Untersuchungen über den Luftwiderstand: Ergebnisse von Versuchen an Eisenbahnzügen in Tunneln [Reprint 2019 ed.] 9783486760798, 9783486760781

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UNTERSUCHUNGEN ÜBER DEN

LUFTWIDERSTAND ERGEBNISSE VON VERSUCHEN AN EISENBAHNZÜGEN IN TUNNELN

VON

KA-RL SUTTER

M Ü N C H E N U N D B E R L I N 1930 VERLAG VON R . O L D E N B O U R G

Alle Rechte, einschließlich des Ubersetzungsrechtes, vorbehalten Copyright 1930 by R.Oldenbourg, München und Berlin

Druck von R.Oldenbourg, München und Berlin

DEM A N D E N K E N M E I N E S VATERS

Vorwort. Das Erkennen der Widerstände, die die Bewegung der EisenbahnFahrzeuge hemmen, die Fähigkeit sie zu vermindern und zu überwinden ist Zweck und Ziel unserer Wissenschaft. Die E r m i t t l u n g der Widerstände auf offener Bahn, die den Gegenstand der Forschung und des Versuchs beinahe ebenso lange bildet, als mit Lokomotiven auf Schienen gefahren wird, ist zwar nicht abgeschlossen, %ber doch schon weit gediehen. Zurückgeblieben ist die Erkenntnis für die F a h r t im Tunnel und insbesondere im Hinblick auf den Widerstand, der sich dadurch ergibt, daß die geschlossene rauhe Tunnelröhre das Ausweichen der L u f t hindert. Diese Widerstände, deren Eigenart dadurch gekennzeichnet ist, daß ihre Überwindung nicht nur durch Verminderung der Steigung sondern auch durch Vergrößerung des Tunnelquerschnittes erreicht werden kann, sind bisher noch nicht genügend erforscht worden. T o l l m i e n und L a n g e r gebührt das Verdienst, den auf anderen technischen Gebieten bewährten Modellversuch auf dieses Problem zuerst angewendet zu haben. Ihre, wie auch die Darlegungen anderer Autoren, haben aber die Frage, insbesondere für die Bedürfnisse des projektierenden Ingenieurs, nicht genügend abgeklärt und ließen erkennen, daß diese Abklärung durch Modellversuche allein nicht erreicht werden könne. Deshalb hat es im Jahre 1928 Herr Dr.-Ing. Karl Sutter, damals Assistent an der von mir jetzt verwalteten Lehrkanzel, einer Anregung seines Lehrers, Herrn Prof. C. Andreae, folgend, unternommen, die Größe des Luftwiderstandes durch Messungen im Tunnel während des Betriebes zu ermitteln, nachdem die Bahnverwaltung, in Würdigung der Wichtigkeit des Problemes, hiezu die Erlaubnis erteilt und sich bereit erklärt hatte, die Durchführung zu unterstützen. Zur Vornahme der Messungen wurden im einspurigen 3360 m langen Albistunnel und im zweispurigen 2526 m langen Bötzbergtunnel je drei registrierende Barographen hoher Empfindlichkeit aufgestellt, die den Luftdruck während der Durchfahrt der Züge aufzeichneten, gleichzeitig wurde auch die Strömungsgeschwindigkeit der Luft gemessen. Durch die auf diese Weise erhaltenen Angaben und auf Grund verhältnismäßig einfacher hydrodynamischer Überlegungen ist eine ein-

— VI — fache Formel für den Luftwiderstand gefunden worden, die ihn in Abhängigkeit zeigt von dem Querschnitt des Tunnels, dem Querschnitt und der Länge des Zuges, der Zugsgeschwindigkeit und der Strömungsgeschwindigkeit der Luft im Innern des Tunnels. Die Feststellung der Abhängigkeit des Widerstandes und des Kraftaufwandes vom Tunnelquerschnitt ist von besonderer Bedeutung. Beachtet man, daß Tunnel auf Rampen bis 27°/ 00 Steigung und schwach geneigte Wasserscheidentunnel oder Tunnel auf Talbahnen mit dem gleichen, das Lichtraumprofil noch gerade umhüllenden Querschnitt gebaut worden sind, so muß man annehmen, die erwähnten Zusammenhänge seien mit oder ohne Absicht übersehen worden. Hätte der 8603 m lange Rickentunnel das um 12°/0 größere Profil des gleichzeitig gebauten, nur 4766 m langen, schwächer geneigten Bosrucktunnels gehabt, so wäre die Katastrophe, die im Oktober 1926 neun Menschenleben vernichtet h Ä , vermieden oder doch wesentlich gemildert worden. Oberingenieur Robert G r ü n h u t , Dozent für Eisenbahn- und Tunnelbau an der Eidg. Techn. Hochschule, Zürich.

Inhaltsangabe. Seite

I. E i n l e i t u n g 1. Vorgeschichte des Problems 2. Programm der durchzuführenden Arbeiten

1 2

II. D i e t h e o r e t i s c h e n G r u n d l a g e n d e r V e r s u c h e 1. Die rechnerische Bestimmung der Relativgeschwindigkeit zwischen Zug und Tunnelluft 2. Die graphische Bestimmung des Geschwindigkeitsverlaufes im nichtstationären Strömungszustand 3. Der Luftwiderstand 4. Kritik der bis jetzt veröffentlichten Formeln

8 1.1 13

III. D i e V e r s u c h s a n o r d n u n g u n d d i e B e s c h r e i b u n g d e r I n s t r u mente 1. Die meteorologischen Beobachtungen 2. Die Messung der Luftdrücke 3. Die Aufstellung der Barographen 4. Die Versuchsanordnung für die Untersuchung der Druckwellen . . . 5. Die Messung der Luftgeschwindigkeiten 6. Die Messungen auf den Lokomotiven

15 15 16 18 19 20

IV. D i e V e r s u c h e im A l b i s t u n n e l 1. Bauliche Angaben über den Tunnel 2. Die natürliche Lüftung und die meteorologischen Beobachtungen 3. Die Aufstellung der Barographen 4. Die Druckwellen bei der Zugsein- und Ausfahrt 5. Der auf Druckwellen zurückzuführende Luftwiderstand (i. Charakteristische Druckdiagramme in der Tunnelmitte 7. Die Geschwindigkeitsverteilung im Tunnelquerschnitt 8. Die Reibungsziffer für Luft an Tunnelmauerwerk 9. Eintrittsverlust und Rückgewinn an den Portalen I.0. Der Druckabfall längs des Tunnels II. Der Druckabfall an der Spitze und am Schluß des Zuges . . . . 12. Der Druckabfall längs des Zuges 13. Die Exzentrizität der Züge im Profil 1.4. Die Oberflächenrauhigkeit der Züge 15. Der Luftwiderstand 16. Die Widerstandsmessungen auf den Lokomotiven J7. Der Geschwindigkeitsverlauf im nichtstationären Zustand . . . . 18. Der Luftwiderstand im nichtstationären Zustand

22 22 22 23 24 24 28 29 30 31 32 32 35 36 36 38 40 42

V. Die V e r s u c h e im B ö t z b e r g t u n n e l 1. Bauliche Angaben über den Bötzbergtunnel 2. Die natürliche Lüftung und die meteorologischen Beobachtungen

.

4

43 43

— VIII — Seile

3. 4. 5. 6. 7. 8.

Die Aufstellung der Barographen Charakteristische Druckdiagramme Die Geschwindigkeitsverteilung Der Druckabfall längs des Tunnels Der Druckabfall längs des Zuges Der Luftwiderstand

VI. F o l g e r u n g e n a u s d e n V e r s u c h e n 1. Die auftretenden Probleme im Tunnelbau 2. Die charakteristischen Fälle 3. Die Grundlagen zur Berechnung von wt, ql und kt 4. Der Wasserscheidentunnel nach Fall a). . VII. A n w e n d u n g s b e i s p i e l (Kanaltunnel zwischen Dover und Wissant) . 1. Allgemeine Angaben 2. Berechnung für das Profil von Sartiaux mit 21,6 m 2 lichter Fläche 3. Zusammenstellung der Vergleichsrechnungen für 10 verschiedene Tunnelprofile 4. Das günstigste Profil mit Rücksicht auf die Lüftung des Tunnels . 5. Die Grenzgeschwindigkeit der Züge im Tunnel VIII. S c h l u ß w o r t

43 44 44 47 48 49 50 51 53 55 57 58 61 64 66

I. Einleitung. 1. Vorgeschichte des Problems. Die Theorie des Eisenbahnwesens kann nur dann Anspruch auf Berücksichtigung im Eisenbahnbau erheben, wenn sie auf einwandfreien Grundlagen aufgebaut ist. Da sie sich in der Hauptsache auf die Bewegungswiderstände der Fahrzeuge stützt, zollte man diesen schon seit der ersten Entwicklung des Eisenbahnwesens die gebührende Beachtung. Es ist hier nicht beabsichtigt, die Namen aller derjenigen Ingenieure zu nennen, die sich um die Erforschung dieser Widerstände verdient gemacht haben. Es soll uns nur der heutige Stand der diesbezüglichen Untersuchungen interessieren: Während man im allgemeinen über die Eigenwiderstände, die Luftwiderstände auf offener Strecke und die Kurvenwiderstände gut Bescheid weiß, ist man in bezug auf die Luftwiderstände in Tunneln noch ziemlich im unklaren. Damit ist aber nicht gesagt, daß man die Wichtigkeit dieser Widerstände unterschätzte, befaßten sich doch schon verschiedene Kommissionen in England, Italien und Österreich mit ihrer Bestimmung. Alle diese Studien verfolgten aber mehr den Zweck, den Einfluß der Züge auf die Lüftung von Tunneln abzuklären, eine Frage, die gegen Ende des vorigen Jahrhunderts vielen Eisenbahnverwaltungen zu schaffen gab Durch die Einführung der elektrischen Zugsförderung verlor die Lüftung der Tunnel an Wichtigkeit, der Luftwiderstand auf die Züge hingegen hat wegen der Vergrößerung der Fahrgeschwindigkeiten, der Wagenprofile und der Zugslängen an Bedeutung stets zugenommen. Schon verschiedentlich war deshalb die Durchführung diesbezüglicher Versuche angeregt worden, als letzte Arbeit auf diesem Gebiet veröffentlichten T o l l m i e n in der VDI-Zeitschrift 1927 und L a n g e r in der III. Lieferung der Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt der Universität zu Göttingen die Resultate von Modellversuchen, die sie im Auftrag der Rheinisch-Westfälischen Schnellbahngesellschaft in den Laboratorien des obengenannten Institutes ausgeführt hatten. Sutter,

Luftwiderstand.

2

—

2

—

Vom Standpunkt des Eisenbahn-Ingenieurs aus blieb aber die Frage des Luftwiderstandes in Tunneln trotz dieser neuesten Versuche ungelöst, weswegen mich Herr Prof. A n d r e a e veranlaßte, dieselbe durch direkte Messungen abzuklären. 2. Programm der durchzuführenden Arbeiten. Ausgehend von den in der Technik gebräuchlichen Widerstandsformeln angeblasener Körper, könnte man zu derjenigen von Eisenbahnzügen in Tunneln gelangen, indem man an Hand des allgemeinen Ansatzes: W=-g--F-(V— 2g

v^-O

(Gl. 1 a)

den vorerst unbekannten Beiwert 0 experimentell ermittelt. W F V u y g 0

In — — = = = — =

Gl. l a bedeuten: Widerstand des Eisenbahnzuges in kg, Querschnitt des Eisenbahnzuges in m 2 , Geschwindigkeit des Eisenbahnzuges in m/sek, Geschwindigkeit der Luft vor und hinter dem Zug in m/sek, spezifisches Gewicht der Luft in kg/m 3 , Erdbeschleunigung in m/sek 2 , Widerstandsbeiwert des Eisenbahnzuges.

Bei der Anwendung von Gl. (la), die für den allseitig unbegrenzten Raum aufgestellt ist, auf die Verhältnisse im Tunnel, wird aber der Widerstandsbeiwert 0 für ein und denselben Zug verschieden ausfallen, je nachdem sich die Größe des Tunnelquerschnittes ändert. Daneben wird 0 aber auch noch von der Zugslänge abhängig sein, so daß seine richtige Erfassung sehr stark von der Möglichkeit der Trennung des Einflusses vom Tunnelquerschnitt und der Zugslänge abhängt. Des weiteren ist im Tunnel auch die Relativgeschwindigkeit (V — v) des Zuges gegenüber der Luft keine unabhängige Größe, wie in Gl. (la) vorausgesetzt ist. Vielmehr wird sie vom Druckgefälle A P längs des Zuges, das allgemein nach folgender Gl. ( l b ) berechnet wird, beeinflußt: =

W

(Gl. 1 b)

A P = Druckgefälle längs des Zuges in kg/m 2 . Trotz den genannten Komplikationen ist die experimentelle Bestimmung des Beiwertes 0 für Züge in Tunneln leicht möglich. Schwierigkeiten bietet allein die Erfassung seiner oben skizzierten Veränderlichkeit mit der Zugslänge und dem Tunnelprofil durch Versuche. Aus diesem Grund sind im folgenden die Grundlagen seiner rechnerischen Bestimmung entwickelt worden, die in der Hauptsache bezwecken, das Studium

—

3

—

der Funktion (0) durch dasjenige der Argumente ( F — v, AP) zu ersetzen, das, wie sich später zeigt, einer experimentellen Behandlung keinerlei Schwierigkeiten entgegenstellt. Die vorzunehmenden Arbeiten zur Abklärung der Gesetze, denen der Luftwiderstand in Tunneln unterworfen ist, haben sich demnach entsprechend den Größen, die in obigen Gleichungen vorkommen, auf 1. die Untersuchung der Strömungsverhältnisse der Luft (Wert (V — v)), 2. die Bestimmung des Druckverlaufes (Wert A P), 3. die direkte Bestimmung des Luftwiderstandes auf den Lokomotiven (Wert W) zu erstrecken. Hiebei genügten aber schon die Messungen des Geschwindigkeitsund Druckverlaufes, um den Beiwert 0 zu bestimmen, die direkte Erhebung des Luftwiderstandes bietet somit eine Möglichkeit, ihn zu kontrollieren.

2*

II. Die theoretischen Grundlagen der Versuche. I . Die rechnerische Bestimmung der Relativgeschwindigkeit zwischen Zug und Tunnelluft. Die Luftgeschwindigkeit im Tunnel, die bei der Einfahrt des Zuges den W e r t i>0 haben möge, ändert sich bei seiner Durchfahrt und erreicht nach einiger Zeit einen konstanten W e r t , den ich im folgenden mit v bezeichnen werde. Der Zusammenhang zwischen v und V, den Zugs- und Tunnelabmessungen und der Witterung kann am einfachsten aus einer Drucklinie für den Strömungszustand im Tunnel abgelesen werden. Setzt- man vorerst zur Vereinfachung v0 = 0, so gibt Abb. 1 die entsprechende Drucklinie wieder.

h^H

.r

J

4 t ?T

H «

z9

X-fi-ftw* v-t

T-\\ < H V \V

T y' /

v——

L 1 A b b . 1.

1

E n e r g i e - und D r u c k l i n i e .

Der Druckabfall Zip längs des Tunnels (siehe Abb. 1) berechnet sich dabei nach den Ansätzen der Hydraulik zu: Ap

1

=

(Z — Z , ) — +

u =

&

a- D'

(Gl. 2)

und derjenige längs des Zuges nach Grashof zu: AP

=

J_ 2 g

4

•L

(F—w)2 ±

2 a

i

R,

•L-w 2

(Gl. 3)

—

5

—

E s bedeuten darin: r = — = Profilradius des Tunnels in m, u f — Tunnelquerschnitt in m : ', u = Tunnelumfang in m, l = Tunnellänge in m, l = Rauhigkeitsziffer der Tunneloberfläche, f A = Beiwert für den Eintrittsverlust zh, B.v = Beiwert für den Rückgewinn z„, w = Luftgeschwindigkeit neben dem Zug in m/ssk. =

/— F

und

Rt

=

f— F l_

. . . (Gl. 4 a u. b)

— Profilradius des Querschnittes (/ — F), in bezug auf die Zugsoberfläche in m, Rt = Profilradius des Querschnittes (/ — F) in bezug auf die Tunneloberfläche in m, U = Zugsumfang in m, L = Zugslänge in m, A = Rauhigkeitsziffer der Zugsoberfläche, 3 V ' = Beiwert für den Verlust Z v ' an der Zugsspitze, Eh' = Beiwert für den Verlust Zh' am Zugsschluß. Rz

Das negative Vorzeichen des zweiten Gliedes von Gl. (3), das ich im folgenden allein angeben werde, Tl g T - - 44- - n o--L-W2 t

=

c-u>8

(Gl. 5)

gilt für den Fall, daß w positiv ist, d. h. die Relativgeschwindigkeit von Tunnel und Zug gegenüber der Luft ungleiche Richtung aufweist, das positive Vorzeichen gilt alsdann für negative w. v und w sind positiv, wenn sie der Zugsgeschwindigkeit V gleichgerichtet sind, andernfalls sind sie negativ. Aus der Energielinie, die um den Betrag der Geschwindigkeitshöhe über der Drucklinie verläuft, erkennt man folgenden Zusammenhang zwischen Ap und A P : Ap — A P—

.;' • ¿g

• ( V - IV)* + « • y--a • A g

- ß • z 8

• w*

(Gl. 6)

Gl. (6) läßt sich aber vereinfachen, wenn man die Geschwindigkeitshöhen und . . . . (Gl. 7 a u. b) 2g 2g als Korrekturen an den Werten S h ' und E v ' anbringt, wobei dieselben dann in die Größen Eh und Ev übergehen.

—

6

—

Berücksichtigt man ferner folgenden Zusammenhang zwischen w und v, den man unter der Voraussetzung, daß die Luft im Tunnel nicht komprimiert werde, aus Abb. 2 ableitet: ( V - v ) =

f ( V - w ) - ( f - F )

. (Gl. 8)

oder (V—w)

—

f f - F

(V—v)

. (Gl. 9)

und w

=

1

( v f - V - F ) , .

f - F

(Gl. 10)

w V - und die Relativgeschwindigkeit (V — v) ergibt sich endlich zu: =

Gl. (19) und (21) besagen, daß die Relativgeschwindigkeit (V — v) des Zuges gegenüber der Luft proportional der Zugsgeschwindigkeit ist. Der Proportionalitätsfaktor wird in der Hauptsache durch zwei Beiwerte a und b, wenn man von h absieht, beeinflußt, wovon der eine, a, von den Tunnelabmessungen, der andere, b, von den Zugsabmessungen abhängt und die nach Gl. (2) bzw. (12) aus der Drucklinie für die Bewegung der Luft im Tunnel experimentell ermittelt werden können. Für die Auswertung von Versuchen, die sich auf den Beharrungszustand der Luft beschränken werden = o j , und die man nur dann ausführen wird, wenn keine atmosphärischen Störungen zu erwarten sind (h = 0), genügt Gl. (21) allen Anforderungen in bezug auf Genauigkeit, die an die Berechnung der Relativgeschwindigkeit (V — v) gestellt werden. Für die Behandlung des nichtstationären Strömungszustandes hingegen ist (V — v) nach den Angaben des nächsten Abschnittes zu ermitteln.

-

8

—

2. Die graphische Bestimmung des Gescliwindigkeitsverlaufcs im nichtstationären Strömungszustand. Beim folgenden graphischen Verfahren brauchen die Vereinfachungen, welche die Auflösung von Gl. (16) erst gestatten, nicht gemacht zu werden. Trägt man nämlich, wie es in Abb. 3 geschehen ist, die einzelnen Glieder der Gl. (16) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem als Funktion der Geschwindigkeiten auf, so ergibt sich der Wert für v als Schnittpunkt zweier Kurven B und D, deren Konstruktion ohne weiteres aus der Zeichnung hervorgeht. w'(neg)

A b b . 3.

G r a p h i s c h e A u f l ö s u n g der Ol. 1 6 : h = 0.

a • v* — b • (V— v)1 •

Auf Grund dieser graphischen Darstellung läßt sich der nichtstationäre Zustand bei der Zugsein- und Ausfahrt erfassen. Gl. (16) geht nach d'Alembert in diesem Fall über in: a • v2 — b • (V — v)2 -j- c • w2

. h =

. dv i -—¡— dt

(Gl. 22)

i bedeutet hier die Luftmasse auf 1 m 2 Tunnelquerschnitt bezogen und beträgt: .

dv dt

y

1

in

r\

i

d v

t k

r\

dw

.

. (Gl. 23)

.

. (Gl. 24)

f

Nun ist aber dw

d ( ü - f - V - F )

H J

dt

J_ _ f —

F

dv dl

f ' f

/•"

—

9

—

somit wird i

•

y l

(Gl. 25)

Dieses Resultat erhält man auch direkt aus Gl. (23), indem man darin L = 0 setzt. Die Integration von Gl. (22) ist möglich, doch sehr umständlich. Ich schlage deshalb folgendes zeichnerisches Verfahren für ihre Lösung vor. Für eine Vertikale mit der Abszisse v' (Abb. 3) beträgt: A B

=

a v '

EC

=

b • (V

CD AE

2

= c - w ' =

—

ü')2

i

h,

somit ist

B D

= i •

dv ~dt

(Gl. 26)

Der Zwickel, eingeschlossen von den beiden Kurven B und D begrenzt für beliebige v' die Trägheitskraft i •

ich nenne ihn hier des-

halb Trägheitsfläche. Setzt man

dv

Av

~dt

At

(Gl. 27)

läßt sich näherungsweise, für ein angenommenes Zeitintervall At das zugehörige Av berechnen. Av

Av

(Gl. 28)

~2

tg«

=

2

i

Al

2

y • l

g - A t

(Gl. 29)

Gl. (29) bildet in der Folge die Grundlage der Konstruktion, ich nehme ein A t, etwa 10 Sekunden, an und teile mit der Neigung t g « , die diesem Zeitintervall entspricht, KurveB die Trägheitsfläche mit einer ZickA b b . 4. zacklinie auf, die vom BeharrungsGrundlagen der graphischen I n t e g r a t i o n . zustand vor der Zugseinfahrt (u,.) ausgeht. Auf den beiden Kurven B und D werden dadurch Punkte berührt, deren Abszissenunterschiede die A v darstellen, die dem angenommenen Zeitintervall entsprechen. Suttcr,

Luftwiderstand.

—

10

—

In Abb. 5 werden die A v automatisch addiert, so daß v' = o0 + j?Av o

(Gl. 30)

wird. Das beschriebene Verfahren eignet sich auch für die Behandlung des Falles von Zugskreuzungen in doppelspurigen Tunneln und sich folgender Züge einspuriger Strecken, es gestattet auch die natürliche Lüftung nach der Zugsdurchfahrt zu untersuchen.

Abb. 5.

Graphische Integration der Gl. 22:

a-v' — b•

+

— h = dt

Dem Umstand, daß bei der Einfahrt eines Zuges der Beiwert b veränderlich ist, kann sehr leicht Rechnung getragen werden, indem man verschiedene, einem ungeraden Vielfachen von

entsprechende D-

Kurven aufträgt, und die Zickzacklinie durch diese begrenzen läßt. Auf ähnliche Weise können auch veränderliche Zugsgeschwindigkeiten berücksichtigt werden.

—

11

—

Damit sind alle vorkommenden Strömungszustände bei der Durchfahrt von Zügen erfaßt, der Hauptvorteil dieses zeichnerischen Verfahrens gegenüber rechnerischen Methoden besteht darin, daß die verschiedenen Strömungszustände mit ein und demselben Verfahren behandelt werden können. Mit den bisherigen theoretischen Entwicklungen wird die Veränderlichkeit des Wertes (V — v) in Gl. ( l a ) erfaßt, die noch folgenden. Untersuchungen haben die Berechnung des Luftwiderstandes W nach Gl. ( l b ) zum Gegenstand und führen alsdann zur Bestimmung des Beiwertes 3. Der Luftwiderstand. Bewegt sich ein Zug in einem Tunnel, so wird sich entsprechend den Abb. 1 und 6 an seiner Spitze ein Luftüberdruck, an seinem Schluß ein Unterdruck einstellen. Denkt man sich an der Spitze und am Schluß des Zuges je eine ideelle Abschlußwand (Schnitte I und II) durch den Tunnel, so würde auf dieselbe die Kraft K = f-AP

. . (Gl. 31)

ausgeübt. Tatsächlich kann der Zug nur die, seinem Querschnitt F entsprechende Kraft als Druckwiderstand aufnehmen. D = F-AP . . (Gl. 32)

Abb. 6.

Schematischer Druckverlauf eines Zuges.

längs

Der Bestbetrag (/ — F) • AP wirkt auf die Luft längs des Zuges, und da dieselbe im Beharrungszustand sich befindet, muß diese Kraft mit der Oberflächenreibung an Zug und Tunnel im Gleichgewicht sein. AP-(f-F) =

(/ -

4

r

1 .L + iL

Ev]-(V-w)*~

7

1

2g 4

1

Rt

- L - w 2 } (Gl. 33) , ,

In dieser Gleichung überwiegt der Anteil der Zugsoberfläche, er b e t r ä g t . 0 = (f-

^2 g

4

1 - • L (V— w)2 R,

(Gl. 34)

1 u gesetzt wird, erhält man den in der Technik = tt. I üblichen Ansatz für Oberflächenreibungen: und wenn für

0

y

Ä

2g

4

• ü • L • {V — iv)2

(Gl. 3 4 a ) 3*

—

12

—

Der gesamte Zugswiderstand b e t r ö g t : W = D +0

(Gl. 35)

mithin ist er auch gleich: *\l2g

4

Rz

w)

^ +

2g

4 Rt

+

J . . . .

+ (Gl. 36)

. . . (Gl. 37)

oder

v)* + F [b^-{V — i>)2 — c-w*-}, . . (Gl. 38)

W = f-b3(V— wenn darin

( G L 3 9 a )

=

und =

(Gl. 39h)

bedeuten. Setzt m a n in Gl. (38) c • w2 = 0, so erhält m a n folgende vereinfachte Beziehung: W = y-ba + F-bt)-(V—D)* (Gl. 40) die für die Bedürfnisse der Praxis vollständig genügt. Will m a n Gl. (40) in den Ansatz der Aerodynamik nach Gl. ( l a ) überführen, muß m a n s

• F • r

—

32

—

11. Der Druckabfall an der Spitze und am Schluß des Zuges. Der Druckabfall Z vor bzw. hinter dem Zug kann direkt aus den aufgenommenen Diagrammen entnommen werden, die entsprechenden Beiwerte ergeben sich zu: / Zv i = -(y_v)2

b

und

,

„

=

2g

F)*

(/ —

-¿4 = 6,65 ¿4

bzw. 2

2

(F— u)

und Ehh = —i• "" y

2

^

P f2

• b2 = 6,65 b2.

Mit Rücksicht auf die in der Hydraulik üblichen Ansätze bestimme ich, ausgehend vom Wert E der für verschiedene Tunnelprofile veränderlich ist, die Ausflußziffer p

Dabei ist meine Definition des Wertes E auf Grund der Gl. (7 a) und (7 b) zu beachten. Mit diesem Wert berechne ich die Einschnürungsziffer W: f - F T = uF y 1 2 so daß Z = ^— § (F— v) • Tunnelprofil ist.

wird, also vollkommen unabhängig vom Z a h l e n t a f e l 7.

Zusammenstellung der erhaltenen Beiwerte. *

Werte f ü r

die Zugspitze (v) . den Zugschluß (h) .

j S> bzw. Sh '

b« bzw. bt

1

0,897 0,432

0,135 0,065

;

»o bzw. yu, ' 'Vv bzw. 'Ph

1,055 1,522

0,660 0,952

12. Der Druckabfall längs des Zuges. Der Druckabfall längs des Zuges b e t r ä g t : AP = b1- ( F — o)2 + oder auch angenähert

c-w2

A P = b1 • (V — v)2.

Davon wird der Betrag Ap =

— b,) • (V — v)2 = b • (F — u)2

zur Aufrechterhaltung, der unter Abschnitt 10 behandelten im Tunnel verbraucht. Daraus folgt: , ~

a • o2 (F—-u) 2 '

Strömung

— 33 — Geordnet nach Zugslängen geben Zahlentafel 8 und Abb. 29 die erhaltenen Resultate für b wieder. Z a h l e n t a f e l 8. Zugskonstante b in Abhängigkeit von der Zugslänge L . Bereich der Zugslänge L in m

Schnellzüge Mittlere Zugslänge L m m

unter 75 j- 86,8 76 -f- 125 126 -7- 175 150,8 176 225 203,2 226 -f- 275 245,4 276 -f- 325 311,0 326 375 376 425 — 426 475 über 476

Abb. 29.

Mittlere Zugskonst. b

Güterzüge

Personenzüge Anzahl M i t t l e r e der ZugsMessun- l ä n g e L gen m m

Mittlere Zugskonst. b

Anzahl M i t t l e r e Zugsder Messun- l ä n g e L in m gen

0,1958

18

1111,7

0,2358

7

0,3138 0,3915 0,4408 0,5480

35 14 8 3

154,0 195,6 1 — | 245,9

0,3210 0,3860

47 39

—

—

—

—

—

—

0,4470

19 —

9,0 96,3 146,9 200,5 251,9 298,2 361,3 390,5 447,0 512,6

Mittlere Zugskonst. b

Anzahl der Messungen

0,0700 0,2301 0,3208 0,3924 0,4916 0,5675 0,6490 0,7175 0,7995 0,9190

1 4 9 12 17 9 4 5 6 5

V e r ä n d e r l i c h k e i t des W e r t e s t>i = b 4- b« m i t der Z u g s l ä n g e .

Die Messungen aller drei Zugsgattungen gemittelt, geben folgendes Gesetz für b: b = b-0 + ¿>3 = 0,07 + 0,001596 L. Darin ist das von L unabhängige Glied b3 zum vornherein gegeben, es beträgt nämlich nach Abschnitt 11: b: =b,—

b, = 0,135 — 0,065 =

0,070.

— 34 — Die Bestimmung des Beiwertes bz = 0,001596 L habe ich mit dem Nachweis, daß b proportional (F—1>) 2 ist, verbunden. Zu diesem Zweck bilde ich das Verhältnis b gemessen b gerechnet das sich im Falle der Richtigkeit der Gleichung: b3 — 0,001596 L zu 1 ergibt, und ordne es nach Relativgeschwindigkeiten ( F — v). Verhältniszahl

Z a h l e n t a f e l 9. b gemessen in Abhängigkeit der Relatiygeschwindigkeit ( F — v ) des b gerechnet Zuges gegenüber der Luft.

Bereich der R e l a t i v geschwindigkeiten (V—v) in m/sek

Verhältniswahl b gemessen b gerechnet

Mittlere R e l a t i v geschwindigkeit (V—v) in m/sek

bis 5 5— 6 6— 7 7— 8 8— 9 9—10 10—11 11—12 12—13 13—14 14—15 über 15

4,629 5,420 6,514 7,456 8,322 9,800 10,751 11,601 12,538 13,441 14,434 15,410 Mittelwert-

Anzahl der Messungen

1,026 1,047 1,044 1,040 0,988 0,948 0,990 1,000 1,013 0,956 0,950 0,922

14 8 20 20 9 1 9 48 70 44 14 5

1,000

262

1,50

1,ZS

11

20

8

—

20 9

1,0

1

9

70 , ef,— 11

W

11

—

0,75

£ I I

O.SO

— Giifenzüge — Personenzuge — Schnellzüge

0,25

¥

6

8

10

V - v = Re/ativgeschwinc/igketf Re/arivgescm Abb. 30.

Verhältniszahl

b gemessen gerechnet

h

in

Abilän

11

12 in

S'Skeit

m/sek YOn

(V

'~

-

(').

16

—

35 —

Hieraus ersieht m a n , d a ß i n n e r h a l b derselben Z u g s g a t t u n g , die ¿ - W e r t e wirklich u n a b h ä n g i g von ( F — v) sind, und d a ß sie selbst für die v e r s c h i e d e n e n Z u g s g a t t u n g e n n u r sehr wenig ä n d e r n . Z a h l e n t a f e l 10. Beiwert b3 in Abhängigkeit von der Zugsgattung. Zugsgattung

Güterzüge Personenzüge Schnellzüge

0,001633 L 0,001601 L 0,001558 L

;

D a s s e l b e gilt a u c h für den B e i w e r t ¿>4, der ein wenig v o n der F o r m der L o k o m o t i v e a b h ä n g t , a b e r a u c h er k a n n als u n v e r ä n d e r l i c h gelten. Z a h l e n t a f e l 11. Beiwert 6 4 in Abhängigkeit vom Lokomotivtyp. Lokomotivtyp 3/s>

0,138 0,135 0,130

3/G> B 4/6 e Ae*/7 . . . .

Cc°U

1 3 . Die Exzentrizität der Züge im Profil. F ü r die U m r e c h n u n g des W e r t e s in die O b e r f l ä c h e n r a u h i g k e i t des Zuges wird der Profilradius, des durch den Zug eingeengten T u n n e l profils b e n ö t i g t . D a das in F r a g e k o m m e n d e P r o f i l sehr u n r e g e l m ä ß i g ist, m u ß der Prufilradius als M i t t e l w e r t von T e i l f l ä c h e n (1 bis 6) b e s t i m m t werden, deren F o r m aus A b b . 3 1 hervorgeht. Die e n t s p r e c h e n d e n R e s u l t a t e Z a h l e n t a f e l 12 z u s a m m e n g e s t e l l t :

sind

in

Z a h l e n t a f e l 12. Der Profilradius des durch den Zug eingeengten Tunnelproïils. Oline llittelwertsbildung

Profilradius Rt Profilradius R ,

0,898 1,338

Mit

Mittelwertsbildung

0,871 1,395

A b b . 3 1. schnittes

A u f t e i l u n g des Querzur B e r e c h n u n g des Profilradius

— 36 — 14. Die Oberflächenrauliigkeit der Züge. Vom Beiwert bs ausgehend, bestimmt sich die Oberflächenrauhigkeit der Züge zu: A = b, •

• 4 Rt • - ^ P

2

- = 0,367 b3.

Entsprechend den Resultaten von Abschnitt 12 gibt Zahlentafel 13 die berechneten Werte wieder: Zahlentafel

13.

Die Oberflächenrauliigkeit der Züge. Mittl. W a g e n - Mittl. W a g e n l ä n g e in m zahl auf 100 in

Zugstyp

Güterzüge Personenzüge Schnellzüge

9,5 14,0 19,5

. . . .

10,5 7,15 5,12

A 0,0599 0,0587 0,0571

1 o,7

0

0

A b b . 32.

snz 7,1s io,s Anzahl Wagen auf 100m. Zugstange

is

Abhängigkeit von A m i t der Zugskoinposition.

Die Tatsache, daß A für Schnellzüge nur unwesentlich kleiner ist als für Güterzüge, mag etwas überraschen, sie ist aber ganz natürlich, denn der Hauptwiderstand der Wagen r ü h r t von den vielen Einbauten unter den Wagenkasten her und nicht von den Übergängen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wagen. 15. Der Luftwiderstaud. Nachdem die A, Ev und Eh ermittelt sind, k a n n für beliebige Zugslängen und Zugsgeschwindigkeiten der Luftwiderstand ausgerechnet werden, wobei man sich an folgendes Rechnungsschema halten kann:

a) Bestimmung der Tunnelkonstanten:

a = darin sind

/. 1 4 ' r

2g

X — 0,027;

fÄ=2,16;

= 0,772

und somit betragt (iur den Albistunnel) a = 0,000307 (3628 — L ) . b) Bestimmung der Zugskonstanten: Mit R ü c k s i c h t auf die L ü f t u n g :

A

1

Y

2g

(/2)

•L + E ,

4 ' Rz

| Mit R ü c k s i c h t auf den W i d e r s t a n d :

2g

(f-F'r

1 1 4 ' Rt

A 4

I, - - 12 - . -vi . Ö

/,.-= 0,70 + 0 , 0 0 1 5 9 6 • L

1

Ä.

•/• - J 1 (/

(f-F)

2

b 3 = 0 , 0 0 1 5 9 6 • L,

C ==0,000 461 - L

J b t = 0,135

worin A = 0,0584; E

h

= 0,432; ¿ „ = 0,897 sind.

c) Berechnung der Relativgeschwindigkeit: ( F - w ) = -

•}' a • b • V. a —b

e) Berechnung des Luftwiderstandes:

W = ( f - h + F - b i ) • ( F — u)2 — F • c • w 2 , worin F • c • w = 0 gesetzt werden darf. (Als Dimensionen sind kg, m und sek einzuführen.) 2

Für die Verhältnisse des Albistunnels ergeben sich dabei folgende Werte: Zahlentafel

14.

Grundlagen für die Ermittlung: der Luftwiderstände. Zugslänge in m

0

100

200

300

400

500

0,991

Tunnelkonstante a . Zugskonstante b . bt. c . ,,

1,114 0,070

1,083 ; 0,230 : 0,100 0,040 1

1,053 0,390 0,320 0,092 ;

1,021 0,550 0,480 0,138

0,640 1 0,184 j

0,960 0,870 0,800 0,230

fi - - } a • h

0,800

0,084

0,622 j

0.578

0,545

0,522

0,200

0,310

0,378

0,422

0,455

0,478

— 0,280

— o,o«r>

a - b • • b -f | a-b

Wpositiv

1

0

ISO

j «Ii /

V

V

100

1

\2i'

//

b £

so i \

ts

\

|

1 II

I

1

w

.

/so"

Xo"

1 J^fo>
=

\

)

17

15 ii;

14-

16


>

* 1

>

>

1 24 23

e

z. ~>

1

II r

£

21

20 19 18

17

1

16

Abb. 45. Abb. 46. Züge 94 nmi 3077, Begegnung im Tunnel, Zug 6056 manövriert in Schinznach10. I V . 1929. Dorf in den Tunnel hinein. 10. I V . 1929. M a ß s t a b : '/2 natürlicher Größe. Zugsnuinmern: 1 0 0 e r : Schnellzüge, 6 0 0 e r : Eilgüterzüge, 3 0 0 0 e r Personenzüge, 6000 er Stückgüterzüge.

6. Der Druckabfall längs des Tunnels. Auf Grund der gemachten Angaben folgt die Rauhigkeitsziffer l zu: 1=

0,1331-f-

Der Mittelwert aus 40 Messungen ergibt für die Drucklinie vor und hinter dem Zug und für beide Fahrrichtungen gemittelt: l = 0,0265. Die Übereinstimmung dieses tunnel und den Angaben von: M e r m i e r , La ventilation et Bulletin Technique de la Suisse C h a m p r y , La ventilation Annales des Mines 1900,

Wertes mit demjenigen vom Albisla réfrigération du tunnel du Simplon, Romande 1907, des tunnels et le système Saccardo,

B i a d e g o , I Grandi Trafori Alpini, Milano 1906, ist gut. Der Eintrittsverlust bestimmt sich zu: Portal Effingen:

Alh = 8 4 6 - - f Ap

Portal Schinznach-Dorf: Alh = und ergibt

= 0,003 885

387

845-^ Ap

448

-Alh.

Der Druckhöhen-Rückgewinn berechnet sich zu: Portal Effingen:

und ergibt

Alv = 387

846 - P Ap

Portal Schinznach-Dorf : A L = 448 — 845 - f Ap Çv = 0,003885 • A lv.

In Zahlentafel 18 sind die entsprechenden Resultate zusammengestellt. Z a h l e n t a f e l 18. Eintrittsverlust und Druckhöhen-Rückgewinn.

Ah

JL

F ü r Portal

in m

ÏA

Zahl der Messungen

in m

Effingen Schinznach-Dorf . Mittelwert . . . .

520 559 540

2,02 2,16 2,10

14 16 30

— 204 — 208 — 206

• fo

0,792 0,810 0,801

Zahl der Messungen

9 11 20

Der totale Druckverlust längs des Tunnels stellt sich damit auf: Ap = 0,0002358 (2860 — L) v2.

— 48 — 7. Der Druckabfall längs des Zuges. Wie aus den Druckdiagrammen (Abb. 39 bis 46) zu erkennen ist und wie aus der Theorie hervorgeht, sind die Beiwerte bi und b2 für doppelspurige Profile annähernd gleich wie für einspurige, entsprechend dem etwas höheren spezifischen Gewicht der Luft betragen sie hier: 64 = 0,138 Der Beiwert b =

b2 = 0,066. ^

nach

Zugslängen geordnet ergibt:

Z a h l e n t a f e l 19. Zugskonstante b in Abhängigkeit von der Zugslänge L . Bereich der Zugslänge in m

unter 75 76—125 126—175 176—225 226—275 276—325 326—375 376—425 426—475 über 476

Mittlere Zugs- Mittlere Zugslänge in m konstante b

58,2 99,8 154,3 198,2 246,3 304,2 348,0 401,2 442,3 491,0

0,085 0,095 0,115 0,135 0,145 0,163 0,176 0,197 0,210 0,231

Anzahl der Messungen

6 6 8 10 7 4 2 8 6 3

woraus sich folgendes Gesetz ableiten läßt: b = 0,072 + 0,00032 • L oder bx = 0,138 + 0,00032 • L. Aus dem Wert bs = 0,00032 • L kann die Oberflächenrauhigkeit der Züge abgeleitet werden, sie ergibt hier, für alle Zugsgattungen gemittelt: A = 0,001783 • b3 = 0,0572, womit die Resultate vom Albistunnel bestätigt werden. Zufälligerweise gestatten die Versuche vom Bötzbergtunnel noch eine weitere Kontrolle. Viele Güterzüge führen hier lauter offene Güterwagen mit (Ziegeleien), deren Beiwert bz an Hand von 12 Messungen zu ¿3 = 0,00022 • L ermittelt wurde. Entsprechend der kleineren Querschnittsfläche folgt daraus die Oberflächenrauhigkeit ebenfalls zu: A = 0,00259 • ¿3 = 0,0570, womit die Richtigkeit von Gl. (3) auch für veränderliches Wagenprofil nachgewiesen ist.

— 49 — 8. Der Luftwiderstand. Nachdem in den vorigen Abschnitten die Resultate vom Albistunnel ihre Bestätigung gefunden haben, können nun auch für beliebige Tunnelprofile die Luftwiderstände berechnet werden. Vergleichsweise habe ich für einen doppelspurigen Tunnel (Bötzbergprofil), der dieselbe Länge wie der Albistunnel besitzt, die entsprechenden Widerstände ausgerechnet und in Abb. 47 zusammengestellt. Es ergibt sich dabei folgende Verhältniszahl zwischen den Luftwiderständen : spurig

V'Zugsgeschwindigkeit

Abb. 47.

J ^ l spurig •

in m./sek

f.krri/h)

Abhängigkeit des Widerstandes W von Zugsgesclrwindigkeit und Zugslänge.

Daß hier zum erstenmal die Veränderlichkeit des Luftwiderstandes mit dem Tunnelprofil berechnet werden kann, stelle ich mit besonderer Genugtuung fest, da »Besserwisser« vor der Durchführung der Versuche dies für unmöglich und was noch bedauerlicher ist, für unnütz-hielten. In den folgenden Kapiteln werde ich zeigen, daß die Kenntnis des Luftwiderstandes im Hinblick auf die Wahl des Tunnelprofiles von größter Wichtigkeit und daß die vorliegende Arbeit einen Beitrag zur wirtschaftlichen Gestaltung von Tunnelbauten zu liefern imstande ist.

VI. Folgerungen aus den Versuchen. 1. Die auftretenden Probleme im Tunnelbau. Liegt das generelle Projekt einer zu bauenden Bahnlinie vor, bestehen in der Regel immer verschiedene Möglichkeiten für die Erstellung eventuell erforderlicher Tunnel. Hat man sich auf Grund genereller Vergleichsrechnungen für eine Variante der Trasse entschieden, wird man noch im Rahmen der Detailprojektierung bestrebt sein, dasjenige Querschnittsprofil auszuführen, das den sparsamsten Betrieb gewährleistet, was gleichbedeutend ist mit der Bedingung, daß die jährlichen Aufwendungen für seine Verzinsung und Tilgung des Anlagekapitals (Kapitaldienst) vermehrt um die jährlichen Betriebsausgaben ein Minimum seien. Setzt man für die anzustellenden Vergleichsrechnungen gleiche L e i s t u n g s f ä h i g k e i t der Varianten voraus und nimmt man ferner an, daß für die Tunnelstrecken dieselben L o k o m o t i v t y p e n zur Verwendung kommen, wie auf offener Bahn, so wird in obiger Bedingung als einzige unabhängige Veränderliche der Tunnelquerschnitt auftreten. Daß tatsächlich unter der Voraussetzung, nur der Tunnelquerschnitt sei veränderlich, ein .Minimum an jährlichen Ausgaben erzielt werden kann, wird am einfachsten an einem Beispiel klargemacht. Infolge des Luftwiderstandes muß die Lokomotive im Tunnel eine größere Zugkraft als auf offener Strecke entwickeln. Dadurch werden die Zugsförderungskosten und mit ihnen die Betriebskosten erhöht. Je größer man das Tunnelprofil wählt, um so kleiner wird der Luftwiderstand, um so billiger also der Betrieb. Doch da das größere Profil auch mehr kostet, können die Ersparnisse aus dem Betrieb durch eine größere Verzinsungs- und Tilgungsquote des Anlagekapitals wettgemacht werden. Damit ist der Zwang für das Auftreten eines Kostenminimums gegeben. Tritt der Fall ein, daß infolge großer Steigung des Tunnels die Zugkraft der Lokomotive schon voll ausgenützt ist, also, im Gegensatz zum vorhin Gesagten, derselben die Bewältigung des Luftwiderstandes im Tunnel nicht mehr aufgebürdet werden kann, so wird man nach dem P r i n z i p d e r L i n i e g l e i c h e n W i d e r s t a n d e s die Tunnelneigung' ermäßigen. Diese Steigungsermäßigung beträgt so viele Promille, als der Luftwiderstand in kg/t Zugsgewicht angibt, und sie ist derjenigen beizufügen, die durch die Verschlechterung der Adhäsionsverhältnisse im Tunnel bedingt ist.

—

51

—

Die E r m ä ß i g u n g der Steigung ist für den Tunnel mit einer Änderung seiner L ä n g e verbunden, wobei dieselbe, wie noch gezeigt wird, j e nach seinem Längenprofil, nach ganz verschiedenen Gesichtspunkten zu erm i t t e l n ist. Faf/a.

Q

€ St'Sp

2. Die charakteristischen Fälle (siehe Abb. 48). a) Wasserscheidentunnel m i t flachen Neigungen, auf denen die Zugkraft der L o k o m o t i v e nicht voll ausgenützt ist. W i r d in solchen Tunneln die Zugkraft der L o k o m o t i v e n nicht ausgenützt, so zieht eine Verkleinerung des Profils nur einen erhöhten Energieverbrauch infolge größeren Luftwiderstandes nach sich: Bedeutet: Lt = Tunnellänge in m, kt = der jährliche Kapitaldienst für 1 m Tunnel in Fr., qt = jährliche Betriebsausgaben für 1 m (Zugförderungskosten infolge Luftwiderstandes nicht inbegriffen), qt = jährliche Betriebsausgaben infolge Luftwiderstandes,

— 52 — so belaufen sich die jährlichen Ausgaben K in F r . a u f : K = lt-(kt + gt +

(Gl. 47)

qi)

b) Wasserscheidentunnel, mit einseitiger Neigung und festliegendem u n t e r e m P o r t a l , oberes P o r t a l der Höhe nach gegeben; Zugkraft der L o k o m o t i v e voll ausgenützt (Hauenstein-Basis, Mt. d'Or). I s t in diesem F a l l die Zugkraft der L o k o m o t i v e voll ausgenützt, so bedingt eine Vergrößerung des Luftwiderstandes wl infolge Verkleinerung des Profils, eine Erniedrigung der Steigung st und somit eine Tunnelverlängerung: Bedeuten: s0 = s0' =

Steigung der offenen Strecke in °/oo> » im Tunnel ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes in ° / o 0 , st = Steigung im Tunnel mit Berücksichtigung des Luftwiderstandes in °/00, wl Luftwiderstand in kg/t,

so

(Gl. 48)

st = s0' — wl

wird:

Die W e r t e für s0 und s0' erhält man aus der maßgebenden Steigung sm der Bahnlinie durch S u b t r a k t i o n der Kurvenwiderstände und in Tunneln außerdem noch durch Berücksichtigung des Einflusses verschlechterter Adhäsion. Bezeichnet ferner l 0 = L ä n g e der offenen Strecke in m, k0 = den jährlichen Kapitaldienst für 1 m offene Strecke in F r . , q0 = die jährlichen Betriebsausgaben für 1 m offene S t r e c k e in F r . , ht =

Höhendifferenz der Portale in m,

so gilt v o r e r s t :

^

+

^

=

k o n s t a n t =

^

(G]_

4g)

was besagt, daß die gesamte B a h n l ä n g e unabhängig vom Anteil der Tunnelstrecken ist. Die jährlichen Ausgaben folgen alsdann zu: K = lt (kt + qt) + l0 (k0 + q0)

s„

kt

—w.

=

{ h + qt) + \ l - - - ^ — \ - ( k i s0 wl |

0

+ q0)

(Gl. 50)

c) Wasserscheidentunnel, mit einseitiger Neigung, o b e r e s P o r t a l gegeben oder R a m p e n t u n n e l von Gebirgsbahnen; Zugkraft der Lokomotive voll ausgenützt (Albis, Cenere, Ricken). E s gelten hiezu die gleichen Bemerkungen wie zu F a l l b), jedoch mit folgenden Änderungen:

— 53 — Durch die Verkleinerung des Profils (was eine Steigungsermäßigung bedingt) wird der Tunnel k ü r z e r , die offene Strecke aber länger, und zwar gilt dafür folgende Beziehung: — w>j) -f- l0 • s0 = h — konstant, . . . .

lf(s0'

wenn:

(Gl. 51)

h = Höhendifferenz der ganzen Linie in m, h0 =

»

der offenen Strecke in m,

und (Gl. 52)

h = h0 + ht

ist. Eine Verkürzung des Tunnels hat hier eine Verlängerung der offenen Strecke zur Folge, und sie beeinflußt auch die gesamte Bahnlänge. Die Kosten K betragen: K=lt-

(kt + qt) + l0 (k0 + q0) = - A — • (kt + qt) + ^ (k0 + q0) (Gl- 53) wi ->0 £o

d) Kehrtunnel im Zuge von Linien gleichen Widerstandes. Für diese Tunnelkategorie kann angenommen werden, daß der Höhenunterschied ht, der durch den zu erstellenden Kehrtunnel zu überwinden ist, konstant sei. Es beträgt dann ,

Eine Verkleinerung des Profiles äußert sich hier ebenfalls in einer Steigungsreduktion, welche dann ihrerseits eine Tunnelverlängerung erfordert. Diese wird im Grundriß durch Anwendung eines größeren Krümmungsradius erreicht. Die Kosten K ergeben hier: K =

So

wl

'{kt+qt)

(Gl. 55)

Weitere Lagen des Tunnels im Längenprofil der Bahn, die hier nicht vorhanden sind, lassen sich auf diese 4 Fälle zurückführen, womit alle möglicherweise auftretenden Längenprofile behandelt werden können. Im folgenden sind die Grundlagen für die numerische Berechnung der Kosten K zusammengestellt. 3. Die Grundlagen zur Berechnung von wt, qx und k t . a) Den Betrag der Steigungsermäßigung wl erhält man aus der Gl. (40) für den Luftwiderstand W. W = (f-h

+ F-bi)-(V

— v)*.

— 54 — Setzt man hierin, nach den Angaben des Kap. I I : v

A

U

=

h =

=

b =bs

+ bi-bi

f2

f2

!—

B

(GL57)

(GL58>

c

= -jj±JFp-iF-A

. . . (Gl.59)

+ B-C

a

=

. . (Gl.60)

+E,.

so gibt a—b

V (Gl. 16)

Vernachlässigt man in dieser Gleichung die Konstanten B, C und E, erhält man näherungsweise:

(V-v)

= -U

r

"

— f f

'

V=

( f - F f

V-V

. (Gl. 62)

VF •A

1

Für die weitere analytische Behandlung wird y> konstant vorausgesetzt, was bei langen Tunnels genügend genau zutrifft, mithin kann (V — v) aus Gl. (62) auf Grund eines angenommenen Wertes für / ausgerechnet werden. Der Luftwiderstand nach Gl. (40) stellt sich dann wie folgt dar: w

= jf^Ff-

] F

-

A

-^-

y i

=

H

V - W '

] F

• •

(GL63)

Nach der bekannten Beziehung: W Q+ ( r worin Q = Anhängelast in t, G = Lokomotivgewicht in t,

— 55 — bedeuten, erhält man den Luftwiderstand in kg/t: H_ f - j T G + Q ' { f - F f

=

(/—

F)

b) Die Zugförderungskosten qu die im Falle a) zur Überwindung des Luftwiderstandes jährlich pro 1 m Tunnel aufgewendet werden, stellen sich auf: ql = W • 1 • Z • k, (Gl. 66) worin Z = jährliche Zugszahl, und k = Energiekosten für 1 m-kg am Radumfang der Lokomotive bedeutet. Allgemein läßt sich somit ql wie folgt darstellen: ql = M -

3

-/ ^ - } F (.f~F)

(Gl. 67)

n

c) Der Kapitaldienst kt des Tunnels kann durch folgenden Ansatz erfaßt werden: kt = N + Q.f (Gl.68) bei einer Tilgungs- und Verzinsungsquote von p % entspricht dies einem Anlagekapital K, von: Kt = ± j - ( N + 0 . f ) (Gl. 69) Diese Werte in die Gleichungen (47), (50), (53) und (55) des vorigen Abschnittes eingesetzt, führen zu den gewünschten Minimumsbedingungen, die im folgenden Abschnitt 4 für den Fall a) nach Gl. (47) ausgerechnet wird. 4. Der Wasserscheidentunnel nach Fall a). Für diesen Tunnel ergibt sich: K = lt (kt + qt + qt) = lt [N + 0 - f + q t + M - ^ ^ - f p )

und somit symbolisch geschrieben = «+

+

(Gl. 70)

d K af

soll K ein Minimum sein, muß —r-r- = 0 werden, oder ß+ y ] F ,

y3f*-)T U - F f

Jf=F)* y-3f*

~~ _

{f-F)*

(/ — F)* • /? + 7 • 3 / 2 (/ — F) | i 1 — y- 3 / 3 = 0 . . (Gl. 71)

— 56 — Um die Lösung dieser Gleichung 4. Grades zu vereinfachen, berechnet man für verschiedene angenommene Verhältnisse von -Jr die entsprechend reduzierten Gl. (71): z.B. ß-f + 12i2-y-iJ—

48 y = 0

/ = |-12/2

(Gl. 72)

3 16 .f3.ß.f =

+ 162 y f f — 243 /3 • y = 0

J - 162 y ± )/1622 • \

+ 1 9 2 • 243 • y • ß {