Veröffentlichung des Physikalisch-Technischen Instituts: Zur Bestimmung der Charaktere von irreduziblen Darstellungen nicht-symmorpher Raumgruppen [Reprint 2021 ed.] 9783112562321, 9783112562314

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D E U T S C H E A K A D E M I E D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU B E R L I N Veröffentlichung

des Physikalisch-

Technischen

Instituts

Nr. 2

ZUR BESTIMMUNG D E R C H A R A K T E R E VON I R R E D U Z I B L E N D A R S T E L L U N G E N NICHT-SYMMORPHER RAUMGRUPPEN

H. W.

STREITWOLF

Mit 1 Abbildung und 9 Tabellen

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN 1962

Erschienen im Akademie-Verlag GmbH, Berlin W 8» Leipziger Straße 3—4 Copyright 1962 by Akademie-Verlag GmbH Lizenznummer: 202 . 100/740/62 Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer" Bad Langensalza Bestellnummer: 2099/2 . ES 18 B 1 • Preis: DM 7,90

A general method is presented for the calculation of the character table of a group, if the character table of an invariant subgroup of index 2 or 3 is already known. For some special cases this method has already been described by ZAK [1], For the space groups 0\ and Tl the character tables are rederived according to the generalized method presented here thus removing some errors made by ZAK.

1. Einleitung Zur Untersuchung von Symmetrieeigenschaften der Eigenwerte und Wellenfunktionen eines Elektrons, das sich in einem kristallsymmetrischen Potential befindet, benötigt man die Charaktere der irreduziblen Darstellungen der Raumgruppe, unter deren Transformationen das Potential invariant bleibt.1) Jede irreduzible Darstellung der Raumgruppe läßt sich einem Satz von reduzierten k-Vektoren aus der BBILLOUIN-Zone (Stern von k2)) zuordnen und durch eine sog. kleine Darstellung der Gruppe von k G(k) ausdrücken [5]. G(k) besteht aus allen den Elementen {a/a} 3 ) der Raumgruppe, deren Drehanteil a den Vektor k invariant läßt oder in einen äquivalenten k + K (K, reziproker Gittervektor) überführt. Eine kleine Darstellung dei Gruppe Cr(k) heißt eine irreduzible Darstellung von C?(k), bei der die reinen Translationselemente {e/R„} durch • 1 repräsentiert werden [4], In vielen Fällen lassen sieh die kleinen Darstellungen von Cr(k) ihrerseits durch irreduzible Darstellungen der Punktgruppe O0(k) ausdrücken, deren Elemente k invariant lassen. Die Charaktere der Punktgruppe sind aber allgemein bekannt [5]. Nur für k-Vektoren auf der Oberfläche der BRiLLOUiN-Zone bei nicht-symmorphen4) Raumgruppen gelingt diese Rückführung nicht, und es 1) Vgl. z.B. [2], [3]. ) Vgl. z.B. [4]. 3 ) Bezeichnung der Elemente der Raumgruppe nach SEITZ [6]. A bedeutet eine Drehung oder Drehinversion, a eine darauffolgende Translation. 4 ) Eine Kaumgruppe heißt nicht-symmorph, wenn sie Elemente {a/a} enthält, deren Translationsanteil keine primitive Translation beschreibt, also sich nicht ganzzahlig aus drei linear unabhängigen Basistranslationen linear kombinieren läßt. Diese Elemente {a/a } beschreiben Schraubungen und Gleitspiegelungen. 2

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A general method is presented for the calculation of the character table of a group, if the character table of an invariant subgroup of index 2 or 3 is already known. For some special cases this method has already been described by ZAK [1], For the space groups 0\ and Tl the character tables are rederived according to the generalized method presented here thus removing some errors made by ZAK.

1. Einleitung Zur Untersuchung von Symmetrieeigenschaften der Eigenwerte und Wellenfunktionen eines Elektrons, das sich in einem kristallsymmetrischen Potential befindet, benötigt man die Charaktere der irreduziblen Darstellungen der Raumgruppe, unter deren Transformationen das Potential invariant bleibt.1) Jede irreduzible Darstellung der Raumgruppe läßt sich einem Satz von reduzierten k-Vektoren aus der BBILLOUIN-Zone (Stern von k2)) zuordnen und durch eine sog. kleine Darstellung der Gruppe von k G(k) ausdrücken [5]. G(k) besteht aus allen den Elementen {a/a} 3 ) der Raumgruppe, deren Drehanteil a den Vektor k invariant läßt oder in einen äquivalenten k + K (K, reziproker Gittervektor) überführt. Eine kleine Darstellung dei Gruppe Cr(k) heißt eine irreduzible Darstellung von C?(k), bei der die reinen Translationselemente {e/R„} durch • 1 repräsentiert werden [4], In vielen Fällen lassen sieh die kleinen Darstellungen von Cr(k) ihrerseits durch irreduzible Darstellungen der Punktgruppe O0(k) ausdrücken, deren Elemente k invariant lassen. Die Charaktere der Punktgruppe sind aber allgemein bekannt [5]. Nur für k-Vektoren auf der Oberfläche der BRiLLOUiN-Zone bei nicht-symmorphen4) Raumgruppen gelingt diese Rückführung nicht, und es 1) Vgl. z.B. [2], [3]. ) Vgl. z.B. [4]. 3 ) Bezeichnung der Elemente der Raumgruppe nach SEITZ [6]. A bedeutet eine Drehung oder Drehinversion, a eine darauffolgende Translation. 4 ) Eine Kaumgruppe heißt nicht-symmorph, wenn sie Elemente {a/a} enthält, deren Translationsanteil keine primitive Translation beschreibt, also sich nicht ganzzahlig aus drei linear unabhängigen Basistranslationen linear kombinieren läßt. Diese Elemente {a/a } beschreiben Schraubungen und Gleitspiegelungen. 2

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müssen umständlichere Methoden zur Bestimmung der Charakterentafel von C?(fe) verwendet werden. Man kann dazu z . B . wie H E E R I N G [ 7 ] die Klassenmultiplikationskoeffizienten benutzen, eine Methode, die häufig zur Berechnung von Charakterentafeln verwendet wird, aber streng genommen eine Zerlegung der Gruppe in Klassen konjugierter Elemente voraussetzt und die ziemlich umständlich ist, wenn man nicht zusätzliche spezielle Eigenschaften der untersuchten Gruppe ausnutzt. STJGITA und Y A M A K A [8] geben ein anderes Verfahren an, indem sie von einer symmorphen Untergruppe von Cr(k) ausgehen, deren Charakterentafel leicht angebbar ist und aus ihr die Chaxakterentafel für G(k) ableiten, indem sie mit Hilfe von Darstellungsfunktionen [9] die Darstellungen von G(k) direkt angeben. Unmittelbar interessieren allerdings nur die Charaktere.' Man kann sie nach dem Vorgehen von ZAK [1] aus den Charakteren einer symmorphen Untergruppe vom Index 2 oder 3 über die sog. Charakteristiken der Darstellungen erhalten. Wir wollen hier diese Methode in einer etwas verallgemeinerten Form übersichtlich darstellen. Das Problem wird wie folgt formuliert: Gegeben sei eine Gruppe G, die einen Normalteiler H vom Index 2 oder 3 besitzt. Gesucht wird die Charakterentafel von G, wenn die Charakterentafel von H bekannt ist.

2. Klassen von 0 und H Zunächst untersuchen wir die Klasseneinteilungen von G und H in Klassen konjugierter Elemente. Sind Ct die Klassen von G, so ist ¿=1 Da H Normalteiler ist, besteht H aus ganzen Klassen C i ; die wir so durchnumeT'

rieren wollen, daß H = £ Ci ( / < r) ist. Die Klasseneinteilung von H kann i = 1

dann höchstens eine Verfeinerung der Klassen Ci sein. Wir können die Klassen mi

von H also mit Ci;- bezeichnen 0 { = £ C(j (i = 1, . . ., r') und erhalten als Klasseneinteilung von H i= 1 r' H

=

mi

Z S C 1 = 1 j = l

i

f

.

Über die Verfeinerung der Klasse Q machen folgende beiden Sätze Aussagen, wenn H vom Index 2 oder 3 ist. Satz 1. H ist vom Index 2. Ci ist genau dann eine Klasse von H (verfeinert sich also nicht), wenn ein Element a 0 6 Ci und ein Element b0 e\G — H existieren, so daß ab = ba ist. Andernfalls verfeinert sich 0» in zwei gleichmächtige Klassen C\j von H ( = 2). 4

müssen umständlichere Methoden zur Bestimmung der Charakterentafel von C?(fe) verwendet werden. Man kann dazu z . B . wie H E E R I N G [ 7 ] die Klassenmultiplikationskoeffizienten benutzen, eine Methode, die häufig zur Berechnung von Charakterentafeln verwendet wird, aber streng genommen eine Zerlegung der Gruppe in Klassen konjugierter Elemente voraussetzt und die ziemlich umständlich ist, wenn man nicht zusätzliche spezielle Eigenschaften der untersuchten Gruppe ausnutzt. STJGITA und Y A M A K A [8] geben ein anderes Verfahren an, indem sie von einer symmorphen Untergruppe von Cr(k) ausgehen, deren Charakterentafel leicht angebbar ist und aus ihr die Chaxakterentafel für G(k) ableiten, indem sie mit Hilfe von Darstellungsfunktionen [9] die Darstellungen von G(k) direkt angeben. Unmittelbar interessieren allerdings nur die Charaktere.' Man kann sie nach dem Vorgehen von ZAK [1] aus den Charakteren einer symmorphen Untergruppe vom Index 2 oder 3 über die sog. Charakteristiken der Darstellungen erhalten. Wir wollen hier diese Methode in einer etwas verallgemeinerten Form übersichtlich darstellen. Das Problem wird wie folgt formuliert: Gegeben sei eine Gruppe G, die einen Normalteiler H vom Index 2 oder 3 besitzt. Gesucht wird die Charakterentafel von G, wenn die Charakterentafel von H bekannt ist.

2. Klassen von 0 und H Zunächst untersuchen wir die Klasseneinteilungen von G und H in Klassen konjugierter Elemente. Sind Ct die Klassen von G, so ist ¿=1 Da H Normalteiler ist, besteht H aus ganzen Klassen C i ; die wir so durchnumeT'

rieren wollen, daß H = £ Ci ( / < r) ist. Die Klasseneinteilung von H kann i = 1

dann höchstens eine Verfeinerung der Klassen Ci sein. Wir können die Klassen mi

von H also mit Ci;- bezeichnen 0 { = £ C(j (i = 1, . . ., r') und erhalten als Klasseneinteilung von H i= 1 r' H

=

mi

Z S C 1 = 1 j = l

i

f

.

Über die Verfeinerung der Klasse Q machen folgende beiden Sätze Aussagen, wenn H vom Index 2 oder 3 ist. Satz 1. H ist vom Index 2. Ci ist genau dann eine Klasse von H (verfeinert sich also nicht), wenn ein Element a 0 6 Ci und ein Element b0 e\G — H existieren, so daß ab = ba ist. Andernfalls verfeinert sich 0» in zwei gleichmächtige Klassen C\j von H ( = 2). 4

Bew.: Zunächst überzeugt man sich leicht indirekt davon, daß, wenn a,b e 0 — H, so, ab e H ist, wenn H vom Index 2 ist. Sei nun c ein beliebiges Element aus C'j. Existiert dann a0 e Cj und b0 € G — H mit a0 b0 = b0a0 , so sind c und a0 in G konjugiert Es existiert also ein d e G mit c = d^1 a0 d. Ist d € H, so sind c und a0 auch in H konjugiert. Ist d S H, so ist b0d e H und wegen c = d'1 a0 d = d~l a 0 b0d = (b0 d)'1 a0 b0 d sind c und a„ auch dann in H konjugiert Zum Beweis der Umkehrung nehmen wir an, daß a b b a ist für alle a e Ci und alle b e G — H. Ist dann a0 ein spezielles Element aus Cit so wollen wir die von ihm erzeugte Klasse von H Cil nennen Ist b0 ein spezielles Element aus G — H, so ist bü-1 a0 b0 e C'i- Die von b~l a0 b0 erzeugte Klasse in H wollen wir Ci2 nennen. Durchläuft c alle Elemente von Civ so durchläuft fr^-1 c b0 alle Elemente von 6'i2. Die beiden Klassen sind gleichmächtig. Sie sind verschieden, sonst gäbe es ein Element h e H mit a0 = h~1fc"1a0 b0 h, d . h . b0h(b0h&G—Hl) kommutieit mit a0, im Widerspruch zur Annahme. Cj besteht nur aus den beiden Klassen Cit und Ci2, denn ist c € Oj, aber c ä Civ so existiert d e G — H mit c = d'1 a0 d = d'1 b0 (b^1 a b0) &"1 d, d. h. c e Ci2, da d e H. Satz 2. H ist vom Index 3. G{ ist genau dann eine Klasse von H (verfeinert sich also nicht), wenn ein Element a0 € C\ und ein Element b0 € G — H existieren, so daß a0 b0 = b0 a0 ist. Andernfalls verfeinert sich C{ in drei gleichmächtige Klassen C'ij von H (Wj = 3). Bew.: Wir wollen die Nebenklassen von G nach H, H' und IT1 nennen: G = = H + H' + H''1. Ist nämlich b0 e H', so ist 6" 1 £ H"1. Man überzeugt sich indirekt davon, daß ab e H ist, wenn a e H' und b e H''1 ist. Sei nun c ein beliebiges Element aus CExistiert dann a 0 e Ci und b0 e H'x) mit a 0 &Q = b0 a0, so sind c und a0 in G konjugiert. Es existiert also ein d e G mit c = da0 d. Ist d e H, so sind c und a0 auch in H konjugiert. Ist d e H' (d e Ii''1), so ist b~ z d e H (b0d e H) und wegen c = d'1 a0b0 b¡p1 d = (b^1 d)_1 a0 d (c = d1 a0 b~l bnd= (b0 d)'1 aa b0 d) sind c und a0 auch dann in H konjugiert. Zum Beweis der Umkehrung nehmen wir an, daß a b 4= b a ist für alle a e C\ und alle b 6 H' (das gilt dann auch für alle b e H'~x). Ist dann a0 ein spezielles Element aus G';, so wollen wir die von ihm erzeugte Klasse von H C;i nennen. Ist b0 ein spezielles Element aus H', so sind a0 b0 und b0 a0 b^1 aus C\. Die von b^1 a0 b0 erzeugte Klasse von H wollen wir C i2 und die von b0 a0 fe^"1 erzeugte Klasse Ci3 nennen. Durchläuft c alle Elemente von Civ so durchläuft b^1 c b0 alle Elemente von Ci2 und b0 c b^1 alle Elemente von C i3 . Die drei Klassen sind gleichmächtig. o. B. d. A. 60 € H', da dann b^1 e H'-1

existiert.

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Sie sind verschieden, sonst gäbe es zwei Elemente h , h ' e H mit a = h b ^ a b h ~ h''1 bQ a0 b^1 h', d. h. b0 h (60 h e II') und h' (b^1 h' e H''1) würden mit a0 kommutieren im Widerspruch zur Annahme. E s ist aber auch Ci2 =(= Cia, da sonst ein Element h e H existieren würde mit b\j-1 a0 b0 = bn a0 b^1 h0, d. h. ö ^ 1 h 1 1 würde mit a0 kommutieren, aber b^ h b"' kann kein Element h' aus H sein, da sonst 6 " 1 h — h' b0 wäre, d. h. H' = II'1. Cj besteht nur aus den drei Klassen Civ Ci2 und C i3 . I s t nämlich c e Ciy aber c ä C „ C £3 , so existiert ein d c G mit c = d ~ a d . Wäre d e H ' ( d e ff'-1), so existiert h eH (h' e H) mit d = b0h (d = b^1 h') und es wäre c = h'1 b~l aa b0 h (c = h''1 b0 a0 b^1 h'), d . h . c e Cj» (c € Ci3) im Widerspruch zur Annahme. Es m u ß also d 6 H sein, also c e Cil. 0

l

i 2

- 1

1

0

0

n

3. C h a r a k t e r i s t i k e n

Die Bestimmung der Charaktere von G erfolgt zweckmäßig über die sog. Charakteristiken (s. z. B. [10]). T

G =

0; sei wieder eine Gruppe der Ordnung g mit ihrer Klasseneinteilung; ¿=i . . ., ® r seien die irreduziblen Darstellungen u n d die Charaktere. fi sei eine Klassenfunktion auf ( ? ( » = ! , . . ., r). Dann gibt es zu jeder irreduziblen Darstellung von G eine einfache Charakteristik í = i

y

(r¡, Elementzahl'in der Klasse C\). r Analog existieren zu reduziblen Darstellungen ® = £ n p gesetzte Charakteristiken: ,p = 1 m

=

^

-

Z

r

f

i

¿=1

y

i

X

;

=

¿

n

p

1=1

&

p

(

f

)

.

zusammen-

( 1 )

Aus dem Koeffizienten von kann man jeweils leicht den Charakter der Klasse C'{ bestimmen. Wenn man < P ( f ) in (1) einsetzt, kann man mit den Orthogonalitätsrelationen für die ffl die Gleichung umkehren: p

/