Analisis Estructural (Scan)

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Acerca del autor ÓscarM. González Cuevas es ingeniero civil egresadode la Universidad de Yucatán, con grados de maestro en Ingeniería y de doctor en Ingeniería, con especialidad en estructuras, por la Universidad Nacional Autónoma de México. Actualmente es profesor de tiempo completo en la Universidad Autónoma Metropolitana (uam), UnidadAzcapotzalco. En estainstitución imparte cursos de Estática, Diseño estructural. Análisis estructural y Estructuras de concreto. También realiza investigaciones en el campo de la reparación de estructuras dañadas por sismos y coordina el posgrado en Ingeniería estructural que ha iniciado actividades en el año 2001. Fue fundador de la u am en el año de 1974 y ha ocupado diversos cargos de dirección, incluyendo él de Directorde la División de Ciencias Básicas e Ingeniería (1979-1981), Rector de la Unidad Azcapotzalco (1981-1985) y Rector general (1985-1989). El Dr. González Cuevas es autor, con el Ing. Francisco Robles Fernández, del libro Aspectos Fundamentales del Concreto Reforzado, que ha venido publicando esta misma casa editorial, en tres ediciones (1974,1985,1995), y que se usa ampliamente como libró de texto en escuelas y facultades de Ingeniería de varios países de habla hispana. Ha escrito otros libros y artículos sobre Ingeniería estructural, y sobre planeación y administración universitaria, así comotrabajos presentados en congresos nacionales e internacionales. Es miembro del Comité ^ Seguridad Estructural del Gobierno del Distrito Federal y en este carácter participa en la revisión y elaboración del Reglamento para las Construcciones del Distrito Federal. Entre las principales distinciones y reconocimientos que ha recibido destacan el doctorado Honoris Causa de la Universidad de Yucatán (1977), Presea Guillermo Álvarez Macías de la Cooperativa de Cemento La C niz Azul (1990), Premio "El Registro’ del instituto Mexicano del Cemento y dé] Concreto (1999), Académico Emérito de la Academia Nacional de Ingeniería (2001) y Premio a la Docencia en Ingeniería CM 2001 de la Fundación ic a . Ha sido Presidente de la Academia Nacional de ingeniería (1986-1967) y de la Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural (1906-1997).

Presentación

Este libro ha sido escrito con el propósito fundamental.ge ayudar a profesores) enseflanzay el aprendizaje del análisis estructural. Esta disciplina constituye una dsefl"«!^ í

dominio es indispensable para los profesionales^

presas, plantas industriales, plataformas marítimas, etc. El anáfisis estructura?esJ las asignaturas que más contribuyen a la formación délos alumnos, a su enH^H de conceptos abstractos y a la adquisición de habilidades intelectuales re^^^H profesional de la ingenierfa. Por estas razones, ha ocupado, desde hace mucho tiempo, un lugar I destacado en los planes de estudio. Los métodos básicos del análisis estructural conducen a la formulación de sistemas de ecuaciones simultáneas que, para estructuras de regular tamaño, llegan a ser de grado elevado. Su resolución por métodos manuales consume mücho tiempo. Para solucionar este problema, se desarrollaron métodos numéricos que resultaban menos lentos, pero que seguían siendo laboriosos y propensos a que se cometiesen errores. El método de Cross es un ejemplo típico. Con él advenimiento de las computadoras, la resolución de grandes sistemas de ecuaciones simultáneas dejó de ser un problema, y se regresó a los métodos fundamentales, el de las fuerzas y el de las deformaciones o desplazamientos. Pero estos métodos se replantearon con un enfoque matricial más adecuado a la utilización de computadoras. Distintos libros de análisis estructural utilizan enfoques también diferentes según el desarrollo histórico mencionado. El enfoque seguido en este libro es el siguiente. En el primer capitulo se hace una revisión dél proceso general de diserto y se ubica a la etapa dél análisis estructural dentro de este proceso. El capitulo 2 comprende una revisióndel tema deestructuras isostáticas, estudiadogeneralmenteen cur­ ios previos a los de análisis estructural, llamados estática o estructuras isostáticas en lasescuelas de ingenierfa; el dominio de este tema es fundamental y por eso su inclusión en este libro y la recomendaciónde que nosecontinúecon losotroscapítulossi estenoseha estudiadoa profundidad, la resolución de estructuras hiperestáticas, campo de estudio del análisis estructural, requiere del cücuto de deformaciones de estructuras isostáticas; en el capitulo 3 se estudia este tema en forma completa, aunque algunos métodos incluidos en el libro, no todos, se ven en cursos previa*. Losca­ pítulos 4 y 5 presentan los método»básicos o fundamentalesdel análisis estructural:el de las faena* y el de la» deformaciones, respectivamente. El método pendiente-deflexión, quees el mismode las deformaciones en sus principio» básicos, se incluye en el capitulo 6. El método de Cross, ya mencionado, se presenta en los capítulos 7,8 y 9, tratandoporseparado loscasosde vigascontinuas, marcos sin di*pla*aml»nto lateral y marcos con desplazamiento lateral; su inclusión obedece a qu»

I considera importante a pesar de que ya no se incluye en alguno» programas de estudio.

El estudio del análisis estructural resulla difícil, en ocasiones, para algunos alumnos. POresla razón, el autor ha tratado de presentar el material de la manera mis clara posible, conservando I desde luegoel rigor de la disciplina e incluyendo ol desarrollo total de las demostraciones. Se ha tenidoespecial cuidadodeexplicarcondetalleaquellos conceptosque, en la experienciadel autor, son de más difícil comprensión, aun a riesgo de caer en repeticiones. Los numerosos ejemplos resueltos so presentan en forma completa e incluyen el trazado de los diagramas de acciones, ya que es conveniente que el alumno adquiera el entrenamiento de obtener estos diagramas o Interpretarlosdebidamente. Losejemplosse presentanen hojas enmarcadas, en forma similar a la empleada en despachosdecálculo, acompañados decomentarios sobresu desarrollo. Estemétodo del Conctclp Retoñado. Con base en varios testimonios recibidos, se considera que facilita el entendimientodo los ejemplos. Debidoa queel contenidodel libroestáconstituidopor principios y conceptos cuya vigencia tieneuna naturaleza máso menos permanente, no se |iace referencia continua a libros y artículos quepresentenavances sobreel tema. SI sepresenta, al final del mismo, unabibliografíacon algunos textos que el autor considera de excelente calidad y que recomienda consultar siempre que sea ppsible. Algunos son libros .clásicos, como el de Timoshenko. y otros son textos modernos con cualidades didácticas y magnificas presentaciones. . ,, El material Incluido puede constituir la base de un primer curso de análisis estructural con duraciónde un semestre, siemprequelos alumnos tengan una buena base de estáticaquepermita queel capitulo 2 y paitedel capítulo3 puedanestudiarsea ritmode un repaso. Algunos profesores ........ >del tiempodisponibley de

paited e su tic m p o a iB P H contenidodel libro; le ha dadola oportunidadde enseñar la asignatura durantevarios años, y le ha brindadorecursos materiales indispensables. El contacto con sus alumnos, ha motivado al autor a tratardecomprender mejor Indisciplina, para poderla transmitir, y loba Impulsadoaembarcarseen la empresade escribir un libro quecontribuya• facilitar su enseñanza.Julio Labastida, profesor deanálisisestructural enla UniversidadVeracnjzana, revisóbuenapartedel material, especialmentede k»ejemplos, y señalóal autor erroresy omisiones quefueron oportunamentecorregidos; losqueno hansidodetectadosson responsabilidadexclusiva de quienescribe.Juan Casillas y JosédelaCera, profesores de ja UAM, hicieron valiosas sugerencias para mejora, el material. Y alounos alumnos hanayudadodirectamenteal aútoren la preparacióndeejemplosy en la capturadd material;éntre eUosAlejandroViverosVizquez, Manud Corona Locra, julioPineda Blanca» y EduantoAidto» Méndez. nnatowa*. seapafcceal equipode Umusa la confianza depositadaen el autot Óscar M. González Giews on^cVfOlM aM ^jm ^

C ontenido

Determinación del diagrama [defuerza cortante 35 IDeterminación del diagrama de momentd'flexiónante 35 Determinacióndelasreacciones 51 Determinación1’délas tuerzas

Determinación de las fuerzas cortantes y momentos* flexionantes S7* füM Introducción 19 el métodode Newmarfc 2.3.1 Sistema de fuerzas paralelas en un plano 22 2.3.2 Sistema de fuerzas no paralelas 2.3.3 Sistema de fuerzas concurren­ tes en un plano 22 2.3.4 Sistemade fuerzas enel., espacio 22 ecuaciones de condición .-22-,v Acciones Internas 23 »■ < Cálculodel gradod* 2.6.1 Vigas 25 •2.6.2.. Armaduras 28 . 1 , 2.6.4 Inestabilidad geométrica. 34 Análisis de vigas Isostítlcas 36ts t.» 2.7.1 Determinación de las reacciones en los apoyos 35- rgjf

2.T0.2 Cargas distribuidas ' /!

Introducción-.97 IIiy0a Teoría de la viga elástica 99 M Cálculo de deformacionespor el método.de la doble integración 103 Cákulojde.deformacionesifitiiizaodolos ^.Métodadel^yigacooiufada .125 3.5.1 Presentación del método 125 3.5.2 Condicionesdeapoyodela viga conjugada. 128 | 3.5.3 Convencióndesigna#.'*130

10.2 Método directo 499 10.3 Lineas de influencia por el principio de MQIIer-BresIau 510 10.4 Aplicaciones de lineas de influencia en vigas 521 •!.: 10.5 Momento flexionante máximo absoluto 526 porte, momento transportado y 10.6 Lineas de influencia de armaduras rigidez lineal 403 isostáticas 530 7.2.2 Factores de distribución 406 Problemas 542 Presentación del método 408

Método de Cross para vigas continuas 403 7.1 7.2

73

Introducción 403 Conceptos fundamentales del método 403

Problemas 436 Capítulo 8 Método de Cross para marcos sin despla­ zamiento lateral 439 8.1 Introducción 439 8.2 Descripción del método Problemas 455

439

Capítulo 9 Método de Cross para marcos con despla­ zamiento lateral 457 9.1 Introducción 457 9.2 Marcos de un nivel 457 9.3 Marcos de varios niveles 474 Problemas 494

10.1 Concepto de línea de influencia

497

Capítulo 11 Líneas de influencia de estructuras hiperestáticas 547 11.1 Método directo 547 11.1.1 Estructuras con un gradode indeterminación 547 .. ■ Mi 11.1.2 Estructuras con varios grados de indeterminación .-.557 j n 11.2 Método de Müller-Breslau 565 , ■ mjiffi 11.2.1 Estructuras con un grado de indeterminación 565 11.2.2 Estructuras con varios grados de indeterminación 569 Problemas 580

BIBLIOGRAFIA 584

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Figura 1.1. ProcedimientogeneralI para el diseño y construcción dé obras entre él proyectoarquitectónicoy el diseño estructural y el de instalaciones. Losestudios descritos y el diseño arquitectónico se lie* van a cabo siguiendo las disposiciones de los reglamentos deconstrucciónaplicables. A continuación, se pasa a la etapa del diseñoestructural. En la figura 1.1 se indica que esta etapa puededividirse en tres partes: estructuración, análisis y dimensionamiento. En la parte de estructuración, se establece la geometría general de la obra, respetando el diseAoarquitectónico, sefijan losclaros de lasvigas, la separación y alturade las colum­ nas, seseleccionan los materiales a emplear, se eligen sistemas de piso, etc. Esta parte suelellamarse'concepciónde la estructura* o ‘configuraciónestructural'. Es la parte más subjetiva del diseñoestructural y aquella en que la experiencia, buen juicio e Intuición dd ingenierojueganel pagel másimportante. Una estructura mal concebida presentará Problemas, independientemente dé qué tan bieno decon quétantaprecisiónm haganlas

etapas de análisis y dimensionamiento.1 Duranteesta parte, es necesario hacer algu­ nasestimaciones preliminaresdel tamañode los miembros estructurales, tanto para esti­ mar su peso propio, que forma partede las cargas actuantes, como para calcular sus ri­ gideces relativas, las cuales se requierenen la partedel análisis. Estas estimaciones pue­ den hacerse utilizando procedimientossim­ plificados de análisis y dimensionamiento. 0 únicamentecon baseen la experienciadel proyectista': Después sigue la parte del análisis de la estructura, que es el tema de este textoLa acepción mis general de la palabra'aná­ lisis* es: distincióny separación de laspaites de un todo hatta llegara conocersusprlnch

1 Aunqueel tema noforma pane de esteloto, *

recomiendaa lo»alumnosde Ingonlerfácuruca»ral leeralgúnlibioal i—pacto, comopore|WH*! C.AmoldyB. Réftbenftan; fCOnflgúracIdnyP*j*AoSísmicode(díñelos*. LIMUSA, México,

péoi o elementos (Diccionario de I* Lengua Española, Real Academia Española). Aplica­ da esla Idea a una oslructura, lo queel análien sus elementos conslitulivos y la deter­ minación del efectode las cargas aplicadas a la estructura en cada elemento: Cualquier estructura es un lodo continuo, pero para fines de análisis se puede dividir endistintos miembros, comoserfan las barras eh una armadura, o las vigas, columnas y losas en bos, sistemas de piso y cables, en umpuenie colgante. Una vez dividida latestructura en susdistintos miembros, la determinacióndel efectode las cargas en cada miembroselleva acabocalculando las acciones'internri pro­ ducidas por esas cargas, o sea, las fuerzas axiales, las fuerzas cortantes, los momentos flexfonantes y los momentostorsionantes en cada miembro, asf como las deformaciones decada elementoy de la estructura completa. Estecálculoes la esencia del análisis estruc­ tura/ y el objetivo de este libro es presentar distintos métodos para realizarlo. Aunque el procesocompleto de diseño estructural es en buena medida subjetivo y no tiene soluciones únicas, como ya se ha comentado, la parte del análisis estructural es completamente rigurosa y conduce a so­ luciones únicas. Una vez planteada una es­ tructura, las cargas que sobre ella actúan y los elementos estructurales en los que se ha dividido, las acciones internas en cada miembrotienen un valor cometo único. Las tuerzas axiales, las fuerzas cortantes, los momentos flexionantes y los momentos lorsionantes en cada miembro deben ser loa mismos, cualquiera que sea el método empleado para calcularlos. Si se usan métodos aproximados de análisis, seobten­ dránaccione» interna* parecidas a las de las solucione*completas, que puedenaceptarse según su grado de aproximación. Sin embarra, el que la* soluciones teóricas sean únicas, no significa que en la estructura real

distribución de las cargas y de otros factores ¡Implican;trabajar sobre ui coincidetotalmenteconla estructura real. pJ H esta razón, nose justifica realizar loscálculos conunaprecisiónexcesiva, aunquelasolución

La tercera parte de la etapa del diseño estructural se refiereal dlmensionamientode I los miembros estructurales. A partir de las I acciones internas calculadas en el análisis I estructural, se dlmenslonan miembros que puedan resistir dichas acciones dentro de condiciones deservicioaceptables. Porejem­ plo; si se trata de una estructura de concreto, será necesario determinar el tamaño de los elementos estructurales, el acero longitudinal y transversal, detallar anclajes y traslapes, revisar deflexiones y agrietamientos, etc. En esta parte se recurre más que en la anterior a fórmulasempíricas y adisposiciones regla­ mentarias. El proyectista tiene más libertad de acción y la* solucione* correctas pueden variar segúnsu criterioo los reglamentosque use. Por ejemplo, si estádimensionandouna viga de acero, puedeencontrardiversos per­ files que resistan el momento flexionante calculadoen el análisisde la estructura. O si la viga es de concreto, puede usar distintas relaciones entresu altura y su ancho. En los programasde ingeniería civil, generalmente se ofrecen cursos de dimensionamiento de distintos materiales, concreto, acero o ma­ dera, posteriora* a los curso* de análisis es­ tructural, para seguir la secuencia del proceso de diseño. Puede suceder que una vez terminada la partede dimensionamiento, los miembro* de la estructura resulten de un tamaño dife­ renteal supuestoenla partedeetmicturacMn. Esto suele pasar cuando no se tiene mucha experiencia. Si se presenta esta situación,

Una vez realizados el dimensionam.cnn, y ,.| diseño de instalaciones, y plasmados sus seíinnecesarios, dependeráde la diferencia ios valoressupuestos, y dealguno»oíros fac-

carga total; si se subestimaron los tamaños delodoslosmiembros, sus rigidecesrelativas, que son!(as que importan en el anáfisis, rigideces absolutas. El buen juicio del pro­ yectista; nuevamentejugará un papel deter­ minante en la decisión correspondiente. la parte de análisis estructural únicamente. En lodos los problemas se plantea la ideali­ zaciónde unaestructura real y de lascargas quesobreella actúan.4 Sin embargo, el lec­ tor deberá estar consciente de la ubicación seAo, asi como de su antecedente, la estructuración; y de su consecuentt, el el riesgo de no otorgarle su justa importún­ ela al contenidodel cuno o de considerarlo comoun ejercicioacadémico desvinculado de la realidad. Enla figura 1.1 seincluyen otras etapas del procedimientogeneral de diseñoy cons­ trucción. Simultáneamente con el diseño, estructural, se puede realizar el diseño de las instalaciones, cuya importancia varia se­ gúnel tipo de obra. Aunque ambos diseños sehagansimultáneamente, no deben hacer­ se independientemente, ya que la ubicación de las instalaciones puede afectar el diseño

caciones de construcción, se elabora el presupuestode la obra y el programa deconstracción. Después se ejecuta la obra, con una coordinación y supervisión técnica adecuada. Estas etapas no se comentan mayormente en estetexto, no porser menos importantes, sino por no estar directamente vinculadas al tema

1.2 Tipos de estructuras En la práctica de la Ingeniería se pueden encontrar muchos tipos de estructuras. Por ejemplo, existen puentes de distinto tipo, como apoyados sobre vigas longitudinales, apoyados sobre una retícula de vigas, col­ gantes, atirantados, con armaduras; etc. Existen bóvedas de diversas características, cilindri­ cas, con anillo central de compresión, con tirantes. Cascarones cilindricos o en forma de paraboloide. Arcos de distintas formas. Vigas de un claro' o continuas. Marcos rígidos. Muros con cargas normales a su pla­ no, como los de contención, o muros con cargas en su plano, como los utilizados en edificios altos. Estructuras a base de cables colgantes. A veces se combinan dos o másde estos diversos tipos, como en edificios altos En este texto se tratan únicamente tres tipos de estructuras: vigas de un solo claro o de varios claros, armaduras y marcos rígidos. Puede parecer que es un número muy limi­ tado de casos en comparación con la gran variedad existente en la realidad. Sin embar­ go, el objetivo principal del libro es mostrar los principios fundamentales del análisis es­ tructural, y esto puede hacerse a partir de

Figura 1.3. Idealización de unaestructura esfuerzos dentro de la zona de compor­ de vigas y armaduras. Por lo tanto> las tamiento lineal da'los materiales o de los estructuras de la figura 1.2 ya son ideali­ zaciones de estructuras planas. miembros estructurales. Estas cargas son las - Otra idealización Importante se refiere llamadas carga»de servicio y, por lo tanto, el análisis se debe llevar a cabo con ellas. Si b al material de las estructuras. Los miembros tercerapaite de la etapadediseñoestructural, deconcretoreforzadoy deaceroestructural, los materiales más usados en estructuras, el dimensionamiento, se hacecon criteriosde tiene gráficas caiga-deflexión como las de resistencia última, las acciones obtenidasen las figuras 1A-ay 6, respectivamente.Ambas el análisis deben multiplicarse por losfactores tienen una zona aproximadamente lineal al de carga especificados en el reglamentode inicio de la gráfica y. después, una amplia construcciones aplicable. El mismo resultado zona de comportamiento no lineal. En los seobtieneefectuandoel análisisconlascaigas métodosdeanálisisestructural presentadosen de servicio multiplicadas previamentepor los este texto, se supone que los miembros factoresde caiga. estructurales tienen un comportamiento La suposición de que el material delas lineal y elástico, o sea, quesu gráfica cargaestructuras es lineal y elástico permite deflexión es como la mostrada en la figura efectuar simplificaciones importantes en el 1Adistiñtosmateriales Una tercera Idealización Se refiere al tamañoy comportamientode los apoyos de las estructuras y de las intersecciones de sus miembros. Losapoyos Ideales, queseConten­ tancon detalle en el capítuló'2; representan puntos en los que no hay fricciones'que res­ trinjanel desplazamientoo*lasrotacionesdé los miembros, o bien, que les proporcionen un empotramiento perfecto. En los1apoyos reales no se presenta esta situación'ideal; tienen dimensiones apréciables y siempre hayfricciones oempotramientos que noson perfectos. Lomismosucedecon las intersec­ ciones de miembros estructurales. Tienen dimensionesconsiderables y deformaciones dentrode la intersecciónque nose conside­ ran normalmente en el análisis estructural. Se veráen losejemplosdel libro, que es fre­ cuente considerarque los marcos están em­ potrados en sus bases. En la realidad están ligados a las cimentaciones, que les propor­ cionan un empotramiento parcial, que de­ pendedel tipode cimentación y de terreno. Ésta es otra idealización importante.

Algunas de las’ cargas que actúan sobre las estructuro tienen un valor que no cambia con el tiempo. El peso propio de los miem­ bros estructurales o el peso de los muros divisorios en un edificio de oficinas son

ejemplosdeestetipodecargas. Otras cargas, comoiJascargas vivas, aunque cambiancon el tiempo, 'lo'hacen>en periodos largos, y pueden considerarse como constantes, con un valor parecidoal máximoque alcancen^ para!-fines de análisis. Cuandoel análisis es­ tructural seefectúa concargas permanentes, como, a), (0, b) \ r).Sustituyendo estos tres pares de cot nadas en la ecuación de la curva, se c nen las tres siguientes ecuaciones: a-A h 1- B h * C

diferentes. Sin embargo, los valoresdel moatnbosladosdel apoyo. Ladlfeiièntìia4*dobe Por lo’tanto, debo incluirse una configura­ cióncorrectivai'Bsíote hace Introduciendo unmomentode 42^3^13,95 * 96.27 a la dMdu del apoyoderecho, figuri 2.24, ya

queel valor de-13.35 es correcto. Éstemo­ mentocorrectivo produceuna reacción ha­ da «bajo (negativa) enel apoyoizquierdoy una fuerza cortante correctiva Veconstante entrelosdosapoyosde56.27/2*26.13,con •Igno negativo. Esta fueraa. cortante correctiva, renglón 7yse sumabaJas íimtih corlantescalculadasprovisionalmenteenlos renglón« 4y S paraobtenerla»fuerzascgs

Figura 2.21. Configuración«correctivas del eiemplo 2.17 tantet finales enlos renglones8 y 9. Suman­ do nuevamente los yatòrcsde P a partirdel apoyo izquierdo, seobtienenlos momentos finales en el renglón 10. Obsérvese que apoyoderediosimandodeIzquierdaaderecha y sumandodedereehaa izquierda.

Se ilustra la resoluciónde unav¡8acon^ articulaciónInterior; y concargasdistribuí»7 concentradas slipultáneamome. La ct1‘ distribuida tlenp una variación ¡ H l renglón2, por lo quelascargasconcentra»“

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2.6 Encada una d»lasvigasdel problema 2.4 establecer las funcionesque representan è la fuerzacorlantey al momentoflexionante, y trazar losdiagrama»correspondientes. Determinar en cada caso el yalor del; momento' fisionante máximo y la lección en 2.7 Trazar losdiagramasdefuerza cortante y momentoflexionante en los máteosdel problema 2.5 2.8Obtener losdiagramasdefuerzacortantey momentoflexionanteen las siguientes vigas por el métodode Newmark.

Figura 3.2. Deformacionesde dinales, alargamientos o acortamientos, en las columnas y en las vigas del marco. Esta hipótesises usual porque las deformaciones producidas por los momentos flexionantes ducldas por las cargas axiales. También son mayoresquelas producidas por fuerzas cor­ tantes. Por eso en los métodoi cjuese-verán másadelantesóloseconsiderandcformaciobros estructurales tienen los tres tipos de deformacionesy enalgunoscasos es conve­ niente calcular los otros dos.'Los métodos correspondientes caen fuera del alcance de este texto. Aunque en este capitulo se presentan métodosparael cálculoprecisodedeformapera trazar la forma aproximada deestructu­ ras 1 .5 b, ••¿[-9(USI+í0.5)2- . l ji J . - Z Í Í

EJEMPLO 3.2. CALCULO DE DEFORMACIONES EN UNAVIGA LIBREMENTE APOYADA POR EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN

EJEMPLO 3.2 (continuación) DIAGRAMADÉMpMENTOSFLEXIONANTES

CALCULOOEROTACIONESYDEFLEXIONES Para0sxs2 I

>11

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El y ,.

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y ‘ / i^ A ' s í (&í+c,)* _ s ( ! xí+c,x+Ci) Pan l í x s í d«-¿(30Jir.2*J +Cí),

11 fljjd x I g j(3 0x - Ix'+Cjldx - l i l i tCjX+Q)

EJEMPLO3.2 Icontinuación)

-----

CONDICIONESDiFRONTERA

g |(0)+C|(ffl+C2»0 '

1SW*- |(6)’ +Cj(6)+Ci = o 360+6Cj+¿4 =0 CONDICIONESDECONTINUIDAD Si x=2, los valoresde 9 y y son igualesen los dos intervalos 5B), +C,-3E LA VIGA DEL EJEMPLO 4.1,

EL PLANTEA*

RisóalPlanleamlonli e la viga fsostática (igual que en el ejemplo 4.

|a isostálica(igual queen el ejemplo4.11

IjÉ ig P

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i * ...- Á

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| | ¡ ¡

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r 93.75 114.58 72.921 |S ]-1 114.58 166.67 114.58 [ 72.92 114.58 93.75J

Sg|§f|p I'F W W

i

H

5

m m

*
Deformaciones de la viga isostática (loscákuk* se presentanal final seplan­ tealaecuación-1.2, quees unasolaecuación porqueel gradodeindeterminacióndel icár­ eoesiguala uno. Deestaecuaciónsedespe­ jael valor de la reacción horizontal H„ que resultóconunvalorpositivode 55 ton. El va­ lorpositivoindica quesu sentido debeser el mismo que el de la fuerza unitaria aplicada paracorregirlaincompatibilidad. Estasope­ racionesserealizanenelpasoddel ejemplo

sfigurasdelatabla3.1de¡iwgofctdta

N MARCO HIPERESTAUCO POR ELMÉTODO

EJEMPLO4.12 (continuación!

äs

Diagrama (c/) 3.0(m,jl

3..Cálculo de las deflexiones correspondientes. *»Maffanus(a)y(l»|: Ü

i imM) Ulylcll:

EJEMPLO4.12 (corílinuactón) 4ByIdiagramas (a) y (d)|; ¿ « . (2m* +Ote) 5+AVnalj -¿(-*05)[(2K ^ P;(4o )] (3)+(, Js)(

'A I

(diagrama (b) consigo miimol: >MAt *

sm^(-6-0X“6-0)(6.0) =

Itlipgramás (b) y (c)|: - j * * , » * , s§!(9.0X-6.0X6.0) - ^ 2 |j|® Idiagramas (b) y (d)|: I

15

^ (diagrama (c) consigo mismol: -5'n-VimA,,5tm/,yr)A„^^ » SX -9 X )X 9 .0 )+(9.oX9.o)(60)=^ fÄ «m iai(c)y (d)|: •"W "^*-(-«.0X9.0X6.0)-^l

Ll|_ (diagrama (d) consigo mismo): W* a

|

2U0 . ! ( - « j X-6-^6-0) +(-60X~60^6^" j T _

I

, 4 l Resolver la siguienteviga por el métodode las fuerzasutilizando cada unade las jsosljt'cas fundamentales mostradas. Comentar cu.1l resulta m.1s conveniente y por —jí Trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flexionantc.

Eü'5¡!ÍÍIon/m

I3um/m

fundamental quese crea mis conveniente. En todos los casos El » consunw*

í

B l à j l ; ,.-1'

s

á —-—h

4.5Resolverlas siguientes vigas sobre apoyos elásticos. Usar los'valores de E y de I delproblemaanterior*

| g ■/ C A P IT U L O D

’Resolución de estructura; indeterminadas por el método ,de las deformaciones Introducción / 5.2 Planteamien -—ral del métodode las deformación >5J Rigidezai I deI» deformaciones paraarmaduras/ 5.7 5.1 Introducción Ehesfecapítúlpse presenta el segundode los fc métodosgenerales para la resolución de nanos Indeterminadas planteados en la ¡Mdacddnde) capítuloanterior. A diferencia ddménxfodelasfuerzas, en el métodode las «■Mtñno' o método de las rigideces, se fbnfeaunaenucturaen laquesesatisfaganlas m&uude compatibilidadgeométrica, aunV noseampian las condiciones de equilitoo-Est»últimasselogranenunasegundaetapa •odratndofuerzasconectivasquenoalteren hcmfciona de continuidad geométrica. El IfWb^klbidrformacionessepresentaeneste W e n suformamásgeneral. Encapítulos

fuer7.ishorizontalesenmarcos. Laestruc­ tura transformada tiene continuidad geométrica, peto no cumple las condi­ cionesdeequilibrioestático. >) Seplanlean'lasecuacionesdeequilibrio nanlosdesequilibriosqueresulten. Estos desequilibrios son también momentos Aeúonantes o fuerzas, segúnel tipode estructura. calculanLasaccionesqueproduonestas formación»aplicadassonurtj» iones, en

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||y b j-ro1'! '“* (Ec,) (ÉC.2) f c X M* “ 0:

G iu n t o H „ obtenidode la ecuación 2, en U ecuación 3 y despejandoM*,:

panqueexperimenteunarotaciónunitaria, cuando el extremo opuesto se encuentra empotrado. Obsérvese que el momento re­ sulta directamente proporcional al módulo - - Supóngase ahora que la vigatíentw de elasticidad y al momento de inercia, e bosextremos libremente apoyados, inversamente proporcional al claro de la muestra en la figura 5.2a. En estecaso.ií J viga. Intuitivamente puede deducirse que Impone una rotación en el extre 0. mientras mayor sea el módulo de elastici­ mediante la aplicación de unmomentou dado la inercia dela sección, mayor tendría en el otro extremo aparecerá una fotar£ queser el momento necesario para produ­ 8W, como se muestra en la figura SJb, pe* cir larotacióndel extremodela viga, y que nopodrádesarrollarse ningúnmomentocon» mientras mayor sea el claro, menor tendría sucediócuanáttel extremo 8 estabaempa» queserdichomomentoporquelavigaseríam.1s do. En forma similar a la del caso anieriv. flexible. Nótese también que en toda esta puede determinarse, usando el métododeb deducciónseha supuestoqueel-valor.de El viga conjugada, cuál es el valor del momento es constante. Cuando no lo es, la rigidez angular puede calcularse aplicando un necesariopara producir la rotacidn» momentocualquiera enel extremo libre de . y cuál es el valor de la rotación Q¿, que« la viga y determinando la rotación que desarrolla en el extremo opuesto. Estade» produceestemomento. El cocientedel mo­ minación se plantea en la figura5J. lalip mentoentrela rotaciónes el valorde la rigi­ conjugada, figura 5.2****c-r clón se puede escribir como

ïi r - W - . 0

.2-149.40x^-^r--126.08 kN*Revisión del equilibriogeneral: J />- +50+76.09-126.08 - 0.01 kN- 0 "-80-80+66.66+93.33*-0.01 kN-0 Revisión del equilibrioen el nudo B:

Y /. -+50+I06.71X— ---- 12L72-14.89X—-—--0 0 2 -0 “ 6^03 6.403 • “75.95+106.71x 2^ jj +I4.89x ^™ t «0l01 «0

■ ranmnciooej generales acetaquésu»nudos pueden sufrir rotacio;:¡*sydesplazamientos lineales. Al determi­ néentoncesel númerodegradosde libertad * Atan considerar ambos tipos de defor­ mación. Por ejemplo, el marco de la figura SJl tiene5 grados de libertad: las rotado* ■sailos nudos B, C, O y E. y el desplaza* solineal de lo» nudos B. C y D, quees dMano para lo» tres, si se desprecia la ¿fennaciónaxial de los miembros0CyCD. [jmarcode la figura 5.96 tiene 7 gradosde Hjotad:lasrotaciones,dé los nudos8, C, O, :£yf,y losdesplazamientos lineales encada ■edeiosdo» pisos. Al restringir las defórnxiones deja estructura en el paso a del >d,deben impedirse ambos tipos de Jifcnnación. De la misma manera, al apliardeformaciones unitarias en el pasoc se debwimponer rotaciones y desplazamien­ tolineales. Como consecuencia, en el sis­ ma ecuaciones aparecen términos que ■piesfMitanlalaciones ytérminosquerepreíienün'desplazamientos lineales. En el si* jiiéntéejemplo se ilustra la aplicación del ■Ugij casode marcos, toapfe5.7Setratade un marcoasimétrico ■■»encargascomo en geometría. Dos de b apoyosestin empotradosy unoarticulayfecolumna ID tiene una carga con­ jurada i lamitad de la altura. Lo» valores 6¿ftondiferentes en las vigas y en laicotonas. :í¿-Es el paso a le han introducido ^Mamieniosen los nudos B.Cy D para *M» susrotaciones, y se ha introducido unareaccióno fuerza horizontal en ¡ S E L ' . ! mpedir el desplazamiento "■»iajpniai u muco. Lo» empotramiento»

noesnecesariocalcularla. Enestepasosehan calculado los momentos de empotramiento perfectode los miembros que tienen cargas transversales. Obsérvese que en la columna DCse ha usadola ecuaciónquecorresponde a un miembro empotradoen un extremo y articulado en el otro, y que el signo se ha determinado con la convención de que la columnaseobservadesdeelexteriordel mateo (figura2.15) porloqueel nudo£esel extremo izquierdoy el nudoOesel derecha Losmomentosy la fuerzadedesequili­ briosehan calculadoenel paso6. Los priempotramiento perfecto en cada nudo. En la figura se han introducidoconsignoposi­ tivo, o sea, con sentidohorario. El cilculo dé la reacción en el nudo D. fuerza P[y se muestra en la parte inferior de este paso. Primerosecalculan las reaccionesproduci­ das por la fuerza de 4 ton en el miembro DE, considerando que el extremo D está empotrado y el extremo £ articulado; esto da una reacción de 1.25 ton, hada la dere-

conlas ecuaciones 5.1 y 5.3. Obsérveseos en las vigas seha usadoel valorde2£/yJ lascolumnas, El. EsImportantenotarqueenL extremos de la columna A8 se desarre 1 I lor es Igual a la suma de los momentosI I los extremos dividida entreel claroy su noes tal queproducen unmomentodesentido contrario. Por equilibrio del marcoet suconjunto, si enti apoyoA seproduceuna fuerza de b£l/e\s hacia la der 0

I --- *64

*»-*«-£/[0.667]

; Í I ¡

B

B

B

B

I

O 5*8 (continuación)

*M-f/[0.48j

• Cl1-^ £/=0.187£/

l

ü

H

l

*,5- * „ =-£([0.667]

^■biénse puedecalcular direciamenle como:

I ■ks2- -£/[0.667| ■&,*»

-f/|0.667]

iîIÏÏ!

i

n

f

i

l

l

348 Resoluciónde estructuras,indeterminadas por el método de Its deformai. EJEMPLO 5.8 (continuación)

Moc^Moc+moc =+22.500 +5.130=+27.630ton • m dc *

mot ” -27.611 ton - m

M[b =M cs +mu = +15.000+15.187 = +30.187 to Mtf ■mir I -11 -529 ton • m

Métododeh, d'tomaclonoipmmarcos 349 ffirjjj5.1 Momentos de empotramiento perfecto

PROBLEMAS S.l Calcular la rigidez angular de las siguientes vigas.

j .j

j I

Golculari la rlgldez lineal de lbs ilguientes vigas.

w Calcular el giro en el apoyoA queproduceun momenlo, M. de8 ton-n. aplicado £S•! mismoapoyo.

H —S H I

H

g ----------------------------E 6m M

3

4 i . i.J x io’i»W

5.4 Calcular los giros en los apoyos A y B que produce un momento, M, de 10to aplicado en el apoyoA.

•

* --------------n ;------------- *i

5.5 Calcular los’fnomentos que se desarrollan en los apoyos de las siguientes vigas *v,r“*'io B se desplaza 0.6 cm hacia abajo. -Calcular los mismos momentos si >edesplaza 0.4 cm hacia abajo,

I

I

'o jlcu lark K grados de libertad° de in N M M N M M I M P M P I I M H Ocluías Incluyendo aquellos que no sean necesarios para la determinaciónde los ¡^losflexlonantes finales.

x
k

>|
|

5.8 Resolver las siguientes vigas con asentamientos en los apoyos y cargas.

NvJ*tón/m

>.

+ X rY"yX W V3.10 que se distribuyó entre los i | I | j de acuerdo con. n. En el renglón(5) se ____ ntosdetransporteque Jf"*» desequilibrar a los nudos B y C. « M ló ii (6) se vuelven a equilibrar, y •wwnglones (7) y (8) se hace un nuevo transponey distribución. Obséivehay momentos transportados de •"ipotramientosA y D a los nudos B y C, ffiMn empotramientos no sedesequillrecibir momentos transportados; es SKI* los empotramientos absorbiesen

que en la primera se equilibra un nudoa la vez, mientrasqueen lasegundaseequilibran todossimultáneamente. Enambas,losmontenexactos. Aunque se observan pequeñas dife­ renciasenlosmomentosfinalesdelasdosejehacenmásciclosdetransponeydistribución. Por lo general, la convergencia hada los momentosexactos es más rápidacon la primeraejecucióny el númerodeoperaciones es también menor. Sinembargo, lasegunda facilita más la mecanización del procedi­ miento, ya que se hace un ciclo completo de distribuciones y luegootro completode transpones; estoevita posibles confusiones enestructurascomplejas.Si seusalaprimen ejecución, conviene empezar equilibrando los nudosquetenganmayoresmomentosde desequilibrio, porque asf es todavía más rápida la convergencia. En la segunda ejecución, no influye con qué nudo se empieze. Lasegundaejecuciónesmásusual que la primera, por lo que es la que se emplearáen los ejemplos posteriores. Para completar este ejemplo, se han calculadoenel pasoe losdiagramasdefuer­ zas cortantesy momentosflexionantes. ftra exiremosdecadamiembroapartirdelascaigas aplicadas y dé ¡os momentos en losextre­ mos ya calculados. Debe recordarse que todos estos momentos son de apoyosobre barra. Tambiénsecalcularon los momentos isostáticos en los puntos de aplicación de las cargasconcentradas. Los momentospo­ sitivo* se obtuvieron restándole a los isostáticos, el momentonegativoenel pun­ ió deaplicacióndelascaigas. Porejemplo. el momentode +10.21 ton-menel miem­ bro AS es igual al itostáBco de 25 ton-m menos el promediode0.05 y 21.52ton-m.

food) Ejecución del método

c i y aplicadas y los m * ¿bre barra calculados .. Eafthsérvese q •"L-ioscnlosextremosde cada tramo < fSmoobtenidoen la ejecución del m£t< í (arj cada tramo se han calculado I; ^nonesyel momentoísóstátíco o se, jñyntfltoqueproducirían las cargasenun L libremente apoyada. Calculadas la ¿loGMgasáplicadas, el diagramade fuerl porejemplo, el valor de 6.49 esl______ p¿n VA en el extremo A; el diagrama primero la posición Inújelinealmentepor efecto de la caiga corlante nula' y calc toéédi enel tramoAB. y en el extremo B del momentopositñ ¿Miad valorde6.49-2x8 =-9.51, que del ejemplo se il oaóAconfia reacción calculada VBr De momento positivon oaaaámilarsecalculóel restodel diagrama, t La distancia x es losmomentos negativos que se mués- empotramiento O ■a el diagrama de momentos flexio- cortante nula. Por sossonloscalculadosen el pasod. Como Sumemoscalculadosson deapoyosobre I calcula estevalor y despuéssedeterminael tana,Ioj flexronantes tienenel mismosigno I momento flexionante en este punto. Puede «Ibextremosizquierdos de cada barra, y I verse que la diferencia entre el momento H^contrario, enJos extremos derechos. I máximoy elmomentoenel centrodel daro ts momentos flexlonantes en los I ■'«smuy pequeña enestecaso.

•í lorvm

O

l í

^B*í)Cíkulo de las rigideces angulares simplificadas

»IO(vm

u

EJEMPLO7.2 (Continuación)

>0:187+0.250

•• w 0.250+0.167" Raso c) Cálculodelosmomi

¡ deempotramiento perfecto.

templo7.3. Seilustra otra manerade resol­ verfamisma viga del ejemplo anterior, en banl se tomaen cuenta, desde el cálculo ^ los momentos de empotramiento NÉCto, que la viga AB está articulada en dunmoA. ■'0 cákulo de las rigideces angulares y *k»fcoore»dedistribución, pasosa y b, |S«femóqueenel ejemploanterior. Pero 'dpKoí «fi vez de considerar a la viga «cono doblemente empotrada, se tlénoposibilidaddedesplazalos1patos1/by cK han llevadoa cabo • la misma manera qtie oh ejemplos ■Mm . Después; en la primera etapa, se

—„rio tn producidos por B U misma ¡T,,, end mareo original. En este ejernJv ggnfinesdeIlustración, sehan resuelto J d * alternativas Se veri que el trabajo Tffl&icoseincrementa ligeramente, jbiacontinuarcon la segundaetapa, se

ponda»a unafuerzade11.55 tonseránIgua­ les a los de la Tabla B multiplicados por 11.55/7.30, De estamanerasehan calcula­ do losfactoresdecorrección para la fuerzas

^JÜÜÜrfosderivados de un desplazamiento oíyamagnitud no Interesa conocer, como g explicó anteriormente on esta misma ¡tcuón. En el ejemplo, se Impuso un

en laTabla C del paso i. En el renglón II) se

Tabla A, o sea, con el desplazamiento late­ ral impedido. Los momentos que aparecen en el renglón (2) se han obtenido multipli­ cando los momentos de la Tabla 8, que co¡ecalcularon los momentos en las otras columnas, sobre la basede que son proporcionafes al valor de 0 e inversamente piopóÁIohatesalos cuadrados de las longitudes debs columnas,^ecuación 9.6. En el?caso fuerzade 11.55 ton. Enel renglón(3) aparece la suma de los momentos de los renglo­ delacolumna £C, hay que lomar en cuenta - nes (1) y (2), que representa los momentos pt su rigidez lineal es 1/2 de la rigidez hall delas otras columnas, porque uno de asextremosestá articulado. De esta manera desplazamiento lateral impedido y de los «obtuvieronlosmomentosdeempotramiento momentos que corresponden a una fuerza perfectomostrados en el croquis dibujado horizontal de 11.55 ion; valor este último «ibadelaTabla 8, mismos que aparecenen que equivale a la fuerza aplicada de 10 ton dcuáitorenglónde esta tabla. y a la fuerza de 1.55 ton que anula a la re­ los cálculos correspondientes a la li­ acciónen el apoyoD que impide el despla­ beraciónde los nudos se han efectuado en zamientolateral, comoseve enla figuraque bUla 8, obteniéndose los momentos fi- está al principiode la primera etapa. En el «fes mostrados en el último renglón. Las renglón MI se muestran los momentos que •r r lomcj horizontales en los apoyos delas “ taimas aparecen calculadas a continua­ 135 ton, ya queson losde la Tabla 8 multi­ da delatabla. Se observa que la resullanplicados por el factor conectivo X,. Estos * deestasreacciones es una fuerza de 7.30 momentos, sumados a los del renglón (I). proporcionanlos momentot totalesparacar­ actúade derecha a izquierda. Por lo ga vertical únicamente, renglón (51, ya que •*0. lafuerzahorizontal que produciríalos son la sumade los momentoscondesplaza­ ^Pfazamientos laterales correspondientes momentosfinales tendría estemismo miento lateral restringido y de los momen­ tos producidos por la fuerza horizontal de gMP*roactuarla de izquierda a derecha. 1.55 ton. Por último, en el renglón (61 se * * Calcular los momentos que presentan losmomentosproducido»por una ¡***ponden a las fuerzas de 11.55, 1.55 fuerza horizontal de 10 ton. 10ton, es necesario corregir los moEnel pasog secalculan y se trazan los Bm8|finales multiplicándolos por los facdiagramas de fuerza normal, fuerza cortand»corrección calculados al final del SgW. Asi, ti los momentos finales de la tan las acciones que corresponden al caso ^^•«•nesponden a una fuerza horizonde fuerza horizontal de 10 ton sin cargas

verticales. Por esta razón, al calcular las re­ no aparecen cargas transversales entre los en la columnaABe» la reacciónen el extre­ mo B del miembro BC; esta reacción tiene signo negativo, o sea, que' la1columna tien­ dea levantarse, por loquetrabaja a tensión y el diagrama tiene signo’positivo. La fuer­ za normal en la columna EC es la suma de las reacciones en el exlremo C de las vigas flC y CD. Esta colufnna también trabaja a tensión. En cambio la columna FD trabaja a

Paso a) Cálculo de las rigideces angulares simplificadas. w

* M il * 0.20/„

MßMPUl 9.1 (continuación) 3_x,r.'27¿

^ K |í¡b f “ "g ej*^4> RisoWCálculo de los factores de distribución.

BA2S+0.40+0.18'.',

i- ¿J

^ ^ ^ g a 4 0 _ _ _ _ 0482 0.25+0.40+0.18 I

fPc- =- l j p*-18 . -0.217 r : “ • 03|+0.40-l;0,1,8

^ HAyE k=î *' 0.40 =0.667 „ ,,, .. 0.40+0.20 K

/Po,= °'?°— ¿0.333 " 0.40+0.20

Emm*,®1 i

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Pato2^ 40x5x3i __,m2lon:in

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jggjj . '¡2 í5 Íi2 i +46.87ton-m

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Alternativas para obtener por separado los momentos por cargas verticales y horizontales.

A v o Se impone ala columna AB un momentoarbitrario(en estécaso -10ton-m) y I "calculan los momentos en las otras columnas.

Para una carga horizontal de 1.55 ton; X> 41 “ 0.212 1 -^ 7.30 Para una carga horizontal de 10 ton:

ta o A Cálculo de momentos totales. H

Tabla C. Obtención de momentos corregidos y momentos totales.

am/enlo (Tabla A) '■01 Momentos finales sin despla

En el párrafo anterior, por claridad de■ la exposición, se ha usadoel casode línea de influencia.de momento flexionante f f l

para la viga de la figura 10.1-a con la

Figura 10.2. Diferenciaentrediagramadeaccióny líneadeinfluencia también se calculan Ifneasde In­ fluenciaparaotrasacciones, fuerzacortantey fuerzanormal, y para otro tipode estructuos o armaduras. Suelen calcularse Ifneasde influencia dé reacciones, ya que le conocerlas para ciertas is de puentes. También se ha m la explicación anterior que la cap aplicada tiene un valor cualquiera P. B cálculode Ifneas de Influencia se hace normalmente para cargas unitarias, y los •aloresparaotrascargasseobtienenporsim­ plemultiplicación, yaque sondirectamente proporcionales al valor de la carga. Este j caso de estructuras

11-2Método directo Supóngaseque sedeseacalcular la líneade “ Kía déla reacción enA de la vigade ira 10.3-a, obteniendo las ordenadas jjj K secciones señaladas. El método mis ' ío, perono el mis expedito, consisteen , Jcar una carga unitaria en las distintas "«ion« ycalcular el valor correspondiente i U«acciónenA. R%Porejemplo, secolo­

ca una carga en la sección 1, figura 10.3-6, secalcula el valor de RAcorrespondiente, y este valor será la ordenada de la Ifnea de Influenciaen la sección 1, figura IQ-3-c, de acuerdo con la definición de linea de in­ fluencia. Despuéssecoloca la carga unita­ ria enel punto2, figura 10.3-ef, secalcula el valor de RAcorrespondiente que sera la or­ denadadela lfneade influenciaenel punto 2, figura 10.3-e. Serepiteestecálculo colomostradas en la figura, y cada valor de RA será la ordenada de la Ifnea de influencia en el punto de colocación de la caiga. De esta manera se tendrían las ordenadas en todaslas seccionesdelavigaseleccionadas y uniéndolas setendría la línea de influen­ cia, como la mostrada con línea punteada en las figuras 10.3-cy 10.3-e. ■ En vez decalcular las ordenadasde la línea deinfluenciapuntoporpunto, comose acabadeexplicar, resultamássencilloplan­ tear una ecuación para la reacción, o para cualquieracción, enfuocióndelaposición, », de la carga unitaria. Supóngase, en referencia a la figura 10.1-J, que se desea calcular la línea de Influencia para la reac­ ciónenel apoyoA, y par» la fuerzacor*

Rftn 10.3. Lineade «fluenciade una reacción calculada puntoporpunto tantey el momento flexionariteenel punto C, quesedenominarán Vc y respectiva* mente. Se coloca una carga unitaria en un pomocualquier o. figura 10.4-a, localizado a unadistanciax del apoyoA, y se plantean bs siguientes ecuaciones, en función de x, para Ka, V, y M,. ,10.1)

K

'

ooj |

Rara cXSI . o sea, si la carga unita­ ria secoloca entre los puntos C y B: | V =R - 1 - i i flM Rira OSx.Sjt , o sea. si la caiga unitad ria se coloca entre los puntosA yC: .o a

quevil* Osi eslá colocada en el punto o sea, en íiíl mismo empotramiento. Ta Wn se sabe' que la función de momen flexionante es una sola a lo largo de viga. Entonces batía unir el valor de en el punto I y el de 0 en el punto 7 pa tener la linea completa. En cuantoa la carga unitaria en dos puntos cualesquie de la viga, por ejemplo el 2 y el S, til lor de la futría cortantees - I. Entonces linea de Influencia es una paralela al o

Como una primen aplicación del col ceptode lineas deinfluencia, supóngaseqil unacaigaconcentradade8 tonsedesplazaa k>largo de la viga y que sedesea calcular el para distintasposicionesde estacaiga. Basta multiplicar la ordenada de la Ifnea de inl fluenciadeMt enéj puntodeaplicaciónporel valor de la carga, para tener el momentode el punto3, el mamentoflexionanteenel em­ potramientovaldrá (-1) (8) ■-32 ton-m. laj cualquierposicióndelacarga, seráde-8Mn. 3

Líneade influencia de Mg

Línea de influencia de VB

Ejemplo 10.2 Se trata del mismo voladizo del ejemploanterior, peroahorasepiden las lineas deinfluenciademomentoAccionante r fuerza cortante en el centro del claro, o sea, enél punto4. El problema seha resuel­ lo determinando dos puntosen cada tramo en que las funciones son las mismas. Así, para la línea de influencia de momento flexionante, se determinaron dos puntosen el Iramo 1-4: el valor del momento en el punto4 cuandohay una cargaunitaria apli­ cadaenel punió 1, quees la ordenada y., y cuando hay una carga aplicada en el punto 4,quees la ordenada y4. De esta manera se lien* la línea rectaqueva de-3, enel punto 1/a 0 en el punto 4. Por simple inspección puedeversequeparacualquier posición de la carga unitaria entre los puntos 4 y 7, el momentoflexionanteenel punto 4 es nulo, V Por lo tanto todas las ordenadas en elle »amovalen0. Parosi noseviese, secalcula

el momento en 4 cuando la cargaestáen 7, L quees laordenaday7quetambiénvalecero. I De manerasemejantesedeterminóla lí-1 neadeinfluenciadefuerzacortanteenel pun-1 lo 4. Si seaplica una caiga unitariaenel puntoI I, lafuerzacortanteenel punto4 wle-1; porI lo tanto, laordenadaenel punto1es-1. Enel■ punto 4 hay una discontinuidad, ya que la l fuerzacortantecambiabruscamentedevalor I si la carga se aplica inmediatamente a la I izquierdaoa la derechadel punto. R» esose ■ han cakuladodos valore». SI la caiga estáII-fl| gemínente a la izquieida, la fuerza cortante■ en 4 vale-1, perosi eslá ligeramentea I. recha, vale 0, ya que no hay fuerzas a I qulerda de lasección. Si lacarga unitariaestáM aplicada en cualquier punto, entreel situado I ligeramentea laderechadel punto4yel pun-j lo 7, la fuerzacortanteen el punto4 es0, ya que no hay fuerzas a la Izquleida de la segl dón. Poreso, las ordenadasdela lineadaln*J fluencia sontodas nulas.

10.2. CALCULAR LAS lInT IT ^ T T --------------- ------------HflEXIONANTE Y DE FUERZA CORTANTE FN ti *^FLUENCIA DE MOMENTO 0EMPLOANTERIOR L PUNTO 4 DEL VOLADIZO DEL

r ¡jtftCULOS Líneade influencia demomento flexionante SIlacarga está en el punto 1 :

. Si lacarga está en el puntos i Si la carga está en eí punto 7: ¿

i

'

i ■Linea dé Influencia de M4 Lineade influencia de fuerza cortante: 1 carga está en el punto 1: ÉS c a rg ará ligeramente a la izquierda del punto | i

ü

«rga «tá ligeramente | la derecha del

...

8

EJEMPLO 10.2 (continuación) SI la caiga csiá en el punió 7:

Línea de influencia de V.

Ejemplo 10.3 Se Ilustra la obtención de li­ neasde Influencia en unavigacon tres apo­ yos y una articulación interior, por lo cual es isostátlca. Primero se ha obtenido la li­ neade Influencia dé la reacciónenel apoyo C. El principiodesoluciónes el mismode los ejemplos anteriores: se coloca una carga unitaria en ciertos puntos y se calcula la reacciónen C. Bastacon colocar la caigaen no cambia la función, aunque en caso de duda, puede colocarse en más puntos. Asi, entreel punto 1 y el punto 3, la función de Rc t í continua. Si se coloca la carga en el punto I , o sea, sobre el apoyo A. la reac­ ción en C vale 0, ya que toda la carga es tomada por el apoyo A. Si se coloca en el punto 3, la reacción en C puede calcularse como se muestra en el diagrama de cuerpo libreentrelos puntos 3 y 9; resulta un valor de la reacciónde 1.5 hacia arriba. Como la linea de influenciaes una linea recia, porel Principioya demostrado, sepueden unir las oidenadas de0 enel pumo I, y de 1.5 en el pumo 3, para tener el diagrama entre estos do*pumos. Desdeluegoque también pudo (oiocafN la carga unitaria en el punto 2 y calcula»#, .tantoparacomprobacióntomo

para tener la ordenadaen otropuntoqueno fl sean el 1 y el 3. Siempre conviene colocar 1 la carga unitariaen aquellos puntosquecon- I duzcan a un cálculo más directo del valor I buscado. Por ejemplo, colocarla sobre los I apoyos con mucha frecuencia produce va- J lores nulos de las funciones en otros puntos. En estecaso, se colocó la caigaunitaria I puntos y completar la linea de influenciade 1 La linea de influencia de Mc seobtuvo 1 de manera semejante. Se colocó la carga J unitaria en los mismos puntos del caso an terlor y se calculó el valor del momentoen I C para cada posición de la caiga. Obsérvese I quela funciónde momentoen C nocambia I li la caiga seaplica entrecualquier parejade 1 estospuntos. Porejemplo, si secolocaentre f los puntos 5 y 9, la viga trabaja como una I libremente apoyada en C y en O, siempre vale 0 porquees un I A continuación se calculó la linea de I influenciade fuerzacortanteen C. Aqufhay ¡ bruscamente de un punto situado imnedia j lamentea la Izquierdadel apoyoa unpunte j

siiu.'rfoiñmcdialaménlc a la derecha, porel Mode la reacción. Por lo tanto, a menos séespecifiqueparaqué punto se pide la ajarleinfluencia, sedebecalcularuna Ifnea m cadapunto. Así se hizo en el ejemplo. fttrael punto situado inmediatamente nja izquierda de C, se colocó primero la t¿g ¡ unitaria enel punto I. Rara esta posi­ ción, l¡» reacción en A también vale 1, la sumadefuerzas a la Izquierdade la sección es0y, por lo tanto, también la ordenada de h lineadeinfluencia es nula. Si la carga se aplicaen el punto 3, o en cualquier punto cakeel 3 y la sección situada ligeramente ab izquierda de C, la suma de fuerzas a la izquierda déla sección es - I, y ésta es la aderada de la Ifnea de influencia en todos oíospuntos. Al pasar la carga unitaria a la derechadel apoyo C, ya no hay ninguna caga izquierda de la sección locallzadaInmediatamente a la izquierda de dicho apoyo, y por lo tanto las ordenadas de la lineade influencia son nulas entre los pun*s5y9. la Ifneade influencia para el punto locaiizado inmediatamente a la derecha del

de influencia del puntosituadoa la izquier­ da deC y de la reacción Rc , y se observó que la fuerza cortantea la derecha de C es igual a la fuerza córtamea la izquierda mis el valor de la reacción. Entonces basta con nidasparatener la buscada.Asf, enel punto 1, ambas son 0 y la buscada será también nula. En el punto 3, una vale -l y la otra, +1.5, por loqueel resultadoes*0.5; y dela .misma manera en los otros puntos. Cuando se piden varias líneas de Influencia de una misma viga, es frecuentepoderaprovechar, comoeneste ejemplo, una Ifnea ya obteni­ da para calcular las demás. Si se tiene lade : una reacción, por poner un caso, y se pide ladeun momentoflexlonanteencierta sec­ ción, sepuedecalcular la segundamultlpli. candóla línea de influencia de la reacción por la distancia a la sección, y en su caso también la carga unitaria por la distancia a

gEMPL010.3. LÍNEAS DE INFLUENCIA DE REACCIÓN, MOMENTOFLEXIONANTE »FUERZA CORTANTE EN EL PUNTOC DE LAVIGACONARTICULACIÓNINTERIOR MOSTRADA EN LA FIGURA

ñÉMRLO 10.3 (continuación)

gífa carea unitaria se aplica entre .el punto 3 y un ponto a la izquierda de 5r Si lacarga unitaria se aplica a la derecha del punto,St Vc ■0 , B h mostrados eñ las figuras IftM .J.'Jfc teniendolaordenadadela líneadeiníluen-

mencionadoapoyo. A partir del giro proporciónseca

in lasordenadasen

Para la linca de Influencia de fuerza énéStásección, comoen la figura10;6-6, y se Introduceundesplazamientototal unitade estedesplazamientocorresponde a fuer* zascortantespositivasycomolasecciónestá enel centrodel claro, cada desplazamiento parcial vale0.5; para otrasseccionessecal­ cularían con las expresiones mostradas en la figura 10.5-c. El tramo A'BC' tiene que pasarporel apoyo8, paraque noseviole la restriccióndereacción, y tienequeserrecto,

y s.

Finalmente, para obtener la línea de ^fluencia de momento flexionante er lección 4, se introduceen esta secciónuna articulacióny seimponeungiróunitariopro­ ducidopormomentosflexionantespositivos, como los mostrados en el esquema. El tra­ moA'BC' tiene que pasar por el apoyo8y Vtambién

fuerza cortante y momento flexionante. Él el apoyo y permanecer recto. Por lo tanto, la línea da Influencia queda definida por A'BC'C’Dt'. Teniendolas ordenadasen C' y en C-. se calculan las de los otros puntos porproporción. En el siguiente caso, línea de influen­ cia de momentoflexionante en O, se intro­ duce una articulación en ese punto, como en lafigura 10.6-c, y seimponeungirouni­ tarioproducidopor momentos flexionantes positivos. Al aplicar estosmomentos, el tramode vigaA8CO no puede moverse; pues nopuededespegarsede losapoyos 8 yD. y «¡ene.queconservarse recto. El tramoOí sf puedegirar, yaquetieneunextremolibre, y

H i Nadamás Ihay quecuidar quesóloseelimineunares| tricción a la vez, la correspondienHH^H neadeinfluenciabuscada. Sedebeteneren cuentaquesólohayunamaneracorrectade eliminar la restricción correspondiente y I conservarlasdemás. Enlafigura10.7teilus­ tran algunas Ifneas de influencia ing^zzz tas, correspondientesa este ejemplo, enlas queseelimina másdeuna restricción.E4M de la figura 10.7-a se Impusoel desplazamientoenel apoyoO, perotambiénungiro en el punto O', que implicaría eliminar la

unitario; corno se muestra en el esquema. Nòteseque, porel sentldodel momento, la vigasedesplazabadaabajo?EstoIndicaque si te colocancargasenel tramoDE sodeta/follartib1momentos negativos en el apoyo

mosA'8C'yC”DE'nosqnparalelos, locual también implicaría romper larestricciónde momentoflexionante. Enlafigura 10.7-cte Imputoungirounitarioenel apoyoD. pero te desplazó este mltmoapoyo, locual sig­ nifica que te rompióla restriccióndereac­ ción. Y en la figura 10.7-dte Impusoel giro unitarioenC'. perotambiénteIntrodujootro girotobre el apoyoO. ■

se, por la forma de la linea de influencla, que ti te colocan cargas en el restode la viga, nohabri momentosflexionantesenel

En la figura 10.7-6 el desplazamien-

EJEMPLO 10.4. CALCULAR LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA OE REACCIÓN EN D, FUERZA CORTANTE EN LA SECCIÓN 4 Y MOMENTO FLEXIONANTE EN LAS SECCIONES 6Y 4, USANDO EL PRINCIPIO DE MÜLLER-BRESLAU

EJEMPLO IO LÍNEAOEINFLUENCIADEREACCIÓNEN

i

»

LINEADE INFLUENCIADE.FUERZACORTANTEENB:

r, LÍNEAOEINFLUENCIADE.FUERZACORTANTEENC:,

B fe fcsk fr

I

I

I

fe

IÍNEADEINFLUENCIADEMOMENTOFIEXIONANTEENC:

—ili'

Jo 10.6Esteproblema sehabfaresuello íjriemplo ,0-3 P°r el mí,odo directo, seresuelve utilizandoel Principio de ¡„.Breslau para que se pueda ver, por

■alquiercargaaplicadaentreA y C producirá omentosnegativossobreel apoyoC. >eade influencia a cada lado del apoyo C, >rqueel diagrama de fuerza cortante cam* bruscamente al pasar de un lado a otro, iraobtener la correspondientea la izquierda «aplica el dcsplaz;

tlculación interna j Enestepunto, nuevamentepuedegirar. p¿ _ p inrel puntoA dondetambiénpuedegirar. nopuededesplazarse. Ñútese que en el «u C b viganopuedegirar, puesserompería hrestricciónde momento ílexionante. Tenieni>bsordenadasdela líneade influenciaenlos os'D, C y A, las demás se obtienen por

stranenel detalle correspondiente, de B CD no puede girar ni desplazarse, ntpode reacción. Por lo tanto, el giro |ue desarrollarse en el tramo CB. que tieneunaarticulaciónencadaextremo. Apuntospasaa lá posición B', dondela viga "*j** a girar para alcanzar el punto A. la •fcnadade¿"secalcula multiplicandoelgiro ¡P por la longitud CB, y las otras daspor proporción. Pür el signode los gosaplicados en C, el tramo CB gira P*> antihorario, lo cual indica que

desplai hada abajo y el pi

para alcanzarel apoyoA. Con ¿Moya queda Laúltimalíneadeinfluenciadeesteejem­ ploesladefuerzacortanteenC, peroligeramente a laderecha.Ahorael cortesehacedelotrolado, como se muestra en el detalle, y el despla­ zamientoresultahadaarriba, porel signodelas fuerzascortantes. El puntoC pasaa la posición C'.ydeaquflalíneadeinfluenciaseuneal apoyo Oquenopuededesplazarse.Conestoyaqueda deiinido el tramoCD. A la izquierda de C, el paraquenohayagirorelativoentrelosdos, pues

13USANDOEL PRINCIPIO

n»leletrasero, hta carga»cene» * mowrada en el entupió. Sepide E a k u U i H valor máximo dfyir iUnode unareaccióncuando u H0¡pje puedon ser vehículos J H I B^ fenvaniH Rruas vuiam. h l Eneaie ledonoseincluye la determinacióndel va lo>délascaigas, el cual puede encontiaise epespeciflcacIones reglamentarias o en liannales do los fabricantes de equipo, se­ gúnel caso. Por elempla. el electo de auto* móviles o camiones se representa por car* ■ concentradas cuyo valor depende del pesodel vehículo/.incluyendo la carga que llevan, y del número de ejes. Un reglamen­ tomuy usado para determinar estas cargas eielde.laAmerican Assoclationof Highway TransportationOfficials (AASHTO). Las car­ ies deferrocarril le representan por cargas concentradas y distribuidas, como se espe* dtcan, porejemplo, en el reglamentode la American Railroad Engineers Assoclation UREA). En el caso de grúas viajeras, las car­ ies de diseño dependerán de su capacidad decarga y de su peso propio. Es frecuente ■Wbalándosede cargas móviles, sea nece­ ado incluir un factor llamado de impacto, incrementa el valor de las cargas estáti­ cas más o menos entre 15 y 30 por ciento, ble(adornose aplica, desde luego, el peso de los elementos, sino únicamentea ■ cargas vivas. En los siguientes ejemplos * Huma la utilización de las lineas de In­ fancia para calcular los valores máximos ÍS acciones y reacciones, suponiendo que •car*»» han sido ya determinadas. gtopio, 10.7 Sobre la viga utilizada en el 10A, circula unvehículocuyopeso Incluyendola cargaque llevayei efecImpacto, se puede representar poruna de 2 Ionen el eje delantero y otrade

CCiMt((4,OIBl lo ltldm o O

ordenada» a cada metro. Observando esta /a valores mayores cuando les cargas te aplican en la pane dciccha de la v.ga. ya toncos, la posición más desfavorable del vehículosepresentacuandoel ejedelante­ ro queda situadoen la sección 8, o sea, en el extremoderecho. Yaquela distancia en­ treejeses de 3 m, el ejetraseroqueda loca­ lizado, para esta posición, a la mitad entre las secciones 6 y 7. El valor correspondien­ te de R0 puede entonce» calcularse multi­ plicando la carga del eje delantero, 2 ton, por la ordenadadela lineadeinfluenciaen la lección 8, que os 1.50, la carga del eje trasero, 3.5 ton, por la ordenada del punto slluado a la mitadentre las secciones6 y 7, que es 1.125, y sumandolos resultados. Se obtiene así unvalordeR0 de 6.94 ton. Nó­ tese que para cualquier otra posición del vehículo, el valor deR0resultamenor.Tam­ bién queda claroque si el vehículocircula dederecha a izquierda, el valor máximode RDresultadiferente, yaqueteobtienecuan­ doel eje traseroestáen lasección 8 y el de­ lantero, al centroentre lassecciones6 y 7. En forma semejante te calcula aconti­ nuación el valor máximo del momento flexionanteen lasección 6. Sereproduce la linea de influencia correspondiente, ya calculadaenel ejemplo10.4,yseobtervaque el momento máximotambiénocurre cuan­ do las cargas seaplicanenlapartederecha de la viga, ya que ion mayores lat ordena-

sección 8 y multa un momentode -14 tonm, nmyorqueelicorrespondientea la primera posición. Obsérvesequemientrasel vehfculo circula entre las secciones 1 y 6, no produce ningún momentoen esta últimasección. centrodelclaro, laposiciónmásdesfavorable delvehículoresullácuándolacargamayoreslá sobre la lección 4. en la cual es máxima la ordenada. Riraestaposición, el efedelantero quedasituadoal centroentre lassecciones 5 y6/dondelaordenadadelalfneade'influencia es de O.S..EI. momento obtenido para estas posicionesde lascaigas es de 8:0itpnrm; -i: Enlostresqisosdeesteejemplo, resultaba obvialaposiciónmásdesfavorabledelascaigas. too no siempre es asf. Cuandose tienen más ejesdecargaso vigasmáscomplicadas, no se

varias vigas paralelas, flor ejemplo, si es u puenteel represemadoeniosdalosdelproblem. puede tener dos o más vigas paralelasy tote ellas una fosa que sirva de superficie d rodamientopara el vehículo. Laireaccióny le momentos* calculados deberán entonce dividirse entre las varias vigasdel puente. I formadehacer estadivisióndependedevario factores, comoel anchodel puente, lapcciciá de lasvigasy deloscarrilesdediculación.etc Estosprocedimientosseestudianenlotcursos' enlostextosdepuentes.

I EJEMPLO 10,7. CALCULAR EL VALOR MÁXIMO DE LA REACCIÓN EN O V EL I MOMENTO FLEXIONANTE MAXIMO EN LAS SECCIONES 6 Y 4 DE LA VIGA DEL I EJEMPL010.4, SUPONIENDOQUE SOBRE LAVICA CIRCULA UNVEHfCULOCON

- j£ T -

rt^>vvvvtw^1 2 j 4 m'

¿É L * **

g

H

:'-ii, Linea de influencia de Rp »la càgji! se¡S,oloca entre las secciones 2 y 8: /fc=-1(1-2)(1.50)(13)*.11 7 ton ¿"ilOMENIOMAXIMOENLASECClÒfll 6

,...¡

Linea de influencia de M6

Si lacarga se cojoea entre las secciona 6 y | g l | | | | K

1 j^ 4 )(-4)(!3)--ÌÓ4 ton-m

B ó ò : MÁXIMOENLASECCIÓN4

; * '«carga secoloca entfe la»seccione* |

Ü

nuIi2Wlì1li-91Í Ü

En los ejemplosanteriores se ha Ilustrado la

metida a cargas móviles. Sin embargo, es le ala seccióndeterminada. Inclusivesi esta diurna es el centro del claro. Por ejemplo, enlaúltima panedel ejemplo 10.7secalculó el momentomáximo positivoen la sección 4 de la viga. Peroes posible que en alguna positivoaun mayor queel de8.0 ton-mque esel máximoenla sección4. Enloquesigue se presenta un método para calcular el sujeta a cargas móviles, o sea; el mayor momento flexionante que puede ocurrir en cualquiersección de la viga. En la figura untrende caigas concentradas. Se trata dedeterminar la posicióndel tren decargas flueproduceel momentomáximoabsoluto. Se recordará que el momento (lexionantc

máximosepresentadonde la fuer/J le esnula, yaquedM/dx =V. y el v.i|_____ | mode M se presenta donde la pendientedo. diagramade momentoses nula, o sea, ■ de que dM/dx = O. Por olra parte, enI vigacon cargas concentradas, la fuerzaI tanto es nula en el punto de aplicacióJ alguna de las cargas, ya que ahf es dq cambiade signoel diagrama de fuerzasI tantas. Supóngase que esa carga es la il cada con la hiena P, en la figura 10.1 que'su posición, que es la que se trata tante de las fuerzas a la izquierda de l\ ha representado con Pt y la resultantedq das las fuerzas. Incluyendo P, con P, e( misma figura se ha señalado también entre la fuerza P, y la resultante P. y_ distancia 6 entre la fuerza P, y la resultante fera calcular la distancia x, se plantear la ecuación de mor respecto a x, igualar a cero la derivada y despejar el valor de x. Se obtienen lo siguientes resultados.

ps | 1 ¡¡i *ooon _í oooo ? S g a 1M. Posicióndelascaía» queproducenel momentoReaioneMemáximo

pto19.1I>El irendec.irg.ises máscom* W S 'quecl del ejemploanterior. SlguienÏ el mismo procedimiento, se encuentra " , insultante de las seis cargas aplicaL seubica a una distancia de 4 m de la .lnm»r»T* ¿ Ia izquierda. Entonces, entro insultantey su carga vecina a la izquier­ daquedaunadistanciade 2 m. Equidistante aireaosdoscargasdebequedarel centro ). CALCULAR EL MOMENTO MÁXIMO ASSOLUTO DE LA VIGA

p r> . Irendecaigas

-r, i ■ Cuandosólosepidela líne cíaenunabarra, el métodode I para la resolucióndearmadura; práctico que el de los nudos, caso de la linea de influencia les a reacciones y a fuerzas axiales, yj islas son las únicas accionesque aclúl barras o de todas ellas, resulta con| (Helias estructuras; no hay n fld utilizar las ya calculadas para obtl floxlonantcsofuerzas cortantes. eH de Influencia de armaduras puedenI_______ fluencia do las reacciones facilitanJ lo de las correspondientes a las bl parael casodevigas: el métododirectoy el basadoenel principiodeMdllcr-Breslau. La principiodeMOIIer-BiesIau resultarv demostraciónpresentadaen lasección 10.2 veniente paracalcular las líneas del que establece que las lineas de influencia ■da dé reacciones, ya que basta c o i H _ de estructuras isostátlcas son líneas rectas, ..Un desplazamiento unitario en la reacción para tener completa la línea de Influencia.' es válida también para armaduras, lo que En la mayoría de los problemas, se pueden simplifica el cálculo. SI se aplica el método directo, el pro­ combinar el método directo y al principio cedimiento consiste en colocar cargas uni­ deMüller-Breslau, y el métododelosnudos con el de las secciones, para simplificar, tarias en losnudosde la armadura y calcular los cálculos. Estose ilustraen los siguientes lafuerzaproducidaporestacargaenla barra para la cual se desea obtener la linea de ejemplos. necesario especificar sobre qué cuerda de la armadura se desplazará la carga móvil; las líneas de influencia pueden variar si la carga seaplica a lo largode la cuerda infe­ rioro delacuerda superiordeunaarmadura. Porejemplo, si sedesea la línea de influenarmaduradela figura 10.9, paracargasapli­ cadasen la cuerda inferior, sepuedenir co­ locando fuerzas unitarias en los nudos Ig, ¿i, Lj, í,. , ls y Lf/Y calculandola fuerza en la barramencionadaparacada posición de la carga. El resultado será la línea de Influencia. Sin embargo, como ya se sabe quéla líneade influenciaesunalínea recta, no,es necesariohacer el cálculopara todas las posiciones de la carga. Si las cargas se colocanen las reacciones, nudos L0y í. , la fuerza en la barra será 0. Bastará entonces con colocarla en los nudos L¡ y Ly y unir loavaloresobtenidosconunvalorde0 enloa

Ejemplo 1t.1t Sopidecalcular laslíneasde Influencia para las inacciones y p a B fe i la barras de la armadura con cuerda supe­ rior Inclinada que se muestra en los datos del problema. So aclara que la c a i f l H colocarseen la cuerda inferior. ComoMha mencionado, la posición de la carga afecta“ los resultados. So empozó por calcular la líneadein­ fluencia de la reacción tea las reaccio-1 de Moller-Breslau, por lo queseusó cálculo de esta línea de influencia. Sedio] un desplazamiento unitario al apoyoi« et el sentidodela reacción, seunióestepuntoj con el apoyo L con una linee recta proporciones, so calcularon las ordenadas i correspondientes a loa nudos L, a L, ejemplo, la ordenada en el nudoL¡ ea2/3. Después se pasóal cálculode la línea I de Influencia de la barra IJJ,. Aquí seusóI el método de los nudos y so aprovechóla I

lineadainfluencia de la reacción en L que fj sehabía calculado. En el primer diagra­ madecuerpo libre, se colocó la carga uni­ tariasobre la reacción; se ve que la fuerza n labarra es 0, ya que la carga pasa dilectamente al apoyo. El segundo diagra­ madecuerpo librecorrespondea cualquier otn posición de la carga, y el valor de la fuerzaen la barra L0U, quedóexpresadoen Itrminosdela reacciónen L0, yaqueel valor deestareacción dependede la posición de Ucargaunitaria. ResuNóque la fuerzaenla barraesigual a j

neA 6 enR laesascecicócn ioen syenB;9. l°-2Resolverel ' 1r0e.3 C aalrcsu laernlalafuseerzcacicóo rta4nd teem ápxrio m aleym ealm o m en to fliesxo iob nra nltaem áaxim od qe usepp p s e n t e n l b 1 0 . 1 a . s e v i g s e lauzeadeenl siguientetrendecargas. fuerza corlanteen las lecciones4, y 9, momentoflexionante 2, 5,7.y problema anterior aplicando el principio de MOller-Breslau.

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*1 0.4 Catlo culaárxilm arep ao cciió nom áxlaim aenB,lafulem rzaco rttaon tem áxoim aean laese nc3 ,el m tirvo n neclca8ió steo 6,o sm iseonb rleom lavigaod elsp belenm asec.ci-ócns4eyde esplaozm aeu nam caárxgim ad isnterig butiivdo ad nción ngitudde m. con una

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•0.SCalcularel momentomáximoabsolutoquepuedeocurriren lassiguientesvigas, ^»respondientes a los nenes decarga indicados.

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10.6 Calcular las líneas de influencia de reacciones y de fuerzas axiales en todas las barras de la siguiente armadura. La carga sedesplaza por la cuerda inferior.

///////

W-7Calcular laslíneas de Influencia de fueras axiales en las barras U, U ,, U,U