Théorie des groupes de Lie: Groupes algébriques, théorèmes généraux sur les algèbres de Lie

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Publications de Finstitut de mathématique de l’université de Nancago I et P

Claude Cheval le\ THÉORIE

DES

GROUPES DE LIE Groupes algébriques Théorèmes généraux sur les algèbres de Lie

Hermann

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CLAUDE CHEVALLEY

THEORIE DES

GROUPES DE LIE Groupes algébriques Théorèmes généraux sur les algèbres de Lie

HERMANN 115, BOULEVARD SAINT-GERMAIN, PARIS VI

VIII

TABLE

DES

MATIÈRES

Chapitre

III

Généralités sur les représentations N° N° N° N° N° N° N° N° N° N° N° N° N° N° N°

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Représentations équivalentes. Puissances tensorielle, symétrique, extérieure. Produits cartésiens . Produits tensoriels. Tenseurs symétriques et antisymétriques. Représentations contragrédientes. Représentations duales de produits cartésiens et tensoriels . . Formes polaires. Invariants. Covariants . Sur les formes bilinéaires symétriques. Suites de Jordan-Holder. Extension du corps de base . Représentations rationnelles d’algèbres de Lie. Représentations de groupes de Lie. Chapitre

188 190 *93 '94 >98 '98 201 206 207 212 218 220 221 227 228

IV

Aîgèbres de Lie semi-simples § 1. Le théorème d’Engel. N° 1. La représentation adjointe . N° 2. Le théorème d’Engel . § 2. Aîgèbres semi-simples. N° 1. La forme bilinéaire associée à une représentation. N° 2. Aîgèbres semi-simples .

236 236 237 240 240 244

§ 3. Représentations des aîgèbres semi-simples . N° 1. L’opérateur de Casimir. N° 2. Le théorème de Weyl.

248 248 250

§ 4. Aîgèbres réductives. N° 1. Représentations d’algèbres réductives. N° 2. Critères d’algèbres réductives.

253 253 255

§ 5. Groupes algébriques semi-simples. § 6. Exemples. N° 1. Les aîgèbres fll(V) et él(V). N° 2. L’algèbre o(B).

261 209 269 270

§ 7. Les aîgèbres simples de dimension 3 et leurs représentations.

275

Chapitre

V

Théorèmes généraux sur les aîgèbres de Lie § 1. Aîgèbres résolubles.

282

§ 2. Le7 radical. Le plus grand idéal nilpotent. N° 1. Le radical. N° 2. Le plus grand idéal nilpotent.

286 286 287

TABLE

DES

MATIÈRES

IX

§ 3. Groupes résolubles. N° 1. Groupes résolubles. N° 2. Groupes nilpotents. N° 3. Groupes algébriques résolubles et nilpotents. N° 4. Algèbres de Lie d’endomorphismes nilpotents. N° 5. Algèbres de Lie résolubles algébriques.

204 294 295 297

§ 4. Le N° 1. N° 2. § 5. Le N° 1. N° 2. N° 3. N° 4. N° 5.

3r5

théorème de Levi-Malcev. Le théorème de Levi-Malcev . Application à la structure des algèbres algébriques. théorème d’Ado. L’algèbre universelle d’une algèbre de Lie. Lemmes. Le lemme de Harish-Chandra. Le théorème d’Ado. Le théorème d’existence.

§ 6. Algèbre universelle et opérateurs différentiels. N° 1. Lemmes sur les algèbres associatives. N° 2. Opérateurs différentiels. Chapitre

3°3

309 315 324 325 325

328 33° 333 337 33$ 3-3$ 34°

VI

Algèbres et groupes de Cartan § 1. La N° 1. N° 2. N° 3. N° 4. N° 5.

topologie de Zariski . Ensembles fermés. Applications polynômes. Ensembles irréductibles. L’espace directeur. Ensembles épais.

34$ 34& 351

§ 2. Orbites. § 3. La nullité d’un endomorphisme.

37°

§ 4. Groupes de Cartan. Algèbres de Cartan. N° 1. Définition. N° 2. Existence de groupes et d’algèbres de Cartan . N° 3. L’égalité des rangs. N° 4. Irréductibilité des groupes de Cartan. N° 5. Propriétés des algèbres de Cartan.

379 379

§ 5. Groupes de Cartan des groupes de Lie . N° 1. Existence . N° 2. Groupes de Cartan des groupes compacts.

4°5 4°5

4l°

Index.

416

354 357

3^5 37^

382 3^8 39: 395

CHAPITRE PREMIER

ALGÈBRE TENSORIELLE ET APPLICATIONS

S 1. Algèbre tensorielle. Une algèbre qui possède un élément unité sera dite unitaire ; l'élément unité d une algèbre unitaire sera noté i (sauf mention expresse du contraire) et sera identifié à l’élément unité du corps de base ; plus généralement, si a est un élément du corps de base, l’élément a. i de F algèbre sera identifié avec a ; les éléments du corps de base seront appelés les scalaires de l’algèbre. Un homomorphisme d'une algèbre unitaire A dans une algèbre unitaire B sera dit unitaire s'il applique l’élément unité de A sur celui de B. Définition

i . —

Rappelons qu'une

partie E d’une algèbre A est généralement

appelée un système de générateurs de A si la seule sous-algèbre de A contenant E est A elle-même. Quand on considère des algèbres uni¬ taires, il convient en général de substituer à la notion de système de générateurs de A celle de système de presque-générateurs, qui est définie de la manière suivante : Définition 2. — Soient A une algèbre unitaire et E une partie de A. On dit que E est un système de presque-générateurs de A, ou que A est presque engendrée par E, si F ensemble obtenu en adjoignant 1 à E est un système de générateurs de A.

Ceci dit. donnons-nous un corps K et un ensemble E quelconques. Nous allons définir au moyen de ces données une certaine algèbre associative sur K, qui sera appelée l’algèbre associative libre de E sur K. Soit d’abord VI le monoïde libre engendré par E (cf. Bourbaki, AL, I, § i, n°

3)(‘). Scs éléments sont les « mots » formés au

(') Le monoïde libre que nous utilisons ici n’est pas entièrement identique à l’objet appelé de ce nom à l’ouvrage cité de N. Bourbaki ; il en diffère par adjonction d’un

■J.

\LGEBRE TEN'SORIELLE ET APPLICATIONS

moyen des éléments de E,

et chaque mot est le produit dans M

d’une suite finie d’éléments de E (cette suite finie peut être vide ; le mot qui correspond à la suite vide est l’élément unité de M). Si ap

an, a[,

a'n, sont des éléments de E, l égalité 11?= iOjH" = 1 Qf

entraîne n = n' et a,■ = a[ (i ^ t

n). Les mots qui correspondent

aux suites finies de longueur i sont en correspondance bi-univoque avec les éléments de E, auxquels nous les identifierons. Soit ensuite L l’algèbre du monoïde M sur le corps de K (cf. Bourbaki, Al., II, $7, n° 9). Le monoïde M peut être identifié à une partie de L, stable par rapport à la multiplication de L, et la multiplication dans M est la restriction à MxM de la multiplication de L ; de plus, M est une base de la structure d’espace vectoriel de L sur K. Il est clair que L est une algèbre associative unitaire sur le corps K, et que E est un système de presque-générateurs de L. C’est l’algèbre L que nous appellerons Y algèbre associative libre de E sur le corps K. Proposition i .

—

Soient

K

un corps, E un ensemble et

A

une

algèbre associative unitaire sur K. Soit f une application de E dans A. Il existe alors un homomorphisme unitaire f* et un seul de l'algèbre associative libre L de E sur K dans A qui prolonge f. Les éléments de f(E) forment un système de presque-générateurs de la sous-algébre AL)* A. Nous prolongerons d’abord f par une application f* du monoïde libre M engendré par E en posant

(1)

/.*(■) = >;

/„TiT=. ,)=n,■=,/( (oà w et w' sont dans W), alors xx' appartient à Aw+w . On dit alors que cette décomposition définit sur A une structure d'algèbre graduée. Un élément de A est dit homogène s'il appartient à l'un des ensembles Aw, et homogène de degré w s'il appartient à Aw. Soit maintenant x un élément quelconque de A ; mettons x sous la forme x='^iwç:Wxw, avec xw^Aw pour tout iv^W. On dit alors que les xw sont les composantes homogènes de x, et que xw est la compo¬ sante homogène de degré w de x. Soit par exemple L l’algèbre associative libre d’un ensemble E sur un corps K. Si n est un entier ^ o, soit L„ l’ensemble des combinaisons linéaires de produits de suites finies de longueur n d’éléments de E ; si n est un entier ' ne sont pas tous deux dans W„. Il n’y a donc qu’un nombre fini d’applications qui soient o, et on voit tout de suite que leur somme est /, d’où /çF'. Définition

4-

— Soit A une algèbre graduée dont le groupe des

degrés est le groupe additif des entiers. Soitx = 2rT=-« xn ^ décom¬ position d'un élément x de A en ses composantes homogènes. On désigne alors par x l'élément

(— 0 X ; l'application x—^x s'appelle

l'involution principale de l'algèbre A. Il est clair que l’involution principale de A est une application linéaire et que son carré est l'application identique. De plus, si x et y sont homogènes de degrés respectifs m et n, on a xÿ= (— i)m + n.ry — xÿ. Il en résulte tout de suite que l’involution principale est un auto¬ morphisme involutif de la structure d algèbre de A. Enfin, il est clair que 1 involution principale est une application homogène de degré o. l\- — Soient A et A des algebres graduées siv un même corps ayant toutes deux le groupe additif des entiers comme Proposition

groupe des degrés ; soient J et J

les involutions principales de A et

de A'. Soit f une application linéaire de A dans A'. Si f est une somme

I 2

ALGEBRE TENSORIELLE

ET

APPLICATIONS

d'applications linéaires homogènes de degrés pairs, on a .1 ’oj

— f«

J

;

si J'est une somme d'applications linéaires homogènes de degrés impairs, on a J ' ° f = —f o,). Il suffit évidemment de se limiter au cas où/est elle-même homo¬ gène, de degré disonsp. Si x est un élément homogène de degré n de A, f(x) est homogène de degré n-{-p, d’où

ys((

j'n sont des éléments distincts de W et xit .... xn des éléments de V tels que < i DXgg H- L/-D.rD/ -+- LDyT^D' -+- Lyj^DD'. Faisons d’abord D'= D, f =f, g' = g. Si par exemple D commute avec/et anticommute avec g, alors fDx = Dfx, Dgx = gDx et on voit que D'L^rrz hüixg~ -+- L/3a,D2, ce qui exprime que D5 est une dérivation gauche de type (f\ g~). Supposons maintenant les conditions de 2) satisfaites. On a alors fDx = Df'x, D'g = gD/, D'fx = fD'x et g'D = D/; retranchant 1 une de l’autre les formules écrites plus haut, on obtient (DD' — D'D)L, = L(DD._^gg'-f- Lir(>)(DD' - D'D), ce qui exprime que [D, D'J est une dérivation gauche de type (JT',gg'). Corollaire. — Si D et D' sont des dérivations d’une algèbre A,

il en est de meme de [D D'J. Proposition 6. — Soient A et B des algèbres graduées sur le même

corps qui admettent le meme groupe de degrés W, et soient f et g des homomorphismes homogènes de degré 0 de A dans B. Soit S un ensemble de générateurs homogènes de A, et soit D une dérivation gauche de type (/, g) de A dans B qui satifait à la condition suivante : si x est un élément homogène de degré w de S, Dx est homogène de degré w H- c, où z est un élément de W qui ne dépend pas de x. L’appli¬ cation D est alors homogène de degré z. Si mj(AV, nous désignons par Aw l’espace des éléments homogènes de degré w de A, par Bw l’espace des éléments homogènes de degré 10 de B et par A',, l’espace des éléments xiAu, tels que Dx(BltI + 2. Soient w et w' des éléments de W, x un élément de A,'„ et x' un élément de A',,’. On a D(xx') = D(x)g(x/) -hf(x)D(x/) ; D(x) est dans Bu, + J, g(x') dans B,„, /(x) dans Bu, et D(x') dans Bu/ + 2; il en résulte que D(xx') est dans B„l + d’où xx'çA', + On en conclut que la somme dessous-espaces A,),(pour tous les mjçW) est une sous-algèbre de A. Cette sous-algèbre contient S et est par suite A tout entier, ce qui démontre la prop. 6. Corollaire. — La conclusion de la prop. 6 subsiste si, les algèbres

A et B cl les homomorphismes J et g étant supposés unitaires, nous supposons seulement que S est un système de presque-générateurs de A.

18

ALGEBRE

TENSORIELLE

ET

APPLICATIONS

Cela résulte tout de suite de la prop. 6 appliquée à l’ensemble obtenu en adjoignant

1

à S, et du fait que D(i) —o (Prop. 4).

Définition 2. —

Soit A une algèbre graduée ayant le groupe des entiers comme groupe de degrés. Soient I l'application identique de A sur lui-même et J l’involution principale de A. Une dérivation gauche de type (I, J) de A dans A est appelée une antidérivation de A. Une antidérivation D de A est donc une application linéaire de A dans lui-même telle que D(æy) (x, y) d’éléments de A. Proposition 7. —

D(æ)y -t- æD(y) pour tout couple

Soit A une algèbre graduée admettant le groupe

des entiers comme groupe de degrés, et soit D une antidérivation homo¬ gène de degré impair de A. L'opération D2 est alors une dérivation de A. Si D' est une autre antidérivation homogène de degré impair de A, DD' -4- D'D est une dérivation homogène de degré pair de A. Si D" est une dérivation homogène de degré pair de A, [D, D"^ est une antidérivation de A. Il résulte de la prop. 5 que, si une antidérivation A anticommute avec l involution principale J, A2 est une dérivation. Or, si A est homogène de degré h impair, on a AJ-t-JA = o. Car, si a; est un élément homogène de degré n, on a AJæ = (—i)nAæ

et

JAx = (—i)n*h/\x,

ce qui démontre notre assertion. Plus généralement, ce raisonnement montre que toute somme d’applications linéaires homogènes de degrés impairs de A dans lui-même anticommute avec J. Il en résulte que D\ D'2 et (D H- D')2 sont des dérivations ; il en est donc de même de DD' -+- D'D = (D -+- D')2 — D2 — D'2. On voit de même que toute application linéaire homogène de degré pair de A dans lui-même commute avec J ; il résulte par suite de la prop. 5 que [D, D"J est une antidérivation. Soit A une algèbre associative. Si xçA, soit D^ l'application y—*-\x, y] = xy — yx de A dans lui-même. L'opération Dæ est une dérivation de A. Si D est une dérivation quelconque de A, on a, pour x et y dans A, D([æ, y]) = [Dæ, y] -+- [x, Dy], c'est-à-dire [D, DJ = DDæ. Proposition 8. —

Soient x, y et z des éléments de A. On a [a?, yz] = xyz — yzx = (xy —yx)z -t-y(xz — zx) = [x, y]z -|-y[x,

2],

ce qui démontre la première assertion. Si D est une dérivation de

DERIVEES GAUCHES

*9

A on a

D([*» y]) = °(®y) — D(jæ) = (D*)y H-*(Dy) — (Dy)æ — y(Dæ) = [Dx, y] -4- far, Dyj, ce qui démontre la seconde assertion. g. — Soit g une algèbre de Lie. Si æ£g, l’application Dj; de g dans elle-même définie par y D ,.j = f, y ] est une dériva¬ Proposition

tion de g. Si D est une dérivation quelconque de g, on a [D, Dx] = DDx ; en particulier, on a, pour x et y dans g, D[j; ^ [DÆ, DVJ. Soient x, y et z des éléments de g. On a l'identité de Jacobi [æ, [y, 2]] h- [y, [2, ce] J -f- [2, [æ, y]] = o ; de plus si u et v sont dans g, on a [u, u] =i—[u, uj. Il en résulte facilement que l’on a Dx([y, 2]) = [Dxy, z] -h [y, D^z], ce qui exprime que I)x est une dérivation. Si D est une dérivation quelconque de g, on a, pour æ ety dans g, [D- DJy= DD,j — D,Dy = D([æ. y]) — [x, Dv| — |I).t,tJ = r)„,y, d’où [D,

DJ = DDx.

10. — Soient A et B des algèbres\associatives, f et g des homomorphismes de A dans B et D une dérivation gauche de type (/, Proposition

g) de A dans B. Soient xr ...,xn des éléments de A. ... æ„) est alors la somme de n produits pt, ..., pn,

L’élément étant le

produit déduit de a?, ... xn en y remplaçant le j-ième facteur x, par f(Xj) si j < i, par Tù(xj) si j — i et par g(xj) si jf> i. Nous procéderons par récurrence sur n. La prop. 10 est évidem¬ ment vraie si n= 1. Supposons la vraie pour une certaine valeur de n, et soient æ1? ..., xn+ t des éléments de A. On a alors D(æ, ... xnxn^^) — D(æt ... xn)g(xn+i)-i~f(xl ... xn)D(xn + l)

= (Pi -+- ■ ■ • +Pn)g(Xn + ,) ■+■/(*,) • • • /(*»)D(*n + ,)> ce qui démontre la prop. 10 pour n -4- 1. Corollaire.

— Soit B une algèbre associative unitaire sur un

corps K, A une sous-algèbre de B telle que içA et D une dérivation de A dans B. Soit x un élément de A tel que Dæ commute avec x. Si P est un polynôme à coefficients dans K, on a D(Pæ)) = P/(a:). Dæ, où P' est le polynôme dérivé de P. C’est vrai si P est constant, en vertu de la prop. 4- En vertu de la linéarité de D, il suffira par suite de montrer que c’est vrai dans

ALGÈBRE

•20

TENSORIELLE

le cas où P(x)=xn (n > o).

ET APPLICATIONS

P'(x) = nx"~ 1. Or, dans ce cas, le

corollaire résulte immédiatement de la prop. 10. Proposition i i. — Soient A et B des algèbres associatives, S un ensemble de générateurs de A, f et g des homomorphismes de A dans

B et D une application linéaire - Xdfx)g(u) de T dans lui-même. Il résulte du lemme i, § i qu il existe une application linéaire D et une seule de T dans lui-même telle que D o Lx = (æ) o 1) -)- TF(œ) pour tout æçM (où Lx est la multiplication à gauche par x) et D(i)=:o. Si ccéM, on a D(x) — (D o Lx)(i) = (M'(æ))(i) — D((æ) ce

ALGEBRES SYMETRIQUES

2 I

qui montre que D prolonge D(. L’égalité D(®«) t= D(x)g(u) -hf(x)D(u) est vraie si xçM et açT ; elle est aussi évidemment vraie si x= i et «6Ï. Il résulte done de laprop. 11 que D est une dérivation gauche de type (/, g). L’unicité de D résulte du corollaire à la prop. 4-

§ 4. Algébres symétriques. Soit V un espace vectoriel. Désignons par T l’algcbre tensorielle sur V et par 0 l'idéal engendré dans T par les éléments xx'-x'x, pour tous les couples d’éléments x et x' de Y. Soit S l’algèbre quotient T/0. Les éléments xx'-x'x sont homogènes de degré 2 dans la structure graduée de T ; il en résulte que l’application canonique de T sur S induit un isomorphisme de l’espace vectoriel V avec un sous-espace de S (corollaire à la prop. 3, § 2). Nous identifierons les éléments de V avec leurs images dans S. Cette identification faite, l’algèbre S prend le nom à"algèbre symétrique sur V. C’est évidemment une algèbre associative unitaire qui admet V comme ensemble de presque-générateurs, d’où il résulte tout de suite que toute base de V est aussi un ensemble de presque-générateurs de S. L’idéal 0 de T étant homogène (prop. 2, § 2). l’algèbre S possède une structure d’algèbre graduée quotient de celle de T. Le groupe des degrés de S est le groupe additif des entiers ; tout élé¬ ment de degré < o est nul ; les éléments de degré o de S sont les scalaires, et ceux de degré 1 les éléments de V. Il convient d’obser¬ ver que l’opération de multiplication entre éléments de Y n est pas la meme suivant qu’on considère V comme une partie de 1 algèbre 1 ou de l’algèbre S. Pour éviter les confusions, nous désignerons par le signe (Si l’opération de multiplication dans T, tandis que nous conserverons la notation habituelle pour la multiplication dans S. L’idéal 0 contenant les éléments x®x' — x'®x (pour x et x' dans V), on a xx—x'x=o, 0 est-à-dire que les éléments de S commutent entre eux. Ils commutent aussi avec 1 , il en îesulteque S est une algèbre commutative, en vertu du lemme suivant. Lemme 1. — Soit E un ensemble de générateurs d'une algèbre asso¬

ciative A. Si les éléments de E commutent entre eux, l'algèbre A est commutative.

ALGEBRE

22

TENSORIELLE

ET

APPLICATIONS

L’ensemble des éléments de A qui commutent avec un élément x de E est une sous-algèbre de A (parce que A est associative) et contient par hypothèse E; cet ensemble est donc A tout entier, ce qui montre que x est dans le centre de A. Le centre de A est une sous-algèbre et contient E ; il est donc identique à A, ce qui démontre le lemme i. Proposition

i

. — Soient V un espace vectoriel, S l’algèbre symé¬

trique sur E et f une application linéaire de V dans une algèbre asso¬ ciative commutative et unitaire A. Il existe alors un homomorphisme unitaire f* et un seul de S dans A qui prolonge f; l'ensemble f( A) est un ensemble de presque-générateurs de /*(S). Soient x et x’ des éléments de V. L’algèbre A étant commutative, on a f(x)f(x') — f(x')f(x) = o ; la prop. i résulte donc du th. i, § i. L’homomorphisme unitaire f* s'appelle le prolongement cano¬ nique de/à S. Soit en particulier f une application linéaire d’un espace vectoriel V dans un espace vectoriel V', et soient S et S' les algèbres symé¬ triques sur V et V' respectivement. On peut considérer f comme une application linéaire de V dans S';/admet alors un prolongement canonique /*, qui est un homomorphisme unitaire de S dans S'. Soit g une application linéaire de Y' dans un espace vectoriel V", et soit g* le prolongement canonique de g par un homomorphisme de S' dans l’algèbre symétrique S" sur V". On voit tout de suite que le prolongement canonique de l’application go de V dans V" est g* o f*.

J

— Soit f une application linéaire d’un espace vecto¬ riel V dans un espace vectoriel V'. Soient S et S/ les algèbres symé¬ triques sur V et Y' respectivement, et J* Vhomomorphisme de S dans S' prolongement canonique de f. L’homomorphisme f* est alors homo¬ gène de degré o. Si f est bi-univoque, il en est de même de f*. Soit y un élément homogène de degré n de S (où n est un entier). Si n- I)ç de l espace des applications linéaires de V dans S dans l’espace des déri¬ vations de R est linéaire. Soient 1 1 algèbre tensorielle sur Y et ê l’idéal engendré dans T par les éléments x®x—x'x (pour x et x' dans V). Soit S0 un sous-espace de T supplémentaire du sous-espace ê ; l’application canonique de 1 dans S induit donc une application linéaire bi-univoque de S0 sur S. Si , désignons par 6(x) l’élément de S0 qui appartient à la classe cp(x) modulo ô ; ^ est alors une application linéaire de \ dans 1. Cette application peut se prolonger par une dérivation A de T (cor. à la prop. 11, § 3). Si x et x' sont dans V, on a A(æ ® x' — x' ® x) = A(x) ® x' H- x ® A(x') — A (a/) ® x — x' 0 A(x). L’algèbre S étant commutative, l’image de A(x®x'— x'®x) par l’application canonique de T dans S est nulle, comme il résulte tout de suite de la formule précédente ; on a donc A(x®x'— x'®x)eê. Il résulte alors de la prop. 3, § 3 que A applique ô dans lui-mêine, et de la prop. 2, $ 3 que A définit, par passage aux quotients, une dérivation D® de S. Il est clair que D® prolonge 9. Or on sait que toute dérivation d'un anneau sans diviseur de zéro se prolonge par une dérivation du corps des quotients de l’anneau (Bourbaki, Al., IV, § 4, n° 4- prop. 1 1). Il existe donc une dérivation D-> de R qui prolonge 9. Le corps R est engendré (en tant que corps) par les éléments du corps de base K de V et par les éléments de V. Il en résulte que toute dérivation de la structure de corps de R est déterminée uni¬ quement par son effet sur les éléments de K et de V. Or, une déri¬ vation de la structure d’algèbre de R applique les éléments de K sur o, comme il résulte tout de suite de la prop. 4. § 1 ; une telle dérivation est donc uniquement déterminée par son effet sur les éléments de V, ce qui démontre l’unicité de D. Si 9 est homogène de degré m. il résulte tout de suite du corol¬ laire à la prop. 6, § 3 que D® est homogène de degré m. Soient 9 et 9' des applications linéaires de V dans S. L application Df+ D;,- est alors une dérivation de R qui prolonge cp —l— q>/ d où

2 fl

ÀXGÈBRE

TENSORIELLE

ET

APPLICATIONS

Dç -(- D? = Dç + ç■. On voit de même que Da? = aD^ pour tout açK, et par suite que l’application cp-^D^ est linéaire. 6. — Soient X et X' des endomorphismes d’un espace vectoriel V, et Dx, Dx, les dérivations de l'algèbre R des expressions rationnelles en les éléments de V qui prolongent X, X' respectivement. Proposition

La dérivation de R qui prolonge

jX, X'jr^XX'— X'X est

alors

[Dx, DX i -r- DXDX — DX DX. On sait en effet que [Dx, Dx ! est une dérivation de R (corollaire à la prop. 5, § 3), et cette dérivation prolonge évidemment jX. X'j. Soient maintenant V un espace vectoriel, V* le dual de V et S* l’algèbre symétrique sur

V*.

Soit o l’ensemble de toutes les applica¬

tions de V dans K. L’ensemble 0 possède une structure d’anneau : si o et ■ ç(æ)^(æ). Cet anneau est commutatif, et contient un sous-corps isomorphe à K, formé des applications constantes. Il a donc une structure d’algèbre sur K. L espace V* est un sous-espace vectoriel de o. De plus, o est évi¬ demment unitaire. Il résulte donc de la prop. i que l’application identique de V* dans 0 se prolonge par un homomorphisme uni¬ taire tt de S* dans o. Nous appellerons fonctions polynômes sur V les éléments du sous-anneau 7r(S*) de o, et nous désignerons par l’anneau 7r(S*) des fonctions polynômes. Proposition 7. —

Soit

V

un espace vectoriel sur un corps

K

qui

contient une infinité d’éléments, S* l’algèbre symétrique sur le dual V* de \ et tt l'homomorphisme de S * sur l’anneau^3 des fonctions polynômes sur Y qui prolonge l'application identique de V* dans L'homo¬ morphisme 7i est alors un isomorphisme. Soit s* un élément

o de S*, et soit B* une base de V*. On peut

donc exprimer s* comme polynôme en un nombre fini d’éléments distincts de B*, soit s* = F(>,1, ...,Xn), où F est un poly¬ nôme à coefficients dans K. Il est clair que fis*) est l’application x-^F(X1(x), ..., X„(æ)) de Y dans K. On a F o ; puisque K contient une infinité d’éléments, il existe des éléments a,, ..., an de K tels que F(at, ...,a„)=^o. Puisque ..., \ sont linéairement indépendants dans V*, il existe un x£\ tel que \{x) = a* (1 ^ i ^ n) (Bourbaki, Al., II, §4, n°8). On a donc (fis*)) (x) fi=. o, d’où n(s*) o. Toutes les fois que nous considérerons des espaces vectoriels V sur des corps infinis, nous identifierons l’algèbre symétrique sur le dual

ALGÈBRES SYMÉTRIQUES

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de V avec l'algèbre des fonctions polynômes sur V au moyen de l’homomorphisme tt. Proposition 8.

Soient et V2 des espaces vectoriels sur le même corps infini K, et soient