ailleurs, comme |·| et µ sont continues, ϕ est continue en tout point différent de 0. Et l’inégalité (19.2) garantit que ϕ est aussi continue en 0. Donc ϕ est continue en tout point. Montrons que ϕ est bijective et que son inverse est continue. Pour trouver l’inverse de ϕ, on cherche à résoudre l’équation ϕ(y) = x. Comme µ(λx) = λµ(x), on est amené à considérer l’application   |x| x si x ̸= 0, ψ : B −→ C, x 7−→ µ(x)  0 si x = 0. On vérifie facilement que ϕ est bijective, d’inverse ψ. En raisonnant comme précédemment, en utilisant l’inégalité µ(x) ⩾ |x| /R on vérifie que ψ est bien une fonction continue. On a montré que C est homéomorphe à B, et comme on l’a vu au point 1, ceci prouve que toute application continue de C dans C admet un point fixe. (4) L’ensemble B = {x ∈ Rn : N (x) ⩽ 1} est fermé et borné dans n (R , N (·)). Par équivalence des normes en dimension finie, il est aussi fermé et borné dans (Rn , |·|), et donc compact. Par ailleurs, l’inégalité triangulaire pour N implique que N (λx + (1 − λ)y) ⩽ λN (x) + (1 − λ)N (y), ce qui montre que B est convexe. Solution 6 (Solution de l’exercice 3.1). (1) C’est une conséquence directe du théorème de Riesz-Fréchet.

386

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

(2) L’application A est linéaire. Puisque a est continue, il existe une constante C > 0 telle que, pour tout u : ∀v ∈ H,

|⟨Au , v⟩| = a(u, v) ⩽ C∥u∥∥v∥,

ce qui implique ∥Au∥ ⩽ C∥u∥. L’application A est donc continue. (3) Par hypothèse, pour tout u ∈ H, on a ∥Au∥ ∥u∥ ⩾ |⟨Au , u⟩| = |a(u, u)| ⩾ c∥u∥2 , donc ∥Au∥ ⩾ c∥u∥. Cela implique que A est injective et donc un isomorphisme sur son image. Il suit que Im(A) est un sous-espace complet, et donc un sous-espace fermé de H. Pour montrer Im(A) = H, il suffit maintenant de montrer que (Im(A))⊥ = {0}. Pour cela, supposons fixé h ∈ (Im(A))⊥ . Alors on doit avoir 2

0 = ⟨Ah , h⟩ = a(h, h) ⩾ c |h| . Donc h = 0. (4) Soit ϕ une forme linéaire continue. En utilisant le théorème de RieszFréchet à nouveau, on voit qu’il existe U ∈ H tel que : ∀v ∈ H,

ϕ(v) = ⟨U , v⟩.

Il suffit donc de montrer qu’il existe u tel que Au = U . Ce qui est une conséquence de la question précédente qui montre que A est surjective. Solution 7 (Solution de l’exercice 3.2). (1) (a) La suite E1 est un frame car, si (en ) est une base hilbertienne, alors X 2 |(x, xn )| = ∥x∥2 . n∈N

Ceci implique aussi que la suite E3 est un frame. La suite E2 n’est pas un frame car (e0 , en+1 ) = 0 pour tout entier n. La suite E4 n’est pas un frame. (b) Supposons que (xn )n∈N est un frame et posons V = Vect{xn : n ∈ N}. On veut montrer que V est dense. Pour cela, il suffit, par un résultat général sur les espaces de Hilbert, de montrer que l’orthogonal de V est réduit à {0}. Considérons un vecteur x orthogonal à V . Alors a fortiori (x, en ) = 0 pour tout entier n, et donc ∥x∥ = 0. Ce qui montre que x = 0. (2) (a) L’application
U : H −→ ℓ2 (N), x 7−→ U (x) = (x, xn ) n∈N , est une application linéaire bien définie. Pour montrer qu’elle est continue, on peut utiliser le théorème du graphe fermé. D’après ce théorème, il suffit de montrer que si (yk )k∈N est une suite de H qui est telle que (i) elle converge vers y ∈ H et de plus (ii) (U (yk ))k∈N converge vers une suite c = (cn )n∈N ∈

387

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

ℓ2 (N), alors c = U (y), c’est-à-dire cn = (y, xn ) pour tout n. Pour cela, notons que U (yk ) = ((yk , xn ))n∈N et écrivons X 2 2 2 |cn − (yk , xn )| ⩽ |cp − (yk , xp )| = ∥c − U (yk )∥ℓ2 . p∈N

Comme U (yk ) tend vers c dans ℓ2 (N), on en déduit en passant à la limite que cn = limk→+∞ (yk , xn ) pour tout n ∈ N. Or limk→+∞ (yk , xn ) = (y, xn ) car (yk ) converge vers y dans H. Ceci prouve que c = U (y) et donc que le graphe de U est fermé. La continuité de U implique qu’il existe une constant C telle que ∥U (x)∥ℓ2 ⩽ C∥x∥. On en déduit que X 2 (19.3) ∀x ∈ H, |(x, xn )| ⩽ B∥x∥2 , n∈N 2

avec B = C. (b) Considérons une suite (xn )n∈N dans H qui vérifie la propriété (19.3). Considérons un ensemble fini F ⊂ N et une suite (cn )n∈N ∈ ℓ2 (N). Rappelons que, pour tout vecteur u ∈ H, on a ∥u∥ =

|⟨u, y⟩| .

sup y∈H, ∥y∥=1

En particulier,

X

2 D X E 2

cn xn = sup cn xn , y .

y∈H ∥y∥=1

n∈F

n∈F

Comme F est fini, on peut appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans R#F , pour obtenir  X  D X 2  X E 2 X 2 2 cn xn , y = cn ⟨xn , y⟩ ⩽ |cn | |⟨xn , y⟩| . n∈F

n∈F

n∈F

n∈F

(c) Il suit de l’inégalité de la question précédente et de l’hypothèse (19.3) que

X

2 X

cn xn ⩽ B |cn |2 .

n∈F

n∈F

En particulier, pour tous entiers m, M tels que 1 ⩽ m ⩽ M , on a

X

2 X

cn xn ⩽ B |cn |2 .

m⩽n⩽M

m⩽n⩽M

En faisant tendre m vers +∞, on voit que la série des sommes partielles est une suite de Cauchy, et donc converge.

388

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Solution 8 (Solution de l’exercice 3.3). (1) Considérons k formes linéaires φ1 , . . . , φk . L’application ( E −→ Rk Φ: x 7−→ (φ1 (x), . . . , φk (x)), n’est pas injective, sinon E serait de dimension finie. On en déduit qu’il existe x ∈ E ∖ {0} tel que Φ(x) = 0. Par linéarité, la droite Rx est incluse T dans l’intersection 1⩽ℓ⩽k ker φℓ . Il suit trivialement que Rx est incluse TN dans l’ensemble k=1 {y ∈ E : |φk (y)| < ε} pour tout ε > 0. (2) (a) Soit n ∈ N∗ . Par hypothèse, la boule Bd (0, 1/n) est un ouvert pour la topologie faible. D’après la question précédente, il existe yn ∈ Bd (0, 1/n) non nul tel que Ryn ⊂ Bd (0, 1/n2 ). Ceci implique que xn := nyn / ∥yn ∥E appartient à Bd (0, 1/n). On a bien ∥xn ∥E = n. Par ailleurs, le fait que xn ∈ Bd (0, 1/n) implique que la suite (xn )n∈N tend vers 0 séquentiellement, d’où xn ⇀ 0 si l’on suppose que la topologie faible σ(E, E ′ ) est induite par la distance d. (b) On en déduit une contradiction car une suite qui converge faiblement est bornée d’après la proposition 3.42. Solution 9 (Solution de l’exercice 4.1). (1) C’est une conséquence de la décomposition de la solution en séries de Fourier et de l’identité de Plancherel. (2) (a) Notons d’abord que, par périodicité en x, Z Z π d π u(t, x) dx = ∂x (γ(x)∂x u) dx = 0. dt −π −π Rπ On en déduit que −π u(t, x) dx = 0 pour tout temps t ⩾ 0 puisque cette propriété est vraie initialement par hypothèse. (b) On obtient l’identité demandée en multipliant l’équation par u et en intégrant sur [−π, π]. (c) Comme γ est minorée par une constante strictement positive, l’inégalité de Poincaré-Wirtinger (voir le lemme 4.17) assure qu’il existe une constante C telle que Z Z π C π 2 u(t, x) dx ⩽ γ(x)(∂x u(t, x))2 dx. 2 −π −π On en déduit que 1 d 2 dt

Z

π

−π

u(t, x)2 dx +

C 2

Z

π

u(t, x)2 dx ⩽ 0.

−π

(d) L’inégalité voulue provient du lemme de Gronwall.

389

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Solution 10 (Solution de l’exercice 7.1). Supposons que I = ]−1, 1[ pour fixer les notations. Pour tout ϕ dans C0∞ (I), on peut écrire Z Z 1 Z 0 |x| ϕ′ (x) dx = xϕ′ (x) dx + (−x)ϕ′ (x) dx. I

−1

0

Comme x s’annule en 0 et ϕ s’annule au voisinage de −1 et 1, en intégrant par parties sur chacun des intervalles, nous trouvons que Z Z 1 Z 0 Z |x| ϕ′ (x) dx = − ϕ(x) dx + ϕ(x) dx = − H(x)ϕ(x) dx. I

0

−1

I

Comme H|I appartient à L1 (I), ceci signifie que |x| est dérivable au sens faible et sa dérivée est donnée par H|I . Solution 11 (Solution de l’exercice 7.2). Montrons ce résultat par l’absurde. Supposons qu’il existe v dans Lp (R) telle que Z Z ∂ϕ vϕ dx = − 1]0,1[ dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (R). ∂x R R Alors, Z Z ∂ϕ |ϕ(1) − ϕ(0)| = 1]0,1[ dx = vϕ dx ⩽ C∥ϕ∥Lp′ (R) , ∂x R

R

avec C = ∥v∥Lp (R) . On montre ensuite que l’on ne peut pas avoir une telle inégalité en considérant une suite de fonctions ϕn appartenant à C0∞ (R) telle que ϕn (1) = 1, ϕn (0) = 0 et ∥ϕn ∥Lp′ (R) = 1/n. Solution 12 (Solution de l’exercice 7.3). Nous voulons montrer qu’il existe une constante C = C(n) telle que, pour tout r > 0 et pour toute boule B de rayon r dans Rn , pour tout u ∈ H 1 (B), on a  1/2  1/2 Z Z 1 1 2 2 |u − uB | dx ⩽ Cr |∇u| dx , |B| B |B| B où uB est la moyenne de u sur B. Notons que l’on peut supposer que u est à valeurs réelles (en considérant séparément Re(u) et Im(u)). La démonstration est basée sur un argument de duplication : Z Z Z 1 1 1 u2 dx = u2 (x) dx + u2 (y) dy. |B| B 2|B| B 2|B| B Notons qu’on on peut supposer sans perte de généralité que uB = 0, de sorte que Z ZZ 1 1 u2 dx = (u(x) − u(y))2 dx dy. |B| B 2|B|2 2 B

390

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Par ailleurs (u(x) − u(y))2 ⩽ |x − y|2

Z

1

2

|∇u(tx + (1 − t)y)| dt 0

⩽ (2r)2

Z

1

2

|∇u(tx + (1 − t)y)| dt. 0

Or, pour tout t ∈ [0, 1], on a ZZ Z Z 1 2 2 |∇u(tx + (1 − t)y)| dx dy = n |∇u(σ)| dσ dy t B tB+(1−t)y B2 Z Z 1 2 = n 1tB+(1−t)y (σ) |∇u(σ)| dσ dy, t B B et Z  1 tn  1tB+(1−t)y (σ) dy = B ∩ (σ − tB) ⩽ min 1, |B|. 1−t (1 − t)n B On en déduit que Z 1 Z Z  1 (2r)2 tn  dt 2 u2 dx ⩽ min 1, |∇u| dx, n tn |B| B 2|B| (1 − t) 0 B ce qui conclut la démonstration. Solution 13 (Solution de l’exercice 7.4). Supposons que n = 1, Ω1 = ]a, b[, Ω2 = θ(]a, b[) = ]c, d[ et posons φ = ϕ ◦ θ−1 . En écrivant ϕ′ (θ−1 (y))(θ−1 )′ (y) = φ′ on vérifie que Z

b

a

Z u(θ(x))ϕ (x) dx = ′

c

d

u(y)φ (y) dy . ′

1

Or, comme u ∈ H (]c, d[), par définition de la dérivation au sens faible et en appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a Z d Z d ′ ′ = ⩽ ∥u′ ∥ 2 u(y)φ (y) dy u (y)φ(y) dy L (]c,d[) ∥φ∥L2 (]c,d[) . c

c

Ce qui conclut la démonstration car ∥φ∥L2 (]c,d[) ⩽ C∥ϕ∥L2 (]a,b[) comme on peut le voir en utilisant encore une fois la formule de changement de variables pour une intégrale et l’hypothèse que la dérivée de θ est bornée. Solution 14 (Solution de l’exercice 7.5). Par définition de u∗ , on a Z Z p p ∥u∗ ∥Lp = |u(x1 , . . . , xn )| dx + |u(−x1 , . . . , xn )|p dx x1 >0 x1 0, ∂i u∗ (x1 , . . . , xn ) = − ∂i u(−x1 , x2 , . . . , xn ) si x1 < 0. et, si i ̸= 1 : ( ∂i u∗ (x1 , . . . , xn ) =

∂i u(x1 , x2 , . . . , xn )

si x1 > 0,

∂i u(−x1 , x2 , . . . , xn )

si x1 < 0.

Cela impliquera que, pour tout i, ∥∂iRu∗ ∥Lp = 21/p ∥∂i u∥Lp . Soit ϕ ∈ C0∞ (Rn ). On va calculer Rn u∗ ∂i ϕ dx. Soit χ : R → R une fonction paire, de classe C ∞ qui vaut 1 sur [−1, 1] et 0 en dehors de [−2, 2]. Pour tout k ∈ N, on pose, pour tout x ∈ Rn , χk (x) = χ(2k x1 ). La fonction χk ainsi définie est C ∞ à support dans [−21−k , 21−k ] × Rn−1 . On a Z Z u∗ ∂i ϕ dx = u∗ ∂i (ϕ(1 − χk ) + ϕχk ) dx n Rn ZR Z Z = u∗ ∂i (ϕ(1 − χk )) + u∗ (∂i ϕ)χk + u∗ ϕ(∂i χk ) dx. Rn

Rn

Rn

Puisque | Rn u∗ (∂i ϕ)χk | ⩽ |x1 |⩽21−k |u∗ (∂i ϕ)| et puisque u∗ (∂i ϕ) est L1 , ce terme tend vers 0 lorsque k tend R vers +∞. Pour i ̸= 1, ∂i χk = 0 donc Rn u∗ ϕ(∂i χk ) = 0. Pour i = 1 : Z Z u∗ ϕ(∂i χk ) = u(x1 , . . . , xn )ϕ(x1 , . . . , xn )(∂1 χk )(x1 , . . . , xn ) dx Rn Z x1 >0 + u(−x1 , . . . , xn )ϕ(x1 , . . . , xn )(−∂1 χk )(−x1 , . . . , xn ) dx x1 0

Donc Z n u∗ ϕ(∂i χk ) R Z ∞ ⩽ 2∥∂1 ϕ∥L

|u(x1 , . . . , xn )| |∂1 (χk )(x1 , . . . , xn )| |x1 | 1supp(ϕ) (x) dx Z ⩽ 2 · 2k ∥∂1 ϕ∥L∞ ∥χ′ ∥L∞ |u(x1 , . . . , xn )| |x1 | 1supp(ϕ) (x) dx 00 Z + εi ∂i u(−x1 , . . . , xn )ϕ(1 − χk )(x1 , . . . , xn ) dx x1 0. (2) On remarque d’abord : Z Z |f (x) − f (y)|2 |f (x) − f (x + z)|2 dx dy = dx dz n+2s |z|n+2s Rn |x − y| Rn Z ∥f −\ f (. + z)∥2L2 1 = dz n (2π) Rn |z|n+2s Z |1 − eiω·z |2 1 = |fb(ω)|2 dω dz. n (2π) Rn |z|n+2s Si on pose |1 − eiω·z |2 dz, |z|n+2s Rn on vérifie que cette fonction est bien définie et (par changement de variable) qu’elle vérifie les propriétés suivantes : Z

G(ω) =

∀ω ∈ Rn , R ∈ On (R), ∀ω ∈ Rn , a > 0,

G(Rω) = G(ω) G(aω) = a2s G(ω)

Il existe donc une constante Cs > 0 telle que, pour tout ω ∈ Rn , G(ω) = Cs |ω|2s . Ainsi : Z Z |f (x) − f (y)|2 Cs dx dy = |ω|2s |fb(ω)|2 dω, n+2s (2π)n Rn Rn |x − y| donc les deux définitions sont équivalentes.

394

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Solution 16 (Solution de l’exercice 9.1). (1) On utilise des changements de variables élémentaires pour écrire ZZ 1 Oph (a)u(x) = ei(x−y)·ξ a(x, hξ)u(y) dy dξ (2π)n ZZ 1 = e(i/h)(x−y)·ξ a(x, ξ)u(y) dy dξ (2πh)n ZZ ′ ′ ′ 1 = ei(x −y )·ξ a(h1/2 x′ , h1/2 ξ ′ )u(h1/2 y ′ ) dy ′ dξ ′ . (2π)n On en déduit que
Oph (a)u(x) = Op(ah )uh (h−1/2 x), où ah (x, ξ) = a(h1/2 x, h1/2 ξ), uh (y) = u(h1/2 y). (2) Le théorème 9.8 implique que ∥Oph (a)u∥L2 = hn/4 ∥Op(ah )uh ∥L2 ⩽ Chn/4 N (ah ) ∥uh ∥L2 , où N (ah ) =

sup

sup

|α|+|β|⩽M

(x,ξ)∈R2n

|∂xα ∂ξ ah |

pour un certain M assez grand. On conclut la démonstration en notant que hn/4 ∥uh ∥L2 est égal à ∥u∥L2 . Solution 17 (Solution de l’exercice 10.1). (1) Soit χ ∈ C0∞ (Rn × Rn ) une fonction C ∞ à support compact, telle que χ(0, 0) = 1. D’après la définition des intégrales oscillantes : Z Z e−iy·x xj a(x, y) dx dy = lim e−iy·x xj a(x, y)χ(εx, εy) dx dy ε→0 Z = lim i ∂yj [e−iy·x ]a(x, y)χ(εx, εy) dx dy ε→0 Z = lim −i e−iy·x ∂yj [a(x, y)χ(εx, εy)] dx dy ε→0 Z = −i lim e−iy·x ∂yj a(x, y)χ(εx, εy) dx dy ε→0 Z − i lim ε e−iy·x a(x, y)∂yj χ(εx, εy) dx dy. ε→0

La première limite vaut −i e−iy·x ∂yj a(x, y) dx dy (par définition de cette intégrale oscillante). Pour le deuxième terme, toujours par la définition des R

395

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

intégrales oscillantes : Z − i lim ε e−iy·x a(x, y)∂yj χ(εx, εy) dx dy ε→0

Z = −i lim ε ∂yj χ(0, 0) ε→0

e−iy·x a(x, y) dx dy = 0,

ce qui donne le résultat voulu. R −iy·x 1 (2) On se contente de montrer (2π) e a(x) dy dx = a(0). Par symén trie entre les variables y et x, cela suffit. Lorsque m est suffisamment négatif, a est dans L1 et b a est également dans L1 . On a alors : Z Z 1 1 −iy·x e a(x) dy dx = b a(y) dy = a(0). (2π)n (2π)n Pour conclure, il suffit donc de démontrer que si l’égalité est vraie pour a ∈ Am , alors elle est vraie pour a ∈ Am+1 . Supposons alors qu’elle est vraie sur a ∈ Am et supposons fixé a ∈ Am+1 . Posons b(x) = a(x)(1 + |x|2 )−1 . On a b ∈ Am−1 ⊂ Am . En utilisant la question (1) : Z Z XZ e−iy·x a(x)dy dx = e−iy·x b(x)dy dx + e−iy·x x2j b(x) dy dx j

= b(0) − i

XZ

e−iy·x ∂yj [xj b(x)] dy dx

j

= b(0) = a(0). (3) Lorsque β = 0, c’est une conséquence de la question (2), appliquée à a(y) = y α /(α!). Procédons maintenant par récurrence sur |β|, en utilisant la question (1). On note δj = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (avec le 1 en position j). Z Z α β+δj 1 1 y α xβ −iy·x y x −iy·x e dy dx = e x dy dx j (2π)n α!(β + δj )! (2π)n α!(β + δj )!   Z −i y α xβ −iy·x = e ∂ dy dx yj (2π)n α!(β + δj )! Z −i y α−δj xβ = e−iy·x αj dy dx n (2π) α!(β + δj )! Z −i y α−δj xβ −iy·x = 1αj >0 e dy dx (2π)n (α − δj )!(β + δj )! = 1αj >0 qui est le résultat voulu.

(−i)|α−δj |+1 (−i)|α| 1β=α−δj = 1β+δj =α , (β + δj )! α!

396

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Solution 18 (Solution de l’exercice 10.2). (1) Soit M > 0 tel que χ s’annule en dehors de la boule B(0, M ) et soit M ′ > 0 tel que χ = 1 sur B(0, M ′ ). Fixons j ∈ N. Pour tous multi-indices α, β dans Nn , on a :   ∂xα ∂ξβ e aj = ∂ξβ (1 − χ(εj ξ))∂xα aj X = nγ ∂ξγ [1 − χ(εj ξ)](∂ξβ−γ ∂xα aj ) γ⩽β

où les nγ sont des entiers. |γ| Pour tout multi-indice γ ̸= 0, on a ∂ξγ [1 − χ(εj ξ)] = −εj (∂ γ χ)(εj ξ), ce qui entraîne, pour εj < M : γ |γ| ∂ξ [1 − χ(εj ξ)] ⩽ εj 1B(0,M/εj ) (ξ)∥∂ γ χ∥L∞ −|γ|+1  1 + |ξ| |γ| ⩽ εj ∥∂ γ χ∥L∞ 1 + M/εj  −|γ|+1 1 + |ξ| |γ| ⩽ εj ∥∂ γ χ∥L∞ 2M εj |γ|

−|γ|+1

⩽ εj (2M )|γ|−1 ∥∂ γ χ∥L∞ (1 + |ξ|)

.

D’autre part, on a |1 − χ(εj ξ)| ⩽ (1 + ∥χ∥L∞ )1Rn −B(0,M ′ /εj ) (ξ) ε  j ⩽ (1 + ∥χ∥L∞ )(1 + |ξ|) . M′ Donc, en utilisant le fait que, pour tous γ et β, il existe une constante D telle que |∂ξβ−γ ∂xα aj | ⩽ D(1 + |ξ|)mj −|β|+|γ| , on obtient : |∂xα ∂ξβ e aj | ⩽ n0 |1 − χ(εj ξ)|(∂ξβ ∂xα aj ) + εj

X

nγ Cγ (1 + |ξ|)−|γ|+1 |∂ξβ−γ ∂xα aj |

0̸=γ⩽β mj −|β|+1

⩽ εj C(1 + |ξ|)

où C est une constante indépendante de εj (mais dépendant de α et β). En prenant εj assez petit, on vérifie que si |α| ⩽ j et si |β| ⩽ j, alors : |∂xα ∂ξβ e aj | ⩽

1 (1 + |ξ|)1+mj −|β| . 2j

Si, pour tout j, on choisit εj de cette manière, alors, pour tous α, β, la propriété voulue est bien vérifiée dès que j ⩾ max(|α|, |β|). P (2) D’après la première question, pour tous α, β, la série j∈N ∂xα ∂ξβ e aj converge uniformément sur tout compact.

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

397

P (3) Montrons d’abord que, pour tout k, j⩾k e aj ∈ S mk . Pour tout j ⩾ k, e aj et aj coïncident en dehors d’un certain compact donc, puisque aj ∈ S mj , e aj aussi (vérification laissée au lecteur). Comme mj ⩽ mk , cela entraîne en particulier aj ∈ S mk . Considérons deux multi-indices α, β quelconques. Soit J assez grand pour que la propriété de la question (1) soit vérifiée si j ⩾ J (pour les α et β fixés). P P La fonction k⩽j 0, le symbole aεt est à support compact en ξ et donc appartient à S −∞ et en particulier à S 0 (Rn ). Le théorème de continuité des opérateurs pseudo-différentiels d’ordre 0 sur les Sobolev implique que Op(aεt ) est un opérateur continu sur H s (Rn ). Alors l’équation ∂t u + Op(aε )u = f est une équation différentielle ordinaire, pour laquelle le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique (on utilise la version de ce résultat donné par l’exercice 2.1). (3) Remarquons que le symbole aεt (x, ξ) = at (x, ξ)χ(εξ) est borné dans 1 S (Rn ) uniformément en ε, au sens où {aεt : ε ∈ ]0, 1], t ∈ [0, T ]} est une partie bornée de S 1 (Rn ), ce qui signifie que, ∀(α, β) ∈ Nn , sup sup sup ⟨ξ⟩|β|−1 ∂xα ∂ξβ aεt (x, ξ) < +∞. ε∈]0,1] t∈[0,T ] x,ξ

Re aεt

De plus, est uniformément borné dans S 0 (Rn ). L’inégalité voulue est donc une conséquence de (11.2). En appliquant l’inégalité précédente à v = uε , on obtient qu’il existe une constante C telle que pour tout ε > 0 et tout t ∈ [0, T ], Z T (19.4) ∥uε ∥C 0 ([0,T ];H s ) ⩽ C∥u0 ∥H s + C ∥f (t)∥H s dt. 0

Ce qui implique que (uε )ε∈]0,1] est bornée dans C 0 ([0, T ]; H s (Rn )). En utilisant l’équation, on vérifie que (uε )ε∈]0,1] est une famille bornée dans C 1 ([0, T ]; H s−1 (Rn )). (4) Soient ε et ε′ dans ]0, 1]. En partant de ∂t uε + Op(a)Jε uε = f, ∂t uε′ + Op(a)Jε′ uε′ = f, nous déduisons que v = uε − uε′ vérifie ∂t v + Op(aε )v = fε

avec


fε = Op(a) Jε′ − Jε uε′ .

Comme uε et uε′ coïncident pour t = 0, on a v(0) = 0 et on peut alors utiliser l’inégalité du lemme précédent pour obtenir que Z T ∥v∥C 0 ([0,T ];H s−2 ) ⩽ C ∥fε (t)∥H s−2 dt. 0

404

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Or





∥f ε (t)∥H s−2 = Op(a) Jε′ − Jε uε′ (t) H s−2 ⩽ K Jε′ − Jε uε′ (t) H s−1 . Par définition,




Jε′ − Jε uε′ (t) 2 s−1 = H

1 (2π)2n

Z

2

2

⟨ξ⟩2(s−2) |χ(εξ) − χ(ε′ ξ)| |b uε′ (t, ξ)| dξ.

On utilise l’inégalité élémentaire |χ(εξ) − χ(ε′ ξ)| ⩽ K |ε − ε′ | |ξ| pour conclure que Z T Z T ′ ′ ∥fε (t)∥H s−2 dt ⩽ K |ε − ε | ∥uε′ (t)∥H s dt. 0

0

Comme ∥uε′ ∥C 0 ([0,T ];H s ) est uniformément bornée d’après (19.4), on obtient ∥v∥C 0 ([0,T ];H s−2 ) = O(|ε − ε′ |), ce qui est le résultat désiré. (5) Écrivons que Z 2 2 −n ∥u∥H s = (2π) ⟨ξ⟩2s |b u(ξ)| dξ Z 2α 2(1−α) = (2π)−n ⟨ξ⟩2αs1 |b u(ξ)| ⟨ξ⟩2(1−α)s2 |b u(ξ)| dξ, de sorte que l’inégalité voulue est une conséquence de l’inégalité de Hölder. Nous avons vu que la famille (uε )ε∈]0,1] est bornée dans C 0 ([0, T ]; H s ) et qu’elle est de plus de Cauchy dans C 0 ([0, T ]; H s−2 ). Étant donné σ ∈ [s − 2, s[, l’inégalité (11.7), appliquée avec (s1 , s2 , σ) = (s − 2, s, σ), entraîne que (uε )ε∈]0,1] est de Cauchy dans C 0 ([0, T ]; H σ ). En utilisant l’équation, on obtient de plus que (∂t uε )ε∈]0,1] est de Cauchy dans C 1 ([0, T ]; H σ−1 ). Donc uε converge dans C 0 ([0, T ]; H σ ) ∩ C 1 ([0, T ]; H σ−1 ) vers une limite notée u. En passant à la limite, on trouve que u est solution du problème de Cauchy ∂t u + Op(a)u = f, u(0) = u0 . (6) Nous avons vu à la fin de la section 11.2 comment montrer que u appartient à C 0 ([0, T ]; H s ). On montre ensuite que ∂t u appartient à C 0 ([0, T ]; H s−1 ) en utilisant l’équation. Solution 23 (Solution de l’exercice 13.1). Posons h = γ − 1 et w = u − v. On a alors Z Qγ (f ) = (1 + h)|∇v + ∇w|2 dx Ω Z Z = Q1 (f ) + 2 ∇v.∇w dx + |∇w|2 dx Ω Ω Z Z 2 + h|∇v| dx + h∇w · (2∇v + ∇w) dx. Ω

Ω

405

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

La fonction w ∈ H 1 est solution de ( div(γ∇(v + w)) = 0

dans Ω,

v+w =f

sur ∂Ω.

Compte tenu de l’équation satisfaite par v, on observe que w vérifie ( div(γ∇w) = − div((1 + h)∇v) = −∇h · ∇v dans Ω, w = 0 sur ∂Ω. Nous allons utiliserZcette équation pourZmajorer ∥∇w∥L2 : Z γ|∇w|2 dx = − div(γ∇w)w dx = w∇h · ∇v dx Ω

Ω

Ω

⩽ ∥w∥L2 ∥∇h∥L∞ ∥∇v∥L2 . (On a utilisé dans l’intégration par parties la condition au bord w|∂Ω = 0.) D’après l’inégalité de Poincaré, puisque w ∈ H01 , on a ∥w∥L2 ⩽ CΩ ∥∇w∥L2 pour une certaine constante CΩ qui ne dépend pas de w. Comme ∥γ∥L∞ ⩾ 1 − ∥h∥L∞ , on déduit des inégalités précédentes que (1 − ∥h∥L∞ )∥∇w∥2L2 ⩽ CΩ ∥∇w∥L2 ∥∇h∥L∞ ∥∇v∥L2 et donc, dès que ∥h∥L∞ < 1, ∥∇w∥L2 ⩽

CΩ ∥∇v∥L2 ∥∇h∥L∞ . 1 − ∥h∥L∞

Ainsi, Z

Z ∇v.∇w dx +

Qγ (f ) = Q1 (f ) + 2 Ω

h|∇v|2 dx + O((∥h∥L2 + ∥∇h∥L2 )2 ).

Ω

Or, comme w|∂Ω = 0 et ∆v = 0, on a Z Z ∇v.∇w dx = − w∆v dx = 0, Ω

Ω

d’où l’on conclut que Z Qγ (f ) = Q1 (f ) +


h|∇v|2 dx + O (∥h∥L2 + ∥∇h∥L2 )2 ,

Ω

ce qui démontre le résultat. Solution 24 (Solution de l’exercice 15.1). (1) Si u est de classe C 1 , on a, pour tout h ∈ Rn tel que d(Ω′′ , ∂Ω) < h : Z 1 ′′ ∀x ∈ Ω , τh u(x) − u(x) = u(x + h) − u(x) = h · ∇u(x + th) dt 0

Z ⩽ |h|

1

Z |∇u(x + th)| dt ⩽ |h|

0

0

1

1/2 2 |∇u(x + th)| dt .

406

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

La dernière inégalité est une conséquence de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Il suit que Z Z 1Z 2 2 |τh u(x) − u(x)|2 dx ⩽ |h| |∇u(x + th)| dx dt Ω′′

x∈Ω′′

0

⩽ |h|

2

Z

1

Z

2

|∇u(x)| dx dt, 0

x∈Ω

1

et on étend à tout H (Ω) par densité. (2) On prend h tel que Ω′′ + h ⊂ Ω. Dans cette question, on note ⟨x , y⟩ le produit scalaire de deux éléments de Rn . Alors, on a Z ⟨(τh A)∇(∆h u), ∇ϕ⟩ Ω Z 1 = ⟨(τh A) (τh ∇u − ∇u), ∇ϕ⟩ |h| Ω Z Z 1 1 = ⟨(τh A)τh ∇u , ∇ϕ⟩ − ⟨(τh A)∇u , ∇ϕ⟩ |h| Ω |h| Ω Z Z Z 1 1 = ⟨A∇u , τ−h ∇ϕ⟩ − ⟨(∆h A)∇u , ∇ϕ⟩ − ⟨A∇u , ∇ϕ⟩ |h| Ω |h| Ω Z Z Ω = ⟨A∇u , ∇∆−h ϕ⟩ − ⟨(∆h A)∇u , ∇ϕ⟩ Ω ZΩ Z Z Z = f (∆−h ϕ) − ⟨(∆h A)∇u , ∇ϕ⟩ = (∆h f )ϕ − ⟨(∆h A)∇u , ∇ϕ⟩, Ω

Ω

Ω

Ω

qui est le résultat voulu. (3) Soit γ une fonction C ∞ qui vaut 1 sur Ω′ et dont le support est inclus dans Ω′′ . En notant ϕ = γ 2 (∆h u), on a : Z ⟨(τh A)∇(∆h u) , ∇(γ 2 (∆h u))⟩ Ω Z Z = γ 2 ⟨(τh A)∇(∆h u), ∇(∆h u)⟩ + 2 ⟨(τh A)∇(∆h u), (∇γ)⟩γ∆h u Ω Ω Z Z 2 2 ⩾λ γ ∥∇(∆h u)∥ + 2 ⟨(τh A)∇(∆h u) , (∇γ)⟩γ∆h u. Ω

Ω

En utilisant la question précédente : Z 2 λ γ 2 |∇(∆h u)| Ω Z Z ⩽ −2 ⟨(τh A)∇(∆h u), (∇γ)⟩γ∆h u + γ 2 (∆h f )(∆h u) Ω Ω Z Z 2 − γ ⟨(∆h A)∇u , ∇∆h u⟩ − 2 ⟨(∆h A)∇u , ∇γ⟩γ∆h u Ω

Ω

407

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

⩽ 2∥A∥L∞ ∥γ∇(∆h u)∥L2 ∥ |∇γ|∆h u∥L2 + ∥f ∥L2 (∥γ∥L∞ ∥γ∇(∆h u)∥L2 + 2∥∇γ∥L∞ ∥γ∆h u∥L2 ) + ∥γ∇(∆h u)∥L2 ∥∆h A∥L∞ ∥γ∇u∥L2 + 2∥∆h A∥L∞ ∥ |∇u|.|∇γ| ∥L2 ∥γ∆h u∥L2 , où l’avant-dernière inégalité provient de la question (15.1). Comme A ∈ C 0,1 , ∥∆h A∥L∞ est bornée par une constante indépendante de h. Par ailleurs, on a ∥γ∆h u∥L2 ⩽ ∥γ∥L∞ |h|−1 ∥τh u − u∥L2 (supp γ) ⩽ ∥γ∥L∞ ∥∇u∥L2 (Ω′′ ) . De même, ∥ |∇γ|∆h u∥L2 ⩽ ∥∇γ∥L∞ ∥∇u∥L2 (Ω′′ ) . Il suit que, pour des constantes C1 , C2 indépendantes de h : λ∥γ∇(∆h u)∥2L2 ⩽ C1 ∥γ∇(∆h u)∥L2 ∥∇u∥L2 (Ω′′ ) + ∥f ∥L2





+ C2 ∥∇u∥L2 (Ω′′ ) ∥f ∥L2 + ∥∇u∥L2 (Ω′′ ) . Pour tout X ∈ R, si X 2 ⩽ aX + b avec a, b ⩾ 0, on voit (en résolvant l’équation polynomiale associée) que √ X ⩽ b + a. En appliquant cette inégalité avec :
a = C1 λ−1 ∥∇u∥L2 (Ω′′ ) + ∥f ∥L2 ,
b = C2 λ−1 ∥∇u∥L2 (Ω′′ ) ∥f ∥L2 + ∥∇u∥L2 (Ω′′ ) , on obtient :
∥γ∇(∆h u)∥L2 ⩽ C3 ∥f ∥L2 + ∥∇u∥L2 (Ω′′ ) . En élevant au carré et en utilisant l’indication, on a :   ∥γ∇(∆h u)∥2L2 ⩽ 2C3 ∥f ∥2L2 + ∥∇u∥2L2 (Ω′′ ) Z  Z Z ⩽ 2C3 f 2 + c (u2 + f 2 ) ⩽ C (u2 + f 2 ). Ω

Ω

Puisque γ vaut 1 sur Ω′ , on obtient Z ∥∇∆h u∥2 ⩽ ∥γ∇(∆h u)∥2L2 , Ω′

d’où le résultat voulu.

Ω

408

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

(4) Considérons deux indices 1 ⩽ i, j ⩽ n et notons ej le j-ième vecteur de la base canonique. Pour toute fonction ϕ ∈ C0∞ (Ω′ ) quelconque, on a Z Z Z (∂i u)(∂j ϕ) = lim (∂i u)(∆tej ϕ) = lim (∆−tej ∂i u)ϕ Ω′

t→0

t→0

Ω′

Ω′

⩽ lim sup ∥∆−tej ∂i u∥L2 (Ω′ ) ∥ϕ∥L2 (Ω′ ) t→0

⩽ lim sup ∥∇∆−tej u∥L2 (Ω′ ) ∥ϕ∥L2 (Ω′ ) t→0

⩽C

1/2

Z

2

u +f

2

1/2 ∥ϕ∥L2 (Ω′ ) .

Ω

D’après la proposition 7.24, ceci implique que ∂i u est dérivable au sens faible par rapport à xj . Ceci prouve que u appartient à l’espace H 2 (Ω′ ) et l’inégalité voulue est une conséquence directe de ce qui précède. (5) Soit u ∈ H01 (R) une solution du problème. On prolonge u sur [−1; 0]× [−1; 1]n−1 par : u(x1 , . . . , xn ) = −u(−x1 , x2 , . . . , xn ) si x1 < 0.
On note R = R∪ [−1; 0] × [−1; 1]n−1 . La fonction u, prolongée, appartient à H01 (R) et vérifie : ∇u(x1 , . . . , xn ) = ∇u(−x1 , . . . , xn )

si x1 < 0.

Pour montrer cette dernière propriété, il suffit de constater qu’elle est vraie sur l’ensemble des fonctions C ∞ à support compact inclus dans R puis d’utiliser un argument de continuité. On remarque qu’on utilise ici la condition de bord : la même méthode de prolongement, appliquée à un élément quelconque de H 1 (R), ne donnerait pas un élément de H 1 (R). On prolonge également A, par : A(x1 , . . . , xn ) = A(−x1 , x2 , . . . , xn )

si x1 < 0.

La fonction, ainsi prolongée, reste lipschitzienne. Pour toute fonction ϕ ∈ H01 (R) : Z Z Z e ⟨A∇u , ∇ϕ⟩ = ⟨A∇u , ∇ϕ⟩ − ⟨A∇u , ∇ϕ⟩ R R R Z e = ⟨A∇u , ∇(ϕ − ϕ)⟩, R

e 1 , . . . , xn ) = ϕ(−x1 , x2 , . . . , xn ) sur R − R. où on a noté ϕ(x La fonction ϕ − ϕe appartient à H01 (R) (car sa trace sur le bord de R est nulle). Donc, si on prolonge f par f (x1 , . . . , xn ) = −f (−x1 , x2 , . . . , xn )

si x1 < 0,

409

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

on conclut que Z Z Z Z e e ⟨A∇u , ∇ϕ⟩ = ⟨A∇u , ∇(ϕ − ϕ)⟩ = f (ϕ − ϕ) = ϕf. R

R

R

R ′

On a donc, sur R, − div(A∇u) = f . Le rectangle R est inclus dans l’intérieur de R donc on peut appliquer la question précédente, qui donne le résultat voulu. Solution 25 (Solution de l’exercice 16.1). (1) Quitte à remplacer ϕ par λϕ, on peut supposer sans perte de généralité que λ = 1. En utilisant l’identité eiϕ =

1 d iϕ
e , iϕ′ dx

et en intégrant par parties, on trouve que Z b Z eiϕ(b) eiϕ(a) 1 b d  1  iϕ(x) eiϕ(x) dx = ′ − ′ − e dx, iϕ (b) iϕ (a) i a dx ϕ′ (x) a et donc, comme ϕ est à valeurs réelles (noter que Im ϕ ⩾ 0 suffirait), Z b Z b  1  d iϕ(x) ⩽ 1 + 1 + (19.5) e dx dx. |ϕ′ (b)| |ϕ′ (a)| ′ a a dx ϕ (x) Le résultat s’en déduit directement. (2) On peut supposer sans perte de généralité que λ = 1 et que ϕ′ est croissante. La croissance de ϕ′ implique que d  1  d  1  = − . dx ϕ′ (x) dx ϕ′ (x) En reportant cette identité dans (19.5), on en déduit la majoration Z b 1 1 1 1 iϕ(x) e dx ⩽ ′ + ′ + ′ − ′ . |ϕ (b)| |ϕ (a)| ϕ (a) ϕ (b) a On en déduit l’estimation désirée (noter que si ϕ′ (a) > 0 alors ϕ′ (b) > 0). (3) Nous allons montrer que, pour tout (a, b) ∈ R2 et pour toute phase ϕ ∈ C 2 (R) telle que ϕ′′ ne s’annule pas sur [a, b], on a Z b 8 iϕ(x) e dx ⩽ p . inf a⩽x⩽b |ϕ′′ (x)| a Il suffit de traiter le cas ϕ′′ > 0 sur [a, b], le cas ϕ′′ < 0 sur [a, b] s’en déduit directement en écrivant eiϕ = e−iϕ . Pour α > 0, introduisons l’ensemble Jα := {x ∈ [a, b] : |ϕ′ (x)| ⩽ α}.

410

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Par hypothèse, ϕ′ est strictement croissante et continue sur [a, b], et donc Jα est un intervalle fermé (éventuellement vide) que l’on notera Jα = [aα , bα ]. Décomposons l’intégrale selon Z b Z aα Z bα Z b eiϕ(x) dx = eiϕ(x) dx + eiϕ(x) dx + eiϕ(x) dx. a

a

aα

bα

′

Comme ϕ est strictement croissante sur [a, b], le résultat de la question précédente implique que Z aα 3 3 iϕ(x) ⩽ e dx inf a⩽x⩽a |ϕ′ (x)| ⩽ α . a

α

De même, le module de la dernière intégrale est majoré par 3/α. L’intégrale sur [aα , bα ] est plus petite que bα − aα , que l’on majore en écrivant que Z bα 2α ⩾ ϕ′ (bα ) − ϕ′ (aα ) = ϕ′′ (x) dx, aα

ce qui implique bα − aα ⩽

2α

. inf a⩽x⩽b ϕ′′ (x) On a donc montré que, pour tout α > 0, Z b 6 2α iϕ(x) e dx ⩽ + . ′′ α inf a⩽x⩽b ϕ (x) a p On conclut en appliquant cette inégalité avec α = inf a⩽x⩽b ϕ′′ (x). Solution 26 (Solution de l’exercice 16.2). (1) Se démontre directement en intégrant par parties. (2) Se déduit de l’exercice 16.1. (3) Nous allons démontrer un résultat plus fort. Précisément, nous allons montrer qu’il existe une constante C telle que, pour tout t ∈ R, tout x ∈ R∗ et tout R > 0, Z R −1/2 i(xξ+tξ 2 ) e |ξ| dξ ⩽ C|x|−1/2 . −R

−1/2

Déjà l’intégrale est bien définie car |ξ| est intégrable au voisinage de l’origine. Pour l’estimer, nous faisons le changement de variables η = xξ, qui donne Z R Z |x|1/2 ρ i(η+τ η2 ) −1/2 −1/2 i(xξ+tξ 2 ) e |ξ| dξ = e |η| dη, x −R −ρ avec τ = t/x2 et ρ = xR. Il nous suffit donc de montrer qu’il existe C > 0 telle que, pour tout ρ ∈ R et tout τ ∈ R, on a Z ρ 2 −1/2 |I(ρ, τ )| = ei(η+τ η ) |η| dη ⩽ C. −ρ

411

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Comme I(ρ, τ ) = I(ρ, −τ ), on note que l’on peut sans perdre de généralité supposer que τ ⩾ 0. Aussi, on peut toujours supposer ρ > 0. Pour traiter la singularité à l’origine de l’amplitude, introduisons une fonction plateau χ ∈ C0∞ (R) telle que 0 ⩽ χ ⩽ 1,

χ(η) = 1 si x ∈ [−1, 1],

χ(η) = 0 si η ̸∈ [−2, 2].

−1/2

Puisque χ(η) |η|

∈ L1 (R) il suffit pour conclure d’estimer Z ρ −1/2 i(η+τ η 2 ) . e (1 − χ(η)) |η| dη −ρ

Posons φ(η) = η + τ η 2 ,

ψ(η) = (1 − χ(η))|η|−1/2 .

La discussion s’organise alors en fonction de l’annulation de la dérivée de la phase : nous décomposons l’intervalle d’intégration en trois intervalles (éventuellement vides), I1 := {η ∈ [−ρ, ρ] : 1 + τ η ⩽ −1/2}, I2 := {η ∈ [−ρ, ρ] : −1/2 < 1 + τ η < 1/2}, I3 := {η ∈ [−ρ, ρ] : 1 + τ η ⩾ 1/2}. La raison de ce découpage est que sur I1 et sur I3 la phase φ est strictement croissante et ne s’annule pas, donc les résultats de l’exercice 16.1 impliquent que Z   Z ρ i(η+τ η 2 ) ′ e ψ(η) dη ⩽ 6 |ψ(sup I3 )| + |ψ(sup I1 )| + 2 |ψ (η)| dη . I1 ∪I3

−ρ

′

1

Comme 0 ⩽ ψ ⩽ 1 et que ψ ∈ L (R), on vérifie que le membre de droite est uniformément borné. Il reste à estimer l’intégrale sur I2 . Pour cela, récrivons l’intégrale sous la forme Z 2 (1 − χ(η)) τ 1/2 ei(η+τ η ) dη. 1/2 I2 |τ η| Comme sur I2 on a |τ η| ⩾ 1/2, on en déduit, Z Z i(η+τ η 2 ) i(η+τ η 2 ) ⩽ 2τ 1/2 . e ψ(η) dη e (1 − χ(η)) dη I2

I2

Il suit de l’exercice 16.1 que Z  Z i(η+τ η 2 ) e ψ(η) dη ⩽ 20 |1 − χ(sup I2 )| + I2

Ce qui conclut la démonstration.

ρ

−ρ

′



|χ (η)| dη .

412

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Solution 27 (Solution de l’exercice 17.3). (1) En utilisant le théorème de Fubini, on peut écrire n Z X ∂fi dx ∂xi Ω i=1 Ω Z bi−1 Z bi+1 Z n Z b1 X = ··· ···

Z

div(f ) dx =

i=1

a1

ai−1

Ce qui entraîne Z

bi

ai

R Ω

ai+1

bn

Z

an

bi

ai

∂fi dxi dxn · · · dxi+1 dxi−1 · · · dx1 . ∂xi

div(f ) dx = 0 car

 xi =bi ∂fi dxi = fi (x1 , . . . , xi−1 , ., xi+1 , . . . , xn ) xi =ai = 0, ∂xi

par hypothèse sur le support de f . (2) On va ramener le calcul des deux intégrales à une intégration sur U en posant g = f ◦ ϕ et U − = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ U : x1 < 0}. Z Z div(f ) dx = div(g ◦ ϕ−1 ) dx Ω Ω Z X  ∂(ϕ−1 ) ∂gi j = ◦ ϕ−1 dx ∂xi Ω i,j ∂xj Z  X ∂gi  ∂(ϕ−1 )j = ◦ ϕ |dét dϕ| dx. ∂xi U − i,j ∂xj En utilisant le fait que U − = [a1 ; 0[×[a2 ; b2 ] × · · · × [an ; bn ] et en intégrant par parties (en traitant séparément les cas j = 1 et j ̸= 1), on obtient : Z Z   X ∂  ∂(ϕ−1 )j div(f ) dx = − gi ◦ ϕ |dét dϕ| dx ∂xj ∂xi Ω U − i,j Z X  ∂(ϕ−1 )  1 e x) |dét dϕ(0, x + gi (0, x e) ◦ ϕ(e e)| de x, ∂xi f U i f et ϕe sont définies comme dans l’énoncé. où U R D’après le premier cas que nous avons traité, Ω div(f ) dx ne dépend que des valeurs de f sur un voisinage de ∂Ω : si deux fonctions f et fe coïncident sur un voisinage de ∂Ω, Ralors f − fe est une somme de fonctions comme dans le premier cas et on a Ω div(f − fe) dx = 0. Cela entraîne que le premier terme de la somme qu’on vient d’obtenir est nul, d’où Z Z X  ∂(ϕ−1 )  1 e x) |dét dϕ(0, x div(f ) dx = gi (0, x e) ◦ ϕ(e e)| de x. ∂xi f Ω U i

413

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

Il reste à montrer que Z X  ∂(ϕ−1 )  1 e x) |dét dϕ(0, x gi (0, x e) ◦ ϕ(e e)| de x ∂xi f U i Z =


e x) dét dϕ(e e x) de (f · n) ϕ(e x.

f U

Comme f ◦ ϕe = g(0, ·), il suffit de montrer :  ∂(ϕ−1 )  1 e x))| dét dϕ(e e x)| = |dét dϕ(0, x e x) (n ◦ ϕ(e e)| ◦ ϕ(e . ∂xi i=1,...,n  −1 
⊥ e x) Le vecteur ∂(ϕ∂xi )1 ◦ ϕ(e appartient à dϕ(0,ex) ({0} × Rn−1 ) .

(19.6)

i=1,...,n

C’est une conséquence de l’égalité (d(ϕ−1 ) ◦ ϕ) dϕ = IRn . Il est donc coe x)). Il faut calculer le coefficient de proportionnalité. linéaire à n(ϕ(e e x)) + u(e De plus, si on note dϕ(0,ex) (1, 0, . . . , 0) = α(e x)n(ϕ(e x) avec u(e x) ∈ n−1 ∗ −1 dϕ(0,ex) ({0} × R ) et α(e x) ∈ R+ , l’égalité (d(ϕ ) ◦ ϕ) dϕ = IRn donne : D ∂(ϕ−1 )

1

∂xi

e x) ◦ ϕ(e

 i=1,...,n

E dϕ(0,ex) (1, 0, . . . , 0) = ((d(ϕ−1 ) ◦ ϕ) dϕ)1,1 = 1 =⇒

 ∂(ϕ−1 )

1

∂xi

 e x) ◦ ϕ(e

= i=1,...,n

1 e x)). n(ϕ(e α(e x)

e x)|. En combinant les deux dernières En outre, |dét dϕ(0, x e)| = α(e x) | dét dϕ(e équations, on obtient (19.6). (3) Le résultat général suit en utilisant une partition de l’unité convenable (voir la proposition 17.35). (4) Si on pose f = v∇u, la formule de Green est exactement l’égalité de la question (1), puisque div(f ) = ∇u · ∇v + v∆u. Solution 28 (Solution de l’exercice 18.1). On utilise l’exemple classique de la bosse glissante dont on rappelle ici la construction. On procède en plusieurs étapes. À la première étape, on définit f0 comme l’indicatrice de [0, 1]. À la deuxième étape, on définit deux fonctions : f1 est l’indicatrice de [0, 1/2] et f2 est l’indicatrice de [1/2, 1]. On définit ensuite à la nième étape 2n fonctions en divisant l’intervalle [0, 1] en 2n intervalles de taille 2−n et en considérant les 2n fonctions indicatrices de ces intervalles. Il existe une façon d’ordonner ces fonctions de façon à ce que la suite converge vers 0 dans Lp (R) pour tout p fini. Mais elle ne converge en aucun point de [0, 1]. Solution 29 (Solution de l’exercice 18.2). (1) Notons X = (x1 , . . . , xk ) la variable de (Rn )k où chaque variable xj appartient à Rn . L’hypothèse permet d’écrire Z Z 1/p Z 1/q p q ⩽C F (X)G(X) dX |F (X)| dX |G(X)| dX (Rn )k

(Rn )k

(Rn )k

414

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

pour une certaine constante universelle C indépendante de k. Il suit que Z k Z k/p Z k/q p q f (x)g(x) dx ⩽C |f (x)| dx |g(x)| dx . Rn

D’où Z

R

Rn

Z f (x)g(x) dx ⩽ C 1/k n

Rn

1/p Z

p

|f (x)| dx

q

1/q

|g(x)| dx

Rn

.

Rn

En faisant tendre k vers +∞, on obtient l’inégalité de Hölder avec C = 1. (2) On peut supposer sans perte de généralité que ∥f ∥Lp = 1 et ∥g∥Lq = 1. Le lemme 18.8 implique que Z ∞ ∥f g∥L1 = |{x ∈ Rn : |f (x)g(x)| > λ}| dλ. 0

Rappelons que l’on note {|h| > µ} l’ensemble {x ∈ Rn : |h(x)| > µ}. Notons que si un produit ab de deux nombres réels positifs est strictement plus grand qu’un autre produit cd de deux nombres réels positifs, alors on a forcément a > c ou b > d. Comme λ = λ1/p λ1/q , cette observation implique que n o n o {|f (x)g(x)| > λ} ⊂ |f (x)| > λ1/p ∪ |g(x)| > λ1/q . Puis en prenant la mesure de ces ensembles, n o n o |{|f (x)g(x)| > λ}| ⩽ |f (x)| > λ1/p + |g(x)| > λ1/q . En intégrant cette inégalité, on trouve que Z +∞ n Z o ∥f g∥L1 ⩽ |f (x)| > λ1/p dλ +

+∞

Puis, par changements de variables, Z +∞ Z ∥f g∥L1 ⩽ pµp−1 |{|f (x)| > µ}| dµ +

+∞

0

0

0

n o |g(x)| > λ1/q dλ.

qζ q−1 |{|g(x)| > ζ}| dζ.

0

D’où ∥f g∥L1 ⩽ ∥f ∥Lp + ∥g∥Lq = 2 = 2∥f ∥Lp ∥g∥Lq . C’est l’inégalité de Hölder, mais avec une mauvaise constante (2 au lieu de 1). On en déduit l’inégalité de Hölder avec la bonne constante 1 en utilisant la première question. Solution 30 (Solution de l’exercice 18.3). (1) L’intégrale est bien définie par continuité et compacité du support de f .

415

CHAPITRE 19. SOLUTIONS

(2) Par homogénéité de K, on a Z +∞ Z +∞ T (f )(x) = K(x, y)f (y) dy = K (x, x · y/x) f (y) dy 0 0 Z +∞ 1 = K (1, y/x) f (y) dy x 0 Z +∞ = K (1, r) f (rx) dr. 0

D’après l’inégalité de Minkowski, on a p 1/p Z +∞ Z +∞ dx K (1, r)f (rx) dr 0 0 1/p Z +∞ Z +∞ p p ⩽ |K(1, r)| |f (rx)| dx dr 0

0 +∞

Z

|K(1, r)| r−1/p

⩽ 0

Ceci prouve que Z +∞

Z

+∞

p

|f (z)| dz

1/p dr.

0

1/p

p

|T (f )| dx

Z

p

|f (z)| dz

⩽C

0

+∞

1/p ,

0

avec Z C :=

+∞

|K(1, r)| r−1/p dr.

0

Cette constante est finie par hypothèse sur le noyau K. (3) On applique ce qui précède avec 1 K(x, y) = 1[0,x] (y), x où 1[0,x] est la fonction indicatrice de [0, x]. On vérifie facilement que K vérifie les deux hypothèses (homogénéité et intégrabilité). Dans ce cas, la constante est donnée par Z +∞ Z 1 p −1/p C := |K(1, r)| r dr = r−1/p dr = · p − 1 0 0 Cela démontre l’inégalité voulue si f est une fonction continue à support compact. On conclut par densité de C00 (]0, +∞[) dans Lp (]0, +∞[).

INDEX

A Adhérence, 350 Algèbre de Wiener, 105, 156 Application contractante, 34 linéaire continue, 5 Application différentiable, 33 Approximation de l’identité, 137 B Base de voisinages, 5, 14 Base de voisinages ouverts, 350 Base hilbertienne, 67 Boule fermée, 4, 351 ouverte, 4, 351 C Continuité globale, 351 locale, 350 Convergence faible, 66 forte, 66 Convexe, 8 Convolution (produit de), 96, 133 Crochet japonais, 177, 211 D Difféomorphisme, 35 Différentielle, 33 Distance, 4, 351 Dual topologique, 6 Dual topologique, 65, 69

Décomposition dyadique, 124 Décroissance rapide, 114 Dérivée au sens faible, 162 E Échelle d’espace de Banach, 53 Ensemble borné, 8 convexe, 8 dense, 350 fermé, 349 ouvert, 349 équilibré, 8 Équation de Korteveg-de-Vries, 338 Équation de la chaleur, 108 Équation de Schrödinger, 108, 333, 334, 343, 344 Équation de transport, 253 Équation hyperbolique, 256 Équicontinuité, 23 Équilibré, 8 Espace Banach, 7 Bourgain, 338 Campanato, 319 de Baire, 17 Hilbert, 63 Hölder, 125 Lebesgue faible, 374 métrique, 4, 351 métrique complet, 352 Schwartz, 114 Sobolev, 163, 165, 177 topologique, 349 Zygmund, 127

418

Espace topologique compact, 356 de Baire, 17 de dimension finie, 10 de Hausdorff, 355 métrisable, 351 normable, 9 normal, 355 séparé, 355 Espace vectoriel dual topologique, 6 normé, 4 réflexif, 79 topologique, 7 Exponentielle oscillante, 94 F Famille graduée de semi-normes, 13 simplement bornée, 19 séparante de semi-normes, 14 équicontinue, 19 Fermeture, 350 Fonction contractante, 34 de classe C k , 34 de distribution, 373 de Weierstrass, 152 harmonique, 193 lipschitzienne, 34 maximale de Hardy-Littlewood, 140 propre, 357 Fourier coefficient de, 95 série de, 95 transformée de, 112 Front d’onde, 265 Frontière, 350 G Gaussienne, 116 Graphe, 22 H Homéomorphisme, 5, 351 I Identité de Plancherel, 118 Identité du parallélogramme, 63 Intérieur, 350 Inégalité Bessel, 67 Caccioppoli, 200

INDEX

Cauchy-Schwarz, 62 Chebyshev, 374 d’interpolation, 53, 179 des accroissements finis, 33 Gårding, 244 Gagliardo-Nirenberg, 182 Hardy, 373 Hardy-Littlewood-Sobolev, 147 Harnack, 196 Hölder, 370 Hörmander, 231 Minkowski, 371, 372 Nash, 129 Payne-Weinberger, 186 Poincaré, 168 Poincaré-Wirtinger, 104 Sobolev, 149, 180, 182 triangulaire, 4 Yorke, 104 Young, 134 L Lemme Dini, 27 Gronwall, 254 Lax, 41 Peetre, 235 phase non stationnaire, 228 Schur, 232 Vitali, 142 Limite faible, 66 Littlewood-Paley (décomposition de), 124, 186 M Minkowski (fonctionnelle de), 9, 59 Multiplicateur de Fourier, 123, 224 N Nombre diophantien, 361 Norme, 4 famille de semi-normes, 13 semi-norme, 4 équivalence, 5 O Ondelette, 151 Opérateur pseudo-différentiel, 212 Orthogonalité, 64 P Paramétrice, 249

INDEX

Point d’accumulation, 350 Polynôme trigonométrique, 28, 94 Produit de convolution, 96, 133 Produit scalaire, 62 R Recouvrement, 356 dénombrable, 356 fini, 356 S Semi-norme, 4 Suite convergente, 352 de Cauchy, 352 Suite exhaustive de compacts, 14 Support, 137 Support singulier, 264 Symbole classes de Hörmander, 216 d’ordre m, 210 elliptique, 211 principal, 266 Système orthonormal, 67 Séparable, 350, 354 Série de Neumann, 36 T Théorème Arzelà-Ascoli, 23 Baire, 359 Banach, 34 Banach-Alaoglu, 83 Banach-Steinhaus, 18, 30 Brouwer, 40, 59 Calderón, 155, 284 Calderón-Vaillancourt, 213, 216 Campanato, 319 Caristi, 40 Cauchy-Lipschitz, 37 De Giorgi, 297 densité polynômes, 28 Ekeland, 38 Fejer, 96 graphe fermé, 22 Hahn-Banach analytique, 69

419

Hahn-Banach géométrique, 74 Hardy, 152 Hardy-Littlewood, 142 invariance du domaine, 47 invariance du domaine de Brouwer, 47 inversion de Fourier, 117 inversion locale, 35 isomorphisme de Banach, 20 Lax-Milgram, 85 Lebesgue, 146 Marcinkiewicz, 374 Nash, 52, 55 Perron-Frobenius, 46 Plancherel, 118 Poincaré, 168 propagation des singularités, 269 Rellich-Kondrachov, 183 Riesz, 10 Riesz-Fréchet, 65 Riesz-Thorin, 378 Schauder, 321 Sobolev, 149 Stone-Weierstrass, 25, 28 Tietze, 48 unicité de la transformation de Fourier, 119 Weyl, 200 Wiener, 105, 156 Young, 134 équivalence des normes, 11, 21 Topologie, 349 dénombrable, 354 engendrée, 78 faible, 79 faible ∗, 79 produit, 353 séparable, 350 Transformée de Fourier, 112 Transformée en ondelettes, 151 Transformée en paquets d’ondes, 213 Treillis, 26 V Valeur d’adhérence, 352 Variété caractéristique, 266 Voisinage, 350

NOTATIONS

Espaces fonctionnels C0∞ (Ω) : fonctions C ∞ à support compact dans Ω, page 362 ∞ Cb (Ω) : espace des fonctions bornées dont toutes les dérivées sont bornées, page 210 C 0,α (Rn ) : espace de Hölder d’ordre α ∈ ]0, 1], page 125 C k,α (Rn ) : espace de Hölder d’ordre k + α, page 126 C∗r (Rn ) : espace de Zygmund d’ordre r ∈ R, page 128 H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω) : espace de Sobolev, page 164 H01 (Ω) : adhérence de C0∞ (Ω) dans H 1 (Ω), page 167 s n H (R ) : espace de Sobolev d’ordre s ∈ R, page 177 Lp (Ω) : espace de Lebesgue, page 370 Lpper (Rn ) : espace de Lebesgue périodique, page 94 Lpw (Ω) : espace de Lebesgue faible, page 374 L p,λ (Ω) : espace de Campanato, page 319 S −∞ : classe des symboles d’ordre −∞, page 211 Sm : classe des symboles d’ordre m, page 210 S (Rn ) : classe de Schwartz, page 114 S ′ (Rn ) : espace des distributions tempérées, page 119 W k,p (Ω) : espace de Sobolev, page 165 W 1,p (Ω) : espace de Sobolev, page 163 X s,b (Tn ) : espace de Bourgain, page 338 Symboles a∗ : a#b : A≲B :

symbole adjoint, page 226 symbole composé, page 234 A ⩽ CB pour une constante C dépendant de paramètres fixés, page 56 ∆ laplacien, page 169 P: ∆p : décomposition de Littlewood-Paley, page 125 fb ou F (f ) : transformée de Fourier de f , page 112

422

fb(k) ou fbk : coefficient de Fourier de f , page 95 ∂j f = ∂xj f = ∂f /∂xj : dérivée de f par rapport à xj , page 163 f ∗g : produit de convolution, page 134 Iα : potentiel de Riesz, page 147 K: désigne soit R soit C, page 4 m(Dx ) : multiplicateur de Fourier, page 123 Mf : fonction maximale de f , page 141 Op(a) : opérateur pseudo-différentiel de symbole a, page 212 WF(f ) : front d’onde de f , page 265 Topologie ∥·∥ : A: B(x, r) : d(x, y) : E′ :

norme, page 4 adhérence de l’ensemble A, page 8 Boule ouverte de centre x et rayon r, page 5 distance de x à y, page 4 dual topologique de E, page 6

DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION

(1) Le lemme 2.16 de Lax, très astucieux, qui permet de démontrer le théorème du point fixe de Brouwer. (2) Le principe variationnel d’Ekeland (théorème 2.9) et comme corollaire le théorème du point fixe de Caristi (corollaire 2.10). (3) La section 6.7 sur la transformation en ondelettes, qui contient une preuve très simple, due à Lemarié-Rieusset, du résultat de Hardy sur le fait que la fonction de Weierstrass n’est dérivable en aucun point, sous des hypothèses optimales. (4) Les résultats de Wiener sur la convolution, voir les sections 4.5 et 6.8, qui permet d’illustrer de nombreux résultats sur la convolution et l’analyse de Fourier. (5) Le théorème 6.22 sur les injections fractionnaires de Sobolev qui interviennent dans de nombreux problèmes de recherche actuels. (6) L’exercice corrigé 7.3 propose la démonstration originale, due à Poincaré, de l’inégalité qui porte son nom. (7) Le théorème 13.1 de Calderón sur la densité des produits de fonctions harmoniques.

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