Tripas de gato y análisis vectorial [Primer ed.]

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Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Física y Matemáticas

Tripas de gato y análisis vectorial

Arturo Zúñiga Segundo

Draft

México, Ciudad de México, febrero de 2023

Draft

Tripas de gato y análisis vectorial por Arturo Zúñiga Segundo se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Índice general

Preámbulo

xi

1. Introducción 1.1.

1

Juego Tripas de gato

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Representaciones

3

6

2.1.

Espacio vectorial

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2.

Representación geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3.

Representación en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4.

Representación en coordenadas Draft cilíndricas

2.5.

Representación en coordenadas esféricas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3. Productos: punto y cruz

17

3.1.

Productos entre vectores: punto y cruz

3.2.

Ecuaciones de la recta y el plano

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.3.

Cambio de coordenadas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.4.

El producto punto y cruz en coordenadas cilíndricas y esféricas . . . . . . . .

31

3.5.

Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.6.

Cosenos directores

34

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Gradiente, divergencia y rotacional

36

4.1.

Una motivación: las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.

Gradiente

4.3.

Divergencia

37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.4.

Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.5.

Electrostática y magnetostática

44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Propiedades de Nabla

47

5.1.

Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.2.

Regla de la cadena

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.3.

Convención de suma

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.4.

Cuando los Chuckies se encuentran

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

58

ÍNDICE GENERAL

5.5.

iv

Operaciones básicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. El vector de posición

60

70

6.1.

Mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

6.2.

Operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

6.3.

Electrostática

74

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Integrales de supercie y volumen

78

7.1.

Integrales de supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

7.2.

Transformación B.E.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

7.4.

Integrales de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

7.5.

Una aplicación a física

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

7.5.1. 7.6.

El método Catemaco de integración

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Integrales de línea o camino

99

105

8.1.

Guía mágica de solución

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

8.2.

Parametrización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

8.3.

Sistemas conservativos

127

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Draft

9. Teoremas integrales de Stokes y Gauss

131

9.1.

Teorema de Stokes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

9.2.

Teorema de Green

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

9.3.

Teorema del foco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

9.4.

Teorema de Gauss

146

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.Generalizaciones 10.1. Teoremas del conejo

157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2. Solución a la ecuación de Poisson

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157 161

Glosario

166

Fuentes de consulta

169

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

Índice de guras

1.1.

Juego Tripas de gato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.

Comparación del operador derivada con los personajes de un juego de video.

3

1.3.

Comparación de las ecuaciones de Maxwell con los personajes de un juego de video.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4.

Juego Tripas de gato para una contracción o suma de índices.

. . . . . . . .

4

1.5.

Juego Tripas de gato para una contracción o suma de índices.

. . . . . . . .

5

2.1.

Método del paralelogramo. a) Consideremos dos vectores arbitrarios

⃗yB ⃗ . b) A

Los vectores se mueven paralelamente y sus extremos sin echa se colocan en el punto jo

⃗ +B ⃗ o. La suma A

esDraft la echa que une

o, con la intersección de las

líneas paralelas a los vectores. Observe que los vectores se pueden desplazar en todo el plano. 2.2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a) Ubicación del punto

p(1, 2, 3),

8

como lo haría un sistema de ubicación di-

gital, utilizado en los ojos del hombre de hojalata. b) Ubicación del vector

⃗ = (1, 2, 3). Los movimientos de la mano del hombre de hojalata, corresponA den a las componentes del vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.

10

Para encontrar la dirección de un vector que no pase por el origen de coordenadas, basta con restar de las coordenadas de la echa, las coordenadas de origen del vector.

2.4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

restando las coordenadas de origen del vector de las coordenadas de la echa. 2.5.

12

La dirección de un vector que no pase por el origen de coordenadas, se calcula

p(r, θ, z), en coordenadas cilíndricas. b) Los vectoa ˆr , a ˆθ y a ˆz , están dirigidos en las direcciones que aumentan las coordenadas r , θ y z , respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a) Localización del punto p(r, θ, ϕ), en coordenadas esféricas. b) Los vectores unitarios a ˆr , a ˆθ y a ˆϕ , están dirigidos en las direcciones que aumentan las coordenadas r , θ y ϕ, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

a) Localización del punto

res unitarios 2.6.

2.7.

El hombre de hojalata enviando con su mano derecha, un saludo vectorial.

3.1.

El producto punto de dos vectores por

⃗ = AB cos θ, ⃗ •B A

donde

A

y

B

⃗ A

y

⃗, B

14

15 16

es una cantidad escalar denida

son las magnitudes y

θ,

es el ángulo entre

los vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

18

ÍNDICE DE FIGURAS

3.2.

vi

El producto cruz de dos vectores

⃗ A

⃗, B

y

es un vector perpendicular a ambos

vectores ver los recuadros entre los vectores cuya dirección está determinada por la regla de la mano derecha, y su magnitud denida por

AB sen θ, 3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

donde

θ

es el ángulo entre los vectores;

A

y

B

⃗×B ⃗ |= | A

son sus magnitudes.

⃗ = (A, B, C) La ecuación de la recta, está determinada por una dirección D ⃗ . En sus y un punto ro = (xo , yo , zo ). En forma vectorial es: ⃗ r = ⃗ro + Dt componentes o forma escalar es: x − xo = tA , y − yo = tB , z − zo = tC , donde t es el parámetro que da movimiento al punto p sobre la recta. . . . . La ecuación del plano es: Ax + By + Cz + D = 0 , donde A, B, C , son las componentes del vector perpendicular al plano, y D se calcula conociendo un punto po (xo , yo , zo ) sobre el plano, es decir, D = −(Axo + Byo + Czo ). . . . . La distancia del punto p(xo , yo , zo ) al plano Ax + By + Cz + D = 0 , es | Axo + Byo + Czo + D | √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d= A2 + B 2 + C 2 La proyección escalar de un vector ⃗ a sobre un vector ⃗b se calcula con la relación ab = ⃗a • ˆb. La proyección del vector ⃗a sobre ⃗b se obtiene como, ⃗ab = (⃗a • ˆb)ˆb. En ambos casos ˆ b = ⃗b/b, es el vector unitario en la dirección de ⃗b. En resumen, cuando se desee calcular la proyección de un vector en otro, asegúrese de que Draft el otro sea un vector unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7.

Trasladando el vector

a ˆr

π/2

respectivamente. El vector

a ˆz

Trasladando el vector

a ˆθ

entre este y los vectores El vector

a ˆz

a ˆx , a ˆy

y

a ˆz

son:

23

25

θ, π/2 − θ 26

al origen de coordenadas, tenemos que los ángulos

a ˆx , a ˆy

y

a ˆz

son:

π/2 + θ, θ

y

π/2

respectivamente.

se indica con un punto en el origen, semejando la cabeza de una

echa dirigiéndose hacia afuera de la página. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a ˆr , sobre el vector n ˆ denido en el plano xy es: n ˆ sen θ, debido a que el ángulo entre ellos es: π/2 − θ. Los ángulos entre n ˆ sen θ con a ˆx , y a ˆy , son: ϕ y π/2−ϕ, respectivamente. El ángulo entre a ˆr y a ˆz es: θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. La proyección del vector a ˆθ , sobre el vector n ˆ es: n ˆ cos θ, debido a que el ángulo entre ellos es: θ . Los ángulos entre n ˆ cos θ con a ˆx , y a ˆy , son: ϕ y π/2 − ϕ, respectivamente. El ángulo entre a ˆθ y a ˆz es: π/2 + θ. . . . . . . . . . . . . . 3.11. La proyección del vector A en las direcciones a ˆx , a ˆy y a ˆz , nos denen los → cosenos directores α, β y γ respectivemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9.

22

se indica con un punto en el origen,

semejando la cabeza de una echa dirigiéndose hacia afuera de la página. . . 3.8.

21

al origen de coordenadas (vector en línea punteada),

es evidente que los ángulos entre este y los vectores y

19

28

La proyección del vector en coordenadas esféricas

29

30

34

4.1.

Representación gráca de las curvas equipotenciales. . . . . . . . . . . . . . .

39

4.2.

El gradiente es un vector perpendicular a una supercie.

40

. . . . . . . . . . .

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

ÍNDICE DE FIGURAS

4.3.

vii

Matoaka, la hija mayor del jefe Powhatan en uno de sus acostumbrados viajes por el río Potomac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.4.

Canoa con alta tecnología. El agua del río, la denotamos por

. . . . . . .

42

4.5.

(a) Fuente de campo. (b) Sumidero de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.6.

La divergencia y rotacional de un campo son relaciones complementarias. Todo

. A →

campo tiene una componente solenoidal y otra irrotacional. . . . . . . . . . . 4.7.

(a) Líneas de campo de un dipolo eléctrico. Las cargas

+q

y

−q

43

están en rojo

y negro respectivamente. (b) Colocación de los medidores de divergencia y rotacional para el campo eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.

5.1. 5.2.

y sur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Esquema para la regla de la cadena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Conejo suma con conejo, cada oveja con su pareja, no hay índice libre y la cantidad denida es un escalar. La tripa de gato se reemplazó por la echa. .

5.3.

45

Dipolo magnético. Siempre los polos magnéticos se presentan por pares; norte

54

Conejo suma con conejo y venado con venado , cada oveja con su pareja (Ortiz, 2014), hay índice libre y la cantidad denida es un escalar. La tripa de

5.4. 5.5.

gato se reemplazó por la echa. Sonrisa normal venado-jaguar en el Chucky. Draft Sonrisa señor Esponja cuando intercambiamos a jaguar-venado. . . . . . . .

57

Teorema de sustitución.

57

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Producto de dos Chuckies

ℓmn

uvw .

Los índices de los Chuckies son los

colmillos de los velociraptores con cubrebocas, americano en verde y alemán

vw (volkswagen). nvw . Los índices de

en morado por sus dos últimos colmillos 5.6.

Producto de dos Chuckies

ℓmn

. . . . . . . . . . las deltas son de

mordida normal menos mordida ngida, como lo indican los colores. . . . . . 6.1.

El estado dinámico de una partícula se representa por el vector de posición

6.2.

El secreto o clave para la solución electrostática es saber que:

r

→

r.

→

→

7.3.

7.5.

75

. . . . . . . . . . . . . . . .

78

Pistola de pintar autoajustable, the Tom's dream. . . . . . . . . . . . . . . .

79

Rxy , denida entre las funciones y = f1 (x) y y = f2 (x) x = a y x = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La región Rxy dene los límites de la integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . El área de la región Rxy , es la de un tríangulo de base y altura b, cuyo valor 2 es A = b /2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Región de integración

y las líneas 7.4.

71

¾Qué es integrar Tom? Nos diría pensativo ½Integrar es pintar! Las echas no indican el sentido de la calle, ni son gratis.

7.2.

60

es el vector

que va del origen al punto donde deseamos calcular el campo o potencial. Y ′ que r es el vector que va del origen a donde está localizada la carga q . . . . 7.1.

59

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

80 81 82

ÍNDICE DE FIGURAS

viii

es

El área de la región Rxy , es la de un cuarto de círculo de radio R, cuyo valor A = πR2 /4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

7.7.

Ilustración para el teorema de cambio de variable. . . . . . . . . . . . . . . .

84

7.8.

Transformación de coordenadas cartesianas a polares. La idea principal es

7.6.

construir una nueva región 7.9.

Rrθ ,

a partir de la región inicial

Rxy .

. . . . . . .

84

Transformación de puntos sobre círculos por medio de las coordenadas polares. 86

7.10. Transformación B.E. La región más sencilla para integración. . . . . . . . . .

87

7.11. La región ideal para aplicar el teorema de Fubini-Esponja (Marsden, 2004). Límites constantes e integrando separable. Observe que ahora la pistola de la gura 7.2 está en posición horizontal, y se mueve de abajo hacia arriba. . . .

88

7.12. Do you Fubini? Región ideal en el espacio para aplicar el teorema de FubiniEsponja. Límites constantes e integrando separable. El Jacobiano en coordenadas cilíndricas es

r.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . J = r2 sen θ. . . . . . . . . . . . . .

7.13. El Jacobiano en coordenadas esféricas es 7.14. La región

Rxy Rxy Rxy

Ruv . . . . . . . . . . . se transforma a la región Ruv . . . . . . . . . . . se transforma a la región Ruv . . . . . . . . . . . p 1 − x2 − y 2 , x2 + y 2 ≤ 43 . paraboloide, 1 ≤ z ≤ 2

. . . . . . . .

92

. . . . . . . .

93

. . . . . . . .

95

. . . . . . . . Draft 7.18. La intuición nos dice que las coordenadas polares simplican el problema, en

96

7.15. La región 7.16. La región

7.17. Volumen del

se transforma a la región

90 91

este caso no es así.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

z , es r⊥ = r sen θ. . . . . . . . . . . . . . . 7.20. La varita mágica, delta de Dirac δ(x − x0 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.21. La función delta de Dirac δ(r − R) asociada a una esfera de radio R. . . . . 7.22. La función delta de Dirac δ(z − 0) asociada a un cilindro de radio R. . . . . 7.23. Las funciones delta de Dirac δ(z − 0) y δ(r − R), asociadas a un anillo de radio R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

7.19. La distancia perpendicular al eje

8.1.

Como en el Mago de Oz al punto

8.2.

(b)

8.5. 8.6.

104

. . . Para resolver una integral de línea, del punto (a)

sigue el camino amarillo (Baum, 2017).

. . . . . . . . . . . . .

106

x = t. Con esto tendremos y = t4 + t3 , y si deseamos punto b, a → b escribimos t : 0 → 1. La parametrización

a

al

describe el camino y su sentido.

8.4.

103

Parametrización simple ir del punto

8.3.

100 101

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x = cos(πt), y = sen(πt), z = 6t. Para ir del punto a al punto b, el parámetro t debe cambiar de t : 1/3 → 1. . . . . 1 Parametrización de una elipse x = (1) cos θ , y = √ sen θ . Si deseamos reco2 rrerlo en sentido de las manecillas del reloj, el parámetro θ debe cambiar de, θ : 0 → 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parametrización compuesta: C1 : x(t) = t, y = 0, t : −1 → 1. C2 : x(t) = t, y = 1 − t2 , t : 1 → −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parametrización compuesta: C1 : x(t) = t, y = 0, t : 1 → 2. C2 : x(t) = 2, y = t, t : 0 → 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

Parametrización de una hélice circular

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

109

110 112 114

ÍNDICE DE FIGURAS

8.7.

ix

3 Parametrización de la curva, x = 1 − cos t, y = sen t y z = t , del punto (0, 0, 0) al punto (2, 0, π 3 ). Para ir del punto a al punto b, el parámetro t debe

0

π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x = t + 1, y = t + 1 y z = t + 1, donde t : 0 → 1, para cubrir el camino del punto (1, 1, 1) al punto (2, 2, 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8.9. Parametrización de la curva C , x = 3t, y = 4t y z = t , 0 ≤ t ≤ 1. . . . . . . 8.10. Parametrización de la curva C , recorrido de P1 a P2 a P0 . . . . . . . . . . . . 8.11. Cuando el campo A es conservativo la integral de línea del punto a al b es cambiar de

8.8.

a

117

Parametrización;

120 122 122

→

independiente del camino seleccionado. Es decir, podríamos escoger el camino

C1

o el camino

resultado.

C3

para ir del punto

a

al punto

b

y obtendríamos el mismo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b , es la suma de las proyecciones del campo F F · dr a → → →

127

8.12. La integral de línea

sobre las direcciones tangentes a la trayectoria 9.1.

. . . . . . . . . . . . . . .

Formación de burbujas de jabón, cuando un campo de aire camino cerrado supercie

9.2.

C.

dS

C,

circula un

se genera una familia de supercies con un diferencial de

y un contorno común

→

, A →

129

C. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

Draft Supercies orientadas. (a) En esta gura tenemos una supercie plana, donde su diferencial de área

dS →

es perpendicular, y su dirección está determinada

por el pulgar de la mano derecha, cuando circulamos con los dedos restantes el contorno

C

en el sentido del

dr . →

(b) La misma situación pero ahora en una

supercie no plana, aquí el vector unitario de supercie 9.3.

dS ,

n ˆ , no será constante y el diferencial

está denido sobre dicha supercie.

Para un campo bidimensional en función de

x

y

y,

. . . . . . . . . . . . .

133

el teorema de Stokes se

reduce a un plano, y se llama teorema de Green. Si circulamos el camino

C , en sentido contrario dS = dxdy a ˆz . . . . . . → 9.4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Por la mano derecha sabemos que el diferencial de área es donde

9.5.

de las manecillas del reloj, el diferencial de área es

dxdy

135

dS = dxdy a ˆz , →

es la magnitud del diferencial de área. . . . . . . . . . . . . . . .

136

Las echas indican los límites de integración. La echa vertical dene los y = 0 a y = 1 − x2 ; la echa horizontal dene los límites de x = −1

límites de a 9.6.

x = 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

sencillas porque se aplica el teorema de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7.

La parametrización más simple para esta área elíptica es:

2r sen θ, 9.8.

137

Contorno para el problema 7(d). Las integrales en regiones cuadradas son muy

con

θ : 0 → 2π

Parametrización de la

r : 0 → 1. . . . . . . curva C , recorrido de P1 y

x = r cos θ, y =

. . . . . . . . . . . . . . . . . a

P2

a

P0 .

138

. . . . . . . . . . .

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

139 141

ÍNDICE DE FIGURAS

9.9.

x

Para determinar el área de la superce curva o sábana, se utiliza la relación

dS ,

entre el diferencial de la supercie curva plano

xy .

con el diferencial de área del

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

9.10. Existe una relación entre el diferencial de la supercie curva, con el diferencial

xy . De esta relación se calcula el área de la superce z = z(x, y).144 9.11. Nuestras burbujas de jabón tienen una supercie cerrada S y un volumen V . Su diferencial de supercie dS es perpendicular a la supercie. . . . . . . . . 146 → de área del plano

9.12. Superce cerrada, compuesta por cuatro supercies con diferenciales. Esfera

r =1

con

−dydz a ˆx

dS = dS a ˆr , →

y plano

xz

plano

con

xy

con

dS1 = −dxdy a ˆz , →

dS3 = −dxdz a ˆy . →

plano

y tapa en el plano

xy

con

dS1 = −dxdy a ˆz . →

con

dS2 = →

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.13. Superce cerrada, compuesta por dos supercies. Semiesfera

dS a ˆr

yz

r=1

con

147

dS = →

. . . . . . . . . . . . . . .

149

9.14. Parametrización de la superce de cono con helado en coordenadas cilíndricas, √ 1 − r2 y el compuesta por dos supercies, el helado es la semiesfera z = cono

z = r − 1.

Esta supercie al girar genera el cono con el helado. El giro

lo indicamos con la aureola

θ : 0 → 2π .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.15. Superce cerrada, compuesta por tres supercies. Cilindro Draft

dSˆ ar

y dos tapas en los planos

dS1 = dxdyˆ az , →

respectivamente.

z = ±1

con diferenciales

r = 1

con

→

dS2 = dxdyˆ az →

y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.16. La supercie contenida en la curva

C , recorrido de P1

a

P2

pero la podemos cerrar con las tapas triangulares de área

152

dS =

P0 , no es cerrada, 1/2. . . . . . . . .

154

a

155

10.1. Diagrama conceptual para la solución a la ecuacion de Poisson, cuando las fronteras están en innito o muy alejadas.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nota: Todas las guras incluidas en esta lista son de elaboración propia.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

165

Preámbulo

Cuando era estudiante de secundaria, encontré en un libro de mecánica un símbolo raro. Era una especie de serpiente o letra S alargada, con una bola al centro. Solo lo había visto en los violines y tololoches. En el libro también había otros símbolos que parecían caracolitos, uno arriba de otro. Cruces, puntos y echas sobre letras que las hacían parecer helados con conteria de chocolate. Triángulos de cabeza y muchos números al cuadrado y ½a la 3/2! Que maravilloso resultaba ver ese libro. Me hacía soñar en aquella biblioteca popular de Ciudad Nezahualcóyolt. Posteriormente, encontré el libro de George Gamow, Materia, tierra y cielo (Gamow, 1960). Recuerdo que fue la primera vez que vi las palabras campo, electricidad y ondas. Draft Leerlas me hizo pensar en los viajes a la Luna que se habían realizado y las naves espaciales que los hicieron posibles. Por si fuera poco, encontré en esa biblioteca unos ejemplares de la Enciclopedia Salvat sobre los mayas y mexicas. En sus páginas, volví a ver nuevamente símbolos tan maravillosos e impresionantes que, hasta la fecha, no los podría dibujar. Despertaron mi interés por tratar de entender y descifrar los símbolos más modernos, aquellos que mis maestros de la vocacional me explicaron. Ahora tengo la oportunidad de explicar a un joven estudiante de excelente humor qué es esa serpiente matemática y qué es ese triángulo de cabeza. Este privilegio me evoca el recuerdo de las frases tan amables de mis maestros, quienes dedicaron muchas horas de su tiempo a mi aprendizaje. Hoy tengo la alegre oportunidad de retransmitir las palabras de mis maestros. Finalmente, me gustaría que se dijera que estas notas son triviales. De esta manera, habré logrado mi objetivo: que estas notas sean sencillas de entender. Muchas gracias por los sueños y la oportunidad de hablar de ellos. A mi esposa Carmen y a mis hijas Ana y Monse con todo mi amor y cariño. Ciudad de México, febrero de 2023

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1 Introducción

Estas notas han sido desarrolladas y utilizadas durante la impartición del curso de análisis vectorial en la ESFM, aunque no de manera continua, durante más de treinta años. Han sido complementadas con la enseñanza de otras asignaturas y, sobre todo, de vivir de manera directa las necesidades y limitaciones de nuestros programas de estudio. En la revisión de este trabajo, se me indicó contestar la siguiente pregunta ¾A quién va dirigido este trabajo? Deseo responder teniendo en mente las siguientes preguntas: ¾Cómo Draft enseñar a jóvenes estudiantes matemáticas sin tanta formalidad? ¾Cómo enseñarles matemáticas sin que parezcan un conjunto de trucos y recetas de cocina? A partir de estas preguntas, claramente podemos decir que estas notas están dirigidas a jóvenes estudiantes de los primeros semestres de la licenciatura en física, matemáticas o ingeniería, dotados denitivamente de un excelente sentido del humor, ya que las matemáticas son como ellos mismos: alegres e ingeniosas. Por otra parte, la formalidad en las matemáticas es de suma importancia para el desarrollo y comprensión de la ciencia. Sin embargo, considero que esta formalidad es un proceso de maduración y razonamiento, más que un conjunto de reglas mnemotécnicas listas para ser utilizadas. Este proceso requiere experiencia, que nuestros jóvenes estudiantes necesitan adquirir a medida que avancen en sus estudios, y no obligarlos a tenerla en los primeros semestres de una licenciatura. Con base en lo expuesto anteriormente, nos planteamos un doble objetivo con estas notas: (i) Cubrir la necesidad de familiarizarse con las operaciones diferenciales básicas y la solución a integrales que aparecen en los cursos de física III o teoría electromagnética y mecánica. (ii) Motivar el uso del cálculo tensorial. Para lograr estos objetivos, abordamos principalmente el signicado físico de las operaciones diferenciales vectoriales, el uso de la convención de suma y los tensores cartesianos. En

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

2

el caso de las integrales, empleamos el teorema del cambio de variable junto con el cálculo de su Jacobiano. Como metas y alcance para estas notas, destacamos el desarrollo de las bases teóricas y prácticas de las operaciones tensoriales, abriendo las posibilidades para un estudio posterior de la geometría diferencial y el cálculo tensorial, fundamentos necesarios para el estudio de la relatividad y el electromagnetismo avanzado. Nuestro objetivo es lograr esto con un enfoque mínimo en formalidades, evitando que el curso parezca simplemente un conjunto de trucos y recetas de cocina. Por último, quiero expresar mi agradecimiento por los comentarios y observaciones de los revisores de estas notas, en particular a Maria Elena Cervantes, Saúl Puga y Eduardo Virueña. También quiero agradecer el invaluable apoyo e interés de mis alumnos en los cursos.

Draft

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1.1.

1.1.

Juego Tripas de gato

3

Juego Tripas de gato

El juego Tripas de gato es un juego de lápices de colores y papel donde se dibujan parejas de números consecutivos, símbolos u objetos en una hoja de papel. Las parejas se unen con una tripa o línea curva sin despegar el lápiz de color del papel. Se juega por turnos, se recomienda usar un lápiz de diferente color para identicar al jugador en turno. Por ejemplo, el primer jugador une el número

1

con una línea la pareja de números

con el otro número

2, . . .

1

y el siguiente jugador debe juntar

y así sucesivamente, como se muestra en la gura

1.1. Las líneas de un jugador no deben cruzar las del contrincante. Pierde el jugador que despega el lápiz del papel durante su jugada, si se sale del papel o bien, toca otra línea dentro del juego.

Draft

Figura 1.1. Juego Tripas de gato. ¾Cómo se aplica este juego en las operaciones matemáticas de las leyes físicas? Si recordamos el juego clásico de video Pac-Man, (donde una voraz esfera amarilla engulle fantasmas de colores a lo largo de un laberinto), y nuestro curso de cálculo diferencial, (donde el operador derivada

d/dx actúa sobre una función f (x)), comparando ambos juegos, encontramos que

el operador derivada es equivalente a la esfera amarilla, y que los fantasmas son las funciones sobre las que actua dicho operador, como lo indicamos en la gura 1.2.

Figura 1.2. Comparación del operador derivada con los personajes de un juego de video. Por otra parte, las cantidades utilizadas en física tienen componentes, que son precisamente las que determinarán las parejas de números o símbolos a utilizar en el juego Tripas

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

1.1.

Juego Tripas de gato

4

de gato. Por ejemplo, en la gura 1.3 mostramos la relación que dene las ecuaciones de Maxwell covariantes (Jackson, 1975) como:

Figura 1.3. Comparación de las ecuaciones de Maxwell con los personajes de un juego de video.

Esta ecuación dene las leyes de la electrodinámica de manera relativista. Ofrecemos disculpas por no explicar con detalle cada término, pero por el momento es más importante la estructura de estas ecuaciones. Al hacer la comparación con el juego de Pac-Man, observamos denido en la derivada parcial ∂α , que αβ muerde al fantasma, representado por el tensor de Faraday F que, a su vez, se deende ahora que la esfera amarilla tiene un colmillo con sus dos colmillos

α,

αβ .

Como el fantasma tiene un colmillo de más, el resultado de esta β lucha es una cantidad con un índice β llamada 4-corriente J .

Draft

Figura 1.4. Juego Tripas de gato para una contracción o suma de índices. En la gura 1.4, por medio del juego Tripas de gato agrupamos los dos índices iguales

α, β,

que matemáticamente se dicen que se suman o contraen, quedando libremente el índice que asociamos a la 4-corriente. Podemos reempalzar la tripa de gato por una echa para

indicar la contracción de índices. Claramente con la práctica ya no será necesaria la tripa o la echa para realizar nuestras operaciones. Es importante resaltar, que hemos introducido el término operador y lo hemos asociamos a una derivada, pero de manera similar también se puede asociar a una integral. La noción del operador es fundamental en álgebra lineal y, por herencia lo será denitivamente para la mecánica cuántica (Sakurai, 1985), donde se les asocia con observables como la energía, el momento, la entropía, etc.

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1.1.

Juego Tripas de gato

5

Figura 1.5. Juego Tripas de gato para una contracción o suma de índices.

Finalmente, extenderemos nuestro juego Tripas de gato a una integral doble. Aquí cada tripa agrupará a una misma variable junto con sus integrales y diferenciales. Por ejemplo, en la gura 1.5, por medio de tripas de gato agrupamos las dos funciones de las variables y

y.

x

Como los límites de cada integral son constantes, entonces cada integral es un número

y una integral doble será en este caso un producto de dos integrales denidas, y con esto Draft demostramos de manera artesanal el teorema de Fubini (Amazigo, 1980).

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2 Representaciones

En la mayoría de los cursos de vectores se dice que un vector es una cantidad que tiene magnitud dirección y sentido. En lo personal esta denición me parece muy imprecisa. Considero que es mejor denirlo por medio del concepto de espacio vectorial, y posteriormente sin ser demasiado formal, representarlo como una echa en el espacio tridimensional.

2.1.

Espacio vectorial

Draft

Me gustaría iniciar a la manera tradicional, es decir, basados en el siguiente diálogo (Alexie, 1994):  ½Nos tienen rodeados los Indios, Toro!  ¾Nos tienen, Kimosabi? Pero en un instante, nos sentiríamos acosados por muchas echas. En consecuencia, iniciar deniendo un espacio vectorial deniendo un vector en abstracto representa la ventaja de extender el concepto de vector, a sistemas donde una visualización directa no es posible, tal es el caso de la mecánica cuántica (Sakurai, 1985). Para interpretar qué es un vector, será necesario introducir el concepto de representación, o sistema de coordenadas. Se entenderá por un cuerpo o campo

F,

a los números reales

R.

Denamos qué es un

espacio vectorial (Lang, 1976).

Denición 1. Un espacio vectorial

V

sobre el cuerpo

F

es un conjunto de elementos, lla-

mados vectores, que se pueden sumar y que se pueden multiplicar por elementos de manera que la suma de dos elementos de elemento de

V

por un elemento de

F

V,

es un nuevo elemento de

es un elemento de

V.

V,

F,

de tal

el producto de un

Y además se deben satisfacer las

siguientes propiedades:

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2.1.

Espacio vectorial

7

1. Para todos los elementos

u

2. Para todos los elementos

u, v

3. Existe un elemento de 4. Dado un elemento 5. Si

c

u

V,

de

y

v

de

V,

se tiene que:

w

de

V,

y

se tiene que:

denotado por 0, tal que:

V,

el elemento

es un número, entonces,

u+v =v+u.

−u

de

V

0+u=u+0=u.

es tal que:

(a + b)v = av + bv .

7. Si a y b son números, entonces,

(ab)v = a(bv) .

u

de

V,

u + (−u) = 0 .

c(u + v) = cu + cv .

6. Si a y b son números, entonces,

8. Para los elementos

(u + v) + w = u + (v + w) .

se tiene que,

1·u=u

donde

1

es la unidad.

Todas estas reglas son independientes de la representación, es decir, son propiedades inn trínsecas de los vectores. La forma de escribir un vector en el espacio R , es por medio del arreglo de

n-entradas: u = (u1 , u2 , . . . , un ) , Draft

donde cada una de ellas es un número real. Las propiedades de los números en un espacio

n

dimensional, son muy parecidas a las de un espacio vectorial, por consiguiente, a los puntos n en un espacio R también les llaman vectores (Lang, 1976). Esta armación, supone que los vectores no dependen del origen del sistema de coordenadas.

Denición 2. Sea

c1 , . . . , c n ,

V

un espacio vectorial arbitrario y sean

números. Una combinación lineal de

u1 , . . . , un ,

u1 , . . . , u n

elementos de

V,

y

será una expresión del tipo:

c1 u1 + c2 u2 + · · · + cn un . Denición 3. Sea

V un espacio vectorial arbitrario sobre R, y u1 , . . . , un elementos de V . Decimos que u1 , . . . , un , son linealmente dependientes sobre R, si existen elementos en R no todos iguales a 0, tales que: c1 u1 + c2 u2 + · · · + cn un = 0 . Si no existen tales números entonces decimos que

u1 , . . . , un , son linealmente independientes.

Denición 4. Decimos que cuando generan a

V,

el conjunto de

u1 , . . . , un , son linealmente independientes y u1 , . . . , un vectores {u1 , . . . , un }, se conoce como una base de V .

Denición 5. Si el conjunto de vectores, dimensión de

V

es

{u1 , . . . , un },

son una base de

n. Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

V,

entonces la

Representación geométrica

2.2.

La importancia de tener una base cualquier vector

u

de

V,

8

{u1 , . . . , un },

de

V,

fundamenta el hecho de escribir

como una combinación lineal de los elementos de la base, o sea,

u = c1 u1 + c2 u2 + · · · + cn un , donde los

2.2.

c1 , . . . , c n ,

son números.

Representación geométrica

¾Qué es un vector? Esta pregunta es difícil de contestar sin recurrir a la denición de espacio vectorial, sin embargo, al representar o proyectar estos vectores abstractos, en un sistema de coordenadas, obtenemos la forma práctica de visualizarlos grácamente. En este caso, un vector se representa por medio de una echa o segmento dirigido, es decir, dos puntos unidos por una recta, en la dirección determinada por la cabeza de la echa; cuya longitud es la magnitud del vector. Desde este momento resulta claro denotar a los vectores con ayuda de una echa, por ejemplo, el vector

A será denotado;

denotaremos sin echa), y su magnitud por Aó Draft

|A|. →

⃗ A

ó

A →

(el vector cero lo

La forma gráca de cómo sumar dos vectores, es conocida como: el método del paralelogramo; que describiremos a continuación.

Figura 2.1. Método del paralelogramo. a) Consideremos dos vectores arbitrarios

⃗ A

y

⃗. B

b) Los vectores se mueven paralelamente y sus extremos sin echa se colocan en el punto jo

o.

La suma

⃗+B ⃗ A

es la echa que une

o,

con la intersección de las líneas paralelas a los

vectores. Observe que los vectores se pueden desplazar en todo el plano.

Para sumar dos vectores grácamente, muévase el primer vector (asegurándose de no cambiar su orientación), a un punto jo

o,

donde jamos el lado que no tiene echa. A

continuación muévase de la misma forma el siguiente vector, jándolo del lado que no tiene

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2.3.

Representación en coordenadas cartesianas

echa del punto

o.

9

Por último, trácese paralelas a los vectores que pasen por las puntas de

las echas. La suma de los vectores será la echa dirigida del punto

o,

a la intersección de

la dos paralelas a los vectores, ver gura 2.1. Nótese que los vectores se desplazan hacia cualquier lugar, sin cambiar sus propiedades; es decir, no dependen del origen del sistema de coordenadas. La suma de dos vectores

A →

y

, B →

cumple:

+B =B+A, A → → → → o sea, la adición vectorial es conmutativa. La adición vectorial también es asociativa,

+ (B + C ) = ( A + B ) + C . A → → → → → → Observe que estas relaciones, son idénticas a las dos primeras que denen un espacio vectorial. Reemplazando

u↔A;v↔B → →

;

w↔C →

se obtienen todas las propiedades de un espacio

vectorial. Es importante insistir que las propiedades de los vectores son independientes de la representación, de aquí surgen deniciones de vector muy sosticadas, ya que no es suciente una magnitud y una dirección (Arfken, 1985). Draft

2.3.

Representación en coordenadas cartesianas

En física, generalmente los espacios son homogéneos, es decir, las ecuaciones de las leyes físicas son independientes del origen de coordenadas (Kittel et al., 1982). ½Qué coincidencia, verdad! Que será una propiedad muy útil para la suma con el método del paralelogramo. Para representar un punto en el espacio, son necesarias tres coordenadas, porque la dimensión del espacio es tres. En el sistema de coordenadas cartesianas, estos puntos los denotamos por

(x, y, z),

donde

x, y

y

z

son las coordenadas a lo largo de los ejes

x, y

y

z

respectiva-

mente. Estas coordenadas no tienen restricción alguna en sus valores, es decir, pueden tener cualquier valor en el intervalo

(−∞, ∞).

Ya que los vectores son independientes del origen de coordenadas, entonces, es posible denotarlos igual que los puntos en el espacio, o sea, como el vector

= (Ax , Ay , Az ) , A → donde

Ax , A y

y

Az

son las componentes a lo largo de los ejes

Para ubicar el punto

p(1, 2, 3),

(2.1)

x, y

y

z

respectivamente.

donde está el corazón del hombre de hojalata (Baum,

x, hasta el punto a(1, 0, 0), b(1, 2, 0) y nalmente tres, a

2017), iniciamos con un paso de una unidad a lo largo del eje a continuación dos, a lo largo del eje

y,

para arribar al punto

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2.3.

Representación en coordenadas cartesianas

10

z hasta el punto p(1, 2, 3). Es decir, realizamos el recorrido del origen o al p(1, 2, 3), a lo largo del camino indicado por la línea de puntos cercanos. Esta forma de

lo largo del eje punto

ubicar los puntos, es similar a la realizada por el sensor de posición digitalizado, utilizado en los ojos del hombre de hojalata, ver gura 2.2 (a).

Draft

Figura 2.2. a) Ubicación del punto

p(1, 2, 3),

como lo haría un sistema de ubicación

digital, utilizado en los ojos del hombre de hojalata. b) Ubicación del vector

⃗ = (1, 2, 3). A

Los movimientos de la mano del hombre de hojalata, corresponden a las componentes del vector.

p(1, 2, 3), de otra forma, por ejemplo: moviéndose tres unidades a lo largo del eje z , hasta c(0, 0, 3), posteriormente, dos unidades a lo largo del eje y , hasta d(0, 2, 3), nalmente, una unidad a lo largo del eje x hasta p(1, 2, 3), o sea, a lo largo del Es posible ubicar el punto

camino indicado por la línea de puntos separados en la gura 2.2(a). Para dibujar el vector

p(1, 2, 3).

origen) tocar el punto del eje

x

= (1, 2, 3), A →

permitamos al hombre de hojalata (ubicado en el

Él tendrá, en consecuencia que estirar su brazo a lo largo

una unidad, o sea, su movimiento tendrá componente

Ax = 1

(ver echas sólidas

de la gura 2.2 (b). El brazo del hombre de hojalata no es elástico, por lo tanto, no es posible doblarlo, pero sí puede mover su mano a lo largo del eje

Ay = 2),

nalmente subirá su mano al lo largo del eje

El vector

= (1, 2, 3), A →

del origen y llega hasta Para tocar el punto

z

y

dos unidades (componente

tres unidades (componente

Az = 3).

estará determinado por el brazo del hombre de hojalata, que parte

p(1, 2, 3).

p(1, 2, 3), él puede realizar sus movimientos en cualquier orden, es de-

cir, cada movimiento será independiente, por ejemplo: ver las echas punteadas en la gura

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2.3.

Representación en coordenadas cartesianas

11

2.2 (b). Esta última observación, nos lleva a interpretar físicamente, la denición de vectores linealmente independientes. Por medio del jostick (mecanismo utilizado en la mayoría de los juegos de video) ampliaremos este concepto. Supongamos que el objetivo del juego es:

p(1, 2, 3). Rápidamente movemos nuestro jostick a lo x, una unidad, posteriormente dos unidades a lo largo del eje y , para nalmente moverlo tres unidades a lo largo del eje z y sujetar el corazón. Debido a la emoción del juego,

tocar el corazón, localizado en el punto largo del eje

esta secuencia de movimientos puede cambiar de acuerdo a nuestra posición de la mano o inuencia de la Bruja mala del oeste (Baum, 2017); obteniendo los mismos resultados. La necesidad de realizar una secuencia de tres movimientos en las direcciones permitidas, permanecerá sin cambio. Denotemos a estas direcciones permitidas como:

a ˆx , a ˆy , a ˆz ,

(2.2)

para los movimientos, en las direcciones positivas dirección donde aumentan de las coordenadas

x, y

y

z,

respectivamente, ver en la gura 2.3 (a).

El movimiento neto, o sea, el vector

se escribirá Draft A →

como:

= Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz , A →

(2.3)

= 1ˆ ax + 2ˆ ay + 3ˆ az , donde

Ax , A y

y

(2.4)

Az , son las componentes del vector, o bien, las magnitudes de los movimientos

necesarios del jostick en cada una de las direcciones permitidas, ver en la gura 2.3(b). A las direcciones permitidas, ver ecuación (2.2), se les conoce como vectores unitarios (de magnitud uno), y al conjunto

{ˆ ax , a ˆy , a ˆz } , le llamaremos base cartesiana. Antiguamente se denotaba por

(2.5)

ˆ . {ˆi , ˆj , k}

Es importante no-

tar que el orden en los términos de la ecuación (2.4), no efecta la representación del vector, o sea, podemos mover el jostick en cualquier secuencia, sin afectar el objetivo nal.

q(−1, 4, −3)? ¾Comó lo ubicaría el 3 del espacio vectorial, podemos multiplicamos por −1, permitiéndonos cambiar

¾Qué pasaría, si el corazón estuviera localizado en

hombre de hojalata? ½Claro! En relación con la propiedad cambiar la dirección de un vector cuando lo

las direcciones de algunas componentes del vector o movimientos del jostick. Entonces el vector

, B →

correspondiente al punto

q(−1, 4, −3),

será:

= −1ˆ ax + 4ˆ ay − 3ˆ az . B →

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2.4.

Representación en coordenadas cilíndricas

12

Figura 2.3. Para encontrar la dirección de un vector que no pase por el origen de coordenadas, basta con restar de las coordenadas de la echa, las coordenadas de origen del vector.

Entonces, cualquier vector en el espacio, podrá ser representado por la combinación lineal de la forma denida en la ecuación (2.3), es decir, los vectores (2.5) forman una base y son linealmente independientes.

Draft

Además, es importante observar que: dos vectores son iguales si y solo si son iguales componente a componente. Analicemos cómo ubicar un vector, que no necesariamente pase por el origen de coordenadas. Supongamos que deseamos encontrar la dirección del vector por el método del paralelogramo, la suma de los vectores

+C A → →

C →

en la gura 2.4. Aquí,

será el vector

, B →

de donde

=B−A. C → → → Si,

= (Ax , Ay , Az ) A →

y

= (Bx , By , Bz ), B →

el vector

, C →

tiene por coordenadas o dirección

= (Bx − Ax , By − Ay , Bz − Az ) , C → es decir, para hallar su dirección basta con restar, de las coordenadas de la echa, las coordenadas de origen del vector.

2.4.

Representación en coordenadas cilíndricas

Debido a la forma de los objetos considerados en problemas físicos (cables, esferas, tapaderas, etc), los parámetros y cantidades involucradas, resultan ser difíciles de manipular en

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2.4.

Representación en coordenadas cilíndricas

13

Figura 2.4. La dirección de un vector que no pase por el origen de coordenadas, se calcula restando las coordenadas de origen del vector de las coordenadas de la echa.

coordenadas cartesianas, de ahí surge la necesidad de introducir coordenadas más adecuadas. Draft Para problemas que involucren, alambres rectos o en espiral, tapas circulares o bien objetos en forma cilíndrica, utilizaremos las coordenadas cilíndricas

(r, θ, z),

donde

p

x2 + y 2 , y θ = arctan , x z=z r=

(2.6)

0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π , −∞ < z < ∞. Haciendo uso de la gura 2.5(a), la coordenada r , es medida desde el origen o, hasta el punto p(r, θ, 0), que es la proyección del punto p(r, θ, z), en el plano xy . La coordenada θ , es el ángulo (medido sobre el plano xy ), entre el eje x y la línea imaginaria a lo largo de r . Finalmente z se mide igual

cuyos rangos de valores son:

que en las coordenadas cartesianas. Si nuestra amiga, la Bruja buena del norte (Baum, 2017), desea tocar con su varita mágica

p(r, θ, z) (localizada inicialmente en el origen), tendrá que mover su mano a lo largo x una distancia r, posteriormente rotar su brazo un ángulo θ, para nalmente deslizar mano paralelamente al eje z , la distancia z requerida para tocar el punto.

el punto de eje su

z = 0 (o cuando es constante), obtenemos las coordenadas polares (r, θ), denidas plano xy (o z = constante), como consecuencia podemos escribir,

Cuando en el

x = r cos θ ,

y = r sen θ ,

z=z.

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(2.7)

2.4.

Representación en coordenadas cilíndricas

Figura 2.5. a) Localización del punto unitarios

z,

a ˆr , a ˆθ

y

a ˆz ,

p(r, θ, z),

14

en coordenadas cilíndricas. b) Los vectores

están dirigidos en las direcciones que aumentan las coordenadas

r, θ

y

respectivamente.

a ˆr , a ˆθ y a ˆz , están dirigidos hacia las direcciones donde aumentan sus r, θ y z , ver gura 2.5(b). Estos vectores, aunque son de magnitud Draft sus direcciones no lo son, excepto el vector a ˆz .

Los vectores unitarios

coordenadas respectivas, constante (unitarios),

Supongamos que la Bruja mala del oeste usara de mira telescópica, al vector unitario

a ˆr ,

para ubicar a Dorothy y las zapatillas de rubí (Baum, 2017). Aunque siempre lo hará de

manera radial (en la dirección que aumenta objetivos. Para el vector unitario

a ˆθ ,

r),

al cambiar el ángulo

θ

apuntará a distintos

sucederá algo similar; apuntará a distintos objetivos

siempre de manera tangente a la envoltura del cilindro (en la dirección que aumenta la coordenada

θ,

ver gura 2.5(a)), para distintos ángulos

θ + π/2. a ˆz , siempre apuntará hacia del ángulo θ . Una situación

Si la Bruja mala del oeste, usara de mira telescópica al vector arriba, (donde aumenta la coordenada

z ),

independientemente

a ˆy , de las coordenadas cartesianas, ya coordenadas x y y , respectivamente. Concluimos,

similar, se tendrá con los vectores unitarios siempre apuntarán a lo largo de las

a ˆx

y

que que

los vectores unitarios (2.2), son constantes en magnitud y dirección, es decir, son vectores constantes; no así los vectores Los vectores unitarios

a ˆr , a ˆθ ,

a ˆr , a ˆθ

y

a ˆz ,

cuya dirección depende de

θ.

forman una base para los vectores en el espacio, o sea,

cualquier vector en coordenadas cilíndricas, se podrá escribir como la combinación lineal,

= Ar a ˆ r + Aθ a ˆ θ + Az a ˆz , A → donde

Ar , Aθ

y

Az ,

son las componentes del vector en coordenadas cilíndricas.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(2.8)

2.5.

Representación en coordenadas esféricas

2.5.

15

Representación en coordenadas esféricas

Con la misma motivación, el uso de las coordenadas esféricas nos permitirá resolver problemas donde se involucren, esferas o semi-esferas (huecas o sólidas), conos con helado, etcétera. Las coordenadas para ubicar un punto en este sistema son;

r, θ

y

ϕ,

entonces,

p(r, θ, ϕ), cuyos rangos de valores son: 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π , como lo mostramos en la gura 2.6(a). La coordenada r, es medida desde el origen o, hasta el punto p(r, θ, ϕ). La coordenada θ, se mide a partir del eje z , sobre el plano que forma la línea imaginaria a lo largo r y el eje z . Finalmente ϕ, es el ángulo formado (sobre el plano xy ), entre el eje x y la proyección de r , sobre el plano xy . un punto en coordenadas esféricas se denota como

Draft

Figura 2.6. a) Localización del punto unitarios

ϕ,

a ˆr , a ˆθ

y

a ˆϕ ,

p(r, θ, ϕ),

en coordenadas esféricas. b) Los vectores

están dirigidos en las direcciones que aumentan las coordenadas

r, θ

y

respectivamente.

La relación entre las coordenadas cartesianas y las esféricas es,

x = r sen θ cos ϕ ,

y = r sen θ sen ϕ ,

z = r cos θ .

(2.9)

a ˆr , a ˆθ y a ˆϕ , estan dirigidos, en las direcciones que aumentan sus r, θ y ϕ, ver gura 2.6(b). Estos vectores no son constantes (aunque

Los vectores unitarios coordenadas respectivas

su magnitud es constante sus direcciones cambian con los ángulos). Los vectores unitarios

a ˆr , a ˆθ

y

a ˆϕ ,

forman una base para los vectores en el espacio, o sea,

cualquier vector en cordenadas esféricas, se podrá escribir como la combinación lineal

= Ar a ˆ r + Aθ a ˆ θ + Aϕ a ˆϕ , A → donde

Ar , Aθ

y

Aϕ ,

son las componentes del vector en coordenadas esféricas.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(2.10)

2.5.

Representación en coordenadas esféricas

16

Finalmente, la despedida del hombre de hojalata se lleva a cabo utilizando coordenadas esféricas. Aparece de pie a lo largo del eje reverencias inclinándose un ángulo

θ,

z,

con su sombrero a una altura

mientras gira sus pies alrededor del eje

z

r.

Nos hace

un ángulo

ϕ,

expresando su gratitud por haberlo ayudado a encontrado su corazón, tal como se muestra en la gura 2.7. Además, nos envía un saludo vectorial con su mano derecha.

Draft

Figura 2.7. El hombre de hojalata enviando con su mano derecha, un saludo vectorial.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

3 Productos: punto y cruz

3.1.

Productos entre vectores: punto y cruz Draft

En la práctica es más sencillo trabajar con cantidades. En general, se trabaja con dos tipos de cantidades; escalares y vectoriales. Son cantidades escalares, aquellas que están perfectamente determinadas por una magnitud (número), como son: la masa, el trabajo, el tiempo, la temperatura y el voltaje. Las cantidades vectoriales requieren además de una magnitud una dirección, por ejemplo: el desplazamiento, la velocidad, la fuerza y la intensidad de campo eléctrico. Es claro, que si nos preguntan la hora, bastará decir, son las 3:25 pm, sin embargo, si nos piden aplicar una fuerza sobre un objeto, tendríamos que preguntar además la dirección o hacia donde debemos aplicarla. De la denición de espacio vectorial, resulta natural multiplicar un vector

c.

⃗ por un escalar A

c > 0, el vector no cambiará de dirección; si c < 0, el vector cambiará de dirección. Además, si c > 1, el vector aumentará su amplitud en la misma proporción que c, y la disminuirá si 0 < c < 1. Si el escalar

¾Habrá alguna forma de multiplicar dos vectores? En realidad hay dos formas; un tipo produce una cantidad escalar (producto punto), mientras otro, una cantidad vectorial (producto cruz). Denamos los productos punto y cruz, para tejer nuestra telaraña de propiedades vec-

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

3.1.

Productos entre vectores: punto y cruz

toriales. El producto punto entre dos vectores

A →

y

18

, B →

es una cantidad escalar denida por

• B = B • A A → → → →

(3.1)

= |A||B | cos θ = AB cos θ , →

donde

θ,

es el ángulo entre los vectores

A →

→

y

. B →

Ver la gura 3.1.

⃗yB ⃗ , es una cantidad escalar denida por A Draft son las magnitudes y θ , es el ángulo entre los vectores.

Figura 3.1. El producto punto de dos vectores

⃗•B ⃗ = AB cos θ, A Si,

A →

y

B →

donde

A

y

B

son ortogonales, es decir, si el ángulo entre ellos es de

ducto punto de

A →

y

, B →

θ = π/2 = 90o ,

el pro-

será cero, ver ecuación (3.1). Y aún más; dos vectores distintos de

cero tienen producto punto cero, si y solo si, ellos son ortogonales. Cuando

= B, A → →

en (3.1) tendremos:

2 2 • A = A = |A| , A → → →

(3.2)

como consecuencia, que el ángulo entre un vector y él mismo es cero. Aplicando lo anterior, a los vectores base en coordenadas cartesianas, tendremos:

ˆy = a ˆy • a ˆz = a ˆz • a ˆx = 0 , a ˆx • a a ˆx • a ˆx = a ˆy • a ˆy = a ˆz • a ˆz = 1 ,

(3.3)

o sea, la base (2.5), es ortonormal; vectores base, mutuamente ortogonales y de magnitud uno.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

3.1.

Productos entre vectores: punto y cruz

Sea

= Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz A →

y

19

= Bx a ˆx + By a ˆy + Bz a ˆz , B →

entonces:

• B = (A a ˆ y + Az a ˆz ) • (Bx a ˆx + By a ˆy + Bz a ˆz ) , A x ˆ x + Ay a → →

=Ax Bx + Ay By + Az Bz ,

(3.4)

donde hemos aplicado recurrentemente las relaciones (3.3). La magnitud del

|A| = →

q

, A →

A2x + A2y + A2z ,

será:

(3.5)

obtenida con ayuda de (3.2). El producto cruz entre dos vectores, es más elaborado, porque además de determinar su magnitud debemos encontrar su dirección. El producto cruz de dos vectores, es un vector perpendicular a ambos vectores. Por ejemplo, consideremos los vectores del producto

A →

y

, B →

la dirección

× B , estará dada por la regla de la mano derecha; estire su dedos de la mano A → →

derecha en la dirección del primer vector, en nuestro caso es el vector simulando que desea atrapar al vector

, A →

cierre su mano

Draft B , de tal manera, que el dedo pulgar determinará →

la dirección del producto cruz, ver la gura 3.2 y el vector

Figura 3.2. El producto cruz de dos vectores

⃗ A

y

⃗, B

C →

de la gura 2.7.

es un vector perpendicular a ambos

vectores ver los recuadros entre los vectores cuya dirección está determinada por la regla de la mano derecha, y su magnitud denida por entre los vectores;

A

y

B

⃗×B ⃗ |= AB sen θ, |A

donde

θ

es el ángulo

son sus magnitudes.

La magnitud del producto cruz es:

| A × B |= AB sen θ , →

→

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(3.6)

3.1.

Productos entre vectores: punto y cruz

El producto cruz, no es conmutativo, es decir

20

× A ̸= A × B , para probarlo, será ilustrativo B → → → →

utilizar la regla de la mano derecha; iniciando con el vector , A →

y el dedo pulgar apuntará en la dirección contraria a

, tratamos de atrapar el vector B → A × B . Como el único cambio que →

→

realizamos fue en el orden del producto, o sea, mantuvimos sin cambio las magnitudes y el ángulo entre los vectores, escribimos que:

× B = −B × A , A → → → →

(3.7)

× A = −A × A = 0 , A → → → →

(3.8)

de donde

porque el cero es el único número o cantidad que es igual a su negativo. Esta propiedad es especialmente válida cuando se aplica al producto cruz de dos vectores iguales, el cual será nulo. Este resultado también está de acuerdo con la ecuación (3.6), en virtud de que el ángulo entre un vector y sí mismo es cero. Con las deniciones anteriores, escribimos:

a ˆx × a ˆy a ˆy × a ˆz a ˆz × a ˆx a ˆx × a ˆx Sea

= Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz A →

y

=a ˆz , a ˆy × a ˆx = −ˆ az , =a ˆDraft a ˆz × a ˆy = −ˆ ax , x , =a ˆy , a ˆx × a ˆz = −ˆ ay , =a ˆy × a ˆy = a ˆz × a ˆz = 0 .

= Bx a ˆx + By a ˆy + Bz a ˆz , B →

(3.9)

entonces:

× B = (Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz ) × (Bx a ˆx + By a ˆy + Bz a ˆz ) , A → → = (Ay Bz − Az By ) a ˆx + (Az Bx − Ax Bz ) a ˆy + (Ax By − Ay Bx ) a ˆz ,

(3.10)

donde hemos aplicado recurrentemente las relaciones (3.9). La relación (3.10), se puede escribir como un determinante; sin embargo, considero que es una costumbre anticuada. Es importante hacer notar, que las relaciones (3.1), ( 3.2), (3.7) y (3.8), son independientes de la representación, es decir, son propiedades intrínsecas de los vectores.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

3.2.

Ecuaciones de la recta y el plano

3.2.

21

Ecuaciones de la recta y el plano

Para encontrar la ecuación de la recta en forma vectorial, será necesario suponer que tiene por dirección el vector punto

= (A, B, C) D →

(línea punteada en la gura 3.3 y que pasa por el

po (xo , yo , zo ).

La ecuación de la recta dene las coordenadas del punto , D →

es decir, localiza la punta de la echa del vector

la echa a lo largo del vector ; D →

. D →

Si

t

tD. →

p(x, y, z),

El parámetro

es positivo, el punto

p,

t,

mueve la punta de

se alejará de

t = 0, p = po ,

si es negativo, en dirección contraria. Cuando

a lo largo del vector

po

en dirección de

ver gura 3.3.

Draft

Figura 3.3. La ecuación de la recta, está determinada por una dirección

⃗ . un punto ro = (xo , yo , zo ). En forma vectorial es: ⃗ r = ⃗ro + Dt escalar es: x − xo = tA , y − yo = tB , z − zo = tC , donde t es movimiento al punto p sobre la recta. Por la ley del paralelogramo, escribimos

r − ro = tD,

→

→

→

⃗ = (A, B, C) D

En sus componentes o forma el parámetro que da

de donde:

r = ro + tD ,

→

→

→

y

= (A, B, C), D →

(3.11)

→

que es la ecuación de la recta en forma vectorial. Al sustituir los vectores;

ro = (xo , yo , zo )

y

r = (x, y, z),

→

obtenemos:

(x − xo , y − yo , z − zo ) = t(A, B, C) .

(3.12)

Recordando que un vector es igual a otro si sus componentes son iguales, obtenemos nalmente

y − yo z − zo x − xo = = =t, A B C Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(3.13)

3.2.

Ecuaciones de la recta y el plano

22

que es la ecuación de la recta en forma paramétrica o escalar. Supongamos que podemos escribir

(x − xo , y − yo , z − zo ) = t(A, B, 0),

x − xo y − yo = = t , z = zo , A B eliminando

t:

C = 0,

de donde:

(3.14)

obtenemos la conocida ecuación de la recta en el plano

xy

  B (x − xo ) . y − yo = A

(3.15)

¾Cómo determinamos la ecuacion de un plano? ½Claro! También por medio de una dirección perpendicular al plano, y un punto sobre el mismo, ver la gura 3.4.

Draft

Figura 3.4. La ecuación del plano es:

Ax + By + Cz + D = 0 , donde A, B, C , son las componentes del vector perpendicular al plano, y D se calcula conociendo un punto po (xo , yo , zo ) sobre el plano, es decir, D = −(Axo + Byo + Czo ). La ecuación de un plano determina la posición del punto

p(x, y, z),

deslizándose sobre

una supercie plana. La forma de orientar a las supercies es por medio de un vector

= (A, B, C), ver la gura E → 3.4. El vector r , se mueve sobre el plano, mientras que el vector ro está jo. El vector r − ro , → → perpendicular a ellas, entonces para nuestro plano será el vector

→

está sobre el plano, es decir, es perpendicular al vector

, E →

→

entonces la ecuación vectorial del

plano es:

(r − ro ) • E = 0 , → →

→

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(3.16)

3.2.

Ecuaciones de la recta y el plano

23

que determina la condición restricción que debe cumplir el punto

p,

para moverse sobre el

plano. Al desarrollar (3.16), obtenemos

Ax + By + Cz + D = 0 , donde

(3.17)

D = −(Axo + Byo + Czo ).

Otra forma de explicar lo anterior sería: La ecuación (3.17) es la ecuación general del plano, donde

y

y

z

A, B , C

y

D

A, B y C son las componentes x, determinar D , es necesario conocer un punto

son constantes a determinar.

del vector perpendicular al plano. Para

po = (xo , yo , zo ), si este punto está sobre el plano, debe satisfacer al sustituirlo tendremos que: D = −(Axo + Byo + Czo ).

sobre el plano, por ejemplo su ecuación, por lo tanto

Como una aplicación de las ecuaciones del plano y la recta, supongamos que deseamos calcular la distancia que hay del punto

p(xo , yo , zo ),

al plano

Ax + By + Cz + D = 0,

ver la

gura 3.5.

Draft

Figura 3.5. La distancia del punto

d=

| Axo + Byo + Czo + D | √ A2 + B 2 + C 2

p(xo , yo , zo )

al plano

Ax + By + Cz + D = 0 ,

es

.

q(x′ , y ′ , z ′ ), es decir, el punto de intersección que pasa por p(xo , yo , zo ) porque la distancia

Seríamos muy felices si conocieramos el punto del plano y la recta perpendicular al mismo entre los puntos

p

y

q,

es:

d=

p (x′ − xo )2 + (y ′ − yo )2 + (z ′ − zo )2 .

Ax + By + Cz + D = 0, tenemos que las componentes de mismo, son (A, B, C), por lo tanto, la ecuación de la recta que

Observando la ecuación del plano un vector perpendicular al

(3.18)

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

3.2.

Ecuaciones de la recta y el plano

pase por

p(xo , yo , zo )

en la dirección

(A, B, C),

24

es:

x − xo y − yo z − zo = = =t. A B C Si

q(x′ , y ′ , z ′ ),

(3.19)

es el punto de intersección de la recta y el plano, este debe satisfacer ambas

ecuaciones, es decir,

x′ − xo = At , y ′ − yo = Bt , z ′ − zo = Ct , Ax′ + By ′ + Cz ′ + D = 0 . De las ecuaciones (3.20), la distancia entre los puntos

d=

p

q

y

p

(3.20)

(3.21)

será,

(x′ − xo )2 + (y ′ − yo )2 + (z ′ − zo )2 =| t |

√

A2 + B 2 + C 2 .

(3.22)

Sustituyendo las ecuaciones (3.20) y (3.21), obtenemos

t=−

AxoDraft + Byo + Czo + D , A2 + B 2 + C 2

(3.23)

donde nalmente utilizando las ecuaciones (3.22) y (3.23), escribimos

d=

| Axo + Byo + Czo + D | √ . A2 + B 2 + C 2

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(3.24)

3.3.

3.3.

Cambio de coordenadas

25

Cambio de coordenadas

Una aplicación importante del producto punto son las proyecciones. La proyección escalar de un vector

a

→

sobre un vector

La proyección del vector

a

→

b,

es la longitud del segmento

→

sobre

b

→

AB

mostrado en la gura 3.6.

es el vector cuya longitud es el segmento

misma dirección, (o dirección opuesta si el escalar es negativo), que La proyección escalar del vector

a

→

en

b,

→

AB

y tiene la

b.

→

es decir, la componente de

a

→

sobre

b

→

es:

b

a• ab = → de donde, la proyección del vector

a

→

en

b

→

→

b

,

se escribe

b

a = ab → b

(3.25)

→

b

b

• b) = (a → →

→

b2

.

(3.26)

Draft Aquí se observa la utilidad de tener vectores unitarios, si denimos el vector unitario las ecuaciones (3.25) y (3.26) se escriben:

ab = ⃗a • ˆb y ⃗ab = (⃗a • ˆb)ˆb,

Figura 3.6. La proyección escalar de un vector

⃗a

sobre un vector

ˆb = b /b. →

respectivamente.

⃗b

se calcula con la

relación ab = ⃗ a ˆb. La proyección del vector ⃗a sobre ⃗b se obtiene como, ⃗ab = (⃗a • ˆb)ˆb. En ambos casos ˆ b = ⃗b/b, es el vector unitario en la dirección de ⃗b. En resumen, cuando se desee •

calcular la proyección de un vector en otro, asegúrese de que el otro sea un vector unitario.

Como hemos mencionado en el capítulo uno, los vectores son independientes de la representación, es decir, el vector

, A →

será igual en cualquier sistema de coordenadas. Es claro que

cambiarán sus componentes en cada representación.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

3.3.

Cambio de coordenadas

26

= Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz , en coordenadas cartesianas; suponga A → además, que desea calcular la componente x del vector A, es decir Ax , entonces, será necesario Consideremos el vector

→

proyectar el vector

A →

en la dirección de

a ˆx

observe que

a ˆx

es un vector unitario, por lo

tanto, • a ˆx = (Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz ) • a ˆ x = Ax , A →

donde hemos utilizado los productos (3.3). Es claro que Si ahora deseamos cambiar el vector

A →

Ay = A • a ˆy →

y que

Az = A • a ˆz . →

a coordenadas cilíndricas, este deberá tener la

forma:

= Ar a ˆ r + Aθ a ˆ θ + Az a ˆz , A → donde

A r , Aθ

y

Az

representan las componentes del vector

A →

en las direcciones radial, axial

y vertical, respectivamente, y podemos escribir,

Ar = A • a ˆr = (Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz ) • a ˆr , →

ˆθ = (Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz ) • a ˆθ , Aθ = A • a → Draft

Az = A • a ˆz = (Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz ) • a ˆz . →

(3.27)

Para calcular dichas componentes, debemos realizar los productos punto indicados en (3.27). Por ejemplo: para la componente

Figura 3.7. Trasladando el vector

a ˆr

Ar ,

debemos efectuar

a ˆz

y

a ˆz • a ˆr .

al origen de coordenadas (vector en línea punteada),

es evidente que los ángulos entre este y los vectores respectivamente. El vector

ˆr , a ˆy • a ˆr a ˆx • a

a ˆx , a ˆy

y

a ˆz

son:

θ, π/2 − θ

y

π/2

se indica con un punto en el origen, semejando la cabeza de

una echa dirigiéndose hacia afuera de la página.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

3.3.

Cambio de coordenadas

27

a ˆr cos θ sen θ 0

•

a ˆx a ˆy a ˆz

a ˆθ − sen θ cos θ 0

a ˆz 0 0 1

Tabla 3.1. Productos punto necesarios para realizar el cambio a coordenadas cilíndricas del vector

⃗ A

en coordenadas cartesianas, o viceversa.

Con ayuda de la gura 3.7, en donde trasladamos el vector unitario

a ˆr

al origen de coor-

denadas (vector en línea punteada) y de la denición de producto punto (3.1), escribimos,

ˆr = (1)(1) cos θ = cos θ , a ˆx • a donde hemos considerado que: ambos vectores son de magnitud uno y el ángulo entre ellos es

θ.

Con la misma idea calculamos,

ˆr = (1)(1) cos(π/2 − θ) = sen θ , a ˆy • a porque el ángulo entre ellos es de, π/2 −Draft θ, además cos(π/2) cos θ + sen(π/2) sen θ = sen θ. Por último,

utilizamos la identidad,

cos(π/2 − θ) =

a ˆz • a ˆr = (1)(1) cos(π/2) = 0 , debido a que

a ˆz

a ˆr

y

son ortogonales.

Para la siguiente componente, con ayuda de la gura 3.8, donde hemos trasladado el vector

a ˆθ

al origen de coordenadas (vector en línea punteada), observamos que los ángulos entre

este y los vectores

a ˆx , a ˆy

y

a ˆz

son:

π/2 + θ, θ

y

ˆθ = cos(π/2 + θ) = − sen θ , a ˆx • a

π/2

respectivamente. Entonces escribimos,

a ˆy • a ˆθ = cos θ ,

a ˆz • a ˆθ = 0 .

Los productos punto, necesarios para realizar el cambio de coordenadas del vector

, A →

los

escribimos en la tabla 3.1. Por consiguiente,

Ar = Ax (r, θ, z) cos θ + Ay (r, θ, z) sen θ , Aθ = −Ax (r, θ, z) sen θ + Ay (r, θ, z) cos θ , Az = Az (r, θ, z) . Observe que las componentes riables

r, θ

y

z,

Ax , A y

y

Az ,

(3.28)

deben escribirse en términos de las nuevas va-

denidas por (2.7). De la misma manera, de coordenadas cilíndricas a

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

3.3.

Cambio de coordenadas

28

Figura 3.8. Trasladando el vector entre este y los vectores

a ˆx , a ˆy

y

a ˆz

a ˆθ

al origen de coordenadas, tenemos que los ángulos

son:

π/2 + θ, θ

y

π/2

respectivamente. El vector

a ˆz

se

indica con un punto en el origen, semejando la cabeza de una echa dirigiéndose hacia afuera de la página.

cartesianas, tendremos:

Draft

Ax = Ar (x, y, z) cos θ − Aθ (x, y, z) sen θ , Ay = Ar (x, y, z) sen θ + Aθ (x, y, z) cos θ , Az = Az (x, y, z) . Para terminar esta sección, realicemos el cambio del vector

A →

(3.29)

de coordenadas cartesianas a

coordenadas esféricas, es decir, a la forma

= Ar a ˆ r + Aθ a ˆ θ + Aϕ a ˆϕ , A → donde sus componentes son:

ˆr = (Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz ) • a ˆr , Ar = A • a →

Aθ = A • a ˆθ = (Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz ) • a ˆθ , →

Aϕ = A • a ˆϕ = (Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz ) • a ˆϕ .

(3.30)

→

Para simplicar los productos sugeridos en (3.30), proyectemos el vector

n ˆ , denido de π/2 − θ , la

xy ,

nadas esféricas en la dirección del vector

sobre el plano

Observando que el ángulo entre ellos es

proyección será:

(ˆ ar • n ˆ )ˆ n=n ˆ cos(π/2 − θ) = n ˆ sen θ . Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

a ˆr ,

en coorde-

ver la gura 3.9.

3.3.

Cambio de coordenadas

29

Entonces con ayuda de la proyección en el plano

xy

a ˆx • a ˆr = a ˆx • n ˆ sen θ = sen θ cos ϕ , a ˆy • a ˆr = a ˆy • n ˆ sen θ = sen θ sen ϕ , a ˆz • a ˆr = cos θ , debido a que los ángulos entre el ángulo entre

a ˆr

y

a ˆz

es

n ˆ sen θ con a ˆx , y a ˆy , son: ϕ y π/2−ϕ, respectivamente, además

θ.

Draft

Figura 3.9. La proyección del vector en coordenadas esféricas

a ˆr , sobre el vector n ˆ denido en el plano xy es: n ˆ sen θ, debido a que el ángulo entre ellos es: π/2 − θ. Los ángulos entre n ˆ sen θ con a ˆx , y a ˆy , son: ϕ y π/2 − ϕ, respectivamente. El ángulo entre a ˆr y a ˆz es: θ. Para realizar la segunda serie de productos, proyectemos ahora el vector

n ˆ , denido sobre el plano xy , de θ , la proyección será:

del vector ellos es

a ˆθ , en la dirección

ver la gura 3.10. Observando que el ángulo entre

(ˆ aθ • n ˆ )ˆ n=n ˆ cos θ , Entonces nuevamente con ayuda de la proyección de

a ˆθ ,

en el plano

a ˆx • a ˆθ = a ˆx • n ˆ cos θ = cos θ cos ϕ , • • a ˆy a ˆθ = a ˆy n ˆ cos θ = cos θ sen ϕ , a ˆz • a ˆθ = − sen θ ,

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xy

3.3.

Cambio de coordenadas

30

a ˆr sen θ cos ϕ sen θ sen ϕ cos θ

•

a ˆx a ˆy a ˆz

a ˆθ cos θ cos ϕ cos θ sen ϕ − sen θ

a ˆϕ − sen ϕ cos ϕ 0

Tabla 3.2. Productos punto necesarios para realizar el cambio a coordenadas esféricas del vector

⃗ A

en coordenadas cartesianas, o viceversa.

n ˆ cos θ con a ˆx , y a ˆy , son: ϕ y π/2−ϕ, respectivamente, además π/2 + θ.

debido a que los ángulos entre el ángulo entre

a ˆθ

y

a ˆz

es:

Para realizar la última serie de productos, basta recordar que el vector en coordenadas cilíndricas

a ˆθ ,

a ˆϕ es igual al vector

de tal manera que:

ˆϕ = − sen ϕ , a ˆx • a a ˆy • a ˆϕ = cos ϕ , a ˆz • a ˆϕ = 0 . Draft

Figura 3.10. La proyección del vector

a ˆθ , sobre el vector n ˆ es: n ˆ cos θ, debido a ángulo entre ellos es: θ . Los ángulos entre n ˆ cos θ con a ˆx , y a ˆy , son: ϕ y π/2 − ϕ, respectivamente. El ángulo entre a ˆθ y a ˆz es: π/2 + θ.

que el

De la información anterior, podemos construir la tabla 3.2. Y con su ayuda escribimos las

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3.4.

El producto punto y cruz en coordenadas cilíndricas y esféricas

componentes del vector

, A →

en coordenadas esféricas

Ar = Ax (r, θ, ϕ) sen θ cos ϕ + Ay (r, θ, ϕ) sen θ sen ϕ + Az (r, θ, ϕ) cos θ , Aθ = Ax (r, θ, ϕ) cos θ cos ϕ + Ay (r, θ, ϕ) cos θ sen ϕ − Az (r, θ, ϕ) sen θ , Aϕ = −Ax (r, θ, ϕ) sen ϕ + Ay (r, θ, ϕ) cos ϕ . Donde las componentes

r, θ

y

ϕ,

31

Ax , Ay

y

Az ,

(3.31)

deben escribirse en términos de las nuevas variables

y las relaciones (2.9). Nuevamente con ayuda de la tabla 3.2, podemos escribir las

componentes del vector en coordenadas cartesianas conociendo inicialmente las componentes en coordenadas esféricas, es decir

Ax = Ar (x, y, z) sen θ cos ϕ + Aθ (x, y, z) cos θ cos ϕ − Aϕ (x, y, z) sen ϕ , Ay = Ar (x, y, z) sen θ sen ϕ + Aθ (x, y, z) cos θ sen ϕ − Aϕ (x, y, z) cos ϕ , Az = Ar (x, y, z) cos θ − Aθ (x, y, z) sen θ . 3.4.

(3.32)

El producto punto y cruz en coordenadas cilíndricas y esféricas Draft

La utilidad de usar sistemas de coordenadas ortogonales (cartesianas, cilíndricas y esféricas), radica en que cualquier vector se representa de la misma manera (ver ecuaciones (2.3), (2.8) y (2.10), es decir, tendrán la forma:

= A1 a ˆ 1 + A2 a ˆ 2 + A3 a ˆ3 , A → donde los números

1, 2, 3

corresponden a las coordenadas

x, y, z ,

cuando está representado

1, 2, 3 → x, y, z . Si deseamos representar al vector en 1, 2, 3 → r, θ, z . Por último, en coordenadas esféricas 1, 2, 3 → r, θ, ϕ.

en coordenadas cartesianas, o sea, coordenadas cilíndricas

Además de la ventaja de la representación, tenemos que los productos punto y cruz entre los vectores base, siguen manteniéndose sin cambio, y escribimos:

ˆ2 = a ˆ2 • a ˆ3 = a ˆ3 • a ˆ1 = 0 , a ˆ1 • a a ˆ1 • a ˆ1 = a ˆ2 • a ˆ2 = a ˆ3 • a ˆ3 = 1 ,

a ˆ1 × a ˆ2 a ˆ2 × a ˆ3 a ˆ3 × a ˆ1 a ˆ1 × a ˆ1

=a ˆ3 , a ˆ2 × a ˆ1 = −ˆ a3 , =a ˆ1 , a ˆ3 × a ˆ2 = −ˆ a1 , =a ˆ2 , a ˆ1 × a ˆ3 = −ˆ a2 , =a ˆ2 × a ˆ2 = a ˆ3 × a ˆ3 = 0 .

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(3.33)

(3.34)

3.5.

Rotaciones

32

es decir, la bases cartesianas (en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas) son ortonormales; vectores base, mutuamente ortogonales y de magnitud uno, ver los recuadros entre los vectores base en las guras 2.5(b) y 2.6(b). Como consecuencia al considerar;

= A1 a ˆ 1 + A2 a ˆ 2 + A3 a ˆ3 A →

y

= B1 a ˆ1 + B2 a ˆ2 + B3 a ˆ3 , B →

tendremos que los productos punto y cruz tienen la misma forma funcional en las bases cartesianas, es decir, • B = (A a ˆ 2 + A3 a ˆ3 ) • (B1 a ˆ1 + B2 a ˆ2 + B3 a ˆ3 ) , A 1 ˆ 1 + A2 a → →

= A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 ,

(3.35)

ˆ 1 + A2 a ˆ 2 + A3 a ˆ3 ) × (B1 a ˆ1 + B2 a ˆ2 + B3 a ˆ3 ) , × B = (A1 a A → → = (A2 B3 − A3 B2 ) a ˆ1 + (A3 B1 − A1 B3 ) a ˆ2 + (A1 B2 − A2 B1 ) a ˆ3

(3.36)

donde hemos aplicado recurrentemente las relaciones (3.33) y (3.34). La magnitud del será también la misma,

|A| = → 3.5.

q Draft A21 + A22 + A23 .

, A →

(3.37)

Rotaciones

Para introducir la matriz ortogonal y la de rotación (simplemente rotación), obtendremos la forma explícita del producto punto en coordenadas cilíndricas. Las componentes (3.283.29), se pueden escribir en forma matricial como:



    Ar cos θ sen θ 0 Ax Aθ  = − sen θ cos θ 0 Ay  Az 0 0 1 Az     Ax cos θ − sen θ 0 Ar Ay  = sen θ cos θ 0 Aθ  Az 0 0 1 Az

(3.38)



(3.39)

Observamos que las matrices que nos permiten cambiar de coordenadas son transpuestas, es decir, obtenemos una de la otra, cambiando sus las por sus columnas. Deniendo las

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3.5.

Rotaciones

33

siguientes matrices:

  Ax
 A = Ay  , At = Ax Ay Az , Az   Ar
 A = Aθ  , At = Ar Aθ Az , Az       cos θ sen θ 0 cos θ − sen θ 0 1 0 0 R = − sen θ cos θ 0 , Rt = sen θ cos θ 0 , I = 0 1 0 , 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Cart.

Cart.

Cil.

Cil.

donde denotamos la transpuesta de una matriz con el superíndice por

I,

t

y la matriz identidad

podemos reescribir las ecuaciones (3.38,3.39), como:

A A

Cil.

Cart.

=RA = Rt A

Cart. Cil.

,

(3.40)

.

(3.41)

Combinando las ecuaciones (3.40) y (3.41), obtenemos: Draft

A A

Cil.

Cart.

= R Rt A = Rt RA

Cil.

= IA = A , = IA =A Cil.

Cart.

Las matrices que satisfacen la propiedad,

Cil.

Cart.

Cart.

,

R Rt = Rt R = R−1 R = I ,

son llamadas

ortogonales (Lang, 1976): es decir, son aquellas matrices cuya inversa es su transpuesta. El producto punto de los vectores

= Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz A →

y

= Bx a ˆx + By a ˆy + Bz a ˆz B →

,

es: • B = A B + A B + A B , A x x y y z z → →  
Bx = Ax Ay Az By  , Bz

= At

B

t

t

Cart.

Cart.

= (RA

Cil.

)t RB

Cil.

, (3.42)

=A

Cil.

R RB

= Ar Aθ

Cil.

, 


Br Az Bθ  , Bz

= Ar Br + Aθ Bθ + Az Bz , Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

3.6.

Cosenos directores

34

½Bingo! El producto punto en coordenadas cilíndricas, es idéntico al calculado en coordenadas cartesianas, además conserva la misma forma funcional, es decir, la suma de los productos de cada una de sus componentes (entrada por entrada). En realidad el producto punto (al igual que el cruz), siempre tendrá el mismo valor es invariante, independientemente si el sistema de coordenadas es ortogonal; que tenga la misma forma funcional, se debe a que la matriz ortogonal

R,

transforma una base ortogonal

{ˆ ax , a ˆy , a ˆz }, a otra base ortogonal {ˆ ar , a ˆθ , a ˆz }, ver recuadros en la gura 2.5(b). De lo anterior resulta claro, que la magnitud de un vector es invariante también, ya que se puede calcular con ayuda de un producto punto, ver la ecuación (3.2). Las matriz

R,

deremos el punto

z , Para ilustrar lo anterior consiθ = π/6, sustituyendo los valores en R,

es llamada de rotación alrededor del eje

(1, 0, 0), localizado sobre

el eje

x

y

tendremos:

   √3  cos θ sen θ 0 1 2 − sen θ cos θ 00 = − 1  , 2 0 0Draft 1 0 0 

que es un punto resulta claro que

3.6.

(1, 0, 0), rotado un ángulo θ = 30o negativo, alrededor del eje z . Rt es una rotación de θ alrededor de z en el sentido positivo.

Ahora

Cosenos directores

Figura 3.11. La proyección del vector cosenos directores

α, β

y

γ

A →

en las direcciones

a ˆx , a ˆy

y

a ˆz ,

respectivemente.

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nos denen los

3.6.

Cosenos directores

35

Los cosenos de los ángulos que forma un vector con los ejes cartesianos son llamados los cosenos directores del vector (ver la gura 3.11). Denotando a los ángulos que forma el vector

= Ax a ˆ x + Ay a ˆ y + Az a ˆz A →

, con los ejes cartesianos

x, y

y

z,

como

α, β

y

γ,

respectivamente,

es directo escribir:

Ax , + A2y + A2z Ay cos β = p 2 , Ax + A2y + A2z Az , cos γ = p 2 Ax + A2y + A2z

cos α = p

A2x

observamos que los cosenos directores de

Az .

A →

son proporcionales a sus componentes

(3.43)

Ax , Ay

y

De donde es fácil demostrar que:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 . Draft

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(3.44)

4 Gradiente, divergencia y rotacional

Como es bien sabido, la noción de límite, es el pilar básico del cálculo (Rivera Figueroa, 2014a), del cual se deriva el concepto de derivada y de integral. Siendo estos conceptos el fundamento para la descripción de la física en general. En otras palabras, no podríamos describir el movimiento de los planetas y galaxias (Kittel et al., 1982), ni tampoco podríamos explicar los fenómenos de la interacción de los átomos y moléculas (Orszag, 2000). Y lo más importante a mi parecer, no podríamos describir el concepto de la luz, (parafraseando a R. Draft Feynman), el fenómeno cuántico más visto de la humanidad (Feynman, 2006). Sin ninguna duda, el trabajo de Newton revolucionó la ciencia como nadie antes lo había hecho, explicó el movimiento de los planetas, por medio de una relación tan simple y sencilla, pero basada en el poderoso concepto de la derivada. Posteriomente su mecánica, fue objeto de muchas objeciones; todas resueltas con la llegada de la teoría de la relatividad de Einstein, pero la ciencia como una bola de nieve ya estaba en movimiento, y la mecánica de Newton se hizo más general con la reformulación propuesta por Einstein (Schilpp, 2001). Newton también describió el concepto de luz, como un corpúsculo que fue abandonado con la llegada de la teoría ondulatoria de Fresnel, que consideraba a la luz como una onda transversal. Finalmente en la teoría electromagnética de Maxwell, se unicaron los campos eléctrico y magnético y el concepto de luz como una onda electromagnética amplió el horizonte cientíco (Purcell, 1988; Jackson, 1975). Nuevamente Einsten, retomó la idea del corpúsculo para describir el efecto fotoeléctrico, y con las ideas de Planck introdujo al fotón como la partícula componente de la luz (Feynman, 2006). Dentro de los postulados de la relatividad, se tiene que las ecuaciones de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales y que existe una constante absoluta, la velocidad de la luz, que es la misma en todos los sistemas de referencia. En este caso, Maxwell pudo describir la teoría física perfecta, ya que sus ecuaciones son covariantes bajo transformaciones de Lorentz, es decir, los principos de relatividad mencionados se extienden

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4.1.

Una motivación: las ecuaciones de Maxwell

37

al electromagnetismo (de la Torre, 2008).

4.1.

Una motivación: las ecuaciones de Maxwell

Antes de escribir las ecuaciones de Maxwell, es conveniente resaltar lo siguiente: en nuestro curso de cálculo diferencial, si deseábamos calcular la derivada respecto a

g(x),

escribíamos

dg/dx,

es decir, el operador

d/dx,

actúa sobre la función

x, de la función g(x), que se lo-

caliza a su derecha. Como en todo curso nuevo, hojeamos el libro de texto a estudiar, en este caso tenemos en nuestras manos el libro del profesor J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (Jackson, 1975). Empezamos a mirar las guardas y encontramos muchos símbolos raros, continuamos hojeando hasta que llegamos a las ecuaciones de Maxwell, donde se dice que describen de manera unicada los fenómemos electromagnéticos. En el sistema gaussiano de unidades (cgs), se escriben como (Jackson, 1975),

∇· E = 4πρ ,

∇· B = 0 ,

→

→

1 ∂ Draft 1 ∂ 4π ∇× E = − , ∇× B = + B E J. → → c ∂t → c ∂t → c→

(4.1)

A primera vista estas ecuaciones se ven muy complicadas, pero con el concepto de operador su interpretación es muy sencilla. Primero notamos que aparecen unas nuevas criaturas matemáticas, litos

∂/∂t,

∇·

y

∇×,

llamadas divergencia y rotacional respectivamente; y unos caraco-

llamados derivada parcial respecto de  t o del tiempo, (operadores resaltados

en amarillo en las ecuaciones ( 4.1) a (4.4)). Estas ecuaciones se componen de: un par de divergencia y rotacional para el campo eléctrico para el campo magnético

E →

y otro par de divergencia y rotacional

. B →

Si continuamos revisando este libro (Jackson, 1975), encontramos las siguientes relaciones,

=−∇ϕ− E →

1 ∂ = ∇× A , A, B → → c ∂t →

(4.2)

que permiten calcular los campos eléctrico y magnético en términos del potencial escalar eléctrico

ϕ

y el potencial vectorial magnético

. A →

Aquí notamos que aparece la criatura

(llamado operador nabla), ahora sin punto ni cruz, y la combinación gradiente de

∇ϕ

∇,

se conoce como el

ϕ.

De las ecuaciones anteriores, observamos que el operador diferencial nabla con punto o cruz, (divergencia y rotacional respectivamente), aplican sobre los campos o potenciales vectoriales

, B , A, E → → →

de manera similar a nuestros productos punto y cruz, si consideramos al

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4.2.

Gradiente

38

operador nabla como un vector. Con esta suposición en mente, es claro que el gradiente solo podrá aplicar a campos o potenciales escalares Además, los potenciales

ϕ

y

, A →

1 ∂2 2 ∇ − 2 2 c ∂t

!

ϕ.

satisfacen las relaciones,

ϕ = −4πρ ,

1 ∂2 2 ∇ − 2 2 c ∂t

! = A →

4π J. c→

(4.3)

Donde el operador nabla al cuadadro semeja un producto punto del operador nabla con ∇2 = ∇ · ∇, (de manera similar a A2 = A • A).

él mismo, y es llamado laplaciano, es decir,

→

→

Entonces el laplaciano aplica tanto a funciones o campos escalares como a los vectoriales, como puede verse en las ecuaciones (4.3). De estas mismas ecuaciones, observamos que los términos entre paréntesis conforman la ecuación de onda, cuando las densidades de carga de corriente de la luz

c.

J

→

sean cero. Entonces los potenciales

ϕ

y

A →

ρy

son ondas que viajan a la velocidad

Cabe mencionar que lo anterior es consecuencia de la condición,

1 ∂ ϕ=0, c ∂t Draft

∇· A +

(4.4)

→

llamada norma de Lorentz, que se puede escribir como una

4−divergencia

de un

4−vector

(de la Torre, 2008; Ramos Sánchez, 2018). Antes de continuar con las ecuaciones de Maxwell, describiremos el signicado físico del gradiente, divergencia y rotacional, para posteriormente en el siguiente capítulo calcular sus propiedades.

4.2.

Gradiente

Para la construcción de una casa, carretera, edicio, o para realizar un experimento óptico en el laboratorio, es necesario nivelar las supercies o paredes. Los señores albañiles con su maravilloso ingenio y técnica, preparan las supercies a una altura de referencia, generalmente a 1.0 metros respecto al nivel del piso. Marcan estos niveles en la pared o estacas, por medio de una mangera transparente llena de agua, (que funciona por medio del principio de vasos comunicantes), y unen estos puntos nivelados con un hilo visible muy resistente. Ingenioso, ¾no? Ahora imaginemos que deseamos marcar estos niveles, y trazar las curvas de nivel, en el cerro del Chiquihuite, localizado al norte de la CDMX. Nos armanos con nuestras estacas y mangueras y empezamos a trazar nuestras curvas de nivel, para distintas alturas, por medio de una línea roja como se muestra en la gura 4.1(a). La línea cercana a la base le corresponde la altura más baja

z1 .

Para la siguiente altura mayor

z2

realizamos la misma rutina,

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4.2.

Gradiente

39

y así sucesivamente, aumentando la altura y trazando, llegamos a la curva de mayor altura

zn

que se localiza sobre la cima derecha del icónico cerro. Recordando nuestras clases de física, deníamos a la energía potencial de una partícula

de masa

m

como,

mgz ,

donde la variable

donde se coloca la masa y

g

z

es la altura, respecto a un nivel de referencia,

el valor de la gravedad. Donde

z1 < z2 < · · · < zn .

Draft

Figura 4.1. Representación gráca de las curvas equipotenciales. La primera curva de nivel, está indicada por la misma altura o energía potencial

mgz1 ;

z1 , y todos los puntos sobre esta curva tienen

como consecuencia a esta curva se le conoce por

equipotencial o de igual potencial. Similarmente para las equipotenciales gura 4.1(b), mostramos estas equipotenciales, vistas sobre el eje

z2 , · · · , zn .

En la

z o a vista de pájaro, don-

de las equipotenciales con más altos valores corresponden a las curvas internas. En general, estas curvas equipotenciales no son necesariamente energías potenciales, pueden relacionarse con el potencial eléctrico, la temperatura, etc., sin afectar su representación gráca. Las ′ equipotenciales las denotaremos por ϕ(x, y, z), o simplemente por ϕ s. El gradiente de un potencial

ϕ, lo denotaremos por ∇ϕ, y es un vector perpendicular a una

equipotencial, cuya dirección es hacia donde las equipotenciales aumentan, es decir, se dirige hacia donde las equipotenciales tienen el mayor valor. En la gura 4.1(b), mostramos por medio de una echa negra, el gradiente del potencial gravitacional en un punto

p.

La línea

punteada corresponde a la recta tangente y la echa al vector perpendicular a esa recta. La dirección de este vector está dirigida hacia las curvas equipotenciales centrales, ya que estas tienen valores mayores a la del punto

p.

En la gura 4.1(a), mostramos con mayor claridad

estos gradientes, aunque no en los mismos puntos. Lo anterior aunque matemáticamente es correcto, carece de sentido físico. Ya que nuestra

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4.2.

Gradiente

40

experiencia nos dice, que un objeto cae para abajo, pero en el caso matemático puede caer para arriba. Esto lo podemos comprobar con ayuda de la gura 4.1(a), donde al colocar un objeto en la base del cerro, este por la acción del gradiente ½subiría aceleradamente hacia arriba!, cosa que contradice con la realidad. Para evitar esta contrariedad le agregamos al gradiente un signo menos y con esto le daremos un sentido físico al gradiente, de acuerdo con nuestra experiencia. Como podemos observar, este cambio ya está incluido en el primer término de la ecuación (4.2), donde el campo eléctrico lo calcula como:

= −∇ϕ + .... . E →

(4.5)

Recordando aquellos maravillosos años de la escuela secundaria, donde nos gustaba mojarnos con el agua de los bebederos. La máxima travesura, que en algunos casos podría terminar en expulsión, era llenar globos con agua en la llave de los bebederos (ver gura 4.2), y lanzarlos sobre nuestros rivales, en las míticas batallas en el desierto (Pacheco, 1999). Para nalmente secar nuestros uniformes, en un amistoso juego de futbol bajo el hermoso sol del Draft medio día.

Figura 4.2. El gradiente es un vector perpendicular a una supercie. Si observamos el llenado del globo con agua, y lo relacionamos con el potencial, decimos que cuando el globo tiene poca agua, tendrá poco potencial, conforme se llene de agua adquirirá más potencial, (indicado por las líneas punteadas), es decir, entre más volumen de agua tenga el globo más potencial de ataque tendrá. Entonces en este caso, decimos que

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4.3.

Divergencia

41

el gradiente es un vector perpendicular a la supercie del globo, cuya dirección será hacia afuera, porque este vector indica la dirección en la que el volumen del globo aumenta y su potencial deberá ser mayor. Matemáticamente este juego permite calcular un vector perpendicular a una supercie, es decir, si conocemos la ecuación de la supercie

n ˆ=

ϕ,

el vector unitario normal a esta será:

∇ϕ . |∇ϕ|

(4.6)

Finalmente, otra manera de denir el gradiente es mediante la derivada direccional, denotada por

1

Dnˆ ϕ = n ˆ · ∇ϕ = |ˆ n | |∇ϕ| cos θ , donde

n ˆ,

es el vector unitario de la dirección donde se desea calcular la derivada de

(4.7)

ϕ

y

θ

el ángulo entre el gradiente y el vector unitario. Como el valor máximo del coseno es uno, entonces tendremos que el módulo del gradiente es la máxima derivada direccional. Por otra parte, la divergencia y rotacional se relacionan con las fuentes del campo, es deDraft cir, nos dirá quién produce el campo y cómo es la calidad de ese campo. Son dos operaciones complementarias como lo haremos notar a continuación.

4.3.

Divergencia

Figura 4.3. Matoaka, la hija mayor del jefe Powhatan en uno de sus acostumbrados viajes por el río Potomac.

Para describir la divergencia imaginemos a la princesa Matoaka, paseando en canoa por el río Potomac, en compañia de su mascota favorita, como se observa en la gura 4.3. Para

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4.3.

Divergencia

42

que tenga un paseo tranquilo nos han encargado construir un sistema de seguridad satelital, que nos informe sobre la tranquilidad de las aguas del río. Las principales causas de accidentes en el río, son por los remolinos e inesperados chorros de agua, ambos provenientes de los extensos mantos acuíferos subterráneos de la zona. Para el sistema de seguridad, le colocamos a la canoa un motor fuera de borda, controlado por una señal proveniente de un detector localizado al frente, indicado por una elipse amarilla. El control del motor y el procesamiento de la señal del detector la hacemos con un amplicador operacional, localizado en la caja de control CC. La visualización de la señal se ve en un monitor LCD, como se indica el diagrama de la gura 4.4. Además, en todo momento la canoa está localiza con un GPS.

Draft

Figura 4.4. Canoa con alta tecnología. El agua del río, la denotamos por

. A →

El funcionamiento del detector es muy simple, está diseñado con un diferenciador de líneas de agua o del campo

, A →

es decir, al avanzar la canoa cuenta cuántas líneas de campo

entran al detector y cuántas salen de él. Así, cuando esta diferencia es cero, se tiene que

∇ · A = 0, →

y la canoa avanzará sin ninguna posibilidad de accidente; pero cuando dicha

diferencia no sea cero, la canoa retrocederá rápidamente para poner a salvo a sus ocupantes. ¾Cuáles son los casos, donde la diferencia de líneas no es cero? Son precisamente las fuentes o sumideros de campo. En la gura 4.5(a), mostramos una fuente de campo, donde el detector colocado al centro, (círculo amarillo), indica que nuestras líneas de campo salen o nacen de ese punto y tendremos que

∇ · A > 0. Por otra parte en la gura 4.5(b), mostramos →

un sumidero tipo remolino, donde las líneas del campo se desvanecen en el detector, nuevamente colocado al centro, para este caso

∇ · A < 0. →

Como hemos podido observar, la divergencia se relaciona con la fuente del campo, en otras palabras, la divergencia nos dice quién produce tal campo. Como veremos, el rotacional también se relacionará con la fuente de dicho campo.

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4.4.

Rotacional

43

Figura 4.5. (a) Fuente de campo. (b) Sumidero de campo.

4.4.

Rotacional

Para describir el rotacional, imaginemos una rueda de paletas que usaban los antiguos buques de guerra de la armada de México. Cuando un ujo de agua incide sobre esta paleta, y las líneas de agua están espaciadas uniformemente, como se muestra en la gura 4.6(a), esta paleta no girará, y consideraremos que

∇ × A = 0. →

Draft

Figura 4.6. La divergencia y rotacional de un campo son relaciones complementarias. Todo campo tiene una componente solenoidal y otra irrotacional. En el caso de que las líneas de agua no estén igualmente espaciadas, como se muestra en la gura 4.6(b), la paleta girará en sentido contrario a las manecillas del reloj y tendremos que

∇ × A > 0. →

En ambos casos observamos que el detector de líneas de campo indica que

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Electrostática y magnetostática

4.5.

∇ · A = 0, →

44

es decir, que la divergencia por sí sola no es suciente para describir un campo.

Y que además de la divergencia se necesita el rotacional. En otras palabras, la divergencia y el rotacional se relacionan con las fuentes del campo. Por denición, cuando el campo tenga divergencia cero, este campo es llamado solenoidal. Y cuando tenga rotacional cero, el campo se conoce como irrotacional o conservativo. Lo anterior es muy importante, ya que esto dene el teorema fundamental del cálculo vectorial, que arma que cualquier campo es la suma de una componente solenoidal más una componente irrotacional, es decir, la fuente de un campo arbitrario, proviene de una divergencia y de un rotacional. Sin ser redundante, para que un campo quede bien denido es necesario conocer su divergencia y rotacional. Por esta razón, las ecuaciones de Maxwell son cuatro; un par de divergencia y rotacional para el campo para

4.5.

, B →

, y otro par divergencia-rotacional E →

como puede observarse en las ecuaciones (4.1).

Electrostática y magnetostática

Draft Con la nalidad de consolidar nuestros conceptos anteriores, utilizaremos nuevamente las ecuaciones de Maxwell, pero ahora independientes del tiempo, es decir, cuando los campos eléctrico y magnético

E →

y

B →

respectivamente, no dependan del tiempo y por lo tanto las

derivadas de estos campos serán cero. Para el campo eléctrico

∇ · E = 4πρ , →

, escribimos (Purcell, 1988), E →

∇×E =0.

(4.8)

→

Como mencionamos anteriormente, la divergencia y rotacional se relacionan con las fuentes de los campos. En este caso la primera ecuación,

∇ · E = 4πρ, →

nos dice explícitamente

que el campo eléctrico lo producen las densidades de carga eléctrica

ρ,

(o simplemente las

cargas eléctricas) y que el campo producido será conservativo. Observe que son necesarias las dos ecuaciones, ya que mientras una nos dice quién produce el campo, (la densidad de carga), la otra nos habla de la calidad de dicho campo, (conservativo). Para ilustrar, consideremos un sistema de dos cargas eléctricas, una positiva y otra negativa, este sistema se llama dipolo eléctrico (Purcell, 1988), cuyas líneas de campo se indican en la gura 4.7(a). En esta gráca observamos que las líneas de campo eléctrico salen de las cargas positiva y entran en las cargas negativas. Si colocamos nuestro detector para la divergencia sobre estas cargas, tendremos que

∇·E >0 →

∇ · E < 0,

y

y negativa respectivamente, ya que la densidad de carga

→

ρ

para la carga positiva

es positiva o negativa en estos

puntos, como puede observarse en la gura 4.7(b). Esto signica que solo se crea campo eléctrico en las regiones donde la densidad de carga

ρ>0

y se absorbe el campo donde es

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

4.5.

Electrostática y magnetostática

ρ < 0,

vericando que

∇ · E = 4πρ. →

45

La constante

4π

es debido al sistema de unidades.

Si colocamos ahora nuestro detector en cualquier otro punto, observamos que tendremos

∇ · E = 0, →

ya que el número de líneas de campo que entran, son el mismo número de las

líneas que salen, o equivalentemente que la densidad de carga en estos puntos es cero (ρ

= 0).

Finalmente, si colocamos la rueda de paletas, esta no rotará en ningún punto.

Draft

Figura 4.7. (a) Líneas de campo de un dipolo eléctrico. Las cargas

+q

y

−q

están en rojo

y negro respectivamente. (b) Colocación de los medidores de divergencia y rotacional para el campo eléctrico.

De nuestra experiencia cotidiana, sabemos que un imán produce campo magnético sin la necesidad de una corriente eléctrica. El cual consta de un polo norte por donde salen sus líneas de campo y un polo sur donde se absorben tales líneas de campo. Además, si rompiésemos ese iman, se formarían nuevos imanes con sus respectivos polos norte y sur. En la gura 4.8(a), mostramos uno de esos imanes o dipolo magnético. Sus dos ecuaciones de Maxwell respectivas serán,

∇·B =0, →

∇×B =0,

(4.9)

→

donde hemos considerado que la densidad de corriente

J

→

es cero por tratarse de un imán.

A diferencia del dipolo eléctrico, si colocamos el detector de divergencia sobre cualquiera de los polos magnéticos este indicará cero, ya que el número de líneas de campo magnético que entran, son el mismo número de las líneas que salen, o equivalentemente

∇ · B = 0, →

como se observa en la gura 4.8(b). ½Y todavía más! Nuestro detector de divergencia siempre indicará cero sin importar el lugar donde se encuentre colocado. La implicación física de este hecho es muy importante, e indica la no existencia de los monopolos magnéticos (Purcell,

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

4.5.

Electrostática y magnetostática

46

1988), es decir, que no existen los polos magnéticos aislados, siempre habrá un polo norte y un sur. Además, este es un indicador de que las líneas de campo magnético son cerradas, como se muestra en la gura 4.8(a). Finalmente, si colocamos la rueda de paletas esta no rotará en ningún punto, como puede observarse en la gura 4.8(b), ya que siempre

∇ × B = 0. →

Draft

Figura 4.8. Dipolo magnético. Siempre los polos magnéticos se presentan por pares; norte y sur.

Como hemos mostrado, los conceptos básicos de los campos físicos se describen por medio de los operadores gradiente, divergencia y rotacional. Pero el verdadero poder, radica en aplicar sus propiedades tanto diferenciales como integrales, por lo que será necesario demostrarlas y aplicarlas. Este es precisamente el objetivo de este curso a desarrollar en los siguientes capítulos. ¾Y la electrodinámica? Para describir este tema es necesario hacer uso de algunas de estas propiedades diferenciales, pero podemos adelantar que la electrodinánica es similar a un juego de futbol con el fotón como balón. ½En serio, no es broma!.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5 Propiedades de Nabla

El análisis vectorial es una taquigrafía matemática (Hayt, 2006), es decir, en apariencia tendremos ecuaciones parecidas pero de un signicado muy distinto. En este capítulo, escribiremos las operaciones básicas entre los vectores, pero ahora de una manera más simpática. Después, conociendo la derivada de un producto cosa nada difícil desarrollaremos las relaciones diferenciales más importantes del análisis vectorial. Se recomienda al lector, repetir con distintos índices cada una de las demostraciones, hasta realizarlas en un espacio Draft de cinco renglones como máximo y dos minutos de tiempo cada una.

5.1.

Derivadas parciales

Antes de iniciar es necesario discutir brevemente e introducir el concepto de derivada parcial. El cálculo elemental nos familiarizó con funciones de una variable. En la vida real, las cantidades físicas comunmente dependen de dos o más variables, para nuestra fortuna es posible la extensión de los conceptos aprendidos en una variable a funciones de varias variables (Marsden, 2004). La temperatura

T

en un punto sobre la supercie de la tierra, a un tiempo determinado,

depende de la latitud del par

(x, y),

x

y la altitud

y

del punto. Podemos decir que la

T = T (x, y). h. Del cálculo

esta dependencia se escribe como

T

es una función

El volumen de un cilíndro

circular depende de su radio r y de su altura elemental sabemos que su 2 volumen es V = πr h, entonces decimos que V es una función de r y h y la denotamos 2 como V (r, h) = πr h. Como hemos observado en los ejemplos anteriores, es común escribir

z = f (x, y)

para explícitamente denotar que la variable dependiente

variables independientes

z

es función de las

x y y . Las funciones que dependen de dos o más variables se llaman

funciones multivariables.

f es una función de dos variables x y y . Si dejamos que solo varié x many , digamos y = b, entonces estamos considerando un función de una sola x, denotada por z = f (x, b). Decimos que si z tiene una derivada respecto a x en a,

Suponga que teniendo ja la variable

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5.1.

Derivadas parciales

48

esta la llamanos la derivada parcial de parcial de

f

con respecto a

y

en

(a, b)

la derivada ordinaria con respecto a

f

x en (a, b). Similarmente, la derivada x (x = a) y encontrando función z = f (a, y). La misma notación

con respecto a

es obtenida manteniendo jo

y

en

b

de la

de límites para funciones de una variable es aplicable a funciones multivaribles, esto nos conduce a la denición de derivada parcial (Marsden, 2004).

Denición 6. La derivada parcial de una función

f (x, y)

con respecto a

x

es

f (x + ∆x, y) − f (x, y) ∂f = l´ım , ∂x ∆x→0 ∆x y la derivada parcial con respecto a

y

(5.1)

es

∂f f (x, y + ∆y) − f (x, y) = l´ım . ∂y ∆y→0 ∆y

(5.2)

f (x, y) con respecto a x es f (x, y) con respecto a x, donde y es considerada cons∂f /∂y es la derivada ordinaria de f (x, y) con respecto a

Observamos claramente de (5.1) que la derivada parcial de simplemente la derivada ordinaria de tante. Similarmente la derivada

y,

manteniendo constante a x. Para calcular las derivadas parciales de funciones de más de Draft dos variables independientes, la regla es: solo variar la variable respecto a la cual derivamos, mientras mantenemos las otras constanes. Por ejemplo, la derivada parcial de con respecto a

z

f (x, y, z, t, . . .)

es

f (x, y, z + ∆z, t, . . .) − f (x, y, z, t, . . .) ∂f = l´ım . ∆z→0 ∂z ∆z x, y, t, · · · como constantes. Es común denotar a las derivadas parciales de la siguiente manera: Si z = f (x, y), escribimos En otras palabras, derivamos respecto a

z

mientras tratamos a

∂f = Dx f = ∂x f , ∂x ∂f fy (x, y) = fy = = Dy f = ∂y f , ∂y

fx (x, y) = fx =

Note que no podemos interpretar

∂f /∂x

(5.3)

como una razón de diferenciales.

f (x, y) = x3 + x2 y 3 − 2y 2 , encontrar ∂x f (2, 1) y ∂y f (2, 1). Solución: Manteniendo y constante y diferenciando parcialmente respecto a x, obtenemos: ∂x f (x, y) = 3x2 + 2xy 3 , y entonces ∂x (2, 1) = 3 · 22 + 2 · 2 · 13 = 16. Mateniendo x constante y 2 2 3 diferenciando parcialmente con respecto a y , obenemos: ∂y f (x, y) = 3x y − 4y , y entonces 2 2 ∂y (2, 1) = 3 · 2 · 1 − 4 · 1 = 8.

Ejemplo: Si

Si

f

es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales

∂x

de dos variables. Sin embargo podemos considerar las derivadas parciales

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

y ∂y son funciones (fx )x , (fx )y , (fy )x ,

5.2.

Regla de la cadena

(fy )y ,

49

las cuales se llaman segundas derivadas parciales de

∂ ∂f ∂x ∂x ∂ ∂f = fxy = ∂y ∂x ∂ ∂f = fyx = ∂x ∂y ∂ ∂f = fyy = ∂y ∂y

(fx )x = fxx = (fx )y (fy )x (fy )y La notación

∂xy

nuación respecto a respecto a

f.

∂ 2f = ∂xx f , ∂x2 ∂ 2f = = ∂xy f , ∂y∂x ∂ 2f = = ∂yx f , ∂x∂y ∂ 2f = = ∂yy f . ∂y 2 =

(5.4)

signica que primero derivamos parcialmente con respecto a

y , como opuesto a ∂yx

donde derivamos primero respecto a

y

x

y a conti-

y nalmente

x.

Decimos que la función

f (x, y)

es continua en

l´ım

(a, b)

si y solo si

f (x, y) = f (a, b) .

(x,y)→(a,b) Una función continua

ϕ

es aquella que esDraft continua en todos los puntos donde está denida.

A estas funciones les llamamos bonitas. En estas condiciones, de las deniciones (5.1,5.2) mostramos que:

∂yx ϕ = ∂xy ϕ . 5.2.

(5.5)

Regla de la cadena

A manera de complemento, deniremos la regla de la cadena para funciones de varias variables. Si así lo desea, puede omitirse esta sección sin afectar la continuidad del curso. La regla de la cadena es una relación muy útil del cálculo de una variable, que nos permite encontrar la derivada de una función compuesta, es decir, de una función términos de otra función

f,

g

denida en

y establece que:

d d (g ◦ f )(x) = [g(f (x))] = g ′ (f (x))f ′ (x) . dx dx

(5.6)

Una generalización para funciones de varias variables será también muy útil y su expresión n f m es muy similar a la ecuación (5.6). Sea la función f denida R −→ R continuamente difenm g k ciable en la n-tupla, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) y la función g , denida R −→ R continuamente diferenciable en

f (x).

Entonces la matriz de derivadas de la composición de las funciones se

escribe como el producto de matrices (Colley, 2013):

D(g ◦ f )(x) = Dg(f (x))Df (x) , Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(5.7)

5.2.

Regla de la cadena

50

 ∂g1 (f (x))  D(g ◦ f )(x)[k×n] =  donde

yi = fi (x)

donde

∂g1 (f (x))   ∂f1 (x) ∂ym ∂x1   .. . .  . . ∂gk (f (x)) ∂fm (x) ∂ym ∂x1

···

∂y1 . . . ∂gk (f (x)) ∂y1

..

.

···

··· ..

.

···

∂f1 (x)  ∂xn  . .  . ∂fm (x) ∂xn

,

(5.8)

i = 1, · · · , m.

Este producto de matrices se representa como los eslabones de una cadena, como se indica en el esquema de la gura 5.1; y se relacionan con las funciones g y f , respectivamente. El n m eslabón punteado comienza en la entrada R de función f , cuya salida R se acopla o une m k con la entrada R de función g , y su salida nalmente será R . La cadena acoplada o la matriz de derivadas será de tamaño

[k × n],

como se muestra en la gura 5.1.

Draft

Figura 5.1. Esquema para la regla de la cadena.

Ejemplo: Consideremos el problema 21 de la página 156 de la referencia (Colley, 2013).

f y g , para que coincida f (s, t) = (s − t, s + t). Encontrar D(g ◦ f ).

Hemos intercambiado las funciones

g(x, y) = y ex

y

Solución: Consideremos la composicion de funciones

con nuestra notación. Sea

(g ◦ f )(x), representado en el siguiente

diagrama:

g

D(g ◦ f )(x)[1×2]

R2 −→ R1

f

R2 −→ R2

,

(g ◦ f )(x) donde se muestra que la matriz de las derivadas de la composición es de

[1 × 2].

Utilizando

la relación (5.8), escribimos

 ∂f1 D(g ◦ f ) =



∂g ∂x

∂g ∂y

 

∂s

∂f1 ∂t

∂f2 ∂s

∂f2 ∂t

  ,

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(5.9)

5.2.

Regla de la cadena

51

entonces,

 D(g ◦ f ) =

∂g ∂s


∂g ∂t

= y ex

e


x

 1 −1   . 1 1

(5.10)

En el acoplamiento de los eslabones o de las funciones, tendremos que:

x = s − t y y = s + t,

para nalmente escribir:

∂g ∂s

∂g ∂t





= (s + t + 1)es−t (1 − s − t)es−t .

(5.11)

Ejemplo: Consideremos ahora el problema 25 de la página 156 de la referencia (Colley, 2013). Nuevamente hemos intercambiado las funciones f y g , para que coincidan con nuestra 2 2 3 3 t notación. Sea g(x, y) = (xy , x y, x + y ) y f (t) = (sen t, e ). Encontrar D(g ◦ f ).

Solución: Consideremos la composición de las funciones

(g ◦ f )(x),

representado en el si-

guente diagrama:

g

R2 −→ R3

D(g ◦ f )(x)Draft [3×1]

f

R1 −→ R2

,

(g ◦ f )(x) donde se muestra claramente, que la matriz de las derivadas de la composición es de

[3 × 1].

Utilizando la relación (5.8), escribimos:

 ∂g

1

∂x

   2 D(g ◦ f ) =  ∂g  ∂x  ∂g3 ∂x

∂g1 ∂y



  df1   dt ∂g2    , ∂y   df2  dt

(5.12)

∂g3 ∂y

de donde,



y2

2xy



    cos t   2   . D(g ◦ f ) =  2xy x  t   e 2 2 3x 3y Y en el acoplamiento de las funciones, tendremos que:

x = sen t

(5.13)

y

y=

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

t e , para nalmente

5.2.

Regla de la cadena

52

escribir:



(cos t + 2 sen t)e2t



    2 t (2 sen t + sen t) e  . D(g ◦ f ) =      2 3t 3 sen t cos t + 3e

Ejemplo: Para terminar esta sección, consideremos, g(u, v, w)

y),

para calcular

(5.14)

= u2 v 4 w y f (x, y) = (x2 , x sen y, x+

D(g ◦ f ).

Solución: Nuevamente representaremos la composición de funciones

(g ◦ f )(x),

mediante el

diagrama:

g

D(g ◦ f )(x)[1×2]

R3 −→ R1

f

R2 −→ R3

,

(g ◦ f )(x) Draft donde se muestra que la matriz de las derivadas de la composición es de

[1 × 2].

Al utilizar

la relación (5.8), escribimos:

∂u  ∂y

 ∂u ∂x

D(g ◦ f ) =

∂g ∂u

∂g ∂v

∂g ∂w


 ∂v   ∂x 

∂v ∂y

∂w ∂x

∂w ∂y

En este caso, el acoplamiento de las funciones, denen que:

   .  

u = x2 , v = x sen y

(5.15)

y

w = x + y.

Finalmente, al desarrollar el producto de las matrices, podemos escribir:

∂g ∂x

=

∂g ∂u ∂u ∂x

+

∂g ∂v ∂v ∂x

+

∂g ∂w ∂w ∂x

,

∂g ∂y

=

∂g ∂u ∂u ∂y

+

∂g ∂v ∂v ∂y

+

∂g ∂w ∂w ∂y

.

(5.16)

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5.3.

Convención de suma

5.3.

53

Convención de suma

Frecuentemente cuando realizamos sumas escribimos, por ejemplo:

S=

n X

bi d i ,

i=1 esta suma es indistinta, si en lugar de los índices índices

i usáramos en el mismo rango de 1 a n los

j , k , m, r, s, etc. A estos índices se les llama mudos. Entonces, escribimos lo anterior

de manera compacta como:

S=

n X

bi d i =

n X

bm d m =

n X

br dr = bi di = bm dm = br dr = bℓ dℓ ,

(5.17)

r=1

m=1

i=1

que para nosotros signicará lo mismo, y ahorraremos el símbolo de sumatoria. A esto se lo conoce como convención de suma de Einstein (Bourne, 1976). Ahora convenido lo anterior aunque por el momento no sea fácil aceptarlo apliquemos la convención de suma al producto de dos vectores Draft

A →

y

, B →

• B = A B + A B + A B = A B = A A 1 1 2 2 3 3 ℓ ℓ → →

donde la suma se realiza sobre los índices

1, 2

y

3,

B

,

(5.18)

que corresponden al sistema de coorde-

nadas utilizado. Obviamente en lugar de las parejas de índices

ℓ,

se puede usar el símbolo

que su imaginación le proponga, por ejemplo, tochtli o conejo (Jansen et al., 1994; Lebeuf, 2010). Parafraseando la convención de suma, diremos: cuando se escriba una pareja de índices mudos, esto signicará que hay que sumar desde

“1”

a

“3”.

Es importante resaltar que

para evitar confusiones, solo se puede repetir dos veces el mismo índice mudo, es decir, como el título del libro infantil Cada oveja con su pareja (Ortiz, 2014). Surge una pregunta, ¾Qué signica (ó

1, 2

y

3),

del vector

, A →

Aℓ

en la ecuación? ½Exactamente!, es la componente

ℓ

que denotaremos como:

  A →

= Aℓ ,

(5.19)

ℓ

y la ecuación (5.18), la interpretaremos como la suma de los productos de las componentes de los vectores

y B , como se había denido. Además observamos lo siguiente; El producto A → →

punto es un escalar y la expresión (5.18) no tiene índices libres, ya que con

ℓ,

ℓ

ℓ

suma o contrae

o conejo con conejo (ver la gura 5.2), de tal forma que no queda un índice libre, por

lo tanto la cantidad denida es un escalar. No sucede así con la ecuación 5.19 donde solo

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5.3.

Convención de suma

54

hay un índice libre y la cantidad será un vector. Cuando hay dos índices libres, es decir, la cantidad

Aℓm

se llamará matriz, donde los índices

ℓ

y

m

denotan la la y la columna. Y si

tiene más índices libres se conoce como tensor. En general, los escalares, vectores y matrices son tensores de orden cero, uno y dos respectivamente.

Figura 5.2. Conejo suma con conejo, cada oveja con su pareja, no hay índice libre y la cantidad denida es un escalar. La tripa de gato se reemplazó por la echa.

Para desarrollar el producto cruz, necesitamos denir a unas nuevas criaturas, que simplicarán nuestro trabajo. Pero antes recordemos lo que es una permutación par e impar.

123

231, 312, 123, y las denotáremos por 123. Cualquier otra combinación de 123, por ejemplo 132, 213, 321 son permutaciones no cíclicas, >. Por último, cuando tengamos algún índice repetido, digamos:   y las denotáremos como 123

Las permutaciones pares o cíclicas de



112, 322, 232,

lo denotáremos por

son:

R Draft

>.   123 

DEFINICIÓN: Símbolo de Levy-Civita (para los cuates Chucky).

      

1,

para,

123 ,

−1, rst =       0,

para,

>,   123 

para,

>,   123 

(5.20)

R

r, s, t denen que Chucky es un tensor antisimétrico de rango 3, y pueden valores de 1, 2, 3. Por ejemplo: 231 = 1, 213 = −1 y 112 = 0 y así sucesi-

donde los índices tomar los vamente.

DEFINICIÓN: Delta de Kronecker:

  1,

cuando

0,

cuando

rs =  donde los índices

r, s

21 = 0,

(5.21)

r ̸= s ,

denen que la delta de Kronecker es un tensor simétrico de rango

y pueden tomar los valores de

21 =

r=s,

1, 2, 3.

Por ejemplo:

11 =

22 =

etc.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

33 = 1.

2,

Además,

5.3.

Convención de suma

55

Con lo anterior escribimos que el producto cruz de dos vectores

y B , cuyas componentes A → →

son como lo indica la relación (3.36), se escribe simplemente, para la componente



ℓ,

como:

 ×B A → →

= ℓ

ℓmn Am Bn ,

(5.22)

nótese que el primer índice del Chucky es la componente del producto, y se proponen dos

m y n donde se aplica la convención de suma como ℓ = 1, entonces escribimos

índices distintos arbitrarios, en este caso en la ecuación (5.18). Supongamos que



 ×B A → →

1mn Am Bn ,

= 1

(5.23)

:A0 B +  :0 :A0 B   = +111 1 1 1 3  112 A1 B2 + 113 0 0 :A B +  :  +121 2 1  122 A2 B2 + 123 A2 B3 :A0 B + :0   +131 3 1 132 A3 B2 + 133 A3 B3 , = 123 A2 B3 + 132 A3 B2 ,

(5.24)

Draft esta relación es reveladora; observamos que salvo dos Chuckies la mayoría de ellos son cero ya que tienen índices repetidos. Como iniciamos el Chucky con el índice las únicas posibilidades para el resto de los índices son

2, 3

y

3, 2.

1,

ver ecuación (5.23),

Como consecuencia solo

dos Chuckies son distintos de cero, ver la ecuación (5.24). Finalmente:



 ×B A → →

= 1

Si ahora iniciamos con el índice

123 A2 B3 + 2,

3, 1

y

1, 3,

es decir:



×B A → →

= 2

231 A3 B1 +

Similiarmente, si iniciamos con el índice índices, serán

(5.25)

las únicas posibilidades para los restantes dos índices de

los Chuckies distintos de cero, serán



132 A3 B2 = A2 B3 − A3 B2 .

3,

213 A1 B3 = A3 B1 − A1 B3 .

(5.26)

las únicas posibilidades para los restantes dos

1, 2 y 2, 1, entonces:   ×B = 312 A1 B2 + A → → 3

321 A2 B1 = A1 B2 − A2 B1 .

(5.27)

Finalmente, como un vector es igual a otro vector, podemos escribir con ayuda de las componentes (5.25),(5.26) y (5.27) que el producto cruz de los vectores

A →

y

B →

× B = (A2 B3 − A3 B2 , A3 B1 − A1 B3 , A1 B2 − A2 B1 ) , A → → Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

es,

(5.28)

5.3.

Convención de suma

56

donde hemos representado el vector como las coordenadas de un punto (ver ecuación (2.1)). Esta expresión es idéntica a la ecuación (3.36), obtenida anteriormente de manera artesanal. Como mencionamos al principio del capítulo, que el análisis vectorial era la taquigrafía de la matemática, observe que es posible escribir las relaciones (3.34) de manera muy compacta como:

a ˆℓ × a ˆm = donde, los índices

ℓ, m, n

pueden tomar los

ˆn , ℓmn a valores de 1, 2, 3,

(5.29) para explícitamente tener las

relaciones (3.34). Es importante resaltar que hasta aquí hemos jado los índices del Chucky y la delta a los valores de

1, 2

y

3.

Pero en general podemos escribir algunas relaciones útiles:

rst = rrt =

str = trt =

trs = − srt , rrr = 0 ,

(5.30)

33 = 1 + 1 + 1 = 3 ,

(5.31)

además,

mm =

11 +

22 +

Draft (5.19). donde hemos aplicado la convención de suma Cabe mencionar que las deniciones anteriores son independientes de la elección de los índices. Es importante recordar que los índices son mudos y, por lo tanto, están sujetos al juego Tripas de gato. Es decir, en la denición (5.22) estos índices, se pueden reemplazar por otros símbolos o letras. Aquí y en todas nuestras operaciones, lo importante es observar la secuencia o contracción de los índices mudos. En este caso entre los índices del Chucky y las componentes de los vectores

A →

y

. B →

En la gura 5.3, mostramos la denición de producto cruz utilizando el juego de Tripas de gato, para simplicar en lugar de encerrar los índices iguales en una tripa los unimos con una echa. Ya que los índices son mudos los podemos reemplazar en parejas, por cualquier otro índice o símbolo. En nuestro caso utilizamos los días de las trecenas del calendario mexica (Jansen et al., 1994). Observe que el primer índice está sujeto a las componentes que se desee calcular, conejo. A la secuencia venado-jaguar, le llamaremos orden normal; cuando en este orden intercambiamos en el Chucky a jaguar-venado tenemos que colocar un índice menos porque es una permutación no cíclica y las echas ahora se parecen a la sonrisa del señor Esponja, observe sus dientes frontales. La convención de suma nos dinamiza nuestras operaciones vectoriales, es decir, nos genera una secuencia de índices que depende de la dimensión del espacio. Por otra parte, la delta de Kronecker solo tomará alguno o algunos de estos, como lo hemos mostrado en la ecuación (5.31). La operación más común con una delta de Kronecker es la mostrada en la gura 5.4, donde una componente vectorial se contrae o suma con una delta, observamos que la

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5.3.

Convención de suma

57

Figura 5.3. Conejo suma con conejo y venado con venado , cada oveja con su pareja (Ortiz, 2014), hay índice libre y la cantidad denida es un escalar. La tripa de gato se reemplazó por la echa. Sonrisa normal venado-jaguar en el Chucky. Sonrisa señor Esponja cuando intercambiamos a jaguar-venado.

operación resultante es el intercambio de los índices de la componente contraída por el índice libre.

Draft

Figura 5.4. Teorema de sustitución. De manera muy artesanal o por casos, podemos vericar esta relación. Desarrollando la convención de suma escribimos,

Om δmℓ = O1 δ1ℓ + O2 δ2ℓ + O3 δ3ℓ . Si

ℓ = 1,

(5.32)

tendremos

1

0

0

>+ O δ   > >= O .  Om δm1 = O1 δ11 δ31 2 21 + O3 1 Cuando

ℓ = 2,

(5.33)

escribimos

0

1

0

>+ O δ   > >= O .  Om δm1 = O1 δ12 δ32 2 22 + O3 2 Similarmente si

ℓ = 3,

el resultado será

Om δm3 = O3 ,

y en general para todo

(5.34)

ℓ,

tendremos

que,

Om δmℓ = Oℓ .

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(5.35)

5.4.

Cuando los Chuckies se encuentran

5.4.

58

Cuando los Chuckies se encuentran

La mayoría de los juegos de azar se realizan en parejas, de la misma manera se tiene la creencia que los velociraptores y sus parientes los Chuckies, cazan en manada como lo hacen los perros y los lobos. Como el Chucky es una criatura peligrosa, debido a las evidencias encontradas de las mordidas más bien que de sus sonrisas, consideramos que aumenta su poder letal en pareja. Una expresión muy utilizada es el producto de dos Chuckies, digamos uno americano

ℓmn

y otro alemán

uvw .

En los libros de relatividad a este producto se

le llama delta multidimensional (de la Torre, 2008) la cual escribimos:

ℓmn

uvw =

donde el asterisco entre paréntesis

(∗)

ℓu

mu

ℓv

mv

ℓw

mw

(∗) nu nv nw

(5.36)

indica que para el cálculo de este determinante no

aplicaremos la convención de suma. Draft De nuestro curso de álgebra sabemos que el determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta, (traspuesta signica que en una matriz cambiamos sus las por columnas). Observamos el llenado de los índices de las deltas, los llenamos primeramente por las, para los índices o colmillos del Chucky americano, y a continuación por columas para los colmillos del Chucky alemán, como se observa en la ecuación (5.36). Pero se puede realizar la asignación de los índices de manera inversa, sin ningún problema. Consideremos un ejemplo muy útil, el caso que los Chuckies tengan un colmillo o índice igual, es decir, cuando deseamos calcular,

nvw =

ℓmn

ℓn

mn

ℓv

mv

ℓw

mw

(∗) nn nv . nw

(5.37)

nn = 1, ya que no consideramos la convención de suma y sus índices caso de mn , a primera vista podríamos pensar que esta delta es cero,

Observamos que son iguales. En el ya que

m ̸= n,

pero esto es solo en el sentido semántico o si consideramos que los índices

son signos lingüisticos y no expresiones matemáticas. De hecho, si esto fuera cierto, los restantes términos serían cero, lo cual contradice nuestra propuesta. Pero observemos lo siguiente; como los colmillos

m

y

n

pertenecen al Chucky americano, necesariamente deben

ser distintos, porque nuestro resultado por hipótesis no es cero, entonces

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

m ̸= n, y

mn = 0.

5.4.

Cuando los Chuckies se encuentran

Figura 5.5. Producto de dos Chuckies

ℓmn

59

uvw .

Los índices de los Chuckies son los

colmillos de los velociraptores con cubrebocas, americano en verde y alemán en morado por sus dos últimos colmillos

Similarmente, distintos, por lo y

nw = 0.

vw

(volkswagen).

ℓn = 0, ya que los colmillos ℓ y n pertenen a un mismo Chucky y deben ser tanto ℓn = 0. Para los colmillos del Chucky alemán, tenemos: nv = 0

Finalmente, para el caso de

ℓv ,

Draft no podemos concluir nada, ya que los índices

ℓ

y

v,

pertenecen a Chuckies distintos. Lo mismo sucede para el resto de las deltas, y lo más salomónico es dejarlos sin cambios, es decir, escribimos

ℓmn

: 0  * 0   : 1    nn ℓn  mn 0 *   nvw = mv  nv , ℓv : 0    mw  nw ℓw

ℓmn

nvw =

(5.38)

donde nalmente tenemos

ℓv

mw −

mv

ℓw .

(5.39)

Se pensaría que esto, no es práctico, pero recordemos las sonrisas, ahora mordidas, normales y señor Esponja o mordida ngida, como lo indica la gura 5.6. Una regla mnemotécnica para recordar los índices de las deltas es: mordida normal menos mordida ngida. Para nalizar esta sección consideremos el siguiente producto con dos índices repetidos

ℓmn

ℓmw = ℓmn ℓvw vm , = ( mv nw − mw nv ) vm , :3  =  mm nw − mw nm , = 2 nw .

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(5.40)

5.5.

Operaciones básicas

60

Figura 5.6. Producto de dos Chuckies

ℓmn

nvw .

Los índices de las deltas son de

mordida normal menos mordida ngida, como lo indican los colores.

5.5.

Operaciones básicas

Las operaciones vectoriales más simples se pueden resumir en la siguiente tabla,

(1)

[A]ℓ = Aℓ , →

(2)

· B = Aℓ Bℓ , A → →

(3)

[A × ]ℓ =∈ℓmn Am Bn , B Draft → →

(4)

[∇ϕ]ℓ = ∂ℓ ϕ ,

(5)

∇ · A = ∂ℓ Aℓ ,

(6)

[∇ × A]ℓ =∈ℓmn ∂m An ,

(7)

∇ 2 = ∇ · ∇ = ∂ℓ ∂ℓ .

(5.41)

→

→

donde hemos agregado el operador derivada parcial

∂ℓ .

Esta tabla explícitamente muestra

que el análisis vectorial es la taquigrafía de la física, como fue mencionado en la introducción del libro de electromagnetismo de Hayt (Hayt, 2006). Del diccionario sabemos que, la taquigrafía es un sistema de escritura rápido y conciso el cual permite escribir una conversación a la misma velocidad a la que se está hablando. Para ello se emplean trazos, abreviaturas y caracteres especiales, y es precisamente lo que mostramos en la tabla anterior, donde mostramos nuestras reglas taquigrácas para la física. Con lo anterior, siguiendo las reglas del juego (5.41), probaremos las identidades mostradas en la primer guarda del Jackson (Jackson, 1975); recordando no utilizar más de cinco renglones y cinco minutos para cada demostración. Bueno, se hará en un poco más de espacio por las explicaciones y denotaremos bajo el signo de igualdad la regla taquigráca utilizada.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5.5.

Operaciones básicas

61

Es importante resaltar que para iniciar y/o plantear una demostración, debemos saber si la relación a demostrar es un vector o un escalar, es decir, recomendamos que: (i) Cuando la cantidad a demostrar sea un vector, la demostración se inicia con una componente, ya que un vector es igual a otro vector cuando son iguales componente a componente. (ii) Cuando la cantidad a demostrar sea un escalar, la demostración se realiza directamente.

(1) Muestre que:

(?)

(?)

· (B × C ) = B · (C × A) = C · (A × B ) . A → → → → → → → → →

Colocamos el signo de interrogación sobre el de igual, para indicar que no la hemos probado. Escribimos directamente:

· (B × C ) = ADraft A ℓ (B × C )ℓ = Aℓ ∈ℓmn Bm Cn , → → → → → (2)

(3)

= Bm ∈ℓmn Cn Aℓ = Bm ∈mnℓ Cn Aℓ , = Bm (C × A)m = B · (C × A) . (3)

→

→

(2)

→

→

→

Explicación: la demostración la realizamos de manera directa, ya que la cantidad a demostrar es un escalar. Utilizamos la relación (2) y a continuación la (3), de la tabla anterior, con lo que completamos el primer renglón. Para el segundo renglón, utilizamos una permutación cíclica en el Chucky

∈ℓmn =∈mnℓ

como se mostró en la relación (5.30).

Finalmente, para el tercer renglón, utilizamos las relaciones (3) y (2) de manera inversa al procedimiento utilizado en el primer renglón. De manera similar escribimos:

· (C × A) = Bℓ (C × A)ℓ = Bℓ ∈ℓmn Cm An , B → → → → → (2)

(3)

= Cm ∈ℓmn An Bℓ = Cm ∈mnℓ An Bℓ , = Cm (A × B )m = C · (A × B ) , (3) para nalmente mostrar que:

→

→

(2)

→

→

→

· (B × C ) = B · (C × A) = C · (A × B ) . A → → → → → → → → →

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5.5.

Operaciones básicas

(2) Muestre que:

62

(?)

× (B × C ) = B (A · C ) − C (A · B ) . A → → → → → → → → →

Nuevamente el signo de interrogación sobre el de igual, indica que no hemos probado dicha relación. La demostración es una cantidad vectorial, por tal motivo, la iniciamos

ℓ,

en una componente, digamos la componente



por lo que escribimos:

 A × (B × C ) = ∈ℓmn Am (B × C )n = ∈ℓmn Am ∈nvw Bv Cw , →

→

→

→

ℓ (3)

→

(3)

=∈ℓmn ∈nvw Am Bv Cw = (δℓv δmw − δmv δℓw )Am Bv Cw , = δℓv δmw Am Bv Cw − δmv δℓw Am Bv Cw = Am Bℓ Cm − Am Bm Cℓ ,   = Bℓ (A · C ) − (A · B )Cℓ = B (A · C ) − (A · B )C . →

(2)

→

→

→

→

(1)

→

→

→

→

→

ℓ

Explicación: para el primer renglón utilizamos la relación (3) dos veces. Para el segundo renglón, reordenamos los términos para tener un producto de Chuckies denido en la ecuación (5.39). Para el tercer renglón distribuimos el producto de las deltas y aplicamos el teorema de sustitución (5.35), en los índices resaltados en rojo. Por ejemplo, para el término tenemos:Draft δℓv Bv

= Bℓ .

Similarmente para los restantes tres

términos. Para el cuarto renglón, reagrupamos los términos resultantes y utilizamos las relaciones (2) y (1). Finalmente,

   A × (B × C ) = B (A · C ) − (A · B )C ,



→

como la componente

ℓ

→

→

→

ℓ

→

→

→

→

→

de un vector es igual a la componente

ℓ

ℓ

de otro escribimos:

× (B × C ) = B (A · C ) − (A · B )C . A → → → → → → → → →

(3) Muestre que:

(?)

(A × B ) · (C × D) = ( A · C )(B · D) − (A · D)(B · C ) . → → → → → → → → → → → → →

Nuevamente, la demostración es una cantidad escalar, por lo que escribimos directamente,

(A × B ) · (C × D) = (A × B )n (C × D)n = ∈nmℓ Am Bℓ ∈nvw Cv Dw , → → → → → → → → (2)

(3)

=∈nmℓ ∈nvw Am Bℓ Cv Dw = (δmv δℓw − δmw δℓv )Am Bℓ Cv Dw , = δmv δℓw Am Bℓ Cv Dw − δmw δℓv Am Bℓ Cv Dw , = Am Bℓ Cm Dℓ − Am Bℓ Cℓ Dm , = (A · C )(B · D) − (A · D)(B · C ) .

(2)

→

→

→

→

→

→

→

→

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5.5.

Operaciones básicas

63

Explicación: para el primer renglón utilizamos las relaciones (2) y (3). Para el segundo renglón, reordenamos los términos para tener un producto de Chuckies denido en la ecuación (5.39). En el tercer renglón distribuimos el producto de las deltas y en el cuarto renglón aplicamos el teorema de sustitución (5.35), en los índices resaltados en rojo. Por ejemplo, para el término tenemos:

δmv Cv = Cm .

Similarmente para los

restantes tres términos. Finalmente, para el quinto renglón, reagrupamos los términos resultantes y utilizamos la relación (2).

(4) Muestre que:

(?)

∇ × ∇ϕ = 0 .

Observamos que la función

ϕ

es continua, y la cantidad a demostrar es vectorial, por

lo tanto, será necesario empezar por una componente, digamos para variar, utilizamos la componente

ℓ,

por lo tanto, escribimos:

[∇ × ∇ϕ]ℓ = ∈ℓmn ∂m (∇ϕ)n = ∈ℓmn ∂m ∂n ϕ , (6)

(4)

Draft

=∈ℓmn ∂n ∂m ϕ = − ∈ℓnm ∂n ∂m ϕ , = − ∈ℓnm ∂n (∇ϕ)m = − [∇ × ∇ϕ]ℓ .

(4)

(6)

Explicación: para el primer renglón utilizamos las relaciones (6) y (4). Para el segundo renglón, consideramos que la función

ϕ

es continua y que

∂ m ∂ n ϕ = ∂ n ∂ m ϕ,

como lo

mostramos en la ecuación (5.5). Pero al realizar este cambio de índices notamos que la secuencia o sonrisa de nuestra relación ha cambiado. Por lo tanto, para recuperar esta secuencia debemos intercambiar los índices

mn

en el Chucky generando un signo

menos, como se ilustra en la gura 5.3. Para el último renglón utilizamos nuevamente las relaciones (4) y (6) en orden inverso, para escribir

[∇ × ∇ϕ]ℓ = − [∇ × ∇ϕ]ℓ . Como la componente

ℓ

de un vector es igual a la componente

ℓ

de otro escribimos:

∇ × ∇ϕ = −∇ × ∇ϕ , o

2∇ × ∇ϕ = 0 , nalmente obtenemos nuestra relación. Lo anterior lo podemos ver desde

−∇ × ∇ϕ,

∇ × ∇ϕ =

o un poco antes, ya que el único número, que es igual a su negativo, es el

cero.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5.5.

Operaciones básicas

(5) Muestre que:

64

(?)

∇ · (∇ × A) = 0 . →

Nuevamente, suponemos que la función

es continua, y la cantidad a demostrar es un A →

escalar, por lo tanto directamente escribimos:

∇ · (∇ × A) = ∂ℓ (∇ × A)ℓ = ∈ℓmn ∂ℓ ∂m An , →

(5)

→

(6)

=∈ℓmn ∂m ∂ℓ An = − ∈mℓn ∂m ∂ℓ An , = − ∂m (∇ × A)m = − ∇ · (∇ × A) . →

(6)

→

(5)

Explicación: para el primer renglón utilizamos las relaciones (5) y (6). Para el segundo renglón, consideramos que la función componente

∂m ∂ℓ An ,

An

es continua y que

∂ℓ ∂m A n =

como lo mostramos en la ecuación (5.5). Para compensar este cambio de

índices y recuperar la secuencia o sonrisa inicial de nuestra relación, necesitamos intercambiar los índices

ℓm en el Chucky generando un signo menos como lo indicamos

Draft en la gura 5.3. Para el último aplicamos las relaciones (6) y (5) en orden inverso, y como el cero es el único número que es es igual a su negativo, tendremos que

∇ · (∇ ×

) = 0. A →

(6) Muestre que:

(?)

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A . → → →

Nuevamente, suponemos que la función vector, por lo tanto, para la



es continua, y la cantidad a demostrar es un A → componente ℓ escribimos:

 ∇ × (∇ × A) = ∈ℓmn ∂m (∇ × A)n = ∈ℓmn Am ∈nvw ∂m ∂v Aw , →

→

ℓ (6)

(6)

=∈ℓmn ∈nvw ∂m ∂v Aw = (δℓv δmw − δmv δℓw )∂m ∂v Aw , = δℓv δmw ∂m ∂v Aw − δmv δℓw ∂m ∂v Aw = ∂m ∂ℓ Am − ∂m ∂m Aℓ ,   2 = ∂ℓ (∇ · A) − (∇ · ∇)Aℓ = ∇(∇ · A) − ∇ A . (5)

→

(1)

→

→

ℓ

Explicación: para el primer renglón utilizamos dos veces la relación (6). En el segundo renglón, reordenamos los términos para tener un producto de Chuckies denido en la ecuación (5.39). En el tercer renglón distribuimos el producto de las deltas y aplicamos

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5.5.

Operaciones básicas

65

el teorema de sustitución (5.35) en los índices resaltados en rojo. Por ejemplo, para el término tenemos:

δℓv ∂v = ∂ℓ .

Similarmente para los restantes tres términos. Para el

cuarto renglón, reagrupamos los términos resultantes y utilizamos las relaciones (5) y (1). Finalmente, cuando un vector es igual a otro, sus componentes

ℓ deben ser iguales

y escribimos:

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A . →

→

→

Para la siguientes demostraciones es conveniente recordar que la derivada de un producto de funciones

ϕψ

es:

∂ℓ (ϕψ) = ϕ∂ℓ ψ + (∂ℓ ϕ)ψ . (7) Muestre que:

(5.42)

(?)

∇ · (ϕA) = A · ∇ϕ + ϕ∇ · A . → → →

Nuevamente, suponemos que las funciones

ϕ y A son continuas, y la cantidad a demos→

trar es un escalar, por lo tanto, directamente escribimos,

∇ · (ϕA) = ∂ℓ (ϕA)Draft ℓ = ∂ℓ (ϕAℓ ) , →

→

(3)

(1)

= ϕ∂ℓ Aℓ + (∂ℓ ϕ)Aℓ = ϕ∇ · A + (∇ϕ)ℓ Aℓ , →

(dp)

(5,4)

= ϕ∇ · A + A · ∇ϕ . →

(1)

→

Explicación: para el primer renglón utilizamos las relaciones (3) y (1). En el segundo renglón, aplicamos la derivada de un producto

(dp), el paso más dícil

de la demostra-

ción, y las relaciones (5) y (4). Finalmente, utilizando (1) terminamos la demostración.

(8) Muestre que:

(?)

∇ × (ϕA) = (∇ϕ) × A + ϕ∇ × A . →

→

Nuevamente, suponemos que las funciones

→

ϕ y A son continuas, y la cantidad a demos→

trar es un vector, por lo tanto, para la componente

ℓ

escribimos:

  ∇ × (ϕA) = ∈ℓmn ∂m (ϕA)n = ∈ℓmn ∂m (ϕAn ) , →

ℓ (6)

→

(1)

= ϕ ∈ℓmn ∂m An + ∈ℓmn (∂m ϕ)An = ϕ(∇ × A)ℓ + ∈ℓmn (∇ϕ)m An , → (6,4)   = ϕ(∇ × A) + (∇ϕ) × A .

(dp)

(3,1)

→

→

ℓ

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5.5.

Operaciones básicas

66

Explicación: para el primer renglón utilizamos las relaciones (6) y (1). En el segundo renglón, aplicamos nuevamente el paso más dícil de la demostración, la derivada de un producto

(dp),

y las relaciones (6) y (4). Finalmente, utilizando las relaciones (3) y

(1) y el hecho que un vector es igual a otro, cuando sus componentes

ℓ

son iguales y

escribimos:

∇ × (ϕA) = ϕ(∇ × A) + (∇ϕ) × A . →

(9) Muestre que:

→

→

(?)

∇ · (A × B ) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B ) . → → → → → →

Nuevamente, suponemos que las funciones

A →

y

B →

son continuas, y la cantidad a de-

mostrar es un escalar, por lo tanto, directamente escribimos,

∇ · (A × B ) = ∂ℓ (A × B )ℓ = ∈ℓmn ∂ℓ (Am Bn ) , → → → → (5)

(3)

= (∈ℓmn ∂ℓ Am )Bn + Am ∈ℓmn ∂ℓ Bn ,

(dp)

= (∈Draft nℓm ∂ℓ Am )Bn − Am (∈mℓn ∂ℓ Bn ) , = (∇ × A)n Bn − Am (∇ × B )m ,

(3)

→

→

= B · (∇ × A) − A · (∇ × B ) . → → → →

(2)

Explicación: para el primer renglón utilizamos las relaciones (5) y (3). En el segundo renglón, aplicamos nuevamente la derivada de un producto

(dp).

Para el tercer ren-

glón utilizamos las permutaciones cíclicas y no cíclicas del Chucky (5.30) para que en el cuarto renglón apliquemos la relación (3). Finalmente, utilizando la relación (2) obtenemos nuestro resultado.

(10) Muestre que:

(?)

∇(A · B ) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇ × B ) + B × (∇ × A) . → → → → → → → → → →

Esta demostración nos permite aprender algo nuevo, para esto haremos la demostración en sentido contrario, ya que es complicado a simple vista saber qué cantidad necesitamos sumar y restar para hacerla directamente. Nuevamente, suponemos que las funciones

A →

y

B →

son continuas, además la cantidad a demostrar es un vector, por

lo tanto, la componente

ℓ

del primer término de lado derecho lo escribimos:



 (A · ∇)B → →

= Am ∂m Bℓ . ℓ

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(a)

5.5.

Operaciones básicas

67

Es importante resaltar que

(A ·∇)B ̸= (∇· A)B , más bien este término se relaciona con → → → →

la derivada direccional (4.7), en la dirección de

. A →

Intercambiando

A →

y

B →

escribimos

el segundo término de la derecha como:



 (B · ∇)A → →

= Bm ∂m Aℓ .

(b)

ℓ

Para el tercer término escribimos:



 B × (∇ × A) = ∈ℓmn Am (∇ × B )n = ∈ℓmn ∈nvw Am ∂v Bw , →

→

→

ℓ (6)

(6)

(c)

=∈ℓmn ∈nvw Am ∂v Bw = (δℓv δmw − δmv δℓw )Am ∂v Bw , = δℓv δmw Am ∂v Bw − δmv δℓw Am ∂v Bw = Am ∂ℓ Bm − Am ∂m Bℓ ,

donde hemos utilizado el producto de dos Chuckies (5.39) y el teorema de sustitución (5.35) en los índices resaltados en rojo. Similarmente intercambiando escribimos:

A →

por

, B →





× (∇ × BDraft ) = Bm ∂ℓ Am − Bm ∂m Aℓ . A → →

(d)

ℓ

Sumando las ecuaciones (a), (b), (c) y (d), tenemos

    ∂ ∂ ∂ ∂ Am Bm Am Bm m Bℓ +  m Aℓ + Am ∂ℓ Bm −  m Bℓ +Bm ∂ℓ Am −  m Aℓ = 





= ∂ℓ (Am Bm ) = ∇(A · B ) →

,

→

ℓ

por lo tanto, igualando las componentes



   ∇(A · B ) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇ × B ) + B × (∇ × A) , →

→

ℓ

→

→

→

y nalmente, como las componentes

→

ℓ

→

→

→

→

ℓ

de los vectores involucrados son iguales, los

vectores deben ser iguales y escribimos:

∇(A · B ) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇ × B ) + B × (∇ × A) . →

→

(11) Muestre que:

→

→

→

→

→

→

→

(?)

→

∇ × (A × B ) = A(∇ · B ) − B (∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B → → → → → → → → → →

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

.

5.5.

Operaciones básicas

68

Nuevamente, suponemos que las funciones

A →

y

B →

son continuas, además la cantidad a

demostrar es un vector, por lo tanto, la componente



ℓ

la escribimos,

 ∇ × (A × B ) →

→

= ∈ℓmn ∂m (A × B )n = ∈ℓmn ∈nvw ∂m (Av Bw ) , →

ℓ (6)

→

(6)

= (δℓv δmw − δmv δℓw )∂m (Av Bw ) , = δℓv δmw ∂m (Av Bw ) − δmv δℓw ∂m (Av Bw ) = ∂m (Aℓ Bm ) − ∂m (Am Bℓ ) ,   = A(∇ · B ) − B (∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B . →

(5,1)

→

→

→

→

→

→

→

ℓ

Explicación: para el primer renglón utilizamos dos veces la relación (6), reordenando los términos para tener un producto de Chuckies denido en la ecuación (5.39) mostrado en el segundo renglón. En el tercer renglón, distribuimos el producto de las deltas y aplicamos el teorema de sustitución (5.35) en los índices resaltados en rojo. Para el último renglón desarrollamos las derivadas y reagrupamos los términos resultantes para utilizar las relaciones (5) y (1). Finalmente, cuando un vector es igual a otro sus componentes

ℓ

deben ser iguales y escribimos: Draft

∇ × (A × B ) = A(∇ · B ) − B (∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B . →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Las relaciones anteriores son muy generales, pero en física se utiliza el vector de posición para denir un estado mecánico o el punto donde deseamos calcular un campo o un potencial, como lo mostraremos en el siguiente capítulo. A manera de resumen escribimos:

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

5.5.

Operaciones básicas

69

RESUMEN:

· (B × C ) = B · (C × A) = C · (A × B ) , A → → → → → → → → →

(5.43)

× (B × C ) = B (A · C ) − C (A · B ) , A → → → → → → → → →

(5.44)

(A × B ) · (C × D) = ( A · C )(B · D) − (A · D)(B · C ) , → → → → → → → → → → → →

(5.45)

∇ × ∇ϕ = 0 , ∇ · (∇ × A) = 0 ,

(5.46)

→

(5.47)

→

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A ,

(5.48)

∇ · (ϕA) = A · ∇ϕ + ϕ∇ · A ,

(5.49)

∇ × (ϕA) = ϕ∇ × A − A × ∇ϕ ,

(5.50)

→

→

→

→

→

→

→

→

→

∇ · (A × B ) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B ) , →

→

→

→

→

(5.51)

→

∇(A · B ) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇ × B ) + B × (∇ × A) ,

(5.52)

∇ × (A × B ) = A(∇ · B ) − B (∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B .

(5.53)

→

→

→

→

→

→

→

→ → Draft

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

6 El vector de posición

En el capítulo anterior desarrollamos las relaciones diferenciales más utilizadas, pero sin mostrar alguna aplicación práctica de tales operaciones generales. Por sí solas podrían ser plasmadas por algún artista en un gratti o poster, pero lo que deseamos es evitar tenerlas en un nicho de grandeza y sobre todo evitar creer que son complejas e inútiles. En física, particularmente en la mecánica, Draft utilizamos el concepto de estado de una partícula, es decir, con un vector de posición o estado describimos la evolución o la dinámica de una partícula u objeto, y con este vector denimos la velocidad y aceleración (Kittel et al., 1982). Además, en electromagnetismo ese vector de posición nos permite describir los campos electromagnéticos y sus principales relaciones operacionales.

6.1.

Mecánica

En la gura 6.1 mostramos de manera general, la descripción de la dinámica de un sistema mecánico; que en este caso corresponde a una abeja moviéndose en el espacio. Claramente la abeja además de trasladarse, puede rotar, pero para simplicar consideramos a la abeja como un punto al origen

p(x, y, z)

y con una masa

m.

Entonces el vector de posición

r,

→

con respecto

o, está denido por las coordenadas x(t), y(t) y z(t) dependientes del tiempo como: r = x(t) ˆex + y(t) ˆey + z(t) ˆez ,

→

(6.1)

= (x(t), y(t), z(t)) , donde hemos reemplazado

a ˆ

por ˆ e, en los vectores unitarios, para no confundirlos posterior-

mente con la aceleración. La velocidad

u

→

se dene como la derivada del vector de posición con respecto al tiempo

(Kittel et al., 1982), o la razón de cambio del vector de posición con respecto al tiempo

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

r˙ ,

→

6.1.

Mecánica

71

donde el punto sobre el vector denota derivada en el tiempo. Similarmente, la aceleración es la segunda derivada del vector posición respecto del tiempo velocidad respecto del tiempo

u˙ .

→

r¨,

→

a

→

o la razón de cambio de la

Brevemente escribimos,

u=→ r˙ = x˙ ˆex + y˙ ˆey + z˙ ˆez = (x, ˙ y, ˙ z) ˙ ,

→

a=→ r¨ = x¨ ˆex + y¨ ˆey + z¨ ˆez = (¨ x, y¨, z¨) . →

(6.2)

Draft

Figura 6.1. El estado dinámico de una partícula se representa por el vector de posición

r.

→

La dinámica se obtiene a partir de la segunda ley de Newton (Kittel et al., 1982),

d p = p˙ = m¨r , → dt → → donde

p˙ →

(6.3)

dene la fuerza externa. Dependiendo del sistema de coordenadas es la forma fun-

cional de la aceleración, por ejemplo, para las coordenadas cilíndricas escribimos el vector de posición como,

r = r ˆer + z ˆez .

→

(6.4)

Para calcular la derivada en el tiempo del vector de posición, es conveniente escribir los vectores unitarios ˆ er y ˆ eθ , en términos de los vectores jos de las coordenadas cartesianas, es decir, con ayuda de las relaciones del cambio de coordenadas (3.28) escribimos:

ˆer = cos θ ˆex + sen θ ˆey , ˆeθ = − sen θ ˆex + cos θ ˆey , Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(6.5)

6.2.

Operaciones básicas

72

donde obtenemos:

ˆe˙ r = −θ˙ sen θ ˆex + θ˙ cos θ ˆey = θ˙ ˆeθ , ˆe˙ θ = −θ˙ cos θ ˆex − θ˙ sen θ ˆey = −θ˙ ˆer .

(6.6)

Sustituyendo lo anterior en la ecuación (6.4), la velocidad será:

r˙ = r˙ ˆer + rˆe˙ r + z˙ ˆez ,

→

(6.7)

= r˙ ˆer + rθ˙ ˆeθ + z˙ ˆez , de donde obtenemos el diferencial de camino u arco en coordenadas cilíndricas como,

dr = dr ˆer + rdθ ˆeθ + dz ˆez . →

(6.8)

De manera similar la aceleración en coordenadas cilíndricas la escribimos,

˙ ˆer + (2θ˙r˙ + rθ) ¨ ˆeθ + z¨ ˆez . r¨ = (¨ r − rθ)

(6.9)

→

Si consideramos un círculo de radio

r= R en Draft

el plano

z = 0,

la velocidad y aceleración se

reducen a las bien conocidas relaciones de la velocidad y aceleración tangencial y centrípeta para el movimiento circular (Kittel et al., 1982), que se escriben como:

r˙ = Rθ˙ ˆeθ ,

→

(6.10)

r¨ = −Rθ˙ ˆer + Rθ¨ ˆeθ .

→

6.2.

Operaciones básicas

Como sabemos el vector de posición lo podemos denir en términos de sus componentes, es decir,

rx = x, ry = y

y

rz = z ,

de tal manera que escribimos:

r = (x, y, z) ,

(6.11)

→

(x, y, z) representa un punto en el espacio. De la propia denición, si derivamos respecto de x, la componente rx , tendremos ∂x rx = ∂x x = 1. O bien, si derivamos respecto de y , la componente rz , tendremos ∂y rz = ∂x z = 0, etc., de tal manera que para todos los casos donde

podemos escribir:

∂ℓ rm = δℓm . De las relaciones vectoriales (5.41), tenemos que

(6.12)

∇ · A = ∂ℓ A ℓ , →

entonces:

r = ∂ℓ rℓ = δℓℓ = 3 , ∇·→ Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(6.13)

6.2.

Operaciones básicas

73

donde hemos ocupado la convención de suma sobre la delta de Kronecker (5.31). Nuevamente, de las relaciones vectoriales (5.41), tenemos que el rotacional de

h es decir, el campo

r

→

r ∇×→

i ℓ

r,

→

será:

=∈ℓmn ∂m rn =∈ℓmn δmn =∈ℓmn = 0 ,

(6.14)

es conservativo,

r =0. ∇×→

(6.15)

Para el caso del cálculo del gradiente de una función de

rn ,

donde

realizaremos por medio de inducción. Reescribimos la magnitud de

r = |r |= →

p

x2 + y 2 + z 2 =

√

r

→

n

es un entero, la

como:

rm rm ,

(6.16)

√ [∇r]ℓ = ∂ℓ r = ∂ℓ rm rm , 1 Draft 2rm ∂ℓ rm = ∂ℓ (rm rm ) = , 2r 2r r → rℓ rm δℓm = = = = [ˆ r]ℓ , r r r ℓ

(6.17)

∇r = rˆ ,

(6.18)

de tal manera que

de donde

y de pilón tenemos una relación muy útil

∂ℓ r = Para el caso de

r2

rℓ . r

(6.19)

escribimos,



∇r2

 ℓ

= ∂ℓ r2 = 2r∂ℓ r = 2r

donde hemos utilizado la ecuación

(6,19)

rℓ = [2rˆ r]ℓ , r

y el hecho que

r = rˆ r,

→

para escribir

∇r2 = 2rˆ r. Similarmente para

rn ,

(6.20)

(6.21)

escribimos

[∇rn ]ℓ = ∂ℓ rn = nrn−1

rℓ  n−1  = nr rˆ ℓ , r

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(6.22)

6.3.

Electrostática

74

de donde:

∇rn = nrn−1 rˆ .

(6.23)

De manera general podemos suponer que una función que dependa de

f (r) =

∞ X

r

se escribe como:

An r n ,

(6.24)

n=0 donde

An

es una constante, aplicando el operador lineal gradiente y la relación

ponemos

∇f (r) =

∞ X n=0

n

An ∇r =

∞ X

(6,23),

An nrn−1 rˆ = f ′ (r)ˆ r.

pro-

(6.25)

n=0

En resumen podemos escribir,

Sí,

  r =3, ∇·→   r = (x, y, z) ⇒ ∇ × → r =0, →    ∇f (r) = f ′ (r)ˆ r.

(6.26)

Draft

6.3.

Electrostática

A diferencia de la mecánica, en electromagnetismo el vector de posición to

r,

→

indica el pun-

p(x, y, z),

donde deseamos calcular el potencial o campo, pero será necesario un vector ′ de posición mudo r , que nos indica donde está localizada la fuente de dicho potencial o →

campo. Aunque es muy utilizado, pero nunca mencionado, para la solución a los problemas de electromagnetismo es necesario considerar: un sistema de coordenadas adecuado, y el ′ secreto o clave para la solución será simplemente, saber quién es r y saber quién es r en →

→

términos de este sistema de coordenadas (Purcell, 1988; Jackson, 1975). En al gura 6.2, describimos de manera particular el secreto del electromagnetismo, aplicado a electrostática, donde una carga puntual este caso el vector mudo

r

→

′

q

produce un potencial eléctrico

ϕ(r). En

r , describe el punto donde deseamos calcular el potencial ϕ(r) y el vector

→

, describe el punto donde está localizada la carga

q

o la fuente de ese potencial.

Cuando la descripción sea de manera general, ese vector de posición mudo será la variable de integración, como lo describiremos posteriormente. Ofrecemos disculpas por escribir el siguiente resultado, pero es un hecho experimental y matemático tan importante, que merece al nal del curso ser discutido. El potencial eléctrico

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

6.3.

Electrostática

en el punto

r,

→

75

producido por una carga puntual

ϕ(r) =

q,

localizada en

r ′,

→

es:

q , r ′| |r −→ →

(6.27)

donde claramente en la gura 6.2, describimos quiénes son lo vectores de la diferencia de estos vectores

′

y

r ′.

→

El módulo

r |, |r −→ →

es la distancia entre la carga y el punto donde

′

recobramos el resultado conocido desde la

deseamos calcular el potencial. Cuando escuela secundaria

r

→

r = 0,

→

ϕ = q/r.

Draft

Figura 6.2. El secreto o clave para la solución electrostática es saber que:

r

→

es el vector

que va del origen al punto donde deseamos calcular el campo o potencial. Y que vector que va del origen a donde está localizada la carga

es el

q.

De este potencial es muy sencillo calcular el campo eléctrico, denido por cordando que el potencial es función de

r′

→

= −∇ϕ, E →

re-

r, ϕ = ϕ(r). Aplicando la relación (6.26), escribimos,

r ′) (r −→ → q (r) = −∇ϕ(r) = + , E → r ′| −→ r ′ |2 |r |r −→ → →

(6.28)

r ′ |, ϕ(r) = q/|r −→ →

(que cambia de signo por

el primer término es la derivada respecto a

r

de

el signo menos de la denición), y el segundo término es el vector unitario para el gradiente. Entonces escribimos:

(r) = E →

r ′) q(r −→ → r ′ |3 |r −→ →

,

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(6.29)

6.3.

Electrostática

que cuando

r ′ = 0,

→

76

se reduce a la conocida relación,

(r) = E →

q ˆer . r2

(6.30)

Como el campo eléctrico es denido por la relación causal donde

Q

F = QE →

→

(Kittel et al., 1982),

es la carga de prueba, utilizando la relación anterior escribimos la ley de Coulomb

F (r) =

→

qQ ˆer . r2

(6.31)

El campo eléctrico electrostático debe ser irrotacional, es decir, debe ser un campo conservativo por denición, ya que la relación (5.46)

∇ × ∇ϕ = 0,

se cumple directamente

en:

∇ × E = −∇ × ∇ϕ = 0 .

(6.32)

→

∇

Si deseamos mostrarlo directamente del campo (6.29), podemos utilizar la ecuación (5.50), × (ϕA) = ϕ∇ × A − A × ∇ϕ, que al comparar estas ecuaciones A = E (r) = q(r − r ′ ), y →

→

′ 3

r| ϕ = 1/|r −→ →

→

→

→

→

→

, y escribimos directamente Draft

  1 1 ′ ′   r ) − (r r )×∇ ∇ × (r −→ −→ , ∇×E =q → → →  |r r ′ |3 r ′ |3  −→ |r −→ → →    0 * *0 ′ ′ ′  ∇  r r r r ×→ ×→ − ∇ − ) (r − ) × (r → → → → d  1   − , =   r ′| |r −→ dr |r r ′ |3 r ′ |3  |r −→ −→ → → →  



(6.33)

=0, donde utilizamos nalmente que,

r ′ ) × (r r ′ ) = A × A = 0. (r −→ −→ → → →

→

Del último ejemplo, mostramos que en algunas ocasiones no es muy práctico aplicar las relaciones generales, supongamos que tenemos el potencial producido por un dipolo eléctrico

d

→

constante, localizado en el origen dado por:

ϕ(r) =

r d ·→

→

r3

,

(6.34)

deseamos hallar el campo eléctrico. Como la cantidad deseada es un vector, calculemos la componente

ℓ,

es decir,

  E →

 = −∂ℓ ℓ

 r  dm rm m = −dm ∂ℓ 3 , 3 r r

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(6.35)

6.3.

Electrostática

77

que coincide con la derivada de un cociente. Si recordamos las relaciones

∂ℓ r = rℓ /r,

∂ℓ rm = δℓm

y

escribimos directamente,

  E →

ℓ

r3 ∂ℓ rm − rm ∂ℓ r3 = −dm , r6 rℓ r3 δℓm − 3r2 rm r , = −dm r6 dm rm rℓ dm δℓm =3 − , 5 r3   r r )r (d · → d → → →  , − = 3 r5 r3

(6.36)

ℓ de donde

=3 E →

r )r (d · → → →

r5

d

−

→

r3

.

(6.37)

Draft Otra manera de demostrar la relación (6.33), es por medio del cambio de variable

r −→ r ′.

→

Y tendremos que

∂ℓ Rm = δℓm



y

 ∇×E →

∂ℓ R = Rℓ /R,

= R →

entonces directamente escribimos

 Rn , ∂m R3 R3 ∂m Rn − Rn 3R2 ∂m R , R6   2 Rn Rm 3R δmn  R  − q ∈   , ℓmn 3 6 R R 

= q ∈ℓmn ℓ

= q ∈ℓmn = q ∈ℓmn

=

:0  q 3q :0    ∈ℓmn ∈ℓmn δmn − 5 Rm Rn ,  3 R R

=0. Que es una demostración muy directa y no utilizamos las relaciones generales.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(6.38)

7 Integrales de supercie y volumen

Iniciar un curso de integración siempre nos impone un poco de temor, aunque existen libros tan agradables y maravillosos que pronto perdemos este natural miedo (Rivera Figueroa, 2014b). Momentáneamente nos sentimos como Tom Sawyer cuando echó una mirada a la cerca de la tía Poly,  y de pronto su bello y hermoso día perdió toda su alegría y una aplastante tristeza descendió sobre su alegre espíritu. ½Treinta varas de valla de nueve pies de altura! Le pareció que su vida era vana y su existencia una pesadumbre. Lanzando un Draft suspiro, mojó la brocha y la pasó a lo largo del tablón más alto; repitió la operación; la volvió a repetir, comparó la insignicante franja blanqueda con el vasto tramo de cerca sin encalar  (Twain, 2014).

Figura 7.1. ¾Qué es integrar Tom? Nos diría pensativo ½Integrar es pintar! Las echas no indican el sentido de la calle, ni son gratis.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

79

Si en ese momento le preguntásemos ½¾Qué es integrar Tom?!  Nos diría pensativo al principio, pero muy puntualmente, No sé. Bueno, sí ½es pintar!  y sonriendo sumergiría la brocha en cubo con lechada de cal, para continuar con su trabajo. ½Que palabras tan estupendas!, ½Claro! nada más sencillo que pintar, no se nos hubiera ocurrido esta idea para denir la integración. Entonces, ¾cuál será el mejor método de pintar, perdón de integrar? El sueño de todo pintor inexperto o de brocha gorda como un servidor, es hacerlo de un solo brochazo y de una sola pasada. Con esta idea en nuestra mente le diseñamos a Tom una pistola autoajustable para pintar, la cual representamos en la gura 7.2.

Draft

Figura 7.2. Pistola de pintar autoajustable, the Tom's dream. Esta pistola cuenta con dos rieles, superior e inferior, que se doblan de acuerdo al perl de la supercie a pintar, y sirven para guiar a los dos pernos de la boca autoajustable de la pistola, como se muestra con las líneas punteadas en la gura 7.2. Una vez ajustados los pernos, simplemente se oprime el gatillo y se desplaza la pistola, haciendo un barrido de izquierda a derecha. ½Pintando la supercie de una sola pasada! Pues manos a la obra, nuestro manual de diseño diría: Coloque los rieles inferior y superior. Ajuste rmemente el perno de la pistola al riel inferior.

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7.1.

Integrales de supercie

80

A continuación ajuste el siguiente perno al riel superior. Finalmente desplaze la pistola de izquierda a derecha. El arreglo experimental es muy sencillo y lo mostramos por medio de las echas y líneas en la gura 7.1. Para un pintado eciente, es conveniente seguir este orden de ajuste. Se recomienda no usar sustitutos y hacerlo bajo la supervisión de un adulto.

7.1.

Integrales de supercie

Draft

Figura 7.3. Región de integración y las líneas

x=a

y

Rxy ,

denida entre las funciones

y = f1 (x)

y

y = f2 (x)

x = b.

Ahora hagamos nuestro proceso de pintado por medio de funciones. Supongamos que

y = f1 (x) y y = f2 (x), respectivamente. Y x = a hasta x = b, como se muestra en la -

los rieles inferior y superior son las funciones el barrido de la pistola lo haremos desde

gura 7.3. Observamos que la región de pintado o de integración está contenida entre estas curvas y la denotamos por

Rxy .

Cabe mencionar que esta región es lo más importante para

la integración porque denirá el sistema de coordenadas a utilizar y los límites de integración. El elemento diferencial de área es integrar este diferencial en la región

dA = dxdy ,

Rxy , Área

si deseamos calcular el área debemos

es decir, escribimos



=

dA , Rxy

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(7.1)

7.1.

Integrales de supercie

81

donde los límites de integración, que denen la región

Rxy ,

los colocaremos de acuerdo con

nuestro manual de diseño. La boca de la pistola autoajustable está orientada a lo largo del eje nes

y , por lo tanto, la primer integral es para el diferencial dy , y los límites son las funcioy = f1 (x) y y = f2 (x), que denen los rieles de abajo hacia arriba respectivamente.

La boca autoajustable la indicamos por la echa vertical de la gura 7.4. Finalmente rea-

x, por lo que el segundo diferencial será el dx y x = a hasta x = b, como el arrastre de la pistola e indicado por la echa.

lizamos el barrido de la pistola en el eje la integral será desde

Draft

Figura 7.4. La región

Rxy

dene los límites de la integral.

El área será entonces,

 Área

=

b

dA = Rxy



f2 (x)

 dy  dx ,

  x=a

 (7.2)

y=f1 (x)

donde la integral entre paréntesis cuadrados corresponde a la colocación de los rieles en el eje

y

y los límites de la segunda integral corresponde al barrido de la pistola en el eje

x.

□ Hagamos un ejemplo ilustrativo y sencillo, calculemos el área de una región triangular mostrada en la gura 7.5, limitada por las rectas

y = x, y = 0, x = 0

Los rieles inferior y superior están denidos por las rectas colocada a lo largo del eje

y.

y

x = b.

y = 0 y y = x, y la pistola está x desde x = 0 a x = b, por lo

El barrido será a lo largo del eje

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.1.

Integrales de supercie

82

tanto escribimos,

b



dA =

A= Rxy

x



dy  dx =

 y=0

x=0

b



1 xdx = b2 . 2

(7.3)

x=0

Draft

Figura 7.5. El área de la región

Rxy ,

es la de un tríangulo de base y altura

b,

cuyo valor es

A = b2 /2. Nuevamente la integral entre paréntesis cuadrados corresponde a la colocación de los rieles en el eje

y , o la boca de la pistola autoajustable. Los límites de la segunda integral corresponden x.

al barrido de la pistola en el eje

Hagamos otro ejemplo ilustrativo y sencillo, calculemos el área de una región circular 2 2 2 mostrada en la gura 7.6, limitada por el círculo x + y = R y las rectas x = 0 y y = 0. Los rieles inferior y superior están denidos por las rectas la boca de la pistola queda colocada a lo largo del eje en

dy .

Como el barrido es a lo largo del eje



R

A=

dA = Rxy



√

x

R 2 −x2

y=0

√

R2 − x2 , entonces

y , y primeramente haremos esta integral x = 0 a x = R. Por lo tanto escribimos,



R

 dy  dx =

  x=0

desde

y=0yy=

√ R2 − x2 dx .

(7.4)

x=0

La integral (7.4), la podríamos resolver de manera directa con una tabla de integrales, pero nos perderíamos del uso de una transformación y denir un teorema importante.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.2.

Transformación B.E.

83

Figura 7.6. El área de la región es

Rxy ,

es la de un cuarto de círculo de radio

R,

cuyo valor

2

A = πR /4.

7.2.

Transformación B.E. Draft

Como hemos podido observar en los dos ejemplos anteriores, la región de integración dene los límites de las integrales y por esta razón consideramos que es más importante la región que el integrando. Pero de acuerdo con nuestra experiencia en nuestros cursos de cálculo (Rivera Figueroa, 2014b), un cambio de variable en el integrando nos facilita resolver integrales. De la misma manera, esto también es verdadero para las integrales múltiples, y un cambio de variables o una transformación adecuada, nos permitirá cambiar la región de integración inicial a una nueva y más adecuada. La relación entre estas regiones de integración se llama Jacobiano de la transformación (Marsden, 2004; Amazigo, 1980). Enunciaremos este importante teorema llamado teorema de cambio de variable. Lo haremos para dos variables, aunque no lo demostraremos aquí (Amazigo, 1980).

Teorema 7.3. Supóngase que y cerrada, y que

Ruv

Rxy

es una región en el plano

es la imagen de

Rxy

Tuv donde

x = x(u, v)

e

y = y(u, v)

xy

acotada por una curva simple

bajo la transformación invertible

( x = x(u, v) , : y = y(u, v) ,

son funciones continuamente diferenciables en la región

en la cual el Jacobiano

J=

∂(x, y) ̸= 0 . ∂(u, v)

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

Rxy ,

7.2.

Transformación B.E.

84

Rxy , entonces,   ∂(x, y) dudv , f (x, y)dxdy = f (x(u, v), y(u, v)) ∂(u, v) Rxy Ruv

Si suponemos además que

f (x, y)

es una función continua sobre

(7.5)

donde las regiones las ilustramos en la gura 7.7.

Figura 7.7. Ilustración para el teorema de cambio de variable. Draft

□ Regresemos a nuestro problema anterior, donde deseamos hallar el área de un cuarto de círculo, pero ahora con nuestro teorema de cambio de variable a la mano. Consideremos la gura 7.8, donde dibujamos un círculo de radio

R,

que dene nuestra región

Rxy .

Figura 7.8. Transformación de coordenadas cartesianas a polares. La idea principal es construir una nueva región

Rrθ ,

a partir de la región inicial

Rxy .

Nuestro pensamiento intuitivo, nos dice que para el cálculo del área de un círculo, es coveniente el uso de las coordenadas polares, las cuales se denen por el radio

r

y el ángulo

θ, como se muestra en la gura 7.8. Observe que para parametrizar una supercie necesitamos Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.2.

Transformación B.E.

85

dos parámetros, siendo redundantes, nuestros parámetros serán

r

y

θ

y la transformación la

escribimos,

Trθ

( x = r cos θ , : y = r sen θ ,

que es invertible ya que podemos escribir

r 2 = x2 + y 2 ,

y

θ = tan−1 (y/x).

Con el n de aprender a construir transformaciones, consideramos que es necesario resaltar cómo actúa esta transformación o mapeo. Es claro que vamos a cambiar la región circular

Rxy

a una nueva región

Rrθ , que dibujaremos sobre el plano rθ, indicado por los ejes r y θ en Rxy , el parámetro r tomará los valores 0 ≤ r ≤ R y

la gura 7.8. De acuerdo con la región

0 ≤ θ ≤ 2π , e intuitivamente pensamos que esta nueva región será un cuadrado, y en verdad no estamos para nada equivocados pero expliquemos el porqué.

a(R, 0), de coordenadas x = R rθ como A(R, 0), que a simple vista es el mismo, pero ahora sus coordenadas serán r = R y θ = 0. A continuación mapearemos el punto b(R cos(π/4), R sen(π/4)), denido en la región Rxy , al plano rθ denotado por B(R, π/4) con coordenadas r = R y θ = Draft π/4, como se muestra en la gura 7.9(b). En la gura 7.9(a), mostramos en la región

y

y = 0.

Rxy

el punto en

Este mismo punto lo denotamos en el plano

Las coordenadas anteriores, las podemos considerar como parte de una sucesión de puntos sobre un círculo de radio

θ = 0, π/4, π/2, π

y

2π ,

R,

que dene la región

denotados por

a, b, c, d

y

e

localizados a distintos ángulos,

respectivamente, como se muestra en la

A(R, 0), B(R, π/4), C(R, π/2), C(R, π) y E(R, 2π) respectivamente, los cuales se representarán por una línea recta r = R. En otras palabras, la circunferencia r = R en el plano xy , se mapea a una línea recta r = R en el plano rθ con 0 ≤ θ ≤ 2π .

gura 7.9(c). Su mapeo al plano

rθ

Rxy ,

serán los puntos

Si hacemos ligeramente menor el radio del círculo, encontraremos nuevamente que el mapeo de este círculo es una línea recta con

r < R,

que varía entre

0 ≤ θ ≤ 2π ,

y así

sucesivamente para círculos más cercamos al origen, se trazarán líneas rectas cada vez más cercanas al eje

r = 0,

como se muestra en la gura (7.9(d)). Esto rearma lo que intuitiva-

mente imaginamos; que la nueva región

Rrθ

es un cuadrado.

Pero, ¾cómo pintamos esta supercie? Perdonen ustedes ¾cómo integramos esta supercie? De acuerdo con nuestra supercie, tendremos que uno de los rieles estará sobre el perímetro del círculo y el otro riel será un pivote localizado en el origen de coordenadas. Fijemos un extremo de la boca de la pistola en el pivote y su otro extremo en el punto

x = R,

como lo

indicamos por la echa de la gura 7.10(a). La imagen de la boca de la pistola en el plano

rθ,

será también indicada por una echa.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.2.

Transformación B.E.

86

Draft

Figura 7.9. Transformación de puntos sobre círculos por medio de las coordenadas polares.

Girando, arrastremos la pistola a un ángulo

θ = π/4, π/2, π · · ·

y así sucesivamente, como

se muestra en la gura 7.10(b). Continuamos girando la pistola, hasta justamente antes de

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.2.

Transformación B.E.

87

Draft

Figura 7.10. Transformación B.E. La región más sencilla para integración.

llegar a

θ = 2π ,

nuestro mapeo claramente dibujará una región cuadrada, como se observa

en la gura 7.10(c). De repente, aparece el señor Esponja en la gura 7.10(d), indicando que

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.2.

Transformación B.E.

88

esta región cuadrada es la más sencilla para integrar. De ahí el nombre de transformación B.E, nada que ver con condensados de Bose-Einstein (Orszag, 2000). Ahora bien, teniendo nuestro teorema de cambio de variable, ecuación (7.5), necesitamos calcular el Jacobiano de la transformación, el cual se dene como el determinante:

∂x ∂(x, y) ∂r = J= ∂y ∂(r, θ) ∂r

cos θ −r sen θ = ∂y sen θ r cos θ ∂θ

∂x ∂θ

=r.

Es importante resaltar que en nuestro teorema de cambio de variable, se pide el valor absoluto del Jacobiano, pero como la coordenada

r es positiva obviaremos este paso. Entonces

el área de un círculo de radio se escribe como:



 :1  y) f (x, dxdy = 

A= Rxy



=

rdrdθ .

r >  : 1 ∂(x, y)     y(r, θ))  drdθ , f (x(r, θ), ∂(r,   θ) Rrθ  

Draft

Rrθ

Figura 7.11. La región ideal para aplicar el teorema de Fubini-Esponja (Marsden, 2004). Límites constantes e integrando separable. Observe que ahora la pistola de la gura 7.2 está en posición horizontal, y se mueve de abajo hacia arriba.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.4.

Integrales de volumen

89

Para denir los límites de integración para la región, utilizemos la gura 7.11, donde la boca de la pistola, (echa horizontal), está colocada en de

θ=0

a

θ = 2π .

r = 0 y r = R, y el barrido lo haremos

Por lo tanto escribimos:





2π



R

rdrdθ ,

rdrdθ =

A= 

Rrθ 2π

θ=0



R

r=0



=



rdr dθ = 

θ=0

r=0



R

=

rdr r=0

 

R

2π

rdr r=0

dθ , θ=0

2π

1 dθ = R2 2π = πR2 . 2 θ=0

½Guau! ½de manera que una integral doble es el producto de dos integrales sencillas! La clave de todo esto es la región cuadrada, porque nos lleva a tener límites constantes en nuestras integrales. Por lo tanto, la integral colocada entre paréntesis cuadrados y resaltada en amarillo, (o en una tripa como en el juego), es una constante y sale de la integral en

θ,

entonces la integral doble se puede escribir como el producto de dos integrales. Este es

el teorema de Fubini (Marsden, 2004), el cual básicamente es válido, cuando los límites de Draft las integrales son constantes y el integrando se puede separar en productos de las variables involucradas. Nosotros le llamaremos teorema Fubini-Esponja.

7.4.

Integrales de volumen

Reescribiendo nuestro teorema de cambio de variable a un volumen, decimos. Si es una función continua sobre



Rxyz ,

f (x, y, z)

entonces:

f (x, y, z)dxdydz = Rxyz



∂(x, y, z) dudvdw , f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) ∂(u, v, w) Ruvw

donde el Jacobiano es el determinante

∂(x, y, z) = ∂(u, v, w)

∂x ∂u

∂x ∂v

∂y ∂u

∂y ∂v

∂z ∂u

∂z ∂v

∂x ∂w

∂y . ∂w ∂z ∂w

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(7.6)

7.4.

Integrales de volumen

90

Figura 7.12. Do you Fubini? Región ideal en el espacio para aplicar el teorema de Fubini-Esponja. Límites constantes e integrando separable. El Jacobiano en coordenadas cilíndricas es

r.

Para aplicar la extensión del teorema de cambio de variable, calculemos el volumen de un cilindro recto de radio

R, altura h. Consideremos la gura 7.12, donde dibujamos dicho Rxyz . Nuevamente, nuestro pensamiento intuitivo nos dice que

cilindro que dene la región

para el cálculo del volumen de un cilindro recto, es coveniente el uso de las coordenadas Draft cilíndricas; las cuales se denen por el radio r , el ángulo θ y la altura z , como se muestra en la gura 7.12. Observe que para parametrizar un volumen necesitamos tres parámetros. En este caso, la transformación la escribimos,

Trθ

  x = r cos θ , : y = r sen θ ,  z = z ,

r2 = x2 + y 2 , θ = tan−1 (y/x) y z = z . Es claro que vamos a cambiar la región cilíndrica Rxyz a una nueva región Rrθz . De acuerdo con la región Rxyz , los parámetros r , θ y z tomarán los valores; 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ z ≤ h

que es invertible ya que podemos escribir

respectivamente, e intuitivamente esta nueva región será un rectángulo. Nos hacemos la pregunta, Do you Fubini?, para saber si, podemos aplicar el teorema de Fubini-Esponja, y claro contestamos, Yes, I do!, entonces escribimos:



h 2π 



V =

dV =

=

Rrθ z

2π

rdr r=0

θ=0

rdr dθ dz ,

rdrdθdz =

Rxyz

R

R

z=0 θ=0

r=0

h

dθ

dz ,

z=0

1 = R2 2πh = πR2 h . 2 Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.4.

Integrales de volumen

91

Donde las integrales en los cuadros de colores son constantes y salen de la integral en

z,

escribiendo una integral triple como un producto de tres integrales. ¾Y el Jacobiano? ½Perdón lo había olvidado, es igual que en coordenadas polares!,

r.

A manera de complemento calculemos el volumen de una esfera de radio

R.

Nuevamente,

nuestro pensamiento intuitivo nos dice que es conveniente utilizar coordenadas esféricas para el cálculo de este volumen. Las cuales se denen por el radio

r

y los ángulos

θ

y

ϕ,

como se

muestra en la gura 7.13.

Draft

Figura 7.13. El Jacobiano en coordenadas esféricas es

J = r2 sen θ.

En el caso de las coordenadas esféricas, la transformación la escribimos como:

Trθ

  x = r sen θ cos ϕ , : y = r sen θ sen ϕ; ,   z = r cos θ ,

J = r2 sen θ. De acuerdo con la región Rxyz , los parámetros r, θ y ϕ tomarán 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ ϕ ≤ 2π respectivamente, y con estos valores el

con Jacobiano los valores;

Jacobiano es positivo. Esta nueva región será un rectángulo y podemos aplicar el teorema de Fubini-Esponja, entonces el volumen será





V =

r2 sen θdrdθdϕ ,

dV = Rxyz

Rrθ z

R

π

r2 dr

= r=0

θ=0

2π

sen θdθ

4 dϕ = πR3 . 3

ϕ=0

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(7.7)

7.4.

Integrales de volumen

92

Para ilustrar otras transformaciones de coordenadas resolvamos las integrales propuestas en el ejercicio

4(a) al 4(c) de la página 193 del libro de Amazigo (Amazigo, 1980). Cabe men-

cionar que algunas veces hay errores tipográcos en los libros, todos involuntarios, y estas notas para nada son la excepción. A nuestro criterio y conocimiento Amazigo tiene algunos, pero eso no le resta calidad a su excelente contenido. Cuando esto suceda lo haremos notar y si es posible vericaremos nuestros resultados por otros caminos y/o métodos. Esperamos que con estos ejercicios nos queden más claras las ideas de las transformaciones.

□ 4(a) Utilícese la sustitución

u = y/x, v = y + x2

Rxy es la región del y = 8 − x , y = 0, e y = 2x. en donde

para evaluar



primer cuadrante acotada

(y + 2x2 )/(x2 + xy)dxdy , 3 por las curvas y = 3 − x ,

Rxy

2

Draft

Figura 7.14. La región La región

Rxy ,

Rxy

se transforma a la región

denida por las ecuaciones

Ruv .

y = 3 − x3 , y = 8 − x2 , y = 0, y = 2x.

la

mostramos en la gura 7.14(a). Este problema nos regala la transformación, y observamos que esta es no lineal, entonces no necesariamente las líneas rectas se transformarán a líneas rectas. Si consideranos que

u = y/x,

cuando

y=0

u = 0. Si ahora y = 2x 2 Similarmente si v = y + x , cuando

transformará a

u = 2, como se muestra en la gura 7.14(b). y = 8 − x2 y y = 3 − x2 tendremos que v = 8 y v = 3 respectivamente. Resumiendo la región Ruv está denida por u = 0, u = 2, v = 3 y v = 8, que es un señor Esponja. entonces

∂(x, y)/ u = y/x y v =

Si observamos la ecuación (7.5), notamos que es necesario calcular el Jacobiano,

∂(u, v), entonces y + x2 , pero esto

tendríamos que despejar a

x

y

y

de las transformaciones

no es necesario (Amazigo, 1980), ya que:

 −1 ∂(x, y) ∂(u, v) J= = , ∂(u, v) ∂(x, y) Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(7.8)

7.4.

Integrales de volumen

93

∂u ∂(u, v) ∂x J= = ∂(x, y) ∂v ∂x

∂u ∂y

y − 2 x = ∂v 2x ∂y

1 2 x = − y + 2x . x2 1

Sin olvidar el valor absoluto del Jacobiano y la ecuación (7.8), sustituyendo lo anterior en la ecuación (7.5), escribimos

 Rxy



y + 2x2 x2 + xy







dxdy = 

x2 + xy

Ruv

2 x

= 

:   y + 2x2 

Ruv 8



= v=3

 x2 : dudv ,  y − 2x2  

dudv =

1 dudv , (1 + u)

2 Ruv x (1 + u)  2  8 2 1 du dv dudv = , u=0 (1 + u) u=0 (1 + u) v=3

= 5 ln(3) ,

Draft

donde hemos utilizado el teorema de Fubini-Esponja. ½Guau, muy ilustrativo y sencillo!

4(b) Utilícese la sustitución

u = 2xy , v = x2 − y 2



1



para evaluar la integral iterada

y

p xy(x4 − y 4 ) 1 + (x2 − y 2 )2 dxdy . 0

−y

Figura 7.15. La región

Rxy

se transforma a la región

Ruv .

En este problema, no nos indican la región de integración, pero la podemos encontrar observando los límites de integración. La primer integral es en el eje

x desde x = −y

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

a

x = y,

7.4.

Integrales de volumen

94

y , desde y = 0 hasta y = 1. Donde la región Rxy , y = x, y = −x, y = 0, e y = 1, como se muestra en la gura 2 2 7.15(a). Similarmente, al considerar que x = y y y = −x tendremos que v = x − y = 0. 2 2 Si ahora tenemos que y = 1 u = 2xy = 2x que al combinar con v = x − y , tendremos v = u2 /4 − 1, que es una parábola de vértice (0, −1) como se nuestra en la gura 7.15(b).

después se hace el barrido a lo largo del eje queda denida por las ecuaciones

Nuevamente, si observamos la ecuación (7.5), notamos que es necesario calcular el Jacobiano,

y

∂(x, y)/∂(u, v),

pero con ayuda de la relación (7.8), no será necesario despejar a u = 2xy y v = x2 − y 2 , entonces

x

y

de las transformaciones

∂u ∂(u, v) ∂x = J= ∂(x, y) ∂v ∂x

∂u ∂y

2y 2x = ∂v 2x −2y ∂y

= −4(x2 + y 2 ) .

Sin olvidar el valor absoluto del Jacobiano y la ecuación (7.8), sustituyendo lo anterior en la ecuación (7.5), escribimos:



1



 Draft p √ 1 2 2 2 xy(x − y ) 1 + (x − y ) dxdy = uv 1 + v 2 dudv , 8 Ruv x=−y   √ 1 −2 0 = uv 1 + v 2 dvdu , 8 u=2 v= 14 u2 −1    1 −2 1 1 4 2 3/2 = u− u(u − 8u + 32) du , 8 u=2 3 192 =0, y

4

y=0

4

resultado esperado, porque el integrando es una función impar en

u

y la integral es sobre un

intervalo simétrico. En este caso no pudimos aplicar el teorema de Fubini-Esponja.

4(c) Evalúese y



(1, −1).

R

√ (x2 − y 2 ) x + ydA, en donde R es el tríangulo con vértices en (0, 0), (1, 1)

Al observar la integral, vemos una diferencia de cuadrados y dentro de la raíz cuadrada un término líneal. Lo más salomónico es proponer

u = x+y

y

v = x − y , que generan ambos

términos. Además, es una transformación líneal. Esto simplica nuestro trabajo, porque una transformación líneal transforma líneas a líneas (Lang, 1976). Entonces simplemente transformamos los puntos y los unimos con líneas rectas.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.4.

Integrales de volumen

95

Figura 7.16. La región

Rxy

se transforma a la región

Ruv .

a(0, 0), b(1, 1) y c(1, −1), los cuales bajo la transformación u = x+y transforman a B(0, 0), B(2, 0) y C(0, 2), respectivamente, como se muestran

Denotemos los puntos y

v = x − y,

se

en la gura 7.16. Nuevamente, al observar la ecuación (7.5), notamos que es necesario calcular el Jacobiano,

∂(x, y)/∂(u, v),

pero con ayuda de la relación (7.8), no será necesario despejar a

transformaciones

u=x+y

y

v = x − y,

entonces Draft

1 1 ∂(u, v) = J= ∂(x, y) 1 −1

x

y

y

de las

= −2 .

Otra vez, sin olvidar el valor absoluto del Jacobiano y la ecuación (7.8), sustituyendo lo anterior en la ecuación (7.5), escribimos





√ √ 1 (x − y ) x + ydA = uv ududv , 2 Ruv R   1 2 3/2 2−u = u vdvdu , 2 u=0 v=0  1 2 = (2 − u)2 u3/2 du , 4 u=0 √ 64 2 = , 315 2

2

en este caso tampoco pudimos aplicar el teorema de Fubini-Esponja.

Para ilustrar el cálculo de volúmenes resolvamos los ejercicios

3(a) y 3(c) de la página 193

del libro de Amazigo (Amazigo, 1980). Nuevamente, esperamos que con estos ejercicios nos queden más claras las ideas de las transformaciones.

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7.4.

Integrales de volumen

96

3(a) Obténgase el volumen del sólido tridimensional cuyas coordenadas cartesianas (x, y, z) p 1 − x2 − y 2 , x2 + y 2 ≤ 34 . Puede resultar satisfacen las desigualdades 1 ≤ z ≤ 2 conveniente trabajar con coordenadas cilíndricas.

Draft

Figura 7.17. Volumen del paraboloide,

p 1 ≤ z ≤ 2 1 − x2 − y 2 , x2 + y 2 ≤

3 . 4

2 2 2 Claramente el volumen es el del paraboloide x + y + z /4 = 1, por arriba del plano 3 2 2 z = 1, que lo corta en el círculo x + y = 4 , como se muestra en la gura 7.17. Exactamente como hace los movimientos una impresora 3D , en este caso, jamos nuestro punto inicial en p plano z = 1, hasta el punto sobre el paraboloide z(x, y) = 2 1 − x2 − y 2 , indicado por la echa en la gura 7.17. Con el n de sumar todas las alturas, barremos este punto para toda

x

y

y

sobre el plano

sobre el plano

xy

z = 1,

que denotamos por la región Rxy . La proyección del plano z = 1, x2 + y 2 ≤ 34 , como se mencionó en el enunciado del problema.

es la región

El volumen será,



 2√1−x2 −y2



V =

dzdxdy ,

dV = 

Rxyz

= Rxy

Rxy

z=1

 p 2 2 (2 1 − x − y − 1)dxdy =

 √3

2π

4

dθ θ=0

r=0

√ 5 (2 1 − r2 − 1)rdr = π , 12

donde aplicamos el teorema de Fubini-Esponja.

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7.4.

Integrales de volumen

97

3(c) Obténgase el volumen de la región acotada contenida entre las dos supercies 4 y 4x2 + z 2 = 4.

4x2 +y 2 =

Figura 7.18. La intuición nos dice que las coordenadas polares simplican el problema, en este caso no es así. Draft

x2 + y 2 /4 = 1

Claramente el volumen es entre los cilindros

y

x2 + z 2 /4 = 1,

que por

simplicidad calculamos en el primer octante, como se muestra en la gura 7.18. Nuevamente, jamos nuestro punto inicial en el plano z = 0, hasta el punto sobre el cilindro z(x, y) = √ 2 1 − x2 , indicado por la echa. Nuevamente, con el n de sumar todas las alturas, barremos este punto para toda queda parametrizada Jacobiano

2r.

x

y sobre el plano z = 0, que denotamos por la región Rxy ; la cual por x = r cos θ y y = 2 sen θ donde 0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ θ ≤ π/2, con y

Entonces, el volumen será ocho veces el volumen de un octante, es decir,





V =8



√ 2 1−x2

dzdxdy ,

dV = 8 

Rxyz

Rxy

√

= 16

1−

x2 dxdy

z=0



π/2



= 32

Rxy

θ=0

√ 64 1 − r2 cos2 θ rdrdθ = , 3 r=0 1

donde aplicamos el teorema de Fubini-Esponja. La integral anterior es muy laboriosa de realizar, pero en coordenadas cartesianas es muy directa



√

V = 16 



1 − x2 dxdy = 16

Rxy 1

(1 − x2 )dx =

= 32 x=0

1 x=0

√



√ 2 1−x2

1 − x2

dydx y=0

64 . 3

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.5.

Una aplicación a física

7.5.

98

Una aplicación a física

De la misma manera que trabajamos el operador nabla, en nuestros cursos de álgebra (Lang, 1976) y mecánica (Sakurai, 1985), aprendimos que es más conveniente hablar de operadores. Estos operadores se asocian a observables físicos, como puede ser la energía, el momento líneal, angular, etc. Y cuando estos operadores actuán sobre ciertas funciones, se involucra el problema de vectores y valores propios, donde los valores propios se pueden medir experimentalmente (Sakurai, 1985). Al ver nuestros cálculos anteriores, pensaremos inmediatamente que las integrales sirven solo para calcular áreas y volúmenes, o que una integral doble o triple debe ser un área o un volumen respectivamente. Pero reescribiendo nuestras integrales a la europea, es decir, colocando los diferenciales primero, las integrales las podemos utilizar como operadores (Sakurai, 1985), incrementando sus posibilidades de aplicación.

7.5.1.

Momento de inercia

Draft El momento de inercia a lo largo de un eje de rotación

se dene como,

Iz =



2 r⊥ dm,

dm al eje de giro (Kittel et al., 1982). Si ρ = M/V es la densidad de volumen del material, entonces dm = ρdV cuando el objeto es homogéneo. Calculemos entonces el momento de inercia de una esfera de radio R y masa M a lo largo de un eje que pase por su centro. donde

r⊥

z

es la distancia perpendicular del diferencial de masa

Figura 7.19. La distancia perpendicular al eje

z,

es

r⊥ = r sen θ.

La masa es esféricamente simétrica, y sin perder generalidad consideremos el cálculo del momento de inercia a lo largo del eje

z.

Escribiendo nuestra relación a la europea, o con el

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.6.

El método Catemaco de integración

99

diferencial en primer lugar en el integrando, tendremos

"



#

Iz =

dV

2 r⊥ ρ

=

drdθdϕ r sen θ

Rxyz

R

π

r=0



(r sen θ)2 ρ ,

Rrθ z

drr4

=ρ

2

2π

dθ sen3 θ

θ=0

dϕ ,

ϕ=0

5

=

M R 4 4 2π = M R2 , 5 3 5

4 πR3 3

donde los términos dentro de los paréntesis cuadrados son exactamente los mismos que utilizamos para el cálculo del volumen de una esfera (7.7), y los interpretamos como un operador, que actúa sobre el término fuera de los paréntesis o de la caja. En este caso los límites de las integrales son constantes y podemos aplicar el teorema de Fubini. Entonces claramente una integral triple ya no es un volumen.

7.6.

Draft

El método Catemaco de integración

Existe un método directo para calcular integrales que involucren regiones o partes de cilindros y/o esferas, prácticamente para cualquier región. Le hemos llamado método de Catemaco por el maravilloso lugar del sur del estado de Veracruz, México, y porque al aplicarlo hacemos magia. Su versatilidad procede de una varita mágica o distribución muy importante en física, llamada delta de Dirac (Arfken, 1985; Alexeiev, 1980; Purcell, 1988), ni Harry Potter cuenta con una varita así. Sin ninguna exageración, esta distribución transforma las funciones discontinuas en continuas y

n veces derivables, además de generar las funciones de

Green o propagadores para las ecuaciones diferenciales, entre otras muchas y muy variadas aplicaciones (Arfken, 1985; Monsivais, 1980).

□ Supongamos ahora que queremos calcular el área de un cascarón esférico de radio R, es 2 claro que esta área es 4πR . Si sólo hemos trabajado supercies planas ¾cómo integramos en una supercie curva? Claramente lo tenemos que hacer en coordenadas esféricas, donde el diferencial de volumen es,

dV = r2 sen θ dr dθ dϕ , como la cáscara es de radio constante

r = R,

entonces su diferencial

dr = 0,

que al sustituir

en la ecuación anterior, tendríamos que el diferencial de volumen es cero y todo acabaría

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.6.

El método Catemaco de integración

100

mal, porque nuestro resultado no es cero. Como este diferencial nos trae dicultades, pues lo quitamos y el diferencial de volumen lo cambiamos a un diferencial de supercie y escribimos:

R2  sen θ Z dr  Z dθ dϕ , 2 dS = R sen θ dθ dϕ ,

* dS  dV = r2 

que al integrar escribimos

π

S=R

2

2π

sen θdθ

θ=0

dϕ = 4πR2 .

ϕ=0

½Es así de mágico! Pero, ¾es cierto lo anterior? Bueno al menos es divertido. Formalmente lo hacemos con la función delta de Dirac.

Draft

Figura 7.20. La varita mágica, delta de Dirac

δ(x − x0 ).

Una forma muy simple de denir la función delta de Dirac, es por medio de la función escalón

η(x − x0 )

(Arfken, 1985). Esta función tiene dos valores; es

de la función escalón es negativo, es decir, cuando mayor o igual a cero,

x − x0 ≥ 0,

x − x0 < 0,

y

1,0

0

cuando el argumento

cuando su argumento es

como se muestra en la gura 7.20(a). La función delta de

Dirac es la derivada de la función escalón, es decir, es cero para los valores distintos de innito cuando

x = x0 ,

x0

e

como se muestra en la gura 7.20(b).

Otra manera de denir la delta de Dirac, es considerarla como una función cuyo valor es cero en todo el eje

x,

salvo en un punto

x0

la gura 7.20, donde dibujamos la función

donde su valor es innito; como la mostramos en

δ(x − x0 ).

Una buena aproximación de una delta

de Dirac, es una función gaussiana cuando su anchura o cintura sea muy pequeña (Arfken,

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

7.6.

El método Catemaco de integración

101

1985). Una de sus propiedades es:



∞

f (x)δ(x − x0 )dx = f (x0 ) ,

(7.9)

−∞ donde la función

f (x)

está denida en algún intervalo que contenga al punto

x0 ,

si no lo

contiene la integral es cero. Para garantizar lo anterior hemos integrado sobre todo caso particular es cuando

f (x) = 1,

x.

Un

con lo cual mostramos que tiene área uno, es decir,



∞

δ(x − x0 )dx = 1 .

(7.10)

−∞ Consideremos el cascarón esférico anterior, muy delgado y de radio

R,

mostrado en la

gura 7.21. Físicamente, podemos ver a este cascarón como una densidad de masa, carga eléctrica o volumen. Supongamos que la asociamos a la densidad de masa. En el origen del cascarón (r aumenta

= 0), por ser una esfera hueca no tenemos masa y la densidad será cero. Conforme la coordenada r la función sigue siendo cero hasta que en r = R encontramos el

cascarón y la densidad de masa será distinta de cero. Cuando pasemos este punto la densidad nuevamente es cero hasta el innito.

Draft

Figura 7.21. La función delta de Dirac

δ(r − R)

asociada a una esfera de radio

R.

Claramente esta densidad de masa no es continua, pero al asociarla a la función delta

δ(r − R), la hacemos continua en todo es espacio. Denotaremos el término todo el espacio por U , que en coordenadas esféricas será cuando 0 ≤ r ≤ ∞, 0 ≤ θ ≤ π y 0 ≤ ϕ ≤ 2π . Si integramos la densidad anterior en todo el espacio, escribimos, dS = δ(r − R)dV , que al

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7.6.

El método Catemaco de integración

102

integrar



δ(r − R)dV ,

S= 

U ∞  π



2π

r2 δ(r − R) sen θdrdθdϕ ,

= 

r=0

θ=0

ϕ=0

 2π  2 π : 4π : R       = r δ(r − R)dr sen θdθ dϕ ,    r=0 θ=0 ϕ=0 ∞

2

= 4πR2 , donde hemos utilizado el teorema de Fubini y la ecuación (7.9). Como la primer integral es R2 , podemos escribir como al principio

dS = R2 sen θ dθ dϕ , donde la función delta de Dirac, reduce la dimensión del diferencial de volumen. Finalmente, el término

dΩ = sen θ dθdϕ

se llama diferencial de ángulo sólido, y su integral es

4π .

Draft

□

Si deseamos ahora calcular el área de una tapa circular de un cilindro de radio R, es claro πR2 . Claramente los haremos en coordenadas cilíndricas, donde el diferencial

que esta área es de volumen es,

dV = r dr dθ dz , como la tapa está en el plano

z

constante, (z

= cte),

entonces su diferencial

dz = 0,

que

al sustituirlo en la ecuación anterior, tendríamos que el diferencial de volumen es cero. Como este diferencial nos trae dicultades pues lo borramos y el diferencial de volumen lo cambiamos a un diferencial de área y escribimos

* dA  dV = r dr dθ Z dz   Z,

dA = r drdθ , que al integrar escribimos

R

A=

rdr r=0

Como la tapa está en el plano

2π

z = 0,

dθ = πR2 .

θ=0 entonces necesitamos una delta de Dirac,

(ver gura 7.22), y el diferencial de área será,

dA = rδ(z − 0)η(R − r) dr dθ dz , Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

δ(z − 0),

7.6.

El método Catemaco de integración

Figura 7.22. La función delta de Dirac

103

δ(z − 0)

asociada a un cilindro de radio

donde hemos incluido una función escalón para limitar el radio

r

al intervalo

R.

0 ≤ r ≤ R.

Integrando en todo el espacio, tenemos



δ(z − 0)η(R − r)dV ,

A= 

U ∞  2π



∞

Draft

rδ(z − 0)η(R − r)drdθdz ,

= r=0  ∞

θ=0

z=−∞



rη(R − r)dr

=

dθ

r=0





2π θ=0

∞

:1  

− 0)dz , δ(z

 z=−∞

R

rdr = πR2 ,

= 2π r=0

donde hemos utilizado el teorema de Fubini y la ecuación (7.9). Observe que la función escalón limita el intervalo de integración.

□ Finalmente, supongamos ahora que deseamos calcular el perímetro de un anillo de radio

R,

es claro que el resultado es

2πR.

Nuevamente, los haremos en coordenadas cilíndricas,

dV = r dr dθ dz , como el anillo está dz = 0, además r = R y dr = 0, escribimos

donde el diferencial de volumen es, (z

= 0),

entonces su diferencial

R * dℓ   dθ Z dV = rZ dr dz   Z  Z, dℓ = R dθ , que al integrar escribimos

2π

ℓ=R

dθ = 2πR.

θ=0 Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

en el plano

z,

7.6.

El método Catemaco de integración

104

z = 0, δ(z −0). Para denir la orilla del anillo necesitamos

Para este problema necesitamos dos deltas de Dirac. Como el anillo está en el plano entonces necesitamos una delta de Dirac, otra delta

δ(r − R),

como se muestra en la gura 7.23, y el diferencial de arco será,

dℓ = rδ(z − 0)δ(r − R) dr dθ dz , integrando en todo el espacio, tenemos



δ(z − 0)δ(r − R)dV ,

ℓ= 

U ∞  2π



∞

rδ(z − 0)δ(r − R)drdθdz ,

= r=0  ∞

θ=0

z=−∞

 ∞ : R  2π  :1        dθ = rδ(r − R)dr δ(z − 0)dz ,   r=0 z=−∞ θ=0

= 2πR, donde hemos utilizado el teorema de Fubini y la ecuación (7.9). Observe que las dos deltas de Dirac reducen el espacio a una dimensión.

Draft

Figura 7.23. Las funciones delta de Dirac radio

δ(z − 0)

y

δ(r − R),

asociadas a un anillo de

R.

□ Y en el cenit de su fama aparecería de pronto en el pueblo, y entraría arrogante en la iglesia, tostado y curtido por la intemperie, con su justillo y calzas de negro terciopelo, sus grandes botas de campana, su tahalí escarlata, el cinto erizado de pistolones de arzón, el machete tinto en sangre al costado, el ancho sombrero con ondulantes plumas, y desplegada la bandera negra ostentando la calavera y los huesos cruzados, y oiría con orgulloso deleite los cuchicheos:  ½Este es Tom Sawyer el Pirata! ½El Tenebroso Vengador de la América Española! (Twain, 2014)

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8 Integrales de línea o camino

En física frecuentemente aparecen integrales de la forma:

 a

b

· dr , E → →

1 c



r × Idr , →

→

(8.1)

que denen el potencial eléctrico y el momento dipolar magnético respectivamente (Alexeiev, Draft como integrales de línea. Aunque algunas en 1980; Purcell, 1988). Estas integrales se conocen apariencia se vean muy complicadas, en su mayoría son muy sencillas de resolver. Iniciemos este capítulo recordando que

r

→

es el vector de posición, trayectoria o el camino

r = xˆ ax + yˆ ay + zˆ az ,

(8.2)

dr = dxˆ ax + dyˆ ay + dzˆ az . →

(8.3)

→

y su diferencial de camino será:

Si suponemos un campo vectorial de la forma,

ax + Fy (x, y, z)ˆ ay + Fz (x, y, z)ˆ az , F = Fx (x, y, z)ˆ

→

(8.4)

y desarrollando el integrando, de la primera integral de la ecuación (8.1), escribimos

= Fx (x, y, z)dx + Fy (x, y, z)dy + Fz (x, y, z)dz . F · dr →

→

(8.5)

La ecuación anterior (8.5) toma la forma de una ecuación diferencial (Boyce, 1996). Si deseamos resolver la segunda integral mostrada en (8.1), deberíamos realizar un producto cruz, lo que nos llevaría a obtener otra ecuación diferencial más compleja. Esto nos motiva a relacionar las soluciones de estas ecuaciones diferenciales con las soluciones de las integrales de línea. En todos los casos, la forma diferencial (8.5) es fundamental para generalizar los resultados de nuestras integrales de línea, ya sean con punto o con cruz.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.1.

Guía mágica de solución

8.1.

106

Guía mágica de solución

Draft

Figura 8.1. Como en el Mago de Oz al punto

(b)

...

Para resolver una integral de línea, del punto

(a)

sigue el camino amarillo (Baum, 2017).

En la gura (8.1), se muestra una guía para resolver integrales de línea. Existe un método directo conocido como parametrización, indicado por la echa en línea punteada. La otra alternativa es utilizar la función potencial. El criterio para decidir qué ruta utilizar depende del rotacional del campo. Si un campo es conservativo o tiene un rotacional cero, es conveniente encontrar el potencial para resolver la integral de línea. De lo contrario, o si así lo deseamos, utilizamos la parametrización.

8.2.

Parametrización

En nuestras clases de física, hemos considerado que el parámetro tiempo, representado por

t,

dene de manera precisa una trayectoria (Kittel et al., 1982). Este parámetro nos

permite describir el recorrido de una partícula desde un punto inicial hasta un punto nal. A esta trayectoria se le denomina estado dinámico, ya que a través de ella podemos calcular

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.2.

Parametrización

107

la velocidad y aceleración de la partícula. De manera similar, en el contexto de las integrales de línea, propondremos nuestras parametrizaciones utilizando un único parámetro que determinará la dirección del recorrido desde un punto inicial  a hasta un punto nal  b.

Para ilustrar el uso de la guía mágica resolvamos las integrales propuestas en el ejercicio

2(a) al 2(i) de la página 220 del libro de Amazigo (Amazigo, 1980). Esperamos que con estos ejercicios queden más claras las ideas de la parametrización.

(a)


C

xdy ,

en donde

C

es la trayectoria

y = x4 + x3

que une los puntos

(0, 0)

con

(1, 2).

Draft

Figura 8.2. Parametrización simple ir del punto

a

al punto

b, a → b

x = t.

escribimos

Con esto tendremos

t : 0 → 1.

y = t4 + t3 ,

y si deseamos

La parametrización describe el

camino y su sentido. Claramente el campo asociado es

∇×F = a ˆz ̸= 0. →

ay , ver ecuación (8.5), y no es conservativo ya que F = xˆ

→

Y de acuerdo con la guía mágica, su solución será por parametrización.

En la gura 8.2 se muestra el camino para ir del punto a(0, 0) al punto b(1, 2) sobre la curva y = x4 + x3 . La echa nos indica el sentido. La manera más sencilla para parametrizar esta 4 3 curva es hacer: x = t, como consecuencia y = t + t , ya que recorremos el camino sobre la 4 3 curva y = x + x . Cuando t = 0, tendremos x = 0 y y = 0, es decir, estaremos en el punto

a(0, 0).

Similarmente, si escogemos

t = 1 estaremos en el punto b(1, 2). En t de t = 0 a t = 1, la parametrización

cuando hacemos variar el parámetro

trayectoria a seguir y el sentido del recorrido. Por simplicidad, escribimos

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

otras palabras, nos indicará la

t : 0 → 1,

para

8.2.

Parametrización

108

recorrerlo en el sentido indicado en la gura 8.2. Brevemente escribimos, que el camino

C

queda parametrizado por:

( C: de donde

dy = (4t3 + 3t2 )dt,

) x(t) = t , t:1→0, y(t) = t4 + t3 ,

sustituyendo este diferencial y (8.6), escribimos





1

t(4t3 + 3t2 )dt =

xdy = C

t=0

31 . 20

Cabe resaltar que podemos utilizar otra parametrización por ejemplo con

t : 0 → 1,

(8.6)

x = t2

y

y = t8 + t6

para escribir,





1

t2 (8t7 + 6t5 )dt =

xdy = t=0

C

31 , 20

que es exactamente el mismo resultado. ¾Cuál es la diferencia entre estas parametrizaciones? La diferencia radica en la velocidad con la que nos movemos del punto a al b. Si tomamos Draft x = t, la velocidad o su derivada será dx/dt = 1, mientras que si tomamos x = t2 , esta razón de cambio sería mayor,

dx/dt = 2t > 1

en este intervalo de tiempo.

b(1, 2) hasta a(0, 0), escribiríat = 1 a t = 0, es decir,

Finalmente, si deseáramos recorrer esta trayectoria desde mos

t:1→0

y cambiaríamos los límites de integración de





0

t(4t3 + 3t2 )dt = −

xdy = −C El camino

−C

t=1

indica dirección contraria al camino

cambia de signo, respecto de la integral sobre

(b)




C,

31 . 20

note que la integral sobre de

−C

C.

yzds, en donde C es la hélice circular x = cos(πt), y = sen(πt), z = 6t √ (1/2, 3/2, 2) con (−1, 0, 6).

C puntos

que une los

En este caso nos han regalado la parametrización, pero nos piden calcular la integral sobre el elemento de arco

ds

denido por el módulo de (8.3), es decir,

ds =

q

dr · dr = → →

p

(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 .

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(8.7)

8.2.

Parametrización

109

Como el integrando no tiene la forma de la ecuación (8.5), lo más salomónico es hacerlo por parametrización, pero primero hay que convencerse que esta curva es una hélice. En la

t : 0 → 3, para t = 0 la curva inicia en (−1, 0, 18) como se puede apreciar en la gura. Para los puntos de este problema tenemos que, t : 1/3 → 1; en t = 1/3 tenemos el caso √ 3/2, 2) y en t = 1 es el caso del punto del punto a(cos(π/3), sen(π/3), 6/3)) = a(1/2, b(cos(π), sen(π), 6) = b(−1, 0, 6) como se ve en la gura. gura 8.3 mostramos la curva parametrizada para el punto

(1, 0, 0)

y para

t=3

termina en

Draft

Figura 8.3. Parametrización de una hélice circular ir del punto

a

al punto

b,

el parámetro

t

x = cos(πt), y = sen(πt), z = 6t. t : 1/3 → 1.

Para

debe cambiar de

En resumen, la parametrización es,

  x(t) = cos(πt) ,     C : y(t) = sen(πt) , t : 1/3 → 1 ,    z(t) = 6t , 

(8.8)

dx = −π sen(πt), dy = √ π cos(πt) y dz = 6dt, sustituyendo esto en la ecuación (8.7), directamente escribimos, ds = π 2 + 36 dt . Finalmente, con ayuda de (8.8) escribimos, √ ! √   1 2 + 36 √ π 3 3 7− . yzds = 6 π 2 + 36 t sen(πt)dt = π π C t=1/3 de donde:

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.2.

Parametrización

(c)


C

110

(2xy + 1)dx + x2 dy ,

en donde

C

es la elipse

x2 + 2y 2 = 1.

Este problema es muy ilustrativo, porque el camino es una curva cerrada, que nos permitirá encontrar una relación con las ecuaciones diferenciales ordinarias. Escribiendo la ecuación canónica de la elipse de semiejes

c

y

d, en  x 2 c

los ejes

+

 y 2 d

x

y

y

como:

=1,

en automático pensamos en las funciones trigonométricas

(8.9)

cos θ

y

sen θ,

porque la suma de

sus cuadrados es uno. Entonces, nada nos impide escribir:

x y = cos θ , = sen θ , c d

(8.10)

que satisface directamente la ecuación (8.9). Entonces, para una elipse es útil la parametrización,

x = c cos θ , y = d sen θ . Para el caso de un círculo de radio

R,

tendremos que

(8.11)

c = d = R.

Draft

x = (1) cos θ, y = √12 sen θ. Si deseamos recorrerlo en sentido de las manecillas del reloj, el parámetro θ debe cambiar de, θ : 0 → 2π . Figura 8.4. Parametrización de una elipse

En nuestro caso, el semieje mayor parámetro el ángulo

θ,

c=1y

el menor

√ d = 1/ 2;

además si escogemos como

escribimos:

  x(θ) = cos θ ,  C: θ : 0 → 2π . 1  y(θ) = √ sen θ , 2 Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(8.12)

8.2.

Parametrización

111

Notamos que para recorrer el camino en sentido contrario a las manecillas del reloj, el ángulo

θ

debe variar de

0

a

2π ,

θ : 0 → 2π .

es decir

Sustituyendo nuestra parametrización (8.12),

en nuestra integral escribimos:





2π

2

(2xy + 1)dx + x dy = θ=0

C



 2 1 3 −( √ cos θ sen θ + 1) sen θ + √ cos θ dθ = 0 , 2 2

este resultado es muy importante, y merece ser distingido de las otras integrales con un círculo sobre la integral para resaltar que la trayectoria es cerrada. El hecho importante es que su valor sea cero para toda trayectoria cerrada. La denotaremos como:



(2xy + 1)dx + x2 dy = 0 ,

(8.13)

C y a continuación trataremos de explicar su signicado. Como mencionamos, en todos los casos la forma diferencial (8.5) será la clave para generalizar estos resultados y nos permitirá resolver estas integrales a simple vista. En nuestro curso de ecuaciones diferenciales (Boyce, 1996), se mostró que una ecuación diferencial ordinaria exacta presenta la forma

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, Draft

satisfacen

donde sus derivadas parciales

∂N ∂M = . ∂y ∂x

(8.14)

Comparando el integrando de (8.13) con la forma de una ecuación diferencial exacta, tenemos 2 que: M (x, y) = 2xy + 1 y N (x, y) = x y claramente cumple con las ecuaciones (8.14). Entonces la ecuación diferencial asociada a la integral (8.13) es exacta. ¾Será esta la razón por la que la integral es cero? Para contestar, apliquemos nuestra guía mágica. El campo vectorial asociado a la integral (8.13) es

ax + x 2 a ˆy , F = (2xy + 1)ˆ

→

(8.15)

z del rotacional, las otras componentes coordenada z , entonces

y obviamente solo necesitamos calcular la componente son cero porque el campo no depende de la

(∇ × F )3 =∈312 ∂1 F2 + ∈321 ∂2 F1 , = ∂x (x2 ) − ∂y (2xy + 1) = 2x − 2x = 0 ,

(8.16)

que es exactamente la condición (8.14). Esto signica que el campo es conservativo, y existirá una función potencial de

ϕ(x, y),

(la solución a la ecuación diferencial exacta), don-

F = ∇ϕ(x, y). Y el valor de la integral de línea del punto (a) al punto (b), es la diferencia

→

de potencial

a = b,

ϕ(b) − ϕ(a). Para una trayectoria cerrada en punto inicial es igual al punto nal

y la integral es cero, como es nuestro caso.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.2.

Parametrización

112

Vericar si una ecuación diferencial es exacta o si un campo bidimensional es conservativo es, en muchos casos, un proceso sencillo que se puede realizar a simple vista. ¾Y si fuera tridimensional? En este caso, necesitaríamos calcular las tres componentes del rotacional para determinar si el campo es conservativo. Sin embargo, podemos comenzar por examinar la componente en la dirección

z.

Si esta componente resulta ser cero, nos motivará a proceder

con el análisis de las otras dos componentes. En caso de que la componente en

z

sea no nula,

podemos concluir que el campo no es conservativo. Finalmente, observe que en este caso, no fue necesario parametrizar ni encontrar la función potencial, solamente vericar mentalmente la condición de exactitud; y la integral en cualquier trayectoria cerrada será cero.

(d)




xds, en donde C es la trayectoria cerrada que consiste en el elemento de recta y = 0, C −1 ≤ x ≤ 1 y la porción de la parábola y = 1 − x2 , −1 ≤ x ≤ 1. Draft

Figura 8.5. Parametrización compuesta:

C1 : x(t) = t, y = 0, t : −1 → 1. C2 : x(t) = t,

y = 1 − t2 , t : 1 → −1. Esta integral es sobre un arco bidimensional, con

ds =

q

dr · dr = → →

p

z=0

en la ecuación (8.7), es decir,

(dx)2 + (dy)2 .

(8.17)

Nuevamente, como el integrando no tiene la forma de la ecuación (8.5), lo más conveniente es hacerlo por parametrización, porque no hay forma de denir un campo

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

F.

→

Dividamos

8.2.

Parametrización

113

C

la trayectoria cerrada

C1

en dos caminos



entonces

xds + C1

Para la parametrización del camino

x = t,

con

t : −1 → 1,

como se puede apreciar en la gura 8.5,



xds = C

ponemos

C2 ,

y



C1 ,

xds .

(8.18)

C2

observamos que

y = 0,

y sin ninguna duda pro-

en directo escribimos

) ( x(t) = t , t : −1 → 1 , C1 : y(t) = 0 , y la integral sobre

C1 ,

(8.19)

se escribe





 p t (dt)2 + 02 =

1

xds = C1

tdt = 0 ,

(8.20)

t=−1

t=−1

donde hemos utilizado el arco (8.17),

1

dx = dt

y

dy = 0.

Para este mismo caso, si deseamos adoptar un enfoque más sosticado, podemos considerar la siguiente parametrización: x = sin θ , yDraft = 0 donde θ varía en el intervalo − π2 a π2 . Ahora bien, ¾qué sucede si exploramos esta opción? Veamos...







π/2

sen θ

xds = C1

p

(cos θdθ)2

+

02

π/2

sen θ cos θdθ = 0 ,

= θ=−π/2

θ=−π/2

½da lo mismo!, pero si consideramos la parametrización

x = t2

¾qué ocurre?

Para la parametrización del camino C2 , sin ninguna duda proponemos 2 será y = 1 − t , con t : 1 → −1, rápidamente escribimos

( C2 : 



−1

xds = C2

x = t, y la ordenada

) x(t) = t , t : 1 → −1 , y(t) = 1 − t2 ,

 p 2 2 t (dt) + (−2t) =

t=1

nalmente (por pura coincidencia),

−1

√ t 1 + 4t2 dt = 0 ,

t=1



xds = 0 . C

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(8.21)

(8.22)

8.2.

Parametrización



114

(2,1)

(e)

(1,0) recta

1 + y2 y(1 + x2 ) dx − dy , en donde la trayectoria x3 x2 que que unen a (1, 0) con (2, 0) y (2, 0) con (2, 1).

Draft Figura 8.6. Parametrización compuesta: C1 :

consiste en los segmentos de

x(t) = t, y = 0, t : 1 → 2. C2 : x(t) = 2,

y = t, t : 0 → 1. De la misma manera que el problema anterior, dividimos la trayectoria en dos caminos

C1

y

C2 .

A primera vista de la gura 8.6, la parametrización es muy directa; por ejemplo

proponemos,

  x(t) = t , C1 : y(t) = 0 ,   t:1→2,

  x(t) = 2 , C2 : y(t) = t ,   t:0→1,

(8.23)

de donde la integral



(2,1)

I= (1,0)  2

= t=1

y(1 + x2 ) 1 + y2 dx − dy , x3 x2

1 + 02 dt − t3



1 t=0

(8.24)

t(1 + 22 ) dt , 22

1 =− . 4 □ Con mucha alegría, porque ya hemos entendido; pensaríamos que no necesitamos la guía mágica, pero una vocecita nos pregunta ¾El sistema es conservativo? Esto es algo muy

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.2.

Parametrización

115

importante. Observamos, que la integral (8.24) y su campo asociado están denidos en el plano

xy , por lo tanto solo necesitaremos la componente z

del rotacional. Entonces, el campo

vectorial asociado a esta integral será:

F = →

y(1 + x2 ) 1 + y2 a ˆ − a ˆy . x x3 x2

(8.25)

A simple ojo calculamos la condición de exactitud (8.14), y ver que la derivada parcial respecto de

a ˆy .

y

del término con

a ˆx

es igual a la derivada parcial respecto a

x

del término con

Por lo tanto, el campo es conservativo, pero veriquemos esto con detalle,

(∇ × F )3 =∈312 ∂1 F2 + ∈321 ∂2 F1 ,     2y 2y 1 + y2 y(1 + x2 ) − 3 =0, − ∂ = = ∂x − y x2 x3 x3 x

(8.26)

los otros dos términos del rotacional también serán cero, porque el vector no depende de y sus derivadas respecto de

x, y

y

z

serán cero, además el término

Fz = F3

z,

es cero. Para que

no quede duda las escribimos,

0

(∇ × F )1 =∈123 ∂2 F3 + ∈132 ∂z F1 ,   *0  Draft 1 + y 2 =0, = −∂z  3  x 0

(∇ × F )2 =∈231 ∂z F1 + ∈213 ∂x F3 ,   :0 y(1  + x2)  = ∂z 2 =0,  x es decir, el campo

F

→

es conservativo, o el integrando de (8.24) es una ecuación diferencial

ϕ(x, y), tal que el valor de la integral (8.24), del punto (a) al punto (b), será simplemente ϕ(b) − ϕ(a); al ver la gura 8.6, observamos que no hay necesidad de dividir la trayectoria, simplemente determinamos los puntos (a) y (b). exacta. Entonces, existe una función potencial

Hallemos entonces ese potencial o solución a la ecuación diferencial exacta. Como el campo

F

→

es conservativo, entonces

F = ∇ϕ.

→

E igualando las componentes de

estos vectores, escribimos:

F = →

y(1 + x2 ) ∂ϕ ∂ϕ 1 + y2 a ˆ − a ˆy = a ˆx + a ˆy , x 3 2 x x ∂x ∂y

(8.27)

o,

∂ϕ 1 + y2 = , ∂x x3 ∂ϕ y(1 + x2 ) =− . ∂y x2 Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(8.28)

(8.29)

8.2.

Parametrización

116

Como en el juego de canicas, hagamos algunos calis o tiros sin válidez, para tratar de calcular la función potencial. Iniciemos con alguna de las componentes (8.28) o (8.29). De la misma manera como derivamos parcialmente, podemos también integrar parcial2 3 mente, es decir, si escogemos la primera componente donde ∂x ϕ = (1 + y )/x , e integramos

x,

parcialmente respecto de

tendremos el primer calis para er

ϕ1Calis = −

1 2



1+y x2

ϕ

como:

 2 + g(y) ,

(8.30)

juega el papel de constante respecto de x, ya que ∂x g(y) = 0. 1er En otras palabras, cuando derivamos ∂x ϕCalis , recuperamos la ecuación (8,28). Ahora, esta función de prueba o primer calis, debe satisfacer la segunda componente, por ejemplo, si donde la función

g(y)

escogemos ahora (8.29), tendremos: er

y(1 + x2 ) ∂ϕ1Calis y ∂g(y) ∂ϕ =− = =− 2 + , 2 ∂y x ∂y x ∂y de donde

∂y g(y) = −1,

g(y) = −y 2 /2 + K

es decir, la función

Entonces el potencial es,

(8.31)

K

donde

es una constante.

Draft

1 ϕ(x, y) = − 2



1 + y2 x2



1 − y2 + K . 2

(8.32)

Esta constante la podríamos determinar si tuviéramos un valor del campo en un punto, pero como estamos interesados en diferencias de potencial es irrelevante. Si somos muy desconados, podemos calcular el gradiente de esta función y recuperar el campo Hasta aquí, ya tenemos el potencial y bastaría simplemente restar cular el valor de la integral (8.24), denida del punto

(a)

al punto

F

→

propuesto.

ϕ(b) − ϕ(a)

(b).

para cal-

Pero expliquemos el

porqué en general esto es válido para completar la guía mágica. Como

F = ∇ϕ,

→

el integrando de la ecuación (8.1) lo escribimos,

= ∇ϕ · dr = F · dr → →

→

que es precisamente la diferencial de

dϕ =

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz , ∂x ∂y ∂z

ϕ(x, y, z)

(8.33)

(Amazigo, 1980), es decir

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz , ∂x ∂y ∂z

(8.34)

que al sustituir en la integral (8.50), tendremos por solución





b a

= F · dr → →

b

dϕ = ϕ(b) − ϕ(a) . a

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(8.35)

8.2.

Parametrización

117

Para este caso en particular



(2,1)

= ϕ(2, 1) − ϕ(1, 0) , F · dr →     1 1 + 12 1 2 1 1 + 02 1 =− − 1 +K + + 02 − K , 2 2 2 2 2 2 1 2 1 =− . 4

→

(1,0)



(8.36)

(2,0,π 3 )

ydx + xdy + zdz ,

(f )

en donde la trayectoria consiste en la curva

x = 1 − cos t,

(0,0,0)

y = sen t

y

z = t3 . Draft

x = 1 − cos t, y = sen t y z = t3 , del punto punto a al punto b, el parámetro t debe cambiar

Figura 8.7. Parametrización de la curva,

(0, 0, 0) a π.

al punto

(2, 0, π 3 ).

Para ir del

de

0

A primera vista, esta integral parece ser conservativa, porque la condicion de exactitud (8.14) se cumple, (vemos que la derivada parcial respecto de a la derivada parcial respecto a

x

del término con

dy ,

y

del término con

dx

es igual

ambas son uno). Decimos parece

porque con la condición de exactitud, solo probamos que la componente

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

z

del rotacional es

8.2.

Parametrización

118

cero, pero esto nos motiva a seguir calculando el resto de las componentes. Como el campo asociado a la integral de línea es,

F = (y, x, z) ,

(8.37)

→

escribimos entonces,

  ∇×F =∈123 ∂2 F3 + ∈132 ∂3 F2 , →

1

= ∂y (z) − ∂z (y) = 0 , 

 ∇×F

=∈231 ∂3 F1 + ∈213 ∂1 F3 ,

→

2

= ∂z (x) − ∂x (z) = 0 , 

 ∇×F

=∈312 ∂1 F2 + ∈321 ∂2 F1 ,

→

3

= ∂x (x) − ∂y (y) = 0 .

F

→

Con lo anterior como guía, podemos ahora sí, sin ninguna duda, escribir: como el campo Draft es conservativo, existe un potencial escalar ϕ, tal que F = ∇ϕ. Esto se desprende de la →

igualdad vectorial

∇ × F = ∇ × (∇ϕ) = 0. →

Siguiendo la rutina, como un vector es igual a otro cuando sus componentes son iguales, entonces, si

F = ∇ϕ

→

de la ecuación (8.37) escribimos:

∂ϕ =y, ∂x ∂ϕ =x, ∂y ∂ϕ =z. ∂z

(8.38) (8.39)

(8.40)

Los matemáticos también se divierten con juegos como las canicas, pero a sus tiros de prueba no les llaman calis sino les llaman ansatz o función de acercamiento. Similarmente al juego de canicas, hagamos algunos ansatz para proponer la forma del potencial. Iniciemos

x, todo lo que de x, tendremos

con la componente (8.38), (recordando que al integrar parcialmente respecto de no sea

x

es constante), donde

el primer ansatz para

ϕ

∂x ϕ = y ,

y al integrar parcialmente respecto

como: er

ϕ1Ansatz = xy + f (y, z) ,

(8.41)

donde la función f (y, z) es una función constante respecto de x, ya que ∂x f (y, z) = 0. Al er ∂x ϕ1Ansatz , recuperamos la ecuación (8,38). Nuevamente, esta función de acercamiento

derivar

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.2.

Parametrización

119

o primer ansatz, debe satisfacer las restantes dos componentes, por ejemplo, si escogemos la segunda componente (8.39), tendremos: er

∂ϕ1Ansatz ∂f (y, z) ∂ϕ =x= =x+ , ∂y ∂y ∂y de donde ∂y f (y, z) = 0, es decir, la función f (y, z) no es función lo cual proponemos el segundo ansatz para ϕ como:

(8.42) de

y,

ó

f (y, z) = f (z),

o

ϕ2Ansatz = xy + f (z) .

por

(8.43)

Finalmente, esta función de prueba o segundo calis, debe satisfacer la última componente (8.40) y tendremos,

de donde

o

∂z f (z) = z ,

es

∂ϕ2Ansatz ∂f (z) ∂ϕ =z= = , ∂z ∂z ∂z 2 decir, f (z) = z /2 + C donde C

(8.44) es una constante. Entonces

escribimos al potencial como,

1 ϕ(x, y, z) = xy + z 2 + C . 2

(8.45)

Nuevamente, esta constante la podríamos determinar si tuvieramos un valor del campo en Draft un punto, pero como estamos interesados en diferencias de potencial es irrelevante. Para concluir, tendremos por solución



(2,0,π 3 ) (0,0,0)

= ϕ(2, 0, π 3 ) − ϕ(0, 0, 0) , F · dr →

→

1 1 = (2)(0) + (π 3 )2 + C − (0)(0) − (0)2 − C , 2 2 1 6 = π . 2 □ Mil disculpas, se me había olvidado utilizar la parametrización. Es claro que para ir del punto (a) al punto (b), el parámetro



I= =

t

debe cambiar de

t : 0 → π,

pues entonces escribimos

(2,0,π 3 )

ydx + xdy + zdz , (0,0,0)  π 

 sen t(sen t) + (1 − cos t) cos t + t3 3t2 dt ,

0

1 = π6 . 2

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.2.

Parametrización

 (g)

(2,2,2)

−

120

x2 y x3 dx + dy + 3zdz , (x2 + y 2 )4 (x2 + y 2 )4

en donde la trayectoria es la recta que

(1,1,1) une los dos puntos.

x = t + 1,Draft y = t+1 (1, 1, 1) al punto (2, 2, 2).

Figura 8.8. Parametrización; el camino del punto

y

z = t + 1,

donde

t : 0 → 1,

para cubrir

A simple vista este caso puede resultar intimidante, pero calculemos la condición de exactitud. Derivando el primer término respecto de

y , y el segundo respecto de x, (y rogando

a San Cupertino que no sean iguales), de esta manera escribimos:

  x2 y x2 (7y 2 − x2 ) ∂ − 2 = , ∂y (x + y 2 )4 (x2 + y 2 )5   ∂ x3 x2 (5x2 − 3y 2 ) = − , ∂x (x2 + y 2 )4 (x2 + y 2 )5 afortunadamente no son iguales y no es posible calcular el potencial porque el campo no es conservativo. La alternativa es por parametrización, en este caso hallar la ecuación de una línea recta que una los puntos

(1, 1, 1)

y

(2, 2, 2),

ver gura 8.8.

Para denir la ecuación de la línea recta, (ver ecuación (3.13)),

x − xo y − yo z − zo = = =t, A B C

(8.46)

(xo , yo , zo ) y un vector dirección (A, B, C). Como la recta va del punto (1, 1, 1) al punto (2, 2, 2), podemos escoger que el punto es necesario conocer un punto por donde pase, digamos

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.2.

Parametrización

(xo , yo , zo ) = (1, 1, 1),

121

y el vector que indica la dirección, estará denido por las coordenadas

del punto nal menos las coordenasdas del punto inicial, es decir,

1, 2 − 1) = (1, 1, 1).

(A, B, C) = (2 − 1, 2 −

Sustituyendo esto en la ecuación de la recta (8.46) tendremos:

y−1 z−1 x−1 = = =t. 1 1 1 O de otra forma la parametrización será

x=t+1, y =t+1, z =t+1.

(8.47)

t debe variar de 0 a 1, ya que en t = 0 recuperamos el punto inicial x = 1, y = 1 en t = 1 recuperamos el punto nal x = 2, y = 2 y z = 2. Entonces, t : 0 → 1.

Observe que y

z = 1,

y

Sustituyendo la parametrización (8.47), la integral se escribe como:



(2,2,2)

−

I= 

(1,1,1) 1

=

x2 y x3 dx + dy + 3zdz , (x2 + y 2 )4 (x2 + y 2 )4 Draft

3(t + 1)dt , t=0

=

(h)


C

zds,

en donde

C

9 . 2

es la trayectoria

x = 3t, y = 4t

y

z = t3 , 0 ≤ t ≤ 1.

En este caso, no hay alternativa tiene que resolverse por parametrización, ya que tenemos un diferencial de arco, como en el caso de la hélice, es decir,

ds = La parametrización dada es;

p

(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 .

x = 3t, y = 4t

y

z = t3 ,

con

0 ≤ t ≤ 1,

integral, ver gura 8.9, escribimos





zds = C

√  1  t3 25 + 9t4 dt = (34)3/2 − 125 . 54 t=0 1

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

sustituyendo en la

8.2.

Parametrización

122

Figura 8.9. Parametrización de la curva

(i)

C , x = 3t, y = 4t

y

z = t3 , 0 ≤ t ≤ 1.

Draft




(x3 + 4y)dx + (e2y − 2z)dy + zdz , en donde C es C P1 (0, 1, 0) y P2 (0, 0, 1) recorrido de P1 a P2 a P0 .

Figura 8.10. Parametrización de la curva

C,

A simple vista la condición de exactitud no es válida respecto de

y,

y el segundo respecto de

x,

el triángulo con vértices

recorrido de

P1

a

P2

a

P0 (1, 0, 0),

P0 .

(4 ̸= 0). Derivando el primer término

escribimos

∂ 3 ∂ 2y (x + 4y) = 4 ̸= (e − 2z) = 0 , ∂y ∂x Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.2.

Parametrización

123

claramente son distintas las derivadas y el campo no es conservativo. Tenemos que proponer una parametrización para cada camino.

C1 , el punto inicial es P1 (0, 1, 0) y el nal P2 (0, 0, 1) y su dirección es el vector (A, B, C) = (0, 0, 1) − (0, 1, 0) = (0, −1, 1), (punto nal menos punto inicial), y si escogemos a (xo , yo , zo ) = (0, 1, 0), como el punto inicial para llevar un orden, la ecuación de la recta para el camino C1 es: y−1 z−0 x−0 = = =t, 0 −1 1 intencionalmente dejamos la división entre cero, para recalcar que una recta sobre el plano yz es solo función de las coordenadas y y z , y no involucra la coordenada x, por lo que debemos Para el camino

eliminarla de la ecuación de la recta. Además, en la parametrización debemos hacerla cero porque dene al plano

yz .

Entonces,

x=0, y =1−t, z=t.

(8.48)

Draft Similarmente para los otros caminos, escribimos:

 x(t) = 0 ,     y(t) = 1 − t , C1 :  z(t) = t    t:0→1, Para el camino



C1

 x(t) = t ,     y(t) = 0 , C2 :  z(t) = 1 − t ,    t:0→1,

 x(t) = 1 − t ,     y(t) = t , C3 :  z(t) = 0 ,    t:0→1.

la integral será:

1

   2t  9 e2 1 3 (1 − t) + 4t (−dt) + e − 2(0) dt = − + − , 4 2 2 t=0

Para el camino

C2

la integral será:



1



e

t=0 Para el camino

C3

2(1−t)

2  e 3 1 − 2t (−dt) + tdt = − + + , 2 2 2

la integral será:



1

3  1 1 t + 4(0) dt + (1 − t)(−dt)dt = − 1 + , 4 2 t=0

Sumando las integrales de cada camino tendremos,



(x3 + 4y)dx + (e2y − 2z)dy + zdz = −1. C

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(8.49)

8.2.

Parametrización

124

A manera de resumen resolvamos la integral propuesta en el ejercicio

220

4(a)

de la página

del libro de Amazigo (Amazigo, 1980).

Obténgase el trabajo realizado por el campo de fuerza a lo largo de la curva

C

en donde

ax + xzˆ ay + xyˆ az F = (2x + yz)ˆ

→

El trabajo se dene como:

y

C

F

y

C

la recta que une a

→



F

→

al mover una masa unitaria

son como a continución se indican:

(1, −1, 0)

y

(2, 1, 4).

(2,1,4)

(1,−1,0)

. F · dr →

(8.50)

→

Resolvamos esta integral directamente, es decir, por parametrización. Para denir una línea recta, ver ecuación (3.13),

y − yo z − zo x − xo = = =t, A B C Draft (xo , yo , zo ) y un vector dirección (A, B, C). Como la recta va del punto (1, −1, 0) al punto (2, 1, 4), podemos escoger que el punto (xo , yo , zo ) = (1, −1, 0), y el vector

necesitamos un punto

que indica la dirección estará denido por las coordenadas del punto nal menos las coordenasdas del punto inicial, es decir, ecuación de la recta será:

(A, B, C) = [2 − 1, 1 − (−1), 4 − 0] = (1, 2, 4).

Entonces, la

y+1 z−0 x−1 = = =t. 1 2 4

O de otra forma la parametrización será

x=t+1, y = 2t − 1 , z = 4t .

(8.51)

t debe variar de 0 a 1, ya que en t = 0 recuperamos el punto inicial x = 1, y = −1 y z = 0, y en t = 1 recuperamos el punto nal x = 2, y = 1 y z = 4. Entonces, t : 0 → 1. La integral (8.50) se escribe como: Observe que



(2,1,4)

I=

(2x + yz)dx + xzdy + xydz ,

(8.52)

(1,−1,0) donde al sustituir la parametrización (8.51) y sus diferenciales, nalmente escribimos que la integral (8.50) u (8.52) se escribe como:



1

[2(t + 1) + (2t − 1)(4t)]dt + (t + 1)(4t)2dt + (t + 1)(2t − 1)4dt = 11 .

I= t=0

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(8.53)

8.2.

Parametrización

125

Ahora, usemos el algoritmo de la gura 8.1. Primero calculemos las componentes del rotacional del campo, es decir,

  ∇×F =∈123 ∂2 F3 + ∈132 ∂3 F2 , →

1

= ∂y (xy) − ∂z (xz) = x − x = 0 ,   ∇×F =∈231 ∂3 F1 + ∈213 ∂1 F3 , →

2

= ∂z (2x + yz) − ∂x (xy) = y − y = 0 ,   =∈312 ∂1 F2 + ∈321 ∂2 F1 , ∇×F →

3

= ∂x (xz) − ∂y (2x + yz) = z − z = 0 .

Como un vector es igual a otro cuando sus componentes son iguales, se tiene

∇ × F = (0, 0, 0) .

(8.54)

→ Draft

La ecuación (8.54) es crucial, porque cuando un campo

F

→

es conservativo o su rotacional

∇× F = 0, existe una función potencial ϕ(x, y, x); tal que el campo se obtiene como F = ∇ϕ. →

→

Esto es consecuencia de que siempre Por lo tanto, si

F = ∇ϕ

→

∇ × ∇ϕ = 0.

escribimos:

(2x + yz)ˆ ax + xzˆ ay + xyˆ az =

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ a ˆx + a ˆy + a ˆz . ∂x ∂y ∂z

(8.55)

e igualando sus componentes tendremos,

∂ϕ = 2x + yz , ∂x ∂ϕ = xz , ∂y ∂ϕ = xy . ∂z

(8.56) (8.57)

(8.58)

Una vez más regresemos al juego de canicas, hagamos algunos calis o tiros sin válidez, para tratar de calcular la función potencial o potencial. Iniciemos con alguna de las componentes (8.56), (8.57) u (8.58).

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.3.

Sistemas conservativos

126

De la misma manera como derivamos parcialmente, podemos también integrar parcial-

∂x ϕ = 2x + yz , para ϕ como:

mente, es decir, si escogemos la primera componente donde parcialemente respecto de

x,

tendremos el primer calis

e integramos

er

ϕ1Calis = x2 + xyz + f (y, z) ,

(8.59)

juega el papel de constante respecto de x, ya que ∂x f (y, z) = 0. 1er En otras palabras cuando derivamos ∂x ϕCalis , recuperamos la ecuación (8,56). Ahora, esta función de prueba o primer calis, debe satisfacer las restantes dos componentes, por ejemplo donde la función

f (y, z)

si escogemos la segunda componente (8.57), tendremos: er

∂ϕ ∂ϕ1Calis ∂f (y, z) = xz = = xz + , ∂y ∂y ∂y de donde

∂y f (y, z) = 0,

f (y, z) no ϕ como:

es decir, la función

lo cual proponemos el segundo calis para

(8.60)

es función de

y,

o

f (y, z) = f (z),

o

ϕ2Calis = x2 + xyz + f (z) .

por

(8.61)

Draft calis, debe satisfacer la última componente Finalmente, esta función de prueba o segundo (8.58) y tendremos,

de donde

o

∂z f (z) = 0,

es

∂ϕ2Calis ∂f (z) ∂ϕ = xy = = xy + , ∂z ∂z ∂z decir, f (z) es una constante, ya que no

(8.62) fue función de

z

ni de

y.

Entonces escribimos al potencial como,

ϕ(x, y, z) = x2 + xyz + cte .

(8.63)

Esta constante la podríamos determinar si tuviéramos un valor del campo en un punto, pero como estamos interesados en diferencias de potencial es irrelevante. Finalmente, al sustituir en la integral (8.50) tendremos por solución



(2,1,4) (1,−1,0)

= ϕ(2, 1, 4) − ϕ(1, −1, 0) , F · dr →

→

= (2)2 + (2)(1)(4) + cte − (1)2 − (1)(−1)(0) − cte , = 11 .

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(8.64)

8.3.

Sistemas conservativos

127

Figura 8.11. Cuando el campo

A →

es conservativo la integral de línea del punto

independiente del camino seleccionado. Es decir, podríamos escoger el camino camino

8.3.

C3

para ir del punto

a

al punto

b

a

C1

al

b

es

o el

y obtendríamos el mismo resultado.

Sistemas conservativos Draft

Estaríamos tentados a creer que el método de parametrización es más práctico y/o sencillo en comparación con el método de hallar el potencial. Pero perderíamos la oportunidad de escribir uno de los conceptos más importantes de la física; la conservación de la energía (Kittel et al., 1982). La ecuación (8.35) nos indica que la integral de línea entre los puntos

a

y

b

es igual a la

ϕ(b)−ϕ(a), cuando lo recorremos, por ejemplo, sobre el camino C1 de la gura 8.11. Dicho potencial lo produce el campo A, → mostrado por echas. Si continúaramos nuestro recorrido por el camino C2 , del punto b hasta llegar nuevamente al punto a, tendríamos un camino cerrado y la integral de línea sobre este camino sería cero, ya que el punto inicial es igual al punto nal y ϕ(a) − ϕ(a) = 0. Entonces, si el campo es conservativo (∇ × A = 0), diferencia entre los potenciales entre dichos puntos, es decir

→

C donde el camino

C

· dr =0, A → →

es la suma de los caminos

C1

y

(8.65)

C2 ,

es decir,

C = C1 + C2

y la integral

cerrada anterior se escribe como,



 C

Pero el camino

· dr = A → →

 C1

· dr + A → →

C2

· dr =0. A → →

(8.66)

C3 = −C2 , es decir, que el camino C3 se recorre en sentido contrario al camino Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.3.

Sistemas conservativos

C2 ,

y podemos escribir despejando la integral de sobre

128





C1

· dr =− A → →

C1



· dr = A → →

C2

C3

de la ecuación (8.66)

· dr . A → →

(8.67)

Que nalmente nos indica que cuando el campo es conservativo, la integral de línea es independiente de la trayectoria, para ir de un punto a otro. Lo anterior se puede aplicar directamente a la mecánica (ver el capítulo 5 de (Kittel et al., 1982)). Supongamos ahora, que deseamos calcular el trabajo en mover de un punto a otro, una partícula de masa

m,

inmersa en un campo

F

→

conservativo. Inmediatamente

nos preguntamos: ¾qué relación tiene este trabajo con la energía cinética y potencial? ¾y la energía? ¾y si el campo no fuese conservativo? Obténgase el trabajo realizado, en mover una partícula de masa

b

a lo largo de la curva

conservativo

F.

→

C,

m del punto a al punto

como se indica en la gura 8.12, bajo el campo de fuerza

Además describa el teorema trabajo-energía.

Draft Rápidamente pensamos en la denición de trabajo, ver ecuación (8.50):





Wab = C:

= F · dr →

→

b

. F · dr →

(8.68)

→

a

Se oye muy bien, pero: ¾qué es físicamente una integral de línea? Recordamos que el producto punto es la proyección de un vector a otro, siempre y cuando el otro sea unitario (A · n ˆ →

Si consideramos que el vector diferencial de camino lo escribimos como, es un vector unitario tangente al camino y 8.12 entonces,



dℓ



τˆ

b

F · τˆdℓ =

a

donde

es un elemento diferencial de arco, ver gura

b

Wab =

dr = dℓˆ τ, →

= An ).

→

Fτ dℓ ,

(8.69)

a

es decir, la integral de línea es la suma de todas las proyecciones del campo en la dirección tangente a la trayectoria o diferencial de arco. En este caso, el trabajo es la suma de las proyecciones de la fuerza sobre los arcos tangentes al camino.

F = −∇U (r), donde U (r) lo llamamos potencial escalar, porque depende únicamente de las coordenadas r , y el signo menos lo incluimos para Como el campo

F

→

es conservativo, entonces

→

darle sentido físico a nuestra fuerza, es decir, para que los objetos caigan para abajo (Kittel et al., 1982). Como en la ecuación (8.68), escribimos





b

Wab = a

=− F · dr → →

b a

∇U · dr = −[U (b) − U (a)] . →

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(8.70)

8.3.

Sistemas conservativos

129

Figura 8.12. La integral de línea


b

, F · dr →

a

→

es la suma de las proyecciones del campo

sobre las direcciones tangentes a la trayectoria

C.

Por otra parte, sabemos que el momento lineal se dene como y

u

→

p = mu , →

→

donde

m

es la masa

la velocidad, entonces la segunda ley de Newton se escribe,

d Draft p = m u˙ , F = → → dt

(8.71)

→

donde hemos denotado la derivada en el tiempo con un punto superior. Entonces ó

F

→

u dt. dr =→ →

Sustituyendo lo anterior en la ecuación ( 8.70),



Wab = a Pero sabemos que

2uu˙ ,

donde

u = dr /dt →

→



b

=m F · dr →

→

a

b

u˙ · → u dt .

(8.72)

→

u ·→ u = u2 , derivando respecto al tiempo esta relación tendremos, 2u · u˙ = → →

→

du = udt ˙ .

Nuevamente, sustituyendo lo anterior en (8.72), escribimos:



Wab = m a Si denimos la energía cinética,



b

u˙ · → u dt = m →



b

b

uudt ˙ =m a

udu .

(8.73)

a

1 T = mu2 , 2

(8.74)

de la ecuación anterior y la (8.73) escribimos:

1 1 Wab = mu2b − mu2a = T (b) − T (a) . 2 2

(8.75)

Esta sorprendente manera de calcular el trabajo por medio del potencial escalar y de la energía cinética, nos permite describir la dinámica de un sistema ya no en términos de

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

8.3.

Sistemas conservativos

130

una fuerza, como lo dene la segunda ley de Newton (8.71), sino en términos de funciones dinámicas generales. Igualando las relaciones (8.70) y (8.75), escribimos:

T (b) − T (a) = −[U (b) − U (a)] , ∆T = −∆U , que dene la conservación de la energía,

∆T + ∆U = 0.

(8.76)

En otras palabras la suma de los

cambios o incrementos de la energía cinética y la potencial es igual a cero. Finalmente, si suponemos que las fuerzas aplicadas a nuestro sistema no fuesen todas conservativas, como es el caso de la fricción, la fuerza la escribimos

F = −∇U + f ,

→

→

donde

f →

son las fuerzas no conservativas, nuestro teorema de trabajo energía será:

(f )

∆T + ∆U = Wab . donde

(f )

Wab

(8.77)

es el trabajo de las fuerzas no conservativas que se calculan directamente por

parametrización, del punto inicial

(a)

al punto nal

(b),



Draft b (f ) f Wab = a →

. · dr →

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(8.78)

9 Teoremas integrales de Stokes y Gauss

Como hemos visto en los capítulos anteriores, las integrales de línea, supercie y volumen nos permiten resolver algunos problemas físicos que van desde la teoría del potencial, hasta la dinámica rotacional (Kittel et al., 1982). Pero todavía hay algunas otras leyes tan generales y maravillosas descritas por integrales, como lo es la ley de Gauss y la de Ampère (Alexeiev, 1980; Purcell, 1988), expresadas como,



Draft

⊂⊃ E · dS = Qenc. S

→

→



y

C

· dr = Ienc , H → →

(9.1)

respectivamente. La primera integral se llama ujo eléctrico total, (total por la bola o el círculo sobre la integral doble), sobre una supercie

S

cerrada; donde la variable

Qenc

es la

carga encerrada por dicha supercie. La siguiente integral de línea sobre un camino cerrado

C

(o con bola), se llama circulación, donde la variable

Ienc es la corriente eléctrica encerrada

por tal camino. Aquí surgen algunos conceptos nuevos como encerrado, que entenderemos simplemente como contenido por una supercie o trayectoria. Cuando las supercies o caminos no sean cerrados, pues los cerraremos con alguna supercie o camino adecuado, esta sencilla acción, es la clave para la solución de muchas integrales. Las ecuaciones anteriores se relacionan muy cercanamente con los teoremas integrales de Gauss y Stokes, de ahí la importancia para este curso. Estos teoremas se pueden generalizar y extender al espacio tiempo (4-dimensiones), para escribir las extraordinarias leyes de conservación del tensor electromagnético momentoenergía, o poder enunciar el teorema de Noether, que relaciona las leyes de conservación con las simetrías del sistema (de la Torre, 2008). Además, no hay que relacionar los términos bola con bolera o bolo descritos en el diccionario de La Rial Academia de la Lengua Fraylescana, que a palabras de Julio Derbez es la condensación de la identidad de Chiapas (Derbez, 2009).

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

9.1.

Teorema de Stokes

9.1.

132

Teorema de Stokes

Figura 9.1. Formación de burbujas de jabón, cuando un campo de aire camino cerrado

C,

, A →

circula un

se genera una familia de supercies con un diferencial de supercie

un contorno común

dS →

y

C.

Draft Para explicar este teorema, imaginemos un hermoso día soleado de abril, en el parque de la marimba de la ciudad de Tuxtla Gutiérrez, Chiapas. Con muchos globos de colores, música y los únicos e infalibles hacedores de burbujas. Imaginemos ese anillo creador de burbujas, tan divertido que nos hizo saltar de alegría y felicidad. Cómo jugábamos, cuando sacábamos el anillo de la solución jabonosa, veíamos una película de jabón, como un espejo formado en el anillo. Posteriormente, le soplábamos y esta película se deformaba alargándose hasta que nalmente se desprendía del anillo, una hermosa y brillante burbuja, que nos hacía perseguirla y querer volar junto a ella, ver la gura 9.1. Esta experiencia contiene la esencia del teorema de Stokes, porque la formación de la burbuja, es una sucesión de supercies. Es decir, empezamos con una supercie plana formada por la solución jabonosa en el anillo, y conforme el aire pasa por él, deforma esta supercie alargándola justo antes de desprenderse del anillo. ¾Qué tienen en común esta familia de supercies? obviamente el jabón, pero también el anillo Hablando técnicamente, cuando un campo

A →

C,

como se ve en la gura 9.1.

uye por un camino cerrado, (no necesariamente

dentro del anillo), se cumple la relación



 C

donde

C

· dr = A → →

es el contorno o el anillo, y

el común el contorno

C,

S

(∇ × A) · dS , S

→

→

(9.2)

es cualquiera de las supercies de la familia que tienen

es decir, siendo redundante cualquiera de las supercies justo antes

de desprenderse del anillo, incluyendo la supercie plana inicial. Es importante hacer una diferencia entre área y supercie; supercie es un objeto de dimensión dos en un espacio

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

9.1.

Teorema de Stokes

133

tridimensional y usaremos el término área para denotar la medida de una supercie. La primera integral es una integral de línea cerrada o con bola, llamada circulación, que se relaciona con otra integral de supercie llamada ujo. Ahora resulta claro el porqué cuando el campo es conservativo, la circulación es cero. La segunda integral se llama ujo, en general el ujo de un campo

u →

en una supercie

S,

se escribe como





S

u · dS ,

→

→

donde

dS →

se

llama diferencial de supercie; cuya dirección depende del sentido en la cual se circule dicha supercie, es decir la supercie

S

está orientada.

Draft

Figura 9.2. Supercies orientadas. (a) En esta gura tenemos una supercie plana, donde su diferencial de área

dS →

es perpendicular, y su dirección está determinada por el pulgar de

la mano derecha, cuando circulamos con los dedos restantes el contorno

C

en el sentido del

dr . (b) La misma situación pero ahora en una supercie no plana, aquí el vector unitario → n ˆ , no será constante y el diferencial de supercie dS , está denido sobre dicha supercie. En la gura 9.2(a), mostramos el diferencial de área

dr , o bien decimos que el área S → dr . Para orientarla hacemos uso de →

dS →

con respecto al diferencial de

camino

está orientada con respecto al diferencial de ca-

mino

la mano derecha: Si extendemos nuestros dedos

de la mano derecha en la dirección del diferencial de camino queriendo atrapar el área

dS . →

S,

dr , →

y cerramos la mano como

nuestro pulgar nos señalará la dirección del diferencial de área

A esto le llamamos circulación positiva o en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Claramente cuando circulamos el camino en dirección negativa o en sentido de las manecillas del reloj, el diferencial de área cambia de dirección, como lo muestran las echas con línea punteada en la gura 9.2(a). De la misma manera, para el caso de una supercie arbitraria o no plana, como es el caso de la gura 9.2(b), la circulación en sentido positivo, (o por medio también de la mano derecha), denirá la dirección del diferencial de supercie

dS = n ˆ dS , →

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

donde

n ˆ

es un vector

9.2.

Teorema de Green

134

unitario normal a la supercie y

dS

su diferencial de área denido sobre tal supercie.

El vector unitario perpendicular lo calcularemos mediante el gradiente de la supercie en dicho punto, el cual no será necesariamente constante, salvo para las supercies planas. Es claro entonces, que trabajar en supercies planas es muy sencillo, pero con un poco de más calculos las superces no planas también serán sencillas, como lo veremos más adelante. En resumen: El teorema de Stokes, (ecuación (9.2)), relaciona la circulación de un campo con el ujo de su rotacional en la supercie contenida por tal contorno. ½Muy Bien! Ha llegado el momento de aplicar los conocimientos adquiridos, garantizando que será un juego muy divertido, similar a perseguir burbujas de jabón.

9.2.

Teorema de Green

El teorema de Green es un caso particular del teorema de Stokes denido en un plano. Sin ningún afán de generalizar, el teorema de Green lo aplicaremos cuando la supercie conDraft tenida por el contorno es plana, como cuando sacábamos el anillo de la supercie jabonosa. Resolvamos, aunque no necesariamente en orden, las integrales propuestas en el ejercicio

7(a) al 7(e) de la página 221 del libro de Amazigo (Amazigo, 1980). Esperamos que con estos ejercicios queden más claras las ideas de orientación de la supercie y de cuándo aplicar el teorema de Green.

7.- Utilice el teorema de Green para evaluar cada una de las integrales de línea en donde (a)

v

→

y

C

 C

v · dr , →

→

son como a continuación se indica:

v = (2x − y)ˆ ax + (x + 3y)ˆ ay ,

→

y

C

es el triángulo con vértices en

(0, 0), (2, 0)

y

(2, 2).

Al ver la pregunta, vemos que es una integral de línea cerrada o integral con bola, e inmediatamente pensamos en calcular la componente tres o mensional,

v = (2x − y)ˆ ax + (x + 3y)ˆ ay , →

z

del rotacional del campo bidi-

que a simple vista no es cero, porque no cumple

la condición de exactitud (8.14), ya que las derivadas cruzadas son iguales. Las componentes componente

z

en el campo

u,

→

x

y

y

∂x (x + 3y), ∂y (2x − y)

no

del rotacional, también serán cero porque no tenemos

ni sus componentes dependen de

z;

como lo mostramos en el

problema 2(e), del capítulo anterior. Entonces la integral con bola será distinta de cero.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

9.2.

Teorema de Green

135

En la gura 9.3, mostramos el contorno

(2, 2),

C

que une los vértices del triángulo

(0, 0), (2, 2) y

que se recorre en el sentido positivo o contrario al sentido de las manecillas del reloj.

Entonces, la supercie estará orientada hacia el eje

z,

y su diferencial será

donde hemos utilizado el hecho de que el diferencial de área es

Figura 9.3. Para un campo bidimensional en función de

x

y

dS = dxdy .

y,

el teorema de Stokes se

reduce a un plano, y se llama teorema deDraft Green. Si circulamos el camino contrario de las manecillas del reloj, el diferencial de área es

dS = dxdy a ˆz , →

C,

en sentido

dS = dxdy a ˆz . →

Explícitamente, para un campo bidimensional en general, la ecuación (9.2), se escribe como,

C



· dr = A → →

(∇ × A) · dS , S

→

→

(∇ × A) · a ˆz dxdy , →    ∂Ay ∂Ax = − dxdy , ∂x ∂y Rxy =

(9.3)

S

que se conoce como teorema de Green (Monsivais, 1980), donde claramente para la región

Rxy

se necesita únicamente la componente

la componente

x,

z del rotacional, (para una región Ryz

se necesitará

etc.). Sustituyendo nuestro campo escribimos,





C

v · dr = →

→

[∂x (x + 3y) − ∂y (2x − y)]dxdy , Rxy



=2

dxdy = 2 Rxy

(2)(2) =4, 2

donde lo más complicado era calcular el área del triángulo, (base por altura entre

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

2).

9.2.

Teorema de Green

(b)

v = (x2 + y, y 2 ),

→

y

C

136

es el triángulo con vértices en

(1, 1), (2, 1)

(2, 2).

y

Figura 9.4. Por la mano derecha sabemos que el diferencial de área es donde

dxdy

dS = dxdy a ˆz , →

es la magnitud del diferencial de área. Draft

Nuevamente, vemos una integral de línea cerrada e inmediatamente calculamos la componente

z

del rotacional del campo bidimensional. No cumple la condición de exactitud (8.14), 2 2 ya que las derivadas cruzadas ∂x (y ), ∂y (x + y) no son iguales. Las otras componentes son cero también, porque no tenemos componente de

v , ni sus componentes dependen z en el campo →

z. Si todavía no queda claro el porqué solo es necesaria la componente

z

de rotacional, obser-

vemos la gura 9.4, donde mostramos el contorno C que une los vértices del triángulo (1, 1), (2, 1) y (2, 2), que se recorre en el sentido positivo o contrario al sentido de las manecillas del reloj. Entonces, su diferencial de área será dS = dxdy a ˆz . Este diferencial será ortogonal a →

los vectores unitarios

a ˆx y a ˆy , por tal motivo solo necesitamos la componente z del rotacional.

Utilizando el teorema de Green (9.3), escribimos



C



v · dr = →

→

[∂x (y 2 ) − ∂y (x2 + y)]dxdy , R

xy

=−

1 dxdy = − , 2 Rxy

donde nuevamente lo más complicado fué calcular el área del triángulo.

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9.2.

Teorema de Green

(c)

v = x2 yˆ ax − xy 2 a ˆy ,

→

parábola

y =1−x

2

137

C

y

consisten la línea recta

y = 0, −1 ≤ x ≤ 1

y la parte de la

que se encuentra en el medio plano superior.

Figura 9.5. Las echas indican los límites de integración. La echa vertical dene los límites de

y=0

a

y = 1 − x2 ;

la echa horizontal dene los límites de

x = −1

a

x = 1.

Draft Nuevamente, a simple vista no se cumple la condición de exactitud (8.14). Observando la gura 9.5, donde se muestra el contorno C que une los puntos (−1, 0) y (1, 0), por medio de 2 las líneas y = 0 y y = 1 − x . El camino C se recorre en el sentido positivo o contrario al sentido de las manecillas del reloj. Entonces, su diferencial de área será necesitaremos la componente

z



C

v · dr = →

→

2

Rxy 1

y solo



2

(x2 + y 2 )dxdy ,

[∂x (−xy ) − ∂y (x y)]dxdy = − 

→

del rotacional.

Utilizando el teorema de Green (9.3) escribimos,



dS = dxdy a ˆz

Rxy



1−x2

(x2 + y 2 )dydx ,

=− x=−1 1



=− x=−1

y=0



 4 1 2 3 x (1 − x ) + (1 − x ) dx = − . 3 7 2

2

En este caso colocamos los límites de integración siguiendo la regla de pintar u orden de los diferenciales; el primer diferencial que aparece en la integral doble es el dy , indicado 2 por la echa vertical, que dene los límites de y = 0 a y = 1 − x ; le sigue el diferencial

dx indicado por x = −1 a x = 1.

la echa horizontal que dene el recorrido de la brocha o los límites de Ver la gura 9.5.

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9.2.

Teorema de Green

(d)

v = x3 a ˆx − xy 3 a ˆy ,

→

y

138

C

es el rectángulo con vértices en

(±a, ±b).

Figura 9.6. Contorno para el problema 7(d). Las integrales en regiones cuadradas son muy sencillas porque se aplica el teorema de Fubini. Draft Este problema es muy especial. Está claro que no cumple las condiciones de exactitud, por lo tanto, en principio, la integral con bola es distinta de cero. Además porque se recorre el camino

C

en el sentido positivo, el diferencial de área es

dS = dxdy a ˆz , →

y aplicando el

teorema de Stokes (Green en este caso) escribimos,





 C

3

y 3 dxdy ,

3

[∂x (−xy ) − ∂y (x )]dxdy = −

v · dr = →

→

Rxy a



=−



Rxy b

y 3 dy = −(2a)(0) = 0 .

dx x=−a

y=−b

¾Se dieron cuenta? ½Exactamente! Tenemos una integral de línea cerrada cuyo valor es cero, a pesar de que su rotacional es distinto de cero. Esto signica que no necesariamente si



u · dr = 0, →

→

el campo

u

→

es conservativo, aunque en muchos casos sí lo sea. Además,

utilizamos el teorema de Fubini, donde una integral doble es el producto de dos integrales.

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9.2.

Teorema de Green

(f )

139

v = (x3 − 4y 3 )ˆ ax + (4x3 + 7xy 2 )ˆ ay ,

→

y

C

es la elipse

x2 + y 2 /4 = 1.

Figura 9.7. La parametrización más simple Draftpara esta área elíptica es:

y = 2r sen θ,

θ : 0 → 2π

con

y

x = r cos θ,

r : 0 → 1.

Una vez más, es claro que no cumple las condiciones de exactitud y por lo tanto, en principio la integral con bola es distinta de cero. Además, porque se recorre el camino el sentido positivo, el diferencial de área es

dS = dxdy a ˆz , →

C

en

y aplicando el teorema de Green,

escribimos,



 C

v · dr = →

→

 3

2

3

3

(12x2 + 19y 2 )dxdy .

[∂x (4x + 7xy ) − ∂y (x − 4y )]dxdy = Rxy

Rxy

Para hacer esta integral es necesario parametrizar el área contenida en la elipse

2

y /4 = 1.

x2 +

Como ya hemos experimentado, las funciones seno y coseno se adaptan muy bien

a esta ecuación. Serán necesarios dos parámetros para cubrir esta supercie, obviamente las coordenadas polares son útiles. El área contenida o encerrada en el contorno con la restricción

x2 +

 y 2 2

C , la describimos

≤1,

de donde proponemos que,

x = r cos θ , para decir que

r ≤ 1.

y = 2r sen θ ,

Es decir, los valores de los parámetros serán:

Además, tenemos que el Jacobiano de la transformación es

2r.

θ : 0 → 2π

y

r : 0 → 1.

Sustituyendo lo anterior en

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9.2.

Teorema de Green

140

la integral, escribimos





C

v · dr = →

→

 3

2

3

3

(12x2 + 19y 2 )dxdy .

[∂x (4x + 7xy ) − ∂y (x − 4y )]dxdy = Rxy  1



r3 dr

= 24 r=0



2π

cos2 θdθ + 152 θ=0

que no es el resultado del libro



1

r3 dr r=0

43π/4.

Rxy 2π

sen2 θdθ = 44π , θ=0

½Oh, idiay pue! (Derbez, 2009), hagámoslo por otro

camino. Si vamos a recorrer la orilla de la elipse, tenemos que en la parametrización anterior

r = 1,

y entonces,

  x(t) = cos θ , C : y(t) = 2 sen θ ,   θ : 0 → 2π , que al sustituir tenemos,



3π 4

3π

π

 4  2π * :4  :0  2π 2π 2π      2  2 4 4 3      v cos θ sen θdθ , sen θdθ + 8 cos θdθ + 56 · dr = − cos θ sen θdθ + 32 → →    θ=0   θ=0 θ=0 θ=0 C  





= (96 + 24 + 56)

(e)

π = 44π . 4

*  



Draft

v = f (x)ˆ ax + g(y)ˆ ay , en donde f y g son funciones cualesquiera continuamente renciales y C es cualquier curva simple cerrada seccionalmente suave.

→

dife-

Este problema lo dejamos al nal de esta lista porque es claro que cumple las condiciones de exactitud y por lo tanto, la integral con bola es cero. Pero lo explicaremos con el teorema de Green. Suponemos que se recorre el camino será

dS = dxdy a ˆz . →

C

en el sentido positivo, el diferencial de área

Además, como es una supercie plana, aplicamos el teorema de Green,

y escribimos,

C



v · dr = →

→

0

0

>  >  ∂  ∂  [ g(y) − f (x)]dxdy , ∂x ∂y Rxy  

=0. Sin novedad ¾verdad?, pero veremos en el siguiente problema que, aunque la supercie sea plana, no siempre podremos aplicar el teorema de Green.

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9.2.

Teorema de Green

141

El siguiente problema lo resolvimos en el capítulo anterior, pero ahora lo resolveremos con ayuda del teorema de  · · · · · · . Por cierto, el resultado es (g)




(x3 + 4y)dx + (e2y − 2z)dy + zdz , en donde C es P1 (0, 1, 0) y P2 (0, 0, 1) recorrido de P1 a P2 a P0 . C

−1.

el triángulo con vértices

P0 (1, 0, 0),

Draft

Figura 9.8. Parametrización de la curva

C,

recorrido de

P1

a

P2

a

P0 .

A simple vista, la condición de exactitud no es válida. Además, al observar la gura 9.8, podemos notar que aunque la supercie sea plana, no es posible aplicar directamente el teorema de Green. Considero que con alguna rotación de ejes podríamos hacerlo, pero lo más adecuado es aplicar el teorema de Stokes. Empecemos calculando las componentes del 3 2y rotacional del campo asociado a la integral, F = (x + 4y, e − 2z, z), →

  ∇×F =∈123 ∂2 F3 + ∈132 ∂3 F2 , →

1

= ∂y (z) − ∂z (e2y − 2z) = 2 ,   ∇×F =∈231 ∂3 F1 + ∈213 ∂1 F3 , →

2

= ∂z (x3 + 4y) − ∂x (z) = 0 ,   ∇×F =∈312 ∂1 F2 + ∈321 ∂2 F1 , →

3

= ∂x (e2y − 2z) − ∂y (x3 + 4y) = −4 .

donde

∇ × F = (2, 0, −4). →

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

9.3.

Teorema del foco

142

A continuación, necesitamos orientar la supercie. Porque estamos circulando la supercie en el sentido positivo, el diferencial de supercie es saliente al plano, es decir, donde

dS

es el diferencial de área sobre el plano y

n ˆ

→

es un vector perpendicular al mismo.

P0 , P1

Como el plano está formado por los puntos

dS = n ˆ dS ,

y

P2 ,

el vector perpendicular lo cal-

culamos con el producto cruz de las rectas dirigidas de los puntos

P0 P 1

y

P0 P2 ,

recordando

que los vectores asociados a la rectas dirigidas se calculan restando el punto nal del inicial,

P0 P1 = (0, 1, 0) − (1, 0, 0) = (−1, 1, 0), P0 P2 = (0, 0, 1) − (1, 0, 0) = (−1, 0, 1) producto P0 P1 × P0 P2 = (1, 1, 1). Por lo tanto, escribimos, donde:



y el

 C

= F · dr →

→

(∇ × F ) · n ˆ dS , 

→

S

(2, 0, −4) ·

= S

2 = −√ 3



(1, 1, 1) √ dS , 3

(9.4)

dS . S

Es importante resaltar que el valor de la última integral es el área del plano triangular, √ Draft que es un triángulo equilátero de lado ℓ = 2, de la fórmula de Herón de Alejandría, tenemos √ 2 3ℓ /4, al sustituir nalmente tenemos, que el área es S =



√ 2 2 3 = −1 . = −√ F · dr → → 3 4 C

Tuvimos un poco de suerte que el rotacional fuera constante, y que la supercie fuera plana y triangular, pero mostraremos que por medio del teorema de Gauss, podemos hacer esta misma integral sin la necesidad de calcular el vector unitario

n ˆ,

pero antes de denir

el teorema de Gauss, aprendamos a calcular áreas de supercies curvas, por si llegáramos a utilizarlas.

9.3.

Teorema del foco

Este teorema básicamente relaciona los diferenciales de área sobre una supercie curva con el de una plana. De la misma forma que proyectamos la sombra de un objeto por medio de un foco o lámpara. Mil disculpas por bautizar este teorema, pero en los libros, Marsden-Tromba (Marsden, 2004), Amazigo (Amazigo, 1980) y Colley (Colley, 2013), aunque demuestran el teorema, no le otorgan nombre. Le podemos llamar de proyección también.

xy , yz o xz . Por esta razón, en la gura 9.9, mostramos la proyección de la supercie z = z(x, y) en el plano xy , como si se hubiera colocado un foco en un punto lejano sobre eje z . Sea dS el Para garantizar que la superce, sea la más simple posible se escogen los planos

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

9.3.

Teorema del foco

143

diferencial de supercie sobre la supercie curva y

dxdy

el diferencial de área en el plano

xy ,

entonces se cumple la relación

s dS =

 1+

∂z ∂x

2

 +

∂z ∂y

2 dxdy ,

que al integrar, tendremos el área de la superce curva en términos de una integral en región

Rxy

o la sombra de dicha supercie, es decir,



s

 1+

S= Rxy

∂z ∂x

2

 +

∂z ∂y

2 dxdy .

(9.5)

Draft

Figura 9.9. Para determinar el área de la superce curva o sábana, se utiliza la relación entre el diferencial de la supercie curva

dS ,

con el diferencial de área del plano

xy .

Muy bien, con la relación anterior calculemos el área de la supercie de la gura 9.8. La

x+y +z = 1, es muy fácil vericar esta ecuación, basta con sustituir P2 . De la misma tenemos que z = 1 − x − y , y donde ∂x z = −1,

ecuación de este plano es los valores de

∂y z = −1.

P0 , P1

y

Entonces, el área es



p √  2 2 1 + (−1) + (−1) dxdy = 3

S= Rxy

donde la integral es el área del triángulo sobre el plano

√ dxdy = Rxy

xy

e igual a

1/2.

3 , 2 Es más fácil ¾no?

2 2 2 Ya que vimos que es fácil, calculemos el área de la esfera x + y + z = 1, es claro que 2 el área de una esfera de radio R es 4πR , pero vamos a hacerlo por medio del teorema del Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

9.3.

Teorema del foco

144

Figura 9.10. Existe una relación entre el diferencial de la supercie curva, con el diferencial de área del plano

xy .

De esta relación se calcula el área de la superce

z = z(x, y). Draft foco. En la gura 9.10, mostramos en el primer octante la esfera de radio

z la sombra p 2 2 z = 1 − x − y , escribimos:

o ponemos un foco en el eje la esfera

será la región

Rxy .

Despejando

z

1.

Si proyectamos

de la ecuación de

2y

 ∂y z = − p , 2

 1 − x2 − y 2

2x

 , ∂x z = − p 2

 1 − x2 − y 2 sustituyendo en la ecuación (9.5), tenemos



s

S= Rxy

x2 + y 2 1+ dxdy = 1 − x2 − y 2



dxdy

Rxy

p

1 − x2 − y 2

.

(9.6)

Como habíamos comentado, lo más importante en integración no es la integral, sino la región

Rxy , está denida por la sombra de la esfera, que es un cuarto de la tapa circular de radio 1, que obviamente la parametrizaremos en coordenadas polares, (x = r cos θ , y = r sen θ y Jacobiano rdrdθ ), entonces de integración. En este caso



S= Rxy que al multiplicar por

8,

dxdy p

1 − x2 − y 2

nos da

4π





π/2

=

1

√

dθ θ=0

r=0

rdr π = , 2 1 − r2

que es el área de una esfera de radio

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

1.

9.3.

Teorema del foco

145

Aprovechando el viaje a Tuxtla, calculemos el volumen de la esfera con una modicación del teorema del foco. Perdonando la redundancia, el cálculo del volumen es por integración del diferencial de volumen, es decir,



V =

dxdydz , Rxyz

donde Rxyz es, en este caso, la región contenida por los planos x = y = z = 0 y la supercie x2 + y 2 + z 2 = 1, como se ve en la gura 9.10. Reescribiendo la integral anterior tenemos,



V = 

dxdydz ,  √

Rxyz

1−x2 −y 2

dxdy ,

= 

Rxy

z=0

p

1 − x2 − y 2 dxdy ,

= Rxy



π/2

=

 1 √ Draft

dθ θ=0

1 − r2 rdr =

r=0

π , 6

donde hemos utilizado las coordenadas polares para integrar en la región este resultado por

8,

obtenemos el volumen de la esfera de radio

1

Rxy . Al multiplicar 4π/3.

que es

Tratando de generalizar lo anterior, podemos escribir el volumen como



 Rxyz cuando la superce esté denida de el área bajo una curva intervalo

z(x, y) dxdy ,

dxdydz =

V =

y = y(x),

z=0

como

(9.7)

Rxy a


d c

z = z(x, y). De la misma manera que se calcula y(x)dx, cuando x pertenece a la región o al

[c, d]. □

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

9.4.

9.4.

Teorema de Gauss

146

Teorema de Gauss

Figura 9.11. Nuestras burbujas de jabón tienen una supercie cerrada Su diferencial de supercie

dS →

S

y un volumen

V.

es perpendicular a la supercie. Draft

Regresemos a ese día tan hermoso en la plaza de Tuxtla, ahora nuestras burbujas de jabón se las lleva el aire y corremos felices tras ellas, extendiendo nuestros brazos como avión mig, para alcanzarlas rápidamente. Nuevamente, esta experiencia contiene la esencia del teorema de Gauss, porque la burbuja está formada de una supercie cerrada y por esta razón, con un volumen bien denido. Volviendo a la realidad o hablando técnicamente, cuando un campo

A →

uye por una supercie cerrada, se cumple la relación





⊂⊃ A · dS = S donde el diferencial de supercie

→

dS →

(∇ · A)dV ,

→

V

(9.8)

→

es perpendicular a la supercie. Es importante resaltar

que nosotros solo pedimos que la supercie sea cerrada, (en realidad para la prueba hay más condiciones cerrada-conexa (Monsivais, 1980; Castro, 2018)), para denir un volumen. Resolvamos, no necesariamente en orden, las integrales propuestas en el ejercicio

1(e)

de la página

246

1(a)

al

del libro de Amazigo (Amazigo, 1980). Esperamos con estos ejercicios

hacer algunas combinaciones con el teorema de Stokes.

1.- Utilize el teorema de la divergencia para evaluar la integral

S

son como a continuación se indica y

n ˆ



S

u·n ˆ dσ ,

→

es la normal unitaria exterior a

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

en donde

S.

u

→

y

9.4.

Teorema de Gauss

(a)

147

1 1 2 2 u = ( xy − x )ˆ a − y a ˆy + (2x + 2xz)ˆ az , y S es la supercie que consiste x → 3 6 y = 0, x2 + z 2 ≤ 1 y la porción de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1, y ≥ 0.

en el disco

Draft

Figura 9.12. Superce cerrada, compuesta por cuatro supercies con diferenciales. Esfera

r=1 xz

con

con

dS = dS a ˆr , →

xy

plano

con

dS1 = −dxdy a ˆz , →

plano

yz

con

dS2 = −dydz a ˆx →

y plano

dS3 = −dxdz a ˆy . →

En la pregunta entendemos que se desea calcular,

S

u·n ˆ dσ ,

→

que es sobre una supercie

cerrada, entonces cumple con requisitos de la ley de Gauss. Si consideramos que sustituyendo nuestro campo

u,

→

dS = n ˆ dσ , →

en la ecuación (9.8), tenemos





u · dS = ⊂⊃ → →

S

V

=

u )dV , (∇ · →

1 1 ( y − 2x − y + 2x)dV = 0 , 3 V 3

pues resultó ser bastante sencillo ¾no?

□ Hagamos algunos experimentos con este problema, por ejemplo, suponga que deseamos calcular en ujo del campo

u →

sobre la supercie curva de la gura 9.12. Es decir

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN



S

u·n ˆ dσ .

→

9.4.

Teorema de Gauss

148

Esta integral ya no es cerrada, y no podemos aplicar el teorema de Gauss, tendríamos que hacerlo directamente, es decir, calcular un vector unitario luego hacer el producto punto con el campo

u

→

n ˆ

perpendicular a esta supercie,

y después integrar sobre una supercie curva

con el teorema del foco, ½ah, qué complicado! Pero tenemos otra alternativa; si nuestra integral no es cerrada, ½pues la cerramos! Obviamente con supercies planas, para no buscar problemas. ¾Qué mejores tapas, que las mostradas en la gura 9.12? Entonces, escribimos,





 →

S

u · dS1 +

u · dS +

u · dS = ⊂⊃ →

S

→

→



S1

S2



 →

→

→

S1

Para la integral en la supercie

→

→

→

→

u · dS2 −

S2

→

→

u · dS3 .

S3

→

→

Draft





u · dS1 = −

S1

→

→

u·a ˆz dxdy ,



Rxy

→

0

=−

(2x + 2x z)dxdy , 

Rxy



π/2

= −2

cos θdθ θ=0

1

2 r2 dr = − , 3 r=0

donde utilizamos las coordenadas polares sobre el plano

rdrdθ,

(9.9)

→

1, o sobre el plano xy , tenemos que; z = 0, dS1 = −dxdy a ˆz ,

por lo tanto,

Jacobiano

u · dS3 = 0 ,

S3



u · dS1 −

→





u · dS = −

S

→

u · dS2 +

+ de donde

→

xy (z = 0),

con

x = r cos θ

y el

ver la gura 9.12, para los límites de integración.

Para la integral en la supercie

2, o sobre el plano zy , tenemos que; x = 0, dS2 = −dydz a ˆx , →

por lo tanto,







u · dS1 = −

S2

→

→

Rzy

Similarmente, para la integral en la supercie

dS3 = −dxdzˆ ay , →

1 0 0 > − >2 )dzdy = 0 . xy x (  3 Rzy

u·a ˆx dzdy = −

→

3,

o sobre el plano

zx,

tenemos que

por lo tanto,

 S3



u · dS3 = − → →

 Rzx

u·a ˆy dzdx = →

1 0 ( y

2 )dxdz = 0 . Rzx 3

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

y = 0,

9.4.

Teorema de Gauss

149

Sustituyendo en la ecuación (9.11), nalmente escribimos



u · dS =

S

→

→

2 . 3

(9.10)

No dudemos de nuestra destreza, algún día lo haremos con el teorema del foco, lo combatiremos lápiz a lápiz.

(b)

u = (xy, zy, xy),

→

y

S

es la semiesfera

x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0,

junto con el disco

z = 0,

x2 + y 2 ≤ 1.

Draft

Figura 9.13. Superce cerrada, compuesta por dos supercies. Semiesfera

dS = dS a ˆr →

y tapa en el plano

xy

con

r=1

con

dS1 = −dxdy a ˆz . →

Nuevamente, en la pregunta entendemos que se desea calcular,

S

u·n ˆ dσ ,

→

que es sobre

una supercie cerrada, entonces cumple con requisitos de la ley de Gauss. Si consideramos que

dS = n ˆ dσ , →

sustituyendo nuestro campo



u,

→

en la ecuación (9.8), tenemos



u · dS = ⊂⊃ → S

→

V

=

u )dV , (∇ · → (y + z)dV ,



V 2π  π/2



1

= ϕ=0

θ=0

r=0

0 *

ϕ + r cos θ)r 2 sen θdrdθdϕ = (r sen θ cos

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

π , 4

9.4.

Teorema de Gauss

150

donde utilizamos las coordenadas esféricas, con y = r sen θ cos ϕ, z = r cos θ y el Jacobiano r2 sen θdrdθdϕ, ver la gura 9.13, para los límites de integración. La echa con el cero indica que una integral es cero para ese término. Otra vez, bastante sencillo ¾no?

□ Nuevamente, vamos a jugar con este problema, por ejemplo, suponga que deseamos calcular en ujo del campo

u →

sobre la semiesfera de la gura 9.13, o la integral



S

u ·n ˆ dS . Esta

→

integral ya no es cerrada, y no podemos aplicar el teorema de Gauss, tendríamos que hacerlo directamente, aplicando la rutina antes descrita; calcular un vector unitario a esta supercie, luego hacer el producto punto con el campo

u

→

n ˆ perpendicular

y después integrar sobre una

supercie curva con el teorema del foco. Bien, hagámoslo. El vector unitario perpendicular, 2 2 2 lo calculamos por medio del gradiente de ϕ = x + y + z − 1, de donde

n ˆ=

(x, y, z) ∇ϕ =p , |∇ϕ| x2 + y 2 + z 2

entonces,

x2 y + zy 2 + xyz Draft u p dS , · n ˆ dS = → x2 + y 2 + z 2 que al sustituir en la ecuación (9.6), escribimos





1 x2 y + zy 2 + xyz p p dxdy , 2 2 2 x +y +z 1 − x2 − y 2 S Rxy :0 √ √ :0  2π  1 3 2  θsen θ  θ sen θ + 1 − r 2 r 2 sen2 θ + 1 − r 2 r 2 cos r cos √ = rdrdθ , 1 − r2 θ=0 r=0  2π  1 π 2 r3 dr = , = sen θdθ 4 r=0 θ=0 p donde hemos usado que z = 1 − x2 − y 2 , ademas porque Rxy es una región circular, el uso u·n ˆ dS = →

de las coordenadas polares. ¾Qué dice la otra alternativa? ½Ah, claro! si nuestra integral no es cerrada, ½pues la cerra-

xy , como se ve en la gura 9.13, entonces escribimos,

mos! obviamente con la tapa en el plano





u · dS = ⊂⊃ → →

S

de donde



S



u · dS + → →



S1

u · dS1 = → →

π , 4

π/4

*  π  u u · dS = − · d =0,  S 1 → → → → 4  S1 S

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(9.11)

9.4.

Teorema de Gauss

151

½Ah! yo no tengo muy buenos ojos para ver esto sin integrar. Para la integral en la supercie

1,

o sobre el plano

xy ,

tenemos que;

z = 0, dS1 = −dxdy a ˆz , →

por lo tanto,





u · dS1 = −

S1

→

→

u·a ˆz dxdy ,



Rxy

=−

→

xydxdy , Rxy 2π



=−



1

r3 dr = 0 ,

sen θ cos θdθ θ=0

r=0

donde utilizamos las coordenadas polares sobre el plano

xy ,

ver la gura 9.13, para denir

los límites de integración.

(c)

u = (xy, zy, xy),

→

z ≥ 0,

y

y

S

Draft es la supercie del cono de helado dado por

x2 + y 2 + z 2 = 1 ,

(z + 1)2 = x2 + y 2 , z ≤ 0.

Una vez más, en la pregunta entendemos que se desea calcular,

S

u·n ˆ dσ ,

→

que es sobre

una supercie cerrada el helado más el cono, entonces cumple con requisitos de la ley de Gauss. Si consideramos que tenemos

dS = n ˆ dσ , →



u,

→

en la ecuación (9.8),



u · dS = ⊂⊃ → S

sustituyendo nuestro campo

→

V

=

u )dV , (∇ · → (y + z)dV ,



V 2π  1



√

1−r2

=

0

:  θ (r sen + z)rdzdrdθ = θ=0

r=0

z=−1+r

π , 6

donde utilizamos las coordenadas cilíndricas, ver la gura 9.14, para los límites de integración. La echa con el cero indica que una integral es cero para ese término. Otra vez, bastante sencillo ¾no?

□ Nuevamente, vamos a jugar con este problema, supongamos que deseamos calcular en ujo del campo

u →

sobre un cono con helado, ver la gura 9.14, o la integral

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

S

u·n ˆ dS . Esta

→

9.4.

Teorema de Gauss

152

Figura 9.14. Parametrización de la superce de cono con helado en coordenadas √ Draft cilíndricas, compuesta por dos supercies, el helado es la semiesfera

z = r − 1. Esta supercie aureola θ : 0 → 2π .

z=

1 − r2

y el cono

al girar genera el cono con el helado. El giro lo indicamos con la

integral es cerrada, y ya aplicamos el teorema de Gauss y sabemos que su valor es

π/6.

Como se ve en la gura 9.14, la supercie cerrada está compuesta de una semiesfera, el helado, y un cono. Entonces escribimos,





u · dS = ⊂⊃ → →

S



u · dS +

Esf.

→

→

u · dS1 .

Cono

→

→

(9.12)

La primera integral sobre la semiesfera ya la resolvimos en el problema anterior y su valor es

π/4.

La integral sobre el cono la tendríamos que hacer directamente. Entonces, calculamos

un vector unitario

u →

n ˆ

perpendicular al cono, luego hacemos el producto punto con el campo

y después integrar sobre la supercie del cono con el teorema del foco. La sombra o región

de integración

Rxy ,

es igual para ambas supercies. Bien, hagámoslo. El vector unitario ϕ = x2 + y 2 − (z + 1)2 , de donde

perpendicular, lo calculamos por medio del gradiente de

n ˆ=

∇ϕ (x, y, −(z + 1)) =p , |∇ϕ| x2 + y 2 + (z + 1)2

entonces,

x2 y + zy2 − xy(z + 1) u p · n ˆ dS = dS . → x2 + y 2 + (z + 1)2 Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

9.4.

Teorema de Gauss

153

Nos hace falta calcular el p x2 + y 2 , de donde

dS

en términos de

dxdy .

De la ecuación del cono, tenemos

z =

−1 +

∂z x =p , ∂x x2 + y 2 que al sustituir en la ecuación (9.5), tenemos

 S

u·n ˆ dS = → =

√ √

 Rxy

2 Rxy

√  = 2

2π

y escribimos

x2 y + zy 2 − xy(z + 1) p dxdy , x2 + y 2 + (z + 1)2 p p x2 y + (−1 + x2 + y 2 )y 2 − xy x2 + y 2 q dxdy , p x2 + y 2 + ( x2 + y 2 ) 2

2 

∂z y =p ∂y x2 + y 2 √ que dS = 2dxdy



:0 

1

:0 

 θsen 2 cos θ sen θ + (−1 + r)r2 sen2 θ − r3 cos θ r3 √ rdrdθ , 2r θ=0 r=0  2π  1 π 2 = sen θdθ (r − 1)r2 dr = − , 12 θ=0 r=0 donde hemos usado que

z = −1 + r,

ademas porque Draft

Rxy

es una región circular, el uso

de las coordenadas polares. Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.12), y nalmente escribimos,



u · dS = ⊂⊃ → →

S

π π π − = , 4 12 6

como lo habiamos encontrado.

(e)

u = (−x2 , 3yz, 5z), z = ±1. →

y

S

es la supercie acotada por el cilindro

Una vez más, en la pregunta entendemos que se desea calcular,

x2 + y 2 = 1

S

u·n ˆ dσ ,

→

y los planos

que es sobre

una supercie cerrada, el cilindro más las dos tapas; entonces cumple con requisitos de la ley de Gauss. Si consideramos que (9.8), tenemos



dS = n ˆ dσ , →

sustituyendo nuestro campo

u,

→

en la ecuación



u · dS = ⊂⊃ → S

→

V

=

u )dV , (∇ · → (−2x + 3z + 5)dV ,



V 2π  1



1

=

0

0

:  >+ 5)rdzdrdθ = 10π , θ (−2r cos + 3z θ=0

r=0

z=−1

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

9.4.

Teorema de Gauss

154

claramente esta integral es

5

veces el volumen del cilindro. A simple vista ¾Cuánto vale el

ujo sobre el cilindro? ½Sin duda es cero! Sí; vamos a ver.

Draft

Figura 9.15. Superce cerrada, compuesta por tres supercies. Cilindro

dS = dSˆ ar →

y dos tapas en los planos

dS1 = dxdyˆ az , →

z = ±1

con diferenciales

r=1 dS2 = dxdyˆ az y →

respectivamente.

Claramente escribimos





u · dS = ⊂⊃ → →

S





u · dS +

S

→

→

u · dS1 +

S1

→

u · dS2 = 10π ,

→

S2

de la gura 9.15, tenemos que solamente la componente

z

→

→

del campo

u

→

será necesaria para el

cálculo del ujo, porque los diferenciales de las tapas están en las direcciones







u · dS1 −

u · dS = 10π −

S

→

→



S1

→

S2

→





= 10π − 5



5zdS2 , S2 :z=1

dS1 − 5 S1

entonces

→

(−5z)dS1 − S1 :z=−1

±ˆ az ,

u · dS2 ,

→

= 10π −

dS2 = 10π − 10π = 0 , S2

donde hemos considerado que el apellido de la supercie en la supercie

con

S1

es

z = −1,

S2 , z = 1.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

similarmente que

9.4.

Teorema de Gauss

(d)

155

u = (2x + y 2 − 6y + 9)ˆ ax − (z exp(z 2 ) − x − 2)ˆ ay + x cos(y − 1)ˆ az ,

→

2

2

y

S

es la esfera

2

(x + 1) + (y − 1) + z = 25. De nuevo, dejamos este problema al nal porque es claro que cumple las condiciones para aplicar el teorema de Gauss. Si quisiéramos hacerlo directamente por el teorema del foco, sería muy complicado por el término

z

del campo, que genera un

cos(r sen θ − 3)

que para

integrar espanta más que el cadejo (Derbez, 2009). A simple vista es dos veces el volumen de una esfera de radio

5,

vamos a ver





u · dS = ⊂⊃ → S

→

V

u )dV , (∇ · → (2)dV =

= V

1000 π. 3

Sin novedad ¾verdad?, pero nos hace falta un problema que combine los teoremas de Stokes y Gauss.

El siguiente problema lo resolvimos en el capítulo anterior, pero ahora lo resolveremos con Draft ayuda del teorema de Gauss, el resultado es −1. (g)




(x3 + 4y)dx + (e2y − 2z)dy + zdz , en donde C es P1 (0, 1, 0) y P2 (0, 0, 1) recorrido de P1 a P2 a P0 . C

Figura 9.16. La supercie contenida en la curva

C,

el triángulo con vértices

P1 a P2 área 1/2.

recorrido de

cerrada, pero la podemos cerrar con las tapas triangulares de

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

a

P0 ,

P0 (1, 0, 0),

no es

9.4.

Teorema de Gauss

156

Como lo planteamos anteriormente, tenemos que aplicar el teorema de Stokes, para esto 3 2y F = (x + 4y, e − 2z, z), que es

calculamos el rotacional del campo asociado a la integral,

∇ × F = (2, 0, −4). →

→

dS = n ˆ dS ,

A continuación, orientamos la supercie con un

n ˆ

el diferencial de área sobre el plano y escribimos,

dS

es

 C

S

donde

es un vector perpendicular al mismo. Por lo tanto,



Como la supercie

→

= F · dr →

(∇ × F ) · dS .

→

→

S

(9.13)

→

no es cerrada, debemos cerrarla si deseamos aplicar el teorema

de Gauss. Considerando que la mejor manera de hacer esto es por medio de tapas planas triangulares como lo muestra la gura 9.16







⊂⊃ (∇ × F ) · dS = →

S

→

(∇ × F ) · dS + 

→

S

→

S2 de donde





C

S3

→



= −(4) F · dr →

→

→

→

:0 

→

V



)dV = 0 , F ∇·  (∇×

 →

→



(∇ × F ) · dS3 , S3

dydz − (−2) Ryz

→



(∇ × F ) · dS2 − S2

dxdy − (0) Rxy





(∇ × F ) · dS1 − S1

→

(∇ × F ) · dS3 =

Draft

(∇ × F ) · dS = − →

→



→

 →

(∇ × F ) · dS1 + S1

(∇ × F ) · dS2 +

+

S

→

→

→

dxdz , Rxz

4 2 = − + = −1 , F · dr → 2 2 C →

donde hemos utilizado la ecuación (9.13).

Disfrutemos este parque que es un punto de reunión y entretenimiento familiar, y gocemos de un pozol blanco, tamales y antojitos que se venden en los alrededores. Además no dejamos de estremecernos al escuchar el instrumento musical que más identica a Chiapas, la marimba.

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

10 Generalizaciones

Como mencionamos en un principio, el concepto de operador permite generalizar algunas operaciones vectoriales, particularmente en las integrales se tiene la costumbre de escribir el diferencial al nal de la misma. Esta costumbre es muy limitante, para visualizar a la integral como un operador, en este capítulo generalizaremos los teoremas integrales de Gauss y Stokes escribiéndolos como operadores y para terminar el curso, daremos un panorama general de la teoría electromagnética para resaltar la importancia de las operaciones vectoriales. Draft

10.1.

Teoremas del conejo

Los teoremas de Gauss y Stokes son las versiones comerciales de otros teoremas más generales, que llamaremos teoremas del conejo. Este conejo es una función arbitraria, sobre la cual actúa nuestro operador integral, en particular cuando este conejo es la componente de un vector, se recuperan los teoremas conocidos de Gauss y Stokes. Considerando el teorema de Gauss, escribimos:





⊂⊃ dS · A = S

→

→

dV ∇ · A ,

⊂⊃ dSℓ Aℓ = S Como

Aℓ

→

V

dV ∂ℓ Aℓ , V

es una componente arbitraria, podemos reemplazarla por cualquier cantidad,

que puede ser el conejo mexica, y lo llamaremos teorema del conejo I,





⊂⊃ dSℓ S

=

dV ∂ℓ

,

V

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(10.1)

10.1.

Teoremas del conejo

158

Similarmente utilizando el teorema de Stokes, escribimos





dr ·A= → →

C

S

Aℓ

→

dSm ∈mnℓ ∂n Aℓ ,

drℓ Aℓ = C nuevamente como

dS · (∇ × A) , →

S

es una componente arbitraria, podemos reemplazarla por cualquier

cantidad, que puede ser nuevamente otro conejo mexica, y lo llamaremos teorema del conejo II,





dSm ∈mnℓ ∂n

=

drℓ

,

(10.2)

S

C

= Aℓ

De los teoremas anteriores, cuando

recuperamos los teoremas de Gauss y

Stokes.

Con la nalidad de practicar, resolvamos la integral propuesta en el ejercicio página

133

59

de la

del libro de Schaum (Spiegel,Draft 1983), que nos pide probar que:



 5

⊂⊃ r n ˆ dS = S

V

r dV . 5r3→

Directamente no podemos aplicar el teorema de Gauss, pero comparando nuestra notación con la del Schaum, notamos que

n ˆ dS = dS , →

y escribimos

   5 ⊂⊃ r dS = ⊂⊃ dSℓ r5 , →

S

S

ℓ

que al comparar con el teorema del conejo I (ecuación (10.1)), vemos que lo tanto, escribimos directamente

   5 ⊂⊃ r dS = ⊂⊃ dSℓ r5 , S

→

S 

ℓ

 5

=

dV ∂ℓ r = V   3 r , = dV 5r → V

de donde obtenemos



V

rℓ , r

ℓ

 5

⊂⊃ r n ˆ dS = S

dV 5r4

V

r dV . 5r3→

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

= r5

y, por

10.1.

Teoremas del conejo

159

□ 60

Consideremos ahora, el ejercicio Pruebe que:

de la página

133

del libro de Schaum (Spiegel, 1983).



⊂⊃ n ˆ dS = 0 . S Comparando nuestra notación con la del Schaum, notamos que

n ˆ dS = dS , →

y escribimos

   ⊂⊃ dS = ⊂⊃ dSℓ , →

S

S

ℓ

nuevamente, al comparar con el teorema del conejo I (ecuación (10.1)), vemos que

=1

y, por lo tanto, escribimos directamente

    dV ∂ℓ (1) = 0 , ⊂⊃ S = ⊂⊃ dSℓ = S

→

S

ℓ

V Draft

de donde obtenemos el resultado.

□ Consideremos ahora las integral propuesta en el ejercicio

62

de la página

133

Schaum (Spiegel, 1983). Pruebe que:



r × dS = 0 . ⊂⊃ → →

S

Comparando la integral con el teorema del conejo I, escribimos

   r × dS = ⊂⊃ dSn ∈ℓmn rm , ⊂⊃ → →

S

de donde

S

ℓ

=∈ℓmn rm y por lo tanto escribimos    r × dS = ⊂⊃ dSn ∈ℓmn rm , ⊂⊃ → S

→

directamente

S 

ℓ



dV ∂n ∈ℓmn rm = − dV ∈ℓnm ∂n rm , V   0 *  r =− dV ∇ ×→ =0. =

V

V



ℓ

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

del libro de

10.1.

Teoremas del conejo

160

□ Consideremos ahora las integral propuesta en el ejercicio

69

de la página

134

del libro de

Schaum (Spiegel, 1983). Pruebe que:



 C

dS × ∇ϕ .

ϕdr = →

→

S

Comparando la integral con el teorema del conejo II (ecuación (10.2)), escribimos

 C

de donde

=ϕ



 ϕdr →

=

drn ϕ , C

n

y por lo tanto escribimos directamente





 ϕdr →

C

=

drn ϕ , C 

n

= Draft S



=

dSℓ ∈ℓmn ∂m ϕ ,  dS × ∇ϕ , →

S





de donde concluimos

n

C

dS × ∇ϕ .

ϕdr = →

→

S

□ Finalmente, consideremos ahora la integral propuesta en el ejercicio

61

de la página

133

del libro de Schaum (Spiegel, 1983). Pruebe que:



 2

V

2

(ϕ∇ ψ − ψ∇ ϕ)dV = ⊂⊃ (ϕ∇ψ − ψ∇ϕ) · dS . → S

Iniciemos con la ley de Gauss,





⊂⊃ A · dS = → S

si consideramos

= ψ∇ϕ, A →

donde

→

ψ

y

ϕ

∇ · AdV , V

→

son dos campos escalares. Si utilizamos la relación

general (5.49), escribimos la primera identidad de Green como:



⊂⊃ ψ∇ϕ · dS = → S



(ψ∇2 ϕ + ∇ϕ · ∇ψ)dV , V

Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(10.3)

10.2.

Solución a la ecuación de Poisson

161

de manera similar, intercambiando los campos

ψ

y

ϕ,

escribimos





⊂⊃ ϕ∇ψ · dS = → S

(ϕ∇2 ψ + ∇ψ · ∇ϕ)dV . V

Restando las ecuaciones anteriores, llegamos a la segunda identidad de Green, dada por,



 2

V

2

(ϕ∇ ψ − ψ∇ ϕ)dV = ⊂⊃ (ϕ∇ψ − ψ∇ϕ) · dS . →

(10.4)

S

□ 10.2.

Solución a la ecuación de Poisson

El problema electrostático es sin duda, la poderosa manifestación de la teoría más perfecta de la física, la teoría electromagnética. Sin ninguna exageración, el concepto de carga eléctrica está tan arraigado en nuestras mentes que es muy sencillo entender que dos cargas con signos contrarios se atraen y con el mismo signo se repelen. Además, desde la escuela secundaria nos enseñaron la solución a la teoría del potencial

ϕ = q/r,

o la versión conocida

como ley de Coulomb donde la fuerza era proporcional al producto de las cargas e inversaDraft mente proporcional al cuadrado de la distancia. Aunque la explicación física de la repulsión de cargas del mismo signo no es matemáticamente un problema sencillo de explicar sin ayuda de la electrodinámica cuántica (Feynman, 2006), sí podemos con lo aprendido anteriormente formalizar nuestra teoría electromagnética con la solución general al problema electrostático y con ello motivarnos a estudiar sus consecuencias en nuestros cursos de física. La parte central de la teoría electromagnética, es determinar los campos vectoriales, el campo eléctrico o el campo magnético, y para determinar estos campos la condición suciente es el conocimiento de su divergencia y rotacional, como lo indica el teorema de Helmholtz (Griths, 2019),

Teorema 10.3. Teorema de Helmholtz. La condición suciente para determinar un campo vectorial en todo el espacio, es conocer su divergencia y su rotacional. Por esta razón las ecuaciones de Maxwell son cuatro, dos ecuaciones con divergencia y dos con rotacional para los campos eléctrico y magnético. En electrostática, es necesario determinar el campo eléctrico

, E →

y por el teorema de

Helmholtz, para que este campo quede bien denido es necesario conocer su divergencia y rotacional, de tal manera que dibujamos el siguiente esquema, donde al combinar estas 2 relaciones llegamos a la ecuación de Poisson ∇ ϕ = −4πρ.

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10.2.

Solución a la ecuación de Poisson

162

∇ · E = 4πρ →

∇×E =0

∇2 ϕ = −4πρ

→

= −∇ϕ E → Donde hemos considerado que el campo eléctrico un potencial

ϕ,

tal que

= −∇ϕ. E →

E →

es conservativo y por lo tanto, existe

Por otra parte, estas ecuaciones nos dicen que la fuente

de campo eléctrico son las densidades de carga ρ y que el campo producido es conservativo. 2 Como ∇ · ∇ = ∇ , llegamos a la ecuación de Poisson. Para la solución a la ecuación de Poisson utilizaremos la tercera identidad de Green, o más precisamente la función de Green para el espacio, denida por

" ∇2

# 1 = −4πδ(r − r→′ ) , ′ → |r − r | → →

(10.5)

Draft

donde

1 , es la función de Green para el espacio (Arfken, 1985; Jackson, 1975). Observa|r − r→′ | →

mos también, que aparece la delta de Dirac, que como siempre hará la magía. Es importante ′ observar que nuevamente aparecen los vectores r y r , que como explicamos en la sección →

→

6.3, describen el vector donde deseamos calcular el campo y en este caso la variable de integración, respectivamente. Haremos uso de la segunda identidad de Green (10.4), pero en la variable de integración

′

r,

que se escribe como



 ′

V

′2

′

′

′2

′

′

′

′

′ [ϕ(r )∇ ψ(r ) − ψ(r )∇ ϕ(r )]dV = ⊂⊃ [ϕ(r′ )∇ ψ(r′ ) − ψ(r′ )∇ ϕ(r′ )] · dS . →

(10.6)

S

La ecuación de Poisson que vamos a resolver, es una ecuación diferencial con valores a la frontera (Boyce, 1996), por lo cual será necesario involucarla en el cálculo. Si consideramos

ψ(r′ ) =

1 , |r − r→′ | →

el lado derecho de la ecuación (10.6) será cero, en el límite cuando

(10.7)

S → ∞.

Esto es muy fácil de ver, ya que este lado derecho tiene una integral de supercie, y el secreto para resolver estas integrales es evaluar el integrando o campos en dicha supercie.

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10.2.

Solución a la ecuación de Poisson

163

Si consideramos que esta supercie es la frontera, y además consideramos que se encuentra en el innito, los campos y sus derivadas de este lado derecho, decaerán más rapidamente ′2 ′2 que 1/r , y porque el diferencial de supercie varía como r , en el límite le ganará el integrando, haciendo tender a cero la integral. Entonces escribimos la ecuación (10.6), como



 ′2

′

′

′

′

ψ(r′ )∇ 2 ϕ(r′ )dV ′ .

ϕ(r )∇ ψ(r )dV = V

(10.8)

V

Todo el juego matemático de la teoría electromagnética es: fórmula, sustitución y resul′ tado. Pero debemos ser cuidadosos en las sustituciones, y no confundir r con r , por ejemplo, de la ecuación de Poisson denida en la variable

r

∇2 ϕ(r) = −4πρ(r) , podemos cambiarla a la variable

r′ ,

como ′

∇ 2 ϕ(r′ ) = −4πρ(r′ ) .

(10.9)

Draft Similarmente, es directo de la ecuación (10.5), que

" ∇

′2

# " # 1 1 = ∇2 = −4πδ(r − r→′ ) . ′ ′ → |r − r | |r − r | → → → →

Si sustituimos lo anterior en la ecuación (10.8), escribimos



" ′

ϕ(r )∇

′2

V

#  1 1 ′2 ′ ′ ′ dV = ′ ′ ∇ ϕ(r )dV , |r − r→ | − r→ | V |r → →



 ′

−4π V

′

′

ϕ(r )δ(r − r→ )dV = −4π → 

ϕ(r) =

V

ρ(r′ ) ′ ′ dV , |r − r→ | →

ρ(r′ ) ′ ′ dV , − r→ | V |r →

donde hemos utilizado, el hecho que

+∞

ϕ(x′ )δ(x − x′ )dx′ = ϕ(x) . −∞ Tripas de gato y análisis vectorial ESFM-IPN

(10.10)

10.2.

Solución a la ecuación de Poisson

164

Esta ecuación es la misma que nos enseñaron en la secundaria, pero ahora maquillada ρ(r′ ) = qδ(r ′ − 0), sustituyendo tendremos

por una integral. ¾Por qué? suponga que

ϕ(r) =

→

 qδ(r ′ − 0) → ′

|r − r→ | →

V

dV ′ =

q , r

que es el mismo resultado denido en el primer curso de física. A continuación mostramos los mapas mentales de la solución a la ecuación de Poisson y su diagrama conceptual, cuando la fronteras están alejadas. Resaltamos en amarillo las ecuaciones fundamentales.

Mapas mentales de la electrostática.

. ψ(r′ ) = Función " ∇

2

de Green

+∞

# 1 = −4πδ(r − r→′ ) ′ → |r − r | → →

ϕ(x′ )δ(x − x′ )dx′ = ϕ(x) −∞

∇2 ϕ = −4πρ

Draft





 V

 ϕ∇2 ψ − ψ∇2 ϕ dV = ⊂⊃ (ϕ∇ψ − ψ∇ϕ) · dS =0 → S



ϕ(r) = V

ρ(r′ ) ′ ′ dV |r − r | → →



⊂⊃ E · dS = 4πQEN C → S

→



∇ · E = 4πρ

ϕ(r) =

→

V′

∇×E =0 →

∇2 ϕ = −4πρ

= −∇ϕ E →

= −∇ϕ E →



(r) = E →

C

ρ(r′ ) ′ ′ dV |r − r→ | →

ρ(r′ )(r − r→′ ) → V

′

′ 3

|r − r→ | →

dV ′

· dr =0 E → →

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10.2.

Solución a la ecuación de Poisson

165

Figura 10.1. Diagrama conceptual para la solución a la ecuacion de Poisson, cuando las fronteras están en innito o muy alejadas.

Finalmente, el secreto o clave para la solución electrostática es utilizar el diagrama conceptual de la gura 10.1 donde: Draft 1.

r →

es el vector que va del origen al punto donde deseamos calcular el campo o

potencial. 2. Y que

r′

→

es el vector que va del origen a donde está localizado el elemento dife-

rencial de volumen

dV ′ .

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Glosario

Área: La medida de la extensión de una supercie. Aceleración: Razón de cambio de la velocidad en la unidad de tiempo. Atracción: Fuerza producida entre diversos elementos. Generalemente esta fuerza se deriva de un campo escalar.

Campos: En la teoría de campos, se aplican los principios de la mecánica cuántica a los sistemas clásicos de campos. Por ejemplo, para el campo electromagnético, su teoría cuántica es equivalente al de un sistema de partículas, llamadas fotones. Draft

Cantidad de movimiento: Llamado también momento lineal, ímpetu, momentum o momento, y se dene como el producto de la masa por la velocidad. Cuando la fuerza es cero en una dirección se conserva el momento en esa misma dirección.

Centrípeta: Fuerza dirigida hacia el centro de giro, necesaria para mantener el movimiento distinto al rectilíneo.

Cinemática: Parte de la mecánica que estudia el movimiento prescindiendo, o no considerando las fuerzas que lo producen.

Ecuación: Relación de igualdad entre dos o más resultados de efectuar determinadas operaciones matemáticas o con magnitudes que intervienen en un fenómeno físico.

Equipotencial: Líneas o supercies en cuyos puntos la función potencial tiene un mismo valor.

Fuerza: La causa que produce una aceleración o el cambio de un movimiento rectilíneo a otro tipo de movimiento.

Gravedad: Fuerza de atracción terrestre. También llamada fuerza gravitatoria, fuerza de gravedad, fuerza de interacción gravitatoria.

Gravitación: Es la acción atractiva mutua que se ejerce a distancia entre las masas de los cuerpos.

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167

Mecánica: El estudio del equilibrio y del movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de las fuerzas.

Operadores: Funciones de derivadas e integrales, que actúan sobre cantidades o funciones que encuentran a su derecha o izquierda. Son objetos que cumplen con una álgebra determinada.

Potencial de fuerzas: Es la función escalar cuyo menos gradiente determina el campo vectorial correspondiente a un campo de fuerzas.

Razón: El cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí. Representaciones: Cantidades denidas en términos de sus componentes, que se generalizan por medio de un producto interno o transformada integral.

Rotación: Movimiento de un cuerpo donde cada uno de sus puntos describe una circunferencia, y cuyo centro se encuentra en una recta perpendicular a los planos de las circunferencias.

Simetrías: Características de las formas Draftgeométricas, de los sistemas y las ecuaciones relacionadas con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios. Sistema de ecuaciones: Es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten sus dos o más incógnitas.

Tensores: Cantidades denidas por uno o más índices o componentes. Son objetos que generalizan los conceptos de escalar, vector y matriz.

Tiempo: Coordenada para referencia de orden o de una secuencia de sucesos, estableciendo un pasado, un presente y un futuro. La coordenada que se mide con un reloj.

Transformaciones: Funciones que mapean un conjunto (o región) en otro conjunto (o región), así como funciones que preservan alguna estructura algebraica o geométrica.

Trabajo: La integral, a lo largo de la trayectoria, del producto punto de la fuerza por su vector desplazamiento.

Trayectoria: Vector que describe un punto que se mueve. Vector: Magnitud con un módulo, un sentido y línea de aplicación. Elemento de un espacio vectorial.

Velocidad: Razón de cambio de la posición por unidad de tiempo.

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168

Velocidad angular: En un cuerpo que gira en torno de un eje, es el ángulo descrito por cada radio en la unidad de tiempo.

Draft

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Fuentes de consulta

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en la frontera. Limusa. Castro, C. P. d. (2018). Topología básica. Fondo de Cultura Económica. Colley, S. J. (2013). Cálculo Vectorial. Pearson. de la Torre, L. (2008). Elementos de relatividad. Universidad de Antioquia. Derbez, J. (2009). El habla chiapaneca. Revista de la Universidad de México, 62:5558. Feynman, R. P. (2006). QED: The Strange Theory of Light and Matter. Princeton University Press. Gamow, G. (1960). Materia, Tierra y Cielo. Compañía Editorial Continental S. A. Griths, D. J. (2019). Introduction to Electrodynamics. Cambridge University Press. Hayt, W. H. (2006). Teoría Electromagnética. McGraw-Hill. Jackson, J. D. (1975). Classical Electrodynamics. Wiley. Jansen, M. E. R. G. N., Anders, F., and Aurora Pérez Jiménez, G. (1994).

El Libro de

Tezcatlipoca, Señor del Tiempo Libro explicativo del llamado Códice Fejérváry-Mayer. Fondo de Cultura Económica, Mexico.

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tóricas. Grupo Editorial Patria. Rivera Figueroa, A. (2014b).

Cálculo Integral: Sucesiones y Series de Funciones.

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