Technische Mechanik 3: Band 3: Kinematik und Kinetik [15., überarb. Aufl.] 9783486708486, 9783486597516

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Oldenbourg Lehrbücher für Ingenieure Herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. Helmut Geupel

Das Gesamtwerk

Assmann/Selke, Technische Mechanik umfasst folgende Bände: Band 1: Statik (incl. Aufgaben) Band 2: Festigkeitslehre Band 3: Kinematik und Kinetik Aufgaben zur Festigkeitslehre Aufgaben zur Kinematik und Kinetik

Technische Mechanik 3 Kinematik und Kinetik von Prof. Bruno Assmann und Prof. Dr.-Ing. Peter Selke 15., überarbeitete Auflage

Oldenbourg Verlag München

Prof. Bruno Assmann lehrte über 30 Jahre lang an der Fachhochschule Frankfurt am Main. Sein Wissen und seine Erfahrungen aus der Lehre hat er in die drei Bände zur „Technischen Mechanik“ und die dazugehörigen Aufgabensammlungen einfließen lassen. Prof. Dr.-Ing. Peter Selke lehrte von 1992 bis 2009 Technische Mechanik, Maschinendynamik und Finite-Elemente-Methode an der Technischen Hochschule (FH) Wildau.

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Inhaltsverzeichnis Vorwort IX Verwendete Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI 1 1.1 1.2 1.3

Einführung Begriffsbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abriss der Geschichte der Mechanik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einiges zur Lösung von Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 7

Teil A: Kinematik

13

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.5.1 2.5.2 2.6

Die geradlinige Bewegung des Punktes Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analytische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graphische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 14 19 25 38 38 51 57

3 3.1 3.2

59 59

3.3 3.4 3.5

Die krummlinige Bewegung des Punktes Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung im Kartesischen Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten . . Tangentiale und normale Beschleunigung; natürliches Koordinatensystem Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.6

Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Schiebung (Translation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Drehung (Rotation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der allgemeine Bewegungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bestimmung der Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der momentane Drehpol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Bestimmung der Beschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 84 84 96 96 102 107 114 129

60 62 67 81

VI

Inhaltsverzeichnis

Teil B: Kinetik

133

5 5.1 5.2 5.3

Das Dynamische Grundgesetz 133 Die Newtonschen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Das d’Alembertsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Der Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.4 6.4.1 6.4.2 6.4.3 6.4.4 6.4.5 6.4.6 6.4.7 6.4.8 6.5

Impuls und Drall 141 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Der Impuls des Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Der Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Der Satz von der Erhaltung des Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Der zentrische Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Der Impuls des kontinuierlichen Massenstromes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Der Impuls des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Das Massenträgheitsmoment; das Zentrifugalmoment; der Steinersche Satz; Hauptachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Der Schwerpunktsatz; die Schiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Die Drehung um die Hauptachsen; der Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Die Drehung um Achsen, die parallel zu den Hauptachsen liegen . . . . . . . . 207 Der Satz von der Erhaltung des Dralls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Die allgemeine ebene Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Der exzentrische Stoß (Drehstoß) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Der Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.3 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.3.5 7.4

Das Prinzip von d’Alembert 245 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Der Massenpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Die geradlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Die krummlinige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Die Corioliskraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Der starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Die Schiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Die Drehung um Hauptachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Die Drehung um Achsen, die parallel zu den Hauptachsen liegen . . . . . . . . 270 Die allgemeine ebene Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Die Drehung um eine beliebige Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

Die Energie 303 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Die Definition von Arbeit und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Der Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Der Massenpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Der kontinuierliche Massenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Der starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Inhaltsverzeichnis

VII

8.6.1 8.6.2 8.6.3 8.7

Die Schiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Drehung um ortsfeste Achsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die allgemeine ebene Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

325 325 330 339

9 9.1 9.2 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.3.5 9.4 9.5 9.5.1 9.5.2 9.5.3 9.6 9.7 9.7.1 9.7.2 9.8 9.8.1 9.8.2 9.8.3 9.9 9.10

Mechanische Schwingungen 341 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Grundlagen der technischen Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Freie ungedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Die Grundgleichung der harmonischen Schwingung des Massenpunktes . 344 Die Bestimmung der Federkonstante; Ersatzfeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Biegeschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 Pendelschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Dreh- und Torsionsschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Die geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . 389 Die erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 Problembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 Übertragung der Lösung auf wichtige Anwendungsfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 Erfassung von Schwingungsparametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Die biegekritische Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 Das Einmassensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 Das Mehrmassensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 Schwingungsprobleme durch freie Massenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 Das Auswuchten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 Die Massenkräfte am Kurbeltrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 Schwingungsisolierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

Anhang

467

Literaturverzeichnis

471

Weiterführende Literatur

473

Index

477

Vorwort In diesem dritten Band der Technischen Mechanik werden die Gebiete Kinematik und Kinetik dargestellt. Die Kinematik ist die Lehre von der Bewegung, die Kinetik die Lehre von den bei der Bewegung wirkenden Kräften. Der Umfang dieses Gebiets bringt es mit sich, dass man es in vielfältiger Weise gliedern kann. Eine zu starke Aufsplitterung des Stoffs erschwert die Übersicht und das Erkennen von Zusammenhängen. Deshalb halten wir es für sinnvoll, die Kinematik und die Kinetik jeweils geschlossen darzustellen (Teil A und B des Buches). In der Kinematik werden, ohne nach den verursachenden Kräften zu fragen, die geradlinige und krummlinige Bewegung des Punktes sowie die Schiebung (Translation), Drehung (Rotation) und allgemeine Bewegung des starren Körpers in der Ebene behandelt. Das Ziel dabei ist, Bewegungszustände (Lage, Geschwindigkeit, Beschleunigung) in Gleichungen zu erfassen und, wo es sinnvoll ist, graphisch darzustellen. Besonders wichtig für das Verständnis der später behandelten Kraftwirkung ist die Erkenntnis, dass die allgemeine Bewegung aus den Elementen „Schiebung“ und „Drehung“ zusammengesetzt werden kann. Die Berechnung der an einer bewegten Masse wirkenden Kräfte erfordert die Kenntnis einer Gleichung, die die physikalische Größe „Kraft“ mit einer physikalischen Größe der Kinematik verbindet. Diese Verbindung ist das Dynamische Grundgesetz von Newton, das vereinfacht „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“ lautet. Deshalb ist es an den Anfang des Teils B gestellt. Die drei Umwandlungen des Dynamischen Grundgesetzes sind der Impulssatz, das d’Alembertsche Prinzip und der Energiesatz, die hier jeweils auf Massenpunkt, kontinuierlichen Massenstrom und den starren Körper angewendet werden. In der Mechanik gibt es drei Erhaltungssätze, den Impulserhaltungssatz, den Drallerhaltungssatz und den Energieerhaltungssatz. Die beiden ersten folgen aus dem Impulssatz, der deshalb ein besonderes Gewicht hat. Einige Probleme (z.B. der Stoß) sind nur mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes lösbar. Eine besondere Rolle spielt der Impulssatz in der Mechanik des kontinuierlichen Massenstromes (Strömungslehre). Aus den genannten Gründen wurde er an die erste Stelle gesetzt. Die oben diskutierte Gliederung des umfangreichen und durchaus unübersichtlichen Stoffes soll verdeutlichen, dass es für die Lösung einer Aufgabe aus der Kinetik nicht „die richtige Formel“ gibt, sondern dass grundsätzlich die Lö-

X

Vorwort

sung mit dem Impulssatz, dem d’Alembertschen Prinzip und dem Energiesatz möglich ist. Das wird an Beispielen demonstriert, die nach den drei Verfahren durchgearbeitet werden. Das letzte Kapitel des Buches befasst sich mit den mechanischen Schwingungen. Um die nicht ganz einfache Problematik möglichst leicht verständlich und überschaubar darzustellen, ist die Beschränkung auf das Einmassenmodell geboten. Dies ist auch deshalb sinnvoll, weil sich das prinzipielle Vorgehen bei der Bearbeitung auch komplizierter Systeme, die sich nur noch mit Hilfe von Großrechnern lösen lassen, sehr gut an solchen einfachen Modellen beschreiben und trainieren lässt. Es werden die Grundlagen für ungedämpfte, gedämpfte und erregte Schwingungen erläutert. Ergänzt werden diese Grundlagen durch die für den Ingenieur wichtigen Fragen zur Erfassung von Schwingungsparametern, der Schwingungsisolierung und des Einflusses von freien Massenkräften. Im Zusammenhang mit der Beschreibung der kritischen Drehzahl wird über das Einmassenmodell hinausgegangen und die Grundschwingung einer mit mehreren Massen bestückten Welle behandelt. So ist es möglich, die Wellenmasse bei der Berechnung der biegekritischen Drehzahl näherungsweise zu berücksichtigen. Das Buch ist als Lehrbuch vornehmlich für die Fachhochschulen konzipiert. Die ausführlich vorgerechneten Beispiele sollen an Modellen Prinzipien und Zusammenhänge erklären, Fragen aufwerfen und sie beantworten. Die Beispielauswahl soll aber auch schon den Praxisbezug herstellen und Anwendungen vor allem im Maschinenwesen zeigen. Insofern soll sich diese Darstellung von einer in einem Physikbuch unterscheiden. Erst das selbständige Lösen von Aufgaben ermöglicht eine Kontrolle, inwieweit der Stoff verstanden wurde. Deshalb haben wir eine auf dieses Buch zugeschnittene Aufgabensammlung zusammengestellt. In der vorliegenden 15. Auflage ist das Kapitel Schwingungen noch einmal überarbeitet worden. Dem Verlag, insbesondere unserem Lektor Herrn Anton Schmid danken wir für die wieder sehr gute Zusammenarbeit. Frankfurt am Main/Berlin

Bruno Assmann Peter Selke

Verwendete Bezeichnungen

XI

Verwendete Bezeichnungen A A a b c D d E E e F f G g H, h I ID i i J k L, l M m n P p R, r S S s s s T t U

Amplitude Fläche Beschleunigung Dämpfungskoeffizient Federkonstante Drall Durchmesser Elastizitätsmodul Energie Exzentrizität Kraft Frequenz Gleitmodul Fallbeschleunigung Höhen, allgemein Flächenmoment 2. Ordnung Isolierwirkungsgrad Trägheitsradius Übersetzungsverhältnis Massenträgheitsmoment Stoßzahl Längen, allgemein Moment Masse Drehzahl Leistung Druck Radien, allgemein Schwerpunkt Seilkraft, Stabkraft Ortskoordinate reduzierte Exzentrizität Weg Schwingungsdauer Zeit Unwucht

V v W Z α α, β, γ... δ η η ϑ Λ λ µ ̺ ϕ ϕ ω

Vergrößerungsfunktion/-faktor Geschwindigkeit Arbeit Zentrifugalkraft, Fliehkraft Winkelbeschleunigung Winkel, allgemein Abklingkonstante Abstimmungsverhältnis Wirkungsgrad Dämpfungsgrad Logarithmisches Dekrement Schubstangenverhältnis Reibungszahl Dichte Phasenverschiebungswinkel Winkel bei Verdrehung Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz

XII

Verwendete Bezeichnungen

Indizes 0 A A, B, D ... b Cor D d d e ers ext F F f G K k m max min n pot R R r r red rel S S St stat T T t t v x, y, z Z ξ, η ϕ

Ruhezustand Ausgleichsmasse verschiedene Massen, Punkte usw. Biegung Coriolis Dämpfer gedämpft Dreh. . . erregt Ersatz extrem Feder Krafteinleitungsstelle Führung Gewicht kritisch kinetisch Mittelwert maximal minimal Normalrichtung potentiell Reibung Resonanz radial Rückstellkraft/-moment reduziert relativ Schwerpunkt Seil Stoß statisch Torsion Trägheit Tangentialrichtung Torsion vertikal bezogen auf die so bezeichneten Achsen zentrifugal bezogen auf die so bezeichneten Achsen Umfangsrichtung

1

Einführung

1.1

Begriffsbestimmung

Im ersten Band der vorliegenden Technischen Mechanik wird die Statik behandelt. Das ist die Lehre von der Wirkung von Kräften auf starre Körper im Gleichgewicht. Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen der Statik werden z.B. Auflager- und Gelenkkräfte statisch bestimmt gelagerter Systeme ermittelt. In der Festigkeitslehre (Band 2) ist es notwendig, den idealisierten Begriff „starrer Körper“ zu verlassen. Die Festigkeitslehre befasst sich mit den auftretenden Deformationen an Bauteilen und den so verursachten Spannungen. Diese beiden Gebiete behandeln im Wesentlichen Systeme, die in Ruhe sind. Die Zeit, als eine der Grundgrößen der Mechanik, kommt deshalb in der Statik und Festigkeitslehre nicht vor. Jedoch wird bereits im Band 1 darauf hingewiesen, dass alle für die Statik abgeleiteten Beziehungen auch für geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit gelten. Der Ruhezustand ist der Sonderfall der Bewegung mit v = 0. Im vorliegenen Band 3 werden bewegte Massen untersucht. Aussagen über die die Bewegung verursachenden Kräfte sind erst möglich, wenn die Geometrie der Bewegung selbst erfasst ist. Deshalb ist es notwendig, zunächst ohne nach den Ursachen zu fragen, sich mit den verschiedenen Bewegungsarten eines Punktes bzw. eines starren Körpers zu befassen. Dieses Teilgebiet nennt man Kinematik (Kapitel 2 bis 4 dieses Bandes). Nach diesen Ausführungen arbeitet die Kinematik als Lehre von den Bewegungen mit den Grundgrößen Länge und Zeit. Erst die Vereinigung von Statik und Kinematik gestattet es, Beziehungen zwischen der Bewegung eines Systems mit den die Bewegung verursachenden Kräften aufzustellen. Die Lehre von den Kräften und Bewegungen nennt man Kinetik (Kapitel 5 bis 9 dieses Bandes). Sie arbeitet mit allen Grundgrößen der Mechanik, mit der Länge, der Kraft und der Zeit. Die Vereinigung von Statik und Kinematik ist nur möglich, wenn eine Beziehung bekannt ist, die eine Größe der Statik in Abhängigkeit zu einer Größe der Kinematik bringt. Diese Beziehung ist das von Newton aufgestellte Dynamische Grundgesetz. Für den starren Körper heißt es in der einfachsten Form „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“. Dieses Gesetz stellt demnach eine Verknüpfung der Größe Kraft (Statik) mit der Größe Beschleunigung (Kinematik) dar.

2

1 Einführung

Der Begriff Dynamik wird in der Fachliteratur verschieden definiert. Es sollen ohne Stellungnahme die verschiedenen Auffassungen dargestellt werden. Zunächst wird die Dynamik in dem Sinne festgelegt, wie es hier mit dem Begriff Kinetik geschehen ist. Eine zweite Auffassung bezieht in die Dynamik auch die Lehre von der Bewegung ein. Das entspricht einem Oberbegriff für Kinetik und Kinematik. Wenn man nur vom Wortstamm ausgeht (griechisch = Kraft), dann ist die Dynamik die Lehre von den Kräften. So gesehen ist sie ein Oberbegriff für Statik und Kinetik. Die Kinematik steht dann als selbständiger Zweig der Mechanik daneben.

1.2

Abriss der Geschichte der Mechanik

In diesem Abschnitt soll versucht werden, die Gedankengänge nachzuzeichnen, die zu unserem heutigen Bild der Mechanik geführt haben. Natürlich kann das nur soweit geschehen, wie es dem Umfang dieser Technischen Mechanik entspricht. Die Frage nach dem Grund für einen solchen Rückblick liegt nahe. Entscheidende Durchbrüche zu neuen allgemeingültigen Erkenntnissen sind durch exakte Beobachtungen einfacher Naturvorgänge und die daraus gezogenen Schlussfolgerungen gelungen. In diesem Zusammenhang müssen der frei fallende Körper, das mathematische Pendel und die schiefe Ebene genannt werden. Das kann geradezu als ein Beweis dafür gelten, dass man als Lernender neue Erkenntnisse nur gewinnen kann, wenn man sich physikalische Prinzipien an einfachen Modellen klar macht. Für die Technische Mechanik sind das z.B. die bewegte Punktmasse, der Balken, die Rolle, das Seil usw. Aus diesenÜberlegungen und nicht nur aus Interesse für die Geschichte wurde dieser Abschnitt geschrieben. Schon sehr frühzeitig hat man versucht, Naturvorgänge, die nach der heutigen Gliederung in das Gebiet der Mechanik fallen, zu erklären und in Gesetze zu fassen. Mechanische Vorgänge boten sich besonders an, da sie einen großen Teil der unmittelbaren Erfahrung des Menschen ausmachen. Jedes Werkzeug war zunächst ein mechanisches Werkzeug, das in irgendeiner Form Gesetze der Mechanik anwendet. Das gilt z.B. für den Hebel, den Keil, die Rolle und das Seil. Die unmittelbare Berührung mit elementaren mechanischen Vorgängen hat im Laufe der Zeit das gesamte Denken so durchdrungen, dass man noch verhältnismäßig spät alle Vorgänge in der Natur an mechanischen Prinzipien zu erklären versucht hat. Als Beispiel sei hier die von Newton vertretene Korpuskulartheorie des Lichts genannt. Die Ägypter müssen schon in der Zeit 3000 bis 2000 vor unserer Zeitrechnung viele Einzelkenntnisse der Mechanik gehabt haben. Das beweisen zahlreiche Dar-

1.2 Abriss der Geschichte der Mechanik

3

stellungen mechanischer Geräte und Bauwerke wie die Pyramiden. Die Griechen der Antike versuchten neben exakten Einzeluntersuchungen zu einer Erklärung der Weltentstehung und einem einheitlichen Denksystem zu gelangen (Naturphilosophie). Es konnten jedoch nur Einzelprobleme gelöst werden, da die allgemeine Entwicklung noch nicht genügend weit fortgeschritten war. Aristoteles (384 bis 322 v.Chr.) prägte den Namen Physik. Er erkannte unter anderem, dass alle Körper beschleunigt fallen, war jedoch der Meinung, dass ein schwerer Körper schneller falle als ein leichter. Da die Schriften des Aristoteles bis in das 15. Jahrhundert als unumstößliches Gesetz galten, war dieser Fehler für die Weiterentwicklung der Mechanik sehr folgenschwer. Archimedes von Syrakus (287 bis 212 v.Chr.) entwickelte nicht nur viele mathematische Gesetze, sondern konstruierte unter anderem den Flaschenzug, die Schraube zur Wasserförderung und formulierte das nach ihm benannte Prinzip des hydrostatischen Auftriebs. Er kannte das Hebelgesetz und berechnete Flächenschwerpunkte. Auch befasste er sich mit der schiefen Ebene. Heron von Alexandria (1. Jahrhundert v.Chr.?) verfasste einige physikalische Werke. Er baute unter Verwendung von Mikrometerschraube, Zahnrad und Zahnstange Messgeräte. Die ersten eineinhalb Jahrtausende unserer Zeitrechnung waren für die Entwicklung der Wissenschaften sehr steril. Man ist ganz allgemein über den Stand dessen, was die Griechen und Römer geschaffen haben, nicht hinausgekommen. Leonardo da Vinci (1452–1519) hat eine Vielzahl von mechanischen Einzelproblemen gelöst, die sich vor allem aus technischen Anwendungen ergaben. Dabei waren seine Arbeitsgebiete hauptsächlich das Bauwesen einschließlich des Wasserbaus und der Kriegsmaschinen. Er hat viele Aufzeichnungen hinterlassen, aus denen u.a. hervorgeht, dass er sich über die Reaktionswirkung einer Kraft im Klaren war. Er schreibt darüber im Zusammenhang mit der Rückstoßkraft an einer Kanone. Auch spricht er bereits von der Kraft als der Ursache der Bewegung. Der Kraftbegriff, so geläufig er jetzt ist, hat erst einen sehr langwierigen Entwicklungsprozess durchmachen müssen. Zunächst wurden ohne scharfe Trennung Begriffe wie Kraft, Stoß, Schlag, Druck, Zug verwendet. Leonardo da Vinci nennt die Kraft ein „geistiges, unkörperliches und unsichtbares Wirkungsvermögen“. Da der Begriff „Masse“ noch nicht definiert war, fehlte auch die Klarheit über einen für uns so alltäglichen Begriff wie „Gewicht“, bzw. Gewichtskraft. Leonardo da Vinci war der Meinung, diese würde kleiner, wenn der betreffende Gegenstand horizontal bewegt wird. Er führte als Beweis an, dass ein galoppie-

4

1 Einführung

rendes Pferd sich mit dem Reiter kurzfristig auf einem Bein nur halten könne, weil Pferd und Reiter leichter geworden seien. Das wirft ein Schlaglicht auf die Art der damaligen Argumentation. Vor allem war es damals nicht möglich, den Einfluss der Reibung zu eliminieren. Das gilt sowohl für das Experiment als auch für die Überlegungen. Aus diesem Grunde herrschte damals ganz allgemein die Vorstellung, die Bewegung wäre ein Vorgang, der sich selbst aufzehre. Eine Weiterentwicklung war in diesem Stadium nicht möglich, da man von der falschen Aussage über den freien Fall ausging (Aristoteles) und noch keine Klarheit über die Rolle der Reibung für die Bewegung und über den Begriff „Kraft“ hatte. Es bedurfte der Genialität eines Galileo Galilei (1564–1642), um diesen Kreis zu sprengen. Er verlangte das Experiment als Beweisgrundlage und kann wohl deshalb als der Schöpfer der modernen Physik gelten. Zunächst entwickelte er die kinematischen Grundlagen. Für eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit fand er den Zusammenhang s = v·t und deutete den Weg s graphisch als die Fläche im v(t)-Diagramm. Er spricht von der Summe der Höhen. Die Zunahme der Geschwindigkeit beim freien Fall versuchte er zunächst durch den Ansatz v ∼ s, v = k·s

(Geschwindigkeit proportional zum zurückgelegten Weg)

zu lösen. Da diese Beziehung experimentell nicht bestätigt wurde, versuchte er den uns bekannten Ansatz v ∼ t,

v = g·t.

Die Geschwindigkeit nimmt proportional mit der Zeit zu. In der Schlussfolgerung aus der vorher gewonnenen Erkenntnis, dass die Fläche im v(t)-Diagramm (Dreieck) dem zurückgelegten Weg entspricht, erhält er das Gesetz 1 g s = (g·t)·t = t2 . 2 2 Galilei war hier schon auf dem Wege zur Differential- und Integralrechnung. Mit der Erkenntnis, dass alle Körper gleich schnell fallen, war es Galilei endlich gelungen, die Physik von den falschen Vorstellungen des Altertums zu lösen. Für die Weiterentwicklung war die Definition des Beschleunigungsbegriffes besonders wichtig. Die Experimente Galileis an schiefer Ebene und am Pendel zum Beweis der Fallgesetze können hier nicht ausführlich behandelt werden. Nur auf einen kleinen Versuch sei kurz eingegangen. Um die quadratische Abhängigkeit des Weges

1.2 Abriss der Geschichte der Mechanik

5

von der Zeit zu demonstrieren, schnitzte er in eine schiefe Ebene Kerben in Abständen ein, die sich im Verhältnis 1; 4; 9; 16; 25 verhalten. Lässt man eine Kugel herunterrollen, dann hört man die Kugeln in gleichen Zeitabständen die Kerben passieren. Man vergleiche diese Arbeitsmethode mit der „Beweis“-führung des Leonardo da Vinci zur horizontal bewegten Masse. Das kann ohne Schmälerung der Verdienste dieses genialen Mannes gesagt werden. Die von Galilei stammende Arbeitsmethode der Wechselwirkung von Idee und Experiment wirkte bahnbrechend für die Weiterentwicklung der Physik. Die Frage nach der Ursache der Bewegung der Himmelskörper war damals absolut zentral. Galilei war der Meinung, dass es eine natürliche Bewegung gibt, die ein Körper beschreibt, wenn keine Kräfte angreifen. Damit ist grundsätzlich der Begriff „Trägheit“ in die Physik eingeführt. Galilei war jedoch der Auffassung, die natürliche Bewegung eines Körpers – er meinte damit einen Himmelskörper – sei die Kreisbahn. Christian Huygens (1629–1695) hat schon auf die Bestimmbarkeit der Kraft durch die Beschleunigung hingewiesen, jedoch blieb es ihm versagt, den Begriff Masse zu definieren. Er hat u.a. die Kinematik der Kreisbewegung und in diesem Zusammenhang den Begriff der Normalbeschleunigung abgeleitet. Das war eine besonders wichtige Voraussetzung für die Arbeiten Newtons. In diesem Zusammenhang muss auch der Astronom Johannes Kepler (1571– 1630) genannt werden, der auf Grund langjähriger Beobachtungen, die größtenteils auf Tycho de Brahe (1546–1601) zurückgehen, die nach ihm benannten Planetengesetze aufgestellt hat. Isaac Newton (1642–1727) hat als Erster versucht, die Physik systematisch aufzubauen. Er geht in seinem Hauptwerk von vier Definitionen aus. In der ersten legt er den Begriff Masse fest. Dabei nennt er die Masse die „multiplikative Vereinigung von Volumen und Dichte“, stellt also die uns geläufige Beziehung m = ̺·V auf. Nach der Definition der Begriffe stellt Newton drei Gesetze auf (ausführlicher im Kapitel 5). An erster Stelle steht das Trägheitsprinzip, nach dem ein Körper in Ruhe oder geradliniger Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit verharrt, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken. Das zweite Gesetz wird Dynamisches Grundgesetz genannt. In der einfachsten Form lautet es: Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. Da eine Definition der Masse vorliegt, kann man mit seiner Hilfe die Kraft definieren. Das führt zu der Krafteinheit Newton. Das dritte Gesetz sagt aus, dass Kräfte paarweise auftreten (actio = reactio). Aus diesen drei Gesetzen lässt sich die gesamte Mechanik entwickeln1 . Newton selbst stellt im gleichen Werk, von den Planetengesetzen 1

Die klassische oder Newtonsche Mechanik gilt nicht mehr für Massen, die sich mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegen (Relativitätstheorie – Einstein (1879– 1955)).

6

1 Einführung

Keplers ausgehend, das Gravitationsgesetz auf und begründet damit die Himmelsmechanik. An dieser Stelle lohnt es sich, einige Gedanken Newtons nachzuzeichnen. Die grundlegendenÜberlegungen wurden dem einfachen Vorgang der Wurfbewegung entnommen. Newton schreibt: „Dass durch die Zentralkräfte die Planeten in ihren Bahnen gehalten werden können, ersieht man aus der Bewegung der Wurfgeschosse.“ Er vergleicht dann die durch die Gewichtskraft erzwungene Wurfparabel mit der gekrümmten Bahn eines Planeten und fährt fort: „So würden die von einer Bergspitze mit steigender (horizontaler) Geschwindigkeit fortgeworfenen Steine immer weitere Parabelbögen beschreiben und zum Schluss – bei einer bestimmten Geschwindigkeit – zur Bergspitze zurückkehren und auf diese Weise sich um die Erde bewegen.“ Diese Geschwindigkeit √ gibt Newton selbst aus der Bedingung Fliehkraft = Gewichtskraft mit v = R·g an. Das ist die Geschwindigkeit eines erdnahen Satelliten von ca. 7900 m/s. Newton hat mit seinen Definitionen und Gesetzen der Mechanik ein einheitliches System gegeben. Damit ist die Mechanik nicht mehr eine Sammlung von Einzelgesetzen und -erfahrungen, sondern eine exakte Wissenschaft. Eine Weiterentwicklung der Mechanik und mit den neuen Erkenntnissen möglich gewordene Behandlung vieler Einzelprobleme bedingte einen weiteren Ausbau der Mathematik. Auch auf diesem Gebiet hat Newton entscheidende Impulse gegeben. Auf ihn und Gottfried von Leibnitz (1646–1716) geht die Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung) zurück. Im Rahmen der Stoffauswahl der Technischen Mechanik müssen noch folgende Gelehrte genannt werden. Robert Hooke (1635–1703) entwickelte die Elastizitätstheorie auf der im Wesentlichen die Festigkeitslehre basiert. Von Jakob Bernoulli (1654–1705) stammt u.a. die Biegetheorie des Balkens (Grundgleichung der Biegung). Daniel Bernoulli (1700–1782) begründete die Hydromechanik. Leonhard Euler (1707–1783) nimmt hier einen besonders breiten Raum ein. Er untersuchte erschöpfend die allgemeine Bewegung des starren Körpers und leitete die nach ihm benannten Gleichungen für den Kreisel ab. Aus der Anwendung des Dynamischen Grundgesetzes auf einen Massenstrom entwickelte er die nach ihm benannte Turbinengleichung. Euler löste das Problem der Knickung eines elastischen Stabes und damit als erster ein Eigenwertproblem aus der Elastizitätstheorie. Die Arbeiten auf dem Gebiet der Differentialgleichung und komplexen Zahlen ermöglichen die Lösung von Schwingungsproblemen. Mit Hilfe des von d’Alembert (1717–1783) formulierten Prinzips (Kapitel 7 dieses Bandes) werden Probleme der Kinetik auf die Statik zurückgeführt. Das geschieht durch Einführung von Trägheitskräften und Trägheitskräftepaaren. Ab etwa 1800 entwickelt sich als eigener Zweig eine auf die Bedürfnisse der

1.3 Einiges zur Lösung von Aufgaben

7

Technik zugeschnittene Mechanik, die Gegenstand dieser Bücher ist. Die hier zu nennenden Namen werden bzw. wurden bei der Behandlung der einzelnen Stoffgebiete angeführt.

1.3

Einiges zur Lösung von Aufgaben

Der angehende Ingenieur sollte sich möglichst früh das exakte und systematische Arbeiten beim Lösen einer technischen Aufgabe aneignen. Dadurch werden Fehler vermieden und Kontrollen werden viel leichter, auch von anderen Personen durchführbar. Nachfolgend sollen dafür einige Hinweise gegeben werden, die, sinngemäß angewendet, für alle technischen Aufgaben gelten. Es ist zunächst zweckmäßig, die gegebenen und gesuchten Werte zusammenzustellen. Danach richtet sich die Wahl des günstigsten Lösungsweges (z.B. Impulssatz oder Energiesatz usw.). Nach diesen Überlegungen soll eine dem Lösungsverfahren angepasste Skizze angefertigt werden. Diese sollte in den Proportionen möglichst genau und genügend groß sein. Kräfte, Momente, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen werden möglichst im richtigen Wirkungssinn eingetragen. Die Verwendung mehrerer Farben wird empfohlen. Auf die Bedeutung einer guten Skizze für die Lösung einer Aufgabe wird besonders dringend hingewiesen. Die verwendeten Gleichungen sollen auf jeden Fall zunächst in allgemeiner Form hingeschrieben werden. Zur besseren Kontrolle wird, ohne Zusammenfassung, jeder einzelne Wert eingesetzt, z.B. v= =

q

2g·H + v02

s

2·9,81

v = 8,01

m2 m 2 ·2 m + 5,0 s2 s2

m . s

Es sollte, so weit wie möglich, mit allgemeinen Größen gearbeitet werden. Zahlenwerte sollen erst eingesetzt werden, wenn die Ausgangsgleichung nach der gesuchten Größe aufgelöst ist.

8

1 Einführung

Beispiel

anstatt

besser

p

v =

400 = 19,62·H 400 H = 19,62 H = 20,4 m

H=

v

=

20,0 =

2g·H

p

19,62·H

H=

p

2g·H,

v2 , 2g

202 m2 ·s2 , 2·9,81 s2 ·m H = 20,4 m.

Bei dem links gezeigten Weg ist bereits in der zweiten Zeile eine Dimensionskontrolle nicht mehr möglich. Diese soll unbedingt vor Einsetzen der Zahlenwerte durchgeführt werden. Es sollte bei der Ausarbeitung der Lösung kein Schritt übersprungen werden, einzelne Schritte sind u.U. durch kurze Bemerkungen zu erläutern. Werden z.B. komplizierte Bewegungsabläufe durch Gleichungen dargestellt, dann ist es weder zweckmäßig noch üblich, alle Einheiten mitzuschreiben. Die Einheiten müssen aber am besten in Form einer Tabelle sowohl im Ansatz als auch bei Ergebnissen in allgemeiner Form aufgeführt sein. Man nennt solche Gleichungen Zahlenwertgleichungen. Sie entsprechen der Norm DIN 1313. Gerade im Zusammenhang mit der EDV kann man auf ihre Anwendung nicht verzichten, da der Computer nicht mit Einheiten arbeitet, sondern die Gleichungen für verschiedene Variablen zahlenmäßig auswertet. Beispiel s = 2,5·t3 − 11,0·t2 + 5·t,

s t m s

daraus z.B. v=

ds = 7,5·t2 − 22,0·t + 5 dt

v t m/s s

Zur eindeutigen Angabe von Ergebnissen, sollte bei Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Kräften neben dem Betrag auch die Richtung angegeben werden, vx = −12,5

m (←). s

1.3 Einiges zur Lösung von Aufgaben

9

Für Vektoren senkrecht zur Zeichenebene benutzt man ⊙ ⊕

aus der Ebene herausragend, in die Ebene hineinragend,

Oft führen einfache Umrechnungen der Einheiten zu Dezimalstellenfehlern. Deshalb soll dazu etwas ausgeführt werden. Beispiel ω2 =

G·I l·J

G

Gleitmodul, nach Normen empfohlene Einheiten MN/m2 = N/mm2

I

Flächenträgheitsmoment, lt. Normen in cm4 gegeben

J

Massenträgheitsmoment in kg m2

l

Länge je nach Arbeitsgebiet m, cm, mm G = 8·104 N/mm2

J = 10 kg m2

I = 100 cm4 102 cm4 8·104 N · ω2 = mm2 1 m·10 kg m2

l = 1m

Für unübersichtliche Ausdrücke empfiehlt es sich, die Einheiten zusammenzufassen, wobei N auf die Grundeinheiten kg·m/s2 zurückgeführt wird. ω 2 = 8·105

kg m cm4 s2 mm2 ·m·kg m2

Für die weitere Zahlenrechnung muss auf eine gemeinsame Längeneinheit umgerechnet werden. Vorher können kg m gekürzt werden. Es soll hier alles auf cm umgerechnet werden. Im Nenner stehen mm2 . Um diese zu „löschen“ wird mit mm2 multipliziert. Damit wäre der Term dimensionsmäßig geändert. Deshalb wird im Nenner die gewünschte Einheit cm – hier cm2 – eingeführt. Insgesamt wird mit dem Quotienten mm2 /cm2 multipliziert. Dieser ist jedoch nicht 1, sondern es sind (10 mm)2 = 1 cm2 oder 1 = 100 mm2 /cm2 (100 mm2 pro 1 cm2 ). Analog verfährt man mit anderen Einheiten. Man erhält so ω 2 = 8·105

cm4 100 mm2 1 m2 · · s2 ·mm2 ·m2 1 cm2 1002 cm2

ω = 89,4 s−1

10

1 Einführung

Bei einer graphischen Lösung soll die Zeichnung wegen der notwendigen Genauigkeit nicht zu klein ausgeführt werden. Die Maßstäbe müssen eindeutig angegeben sein. Die Ergebnisse sollen getrennt herausgeschrieben werden. Ein Ergebnis muss immer kritisch und mit gesundem Menschenverstand daraufhin untersucht werden, ob es überhaupt technisch möglich ist. Zur Kontrolle sollten nach Möglichkeit die errechneten Werte in noch nicht benutzte Gleichungen eingesetzt werden. Auch ist manchmal eine Kontrolle durch eine andere Lösungsmethode möglich. Die Genauigkeit einer technischen Berechnung hängt von zwei Faktoren ab, erstens von der Genauigkeit der Ausgangsdaten, zweitens von der Genauigkeit der Rechnung. Bei Verwendung eines Rechners darf man den zweiten Faktor vernachlässigen. Das Ergebnis einer technischen Berechnung wird demnach nur von den Toleranzen beeinflusst, mit denen die Ausgangswerte gegeben sind. Ausgangswerte für eine technische Berechnung haben selten Toleranzen von 1 % oder sogar weniger. Man denke z.B. an die Schwierigkeiten, Belastungen genau festzustellen oder an die Streuungen, denen die Festigkeitswerte eines Werkstoffs unterliegen. Welche Konsequenzen ergeben sich für eine Berechnung? Der in der Materie Mitdenkende sollte nicht sinnlos die Ergebnisse des Rechners übernehmen, sondern sie kritisch auf ihre mögliche Genauigkeit untersuchen und sinnvoll runden. Dies sollte schon bei eventuellen Zwischenergebnissen erfolgen.

Teil A: Kinematik

2

Die geradlinige Bewegung des Punktes

2.1

Einführung

In diesem Kapitel werden Methoden entwickelt, die das Ziel haben, den Bewegungszustand eines Punktes auf einer Geraden zu beschreiben. Unter Bewegungszustand versteht man z.B. folgende Aussage: Der Punkt P befindet sich zur Zeit t an der Koordinate ±s und bewegt sich mit der Geschwindigkeit v in Richtung zum (vom) definierten Null-Punkt beschleunigt (verzögert) mit a. Die Größen Ortskoordinate s, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a werden definiert. Sie stehen zueinander in Beziehungen, die abgeleitet werden. Das geschieht sowohl in Form von mathematischen Abhängigkeiten als auch in graphischen Darstellungen. Ein Abschnitt behandelt die ungleichförmig beschleunigte Bewegung. Eine geschlossene Lösung ist nur möglich, wenn die vorliegenden Abhängigkeiten in Form von differenzierbaren/integrierbaren Funktionen vorliegen. Gerade in der Ingenieurpraxis ist das eher nicht der Fall. Deshalb werden Ansätze entwickelt, die über eine graphische Darstellung, die mit einem Computer ausführbar ist, zu einer Lösung führen. Dieses Kapitel befasst sich mit einem Punkt, der eine mathematische Abstraktion ist. Wenn sich ein starrer Körper geradlinig bewegt (Wagen auf Schiene) sind alle Punkte des Körpers zur gleichen Zeit im gleichen Bewegungszustand. Diese einfache Überlegung führt vom Punkt zum Körper, der eigentlich in der ingenieurmäßigen Anwendung interessiert. Darüber hinaus soll schon an dieser Stelle darauf hingewiesen werden, dass der Schwerpunkt eines Körpers eine besondere Bedeutung in der Kinetik hat. Bei der allgemeinen Bewegung ist es oft notwendig, den Bewegungszustand des Schwerpunktes zu kennen.

14

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

2.2

Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Einleitend soll festgestellt werden, dass die nachfolgend definierten Begriffe Ortskoordinate s, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a Vektoreigenschaft haben. Da bei einer geradlinigen Bewegung die Richtung vorgegeben ist, wird auf die Vektorschreibweise verzichtet. 0-Punkt

−s

+s

Abb. 2-1: Definition der Ortskoordinate

Ein Punkt bewegt sich entlang einer Linie nach Abb. 2-1. Um diesen Vorgang zu beschreiben, ist es notwendig, einen Nullpunkt zu definieren, von wo aus seine Position s gemessen wird. Diese wird Ortskoordinate genannt. Der Beginn der Zeitmessung ist frei wählbar, z.B. t = 0 für einsetzende Bewegung. Den Bewegungsvorgang kann man jetzt mit Hilfe einer Tabelle beschreiben, in der zugeordnete Werte von s und t aufgeführt sind. Diese Tabelle ist die Grundlage für eine graphische Darstellung in einem Koordinatensystem mit t als Abszisse und s als Ordinate. Ein solcher Graph, wie ihn z.B. die Abb. 2-2 zeigt, stellt sehr anschaulich einen Bewegungsvorgang dar. Hier können in der Tabelle nicht enthaltene Zwischenwerte abgelesen werden. Bewegungsabläufe werden auch durch Gleichungen s = f(t) wiedergegeben. Solche Gleichungen können das Ergebnis theoretischer Betrachtungen sein. Liegen Tabellen s = f(t) vor, die Versuchsergebnisse enthalten, kann man vom Graph ausgehend zu einer Gleichung kommen. Zu diesem Problemkomplex gibt es vielfältige Computerprogramme. Für das Verständnis ist es wichtig, sich hier klar zu machen, dass s eine Lagebezeichnung (Ortskoordinate) ist und nicht ein zurückgelegter Weg. Nur wenn im Zeitintervall ∆t keine Richtungsumkehr erfolgt, ist bei geradliniger Bewegung die Differenz der Ortskoordinate ∆s der während ∆t zurückgelegte Weg. Die Definition des Begriffs Geschwindigkeit soll von der Abb. 2-2a ausgehen. Im Zeitabschnitt t2 − t1 = ∆t hat der Punkt seine Lage von s1 nach s2 verändert und dabei einen Weg ∆s = s2 − s1 zurückgelegt. Dabei war seine mittlere Geschwindigkeit vm =

∆s . ∆t

Die Dimension der Geschwindigkeit ist Länge/Zeit, die Einheiten z.B. m/s, m/min, km/ h.

2.2 Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung a

c

s

16 2

s2

1 ∆t

3,6 m

6 t

t2

v v2

4 2 0

b

−2

2

−4

∆v

4

1 ∆t t1

1s

8

t1

v1

2,8 m

14 s m 12 10

∆s s1

15

t2

t

2 v 0 m/s −2 −4

1

2

3

4

m 3,6 ·1 s = s 2,6

5

6

7

8

9 10 t s

3,6 m

m s

1s

−1,5 m/s

5

6

7

8

9

t s

4 a 3 m/s2 2 1 0 −1 −2

m ·1 s = −1,5 m/s s2 9 10

−1,5 1

2

3

4

5

6

7

8

t s

Abb. 2-2: s(t)-; v(t)-; a(t)-Diagramme einer ungleichförmigen Bewegung

Geometrisch kann die mittlere Geschwindigkeit als der Tangens des Steigungswinkels der Sekante gedeutet werden, die die Kurve in den Punkten 1 und 2 schneidet. Je ungleichmäßiger die Bewegung des Punktes war, um so weniger wird die über ein Zeitintervall ∆t gemessene mittlere Geschwindigkeit mit der momentanen, tatsächlichen Geschwindigkeit übereinstimmen. Diese momentane Geschwindigkeit, deren Größe sich von Punkt zu Punkt ändern kann, beschreibt demnach

16

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

einen Bewegungszustand während eines beliebig kleinen Zeitintervalls ∆t, für den naturgemäß ∆s auch beliebig klein wird. Das betrachtete Zeitintervall ∆t wird deshalb stetig kleiner, bis beim Grenzübergang ∆t → 0 geht. Geometrisch kann man diesen Vorgang als Annäherung des Punktes 2 an den Punkt 1 deuten. Im Grenzübergang wird aus der Sekante die Tangente im Punkt 1. Es gilt v = lim

∆t→0

∆s , ∆t

v=

ds = s. ˙ dt

(2-1)

Die Geschwindigkeit ist die Änderung der Ortskoordinate bezogen auf die Zeit. Geometrisch wird sie durch die Steigung der Tangente im s(t)-Diagramm dargestellt. Die Geschwindigkeit-Zeit-(v(t))-Funktion ist demnach gleich der ersten Ableitung der s(t)-Funktion (Abb. 2-2). Für die Definition der Beschleunigung wird von der Abb. 2-2b ausgegangen. Im Zeitintervall ∆t hat sich die Geschwindigkeit v1 nach v2 um ∆v = v2 − v1 geändert. Die mittlere Beschleunigung war dabei am =

∆v . ∆t

Die Dimension ist die Länge/Zeit2 , die Einheit z.B. m/s2 ; m/min2 . Die Momentanbeschleunigung, die für die Beschreibung des augenblicklichen Bewegungszustandes notwendig ist, erhält man bei der Betrachtung eines beliebig kleinen Zeitintervalls ∆t → 0, d.h. ∆v , ∆t→0 ∆t

a = lim

a=

dv = v˙ = s¨. dt

(2-2)

Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit bezogen auf die Zeit. Geometrisch wird sie durch die Steigung der Tangente im v(t)-Diagramm dargestellt. Die Beschleunigungs-Zeit-(a(t))-Funktion stellt demnach die erste Ableitung der v(t)-Funktion und die zweite Ableitung der s(t)-Funktion dar. Die Umkehrung der Gleichungen (2-1)/(2-2) ergibt s= v=

Z

Z

v·dt,

(2-3)

a·dt.

(2-4)

Die Gleichungen (2-1) bis (2-4) sollen zusammenfassend gedeutet werden. Zur Veranschaulichung wird die Abb. 2-2c herangezogen.

2.2 Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung

17

1. Die Steigung der Tangente an der s(t)-Kurve ergibt die Geschwindigkeit. Als Beispiel ist für t = 7,0 s eine Tangente an den Graph s(t) gezeichnet. Das Steigungsdreieck kann beliebig groß ausgeführt werden, hier wurde ∆t = 1,0 s gewählt. Die Abmessung ∆s = 2,8 m kann man durch Abgreifen der Strecke ∆s und Ansetzen an der Ordinate bei s = 0 ermitteln. Zur Zeit t = 7,0 s bewegt sich der Punkt mit v = 2,8 m/1,0 s = 2,8 m/s. 2. Die Steigung der Tangente an der v(t)-Kurve ergibt die Beschleunigung. Als Beispiel ist die Beschleunigung zur Zeit t = 1,0 s ermittelt (a = 2,6 m/s2 ). 3. Ein „Flächen“-element im v(t)-Diagramm von der „Breite“ ∆t entspricht der Änderung der Ortskoordinate ∆s während des Zeitintervalls ∆t. Das folgt aus dem Begriff des Integrals als auch aus der Definition der mittleren Geschwindigkeit vm =

∆s =⇒ ∆s = vm ·∆t ∆t

Als Beispiel dafür ist die Lageänderung zwischen der 5. und 6. Sekunde eingetragen. 4. Ein „Flächen“-element im a(t)-Diagramm von der „Breite“ ∆t entspricht der Geschwindigkeitsänderung während des Zeitintervalls ∆t. Das folgt analog zu Punkt 3 aus am =

∆v =⇒ ∆v = am ·∆t ∆t

In der Abb. 2-2 ist als Beispiel die Änderung der Geschwindigkeit zwischen der 8. und 9. Sekunde eingetragen. Die „Fläche“ ist negativ, die Geschwindigkeit verringert sich um 1,5 m/s. Für die Punkte 3 und 4 ist besonders zu beachten, dass es sich um Änderungen der Lage und Geschwindigkeit handelt und nicht um die Werte s und v. Die Vorzeichen der einzelnen Größen sagen etwas über den Bewegungszustand aus: s: Das Vorzeichen gibt die Lage in Bezug auf den Nullpunkt an. v: Das Vorzeichen gibt die Bewegungsrichtung an. a: Das Vorzeichen gibt die Art der Änderung der Geschwindigkeit an.

18

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Wenn für s; v; a die gleiche Richtung als positiv festgelegt wird, kann man folgende Schlussfolgerung ziehen: 1. Haben s und v gleiches Vorzeichen, bewegt sich der Punkt vom Nullpunkt weg. Als Beispiel sei in der Abb. 2-2 der Zustand für t = 1,0 s (s und v negativ) und für t = 5,0 s (s und v positiv) betrachtet. 2. Haben s und v verschiedene Vorzeichen, bewegt sich der Punkt auf den Nullpunkt zu. Beispiel: t = 2,0 s und t = 10,0 s. 3. Haben v und a gleiches Vorzeichen, erfolgt die Bewegung beschleunigt in die Richtung, die das Vorzeichen von v angibt. Das ist einleuchtend für positive Vorzeichen, z.B. t = 3,0 s, gilt aber auch für negative Vorzeichen. Im Bereich t = 10,0 s wird die Geschwindigkeit größer. Es handelt sich um eine beschleunigte Bewegung nach unten. Deshalb ist auch die Beschleunigung negativ. 4. Haben v und a verschiedene Vorzeichen, erfolgt die Bewegung verzögert in die Richtung, die das Vorzeichen von v angibt. Als Beispiel sei der Bereich um t = 7,0 s genannt. Die Bewegung nach oben wird langsamer: v positiv, a negativ. Für t = 0 bewegt sich der Punkt nach unten (v negativ) und wird langsamer (a positiv). Besonders wichtig ist die Erkenntnis, dass das Vorzeichen von a alleine keine Aussage über den Zustand „beschleunigt“ oder „verzögert“ ermöglicht. Die Vorzeichen von a und v müssen gemeinsam betrachtet werden. Eine Tabelle zu der Vorzeichendeutung ist im Abschnitt „Zusammenfassung“ dieses Kapitels gegeben. Ergänzend soll hier kurz auf die dritte Ableitung der s(t)-Funktion eingegangen werden. Diese wird Ruck r genannt. ... r = a˙ = v¨ = s Der Ruck sagt etwas über die Änderung der Beschleunigung aus. Die Beschleunigung ist über F = m·a unmittelbar mit der Kraft gekoppelt. Damit ist der Ruck ein Maß für die Änderung der Beschleunigungskräfte. Diese empfindet z.B. ein Fahrgast in der Straßenbahn als Ruck. Mit diesem Begriff arbeitet man vorwiegend in der Fahrdynamik und der Getriebelehre.

2.3 Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

2.3

19

Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

In die Gleichungen des vorigen Abschnittes wird die Bedingung v = konst.

dv = 0

eingesetzt. Man erhält aus Gl. (2-2)

a = 0;

aus Gl. (2-3)

s = v·t + s0 .

(2-5)

Wie vorausgesetzt, erfolgt die Bewegung ohne Beschleunigung und Verzögerung. In gleichen Zeitabschnitten werden gleiche Strecken zurückgelegt. Wie in Abb. 2-3 dargestellt, erhält man im v(t)-Diagramm eine Parallele zur Abszisse, im s

s0

v s=

·t +

s0

v·t s0 t

v v = konst. v·t t

Abb. 2-3: s(t)-; v(t)-Diagramme einer Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

s(t)-Diagramm eine Gerade. An diesen Diagrammen kann man sich die Zusammenhänge nach den Gleichungen (2-1) bis (2-4) klarmachen. Die Steigung der s(t)-Geraden ist v = ∆s/∆t = konst. Die Zunahme des Abstandes s des bewegten Objektes während der Zeit t ist gleich der „Fläche“ v·t im v(t)-Diagramm. Hinzu kommt der Anfangsabstand s0 . Beispiel 1 (Abb. 2-4) Ein Zug A fährt mit konstanter Geschwindigkeit vA durch die Position I in Richtung II. Mit einer Zeitdifferenz ∆t ist vorher durch die Position II ein Zug B mit konstanter Geschwindigkeit vB in Richtung I durchgefahren. Allgemein und für die unten gegebenen Daten sind zu bestimmen: a) die Größe der Geschwindigkeit vB so, dass beide Züge sich an der Stelle III begegnen,

20

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes A

B

I

III

lI−III

II Abb. 2-4: Zwei in entgegengesetzte Richtung fahrende Züge (Beispiel 1)

lI−II

b) der Zeitpunkt tt der Begegnung, c) die Zahlenwertgleichung sA = f (t) und sB = f (t), d) die Position beider Züge und deren Entfernung voneinander z.Z. t = 2000 s. e) Der Vorgang ist im s(t)-Diagramm darzustellen. lI−II = 50,0 km;

lII−III = 30,0 km;

∆t = 200 s;

vA = 25,0 m/s.

Lösung Zunächst ist es notwendig, die Null-Punkte des Koordinatensystems und die positiven Richtungen festzulegen. Folgendes soll gelten: s = 0 an der Stelle III, t = 0 wenn A den Punkt I passiert, s und v in Richtung I−II positiv. Dem Leser sei empfohlen mit einer anderen Festlegung die Aufgabe zu lösen. Das Aufstellen der Gleichung ist einfacher, wenn man vorher qualitativ ein s(t)Diagramm skizziert (s. Abb. 2-5). sA = vA ·t − lI−III

(1)

sB = vB (t + ∆t) + lII−III

(2)

Kontrolle: für t = 0 ist sA = −lI−III .

Kontrolle: für t = −∆t ist sB = lII−III . Die Geschwindigkeit vB ist in Gleichung (2) positiv eingeführt. Nach der Aufgabenstellung ist ein negatives Ergebnis für vB zu erwarten. Man könnte bereits im Ansatz vB negativ einführen. In diesem Falle ergibt sich als Bestätigung ein positives Ergebnis. Für den Treffpunkt in III gilt die Bedingung sA = sB = 0

und t = tt .

Die Gleichung (1) führt auf tt = lI−III /vA und die Gleichung (2) auf 0 = vB (tt + ∆t) + lII−III

(3)

2.3 Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

21

Die Einführung von Gl. (3) ergibt nach einfachen Umwandlungen vB = −

lII−III ·vA . lI−III + ∆t·vA

(4)

Die Gl. (3) und (4) sind die allgemeinen Lösungen. Die Auswertung führt auf tt = 800 s

und vB = −30,0 m/s

(←) .

Wenn der Zug B mit einer konstanten Geschwindigkeit von 30,0 m/s fährt, begegnen sich die Züge 800 s nach Beginn der Zeitzählung an der Stelle III. Die Zahlenwertgleichungen werden für die Einheiten t s s m aufgestellt: sA = 25,0·t − 20,0·103 ,

sB = −30,0(t + 200) + 30,0·103 .

Die Ortskoordinaten z.Z. t = 2000 s sind sA2 = 30,0 km; sB2 = −36,0 km. Beide Züge sind zu diesem Zeitpunkt ∆s = 66,0 km voneinander entfernt. Das maßstäbliche s(t)-Diagramm, das innerhalb der Zeichengenauigkeit eine Kontrolle ermöglicht, zeigt die Abb. 2-5. s km 30

II

20

200 s

∆t

0

200

400 A

−10

600

800

1000

5,0 km 200 s

I

t s

tt

III

−200

−20

6,0 km

B

10

Abb. 2-5: Das s(t)-Diagramm für die Bewegung der Züge von Beispiel 1

22

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Beispiel 2 Eine lineare Bewegung besteht aus folgenden Phasen 1. 2. 3.

0 s 5,0 s 15,0 s

bis bis bis

5,0 s 15,0 s 25,0 s

v = 0,060 m/s v = 0,090 m/s v = −0,120 m/s

Das könnte die Bewegung eines Werkzeuges sein, das von der Maschine wieder auf den Ausgangspunkt zurückgeführt wird. Die Übergänge von einer Phase zur anderen erfolgen so schnell, dass diese Effekte vernachlässigbar seien. Für einen einheitlichen Zeitmaßstab sind Ort- und Zeitabhängigkeit analytisch und graphisch darzustellen und der Bewegungszustand z.Z. t = 20,0 s zu bestimmen. Lösung In diesem Beispiel geht es schwerpunktmäßig um die Erfassung eines kinematischen Vorgangs, der sich aus mehreren Abschnitten zusammensetzt. Vorgänge dieser Art (z.B. Steuerung eines Werkzeuges) werden von Rechenprogrammen erfasst. Deshalb soll hier mit Zahlenwertgleichungen gearbeitet werden. Dazu werden folgende Einheiten festgelegt: t s v s m m/s Methode 1 Für jeden Abschnitt muss eine Gleichung aufgestellt werden. 1. Abschnitt

0 < t ≤ 5,0

v = 0,06 s=

Z

v·dt = 0,060·t

(1)

wegen t = 0; s = 0 ist s0 = 0. Am Ende dieser Phase befindet sich der Punkt bei s1E = 0,06·5,0 = 0,30 m 2. Abschnitt

5,0 < t ≤ 15,0.

Dieser Abschnitt beginnt bei t = 5,0 s, deshalb muss die Zeitkoordinate t um diesen Betrag verschoben werden. Da die Bewegung von s = 0,30 m ausgeht

2.3 Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit

23

(s.o.), ist dieser Wert gleichzeitig die Integrationskonstante s0 (Position zu Beginn dieses Zeitabschnitts). v = 0,090 s = 0,090·(t − 5,0) + 0,30

(2)

Kontrolle: t = 5,0 s; s = 0,30 m. Am Ende dieser Phase befindet sich der Punkt bei s2E = 0,090(15,0 − 5,0) + 0,30 = 1,20 m. 3. Abschnitt

15,0 < t ≤ 25,0

Zeitverschiebung ∆t = 15,0 s; Integrationskonstante s0 = 1,20 m. v = −0,12

s = −0,12·(t − 15,0) + 1,20

(3)

s3E = −0,12·(25,0 − 15,0) + 1,20 = 0 Am Ende ist das Objekt wieder am Ausgangspunkt. Die Gleichungen (1) bis (4) stellen analytisch die Abhängigkeit Ort-Zeit dar. In einem Rechenprogramm muss durch Verzweigungsstellen sichergestellt sein, dass eine vorgegebene Zeit in die richtige Gleichung eingesetzt wird. Der Bewegungszustand z.Z. t = 20,0 s wird aus den Gleichungen des dritten Abschnitts berechnet. v20 = −0,120 m/s

s20 = −0,120(20,0 − 15,0) + 1,20 = +0,60 m

Zur Zeit t = 20,0 s befindet sich der Punkt auf der positiven Achse in 0,60 m Entfernung vom Nullpunkt und bewegt sich mit 0,12 m/s auf diesen zu (s und v haben unterschiedliche Vorzeichen). Die graphische Darstellung zeigt die Abb. 2-6, die die Aussage bestätigt. Methode 2 Mit Hilfe der im Anhang erläuterten Föppl-Symbolik kann das unstetige v(t)Diagramm in einer einzigen Gleichung dargestellt werden v = hti0 ·0,06 + ht − 5i0 ·(0,09 − 0,06) + ht − 15i0 ·(−0,12 − 0,09).

24

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

v 0,10 m/s 0,05 0 −0,05 −0,10

s m

1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

5

10

15

20

t s

25

Abb. 2-6: s(t)-; v(t)-Diagramm für Bewegung mit unterschiedlichen Phasen

Wegen ht − 25i = 0 für den betrachteten Zeitabschnitt braucht der letzte Sprung nicht eingeführt zu werden. v = hti0 ·0,06 + ht − 5i0 ·0,03 − ht − 15i0 ·0,21.

(4)

Die Integration liefert mit s0 = 0 s = t·0,06 + ht − 5i·0,03 − ht − 15i·0,21.

(5)

Diese Gleichung stellt die Ort-Zeit-Abhängigkeit für den ganzen Vorgang dar. Die Programmierung ist einfach, die Föppl-Klammern werden durch Verzweigungen erfasst. Den Bewegungszustand z.Z. t = 20,0 s erhält man aus den Gl. (4) und (5): v20 = 200 ·0,06 + (20 − 5)0 ·0,03 − (20 − 15)0 ·0,21, v20 = 1·0,06 + 1·0,03 − 1·0,21 = −0,120 m/s, s20 = 20·0,06 + 15·0,03 − 5·0,21 = +0,60 m.

Die Deutung ist oben gegeben. Besonders zu beachten ist, dass die obige Gleichung in einem Zug aufgestellt wurde. Es war nicht notwendig, für die Unstetigkeiten (Abschnittsgrenzen) die Lage des Punktes bzw. die Integrationskonstanten zu bestimmen. Das ist gerade für komplizierte Vorgänge eine wesentliche Erleichterung.

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung

2.4

25

Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung

Für die gleichförmig beschleunigte Bewegung gilt a = konst. und damit nach Gleichung (2-4) v=

Z

a·dt, (2-6)

v = a·t + v0 . und nach Gleichung (2-3) s= s=

Z

v·dt =

Z

(a·t + v0 )dt,

a 2 ·t + v0 ·t + s0 . 2

(2-7)

Die Ortskoordinate ändert sich quadratisch mit der Zeit, die Geschwindigkeit linear. Das ist in den Diagrammen Abb. 2-7 dargestellt. Die Integrationskonstanten v0 und s0 entsprechen der bei Beginn der Zeitzählung (t = 0) schon vorhandenen Geschwindigkeit und dem Abstand vom 0-Punkt. Auch hier ist es zweckmäßig, sich die geometrischen Zusammenhänge klar zu machen. Die Geschwindigkeit setzt sich aus der Anfangsgeschwindigkeit v0 und der durch die Beschleunigung verursachten Geschwindigkeitszunahme a·t (Rechteck im a(t)-Diagramm) zusammen. Die vom v(t)-Diagramm eingeschlossene Fläche besteht aus dem Dreieck 1/2·a·t·t und dem Rechteck v0 ·t. Das entspricht der Verlagerung während der Zeit t. Der Abstand der Ausgangslage s0 muss hinzugezählt werden. Umgekehrt erhält man von dem s(t)-Diagramm ausgehend das v(t)-Diagramm als erste und das a(t)-Diagramm als zweite Ableitung. Die Gleichungen (2-6)/(2-7) sind für die Berechnung aller Geschwindigkeiten, Orte und Zeiten ausreichend. In vielen Fällen ist es zweckmäßig, mit einer Beziehung zwischen Geschwindigkeit, Beschleunigung und der Ortskoordinate zu arbeiten, d.h. die Zeit t zu eliminieren. ds , dt ds dt = , v v=

dv , dt dv dt = . a a=

Nach Gleichsetzung und Trennung der Variablen v·dv = a·ds,

(2-8)

26

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

s= a 2 t 2+

v0· t+ s0

s

a 2 t +v0·t 2 s0

s0

t

t

v 1 a·t·t 2

a·t v0

tan

v0

v0·t

t

t

a

a=konst. a·t

tan t t

v

v0 s

s0

Zv

v0 2

v·dv = a·

Zs

Abb. 2-7: s(t)-; v(t)-; a(t)-; v(s)-Diagramme für gleichförmig beschleunigte Bewegung

ds, =⇒

s0

v = 2·a·(s − s0 ) + v02 .

1 ·(v 2 − v02 ) = a·(s − s0 ), 2 (2-9)

Diese Gleichung stellt den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Lage dar. Man verwendet sie vorteilhaft, wenn der Zeitpunkt eines Zustandes nicht

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung

27

gegeben oder nicht gesucht ist. Für a = g (Erdbeschleunigung), v0 = 0 und s0 = 0 liefert√die Gleichung (2-9) die bekannte Beziehung für die Fallgeschwindigkeit v = 2gH. Im v(s)-Diagramm erhält man einen Parabelast nach Abb. 2-7. Man kann diesen durch Auftragen von v und s für den gleichen Zeitpunkt t konstruieren. Beispiel 1 Ein Schienenfahrzeug fährt nach folgendem Programm 1. ∆s = 130,0 m von Ruhe aus gleichmäßige Beschleunigung auf 20,0 m/s 2. ∆t = 20,0 s Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit 3. ∆s = 70,0 m gleichmäßige Verzögerung bis zum Stillstand Dieser Bewegungsablauf ist analytisch und graphisch im einheitlichen Zeitmaßstab darzustellen und der Bewegungszustand für t = 35,0 s zu bestimmen. Lösung (Abb. 2-8) In diesem Beispiel soll vor allem die einheitliche Darstellung eines Bewegungsablaufs behandelt werden, der sich aus mehreren Abschnitten zusammensetzt. Folgende Einheiten werden für die Zahlenwertgleichungen festgelegt t s

s m

v m/s

a m/s2

Methode 1 Für alle Abschnitte werden Gleichungen aufgestellt, wobei Zeitverschiebung und Übergangsbedingungen (Integrationskonstanten) zu beachten sind. 1. Abschnitt (Beschleunigung) Zunächst müssen Beschleunigung und Zeitdauer ermittelt werden. Da nach Aufgabenstellung die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Ort gegeben ist, empfiehlt sich die Anwendung der Gleichung (2-9) v 2 = 2a(s − s0 ) + v0 mit v0 = 0; 202 (m/s)2 v2 = = 1,54 m/s2 a= 2s 2·130 m

s0 = 0

Mit diesem Ergebnis kann aus der Gl. (2-6) die Zeitdauer für diesen Abschnitt berechnet werden v = a·t + v0

mit v0 = 0; t = t1 ; v = v1 = 20 m/s

28

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes t1 =

20 m/s v1 = 13,0 s = a 1,54 m/s2

Unter Beachtung der Einheiten erhält man a = 1,54 =⇒ v = Mit v0 = 0 ist s=

Z

Z

a·dt = 1,54·t + v0

v = 1,54·t

v·dt =

1,54 2 t + s0 2 s = 0,77·t2

Mit s0 = 0 ist

Zusammenfassend wird geschrieben a = 1,54 v = 1,54·t s = 0,77·t

2

  

(1) 0 ≤ t ≤ 13,0 s

(2) (3)

2. Abschnitt (Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit) Dieser Abschnitt beginnt bei s = 130 m; t = 13,0 s, wobei eine Geschwindigkeit von 20 m/s erreicht ist. Er endet nach t2 = 13,0 s + 20,0 s = 33,0 s. a=0 v = 20 s = 20(t − 13,0) + 130 Kontrolle:

t = 13 s;

  

13,0 s ≤ t ≤ 33,0 s

(4) (5)

s = 130 m.

Am Ende des zweiten Abschnitts befindet sich der Wagen bei s2 = 20(33 − 13) + 130 = 530 m 3. Abschnitt (Bremsen) Dieser Abschnitt beginnt bei s = 530 m; t = 33,0 s, wobei die Geschwindigkeit 20 m/s beträgt. Zunächst werden Verzögerung und Dauer analog zu Punkt 1 berechnet v 2 = 2a·s + v02 mit v = 0; v0 = 20 m/s v2 202 (m/s)2 a=− =− = −2,86 m/s2 2s 2·70 m

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung

29

v = a·t + v0 mit v = 0; v0 = 20 m/s −20 m/s ∆t = = 7,0 s −2,86 m/s2 Der Abschnitt endet bei t3 = 33,0 s + 7,0 s = 40,0 s. Insgesamt erhält man a = −2,86

v = −2,86(t − 33,0) + 20 2

s = −1,43(t − 33,0) + 20(t − 33,0) + 530

Kontrollen:

  

(6) 33 s < t < 40 s

(7) (8)

t = 33,0 s; v = 20,0 m/s; s = 530 m t = 40,0 s; v = 0 Die gesamte Fahrstrecke errechnet sich aus Gleichung (8) mit t = 40,0 s l = −1,43·7,02 + 20·7 + 530 = 600 m Die graphische Darstellung der Gleichungen (1) bis (8) zeigt die Abb. 2-8. Das Diagramm v(s) und a(s) erhält man durch Auftragen der Werte v und a über s für jeweils die gleiche Zeit t.

a m/s2

2 0

t

−2

v m/s

20 10 0

t 600

530

500

s m

de ra e G

400 300 200

130

100 0 0

v m/s

5

10 13 15

20

25

30 33 35

40

20 10 0

a m/s2

t s

s

2 0 0 −2

100 130 200

300

400

500 530 600

s m

Abb. 2-8: Fahrdiagramme für Bewegung mit a = konst. in mehreren Phasen

30

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Der Bewegungszustand z.Z. t = 35,0 s wird aus den Gl. (6), (7), (8) berechnet: a35 = −2,86 m/s2 ,

v35 = −2,86(35 − 33) + 20 = +14,3 m/s,

s35 = −1,43(35 − 33)2 + 20·2 + 530 = +564 m.

Im Zeitpunkt t = 35,0 s befindet sich das Fahrzeug 564 m vom Nullpunkt entfernt und bewegt sich mit 14,3 m/s von diesem weg (s und v haben gleiches Vorzeichen). Dabei wird es mit 2,86 m/s2 verzögert (v und a haben unterschiedliche Vorzeichen). Methode 2 ( Föppl) Dieser Rechenformalismus ist im Anhang erklärt. Auch hier ist es notwendig, die Dauer der einzelnen Abschnitte zu berechnen, wenn diese nicht vorgegeben sind. Das ist oben bereits geschehen. Das Ergebnis ist das a(t)-Diagramm nach Abb. 2-8, von dem ausgegangen wird. Die Integrationskonstanten sind nach Aufgabenstellung v0 = 0 und s0 = 0. a = hti0 1,54 + ht − 13i0 (0 − 1,54) + ht − 33i0 (−2,86 − 0) a = hti0 1,54 − ht − 13i0 1,54 − ht − 33i0 2,86 v= s=

Z

Z

(9)

a·dt = t·1,54 − ht − 13i1,54 − ht − 33i2,86

(10)

v·dt = t2 ·0,77 − ht − 13i2 0,77 − ht − 33i2 1,43

(11)

Diese drei Gleichungen erfassen den gesamten Bewegungsablauf. Kontrollen:

t = 0; t = 13,0 s; t = 33,0 s; t = 40,0 s;

v v v v

= 0; = 20,0 m/s; = 20,0 m/s; = 0;

s=0 s = 130 m s = 530 m s = 600 m

Werden die Gleichungen (1) bis (8) mit einem Rechenprogramm ausgewertet, muss durch eine Verzweigungsstelle sichergestellt werden, dass eine vorgegebene Zeit t in die richtige Gleichung eingesetzt wird. Analoges gilt für die FöpplKlammer. Wenn deren Inhalt negativ wird, muss = 0 gesetzt werden. Die Gleichungen (9), (10), (11) werden für t = 35,0 s ausgewertet: a35 = 350 ·1,54 − (35 − 13)0 ·1,54 − (35 − 32)0 ·2,86,

a35 = 1·1,54 − 1·1,54 − 1·2,86 = −2,86 m/s2 ,

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung

31

v35 = 35·1,54 − 22·1,54 − 2·2,86 = +14,3 m/s,

s35 = 352 ·0,77 − 222 ·0,77 − 22 ·1,43 = +564 m.

Die Beschreibung des Bewegungszustandes ist oben gegeben. Beispiel 2 (Abb. 2-9) Zwei Pkw fahren in entgegengesetzte Richtung in ein einspuriges Teilstück einer Straße ein. Wenn die Wagen einen Abstand lAB haben, bremsen beide gleichzeitig. Dieser Vorgang ist unter Annahme gleichmäßiger Verzögerung analytisch und graphisch darzustellen und zu diskutieren. Die Bewegungsgleichungen sind für folgende Daten auszuwerten: Anfangsgeschwindigkeit vA0 = 20,0 m/s; vB0 = 18,0 m/s Verzögerung |aA | = 5,0 m/s2 ; |aB | = 6,0 m/s2 Abstand lAB = 60 m. +s A

+v

+a vBO

vAO

s

lAB

B

Abb. 2-9: Zwei Pkw auf Kollisionskurs

Lösung (Abb. 2-10) Zunächst müssen die Nullpunkte für die Koordinaten festgelegt werden. Die Zeitzählung soll bei einsetzender Bremsung beginnen, die Ortskoordinate wird von A z.Z. t = 0 (Ausgangslage von Pkw A) gemessen. Dieses Beispiel soll vornehmlich die Vorzeichenfragen in Zusammenhang mit Geschwindigkeiten und Beschleunigungen klären helfen. Da s von A nach rechts gemessen wird, ist es sinnvoll, auch v und a in diese Richtung positiv festzulegen. Damit ergeben sich folgende Vorzeichen: Pkw A fährt verzögert nach rechts: Pkw B fährt verzögert nach links:

v positiv, a negativ. v negativ, a entgegengesetzt gerichtet, demnach positiv!

Hier zeigt sich, dass das Vorzeichen von a alleine keine Aussage über den Zustand „verzögert“ oder „beschleunigt“ ermöglicht. Darauf wurde ausführlich bereits im Abschnitt 2.1 eingegangen. Aus diesen Überlegungen folgt vA = −aA ·t + vA0

(1)

32

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes aA 2 t + vA0 ·t 2 vB = +aB ·t − vB0 aB 2 sB = t − vB0 ·t + lAB 2

(2)

sA = −

(3) (4)

In diesem Ansatz sind die Vorzeichenüberlegungen bereits eingearbeitet. Bei der Zahlenauswertung werden alle Größen positiv eingesetzt, z.B. vB0 = 18 m/s. Grundsätzlich kann man die Gleichungen als Formeln (Gl. (2-6)/(2-7)/(2-9)) schreiben. In diesem Falle müssen die Vorzeichen beim Einsetzen der Zahlenwerte festgelegt werden: vB0 = −18 m/s; aB = +6,0 m/s2 . Der erste Weg soll hier weiter verfolgt werden, denn man würde z.B. sagen, der Wagen B fährt mit 18 m/s und nicht, er fährt mit minus 18 m/s. Die Gleichungen (1) bis (4) gelten bis zum Stillstand der Wagen. Die Zeit tS bis dahin berechnet sich aus (1) und (3) vA0 aA vB0 = aB

A: aus

vA = 0 =⇒ tAS =

(5)

B: aus

vB = 0 =⇒ tBS

(6)

Setzt man diese Zeiten in (2) und (4) ein, erhält man die Positionen der Wagen nach der Bremsung, vorausgesetzt, es ist kein Zusammenstoß erfolgt. Nach einer einfachen Umwandlung ergibt sich (Index S = Stillstand ohne Stoß) sAS =

2 vA0 ; 2aA

sBS = −

2 vB0 + lAB 2aB

Das sind Positionen und nicht Bremswege. Wenn beide Wagen unmittelbar – aber nicht gleichzeitig! – voreinander zum Stehen kommen, gilt sAS = sBS . Aus dieser Bedingung kann man den mindestens erforderlichen Abstand lAB min berechnen lAB min =

2 vA0 v2 + B0 2aA 2aB

Im vorliegenden Fall lAB min =

202 (m/s)2 182 (m/s)2 + = 67,0 m 2·5,0 m/s2 2·6,0 m/s2

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung

33

Insgesamt fehlen 7,0 m, es erfolgt ein Zusammenstoß. Am einfachsten ist es anzunehmen, dass dabei beide Wagen fahren und die Gleichungen (1) bis (4) gelten. Der Zusammenstoß ist dann gekennzeichnet durch sA = sB für t = tZ −

aB 2 aA 2 tZ + vA0 tZ = t − vB0 tZ + lAB 2 2 Z

Das führt auf die quadratische Gleichung für tZ t2Z −

2(vA0 + vB0 ) 2lAB tZ + =0 aA + aB aA + aB

mit der Lösung vA0 + vB0 ± tZ = aA + aB

s

vA0 + vB0 aA + aB

2

−

2lAB aA + aB

Dieser Wert muss kleiner sein, als die unter (5) und (6) berechneten Zeiten. Trifft das nicht zu, fährt ein Fahrzeug auf ein bereits stehendes auf. In allgemeiner Form ist die Untersuchung sehr aufwendig, deshalb sollen Zahlenwerte berechnet werden 20 m/s vA0 = = 4,0 s aA 5,0 m/s2 vB0 18 m/s = = = 3,0 s aB 6,0 m/s2

tAS = tBS

(20 + 18) m/s tZ = ± (5 + 6) m/s2 tZ1 = 4,47 s

s

38 m/s 11 m/s2

2

−

2·60 m 11 m/s2

tZ2 = 2,44 s

Die erste Lösung hat keine physikalische Bedeutung, die zweite zeigt, dass beide Wagen unmittelbar vor dem Zustammenstoß in Bewegung sind. Dieser erfolgt an der Stelle (Gl. (2)) sAZ = −

5,0 m/s2 2 ·2,442 s + 20(m/s)·2,44 s = 33,9 m 2

Kontrolle (Gl. (4)) sBZ = +

6,0 m/s2 2 ·2,442 s − 18(m/s)·2,44 s + 60 m = 33,9 m 2

34

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Dabei betragen die Geschwindigkeiten (1) und (3) vAZ = −5,0(m/s2 )·2,44 s + 20 m/s = +7,8 m/s (→) vBZ = 6,0(m/s2 )·2,44 s − 18 m/s = −3,36 m/s (←) B

6 a m/s2

0

t

−5

A

20 A 7,8

10 v m/s

0

t

3,4

−10

B

−18

60 B

33,9

40 s m 20 0

A

0

1

2 tZ 3

4

t s

Abb. 2-10: s(t)-; v(t)-; a(t)-Diagramme für Pkws auf Kollisionskurs

Die graphische Darstellung des Vorgangs zeigt die Abb. 2-10. Die Gleichungen (1) bis (4) sind für die gegebenen Daten ausgewertet. Den Diagrammen kann man folgendes entnehmen: Bei größerem Abstand lAB fährt A auf den bereits stehenden Wagen B auf (3,0 s < t < 4,0 s). Bei noch größerem Anfangsabstand (lAB > 67 m) schneiden sich die Linien s(t) nicht, es erfolgt kein Unfall. Es wird dringend empfohlen, schon vor der bzw. parallel zur Lösung, qualitative Diagramme nach Abb. 2-10 anzufertigen. Die Zusammenhänge kann man in den Diagrammen besonders gut erkennen.

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung

35

Beispiel 3 (Abb. 2-11) Zwei Pkw fahren auf der Autobahn mit v0 = konst. = 144 km/ h im Abstand ca. „halber Tacho“ ∆s = 70 m in eine Nebelbank mit einer Sichtweite von l = 120 m. Der Fahrer A erkennt ein Stauende C und bremst nach einer Reaktionszeit ∆t = 1,0 s mit einer mittleren Verzögerung von |a| = 6,0 m/s2 . Der nachfolgende Fahrer B bremst seinerseits mit gleicher Reaktionszeit und Verzögerung. Für diesen Vorgang sind die Bewegungsgleichungen in einheitlichem Zeitmaßstab aufzustellen und graphisch darzustellen. C B

A

∆s +s +v +a

l Abb. 2-11: Nebelbank auf Autobahn (Beispiel 3)

Lösung (Abb. 2-12) Die Nullpunkte werden definiert. Die Zeitmessung beginnt (t = 0), wenn der Fahrer A das Stauende erblickt. Die Ortskoordinate wird vom Wagen B z.Z. t = 0 gemessen. Der Vorgang besteht für jedes Fahrzeug aus zwei Abschnitten, zunächst erfolgt die Bewegung während der Reaktionszeit mit v = konst., anschließend mit a = konst. Das Verfahren nach Föppl eignet sich besonders gut und soll deshalb angewendet werden. Dem Leser sei die konventionelle Methode als Übung empfohlen (s. Beispiel 1). Für die Zahlenwertgleichungen werden folgende Einheiten festgelegt. t s

s m

v m/s

a m/s2

Ausgegangen wird vom a(t)-Diagramm nach Abb. 2-12 mit v0 = 40 m/s aA = −ht − 1i0 ·6,0 vA =

Z

aA ·dt = −ht − 1i·6,0 + vA0

Z

vA ·dt = −ht − 1i2 ·3,0 + 40t + sA0

vA = −ht − 1i·6,0 + 40,0 sA =

sA = −ht − 1i2 ·3,0 + 40t + 70 0

aB = −ht − 2i ·6,0

(1)

(2)

(3) (4)

36

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes vB = −ht − 2i·6,0 + 40 2

sB = −ht − 2i ·3,0 + 40t

(5) (6)

Diese Gleichungen stellen die Bewegungszustände der beiden Wagen dar. Bis zu welcher Zeit sie gelten, ist zunächst unbekannt. Entweder bis zum Zeitpunkt des freien Ausbremsens oder des Aufpralls. Für die weitere Berechnung wird ein Aufprall angenommen. Der Wagen A ist an der Stelle C z.Z. tAC . Dabei hat er bei Vernachlässigung der Wagenlänge die Position sAC = ∆s + l = 190 m. Den Zeitpunkt des Aufpralls erhält man aus der Gleichung (3) mit htAC − 1i = (tAC − 1) wegen tAC > 1 190 = −(tAC − 1)2 ·3 + 40·tAC + 70 Das ist eine quadratische Gleichung für tAC . Einfache Umwandlungen führen auf t2AC −

46 123 tAC + =0 3 3

mit der Lösung tAC = 3,45 s. Die Annahme eines Aufpralls ist richtig. Käme der Wagen vor dem Stauende zum Stillstand ergäbe sich für tAC kein reeller Wert. Unter der Wurzel der Lösung stände ein negativer Wert. Die Aufprallgeschwindigkeit beträgt nach Gleichung (2) vAC = −(3,45 − 1)·6,0 + 40 = 25,3 m/s = b 91 km/ h!

Analog berechnet man für B mit (6) und (5)

190 = −(tBC − 2)2 ·3 + 40·tBC 52 202 t2BC − tBC + = 0 ⇒ tBC = 5,88 s 3 3 vBC = −(5,88 − 2)·6 + 40 = 16,7 m/s = b 60 km/ h

Die Rechnung zeigt, dass der als sicher geltende Abstand „halber Tacho“ eine genügend lange freie Bahn des Vordermannes voraussetzt. Zum Schluss soll berechnet werden, an welcher Stelle die Wagen auf freier Strecke zum Stillstand gekommen wären. Dieser Zeitpunkt tS wird aus der Bedingung v = 0 ermittelt. Dabei gilt hi = () wegen des positiven Klammerinhalts A: Gl. (2) 0 = −(tAS − 1)·6 + 40 ⇒ tAS = 7,67 s B: Gl. (5) 0 = −(tBS − 2)·6 + 40 ⇒ tBS = 8,67 s

2.4 Die Bewegung mit konstanter Beschleunigung

37

Diese Werte werden in die Gleichungen (3) und (6) eingesetzt sA max = −6,672 ·3 + 40·7,67 + 70 = 243 m sB max = −6,672 ·3 + 40·8,67 = 213 m

Dem Fahrer A fehlen 243 m − 190 m = 53 m Bremsweg, dem Fahrer B 23 m.

Der Vorgang ist graphisch in der Abb. 2-12 dargestellt. Zwischenwerte der Parabeläste s(t) können mit (3) und (6) berechnet werden. Die Lösung wird erleichtert, wenn man parallel zur Rechnung qualitativ die Diagramme v(t) und s(t) zeichnet. a m/s2

0 A

40 v m/s 30 25,3 20 16,7 10 0

240

t

B

−6

A

B

t

243

213 200 190

80 40 0

B

Ge rad e

s m 120

A

Ge rad e

160

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t tAC tBC tAS tBS s ∆t ∆t A B

Abb. 2-12: s(t)-; v(t)-; a(t)-Diagramme für Auffahrunfall nach Beispiel 3

38

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

2.5

Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

2.5.1

Analytische Verfahren

Die Anwendung des analytischen Verfahrens bedingt, dass die Abhängigkeiten von Beschleunigung, Geschwindigkeit, Ortskoordinate und Zeit sich durch differenzierbare bzw. integrierbare Funktionen darstellen lassen. Es werden für die wichtigsten Fälle die Lösungswege bzw. Ansätze angegeben. 1. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben. a = f (t). Die Geschwindigkeiten erhält man aus Gleichung (2-4), v=

Z

a·dt =

Z

f (t)·dt,

die Ortskoordinate aus Gleichung (2-3), s=

Z

v·dt.

2. Die Geschwindigkeit ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben, v = f (t). Die Lage des Punktes kann man aus Gleichung (2-3) berechnen, s=

Z

v·dt =

Z

f (t)·dt.

Die Beschleunigung ergibt sich aus Gleichung (2-2), a=

dv = v. ˙ dt

3. Die Ortskoordinate ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben, s = f (t). Mit den Gleichungen (2-1)/(2-2) erhält man v=

ds = s, ˙ dt

a=

dv = v˙ = s¨. dt

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

39

4. Die Geschwindigkeit ist in Abhängigkeit von der Ortskoordinate gegeben, v = f (s). Mit v =

ds erhält man dt

t=

Z

ds = v

Z

ds . f (s)

Nach Durchführung der Integration und Umstellung erhält man eine OrtZeit-Gleichung (Fall 3). 5. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Lage des Punktes gegeben, a = f (s). Nach Gleichung (2-8) ist v·dv = a·ds = f (s)·ds. Es wird beidseitig integriert, 1 2 (v − v02 ) = 2

Z

f (s)·ds.

Nach Durchführung der Integration erhält man v = f (s) und damit den Fall 4. 6. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gegeben, a = f (v). Für die Lösung bieten sich zwei Wege an. Mit a=

dv dt

dv dv = , erhält man dt = a f (v)

t=

Das entspricht grundsätzlich dem Fall 2. Der auf Gleichung (2-8) basierende Ansatz a = v·

dv = f (v) ds

Z

dv . f (v)

40

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

v·dv = ds bzw. s = f (v) und damit auf den Fall 4.

führt auf

Z

v·dv f (v)

Nachfolgend werden verschiedene Fälle in vier Beispielen behandelt. Weitere Anwendungen der oben abgeleiteten Ansätze sind in folgenden Abschnitten eingebaut: 4.3 (Abschaltung eines Gebläses), 7.3.3 (Schlagpendel). Beispiel 1 Der v(t)-Zusammenhang einer harmonischen Schwingung (s. Kapitel 9) ist durch folgende Gleichung gegeben v = A·ω· cos(ωt). Man kann sich den Vorgang dabei folgendermaßen vorstellen: ein Zeiger der Länge A rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit ω. Die Spitze des Zeigers beschreibt in der Projektion in Richtung der Bewegungsebene den Bewegungsablauf. Für A = 0,12 m und ω = 9,0 s−1 sind Lage und Bewegungszustand für t = 0,15 s; 0,30 s; 0,45 s; 0,60 s zu bestimmen, wobei s = 0 für t = 0 gelten soll. s m 0,1

+ +

0

−

−0,1

−

t s

v m/s 1 0

+ −

−1 a m/s2 10 0 −10

+

0,15 −

0,30 −

−

t s

+ 0,45

+ 0,60

t s

Abb. 2-13: s(t)-; v(t)-; a(t)-Diagramme für eine harmonische Schwingung

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

41

Lösung Die Ableitung der v(t)-Funktion liefert die Beschleunigung a=

dv = −A·ω 2 · sin(ωt). dt

Aus der Integration erhält man s=

Z

v·dt = A· sin(ωt).

Mit den vorgegebenen Zahlenwerten gibt das s = 0,12 m· sin(ωt) v = 1,08 m/s· cos(ωt) a = −9,72 m/s2 · sin(ωt). Diese Gleichungen werden tabellarisch ausgewertet. t s ω·t rad s m v m/s a m/s2

0,15

0,30

0,45

0,60

1,35

2,70

4,05

5,40

+0,117

+0,051

–0,095

–0,093

+0,237

–0,976

–0,664

+0,685

–9,48

–4,15

+7,66

+7,51

Für die Beschreibung des Bewegungszustandes ist es notwendig, die Vorzeichen zu deuten. Darauf wurde ausführlich im Abschnitt 2.2 eingegangen. Besonders wichtig ist, nicht die Einzelgrößen zu betrachten, sondern diese im Zusammenhang zu sehen. Wo die Vorzeichen von v und a gleich sind, handelt es sich um beschleunigte, wo sie ungleich sind, um verzögerte Bewegung. Aus dem Vorzeichen von a alleine ist eine Aussage über Beschleunigung bzw. Verzögerung nicht möglich. Wo die Vorzeichen von s und v gleich sind, erfolgt die Bewegung vom 0-Punkt weg, wo sie ungleich sind, zum 0-Punkt hin. Das Vorzeichen von s

42

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

gibt dabei die Lage des Punktes an. Die obigen Aussagen kann man sich an der graphischen Darstellung Abb. 2-13 klar machen. Das ergibt t = 0,15 s t = 0,30 s t = 0,45 s t = 0,60 s

P befindet sich über dem 0-Punkt und entfernt sich verzögert von diesem. P befindet sich über dem 0-Punkt und bewegt sich beschleunigt auf diesen zu. P befindet sich unter dem 0-Punkt und entfernt sich verzögert von diesem. P befindet sich unter dem 0-Punkt und bewegt sich beschleunigt auf diesen zu.

Dabei gelten die errechneten Werte. Aus den Diagrammen und Gleichungen kann man erkennen: A = 0,12 m ist die maximale Entfernung vom 0-Punkt (Amplitude), A·ω = 1,08 m/s die maximale Geschwindigkeit des Schwingers im 0-Durchgang und A·ω 2 = 9,72 m/s2 die maximale Beschleunigung in den Totlagen, die stets zum Nullpunkt gerichtet ist. Beispiel 2 Eine Bewegung soll von Ruhe aus ruckfrei einsetzen. Die Bedingung dafür ist da/dt = 0. Nach dieser Vorgabe wird als a(t)-Abhängigkeit eine cos-Funktion nach Abb. 2-14 festgelegt. Nach der Zeit te soll eine Endgeschwindigkeit ve erreicht sein. Zu bestimmen sind a) die Gleichungen a(t), v(t), s(t), b) die dazugehörigen Zahlenwertgleichungen für te = 10,0 s; ve = 30,0 m/s; s0 = 0. c) Die Diagramme a(t), v(t), s(t) sind zu zeichnen. a amax amax /2 amax /2 0 0

te

t

Abb. 2-14: a(t)-Diagramm für ruckfrei einsetzende Bewegung (Beispiel 2)

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

43

Lösung Der Ansatz für eine cos-Funktion nach Abb. 2-14 lautet (negative cos-Funktion mit Koordinatenverschiebung): a=−

amax amax · cos(k·t) + 2 2

Dabei gilt k·te = 2π =⇒ k = 2π/te t amax amax · cos(2π ) + , 2 te 2 Z t amax amax ·te · sin(2π ) + t + C1 . v = a·dt = − 2·2π te 2

a=−

(1) (2)

Randbedingung t = 0: v = 0 ⇒ C1 = 0 t = t e : v = ve ve = −

amax ·te amax ·te amax ·te · sin(2π) + = 2·2π 2 2 (3)

amax = 2ve /te . Einsetzen von (3) in Gl. (1) a=−

ve t ve · cos(2π ) + . te te te

(4)

Die Beziehung v(t) erhält man durch Integrieren von Gl. (4) oder durch Einsetzen von (3) in die Gl. (2). v=− s=

Z

ve t t · sin(2π ) + ve , 2π te te v·dt =

(5)

ve ·te t t2 cos(2π ) + v + C2 . e 4π 2 te 2te

Randbedingung t = 0: s = 0 0=

ve ·te ve ·te ·1 + 0 + C2 =⇒ C2 = − 2 4π 4π 2

s=−





ve ·te t ve ·te cos(2π ) − 1 + 2 4π te 2



t te

2

.

(6)

Die Gleichungen (4), (5, (6) stellen in allgemeiner Form die Abhängigkeiten a(t), v(t), s(t) dar.

44

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Die Zahlenwertgleichungen werden mit ve /te = 3,0 m/s2 und ve ·te = 300 m für folgende Einheiten aufgestellt: s m

v m/s

a m/s2 t a = −3,0 cos(2π ) + 3,0, te t t v = −4,775 sin(2π ) + 30,0 , te te    2 t t s = 7,599 cos(2π ) − 1 + 150 . te te Die dazugehörigen Diagramme zeigt die Abb. 2-15. a m/s2 8 6 4 2 0 v m/s 30 20 10 0 s m 150 100 50 0

0

2

4

6

8

10

t s

Abb. 2-15: s(t)- und v(t)-Diagramm für a(t)-Abhängigkeit nach Abb. 2-14

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

45

Beispiel 3 Dieses Beispiel soll dazu dienen, die bei einem Stoß auftretende Verzögerung zu ermitteln und die Stoßzeit abzuschätzen. Dazu soll von folgendem Fall ausgegangen werden. Ein Gegenstand fällt aus der Höhe h auf eine Unterlage. Das Ausmessen der Deformationen, z.B. der Abplattung des fallenden Körpers und der „Delle“ an der Aufprallstelle lassen unter Beachtung eines elastischen Anteils auf den Bremsweg e schließen. Die Kraft und damit die Verzögerung muss mit der Eindringtiefe größer werden. Es soll eine proportionale Zunahme der Verzögerung mit dem Weg angenommen werden. Für die Zeit des Eindringens sind für diese Voraussetzung die Bewegungsgleichungen aufzustellen. Für h = 2,0 m und e = 2,0 mm sollen die Gleichungen ausgewertet und graphisch dargestellt werden. Die maximale Verzögerung und die Dauer des Vorgangs sind zu berechnen. Lösung (Abb. 2-16) Die Zeitmessung soll bei der ersten Berührung beginnen (t = 0). Von diesem Punkt aus wird die Ortskoordinate s positiv nach unten festgelegt. In gleicher Richtung werden v und a positiv definiert. Der Ansatz ist nach Aufgabenstellung −a ∼ s =⇒ a = −k·s Das ist der Fall 5. Den Lösungsansatz liefert die Gleichung (2-8) Z v·dv = a·ds Z =⇒ v·dv = −k·s·ds

v·dv = −k

s·ds

v2 s2 = −k + C1 2 2

(1)

Die Randbedingungen sind s = 0 für v = v0 und s = e für v = 0. Die erste Bedingung liefert C1 = v20 /2, die zweite 0 = −k

e2 v02 v2 + =⇒ k = 20 2 2 e

Damit erhält man aus (1) 2

v =

v02

"

1−

s

v = v0 1 −

 2 #

s e

 2

s e

=

ds dt

46

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes t=

1 v0

Z

s

ds

1−

 2

s e

Die Integration führt auf t=

s e arc sin + C2 v0 e

Die Integrationskonstante C2 ist wegen s = 0 für t = 0 null. 



v0 t s = e· sin e   v0 v0 ds = e· · cos t v= dt e e   v0 v = v0 · cos t e   v0 v0 dv = −v0 · · sin t a= dt e e   2 v v0 a = − 0 · sin t e e

(2)

(3)

(4)

Der Gleichung (4) entnimmt man die maximale Verzögerung amax = −

v02 e

(5)

Die Zeit für das Eindringen te erhält man aus (3) für v = 0 



v0 π v0 cos te = 0 =⇒ te = e e 2 π·e te = 2v0

(6)

Die Gleichungen (2) bis (6) beschreiben in allgemeiner Form den Vorgang. Für √ v0 = 2g·H = 6,26 m/s und e = 2 mm beträgt die maximale Verzögerung |amax | =

6,262 (m/s)2 = 1,96·104 m/s2 2·10−3 m

Dieser sehr hohe Wert ergibt sich für die relativ große Eindringtiefe von 2 mm. Bei einer Werkstoffkombination „Stahl auf Stahl“ wäre diese ganz wesentlich kleiner, was zu viel höheren Werten amax führen würde. Über das Newtonsche

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

47

Gesetz F = m·a hängen Beschleunigungen und Kräfte unmittelbar zusammen. Bei Stößen treten deshalb sehr große Kräfte auf. Darauf wird im Abschnitt 6.2.3 näher eingegangen. Die Stoßdauer beträgt nach (6) te =

π·2·10−3 m = 5,02·10−4 s = 0,5 ms 2·6,26 m/s

Hohe Verzögerungen sind naturgemäß mit sehr kurzen Stoßzeiten gekoppelt. ×104

−2 −1 a m/s2 0

t

0 v m/s

t

2 4 6

0 s 1 mm 2

0

1

2

3

4

5×10−4 t s Abb. 2-16: s(t)-; v(t)-; a(t)-Diagramme für Stoßvorgang

Für die zahlenmäßige Auswertung der Gleichungen (2) bis (4) muss der Rechner auf den rad-Modus eingestellt werden. Das Ergebnis zeigt die Abb. 2-16. Der Ansatz −a ∼ t führt zu ähnlichen Werten. Das ist ein Hinweis darauf, dass die Ergebnisse realistisch sind. Beide Ansätze bringen auf unterschiedliche Weise zum Ausdruck: Mit zunehmender Eindringtiefe steigt der Widerstand. Der zweite Ansatz sei dem Leser als Übung empfohlen.

48

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Beispiel 4 (Abb. 2-17) Eine auf reibungslos angenommenen Rollen bewegte Masse wird von einem Ölstoßdämpfer aufgefangen und bis zum Stillstand abgebremst. Für einen solchen Stoßdämpfer ist die Kraft etwa proportional zur Geschwindigkeit. Daraus folgt eine gleiche Abhängigkeit zwischen Beschleunigung (Verzögerung) und Geschwindigkeit. Für diesen Vorgang sind die Bewegungsgleichungen aufzustellen. Diese sollen für eine Aufprallgeschwindigkeit von 0,50 m/s und einen Bremsweg von 400 mm ausgewertet und in Diagrammen dargestellt werden. v0

Abb. 2-17: Aufprall einer Masse auf einen Stoßdämpfer

Lösung Definition der Koordinaten: Einsetzende Bremsung t = 0; s = 0, positive Richtung von a, v, und s nach links. Nach Aufgabenstellung ist der Ansatz (1)

−a ∼ v =⇒ a = −k·v Es handelt sich um den Fall 6, der mit a=

dv = −k·v dt

gelöst wird. Das führt zu 1 1 dv =⇒ t = − dt = − · k v k

Z

dv 1 = − · ln v + C. v k

Die Anfangsbedingungen sind v = v0 für t = 0 1 1 0 = − · ln v0 + C =⇒ C = · ln v0 . k k Damit ist 1 1 t = − · ln v + · ln v0 , k k

was auf

1 v0 t = − · ln k v

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

49

führt. Aus dieser Gleichung erkennt man, dass v = 0 auf t = ∞ führt. Nach diesem Gesetz kann ein Abbremsen bis zum Stillstand nicht erfolgen. Die überlagerte Coulombsche Reibung überwiegt bei kleinen Geschwindigkeiten und setzt das System zur Ruhe. Die obige Gleichung wird nach v aufgelöst. v = v0 ·e−k·t .

(2)

Die Integration führt auf s=

Z

s=−

v·dt = v0 ·

Z

e−k·t ·dt

v0 −k·t ·e + C. k

Aus den Anfangsbedingungen wird C bestimmt s = 0 für t = 0:

0=−

v0 v0 ·1 + C =⇒ C = . k k

Damit ist s=

v0 ·(1 − e−k·t ). k

(3)

Für t = ∞ ist s = smax = v0 /k. Aus der Ableitung der Gleichung (2) erhält man a=

dv = −k·v0 ·e−k·t . dt

(4)

Zur Bestimmung der Funktionen a = f (s) und v = f (s) muss aus den obigen Gleichungen die Zeit t eliminiert werden. Am einfachsten ist es, von (2) auszugehen und e−k·t =

v v0

in (3) einzusetzen 



v0 v s= 1− . k v0 Die Auflösung nach v liefert v = v0 − k·s.

(5)

50

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Die Geschwindigkeit ändert sich linear mit der Eindringtiefe. Der Ansatz (1) ergibt mit dieser Gleichung a = −k·v0 + k2 ·s = k·(k·s − v0 ).

(6)

Auch diese Beziehung stellt einen linearen Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Weg dar. Für s = 0 ist a = amax = a0 = −k·v0 , was auch aus (4) folgt. Grundsätzlich könnte man diese Aufgabe mit dem Ansatz a·ds = v·dv lösen, der unmittelbar auf die Gleichung (5) führt. Von v=

ds dt

ausgehend, erhält man dann die anderen Beziehungen. Dieser Lösungsweg sei dem Leser als Übungsaufgabe empfohlen. Für die Auswertung der Gleichungen mit den angegebenen Werten muss zunächst die Konstante k bestimmt werden. Das kann mit der Gleichung (5) geschehen. Für v = 0 ist s = smax = 0,40 m v0 − v 0,50 m/s − 0 = s 0,40 m −1 k = 1,25 s . k=

Die einzelnen Abhängigkeiten lauten jetzt aus (3) aus (2) aus (4) aus (5) aus (6)

s = 0,40 m·(1 − e−1,25 s ·t ) −1 v = 0,50 m/s·e−1,25 s ·t −1

−1 a = −0,625 m/s2 ·e−1,25 s ·t

v = 0,50 m/s − 1,25 s−1 ·s −2

a = 1,252 s

·s − 0,625 m/s2

Der Vorgang setzt mit der maximalen Verzögerung von 0,625 m/s2 ein (s = 0 bzw. t = 0). Die zu Beginn wirkende Kraft kann man aus dem Newtonschen Gesetz berechnen. Die einzelnen Funktionen sind in der Abb. 2-18 dargestellt. Man erkennt, dass der Vorgang ca. 3 bis 4 Sekunden dauert.

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung v 0,5 m/s 0,4

s 400 mm 300

0,3

200

0,2

100

0,1

0

0

0

−a 0,7 m/s2 0,6

100

200

300

400 s mm

51

t s

0

1

2

3

4

0

1

2

3

t 4 s

v 0,5 m/s 0,4 0,3

Verzögerung

0,2

0,5

0,1

0,4

0

0,3 −a 0,7 m/s2 0,6

0,2

Verzögerung

0,1 0,5 0

0

100

200

300

400 s mm

0,4 0,3 0,2

Abb. 2-18: Bewegungsdiagramme für das Abbremsen einer Masse durch einen Stoßdämpfer

2.5.2

0,1 0

0

1

2

3

t 4 s

Graphische Verfahren

Für die Auswertung von Messungen, oder wenn analytische Methoden nicht durchführbar sind, ist es notwendig, auf graphische Verfahren überzugehen, für deren Durchführung Rechenprogramme verfügbar sind. Es werden für die wichtigsten Fälle die Lösungswege bzw. Ansätze gegeben. Sie entsprechen den analytischen Methoden (voriger Abschnitt). 1. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben, a = f (t).

52

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes Die Kurve a(t) wird graphisch integriert. Das Ergebnis ist die Abhängigkeit v(t). Eine nochmalige Integration liefert s(t). 2. Die Geschwindigkeit ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben, v = f (t). Die graphische Integration der Kurve v(t) führt auf das s(t)-Diagramm. Die graphische Ableitung von v(t) ergibt a(t). 3. Die Lage des Punktes ist in Abhängigkeit von der Zeit gegeben, s = f (t). Die Kurve v(t) erhält man durch die graphische Differentiation von s(t). Eine weitere Differentiation liefert a(t). 4. Die Geschwindigkeit ist in Abhängigkeit von der Ortskoordinate gegeben, v = f (s). Das v(s)-Diagramm wird in Streifen ∆s eingeteilt. Für kleine Teilstrecken ∆s kann eine mittlere Geschwindigkeit vm eingeführt werden. Aus vm =

∆s , erhält man ∆t

∆t =

∆s , vm

die Zeit für jeweils einen Abschnitt ∆s. Die Addition der einzelnen Zeitdifferenzen ergibt die Gesamtzeit und damit die s(t)-Kurve (Fall 3). 5. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Ortskoordinate gegeben, a = f (s). Hier geht man von der Gleichung (2-8) aus, Zv

v·dv =

v0

Z

a·ds,

1 2 (v − v02 ) = 2

Z

a·ds,

2

v =2

Z

a·ds + v02 .

Das Integral kann als Fläche unter dem a(s)-Diagramm gedeutet werden. Dieses wird deshalb in Streifen ∆s eingeteilt, für die mit genügend großer Genauigkeit eine mittlere Beschleunigung am eingeführt werden kann. Es gilt dann v=

q

2·

X

(am ·∆s) + v02 .

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

53

Wertet man diese Gleichung für die verschiedenen Streckenabschnitte aus, dann erhält man die v(s)-Kurve. Das entspricht dann dem Fall 4. 6. Die Beschleunigung ist in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit gegeben a = f (v). Genau wie bei den analytischen Verfahren bieten sich zwei Lösungswege an. ∆v dv wird am = Aus a = dt ∆t und damit ∆t =

∆v . am

Für die Auswertung wird das Ausgangsdiagramm a = f (v) in Abschnitte ∆v eingeteilt. Mit der obigen Gleichung werden die Zeitintervalle für diese ermittelt. Die Aufsummierung ergibt die Zeit und damit die v(t)- bzw. a(t)-Abhängigkeit. Ein Beispiel dafür ist im Abschnitt 7.3.2 gegeben. Der zweite Weg geht von Gleichung (2-8) aus. a·ds = v·dv, Z v ·dv. s= a Für die Auswertung ist es zweckmäßig, das Ausgangsdiagramm a = f (v) in v ein Diagramm = f (v) umzuzeichnen. Dazu werden zugeordnete Werte a v und a dividiert und über v aufgetragen. Es werden Streifen ∆v eingezeichnet und die Flächen ermittelt. Man erhält aus Xv s= ·∆v, a die Ort-Geschwindigkeitskurve und damit den Fall 4.

Als Beispiel für die ersten drei Fälle kann die Abb. 2-2 gelten. Nachfolgend werden der Fall 5 und 4 angewendet. Der Fall 6 ist im Abschnitt 7.3.2 (Beispiel „Anfahren einer Kreiselpumpe“) eingearbeitet.

54

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Beispiel Es wird an das Beispiel 4 (Abb. 2-17) des vorigen Abschnitts angeknüpft. Der Stoßdämpfer ist dort unter der idealisierten Annahme einer laminaren Ölströmung, ohne Turbulenzen und ohne Coulombsche Reibung behandelt worden. Nur unter diesen Voraussetzungen gilt −a ∼ v. Hier soll von einer experimentellen Untersuchung ausgegangen werden. Der Einbau einer Kraftmessdose an der Aufprallstelle und eines Weggebers liefert bei bekannter Masse eine Abhängigkeit a(s) nach Abb. 2-19. Dabei beträgt die Aufprallgeschwindigkeit v0 = 0,56 m/s. Die Masse wird auf einem Weg von 390 mm bis zum Stillstand abgebremst. Zu zeichnen sind die s(t)-; v(t)- und a(t)-Diagramme. 1,0

0,8 0,63

−a m/s2

0,6 0,4

0,34

0,2

0,13

0 Nr.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0

1

2

3

4

s m

Abb. 2-19: Experimentell ermitteltes a(s)-Diagramm für einen Stoßdämpfer

Lösung Es handelt sich um den Fall 5. Die Gleichung v=

q

2·

X

(am ·∆s) + v02

muss ausgewertet werden. Dazu wird der Bewegungsablauf in Teilstrecken ∆s eingeteilt. Für diese wird jeweils mit einer mittleren Beschleunigung am gerechnet. Festgelegt wird ∆s = 0,10 m, für den letzten Abschnitt 0,09 m. Das ist eine sehr grobe Einteilung, sie soll jedoch für ein solches Beispiel genügen. Es empfiehlt sich, am Diagramm eine Nummerierung anzubringen, die in der Tabelle wiederholt wird. In diese werden zunächst die zugeordneten Diagrammwerte s und a eingetragen. Für jeden Abschnitt ∆s wird jeweils in der Mitte der Wert am abgelesen. Die nächste Spalte enthält die Multiplikation am ·∆s. Dieser Wert

2.5 Die ungleichförmig beschleunigte Bewegung

55

wird aufaddiert. Jetzt kann man mit der obigen Beziehung v ausrechnen. Die Spalten s und v sind Grundlage des Diagramms v(s) nach Abb. 2-20. Dieses 0,6

v m/s

0,4 0,2 0

Nr.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0

1

2

3

4

s m

Abb. 2-20: v(s)-Diagramm für das Experiment nach Abb. 2-19

entspricht dem Fall 4. Analog zu oben wird in Teilabschnitte ∆s eingeteilt, für die eine mittlere Geschwindigkeit vm in die Tabelle eingetragen wird. Zum Durchlaufen des Abschnitts ∆s benötigt das Objekt die Zeit ∆t =

∆s vm

Die Aufaddierung liefert die Zeitkoordinate t. Die Spalten s; v; a jeweils mit t gekoppelt ergeben die gesuchten Diagramme Abb. 2-21. Der Vorgang dauert 3,4 s. Hier bietet sich eine einfache Kontrolle mit der Stoppuhr an. Nr.

s m

a m/s2

am m/s2

am ·∆s m2 /s2

0

0

−1,00

−

−

1

0,10

−0,63

−0,82

2

0,20

−0,34

3

0,30

4

0,39

P

am ·∆s m2 /s2

v m/s

vm m/s

∆t s

t s

0

0,56

−

−

0

−0,082

−0,082

0,39

0,47

0,21

0,21

−0,48

−0,048

−0,130

0,24

0,31

0,32

0,53

−0,13

−0,22

−0,022

−0,152

0,11

0,17

0,59

1,12

0

−0,06

−0,005

−0,157

0

0,04

2,25

3,37

56

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

0,4

0,39

0,3 s 0,2 m 0,1

0 0 0,6

1

2

3 3,4

4

t s

0,4 v m/s

0,2 0 0

−0,2

t t

−0,4 a m/s2 −0,6 −0,8 −1,0

Abb. 2-21: Bewegungsdiagramme für das Experiment nach Abb. 2-19

2.6 Zusammenfassung

2.6

57

Zusammenfassung

Zwischen der Ortskoordinate s, der Geschwindigkeit v und der Beschleunigung a bestehen die Beziehungen v= s=

ds = s˙ dt

a=

v·dt

v=

Z

dv = v˙ = s¨ dt

(2-1)/(2-2)

a·dt.

(2-3)/(2-4)

Z

Für eine Darstellung dieser Größen in s(t)-, v(t)-, a(t)-Diagrammen kann man aus diesen Gleichungen folgende Schlussfolgerungen ziehen: 1. Die Tangentensteigung an der s(t)-Kurve entspricht der Geschwindigkeit. 2. Die Tangentensteigung an der v(t)-Kurve entspricht der Beschleunigung. 3. Ein „Flächen“-element der „Breite“ ∆t im v(t)-Diagramm entspricht der Änderung der Lage in diesem Zeitabschnitt. 4. Ein „Flächen“-element der „Breite“ ∆t im a(t)-Diagramm entspricht der Änderung der Geschwindigkeit in diesem Zeitabschnitt. Unter der Voraussetzung, dass für s, v, a die gleiche Richtung positiv definiert wird, gilt für die Deutung der Vorzeichen: Bedeutung des Vorzeichens s

v a

Lage

Bewegungsrichtung Beschleunigung oder Verzögerung

Vorzeichen  gleich  

  verschieden )

gleich verschieden

→ → → →

Bewegung vom Nullpunkt Bewegung zum Nullpunkt beschleunigt verzögert

Die Gleichungen (2-1) bis (2-4) führen für eine konstante Geschwindigkeit auf s = v·t + s0

(2-5)

und für gleichmäßig beschleunigte Bewegung auf v = a·t + v0 a s = t2 + v0 ·t + s0 2

(2-6) (2-7)

58

2 Die geradlinige Bewegung des Punktes

Die Gleichungen (2-6)/(2-7) sind für die Beschreibung einer solchen Bewegung ausreichend. In der zusätzlichen Beziehung v 2 = 2a(s − s0 ) + v02

(2-9)

ist die Zeit eliminiert. Im Abschnitt 2.5.1 werden für ungleichförmig beschleunigte Bewegungen Lösungsansätze gegeben. Jedoch sind analytische Lösungen nur möglich, wenn die Abhängigkeiten durch integrierbare bzw. differenzierbare Gleichungen dargestellt werden können. In der Technik ist das oft nicht der Fall. Hier führen die im Abschnitt 2.5.2 behandelten graphischen Verfahren, die mit Computerprogrammen ausführbar sind, immer zum Ziel.

3

Die krummlinige Bewegung des Punktes

3.1

Einführung

Die Ergebnisse des vorigen Kapitels werden auf eine krummlinige, in der Ebene liegende Bahn übertragen. Dazu ist es notwendig, den Beschleunigungsbegriff zu erweitern. Für eine geradlinige Bewegung ist die Beschleunigung die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. Bei einer Krümmung der Bahn muss zusätzlich die Richtungsänderung der Geschwindigkeit berücksichtigt werden. Anders ausgedrückt, Geschwindigkeit und Beschleunigung haben Vektoreigenschaften. Das führt auf die Normalbeschleunigung, die im allgemeinen Fall eine Komponente des Beschleunigungsvektors ist. Diese ist von besonderer Wichtigkeit für das Verständnis aller nachfolgenden Ausführungen. Eine Bahn in der Ebene kann in verschiedenen Koordinaten dargestellt werden. Zunächst bietet sich das Kartesische System an. Die Geschwindigkeitsund Beschleunigungsvektoren werden in x- und y-Richtung zerlegt. Hier stellt sich die Frage, ob das den physikalischen Vorgang richtig wiedergibt. Dass es richtig ist, ist nicht beweisbar. Die Zerlegung und Zusammensetzung nach der Parallelogrammkonstruktion gehört in der Mechanik zu den Axiomen, die per definitionem nicht beweisbar sind. In Band 1 (Statik, Kap. 2, Lehrsatz 5) wurde sie für die Kräftezerlegung angewendet. Über das Newtonsche Gesetz (Kap. ~ mit der Beschleunigung ~a verbindet, erfolgt die Übertragung 5), das die Kraft F des Axioms auf die Kinematik. Für rotierende Systeme eignet sich das Polarkoordinatensystem r; ϕ besonders gut. Die Zerlegung von ~a und ~v erfolgt in diese Richtungen. Als natürliches Koordinatensystem bezeichnet man eines, das sich mit dem betrachteten Punkt mitbewegt und aus zwei senkrecht zueinander stehenden Achsen besteht. Eine tangiert die Bahn und ist damit kollinear mit ~v , die andere gibt die Lage des Vektors der Normalbeschleunigung ~an wieder. Die nachfolgenden Abschnitte behandeln die krummlinige Bewegung eines Punktes in diesen drei Systemen.

60

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

3.2

Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung im Kartesischen Koordinatensystem

Da nachfolgend mit Vektoren gearbeitet wird, soll hier etwas zu ihrer Schreibweise angegeben werden. Ein Vektor wird durch einen über dem kursiven Buchstaben gesetzten Pfeil gekennzeichnet (z.B. Beschleunigung ~a). Ist die Wirkungsrichtung durch einen Index angegeben, kann auf eine zusätzliche Kennzeichnung als Vektor verzichtet werden (z.B. Beschleunigung ax ). So wird hier verfahren. Für Abbildungen gilt Analoges. Die Vektoreigenschaft wird durch den Pfeil angezeigt, die Bezeichnung (z.B. a) gibt die skalare Größe der Beschleunigung in Richtung des Pfeils an. Wird der Pfeil mit ~a bezeichnet, geben sowohl Pfeil als auch diese Bezeichnung die Vektoreigenschaft an. y

y

Bahn

Bahn

P1 (Zeit t + ∆t) ∆s

∆y

v vy

∆x P

P(Zeit t) x

vx x

Abb. 3-1: Krummlinige Bahn im Kartesischen Koordinatensystem

Ein Punkt bewegt sich nach Abb. 3-1 auf einer gekrümmten Bahn, die in einem Kartesischen Koordinatensystem liegt. Während des Zeitintervalls ∆t verlagert er sich von P nach P1 . Diese Position kann von P aus mit dem Vektor ∆~s angegeben werden. Die mittlere Geschwindigkeit während ∆t ist ~vm =

∆~s ∆t

Der Vektor ~vm hat die Richtung von ∆~s, ist demnach eine Sekante der Bahn. Die momentane Geschwindigkeit z.Z. t erhält man durch den Grenzübergang von ∆t → 0. Anders ausgedrückt, der Punkt P1 nähert sich P so, dass ∆~s → d~s übergeht und aus der Sekante eine Tangente wird ~v = lim

∆t→0

∆~s d~s = = ~s˙ ∆t dt

3.2 Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung

61

Der Vektor ~v tangiert die Bahn. Seine Komponenten im Kartesischen Koordinatensystem sind dx = x˙ dt dy vy = = y˙ dt

vx =

(3-1)

Zur Definition der Beschleunigung wird nach Abb. 3-2 der Punkt z.Z. t und ∆t y

∆vx

Bahn v1

∆v (Zeit t + ∆t)P1

∆vy

v1

v

v

P(Zeit t) x Abb. 3-2: Geschwindigkeitsvektoren an Krummliniger Bahn

später mit den jeweiligen Geschwindigkeitsvektoren gezeichnet. Im vorliegenden Fall wird der Punkt schneller: |~v1 | > |~v |. Die Vektoren unterscheiden sich um ∆v. Die mittlere Beschleunigung während des Zeitintervalls ∆t ist ~am =

∆~v ∆t

Dieser Vektor liegt in Richtung von ∆~v . Die momentane Beschleunigung z.Z. t erhält man beim Grenzübergang ∆~v d~v = = ~v˙ = ~¨s ∆t→0 ∆t dt

~am = lim

Die Zerlegung in die x- und y-Komponenten führt nach Abb. 3-3 auf dvx = v˙ x = x ¨ dt dvy ay = = v˙ y = y¨ dt ax =

(3-2)

Im Gegensatz zum Vektor ~v tangiert der Beschleunigungsvektor ~a niemals die Bahnkurve. Das kann man sich für den Fall v = konst. besonders gut klarmachen. In der Abb. 3-2 entspricht das |~v1 | = |~v |. Der Vektor ~v bleibt in seiner

62

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

y ay

a

ax

Bahn

P

x

Abb. 3-3: Beschleunigungsvektor an krummliniger Bahn

Länge erhalten, schwenkt aber. Damit liegt ∆~v senkrecht auf ∆~s. Der Beschleunigungsvektor steht in diesem Fall senkrecht auf der Bahntangente und ist nach innen gerichtet. Aus diesen Überlegungen kann man folgende Schlussfolgerungen ziehen: 1. Auf einer gekrümmten Bahn unterliegt ein bewegter Punkt immer einer Beschleunigung, auch dann wenn die Geschwindigkeit konstant ist. 2. Der Beschleunigungsvektor ist bei Bewegung auf gekrümmter Bahn immer nach innen (Seite des Krümmungsmittelpunktes) gerichtet.

3.3

Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

Für viele Aufgaben ist es zweckmäßig, in Polarkoordinaten zu rechnen. Aus diesem Grund sollen die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in die radiale und in die Umfangskomponente zerlegt werden. Betrachtet wird die Bahn von Abb. 3-1. Ihre Geometrie wird von Polarkoordinaten nach Abb. 3-4 beschrieben. Von einem frei wählbaren Nullpunkt wird ein Ortsvektor ~r eingeführt. Seine Richtung ist ϕ von einer definierten Linie aus Bahn P1 ∆sr =∆r ∆s

P1

Bahn

∆sϕ =r·∆ϕ r + ∆r ∆ϕ r ϕ

P

P Abb. 3-4: Zur Definition der radialen und Umfangsgeschwindigkeit

3.3 Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

63

gemessen. Im Zeitintervall ∆t verlagert sich der Punkt in radiale Richtung um ∆~r und in Umfangsrichtung um r·∆ϕ. Die zugehörigen Geschwindigkeitskomponenten sind vr = lim

∆t→0

∆r ∆t

dr = r˙ dt r·∆ϕ dϕ vϕ = lim = r· ∆t→0 ∆t dt

(3-3)

vr =

Die zeitliche Änderung des Winkels ϕ ist dϕ/ dt = ϕ. ˙ Diese Größe wird analog zur Geschwindigkeit als Winkelgeschwindigkeit definiert und mit ω bezeichnet. Die Dimension von ω ist Zeit−1 , die Einheit meistens s−1 . Damit erhält man die Umfangsgeschwindigkeit (3-4)

vϕ = r·ϕ˙ = r·ω

Die Zerlegung der Beschleunigung in radiale und Umfangsrichtung bedarf einer genaueren Untersuchung. Ausgegangen wird von der Abb. 3-5. Während des Zeitintervalls ∆t hat sich der Punkt von P nach P1 bewegt. Der Winkel ϕ, die Länge des Polstrahls r und die Geschwindigkeit v haben sich dabei um ∆ϕ; ∆r und ∆v geändert. Die Vektoren ~v und ~v1 werden in die Komponenten ~vr und ~vϕ zerlegt und aneinander gelegt gezeichnet. Die Änderung der Radialgeschwindigkeit setzt sich aus v1

v1 b a

P1

r+ r

∆ϕ ϕ 0

v

v

∆vϕ

v1ϕ

∆r

v1r

vϕ·∆ϕ

∆vr

P ∆ϕ

vϕ

∆ϕ

vr

0-P ng htu 1 Ri c 0-P g n u cht Ri

Abb. 3-5: Zur Definition der radialen und tangentialen Beschleunigung

vr·∆ϕ

64

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

der Längenänderung des Vektors ~vr und der Richtungsänderung des Vektors ~vϕ zusammen. Diese Anteile sind in der Abb. 3-5b durch eine rechteckige Umrahmung gekennzeichnet. Die Änderung beträgt demnach ∆vr − vϕ ·∆ϕ. Daraus folgt für die Radialbeschleunigung ar = lim

∆t→0

∆vr ∆ϕ dvr dϕ − lim vϕ · =⇒ ar = − vϕ · . ∆t→0 ∆t ∆t dt dt

Mit den Gleichungen (3-3)/(3-4) ist ar = r¨ − r·ϕ˙ 2 = r¨ − r·ω 2 .

(3-5)

Die Änderung der Umfangsgeschwindigkeit setzt sich aus der Längenänderung des Vektors ~vϕ und der Richtungsänderung des Vektors ~vr zusammen. Die Größen sind in der Abb. 3-5 mit einem ovalen Rahmen gekennzeichnet. Sie beträgt ∆vϕ + vr ·∆ϕ. Die Umfangsbeschleunigung ist deshalb ∆vϕ ∆ϕ dvϕ dϕ + lim vr · =⇒ aϕ = + vr · . ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t dt dt

aϕ = lim

Nach der Gleichung (3-4) ist (Produktregel) dvϕ = r· ˙ ϕ˙ + r·ϕ. ¨ dt Analog zur Beziehung s¨ = a wird als Winkelbeschleunigung ϕ ¨ = ω˙ = α definiert. Die Dimension ist Zeit−2 , die Einheit meistens s−2 . Unter Beachtung der Gleichungen (3-3)/(3-4) ist aϕ = vr ·ϕ˙ + r·ϕ ¨ + vr ·ϕ˙ aϕ = 2·vr ·ω + r·α.

(3-6)

Es sei hier besonders betont, dass die resultierenden Vektoren ~v = ~vr + ~vϕ und ~a = ~ar + ~aϕ denen von Abschnitt 3.1 entsprechen. Dort wurden sie in x-und yRichtung zerlegt. Alle Schlussfolgerungen, die im Abschnitt 3.1 gezogen wurden, gelten unabhängig vom Koordinatensystem. Der erste Summand der Gleichung (3-6) wird Coriolis1 -Beschleunigung genannt. Auf diesen Begriff wird ausführlich im Abschnitt 4.5 Relativbewegung eingegangen. 1

C.G. Coriolis (1792–1843), französischer Naturwissenschaftler

3.3 Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten ϕ

ω

65

α

ϕ

ω

α

Abb. 3-6: Winkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung in Vektordarstellung

Die Größen ϕ, ω, α können entsprechend dem Momentvektor (Band 1, Kapitel 12) als Vektoren ϕ ~, ~ ω ,~a, dargestellt werden, die senkrecht auf der Bewegungsebene stehen. Die Vektorenspitzen weisen, wie in Abb. 3-6 dargestellt, in Richtung einer in diesem Drehsinn gedrehten Rechtsschraube. Die Umfangsgeschwindigkeit kann als vektorielles Produkt ~vϕ = ~ω × ~r, gedeutet werden (Abb. 3-7). ω ω Rechtsgewinde

vϕ = ω×r ω×r vϕ

~r Abb. 3-7: Vektorielle Darstellung der Umfangsgeschwindigkeit

Nach dieser mehr auf Anschaulichkeit und geometrische Deutung angelegten Ableitung, sollen die Gleichungen durch Differentiation des Ortsvektors bestätigt werden. Dazu soll zunächst die Ableitung der Einheitsvektoren nach der Zeit gebildet werden. In Abb. 3-8 sind die beiden Einheitsvektoren zum Zeitpunkt t und dt später skizziert. Dabei erfolgt eine Drehung mit ω = ϕ. ˙ Der Vektor ~er (t) ändert sich um d~er . Diese Änderung liegt jedoch in Richtung ϕ. Deshalb gilt d~er = der ·~eϕ

(Betrag × Einheitsvektor).

Der Betrag (Länge) von d~er ist gleich er ·dϕ = er ·ϕ·dt, ˙ wobei er = 1 ist. Das folgt aus dem von den Einheitsfaktoren ~er gebildeten Dreieck. Zusammenfassend kann man schreiben d~er = 1·ϕ·dt·~ ˙ eϕ d~er = ϕ·~ ˙ eϕ . dt

66

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

d~eϕ

d~er

~eϕ (t + dt)

~eϕ (t)

dϕ

) dt + ϕ t d r(

ω=ϕ˙

d~er

~e ~er (t) ϕ

Abb. 3-8: Einheitsvektoren im drehenden System

Auf gleichem Weg erhält man d~eϕ = −deϕ ·~er

(Dieser Vektor hat eine negative Richtung)

d~eϕ = −eϕ ·ϕ·dt·~ ˙ er = −1·ϕ·dt·~ ˙ er d~eϕ = −ϕ·~ ˙ er . dt Die Geschwindigkeit ist ~v =

d d~er d~r = (r·~er ) = r·~ ˙ er + r· dt dt dt

~v = r·~ ˙ er + r·ϕ·~ ˙ eϕ . Der erste Summand ist die r-Komponente, der zweite die ϕ-Komponente der Geschwindigkeit (vergl. Gl. (3-3)/(3-4)). Eine nochmalige Ableitung führt auf die Beschleunigungen ~a =

d~er d~eϕ d~v = r˙ + r¨~er + r·ϕ· ˙ + (r·ϕ)·~ ˙ eϕ dt dt dt

= r· ˙ ϕ·~ ˙ eϕ + r¨·~er + r·ϕ·(− ˙ ϕ·~ ˙ er ) + (r·ϕ¨ + r· ˙ ϕ)~ ˙ eϕ ~a = (¨ r − r·ϕ˙ 2 )·~er + (2·r· ˙ ϕ˙ + r·ϕ)~ ¨ eϕ . Der erste Summand entspricht der r-Komponente, der zweite der ϕ-Komponente der Beschleunigung (vergl. Gl. (3-5)/(3-6)).

3.4 Tangentiale und normale Beschleunigung

3.4

67

Tangentiale und normale Beschleunigung; natürliches Koordinatensystem

In den vorigen Abschnitten wurden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen im Kartesischen Koordinatensystem in x- und y-Richtung und im Polarkoordinatensystem in Richtung zum Pol (~r ) und senkrecht dazu (~ ϕ ) zerlegt. Ein Koordinatensystem ist frei wählbar, und somit sind die oben genannten Richtungen willkürlich. Es erscheint natürlicher – zumal der Geschwindigkeitsvektor die Bahnkurve tangiert –, den Beschleunigungsvektor in tangentiale und normale Richtung zur Bahn zu zerlegen. v1

0

v1 ∆ϕ

r

∆vt ∆v

∆vn ∆ϕ v

P1

∆ϕ

v

∆s

Bahn

P

Abb. 3-9: Zur Ableitung der Größe „Normalbeschleunigung“

Ein Punkt durchläuft die in Abb. 3-9 skizzierte Bahn. Im betrachteten Bereich ∆s sei der Krümmungsradius der Bahn r und der zugehörige Mittelpunkt 0. Im Zeitintervall ∆t ändert sich die Geschwindigkeit um ∆~v . Dieser Vektor wird in Normalrichtung ∆vn und Tangentialrichtung ∆vt zerlegt. Die Beschleunigungskomponente in Normalrichtung ist an = lim

∆t→0

∆vn ∆t

Die Geometrie des Dreiecks Abb. 3-9 liefert ∆vn = v·∆ϕ. Damit ist v·∆ϕ dϕ = v· = v·ω ∆t→0 ∆t dt

an = lim

Hier gilt v = vϕ und damit nach Gleichung (3-4) an = r·ω 2 =

v2 r

(3-7)

Der Vektor ~an ist immer zum Mittelpunkt des Krümmungskreises (Radius r) am betrachteten Punkt der Bahn gerichtet. Das folgt aus der Richtung von ∆vn

68

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

in Abb. 3-9. Die Gleichung (3-7) ist eine Bestätigung der Aussage, dass ein auf einer gekrümmten Bahn bewegter Punkt auch bei konstanter Geschwindigkeit beschleunigt ist. Die Tangential- oder Bahnbeschleunigung at = Kapitel 2 definierten Beschleunigung a.

dv dt

= v˙ = s¨ entspricht der im

Die Lage des resultierenden Beschleunigungsvektors für verschiedene Bewegungszustände auf einer gekrümmten Bahn zeigt die Abb. 3-11. Im Fall 4 der Abb. 3-11 findet keine Bewegung statt, im Fall 5 ist die Bahn im betrachteten Punkt gerade. Deshalb gilt uneingeschränkt, dass ein auf gekrümmter Bahn bewegter Punkt immer beschleunigt ist. Die Kreisbahn ist durch r = konst.; r˙ = 0; r¨ = 0 gekennzeichnet. Mit diesen Bedingungen ergeben sich aus den Gleichungen (3-4)/(3-5)/(3-6) s = r·ϕ v = r·ϕ˙ = r·ω

ar = an = −r·ω 2

aϕ = at = r·ϕ¨ = r·α

(3-8)

Im negativen Vorzeichen von an , wie es sich aus der Gleichung (3-5) ergibt, steckt die Aussage, dass die Normalbeschleunigung zum Mittelpunkt des Krümmungskreises gerichtet ist. Beispiel 1 (Abb. 3-10) Ein Stapler fährt in einem Hochregallager mit konstanten Geschwindigkeiten vx = 0,80 m/s und vy = 0,60 m/s. In welcher Höhe h0 muss eine gleichmäßige Verzögerung der Hubbewegung von 0,40 m/s2 einsetzen, wenn eine Höhe h1 = 4,50 m angefahren werden soll? Die Bahnkurve ist für diesen Vorgang zu ermitteln und der Bewegungszustand für y2 = 4,40 m zu bestimmen.

y h0

x

Abb. 3-10: Hub mit Horizontalbewegung

3.4 Tangentiale und normale Beschleunigung

69

1. Beschleunigte Bewegung. Der Vektor ~a bildet mit dem Geschwindigkeitsvektor ~v einen spitzen Winkel.

2. Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit. Es gilt at = 0 und damit an = a. Der Vektor ~a steht senkrecht auf der Bahntangente.

3. Verzögerte Bewegung. Der Vektor ~a bildet mit dem Geschwindigkeitsvektor ~v einen stumpfen Winkel. Wegen der Lage von ~an liegt der Vektor ~a für alle drei Fälle auf der Innenseite der Bahnkurve. 4. Umkehrpunkt für die Bewegung, d.h. momentan v = 0 (keine Bewegung). Nach Gleichung (3-7) ist an = 0, und damit ist ~at = ~a. Der Vektor ~a tangiert die Bahn.

5. Wendepunkt der Bahn. Wegen r = ∞ ist nach Gleichung (3-7) an = 0. Auch hier liegt der Vektor tangential zur Bahn. Im betrachteten Moment ist die Bewegung geradlinig.

Abb. 3-11: Mögliche Lagen des resultierenden Beschleunigungsvektors bei Krummliniger Bewegung und deren Deutung

70

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

Lösung Für die Lösung ist die Anwendung des angegebenen Kartesischen Koordinatensystems sinnvoll. Für beide Richtungen werden die Bewegungsgleichungen aufgestellt x-Richtung

y-Richtung

ax = 0

ay = a0

vx = v0x

vy = a0 ·t + v0y a0 y = ·t2 + v0y ·t + h0 . 2

x = v0x ·t

(1)

(2) (3)

Die Gleichungen (1) und (3) stellen die Bahnkurve während des Bremsvorgangs in Parameterform dar. Aus (1) erhält man t = vx0x , eingesetzt in (3) ergibt y=

a0 v0y 2 2 ·x + v ·x + h0 . 2·v0x 0x

Die Bahnkurve entspricht einem Parabelast, der in Abb. 3-12 dargestellt ist. y m 4,5 4,4 4,3 4,2 4,1 4,0

v δ

at

δ

an ares 3,5 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2 x m

Abb. 3-12: Bahn für Hub mit Horizontalbewegung

Wenn der Stapler die Höhe h1 erreicht hat, soll er nicht mehr steigen: vy = 0

für t = t1

und y = h1 .

Die Gleichung (2) liefert t1 = −

0,60 m/s v0y = 1,50 s. =− a0 −0,40 m/s2

3.4 Tangentiale und normale Beschleunigung

71

Aus (3) ergibt sich: a0 2 ·t − v0y ·t1 2 1 −0,40 m/s2 2 = 4,50 m − ·1,52 s − 0,60 m/s·1,5 s 2 h0 = 4,05 m. h0 = h1 −

Den Zeitpunkt t2 für y2 = 4,40 m erhält man aus der Gleichung (3) y2 =

a0 2 ·t + v0y ·t2 + h0 2 2

Das führt zu der quadratischen Gleichung t22 −

2v0y 2·(y2 − h0 ) ·t2 + =0 a0 a0

mit der Lösung v0y − t2 = a0

s

v0y a0

2

−

2·(y2 − h0 ) . a0

Die vorgegebenen Werte ergeben t2 = 0,793 s. Zu diesem Zeitpunkt ist (Gl. (2)) v2y = −0,40 m/s2 ·0,793 s + 0,60 m/s = 0,283 m/s was mit vx = 0,80 m/s = v0x vres2 = 0,849 m/s unter einem Winkel von δ = 19,47◦ liefert. Der Vektor ares = ay = 0,40 m/s2 muss in diese und die Normalrichtung zerlegt werden (Abb. 3-12). an = ares · cos δ = 0,377 m/s2 2

an =

0,8492 m /s2 v2 v2 =⇒ r = = = 1,911 m r an 0,377 m/s2

at = ares · sin δ = 0,133 m/s2 . Im Punkt y = 4,40 m bewegt sich das Objekt mit 0,849 m/s verzögert mit 0,133 m/s2 auf einer gekrümmten Bahn mit dem Krümmungsradius r = 1,911 m.

72

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

Beispiel 2 An einer koordinatengesteuerten Werkzeugmaschine soll der Werkzeugträger über eine x-Spindel und y-Spindel einen vorgegebenen Punkt anfahren. Für beide Spindeln (Richtungen) sind die konstant angenommenen Beschleunigungen und Verzögerungen sowie die maximalen Verschiebegeschwindigkeiten bekannt. Die Kinematik eines solchen Vorgangs ist zu erfassen. Beispielhaft soll das für folgende Daten geschehen:

x-Richtung y-Richtung Ausgangslage x/y: Endpunkt x/y:

Beschleunigung

Verzögerung

1,20 m/s2 0,80 m/s2 0/0 840 mm/720 mm

0,60 m/s2 0,40 m/s2

max. Geschwindigkeit 0,60 m/s 0,40 m/s

Lösung x-Richtung Auch für die Lösung dieses Beispiels bietet sich das Kartesische Koordinatensystem an. v vmax 0

0

t1

t2

t3

t

Abb. 3-13: v(t)-Diagramm für Werkzeugschlitten

Das v(t)-Diagramm zeigt in allgemeiner Form (x- und y-Richtung) die Abb. 3-13. Die Beschleunigungszeit beträgt t1 =

0,6 m/s = 1,50 s, 1,2 m/s2

die Bremszeit t3 − t2 =

−0,6 m/s = 1,00 s. −0,6 m/s2

Die eingeschlossene Fläche des v(t)-Diagramms entspricht dem zurückgelegten Weg. Das führt zu 1 1 x = ·t1 ·vx max + (t2 − t1 )·vx max + ·(t3 − t2 )·vx max 2 2 x 1 t2 − t1 = − ·[t1 + (t3 − t2 )] vx max 2

3.4 Tangentiale und normale Beschleunigung

=

73

1 0,84 m − [0,50 + 1,00]s 0,60 m/s 2

t2 − t1 = 0,65 s. Damit erhält man t1 = 0,50 s;

t2 = 1,15 s;

t3 = 2,15 s.

Auch hier bietet sich die Föppl-Schreibweise für die Erfassung des Vorgangs an. Ausgegangen wird von Abb. 3-13, wobei zu bedenken ist, dass die Beschleunigung a der Steigung im v(t)-Diagramm entspricht. vx = hti·ax0 + ht − t1 i·(0 − ax0 ) + ht − t2 i·(ax2 − 0). Für die weitere Bearbeitung werden folgende Einheiten festgelegt: t s v s m m/s vx = t·1,20 − ht − 0,50i·1,20 − ht − 1,15i·0,60

x = t2 0,60 − ht − 0,50i2 ·0,60 − ht − 1,15i2 ·0,30.

(1) (2)

y-Richtung Analog erhält man 0,40 m/s = 0,50 s 0,80 m/s2 −0,40 m/s t3 − t2 = = 1,00 s −0,40 m/s2 1 y − ·[t1 + (t3 − t2 )] = 1,05 s. t2 − t1 = vy max 2 t1 =

Damit ist t1 = 0,50 s;

t2 = 1,55 s;

t3 = 2,55 s.

Für die gleichen Einheiten ist vy = hti·0,8 + ht − 0,5i·(0 − 0,80) + ht − 1,55i·(−0,4 − 0) vy = t·0,8 − ht − 0,5i·0,80 − ht − 1,55i·0,40 y = t2 ·0,4 − ht − 0,5i2 ·0,40 − ht − 1,55i2 ·0,20

(3) (4)

Die Gleichungen (2) und (4) ergeben die Bahn, die in Abb. 3-14 dargestellt ist.

74

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

y mm

t = 2,55 s t = 2,15 s

720 688

700

840

600

y steht x steht

520

t = 1,55 s (y bremst) 732

500 360 r fü t. s n y ko nd = u v x

300 200 100

t = 0,50 s

150

l. sch y Be x; 0 0 100

t = 1,15 s (x bremst) 540

400

200

300

400

500

600

700

800

900

x mm

Abb. 3-14: Bahn eines Werkzeugschlittens

Als Beispiel soll die Lage für t = 1,0 s und 1,40 s berechnet werden. x1 = 1,02 ·0,6 − 0,52 ·0,6 = 0,45 m y1 = 1,02 ·0,4 − 0,52 ·0,4 = 0,30 m

x1,4 = 1,42 ·0,6 − 0,92 ·0,6 − 0,252 ·0,3 = 0,671 m y1,4 = 1,42 ·0,4 − 0,92 ·0,4 − 0 = 0,460 m.

Für diesen Punkt sollen der Bewegungszustand und die Bahnkrümmung berechnet werden (Gl. (1)/(3)). vx1,4 = 1,4·1,20 − 0,9·1,2 − 0,25·0,6 = 0,45 m/s vy1,4 = 1,4·0,80 − 0,9·0,8 − 0 = 0,40 m/s. Die beiden Komponenten werden zur Resultierenden zusammengesetzt (Abb. 3-15): vres = 0,602 m/s unter δ = 41,63◦ zur Horizontalen. Da z.Z. t = 1,40 s nur die x-Komponente verzögert ist, gilt ax = ares = −0,60 m/s2 . Dieser Vektor wird nach Abb. 3-15 in Normal- und Tangentialrichtung zerlegt. an = ares · sin δ = 0,399 m/s2 2

v2 v2 0,6022 m /s2 =⇒ r = an = = = 0,908 m r an 0,399 m/s2 at = ares · cos δ = 0,448 m/s2 .

3.4 Tangentiale und normale Beschleunigung

an

75

vres δ

ares δ

Abb. 3-15: Zur Berechnung des Bewegungszustandes und der Bahnkrümmung des Werkzeugschlittens z.Z. t = 1,40 s

at

Z.Z t = 1,40 s befindet sich das Werkzeug im Punkt 671 mm/460 mm, bewegt sich unter 41,63◦ mit v = 0,602 m/s nach rechts oben verzögert mit 0,448 m/s2 . Die Bahnkrümmung beträgt 908 mm. Insgesamt kann man die Bewegung folgendermaßen beschreiben. Zeitpunkt

Lage (x/y)

Bewegung

t=0

0/0

Beschleunigung in x- und y-Richtungen; Bahn geradlinig

t = 0,50 s

150 mm/100 mm

Beide Spindeln laufen mit vmax ; Bahn geradlinig

t = 1,15 s

540 mm/360 mm

Einsetzende Verzögerung in x-Richtung; Bahn gekrümmt

t = 1,55 s

732 mm/520 mm

Einsetzende Verzögerung in y-Richtung

t = 2,15 s

840 mm/688 mm

In x-Richtung Position erreicht.

t = 2,55 s

840 mm/720 mm

In y-Richtung Position erreicht. Vorgang beendet.

Beispiel 3 (Abb. 3-16) Der skizzierte Arm wird entgegengesetzt Uhrzeigersinn von ϕ = 0 ausgehend in Drehung versetzt. Er erreicht bei ϕ = 20◦ eine konstante Winkelgeschwindigkeit von 3,0 s−1 . In dieser Position wird die Masse m von r = 200 mm beginnend,

r

m ϕ A Abb. 3-16: Modell für einen Roboterarm mit einer verschieblichen Masse

76

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

mit 0,50 m/s2 gleichförmig nach außen beschleunigt. Dieses System könnte etwa das Modell eines werkzeugbestückten Roboterarms sein. Zu bestimmen sind für ϕ1 = 230◦ , a) die resultierende Geschwindigkeit, b) die Beschleunigung in den Polar- und natürlichen Koordinaten, c) die Krümmung der Bahn für die Masse m. An der Masse m werden durch die Beschleunigungen Kräfte wirksam, die auf den rotierenden Arm übertragen werden. Ihre Größe wird in Beispiel 2 des Abschnitts 7.2.2 ermittelt. Lösung Hier bieten sich für die Lösung die Polarkoordinaten an. Die Zeitzählung beginnt bei der Position ϕ0 = 20◦ . Radiale Richtung

Umfangsrichtung

r¨ = a

ϕ ¨=0

r˙ = vr = a·t + 0 a r = ·t2 + r0 2

(1)

ϕ˙ = ω0 ;

(2)

ϕ = ω0 ·t + ϕ0 .

Lage Gleichung (4) für ϕ1 und t1 t1 =

ϕ1 − ϕ0 230◦ − 20◦ 3,665 rad = = −1 ω0 3,0 s 3,0 s−1

t1 = 1,222 s. Gleichung (2) r1 =

a 2 0,5 2 ·t1 + r0 = m/s2 ·1,2222 s + 0,200 m 2 2

r1 = 0,573 m. Geschwindigkeiten Gleichung (1) Gleichung (3)

vr1 = 0,5 m/s2 ·1,222 s = 0,611 m/s vϕ1 = 0,573 m·3,00 s−1 = 1,719 m/s.

vϕ = r·ω0

(3) (4)

3.4 Tangentiale und normale Beschleunigung

77

Die vektorielle Addition ergibt (Abb. 3-17) vres 1 = 1,825 /s; δ = 70,44◦ . Der Winkel zur Horizontalen beträgt ε = 59,56◦ . Beschleunigungen ar = r¨ − r·ω 2

Gleichung (3-5)

ar1 = 0,5 m/s2 − 0,573 m·3,02 s

Gleichung (3-6)

−2

aϕ = 2·vr ·ω + r·ϕ¨

= −4,657 m/s2 .

aϕ1 = 2·0,611 m/s·3,0 s−1 + 0 = 3,666 m/s2 . Das führt nach Abb. 3-17 zu ares 1 = 5,927 m/s2 ;

β = 38,21◦ .

Der Winkel zur Horizontalen beträgt γ = 50◦ − β = 11,79◦ . 230◦

230◦ 50◦

r2

A ar

50◦ vr

δ

A an β

ǫ at

ǫ

vϕ vres

ares γ

aϕ vres

Abb. 3-17: Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren für eine Masse auf dem Roboterarm

Der Vektor ares wird, wie in Abb. 3-17 gezeigt, in die tangentiale und normale Richtung zerlegt werden. Dabei ist die tangentiale Richtung durch den Vektor vres gegeben. at1 = ares · cos(γ + ε) =⇒ at1 = 1,895 m/s2 an1 = ares · sin(γ + ε) =⇒ an1 = 5,616 m/s2 .

78

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

Daraus ergibt sich der Krümmungsradius der Bahn (Gl. (3-7)) 2

1,8252 m /s2 v2 = 0,593 m. rB = 1 = an1 5,616 m/s2 In der Position ϕ = 230◦ hat die Masse einen Abstand von 0,573 m von der Drehachse. Sie bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 1,825 m/s nach rechts unten (−59,6◦ ), wobei die Bahnbeschleunigung 1,895 m/s2 beträgt. Der Krümmungsradius der Bahn an der betrachteten Stelle ist rB = 0,593 m. Die Masse unterliegt einer Gesamtbeschleunigung von 5,927 m/s2 .

r s ϕ Abb. 3-18: Bremsender Pkw auf Kreisbahn

Beispiel 4 (Abb. 3-18) Ein Pkw fährt mit der Geschwindigkeit v0 auf der skizzierten Kreisbahn. In der Position ϕ = 0 beginnt eine gleichmäßige Bremsung, die den Wagen auf dem Weg sB zum Stillstand bringt. Der Pkw ist in den nachfolgend gegebenen Zuständen zu skizzieren. Die Beschleunigungsvektoren ~an ,~at und ~ares sind für v0 = 30,0 m/s; r = 200 m und sB = 75 m zu berechnen und in die Skizzen einzutragen: a) b) c) d)

Unmittelbar vor der einsetzenden Bremsung, unmittelbar nach der einsetzenden Bremsung, in der Position „halber Bremsweg“, unmittelbar vor dem Ende der Bremsung.

Lösung (Abb. 3-19) Die Normalbeschleunigung muss für die jeweiligen Geschwindigkeiten berechnet werden. Die Verzögerung für den Bremsvorgang bestimmt man am einfachsten aus der Gleichung (2-9) v 2 = 2a·s + v02

3.4 Tangentiale und normale Beschleunigung

79

Mit v = 0 ist a = at = −

v02 302 (m/s)2 =− = −6,00 m/s2 2s 2·75 m

Dieser Wert bleibt während der Bremsphase gleich. Fall a) (Abb. 3-19a) Vor der Bremsung ist at = 0. Damit gilt ares = an =

302 (m/s)2 v2 = = 4,50 m/s2 r 200 m

Der Vektor ares ist zum Kreismittelpunkt gerichtet. a

b

c

d

Abb. 3-19: Beschleunigungsvektoren am Pkw auf der Kreisbahn

Fall b) (Abb. 3-19b) Unmittelbar nach einsetzender Bremsung ist noch die volle Geschwindigkeit vorhanden, deshalb ist an = 4,50 m/s2 . Hinzu kommt die Bahnbeschleunigung at = −6,0 m/s2 entgegengesetzt zur Fahrtrichtung. Fall c) (Abb. 3-19c) Der Wagen hat einen Winkel durchfahren von s 180◦ 37,5 m 180◦ ϕ0 = · = · = 10,7◦ r π 200 m π Seine Geschwindigkeit beträgt (Gl. (2-9)) v 2 = 2a·s + v02 = −2·6,0(m/s2 )·37,5 m + 302 (m/s)2 v = 21,2 m/s

80

3 Die krummlinige Bewegung des Punktes

Die Normalbeschleunigung beträgt an =

21,22 (m/s2 ) v2 = = 2,25 m/s2 r 200 m

Fall d) (Abb. 3-19d) Der Wagen befindet sich in der Position 75,0 m 180◦ s 180◦ = · = 21,5◦ ϕ0 = · r π 200 m π Unmittelbar vor dem Ende der Bremsung ist zwar at noch voll wirksam, die Geschwindigkeit ist aber praktisch null und somit auch die Normalbeschleunigung. ~ = m·~a hängen Beschleunigungen und Kräfte Über das Newtonsche Gesetz F unmittelbar zusammen. Wie im Kapitel 7 ausgeführt wird, wirkt die Trägheitskraft entgegengesetzt zur Richtung ~a. Für die hier diskutierten Fälle ergibt sich folgendes: a) Die Kraft wirkt nach außen (Fliehkraft). b) und c) Die Kraft wirkt in Richtung des rechten Vorderrads. d) Der Wagen nickt in der letzten Phase der Bremsung. Das kann jeder Autofahrer nachvollziehen. In dieser Betrachtung wurde die Drehung des Wagens um seine eigene Achse senkrecht zur Zeichenebene nicht berücksichtigt. Sie beträgt hier 21,5◦ . Infolge seiner Trägheit will der Pkw diese Drehung beibehalten. Das führt zu einer weiteren Reaktion (Moment), die für die vorliegenden Daten sehr klein ist. Sie ist ausführlich im Beispiel 3 des Abschnitts 7.3.3 behandelt. Diese Ausführungen sollen vermitteln, dass in der Mehrzahl der Fälle kinematische Untersuchungen mit dem Ziel durchgeführt werden, Beschleunigungen und damit Kräfte zu berechnen. Diese sind Grundlagen jeder Dimensionierung im Maschinenbau.

3.5 Zusammenfassung

3.5

81

Zusammenfassung

Die Bewegung auf einer krummlinigen Bahn wurde in diesem Abschnitt in drei Koordinatensystemen untersucht Kartesische Koordinaten dx = x˙ dt dvx ax = = v˙ x = x ¨ dt vx =

dy = y˙ dt dvy ay = = v˙ y = y¨ dt

vy =

(3-1) (3-2)

Polarkoordinaten dr = r˙ dt ar = r¨ − r·ϕ˙ 2 = r¨ − r·ω 2 vr =

vϕ = r·ϕ˙ = r·ω

aϕ = 2r· ˙ ϕ˙ + r·ϕ ¨ = 2vr ·ω + r·α

(3-3)/(3-4) (3-5) (3-6)

Natürliche Koordinaten (Normal- und Tangentialrichtung) v = vϕ = r·ϕ˙ = r·ω v2 an = r·ω 2 = r dv at = = v˙ dt

(3-7)

Für eine Kreisbahn gilt r = konst.; r˙ = 0; r¨ = 0. Aus den jeweiligen Komponenten (x; y/r; ϕ/n; t) werden die Vektoren ~v und ~a zusammengesetzt. Für diese gilt: der Vektor ~v tangiert die Bahn, der Vektor ~a schneidet die Bahn und ist nach innen gerichtet. Für das Verständnis sowohl des nachfolgenden Kapitels als auch der Kinetik ist der Begriff Normalbeschleunigung von entscheidender Bedeutung. Die im vorigen Kapitel getroffene Definition der Beschleunigung wurde erweitert. Die Beschleunigung ist gleich der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit, wobei unter Änderung jetzt auch die Richtungsänderung verstanden wird. Ein auf gekrümmter Bahn bewegter Punkt ist immer beschleunigt, auch wenn er sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Der Vektor der Normalbeschleunigung ist immer zum Krümmungsmittelpunkt der Bahn gerichtet.

4

Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

4.1

Einführung

Die allgemeine Bewegung des starren Körpers in der Ebene kann man als Überlagerung von zwei Elementen auffassen. Das sind die Schiebung (Translation) und die Drehung (Rotation). Bei der Schiebung beschreiben alle Teile die gleiche Bahn. Die Drehung erfolgt um einen Pol, der jedoch nicht eine materielle Drehachse sein muss. Die nachfolgenden Abschnitte befassen sich deshalb mit diesen beiden Bewegungsarten. Danach ist es möglich, die allgemeine Bewegung aus Schiebung und Drehung zusammenzusetzen. Angewendet werden die Ergebnisse auf Gelenkgetriebe, z.B. Kurbelschleife, Kurbelschwinge und den im Maschinenbau besonders wichtigen Kurbeltrieb, der im Kolbenmotor verwendet wird. Die Rädertriebe sind durch ein Planetengetriebe vertreten. Das Ziel ist die Ermittlung folgender Daten: Geschwindigkeit und Beschleunigung vorgegebener Punkte und Aussagen über die Drehung (Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung) von Bauteilen. Wozu braucht man die kinematischen Daten der Maschinenteile? Die Beschleunigung ist über das Newtonsche Gesetz mit der Kraft gekoppelt. Die Berechnung von Kräften (hier Lagerbelastungen) setzt deshalb die Kenntnis der Beschleunigungen voraus. Für den Kurbeltrieb werden deshalb in Teil B des Buches (Kinetik), aufbauend auf den hier ermittelten Werten, die durch die Beschleunigung der Massen versursachten Gelenkkräfte berechnet. Den Abschluss des Kapitels bildet das Thema Relativbewegung. Dabei sind zwei Systeme überlagert. Die Bewegung erfolgt auf einer Unterlage, die entweder eine Schiebung oder eine Drehung ausführt. Der zweite Fall ist in Kap. 3 (krummlinige Bewegung) vorbereitet. Grundlegende Gleichungen können übernommen werden. Der Begriff Coriolis-Beschleunigung wird aus Abschnitt 3.3 übernommen und an einem einfachen Experiment anschaulich gemacht. Dieses Kapitel schließt den Teil A (Kinematik) ab. Damit sind Grundlagen erarbeitet, die es ermöglichen, die bei der Bewegung auftretenden Kräfte zu berechnen. Das ist das Thema der nachfolgenden Kapitel.

84

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

4.2

Die Schiebung (Translation)

Der starre Körper ist bereits in Band 1 definiert worden. Es handelt sich um einen Körper, dessen Formänderung vernachlässigbar ist und dessen Einzelteile immer die gleiche Lage zueinander haben. Ein Körper beschreibt eine Schiebung oder Translation, wenn eine vorher auf dem Körper aufgezeichnete beliebige Linie während des ganzen Bewegungsvorganges parallel zur Ausgangslage bleibt.

B

A D

A1

B1

D1

C1 Abb. 4-1: Schiebung einer starren Scheibe

C

Wegen der unverrückbaren Lage zueinander, beschreiben alle Teile gleiche Bahnen. Das ist in der Abb. 4-1 an der starren Scheibe ABCD gezeigt, die durch Schiebung in die Position A1 B1 C1 D1 gebracht wird. Da alle Punkte gleichzeitig gleiche Geschwindigkeit und Beschleunigung haben, genügt es, die Bewegung eines beliebigen Punktes des Körpers zu beschreiben. Für diesen gelten die bisher abgeleiteten Gesetze.

4.3

Die Drehung (Rotation)

Bei der Drehung eines starren Körpers beschreiben alle Teile konzentrische Kreise, deren Mittelpunkt der Pol der Drehung ist. In der Abb. 4-2 ist als Beispiel eine Rechteckscheibe gezeichnet, die um den Pol P gedreht wird. Dabei verlagern sich die Punkte A bis D in die Positionen A′ bis D′ . Die zu diesen Punkten B′ B ϕ

ϕ

ϕ

P

C′

A

ϕ

A′

ϕ D

C

D′

Abb. 4-2: Drehung einer starren Scheibe

4.3 Die Drehung (Rotation)

85

von P gezogenen Strahlen beschreiben alle den gleichen Winkel ϕ. Man kann sich diese Strahlen als Zeiger vorstellen, die im gleichen Abstand zueinander den Pol umkreisen. Für das Verständnis der allgemeinen Bewegungen des starren Körpers ist es wichtig, sich schon hier klar zu machen, dass auch alle auf der Scheibe gezeichneten Geraden den gleichen Winkel ϕ beschreiben. Das ist in der Abb. 4-2 an den Kanten der Rechteckscheibe gezeigt. Im Abschnitt 3.3 wurde im Zusammenhang mit der Abb. 3-6 auf die Vektoreigenschaft des Winkels ϕ hingewiesen. Da sich, wie oben erläutert, alle Teile der Scheibe um den gleichen Winkel drehen, heißt das: der Vektor ϕ ~ ist nicht an die materiell ausgeführte Drehachse gebunden, sondern ist parallel verschieblich. Das erkennt man auch an der Abb. 4-3, wo einer Drehung eine Schiebung mit Kreisbahnen gegenübergestellt ist. Das gekennzeichnete Teilelement beschreibt bei einer Umdrehung auch eine Umdrehung um die eigene Körperachse. Bei der Schiebung fehlt diese Eigendrehung. a

Drehung

b

Schiebung

Abb. 4-3: Vergleich einer Drehung mit einer Schiebung auf einer Kreisbahn

Die Winkelgeschwindigkeit ~ω =

d~ ϕ =ϕ ~˙ dt

(4-1)

muss nach den Ausführungen oben für alle Teile der Scheibe gelten und nicht nur für die Drehachse. Daraus folgt: Der Vektor ω ~ ist parallel verschieblich. Zwischen Winkelgeschwindigkeit ω und Drehzahl n besteht der Zusammenhang ω = 2π·n Der Kreisumfangswinkel 2π wird n-mal durchlaufen.

86

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Für die Winkelbeschleunigung α ~=

d~ω ¨~ =~ ω˙ = ϕ dt

(4-2)

gilt mit analoger Begründung: Der Beschleunigungsvektor α ~ ist parallel verschiebbar. Die Größen ϕ ~; ω ~; α ~ beschreiben vollständig die Drehung der ganzen Scheibe. Im Gegensatz dazu stehen die Ortskoordinate s, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a. Diese Größen gelten jeweils für einen Punkt der Scheibe und hängen vom Abstand zum Drehpol ab. Wie im vorigen Kapitel abgeleitet, gilt nach Gl. (3-8) s = r·ϕ

at = r·α

v = r·ω

an = r·ω 2

In alle Beziehungen geht der Radius r linear ein. Damit ergibt sich, wie in Abb. 4-4 gezeigt, eine lineare Zunahme dieser Größen von der Drehachse aus.

s = r·ϕ

v = r·ω

at = r·α

an = r·ω 2

Weg

Geschwindigkeit

Beschleunigung

Abb. 4-4: Radiale Abhängigkeit von s; v; a für eine Drehung

Für eine Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (ω = konst., α = 0) gilt nach der Gleichung (4-1) ϕ=

Z

ω·dt,

ϕ = ω·t + ϕ0 .

(4-3)

Dabei ist ϕ0 die Integrationskonstante und entspricht der Lage zur Zeit t = 0. Für eine gleichförmig beschleunigte Bewegung erhält man mit α = konst. aus den Gleichungen (4-1)/(4-2) ω=

Z

α·dt,

4.3 Die Drehung (Rotation)

87 (4-4)

ω = α·t + ω0 , ϕ= ϕ=

Z

ω·dt,

α 2 ·t + ω0 ·t + ϕ0 . 2

(4-5)

ω0 ist die Winkelgeschwindigkeit, ϕ0 der Winkel zur Zeit t = 0. Die Gleichungen (4-4)/(4-5) entsprechen den für die geradlinige Bewegung abgeleiteten Beziehungen (2-6)/(2-7). Für viele Aufgaben ist es zweckmäßig, eine direkte Beziehung zwischen Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung abzuleiten. Man löst dazu die Gleichungen (4-1)/(4-2) nach dt auf und setzt beide Werte gleich (4-6)

α·dϕ = ω·dω, Zω

ω·dω = α·

ω0

Zϕ

dϕ

ϕ0

und erhält so 1 2 (ω − ω02 ) = α(ϕ − ϕ0 ) 2 ω 2 = 2α(ϕ − ϕ0 ) + ω02 .

(4-7)

Der Vergleich der abgeleiteten Beziehungen mit denen für geradlinige Bewegung lässt folgende Analogie der einzelnen Größen erkennen. Geradlinige Bewegung

Drehung

Ortskoordinate

s

Winkel

ϕ

Geschwindigkeit

v

Winkelgeschwindigkeit

ω

Bahnbeschleunigung

a

Winkelbeschleunigung

α

Für ungleichförmig beschleunigte Drehung gilt nach dieser Analogie alles, was für die geradlinige Bewegung im Abschnitt 2.5 ausgeführt wurde. Beispiel 1 (Abb. 4-5) Das reduzierte Trägheitsmoment der skizzierten Rotoren soll experimentell bestimmt werden. Diese Größe, die im Abschnitt 6.4.3 erklärt wird, kann man aus der Winkelbeschleunigung bei bekanntem Antriebsmoment ermitteln. Die Wellen werden über eine an einer Rolle hängende Masse in Drehung versetzt. Mit

88

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene r II i I m

a b

h

∆h

c

Lichtschranken

Abb. 4-5: Experimentelle Ermittlung des Massenträgheitsmomentes

Lichtschranken, die im Abstand ∆h angebracht sind, wird eine Uhr geschaltet. Diese misst die Zeit ∆t für die Strecke ∆h. Durch Wiederholung des Versuchs mit verschiedenen Massen (hier A und B) kann in der Auswertung ein konstant angenommenes Lagerreibungsmoment eliminiert werden. Das wird bei der Weiterbearbeitung dieses Beispiels in den Kapiteln 6 bis 8 gezeigt. Es sind zu bestimmen a) eine allgemeine Auswertungsgleichung α = f (∆t), b) die Winkelbeschleunigungen αA und αB für die unten gegebenen Daten, c) die Geschwindigkeiten, mit denen die Masse A (Zeit ∆tA ) die Lichtschranken passiert, d) die maximale Drehzahl der angetriebenen Welle nach dem Ablauf des Experiments A. h = 3,40 m;

∆h = 2,00 m;

r = 150 mm;

∆tA = 3,51 s;

∆tB = 6,34 s

Lösung Der konstant wirkende Antrieb verursacht eine gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung nach den Gleichungen (4-4)/(4-5)/(4-7). Die Koordinaten werden folgendermaßen festgelegt: Beginn der Bewegung t = 0; für den Ausgangspunkt a ist s = 0; ϕ = 0; alle Größen nach unten positiv. Zunächst muss ein Zusammenhang zwischen Drehwinkel und abgerollter Seillänge hergestellt werden. Aus s = r·ϕ erhält man ϕab =

h − ∆h 1,40 m = = 9,33 r 0,15 m

4.3 Die Drehung (Rotation) ϕac =

89

3,40 m h = = 22,67 r 0,15 m

Die Abhängigkeit der gesuchten Winkelbeschleunigung von der Zeit liefert die Gleichung (4-5), in die der Drehwinkel eingesetzt wird. Die Bewegung setzt an der Stelle ϕ0 = 0 von Ruhe aus ein (ω0 = 0) h − ∆h α = t2ab r 2

⇒

α h = t2ac r 2

⇒

s

2(h − ∆h) r·α

s

2h r·α

tab = tac =

Gemessen wird die Zeitdifferenz ∆t = tac − tab =

s

2h − r·α

s

2(h − ∆h) r·α

p

Nach dem Ausklammern von 2/(r·α), Umstellen nach erhält man die gesuchte Beziehung α=

√ α und Quadrieren

√ √ 2 ( h − h − ∆h)2 2 ∆t ·r

die man auch noch weiter algebraisch umwandeln könnte. α= α=

2 ∆t2 ·0,15 m 5,820 ∆t2

p

( 3,40 m −

p

∆t

α

s

s−2

3,40 m − 2,0 m)2

Die gegebenen Daten liefern αA = 0,472 s−2 ;

αB = 0,145 s−2 .

Die Winkelgeschwindigkeit der Rolle z.Z. des Durchgangs an den Schranken berechnet man am einfachsten aus der Gleichung (4-7) für ω0 = 0; ϕ0 = 0 ω 2 = 2α·ϕ ωb = ωc =

q

2·0,472 s−2 ·9,33 = 2,97 s−1 ;

q

2·0,472 s−2 ·22,67 = 4,63 s−1 ;

vb = r·ωb = 0,445 m/s vc = r·ωc = 0,694 m/s

90

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Wenn unmittelbar nach dem Durchlauf der Messstrecke die Masse abgebremst wird, erreicht die angetriebene Welle eine maximale Drehzahl von nc =

4,63 s−1 ωc = = 0,737 s−1 = ˆ 44,2 min−1 . 2π 2π

Mit Hilfe der bisher nicht verwendeten Gleichung (4-4) können die Ergebnisse kontrolliert werden. Beispiel 2 In diesem Beispiel soll der Auslaufvorgang eines Maschinensatzes nach der Abschaltung kinematisch untersucht werden. Als Modell wird ein großes Gebläse gewählt. Die vom Laufrad verwirbelte Luft erzeugt das Bremsmoment. Dieses hängt quadratisch von der Drehzahl ab. Deshalb gilt α ∼ −ω 2 =⇒ α = −k·ω 2 . Aus Versuchen kann für ein bekanntes Trägheitsmoment des Rotors der Faktor k bestimmt werden. Es sind die Bewegungsgleichungen aufzustellen und für die unten gegebenen Daten auszuwerten und in Diagrammen darzustellen. Ausgangsdrehzahl n0 = 1000 min−1 = 16,67 s−1 ; k = 2,20·10−4 . Lösung Es handelt sich um den in Abschnitt 2.5.1 behandelten Fall 6, der mit dem Ansatz α·dϕ = ω·dω gelöst wird. −k·ω 2 ·dϕ = ω·dω Z dω −k·ϕ = = ln ω + C1 . ω Mit den Anfangsbedingungen ϕ = 0 für ω = ω0 erhält man 0 = ln ω0 + C1 =⇒ C1 = −ln ω0 ω −k·ϕ = ln ω − ln ω0 = ln ω0 ω = ω0 ·e−k·ϕ n = n ·e−k·2π·z 0

(1) (2)

4.3 Die Drehung (Rotation)

91

Das ist die Abhängigkeit der Drehzahl n von der Anzahl der Umdrehungen z. Die Gleichung (1) entspricht dem im Abschnitt 2.5.1 diskutierten Fall 4. dω = α = −k·ω 2 dt Z 1 dω 1 t=− = + C2 . k ω2 k·ω Für t = 0 ist ω = ω0 0=

1 1 + C2 =⇒ C2 = − k·ω0 k·ω0 



1 1 1 t= · . − k ω ω0 Die Umstellung nach ω führt auf ω=

ω0 1 + k·ω0 ·t

(3)

n=

n0 . 1 + k·2π·n0 ·t

(4)

und

Die Integration von (3) liefert ϕ=

Z

ω·dt = ω0

ϕ = ω0 ·

Z

1 dt 1 + k·ω0 ·t

1 · ln(1 + k·ω0 ·t) + C3 . k·ω0

Für t = 0 ist ϕ = 0 0=

1 · ln 1 + C3 =⇒ C3 = 0. k

Damit ist 1 · ln(1 + k·ω0 ·t) k 1 z= · ln(1 + k·2π·n0 ·t). k·2π

ϕ=

(5)

92

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Das Ergebnis der Ableitung von (3) ist k·w02 dω =− , dt (1 + k·ω0 ·t)2 k·(2π·n0 )2 . α=− (1 + k·2π·n0 ·t)2

α=

(6)

Die gegebenen Daten führen auf folgende Zahlenwertgleichungen, die über einfache Rechenprogramme ausgewertet werden können. Dargestellt sind die Funktionen in Abb. 4-6. Für alle Gleichungen gelten die Einheiten t

z

n

α

s

1

s−1

s−2

Aus (5): Anzahl der Umdrehungen in Abhängigkeit von der Zeit z = 723,4· ln(1 + 0,02304·t) Aus (4): Drehzahl in Abhängigkeit von der Zeit: n =

16,67 1 + 0,02304·t

Aus (6): Verzögerung in Abhängigkeit von der Zeit α=−

2,414 (1 + 0,02304·t)2

Aus (2): Drehzahl in Abhängigkeit von der Anzahl der Umdrehungen −3 n = 16,67·e−1,382·10 ·z

Man kann der graphischen Darstellung folgendes entnehmen. Die Drehzahl nimmt zunächst sehr stark ab, damit sinkt aber auch die drehzahlabhängige Verzögerung. Deshalb erfolgt die weitere Abnahme der Geschwindigkeit nur sehr langsam. Das Gebläse verbleibt sehr lange im Drehzahlbereich von etwa 1 Umdrehung pro Sekunde (s. Diagramm n(t)). In diesem Bereich würde die geschwindigkeitsproportionale Reibung in den Gleitlagern und u.U. die Coulombsche Reibung stärker eingehen, jedoch den Verlauf nicht grundsätzlich ändern. Da bei kleinen Drehzahlen die Gefahr besteht, dass der Ölfilm in den Gleitlagern reißt, muss man Ölpumpen vorsehen bzw. den Maschinensatz abbremsen. Ein Auslaufversuch, bei dem z.B. die Anzahl der Umdrehungen für ein Zeitintervall gemessen wird, ermöglicht mit Hilfe der Gleichung (5) die Kontrolle bzw. die Bestimmung der Konstanten k.

0

n 18 s−1 16 14 12 10 8 6 4 2 0

−α 2,4 s−2 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

300

400

500

600 s

700 t 800

800 1200 1600 2000 2400 z

200

400

100

Verzögerung

n 16 s−1 14 12 10 8 6 4 2 0

2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0

z

0

0

100

100

200

200

300

300

400

400

500

500

600

600

700 t 800 s

700 t 800 s

4.3 Die Drehung (Rotation) 93

Abb. 4-6: Bewegungsdiagramme für den Auslaufvorgang eines abgeschalteten Maschinensatzes nach Beispiel 2

94

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Beispiel 3 (Abb. 4-7) Die Kurbel CB der abgebildeten Kurbelschleife rotiert im mathematisch positiven Drehsinn mit ωCB = konst. = 14,0 s−1 . Zu bestimmen sind für die gezeichnete Position a) die Winkelgeschwindigkeit der Schleife AB, b) die Geschwindigkeit, mit der der Bolzen B im Schlitz gleitet, c) die resultierende Beschleunigung des Punktes B. 400 mm

150

50

C

r

45◦

A B

Abb. 4-7: Kurbelschleife

Lösung zu a) Der Bolzen bewegt sich mit vB = lCB ·ωCB = 0,150 m·14,0 s−1 vB = 2,10 m/s

(

45◦ ) .

Diese Geschwindigkeit wird in die Richtung der Schleife AB und senkrecht dazu zerlegt. Dazu ist es notwendig, die Geometrie des Dreiecks ABC zu erfassen (Abb. 4-8a). Aus der Abbildung folgt unmittelbar 50 mm ; δ = 7,13◦ 400 mm 400 mm = = 403,1 mm cos δ

tan δ = lAC

ε = 180◦ − 45◦ − 7,13◦ = 127,87◦ . Mit dem cos-Satz wird aus dem Dreieck ABC die Strecke AB berechnet lAB = lAB =

q

2 + l2 − 2·l lAC AC ·lCB · cos ε CB

q

403,12 + 1502 − 2·403,1·150· cos 127,87◦ mm = 509,1 mm.

4.3 Die Drehung (Rotation)

95

Der Winkel γ ergibt sich aus dem sin-Satz zu sin γ =

lCB 150 mm · sin ε = · sin 127,87◦ lAB 509,1 mm

⇒

γ = 13,45◦ .

Damit ist β = γ − δ = 13,45◦ − 7,13◦ = 6,32◦ . 400 mm a

C δ

50 mm

γ

A

ǫ

δ β

◦

45

B vBu

vB

C 45◦ b β

45◦

B

̺

vB rel

β

Abb. 4-8: Geometrie und Geschwindigkeit der Kurbelschleife

Die Zerlegung der Geschwindigkeit vB zeigt Abb. 4-8b. Es gilt ̺ = 45◦ + β = 45◦ + 6,32◦ = 51,32◦ . Die Geschwindigkeitskomponente, die die Drehung der Schleife verursacht, ist vBu = vB · sin ̺ = 2,1 m/s· sin 51,32◦ = 1,639 m/s. Das ergibt eine Winkelgeschwindigkeit von ωAB =

1,639 m/s vBu = = 3,220 s−1 . lAB 0,5091 m

zu b) Mit der Geschwindigkeitskomponente vB rel = vB · cos ̺ = 2,1 m/s· cos 51,32◦ = 1,312 m/s gleitet der Bolzen im Schlitz der Schleife. zu c) Der Bolzen B beschreibt mit konstanter Geschwindigkeit eine Kreisbahn. Er unterliegt demnach nur der Normalbeschleunigung von 2

an =

v2 2,12 m /s2 = = 29,40 m/s2 . r 0,15 m

Der Beschleunigungsvektor ist von B nach C gerichtet.

96

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

4.4

Der allgemeine Bewegungszustand

4.4.1

Die Bestimmung der Geschwindigkeiten

Eine allgemeine Bewegung liegt dann vor, wenn es sich weder um eine Schiebung noch um eine Drehung handelt. Man kann sie jedoch als Summe von Schiebung und Drehung auffassen. Eine Scheibe nach Abb. 4-9 wird von der Lage 1 nach der Lage 2 bewegt. Diesen Bewegungsablauf kann man in zwei Phasen zerlegen, erstens in Schiebung von 1 nach 1′ und zweitens in eine Drehung um einen Pol von 1′ nach 2. Dieser Vorgang soll an der Bewegung eines an den Enden geführten Stabes nach Abb. 4-10 näher untersucht werden. 1

1

2

1′

1′ 2

allgemeine Bewegung

Schiebung

Drehung

Abb. 4-9: Zusammensetzung der allgemeinen Bewegung aus Schiebung und Drehung

Der Stab AB gleitet mit dem Ende A auf einer horizontalen, mit dem Ende B auf einer vertikalen Schiene. Die Geschwindigkeiten ~vA und ~vB müssen deshalb in Richtung dieser Schienen liegen. Für jede Bewegungsphase kann man annehmen, dass der Stab sich z.B. mit der Geschwindigkeit ~vA parallel nach rechts bewegt. Damit würde er sich am Ende B von der Wand ablösen. Es muss aus diesem Grunde um den Punkt A eine Drehung so überlagert werden, dass die dabei entstehende Umfangsgeschwindigkeit ~vBA (vBA = l·ω) zusammen mit ~vA die vertikal nach unten gerichtete Geschwindigkeit ~vB ergibt. Das Geschwindigkeitsdreieck ist rechts abgebildet. Die vektorielle Addition lautet (4-8)

~vB = ~vA + ~vBA .

Dabei ist vBA die Geschwindigkeit des Punktes B bei Drehung um A (1. Index Ort, 2. Index Drehpol). vB

vA

B

vBA

vA vB ω

A

vA

vA Schiebung

Drehung

vBA Abb. 4-10: Geschwindigkeitsvektoren bei Schiebung und Drehung eines an den Enden geführten Stabes

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

97

Der Drehpol ist keine materielle Drehachse, er wird für die Erfassung des Vorgangs benutzt. Die Winkelgeschwindigkeit gilt unabhängig vom Pol für den bewegten Körper. Das wurde im letzten Abschnitt ausführlich dargestellt. Deshalb gilt ωAB = ωBA Für die Lösung von Aufgaben ist es notwendig, folgendes zu beachten: 1. Die Schiebung muss mit der Geschwindigkeit erfolgen, die unmittelbar gegeben oder aus anderen Angaben berechenbar ist (z.B. vB im Beispiel 1). 2. Die Drehung erfolgt um den Punkt, dessen Geschwindigkeit für die Schiebung verwendet wurde (Schiebung mit vA erfordert Drehung um A). Die Begründung dafür ist zu 1. Die Konstruktion des Geschwindigkeitsdreiecks kann nur mit einer bekannten Größe beginnen. zu 2. Die Drehung um einen anderen Punkt würde die geometrischen Bedingungen verletzen. In der Abb. 4-10 würde eine Drehung um B bewirken, dass sich der Punkt A von seiner horizontalen Unterlage löst und der Punkt B nicht an die senkrechte Wand herangeführt wird, von der er sich durch die Schiebung entfernt hat.

B A

45◦ D

Abb. 4-11: Kurbeltrieb

Beispiel 1 (Abb. 4-11) Die Kurbelwelle des Kurbeltriebes rotiert im Uhrzeigersinn mit einer konstanten Drehzahl. Zu bestimmen sind für die skizzierte Stellung und die gegebenen Daten

98

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

die Kolbengeschwindigkeit1 und die Winkelgeschwindigkeit des Pleuels BD, lAB = 40 mm,

lBD = 160 mm,

n = 5000 min−1 .

B ωAB

45◦

vD

δ

A

D

vB

Abb. 4-12: Geometrie des Kurbeltriebs

Lösung (Abb. 4-12/4-13) Zuerst ist es notwendig, die Geometrie zu erfassen. Mit dem sin-Satz wird der Winkel δ im Dreieck ABD nach Abb. 4-12 berechnet sin δ =

lAB 40 mm · sin 45◦ = · sin 45◦ =⇒ δ = 10,2◦ lBD 160 mm

Die Geschwindigkeit ~vB ist senkrecht zur Kurbel gerichtet und hat die Größe vB = lAB ·ωAB = lAB ·2π·nAB = 0,040 m·2π·

B

B

B vD

45◦ vB

vB

vDB D

vB Schiebung

5,0 ms

ωBD = ωDB

D

D

vD 45◦ 90◦ − δ

5000 min−1 = 20,94 m/s 60 s/min

vB

Drehung

vDB

β Abb. 4-13: Geschwindigkeitsplan des Kurbeltriebs

Zur Vorbereitung der vektoriellen Addition der Geschwindigkeiten sollte das Teil, wie in Abb. 4-13 gezeigt, dreimal gezeichnet werden, im Zustand der allgemeinen Bewegung, bei Schiebung und Drehung. Die Geschwindigkeit des Punktes B ist nach Größe und Richtung bekannt. Deshalb muss die Bewegung des Pleuels aus der Schiebung mit ~vB und der Drehung um den Pol B zusammengesetzt werden. Dabei ist die Bedingung zu erfüllen, dass sich der Kolben horizontal 1

Zur Ableitung der Kolbengeschwindigkeit siehe auch Abschnitt 9.8.3

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

99

bewegt. Für die hier verwendeten Bezeichnungen führt die Gleichung (4-8) auf die vektorielle Addition ~vD = ~vB + ~vDB Sie wird von einem Dreieck nach Abb. 4-13 dargestellt. Begonnen wird die Konstruktion mit dem Vektor ~vB . An die Pfeilspitze wird eine Linie in der Richtung von ~vDB gezeichnet, vom Ausgangspunkt eine in horizontale Richtung. Die Lage der Pfeilspitzen entspricht der oben angegebenen vektoriellen Addition. Die Deutung der Richtungen führt auf die Aussage, der Kolben bewegt sich nach rechts, das Pleuel dreht entgegengesetzt Uhrzeiger. Beides folgt hier aus der Anschauung. Auf das Dreieck Abb. 4-13 wird der sin-Satz mit 90◦ − δ = 79,8◦ und β = 55,2◦ angewendet sin 45◦ ·vB = 15,05 m/s sin 79,8◦ sin 55,2◦ vD = ·vB = 17,47 m/s (→) sin 79,8◦

vDB =

Die durch die Drehung um B verursachte Geschwindigkeit ist vDB . Damit gilt 15,05 m/s vDB = = 94,03 s−1 ( ) lDB 0,16 m

ωDB = ωBD =

Für eine allgemeine Lösung des Problems würde man einen Kurbelwinkel ϕ anstelle der hier gegebenen 45◦ einführen. Der Rechengang verliefe analog zu dem oben. Die Auswertung könnte über ein Rechenprogramm für eine beliebige Position des Kurbeltriebs erfolgen. Im nächsten Abschnitt werden die Beschleunigungen des Kolbens und des Pleuels ermittelt. Diese verursachen Trägheitskräfte, die von den Lagern in B und D aufgenommen werden müssen. Das Beispiel wird deshalb im Kapitel 7 fortgesetzt. Beispiel 2 (Abb. 4-14) Abgebildet ist eine Kurbelschwinge. Die Kurbel AB rotiert, die Schwinge CD oszilliert um den Pol D und die Koppel BC führt eine allgemeine Bewegung aus. Das vorliegende System könnte eine Kurbelschere sein, die in bewegtes Band quer schneidet. Die Schneiden wären dabei die Kanten E und H. Eine solche Schere müsste bestimmte geometrische Bedingungen erfüllen, das ist hier nicht der Fall. Für die gezeichnete Position sind die Geschwindigkeiten der Punkte B, C, E, H und die Winkelgeschwindigkeit der Koppel BC und der Schwinge DC zu bestimmen. Die Auswertung soll für eine Drehzahl der Kurbel von 300 min−1 erfolgen.

100 ωA

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

B

E

B 40

A C

60

H

45◦

300 240

D 160

120 280

Abb. 4-14: Kurbelschwinge

Allgemeine Bewegung vB

B

C

vC

vB

E

B

Schiebung vB

C

vB

C

E B ωCB

vE

E

vCB vEB

0,50 m/s vB

45◦

vB

vCB vC

45◦

vE C

Drehung

vEB

Abb. 4-15: Geschwindigkeitsplan der Koppel der Kurbelschwinge Abb. 4-14

vC H vH

D

ωCD Abb. 4-16: Geschwindigkeitsvektoren an der Schwinge

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

101

Lösung (Abb. 4-15/4-16) Die Punkte B und C beschreiben Kreisbögen, die von den Geschwindigkeitsvektoren tangiert werden. Damit sind die Richtungen von ~vB und ~vC vorgegeben. Zusätzlich kann die Geschwindigkeit von B berechnet werden vB = lAB ·ωAB = lAB ·2π·nAB 300 min−1 = 0,04 m·2π· = 1,257 m/s 60 s/min

45◦ )

(

Mit dieser bekannten Größe muss die Schiebung durchgeführt werden. Dieser wird eine Drehung um den Pol B überlagert, wie in der Abb. 4-15 dargestellt ist. Über Größe und Richtung von ~vE kann zunächst nichts ausgesagt werden. Die vektorielle Addition ~vC = ~vB + ~vCB muss einen Vektor ~vC liefern, der hier horizontal liegt. Aus dem Geschwindigkeitsdreieck erhält man vC = vB · cos 45◦ = 0,889 m/s (→) vCB = vB · sin 45◦ = 0,889 m/s (↓) Der zweite Wert führt auf die Winkelgeschwindigkeit 0,889 m/s vCB = = 5,555 s−1 ( ) lCB 0,16 m 

ωCB = ωBC =

Die Koppel dreht im Uhrzeigersinn, was der Anschauung entspricht. Jetzt ist es möglich, die durch die Drehung verursachte Geschwindigkeit des Punktes E zu berechnen vEB = lEB ·ωCB = 0,28 m·5,555 s−1 = 1,555 m/s (↓) Die vektorielle Addition ~vE = ~vB + ~vEB zeigt die Abb. 4-15. Das Dreieck kann für die Berechnung genutzt werden vEx = vB · cos 45◦ = 0,889 m/s (→) vEy = vB · sin 45◦ − vEB = (0,889 − 1,555) m/s = −0,666 m/s (↓) vE = 1,111 m/s (

36,8◦ )

102

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

In der betrachteten Position dreht die Schwinge DC mit 0,889 m/s vC = = 2,963 s−1 ( ) lDC 0,30 m 

ωCD = ωDC =

im Uhrzeigersinn (Abb. 4-16). Die Geschwindigkeit des Punktes H errechnet sich aus vH = lDH ·ωCD = 0,268 m·2,963 s−1 = 0,794 m/s

(

26,6◦ )

Die zugehörigen Beschleunigungen werden im nächsten Abschnitt berechnet.

4.4.2

Der momentane Drehpol

Wie bisher mehrfach ausgeführt, ist die Winkelgeschwindigkeit eines in der Ebene gedrehten Körpers unabhängig vom Pol. Anders ausgedrückt, der Vektor ω ~ ist parallel verschieblich (freier Vektor). Eine spezielle Verschiebung von ~ω zeigt die Abb. 4-17. Eine allgemeine Bewegung nach dieser Abbildung kann man als vA

vA

A

A ω

r= vωA ω M

Abb. 4-17: Zur Definition des momentanen Drehpols

eine Drehung um einen Pol M deuten. Dieser liegt auf der Senkrechten von ~vA im Abstand r = vA /ω so, dass ~vA den Drehsinn von ω ergibt. Alle anderen Teile der starren Scheibe müssen sich im betrachteten Zeitpunkt mit Geschwindigkeiten bewegen, die einer Drehung um eine Achse M entsprechen. Bei einer allgemeinen Bewegung wandert der Pol M. Er wird deshalb momentaner Drehpol genannt. Die Abb. 4-18 zeigt die Bestimmung der Lage des momentanen Pols M für verschiedene Fälle. Sind zwei Geschwindigkeitsrichtungen bekannt, ergibt sich M als Schnittpunkt der beiden Senkrechten. Bei zwei parallelen Geschwindigkeiten müssen zusätzlich ihre Größen bekannt sein, um nach den Gesetzen der Drehung den Pol M zu finden.

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand A

A

vA

A

103

vA

M

B

vB

vA

vB M

B

vB

M

B

Abb. 4-18: Konstruktion der Lage des momentanen Drehpols

Mit Hilfe des momentanen Pols kann man schnell Geschwindigkeiten von Punkten allgemein bewegter Körper bestimmen. Diese Methode darf für die Ermittlung von Beschleunigungen nicht angewendet werden. Das wird im nachfolgenden Abschnitt begründet. Beispiel 1 (Abb. 4-19) In diesem Beispiel sollen Rad und Walze beim Abrollen auf einer ruhenden Unterlage verglichen werden. Für beide Fälle sind der momentane Drehpol und die Geschwindigkeit in den Punkten B, D, E nach Größe und Richtung zu bestimmen. D vA

vA E

B

0

Abb. 4-19: Abrollen von Rad und Walze (Beispiel 1)

A

D

D

v0

r·ω

D

r·ω

ω E

v0 =r·ω

B

E

B

v0

v0

E

B r·ω

v0

r·ω

Schiebung Abb. 4-20: Schiebung und Drehung einer rollenden Scheibe

Drehung

104

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Lösung Rad: Der Mittelpunkt 0 bewegt sich mit vA nach rechts, wobei das Rad mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Nach der Konstruktion Abb. 4-17 folgt, dass der Abstand des momentanen Drehpols vom Mittelpunkt r = vA /ω gerade der Berührungspunkt des Rades auf der Unterlage ist. Das ist einleuchtend, denn im Moment der Berührung ist dieser in Ruhe. Eine Bestätigung dafür liefert die Zusammensetzung von Schiebung und Drehung nach Abb. 4-20. Die Geschwindigkeit der einzelnen Punkte kann aus der Drehung um den Auflagepunkt bestimmt werden (Abb. 4-21) v0 = vA (→);

vD = 2vA (→);

vB =

 45◦  √ 2vA ;

vE =

√

2vA

 45◦ 

.

Walze: Auch hier ist, wie aus den Ausführungen oben folgt, der momentane Drehpol der Auflagepunkt der Walze. Die Abb. 4-21 gilt, wobei jedoch der obere Punkt D mit vA bewegt wird. √ √  45◦   45◦  1 2 2 ; vE = . vD = vA ; v0 = ·vA ; vB = ·vA ·vA 2 2 2 Zusammenfassend soll festgehalten werden, dass bei Abrollvorgängen beliebig geformter Körper der Abrollpunkt der momentane Drehpol ist. Aus den einfachen Gesetzen der Drehung kann die Geschwindigkeit beliebiger Punkte des Rollkörpers bestimmt werden. vD vE v0 vB M = Momentaner Drehpol

Abb. 4-21: Geschwindigkeitsvektoren an rollender Scheibe

Beispiel 2 Für den Kurbeltrieb Abb. 4-11 sind die Geschwindigkeit des Kolbens und die Winkelgeschwindigkeit des Pleuels mit Hilfe des momentanen Drehpols zu bestimmen. Lösung (Abb. 4-22) Der momentane Drehpol ist der Schnittpunkt der Senkrechten auf den Ge-

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

105

M

B A

45◦

10,2◦ vB

D

vD

Abb. 4-22: Momentaner Drehpol des Pleuels vom Kurbeltrieb Abb. 4-11

schwindigkeitsvektoren ~vB und ~vD . Die Scheibe BDM dreht sich im Moment der Betrachtung wie ein starrer Körper um den Pol M. Aus dem Dreieck ADM erhält man die Abstände von B und D von diesem Drehpol 1 cos 45◦ cos 10,2◦ = 262,7 mm = 40 mm + 160 mm cos 45◦ ◦ = lMA · sin 45 = 185,8 mm

lMA = lAB + lBD · cos 10,2◦ · lMA lMD

lMB = lMA − lAB = 222,7 mm Bekannt ist die Geschwindigkeit vB = 20,94 m/s, damit ist die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe BDM vB 20,94 m/s = = 94,03 s−1 ( ) lMB 0,2227 m

ω = ωMB = ωBM = ωBD = ωDB = und

vD = lMD ·ω = 0,1858 m·94,03 s−1 = 17,47 m/s (→) Die Ergebnisse sind bestätigt. Hier sollte sich der Leser nochmal darüber klar werden, dass die Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers nicht nur auf die tatsächliche, u.U. materiell ausgeführte Drehachse bezogen ist, sondern für alle Bezugspunkte der Scheibe gleich ist. Wenn sich an der Scheibe BDM z.B. die Kante MD um den Winkel ϕ dreht, dann tut es auch die Kante BD, die der Achse des Pleuels entspricht. Damit drehen sich MD, BD und alle beliebigen Linien auf der Scheibe mit gleicher Winkelgeschwindigkeit.

106

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Abrollpunkt (momentaner Drehpol)

Abrollpunkt D B

vII Eingriffspunkt Zahnräder A

vA = vB

B B

D

ωII

A

ωI

I

A

II

Innenverzahnung

Abb. 4-23: Planetengetriebe

Innenverzahnung

Beispiel 3 (Abb. 4-23) In dem im Schema skizzierten Umlauf-(Planeten)-Getriebe wird das Rad A angetrieben. Dieses ist im Eingriff mit dem Rad B, das mit Rad D fest verbunden ist. Rad D rollt auf der feststehenden Innenverzahnung ab und dreht dabei über den Steg die Welle II. Es ist in Abhängigkeit von den Radien rA , rB , rD das Übersetzungsverhältnis nI /nII zu berechnen. Lösung Die Umfangsgeschwindigkeit des Rades A ist vA = rA ·ωI . Das ist gleichzeitig die Geschwindigkeit der im Eingriff befindlichen Zähne des Rades B. Der Abrollpunkt des Radblockes BD ist der momentane Drehpol der Rollbewegung. Damit liegt die Geschwindigkeit vII fest (Strahlensatz) vII =

rD rD ·rA rD + rB ·vA = ·ωI =⇒ ωI = ·vII rD + rB rD + rB rA ·rD

Es gilt für den Steg von der Länge ls vII = ls ·ωII = (rA + rB )·ωII =⇒ ωII =

1 ·vII rA + rB

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

107

Aus den beiden Beziehungen erhält man nI rA + rB rD + rB ωI = = · , ωII n r r A  D  II rB nI rB 1+ = 1+ . nII rA rD Aus dem Ergebnis folgt, dass für diese Räderanordnung immer nI > nII sein muss. Die Untersetzung ist umso größer, je größer Rad B ist und je kleiner die Räder A und D sind.

4.4.3

Die Bestimmung der Beschleunigungen

Auch für die Bestimmung der Beschleunigungen wird die allgemeine Bewegung in einer Ebene wie im Abschnitt 4.4.1 in eine Schiebung und Drehung zerlegt. Die resultierende Beschleunigung setzt sich vektoriell aus folgenden Einzelbeschleunigungen zusammen: 1. Schiebung a) Tangentialbeschleunigung; b) Normalbeschleunigung. Diese ist null bei geradliniger Schiebung. 2. Drehung a) Tangentialbeschleunigung; b) Normalbeschleunigung. Über die Richtung der einzelnen Vektoren gilt das in den einschlägigen Abschnitten Ausgeführte. Es ist falsch, mit Hilfe des momentanen Drehpols die resultierende Beschleunigung zu ermitteln, weil die Normalbeschleunigung zum Pol der Drehung und nicht zum momentanen Drehpol gerichtet ist. Ausgegangen wird wieder von dem an den Enden geführten Stab nach Abb. 4-24 (vgl. Abb. 4-10). Dieser wird mit einer Beschleunigung ~aA im Punkt A gezogen. Zu bestimmen sind die Beschleunigung des Punktes B und die Winkelbeschleunigung des Stabes AB. Da sich der Punkt B geradlinig bewegt, liegt die Richtung von ~aB fest. Bei der Schiebung mit ~aA wird auch der Punkt B nach rechts mit der Beschleunigung ~aA bewegt. Er würde sich dabei von der Wand lösen. Das kann nur durch eine Drehung um den Pol A wieder rückgängig gemacht werden. Diese Drehung erfolgt

108

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

aB B

B

aA

a BA

aBAn = l·ω 2 α l· B = t

aA l·ω 2 = aBAn aB l·α = aBAt

A

aA

A

aA

Schiebung

α ω A Drehung

Abb. 4-24: Beschleunigungsvektoren bei Schiebung und Drehung eines an den Enden geführten Stabes

hier beschleunigt. Es entstehen dabei die Normalbeschleunigung aBAn = l·ω 2 und die Tangentialbeschleunigung aBAt = l·α. Die resultierende Beschleunigung ist demnach das Ergebnis der vektoriellen Addition ~aB = ~aA + ~aBAn + ~aBAt .

(4-9)

Es gilt wie bei der Geschwindigkeitsbestimmung: 1. Index Ort, 2. Index Drehpol. Das der Gl. (4-9) entsprechende Beschleunigungsviereck ist in der Abb. 4-24 gegeben. Aus der Tatsache, dass die Winkelgeschwindigkeit vom Drehpol unabhängig ist (s. Abschnitt 4.4.1), folgt unmittelbar: Die Winkelbeschleunigung eines starren Körpers ist bei allgemeiner ebener Bewegung unabhängig vom Bezugspunkt. Für die Lösung von Aufgaben ist es notwendig, folgendes zu beachten: 1. Von vier Vektoren müssen neben allen Richtungen zwei in ihrer Größe bekannt sein. Außer einem vorgegebenen Vektor (z.B. ~aA in Abb. 4-24) ist das der Vektor der Normalbeschleunigung, die aus der Winkelgeschwindigkeit berechnet wird (~aBAn ). Deshalb müssen vor der Bestimmung der Beschleunigungen die Geschwindigkeiten nach Abschnitt 4.4.1 ermittelt werden. 2. Die Schiebung muss mit der Beschleunigung erfolgen, die unmittelbar gegeben oder aus anderen Angaben berechenbar ist (z.B. aB in Abb. 4-26, Beispiel 1). 3. Die Drehung erfolgt um den Punkt, dessen Beschleunigung für die Schiebung verwendet wurde (Schiebung mit aA erfordert Drehung um A).

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

109

Die Begründungen der Punkte 2 und 3 entsprechen denen für die Geschwindigkeitsbestimmung im Abschnitt 4.4.1. Für eine verzögerte Bewegung von A nach rechts sind die in der Abb. 4-25 gezeichneten Beschleunigungsvierecke möglich. Dabei ist vorausgesetzt, dass bei aA

aA

aB

aA

aB l·α

l·ω 2

l·ω 2

l·ω 2 l·α

aB l·α

a

b

c

Abb. 4-25: Mögliche Beschleunigungsvierecke für den Stab Abb. 4-24

gleicher Geschwindigkeit von A die Verzögerung verschieden groß ist. Im Fall a) ist diese sehr groß. Der Vektor ~aB weist nach oben. Da ~aB und ~vB entgegengesetzt gerichtet sind, gleitet der Punkt B verzögert nach unten. α ~ und ~ω sind auch entgegengesetzt gerichtet. Die Drehung von AB entgegen dem Uhrzeiger erfolgt verzögert. Eine mittlere Verzögerung von A stellt das Viereck b) dar. Der Vektor ~aB hat sich umgekehrt. In diesem Fall bewegt sich B beschleunigt, obwohl A verzögert ist. Für die Drehung gilt die Aussage von Fall a). Bei einer geringen Verzögerung (Fall c) sind α ~ und ~ω gleichsinnig. Damit erfolgt die Drehung von AB beschleunigt. Die obigen Ausführungen sollen die Erkenntnis vermitteln, dass durch vorherige Überlegungen und Schlussfolgerungen nicht ermittelt werden kann, ob die Bewegung eines Punktes, bzw. die Drehung eines Bauteils bei allgemeiner Bewegung beschleunigt oder verzögert erfolgt. Eine Aussage darüber ist erst nach der Konstruktion des Beschleunigungsvierecks oder einer entsprechenden Berechnung möglich. Beispiel 1 (Abb. 4-11) Das im Abschnitt 4.4.1 begonnene Beispiel „Kurbelwelle“ wird fortgesetzt. Für die dort gegebenen Daten und die gezeichnete Position sollen die Beschleunigung des Kolbens und die Winkelbeschleunigung des Pleuels berechnet werden. Die Drehzahl der Kurbelwelle ist konstant. Lösung (Abb. 4-26) Die Lösung wird mit einer Skizze nach Abb. 4-26 vorbereitet. Das Pleuel soll dabei im Zustand der allgemeinen Bewegung, der Schiebung und der Drehung dargestellt werden. Die Vektoren werden zunächst nicht eingezeichnet. Anschlie-

110

aB

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

B ◦

45

◦

10,2 aD Allg. Bewegung

B

B

aB D

αω

D aB

Schiebung

l·α l l ·ω 2 D Drehung

aD 45◦ aDBt = l·α 10,2◦ 2500

m s2 l·ω 2 = aDBn

aB

10,2◦

Abb. 4-26: Beschleunigungsplan für den Kurbeltrieb Abb. 4-11

ßend ist zu überlegen, welche Beschleunigungen bekannt oder berechenbar sind. Im vorliegenden Fall ist es zunächst ~aB . Die Kurbel läuft mit konstanter Drehzahl. Es gilt 2 aB = aBn = lAB ·ωAB = 0,04 m·523,62 s

−2

= 1,097·104 m/s2

Da auch die Richtung von ~aB bekannt ist, muss mit dieser Größe geschoben und um B gedreht werden. Die Winkelgeschwindigkeit des Pleuels ωBD = ωDB ist bereits ermittelt. Damit ist aDBn berechenbar −2

2 aDBn = lDB ·ωDB = 0,16 m·94,052 s

= 1415 m/s2

In den Skizzen des Pleuels können folgende Vektoren eingezeichnet werden. Allgemeine Bewegung: ~aB und die horizontale Wirkungslinie von ~aD (ohne Pfeilspitze!). Schiebung: ~aB für alle Punkte des Pleuels. Drehung: ~aDBn von D ausgehend in Richtung B, senkrecht dazu Wirkungslinie von ~aDBt ohne Richtungsangabe. Das ist die Vorbereitung für die Auswertung der Gleichung (4-9), die hier die Form ~aD = ~aB + ~aDBn + ~aDBt hat. Das dazugehörige Beschleunigungsviereck wird gezeichnet. Entsprechend der Skizze wird vom Vektor ~aB ausgegangen, an den ~aDBn angesetzt wird. Anschließend wird eine dazu senkrechte Linie gezeichnet. In dieser liegt ~aDBt . Vom Ausgangspunkt zeichnet man eine Linie in Richtung ~aD . Damit ist das Viereck geschlossen. Die Richtungen der Vektoren entsprechen der oben gegebenen

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

111

Gleichung. Erst jetzt können die Pfeilspitzen in die Skizze des Pleuels eingetragen werden. Das Beschleunigungsviereck dient zur Berechnung der gesuchten Größen X

ay = 0 ;

X

ax = aD ;

−aB · sin 45◦ + aDBn · sin 10,2◦ + aDBt · cos 10,2◦ = 0 1 aDBt = (aB · sin 45◦ − aDBn · sin 10,2◦ ) cos 10,2◦ 1 aDBt = (1,097·104 · sin 45◦ − 1415· sin 10,2◦ ) m/s2 cos 10,2◦ aDBt = 7629 m/s2 aD = −aB cos 45◦ − aDBn · cos 10,2◦ + aDBt sin 10,2◦

aD = (−1,097·104 · cos 45◦ − 1415· cos 10,2◦ + 7629· sin 10,2◦ ) m/s2

aD = −7799 m/s2 (←)

7629 m/s2 aDBt −2 = = 4,768·104 s ( ) lDB 0,160 m

αDB = αDB =

Die Vektoren ~vD und ~aD sind entgegengesetzt gerichtet. Der Kolben läuft verzögert nach rechts zum Totpunkt. α und ω sind gleichgerichtet. Die Drehung des Pleuels im mathematisch positiven Sinn erfolgt beschleunigt. Beispiel 2 (Abb. 4-14) Das Beispiel „Kurbelschwinge“ des Abschnitts 4.4.1 soll weiterbearbeitet werden. Für die dort gegebenen Daten und die gezeichnete Position sind die Beschleunigungen der Punkte C; E; H und die Winkelbeschleunigung der Schwinge und der Koppel zu berechnen. Die Drehzahl der Kurbel ist konstant. Lösung (Abb. 4-27/4-28) Den Einstieg in die Lösung liefert auch hier die berechenbare Beschleunigung des Kurbelendes B. Dieses könnte auch einer Tangentialbeschleunigung unterliegen, die vektoriell zur Normalbeschleunigung addiert würde. Der resultierende Vektor wäre die Ausgangsgröße für die Schiebung. Hier gilt jedoch −2

2 aB = aBn = lAB ·ωAB = 0,040 m·31,422 s

= 39,48 m/s2

(

45◦ )

Im Unterschied zum vorigen Beispiel ist weder Richtung noch Größe einer anderen Beschleunigung bekannt. Der Punkt C gehört zur Koppel BCE, die eine

112

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

allgemeine Bewegung beschreibt. Der Punkt C ist aber auch Teil der Schwinge CD und bewegt sich dabei auf einer Kreisbahn mit dem Radius lCD . Die Normalbeschleunigungen der beiden Drehungen können aus den bereits bekannten Winkelgeschwindigkeiten berechnet werden −2

= 4,94 m/s2

(←)

2 −2

= 2,63 m/s2

(↓)

2 aCBn = lBC ·ωBC = 0,16 m·5,5542 s

2 aCDn = lCD ·ωDC = 0,30 m·2,963 s

Wie in der Abb. 4-27 dargestellt, ergibt sich der Vektor ~aC einmal als Überlagerung von Schiebung und Drehung an der Koppel (Gl. (4-9)) ~aC = ~aB + ~aCBn + ~aCBt und zum anderen als Summe von Normal- und Tangentialbeschleunigung an der Schwinge CD ~aC = ~aCDn + ~aCDt Alle Richtungen sind bekannt. Die Konstruktion des Beschleunigungspolygons erfolgt folgendermaßen. Ausgegangen wird vom Vektor ~aB (linkes Vieleck), an den wird ~aCBn angesetzt, anschließend wird dazu senkrecht die Wirkungslinie von ~aCBt gezeichnet. Vom Ausgangspunkt wird ~aCDn eingetragen und senkrecht dazu die Wirkungslinie von ~aCDt . Der Schnittpunkt der Wirkungslinien beider Tangentialbeschleunigungen legt den Endpunkt von ~aC fest. Man erkennt, dass Allgemeine Bewegung B C E aC aB

aE

B

aB

Schiebung C

E

B

Drehung C aCBn

45◦ aB

aB

ωCB αCB

10 m/s2 C

aCDt aCDn

aCDn

aEBt 45◦

aB

D

αCBt aEBn

aC aCDt aCBt

αCD

aEBn

aE H

aCBn

aB

Abb. 4-27: Beschleunigungsplan für die Kurbelschwinge Abb. 4-14

E

aEBt

4.4 Der allgemeine Bewegungszustand

113

die beiden Gleichungen oben erfüllt sind. Nach diesen werden die Pfeilspitzen von ~at gezeichnet. Die einzelnen Größen können berechnet werden. aCx = aB · sin 45◦ − aCBn = (39,48· sin 45◦ − 4,94) m/s2 = 22,98 m/s2

aCy = −aCDn = −2,63 m/s2

aC = 23,13 m/s2

(

6,53◦ )



aCDt = aCx = aC · cos 6,53◦ = 22,98 m/s2 aCDt 22,98 m/s2 αCD = αDC = = = 76,6 s−2 ( ) lCD 0,30 m −aB · cos 45◦ + aCBt = −aCDn

aCBt = aB · cos 45◦ − aCDn = (39,48· cos 45◦ − 2,63) m/s2

aCBt = 25,29 m/s2 25,29 m/s2 aCBt = = 158,0 s−2 ( ) αBC = αCB = lBC 0,16 m

Die Deutung der Richtungen führt auf folgende Aussagen: Punkt C vC (→)

; aCx (→)



Koppel BCE ωBC ( ); αBC ( )





Schwinge CD ωCD ( ); αCD ( )

⇒ beschleunigte Bewegung von C nach rechts ⇒ verzögerte Drehung der Koppel im Uhrzeigersinn ⇒ beschleunigte Drehung der Schwinge im Uhrzeigersinn

Nachdem die Daten für die Koppel bekannt sind, kann die Beschleunigung des Punktes E ermittelt werden. aEBt = lBE ·αBC = 0,28 m·158,0 s−2 = 44,25 m/s2 2 aEBn = lBE ·ωBC = 0,28 m·5,5542 s

−2

= 8,64 m/s2

Das Beschleunigungsviereck Abb. 4-27 ist die geometrische Umsetzung der Gleichung (4-9) (rechtes Vieleck) ~aE = ~aB + ~aEBt + ~aEBn aEx = aB · cos 45◦ − aEBn = (39,48· cos 45◦ − 8,64) m/s2 = 19,28 m/s2

aEy = −aB · sin 45◦ + aEBt = (−39,48· sin 45◦ + 44,25) m/s2 = 16,33 m/s2 aE = 25,27 m/s2

(

40,27◦ )

114

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Die für die Schwinge ermittelten Daten ermöglichen die Berechnung der Beschleunigung des Punktes H nach Abb. 4-28. Die Geometrie liefert δ = 26,6◦ .

lDH = 0,268 m; Damit sind

aHDt = lHD ·αDC = 0,268 m·76,6 s−2 = 20,53 m/s2 2 aHDn = lHD ·ωDC = 0,268 m·2,9632 s

aH = 20,66 m/s2 C

(

−2

= 2,35 m/s2

33,1◦ )

C H

H

δ

H 26,6◦

aHDt

aHDn

33,1◦

aHDn

D

aCD ωCD

4.5

δ

aHDt 6,5◦ aH

lHD

D

Abb. 4-28: Beschleunigungsvektoren an der Schwinge Abb. 4-14

Die Relativbewegung

In diesem Abschnitt soll von einem einfachen Versuch ausgegangen werden. Ein Wagen nach Abb. 4-29 bewegt sich mit der Geschwindigkeit vf nach rechts. Vom Wagen aus wird dabei ein Ball mit der Geschwindigkeit vrel nach oben geschossen. Für den mitfahrenden Beobachter scheint der Ball eine geradlinige, senkrechte Bahn zu durchlaufen (senkrechter Wurf nach oben). Der ruhende Beobachter sieht den Ball eine Wurfparabel von links nach rechts beschreiben. vrel vf

Relativbahn Bahn für mitfahrenden Beobachter

Absolutbahn Bahn für ruhenden Beobachter

Abb. 4-29: Addition von Relativund Führungsgeschwindigkeit

4.5 Die Relativbewegung

115

Die Geschwindigkeit des Wagens nennt man Führungsgeschwindigkeit vf , die des Balls relativ zum Wagen Relativgeschwindigkeit vrel . Diese beiden Geschwindigkeiten addieren sich vektoriell zur Absolutgeschwindigkeit v, die der ruhende Betrachter beobachtet. (4-10)

~v = ~vrel + ~vf .

Erfolgen Relativ- und Führungsbewegung geradlinig, dann gilt auch eine analoge Beziehung für die Beschleunigungen. Ist die Führungsbewegung eine Drehung, dann kommt noch ein Beschleunigungsglied hinzu. Für diesen Fall ist die Verwendung von Polarkoordinaten besonders vorteilhaft. Die entsprechenden Beziehungen wurden im Abschnitt 3.3 abgeleitet (Gleichung (3-5)/(3-6)). Beschleunigung in radiale Richtung ar = r¨ − r·ω 2 , Beschleunigung in Umfangsrichtung aϕ = 2vr ·ω + r·α . Der Vektor der Gesamtbeschleunigung ist die geometrische Summe dieser beiden Beschleunigungen ~a = ~ares = (¨ r − r·ω 2 )·~er + (2vr ·ω + r·α)·~eϕ Genau wie bei der Wurfparabel die Bewegung als Überlagerung von senkrechtem Wurf und Horizontalbewegung aufgefasst werden kann, ist es möglich, diese Gleichungen als Darstellung einer Überlagerung von Drehung (Richtung ϕ) und einer auf dem gedrehten System ausgeführten Relativbewegung zu deuten. Dabei haben die einzelnen Summanden der Gleichung folgende Bedeutung: Durch die Drehung sind die vom Abschnitt 3.4 bekannten Anteile Normalbeschleunigung und Tangentialbeschleunigung verursacht. Da das rotierende System als Führungssystem (Index f) betrachtet wird, gilt afn = r·ω 2

aft = r·α

Diese werden vektoriell addiert ~af = ~aft + ~afn Die beiden Ausgangsgleichungen für ar und aϕ (Gl. (3-5)/(3-6)) wurden durch eine Zerlegung in Umfangsrichtung und radiale Richtung gewonnen. Man kann

116

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

deshalb den Anteil r¨ als radiale Beschleunigung relativ zum gedrehten System ansehen und sie deshalb arel nennen. Es verbleibt noch der in Umfangsrichtung wirkende Anteil 2vr ·ω, auf den bereits in Abschnitt 3.3 hingewiesen wurde. Er wird nach dem französischen Physiker Coriolis-Beschleunigung genannt. Dabei ist vr eine Relativgeschwindigkeit auf der rotierenden Scheibe, wobei zunächst die Richtung der Geschwindigkeit radial liegen soll. acor = 2r·ω ˙ = 2vr ·ω Der resultierende Vektor kann nach dieser Umordnung aus Führungs-, Relativund Coriolis-Beschleunigung zusammengesetzt werden (4-11)

~a = ~af + ~arel + ~acor

Nur für den Fall ω = 0 (keine Drehung) setzt sich die resultierende Beschleunigung aus Führungs- und Relativbeschleunigung zusammen. Das Vorhandensein der Coriolis-Beschleunigung soll mit Hilfe eines einfachen Versuchs erläutert werden. Auf eine rotierende Scheibe nach Abb. 4-30 wird eine Relativbahn auf umlaufender Platte

ω

vrel

aCor vrel Rinne

Abb. 4-30: Radiale Bewegung auf einer rotierenden Scheibe

Kugel innen mit der nach außen gerichteten Geschwindigkeit vrel mit einer Feder abgeschossen. Sie beschreibt auf der Scheibe eine gekrümmte Bahn, da sie im Abschusspunkt eine kleine Umfangsgeschwindigkeit hatte, diese bei der weiteren Bewegung beibehält und demzufolge die Scheibe sich unter der Kugel wegen der nach außen zunehmenden Umfangsgeschwindigkeit wegbewegt. Der Versuch wird wiederholt, wobei die Kugel aber jetzt in eine radiale Rinne geschossen wird. Die Rinne erzwingt jetzt eine radiale Bahn. Da die Umfangsgeschwindigkeit nach außen zunimmt, legt sich die Kugel im skizzierten Fall an den rechten

4.5 Die Relativbewegung

117

Rand der Rinne. Die radiale Bahn kann nur durch eine senkrecht zu vrel stehende Kraft und damit Beschleunigung in gleicher Richtung erzwungen werden. 90◦

aCor

vrel vrel

aCor

vrel aCor 90◦

90◦

90◦

vrel

aCor

ω

ω

ω

ω

Abb. 4-31: Richtung der Coriolis-Beschleunigung für verschiedene Fälle der Bewegung auf einer rotierenden Scheibe

Aus diesem Modellversuch folgt, dass der Vektor ~acor gegenüber dem Vektor ~vrel im Drehsinn von ω um 90◦ gedreht ist. Die verschiedenen Varianten sind in der Abb. 4-31 dargestellt. Diese Zuordnung von ~vrel und ~acor folgt auch aus der Deutung der Coriolis-Beschleunigung als vektorielles Produkt ~acor = 2~ω × ~vrel nach Abb. 4-32 (Rechte-Hand-Regel) ~aCor

90◦ ω

~aCor

~vrel ~vrel

2~ ω × ~vrel

2~ ω 2~ ω

Abb. 4-32: Rechte-Hand-Regel für die Richtung der Coriolis-Beschleunigung

Die obigen Betrachtungen sind zunächst nur für eine radiale Bewegung auf einem mit ω rotierenden Führungssystem angestellt worden. Wie im vorigen Abschnitt gezeigt wurde, ist die Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers unabhängig vom Bezugspunkt, d.h. der Vektor ~ ω ist parallel verschieblich. Aus diesem Grunde ist die Beziehung für ~acor für eine beliebige Relativbahn gültig, die sich mit ω dreht. Es gilt unverändert, dass ~acor im Drehsinn von ω um 90◦ gegenüber einer beliebig auf das Führungssystem bezogenen Relativgeschwindigkeit ~vrel gedreht ist. Es gilt deshalb allgemein acor = 2ω·vrel

(4-12)

118

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Weiterhin ist zu beachten, dass bei gekrümmter Relativbahn der Vektor ~arel sich aus Normal- und Tangentialbeschleunigung zusammensetzt (s. Beispiel 3). Beispiel 1 (Abb. 4-33) Die Abbildung zeigt einen Schubkurventrieb. Der senkrechte Stößel soll durch die mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Schubkurve möglichst „weich“ auf die Geschwindigkeit v1 gebracht werden. Ein solches Anfahren erreicht man, wenn die Beschleunigung von null ausgehend stetig ansteigt und nach einem Maximum wieder auf null fällt. Den beschriebenen Verlauf erfüllt z.B. eine sinKurve im Bereich 0 bis π. Nach dieser Gesetzmäßigkeit soll deshalb der Stößel beschleunigt werden. Zu bestimmen ist in allgemeiner Form die Gleichung der Schubkurve. Diese ist für folgende Daten auszuwerten: Endgeschwindigkeit des Stößels v1 = 0,20 m/s Breite der Schubkurve im Beschleunigungsteil b = 400 mm, Beschleunigungszeit tb = 0,80 s.

Abb. 4-33: Schubkurventrieb

Lösung Zunächst ist es notwendig, den Zusammenhang zwischen Stößel- und Schubkurvengeschwindigkeit herzustellen. Die Schubkurve soll das geführte System darstellen. Der Stößelfuss gleitet auf der Schubkurve relativ zu dieser mit ~vrel , der ruhende Beobachter sieht den Stößel mit ~v nach oben bewegt (Absolutgeschwindigkeit). Die vektorielle Addition zeigt die Abb. 4-34. Diese liefert die Beziehung (~vf hat negative Richtung) tan β =

v dy = . −vf dx

(1)

4.5 Die Relativbewegung v

y

119

vrel β

−vf Abb. 4-34: Geschwindigkeiten an der Schubkurve

x

Nach Aufgabenstellung ist a = amax · sin(kx).

(2)

Aus der vorgegebenen Endgeschwindigkeit und der Breite der Kurvenscheibe müssen die Konstante k und die maximale Beschleunigung bestimmt werden. Die Geschwindigkeit ist v=

Z

a·dt.

Da hier eine Abhängigkeit von der Lage x und nicht von der Zeit t vorgegeben ist, wird x durch Erweiterung eingebracht v=

Dabei ist

Z

dx a· ·dt = dx

Z

a·

1 ·dx. dx dt

dx = −vf = konst. und damit dt Z

Z

amax 1 a·dx = − sin(kx)·dx vf vf amax 1 v=+ · · cos(kx) + C1 . vf k

v=−

Die Integrationskonstante C1 erhält man aus der Randbedingung v = 0 für x = 0 amax amax 1 · + C1 =⇒ C1 = − . 0=+ vf k k·vf Damit ist v=

amax [cos(kx) − 1]. k·vf

(3)

120

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Das Ende des Beschleunigungsvorgangs ist gekennzeichnet durch x = b für a = 0 und v = v1 . Das Einsetzen in (2) und (3) führt zu π b

0 = amax · sin(kb) =⇒ kb = π ⇒ k = 







π amax ·b − 1 . v1 = π cos b ·vf b Mit cos π = −1 ist π·v1 ·vf amax = − . 2b Die Terme amax und k werden in (2) und (3) eingesetzt. Nach teilweisem Kürzen und Umrechnen auf Gradmaß (π = b 180◦ ) ist 

π·v1 ·vf x a=− sin ·180◦ 2b b 





(4)





x π·v1 ·vf ·b cos ·180◦ − 1 v=− 2b·π·vf b 



x v1 v= 1 − cos 180◦ 2 b



(5)

.

Es gilt, den Zusammenhang zwischen der Lage des Stößels y und der Schubkurve x zu finden. Die Gleichung (1) liefert 1 v dy = − ·dx ⇒ y = − vf vf

Z

v·dx.

Diese Beziehung erhält man auch aus der Integration der Gleichung (5) y= y=

Z

Z

vy ·dt

mit v = vy

1 v ·dx = − dx/dt vf

Z

dx = −vf dt

und v·dx.

Mit Gleichung (5) ist Z 



x ·180◦ b



y=−

v1 2vf

y=−

x v1 b ·180◦ x − · sin 2vf π b



1 − cos



dx



.

(6)

4.5 Die Relativbewegung

121

Die Bedingung y = 0 für x = 0 ist erfüllt, d.h. die Integrationskonstante ist gleich Null. Somit stellt die Gleichung (6) die gesuchte Schubkurve dar. Die Gleichungen (4), (5) und (6) lauten für den vorgegebenen Fall mit vf = −

0,40 m b =− = −0,50 m/s ∆t 0,80 s 



400 mm x y = 0,200 x − · sin ·180◦ π 400 mm 

v = 0,10 m/s· 1 − cos a = 0,393 m/s2 · sin





x ·180◦ 400 mm 





x ·180◦ . 400 mm

Die Schubkurve ist nach dem Beschleunigungsteil linear mit der Steigung 2/5 = v1 /vf auszuführen. Die Form der Schubkurve und das v-x- und a-x-Diagramm zeigt die Abb. 4-35. y mm

Geradlinig, Steigung

100

2 5

50 0 v m/s 0,20 0,10 0

a 2 m/s 0,40 0,20 0

0

50

100

150

200

250

300

350

400 x mm

Abb. 4-35: Geometrie der Schubkurve und v(x)-; a(x)-Diagramme für den Stößel

122

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Beispiel 2 Die Kurbelschleife nach Abb. 4-7 soll hier weiter kinematisch untersucht werden. Für die dort gegebenen Daten sind zu bestimmen a) die Coriolis-Beschleunigung des Bolzens B b) die Beschleunigung mit der der Bolzen B im Schlitz gleitet, c) die Winkelbeschleunigung der Schleife AB. Lösung Die Gleichung (4-11) muss für das vorliegende System ausgewertet werden. Das Führungssystem f ist die um A oszillierende Schleife AB. Die Führungsbeschleunigung kann man sich folgendermaßen anschaulich machen. Wie in der Abb. 4-36 gezeigt, denkt man sich neben dem Punkt, für den die Beschleunigungen zu beA

B f

Abb. 4-36: Detail der Kurbelschleife Abb. 4-7

stimmen sind (hier Bolzen B), auf dem Führungssystem (hier Schleife AB) einen Punkt f markiert. Dieser unterliegt der Führungsbeschleunigung ~af . Im vorliegenden Fall beschreibt der Punkt f eine Kreisbahn mit dem Radius lAB . Er ist mit ~afn (Richtung zum Pol A) und ~aft (senkrecht zum Radius) beschleunigt. Mit Hilfe der Ergebnisse von Beispiel 3; Abschnitt 4.2 kann man afn berechnen 2 afn = lAB ·ωAB = 0,509 m·3,222 s

−2

= 5,28 m/s2

(

6,32◦ )

Die Coriolis-Beschleunigung für B (Gl. (4-12)) aCor B = 2vB rel ·ωAB kann auch aus den bereits ermittelten Ergebnissen berechnet werden aCor B = 2·1,31 m/s·3,22 s−1 = 8,44 m/s2

(

6,32◦ )

Der Vektor ~aCor ist um 90◦ im Drehsinn von ω gegenüber ~vrel gedreht (Abb. 4-31/4-32). Die Festlegung der Richtung zeigt die Abb. 4-37. Von den Größen der Gleichung (4-11) ist außerdem die resultierende Beschleunigung des Punktes B bekannt. Da die Drehzahl der Kurbel konstant ist, gilt 2 aB res = aBn = lCB ·ωCB = 0,15 m·14,02 s

−2

= 29,4 m/s2 (

45◦ )

4.5 Die Relativbewegung

123

aCor β ωAB

β = 6,32◦

Abb. 4-37: Richtung der Coriolis-Beschleunigung für den Punkt B der Kurbelschleife

vrel

Der Vektor ~aB res ist zum Pol C gerichtet. Bei einer ungleichförmigen Drehung müsste die Tangentialbeschleunigung geometrisch überlagert werden. arel

aft ares B afn 4,0 m/s2

45◦

aCor 6,32◦ 51,32◦

Abb. 4-38: Beschleunigungsplan für die Kurbelschleife

Die Gleichung (4-11) wird in ein Polygon umgesetzt. Die Konstruktion (Abb. 4-38) erfolgt folgendermaßen. Vom Ausgangspunkt werden der Vektor ~aB res und einer der bekannten Vektoren gezeichnet. Hier wurde ~aCor gewählt, an den ~afn angetragen wird. Es folgt die Wirkungslinie von ~aft . Die vom Endpunkt des Vektors ~aB res gezeichnete Wirkungslinie von ~arel (Schlitz) schließt das Polygon. Die vektorielle Addition nach Gleichung (4-11) ~ares = ~aCor + ~afn + ~aft + ~arel liefert den Richtungssinn der Vektoren ~aft und ~afn . Aus der Geometrie erhält man die Berechnungsgleichungen aft = aB res · cos 51,3◦ − aCor = (29,4· cos 51,3◦ − 8,44) m/s2 = 9,94 m/s2

arel = aB res sin 51,3◦ − afn = (29,4· sin 51,3◦ − 5,28) m/s2 = 17,67 m/s2 Die Schleife dreht mit einer Winkelbeschleunigung von aft 9,94 m/s2 = = 19,53 s−2 ( ) lAB 0,509 m

αAB =

Die Deutung der Richtungen führt auf folgende Aussagen:

124

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Punkt B vrel (→);

arel (←) =⇒ der Bolzen gleitet in der Schleife verzögert nach rechts.

Schleife AB ωAB ( ) ;





αAB ( )

=⇒ die Schleife dreht beschleunigt entgegengesetzt Uhrzeigersinn.

Beispiel 3 Die Abb. 4-39 zeigt vereinfacht einen Roboterarm, der gleichzeitig um die Gelenke A und B schwenkt. Für die nachstehend gegebenen Daten sind die Bewegungszustände der Punkte B; C; D; E zu bestimmen. lBC = 1,20 m

lAE = 0,75 m

lBD = 0,60 m

ωAB = 5,0 s−1 ( )

ωBC = 4,0 s−1 ( )

verzögert mit

beschleunigt mit

αAB = 40,0 s−2

αBC = 30,0 s−2 .





lAB = 1,50 m

Die durch diese Bewegung verursachten Kräfte in den Gelenken werden im Beispiel 2 des Abschnitts 7.3.4 berechnet.

B

45◦ ◦

30

D

E C

A Abb. 4-39: Modell für einen Roboterarm mit Antrieb in beiden Gelenken

4.5 Die Relativbewegung

125

Lösung Grundsätzlich ist diese Aufgabe auch nach dem Verfahren des Abschnittes 4.4 zu lösen. Dabei ist jedoch folgendes zu beachten. Die Schiebung von BC erfolgt mit der Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung des Punktes B, die überlagerte Drehung von BC um B jedoch mit der resultierenden Winkelgeschwindigkeit ωAB + ωBC = −5,0 s−1 + 4,0 s−1 = −1,0 s−1 und der resultierenden Winkelbeschleunigung αAB + αBC = +40,0 s−2 + 30,0 s−2 = +70,0 s−2 . Dem Leser sei dieser Lösungsweg als Übungsaufgabe empfohlen. Hier soll dieses Beispiel als Überlagerung von Relativ- und Führungsbewegung gelöst werden. Die Führungsbewegung ist die Drehung um A. Man kann sich die Bewegung von C nach Abb. 4-40 auf einer um A rotierenden Scheibe vorstellen, wobei C sich relativ zur Scheibe auf einer kreisförmigen Schiene bewegt. Der Punkt f, auf den sich die Führungsbeschleunigungen beziehen, liegt auf der Scheibe neben C. B

B

C A

f

◦ 30◦ 45 ◦ δ 15

C A Abb. 4-40: Führungssystem für die Bewegung des Roboterarms

ǫ

Abb. 4-41: Geometrie des Roboterarms

Geometrie (Abb. 4-41) lAC = 1,070 m;

ε = 7,52◦ ;

δ = 52,48◦ ;

Geschwindigkeit des Punktes C ~vC = ~vf + ~vrel ~vf = lAC ·ωAB = 1,070 m·5,0 s−1 = 5,35 m/s ~vrel = lBC ·ωBC = 1,20 m·4,0 s−1 = 4,80 m/s

( (

7,52◦ ) 15◦ ) .

126

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Nach Abb. 4-42 erhält man vC = 6,707 m/s

(

37,27◦ ) .

Beschleunigung des Punktes C Führungsbeschleunigungen aft = lAC ·αAB = 1,070 m·40,0 s−2 = 42,80 m/s2

(

7,52◦ )

2 afn = lAC ·ωAB = 1,070 m·5,02 s−2 = 26,75 m/s2

(

7,52◦ )

(

15◦ )

Relativbeschleunigungen arel t = lBC ·αBC = 1,20 m·30,0 s−2 = 36,0 m/s2 −2

2 = 1,20 m·4,02 s arel n = lBC ·ωBC

= 19,2 m/s2 (

15◦ )

Coriolis-Beschleunigung aCor = 2·ωAB ·vrel C vrel C = lBC ·ωBC = 1,20 m·4,0 m/s = 4,80 m/s aCor = 2·5,0 s−1 ·4,80 m/s = 48 m/s2 . Die Richtungsermittlung zeigt Abb. 4-43. Die Addition der Vektoren erfolgt

2,0 m/s

37,27◦

ωAB vC

7,52◦ vf

vrel 15◦

15◦

15◦

aCor

vrel

Abb. 4-42: Geschwindigkeitsdreieck für den Punkt C des Roboterarms

Abb. 4-43: Richtungsbestimmung für die Coriolis-Beschleunigung

nach Abb. 4-44 (Gl. (4-11)). Die Berechnung liefert aCx = − aft · sin 7,52◦ − afn · cos 7,52◦ + arel t · cos 15◦ − arel n · sin 15◦ + aCor · sin 15◦

aCx = 10,11 m/s2 (→) .

aCy = aft · cos 7,52◦ − afn · sin 7,52◦ + arel t · sin 15◦ + arel n · cos 15◦ − aCor · cos 15◦

4.5 Die Relativbewegung

127

aCy = 20,42 m/s2 (↑) aC = 22,79 m/s2

63,66◦ ) .

(

arel t

arel n 15◦ afn B

aCor

aft

45◦

7,52◦

aC

10 m/s

D

30◦

2

δ

63,66◦

ǫ A

Abb. 4-44: Beschleunigungspolygon für den Punkt C des Roboterarms

Abb. 4-45: Geometrie des Roboterarms

Beschleunigung des Punktes D Geometrie (Abb. 4-45) lAD = 1,156 m;

δ = 21,52◦ ;

ε = 38,48◦ .

Führungsbeschleunigungen aft = lAD ·αAB = 46,24 m/s2

(

38,48◦ )

2 afn = lAD ·ωAB = 28,90 m/s2

(

38,48◦ )

(

15◦ )

Relativbeschleunigung arel t = lBD ·αBC = 18,0 m/s2 2 arel n = lBD ·ωBC = 9,6 m/s2

(

15◦ )

Coriolis-Beschleunigungen aCor = 2·ωAB ·vrel aCor = 24 m/s

2

vrel = lBD ·ωBC = 2,40 m/s (

15◦ )

Das Beschleunigungsvieleck zeigt die Abb. 4-46. Man erhält aDx = −30,28 m/s2 (←)

aDy = +8,96 m/s2 (↑) .

128

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

15◦ arel t

arel n

aft

afn

38,4◦ aCor

10 m/s2

aD Abb. 4-46: Beschleunigungspolygon für den Punkt D des Roboterarms

16,49◦

Beschleunigung der Punkte B und E Der Punkt B beschreibt eine Kreisbahn um A aBt = lAB ·αAB = 60 m/s2 2 aBn = lAB ·ωAB = 37,5 m/s2

30◦ )

( (

30◦ ) .

Das ergibt eine resultierende Beschleunigung von aB = 70,76 m/s2 , die man zerlegen kann in aBx = −70,71 m/s2 (←) aBy = −2,48 m/s2 (↓) . Auf gleichem Weg erhält man aEx = −35,36 m/s2 (←) aEy = −1,24 m/s2 (↓) .

4.6 Zusammenfassung

4.6

129

Zusammenfassung

Für die Schiebung eines starren Körpers in der Ebene gelten die in den Kapiteln 2 und 3 abgeleiteten Beziehungen. Für die Drehung werden analog zur Schiebung folgende Größen definiert: Winkel (Ortskoordinate)

ϕ ~,

Winkelgeschwindigkeit

d~ ϕ ω ~ =ϕ ~˙ = , dt

Winkelbeschleunigung

¨~ = α ~ = ~ω˙ = ϕ

(4-1) d~ω . dt

(4-2)

Für eine Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ist (4-3)

ϕ = ω·t + ϕ0 mit konstanter Winkelbeschleunigung

(4-4)

ω = α·t + ω0 , α ϕ = ·t2 + ω0 ·t + ϕ0 . 2

(4-5)

Alles, was zur geradlinigen Bewegung ausgeführt wurde, gilt sinngemäß für die Drehung. Es gilt folgende Analogie zwischen Schiebung und Drehung. Schiebung

Drehung

Ortskoordinate

s

Winkel

ϕ

Geschwindigkeit

v

Winkelgeschwindigkeit

ω

Beschleunigung

a

Winkelbeschleunigung

α

Auf einem starren Körper, der sich im allgemeinen Bewegungszustand befindet, seien zwei Punkte A und B markiert. Bei Drehung um den Pol A ist der Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten von A und B ~vB = ~vA + ~vBA .

(4-8)

Dabei ist ~vBA die Umfangsgeschwindigkeit des Punktes B bei Drehung um den Pol A. Für die Lösung von Aufgaben ist zu beachten, dass die Schiebung mit ~vA eine Drehung um Pol A erfordert.

130

4 Die Bewegung des starren Körpers in der Ebene

Die Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers bei allgemeiner ebener Bewegung ist unabhängig vom Pol. Der Vektor ~ω darf parallel verschoben werden (freier Vektor). Die ebene Bewegung eines starren Körpers kann für jeden Zeitpunkt als Drehung um einen bestimmten Pol aufgefasst werden (momentaner Drehpol). Dieser Pol, dessen Konstruktion in Abb. 4-18 gezeigt ist, wandert mit der Bewegung. Für den betrachteten Zeitpunkt können alle Geschwindigkeiten aus den einfachen Gesetzen der Drehung um diesen Pol bestimmt werden. Das gilt jedoch nicht für die Beschleunigungen. Die Ermittlung der Beschleunigungen erfolgt auch über eine vektorielle Zusammensetzung aus Schiebung und Drehung ~aB = ~aA + ~aBAn + ~aBAt .

(4-9)

Die Drehung um den Pol ergibt sowohl eine Normalbeschleunigung ~aBAn als auch eine Tangentialbeschleunigung ~aBAt des Punktes B. Ist die Schiebung selbst krummlinig, dann muss der Vektor ~aA aus Normal- und Tangentialkomponente zusammengesetzt werden. Schiebung mit ~aA erfordert Drehung um Pol A. Die Winkelbeschleunigung eines starren Körpers ist vom Pol unabhängig. Der Vektor α ~ ist parallel verschiebbar (freier Vektor). Werden zwei Bewegungen, eine Führungsbewegung (Index f) und eine zu dieser relative Bewegung (Index rel) überlagert, ergeben sich folgende Beziehungen für die resultierende Geschwindigkeit ~v = ~vrel + ~vf

(4-10)

Beschleunigung ~a = ~arel + ~af + ~acor

(4-11)

Die Coriolis-Beschleunigung ist acor = 2ω·vrel . Die Richtung von acor ist aus Abb. 4-31/4-32 ersichtlich.

(4-12)

Teil B: Kinetik

5

Das Dynamische Grundgesetz

5.1

Die Newtonschen Gesetze

Newton1 hat als erster versucht, die Physik systematisch aufzubauen. An den Anfang seines 1686 veröffentlichten Hauptwerkes „Philosophiae naturalis principia mathematica“ stellt er vier Definitionen: Definition 1 Die „Menge der Materie“ (Masse) ist die (multiplikative) Vereinigung von Dichte und Volumen. Das entspricht der Gleichung m = ̺·V (Masse = Dichte · Volumen). Definition 2 Die Bewegungsgröße ist die (multiplikative) Vereinigung von Masse und Geschwindigkeit (m·v). Definition 3 Die der Masse innewohnende Kraft ist ihr Widerstandsvermögen (Trägheit). Durch dieses verharrt ein Körper von sich aus entweder im Zustande der Ruhe oder der geradlinigen gleichförmigen Bewegung. Definition 4 Eine wirkende Kraft ist das gegen einen Körper ausgeübte Bestreben, seinen Bewegungszustand zu ändern, entweder den der Ruhe oder den der gleichförmigen geradlinigen Bewegung. Nachdem die Begriffe Masse, Bewegungsgröße, Trägheit, Kraft so definiert sind, formuliert Newton drei Gesetze.

1

Newton, Isaac (1642–1727), englischer Gelehrter.

134

5 Das Dynamische Grundgesetz

1. Gesetz Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern. 2. Gesetz Die Änderung der Bewegungsgröße ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional. Die Änderung erfolgt in der Richtung, in der die Kraft aufgebracht wird. 3. Gesetz Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, die Wirkung zweier Körper aufeinander ist stets gleich und von entgegengesetzter Richtung. Das erste Gesetz war die Basis für den in der Statik eingeführten GleichgewichtsP P begriff ( F = 0; M = 0), das dritte Gesetz gehört zu den fünf Lehrsätzen der Statik, die in Band 1 behandelt wurden. Für die Dynamik ist das 2. Gesetz von besonderer Wichtigkeit. Es wird deshalb Dynamisches Grundgesetz genannt. Seine Aussage muss mathematisch formuliert werden. Dabei ist zu beachten, dass die Formulierung „Einwirkung der Kraft“ auch den Zeitbegriff enthält. Das resultiert aus folgender Überlegung: ~ in Bewegung gesetzt wird, dann nimmt Wenn eine Masse m von einer Kraft F die Geschwindigkeit proportional mit der Einwirkungszeit der Kraft zu. In der Newtonschen Formulierung ist auch die Vektoreigenschaft der Größen enthalten. Das führt zu ~ ·∆t ∼ ∆(m·~v ). F Da die Masse bereits definiert ist (Definition 1), kann die Gleichung zur Definition der Kraft benutzt werden. Über die Proportionalitätskonstante kann frei verfügt werden. Sie wird gleich 1 gesetzt, so ergibt sich aus der Proportion eine Gleichung ~ ·∆t = ∆(m·~v ). F

(1)

Für den starren Körper ist die Masse konstant, ~ ·∆t = m·∆~v ; F

∆~v F~ = m· . ∆t

5.1 Die Newtonschen Gesetze Für den Grenzübergang lim

∆t→0

135

∆~v = ~a ist ∆t

~ = m·~a. F

(5-1)

Das ist die Definitionsgleichung für die Kraft 1 N = 1 kg·1

m s2

In der Gleichung (5-1) ist F~ die auf eine Masse m von außen wirkende, resultierende Kraft, die die Beschleunigung ~a verursacht. Wenn sich alle aufgeprägten Kräfte gegenseitig aufheben, gilt ~ = 0 =⇒ F

X

Fx = 0;

X

Fy = 0

Das sind die Gleichgewichtsbedingungen der Statik. Aus der Newtonschen Gleichung folgt für diese Bedingung ~a = 0 =

d~v =⇒ ~v = konst. dt

Damit ist bestätigt, dass alle Gleichungen der Statik für geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit gelten. Ruhe ist der Sonderfall v = 0. Darauf wurde im Band 1 besonders hingewiesen. Aus der Gleichung (5-1) folgt m=

F = konst. a

Danach ist die Masse das Verhältnis der Kraft zu der Beschleunigung, die diese Kraft verursacht. Für einen bestimmten Körper ist dieses Verhältnis und damit die Masse unabhängig von der Lage, der Geschwindigkeit und der Zeit2 . Je größer die Masse ist, um so größer muss auch die Kraft sein, um eine bestimmte Beschleunigung zu erreichen. Ihrem Wesen nach ist „Masse“ ein Widerstand gegen Geschwindigkeitsänderung. In dieser Definition ist auch der Widerstand gegen eine Richtungsänderung der Bewegung enthalten, da die Geschwindigkeit Vektoreigenschaft hat. Für den freien Fall mit F = FG und a = g erhält man für die Gewichtskraft ~G = m·~g . F 2 Das gilt nicht mehr für Massen, die sich mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegen (Relativitätstheorie – Einstein 1879–1955).

136

5 Das Dynamische Grundgesetz

Die Masse ist im Gegensatz zur Gewichtskraft konstant. Deshalb ist sie eine Basiseinheit des SI-Systems (s. Band 1). Nach der Definition der Kraft kann die Gleichung (1) weiter entwickelt werden. Für den Grenzübergang erhält man ~ = lim ∆(m·~v ) , F ∆t→0 ∆t d ~ = (m·~v ). F dt

(5-2)

Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße m·~v ist gleich der äußeren Kraft, die diese Änderung verursacht. Das ist die Aussage des Dynamischen Grundgesetzes. Die Differentiation wird nach der Produktregel durchgeführt, ~ = m· d~v + ~v · dm . F dt dt Für den starren Körper ist m = konst., die Gleichung (5-1).

dm ~ = m·~a. Das ist = 0 und damit F dt

Für den kontinuierlichen Massenstrom, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (z.B. Wasserstrahl), gilt 



dm Masse , = konst. = m ˙ = Massenstrom dt Zeiteinheit d~v ~v = konst., = 0. dt Man erhält ~ = m·~ F ˙ v.

(5-3)

Nach dieser Gleichung berechnet man z.B. die Antriebskraft einer Rakete, die durch den Ausstoß eines Gases m ˙ mit der Geschwindigkeit v entsteht. Das Dynamische Grundgesetz kann ohne Verwendung besonderer Transformationsgleichungen nur in einem Koordinatensystem angewendet werden, das in Ruhe ist oder geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt wird (Inertialsystem). Ein mit der Erdoberfläche verbundenes System erfüllt diese Bedingung nicht. Auf Grund der Erdrotation, der Drehung der Erde um die Sonne

5.1 Die Newtonschen Gesetze

137

vϕ Massenelement r

F

Abb. 5-1: Massenpunkt auf Kreisbahn

usw. treten Normalbeschleunigungen auf. Für die überwiegende Anzahl aller Ingenieuraufgaben ist es jedoch bei weitem ausreichend, die Erdoberfläche als Bezugssystem zu wählen. Das Grundgesetz soll auf ein Massenelement m angewendet werden, das sich nach Abb. 5-1 auf einer Kreisbahn bewegt. Da hier Vorgänge in der Ebene behandelt werden, wird auf die Vektorschreibweise verzichtet. Das auf den Mittelpunkt des Kreises bezogene Moment ist unter Verwendung der Gleichung (5-2) M = F ·r =

d (m·vϕ )·r dt

Für den Kreisbogen gilt r = konst. Die Ableitung erfolgt nach der Produktregel M = m·r·

dvϕ dm + vϕ ·r· dt dt

(2)

Mit vϕ = r·ω erhält man M = m·r 2 ·

dm dω + vϕ ·r· . dt dt

Das Produkt m·r 2 ist das Massenträgheitsmoment J des Massenelementes bezogen auf den Mittelpunkt der Kreisbahn (siehe Band 2 und Kapitel 6 dieses Buches). Für den starren Körper ist m = konst., M = J·

dm = 0, dt

dω = J·α. dt

oder in Vektorschreibweise ~ = J·~ M α

(5-4)

138

5 Das Dynamische Grundgesetz

Die in Kapitel 4 aufgestellte Analogie zwischen Schiebung und Drehung kann erweitert werden. Schiebung

Drehung

Kraft

F

Moment

M

Masse

m

Massenträgheitsmoment

J

Beschleunigung

a

Winkelbeschleunigung

α

Für einen kontinuierlichen Massenstrom mit vϕ = konst., gilt nach Gleichung (2) dvϕ = 0; dt

dm =m ˙ = konst. (Massenstrom), dt (5-5)

M = m·r·v ˙ ϕ.

Diese Gleichung formuliert das Wirkungsprinzip der Strömungsmaschinen (Turbinen, Turboverdichter u.ä.). In vorliegender Form kann man mit ihrer Hilfe z.B. das in einer Turbine vom Fluid erzeugte Moment berechnen. Eine einfache Umwandlung führt auf die Eulersche3 Turbinengleichung.

Das d’Alembertsche Prinzip4

5.2

An einer starren Scheibe greifen die in Abb. 5-2 gezeichneten Kräfte an. Wie im Band 1 dargelegt, kann man ein ebenes Kräftesystem im beliebigen Punkt durch F1 α Mres =

S

S F2

F3

Fres =

P

P a

M

F

Abb. 5-2: Kräfte an einer starren Scheibe

P~ die Resultierende F~res = F und ein Moment (Kräftepaare) ersetzen. Das geschieht hier für den Schwerpunkt. Die angreifende Resultierende verursacht eine 3 4

Leonhard Euler (1707–1783), schweizer Mathematiker. Jean le Rond d’Alembert (1717–1783), französischer Gelehrter.

5.3 Der Energiesatz

139

Beschleunigung in gleicher Richtung, das Moment eine Winkelbeschleunigung. Es gelten die Gleichungen (5-1)/(5-4) 

 = m·a; F





 − m·a = 0; F



 = 0; F

 = J· M α.

Diese Gleichungen kann man folgendermaßen umstellen 

 − J· M α = 0.

Für den Fall a = 0 und α  = 0 erhält man 

 = 0. M

Das sind die Gleichgewichtsbedingungen der Statik. Es bietet sich deshalb an, die Kraft m·a und das Moment J· α in das Kräftesystem mit negativen Vorzeichen, d.h. entgegengesetzt der Beschleunigungsrichtungen, einzuführen und wie äußere Kräfte und Momente zu behandeln. Das so ergänzte System kann nach den Gesetzen der statischen Gleichgewichtsbedingungen behandelt werden. Nach diesem von d’Alembert formulierten Arbeitsprinzip ist es möglich, eine Aufgabe der Kinetik auf eine Aufgabe der Statik zu reduzieren. Das Arbeitsprinzip von d’Alembert ist ausführlich im Kapitel 7 behandelt.

5.3

Der Energiesatz

Der Energiesatz stellt auch eine Umwandlungsform des Dynamischen Grundgesetzes dar. Integriert man die Kraft über den Weg, dann ergibt sich (Gl. (5-1) und Gl. (2-8)) s2

s1

 ·ds = m· F

s2

s1

a·ds = m·

v2

v1

v ·dv =

m 2 (v − v12 ). 2 2

Die Arbeit der Kraft F ist gleich der Änderung der kinetischen Energie. Der Energiesatz ist ausführlich im Kapitel 8 behandelt. Die Vektorschreibweise bringt zum Ausdruck, dass eine Kraft nur dann eine Arbeit entlang einer Bahn verrichtet, wenn sie in Richtung dieser Bahn liegt. Die Begriffe Arbeit, Leistung, Energie werden ausführlich in Kap. 8 erläutert.

6

Impuls und Drall

6.1

Einführung

Das Dynamische Grundgesetz ist unmittelbar im Impulssatz umgesetzt. Die Aussage „Kraft = Masse × Beschleunigung“ ist eine Schlussfolgerung aus diesem. Insofern steht der Impulssatz im Zentrum der Kinetik. Bei seiner Anwendung werden zwei Zustände eines mechanischen Systems verglichen. Der Zustand „vorher“ plus der Einwirkung der Kräfte ergibt den Zustand „nachher“. Wegen des Zeitunterschiedes „vorher“ – „nachher“ ist es möglich, auch zeitlich variable Kräfte in ihrer Wirkung zu erfassen. Das ist einer der Vorteile des Impulssatzes. Die Anwendung erfolgt zunächst auf den Massenpunkt. Dieser stellt eine mathematische Abstraktion dar, die auf die reale Masse übertragen werden kann, wenn alle Teile die gleiche Bahn beschreiben. Aus der Vorgabe F~ = 0 (freies System) folgt unmittelbar der Impulserhaltungssatz. Erst mit seiner Hilfe ist u.a. der Stoß zweier Massen rechnerisch erfassbar. Anschließend werden Kräfte berechnet, die ein kontinuierlicher Massenstrom auf Bauteile ausübt. Ein solcher kann durch ein strömendes Fluid oder Schüttgut realisiert sein. Beim starren Körper müssen die Fälle Schiebung, Drehung und allgemeine Bewegung unterschieden werden. Die beiden letzten erfordern die Definition und Berechnung von Massenträgheitsmomenten und Zentrifugalmomenten für beliebige Achsen eines Körpers (Hauptachsenproblem). Die Anwendung des Impulssatzes auf ein rotierendes System liefert den Drallsatz. Im Rechenansatz können ~ = 0 (freies Syszeitlich variable Momente erfasst werden. Aus der Bedingung M tem) ergibt sich der Drallerhaltungssatz. Dieser ermöglicht u.a. die Berechnung exzentrischer Stöße. Im letzten Abschnitt gilt die zunächst eingeführte Voraussetzung, dass Momentenvektor und der Vektor der Winkelgeschwindigkeit kollinear sind, nicht mehr. Der Drallsatz wird auf den schnellen rotationssymmetrischen Kreisel bei Rotation um die Hauptachse des maximalen Trägheitsmomentes angewendet. Trotz der Einschränkungen decken die Ergebnisse einen überraschend großen Teil der ingenieurmäßigen Anwendung ab und erklären Phänomene, die zunächst unverständlich sind.

142

6 Impuls und Drall

In der Mechanik gibt es drei Erhaltungssätze. Einige Probleme sind nur mit diesen lösbar. Zwei resultieren aus dem Impulssatz. Das und die Tatsache, dass er auf Fluide anwendbar ist, begründet die besondere Wichtigkeit und den ersten Platz in diesem Buch im Teil Kinetik. Der dritte Erhaltungssatz gilt für die Energie.

6.2

Der Impuls des Massenpunktes

6.2.1

Der Impulssatz

Der Begriff Massenpunkt ist eine Abstraktion. Da ein Punkt im mathematischen Sinne keine Ausdehung hat, kann er auch keine Masse haben. Gemeint ist zunächst ein Körper sehr geringer Erstreckung, der eine endliche Masse hat. Es kommt jedoch in einem System nicht auf die absoluten Abmessungen an, sondern auf die Proportionen zueinander. Demnach kann man durchaus sinnvoll z.B. eine Sonne trotz unvorstellbar großer Abmessungen für viele Berechnungen als Massenpunkt innerhalb des Kosmos annehmen. Es kommt offensichtlich nur darauf an, dass man sich für die Lösung einer bestimmten Aufgabe die gesamte Masse und alle Kräfte im Schwerpunkt des Körpers vereinigt denken kann. Dies kann man tun, wenn alle Massenteilchen die gleiche Bahn beschreiben wie das Massenteilchen, das gerade im Schwerpunkt liegt. Das ist die Bedingung für die Schiebung eines starren Körpers. Der Begriff Massenpunkt soll hier nicht im Sinne einer kleinen Masse, sondern wie oben erläutert benutzt werden. Dieses Kapitel befasst sich ausführlich mit dem Grundgesetz der Dynamik, wie es im Abschnitt 5.1 formuliert wurde. Die Gleichung (5-2) ~ = d (m·~v ) F dt wird in die Form ~ ·dt = d(m·~v ) F gebracht und integriert. Bei der Einwirkung von mehreren Kräften ist F~ die Resultierende. Diese muss nicht konstant sein, sondern kann sich mit der Zeit ändern. Zt1

t0

~ ·dt = m·v~1 − m·v~0 . F

(6-1)

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

143

R

Die Größe F ·dt nennt man Impuls. Im F (t)-Diagramm, das die Abhängigkeit der Kraft von der Zeit wiedergibt, entspricht der Impuls der eingeschlossenen Fläche. Die Gleichung (6-1) formuliert den Impulssatz. Der Impuls der Summe der äußeren Kräfte ist gleich der Änderung der Bewegungsgröße. Das ist in anderen Worten die Aussage des Dynamischen Grundgesetzes. Nach einer Umstellung erhält man

m·~v0 +

Zt1

F~ ·dt = m·~v1 .

t0

Diese Gleichung kann nach Abb. 6-1 folgendermaßen gedeutet werden. Eine Masse m bewegt sich in vorgegebener Richtung mit der Geschwindigkeit ~v0 . Es ~ an, die nicht konstant sein muss. greift für eine Zeit eine resultierende Kraft F R Der Impuls dieser Kraft wird durch Integration F ·dt ermittelt. Für viele Fälle kann das über eine „Flächen“-bestimmung im F (t)-Diagramm erfolgen. Nach der Einwirkung dieses Impulses bewegt sich die Masse in geänderter Richtung mit der neuen Geschwindigkeit ~v1 . Die Bewegungsgröße m·~v1 und damit die neue Bewegungsrichtung und Geschwindigkeit können nach Abb. 6-1 vektoriell bestimmt werden. R

F

F·dt

t m·v0

Bewegungsgröße vorher

R

+

m·v1

F·dt

Einwirkung des Impulses

=

Bewegungsgröße nachher

Abb. 6-1: Deutung des Impulssatzes

Für eine geradlinige Bewegung kann man auf die Vektorschreibweise verzichten. Sonst ist es meistens zweckmäßig, die Kräfte und die Geschwindigkeiten in Komponenten zu zerlegen. Da jetzt die einzelnen Richtungen festliegen, ist eine Vektorbezeichnung überflüssig. Für die Bewegung in der Ebene gilt im Kartesi-

144

6 Impuls und Drall

schen Koordinatensystem m·v0x + m·v0y +

Rt1

t0

Rt1

t0



Fx ·dt = m·v1x ,   Fy ·dt = m·v1y .

(6-2)

 

Greifen mehrere äußere Kräfte an einem Massenpunkt an, dann sind Fx und Fy , wie oben bereits ausgeführt, die Resultierenden. Der Impulssatz eignet sich besonders für die Lösung von Aufgaben, in denen Masse, Geschwindigkeit, Kraft und Zeit miteinander verknüpft sind. Seine Anwendung ist besonders vorteilhaft, wenn einwirkende Kräfte (Momente) zeitlich veränderlich sind. Beispiel 1 (Abb. 6-2) Im abgebildeten System wird die Masse A heraufgezogen. Die Masse B wirkt als partieller Ausgleich. Es soll der Bewegungsablauf untersucht werden, wenn der Motor ausfällt und die Rücklaufbremse versagt. Allgemein und für die gegebenen Daten sind zu bestimmen: a) b) c) d)

die Abhängigkeit vA (t), der Umkehrpunkt und die -zeit, die Seilkräfte, die Aufprallgeschwindigkeit der Masse A am Ende des Vorgangs.

rA vA0 rB

B

A

sA0

β Abb. 6-2: Wagen auf Rampe (Beispiel 1)

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

145

Die Trägheitsmomente können noch nicht berücksichtigt werden. Sie seien vernachlässigbar klein. Das soll auch für die Reibung gelten. mA = 1000 kg; rA = 0,60 m;

mB = 600 kg; rB = 0,20 m;

vA0 = 3,0 m/s; β = 30◦ .

sA0 = 10,0 m;

Lösung Der Ansatz des Impulssatzes wird mit der Skizze Abb. 6-3 vorbereitet. Der Zustand 0 kennzeichnet den Zeitpunkt des Motorausfalls, der Zustand 1 einen variablen Zustand danach. Dabei wird angenommen, dass die Bewegungsrichtung erhalten bleibt: Zustand 1 kurz nach Motorausfall. mA · vA0 + SA ·t1 − mA ·g· sin β·t1 = mA ·vA1 ,

(1)

−mB · vB0 + SB ·t1 − mB ·g·t1 = −mB ·vB1 .

(2)

Eine Beziehung zwischen SA und SB liefert die Momentengleichung nach Abb. 6-4. SB ·rB − SA ·rA = 0.

(3)

Das ist eine Aussage aus der Statik. Sie gilt nur, wenn die Trägheitsmomente der rotierenden Massen nicht berücksichtigt werden. Aus der Kinematik der Welle ergibt sich vB = vA mA ·vA0

rB . rA SA ·t1

(4)

mA ·vA1

mA ·g· sin β·t1 SB ·t1

mB ·vB0

mB ·g·t1

mB ·vB1 SB

Abb. 6-3: Impulssatz für Wagen und Ausgleichsmasse nach Abb. 6-2

SA

Abb. 6-4: Kräfte an der Stufenrolle

146

6 Impuls und Drall

Das ist ein Gleichungssystem für die Unbekannten vA1 , vB1 , SA , SB . Wegen der konstant wirkenden Erdbeschleunigung sind die Seilkräfte während des Vorgangs konstant. Die Gleichungen (1) und (2) führen auf S A = mA S B = mB





vA1 − vA0 g· sin β + t1

rB vA1 − vA0 g− · rA t1





(5) (6)

Zu beachten ist, dass auf Grund der beschleunigten Bewegung die Seilkräfte nicht der statischen Belastung durch die Massen entsprechen. Die Beziehungen (5) und (6) werden in die Gl. (3) eingesetzt. Nach einfachen Umwandlungen erhält man vA1 =

2 + m ·r 2 ) − g·t (m ·r 2 · sin β − m ·r ·r ) vA0 (mA ·rA B A B 1 A B A B . 2 + m ·r 2 mA ·rA B B

(7)

Das ist die gesuchte Beziehung vA (t1 ). Für den Umkehrpunkt gilt vA1 = 0 und t1 = tu . Der Zähler der Gl. (7) wird gleich Null gesetzt. Das Ergebnis ist tu =

2 + m ·r 2 ) vA0 (mA ·rA B B 2 · sin β − m ·r ·r ) . g(mA ·rA B A B

(8)

Die zahlenmäßige Auswertung führt auf tu = 1,09 s Die Seilkräfte sind konstant und können deshalb für jeden beliebigen Zeitpunkt berechnet werden. Am einfachsten ist die Auswertung für t1 = tu ; vA1 = 0. Mit diesen Vorgaben erhält man aus den Gl. (5) und (6) 

3,0 m/s SA = 10 kg 9,81 m/s · sin 30 − 1,09 s 3



2

SB = 600 kg 9,81 m/s2 +

◦

0,2 m 3,0 m/s · 0,6 m 1,09 s





= 2,15 kN,

= 6,44 kN.

Das Seil B wird gegenüber der statischen Belastung durch die Beschleunigung nach oben zusätzlich belastet, umgekehrt ist es für das Seil A.

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

147

Die Berechnung der Lage des Umkehrpunktes und der Aufprallgeschwindigkeit ist in allgemeiner Form sehr aufwendig. Deshalb soll mit Zahlenwerten gerechnet werden. Aus a = konst. folgt v = erhält man

R

a·dt = a·t + v0 (Gl. (2-6)). Für den Umkehrpunkt

0 = a·tu + v0 ⇒ a = −

v0 = −2,76 m/s2 (ց) . tu

R a Aus s = v·dt = t2 + v0 ·t + sA0 (Gl. (2-7)) ergibt sich damit für s = su mit 2 den Einheiten

t

s

v

a

s

m

m/s

m/s2

su = −

2,76 1,092 + 3,0·1,09 + 10,0 = 11,63 m . 2

Da s vom Aufprallbock aus gemessen wird, bewegt sich A nach Ausfall des Motors etwa 1,6 m nach oben (Umkehrpunkt). Aus der Bedingung s = 0 kann der Zeitpunkt des Aufpralls tt berechnet werden. 0=−

2,76 2 t + 3,0·tt + 10,0. 2 t

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist tt = 3,99 s. Jetzt kann man die Aufprallgeschwindigkeit bestimmen vt = −2,76 m/s2 ·3,99 s + 3,0 m/s = −8,0 m/s (ց) . Der Vorgang vom Ausfall des Motors bis zum Aufprall der Masse dauert etwa 4 Sekunden. Kontrollieren kann man das Ergebnis vt z.B. durch den Ansatz „Änderung der potentiellen Energie gleich kinetische Energie unmittelbar vor dem Prellbock“ für die Masse A zwischen Umkehr- und Aufprallpunkt. Zum Schluss sollen noch einige Bemerkungen zum Lösungsweg gemacht werden. Grundsätzlich können, wie bereits ausgeführt, Aufgaben aus dem Bereich der Kinetik mit dem Impulssatz, dem Prinzip von d’Alembert und dem Energiesatz gelöst werden. Welcher Weg am günstigsten ist, hängt von der Fragestellung ab. Für die hier vorliegende Fragestellung wäre das Prinzip von d’Alembert günstiger. Jedoch hat man erst dann die Zusammenhänge erkannt und verstanden, wenn man ein Problem nach allen Methoden lösen kann. Deshalb sollen

148

6 Impuls und Drall

hier einige Aufgaben unabhängig von der Länge des Lösungsweges nach den drei Ansätzen gelöst werden. MMot Nm

400

i

300

m

200

r

β

130

100 0 0

µ

1

2

3

4

t s

Abb. 6-6: M (t)-Diagramm für den Windenmotor Abb. 6-5

Abb. 6-5: Schrägaufzug (Beispiel 2)

Beispiel 2 (Abb. 6-5/6-6) In diesem Beispiel soll die Wirkung einer zeitlich veränderlichen Kraft erfasst werden. Abgebildet ist ein Schrägaufzug. Der Motor treibt über ein Getriebe (Übersetzung i) eine Seiltrommel an. Die Masse m wird von Ruhe aus in Bewegung gesetzt (t = 0). Das Motormoment ändert sich nach dem Diagramm Abb. 6-6. Zu bestimmen sind: a) b) c) d)

die die die die

Geschwindigkeit der Masse für t = 3,0 s und 5,0 s, Motordrehzahl für t = 3,0 s, maximale Seilkraft, maximale Beschleunigung der Masse.

m = 3000 kg;

r = 0,20 m;

i = 10;

β = 10◦ ;

µ = 0,05 (Reibung).

Die Trägheitsmomente der rotierenden Massen sollen vernachlässigt werden. Rt

S·dt

0

0

m·g(sin β + µ· cos β)·t

m·vt

Abb. 6-7: Impulssatz für gehobene Masse von Schrägaufzug Abb. 6-5

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

149

Lösung Der Ansatz des Impulssatzes wird mit der Abb. 6-7 vorbereitet Zt 0

S·dt − m·g(sin β + µ· cos β)·t = m·vt .

(1)

Dabei sind m·g· sin β der Hangabtrieb und m·g· cos β·µ die Reibungskraft. Zunächst ist es notwendig, die Seilkraft S in Abhängigkeit vom Motormoment MMot zu formulieren S·r = i·MMot =⇒

Zt 0

i S·dt = r

Zt

MMot ·dt.

0

Damit erhält man aus (1) die allgemeine Lösung für vt i vt = m·r

Zt 0

MMot ·dt − g(sin β + µ· cos β)·t.

Für t = 3,0 s und t = 5,0 s wird das Integral ausgewertet („Flächen“-bestimmung). t=3,0 Z s

1 MMot ·dt = 250 N m·2,0 s + (130 + 300)N m·1,0 s = 715 N m s. 2

t=0 t=5,0 Z s

MMot ·dt = 715 N m s + 130 N m·2,0 s = 975 N m s.

t=0

Mit diesen Werten können die Geschwindigkeiten berechnet werden. v3 =

10,0 3·103 kg·0,20 m

·715 N m s − 9,81 m/s2 (sin 10◦ + 0,05 cos 10◦ )·3,0 s

= 5,36 m/s. Auf gleichem Wege erhält man v5 = 5,32 m/s.

150

6 Impuls und Drall

Die Motordrehzahl z.Z. t = 3,0 s wird aus der Seilgeschwindigkeit v3 berechnet. nMot = i·nTrommel = i·

vSeil 1 · · r 2π

Für t = 3,0 s mit vSeil = v3 nMot3 =

10,0·5,36 m/s = 42,7 s−1 = 2560 min−1 . 0,20 m·2π

Das maximale Motormoment verursacht die maximale Seilkraft. Smax =

10·300 N m kN i·MMot max = ·10−3 = 15,0 kN. r 0,20 m N

Die beschleunigende Kraft ist die Seilkraft minus Hangabtrieb und Reibungskraft. m·amax = Smax − m·g (sin β + µ· cos β), Smax amax = − g(sin β + µ· cos β) = 2,81 m/s2 . m Das ist die Beschleunigung z.Z. t = 2,0 s. Beispiel 3 (Abb. 6-8) Die Abbildung zeigt ein Hubwerk, das mit Hilfe eines Flaschenzuges die Masse A hebt und dabei durch B entlastet wird. Die Masse A soll auf einem Hubweg von ∆sA von Ruhe aus auf eine Geschwindigkeit vA1 gleichmäßig beschleunigt werden. Dafür sind allgemein und für die gegebenen Daten zu bestimmen

3 Rollen i C

3 Rollen

B

r A Abb. 6-8: Hubwerk mit Flaschenzug und Ausgleichsmasse

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

151

a) das konstant angenommene Beschleunigungsmoment am Antriebsmotor, b) die maximale Beschleunigungsleistung, c) die beim Heben von A mit konstanter Geschwindigkeit vA1 notwendige stationäre Leistung, d) die Seilkräfte während der Beschleunigungsphase und stationär. Das Trägheitsmoment der rotierenden Massen wird im Beispiel 2 des Abschnitts 6.4.3 berücksichtigt. Die Annahme von Wirkungsgraden übersteigt den Rahmen dieses Fachs. mA = 12 000 kg; i = 10;

mB = 1000 kg;

vA1 = 0,50 m/s;

r = 0,30 m;

∆sA = 0,10 m.

Lösung Zunächst muss aus Beziehungen der Kinematik die Zeitdauer des Beschleunigungsvorgangs berechnet werden. Aus den Gl. (2-6)/(2-9) folgt aA =

2 vA1 = 1,25 m/s2 ; 2·∆sA

∆t =

vA1 = 0,40 s. aA

Der Ansatz des Impulssatzes wird mit der Abb. 6-9 vorbereitet 6·SA ·∆t − mA ·g·∆t = mA ·vA1 ,

(1)

SB ·∆t − mB ·g·∆t = −mB ·vB1 .

(2)

3SA ·∆t

3SA ·∆t

0 mA ·g·∆t

mA ·vA1

SB ·∆t

i·MMot beschl

0

SB

mB ·g·∆t

mB ·vB1

Abb. 6-9: Impulssatz für vom Hubwerk Abb. 6-8 bewegte Massen

SA

Abb. 6-10: Kräfte an der Seiltrommel des Hubwerks Abb. 6-8

152

6 Impuls und Drall

Der Flaschenzug vermindert die Seilkraft auf 1/6 und erhöht damit die Seilgeschwindigkeit auf den 6-fachen Wert (3)

vB1 = 6·vA1 . Die Gleichgewichtsbeziehung an der Seiltrommel (Abb. 6-10) lautet SB ·r + i·MMot beschl − SA ·r = 0.

(4)

Beachten: Diese Beziehung ist eine Momentengleichung aus der Statik und gilt nur, wenn die Trägheitsmomente nicht berücksichtigt sind. Den Gleichungen (1) bis (4) stehen die Unbekannten SA , SB , vB1 , MMot beschl gegenüber. Aus (1) und (2) folgt mit (3) mA vA1 (g + ), 6 ∆t 6·vA1 ). SB = mB (g − ∆t

(5)

SA =

(6)

Diese Beziehungen werden in (4) eingeführt und ergeben MMot beschl =

 



mA vA1 r g − mB + i 6 ∆t



mA + 6mB 6



,

(7)

i 0,3 m h 9,81 m/s2 (2 − 1)·103 kg + 1,25 m/s2 (2 + 6)·103 kg , 10 = 594 N m.

MMot beschl = MMot beschl

Die Beschleunigungsleistung steigt beim Anfahren mit der Motordrehzahl und ist deshalb im letzten Zeitpunkt der Beschleunigungsphase am größten. Dabei beträgt die Winkelgeschwindigkeit ωMot = i·ωC = nMot =

i·6·vA1 10·6·0,50 m/s i·vB1 = = = 100 s−1 , r r 0,30 m

ω = 15,9 s−1 = b 955 min−1 , 2π

Pmax = MMot beschl ·ωMot = 594 N m·100 s−1 ·10−3

kW = 59,4 kW. W

Der durch die Beschleunigung verursachte Anteil am Motormoment ist in der Gl. (7) durch den Term mit dem Faktor v/∆t wiedergegeben. Deshalb gilt für den stationären Zustand MMot stat

r·g = i



mA − mB 6



= 294 N m.

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

153

Dieser Wert führt auf eine stationäre Leistung Pstat = 29,4 kW. Die Seilkräfte betragen während der Beschleunigungsphase nach Gl. (5), (6) SA = 22,1 kN;

SB = 2,3 kN

und stationär SA = 19,6 kN;

SB = 9,8 kN

Gegenüber dem stationären Zustand ist SA durch die Beschleunigung nach oben erhöht, SB durch Beschleunigung nach unten vermindert.

6.2.2

Der Satz von der Erhaltung des Impulses

In diesem Abschnitt werden Massensysteme behandelt, auf die von außen keine Kräfte einwirken. Innere Kräfte, die die Massen aufeinander ausüben, sind davon ~res = P F~ = 0. unberührt. Solche Systeme erfüllen insgesamt die Bedingung F Sie werden freie Systeme genannt. Nach dem Dynamischen Grundgesetz (Gl. (5-2)) gilt für eine Masse ~ = d (m·~v ) = 0 F dt und für ein System von mehreren Massen  X ~ = d mi ·~vi = 0 F dt X

mi ·~vi = konst.

(6-3)

Bei der Betrachtung von zwei Zuständen: Ausgangszustand 0 und Endzustand 1 kann man schreiben X

mi ·~vi



0

=

X

mi ·~vi



1

(6-4)

Wenn an einem System von Massen keine äußeren Kräfte angreifen, bleibt die P Bewegungsgröße mi ·~vi erhalten. Diese Aussage wird „Satz von der Erhaltung des Impulses“ genannt. Sie folgt unmittelbar aus dem Dynamischen Grundgesetz und unterliegt deshalb keiner einschränkenden Annahme. Daraus folgt, dass der Impulserhaltungssatz auch dann gilt, wenn der Energieerhaltungssatz nicht

154

6 Impuls und Drall

angewendet werden kann, weil z.B. ein Vorgang mit Reibung und/oder bleibender Deformation erfolgt und die so verursachte Energieminderung nicht in Gleichungen formulierbar ist. Diese Tatsache verleiht dem Impulserhaltungssatz eine besondere Bedeutung. Stoßvorgänge, die real immer unter Verlusten verlaufen, sind nur über den Impulserhaltungssatz erfassbar. Erst danach kann über den Energieerhaltungssatz der „Energieverlust“ berechnet werden. Das wird im nachfolgenden Abschnitt gezeigt. Es stellt sich die Frage, wie sich der Schwerpunkt eines freien Systems verhält. Seine Lage in einem Kartesischen Koordinatensystem ist nach Band 1; Statik P X X mi ·xi xS = P =⇒ xS · mi = mi ·xi .

mi

Diese Gleichung wird nach der Zeit t differenziert. X dxi dxS X · mi = mi · , dt X dt X vSx · mi = mi ·vxi .

Die rechte Seite ist nach Gleichung (6-3) konstant. vSx ·

X

mi = konst. =⇒ vSx = konst.,

analog für die y-Achse, vSy = konst. und allgemein ~vS = konst. Der Schwerpunkt eines freien Systems bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Der Ruhezustand ist der Sonderfall vs = 0. Als Beispiel für diese Aussage sollen zwei Wagen betrachtet werden, die über gespannte Federn innere Kräfte aufeinander ausüben und sich mit der gemeinsamen Geschwindigkeit vA1 = vB1 nach rechts bewegen (Abb. 6-11). Während Faden A

B vA1 = vB1

A

vA2

S

B vB2

vS = vA1 = vB1 Abb. 6-11: Versuch zum Impulserhaltungssatz

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

155

dieser Bewegung wird der Faden, der die Wagen zusammenhält, durchgebrannt. Die Federkräfte wirken so, dass der Wagen B beschleunigt, der Wagen A verzögert wird. Nach Ablauf dieses Vorganges bewegen sich Wagen B mit vB2 und Wagen A mit vA2 . Dabei kann vA2 nach rechts, nach links gerichtet oder null sein. Der gemeinsame Schwerpunkt der beiden Massen bewegt sich aber mit der vorher vorhandenen gemeinsamen Geschwindigkeit vA1 = vB1 = vS = konst. Das könnte man durch Ausmessen der Lagen von A und B für verschiedene Zeitpunkte verifizieren. Zu beachten ist, dass die Gewichtskräfte, da sie durch entsprechende Bodenkräfte aufgenommen werden, in die Betrachtungen nicht eingehen.

γ

δ

B

A Abb. 6-12: Zusammenstoß zweier Pkw

Beispiel 1 (Abb. 6-12) Zwei Pkw A und B stoßen nach Skizze unter dem Winkel δ zusammen, verkeilen sich dabei und schleudern auf glatter Unterlage unter dem Winkel γ weiter. Die Kinetik dieses Vorgangs soll untersucht werden. Es interessiert dabei besonders der Zusammenhang zwischen den Anfangsgeschwindigkeiten und der gemeinsamen Geschwindigkeit nach dem Stoß. Weiterhin sollen Kräfte auf Wagen und Fahrer abgeschätzt werden, wobei angenommen wird, dass die Fahrer eng angegurtet sind und eindringende Teile auf sie nicht einwirken. Zur Beantwortung dieser Frage wird eine Stoßzeit geschätzt. Diese kann grundsätzlich näherungsweise bestimmt werden (s. Beispiel „Fallhammer“ Abb. 6-21).

156

6 Impuls und Drall

Massen: Wagen einschließlich Fahrer mA = 1200 kg; mB = 1600 kg Beide Fahrer mF = 70 kg. Winkel: δ = 30◦ ; γ = 20◦ . Gemeinsame Geschwindigkeit nach dem Stoß: v1 = 15 m/s. Stoßzeit: ∆t ≈ 0,1 s. Lösung Während des Stoßes wirken zwischen den beiden Wagen so hohe innere Kräfte, dass man die äußeren Reibungskräfte an den Reifen vernachlässigen kann. Mit dieser zulässigen Einschränkung handelt es sich hier um ein freies System, für das die Bewegungsgröße beim Stoß erhalten bleibt. Die Bewegungsrichtung γ nach dem Stoß müsste aus Spuren ausgemessen werden, wobei eine Verfälschung durch z.B. Seitenführungskräfte der Reifen ausgeschlossen werden muss. Auf glatter Unterlage und/oder bei blockierten Rädern ist diese Bedingung weitgehend erfüllt. Es soll deshalb hier angenommen werden, dass man aus dem Bremsweg nach dem Stoß auf die Geschwindigkeit v1 schließen kann. Da sich der Vorgang in der Ebene abspielt, ist es zweckmäßig, ein KoordinaP tensystem einzuführen und m·v = konst. für die beiden Achsen anzusetzen (Abb. 6-13). γ v1

y y

A

vB0

B

x

x

vA0 B

A δ

Zustand 0

x-Richtung

vA0 =

Zustand 1

Abb. 6-13: Skizze für den Ansatz des Impulserhaltungssatzes für kollidierende Pkws

mA ·vA0 · sin δ = mges ·v1 · sin γ mges sin γ · ·v1 . mA sin δ

(1)

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

157

mA ·vA0 · cos δ + mB ·vB0 = mges ·v1 · cos γ

y-Richtung

mA mges ·v1 · cos γ − ·vA0 · cos δ. mB mB

vB0 =

Mit Gleichung (1) ist mges mA mges sin γ ·v1 · cos γ − · · · cos δ·v1 mB mB mA sin δ

vB0 = vB0





mges sin γ = ·v1 · cos γ − . mB tan δ

(2)

Die Gleichungen (1) und (2) stellen die gesuchten Beziehungen dar. Die zahlenmäßige Auswertung ergibt 2800 kg sin 20◦ · ·15 m/s = 23,9 m/s = b 86,2 km/ h 1200 kg sin 30◦

vA0 = vB0



sin 20◦ 2800 kg ·15 m/s· cos 20◦ − = 1600 kg tan 30◦



= 9,1 m/s = b 32,8 km/ h.

Der Wagen B ist durch den Stoß schneller geworden, ihm wurde demnach Energie zugeführt. Zur Bestimmung der wirkenden Kräfte ist es notwendig, den Impulssatz für das einzelne Objekt anzusetzen. x-Richtung mA ·vA0 · sin δ

Bewegungsgröße in x-Richtung vor dem Stoß

−

Fmx ·∆t Impuls in x-Richtung

=

mA ·v1 · sin γ durch Impuls geänderte Bewegungsgröße in x-Richtung nach dem Stoß

(1)

mA ·(vA0 · sin δ − v1 · sin γ) ∆t 1200 kg (23,9· sin 30◦ − 15,0· sin 20◦ )m/s = 82,1 kN. = 0,1s

Fmx = Fmx

y-Richtung mA ·vA0 · cos δ − Fmy ·∆t = mA ·v1 · cos γ

mA ·(vA0 · cos δ − v1 · cos γ) ∆t 1200 kg = ·(23,9· cos 30◦ − 15,0· cos 20◦ )m/s = 79,6 kN. 0,1 s

Fmy = Fmy

(2)

158

6 Impuls und Drall

Die Zusammensetzung dieser beiden Komponenten liefert eine mittlere Stoßkraft von Fm ≈ 114 kN. Den gleichen Wert erhält man aus dem Ansatz für den Wagen B, denn die ermittelte Kraft wirkt als innere Kraft (actio = reactio) auf beide Wagen. Der für die Fahrer aufgestellte Impulssatz entspricht bis auf die Massen den Gleichungen (1) und (2). Deshalb ist es einfacher, die Kraft im Verhältnis der Massen umzurechnen. Fahrer A:

Fm =

70 kg ·114 kN ≈ 7 kN. 1200 kg

Fahrer B:

Fm =

70 kg ·114 kN ≈ 5 kN. 1600 kg

Nach den Gleichungen F = m·a entspricht das einer Beschleunigung (Verzögerung): Fahrer A: a ≈ 10·g ;

Fahrer B: a ≈ 7·g .

Das sind realistische Werte. Beispiel 2 (Abb. 6-14) Dieses Beispiel soll an einem Modell das Raketenprinzip erläutern. Auf einem reibungslos gelagerten Wagen der Masse m befinden sich vier Einzelmassen jeweils gleicher Größe m. Sie werden nacheinander mit der Geschwindigkeit v relativ zum bewegten Wagen nach rechts abgestoßen. v

Abb. 6-14: Modell für den Raketenantrieb

Zu bestimmen ist die Wagengeschwindigkeit nachdem die vierte Masse abgestoßen wurde. Es ist anzugeben, mit welcher Geschwindigkeit und in welcher Richtung sich diese Masse für einen ruhenden Beobachter bewegt. Welche Endgeschwindigkeit ergäbe sich, wenn alle vier Massen gleichzeitig nach rechts abgestoßen würden?

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

159

Lösung (Abb. 6-15/6-16) Von außen greifen in Bewegungsrichtung keine Kräfte an. Es handelt sich demnach um ein freies System und es gilt der Impulserhaltungssatz. Die Lösung soll für ein ruhendes Koordinatensystem und ein nach dem Wagen mitgeführtes System durchgeführt werden. Ruhendes Koordinatensystem Die Abb. 6-15 zeigt den Wagen unmittelbar vor und nach dem Abstoß der ersten P Masse. Die Bewegungsgröße (m·v) muss für beide Zustände gleich sein. Der Impulserhaltungssatz wird nach Gleichung (6-4) aufgestellt. 0 = 4m·v1 − m·(v − v1 ). Zu beachten ist, dass die abgestoßene Masse für den ruhenden Beobachter die Geschwindigkeit (v − v1 ) nach rechts hat, denn sie wird relativ zum mit v1 nach links rollenden Wagen mit v abgestoßen. Man erhält 1 v1 = v. 5 Eine analoge Skizze für den zweiten Abstoß ergibt 4m·v1 = 3m·v2 − m·(v − v2 )

4v1 = 4v2 − v   1 1 1 v2 = v1 + v = + v. 4 5 4

Schon jetzt kann man das Gesetz erkennen und für den vierten Abstoß schreiben v4 =





1 1 1 1 + + + v = 1,283v. 5 4 3 2 4m·v1

P

m(v − v1 )

m·v=0

4m·v1

3m·v2

m(v − v2 )

Abb. 6-15: Ansatz des Impulserhaltungssatzes für ruhendes Koordinatensystem

160

6 Impuls und Drall

Bemerkenswert ist, dass die Endgeschwindigkeit des Wagens (= b Rakete) größer ist als die Geschwindigkeit, mit der die Massen (= b Treibgas) abgestoßen werden. Diese Tatsache ermöglicht erst die sehr hohen Geschwindigkeiten von Raketen, die notwendig sind, um z.B. Nachrichtensatelliten zu positionieren. Die Konsequenz von v4 > v ist: Die vierte Masse (= b Treibgas) bewegt sich für den ruhenden Beobachter in gleicher Richtung wie der Wagen (= b Rakete). Das ist durchaus schwer vorstellbar. Falsch ist die Vorstellung, eine Rakete würde sich von der „Umgebung“ abstoßen. Das Raketenprinzip ist der einzige im Vakuum funktionierende Vortrieb. Mitbewegtes Koordinatensystem. Vor dem ersten Abstoß sind Wagen und Masse und deshalb auch das Koordinatensystem in Ruhe. Man erhält nach Abb. 6-16 1 4m·v1 = m·(v − v1 ) ⇒ v1 = v. 5 Mit dieser Geschwindigkeit wird für den zweiten Ansatz das Koordinatensystem mitbewegt. Deshalb muss relativ zu diesem eine neue Geschwindigkeit eingeführt werden, die durch den Querstrich gekennzeichnet ist. Nach der Abbildung gilt 1 3m·v 2 = m·(v − v 2 ) =⇒ v 2 = v. 4 Diese Geschwindigkeit wurde für ein System berechnet, das selber mit v1 nach links bewegt wird. Deshalb gilt für den ruhenden Beobachter v2 = v1 + v 2 =





1 1 + v. 5 4

Analog kann man weiter verfahren und erhält das obige Ergebnis. Welche Endgeschwindigkeit ergibt sich für den Fall, dass alle vier Massen gleichzeitig mit v abgestoßen werden? Der entsprechende Ansatz nach Abb. 6-15 lautet 4 0 = m·v4 − 4m(v − v4 ) =⇒ v4 = v 5 4m·v1

3m·¯ v2

m(v − v1 )

m(v − v¯2 )

Abb. 6-16: Ansatz des Impulserhaltungssatzes für mitbewegtes Koordinatensystem

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

161

In diesem Fall ist die Wagengeschwindigkeit kleiner und sie kann vom Prinzip her nie größer als die Abstoßgeschwindigkeit sein.

6.2.3

Der zentrische Stoß

In diesem Abschnitt wird der zentrische Stoß behandelt. Dieser kann gerade oder schief erfolgen. Die einzelnen Begriffe sind in der Abb. 6-17 dargestellt und werden nachfolgend erläutert. y Berührungspunkt

A

B

Stoßlinie

x

S Berührungsebene

S

Abb. 6-17: Zur Definition der Begriffe des zentrischen Stoßes

Ein Stoß von zwei Körpern ist zentrisch, wenn der Berührungspunkt auf der Verbindungslinie beider Schwerpunkte liegt und diese senkrecht auf der Berührungsebene steht. Die beim Stoß auftretenden Kräfte liegen dann in dieser Linie, die deshalb Stoßlinie genannt wird. Man kann sich beide Massen im Schwerpunkt vereinigt denken (Punktmasse). Ein Stoß ist gerade, wenn die Geschwindigkeitsvektoren in der Stoßlinie liegen. Beim schiefen Stoß, der weiter unten behandelt wird, bilden die Geschwindigkeitsvektoren mit der Stoßlinie einen Winkel. Stoßvorgänge können nur durch Anwendung des Impulssatzes und des Impulserhaltungssatzes rechnerisch erfasst werden. Zwei Massen bewegen sich nach Abb. 6-18 auf der gleichen Linie mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Die schnellere Masse A stößt dabei auf die langsamere Masse B. Während der sehr kurzen Kontaktzeit deformieren sich beide Körper, wobei im allgemeinen Fall zunächst ein Zusammendrücken und anschließend ein Abstoßen erfolgt. Dabei haben beide Körper, da sie zusammenhängen, eine geA

B

vA1

vB1

A

B

c

Abb. 6-18: Zentrischer Stoß zweier Körper

A

vA2

B

vB2

162

6 Impuls und Drall

meinsame Geschwindigkeit c. Nach der Trennung sind beide Geschwindigkeiten unterschiedlich. Dieser Vorgang soll näher untersucht werden. Dazu wird nur die Masse A betrachtet. Die einzelnen Phasen sind in der Abb. 6-19 dargestellt. Die Masse A hat vor dem Stoß die Bewegungsgröße mA ·vA1 . Während der ersten Phase des R Stoßes (Zusammendrückung) wirkt entgegengesetzt der Impuls F ·dt. Dieser verursacht eine Verzögerung auf die gemeinsame Geschwindigkeit c. Dann setzt die zweite Phase ein, während der sich der Körper z.T. wieder rückbildet. Dabei R wirkt ein Impuls K·dt, der der Bewegungsgröße mA ·c entgegengerichtet ist. Nach Ablauf dieses Vorganges hat die Masse mA die Bewegungsgröße mA ·vA2 . R

mA ·vA1

1. Phase:

F ·dt

mA ·c

Deformation

R

mA ·c

K·dt

mA ·vA2

Rückbildung

2. Phase:

Abb. 6-19: Zentrischer Stoß: Impulssatz für Deformation und Rückbildung

R

Da ein Teil des Impulses F ·dt dazu verwendet wird, eine bleibende Deformation zu verursachen und innere Reibung zu überwinden, muss der Impuls beim R R Rückstoß K·dt kleiner sein als F ·dt. Das Verhältnis beider Impulse hängt hauptsächlich vom Werkstoff beider Körper ab. Man definiert das Verhältnis als die Stoßzahl k, R K·dt . k= R

F ·dt

R

R

Für den ideal elastischen Werkstoff ohne innere Verluste ist K·dt = F ·dt und Rdamit k = 1. Wenn eine Rückbildung nicht erfolgt, z.B. bei Knetmasse, gilt K·dt = 0, was zu k = 0 führt. Zwischen diesen Extremwerten liegt die Stoßzahl. Da sie summarisch einen sehr komplexen Vorgang erfasst, sind in den Taschenbüchern nur Anhaltswerte angegeben. Für spezielle Anwendungsfälle wird sie aus den Zuständen vor und nach dem Stoß zurückgerechnet. Folgende

6.2 Der Impuls des Massenpunktes

163

Bezeichnungen werden eingeführt (voll)elastischer Stoß teilelastischer Stoß plastischer (unelastischer) Stoß

k=1 0 0: Beschleunigung;

α < 0: Verzögerung.

Bei Drehung um eine zur Hauptachse parallele Achse und der allgemeinen Bewegung in einer Ebene senkrecht zur Hauptachse müssen die Trägheitsreaktionen auf die Schwerpunktachse bezogen sein. Die Trägheitskraft wird aus der Schwerpunktbeschleunigung berechnet und im Schwerpunkt eingetragen (m·~aS ). Das Trägheitskräftepaar bestimmt man aus dem auf die Schwerpunktachse bezogenen Trägheitsmoment (JS ·~ α). Drehung um eine beliebige Achse ~ und ~ Die Vektoren M ω sind, im Gegensatz zu den oben beschriebenen Fällen, nicht kollinear. Für eine Drehung um die y-Achse besteht der Momentenvektor aus folgenden Komponenten My = −Jy ·α

(7-10)

Mx = Jxy ·α + Jyz ·ω 2

2

Mz = −Jxy ·ω + Jyz ·α

(7-11) (7-12)

Bei einer solchen Drehung wirken umlaufende Momente Mx ; Mz , die die Lager zusätzlich belasten. Diese verschwinden, wenn die Zentrifugalmomente null werden. Das ist die Bedingung für die Hauptachse. Daraus folgt: Bei Drehung um eine Hauptachse versucht ein Rotor nicht, die Lage der Drehachse zu ändern. Durch die Drehung werden keine zusätzlichen Lagerkräfte verursacht. Einen solchen Rotor nennt man dynamisch ausgewuchtet (s. Abschnitt 9.8.2).

8

Die Energie

8.1

Einführung

Nach der Definition der Begriffe Arbeit und Leistung kann man die Energieformen der Mechanik, das sind potentielle, kinetische und elastische Energie, ableiten. Der Energiesatz wird als Bilanz für ein betrachtetes mechanisches System aufgestellt. Dabei werden abgeführte Arbeit und/oder zugeführte Arbeit und durch Dissipation „vernichtete“ Arbeit (Reibung) berücksichtigt. Der Abschnitt Punktmasse greift den zentralen Stoß wieder auf, um den beim realen Stoß auftretenden „Energieverlust“ zu berechnen. Der Energiesatz für ein strömendes Fluid (kontinuierlicher Massenstrom) führt unmittelbar auf die in der Strömungslehre besonders wichtige Bernoullische1 Gleichung Bei der Anwendung auf den starren Körper werden Schiebung, Drehung und allgemeine Bewegung betrachtet. Auch der Energiesatz folgt wie der Impulssatz und das d’Alembertsche Prinzip aus dem Dynamischen Grundgesetz. Aus diesem Grund sind Aufgaben aus dem Bereich der Kinetik nach allen drei Verfahren lösbar (Ausnahme Stoß, s.o.). Um das zu zeigen, werden Beispiele aus den beiden vorhergehenden Kapiteln hier wieder aufgegriffen. Der „Satz von der Erhaltung der Energie“ ist der dritte Erhaltungssatz der Mechanik.

8.2

Die Definition von Arbeit und Leistung

Die Definition des Begriffes „Arbeit“ lautet vereinfacht: „Arbeit = Kraft × Weg“. Der „Weg“ ist die Strecke, um die die Kraft verschoben wird. Die Wirkungslinie der Kraft liegt in Verschiebungsrichtung. Angewendet auf eine Punktmasse, die auf einer Bahn nach Abb. 8-1 von einer schrägen Kraft bewegt wird, erhält man 1

Bernoulli, Daniel (1700–1782), schweizer Mathematiker

304

8 Die Energie

co sδ

F

F·

Bahn F·cos δ F·cos δ·ds

δ dm

s2

s1 s1

s2

s

ds

Abb. 8-1: Zur Definition des Begriffs „Arbeit“

für den Verschiebungsweg ds ein Arbeitsdifferential dW = F · cos δ·ds.

(1)

Auf dem Weg von s1 nach s2 wird die Arbeit W =

Zs2

F · cos δ·ds

(8-1)

s1

aufgewendet. Dabei ändert sich das Produkt F · cos δ mit dem Weg. Zugeordnete Werte werden in einem Kraft-Weg-Diagramm nach Abb. 8-1 aufgetragen. Man erkennt, dass die von einem solchen Diagramm eingeschlossene Fläche der Arbeit entspricht, die bei der Verschiebung aufzuwenden ist. Die Gleichung (1) kann als skalares Produkt der Vektoren „Kraft“ und „Weg“ aufgefasst werden ~ ·d~s. dW = F Die Arbeit ist ein Skalar, d.h. sie wird durch einen Zahlenwert als Maß ihrer Größe bestimmt. Der Arbeitsbegriff soll auf eine Kreisbahn nach Abb. 8-2 angewendet werden.

F δ ϕ r

Abb. 8-2: Zur Ableitung der Arbeitsgleichung für eine Kreisbahn

8.2 Die Definition von Arbeit und Leistung

305

Mit ds = r·dϕ erhält man W =

Zϕ2

F · cos δ·r·dϕ

ϕ1

Dabei ist F · cos δ·r das auf den Kreismittelpunkt bezogene Moment W =

Zϕ2

M ·dϕ

(8-2)

ϕ1

Das ist die Arbeit, die bei der Drehung einer Masse durch ein Moment aufzubringen ist. Für den Sonderfall konstantes Moment bzw. konstante Kraft in Bewegungsrichtung erhält man W = F ·s,

W = M ·ϕ.

(8-3)

Die Dimension der Arbeit ist Kraft × Länge, die Einheiten je nach Größenordnung N m, kN m usw. Für die Arbeit 1 N m wird als Einheit der Arbeit die Bezeichnung 1 J (Joule) eingeführt: 1 N m = 1 J. Aus den oben gegebenen Erläuterungen folgt unmittelbar der Unterschied zwischen der Arbeit und dem Moment, das die gleiche Dimension hat. Sind Kraftkomponente F~ und Weg ~s gleichgerichtet, dann ist die Arbeit W positiv, sind sie entgegengesetzt gerichtet, dann ist wegen der Vektoreigenschaft von F~ und ~s die Arbeit negativ. Die Arbeit wird null, wenn 1. die angreifende Kraft senkrecht zur Verschiebungsrichtung steht (cos δ = 0), 2. die Kraft auf ruhender Bahn nicht verschoben wird (ds = 0), 3. es sich um innere Kräfte handelt, die als actio und reactio immer paarweise entgegengesetzt auftreten. Beide verrichten bei Verschiebung die gleiche Arbeit, jedoch von entgegengesetzten Vorzeichen, so dass insgesamt die Arbeit null ist. Die Punkte sollen diskutiert werden. zu 1) Als Beispiel sei eine Masse betrachtet, die horizontal verschoben wird. Bei diesem Vorgang verrichten die Gewichtskräfte keine Arbeit.

306

8 Die Energie

zu 2) Auch eine ruhende Kraft kann eine Arbeit leisten, wenn die Unterlage relativ zur Kraft verschoben wird. Dafür ist eine Scheibenbremse ein Beispiel. zu 3) Der Umkehrschluss zu der obigen Formulierung lautet: nur aufgeprägte, äußere Kräfte können Arbeit an einem System verrichten. Der Leser sollte sich an dieser Stelle darüber klar werden, dass die Definition des Begriffs „Arbeit“ in der Physik nicht dem üblichen Sprachgebrauch entspricht. Als Beispiel sei folgender Vorgang betrachtet. Eine Masse wird in der Hand gehalten. Da keine Bewegung vorliegt, ist nach dem Punkt 2 der obigen Aufzählung die Arbeit an der Masse gleich Null. Es ließe sich trotzdem eine durch Anspannung der Muskeln verursachter erhöhter kJoule (kcal)-Verbrauch des Körpers nachweisen. Das Massenstück wird gehoben und wieder auf die Ausgangslage herabgelassen. Beim Heben sind Handkraft und Bewegung gleichgerichtet. Die Arbeit ist positiv. Beim Senken ist wegen der Umkehr der Bewegung die Arbeit negativ. Beide Anteile heben sich auf. Nach der Definition der Physik wird bei dem beschriebenen Vorgang keine Arbeit verrichtet. Hier sieht man besonders deutlich die Diskrepanz zwischen der Definition und dem Sprachgebrauch. Es soll die Arbeit einer Kraft konstanter Größe bestimmt werden, die im Raum ihre Richtung nicht ändert und dabei auf einer beliebigen Bahn bewegt wird. Das ist z.B. die Gewichtskraft, die das Abgleiten eines Körpers nach Abb. 8-3 auf einer geneigten Unterlage verursacht. FG δ y

FG·cos δ

dy

x

δ

ds Abb. 8-3: Arbeit einer Kraft, die zur Ausgangslage parallel bleibt

Nach Gleichung (1) ist dW = FG · cos δ·ds; dabei ist cos δ·ds = dy, dW = FG ·dy, W = FG ·(y2 − y1 ).

(8-4)

Für den oben beschriebenen Fall ist die Arbeit unabhängig von dem tatsächlich zurückgelegten Weg. Sie ist gleich der Kraft multipliziert mit der auf die

8.2 Die Definition von Arbeit und Leistung

307

Kraftrichtung projizierten Entfernung zwischen Anfang und Endzustand. Auf dieser Überlegung basiert die Definition der potentiellen Energie. In diese geht nur die Differenz der Höhenlagen ein und nicht der tatsächliche Verlagerungsweg. Die an einer Feder angreifende Kraft nimmt linear mit der Deformation der Feder zu. In einem Kraft-Weg-Diagramm nach Abb. 8-4 erhält man eine Gerade, deren Gleichung in allgemeiner Form F = c·s lautet. Man nennt c die Federkonstante. Sie ist ein Maß für die Steifheit der Feder und hat die Dimension Kraft pro Länge (vergleiche E-Modul und Hookesches Gesetz Band 2). Da ~s und F~ kollinear sind, gilt dW = F ·ds = c·s·ds,

=⇒ W = c

Zs2

s·ds,

s1

c W = (s22 − s21 ). 2

(8-5)

Das ist die Arbeit, die notwendig ist, um die Feder von s1 nach s2 zu verlängern. Graphisch wird sie von der Fläche im Kraft-Weg-Diagramm dargestellt. In der Abb. 8-4 ist sie durch ein Raster gekennzeichnet.

F

=

c· s

F

F2 W F1

s F1 F2 Abb. 8-4: Arbeit an einer elastischen Feder

Die Leistung ist definiert als die auf die Zeit bezogene Arbeit. P =

dW dt

Für eine Kraft F , die in Richtung der Bewegung wirkt, ist F ·ds dt P = F ·v

P =

(8-6)

308

8 Die Energie

Die Anwendung auf eine Kreisbahn führt über v = r·ω und M = F ·r auf P = M ·ω

(8-7)

F ; v und M ; ω sind jeweils zugeordnete Werte. Die Gleichungen (8-6)/(8-7) gelten auch für variable Größen. Die Dimension der Leistung ist Kraft ·Länge·Zeit−1 , die Einheiten sind je nach Größenordnung N m/s, kN m/s usw. Für die Leistung 1 N m/s wird als Einheit der Leistung die Bezeichnung 1 W (Watt) eingeführt. Man erhält damit 1

J Nm = 1 = 1 W; s s

1

kN m kJ =1 = 1 kW. s s

Für die Arbeit wird auch die Einheit 1 N m = 1 J = 1 W s;

1 kN m = 1 kJ = 1 kW s

verwendet. Als Beispiel sei der Stromzähler (eigentlich Arbeitszähler) im Haushalt genannt, der in kW h geeicht ist. Verursacht eine Kraft F die Beschleunigung a einer Masse m, dann ist dazu die Beschleunigungsleistung P = F ·v P = m·a·v

(8-8)

notwendig. Während eines Anfahrvorganges nimmt normalerweise die Beschleunigung a ab, während die Geschwindigkeit v zunimmt. Das ist qualitativ in der Abb. 8-5 dargestellt. Wenn die Endgeschwindigkeit erreicht ist, geht die Beschleunigung nach Null. Geht die Bewegung von der Ruhelage aus, dann ist im Anfangspunkt die Geschwindigkeit v = 0. Die Beschleunigungsleistung, die sich mit dem Produkt a·v ändert, ist null für den Zeitpunkt des Bewegungsbeginnes und beim Erreichen der Endgeschwindigkeit. Zwischen diesen beiden Punkten erreicht die Beschleunigungsleistung einen Maximalwert. Analoge Überlegungen für die Drehung führen zu der Beziehung P = M ·ω, P = J·α·ω.

(8-9)

Auch hier handelt es sich nicht um einen konstanten Wert, sondern um eine mit der Zeit je nach Anfahrvorgang veränderliche Funktion. Es gilt alles sinngemäß

8.2 Die Definition von Arbeit und Leistung

309

a

t v

t P

t

Abb. 8-5: Zeitliche Abhängigkeit der Beschleunigungsleistung bei einem Anfahrvorgang

für die Bremsung eines Systems. Die errechnete negative Leistung wird z.B. in einer Bremse in Wärme umgesetzt. Beispiel Ein Pkw der Masse m fährt mit konstanter Geschwindigkeit v eine Steigung hinauf. Während der Fahrt wird das Gaspedal durchgetreten und die dadurch verursachte Beschleunigung a gemessen. Der Wirkungsgrad η für die Leistungsübertragung von der Motorkupplung zu den Rädern und die Summe von Luftund Rollwiderstand FW seien bekannt. In allgemeiner Form und für die unten gegebenen Daten sind zu bestimmen: a) b) c) d)

die auf die Fahrbahn übertragene Leistung für v = konst., die abgegebene Motorleistung für a), die während der Beschleunigung abgegebene Motorleistung, die für c) notwendige Haftreibungszahl an den angetriebenen Rädern, wenn diese mit der halben Gewichtskraft belastet sind. ;m = 1100 kg; FW = 800 N;

v = 130 km/ h; Steigung 5,0 %.

η = 0,90;

a = 0,60 m/s2

310

8 Die Energie

Lösung zu a) Die an den Rädern übertragene Leistung muss die Widerstände und den Hangabtrieb überwinden. Mit arc tan 0,05 = 2,86◦ erhält man PR = F ·v = (FW + m·g· sin δ)·v = (800 + 1100·9,81· sin 2,86◦ )N·36,11 m/s PR = 48,3 kW. zu b) Die am Motor abgegebene Leistung ist um die Verluste auf dem Weg Motorkupplung – Rad höher. PMot =

PR 48,3 kW = = 53,7 kW. η 0,9

zu c) Zu der Fahrleistung kommt die Beschleunigungsleistung hinzu (Gl. (8-8)) ∆P = m·a·v ∆P = 1100 kg·0,60 m/s2 ·36,11 m/s ∆P = 23,8 kW. Damit ist PR max = (48,3 + 23,8) kW = 72,1 kW. Das entspricht einer Motorleistung von PMot max =

72,1 kW PR max = = 80,1 kW. η 0,9

zu d) Die Fahrleistung wird von den durch Reibung erzeugten Umfangskräften an den Reifen übertragen. PR max = 0,50·m·g·µ0 ·v PR max 72,1·103 W µ0 = = = 0,37. 0,50·m·g·v 0,50·1100 kg·9,81 m/s2 ·36,11 m/s Dieser Wert entspricht etwa nasser Fahrbahn. Auf einer solchen wäre damit die Übertragungsfähigkeit der Reifen erschöpft. Seitenführungskräfte könnten nicht oder nur im geringen Maße übertragen werden.

8.3 Der Energiesatz

8.3

311

Der Energiesatz

Energie ist das Vermögen, Arbeit zu verrichten. Die Energie hat die gleiche Dimension wie die Arbeit und ist wie diese ein Skalar. Wird eine Masse um die Höhe h gehoben, dann hat sie in Bezug auf die Ausgangshöhe einen Arbeitsvorrat, der gleich der beim Heben verrichteten Arbeit ist. Diesen nennt man potentielle oder Lageenergie, (8-10)

Epot = m·g·h.

Die senkrechte Abmessung h kann von einer beliebigen 0-Linie aus gemessen werden, nach oben positiv, nach unten negativ. Das ist möglich, weil es beim Ansatz des Energiesatzes auf die Änderung der potentiellen Energie und damit nicht auf h sondern auf ∆h ankommt. F δ Bahn

m

Abb. 8-6: Kraft am Massenpunkt

Eine Kraft F beschleunigt nach Abb. 8-6 die Masse m. Es gilt das Newtonsche Gesetz F · cos δ = m·a. Nach Gleichung (2-8) ist a=

v·dv . ds

Die Trennung der Variablen führt auf F · cos δ·ds = m·v·dv, Zs2

s1 Zs2 s1

F · cos δ·ds = m·

Zv2

v·dv,

v1

F · cos δ·ds =

m 2 m 2 v − v1 . 2 2 2

Das auf der linken Seite stehende Integral ist nach Gleichung (8-1) die bei Beschleunigung verrichtete Arbeit. Die bewegte Masse hat diese Arbeit aufgenommen und sie in der Form der kinetischen oder Bewegungsenergie gespeichert. Demnach ist m Ekin = v 2 . (8-11) 2

312

8 Die Energie

Für die Deformation eines elastischen Systems (z.B. Feder) ist eine Arbeit aufzuwenden, die nach Gleichung (8-5) die Größe W =

c 2 (s − s21 ) 2 2

hat. Im gespannten Zustand hat die ideale Feder ein gleich großes Arbeitsvermögen. Die elastische Energie der Feder ist deshalb c Eel = s2 2

(8-12)

Außer diesen drei genannten, denen in der Technischen Mechanik eine besondere Rolle zukommt, gibt es noch eine ganz Reihe anderer Energieformen. Als Beispiel seien aufgeführt: Wärmeenergie, chemische Energie, elektrische Energie, magnetische Energie, Strahlungsenergie, Kernenergie. Der Energiesatz sagt aus, dass es zwar möglich ist, eine Energieform in eine andere überzuführen, jedoch die Gesamtenergie als Summe aller Energieformen innerhalb des Weltalls konstant ist. Mit der Definition des Energiebegriffes ist es gelungen, eine Größe zu finden, die bei dem steten Wechsel aller Naturvorgänge konstant ist. Die Kernphysik hat bewiesen, dass Masse und Energie gleichwertig sind. Für ein betrachtetes System lautet der Energiesatz: Die Summe der Energien im Endzustand ist gleich der Summe der Energien im Anfangszustand, vermehrt um die zugeführte und/oder vermindert um die abgeführte Energie: X

E1 ± ∆E =

X

X

E1 + WMot − WMasch − WR =

(8-13)

E2 .

In dem Term ∆E können zu- bzw. abgeführte Arbeiten enthalten sein. Im ersten Fall kann es sich z.B. um eine über ein Motormoment in einem Hubwerk eingebrachte Arbeit handeln, im zweiten um eine über einen Generator abgeführte. Die von Reibungskräften verrichtete Arbeit wird in Wärmeenergie umgesetzt, die jedoch technisch nicht mehr nutzbar ist. Deshalb ist es sinnvoll, sie als „Energieverlust“ von der Ausgangsenergie abzuziehen. Nach diesen Ausführungen kann man schreiben X

E2 .

(8-14)

Dabei ist WMot die über einen Motor dem Anfangszustand zugeführte Arbeit, WMasch die von einer Arbeitsmaschine dem System entzogene Arbeit, WR die

8.4 Der Massenpunkt

313

P

Reibungsarbeit. Die E enthält dann die Anteile potentielle, kinetische und elastische Energien. Bei der Anwendung des Energiesatzes ist es gleichgültig, wie der Vorgang verläuft, es kommt nur auf die Zustände zu den Zeitpunkten 1 und 2 an. Ähnlich wie beim Impulssatz werden zwei aufeinanderfolgende Zustände verglichen. Da die inneren Kräfte keine Arbeit leisten, ist es auch möglich, den Energiesatz auf ein System mehrerer Massen anzuwenden, die über Seile, Stangen, Federn usw. miteinander verbunden sind.

8.4

Der Massenpunkt

Mit Hilfe des Energiesatzes soll zunächst die Minderung der kinetischen Energien bei einem teilelastischen Stoß zweier Massen berechnet werden. Dieser Energieanteil wird bei der bleibenden Deformation der stoßenden Körper und der damit verbundenen Reibung umgesetzt. Die entstehende Wärme ist technisch nicht nutzbar (Dissipation). Man spricht in diesem Zusammenhang von Energieverlust, obwohl Energie nicht verloren gehen kann. Eine andere Bezeichnung ist Stoßverlust, der hier mit WR bezeichnet werden soll. WR = E1 − E2 . Dabei sind E1 und E2 die kinetischen Energien unmittelbar vor und nach dem Stoß. mA 2 mB 2 2 2 (v − vA2 )+ (v − vB2 ), 2 A1 2 B1 1 WR = [mA (vA1 − vA2 )(vA1 + vA2 ) + mB (vB1 − vB2 )(vB1 + vB2 )]. 2

WR =

(1)

Die Geschwindigkeiten im Zustand 2 liefern die Gl. (6-5/6-6) mA ·vA1 + mB ·vB1 = mA ·vA2 + mB ·vB2 ,

(2)

vB2 − vA2 = k(vA1 − vB1 )

(3)

Aus (2) folgt die Änderung der Bewegungsgröße ∆B beider Massen ∆B = mA (vA1 − vA2 ) = mB (vB2 − vB1 ).

(4)

Diese Gleichungen werden nach vA2 und vB2 aufgelöst und in (3) eingesetzt. Man erhält ∆B =

mA ·mB (vA1 − vB1 )(1 + k). mA + mB

(5)

314

8 Die Energie

In (1) eingesetzt, erhält man WR =

∆B ∆B (vA1 + vA2 ) − (vB1 + vB2 ). 2 2

Ausklammern von ∆B und Einsetzen von (3) führt auf WR =

∆B (vA1 − vB1 )(1 − k). 2

Diese Beziehung ergibt mit (5) die gesuchte Gleichung für WR WR =

mA ·mB (vA1 − vB1 )2 (1 − k2 ). 2(mA + mB )

(8-15)

Die Richtigkeit dieser Beziehung soll durch Anwendung auf einige einfache Fälle kontrolliert werden. 1. Elastischer Stoß Mit k = 1 erhält man, wie zu erwarten war, WR = 0. 2. Unelastischer Stoß gegen eine feste Wand (B = Index Wand). Es ist 1 mA  (vA1 − vB1 )2 (1 − k 2 ).  2 mA +1 mB mA mA 2 Mit k = 0; → 0; vB1 = 0 ist WR = v . mB 2 A1 WR =

Die kinetische Energie der bewegten Masse wird in Wärme und bleibende Formänderung umgesetzt. 3. Unelastischer Stoß von zwei gleich großen Massen, die mit gleicher Geschwindigkeit gegeneinander fliegen. Mit

mA = mB = m; |vA1 | = |vA2 | = v; vA1 − vA2 = 2v; k = 0 m 1 m ist WR = · (2v)2 = 2· v 2 . 2 2 2 Da im vorliegenden Fall die Massen nach dem Stoß in Ruhe sind, werden beide kinetischen Energien in Wärme und Formänderungsarbeit umgesetzt.

8.4 Der Massenpunkt

315

Beispiel 1 (Abb. 8-7) Eine Ramme A fällt aus der Höhe H auf einen Pfahl B. Dabei dringt dieser um den Betrag s in den Boden ein. Bei diesem Vorgang prallt die Ramme nicht ab. In allgemeiner Form und für die nachfolgend gegebenen Daten ist die mittlere Widerstandskraft im Boden zu bestimmen. mA = 1000 kg;

mB = 300 kg;

H = 2,0 m.

Energiesatz Impulserhal- Energiesatz tungssatz A 1 2 3

A 0

H

s = 0,20 m;

H

vA1

B v2 v=0

s

Abb. 8-7: Ramme und Pfahl

Epot = 0

Abb. 8-8: Die verschiedenen Phasen beim Einschlagen des Pfahls

Lösung In der Abb. 8-8 ist der Vorgang in drei Phasen zerlegt. In der ersten fällt die Ramme bis unmittelbar über den Pfahl und erreicht dabei die Geschwindigkeit vA1 . Mit dieser erfolgt in der zweiten Phase der unelastische Stoß, nach dem sich Ramme und Pfahl gemeinsam mit v2 bewegen. Das einsetzende Eindringen in den Boden ist nach Ablauf des dritten Abschnitts abgeschlossen. 1. Abschnitt: 0 bis 1. Energieerhaltungssatz. Unter Beachtung, dass bis auf EkinA1 alle kinetischen Energien null sind, kann man schreiben EkinA1 = ∆EpotA p mA 2 vA1 = mA ·g·H =⇒ vA1 = 2g·H 2

316

8 Die Energie

2. Abschnitt: 1 bis 2. Impulserhaltungssatz. mA vA1 = (mA + mB )v2 mA p mA vA1 = 2g·H v2 = mges mges

(1)

3. Abschnitt: 2 bis 3. Energieerhaltungssatz. X

X

E1 − FW ·s = E2 1 mges ·g·s + mges v22 − FW ·s = 0 2

Nach Einführung von (1) erhält man nach einer einfachen Umwandlung die allgemeine Lösung 

FW = mges ·g 1 +

mA mges

!2

Im vorliegenden Fall ergibt sich "

FW = (1300·9,81)N 1 +





H s

1000 1300

2

#

2,0 kN · 3 = 88 kN 0,2 10 N

Wenn der Energiesatz „durchgehend“ von 0 bis 3 aufgestellt wird, muss der Stoßverlust nach Gl. (8-14) eingeführt werden. Eine Kontrolle mit diesem Ansatz sei dem Leser empfohlen. Beispiel 2 Das Beispiel 1 im Abschnitt 6.2 (Abb. 6-2/Motorausfall, Wagenrücklauf) soll mit dem Energiesatz gelöst werden. Nach dem d’Alembertschen Prinzip wurde diese Aufgabe im Abschnitt 7.2.1 (Beispiel 1) gelöst. Lösung (Abb. 8-9) Der Ansatz erfolgt nach der Skizze Abb. 8-9. Es ist zweckmäßig, für den Ausgangszustand 0 (= Zeitpunkt des Motorausfalls) die Massen auf gleiche Höhe zu setzen. Für diese wird Epot = 0 definiert. Das kann man tun, weil es bei den potentiellen Energien nur auf deren Änderungen ankommt. Als Zustand 1 bieten sich hier der Umkehrpunkt und der Zustand unmittelbar vor dem Aufprall an. Hier wird der Umkehrpunkt gewählt. Man erhält Ekin 0 + Epot 0 = Ekin 1 + Epot 1 mA 2 mB 2 vA0 + v + 0 = 0 + mA ·g·∆sAu sin β − mB ·g·hBu . 2 2 B0

8.4 Der Massenpunkt

317 vA1 = 0 ∆sAu

vA0 Epot = 0

A

B

∆sAu·sin β β −hB

vB0

vB1 = 0 Zustand 0 Motorausfall

Abb. 8-9: Zum Energiesatz „Wagen auf Rampe bei Motorausfall“ (Beispiel 2)

Zustand 1 Umkehrpunkt

Die Stufenwelle bedingt folgende Beziehungen vB =

rB vA ; rA

hB =

rB ·∆sA rA

Damit ergibt sich mA 2 mB vA0 + 2 2



rB rA

2

2 vA0 = mA ·g·∆sAu · sin β − mB ·g·

rB ·∆sAu . rA

Nach einfachen Umwandlungen erhält man das Ergebnis 2 vA0

∆sAu =



"

mA + mB



rB rA

2 #

2g mA · sin β − mB 2

3,02 m /s2 ∆sAu =

"



rB rA

 

0,20 1000 + 600 0,60

2 #

2·9,81 m/s2 1000· sin 30◦ − 600

kg 

0,20 kg 0,60

= 1,63 m

Die Lage ist vom Zustand 0 gemessen. Für die verzögerte Bewegung des Wagens nach oben sind Ausgangsgeschwindigkeit und Lage bei v = 0 bekannt. Der Vorgang kann mit Gleichungen der Kinematik für a = konst. erfasst werden. Am einfachsten ist es, die Gl. (2-9) anzuwenden v 2 = 2a(s − s0 ) + v02 =⇒ 0 = 2aA ·∆s + v02 2

aA = −

v02 3,02 m /s2 =− = −2,76 m/s2 2·∆s 2·1,63 m

318

8 Die Energie

Alle weiteren Größen können wie im Beispiel 1, Abschnitt 6.2 gezeigt berechnet werden. Als Übung sei empfohlen, die Aufprallgeschwindigkeit aus dem Energiesatz für den Zustand 0 und unmittelbar vor der Rampe zu berechnen.

v

1,50 m

Abb. 8-10: Dynamisch belasteter Träger

1,50 m

Beispiel 3 (Abb. 8-10) Auf einem Träger I 200 wird mittig mit einem Kran eine Last von m = 1000 kg aufgesetzt. Dabei fährt der Kranhaken mit konstanter Geschwindigkeit von v = 0,3 m/s bis die Last voll vom Träger aufgenommen ist. Da die Masse des Trägers wesentlich kleiner ist als die der Last, kann man die Stoßverluste vernachlässigen. Unter dieser Voraussetzung sind zu bestimmen a) das Verhältnis von dynamischer und statischer Beanspruchung des Trägers b) die durch die dynamische Beanspruchung verursachte maximale Spannung im Träger. Lösung (Abb. 8-11) a) Für das System Last plus Träger wird der Energiesatz für den Zustand 1

FK = m·g

v v=0 ydyn 1 2

Abb. 8-11: Träger am Beginn und am Ende des Absetzens der Last

8.4 Der Massenpunkt

319

(= erste Berührung) und 2 (= maximale Durchbiegung im durchgeschwungenen Zustand) angesetzt. Es muss gelten: (Ekin + Epot )Last − WKranhaken = Eel Träger . Während des Absetzvorganges geht die Last vom Kranhaken auf den Träger über. Der Vorgang ist im Diagramm Abb. 8-12 dargestellt. Bei der ersten BeFK m·g s

Abb. 8-12: Kraft am Kranhaken während des Absetzens der Last

yst

rührung hängt die Last noch voll am Haken, wenn sich der Träger um yst durchgebogen hat, ist der Haken ganz entlastet. Wegen des elastischen Verhaltens ist der Verlauf dazwischen linear. Die eingeschlossene Fläche entspricht der Arbeit am Kranhaken. Deshalb gilt (Gl. (8-10)/(8-11)/(8-12)) m 2 1 c 2 v + m·g·ydyn − m·g·ystat = ydyn . 2 2 2 Aus der Definition einer Federkonstanten folgt m·g = yst . c Erweitert man den ersten Term mit g und multipliziert insgesamt mit 2/c, dann erhält man nach einer einfachen Umstellung 2 ydyn

− 2yst ·ydyn − yst

v2 − yst g

!

= 0.

Die Lösung der quadratischen Gleichung für ydyn lautet nach Vereinfachungen 

ydyn = yst 1 +

s



v2  . g·yst

Im elastischen Bereich hängen Deformationen, Kräfte und Spannungen linear zusammen. Diese Überlegung führt auf die allgemeine Lösung des Problems Fdyn σdyn ydyn = = =1+ yst Fst σst

s

v2 . g·yst

320

8 Die Energie

Die Wurzel stellt die durch die dynamische Beanspruchung verursachte Zusatzbelastung dar. Im vorliegenden Fall ist (s. Band 2; Tabelle 11) (103 ·9,81)N·3003 cm3 m·g·l3 = 0,123 cm = 48·E·I 48·2,1·107 N/cm2 ·2140 cm4

yst =

σdyn =1+ σst

s

0,302 (m/s)2 = 3,73 9,81 m/s2 ·1,23·10−3 m

b) Die statische Belastung beträgt (s. Band 2; Tabelle 10A) Mb m·g·l (103 ·9,81)N·300 cm = = = 3438 N/cm2 W 4·W 4·214 cm3 = 34,38 N/mm2

σSt = σSt

σdyn = 3,73·34,38 N/mm2 = 128 N/mm2 .

8.5

Der kontinuierliche Massenstrom

In diesem Abschnitt soll der Energiesatz auf ein strömendes Medium angewendet werden. Grundsätzlich gilt auch in diesem Fall die Gleichung (8-13), jedoch muss überlegt werden, aus welchen Anteilen sich die Gesamtenergie ΣE zusammensetzt. Es wird das Ausströmen aus dem Behälter nach Abb. 8-13 untersucht. Eine herausgetrennt gedachte Flüssigkeitsmenge m hat zunächst genau wie ein starrer Körper eine kinetische und eine potentielle Energie. Die Masse bewegt sich im Fallrohr wegen des gleichmäßigen Ausflusses mit konstanter Geschwindigkeit nach unten. Dabei nimmt zwar die potentielle Energie ab, die kinetische Energie bleibt jedoch erhalten. Da die Gesamtenergie nach dem Energiesatz konstant ist, muss bei diesem Vorgang eine dritte Energieform vorhanden sein und größer werden. Der statische Druck nimmt in einer Flüssigkeit nach unten hin zu. Eine unter erhöhtem Druck stehende Flüssigkeit ist in der Lage, Arbeit zu verrichten, z.B. durch das Verschieben eines Kolbens. Diese Energie wird Druckenergie genannt. Sie muss um so größer sein, je höher Druck und Flüssigkeitsmenge sind, EDr = p·V. Die Dimensionskontrolle bestätigt die Richtigkeit der Überlegungen. Für den Fall, dass Energie einem betrachteten System weder zu- noch abgeführt wird, gilt (Ekin + Epot + EDr )1 = (Ekin + Epot + EDr )2 ,

8.5 Der kontinuierliche Massenstrom

321

m y Abb. 8-13: Behälter mit Ablassleitung

m m 2 v1 + m·g·y1 + p1 ·V = v22 + m·g·y2 + p2 ·V. 2 2 Die Energien werden zweckmäßig auf das Volumen des strömenden Mediums bezogen, d.h. die Gleichung wird durch V = m/̺ dividiert: ̺ 2 ̺ v1 + y1 ·̺·g + p1 = v22 + y2 ·̺·g + p2 . 2 2 Diese Gleichung wird nach Bernoulli2 benannt. In dieser Form handelt es sich um Addition von Drücken, jedoch sollte man von der Ableitung her im Auge behalten, dass es sich um auf die Volumeneinheit bezogene Energieanteile handelt, denn es gilt N/m2 = N m/m3 = J/m3 . Die Zu- bzw. Abführung von Energie kann in einem System auf mehrere Arten erfolgen. Die in der Strömung auftretende Reibung wird in Wärme umgesetzt und verursacht damit eine Abnahme der kinetischen, potentiellen und Druckenergie. Die gleiche Wirkung für die Strömung hat eine eingeschaltete Turbine, die einen Teil der Strömungsenergie in mechanische Arbeit an der Kupplung bzw. elektrische Arbeit am Generator umwandelt. Umgekehrt wird durch eine eingebaute Pumpe die Energie erhöht. Für den allgemeinen Fall muss deshalb die Gleichung lauten (vergleiche Gleichung (8-13)/(8-14)): ̺ 2 v + y1 ·̺·g + p1 + ∆pPumpe − ∆pTurbine − ∆pVerlust = 2 1 ̺ 2 v + y2 ·̺·g + p2 . 2 2 2

Bernoulli, Daniel (1700–1782), schweizer Mathematiker.

(8-16)

322

8 Die Energie

Dabei sind ∆pPumpe Pumpendruck, ∆pTurbine Turbinendruck und ∆pVerlust Druckverlust in der Leitung infolge Rohrreibung. Alle Beziehungen gelten sowohl für Flüssigkeiten als auch für Gase bei nicht zu großer Druck- und damit Dichteänderung. Beispiel Das Thema dieses Beispiels ist die Windturbine. Es ist eine Gleichung für die Berechnung der an der Kupplung nutzbaren, idealen Leistung abzuleiten. Lösung (Abb. 8-14)

1

bc

3

2

bc

p ∆pTu

Atm

bc

Abb. 8-14: Axialschnitt durch eine Windturbine

Die Abbildung 8-14 zeigt den Axialschnitt der gedachten Strömungsröhre, in der die Turbine liegt. Deren Begrenzung erfüllt die Bedingung Volumenstrom V˙ ist konstant. Volumenstrom V˙ und Massenstrom m ˙ sind auf Zeit bezogene Größen (s. Abschnitt 5.1, Gleichung (5-3)). Zwischen den Schnitten (1) und

8.5 Der kontinuierliche Massenstrom

323

(2) wirkt die Turbine aufstauend, damit druckerhöhend und geschwindigkeitsmindernd (Summe Druck- und kinetische Energie sind konstant). Deshalb muss A2 > A1 sein. Im Turbinenschnitt (2) erfolgt die Energieumsetzung und damit Druckminderung ∆pTurbine , die in den Unterdruckbereich führt. Nachfolgend steigt der Druck auf den Umgebungsdruck. Damit verbunden ist eine weitere Verminderung der Geschwindigkeit und eine Vergrößerung des Querschnitts auf A3 Auf diesen Vorgang wird die Gleichung (8-16) angewendet. Die Energieumwandlung erfolgt zwischen den Querschnitten (1) und (3). Da die potentielle Energie hier nicht eingeht (ohnehin ist hier y1 = y3 ), keine Pumpe im System ist und Verluste nicht berücksichtigt werden, verbleibt ̺ ̺ v1 − ∆pTurbine = v3 2 2 ̺ 2 ∆pTurbine = (v1 − v32 ) 2

(1)

Die Grundgleichung für die Leistung ist P = ∆pTurbine ·V˙ m ˙ ̺ P = (v12 − v32 )V˙ = (v12 − v32 ) 2 2

(2) (3)

Das ist die Differenz der auf die Zeit bezogenen kinetischen Energien. Die im Schnitt (1) verfügbare Energie ist nicht voll nutzbar, denn es muss auf der Abströmseite (3) der Turbine wegen des Durchsatzes eine endliche Geschwindigkeit vorhanden sein. Es gilt, das optimale Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten für eine maximale Leistung zu bestimmen. Für die Lösung dieses Optimierungsproblems ist es notwendig, eine Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten in den drei Schnitten aufzustellen. Dazu wird die vom Wind verursachte axiale Kraft S formuliert. Das kann auf zwei Wegen geschehen. Impulssatz (Gl. (6-7) / Abb. 6-27) S = m(v ˙ 1 − v3 ) Druckkraft S = ∆pTurbine ·A2 Die Gleichsetzung führt mit Gleichung (1) auf ̺ 2 (v − v32 )A2 2 1 1 v2 (v1 − v3 ) = (v1 − v3 )(v1 + v3 ) 2 1 v2 = (v1 + v3 ) 2 1 V˙ = (v1 + v3 )A2 2

̺·A2 ·v2 (v1 − v3 ) =

(4)

324

8 Die Energie

Die Geschwindigkeit v2 geht in die Berechnung der Geometrie der Turbinenblätter ein. Gleichung (3) und (4) ergeben P =

̺ 2 (v − v32 )(v1 + v3 )A2 . 4 1

(5)

Diese Leistung wird auf die Leistung Po bezogen, die sich ergeben würde bei freier Windgeschwindigkeit v1 im Turbinenquerschnitt A2 . ̺ m ˙ 2 ̺ 2 ˙ v1 = v1 ·V = v12 ·v1 ·A2 2 2 2 ̺ 2 (v1 − v32 )(v1 + v3 )A2 P 4 = ̺ 3 Po v ·A2 2 1

(6)

Po =

"

1 P 1− = Po 2



v3 v1

2 # 

v3 1+ v1

Zur Vereinfachung wird eingeführt



(7)

P =y Po

v3 =x v1

1 1 y = (1 − x2 )(1 + x) = (1 + x − x2 − x3 ) 2 2 Gesucht wird das Maximum dieser Funktion xopt für y ′ = 0 1 y ′ = (1 − 2xopt − 3x2opt ) = 0 2 Die quadratische Gleichung hat die Lösungen xopt =

1 3

(xopt = −1; keine Bedeutung)

Damit ergibt sich aus Gleichung (7) 

P Po



ideal max

"

1 1− = 2

 2 # 

1 3

1 1+ 3



=

16 = 0,59 27

Zwei Gründe bedingen diese geringe Ausnutzung: 1. Die kinetische Energie hinter der Turbine kann nicht beliebig klein sein (s.o.), 2. die Turbinenblätter erfassen nur einen Teil des Luftstromes (A1 < A2 ). Die ideale, maximale Leistung beträgt somit mit Gl. (6) P =

2 ·π·̺·v13 ·d2Tu 27

8.6 Der starre Körper

325

Sie hängt in der dritten Potenz und damit sehr stark von der Windgeschwindigkeit ab: Abnahme führt zu sehr deutlicher Verminderung der Leistung, Zunahme zu einer wesentlichen Steigerung. Im zweiten Fall wird ab einer bestimmten Geschwindigkeit auf konstante Maximalleistung abgeregelt. Im Extremfall wird die Turbine durch Verstellen der Flügel in Segelstellung und Festbremsen des Rades ausgeschaltet. Zum Schluss sei folgende Anmerkung zu der obigen Ableitung gemacht. Hier wird von einer axialen Strömung hinter der Turbine ausgegangen. Im Abschnitt 6.3 ist das Wirkungsprinzip einer Strömungsmaschine erläutert, das auf der Dralländerung eines Fluids basiert. Dazu wird in Abb. 6-28 ein Propeller mit drallbehafteter Abströmung gezeigt. Zur Verdeutlichung ist die Umfangskomponente der Geschwindigkeit stark übertrieben dargestellt.

8.6

Der starre Körper

8.6.1

Die Schiebung

Es gelten alle Überlegungen und Gleichungen des Abschnittes 8.4 (Massenpunkt) für den Fall, dass man sich die gesamte Masse im Schwerpunkt vereinigt denkt (Schwerpunktsatz).

8.6.2

Die Drehung um ortsfeste Achsen

Ein starrer Körper nach Abb. 8-15 rotiert um eine feste Achse A. Ein Massenelement im Abstand r von der Drehachse bewegt sich mit der Geschwindigkeit r·ω und hat damit eine kinetische Energie

dEkin =

dm (r·ω)2 . 2

r·ω dm ω r A Abb. 8-15: Rotierender starrer Körper

326

8 Die Energie

Die kinetische Energie der rotierenden Masse beträgt Ekin

ω2 = 2

Z

r 2 ·dm.

Das Integral ist das Massenträgheitsmoment in Bezug auf die Drehachse A Ekin =

J 2 ω . 2

(8-17)

Diese Beziehung gilt für beliebige ortsfeste Achsen. Das Massenträgheitsmoment ist auf die Drehachse bezogen. Für außerhalb des Schwerpunkts horizontal gelagerte Rotoren ändert sich mit der Drehung die potentielle Energie. Das kann man sich an der Abb. 8-15 klar machen. Bei Anwendung des Energiesatzes muss in diesem Fall diese Tatsache berücksichtigt werden. Der Vergleich der Gleichungen (8-11) und (8-17) zeigt den analogen Aufbau der Beziehungen für Schiebung und Drehung. Beispiel 1 Ein Maschinensatz läuft mit n = 50,0 s−1 . Er wird abgeschaltet und mit einem etwa konstanten Bremsmoment M = 0,50 kN m bis zum Stillstand abgebremst. Ein Zählwerk zeigt an, dass während der Bremsphase 800 Umdrehungen erfolgten. Zu bestimmen sind: a) das Massenträgheitsmoment der rotierenden Massen, b) die Bremsleistung in Abhängigkeit von der Zeit, c) die beim Bremsvorgang entstehende Reibungswärme. Lösung a) Der Energiesatz lautet (Gl. (8-3)/(8-17)) 1 2M ·ϕ J·ω02 − M ·ϕ = 0 =⇒ J = 2 ω02 2·500 N m·2π·800 = 50,93 kg m2 . J= −2 2 (2π·50,0) s b) Es muss die Gleichung (8-9) ausgewertet werden. P = J·α·ω.

8.6 Der starre Körper

327

Ein konstantes Bremsmoment bewirkt eine konstante Verzögerung α. Deshalb gilt die Gleichung (4-7) für ω = 0 α=−

ω02 (2π·50,0)2 −2 =− s = −9,82 s−2 2ϕ 2·2π·800

Mit der Gleichung (4-4) ω = ω0 + α·t erhält man P = J·α·(ω0 + α·t) P = J·α·ω0 + J·α2 ·t P = −50,93 kg m2 ·9,82 s−2 ·2π·50 s−1 + 50,93 kg m2 ·9,822 s

−4

·t.

Eine Zahlenwertgleichung wird für folgende Einheiten aufgestellt −P = 157,1 − 4,908·t

P kW

t s

Die Leistung ergibt sich wegen der Verzögerung negativ, da sie nicht aufgebracht werden muss, sondern in der Bremse in Wärme umgesetzt wird. Vom Maximalwert von ca. 160 kW ausgehend, nimmt sie linear mit der Zeit ab. Nach tB = 32 s wird P = 0, der Bremsvorgang ist beendet. Die kinetische Energie des Rotors wird in Wärme verwandelt. 1 50,93 kg m2 −2 kJ W = J·ω02 = (2π·50)2 s = 2510 kJ 2 2 103 J Dieser Wert kann über die Leistung kontrolliert werden. Die mittlere Bremsleistung wird während des Vorgangs in Wärme umgesetzt. 1 1 W = Pmax ·tB = 157,1 kW·32,0 s = 2510 kJ 2 2 Beispiel 2 (Abb. 6-8) Das Beispiel 3 (Abschnitt 6.2.1 – Flaschenzug), fortgesetzt im Beispiel 2 (Abschnitt 6.4.3) soll mit dem Energiesatz gelöst werden. Für dieses Beispiel wurde im Kapitel 7 (Abb. 7-20) der Ansatz nach d’Alembert gebracht.

328

8 Die Energie C

ω0 = 0

C

ω1

vA1 vA0 = 0

A

vB0 = 0

Epot = 0

∆s

B

A

−6·∆s

vB1

B Zustand 1 Ende der Beschleunigung

Zustand 0 Ruhezustand

Abb. 8-16: Zum Energiesatz „Flaschenzug“ (Beispiel 2)

Lösung Der Energiesatz wird mit Hilfe der Abb. 8-16 aufgestellt. Da es bei den potentiellen Energien nur auf deren Änderungen ankommt, ist es günstig, für den Ausgangszustand 0 die Massen auf eine gleiche Höhe zu setzen und für diese Epot = 0 festzulegen. Die potentiellen Energien werden von diesem Niveau aus unter Beachtung der Vorzeichen bestimmt. Mit 1 ist das Ende der Beschleunigungsphase gekennzeichnet. 1 2 2 0 + i·MMot beschl ·ϕC = (mA ·vA1 + mB ·vB1 + Jred C ·ω12 ) 2 + mA ·g·∆s − mB ·g·6∆s. Dabei sind ϕC ·

6∆s ; r

vB = 6vA (Flaschenzug);

ω1 =

vB 6vA = . r r

Damit ist "



MMot beschl

2 r vA1 Jred C = mA + 36mB + 36 2 6∆s·i 2 r

MMot beschl

2 r vA1 = i 2∆s

"



mA Jred C + 6mB + 6 2 6 r







#

+ g·∆s(mA − 6mB ) ,

mA +g − mB 6

#

.

Der Term vA1 2 /2∆s ist gleich der Beschleunigung aA . Das Ergebnis stimmt mit dem des Ursprungsbeispiels überein. Die weitere Rechnung kann dort entnommen werden.

8.6 Der starre Körper

329

Beispiel 3 Im Abschnitt 4.3 (Drehung) wurde die Kinematik eines durch eine ablaufende Masse angetriebenen Rotors nach Abb. 4-5 untersucht. Darauf aufbauend ist im Beispiel 1; Abschnitt 6.4.3 eine Auswertungsgleichung für die experimentelle Bestimmung des reduzierten Trägheitsmomentes des Rotors aufgestellt worden. Diese Gleichung soll, nachdem sie im Abschnitt 7.3.2 nach dem Prinzip von d’Alembert abgeleitet wurde, hier mit dem Energiesatz bestätigt werden. 1

2 r

ω2

ω1

v1 ∆h v2

Abb. 8-17: Versuchsanordnung nach Abb. 4-5 im Anfangs- und Endzustand

Lösung (Abb. 8-17) Der Energiesatz wird für den Abschnitt zwischen den Lichtschranken aufgestellt. Die Nulllinie für die potentielle Energie wird in die Position 2 der Masse gelegt X

E1 − MR ·∆ϕ =

X

E2

Jred 2 m 2 Jred 2 m 2 ω1 + v1 + m·g·∆h − MR ·∆ϕ = ω + v2 2 2 2 2 2

Mit v = r·ω erhält man nach einer Umstellung Jred

ω 2 − ω12 ω22 − ω12 = m·g·r − m·r 2 2 − MR 2·∆ϕ 2·∆ϕ

Nach Gleichung (4-7) sind die beiden Brüche gleich der Winkelbeschleunigung Jred ·α = m·g·r − m·r 2 ·α − MR Das ist die Gleichung (1) im Beispiel 1; Abschn. 6.4.3. Der weitere Rechengang ist dort gegeben.

330

8 Die Energie

8.6.3

Die allgemeine ebene Bewegung

Wie mehrfach ausgeführt, kann man sich die allgemeine Bewegung als Überlagerung einer Schiebung mit Schwerpunktsgeschwindigkeit und einer Drehung um die Schwerpunktachsen denken. Die kinetische Energie eines starren Körpers muss sich deshalb bei der allgemeinen Bewegung aus den beiden Anteilen Schiebung und Drehung zusammensetzen. Ekin =

m 2 Js 2 v + ω . 2 s 2

(8-18)

Diese Energie muss in den Energiesatz nach den Gleichungen (8-13)/(8-14) eingesetzt werden. Alle anderen Punkte bleiben von diesen Überlegungen unberührt. Für viele Aufgaben ist es einfacher, mit dem momentanen Drehpol zu arbeiten. Diesen Begriff behandelt der Abschnitt 4.4.2. Jede allgemeine ebene Bewegung lässt sich als eine Drehung um einen Drehpol deuten, der sich mit dem Bewegungsablauf verschiebt und jeweils nur für einen bestimmten Zeitpunkt gilt. Da, wie im vorigen Abschnitt ausgeführt, die Gleichung (8-17) für alle Achsen gilt, muss es auch möglich sein, sie für den momentanen Drehpol anzuwenden. Ausgegangen wird von einer starren Scheibe nach Abb. 8-18. Die Schwerpunktgeschwindigkeit vS wird für den betrachteten Zeitpunkt als Umfangsgeschwindigkeit bezogen auf den momentanen Drehpol M aufgefasst. ω S

vS = rS·ω rS

M

Abb. 8-18: Allgemeine Bewegung eines starren Körpers gedeutet als Drehung um den momentanen Drehpol

Es gilt Ekin =

1 JM ·ω 2 . 2

Nach dem Steinerschen Satz ist JM = JS + m·rS 2 1 Ekin = ω 2 ·(JS + m·rS2 ) 2 JS 2 m 2 ω + vS . Ekin = 2 2

8.6 Der starre Körper

331

Als Bestätigung für die Richtigkeit der Überlegungen erhält man die Gleichung (8-18). Es soll nochmals betont werden, dass beim Arbeiten mit dem momentanen Drehpol der Anteil der kinetischen Energie der Schiebung bereits berücksichtigt ist (JM > JS ) . Beispiel 1 (Abb. 8-19) In dem skizzierten System wird der homogene Stab AB von einer vorgespannten Feder nach oben geschleudert. Zu bestimmen sind die unten aufgeführten Größen für eine Position des Stabverbandes, die sich bei einem Hub ∆f des Gelenks A ergibt: a) Winkelgeschwindigkeit von AB, b) Geschwindigkeit von A, c) Winkelgeschwindigkeit von CB. m = 10,0 kg;

r = 300 mm;

l = 400 mm;

f0 = 600 mm;

∆f = 150 mm; Federkonstante c = 12,8 N/mm; Feder vorgespannt um ∆s = 50,0 mm Die Masse m des Stabes ist wesentlich größer als die der anderen Bauteile. C

r

B f0

l A

Abb. 8-19: Gelenkmechanismus mit gespannter Feder

332

8 Die Energie

Lösung Der Ansatz des Energiesatzes wird nach Abb. 8-20a vorbereitet. Die Höhenlinie Epot = 0 wird sinnvoll definiert. Im Ausgangszustand 0 ist das System in Ruhe, die Feder ist gespannt. Im Zustand 1 befindet sich der Stabverband in der Position, für die die Werte gesucht werden. Die Feder ist entspannt. m JS c 2 ∆s + m·g·h0 = m·g·h1 + vS2 + ω12 . 2 2 2 Die Schwerpunktgeschwindigkeit vS und die Winkelgeschwindigkeit ω1 lassen sich, wie oben gezeigt, vorteilhaft über den momentanen Drehpol M zusammenfassen. Die Abbildung 8-20b zeigt die Lage von M (s. Abb. 4-18). Damit erhält man c 2 JM 2 ∆s + m·g·h0 = m·g·h1 + ω . 2 2 1 Diese Gleichung kann man nach der gesuchten Größe ω1 auflösen ω12





2 c 2 = ∆s − m·g·(h1 − h0 ) . JM 2

Zustand 0

(1)

Zustand 1 r δ1

r

δ0

f1

(a) f0

β1

l

S

l h∗

S β0

h1 ∆f

h0

Epot = 0

Zustand 1 M = Momentaner Drehpol

C r δ1 (b)

B l/2

f1 β1

S

rs

l/2 M A

Abb. 8-20: Zum Energiesatz (a) und Momentaner Pol (b) des Systems Abb. 8-19

8.6 Der starre Körper

333

Die allgemeine Lösung ist sehr umfangreich, deshalb sollen Zahlenwerte bestimmt werden. Zunächst ist es notwendig, die Geometrie zu erfassen. Schwerpunktlage Die Berechnung der Winkel β mit dem cos-Satz r 2 = f02 + l2 − 2f0 ·l· cos β0 cos β0 =

f02 + l2 − r 2 ; 2f0 ·l

β0 = 26,4◦ ,

f12 + l2 − r 2 ; 2f1 ·l

β1 = 40,8◦ ;

analog für 1 cos β1 =

l h0 = · cos β0 = 0,179 m; 2 l h∗ = · cos β1 = 0,151 m; 2

h1 = Δf + h∗ = 0,301 m.

Momentaner Drehpol M (Abb. 8-20b) Berechnung des Winkels δ1 mit dem sin-Satz l sin β1 ; δ1 = 60,6◦ , r AM = f1 · tan δ1 = 0,799 m.

sin δ1 =

Längenberechnungen in den Dreiecken SMA und BMA mit cos-Sätzen 2

rS2 = AM + 2

 2

l 2

l − 2·AM· · cos(90◦ − β1 ); 2

2

BM = AM + l2 − 2·AM·l· cos (90◦ − β1 );

rS = 0,685 m. BM = 0,617 m.

Das Massenträgheitsmoment bezogen auf den momentanen Drehpol M ist (Steiner) JM

l2 = m + m·rS2 = m 12



l2 + rS2 12



= 4,83 kg m2 .

Mit den oben berechneten Werten erfolgt die Auswertung von (1) ω12





2 12,8·103 N 2 ·0,0502 m − (10·9,81)N(0,301 − 0,179)m , = 2 4,83 kg m 2 m

ω1 = 1,29 s−1 () .

334

8 Die Energie

Mit dieser Winkelgeschwindigkeit dreht sich der Stab AB im betrachteten Zeitpunkt um den Pol M und, da der ω-Vektor parallel verschiebbar ist, um jede beliebige Achse, z.B. die senkrecht auf der Zeichenebene stehende Schwerpunktachse. vA = AM·ω1 = 1,03 m/s

(↑) ;

vB = BM·ω1 = 0,796 m/s

(∡δ1 = 60,6◦ )

Aus dem zweiten Ergebnis folgt ωCB =

vB = 2,65 s−1 r

( ) .

Beispiel 2 (Abb. 8-21) Eine homogene Walze (m = 1000 kg) wird eine schiefe Ebene (s = 30 m) herabgelassen. Sie wird dabei von v0 = 8,0 m/s ausgehend gleichmäßig verzögert und mit v ≈ 0 unten abgesetzt. Zu bestimmen sind a) die in der Bremse erzeugte Wärmemenge, b) die Seilkraft, c) die mittlere und maximale Leistung der Bremse. Der Beitrag der Rollreibung zum Abbremsen des Systems ist von untergeordneter Bedeutung. S

v0

40◦

s=

30 m

Abb. 8-21: Auf einer schiefen Ebene herabgelassene Walze

8.6 Der starre Körper

335

Lösung a) Der Energiesatz lautet nach Abb. 8-22 1 1 m·g·s· sin 40◦ + m·v02 + JS ·ω02 − WR = 0. 2 2 1 Mit JS = m·r 2 führt das zu 2 v2 v2 WR = m· g·s· sin 40 + 0 + 0 2 4 ◦

!

3 2 WR = 103 kg·(9,81 m/s2 ·30 m· sin 40◦ + ·8,02 m /s2 ) 4 WR = 237 kJ. S

ω0

v0 s·sin 40◦ v=0

40◦

1

Abb. 8-22: Anfangs- und Endzustand der herabgelassenen Walze

2

b) Aus WR = S·s errechnet man S=

237 kN m WR = = 7,91 kN. s 30 m

c) Es wird zunächst die Zeitdauer des Vorganges berechnet. Aus Gleichung (2-9) erhält man für v = 0 2

a=−

82 m /s2 v02 =− = −1,07 m/s2 2s 2·30 m

und mit Gl. (2-6) t=−

v0 8,0 m/s =+ = 7,50 s. a 1,07 m/s

336

8 Die Energie

Die mittlere Leistung ist Pm =

237 kJ WR = = 31,6 kW. t 7,50 s

Die Bremse setzt mit der Maximalleistung ein (v0 = vmax ). Pmax = S·v0 = 7,91 kN·8,0 m/s = 63,3 kW. Wegen der konstant angenommenen Verzögerung ist sie doppelt so groß wie die mittlere Leistung. Beispiel 3 (Abb. 8-23) Ein homogener Zylinder rollt eine schiefe Ebene hinunter. Die beschleunigte Drehung der Scheibe ist nur möglich, wenn an der Auflage des Zylinders durch Haftung verursachte Umfangskräfte wirken. Auf einer ideal glatten Unterlage würde die Walze translatorisch, d.h. ohne Drehung, heruntergleiten. In diesem Beispiel soll untersucht werden, ob bzw. wie die an der Auflagestelle wirkende Umfangskraft in die Energiebilanz eingeht und ob die durch diese Kraft verrichtete Arbeit in Wärme umgesetzt wird.

m·g r

s

m·g·cos β

m·g·sin β

h

β Abb. 8-23: Rollender Zylinder

Fu s Fn Abb. 8-24: Freigemachter Zylinder

Lösung Die Abb. 8-24 zeigt die an der Walze wirkenden Kräfte. Auf dem Weg s wird von den Kräften folgende Arbeit verrichtet W = (m·g· sin β − Fu )·s + Fu ·r·ϕ. Der erste Summand entspricht dem Anteil der Arbeit, der für die Verschiebung, der zweite dem, der für die Drehung notwendig ist. Mit s = r·ϕ bzw. ϕ = s/r

8.6 Der starre Körper

337

und mit h = s· sin β erhält man W = m·g·h − Fu ·s + Fu ·s. Dieser Wert entspricht der Änderung der potentiellen Energie, die nach dem Energiesatz in Bewegungsenergie umgesetzt wird. m·g·h =

1 1 ·m·v 2 + ·JS ·ω 2 . 2 2

In der Arbeitsgleichung heben sich die Anteile der Kraft Fu insgesamt auf. In dem Maße, in dem die Kraft Fu durch Verlangsamung der Geschwindigkeit die Energie 21 ·m·v 2 verringert, erzeugt sie die Rotationsenergie 12 ·JS ·ω 2 . Der Anteil Fu ·s wird nicht als Reibungsarbeit in Wärme umgesetzt. Aus diesem Grunde darf er nicht als Verlustarbeit in den Energiesatz eingeführt werden. Das mag zunächst überraschend sein, denn die Umfangskraft wird durch Reibungswirkung erzeugt. Die Idealisierung liegt in der oben verwendeten Beziehung s = r·ϕ. Diese setzt Rollen ohne Gleiten voraus. Eine Umfangskraft kann aber nur durch einen Schlupf zwischen Rad und Unterlage erzeugt werden. Das abrollende Rad bleibt in der Drehung gegenüber dem idealen Rad zurück s = r·ϕ − ∆s. Mit dieser genauen Fassung erhält man W = m·g·h − Fu ·s + Fu ·(s − ∆s) W = m·g·h − Fu ·∆s.

Der in Wärme umgesetzte Anteil beträgt danach Fu ·∆s. Die Berechnung dieser Größe ist sehr schwierig. Vereinfachend arbeitet man mit der Rollreibungszahl µR (s. Band 1). Die Arbeit W = µR ·Fn ·s wird in Wärme umgesetzt. Es soll abschliessend berechnet werden, wie groß mindestens die Haftreibungszahl für das Abrollen der homogenen Walze sein soll. Das beschleunigte Abrollen wird durch die Umfangskraft verursacht Fu ·r = JS ·α

JS = m·

r2 . 2

Die Normalkraft beträgt Fn = m·g· cos β. Damit ist Fu = µ0 min ·Fn = µ0 min ·m·g· cos β.

(1)

338

8 Die Energie

Dieser Ausdruck wird in die Ausgangsgleichung (1) eingesetzt r2 ·α 2 1 a r·µ0 min ·g· cos β = ·r 2 · . 2 r

r·µ0 min ·m·g· cos β = m·

α=

a r

Die Beschleunigung ist a = g· sin β 1 µ0 min ·g· cos β = ·g· sin β; 2

1 µ0 min = · tan β. 2

In diesem Zusammenhang soll noch einmal darauf hingewiesen werden, dass aus der Haftreibungszahl die maximal mögliche Kraft errechnet wird und nicht die, die sich wirklich am System einstellt. Diese ermittelt man aus den Gleichgewichtsbedingungen am System.

8.7 Zusammenfassung

8.7

339

Zusammenfassung

Bei Verschiebung einer Kraft wird eine Arbeit verrichtet W =

Zs2

F · cos δ·ds.

(8-1)

s1

~ und ~s aufgefasst werden. Die Arbeit kann als skalares Produkt der Vektoren F Für die Drehung gilt W =

Zϕ2

M ·dϕ,

(8-2)

ϕ1

Für eine konstante Kraft in Verschiebungsrichtung bzw. ein konstantes Moment ergeben diese Gleichungen W = F ·s;

W = M ·ϕ

(8-3)

Die Arbeit ist null, wenn 1. die Kraft senkrecht auf der Verschiebungsrichtung steht, 2. die Kraft nicht relativ zur Unterlage verschoben wird, 3. es sich um innere Kräfte handelt, d.h. nur äußere Kräfte verrichten eine Arbeit. Zur Deformation eine elastischen Systems (z.B. Feder) muss eine Arbeit c W = (s22 − s21 ) 2

(8-5)

aufgewendet werden. Die Leistung ist definiert als die auf die Zeit bezogene Arbeit P =

dW dt

Für eine Kraft F~ , die mit der Geschwindigkeit v verschoben wird und die mit dem Vektor ~v gleichgerichtet ist, erhält man Schiebung

Drehung P = F ·v,

P = M ·ω.

(8-6)/(8-7)

340

8 Die Energie

Diese Gleichungen gelten für jeweils zugeordnete Größen F ; v und M ; ω, die nicht konstant sein müssen. Die zur Beschleunigung einer Masse notwendige Leistung ist: Schiebung

Drehung P = m·a·v,

P = J·α·ω.

(8-8)/(8-9)

Energie ist das Vermögen, Arbeit zu verrichten. Im Rahmen dieser Technischen Mechanik werden folgende Energieformen angewendet. Potentielle Energie (8-10)

Epot = m·g·h, Kinetische Energie Schiebung

Drehung Ekin

m = v2, 2

Ekin =

J 2 ω , 2

(8-11)/(8-17)

Elastische Energie c Eel = s2 . 2

(8-12)

Der Energiesatz sagt aus, dass die Summe aller vorhandenen Energien konstant ist. Für ein Teilsystem angewendet, lautet er: Die Summe der Energie im Endzustand ist gleich der Summe im Anfangszustand, vermehrt oder vermindert um die zugeführte bzw. vermindert um die abgeführte Energie X

E1 ±

X

E=

X

E2 .

(8-13)

9

Mechanische Schwingungen

9.1

Einführung

Die Besonderheit einer Schwingung besteht darin, dass ein bestehender Zustand nach Ablauf einer gewissen Zeit wiederholend reproduziert wird, was für dynamische Prozesse nicht selbstverständlich ist. Voraussetzung für diese Wiederholungen ist die Möglichkeit der Speicherung von Energie im System. Die Bewegungsenergie wird meist durch die elastische Verformung einer Feder oder durch die Lageänderung einer Masse (z.B. Pendel) in potentielle Energie umgewandelt und nach Erschöpfen dieses Energievorrates wieder zurückverwandelt (siehe hierzu die ausführlichen Beschreibungen im Abschnitt 8.3). Die bei diesen alternierenden Umwandlungen auftretenden „Verluste“ (besser Umwandlungen in andere Energieformen) bewirken das Abklingen der Schwingung. Das bezeichnet man als Schwingungsdämpfung. Die für die Einleitung des Schwingvorganges benötigte kinetische Energie wird dabei über eine Masse aufgebaut (Gleichungen (8-11)/(8-17)). Da reale Festkörper sowohl über eine Masse als auch über mehr oder weniger stark ausgeprägte elastische Eigenschaften verfügen, ist jedes Bauteil für sich und die Konstruktion insgesamt schwingfähig. Auf diesen Grundlagen aufbauend werden in diesem Kapitel die mechanischen Schwingungen anhand eines vereinfachenden Modells, bestehend aus Punktmasse, Feder, Dämpfer und Erreger beschrieben. Dabei erfolgt eine Beschränkung auf die harmonischen Schwingungen. Das sind Schwingungen, bei denen sich die Zustandsgrößen nach einem Sinus- oder Cosinus-Zeitgesetz ändern. Das Modell wird in drei Stufen aufgebaut. Begonnen wird mit den sog. Eigenschwingungen. Das sind die Schwingungen, die ein einmal in Bewegung versetzter Körper ohne Dämpfung und weitere Anregung ausführt. Hierfür wird ein Feder-Masse-System zugrunde gelegt. Diese idealisierte Annahme wird danach durch die Einbeziehung der Dämpfung verbessert. Hierbei erfolgt eine Beschränkung auf den Fall der geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung, der die verschiedenen Dämpfungsarten in ihrer Zusammenfassung für viele Fälle recht gut beschreibt. Schwingungsprobleme treten meist erst auf, wenn der Schwinger ständig angeregt wird, so dass die Auswirkungen als Belästigung empfunden werden (z.B.

342

9 Mechanische Schwingungen

Schall), zu Dauerbrüchen führen oder sich die Amplituden gefährlich verstärken können (Resonanz). Dabei wird die harmonische Anregung durch Kräfte und Verschiebungen untersucht und ausgewertet. Aufbauend auf den am Schwingungsmodell gewonnenen Erkenntnissen werden anschließend die Grundlagen für das Verständnis der für den Ingenieur wichtigen Fragen nach den Schwingungsursachen und den zu treffenden Gegenmaßnahmen geschaffen. Dabei ist eine wichtige Voraussetzung für die Beurteilung des Scahwingungsverhaltens die Erfassung von Schwingwegen − und Beschleunigungen. Das Prinzip der für solche Messungen häufig verwendeten seismischen Bewegungsaufnehmer wird erläutert. Probleme beim Maschinenbetrieb treten auf, wenn elastische Wellen in bestimmten Drehzahlbereichen, den sog. kritischen Drehzahlen betrieben werden. Bei den Ausführungen zur biegekritischen Drehzahl wird für den Einmassenschwinger auch auf den im Kapitel 6 beschriebenen Kreiseleinfluss kurz eingegangen. Bei Mehrmassenmodellen beschränken sich die Berechnungen auf die Ermittlung der tiefsten Eigenfrequenz, der sogenannten Grundschwingung. Für eine Reihe von Problemen ist die Kenntnis der kleinsten Eigenfrequenz ausreichend. Ungleiche Massenverteilungen verursachen bei Beschleunigungen durch freie Massenkräfte Schwingungen. Dem versucht man durch Massenausgleich zu begegnen. Schwingungen, die man nicht am Entstehungsort bekämpfen kann, versucht man weitgehend zu isolieren. Zur Abschirmung gegen die Auswirkungen zählen Maßnahmen wie die Aktiv- und Passivisolierung. Dabei geht es bei der Aktivisolierung um den Schutz der Umgebung vor den Schwingungsauswirkungen eines Aggregates. Bei der Passivisolierung sollen Mensch, Maschine und Gebäude von den Schwingungen der Umgebung abgeschirmt werden. Die Grundlagen hierzu schließen das Kapitel ab.

9.2

Grundlagen der technischen Schwingungslehre

Schwingungsvorgänge spielen in der Technik eine wichtige Rolle. Dabei ist die Schwingungswirkung teils erwünscht, teils unerwünscht. Bei Schwingförder-, Sieb- und Verdichtungssystemen zum Beispiel nutzt man den Schwingungseffekt sinnvoll aus. In vielen Fällen zwingt ihre schädliche, oft sogar gefährliche Wirkung zu Gegenmaßnahmen. Das können Dämpfung oder Isolierung sein oder auch eine völlige Änderung der Konstruktion. Beides, die Nutzung wie auch die Bekämpfung von Schwingungsgrößen erfordert

9.2 Grundlagen der technischen Schwingungslehre

343

neben der Untersuchung im Versuchsfeld auch die nicht immer ganz einfache mathematische Beschreibung des Schwingungsvorganges. Das prinzipielle Vorgehen ist dabei immer gleich: Modellbildung – Aufstellen der Bewegungsgleichung – Lösen der Bewegungsgleichung. Ein Berechnungsmodell ist die Voraussetzung für die technische Berechnung, denn ein reales Tragwerk lässt sich – wenn nicht vertretbare Vereinfachungen zugrunde gelegt werden – praktisch nur in Ausnahmefällen berechnen. Durch die Modellvereinfachung werden die unendlich vielen Verformungsmöglichkeiten des realen Tragwerks so eingeschränkt, dass eine Berechnung entsprechend der Aufgabenstellung mit möglichst geringem Aufwand geführt werden kann. Das Modell ist also immer eine Abstraktion, deren Grad sich nach der Fragestellung oder den gesuchten Antworten richtet. Es sollte so einfach wie möglich und so kompliziert wie nötig sein. Zu beachten ist dabei, dass damit jede noch so genau geführte Rechnung immer nur das Modellverhalten und nicht das Verhalten des realen Untersuchungsobjektes wiedergibt. Das unterstreicht die Bedeutung eines aussagefähigen Berechnungsmodells, das erst nach Kenntnis der dynamischen Vorgänge am realen Objekt sinnvoll aufzustellen ist. Nach der Festlegung des Modells wird die Bewegungsgleichung formuliert. Sie bildet die Grundlage für die Untersuchung. Für die Aufstellung dieser Gleichungen existieren mehrere Möglichkeiten: Das Newtonsche Prinzip (Schwerpunktsatz, Abschnitt 6.4.2; Drallsatz, Abschnitt 6.4.3), das Prinzip von d’Alembert (Kapitel 7), das Prinzip der virtuellen Arbeit (PVA) und die Lagrangesche Vorschrift (Lagrangesche Gleichungen). In diesem Kapitel wird das im Kapitel 7 ausführlich beschriebene Prinzip von d’Alembert angewendet. Der an den beiden letztgenannten Verfahren interessierte Leser sei auf die weiterführende Literatur, z.B. [38], verwiesen. Aus der aufgestellten Bewegungsgleichung, die immer eine Differentialgleichung ist, können die wichtigen Schwingungsparameter Eigenkreisfrequenz und Abklingkonstante direkt abgelesen werden. Um das Zeitverhalten des Schwingers zu bestimmen, muss die Schwingungsdifferentialgleichung gelöst werden. Jeder schwingfähige Körper besitzt gleichzeitig Trägheits-, Dämpfungs- und Federeigenschaften. Ein Schwingungsmodell, das diese Eigenschaften kontinuierlich über den Schwinger verteilt, bezeichnet man als Kontinuumsschwinger. Die Berechnung derartiger Aufgabenstellungen ist sehr aufwendig und führt auf partielle Differentialgleichungen. Diese partiell nach dem Ort und der Zeit abzuleitenden Gleichungen lassen sich nur für einfache Probleme exakt lösen. Für die

344

9 Mechanische Schwingungen

meisten technischen Aufgabenstellungen werden hierzu spezielle Computerprogramme, die meist auf der Finite-Elemente-Methode beruhen (siehe dazu [28], [46], [53]), eingesetzt. Eine Kurzbeschreibung dieses Verfahrens mit einem Anwendungsbeispiel für die Kontinuumsschwingung ist in [51] zu finden. Idealisiert man den mechanischen Schwinger als ein Ersatzmodell, bestehend aus Massepunkt, masselos angenommener Feder und Dämpfer, so spricht man von einem diskreten Schwinger. Der mathematische Aufwand zur Beschreibung des Bewegungsvorganges ist ungleich geringer als für den Kontinuumsschwinger. Diese vereinfachende Idealisierung hat natürlich ihren Preis in geringerer Genauigkeit und Umfang der Wiedergabe der (im Versuch) beobachteten Schwingungsparameter. Die Aussagen für einen Schwinger lassen sich durch „Verfeinerung“ des Modells verbessern, wenn anstelle eines Massepunktes mehrere Massen, verbunden durch Feder- und Dämpfungselemente, verwendet werden. Da aber jede dieser Einzelmassen, in die der Schwinger aufgeteilt wurde, eigenständige Bewegungen ausführen kann (man nennt diese Bewegungsmöglichkeiten Freiheitsgrade), wächst damit natürlich auch wieder der mathematische Aufwand zur Beschreibung des Problems entsprechend. Ein Schwingungssystem hat aber nicht eine ganz bestimmte Zahl von Freiheitsgraden. Die Zahl der Freiheitsgrade, die man einführen muss, ist abhängig von der technischen Fragestellung; also davon, was man vom System wissen will. Das Ziel des Ingenieurs muss es sein, ein Schwingungsmodell zu erstellen, das z.B. die Fragestellung wie viele Eigenfrequenzen man kennen muss, um zu verhindern, dass das System in einer seiner Eigenfrequenzen durch die Erregerfrequenz (Betriebsdrehzahl) zum Mitschwingen angeregt wird, beantwortet und mit möglichst geringem Aufwand lösbar sein soll. Das prinzipielle Vorgehen bei der Lösung von Schwingungsproblemen – auch komplizierter technischer Systeme, die sich nur noch mit Hilfe von Großrechnern lösen lassen – wie auch die grundsätzlichen Verhaltensweisen solcher Systeme lassen sich sehr gut an diskreten Modellen mit einem Freiheitsgrad – wie sie in diesem Kapitel beschrieben werden – erkennen und trainieren.

9.3

Freie ungedämpfte Schwingungen

9.3.1

Die Grundgleichung der harmonischen Schwingung des Massenpunktes

Die Bewegungsgleichung der harmonischen Schwingung soll an einem Längsschwinger (Translationsschwinger) gezeigt werden. Das Grundmodell eines li-

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

345

Ruhelage

nearen ungedämpften Schwingers mit einem Freiheitsgrad zeigt Abbildung 9-1.

c

a

b

c

+F +y

m

−[c(+y)]

m(−¨ y)

−[c(+y)]

m(+¨ y)

c(−y)

m(−¨ y)

c(−y)

m(+¨ y)

d Abb. 9-1: Mechanischer Schwinger in vier Phasen

Nachfolgend werden einschlägige Begriffe erläutert: 1. Schwingung mit einem Freiheitsgrad Die Beschreibung der Bewegung einer Masse erfolgt über eine Bewegungskoordinate (Länge oder Drehwinkel) entlang einer Linie oder um eine Achse. 2. Lineare Schwingung In der Bewegungsgleichung treten nur lineare Glieder auf. Ein Beispiel hierfür ist die Federkraft, wenn sie proportional zur Auslenkung ist. Dies ist allerdings eine Idealisierung (kein existierendes System ist streng linear), die in vielen Fällen aber der Wirklichkeit sehr nahe kommt. 3. Freie Schwingung Als freie Schwingung bezeichnet man den Schwingungsvorgang, der nach der Anregung des Systems ohne weitere Energiezufuhr fortdauert. Sie ist eine Eigenschaft des Systems und wird deshalb auch als Eigenschwingung bezeichnet.

346

9 Mechanische Schwingungen

4. Ungedämpfte Schwingung Dem System wird keine Energie, z.B. durch Reibungskräfte, entzogen. Da Reibungseinflüsse immer vorhanden sind, handelt es sich hier um eine Idealisierung. 5. Harmonische Schwingung Bei einer harmonischen Schwingung ändert sich die Zustandsgröße sinusförmig mit der Zeit. Das ist auch für ein Feder-Masse-System mit linearer Federcharakteristik, das frei und ungedämpft schwingt (Punkt 2, 3 und 4), der Fall. Ein einmal eingeleiteter Schwingungsvorgang wiederholt sich fortlaufend, da die Federkraft immer zur statischen Ruhelage gerichtet ist. Sie wird deshalb Rückstellkraft genannt. Das kann man sich an der Abb. 9-1 klar machen. Erreicht die Masse die statische Gleichgewichtslage (= Ruhelage), bewegt sie sich infolge der Trägheit über diese hinaus. Der Vorgang wiederholt sich. Man kann eine Schwingung auch als fortlaufenden Wechsel von Energieformen interpretieren. Die kinetische Energie im Nulldurchgang ist im Umkehrpunkt als elastische Energie in der Feder gespeichert. Diese wird wieder in kinetische Energie umgewandelt usw. Zunächst wird die horizontale Schwingung nach Abb. 9-1 untersucht. Der Einfluss der Gewichtskraft an einem senkrecht schwingenden Objekt wird anschließend diskutiert. Es wird angenommen, dass die Feder sich ohne Ausknicken zusammendrücken lässt und ihre Masse vernachlässigbar klein ist. Die Berücksichtigung der Federmasse wird weiter unten behandelt. Zur Klärung der Vorzeichenfrage muss der Schwinger in allen vier Phasen freigemacht werden. Die d’Alembertschen Trägheitskräfte sind entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung einzuzeichnen. Die Vorzeichen der einzelnen Größen sind tabellarisch aufgeführt. Lage der Masse y Bewegungsrichtung Beschleunigung oder Verzögerung Richtung der Federkraft c·y

Die Gleichgewichtsbedingung m·¨ y + c·y = 0.

P

a rechts + → − −

b rechts + ← + −

c links − ← − +

d links − → + +

Fy = 0 liefert für alle Phasen

Das ist die Grundgleichung der freien ungedämpften Schwingung.

(9-1)

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

347

Wie oben vorgeführt, ist es gleich, für welche Phase sie aufgestellt wird. Man vermeidet die Schwierigkeiten mit den Vorzeichen, wenn man den physikalischen Inhalt der Gleichung im Auge behält, nämlich die Aussage, dass Trägheitskraft + Federkraft = 0 ist. Eine Summe von zwei positiven Werten kann nicht null sein. In Wirklichkeit ist jeweils eine Größe entgegengesetzt gerichtet, was sich der Leser unabhängig von den Vorzeichen am Modell Abb. 9-1 klar machen möge. Zur Bestimmung des Einflusses der Gewichtskraft wird das System nach Abb. 9-2 aufgehängt betrachtet. Durch die statische Belastung der Masse m wird die unbelastete Feder

c

y0 statische m Ruhelage y

FF = c(y0 + y)

FG = m·g FT = m·¨ y

Abb. 9-2: Senkrecht hängender Schwinger

Feder um y0 vorgespannt. Wird sie darüber hinaus ausgelenkt und losgelassen, dann beginnt sie zu schwingen. Für die Lage y bei Bewegung nach unten wird nach Einführung der Trägheitskraft die Gleichgewichtsbedingung aufgestellt m·¨ y − m·g + c·(y + y0 ) = 0. Aus der statischen Belastung der Feder erhält man FG = m·g = c·y0 und damit m·¨ y + c·y = 0.

348

9 Mechanische Schwingungen

Das ist die Gleichung (9-1). Aus der obigen Berechnung folgt: 1. Eine Schwingung erfolgt immer um die statische Ruhelage. 2. Der Schwingungsvorgang wird nicht durch eine Vorspannung des elastischen Elementes beeinflusst. 3. Geht man bei einer Schwingungsberechnung von der statischen Ruhelage aus, brauchen die Vorspannkräfte, die sich im Gleichgewicht mit den Gewichtskräften befinden, wie auch die Gewichtskräfte selbst, nicht eingeführt werden, da sie sich gegenseitig aufheben. Die Grundgleichung der Schwingung ist eine homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Zur Lösung der Differentialgleichung müssen Funktionen y = y(t) gefunden werden, die in die Gleichung eingesetzt diese identisch erfüllen. Für die Lösung wird die Gleichung (9-1) umgeformt y¨ +

c ·y = 0. m

Setzt man ω02 =

c m

(9-2)

erhält man mit y¨ + ω02 ·y = 0

(9-3)

die Gleichung in der bekannten allgemeinen Form. Da der Bewegungsvorgang für ein einmal angestoßenes und dann sich selbst überlassenes dämpfungsfreies System untersucht wurde, muss in dieser Gleichung ω0 die Eigenfrequenz (genauer: Eigenkreisfrequenz) sein. Sie ist eine Eigenschaft des Schwingers und hängt nicht von den Anfangsbedingungen der Bewegung ab. Sie bestimmt die Periodendauer der Schwingbewegung. Um Aussagen über Ausschlag, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Schwingbewegung in Abhängigkeit von der Zeit (Zeitverhalten) treffen zu können, ist die Gleichung zu lösen. Die allgemeine Lösungsgleichung für diesen Differentialgleichungstyp lautet y = AI · cos(ω0 ·t) + AII · sin(ω0 ·t) mit den durch die Randbedingungen zu bestimmenden Konstanten AI und AII .

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

349

Zur Bestätigung für die Richtigkeit der allgemeinen Lösung wird diese in die Ausgangsgleichung eingesetzt. Dazu muss die Ausgangsgleichung zweimal nach der Zeit differenziert werden: y¨ = −AI ·ω02 · cos(ω0 ·t) − AII ·ω02 · sin(ω0 ·t) . Damit wird: −ω02 ·[AI · cos(ω0 ·t) + AII · sin(ω0 ·t)]

+ ω02 ·[AI · cos(ω0 ·t) + AII · sin(ω0 ·t)] = 0 .

Im Abschnitt 9.4 wird die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung des vorliegenden Typs vorgeführt. Die Interpretation der harmonischen Schwingbewegung als rotierenden Zeiger zeigt die Abbildung 9-3. In dieser Darstellung ist der rotierende Zeiger A die Amplitude; der maximale Ausschlag. Der Winkel ϕ, um den die Kurve im Koordinatensystem verschoben ist, ist der Phasenverschiebungswinkel oder kurz Phasenwinkel. Er entspricht der Zeigerstellung im Vektorbild a) und dem Schwingungsausschlag y im Koordinatenursprung des Amplituden-Zeit-Diagramms b). Er stellt somit den Ausschlag zu Anfang der Zeitzählung t = 0 dar. Die Abbildung zeigt die folgenden geometrischen Zusammenhänge: AI = A· sin ϕ und AII = A· cos ϕ Für die Amplitude gilt A =

q

A2I + A2II

Projektionsrichtung

und für den Phasenwinkel ϕ = arctan



AI AII



.

y A A AI

ω0 ϕ=ω0 t

AII

ω0·t ϕ ω0·T −A

a

b

Abb. 9-3: Deutung der harmonischen Schwingung als Projektion des rotierenden Amplitudenvektors

350

9 Mechanische Schwingungen

Die Konstanten AI und AII in die allgemeine Lösung eingesetzt y = A· sin ϕ· cos(ω0 ·t) + A· cos ϕ· sin(ω0 ·t) = A·[sin ϕ· cos(ω0 ·t) + cos ϕ· sin(ω0 ·t)] führt über das Additionstheorem sin(ω0 ·t + ϕ) für den Klammerausdruck zu y = A· sin(ω0 ·t + ϕ) .

(9-4)

Das ist die spezielle Lösung, die die Bewegung des Schwingers bei bekannter Amplitude und Phasenwinkel beschreibt. Die Ableitung dieser Gleichung nach der Zeit führt auf die Schwinggeschwindigkeit und die Schwingbeschleunigung. Die in Abb. 9-3 vorgenommene Zuordnung der Konstanten AI und AII ist willkürlich. Die Konstanten können auch vertauscht werden. Dies führt auf den gleichen Funktionsverlauf, nur durch die Kosinusfunktion y = A·cos(ω0·t − Ψ ) mit dem Nullphasenwinkel Ψ = π/2 − 90◦ beschrieben. Der interessierte Leser sollte sich diesen Sachverhalt anhand der obigen Beschreibung selbst klarmachen. Das Zeitverhalten des Schwingers wird i.Allg. aus bekannten (gemessenen) Werten für Schwingweg, -geschwindigkeit oder -beschleunigung ermittelt. Werden z.B. für den Schwinger nach Abb. 9-2 der Schwingweg und die Schwinggeschwindigkeit zu einer definierten Zeit (Anfangswerte, Index A) mit y(t = 0) = yA

und y(t ˙ = 0) = vA

in die allgemeine Lösung und deren Ableitung nach der Zeit y˙ = −AI ·ω0 · sin(ω0 ·t) + AII ·ω0 · cos(ω0 ·t) eingesetzt, erhält man als spezielle Lösung y = yA · cos(ω0 ·t) +

vA · sin(ω0 ·t) . ω0

(9-5)

Die Gleichungen (9-4) und (9-5) beschreiben den gleichen Sachverhalt. Aus der Mathematik ist bekannt, dass Überlagerung einer sin- und cos-Funktion auch durch eine phasenverschobene Sinusfunktion (Cosinusfunktion) dargestellt werden kann.

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

351

Für die beiden Sonderfälle 1. Umkehrpunkt (Totpunkt): y(t = 0) = ymax = A;

y(t ˙ = 0) = 0 gilt

y = A· cos(ω0 ·t) . 2. Nulldurchgang: y(t = 0) = 0; y(t ˙ = 0) = vmax gilt y=

vmax · sin(ω0 ·t) . ω0

Die Gleichung (9-5) wie auch die beiden Sonderfälle beschreiben den identischen Verlauf; d.h. die ungedämpfte Schwingung hängt nicht von den Anfangsbedingungen der Bewegung ab (siehe Abb. 9-1 mit den Erläuterungen dazu). Mit den Anfangswerten lassen sich Amplitude und Phasenwinkel wie folgt berechnen A=

s

2 + yA



vA ω0



2



yA ·ω0 ϕ = arctan . vA Der mit der Kreisfrequenz rotierende Zeiger der Amplitude kann nach Abb. 9-4 aus mehreren Zeigern vektoriell zusammengesetzt sein. Daraus folgt: Harmonische Schwingungen gleicher Frequenz, aber verschiedener Amplituden und Phasen, ergeben bei Überlagerung eine harmonische Schwingung unveränderter Frequenz. Die Zeitdauer für eine Vollschwingung bzw. einen Umlauf des Zeigers beträgt nach Abb. 9-3 T ·ω0 = 2π 2π T = = 2π ω0

r

m . c

(9-6)

Daraus folgt für die Frequenz 1 ω0 1 f0 = = = T 2π 2π

r

c . m

(9-7)

Die Frequenz einer harmonischen Schwingung ist unabhängig von der Größe der Amplitude.

352

9 Mechanische Schwingungen y A ω0 A1 ϕ A2

A

resultierende Schwingung A1 A2 ω0 t ϕ ω0·T2

ω0·T2

ω0·T2

Abb. 9-4: Zusammensetzung harmonischer Schwingung gleicher Frequenz

Im Rahmen der Technischen Mechanik interessieren besonders die maximalen Beschleunigungen, die bei einer Schwingung auftreten. Sie sind für die Belastung der Bauteile verantwortlich. Da die Phasenverschiebung in diesem Fall keine Rolle spielt, genügt es, eine reine sin-Schwingung zu untersuchen (ϕ = 0; Amplitude A). Es ist y = A· sin(ω0 ·t), y˙ = A·ω0 · cos(ω0 ·t). Da cos (ω0 ·t) ≤ |1| ist, erhält man als maximale Geschwindigkeit vmax = y˙ max = A·ω0 .

(9-8)

Für die Beschleunigung ergibt sich y¨ = −A·ω02 · sin(ω0 ·t) und damit die maximale Beschleunigung amax = y¨max = −A·ω02 .

(9-9)

Es ist sehr anschaulich, auch die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsfunktionen mit einem Zeigerdiagramm nach Abb. 9-5 darzustellen. Man erhält ein System von drei senkrecht aufeinander stehenden Zeigern, das mit ω0 umläuft. Zuerst kommt der Beschleunigungszeiger A·ω02 , um 90◦ nachlaufend folgt der Geschwindigkeitszeiger A·ω0 und dem wiederum um 90◦ folgend rotiert der

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

353 y v a

vmax =A·ω0 Lage

d in w ch es G

A ω0

ϕ=ω0 t

it ke ig

amax = A·ω02

Be sch leu n

igu n

ω0 t

g

Abb. 9-5: Zeigerdiagramm der Vektoren A ; vmax ; amax

Amplitudenzeiger A. Mit diesem Zeigersystem kann man für jede Lage der Masse sehr schnell momentane Beschleunigung und Geschwindigkeit angeben. Das ist in der Abb. 9-6 beispielhaft gezeigt. Die Beschleunigungen erreichen jeweils an den Umkehrpunkten ihre Maximalwerte. Dort ist die Geschwindigkeit null. Die maximale Geschwindigkeit und damit keine Beschleunigung tritt beim NullDurchgang auf (siehe dazu auch Abb. 2-13). Man kann eine Schwingung auch als laufend wiederkehrende Umwandlung von zwei Energieformen beschreiben. Die beim Null-Durchgang maximale kinetische Energie wird bei der nachfolgenden Zusammendrückung der Feder in elastische

c A·ω02

ω0

a

ω0

A

m v

y A

y=0

A·ω02

a=0

A·ω0 vmax = A·ω0

statische Ruhelage

Verzögerte Bewegung nach unten

Durchgang durch Null-Lage

Abb. 9-6: Längsschwinger in verschiedenen Phasen mit eingezeichnetem Zeigerdiagramm

354

9 Mechanische Schwingungen

Energie der Feder umgewandelt. Im Umkehrpunkt ist die gesamte Energie des Systems in der Feder gespeichert. Nach diesen Ausführungen ist (vergleiche Gleichung (8-11/8-12)) m 2 c ·vmax = ·A2 . 2 2 Mit Gleichung (9-40) ist m·A2 ·ω02 = c·A2 , r c . ω0 = m Das ist die Bestätigung der Gleichung (9-2).

y l dy

dmF m

Abb. 9-7: Zur Berücksichtigung der Federmasse

Diese Überlegungen gestatten eine Abschätzung des Einflusses der Federmasse auf die Kreisfrequenz. Es handelt sich darum, die Größe der kinetischen Energie der Feder während der Schwingung näherungsweise zu bestimmen. Feder und Masse schwingen mit gleicher Frequenz. Die Amplitude eines Massenelementes dm in der Nähe der Aufhängung ist null, während die Teile an der Masse m mit voller Amplitude mitschwingen. Es wird angenommen, dass die Amplitude der einzelnen Massenteile linear vom Aufhängepunkt zunimmt. Die Koordinate y wird nach Abb. 9-7 eingeführt. AF = K·y. Damit ist die kinetische Energie der Feder beim Null-Durchgang der Masse

Ekin F =

Zl 0

1 dmF ·A2F ·ω02 = 2 2

Zl 0

K 2 ·y 2 ·ω02 ·dmF .

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

355

Da über die Länge integriert wird, muss dm in Beziehung zur Längenkoordinate dy gesetzt werden. Es gilt folgende einfache Proportion mF dmF = ; dy l

dmF =

mF ·dy. l

Nach dem Einsetzen erhält man Ekin F

mF 1 ·ω02 = ·K 2 · 2 l

Zl

y 2 ·dy

0

mF l3 1 ·ω02 · . = ·K 2 · 2 l 3 Für y = l ist AF = A (voller Ausschlag): A = K·l. Die kinetische Energie beträgt Ekin F =

1 3 mF

2

·A2 ·ω02 .

Der Energiesatz lautet demnach 

1 mF m+ 2 3



c ·A2 ·ω02 = ·A2 . 2

Damit wird die Eigenkreisfrequenz v u ω0 = u t

c m+

mF . 3

Aus dieser Gleichung folgt, dass man einen genaueren Wert für die Frequenz des Feder-Masse-Systems nach Abb. 9-7 erhält, wenn man 1/3 der Federmasse als voll mitschwingend betrachtet.

9.3.2

Die Bestimmung der Federkonstante; Ersatzfeder

Die Feder ist im mechanischen Ersatzmodell ein masseloses Element mit Rückstelleigenschaften. Diese Rückstelleigenschaft erwächst aus dem Bestreben der Feder auf eine aufgebrachte Verformung mit einer Gegenkraft (Gegenmoment) zu reagieren. Dabei speichert sie – wie im Abschnitt 8.2 beschrieben – Energie in Form von Verformungsarbeit. Trägt man die Federkraft über dem Federweg

356

9 Mechanische Schwingungen

auf, so erhält man die Federkennlinie. Für eine lineare Feder (siehe Abb. 8-4) ist die Rückstellkraft (Federkraft) F ∼ y bzw. F = c·y . Der Proportionalitätsfaktor c=

F y

wird Federkonstante (auch Federzahl, Federsteifigkeit; auch Federrate R) genannt. Die Annahme einer Konstanten für das Verformungsverhalten einer Feder ist eine Idealisierung. Praktisch haben alle Federn, abhängig von der Federgeometrie, den Einbauverhältnissen und der Verformung, eine nichtlineare Kennlinie mit Hysteresecharakter; d.h. unterschiedliche Federkräfte im Be- und Entlastungsprozess der Feder. In vielen Fällen lässt sich das Federverhalten aber durch die Gerade gut annähern. Bei Federn ohne innere Reibung (praktisch alle metallischen Federn) ist die Federkonstante unabhängig von der Belastungsgeschwindigkeit. Häufig sind in einem System mehrere Federn miteinander gekoppelt. Üblicherweise werden diese zu einer Gesamtfederkonstante (Ersatzfederkonstante) zusammengefasst. Dabei unterscheidet man zwischen parallel gekoppelten (Abb. 9-8) und in Reihe geschalteten Federn (Abb. 9-10). 1. Parallelanordnung von Federn (Abb. 9-8). Mehrere parallele Federn sollen durch eine Feder mit gleichem elastischen Verhalten ersetzt werden. Diese Feder wird Ersatzfeder genannt. Im vorliegenden Falle addieren sich die einzelnen Kräfte, während der Federweg für alle Federn gleich ist, F = F1 + F2 + . . . =

X

F,

cers ·y = c1 ·y + c2 ·y + . . . = y· cers =

X

c.

X

c, (9-10)

Die Ersatzfederkonstante ist gleich der Summe der einzelnen Federkonstanten. Für die schrägen Federn nach Abb. 9-8e ist es notwendig, die Verlängerungen und Kraftkomponenten der Einzelfedern zu bestimmen. Unter der Voraussetzung

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen a

c1

357 c

b

c2

c1 c2

m

c1

m

m

c2

e

d

c1 c2

c3

c

γ

γ

c

m m

Abb. 9-8: Parallelanordnung von Federn

kleiner Amplituden erhält man nach Abb. 9-9:

Verlängerung einer Feder

F , y ∆l = y· cos γ,

Gesamtkraft

F

Federkraft

FF = ∆l·c.

Ersatzfederkonstante

cers =

= 2·FF · cos γ,

Die Vereinigung dieser Beziehungen ergibt für den vorliegenden Fall cers = 2·c· cos2 γ. Für die Systeme 9-8b/c/d ist zu beachten, dass es nicht auf die Vorspannungen der Federn ankommt (siehe vorigen Abschnitt). Es muss lediglich gewährleistet sein, dass keine Feder bei der Schwingung ausknickt. Ist es von der Anschauung her nicht klar, ob die Federn parallel oder hintereinander angeordnet sind, dann denkt man sich eine Feder weggenommen. Wird dabei das System „weicher“, dann handelt es sich um parallele Federn.

358

9 Mechanische Schwingungen

γ

γ

y

∆l

γ

FF

FF F Abb. 9-9: Schräge Federn in Parallelanordnung

2. Hintereinander angeordnete Federn (Abb. 9-10). In diesem Falle addieren sich die Verlängerungen, während die Kraft gleich ist yers = y1 + y2 + . . . =

X

y,

X1 F F F = + + ... = F· , cers c1 c2 c

1

cers

=

X1

c

(9-11)

.

Der Kehrwert der Ersatzfederkonstante ist gleich der Summe der Kehrwerte der einzelnen Federkonstanten. Ersetzt man im vorliegenden Fall eine Feder durch ein starres Element, dann wird das System steifer.

c1 c1 c2 m a

c2

m b

Abb. 9-10: Hintereinanderanordnung von Federn

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

359

Beispiel (Abb. 9-11) In diesem Beispiel soll modellhaft die federnde Lagerung einer Masse (z.B. empfindliches Gerät) behandelt werden. Die Federung c soll so ausgelegt werden, dass bei einem Stoß auf ein festes Hindernis mit der Geschwindigkeit v in Richtung der Federn, die auf die Masse m wirkende Kraft einen vorgegebenen Wert F nicht übersteigt. Bei diesem Vorgang soll keine Feder ausknicken, d.h. auf Druck belastet werden. Für diese Bedingung sind gesucht: a) die Konstante der Einzelfeder cF b) die notwendige Vorspannlänge der Federn c) die Vorspannkraft für die Federn. Die Lösung soll allgemein erfolgen und dann für m = 1,0 kg;

v = 0,50 m/s;

F = 25 N

ausgewertet werden. v cF

m

cF

Abb. 9-11: Federnde Lagerung einer Masse

Lösung Im Moment des Stoßes setzt eine harmonische Schwingung ein. Dabei ist v = vmax die Geschwindigkeit im 0-Durchgang. Es gilt (Gl. (9-2)/(9-8)/(9-9)) |Fmax | = F = m·amax = m·A·ω02 = m·v·ω0  √ c = v· c·m. F = m·v· m Nach Umwandlungen ist für cF = c/2 (Parallelschaltung nach Abb. 9-8) cF =

F2 . 2·v 2 ·m

(1)

Wenn die Federn immer unter Zugbelastung stehen sollen, muss die Vorverlän-

360

9 Mechanische Schwingungen

gerung mindestens gleich der Schwingungsamplitude sein. Mit der Gleichung (9-8) und (1) ist v = v· A= ω0 A=

r

m = v· 2·cF

s

m2 ·v 2 F2

v 2 ·m . F

(2)

Die für diese Verlängerung notwendige Kraft ist (Index v = Vorspannung) Fv = cF ·A. Nach dem Einsetzen der Gleichungen (1) und (2) ergibt sich 1 Fv = ·F. 2 Die Zahlenauswertung liefert folgende Ergebnisse 2

cF =

252 N ·s2 1 kg m · = 1250 N/m 2 2 2·0,50 m ·1,0 kg 1 N·s2

0,502 m2 ·1,0 kg 1000 mm · = 10 mm s2 ·25 N 1m Fv = 12,5 N. A=

Kontrolle cF ·A = 12,5 N. Die Eigenfrequenz des Systems ist ω0 =

r

2·cF = m

s

2·1250 N/m = 50,0 s−1 ; 1,0 kg

f0 =

ω0 = 7,96 s−1 . 2π

An dieser Stelle können nur Einzelfälle behandelt werden. Für hier nicht behandelte Kombinationen von Federn muss sinngemäß verfahren werden.

9.3.3

Biegeschwingungen

Für Ausschläge im elastischen Bereich (sehr kleine Durchbiegungen), lassen sich die Biegeschwingungen, prinzipiell mit einer Längenkoordinate wie ein Translationsschwinger beschreiben. Der Unterschied besteht dann nur in der Federkonstanten. cb =

F . f

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

361

Diese, als Belastung durch Verschiebung am Lastangriff definiert, lässt sich allerdings nicht so einfach wie bei den Längsschwingern berechnen, weil die Durchbiegung unter der Last die Lösung der Differentialgleichung der Biegelinie ist. Die wichtigsten Gleichungen für die Durchbiegung konstanter Trägerquerschnitte sind u.a. im Band 2 (Tabelle 11) zu finden. Für das Belastungsschema nach Abb. 9-12a gilt für die Durchbiegung unter der Last: ymax = f =

F ·l3 3·E·I

Damit wird die Biegefederkonstante als Quotient aus Belastung und Verformung unter der Last für diese Lastannahme cb =

3·E·I F . = f l3

Mit der Abwandlung der Grundgleichungen (9-2) und (9-3) y¨ +

cb ·y = 0 m

lässt sich die Eigenfrequenz für diesen speziellen Fall zu ω0 =

r

cb = m

s

3·E·I l3 ·m

berechnen. Zu beachten ist dabei, dass die so gewonnenen Gleichungen nur für konstante Querschnitte gelten, so dass sie für die Biegeschwingungen von Wellen, für die diese Einschränkung meist nicht zutrifft, so nicht angewendet werden können. Dafür steht eine Vielzahl von speziellen Rechenprogrammen zur Verfügung. Für die einfache Handrechnung kann auf das graphische (ungeliebte) Verfahren nach Mohr oder das elegante (wenig genutzte) analytische Verfahren nach Föppl mit vertretbarem Zeitaufwand zurückgegriffen werden. Die Anleitung dazu findet man u.a. im Band 2, Kapitel 4. Die für Biegeschwingungen häufig erforderliche Berücksichtigung der mitschwingenden Federmasse ist grundsätzlich auf dem im Abschnitt 9.3.1 gezeigten Weg näherungsweise möglich, gestaltet sich aber mathematisch aufwendiger, weil die Biegeverformung durch eine Differentialgleichung beschrieben werden muss. Für die in Abb. 9-12 gezeigten Modelle ergeben sich Zuschläge von 33/140·mF ≈ 0,236·mF für den Schwinger nach Abb. 9-12a, 17/35·mF ≈ 0,486·mF für den Schwinger nach Abb. 9-12b und 13/35·mF ≈ 0,371·mF für den nach Abb. 9-12c.

362

9 Mechanische Schwingungen m

a

b

m

l

l/2

m

l/2

c l/2

l/2

Abb. 9-12: Biegeschwinger

Die Ableitung der Gleichung für die näherungsweise Masseberücksichtigung des Freiträgers nach Abb. 9-12a sowie die Grenzen der Methode für die Abschätzung des Einflusses der Trägermasse auf die Eigenkreisfrequenz bei außermittiger Belastung des Trägers auf zwei Stützen sind in [51] beschrieben. Beispiel (Abb. 9-13) Die skizzierte Bühne ist mit der Masse m belastet und besteht aus zwei I-Trägern. Sie ist links gelenkig gelagert und rechts mit einem Stahlseil in der Mitte abgehängt. Zu bestimmen ist die Eigenfrequenz des Systems für folgende Werte: Träger I 140 Länge Seil Länge metallischer Querschnitt E-Modul Winkel Masse

γ

l = 3,00 m L = 2,00 m A = 60 mm2 E = 6·104 N/mm2 γ = 30◦ m = 400 kg

L

m

l/2

l/2 Abb. 9-13: Abgehängte Bühne

Lösung Zuerst soll die Ersatzfederkonstante des aus der elastischen Bühne und dem Seil

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

363

gebildeten Systems ermittelt werden. Für einen Träger gilt (Band 2, Tabelle 11) cb =

48·E·I . l3

Dabei ist nach Tabelle 11 Band 2: I = Ix = 573 cm4 . Damit ist cb =

48·2,1·107 N/cm2 ·573 cm4 100 cm · = 2,14·106 N/m. 3003 cm3 1m

Die Bühne besteht aus zwei Trägern. Deshalb ist die Federkonstante der Bühne cB = 2·cb = 4,28·106 N/m. Jetzt muss die elastische Wirkung der Seilaufhängung an der Stelle der Masse berechnet werden. Dazu ist es notwendig, die Federkonstante des Seils zu bestimmen. Die Definition für den E-Modul ist (s. Band 2, Kapitel 2) E=

σ F ·l = . ε A·∆l

Daraus folgt unmittelbar für das Seil cS =

F E·A 6·104 N/mm2 ·60mm2 103 mm = = · = 1,8·106 N/m. ∆L L 2·103 mm m

Für die Berechnung der Federkonstanten der Aufhängung wird der Doppelträger als starr angenommen. An der Stelle der Masse m wird eine Kraft F eingeführt und die durch sie verursachte Verlagerung y der Masse berechnet (Abb. 9-14) cA =

F . y

(1)

FB l/2

l/2 y

2y

∆l B

F

FF γ

Abb. 9-14: Zur Bestimmung der Federkonstanten der Bühne

364

9 Mechanische Schwingungen

Der Strahlensatz liefert die Verlagerung des Punktes, an dem das Seil angreift. Den Zusammenhang zwischen F und der Federkraft FF erhält man aus einer statischen Gleichgewichtsbedingung, am einfachsten aus der Momentengleichung für das Gelenk l F · − FF · cos γ·l = 0 =⇒ F = 2·FF · cos γ 2

(2)

Das ist die Verknüpfung von Massen- und Seilkraft. Weiter gilt FF = cS ·∆l;

∆l = 2·y· cos γ .

Die Beziehung (2) liefert F = 4·cS ·y· cos2 γ und mit (1) cA = 4·cS · cos2 γ = 5,40·106 N/m. Es ist die Frage zu klären, wie die elastischen Elemente „Bühne“ festen Auflager rechts, sind die Deformationen durch die Seilaufhängung größer geworden. Demnach ist es eine Hintereinanderanordnung nach Abschnitt 9.3.2. Nach Gleichung (9-11) ist die Ersatzfederkonstante 1 cers

1 1 = + = cA cB



1 1 + 5,40·106 4,28·106



m , N

cers = 2,39·106 N/m. Der oben zitierten Stahltabelle entnimmt man für den Träger I 140 eine Masse von 14,4 kg/m. Für beide Träger ist mTr ≈ 2·3 m·14,4 kg/m ≈ 86 kg. Dieser Wert erscheint zu groß, um vernachlässigt zu werden. Nach Abschnitt 9.3.1 (Abb. 9-12b) wird für den Fall einer unelastischen Lagerung das 0,486fache der Trägermasse als voll mitschwingend angenommen. Da durch das Seil die Federkonstante der Bühne etwa halbiert wird (2,39 gegenüber 4,28) und damit die rechten Teile der Bühne verstärkt an der Schwingung teilnehmen, erscheint es sinnvoll, die volle Trägermasse als mitschwingend zu betrachten.

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

365

Damit ist m = 486 kg. Nach den Gleichungen (9-2)/(9-7) erhält man für die Eigenfrequenz ω0 =

9.3.4

r

cers = m

s

2,39·106 N/m = 70,1 s−1 ; 486 kg

f0 =

ω0 = 11,2 s−1 . 2π

Pendelschwingungen

In diesem Abschnitt sollen Schwingungen untersucht werden, bei denen die Rückstellkraft Fr ganz oder zum Teil von der Gewichtskraft aufgebracht wird. Darunter fällt die Behandlung des Pendels. Abb. 9-15 zeigt solche Pendel im ausschwingenden Zustand. A

Abb. 9-15: Freigemachte Pendel

A

ϕ

lS

ϕ l Fr = m·g·sin ϕ

Fz = m·lS·ϕ˙ 2 ϕ FT = m·lS·¨ S

FT = m·l·¨ ϕ Fr = m·g·sin ϕ MT = Js·¨ ϕ m·g·cos ϕ FG = m·g m·g·cos ϕ FG = m·g a mathematisches Pendel

b physisches Pendel

Zunächst wird die Schwingungsgleichung des mathematischen Pendels nach Abb. 9-15a abgeleitet. Ein solches Pendel besteht aus einer punktförmig angenommenen Masse (Punktmasse) und einem masselosen Faden. Im nach rechts ausschwingenden Zustand ist die Rückstellkraft Fr = m·g· sin ϕ die tangentiale Komponente der Gewichtskraft. Die d’Alembertsche Trägheitskraft ist hierbei P FT = m·at = m·l·ϕ. ¨ Die Gleichgewichtsbedingung F = 0 führt auf m·l·ϕ¨ + m·g· sin ϕ = 0.

Das ist wegen sin ϕ eine nichtlineare Differentialgleichung. Mit einfachen Mitteln ist diese Gleichung nur für kleine Amplitudenwinkel ϕ lösbar, wenn man die

366

9 Mechanische Schwingungen

bekannte Reihenentwicklung der Sinusfunktion sin ϕ = ϕ −

ϕ3 ϕ5 + − +··· 3! 5!

nach dem ersten Glied abbricht, so dass sin ϕ ≈ ϕ gilt. Damit wird dann l·ϕ¨ + g·ϕ = 0. Im Aufbau entspricht diese Beziehung der Gleichung (9-1). Für die Lösung wird analog vorgegangen g ϕ¨ + ·ϕ = 0, l ϕ ¨ + ω02 ·ϕ = 0, ω0 =

r

(9-12) g . l

(9-13)

Damit beträgt die Zeit für eine Vollschwingung ω0 ·T = 2π;

T = 2π

s

l . g

(9-14)

Die Beziehung gilt für kleine Amplituden. Bei technischen Schwingungen ist diese Bedingung normalerweise erfüllt. Beim Aufstellen der Bewegungsgleichung für den physischen Schwinger nach Bild 9-15b wird analog vorgegangen: Im Schwerpunkt werden, neben den Gewichtskomponenten, die d’Alembertschen Reaktionen entgegengesetzt der Bewegungsrichtung eingetragen, FT = m·at = m·lS ·ϕ; ¨ FZ = m·an = m·lS ·ϕ˙ 2 ; MT = JS ·α = JS ·ϕ. ¨ Die Momentengleichung für den Aufhängepunkt A lautet JS ·ϕ¨ + m·lS2 ·ϕ¨ + m·g·lS · sin ϕ = 0. Wie beim mathematischen Pendel ist die Gleichung mit einfachen Mitteln nur für kleine Amplituden lösbar, d.h. für sin ϕ ≈ ϕ.

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

367

Mit JA = JS + m·lS 2 (Steiner-Satz) erhält man JA ·ϕ¨ + m·g·lS ·ϕ = 0,

=⇒

ϕ ¨+

m·g·lS ·ϕ = 0. JA

Diese Beziehung entspricht der Gleichung (9-12). Die Eigenkreisfrequenz ist ω0 =

s

m·g·lS . JA

(9-15)

Durch Gleichsetzen der Eigenfrequenzen für das mathematische und das physische Pendel g m·g·lS = l JA erhält man mit l = lred =

JA m·lS

die reduzierte Pendellänge eines physischen Pendels. Für den Punkt, den die reduzierte Länge im physischen Pendel fixiert (Abstand vom Drehpunkt), stimmen die Geschwindigkeiten beider Pendel überein. Mit der reduzierten Länge lässt sich für die Eigenfrequenz auch schreiben ω0 =

r

g . lred

(9-16)

Mit Hilfe der Beziehungen für das physischen Pendel lassen sich besonders einfach experimentell die Massenträgheitsmomente von Körpern ermitteln (siehe Beispiel 2). Beispiel 1 (Abb. 9-16) Es gibt Schwingungsmessgeräte (z.B. Seismographen), in die federgelagerte Massen mit niedriger Eigenfrequenz eingebaut sind. Das Modell einer solchen Masse ist hier skizziert. Allgemein und für die unten gegebenen Daten ist die Federkonstante c für eine vorgegebene Eigenfrequenz f0 zu bestimmen. Masse (homogen) m = 100 kg;

l = 0,50 m;

f0 = 2,0 s−1 .

Die Masse der Stützstäbe soll nicht berücksichtigt werden.

368

9 Mechanische Schwingungen 2l m c

c

l

γ Abb. 9-16: Schwinger mit niedriger Eigenfrequenz

Lösung Obwohl es sich hier um eine Pendelbewegung handelt, beschreibt die Masse m eine Schiebung. Ihre Lage bleibt während eines Zyklus zur Ausgangslage parallel. Aus diesem Grunde geht das Massenträgheitsmoment nicht ein. Deshalb kann man sich die Masse in ihrem Schwerpunkt vereinigt denken. Nach dieser Überlegung wird das System nach Abb. 9-17 freigemacht. Die Schrägstellung der Federn wird, wie im Abschnitt 9.3.2 gezeigt, berücksichtigt. Dabei ist FFt der tangentiale Anteil der Federkraft (senkrecht zur Stütze) FF = 2·c· cos γ·l·ϕ. P

Die Momentengleichung gung

MA = 0 ergibt die Differentialgleichung der Schwin-

m·l2 ·ϕ¨ + 2·c· cos2 γ·l2 ·ϕ − m·g·l· sin ϕ = 0 m·l·ϕ ¨ + (2·c·l· cos2 γ − m·g)·ϕ = 0.

Normalform ϕ ¨+





g 2·c ·ϕ = 0 . · cos2 γ − m l

Die Klammer ist das Quadrat der Eigenfrequenz ω02 =

2·c g · cos2 γ − = (2·π·f0 )2 . m l

FT = m·l·¨ ϕ m FFt = 2·c·cos2 γ·l·ϕ Fm = m·g·sin ϕ

ϕ l A

Abb. 9-17: Freigemachter Schwinger

(1)

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

369

Der erste Summand enthält den Einfluss der Federung auf die Masse, der zweite den der Schwerkraft. Da ω0 > 0 sein muss, ist das Kriterium für ein schwingfähiges Gebilde g 2·c · cos2 γ > . m l

(2)

Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kippt das System zur Seite, weil die Rückstellkräfte zu klein sind. Wird f0 vorgegeben, ist die Ungleichung (2) ohnehin erfüllt. Die Gleichung (1) führt auf die allgemeine Lösung

c=





g ·m l . 2· cos2 γ

(2·π·f0 )2 +

Für tan γ = 1/2 erhält man mit cos2 γ = 0,80

c=

"

(2·π·2,0 s

#

9,81 m/s2 ·100 kg ) + 0,50 m

−1 2

2·0,80

= 1,11·104 N/m = 11,1 N/mm.

Die Federn müssen so vorgespannt werden, dass bei der vorgesehenen Amplitude keine Feder vollständig entlastet ausknickt. Beispiel 2 (Abb. 9-18) Für das skizzierte Pleuel, Masse m = 0,80 kg, l = 255 mm, sollen durch einen Pendelversuch die Lage des Schwerpunktes, die Größe des Massenträgheitsmomentes, bezogen auf die Schwerpunktachse, und der Trägheitsradius für die Schwerpunktachse bestimmt werden. Dazu wird das Pleuel einmal auf die Schneide im Punkt A und einmal im Punkt B gehängt, in Schwingungen kleiner Amplituden versetzt und die Schwingungszeiten gemessen. Dabei ergeben sich die folgenden Kreisfrequenzen: ωA = 7,58 s−1 , ωB = 8,05 s−1 . A

lA l S lB B

Abb. 9-18: Pleuel-Pendel

370

9 Mechanische Schwingungen

Lösung Gemäß Gl. (9-15) wird ωA = mit

s

m·g·lA JA

und ωB =

s

m·g·lB , JB

l = lA + lB

und dem Steiner-Satz 2 JA = JS + m·lA

2 und JB = JS + m·lB .

Das sind fünf Gleichungen für die fünf unbekannten Größen lA , lB , JA , JB und JS . Rechnet man nach Gl. (6-10) mit dem Trägheitsradius i JS = m·i2S

(1)

erhält man 2 ωA =

m·g·lA 2) m·(i2S + lA

(2)

2 ωB =

m·g·lB 2) m·(i2S + lB

(3)

bzw.

mit den unbekannten Größen lA , lB , und iS . Die Gleichungen (2) und (3) nach dem Trägheitsradius umgestellt i2S =

g·lA g·lB 2 2 2 − lA = ω 2 − lB ωA B

(4)

und mit: lB = l − lA :

g g 2 ·lA − lA = 2 ·(l − lA ) − (l − lA )2 2 ωA ωB g g g 2 2 ·lA − lA = 2 ·l − 2 ·lA − l2 + 2·l·lA − lA , 2 ωA ωB ωB

i2S =

geordnet g g + 2 − 2·l lA · 2 ωA ωB

!

!

g = l· 2 −l , ωB

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

371

durch g dividiert und umgestellt: l 1 2 − g ωB ·l. lA = 1 1 2·l 2 + ω2 − g ωA B

(5)

Zur Kontrolle der Lösung wird ωA = ωB = ω gesetzt. Damit wird: 1 l l 1 − − 1 ω2 g ω2 g  ·l = ·l,  lA = ·l = l l 2 1 2 − 2· − 2· ω2 g ω2 g was bei gleichen Kreisfrequenzen die logische Konsequenz ist. Mit den Zahlenwerten wird dann aus Gleichung (5): 0,255 m·s2 1 s2 − 8,052 9,81 m lA = ·0,255 m = 0,1406 m = 140,6 mm, 2 1 s2 0,255 m·s2 1s + − 2· 7,582 8,052 9,81 m lB = 0,255 m − 0,1406 m = 0,1144 m = 114,4 mm. Die Gleichung (4) ergibt iS =

s

9,81 m·s2 2 ·0,1406 m − 0,14062 m = 0,065 m = 65,0 mm. 2 7,582 s

Mit (1) erhält man 2

JS = m·i2S = 0,80 kg·0,0652 m = 3,381·10−3 kg·m2 .

9.3.5

Dreh- und Torsionsschwingungen

Die Begriffe Drehschwingungen und Torsionsschwingungen werden meist synonym verwendet. Während man jedoch z.B. bei einem Pendel mit Federanbindung von einem (federgefesselten) Drehschwinger (und damit von einer Drehschwingung) spricht, ist die aus der Verdrehung eines Stabes resultierende Schwingung die Torsionsschwingung im eigentlichen Wortsinn. Bei dem in Abb. 9-19 dargestellten Drehschwinger ist eine starre Scheibe drehbar auf der Welle A gelagert und wird von einer Drehfeder gehalten. Diese erzeugt

372

9 Mechanische Schwingungen

cd

S Abb. 9-19: Drehschwinger

bei Auslenkung ein Rückstellmoment, das proportional zum Verdrehwinkel ϕ ist M ∼ ϕ. Nach Einführung der Proportionalitätskonstante (Drehfederkonstante) cd ist M = cd ·ϕ, cd =

M . ϕ

(9-17)

Die Federkonstante für die Verdrehung hat die Maßeinheit N m/rad und entspricht somit dem zur Verdrehung des Drehschwingers um 1 rad erforderlichen Drehmoment. Um die Schwingungsgleichung aufstellen zu können, ist es notwendig, das System im ausgelenkten Zustand freizumachen. Nach Abb. 9-20 werden im Schwerpunkt die d’Alembertschen Reaktionen eingeführt, wobei zu beachten ist, dass das Moment der Gewichtskraft in der statischen Ruhelage von der Federvorspannung aufgenommen wird. In der ausgelenkten Position verändert sich das Moment entsprechend Abb. 9-20; d.h. MG = FG ·lS ·sin(β + ϕ) − FG ·lS · sin β Mr = cd·ϕ FT = m·lS·¨ ϕ

A

lS

S

β S FG

FG′

MT = JS·¨ ϕ FZ = m·lS·ϕ˙ 2 ϕ ϕ=0

Abb. 9-20: Freigemachter Drehschwinger

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

373

bzw. MG = FG ·lS ·[sin(β + ϕ) − sin β]. Mit dem Additionstheorem für sin(β + ϕ) wird MG = FG ·lS ·(sin β· cos ϕ + cos β· sin ϕ − sin β). Für kleine Ausschläge gilt sin ϕ ≈ ϕ und cos ϕ ≈ 1.

Mit diesen Bedingungen wird das Moment der Gewichtskraft MG = FG ·lS · cos β·ϕ. Das Momentengleichgewicht um A ergibt m·lS2 ·ϕ ¨ + JS ·ϕ ¨ + cd ·ϕ + FG ·lS · cos β·ϕ = 0, (JS + m·lS2 )ϕ¨ + cd ·ϕ + FG ·lS · cos β·ϕ = 0. Der Ausdruck in der Klammer ist nach dem Steinerschen Satz gleich dem Massenträgheitsmoment bezogen auf A. JA ·ϕ¨ + cd ·ϕ + FG ·lS · cos β·ϕ = 0, ϕ ¨+

cd + FG ·lS · cos β ·ϕ = 0. JA

(9-18)

Liegt der Massenmittelpunkt auf der Drehachse des Körpers, vereinfacht sich wegen lS = 0 die Gleichung (9-18) zu ϕ ¨+

cd ·ϕ = 0. JA

(9-19)

Diese Beziehung entspricht der Gleichung (9-3) und bestätigt nochmals die vielfach zitierte Analogie der einzelnen Größen von Schiebung und Drehung. Sie zeigt weiter, dass die Momentengleichung für das Kräftesystem einschließlich der d’Alembertschen Reaktionen bezogen auf die Drehachse die Differentialgleichung der Schwingung ist. Es muss gelten ω0 =

r

f0 =

ω0 1 = · 2π 2π

cd JA

(9-20)

oder r

1 cd = JA T

(9-21)

374

9 Mechanische Schwingungen

und damit 2π = 2π· T = ω0

s

JA . cd

(9-22)

Analog lässt sich mit Gl. (9-18) zur Ermittlung der Eigenfrequenz ω0 =

s

cd + FG ·lS · cos β , JA

(9-23)

für den Drehschwinger nach Bild 9-19 verfahren. Für viele Anwendungen ist die Gl. (9-20) hinreichend genau, auch wenn die Gewichtskraft nicht im Drehpunkt angreift (so auch Beispiel 2, Abb. 9-30). Dies gilt allerdings nicht bei einem Winkel β ≈ 0◦ bzw. 180◦ (siehe Abb. 9-20) in Verbindung mit größeren Abständen zwischen Dreh- und Schwerpunkt und größeren Gewichtskräften. Im Beispiel l (Abb. 9-16), das auch nach Gl. (9-23) gerechnet werden kann, ist der Anteil der Gewichtskraft – wie dort schon kommentiert – nicht vernachlässigbar. Um die Gl. (9-23) auf ein Problem gemäß Abb. 9-21 anwenden zu können, muss nur die Drehfederkonstante nach Gl. (9-17) cd =

Mr FF ·r c·r·ϕ·r = = = c·r 2 ϕ ϕ ϕ

c ∆l = r·ϕ r

ϕ

A

Abb. 9-21: Federgefesselter Drehschwinger

an die entsprechende Federanordnung angepasst werden. Für zwei schräge Federn entsprechend Abb. 9-16 gilt dann cd = 2·c·r 2 · cos2 γ.

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

375

Mit r = lS = l; FG = m·g und JA = m·l2 wird ω0 =

s

2·c·l2 · cos2 γ + m·g·l· cos β m·l2

und mit β = 180◦ schließlich ω0 =

r

g 2·c · cos2 γ − . m l

Dies ist die Gleichung für die Eigenfrequenz des Schwingungsmessgerätes nach Abb. 9-16. Aufgrund der geometrischen Vereinfachungen ist auch sie nur für kleine Ausschläge und für lange Federn anwendbar. Die maximale Winkelgeschwindigkeit des Schwingers beim Null-Durchgang ist analog zur Gleichung (9-8) ωmax = ϕ˙ max = ϕmax ·ω0 .

(9-24)

Die maximale Winkelbeschleunigung ist αmax = ϕ ¨max = −ϕmax ·ω02 .

(9-25)

Die in den Abbildungen 9-19/9-21 exemplarisch gezeigte Anordnung – bestehend aus drehbar gelagerter Masse, gehalten durch die unterschiedlichsten Federanordnungen (oft auch Dämpfer) bezeichnet man auch als federgefesselten Drehschwinger. Ein Großteil der beweglichen Teile einer Maschine sind federgefesselte Drehschwinger. Damit sind für den Konstrukteur die Möglichkeiten Resonanzschwingungen im System zu „erzeugen“ sehr groß und meist nur durch Neukonstruktion des betreffenden Bauteils zu beheben. Werden die Rückstellkräfte durch die elastische Verdrehung (Torsion) von Wellen hervorgerufen, spricht man im Allgemeinen von Torsionsschwingungen. Diese stellen einen Schwingungseffekt dar, der durch die sich überlagernde Drehbewegung in der Regel nicht wahrgenommen werden kann. Die dadurch verursachten Schäden an Lagern und Wellen werden häufig erst bei Revisionen oder auch erst im Versagensfall erkannt. Bei der Modellbildung zur Beschreibung der Torsionsschwinger unterscheidet man gefesselte Modelle (Abb. 9-22) und freie Modelle (Abb. 9-23a). Da Massenträgheitsmomente und Federkonstanten der Welle existieren, gibt es auch

376

9 Mechanische Schwingungen

d

l

J

Abb. 9-22: Torsionsschwinger

eine Eigenfrequenz. Für den Torsionsschwinger nach Abb. 9-22 berechnet man die Federkonstante ct aus der Verdrehungsgleichung (Band 2, Kapitel 6) ϕ=

Mt ·l G·It

=⇒

ct =

Mt G·It = ϕ l

(9-26)

und analog der Gl. (9-20) die Eigenkreisfrequenz ω0 =

s

G·It . l·J

(9-27)

G ist der Gleitmodul (Stahl: G ≈ 8·104 N/mm2 ). Für den Kreisquerschnitt ist das Torsionsflächenmoment It gleich dem polaren Flächenmoment IP . It hat für andere Querschnitte keinen Zusammenhang mit dem Flächenmoment. Für die wichtigsten Anwendungsfälle ist diese Größe im Band 2; Tabelle 13 gegeben. Für hintereinander angeordnete Torsionsfedern (z.B. abgesetzte Wellen) gilt die Gleichung (9-11). Das Grundmodell einer Zahnradwelle zeigt die Abb. 9-23. Eine Torsionsschwingung kann dadurch eingeleitet werden, dass beide Enden gegenseitig verdreht und losgelassen werden. Vor Schwingungsbeginn war der Drall null. Da kein MoP ment von außen einwirkt, gilt der Drallerhaltungssatz J·ω = konst. Diese Überlegung führt auf JA ·ϕ˙ A − JB ·ϕ˙ B = 0,

=⇒

JA ·ϕ˙ A = JB ·ϕ˙ B .

Bei der gegenseitigen Verdrehung der Massen während der Schwingung wird ein Querschnitt des Stabes nicht verdreht. Diesen Schnitt nennt man Knoten. Aus geometrischen Beziehungen erhält man nach Abb. 9-23a ϕA lA = ϕB lB

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

377

ϕA JA

ϕB

JB JA JB a

lA

lB

l

b

lA

lB

Abb. 9-23: Torsionsschwinger mit zwei Massen

und damit nach der Differentiation der Winkel nach der Zeit lA JB ϕ˙ A = = . ϕ˙ B lB JA Der Knoten teilt den Stab in zwei Abschnitte ein, deren Längen sich umgekehrt wie die dazugehörigen Massenträgheitsmomente verhalten. Der Knoten liegt näher an dem Schwinger mit dem größeren Trägheitsmoment. Da der Knoten in Ruhe ist, kann man ihn als Einspannung eines Teilsystems nach Abb. 9-23b auffassen. Aus ω0A =

r

ct = JA

s

G·It lA ·JA

und ω0B =

r

ct = JB

s

G·It lB ·JB

erhält man mit der obigen Proportion das einleuchtende Ergebnis ω0A = ω0B = ω0 . Beide Massen schwingen jeweils entgegengesetzt mit gleicher Frequenz. Führt man in lA + lB = l die Beziehung lA = lB ·JB /JA ein und setzt lB in die Gleichung für ω0B = ω0 ein, dann erhält man für das System ω0 =

s

ct





1 1 + . JA JB

(9-28)

Mit JB → ∞ wird aus dem freien Zweimassenschwinger ein gefesselter Einmassenschwinger nach Abb. 9-22 mit der Eigenkreisfrequenz nach Gl. (9-20). Es existiert also für dieses Modell zweier ungefesselter Massen nur eine Eigenfrequenz. Das erlaubt die Berechnung analog dem gefesselten Einmassenschwinger. Theoretisch existieren aber für diesen ungefesselten Zweimassenschwinger auch zwei Eigenfrequenzen, von denen die erste immer Null ist. Das ist typisch für

378

9 Mechanische Schwingungen

ungefesselte Systeme, für die eine Starrkörperbewegung möglich ist. Damit ist eine Drehung der Welle ohne elastische Verformung gemeint, bei der sich beide Scheiben um den gleichen Winkel drehen. Das ist aber keine Schwingung bzw. eine „Schwingung mit der Eigenfrequenz Null“. Allgemein gilt, dass sich für jeden Schwinger so viele Eigenfrequenzen berechnen lassen, wie Massen im Modell zugrunde gelegt werden. In Getrieben begrenzen sich die Torsionsschwingungen nicht auf die einzelne Welle; sie werden über den gesamten Antriebsstrang weitergeleitet. Deshalb müssen zur Schwingungsberechnung die kompletten Systeme untersucht werden. Dabei wird für das Original ein Ersatzmodell mit einer einheitlichen Welle (sog. Bildwelle) mit gleichen mechanischen Eigenschaften, wie das Original verwendet. Eine solche Umrechnung bezeichnet man auch als Reduktion. Auch für die Untersuchung der Torsionsschwingungen an abgesetzten Wellen, nicht zylindrischen (z.B. konischen), nicht symmetrischen (z.B. gekröpften) Wellen wird auf eine glatte Modellwelle umgerechnet. a) Reduktion von Wellenstücken Bei der Veränderung des Modellwellendurchmessers gegenüber dem Original muss die Federenergie entsprechend Abb. 8-4 und Gleichung (8-5) 1 EF = Epot = ·ct ·∆ϕ2 2 erhalten bleiben. Damit schreiben wir für die Reduktion zylindrischer Wellenstücke gemäß Abb. 9-24a d1 , l1 d2

d1 = d0 lred

l2 a) zylindrisches Wellenstück

d d0

b) zylindrisches Wellenstück mit Längsnut

Abb. 9-24: Reduktion eines zylindrischen Wellenstückes

ct red = cti ⇒

G·Ipi G·Ip0 = . lred li

(9-29)

Der Index 0 steht für den gewählten Bezugsdurchmesser d0 (in Abb. 9-24a ist d0 = d1 willkürlich festgelegt). Aus der obigen Gleichung ergibt sich

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

379

die Lösung für die reduzierte Länge für diesen Wellenabschnitt: lred



d0 Ip0 = li · = li · Ipi di

4

(9-30)

.

Die reduzierte Länge ist eine reine Rechengröße. Wird bei gleicher Länge ein Wellendurchmesser auf einen größeren umgerechnet, wird – bei gleichem Drehmoment – der Verdrehwinkel kleiner. Das heißt, dass die Drehfederkonstante größer, die Feder härter wird. Zur Beibehaltung der ursprünglichen Federhärte muss (damit die Feder weicher wird) die Länge der Ersatzfeder größer werden. Da die Durchmesser im Gegensatz zur Länge in der 4. Potenz eingehen, ergeben sich für lred schnell rechnerische Längen von mehreren Metern. Für eine Hohlwelle gilt mit dem Außendurchmesser da und Innendurchmesser di : lred = li ·

d40 . d4a − d4i

(9-31)

Das Wellenstück mit Längsnut (Abb. 9-24b) ist gleichwertig einem glatten Wellenstück gleicher Länge mit dem Bezugsdurchmesser d0 . Für die Reduktion nicht zylindrischer Wellenstücke gilt allgemein lred =

Zl 0

Ip0 dx , Ipi

speziell gilt mit Abb. 9-25 für kegelige Wellenstücke dg

dk

d0 lred

l Abb. 9-25: Reduktion von Wellenstücken

lred

l = · 3

d0 dg

!4

·

"

dg dk

3

+



dg dk

2

dg + dk

#

.

(9-32)

b) Reduktion von Getriebestufen Die Torsionsschwingungen werden durch Zahnradgetriebe weitergeleitet. Die Drehmassen (Massenträgheitsmomente) bilden zusammen mit den

380

9 Mechanische Schwingungen über ein spielfreies Zahnradgetriebe verbundenen Wellen ein schwingungsfähiges System (Abb. 9-26). Die Drehung mit n1 bzw. n2 hat keinen Einfluss auf die Drehschwingung. Zur Ermittlung der Eigenfrequenz kann man das System unbeschadet stillsetzen. Die Massenträgheitsmomente der Zahnräder sind dabei meist vernachlässigbar; wie auch deren Elastizität (jeder Zahn ist ein schwingfähiger Balken). D.h. die Wellen und die Zahnräder werden als masselos betrachtet; die Zahnräder als starr. Es ist ein gleichwertiges Ersatzsystem, bestehend aus zwei Drehmassen auf gemeinsamer Welle gemäß Abb. 9-26b zu finden.

JA

J2

J1

dA rA dC rC

lA

ct

d0

JC

l

lC

a) Schwingungsmodell

b) Bildwelle

Abb. 9-26: Getriebestufe mit Ersatzsystem

Für das Ersatzsystem wird die Eigenkreisfrequenz nach der Gleichung (9-28) bestimmt. Deshalb muss eine Welle kinetisch gleichwertig auf die andere umgerechnet werden. Von welcher auf welche das geschieht ist dabei gleich. Hier soll das System C auf das System A verlagert werden. Dazu sind die Federkonstante (Ersatzfederkonstante) und das Massenträgheitsmoment des Ersatzsystems zu berechnen. Man denkt sich die Masse C eingespannt und leitet an der Masse A ein Moment MA ein. In der Abb. 9-27 sind die dabei entstehenden Verdrehwinkel über der Wellenachse aufgetragen. Die Gesamtverdrehung der Welle C ist ϕC . Durch den Zahnradeingriff wird ϕC im Verhältnis der übersetzung geändert auf die Welle A übertragen. Die Verdrehung der Welle A (∆ϕA ) baut sich auf diesem Wert auf. So ergibt sich ϕA = ∆ϕA +

rC ·ϕC . rA

Das Ersatzsystem hat das gleiche elastische Verhalten, wenn sich bei Belastung durch MA der gleiche Verdrehwinkel ϕA ergibt. Dabei ist zu beachten,

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

381

ΔϕA rC ·ϕC rA

ϕA MA

cTA ϕC

cTC

Abb. 9-27: Zur Ableitung der Federkonstanten der Bildwelle

dass in der Welle C infolge der Übersetzung das Moment MA ·rC /rA wirkt MA rC MA ·rC /rA MA = + · ct ers ct A rA ctC Somit erhält man für die Ersatzfederkonstante 1 ct ers



1 1 rC = + · ctA ctC rA

2

.

(9-33a)

Für die Umrechnung auf das System C ergibt sich entsprechend dem oben gezeigten Vorgehen 1 ct ers

=



1 rA · ctA rC

2

+

1 . ctC

(9-33b)

Die Umrechnung des Massenträgheitsmomentes JC auf die Welle A erfolgt gemäß der Gleichung (6-24) 

rA J2 = JC · rC

2

.

(9-34a)

bzw. JA auf die Welle C umgerechnet: 

rC J1 = JA · rA

2

.

(9-34b)

Hinweis: Würde man auch die Massenträgheitsmomente der Zahnräder berücksichtigen, wäre die Bildwelle ein ungefesseltes Drei-Massenmodell mit zwei Eigenfrequenzen ungleich Null. Die Berechnung von Mehrmassenmodellen erfolgt zweckmäßig auf der Grundlage der Matrizenrechnung mit entsprechenden Rechenprogrammen. An dieser Stelle sei auf die entsprechende Spezialliteratur zur Maschinendynamik oder der Rotordynamik (z.B. [38], [51]) verwiesen.

382

9 Mechanische Schwingungen

Beispiel 1 (Abb. 9-28) Skizziert ist ein System, das ein vereinfachtes Modell eines auf vier Schwingachsen gelagerten Wagens sein könnte. Dabei sollen die starr angenommenen Räder auf einer glatten Unterlage ruhen. Zu bestimmen sind in allgemeiner Form: a) Die Eigenfrequenz für eine translatorische Schwingung der homogenen Masse mW in vertikaler Richtung (ein Freiheitsgrad; kleine Amplituden). Die Massen von Rad und Achse mR sind zu berücksichtigen. b) Die durch die Schwingung verursachte Kraft FA im Gelenk A beim Nulldurchgang und im Totpunkt. mW mR

mR c

c A e

l

Abb. 9-28: Modell Wagen/Schwingachse

Lösung In diesem Beispiel soll ein aus Massen zusammengesetztes System mit innenliegender Feder grundsätzlich behandelt werden. Im vorliegenden Fall führt eine Masse eine Drehschwingung aus. Der Wagen wird nach Abb. 9-29b im nach unten durchschwingenden Zustand freigemacht. Dabei ist es notwendig, die Teile getrennt darzustellen. Die Richtung der im Gelenk A wirkenden Kraft FA kann angenommen werden. Lediglich „actio = reactio“ muss beachtet werden. Es handelt sich hier um den Anteil der Kraft, der durch die Schwingung verursacht wird. Das gleiche gilt für die Bodenkraft FB . Die statischen Kräfte heben sich gegenseitig auf. Sie bewirken eine Vorspannung der Federn, die die Eigenfrequenz nicht beeinflusst. Die freigemachte Masse mW (Abb. 9-29b) liefert die Gleichung X

Fy = 0 :

e mW ·¨ y + 4·c·y· + 4·FA = 0. l

(1)

Da aus dem System Rad/Achse (Abb. 9-29a) eine Kraft zu bestimmen ist, wird beim Freimachen von den Schwerpunktreaktionen ausgegangen (siehe dazu Abschnitte 6.4.4 und 7.3.3). Die Berechnung von FA erfolgt am einfachsten mit

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

383 y FTW = mW·¨

rS e FF = c·y· l ϕ

S

MT = JRS·¨ ϕ

FA FB

ϕ FTR = mR·rS·¨

e FF =c·y· l

e FF =c·y· l FA

e

b l

a

y

S

I

FA

b

Abb. 9-29: Freigemachtes Modell Wagen/Schwingachse

einer Momentengleichung für Pol I. X

MI = 0 :

e JRS ·ϕ¨ + mR ·rS2 ·ϕ ¨ − c·y· ·b − FA ·l = 0. l

Mit ϕ ¨ = y¨/l erhält man FA = (JRS + mR ·rS2 )·

y¨ e·b − 2 ·c·y 2 l l

und mit dem Steiner-Satz FA =

1 ·(JRI ·¨ y − e·b·c·y) l2

Diese Beziehung wird in (1) eingesetzt e 4 mW ·¨ y + 4·c·y· + 2 ·(JRI ·¨ y − e·b·c·y) = 0. l l Eine Umwandlung und Einführung b = l − e liefert (4·JRI + mW ·l2 )·¨ y + 4·e2 ·c·y = 0 4·e2 ·c ·y = 0. y¨ + 4·JRI + mW ·l2 Der Faktor von y ist das Quadrat der Eigenkreisfrequenz ω0 =

s

4·e2 ·c . 4·JRI + mW ·l2

Für e = 0 erhält man als Kontrolle ω0 = 0.

(2)

384

9 Mechanische Schwingungen

Die Gelenkkraft FA kann für jede Lage aus Gleichung 2 berechnet werden. Nulldurchgang:

y = 0;

y¨ = 0

=⇒

FA = 0.

Es wirken nur die statischen Kräfte, die insgesamt Null ergeben. A Totpunkt: y = A; y¨ = −A·ω02 =⇒ FA = − 2 ·(JRI ·ω02 + e·b·c). l Die Kraft muss linear mit der Amplitude A zunehmen, was hier auch zum Ausdruck kommt. Beispiel 2 (Abb. 9-30) Für den abgebildeten Ventiltrieb sind alle Daten bekannt. Zu bestimmen sind a) die Eigenfrequenz des Systems, b) die maximal zulässige Beschleunigung am Nockentrieb bei einsetzender Schließbewegung des Ventils (Stößel voll angehoben) so, dass der Stößel nicht von Nocken abhebt, c) für den Grenzfall (b) die Gelenkkräfte in A ohne Berücksichtigung von Reibungskräften. Massen

Ventil Feder Kipphebel Stößel Trägheitsmoment Kipphebel (bezogen auf Schwerpunkt) Federkonstante Geometrie nach Abb. 9-31/9-32 Abstand Schwerpunkt-Drehachse Winkel Zusammendrückung der Feder bei angehobenem Stößel (Ventil voll geöffnet)

mV mF mK mSt JS

= 130 g = 63 g = 115 g = 65 g = 5,50·10−5 kg m2

c rV rS γ

= 30,0 N/mm = 40 mm; rSt = 28 mm = 6,0 mm = 17◦

∆l = 25 mm.

Lösung Zunächst wird die Schrägstellung von Stößel und Kipphebel untersucht (Abbildung 9-31). Die kinematischen Zusammenhänge mache man sich anhand des Kapitels 4 klar. Der Kugelkopf ist im Kipphebel radial verschieblich. Wegen der Schrägstellung der Stößelbahn unterliegt der Stößel einer Beschleunigung s¨St = rSt ·ϕ/ ¨ cos γ und einer entsprechenden Trägheitskraft FSt . Wegen der längsverschieblichen Führung kann nur die senkrecht zum Radius wirkende Kompo-

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

385 Bewegungsrichtung des Stößels

Kipphebel Kugelkopf B

A

ϕ

rSt·¨ ϕ cos γ γ SSt t = rSt·¨ ϕ

A

Feder

SSt =

rSt

SSt n FSt n

Stößel FSt t = mSt ·rSt ·ϕ ¨

Ventil

γ

ϕ rSt·¨ FSt = mSt· cos γ

Nocken

Abb. 9-30: Nockentrieb

Abb. 9-31: Kinematik des Nockentriebs

nente FSt t = mSt ·rSt ·ϕ¨ auf den Kipphebel übertragen werden. Mit dieser Überlegung wird das System nach Abb. 9-32 freigemacht. Dabei wird auf die Berücksichtigung der Gewichtskraft des Hebels nach Gl. (9-23) wegen des vernachlässigbar kleinen Einflusses verzichtet. Die Momentengleichung für die Drehachse A liefert für solche Systeme die Differentialgleichung der Schwingung. Die Federmasse wird zu einem Drittel als voll mitschwingend angenommen (s. Abschnitt 9.3.1 Abb. 9-7). Zur Vorzeichenfrage wird auf die Abb. 9-1 und die dazugehörige Diskussion verwiesen. 



mF 2 2 mv + rv · ϕ ¨ + mK ·rS2 ·ϕ ¨ + JS ·ϕ ¨ + mSt ·rSt ·ϕ¨ + c·rv2 ·ϕ = 0. 3

Um die in dieser Gleichung enthaltene Eigenkreisfrequenz zu eliminieren, muss man die Beziehung in die Normalform Gl. (9-3) bzw. (9-19)/(9-20) bringen. 





mF 2 2 + c·rv2 ·ϕ = 0, rv + mK ·rS2 + JS + mSt ·rSt ϕ ¨ mv + 3 c·rv2  ·ϕ = 0. ϕ ¨+  mF 2 2 rv + mK ·rS2 + JS + mSt ·rSt mv + 3

386

9 Mechanische Schwingungen MT = JS·¨ ϕ

Bewegungsrichtung FKt = mK·rS·¨ ϕ

FKn = mK·rS·˙ ϕ2

B

rV

40◦

S

rS

FAx

A

27◦

rSt

Tangente der Stößelbahn

◦

27

ϕ FV = (mV +

mF )·rV·¨ ϕ 3

FAy FSt t = mSt·rSt·¨ ϕ

FF = c·rv·ϕ

Stößelbahn γ

Abb. 9-32: Freigemachter Nockentrieb

Der Quotient ist das Quadrat der Eigenkreisfrequenz ω02 =



rS mF + mK · mv + 3 rv

c

2



JS rSt + 2 + mSt · rv rv

2 .

Man erkennt, dass im Nenner die auf den Pol B reduzierten Massen stehen. Man hätte auch von ω02 = c/m ausgehen und nach Gl. (6-11) die Massen reduzieren können. Jedoch sollen hier zusätzlich die während der Schwingung auftretenden Kräfte berechnet werden. Dafür ist ein freigemachtes System notwendig. Mit den oben gegebenen Werten erhält man ω0 = 369,4 s−1

und f0 =

ω0 = 58,8 s−1 . 2π

Im Grenzfall „keine Berührung Stößel/Nocken“ ist das System ein freier Schwinger mit einer Amplitude ∆l am Ventil, denn um diesen Beitrag ist die Feder insgesamt bei voll geöffnetem Ventil zusammengedrückt. Aus dieser Überlegung kann man die Beschleunigung ausrechnen, mit der die Feder den Schließvorgang einleitet. Nach Gl. (9-25) ist ϕ ¨max = −ω02 ·ϕA ; ϕ ¨max = −ω02 ·

ϕA = Amplitudenwinkel

∆l −2 25 mm −2 = −369,42 s · = −8,53·104 s . rv 40 mm

9.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

387

Damit erhält man eine maximale Beschleunigung des Stößels, mit der dieser der wegdrehenden Nocke nachfolgen könnte (s. Abb. 9-31). s¨maxSt =

0,028 m·8,53·104 s rSt ·ϕ¨max = cos γ cos 17◦

−2

= 2497 m/s2 .

Dieser Wert gilt nur für die hier untersuchte Position. Für die Berechnung der Kräfte im Gelenk A werden die noch verfügbaren Gleichgewichtsbedingungen für das System Abb. 9-32 aufgestellt. Da sich der Kipphebel im Umkehrpunkt befindet, ist ϕ˙ = 0. X

Fx = 0

FAx + mK ·rS ·ϕ¨max · sin 40◦ − mSt ·rSt ·ϕ¨max · sin 27◦ = 0 FAx = −ϕ¨max (mK ·rS · sin 40◦ − mSt ·rSt · sin 27◦ ).

FAx = +8,53·104 s

−2

FAx = −32,6 N(←). X

Fy = 0

(0,115·0,006· sin 40◦ − 0,065·0,028· sin 27◦ ) kg m





mF rv ·ϕ¨max + mK ·rS ·ϕ ¨max · cos 40◦ 3 − mSt ·rSt ·ϕ¨max · cos 27◦ = 0.

FAy + c·∆l + mv +

FAy





mF = −c·∆l − ϕ¨max mv + rv + mK ·rS · cos 40◦ 3 − mSt ·rSt · cos 27◦ ] .

FAy = −328,0 N(↓)

Die gegebenen Zahlenwerte führen auf eine Gelenkkraft FA = 330 N. Dieser Wert gilt nur für die untersuchte Position und den Grenzfall des Abhebens des Stößels vom Nocken. Es ging bei diesem Beispiel darum, modellhaft die dynamischen Lagerbelastungen bei einer Schwingung zu berechnen. Beispiel 3 (Abb. 9-26) Das in der Abbildung 9-26a skizzierte System besteht aus den beiden Massen JA und JC , die über eine spielfreie Zahnradübersetzung miteinander verbunden sind. Die Massenträgheitsmomente der Zahnräder sind vernachlässigbar klein.

388

9 Mechanische Schwingungen

Für dieses System ist die Eigenkreisfrequenz der Torsionsschwingung zu berechnen. Die Lösung soll für JA = 0,50 kg m2 lA = 300 mm dA = 40 mm

JC = 0,80 kg m2 lC = 400 mm dC = 50 mm

rC /rA = 2,0

erfolgen. Lösung (Abb. 9-26) Die Ersatzfederkonstante für die Bildwelle nach Abb. 9-26b wird aus den Federkonstanten der beiden Wellen ctA =

G·IpA 8·104 N/mm2 ·π·404 mm4 1m = · 3 = 6,70·104 N m , lA 300 mm·32 10 mm

ctC =

8·104 N/mm2 ·π·504 mm4 1m G·IpC = · 3 = 1,23·105 N m , lC 400 mm·32 10 mm

nach Gleichung (9-33a) zu 1 ct ers

1

=

ctA



1 rC + · ctC rA

2

=



1 1 + 6,70·104 1,23·104



1 . Nm

ct ers = 2,10·104 N m berechnet. Mit den gegebenen Werten erhält man nach Gleichung (9-34a) 1 J2 = 0,80 kg m2 · = 0,20 kg m2 . 4 Die Eigenkreisfrequenz des Ersatzsystems Abb. 9-26b errechnet man aus der Gl. (9-28) ω0 =

s

ct



1 1 + J1 J2

ω0 = 384 s−1 .



=

s

2,10·104 N m



1 1 + 0,50 0,20



1 kg m2

9.4 Die geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung

9.4

389

Die geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung

Eine Schwingung verläuft dann gedämpft, wenn dem Schwingungssystem Energie entzogen wird. Das kann gewollt durch den Einbau eines Schwingungsdämpfers geschehen, oder ungewollt durch die unvermeidbaren Reibungskräfte außen am Schwinger und im Werkstoff der Feder. Die im vorigen Abschnitt abgeleiteten Beziehungen für den ungedämpften Schwinger gelten demnach nicht exakt für ein wirkliches System, sondern mit guter Näherung für geringe Dämpfung und für eine Zeitdauer, in der der Energieentzug noch nicht zu groß ist. Der Energieentzug kann durch trockene Reibung, durch Luft- bzw. Flüssigkeitsreibung und durch innere Reibung im Federwerkstoff erfolgen. In den meisten Fällen werden diese Einflüsse gemeinsam auftreten und nur schwierig oder gar nicht zu trennen sein. Gemeinsam ist aber allen Dämpfungsarten: Die Dämpfungskraft ist stets der Bewegungsrichtung entgegengesetzt. Bei trockener Reibung ist im Gültigkeitsbereich des Coulombschen Reibungsgesetzes die Dämpfungskraft konstant. Dabei muss allerdings für die meist trockenen Reibflächen die Haftungskraft überwunden werden. Die Flüssigkeitsreibung ist im laminaren Bereich (z.B. Ölfilm in Führung) linear von der Geschwindigkeit und im turbulenten Bereich (z.B. umgebende Luft) vom Quadrat der Geschwindigkeit abhängig. Die innere Reibung des Werkstoffes ist in erster Linie vom Werkstoff und der Spannungsamplitude abhängig und im wesentlichen unabhängig von der Frequenz. Aber auch die Schwingungsform (Längs-, Biege-, Torsionsschwingung), die Bauteilform- und -größe, Temperatur sowie die Vorgeschichte (Lastspielzahl) beeinflussen das Dämpfungsverhalten. Es ist für die praktische Anwendung der Schwingungsberechnung unmöglich alle Einflüsse gleichzeitig und in den richtigen Verhältnissen zu berücksichtigen. Aus diesem Grunde ist es notwendig, einen Ansatz zu suchen, der für die meisten Anwendungsfälle den Haupteinfluss richtig wiedergibt. Die in diesem Abschnitt behandelte geschwindigkeitsproportionale Dämpfung tut das weitgehend. Sie hat den weiteren Vorteil, eine Gleichung zu liefern, die lösbar ist. Die Abb. 9-33 zeigt einen Schwinger, der geschwindigkeitsproportional gedämpft ist. Das geschieht durch den in der Flüssigkeit eintauchenden Kolben. Mit dem Drosselventil D kann die Größe der Dämpfungskraft eingestellt werden. Nach der Voraussetzung „geschwindigkeitsproportional“ ist die Dämpfungskraft FD ∼ y, ˙

FD = b·y. ˙

Der Proportionalitätsfaktor b wird Dämpfungskoeffizient oder Dämpfungskonstante genannt; er ist abhängig von der dynamischen Zähigkeit des Dämpferöls

390

9 Mechanische Schwingungen

c

FF = c·y m y

m FT = m·¨ y

D

FD = b·˙y

Abb. 9-33: Geschwindigkeitsproportional gedämpfter Schwinger

und ist somit i.Allg. stark temperaturabhängig. Die Maßeinheit der Dämpfungskonstante ist mit b = FD /y˙ (Kraft durch Geschwindigkeit) gleich N/(m/s) = N·s/m. Diese lässt sich für praktische Berechnungen mit 1 N = 1 kg·m/s2 auch in kg/s umrechnen. Für das mit der Trägheitskraft freigemachte System P nach Abb. 9-33 wird die Gleichgewichtsbedingung Fy = 0 aufgestellt m·¨ y + b·y˙ + c·y = 0.

(9-35)

Das ist eine homogene, lineare Differentialgleichung, die durch folgenden Ansatz gelöst wird y = C·eλ t . Mit y˙ = C·λ·eλ t

und y¨ = C·λ2 ·eλ t

in die Ausgangsgleichung eingesetzt, ergibt sich m·C·λ2 ·eλ t + b·C·λ·eλ t + c·C·eλ t = 0 oder (m·λ2 + b·λ + c)·C·eλ t = 0.

9.4 Die geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung

391

Da C·eλ t mit Ausnahme der Triviallösung C = 0 für alle Werte von t von Null verschieden ist, muss der Klammerausdruck Null werden, um die Differentialgleichung zu erfüllen. Die Gleichung m·λ2 + b·λ + c = 0 bzw. λ2 +

b c λ+ =0 m m

(9-36)

wird als charakteristische Gleichung bezeichnet. Das ist eine quadratische Gleichung für λ, deren zwei Lösungen lauten λ1/2

b ± =− 2·m

s 

b 2·m

2

−

c . m

Die Schwingung klingt um so schneller ab, je größer die Dämpfungskonstante b und je kleiner die Masse m ist. Man definiert deshalb als Abklingkonstante δ=

b . 2·m

(9-37)

Diese Konstante hat die gleiche Maßeinheit wie die Kreisfrequenz ω (Zeit−1 ). Weiterhin ist c/m = ω02 die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems. Damit lässt sich die Lösungsgleichung für λ kürzer schreiben λ1/2 = −δ ±

p

δ2 − ω 2

und erhält als Lösung C1 , C2 und die Überlagerung der beiden Lösungsfunktionen y = C1 ·eλ1 t + C2 ·eλ2 t , √2 2 √2 2 y = C1 ·e(−δ+ δ −ω0 ) t + C2 ·e(−δ− δ −ω0 ) t . Für die Lösung sind drei Fälle zu unterscheiden. Für das Verhältnis δ/ω0 wird der Begriff Dämpfungsgrad, auch Lehrsches1 Dämpfungsmaß, eingeführt, ϑ=

δ . ω0

(9-38)

Damit und mit Abbildung 9-34 sollen die drei Lösungen der charakteristischen Gleichung untersucht werden: 1

Lehr, Ernst (1896–1945), deutscher Ingenieur

392

9 Mechanische Schwingungen

y

ϑ=2 ϑ=1

t

Abb. 9-34: Aperiodisches Verhalten für ϑ≥1

1. ϑ > 1; δ > ω0 : Die Wurzeln sind reell. Die allgemeine Lösung besteht aus zwei Vorgängen mit monotoner Änderung. Die Dämpfung ist so stark, dass eine Schwingung nicht entsteht. Die ausgelenkte Masse kriecht nach der eFunktion langsam zur statischen Gleichgewichtslage und nähert sich ihr asymptotisch (aperiodischer Fall). 2. ϑ = 1; δ = ω0 : Für λ erhält man eine Doppelwurzel. Ein solches System nennt man kritisch gedämpft. Es erreicht die statische Ruhelage nach höchstens einem Null-Durchgang (möglich bei hoher Anfangsgeschwindigkeit in Richtung der Gleichgewichtslage) in der kürzesten Zeit, ohne jedoch eine Schwingung auszuführen. Diese Dämpfung ist z.B. für analoge Messgeräte besonders günstig, da der Zeiger ohne zu schwingen in der kürzesten Zeit sich auf den Anzeigewert einstellt (aperiodischer Grenzfall). 3. ϑ < 1; δ < ω0 : Die Wurzeln sind konjugiert komplex, q

q

(ω02 − δ2 )·(−1) = −δ ± i· (ω02 − δ2 ) , √ 2 2 √ 2 2 y = C1 ·e(−δ+i ω0 −δ )t + C2 ·e(−δ−i ω0 −δ )t .

λ1/2 = −δ ±

Über die Eulerschen2 Formeln eix = cos x + i· sin x;

e−ix = cos x − i· sin x

kann man diese Gleichung in die reelle Form q

q

y = e−δ t [AI · cos( ω02 − δ2 ·t) + AII · sin( ω02 − δ2 ·t)]

(9-39)

bringen. Die Amplitude nimmt, wie in der Abbildung 9-35 dargestellt, mit der e-Funktion ab. Die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems ist ωd = 2

q

p

ω02 − δ2 = ω0 1 − ϑ2 .

Euler, Leonhard (1707–1783), schweizer Mathematiker.

(9-40)

9.4 Die geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung

393

y e−δ t

A1

ωt A2 ωd·Td

ωd·Td

Abb. 9-35: Schwingungsdiagramm einer geschwindigkeitsproportional gedämpften Schwingung

Aus den Gleichungen (9-39)/(9-40) ersieht man: 1. Die Eigenfrequenz des gedämpften Systems ist von der Amplitude unabhängig, 2. Die Dämpfung setzt die Eigenkreisfrequenz immer herab, jedoch ist für kleine Dämpfungsgrade der Einfluss verschwindend (ωd ≈ ω0 ). Das Verhältnis von zwei Ausschlägen A nach der Schwingungszeit Td ist eδ t ·eδ Td e−δ t A1 = −δ(t+T ) = = eδ Td ; d A2 eδ t e mit Td =

2·π A1 ist = e(2 π δ)/ωd . ωd A2

A1 = eδ Td 6= 1 d.h. y(t) 6= y(t + Td ) ist die gedämpfte Schwingung nicht A2 mehr periodisch.

Wegen

Das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Amplituden ist konstant A2 A3 An A1 = = ··· = . A2 A3 A4 An+1 Damit ist dieser Quotient eine Kenngröße für das Abklingen der Schwingung. Zur Eliminierung der e-Funktion wird logarithmiert ln

A1 2·π·δ = = Λ. A2 ωd

(9-41)

Λ nennt man das logarithmische Dekrement 3 . Nach Weiterentwicklung erhält 3

Dekrement (lat.): Abnahme, Abklingen.

394

9 Mechanische Schwingungen

man mit Gl. (9-38)/(9-40) 2·ϑ·ω0 ·π 2·ϑ·ω0 ·π √ = ωd ω 0 1 − ϑ2 2·π·ϑ Λ= √ 1 − ϑ2

Λ=

für ϑ2 ≪ 1 :

(9-42)

Λ = 2·π·ϑ.

Die Klassifizierung der Dämpfungseigenschaften erfolgt in der DIN 1311-2 auf der Basis des Dämpfungsgrades ϑ. In der aktuellen Fassung vom August 2002 werden die bisherigen Bezeichnungen der Fassung von 1974 neu formuliert: ϑ > 1: sehr stark gedämpft (alt: stark gedämpft) ϑ < 1: stark gedämpft (alt: schwach gedämpft) ϑ ≪ 1: schwach gedämpft. Wegen der herausgehobenen Bedeutung des Dämpfungsgrades bietet es sich an, die Ausgangsgleichung (9-35) durch m dividiert y¨ +

c b ·y˙ + ·y = 0 m m

bzw. y¨ + 2·δ·y˙ + ω02 ·y = 0

in eine Form zu bringen, die den Dämpfungsgrad enthält. Mit den Gleichungen (9-2)/(9-37)/(9-38) wird dann y¨ + 2·ϑ·ω0 ·y˙ + ω02 ·y = 0.

(9-43)

Das ist die Bewegungsgleichung einer freien, geschwindigkeitsproportional gedämpften Schwingung. Alle hier abgeleiteten Beziehungen gelten auch für Verdrehschwingungen (ϕ anstatt y). Beispiel 1 (Abb. 9-36) Eine kreisförmige, homogene Prallplatte ist federnd und mit einem Schwingungsdämpfer gestützt, nach Skizze gelagert. Zu bestimmen sind für kleine Amplituden: a) die Eigenfrequenz, der Dämpfungsgrad, das logarithmische Dekrement, b) die Schwingungsamplitude nach zwei Vollschwingungen, wenn das Ende der Platte durch einen Stoß um A0 ausgelenkt wurde.

9.4 Die geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung

r

395

b γ

c

c Abb. 9-36: Hängende Platte mit Federn und Dämpfer

Die Lösung soll allgemein erfolgen und für folgende Daten ausgewertet werden Platte m = 100 kg Konstante für Einzelfeder Dämpfungskonstante des Schwingungsdämpfers Anfangsamplitude Winkel

r c b A0 γ

= 200 mm = 25 N/cm = 1000 N/(m/s) = 5,0 mm = 30◦

Lösung (Abb. 9-37/9-38) Nachdem im Beispiel 1 des Abschnittes 9.3.2 die schräge Feder behandelt wurde, soll hier ein schräg eingebauter Schwingungsdämpfer in seiner Wirkung berechnet werden. Nach Abbildung 9-37 beträgt bei einer Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ der

A MT = JA·¨ ϕ r

A

ϕ

ϕ˙ r FD·cos γ

VD

=

FD γ os ·c ˙ ϕ r· γ

FG = m·g VP = r·ϕ˙

FD Abb. 9-37: Dämpfungskraft an hängender Platte

r

FF = 2c·2r·ϕ Abb. 9-38: Freigemachte Platte

396

9 Mechanische Schwingungen

Platte die Geschwindigkeit in Richtung des Schwingungsdämpfers vD = b·vD = ϕ·r· ˙ cos γ. Damit ist die Dämpferkraft FD = b·vD = b·ϕ·r· ˙ cos γ, und das durch die Kraft um den Aufhängepunkt verursachte Moment MD = FD · cos γ·r MD = b·r 2 · cos2 γ·ϕ. ˙ Das System wird im ausschwingendem Zustand freigemacht (Abb. 9-38). Die Momentengleichung für die Gelenkachse liefert die Differentialgleichung der Schwingung JA ·ϕ ¨ + b·r 2 · cos2 γ·ϕ˙ + 2·c·(2·r)2 ·ϕ + m·g·r·ϕ = 0. Dabei ist (Steiner-Satz, siehe Tabelle am Buchende) JA = m·

5 r2 + m·r 2 = ·m·r 2 . 4 4

Die Division der Ausgangsgleichung durch JA führt auf 4·b· cos2 γ ϕ˙ + ϕ ¨+ 5·m





32·c 4·g + ϕ = 0. 5·m 5·r

Der Vergleich dieser Beziehung mit der Grundgleichung (9-43) liefert ω0 =

s 

8·c g + m r

4 5

4·b· cos2 γ 5·m

2·ϑ·ω0 = ϑ=



2·b· cos2 γ s 

5·m·

4 5

8·c g + m r

.

9.4 Die geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung

397

Für den vorliegenden Fall ausgewertet erhält man v u u4 ω0 = t

5

ϑ=

8·2500 N/m 9,81 m/s2 + 100 kg 0,20 m

!

= 14,12 s−1 ,

2·103 N/(m/s)· cos2 30◦ = 0,213. 5·100 kg·14,12 s−1

Mit Gleichung (9-40) ist p

q

ωd = ω0 1 − ϑ2 = 14,12 s−1 1 − 0,2132 = 13,80 s−1

=⇒ fd =

ωd = 2,20 s−1 . 2π

Das logarithmische Dekrement (Gleichung (9-42)) ist 2·π·0,213 2·π·ϑ = 1,370. =p Λ= √ 1 − 0,2132 1 − ϑ2

Der Ansatz für die Berechnung der Amplitude nach zwei Vollschwingungen lautet (vergl. Ansatz für Gl. (9-41)) A0 = e2 δ T . A2 Das führt nach einfachen Umwandlungen (Gl. (9-38)/(9-40)/(9-42)) auf A0 = e2 Λ =⇒ A2 = A0 ·e−2 Λ , A2 mit der Auswertung A2 = 5,0 mm·e−2·1,370 = 0,32 mm. Die Platte kommt nach diesem Stoß nach zwei Schwingungen praktisch zur Ruhe. Beispiel 2 (Abb. 9-39) Für den Schwinger nach Abb. 9-39, der das Modell eines Versuchsstandes zur Ermittlung des Dämpfungsverhaltens von Stoßdämpfern darstellt, soll aus den Anstoßbedingungen y(t = 0) = y0 und y(t ˙ = 0) = v0 der maximale Schwingungsausschlag berechnet werden.

398

9 Mechanische Schwingungen

m y,y,¨ ˙y c 2

b

c 2

Abb. 9-39: Schwingungsmodell

Auch hier soll die Lösung zuerst allgemein erfolgen und dann für die folgenden Daten ausgewertet werden: y0 = 1,5 mm;

v0 = 10 mm/s;

m = 1,5 kg;

c = 150 N/m;

b = 1,8 kg/s.

Die Federmasse wird vernachlässigt. Lösung Die Gleichung (9-40) wird in (9-39) eingesetzt: y = e−δ t [AI · cos(ωd ·t) + AII · sin(ωd ·t)]. Die unbekannten Konstanten AI und AII lassen sich aus den bekannten Anstoßbedingungen bestimmen. Da neben dem Ausschlag auch die Geschwindigkeit bekannt ist, muss die Bewegungsgleichung noch nach der Zeit abgeleitet werden (Kettenregel): y˙ = −δ·e−δ t [AI · cos(ωd ·t) + AII · sin(ωd ·t)]

+e−δ t [AI ·ωd · sin(ωd ·t) − AII ·ωd · cos(ωd ·t)].

Die Anfangsbedingungen y(t = 0) = y0 , y(t ˙ = 0) = v0 eingesetzt, ergeben y0 = 1·[AI ·1+AII ·0] =⇒ AI = y0 .

(1)

v0 = −δ·1·[y0 ·1+AII ·0]+1·[y0 ·ωd ·0−AII ·ωd ·1] =⇒ AII =

v0 +y0 ·δ . (2) ωd

Damit wird die Bewegungsgleichung −δ t

y(t) = e





v0 + y0 ·δ · sin(ωd ·t) . y0 · cos(ωd ·t) + ωd

(3)

Zur Berechnung der Amplitude werden die Zusammenhänge aus Abb. 9-5 herangezogen.

9.4 Die geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung

399

Der Ausschlag y erreicht seinen Maximalwert, wenn die Geschwindigkeit Null wird. Damit lässt sich aus der folgenden Gleichung für y˙ = 0 die Zeit für den Maximalausschlag eliminieren, wenn man e−δ t ausklammert: h

y˙ = e−δ t (−AI ·δ + AII ·ωd )· cos(ωd ·t) i

− (AII ·δ + AI ·ωd )· sin(ωd ·t) = 0 . Da e−δ t für alle Werte t von Null verschieden ist, muss der Klammerausdruck Null werden. Damit wird dann: AII ·ωd − AI ·δ sin(ωd ·t) = tan(ωd ·t) = . cos(ωd ·t) AII ·δ + AI ·ωd

(4)

Daraus lässt sich die Gleichung für die Zeit formulieren: 



1 AII ·ωd − AI ·δ t(y = ymax ) = ·arctan . ωd AII ·δ + AI ·ωd

(5)

Für die vorgegebenen Daten ausgewertet, erhält man: ω0 =

r

s

150 N/m kg·m · = 10,00 s−1 , 1,5 kg N·s2

1,8 kg b = = 0,6 s−1 2·m 2·1,5 kg·s

δ= ωd =

c = m

q

ω02 − δ2 =

q

(10,00 s−1 )2 − (0,60 s−1 )2 = 9,98 s−1 .

Mit AI = 1,5·10−3 m = 1,5 mm und (2) AII =

1,0·10−2 m·s−1 + 1,5·10−3 m·6,0·10−1 s−1 = 1,09·10−3 m 9,98 s−1

AII = 1,09 mm ist mit (5) die Zeit, bei der der Ausschlag maximal wird !

1,09·10−3 m·9,98s−1 −1,5·10−3 m·6,0·10−1 s−1 1·s π ·arctan t= · 9,98 1,09·10−3 m·6,0·10−1 s−1 +1,5·10−3 m·9,98s−1 180◦ t = 0,057s.

400

9 Mechanische Schwingungen

Mit (4) 

AII ·ωd − AI ·δ 180◦ = arctan ωd ·t· π AII ·δ + AI ·ωd



= 32,6◦

lässt sich die Amplitude nach Gl. (9-39) berechnen. −1 y(t = 0,057s) = e−0,6s ·0,057s·(1,09·10−3 m·sin 32,6◦ + 1,5·10−3 m·cos 32,6◦ )

ymax = A = 1,75·10−3 m = 1,75 mm.

9.5

Die erzwungene Schwingung

9.5.1

Problembeschreibung

Eine freie gedämpfte Schwingung kommt zur Ruhe, wenn die am Anfang im System vorhandene Energie durch die Dämpfung aufgezehrt ist. Wird dem Schwingungssystem in geeigneter Weise Energie zugeführt, dann bleibt ein Schwingungsvorgang erhalten, der jedoch weitgehend von der Art der Energiezufuhr abhängt. Bei der Beschreibung dieser Schwingungen wird wieder vom Modell bestehend aus Masse, Feder und Dämpfer, dem diskreten Einmassenschwinger, ausgegangen (siehe dazu Abschnitt 9.2). Die Schwingungsanregung wird an diskreten Punkten eingeleitet. Eine schematische Übersicht über die wichtigsten Fälle gibt die Abb. 9-40. Bei der Wegerregung wird der Punkt A in dieser Abbildung nach einer Funktion y = f (t) verschoben. Die Krafterregung wirkt auf die Masse. In diesen Bereich fällt die in der Technik oft auftretende Massenkrafterregung, die durch eine rotierende Unwucht verursacht wird (Fall e). Analog gilt für Drehschwingungen eine Verdrehung an diskreten Punkten bzw. anstelle der Krafteine Momentenanregung. Im Rahmen dieses Lehrbuches erfolgt eine Beschränkung auf die harmonische Anregung, d.h. die Erregergröße ändert sich nach einem sin- bzw. cos-Zeitgesetz. Für nichtperiodische, transiente (instationäre) oder stoßartige Anregungen sei auf die weiterführende Literatur (z.B. [38]) verwiesen.

9.5 Die erzwungene Schwingung

401

Erregte Schwingung

Wegerregung

Krafterregung

Fe = Fo·sin(ωe·t)

m c

b A

m

y(t)

a) Federerregung

c

b

d) frequenzunabhängige Erregerkraftamplitude

m b

c A

y(t)

Fe = me·e·ωe 2·sin(ωe·t) b) Dämpfererregung m m b A

c

b

c

y(t)

c) Stützenerregung

9.5.2

e) frequenzabhängige Erregerkraftamplitude

Abb. 9-40: Schwingungsanregung

Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung

Die mathematische Beschreibung des erzwungenen Schwingungsvorganges soll die Fragestellungen nach dem Eigenschwingverhalten und der Schwingungsantwort bei harmonischer Anregung und geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung beantworten. Das Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung soll am Beispiel der Weg- oder Federkrafterregung, Abb. 9-40a erfolgen. Die Wegerregung kann mit einer Kreuzschleife nach Abb. 9-41 eingeleitet werden. Die Kurbel der Kreuzschleife dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit ωe (Erregerkreisfrequenz). Die Nulllinie der Schwingung entspricht der statischen

402

9 Mechanische Schwingungen

ωe r r·sin ϕ

ϕ ϕ = ωe·t

c

statische Ruhelage für ϕ = 0

FF = c·[y − r·sin(ωe·t)]

y m

FT = m·¨ y FD = b·˙y

b Abb. 9-41: Schwinger mit Federerregung

Ruhelage der Masse für ϕ = 0. Zur Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen wird die Masse nach unten durchschwingend betrachtet, wobei die Kreuzschleife um den Betrag ϕ = ωe ·t gedreht ist. Die Verlängerung der Feder beträgt jetzt, da der Aufhängepunkt der Feder um r· sin(ωe ·t) nach unten gewandert ist, P ∆l = y − r· sin(ωe ·t). Man erhält aus Fy = 0 m·¨ y + b·y˙ + c·[y − r· sin(ωe ·t)] = 0,

m·¨ y + b·y˙ + c·y = c·r· sin(ωe ·t).

Hält man die Masse in der Nulllage fest und dreht von ϕ = 0 aus die Kurbel um 90◦ , dann wird die Feder um den Betrag r deformiert. Der Kurbelradius r entspricht der Erregeramplitude der Feder. Es entsteht dabei die maximale Federkraft FF = F0 = c·r. Man kann somit die rechte Seite der Gleichung als Erregerkraft Fe deuten, die sich harmonisch mit sin(ωe ·t) ändert, m·¨ y + b·y˙ + c·y = F0 · sin(ωe ·t).

(9-44)

9.5 Die erzwungene Schwingung

403

Der Maximalwert der Kraft F0 (Kraftamplitude) ist von der Erregerfrequenz unabhängig. Ausgehend von der Grundüberlegung zur Gl. (9-1) beschreibt die Gl. (9-44) den folgenden physikalischen Sachverhalt: Trägheitskraft + Dämpfungskraft + Federkraft = harmonische Erregerkraft. Damit ist diese Gleichung auch für den Fall d nach Abb. 9-40 der harmonischen Kraftanregung gültig. Gleichung (9-44) ist eine inhomogene, lineare Differentialgleichung. Die rechte Seite F0 · sin(ωe ·t) nennt man Störfunktion. Die allgemeine Lösung enthält auch die Lösung der homogenen Gleichung (vergleiche Abschnitt 9.4), m·¨ y + b·y˙ + c·y = 0, denn die allgemeine Lösung muss auch für den Spezialfall F0 = 0 gelten. Die homogene Gleichung wurde im vorigen Abschnitt behandelt. Als Lösung erhielt man die mit e−δ t abklingende Schwingung, deren Amplituden nach relativ kurzer Einschwingzeit praktisch verschwinden. Es verbleibt eine Schwingung, die den Anteil der freien Schwingung nicht mehr enthält und nur von der Störfunktion F0 · sin(ωe ·t) bestimmt wird (eingeschwungener Zustand). Dieser Vorgang wird von der partikularen Lösung der Gleichung dargestellt. Bei harmonischer Erregung des Federendes mit der Störkreisfrequenz ωe muss auch die Masse m im gleichen Rhythmus – allerdings infolge der Trägheit um einen Phasenverschiebungswinkel ϕ nacheilend – schwingen. Basierend auf dieser Überlegung wird der folgende Lösungsansatz eingeführt. y = A· sin(ωe ·t − ϕ). Dieser Ansatz wird in die Ausgangsgleichung eingesetzt. Dazu ist es notwendig, y˙ und y¨ zu bilden y˙ = ωe ·A· cos(ωe ·t − ϕ),

y¨ = −ωe 2 ·A· sin(ωe ·t − ϕ).

Diese Werte werden in Gl. (9-44) eingesetzt − m·ωe 2 ·A· sin(ωe ·t − ϕ) + b·ωe ·A· cos(ωe ·t − ϕ)

+ c·A· sin(ωe ·t − ϕ) = F0 · sin(ωe ·t) .

Aus dieser Beziehung sollen die im Ansatz enthaltene unbekannte Amplitude A und der Phasenwinkel ϕ der schwingenden Masse berechnet werden. Das

404

9 Mechanische Schwingungen

bedeutet, dass zwei Randbedingungen formuliert werden müssen. Die Gleichung muss für beliebige Werte gelten. Es werden gewählt 1. ωe ·t − ϕ = 0; ωe ·t = ϕ: b·ωe ·A = F0 · sin ϕ ,

(1)

π π ; ωe ·t = ϕ + ; 2 2

2. ωe ·t − ϕ =

sin(ωe ·t = cos ϕ):

−m·ωe2 ·A + c·A = F0 · cos ϕ .

(2)

Die Gleichungen (1) und (2) werden quadriert und anschließend addiert b2 ·ωe2 ·A2 + (c·A − m·ωe2 ·A)2 = F02 ·(sin2 ϕ + cos2 ϕ) = F02 und nach der Amplitude aufgelöst F0 A= p . (c − m·ωe2 )2 + b2 ·ωe2

Den Phasenwinkel ϕ erhält man aus der Division der Gleichungen (1) und (2), tan ϕ =

b·ωe . c − m·ωe2

In die Beziehungen für A und ϕ soll der Dämpfungsgrad ϑ eingeführt werden. Die Gleichung für A wird im Zähler und Nenner durch c dividiert. F0 c

A = s

m 1 − ·ωe2 c

2

b2 ·ωe2 + c2

.

Das 2. Glied unter der Wurzel wird mit 4·m2 erweitert. Mit den Gleichungen (9-2)/(9-37)/(9-38) ω02 =

c , m

δ=

b , 2·m

ϑ=

δ ω0

und dem sog. Abstimmungsverhältnis η=

ωe ω0

(9-45)

9.5 Die erzwungene Schwingung

405

erhält man F0 c A= p (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

(9-46)

und mit tan ϕ = sin ϕ/ cos ϕ aus den Gleichungen (1) und (2) für die von der Erregerkreisfrequenz ωe bzw. dem Abstimmungsverhältnis η abhängige Phasenverschiebung zwischen Erregung und Antwort (auch Phasenfrequenzgang oder Phasengang) tan ϕ =

2·ϑ·η . 1 − η2

(9-47)

Setzt man schließlich die Lösung nach Gleichung (9-44) in den Ansatz für die partikuläre Lösung ein, ergibt sich die Bewegungsgleichung für den eingeschwungenen Zustand zu F0 c y=p · sin(ωe ·t − ϕ). (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

(9-48)

Das System schwingt unabhängig von der Eigenkreisfrequenz ω0 mit der Erregerkreisfrequenz ωe . Für die Schwingungsbeurteilung definiert man ein Verhältnis der Antwortamplitude A (dynamischer Ausschlag) zur Amplitude der Anregung (was ein statischer Wert ist). Dieser Quotient gibt an, um wieviel die Schwingungsamplitude gegenüber der Anregung vergrößert (oder auch verkleinert) ist. Man nennt daher diesen Faktor Vergrößerungsfaktor V V1 =

A 1 A =p . = 2 2 F0 r (1 − η ) + 4·ϑ2 ·η 2 c

(9-49)

Für sehr kleine Dämpfungen (ϑ ≈ 0) vereinfacht sich die Gleichung zu V1 =

1 . ±(1 − η 2 )

Mit Gl. (9-49) lässt sich dann auch die Amplitude nach Gl. (9-46) wie folgt schreiben: A = r·V1 =

F0 ·V1 . c

(9-50)

406

9 Mechanische Schwingungen 6

ϑ=0 0,1 0,2

5 4

0,3

V1

3

0,4

V3

2

0,6 0,8 1,0

1 0 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

2/3 1/2 2/5 Massenkrafterregung η

1/3

Federkrafterregung η ∞

2 a

Amplitudenfrequenzgang

π

ϕ

1

ϑ=0 0,1 0,2 0,3

0,5 √ 2 1,0

1 2

π 2 1√ 2 2 1,0

ϑ=0 0,1 0,2 0,3 0,5

0,0

0,5 b

1,0

Phasenfrequenzgang

1,5

2,0

2,5

3,0

η

Abb. 9-42: Amplitudenfrequenzgang und Phasenfrequenzgang bei Kraft/Wegerregung

Wie aus Gleichung (9-49) ersichtlich, ist der Vergrößerungsfaktor, wie übrigens auch der Phasenwinkel Gl. (9-47), abhängig vom Abstimmungsverhältnis (und damit von der Erregerkreisfrequenz ωe ) und lässt sich somit auch als Funktion von η darstellen. In Abb. 9-42 werden der Vergrößerungsfaktor V und der Phasenwinkel ϕ über dem Abstimmungsverhältnis η = ωe /ω0 aufgetragen. Die Funktion ϕ = f (η) wird dabei als Frequenzgang der Phasenverschiebung oder

9.5 Die erzwungene Schwingung

407

kürzer als Phasenfrequenzgang bzw. Phasengang bezeichnet. Der Kennwert für die Amplitude V = f (η) wird Vergrößerungsfunktion oder Frequenzgang der Amplitude (Amplitudengang) genannt. Das Diagramm kann man sich folgendermassen entstanden denken: Ein Schwinger wird mit langsam zunehmender Frequenz erregt. Die sich jeweils einstellende Amplitude wird über der Erregerfrequenz aufgetragen. Für ein schwach gedämpftes System (ϑ ≈ 0), wie z.B. ein Pendel, sind einige charakteristische Zustände in der Abb. 9-43 gezeigt. r

a

r

b

A ωe . ω0 A

A≫r

ωe ≪ω0 A≈r c

r d

A ωe > ω0 A 1). Aufhängepunkt und Masse bewegen sich immer noch jeweils in gleicher Richtung. Den Zustand η = 1, (ωe = ω0 ) nennt man Resonanz 4 . Für den ungedämpf4

Resonanz (lat.): Widerhall, Mittönen (Mitschwingen)

408

9 Mechanische Schwingungen

ten Zustand ϑ = 0 ergeben die Gleichungen unendlich große Amplituden. Abb. c) Bei Durchgang durch die Resonanz fällt besonders der Umschlag von einer gleichgerichteten in eine umgekehrte Bewegungsrichtung von Masse und Aufhängepunkt auf. Der Phasenwinkel ist im Bereich η > 1 gleich π. Die Amplitude nimmt bei Zunahme von η stark ab und wird schließlich kleiner als der Erregerweg (A < r; V1 < 1). Abb. d) Bei Erregung mit einer Frequenz, die deutlich höher ist als die Eigenfrequenz, kann die Masse der Bewegung nicht mehr folgen. Die Amplituden werden viel kleiner als der Erregerweg (A ≪ r; V1 ≪ 1).

Die Maxima der Übertragungsfunktionen – und damit auch der Amplituden – ergeben sich bei der Resonanzkreisfrequenz ωeR . Die Übertragungsfunktion (Gl. (9-49)) hat ein Maximum, wenn der Radikant im Nenner ein Minimum wird R(η) = (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2 = Min. Die Ableitung

dR = 0 liefert die quadratische Gleichung dη

2 − 1 + 2·ϑ2 = 0 ηext

und damit ηext = ηR =

ωeR p = 1 − 2·ϑ2 ω0

(9-51)

zur Berechnung der Resonanzfrequenz. Die Gleichung macht deutlich, dass die Dämpfung den Resonanzpunkt von η = 1 zu niedrigeren Werten verschiebt (strichpunktierte Kurve in der Abb. 9-42). Aus diesen Beziehungen folgt, dass √ für ϑ ≥ 2/2 ein Aufschaukeln der Schwingung nicht erfolgt. Für elastische Systeme ohne zusätzlich eingebaute Dämpfer ist die Verschiebung des Resonanzpunktes vernachlässigbar. Den maximalen Ausschlag für schwache Dämpfung im Resonanzfall ηR = 1 erhält man aus Gleichung (9-46) Fe r . AR = c = 2·ϑ 2·ϑ

(9-52)

Setzt man in die Gl. (9-46) anstelle η = 1 die Gl. (9-51) für die Berechnung der Resonanzfrequenz ein, ergibt sich nach kurzer Umformung AR =

r √ . 2·ϑ· 1 − ϑ2

9.5 Die erzwungene Schwingung

409

Abweichungen (kleinere Resonanzamplituden) über 1 % ergeben sich damit aber erst ab Dämpfungsgraden ϑ ≈ 0,15.

Aus den vorstehend aufgeführten Gleichungen lässt sich experimentell durch Erregung im Resonanzfall der Dämpfungsgrad bestimmen. Da in Resonanznähe die Amplituden sich sehr stark mit η ändern, ist die Durchführung schwierig.

9.5.3

Übertragung der Lösung auf wichtige Anwendungsfälle

Die im vorhergehenden Abschnitt gefundene Lösung für die Weg- bzw. Krafterregung soll auf die Massenkrafterregung (Unwuchterregung), Abb. 9-40e und die Stützenerregung Abb. 9-40c übertragen werden. e

me

ωe

FZ = me·e·ωe2

S

Gesamtmasse m

Abb. 9-44: Schwinger mit Massenkrafterregung

Das Grundmodell für die Massenkrafterregung zeigt die Abb. 9-44. Betrachtet wird nur die vertikale Verschiebung (die Horizontalkräfte werden von der Führung „reibungsfrei“ aufgenommen); das System hat somit nur einen Freiheitsgrad. Die mit ωe umlaufende Fliehkraft FZ = me ·e·ωe2 , die quadratisch mit der Erregerdrehzahl zunimmt, ist die Kraftamplitude der Erregerkraft Fe = me ·e·ωe2 · sin(ωe ·t). Mit den zur Gl. (9-44) führenden Überlegungen lässt sich die Bewegungsgleichung für die Unwuchterregung (frequenzabhängige Erregerkraftamplitude) bei geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung analog schreiben m·¨ y + b·y˙ + c·y = FZ · sin(ωe ·t) = me ·e·ωe2 · sin(ωe ·t). Somit lässt sich auch die Lösung übertragen. Zur Ermittlung von Amplitude und Phasenverschiebung (Lösung der Differentialgleichung) muss nur die Kraftamplitude der Erregerkraft an die Gleichung (9-46) angepasst werden.

410

9 Mechanische Schwingungen

Nach Division durch c und Erweiterung mit m, erhält man unter Beachtung von ω02 = c/m 

ωe me FZ = ·e· c m ω0

2

.

Für eine durch Massenunwucht verursachte Schwingung beträgt die Amplitude nach diesen Überlegungen me ·e·η 2 m A= p . (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

(9-53)

me ·e·η m y=p · sin(ωe ·t − ϕ) . (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

(9-54)

Entsprechend Gl. (9-48) gilt dann für die Bewegungsgleichung im eingeschwungenen (stationären) Zustand

Die Vergrößerungsfunktion ergibt sich analog zu Gl. (9-49) A η2 A = =p = V1 ·η 2 V3 = m e 2 2 2 2 s (1 − η ) + 4·ϑ ·η ·e m

(9-55)

Dabei bezeichnet man s = me ·e/m auch als reduzierte Exzentrizität. Bei sehr kleiner Dämpfung (ϑ ≈ 0) ist V3 =

η2 . ±(1 − η 2 )

Damit kann dann auch für die Amplitude mit den Gleichungen (9-53) und (9-55) A=

me ·e·V3 m

(9-56)

geschrieben werden. Das Diagramm Abb. 9-42a gilt auch für die Massenkrafterregung, wenn an der Abszisse eine Reziprokskala angebracht wird. Im Allgemeinen wird die Vergrößerungsfunktion V3 jedoch in einem gesonderten Diagramm dargestellt (Abb. 9-45).

9.5 Die erzwungene Schwingung

6

V3

411

ϑ=0 0,1

ϑ=0

5

0,2

4

0,3 0,5 0,7

3

1,0

2 1 0 0,0

0,5

a

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

η

Amplitudenfrequenzgang

π ϑ=0 0,1 0,2 0,3

ϕ π 2

1√ 2 2 1,0

0,5 1√ 2 2 1,0

ϑ=0 0,1 0,2 0,3 0,5

0,0

0,5

b

1,0

Phasenfrequenzgang

1,5

2,0

2,5

3,0

η

Abb. 9-45: Amplitudenfrequenzgang und Phasenfrequenzgang bei Massenkrafterregung

412

9 Mechanische Schwingungen

Für den Phasen-Frequenzgang ist die Gl. (9-47) uneingeschränkt gültig. Damit werden auch die Aussagen zur Resonanz übertragbar. Das Resonanz-Abstimmungsverhältnis ηext

ωeR = = ηR = ω0

s

1 1 − 2·ϑ2

(9-57)

macht deutlich, dass die Dämpfung den Resonanzpunkt von η = 1 zu höheren Werten verschiebt (strichpunktierte Kurve in Abb. 9-45a). Den Maximalausschlag im Resonanzfall ηR = 1 für schwache Dämpfung (ϑ ≈ 0) erhält man aus der Gleichung (9-53) me ·e s AR = m = . 2·ϑ 2·ϑ

(9-58)

Werden Feder- und Dämpferfußpunkt gleichzeitig angeregt (Abb. 9-40c), spricht man von Stützenerregung bzw. Fußpunkterregung. Diese Form der Anregung ist z.B. typisch für fahrbahnerregte Fahrzeugschwingungen. Wird von einer harmonischen Anregung y = y0 · sin(ωe ·t) ausgegangen, führt die Lösung der Differentialgleichung nach etwas mühsamer Rechnung auf die Bewegungsgleichung s

y = y0 ·

1 + 4·ϑ2 ·η 2 · sin(ωe ·t − ϕ). (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

(9-59)

Damit wird die Vergrößerungsfunktion (siehe auch Abb. 9-46a) A V2 = = y0

s

q 1 + 4·ϑ2 ·η 2 = 1 + 4·ϑ2 ·η 2 ·V1 . (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

(9-60)

Für sehr kleine Dämpfung (ϑ ≈ 0) vereinfacht sich Gl. (9-60) zu V2 =

1 = V1 . ±(1 − η 2 )

Der Phasenwinkel weicht, wie aus Abb. 9-46b ersichtlich, von den übrigen Fällen ab tan ϕ =

2·ϑ·η 3 . 1 − η 2 + 4·ϑ2 ·η 2

(9-61)

9.5 Die erzwungene Schwingung

413

6 ϑ=0

ϑ=0

5

0,1 0,2

4

0,3 0,5

V2

3 1√ 2 2

2

1,0

1 0 0,5

0

a

1

√

2 1,5

2

2,5

3

2,5

3

η

Amplitudenfrequenzgang

π ϑ=0 0,1 0,2 0,3

ϕ

0,4

π 2

0,5 1√ 2 2 1,0

0

0,5

b

1

Phasenfrequenzgang

1,5

2 η

Abb. 9-46: Amplitudenfrequenzgang und Phasenfrequenzgang bei Stützenerregung

414

9 Mechanische Schwingungen

Die Resonanzamplitude für η = 1 (ϑ ≪ 1) ist √ y0 · 1 + 4·ϑ2 . AR = 2·ϑ

(9-62)

Das Modell der Stützenerregung ist auch ein geeignetes Modell, um die Wirkung von Schwingungsisolierungen zu analysieren. Auf dieses Problem wie auch auf die Fragen der Übertragung der Schwingungskräfte auf den Aufstellungsort wird im Abschnitt 9.9 ausführlich eingegangen. Die Diagramme für den Amplitudenfrequenzgang bzw. Phasenfrequenzgang sind ein unentbehrliches Hilfsmittel für die Beurteilung von Schwingungen. Sie geben Auskunft über Resonanzstellen, Dämpfungsverhalten und Phasenlage und erleichtern die Auswertung von Bauparametervarianten hinsichtlich Lage und Amplituden von Resonanzen. Dies trifft auch in besonderem Masse für die in diesem Lehrbuch nicht behandelten Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden zu (siehe hierzu die weiterführende Literatur). Zusammenfassend lassen sich die folgenden Schlussfolgerungen ziehen: 1. Wird ein System hoher Eigenfrequenz mit kleiner Frequenz erregt (η ≪ 1), dann können die auftretenden Deformationen aus der Beziehung (Elastostatik) ∆l =

F0 c

berechnet werden, da V1 ≈ 1; V3 ≈ 0 ist.

2. Bei Erregung in Resonanznähe verursachen bei fehlender oder ungenügender Dämpfung schon kleine erregende Kräfte sehr große Amplituden. Dieser Zustand muss in Maschinen vermieden werden, weil schwere Erschütterungen und hohe Beanspruchungen der einzelnen Teile auftreten. Man macht sich jedoch diesen Effekt bei Antrieb von Schwingförderern, Vibrationsverdichtern usw. zu Nutze. In diesen Maschinen werden Feder-Masse-Systeme durch Unwuchten in der Nähe der Resonanz angeregt, wobei schon kleine Unwuchten und damit Antriebsleistungen genügen. Wie man den Diagrammen Abb. 9-42/9-45/9-46 entnehmen kann, wird im Resonanzbereich die Amplitude durch die Dämpfung sehr wirksam herabgesetzt. 3. Überkritische Erregung führt bei der Federkraft- und Massenkraftanregung zu einer starken Reduzierung der Amplitude und damit der wirkenden Federkräfte. Dämpfer verringern in diesem Bereich die Federwege

9.5 Die erzwungene Schwingung

415

kaum. Man erkennt das daran, dass alle Kurven in diesem Bereich zusammenlaufen. Infolge der kleinen Ausschläge ist die Reibungskraft im Dämpfer gering. 4. Bei Stützenerregung ist eine Verkleinerung der Amplitude (und damit eine √ Schwingungsisolierung) erst ab η > 2 möglich. In diesem Bereich führen Dämpfer zu größeren Amplituden! 5. Eine rotierende Unwucht muss möglichst weich, d.h. mit niedriger Eigenkreisfrequenz ω0 gelagert werden. So werden hohe Fundamentbelastungen vermieden. Das folgt aus dem Amplitudenfrequenzgang V3 = f (η), Abb. 9-45a. Für ω0 ≪ ωe (η ≫ 1) ist V3 ≈ 1. Damit hängt die Federkraft FF = c·A = c·e·me /m = ω02 ·me ·e nur von ω0 ab, da alle anderen Größen Konstanten des Systems sind. Ein schweres, weich gelagertes Fundament „schluckt“ die Unwuchtkräfte am besten. Aus den Schlussfolgerungen wird deutlich, dass die Antwortamplitude bei vorgegebener Erregung durch konstruktive Maßnahmen beeinflussbar ist. Dabei ist, wie aus den Diagrammen zu den Frequenzgängen für die Weg-Amplituden (Abb. 9-42/9-45/9-46) ersichtlich, (neben der Dämpfung im Resonanzbereich) das Abstimmungsverhältnis η = ωe /ω0 von maßgebender Bedeutung. Für die Abstimmungsverhältnisse im über- bzw. unterkritischen Bereich sind auch die Begriffe hohe (unterkritische) und tiefe (überkritische) Abstimmung gebräuchlich. Der Einfluss der Abstimmung soll anhand der folgenden Beispiele verdeutlicht werden. Beispiel 1 (Abb. 9-47) In diesem Beispiel soll die von einem unrunden Rad verursachte Schwingung eines gedämpften Feder-Masse-Systems untersucht werden. Die Formabweichung

v Abb. 9-47: Wegerregte Schwingung

416

9 Mechanische Schwingungen

des Rades beträgt ∆r: Max. Radius r + ∆r, min. Radius r − ∆r. Unter dem vertikal verschieblich gelagerten Rad wird schlupffrei eine Schiene mit der Geschwindigkeit v durchgezogen. Die Vertikalbewegung des Radmittelpunktes sei ausreichend mit einer sin-Funktion beschreibbar. Für die unten gegebenen Daten sind zu bestimmen √ a) für die Dämpfungsgrade ϑ = 0,01; 0,10; 0,50; 2/2; 1,0, die Geschwindigkeit vK , die zum maximalen Ausschlag (Amplitude) der Masse führt, b) die Diagramme A = f (ϑ) (Amplitude in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad) für v = 2,0 m/s; vK (η = 1); v = 8,0 m/s, c) die Phasenverschiebung der Bewegung der Masse und des Radmittelpunktes für v = 2,0 m/s und 8,0 m/s bei einem Dämpfungsgrad ϑ = 0,10. Masse m = 200 kg; Federkonstante c = 100 N/mm; Raddurchmesser d = 2r = 400 mm; Abweichung ∆r = ±1,0 mm.

Die Ergebnisse sind zu diskutieren. Lösung

Zu a) Es handelt sich um eine wegerregte Schwingung. Die Eigenkreisfrequenz des Feder-Masse-Systems beträgt nach Gl. (9-2) ω0 =

r

c = m

s

100 N/mm·103 mm/m = 22,36 s−1 . 200 kg

Das Rad läuft mit der Erregerkreisfrequenz um, was zu v = r·ωe

=⇒

ωe =

v r

(1)

führt. Für die schwache Dämpfung ϑ = 0,01 ist die größte Amplitude bei η=

ωe =1 ω0

=⇒

ωe = ω0 =

vk . r

Damit ist für ϑ = 0,01 vk = r·ω0 = 0,20 m·22,36 s−1 = 4,47 m/s. Für stärkere Dämpfung muss die Gl. (9-51) ausgewertet werden ηext =

p

1 − 2·ϑ2 .

9.5 Die erzwungene Schwingung

417

Als Beispiel soll das für ϑ = 0,50 erfolgen ηext =

q

1 − 2·0,52 = 0,707

ωext = ηext ·ω0 = 15,81 s−1

⇒

vk = r·ωext = 3,16 m/s.

Zusammenfassung der Ergebnisse: ϑ vk m/s

0,01

0,10

0,50

4,47

4,23

3,16

√

2/2 0

1,0 –

Wie bereits diskutiert, werden bei einem Dämpfungsgrad ϑ ≥ gungen nicht aufgeschaukelt.

√

2/2 die Schwin-

Zu b) Die Lösungsdiagramme zeigt die Abb. 9-48. Beispielhaft soll für jede Funktion ein Punkt gerechnet werden. Funktion für

v = 2,0 m/s;

ϑ = 0,50

Die Erregerkreisfrequenz ist nach der obigen Gleichung (1) ωe =

2,0 m/s v = = 10,0 s−1 . r 0,20 m

Damit gilt η=

A mm

ωe 10,0 s−1 = = 0,447. ω0 22,36 s−1

5 4 v = 4,47m/s(η=1) 3 2 v = 2,0m/s(η1) 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 ϑ

Abb. 9-48: Amplitude in Abhängigkeit vom Dämpfungsgrad

418

9 Mechanische Schwingungen

Die Gl. (9-49) 1 V1 = p 2 2 (1 − η ) + 4·ϑ2 ·η 2

führt mit den oben ausgewählten Werten auf 1 V1 = p = 1,091. 2 (1 − 0,2) + 4·0,502 ·0,2

Mit der Erregeramplitude ∆r erhält man mit Gl. (9-50) A = V1 ·∆r = 1,091·1,0 mm = 1,09 mm. Funktion für v = 4,47 m/s (η = 1; s. Teil a); ϑ = 0,10 Für η = 1 liefert die oben ausgewertete Gl. (9-49) V1 =

1 2·ϑ

was der Gl. (9-52) entspricht. V1 =

1 = 5,0; 2·0,1

A = V1 ·∆r = 5,0 mm.

Funktion für v = 8,0 m/s; ϑ =

√

2/2

Auf gleichem Wege wie für v = 2,0 m/s erhält man ωe =

v = 40,0 s−1 ; r

η = 1,789;

1 = 0,298; V1 = p 2 (1 − 3,2) + 4·0,7072 ·3,2

A = V1 ·∆r = 0,30 mm.

Die Diagramme bestätigen die Schlussfolgerungen, die aus der Vergrößerungsfunktion nach Abb. 9-42 gezogen wurden. – Eine merkliche Reduzierung der Schwingungsamplitude durch Dämpfung ist nur im Bereich der Resonanz (η ≈ 1) möglich. Dabei nehmen bei kleinen Dämpfungsgraden die Amplituden mit steigenden Werten für ϑ besonders stark ab. Bei starker Dämpfung hat ihre weitere Zunahme nur noch eine geringe Wirkung. Der Grund dafür ist: Die großen Amplituden bei Resonanz ergeben lange Wege des Dämpfungskolbens und damit einen großen Energieentzug aus dem Schwinger.

9.5 Die erzwungene Schwingung

419

– Außerhalb des Resonanzbereichs sind die Schwingungsamplituden fast unabhängig vom Dämpfungsgrad. – Die Schienengeschwindigkeit v = 2,0 m/s verursacht √ eine unterkritische 2/2 größer als ∆r, für Schwingung η < 1. Die Amplituden sind für ϑ > √ ϑ > 2/2 kleiner als ∆r. – Die Schienengeschwindigkeit v = 8,0 m/s führt zu einer überkritischen Schwingung η > 1. √ Wie man der Abb. 9-42 oder der Gl. (9-49) entnehmen kann, sind für η > 2 selbst ohne Dämpfung die Schwingungsamplituden kleiner als die Erregeramplituden (V1 < 1). Das ist hier der Fall. Es zeigt sich, dass in√Bezug auf unerwünschte Schwingungen der überkritische Zustand η > 2, der auch als „weiche Lagerung“ bezeichnet wird, günstig ist. Zu c) Die Phasenverschiebung wird aus der Gl. (9-47) berechnet. tan ϕ = v = 2,0 m/s; tan ϕ =

2·ϑ·η , 1 − η2

ϑ = 0,10

η = 0,447 (s. Teil b) 2·0,10·0,447 = 0,112; 1 − 0,4472

ϕ◦ = 6,4◦ ;

ϕ = 0,11.

Auf gleichem Wege für v = 8,0 m/s: tan ϕ =

2·0,10·1,789 = −0,163; 1 − 1,7892

ϕ◦ = −9,24◦ ;

+170,8◦ ;

ϕ = +2,98.

Deutung der Ergebnisse: Bei v = 2,0 m/s bewegen sich Masse und Radmittelpunkt mit einer kleinen Phasenverschiebung (Zeigerdiagramm) jeweils gleichsinnig. Bei v = 8,0 m/s erfolgen die Bewegungen auch mit kleiner Phasenverschiebung jeweils entgegengesetzt. Beispiel 2 (Abb. 9-49) Für die in der Abbildung gezeigte, mit ihrem Fundament starr verbundene Maschine (Gesamtmasse von Fundament und Maschine sei m) mit einer Unwucht U = me ·e ist der Einfluss der Unwuchtkraft auf die Aufstellung im unter- und überkritischen Bereich zu untersuchen. Es soll ein ungedämpftes Einmassenmodell zugrunde gelegt werden. Die Gesamtmasse ist in senkrechter Richtung geführt und federnd gelagert; das System kann nur Schwingungen in dieser Richtung ausführen.

420

9 Mechanische Schwingungen y

e

me x mM

ωe S

mF

P

c= ci m = mF + mM

Abb. 9-49: Unwuchterregung

Die Lösung soll allgemein erfolgen und kommentiert werden. Zum besseren Verständnis der Ergebnisse sind diese in geeigneter Form graphisch darzustellen. Hierzu bietet sich ein Diagramm, das den Einfluss der Kräfte bei verschiedenen Drehzahlen (Abstimmungsverhältnissen) veranschaulicht, an. Dafür werden die folgenden Werte zugrunde gelegt: U = me ·e = 1,50 kg m;

m = 2000 kg;

c = 90 kN/m

Lösung 1. unterkritischer Drehzahlbereich, hohe Abstimmung, η < 1 (Abb. 9-50a) Nach dem Phasenfrequenzgang, Abb. 9-45b, verläuft die Gesamtbewegung von Maschine mit Fundament gleichphasig mit der Unwuchterregung (ϕ = 0◦ ). Im Totpunkt der Unwuchtmasse sind der Schwingungsausschlag und die BeschleuFZ = me·e·ωe 2 me e Bewegung S

FZ = me·e·ωe 2 me e y FT = m·¨ S

y FT = m·¨ FF = c·y a unterkritisch

Bewegung FF = c·y b

u ¨ berkritisch

Abb. 9-50: Freigeschnittenes System Maschine/Fundament

9.5 Die erzwungene Schwingung

421

nigung maximal (die Geschwindigkeit ist Null). Für die Bewegung von Unwuchtmasse und Gesamtmasse nach oben, werden unmittelbar vor dem oberen Totpunkt die erregende Fliehkraft (Erregerkraft) FZ und – entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung – die Federkraft (Rückstellkraft) FF und die d’Alembertsche Trägheitskraft FT angetragen und das Gleichgewicht in senkrechter Richtung formuliert: FZ − FT − FF = 0.

(1)

Bei harmonischer Erregung durch die umlaufende Unwucht ist y = A· sin(ωe ·t). Die Beschleunigung wird dann mit y˙ = A·ωe · cos(ωe ·t) y¨ =

−A·ωe2 · sin(ωe ·t).

(2) (3)

Damit wird die Federkraft FF = c·y = c·A· sin(ωe ·t)

(4)

und die d’Alembertsche Trägheitskraft FT = m·¨ y = −m·A·ωe2 · sin(ωe ·t).

(5)

Die Gleichungen (4) und (5) beschreiben den schon im Abschnitt 9.3.1, Abb. 9-5 und 9-6 ausführlich erklärten Sachverhalt, dass die Federkraft (abhängig vom Federweg) und die Trägheitskraft (abhängig von der Beschleunigung) entgegengesetzt gerichtet sind. Für die beiden Totlagen werden sie wegen sin(ωe ·t) = |1| maximal. Damit lässt sich Gleichung (1) schreiben me ·e·ωe2 + m·A·ωe2 − c·A = 0. Das bedeutet, dass sich im unterkritischen Bereich die Fliehkraft und die Trägheitskraft addieren. Die Federkraft FF = c·A = ωe2 ·(m·A + me ·e)

(6)

ist quadratisch von der Erregerdrehzahl und linear von der Amplitude abhängig. Die Amplitude in diesem Bereich erhält man durch Umstellen der oben gefundenen Gleichgewichtsbedingung.

422

9 Mechanische Schwingungen

Mit ω02 = c/m bzw. c = ω02 ·m wird me ·e·ωe2 + m·A·ωe2 − ω02 ·m·A = 0, me ·e·ωe2 = m·A·(ω02 − ωe2 ),

A=

me 2 m ·e·ωe . ω02 − ωe2

Erweitert man den Bruch mit 1/ω02 und verwendet η = ωe /ω0 , lässt sich die Amplitude auch in Abhängigkeit vom Abstimmungsverhältnis ausdrücken A=

me 2 m ·e·η . 1 − η2

(7)

2. überkritischer Drehzahlbereich, tiefe Abstimmung, η > 1 (Abb. 9-50b) Hier verläuft nun die Gesamtbewegung zur Erregung um 180◦ phasenverschoben; d.h. die Bewegung erfolgt entgegengesetzt zur Erregerkraft. Während sich die Unwuchtmasse nach oben bewegt, geht die Bewegungsrichtung des Gesamtsystems nach unten. Für diesen Zustand, unmittelbar vor dem oberen Totpunkt der Unwuchtmasse liefert das Gleichgewicht der Kräfte in senkrechter Richtung FZ + FT + FF = 0

(8)

und mit den oben diskutierten Zusammenhängen zwischen der Feder -und Trägheitskraft me ·e·ωe2 − m·A·ωe2 + c·A = 0. Damit wird die Federkraft bei tiefer Abstimmung FF = c·A = ωe2 ·(m·A − me ·e).

(9)

Das bedeutet, dass die Federkraft die Differenz der Fliehkraft und Trägheitskraft ist. Die Amplitude in Abhängigkeit vom Abstimmungsverhältnis η ist |A| =

me 2 m ·e·η . η2 − 1

(10)

3. Auswertung Die Einschätzung der auf den Aufstellgrund übertragenen Federkräfte in verschiedenen Drehzahlbereichen anhand der Gleichungen (6) und (9) ist wegen

9.5 Die erzwungene Schwingung

423

der in den Gleichungen drehzahlabhängigen Amplituden nicht ganz so einfach. In solchen Fällen ist es ratsam sich die Zusammenhänge in einem Diagramm klarzumachen. Dies lässt sich leicht mit einem entsprechenden Programm, wie sie z.T. schon in Taschenrechnern installiert sind, oder ganz einfach mit einer Wertetabelle realisieren. Für die vorgegebenen Werte sind in der Abb. 9-51 die Erregerkraft FZ und die auf die Aufstellung wirkende Federkraft FF in Abhängigkeit vom Abstimmungsverhältnis η aufgetragen. In diesem Diagramm beschreibt die strichpunktierte Kurve die durch die Unwucht mit dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit zunehmende Erregerkraft. √ Es wird deutlich, dass im Bereich η < 2 die Federkräfte immer größer als die Erregerkräfte sind. Der Bereich zwischen den Kurven für die Federkraft und Erregerkraft ist die zusätzlich bei hoher Abstimmung vom Fundament aufzunehmende Belastung. √ Im überkritischen Bereich nehmen ab η > 2 mit zunehmender Drehzahl die Federkräfte gegen einen Grenzwert (me ·e·c)/m, der den statischen, von der Erregerdrehzahl unabhängigen Anteil der Fliehkraft darstellt, ab. Dieser statische Wert lässt sich finden, wenn man in die Fliehkraftgleichung FZ = me ·e·ωe2 das Abstimmungsverhältnis einführt. Der Bereich zwischen den beiden Kurven (Feder -und Fliehkraft) entspricht der Entlastung des Fundamentes bei hohen 400 FF =ωe 2 (m·A+me·e)

FF =ωe 2 (m·A−me·e)

FZ =me·e·ωe 2

300 zusätzliche Belastung der Auflage durch das FederMasse-System

F N

Entlastung der Auflage durch das Feder-MasseSystem

200

100

me ·e·c m 0 0

1

√

2

2

η

Abb. 9-51: Erregerkraft und Federkraft bei Unwuchterregung

3

424

9 Mechanische Schwingungen

Drehzahlen. Das bedeutet, dass eine tiefe Abstimmung anzustreben ist. p Das erreicht man wegen η = ωe /ω0 durch eine niedrige Eigenfrequenz ω0 = c/m mit schweren Fundamenten und weicher Federung (siehe auch Punkt 5 der Schlussfolgerungen aus den Diagrammen der Vergrößerungsfunktionen). Grundsätzlich ist zur Abb. 9-51 anzumerken: Für η = 1 ist die Funktion für die Federkräfte, wie man aus den Gleichungen (7) und (10) sehen kann, nicht definiert. Sie geht im linken Teil (η < 1) gegen +∞, kommt im rechten Teil (η > 1) von −∞ zurück und nähert sich dem Grenzwert. Damit ist auch die Amplitude nach Gleichung (10) ein negativer Wert und die dynamischen Federkräfte im unter- und überkritischen Bereich somit entgegengesetzt gerichtet. Aus Gründen der Anschaulichkeit wird in der Regel bei Diagrammen dieser Art die rechte Kurve, wie in der Abbildung zu sehen, „nach oben geklappt“.

9.6

Erfassung von Schwingungsparametern

Für die Beurteilung des Schwingungsverhaltens ist die Messung der Schwingwege, -geschwindigkeiten und -beschleunigungen im Versuch eine wichtige Voraussetzung. Von den zahlreichen Möglichkeiten zum Messen d.h. zum Registrieren und Anzeigen dieser Größen (siehe hierzu [56]) soll hier nur auf die Erfassung mit seismischem Bewegungsaufnehmer eingegangen werden, weil dies auch eine Anwendung der vorangehend dargestellten Problematik ist. Bei dieser Art des Aufnehmers wird die Massenträgheit zur Schwingungsmessung ausgenutzt. Der prinzipielle Aufbau des Messaufnehmers beruht, wie aus Abb. 9-52a ersichtlich, auf dem bekannten Feder-Masse-Dämpfer-System, das sich in einem fest mit dem Messobjekt verbundenen Gehäuse befindet (Fußpunkterregung). Da tatsächlich ein raumfester Bezugspunkt messtechnisch nicht zur Verfügung steht, kann der Absolutausschlag y der schwingenden Masse nicht unmittelbar bestimmt werden. Es wird die Relativbewegung yrel der Masse m gegenüber dem Gehäuse/Messobjekt yrel = y − yS mit Dehnmessstreifen, Piezokristallen oder Spulen als Messgeber gemessen. Die schwingende Masse im Aufnehmer wird in gewohnter Weise freigeschnitten (Abbildung 9-52b) und das Gleichgewicht der Kräfte in senkrechter Richtung

9.6 Erfassung von Schwingungsparametern

425

Gehäuse Feder

yS c

FF = c·yrel

Masse

yrel m

y

Dämpfung

b

y raumfestes Bezugssystem

FT = m·¨ y FD = b·˙yrel

Messobjekt a

b

Abb. 9-52: Bewegungsaufnehmer

formuliert FT + FD + FF = 0. Während die Dämpfungs- und Federkraft proportional zur Relativgeschwindigkeit bzw. Relativbewegung zwischen Masse und Gehäuse sind, ist die d’Alembertsche Trägheitskraft proportional zur absoluten Beschleunigung gegenüber dem raumfesten Bezugssystem. Damit wird m·¨ y + b·y˙ rel + c·yrel = 0. Mit y = yrel + yS

bzw. y¨ = y¨rel + y¨S

wird m(¨ yrel + y¨S ) + b·y˙ rel + c·yrel = 0, oder umgestellt m·¨ yrel + b·y˙ rel + c·yrel = −m·¨ yS . Wird von einer harmonischen Wegerregung des Messobjektes yS = s0 · sin(ωe ·t) mit y¨S = −s0 ·ωe2 · sin(ωe ·t)

426

9 Mechanische Schwingungen

ausgegangen, wird die Differentialgleichung für die Masse im Bewegungsaufnehmer m·¨ yrel + b·y˙ rel + c·yrel = m·s0 ·ωe2 · sin(ωe ·t). Das ist die Differentialgleichung mit frequenzabhängiger Erregeramplitude, wie sie etwa auch für die Unwuchterregung (siehe Abschnitt 9.5.3) gültig ist. Mit δ = b/2m und ω02 = c/m lässt sich die Differentialgleichung auch y¨rel + 2·δ·y˙ rel + ω02 ·yrel = s0 ·ωe2 · sin(ωe ·t) schreiben. Dabei ist s0 ·ωe2 der frequenzabhängige Maximalwert der Beschleunigung des Messobjektes (Amplitude der Beschleunigung). Die partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung yrel = A· sin(ωe ·t − ϕ) führt in bekannter Weise (siehe Abschnitt 9.5.2) zu V3 =

η2 A =p . s0 (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

Da der Schwingweg s0 der Gehäuseschwingung gemessen werden soll, muss der angezeigte Schwingweg yrel = yS sein. Das ist nach Abb. 9-53a für η ≫ 1, bei dem V3 → 1 geht, der Fall. Deshalb √ liegt der Arbeitsbereich für Wegaufnehmer (mit Dämpfungen von ϑ = 0,5 . . . 1/ 2) bei Abstimmungsverhältnissen η > 3,5. Bei η > 1 sind allerdings Anzeige und Gehäuseschwingung frequenzabhängig nicht phasengleich (siehe Abb. 9-45b). Für die Messung der Schwingbeschleunigung wird vom gleichen Grundmodell wie für die Messung des Schwingweges ausgegangen. Nach Gleichung (9-55) gilt V3 = V1 ·η 2 . Damit lässt sich das Verhältnis von Relativbewegung der Masse zur Absolutbewegung des Messgerätes auch V1 ·η 2 =

A s0

schreiben. Dies bedeutet für ein sehr kleines Abstimmungsverhältnis (η → 0) nach Abbildung 9-53b V1 ≈ 1. Mit der Umformung η 2 = ωe2 /ω02 wird 1·

ωe2 A = 2 ω0 s0

bzw. A =

1 ·s0 ·ωe2 . ω02

9.6 Erfassung von Schwingungsparametern 3

ϑ=0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 1,0

2,5 2 1,5 V3

427

Arbeitsbereich

1 0,5 0 0

1 a

2

3

4

5

η

Wegaufnehmer

3 2,5

ϑ=0,2 0,3 0,4

Arbeitsbereich

2

0,6

1,5 0,8

V1

1

1,0

0,5 0

0

1

2

3 η

b Beschleunigungsaufnehmer Abb. 9-53: Arbeitsbereich der Bewegungsaufnehmer

Es wird deutlich, dass für ein genügend kleines Abstimmungsverhältnis η die Amplitude der Messanzeige A der Amplitude der Messgehäusebeschleunigung s0 ·ωe2 (mit dem Proportionalitätsfaktor 1/ω02 , der eine Gerätekonstante ist) direkt proportional ist. Somit ist das in Abb. 9-52 dargestellte Messprinzip auch für Beschleunigungsmessung geeignet, was die häufigere Anwendung ist. Dazu müssen die Daten des Messaufnehmers so abgestimmt sein, dass das Abstimmungsverhältnis gegen Null geht. Das bedeutet eine hohe Eigenfrequenz des Aufnehmers, die sich durch eine harte Feder bei kleiner Masse erreichen lässt. Die Masse führt somit etwa die gleiche Absolutbewegung aus wie die Unterlage. Durch die hohe

428

9 Mechanische Schwingungen

Abstimmung des Aufnehmers ist im gesamten Messbereich eine phasengetreue Abbildung wegen ϕ ≈ 0◦ gewährleistet. Seismische Bewegungsaufnehmer können auch zur Geschwindigkeitsmessung eingesetzt werden. Dazu wird der Aufnehmer in Resonanznähe η ≈ 1 mit extrem hoher Dämpfung ϑ ≫ 1 ausgelegt.

Hinweis: Im Allgemeinen führt das Messobjekt nicht-harmonische Schwingungen aus, die sich aber bei periodischer Anregung in harmonische Bestandteile zerlegen lassen (siehe hierzu die Spezialliteratur), so dass die oben vorgenommene Annahme einer harmonischen Wegerregung einem breiten Anwendungsspektrum gerecht wird.

9.7

Die biegekritische Drehzahl

9.7.1

Das Einmassensystem

Die in Abb. 9-54 dargestellte Welle mit einer Masse stellt einen einfachen mechanischen Schwinger dar. Das vereinfachte Modell dieses Schwingers (Welle masselos, Rotor mittig) wird auch als Laval5 -Welle bezeichnet. Da die Drehachse und Schwerpunktachse nie exakt zusammenfallen, entsteht eine mit der Welle umlaufende Kraft Fz = m·e·ωe2 , die mit dem Quadrat der Drehzahl ansteigt und von den Lagern aufgenommen werden muss (siehe Abbildung 9-51). Vom raumfesten Standpunkt aus erzeugen die umlaufenden Fliehkräfte eine harmonische Schwingung y(t) = yF · sin(ωe ·t) ωe m S FA FZ = m·e·ωe 2

FF = c·y y

e S

FB

e

FZ = m·(e+y)·ωe 2 a starr

b durch Fliehkraft verformt

Abb. 9-54: Elastische Welle mit Masse (Laval-Welle) 5

de Laval, Carl Gustav Patrik (1845–1913), schwedischer Ingenieur.

9.7 Die biegekritische Drehzahl

429

mit der Umlauffrequenz des Rotors. Es liegt demnach der Fall einer massenkrafterregten Schwingung vor. Im Resonanzbereich werden die Amplituden wegen der geringen Dämpfung sehr groß und können durch Anstreifen des Rotors am Gehäuse, Wellenbruch oder Lagerschäden zur Betriebsunfähigkeit von Maschinen führen. Die Drehzahl, die dem Resonanzfall entspricht, wird kritische Drehzahl genannt. Im Allgemeinen meint man mit dieser Bezeichnung die biegekritische Drehzahl. Zur verdrehkritischen Drehzahl, die aus der Eigenfrequenz der Torsionsschwingung, Gl. (9-27)/(9-28), resultiert, sei auf die Ausführungen zum Drehschwinger (Abschnitt 9.3.5) mit dem Beispiel 3, Abb. 9-26a verwiesen. Mit der Eigenkreisfrequenz nach Gl. (9-2) ωK = ω0 =

r

c m

wird die biegekritische Drehzahl 1 · nK = 2π

r

c . m

(9-63)

Der Bereich um diese Drehzahl ist immer zu vermeiden. Die Gl. (9-63) gilt für mWelle ≪ m. Ist diese Voraussetzung nicht erfüllt, muss auf ein Mehrmassensystem übergegangen werden. Darauf wird im folgenden Abschnitt eingegangen. Die Bestimmung der Federkonstante c zur Berechnung der Eigenfrequenz wurde im Abschnitt 9.3.3 beschrieben. Dazu muss die Durchbiegung yF der Welle an der Stelle der Massenanbindung unter einer Querkraft beliebiger Größe ermittelt werden. Die Federkonstante ist dann c = F/yF . Für Wellen mit verschiedenen Querschnitten kommen in der Regel Berechnungsprogramme zum Einsatz. Für die Handrechnung sind mit relativ geringem Aufwand die Verfahren nach Mohr6 und Föppl7 (siehe Band 2, Kapitel 4) anwendbar. Bestimmt man die Durchbiegung yF unter der Einwirkung der Gewichtskraft, dann gilt für die Federkonstante c=

m·g yF

und damit 1 nK = 2π 6 7

r

g . yF

Mohr, Otto (1835–1918), deutscher Ingenieur Föppl, August (1854–1924), deutscher Ingenieur

430

9 Mechanische Schwingungen

Für g = 981 cm/s2 erhält man für nK als Näherung folgende zugeschnittene Formel: 300 nK ≈ √ yF

nK

yF

min−1

cm

Es soll nochmals betont werden, dass es nur auf die Federkonstante und die rotierende Masse ankommt und nicht auf die an der Welle tatsächlich auftretende Durchbiegung. Daraus folgt: 1. Die kritische Drehzahl wird von den auf die Welle übertragenen Kräften (Zahnkräfte; Riemenkräfte) nicht beeinflusst. Die durch diese verursachten Durchbiegungen dürfen nicht in die Berechnungsgleichung für die kritische Drehzahl einbezogen werden. 2. Die Exzentrizität e und damit die Größe der statischen Unwucht US = me ·e haben keinen Einfluss auf die biegekritische Drehzahl, wohl aber auf die Breite der Gefahrenzone. 3. Die kritische Drehzahl ist von der Lage der Welle unabhängig. Sie ist z.B. für horizontalen und vertikalen Einbau gleich. Aufgeschrumpfte Ringe, Buchsen und Naben haben für die Welle eine versteifende Wirkung, die die Federkonstante vergrößern und die kritische Drehzahl erhöhen. Man kann diesen Einfluss näherungsweise dadurch erfassen, dass man die aufgeschrumpften Teile als zur Welle gehörig betrachtet. Bei einer Reihe von tiefen Eindrehungen nach Abb. 9-55 entsteht der umgekehrte Effekt. Die äußeren Werkstoffteile haben kaum Anteil an der Übertragung des Biegemomentes. Eine solche Welle verhält sich in Bezug auf die Durchbiegung etwa wie eine glatte Welle mit dem Durchmesser d. ∅d Abb. 9-55: Welle mit Nuten

Durch die Drehmomente, die von Wellen übertragen werden, verringert sich die biegekritische Drehzahl. Gleiches gilt auch für wirkende Druckkräfte; Zugkräfte erzeugen den umgekehrten Effekt, sie führen zur Erhöhung. Die kritische Drehzahl wird durch eine elastische Lagerung immer herabgesetzt. Einen ähnlichen Einfluss hat der Ölfilm in einem Gleitlager. Durch seine Nachgiebigkeit wird die kritische Drehzahl herabgesetzt und oftmals aufgespalten,

9.7 Die biegekritische Drehzahl

431

sodass zwei Kritische auftreten. Allerdings bleiben die Auslenkungen durch die Dämpfungswirkungen des Ölfilms meist überraschend klein. Die Eigenelastizität der verschiedenen Lagerkonstruktionen mit Berücksichtigung der Ölfilmelastizität in den Lagern ist selbst mit Einbeziehung von Computern sehr aufwendig. Sitzen die Lager auf elastischen Unterlagen, dann bestimmt man entweder die Gesamtdurchbiegung oder die Ersatzfederkonstante (vgl. Abschnitt 9.3.2). Zum Durchfahren der kritischen Drehzahl ist ein rasch anwachsendes Drehmoment erforderlich, weil in der sich ausbiegenden Welle ein Teil der Antriebsenergie als Verformungsenergie gespeichert wird. Dabei wächst die Auslenkung der Welle umso schneller, je größer die Unwucht und je steifer die Welle ist. Alle oben angestellten Überlegungen gelten für eine Punktmasse. Es ist zu klären, ob sich eine Scheibe wie eine Punktmasse verhält. In Abb. 9-56 ist eine Welle mit einer Scheibe am Ende in zwei Bewegungsphasen skizziert. Die Scheibe muss eine taumelnde Bewegung ausführen, ihre Drehachse im Raum ist nicht in Ruhe. Bei genügend hoher Drehzahl kann man die Scheibe mit einem Kreisel vergleichen, der versucht, seine Lage im Raum beizubehalten. Bei der Rotation der durchgebogenen Welle wird sich diese nicht mehr in einer Ebene bewegen; ihr Drallvektor bewegt sich auf einem Kegelmantel (Nutation, siehe dazu Abb. 6-83 mit Erklärung). Es entsteht ein Moment (Kreiselmoment Abschnitt 6.4.7), das dieser Taumelbewegung entgegenwirkt und damit die Durchbiegungen verkleinert. Durch diesen Einfluss wird die kritische Drehzahl erhöht. In vielen Fällen ist dieser Einfluss sehr klein, sodass er vernachlässigt werden kann. Bei fliegend angeordneter Scheibe nach Abbildung 9-56 oder extrem außermittiger Scheibenlage mit verhältnismäßig großen Scheibendurchmessern kann der Kreiseleinfluss aber sehr groß werden.

Abb. 9-56: Zum Einfluss des Kreiselmoments auf die kritische Drehzahl

432

9 Mechanische Schwingungen

Nicht rotationssymmetrische Rotoren wie Kurbelwellen oder Wellen mit Keilnuten weisen anstelle der kritischen Drehzahlen kritische Drehzahlbereiche auf. Dies erklärt sich aus den unterschiedlichen Federkonstanten der „unrunden“ Wellen. Die Grenzwerte dieser Drehzahlbereiche lassen sich mit der kleinsten bzw. größten Federzahl berechnen. Für Rotoren, die mit modernen Mitteln ausgewuchtet, praktisch keine Restunwucht aufweisen und in Gleitlagern mit hoher Dämpfung gelagert sind, dürften eigentlich keine Probleme mit der kritischen Drehzahl auftreten, weil die Wellendurchbiegungen in zulässigen Grenzen bleiben. Leider ändert sich dieser Idealzustand aber während des Betriebes hin zu größeren Unwuchten. Verantwortlich sind dafür zahlreiche Ursachen wie Materialablagerungen, Materialabtrag, Wärmeverzug und andere. Daher gehört die Berechnung der biegekritischen Drehzahlen beim Entwurf von Strömungsmaschinen z.B. zu den wichtigsten Aufgaben. Die verdrehkritischen Drehzahlen sind bei der Auslegung von Kolbenmaschinen von größerer Bedeutung. Zur Untersuchung der Schwingungsamplituden einer rotierenden Welle in verschiedenen Drehzahlbereichen wird von dem ungedämpften Modell nach Abb. 9-54 ausgegangen. Im ausgelenkten Zustand (Abb. 9-54b) müssen Federkraft und Fliehkraft im Gleichgewicht sein c·y = m·(e + y)·ωe2 c·y − m·e·ωe2 − m·y·ωe2 = 0 y=

m·e·ωe2 e·ωe2 e·ωe2 = = . c c − m·ωe2 ω02 − ωe2 − ωe2 m

Mit (ωe /ω0 )2 = η 2 erhält man y=

η2 ·e. 1 − η2

(9-64)

Für den Resonanzfall ωe = ω0 ⇒ η = 1, geht y → ∞ und das unabhängig von der Exzentrizität e ! Bildet man den Quotienten aus Amplitude (Wellenauslenkung) und Anregung (Exzentrizität) η2 y = = V3 , e 1 − η2

9.7 Die biegekritische Drehzahl

433

erhält man auch auf diesem Wege die Vergrößerungsfunktion für die Massenkrafterregung des ungedämpften Schwingers ϑ = 0. Das heißt, die relative Durchbiegung ist gleich der Vergrößerung der ungedämpften Massenerregung. Trägt man die relative Durchbiegung y/e über dem Abstimmungsverhältnis η auf, so erhält man die in Abb. 9-57 gezeigte Funktion. Bei von Null ausgehender, zunehmender Drehzahl wird infolge der umlaufenden, quadratisch mit der Drehzahl zunehmenden Erregerkraft die Durchbiegung größer. Mit der Durchbiegung wächst wiederum die Fliehkraft. Dieser Vorgang steigert sich durch den gegenseitigen Verstärkereffekt so, dass für η = 1 ein Kräftegleichgewicht nicht mehr möglich ist. Nach Gl. (9-64) befindet sich die Welle auch für e = 0 (ideal ausgewuchteter Rotor) in einem indifferenten Gleichgewichtszustand (y = 0/0), in dem schon eine kleine Störkraft genügt, um die Durchbiegung der Welle beliebig anwachsen zu lassen. Die Funktion y = f (η) ist für diesen Bereich nicht definiert; sie geht gegen +∞ und kommt für η > 1 von −∞ zurück und nähert sich dem Grenzwert −e (bzw. y/e = −1). Auch hier wird − wie schon in der Abb. 9-51 − der negative Kurvenast „nach oben geklappt“. Die Phasenverschiebung von π, die in diesem Bereich nach Abb. 9-45b eintritt, äußert sich durch eine Drehung der Scheibe um 180◦ . Dadurch verschiebt sich der Schwerpunkt in Richtung der Drehachse. Durch den verminderten Schwerpunktabstand verringert sich die Erregerkraft. Dadurch wird bei weiter zunehmender Drehzahl die Amplitude wieder kleiner. Für sehr hohe Drehzahlen wird η ≫ 1. Damit nähert 4,0 3,5 3,0 y |y| e 2,5

S

e S

e

y

2,0 1,5 1,0 Asymptote

0,5 00

0,5

1,0

1,5 η

2,0

2,5

3,0

Abb. 9-57: Relative Durchbiegung einer rotierenden Welle

434

9 Mechanische Schwingungen

sich nach Gl. (9-64) die Amplitude y der Exzentrizität −e. Das bedeutet, dass der Schwerpunkt praktisch in der Drehachse liegt. Diesen Vorgang nennt man Selbstzentrierung. Wegen der Selbstzentrierung der Massen laufen Wellen überkritisch immer ruhiger (weiche Welle). Die auf die Lager übertragenen Kräfte sind verglichen mit einer steifen Welle im Verhältnis η 2 verkleinert. Das erkennt man aus der Abb. 9-51. Die Resonanzbereiche müssen möglichst schnell durchfahren werden, um ein Aufschaukeln auf große Amplituden zu verhindern. Große, unvermeidbare Unwuchten erfordern eine besonders „weiche“ Lagerung. Das System hat dann eine sehr niedrige kritische Drehzahl und das Verhältnis η wird sehr groß (tiefe Abstimmung). Der Schwerpunkt liegt fast genau in der Drehachse. Obwohl das System dem Ansehen nach stark schlägt, läuft es, da die Erregerkräfte fast verschwinden, ruhig. Die Fliehkraftmomente drehen die Masse so, dass die Drehung um die Hauptachse erfolgt und damit auch keine umlaufenden Momente auftreten. Ein Beispiel für eine solche Lagerung ist eine Wäscheschleuder. Diese, für uns selbstverständlichen Erkenntnisse zum überkritischen Betrieb, wie auch die Frage, ob ein solcher Zustand überhaupt stabil sein kann (und wenn ja, warum), hat zur Wende ins 20. Jahrhundert die Ingenieure und Wissenschaftler ein halbes Jahrhundert lang beschäftigt. Das ist nachvollziehbar, wenn man sich die Aussage der Gl. (9-64) für ωe > ω0 vor Augen führt: Für η > 1 wird y negativ, d.h. die Welle biegt sich elastisch entgegen der Richtung der Exentrizität e nach „innen“ aus (siehe Abb. 9-57)! Gelöst wurde diese Frage zuerst experimentell 1883 von Gustav de Laval, der in einer Turbine bewusst eine sehr dünne Welle, die mit ca. 30 000 U/min (η ≈ 7) extrem ruhig und stabil lief, einbaute. Der theoretische Nachweis dafür konnte erst viele Jahre später von Föppl (1895) und Stodola8 (1904) geführt werden. geführt werden. Stodola konnte auch nachweisen, dass das axiale Trägheitsmoment der Scheibe die Stabilität im überkritischen Lauf bewirkt, wenn die Exzentrizität hinreichend klein gegenüber dem Trägheitsradius ist. Wird die Scheibe durch eine Punktmasse ersetzt, wird das System tatsächlich instabil. Beispiel (Abb. 9-58) Für die abgebildete Welle ist die kritische Drehzahl zu bestimmen. Das Schwungrad hat eine Masse von m = 1000 kg. 8

Stodola, Aurel (1859-1942), slowakischer Ingenieur

435

40

9.7 Die biegekritische Drehzahl

φ45

φ60

240

φ45

40

320

260

φ75

Abb. 9-58: Schwungrad

Lösung Gegenüber der Schwungradmasse kann die Wellenmasse vernachlässigt werden. Die Durchbiegung dieser Welle wurde im Band 2; Kapitel 4 als Beispiel für das Verfahren nach Mohr/Föppl ermittelt. Für eine Kraft von 15,0 kN beträgt die Durchbiegung yF = 0,61 mm. Die Federkonstante ist demnach c=

F 15·103 N = = 24,6·106 N/m. yF 0,61·10−3 m

Die Eigenkreisfrequenz beträgt ω0 =

r

c = m

s

24,6·106 N m = 157 s−1 . 103 kg

Damit ist nK =

9.7.2

157 s−1 ω0 = = 25,0 s−1 ; 2π 2π

nK ≈ 1500 min−1 .

Das Mehrmassensystem

Ein schwingender Balken ist ein Kontinuumsschwinger. Das bedeutet, dass seine Masse und Elastizität kontinuierlich über den Träger verteilt sind. Er schwingt

436

9 Mechanische Schwingungen

in ∞ vielen Eigenformen und hat auch so viele Eigenfrequenzen. Für viele Anwendungen benötigt man jedoch nur die Kenntnis einer sehr begrenzten Zahl von Eigenfrequenzen. Dies führt auf die Überlegung, den Balken als diskreten Schwinger zu idealisieren. Das Modell besteht dann aus mehreren starren Körpern (Punktmassen), durch Federn verbunden, mit einer endlichen Anzahl von Freiheitsgraden. Ein mit n Punktmassen besetzter Balken kann in n Formen Biegeschwingungen ausführen. Nach der Anzahl der Eigenfrequenzen und Schwingungsformen, die für die Lösung einer technischen Aufgabenstellung bekannt sein müssen, wird man ein diskretes Modell mit einer entsprechenden Anzahl von Punktmassen aufstellen. Für Mehrmassenschwinger, wie z.B. Turbinenläufer, sind die Eigenfrequenzen, die in der Nähe des Betriebsbereiches liegen, wichtig. Sie sind die kritischen Drehzahlen, in denen die Welle nicht betrieben werden darf, da sonst die Durchbiegungen unkontrollierbar groß werden können. Als Beispiel ist in Abb. 9-59 ein Träger mit vier Massen gezeigt. Bei Schwingungsanregung mit stetig zunehmender Frequenz bewegen sich bis zum Erreichen der tiefsten Eigenfrequenz (Grundschwingung) jeweils alle Massen in die gleiche Richtung. Im Bild 9-59 oben ist diese Schwingungsform, die so genannte 1. Eigenform, gezeigt. Nach Durchfahren der Resonanz der Grundschwingung tritt die 2. Eigenform mit einem Schwingungsknoten (1. Oberschwingung; Bild 9-59) auf. Im Schwingungsknoten bleibt der Träger in Ruhe. Dabei entspricht die Anzahl der Knoten der Anzahl der Oberschwingungen. Für jede Eigenform lässt sich eine Bewegungsgleichung formulieren. Die Lösung des so entstandenen Gleichungssystems liefert die Eigenfrequenzen und die Grundschwingung

Knoten 1. Oberschwingung

2. Oberschwingung

3. Oberschwingung

Abb. 9-59: Eigenformen des Vier-Massenschwinger

9.7 Die biegekritische Drehzahl

437

Eigenschwingungsformen. Für den Vier-Massenschwinger lassen sich somit vier Eigenfrequenzen und vier Eigenformen bestimmen. Am wichtigsten für die Beurteilung des Schwingungsverhaltens einer Welle ist häufig die Grundschwingung, die sich auch am einfachsten berechnen lässt. Dieser Abschnitt befasst sich mit der Ermittlung der Frequenz der Grundschwingung. Zur näherungsweisen Berechnung der Grundschwingung soll das Verfahren von Rayleigh9 angewendet werden. Dieses Verfahren beruht auf dem Energieerhaltungssatz. Es wird auf die Energiebetrachtung des Abschnittes 9.3.1 zurückgegriffen. Die elastische Energie der Welle im durchgeschwungenen Zustand muss gleich sein der kinetischen Energie beim Null-Durchgang. Diese Überlegung wird auf die Welle nach Abb. 9-60 angewendet. X

Eel =

X

Ekin .

Dabei sind nach Gleichung (8-12) Eel =

c 2 ·y , 2

und Gleichungen (8-11)/(9-8) Ekin =

y1

m (y·ω0 )2 . 2

1

2

y2

Abb. 9-60: Deformation des Mehrmassensystems (Grundschwingung, 1. Eigenform)

Da die Massen an verschiedenen Stellen sitzen, sind auch die Federkonstanten verschieden, c1 2 c2 2 m1 m2 ·y1 + ·y2 + · · · = ·ω02 ·y12 + ·ω02 ·y22 + . . . 2 2 2 2 Die Federkonstanten werden mit der Gewichtskraft bestimmt m·g , c·y = m·g. c= y Damit ist m1 ·y1 + m2 ·y2 + . . . = 9

ω02 (m1 ·y12 + m2 ·y22 + . . .). g

Rayleigh, John William Strutt, Lord (1842-1919), britischer Physiker

438

9 Mechanische Schwingungen

Für n Massen n X

mi ·yi =

i=1

n ω02 X mi ·yi2 , · g i=1

v u n u g· P m ·y u i i u i=1 ω0 = u n t P 2 i=1

(9-65)

mi ·yi

Für eine Masse erhält man ω0 = Abschnitt 9.7.1).

p

g/y. Mit c = m·g/y wird ω0 =

p

c/m (siehe

Die bei der Schwingung entstehende Biegelinie entspricht genügend genau der Biegelinie der Welle im Ruhezustand. Da die Federkonstanten durch die Gewichtskräfte ausgedrückt wurden, muss die elastische Linie bei Belastung durch Gewichtskräfte ermittelt werden. mi ·yi sind dann jeweils zugeordnete Werte. Die Gleichung (9-65) ermöglicht die Berücksichtigung der Wellenmasse beim Einmassensystem. Das ist vor allem notwendig, wenn beide von gleicher Größenordnung sind. Dazu denkt man sich einzelne Wellenabschnitte als Massenpunkte zusammengefasst. Ergibt die Berechnung eine kritische Drehzahl, die über der Betriebsdrehzahl liegt, dann interessieren die Oberschwingungen nicht. Diese liegen immer erheblich über der Grundschwingung. Selbst, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, kann man in vielen Fällen abschätzen, ob eine Oberschwingung gefährlich werden könnte. Bei Anwendung dieses Verfahrens für eine fliegende Lagerung nach Abb. 9-61 ist FZ1

2

1

FZ2

FG2 y1 FG1

y2 Abb. 9-61: Fliegende Lagerung einer Welle

9.7 Die biegekritische Drehzahl

439

folgendes zu beachten. Bei Rotation eines solchen Systems wirken die Fliehkräfte FZ entgegengesetzt, verstärken sich demnach gegenseitig in ihrer Wirkung. Aus diesem Grunde ist es notwendig, die elastische Linie mit entgegengesetzt gerichteten Gewichtskräften zu ermitteln. Für das Mehrmassensystem gilt grundsätzlich alles, was im vorigen Abschnitt über die kritische Drehzahl gesagt wurde. Die größere Zahl der Freiheitsgrade der Mehrmassenschwinger (Mehrscheibenrotoren) macht das Geschehen zwar komplex, aber neue Sachverhalte treten nicht auf. Die grundsätzliche Problematik ist durch die Laval-Welle hinreichend geklärt. Beispiel (Abb. 9-62) Für die skizzierte Welle ist die niedrigste kritische Drehzahl zu bestimmen. Die angegebenen Gewichtskräfte enthalten die einzelnen Teilabschnitte der Welle. Die mittlere Biegesteifigkeit E·I = 1012 Ncm2 ; m1 = 1000 kg; m2 = 2000 kg; l = 1000 mm. m1

m2

l

l

l Abb. 9-62: Welle mit zwei Massen

Lösung Zunächst müssen die Durchbiegungen der Welle an den Stellen der Massebelegung bestimmt werden. Das kann nach einem der in Band 2, Kapitel 4 erklärten Verfahren erfolgen. Hier bietet sich das Überlagerungsprinzip (Superpositionsverfahren) an. Dabei werden die Durchbiegungen an einer definierten Stelle durch die verschiedenen Lasten mit den Gleichungen der Tabelle 11 (Band 2) getrennt berechnet und anschließend zur Gesamtdurchbiegung addiert. Man erhält: y1 = 0,122 mm,

y2 = 0,128 mm.

Damit ist ω0 =

s

g·

P

P

(mi ·yi ) (mi ·yi2 )

440

9 Mechanische Schwingungen

=

s

9,81 m/s2 (103 ·0,122 + 2·103 ·0,128) kg mm 103 mm · (103 ·0,1222 + 2·103 ·0,1282 ) kg mm2 m

ω0 = 279 s−1

=⇒

nK =

ω0 = 44,4 s−1 ; 2π

nK = 2664 min−1 .

Es empfiehlt sich, durch eine Überschlagsrechnung mit der Näherungsgleichung das Ergebnis zu kontrollieren. Für eine mittlere Durchbiegung von y ≈ 0,125 mm erhält man 300 300 nK ≈ p min−1 ≈ √ min−1 ≈ 2680 min−1 . 0,0125 y/cm

Die sehr gute Übereinstimmung im vorliegenden Fall darf jedoch nicht zu dem Schluss führen, dass diese Gleichung grundsätzlich für Mehrmassensysteme ein hinreichend genaues Ergebnis liefert. Die Genauigkeit dieses Näherungsverfahrens hängt - vereinfacht ausgedrückt - von der Genauigkeit der Beschreibung der Biegeeigenform ab. In der obigen Herleitung wurde von der statischen Biegeverformung ausgegangen, die für diese Lagerbedingungen recht gut mit der dynamischen Biegelinie übereinstimmt, was die gute Annäherung unterstreicht. Zur näherungsweisen Berechnung der Grundschwingung (nicht nur für Biegeschwingungen) gibt es eine Reihe von recht einfach zu handhabenden Verfahren. Hierzu, wie auch auf die „exakte“, in der Regel mithilfe moderner Rechenprogramme zu findende Lösungen (dann allerdings nicht nur für die Grundschwingung), sei auf die weiterführende Literatur, z.B. [31], [38], [51] verwiesen.

9.8

Schwingungsprobleme durch freie Massenkräfte

9.8.1

Allgemeine Problemstellung

Bei Maschinen mit rotierenden oder oszillierenden Teilen treten (periodische) Massenkräfte auf. Das wurde in den Kapiteln 6 und 7 ausführlich begründet. Diese freien Massenkräfte werden auf die Umgebung, den Aufstellungsort, die Menschen in Verkehrsmitteln oder Geräte mit meist unerwünschten Folgen übertragen. Aufgabe des Ingenieurs ist es, durch geschickte Anordnung der Massen, Formenleichtbau oder Verwendung leichter Werkstoffe diese Massenkräfte klein zu halten. Im technischen Sprachgebrauch sind für den Ausgleich der Massenkräfte die Begriffe Auswuchten bei Rotoren und Massenausgleich bei Mechanismen (z.B. Kurbeltrieb) üblich. Zu beachten ist, dass Maßnahmen zum Ausgleich der Massenkräfte lediglich das Fundament entlasten. Die dynamischen Lagerbelastungen einzelner Gelenke

9.8 Schwingungsprobleme durch freie Massenkräfte

441

oder die Kräfte auf die Antriebswelle können sich als Folge der Maßnahmen auch verschlechtern. Ebenso sind die Auswirkungen aller Maßnahmen auf die Eigenfrequenzen zu berücksichtigen.

9.8.2

Das Auswuchten

Nahezu alles, was drehbar gelagert ist und rotiert, wird ausgewuchtet. Die Beispiele dafür reichen von Autorädern – der wohl geläufigsten Anwendung – über die Anker von Modelleisenbahnen, den in großen Stückzahlen gefertigten Kraftfahrzeug-Kurbelwellen bis zu Rotoren von Wasserturbinen von mehr als 6 m Durchmesser oder ND-Dampfturbinen mit Massen von mehreren hundert Tonnen. Ohne hoch entwickelte Auswuchttechnik wäre der moderne Maschinenbau undenkbar; sei es um die Funktion zu verbessern (schwingungsarmer Lauf) oder die Lebensdauer der Aggregate zu verlängern. Beim Auswuchten wird die Massenverteilung des Rotors geprüft und soweit verbessert, dass sich die unwuchtbedingten Kräfte und Schwingungen in zulässigen – in VDI-Richtlinien oder ISO-Normen definierten – Grenzen halten. Die zusätzlichen Belastungen der Lager entstehen durch umlaufende Kräfte und Kräftepaare, wenn bei Rotation eines starren Drehkörpers Drehachse und Hauptachse nicht zusammenfallen (siehe auch Abschnitt 7.3.5). Als Beispiel sei hier der Läufer nach Abb. 9-63 betrachtet. Der Schwerpunkt S liegt zunächst um den Betrag e außerhalb der Drehachse. Bei Drehung entsteht eine umlaufende Kraft, die mit dem Quadrat der Drehzahl ansteigt und so bei hohen Drehzahlen große zusätzliche Belastungen verursachen kann. Diesen Fehler könnte man bei genügend hoher Empfindlichkeit der Lager durch Auspendeln und Anbringen von Gegengewichten beseitigen. Diesen Vorgang nennt man statisches Auswuchten. Selbst wenn es mit dieser Methode gelänge, den Schwerpunkt genau in die Drehachse zu verschieben, so sind damit noch nicht alle zusätzlichen Belastungen der Lager ausgeschlossen. Das folgt aus der einfachen Überlegung, dass nicht alle Schwerpunktachsen Hauptachsen sind. Man kann sich den Körper in zwei Teilkörper zerlegt denken, von denen die Teilschwerpunkte wie angedeutet liegen. Bei der Drehung entstehen zwei verschieden große Kräfte, die man im Schwerpunkt zu einer Kraft und einem Moment zusammenfassen kann. Den Kraftanteil nennt man statische, den Momentenanteil dynamische Unwucht. Der Ausgleich beider erfolgt in zwei konstruktiv vorgesehenen Ebenen, z.B. Stirnseiten. Dort müssen zwei Ausgleichsmassen so angebracht werden, dass für einen beliebigen Punkt Kräfte und Momente verschwinden – d.h. eine indifferente Gleichgewichtslage erreicht ist. In diesem Zustand fallen Haupt- und Drehachse zusammen. Die

442

9 Mechanische Schwingungen FZ1 S1

S e FZ2

S2 ungewuchtet

Fers

M FZa Fers

Ausgleichsmasse

M

Ausgleichsmasse P PF = 0 M =0 gewuchtet

FZa S S1

Drehachse = Hauptachse S2

Abb. 9-63: Dynamisches Auswuchten eines Rotors

beiden Teilschwerpunkte liegen jetzt auch in der Drehachse. Die Aufgabe der dynamischen Wuchtung ist es, Haupt- und Drehachse zur Deckung zu bringen. Das dynamische Auswuchten erfolgt mit Auswuchtmaschinen, mit deren Hilfe Größe und Lage der Unwucht aus den Lagerreaktionen des Rotors ermittelt werden. Grundsätzlich wird dabei zwischen kraftmessenden (auch unterkritischen oder harten) und wegmessenden (überkritischen oder weichen) Auswuchtmaschinen unterschieden. Bei den kraftmessenden Auswuchtmaschinen werden die Lagerkräfte im rotierenden System gemessen. Beim wegmessenden Prinzip wird der Ausschlag der schwingenden Lager gemessen. Die prinzipielle Wirkungsweise einer modernen Auswuchtmaschine soll am Beispiel einer kraftmessenden horizontalen Auswuchtmaschine, wie sie in Abb. 9-64 gezeigt ist, beschrieben werden. Der Rotor wird, wie in der Abbildung gezeigt, auf Rollen gelagert. Je nach Art der Maschine wird die im Rotor vorhandene Unwucht die Lager zum Schwingen bringen. Die von den Unwuchten erzeugten freien Fliehkräfte verursachen Lagerkräfte, die mit der Drehzahl umlaufen. Diese den Lagerungen (Schwingbrücken) aufgezwungenen drehzahlfrequenten

9.8 Schwingungsprobleme durch freie Massenkräfte

443

Abb. 9-64: Auswuchtmaschine für Rotoren bis 12 500 kg, max. Rotordurchmesser 2100 mm, max. Lagerabstand 3150 mm mit Tragrollenlagerung und Antrieb des Rotors über eine Gelenkwelle (alternativ Bandantrieb). Photo: Fa. Schenck RoTec GmbH/Darmstadt

Schwingungen, wirken auf dynamische Schwingungsaufnehmer. Mit empfindlichen und sehr genau anzeigenden Schwingungsmessgeräten wird die Schwingung der Auflager des Rotors außerhalb der Resonanz gemessen. Man umgeht damit die Schwierigkeit der sehr starken Änderung der Phasenverschiebung im Resonanzbereich. Ist man genügend weit unterhalb des Resonanzgebietes (harte Lagerung), dann liegen Ausschlag (Amplitude) und Unwucht (Erregerkraft) gleich, d.h. in Phase (Abb. 9-45). Es wird z.B. piezoelektrisch die Fliehkraft FZ = m·e·ω 2 gemessen. Ein Phasengeber, der synchron mit dem Wuchtkörper umläuft, gibt die Lage der Unwucht an. Bei weicher Lagerung läuft der Rotor überkritisch. Es wird nicht die Kraft, sondern die Amplitude der schwingenden Lager gemessen. Diese nähert sich dem Wert der Exzentrizität des Schwerpunktes (Selbstzentrierung). Maximaler Ausschlag und Lage der Unwucht sind um 180◦ verschoben. Die Lage wird von einem Phasengeber angezeigt. Beim Auswuchten wird kein „vollkommen ausgewuchteter Rotor“ angestrebt. Entsprechend der technischen Aufgabenstellung und der Betriebsdrehzahl wer-

444

9 Mechanische Schwingungen

den auf der Basis von Gütestufen zulässige Restunwuchten nach DIN ISO 1940-1 definiert, die aus wirtschaftlichen Gründen nicht unterschritten werden sollten. Eine ausführliche Darstellung der Problematik und die Zusammenstellung der Normen und Richtlinien hierzu ist in [50] zu finden.

9.8.3

Die Massenkräfte am Kurbeltrieb

Hubkolbenmaschinen, wie sie in Verbrennungsmotoren verwendet werden, bestehen aus Kolben, Pleuelstange und Kurbelwelle. Aufgabe dieser Bauteile ist die Umwandlung einer oszillierenden in eine rotierende Bewegung. Dabei wird der Kolben auf seinem Weg zwischen dem oberen und dem unteren Totpunkt wechselnd beschleunigt und verzögert, was die Massenkräfte der Triebwerksteile, denen diese Bewegung aufgezwungen wird, hervorruft. Die durch diese Massenkräfte erzeugten Schwingungen stellen eine zusätzliche – meist erhebliche – Belastung der Lagerungen dar. Zur Bestimmung der Massenkräfte am Kurbeltrieb ist es notwendig, die Beschleunigunggsverhältnisse an Kolben, Pleuel und Kurbel zu kennen. Zur Berechnung der Kolbenbeschleunigung ist in Abb. 9-65 ist ein Kurbeltrieb skizziert. Der Kolbenweg x wird vom linken Totpunkt aus gemessen, x = l + r − r· cos ϕ − l· cos β. Nach dem sin-Satz ist das Schubstangenverhältnis λ λ= Mit

r sin β = ; l sin ϕ

cos β =

q

sin β = λ· sin ϕ.

1 − sin2 β

ergibt sich

cos β =

q

1 − λ2 · sin2 ϕ.

Für den Wurzelwert wird näherungsweise geschrieben (Reihenentwicklung) q

Totpunkt

1 1 − λ2 · sin2 ϕ ≈ 1 − λ2 · sin2 ϕ. 2 l β

r

ω

ϕ

x r+l

Abb. 9-65: Kurbeltrieb

9.8 Schwingungsprobleme durch freie Massenkräfte

445

Nach dem Einsetzen in die Ausgangsgleichung erhält man 



1 x = l + r − r· cos ϕ − l 1 − λ2 · sin2 ϕ 2 1 = r − r· cos ϕ + l·λ2 · sin2 ϕ. 2 Mit l·λ = r ist 

x = r 1 − cos ϕ +



λ sin2 ϕ . 2

(9-66)

Die Kolbengeschwindigkeit erhält man durch Differentiation nach der Zeit v = x˙ = r





dϕ λ dϕ . · sin ϕ + ·2· sin ϕ· cos ϕ· dt 2 dt

Unter Beachtung von 2· sin ϕ· cos ϕ = sin 2ϕ und 

v = r·ω sin ϕ +

dϕ = ω ergibt sich dt



λ · sin 2ϕ . 2

(9-67)

Auf gleichem Wege erhält man die Beschleunigung 

dϕ dϕ λ + cos 2ϕ·2 dt 2 dt 2 a = r·ω (cos ϕ + λ· cos 2ϕ).

a=x ¨ = r·ω cos ϕ·



(9-68)

Das ist die Beschleunigung des Kolbens in Abhängigkeit vom Schubstangenverhältnis λ und vom Kurbelwinkel ϕ. Zunächst soll angenommen werden, dass die Massen des Kurbeltriebs einmal im Abstand r an der Kurbelwelle (mR ), zum zweiten im Kolben (mH ) vereinigt sind (Abb. 9-66). Der Index R steht für die rotierende Masse, der Index H für die hin und her bewegte Masse. Das Pleuel ist anteilmäßig an beiden beteiligt. Die an der Kurbel umlaufende Massenkraft FZR = mR ·r·ω 2 kann sehr einfach durch eine entsprechende Gegenmasse mA1 aufgehoben werden. Diese muss die gleiche Fliehkraft erzeugen. Es gilt deshalb mR ·r·ω 2 = mA1 ·rA ·ω 2

=⇒

mA1 =

r ·mR . rA

446

9 Mechanische Schwingungen FZR = mR·r·ω 2 mR ω

mH r FH = mH·a

rA

mA1 FA = mA1·rA·ω 2

Abb. 9-66: Ausgleich der rotierenden Massenkraft

Wesentlich schwieriger ist hier der Ausgleich der oszillierenden Massenkraft FH = mH ·a, deren Gegenkraft am Gehäuse Erschütterungen verursacht. Ihre Größe ist mit der Gl. (9-68) FH = mH ·a = mH ·r·ω 2 · cos ϕ + mH ·r·ω 2 ·λ· cos 2ϕ, FH = FI · cos ϕ + FII · cos 2ϕ. Die Kraft FI wirkt als hin- und hergehende Kraft im Takt der Drehung (Massenkraft I. Ordnung). Die Kraft FII wirkt wie FI , jedoch mit halber Periode, d.h. sie wechselt doppelt so schnell ihre Richtung (Massenkraft II. Ordnung). Der vollständige Ausgleich I. und II. Ordnung ist verhältnismäßig aufwendig und wird in der Praxis wegen räumlicher Gegebenheiten und anderer Faktoren, wie Schwingungsverhalten der Kurbelwelle, auch nicht immer erreicht. Zunehmend wird dieser Aufwand aber wegen erhöhter Komfortanforderungen (Geräusche, Laufruhe) an moderne Triebwerke getrieben (siehe dazu auch [51]). Einen teilweisen Ausgleich der Kräfte I. Ordnung erhält man durch Vergrößerung der oben beschriebenen Ausgleichsmasse mA1 . Es wird zusätzlich nach Abb. 9-67 eine Masse mA2 angebracht, deren Fliehkraftkomponente in x-Richtung immer der Massenkraft FI · cos ϕ entgegenwirkt und sie so z.T. aufhebt. In x-Richtung

ω

mH ϕ FI·cos ϕ = mH·r·ω 2·cos ϕ

r mA2 rA

FAx = mA2·rA·ω 2·cos ϕ ϕ

FAy = mA2·rA·ω 2·sin ϕ

FA

Abb. 9-67: Teilweiser Ausgleich der Massenkraft I. Ordnung

9.8 Schwingungsprobleme durch freie Massenkräfte

447

verbleibt eine Kraft Fx = mH ·r·ω 2 · cos ϕ − mA2 ·rA ·ω 2 · cos ϕ, Fx = ω 2 · cos ϕ(mH ·r − mA2 ·rA ).

Die Ausgleichsmasse erzeugt eine zusätzliche Kraft in y-Richtung, FAy = mA2 ·rA ·ω 2 · sin ϕ . Man erhält den besten Ausgleich, wenn die resultierende Kraft FR konstant ist und nicht von der Lage des Kurbeltriebes, d.h. von ϕ abhängt, 2 Fx2 + FAy = FR2 , 2 (mH ·r − mA2 ·rA )2 ·ω 4 · cos2 ϕ + m2A2 ·rA ·ω 4 · sin2 ϕ = FR2 , 2 2 · sin2 ϕ = ) cos2 ϕ + m2A2 ·rA (m2H ·r 2 − 2·mH ·mA2 ·r·rA + m2A2 ·rA

FR2 . ω4

Mit sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 erhält man 2 (m2H ·r 2 − 2·mH ·mA2 ·r·rA ) cos2 ϕ + m2A2 ·rA =

FR2 . ω4

Soll FR von ϕ unabhängig sein, dann muss die Klammer null sein, m2H ·r 2 − 2·mH ·mA2 ·r·rA = 0

=⇒

mA2 =

1 r ·mH . 2 rA

Die Ausgleichsmasse (beide Kurbelhälften) hat die Größe mA = mA1 + mA2

=⇒





r 1 mA = mR + mH . rA 2

Um ein Massenmoment zu vermeiden, wird die Ausgleichsmasse mA in zwei gleich große Gegengewichte aufgeteilt, die im Abstand rA an zwei symmetrisch zur Zylinderachse liegenden Kurbelwangen befestigt werden. Diesen so erzielten Ausgleich - vollständiger Ausgleich der rotierenden Massen und 50 %-ger Ausgleich der oszillierenden Massen – bezeichnet man als Normalausgleich; er stellt einen üblichen Kompromiss dar. Es ist jetzt zu klären, welche Massen in mR und mH enthalten sind. Die rotierende Masse mR setzt sich zusammen aus

448

9 Mechanische Schwingungen

rS 1. der auf den Radius r reduzierten Kurbelmasse mKurbel · (rS Schwerr punktlage der Kurbel), 2. der Masse des Pleuelkopfes an der Kurbel, 3. für ein Schubstangenverhältnis λ ≈ 1/4 aus 2/3 der Masse der Pleuelstange. Die Masse mH besteht aus 1. der Kolbenmasse (mit Kolbenbolzen), 2. der Masse des Pleuelkopfes am Kolben, 3. für ein Schubstangenverhältnis λ ≈ 1/4 aus 1/3 der Masse der Pleuelstange. Zur Berücksichtigung der Pleuelmasse gibt es genauere Verfahren. Hierzu, wie insgesamt zur Problematik des Massenausgleichs sei auf die lebendigen Schilderungen von Zima [59], wie auch auf [45] und [51] verwiesen.

9.9

Schwingungsisolierung

Ein wichtiges Anliegen der Schwingungstechnik ist die weitgehende Verhinderung der schädlichen Auswirkungen von Schwingungen auf die Umgebung. Die Isolierung wird durch Zwischenschaltung von Feder-und Dämpfungselementen zwischen Schwingungsquelle und dem zu schützenden Objekt realisiert. Dabei werden zwei Arten der Schwingungsisolierung unterschieden: Geht es darum, umgebende Gebäude, Maschinen, Geräte und Menschen vor den Erregerkräften, die z.B. von Fertigungsmaschinen, Kompressoren, Pumpen, Motoren mit Unwucht erzeugt werden, durch Minimierung dieser Störungen zu schützen, so spricht man von aktiver Entstörung bzw. von aktiver Isolierung (Abb. 9-68a). Rotor mit Unwucht

a) aktive Isolierung

Messgerät

b) passive Isolierung

Abb. 9-68: Schwingungsisolierung

9.9 Schwingungsisolierung

449

Bei der passiven Entstörung bzw. Isolierung (Abb. 9-68b) geht es darum, z.B. Mikroskope, empfindliche Messgeräte, Feinstbearbeitungsmaschinen u.ä. so aufzustellen, dass sie weitestgehend von den schädigenden Erschütterungen abgeschirmt werden. Für die Klärung der prinzipiellen Fragen der Schwingungsisolierung bei harmonischer Erregung genügt ein Modell mit einem Freiheitsgrad. Bei der Aktivisolierung, dem Schutz der Umgebung vor den Maschinenstörungen, müssen die Kräfte auf den Aufstellungsort untersucht werden. F0 Fe = F0·sin(ωe·t) FT y,y,¨ ˙y FD b

FF

c

a) Einmassen-Schwingungsmodell

b) Freigemachtes Schwingungsmodell

Abb. 9-69: Einmassenschwinger

Für eine harmonische Erregung wird von einem Modell mit frequenzunabhängiger Erregeramplitude nach Abb. 9-69a) ausgegangen. Die Masse schwingt im eingeschwungenen Zustand mit der gleichen Frequenz wie die Erregung, jedoch um den Nullphasenwinkel ϕ zeitlich verschoben (partikuläre Lösung der Differentialgleichung) y = A· sin(ωe ·t − ϕ). Im diskreten Einmassen-Schwingungsmodell sind zwischen starrer Maschine und Boden eine Feder c und ein Dämpfer b geschaltet. Die daraus resultierende Kraft FB überträgt die Erregerkraft mit der Erregerfrequenz ωe , jedoch um einen anderen Nullphasenwinkel ψ versetzt in den Boden (Abb. 9-69b). FB = Fmax · sin(ωe ·t − ψ). Diese auf den Aufstellungsort übertragene Kraft FB ist die geometrische Summe

450

9 Mechanische Schwingungen

von Federkraft und Dämpferkraft ~B = F~F + F~D = c·~y + b·~y˙ F = c·A· sin(ωe ·t − ϕ) + b·A·ωe · cos(ωe ·t − ϕ). Wegen der Abhängigkeiten vom Federweg y (Federkraft) und von der Geschwindigkeit y˙ (Dämpferkraft) sind diese aber nicht gleichphasig. Wie im Abschnitt 9.3, Abb. 9-5 erläutert, eilt die Dämpferkraft der Federkraft um 90◦ voraus. Maßgeblich für die schädigende Wirkung sind die Maximalwerte (Amplituden) der Kräfte FF = c·A und FD = b·A·ωe . Damit wird aus der geometrischen Addition der rechtwinklig zueinander stehenden Kräfte FB =

q

FF2

+

FD2

=

q

(c·A)2

+ (b·A·ωe

)2

s

= c·A· 1 +



b ·ωe c

2

.

Mit η = ωe /ω0 , c = ω02 ·m, δ = b/(2·m) und ϑ = δ/ω0 (Gleichungen (9-45)/ (9-2)/(9-37)/(9-38)) wird q

FB = c·A· 1 + 4·ϑ2 ·η 2 . Nach Gl. (9-49) ist c·A = F0 ·V1 . Somit lässt sich die auf die Aufstellung zu übertragende Kraft q F0 FB = p 1 + 4·ϑ2 ·η 2 , · (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2 s

FB = F0 ·

1 + 4·ϑ2 ·η 2 (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

schreiben. In dieser Gleichung ist F0 die frequenzunabhängige Kraftamplitude der Erregung. Definiert man den Quotienten VD =

Antwortamplitude Ausgangssignal = , Eingangssignal Erregeramplitude

so beschreibt dieser Quotient VD , genannt Durchlässigkeit, die Güte der Isoliermassnahme. Ein anzustrebender kleiner Wert für die Durchlässigkeit bedeutet, dass ein (möglichst großer) Teil der Erregung „absorbiert“ wurde.

9.9 Schwingungsisolierung

451

Für das Verhältnis der Kraftamplituden bedeutet dies FB = VD = F0

s

1 + 4·ϑ2 ·η 2 . (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

(9-69)

Die rechte Seite der Gleichung ist identisch mit der Gl. (9-60), die für die Beschreibung des Amplitudenverhältnisses der Schwingwege bei der Stützenerregung gültig ist. Somit sind auch die Aussagen zur Phasenverschiebung zwischen der Erregerkraft und der Bodenkraft nach Gl. (9-61) und auch die für die Vergrößerungsfunktion (siehe Abb. 9-46) sinngemäß übertragbar: 1. ungefederte Maschinenaufstellung: c → ∞ ⇒ ω0 =

q

c/m → ∞ ⇒ η = ωe /ω0 → 0 ⇒ VD ≈ 1 ⇒ FB ≈ F0 .

Das heißt, die Erregerkraft wird vollständig auf den Boden übertragen. 2. Elastische Aufstellung: 0 ≤ η ≤

√

2

VD > 1 ⇒ FB > F0 ! Keine Isolierwirkung; die Bodenkräfte werden im Gegenteil größer als die Erregerkraftamplitude. Dieser Sachverhalt wurde im Beispiel 2 (Abb. 9-49) untersucht und anhand Abb. 9-51 ausführlich erläutert. 3. Elastische Aufstellung: η >

√

2

VD < 1 ⇒ FB < F0 . Mit zunehmendem Abstimmungsverhältnis (tiefe Abstimmung) nimmt auch die Isolierwirkung zu. Dies ist, wie schon für die ungedämpfte Aufstellung mehrfach erläutert, durch große Fundamentmassen mit weichen Federn zu erreichen. Dabei ist, wie Abb. 9-46 zeigt, ein kleiner Dämpfungsgrad günstiger. Mit der Durchlässigkeit bzw. dem Vergrößerungsfaktor VD = V2 lassen sich die auf den Boden bzw. den Anlenkpunkt der Feder übertragenen Kräfte wie folgt berechnen Federkrafterregung/ Wegerregung Massenkrafterregung (Unwuchterregung)

FB = VD ·F0 , FB = VD ·

bzw. FB = VD ·c·r

me ·e·c·η 2 = VD ·me ·e·ω02 ·η 2 . m

Auch bei frequenzabhängiger Erregerkraftamplitude (Unwuchterregung) gilt die Gl. (9-69), wenn als Eingangssignal mit FZ = me ·e·ωe2

452

9 Mechanische Schwingungen

die bei einer bestimmten Drehzahl ne wirkende Erregerkraft (Fliehkraft) eingesetzt wird. Damit beschreibt die Durchlässigkeit in diesem Fall nur die für diese konkrete Drehzahl zutreffende Abschirmung. Eine allgemeine, für den Drehzahlbereich geltende Aussage lässt sich auch für die Unwuchterregung gewinnen, wenn man in das Verhältnis der Kraftamplituden für die Erregeramplitude im Nenner auch einen statischen, von der Drehzahl unabhängigen Wert, wie in Gl. (9-69), einsetzt. Mit ωe2 = η 2 /ω02 bzw. ωe2 = η 2 ·c/m lässt sich die Erregerkraft FZ =

me ·e·c·η 2 m

schreiben. In dieser Gleichung ist me ·e·c = Fstat m ein statischer, frequenzunabhängiger Kraftanteil. Formuliert man analog dem oben praktizierten Vorgehen ein Verhältnis Ausgangssignal FB /Eingangssignal FZ = Fstat ·η 2 , wird FB = VD ·η 2 . Fstat Das ist die Vergrößerungsfunktion zur Beschreibung der Kräfte bei Unwuchterregung 2

2

V4 = VD ·η = η ·

s

1 + 4·ϑ2 ·η 2 (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

(9-70)

Diese Funktion ist in Abb. 9-70 dargestellt. Aus diesem Diagramm lassen sich die folgenden Schlussfolgerungen ziehen: √ 1. Für η ≪ 1 und η ≈ 2 ist die Dämpfung ohne Einfluss; im Resonanzbereich η ≈ 1 sollte sie dagegen möglichst groß sein. 2. Mit der Abstimmung η > 1,5 zunehmend ist die Isolierwirkung in starkem Masse von der Dämpfung der Zwischenfedern abhängig. Da Federn nicht dämpfungsfrei sind, wird man stets mit wachsendem Abstimmungsverhältnis eine Verschlechterung der Isolierwirkung finden (der Geräuschpegel des Motoranteils im Kraftfahrzeug steigt mit der Drehzahl an).

9.9 Schwingungsisolierung

453

6 5 4

ϑ=0 0,1 0,2 0,3

1,0

0,5 0,7

0,5

1,0

0,3

3 V4

0,7

2

0,2

1

0,1 ϑ=0

0 0

1

0,5

√

2 1,5

2

2,5

3

η Abb. 9-70: Vergrößerungsfunktion der Kräfte bei Massenkrafterregung

Die Passivisolierung, der Schutz von Maschinen, Geräten und auch Menschen vor den Schwingungseinwirkungen der Umgebung ist mit dem Modell der Stützenerregung nach Abbildung 9-40c zu beschreiben. Dabei ist das System so abzustimmen, dass bei Erschütterungen des Untergrundes die Schwingungsamplituden am Objekt möglichst klein bleiben. Werden Feder und Dämpferfußpunkt nach Abb. 9-71 gleichzeitig durch Schwingungen der Aufstandsfläche mit yA = y0 · sin(ωe ·t) harmonisch angeregt, kommt es auch am Gerät zu phasenverzögerten gleichfrequenten Schwingungen y = A· sin(ωe ·t − ϕ). Messgerät Fundament S c

b

yrel

y

yA raumfestes Bezugssystem

Abb. 9-71: Einmassenmodell Passivisolierung

454

9 Mechanische Schwingungen

Das System wird analog Abb. 9-69b freigemacht. Dabei ist zu beachten, dass die Beschleunigung zur Bestimmung der d’Alembertschen Trägheitskraft im Gegensatz zu Schwingweg und Schwinggeschwindigkeit vom raumfesten Bezugssystem aus gemessen werden muss. Mit dem Gleichgewicht der Kräfte in senkrechter Richtung wird FT + FD + FF = m·¨ y + b·y˙ rel + c·yrel = 0. Mit y = yrel + yA ,

y˙ = y˙ rel + y˙A

wird

m·¨ y + b·(y˙ − y˙ A ) + c·(y − yA ) = 0, umgestellt m·¨ y + b·y˙ + c·y = b·y˙ A + c·yA . Wird der Schwingungsansatz des Fußpunktes (für die Dämpfung nach der Zeit abgeleitet) eingesetzt, wird m·¨ y + b·y˙ + c·y = b·y0 ·ωe · cos(ωe ·t) + c·y0 · sin(ωe ·t). In dieser inhomogenen Differentialgleichung ist b·y0 ·ωe die Dämpferkraftamplitude und c·y0 die Federkraftamplitude, die senkrecht aufeinander stehen (siehe Abb. 9-5). Da für das Isolierungsproblem nicht das Zeitverhalten, sondern die Maximalwerte im eingeschwungenen Zustand untersucht werden sollen, werden die Maximalwerte der Kräfte geometrisch addiert F0 =

q

FF2 + FD2 =

q

(c·y0 )2 + (b·y0 ·ωe )2 .

Wie bei der oben beschriebenen Aktivisolierung lässt sich daraus die Kraftamplitude der Erregung zu q

F0 = c·y0 · 1 + 4·ϑ2 ·η 2 formulieren.

Die Amplitude des Ausschlages des zu isolierenden Objektes bei frequenzunabhängiger Erregeramplitude wird mit Gl. (9-49) A=

1 c·y0 q F0 ·V1 = · 1 + 4·ϑ2 ·η 2 · p , c c (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

A = y0 ·

s

1 + 4·ϑ2 ·η 2 . (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

9.9 Schwingungsisolierung

455

Mit der Definition für die Durchlässigkeit VD = Ausgangssignal/Eingangssignal erhält man A = VD = y0



1 + 4·ϑ2 ·η 2 . (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

Das ist die Gleichung (9-60) (Abschnitt 9.5.3). Die Durchlässigkeit bei passiver Entstörung ist im Unterschied zur aktiven Isolierung das Verhältnis der Amplitude A des zu isolierenden Objektes zur Erregeramplitude y0 der Fußpunkterregung (Abb. 9-72). 6 ϑ=0

ϑ=0

5

0,1 0,2

4

0,3 0,5

VD

3

1√ 2 2

2

1,0

1 0 0

0,5

1

√

2 1,5

2

2,5

3

η Abb. 9-72: Durchlässigkeit

Die Güte der Isolierung wird trotz der unterschiedlichen Annahmen als Verhältnis der Kräfte (Aktivisolierung) und der Strecken (Passivisolierung) mit der gleichen Beziehung beschrieben. Dies wird durch die folgende Überlegung nachvollziehbar: Wenn man das Modell der Stützenerregung (Passivisolierung) auf den Kopf stellt und in die Stützenanbindung eine Kraft einleitet, die über Feder und Dämpfer auf die Masse (Fundament) übertragen wird, erhält man damit das Modell für die aktive Schwingungsisolierung. Die Güte der Isolierwirkung wird auch durch einen sog. Isolierfaktor ID = 1 − |VD |

(9-71)

456

9 Mechanische Schwingungen

beschrieben. Dieser Faktor drückt den Anteil aus, der durch die Federwirkung und Dämpfung abgeschirmt wird. Um die Schwingungen von einem √ empfindlichen Gerät fernzuhalten, müssen nach Abbildung 9-72 im Bereich η > 2 die Eigenfrequenz ω0 und der Dämpfungsgrad ϑ möglichst klein gewählt werden. Das soll auch im folgenden Beispiel gezeigt werden. Beispiel 1 (Abb. 9-73) Der Rotor des im Bild gezeigten Diesel-Aggregates läuft mit der Betriebsdrehzahl n = 500 U/min und einer Unwucht U = 325 kg·cm um. Das Aggregat mit der Masse mM = 680 kg sowie der Masse der Fundamentplatte mZ = 800 kg ist auf 32 Federn abgestützt und auf zwei parallelen Trägern, IPE120 nach DIN 1025-5, Stützweite l = 6 m gelagert. Für diese Aufstellung soll ein Isolierwirkungsgrad ID = 80 % realisiert werden. Hierzu ist die Federkonstante der zylindrischen Schraubenfedern zu ermitteln. mM

mZ c

l/2

l/2 l

Abb. 9-73: Maschinenaufstellung

Für die ausgeführten Federn sind Amplituden der Ausschläge und der dynamischen Einspannkräfte zu berechnen.

9.9 Schwingungsisolierung

457

Lösung Die gesuchte Federkonstante c der Schraubenfedern muss aus dem geforderten Isolierwirkungsgrad bestimmt werden. Dazu müssen die Kennwerte aus den bekannten Systemparametern ermittelt werden. π·ne = 52,36 rad/s [ωe in rad/s; ne in U/min]. Erregerkreisfrequenz: ωe = 30 Trägermasse für IPE 120: m = 10,4 kg/m; mT = 6 m·10,4 kg/m = 62,4 kg, mitschwingende Trägermasse (siehe Abschnitt 9.3.3) mF =

13 ·mT = 23,18 kg, 35

Gesamtmasse m = mM + mZ + 2·mF = 1526,5 kg. Die Biegefederkonstante wird nach den Ausführungen des Abschnittes 9.3.3 mit cb = F/f berechnet; die Gleichung für die Durchbiegung bei beidseitiger Einspannung einem technischen Taschenbuch (z.B. „Dubbel, Taschenbuch für den Maschinenbau“, Springer Verlag) entnommen. Damit wird die Biegefederkonstante für zwei Träger in Parallelanordnung cb = 2·

192·E·Ix = 1,187·106 N/m . l3

Aus dem vorgeschriebenen Isolierwirkungsgrad ID = 0,8 lässt sich nach Gleichung (9-60) für die ungedämpfte Schwingung mit ID = 1 − |VD | = 1 −

η2 − 2 1 = η2 − 1 η2 − 1

das für diesen Isolierwirkungsgrad erforderliche kleinste Abstimmungsverhältnis zu ηerf =



2 − ID = 2,45 1 − ID

berechnen. Nach Gleichung (9-45) darf die Eigenkreisfrequenz nicht größer, als ω0 max =

ωe = 21, 38 rad/s ηerf

werden. Mit der Gesamtmasse wird die Ersatzfederkonstante aus den Biegefedern cb (Träger) und den Schraubenfedern c ermittelt: cers = m·ω02 = 6, 974·105 N/m .

458

9 Mechanische Schwingungen

Biegefedern und Schraubenfedern liegen (um eine weiche Aufstellung zu realisieren) in Reihe. Mit Gleichung (9-11) 1 cers

=

1 1 + cb 32·c

beträgt die erforderliche Federkonstante für die Schraubenfedern cerf ≤

cb ·cers = 5, 283·104 N/m . 32·(cb − cges )

Für eine gewählte Schraubenfeder mit der Federkonstante c = 51,3 N/mm erfolgt die Nachrechnung cers = 6,890·105 N/m , ω02 = 21,25 rad/s , η2 = 2,46 , ID = 0,803 . Die Schwingungsamplitude wird mit Gleichung (9-56) für eine unwuchterregte ungedämpfte Schwingung A η2 A = = V3 = m e U ±(1 − η 2 ) ·m m m umgeformt A=

U η2 · = 2,5 mm . |1 − η 2 | m

Da die Schwingung dämpfungsfrei angenommen wurde (ϕ = 0), wird die Kraft nur durch die Federn übertragen. Mit Gleichung (9-70) V4 = und Fstat =

FB η2 , = VD ·η 2 = Fstat ±(1 − η 2 ) me U ·e·c = ·c m m

beträgt die auf die Einspannungen zu übertragende Kraftamplitude FB =

η2 U · ·cers = 1,765 kN . 2 |1 − η | m

9.9 Schwingungsisolierung

459

Beispiel 2 (Abb. 9-74) Ein Messgerät mit der Masse m = 12,0 kg ist nach Abb. 9-74a über ein Gestell (Federsteifigkeit cG ) auf einer Maschine befestigt. Die Eigenfrequenz beträgt f0 = 72 Hz. Schwingungsmessungen am Messgerät ergaben bei einer Erregerfrequenz fe = 55 Hz eine Amplitude A1 = 24 µm. Es kann eine harmonische Anregung zugrunde gelegt werden. Die Amplitude soll durch Zwischenschalten von Federn, Abb. 9-74b, auf den Wert A2 = 0,5 µm reduziert werden. Bei Annahme einer ungedämpften Schwingung ist die Federkonstante cF zu ermitteln. Messgerät Zwischenfedern cF = Σci Gestell cG

A1

ci

Maschine

y0

A2

y0 a

direkte Aufstellung

b

Messgerät mit Zwischenfedern

Abb. 9-74: Passivisolierung Messgerät

Lösung Die Federsteifigkeit des Gestells in senkrechter Richtung wird mit Gl. (9-2) cG = ω02 ·m = (2·π·f0 )2 ·m = 4·π 2 ·722 ·s−2 ·12,0 kg = 2,4559·106 kg/s2 mit masselos angenommener Feder (Gestell) berechnet. Das System ist mit η=

fe 55 Hz = = 0,76 f0 72 Hz

hoch abgestimmt. Das bedeutet, nach Abb. 9-46a, dass die Erregerschwingungsamplituden durch die vorhandene Aufstellung noch verstärkt werden. Aus dem Messwert für A1 lässt sich die Erregeramplitude y0 aus Gleichung (9-60) für die ungedämpfte Schwingung berechnen. Mit V2 =

A1 1 = y0 ±(1 − η 2 )

wird y0 = A1 ·(1 − η 2 ) = 24µm·(1 − 0,762 ) = 10 µm .

460

9 Mechanische Schwingungen

Das heißt, dass am Messgerät die Erregeramplitude 2,4-fach verstärkt wirkt. Durch die Zwischenschaltung von Stahlfedern (Federkonstante cF ) in Reihenschaltung zum elastischen Rahmen √ wird eine niedrigere Eigenfrequenz und damit eine tiefe Abstimmung η > 2 angestrebt (siehe hierzu Abb. 9-46a). Zur Berechnung des dafür erforderlichen überkritischen Abstimmungsverhältnisses wird mit A2 = 0,5 µm y0 , 1 − η 2 =

A2

nach η aufgelöst: η=

r

y0 +1= A2

s

√ 10µm + 1 = 21 = 4,58. 0,5µm

Damit wird die zur Realisierung dieses Abstimmungsverhältnisses erforderliche Eigenkreisfrequenz ω0 =

2·π·fe 2·π·55 s−1 ωe = = = 75,4 s−1 . η η 4, 58

Die erforderliche Federkonstante des Gesamtsystems ist c = ω02 ·m = 75,42 s−2 ·12,0 kg = 6,83·104 kg/s2 . Die Gesamtfederkonstante der zwischengeschalteten Federn lässt sich aus der Gleichung (9-11) für die Reihenschaltung von Federn berechnen 1 1 1 = + , c cG cF =

cG ·c 2,4559·106 kg/s2 ·6,83·104 kg/s2 = cG − c 2,4559·106 kg/s2 − 6,83·104 kg/s2

cF = 7,02·104 kg/s2 = 700 N/cm.

9.10

Zusammenfassung

Eine mechanische Schwingung ist eine sich mehr oder weniger regelmäßig (häufig periodisch) wiederholende Schwankung von Zustandsgrößen (Bewegungen, Kräfte, . . . ). Harmonische Schwingungen sind periodische Zustandsänderungen nach einem Sinus- oder Cosinus-Zeitgesetz.

9.10 Zusammenfassung

461

Die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung mit einem Freiheitsgrad ist Translatorische Schwingung Drehschwingung

y¨ + ω02 ·y = 0;

(9-3)

ω02 ·ϕ

(9-12)

ϕ¨ +

= 0;

Aus der Differentialgleichung kann die Eigenfrequenz abgelesen werden. Dazu muss der Schwinger im ausschwingenden Zustand mit den d’Alembertschen Trägheitsreaktionen freigemacht werden. Die Gleichgewichtsbedingungen werden in die Grundform Gl. (9-1/9-19) gebracht. Der Vergleich mit dieser liefert die Eigenkreisfrequenz ω0 . r

c m r cT ω0 = JA 1 ω0 f0 = = T 2π 2π 1 = T = f0 ω0

Translationsschwingung

ω0 =

Drehschwingung Eigenfrequenz Schwingungszeit

(9-2) (9-20) (9-7) (9-6)

Das Zeitverhalten des Schwingers wird aus der Lösung der Differentialgleichung ermittelt. y = yA · cos(ω0 ·t) +

vA · sin(ω0 ·t) = A· sin(ω0 ·t + ϕ) . ω0

Die Amplitude

A=

s

2 + yA



vA ω0

2

und der Phasenwinkel 

yA ·ω0 ϕ = arctan vA



lassen sich aus den Randbedingungen errechnen.

(9-5)/(9-4)

462

9 Mechanische Schwingungen

Für die Maximalwerte gilt Maximale Geschwindigkeit im Null-Durchgang Maximale Beschleunigung im Umkehrpunkt

vmax = A·ω0

(9-8)

ωmax = ϕA ·ω0

(9-24)

−A·ω02

(9-9)

amax =

αmax = −ϕA ·ω02

(9-25)

Die Differentialgleichung der geschwindigkeitsproportional gedämpften, freien Schwingung ist y¨ + 2·δ·y˙ + ω02 ·y = 0 bzw. y¨ + 2·ϑ·ω0 ·y˙ + ω02 ·y = 0

(9-43)

Drehschwingung: ϕ anstatt y. Dämpfungsgrad

ϑ=

ϑ=0 0 2 möglich. Die biegekritische Drehzahl nK entspricht dem Resonanzfall eines massenkrafterregten Schwingers bei geringer Dämpfung 1 nK = 2π

r

c . m

(9-63)

Diese Gleichung gilt exakt nur für eine masselose Welle mit einer Punktmasse als Schwinger auf unnachgiebigen Lagern. Wegen der Selbstzentrierung läuft eine Welle überkritisch (n > nK ) ruhiger als unterkritisch. Der Resonanzbereich muss schnell durchfahren werden, um ein stärkeres Aufschwingen zu vermeiden. Ein Mehrmassensystem hat so viele Resonanzstellen wie Massen. Die Eigenkreisfrequenz der Grundschwingung kann nach folgender Gleichung mit guter Näherung berechnet werden ω0 =

s

g·

P

(mi ·yi ) . (mi ·yi2 )

P

(9-65)

Die Deformationen y müssen aus den Belastungen durch die zugehörigen Gewichtskräfte FG = m·g bestimmt werden. Diese Gleichung gestattet die Berücksichtigung der Wellenmasse, die in vielen Fällen nicht vernachlässigbar ist.

9.10 Zusammenfassung

465

Die Erfassung von Schwingweg und Schwingbeschleunigung (prinzipiell auch Schwinggeschwindigkeit) lässt sich mittels seismischer Bewegungsaufnehmer, die auf dem Prinzip der Massenträgheit beruhen, realisieren. Je nach Abstimmung von Masse und Feder des Messaufnehmers lassen sich die Wege (tiefe Abstimmung) und die Beschleunigungen (hohe Abstimmung) erfassen. Die Dämpfungs√ werte solcher Aufnehmer liegen i.Allg. bei Werten von ϑ = 0,5 . . . 1/ 2. Bei der Schwingungsisolierung unterscheidet man zwischen der Aktivisolierung, der weitgehenden Reduzierung der vom Schwingungssystem ausgehenden Schwingungen, und der Passivisolierung, der Abschirmung von Objekten von schädlichen Schwingungen. Als Maß für die Isolierwirkung wird die Durchlässigkeit Ausgangssignal = VD = Eingangssignal



1 + 4·ϑ2 ·η 2 = V2 (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

(9-69)

definiert. Für die Aktivisolierung beschreibt die Durchlässigkeit das Verhältnis der Kraftamplituden, für die Passivisolierung das Verhältnis der Schwingwege. Dies gilt im Falle der Fundamentalkräfte für frequenzunabhängige Erregerkräfte aber auch für Unwuchtkräfte bei einer konkreten Erregerkreisfrequenz (Drehzahl). Eine hohe Isolierwirkung wird durch einen niedrigen Wert für die Durchlässigkeit VD ausgedrückt. Für die Massenkrafterregung (Unwuchterregung), bei der sich die Erregerkraft quadratisch mit der Drehzahl ändert, wird das Verhältnis der Kraftamplituden durch die Funktion V4 = VD ·η 2 = η 2 ·



1 + 4·ϑ2 ·η 2 (1 − η 2 )2 + 4·ϑ2 ·η 2

(9-70)

beschrieben. Dabei verschlechtert sich bei tiefer Abstimmung mit wachsendem Abstimmungsverhältnis bei Zunahme der Dämpfung die Isolierwirkung. Die auf den Aufstellungsort bzw. Anlenkpunkt der Feder übertragenen Kräfte FB lassen sich mit der Durchlässigkeit (Vergrößerungsfunktion) VD berechnen Federkrafterregung/ Wegerregung

FB = VD ·F0 , bzw. FB = VD ·c·r

Massenkrafterregung (Unwuchterregung)

FB = VD ·

me ·e·c·η 2 = VD ·me ·e·ω02 ·η 2 . m

466

9 Mechanische Schwingungen

Die in diesem Kapitel beschriebenen Schwingungsprobleme beschränken sich auf lineare Schwingungen mit einem Freiheitsgrad. Sie stellen damit nur einen kleinen Teil der komplexen Gesamtproblematik dar. Sie bilden aber die unerlässliche Grundvoraussetzung für das Verständnis auch komplizierter technischer Systeme mit vielen Freiheitsgraden. Für eine Reihe von technischen Aufgabenstellungen führen die Linearisierungen der Gleichungen zu nicht vertretbaren Abweichungen von der Wirklichkeit. Hier sei auf die weiterführende Literatur zu den nichtlinearen Schwingern, speziell auf Klotter [42] verwiesen. Abschließend sei darauf hingewiesen, dass sich alle hier geführten Betrachtungen auf stabile Systeme beschränken. Für dynamische, sprich zeitabhängige Systeme existieren für ihr Verhalten aber auch instabile Zustände, bei denen die Zustandsvariablen unkontrollierte Werte annehmen oder gegen unendlich gehen. Ein Beispiel hierfür ist die Resonanz. Zum Einstieg in diese interessante Problematik sind dem interessierten Leser aus der Vielzahl der Veröffentlichungen zum Stichwort Chaostheorie die gut verständliche Publikationen „Vom Calculus zum Chaos“ von David Acheson oder „Bedeutende Theorien des 20. Jahrhunderts“ von Werner Kinnebrock (beide im Oldenbourg Wissenschaftsverlag erschienen) zu empfehlen.

Anhang Integration und Differentiation mit Hilfe des Föppl-Symbols Ortskoordinate, Geschwindigkeit und Beschleunigung hängen über Integration bzw. Differentiation zusammen. Die praktische Auswertung wird sehr oft durch Unstetigkeitsstellen wesentlich erschwert. Föppl hat einen Rechenformalismus vorgeschlagen, der in einem solchen Falle das abschnittsweise Schreiben der Gleichungen vermeidet und der bei der Integration die Übergangsbedingungen erfüllt, ohne dass neue Integrationskonstanten bestimmt werden müssen. y m3 yc m2

m1 =0

ya m0 =0 a

b

c

x

A-1: Unstetige Funktion y(x)

Eine Funktion nach Abb. A-1 wird nach dieser Methode folgendermaßen in einer Gleichung erfasst. Dabei wird die Steigung der einzelnen Geradenteile mit m bezeichnet. Die spitze Klammer ist das Föppl-Symbol, der Exponent 0 stellt einen Sprung, der Exponent 1 einen Knick mit nachfolgendem linearen Verlauf dar. y = hx − ai0 ·(ya − 0) + hx − bi1 ·(m2 − m1 ) + hx − ci1 ·(m3 − m2 ) y = hx − ai0 ·ya + hx − bi·m2 + hx − ci(m3 − m2 ) Sprung an der Stelle a

Knickung an der Stelle b

Knickung an der Stelle c

468

Anhang

Der Gültigkeitsbereich für die verschiedenen Terme wird durch folgende Rechenregel erfüllt hx − ain

=0

für x ≤ a

= (x − a)n

für x > a

=0

für x ≤ a

=1

für x > a.

Für n = 0 folgt daraus 0

hx − ai

Zusammenfassend kann man festhalten: 1. Für negativen Klammerinhalt ist die hFöppli-Klammer null, 2. für positiven Klammerinhalt geht die hFöppli-Klammer in eine algebraische Klammer ( ) über. Wird z.B. in die obige Gleichung x = c eingesetzt, ergibt sich yc = 1·ya + (c − b)·m2 + 0, was offensichtlich richtig ist. Eine so aufgestellte Gleichung kann man „durchgehend“ differenzieren und integrieren, wenn man die Föppl-Klammer wie eine Größe (Buchstabe) geschlossen behandelt: d hx − ain = nhx − ain−1 dx Z 1 hx − ain ·dx = hx − ain+1 + C. n+1 Demnach gilt für den vorgegebenen Graph y ′ = 0 + 1·hx − bi0 m2 + 1·hx − ci0 (m3 − m2 ) Z m2 m3 − m2 y·dx = hx − aiya + hx − bi2 + hx − ci2 + C. 2 2 Beispiel Für die Funktion nach Abb. A-2 ist die Gleichung aufzustellen, zu integrieren und zu differenzieren. Die Gleichungen sind in Diagrammen darzustellen.

Anhang

469

m

=

+

1

y 6 4

m=0

m

2 0

0

2

4

6

=− 1 2

8

10

12

x

A-2: Unstetige Funktion y(x) für Beispiel

Lösung 







1 1 y =hx − 3i0 ·3+hx − 6i − − 0 +hx − 10i0 (4 − 1)+hx − 10i 1 − − 2 2 Sprung

Knick

bei x = 3

bei x = 6

Sprung

Knick



bei x = 10

bei x = 10 1 3 y = hx − 3i0 ·3 − hx − 6i· + hx − 10i0 ·3 + hx − 10i· 2 2 1 3 y ′ = 0 − hx − 6i0 · + 0 + hx − 10i0 · 2 2 R 3 1 2 y·dx = hx − 3i·3 − hx − 6i · + hx − 10i·3 + hx − 10i2 · + C 4 4

Die Randbedingung x = 0; y = 0 ergibt C = 0

Die Auswertung erfolgt tabellarisch, die Diagramme zeigt Abb. A-3. x

0

3

6

8

10

11

12

hx − 3i

0

0

3

5

7

8

9

hx − 6i

0

0

0

2

4

5

6

hx − 10i

0

0

0

0

0

l

2

y′

0

0

+1

+1

0

0

21,5

27

Z

y·dx



0 − 9

1 2

−

1 2

14

−

1 +1 2 17

Zu beachten ist, dass der Term hx − ai0 einen „Sprung“ an der Stelle a darstellt. Aus diesem Grunde werden dort zwei Werte errechnet, einer für x = a und einer für einen beliebig kleinen Zuwachs zu a. Das gilt hier z.B. für die y ′ -Funktion

470

Anhang y′ 1,0 x

0 −0,5

R

y·dx

30

20

10

0

e ad er G 0

3

6

10

12

x

A-3: Ableitungs- und Integralkurve für die Funktion nach Abb. A-2

an der Stelle x = 6 und x = 10. Einmal ist die Föppl-Klammer gerade noch 0, einmal gleich 1. Die Aufstellung der Gleichungen ist verblüffend einfach, genau wie die nachfolgende Differentiation und Integration. Der rechnerische Auswertungsaufwand ist kleiner als es die Gleichungen vermuten lassen, da die Terme bereichsweise null werden. Das Föppl-Symbol eignet sich auch sehr gut für eine Programmierung, wo es einer Verzweigungsstelle entspricht.

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Index Abklingkonstante 391 Absolutbahn 114 Absolutgeschwindigkeit 115 Abstimmung 415 hohe 415, 420 tiefe 415, 422 überkritische 415, 422 unterkritische 415, 420 Abstimmungsverhältnis 404, 420 Aktivisolierung 342 Amplitude 349 Amplitudenfrequenzgang 406, 407, 411 Anregung 342 Arbeit 303 Ausgleichsmasse 442, 445 Auswuchten 292, 441 dynamisches 442 statisches 441 Bahn Absolut- 114 gekrümmte 60, 68 Relativ- 114 Bahnbeschleunigung 68 Bernoullische Gleichung 321 Beschleunigung 14, 352 Führungs- 116 konstante 25 Normal- 67 Radial- 64 Relativ- 116 Tangential- 67 Umfangs- 64 Winkel- 64, 86 Beschleunigungsleistung 308 Bewegung 85 allgemeine 96

Bewegung (Fortsetzung) allgemeine ebene 215, 330 gemeine ebene 282 geradlinige 14 gleichförmig beschleunigte 25 krummlinige 59, 250 ungleichförmig beschleunigte 38 Bewegungsaufnehmer 425 Arbeitsbereich 427 Bewegungsgröße 133 Coriolis-Beschleunigung 116 d’Alembertsche Trägheitskraft 346 d’Alembertsches Prinzip 138, 245 Dämpfererregung 401 Dämpfung kritische 392 Dämpfungskoeffizient 389 Dämpfungskonstante 389 Dämpfungskraft 389 Dekrement logarithmisches 393 Drall allgemeine Bewegung 215 Drallerhaltungssatz 212 Drallsatz 196 Drehimpuls 198 Drehpol momentaner 102 Drehschwinger 372 federgefesselt 375 freigemachter 372 Drehschwingung 371 Drehstoß 222 Drehung 84 Achsen, parallele Hauptachsen 207

478 Drehung (Fortsetzung) beliebige Achse 290 Hauptachse 291 Hauptachsen 196 Drehzahl biegekritische 428, 429 kritische 429, 436 verdrehkritische 429 Durchlässigkeit 450, 455 Dynamik 2 Dynamisches Grundgesetz 134 Eigenform 436 Eigenfrequenz (Eigenkreisfrequenz) 376, 436 Eigenschwingung 341, 345 Energie 303 elastische 312, 354 kinetische 313, 353, 354 potentielle 313 Energiesatz 311 Entstörung aktive 448 passive 449 Erregerkraft 402, 409 Erregerkraftamplitude frequenzabhängige 401 frequenzunabhängige 401 Erregerkreisfrequenz 401 Erregte Schwingung 401 Erregung Dämpfer- 401 Feder- 401 Fußpunkt- 424 Kraft- 400, 401, 409 Massenkraft- 409 Stützen- 401, 409, 412 Unwucht- 409 Weg- 400, 401, 425 Ersatzfeder 355 Ersatzfederkonstante 357 Eulersche Formeln 392 Exzentrizität 432 Führungsgeschwindigkeit 115

Index Feder Arbeit an 307 Ersatz- 355 Hintereinanderanordnung 358 Parallelanordnung 356 Federerregung 401 Federkonstante 355, 372, 375 Federkraft 347 Federmasse 354 Fliehkraft 252 Freiheitsgrad 344 Führungsbeschleunigung 116 Fußpunkterregung 424 Gegenmasse 445 Geschwindigkeit 14, 352 Absolut- 115 Führungs- 115 Relativ- 115 Winkel- 85 Grenzfall, aperiodischer 392 Grundgesetz dynamisches 134 Grundschwingung 342 Gütestufe (Unwucht) 444 Hauptachse 442 Impuls 142 Massenpunkt 142 Massenstrom 171 starrer Körper 180 Impuls-Erhaltungs-Satz 153 Isolierung Aktiv- 342 aktive 448 Passiv- 342 passive 449 Joule 305 Kinematik 1 Kinetik 1 Kolben 444 Kolbenbeschleunigung 444 Kolbengeschwindigkeit 445

Index Kontinuumsschwinger 343, 436 Koordinatensystem kartesisches 59 natürliches 59, 67 Polar- 59 Kraft Coriolis- 257 Feder- 347 Flieh- 252 Rückstell- 346 Trägheits- 347 Zentrifugal- 252 Zentripetal- 252 Kraftamplitude 403 Krafterregung 400, 401, 409 Kreisel 233 Kreiselmoment 235, 431 Kurbelschleife 94, 122 Kurbelschwinge 99, 111 Kurbeltrieb 97, 110 Längsschwinger 353 Laval-Welle 428 Leistung 303 Masse 133 reduzierte 182 Massenkraft 444 freie 440 Massenkraft I. Ordnung 446 Massenkraft II. Ordnung 446 Massenkrafterregung 409, 411, 453 Massenpunkt 142, 246, 344 Massenstrom 171 Massenträgheitsmoment 180 reduziertes 200 Mehrmassenschwinger 436 Newton 133 Normalbeschleunigung 67 Passivisolierung 342 Pendel mathematisches 365 physisches 365

479 Pendellänge reduzierte 367 Pendelschwingung 365 Phasenfrequenzgang 405, 406, 411 Phasengang 407 Phasenwinkel 349 Polarkoordinaten 62 Präzession 234 Rückstellkraft 346 Radialbeschleunigung 64 Relativbahn 114 Relativbeschleunigung 116 Relativgeschwindigkeit 115 Resonanz 407 Resonanzfrequenz 408 Rotationsenergie 326 Rückstellmoment 372 Schiebung 84, 195, 325 Schubkurventrieb 118 Schubstangenverhältnis 444 Schwerpunktsatz 195 Schwinger diskreter 344, 436 Kontinuums- 343, 436 Mehrmassen- 436 Schwingung Dreh- 371 erregte 401 erzwungene 400 freie 345 freie ungedämpfte 344 geschwindigkeitsproportional gedämpfte 389 Grund- 342 harmonische 344, 346 lineare 345 mit einem Freiheitsgrad 345 Pendel- 365 Torsion- 375 ungedämpfte 346 Schwingungsanregung 400 Schwingungsisolierung 448 Schwingungsmodell 343

480

Index

Selbstzentrierung 434 Steinerscher Satz 180 Stoß Dreh- 222 elastischer 163, 164 exzentrischer 222 gerader 161 plastischer 163, 165 schiefer 165 zentrischer 161 Stoßmittelpunkt 226 Stoßverlust 316 Stoßzahl 163 Stützenerregung 401, 409, 412

Umfangsbeschleunigung 64 Unwucht dynamische 442 statische 441 Unwuchterregung 409

Tangentialbeschleunigung 67 Torsionsschwingung 375 Trägheitskraft 246, 347 Trägheitsradius 181

Zeigerdiagramm 352 Zentrifugalkraft 252 Zentrifugalmoment 180 Zentripetalkraft 252

Vergrößerungsfaktor 405 Vergrößerungsfunktion 452 Vorzeichen 17 Wegerregung 400, 401, 425 Winkelbeschleunigung 64, 86 Winkelgeschwindigkeit 85