Algebra Superior

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lndice general

Capítulo 1 CONCEPTOS PRELIMINARES

13

1. Conjuntos [ 13

2. Subconjuntos [15 3. Operaciones con conjuntos [16 4. Producto cartesiano 118 5. Relaciones 120 6. Funciones [2 1 7. Composición de funciones 122 8. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas [24 9. Cardinalidad Y conjuntos finitos [27 1o. Inducción matemática [29 11. El teorema del binomio [31 12. Relaciones de equivalencia y particiones [33 13. Estructuras numéricas 136

Capítulo 2 CALCULO COMBINATORIO

1. Ejemplos ilustrativos 139 2. Funciones [47 3. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas [54 4. Ordenaciones, permutacioncs y combinaciones [57 5. Problemas [64

39

7

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(NDICE GENERAL

capitulo 3 73

ESPACIOS VECTORIALES

1. E1 espacio vectorial R1 [73 2. El espacio vectorial Rn [80 3. Subespacios vectoriales 182 4. Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineal 184 5. Bases de subespacios vectoriales. Dimensión r89

Capitulo 4 MATRICES Y DETERMINANTES

97

1. Matrices [97 2. El rango de una matriz [lo1 3. Permutaciones [lo8 4. Determinantes [1 13 5. Propiedades básicas de los determinantes [1 17 6. Más propiedades de los determinantes [123 7. Cálculo de determinantes [131 8. Caracterización del rango de una matriz mediante determinantes

[133

Capitulo 5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

137

1. Definiciones [137 Existencia de soluciones [140 Sistemas de n ecuaciones con n incógnitas [144 Sistemas homogéneos [148 Sistema homogéneo asociado 1152 Resolución de sistemas [154

2. 3. 4. 5. 6.

Capítulo 6 EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

1. Propiedades básicas de las operaciones en

2. Anillos [164

163

Z 1163

"DICE

GENERAL

9

3. Propiedades de anillos de los enteros [167 4. Dominios enteros [170 5. El orden en Z E171 6. Unidades en 2 [173 7. El principio de inducción E174 8. El principio de buen orden [177

Capítulo 7 DlVlSl5lLlDAD

179

1. Definiciones y propiedades elementales [179

2. El algoritmo de la división [184 3. El máximo común divisor [187 4. El algoritmo de Euclides y ecuaciones diofantinas [193 5. Factorización única [198 6. Congruencias 1202

Capitulo 8 LOS NÚMEROS REALES

209

1. Los números racionales, [209 2. El conjunto R de los reales. Orden en R [217 3. Cotas y fronteras [219 4. Suma y producto de reales [222 5. Propiedades de la suma, el producto y el orden en R [224 6. Racionales y reales [233 7. Raíces de reales positivos. Exponentes fraccionarios [238 8. Valor absoluto [241 9. Aproximación [242

Capítulo 9 EL CAMPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 1. Módulo y argumento de vectores de

R2 [245

2. Los números complejos [253 3. Propiedades de las operaciones [259 4. Raíz cuadrada [266

245

INDlCE GENERAL

10

5. Raíces n-ésimas de números complejos [271 6. El campo de los números complejos [273

Capítulo 10 POLINOMIOS Y TEORCA DE ECUACIONES 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8.

9. 1o. 11. 12. 13. 14.

15. 16.

Polinomios [2 7 7 Los polinomios como funciones [279 Suma y producto de polinomios [280 División con residuo [283 Raíces de polinomios. Teorema del residuo. Todo polinomio de grado positivo tiene raíces [286 Ecuaciones de segundo grado [288 División sintética. Expresión de un polinomio en la forma x a i ( ñ - a ) i E290 Cálculo de una raíz aislada en un intervalo en cuyos extremos el polinomio tiene signos contrarios C293 Factorización de un polinomio. Raíces múltiples [297 Derivadas y multiplicidad 1300 Coeficientes y raíces [303 Polinomios con coeficientes reales E304 El algoritmo de Euclides con polinomios 1306 Aislamiento de las raíces reales de un polinomio con coeficientes reales (teorema de Strum) [308 Fracciones racionales. Descomposición en fracciones parciales [3 12 Ecuaciones de tercero y cuarto grados con coeficientes reales [3 18

f ndice analítico E321 índice de símbolos [323

277