Algebra Superior II [1 ed.] 9786073014236

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Curso completo Carmen Gómez Laveaga

Álgebra superior I

Antonio Lascurain Orive

Cálculo diferencial de varias variables Javier Páez Cárdenas

Cálculo integral de varias variables

Javier Páez Cárdenas

Un acercamiento a los fundamentos del cálculo.

El infinito y los números reales Javier Fernández García

Una mirada al cálculo a través de las sucesiones Luis Briseño Óscar Palmas Julieta Verdugo

Antonio Lascurain Orive

Antonio Lascurain Orive

Álgebra superior.

P 

rácticamente todas las áreas de la matemática involucran conjuntos con alguna estructura algebraica, en este sentido el estudio del álgebra es fundamental para la ciencia en general. Este libro trata de algunos temas introductorios del álgebra que se enseñan en el segundo semestre de la licenciatura de las carreras de Matemáticas, Matemáticas aplicadas, Actuaría y Ciencias de la Computación, de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. El texto es la segunda parte del libro Álgebra superior I, de mi autoría, publicado en esta colección. El primer capítulo trata de los fundamentos de la teoría de números, en particular se usa el algoritmo de Euclides para resolver las ecuaciones diofantinas, se prueba y se aplica el teorema fundamental de la aritmética y se resuelven ecuaciones de congruencias. En el segundo capítulo definiendo los números reales como expansiones decimales infinitas sin colas de nueves, se prueba que estos números constituyen un campo. El tercer capítulo presenta las propiedades básicas del álgebra y la geometría de los números complejos, se define de manera correcta el argumento. Además, se calculan las raíces n-ésimas de los números complejos. El cuarto capítulo trata de las propiedades básicas de los polinomios, en particular se usan los teoremas del residuo y del factor, así como las derivadas, como herramientas para factorizarlos, además se aproximan raíces con distintos métodos y se resuelven los polinomios de grado tres. En los últimos tres capítulos se enfatiza en las relaciones con la geometría y el cálculo, incluyendo muchas figuras. El texto está basado en el libro Álgebra superior, de Humberto Cárdenas, Francisco Raggi, Emilio Lluis y Francisco Tomás.

Álgebra superior II

Es doctor en Matemáticas por la Universidad de Columbia, Nueva York. Realizó su tesis doctoral bajo la dirección de Troels Jørgensen. Desde1979 es profesor en las áreas de álgebra, análisis, geometría y topología en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido las materias Álgebra superior I y II en múltiples ocasiones y ha dirigido numerosas tesis de licenciatura sobre geometría hiperbólica. Es autor de diversos artículos de investigación en prestigiosas revistas nacionales y extranjeras. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI) desde 1992. Su principal área de investigación es la geometría hiperbólica.

Álgebra superior II

Otros títulos de Prensas de Ciencias:

Algunas de sus publicaciones son: “Some Presentations for Γ o (Ν)”, en Conformal Geometry and Dynamics (2002), y “On Commutators and Hyperbolic Groups in PSL(2,R)”, en Journal of Geometry (2014).

ISBN: 978-607-30-1423-6

Antonio Lascurain Orive

9 786073 014236

PANTONE 7453 C 90%

PANTONE 7425 C

PANTONE 7687 C

Es autor, en esta misma serie, de los libros: Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional, Curso básico de variable compleja y Álgebra superior I.

Antonio Lascurain Orive

ÁLGEBRA SUPERIOR II

Facultad de Ciencias, UNAM 2019

512.00711 Lascurain Orive, Antonio, autor, Álgebra superior. II / Antonio Lascurain Orive. -- 1ª edición. -- Ciudad de México : Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ciencias, 2019. x, 175 páginas : ilustraciones ; 22 cm. -- (Temas de matemáticas) Incluye índice ISBN 978-607-30-1423-6 1. Álgebra--Estudio y enseñanza (Superior) I. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias, editor. Biblioteca Nacional de México

No. de sistema[000709370]

Esta obra contó con el apoyo del proyecto PAPIME PE102716

Álgebra superior II 1a edición, 5 de enero de 2019 © DR. 2019. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias Ciudad Universitaria, Delegación Coyoacán. C.P. 04510. Ciudad de México [email protected] tienda.fciencias.unam.mx ISBN: 978-607-30-1423-6 Diseño de portada: Laura Uribe y Eliete Martín del Campo Prohibida la reproducción total o parcial de la obra, por cualquier medio, sin la autorización por escrito del titular de los derechos. Impreso y hecho en México.

A Adda Stella

Pr´ ologo ´ Algebra superior II presenta temas introductorios de ´algebra que se ense˜ nan en el segundo semestre de las carreras de Matem´aticas, Actuar´ıa y Ciencias de la Computaci´on de la Facultad de Ciencias de la UNAM. El texto es la ´ continuaci´on de Algebra superior I [9] de mi autor´ıa. El libro cubre el programa vigente, es decir: la divisibilidad, el a´lgebra y la geometr´ıa b´asica de n´ umeros complejos, y el anillo de los polinomios. Los enteros y los anillos Zm , que tambi´en corresponden al temario de a´lgebra superior II, fueron tratados en [9]. Se discuten tambi´en otros temas que no son parte del temario, en particular, se prueba que los reales constituyen un campo y se ampl´ıa la discusi´on sobre los polinomios. La demanda por parte de muchos estudiantes de mis notas manuscritas ´ del curso Algebra superior II fue lo que motiv´o la elaboraci´on de este libro, basado en buena medida en el C´ardenas et al. [4]. El objetivo es que los ´ alumnos cuenten con un texto claro, breve y formal del curso Algebra superior II. Gran parte del texto conecta la discusi´on con otras a´reas como la geometr´ıa y el c´alculo (incluyendo 46 figuras), con la perspectiva de que las matem´aticas no son ramas aisladas, y que los estudiantes podr´an entender mejor el ´algebra cuando se le relaciona con otras a´reas. El libro no s´olo cubre el plan vigente (2005), adem´as toma en lo general la estructura del plan de estudios de 1966. Tambi´en se desarrollan algunos buenos ejemplos que aparecen en [4], present´andolos sin embargo de manera m´as detallada, algunas veces relacion´andolos con el c´alculo e incluyendo gr´aficas. En el primer cap´ıtulo, se describen el m´aximo com´ un divisor y el m´ınimo com´ un m´ ultiplo para dos o m´as n´ umeros; se resuelven para valores enteros todas las ecuaciones diofantinas lineales; se prueba el teorema fundamental de la aritm´etica; se exhiben diversos m´etodos para resolver m´ ultiples sistemas de congruencias; se prueba tambi´en que los anillos Zp , p primo, son campos. Este cap´ıtulo podr´ıa llamarse introducci´on a la teor´ıa de n´ umeros, cabe se˜ nalar que esta rama de la matem´atica es de gran importancia y se relaciona con muchas a´reas; en particular con la criptograf´ıa, v´ease por ejemplo [8]. La teor´ıa de n´ umeros tambi´en vincula la variable compleja, la geometr´ıa hiperb´olica y la topolog´ıa de las variedades de dimensi´on tres, como se puede apreciar en el v

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libro de posgrado [10]. Asimismo, es un hecho notable que la conjetura de Fermat (1637), que establece que la ecuaci´on an + bn = cn , donde a, b, c son enteros positivos distintos a 1, se cumple solamente si n = 2, fue probada por el matem´atico ingl´es Andrew Wiles en 1996, usando funciones el´ıpticas y formas modulares, temas profundos de la matem´atica, que relacionan la teor´ıa de n´ umeros con otras ramas como la geometr´ıa algebraica y la variable compleja. En el segundo cap´ıtulo, definiendo los reales como expansiones decimales infinitas sin colas de nueves, se prueba de manera formal y detallada que estos n´ umeros reales son en efecto un campo. Considero que –aunque el tratamiento de los reales con cortaduras de Dedekind es m´as elegante ([12])– para un estudiante del primer a˜ no de la carrera, ´este resulta ser menos natural que el de las expansiones decimales infinitas. Asimismo, el m´etodo de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy no es muy apropiado para un estudiante del primer a˜ no de la carrera, quien puede identificar claramente los puntos de la recta con las expansiones decimales infinitas, sin embargo no tiene suficiente madurez matem´atica para pensar puntos como clases de equivalencia. Se prueban tambi´en algunos teoremas de densidad de los racionales y que ´estos son exactamente los reales peri´odicos; se incluye tambi´en una discusi´on sobre aproximaci´on y se compara con el m´etodo de Newton. La raz´on principal de incluir este cap´ıtulo es probar de manera simple y r´apida que los n´ umeros reales tienen estructura de campo. En el tercer cap´ıtulo se prueban e ilustran resultados b´asicos de la geometr´ıa y el a´lgebra de los n´ umeros complejos, poniendo ´enfasis en la parte geom´etrica, ya que de esta forma se vuelve transparente la ecuaci´on i2 = −1. Adem´as, se define el argumento de un n´ umero complejo de manera multivaluada, lo cual prepara de manera correcta a los estudiantes para el aprendizaje de la variable compleja b´asica, basta por ejemplo pensar en la funci´on logar´ıtmica compleja. Este enfoque tambi´en simplifica sustancialmente diversos c´alculos. Aunado a esto se incluyen muchas figuras y se mencionan m´etodos del c´alculo para aproximar funciones trigonom´etricas y argumentos, como el teorema de Taylor. Los n´ umeros complejos son esenciales en pr´acticamente todas las ramas de la matem´atica y algunas de la f´ısica, por ejemplo, permiten simplificar largos c´alculos a cuentas m´as simples, como se puede constatar en las integrales impropias. M´as a´ un, son una poderosa herramienta en la geometr´ıa, como se observa con las funciones de Moebius, es decir, las que van del plano en el plano, o m´as precisamente de la esfera en la esfera, y que son de la forma z −→

az + b , cz + d

a d − b c = 0,

a, b, c, d ∈ C.

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El u ´ltimo cap´ıtulo trata sobre algunos fundamentos del anillo de los polinomios, como son: el algoritmo de la divisi´on, los teoremas del factor y del residuo, teoremas b´asicos sobre polinomios con coeficientes enteros, el m´etodo de aproximaci´on de Horner, la factorizaci´on de polinomios usando las derivadas y el m´aximo com´ un divisor. Se prueba tambi´en el teorema de Sturm que permite aislar ra´ıces, y se encuentran las soluciones a las ecuaciones de grado 3 y 4, mediante el teorema de Cardano–Ferro–Tartaglia y el m´etodo de Ferrari. Adem´as, se prueban resultados sobre fracciones parciales, y se presentan polinomios sim´etricos en varias variables que describen a los coeficientes de los polinomios en t´erminos de sus ra´ıces. Los polinomios son fundamentales en las matem´aticas y sus aplicaciones, en particular los llamados de Taylor han sido hist´oricamente una herramienta b´asica para conocer el comportamiento de muchas funciones. Su utilidad e importancia aparece en casi todas las ´areas, m´as a´ un, constituye uno de los objetos de estudio de ´areas como la variable compleja, la geometr´ıa algebraica, as´ı como varias ramas del a´lgebra. El texto contiene diversos ejercicios (algunos avanzados). La raz´on de no incluir un n´ umero excesivo de ellos es proporcionar al estudiante una gu´ıa m´ınima para dominar la materia de manera r´apida. Los temas de este libro pueden cubrirse en un semestre. Una posible distribuci´on podr´ıa ser la siguiente: cuatro semanas para cubrir el cap´ıtulo de divisibilidad, tres semanas para el cap´ıtulo de reales, dos semanas y media para los n´ umeros complejos, y cinco semanas y media para el cap´ıtulo de polinomios. ´ Otros libros de apoyo a los estudiantes de la materia Algebra superior II son [1], [2] y [6]. Agradezco especialmente a Manuel Flores Galicia por la captura en Latex ´ de mis notas para el curso Algebra superior II, y por la elaboraci´on de las figuras; asimismo mi agradecimiento a uno de los ´arbitros que ley´o de manera cuidadosa el texto y sugiri´o muchas mejor´ıas a lo largo de todo el libro. Mi gratitud tambi´en a los colegas que me han enriquecido con sus comentarios sobre la ense˜ nanza de esta asignatura, y a varios de mis alumnos por sus pertinentes intervenciones; a las autoridades de la Facultad de Ciencias y a la Direcci´on General de Asuntos del Personal Acad´emico (DGAPA), que me apoyan en la publicaci´on de este libro, con el proyecto PAPIME PE102716.

´Indice general 1. Divisibilidad 1.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. El algoritmo de la divisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. El m´aximo com´ un divisor y el m´ınimo com´ un m´ ultiplo 1.4. Algoritmo de Euclides, Ecuaciones diofantinas . . . . . 1.4.1. Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Ecuaciones Diofantinas . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Teorema fundamental de la aritm´etica . . . . . . . . . 1.6. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Los campos Zp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 4 7 13 13 15 18 23 32

2. El campo de los n´ umeros reales 2.1. Los racionales . . . . . . . . . . . 2.2. Los n´ umeros reales . . . . . . . . 2.3. El supremo y el ´ınfimo . . . . . . 2.4. Los reales son un campo . . . . . 2.5. Racionales = reales peri´odicos . . 2.6. Exponentes fraccionarios . . . . . 2.6.1. Ra´ıces n-´esimas . . . . . . 2.6.2. Exponentes fraccionarios . 2.7. Aproximaci´on, m´etodo de Newton

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33 33 40 44 47 57 62 62 63 66

3. Los n´ umeros complejos 3.1. Nociones b´asicas . . . . . . 3.1.1. M´odulo . . . . . . . 3.1.2. Argumento . . . . . 3.2. Multiplicaci´on de complejos 3.3. Los complejos son un campo 3.4. Ra´ız cuadrada . . . . . . . . 3.5. Ra´ıces n-´esimas . . . . . . .

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71 71 71 72 83 88 93 97

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ix

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´Indice general

x

4. El anillo de los polinomios 4.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. El dominio entero A[z] . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Divisi´on con residuo . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Teoremas del residuo y del factor . . . . . . . . 4.5. Polinomios de grado 2 . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Divisi´on sint´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Aproximaciones a ra´ıces en polinomios reales . . 4.8. Factorizaci´on de polinomios . . . . . . . . . . . 4.9. Ra´ıces m´ ultiples, derivadas . . . . . . . . . . . . 4.10. Coeficientes, ra´ıces y polinomios sim´etricos 4.11. Factorizaci´on en polinomios reales . . . . . . . . 4.12. El m´aximo com´ un divisor . . . . . . . . . . . . 4.13. M´etodo de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14. Funciones racionales, fracciones parciales . . . . 4.15. Teorema de Cardano-Ferro-Tartaglia . . . . . . 4.16. M´etodo de Ferrari . . . . . . . . . . . . . . . . .

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103 103 104 108 112 117 119 122 128 131 135 138 140 143 149 155 164

Glosario de s´ımbolos

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Bibliograf´ıa

171

´Indice anal´ıtico

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Cap´ıtulo 1 Divisibilidad 1.1.

Fundamentos

Dados m y n enteros, n = 0, su cociente m n no es necesariamente un entero, por ejemplo 3/8, 4/3. En algunos casos s´ı: 6/2, 25/5, 169/13. Definici´ on 1. Dados m, n ∈ Z m/n ∈ Z, o equivalentemente

n = 0, se dice que, n divide a m, si

i) n es un divisor de m, ii) n es un factor de m, iii) m es un m´ ultiplo de n, iv) m es divisible entre n. Se denota esta propiedad por n | m, por ejemplo 3 | 12, 7 | 49. En caso contrario se escribe n  m. La Definici´on 1 se puede reformular sin hacer referencia a cocientes. Definici´ on 2. Sean m, n ∈ Z se dice que n divide a m, si existe q ∈ Z tal que m = nq. Si n = 0, ambas definiciones son equivalentes, ya que si n es divisor conforme a la primera definici´on se tiene m/n = q ∈ Z y m = nq, y viceversa, si n cumple la segunda definici´on m = qn y como n = 0 se puede despejar. De cualquier manera, como no se han introducido a la discusi´on los racionales, 1

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1.1. Fundamentos

la Definici´on 2 es la adecuada. Adem´as, incluye el caso n = 0. N´otese que el u ´nico n´ umero que tiene al cero como factor es 0. Adem´as, todo entero es factor del cero. La propiedad de ser divisor es reflexiva, ya que como m = m · 1 ∀ m ∈ Z m | m. Tambi´en es transitiva: dados m, n, p ∈ Z tales que n | m y tiene n | p.

m | p,

se

Esto se sigue, ya que al existir q, r ∈ Z tales que m = nq y p = mr, se tiene p = nqr y n | p. Las unidades de Z : 1 y −1, no alteran la divisibilidad. Proposici´ on 1.1.1. Sean m, n ∈ Z y u, u unidades (i.e., u, u = ±1). Entonces n | m ⇐⇒ un | u m. ´ n. ⇒) Si m = nq, q ∈ Z, como existe u1 ∈ Z (u1 = ±1) tal Demostracio que uu1 = 1, se tiene m = unu1 q, esto es, un | m y un | u m (por transitividad). ⇐) Si u m = kun, k ∈ Z, tomando u u = 1 se sigue m = u kun.

Este resultado nos dice que al considerar la divisibilidad los signos no son relevantes (por lo que para estudiar esta propiedad, basta considerar solamente n´ umeros naturales y el 0). Corolario 1.1.2. Sean m, n ∈ Z, entonces n | m ⇐⇒ |n| | |m|. Como |m| = um y |n| = u n, u, u = ±1, este es simplemente un caso particular de la Proposici´on 1.1.1. La divisibilidad ciertamente no es sim´etrica, sin embargo si n | m y m | n, entonces m = nu, donde u es una unidad. Esto se sigue ya que las hip´otesis implican m = nk, n = tm, k, t ∈ Z. Por lo cual m = tkm y tk = 1, i.e., k es una unidad. Si m = 0, entonces tambi´en n = 0 y 0 = 1 · 0. Exhibimos ahora una propiedad que relaciona el orden con la divisibilidad.

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1. Divisibilidad

Proposici´ on 1.1.3. Sean m, n ∈ Z − {0}, tales que n | m, entonces |n|  |m|. ´ n. Usamos el hecho de que el orden es compatible con el Demostracio producto, v´ease, por ejemplo, [9], Proposici´on 6.4.3. Se sigue del Corolario 1.1.2 que |m| = |n|q. Obs´ervese que q  1. De otra manera, si q  0, se tendr´ıa |m| = |n|q  |n| · 0 = 0, lo que contradice m = 0. Finalmente, si q = 1, |m| = |n| y si q > 1 se tiene |m| = |n|q > |n|. El siguiente resultado muestra la relaci´on de la suma y el producto con la divisibilidad. Proposici´ on 1.1.4. Sean m, n, p ∈ Z, (i) si n | m y n | p, entonces n | m + p, (ii) si n | m y p ∈ Z, entonces n | mp. ´ n. Demostracio (i) Como m = nk y p = nt, m + p = nk + nt = n(k + t). (ii) Si m = nk,

mp = npk.

Corolario 1.1.5. Sean m, n, p ∈ Z, tales que n | m y n | p, entonces n | mk + pt

∀ k, t ∈ Z.

Definici´ on 3. Dados m, p ∈ Z, a los n´ umeros de la forma mk + pt, k, t ∈ Z se les llama combinaciones lineales de m y p. El Corolario 1.1.5 se puede afinar a´ un m´as. Corolario 1.1.6. Un entero n es divisor de los enteros m y p (divisor com´ un) si y s´olo si n divide a cualquier combinaci´on lineal de m y p.

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´n 1.2. El algoritmo de la divisio

´ n. La necesidad es el corolario anterior. La suficiencia se sigue Demostracio ya que n | m · 0 + p · 1 y n | m · 1 + p · 0.

N´otese que dados dos enteros, no cualquier otro entero es combinaci´on lineal de ellos. Por ejemplo, 8 no es combinaci´on lineal de 10 y de 25, ya que como 5 | 10 y 5 | 25, se tendr´ıa 5 | 8, por el Corolario 1.1.5. Tambi´en 17 no es combinaci´on lineal de 15 y 24. En general, si t = km + sp, y d es divisor com´ un de m y p, necesariamente d | t (Corolario 1.1.5). Probaremos posteriormente que esta u ´ltima propiedad (d | t), cuando d es el m´aximo com´ un divisor, es una condici´on suficiente para que t sea combinaci´on lineal de m y p (Corolario (1.3.3)). Definici´ on 4. Dados enteros m1 , m2 , . . . , mk , a los enteros de la forma c1 m1 + c2 m2 + · · · + ck mk , ci ∈ Z, ∀ i ∈ {1, 2, . . . , k} se les llama combinaciones lineales de m1 , m2 , . . . , mk . Obs´ervese que ∀ i, mi es combinaci´on lineal de m1 , m2 , . . . , mk . EJERCICIOS 1.1 1. Exhiba cinco enteros que no sean combinaci´on lineal de 6 y 10. 2. Pruebe que 26 no es combinaci´on lineal de 5 y 10.

1.2.

El algoritmo de la divisi´ on

Dados 2 enteros, no siempre uno es factor del otro. Sin embargo, siempre se puede dividir obteniendo un cociente y un residuo. El siguiente resultado describe de manera precisa este hecho. Teorema 1.2.1. (Algoritmo de la divisi´ on) Sean a, b ∈ Z, b = 0, entonces existen q, r u ´nicos tales que a = bq + r,

donde

0  r < |b|.

Al n´ umero r se le llama el residuo (de dividir a entre b) y a q el cociente. ´ n. Probamos primero la unicidad: Demostracio Si a = bq + r 0  r < |b|, y

a = bq  + r

0  r < |b|,

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1. Divisibilidad

se tiene b(q − q  ) = r − r y |b||q − q  | = |r − r |. Si r = r , se tiene q = q  y se sigue el resultado (|b| = 0). De otra manera se seguir´ıa de la Proposici´on 1.1.3 que |b|  |r − r|. Sin embargo, lo correcto es |r − r| < |b|. Ya que por ejemplo, si r > r, se tiene 0  r − r < r < |b| (el caso r > r es an´alogo). Para probar la existencia se consideran casos: Caso 1: a, b > 0. Sea

W = {a − bk | k ∈ Z, a − bk  0},

como a = a − b · 0 ∈ W, W = ∅. Se afirma que r el menor elemento de W es el residuo buscado (el menor elemento existe por el principio del buen orden, r puede tambi´en ser 0). Como r = a − bq  0 a = bq + r

(r  0),

por lo que basta probar que r < b. Esto se sigue, ya que si r > b, r − b es un elemento menor a r que est´a en W, ya que r − b = a − bq − b = a − b(q + 1). Caso 2: a > 0, b < 0. Aplicando el Caso 1 a a y −b, se tiene a = (−b)q + r,

0  r < | − b|,

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´n 1.2. El algoritmo de la divisio

es decir a = b(−q) + r,

0  r < |b|.

Caso 3: a < 0, b < 0. El truco del Caso 2 no es suficiente, ya que −a = (−b)q + r

a = bq − r, pero − r  0.

=⇒

Sin embargo, podemos escribir a = bq + b − r − b = b(q + 1) + (−b − r), y como 0  r < |b| = −b, se tiene 0  −b − r < −b = |b| y −b − r es el residuo buscado. Caso 4: a < 0, b > 0. La prueba de este caso queda como ejercicio para el lector. Ejemplos. Encontramos cocientes y residuos para a = ±483 y b = ±25. a = 483, Como 483 = 25 · 19 + 8,

b = 25.

se obtiene q = 19 y r = 8.

a = 483, Como 483 = (−25)(−19) + 8, a = −483,

b = −25. se obtiene q = −19 y r = 8. b = 25.

se tiene del 1er ejemplo, − 483 = 25(−19) − 8 = 25(−19) − 25 + 25 − 8 = 25(−20) + 17,

y entonces q = −20 r = 17.

a = −483,

b = −25.

Como − 483 = (−25)(19) − 8 + 25 − 25

=

(−25)(20) + 17,

se obtiene q = 20 y r = 17.

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1. Divisibilidad

Aparentemente el algoritmo de la divisi´on es el m´etodo para encontrar los divisores de un n´ umero. Probaremos posteriormente que hay m´etodos m´as eficientes (descomposici´on en primos). EJERCICIOS 1.2 1. Termine la prueba del Teorema 1.2.1. 2. Divida −1024 entre 21 y entre −21, −216 entre 11 y −17 entre 240.

1.3.

El m´ aximo com´ un divisor y el m´ınimo com´ un m´ ultiplo

Definici´ on 5. Dados a, b ∈ Z, alguno de ´estos distinto de 0, el m´aximo com´ un divisor de a y b es el mayor entero que es divisor de ambos n´ umeros. Este n´ umero se denota por (a, b). Obs´ervese que (a, b)  1, ya que 1 es factor de todo entero, incluido el cero. Ejemplo.

Los divisores comunes de 120 y 36 son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12,

por lo que (36, 120) = 12. En la discusi´on del MCD (m´aximo com´ un divisor) podemos restringirnos a n´ umeros positivos, ya que como se mostr´o antes los signos no alteran la divisibilidad (y el caso a = 0 o b = 0 es trivial). Se mostr´o que si t es combinaci´on lineal de a y b y d es un divisor com´ un de a y b, entonces d | t. Mostramos ahora que esta u ´ltima propiedad, aplicada al caso d = (a, b), es suficiente, para que t sea combinaci´on lineal de a y b. Lema 1.3.1. La combinaci´on lineal positiva m´ınima de a y b es un divisor com´ un de a y b. ´ n. Sea d la combinaci´on lineal positiva m´ınima de a y b, enDemostracio tonces existen s, t ∈ Z tales que d = as + bt. Aplicando el algoritmo de la divisi´on a a y a d, se tiene a = dq + r

0  r < d.

8

´ ximo comu ´ n divisor y el m´ınimo comu ´ n mu ´ ltiplo 1.3. El ma

Necesariamente r = 0, de otra forma (sustituyendo) a = (as + bt)q + r

y a(1 − sq) − btq = r,

contradiciendo que d es la combinaci´on lineal m´ınima. ∴ d | a,

an´alogamente d | b.

Teorema 1.3.2. El MCD de a y b es la combinaci´on lineal positiva m´ınima de a y b. ´ n. Sea d = (a, b) y m la combinaci´on lineal positiva m´ınima Demostracio de a y b. Se sigue del Lema 1.3.1 que m | a y que m | b, por lo que m  d (d es el mayor de los divisores comunes). Por otra parte, como d | a y d | b se tiene que d | m y por lo tanto d  m. Corolario 1.3.3. Un entero c es combinaci´on lineal de a y b ⇐⇒ (a, b) | c. ´ n. ⇒) Es un caso particular del Corolario 1.1.5, ya que (a, b) Demostracio es un divisor com´ un. ⇐) Si d = (a, b) se sigue del Teorema 1.3.2 que d = ak + bt k, t ∈ Z, y tambi´en por hip´otesis, c = md, por lo cual c = mak + mbt = a(mk) + b(mt).

EL Teorema 1.3.2 se puede reformular de manera m´as general. Teorema 1.3.4. Si a, b, d ∈ N, las siguientes 4 condiciones son equivalentes: i) d = (a, b), i.e., d es el mayor de los divisores comunes de a y b, ii) d es la combinaci´ on lineal positiva m´ınima de a y b, iii) d es un divisor com´ un de a y b que tiene la propiedad de que si t es otro divisor com´ un (de a y b), entonces t | d, iv) d es un divisor com´ un de a y b que tambi´en es combinaci´on lineal de ´estos.

9

1. Divisibilidad

´ n. El Teorema 1.3.2 muestra que i) y ii) son equivalentes. Demostracio Tambi´en, i) y ii) ⇒ iii), ya que si t es un divisor com´ un de a y b, t es factor de toda combinaci´on lineal. Evidentemente i) y ii) ⇒ iv), por lo que basta probar que iii) ⇒ i) y iv) ⇒ i), probamos la primera implicaci´on y dejamos la segunda como ejercicio. Sea m ∈ N tal que cumple iii) y d = (a, b). Hay que probar que m = d. Se sigue de iii) que m es divisor com´ un y entonces m  d, tambi´en se sigue de iii) que como d es divisor com´ un d | m, por lo cual d  m y d = m. Obs´ervese que las condiciones iii) y iv) no usan el concepto de orden, por lo que sirven para definir el MCD en anillos no ordenados. Definici´ on 6. Se dice que a, b ∈ Z son primos relativos o primos entre s´ı, si (|a|, |b|) = 1. Ejemplo. Los n´ umeros 13 y 18 son primos relativos. Sin embargo, 121 y 11 no lo son, ya que 11 es un divisor com´ un. Como consecuencia inmediata del Teorema 1.3.4 se tiene el siguiente resultado. Corolario 1.3.5. Dos n´ umeros a, b ∈ Z son primos relativos si y s´olo si ∃ s, t ∈ Z tales que 1 = as + bt. Obs´ervese que si a | bc, no necesariamente a | b o a | c, por ejemplo, 10 | 8 · 5, pero 10  8 y 10  5; sin embargo se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on 1.3.6. Si a | bc y (a, b) = 1 , entonces a | c. ´ n. Como 1 = ka + tb, donde k, t ∈ Z, se tiene c = kac + tbc. Demostracio Finalmente, a | a y a | bc, entonces a | c. Este resultado se entender´a mejor posteriormente, a la luz de la descomposici´on en primos. Estudiamos ahora el concepto dual al MCD Definici´ on 7. Dados a, b ∈ Z − {0}, al menor m´ ultiplo positivo de a y b se le llama m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a y b (MCM), y se le denota por [a, b]. Evidentemente el conjunto de m´ ultiplos comunes es no vac´ıo, uno de ellos es |ab|, el menor existe por el PBO. Por ejemplo, si a = 8 y b = 10, los m´ ultiplos positivos de a son {8, 16, 24, 32, 40, 48, . . .} y los de b, {10, 20, 30, 40, . . .}, respectivamente, por lo que [8, 10] = 40. Exhibimos ahora otra caracterizaci´on del m´ınimo com´ un m´ ultiplo, que lo caracteriza en t´erminos de otros m´ ultiplos. Como en el caso del MCD, para evitar complicaciones innecesarias, se puede trabajar exclusivamente con n´ umeros no negativos.

10

´ ximo comu ´ n divisor y el m´ınimo comu ´ n mu ´ ltiplo 1.3. El ma

Teorema 1.3.7. Sea m un m´ ultiplo com´ un de a, b ∈ N, entonces [a, b] | m . ´ n. Sea m = [a, b], aplicando el algoritmo de la divisi´on se Demostracio tiene m = mq + r, 0  r < m. Ahora, como a | m y a | m entonces a | r; an´alogamente b | r. Si r > 0, r ser´ıa un m´ ultiplo com´ un menor a m, ∴

r=0 y

m | m .

La propiedad del teorema anterior caracteriza al MCM. Teorema 1.3.8. Si m es un m´ ultiplo com´ un de a, b ∈ N que tiene la propiedad de que si m es otro m´ ultiplo com´ un de a y b, necesariamente m | m , entonces m = [a, b]. ´ n. Por definici´on [a, b]  m, y como m | [a, b], Demostracio m  [a, b].

El MCD y el MCM est´an relacionados, por ejemplo si a = 14 y b = 10 (a, b)[a, b] = 2 · 70 = ab, esto sucede en general. Teorema 1.3.9. Dados a, b ∈ N, siempre se cumple que ab = (a, b)[a, b]. ´ n. Como ab es un m´ Demostracio ultiplo com´ un de a y b, se obtiene ab = mt,

donde m = [a, b],

en virtud del Teorema 1.3.7. Se debe probar que t = (a, b). Para probar esto usamos la propiedad iii) del Teorema 1.3.4. Primero probamos que t es un divisor com´ un: como m = ar, se tiene ab = art,

y a(b − rt) = 0,

11

1. Divisibilidad

∴

b = rt y t | b,

an´alogamente t | a.

Ahora, si s es otro divisor com´ un a = sa

y b = sb ,

ultiplo com´ un de a y b, por lo que m = mq. y se tiene que m = a b s es un m´ Finalmente, mt = ab = a sb s = m s = mqs ∴

m(qs − t) = 0 y s | t.

La idea de la prueba fue generar un m´ ultiplo com´ un “econ´omicamente” con s, para expresar ab = mt, como m(entero)s, usando la propiedad del Teorema 1.3.7. Una demostraci´on m´as natural se exhibir´a despu´es con el teorema de descomposici´on en primos. Los conceptos de MCD y MCM se extienden a m´as de 2 enteros. Definici´ on 8. Sean a1 , a2 , . . . , an ∈ Z−{0} se define el MCD como el mayor divisor positivo de todos estos n´ umeros, y el MCM como el menor m´ ultiplo com´ un positivo de todos estos n´ umeros; ´estos se denotan por (a1 , a2 , . . . , an ) y [a1 , a2 , . . . , an ]. Ejemplos. (6, 14, 28) = 2 [6, 14, 28] = 84, ya que los m´ ultiplos de 28 son 28, 56, 84 y 3  28,

3  56.

un tal que es Teorema 1.3.10. Sean a1 , a2 , . . . , an ∈ N y d un divisor com´ combinaci´ on lineal de a1 , a2 , . . . , an , entonces d = (a1 , a2 , . . . , an ). ´ n. Sea t = (a1 , a2 , . . . , an ), entonces d  t y como t | d, Demostracio td

∴

t = d.

En la prueba del teorema anterior usamos el hecho de que si t | ai ∀ i, entonces t es divisor de cualquier combinaci´on lineal de las ai (esto se prueba de manera an´aloga al Corolario 1.1.5). Obs´ervese que el Lema 1.3.1 y el Teorema 1.3.4 tambi´en son v´alidos para n naturales (mismas demostraciones). N´otese que tambi´en el Teorema 1.3.8 se cumple para n n´ umeros. Estos hechos son u ´tiles para resolver algunos de los ejercicios al final de esta secci´on.

12

´ ximo comu ´ n divisor y el m´ınimo comu ´ n mu ´ ltiplo 1.4. El ma

Proposici´ on 1.3.11. Sean a, b primos relativos tales que a | c y b | c, entonces ab | c. ´ n. Sea c = ar, como b | c se tiene b | ar, y usando la PropoDemostracio sici´on 1.3.6 (como (a, b) = 1), se sigue que b | r y c = abt (r = bt). Proposici´ on 1.3.12. Sean a, b ∈ N, d = (a, b), da = a y db = b, entonces   [a, b] = da b . M´as a´ un, (a , b ) = 1. ´ n. Ciertamente da b es un m´ ultiplo com´ un, por lo que basta Demostracio probar que si c es un m´ ultiplo com´ un a b d | c. Obs´ervese primero que (a , b ) = 1, ya que como d = a dr + b ds, r, s ∈ Z, se tiene 1 = a r + b s. Si c es un m´ ultiplo com´ un, c = ak = a dk, tambi´en b d|c y por lo tanto  b |a k y b |k, 



∴

c = a db t.

El Teorema 1.3.9 es un corolario inmediato de la Proposici´on 1.3.12, ya que si [a, b] = a db , entonces d[a, b] = ab.

EJERCICIOS 1.3 1. Termine la prueba del Teorema 1.3.4. 2. Sean a1 , a2 , . . . , an ∈ N, y dj = (a1 , a2 , . . . , aj ), j  2, demuestre que ∀ j  3 dj = (dj−1 , aj ). Calcule (30, 42, 69) y (96, 66, 108). 3. Sean a1 , a2 , . . . , an ∈ N y mj = [a1 , a2 , . . . , aj ], j  2, demuestre que ∀ j  3 mj = [mj−1 , aj ]. Calcule [6, 15, 9] y [8, 12, 18]. 4. Si k, a, b ∈ N, pruebe que (ka, kb) = k(a, b) y [ka, kb] = k[a, b]. 5. Probar que el Teorema 1.3.4 es v´alido para k naturales, donde k  2.

13

1. Divisibilidad

1.4.

Algoritmo de Euclides, Ecuaciones diofantinas

1.4.1.

Algoritmo de Euclides

Sean a, b ∈ N, si a es un m´ ultiplo de b, (a, b) = b, de otra manera se puede aplicar iteradamente el algoritmo de la divisi´on, como se muestra a continuaci´on, hasta obtener 0 como residuo. a = bq1 + r1 b = r1 q2 + r2 r1 = r2 q3 + r3 .. . rn−2 = rn−1 qn + rn rn−1 = rn qn+1 ,

0 < r1 < b, 0 < r 2 < r1 , 0 < r3 < r2 , .. . 0 < rn < rn−1 ,

como 0 < rn < rn−1 < . . . < r2 < r1 < b, es claro que despu´es de un n´ umero finito de pasos se obtiene un residuo 0, esto es, rn+1 = 0. A este proceso se le llama el Algoritmo de Euclides. Proposici´ on 1.4.1. Dados a, b ∈ N, se tiene que (a, b) es el u ´ltimo residuo distinto de cero en el algoritmo de Euclides, i.e., (a, b) = rn . Para probar este resultado probamos primero un lema. Lema 1.4.2. Si a = bq + r, entonces (a, b) = (b, r). ´ n. Como (b, r) | b y (b, r) | r, se tiene que (b, r) | a, i.e., Demostracio (b, r) | (b, a). Tambi´en (a, b) | r, por lo que (a, b) | (b, r), ∴

(a, b) = (b, r).

´ n. (De la Proposici´on 1.4.1) Aplicando repetidamente el LeDemostracio ma 1.4.2 se tiene (a, b) = (b, r1 ) = (r1 , r2 ) = · · · = (rn−1 , rn ) = rn .

14

1.4. Algoritmo de Euclides, Ecuaciones diofantinas

El Algoritmo de Euclides nos permite dar un procedimiento para expresar el MCD como una combinaci´on lineal de a y b. Esto se sigue del siguiente resultado. Proposici´ on 1.4.3. Si r es combinaci´on lineal de t y b y t lo es de a y b, entonces r es combinaci´ on lineal de a y b. ´ n. Demostracio

∴

r = nt + sb t = ka + ub r = (nk)a + (nu + s)b.

Aplicando este resultado verificamos nuestra observaci´on: como rn es una combinaci´on lineal de rn−1 y rn−2 , y rn−1 lo es de rn−2 y rn−3 , se tiene que rn es combinaci´on lineal de rn−2 y rn−3 ; repitiendo el mismo procedimiento, rn es combinaci´on lineal de rn−3 y rn−4 , etc´etera. Por lo cual rn es combinaci´on lineal de a y b. Ejemplo. Usando algoritmo de Euclides, encontramos el MCD de a=242 y b=168, y con estos datos lo expresamos como combinaci´on lineal de a y b. 242 = 168(1) + 74 168 = 74(2) + 20 74 = 20(3) + 14 20 = 14(1) + 6 14 = 6(2) + 2 6=2·3 ∴ (168, 242) = 2, y 2 = 14 − 2(6) = 14 − 2(20 − 14) = 3 · 14 − 2 · 20 = 3(74 − 3 · 20) − 2 · 20 = 3 · 74 − 11(20) = 3 · 74 − 11(168 − 74 · 2) = 25 · 74 − 11(168) = 25(242 − 168) − 11(168) = 25(242) − 36(168) = 6050 − 6048.

15

1. Divisibilidad

1.4.2.

Ecuaciones Diofantinas

Estudiaremos ahora ecuaciones de la forma ax + by = c,

a, b, c ∈ Z,

(1.1)

llamadas diofantinas. Consideremos primero el caso homog´eneo, i.e., c = 0. Proposici´ on 1.4.4. Las soluciones enteras de la ecuaci´on ax + by = 0,

(1.2)

a, b = 0, (a, b) = 1, son x = bt,

y = −at,

t ∈ Z.

´ n. Estas expresiones de x, y ciertamente son soluciones, proDemostracio bamos que son todas: Si x, y es soluci´on de (1.2), se tiene by = −ax, ∴

b | ax,

y como (a, b) = 1, se sigue que b | x (Proposici´on 1.3.6), i.e.,

x = bt, t ∈ Z.

Por lo cual by = −abt, y entonces y = −at.

Regresando a la ecuaci´on general diofantina (1.1), obs´ervese que el Corolario 1.3.3 se puede reformular como sigue: Teorema 1.4.5. La ecuaci´on (1.1) tiene soluci´on en Z si y s´olo si (a, b) | c.

16

1.4. Algoritmo de Euclides, Ecuaciones diofantinas

Recordamos que este resultado se sigue, ya que (a, b) es la combinaci´on lineal positiva m´ınima. Para ilustrar el Teorema 1.4.5, consideramos la siguiente ecuaci´on 15x + 21y = 10, n´otese que (15, 21) = 3. Sin embargo, 3  10, por lo que la ecuaci´on no tiene soluci´on entera. Usando, el Algoritmo de Euclides se pueden encontrar soluciones particulares a las ecuaciones diofantinas. Esto es, hemos visto que con este algoritmo se encuentran s, t ∈ Z tales que as + bt = d, donde d = (a, b). Escribiendo c = dc , se tiene asc + btc = c, por lo que x = sc y y = tc es una soluci´on de (1.1). Por ejemplo, 30x + 8y = 140, 2=8−6·1 = 8 − (30 − 3 · 8) = 4 · 8 − 30

30 = 8 · 3 + 6 8=6·1+2 6=2·3 ∴ y

140 = 70 · 2 = 8(280) + 30(−70) x = −70,

y = 280

es una soluci´on. Para poder encontrar todas las soluciones de (1.1) primero resolvemos el caso homog´eneo (1.2). Teorema 1.4.6. Las soluciones de la ecuaci´on (1.2) est´an dadas por x = −b t,

y = a t,

t ∈ Z,

donde a = a d, b = b d, d = (a, b), a, b = 0. ´ n. Las soluciones de Demostracio ax + by = 0, son las mismas que las de a x + b y = 0, ya que a dx + b dy = 0 ⇐⇒ a x + b y = 0, por lo que el resultado se sigue de la Proposici´on 1.4.4.

17

1. Divisibilidad

Los casos donde a = 0 o b = 0 son triviales. Si a, b = 0, toda pareja (s, t) ∈ Z × Z es soluci´on de ax + by = 0, y ax + by = c, c = 0, no tiene soluci´on. Si a = 0 y b = 0, cualquier pareja de la forma (t, 0) es soluci´on de ax + by = 0, ´ y la ecuaci´on by = c, c = 0 tiene soluci´on ⇐⇒ b | c. Esta es u ´nica, ya que si by1 = by2 , entonces y1 = y2 . El otro caso, b = 0 y a = 0, es an´alogo. Volviendo al caso general, las soluciones de (1.1) y (1.2) est´an muy relacionadas. Lema 1.4.7. Sea (x0 , y0 ) una soluci´on particular de (1.1) y (u, v) cualquier soluci´ on de (1.2), entonces (x0 + u, y0 + v) es soluci´ on de (1.1), y viceversa toda soluci´on de (1.1) es de esta forma. ´ n. Demostracio (x0 + u)a + (y0 + v)b = x0 a + y0 b + ua + vb = c + 0 = c. Vicerversa, si xa + yb = c, entonces (x − x0 )a + (y − y0 )b = c − c = 0. ∴

(x − x0 , y − y0 ) es soluci´on de (1.2).

Escribiendo x − x0 = u y y − y0 = v, se sigue el lema, ya que entonces x = x0 + u,

y = y0 + v.

Teorema 1.4.8. El conjunto de todas las soluciones de (1.1), cuando (a, b) | c y a, b = 0, est´ a dado por x = x0 − b t,

y = y0 + a t,

t ∈ Z;

donde a = a d, b = b d y (x0 , y0 ) es una soluci´on particular de (1.1).

18

´tica 1.5. Teorema fundamental de la aritme

Este resultado es consecuencia inmediata del Teorema 1.4.6 y el Lema 1.4.7. En consecuencia todas las soluciones de cualquier ecuaci´on diofantina se pueden encontrar. Ejemplo. Encontramos la soluci´on general de la ecuaci´on 25x + 35y = 200. 35 = 25 · 1 + 10 25 = 10 · 2 + 5 10 = 5 · 2

5 = 25 − 10 · 2 5 = 25 − 2(35 − 25) = 3 · 25 − 2 · 35.

Por lo que 5 = (35, 25) y como 40 · 5 = 200, una soluci´on particular es x0 = 40 · 3 = 120,

y0 = 40(−2) = −80.

Finalmente las soluciones de la homog´enea son las mismas soluciones de la ecuaci´on 5x + 7y = 0, que son de la forma x = 7t,

y = −5t,

t ∈ Z,

por lo cual todas las soluciones de la ecuaci´on original son x = 120 + 7t,

y = −80 − 5t,

t ∈ Z.

EJERCICIOS 1.4 1. Resuelva: 30x + 24y = −18, 49x − 14y = 70, −84x + 60y = 144.

1.5.

Teorema fundamental de la aritm´ etica

Los n´ umeros enteros se descomponen en factores irreducibles llamados primos, por ejemplo 120 = 60 · 2 = 22 · 3 · 5 · 2 = 23 · 3 · 5, 84 = 21 · 4 = 7 · 3 · 22 . Definici´ on 9. Se dice que un n´ umero entero p distinto de ±1 es primo, si sus u ´nicos divisores son ±1 y ±p. Obs´ervese que 0 no es primo (todo n´ umero es divisor del 0) y que p es primo si y s´olo si −p lo es. Los primeros primos positivos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, . . .

19

1. Divisibilidad

Esto se verifica, notando que 3 y 7 no sean factores de los n´ umeros, que no sean m´ ultiplos de 5, o pares (v´ease la Proposici´on 1.5.4). N´otese que si p es primo y a ∈ Z entonces  p si p | a, (a, p) = 1 si p  a, (si p  a, el u ´nico divisor positivo com´ un de p y a es 1). Teorema 1.5.1. Si un n´ umero primo p divide al producto ab, entonces p | a o p | b. ´ n. Si p no divide a a, entonces (p, a) = 1 y en virtud de la Demostracio Proposici´on 1.3.6 p | b. La propiedad establecida en el teorema anterior caracteriza los primos y al cero. Corolario 1.5.2. Sea p ∈ Z, p = ±1, tal que satisface la siguiente propiedad: dados a, b ∈ Z tales que p | ab, se tiene que p | a o p | b. Bajo esta hip´otesis p es primo o p = 0. ´ n. Se puede suponer p  0. Si p = 0 y p no es primo, existen Demostracio naturales a, b = 0 tales que p = ab,

1 < a < p y 1 < b < p.

Se sigue entonces que p  a y que p  b, lo cual contradice la hip´otesis sobre p, por lo tanto p es primo. Como el 0 solamente es factor de s´ı mismo, 0 tambi´en cumple esta propiedad. Teorema 1.5.3. (Teorema fundamental de la aritm´ etica) Dado a ∈ Z, a = 0, ±1, a se puede expresar como u p1 p2 · · · pk ,

(1.3)

donde u = ±1, y p1  p2 · · ·  pk son n´ umeros primos positivos, ´esta descomposici´ on es u ´nica. ´ n. Basta probarlo para a ∈ N, ya que si −a = p1 p2 · · · pk , Demostracio entonces a = (−1) p1 p2 · · · pk . Existencia. Sea M ⊂ N, el conjunto de los n´ umeros que no pueden descomponerse de la manera descrita en (1.3). Si M = ∅, por el principio del buen orden, M tiene un menor elemento a, este n´ umero no es un primo p, ya que a = p es una descomposici´on tipo (1.3), por lo que a = bc,

1 < b < a y 1 < c < a,

20

´tica 1.5. Teorema fundamental de la aritme

y como b, c ∈ /M

b = p1 p2 · · · pn

c = q 1 q2 · · · q m ,

y a = p 1 p 2 · · · p n q1 q2 · · · q m , sin embargo reordenando los primos ps y qs en esta expresi´on se obtiene una descomposici´on del tipo (1.3) contradiciendo que a ∈ M ∴ M = ∅ y todo n´ umero tiene una descomposici´on en primos. Unicidad. Se demuestra por inducci´on en el n´ umero de primos contados con multiplicidad que tiene la descomposici´on m´as econ´omica de a, para simplificar se ignora (primero) el orden: si a = p y a = q1 q2 · · · qm , entonces p | q1 · · · q m , por lo que se sigue del Teorema 1.5.1 que p | qi , i.e.,

para alg´ un i ∈ {1, 2, . . . , m},

p = qi . Como p = q1 q2 · · · qi · · · qm , se tiene 1 = q1 q2 · · · qi−1 qi+1 · · · qm ,

y qj = 1 ∀ j = i (no hay divisores de 1 no triviales). Suponiendo cierto para n − 1, si a = p1 · · · p n

y a = q1 · · · q m ,

m  n,

p1 | q1 · · · qm

y necesariamente p1 | qi ,

se tiene para alguna i. Entonces p1 = qi , y por lo tanto a = p2 · · · pn = q1 q2 · · · qi−1 qi+1 · · · qm . Por hip´otesis de inducci´on, n = m y las colecciones {p2 , p3 , . . . , pn } y {q1 , q2 , . . . , qi−1 , qi+1 , . . . , qm } contadas con repetici´on son iguales. Lo mismo es cierto para {p1 , . . . , pn } y {q1 , . . . , qm }, y evidentemente ordenando estas colecciones, la expresi´on (1.3) es u ´nica. El Teorema 1.5.3 se puede refinar juntando los t´erminos repetidos y obtener una expresi´on u ´nica para cualquier entero a, a = 0, ±1 mk 1 m2 a = ± pm 1 p2 · · · p k ,

mi > 0,

21

1. Divisibilidad

donde p 1 < p 2 < · · · < pk . Algunas veces para comparar dos n´ umeros es conveniente considerar potencias cero, i.e., mk 1 m2 a = pm mi  0, 1 p2 · · · p k , por ejemplo

24 = 23 · 3 · 50

y 40 = 23 · 30 · 5.

Un algoritmo u ´til para encontrar primos lo establece el siguiente resultado. En particular, la lista de los primeros primos enumerados al comienzo de esta secci´on. Proposici´ on√1.5.4. Sea a ∈ N, a no primo, entonces existe p primo tal que p | a y p  a. ´ n. Como a no es primo existen r, s tales que Demostracio a = rs,

1 < r < a,

1 < s < a,

sin perder generalidad r  s. Ahora, por el Teorema 1.5.3 existe p primo tal que p | r ∴ r = pr . Finalmente,

p2  p2 (r )2 = r2  rs = a,

y p

√ a.

√ Por ejemplo, 131 es primo, ya que de otra manera existir´ıa p < 131 < 12 tal que p | 131, sin embargo 2, 3, 5, 7, 11 no son divisores de 131. Resulta que hay una infinidad de primos (ejercicio). La descomposici´on en primos es tambi´en u ´til para encontrar el MCD y el MCM, de dos enteros. Teorema 1.5.5. Sean a, b ∈ N, mk 1 a = pm 1 · · · pk ,

b = pt11 · · · ptkk ,

tj , mj  0 ∀ j,

entonces a) (a, b) = pr11 · · · prkk , donde rj = m´ın{mj , tj }, b) [a, b] = ps11 · · · pskk , donde sj = m´ax{mj , tj }.

22

´tica 1.6. Teorema fundamental de la aritme

´ n. Probamos a) y dejamos b) como ejercicio. Demostracio r1 Sea d = p1 · · · prkk , rj = m´ın{mj , tj }, j ∈ {1, . . . , k}, entonces 1 −r1 k −rk a = pm · · · pm · d y d | a. 1 k Ya que (mj − rj  0, ∀ j). An´alogamente d | b. Ahora si t es un divisor com´ un de a y b,

t = pq11 · · · pqkk (t no contiene otros factores primos, ya que a, b no los tienen). Necesariamente qi  ri , si qj > rj para alguna j q

q

pj j  a o pj j  b. ∴

t | d y d = (a, b).

Como dados m, n ∈ N ∪ {0}, m + n = m´ax{m, n} + m´ın{m, n}, se sigue del Teorema 1.5.5 una tercera prueba del Teorema 1.3.9, es decir ab = (a, b)[a, b]. Ejemplo Si a = 23 · 34 · 5 y b = 2 · 3 · 7. (a, b) = 2 · 3 [a, b] = 23 · 34 · 5 · 7. EJERCICIOS 1.5 1. Demuestre, de manera an´aloga a la prueba del Teorema 1.5.3, que todo entero mayor a 1 es divisible entre un n´ umero primo. 2. Demuestre que hay una infinidad de primos. 3. Termine la prueba del Teorema 1.5.5. 4. Encuentre, a1 , a2 , a3 n´ umeros naturales tales que no cumplan la identidad a1 a2 a3 = (a1 , a2 , a3 )[a1 , a2 , a3 ]. 5. Generalice y pruebe el Teorema 1.5.5 para m´as de dos n´ umeros naturales. 6. Demostrar que hay una infinidad de primos de la forma 4k + 3. 7. Sea N = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k ∈ N, donde pj son primos diferentes. Demuestre que el n´ umero de divisores de N es (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1). 8. Dado un natural N , pruebe que existen N naturales consecutivos que no son primos.

23

1. Divisibilidad

1.6.

Congruencias

Se mostr´o en [9] que la divisibilidad determina naturalmente relaciones de equivalencia en Z, y por ende los importantes anillos Zm . Definici´ on 10. Se dice que a, b ∈ Z son congruentes m´odulo m, m ∈ Z fijo, si a − b = km, para alguna k ∈ Z, se escribe a ≡ b m´od m. Obs´ervese que esta relaci´on es precisamente la relaci´on de equivalencia que define los anillos Zm , i.e. los elementos de Zm son las clases de equivalencia que consisten de todos los n´ umeros en Z que son congruentes entre s´ı m´odulo m. Por ejemplo, si m = 2 todos los pares son congruentes entre s´ı, ya que 2t ≡ 2n

m´od 2 ∀ t, n ∈ Z,

y tambi´en los impares son congruentes entre s´ı, m´odulo 2 2t + 1 ≡ 2n + 1

m´od 2 ∀ t, n ∈ Z.

Un par y un impar nunca son congruentes: si fuera el caso 2n + 1 ≡ 2t

m´od 2

⇒ 2 | 2n + 1 − 2t y 2 | 2(n − t) + 1, y se tendr´ıa que 2 | 1, lo cual es absurdo. Tomando m = 7 podemos verificar que los n´ umeros 7k + 4, k ∈ Z, son todos congruentes entre s´ı 7k1 + 4 ≡ 7k2 + 4

m´od 7

⇔ 7 | 7(k1 − k2 ). Sin embargo, ning´ un n´ umero de la forma 7k + 3, k ∈ Z es congruente con uno de la forma 7t + 6, t ∈ Z. Si fuera el caso 7k + 3 ≡ 7t + 6

m´od 7

⇒ 7 | 7(k − t) + 6 − 3 y 7 | 6, lo cual es imposible. Recordamos la relaci´on de equivalencia en Z definida en el primer curso (cf. [9], cap´ıtulo 6). Dada m ∈ N fija, a, b ∈ Z son equivalentes, denotado como a ∼ b, si a − b = km. En otras palabras, a ∼ b si a≡b

m´od m.

En consecuencia, las congruencias cumplen las propiedades que definen una relaci´on de equivalencia, es decir,

24

1.6. Congruencias

i) a ≡ a m´od m,

∀ a ∈ Z,

ii) si a ≡ b m´od m,

entonces b ≡ a m´od m,

iii) si a ≡ b m´od m y b ≡ c m´od m, entonces

a ≡ c m´od m.

Las congruencias son compatibles con la suma y la multiplicaci´on. Proposici´ on 1.6.1. ∀ a, b, c ∈ Z se tiene: i) Si a ≡ b m´od m, entonces a + c ≡ b + c m´od m. ii) Si a ≡ b m´od m, entonces ac ≡ bc m´od m. ´ n. Demostracio ii) Si m | a − b,

i) Si m | a − b, entonces

entonces

m | (a + c) − (b + c).

m | ca − cb.

Para comprender mejor la relaci´on de las congruencias con los anillos Zm es u ´til observar que todo entero es congruente m´odulo m con exactamente uno de los n´ umeros 0, 1, 2, 3, . . . , m − 1. De hecho, si al dividir un entero a entre m, su residuo es r, entonces a ≡ r m´od m. Como caso particular, en Z5 todo entero es congruente m´odulo 5 con 0, 1, 2, 3, o 4. Obs´ervese que se sigue del Teorema 1.5.1 que si p es un primo positivo y ab ≡ 0 m´od p, entonces a ≡ 0 m´od p o b ≡ 0 m´od p. Sin embargo, si ab ≡ 0 m´od m, no necesariamente a ≡ 0 o b ≡ 0 m´od m. Por ejemplo, 3 · 4 ≡ 0 m´od 6, pero 3 ≡ 0 m´od 6 y 4 ≡ 0 m´od 6, o 5 · 4 ≡ 0 m´od 10, pero 5 ≡ 0 m´od 10, y 4 ≡ 0 m´od 10. Las congruencias se pueden sumar y multiplicar. Proposici´ on 1.6.2. Si a ≡ b m´od m y c ≡ d m´od m, entonces i) a + c ≡ b + d m´od m. ii) ac ≡ bd m´od m. ´ n. Demostracio i) m | a − b y m | c − d ⇒ m | a + c − (b + d). ii) Como m | ac − bc y m | bc − bd, se sigue que m | ac − bd.

25

1. Divisibilidad

Obs´ervese que si a ≡ b m´od m, entonces a = b + km, k ∈ Z. Por lo que, tomando un representante en cada clase, y sum´andole m´ ultiplos de m, se obtienen todos los elementos que son congruentes entre s´ı. Resolvemos ahora ecuaciones de congruencias con una inc´ognita. Consideramos primero un ejemplo 25x − 16 ≡ 0

m´od 21.

La soluci´on de esta ecuaci´on se puede encontrar interpret´andola como una ecuaci´on diofantina 25x − 16 = 21y, i.e.,

25x − 21y = 16. 25 = −21(−1) + 4 −21 = 4(−6) + 3 4 = 3·1+1 ∴

1 = = = =

4−3 4 − (−21 + 4 · 6) 21 · 1 − 4 · 5 21 − 5(25 − 21)

1 = 25(−5) − 21(−6).

En consecuencia 16 = 25(−80) − 21(entero) y −80 es una soluci´on particular de la congruencia 25x ≡ 16 m´od 21. A esta congruencia le podemos asociar su congruencia homog´enea 25x ≡ 0

m´od 21,

cuyas soluciones son x = 21t, t ∈ Z (ya que las soluciones de 25x − 21y = 0 son x = −21(−t), y = 25t, t ∈ Z). Las Proposiciones 1.6.3 y 1.6.4 prueban que todas las soluciones son x = −80 + 21t, en particular 4 es soluci´on, 25 · 4 ≡ 16 m´od 21. En general, la ecuaci´on ax + b ≡ 0

m´od m,

(m, a) = 1 siempre tiene soluci´on, ya que en este caso existen r, t, ∈ Z tales que rm + ta = 1, por lo que m(entero) + (−b)ta = −b y a(−bt) + b ≡ 0 Esta observaci´on se puede generalizar.

m´od m.

26

1.6. Congruencias

Proposici´ on 1.6.3. La congruencia ax + b ≡ 0 m´od m tiene soluci´ on si y s´olo si (a, m) | b. ´ n. Existe una soluci´on si y s´olo si existen enteros x, y tales Demostracio que satisfacen la igualdad ym = ax + b ⇔ ax − ym = −b. Dicha soluci´on existe si y s´olo si (a, m) | −b (cf. Teorema 1.4.5). Proposici´ on 1.6.4. Sea x1 una soluci´on de ax + b ≡ 0

m´od m,

(a, m) = 1.

(1.4)

Entonces, i) si x1 ≡ x2 m´od m, se sigue que x2 tambi´en es soluci´on, ii) si x2 es soluci´ on de (1.4) x 2 ≡ x1

m´od m.

´ n. i) La condici´on x1 − x2 = km, se puede escribir Demostracio x2 = x1 − km, por lo que ax2 + b = a(x1 − km) + b = ax1 + b − akm, y como m | ax1 + b,

m | −akm,

se sigue que m | ax2 + b. ii) Si m | ax1 + b y m | ax2 + b, entonces m | a(x1 − x2 ), y dado que (a, m) = 1 m | x 1 − x2 . Obs´ervese que la condici´on (a, m) = 1 s´olo se usa en ii). Si (a, m) > 1, ii) no se cumple, en general. Por ejemplo, si 4x − 4 ≡ 0

m´od 6,

se tiene que x = 1 y x = −2 son soluciones pero 1 ≡ −2 m´od 6. A continuaci´on probamos el teorema chino del residuo, que resuelve un sistema de dos congruencias, bajo ciertas condiciones.

27

1. Divisibilidad

Teorema 1.6.5. (Teorema chino del residuo) Sean (m, n) = 1, entonces las congruencias  x ≡ a m´od m (1.5) x ≡ b m´od n tienen una soluci´ on com´ un. ´ n. Como (1, m) | a la primera de las congruencias tiene una Demostracio soluci´on particular r1 y por la Proposici´on 1.6.4 cualquier otra soluci´on es de la forma r1 + km, k ∈ Z. Ahora, r1 + km ≡ b m´od n tiene soluci´on, ya que (m, n) = 1. Esta congruencia es equivalente a km ≡ b − r1 m´od n. Por lo que existe k1 ∈ Z, tal que r1 + k1 m es soluci´on de (1.5).

Podemos tambi´en encontrar todas las soluciones. Corolario 1.6.6. Sean x1 , x2 soluciones de (1.5), entonces x1 ≡ x2

m´od mn.

M´as a´ un, si x1 es una soluci´on particular de (1.5) y x2 ≡ x1 m´od mn, entonces x2 es una soluci´ on de (1.5), en particular existe una soluci´on t de (1.5) tal que 0  t < mn. ´ n. Si x1 ≡ a m´od m y x2 ≡ a m´od m, entonces se cumple Demostracio que x1 ≡ x2 m´od m, an´alogamente x1 ≡ x2 m´od n, y por lo tanto m | x 1 − x2

y n | x 1 − x2 ,

como (m, n) = 1 mn | x1 − x2

(Proposici´on 1.3.6).

La 2a afirmaci´on es consecuencia inmediata de la Proposici´on 1.6.4. Obs´ervese que el Corolario 1.6.6 exhibe todas las soluciones del sistema (1.5). Este sistema se puede generalizar.

28

1.6. Congruencias

Teorema 1.6.7. (Teorema chino generalizado) Sean m1 , m2 , . . . , mk primos relativos entre s´ı (dos a dos), entonces el sistema de congruencias ⎧ ⎪ x ≡ a1 m´od m1 ⎪ ⎪ ⎨ x ≡ a2 m´od m2 (1.6) .. ⎪ . ⎪ ⎪ ⎩ x ≡ a m´od m k

k

tiene soluci´ on. M´ as a´ un, si x1 es soluci´on de (1.6) y x1 ≡ x2 m´od m1 m2 · · · mk , entonces x2 es soluci´ on, y viceversa si x2 es soluci´on de (1.6) x2 ≡ x1

m´od m1 m2 · · · mk .

´ n. Demostramos la primera parte, la segunda se prueba usanDemostracio do los mismos argumentos que en el Corolario 1.6.6. x ≡ a1 m´od m1 tiene como soluciones r1 + k1 m1 , k1 ∈ Z, donde r1 es una soluci´on particular, ya que (m1 , 1) = 1. Ahora, la congruencia r1 + k1 m1 ≡ a2

m´od m2

tiene soluci´on, ya que (m1 , m2 ) = 1, ∴

existe r2 = r1 + k1 m1

que es soluci´on com´ un a las primeras 2 congruencias y todas las soluciones son de la forma {r2 + k2 m1 m2 }, k2 ∈ Z. Ahora buscamos k2 ∈ Z tal que r 2 + k2 m 1 m 2 ≡ a 3

m´od m3 ,

como (m1 m2 , m3 ) = 1, existe k2 ∈ Z tal que r3 = r2 + k2 m1 m2 es soluci´on de las primeras 3 congruencias, etc´etera. El siguiente resultado establece un m´etodo para encontrar una soluci´on particular del sistema (1.6), y por ende resolverlo. Teorema 1.6.8. Dado un sistema de k congruencias como en (1.6), se tiene que si ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}, bi = N/mi , donde N = m1 m2 · · · mk , y se toman enteros ci tales que cumplen la congruencia bi ci ≡ 1 m´od mi , se sigue que x0 = a1 b1 c1 + a2 b2 c2 + · · · + ak bk ck es una soluci´ on particular de (1.6).

29

1. Divisibilidad

´ n. Se toma i fija, 1 ≤ i ≤ k. N´otese que si j = i, se tiene Demostracio que mi |bj , y por lo tanto aj b j c j ≡ 0

m´od mi ∀j j = i.

A su vez esta u ´ltima congruencia implica que x0 ≡ ai bi ci m´od mi . Finalmente, como bi ci ≡ 1 m´od mi se tiene que ai bi ci ≡ ai m´od mi , y entonces x0 ≡ ai m´od mi . Ejemplos. 1) Veamos como se resuelve la congruencia 16x − 9 ≡ 0 m´od 35. Esta ecuaci´on equivale a la ecuaci´on diofantina 16x − 35y = 9, para encontrar una soluci´on particular, se muestra que 35 y 16 son primos relativos, y se expresa a 1 como combinaci´on lineal de estos n´ umeros. 35 = 16 · 2 + 3 16 = 3 · 5 + 1

1 = 16 − 3 · 5 = 16 − 5(35 − 16 · 2) = (−35)5 + 11 · 16, y se obtiene, al multiplicar por 9 que 9 = (−35)(45) + 99(16), entonces 99 es una soluci´on particular. Todas las soluciones son de la forma

o

{99 + t(35)},

t ∈ Z,

{−6 + t(35)},

t ∈ Z.

2) Resolvemos el siguiente sistema de congruencias ⎧ ⎨ x ≡ −2 m´od 3 x ≡ −1 m´od 5 ⎩ x≡ 3 m´od 7.

(1.7)

Como 3, 5 y 7 son primos relativos dos a dos hay soluciones. Una manera de encontrarlas es aplicar el Teorema 1.6.8 para encontrar una soluci´on particular y por ende resolver el sistema. Sin embargo, es conveniente conocer otras t´ecnicas de soluci´on. Las soluciones de la primera congruencia est´an dadas por 1 + 3k1 ,

k1 ∈ Z.

Ahora, las soluciones de la congruencia 1 + 3k1 ≡ −1 m´od 5 son las misma que las de la congruencia

30

1.6. Congruencias

3k1 ≡ −2

m´od 5.

(1.8)

Se podr´ıa resolver esta congruencia como una ecuaci´on diofantina, o directamente evaluando en los primeros d´ıgitos. Sin embargo, la aplicaci´on de algunos trucos, en muchos casos, permite resolver este tipo de ecuaciones de manera m´as r´apida. N´otese que (1.8) se cumple si y s´olo si 6k1 ≡ −4

m´od 5,

(1.9)

y como 5k1 ≡ 0 m´od 5 se tiene que (1.9) se cumple ⇐⇒ k1 ≡ −4 m´od 5. Por lo que tomando k1 = 1, se sigue que todas las soluciones de las primeras dos congruencias en (1.7) est´an dadas por k2 ∈ Z.

4 + 15k2 ,

Finalmente, las soluciones de 4 + 15k2 ≡ 3 m´od 7, son aqu´ellas de la congruencia 15k2 ≡ −1

m´od 7.

(1.10)

Como 14k2 ≡ 0 m´od 7, la ecuaci´on (1.10) se cumple ⇐⇒ k2 ≡ −1 m´od 7. Tomando k2 = 6, se sigue que 94 es soluci´on particular de (1.7), y tambi´en lo es −11. Por consiguiente, todas las soluciones de (1.7) est´an dadas por −11 + t(3 · 5 · 7),

t ∈ Z.

Al usar trucos para resolver congruencias hay que tener en cuenta que no todas las simplificaciones son v´alidas. Por ejemplo, si se quiere resolver 7x ≡ 6

m´od 30.

(1.11)

Multiplicando por 4 esta congruencia, se tiene 28x ≡ 24 m´od 30, y escribiendo 30x ≡ 0 m´od 30, se puede restar la primera congruencia de esta u ´ltima y se obtiene 2x ≡ −24 m´od 30, o x ≡ −12 m´od 15. Ahora, 3 es soluci´on de esta u ´ltima congruencia, sin embargo no es soluci´on de (1.11). ¿D´onde estuvo el error? 3) Se resuelve, para n ∈ Z, n = 0, 1, la congruencia (3n − 2)x + 5n ≡ 0

m´od 9n − 9.

Probamos primero que (3n − 2, 9n − 9) = 1, ∀ n ∈ Z. 9n − 9 = (3n − 2)3 − 3,

31

1. Divisibilidad

sin embargo −3 < 0, podemos multiplicar todo por -1, y −(9n − 9) = (−3)(3n − 2) + 3 3n − 2 = 3(n − 1) + 1. Por consiguiente

∴

1 = 3n − 2 − 3(n − 1) = 3n − 2 − (n − 1)[−(9n − 9) + 3(3n − 2)] = −(n − 1)[−(9n − 9)] + (3n − 2)[1 − 3(n − 1)] 1 = (3n − 2)(−3n + 4) + (n − 1)(9n − 9),

y multiplicando por −5n −5n = (15n2 − 20n)(3n − 2) + (9n − 9)(entero), i.e., 15n2 − 20n es una soluci´on particular y todas las soluciones son {15n2 − 20n + t(9n − 9)},

t ∈ Z.

EJERCICIOS 1.6 1. Demuestre que si ac ≡ bc m´od m y (m, c) = 1, entonces a ≡ b m´od m (Ley de la cancelaci´on). Muestre tambi´en que si (m, c) > 1, esta afirmaci´on no se cumple. 2. Sea m ∈ N fija, a, b ∈ Z tales que a = mq1 + r1 b = mq2 + r2

0  r1 < m, 0  r2 < m.

Demuestre que a ≡ b m´od m ⇐⇒ r1 = r2 . 3. Resuelva los siguientes sistemas de dos maneras: Teorema 1.6.8. ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨x ≡ 5 m´od 2 ⎨x ≡ 9 a) x ≡ 2 m´od 3 b) x ≡ 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ x ≡ 3 m´od 7 x≡2

sin usar (y usando) el m´od 5 m´od 11 m´od 7.

1.7. Los campos Zp

32

1.7.

Los campos Zp

Usando las propiedades de los primos es f´acil ahora probar que si p es un primo Zp es un campo. Usamos la notaci´on usada en [9], esto es, a denota la clase de equivalencia del entero a en el anillo Zm . Lema 1.7.1. Si p es un primo, entonces Zp es un dominio entero. ´ n. Si a b = 0 en Zp , donde 0 < a  p y 0 < b  p. Demostracio Entonces, ab ≡ 0 m´od p, i.e., p | ab y necesariamente p | a o p | b, por lo cual a = p o b = p, i.e., a = 0 o b = 0 y Zp es un dominio entero, ya que no hay divisores (no triviales) de 0. Teorema 1.7.2. Zp es un campo. ´ n. Sea 1  k < p, fijo, consid´erese la colecci´on {t k} en Zp , Demostracio donde t toma los valores 1, 2, 3, . . . , p − 1. Se afirma que todos estos valores representan n´ umeros distintos en Zp , que no son 0. Si t1 k = t2 k

en Zp ,

t1 k ≡ t2 k

m´od p,

entonces y p | (t1 − t2 )k, i.e., p | t1 − t2 (ya que (k, p) = 1). Por lo cual t1 = t2 . En particular, la afirmaci´on implica que ∃ t tal que t k = 1 y por lo tanto todo n´ umero tiene un inverso multiplicativo.

Cap´ıtulo 2 El campo de los n´ umeros reales 2.1.

Los racionales

Se construyen los racionales a partir de los enteros, se define una relaci´on de equivalencia en Z × (Z − {0}) = { (a, b) | a ∈ Z, b ∈ Z, b = 0 }, (a, b) ∼ (a , b ) si ab = ba .

(2.1)

Por ejemplo (4, 6) ∼ (2, 3), ya que 4 · 3 = 6 · 2. Proposici´ on 2.1.1. La relaci´on definida por (2.1) es de equivalencia. ´ n. Como ab = ba, ∼ es reflexiva. Como ab = ba si y s´olo si Demostracio   a b = b a, ∼ es sim´etrica. Finalmente, si (a, b) ∼ (a , b ) y (a , b ) ∼ (a , b ), entonces ab = ba y a b = b a , por lo que ab b = ba b y a b b = b a b, i.e., ab b = b a b, y como b = 0 ab = ba , i.e., (a, b) ∼ (a , b ), luego ∼ es transitiva. Provisionalmente denotaremos por a b 

a la clase de equivalencia de (a, b), obs´ervese que ( ab ) = ( ab ) si y s´olo si ab = ba , en particular a b

=

 ar  br

,

para cualquier r ∈ Z, r = 0 (abr = bar). 33

34

2.1. Los racionales

Definici´ on 11. Al conjunto de clases de equivalencia en Z × (Z − {0}), a = { (x, y) ∈ Z × Z − {0} | ay = bx } b se les llama n´ umeros racionales y se les denota por Q. Para simplificar la notaci´on se escribe ab por ( ab ), obs´ervese que con esta notaci´on un mismo n´ umero se puede escribir de distintas maneras 2 4 6 = = , etc´etera. 3 6 9 El siguiente paso es definir la suma y el producto en Q. Lema 2.1.2. Si

a b

=

a , dc b

=

c , d

entonces

a d  + b  c  ad + bc = . bd b d  ´ n. Por hip´otesis ab = ba , cd = c d. Por lo que usando estas Demostracio relaciones se tiene (ad + bc)(b d ) = ab dd + cd bb = ba dd + c dbb = bd(a d + b c ).

Se define la suma de dos racionales como sigue a c ad + bc + = , b d bd se sigue del Lema 2.1.2 que esta operaci´on est´a bien definida. Tambi´en se define el producto a c ac · = , b d bd esta operaci´on tambi´en est´a bien definida, ya que si a a =  b b

y

c c = , d d

como ab = a b y cd = c d, se deduce que a c ac =  . bd bd N´otese que a + db = d

a+b d

(ejercicio).

35

´ meros reales 2. El campo de los nu

Teorema 2.1.3. Los racionales son un campo. ´ n. Algunas propiedades se siguen f´acilmente Demostracio a 0 a·1+b·0 a + = = , b 1 b·1 b ab − ab 0 a −a + = = 2 obs´ervese que ∀ b = 0 b b b2 b a c ad + bc cb + da c a + = = = + , b d bd db d b si

a b

0 0 = b 1

,

es distinto de 0b , i.e., a = 0, ab ab 1 = = , ba ba 1

al racional ab se le denota por ( ab )−1 y se le llama el inverso multiplicativo de ab . La asociatividad y la conmutatividad del producto son triviales. La asociatividad de la suma y la distributividad se prueban tambi´en f´acilmente (ejercicio). Ahora estudiaremos el orden en Q. Caracterizamos primero a los racionales positivos. Lema 2.1.4. Si

a b

=

a , b

entonces ab ∈ N ⇐⇒ a b ∈ N.

´ n. Se tiene ab = ba , y por lo tanto ab bb = ba bb , i.e., Demostracio  2   2 ab(b ) = a b b , y por lo tanto ab ∈ N ⇔ ab(b )2 ∈ N ⇔ a b b2 ∈ N ⇔ a b ∈ N, puesto que tm2 ∈ N ⇒ t ∈ N (si t ∈ / N y t = 0, −t ∈ N, por lo que −tm2 ∈ N, lo cual contradice tm2 ∈ N). Definici´ on 12. Los racionales positivos denotados por Q+ son aquellos de la forma ab , donde ab ∈ N. El lema anterior muestra que esta definici´on es correcta ya que no depende del representante. Denotaremos al racional −a como − ab , obs´ervese que b −a a = −b . b

36

2.1. Los racionales

Proposici´ on 2.1.5 (Tricotom´ıa). ∀ siguientes afirmaciones: i)

a b

∈ Q+ ,

ii)

a b

= 01 ,

a b

∈ Q se cumple una y s´olo una de las

iii) − ab ∈ Q+ . ´ n. Si ab ∈ Demostracio / N, ab = 0 o −(ab) ∈ N, en el primer caso a = 0 y se cumple ii), en el segundo (−a)b ∈ N y − ab ∈ Q+ . Proposici´ on 2.1.6. Sumas y productos de racionales positivos son positivos. ´ n. Obs´ervese que si ab ∈ Q+ , entonces a, b ∈ N o −a, −b ∈ N, Demostracio ya que si por ejemplo a > 0 y b < 0, entonces ab < 0. Por lo tanto podemos suponer a, b > 0, si a, b < 0 podemos reemplazar ab por −a . −b Bajo estas hip´otesis como ad + bc a c + = b d bd

ac ac = , bd bd

y

y se puede suponer a, b, c, d ∈ N, el resultado se sigue de manera inmediata de los axiomas de los naturales. Podemos definir ahora un orden en Q. Definici´ on 13. Sean ab , dc ∈ Q, se dice que

a b

es mayor que dc , se escribe

a c > , b d si

a b

+ (− dc ) ∈ Q+ .

Obs´ervese que

a b

∈ Q+ ⇔

a b

> 01 , esto se sigue ya que ab + −0 = 1

Proposici´ on 2.1.7 (Tricotom´ıa). Dados una de las siguientes afirmaciones: i)

a b

> dc ,

ii)

a b

= dc ,

iii)

a b

< dc .

a b

y

c d

a·1−0·b b·1

= ab .

∈ Q se cumple una y s´olo

37

´ meros reales 2. El campo de los nu

´ n. Se sigue de la Proposici´on 2.1.5 que Demostracio a  c a  c 0 + − ∈ Q+ + − = o b d b d 1  a  c  + − ∈ Q+ . o − b d Evidentemente las primeras 2 condiciones corresponden a i) y ii), y como −

 c  −a c + − = + b d b d

a

se sigue el resultado. Esto u ´ltimo se sigue ya que en Q vale la ley de la cancelaci´on de la suma, y el inverso aditivo es u ´nico: a c −a Si ab + dc = ab + fe , entonces −a + ( + ) = + ( ab + fe ) y dc = fe ∴ b b d b a e a −a e −a + f = b +( b )=0 ⇒ f = b . b Esta relaci´on de orden tambi´en es transitiva: Si

a b

>

c d

y

c d

> fe , entonces

a b

>

e f

:

a c − ∈ Q+ b d

como se tiene

y

e c − ∈ Q+ , d f

a e − ∈ Q+ . b f

Proposici´ on 2.1.8. i) Si

a b

>

a b

y

c d

>

c , d

entonces a c a c + >  + . b d b d

ii) Si

iii) Si

a b

>

a b

>

a , b

entonces

a b

y

a c a c + >  + . b d b d c d

> 01 , entonces ac a c >  . bd bd

38

2.1. Los racionales

´ n. La propiedad i) se sigue directamente de la Proposici´on Demostracio 2.1.6 y la ii) se prueba de manera inmediata. Para probar iii), se tiene a a −  ∈ Q+ b b por lo que



a a −  b b

y

c ∈ Q+ , d



c ∈ Q+ , i.e. d  a   c  a  c  > . b d b d

Obs´ervese que ab > dc ⇔ − dc > − ab , esto se sigue ya que ab − dc ∈ Q+ ⇔ − (− ab ) ∈ Q+ (−( −a ) = −(−a) = ab ). b b Observamos ahora que los enteros est´an naturalmente incluidos en los racionales, para eso se define − dc

a i : Z −→ Q como i(a) = . 1 Claramente i es inyectiva, ya que si i(a) = i(b), se tiene a b = ⇔ a = b. 1 1 Se conviene en denotar a la imagen de i(Z) simplemente por Z, y al racional i(a) = a1 simplemente por a. La inclusi´on i tambi´en preserva las operaciones de suma y producto: a b a+b + = = i(a + b), 1 1 1 a b ab i(a)i(b) = · = = i(ab). 1 1 1

i(a) + i(b) =

Para probar las propiedades de los n´ umeros reales es u ´til considerar el siguiente subconjunto de los racionales. Definici´ on 14. Sea D el subconjunto de Q, definido por los n´ umeros de la forma a , a ∈ Z. 10n

39

´ meros reales 2. El campo de los nu

La representaci´on decimal de 10an , se puede expresar escribiendo a con un punto a n lugares del extremo derecho, por ejemplo 325 325 = 3.25, = 102 100 4 4 = .0004, = 104 10000 tambi´en se denota 101n por 10−n . No todos los racionales est´an en D, por ejemplo 13 =.333 . . . (este hecho se mostrar´a de manera formal posteriormente). Sin embargo, sumas finitas y productos finitos de n´ umeros de D son n´ umeros en D : a b a · 10m + b · 10n a · 10m + b · 10n + = = ∈ D, 10n 10m 10n · 10m 10m+n a b ab · = m+n ∈ D. 10n 10m 10 En expresi´on decimal los elementos de D+ = D ∩ Q+ se representan como A.a1 a2 . . . an , donde A ∈ N∪{0} y ai son d´ıgitos, es decir, elementos del conjunto {0, 1, . . . , 9} (n tan grande como se quiera). Los de D− = D ∩ Q− como −A.a1 a2 . . . an , por ejemplo,

−325 100

se puede escribir como - 3.25 o

− 3.250.

Proposici´ on 2.1.9. Si x, y ∈ D+ , x = A.a1 a2 . . . an ,

y = B.b1 b2 . . . bn ,

entonces x > y, si se cumple una de las 2 siguientes condiciones: a) A > B, b) A = B,

ai = bi

si

i < k y ak > b k .

´ n. Demostracio x=

Aa1 a2 . . . an 10n

y=

Bb1 b2 . . . bn , 10n

40

´ meros reales 2.2. Los nu

x>y ⇔

Aa1 a2 . . . an Bb1 b2 . . . bn − ∈ Q+ 10n 10n

⇔

Aa1 a2 . . . an − Bb1 b2 . . . bn ∈ Q+ 10n

⇔ Aa1 a2 . . . an > Bb1 b2 . . . bn , y esta condici´on se cumple si a) o b) se cumplen. Obs´ervese que las reglas de los signos son v´alidas en Q, por ejemplo   a  c   a  −c a(−c) −a (−a)c c = = = =− , etc´etera. b d bd bd b d b d Usando la expresi´on decimal en D esto se escribe, por ejemplo, (−A.a1 a2 . . . an )(−B.b1 b2 . . . bn ) = (A.a1 a2 . . . an )(B.b1 b2 . . . bn ).

EJERCICIOS 2.1 1. Demuestre que a+b a b + = . d d d 2. Demuestre la asociatividad de la suma y la distributividad de los n´ umeros racionales. 3. Pruebe que si

entonces

2.2.

a 0 a >   b b 1

y

0 c c >   , d d 1

ac a  c >  . bd b d

Los n´ umeros reales

Definici´ on 15. Los n´ umeros reales no negativos son expresiones decimales infinitas de la forma A.a1 a2 a3 . . . , donde A ∈ N ∪ {0} y aj ∈ {0, 1, . . . , 9}, los puntos suspensivos indican que hay un n´ umero infinito de aj , y se cumple que ∀ n ∈ N, ∃ m > n tal que am = 9 (es decir no hay colas infinitas de nueves).

41

´ meros reales 2. El campo de los nu

Excluyendo el 0.000 . . . se obtiene los reales positivos denotados por R+ , los reales negativos son los reales positivos con un signo - antepuesto y se denotan por R− . Definici´ on 16. Los n´ umeros reales consisten en los n´ umeros del conjunto R+ ∪ R− ∪ {0}. Obs´ervese que D se puede identificar con los reales con una cola infinita de ceros, por ejemplo, 325 = 3.25000 . . . . 100 N´otese tambi´en que Z ⊂ D ⊂ R. Definici´ on 17. Un orden en un conjunto S es una relaci´on en S, denotada por >, que cumple las siguientes 2 condiciones: a) ∀ r, s, t ∈ S tales que r > s y s > t se tiene r > t (transitividad), b) ∀ r, s ∈ S se cumple una y s´olo una de las siguientes afirmaciones: r < s,

r=s

o

r>s

(tricotom´ıa).

Se extiende el orden en D a un orden en R de la siguiente manera: 1) 0 > x

∀ x ∈ R− .

2) x > y

∀ x ∈ R + , ∀ y ∈ R− .

3) x > 0

∀ x ∈ R+ .

4) Dados 2 reales positivos x = A.a1 a2 a3 · · · , y = B.b1 b2 b3 · · · , x > y si se cumple alguna de las siguientes condiciones a) A > B, b) A = B, ai = bi ∀ i < n y an > bn . 5) Si x ∈ R+ , y ∈ R+ , entonces x > y ⇐⇒ −y > −x.

42

´ meros reales 2.2. Los nu

Proposici´ on 2.2.1. El orden definido en R es en efecto un orden. ´ n. Para la transitividad, se prueba que si x > y y y > z, Demostracio entonces x > z. Si x ∈ R+ y z = 0 o z ∈ R− , se sigue de la definici´on. Tambi´en, si x = 0 y z ∈ R− . Por lo que basta probarlo cuando x, y, z ∈ R+ o x, y, z ∈ R− . En el primer caso, si x = A.a1 a2 · · · y = B.b1 b2 · · · z = C.c1 c2 · · · , se tiene A  B  C, si A > C se sigue el resultado. Por otra parte, si A = B = C, como x > y, se tiene que para alguna n, ai = bi ∀ i < n y an > bn . En este caso, como y > z, sucede que, para alguna j  n, aj = bj > cj o

bj = cj

y bi = ci ∀ i < j,

y se obtiene

x > z,

∀ j < n y an > bn  cn , por lo que x > z.

El caso x, y, z ∈ R− se deduce del anterior, si x < y, y y < z, entonces se tiene −x > −y y −y > −z, por lo que −x > −z y x < z. Tricotom´ıa: si x, y no est´an ambos en R+ (o en R− ), el resultado se sigue de manera inmediata por 1), 2) y 3). Tambi´en, si x, y ∈ R+ , el resultado se sigue de 4) y si x, y ∈ R− , ´este se sigue de 5). Por ejemplo, 0 > −.002, 1 > .99872, −2.3 > −2.8. Obs´ervese que se sigue de la Proposici´on 2.1.9, que el orden definido en D, como subconjunto de Q, es el mismo que el definido como subconjunto de R. Los siguientes resultados muestran que el subconjunto D es denso en R. Teorema 2.2.2. ∀ α, β ∈ R tal que α < β, existe c ∈ D tal que α < c < β. ´ n. Demostracio Caso 1: 0  α < β. Sean α = A.a1 a2 · · · , β = B.b1 b2 · · · . Si A < B, sea an tal que an = 9 y a∗n = an + 1, tomando c = A.a1 a2 . . . a∗n ,

43

´ meros reales 2. El campo de los nu

se tiene α < c < β. Si A = B, sea n tal que ai = bi si i < n y an < bn , tomando m > n tal que am = 9, a∗m = am + 1 y c = A.a1 a2 · · · am−1 a∗m , se tiene c ∈ D y α < c < β. Caso 2 : α < β  0. Entonces −α > −β  0 y existe c ∈ D tal que −α > c > −β ∴

α < −c < β.

Caso 3 : α < 0 < β. Tomando c = 0 se sigue el resultado. Teorema 2.2.3. ∀ α ∈ R y ∀ n ∈ N, existe a ∈ D tal que a < α < a + 10−n , si α > 0 se puede tomar a > 0. ´ n. Demostracio Caso 1: α ∈ D. Si α > 0, α = A.a1 a2 · · · , tomando a = A.a1 a2 · · · an , se tiene a < α < a + 10−n =

Aa1 a2 · · · an 1 + n, 10n 10

la primera desigualdad se sigue ya que existe am = 0, m > n (puesto que α ∈ D), la 2a desigualdad se sigue ya que la expansi´on decimal de a + 10−n es mayor que la de A.a1 a2 · · · an (se le est´a sumando 1 en el lugar n-´esimo). Si α < 0, α = −A.a1 a2 · · · , tomando a = A.a1 a2 · · · an , a < −α < a + 10−n , como en el caso positivo, y se tiene −(a + 10−n ) < α < −a = −(a + 10−n ) + 10−n . Caso 2: α ∈ D. Se prueba primero α > 0. El m´etodo anterior no funciona, por ejemplo, si n = 1 y α = .4, .4 < .4 + .1, pero .4 no es menor que .4. Sin embargo, .39 0, k  1 (esto se puede hacer, ya que α > 10−t para t suficientemente grande). Por lo cual a = α − 10−(n+k) < α < α + 10−(n+k) = a + 2 · 10−(n+k) < a + 10−n , puesto que

2 10k

< 1.

El caso α < 0 se sigue como en el Caso 1. Finalmente, si α = 0, tomando a = −10−(n+1) , se tiene −10−(n+1) < 0 < −10−(n+1) + 10−n , ya que 10−(n+1) < 10−n . EJERCICIO 2.2 1. Pruebe este u ´ltimo resultado (Teorema 2.2.3), usando el Teorema 2.2.2. Esta otra prueba es m´as breve, sin embargo la presentada en este texto es u ´til para entender la demostraci´on del Lema 2.4.1.

2.3.

El supremo y el ´ınfimo

Definici´ on 18. Sea S ⊂ R, se dice que α ∈ R es una cota superior (o inferior) de S si α  x (o α  x) ∀ x ∈ S. Definici´ on 19. Sea S ⊂ R, se dice que S est´a acotado superiormente (o inferiormente) si existe alguna α ∈ R tal que α es cota superior (o inferior). Definici´ on 20. Sea S ⊂ R, se dice que α es el supremo de S si i) α es cota superior de S, ii) si β es cota superior de S, entonces α  β, se escribe sup S = α. N´otese que el supremo es la menor de las cotas superiores. Adem´as el supremo es u ´nico (ejercicio). Definici´ on 21. Sea S ⊆ R, se dice que α es el ´ınfimo de S si i) α  x, ∀ x ∈ S, ii) dada β cota inferior de S, β  α. Se escribe inf S, para denotar el ´ınfimo de S, y este n´ umero es la mayor de las cotas inferiores. Tambi´en el ´ınfimo es u ´nico (ejercicio). Teorema 2.3.1. Sea S ⊆ R acotado superiormente (o inferiormente), entonces S tiene un supremo (o un ´ınfimo).

´ meros reales 2. El campo de los nu

45

´ n. Se prueban distintos casos Demostracio Caso 1: Si S ∩ R+ = ∅ y S est´a acotado superiormente, entonces S tiene un supremo. Prueba. Sea C el conjunto de todas las cotas superiores de S, obs´ervese que C = ∅ y C ⊆ R+ . Sea un elemento de C}, C0 = {m ∈ N ∪ {0} | m es la parte entera de alg´ y sea A el menor elemento de C0 . Se define tambi´en C1 = {t ∈ {0, 1, . . . , 9} | A.tx2 x3 · · · ∈ C}, y sea a1 el menor de los elementos de C1 . Iterando este proceso se define C2 = {t ∈ {0, 1, . . . , 9} | A.a1 tx3 x4 · · · ∈ C}, y a2 el menor elemento de C2 , posteriormente se define C3 , y se sigue de manera inductiva. Se afirma que α = A.a1 a2 a3 · · · es el supremo de S: i) α no tiene colas de nueves: si an = 9, existe γ ∈ C γ = A.a1 a2 · · · an xn+1 xn+2 · · · xn+r · · · tal que xn+r = 9 (γ ∈ R), y necesariamente existe m > n, m  n + r, tal que am < 9 : Si an+1 , an+2 , · · · , an+r−1 = 9, entonces xn+1 , xn+2 , · · · , xn+r−1 = 9 y an+r  xn+r < 9. ii) α es cota superior de S : se prueba que dada β ∈ S, α  β. Sea β = B.b1 b2 · · · , como existe A.x1 x2 · · · ∈ C, A  B. Si A > B, se tiene α > β. En el caso A = B, como existe A.a1 x2 · · · ∈ C, a1  b1 , si a1 > b1 , α > β. Si a1 = b1 , se toma A.a1 a2 x3 · · · ∈ C y a2  b2 , etc´etera. En consecuencia existe n tal que an > bn y α > β o ∀ n an = bn y α = β. iii) α es la menor de las cotas superiores: sea β otra cota superior, β = B.b1 b2 · · · , A  B por construcci´on, si A < B ya est´a, si A = B, a1  b1 (por construcci´on), si a1 < b1 terminamos, si a1 = b1 , a2  b2 , etc´etera.

46

2.3. El supremo y el ´ınfimo

Caso 2: Se prueba que si S ⊆ R+ , S = ∅, S tiene un ´ınfimo. Prueba. Sea C0 = {B ∈ N ∪ {0} | B.x1 x2 · · · ∈ S}, y A = m´ın C0 . Se define tambi´en C1 = {t ∈ {0, 1, . . . , 9} | A.tx2 x3 · · · ∈ S}, y a1 = m´ın C1 . El siguiente paso es tomar C2 = {t ∈ {0, 1, . . . , 9} | A.a1 tx3 x4 · · · ∈ S}, y a2 = m´ın C2 , etc´etera. Se afirma que α = A.a1 a2 a3 · · · = inf S. La prueba es an´aloga al Caso 1. i) No hay colas de nueves: dada n, sea γ ∈ S, γ = A.a1 a2 · · · an xn+1 xn+2 · · · xn+r · · · , xn+r < 9. Si an+1 , an+2 , . . . , an+r−1 = 9, entonces xn+1 , . . . , xn+r−1 = 9, y an+r < 9. ii) α es cota inferior: si β = B.b1 b2 · · · ∈ S, A  B por definici´on, si A < B acabamos. Si A = B, a1  b1 , si a1 < b1 ya est´a, si a1 = b1 , a2  b2 , etc´etera. iii) α es la mayor de las cotas inferiores: sea β = B.b1 b2 · · · otra cota inferior. Como existe A.x1 x2 · · · ∈ S, B  A, si B < A ya est´a. Si A = B, como existe A.a1 x2 · · · ∈ S, b1  a1 , etc´etera. Caso 3: Todo subconjunto no vac´ıo S de R, S = ∅ y acotado superiormente tiene supremo. Prueba. Si S ∩ R+ = ∅ es el Caso 1. Si S ∩ R+ = ∅, pero 0 ∈ S, entonces 0=sup S: x  0, ∀ x ∈ S y si y < 0, y no es cota superior. Finalmente, si S ∩ R+ = ∅ y 0 ∈ S, entonces S ⊂ R− . Sea S  el reflejado de S, es decir, S  = {x ∈ R | − x ∈ S}. Por lo cual S  ⊂ R+ y por el Caso 2 existe α =inf S  , se afirma que −α = sup S.

47

´ meros reales 2. El campo de los nu

Esto se sigue, ya que si x ∈ S, −x ∈ S 

y α  −x.

Por lo tanto, −α  x y −α es cota superior de S. Tambi´en si y es cota superior de S, −y es cota inferior de S  (y  x ∀ x ∈ S, −y  −x ∀ − x ∈ S  ). ∴

−y  α y y  −α.

Caso 4: Si S ⊂ R, S = ∅, S acotado inferiormente, entonces existe inf S. Prueba. Sea S  = {x ∈ R | − x ∈ S} el reflejado de S, se tiene que S  esta acotado superiormente y como en el Caso 3, si α = sup S  , −α = inf S.

EJERCICIOS 2.3 1. Pruebe que el supremo y el ´ınfimo son u ´nicos.

2.4.

Los reales son un campo

Los algoritmos de la primaria, que se derivan de nuestras definiciones y la ley distributiva, permiten sumar y multiplicar n´ umeros en D (ejercicio). 4.07 + .02 4.09

×

3.14 .19 2826 314 .5 9 6 6

Sin embargo esto no se aplica a los reales con expansiones infinitas de d´ıgitos distintos de cero. Para definir estas operaciones aproximamos los reales por n´ umeros en D. Definici´ on 22. Sean α, β ∈ R, U = {x ∈ D | x  α}, V = {y ∈ D | y  β}, y C = {x + y | x ∈ U, y ∈ V }, se define α + β = sup C.

48

2.4. Los reales son un campo

Hay que probar que C est´a acotado superiormente tomando a ∈ D tal que a > α y b ∈ D que cumpla b > β (si α = A.a1 a2 · · · , se puede tomar a = A+1, si α ∈ R− , a = 0 etc´etera). Se tiene x < a ∀ x ∈ U y y < b ∀ y ∈ V, ∴

x + y < a + b,

y a + b es una cota superior de C. Definici´ on 23. Sean α, β ∈ R+ , A = {x ∈ D | 0  x  α}, V = {y ∈ D | 0  y  β}, y P = {xy | x ∈ A, y ∈ V }, se define αβ = sup P. De nuevo P est´a acotado superiormente, ya que si α < a, β < b, se tiene ∀ x ∈ A x < a y ∀ y ∈ B y < b, por lo que xy < ab. El producto de dos reales arbitrarios se define usando la regla de los signos, si α, β ∈ R+ , (−α)(β) = α(−β) = −(αβ) (−α)(−β) = αβ 0 · α = 0(−α) = −α · 0 = α · 0 = 0 · 0 = 0. Obs´ervese que estas definiciones extienden la suma y el producto en D. Si α, β ∈ D, sup C = α + β, ya que evidentemente α + β es una cota superior de C y tambi´en es la menor ya que α + β ∈ C. (La misma situaci´on se cumple para el producto.) Lema 2.4.1. Sea α ∈ R tal que −10−n < α < 10−n

∀ n  0,

entonces α = 0. ´ n. Si α es un real no negativo, sea α = A.a1 a2 · · · . Como ∀ n Demostracio . . . 1 0 · · · A.a1 a2 · · · < . 00  n lugares

A = 0 y ai = 0 ∀ i. Por otra parte si α ∈ R− , α = −A.a1 a2 · · · , −10−0 = −1 < α y

− 1 < A,

y A = 0, tambi´en −.1 < α ∴ −1 < a1 , por lo que a1 = 0, etc´etera. Es decir α no puede ser un real negativo.

49

´ meros reales 2. El campo de los nu

Teorema 2.4.2. Sean α, β, α , β  ∈ R, entonces i) si α < α, β  < β, se tiene α + β  < α + β, ii) si α < α, se tiene α + β < α + β, iii) si α > α y β > 0, se tiene αβ > α β. ´ n. i) Sean Demostracio A B A B W W

= = = = = =

{x ∈ D | x  α}, {x ∈ D | x  β}, {x ∈ D | x  α }, {x ∈ D | x  β  }, {x + y | x ∈ A, y ∈ B}, {x + y | x ∈ A , y ∈ B  },

por lo que α + β =sup W , α + β  =sup W  . Tomando c1 ∈ D tal que α < c1 < α y c1 tal que α < c1 < c1 . Asi como c2 , c2 ∈ D tales que β  < c2 < c2 < β. Se tiene entonces que x  c1 , ∀ x ∈ A y y  c2 ∀ y ∈ B  . Por consiguiente x + y  c1 + c2

∀ x ∈ A , y ∈ B 

y

α + β  = sup W   c1 + c2 < c1 + c2  sup W = α + β. ii) La demostraci´on en este caso requiere m´as cuidado que el anterior ya que podemos intercalar c, c entre α y α como en i), α < c < c < α, pero ahora s´olo hay una β (Figura 2.1). Se debe elegir b ∈ D, 0 < b < β, en funci´on de c y c . Existe n ∈ N tal que c − c > 101n (por el Lema 2.4.1), y tambi´en b ∈ D tal que b < β < b + 10−n (Teorema 2.2.3).

Figura 2.1: Demostraci´on de ii)

50

2.4. Los reales son un campo

∴

α + β  b + c = b + c + (c − c ) > b + c + 10−n  α + β.

La 1a desigualdad es por definici´on, la 2a es la misma desigualdad en D, ya demostrada para Q, y la u ´ltima se sigue de la definici´on de supremo. Obs´ervese que tomar solamente c ∈ D, α < c < α y b < β no necesariamente funciona: α + β  c + b, pero c + b no necesariamente es mayor que α + β. iii) (Este caso es a´ un m´as complejo) Consideremos primero el caso α > 0, como en los casos anteriores se toman c, c ∈ D tales que α > c > c > α y m ∈ N tal que c − c > 10−m . Usando el Teorema 2.2.3 ∀ n ∈ N, ∃ bn ∈ D+ tal que bn < β < bn + 10−n , obs´ervese que los bn se pueden tomar crecientes, ya que si β ∈ D, bn consiste de cortar la expansi´on de β en el n−´esimo decimal, y si β ∈ D, bn consiste de restar a β t´erminos de la forma 10−k , y estas potencias de 10−1 se pueden ir tomando cada vez m´as peque˜ nas. Se sigue de la definici´on y de la misma propiedad en Q (Proposici´on 2.1.8) que ∀ n, αβ  cbn > (c + 10−m )bn , y que

c (bn + 10−n )  α β,

por lo que basta probar que para n adecuada (c + 10−m )bn > c (bn + 10−n ). Como estos n´ umeros est´an en D, basta probar 10−m bn > c 10−n . Fijando una k y su respectiva bk , se tiene 10−m bn > 10−m bk ∀ n  k, por lo que basta probar 10−m bk > c 10−n . Esto sucede si n es suficientemente  grande, ya que entonces 10c n es tan peque˜ no como se quiera, i.e., menor a cualquier cantidad positiva. Los dem´as casos se siguen f´acilmente: si α = 0, αβ > 0 = α β. Si α < 0 y α > 0 α β < 0 y αβ > 0 (Reglas de los signos). Para α < 0 y α = 0, α β < 0 = αβ. Finalmente, si α < 0 y α < 0, −α > −α > 0, ∴ −α β > −αβ y α β < αβ. Obs´ervese que el Teorema 2.4.2, inciso iii) implica que si α > α  0 y β > β   0, entonces αβ > α β  , ya que αβ > α β > α β  .

´ meros reales 2. El campo de los nu

51

Probamos ahora que los reales son un campo, obs´ervese que la definici´on de suma y producto de reales implica de manera inmediata que ´estas operaciones son conmutativas, por ejemplo, α + β = sup W = β + α, W = {x + y | x  α, y  β, x, y ∈ D} = {y + x | x  α, y  β, x, y ∈ D}. N´otese que ∀ α, β ∈ R se tiene que α < β ⇐⇒ −β < −α : si α, β ∈ R+ , esto se sigue de la definici´on, tambi´en si α, β ∈ R− . Los otros casos son triviales. Lema 2.4.3. A.a1 a2 · · · + (−A.a1 a2 · · · ) = 0. ´ n. ∀ n ∃ bn ∈ D tal que Demostracio bn < A.a1 a2 · · · < bn + 10−n , lo cual implica que tambi´en se tiene −(bn + 10−n ) < −A.a1 a2 · · · < −bn . Usando el Teorema 2.4.2, podemos sumar las desigualdades y tenemos −10−n < A.a1 a2 · · · + (−A.a1 a2 · · · ) < 10−n , ∴

A.a1 a2 · · · + (−A.a1 a2 · · · ) = 0.

Lema 2.4.4. ∀ α ∈ R, α + 0 = α. ´ n. Para cualquier natural n ∃ an ∈ D tal que Demostracio an < α < an + 10−n . Tambi´en usando el Teorema 2.4.2 an < α + 0 < an + 10−n y por lo tanto

−(an + 10−n ) < −(α + 0) < −an .

Finalmente, sumando se obtiene −10−n < α − (α + 0) < 10−n y α = α + 0.

52

2.4. Los reales son un campo

Corolario 2.4.5. Si α, β ∈ R, entonces α > β ⇐⇒ α + (−β) ∈ R+ . ´ n. Demostracio α > β ⇔ α + (−β) > β + (−β) = 0, i.e., α + (−β) ∈ R+ .

Lema 2.4.6. La suma de reales es asociativa. ´ n. Dados α, β, γ ∈ R, n ∈ N, existen an , bn , cn ∈ D tales que Demostracio an < α < an + 10−n , bn < β < bn + 10−n , cn < γ < cn + 10−n (Teorema 2.2.3). Se sigue entonces del Teorema 2.4.2 (y la definici´on) que an + bn < α + β < an + bn + 2 · 10−n , y tambi´en an + bn + cn < (α + β) + γ < an + bn + cn + 3 · 10−n .

(2.2)

De manera an´aloga an + bn + cn < α + (β + γ) < an + bn + cn + 3 · 10−n , lo cual implica que −an − bn − cn − 3 · 10−n < −[α + (β + γ)] < −an − bn − cn . Finalmente, sumando (2.2) y (2.3) se obtiene −3 · 10−n < [(α + β) + γ] − [α + (β + γ)] < 3 · 10−n , por lo cual (α + β) + γ = α + (β + γ) (en virtud del Lema 2.4.1).

∀ n,

(2.3)

´ meros reales 2. El campo de los nu

53

El inverso aditivo de un real es u ´nico: si α , α son dos inversos aditivos de α, se tendr´ıa α = α + (α + α ) = (α + α) + α = 0 + α = α , denotaremos por −α al inverso aditivo de α. Recordamos que se define el producto usando las reglas de los signos, tomando α, β ∈ R+ . Algo m´as general es cierto, ∀ α, β ∈ R estas leyes son v´alidas: i) (−α)(−β) = αβ, ii) (−α)β = α(−β) = −(αβ). Esto se sigue por definici´on en el caso α, β ∈ R+ . Si α, β ∈ R− , entonces −α, −β ∈ R+ , y por ejemplo (−α)(β) = −[(−α)(−β)] = −(αβ). En el caso α ∈ R+ , β ∈ R− se tiene, por ejemplo (−α)(β) = [−(−α)](−β) = α(−β) = −(αβ), ya que por definici´on αβ = −[α(−β)]. Los dem´as casos se prueban de manera an´aloga. Como caso particular de las leyes de los signos tenemos (−1)α = −α. Lema 2.4.7. El producto en R es asociativo. ´ n. Basta probarlo para reales positivos, el caso general se Demostracio sigue de la regla de los signos, por ejemplo, si α, β, γ ∈ R+ y dicha propiedad es v´alida en este caso [(−α)β](−γ) = [−(αβ)](−γ) = (αβ)γ = α(βγ) = (−α)[−(βγ)] = (−α)[β(−γ)]. Los dem´as casos se prueban an´alogamente. Sean α, β, γ ∈ R+ , y N ∈ N tal que α, β, γ < N. Adem´as, ∀ n ∈ N se toman an , bn , cn ∈ D tales que 0 < an < α < an + 10−n , 0 < bn < β < bn + 10−n , 0 < cn < γ < cn + 10−n .

54

2.4. Los reales son un campo

Se sigue entonces del Teorema 2.4.2 que an bn < αβ < an bn + (an + bn )10−n + 10−2n , y

an bn cn < (αβ)γ < an bn cn + (an cn + bn cn + an bn )10−n + (an + bn + cn )10−2n + 10−3n . Obs´ervese que (an cn + bn cn + an bn )10−n + (an + bn + cn ) · 10−2n + 10−3n < 10−n (3N 2 ) + 10−2n (3N ) + 10−3n < 10−n (3N 2 + 3N + 1) < 10−n 10m ,

para m suficientemente grande. Por lo que an bn cn < (αβ)γ < an bn cn + 10−n 10m . An´alogamente an bn cn < α(βγ) < an bn cn + 10−n 10m , y el resultado se sigue de manera similar al Lema 2.4.6. Lema 2.4.8. α · 1 = α, ∀ α ∈ R. La demostraci´on queda como ejercicio para el lector. Lema 2.4.9. La ley distributiva es v´alida en R, i.e. ∀ α, β, γ ∈ R, α(β + γ) = αβ + αγ. ´ n. Si α, β o γ es 0, el resultado es inmediato, por ejemplo si Demostracio β = 0, α(0 + γ) = αγ = α · 0 + αγ. Caso 1: α, β, γ > 0. ∀ n ∈ N, ∃ an , bn , cn ∈ D tales que 0 < an < α < an + 10−n , 0 < bn < β < bn + 10−n , 0 < cn < γ < cn + 10−n , por lo cual an bn < αβ < an bn + (an + bn ) · 10−n + 10−2n ,

´ meros reales 2. El campo de los nu

55

y an cn < αγ < an cn + (an + cn ) · 10−n + 10−2n ∴ an bn + an cn < αβ + αγ < an bn + an cn + (2 · an + bn + cn ) · 10−n + 2 · 10−2n . Si α, β, γ < N se tiene an bn + an cn < αβ + αγ < an bn + an cn + 10−n (4N + 2). Tambi´en bn + cn < β + γ < bn + cn + 2 · 10−n y an (bn + cn ) < α(β + γ) < an (bn + cn ) + (2an + bn + cn )10−n + 2 · 10−2n < an bn + an cn + 10−n (4N + 2). Como en el Lema 2.4.7, tomando m tal que 2 + 4N < 10m , se tiene ∀ n ∈ N an bn + an cn < αβ + αγ < an bn + an cn + 10m−n y an bn + an cn < α(β + γ) < an bn + an cn + 10m−n , y los argumentos de los lemas anteriores muestran que αβ + αγ = α(β + γ). Caso 2: α < 0, β, γ > 0. Este caso se deriva del Caso 1, las leyes de los signos y la unicidad del inverso aditivo: α(β + γ) = −[(−α)(β + γ)] = −[(−α)β + (−α)γ] = −[−(αβ) + (−(αγ))] = −[−(αβ + αγ)] = αβ + αγ. Caso 3: β < 0, γ < 0. Usando los casos anteriores y las leyes de los signos, α(β + γ) = −(α[−(β + γ)]) = −(α[(−β) + (−γ)]) = −[α(−β) + α(−γ)] = αβ + αγ. Caso 4: β y γ tienen distinto signo (ejercicio). Lema 2.4.10. Dado α ∈ R, α = 0, α tiene un inverso multiplicativo u ´nico.

56

2.4. Los reales son un campo

´ n. Demostracio Existencia Caso 1: α > 0.

Sea M = {x ∈ D+ | xα  1},

si β = sup M, se afirma que αβ = 1.

(2.4)

M est´a acotado superiormente, ya que si α = A.a1 a2 · · · an · · · , A = 0 o an = 0, en ambos casos, 1  10n · α, ya que 10n α  10n (A.a1 a2 · · · an )  1. Por lo cual 10n es cota superior de M (si t ∈ M, tα  1  10n · α y por lo tanto t  10n (Teorema 2.4.2). N´otese que si 0 < γ < β, entonces γα < 1. Esto se sigue ya que ∃ t ∈ M tal que γ < t < β y γα < tα < 1. Ahora, probamos (2.4). ∀ n sea bn ∈ D tal que bn < β < bn + 10−n , se sigue de la observaci´on anterior que bn α < 1 < (bn + 10−n )α,

(2.5)

(si (bn + 10−n )α ≤ 1, bn + 10−n ∈ M y como β < bn + 10−n , β no ser´ıa cota superior). Usando el Teorema 2.4.2 se tiene tambi´en que bn α < βα < (bn + 10−n )α.

(2.6)

Finalmente, si 1 = βα, digamos 1 < βα, usando (2.5) y (2.6), ∀ n ∈ N bn α < 1 < βα < (bn + 10−n )α. Si 10m es cota superior de α se tendr´ıa 0 < βα − 1 < 10−n α < 10m−n ∀n, lo cual es una contradicci´on. En este u ´ltimo paso usamos el hecho de que las desigualdades 0 < a1 < a2 < a3 < a4 implican 0 < a3 − a2 < a4 − a1 (ejercicio). Caso 2: α < 0. Se sigue del Caso 1 que ∃ β ∈ R tal que β(−α) = 1, por lo que α(−β) = 1. Unicidad Si αβ = αγ = 1, β = γ. Para α > 0, se tiene (por las leyes de los signos) que β, γ > 0, digamos β < γ. En virtud del Teorema 2.4.2, αβ < αγ, lo cual es una contradicci´on.

57

´ meros reales 2. El campo de los nu

Para α < 0, se tiene (−α)(−β) = (−α)(−γ) = 1 y por el caso anterior, −β = −γ. Hemos probado: Teorema 2.4.11. Los n´ umeros reales son un campo.

EJERCICIOS 2.4 1. Muestre con un ejemplo que los algoritmos de la primaria de la suma y la multiplicaci´on de n´ umeros en D se derivan de nuestras definiciones y de la ley distributiva. 2. Demuestre el Lema 2.4.8. 3. Demuestre que si α ∈ R+ , β ∈ R− , entonces (αβ) = (−α)(−β). 4. Termine las pruebas de los Lemas 2.4.9 y 2.4.10.

2.5.

Racionales = reales peri´ odicos

Se identificaron los n´ umeros en D con n´ umeros reales, identificamos ahora todos los racionales. Definici´ on 24. Sea j : Q −→ R, dada por j( ab ) = ab−1 . Esta inclusi´on est´a bien definida: Obs´ervese que:

a b

=

c d

⇔ ad = bc ⇔ ab−1 = cd−1 .

a) j es inyectiva: c a c a =j ⇔ ab−1 = cd−1 ⇔ ad = bc ⇔ = . j b d b d b) j preserva la suma: c a c  a +j =j + j b d b d

(ejercicio).

58

´ dicos 2.5. Racionales = reales perio

c) j preserva productos: a  c   ac  j j = ab−1 cd−1 = ac(bd)−1 = j . b d bd d) j preserva el orden: a c a c > ⇔j >j b d b d

(ejercicio).

De ahora en adelante identificaremos Q con j(Q), y usaremos ambas notaciones para cocientes: α = αβ −1 , β

β = 0.

Como D ⊂ Q, se tiene que Q es denso en los reales (Teorema 2.2.3).

Representaci´ on decimal de racionales Es necesario identificar ´esta definici´on de racionales, expresi´on decimal (obtenida en cursos elementales).

m n

como mn−1 , con la

Teorema 2.5.1. Sea

m = B.b1 b2 · · · ∈ Q, n y tambi´en A ∈ N, a1 , a2 , a3 , . . . ∈ {0, 1, . . . , 9} tales que ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

nA  m < n(A + 1), n(A.a1 )  m < n(A.a1 + 10−1 ),

⎪ ⎪ n(A.a1 a2 )  m < n(A.a1 a2 + 10−2 ), ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ .. .. .. ⎩ . . .

(2.7)

entonces B.b1 b2 · · · = A.a1 a2 · · · . Antes de probar el teorema, observamos que (2.7) es el algoritmo que se ense˜ na en los cursos b´asicos de aritm´etica.

59

´ meros reales 2. El campo de los nu

Ejemplo 2500 124

124(20) ≤ 2500 < 124(20 + 1) 124(20.1) ≤ 2500 < 124(20.2) 124(20.16) ≤ 2500 < 124(20.17) .. .. .. . . . Algoritmo (usando repetidas veces la ley distributiva): 250(10) = 2(124)(10) + 20, 20 = 0(124) + 20 = (124)(.1) + 7.6, 7.6 = (.06)(124) + .16 2500 = 20(124) + (.1)(124) + 7.6 = (20.1)(124) + (.06)(124) + .16 = 124(20.16) + .16 Obs´ervese que en (2.7) las desigualdades de la izquierda se obtienen ya que los residuos son  0, y los de la derecha, ya que al dividir se toma el mayor n´ umero posible con dicha propiedad, de otra manera estar´ıamos dividiendo mal. ´ n. (Del Teorema 2.5.1) Las identidades (2.7) se pueden reesDemostracio cribir como: 0  m − nA < n 0  m − n(A.a1 ) < n(10−1 ) 0  m − n(A.a1 a2 ) < n(10−2 ) .. .. .. . . .

60

´ dicos 2.5. Racionales = reales perio

o 0 

m −A n

0 

m − A.a1 n

0  .. . Como

< 1 < 10−1

m − A.a1 a2 < 10−2 n .. .. . .

m = B.b1 b2 · · · , se tiene n 0  B.b1 b2 · · · − A < 1 y A  B.b1 b2 · · · < A+1 ∴

A B < A+1

y

A = B.

Tambi´en ∴

0  A.b1 b2 · · · − A.a1 < 10−1 A.a1  A.b1 b2 · · · < A.a1 + .1,

y a1  b1 < a1 + 1,

por lo que a1 = b1 .

Iterando este argumento se obtiene B.b1 b2 · · · = A.a1 a2 · · · .

Algunos n´ umeros reales tiene una expansi´on decimal peri´odica, por ejemplo, 8 17 = 2.66 . . . , = 1.5454 . . . , 3 11 estos periodos se denotan como  2. 6 o 1.54. Probaremos que los reales peri´odicos son precisamente los racionales. N´otese que dado α ∈ R, α = A.a1 a2 · · · , α(10) = Aa1 .a2 a3 · · · . Dejamos la verificaci´on de este hecho como ejercicio.

(2.8)

61

´ meros reales 2. El campo de los nu

Teorema 2.5.2. Un n´ umero real es peri´ odico si y s´olo si es racional. ´ n. ⇒) Basta probar el caso α ∈ R+ peri´odico, digamos Demostracio  · · · an , α = A.a1 · · · am am+1 α se puede escribir como · · · 0 am+1  · · · an A.a1 · · · am + . 00 

(ejercicio).

m lugares

Ahora, usando (2.8) se tiene  · · · an 10m α = 10m (A.a1 · · · am ) + .am+1 m m−1 = 10 A + 10 a1 + · · · + 10am−1 + am + .am+1  · · · an . Tambi´en aplicando los mismos argumentos  · · · an , 10n α = 10n A + 10n−1 a1 + · · · + 10an−1 + an + .an+1 (obs´ervese que an+1 = am+1 ). Por lo cual (10n − 10m )α = 10n A + 10n−1 a1 + · · · + an −(10m A + 10m−1 a1 + · · · + am ) = B ∈ Z. B . ∴ α ∈ Q, ya que α = n 10 − 10m ∈ Q+ . ⇐) Sea α = m n En el algoritmo de la divisi´on, sin tomar en cuenta decimales, los residuos siempre son menores que n (el divisor). Adem´as, el algoritmo consiste en ir considerando sucesivamente a estos residuos como los dividendos (agreg´andoles un 0). Por consiguiente, si un residuo aparece por segunda vez, se repite exactamente el mismo proceso que cuando apareci´o la primera vez. Finalmente, como hay un n´ umero finito de n´ umeros menores a n, alg´ un residuo necesariamente se repite (en menos de n pasos), obteni´endose un n´ umero peri´odico. Ilustramos la prueba de la suficiencia en el Teorema 2.5.2 con dos ejemplos. 73.846153 13 960 050 110 060 80 020 70 50

62

2.6. Exponentes fraccionarios

∴ o

960  = 73.84615384615. 13 1 = 0.333 . . . = 0. 3. 3

EJERCICIOS 2.5 1. Pruebe que la inclusi´on j : Q −→ R preserva la suma y el orden. 2. Demuestre que dado α ∈ R, α = A.a1 a2 · · · , α(10) = Aa1 .a2 a3 · · · . 3. Complete el detalle faltante en la prueba de la necesidad del Teorema 2.5.2.

2.6.

Exponentes fraccionarios

2.6.1.

Ra´ıces n-´ esimas

Teorema 2.6.1. ∀ α ∈ R+ y ∀ n ∈ N, existe un u ´nico β ∈ R+ tal que β n = α, este real se denota por

√ n

α.

´ n. Se puede suponer n ≥ 2 y α = 1. Demostracio Existencia Sea W = {x ∈ R+ | xn < α}. W est´a acotado superiormente: γ = m´ax {1, α} es cota superior: si α > 1, entonces αn > α > xn ∀ x ∈ W, y por lo tanto x < α = γ, y si α < 1, xn < 1 y x < 1 = γ (en estos argumentos usamos el ejercicio 2.6.1.1). Se afirma que si β = sup W, entonces β n = α. Para probar esto, n´otese que si r es suficientemente grande, β − 10−r > 0, y como β − 10−r > 0 no es cota superior de W, ∃ x, x > β − 10−r , tal que xn < α y tambi´en (β − 10−r )n < α, por lo tanto (β − 10−r )n < α < (β + 10−r )n ∀ r suficientemente grande.

(2.9)

63

´ meros reales 2. El campo de los nu

Finalmente, obtenemos estimaciones para estas cotas de α : n

n n−j  n β k  n k −r n n = β n + r (2n − 1), < β + r (β + 10 ) = jr j j 10 10 10 j=0 j=1 donde k = m´ax{β n−1 , 1}. Tambi´en n−j n n−j n   n β (−1)j n j n β (β − 10−r )n = = β + (−1) j j 10jr 10jr j=0 j=1 >

β − n

n n−j  n β j=1

j

10jr

> βn −

(2n − 1)k . 10r

Reemplazando estas desigualdades en (2.9) se tiene c c β n − r < α < β n + r , c constante, c > 0, 10 10 o − o

c c < α − βn < r , r 10 10 −

∀ r suficientemente grande,

1 1 α − βn < < . 10r c 10r ∴

α = β n.

Unicidad ´nico tal que Si β > γ, β n > αn , por lo tanto existe un real u β n = α.

EJERCICIOS 2.6.1 1. Si 0 < x < y, pruebe que 0 < xn < y n .

2.6.2.

Exponentes fraccionarios

Definici´ on 25. Si α ∈ R y n ∈ N se define αn = α  · α · · · α, n veces

y si α ∈ R − {0}, α

−n

n −1

= (α ) .

N´otese que (αn )−1 = ( α1 )n . Por convenci´on α0 = 1.

64

2.6. Exponentes fraccionarios

Observaci´ on. i) αm αn = αm+n . ii) (αm )n = αmn . Prueba de i) αm αn = (α · · · α) (α · · · α) . Tambi´en, si m > 0, n < 0, si p = −n     m veces

n veces

1 1 αm αn = (α · · · α) ( · · · ) = αm−p = αm+n ,    α α  m veces p veces

etc´etera. n veces Prueba de ii) (αm )n = (α · · · α) · · · (α · · · α) = αmn .     m veces

m veces

Si m < 0 o n < 0 se reemplaza la misma expresi´on por α1 , etc´etera. Proposici´ on 2.6.2. Dados α, β ∈ R+ , n, m ∈ N, se tiene a)

√ √ √ n α n β = n αβ.

b)

 √ m n

α=

√

nm

α.

√ √ c) ( n α)m = n αm . d)

√ n

αm =

√ s

αr ⇐⇒

m r = , donde r, s ∈ N y α = 1. n s

´ n. Demostracio √ √ √ √ a) ( n α n β)n = ( n α)n ( n β)n = αβ. √ √ √ b) ( m n α)mn = (( m n α)m )n = ( n α)n = α. √ √ √ c) (( n α)m )n = ( n α)mn = (( n α)n )m = αm . d)

√ n

αm =

m r = . n s

√ s

√ √ αr ⇔ ( n αm )ns = ( s αr )ns ⇔ αms = αrn ⇔ ms = rn ⇔

65

´ meros reales 2. El campo de los nu

Este resultado se extiende a los casos n < 0 o m < 0. Por ejemplo, el caso c), si m < 0, tomando p = −m. √ n

√ n

m

( α) = ( α)

−p

1 1 = √ = √ = n n p ( α) αp

 n

√ 1 = n αm . p α

El caso d) tambi´en es v´alido si m, r < 0. Esto se sigue reemplazando α por α1 , ya que −r 1 r α = , etc´etera. α Asimismo, n´otese que el inciso c) implica que si α ∈ R+ y puede definir √ √ m α n como n αm o como ( n α)m .

m n

∈ Q, se

Es importante enfatizar que con la poderosa herramienta del c´alculo infinitesimal esta definici´on se extiende a todos los reales ab = eb log a , a ∈ R+ . Proposici´ on 2.6.3. ∀ α, β ∈ R+ , m

m

m

r

m

r

mr

m r , n s

∈ Q, se tiene

m

a) α n β n = (αβ) n . r

b) α n α s = α n + s . m

c) (α n ) s = α ns . ´ n. Demostracio m

m

m

r

a) α n β n =

√ n

 √ √ m αm n β m = n αm β m = n (αβ)m = (αβ) n .

ms

nr

b) α n α s = α ns α ns = =α

ms+rn ns

m

√

ns

αms

√

ns

αnr =

√

ns

αms αnr =

√

nr

αms+rn

r

= α n +s .

 √ √ √ √ m r m mr s s c) (α n ) s = ( α n )r = ( n αm )r = ( sn αm )r = ( sn α)mr = α ns .

66

´ n, me ´todo de Newton 2.7. Aproximacio

2.7.

Aproximaci´ on, m´ etodo de Newton

Definici´ on 26. Si α ∈ R se define su valor absoluto como  α si α  0 |α| = −α si α < 0. Observaci´ on. Son inmediatas las siguientes relaciones: | − α| = |α|,

|α|  0,

α  |α|,

|α| = 0 ⇐⇒ α = 0 y |α|2 = α2 . Proposici´ on 2.7.1. ∀ α, β ∈ R, i) |αβ| = |α||β|. ii) |α + β|  |α| + |β|. ´ n. Demostracio i) Se tiene que |αβ|2 = (αβ)2 = α2 β 2 = |α|2 |β|2 = (|α||β|)2 , y por lo tanto

| αβ| = |α||β|.

ii) Como |α+β|2 = (α+β)2 = α2 +2αβ+β 2 = |α|2 +2αβ+|β|2 ≤ |α|2 |+2|αβ|+|β|2 = |α|2 | + 2|α||β| + |β|2 = (|α| + |β|)2 , se sigue la afirmaci´on.

Obs´ervese que ∀ α, β ∈ R, ||α| − |β||  |α − β|. Esto se sigue ya que |α| = |α + β − β|  |α − β| + |β| y |α| − |β|  |α − β|. An´alogamente |β| − |α|  |α − β|.

´ meros reales 2. El campo de los nu

67

Se discuten ahora algunos m´e√ todos elementales para aproximar reales. Por ejemplo, podemos aproximar 2 de la siguiente manera: √ 1< 2 a y b > b por el Teorema de Pit´agoras Una prueba alternativa y m´as general, para la segunda parte de la proposici´on anterior, que usa el producto interno para vectores en Rn , es la siguiente: |a + b|2 = (a + b) · (a + b) = |a|2 + 2a · b + |b|2  |a|2 + 2|a||b| + |b|2 = (|a| + |b|)2 , en virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, a · b  |a||b|.

3.1.2.

Argumento

Definici´ on 28. Se define el argumento de P ∈ R2 − {0}, tomado en el intervalo [0, 2π), como la longitud del arco en la circunferencia unitaria que empieza en el punto e1 = (1, 0) y termina en P/|P |, movi´endose en el sentido contrario a las manecillas. A esta medida del ´angulo determinado por ese arco, se le llama medici´ on en radianes.

73

´ meros complejos 3. Los nu P P/|P | e1

e1 P P/|P |

Figura 3.3: Medida de ´angulos en radianes Por ejemplo, los reales positivos tiene argumento 0, los reales negativos π. Se muestra en los cursos elementales que al tomar los pol´ıgonos regulares de n lados Pn y hacer tender n → ∞, la longitud de los per´ımetros se aproximan a 2π. Una demostraci´on formal se hace en c´alculo, v´ease [13].

Figura 3.4: El per´ımetro de los pol´ıgonos regulares se aproxima a 2π El argumento de un punto en el eje de las ordenadas positivas es π/2 (mitad de un semic´ırculo), y si se encuentra en la parte donde las ordenadas son negativas, es 3π/2. Definici´ on 29. Sea P ∈ R2 − {0}, se define el argumento de P, como cualquier n´ umero de la forma s + 2πk, k ∈ Z, donde s es el argumento de P tomado en [0, 2π). Esta u ´ltima definici´on es la correcta, ya que exhibe que el argumento no est´a un´ıvocamente determinado. lo cual es fundamental en la variable compleja, por ejemplo, cuando se estudia el logaritmo. Sin embargo, si este valor se toma en [0, 2π), s´ı lo est´a. En los siguientes ejemplos nos referimos solamente al argumento con valores en [0, 2π). 1. Si el argumento de P es s, 0  s  π, el argumento de −P es s + π, v´ease la Figura 3.6 (a).

74

´ sicas 3.1. Nociones ba s= π 2

m o j > n, en estos casos ai = 0 o bj = 0.

4.2. El dominio entero A[z]

106 Ejemplo.

(2 − 3x + x3 )(3 − x) = 6 − 11x + 3x2 + 3x3 − x4 . Denotaremos por A[z], o por A[x], al conjunto de polinomios con una indeterminada (z o x) sobre el anillo A (A puede ser Z, Q, R o C). Diremos que dos polinomios p(z) y q(z) son iguales si tienen los mismos coeficientes. Teorema 4.2.2. El conjunto A[z] es un anillo conmutativo con unidad. ´ n. Se sigue directamente de la definici´on que la suma de poDemostracio linomios es conmutativa y asociativa. Tambi´en, si p(z) = an z n + · · · + a0 , ai ∈ A, entonces p(z) + 0 = p(z), esto es, el neutro aditivo es el polinomio constante 0, y el inverso aditivo es −p(z) = −an z n − · · · − a1 z − a0 , ya que p(z) + (−p(z)) = 0. En cuanto al producto, la conmutatividad se sigue de la definici´on, y un argumento simple muestra que p(z) · 1 = p(z), ∞ paraj todo polinomio ∞ p(z). j Para la asociatividad, si tenemos p(z) = j=0 aj z , q(z) = j=0 bj z y ∞ j h(z) = j=0 cj z , el coeficiente de grado m en [p(z)q(z)]h(z) est´a dado por     ai bj cl , l+k=m

i+j=k

esta doble suma se puede expresar tambi´en como  ai bj cl . i+j+l=m

Por consiguiente, este coeficiente es tambi´en el de grado m en p(z)[q(z)h(z)], y por lo tanto el producto es asociativo. Finalmente, el coeficiente del t´ermino de grado k en p(z)[q(z) + h(z)] es    ai (bj + cj ) = ai bj + ai cj , i+j=k

i+j=k

i+j=k

que es precisamente el coeficiente del t´ermino de grado k en el polinomio p(z)q(z) + p(z)h(z), por lo que vale la ley distributiva. De hecho A[z] es un dominio entero, ´esto es consecuencia inmediata de la Proposici´on 4.2.1, ya que si p(z)q(z) = 0, entonces el grado de p(z) o de q(z) es −∞. En particular es v´alida la ley de la cancelaci´on para el producto, ya que si p(z) = 0 y p(z)q(z) = p(z)h(z), entonces q(z) = h(z).

107

4. El anillo de los polinomios

Definici´ on 41. Sea ϕ : N −→ N una funci´on, se dice que ϕ es polinomial si existe f ∈ C[z] tal que f (n) = ϕ(n) ∀ n ∈ N. Ejemplo. La funci´on

ϕ(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + 2n − 1,

es polinomial.

En efecto, como ϕ(n) = 1 + 2 + · · · 2n − (2 + 4 + 6 + · · · + 2n) 2n(2n + 1) = − 2(1 + 2 + 3 + · · · + n) 2 n(n + 1) = n(2n + 1) − 2 2 = n(2n + 1 − n − 1) = n2 , tenemos que ϕ(n) = f (n), donde f (z) = z 2 .  general, se puede obtener una expresi´on para nk=1 k j si se conoce nEn j−1 . Por ejemplo, si queremos obtener una expresi´on para la suma de k=1 k los primeros n cuadrados 1 + 22 + · · · + n2 el truco es tomar (k + 1)3 − k 3 = 3k 2 + 3k + 1. Esta igualdad aplicada n veces, para k = 1, 2, . . . n, establece que n 

n n   ! k2 + 3 k + n, (k + 1)3 − k 3 = 3

k=1

obteni´endose (n + 1)3 − 1 = 3

n 

k=1

k=1

k2 + 3

n(n + 1) + n, 2

k=1

esto es (n + 1)3 − (n + 1) − 3 o

n  n(n + 1) =3 k2, 2 k=1



 n  3n (n + 1) (n + 1) − 1 − =3 k2 2 k=1 2

i.e., n+1 3



 n 3n n2 + 2n − = k2 2 k=1

108

´ n con residuo 4.3. Divisio

n 2n + 1 n(n + 1)(2n + 1)  2 = = k . 2 6 k=1  Por consiguiente ϕ(n) = nk=1 k 2 es polinomial, i.e., ϕ(n) = f (n), donde ∴

n(n + 1) 3



z(z + 1)(2z + 1) . 6 Asimismo, este m´etodo muestra que 1 + 2 + · · · + n = n(n+1) : 2 n n   ! (n + 1)2 − 1 = (k + 1)2 − k 2 = 2 k+n f (z) =

k=1

y

n 

k=

k=1

k=1

n(n + 1) (n + 1)2 − 1 − n = . 2 2

EJERCICIOS 4.2 1. Demuestre que no existen f (x) y g(x) polinomios con coeficientes racionales de grado 1 tales que f (x)g(x) = 2x2 + 1. 2. Considere f (x), g(x) y h(x) polinomios con coeficientes enteros, y suponga que f (x) = g(x)h(x) y f (0) = 54321. ¿Es posible que g(0) = 4? Explique. 3. Encuentre el polinomio de grado 2 f (x) que toma los siguientes valores: f (−2) = 0, f (−1) = −4 y f (0) = −6. 4. Sea f (x) = f1 (x)f2 (x)f3 (x)f4 (x) un polinomio de grado 9 donde el grado de fi (x) es positivo, para i = 1, . . . , 4. Pruebe que al menos dos de los polinomios fi (x) tienen el mismo grado.

4.3.

Divisi´ on con residuo

En el anillo de los polinomios sobre un campo, a semejanza de los enteros, el algoritmo de la divisi´on tambi´en es v´alido. Denotamos por gr (f (x)) al grado de un polinomio f (x), y por K[x] el conjunto de los polinomios con una indeterminada sobre un campo K, que por lo general ser´a Q, R o C. Teorema 4.3.1. Sean f (x) y g(x) polinomios en K[x], donde g(x) es no nulo, entonces existe otros 2 u ´nicos polinomios q(x) y r(x) en K[x] tales que i) f (x) = g(x)q(x) + r(x), ii) gr (r(x)) < gr (g(x)). A f (x) se le llama el dividendo, a g(x) el divisor, a q(x) el cociente y a r(x) el residuo. Obs´ervese que en Z, si a, b ∈ Z, b = 0 y a = bq + r, donde 0  r < |b|, el valor absoluto juega el papel del grado.

109

4. El anillo de los polinomios

Ejemplo. Si f (x) = x2 − 2 y g(x) = x − 1, entonces q(x) = x + 1 y r(x) = −1, ya que x2 − 2 = (x + 1)(x − 1) − 1. ´ n. (Del Teorema 4.3.1) Demostracio Unicidad Si f (x) = g(x)q1 (x) + r1 (x) = g(x)q2 (x) + r2 (x), donde gr (ri (x)) < gr (g(x)), i = 1, 2, se tiene g(x)[q1 (x) − q2 (x)] = r2 (x) − r1 (x). Si q1 (x) = q2 (x), entonces g(x)[q1 (x) − q2 (x)] = r2 (x) − r1 (x) es un polinomio no nulo de grado mayor o igual a gr (g(x)). Esto se sigue, ya que gr (q1 (x) − q2 (x)) = t  0 y gr (g(x)) = m  0, por lo cual gr(r2 (x) − r1 (x)) = m + t  m. Sin embargo, gr (r2 (x) − r1 (x))  m´ax{gr (r1 ), gr (r2 (x))} < gr (g(x)) = m. Esta contradicci´on garantiza que q1 (x) = q2 (x), y entonces r2 (x) = r1 (x). Existencia El algoritmo consiste en tomar una sucesi´on de parejas de polinomios qi (x) y ri (x) tales que f (x) = g(x)qi (x) + ri (x),

i = 1, 2, . . . ,

donde gr (f (x)) > gr (r1 (x)) > gr (r2 (x)) > · · · , por lo que despu´es de un n´ umero finito de pasos se tiene que gr (rt (x)) < gr (g(x)), para alguna t. Espec´ıficamente: a) Si gr (f (x)) < gr (g(x)), se tiene f (x) = g(x) · 0 + f (x),

en tal caso r(x) = f (x) y terminamos.

b) Si gr (f (x)) > gr (g(x)), donde f (x) = am xm + am−1 xm−1 + · · · + a0 y g(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b0 , se procede de la siguiente manera:

110

´ n con residuo 4.3. Divisio

i) Sean q1 (x) =

am m−n x bn

y r1 (x) = f (x) − g(x)q1 (x),

entonces gr (r1 (x)) < gr (f (x)) (v´ease el ejemplo a continuaci´on). ii) Habiendo obtenido qi (x) y ri (x), si gr (ri (x))  n (de otra manera, ya terminamos), escribimos gr (ri (x)) = mi y ri (x) = ai,mi xmi + ai,mi −1 xmi −1 + · · · + ai,m0 , se toma

mi −n qi+1 (x) = qi (x) + ai,mi b−1 , n x

por lo que f (x) − qi+1 (x)g(x) mi −n = f (x) − qi (x)g(x) − ai,mi b−1 (g(x)) n x −1 mi −n = ri (x) − ai,mi bn x (g(x)) = ri+1 (x) es un polinomio de grado menor a ri (x) (ver ejemplo). Como los grados de los polinomios decrecen, despu´es de un n´ umero finito de pasos, para alguna t. gr (rt (x)) < gr (g(x)) y f (x) = g(x)qt (x) + rt (x).

Obs´ervese que la prueba del teorema radica en ir tomando a los residuos como dividendos, lo cual funciona gracias a la propiedad distributiva. Ejemplo. Sea f (x) = x4 + 5x3 − 2x2 + x − 1 y g(x) = 2x2 − x + 3. Calculamos el cociente y el residuo de f (x) entre g(x). En este caso se sigue de la Figura 4.1 que 1 2 x, 2 1 2 11 q2 (x) = x + x, 2 4 q1 (x) =

q(x) =

3 1 2 11 x + x− . 2 4 8

y

111

4. El anillo de los polinomios

1er dividendo

x4 + 5x3 − 2x2 + x − 1

2x2 − x + 3

−x4 + 12 x3 − 32 x2 1er residuo o 2o dividendo

7 2 2x + x − 1 11 2 33 4 x − 4 x − 43 x2 − 29 4 x−1 3 2 3 9 4x − 8x + 8 1 − 61 8 x+ 8

11 3 2 x − 11 3 −2x +

2o residuo o 3er dividendo

1 2 2x

+

11 4 x

−

3 8

r1 (x) r2 (x) r(x)

Figura 4.1: Divisi´on con residuo Obs´ervese que en el Teorema 4.3.1, si f (x) y g(x) tienen coeficientes reales (o racionales), entonces tambi´en el cociente q(x) y residuo el r(x) tienen coeficientes reales (o racionales). Esto se sigue ya que q(x) y r(x) se obtienen de divisiones, sumas, restas y multiplicaciones de elementos en f (x) y en g(x), que son reales (o racionales). Como en los enteros se tiene el concepto de divisibilidad. Se dice que g(x) divide a f (x), si g(x)h(x) = f (x), para alguna h(x) ∈ K[x], se escribe g(x)|f (x). Evidentemente g(x)|f (x) ⇐⇒ r(x) = 0, donde f (x) = g(x)q(x) + r(x) y gr (r(x)) < gr (g(x)). Proposici´ on 4.3.2. Sea f (x) ∈ K[x], entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) f (x) tiene un inverso multiplicativo. ii) f (x)|1. iii) f (x) es de grado cero. ´ n. i) ⇔ ii) es evidente (∃ g(x) tal que f (x)g(x) = 1). Demostracio Ahora, si f (x) es de grado 0, f (x) es un escalar distinto de 0, por lo que tiene un inverso multiplicativo que es otro polinomio de grado 0 y se cumple i) (y por consiguiente ii)). Finalmente si se cumple ii), tomando en cuenta que los grados se suman en el producto y que 1 = f (x)g(x) se tiene −∞ < gr (f (x))  0.

112

4.4. Teoremas del residuo y del factor

Obs´ervese que (x − a)|(x − b) ⇐⇒ a = b, ya que si (x − a)q(x) = x − b, entonces −∞ < gr (q(x)) = 0 y q(x) ∈ K, digamos q(x) = α, por lo que αx − αa = x − b, luego α = 1, de donde a = b. Ya que por definici´on dos polinomios son iguales si y s´olo si sus coeficientes son iguales. Definici´ on 42. Dados dos polinomios g(x) y f (x) en K[x], se dice que son asociados si g(x)|f (x) y f (x)|g(x). Claramente se sigue de la Proposici´on 4.2.1, que en este caso se tiene f (x) = αg(x), para alguna α ∈ K − {0}, y viceversa, esta condici´on implica que f (x) y g(x) son asociados. EJERCICIOS 4.3 1. Calcule el cociente y el residuo al dividir los siguientes polinomios: a) x3 − 3x + 2 entre x2 + 2. b) 2x − 1 entre −x2 + 1. c) x3 + 2x2 − x + 4 entre 3x + 1.

4.4.

Teoremas del residuo y del factor

Definici´ on 43. Sea f (x) ∈ C[x], se dice que a es una ra´ız (o un cero) del polinomio f (x), si f (a) = 0. Es decir, las ra´ıces son las soluciones de la ecuaci´on f (x) = 0. Se sigue directamente del Teorema 4.3.1 (de la divisi´on con residuo), el siguiente resultado. Corolario 4.4.1. Si f (x) ∈ C[x], y a ∈ C, entonces existen q(x) ∈ C[x] y r∈Cu ´nicos tales que f (x) = q(x)(x − a) + r. Esta ecuaci´on tiene consecuencias fundamentales.

113

4. El anillo de los polinomios

Teorema 4.4.2. (Teorema del residuo) Bajo las hip´otesis del corolario anterior, se tiene r = f (a). ´ n. La prueba ciertamente es simple, Demostracio f (a) = q(a)(a − a) + r = r.

Corolario 4.4.3. (Teorema del factor) a ∈ C es ra´ız del polinomio f (x) si y s´olo si (x − a) | f (x). ´ n. En efecto, como f (a) = r, Demostracio f (a) = 0 ⇔ (x − a) | f (x).

Corolario 4.4.4. Bajo la notaci´on del Corolario 4.4.1, se tiene (x − a) | [f (x) − f (a)]. ´ n. Esto se sigue, ya que Demostracio f (x) − f (a) = g(x)(x − a) + f (a) − f (a).

Corolario 4.4.5. Si (x − a) | [f (x)g(x)], entonces (x − a) | f (x)

o

(x − a) | g(x).

´ n. La hip´otesis implica Demostracio f (a)g(a) = 0, ∴

f (a) = 0 y (x − a) | f (x),

o g(a) = 0 y (x − a) | g(x).

114

4.4. Teoremas del residuo y del factor

En este contexto es importante destacar de nuevo el teorema fundamental del a´lgebra, que establece que todo polinomio en C[x] de grado positivo tiene al menos una ra´ız en C. Por ejemplo, podemos expresar x3 − 1 como polinomios de grado 1 de la siguiente manera: si



2π 2π + i sen , α = cos 3 3 entonces α3 = 1, y tambi´en α2 = α = cos

4π 3



+ i sen

4π 3



cumple (α)3 = 1 (v´ease la Figura 4.2). α π 3

1

α

Figura 4.2: Ra´ıces de x3 − 1 La tercera ra´ız claramente es 1, por lo que usando el Corolario 4.4.3 se tiene (x − 1) | (x3 − 1), en efecto x3 − 1 = (x2 + x + 1)(x − 1). Ahora x − α y x − α son factores de x3 − 1, por lo que usando dos veces el Corolario 4.4.5, se tiene x2 + x + 1 = (x − α)(x − α). En efecto,

(x − α)(x − α) = x2 − αx − αx + |α|2 = x2 − x(α + α) + 1

2π = x2 − 2 cos x+1 3

115

4. El anillo de los polinomios

= x2 + x + 1, y por lo tanto

x3 − 1 = (x − 1)(x − α)(x − α).

Obs´ervese que el polinomio cero tiene una infinidad de ra´ıces. Teorema 4.4.6. En los polinomios con coeficientes reales, R[x], las ra´ıces complejas aparecen por parejas de conjugados, i.e., si f (x) ∈ R[x] y α ∈ C, entonces f (α) = 0 ⇐⇒ f (α) = 0. ´ n. Sea f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 , si α ∈ C es una Demostracio ra´ız de f (x), entonces an αn + an−1 αn−1 + · · · + a0 = 0, conjugando la ecuaci´on tenemos an αn + an−1 αn−1 + · · · + a0 = 0 = 0, por lo que usando las propiedades de la conjugaci´on f (α) = 0. La misma prueba muestra la afirmaci´on rec´ıproca. Algunos resultados sobre polinomios en Z[x] se establecen a continuaci´on. Teorema 4.4.7. Sea f (x) ∈ Z[x], f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn . Si a/b ∈ Q, (a, b) = 1, es una ra´ız de f (x), entonces a | a0 ´ n. Si Demostracio a0 + a1

a b

y

b | an .

+ · · · + an

 a n b

= 0,

entonces bn a0 + a1 abn−1 + · · · + an−1 an−1 b + an an = 0. Finalmente, como (a, b) = 1, se sigue el resultado b | an

y a | a0 .

116

4.4. Teoremas del residuo y del factor

Por ejemplo, el polinomio f (x) = 2x3 + x2 − 2 no tiene ra´ıces racionales, ya que si f (a/b) = 0, entonces a | 2 y b | 2. Las u ´nicas posibles ra´ıces son ±1, ±2 y ±1/2, sin embargo f (1) = 1,

f (−1) = −3,

f (2) = 18, f (−2) = −14,



1 2 1 1 1 3 1 f = 3 + 2 −2=− y f − = − 2 + 2 − 2 = −2. 2 2 2 2 2 2 2 Como caso particular del Teorema 4.4.7, se tiene que si f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 es un polinomio en Z[x] que tiene ra´ıces racionales, ´estas son enteras. Esto se cumple, ya que si a f = 0 y (a, b) = 1, b entonces b | 1, i.e., b = ±1, y ab es entero. Analizamos ahora el polinomio f (x) = x3 + x − 3, su derivada es f  (x) = 3x2 + 1, obs´ervese que f  (x) > 0 ∀ x ∈ R, tambi´en el m´ınimo de f  (x) es 1 en x = 0 (v´ease la Figura 4.3).

1

-1

1

Figura 4.3: Gr´afica de f  (x) = 3x2 + 1 Es decir, la gr´afica de f (x) = x3 + x − 3 es creciente, adem´as la derivada decrece a 1 en 0 para luego crecer, i.e., 0 es un punto de inflexi´on. Tambi´en f (1) = −1 y f (2) = 7, por lo que f tiene una u ´nica ra´ız real en el intervalo (1,2) (v´ease la Figura 4.4).

117

4. El anillo de los polinomios

1

2

-1

-3

Figura 4.4: Gr´afica de f (x) = x3 + x − 3

EJERCICIOS 4.4 1. Encuentre las ra´ıces de x6 − 1 = 0. 2. Exprese x8 − 1 como producto de polinomios con coeficientes reales. 3. Demuestre que si f (x) | g(x), entonces la ra´ıces de f (x) tambi´en lo son de g(x). 4. Demuestre que si f (x) = 0 y a, b, c son ra´ıces distintas de f (x), entonces gr (f (x))  3. 5. Sean f (x) y g(x) polinomios tales que (x − a) | f (x) y (x − a)  g(x). Demuestre que (x − a)  f (x) + g(x). 6. Si f (z) = z 3 +2z 2 −z −2. Determine los n´ umeros z ∈ C tales que f (z) = 0.

4.5.

Polinomios de grado 2

Sea f (z) = az 2 + bz + c, a, b, c ∈ C,

a = 0,

se quiera factorizar f (z) y encontrar sus ra´ıces, completando cuadrados se tiene   c b az 2 + bz + c = a z 2 + z + a a

118

4.5. Polinomios de grado 2

2 2  b b b c =a z +2 z+ + − 2a 2a a 2a  

2 b2 − 4ac b =a z+ . − 2a 4a2 

2

Denotamos α=

(4.1)

b2 − 4ac 4a2

Si b2 = 4ac, entonces α = 0, y

2 b . f (z) = a z + 2a √ √ Si b2 = 4ac, entonces , α = 0. Tomando α una ra´ız cuadrada de α, − α es la otra, y se sigue de (4.1) que



√ √ b b − α + α , z+ f (z) = a z + 2a 2a √ √ tomando z1 = −(b/2a) + α y z2 = −(b/2a) − α se tiene f (z) = a(z − z1 )(z − z2 ), por lo que z1 , z2 son las ra´ıces de f (z). N´otese que si β es una ra´ız de f (z), entonces (z − β) | f (z) y se sigue del Corolario 4.4.5 que β = z1 o β = z2 . Obs´ervese que  √ b2 − 4ac b −b + b2 − 4ac z1 = − + = 2a 4a2 2a y z2 = donde

−b −

√

b2 − 4ac , 2a

√ b2 − 4ac es cualquier ra´ız de b2 − 4ac.

Ejemplo. Factorizamos z 2 + i. En este caso tenemos b = 0, a = 1 y c = i, por lo que b2 − 4ac = −4i. Por lo cual √ −4i √ 3π 3π 3π 3π z1 = = −i = cos + i sen y z2 = − cos − i sen . 2 4 4 4 4 Si β = cos(3π/4) + i sen(3π/4),

entonces z 2 + i = (z − β)(z + β).

119

4. El anillo de los polinomios

EJERCICIOS 4.5 1. Encuentre un polinomio de grado 4 con coeficientes reales que no tenga ninguna ra´ız real. 2. Sea f (x) = ax2 + bx + c un polinomio de grado 2 con coeficientes reales, recordamos que el discriminante Δ de f (x) es Δ = b2 − 4ac. Demuestre que: i) f (x) tiene dos ra´ıces reales distintas, si Δ > 0. ii) f (x) tiene dos ra´ıces reales iguales, si Δ = 0. iii) f (x) tiene dos ra´ıces complejas no reales, que son conjugadas entre s´ı, si Δ < 0.

4.6.

Divisi´ on sint´ etica

El proceso de dividir un polinomio por un divisor de la forma x − a se puede simplificar sustancialmente. Este  proceso permite tambi´en obtener una expresi´on para polinomios de la forma ai (x − a)i . Veamos el siguiente ejemplo, dividimos 4x4 − 3x3 + 2x2 − x + 1 entre x + 1.

4x4 −4x4

−3x3 −4x3

+

−7x3 7x3

+ +

2x2 2x2 7x2 9x2 −9x2

−x

+

−x

+

1

−x + −9x

1

−10x 10x

1

x +

1

4x3 − 7x2 + 9x − 10

+ +

1 10 11

Este proceso se puede escribir de manera m´as esquem´atica.

120

´ n sinte ´tica 4.6. Divisio

4

−3 −4

−1

2

−1

1

4 − 7 + 9 − 10

−7 7 9 −9 −10 10 11 Obs´ervese que los coeficientes del cociente son el 1er n´ umero del 1er rengl´on y los n´ umeros que aparecen debajo de las rayas horizontales, exceptuando el u ´ltimo, que es el residuo. Los n´ umeros arriba de las l´ıneas horizontales, se obtienen al multiplicar a (en el ejemplo a = −1) por los coeficientes del cociente. Obs´ervese tambi´en que los n´ umeros debajo de las l´ıneas horizontales se obtienen sumando los n´ umeros de arriba. Sintetizando a´ un m´as, se escribe simplemente 4

−3 −4

2 7

−1 −9

1 10

4

−7

9

−10

11

−1

Obteni´endose un algoritmo muy simple: bajar 4 debajo de la raya, multiplicarlo por −1 y ponerlo arriba de la raya, sumar y el resultado es el siguiente coeficiente del cociente. Posteriormente, multiplicar este n´ umero por −1 y ponerlo arriba de la raya en la siguiente columna, etc´etera. Veamos otro ejemplo: 1

1 2

2 6

3 16

5 38

−6 86

1

3

8

19

43

80

2

por lo cual x5 + x4 + 2x3 + 3x2 + 5x − 6 = (x4 + 3x3 + 8x2 + 19x + 43)(x − 2) + 80. A este r´apido algoritmo se le llama divisi´on sint´etica. A continuaci´on observamos  que este im´etodo permite expresar r´apidamente un polinomio de la forma ai (x − a) .

121

4. El anillo de los polinomios

Si f (x) es un polinomio de grado n y a ∈ C, entonces f (x) = (x − a)f1 (x) + b0 f1 (x) = (x − a)f2 (x) + b1 .. . fn−1 (x) = (x − a)fn (x) + bn−1 , como el grado de fi (x) es n − i, fn (x) es de grado 0 (o −∞), i.e., fn (x) ∈ C, se puede escribir como fn (x) = bn y se tiene f (x) = = = .. . =

b0 + f1 (x)(x − a) b0 + b1 (x − a) + f2 (x)(x − a)2 b0 + b1 (x − a) + b2 (x − a)2 + f3 (x)(x − a)3 b0 + b1 (x − a) + b2 (x − a)2 + b3 (x − a)3 + · · · + bn (x − a)n ,

obteni´endose f (x) =

n 

bi (x − a)i ,

i=0

donde b0 es el residuo de f (x) al dividirlo por x − a, b1 es el residuo de f1 (x) al dividirlo por x − a, etc´etera. Usando la divisi´on sint´etica se obtienen r´apidamente los bi : por ejemplo, si se quiere expresar x4 + 3x3 + x2 − 2x − 1 en la forma ai (x + 2)i , hacemos lo siguiente: f (x)

−→

1

3 −2

1 −2

−2 2

−1 0

f1 (x)

−→

1

1 −2

−1 2

0 −2

−1

f2 (x)

−→

1

−1 −2

1 6

−2

f3 (x)

−→

1

−3 −2

7

f4 (x)

−→

1

−5

−2

y se tiene x4 + 3x3 + x2 − 2x − 1 = (x + 2)4 − 5(x + 2)3 + 7(x + 2)2 − 2(x + 2) − 1,

122

4.7. Aproximaciones a ra´ıces en polinomios reales

obs´ervese que el coeficiente del t´ermino de grado m´aximo coincide con el  correspondiente en (x − a)i . EJERCICIOS 4.6 1. Muestre que 2x7 − 3x5 + 2x4 − x3 + 7x − 2 no tiene ra´ıces racionales. 2. Aproxime la ra´ız real de f (x) = x3 + x − 3 con una aproximaci´on de una cent´esima usando el m´etodo de Newton.  3. Encuentre la expresi´on de x3 − 2x2 + x + 2 en la forma 3i=0 bi (x − 1)i .

4.7.

Aproximaciones a ra´ıces en polinomios reales

Se sigue del teorema del valor intermedio que si f (x) es un polinomio real, tal que f (a) < 0 y f (b) > 0, donde a < b, entonces existe c ∈ [a, b], tal que f (c) = 0. Bisectando iteradamente el intervalo [a, b] se puede aproximar la ra´ız (eligiendo el intervalo donde se cambia el signo). Sin embargo este m´etodo no es eficiente, por ejemplo, si a = 3, b = 7 y se quiere aproximar con mil´esimas a un punto en el intervalo, el n´ umero n de etapas debe cumplir 7−3  .001, 2n

i.e.,

4


α = A.a1 a2 a3 . . . , una ra´ız aislada de un polinomio f (x) en el intervalo [A, A + 1], A ∈ N ∪ {0}, el algoritmo es el siguiente.  1. Se expresa f (x) = j a0, j (x − A)j , mediante la divisi´on sint´etica iterada, y se define  f0 (x) = a0, j xj , j

123

4. El anillo de los polinomios

obs´ervese que f (x) = f0 (x − A),

(4.2)

es decir, el valor de f0 en el “traslado” de x al intervalo (0, 1) es el mismo del valor de f en x (v´ease la Figura 4.5). N´otese que para encontrar el primer decimal de α, i.e., a1 , hay que checar que f (A.a1 ) y f (A.a∗1 ) tienen signo distinto, donde a∗1 = a1 + 1, y para esto basta checar que f0 (.a1 ) y f0 (.a∗1 ) lo tienen. Esto se sigue ya que usando (4.2) f0 (.t) = f0 (A.t − A) = f (A.t).

f0 (x − A) = f (x)

0

f (x)

x−A

0

1

A

x A+1

Figura 4.5: M´etodo de Horner 2. Se calcula f0 (.1), f0 (.2), . . . etc´etera, para obtener el cambio de signo, obteni´endose a1 . Lo cual se puede hacer r´apidamente encontrando el residuo al dividir por x − .t (usando divisi´on sint´etica). 3. Se define fi (x) inductivamente, si f (x) = fi−1 (x − A.a1 a2 . . . ai−1 ), (como en (4.2)), habiendo encontrado el valor ai y se expresa fi−1 (x) =



ai, j (x − 10−i ai )j ,

j

y se define fi (x) =



ai, j xj .

j

Obs´ervese que fi−1 (x) = fi (x − 10−i ai ).

124

4.7. Aproximaciones a ra´ıces en polinomios reales

Se tiene entonces que f (x) = fi−1 (x − A.a1 a2 · · · ai−1 ) = fi (x − A.a1 a2 · · · ai−1 − 10−i ai ) = fi (x − A.a1 a2 . . . ai ).

(4.3)

4. El siguiente paso es calcular ai+1 , para lo que basta calcular el polinomio fi en t × 10−(i+1) , donde t ∈ {0, 1, . . . , 9}, ya que f (A.a1 a2 · · · ai t) = fi (A.a1 , · · · ai t − A.a1 a2 · · · ai ) = fi (t × 10−(i+1) ), usando (4.3). Es posible que en alg´ un momento se encuentre la ra´ız exacta. El m´etodo tambi´en se aplica si α ∈ (−(A + 1), −A), A ∈ N ∪ {0} y α = −A.a1 a2 . . . . Para esto es necesario anteponer el signo menos a A, A.a1 , . . . , A.a1 a2 . . . ai y a t×10−i en el m´etodo (por ejemplo al dividir sint´eticamente por el divisor x − (−.1) = x + .1 se escribe −,1). Consideremos el mismo ejemplo de la secci´on 4.4, f (x) = x3 + x − 3, como se mostr´o hay una sola ra´ız en el intervalo (1, 2). A continuaci´on se calcula f0 (x).

Por lo tanto y

1

0 1

1 1

−3 2

1

1 1

2 2

−1

1

2 1

4

1

3.

1

f (x) = (x − 1)3 + 3(x − 1)2 + 4(x − 1) − 1 f0 (x) = x3 + 3x2 + 4x − 1.

Calculamos ahora a1 , el residuo de f0 (x) al dividir por x − .t es f0 (.t) (teorema del residuo).

125

4. El anillo de los polinomios

1

3 .1

4 .31

−1 .431

1

3.1

4.31

−.569

1

3 .2

4 .64

−1 .928

1

3.2

4.64

−.072

1

3 .3

4 .99

−1 1.497

1

3.3

4.99

.497

.1 0.

Por lo tanto α = 1.21 · · · . En el siguiente ejemplo calculamos las ra´ıces de f (x) = x3 − 2x2 + 2. Su derivada es f  (x) = 3x2 − 4x, cuyos puntos cr´ıticos son x1 = 0 y x2 = 4/3. Calculando su segunda derivada tenemos f  (x) = 6x − 4, por lo que 0 es un m´aximo (f  (0) < 0) y 4/3 es un m´ınimo (f  (4/3) = 4 > 0) (v´ease la Figura 4.6). Evaluando f (x) en −1, 0, 4/3 se tiene

4 32 =2− > 0, f (−1) = −1, f (0) = 2 y f 3 27 por lo que la ra´ız tiene la forma α = −0.a1 a2 · · · , y f0 (x) = f (x), ya que en este caso A = 0. Se calcula a1 .

-1

0

4 3

2

Figura 4.6: Gr´afica de f (x) = x3 − 2x2 + 2

127

4. El anillo de los polinomios

1

−2 −.9

0 2.61

2 −2.349

1

−2.9

2.61

−.349

1

−2 −.8

0 2.24

2 −1.792

1

−2.8

2.24

.208

−.9 < 0, −.8 > 0,

Por lo que α = −0.8. El siguiente paso es calcular f1 (x) : 1

−2 −.8

0 2.24

2 −1.792

1

−2.8 −.8

2.24 2.88

.208

1

−3.6 −.8

5.12

1

−4.4

−.8

de donde f0 (x) = (x + .8)3 − 4.4(x + .8)2 + 5.12(x + .8) + .208 y f1 (x) = x3 − 4.4 x2 + 5.12 x + .208, etc´etera. Ciertamente, el m´etodo de Newton es m´as eficiente. EJERCICIOS 4.7 √ 1. Haga una aproximaci´on de una cent´esima de n 3, donde n = 2, 3, 4, usando el m´etodo de Newton y luego el m´etodo de Horner. 2. Aproxime las ra´ıces del polinomio 2x3 + 2x2 − 1 con un error de una cent´esima.

128

4.8.

´ n de polinomios 4.8. Factorizacio

Factorizaci´ on de polinomios

Teorema 4.8.1. (Teorema del factorizaci´ on) Sea f (z) un polinomio de grado n, n > 0 con coeficientes en C, entonces existen k n´ umeros complejos distintos dos a dos: z1 , z2 , . . . , zk tales que f (z) = b(z − z1 )s1 (z − z2 )s2 · · · (z − zk )sk , ´nica salvo donde si ∈ N ∀ i y b ∈ C. Adem´as, esta descomposici´on es u permutaci´on de los factores. Obs´ervese que k  n. Veamos 2 ejemplos: x2 + 1 = (x − i)(x + i), x3 + 2x2 − 4x − 8 = (x2 − 4)(x + 2) = (x − 2)(x + 2)2 . ´ n. (Del Teorema 4.8.1) Esencialmente el resultado es conseDemostracio cuencia del teorema fundamental del a´lgebra. Existencia Lo probamos por inducci´on sobre el grado: si f (z) = a1 z + a0 , a1 = 0, entonces gr (f (z)) = 1, y se tiene

a0 f (z) = a1 z − . a1 Suponiendo cierto el resultado para polinomios de grado n − 1, por el teorema fundamental del a´lgebra, existe α ∈ C, tal que f (α) = 0, y por el Corolario 4.4.3, tenemos que (z − α) | f (z), i.e., f (z) = (z − α)q(z),

(4.4)

donde q(z) es un polinomio de grado n − 1. Por hip´otesis de inducci´on q(z) = b(z − z1 )s1 (z − z2 )s2 · · · (z − zk )sk . Obteni´endose el resultado, al integrar la descomposici´on de q(z) a la expresi´on (4.4). Ya sea que α = zi para alguna i, o que α = zi ∀ i.

4. El anillo de los polinomios

129

Unicidad Tambi´en la probamos inductivamente sobre el grado de f : si n = 1, f (z) = b(z − a) = b (z − a ), entonces por definici´on b = b , ba = ba , y por lo tanto a = a . Suponiendo cierto para n − 1, si f (z) = b(z − z1 )s1 · · · (z − zk )sk = b (z − w1 )t1 · · · (z − wm )tm , al considerar el coeficiente del t´ermino de grado m´aximo, se tiene que b = b . Ahora (z − z1 ) | f (z), por lo que usando el Corolario 4.4.5, (z − z1 ) | z − wi , para alguna i, y sin perder generalidad (permutando los factores y renombrando si es necesario) se tiene (z − z1 ) | z − w1 , i.e., z1 = w1 . Finalmente como el anillo de polinomios es un dominio entero, se obtiene (z − z1 )s1 −1 (z − z2 )s2 · · · (z − zk )sk = (z − w1 )t1 −1 (z − w2 )t2 · · · (z − wm )tm , que son polinomios de grado n − 1, por lo que aplicando la hip´otesis de inducci´on s1 − 1 = t1 − 1, y salvo una permutaci´on, los factores (z − zj )sj son los factores (z − wj )tj . Definici´ on 44. Sea f (z) un polinomio en C[z] y α una ra´ız de f (z), se dice que α es una ra´ız de multiplicidad m, si (z−α)m | f (z), pero (z−α)m+1  f (z). Por ejemplo, si f (z) = (z − 1)2 (z + 2)(z − i)3 , 1 es de multiplicidad 2, y i es de multiplicidad 3 ¿por qu´e? Proposici´ on 4.8.2. Sean f (z) y g(z) dos polinomios en C[z], tales que f (α) = g(α) ∀ α ∈ C, entonces son iguales como polinomios. ´ n. Lo probamos por inducci´on sobre el menor de los grados. Demostracio Si gr (f (z))  0, f (z) es constante y g(z) tambi´en, por lo que son iguales. Si gr (f (z)) = n y z0 es una ra´ız de f (z), entonces tambi´en lo es de g(z), por lo que f (z) = (z − z0 )h(z),

130

´ n de polinomios 4.9. Factorizacio

g(z) = (z − z0 )h1 (z), y h(z) tiene grado n − 1, de donde h(α) = h1 (α) ∀ α = z0 . Finalmente se demuestra de manera id´entica que al caso real que los polinomios como funciones de C en C son continuas, por lo que si coinciden en C, salvo quiz´a en un punto, deben coincidir tambi´en en dicho punto (f (x) es continua en x0 ⇔ ∀ sucesi´on xn → x0 , f (xn ) → f (x0 )), por lo que h(α) = h1 (α) ∀ α ∈ C, y se sigue de la hip´otesis de inducci´on que h(z) y h1 (z) son el mismo polinomio, y en consecuencia f (z) y g(z) tambi´en. Obs´ervese que en la u ´ltima parte de la demostraci´on se us´o variable compleja, pero muy elemental. EJERCICIOS 4.8 1. Sean α1 , α2 , . . . , αt todas las ra´ıces de f (x), αi = αj si i = j, y mi la multiplicidad de αi . Muestre que m1 + · · · + mt = gr (f (x)). 2. ¿Qu´e polinomio de grado 4 tiene como ra´ıces a 0, π, 2 y −1? 3. Sean α es ra´ız de multiplicidad mi de fi (x), i = 1, 2, y g1 (x), g2 (x) polinomios no nulos cualesquiera. Demuestre que α es ra´ız de multiplicidad mayor o igual al m´ınimo de m1 y m2 , para f1 (x)g1 (x) + f2 (x)g2 (x). Pru´ebese tambi´en que si m1 > m2 , α es ra´ız de multiplicidad m2 de f1 (x) + f2 (x). 4. Pruebe que α es ra´ız de multiplicidad 0 de f (x) si y s´olo si α no es ra´ız de f (x). 5. Suponga que α es ra´ız de multiplicidad mi de gi (x), para i = 1, 2. Si f (x) = g1 (x)g2 (x), muestre que α es ra´ız de multiplicidad m1 + m2 de f (x). 6. Determine la multiplicidad de 1 como ra´ız de los siguientes polinomios: i) −x4 + 3x3 + 2x2 − 4, ii) 3x4 − x3 − x − 1. 7. Demuestre de manera breve la Proposici´on 4.8.2, observando que f − g no puede ser un polinomio de grado finito, al tener una infinidad de ra´ıces.

131

4. El anillo de los polinomios

4.9.

Ra´ıces m´ ultiples, derivadas

A todo polinomio f (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n se le asocia otro polinomio que es su derivada f  (z) = a1 + 2a2 z + 3a3 z 2 + · · · + nan z n−1 . Obs´ervese que si f (x) ∈ R[x], f  (x) es como en c´alculo, su derivada. Dada la estructura de campo de C, esta situaci´on se generaliza f´acilmente a funciones de C en C. Se pueden discutir ciertas propiedades de la derivada de polinomios en C sin usar c´alculo complejo (derivadas). Definici´ on 45. Sea

∞ 

f (z) =

ak z k ,

k=0

donde aj = 0 ∀ j > N, se define la derivada de f (z) como el polinomio 

f (z) =

∞ 

(k + 1)ak+1 z k .

k=0

Inductivamente se define tambi´en f n+1 (z) = (f n ) (z). Probamos ahora, sin usar c´alculo, la regla de Leibnitz. Proposici´ on 4.9.1. Si f (z) = g(z)h(z), entonces f  (z) = g  (z)h(z) + g(z)h (z). Obs´ervese que el c´alculo real no es suficiente para probar esta identidad, sin embargo, los mismos m´etodos que muestran este hecho en c´alculo real, se aplican al caso complejo. ´ n. (De la Proposici´on 4.9.1) Dada z ∈ C, Demostracio g(z) =

∞ 

ai z i

i=0

y h(z) =

∞ 

bj z j ,

j=0

se sigue de la definici´on del producto que   ∞ ∞    ai bj z k = ck z k . f (z) = k=0

i+j=k

k=0

132

´ ltiples, derivadas 4.9. Ra´ıces mu

Ahora 

f (z) =

∞ 

k

(k + 1)ck+1 z =

k=0

∞ 

 (k + 1)

k=0

Tambi´en g  (z) =

∞ 

donde

 ai b j

zk .

i+j=k+1

(k + 1)ak+1 z k =

k=0

ak



∞ 

ak z k ,

k=0

= (k + 1)ak+1 ∀ k, an´alogamente 

h (z) =

∞ 

bk z k ,

k=0

bk

donde = (k + 1)bk+1 ∀ k. Bajo esta notaci´on     ∞ ∞       k g(z)h (z) = ai bj z = (j + 1)ai bj+1 z k k=0

=

∞ 

i+j=k



k=0

k=0





k

sai bs z =

i+s−1=k

i+j=k ∞ 



k=0



 sai bs z k ,

i+s=k+1

donde s = j + 1. Invirtiendo los papeles de g(z) y h(z), se tiene tambi´en   ∞    h(z)g (z) = iai bs z k . k=0

i+s=k+1

Finalmente, usando (4.5) se tiene que   ∞     (i + s)ai bs z k g(z)h (z) + g (z)h(z) = k=0

=

∞  k=0



i+s=k+1



(k + 1)ai bs z k = f  (z).

i+s=k+1

Corolario 4.9.2. Si f (z) = [g(z)]m , entonces f  (z) = m[g(z)]m−1 g  (z), donde f (z), g(z) ∈ C[z].



(4.5)

133

4. El anillo de los polinomios

´ n. Por inducci´on, si m = 1, no hay nada que probar. Demostracio Suponiendo cierto para m − 1 y usando la Proposici´on 4.9.1, como f (z) = [g(z)]m−1 g(z), se sigue que f  (z) = (m − 1)[g(z)]m−2 g  (z)g(z) + g  (z)[g(z)]m−1 = [g(z)]m−1 g  (z)[m − 1 + 1] = m[g(z)]m−1 g  (z).

Lema 4.9.3. Si α es ra´ız de multiplicidad m de f (z), entonces α es ra´ız de multiplicidad m − 1 de f  (z). ´ n. Se tiene f (z) = (z − α)m g(z), donde (z − α)  g(z). Ahora Demostracio f  (z) = m(z − α)m−1 g(z) + (z − α)m g  (z) = (z − α)m−1 [m g(z) + (z − α)g  (z)], como z − α no es factor de m g(z) + (z − α)g  (z), α es ra´ız de multiplicidad m − 1 de f  (z). Establecemos ahora condiciones para encontrar la multiplicidad de las ra´ıces. Teorema 4.9.4. Sea f (z) un polinomio de grado positivo y m ∈ N, entonces α es una ra´ız de multiplicidad m de f (z) si y s´olo si se cumplen las siguientes 2 condiciones: a) f (α) = f  (α) = · · · = f m−1 (α) = 0, b) f m (α) = 0. Por ejemplo, si f (z) = z 5 , entonces 0 es una ra´ız de multiplicidad 5, ya que f  (0) = f 2 (0) = f 3 (0) = f 4 (0) = 0, pero f 5 (0) =  0: f  (z) f 2 (z) f 3 (z) f 4 (z) f 5 (z)

= = = = =

5z 4 , 5 · 4z 3 , 5 · 4 · 3z 2 , 5!z, 5!.

134

´ ltiples, derivadas 4.9. Ra´ıces mu

´ n. (Del Teorema 4.9.4) ⇒) Hacemos inducci´on sobre la mulDemostracio tiplicidad. Si α es de multiplicidad 1 de f (z), se sigue del Lema 4.9.3 que tiene multiplicidad 0 para f  (z), por lo que f (α) = 0 y f  (α) = 0 (si α es de multiplicidad 0 para f  (z), entonces (z − α)  f  (z) y f  (α) = 0). Suponiendo cierto para ra´ıces de multiplicidad m, sea α ra´ız de multiplicidad m + 1 en f (z), entonces por el Lema 4.9.3, α es de multiplicidad m de f  (z) y por hip´otesis de inducci´on f  (α) = f 2 (α) = · · · = f m (α) = 0, pero f m+1 (α) = 0, como f (α) = 0, se sigue el resultado. ⇐) Inducci´on sobre el n´ umero m definido por a) y b). Si m = 1, f (α) = 0 y f  (α) = 0, entonces (z − α) | f (z), pero α no es ra´ız de f  (z), por lo que α es de multiplicidad 1 (usando de nuevo el lema). Suponiendo cierto para m, probamos para m + 1. Sea f (z) ∈ C[z] tal que f (α) = f  (α) = · · · = f m (α) = 0 y f m+1 (α) = 0, entonces (por hip´otesis de inducci´on) α es de multiplicidad m de f  (z), por lo que es de multiplicidad m + 1 de f (z). En algunos casos de ra´ıces de multiplicidad mayor a 1, derivando se pueden encontrar las ceros de los polinomios, por ejemplo, si f (z) = z 4 − 3z 3 − 6z 2 + 28z − 24, f  (z) = 4z 3 − 9z 2 − 12z + 28 y f  (z) = 12z 2 − 18z − 12. Las ra´ıces de f  (z) son las de 2x2 − 3x − 2 = 0, ´estas son √ 3 ± 9 + 16 1 = 2, − . 4 2 Tambi´en, f (2) = 0, ya que

135

4. El anillo de los polinomios

1

−3 2

−6 −2

28 −16

−24 24

1

−1

−8

12

0

2

y como 4

−9 8

−12 −2

28 −28

4

−1

−14

0

2

f  (2) = 0. Ahora f 3 (z) = 24x − 18 y f 3 (2) = 0, por lo que se sigue del Corolario 4.4.3 que 2 es una ra´ız de multiplicidad 3 y (z − 2)3 | f (z).

EJERCICIOS 4.9 1. Determine la otra ra´ız de f (z) = z 4 − 3z 3 − 6z 2 + 28z − 24, y escriba su factorizaci´on. Sugerencia: usar divisi´on sint´etica iterada. 2. Factorice f (x) = x5 − 4x4 + 4x3 + 2x2 − 5x + 2. 3. Muestre que las u ´nicas ra´ıces de x4 − 2ix3 − 2ix − 1 son i y −i. 4. Demuestre que 2x5 − 3x4 + 1 no tiene ninguna ra´ız de multiplicidad 4.

4.10.

Coeficientes, ra´ıces y sim´ etricos

polinomios

Definici´ on 46. A un polinomio se le llama m´onico si el coeficiente del t´ermino de grado m´aximo es 1. Por ejemplo f (x) = x5 − 2x2 + 1. Es importante relacionar los coeficientes de un polinomio con sus ra´ıces. Por ejemplo, en un polinomio m´onico de grado 3 con ra´ıces α1 , α2 , α3 , no necesariamente distintas, se tiene (z − α1 )(z − α2 )(z − α3 ) = z 3 + a1 z 2 + a2 z + a3 = z 3 + (−α1 − α2 − α3 )z 2 +(α1 α2 + α2 α3 + α1 α3 )z − α1 α2 α3 .

136

4.10. Coeficientes, ra´ıces y

polinomios

´tricos sime

En consecuencia a1 = −α1 − α2 − α3 , a2 = α1 α2 + α2 α3 + α1 α3 , a3 = −α1 α2 α3 . Esta situaci´on es v´alida para cualquier polinomio como se muestra en el siguiente teorema. Las relaciones obtenidas (4.6) se les conoce como ecuaciones de Vieta. Teorema 4.10.1. Sean α1 , α2 , . . . , αn las ra´ıces de un polinomio m´onico contadas con su multiplicidad, entonces si f (z) = z n + a1 z n−1 + · · · + an = (z − α1 ) · · · (z − αn ), se tiene ai =





1r1 0, y α es una ra´ız de q(z), por lo tanto α es una ra´ız de f (z) y de f  (z), y si α es ra´ız de multiplicidad m de f (z), lo es de multiplicidad m − 1 de f  (z) y m − 1 > 0. EJERCICIOS 4.12 1. Sea {α1 , . . . , αk } el conjunto de ra´ıces comunes de dos polinomios no nulos f (z), g(z) ∈ K[z], donde mi y ni son las multiplicidades de αi como raices de f (z) y g(z), respectivamente, demuestre que (f (z), g(z)) =

k "

(z − αi )m´ın(mi ,ni ) .

i=1

2. Sea f1 (z) el cociente de f (z) y de (f (z), f  (z)), donde f (z) es no nulo. Demuestre que f1 (z) tiene las mismas ra´ıces que f (z), pero todas con multiplicidad 1. 3. Calcule el MCD de f (x) = x7 + x3 + 1 y su derivada, compruebe que f (x) no tiene ra´ıces de multiplicidad > 1. 4. Factorice el polinomio f (z) = z 3 + (−6 − 3i) z 2 + (9 + 12i) z + (−2 − 11i).

143

4. El anillo de los polinomios

4.13.

M´ etodo de Sturm

Este m´etodo sirve para localizar las ra´ıces reales de polinomios reales. Usando el Ejercicio 2 de la secci´on anterior, se puede suponer que todas las ra´ıces son de multiplicidad uno, remplazando f (x) por f1 (x) =

f (x) , (f (x), f  (x))

si es necesario. Aplicando el algoritmo de Euclides a f (x) y f  (x) se tiene f (x) f  (x) r2 (x)

= = = .. .

f  (x)q1 (x) + r2 (x) r2 (x)q2 (x) + r3 (x) r3 (x)q3 (x) + r4 (x)

(4.7)

rn−2 (x) = rn−1 (x)qn−1 (x) + rn (x), ´ltimo donde rn (x) es una constante = 0, ya que (f (x), f  (x)) = 1 (pues el u residuo = 0 es el MCD y por hip´otesis tiene grado  0). Ahora, escribimos f2 (x) = −r2 (x), f3 (x) = −r3 (x), f4 (x) = r4 (x), f5 (x) = r5 (x), f6 (x) = −r6 (x), f7 (x) = −r7 (x), f8 (x) = r8 (x), f9 (x) = r9 (x), etc´etera (por parejas) y f (x) = f0 (x),

f  (x) = f1 (x).

Si c ∈ R, denotamos por V (c) el n´ umero de cambios de signo de la sucesi´on f0 (c), f1 (c), . . . , etc´etera. Por ejemplo, si f0 (c) = 2, f1 (c) = −1, f2 (c) = −2, f3 (c) = 4 y f4 (c) = 3, entonces V (c) = 2. Teorema 4.13.1. (Sturm) Sea f (x) ∈ R[x] y f0 (x), . . . , fn (x) los polinomios descritos antes, entonces si a, b ∈ R no son ra´ıces de ninguna fi (x), a < b, el n´ umero de ra´ıces de f (x) en (a, b) es V (a) − V (b). ´ n. Si ∀ x ∈ [a, b], x no es ra´ız de ning´ Demostracio un fi (x), cada fi (x) tiene el mismo signo en [a, b] y V (a) = V (b). Sean ρ1 , ρ2 , . . . , ρk los puntos en [a, b] que son ra´ıces de alg´ un fi (x)

144

´todo de Sturm 4.13. Me

en orden creciente, tomando a0 = a, a1 , a2 , . . . , ak−1 , ak = b, tales que a0 < ρ1 < a1 < ρ2 < a2 < · · · < ρk < ak , se tiene V (a) − V (b) =

k−1 

[v(ai ) − v(ai+1 )].

i=0

Por lo tanto, basta probar que  V (ai ) − V (ai+1 ) =

0 si f (ρ) = 0 1 si f (ρ) = 0.

Para esto se puede suponer que hay un solo ρ ∈ [a, b] tal que es ra´ız de alg´ un fi (x), y hay que probar que  0 si f (ρ) = 0 V (a) − V (b) = 1 si f (ρ) = 0. Caso 1: f (ρ) = 0. En este caso ρ es una ra´ız de fj1 (x), . . . , fjt (x), y no hay 2 de estos ´ındices que sean consecutivos, ya que en este caso ρ ser´ıa ra´ız de 2 residuos consecutivos en el algoritmo de Euclides para f (x) y f  (x), y f (x) y f  (x) tendr´ıan una ra´ız en com´ un. Tambi´en al contar V (a) y V (b) se pueden ignorar los cambios de signo entre fj (x) y fj+1 (x) si j, j +1 ∈ {j1 , j2 , . . . , jt }, ya que estas funciones tienen signo constante en [a, b], por lo que si cambian de signo en a, tambi´en lo hacen en b. Falta probar que ∀ ji , i = 1, 2, . . . , t, el n´ umero de cambios en fji −1 (a), fji (a), fji+1 (a) es el mismo que en fji −1 (b), fji (b), fji+1 (b). Para esto obs´ervese que si r0 (x) = f (x), r1 (x) = f1 (x) en la notaci´on de (4.7), entonces ri (x) | ri−1 (x) − ri+1 (x) ∀ i, por lo que fi (x) | fi−1 (x) + fi+1 (x) : Si ri−1 (x) = fi−1 (x), entonces ri+1 (x) = −fi+1 (x), y si ri−1 (x) = −fi−1 (x) se tiene ri+1 (x) = fi+1 (x). En consecuencia fji −1 (ρ) + fji +1 (ρ) = 0 ∀ i, y fji −1 , fji +1 tienen signos opuestos y las posibilidades se describen en las siguientes figuras.

145

4. El anillo de los polinomios

fji −1

fji −1

fji a

b

fji +1

a

b

fji −1

fji fji +1 fji −1 fji

a

b

fji fji +1

a

b fji +1

Figura 4.7: Cambios de signo de los polinomios de Sturm fji En cualquiera de estos casos hay un cambio de signo en a y otro en b, la misma situaci´on sucede invirtiendo (en la Figura 4.7) las posiciones de fji −1 y fj1 +1 , por lo cual V (a) − V (b) = 0. Caso 2: f (ρ) = 0. El mismo razonamiento anterior se aplica a los cambios de signo en las secuencias f1 (a), . . . , fn (a) y f1 (b), . . . , fn (b).

f´ f a

b

a

b

f f´

Figura 4.8: Caso 2 en la prueba del teorema de Sturm, cambios de signo de f y f Ahora f (a) y f (b) tienen signos opuestos, ya que ρ no es un punto cr´ıtico, i.e. f  (ρ) = 0. Por lo que basta probar que f (b) y f  (b) tienen el mismo signo,

146

´todo de Sturm 4.13. Me

ya que esto implica que f (a) y f  (a) tienen signos contrarios y V (a) − V (b) = 1, v´ease la Figura (4.8). Para demostrar esto se expresa f (x) = a0 + a1 (x − ρ) + a2 (x − ρ)2 + · · · , y se tiene a0 = f (ρ) = 0 y a1 = f  (ρ). Por lo cual signo de a1 = signo de f  , y basta probar que para alguna σ ∈ (ρ, b) signo de f (σ) = signo de a1 (f tiene signo constante en (ρ, b]). Como el signo de a1 es el signo de a1 (σ−ρ), basta probar |a1 (σ − ρ)| > |a2 (σ − ρ)2 + · · · + am (σ − ρ)m |. Finalmente, si σ es suficientemente cercana a ρ, de tal manera que |σ − ρ| < 1 y (σ − ρ)
2, entonces x4 > 23 |x| = 4|x|(1 + 1) = 4|x| + 4|x| > |x| + 3  |x + 3|, y las ra´ıces est´an en [−2, 2]. Aplicamos el teorema de Sturm para aislarlas, f  (x) = 4x3 − 1, x4 −x4

−x x + 4 3 − x 4

Por lo tanto

3 f2 (x) = (x + 4), 4

−3

4x3 x 4

−3

−

1

3 r2 (x) = − (x + 4), 4

y como 4

0 −16

0 64

−1 −256

4

−16

64

−257 ,

se tiene

4x3 − 1 =

−

3 4



−4



4 (x + 4) − (4x2 − 16x + 64) − 257, 3

por lo cual

(f (x), f  (x)) = 1.

148

´todo de Sturm 4.14. Me

Tambi´en f3 (x) = 257. Ahora, f0 (2) > 0 y f0 (−2) > 0, tambi´en f0 (0), f0 (1) y f0 (−1) son negativos. As´ı mismo f1 (2) y f1 (1) son positivos y f1 en −2, −1 y 0 toman valores negativos, por lo que se tiene la siguiente tabla.

f0 (x) f1 (x) f2 (x) f3 (x)

-2 + + +

2 + + + +

0 + +

1 + + +

-1 + +

Las 2 primeras columnas muestran que hay 2 ra´ıces en (−2, 2), y las otras 3 refinan el resultado probando que hay una en (−2, 1) y otra en (1,2). N´otese que las otras dos ra´ıcesson dos complejos conjugados entre s´ı. Gr´aficamente, x = 3 1/4 < 1 es el u ´nico punto cr´ıtico, que es un m´ınimo, ya que f  (x) = 12x2 (v´ease la Figura 4.9).

5

1

-2

1

-1

2

-3

Figura 4.9: Gr´afica de f (x) = x4 − x − 3 EJERCICIO 4.13 1. Usando el m´etodo de Sturm, aislar las ra´ıces de x3 − 4x + 1, y probar que x4 + x3 + 2x2 + x + 1 no tiene ra´ıces reales.

149

4. El anillo de los polinomios

4.14.

Funciones racionales, fracciones parciales

Se define una relaci´on de equivalencia entre las expresiones de la forma f (x) , g(x) donde f (x), g(x) son polinomios y g(x) = 0, de la siguiente manera: f1 (x) f2 (x) ∼ g1 (x) g2 (x) si f1 (x)g2 (x) = f2 (x)g1 (x). Esta relaci´on es evidentemente reflexiva y sim´etrica. Tambi´en es transitiva, esto se demuestra igual que con los racionales, si a1 a2 ∼ b1 b2

y

a2 a3 ∼ , b2 b3

entonces a1 b2 = a2 b1 , a2 b3 = a3 b2 y a1 b2 b3 = a3 b2 b1 , etc´etera. Definici´ on 50. Las clases de equivalencia obtenidas bajo la relaci´on anterior se llaman funciones racionales. Igual que en Q se definen 2 operaciones: f1 (x) f2 (x) f1 (x)g2 (x) + f2 (x)g1 (x) + = g1 (x) g2 (x) g1 (x)g2 (x) y f1 (x) f2 (x) f1 (x)f2 (x) = . g1 (x) g2 (x) g1 (x)g2 (x) Es f´acil probar que estas operaciones no dependen del representante, de hecho la misma prueba en Q se aplica a este caso. Mostraremos como se descomponen estas funciones en fracciones parciales, lo cual es de utilidad al resolver integrales. Lema 4.14.1. Si g(x) = h(x)k(x) y (h(x), k(x)) = 1, entonces para todo f (x) existen polinomios s(x), t(x) tales que f (x) s(x) t(x) = + . g(x) h(x) k(x) Adem´ as, si f (x), h(x), k(x) ∈ R[x], entonces s(x), t(x) ∈ R[x].

150

4.14. Funciones racionales, fracciones parciales

´ n. Aplicando el algoritmo de Euclides se pueden encontrar Demostracio h1 (x), k1 (x) (reales si h(x) y k(x) lo son) tales que 1 = h(x)h1 (x) + k(x)k1 (x), por lo cual f (x) f (x) [h(x)h1 (x) + k(x)k1 (x)] f (x)h1 (x) f (x)k1 (x) = = + . g(x) g(x) k(x) h(x)

N´otese que la descomposici´on en el Lema 4.14.1 no es u ´nica (ejercicio). Lema 4.14.2. Sean h(x), f (x) polinomios tales que gr (f (x)) < gr (h(x))m , y gr (h(x)) > 0, entonces existen polinomios s1 (x), s2 (x), . . . , sm (x) tales que gr (si (x)) < gr (h(x)) ∀ i, y f (x) sm (x) s1 (x) + ··· + = . m [h(x)] h(x) [h(x)]m Adem´ as, si h(x), f (x) ∈ R[x], los polinomios si (x) tambi´en. ´ n. Sea n = gr (h(x)), se aplica el algoritmo de la divisi´on a Demostracio los siguientes cocientes: f (x) = h(x)q1 (x) + r1 (x), q1 (x) = h(x)q2 (x) + r2 (x), q2 (x) = h(x)q3 (x) + r3 (x), .. . qk−2 (x) = h(x)qk−1 (x) + rk−1 (x), qk−1 (x) = h(x)qk (x) + rk (x), donde gr (ri (x)) < n ∀ i, gr (qk (x)) < n y gr (qk−1 (x))  n. Esto se puede lograr: si gr (f (x)) < gr (h(x)), no hay nada que probar; de otra manera: gr (f (x)) > gr (q1 (x)) (gr (f (x)) = gr (h(x)) + gr (q1 (x))) y los grados de los qi van disminuyendo, por lo que el proceso se termina en la primera k tal que gr (qk (x)) < gr (h(x)) = n. Finalmente sustituyendo qk−1 (x) en la ecuaci´on anterior, e iterando este proceso se tiene qk−2 (x) = h(x)[h(x)qk (x) + rk (x)] + rk−1 (x) = [h(x)]2 qk (x) + h(x)rk (x) + rk−1 (x)

151

4. El anillo de los polinomios

y qk−3 (x) = h(x)qk−2 (x) + rk−2 (x) = [h(x)]3 qk (x) + [h(x)]2 rk (x) + h(x)rk−1 (x) + rk−2 (x), hasta obtener despu´es de k pasos, q0 (x) = f (x) = [h(x)]k qk (x) + [h(x)]k−1 rk (x) + · · · + h(x)r2 (x) + r1 (x). (4.8) Se tiene k < m. De otra manera, si k  m, usando la ecuaci´on (4.8), se concluye que gr (f (x)) = gr (h(x)k ) + gr (qk (x))  gr (h(x)m ), lo cual contradice la hip´otesis sobre los grados. Finalmente, dividiendo por [h(x)]m se sigue el resultado. Obs´ervese que si gr (f (x)) > gr (h(x))m en el Lema 4.14.2 se sigue un resultado an´alogo, aplicando dicho lema a r(x), donde f (x) = g(x)[h(x)]m + r(x), y gr (r(x)) < gr (h(x))m , obteni´endose en este caso una parte polinomial. Teorema 4.14.3. Sea g(x) = (x − α1 )r1 · · · (x − αn )rn , donde αi = αj , si i = j, entonces i  f (x) ai j = s(x) + . g(x) (x − αi ) j i=1 j=1

n

r

´ n. Aplicando el Lema 4.14.1 se tiene Demostracio f (x)  fi (x) = , g(x) (x − αi )ri i=1 n

y por el Lema 4.14.2, ∀ i i  fi (x) ai j = s (x) + , i r i (x − αi ) (x − αi )j j=1

r

ya que gr (x−αi ) = 1, escribiendo s(x) =

n i=1

si (x) se sigue el resultado.

152

4.14. Funciones racionales, fracciones parciales

Teorema 4.14.4. Sea  g(x) =

n "

 (x − αi )

ri

i=1

m "

 2

(x + ai x + bi )

si

i=1

donde los factores son distintos dos a dos, ai , bi , αi ∈ R ∀ i y los polinomios de grado 2 son irreducibles en R[x], entonces si f (x) ∈ R[x] i i   f (x) ai j Ai j x + B i j = s(x) + + , j g(x) (x − αi ) (x2 + ai x + bi )j i=1 j=1 i=1 j=1

n

r

m

s

donde s(x) ∈ R[x], ai j , Ai j , Bi j ∈ R ∀ i, j. ´ n. De nuevo como en el teorema anterior el resultado es conDemostracio secuencia inmediata de los Lemas 4.14.1 y 4.14.2: usando el primero  f (x)  fi (x) gi (x) = + , ri 2 + a x + b ) si g(x) (x − α ) (x i i i i=1 i=1 n

m

y usando el segundo se obtiene la expresi´on del enunciado. En la pr´actica se encuentra la descomposici´on del Teorema 4.14.4 de una manera un poco distinta: si gr (f (x)) > gr (g(x)), por el algoritmo de la divisi´on f (x) = g(x)h(x) + r(x),

donde gr (r(x)) < gr (g(x)),

y f (x) r(x) = h(x) + . g(x) g(x)

(4.9)

Por otra parte, usando el Teorema 4.14.4 y sumando toda la parte no polinomial se tiene f (x) q(x) = k(x) + , g(x) g(x) donde gr (q(x)) < gr (g(x)). Esto se sigue, ya que al sumar dos funciones racionales, donde los grados de los numeradores son menores a los de los denominadores, se obtiene una funci´on racional con estas caracter´ısticas. Por lo cual f (x) = k(x)g(x) + q(x), y se sigue entonces por unicidad que k(x) = h(x) y r(x) = q(x).

153

4. El anillo de los polinomios

Por consiguiente, para encontrar la expresi´on del Teorema 4.14.4, primero se puede aplicar el algoritmo de la divisi´on para obtener (4.9) y despu´es encontrar ai j , Ai j , Bi j sumando las expresiones no polinomiales y resolviendo para r(x) mediante un sistema de ecuaciones. Las observaciones y resultados anteriores garantizan la la existencia de las soluciones (r(x) = q(x)). Ejemplo. Sea R(x) =

2x7 + 5x6 + x5 − x4 − 7x3 + x2 + x + 7 . x6 − 2x3 + 1

Primero se encuentra la parte polinomial 2x7 −2x7

+5x6

+ x5

−x4 4x4

−7x3

+x2

6

5

4

3

+3x4

5x −5x6

+x

x5

+3x

+x −2x

+7

−7x 10x3

2

+x

−x

+7 -5

+3x3

+x2

−x

+2,

x6 − 2x3 + 1 2x + 5

por lo que R(x) = 2x + 5 +

x5 + 3x4 + 3x3 + x2 − x + 2 . x6 − 2x3 + 1

Si x3 = y, el denominador de la parte no polinomial es y 2 − 2y + 1 = (y − 1)2 , por lo tanto x6 − 2x3 + 1 = (x3 − 1)2 = [(x − 1)2 (x2 + x + 1)]2 . Si R1 (x) denota la parte no polinomial en R(x), se tiene R1 (x) =

=

a2 a5 x + a6 a1 a3 x + a 4 + + 2 + 2 2 x − 1 (x − 1) x + x + 1 (x + x + 1)2 a1 (x − 1)(x2 + x + 1)2 + a2 (x2 + x + 1)2 x6 − 2x3 + 1

+

(a3 x + a4 )(x − 1)2 (x2 + x + 1) + (a5 x + a6 )(x − 1)2 . x6 − 2x3 + 1

Como (x2 + x + 1)2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1, (x − 1)2 (x2 + x + 1) = (x2 − 2x + 1)(x2 + x + 1) = x4 − x3 − x + 1, y (x2 + x + 1)2 (x − 1) = x5 + x4 + x3 − x2 − x − 1;

154

4.14. Funciones racionales, fracciones parciales

el numerador de R1 (x) es a1 (x5 + x4 + x3 − x2 − x − 1) + a2 (x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1) +(a3 x + a4 )(x4 − x3 − x + 1) + (a5 x + a6 )(x2 − 2x + 1) = (a1 + a3 )x5 + (a1 + a2 − a3 + a4 )x4 + (a1 + 2a2 − a4 + a5 )x3 +(−a1 + 3a2 − a3 − 2a5 + a6 )x2 + (−a1 + 2a2 + a3 − a4 + a5 − 2a6 )x −a1 + a2 + a4 + a6 . Por lo que se obtiene el ⎧ 1 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 = ⎪ ⎪ ⎨ 3 = ⎪ 1 = ⎪ ⎪ ⎪ −1 = ⎪ ⎪ ⎩ 2 =

siguiente sistema de ecuaciones a1 + a3 a1 + a2 − a3 + a4 a1 + 2a2 − a4 + a5 −a1 + 3a2 − a3 − 2a5 + a6 −a1 + 2a2 + a3 − a4 + a5 − 2a6 −a1 + a2 + a4 + a6 .

Resolvemos ahora el sistema ⎛ 1 0 1 0 0 0 ⎜ 1 1 −1 1 0 0 ⎜ ⎜ 1 2 0 −1 1 0 ⎜ ⎜−1 3 −1 0 −2 1 ⎜ ⎝−1 2 1 −1 1 −2 −1 1 0 1 0 1 ⎛

1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0

⎞ ⎛ 1 1 ⎜0 3⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 3⎟ ⎟ ∼ ⎜0 ⎟ 1⎟ ⎜ ⎜0 −1⎠ ⎝0 0 2

⎞ 0 1 0 0 0 1 1 −2 1 0 0 2⎟ ⎟ 2 −1 −1 1 0 2⎟ ⎟ 3 0 0 −2 1 2⎟ ⎟ 2 2 −1 1 −2 0⎠ 1 1 1 0 1 3

⎞ ⎛ ⎞ 0 1 0 0 0 1 ··· ⎟ 1 −2 1 0 0 2 ⎟ ⎜.. ⎟ ⎜. 3 −3 1 0 −2⎟ 0 3 −3 1 0 −2⎟ ⎜ ⎟ ⎟∼⎜ 0 3 −4 1 0⎟ 0 6 −3 −2 1 −4⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 0 3 −1 −2 0 ⎠ 0 6 −3 1 −2 −4⎠ 0 3 −1 1 3 0 3 0 0 1 1 ⎞ ⎞ ⎛ ··· ⎛ ··· .. ⎟ ⎟ ⎜ ⎜.. ⎟ . 3 ··· ⎟ ⎜ ⎜. 3 · · · ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ . . ⎟ .. ⎟∼⎜ ⎜ .. 3 · · · ⎟ 3 −4 1 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ .. ⎝ 0 3 −3 0⎠ ⎝ . 3 −3 0⎠ 0 3 0 3 0 3 3

Por lo tanto a6 = 1 y tambi´en a5 = 1. Luego 3a4 − 4 + 1 = 0, i.e. a4 = 1. Dado que 3a3 − 3 + 1 = −2, se tiene que a3 = 0. Tomado la 2a ecuaci´on (en

155

4. El anillo de los polinomios

la matriz escalonada), se tiene que a2 + 1 = 2, por lo que a2 = 1. Finalmente, se sigue de la primera ecuaci´on que a1 = 1. Por consiguiente a1 = a2 = a4 = a5 = a6 = 1 y a3 = 0, por lo cual R(x) = 2x + 5 +

1 1 x+1 1 + + 2 + 2 . 2 x − 1 (x − 1) x + x + 1 (x + x + 1)2

EJERCICIOS 4.14 1. Demuestre que la descomposici´on en el Lema 4.14.1 no es u ´nica. 2. Encuentre la descomposici´on en fracciones parciales de las funciones x 5 + x3 + x + 1 , x3 − 6x2 + 11x − 6

4.15.

x5 − x4 + 1 . x4 − x3 − x + 1

Teorema de Cardano-Ferro-Tartaglia

Como se observ´o en los ejemplos de la secci´on del teorema de Sturm, si f (x) = x3 + bx2 + cx + d,

b, c, d ∈ R,

se tiene que |x|3 > |bx2 + cx + d|, en (−M, M )c , donde M = m´ax{1, |b| + |c| + |d|}, por lo que las ra´ıces de f est´an en (−M, M ). Al final de la edad media en la universidad de Bolo˜ na se descubri´o la soluci´on al problema de encontrar las ra´ıces de polinomios de grado 3, el ´ m´etodo se atribuye a Cardano, Ferro y Tartaglia. Este es un interesante episodio de la historia de la matem´atica (cf. [3]). Obs´ervese primero que basta solucionar una ecuaci´on de la forma z 3 + pz + q = 0.

(4.10)

Esto se sigue, ya que al hacer un cambio de variable y = z − b/3, en la ecuaci´on y 3 + by 2 + cy + d = 0, se tiene

z−

b 3

3

2

b b +d +b z− +c z− 3 3

156

4.15. Teorema de Cardano-Ferro-Tartaglia

b b2 b3 cb b2 b3 + bz 2 − 2z + + cz − + d, = z 3 − 3z 2 + 3z − 3 9 27 3 9 3 y esta nueva ecuaci´on es de la forma (4.10). La expresi´on

q 2 p3 + 22 33 es muy importante, se le llama el discriminante del polinomio. N´otese que si p = 0 la soluci´on de (4.10) es trivial. Δ =

Teorema 4.15.1. (Cardano, Ferro, Tartaglia) Si p = 0, al menos una de las soluciones de (4.10) es de la forma  q √ 1/3  q √ 1/3 z= − + Δ + − − Δ , 2 2 √ √ donde (−q/2 + Δ)1/3 es una de las tres ra´ıces c´ ubicas de −q/2 + Δ y √ √ (−q/2 − Δ)1/3 es a su vez una las tres ra´ıces c´ ubicas de −q/2 − Δ. ´ n. Se puede escribir Demostracio z = s + t, s, t ∈ C, mostraremos que z es soluci´on si se toman s y t adecuados. Ahora, (s + t)3 + p(s + t) + q = 0, esto es s3 + 3s2 t + 3st2 + t3 + ps + pt + q = 0. La esencia de la prueba es exhibir que existen s, t ∈ C tales que  3 s + t3 = −q 3st = −p, lo cual prueba que z es soluci´on. Resolvemos el sistema (4.11) (4.12). Despejando  p 3 s3 + − = −q, 3s y (s3 )2 + qs3 −

 p 3 3

= 0,

(4.11) (4.12)

157

4. El anillo de los polinomios

que es cuadr´atica, tomando α = s3 , se tiene  p 3 = 0, α2 + αq − 3 la cual tiene soluciones q s3 = α = − ± 2



q2 p3 + . 22 27

Se puede hacer lo mismo con t y siendo sim´etricas las ecuaciones se tiene  q2 p3 q 3 t =β=− ± , + 2 22 27 obs´ervese que s = 0 y t = 0, ya que p = 0 (por la ecuaci´on (4.12)). Tomando q √ s3 = − + Δ 2 q √ 3 y t = − − Δ, 2

(4.13) (4.14)

(o al rev´es, lo cual es la misma soluci´on)√se cumple la ecuaci´ on (4.11), i.e., s √ es una de las ra´ıces c´ ubicas de −q/2 + Δ y t de −q/2 − Δ. Recordamos que al tomar las ra´ıces c´ ubicas de un complejo w, si γ es una de ellas las otras son γα y γα, donde α = cos(2π/3) + i sen(2π/3). Tambi´en, tomando todos los posibles valores de dichas s y t, los productos st (que son 3 a los m´as nueve) resultan ser las ra´ıces c´ ubicas de −p , ya que 27    2 q √  q √  q2 p3 p3 3 q 3 3 − − = − . − + Δ − − Δ = 2 2 4 4 27 27 √ Fijando entonces √ una ra´ız c´ ubica cualquiera de −q/2 − Δ y rotando las 3 ra´ıces de −q/2 + Δ se obtienen las 3 ra´ıces de  p3 3 − . 27 Una de ´estas es precisamente −p/3, por lo que para estos valores se cumple la ecuaci´on (4.12). Ejemplo. Resolvemos

f (x) = x3 − 3x + 1,

158

4.15. Teorema de Cardano-Ferro-Tartaglia

se tiene p = −3 y q = 1. Entonces  x=

1 − + 2 

=



1 −1 4

1/3

 +

1 − − 2



1 −1 4

1/3

√ 1/3  √ 1/3 3 3 1 1 i i − + + − − . 2 2 2 2

Obs´ervese que al tomar la ra´ız cuadrada, como aparece ´esta y su inversa, no importa cual se tome, se presentan las dos por simetr´ıa. Una ra´ız c´ ubica de √



2π 2π 3 1 − + i = cos + i sen =α 2 2 3 3 es β = cos(2π/9) + i sen(2π/9) ∼ 40◦ , y de √



4π 4π 3 1 − − i = cos + i sen 2 2 3 3 es cos(4π/9) + i sen(4π/9) = β 2 . En este caso hay 3 ra´ıces reales dadas por β + β,

βα2 + βα2 .

βα + βα y

Esto se sigue, ya que la ecuaci´on (4.12) en nuestro caso est´a dada por 3st = −p i.e., st = −3/3 = 1, y si s, t son complejos unitarios, esto se satisface si y s´olo si s y t son conjugados (v´ease la Figura 4.10). N´otese que β = β 2 α2 , βα = β 2 α, βα2 = β 2 . β2 β αβ 1 αβ = αβ 2

β = β 2 α2 2

βα = β 2

Figura 4.10: Las soluciones de f (x) = x3 − 3x + 1 est´an dadas por s + t, donde s = β, βα, βα2 y t = s

159

4. El anillo de los polinomios

Adem´as tomando algunos valores: f (−2) = −1,

f (−1) = 3,

f (0) = 1,

f (1) = −1 y f (2) = 3,

se sigue que una de la ra´ıces est´a entre −2 y −1, otra entre 0 y 1, y la tercera entre 1 y 2 (v´ease la Figura 4.11). Obs´ervese que no todos los apareamientos de s y t producen ra´ıces, por ejemplo β + β 2 no es ra´ız, ya que tienen parte imaginaria y s´olo hay 3 ra´ıces reales. Los c´alculos parecen amables, pero ´este es un caso excepcional, en general esto es muy laborioso, por lo que en muchos casos es m´as adecuado usar m´etodos del c´alculo y posiblemente el m´etodo de Sturm. El siguiente resultado muestra que el signo del discriminante Δ determina si existen 3 ra´ıces reales o no. 3

1

-2

-1

1

2

-1

Figura 4.11: Gr´afica de f (x) = x3 − 3x + 1 Teorema 4.15.2. Sea

f (x) = x3 + px + q,

un polinomio real sin ra´ıces m´ ultiples, p, q = 0, entonces f tiene 3 ra´ıces reales distintas si y s´ olo si Δ < 0. N´otese que los casos p = 0 o q = 0 son triviales, tanto en polinomios reales como en complejos. ´ n. Demostracio Caso 1: p < 0. Se tiene f  (x) = 3x2 + p f  (x) = 6x,

160

4.15. Teorema de Cardano-Ferro-Tartaglia

  − + por lo cual f  (x) = 0 en − −p/3 ∈ R y en −p/3 ∈ R   , y se tiene un m´aximo local en x = − −p/3, y un m´ınimo local en x = −p/3. Obs´ervese que hay 3 ra´ıces reales si y s´olo si f (− −p/3) y f ( −p/3), esto es los valores que toma la funci´on en los puntos cr´ıticos, son de signo distinto (v´ease la Figura  4.12).  El caso en que −p/3 o − −p/3 sean ra´ıces de f no acontece, pues ´estas ser´ıan ra´ıces de multiplicidad mayor a 1.

q

 p −3

Figura 4.12: Demostraci´on del Teorema 4.15.2 Por lo tanto, el teorema en este caso se sigue de la siguiente afirmaci´on:   (4.15) f (− −p/3)f ( −p/3) = 4Δ. Probamos ahora la afirmaci´on (4.15): 

  3 p p p = − − +q +p − − f − − 3 3 3  



p 2 p p p =− − −p + q = − p − + q, − − 3 3 3 3 3       p 2 p p p p f = − − + p − + q = p − + q, − 3 3 3 3 3 3 y   







p p p p 2 2 f − − − f = q− p − q+ p − 3 3 3 3 3 3 2

  2 3 q p 2 p = q 2 − 2 p2 − = 4Δ. = 22 + 3 3 22 33 Caso 2: p  0. Se tiene que f  (x) = 3x2 + p > 0 y la gr´afica es creciente, por lo que hay una sola ra´ız real. Adem´as el discriminante es q 2 p3 + > 0. 22 33

161

4. El anillo de los polinomios

Corolario 4.15.3. Sea f (x) = x3 + px + q un polinomio real, p, q = 0, entonces Δ = 0 si y s´ olo si f tiene ra´ıces reales que son de multiplicidad mayor a 1. ´ n. ⇒) Si p < 0, como Demostracio  f

p − 3



p f − − = 4Δ, 3

  se sigue que si Δ = 0, entonces −p/3 o − −p/3 son ra´ıces de f , y necesariamente son de multiplicidad mayor a 1. Si p > 0, se tiene

q 2 p3 + > 0. 22 33

⇐) Si p < 0 y si f tiene una ra´ız α de multiplicidad mayor a 1, entonces f (α) = 0, lo cual implica que 

 α=±

−

p 3

y Δ = 0.

Si p > 0, como la derivada es positiva, f es creciente, tiene solamente una ra´ız real y no tiene puntos cr´ıticos reales. Ejemplos. 1) Si f (x) = x3 − 3x + 1, el discriminante es

1 33 − < 0, 4 33 y hay 3 ra´ıces reales, v´ease la Figura 4.11. Δ=

2) Sea f (x) = x3 − x + 3. Como el discriminante es Δ=

32 1 − 3 > 0, 2 2 3

hay una u ´nica ra´ız real, v´ease la Figura 4.13.

162

4.15. Teorema de Cardano-Ferro-Tartaglia

Al conocer la ra´ız de un polinomio de 3er grado, digamos α, se tiene f (z) z−α es un polinomio de grado 2 que se puede resolver. Como se mostr´o, si α es una ra´ız compleja no real, α tambi´en lo es. (z − α) | f (z) y

4 3 2

-2

-1

1 -1

Figura 4.13: Gr´afica de f (x) = x3 − x + 3 En general, usando los m´etodos de Sturm, Newton y Horner se pueden localizar las ra´ıces de un polinomio como se muestra en el siguiente ejemplo. Consideremos el polinomio f (x) = x3 + 3x2 − 2x − 5. Las ra´ıces de f (x) est´an en (−10, 10), para aislarlas podemos aplicar el m´etodo de Sturm y posteriormente Newton o Horner. Aplicamos el algoritmo de la divisi´on al polinomio y su derivada f  (x) = 3x2 + 6x − 2, x3

+3x2

−x3

−2x2 x2 −x2

−2x +

2 x 3 4 −3x

−5

−2x

−5 + 23

− 10 x 3

− 13 3

3x2 + 6x − 2 x/3 + 1/3

1 por lo que f2 (x) = (10x + 13). Adem´as, se puede escribir 3

13 10 13 10 r2 (x) = − x − =− x+ 3 3 3 10

163

4. El anillo de los polinomios

y 3

−2

6 − 39 10

21(−13) 100

21 10

0. Usando divisi´on sint´etica calculamos algunos valores del polinomio −4

1

3 −4

−2 4

−5 −8

1

−1

2

| − 13

1

3 2

−2 10

−5 16

1

5

8

| 11

= f (−4),

2

1

3 −2

−2 −2

−5 8

1

1

−4

| 3

1

= f (2),

1

3 −2 −3 0

−5 6

−2

| 1

0

−2 = f (−2), −3 = f (1),

y f (1) = −3 y f (−1) = −1, obteni´endose la siguiente tabla

f (x) f  (x) f2 (x) f3 (x)

−4 − + − + 3

−2 + − − + 2

0 − − + + 1

2 + + + + 0

−3 + + − + 2

1 − + + + 1

−1 − − + + 1

Las primeras columnas indican que hay una ra´ız entre −4 y −2, otra entre −2 y 0, y otra entre 0 y 2. Las siguientes refinan esta informaci´on: hay una entre −4 y −3, otra entre −2 y −1 y otra entre 1 y 2. Los ceros de la derivada son   √ −6 ± 36 + 24 22 · 3 · 5 5 = −1 ± . = −1 ± 2 2 6 2 ·3 3   + 5/3 Ahora f  (x) = 6x + 6, y 6(−1 + 5/3) + 6 > 0, por lo que −1 es un m´ınimo, tambi´en 6(−1 − 5/3) + 6 < 0, por lo que −1 − 5/3 es un m´aximo. Tambi´en x = −1 es un punto cr´ıtico de la derivada, i.e., es un punto de inflexi´on (v´ease la Figura 4.14).

164

´todo de Ferrari 4.16. Me

6

2

-4

-3

-2

-1

aquí la derivada decrece de 0 1

2

aquí la derivada crece a 0

-5

Figura 4.14: Gr´afica de f (x) = x3 + 3x2 − 2x − 5

EJERCICIOS 4.15 1. Exhiba una familia no numerable de polinomios reales, cada uno de los cuales tiene una ra´ız real y una ra´ız compleja de multiplicidad 2. 2. Determine el n´ umero de ra´ıces reales de los siguientes polinomios. a) x3 − 3x + 5, b) x3 − 5x + 3.

4.16. Sea

M´ etodo de Ferrari f (x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e,

b, c, d, e ∈ R.

Ferrari observ´o que si se completaban cuadrados en los t´erminos de grado m´aximo, se le pod´ıa asociar a f un polinomio de grado 3 que de poder resolverse, la soluci´on permit´ıa resolver el polinomio original. Espec´ıficamente si x es una ra´ız de f, se puede escribir: x4 + bx3 = −cx2 − dx − e b2 x 2 b2 x2 ⇐⇒ x4 + bx3 + = −cx2 − dx − e + 4 4

165

4. El anillo de los polinomios

2

⇐⇒

b x + x 2 2

=

b2 − c x2 − dx − e. 4

(4.16)

La eficacia del m´etodo estriba en introducir una nueva variable t que permite completar cuadrados (de nuevo) en el miembro izquierdo de (4.16), mientras que en el derecho se genera una ecuaci´on cuadr´atica en x con coeficientes en t, b, c, d, e. Espec´ıficamente (4.16) se cumple si y s´olo si

2

b x + x 2 2

2



b t2 t2 b b 2 2 − c x − dx − e + x + x t + + x + x t+ = 2 4 4 2 4

2

⇐⇒

2 2



2

t b t b b 2 2 − c + t x + −d + t x + −e . = x + x+ 2 2 4 2 4

(4.17)

Obs´ervese que si el miembro derecho en (4.17) es de la forma (Ax + B)2 , se tendr´ıa, conociendo t, que  t b (Ax + B) (4.18) x2 + x + = −(Ax + B), 2 2 que ciertamente se puede resolver. N´otese que el miembro derecho en (4.17) es de la forma (Ax + B)2 = A2 x2 + 2ABx + B 2 ⇐⇒



b −d + t 2

2

−4

b2 −c+t 4



t2 −e 4

= 0.

(4.19)

Finalmente, esta ecuaci´on es de 3er grado en la variable t, por lo que se puede resolver y por ende la original. Simplificamos (4.19). d2 − dbt +

b2 t 2 b 2 t 2 − + b2 e + ct2 − 4ce − t3 + 4te = 0 4 4

o −[t3 − ct2 + (bd − 4e)t + (4ce − b2 e − d2 )] = 0. Al polinomio g(t) = t3 − ct2 + (bd − 4e)t + 4ce − b2 e − d2

166

´todo de Ferrari 4.16. Me

se le llama el polinomio auxiliar (y es claro que al encontrar una ra´ız t de g, se puede resolver el polinomio original). Obs´ervese que para escribir el miembro derecho en la expresi´on (4.17) como A2 x2 + 2ABx + B 2 , los valores A2 , B 2 quedan un´ıvocamente determinados. Para las dos ra´ıces de A2 y las dos de B 2 , se tienen 2 expresiones para 2AB, la elecci´on lo determina −d + bt/2. Se puede fijar A arbitrariamente, y la elecci´on de B o −B, la determina el signo de −d + bt/2. Ejemplos. 1) Sea

f (x) = x4 + 4x3 + x + 1,

el polinomio auxiliar es t3 − ct2 + (bd − 4e)t + 4ce − b2 e − d2 , como b = 4, c = 0, y d, e = 1 esta expresi´on es t3 − 17, que f´acilmente se puede resolver. Se toma t = (17)1/3 , n´otese que 2 < t < 3, como 4 · 17 1/3 bt = −1 + > 0, 2 2   b2 t2 −c+t x+ −e Ax + B = 4 4  ) √ 17 2/3 3 = 4 + 17 x + − 1, 4 −d +

y la ecuaci´on original se puede resolver encontrando la soluci´on de ⎛ ⎞  1/3 2/3  17 17 = ± ⎝ 4 + 17 1/3 x + − 1⎠ , x2 + 2x + 2 4 v´ease (4.18). Tomando el valor positivo, si  α = (4 + 17

1/3 1/2

)

y β=

17 2/3 − 1, 4

(4.20)

167

4. El anillo de los polinomios

se obtienen dos de las soluciones del polinomio de grado 4 al resolver x2 + (2 − α)x + ´ Estas son √ −2 + 4 + 17

17 1/3 − β. 2

* + + √ 1/3 ± ,8 − 2 4 + 17 1/3 + 17

 1/3

−4

17 1/3 − 2



17 2/3 −1 4



2 etc´etera. N´otese que las soluciones pueden ser n´ umeros complejos, posteriormente se toman los valores negativos en (4.20) obteni´endose las otras dos ra´ıces. 2) Sea

√ 1 f (x) = x4 + 6x + , 4 √ en este caso b = c = 0, d = 6 y e = 1/4, el polinomio auxiliar es t3 − ct2 + (bd − 4e)t + 4ce − b2 e − d2 = t3 − t − 6, y t = 2 es una soluci´on, por lo tanto las soluciones de f (x) son las de b t x2 + x + = ±(Ax + B). 2 2 Como

  A = ± b2 /4 − c + t y B = ± t2 /4 − e, √ √ √ √ A = ± 2, B = 3/2, 2AB = −d + bt/2 = − 6, se toma A = − 2. Por lo cual hay que resolver  √  √ 3 2 x + 1 = ± − 2x + . 2 Las soluciones de 2

x +

√

√ 3 2x + 1 − 2

2

y x −

√

√ 3 , 2x + 1 + 2

son

*  √  + + 3 − 2 ± ,2 − 4 1 − 2 √

2

 1 = −√ ± 2

 √ √ 1 3 3 1 1 −1+ = −√ ± − + 2 2 2 2 2

168

´todo de Ferrari 4.16. Me

y √

*  √  + + 3 , 2± 2−4 1+ 2



 √ √ 1 3 3 1 1 −1− =√ ± − − . 2 2 2 2 2 2 √ Podemos revisar que ´estas son las 4 ra´ıces de f (x) = x4 + 6x + 1/4, si denotamos ) √ 1 i √ √ α= 1 + 3, + 2 2 1 =√ ± 2

como aparecen α y α, el polinomio x2 − (α + α)x + |α|2 debe ser un factor de f (x), esto es √ √ 3 1 1 x2 − 2x + + + , 2 2 2 y

x

4

−x4

0 √

2x3

√ 3 2x √ 3 − 2x

√

0 −(1 + −(1 +

√ √ √ 3 2 + 2)x 2 √ √3 2( − 1)x √ 2 √3 2(1 − 2 )x

1 4 − 14

0

0

√

3 )x2 2 √ 3 )x2 2 2

2x

(1 −

6x

1 4

√

3 )x2 2

0

−(

x2 − x2 +

√ √

2x + 1 +

2x + 1 −

√

3 2 √ 3 2

√ √ El cociente es precisamente x2 + 2x +√1 − 3/2 cuyas ra´ıces son reales y son las otras dos ra´ıces de f (x) = x4 + 6x + 14 .

Glosario de s´ımbolos

A[z] arg z Cnk C C[z] a ≡ b m´od m z ⊃ D Δ a|b ∴ ∼ ∈ ∈ / ∃  f  (x) gr(p(x)) g(x) | f (x) ∩

el anillo de polinomios sobre el anillo A argumento del complejo z n´ umero de combinaciones de n elementos tomados de k en k, coeficiente binomial los n´ umeros complejos el anillo de polinomios sobre los complejos a congruente con b m´odulo m el conjugado del complejo z contiene a n´ umeros decimales el discriminante de un polinomio de grado 2 o 3 a es un factor de b de d´onde, por lo tanto equivalente a, relacionado con pertenece a, es elemento de no pertenece a, no es elemento de existe no existe derivada de la funci´on f (x) grado del polinomio p(x) el polinomio g(x) es un factor del polinomio f (x) intersecci´on (de conjuntos)

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Glosario de s´ımbolos

K[z] N = (a, b) [a, b] MCD MCM n " aj

el anillo de polinomios sobre el campo K los n´ umeros naturales diferente a, no igual a m´aximo com´ un divisor de a y b m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a y b m´aximo com´ un divisor m´ınimo com´ un m´ ultiplo a1 a2 · · · an

j=1

∀ Q R R[x] ⊂  n 

ak

para todo los n´ umeros racionales los n´ umeros reales el anillo de polinomios sobre los reales subconjunto de sumatoria a0 + a1 + a2 + a3 + · · · + an

k=0

⇐⇒  | ∪ ∅ Z Z[x] Zp

si y s´olo si tal que tal que, para especificar pertenencia a un conjunto uni´on (de conjuntos) el conjunto vac´ıo los n´ umeros enteros el anillo de polinomios sobre los n´ umeros enteros los campos Zp , clases de equivalencia en Z m´odulo p, p primo

Bibliograf´ıa ´ ´ n H. y Rinco ´ n C., Algebra [1] Bravo A., Rinco Superior, M´exico, Las Prensas de Ciencias, UNAM, 2008. ´ ´ mez Ortega J.A. y Va ´ ldez R., Algebra, [2] Bulaich R., Go 3a edici´on, M´exico, Cuadernos de Olimpiadas de Matem´aticas, UNAM, Instituto de Matem´aticas, 2017. [3] Cano Figueroa, C., Notas de Variable Compleja, Tesis de licenciatura, UNAM, Facultad de Ciencias, 2003. ´ ´ rdenas, H., Lluis, E., Raggi, F., Toma ´ s. F., Algebra [4] Ca Superior, M´exico, Trillas, 1973. [5] Courant, R., John F., Introducci´on al C´alculo y al An´alisis Matem´atico, M´exico, Limusa, 2001. ´ ´ mez Laveaga, C., Algebra [6] Go Superior, Curso Completo, M´exico, Las prensas de Ciencias, UNAM, 2015. [7] Haaser, N. La Salle J., Sullivan J., Curso de An´alisis Matem´ atico, Segunda edici´on, vol. I, M´exico, Trillas, 1970. [8] Koblitz N. A Course in Number Theory and Cryptography, Second Edition, Springer Verlag, New York, 1994. ´ [9] Lascurain Orive, A., Algebra Superior I, 2a edici´on, M´exico, Las Prensas de Ciencias, UNAM, 2017. [10] Maclachan C. and Reed A. The Arithmetic of Hyperbolic 3Manifolds, Springer Verlag GTM, New York, 2003. [11] Ram´ırez Galarza A.I., Geometr´ıa Anal´ıtica, 2a edici´on, M´exico, Las Prensas de Ciencias, UNAM, 2006. 171

[12] Rudin W. Principios de An´alisis Matem´ atico, tercera edici´on, M´exico, McGraw Hill, 1980. [13] Spivak, M., Calculus, W.A. Benjamin, United States of America, 1967.

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Índice analítico algoritmo de Euclides, 13 algoritmo de la divisi´on, 4 argumento, 72 Aritm´etica teorema fundamental de la, 19 Cardano-Ferro-Tartaglia teorema de, 156 cociente, 4 combinaci´on lineal, 3, 4 congruencia, 23 conjunto acotado, 44 cota inferior, 44 superior, 44 De Moivre f´ormula de, 98 Del factor teorema del, 112 Del residuo teorema del, 112 discriminante, 97, 156 divisi´on sint´etica, 119 divisibilidad, 1 divisor, 1 com´ un, 3 ecuaciones diofantinas, 15 Ferrari m´etodo de, 164 fracciones racionales, 149

´ınfimo, 44 Leibnitz regla de, 131 m´ınima combinaci´on lineal, 7 m´aximo com´ un divisor, 7, 11 m´etodo de Horner, 122 m´etodo de Newton, 68 m´etodo de Sturm, 143 m´ınimo com´ un m´ ultiplo, 9, 11 m´odulo, 71 multiplicidad, 129 n´ umeros complejos, 83 cociente de, 92 conjugado, 90 parte imaginaria, 88 parte real, 88 producto de, 86 ra´ız cuadrada de, 93 raices n-´esimas de, 98 suma de, 83 n´ umeros racionales, 34 n´ umeros reales, 41 orden, 41 polinomial funci´on, 107 polinomio derivada de un, 131 conjugado, 139 definici´on, 103 factorizaci´on de un, 128 173