String Phenomenology 2003: Proceedings of the 2nd International Conference Durham, UK, 4 July- 4 August, 2003 9812560351, 9789812560353, 9789812702463

Citation preview

STRING PHENOMENOLOGY 2OO3

This page intentionally left blank

STRING PHENOMENOLOGY 2OO3 Proceedings  of  the  2nd  International  Conference Durham,  UK  4 July ­  4 August  2003

editors

Veronica Sanz,

Steve Abel, Jose  Santiago (Durham  University,  UK) &

Alon Faraggi (Oxford  University,  UK)

'World Scientific N E W J E R S E Y  •  L O N D O N  •  S I N G A P O R E  •  B E I J I N G  •  S H A N G H A I  •  H O N G  K O N G  •  T A I P E I  •  C H E N N A I

Published by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 5 Toh Tuck Link, Singapore  596224 USA  office:  27 Warren  Street, Suite 401­402, Hackensack, NJ  07601 UK  office:  57 Shelton Street, Covent Garden, London WC2H  9HE

British Library  Cataloguing­in­Publication Data A catalogue record  for this book is available from  the British Library.

STRINGS  PHENOMENOLOGY  2003 Proceedings of the 2nd International  Conference Copyright © 2004 by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. All  rights reserved. This  book, or parts  thereof,  may not be reproduced in any form  or by any means, electronic or mechanical, including photocopying,  recording or any information  storage and retrieval system now known or to be invented, without written permission from  the Publisher.

For  photocopying  of  material  in  this  volume,  please  pay  a  copying  fee  through  the  Copyright Clearance  Center,  Inc., 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923,  USA. In this case permission to photocopy  is not required  from  the publisher.

ISBN  981­256­035­1

This book is printed on acid­free paper. Printed in Singapore  by Mainland  Press

PREFACE Following  on from  the  first  experimental meeting in  Oxford in  2002, these are the  proceedings of the  second in a series of string phenomenology meetings. Their  aim is to  bridge a  gap  in  string  theory  between  "hard  theory"  on  the one  hand  and  "the  real  World".  The  objective of the  meeting  was  to  bring together  a  wide audience  of theorists  and  experimentalists  to  discuss  cosmo­ logical, phenomenological and  even experimental aspects of string theory.  The talks  presented  here cover a large range of topics, however what  they  have in common  is their  emphasis on phenomenological  applications.  In  this  respect, and  in  the  shear  quality  and  interest  of the  talks,  the  meeting  proved  to  be great  success. We  would like to  thank  the  many  people  who facilitated this  conference, especially James  Stirling for continuing financial support and Linda Wilkinson and Emma Durrant who provided unstinting  assistance  with the  organization. Finally we thank our colleagues who have graciously taken the baton for  future meetings  (Michigan 2004). Shortly  before  the  meeting  we  and  all  of  our  colleagues were shocked  to hear  of  the  sudden  and  very  untimely  death  of  Ian  Kogan.  We  take  this opportunity to extend our condolences to his family and would like to  dedicate these  proceedings to  his memory.  The  first  contribution  was kindly provided by Misha Shifman,  and  is a Eulogy to  him delivered at  Oxford....

Steve Abel Alon  Faraggi Jose  Santiago Veronica Sanzzyxwvu

v

This page intentionally left blank

IN  MEMORY  OF IAN  KOGAN

Eulogy  at  the funeral  ceremony, Balliol  College,  Oxford  University June  19, 2003 When  some people  leave us, the  world becomes emptier  and  colder... Ian  Kogan was born into a Jewish family  on September  14, 1958 in Glazov, a  small  town  in  the  Northern  Urals,  far  away  from  all  the  cultural  centers of  what  was  then  the  Soviet  Union.  All  life  in  this  town  revolved  around  a classified  uranium plant  where lan's parents  worked for 41 years. Seemingly out of the blue, at the age of 14, Ian became interested  in physics, and almost  immediately  his teachers realized that he had a strong  and original mind.  Ian  enrolled  in  Correspondence  Courses  of  the  Moscow Institute  for Physics and Technology (MIPT). Although Ian was always shy, in this endeavor he showed strong  willpower and  determination. At  the  age  of  16,  Ian  began  his  life  journey:  accompanied  by  his  father he went  to  Moscow to  pass the  entrance  examinations  at  MIPT.  He  obtained the  highest  grades  on  all  written  examinations,  and  then  ...  Although  Ian was extremely  bright,  way beyond  the  average  level, he  nearly  failed  the  oral mathematics  exam  in  which  he  was  asked  killer  problems.  This  was  a  trick routinely used by ferocious anti­Semites  who held influential positions in Soviet mathematical  schools.  lan's ascent  to  the  summit  was not  easy,  but  he never complained,  never. I  close  my  eyes  and  I  see him  as  I  first  saw him  in  ITEP,  around  1980, in  the  hall  of a  large  mansion  occupied  by  theorists.  An  awkwardly  dressed vii

VIII

provincial boy with  dark black hair and large brown eyes, deep and warm. To say that  his eyelashes were long  and  thick  was an  understatement.  When  he was blinking one could think  that  it  was a  butterfly folding  and  unfolding  its wings. I close my eyes and I see Ian  the  way I saw him the  last time  in Paris.  An Oxford  professor,  wearing an  elegant  coat  and  neckerchief.  Part  of  his  hair gone,  with  silver  in  the  beard,  but  still  the  same  eyes  glowing with  warmth and  kindness.  I hear lan's voice... Twenty  years  elapsed  between  these  two  recollections,  the  span  of lan's professional  career.  Ian  graduated  from  the  Moscow Institute  of Physics  and Technology,  in  parallel  completing  his  education  in  ITEP,  in  1981.  That  he came to ITEP was a great  luck for him, for ITEP, and  for me personally.  The ITEP  Theory  Department,  with  its  creative  atmosphere  and  respect  for deep thought,  was just  the  right place  for Ian.  I was only one of his teachers, but  I always thought  of him  as a younger brother. Ian  started  his professional career  with hadronic physics, a topic  to which he repeatedly  returned throughout  his  life.  His scientific  horizons rapidly  ex­ panded;  already  in  three  years  Ian  was  an  early  explorer  of  Chern­Simons electrodynamics.  His interests  were remarkably  broad  — from  quantum  chro­ modynamics to solid state physics, from financial market  fluctuations  and risk assessment  to  strings,  from  quantum  gravity  to  conformal  field  theory  —  a unique  quality in the  age of narrow specialization.  And  everywhere he  left  his profound  imprint.  Ian  was  one  of  the  co­discoverers  of  phase  transitions  in strings,  and,  lately,  of the  logarithmic  conformal field theory  and  the  theory of multi­gravity.  He championed the  application  of logarithmic conformal field theory  and  string  theory  in  solid  state  physics.  It  would be  fair  to  say that he  circumnavigated  theoretical  physics.  He had  the  spirit  of a pioneer  and  a scout — always at  the  front  line of research, and, quite often,  ahead of the  front line.  He had  the  stamina  to  go in those directions  where other  people had  no courage to pursue.  lan's death  is a tragedy  for the  entire physics community. lan's attitude  to physics was romantic.  His admiration of the beauty  of the laws of nature  never faded  away, and  was as strong  in  2003 as it  was in  1972, the  very beginning of lan's physics journey. lan's enthusiasm  was contageous. Nikita  Nekrasov recollects: "It was lan's enthusiasm, with which he was throwing formulae  and  graphs on a blackboard in Volodya Fock's appartment  around  1989, that  got me con­ taminated  with his urge to understand  things, and express this  understanding in  terms  of beautiful  formulae.  I  cannot  say  that  I  always  agreed  with  Ian on physics issues, but  discussing them  was always interesting  and fascinating, and, I think, it was very important  for me to be able to  have these  discussions with Ian.  I liked his agressive style of talking physics, and I learned  a lot  from him.  In  my  family  there  is now  an  empty  spot.  We all  thought  of Ian  as of

IX

a  kind  spirit,  who could bring sun on a gloomy  day, tell  a joke, drag  us to go dancing tango,  or even go jogging without  any  idea of what  it  was like." Ian was always simmering with ideas.  Always.  He had  more ideas than he could possibly sort through.  And he shared  them  generously with his  students at  Oxford  University  and  Balliol  College,  of  which  he  became  a  permanent member in  1994.  This is what one of his recent  students,  Guilherme Milhano, wrote  in  a  farewell  message:  "I am  certainly  just  one  amongst  many.  Many those  for whom Ian  was  a  deciding factor  in  life.  His unlimited  support,  un­ bound  kindness  and  generosity  toward  someone who could  give back but  very little, find no other  explanation  than the rare selflessness.  That made Ian great and unique.  I can only hope to  do you justice.  I am proud  to be your  student and  friend.  Good bye,  Ian." During  the  two  decades  of  his  professional  career  Ian  published  almost 200  scientific  papers.  These  involved  sixty  collaborators!  Indeed,  his  soul and  his  mind  were open  to  everybody.  He  had  so  many  friends  in  Russia, England,  the  United  States,  and,  in  fact,  everywhere in  the  world.  Ian  was truly cosmopolitan, in  the  best  sense of the  word. It  was so easy to get him excited...  just  mention  some scientific problem. If the  topic was deep enough, Ian  would instantly  delve into it,  and  before  long, start  generating innovative  suggestions  and ideas.  He was devouring books on economics, mathematics,  biology, history, and  God  knows what  else.  Once he mentioned  to me that  he had just  returned  from  a theological  debate  with an orthodox  rabbi! Ian was a day­dreamer, both in physics and in life.  He combined a childishly joyful  attitude  with  the  wisdom and  the  seriousness  of a  great  man.  That's why children loved him.  My daughters adored him  when they  were little,  and they still love him now, 20 years later.  He could talk  to  them  as an equal, and yet  seriously and  responsibly — so that  they  felt  respect  and  support. On rare occasions when he decided that he had  to rest, Ian loved to watch James  Bond  movies.  He  knew  them  by  heart.  It  was  amazing  to  see him getting agitated  like a  boy from  the  adventures of 007. Ian was the  kindest man I ever knew.  Helping those in need was as natural to  him  as breathing.  When  I  was on my way to  the  airport  to fly to  Oxford to  say  farewell  to  Ian,  I  got  a  message  from  Eletskys.  They  wanted  me  to mention  that  when  their  little  son  Misha,  born  2.5 months  prematurely, was on the  brink  of death,  Ian  gave his blood  to  help  bring  their  little  child back to  this world.  They  will never  forget...  No, it  is no  surprise that  Ian  had  so many  friends. I  think  lan's children — a  daughter  from  the  first  marriage, and  two sons from  the  second — can be proud of their father.  I hope that they will be proud of him today, in ten  years, and  in twenty...  always...  I am proud to  have been his  friend.

x Being courageous and  aggressive in science, in every­day life Ian  was gentle —  perhaps,  too  gentle  —  vulnerable  and  defenseless.  Sometimes  I  felt  that deep inside he was disturbed  and  not  at  peace with himself.  The  last years in Oxford  seemed  to  bring  a  relief  from  this  tension,  granting  Ian  the  peace of mind  he  deserved. Ian drove through his life in the fast lane.  Always. He wanted to  understand more,  he  wanted  to  do more.  He was at  the  peak  of his  creative  powers,  full of plans  for the  future,  a live pulsating  lump of energy.  On  the  blackboard of lan's office  I saw a long list  of "to do" things, which stretched  well through  the end  of the  summer. His heart  could not  cope.  It  suddenly  stopped  in  the  morning  of June 4, 2003, the day after  a long afternoon seminar that Ian gave on his favorite topic of multi­gravity  at  ICTP in Triest. Life  can  be  so unfair  ... When  such people  leave us, the  world becomes emptier  and  colder...

Misha  Shifmanzyxwv

CONTENTS v

Preface IN  MEMORY OF  IAN KOGAN  Misha  Shifman

vii

Flavour  Structure  of Intersecting  Brane  Models  S.  A.  Abel,  J.  Santiago  and 0.  Lebedev

1

Stringy  Solution  to  Strong  CP  Violation  Problem  C.  G. Aldazabal,  L.  E.  Ibdnez  and A.  M.  Uranga

8

Phenomenological  Prospects of Noncommutative QED  L.  Alvarez­Gaume  and M.  A.  Vdzquez­Mozo

16

Suppressing  the  Cosmological  Constant  in Non­Supersymmetric  Open­String  Vacua C.  Angelantonj

23

Horava­Witten  Cosmology  R.  Arnowitt,  J.  Dent  and B.  Dutta

30

The  Linear  Collider  Programme  G. A.  Blair

38

String  Unification  of Gauge Couplings  with Intersecting  D­Branes  R.  Blumenhagen

46

On  String  Gas Cosmology  at  Finite Temperature  M,  Borunda

54

On Tachyon Kinks from  the  DBI Action  Ph.  Brax,  J.  Mourad  and D.  A.  Steer

61

Identifying  String  Relics  at  AUGER?  A.  Cafarella  and  C.  Coriano

68

XIzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ

XII

A  Relief to  the  Supersymmetric Fine  Tuning  Problem  J.  A.  Casas,  J.  R.  Espinosa  and I.  Hidalgo

76

Heterotic String Optical Unification  G.  Cleaver,  B.  Dundee,  J.  Perkins,  R.  Obousy,  E.  Kasper, M.  Robinson  and K.  Stone

86

Varying Alpha, Thresholds  and  Extra Dimensions  T.  Dent

94

The  Statistics of String/M  Theory  Vacua  M.  R.  Douglas

102

On  Cosmologically Induced  Hierarchies in  String  Theory  E.  Dudas,  J.  Mourad  and  C.  Timirgaziu

114

Constraining  Electroweak Physics  J.  Erler

123

A  Paradox  for Strings  in PP­Wave Backgrounds  D.  B.  Fairlie

131

Anthropics Versus Determinism in  Quantum  Gravity  A.  E.  Faraggi

135

Towards the  Classification of  Z%  x  Z2  Fermionic Models  A.  E.  Faraggi,  C. Kounnas,  S.  E.  M.  Nooij  and J.  Rizos

143

On  the  Moduli Space for Strings on  Group Manifolds  S.  Forste

152

AdS/CFT­Inspired  Unification  at  about  4 TeV  P.  H.  Frampton

160

SO(10)  Heterotic  M­theory Vacua  R.  S.  Garavuso

167

XIII

Lattice  Supersymmetry  and  String  Phenomenology  J.  Giedt

176

Gauge Five  Brane Moduli  in  Four  Dimensional  Heterotic Models  J.  A.  Gray

183

Supersymmetric  Intersecting  D6­Branes and  Chiral  Models on  the T6/(Z4 x Z2)  Orbifold G.  Honecker

191

Supersymmetric  /3­Functions, Benchmark  Points and  Semi­Perturbative Unification /.  Jack  and D.  R.  T.  Jones

199

Reading  the  Number of Extra Dimensions in the  Spectrum  of Hawking  Radiation P.  Kanti

207

Trinification  from  Superstring  Toward MSSM  J.  E.  Kim

215

The  Flavour  Problem  and Family  Symmetry  S,  F.  King  and I.  N.  R.  Peddie

223

Phenomenological Aspects  of Twisted  Moduli  T.  Kobayashi

231

4D  GUT  (and  SM)  Model Building from  Intersecting  D­Branes  C.  Kokorelis

239

Warped  Super­bigravity  Z.  Lalak  and R.  Matyszkiewicz

247

Heterotic Yukawa Couplings and  Wilson Lines  O.  Lebedev

256

Which  is the  Best  Inflation Model?  D.  H,  Lyth

260

XIV

GUT  with Anomalous  U(l)A  Suggests  Heterotic  M­Theory?  N.  Maekawa

267

Phenomenological Aspects of Heterotic Orbifold  Models  at  One Loop  Y.  Mambrini

276

Co­Dimension Two Branes  and  the  Cosmological Constant  /.  Navarro

281

Interactions  in Intersecting  Brane  Models  A.  W. Owen

288

Problems  and  Cures  (Partial)  for Holographic Cosmology  M.  A.  Per  and A.  Segui

296

Magnetic Fluxes,  NS­NS B  Field  and  Shifts  in Four­Dimensional  Orientifolds G.  Pradisi

304

Spontaneous  Scherk­Schwarz Supersymmetry Breaking and  Radion  Stabilization M.  Quiros

315

A  Quantum  Analysis on Recombination of D­branes  and  Its  Implications  for an  Inflation Model T.  Sato

323

Probing  Strings  from  the  Sky  G.  Shiu

331

Brief  Neutrino Physics  Update  J.  W.  F.  Voile

340

Spontaneous  CP  in a Susy Theory  of Flavour  O.  Vives,  G.  G.  Ross  and  L.  Velasco­Sevilla

349

Desperately  Seeking The  Standard  Model  C.  Munoz

357

FLAVOUR  STRUCTURE  OF INTERSECTING  BRANE  MODELS S. A. ABEL, J.  SANTIAGO IPPP,  Centre for  Particle  Theory,  Durham  University DH1  3LE,  Durham U.K. O.  LEBEDEV Centre for  Theoretical Physics,  University  of  Sussex BN1  9QJ,  Brighton U.K. We  discuss some  features  of  models with  intersecting D­branes related  to  their flavour  structure.  Minimal  models  suffer  from  the  shortcoming  that  the  Yukawa matrices  are  factorizable  at  the  tree  level,  what  leads  to  an  unrealistic  fermion mass  spectrum.  This  problem  can  be  circumvented  by  considering  the  effect  of flavour violating  non­renormalizable  operators  at  the  quantum  level.  This  allows us to  consistently analyse flavour  changing processes  in intersecting brane  models and  derive stringent  lower  bounds on the  string  scale. 1 

Introduction

Models  with  D­branes  intersecting  at  non­trivial  angles  12  have  been  extensively studied  in  the  last  few  years  (see 2  for  a  recent  review  and  references  there in). Despite  the  many  phenomenologically  relevant  features  found  in  these  models  a fully  realistic  theory  of flavour has  not  yet  been  presented.  In  this  talk  we  report on  some  progress  made  recently  on  the  study  of  the  flavour  structure  of  models with  intersecting  D­branes  and  on  a  realistic  theory  of fermion  masses  and  mixing angles  15'4.  The  key  point  is  the  presence  of  tree­level  flavour  changing  neutral couplings  with  two  different  origins, Kaluza­Klein  excitations  of gauge  bosons  and string instantons.  This new flavour feature propagates  through quantum loops to the trivial  (at  tree  level)  Yukawa couplings, leading  to  a  well defined, realistic pattern of  fermion  masses  and  mixing  angles. 2  Intersecting  Brane  Models  and  Their  Flavour  Structure In  this  section  we discuss  the  flavour  structure  of models  with  intersecting  branes. We  start  with  the  leading  instanton  contribution  to  Yukawa  couplings discussing afterwards  the  generic  appearance  of  flavour  changing  neutral  couplings  in  these models.  In order to fix ideas we shall concentrate on one particular  class of models 10 with  realistic  features  and  to  which  the  phenomenological  bounds  we will discuss at  the  end of this  talk  apply.  In  particular  we will consider  type  II­A  string  theory compactified  on  a  factorizable  6­torus  T2  x  T2  x T2  and  four  stacks  of D6­branes, called  baryonic,  left,  right  and  leptonic and  giving rise to  the  groups  SU(3) x U(l) a , SU(2),  U(l) c ,  U(l)d  respectively,  with each  of the  three  compact  dimensions wrap­

1

2 ping  a  1­cycle  in  each  of  the  three  tori.  Seven­dimensional  gauge  bosons  live  in the  world volume  of the  branes  while at  the  intersections  four­dimensional chiral fermions and  (generally massive) scalars  are localized. In the  particular  model of in­ terest,  a substructure of which is represented in Fig.  1, the  Minimal Supersymmetric Standard  Model matter  content  (plus right handed neutrinos)  is localized at  the dif­ ferent  intersections  while  the  MSSM gauge  fields  live  in  the  world  volume  of  the corresponding  D6­branes.

Figure  1.  Brane  configuration  in  the  model  discussed  in  the  text.  The  leptonic  sector  is not  represented  whereas  the  baryonic,  left,  right  and  orientifold  image  of  the  right  are respectively  the  dark  solid, faint  solid,  dashed  and  dotted.  The  intersections  corresponding to  the  quark  doublets  (i =  ­1,0,1), up type  singlets  (j  = ­1,0,1)  and  down type  singlets 0*  =  —1,0,1)  are  denoted  by  an  empty  circle,  full  circle  and  a  cross,  respectively.  All distance  parameters are  measured  in units  of 2­n­R with R  the  corresponding  radius  (except e( 3 )  which is  measured  in  units  of  6­irR).

2.1  Yukawa  Couplings The leading string instanton  contribution to Yukawa couplings in models with inter­ secting  D­branes  has  been  recently  computed  (its classical  part)  for a  very generic set  of models in  10  and,  soon  after  using  conformal field theory  techniques  in n . The  result  is proportional  to  the  projected  area  of the  triangle  formed  by  the  two fermions  and  the  Higgs  boson  in  each  sub­torus.  The  final  result,  including  the quantum part  reads Y  =

(2.1)

where  B  is the  Euler  Beta  function,  j  runs over  the  three  tori,  i>j  and  \j  are  the angles  at  the  fermionic  intersections, m runs  over  all possible  triangles connecting the  three vertices on each of the  three tori  (there are an infinite  number of them due to the  toroidal periodicity) and Aj(m)  is the  projected area  of the  m—th triangle on the  j—th torus.  For simplicity we have not  considered the  presence of a backgroundzyxwvu

3 B field or  Wilson  lines.  These  introduce in  general  complex phases  in  the  Yukawa couplings, thus  giving rise to  CP  violation. The  crucial point  preventing  realistic  Yukawa  matrices  in  the  class  of models we are  considering is the  fact  that  the  relevant  area  is the  projected  one on each of the  three  tori.  This,  combined with  the  particular  disposition  of the  intersections, with  the  dynamics of the  left  handed  fields  occurring in the  second  torus  while  the dynamics of the  right handed  ones  occurs in the  third  torus  (see  Fig  1) leads  to  the following  trivial form  of the  tree­level Yukawa matrices Yg^Oibi,  Yg=aibj, 

(2.2)

where  we  have  only  explicitly  written  the  classical  part,  including  this  time  the presence  of non­zero B—field  and  Wilson lines.  The  coefficients  are

(2.3) J  \ 

LI 

/

0(3)  4.  0(3)

) _  0(3)

where i,j,j*  =  —1,0,1, j'*' denotes the complex Kahler structure of the fc—th torus, g(2)  ^ $(3)  ^ gi(3) parameterize the  Wilson lines and  &•  is  the  complex theta function  with characteristics  (see 4'10  for  notation). This factorizable form of the  Yukawa couplings is too simple to lead to a realistic fermion  spectrum.  It  is  a  rank  one  matrix  with  one  massive  and  two  massless eigenvalues.  There  are  of course  different  ways out  of this,  either  by  using a  more complicated  (non­factorizable)  compact  manifold or by looking for configurations of branes  in  which  the  left  and  right  dynamics  occur  at  the  same  torus  7 .  There  is however  another  feature of these  very simple models  that  make  the  naive  assertion above invalid when quantum  corrections are taken  into account.  This  new feature is the  presence of flavour changing neutral  couplings that propagate  through  quantum loops  to  the  otherwise trivial  structure  of Yukawa couplings, providing them  with enough complexity to give rise to a realistic set of fermion masses and mixing  angles. 2.2  Flavour  Changing  Neutral  Currents

In  this  section  we shall  disentangle  the  origin  of the  flavour  changing  neutral cou­ plings  that  will  allow for  a  realistic  pattern  of  fermion  masses  and  mixing  angles in  models with intersecting  branes.  The  presence  of FCNC  in  these  models  can  be easily realised  in  a qualitative  way.  Its  origin resides  in the  splitting  of the  different fermions  (in  particular  of  the  different  families)  in  separate  points  of the  compact manifold.  It  has  been  known  for  some  time  8  that  split  fermions in  models with extra  dimensions suffer  from  strong experimental  restrictions  due to  the  presence ofzyxwvu

4 flavour violating couplings to the  KK excitations of the bulk  gauge bosons.  Likewise, in  the  present  class  of models,  the  fact  that  fermions  live at  the  different  intersec­ tions  of  the  branes  allows  us  to  imagine extended  world­sheets  connecting  four  of these  intersections  (similar to the triangular ones that give rise to Yukawa couplings) corresponding,  in general, to  different  generations and  therefore  violating flavour. These qualitative features  can be explicitly  computed  in a proper  string  calcu­ lation  15'n  using  conformal field theory  techniques  quite  similar  to  the  ones  used for  twisted  closed states  in  orbifolds  3.  This  full  string  calculation  leads  to  a  four­ fermion  contact  interaction  that  contains,  in  different  limits  the  KK  contribution (properly  regularised  by the  string  length)  with  coefficient

M

"  „

[Ms . (flf  ­  #)]. 

(2.6)

with  similar  expression  when  right  handed  fields  are  involved,  and  the  string  in­ stanton  contribution  which in  the  case  of chirality  preserving  interactions  (all  four fermions  left  handed  or  all right  handed)  comes  with a  coefficient

M|

(2.7)

where  a, b,c,d  are flavour indices, i,j  current  indices,  UL  is the  rotation  matrix re­ lating  the  fermion  current  and  mass  eigenstates,  M,  is the  string  scale,  Mn  is  the KK  mass,  yt  represents  the  position  of the  z— th  family,  A  is  the  area  of the  four­ fermion  instanton  (which is ~  (47r2.Rc)/3)  and finally 6 >  1 is a number  depending on  the  brane  configuration.  The  former  contribution  is  obtained  by  performing  a Poisson  resummation  whereas the  latter  is given in the  leading saddle point  approx­ imation.  One  interesting  characteristic  of these  two  contributions  is that  they  are complementary  due to  their  opposite  dependence  on the  ratio  LS/LC.  When  one is negligible the  other  one is large  and  vice  versa. The  chirality  changing  four­fermion  interaction  mediated  by string  instantons is  a  little  more  involved  but  very  interesting  4 ,  particularly  for  the  generation  of fermion  masses  we  will  come  to  in  the  next  section.  One  particularly  interesting feature  is the  fact  that  it  does  not  in  general  factorize any  more,  the  reason  being that  now  left  and  right  handed  fermions  are  involved  so  there  is  more  than  one non­vanishing  area  and  the  resulting  action  does  not  factorize  as  the  sum  of  both areas.  (Incidentally, this  does  not  happen  for Yukawa couplings, which have  several non­vanishing  areas  as  well,  because  SL(2,R)  symmetry  allows  us  to  fix  all  three vertices in this  case  whereas in the  four­fermion  amplitude  we still have to  integrate over  the  fourth vertex.)  In  order  to  see what  is going on we consider  the  particular case  in  which the  angles  are  the  same  in  every  sub­torus,  the  classical  part  of  the amplitude takes  the  form  4 Ad=e­s,  (2.8)zyxwvu

5 with the classical action

which  clearly  only  factorizes  in  the  trivial  case  (when  a  =  d  or fc =  c)  or  in  the degenerate  case  (when distances  in all sub­tori  are  equal). 3  Realistic  Quark  Masses  and  Mixing  Angles In  the  model  of  intersecting  branes  we are  considering, Yukawa  couplings  have  a rank  one,  factorizable  form.  This  means  that  only  the  third  generation  acquires mass  at  tree  level.  As already  emphasized  in  10  even  though  this  is  an  unrealistic situation  it  is indeed  a  good  starting  point,  given the  fact  that  the  third  family  is much  heavier  than  the  other  two.  Small  corrections  could  then  naturally  account for  the  masses and  mixing angles of the first two generations.  We have outlined that this  very  model  has  already  the  ingredients  for  these  small  corrections.  One  loop threshold  effects  with flavour changing couplings induce a non­trivial  hierarchically small  correction.  If  this  correction  again  factorized,  only  the  second  generation would  receive a  non­zero mass,  leaving a  massless  first  generation.  A clear  pattern of  fermion  masses  therefore  arises  with  the  third  to  second  generation  mass  ratio being  due  to  loop  suppression  whereas  the  second  to  first  generation  mass  ratio can  be  traced  back  to  the  departure  from  factorization  of  the  chirality  changing four­ fermion  string  amplitude. The  one­loop corrected  Yukawa couplings then  read ­\rutd 

Ytj 

L^id  ­  ,  /=iU,dLR  = dibj  +acidju,d  ,  j'  +  aeC^.' 

/ o  ­, n \

(3.10)

where  a  represents  the  loop  suppression  and  e  measures  the  departure  from  fac­ torization  of  the  chirality  changing  four­fermion  amplitude.  This  matrix  can  be perturbatively  diagonalized  leading  to  the  following values of the  diagonal  Yukawa couplings ­\/­u,d  u,d  ­\ru,d  u.d  \ru.d  I  \\i,u.d\  /o  i i \ Yj  '  =ae/i 1 |,  Y2  =  a/V  >  *s  =  HI 6  I.  I3­1!) and  the  mixings

CKM

The  different  coefficients  in  the  previous  equations  //"'  and  p%j  are  order  one functions  of  o;,6,,Ci,di  and  C/jfi.  The  hierarchical  pattern  of  quark  masses  andzyxwvu

6

mixing  angles  found  in nature  7 mu  ~  3 x  10~3  GeV, 

mc ~  1.2 GeV,  mt  ~  174 GeV,

3

md  ~ 7 x  1(T   GeV,  ms ~  0.12  GeV, 

Vi2 ­ 0.22,  Vis ~ 0.0035, 

mfc  ~ 4.2 GeV,

(3.12)

V23 ~ 0.04,

can  be  explained  by  a  hierarchy  in  the  expansion  coefficients,  a  and  e.  In  fact reasonable  values for all experimental  data in Eq.(3.12), up to order  one  coefficients, can be  obtained  using, a ~ H r 2 ,  e~0.1,  (3.13) except  for the  up  quark  for which some  amount  of cancellation  seems  necessary.

4 

Experimental Bounds on the String Scale

Once  we have  developed  a  semi­realistic  theory of flavour in  a  concrete  model with intersecting  branes  we can  estimate  the  contribution  to flavour violating  processes (such  as rare  decays,  meson  oscillations,  etc.)  and  extract  from  them  stringent  ex­ perimental bounds  on the  string scale  for these  models.  Although a definite pattern for  the fermion spectrum  following the  above lines has not been  neatly presented  yet, we shall  estimate  it here using the  one and two loops KK contribution to the Yukawa couplings,  which  has  a reasonably  similar  pattern  to  the  one discussed  above.  The result  is  a  realistic  set  of  quark  masses  and  mixing  angles  and  the  corresponding bounds  on  the  string  scale  shown in  Table  1.

Quark  sector Observable Ms  > (TeV) Am/f 4000 AmBd 1300 500 Am Sa 2000 ArriD

M HgEDM

Semileptonic Observables Observable Ms  >  (TeV) /j,  — e conversion 2700 K  — >  n/j, 80 K  — i  nfj,[j, 200 Supernova 10

104 10

Table  1.  Bounds  on  the  string  scale  from  different  observables  in  the  quark  (left)  and leptonic  (right)  sectors.  The  observables  in  the  upper  part  are  CP  preserving  while  the ones  in the  lower part  of the  table are  CP  violating. In  this  table  CP  conserving  quark  observables  are  considered  in the  upper  left side.  In  the  lower  left  side,  we include quark  CP  violating  observables  whereas  the right  side  is  devoted  to  semileptonic  observables.  These  bounds  should  be  taken with  caution.  First,  a  fully  realistic  example  of fermion  masses  and  mixing  angles generation  along  the  lines  above  has  not  been  produced  yet  and  the  detailed  value

7 of  the  FCNC  present  in the  model depends  as we saw on the  rotation  matrices  and therefore  on  the  Yukawa  couplings  1.  Second,  in  our  estimation,  only  the  quark sector  has been  considered, and  CP  violation has been  neglected.  This  means  that the  very stringent  bounds should  be taken  as estimations  of the  order of magnitude of  the  result  in  a  more  realistic  calculation,  and  they  are  more  precise  for  the  CP conserving quark sector  than in the rest.  Nevertheless it is clear that the bounds are so constraining that  it  does  not  seem  feasible to  have  models of intersecting  branes with a very low string scale,  and that one can place rough bounds on the  string  scale of  M3  > 103"4 TeV. Acknowledgements It  is a pleasure to thank  P. Ball, S. Davidson, F. Marchesano and I. Navarro for very useful  discussions. This work has  been  partially  supported  by  PPARC. References 1.  M.  Berkooz,  M.  R.  Douglas  and  R.  G.  Leigh, Nucl.  Phys.  B  480  (1996) 265 [arXiv:hep­th/9606139]. 2.  S.  A.  Abel  and  J.  Santiago,  "Constraining  the  String  Scale:  From  Planck  to Weak  and  Back  Again",  to  appear  in  J.  Phys.  G. 3.  S.  A.  Abel,  M.  Masip  and  J.  Santiago,  JHEP  0304  (2003)  057  [arXiv:hep­ ph/0303087]. 4.  S. A.  Abel, O.  Lebedev  and  J.  Santiago,  to  appear. 5.  D.  Cremades,  L.  E.  Ibanez  and  F.  Marchesano,  JHEP  0307  (2003)  038 [arXiv:hep­th/0302105]. 6.  M.  Cvetic  and  I.  Papadimitriou,  Phys.  Rev. D  68  (2003)  046001  [arXivihep­ th/0303083];  S.  A.  Abel  and  A.  W.  Owen,  Nucl.  Phys.  B  663  (2003)  197 [arXiv:hep­th/0303124]. 7.  N. Chamoun, S. Khalil  and  E.  Lashin,  arXiv:hep­ph/0309169. 8.  A.  Delgado,  A.  Pomarol  and  M.  Quiros,  JHEP  0001 (2000)  030  [arXiv:hep­ ph/9911252];  C.  D.  Carone,  Phys.  Rev. D  61  (2000)  015008  [arXivihep­ ph/9907362]. 9.  L. J.  Dixon, D. Friedan,  E. J.  Martinec  and  S. H. Shenker, Nucl. Phys.  B  282 (1987)  13; S. Hamidi and  C.  Vafa,  Nucl. Phys. B 279  (1987) 465. 10.  K.  Hagiwara  et  a..  (Particle  Data  Group), Phys. Rev.  D66,  010001 (2002)

a

ln  Ref. 7  a  detailed  account  of the  fermionic  spectrum  is  provided  for  a  models  with  6 Higgs  doublets.  The  authors  however consider  an  intermediate  string  scale  and  therefore do  not  bother  about  FCNC  which would be  anyway irrelevant  in their  case.zyxwvutsrqponmlkji

STRINGY  SOLUTION  TO  STRONG  CP  VIOLATION  PROBLEM C.  G.  ALDAZABAL Institute  Balseiro  and  Centra  Atomico  Bariloche, 8400  S.C. de  Bariloche,  (CNEA  and  CONICET),  Argentina E­mail:  [email protected] L.  E.  IBANEZ  AND A.  M.  URANGA Departamento  de  Fisica  Teorica  C­XI  and  Institute  de Fisica  Teorica  C­XVI, Universidad  Autonoma  de  Madrid,  Cantoblanco,  28049  Madrid,  Spain. A  new  solution  to  the  strong­CP  problem  is  discussed.  It  involves a,  stringy  in­ spired,  extension  of QCD  containing an unbroken gauged U(l)x  symmetry whose gauge boson  gets  a Stuckelberg  mass  term  by combining with a pseudoscalar field n(x).  The  latter  has  axion­like  couplings to  QCD.  This  system  leads  to  mixed gauge  anomalies  and  we argue  that  they  are  cancelled  by  the  addition  of an  ap­ propriate  Wess­Zumino term,  so that  no  SM  fermions need  to  be  charged  under U(l)x­  Axion  like  field  can  be  gauged  away.  The  full  system  possesses  an  ex­ tra  global  abelian  symmetry which allows to  rotate away  0 parameter.  There  are generic  scenarios  from  which  such  interactions  can  be  derived.  In  particular  we show  that  in  certain  D­brane  Type­II  string  models  (with  antisymmetric  tensor field strength  fluxes)  higher  dimensional Chern­Simons  couplings give rise to  the required  D  =  4  Wess­Zumino terms  upon  compactification.  In  one  of the  possi­ ble  string  realizations  of the  mechanism the  C/(l)x  gauge  boson  comes  from  the Kaluza­Klein reduction  of the  eleven­dimensional metric  in M­theory. 1  The  strong  CP­problem In this note we present  an extension of QCD,  inspired in string theory, that leads  to a solution of strong CP­problem.  The  strong­CP problem  1>2  is one of the  oldest fine­ tuning  problems  in particle physics.  It  is the  statement  that  the  QCD ^­parameter appearing  in the  action

is  indeed  a  physically  observable  parameter.  The  presence  of such  a  term  (which explicitly breaks P  and  CP)  is a consequence of the non­trivial structure of the  QCD vacuum,  and  gives  rise  to  computable  contributions  to  the  electric  dipole  moment of the  neutron  which  are  about  ten  orders of magnitude too  large for 9 of order  one. Thus one should  have § 1  that  if one of the  quarks  is  massless  the  0 phase becomes unobservable,  unphysical.  This is related to the  fact  that with a

8

9 massless quark there is a global chiral (7(1) symmetry preserved by perturbative interactions  and  violated  by  the  chiral  anomaly.  Eventhough this  appears  to be  the  simplest  solution the  existence of a massless quark  is disfavoured  4'5. The  axion  solution In this solution a a dynamical pseudoscalar field  rf  is introduced with an  axial coupling to the  QCD field strength QCD

where  /„  is  a  mass  parameter  which measures  the  decay  width  of the  axion 77° .  In  this  mechanism the  pseudoscalar  77° (or  rather  r\  =  77°  +  6)  becomes  a dynamical  'theta parameter'.  Although the  axion  is perturbatively  massless  it acquires a periodic scalar  potential  at  the non­perturbative level so that energy is minimized at  77 =  0.  Thus the  system  is relaxed at  zero effective  ^­parameter and  there  is no strong  CP  violation.  This is an  attractive  solution  but  direct searches  and  astrophysical  and  cosmological limits already  rule out  most  of the parameter  space  for  this  model.  Only  a  small  window with  fa  oc  1010  GeV seems to  be allowed 2 . 2  Removing  the  strong  CP  problem 2.1  The  model In this section we present  our  model (see 6.It is an extension of the  SM with two key ingredients,  an  axion  like field and  a  Wess­Zumino term.  The  structure  proposed borrows inspiration  from  string  theory  as  we briefly  illustrate  in an  example below. Namely,  we introduce •  A  pseudoscalar state  TJ  with axionic couplings to  the  QCD field strength,  very much  like in the  axion solution. •  A  U(l)x  gauge  interaction  whose gauge boson gets  a Stuckelberg mass  M  by combining  with  the  axion  introduced  above. Quarks  carry  no  U(\)x  charge. This  means  we have a Lagrangian  of the  form: •  A WZ term

(2.3) Under  the  transformation A

x  ­»• Ax  ­  d"A(z)  ;  r)(x)  ­>  r](x)  + A(x) 

(2.4)

the  mass  term  is  gauge  invariant.  However, there  is  still  a  gauge  variation  of  the axion  coupled  to  QCD.  We could  think  of  canceling such  variation  against  mixed U(l)x  anomalies  with QCD but  this  is not  actually  possible since we are  assumingzyxwvu

10

c)

Figure 1.  Contributions to t/(l)x x5t/(3) 2 anomalies:  a) Green­Schwarz contribution  from the  exchange of the  pseudoscalar  TJ; b)  Standard fermion triangle graph and  c) Contribution from  a  Wess­Zumino term.

quarks  are  not  charged  under  such  symmetry.  In  fact,  last  term  in  Eq.  (2.3) is explicitly  introduced  in  order  to  ensure  gauge  invariance  of  the  full  Lagrangean, namely,  such that SSwz  =  ­  f 

Atr  F^CD 

(2.5)

JM4

Let  us  discuss this  last  step  with some  detail  since it  is an  important  ingredient in our  construction. Instead  of  a  pseudoscalar  r\  one  can  equally  consider  its  Hodge  dual,  2­index antisymmetric  tensor  B^v,  (  *dB  = dr]  Representing  the  same  degrees of  freedom. In  this  dual  language  one can write for the  relevant  Lagrangian: C  =  CQCD  ­  ±H'"">Hltvp  ­  ­T^xF^  + 

""'B^  F*, 

(2.6)

with F^  is the field strength of the U(l)x  gauge field. A duality transformation gives back  the  original Lagrangian in Eq.  (2.3). In this language we see that the combined presence of the  [7(1) x transformation of the  scalar  rj(x)  and  the  axionic  coupling  implies the  presence  of a  mixed  U(l)x­ anomaly,  as depicted  in Fig.l­a. As mentioned, an obvious way to cancel this anomaly is to assume the  presence of  chiral fermions  which  are  coloured and  charged  under  the  U(\)x­  Their  contri­ bution  to the  chiral anomaly  (Fig.l­b)  may easily cancel the  above anomalous term This  would be  a standard  D  =  4  Green­Schwarz mechanism  in  which the  axion gauge  transformation  cancels  the  mixed  U(l)x­SU(3)^QCD  anomaly  8.  Since we need  the  t/(l)x  symmetry  to  be  unbroken, this  means  unless  one quark (u­quark)

11 will  remain  massless  (zero  'current'  mass).  This  we  would  like  to  avoid  since we already  mentioned  that  quarks  appear  to  be  massive. The  anomaly generated by the  axion  r/(x)  gauge transformation and  the axionic coupling is  cancelled  by a  Wess­Zumino  term  which should involve U(l)x  and  QCD gauge boson fields. Its  contribution  is schematically  depicted  in  (Fig.l­c).

2.2  The  Wess­Zumino term Notice that Swz  term we are proposing is an explicit non gauge invariant  interaction whose  variation  has  the  structure  of a chiral gauge anomaly.  Since an  anomaly  is a gauge variation which cannot  be cancelled  against a local counterterm,  then the  four­ dimensional  Wess­Zumino  term  is non­local  (although  its  gauge  variation  is  local). Nevertheless,  it  can  be  re­expressed  as  a  local  interaction  if  an  extra,  auxiliary, dimension  is included. The  simplest  way to  write  such  terms  (see  e.g.  7 )  is  as  follows:  Pick  a five­ dimensional manifold  X5  whose boundary is four­dimensional spacetime M4.  Next, extend  the  four­dimensional  gauge  field  to  Xs;  that  is,  define  a five­dimensional gauge field in Xs  such that  it  reduces to  the  four­dimensional one at  the  boundary M4.  The  Wess­Zumino  terms we need  can be  written  as

Ax  tr  F%CD 

(2.7)

so that  its  change  under  a  U(\)x  gauge  variation AX  —*  AX  +  d\  is clearly

SSwz  =  /  d\ti FlCD  =  f  /­V 

«/  ­X­5 

d(Xti  FQCD)  =  [ 

/ ­ V 

«*  ­X­5 

Atr  F%CD 

(2.8)

/  B,T

" M4

which is precisely the  contribution required to cancel the  gauge variation  due to  the axion  shift  in  QCD  coupling.  It  is worth  stressing  at  this  point  that  the  WZ  term was introduced in order to  ensure gauge invariance of our  Lagrangean.  We have  not addressed  yet  the  issue of the  QCD  6  parameter. 2.3  Rotating  away  the  strong  CP problem Apart  from  local  gauge symmetries  discussed  above,  needed  for the  full  consistency of  the  model  the  system  has  an  additional  symmetry  which we have  not  exploited yet,  and  which  does  allow  to  rotate  away  the  theta  parameter.  The  symmetry  is deeply rooted  in the  structure  of the  Wess­Zumino term.  In  defining  it,  we need  to extend  the  4d  gauge  field  to  a  5d  gauge field on  X&;  namely  to  define  a  5d  gauge field on Xs,  four  of whose  components reduce  to  the  physical  4d gauge field at  the boundary  M4.  This  still leaves  the  freedom to  choose freely  the  fifth  component.  In particular  we  are  free  to  choose  the  constant  value  of  the  fifth  component  of  the gauge field A*  on the  boundary.  This  is an  additional  [7(1)  global symmetry  of  the

12 system,  since  this  component  does  not  appear  anywhere  else  in  the  action.  As is clear  from  Eq.  (2.7),  this  arbitrary  choice  changes  the  effective  value  of the  theta parameter,  showing that  it  is indeed  unphysical  in the  system. Since  it  could be  a  source of confusion,  let  us  stress  that  the  component  An  is not  dynamical.  It  does  not  have  a kinetic  term, and  it  appears  only  in  the  Wess­ Zumino term  (where it is unphysical, since the  Wess­Zumino term is topological  and restricts  to  a  (non­local)  term  involving only four­dimensional components  of gauge fields).  In fact,  it is a key property  that this  component  is auxiliary, non­dynamical, so that  its  shift  if a  global symmetry  of the  whole theory. In  this  sense,  the  mechanism  is much  more similar  to  the  massless  quark  solu­ tion, where there is also an  irrelevant parameter  (the massless fermion  phase)  which can be rotated  away by a global  symmetry. More formally,  this  can be stated as follows.  In the  quantum  theory, one should path  integrate  over  the  5d  gauge  field.  This  implies that,  for  a fixed  choice  of 4d gauge field, we still path  integrate  over  A±  and  in particular  over  its  constant  piece at  the  boundary.  This  implies  that  the  quantum  theory  includes  a  path  integral over  the  effective  4d  theta  parameter,  so that  its  specific  value is  unphysical,  it  is not  a parameter  of the  theory. Wess­Zumino term can be regarded as mimicking a chiral fermion charged under U(l)x  and  SU(3)QCD­  Indeed  the  £/(!) global phase  rotation  symmetry  of a chiral fermion  corresponds  to  the  global  shift  of the  fifth  component  of the  gauge field in the  Wess­Zumino term. 2.4  Wess­Zumino  terms  in  string  theory Wess­Zumino terms  naturally  appear  in theories  with extra  dimensions and,  in par­ ticular, in large classes of type II string compactifications  with p­form field strength fluxes.  Moreover,  models  with gauge  and  chiral  fermion spectra  closed  to  SM with U(l)x  symmetry,  pseudoscalar  r\  and  WZ  term  allowing for  removal  of theta  pa­ rameter  can  be  constructed  . Let  us show an explicit  example.  Consider type  IIA theory  compactified  on Y6, with K  stacks of Na  coincident  D6­branes, a = 1,..., K, wrapped on 3­cycles [IIa] in Ye.  More explictly we can take  Ye = T2 x T2 x if  with wrapping numbers  (rii, mi) on  each  torus  Tf  cycle  basis  (e\,e\)  i  =  1,2,3.  Quantization  of the  open  string sectors  leads  to  U(Na)  gauge  interactions  propagating  on  the  volume of the  D6a­ branes,  and  chiral  four­dimensional  fermions in  the  bi­fundamental  representation (Na,7Jb)  at  the  intersections  of the  3­cycles  [II0],  [Tlb]  in Y6  10'12>13.  Such  fermions arise  with  multiplicity  given  by  the  number  of  intersections  Iab  =  [Ha]  • [lib]  = Hi^a"^  — mlanl).  In  table  2.4 wrapping numbers  that  lead  to  a  Standard  Model like spectrum  are  provided  (see 6  for  details) The  closed  string  sector  contains  several  p­index  antisymmetric  tensor  fields, the  RR  p­forms,  Ci, Cs,  C$,  CV,  which can  lead  to  four­dimensional  1­forms  upon

13 Ni  = 3 N2  = 2

(1,0) (2,1)

AT3 = 1 AT4  =  1

(2,1) (1,0) (1,0) (2,1)

N5  = l N6  = l

(1,­1) (1,2) (­l,­2) (1,­1) (1,­1) (­1.­2)

(Irl) (1,0) (1,0) (­2,2) (­1,1) (1,0)

compactification.  These  fields  may  easily  play  the  role  of the  I7(l)x  gauge  boson AX  in  our  above  mechanism.  In  the  following  we describe  this  in  the  case  of  the type  IIA  RR 1­form  Ax  = Ci. In Type  IIA string theory the  gauge fields on the  D6­brane  couple to the closed string  RR  modes via  Chern­Simons couplings.  Among them  we have

/ 

C5Fa  • 

JD6a 

I

(2.9)

JD

therefore,  zero  forms  with  axion  like  couplings  to  gauge  groups  are  obtained  by integrating  3­form  Cs  term  on  3­cycles.  For  instance

C3

n\ nl n\

77123 A Fb  A Fb

(2.10)

can  be  identified  as  the  axion  field  (there  are  other  0­forms  associated  with  other cycles)  if  A­Fj,  is  the  QCD  field  strength.  On  the  other  hand,  in  compactifications with  non­zero  flux  for  the  NS­NS 3­form  field  strength  HNS,  the  axions  ija  have Stuckelberg  couplings with bulk  gauge fields via  the  four­dimensional reduction of the  type  IIA  ten­dimensional  interaction.  Namely,  consider  we turn  on  a flux of HNS  along  [noo],  such that  Jn dQ HNS  =  &flux­  Then  reduction  to  four  dimensions leads  to  desired  coupling  , namely (2.11)

C5  HNSF2

where  FH  is the field strength  of the  type  IIA  RR  1­form, C\ . Finally,  the  model contains  Chern­Simons interactions  which generate  the  ade­ quate  four­dimensional WZ terms.  In  fact,  following 9  the  interaction (2.12) oe

on  the  D6­brane  world­volume leads  to  a coupling BNS  Ci tr  Fa20

Scs

(2.13)

J D6,

where  BNS  is the  NS­NS 2­index  antisymmetric tensor field. This is precisely  of the form  we need.  Its  gauge  variation is /

JM

AtrR2

(2.14)

14

and  provides  the  required  term  to  cancel  Green­Schwarz  contribution  from Eq.  (2.10  )  and  Eq.  ( 2.11  ). An  amusing  feature  of the  particular  realization  we have  described  is  the  fol­ lowing.  Note  that  the  gauge  boson  t/(l)x  comes  the  Type­IIA  RR  1­form,  Ci.  If we  do  the  lift  to  M­theory  such  1­form  comes  from  the  circle  compactification  of the  mixed component  of the  eleven­dimensional  metric,  i.e.  CM  =