Wave Propagation in A Random Medium

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WAVE PROPAGATION IN A RANDOM MEDIUM L E V A. C H E R N O V TRANSLATED FROM THE RUSSIAN BY R. A. SILVERMAN

WAVE PROPAGATION IN A RANDOM MEDIUM

WAVE PROPAGATION IN A RANDOM MEDIUM

by Lev A. Chernov ACOUSTICS INSTITUTE ACADEMY OF SCIENCES OF THE USSR

T R A N SL A T E D FR O M T H E RUSSIAN

by R. A. Silverman

DOVER PUBLICATIONS, INC. NEW YORK

Copyright © 1960 by Richard A. Silverman. All rights reserved under Pan American and In­ ternational Copyright Conventions.

Published in Canada by General Publishing Com­ pany, Ltd., 30 Lesmill Road, Don Mills, Toronto, Ontario. Published in the United Kingdom by Constable and Company, Ltd., 10 Orange Street, London YVC 2.

This Dover edition, first published in 1967, is an unabridged republication with minor corrections of the English translation originally published in 1960 by the McGrawr-Hill Book Company, Inc.

Library of Congress Catalog Card N u m b e r: 67-26JS3

Manufactured in the United States of America Dover Publications, Inc. 180 Varick Street New York, N. Y. 10014

TRANSLATOR1S PREFACE

T h is b o o k i s

a t r a n s l a t i o n o f L. A. C h e rn o v 's

,?P a c n p 0 C T p a H 6 HHe BOJIH

B C p e ^ e Co CjiyM aflHlIM H H eO ^H O po^H O CTH M H " , l i t e r a l l y '‘P r o p a g a tio n o f W aves i n a Medium w i t h Random I n h o m o g e n e itie s ’1.

I t i s h o p ed t h a t C h e m o v l s

b o o k ( t o g e t h e r w i t h t h e t r a n s l a t i o n o f V .I . T a t a r s k i 's book on wave p ro p a g a ­ t i o n i n a t u r b u l e n t m edium , a l s o i n t h i s an d a u t h o r i t a t i v e

s e r i e s ) w i l l f u r n i s h a c o m p re h e n siv e

s u r v e y o f th e p r e s e n t s t a t e o f r e s e a r c h i n t h e f i e l d o f wave

p r o p a g a t i o n i n random m e d ia , w ith s p e c i a l e m p h a sis on im p o r ta n t R u s s ia n co n ­ trib u tio n s . The t r a n s l a t i o n d e p a r t s fro m t h e o r i g i n a l i n one s m a ll p a r t i c u l a r :

th e

R u s s ia n w ords f o r a m p litu d e an d f o r l e v e l ( a m p litu d e m e a su re d i n l o g a r i t h m i c u n i t s ) h a v e b o t h b e e n r e n d e r e d a s a m p litu d e , s i n c e i n e v e r y c a s e th e c o n te x t p r e c lu d e s c o n fu s io n . T h e re i s no i d e a l s y s te m f o r t r a n s l i t e r a t i n g t h e C y r i l l i c a lp h a b e t i n t o t h e Roman a l p h a b e t .

Of t h e v a r i o u s s y s te m s w h ic h e x i s t , I p r e f e r an d have

u s e d t h a t o f P r o f . E . J . Simmons o f C o lu m b ia U n i v e r s i t y .

AUTHORS PREFACE

T h is m o n o g rap h c o n t a i n s a s y s t e m a t i c t r e a t m e n t o f t h e t h e o r y o f •wave p r o p a g a t i o n i n a m edium w ith random in h o m o g e n e itie s .

P ra c tic a l

p ro b le m s o f a c o u s t i c s , o p t i c s a n d r a d i o p h y s i c s h a v e s t i m u l a t e d and made u rg e n t th e need f o r such a tre a tm e n t. I n P a r t I we s t u d y t h e p ro b le m o f wave p r o p a g a t i o n u s i n g th e r a y a p p ro x im a tio n . p ro p a g a tio n .

I n P a r t I I we d e a l w i t h t h e d i f f r a c t i o n t h e o r y o f wave I n P a r t I I I we ex am in e t h e q u e s t i o n o f how f l u c t u a t i o n s

i n t h e i n c i d e n t wave a f f e c t t h e d i f f r a c t i o n im age fo rm ed b y a f o c u s in g s y s te m ; t h i s

q u e s t i o n i s o f c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t i n h y d r o a c o u s t i c s and

a s tro n o m ic a l o p tic s . e x p e rim e n ta l d a ta .

Some t h e o r e t i c a l d e d u c tio n s a r e com pared w ith (T he m o st i n v o l v e d c a l c u l a t i o n s a r e r e l e g a t e d t o

a p p e n d i c e s .) The a u t h o r t a k e s t h i s o p p o r t u n i t y t o e x p r e s s h i s a p p r e c i a t i o n t o L . M. B r e k h o v s k ik h , C o r r e s p o n d in g Member o f t h e Academy o f S c ie n c e s o f t h e U . S . S . R . , f o r h i s c o n s t a n t i n t e r e s t i n t h i s bo o k an d f o r t h e v a l u ­ a b l e a d v ic e h e g a v e w h ile i t was b e in g w r i t t e n .

The a u t h o r r e c a l l s

w i t h g r a t i t u d e t h e l a t e P r o f e s s o r G. S . G o r e lik ; t h e l a t t e r u n d e rto o k t o f a m i l i a r i z e h i m s e l f w i t h t h e m a n u s c r ip t an d made num erous h e l p f u l c r i t i c a l re m a rk s w h ic h l e d t o i t s

im p ro v e m e n t.

v

CONTENTS

T r a n s l a t o r 's p r e f a c e ........................................................................................................................

^

A u t h o r 's p r e f a c e ...........................................

v

In tro d u c tio n

^

♦ 0 . ....................................................................................................................

P a rt I RAY THEORY

C h a p te r I . 1. 2.

STATISTICAL CHARACTERISTICS OF THE M E D IU M .............................................................................

5

The C o r r e l a t i o n F u n c tio n . . . . ...................................... D e t e r m i n a t i o n o f t h e Form o f th e C o r r e l a t i o n F u n c t i o n ..........................................................

5 7

C h a p te r I I . 3* k. 5. 6. 7.

RAY S T A T I S T I C S ..........................................................................................................................................

12

The R ay E q u a t i o n ............................................................................................................................................... The Ray D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t ................................................................................................................... Tne A n g u la r D i s t r i b u t i o n o f R a y s . The E in s te in - F o k k e r - K o lm o g o r o v E q u a tio n . . The Mean Ray D i s p l a c e m e n t ............................................................................................................................. F l u c t u a t i o n s o f t h e T r a n s i t Time a n d I n t e n s i t y o f t h e R a y s ..............................................

j.2 15 18 22 28

P a rt I I DIFFRACTION THEORY

C h a p te r I I I . 8. 9*

THE WAVE E Q U A T IO N ..................................................................................................................................

35

D e r i v a t i o n o f t h e Wave E q u a tio n f o r an In h om ogeneous M e d iu m ........................................... The Wave E q u a tio n f o r a M u lti-C o m p o n e n t M e d i u m ................0 ...................................................

35 38

C h a p te r IV . 10. 11. 12. 13* 14.

SCATTERING BYINHOMOGENEITIES............................................................................................................

hi

The M ethod o f S m a ll P e r t u r b a t i o n s .......................................................................................................... The S c a t t e r i n g F o r m u l a .................................................................................................................................. The S c a t t e r i n g C o e f f i c i e n t ........................................................................................................................ A p p l i c a b i l i t y o f t h e S c a t t e r i n g F o rm u la .......................................................................................... A t t e n u a t i o n o f an A c o u s tic B u n d le due t o S c a t t e r i n g ...............................................................

kl kj 53 55 56

C h a p te r V. 15. 16 . 17. 18. 19• 20. 21. 22.

FLUCTUATIONS.....................................................................................................................................................

58

The M ethod o f S m a ll P e r t u r b a t i o n s .......................................................................................................... R y t o v 's M e t h o d ................................................................................................................................ C o m p a riso n o f t h e M e t h o d s ............................................................................................................................. The F r e s n e l A p p r o x i m a t i o n ............................................................................................................................. A m p litu d e a n d P h a s e F l u c t u a t i o n s ........................................................................................................... The R e g io n o f L a rg e V a lu e s o f t h e Wave P a r a m e te r ( F r a u n h o f e r D i f f r a c t i o n ) . . . The R e g io n o f S m a ll V a lu e s o f t h e Wave P a r a m e t e r .................................................................... The R e g io n o f I n t e r m e d i a t e V a lu e s o f t h e Wave P a r a m e t e r ......................................................

58 6l 65 66 68 7^ 77 82

vii

C h a p te r V I. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

CORRELATION OE FLUCTUATIONS...............................................................................................................

84

85 C o r r e l a t i o n o f t h e A m p litu d e and P h ase F l u c t u a t i o n s a t t h e R e c e i v e r ........................ L o n g i t u d i n a l A u t o c o r r e l a t i o n o f th e A m p litu d e ( o r P h a s e ) F l u c t u a t i o n s .................... 89 T r a n s v e r s e A u t o c o r r e l a t i o n o f t h e A m p litu d e and P h a se F l u c t u a t i o n s ......................... 95 The Q u a s i - S t a t i c C o n d itio n ........................................................................................................................ Ill The Time A u t o c o r r e l a t i o n o f t h e A m p litu d e F l u c t u a t i o n s ........................................................... 112 C om p ariso n w i t h E x p e r i m e n t .............................................................................................................................. 117

P a rt I I I THE INFLUENCE OF FLUCTUATIONS ON THE DIFFRACTION IMAGE OF A FOCUSING SYSTEM

INTRODUCTORY REMARKS.................................................................................................................................................................... 125 C h a p te r V I I . 29. 30. 31«

GENERAL FORMULAS.............................................................................................................................................126

The Debye F o r m u l a ...................................................................................................................................................... 126 S t a t i s t i c a l A v e ra g in g ....................................................................................................................................... 128 V a r io u s S p e c i a l C ases ...................................................................................................................................... 135

C h a p te r V I I I . 32. 33*

The Mean D i s t r i b u t i o n i n t h e F o c a l P l a n e .............................................................................................. 138 The Mean D i s t r i b u t i o n a lo n g t h e P r i n c i p a l A x i s ............................................................................. 1^3

C h a p te r IX . 34. 35•

THE MEAN DISTRIBUTION NEAR THE F O C U S ........................................................................................137

FLUCTUATIONS BEHIND THE L E N S ...............................................................................................................l4 7

The D i s t r i b u t i o n o f F l u c t u a t i o n s ...............................................................................................................I I 7 F l u c t u a t i o n s a t t h e F o c u s ..................................................................................................................................l l g

A ppendix I

...................................................................................................................................................................................... .......

A ppendix I I ................................................................................................................................................................................. ....... R efe re n c es

.

166

INTRODUCTION

I n h o m o g e n e ity i s

a c h a r a c t e r i s t i c p r o p e r t y o f e v e r y r e a l medium .

g e n e i t i e s a r e o b s e r v e d , r e g u l a r and random .

Two t y p e s o f inhom o­

R e g u la r in h o m o g e n e itie s a r e p ro d u c e d b y s p a t i a l

v a r i a t i o n o f t h e mean c h a r a c t e r i s t i c s o f a medium, v h i l e random in h o m o g e n e itie s a r e p ro d u c e d b y d e v i a t i o n s fro m t h e mean v a l u e s . B o th r e g u l a r an d random i n h o m o g e n e itie s can i n f l u e n c e ( a l t h o u g h i n d i f f e r e n t v a y s ) v a v e p r o p a g a t i o n i n a m edium .

F o r e x a m p le , s u c h phenom ena a s r e f r a c t i o n and d u c t p r o p a g a tio n

a r e c a u s e d b y t h e i n f l u e n c e o f r e g u l a r i n h o m o g e n e itie s , v h i l e t h e s c a t t e r i n g o f v a v e s i s c a u s e d b y random i n h o m o g e n e i t i e s .

The s c a t t e r e d v a v e s a r e s u p e rim p o s e d on t h e i n c i d e n t v a v e

and l e a d t o a m p litu d e and p h a s e f l u c t u a t i o n s o f t h e r e s u l t a n t f i e l d .

T h is e x p l a i n s th e l o u d ­

n e s s f l u c t u a t i o n s o f so u n d p r o p a g a t e d i n t h e a tm o sp h e re and t h e s e a , t h e t v i n k l i n g o f s t a r s , and ( i n p a r t ) t h e f a d i n g o f r a d i o s i g n a l s . p re fe rre d d ire c tio n a p p r o x im a tio n ,

R e g u la r c h a n g e s i n a r e a l medium o c c u r i n some

( d e p t h i n t h e s e a , h e i g h t i n th e a tm o s p h e r e ) .

T h e re fo re,

a r e a l m edium can b e r e g a r d e d as h a v in g a l a y e r e d s t r u c t u r e .

as a f i r s t The t h e o r y o f

v a v e p r o p a g a t i o n i n l a y e r e d m e d ia h a s b e e n d e v e lo p e d i n th e l a s t t e n t o f i f t e e n y e a r s i n th e e x t e n s i v e i n v e s t i g a t i o n s o f B r e k h o v s k ik h [ 1 ,2 ,3 ] ] . In s p i t e o f th e f a c t t h a t th e tv in k lin g o f s t a r s i s

a p ro b le m s e v e r a l th o u s a n d y e a r s

o ld ( i t v a s o f i n t e r e s t t o A r i s t o t l e ) t h e d e v e lo p m e n t o f t h e t h e o r y o f v a v e p r o p a g a t i o n i n a m edium v i t h random i n h o m o g e n e itie s h a s l i k e v i s e o c c u r r e d m a in ly i n t h e l a s t d e c a d e and i s due t o a l a r g e e x t e n t t o t h e p r a c t i c a l r e q u ir e m e n ts o f h y d r o a c o u s t i c s and r a d i o p h y s i c s . e a r ly t h e o r e t i c a l v o rk o f K ra s iln ik o v

p -0 ,5 ^ ]

i n a m edium v i t h random i n h o m o g e n e itie s v a s

I n th e

and Bergm ann [lV ] th e p ro b le m o f v a v e p r o p a g a t i o n

s t u d i e d i n t h e a p p r o x im a tio n o f g e o m e t r i c a l o p t i c s .

A p p ly in g t h e m eth o d o f s m a l l p e r t u r b a t i o n s t o th e e i k o n a l e q u a t i o n , t h e s e a u th o r s o b ta in e d f o r m u la s f o r t h e mean s q u a r e f l u c t u a t i o n s o f a m p litu d e and p h a s e as f u n c t i o n s o f d i s t a n c e . An u n im p o r ta n t d i f f e r e n c e i n t h e f o r m u la s f o r t h e a m p litu d e f l u c t u a t i o n s r e s u l t s fro m th e f a c t t h a t B ergm ann c o n s i d e r e d a s p h e r i c a l v a v e ( p o i n t s o u r c e ) , v h i l e K r a s i l n i k o v c a r r i e d o u t t h e 1

1

c a l c u l a t i o n f o r a p l a n e w ave. The a u t h o r [b6] s u g g e s te d a n o t h e r m ethod o f s o l v i n g th e p ro b le m o f r a y p r o p a g a t i o n i n a medium w i t h random i n h o m o g e n e i t i e s , a m ethod b a s e d on a p p l i c a t i o n o f th e E i n s t e i n F o k k e r-K o lm o g o ro v e q u a t i o n .

The p r o p a g a t i o n o f a r a y i s r e g a r d e d a s a random p r o c e s s w i t h o u t

a f t e r - e f f e c t ( c o n tin u o u s M arkov p r o c e s s ) , i n w h ic h t h e r o l e o f tim e i s p la y e d b y t h e p a t h le n g th tr a v e r s e d by th e r a y .

The a n g u la r d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n o f t h e r a y s o b ey s t h e

E in s te in - F o k k e r - K o lm o g o r o v e q u a t i o n .

T h is m ethod p e r m i t s one t o d e te r m in e n o t o n ly t h e a n g u ­

l a r b u t a l s o t h e l i n e a r d is p la c e m e n t o f t h e r a y fro m i t s

i n i t i a l d ire c tio n .

can b e done w i t h o u t r e q u i r i n g t h e d is p la c e m e n t t o be s m a ll, w h ic h i s m eth o d o v e r t h e m ethod o f s m a ll p e r t u r b a t i o n s .

M o re o v e r, t h i s

an a d v a n ta g e o f t h i s

K h a ra n e n [5] h a s a l s o u s e d t h e E i n s t e i n -

F o k k er-K o lm o g o ro v m ethod i n t r e a t i n g t h e p ro b le m o f r a y p r o p a g a t i o n i n a m edium w i t h random in h o m o g e n e itie s . o f th e ra y ,

H ow ever, h i s r e s u l t s a r e v a l i d o n ly f o r s m a ll a n g u l a r and l i n e a r d e f l e c t i o n s

and i n t h i s l i m i t i n g c a s e can b e o b t a i n e d fro m t h e m ore g e n e r a l f o r m u la s o f o u r

w o rk . The p ro b le m o f t h e i n t e n s i t y o f r a d i a t i o n s c a t t e r e d b y random in h o m o g e n e itie s was ex am in ed i n e a r l y p a p e r s u s i n g t h e wave a p p r o a c h .

P e k e ris

[35]

d e r i v e d a g e n e r a l f o r m u la f o r

wave s c a t t e r i n g , a ssu m in g t h a t a s a r e s u l t o f f l u c t u a t i o n s t h e r e f r a c t i v e in d e x d e v i a t e s o n ly s l i g h t l y fro m some mean v a l u e .

I n a c o u s tic s i t i s u s u a lly n e c e s s a ry t o ta k e i n t o ac c o u n t

d e n s i t y f l u c t u a t i o n s a s w e l l as r e f r a c t i v e in d e x f l u c t u a t i o n s . m ore g e n e r a l f o r m u la w h ic h t a k e s t h i s f a c t o r i n t o a c c o u n t.

I n t h i s b o o k , we d e r i v e a

We a l s o c l a r i f y t h e c o n d i t i o n s

u n d e r w h ic h , i n t h e a c o u s t i c s c a t t e r i n g p ro b le m , d e n s i t y f l u c t u a t i o n s c o m p a ris o n w i t h r e f r a c t i v e in d e x f l u c t u a t i o n s ,

i.e .,

can b e n e g l e c t e d i n

we show t h e ra n g e o f a p p l i c a b i l i t y o f

P e k e r i s 1 fo r m u la i n a c o u s t i c s . I n r e c e n t y e a r s , t h e p ro b le m o f a m p litu d e and p h a s e f l u c t u a t i o n s when w aves a r e p r o p a ­ g a te d i n a medium w i t h random i n h o m o g e n e itie s h a s b e e n s t u d i e d b y many i n v e s t i g a t o r s 2 0 ; 2 1 , 2 2 , 2 3 , 32]

fro m a d i f f r a c t i o n t h e o r y p o i n t o f v ie w .

In p a r tic u la r ,

[l2 , 18,

i t has been

p o s s i b l e t o a s c e r t a i n t h e l i m i t s o f a p p l i c a b i l i t y o f r a y t h e o r y f o r a medium w i t h random in h o m o g e n e itie s

[ l 2 , 3 1 , 33] .

A l l i n v e s t i g a t o r s h av e a p p l i e d t h e m eth o d o f s m a ll p e r t u r b a t i o n s

t o t h e wave e q u a t i o n ; o n ly Obukhov [12]

h a s made u s e o f R y t o v 's m eth o d [ l l ] , w h ic h was u s e d b y

R y to v i n s tu d y i n g t h e d i f f r a c t i o n o f l i g h t b y an u l t r a s o n i c g r a t i n g .

2

The f l u c t u a t i o n s c a l c u -

l a t e d b y t h i s m e th o d a r e n o t r e s t r i c t e d b y t h e c o n d i t i o n t h a t t h e y be s m a ll; t h i s i s th e a d v a n ­ t a g e o f R y t o v 's m eth o d o v e r t h e m e th o d o f s m a ll p e r t u r b a t i o n s .

In t h e p r e s e n t b o o k , th e

a u t h o r a l s o u s e s R y t o v 's m e th o d a n d , i n d o in g s o , g e n e r a l i z e s t h e f o rm u la s f o r mean s q u a r e a m p litu d e and p h a s e f l u c t u a t i o n s o b t a i n e d b y O bukhov. G a u s s ia n c o r r e l a t i o n

U n lik e O bukhov, who s t a r t e d w ith a

c o e f f i c i e n t f o r t h e r e f r a c t i v e in d e x , th e a u t h o r h a s s u c c e e d e d i n d e r i ­

v in g g e n e r a l f o r m u la s w h ic h a r e n o t a c o n se q u e n c e o f an y s p e c i a l fo rm o f t h e c o r r e l a t i o n c o e ffic ie n t. Mean s q u a r e a m p litu d e an d p h a s e f l u c t u a t i o n s a r e n o t en o u g h t o c o m p le te ly c h a r a c t e r i z e t h e s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f a w ave f i e l d . o f a vave f i e l d

The s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f th e f l u c t u a t i o n s

can h e m ore c o m p le te ly c h a r a c t e r i z e d b y u s in g c o r r e l a t i o n f u n c t i o n s .

H ow ever;

t h e p ro b le m o f c o r r e l a t i o n f u n c t i o n s f o r f l u c t u a t i o n s o f t h e v a lu e s o f t h e b a s i c c h a r a c t e r i s ­ tic s

o f a w ave f i e l d h a s n o t b e e n i n v e s t i g a t e d a t a l l fro m a wave p o i n t o f v ie w .

book; th e a u th o r t r i e s to f i l l in t h i s medium w i t h random i n h o m o g e n e i t i e s .

In t h i s

im p o r ta n t gap i n t h e t h e o r y o f wave p r o p a g a tio n i n a

W ith t h i s

aim , we c a l c u l a t e :

c o e f f i c i e n t o f a m p litu d e an d p h a s e a t one r e c e i v i n g p o i n t ;

( l ) th e c ro s s c o r r e la tio n

( 2 ) th e a u to c o r r e la tio n c o e f f ic ie n t

f o r a m p litu d e ( o r p h a s e ) a t d i f f e r e n t r e c e i v i n g p o i n t s and ( 3 ) t h e tim e a u t o c o r r e l a t i o n c o ­ e f f i c i e n t f o r a m p litu d e ( o r p h a s e ) .

Nobody h a s h e r e t o f o r e i n q u i r e d a s t o t h e n a t u r e o f t h e

c r o s s c o r r e l a t i o n o f f l u c t u a t i o n s o f a m p litu d e an d p h a s e a t a r e c e i v i n g p o i n t .

I n t h i s book;

we a n s w e r t h i s q u e s t i o n an d show t h a t t h e c o r r e l a t i o n b e tw e e n a m p litu d e an d p h a s e f l u c t u a t i o n s ; w h ic h e x i s t s a t s m a ll d i s t a n c e s ; v a n i s h e s a t l a r g e d i s t a n c e s . The q u e s t i o n o f t h e a u t o c o r r e l a t i o n o f a m p litu d e ( o r p h a s e ) f l u c t u a t i o n s a t d i f f e r e n t r e c e i v i n g p o i n t s h a s b e e n s t u d i e d b y many a u th o r s a n d o n ly f o r t h e c a s e w h e re b o t h r e c e i v e r s l i e

|jl_^;6] b u t o n ly i n th e r a y a p p ro x im a tio n

i n a p la n e p e r p e n d i c u l a r t o th e d i r e c t i o n o f

p r o p a g a t i o n o f t h e wave ( t r a n s v e r s e a u t o c o r r e l a t i o n ) .

I n t h i s b o o k ; t h e p ro b le m o f l o n g i t u ­

d i n a l an d t r a n s v e r s e a u t o c o r r e l a t i o n i s s t u d i e d fro m a wave p o i n t o f v ie w . a t a l l d i s t a n c e s t h e t r a n s v e r s e a u t o c o r r e l a t i o n b e tw e e n a m p litu d e ( o r

I t i s shown t h a t

phase) f lu c tu a tio n s

e x te n d s t o a p p r o x i m a t e l y t h e same s e p a r a t i o n a s t h e c o r r e l a t i o n b e tw e e n th e random inhom o­ g e n e i t i e s o f t h e m edium i t s e l f .

M o re o v e r; i t i s shown t h a t t h e l o n g i t u d i n a l c o r r e l a t i o n

e x te n d s o v e r much g r e a t e r s e p a r a t i o n s t h a n t h e t r a n s v e r s e c o r r e l a t i o n .

I f th e s e p a r a t i o n b e ­

tw e e n r e c e i v e r s d o e s n o t e x c e e d t h e d i s t a n c e w i t h i n w h ic h a r a y t r e a t m e n t i s s u i t a b l e ;

3

th e

f l u c t u a t i o n s o f a m p litu d e ( o r p h a s e ) a r e p r a c t i c a l l y c o m p le te ly c o r r e l a t e d . S in c e e v i d e n t l y t h e tim e v a r i a t i o n o f th e in h o m o g e n e itie s i s d u e m o s tly t o t h e i r m o tio n , i n t h i s boo k we a l s o ex am in e t h e q u e s t i o n o f how th e m o tio n o f t h e m edium a s a w h o le a f f e c t s th e tim e c o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s o f t h e wave f i e l d

a t a re c e iv in g p o in t.

The c o r r e l a t i o n t h e ­

o r y d e v e lo p e d i n t h i s boo k l e a d s t o t h e c o n c lu s io n t h a t t h e tim e a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n i s p r a c t i c a l l y in d e p e n d e n t o f d i s t a n c e and d e p e n d s m a in ly on t h e s p e e d w i t h w h ic h t h e o b s e r v e r m oves.

E x p e rim e n ts p e r f o r m e d on s h i p s m oving i n t h e o c e a n c o n f ir m t h i s d e d u c tio n

[23]] •

The

t h e o r e t i c a l l y c a l c u l a t e d mean a u t o c o r r e l a t i o n c u rv e i s i n good q u a n t i t a t i v e a g re e m e n t w i t h t h e e x p e r im e n ta l d a t a . F l u c t u a t i o n s i n a wave i n c i d e n t on a f o c u s in g s y s te m a r e a c c o m p a n ied b y f l u c t u a t i o n s o f t h e d i f f r a c t i o n im a g e .

I n t h e d i f f r a c t i o n im age we o b s e r v e n o t o n ly d e v i a t i o n s o f t h e

i n t e n s i t y fro m t h e mean d i s t r i b u t i o n , b u t a l s o t h e mean d i s t r i b u t i o n i t s e l f d e p e n d s i n an e s s e n t i a l way on f l u c t u a t i o n s i n t h e i n c i d e n t w av e. t h e o r y o f f o c u s i n g s y s te m s :

(l)

I n t h i s r e g a r d tw o p ro b le m s a r i s e i n t h e

i n v e s t i g a t i o n o f t h e d e p e n d e n c e o f t h e mean d i s t r i b u t i o n i n

th e d i f f r a c t i o n im age on f l u c t u a t i o n s i n t h e i n c i d e n t wave and ( 2 ) i n v e s t i g a t i o n o f t h e d i s ­ t r i b u t i o n o f f l u c t u a t i o n s i n t h e d i f f r a c t i o n im a g e . q u e s tio n s h as b een s tu d ie d p r e v io u s ly .

As f a r as we know, n e i t h e r o f t h e s e

B o th q u e s t i o n s a r e s t u d i e d i n t h i s b o o k .

I n t h e p r e s e n c e o f s t r o n g f l u c t u a t i o n s t h e mean d i s t r i b u t i o n d i f f e r s g r e a t l y fro m th e d i s t r i b u t i o n in th e ab sen ce o f f l u c t u a t i o n s ,

i f t h e d im e n s io n s o f t h e d ia p h ra g m a r e l a r g e r

th a n o r o f t h e same o r d e r a s t h e c o r r e l a t i o n d i s t a n c e o f t h e i n c i d e n t w av e.

The d i s t r i b u t i o n

c u rv e f a l l s o f f m o n o t o n i c a l l y a s we go away fro m th e f o c u s a n d , i n t h e a b s e n c e o f f l u c t u a t i o n s , fo rm s a s y s te m o f d e c r e a s i n g m axim a.

The d i s t r i b u t i o n o f f l u c t u a t i o n s i n t h e d i f f r a c t i o n im age

c o in c i d e s w i t h t h e mean d i s t r i b u t i o n i n tw o l i m i t i n g c a s e s :

(l)

th e f l u c t u a t i o n s

a r e s m a ll and

th e d im e n s io n s o f t h e d ia p h ra g m a r e s m a ll com pared t o t h e c o r r e l a t i o n d i s t a n c e and ( 2 ) t h e flu c tu a tio n s a re la r g e .

I f t h e f l u c t u a t i o n s a r e s m a ll b u t t h e d im e n s io n s o f t h e d ia p h ra g m a r e

l a r g e r t h a n o r o f t h e same o r d e r as t h e c o r r e l a t i o n d i s t a n c e , t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e f l u c t u ­ a t i o n s d o e s n o t c o i n c i d e w i t h t h e mean d i s t r i b u t i o n .

F o r th e r e l a t i v e f l u c t u a t i o n s a t th e

fo c u s t h e t h e o r y g i v e s a r e s u l t w h ic h c o in c id e s w i t h t h a t o f K r a s i l n i k o v and T a t a r s k i

[l6 ] .

A l l t h e p ro b le m s s t u d i e d i n t h i s b o o k a r e b a s e d on t h e u s e o f t h e s c a l a r w ave e q u a t i o n , a s i n a c o u s t i c s , b u t i n p a s s i n g we i n d i c a t e t h e p o l a r i z a t i o n d u c e d i n g o in g o v e r t o t h e c a s e o f e l e c t r o m a g n e t i c w a v e s .

k

c o r r e c t i o n s w h ic h m u st b e i n t r o ­

P a rt I RAY THEORY

C h a p te r I STATISTICAL CHARACTERISTICS OF THE MEDIUM

I n a medium w i t h random in h o m o g e n e itie s t h e in d e x o f r e f r a c t i o n i s a random f u n c t i o n o f th e c o o r d in a te s and th e tim e .

The c h a n g e s i n r e f r a c t i v e in d e x i n t h e s e a and i n t h e a tm o s­

p h e re a r e u s u a lly c a u se d h y te m p e ra tu re f l u c t u a t i o n s .

In a d d itio n ,

s a lin ity flu c tu a tio n s

i n t h e s e a an d h u m id ity f l u c t u a t i o n s i n t h e a tm o s p h e re c a n p l a y a r o l e . f l u c t u a t i o n s a r e s m a ll i n t h e m a j o r i t y o f c a s e s .

L ie h e rm a n n

A p p a r e n tly , t h e s e

[4] h a s made an e x p e r im e n ta l

s tu d y o f t e m p e r a t u r e i n h o m o g e n e itie s i n t h e o c e a n u s i n g a f a s t - a c t i n g th e rm o m e te r m o unted on a s u b m a r in e .

The c u r v e o f t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s o b t a i n e d b y him i s shown i n F i g . 1 .

F ig . 1

R e c o rd o f t e m p e r a tu r e f l u c t u a t i o n s i n t h e o c e a n . ( A f t e r L ie b e rm a n n )

The c h o i c e o f a s u b m a rin e i n s t e a d o f a s u r f a c e v e s s e l was d i c t a t e d b y t h e n e e d t o a v o id p i t c h i n g , w h ic h i n t r o d u c e s a d d i t i o n a l e r r o r s i n t o t h e m e a s u re m e n ts . a t d e p t h s o f JO t o 60 m e t e r s .

The su b m a rin e moved

A t t h e s e d e p th s t h e mean t e m p e r a tu r e f l u c t u a t i o n s am ounted t o

0.0 ^-° C, w i t h a ~ 60 cm a s t h e m ean s i z e o f t h e i n h o m o g e n e itie s .

S uch s m a ll te m p e r a t u r e

f l u c t u a t i o n s c o r r e s p o n d t o s m a ll f r a c t i o n a l c h a n g e s i n t h e in d e x o f r e f r a c t i o n ; t h e mean ~ -9 s q u a r e f l u c t u a t i o n o f t h e a c o u s t i c in d e x o f r e f r a c t i o n i s e q u a l t o p = 5 X 10 I*5 I _R ( \J p /~ 7 x 1 0 ; ) . Even i f t h e t e m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s am ounted t o a few d e g r e e s , t h e f r a c t i o n a l c h a n g e s i n r e f r a c t i v e in d e x w o u ld s t i l l n o t e x c e e d 0 .0 1 . ence o f s a l i n i t y f l u c t u a t i o n s i s even l e s s s i g n i f i c a n t . 5

A p p a r e n tly , t h e i n f l u ­

1.

The C o r r e l a t i o n F u n c t i o n .

We s h a l l assum e t h a t t h e f l u c t u a t i o n s i n r e f r a c t i v e in d e x

r e p r e s e n t a random p r o c e s s i n s p a c e and tim e , d e s c r i b e d b y t h e random f u n c t i o n o f c o o r d i n a t e s and tim e p ( x , y , z , t ) .

R e g a r d in g t h i s random p r o c e s s as s t a t i o n a r y i n t im e , we s h a l l c h a r a c t e r ­

iz e i t by th e c o r r e l a t i o n fu n c tio n

N12 = ^ ( x 1 , y 1 , z 1 , t ) | i ( x 2 , y 2 , z 2 ^ t ) ,

(1 )

w here t h e o v e r b a r d e s i g n a t e s a v e r a g in g w ith r e s p e c t t o t h e tim e t ,

o r , b e c a u se o f th e e rg o d ic

h y p o t h e s i s , a v e r a g in g o v e r t h e e n se m b le o f r e a l i z a t i o n s c o r r e s p o n d in g t o t h e d i f f e r e n t p o s s i b l e s t a t e s o f t h e m edium .

U n d e r s ta n d in g t h e o v e r b a r t o mean tim e a v e r a g i n g , we w r i t e

+T

N12 = li r a ^

f

n ( x 1 , y 1 , z 1 , t ) n ( x 2 :,y 2 J z2 , t U t .

(2 )

F o r a s p a t i a l l y hom ogeneous p r o c e s s t h e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n d e p e n d s o n ly on t h e c o o r d i n a t e d iffe re n c e s x = x g - x ^

y = yg - y ^

z = z2 - Z y

i.e .

N12 = N! 2 ( x ' y ' z ) •

(5 )

F or x = y = z = 0 th e fu n c tio n t u a t i o n o f r e f r a c t i v e in d e x N o f th e c o r r e la tio n fu n c tio n

a c h i e v e s i t s maximum N ^ , =

equal

t o t h e mean s q u a r e f l u c -

~2 \i .

The c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t N i s d e f i n e d a s t h e r a t i o o t o t h e mean s q u a r e f l u c t u a t i o n \i , i . e .

(* ) M so t h a t

N12 = H2 N

(5)

As t h e d i s t a n c e b e tw e e n t h e p o i n t s i s

i n c r e a s e d , t h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t d e c r e a s e s fro m

i t s maximum v a l u e o f u n i t y a n d b ecom es s m a ll co m p ared t o u n i t y a t a d i s t a n c e c a l l e d t h e c o r r e la tio n d is ta n c e , i . e . ,

t h e s t a t i s t i c a l d e p e n d e n c e b e tw e e n t h e f l u c t u a t i o n s d i s a p p e a r s .

6

I f t h e p r o p e r t i e s o f t h e medium a r e n o t s p a t i a l l y hom ogeneous, t h e n t h e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n w i l l d e p e n d n o t o n ly on t h e c o o r d i n a t e d i f f e r e n c e s h u t a l s o on t h e c o o r d i n a t e s t h e m s e l v e s . H ow ever, i n w h a t f o l l o w s we s h a l l c o n s i d e r o n ly t h e s t a t i s t i c a l l y

hom ogeneous c a s e .

I n a d d i t i o n t o t h e t h r e e d im e n s io n a l s p a t i a l c o r r e l a t i o n f u n c t i o n ( l ) ,

we i n t r o d u c e t h e

f o u r d im e n s i o n a l s p a c e - t i m e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n

n 12 = ti (* 1 #y1 ^ 1 # t 1 ) n ( x 2 , y 2 , z 2 , t 2 )

.

(6 )

S e t t i n g t ^ = t ^ + t an d t a k i n g t h e o v e r b a r t o mean tim e a v e r a g in g , we w r i t e

+T

2 ~

2iji / ^

M-(x^,y^, z^, t ^ J i i f x ^ y ^ , z ^ t . ^ * f ) d t ^ .

(7)

-T

F o r a s t a t i o n a r y a n d s p a t i a l l y hom ogeneous random p r o c e s s , t h e f o u r d im e n s io n a l c o r r e l a t i o n f u n c t i o n d e p e n d s o n ly on t h e c o o r d i n a t e d i f f e r e n c e s an d t h e tim e d i f f e r e n c e t = t ^ - t ^ ,

i.e .

N12 = ^ ( x . y . z j t ) .

(8)

The c o r r e s p o n d i n g c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t i s d e f i n e d b y Eq. ( 4 ) .

As t grow s t h e c o r r e l a t i o n

c o e f f i c i e n t d e c r e a s e s an d b eco m es s m a ll co m pared t o u n i t y f o r a tim e t ^ T c a l l e d t h e c o r r e ­ l a t i o n tim e .

The t h r e e d im e n s io n a l c o r r e l a t i o n f u n c t i o n i s t h e s p e c i a l c a s e o f t h e f o u r

d im e n s i o n a l one f o r t ^ = t ^ . I n a b r i e f n o t e F in e

[2^] c o n s i d e r s t h e p ro b le m o f a v e r a g in g n o t o n ly i n tim e b u t a l s o i n

s p a c e when d e f i n i n g t h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t f o r r e f r a c t i v e in d e x f l u c t u a t i o n s .

How ever,

t h e e q u i v a l e n c e o f t h e s e tw o a v e r a g i n g o p e r a t i o n s f o r a s t a t i o n a r y an d s p a t i a l l y hom ogeneous p r o c e s s c a n n o t b e d o u b te d .

2.

D e t e r m i n a t i o n o f t h e Form o f t h e C o r r e l a t i o n F u n c t i o n .

I t seem s t h a t o n ly one c a s e

can b e g iv e n w h ere t h e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n can b e d e te r m in e d t h e o r e t i c a l l y . c a s e o f hom ogeneous i s o t r o p i c t u r b u l e n c e . t u r b u l e n c e was i n v e s t i g a t e d b y Obukhov

T h is i s th e

The f i e l d o f t e m p e r a tu r e f l u c t u a t i o n s c a u s e d b y who fo u n d f o r t h e mean s q u a r e t e m p e r a tu r e d i f f e r -

7

e n c e a t two p o i n t s a la w s i m i l a r t o t h e ”t w o - t h i r d s la w ” .

H ow ever, e v e n i f

(u n d er f a m ilia r

c o n d i t i o n s ) t h e s t a t e o f t h e a tm o s p h e re can h e d e s c r i b e d i n a s a t i s f a c t o r y way b y t h e t h e o r y o f hom ogeneous i s o t r o p i c t u r b u l e n c e , t h e q u e s t i o n o f w h e th e r t h i s t h e o r y i s a p p l i c a b l e t o t h e ocean has y e t to be s e t t l e d .

In h y d ro a c o u s tic a l in v e s tig a tio n s i t i s a p p ro p ria te to s t a r t

w i t h c o r r e l a t i o n f u n c t i o n s fo u n d e m p i r i c a l l y .

M o re o v e r, i n a tm o s p h e r ic a c o u s t i c s ( a s w e l l a s

i n o p t i c s and r a d i o p h y s i c s ) i t i s a l s o a p p r o p r i a t e t o b e g in t h i s w ay i f t h e c o n d i t i o n s f o r t h e a p p l i c a b i l i t y o f t h e t h e o r y o f hom ogeneous i s o t r o p i c t u r b u l e n c e a r e v i o l a t e d f o r one re a so n o r a n o th e r. The c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t f o r t e m p e r a tu r e f l u c t u a t i o n s i n t h e o c e a n was d e te r m in e d e x p e r i m e n t a l l y b y L ie b e rm a n n

[V],

who u s e d a c o r r e l a t o r w h ic h f i r s t m u l t i p l i e d t o g e t h e r tw o

te m p e r a tu r e c u r v e s T (x ^ ) and T (x ^ + x ) an d th e n a v e r a g e d th em o v e r th e e n t i r e r e c o r d .

In

F ig . 2

N( x )

F ig . 2

C o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t o f te m p e r a t u r e f l u c t u a t i o n s i n th e o c e a n . ( A f t e r L ie b e rm a n n )

t h e p o i n t s i n d i c a t e t h e r e s u l t s fo u n d b y L ie b e rm a n n f o r d i f f e r e n t d i s t a n c e s x . d e n c e o f t h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t on th e d i s t a n c e i s

The d e p e n ­

s a t i s f a c t o r i l y a p p ro x im a te d b y t h e

fu n c tio n

N(x) = e ' l Xl / a ,

i f we s e t t h e c o r r e l a t i o n d i s t a n c e a = 60 cm.

(9 ) F o r a s t a t i s t i c a l l y i s o t r o p i c m edium we can

w rite

8

N (r) = e - r / a

i n s t e a d o f ( 9 )> w h e re r =

( 10)

\Jx

A p e c u lia r ity o f th e c o r r e la tio n fu n c tio n e d e r i v a t i v e a t x = 0 d i f f e r s fro m z e r o .

s h o u ld h e p o i n t e d o u t , n am ely , i t s

T h is i s p o s s i b l e o n ly i n t h e c a s e w here t h e r e f r a c t i v e

in d e x f l u c t u a t i o n p ( x ) i s a d i s c o n t i n u o u s f u n c t i o n .

A c t u a l l y , we assum e t h e o p p o s i t e ,

t h a t t h e r e f r a c t i v e in d e x f l u c t u a t i o n p ( x ) i s a c o n tin u o u s f u n c t i o n o f x .

i.e .,

D iffe re n tia tin g

t h e p r o d u c t p ( x ^ ) p ( x ^ + x ) w i t h r e s p e c t t o x , we o b t a i n

(i d

S in c e

i n t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( l l ) we c a n d i f f e r e n t i a t e w i t h r e s p e c t t o x^^ i n s t e a d o f w i t h r e s p e c t to

x:

d

^

[^(x1 )^i(x1 + x ) ] = n ( x p

d

+ x) .

( 12 )

A v e ra g in g (1 2 ) w i t h r e s p e c t t o t h e c o o r d i n a t e x ^ we o b t a i n

(13)

w h e re

9

We now f i n d t h e v a lu e o f t h e d e r i v a t i v e a t x = 0:

+x M 12( * r

I d 2, 2 dx, ^

x =0 = ^ (x i }

dx

v

n. ^

I d 2, N, 2 s q ; ^ ( x i )d x i

1 2X -X

n2(-x)

= lira. x-^»

S in c e q ( x ) i s e v e ry w h e re b o u n d e d , t h e l i m i t o f t h e l a s t e x p r e s s i o n i s z e r o ,

i.e .

dN1 2 (x ) dx

x =0

= 0

—I I / 0. The c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t e 1 17 d o e s n o t s a t i s f y t h i s c o n d i t i o n .

C o n s e q u e n tly , t h e r e f r a c ­

t i v e in d e x f l u c t u a t i o n fi(x ) i s a d i s c o n t i n u o u s f u n c t i o n f o r t h i s c a s e . a t u r e d i s c o n t i n u i t i e s , a r e sm o o th ed o u t a s a r e s u l t o f h e a t c o n d u c t i v i t y ,

A c t u a l l y , t h e te m p e r ­ so t h a t t h e r e i s n o t

- |x I / a a f u l l c o r r e s p o n d e n c e b e tw e e n t h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t e 1 17 an d t h e a c t u a l c o n d i t i o n s . - l x I/a

To a c h ie v e su c h a c o rr e s p o n d e n c e t h e f u n c t i o n e 1 17 - l x I /a

new f u n c t i o n d i f f e r s fro m t h e f u n c t i o n e 1 17 has a v a n is h in g d e r iv a tiv e a t x = 0 .

N (x)

aa aa - 1

- ~ Ix I / a

s a t i s f i e s th e s e c o n d itio n s .

m u st b e m o d if ie d i n su c h a way t h a t t h e

o n ly i n t h e im m e d ia te n e ig h b o rh o o d o f z e r o and

F o r e x a m p le , t h e f u n c t i o n

1 ~ Q-lx aa - 1 e

The s m a l l e s t v a lu e o f a c o r r e s p o n d in g t o L ie b e rm a n n * s e x p e r i ­

m e n ta l d a t a i s 0 .5 cm The e x p e r i m e n t a l d a t a a r e a l s o d e s c r i b e d i n a s a t i s f a c t o r y way b y a f u n c t i o n o f t h e fo rm

2/ 2 N (x) = e~X / a

,

w h ic h i s e s p e c i a l l y c o n v e n ie n t f o r t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n s , an d h a s a v a n i s h i n g d e r i v a t i v e

10

a t x = 0.

The c o r r e s p o n d i n g c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t f o r a s t a t i s t i c a l l y

i s o t r o p i c medium h a s

t h e fo rm

,

2 2 N ( r ) = e ” 1* / a

(1 5 )

I n t h e f o l l o w i n g we s h a l l u s e t h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t s (1 5 ) a n d (1 0 ) i n s tu d y in g s p e c ia l c a se s.

In t h i s re g a rd i t

s h o u ld n o t b e f o r g o t t e n t h a t t h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t (1 0 )

c o r r e s p o n d s t o d i s c o n t i n u o u s c h a n g e s i n t h e r e f r a c t i v e in d e x f l u c t u a t i o n s .

C h a p te r I I HAY STATISTICS

We t u r n now t o a c o n s i d e r a t i o n o f r a y p r o p a g a t i o n i n a m edium w i t h random i n h o m o g e n e i t i e s , a ssu m in g t h a t a , t h e s c a l e o f t h e in h o m o g e n e itie s , i s

l a r g e com pared t o t h e w a v e le n g th X.

In

h y d r o a c o u s t i c s t h i s c o n d i t i o n i s o f t e n s a t i s f i e d f o r u l t r a s o n i c w a v e s; i n t h e a tm o s p h e re t h e c o n d i t i o n i s m et f o r l i g h t w a v e s, s i n c e t h e i n n e r d im e n s io n o f t h e t u r b u l e n t f l u c t u a t i o n s i n t h e a tm o s p h e re i s o f t h e o r d e r o f 1 cm [^ 9] •

I t s h o u ld h e n o te d t h a t t h e c o n d i t i o n t h a t t h e

w a v e le n g th h e s m a ll com pared w i t h t h e s c a l e o f t h e in h o m o g e n e itie s i s

o n ly a n e c e s s a r y c o n d i­

t i o n f o r t h e g e o m e t r i c a l a p p r o x im a tio n t o h e s u i t a b l e , h u t n o t a s u f f i c i e n t c o n d i t i o n .

I f th is

c o n d i t i o n i s m e t, t h e n t h e r a y t h e o r y can h e u s e d i n r e g i o n s o f l i n e a r d im e n s io n L, w h ere L s a t i s f i e s th e c o n d itio n

\/XL «

a»

T h is c o n d i t i o n h a s a s im p le p h y s i c a l m e a n in g : t h e s i z e o f

t h e f i r s t F r e s n e l zone f o r t h e d i s t a n c e i n q u e s t i o n m u st h e s m a ll co m pared t o t h e s c a l e o f t h e in h o m o g e n e i t i e s .

At l a r g e r d i s t a n c e s w h ic h do n o t s a t i s f y t h i s

c o n d i t i o n t h e r a y a p p ro x im a ­

t i o n c a n n o t h e u s e d , an d i n t h i s c a s e d i f f r a c t i o n t h e o r y i s n e c e s s a r y . I n t h i s c h a p t e r we s h a l l r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e r a y m odel an d we s h a l l assum e b o t h o f th e c o n d itio n s X «

a an d

\/XL «

j u s t i f i e d l a t e r (S e c tio n 2 1 ).

a.

The n e c e s s i t y o f t h e s e c o n d c o n d i t i o n w i l l h e r i g o r o u s l y

M o re o v e r, we s h a l l assum e t h a t t h e t r a n s i t tim e o f t h e r a y i s

s m a l l com pared t o t h e c h a r a c t e r i s t i c s c a l e o f c h a n g e s o f t h e in h o m o g e n e itie s i n t i m e .

The Ray E q u a tio n .

The r a y e q u a t i o n i n t h e fo rm m o st c o n v e n ie n t f o r t h e c o n s i d e r a t i o n s

t o f o l l o w ca n h e o b t a i n e d fro m F e r m a t 's p r i n c i p l e B m in

( 16 )

A I n t r o d u c i n g t h e r e f r a c t i v e in d e x n = e / c , E q. ( l 6 )

c a n b e w r i t t e n i n t h e fo rm

B n ( x ,y ,z ) d < J = m in .

(1 7 )

A

12

We s h a l l assum e t h a t t h e r a y t r a j e c t o r i e s b e lo n g t o t h e f a m ily o f c u rv e s e x p r e s s e d b y th e e q u a tio n s x = x ( u ) , y = y ( u ) , m e te r u i s B.

z = z ( u ) an d p a s s i n g th r o u g h g iv e n p o i n t s A and B.

The p a r a ­

s u p p o s e d t o b e c h o s e n so t h a t i t t a k e s f i x e d v a lu e s u^ and u^ a t t h e p o i n t s A and

F o r e x a m p le , an y o f t h e t h r e e C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s s a t i s f i e s t h i s

l e n g t h c5 o f t h e c u rv e d o e s n o t s a t i s f y t h i s cu rv e to a n o th e r .

S in c e d6 -

c o n d itio n , s in c e i t

c o n d itio n .

The a r c

ch an g es i n g o in g fro m one

t 2 2 2 v x ’ + y* + z* du (w h ere t h e p rim e d e n o te s d i f f e r e n t i a t i o n w ith

r e s p e c t t o u ) , t h e F e rm a t p r i n c i p l e ca n b e w r i t t e n a s f o llo w s :

+ y *2 +

n ( x ,y ,z ) u

du

( 18)

m in

1

By i n t r o d u c i n g t h e p a r a m e t e r u t h e p ro b le m i s r e d u c e d t o an o r d i n a r y v a r i a t i o n a l p ro b le m . D e s ig n a tin g

F ( x , y , z , x ', y ’, z ')

, x vr~ 7 k n r n^ n ( x , y , z) V x ’ + y ’ + z ,

we w r i t e t h e E u l e r e q u a t i o n s o f t h e v a r i a t i o n a l p ro b le m as

_d_ /OF \ du l ^ x '/

_ "

Sf S

_d_ / d F \ du Y S y 'j

_

SF

_d_ / o F \ du \ > a .

I n t e g r a t i n g w ith r e s p e c t to x w e

o b ta in

N1 2 ^x -, y -’ z ) ^

(80 )

•

I n t h e r e g i o n o f a p p r e c i a b l e v a l u e s o f t h e c o r r e l a t i o n f u n c t i o n v e h av e x ~ a , so t h a t th e ^

7

s e c o n d te r m i n b r a c k e t s Lx f h i s

s m a ll com pared w ith th e f i r s t te r m L / 3 .

N e g le c tin g th e

s e c o n d te r m , we g e t

oo

= ! n2 L3

J

v2^

N dx

.

o

B e c a u se o f t h e s m a l l n e s s o f t h e i n c l i n a t i o n o f t h e r a y t h e i n t e g r a n d i n t h i s f o rm u la can b e e v a lu a te d f o r y = z = 0.

Thus we f i n a l l y o b t a i n

oo

1 2 _3 z ^ L

E q s . ( 6 9 ) an d ( 8 l )

(8i)

dx

f o r t h e m ean s q u a r e p h a s e f l u c t u a t i o n and t h e mean s q u a re a m p litu d e

f l u c t u a t i o n a r e n o t r e s t r i c t e d b y t h e r e q u ir e m e n t t h a t t h e p h a s e and a m p litu d e f l u c t u a t i o n s be s m a ll.

I n t h i s r e s p e c t t h e y d i f f e r fro m t h e c o r r e s p o n d in g fo rm u la s o b ta in e d b y K r a s i l n i k o v

[ 6j , who a p p l i e d t h e m eth o d o f s m a ll p e r t u r b a t i o n s t o t h e e i k o n a l e q u a tio n and t o th e e q u a tio n e x p r e s s i n g t h e c o n s e r v a t i o n o f e n e r g y f lo w i n a r a y t u b e . p e r t u r b a t i o n s , B ergm ann [ l ^

U sin g t h e same m ethod o f s m a ll

s t u d i e d t h e p ro b le m o f p h a s e an d a m p litu d e f l u c t u a t i o n s i n a

s p h e r i c a l w ave ( p o i n t s o u r c e ) .

The f o r m u la o b ta in e d b y him d i f f e r s fro m ( 8l )

in t h a t i t has

t h e f u l l L a p l a c i a n u n d e r t h e i n t e g r a l i n s t e a d o f th e t r a n s v e r s e L a p la c ia n , and t h e n u m e r ic a l f a c to r is l / l 5 in s te a d o f l / 6 .

I

2

2

2

2"!

S e t t i n g N = ex p [ - ( x + y + z ) / a _ ] , we o b t a i n

:2 / a

2

a

33

an d

16 y/jc a3

Eq. ( 8 l )

t a k e s t h e fo rm

lo g

a _ " \2

8 y^r

2

i?

I f we s e t N = e ~ r ^ &, t h e n

[f

” 1 = z=0 *— ^ 2 —ly

‘

8

( - \Ta 2x * - 3ax ;'

e ‘ x /a

’

and t h e i n t e g r a l

d iv e rg e s a t th e p o in t x = 0 .

As a l r e a d y n o te d a b o v e , t h e c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t e

1

c o r r e s p o n d s t o d i s c o n t i n u o u s c h a n g e s o f t h e r e f r a c t i v e in d e x , a c a s e i n w h ic h we c a n n o t u s e th e r a y d i f f e r e n t i a l e q u a tio n .

3^

P a rt II DIFFRACTION THEORY

C h a p te r I I I THE WAVE EQUATION

8.

D e r i v a t i o n o f t h e Wave E q u a tio n f o r an In h om ogeneous M edium,

The wave e q u a tio n f o r

an in h o m o g en eo u s medium d i f f e r s fro m t h e wave e q u a t i o n f o r a hom ogeneous medium b y t h e p r e ­ s e n c e o f an a d d i t i o n a l te r m

[55] •

A c c o r d in g ly , we do n o t t h i n k i t a m iss t o g iv e t h e d e r i v a ­

t i o n o f t h e w ave e q u a t i o n f o r an in h o m o g en eo u s m edium .

We s h a l l assum e t h a t t h e inhom ogeneous

l i q u i d o r g a s e o u s medium i s i n a s t a t e o f e q u i l i b r i u m .

In th e ab sen ce o f th e fo rc e o f g r a v ity

(we n e g l e c t i t s

e f f e c t ) t h e c o n d i t i o n f o r e q u i l i b r i u m i s t h a t t h e p r e s s u r e b e t h e same a t a l l

p o i n t s o f t h e m edium .

T h u s, in h o m o g e n e ity o f t h e medium w i l l b e c a u s e d b y s p a t i a l ch an g e o f

t h e t e m p e r a t u r e an d d e n s i t y o f t h e m edium ; t h e s e c h a n g e s c a n n o t b e r e g a r d e d as in d e p e n d e n t, fo r,

s in c e th e p re s s u re i s

in te m p e ra tu re .

c o n s t a n t , a ch an g e i n d e n s i t y i s

c o m p le te ly d e te r m in e d b y a chan g e

S t r i c t l y s p e a k i n g , a medium w h ic h i s in h o m ogeneous w i t h r e s p e c t t o te m p e ra ­

t u r e c a n n o t b e i n a s t a t e o f e q u i l i b r i u m , s i n c e te m p e r a tu r e in h o m o g e n e itie s a r e l e v e l l e d o u t as a r e s u l t o f h e a t c o n d u c tio n .

H ow ever, i n w e a k ly c o n d u c tin g m e d ia , t h e l e v e l l i n g o u t p r o ­

c e e d s s lo w ly an d h e a t c o n d u c tio n c a n b e n e g l e c t e d i n c o n s i d e r i n g r e l a t i v e l y r a p i d a c o u s t i c p ro c e sse s.

U n d er a c t u a l c o n d i t i o n s , i n t h e o c e a n an d a tm o s p h e re , t h e te m p e r a tu r e inhom o­

g e n e i t i e s a r e c a r r i e d a lo n g b y t h e f lo w an d u n d e rg o c o n v e c tiv e m o tio n due t o t h e a c t i o n o f g ra v ity .

H ow ever, i n t h e c a s e s w h ic h i n t e r e s t u s , t h e v e l o c i t i e s o f f lo w and c o n v e c tio n a r e

s lo w co m p ared t o t h e v e l o c i t y o f s o u n d , a n d t h e r e f o r e t h e s p a t i a l d i s t r i b u t i o n o f inhom oge­ n e itie s

can b e re g a rd e d as q u a s i - s t a t i c .

The q u a s i - s t a t i c c o n d i t i o n w i l l b e d i s c u s s e d i n

d e t a i l in S e c tio n 26. L et p

o

d e n o te t h e p r e s s u r e , w h ic h i s

c o n s t a n t a t a l l p o i n t s o f s p a c e , and l e t

o ^ o ( x , Y , z ) d e n o te t h e d e n s i t y , w h ic h v a r i e s i n s p a c e . o o

U nder t h e i n f l u e n c e o f an a c o u s t i c

w av e , t h e s e q u a n t i t i e s s u f f e r c h a n g e s and t a k e t h e v a l u e s p and p , r e s p e c t i v e l y , so t h a t

P = P G + P1 '

(l)

p = po + P1 '

35

w h ere

i s t h e a c o u s t i c p r e s s u r e an d

i s t h e d e n s i t y c h a n g e c a u s e d b y t h e w av e.

The

t o t a l p r e s s u r e p , t h e t o t a l d e n s i t y p and t h e v e l o c i t y o f t h e a c o u s t i c o s c i l l a t i o n s v s a t i s f y t h e h y d ro d y n a rn ic a l e q u a t i o n s

p g = - v p ,

g

= - d iv (p v )

(2)

.

(3 )

S u b s t i t u t i n g f o r p an d p i n t h e s e e q u a t i o n s u s i n g ( l ) ,

and r e g a rd in g (a s u s u a l) th e a c o u s tic

p e r t u r b a t i o n s p ^ , p ^ a n d v a s b e i n g s m a ll q u a n t i t i e s o f t h e f i r s t o r d e r , we d i s c a r d te r m s o f th e second and h ig h e r o rd e rs o f s m a lln e s s .

Then E q s . ( 2 ) and ( 3 ) c a n b e r e w r i t t e n a s

fo llo w s :

dv S t = ’ Vpi '

(*0

^ P1 " 5 t = ' d i v ( p 0v )

•

(5 )

D i f f e r e n t i a t i n g ( 5 ) w i t h r e s p e c t t o tim e , we o b t a i n

^2 O Pn

V*

^ s in c e

pq

&

-

d o e s n o t d e p e n d on t i m e .

S u b s titu tin g f o r pQ

in th e l a s t e q u a tio n u s in g ( ^ ) ,

we o b t a i n

s2P v 2?.

(6 )

St

36

To f i n d one m ore r e l a t i o n b e tw e e n p^ an d p ^ , we m u st make an a s s u m p tio n a b o u t t h e th e rm o ­ dy n am ic c h a r a c t e r o f t h e a c o u s t i c p r o c e s s .

C o n s id e r in g t h e p r o p a g a tio n o f so und t o b e an

a d i a b a t i c p r o c e s s , we c a n w r i t e

dt

= c2 c dt

(7)

w h e re c i s t h e a d i a b a t i c

so u n d v e l o c i t y a t t h e g iv e n p o i n t o f t h e m edium .

The e q u a tio n c o n ­

t a i n s t o t a l r a t h e r t h a n p a r t i a l tim e d e r i v a t i v e s s i n c e t h e r e l a t i o n ( 7 ) m u st b e s a t i s f i e d f o r a g iv e n p a r t i c l e o f t h e medium a n d n o t f o r a g iv e n p o i n t o f s p a c e .

U sin g ( l ) t o s u b s t i ­

t u t e f o r t h e p r e s s u r e p a n d t h e d e n s i t y p i n ( 7 ) , we o b t a i n

dp-,

dp

"5t

= T t

( 8 ).

+ v ' vpo

w it h a c c u r a c y up t o s m a ll q u a n t i t i e s o f t h e f i r s t o r d e r .

I n t h e c a s e o f a hom ogeneous medium,

t h e c o n v e c t i v e te r m v*VpQ i n t h e l a s t e q u a t i o n v a n i s h e s , an d t h e r e f o r e t h e r e l a t i o n ( 7 ) c a n b e w r i t t e n f o r p^ and

u s i n g e i t h e r t o t a l o r p a r t i a l d e r i v a t i v e s w ith r e s p e c t t o t im e .

an in h o m o g e n e o u s medium t h e r e l a t i o n

( 7 ) c a n o n ly b e w r i t t e n u s i n g t o t a l d e r i v a t i v e s .

o v e r t o p a r t i a l d e r i v a t i v e s a n a d d i t i o n a l c o n v e c tiv e te r m v V p a p p e a rs.

In

In g o in g

o f t h e f i r s t o r d e r o f s m a lln e s s

The a p p e a r a n c e o f a n e x t r a te rm i n t h e wave e q u a tio n i s t h e r e s u l t o f t h i s c o n v e c ­

t i v e te rm . D i f f e r e n t i a t i n g ( 8 ) a g a i n w i t h r e s p e c t t o t i m e , we c a n w r i t e i t i n t h e fo rm

1 8t

8v

(9)

2 + ^

I f we u s e ( 6 ) t o s u b s t i t u t e f o r t h e f i r s t te r m i n t h e l e f t h an d s i d e o f ( 9 ) an d ( k ) t o s u b s t i t u t e f o r d v / d t , we o b t a i n

1_ c

2

+ V l o g p Q •Vp1

(10)

0 .

37

T h u s, t h e a d d i t i o n a l te r m

V l o g p o *Vp1

h a s a p p e a r e d i n t h e wave e q u a t i o n .

L a t e r we s h a l l e v a l u a t e t h e o r d e r o f m a g n itu d e o f t h e

a d d i t i o n a l te r m a n d e x p l a i n t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h ic h i t can h e n e g l e c t e d .

9.

The Wave E q u a tio n f o r a M u lti-C o m p o n e n t Medium.

t h a t t h e medium i s hom ogeneous i n i t s

c o m p o s itio n .

I n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n we assu m ed

H ow ever, i n p r a c t i c e , we c a n e n c o u n te r

t h e c a s e w h ere t h e c o m p o s itio n o f t h e medium c h a n g e s fro m p o i n t t o p o i n t , f o r e x a m p le , o c e a n w a te r w i t h v a r i a b l e s a l i n i t y o r a i r w i t h v a r i a b l e w a te r v a p o r c o n c e n t r a t i o n .

In th e e q u i­

l i b r i u m s t a t e , w h e re t h e p r e s s u r e i s t h e same a t a l l p o i n t s , a s p a t i a l c h a n g e o f d e n s i t y i s c a u s e d b y a c h a n g e o f t e m p e r a t u r e a n d c o m p o s itio n .

I n o t h e r w o rd s , t h e d e n s i t y i s a f u n c t i o n

o f t h e te m p e r a t u r e a n d t h e c o n c e n t r a t i o n s o f t h e s e p a r a t e co m p o n en ts w h ic h make up t h e m edium . We r e s t r i c t o u r s e l v e s t o t h e s i m p l e s t c a s e o f a m edium c o n s i s t i n g o f tw o c o m p o n e n ts. The g e n e r a l i z a t i o n t o t h e c a s e o f a m u lti-c o m p o n e n t medium i s s t r a i g h t f o r w a r d .

L et p be th e

d e n s i t y o f t h e m edium , p* t h e d e n s i t y o f t h e s o l v e n t , p ,f t h e d e n s i t y o f t h e d i s s o l v e d co m p o n en t, an d C t h e c o n c e n t r a t i o n ,

C =

i.e .

> P = P , + P , , = P r( l + C ) -

( 11)

The d e n s i t y o f t h e s o l v e n t s a t i s f i e s t h e e q u a t i o n o f c o n t i n u i t y

[3 0 ]

(1 2 )

w here v i s t h e v e l o c i t y o f t h e a c o u s t i c o s c i l l a t i o n s .

A change in d e n s ity o f th e d is s o lv e d

com ponent c a n b e c a u s e d n o t o n ly b y c o n v e c tio n b u t a l s o b y d i f f u s i o n ,

= - d i v ( p ' 1v + 1 ) ,

i.e .

(1 3 )

38

w h e re

I =-p'D^VC - p'DgVT .

H ere D1 i s t h e d i f f u s i o n

c o e f f i c i e n t and D

i s t h e c o e f f i c i e n t o f th e r m a l d i f f u s i o n .

A dding

( 1 2 ) an d ( l 3 ) j we o b t a i n

| |

= -d iv (p v ) - d iv I

,

(1 4 )

f o r t h e t o t a l d e n s i t y p o f t h e m edium .

I n t h e a b s e n c e o f so u n d , t h i s e q u a t i o n t a k e s t h e fo rm

dp

0 A- ~T ”5 T = ’ d l v J o '

w h e re I

i s t h e f lo w c a u s e d b y d i f f u s i o n an d th e r m a l d i f f u s i o n i n t h e u n p e r tu r b e d m edium .

We s h a l l n e g l e c t s lo w p r o c e s s e s (a n d a l s o t h e c o n d u c tio n , f lo w an d c o n v e c tio n o f h e a t ) an d c o n s i d e r t h e d i s t r i b u t i o n o f in h o m o g e n e itie s t o b e q u a s i - s t a t i c , o f tim e .

S e ttin g p = p ( x ,y ,z ) + p^, I = I

i.e .

pq

t o b e in d e p e n d e n t

+ 1^ i n ( l ^ ) a n d r e s t r i c t i n g o u r s e l v e s t o s m a ll

— >■ — ► q u a n t i t i e s o f t h e f i r s t o r d e r i n p ^ , v a n d 1^ , we o b t a i n

Spi T t = - d l v ( p 0v ) • d i v xi

(1 5 )

•

F in a lly , n e g le c tin g i r r e v e r s i b l e a c o u s tic p ro c e s s e s caused by

d iffu s io n

a n d th e r m a l

d i f f u s i o n , we w r i t e Eq. (1 5 ) i n t h e fo rm

^p i “5 t = ' d l v ( p ov ) •

(1 6 )

M o re o v e r, n e g l e c t i n g v i s c o s i t y a n d h e a t c o n d u c t i v i t y , r e s p e c t i v e l y , we c a n w r i t e t h e tw o a d d i t i o n a l e q u a tio n s dv _ p o S t = ' Vpl

(IT)

'

39

^2 = c2 ^

at

at

•

(18)

T h u s, we o b t a i n E q s . ( l 6 ) , c o i n c i d e w it h E q s. ( 4 ) ,

(1 7 ) a n d ( l 8 ) f o r a m u lti-c o m p o n e n t m edium ; t h e s e e q u a t i o n s

( 5 ) a n d ( 7 ) f o r a medium w ith a hom ogeneous c o m p o s itio n .

d i f f e r e n c e i s t h a t t h e p a r a m e te r s p Q an d c

2

The o n ly

a p p e a r in g i n E q s. ( l 6 ) , ( 1 7 ) an d ( l 8 ) d e p e n d n o t

o n ly on t h e t e m p e r a t u r e h u t a l s o o n t h e c o n c e n t r a t i o n a t t h e g iv e n p o i n t .

R e p e a tin g t h e

c o n s i d e r a t i o n s o f S e c t i o n 8 , we o b t a i n t h e wave e q u a t i o n (1 0 ) f o r t h e a c o u s t i c p r e s s u r e .

^0

C h a p te r IV SCATTERING BY INHOMOGENEITIES

The t h e o r e t i c a l s tu d y o f w ave p r o p a g a t i o n i n a n in h o m ogeneous medium r e d u c e s t o t h e i n t e g r a t i o n o f a w ave e q u a t i o n w i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s , a p ro b le m o f g r e a t m a th e m a tic a l d i f f i c u l t y t h a t c a n b e s o lv e d o n ly f o r a few s p e c i a l c a s e s . s i v e i n v e s t i g a t i o n s o f B r e k h o v s k ik h

H ere we m u st m e n tio n t h e e x te n -

Q _ ,2,3] on wave p r o p a g a t i o n i n l a y e r e d m e d ia , w h ic h he

c a r r ie d o u t ov er th e l a s t te n o r f i f t e e n y e a rs .

The p ro b le m becom es s im p le r i n t h e c a s e o f

a w e a k ly in h o m o g en eo u s m edium , w h ere t h e p a r a m e te r s a p p e a r in g i n t h e wave e q u a t i o n d e v i a t e o n ly s l i g h t l y fro m t h e i r m ean v a l u e s . s u c c e s s fu lly u se d .

I n t h i s c a s e , t h e m ethod o f s m a ll p e r t u r b a t i o n s c a n b e

I n c o n n e c t i o n w it h t h e p ro b le m o f wave p r o p a g a t i o n i n a medium w ith s m a ll

in h o m o g e n e i t i e s , t h e m eth o d o f s m a ll p e r t u r b a t i o n s h a s b e e n u s e d i n tw o d i f f e r e n t fo rm s : t h e u s u a l fo rm a n d t h e m o d if ie d fo rm o f R y to v . o f s m a ll p e r t u r b a t i o n s was u s e d b y E l l i s o n

T h u s, f o r ex a m p le , t h e u s u a l fo rm o f t h e m ethod [31] ,

M in tz e r

[ 2 1 ,2 2 ,2 3 ] , T a r t a r s k i

i n t h e i r w o rk , w h ile R y t o v 's m eth o d was u s e d b y Obukhov [12] a n d t h e a u t h o r

[32] an d o t h e r s ,

[^ 7 ,4 8 ]

•

S in c e

i n a c e r t a i n s e n s e t h e d i f f e r e n t f o r m u l a t i o n s o f t h e m ethod o f s m a ll p e r t u r b a t i o n s com plem ent each o th e r, i t m e rits .

seem s t o u s e x p e d i e n t t o s tu d y them b o t h b e lo w and t o e v a l u a t e t h e i r r e l a t i v e

F o r e x a m p le , i t i s c o n v e n ie n t t o s o l v e t h e s c a t t e r i n g p ro b le m b y t h e u s u a l m eth o d ,

w h i l e i t a p p e a r s t h a t i t i s m ore e x p e d ie n t t o s tu d y a m p litu d e an d p h a s e f l u c t u a t i o n s i n t h e d i r e c t w ave u s i n g R y t o v rs m e th o d . by in h o m o g e n e itie s ,

10.

We s h a l l b e g i n t h i s c h a p t e r , w h ic h i s d e v o te d t o s c a t t e r i n g

b y e x a m in in g t h e u s u a l fo rm o f t h e m eth o d o f s m a ll p e r t u r b a t i o n s .

The M ethod o f S m a ll P e r t u r b a t i o n s .

D ro p p in g i n d i c e s , we r e w r i t e t h e wave e q u a tio n

( 1 0 ) f o r th e a c o u s tic p re s s u re

2 - i - 1 - 2 - V2 J) + V l o g p -Vp = 0 • c 2 a t2

R e c e n t l y , f u r t h e r w ork

(1 9 )

R y to v 1s m eth o d h a s a p p e a r e d .

m e th o d o f s m a l l p e r t u r b a t i o n s i s u s e d .

kl

In

[58]

th e c la s s ic a l

We assum e t h a t t h e d e n s i t y a n d so u n d v e l o c i t y d e v i a t e o n ly s l i g h t l y fro m t h e i r mean v a l u e s p an d c , i . e . o'

p = p

w here Ap «

o

+ Ap ,

c = c

p Q an d Ac «

cq

.

o

+ A c,

(2 0 )

C o n f in in g o u r s e l v e s t o q u a n t i t i e s o f t h e f i r s t o r d e r o f s m a lln e s s

w ith r e s p e c t t o Ap a n d A c, we r e w r i t e Eq. (1 9 ) i n t h e f o l l o w i n g fo rm :

1 oS2p „^ 2 p 2Ac oS2“p 1 /Ax — ^ - v " p = — ------------------- % - — vVp. (A 3 ). 2 ^2 a t^ ~