Théorèmes de représentabilité pour les espaces algébriques 9780840502193, 0840502192

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/

Notes du cours donné par le professeur Michael Artin à la neuvième session du Séminaire de mathématiques supérieures de l'Université de Montréal, tenue l'été 1970. Le Séminaire est placé sous les auspices de la Société Mathématique du Canada.

UNIVERSITE DE MONTREAL - DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

THEOREMES DE REPRESENTABILITE POUR LES ESPACES ALGEBRIQUES

par Michael ARTIN Massachusetts Institute of Technology Cambridge, Mass. U.S.A. en collaboration avec Alexandru LASCU et Jean-Franr,;ois BOUTOT

1973 LES PRESSES DE 、 ,

ヽ

・

L'.UNIVERSITE .DE. MONTREA,L

C.P-. 6128, 、 M心はREAt 101, CANADA ,.. ,

／

し�、,_..

ISBN O 8405 0219 2 D紐OT LEGAL, ler TRIMESTRE 1973 - BIBLIOTHEQUE NATIONALE DU QUEBEC Tous droits de reproduction, d'adaptation ou de traduction reservお ©Les Presses de l'Universite de Montreal, 1973

à Jean MARANDA

/

TABLE DES MATIERES Page

INTRODUCTION

8

CHAPITRE I

- RAPPEL SUR LES MORPHISMES ETALES.

11

CHAPITRE II

- LE THEOREME D'APPROXIMATION . . .

39

CHAPITRE I II

- LE THEOREME D'ALGEBRISATION . .

57

CHAPITRE IV

- LA NOTION D'ESPACE ALGEBRIQUE.

93

CHAPITRE V

- LE CRITERE DE REPRESENTABILITE POUR LES ESPACES ALGEBRIQUES.

CHAPITRE VI

- MODIFICATIONS.

CHAPITRE VII

- LE THEOREME DE FINITUDE EN COHOMOLOGIE ETALE . . .

BIBLIOGRAPHIE

INDEX

119

137

187

- CHAPITRES DE I à VI

273

- CHAPITRE VII . . . . . . . . . . . .

276 277

/

INTRODUCTION

Theses notes are based on lectures I gave at the University of Montréal during the surnrner of 1970.

Alexandre Lascu and Jean-Franço is

Boutot kindly took on the job of writing up the notes. chapters I-VI, and Boutot wrote chapter VII.

Lascu wrote

My lectures (in bad French)

were often quite sketchy and have been filled out a great deal here with details of proof and exarnples, until in the end Lascu and Boutot have contributed at least as rnuch to the notes as I. The purpose of the lectures was to give an introductio n to algebraic spaces which was as down-to-ear th as possible, with sorne representab ility thebrerns as the goal.

For pedagogical reasons, I

worked over an algebraical ly closed field.

Although the notes are not

entirely self-contain ed, I think there are enough details of proof so that they can be f ollowed without tao rnuch difficulty by sorneone with a background in algebraic geornetry. Chapter VII contains a new arrangement of the finiteness theorem for étale cohomology, which I believe is a considerabl e improvernent over the treatrnent in SGA4. nove! feature of the notes.

This is the only really

Frorn a logical point of view the main

change in proof is the use of the approximati on theorern, which trivializes exposé XIII of SGA4.

However the introductio n of the étale space associated

to a sheaf leads to a considerabl e clarificatio n of the staternent of the theorern, and it allows one to apply the representab ility criteria developed in chapter V to simplify the proof.

Michael Artin.

ÇHAPITRE I RAPPEL SUR LES MORPHISMES ETALES Tous les schémas seront noethériens. Proposition 1.1 Soit

f : Y+ X un morphisme de type fini de schémas. Les

conditions suivantes sont équivalentes : a) critère jacobien : pour tout existe des voisinages affines

Spec A de

y

et

x

= f(y)

x

Y et

E

Spec B de

y

, il avec

et ()f

det(at) B

=B

(i.e.

af b)

Spec 0

Un morphisme d'un schéma local artinien schéma est donné par l'homomorphisme seul point de

0s

+

0 ' où

Spec 0 . On peut donc remplacer

dans un

est l'image du

s

X et

Y par des ou-

a). On a alors un diagramme commu-

verts affines choisis comme dans tatif

A----~

A'

i

!

B

et on cherche une flèche

B-

-----A

qui rende commutat if le diagramme

_,,A'

A'

A

1

/

,,.

/

~ l

B ./

Une flèche de

f (y)

=0

. Soit

B +A'

yo E (A)n

A

est donnée par une 1solution la solution de

Il faut trouver f (y+h)

= f (y)

h

E

(E)

n

tel que

+ Qi_ (y) h + termes dans

at

E

=0

-

E

(A')

Il

donnée par

f(y)::: 0 mod.E

y E(A')n.On a

B +A. Relevons -là arbitraire ment en i.e.

f(yo)

y

2

f(y+h)

=0

• Or

13

donc f (y+h)

d'où

f(y+h)

=0

= f (y)

.ai -

+ at (y) h

, si et seulement si af (y) h

at

= -f (y)

}f (y)

Ce système a une solution unique puisque af

A'

sible dans

det( 0t)·B

= B =>

inversible, d'où on déduit que étant local.

La

&f at

.

af

-

-

. i.e.

det( 0t) A= A

est inver-

&f at (y 0)

est aussi inversible,

(y)

solution est dans

car

-

f (y)

~

(E)

n

A' -+A

.

b) => b')

Récurrence sur la longueur de module avec

l(E')

=1

E . Soit

E'

c

E un sous-

. On a la suite exacte 0 -+ EIE 1

et on peut relever uniquement ductive, puis appliquer b) à

.;

A1 IE 1 -+ A -+ 0

B-+ A à B-+ A'/E'

B-+ A'/E'

par l'hypothèse in-

et à la suite exacte

0 -+ E 1 -+ A1 -+ A' 1€. 1 -+ 0 b') => c)

D'abord

b) => f

quasi fini, sinon on pourrait trouver une déformation verticale, contradic-

y

toire à l'unicité (Note 1). c) est local pour la topologie

X

= f (y)

plate sur

X et sur

Y . Après un

14

k(x) = k(y) (note 2). MonN 0 lmN 0 puis= I l suffit de montrer que 0 X lm -X y X y

changement de base plat on peut supposer ~

trons que

X

= 0

y

m 0y -x

étant quasi fini,

f

que,

0

est un idéal de définition de

0

y

...

On applique b') a

0

0 X

1 0

pour trouver une flèche

lmN = A' X

J/m

O lm = A y -y = X -X

y

0

~

X

y

+

qui rende commutatif le dia-

0 lmN

X

X

gramme

I l en résulte que

0

N

X

lm X

+ 0

N 0 y lm X y

0

X

+ 0

y

induit un morphisme injectif

Pour voir que celui-ci est aussi surjectif, i l suffit

de vérifier la commutativ ité de

0 -

~

y~

0

lmN

X -X

l

0 lmN 0 y

ou... 0

O

y

+

y+

+

O lmN 0 y -X

O /mN O y -x y

y

-X

y

et la surjection canonique. Or on a deux flèches

que l'on peut insérer dans le diagramme commutatif

15

r-·

---------> 0 /rnN 0

0

0

y

On conclut par b') avec

y

lm

y-y

·N = 0y /m-x

A.•

0y

A

qu'elles sont égales. Donc 0 /~ ~ 0 /_mN 0 x-x y-x y pour tout .... 'V .... implique 0 -+ 0 On fait alors l'extensio n plate X y ....

y

X XX y

l

l

X

La fibre de Y xx Spec k(x) f

au point

X

Y -+ X

x . Appelons encore

respondan t à

y

= Spec

au-de~sus

donc isomorphe à

=

....

0

X

du point fermé de

qui est la fibre de

y

Y xX Spec k(x)

le point de Q....

dans son complété (Note 4). Le diagramme

0

y

cor-

Y,y = 0 y et l 'homomorcorrespon dant à Y -+ Y est l'homomorphisme canonique

par cet isomorphi sme. On a

de

y

X est

Y xX Spec k(x)

0

-+ 0

N ce qui

y

phis me

y

= Oy/_my

ox---~

0

y

est commutat if où l'homomorphisme en bas

0 X -+ 0 est défini par y .... 'ù .... Y-+ X . Donc celui-ci co!ncide avec l'isomorph isme O -+ 0 défini X y

par

0X -+ 0 . Il en résulte qu'on peut splitter y Y=CJJ_ D,

16

avec

C

= Spec

-

En effet, le morphisme canonique

Oy

-

-y

I = Ker

cj>

0

,il existe

Donc le morphisme

avec

= Bp

B

À. E

-

'

À.

i.

tel que

p

défini par

C -+Y

-

~)

x

_i Ôy

= 0

-

et BÀ. -+ "' 0 y

- = C .ilo

Y

. Comme

- -

c'est un isomorphi sme, Y-+ X induit un isomorphis me

ÔX +B+Ôy ~

B

c'est une immersion qui est à

cj>

la fois fermée et ouverte ce qui prouve bien que

c

= ÔX ®A

Ox -+ Ox ®A B ' cela donne p = cj>-1 (~ -Oy) d'où on voit que si

est surjectif parce qu'en le composant avec un isomorphi sme. Or

B

-

-

Y -+ X

ce qui montre que

est plat en

y

et

descente fidèlemen t plate. c) => a)

Soit y

E

Y • On peut remplacer

avec donc

définissa nt un voisinage affine de

B = A[t 1 , ... ~tn]/I Y

par

Spec B . On a la suite exacte

1 Or 0,B/A = 0 K engendré par les df ' f E I . 1 est engendré par les df avec f 0,A[t]/A (!JA B

.

module libre, de rang minimale sur

By

de

n , engendré par 1 0,A[t]/A ®A By

dt 1 , .•. ,dtn

E

I

.

C'est un B-

donc toùte base

est libre car engendrée par

n

ments. On peut choisir une telle base df 1 , .•. ,dfn avec f 1 , ... ,fn af i ce qui équivaut à det(at·) ! 0 en y. Soit C = A[t]/(f 1 , ... ,fn)

éléE

I

J

Z

= Spec

C est un X-schéma affine dont l'anneau est de la forme det(af./a t.)

avec

1

y . En effet, soit

z

i O en y

Cette propriéA[t]

avec

g

E

une nouvelle. variable

h

= gz-1

té se conserve pour tout ouvert affine contient

J

Spec(C g )

Cg = C[z]/(gz- 1) C[z] = A[t,z]/(f 1 , ... ,fn ,h)

et le jacobien

qui . On a

17

qui est placer

f. 0 en

y

parce que

g(y) /:. 0 . Il est donc possible de rem-

Y par un voisinage affine de

y de sorte qu'on puisse suppoafi dfi ser det(at·) # O dans tous les points de Z i.e. det(at.) inversiJ J af. ble dans C (prendre g = det(_!.) et remplacer Y par Spec(Bg)). at· J A ce moment-là on peut prouver que l'immersion fermée Y+ Z définie par la surjection canonique nage

Spec (C ) g

de

y

C

+

B est aussi ouverte dans un voisi-

donc on conclut en remplaçant

Il reste seulement à montrer que de base on peut supposer

k(y)

Oy

,y

= k(x)

a) donc par un raisonnement antérieur défini par

donc

Z

ôY,y

+

= o2 ,y où ,..

'\.,

0

cg

. Après un changement plat

= f(y)

x

C par

Or

C satisfait

,..

0

Z,y par l'homomorphisme X . Mais on a le diagramme conunutatif

est plat sur

X,x

,..

,..

0Z,y . Comme

,..

0

+ 0

Z,y

fidèlement plat dont injectif, et on trouve Ôy

,y est un quotient de est injectif, donc 0

Z,y

+

·Y,y

ôZ,y

est local, il est ,..

= 0Y,y

parce que

ÔZ,y . Ce qui prouve que 0 Z,y + 0Y,y

= 0Y,y

Définition 1.2 f c) .

est étale s'il satisfait aux conditions équivalentes a) -

18

Remarques 1. 3 1) y

pour

E

c) est ponctu elle c'est- à-dire qu'on peut la formu ler f

Y , en demandant que

et

y

soit plat en

Il en est de même avec b) en se bornan t aux diagrammes Spec A--- .,.. Y

l

lf

Spec A'

X

Y de l'uniq ue point de

dont l'imag e dans

Spec

A

est

donc défin ir la notion de morphisme étale en un point de

y . On peut Y , et être

esteétale signif ie alors de l'être dans tout point. Or a) est manif ment locale donc l'ensem ble des points de

Y où

f

est étale est un

ouver t. 2) f me

Soit y

est étale en ~

Ox

'V

+

c) ==> a)

x

= f (y)

et

k(x)

alors le morphisme

= k(y)

. On a vu alors que si

0 x + 0y

donne un isomo rphis-

~ Oy . On voit facilem ent en suivan t la démon stratio n de

que la récipr oque est aussi vraie. 3)

On peut énonce r une propo sition analog ue pour les mor-

phisme s lisses en rempla çant a) - c) par f l ' ... ,fn-r

a)

avec

b)

sans unicit é

c)

avec

1 fly /X

locale ment libre.

Quelqu es propr iétés des morphismes étales 1)

L'imag e de

SGA I, exp. IV) •

Y dans

X est ouvert e (vraie pour plat,

19

2)

f

est une immersion ouverte

. aussi. un monomorph"1sme 1.e. dent si

f

y xX y

y

'~ .}:i

est étale et

f

(vrai pour plat). C'est évi-

est une immersion ouverte. Réciproquement

oy

vert donc un homéomorphisme sur un ouvert puis tout

X

donc

= f (y)

0

~ 0

X

parce que

y

est injectif et ou-

f

"'-+ oy es>0 X oy 0

X

-+

0

pour

c'est

y

(fidèlement) plat. 3) sections de de

Soit

f

étale, séparé et

X connexe. Alors les X-

Y correspondent biunivoquement aux composantes connexes

Y isomorphes à

X .

Preuve Toute section rifie aussitôt

s : X -+Y

b) , compte tenu que

un monomorphisme, i.e.

1

et

sf

f f

est étale, car on véEn plus,

= 1

s

X xy X "' -+ X donc

verte par 2). D'autre part, si composantes

de

s

s

est

est une immersion ou-

Y-+ Y xX Y est le morphisme de

on a le diagramme cartésien

s X ----41o-Y

1

6

y

donc l'image de

4)

s

Soit

est fermée, i.e. une composante annexe de

f

étale. Les X-sections de

biunivoquement aux sous-schémas ouverts soit un isomorphisme.

U de

f

Y .

correspondent

Y tels que

f/U

20

Théorème 1. 4 (Invariance topologique des morphismes étales). Soit

x 0/

c

X

un sous-schéma fermé défini par un idéal nilpotent. Alors le foncteur donne une équivalence entre la catégorie des X-schémas étales

x 0 xx·

et la catégorie des xo-schémas étales

(Et/X)

Démonstrati on La flèche est pleinement fidèle car dans un diagrannne

1)

z

avec

Y XX Z +Y

+ X étale,

sociant à tout X-morphisme Or les

r

g

est aussi étale. La corresponda nce asy+

z

i.e. les Y-sections de

g

y XX Z

voquement aux sous-schéma s ouverts de

y

E

(Et/X)

Y0 /x 0

Tout

2)

son graphe

y XX

rg

est bijective.

corresponde nt biuni-

z

isomorphes à

étale est isomorphe à

Y xX x 0

y

avec

c'est un problème local car on peut recoller compte tenu

de 1). On conclut par la condition a). Définition 1. 5 Soit commutatif

x

E

X . On appelle voisinage étale de

x

un diagramme

21

X'

X

avec x

f

= f(x')

étale. Si

/

= Spec x'

f

k(x)

X'

E

X

est le point défini par

= k(x')

et

k(x)

Si

(x' ,X')-+ (x,X)

nages e.. tales de

1 Xe+

X'

alors

i.e. pas d'extension résiduelle donc

et

x ' un morph1· sme

(x",X")-+ (x,X) (x' ,X')

~ ~

(x",X")

sont deux voisiest donne.. par un

diagramme commutatif (x' ,X')

(x",X")

~/ (x, X)

Proposition 1.6 Les voisinages étales d'un point forment un système filtrant des schémas pointés. Démonstration 1)

Etant donné

deux voisinages étales, il existe un troi-

sième qui les domine X

X1 -:-----__ _.,./

-

-

~

·- - -

X' y

-

------------

l

X"

X

X

!/

X"

X

2) sinage étale

Soit

(x",X")

(x"',X"')

!

(x' ,X')

et un morphisme

deux flèches. Il existe un voi(x'",X"')-+ (x",X")

qui les

22

x'

par un voisinage affine de

X'

égalisent. En effet, on peut remplacer

de sorte qu'il est licite de supposer que . X' + X est séparé. De

même, en remplaçant

X"

pQser

X"

par la composante connexe de

x"

on peut sup-

connexe. On a le diagramme conunutatif

X

...

sont les graphes des flèches données. Or ils correspondent

ou

à deux composantes connexes de

X"

X

X

avec un point en co:mmµn donc

X1

Définition 1. 7 On appe Ile anneau local pour la

ê1X,x

=

quand

(x',X')

topolog~e

étale l'anneau

décrit les voisinages étales de

X • 'ù

=

lim r (X',Ox,) car les voisinages de (x'"!"X') Zariski sont des voisinages étales particuliers. C'est un anneau local On a aussi

0 X,x

car limite d'un système filtrant d'anneaux locaux ét homomorphismes lo'ù

qui est plat et inX,x dµit un isomorphisme pour les compléter parce que chaque ox ,x -+ ox, ,x 1 eaux. On a un homomorphisme canonique

a cette propriété. On peut donc écrire est fidèlement plat [GTJ , Note 3).

de plus

'ù

0 X, x

0

0

+

'ù

X,x

c

0

X,x

car

0

'ù

X,x

-+ 0

X,x

OX,x· est noethérien (théorème de Nagata,

23

Si

A est un anneau local on dit que

pour le point fermé

de

X

X = Spec A on a

A est henselieri si

'\,

0

. = 0

X,x

X,x

Proposition 1. 8 Soit mé.

A un anneau local

X

= Spec

A , x

E

X le point fer-

A est hensélien si et seulement si tout morphisme

tel qu'il existe en

Y avec

y E

x

= f(y)

,

= k(y)

k(x)

f : Y-+ X et

f

étale

admet une section.

y

Démonstration La condition est évidemment suffisante. Supposons A lien. Par hypothèse peut supposer ouvert de

f

définit un isomorphisme

f

étale (les points de

Y et on peut remplacer

composé de

X

= Spec

Y où

A

f

= 0 X,x

~ 0Y,y

hensécar on

est étale forment un

Y par celui-ci). La section est le

A ~ Spec 0 Y,y

avec le morphisme canonique

Spec Oy

Une autre façon de caractériser les anneaux locaux henséliens

A , donnée par a) est la suivante : Si

yo

E

k

= A/m

f 1, ... ,fn de

f (yo)

te une solution dans

E

A[y1 , ... ,yn]

=O

det(~f (yo)) ~ 0 alors il exisoY

telle que

A qui induit

y

et si on a une solution ·

0

Ou bien encore Si tion

y

0

E

fl' ... ,fr

k de

f(yo)

E

=0

A[y 1, ... ,yn]

,

r < n

telle que le rang de

alors i l existe une solution dans

A qui induit

et si on a une soluaf o CayCY ) )

Yo

.

soit

r

En d'autres ter-

mes, tout schéma lisse au-dessus de Spec A admet une section. Parce

,y

-+ Y .

24

qu'on peut toujours ajouter des équations pour se ramener au critère pr~cédent.

Note.

Tout quotient d'un anneau local hensélien est aussi

hens é 1if;m • Le lemme de Hensel ThË!Ïorème 1. 9 Un anneau local hensélien

A satisfait à la condition sui-

vante Soit Supposons que

f

= gh

avec

A[XJ

fo(X)

Alors il existe f

E

g. h

et notons· par

= go(X) E

A[XJ

ho(X)

avec

0

go

qui inçluisent

l~

réduction modulo

unitaire g oJ

ho

et

!!!_ ~

(go.ho)

et tels que

g unitaire

X

X

ho = f = 0

g

0

=

~

Spec A Démonstration Soit +a f (x) - aXn+ n · · · .· 0

h = 0

g

=0

i:::

1 .

25

g(x)

r-1 xr + b X + r-1

~

s

= cs

h (x)

X

avec des coefficients

+

...

+

b. , c. 1 J

...

+ bo

c0

r+S

=n

indéterminés. On cherche une solution

de ao = b 0 CO al = bo cl + bl CO a2 = bo c2 + bl cl + b2 CO

.......................... a

c c b n-1 = r-1 s + 1 S-1

a n = i.e s au-dessus de

g

. . . .,

-

c n = s

r+S+l = n+l

aCo' ..• ,cj>n) = a (b, c)

0

an

ho

.

.

On a

Soit

ct>o = bOCO - ao,

n+l

équations

'1>1 -- b 0 c 1 + blCO

o = 0

J ••• ,

n = 0

- al, en

variables dont le jacobien est

CO

bo

cl CO

b1 bo

c2 cl CO

b2 b1 bo

= Resx(g,h)

0

D'après la proposition préc&dente, il suffit de voir que 0

0

ResX(g ,h } # o . Or, celui-ci s'annule si les degrés des polynômes g o , ho

sont inférieurs aux degrés donnés ce qui n'est pas le· cas (car

26

go

unitaire) ou si

go

et

ho

ont un facteur comnnill ce qui n'est

(go,ho) = 1 .

pas possible parce que

Généralisation : Théorème 1 . 10 Soit

f : Y + X séparé de type fini et

A local hensélien. Soit et

yo

E

Y0 =Y

~A

X = Spec A avec

la fibre du point fermé de

k

X

yO un point isolé c

Y

Il existe un splj:ttage unique

avec

C/X

0

tqp

= {y0 }

= C li D

qui induit

fini.

Supposons qu'on a un splittage Y _ C .l1. D • Tout sous-schéma

Preuve.

z

fermé y

c

de

contient

X donc

est fini sur

y

0

f (Z)

car

z

est fermé

ce qui montre que le point fermé de f D

appartient à donc

X

ctop y

0

est connexe. Cela prouve que dans

v0

n

C

= {yo}

y 0 E Z . On en déduit que tout fer-

ctop

mé de

ctop

f (Z) . Or

X

= {y

E

contient Ylyo

E

{y}}

donc

yo

en particulier

est la composante connexe de

C top

Y . L'unicité du splittage découle maintenant du fait que deux

composantes directes avec le même espace sous-jacent coincident. On peut remplacer V= C'll D'

Y par un voisinage avec

C'/X

qui est aussi finie car

V de

fini alors

y

0

C' +Y

En effet, si

V

splitte

est une immersion ouverte

C' + X est fini. Donc

C'

est fermé dans

Y

27

i.e. c'est une composante directe de Y

= Spec

Y . On peut donc supposer

A[tp ... ,tnJ/I . Il existe

f 1 , .•. ,fn

Spec k[t 1 , ... ,tn]/(f 1 , ... ,fn) k[t]

ait

yo

I

E

tels que

comme point isolé car

chaque équation d'un système d'équations tue une dimension si elle n'est pas nulle en vertu des équations précédentes. Soit

= A[t]/(f 1 , ... ,fn) 0 Y' = Spec B et y B

. Alors

Y est un sous-schéma fermé de

est encore isolé dans sa fibre par rapport à

Y' -+X . Tout spli:tage

= C' ll

Y'

Donc on peu,t substituer

Y'

D'

pour

induit un splittage de

Y i.e. prendre

Y= Spec A[t]/(f 1 , ... ,fn) • A ce moment-là plète en

y

0

donc

f

Y est intersection com-

est plat en ce point (EGA IV, 11. 3.8). On

peut donc se restreindre à un ouvert affine sur local

A . Maintenant et

C/A

mal

fini on en déduit

= Spec B~ Il en résulte r = dimk B~ sur A . Si A B = B ®A A splitte B = B1 x ment

B

A on trouve justement

m de

Spec

C

= Spec s 1

= B1 . x

B2

A . Comme

avec

avec

B plate

B1 B1

A est

libre sur

fini et

A de telle façon que par réduction modulo l'idéal maxi-

Do

car

Spec B avec

C s'il existe sera plat sur

A ([AL]) • On veut donc écrire libre sur

Y .

B

et

a° = a°1

Spec ~ B

que

s 0 = B~

x B~

avec

c0 = Spec B~

,

B1 doit être libre de rang

est une A-algèbre artinienne finie, alors B2 avec

ont le même espace sous-jacent et évidem-

On peut figurer la situation comme suit :

28 1

(t:' • } yO

y

D{

~~

Spec. B

• f

f

1

• xo

X

Spec A

dans le cas

= point .

1 = Spec k

i.e.

~

X = Spec A

A . locale et i l faut dEmontrer

qu'on n'a pas une situation comme cela

Gonsidérons le problème suivant : donner 1)

Une lOi de A-algèbre (associative, commutative, uni-

taire) sur le module libre 2)

V de rang· r :: dimk B~ ·.

Un homomorphisme

B +V de A-algèbres.

Or ce problème est résolu par les points à valeurs dans d'un certain X-schéma

A

Z qui exprime les conditions 1) et 2). En ef-

fet, une loi d'algèbre sur

V est donnée par un A-homomorphisme

V ~A V + V ce qui revient, en choisissant une base de un point dans l'espace affine de dimension

V , à prendre

r 3 sur A . Les conditions im-

posées (associativité, commutativité, unité) sont polynomiales à coefficients dans

A .

29

Un homomorphisme de A-algèbres i.e. par

t.1 +V. EV ·1

nr

sujetties aux équations

à coefficients dans

B

=0

f.(V) 1

X , où

affine

sur

Z

Z à valeur dans BO

k

i.e.

un point

0

B1

'ù

+

Lemme 1.11: Z

V. . Donc toute 1

dans

A d'un schéma

est un sous-schéma fermé de l'espace

A'

et alors toute solution est un point

A'

B~ surjectif avec BO1 libre de rang r

+

B~

V ®A k , pour une base choisie dans

z 0 de

Z à valeur dans

est lisse sur

X

•

A qui induit

z0

sur

Cela donne

k .

z0

dans

En vertu de ce lemme, on peut trouver un point valeur dans

as-

A . On peut tensoriser ce problème par n'im-

porte quelle A-algèbre

On a

V.1

qui reviennent à des équations

A dans les coordonnées de

affine . Z sur

est donné par

quantités, les coordonnées des

solution du problème est un point à valeur

de

~V

(on a

k(z 0 )

=k

z

E

Z à

et on applique (1.8)

Ce point correspond à une solution du problème considéré i.e. on a avec

une A-algèbre libre de rang

r

,

= BO1

et ----~v

j - - - + V A k

commutatif.

B + B1

est surjectif par Nakayama donc définit une immer-

sion fermée

Spec B1

+

Spec B

30

Lemme 1.12: Spec B1

Spec B est étale.

+

On conclut que l'image Je Spec B = Spec B1

Spec B · splitte

Spec B1 est ouverte donc

lL Spec

D . Il reste seulemènt

à démontrer les lemmes précédents.

Lennne 1.13 D'

Soit D

= D'/J,

C'

un idéal nilpotent,

c

D'

C

= C'

une D'-algèbre plate et

(1.13.1)

~'

D . C

Toute projection sur un facteur direct

peut être relevée en une projection

C' + C' 1

est fini sur

(1.13.2) sur

J

un anneau local,

+

c1

sur un facteur direct. C'

D alors

1

est fini

D , D'

D' . Ce sont des modules libres du même rang sur

res-

·pectivement. (1.13.3) et

C'

C+ E

+

Si

E'

est une D'-algèbre libre de rang fini

un D'-morphisme se réduisant à une projection

E'

= E' &n•

D sur un facteur direct, alors

C'

+

E' est une pro-

jection sur un facteur direct. (1.13.4) homomorphisme

C'

D'

tel que le morphisme induit

alors

rise en Preuve.

+

Si dans les hypothèses de (1.13.1) on a un D'-

1)

J

C

+

D se facto-

se factorise aussi en

C' + D'

est nilpotent donc

Spec(C')

et

Spec(C)

C' + C' + D' . 1

ont le

même espace sous-jacent. 2)

F D'-module fini donc

C'1 = F car

31

J

est nilpotent. Comme

C'1 est plat sur

libre de rang fini sur rang sur

au-dessus de

C'

1

est

QDD, D est. libre du même

Par 1) et 2) il existe un facteur direct E qui est libre sur

est surjectif parce que

D'

Spec(E')

et

Spec(E)

est un sous-schéma fermé de C' +Ci+ E' . Comme

de rang

C + E est surjectif et

est un sous-schéma fermé de

jacents de

formée dans zéro par contenue dans

J

.

Or

D'

nilpotent donc l'image de

J

i.e.

C' + E'

C' ~ E' 1

C' + E'

nilpotent. Donc

Spec E'

se factorise en

(le déterminant de

car il l'est dans +Cl)

C' + D' + D C'2

= rangD(E)

r

C'

sont des D'-modules libres du même rang

c2 = ker(C'

Soit

4)

de

coincident ce qui prouve que

il en résulte est inversible dans

Cl

Spec(C') . Or les espaces sous-

Spec Ci

Ci , E'

et Ci+ E'

qui est local

D . 3)

Spec E'

c1 = Cl

D' ; donc

D'

.

D).

Par 1 'hypothèse

Donc l'image de

C'2

C'

dans

est engendré par un idempotent et dans

C'2

D'

est trans-

2

D' J

est est

est nulle.

Preuve de 1. 11. Soit

0 + E + A' +A+ 0

avec

A'

A-algèbre locale arti-

nienne et

Spec A

z

l

l

Spec A' commutatif,

zo

= 1 1 image

de

X

Spec A . Le point

Spec A.+

z

est donné par

32

1)

modulo

à 2)

libre de rang

m

-B+""'V,.,.. OO/A A (donc

un isomorphisme de A-modules r

Comme

sur

ft!J

B

est

A).

B est plate sur

A'-plate. (1.13.3) appliquée à C1 - BO® 1 k

B ~A A + B se réduisant

un homomorphisme de A-algèbres

D' = A ,

C'

J = rnA

B ®A A est A-plate et

A,

= B ®A

A,

C = BO ~

prouve que

B ®A A'

A° ,

B ®A A+ B c'est une

projection sur un facteur direct. Maintenant on peut conclure par (1.13.1)C1 = B ,

C = B ®A A ,

( 1. 13. 2) avec C' = B (J)A A' ,

D' =

A' ,

D = A •

En effet, on en déduit qu'il existe une projection sur un facteur direct B ® A' + A

B' ,

B'

avec

libre sur

point

Spec

A'

B'

de rang

r , au-dessus de

'V B ~ V ®A A en B' + V ®A A'

B ®A A+ B . On peut relever . arbitrairement en

A'

une base de

B

A.

sur

en relevant

Cela donne un

+ Z qui rend commutatif

Spec A

!

z

l

Spec A'---~ X Preuve de 1. 12. Critère infinitésimal. Soit un diagramme commutatif des A-algèbres B

l

-----Bl

A' ------"!>

1 A

33

avec

A' +A

surjectif et

A'

local artinien. On a le diagramme corn-

muta tif B ®A A'

8 1 ®A A'

l

1 s

B ~A A

1 œA A.

où les flèches horizontales sont au-dessus de Avec (1.13) on conclut que ce sont des projections sur des facteurs directs. Par hypothèse, on a un homomorphisme

B +A' +A

qui rend

commutatif

A

donc un homomorphisme

®A,i A)

B

se factorise par

B ®A A' +A'

A' +A'

@·

A

dont le réduit

B k[y] k[x]-algèbre de

maximal de

A , envoie

xl, ... , xn ~

donc s'étend uniquement à

A'

défini par la structure

k[x] +A'

dans l'idéal de sorte que

,......,

k[x]

/1

~

k[y]---+ A' ,.._

commute. On en déduit que morphisme

A'/(y)c A'

A'

est fini sur

Montrons que 1' image inverse A'

---

Spec k[y] donc

-

%Â/(y)c  montre que l'application k[x]

est surjective, par Nakayama. Donc

E. de

k[x]. A ce moment-là, l'iso-

--

A' = k[x]/~'

---

9... dans

k[y]

est réduite à zéro. En effet

avec

+ A' ~

= ker(k[x]

a'

+A')

d'un idéal premier minimal

A'

est localement libre sur

en dehors du point fermé ce qui implique d'abord

dim A' > 0

_.._,,

51 # (y) k[y] . Localisant en g_, l'homomorphisme

-

(k[y])

9...

+A' 9..

,,....._, dans zéro, A' q 9.. est entièrement formé par des divi-

ne transforme aucun élément différent de zéro

,.._,. étant libre sur

seurs de zéro donc on en déduit que mal de

A'

. Or E. A' 9.. ,__ 9... 9... k[y]9.. = {O) i.e.

k[y]

E.. est de cohauteur

est de cohauteur égal à

9...

d

k[y]

= (0)

. Avec Cohen-Seidenberg

i.e. tout idéal premier mini-

d . Maintenant on peut voir que

est non singulier en dehors du point fermé, pourvu que

c

A'

soit assez

grand. En effet, en vertu de la remarque précédente, tout idéal premier minimal associé à

a'

est de hauteur

n-d . Pour démontrer que

A'

est

54

non singulieren dehors de l'origine il suffit donc de prendre soin qu'il existe un système

f!····•fN

I'

Â

engendré dans

(af! / ax.)

soit

parce que

a + m

1

J

par. f!•···•fN

~-primaire.

c

.

=~·.

I . D'autre part, si En effet montre que

des générateurs de

c +m

I

1

r

et

I'

~

mr\· mr+l

contient

n-d

de

peut être pris très proche de

f.1

I ::: I'

I' + mr+l = 1 + mr+l = 1

tels que l'idéal.

et les mineurs d'ordre

Cela entraîne que

m

~

f~

Or

a'

(mod

r m

I' r+l

~

sera très proche de )

alors

I , + !!!.r+l

donc

~

r m

~

I'

•

r m

ce qui

S

étale sur

donc

Remarque 2.14 La démonstration montre qu'il existe un schéma Spec k[x] , qui contient un point

s

E

S

sans extension résiduelle au-

dessus de l'origine, et un sous-schéma fermé et

X' =X (mod(x)c)

L'idée est de prendre pour

c

S

tel que

s

E

X'

X= Spec  • En fait, on peut voir qu'il

avec

existe un sous-schéma fermé

X'

X" X"

c

Spec k[x]

l'image de

tel que X'

dans

X"

=-X (mod (x) c )

Spec[x] . Malheu-

reusement cette image peut être méchante à cause des "branches" se projetant dans l'origine

~\ ~-_____/·

i /

i

--- branche méchante

.

55

Par conséquent, on doit perturber la projection un petit peu pour déplacer ces branches. On a une immersion ouverte k[x]

car

dans

S . Alors

S

est étale sur X'

S

Spec k[XJ . Soit

est un ouvert de

c

S

X'

X' . On a

S fini sur

avec

la clôture de

X'

= Spec C

avec

une k[x]-algèbre finie. Donc tous les idéaux premiers associés à

E

sont maximaux. L'idéal avec

lp

te

Z

x.

dans

l

E

et

C par

x•

(z')C

l

c

+

Donc pour tout

Soit

x.l

X'

f

+

Spec k[x] dans

l

P > c

dans la classe de

co~ncide

z.l

z! . Donc la condition l

k[[x]]

de

z. l

défini par le k-

z! . On voit aisément l est le seul point de z. :: z! mod Ip

f . D'autre part

l'homomorphisme

dans la classe de

s

(x)C

p naturel il exis-

. On remplace l'image

x.

qui transforme

situé au-dessus de l'origine par

forme

=1

z +t

est p-primaire, ce qui prouve que

garantit que pour

pour

= z.+z. l

z!

= C

C

(x)C = I n J

se trouve parmi eux, d'où

tels que

J

E

HxJ

homomorphisme que

t

s

I + J

E,-primaire est

I

de

X'

+

OX'

l

l

/me ,s -

qui trans-

avec celui transformant X' =X mod(x)c

x.l

se préserve

f

Théorème (Hironaka) ~

Etant donné

Â'

quotient de

 % Â'

modulo

chaque anneau satisfait à

A comme ci-dessus, il existe k[[x]J

(x)c

c

E

N tel que

qui est de dimension

soit isomorphe à

> d

Â

Avec ce théorème, et (2.13) on conclut que Corollaire 2 .15 Toute singularité isolée irréductible est algébrisable.

et

56

ANNEXE

NOTE 1 A = k[x,z] , z = (zl' ... ,zN) ' z.l E A l'image de y.l (i = 1; ... , N) . Donc A est une algèbre intègre de type fini sur A co5!ncide avec

I l en résulte que la dimension de Krull de

k

d = tr

degrk A = tr degrk K ([AL] ' III, D), 3, Prop. 14). D'autre part, soit Alors V l'espace vectoriel sur K des k-dérivatio ns de K (dans K) d

est la dimension

Si

DEV

alors ( *)

Soit

V (N. Bourbaki, Algèbre, chap.S, §9, No 3, Th.2).

N

()f.

l j=l

()y.

l

cf- )

r = rank

ay; (x,z)

indépendant es

(Dy l' ... ,DyN)

Toute dérivation· DE

(x, z) Dy. = 0 J

J

On a alors

solutions linéairemen t

du système linéaire homogène précédent.

V est déterminée par les valeurs Dx 1 , ... ,DxN'

assujetties uniquement à

Dy 1 , ... ,DyN

N-r

§9, No 1, Prop. 3). Donc

d = n+N-r

(Bourbaki, Algèbre, Chap. 5,

(*)

i.e.

r = n+N-d.

NOTE 2 f : X' +X

Soit tègre. Alors donc

f

x'

Alors

est étale. Donc F'/F

et

f (x') = x V de

est étale dans un voisinage

est étale dans le point générique

f

F = 0 X,y

fini,

étale dans

y

de

et

x • Or

Spec OX ,x

0

X,x

in-

Spec OX ,x

c

V •

Soit

s = OX x-{O} et F + (OX, ,x')S=F' F = Frac(OX ,x ) = (OX x) S ' ' F + F' est quasi fini (Ch. I) . Comme F 1 /F est de type

est finie. Cela montre que chaque élément de .ox, ,x 1

satis-

fait une équation à coefficient s dans

F '. En chassant les dénominateu rs

on en déduit qu'il est algébrique sur

0

X,x

·CHAPITRE III ·LE THEOREME D'ALGEBRISATION Soit

k

un corps algébriquement clos et F : (k-alg)

-+

un foncteur covariant. Par définition points de

F

sera appelé l'ensemble des

F(B)

schéma fixé, alors

X rationnels par rapport à

points de

F(k)

= X(B) = HomSpec k(Spec B,X) avec X F(k) = X(k) est justement l'ensemble lxl

Si

~

(Ens)

un kdes

k .

Définition 3 .1 Soit ç; 0 un couple résidue 1 A -+ A/m

k

ç; 0

E

(A,ç;) et

ç;

F (k) . On appelle déformatiori infinitésimale de avec F (A)

E

A une k-algèbre locale artinienne à corps qui induit

ç; 0 par l'homomorphisme

=k

Spec k

Spec A

•

l •

•

Définition 3. 2 Soit couple

(A, {ç;n})

ç; 0

E

F(k) . Une déformation formelle de

avec

A

ç; 0 est un

une k-algèbre noethérienne locale complète

58

à corps résiduel

et

k

[,n

(_

F (A/11111t1)

n

çn-1 par l'application l 'h omomorp h"isme A/mn+l ~ Ici l'élément ~ A/mn

induise

ç0

tement l'élément

ç0

r'Il

tels que

(), 1 ' ...

' F (A/mn+l) -+ F(A/mn)

déduite 0 • Comme

morphisme

B . Donc on a

A est finie sur

B car

In-\!(A)-+

ijJ

K c In-\!(A)

est surjectif, induit par

In-\!c)J

K

c

In-l(A) ,

entraîne que le

est aussi surjectif (No-

ijJ

te 2). Ainsi la suite

est exacte. Or B

\!

In-\!(A)

= k[[d \!+ 1 , ... ,dn ]]

de

In-\!(A)

est un module fini au-dessus de

P de

au point générique

que le rang de

In-v(Â)

P

dans

est strictement plus grand

B

\)

On observe que

où

rg*(In-\!(A) ) > rg(In-\!(Â))

(*)

est linéaire

A définie par

par rapport à la structure de B-algèbre de a donc

On va voir que le rang

d 1 , ... ,dv

car tué par

rg*

est le rang en

B ! A . On par rap-

P

port à cette deuxième structure. On utilise le fait que les deux structures sont assez proches en appliquant Lemme 3.18 Soit que pour tout rgM

~

rgM'

(où

M un

k[[x]]

module fini. Il existe un entier

k[[x]]-modu le fini rg

avec

M'

M/(x)c ~ M'/(x)c

on ait k[[x]J).

désigne le rang dans le point générique de

On en déduit que

rg(In-\!(A)) ~ rg*(In-\!(A) )

venablement choisi. D'autre part et

Jn-\!

est tué par

L (I n-v(-A)) -- O pour µ

la dimension du support par rapport à

B

de

~Il-\)

J

si

est con-

c

car

d 1 , ... ,dv µ = O , ••• , v

- 1 . Done ce qui

< n-v

est

tel

c

A de J-n-v est ~

prouve aussi que la dimension du support par rapport à également

< n-\! , car

 fini sur

B . Donc l'homomorphisme

~n-v

J

-+

~

A

77

défini par ~-\)

dans

J

f1-V -+ A envoie

yi-v dans

P est justement

rg(In-v(A))

rg(In-v(A)) > rg(In-v(Â))

Comme

pas injective au point générique

In-v(Â) . Or le rang de car

i l s'ensuit que

'11-v-+ In-v(Â)

P de

Pour conclure, i l

Spec B\)

n'est

suffit donc de voir que ce morphisme est injectif. ;n-v-+ ~

Maintenant, pour déduire l'injectivité de utilise la préparation. On a vu que

In-v(A)

c

A\)

on

et on considère le

diagramme commutatif In-v (A)

A\)

J

uvî

V

L (In-v(A)) ®k Bv \)

L(A)

\)

®k

Bv

En vertu de la préparation, on en déduit que le morphisme en bas dv+l

Lv(In-v(A)) ©k B -+ L(Av) ~ B

=0

est injectif en dehors de

. Considérons le diagramme commutatif

Jn-v

uv

Av

LV

1

n-v LV (J ) œk B'J

il suffit de démontrer que générique

P de

me co!lncide avec

Bv • On

LvCA) ~ BV

L (Jn-V) \)

-+ L\) (Â\) )

est injectif au point

observe que d'après l'hypothèse, ce morphis-

LV (In-V (A)) ~ Bv -+ Lv.(Av) Ql)k Bv

N >> 0 . On peut donc conclure avec

modulo

mN+ 1 pour

78 Lemme 3.19 Soit

f : L -+ L' . un morphisme des modules libres sur

de

i.e.

f

tel que

f :: f' mod mN

très proche

f' : L-+ L'

k[[x 1, ... ,xn]J . On prend un morphisme

pour

est injectif dans le point génériqu e de

f

N · assez grand. Si k[[x]]

alors

f'

l'est

aussi. L'injec tivité de

Preuve.

~

détermin ants sont avec

h

0

f

s'exprim e par le fait que certains

c'est-à- dire n'appar tiennen t pas à

convena ble. Ces détermin ants sont congrue nts avec les dé-

termina nts correspo ndants associés à N>h

h

m

f' mod mN • Si on prend

on trouve que ces derniers ne s'annule nt pas aussi.,

APPLICATIONS DU THEOREME D'ALGEBRISATION 1. Le schéma de Picard Soit

X -+ k un schéma propre sur

foncteur de Picard P défini par

(k-alg) -+ (Ens)

k .

On

considè re le

79

où

XA =X x

projection

Spec A et l'homomorphisme précédent est défini par la

XA + Spec A . Un élément de

P(A)

s'interprète, grosso

modo, comme une famille des classes de faisceaux inversibles sur les fibres de

XA + Spec A .

Théorème 3.20 (Seshadri, pour le cas projectif, Grothendieck

Murre

pour le cas général). P est représentable par un schéma en groupes localement de type fini, noté Note 1.

Pic(X)

d'une courbe

Pic(X) n'est pas de type fini, par exemple dans le cas

C on a la suite exacte deg

0 + J + Pic (C) où

J

---7

est la jacobienne, donc

Z + 0

Pic(C)

est la réunion disjointe d'une

infinité dénombrable des schémas de type fini, toutes isomorphes à Note 2.

J .

P est un faisceau pour la topologie de Zariski sur les

schémas affines donc s'étend à tous les k-schémas. Note 3.

Par définition on a un isomorphisme

établi de la façon suivante : il y a sur versible

P(A)

Pic(X) x

~

Hom(Spec A, Pic(X))

X un faisceau in-

L tel que toute classe de faisceaux inversibles sur

vient de l'image inverse de

de la forme

~

x 1

avec

~

XA

pro-

L par un morphisme

Spec A+ Pic(X)

un k-morphisme univoque-

ment déterminé.

.

.

80

Le premier pas de la démonstration du théorème est X

~

est donné par un recouvrement ouvert telle qu'il existe une flèche

Y'

Y' xy Y'

Y est une flèche

+

~' Y'+ U

R rendant commutatifs les

+

diagrammes pr.

Y'

Xy

Y'

1

Y'

~·1 R

l

~'

(i

= 1,2)

u

pr.

1

i.e. telle que le diagramme

Y'

Xy

~·J R

Y' ===;Y' ---+Y 1

l

~'

~ 1

V

U----?X

soit commutatif. On peut également demander que

----Y'

R

X

Y'

LJ X LJ

~"

rende commutatif

100

~·

ce qui exprime la compatibili té de

me flèche s'il existe

Y' - - - > R qui fait commutatif

Y' + U x U défini par ces deux flèches

c'est-à-dir e si le morphisme se factorise par

Si cette flèche

R (et montre aussi que

Y' :t U définissent la mê-

s'il existe est unique). Deux flèches

~ 11

R+ Ux U

Y'- - - > R existe, il est clair qu'elle est unique.

On vérifie alors que Z

avec

En effet tout couple des flèches

R = U xX U

:t U qui sont égalées par U + X se factorise par /

z

z

lJ

l

/ /

/

Rk- _ _ _.....,

R

t U

U---~x

et

est unique, si elle existe. Il est facile maintenant de

Z ---> R

voir que

{U. +X} 1

est un recouvremen t ouvert de

condition b) de 4.1. En effet par constructio n le sens classique et schéma affine

U. +X 1

X est un schéma dans

est une immersion ouverte, donc, pour tout

Z et tout morphisme

f : Z+ X,

représenté par un sous-schéma ouvert de en vertu du fait que

X satisfaisan t la

Z

est

La condition a) est remplie

R = U xX U et de l'hypothèse que

R est fermée

101

(i.e.

est fermé dans

R .. =U.xxll.

lJ

1

J

U. x U.). Ainsi la condition 2) J

l

de 4 .1 est vérifiée. La condition 1) est satisfaite par tout schéma dans le seny classique. Donc tout schéma classique est un schéma dans le sens de 4.1. F un schéma dans le sens de 4.L Soit

Réciproquement soit

u

=

il u.1

u

et

F

u.1

Xp

u.

et

R = LJ X

R

= U/R

évidemment.

= R .. + 1J

J

. Alors

LJ

u.1

R

est une relation d 'équivalence sur

R

est fermée en vertu de a). De plus

u.1

est une immersion ouverte car

F

+

en est une.

Définition Soient me fonctoriel morphisme

Z

F' +

F , F' +

F

{F.

1

+

F , le produit fibré

F}

(k-alg)

+

(Ens) . Un morphis-

est étale si pour tout schéma affine

schéma et la projection mille

deux foncteurs

Z xF F'

+

Z xF F'

Z et tout

est représentable par un

Z est un m?rphisme étale. Une fa-

des morphismes étales est un recouvrement étale si pour

tout schéma affine et tout morphisme

Z

F ,

+

{Fi xF Z

+

Z}

est un

recouvrement étale. Définition 4.2 Un foncteur 1)

F

recouvrement étale

F : (k-alg)

+

(Ens)

est un espace algébrique si

est un faisceau pour la topologie étale : pour tout {Z.

1

+

Z}

avec

Z , Z.

1

des schémas affines le dia-

gramme F(Z) +Il F(Z.) i

1

~

ITF(Z. x 2 Z.) .1 J

est exact. 2)

I l existe un recouvrement étale

{U. + F} 1

avec

U.

1

des

schémas affines satisfaisant à une des conditions équivalentes suivantes

102

a)

LJ • XF LJ . ->- LJ • X LJ •

J

1

J

1

est une immersion fermée

b)

(comme dans 4.1).

c)

On a également une définition équivalente par des atlas : est un espace algébrique si c'est le quotient d'un schéma X par une R

relation d'équivalence

X

c

fermée et étale.

x X

Remarque (l'axiome de descente) n'est pas triviale

La condition 1)

Z'

même pour un recouvrement de la forme

Z' x 2 Z' : Z'

+

+

Z . On a alors

Z

donc

F(Z) Soit

a e F(Z')

points de de

i.e.

Z', i.e.

a

+

Z'

+

F d'après Yoneda. Soient

Z . On a alors

(p ,q) •

(q,q) •

F(Z' x 2 Z') p,q

deux

p,q e Z' (k), qui s'envoient dans le même point

Z' z z Z' t Z'

et

!

F(Z')

+

Z

F

103

d'où on voit que si

a.

E

F(Z)

a. pr 1 = a

pr 2

implique

a.(k) (p) = a.(k) (q)

i.e.

les deux points doivent avoir la même image.

Exemple 4.3 Soit

G un groupe fini qui opère sur un schéma

X libre-

ment, i.e. l'application

Gx X+ X x X définie par G x X

g

(g,x)

+

(gx,x)

est injective. Donc on peut identifier

avec son image. Pour

i.e. l'image de

g fix {(gx,x)

1

x

EX}

est le graphe de

X par l'immersion X +X x X X

/

l/î

X

pr2

Xx X

x~lprl Comme

X x X est le morphisme diagonal qui est fermé,

X+ X x X

X +X x X est une immersion fermée. Donc un sous-schéma fermé de finies par

(g,x)

+

G x X est identifié avec

X x X . Les deux projections

gx , (g,x)

+

x

+

G x X + X , dé-

sont évidemment étales, c'est

étalé en plusieurs feuilles (une pour chaque élément de

G)

X

104

X . Ains i

au-d essu s de

X/G

étale . Donc

Gx X

c

X x X est une rela tion d'éq uiva lenc e

est un espa ce algé briqu e. est égale ment un

X/G

X est affin e on peut voir que

Si

t pas un schéma (il y a un exemschéma (SGAD, exp.V ). Mais en géné ral X/G n'es 3 lisse sur C sur lequ el ple de Hiro naka avec X schéma d.e dime nsion une struc ture de schéma [H]) . Z/2Z opèr e libre ment et tel que X/G n'a pas Exemple 4.4 X une surfa ce lisse sur

Soit

On se demande si on peut cont racte r tre surfa ce morphisme

k

et

C une cour be sur

C à un poin t

p

X .

norm al d'un e au-

un isoX par un morphisme bira tion nel X ~ X qui indu it X\C

~

X\{p}

Il faut pour cela que

C soit conn exe d'ap rès

) et que la matr ice carré e le théor ème de conn exion de Zari ski (EGA III 1 symé triqu e

deux des comp osan tes irform ée par les indic es d'int erse ctio ns deux à ([MJ) . Ces deux rédu ctibl es de C , soit néga tivem ent défin ie ce d'un espa ce algé bricond ition s sont auss i suff isan tes pour l'exi sten auss i néce ssair es et suff ique X comme on verr a plus tard . Elle s sont Ann. 146 (196 2), 331- 368) . sante s dans le cas anal ytiqu e (Gra uert, Math. iste pas toujo urs en tant que Mais un exem ple de Naga ta mont re que X nlex cubiq ue non sing ulièr e et schéma. Soit P2 le plan proj ecti f et C une dix poin ts p 1 , ... ,p 10 de soit X la surfa ce dédu ite de P2 en écla tant

r

C .

105

Les points

p 1 , ... ,p 10

la courbe irréductible

Cr• r)

= -1

sont remplacés par dix droites projectives et

r de

X

correspondant à

C

satisfait à

car l'indice d' autointersection diminue d ''uni té après

chaque éclatement d'un point. Montrons qu'en général,

r ne peut pas

être contractée à un point normal d'un schétna. Supposons le contraire, soit

X + X un morphisme qui transforme r

dans un point

p

et qui

est un isomorphisme en dehors de . r .

%.p

p

D

a un voisinage affine dont la complémentaire est une courbe

(qui ne passe pas par Alors

o

n

r = 0

i=l

de

k

des choix parti culie rs

L•C . Excep té

le point corre spond ant à

g

avec

rang est un group e abéli en qui conti ent des sous- group es de

J

façon qu'au cune arbit raire . Donc on peut chois ir p 1 , ... ,p 10 de telle 10 l r. p. = ng , n > 0 ne soit possi ble. relati on 1

l

l

X exist e en tant qu'esp ace algéb rique . Cela veut

Cepen dant

rr

dire qu'il exist e un schéma

RcU xU

telle que

morphisme étale

C

Soit

étale de

Ii/R

U+ X

= X . Le morphisme

et un morphisme

l'imag e inver se de C tel que sur

catég orie des schém as, X est isomo rphe à

et une relat ion d'équ ivalen ce étale

U LJ + LJ

C dans

X

+

X

est donné par un

U + U (comp atible ; avec

est un voisin age

U . Alors U

on puiss e contr acter

R).

C

à un point dans la

est la contr actio n. L'esp ace algéb rique

X en dehor s du point

p . Au point

p

il n'y a pas

de fonct ion défin ie non const ante. Défin itions Un espac e algéb rique si

F

F

est locale ment de prése ntatio n finie

est un fonct eur locale ment de prése ntatio n finie .

107

Cela revient à demander que {Z.

1

+

F}

Z.

avec

=

1

Spec A.1

et

A.

1

F

possède un recouvrement étale

k-algèbre de type fini.

est un espace algébrique de présentation finie si c'est lo-

F

calement de présentation finie et il existe un recouvrement étale

{Z.1

+

F}

schéma affine indexé par un ensemble fini. En prenant

Z.1

avec

U est un schéma affine de type fini sur k et le morphisme U + F défini par les Z.1 + F donne un recouvrement étale avec une seule composante. Proposition 4. 5 Soit

X un espace algébrique de présentation finie sur

Il existe un ouvert dense de

k .

X qui est un schéma.

Remarques 1)

Un morphisme

F'

+ F

d'espaces algébriques est une immer-

sion ouverte dense si pour tout morphisme la projection 2)

F' xF Z

+

avec

F

Z schéma affine

Z est une immersion ouverte dense.

Théorème (Grothendieck, SGAD exp.V, No 4). Soit U un schéma

quasi affine et R projections

+

Z

c

U x U une relation d'équivalence plate et finie (i.e. les

R t U sont plates et finies). Alors le quotient

U/R

en

tant que faisceau dans la topologie f .p.p.f. est un schéma affine. On pourrait essayer de démontrer la proposition en appliquant ce théorème. Mais dans notre cas

R n'est généralement pas fini, il est

seulement quasi fini (car étale). Par exemple, si U = 2E 1 = E1.U E1

(E 1

la droite affine) et

R

c

X = pl 4E 1

'

a le graphe

108

u

!

0 w

j

R

.

.

0

où au-dessu s de

.

u

OO

0

et

il n'y a q'un point tandis que au-dessu s de

oo

R

tout autre point il y en a deux. Il en résulte que

:!: u

ne sont pas

finies car tout morphisme étale étant non ramifié, les fibres d'un

mor~

phisme étale fini au-dessu s d'une composante connexe ont le même nombre de points. Si on enlève les points vert

Ry

V

= U\ {O,oo}

= R xu

1

oo

V •

de R

\

U

on trouve un ou-

à V soit

est un ouvert affine dans

Donc

qui est partout dense dans

P1 \ {O,oo} = E 1 \ {O} =

. On pourrai t essayer d'étendr e ce raisonne ment dans le cas général .

Puisque

X est de présent ation finie on a déjà remarqué qu'il existe

un recouvre ment étale k). Comme

U

+

R est étale,

X avec

U schéma affine (de type fini sur

U est étale donc il existe un ouvert + R pr1

V de U tel que la restrict ion.de pr 1 à V soit finie i.e.

dense

tel que la projecti on

R xu V

ture de U-schéma définie par sur

et

tel que la restrict ion de

V qui est fini sur

notre cas P

0

V

par

R a le graphe

cessaire ment avec

+

V soit finie où R est IlRlni de la struc-

pr 1 . Or la relation d'équiva lence induite

Ry = R x(UxU)

V

x V qui ne co!ncide pas né-

R xu V , c'est seuleme nt un ouvert de

on n'est plus certain que

Ry +V

Nous allons prendre une autre voie.

R xu V . Donc

soit étale, ce qui gâche les choses.

109

Preuve de 4.5.

U + X un recouvrement étale avec

Soit

de type fini. Pour tout

Uu , avec

métriques de

u

E

Uu

U soit N(u)

U un k-schéma affine

les nombres des points géo-

défini par le diagramme cartésien k(u)

1

u

X

(k(u) +X = k(u)e+ U +X) Uu + k(u)

A ,

donc défini par une k(u)-algèbre finie séparable

k(u)

fini de

est un recouvrement étale de type

r

Donc

A

=

finition

avec

k.1

II

i=l

est le nombre des points de l'ensemble

N (u)

k(u) . Par dé-

extension finie séparable de

k.1

Homk(u) (A, k(u)),

r

donc

N(u) =

l

. 1

[k. : k(u)J . On a le diagramme commutatif 1

1=

k(u) pr.

1

R

j u

~

(i

j)

l X

dont tous les carrés sont cartésiens, ce qui fait voir que si le nombre des points géométriques de la fibre de (i

= 1,2)

. Soit

V

N tels que, en plus, l'anneau réduit de radical nilpotent de dense de

u

l'ensemble des points 0

U,u

E

Pr.1

N(u)

est aus-

au-dessus de

U de maximum relatif de (i.e.

OU ,u ) soit normal. On va voir que

OU ,u/I

avec

I

eu

X

V) = R xp(V X U)

le

V est un ouvert

U et que R xp

u

(P =

uX

U)

110

Note 1 ·

car

(V x

en résulte

Donc

R xp

eu

X V) xp (V X U) = R xp (V X U) xp (V X U) = R xp (V X U)

U) xp

(V x

U)

=V x U .

R xp (U X

Comme

V) = R xp (V X V)

(V x

i.e.

eu

R xp

induite par

R

sément la relation d'équivalence

(U x V) Xp

V

U)

X V)

R dans

=V x V ,

il

c'est préciV • Or le dia-

gramme R

(U

Xp

X

V)

.,. V

1

1

u

R

est cartésien et de même R Xp (V X U)

1

V

1 u

R

On en déduit que V

R

pr.1

1

i

= 1, 2

u

est cartésien ce qui montre que

Y = v/R

V

1 u

est cartésien. Donc qu'à voir que

!

V

------~X

Y+ X est une immersion ouverte dense. Il n'en reste

Y est un schéma. Pour cela, il suffit de prouver que

111

est fini (SGAD. exp. V, No 4 ou [QJ). Or

R +V v

R + U est étale sur-

jectif donc on a une factorisation (de Stein)

avec

S

On peut supposer aussi R

dans

s '

Rt;...

S dense en remplaçant

xU V = R~ (U

X

V)

,

R

V

p =

+V

uX

ensemblistiquement que· f- 1 (V)

c

sera fini (on voit facilement que

U et

U réduit; De plus, par définition,

U fermé par les points

soit normal. Donc on peut supposer

par

S

V

tels que

u

U normal. Cela implique

mal (EGAl, exp. I, Th. 9.5). On peut remplacer donc

sred

R

nor-

de fa-

S par la somme directe de

S réduit. Enfin, en remplaçant

çon à avoir

par la clôture de

R . Le problème étant local sur

est contenu dans l'ouvert dense de U,u

s

U). Donc il reste seulement à vérifier

"topologique", on peut supposer

0

)

immersion ouverte (EGA, !'i_,

le cas échéant. Maintenant, il suffit de voir que

S xU V = R xU V car alors R

R C- S

U un recouvrement fini et

+

ses composantes irréductibles on aura m

R

=l i i=l

R.1

m

s = l i S.1 i=l

avec

S. = R. 1 1

K. = Frac A.1 1

s

affine. Soit

(i = 1, ... ,m)

K.

1

u=

Spec A

J

S.1 = Spec Ai • K = Frac A •

est une extension finie séparable de

car ce sont les fibres dans les points génériques de vement ou

f

est étale. I l en résulte que pour tout

et

S.

1

u

€

u

u

K

respecti-

le nombre des

112

poin ts géom étriqu es

de la fibre de

N. (u) l

N. (u)

In

A , B respectivement et

n

en-

tier positif convenable. Si

A est un anneau adique,

A et

A[y 1 , ... ,yn]

dans

A alors

I

l'anneau des Eolynômes en

A[y 1 , ... ,yn]

un idéal de définition de y l ' ... ,yn

sera le complété de

à coefficients

A[y 1 , ... ,yn]

dans

la topologie !-adique. A[y 1 , ... ,yn] i.e.

A[y 1 , ... ,yn]

A[[y 1 , ... ,yn]]

c

I-adiquement quand

est l'anneau des séries formelles restreintes,

(i)

-+

A[y 1 , ... ,y ]/a. On dit que n

phisme induit

A/In

-

-+

A[y 1 , ... ,yn]

oo} • Un morphisme

est un morEhisme de type fini si

forme

et

B/InB

={ l (i)

a(.) y 1

ja(.)

f : A + B d'anneaux adiques

B est A-isomorphe avec un anneau de la f

est formellement étale si le mor-

est étale pour tout

n , ce qui revient à la

condition suivante : "localement" on a

(i)

avec

1

-+

0

140

"localement" veut dire ici qu'il existe m

s 1 , ... ,sm

E

tels que

l:3

l s.B = B et pour tout i le localisé au sens adique i=l l de la forme décrite ci-dessus.

B[ _!___]

s.

soit

l

La catégorie des schémas affines formels est la catégorie duale de la catégorie des anneaux adiques. Si A est un anneau adique

X

= Spf A

est le schéma affine formel qui lui est associé.

A l'aide des schémas affines formels et des morphismes formellement étales on introduit la notion d'espace algébrique formel tout à fait similaire avec la notion d'espace algébrique ce algébrique formel gébriques

y

([AS]) . Un espa-

X est une limite industive de vrais espaces al-

dans la catégorie des faisceaux étales sur les schémas

n

affines formels X

où le morphisme

y

n-1

+

y

=

lim Y +

n

est une immersion nilpotente. Les

n

ont

par conséquent le même espace topologique sous-jacent qu'on peut attribuer comme espace sous-jacent à X . On en obtient aussi un faisceau > 0

ont le même site étale

X'

sur

F = lim F n

-n

avec

dans la catégorie des fais-

f* (F n ) f*F = lim + n

ceaux de modules sur le site étale de

on a

y

.

Lemme 6.4. Soit modules pour f*

C la classe des 0-modules qui sont induits des 0 n

n >> 0 .

C est épaisse, ioe.

une classe de Serre et

est C-exact. Plus précisément, pour toute suite exacte 0

-+

F'

-+

F

-+

F"

-+

0

Y' ;

152

de faisceaux cohérents sur

X'

on a Coker(f*F

f*F -+ f*F"

f*F")

-+

I

\V f*(F"/I'nF") pour

n >> 0 .

Preuve.

On vérifie facilement que

C est épaisse. Soit

0 -+ F' -+ F -+ F" -+ 0 OX' • Il suffit de voir

une suite exacte de faisceaux cohérents sur que

Coker(f*F -+ f*F") On a

est un élément de

f *F"n f *F" = lim +-

et

n

C.

f *F"n+l

-+

f F"

* n

est surjectif pour

n assez grand car R1 f*(I'n+l F"/I'n+2 F") = O pour

n >> 0 •

Soit

• Il en résulte que le morphisme canonique Cn = Coker(f*F n -+ f*F") n Cn+l -+ Cn

est surjectif pour

n >> 0 . D'autre part, la suite

0 -+ F' / I 'n +l F n F'

+

F -+ F" -+ 0 n

n

est exacte. On a donc la suite exacte f F -+ f F" -+ R1f*(F' /I'n+l F n F') . * n * n Considérons la suite exacte 0-+ I,n+l F n F'/I'n+ 2 F n F'-+ F'/I'n+ 2 F n F'-+ F'/I'n+l F n F'-+ 0 . Avec Artin-Rees, on déduit qu'il existe un

r

naturel tel que

I'n+l F n F' = I'n+l-r(I'r F n R') I'n+ 2 F n F' = I'n+ 2-r(I'r F n F')

pour

n+l > r • En vertu ùe l'hypoth èse

pour

n

R1f.(F/I' 11 +2 F n F') + R 1f.(I 1/1·

assez gran d d on t 1e morp h isme .

est injectif pour

n >> 0

R1f.CI' 11 +1r n F'/T' 11 +2r n F')

On en déduit que pour

n >> 0

c

0

111 +11;

le morphisme

C 1 .+ C est injectif . Donc C 1 = C = C pour n >> 0 • Par "dian+ n n+ n gram chasing" on voit mainten ant que C = coker(f* F + f*F) , compte tenu du fait que Lemme 6.5. (f*I') OX'

est un idéal de définiti on de Preuve.

X' .

Si le support du sous-esp ace fermé de défini par

(f*I') OX'

n'est pas

X'

Y'

alors d'après le lemme 1, Note 3, il existe une branche

3

qui soit un sous-

espace de celui-c i. On a un morphisme surject if

car

3

est un sous-esp ace fermé de Soit

donc

Jn

J r-

surject if

J

= I' o3

0 pour t out I'

+ J

. Alors

J

X' et est un idéal de définiti on de

n • Le morphisme précéde nt induit un morphisme

donc avec (6.4.) on trouve f*I'

+

f*J

\

Coker(f *I'

+

/

· f*(J/I'n J)

pour

n

3 ,

assez grand. Or_ I'nJ = Jn+l • Il en résulte

f*J)

Il

F 1)

154

=O

Jn+l

i.e.

ce qui est absurde, car 3 :;: Spf A Jn+l

ce qui implique

= (f*Jn+l)

i.e. 3

est affine

03

Lemme 6.6. I

Soit

le noyau de

0

+

o0 = Oy

• Alors, pour tout

r

tel que

n

il existe

= f*I'

i.e. les deux filtrations définissent la même topologie. Note. donc

On a

ker(O

+

o = f*OX' xf*OO Oy %f*OX' xf*O~ f*O~ xf *OO Oy = f*OX' 0 ) = ker(f*OX' + f*O~) = f*I'n+l • On voit ainsi que 0 n

est complet pour la topologie définie par les d'apr~s

en conclut Preuve.

. Puisque

(6.6.) que I

= f *I

1

0

f*I'n+l, n = 0,1, •.• On

est complet pour la topologie I-adique.

. que i• 1 es t c 1air

f*I 'r ~~ Ir • I 1 s' agi· t

donc de prouver l'inclusion contraire. Par (6.5.) de définition de t~me

J'

qui engendrent un idéal de définition

Oxr • Soit m a. OX' + J'

l'homomorphisme défini par commutatif

est un idéal

X' . Il en résulte que localement sur Y on a un sys-

des sections dans

IOX'

+ O

a 1 , .•. ,am . D'après (6.4.) on a un diagramme

155

avec

N convenabl ement choisi. Donc toute section de

dans

f*(O~,) . C'est-à-d ire que

par construct ion donc · f,.. (I ,NJ ') idéal de définitio n de

X'

c

I

r

I'NJ'

. D'autre part,

d'où on déduit que

assez gran d , ce qui· prouve 1' inc · 1us1on ·

est un

I,n+r

f* (I 1 n+r)

c

se relève

c

I'NJ,

pour

n

Ir .

Lemme 6. 7. 0

X dont Preuve.

I

est le faisceau structure l d'un espace algébriqu e formel est un idéal de définitio n.

0

est I-adiquem ent complet (6.6), Note,

reste à voir que le faisceau de 0-algèbre s tout

n

O/In

et

O/I

=Dy .

Il

est cohérent pour

naturel. La suite exacte

·montre qu'il suffit que

f*(I'/I'n+ l)

soit cohérent. Induction sur

n

en tenant compte de la suite exacte

6 : X'

On a un morphisme canonique

OX

par l'homomorphisme

= f*OX' xf 0 , Oy + f*OX'

.

* 0

tration de (6.2) il faut prouver que

6

est propre car

(6.3). Soit

f

+

f

X défini par f

et

Pour conclure la démons-

est une modificat ion. D'abord

l'est par hypothèse . Dans le reste on applique

3 une branche de X et 3' = 3 xX X' . On va montrer que

156

3'

possède une seule branche. Supposons

que B

31

= B1 u

B1 et

en ait deux, B2

3' • Alors

c

B

B2 . Soit est affine et

on a une suite exacte.

X

Lemme 6.8. Pour tout faisceau

F cohérent sur

X l'homomorphisme canonique

est un C-isomorphisme. Preuve.

Pour

F

= OX

on a

6* OX = OX'

construction. Or l'homomorphisme

OX

+

et

f*OX'

est un !-isomorphisme i.e.

le noyau et le conoyau sont de !-torsion. Pour un

F cohérent quelconque

on peut le supposer de présentation finie car le problème est local sur

Y . Soit donc une suite exacte m OX+

on F X+

+

O

.

On en déduit une suite C-exacte

en vertu de 7.4. Or le diagramme C-exact (d'après (6.4)) F + 0

l +

0

15 7

est commutatif et les deux flèches verticales de gauche sont des C-isomorphismes. Donc il en est de même de la troisième. En appliquant (6.4) on trouve que la suite

est C-exacte ou mieux encore

o3

est C-exacte car

f* o3 , =

+

6*6 *

o3 est un C-isomorphi sme. Or

est un idéal de définition de

0 B donc si

local complet d'idéal maximal

m et

idéal définition de x

E

A\m ,

:

AX

Mais

B

~

X

+

B et

BX

~

3 = Spf A

B = Spf

est un isomorphism e.

tion. Il en résulte que

et

B est local puisque

Or cela est contradicto ire .

X

m B est un

alors

est l'anneau total des fractions de

X

A anneau

: A+ B est un m-isomorphi sme. Donc µour tout

un anneau semi-local complet de dimension 1

A = Frac A

B

avec

I 08

mB Ax

B car

B est

un idéal de définiest un corps,

Ainsi on voit que

3'

possède une seule branche. Il en résulte, comme dans la démonstrati on du lemme 2 de la Note 3, que

V = Spf

D,

3' =

Y

u

V avec Y espace algébrique et

D anneau local complet de dimension 1. En plus le raison-

nement précédent montre que l'homomorph isme est un

~-isomorphisme.

2, Note 3) que

3'

alors le fait que

+

3

A+

A+ D défini par

3' + 3

On voit aussi (comme dans la démonstrati on du lemme est algébrisabl e disons par

D

Z'

+

est un m-isomorphis me prouve que

Z = Spec A et Z' + Z

est une modificatio n par rapport à la fibre au-dessus du point fermé de

Z.

Il en résulte que

prop. (1. 13) ii)) .

3'

+

3

est une modificatio n formelle ([AFM] II,

158

DETERMINATION D'UN FAISCEAU COHERENT SUR UN ESPACE ALGEBRIQUE EN TERMES DES DONNEES FORMELLES LE LONG D'UN SOUS-ESPACE FERME.

Z un espace algébrique noethérien

Soit et

C un sous-espace fermé. On se pose

le problème de décrire les faisceaux cohérents sur

c

à

Soient V = Z'\C ,

V = Z\C

Z un espace topologique,

un faisceau d'ensembles sur

F

Z en termes des restrictions et des trucs le long de

C un sous-ensemble fermé,

z et c

i

z

' plications d'inclusion. On a alors une flèche fonctorielle

donc un foncteur

C .

V

i

Z

les ap-

(Faisc/Z) + (Fv,Fc•

ai n-a..

r

l

i=l

b. t 1

1

on a e.

1

avec

170

NOTE 2

Soit

·-··-..,,, \

y1

X'

l

Y' point

= {y}

""''-----V

X'

l

c

) X

Y'

une modification qui contracte point. Soit y

(U,u)

U'

= U xX

tion U' projection

X'

U(k)

E

U +X

dans

qui

y . Alors

est un schéma et la projec-

~X'

est un morphisme étale. Y'

et si

Z' =Y' xx,U'

f : U' + U transforme chaque composante connexe de

par un voisinage de de l'idéal maximal de ~

U'

u

est un voisinage étale de

un point de la fibre de

nelle

un voisinage affine de

i.e. un morphisme étale

transforme

de

U'

U +X

f- 1 (u) 0

U,u

au-dessus de

afin que . Alors

dont le diviseur

chaque composante de

Z' a

(~)

Z' . Il en résulte

à un

la

Z'

à

x . On peut remplacer

= f- 1 (u)

. Soit

a

U'

un élément

correspond à une fonctionra.tionest positif et qui s'annule sur (Z'. Z') < 0

ce qui implique

(Y'.Y') 0 .

Démonstration La formation de la cohomologie commute au produit donc de montrer que, étant donné un point géométrique Hq(X, p.p*F)

=0

, pour

x , montrons que

Montrons tout d'abord que ceau

Rq p*G

G est un faisceau

Hq(X, p.G)

Rq p.G

=0

i ~

p : x + X , on a

q > 0 . Plus généralement, si

sur le petit site étale de

i l suffit

, pour

est le faisceau sur le petit site étale de

=0

, pour

q > 0 .

q > 0 . Le faisX associé au pré-

faisceau Ut+ Hq(U XX x, G) , pour Il suffit donc de montrer que

U e: Et/X

Hq(V XX x,G)

=0

, pour tout

V

l 1

i '

2ll

affine et étale sur ment clos,

V xX x

X . Puisque

x

est le spectre d'un corps séparable-

est somme d'un nombre fini de copies de

x , donc

q-

H (x,G) .

Il

fini De plus,

Hq(x,G) =

o,

pour

q > O , car

X

ne possède pas

de recouvrement étale non trivial. Puisque

Rq p*G = 0 , pour

q > 0 , on a

d'où la proposition. ( 4. 5)

Corollaire 1 Les foncteurs

Hq(X,•)

pour

q > O , sont effaçables dans la

catégorie des faisceaux abéliens sur le petit site étale de

X ·

(4.6)

Corollaire 2 Soit pour

X un espace algébrique noethérien. Les foncteurs

Hq(X,•)

q > 0 , sont effaçables dans la catégorie des faisceaux abéliens cons-

tructibles sur

X .

Démonstration Soit

F

un faisceau abélien constructible sur

toujours trouver un entier

n

tel que

F

X · On peut

soit un faisceau de

7/n~-modules.

En effet, d'après (2.5), i l existe une famille surjective de morphismes de type fini

rr. : X! +X , que l'on peut supposer finie car 1 1

X

212

X!1 . Soit les

1T~F

1

tel que la multiplication par

un entier

n

. Le morphisme canonique

Si

constructibles :

F'

n annule tous

F est un monomorphisme,

F la résolution de Godement de F'

F .

en est un par fonctoriali-

est donc limite inductive de ses sous-faisceaux

= lim +

F! . De plus, puisque J

F!

on peut supposer que les Les foncteurs

1T~ 1î· 1 l*

7/n7-modules,

F est un faisceau de F'

i

= F'

0 + F +Il p*p*F

té. D'après (4.2),

F +Il

annule

donc la multiplication par n Soit

soient constants finis sur

1T~F 1

est noethérien, tels que les faisceaux

J

contiennent

Hq(X,•)

F est constructible,

F .

sur la catégorie des faisceaux. abéliens

sur le petit site étale commutent aux limites inductives [cf. SGA 4, VII 3.3] , donc

Hq(X,F') = lim Hq (X, F ! ) J +

.

Mais

d'après (4.4). Par conséquent, tout élément de devient nul dans un

Hq(X,F!) J

pour

j

Hq(X,F') = 0

pour

Hq(X,F) , pour

assez grand.

q > 0 q > 0

213

V.

UN THEOREME DE STRUCTURE Le théorème ci-dessous montre que tout faisceau constructible

sur un espace algébrique

X se réalisé comme sous-faisceau d'un faisceau

obtenu essentiellement à partir de faisceaux constants sur des espaces algébriques finis au-dessus de

X

Les morphismes finis étant acycliques

(6.5), le théorème nous permettra dans la suite de réduire certaines vérifications au cas d'un faisceau constant. Dans ce paragraphe, nous travaillerons sur les petits sites étales ; nous étendrons plus loin le ré· sultat aux grands sites (8.3). (5 .1)

Théorème Soient . X un espace algébrique de type fini sur un corps et un faisceau (resp. un faisceau abélien) constructible sur existe t.ine famille finie d'espaces algébriques normaux finis

X!l.

F

X . Alors i l de morphismes

'ITi : Xj_ +X , de faisceaux (resp. de faisceaux abéliens) constants

finis. Ci

Xi , et

sur le petit site étale de

ceaux sur le petit site étale de

un monomorphisme de fais-

X

-'

O+F+IITI. i

1*

c.1

Démonstration Par récurrence noethérienne, on peut supposer que tous les sousespaces algébriques fermés de est distinct de

X dont l'espace topologique sous-jacent

X tout entier , vérifient le théorème.

214

Supposons d'abord que

X n'est pas irréductible. Soient

X.

ses composantes irréductibles, en nombre fini, munies par exemple J de leur structure réduite, et u. : X. +X les immersions fermées corJ

J

respondantes. Par hypothèse de récurrence, i l existe pour tout famille finie d'espaces algébriques normaux

(X!.). I 1]

mes finis X!.

1]

1E

j

, des morphis-

:X!.+X. , des faisceaux constants finis 1] J

îf .. 1]

une

j

C..

sur

1]

, et un monomorphisme

0 +

II

u~F +

J

îT. • 1] *

id.

c.1J. .

J

Puisque les

X.

X , F se plonge dans

recouvrent

II u. j

J*

X vérifie le théorème, puisque les morphismes

u.

J

u~

F ,

J

d'où un monomorphisme O+F+

Ainsi

II i,j

(U.oîf •.

J

1]

)* C ..

1]

J

0

îT •• 1]

sont finis. D'après ce qui précède, on peut supposer même intègre. Soient duel en

n .

n

Le faisceau

le point générique de

FI n

X irréductible et

X et

K le corps rési-

est une K-algèbre étale de type fini,

c'est-à-dire un produit fini d'extensions finies séparables de peut donc trouver une extension finie séparable FjK,

soit constant fini, égal à Soit

me canonique

X'

est fini, car

[cf. EGA II, 6.3.10]. Le faisceau

de

K telle que

C .

la fermeture intégrale de

TI : X' + X

K'

K . On

TI*F

X

X dans

K' . Le morphis-

est de type fini sur un corps

est constant au point générique,

215

donc sur un ouvert non vide ouverte canonique et

CU

U de

X' . Soient

j

: U-+ X'

le faisceau constant de valeur

l'immersion

C sur

U.

L'homomorphisme naturel

est un isomorphism e au-dessus de j

U . De plus,

d'apr~s

le lemme suivant,

*eu = ex' .

(5.2)

Lemme Soient

Y un espace algébrique géométriquem ent unibranche (par

exemple normal) et ensemble et

Cy

site étale de

j

: U-+ Y un sous-espace ouvert dense. Soient

(resp. c 0 ) le faisceau constant de valeur Y (resp. de

C un

C sur le petit

U) . Alors l'homomorphisme naturel

Cy-+

j*CU

est un isomorphism e. Démonstrati on Puisqu'il s'agit de faisceaux sur les petits sites étales, l'assertion se vérifie sur les fibres aux points géométrique s de

Y [cf. SGA

4, VIII.3.5]. On peut donc supposer que Y est le spectre d'un anneau hensélien à corps résiduel séparableme nt clos. Alors dire que triquement unibranche, c'est dire que vide

U de

Y est irréductibl e. L'ouvert non-

Y est lui aussi irréductibl e. Par conséquent : Cy (Y)

=C

j*CU(Y) d'où le lemme.

Y est géomé-

= c0 (U) = C

,

216

Nous pouvons maintenant poursuivre la démonstration de (5.1). Puisque le morphisme

TI :

X'+ X est fini, l'ouvert

U contient l'image

réciproque d'un ouvert non-vide

V de

à gauche

TI*F + CX, , on trouve donc un homomorphis-

me

1T * à l'homomorphisme

1T*1T*F + 1T*CX'

qui est un monomorphisme au-dessus de

Mais le morphisme l'homomorphisme naturel un homomorphisme Soit de

X . En appliquant 1e foncteur exact

1T

est surjectif (car fermé et dominant), donc

F + 1T*1T*F

F + 1T*CX' Z = X-V

V

est un monomorphisme. D'où finalement

qui est un monomorphisme

le fermé complémentaire et

Z muni de sa structure réduite dans

au~dessus

de l'ouvert

h : Z + X l'immersion

X . Par hypothèse de récurrence,

Z vérifie le théorème (5.1). Il existe donc une famille finie d'espaces algébriques normaux constants finis

Z! , des morphismes finis 1

C.1

sur

Z!1

i

Z et

1

:

Z! + Z , des faisceaux 1

et un monomorphisme :

h*F +II 1T. Puisque

TI·

l*

c.1

V recouvrent

X , l'homomorphisme

est un monomorphisme. D'où finalement un monomorphisme F +(II. (ho1f.)* C.) II (1T*CX,), 1 1 1

ce qui achève la démonstration de (5.1), puisque les morphismes 1T et ho 1T.1

sont finis.

V .

217

VI.

RAPPEL SUR LES IMAGES DIRECTES SUPERIEURES ET ENONCE DU THEOREME DE FINITUDE Dans toute la suite les faisceaux considérés seront des fais-

ceaux abéliens sur les grands sites étales. (6 .1)

Rappelons tout d'abord la définition des foncteurs images di-

rectes supérieures. Soit Le foncteur image directe

f : X -+ S un morphisme d'espaces algébriques. f * , qui va de la catégorie des faisceaux

abéliens sur le grand site étale de

X dans la catégorie des faisceaux

abéliens sur le grand site étale de

s ,

Rqf *

ses dérivés à droite pour tout

est exact à gauche. On note

q > 0 .

On peut donner des foncteurs

la description plus con-

crète suivante [cf. GT, II.4.7] : (6.2)

Proposition Pour tout faisceau abélien

F

X , les faisceaux

~

sont canoniquement isomorphes aux faisceaux sur

S

~ssociés

aux préfais-

ce aux S'

E

Esp.alg./S

Démonstration Le foncteur

f*

est canoniquement isomorphe au foncteur corn-

posé (Faisceaux/X)

i

f

(Préfaisceaux/X)

+P

(Préfaisceaux/S) ~ (Faisceaux/X) ,

218

où

i

est l'inclusion canonique,

les préfaisceaux et et

fp

a

f

p

le foncteur image directe pour

le foncteur faisceau associé. Les foncteurs

a

sont exacts. On a donc un isomorphisme canonique de foncteurs :

d'où la proposition. En effet, on vérifie facilement [cf. GT, II.2.4], en utilisant les propriétés caractéristique s des foncteurs dérivés, que

est canoniquement isomorphe au préfaisceau Hq(F) X' De la définition des foncteurs

€

défini par

Esp.alg./X

comme foncteurs dérivés

résultent les propriétés suivantes : (6.3)

liens sur

Si

0

+

F'

+

F

+

F"

+

0

est une suite exacte de faisceaux abé-

X , on a une longue suite exacte de faisceaux abéliens sur

.. . +

(6. 4)

+

Etant donnés deux morphismes

un faisceau abélien sur

f : X + Y et

...

g : Y + Z et

X , on a une suite spectrale de Leray

Remarquons que les morphismes finis sont cohomologiquement triviaux

S :

F

219

(6. 5)

Proposition Soient lien sur

f : X + Y un morphisme fini et

X . Alors

Rqf*F = 0 , pour tout

F un faisceau abé-

q > 0

Démonstration D'après (6.2) gie étale sur

Rqf*F

est le faisceau associé (pour la topolo-

Y) au préf aisceau : Y'

1+

Hq(X

Xy Y',F)

, Y'

Il suffit donc de montrer que tout élément

Esp.alg./Y

E

a.

de Hq (X xy Y' ,F) X Xy Y'

est localement trivial pour la topologie induite sur topologie étale de

y•

par la

Y'

Localisons que

(q > 0)

Y'

(pour la topologie étale) en un point géométri-

; on obtient ainsi le spectre "' Y'

d'un anneau local hensélien '\,

à corps résiduel séparablement clos. Par hypothèse

sur

X Xy Y'

est fini

'\,

'\,

Y' , c'est donc une somme finie de copies

Y!

de

Y' • D'où :

i

et

q > 0 , puisqu'un

'\,

Hq(X Xy Y'

,

'\,

l.

'\,

F) = II Hq (Y!, F) . l. l.

'\,

Mais

Hq (Y!, F) = 0 1

quels que soient

anneau local hensélien à corps résiduel séparablement clos ne possède pas '\,

de recouvrement étale non trivial. Par conséquent

Hq(X xy Y',F)

= 0,

q > 0, d'où la proposition. Le théorème de finitude que nous voulons démontrer est le suivant

220 (6.6)

Théorème Soient S ·un .espace algébrique de tn>e fini sur un corps algébriquement clos

k ,

f

abélien constructible sur Rqf *F

X -+ S un morphisme propre et X . Alors pour tout

q

~

F un faisceau

0 , le faisceau

est constructible sur S . [Rappelons que les foncteurs

sont calculés ici sur les

grands sites étales]. En particulier, on a (6. 7)

Corollaire Soient

X un espace algébrique propre sur le spectre d'un

corps algébriquement clos sur

X . Alors les groupes

-

k , et

Hq(X,F)

F un faisceau abélien constructible sont finis pour tout

q > 0 .

(6. 8)

Plan de la démonstration : On commence par donner à l'aide du théorème de représentabili-

té un critère de constructibilité locale (7), puis on démontre le théorème pour

q

=0

(8). Après quelques rappels sur les théories de Kummer

(9) et d'Artin-Schreier (10), on démontre la constructibilité locale (11), puis la constructibilité (12) de

dans le cas on

f

est de dimen-

i

sion relative .2, 1 . La démonstration s'achève par réduction à ce cas (13). (6. 9)

Le morphisme de changement de base Soit

221

g'

x""'-~-----

g

X'

S'

un carré cartésien de morphismes d'espaces algébriques. On définit un morphisme de foncteurs,

dit morphisme de changement de base, de la manière suivante : puisque g*

et

sont adjoints, se donner un tel morphisme équivaut à se

g*

donner un morphisme de foncteurs

Mais on a :

g*f!

= (gf ')* = (fg')* = f*g!

. Il suffit donc de se don-

ner un morphisme

On l'obtient en appliquant

f*

au morphisme canonique

De même, si l'on se restreint aux faisceaux abéliens, on définit, pour tout

q > 0 , un morphisme de foncteurs

En effet, par adjonction, se donner un tel morphisme revient à se donner un morphisme

On prend le composé des morphismes canoniques

222

La représentabilité des ·faisceaux Rqf*F

sur le grand sitè

étale, i.e. leur constructibilité locale, implique que leur formation est compatible au changement de base. Plus précisément (6 .10)

Corollaire (Théorème de changement de base). Soient brique de typé fini sur un corps algébriquement clos

S un espace algé-

-

k , f : X + S un

morphisme propre et g'

X

-----X'

s

-E----- S'

g

un carré cartésien de morphismes d'espaces algébriques. Soit faisceau abélien constructible sur morphisme de changement de base

est un isomorphisme.

X . Alors, pour tout

F un

q .:_ 0

le

221

g' _ x..,,._____

g

s +-------

X'

S'

un carré cartésien de morphismes d'espaces algébriques . On définit un morphisme de foncteurs, g * f*

-+

f !g 1 *

'

dit morphisme de changement de base, de la manière suivante : puisque g*

et

sont adjoints, ?e donner un tel morphisme équivaut à se

g*

donner un morphisme de foncteurs

Mais on a :

g*f!

= (gf')*

= (fg')* = f*g! . Il suffit donc de se don-

ner un morphisme

On l'obtient en appliquant

f*

au morphisme canonique

De même, si l'on se restreint aux faisceaux abéliens, on définit, pour tout

q > 0 , un morphisme de foncteurs

En effet, par adjonction, se donner un tel morphisme revient à se donner un morphisme

On prend le composé des morphismes canoniques

222

La représentabilit é des faisceaux

Rqf*F

sur le grand site

étale, i.e. leur constructibilit é locale, implique que leur formation est compatible au changement de base. Plus précisément (6 .10)

Corollaire (Théorème de changement de base). Soient brique de type fini sur un corps algébriquement clos

S un espace algé-

-

k , f : X + S un

morphisme propre e!

g'

X

-----X'

s

(v)

pour tout

À t=: k , v

On fera atten tion au fait que l'itér 6 n-ièm e morphisme q-liné q.ire est qn-li néair e, et gu~, s;\. l'imag e

V

~n d'un endo-

k n'est pas parfa it,

4>CV) d'un endomorphisme q-lin éaire n'est pas néces sairem ent un

k-sou s-esp ace vecto riel de (10.2)

E

V .

On dit qu'un endomorphisme q-lin éaire

simpl e si son image engen dre

de

V est semi-

V comme k-vec torie l, et qu'il est nilpo -

tent s'il admet un itéré nul. Si

est un endomorphisme q-lin éaire quelc onque , on défin it

un k-sou s-esp ace vecto riel de Vss

= n~l

La restr ictio n de phisme de

V/V

SS

indui t par

V stabl e par

(k-so us-es pace de

à

V

SS

:

n V engen dré par (V))

est semi- simpl e et l 'endomor-

est nilpo tent.

244

(10.3)

Proposition ~

Soit

un endomorphisme q-linéaire d'un espace vectoriel

de dimension finie sur un corps séparablement clos est semi-simple,

k . Alors, si

V

~

~

V possède une k-bàse formée de points fixes sous

.

Démonstration Soit de

V sur

k

e et

une k-base quelconque de A

E

GL(n,k)

$(~)

tel que

F : GL(n,k)

+

V . Soient

= Ae

n

la dimension

. Désignons par

GL(n,k)

la flèche "élévation des coordonnées à la puissance q-ième". Alors, pour g

E

GL(n,k) , ge

est une base de

V formée de points fixes de

~

si et

seulement si ·-1

g

A F(g)

Le k-groupe algébrique u

Pour

=1

GL(n)

. agit sur la k-variété

GL(n) x GL(n)

+

GL(n)

(g,B)

+

g

-1

BF (g)

GL(n)

+

GL(n)

g

+

g- 1BF (g)

est étale. En effet, la différentielle de l'application est identiquement nulle, donc la différentielle de .

-1

par:

B fixé, la flèche u8

d(u 8 ) = d(g

GL(n)

) BF(g) .

u8

F : GL(n) est

+

GL(n)

243

X.

THEORIE D1 ARTIN-SCHREIER Commençons par un "rappel" su:r les a,pplicat].on s "q-linéaire s"

emprunté à un exposé de N. Katz [SGA 7, XXII]. (10.1)

S9it

V un espace vectoriel de

k de caractéristi que

~imension

p > 0 , Désignons par

finie sur un corps

une puissance de

q

p .

On dit qu'une application : :V+V est q-linéaire si elle est additive et si elle vérifie -

1

V + V

est surjec tive. Démon stration La suite exacte 0 + V

SS

+ V + V/V + 0 SS

est stable par cj>-1 . Par'le "leJllJl)e du serpen t", i l suffit de traiter le cas de Vss , éviden t par (10.3) en employant une base formée de points fixes, et celui de V/Vss , sur lequel

cj>

est nilpote nt, donc

cj>-1

in-

versib le. Nous sommes mainte nant en mesure d'abord er la théorie d'Artin Schrei er qui repose sur la propos ition suivan te :

246

(10.5)

Thêorie d'Artin-Schreie r ~

X un espace algébrique sur un corps de caractéristique

p > 0 . Alors on a une suite exacte de faisceaux pour la topologie étale

où y

est le morphisme de groupes additifs défini par

u +X

pour tout

et

X E

= xP-x

y(x)

'

r(U,2u) .

Démonstration Le noyau de

y

est le faisceau des sections de

2x

qui sont

localement dans le corps premier, donc est le faisceau constant Le morphisme fet, pour tout parable, car

(~/p:i')X

est surjectif pour la topologie étale. En ef-

y

u +X et

a

E

r(U,2u) ' l'équation rP-r-a = 0 est sé-

U est de caractéristique p . Autrement dit,

U' = Spec .QuCTJ/(Tp-T-a)

est un revêtement étale de

U.

(10.6)

Proposition Soit

X un espace algébrique propre sur un corps séparablement

clos de caractéristique

p > 0 .

~lors

ia longue suite exacte de cohomologie

déduite de la théorie d'Artin-Schreie r se scinde en des petites suites exactes: i 0 + H (X,7/p7) +

i

Hzar (X,Ox) -

+

i

Hzar (X,Ox) -

+

0 '

où l'on désigne par Hi (X,OX) les groupes de cohomologie du faisceau zar cohérent .9.x pour la topologie de Zariski.

247

Démon stration Notons tout d'abord que, grtce l la théorie de la descen te pour les faiscea ux, les groupes de cohomologie étale du faiscea u étale associé à un faiscea u Zarisk i quasi-c ohéren t sont isomorphes aux groupes de coho-

mologie de Zarisk i de ce faiscea u [SGA 4, VII.4.3 ]. Ceci vaut en partic ulier pour le faiscea u cohére nt plus, puisqu e

X est propre sur k , les groupes

Hi(X,OX)

dont des espaces vector iels de dimension finie sur k

OX . De

~ H!ar(X,~)

[cf. EGA, III.3.2 .3

ou K, IV.4.1 ).Par ailleu rs, il est clair que l'endomorphisme de Hi(X,.Q.xl induit par y est de la forme ~-1 on ~ est une applic ation p-liné aire. D'aprè s (10.4)

~-1

est surjec tif, d'on la propos ition.

(10. 7)

Coroll aire Soit

X un espace algébri que propre sur un corps 1

clos

k de caract éristiq ue p > 0 . Soit

v un entier

sé~arablement

> 0 . Alors

Démon stration Par récurre nce, il suffit de démont rer le coroll aire pour

V

=1

C'est une conséquence immédiate de la propos ition (10.6) et de la nullité des groupes

i

Hzar(X,~)

pour

i > dim X •

.

248

CONSTRUCTIBILITE LOCALE UE

XI.

LA.TIVE

DANS LE CAS DE DIMENSION RE-

< 1

Dans tout ce qui suit, et sauf mention expresse du contraire, les faisceaux considérés sont des faisceaux sur les grands sites étales et les images directes supérieures sont calculées sur les grands sites. Ce paragraphe est consacré à la démonstration du résultat suivant : (11.1)

Proposition Soient

S un espace algébrique de trpe fini sur un corps al-

gébriquement clos lative

< 1

et

k , f : X + S un morphisme propre de dimension reF un faisceau abélien constructible sur

~ q ~ 0 , le faisceau

Rqf *F

X . Alors pour

est localement constructible.

(11. 2)

Corollaire Soient

f

X + S et X

s

F connne ci-dessus et soit g'

X'

g

un carré cartésien de morphismes d'espaces algébriques. Alors, pour tout q

~

0 , le morphisme de changement de base 1.

f

.,~

est un isomorphisme.

249

On aura besoi n d'un leJll)lle techn ique sur les fonct eurs cohom ologiqu es effaç ables [cf. défin ition (4.1)] : (11.3)

Lemme Soit

r·

c1/

-+ 1 1 •

un morphisme de fonct eurs cohom ologiq ues

défin is sur une catég orie abélie nne

C et à valeu rs dans la catég orie

des group es abéli ens. Supposons que

q,0

Tq

est effaç able pour

q > O . Soit

,.P·

:

n

T ,O

+

est bijec tif et que

un entie r,

n > 1 . Alors les

condi tions suiva ntes sont équiv alente s i)

4>q

est bijec tif Eour 1

ii)

ct>q

est surje ctif pour

î'q

est effaç able pour

iii)

ii) est trivi ale. ii) ==> iii) : Soien t et

a.' E T'q(A ) . Puisq ue

ct>q{A)•a. = a.' . Puisq ue 0-+ A~ M dans T'q

Tq

q,q

A un objet de

C , q

est surje ctif, il exist e

un entie r, 1 ~ q < n a. E Tq(A)

tel que

est effaç able, il exist e un monomorphisme

C tel que Tq{u)•a.

=O ,

d'où

T'q(u )•a'

=0

. Donc

est effaç able. iii) ==> i) : Nous procé deron s par récur rence sur

sons démon tré que

ct>i

est bijec tif pour tout

i < q .

î'q (M)

tel que

dB = a .

251

q-1 s' = (B)•S

Soit

tel que y

€

T'

q-1

Tq-1 (M)

d 1 s'

On a

= B'

(v)•y'

tel que

=0 ,

a

=0

T ,q- l (M)

Par hypothèse de récurrence, i l existe

q-1

(M) •y

= y'

l'hypothèse de récurrence, Par conséquent,

y' c

donc il existe

.

En appliquant encore une fois

est injectif, donc

q -1

T

(v)•y = S

.

(11.4)

Remarque L'implication ii) ==> iii) est vraie pour la surjectivité de (11.5)

q(A)

implique l'effaçabilité de

Pour montrer la constructibilit é locale de

A et

q

fixés,

T'q(A) Rqf *F , il suffit,

d'après (7.9), de vérifier que, étant donné une .Qs-algèbre locale noethérienne complète

A de corps résiduel

où X= X® A et

x0 = X a>

k , l'application canonique

k , est bijective.

Le membre de gauche est effaçable dans la catégorie des faisceaux constructibles sur

X

(4.6). D'après le lemme (11.3) et le cas

q = 0 déjà traité (8.9), il suffit de montrer que le membre de droite est effaçable dans cette même catégorie. Pour montrer l'effaçabilité pour ment remplacer

F

donné, on peut évidem-

F par un faisceau constructible le contenant. Or, d'a-

près le théorème de structure (8.3), il existe des morphismes finis ni :

XI+

sur

X!1

X

en nombre fini, des faisceaux abéliens constants finis

et un monomorphisme

c.1

252

0 + F +

n IT

i=l

1T· C. l* 1

D'après (8.4), les faisceaux Donc

=G

1T. C. l* 1

•

sont constructibles.

G est constructible et on peut remplacer

Il

Hq(X 0 , II

. 1

ir.

et, puisque

1T.

1

C.)

l* 1

l=

F par

G . De plus

=

est fini, donc cohomologiquement trivial,:

Quitte à remplacer

X

X!1 , il suffit donc de montrer l'effaçabili-

par

té dans le cas où F est constant fini. Puisque tout groupe abélien fini est produit de groupes de la forme entier, on peut même supposer

F

'11/lvl , avec l

= 7/lv1

premier et

v

.

De plus, d'après la remarque (11.4), le membre de gauche de (*) étant effaçable, l'effaçabilité du membre de droite résultera de la surjectivité de l'application : q -

~/

V

q

,, V

H (X,". l '1F) + H (X 0 ,7,l 1) .

Si

l

(10. 7), puisque

Si

= car(k) x0

, on a, d'après la théorie d'Artin-Schreier

est de dimension

l ~ car(k),

A

< 1 ,

étant un anneau local noethérien complet à

corps résiduel séparablement clos, i l existe un isomorphisme non canonique ('li/ lv'11) X ~ (µlv )X . On a, d'après la théorie de Kummer

x0

est de dimension


iii) est vraie pour la surjectivité de (11. 5)

q(A)

implique l'effaçabilité de

Pour montrer la constructibilité locale de

A et

q

fixés,

T'q(A) Rqf*F , il suffit,

d'après (7.9), de vérifier que, étant donné une Qs-algèbre locale noethérienne complète

A de corps résiduel Hq (X,F)

X=

où

X~ A

et

x0

= X~

+

k , l'application canonique

Hq (X 0 ,F) ,

k , est bijective.

Le membre de gauche est effaçable dans la catégorie des faisceaux constructibles sur X q

=0

(4.6). D'après le lemme (11.3) et le cas

déjà traité (8.9), il suffit de montrer que le membre de droite

est effaçable dans cette même catégorie. Pour montrer l'effaçabilité pour ment remplacer

F donné, on peut évidem-

F par un faisceau constructible le contenant. Or, d'a-

près le théorème de structure (8.3), il existe des morphismes finis Tii : Xi+ X en nombre fini, des faisceaux abéliens constants finis sur

X!1

et un monomorphisme

c.1

252

n

O+ F +

Il

i=l

TI·

C. = G •

l* 1

D'après (8.4), les faisceaux

C.

TI.

1* 1

sont constructibles.

G est constructible et on peut remplacer

Donc

F par

G • De plus

est fini, donc cohomologiquement trivial

et, puisque

X

Quitte à remplacer

X!1 , il suffit donc de montrer l'effaçabili-

par

F est constant fini. Puisque tout groupe abélien fi-

té dans le cas où

ni est produit de groupes de la forme entier, on peut même supposer

F

'11/lv'11 , avec l

= 7/lv7

premier et

v

.

De plus, d'après la remarque (11.4), le membre de gauche de (*) étant effaçable, l'effaçabilité du membre de droite résultera de la surjectivité de l'application :

Si

l

(10. 7), puisque

= car(k) x0

, on a, d'après la théorie d'Artin-Schreier

est de dimension HqCXo,'11/ -(..0 \)7TI •J

Si

l # car(k),

< 1 ,

=0

,

p 0 ur

q > 1 •

A étant un anneau local noethérien complet à

corps résiduel séparablement clos, il existe un isomorphisme non canonique \)

('11/ l 7l)y ~

x0

(llY )y

. On a, d'après la théorie de Kummer

est de dimension


0 .

De la suite spectrale de Leray

on déduit donc des isomorphismes

pour p bles

~

0 . D'après l'hypothèse sur f, ces faisceaux sont constructi-

d'où le lemme.

(13. 3)

Réduction à

f

projectif

Soit on peut supposer brique fermé de de

X+ S propre. Par récurrence noethérienne sur

f X

~

.fi'

X,

et le théorème vrai pour tout sous-espace algé-

X dont l'espace topologique sous-jacent est distinct

X . D'après le lemme de Chow [EGA, III.5.6], étendu par _Knutson [K,

271

IV.3] aux espaces algébriques, i l existe des morphismes projectifs TI

:

X + X et f :

X+

S , un diagramme commutatif X

o(i,.-_TI_ _

x

~h s et un ouvert dense

U de

X au-dessus duquel

est un isomorphisme.

TI

Par hypothèse de récurrence, le théorème est vrai pour la restriction de et

TI

,

f

à

X-U . D'après le lemme 2, s'il est vrai pour

il est vrai pour

f . On peut donc supposer

f

f

projectif.

(13.4)

Réduction à Soit

f : X + S projectif et de dimension relative

lors on peut trouver localement sur

< n . A-

S , un morphisme fini

D'après le lemme 1, puisque le théorème est vrai pour un morphisme fini (8.10), il suffit de le démontrer pour le morphisme canonique W~

+

S .

(13.5)

Réduction définitive On procède par récurrence sur la dimension relative de près ce qui précède, on peut supposer jection

X = œn

s , n

> 2 . Considérons la pro-

qui envoie le point de coordonnées homogènes

en dehors du fermé

Y n-2

mé S-isomorphe à 1Ps

f . D'a-

d'équations homogènes

272

Soit

rr: P

IP~

+

u : P

alors un morphisme

l'éclatement de IP~

à centre

Y •

Il existe

1

IPS , unique à isomorphisme près, qui prolon-

+

ge l'application rationnelle

~

. De plus

u

est de dimension relative

n-1 . En notant

V

:

1

J>S + S

et

f'

p +

s

les morphismes canoni-

ques, on a donc un diagramme conunutatif

Le théorème est vrai pour

v

qui est de dimension relative

Par hypothèse de récurrence, il est vrai pour lative

u

qui est de dimension re-

n-1 . D'après le lemme 1, il est donc vrai pour Le morphisme

TI

1 .

f' .

est de dimension relative ..::_ 1 , il vérifie

donc le théorème. De plus, c'est un isomorphisme au-dessus de Psn - Y et la restriction de

f

à

y "-' IPn-2

- s

vérifie le théorème par hypothèse de

récurrence. D'après le lemme 2, le théorème est donc vrai pour

f .

Ainsi s'achève la démonstration du théorème de finitude (6.6).

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D. MUMFORD, Abelian varieties, Tata Institute, Oxford, Bombay, 1970.

INDEX TERMINOLOGIQUE,

page anneau adique

141

Artin-Schre ier, théorie de

249

déformation algébrique

67

déformation formelle

59

déformation formelle effective

62

déformation verselle

60

espace algébrique

103

espace étale

195

faisceau constructib le

199

Fitting, idéal de

145

foncteur localement de présentatio n finie

48

Hensel, lemme de

26

Kummer, théorie de

242

modificatio n

139

modificatio n formelle

143

morphisme étale

19

morphisme lisse

20

point géométrique site étale voisinage étale

ll5, 212 193 22

/

/

/

FACULTE DES SCIENCES - UNIVERSITE DE MONTREAL /

~

/

PUBLICATIONS OU SEMINAIRE DE. MATHEMATIQUES SUPERIEURES

1. LIONS, Jacques L., Problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles, (lre session, été 1962), Les Presses de l'Université de Montréal, 2e éd. 1965, 176 p. 2. 1\'AELBROECK, Lucien, 1M~orie des algèbres de Banach et des alfèbres localement convexes, (lre session, été 1962), Les Presses de l'Université de Montréal, 2e éd. 1965, 148 p. 3. ~!ARANDA, Jean-Marie, Introdµction à l'algèbre homologique, (Ire session, été 1962), Les Presses de l'Université de Montréal, 2e éd. 1966, 52 p. 4. KAHANE, Jean-Pierre, Séries de Fourier aléatoires, (2e session, été 1963), Les Presses de l'Université de Montréal, 2e éd. 1966, 188 p. 5. PISOT, Charles, Quelques aspects de ia théorie des entiers algébriques, (2e session, été 1963), Les Presses de l'Université de Montréal, 2e éd. 1966, 188 p. ' 6. DAIGNEAULT, Auber:t, Théorie des modèles en logique mathématique, (2c session, été 1963), Les Presses de l'Université de Montréal, 2e éd. 1967, 138 p. 7. JOFFE, Anatole, Ptomer.ades aléatoires et mouvement brownien, (2e session, été 1963), Les Presses de l'Université de Montréal, 2e éd. 1965, viii et 144 p.

,,.

8. DIEUDONNE, Jean, Fondements de la ·géométrie algébrique moderne, (3e session, été 1964), Les Presses de l'Université de Montréal, 2e éd. 1968 X et' 154 p. 9. RIBENBOIM, Paulo, Théorie des valuations, (3e session, été 1964), Les Presses de l'Université de Montréal, 2e éd. 1968, 317 p. 10. HILTON, Peter, Catégories non abéliennes, (3 session, été 1964). Les Presses de l'Université de Montréal, 2e éd. 1967. 151 p. 11. ECKYiANN, Bena, Homotopie et cohomologie, (3e session, été 1964), Les Presses de l'Université de Montréal, 1965, 134 p. 12. FOX. Geoffrey, Intégratio::1 dens les .groupes topolo!!ioues, (3e session, été 19G4), Les Presses de l'Université de Montr~al, 1966, 360 p.

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14. BRELOT, Marcel,_ Asiom::itique des fonctions harmoniques , (4e session, été l96S), Les Presses