Vorlesungen über Theorie des Eisenbetons: Im Anhang Hilfstabellen, die deutschen Bestimmungen von 1915 mit Auslegungen, die österreichischen und die schweizerischen Vorschriften [Reprint 2019 ed.] 9783486744408, 9783486744392

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Vorlesungen liber

Theorie des Eisenbetons Im Anhang Hilfstabeilen, die deutschen Bestimmungen von 1915 mit Auslegungen, die österreichischen und die schweizerischen Vorschriften voll

Karl Hager o. P r o f e s s o r an der Technischen Hochschule, München

Mit zahlreichen

Textabbildungen

München und Berlin 1916 Druck und Verlag von R. Oldenbourg

Copyright 1916 by R. Oldenbourg, München.

Vorwort. V o r l e s u n g e n h a b e ich dieses B u c h g e n a n n t , weil m e i n e V o r l e s u n g e n ü b e r E i s e n b e t o n b a u a n der T e c h n i s c h e n H o c h s c h u l e M ü n c h e n hierzu d e n G r u n d s t o c k geliefert h a b e n . D a m i t soll a b e r n i c h t g e s a g t sein, d a ß der I n h a l t dieses B u c h e s mit dem meiner Vorlesungen vollkommen übereinstimmt. In d e n V o r l e s u n g e n m u ß a u c h die A u s f ü h r u n g v o n E i s e n b e t o n b a u t e n g e l e h r t u n d w e n i g s t e n s die h a u p t s ä c h l i c h s t e n A n w e n d u n g e n des E i s e n b e t o n s im B a u w e s e n b e h a n d e l t w e r d e n . Beides ist in diesem B u c h e n i c h t b e r ü h r t . D e n n die A u s f ü h r u n g der E i s e n b e t o n b a u t e n soll besser n i c h t a u s B ü c h e r n s o n d e r n n a c h k u r z e r A n l e i t u n g auf der B a u stelle e r l e r n t w e r d e n , u n d die A n w e n d u n g des E i s e n b e t o n s h a t in d e m g r o ß e n H a n d b u c h f ü r E i s e n b e t o n , welches D r . v o n E m p e r g e r h e r a u s g i b t , eine n a h e z u e r s c h ö p f e n d e B e h a n d l u n g e r f a h r e n . D a g e g e n schien es m i r e r w ü n s c h t , u n t e r Ben u t z u n g des in u n s e r e n F a c h z e i t s c h r i f t e n in d e n l e t z t e n J a h r e n reichlich g e b o t e n e n t h e o r e t i s c h e n S t o f f e s eine T h e o r i e des E i s e n b e t o n s zu g e b e n , d e r e n B e r e c h t i g u n g d u r c h einen f o r t l a u f e n d e n Vergleich m i t den E r g e b n i s s e n der zahlreichen Versuche nachgewiesen wird. I c h wollte m i t dieser B e h a n d l u n g s w e i s e e r r e i c h e n , d a ß der L e r n e n d e n i c h t a n d e n t o t e n Z i f f e r n seiner R e c h n u n g k l e b t , s o n d e r n sich a u c h eine V o r s t e l l u n g v o n d e m K r ä f t e s p i e l u n d seiner W i r k u n g e n in e i n e m V e r b u n d k ö r p e r m a c h e n k a n n u n d d a m i t d e n W e r t u n d die B e d e u t u n g seiner R e c h n u n g s e r g e b n i s s e r i c h t i g e i n z u schätzen lernt. D a d u r c h d a s N a c h s c h r e i b e n der u m f a n g r e i c h e n t h e o r e t i s c h e n E n t w i c k e l u n g e n die H ö r e r sehr e r m ü d e t u n d d a d u r c h a u c h i h r e A u f f a s s u n g f ü r d a z w i s c h e n e i n g e s t r e u t e p r a k t i s c h e B e m e r k u n g e n sehr b e e i n t r ä c h t i g t w i r d , wollte ich d u r c h dieses B u c h a u c h m e i n e n H ö r e r n d a s N a c h s c h r e i b e n solcher E n t w i c k e l u n g e n e r s p a r e n u n d i h n e n a b e r gleichzeitig eine T h e o r i e v o n w e i t g r ö ß e r e m U m f a n g ü b e r g e b e n , als sie in d e n V o r l e s u n g e n b e h a n d e l t w e r d e n k a n n . Sie w e r d e n d a m i t in der L a g e sein a u c h f ü r schwierigere in der P r a x i s i h n e n e n t g e g e n t r e t e n d e t h e o r i s c h e A u f g a b e n eine L ö s u n g zu f i n d e n . D i e j e n i g e n G l e i c h u n g e n , welche f ü r die p r a k t i s c h e R e c h n u n g h ä u f i g g e b r a u c h t w e r d e n , w u r d e n d u r c h f e t t e n D r u c k ihrer O r d n u n g s n u m m e r h e r v o r g e h o b e n . D a s B u c h s e t z t die K e n n t n i s s e der F e s t i g k e i t s l e h r e v o r a u s , wie sie a n D e u t s c h e n T e c h n i s c h e n H o c h s c h u l e n v o r g e t r a g e n w i r d . W e n n a n einzelnen Stellen G e b i e t e der F e s t i g k e i t s l e h r e b e n u t z t w u r d e n , welche n i c h t a l l g e m e i n b e k a n n t sein k ö n n t e n , h a b e ich auf L e h r b ü c h e r v e r w i e s e n , m i t d e r e n Hilfe in k ü r z e s t e r Zeit solche L ü c k e n des G e d ä c h t n i s s e s w i e d e r geschlossen w e r d e n k ö n n e n . I n d e m B u c h e sind die a m t l i c h e n B e s t i m m u n g e n b e r ü c k s i c h t i g t w o r d e n , welche in d e u t s c h e r S p r a c h e e r s c h i e n e n sind, also die n e u e n d e u t s c h e n B e s t i m m u n g e n ,

—

IV

—

die österreichischen und schweizerischen Vorschriften. Als Mitglied des Deutschen Ausschusses für Eisenbeton hielt ich insbesondere auch eine Auslegung der neuen deutschen Bestimmungen, wie ich sie im Anhange zu geben versucht habe, für erwünscht, weil im Anfange bei denen, welche die Entwickelung diöser Bestimmungen nicht kennen, doch Zweifel über ihre Auslegung entstehen können. Durch die Gegenüberstellung der drei amtlichen Bestimmungen lernt man auch ihre Tragweite besser kennen, und so hoffe ich auch durch diese theoretische Arbeit, welche stets den praktischen Zweck, die Herstellung hinreichend sicherer, wirtschaftlicher Bauwerke oder Bauteile aus Eisenbeton, verfolgt, zur weiteren Entwickelung amtlicher Bestimmungen beigetragen zu haben. München,

im Juli 1 9 1 5 .

Hager. c

Inhaltsverzeichnis. Seite

1. K a p i t e l . Allgemeines. Geschichtliches Berechnungsvorsehriften Eigenspannungen Rostschutz Feuersicherheit des Eisenbetons Einfluß der Elektrizität auf Eisenbeton Abbruch der Eis?nbetonkonstruktionen

1 3 4 6 7 8 9

2. K a p i t e l . Baustoffe. Der Beton Das Eisen

!> 15

3. K a p i t e l . Zentrischer Druck. Allgemeines . Berechnung der Stützen auf zentrischen Druck nach den deutschen, österreichischen und schweizerischen Vorschriften Säulenberechnung mit Berücksichtigung der Querbewehrung. Umschnürter Beton Umschnürtes Gußeisen Säulen in fester Verbindung mit dem Gebälk und Säulen mehrgeschossiger Gebäude Säulenversuche 4. K a p i t e l . Z u g f e s t i g k e i t des E i s e n b e t o n s

und D e h n u n g s f ä h i g k e i t

5. K a p i t e l . betons

Schub-

Scherfestigkeit

6. K a p i t e l .

Haftfestigkeit

oder

des B e t o n s

21 24 27 33 34 36

und 39

des

Betons

und

Eisen43

7. K a p i t e l . Die N o r m a l s p a n n u n g e n bei B i e g u n g . Spannungsverteilung Berechnung ohne Berücksichtigung der Betonzugspannungen . . Berechnung von Balken und P l a t t e n rechteckigen Querschnitts einfacher Bewehrung Berechnung von Balken und Platten rechteckigen Querschnitts doppelter Bewehrung Berechnung von Platten mit steifer Bewehrung Berechnung der Plattenbalken mit einfacher Bewehrung . . Berechnung doppelt bewehrter Plattenbalken

46

. . mit

51 56 56

mit

. .

65 74 75 84

— VI — Berechnung eines zur Biegungsebene symmetrischen, sonst beliebig geformten Eisenbetonquerschnitts Berechnung der Plattenbalken mit steifer Bewehrung Zeichnerische Ermittelung der Nullinie und des Verbundträgheitsmomentes Berechnung mit Berücksichtigung der Betonzugspannungen Berechnung für das Stadium I Berechnung für die Spannungsverteilung nach Melan Vergleich der errechneten Spannungswerte Begrenzung der Zugspannung des Betons Vergleich der Rechnungsergebnisse mit den Versuchsergebnissen . . . 8. K a p i t e l .

Die

Schubspannungen

bei

Seite

85 91 92 93 94 97 101 101 105

Biegung.

Allgemeines Die Schubspannungen in Balken von rechteckigem Querschnitt Schubspannungen im Plattenbalken Schubspannungen in Balken beliebigen Querschnitts Schubspannungen in Balken von veränderlicher Höhe

.

Die schiefen Hauptspannungen Allgemeines Vorkehrungen zur Aufnahme der Schubspannungen und der schiefen Hauptspannungen Die Bügelbewehrung der Balken Die schrägen Eisen der Balken Schräge Eisen und Bügel in den Balken Bestimmung der Lage der schrägen Eisen Verteilen der Eisen nach der Maximalmomentenlinie Krümmung der abgebogenen Eisen

109 111 113 Iii 115 115 Uli 117 118 123 128 130 133 142

9. K a p i t e l . Die H a f t s p a n n u n g e n bei B i e g u n g . Ältere Formeln zur Berechnung der Haftspannungen Vorkehrungen zur Erhöhung des Gleitwiderstandes Neuere Verfahren zur Berechnung der Haftspannungen Zahlenbeispiel für die Berechnung der Haftspannungen

143 Iii 148 152

10. K a p i t e l .

Biegung

winkelförmiger Träger

153

11. K a p i t e l .

Biegung

von T r ä g e r n

12. K a p i t e l .

Biegungsversuche

dreieckigen

Querschnitts .

Biegung

mit A x i a l d r u c k

100 162 1 '->'> 178 178

oder

Axialzug.

Allgemeines Nur Spannungen in gleichem Sinn Zug- und Druckspannungen Näherungsverfahren Achteckige Säule Zeichnerisches Verfahren Versuche mit exzentrisch belasteten Eisenbetonsäulen 14. K a p i t e l

.

102

Rissebildung Brucherscheinungen Gleitwiderstand bei Biegung Formänderungen 13. K a p i t e l .

.

182 183 189 190 197 198 201

Knickfestigkeit.

Rechnungsverfahren Knickversuche

202 207

—

VII

— gelte

15. K a p i t e l . Verdrehungsfestigkeit. Rechnungsverfahren Verdrehungsversuche und zulässige Spannungen Zahlenbeispiel

210 216 216

16. K a p i t e l . B e r e c h n u n g der F o r m ä n d e r u n g e n u n d d e r s t a t i s c h b e s t i m m t e n Größen der E i s e n b e t o n k o n s t r u k t i o n e n Durchbiegungen Statisch unbestimmte Größen 19. K a p i t e l .

un-

Teilweise Einspannung.

Allgemeines Berechnung der teilweisen Einspannung Zahlenbeispiel mit Erläuterungen Teilweise Einspannung in den Vorschriften 18. K a p i t e l . Platte

226 228 232 236

B e r e c h n u n g der am U m f a n g u n t e r s t ü t z t e n

rechteckigen 237

Annäherungsrechnung Theoretisch abgeleitete Plattenformeln Zahlenbeispiel Kassettendecke Randträger kreuzweise bewehrter Eisenbetonpia tlen Plattenversuche 19. K a p i t e l .

'

266 275

Wirtschaftliche Dimensionierung

. . .

Platten . . .Plattenbalken Säulen 21. K a p i t e l .

238 240 249 253 256 257

Die t r ä g e r l o s e D e c k e o d e r P i l z d e c k e .

Normalspannungen Schubspannungen 20. K a p i t e l .

219 220 222

277 278 280 281

Konstruktionselemente.

Die Platte Die Wand Die Säule Der Balken Der Bogen Trennungsfugen und Gelenke

282 289 291 294 300 301

Anhang. Tabelle 1. Dimensionierungstabelle » 2. Tabelle für Rundeisen o 3. Eisenquerschnitt in qcm auf 1,00 m Plattenbreite » 4. Abmessungen von Eisenbetonplatten » 5. Vergleich zwischen Spannungszustand I und I I b » 6. Begrenzung der Betonzugspannung a i z in Plattenbalken Tafel 1. Tafel zur Tabelle 6 Tabelle 7. Biegung mit Axialdruck in symmetrischen rechteckigen Querschnitten » 8. Berechnung ringsum gelagerter, rechteckiger Platten » 9. Konstanten für wirtschaftliche Dimensionierung » 10. Winklersche Momententabelle

309 311 312 313 314 314 315 316 317 318 319

— Tabellen. » 12. » 13.

VIII

— Seite 320 321 323

Querkräfte durchlaufender Träger D u r c h l a u f e n d e Träger ungleicher F e l d w e i t e n Momente durchlaufender Träger mit Streckenlasten

D e u t s c h e B e s t i m m u n g e n m i t Auslegungen Österreichische V o r s c h r i f t f ü r H o c h b a u t e n » » » Straßenbrücken Schweizerische V o r s c h r i f t e n

325 353 370 376

Bezeichnungen. Längen:

Kleine lateinische B u c h s t a b e n , z. B. a, b, c, d, e, h, l, s, t, z.

Flächen:

Große lateinische B u c h s t a b e n , z. B. F, Fe (Eisenfläche); a u s n a h m s w e i s e fe Q u e r s c h n i t t e i n e s Eisens oder E i s e n f l ä c h e auf die Breite 1.

Statische

M o m e n t e : Große d e u t s c h e B u c h s t a b e n , der Achse A A ) .

z. B. © oder © ^

T r ä g h e i t s m o m e n t e : Große griechische B u c h s t a b e n , z. B. 0, 0bd fläche), 0 S (bezogen auf eine Schwerlinie). Verhältniszahlen fit u =

und

Winkel:

(hinsichtlich

(der B e t o n d r u c k -

Kleine griechische B u c h s t a b e n , z. B. a, ß, X,

— j ,

— e„ ' b

W e n n sich w ä h r e n d der B e l a s t u n g der V e r b u n d zwischen Eisen u n d B e t o n n i c h t löst, m u ß d a s E i s e n die gleichen V e r k ü r z u n g e n erleiden als der u m g e b e n d e B e t o n ; d a h e r ist ^h U n t e r der V o r a u s s e t z u n g , d a ß e b e n e Q u e r s c h n i t t e a u c h e b e n b l e i b e n , ist k b f ü r alle P u n k t e k o n s t a n t . ae = - ~ - - a b = n a b

(1)

E s ist hierin n d a s V e r h ä l t n i s des E l a s t i z i t ä t s m o d u l s des E i s e n s zu d e m d e s B e t o n s . Die E i s e n s p a n n u n g ist also s t e t s der n- f a c h e B e t r a g der S p a n n u n g d e s umgebenden Betons. Der E l a s t i z i t ä t s m o d u l des E i s e n s ee ist eine k o n s t a n t e Zahl, w ä h r e n d d e r E l a s t i z i t ä t s m o d u l des B e t o n s eb eine v e r ä n d e r l i c h e , m i t w a c h s e n d e r S p a n n n u n g , £

ab a b n e h m e n d e Z a h l ist. D a h e r ist d a s V e r h ä l t n i s n — — a u c h eine v e r ä n d e r l i c h e , Eb u n d zwar m i t der S p a n n u n g ab w a c h s e n d e Zahl. D a , wie b e r e i t s e r l ä u t e r t , eb a u c h n o c h v o n der B e t o n a r t , d e m A l t e r des B e t o n s u n d v o n seinem W a s s e r g e h a l t

—

25

—

abhängig ist, kann für n ebensowenig wie für eb eine für die praktische Rechnung allgemein brauchbare Funktion n = / (ab) gefunden werden. Wie aus den Werten der Tabelle Seite 14 abgeleitet werden kann, darf man für kleine Spannungen ungefähr n = 8 setzen. Bei ungefähr % der Bruchspannung wird n = 15 und wächst dann rasch bis unmittelbar vor dem Bruch auf ungefähr n = 26 an. Für die Rechnung nimmt man n als eine konstante Zahl an und setzt nach den deutschen Bestimmungen und den österreichischen Vorschriften für die Berechnung der Druckspannungen n = 15, dagegen nach den schweizerischen Vorschriften vom Jahre 1909 n = 10. Wenn man n — 15 wählt, so berücksichtigt man damit mehr die Spannungsverhältnisse in der Nähe des Bruchs und nicht die tatsächlichen Spannungsverhältnisse. Dies entspricht aber, wie bereits Seite 3 ausgeführt wurde, dem Wesen der Eisenbetontheorien, welche nichi wirkliche Spannungen, sondern bestimmte Sicherheitsgrade für die Bauwerke bestimmen wollen. Die Belastung P der Säule nach Abb. 22 kann man durch die unter ihr entstehenden Spannungen ausdrücken, P = ob-Fb +

oe-Fe,

oder mit Einführung von a e aus Gleichung (1) P = ob(Fb + n-Fe)

(2)

Diese Gleichung kann man auch schreiben P=

ob-Fi:

wobei F t den Inhalt eines ideellen Querschnitts bedeutet. Die Gleichung (2) stimmt dann mit der Gleichung der Festigkeitslehre für zentrischen Druck isotroper Baustoffe überein. Der ideelle Querschnitt Ft = Fb -f- n • Fe entsteht Ahl). 23. somit dadurch, daß man zu dem Betonquerschnitt Fb noch den n- fachen Eisenquerschnitt hinzuzählt, wie in Abb. 23 dargestellt ist. S ist der Schwerpunkt der Fläche Fu in welchem die Kraft P zentrisch angreift. Der ideelle Querschnitt F t wird mit der Betonspannung a b multipliziert und ist deshalb als ein dem Eisenbetonquerschnitt gleichwertiger Betonquerschnitt zu betrachten. f ; ~

Fb+n-F.

K-t)

Führt man hier das Bewehrungsverhältnis q> = - f t noch ein, so kann man "e schreiben P . P Ob = Fb(l + n cp) oder a, = \ n

~ °b $

—

°i)

x—d 2

In dieser Gleichung wird a e und a b , wie oben, durch a b ausgedrückt. Dann enthält jedes Glied der Gleichung den Faktor a b , so daß sie mit a b dividiert werden kann. Das Ergebnis dieser Rechnungsoperationen ist eine quadratische Gleichung für die Unbekannte x. li — a—x

Ft-nab _ J f i — b1)d +

nF.

=

ab • b • x ^ ~ a»'

'(b-bJd

+

n-F. i

bi

(x — d)2 d1

+

(

~'

^'

+

h

a

(70)

Für b = geht der Plattenbalken in den rechteckigen Träger über und daher auch Gleichung (70) in Gleichung (22), während diese Spezialisierung bei Gleichung (60), welche gar nicht enthält, wegen der dort gemachten Vernachlässigung nicht möglich ist. Den Abstand y der Druckkraft D von der Nullinie erhält man, wenn man das Moment um die Nullinie y- D als die Differenz zweier Momente der inneren Kräfte darstellt, welche, wie oben, auf die Breite b und auf die Breite (b •— ¿>x) wirken (vgl. Abb. 73). ab-b-x

ob

(x — d)2 Yx~^h~bl)

abb-x 2

2 "3

x

—a"'

(x — d)2 2-x ^ — '

_2_ b-x* — (x — (b - bj) 3 ' b x* — (x — df (b — b{)

2 "3"

d),

d)3

y _

(

'

Die Spannungsgleichungen (62) und (63) bleiben unverändert, jedoch sind für x und y die auf den Gleichungen (70) und (71) berechneten Werte von x bzw. von y einzusetzen. Es sei noch bemerkt, daß diese genaue Lösung der Spannungsgleichungen des Plattenbalkens wohl noch einfacher als Sonderfall der noch zu behandelnden allgemeinen Spannungsgleichung für Eisenbetonbalken gefunden werden kann (vgl. Seite 85). Die Berechnung der Trägerhöhe aus den gegebenen Spannungen nach Fall II begegnet praktisch Schwierigkeiten. Denn es ist längst nachgewiesen, daß Plattenbalken mit großer Breite b, bei welchen ab die zulässige Grenze erreicht, in der Regel unwirtschaftlich konstruiert sind. Dabei hängt aber die zweckmäßigste

—

81

—

Spannung o"ö sehr wesentlich von der in die Rechnung eingeführten Plattenbreite b ab. Es wird deshalb in einem späteren Kapitel auf die Bestimmung der günstigsten Trägerhöhe zurückgekommen werden. Zurzeit wird jedoch häufig noch die Trägerhöhe und der Eisenquerschnitt Fe nach anderen Regeln geschätzt und dann nach Fall I geprüft, ob die Spannungen a b und a e brauchbare Werte annehmen. So werden häufig im Hochbau die Trägerhöhen als Bruchteile der Stützweiten (ungefähr 1 / 20 / bis 1 / g l) geschätzt und zwar für die größeren Biegungsmomente die größeren Höhen für kleinere Momente, die kleineren Höhen gewählt. Da die Nullinie nahe der Plattenunterkante liegt, wird auch häufig zweckmäßiger zur Schätzung der Trägerhöhe die Formel für rechteckige Trägerquerschnitte benutzt, h— a= und C1 für das zulässige ae, also gewöhnlich 1000 oder 1200 kg/qcm, und für ab je nach der Plattenbreite b 30 bis 40 kg/qcm der Tabelle 1 des Anhanges entnommen. Der Eisenquerschnitt kann mit sehr guter Annäherung dadurch erhalten werden, daß m a n annimmt, die innere Druckkraft D greife t —f—f Q in halber Plattenhöhe an (vgl. Abb. 75). 9D2 A 1 J

u h— a — /

„

Abb. 75.

"'X

Da nach Abb. 73 (h — a — x + y) >

,

1

d

SK a

(72)

d 2

— a — ^-j ist, gibt diese Formel

ein wenig zu große Werte. Sind auf diese Art schätzungsweise die Höhe h und der Eisenquerschnitt Fe gefunden, so ist zunächst zu prüfen, ob die Nullinie die Platte oder den Steg schneidet. Hierzu kann meist die Formel x = er (h — a) benutzt werden, wobei a zu den bereits angenommenen a b und a e der Tabelle entnommen werden kann. Für x < d werden die endgültigen Werte von crb und oe mit Hilfe der Gleichungen (23) und (24), dagegen für x~> d mit Hilfe der Gleichungen (62) und (63) berechnet. Die so berechneten Werte a b und a e zeigen, ob die nach Annäherungsverfahren bestimmten Größen h und Fe den Forderungen der Sicherheit und zum Teil auch denen der Wirtschaftlichkeit entsprechen. Beispiel. Es sei die in der Abb. 76 dargestellte Plattenbalkendecke zu berechnen, nachdem für die Platte eine notwendige Stärke von 10 cm bereits festgestellt ist, Die Platte ist mit einem 3 cm starken Belag von 2000 kg/cbm Gewicht versehen und soll mit einer Nutzlast von ' n = 400 kg/qm ohne Stöße belastet werden. H a g e r , Theorie des Eisenbetons.

6

-

8 2

—

Nach den deutschen Bestimmungen ist die Stützweite (l) eines Balkens gleich der um eine Auflagerlänge (t) vergrößerten Lichtweite (1') oder bei außergewöhnlich großen Auflagerlängen gleich der um 5 % vergrößerten Lichtweite für die Rechnung anzunehmen. K

1 , - 3 , 0 0

J

' JSL

= 0 -1'=

1 I

6 , o o

L T *

0.2S

- t -

6 , 0 C t t

I

—

Abb. 76.

l =

l' +

l

6 , 0 0 + 0,30 =

=

l

(1 + 0,05) = 6 • 1,05 = 6 , 3 0 m.

F ü r die Berechnung des Eigengewichtes ist nach den gleichen Bestimmungen das Raumgewicht des Eisenbetons auf 2 4 0 0 kg/cbm festgesetzt. Die Höhe und Rippenbreite des Balkens müssen für die Gewichtsberechnung zunächst geschätzt werden.

I

h 00

6 30

i r

i r

=

Platte { Belag Steg .

Eigengewicht °p

^ °'57

. . .

m

'

b i

~ °'25

m-

0,103,0 - 2 4 0 0 = 720 kg/m, 0,033,0 - 2 0 0 0 = 180 » 0,25 • (0,57 — 0,10) • 2400 = 282 » ° p

Nutzlast

1182 kg/m,

—

'p = 3 , 0 0 • 400 =

Gesamtlast

1200

»

p — 2382 kg/m.

Das Biegungsmoment in Balkenmitte ist 9JÌ =

=

ö

2382

_6'3" o

Plattenbreite b :

=

1 1 8 2 0 mkg = 1 1 8 2 000 cmkg. l-,. . . . = 3 0 0 , 8 b 1 = 8 - 2 5 = 200, 16 rf = 16 - 10 = 160, 4 h = 4 • 57 = 228.

Somit kann b = 160 cm in die Rechnung eingeführt werden. Zur vorläufigen

Bestimmung der Balkenhöhe h sei ae =

1200 und ob

3 0 kg/qcm gewählt. Nach der Tabelle 1 ist hierzu C1 = 0 , 5 1 8 ; ^ h

„

F

e

—

c o

a

eo

C

J

x

m

1/-j-

W

—

oM

— a—A

er =

n u o J 1182000 = 0,518 • 1/ ^gQ 1182000

=

!

1200

i m

0,273 = 45,8 c m ,

=

2 4

-

2

45,8—2-

Hierfür werden gewählt 15 0) 22 = 19,01 qcm (1 0 22 = 3,8 q c m ) , \ 1 0 24 = 4,52 » Fe = 23,53 qcm.

c

m

•

=

-

83

-

Die Eiseneinlagen m u ß man in zwei Schichten legen, damit der Abstand der Rundeisen wenigstens gleich dem Eisendurchmesser wird. Für den Abstand (a) des Schwerpunktes der Eisen von der Unterkante des Balkens ist nach den deutschen Bestimmungen maßgebend, daß die Betonüberdeckung der Bügel noch 1,5 cm betragen muß. Nach der Abb. 77 ist somit 1,5 + 0,8 + 1,2 +

a =

= 4,23 cm.

Die Höhe des Balkens ist deshalb w

M

= 45,8 + 4,23 ~ 50 cm.

h

25,oo~Die frühere Schätzung der Höhe für Abb. 77. die Berechnung des Gewichtes war also genügend genau. Es ist nun noch zu prüfen, ob unter Annahme dieser durch Annäherung bestimmten Werte von Fe und h die größten Spannungen a b und a e brauchbare Werte annehmen.

Annäherungsweise ist x = a (h — a) = 0,273 (50—4,23) = 12,5 cm. x ist größer als d, d. h. die Nullinie schneidet den Steg, somit müssen die Gleichungen (60), (61), (62), (63) angewendet werden. Nach Gleichung (60) ist 2 • n • (h — a) Fe + b d2 2-nFe y =

x

d

+

2 • 15 • 45,8 • 23,53 + 160 • 102 = 12,5 cm, 2 • 15 • 23,53 + 2 - 1 6 0 - 1 0

2-bd 2

,

d

= 12,50 — ^ 6 (2 z — d) 2

~ 2 h

_

a

_

x

J

r

y

=

4518 — 12,5 +

JDi Fe (h — a — x-\-

y)

o, • x

ob

n (h •

x)

1+

102 = 8,60 cm 6 ( 2 - 1 2 , 5 — 10) 8,6 =

1182000 23,53-41,9

(61)

41,9 cm.

= 1200 kg/qcm

(62)

1200 - 12,5 = 30,0 kg/qcm 15(45,8 — 12,5)

(63)

'

Nachdem hiermit für a¡, und a e brauchbare Werte gefunden worden sind, kann h = 50 und Fe = 5 Durchmesser 2 2 + 1 Durchmesser 24 beibehalten werden, zumal auch die ursprüngliche Schätzung des Eigengewichtes einer Änderung nicht bedarf. Es sollen nun auch noch die genaueren Formeln für die Spannungsberechnung angewendet werden. Nach Gleichung (70) ist ( b - b J d +

x = •

y

~

. JW>

— b1)d bi

— [ _

n.F,

2

3 ' b • x1

— d)3 (b —

b1

2

x — d) (6—¿>i) - a

—

nFe

+

135 • 102 25

135-10 + 15 25

bx3—{x

+

x-\-y

=

( b - b

1

d* ) - r +

h2 . n - F . - l

11,2 cm,

-2.15-23,53.^

2_ 160-11,2 3 — ( 1 1 , 2 - IQ) 3 -135 7,53 cm (71) 3 ' 160-11,2 2 — (11,2 —10) 2 -135" 50 — 4,23 — 11,2 + 7,53 = 42,1 cm.

6*

—

84

M

06

=

n (h

—

1182000 23^4271

a-

x)

, , = 1194 kg/qcm

1194 -11,2 = 15 (50 — 4,23 - 1 1 , 2 )

=

2

„ , , °'8 k ^ c

m

. '

(62) „

W.(h

n-

—

a —

x)

0V

In gleicher Weise wie zur Bestimmung der Nullinie k a n n auch bei mehrfach gegliederten Eisenbetonquerschnitten durch Zerlegung des Querschnittes ein Annäherungsverfahren zur Berechnung des Verbundträgheitsmomentes angewendet werden. -vV

Vernachlässigt m a n die Trägheitsmomente der schmalen Flächenstreifen in Abb. 85, bezogen auf ihre Schwerachse, so k a n n man das Verbundträgheitsmoment 0V des in dieser Abbildung dargestellten Eisenbetonquerschnittes, bezogen auf die Nullinie, schreiben 0V

=

F1

- \ - n F

Abb. 85.

e

• Ü„ = 1 590000 cm 4 gegen 1580000 (Annäherung). S p a n n u n g s r e c h n u n g m i t a n g e n ä h e r t e m b

, =

15-2600000(22,5-5) 1580ÖÖÖ

=

432

kg/qcm

"

c m

— Spannungsrechnung =

nach

91

—

den

genauen

W e r t e n 0V u n d

x.

2600000-23,6 "1590000 "= 38'6 k ^ c m 1 5 - 2 6 0 0 0 0 0 (65 — 5 — 23,6) = 893 kg/qcm 1590000 1 5 - 2 6 0 0 0 0 0 ( 2 3 , 6 — 5) = 456 kg/qcm. 1590 000

Aus dem Vergleich beider Ergebnisse ist zu e n t n e h m e n , d a ß die Übereinstimm u n g der berechneten W e r t e noch nicht befriedigt. Die Unterschiede sind jedoch weniger auf die Ungenauigkeit von 0 „ als vielmehr auf die von x z u r ü c k z u f ü h r e n . Es h ä t t e also bei der Berechnung von x nach dem A n n ä h e r u n g s v e r f a h r e n die oben angedeutete Verbesserung noch d u r c h g e f ü h r t werden sollen. Berechnung der Plattenbalken mit steifer Bewehrung. Für die Berechnung der m i t großen Profileisen bewehrten B e t o n p l a t t e w u r d e auf Seite 75 empfohlen, von der günstigen W i r k u n g des Betons auf die Vergrößer u n g des W i d e r s t a n d s m o m e n t e s der Profileisen abzusehen und nur die Profileisen als Träger anzusehen. Bei den P l a t t e n b a l k e n m i t steifen Bewehrungen liegen in der Regel die Verhältnisse anders als bei P l a t t e n . Denn die Profileisen sind hier meist kleiner u n d liegen ganz in der Zugzone, so daß ihre Wirkungsweise der der Rundeisen ähnlicher ist u n d daher auch auf sie das für schlaffe Eisen entwickelte Rechnungsverfahren A n w e n d u n g finden k a n n . Sollte aber bei solchen P l a t t e n b a l k e n das Profileisen so groß gewählt sein, daß es zu einem beträchtlichen Teil in die Druckzone fällt, so gelten für diese P l a t t e n b a l k e n selbstverständlich die f ü r die P l a t t e n mit steifen Bewehrungen angestellten B e t r a c h t u n g e n . Die Nullinie der P l a t t e n b a l k e n mit steifen Bewehrungen in der Zugzone (vgl. Abb. 87) wird nach den Gleichungen (60) oder (70) b e s t i m m t . w

-

—

—

.

A

i b

/

« T

T 1.

H

_ .i

ä

1

xsm

T Abb.

Abb.

Zur Berechnung der S p a n n u n g e n dienen die Gleichungen (87) und (88)

n • 501 • (h — a — x)

ob = 0V ' ö e _ 0V Das V e r b u n d t r ä g h e i t s m o m e n t erhält man nach Gleichung (86).

0„ =

b-x 3

(b-bj-ix — d) 3+ n0es +

n-Fe(h—a-x)*

(90)

Man h a t auch ein besonderes Profileisen entworfen, das f ü r die Bewehrung der P l a t t e n b a l k e n gegenüber anderen steifen Profileisen einige Vorteile bietet. Das Bulbeisen der P o h l m a n n d e c k e (D. R. P . 170117, vgl. A b b . 88)*) h a t einen Verzeichnis der Profilmaße siehe Betonkalender. Berlin, Verlag Wilh. Ernst & Sohn.

—

92

—

gelochten Steg, wodurch ein besserer Z u s a m m e n h a n g des beiderseitigen Betons und die Verwendung von Bügeln ermöglicht wird. Außerdem liegt der Schwerp u n k t des Profils sehr tief, so d a ß sein Abstand a von der T r ä g e r u n t e r k a n t e verhältnismäßig klein bzw. die wirksame Höhe des Eisenbetonträgers groß wird. Zeichnerische Ermittelung der Nullinie und des Verbundträgheitsmomentes. Es sei hier ein zur Biegungsebene symmetrischer, aber sonst beliebig gestalteter Eisenbetonquerschnitt der Untersuchung zugrunde gelegt. Senkrecht zur Symmetrielinie in der Biegungsebene, also parallel zur Nullinie, wird der Querschnitt in parallele Streifen zerlegt, wobei die Eisenquerschnitte mit ihrem n-fachen Betrage und die Betonzugflächen gar nicht in die Rechnung eingeführt werden. Diese Flächenstreifen werden als K r ä f t e b e t r a c h t e t (vgl. Abb. 90). Zum besseren Verständnis sei aber zunächst noch an zwei Lehrsätze der graphischen Statik erinnert. In Abb. 89 haben die parallelen Kräfte P¡, P2, P3 eine Resultante Ä; ihr Moment um den P u n k t N ist 2Jt. «7

= Pl.

ttl

+ P, • a2 + P3 • a3 = R • r.

Aus der Ähnlichkeit des Dreiecks ANB

H : R = r : y;

und des Kraftpolygons folgt

R • r = H • y = Wl,

d. h. das Moment 5K der Kräfte um den Punkt N ist gleichster, Poldistanz H multipliziert mit der Ordinate y im P u n k t e N zwischen den äußersten^Seilpolygonseiten gemessen. Das Trägheitsmoment der Kraft Px um N sei Qx

t-h = das aller drei K r ä f t e um V sei @.v

@.v = P1 • a* + P2 • a2 + P3 • a,2. Nach dem oben bewiesenen Lehrsatz ist H

• Vi = Pi • «i, H • y2 = P2 - a,, H • y3 = P3- a3 ax • yx • H = Pj • aj2, a2- Ii • y2 = P2- a22, a3- y3- H = P:) • a32 @.v = H • :>! •y1 + a2-y2 + a3-y3). In Abb. 89 ist ersichtlich, daß die Fläche CANB aufgefaßt werden kann. Fläche C A N B =

+ ^

als Summe von drei Dreiecken +

©v = H • 2 • Fläche C A N B .

"K/*

—

93

—

Das T r ä g h e i t s m o m e n t der parallelen K r ä f t e um die Linie N B ist also gleich dem P r o d u k t aus der Poldistanz H u n d der Fläche zwischen Seilpolygon, der Geraden NB und der äußersten Seilpolygonseite CN.

In Abb. 90 ist der gegebene Eisenbetonquersclinitt so dargestellt, daß die Nullinie lotrecht steht und die Inhalte der parallelen Streifen der Betonfläche als Gewicht betrachtet werden können. Dabei genügt es, die Betonfläche auf der Druckseite bis zu der mutmaßlichen Lage der Nullinie in Streifen einzuteilen. Da die Nullinie Schwerlinie ist, müssen wir diejenige Lotrechte suchen, für welche das Moment der Flächen rechts um die lotrechte Nullinie gleich dem der Flächen links ist. Für eine Poldistanz H ist dieses Moment H • y, wobei y der Abschnitt zwischen den äußersten Seilpolygonseiten auf der lotrechten Nullinie ist. Zeichnet man also für die Flächen links und die Flächen rechts der mutmaßlichen Nullinie zwei Kraftpolygone mit der gleichen Poldistanz H, welche

A b b . 90.

gleichzeitig jeweils der eine äußerste Strahl ist (vgl. Abb. 90), so werden die äußersten Seiten der zugehörigen Seilpolygone sich auf der Nullinie schneiden, denn dann schneiden beide Seilpolygone auf der lotrechten Nullinie dasselbe y ab. Es ist somit der Schnittpunkt D ein P u n k t der Nullinie, welche senkrecht auf der Biegungsebene steht. Fällt die so gefundene Linie NN nicht annähernd mit der linken Seitenlinie der Teilfläche zusammen, so ist nach Änderung von F x die Konstruktion zu wiederholen. Mit dieser Konstruktion der Nullinie ist aber nach dem oben bewiesenen Satze der graphischen Statik auch das Verbundträgheitsmoment 0V gefunden worden, wenn man nur noch den Inhalt der Seilpolygonfläche ABD bestimmt (Abb. 90). 0V = 2 • H X Fläche

ABD

(91)

Die Spannungen a b und a e werden sodann nach den Gleichungen (87) und (88) berechnet. Berechnung mit Berücksichtigung der Betonzugspannungen. In den vorstehenden Betrachtungen über die Biegung von Eisenbetonkörpern ist angenommen worden, daß der Beton überhaupt keine Zugkräfte zu übertragen vermag. Auch ohne die hierbei gewonnenen Rechnungsergebnisse mit den Ergebnissen der Versuche zu vergleichen, wird man feststellen können, daß dieses

—

94

—

Berechnungsverfahren eher zu ungünstig als zu günstig ist und somit gewiß hinreichende Sicherheit gewährleistet, denn tatsächlich wird auch der Beton kleine Zugkräfte übertragen, so daß die berechneten Eisenzugspannungen größer sind als die tatsächlichen. Es kann aber auch das Bedürfnis bestehen, die Abmessungen der Eisenbetonquerschnitte so zu wählen, daß im Beton keine Zugrisse eintreten, sei es, um damit eine weitergehende Rostsicherheit oder sei es, um Dichtigkeit (Flüssigkeitsbehälter) zu erzielen. Der Beton wird solange keine Risse aufweisen, als seine Dehnungsfähigkeit auf der Zugseite nicht überschritten wird (vgl. Kap. 4). Deshalb kann man rissesichere Eisenbetonquerschnitte dadurch finden, daß man die Betonzugspannung a bz gewisse Grenzen nicht überschreiten läßt. Es müßte also die Betonzugspannung a bz kleiner gehalten werden als die auf Seite 42 erläuterte Biegungsfestigkeit des Betons. Um praktisch rechnen zu können, müssen, wie bereits auf Seite 54 gezeigt worden ist, für die wirkliche Spannungsverteilung geometrisch einfache Kurvenstücke gesetzt werden. Es sollen hier nur die beiden Spannungsverteilungen nach Stadium I (Abb. 53) und die von Melan vorgeschlagene (Abb. 56) betrachtet werden. Selbstverständlich ist die Biegungsfestigkeit des Betons verschieden, je nachdem sie nach der einen oder der anderen Spannungsverteilung aus der Bruchlast berechnet worden ist, und es ist auch die für rissesichere Bauteile noch zulässige Spannung a bz verschieden, je nach der für die Rechnung gewählten Spannungsverteilung. Die für rissesichere Bauten noch zulässige Biegungsspannung des Betons abz kann aus Biegungsversuchen ermittelt werden, auf welche das eine oder andere Rechnungsverfahren angewendet wird. Die so berechneten Werte a bz weichen aber erheblich ab von denen, welche aus gemessenen Dehnungen ermittelt werden können, und zwar sind die Abweichungen bei der Rechnung nach dem Stadium I größer als nach der Melanschen Spannungsverteilung, wie aus Abb. 52 ersehen werden kann. Diese Abweichung würde aber nicht bedenklich sein, weil ihr ja durch die Wahl des zulässigen, rechnungsmäßigen Wertes a bz Rechnung getragen wird. Viel störender ist der Umstand, daß die auf Seite 5 bereits besprochenen Anfangsspannungen im Beton Zugspannungen sind, welche also zu den Biegungsspannungen addiert werden müßten, aber wegen ihres starken Wechsels je nach den äußeren Umständen (trocken, naß) nicht berücksichtigt werden können. Hierdurch kommt in alle Berechnungen, die rissefreie Bauwerke ergeben sollen, eine gewisse Unsicherheit. Da nun der Beton schon nach seiner Herstellungsart zur Aufnahme von Zugkräften nur wenig verlässig ist (vgl. Seite 42), müssen die Zugeisen der auf Biegung beanspruchten Bauteile stets o h n e Berücksichtigung der Betonzugspannungen berechnet werden, wenn auch die Spannungsberechnung mit Berücksichtigung der Betonzugspannungen durchgeführt wird. Berechnung für das Stadium I. Nachdem in den vorstehend behandelten Biegungsaufgaben zur Erleichterung des Verständnisses jedesmal von den einfachsten Querschnitten ausgegangen wurde, wird es wohl jetzt möglich sein, sofort mit dem allgemeinsten Falle zu beginnen. Es soll ein doppelt bewehrter Eisenbetonbalken betrachtet werden, dessen Querschnitt zur Biegungsebene symmetrisch, jedoch sonst beliebig, gestaltet

—

95

—

ist (vgl. Abb. 91). Die Betrachtungen werden sich daher von denen auf Seite 86 nur dadurch unterscheiden, daß hier auch die inneren Zugkräfte des Betons in die Rechnung eingeführt werden müssen. Es t r i t t daher zu der Zugkraft der Eisen (cre • Fe) in der Gleichung (80) noch h—x die Zugkraft des Betons jcrz • b • dz, so daß die Gleichung nunmehr lautet: o x h—x ¡ozb-dz + oe'Fe' = $ozb-dz-\-oeFe. o o Ersetzt m a n die Spannungen wie auf Seite 86 durch a b , so erhält man x h—x jb • z dz -f- n • FJ (x— a) = jb • zdz -fo ® + «• Fe{h — a — x) . . . . (92) In dieser Gleichung bedeutet die linke Seite das statische Moment der gedrückten Betonfläche plus dem statischen Moment der «-fachen Druckeisenfläche, beide bezogen auf die Nullinie. Die rechte Seite ist das statische Moment der Betonzugfläche plus dem Abb. 91. der «-fachen Eisenzugfläche um die Nullinie. Es besagt also diese Gleichung, daß die Nullinie die Schwerlinie von einer ideellen Fläche (F{) ist, welche entsteht, wenn man zu dem g a n z e n Betonquerschnitt den « - l a c h e n Betrag der Eisenquerschnitte an ihrer gleichen Stelle zuzählt. Ft = lb-dz + n (Fe + Fe') (93) o Das statische Moment der Fläche Fit bezogen auf die zur Nullinie parallele Druckkante A-—A, ist nach Abb. 91 ©a

= j v • b • d z + « Fe' • a'

-f-

« • Fe (h — a),

3 — (x — d)3].

Daher ist nach Gleichung (96) o„=,

L i — a;) ]H—~[x3— 3

^ X 3

2

(x—d) ]+n-Fe(k—a—x) +n-Fe'-(x

2

,.(103) lnOV

—a')

Die übrigen Spannungen gibt (97). P l a t t e n b a l k e n mit einfacher Bewehrung. Wie oben erhält man auch hier die gewünschten Ausdrücke, wenn man in (102) und (103) Fe' = 0 setzt. 2b1h->r2(b =

~b

[x3 + (h — z)3] + — ^

— b1)d-{-2n-Fe [z3 — (x —

d f

] + n • Fe (h — a — x)2

Berechnung für die Spannungsverteilung nach Melan. In den österreichischen Vorschriften vom 15. Juni 1911 ist für Straßenbrücken vorgeschrieben: »Bei den auf Biegung beanspruchten Tragwerken sind auch die größten Zugspannungen des Betons nachzuweisen, welche sich für eine Formänderungszahl des Betons für Zug von 56 000 kg/qcm ergeben.« (Für Druck ist e id = 140 000 kg/qcm vorgeschrieben.) Nach denselben Vorschriften ist diese Berechnung für Hochbauten nur bei solchen Tragwerken durchzuführen, »welche dem Einflüsse der Witterung, von Nässe, Dämpfen, Rauch oder dem Eisen schädlichen Gasen ausgesetzt erscheinen«. Dagegen sind die Betondruck- und Eisenzugspannungen stets »unter der Voraussetzung zu berechnen, daß der Beton keine Normalzugspannungen aufnehme«. Bei der Berechnung der Betonzugspannungen ist somit nach diesen Vorschriften der Elastizitätsmodul des Betons auf Druck ebd = 140 000 kg/qcm, der Elastizitätsmodul des Betons auf Zug £bz = 56 000 kg/qcm, [¿•£bd = £&3 = const, ¡i =

e

bd

= 0,4

(106)

in die Rechnung einzuführen. Dieser Bedingung entspricht die Melansche Spannungsverteilung Abb. 56. Es soll auch hier die Entwickelung für einen doppelt bewehrten Eisenbetonbalken durchgeführt werden, dessen Querschnitt zur Biegungsebene symmetrisch, im übrigen aber beliebig gestaltet ist (Abb. 94). Da auch bei diesem Rechnungsverfahren vorausgesetzt wird, daß ebene Querschnitte des Balkens während der Biegung eben bleiben, verhalten sich die in der Abb. 94 dargestellten Dehnungen (Längenänderung der Länge 1) X wie ihre Abstände von der Nullinie. H a g e r , Theorie des Eisenbetons.

7

—

98

—

Nach (79) sind die in Abb. 94 eingetragenen Spannungen z °Z = Ob -'x, z X hz —

'

h — x X

x — a' x—,

oe =n-ab e

Oz bz

e

Obz bz

E

£

Z X

Ob bd

oe — n ab '

h — x X ' bd

Oz

==

h — a— x (h M •X

Ob o>JZ = f* •X

\

'

I \ JL

4

•

(107)

.

(108)

/

-V

/ N / ; /&z

/

Abb. 94.

/ i

\

-A -

u

fi J

Die wagerechten inneren Druckkräfte sind gleich den wagerechten inneren Zugkräften, daher x h—x R • b dz + ae' Fe' = \ozbdz + oe- Fe. o o In diesen Gleichungen werden, wie oben angegeben, alle Spannungswerte durch a b ausgedrückt. Dies ergibt x h—x ^bzdz + n-Fe'(x —a')=ju$b-zdz + nFe{h — a —x) . . (109) o o Beide Seiten der Gleichungen stellen wieder, wie bei (92), statische Momente um die Nullinie dar; die linke Seite stimmt mit der in (92) überein; die rechte Gleichungsseite ist das statische Moment der ^-fachen Betonzugfläche und der «-fachen Eisenzugfläche um die Nullinie. Somit ist hier die Nullinie die Schwerlinie einer ideellen Fläche Fi} welche besteht aus der Betondruckfläche, der ^-fachen Betonzugfläche und der «-fachen Eisenquerschnittsfläche. x h~x Fi = $bdz + ju- ¡bdz + n{Fe+Fe') (110) o o Das statische Moment dieser Fläche F { um die zur Nullinie parallele Druckkante A—A ist x h = a-61;

d=

h.x — a —

Fe = cp • bt- hy.

Wenn man annäherungsweise die innere Druckkraft für den Spannungszustand I I b in Plattenmitte annimmt, so kann man für das Biegungsmoment setzen Gleichung (72)

Für den Spannungszustand schreiben

I kann man unter derselben

Voraussetzung

Aus diesen beiden Gleichungen erhält man durch Ausscheidung der Größe 9JI eine Gleichung für a bz o(9>.(0,92 + £ )

!>» =

ö

x1 — 0,08 Äj

=

"

_aL

n '

2- n-cp (0,92 + # + ä f f » a • ß (1,84 + ß)

Nach dieser Gleichung kann man die Verhältnisse a b : a e , welche zu den Verhältniszahlen a, ß und cp gehören, berechnen und in einer Tabelle zusammenstellen (vgl. Tabelle 6 des Anhanges). Für die Spannungswerte a e = 750 kg/qcm und abz = 24 kg/qcm, welche nach den deutschen Bestimmungen in Brücken unter Eisenbahngleisen nicht überschritten werden sollen, kann man die Werte der Tabelle 6 in einer Tafel zusammenstellen (vgl. Anhang Tafel l) 1 ). Durch die der Trägerrechnung vorangehende Plattenberechnung ist die Plattenstärke d gegeben, somit nach Annahme der Rippenhöhe Aj auch die Verhältniszahl ß = -v—. Der Zugeisenquerschnitt ergibt sich genügend genau aus der AnnäherungsformelFe =

750 |o,92 hx + ~

m Dieses Verhältnis — kann also auch berechnet werden. Durch die Gleia chungen (127) und (128) ist für das konstante Verhältnis = 2 4 : 7 5 0 = 0,032 H a g e r , Zentralblatt der Bauverwaltung 1915, S. 391.

—

105 —

die Größe cp als F u n k t i o n v o n a u n d ß gegeben. F ü r gewählte W e r t e von ß sind in der Tafel 1 des A n h a n g e s Linien gezeichnet, deren Abszissen die a u n d deren O r d i n a t e n die cp sind.

Die P u n k t e , f ü r welche ~

k o n s t a n t bleibt, liegen auf ge-

r a d e n Linien, die durch den A n f a n g s p u n k t des K o o r d i n a t e n s y s t e m s gehen.

Diese

G e r a d e n sind in der Tafel gleichfalls eingezeichnet. Soll n u n ein P l a t t e n b a l k e n b e r e c h n e t werden, bei welchem die Grenzspann u n g e n a e = 750 k g / q c m u n d a b = 30 k g / q c m im S p a n n u n g s z u s t a n d I I b sowie a b z = 24 k g / q c m im S p a n n u n g s z u s t a n d I nicht ü b e r s c h r i t t e n werden, so ist zu v e r f a h r e n , wie folgt: Die Größen b u n d d sind gegeben, hx ist zu schätzen. S o d a n n berechne m a n , wie oben angegeben, ß = S, Fe u n d — . IIi

In der Tafel suche m a n den S c h n i t t p u n k t

OL

W

der /?-Linie m i t der —-Geraden. A n dem S c h n i t t p u n k t ist die O r d i n a t e cp u n d die Abszisse a abzulesen, so d a ß die gesuchte R i p p e n b r e i t e bl = ~

sofort b e r e c h n e t

werden kann. Die B e t o n d r u c k s p a n n u n g a b e r h ä l t m a n aus dem zweiten Teile der Tabelle 6 des A n h a n g e s , indem m a n f ü r a e = 750 einsetzt. Zahlenbeispiel. G e g e b e n : $31 = 760000 cmkg, b = 100 cm, d = 14 cm. G e s c h ä t z t h x = 50 cm. 14 a a oo ^ = 5 Ö = 0'28;

p ' =

F

760000

/

750 6,92 • 50 + a=l4-?TOO--0'28 =

0 0038

'

147= ^qcm, -.rj

-

Aus der Tafel (kleiner Kreis) f ü r ß = 0,28 u n d

=

0,0038

u = 4,82; cp = 0,0183. Daher b1 =

100

= 20,7 c m ;

F ü r a, ß u n d cp ergibt die Tabelle 6 ab:ae=

19 ^

= 0 , 0 1 8 3 (wie oben). 0,0246 daher

annähernd

25

-

z!

-2000

2

2

P= 7000

3000

SOOO

7000

SOOO

11000

13000kg

A b b . 98.

sehen werden kann, in welchen die mit der Belastung veränderliche Lage der Nullinie dargestellt ist. Die Beobachtungen wurden a m rechteckigen Balken von 2,00 m Stützweite und 30 cm Höhe angestellt 3 ). Sie zeigen, daß in rechteckigen Balken, deren Be-

•cp=

I 1000

3000

5000

7000

3000

11000

%

P

P

f

1,26

-n 0 0

--j

zooo

13000 15000 77000/rg A b b . 99.

wehrungsprozente 000 7SOOO 7S000

§ i Q

f T

9/32

P | J-^Q-^J

72000 3000

t

SOOO

4

2

2

vooo 60

WO

SO

tg/gem

A b b . 10J.

ä n d e r u n g e n der E i s e n w ä h r e n d des B i e g u n g s v e r s u c h s u n m i t t e l b a r g e m e s s e n w e r d e n k o n n t e n . Die bei diesem V e r s u c h e b e o b a c h t e t e n E i s e n s p a n n u n g e n a, sind in der A b b . 103 a u f g e t r a g e n w o r d e n . 7S07

¥ooo - 9, OS gern

3000

y

7.33 %

200G

7000

J-

u

7000

-pT

2000 Ge --

ZOO

WO

600

SOO

7000

7200

7WO

7600

ISOOkg/fcm

A b b . 103.

V e r g l e i c h t m a n diese b e o b a c h t e t e n E i s e n s p a n n u n g e n ae m i t d e n d u r c h die g e s t r i c h e l t e Linie d a r g e s t e l l t e n S p a n n u n g e n , welche n a c h der S p a n n u n g s v e r t e i l u n g A b b . 57 m i t n = 15 b e r e c h n e t sind, so e r k e n n t m a n , d a ß die b e r e c h n e t e n E i s e n s p a n n u n g e n des r e c h t e c k i g e n B a l k e n s e r h e b l i c h g r ö ß e r sind als die b e o b a c h t e t e n . Bezüglich der Eisen w i r d also d a s g e w ä h l t e R e c h n u n g s v e r f a h r e n f ü r r e c h t e c k i g e B a l k e n eine w e s e n t l i c h h ö h e r e S i c h e r h e i t liefern, als die R e c h n u n g e r w a r t e n l ä ß t . O b ä h n l i c h e V e r s u c h e , bei w e l c h e n die L ä n g e n ä n d e r u n g der E i s e n u n m i t t e l b a r g e m e s s e n w u r d e , a u c h m i t P l a t t e n b a l k e n a n g e s t e l l t w o r d e n sind, ist m i r 1

) v. B a c h , Mitteilungen über Forschungsarbeiten, H e f t 45 bis 47, 1907, Zusammenstellung 56.

-

109

—

nicht b e k a n n t . Aus den Längenänderungen des Betons in der Nähe der Eisen, welche vielfach gemessen worden sind, darf m a n aber — wenigstens bei höheren Belastungen — nicht mehr auf die Längenänderung der Eisen schließen, weil hierbei schon Verschiebungen der Eisen im Beton eintreten. Jedoch läßt sich aus den Bruchbelastungen derjenigen Balken, welche, wie es die Regel bildet, durch das Erreichen der Streckgrenze in den Eisen zu Bruch gingen, ein Vergleich zwischen b e o b a c h t e t e n und berechneten Eisenspannungen ableiten. Bei sieben Versuchsreihen mit Plattenbalken 1 ) wurde festgestellt, daß die f ü r die Bruchlast mit n = 15 berechnete Eisenspannung ae um 3 bis 15% größer war als die für die Eisen b e s t i m m t e Streckgrenze. Dabei konnte aus dem auf den Eiseneinlagen beobachteten losen Zunder geschlossen werden, daß der Bruch der Balken durch Erreichen der Streckgrenze in den Eisen eingetreten war. Somit liefert auch bei P l a t t e n b a l k e n die Rechnung nach der Spannungsverteilung A b b . 57 für die Eisenspannung cre einen etwas zu großen W e r t in der Nähe des Bruchs. Aus diesen Vergleichen k a n n allgemein geschlossen werden, daß für den Z u s t a n d in der Nähe des Bruchs die geradlinige Spannungsverteilung ohne Berücksichtigung der Betonzugspannungen mit n = 15 hinreichend genaue und jedenfalls sichere Rechnungsergebnisse liefert, sofern es sich um die Berechn u n g der S p a n n u n g e n und die Lage der Nullinie handelt.

8. Kapitel. Die Schubspaimungen bei Biegimg. Allgemeines. Bei den vollwandigen Balken isotroper Baustoffe sind die Schubspannungen u n d die schrägen H a u p t s p a n n u n g e n für die Beurteilung der Bruchgefahr in der Regel von untergeordneter Bedeutung. W e n n daher solche Balken in der Nähe der Nullinie nicht sehr d ü n n sind, k a n n bei den meisten Baustoffen von der Prüf u n g ihrer Schubspannungen abgesehen werden. Dagegen können die Schubspannungen und die schrägen H a u p t s p a n n u n g e n für die Eisenbetonbalken gefährlich werden, so d a ß sie hier stets berechnet und gegebenenfalls durch eine besondere A n o r d n u n g der Eiseneinlagen unschädlich gemacht werden müssen.

L-_L_JL_i__L_L_L_L Abb. 104.

1

Belastet m a n einen stark mit geraden Zugeisen bewehrten P l a t t e n b a l k e n aus Eisenbeton gleichförmig verteilt bis zum Bruch, so wird dieser Balken nicht in der Nähe der B a l k e n m i t t e brechen, wie dies unter Verwendung eines isotropen Baustoffes zu erwarten wäre, sondern in der Nähe eines Auflagers. Dort bildet sich infolge der schrägen Z u g s p a n n u n g e n und der S c h u b s p a n n u n g e n ein Riß, welcher in der Nullinie ungefähr u n t e r 45 Gerad gegen diese und an seinen E n d e n m e h r wagerecht v e r l ä u f t (vgl. A b b . 104) 2 ). Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, Heft 20, 1912, berichtet von v. B a c h und G r a f , S. 82. 2 ) Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, Heft 20, 1912.

—

110

—

Da für die Berechnung der Eisenbetonbalken auf Biegung angenommen wurde, daß ebene Querschnitte eben bleiben, und daß der Elastizitätsmodul des Betons auf Druck eine konstante Zahl ist, so gelten für die Berechnung der Schubspannungen in der Druckzone N-A! der Eisenbetonbalken auch die für Balken isotroper Baustoffe gültigen Gleichungen. Zum leichteren Verständnis soll jedoch zunächst an einige hier einschlägige Sätze der FestigA b b . 105. keitslehre erinnert werden. Die Summe der lotrechten inneren Schubkräfte in einem Balkenquerschnitt ist gleich der Querkraft V„ des Balkens an der Querschnittsstelle, somit nach Abb. 105, wenn r die Schubspannung ist, F

V

n

=

$ i d F .

o Die wagerechten Schubkräfte eines Balkens sind die Unterschiede der inneren Normalkräfte in zwei benachbarten Balkenquerschnitten (vgl. Abb. 106) Hz

=

S

2

—

iSj.

Die oberhalb und unterhalb einer zur Nulllinie parallelen Schnittfläche angreifenden inneren Schubkräfte sind einander gleich und entgegengesetzt gerichtet und erreichen in demselben Querschnitt in der Nullinie ihren größten Wert (vgl. Abb. 107). Sie sind die Ordinatcn einer quadratischen Parabel, deren Scheitel in der Nullinie liegt.

A b b . 106.

iL

dz dx

A b b . 107.

A b b . 108.

In einem Balken von gleichbleibendem Querschnitt treten die größten Schubspannungen an der Stelle des Balkens auf, an welcher die Querkräfte ihren größten Wert annehmen. In jedem Punkte eines Balkenquerschnittes sind die lotrechte und die wagerechte Schubspannung einander gleich. Abb. 108 stellt ein Elementarprisma von der Tiefe 1 dar, an welchem zwei gleiche Kräftepaare angreifen. daher

xxz

• dz • 1 • dx

=

rzx

• dx

• 1 • dz,

Bezeichnet man in dem Querschnitt eines isotropen Balkens (Abb. 109) mit r die wagerechte Schubspannung in der Höhe z über der Nullinie, mit das statische Moment des in der Abb. 109 schraffierten Querschnittsteiles, bezogen

-

111

—

auf die Nullinie, mit 0 das Trägheitsmoment der ganzen Querschnittsfläche, bezogen auf die Nullinie, und mit V die Querkraft an der Querschnittsstelle,

t-b h

jy

< 7,3 Abb. 109. so ist bekanntlich die Schubkraft auf die Längeneinheit des Balkens an der betrachteten Stelle T-b

&

Diese Gleichung kann nach den vorstehenden Betrachtungen auch auf Eisenbetonbalken angewendet werden, wenn nur zur Berechnung des statischen Momentes ©, und des Trägheitsmomentes 0 die im vorigen Kapitel mehrfach erläuterte ideelle Querschnittsfläche F { zugrunde gelegt wird. Es würde also z. B. unter der Voraussetzung der Spannungsverteilung nach Abb. 57 für eine Fläche zu setzen sein, welche aus der Betondruckfläche und der «-fachen Eisenquerschnittsfläche besteht (z. B. Abb. 59). Bezeichnet man also mit

3,5 .25 = 87,5 kg/cm.

A b b . 146.

Mit diesen Massen ist in Abb. 146 die Fläche GFG1G2 gezeichnet worden, deren Ordinaten die von den Bügeln aufzunehmenden Schubkräfte der Längeneinheit und deren Flächeninhalt die Zugkraft der schrägen Eisen darstellt. Nach den österreichischen Vorschriften sind also Bügel und schräge Eisen unabhängig voneinander nach den Schubkräften zu berechnen 1 ). Für doppeltschnittige Bügel, Durchmesser 10, ist Fq — 1,57 qcm. Die zulässige Schubspannung für die Bügeleisen ist re = 600 kg/qcm. Am Auflager ist die Schubkraft auf 1 cm Länge für die Bügel 277,1-87,5 = 189,6 kg/cm. Daher ist die Bügelentfernung e Fq-xe M r 0 —T») ~

1,57-600 189,6

—

'

cm

"

Diese Entfernung ist von A bis K zu wählen. = ^

-

c)

= ^

• 81 = 49,9 kg/cm.

2 J ) H a b e r k a l t und P o s t u v a n s c h i t z , Tragwerke aus Eisenbeton. Wien 1912. S. 137.

Leipzig und

—

140 —

Bei J ist die Bügelentfernung 1,57-600 ... e = —^g-g = 18,9 cm. Von K bis J nimmt für gleichförmig verteilte Last der Bügelabstand geradlinig zu (Abb. 146). Von J bis C sind die Bügel nur nach konstruktiven Gesichtspunkten zu wählen. Die Fläche GFG1G2 hat einen Flächeninhalt von 1 4 7 6 0 kg. Drei Durchmesser 25 nehmen bei a e = 1000 1 4 7 3 0 kg auf, so daß drei schräge Eisen Durchmesser 25 gerade genügen. Es ist deshalb diese Fläche in drei gleiche Teile zu zerlegen, deren Schwerpunkte die Lage der schrägen Eisen angeben. Das Beispiel zeigt, daß die österreichischen Vorschriften zu sehr starken Bügelbewehrungen führen können. Man darf wohl sagen, daß die unabhängige Berechnung von Bügeln und schrägen Eisen nebeneinander zur Erhaltung des Verbundes nicht erforderlich ist. Sie widerspricht der in der Abb. 135 dargestellten Wirkung der schrägen Hauptspannungen, durch welche allein schon der Zusammenhang zwischen Zug- und Druckzone hergestellt werden kann. 4. M i t

Berechnung

der B ü g e l a l s

Konsoleisen.

In Abb. 147 ist der Punkt A nicht über dem Auflagerpunkt gewählt, sondern in einem Abstand — ^ — von diesem (vgl. Abb. 142). Für den Beton wurde in diesem Beispiel eine Schubspannung r b = 3,5 kg/qcm zugelassen, welche nach den deutschen Bestimmungen sogar 4 kg/qcm hätte betragen können. Im Punkte J, von dem an der Beton ohne Bewehrung die Schubkraft aufnehmen kann, i s t r b - b 1 = 3,5 • 25 = 87,5 k g / c m , Vb = rb •

(h — a — x + y) = 87,5 • 58 = 5070 kg

und nach (162) c = 4- — — = 270 2 p

62,50

AJ = c — ^ - = ^ = 1 8 9 - ^

= 189 c m , ' =

173,3 cm.

Der Bügelabstand e, welcher bei dieser Rechnung nicht größer als % bt wegen der Rißentfernung angenommen werden sollte, sei 15 cm. Der Bügel querschnitt eines doppeltschnittigen Bügels Durchmesser 10 ist Fa = 1,57 qcm. Unter Verwendung der Gleichungen (167) und folgende ergibt sich n -Fq

,

, J»

, 2-61.e\

15-1,57/

. . , / „ .

2 - 25 • 1 5 \

,

für Punkt A ; F„-ae

/,

x, \

1,57 • 1000 /

Ferner ist im Punkte A die Querkraft VA = U -

p=

4,45 \

„,

VA

¡210 -

62,50 = 15 880 kg

und daher , Va 15880 • K = YZ^a-x-^y = ~58

=

2 7 4

k

^cm-

,

—

141

—

In der Abb. 147 sind die Schubkräfte der Längeneinheit für A und J als Ordinaten aufgetragen worden, so daß das Trapez GG2G1F die Zugkraft sämtlicher schräger Eisen für die Strecke A J darstellt. Fläche G G ^ F = Z c 4 5 = ( 2 7 4 - 3 4 , 7 ) + 0 7 , 5 - 3 4 , 7 ) . 1 Z M

=

17860

kg.

Hierfür sind vier schräge Eisen Durchmesser 25 nötig, welche Z = 4 • 4 9 1 0 = 19640 kg aufnehmen können. Das erste schräge Eisen wird so gelegt, daß es 4600 kg Zug

erhält, um es länger im Untergurt belassen zu können. Der Rest des schrägen Zuges wird auf die übrigen drei schrägen Eisen gleichmäßig verteilt, so daß jedes 4420 kg Zug erhält. In Abb. 147 ist diese Verteilung durchgeführt worden. Da in diesem Rechnungsverfahren die Bügel nach ihrer Wirkung unmittelbar vor dem Bruch berechnet worden sind und nicht auf Abscherung, wie sie niemals wirken, möchte ich diesem Verfahren den Vorzug geben. Dabei kommen sowohl Bügel als auch schräge Eisen gerade in den Teil des Balkens, in welchem zuerst die schrägen Risse aufzutreten pflegen (Abstand der Risse vom Auflager für gleichmäßig verteilte Belastung etwa -g- 1 ). ') H a g e r , Das ebene Problem und die Bügelberechnung, »Armierter Beton«, 1914, Nr.

—

142

—

Dieses Rechnungsverfahren kann auch unter der Herrschaft der deutschen Bestimmungen angewendet werden, weil dort ein bestimmtes Verfahren für die Berechnung der Bügel nicht vorgeschrieben ist. Dabei wird nach diesem Rechnungsverfahren der Eisenaufwand nur dann größer werden, wenn für ein schräges Eisen ein besonderes Beilageeisen angewendet werden muß. Da die Zerstörungen der stark bewehrten Balken beim Bruch häufig von einer Längssprengung ausgehen, welche auf die Wirkung der Haken zurückzuführen ist, sollten bei solchen Balken vor den Haken Quereisen angewendet werden, wie sie in Abb. 147 angedeutet sind. Die Krümmung der abgebogenen Eisen.. Die abgebogenen Eisen üben in der Krümmung einen Druck auf den Beton Die hieraus sich ergebende Betondruckspannung wird um so größer, je kürzer die Krümmung der Eisen gemacht ist. Mörsch 1 ) empfiehlt deshalb für den kleinsten Krümmungshalbmesser r > 13 d, wenn d der Durchmesser der Eisen ist (vgl. Abb. 148).

aus.

Dieses Grenzmaß erhält man aus folgender Rechnung. A b b . 148.

Der Druck R = 2 • Z • sin

a

Die Druckspannung des Druckes R sei q R Q = r•a•d

R d-r-

Z =

2i

d-i

cd2 4 Tid- ae 4 t

(170)

Für a e = 1000 kg/qcm und q = 60 kg/qcm erhält man r ~ 13 d. Tatsächlich haben Vergleichsversuche ergeben, daß Balken mit gut ausgerundeten Eisen eine um 12% höhere Bruchlast aushielten als Balken mit scharf abgebogenen Eisen 2 ). Die Herstellung längerer Krümmungen bietet praktisch keine Schwierigkeiten. M ö r s c h , Der Eisenbetonbau. Stuttgart 1912. IV. Aufl., S. 328. ) Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, Heft 12, berichtet von B a c h und G r a f . Berlin 1911. Reihe 50, S. 22 u. 142. s

—

143

9. KapiteL Die Haftspaniiungeii bei Biegung. Ältere Formeln zur Berechnung der Haftspannungen. In der Abb. 149 ist ein Balkenstück von der Länge dl dargestellt, dessen Zugeisen einerseits den Zug Zj, anderseits den Zug Z 2 ausüben. Wenn nun die Zugeisen von der Differenz der Zugkräfte dZe = Zx—Z2 nicht aus dem Balkenstück herausgezogen werden sollen, muß auf der Eisenoberfläche eine gleich große Kraft dZe entgegenwirken. Diese K r a f t , welche das Herausgleiten der Eisen verhindert, heißt Haftkraft, ihr auf die Flächeneinheit der Eisenoberfläche treffende Teil Haftspannung (TJ). V. B a c h nennt die oberste Grenze der Haftspannung, bei welcher gerade ein Gleiten der Eisen eintritt, Gleitwiderstand. Die Haftkraft auf die Längeneinheit der Eisen

dZ ist

I s t 1 1 der Umfang der Eisen, so ist u • dl die Eisenoberfläche auf die

Länge dl,

auf welche die Haftkraft dZe trifft, und somit ist die Haftspannung

dZ, •dl

(171)

Da die Eisenzugkraft Z sich sehr verschieden ergibt, je nachdem man die Betonzugspannungen berücksichtigt oder nicht, muß auch die errechnete Haftspannung rx der Zugeisen für diese verschiedenen Annahmen sehr abweichende Werte ergeben. Man berechnet nun in der Regel die Haftspannungen noch unter Vernachlässigung der Betonzugspannungen. Bezeichnet man mit e den Abstand der inneren Zugkraft von der inneren Druckkraft (Abb. 114), so ist

Wl . dZ^_ ~~ e ' dl

1 e

ddJl dl

=

e '

wobei V die Querkraft an der betrachteten Stelle bezeichnet. Nach den Gleichungen (132) und (135) kann man aber auch schreiben ~

= r0-b

(172)

und daher für (171) bzw.

r1= ^

(173)

Die Formel sagt, daß am Eisenumfang die größte Schubkraft ganz aufgenommen werden muß. E s wäre nun zu untersuchen, an welcher Stelle des Balkens xx seinen größten Wert annimmt. Das würde eintreten, wenn r 0 möglichst groß und u möglichst klein ist. Bei dem Balken auf zwei Stützen t r i t t beides am Auflager ein, weil dort sowohl die Vertikalkraft V am größten und der Umfang u der Zugeisen infolge des Abbiegens der Eisen am kleinsten ist. Deshalb wurde nach den alten preußischen Bestimmungen r x aus der Gleichung (173) für T„max berechnet und dabei nur der Umfang u der geraden Eisen berücksicht. Dieses Rechnungsverfahren gibt aber viel zu große Werte, weil gerade an den Auflagern nur mehr sehr geringe Zugkräfte im Balken eintreten, welche

—

144

—

der Beton zum größten Teil überträgt, so daß r • b an den Eisen (Abb. 112) wesentlich kleiner ist als r 0 • b in der Nullinie (Abb. 111). Man hat dann mehrfach vorgeschlagen, den Umfang u aller, auch der abgebogenen Eisen in die Gleichung (173) einzuführen und hat damit auch bei Versuchsbalken gleichmäßigere und wahrscheinlichere Werte r1 erhalten 1 ). Aber dieser Vorschlag nimmt auf die Entwickelung der Gleichung (173) gar keine Rücksicht, so daß sie dann nur noch als eine empirische Formel betrachtet werden könnte, für welche eine Ableitung aus den Sätzen der Festigkeitslehre nicht gegegeben werden kann. Die Richtigkeit der Gleichung (171) kann nicht bezweifelt werden und, um den richtigen Wert der Schubspannung r1 zu erhalten, müßte nur der richtige Wert für dZe eingesetzt werden, d. h. es müßte für alle Querschnitte des Balkens die tatsächliche Spannungsverteilung nach Abb. 54 bekannt sein. Da nun diese Spannungsverteilung aus den in dem Kapitel Biegung erläuterten Gründen praktisch nicht in die Rechnung eingeführt werden kann, müssen wir uns auch hier mit einer Annäherungsrechnung begnügen, welche uns durch den Vergleich mit den Ergebnissen der Versuche zwar den Sicherheitsgrad gegen die Bruchgefahr hinreichend ziffermäßig liefert, nicht aber die tatsächlichen Spannungswerte. Es müssen also auch hier wie bei den Biegungsspannungen tatsächliche und errechnete Haftspannungen unterschieden werden. Ehe nun diese Rechnungsverfahren betrachtet werden, soll noch gezeigt werden, wie man den Gleitwiderstand der Eisen in den Balken praktisch erhöhen kann. Vorkehrungen zur Erhöhung des Gleitwiderstandes. Da der Eisenumfang mit der ersten Potenz des Eisendurchmessers und der Querschnitt mit dem Quadrat des Durchmessers wächst, haben einige dünnere Eisen einen größeren Umfang als weniger dickere Eisen von demselben Gesamtquerschnitt. Infolge der größeren Oberfläche haben daher auch die dünneren Eisen eine kleinere Haftspannung r x als die dickeren bei gleichem

(vgl. Glei-

chung 171). Man kann deshalb auch mit Rücksicht auf die Größe der Haftspannung einen geeigneten Eisendurchmesser suchen, der sich aber mit der Art der Belastung ändert 2 ). Für eine gleichförmig verteilte Belastung p eines Balkens auf zwei Stützen von der Stützweite l ist bei /¿-Eisen nach Gleichung (172) und (173) bzw. Abb. 114 r1.Ai.d.„ , d?n

=

_V = 2)1

pl — pP

Durch Division beider Gleichungen erhält man

Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, Heft 12, berichtet von B a c h und Graf. Berlin 1911. S. 106. 2 ) T h u m b , Beton und Eisen, 1905, S. 42.

—

145

— pl2

H ä t t e m a n einen eingespannten T r ä g e r u n t e r s u c h t , so wäre für ÜK = •— zu setzen gewesen und d a h e r rl

F ü r AE =

1 0 0 0 und T1 —

1

2

4 , 5 kg/qcm ergibt sich für den

für den frei aufliegenden Träger d = "Jqqq- • 4 , 5 . für den eingespannten Träger

d =

M a n sieht daraus, d a ß m a n den E i s e n d u r c h m e s s e r 4 • -itLtt 1000

.

.

.

(174)

. 3 z w e c k m ä ß i g zu 3

bis

wählen sollte.

F ü r k o n z e n t r i e r t e L a s t e n und B a l k e n m i t B ü g e l n k a n n m a n ^ größer wählen, z. B . e r g i b t sich für zwei gleiche k o n z e n t r i e r t e L a s t e n in den D r i t t e l s p u n k t e n des T r ä g e r s eine B e l a s t u n g s a r t , die für Versuche häufig angewendet wurde, und für r x = 5 d =

TÜÜÖ"'6,7-

Saliger leitet aus V e r s u c h e n das V e r h ä l t n i s y ab, welches n i c h t ü b e r s c h r i t t e n werden d a r f , wenn die Zerstörung der B a l k e n erst durch die E r r e i c h u n g der S t r e c k g r e n z e in den E i s e n und n i c h t schon zuvor durch L ö s u n g des V e r b u n d e s zwischen E i s e n und B e t o n e i n t r e t e n soll. E r findet für E i s e n m i t H a k e n für das Verhältnis

=

4

/ i o o o

bis 8 / 1000 , also ähnliche W e r t e , wie oben angegeben wor-

den sind 1 ). W e n n nun auch Saliger seine Schlüsse aus V e r s u c h e n zieht, deren E r g e b n i s s e n i c h t u n m i t t e l b a r m i t e i n a n d e r verglichen werden k ö n n e n , so b e s t ä t i g e n doch seine B e t r a c h t u n g e n an der H a n d von Versuchen z u s a m m e n m i t der oben geg e b e n e n t h e o r e t i s c h e n E n t w i c k e l u n g , d a ß der V e r b u n d a m sichersten gewahrt wird, wenn der E i s e n d u r c h m e s s e r einen gewissen B r u c h t e i l der S t ü t z w e i t e n i c h t überschreitet. A u ß e r der V e r k l e i n e r u n g des Eisendurchmessers k a n n auch eine geeignete V e r a n k e r u n g zur E r h ö h u n g der H a f t k r a f t b e n u t z t werden. D e s h a l b werden s ä m t l i c h e R u n d e i s e n im E i s e n b e t o n b a u an ihren E n d e n m i t H a k e n versehen, durch welche eine V e r a n k e r u n g des Eisen im B e t o n erzielt wird.

Abb. 150.

Abb. 151.

A b b . 152.

E s sind drei H a k e n f o r m e n im G e b r a u c h , der rechtwinkelige ( A b b . 1 5 0 ) , der spitzwinkelige H a k e n ( A b b . 1 5 1 ) und der R u n d - oder U - H a k e n ( A b b . 1 5 2 ) . J)

S a l i g e r , Schubwiderstand und Verbund der Eisenbetonbalken. Berlin 1913. S. 62.

H a g e r , T h e o r i e des E i s e n b e t o n s .

10

—

146

—

Der D e u t s c h e Ausschuß für E i s e n b e t o n h a t den E i n f l u ß der H a k e n f o r m auf die H a f t k r a f t der Eisen in B a l k e n prüfen lassen und dabei folgende h a u p t sächlichsten Ergebnisse erhalten1). Balken

ohne

Bügel.

Die B e l a s t u n g , u n t e r welcher sich die ersten Risse in den B a l k e n einstellten, war u n a b h ä n g i g v o n der O b e r f l ä c h e n b e s c h a f f e n h e i t der E i s e n und v o n der F o r m der H a k e n . B e i V e r w e n d u n g von g l a t t g e d r e h t e n Eiseneinlagen B r u c h b e l a s t u n g n i c h t wesentlich höher als die R i ß l a s t .

ohne

H a k e n war die

U m den E i n f l u ß der H a k e n f o r m möglichst u n a b h ä n g i g v o n dem Gleitwiders t a n d erkennen zu k ö n n e n , wurde g l a t t gedrehtes und geöltes E i s e n m i t den drei H a k e n f o r m e n in die B a l k e n eingelegt. B e z e i c h n e t m a n die B r u c h l a s t der B a l k e n m i t g l a t t e n E i s e n ohne H a k e n m i t 1,0, so b e t r u g e n die B r u c h l a s t e n der B a l k e n bei rechtwinkeligen H a k e n 1,69, bei spitzwinkeligen 1 , 8 0 und bei R u n d h a k e n 1,96. In den B a l k e n , zu welchen Eiseneinlagen m i t W a l z h a u t v e r w e n d e t wurde, h a b e n die Eiseneinlagen nahezu die S t r e c k g r e n z e erreicht, so d a ß der E i n f l u ß der verschiedenen H a k e n f o r m e n ziemlich gleich ausfiel. W i r d wiederum die B r u c h l a s t der B a l k e n bei V e r w e n d u n g von E i s e n m i t W a l z h a u t und ohne H a k e n 1 , 0 gesetzt, so waren die entsprechenden Zahlen für rechtwinkelige H a k e n 1 , 5 2 , für spitzwinkelige 1 , 5 4 , für R u n d h a k e n 1,53 und für R u n d h a k e n m i t Quereisen (Abb. 147) 1,60. Bei V e r w e n d u n g von Eiseneinlagen ohne H a k e n , aber m i t W a l z h a u t , war die B r u c h b e l a s t u n g b e d e u t e n d höher als die R i ß l a s t . V e r g l e i c h t m a n die B r u c h l a s t e n der B a l k e n m i t g l a t t e n E i s e n und Haken mit denen der B a l k e n m i t r a u h e n E i s e n und H a k e n , so findet m a n , daß letztere erheblich höher sind, daß also j e d e n f a l l s bei diesen ein b e d e u t e n d e r T e i l des Gleitwiderstandes zu der H a k e n w i r k u n g h i n z u t r i t t . Die Zerstörung der B a l k e n t r a t e i n : a) bei den E i s e n ohne H a k e n durch Ü b e r w i n d u n g des

Gleitwiderstandes;

b) bei E i s e n m i t rechtwinkeligen H a k e n durch Aufbiegen dieses H a k e n s ; c) bei E i s e n m i t spitzwinkeligen H a k e n und R u n d h a k e n durch L ä n g s s p r e n gung des B a l k e n s (vgl. A b b . 153 und 1 5 4 ) ; d) bei R u n d h a k e n m i t Quereisen durch U b e r s c h r e i t e n der S t r e c k g r e n z e in den Eiseneinlagen. Das Quereisen h a t t e die L ä n g s s p r e n g u n g des B a l k e n s verhindert. Balken

mit

Bügel.

Die B a l k e n m i t R u n d h a k e n h a t t e n eine um 1 7 % höhere B r u c h l a s t als die B a l k e n m i t rechtwinkeligen

Haken.

Man e r k e n n t aus diesen Versuchsergebnissen den hohen W e r t der V e r a n k e rung m i t t e l s H a k e n und dabei n o c h die Überlegenheit des spitzwinkeligen H a k e n s und des R u n d h a k e n s über den r e c h t w i n k e l i g e n . S t a r k e E i s e n sollten nur m i t R u n d h a k e n und Quereisen angewendet werden. D a die V e r s u c h e m i t E i s e n v o n 25 m m Durchmesser ausgeführt und diese bei V e r w e n d u n g v o n spitzwinkeligen H a k e n und R u n d h a k e n u n t e r der B r u c h l a s t nahezu die S t r e c k g r e n z e erreichten, k a n n bei allen Rundeisen u n t e r 2 5 m m D u r c h 1 ) Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, Heft 9, berichtet von B a c h und Berlin 1911. S. 83.

Graf.

m e s s e r , die a n tin l i n d e n m i t s p i t z w i n k e l i g e n H a k e n o d e r R u n d h a k e n v e r s e h e n s i n d , v o n e i n e m N a c h w e i s zulässiger I l a f l s p a n n u n g c n in d e n s t a t i s c h e n B e r e c h -

nungen abgesehen werden, f n d e n d e u t s c h e n B e s t i m m u n g e n ist d e s h a l b dieser N a c h w e i s f ü r die m i t s o l c h e n H a k e n v e r s e h e n e n R u n d e i s e n , w e l c h e n i c h t s t ä r k e r als 2(j m m sind, erlassen. 10*

—

148

Neuere Verfahren zur Berechnung der H a f t s p a n n u n g e n . Kleinlogel h a t aus Versuchen von Bach f ü r rechteckige Balken die Linie der tatsächlichen Eisenzugkräfte abgeleitet, so daß er auch den Differentialquotienten

dieser Linie für jeden B a l k e n p u n k t u n d somit a u c h nach Glei-

chung (171) die H a f t s p a n n u n g r x bestimmen konnte 1 ). Die Linie der r x läßt n u n erkennen, d a ß die größten H a f t s p a n n u n g e n in der Nähe der Rißstellen, also in der Nähe der M a x i m a l m o m e n t e n p u n k t e , a u f t r a t e n , wobei freilich bei dem untersuchf>ff/fcm

JJ!

cm kg

32370

—

2 I«

7MO—

i—

_£

,7ß2!; zooo —2760

3

A b b . 155.

ten Belastungsfalle die Risse auch auf Stellen mit sehr großen Q u e r k r ä f t e n trafen 2 ). Abb. 155 gibtdie Ze- und r x -Linien für einen von Kleinlogel u n t e r s u c h t e n Balken. Zu einer ähnlichen Verteilung der H a f t s p a n n u n g e n gelangt Engeßer 3 ) durch theoretische B e t r a c h t u n g e n . Man will auch schon durch Versuche nachgewiesen h a b e n , daß das Maß, u m welches die Eisen im Beton gleiten, in der Nähe der M a x i m a l m o m e n t e n p u n k t e größer ist als a m Auflager der Balken auf zwei S t ü t z e n 4 ) . Da jedoch diese Messungen insbesondere in der Nähe der Rißbelastung a n f e c h t b a r sind, kann man von ihnen absehen u n d sich mit der nicht a n f e c h t b a r e n theoretischen Ableitung begnügen. Es ist klar, d a ß die Linie der wirklichen Eisenzugkräfte Ze sehr wesentlich von der Größe der Betonzugzone abhängig ist. Je kleiner die wirkende BetonDr. K l e i n l o g e l , Über das Wesen und die wahre Größe des Verbundes zwischen Eisen und Beton. Berlin 1911. 2 ) Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, Heft 9, berichtet von B a c h und G r a f , S. 67. Berlin 1911. 3 ) E n g e s s e r , Armierter Beton, 1910, Heft 2. 4 ) Dr. P r e u ß , Armierter Beton, 1910, Heft 9. Entgegnung. — Dr. B a u m a n n , Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1911, S. 639. — A b r a m s , University of Illinois, Bulletin No. 71 (Beton und Eisen, 1915, S. 73).

—

149

—

zugzone ist (z. B. stark bewehrte Plattenbalken mit breiter Platte und schmaler .Rippe), um so mehr nähert sich die Kurve der wirklichen Z e der Linie der errechneten Ze. Es ist daher auch nicht zulässig, aus der Linie der wirklichen Ze, welche wie in Abb. 155 für einen ganz bestimmten Träger rechteckigen Querschnitts abgeleitet sind, ein Maß für das größte abzugreifen und mit einem solchen Maß die Haftspannungen beliebiger anderer nicht nur rechteckiger Träger zu rechnen. Nachdem somit einerseits die Berechnung der größten Haftspannungen auf die gleichen Schwierigkeiten stößt wie die der wirklichen Biegungsspannungen, und anderseits die günstige Wirkung der Endhaken auf die Erhöhung der Bruchlasten durch die Versuche unzweifelhaft bewiesen ist, ist man auf eine andere Axt der Beurteilung der H a f t k r a f t der Eiseneinlagen in Balken übergegangen. Betrachtet man einen Querschnitt eines Balkens, in welchem auf die Eisen eine rechnerische Zugkraft Ze trifft, so genügt es für diesen Querschnitt, wenn die Eisen so gut im Beton haften oder verankert sind, daß sie die Zugkraft Ze mit Sicherheit gegen Herausgleiten aushalten können (Abb. 156). Wenn nun diese Sicherheit in allen Querschnitten des Balkens gegeben ist, wird der Verbund zwischen Beton und Eisen nicht geAbb. 156. fährdet sein. Setzt man voraus, daß sich die H a f t k r a f t gleichmäßig von dem betrachteten Querschnitt bis zum Ende des Eisens verteilt, d. h. daß auf die Länge x + c

I i I

i

Abb. 157.

(Abb. 157) überall dieselbe Haftspannung r x herrscht, so kann man den Querschnitt suchen, für welchen r x seinen größten Wert erreicht. Zex = rx • u • (x + c) tg

a

=

x

f

c

= * i - » -

Hiernach wird x1 am größten, wenn der Winkel a seinen größten Wert h a t , welchen er als Tangentenwinkel OQ erreicht 1 ). 7

lmax —

Xa

u-(x-\-c)

wx e

u-(x-\-c)

" '

'

'

^ ^

Gegen diese Art der Berechnung kann m a n einwenden, daß r x sich tatsächlich nicht gleichförmig über die Länge x -f- c verteilt. Jedoch glaube ich, daß H a g e r , Armierter Beton, 1909, Heft 11.

—

150

—

m a n m i t einem mittleren r x rechnen könnte, welches von Versuchen aus einer nach dem gleichen Rechnungsverfahren ermittelten H a f t f e s t i g k e i t abzuleiten wäre (Engeßer n e n n t diese Haftfestigkeit die »scheinbare«). Denn auch die Gewinde einer Schraube werden sämtlich als gleich belastet b e t r a c h t e t u n d sind sehr verschieden belastet. Ein wichtigerer E i n w a n d wäre der, daß dieses Rechnungsverfahren doch wohl nur solange einen Sinn h a t , als in die Strecke xQ keine Zugrisse treffen, da nach E i n t r i t t nur eines Risses eine Teilstrecke von x0 für die H a f t k r a f t r e c h n u n g unsicher würde. In dem Verfahren ist aber noch nicht festgestellt, daß auf der Strecke x0 die zulässige Retonzugspannung nicht überschritten wird. Soll auch diesem E i n w a n d noch entgegengetreten werden, so erübrigt nur f ü r die Strecke n;0 die größten Betonzugspannungen nach irgendeinem der angegebenen Verfahren (Seite 93) zu berechnen. Für u ist der U m f a n g der unteren Eisen im Querschnitt mit der Abszisse x 0 in die R e c h n u n g einzuführen. In den österreichischen Vorschriften vom 15. J u n i 1911 ist dieses Verfahren zur Berechnung der »mittleren« H a f t s p a n n u n g mit der E r w e i t e r u n g angeordnet worden, daß der geraden H a f t s t r e c k e (x 0 c) für die W i r k u n g von recht- u n d spitzwinkeligen H a k e n der vierfache, für jene von R u n d h a k e n der zwölffache Eisendurchmesser zuzuschlagen i s t x ) . Nach diesen Vorschriften dürfen die mittleren H a f t s p a n n u n g e n folgende W e r t e nicht übersteigen: Betonmischung

470 kg Zement auf 1 cbm Zuschläge 350 » » » 1 » » 280 » »> » 1 » »

im H o c h b a u

bei S t r a ß e n b r ü c k e n

T j i ö k g / q c m

Tj ^ 3,5 kg/qcm 3,5 » 2,5 »

4,5 » 4,0 »

In den deutschen Bestimmungen wird für die Berechnung der H a f t s p a n n u n g e n unterschieden zwischen P l a t t e n u n d Balken, welche nur gerade Eisen e n t h a l t e n , und solche, deren Eisen nach dem einfachen oder mehrfachen Strebensystem teilweise hochgezogen sind. Dabei bedarf es in beiden Fällen einer Berechnung der H a f t s p a n n u n g e n ü b e r h a u p t nicht, wenn der Eisendurchmesser nicht stärker als 26 m m ist und die E n d e n mit spitzwinkeligen Haken oder R u n d h a k e n versehen sind. F ü r die P l a t t e n u n d Balken m i t nur geraden Eisen wird die Gleichung (173) in A n w e n d u n g gebracht und dabei soll x 1 das Maß 4,5 kg/qcm nicht übersteigen. Bei richtiger W a h l des Eisendurchmessers wird diese F o r d e r u n g stets erfüllt sein.

A b b . 159.

Bei den Balken mit hochgezogenen Eisen wird der Träger in der Nähe des Auflagers als Fachwerkträger b e t r a c h t e t , und zwar entweder als einfaches (Abb. 158) oder als doppeltes Strebensystem (Abb. 159) 2 ). 1 ) Weitere Erläuterung für dieses in Österreich vorgeschriebene Rechnungsverfahren finden sich in H a b e r k a l t und P o s t u v a n s c h i t z , Tragwerke aus Eisenbeton. Wien und Leipzig 1912. 2. Aufl., S. 145. 2 ) M ö r s c h , Der Eisenbetonbau. Stuttgart 1912. 4. Aufl., S. 273.

-

151

—

Man kann voraussetzen, daß die Vertikalkraft in den Punkten 0 kleiner ist als am Auflager, so daß man sicher rechnet, wenn man V vom Auflager bis zu den Punkten 0 konstant annimmt. Das Biegungsmoment um 0 ist im einfachen System: im doppelten System:

V • e — Ze • e, daher Ze — V; 6

6

=

6

i

Ze = D, daher Ze =

V

•

Nimmt man nun an, daß die Zugkraft Ze sich auf die Fachlänge gleichmäßig durch H a f t u n g auf den Beton überträgt, so erhält man bei einem Eisenumfang u V ; £*U*ß V daher rx = -y—

im einfachen System: Ze = z1-u- 2 • e, daher r x = im doppelten System: Ze —11 • u • e,

V Da nach Gleichung (172) für — auch r 0 • b gesetzt werden kann, erhält man für die Haftspannungen in Balken mit hochgezogenen Eisen, und zwar für rechteckige Balken bzw. Plattenbalken =

^

(176)

In den Balken mit den nach einem Strebensystem hochgezogenen Eisen ergibt sich also für die Haftspannung hiernach die Hälfte wie früher nach Gleichung (173). Die Formel (176) leidet an demselben Mangel als das zuvor behandelte Rechnungsverfahren der österreichischen Vorschriften. Die Rechnung hat nur Sinn, solange in dem ersten Fach keine Zugrisse eintreten, ebenso wie oben in der Strecke a;0; denn nur solange kann man mit einer mittleren Haftspannung Tx im ersten Fache rechnen. Auch für die Formel (176) ist in den deutschen Bestimmungen der Grenzwert von x 1 auf 4,5 kg/qcm festgesetzt. In den schweizerischen Vorschriften für armierten Beton vom Jahre 1909 ist der Nachweis, daß die Haftspannungen gewisse zulässige Grenzen nicht überschreiten, überhaupt nicht gefordert, sondern lediglich angeordnet, daß die Endhaken nicht nach einem kleineren Radius als dem dreifachen Stangendurchmesser gekrümmt und an Eisen von 15 mm Durchmesser und darüber nicht kalt abgebogen werden dürfen. Wäre wenigstens noch eine Begrenzung des Verhältnisses von - y (Eisendurchmesser: Stützweite) nach den oben gegebenen Erläuterungen gefordert, so könnte man vielleicht auf einen Nachweis der Haftspannungen verzichten. Aber ohne jede derartige Beschränkung sind Konstruktionen denkbar, wenn auch sehr schlechte, welche zwar den schweizerischen Vorschriften genügen, aber keine hinreichende Sicherheit für die Erhaltung des Verbundes zwischen Eisen und Beton haben. Eine durch Versuche oder die Theorie noch nicht geklärte Frage ist die, ob die Eisen in der Druckzone und in der Zugzone die gleiche Haftfestigkeit und die gleiche Verankerung durch Haken erfahren. Nach der Überlegung scheint

—

152

—

beides in der Druckzone günstiger als in der Zugzone zu sein. Deshalb sucht man die Eisen in der Druckzone endigen zu lassen und dort mit Haken zu verankern, soweit dies ohne Nachteil für andere Teile der Konstruktion möglich ist. Jedoch darf dieses Bestreben nicht so weit gehen, daß über die Auflager überhaupt keine geraden Eisen hinweggehen 1 ). Zahlenbeispiel für die Berechnung der Haftspannungen. Es soll dasselbe Beispiel behandelt werden, für welches auf Seite 135 die schrägen Eisen und Bügel berechnet wurden. 1. N a c h d e n d e u t s c h e n

Bestimmungen.

Da der Balken Abb. 144 mit schrägen Eisen, die nach dem Strebensystem abgebogen sind, versehen ist, muß zur Berechnung der Haftspannung die Gleichung (176) angewendet werden. Von der Berechnung könnte zwar abgesehen werden, nachdem die Eisenstärke die Grenze, Durchmesser 26, unter der von dem Nachweis der Haftspannungen abgesehen werden darf, gerade noch nicht erreicht. T l

t0 •

~

z0 •b 1 2• u '

= 277,1 kg/qcm nach der früheren Berechnung. 2 • u = 2 • 5 • 2,5 • n = 78,54 qcm. Tl =

277 1 78^4 =

3 53 k

'

S/ und daher nach Abb. 196 die resultierenden

-h

Randspannungen

°d = °ai ~ obz~ P

' 1 1

'

Od = Odl + o„ = PF,

c • II 0 , C ' u' 1 0V

(195)

Sonderfälle. Die Betonquerschnittsfläche sei ein R e c h t e c k Fb = b • h und die Druckkraft P greife in einer E n t fernung c vom Schwerpunkt S in der Längsachse des Rechteckes an (Abb. 197). A b b . 197.

E s ist daher in den Gleichungen (195) einzusetzen für /? i

iA-f »(F. +

=

F,')

bh 2 - + m • /'V (A — (>•') + » • Fe • a 2

u

=

—-

(98)

b Ii — n /•',, •• /•'/! u' = h — u

oder

&v = 6>„ =

+ bh 3 12"

3

+ « • Fc • (" — «) 2 + n • FJ (k' — a') 2

(99)

/ h \2 + bh (-2- — u\ -\-n • Fe (;t — a)°- + nF/ (u' — a'f.

Für den Fall, daß Fe = F J und a = u ist, fällt der Schwerpunkt in den Mittelpunkt des Rechteckes, und in Gleichung (195) sind dann einzusetzen

Fj — bh-\-2-n-Fc h a= u= ^ n

v =

bh 3 ,

(196)

„ lh

12 +

e

2

~

ü

Für einen T - f ö r m i g e n Q u e r s c h n i t t nach Abb. 196 ist u = x aus Gleichung (102) zu entnehmen und ii = h—x. D a s erforderliche Verbundträgheitsmoment 0V (103) zu 0 V = - b ± [*a

+

(Ä

_

x)

8]

i ^ A

[3

* _

{x

_

erhält man

aus

Gleichung

d)S]

+ n-Fe{h — a -xf

+ n- FJ (x — a') 2.

—

185

—

Der ideelle Querschnitt ist nach den Bezeichnungen der Abb. 93

Der regelmäßige a c h t e c k i g e Q u e r s c h n i t t mit acht gleichen Eisen von je fe Querschnitt hat für Ov und Ft der Gleichungen (195) folgende W e r t e :

Abb. 1 0

•

r

'-,:i

Vv—

16

+ 222,5° ^ + i2); a"h = = datg==d(l«-0,4142 8• d2 • cot F,

+ 8 •«•/,

=

9V = 0,5413 • d 4 - f 4 n • fe

\2

+/ d

a

b - « " )

Ft = 4,8284 • d*- + 8 n • fe 11

=

ll'

=

h

(197) (198)

•

Kernwcite. Die Gleichungen (195) kann man auch zur Bestimmung der Kernpunkte des Verbundquerschnittes in den Symmetrielinien benutzen. Versteht man unter der Kernweite (k bzw. k') das Maß des Hebelarmes c, für welches unabhängig von P die Randspannung a d (Abb. 196) zu Null wird, so liefern die Gleichungen (195) die Kernweiten k! und k, indem nur a d und a d ' Null zu setzen sind. 1 1 Abb. 199.

Fi

k

k

'Ll ' "

u

n'

n.

'

,

k

k

ev u • Fi ~ u ' . F

(199)

t

D i e K r a f t P sei e i n e Z u g k r a f t . Da vorausgesetzt worden ist, daß der Beton keine Zugspannungen aufzunehmen vermag, ist der Verbundquerschnitt so zu betrachten, als wenn kein Beton vorhanden wäre.

—

186

—

In den Ausdrücken für die statischen Momente ©A und SB Gleichung (193), für Ff Gleichung (93) und für O v Gleichung (96) und (195) sind deshalb bei Zugspannungen die auf die Betonflächen bezüglichen Glieder wegzulassen und somit nur die mit dem Faktor n behafteten Glieder in die Rechnung einzuführen. b) G e g e b e n s e i e n d e r B e t o n q u e r s c h n i t t Fb d u r c h s e i n e U m r i ß l i n i e , d i e g r ö ß t e z u l ä s s i g e B e t o n d r u c k s p a n n u n g a d ', d i e in e i n e r S y m m e t r i e l i n i e des Q u e r s c h n i t t e s a n g r e i f e n d e D r u c k k r a f t P und i h r A b s t a n d e v o n d e r Q u e r s c h n i t t k a n t e in d e r S y m m e t r i e l i n i e g e m e s s e n s o w i e d i e k l e i n e n A b s t ä n d e a u n d a' (Abb. 200). G e s u c h t s e i e n d i e E i s e n q u e r s c h n i t t e Fe u n d FJ. Es ist einleuchtend, daß d i e Eiseneinlagen am besten ausgenutzt werden, welche der Querschnittskante mit der größten zulässigen Betondruckspannung er/ am nächsten liegen, und ferner, daß am wenigsten Eisen nötig ist, wenn der ganze Betonquerschnitt mit dieser größten zulässigen Druckspannung beansprucht ist, d. h. P im Schwerpunkt des Verbundquerschnittes angreift. In diesem Falle müßte s = e werden. Es sollen nun zunächst die Eisenquerschnitte Fe und Fe' so berechnet werden, daß s = e wird 1 ). Bezeichnet man mit Fb die Betonfläche des Querschnittes und mit © 6 r das statische Moment der Betonteilfläche rechts der Schwerlinie S S , bezogen auf diese Schwerlinie (Abb. 200), und mit © M das statische Moment der links von S S gelegenen Betonteilfläche, so ist bei zentralem Angriff der East P

A b b . 200.

P = [Fb + n.(Fe

+

Fe')]ab,

-rTi—r.27,28 2 + 2 • 15- . •• 15,21 (2.,-7-VVÖ • 27,28 TTvT — 40) n-a6

.,

x

- - • (h — u — x) = £

«) =

36,1-15 ( 4 0 — 3 - 2 7 , 2 8 ) 27,28 28*1

'

( 2 7

'

2 8

~

3 )

=

4 8 2

k

193 kg/qcm, g/q

c m

-

b) G e g e b e n s e i e n die G e s t a l t d e s B e t o n q u e r s c h n i t t e s , die N o r m a l k r a f t N n a c h G r ö ß e u n d L a g e u n d d i e z u l ä s s i g e n S p a n n u n g e n ae u n d ab, g e s u c h t d i e E i s e n q u e r s c h n i t t e Fe u n d Fe'. 1. D i e

Normalkraft N

sei eine

Druckkraft.

Die Normalkraft N wird in zwei Teile .Yj und N 2 zerlegt.

N = Nt +

Nt.

vV1 soll so groß gewählt werden, daß bei den gegebenen Spannungen a b und a e ein einfach bewehrter Querschnitt mit einem Zugeisenquerschnitt Fn und FJ = 0 gerade noch ausreicht.

Abb. 205.

Aus der A b b . 205 kann man die Beziehung ablesen:

,(h — a) — o(h — a),

(88)

•welche auch schon auf Seite 8 4 gefunden worden war, wobei die F a k t o r e n a zu den gegebenen Spannungen a b und a e aus der Tabelle 1 des Anhanges entnomm e n werden können.

—

193

—

Aus der Abb. 206 erhält man für die Momente um die Zugeisen die Gleichung N1-f

=

D„-zt, D b -z b

(216)

1

Damit ist iYx gegeben, denn wenn der Querschnitt und x bekannt sind, kann man Db und zb berechnen; z. B. ist in dem Kapitel 7 gefunden worden: Für das Rechteck von der B r e i t e t :

x b• x Db = — - — ab und zb = h — a •

"3"'

für den Plattenbalken ohne Berücksichtigung des Steges:

•b D„ = «b

(x — df

-j und zb — h — a — x-\-y\

mit Berücksichtigung des Steges:

(x — dy

D„=^-[b.x-(b-b1)

n.

N a c h der Eulerschen Knickformel: ii^ll,

fö =

131400.

Bei diesen Versuchsergebnissen ist aber zu b e r ü c k s i c h t i g e n , d a ß zu den Versuchen ein ganz besonders druckfester Beton v e r w e n d e t w u r d e . Der zu dem

—

209

—

Beton 1 a) v e r w e n d e t e P o r t l a n d z e m e n t ergab nach 28 Tagen k o m b i n i e r t e r Lager u n g 492 k g / q c m N o r m e n d r u c k f e s t i g k e i t , der zu 2) v e r w e n d e t e 404 kg/qcrn, also beide erheblich m e h r , als die Normen vorschreiben. Solange deshalb keine ähnlichen Versuche mit geringwertigerem Beton vorliegen, wird d a h e r m i t R ü c k s i c h t auf die Sicherheit in der Navierschen Formel v, = 0,0001 also größer, wie oben g e f u n d e n , einzusetzen sein, w ä h r e n d in der weniger m i t den Versuchsergebnissen übereinstimm e n d e n Eulerschen Gleichung die A n n a h m e n = 15 und sb = 140000 k g / q c m wenigstens hinsichtlich der Sicherheit ausreichend erscheint. U m aus den Ergebnissen von D r u c k v e r s u c h e n b r a u c h b a r e W e r t e f ü r die K n i c k f o r m e l n ableiten zu können, m u ß z u n ä c h s t u n z w e i f e l h a f t feststehen, d a ß der B r u c h d u r c h K n i c k e n eingetreten ist. Es sollen hier zum Vergleich die Bruchbilder von schlanken zentrisch b e l a s t e t e n Säulen gegeben werden, von denen die eine G r u p p e d u r c h Z e r d r ü c k e n (Abb. 216) zu B r u c h ging, w ä h r e n d die a n d e r e (Abb. 217) durch Knicken zerstört wurde. A b b . 216 ist den Versuchen des österreichischen Eisenbetonausschusses (Säule I I I / 2 und I I I / i ) entnommen1). Die Bruchstelle zeigt die deutlich ausgebildeten D r u c k p y r a m i d e n u n d das n a c h oder m i t dem Bruch des Betons erfolgte A u s k n i c k e n der Längseisen. Die Säulen w a r e n 7,00 m hoch, h a t t e n vier Längseisen Durchmesser 25 (cp = 3 , 1 4 % ) , Bügel Durchmesser 7 in 125 m m E n t f e r n u n g . Die Schlankheitsverhältnisse waren -t = 90,6 u n d 4 - = - t = i

'

h

2n

28.

Die Brucli-

last wurde n a c h 69 Tagen zu 209500 kg gemessen, die Würfelfestigkeit 361 k g / q c m n a c h 65 Tagen. Die Schlankheitsverhältnisse dieser Säule liegen also erheblich über den u n t e r e n Grenzen, bis zu welchen n a c h den amtlichen B e s t i m m u n g e n die Stützen ausschließlich auf D r u c k zu b e r e c h n e n sind (Deutschland

— 15, Schweiz --j- = 20, Österreich -r =

Abb

60).

'

!1

'* ) -

Diese

Grenzen

bieten also die erforderliche Sicherheit. Die A b b . 217 2 ) zeigt die Bruchstelle einer der oben e r w ä h n t e n , v o n v. Bach gep r ü f t e n E i s e n b e t o n s ä u l e n v o n 9,00 m Länge. W ä h r e n d an der r e c h t e n S ä u l e n k a n t e die durch die Z u g s p a n n u n g e n erzeugten Betonrisse s i c h t b a r sind, welche n i c h t tief eindringen, ist links die d u r c h die D r u c k s p a n n u n g e n e n t s t a n d e n e Ausbruchstelle zu erkennen. Das Bruchbild ist somit dasselbe wie bei d e n d u r c h exzentrischen Druck zerstörten Säulen (vgl. Seite 202) u n d deshalb die Z e r s t ö r u n g sicherlich infolge von K n i c k e n eingetreten. Das S c h l a n k h e i t s v e r h ä l t n i s war 4 - = Q 0 = 28,2. «• t i •>x ) S p i t z e r , Mitteilungen über Versuche ausgeführt vom Eisenbetonausschuß des österr. Ingen.- und Arch.-Vereins, Heft 3. Versuche mit Eisenbetonsäulen, S. 140. 2 ) v. B a c h , Knickversuche mit Eisenbetonsäulen. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure 1913, S. 1969. H a g e r , Theorie des Eisenbetons.

14

—

210

—

15. Kapitel. Verdrehungsfestigkeit. Rechnungsrerfahren. Die B e a n s p r u c h u n g v o n B a u t e i l e n a u s E i s e n b e t o n auf V e r d r e h u n g ist n i c h t g e r a d e h ä u f i g , k o m m t a b e r v o r , w e n n K r a g b a u t e n in e i n e m E i s e n b e t o n b a l k e n e i n g e s p a n n t sind. Die B e r e c h n u n g der V e r d r e h u n g s s p a n n u n g e n h o m o g e n e r , i s o t r o p e r . B a u s t o f f e ist erst u n v o l l k o m m e n m ö g l i c h u n d g e r a d e f ü r d e n r e c h t e c k i g e n Q u e r s c h n i t t , der im B a u w e s e n a m h ä u f i g s t e n ist, n u r n a c h e i n e r A n n ä h e r u n g s t h e o r i e d u r c h f ü h r b a r 1 ) . E s w ü r d e d e m n a c h a u c h eine g e n a u e S p a n n u n g s r e c h n u n g f ü r V e r b u n d k ö r p e r auf n o c h b e d e u t e n d e r e S c h w i e r i g k e i t e n s t o ß e n m ü s s e n . Dies m a g a u c h der G r u n d d a f ü r sein, d a ß in d e n m e i s t e n L e h r b ü c h e r n des E i s e n b e t o n b a u s die

p

/ A

/

/

p' A b b . 218.

V e r d r e h u n g s f e s t i g k e i t ü b e r h a u p t n i c h t b e h a n d e l t w i r d u n d in d e n Z e i t s c h r i f t e n kaum Beachtung findet. Z u w e i l e n w e r d e n auf V e r d r e h u n g b e a n s p r u c h t e B a l k e n in zwei Teile zerlegt g e d a c h t , d e r e n j e d e r d a n n lediglich auf B i e g u n g b e a n s p r u c h t ist 2 ), wie in A b b . 218 d a r g e s t e l l t ist. A n Stelle des D r e h m o m e n t e s

9JI =

P-h

w ä r e b e i l ä u f i g zu s e t z e n Q • ^ h,

so d a ß v

3 2

r

3 ^ 2h

ist. Die b e i d e n B a l k e n h ä l f t e n w ä r e n s o m i t in e n t g e g e n g e s e t z t e r R i c h t u n g v o n den b e i d e n L a s t e n Q auf B i e g u n g b e a n s p r u c h t zu d e n k e n u n d der B a l k e n w ä r e n a c h A b b . 219 m i t Eisen zu b e w e h r e n . q Gegen diese B e r e c h n u n g s m e t h o d e w ä r e n i c h t s einzui A b b . 219.

w e n d e n , w e n n der B a l k e n v o r d e m B r u c h sich t a t s ä c h l i c h in zwei Teile s p a l t e n w ü r d e , welche d a n n auf B i e g u n g beansprucht wären.

D a s B r u c h b i l d eines auf V e r d r e h u n g b e a n s p r u c h t e n P r i s m a s ist a b e r g a n z a n d e r s , wie A b b . 220 bis 222 3 ) zeigen, welche d u r c h V e r d r e h u n g z e r s t ö r t e , r e c h t eckige, u n b e w e h r t e B e t o n p r i s m e n d a r s t e l l e n . Festigkeitslehre, F ö p p l , Vorlesungen über Technische Mechanik. III. Bd. Aufl. Leipzig-Berlin 1914. § 61. 2 ) K l e i n l o g e l , Eisenbeton und umschnürter Beton. Leipzig 1910. S. 180. 3 ) Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, Heft 16, berichtet von B a c h und G r a f . Berlin 1912.

-

212

—

Die Bilder zeigen, daß die Bruchlinien in den Seitenflächen des Prismas schräg laufen. Dieser Verlauf beweist, daß senkrecht zu diesen schrägen Linien Z u g k r ä f t e wirken, deren A u f t r e t e n m a n sich auf folgende Weise erklären k a n n 1 ) . In Abb. 223 ist ein durch zwei gleiche, entgegengesetzt gerichtete K r ä f t e paare auf Verdrehung beanspruchtes Prisma dargestellt. Infolge der Formä n d e r u n g wird ein ursprüngliches Q u a d r a t A B C D auf einer Außenfläche in ein R h o m b u s EFCD übergehen, wobei die Quadratdiagonale DB zur Rhombusdiagonale DF verlängert wird. Ist hierbei die Dehnungsfähigkeit des Stoffes überschritten worden, so wird senkrecht zur Diagonale DF ein schräger Riß entstehen. An den Versuchskörpern isotroper Stoffe k o n n t e m a n die Rißbildung nur unvollkommen beobachten, da mit Eintreten der ersten Risse auch die Festigkeit erschöpft war und der Bruch eintrat. Die Bruchlinie s t i m m t aber nicht

A b b . 223.

A b b . 224.

immer mit der Richtung der Risse überein, weil durch E i n t r e t e n der ersten Risse ein Körper von teilweise geänderten Abmessungen entsteht, in welchem die Bruchlinie einen anderen Verlauf n i m m t als die Risse in dem ursprünglichen Körper. Die Versuche mit bewehrten Betonprismen zeigten erst deutlich den Verlauf der durch Verdrehung entstehenden Risse, weil bei ihnen nach dem E i n t r e t e n der Risse die Belastung bis zum Bruch noch erheblich gesteigert werden k a n n . Der in Abb. 223 angedeutete Riß zeigt schon, wie m a n nahq der Oberfläche das Betonprisma bewehren m u ß , wenn die Bildung des Risses nicht u n m i t t e l b a r zum Bruch führen soll. Es müssen parallel zur Diagonale D B Eiseneinlagen laufen, welche die Zugkräfte dieser Bichtung a u f n e h m e n können. Man wird also zweckmäßig das Prisma mit Spiralen umwickeln, welche im Sinne des drehenden K r ä f t e p a a r e s ansteigen (vgl. Abb. 224). Die Abb. 225 2 ), 226 2 ), 227 2 ) zeigen deutlich die Risse, welche durch Verdrehen eines Eisenbetonprismas von rechteckigem Querschnitt e n t s t a n d e n sind. Das P r i s m a war mit sechs Längseisen Durchmesser 18 u n d acht Spiralen Durchmesser 7 bewehrt. Seine Abmessungen können der A b b . 228 e n t n o m m e n werden 2 ). In Abb. 229 2 ) erkennt m a n deutlich die unter einem W i n k e l von 45° gegen die Prismaachse verlaufenden Risse eines verdrehten Prismas von quadratischem Querschnitt. v. B a c h , Elastizität und Festigkeit, 6. Aufl. Berlin 1911. S. 317. ) Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, Heft 16, berichtet von B a c h und Graf. Berlin 1912. 2

—

A b b . 225.

213

—

A b b . 226.

A b b . 227.

D i e V e r s u c h e zeigen a l s o u n z w e i f e l h a f t , d a ß auf a l l e n . M a n t e l f l ä c h e n d e r v e r d r e h t e n P r i s m e n u n t e r 4 5 ° g e g e n die P r i s m e n a c h s e g e n e i g t e Hisse e n t s t e h e n u n d d i e E i s e n d e r s e n k r e c h t zu d i e s e n R i s s e n v e r l a u f e n d e n S p i r a l e n a u f Z u g b e a n s p r u c h t sind. K u r z v o r d e m E i n t r i t t des B r u c h e s w e r d e n die Risse v o n d e n A u ß e n f l ä c h e n d e s P r i s m a s a u s in d a s I n n e r e so w e i t v o r g e d r u n g e n sein, d a ß d i e d i e s c h r ä g e n Risse v e r u r s a c h e n d e n Z u g k r ä f t e allein v o n d e n s c h r ä g e n E i s e n der Spirale a u f g e n o m m e n w e r d e n m ü s s e n . Auf diese E i s e n w i r d sich n u n im a l l g e m e i n e n die Z u g k r a f t n i c h t g l e i c h m ä ß i g v e r t e i l e n . S o b a l d a b e r in e i n e m T e i l d e r E i s e n d i e S t r e c k g r e n z e e r r e i c h t w o r d e n i s t , w e r d e n sich die Z u g k r ä f t e in d e n E b e n e n d e r S p i r a l e n a h e z u g l e i c h m ä ß i g ü b e r die E i s e n v e r t e i l e n . E ü r d i e s e n S p a n n u n g s z u s t a n d ist d i e B e r e c h n u n g d e r E i s e n s p a n n u n g e n m ö g l i c h . W i r b e t r a c h t e n ein P r i s m a v o n r e c h t e c k i g e m Q u e r s c h n i t t .

Die R e e h t e c k s e i t e n

seien zwischen d e n Mittellinien der Spiralen g e m e s s e n a u n d b (Abb. 230)1). D a s V e r d r e h u n g s m o m e n t sei 9JE, w e l c h e s m a n s i c h a u s z w e i K r ä f t e p a a r e n z u s a m m e n g e s e t z t d e n k e n d a r f . J e eine K r a f t dieser K r ä f t e p a a r e w i r k t in einer Ebene der Spirale. m = Da.a Hager,

+

Db-b

»Armierter Beton«, 1914, H e f t 9/10.

(210)

Abb.

Abi). 220.

Dieses M o m e n t

erzeugt

Itcini

Erreichen

der

d i e g l e i c h e n Z u g k r ä f t e Z t ,, w e l c h e a u i d e n u n t e r stehen

Streckgrenze IT) 0 g e n e i g t e n

in

den

Hissen

Spiralen senkrecht

(Abb. 231).

Die angreifenden K r ä f t e üa und Db haben in den Ebenen der Spirale je eine Komponente (Abb. 231).

bzw. , welche in die Richtung der )' 2 )' 2 Werden von den unter 45° geneigten Rissen

Spiraleisen

fallen

in den a - F ä c h e n

—

215

—

je /¿-Eisen und in den 0 - F l ä c h e n je v - E i s e n getroffen, so sind die angreifenden K r ä f t e mit den inneren Z u g k r ä f t e n im Gleichgewicht, wenn = fi • Ze und

= v • Ze

(241)

Daraus folgt D„: Da = ¡u:v = a:b

(242)

Db=J-Da. Setzt m a n diese Gleichung in (240) ein, so erhält m a n a =

r,

TöT;

b =

3R ~2~b

Es soll das P r i s m a m i t x parallelen, in gleichem A b s t ä n d e liegenden Spiralen bewehrt sein. In einer W i n d u n g ersteigt eine Spirale eine Höhe von 2 (a -f- b), so daß die Spiralen, in der Richtung der P r i s m e n k a n t e n gemessen, einen Abstand e h a b e n (Abb. 231) , _ 2 (a + b) y. und einen kürzesten A b s t a n d (senkrecht gemessen) e (vgl. Abb. 231) (244)

Die Längen der unter 45° geneigten Risse sind a' = a - / 2 und b' =

b-i'2,

so daß die Anzahl der von je einem Riß getroffenen Eisen ist a' y.-a v— —= - . , bzw. nu= e a+ o

b' y.-b — = — e a b

(245) '

Setzt m a n die Gleichungen (245) und (243) in die Gleichung (241) ein, so erhält m a n SK (a + b) z = e 2-i2-y.-a-b und für den Querschnitt Fe der Spiraleisen die S p a n n u n g (24ö)

2-i2-Fe-y.-a-b

Welcher Bruchteil der Streckgrenze n u n f ü r a e gewählt werden m u ß , um hinreichende Sicherheit gegen Bruch zu haben, k a n n erst nach der später folgenden A n w e n d u n g dieser Gleichung auf Versuchsergebnisse gezeigt werden. Da aber das B a u w e r k auch keine schiefen Risse erhalten soll, darf auch ohne Rücksicht auf die Eisenbewehrung die Verdrehungsspannung xä eine gewisse Grenze nicht überschreiten. F ü r a > b ist zd im rechteckigen Querschnitt m (247)i)

V = 3 + 0,45 + l

) B a c h , Elastizität und Festigkeit, 6. Aufl.

y

Berlin 1911.

S. 317.

—

216

—

Verdrehungsversuche und zulässige Spannungen. v. Bach hat im Auftrag des Deutschen Ausschusses für Eisenbeton umfangreiche Verdrehungsversuche durchgeführt und dabei folgende, für die oben angeführte Rechnungsmethode wichtige Ergebnisse erzielt 1 ): Der Beton 1 : 2 : 3 und 9 Gewichtsprozente Wasser hatte nach 45 Tagen eine Würfelfestigkeit von 248 kg/qcm und eine Zugfestigkeit, an Prismen gemessen, von 18,6 kg/qcm. Derselbe Beton hatte im gleichen Alter nach der Formel (247) gerechnet: quadratischer Querschnitt 30/30 rd = 30,4 kg/qcm = 1,63 der Zugfestigkeit, rechteckiger » 42/21 rd = 32,4 » = 1,75 » » Nimmt man für rd ohne Rücksicht auf die Eisen als obere Grenze 15 kg/qcm, so hat man auch noch bei minderwertigerem Beton eine hinreichende Sicherheit gegen Rissebildung. Ergibt sich r d < 4 kg/qcm, kann man nach den deutschen Bestimmungen auf eine Spiralbewehrung verzichten; dagegen sollten an den Prismenkanten stets Längseisen zur Erhöhung der Sicherheit angeordnet werden. Für ein Prisma von quadratischem Querschnitt 30/30, das mit acht Längseisen Durchmesser 18 und acht Spiralen Durchmesser 7 bewehrt war, ergab sich ein Bruchmoment m = 406667 emkg,

a = 26,7 cm,

x =8,

I\ = 0,38 qcm.

Nach Gleichung (246) 406667-2-26,7 = 2772TÖ;38 • 8.26,7»

. . =

3 40

'

kg/q

°m'

Desgleichen für einen rechteckigen Querschnitt 42/21 mit sechs Längseisen Durchmesser 18 und acht Spiralen Durchmesser 7 2JJ = 370833 emkg, ö

cbm 0,534 0,490 0,405 0,449

Eisen

kg 332,2 297,8 370,0 304,8

Für die an den Rändern eingespannte Platte, die an drei Seiten gelagerte, rechteckige Platte und die an den vier Eckpunkten gelagerte Platte können in ähnlicher Weise, wie hier gezeigt ist, die in meinem oben erwähnten Buche, Berechnung ebener, rechteckiger Platten mittels trigonometrischer Reihen, entwickelten Reihen benutzt werden. Jedoch sind bei diesen Reihen die Schubkräfte unberücksichtigt geblieben, so daß die berechneten Oberflächenspannungen etwas zu groß sind.

Kassettendecke. Die rechteckige Kassettendecke kann als vierseitig gelagerte Eisenbetonplatte aufgefaßt werden, wenn nur die Nullfläche noch ganz in die volle Platte fällt, so daß die Rippen ganz in der Zugzone liegen. Man kann sich dann die in zwei benachbarten Kassettenhälften auftretenden inneren Zugkräfte aufgenommen denken durch die in der dazwischen liegenden Rippe vorhandenen Zugeisen. Da die Decke aus zwei Scharen sich kreuzender Plattenbalken besteht, wird ebenso wie bei den Plattenbalken aus wirtschaftlichen Rücksichten a b meist kleiner als die zulässige Betonspannung zu wählen sein. Hierdurch werden gleichzeitig die Deckenhöhe vergrößert und die Einbiegungen verkleinert. Nachdem das Annäherungsverfahren nicht die in den einzelnen Plattenpunkten eintretenden Oberflächenspannungen bzw. erforderlichen Eisenquerschnitte liefert, kann dieses Verfahren hier keine Anwendung finden. Es empfiehlt sich daher das oben erläuterte Verfahren mit Hilfe der trigonometrischen Reihen zu benutzen.

—

254

—

Zahlenbeispiel. E i n rechteckiger R a u m von 8,00/7,30 m soll mit einer Kassettendecke überdeckt werden, welche eine Nutzlast von 'n = 400 kg/qm zu tragen hat. Die Rippen sollen 1 m Abstand und 0 , 2 0 m Breite erhalten.

^¿Y

r

;

^

ÖS L——

3020

2frS

r

r

T| J

I

I

i

i

w

r

1

i

-

_-J 1

L

J

-

L

I r J _ . i L

_J

L_

J

i

^2012 ?f2S

s 15-

,i

.

"i

r

J

L_

1 i

j J

L

"i . L I

r

r .

Abb. 263.

Zur Berechnung des Eigengewichtes wird die P l a t t e n s t ä r k e zu 0,12 m, die Deckenhöhe zu 0,35 m geschätzt. Eigengewicht für 1 qm D e c k e : Platte Rippen Belag und Putz .

0 , 1 2 - 2 4 0 0 = 2 8 8 kg/qm 2 • 0 , 2 0 • 0,23 • 2400 = 221 » 0,06 • 2000 = 120 »

Eigengewicht Nutzlast . .

°7i ^ ' 7t =

Gesamtlast

630 kg/qm 400 » 1030 kg/qm = 0 , 1 0 3 0 kg/qcm

Stützweiten Z = 8,00 + 0,35 = 8,35 m;

= 7,30 + 0,35 = 7,65 m ;

, • = p = 1,1.

F ü r ab = 30 kg/qcm und ae = 1000 kg/qcm ist ^ = 0 , 4 9 0 , C2 = 0,00228, a = 0,310. Nach der Tabelle 8 des Anhanges ist f Z f (A,/i)

= 0,0620;

fZ'h

{A, /i) =

0,0542.

h — a x = 4 • 765 • /0,1030 • 0,490 • 0 , 0 6 2 0 = 30,0 cm. /.! = 4 • 765 • yo,lÖ3Ö • 0,00228 • 0 , 0 6 2 0 = 0,1385 qcm/cm.

—

255

—

Eisendurchmesser 25, Bügeldurchmesser 8, Bügelüberdeckung 1,5 cm, daher ai

25 = 1,5 + 0,8 H — =

3,5; h = 30,0 + 3,5 = 33,5; x = 0,310 • 30,0 = 9,30 cm.

Die Nullfläche fällt also, wie vorausgesetzt, in die Platte.

a = 3,5 + 2,5 = 6; h — a = 33,5 — 6 = 27,5. 97 5 4-835- i W 3 0 -0,0542 = ° ' 4 7 4 ' =

* = 31 kg/qcm,

C 2 = 0,00235,

4 • 835 • y"ÖTiÖ30"- 0,00235 • 0,0542 = 0,1365 qcm/cm.

Mit Hilfe der Tabelle 8 erhält man nun die Eisenquerschnitte für die einzelnen Rippen. In y =

0

»

, y = -g, y = -£-

»

o y = gl

»

v=~y

»

ist

»

/., =

felv

» felv

=0,1358 i

8,81

»

— 3 0 20,

| 0,0309 • -g- =

3,23

»

— 2 0 15.

}> 0

i

| 0,844 • -x- = » fe!„ = 0,1385-0,445 = 0,0617 ]

l

In x =

Mittel

} 0 , 1 3 5 4 - ^ = 1 4 , 1 4 qcm — 3 0 25, ö = 0,1385 -0,954 = 0,1322 j | 0,1196 12,48 » — 3 0 24, ö = 0,1385- 0,774 = 0,1070 >

ist

,

= 0 =0,1365 i

f . =

Mittel

i

.> x =

»

^ 0 , 1 3 3 1 1 2 , 2 4 qcm — 3 0 24, fex = 0,1365 - 0 , 9 5 1 = 0,1296 j " | 0,1170 • -J- = 10,75 » — 3 0 22, 8 ftx= 0,1365-0,765 = 0,1044 >

»

»

fex=-- 0,1365 -0,437 = 0,0596

»

fex = 0

»

x =

» ,

»

x = gly

=

0,596

--|- =

5,48

»

— 2 0 20.

Die Kassettenplatte ist gleichfalls eine vierseitig gelagerte Platte für sich allein betrachtet, welche als teilweise eingespannt betrachtet werden muß. Da die Zugkräfte aber nur klein sein können legt man am besten die Plattenbewehrung in die Mitte, so daß sie sowohl für negative als auch positive Biegungsmomente wirksam werden kann. Die statische Höhe ist deshalb die halbe Plattenstärke l = l1== 1,00 m; /( — « ! =

12

2 = 6 cm; ¡u=

1,0;

-

\Zf

(A, fi) = 0,0582,

7tx = 288 + 120 + 400 = 808 kg/qm = 0,0808 kg/qcm. r

_ -

h_ — ax 4 .¡1. f n x - i Z f - ( A , fi)

6 4 • 100 • / 0,0808-0,0582 ~~ U ' J

'

Hierzu gehört bei ae = 1000 kg/qcm, ob = 14 kg/qcm C 2 = 0,0011 f e l = 4• 100 • fö;ö808-0,0582 -0,0011 = 0,0073, Fe = Fel = 100 • 0,0073 = 0,73 qcm. Hierfür werden je 7 Durchmesser 5 = 1,37 qcm verwendet. Da an den Kreuzungsstellen der Rippen größere Querkräfte auftreten werden, wird es zweckmäßig sein, die in der Abb. 263 angedeuteten schrägen Bügeldurchmesser 12 anzubringen.

—

25b

—

Bandträger kreuzweise bewehrter Eisenbetonplatten. Die kreuzweise bewehrten E i s e n b e t o n p l a t t e n r u h e n h ä u f i g auf T r ä g e r n auf, deren D r u c k g u r t e teilweise von den P l a t t e n gebildet werden. Das g r ö ß t e Biegungsm o m e n t solcher Träger ist von der Verteilung des A u f l a g e r d r u c k e s der P l a t t e n auf die Träger a b h ä n g i g . Es liegt nun nahe, zur B e s t i m m u n g dieser L a s t v e r t e i l u n g a u c h die oben zur B e r e c h n u n g der Biegungsspannung b e n u t z t e n t r i g o n o m e t r i s c h e n Reihen zu v e r w e n d e n . Jedoch konvergieren die den S t ü t z d r u c k darstellenden Reihen langsamer als diejenigen, welche die S p a n n u n g liefern, so d a ß sie hier nicht b e n u t z t w e r d e n sollen. Versuchsrechnungen m i t Hilfe der trigonometrischen Reihen zeigen aber die ungefähre F o r m der L a s t v e r t e i l u n g . H i e r n a c h scheinen die W i n k e l h a l b i e r e n d e n durch die Ecken der rechteckigen P l a t t e als die Belastungsscheiden f ü r die R a n d t r ä g e r b e t r a c h t e t werden zu d ü r f e n . (Vgl. A b b . 264.) F ü r eine über die P l a t t e gleichförmig verteilte B e l a s t u n g n k g / q m stellen daher die O r d i n a t e n der a n die R a n d t r ä g e r a n s t o ß e n d e n Teilflächen m i t n multipli-

A b b . 264.

A b b . 265.

A b b . 266.

I n den A b b . 265 u n d 266 sind nach dieser L a s t v e r t e i l u n g die Belastungsflächen der R a n d t r ä g e r mit den Stützweiten u n d l eingezeichnet w o r d e n . Diese Belastungen ergeben bei freier A u f l a g e r u n g der Träger die g r ö ß t e n Biegungsm o m e n t e in der T r ä g e r m i t t e , und zwar f ü r die Schmalseite

JJi m l =

71 l

3

(301) 3

f ü r die Langseite

21 l l 71 9J}m = — j g - 1 • l ^ n — ^ g

(l

l ) 16" •

•

(302)

R u h e n auf einem Träger von zwei Seiten her P l a t t e n auf, so sind die Bel a s t u n g e n , welche von beiden P l a t t e n h e r r ü h r e n , zu addieren. N a c h E i n t e i l u n g der P l a t t e n in Streifen parallel zu den Rechteckseiten m i t hin u n t e r Vernachlässigung der inneren S c h u b k r ä f t e gelangt Dr. B o s c h 1 ) dazu, f ü r die R a n d t r ä g e r äquivalente gleichförmig verteilte Belastungen q1 u n d q k g / m vorzuschlagen.

Bezeichnet / =

1

das Seitenverhältnis u n d n (kg/qm) die gleich-

f ö r m i g ü b e r die rechteckige P l a t t e verteilte B e l a s t u n g der Flächeneinheit, so soll n a c h B o s c h f ü r die äquivalenten T r ä g e r b e l a s t u n g e n geschrieben werden f ü r die Schmalseiten f ü r die Langseiten

/ 0 4 A2 \ q 1 = |0,5 — ^ 11 • n (kg/m) 0 49 (1 35 A 4 - X2) q = ~ T ß aTTXT^-"' •

7 1

(kg/m)

(303) (304)

Dr. B o s c h , Forschungsarbeiten aus dem Gebiete des Eisenbetons, Heft IX. Berlin 1908. (Darmstädter Dissertation.)

—

257

—

Diese Belastungen geben ein wenig kleinere Biegungsmomente als die oben angegebenen Formeln, dagegen geben sie nicht für X = 1 auch q = qv wie zu erwarten wäre.

Plattenversuche. Aus den Betrachtungen der vorhergehenden Abschnitte dieses Kapitels kann entnommen werden, daß sowohl zur P r ü f u n g der theoretisch abgeleiteten Plattenformeln als auch zur Entscheidung der Frage, welcher der Annäherungsformeln der Vorzug zu geben sei, Versuche dringend notwendig waren. Da Modellversuche keine einwandfreien Ergebnisse erwarten lassen, müssen die Versuche in praktisch vorkommenden Abmessungen ausgeführt werden, wodurch aber nicht nur die Ausführung sehr schwierig, sondern auch die Kosten der Versuche sehr hoch werden. Es liegen deshalb bis jetzt auch nur die im Auftrag des Deutschen Ausschusses für Eisenbeton von Staatsrat von Bach 1 ) ausgeführten Plattenversuche vor. Bei diesen Versuchen sind quadratische und rechteckige Platten mit Einzellasten und nahezu gleichförmig verteilter Belastung geprüft und die Formänderungen gemessen worden, wobei gleichzeitig ähnliche Platten auf zwei Stützen aus demselben Beton beobachtet wurden, um einen unmittelbaren Vergleich bezüglich des Einflusses der Auflagerung ziehen zu können. Die Versuche haben die aus früheren Versuchen schon bekannte Erscheinung wieder bestätigt, daß die an den vier Rändern gelagerte Platte sich unter der Belastung an den Ecken von den Auflagern abhebt. Das Maß dieser Hebung ist aber bei der praktisch vorkommenden Verformung gegenüber der Einsenkung in Plattenmitte beispielsweise gering und würde sicherlich noch kleiner ausfallen unter einer wirklich gleichförmig verteilten, bis an die Plattenränder reichenden Belastung. Außerdem ist es nicht möglich, vollkommen starre Auflager zu schaffen, so daß in den Mitten der Plattenauflagern Einsenkungen beobachtet wurden, welche teilweise größer waren als die Hebungen an den Ecken, somit sicherlich zur Hebung der Ecken noch beigetragen haben. In Abb.267 2 ) sind die Linien gleicher Einsenkung dargestellt, welche von Bach an einer 12 cm starken Eisenbetonplatte mit zwei sich rechtwinklig überkreuzenden Eisenbewehrungen Durchm. 7 in 10 cm Eisenabstand bei 2,00/4,00 m Stützweite unter einer in 32 Punkten angreifenden Nutzlast von 12000 kg beobachtet hat. Aus dem Verlauf der daß man sicherlich einen der Platte auch während bei der Berechnung mit wendig ist.

Linie mit der Einsenkung 0 kann man schon erkennen, unbedeutenden Fehler begeht, wenn man die Auflager der Verformung als gerade Linien annimmt, wie dies Hilfe der trigonometrischen Reihen (vgl. S. 241) not-

Dieses Rechnungsverfahren liefert nach den oben angegebenen Quellen die Einbiegung z eines Punktes mit den Koordinaten x und y (vgl. Abb. 262) unter einer gleichförmig verteilten Belastung n x zu Z =

192 •7ix-(m* — l)-l12-l2 - 6 . / ,Ii3 m 71 Iii2 . Pc

2 m'— 1 ' m' 2 = j

j 1 1 n'2 —

• COS

2n' — l 7t X • COS

— ,1

Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, Heft 30, berichtet von v. Bach Graf, Berlin 1915. 2 ) Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, Heft 30, S. 231. H a g e r , Theorie des E i s e n b e t o n s .

1"

7iy.

und

—

258

—

Die Werte Am-n* für das Seitenverhältnis ¡x = y- erhält n (280) oder aus der Tabelle 8 des Anhanges.

man aus Gleichung

Auf die Breite 1,00 ist

dem Trägheitsmoment des Plattenquerschnittes für die Breite 1,00. Damit erhält man die Einbiegung des Plattenmittelpunktes (x = 0, y = 0) unter Benutzung von vier Reihengliedern

— 16-TrJl— — 2

—

259

—

I-'2-'-2

rrB • i: • (•)

( ^ u "I" ^21

^12 +

^22)-

Die nach dieser Formel berechneten Einbiegungen stimmen nun mit den von B a c h bei kleineren Belastungen vor E i n t r i t t der ersten Risse gemessenen Einbiegungen überein, wenn man die für diesen B e t o n und für geringe Spannungen zu n = 7,3 ermittelte Elastizitätsverhältniszahl und die Querdehnungsziffer m = 1,44 bis 2,79 wählt. Ferner hat sich ergeben, daß auch hier die Zahl m mit wachsender Spannung größer wird (vgl. S. 249). Für m = 4 ergeben sich die berechneten Einsenkungen ein wenig größer als die gemessenen, aber das Verhältnis zwischen Rechnung und B e o b a c h t u n g ist ungefähr dasselbe als bei den gleichzeitig angefertigten Balken auf zwei Stützen. Hieraus geht unzweifelhaft hervor, daß die Berechnung der vierseitig gelagerten P l a t t e mit gleichförmig verteilter Belastung mit Hilfe der trigonometrischen Reihen berechtigt ist. Zum Beweis seien die Rechnungs- und Messungsergebnisse folgender P l a t t e n zusammengestellt. P l a t t e Nr. 8 2 2 quadratisch, 2,00 m Stützweite, 8 cm stark, Eisen Durchm. 7 , Eisenabstand / = 10 cm. P l a t t e Nr. 8 2 6 quadratisch, 2,00 m Stützweite, 12 cm stark, Eisen Durchm. 7 , Eisenabstand t — 10 cm. P l a t t e Nr. 8 4 6 quadratisch, 2,00 m Stützweite, 12 cm stark, Eisen Durchm. 7, Eisenabstand veränderlich (t = 10 bis 14,3; = 9,3 bis 14,0). P l a t t e Nr. 8 6 6 rechteckig, 2,00/3,00 m Stützweite ( ^ = 1 , 5 ) , 12 cm stark, Eisen Durchm. 7, Eisenabstand t — 10 cm. P l a t t e Nr. 861 rechteckig, 2,00/4,00 m Stützweite (jj, = 2,0), 12 cm stark, Eisen Durchm. 7, Eisenabstand t — 10 cm. B a l k e n , Stützweite 2,00 m zwei Einzellasten, 12 cm stark, Eisen Durchm. 7, Eisenabstand t = 10 cm. Einbiegungen

in

Berechnet cm

Versuchsstück m =

Nr. 822 Nr. 826 Nr. 846 Nr. 866

|

Nr. 861

|

Balken

j

2

m = 4

0,0315 0,0400 0,0104 0,0130 0,0104 0,0129 0,0152 0,0192 0,0246 0,0307 0,0202 0,0254 0,0415 0,0522 0,0142 0,0284

Plattenmitte.

Gemessen

R e c h n u n g und Messung s t i m m e n überein bei

cm

Belastung kg/qm

0,034 0,009 0,012 0,019 0,028 0,014 0,033 0,0106 0,0279

876 970 963 744 1200 754 2130 P = 250 kg P = 500 kg

m Querdehnung

i

2,24 1,69 2,79 1,48 2,63 1,44 2,31 Summe der Einzellasten

Die Einbiegungen in der Mitte der quadratischen P l a t t e n waren erheblich größer für eine Einzellast in P l a t t e n m i t t e als für dieselbe Belastung auf 16 L a s t stellen gleichmäßig verteilt. E i n unmittelbarer Vergleich ist nicht möglich, weil unter der Einzellast bereits früher Risse eintraten als für die verteilte Belastung Einsenkungen gemessen wurden. Schätzungsweise scheinen die Einbiegungen 17*

—

miti']' e i n e r

Einzellast

in d e r

260

—

l'lattenmitte

rd. dreimal

so g r o ß

zu s e i n als

bei

g l e i c h e r a b e r v e r t e i l t e r B e l a s t u n g , B e i d e m B a l k e n a u f z w e i S t ü t z e n ist r e c h n e r i s c h V> 1 das entsprechende \ erhültnis . : , , = 1,(>:1. ,>S i tn Die B i l d u n g der ersten Risse k a n n a m besten d u r c h Vergleich der B e l o n z u g s p a n n u n g e n n b . u n m i t t e l b a r voi' K i n t r i t t d e r R i s s e b e u r t e i l t w e r d e n . Hin

A hb.

solcher

\ ergleich

wurde

von

Räch

gezogen, welche aus demselben wehrung

hergestellt

worden

zuniichsl

für die

B e t o n , wie die

waren.

Dabei

ergab

Q u e r e i s e n erheblich g r ö ß e r als für dir B a l k e n mit die e r s t e n eisen lagen.

Kisse d e r

Balken

mit

Quereisen

lialken

Platten,

und

auf

zwei

mit

Stützen

derselben

s i c h ab_ f ü r d i e

Balken

Beohne

Quereisen1); ferner e n t s t a n d e n

an den

D a r a u s ist zu s c h l i e ß e n , d a ß d e r B e t o n

Stellen, an unter einem

welchen

Quer-

engmaschigen

M e t z v o n E i s e n s t ä b e n w e n i g e r w i d e r s t a n d s f ä h i g ist a l s u n t e r E i s e n e i n e r

Richtung.

D e u t s c h e r A u s s c h u ß f ü r E i s e n b e t o n , H e f t 30, b e r i c h t e t von B a c h u n d G r a f , S. 5 t .

—

261

—

Diese Erscheinung ist nicht auffallend, weil durch das engmaschige S t a b netz die Verdichtung der durchdringenden Betonmasse beeinträchtigt wird. Auch bei einer anderen Gelegenheit konnte festgestellt werden, daß durch die engmaschige Bewehrung zunächst eine Verminderung der Betonfestigkeit eintritt. Rudeloff konnte nämlich auch bei Säulen feststellen, daß die Betonfestigkeit in der bewehrten Säule geringer ist als in der unbewehrten 1 ). Man darf aus diesen Beobachtungen den Schluß ziehen, daß in den gekreuzt bewehrten Platten die Eisenabstände nicht zu klein (10 cm) gewählt werden sollten.

In den Abb. 2 6 8 a 2 ) bis d 2 ) sind die Photographien einer quadratischen und einer rechteckigen P l a t t e wiedergegeben, welche unter einer nahezu gleichförmig verteilten Belastung zu B r u c h gingen. Die kleinen Kreise auf den oberen Plattenflächen bezeichnen die Lastangriffe. Die Risse wurden vor der Lichtbildaufnahme mit schwarzer F a r b e , um sie auch in der Verkleinerung sichtbar zu machen, nachgezogen und die Belastungen, unter denen sie entstanden sind, in Tonnen beigeschrieben. Die Abb. 2 6 8 a zeigt die Unterfläche einer 12 cm starken mit Eisen Durchm. 7 in Abstand t = 10 bis 14,3 und = 9,3 bis 14,0 cm bewehrten quadratischen Deutscher Ausschuß für Eisenbeton, H e f t 34, 1915,

S. 1. 2

) Wie

S. 124 und 1 2 5 , 2 1 6 und 217.

berichtet

von Rudeloff,

Berlin

-

Abb. 208 c.

—

—

2g;;

—

E i s e n b e t o n p l a t t e . .Man e r k e n n t d e u t l i c h , d a ß die D i a g o n a l e n die g e f ä h r l i c h e n Q u e r s c h n i t t e s i n d , w e n n a u c h in der P l a t t e n m i t t e die W i r k u n g der vier E i n z e l l a s t e n b e m e r k b a r ist, welche m u h n i c h t g a n z der W i r k u n g einer g l e i c h f ö r m i g verteilten Belastung entspricht.

Abb. -„'Iis i|. In A b b . 2t)8b • ist die o b e r e F l ä c h e d e r s e l b e n P l a t t e d a r g e s t e l l t . M a n sieht die u n t e r h ö h e r e n B e l a s t u n g e n e n t s t a n d e n e n ü b e r E c k u n d l ä n g s der D i a g o n a l e v e r l a u f e n d e n Risse, w e l c h e teilweise (in der D i a g o n a l e ) Z e r s t ö r u n g e n d u r c h D r u c k s p a n n u n g e n teilweise a b e r a u c h u n t e r d e m E i n f l u ß schiefer Z u g k r ä f t e (vgl. S. 27")) e n t s t a n d e n zu sein s c h e i n e n .

—

264

—

Die Abb. 268c gibt die untere Fläche einer rechteckigen (2,00/3,00 m), 12 cm starken Eisenbetonplatte wieder, welche in zwei Lagen mit Eisen Durchmesser 7 parallel zu den Seiten in t = tx = 10 cm Eisenabstand bewehrt ist. Die ersten Risse sind in der Plattenmitte parallel zu den Langseiten entstanden, und erst bei fortschreitender Belastung verlängern sie sich gleichlaufend mit den Winkelhalbierenden. Es ist also die Diagonale nicht mehr als gefährlicher Querschnitt zu betrachten. Auch hier ist noch die Wirkung der beiden mittleren Lastreihen als die von Einzellasten zu erkennen. Die Abb. 268d, welche die obere Fläche derselben Platte nach dem Belastungsversuch darstellt, zeigt, wie die quadratische Platte Zerstörungen in den Winkelhalbierenden, welche wohl von Druckkräften herrühren können, und über Eck laufende Sprünge, welche auf schiefe Zugkräfte hindeuten. Für die oben beschriebenen fünf Versuchsplatten hat bei annähernd gleichmäßig verteilter Nutzlast P in kg von Bach folgende Belastungen, unter denen die ersten Risse eintraten, und folgende Höchstlasten (ohne Eigengewicht) beobachtet : B e l a s t u n g kg

Platte N r . 822

Platte N r . 826

Platte Nr. 846

Platte N r . 866

Platte N r . 861

Rißlast . . . . Höchstlast . . .

7 167 25 517

13 167 40 333

11 000 37 500

11 000 44 333

12 333 kg 50 667 kg

Man kann nun die gleichförmig verteilte Belastung tzx kg/qm ausrechnen, unter welcher an der ungünstigsten Stelle in den Eisen gerade die Spannung ae — 1000 kg/qcm erreicht wird, während die größte Betondruckspannung ah < 40 kg/qcm bleibt. Vergleicht man diese Belastung mit den oben beobachteten Lasten, so erhält man die Sicherheit gegen Risse bzw. gegen Bruch. Diese Rechnung denke man sich nun durchgeführt nach den drei Rechnungsa2 verfahren, mit trigonometrischen Reihen, mit der Lastverteilung nb = nx- ft2Tj_ ¿,2 «4 . . und mit der Lastverteilung 7ib — iix • • Dabei soll in der Rechnung die Betonzugfläche vernachlässigt, « = 1 5 und m = 2 gesetzt werden. Die Ergebnisse dieser Rechnungen sind in der Zusammenstellung auf S. 265 für die fünf betrachteten Versuchsplatten und zwei Versuchsbalken enthalten. Die Berechnung nach den trigonometrischen Reihen liefert mit Ausnahme der Platte 861 ähnliche Werte als die Berechnungen der gleich starken Balken auf zwei Stützen, so daß also auch hierdurch ein Beweis für die Richtigkeit des Rechnungsverfahrens mit trigonometrischen Reihen gegeben ist. Beide Annäherungsrechnungen liefern für quadratische Platten dieselben Werte, dagegen stimmen die Sicherheitswerte, welche sich aus der Verteilungsa2 gleichung für rechteckige Platten n b = n x ergeben, auffallend gut mit denen der trigonometrischen Rechnung überein, während die Annäherungsgleichung mit den vierten Potenzen der Stützweiten zu große Sicherheitsziffern ergibt. Daraus kann man den Schluß ziehen, daß die Rechnung nach der quadratischen Annäherungsgleichung hinreichend richtige Werte für Platte mit gleichförmig verteilten Bewehrungen liefert. Die auffallend große Sicherheit de;1 langen, rechteckigen Platte (Nr. 861) ist damit zu erklären, daß sie auch gleichlaufend zur langen Seite mit derselben

— Vergleich

265 der

— Sicherheit

für n = 15, m = 2 bei ae = 1000 kg/qcm und ab < 40 kg/qcm. Sicherheit ' Sicherheit gegen R i s s e j gegen B r u c h

Nr. 822

h = 8 cm trigonometrisch, „2 6

a2 +

_ '

b

ab = 35,8

Ä2

a a4 + 64 4

~

'

x

'

Nr. 826 h = 12 cm trigonometrisch, ab = 26,9 _ a2 a" -t4 Nr. 846 h = 12 cm trigonometrisch, ab = 27,8 a2 1 a 2 + 62 '6 =

r

^

a

> 1 n =

/

m n x

v

«

Amn—cos 1

.

n n y cos——|- 0 3 cos

Reihe

.^ „3 c

m n x

n n y

,

o s — +

a

b

\

5 • r

b

j

W i r d nun das erste Glied dieser Reihe berücksichtigt, so ergeben sich f o l g e n d e Ableitungen: . 1

z =

A

71 X

—cos

\

ÖZ

.

; o x

=

—

A

, ,, cos

71 y

c o s — 3

a

b

n

.

j- 3 cos

71 y

a

71

/ — sin

a

\

•

71X

7tX

71 y

cos —

a

+

. „ . 3 sin

b

/ 7z\2 l 71X 7IW,0 — — c o s - - • cos — f - + 3 c o s

o x

\al

\

a

b

¡7l\2

I

71 x

71 y

ö

w

i

z

Ö2Z — —b x b y

=

~

=

—

,

. A

\b)

71 71 • — a b

(-cos — - c o s - ^ + •

• , • sin

71X a

.

r

+

r \

5

.

.

,

n n

r ,

(305)

/ n x a

Ö2Z , TT—j-= — A 2

,

b

71X a

,

„

71 y

(306)

S c o s ^

71 y

sin — b

Dr. L e w e , Berechnung trägerloser Eisenbetondecken. Beton und Eisen 1915, S. 121.

—

268

—

Bezeichnet man mit m die Poissonsche Zahl, so kann man die Deformationsarbeit (elastische Energie) eines Plattenfeldes schreiben 1 ): m1 31 =

2-

2i

— r - e -

,

m —1

J-Ii

1

ò x21

o o

\

ò y21

\

m I \ ò xò

òx2

m

òy2

(307)

d x d y

y j

Es sind daher zunächst folgende Integrale zu bilden: x 0 0

n y

cos^2 ,

•

a

b

0 0 „ 71 x

tiy

— 6 • cos2:

.

n x \

,

cos —y -f- 9 cos2 •—-1 ax • dy n

n

a b

¡ ^ f - d x . d y ^ . ^ J . ^ . a b

(308)

o o a b d x - d y =

A

2

- ( ~ \

• - >-

•

(309)

ab

0 0 Ò2Z J J òx2 b o

a b

2 C

Ò2Z òy 2 3 cos

2

ix • d y =

A

COS2

71

•

COS'

71 y

0 0 2 71 11X

a

n y

— cos " f - — 3 cos

71X

b

a b

fò2Z

• cos1

a

ti

j

y

Ò2 z

- ( - 9 cos

2

I ti

\2

71 X ^ • cos - j ^ - j d x d y

ab

• •

4

• •

(310)

0 Ó a b

_A2M2 o o

ò x ò y j

d x - d y =

-

2

A-

• U-

•

, 71 X

-sin 2

• sin 2

n y

d x d y

o o ti

r

al

(3U)

Ò 0 Die Integrale (308) bis (311) sind nun in (307) einzusetzen ?.( = 2 •

m2 m

2

•e

h3

A

2

—1

12

4•

-ji a

3

i

(19 è 4 -(- 19 a 4 + 2 a 2

b2)

(312)

Nimmt man die Auflagerpunkte als unverschieblich an, so beschränkt sich die Arbeit % der äußeren Kräfte auf die Arbeit der Lasten (tix kg/qm) 1

) H a g e r , Berechnung ebener rechteckiger Platten. Deutsche Bauzeitung, Betonbeilage 1912, Nr. 1, S. 6.

—

269

—

ah % = ah

, A

j | z d x d y ••

00

7ix

— COS

' l j i

x

- ) ) 00

z d x d y

l

n y

,

b

'

,,

(313)

7i x

COS —r- 4 - 3 COS

a

a

7iy

+ o COS -r'

b ) d x d y

b

ab

• 5 • ab

•• A

\ \ z d x d y - -

oo %= 2•

nr

• 5 •a

• A

b

.

(314)

.

(315)

Da die A r b e i t 9( der inneren K r ä f t e gleich der Arbeit % der ä u ß e r e n K r ä f t e sein m u ß , ergibt die Gleichung 9( = % m i t Hilfe der Gleichungen (312) u n d (315) f ü r die K o n s t a n t e A den A u s d r u c k A =

w

Tij, • 2 0 • a 4 64 • 12 • (m 2 — 1) z

- f • Ä 3 • TT4 ( 1 9 6 4 +

19a

4

+

a2b2)

2

Mit E i n f ü h r u n g der Seitenverhältniszahl 1, a = X • b, erhält m a n ,

20 • n x • (m 2 — 1)_. 12 4 w • e • 7r (19 -)- 1 9 1 4 - f - 2 • h3

=

2

•

•

(316)

• •

F ü r die S p a n n u n g e n an den P l a t t e n a u ß e n f l ä c h o n , parallel zu den K o o r d i n a t e n achsen x u n d y bestehen die Gleichungen m2

m£ — 1

m2 — 1

h

/

22 \i ö xrt2

1

e.

h

:

2 \ö

ö2z öö yy22

ö2;

c

y2

+ m

1 m

(317)i

2 . ö z

ö

x2

Diese S p a n n u n g e n k ö n n e n somit mit Hilfe der Gleichungen (306) u n d der K o n s t a n t e .t b e r e c h n e t werden. Es soll hier nur o x0 weiter b e h a n d e l t werden, weil d a n n a u c h durch die V e r t a u s c h u n g e n t s p r e c h e n d e r Größen o„0 gebildet werden k a n n . 6 20 n x • x4 • b4 4 7t (19 + 19A 4 + 2A2) h 2 2 nx Tiy , 3 71 V 71X 71 21 cos — c o s - - ; 3 cos a

V

b

°xo