Storia dell'algebra [Domini ed.] 9788820736033

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STORIA DELL' ALGEBRA

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LIGUORI - -

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EDITORE

Mediante la lettura diretta delle fonti per­ venute e dei maggiori commenti, viene per­ corso lo sviluppo dell'Algebra che in oltre. quattromila anni attraversa quasi tutti i popol i della terra sino alla nascita dell'algebra astrat­ ta: da Jsma-Ja

(2500 a.

C. circa), primo mate­

matico di cui si conosce il nome, ad Galois

(1811-1832),

Èvariste

ultimo matematico con­

siderato. Una particolare attenzione è data ai contatti tra geometria e algebra; una sintetica Appen­ dice consente inoltre di rivedere, in forma matematicamente più moderna, i vari risulta­ ti presentati nel loro divenire storico.

S ilvio Maracchia insegna Storia delle Ma­ tematiche dal

1973

presso l'Università "La

Sapienza" di Roma. Ha pubblicato oltre duecento articoli in varie riviste scientifiche e didattiche e vari libri tra cui: Da Cardano a Galois. Momenti di storia dell!Algebra (Feltrinelli,

1979) e l'ultimo:

Dal­

Ia geometria euclidea alla geometria iperbo­ fica: il modello di Klein (Liguori,

1993). È

co­

autore di numerosi testi per i licei.

I suoi interessi sono prevalentemente rivolti alla nascita delle idee matematiche in geo­ metria, algebra, logica, analisi ed ai contatti tra matematica e filosofia.

COD. T ISBN

978-11-207-3603-3

III I

9788820 736033 € 55,00

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A mia moglie

Silvio Maracchia

STORIA DELL' ALGEBRA Seconda edizione riveduta e ampliata

Liguori Editore

La copertina riporta un brano significativo della prima pagina del Liber Abaci di Leonardo Pisano, nello sfondo un brano di matematica indiana. Progetto grafico'Angelo Iacovitti.

Questa opera è protetta dalla Legge sul diritto d'autore (Legge n. 633/1941: http://www.giustizia.itlcassazione/leggilI633 41.html). Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla citazione, alla riproduzione in qualsiasi fonna, ali 'uso delle illustrazioni, delle tabelle e del materiale software a corredo, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione analogica o digitale, alla pubblicazione e diffusione attraverso la rete Internet sono riservati, anche nel caso di utilizzo parziale. La riproduzione di questa opera, anche se parziale o in copia digitale, è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla Legge ed è soggetta all'autorizzazione scritta dell'Editore.

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© 2005, 2008 by Liguori Editore, S.r.l. Tutti i diritti sono riservati Seconda edizione italiana Dicembre 2008 Stampato in Italia da OGL - Napoli

Maracchia, Silvio: Storia dell algebra/Silvio Maracchia '

Napoli : Liguori, 2008 ISBN-13

l. Cardano

978 - 88 - 207 - 3603 - 3 2. Equazioni

I. Titolo

Ristampe: 15 14 13 12

Il lO 09 08

lO 9 8 7 6 5 4 3 2 l O

La carta utilizzata per la stampa di questo volume è inalterabile, priva di acidi, a PH neutro, confonne

alle nonne UNI EN Iso 9706 00, realizzata con materie prime fibrose vergini provenienti da piantagioni

rinnovabili e prodotti ausiliari assolutamente naturali, non inquinanti e totalmente biodegradabili.

INDICE

Introduzioni 5

Capitolo primo

Le sei tappe dello sviluppo formale dell'algebra delle equazioni e la scelta del percorso della presente storia Il

Capitolo secondo

Il primo documento "algebrico" 15

Capitolo terzo

Le equazioni e i sistemi di primo grado 3.1 Egiziani e babilonesi 15; 3.1.1 Egiziani 15; 3.1.2 Babilonesi 18; 3.2 Greci 21; 3.2.1 Il "Fiore Di Timarida" 21; 3.2.2 Estensione ed applicazioni del metodo di Timarida. I numeri negativi entrano in Occidente 23; 3.2.3 Il papiro Michigan 31; 3.2.4 Diofanto di Alessandria 38; 3.3 Indiani 44; 3.4 Arabi 50; 3.5 Cinesi 55; 3.6 Cardano, Tartaglia e... Tommaso Moro 64; 3.7 Conclusioni 68.

71

Capitolo quarto

Le equazioni e i sistemi di secondo grado 4.1 Premessa 71; 4.2 Babilonesi 71; 4.2.1 Alcune soluzioni geometriche fondamentali 74; 4.2.1.1 Intermezzo indiano 86; 4.2.2 Analisi di una delle più antiche tavolette dell'antica matematica babilonese 87; 4.2.2.1 Il segmento unitario in Leonardo Pisano 92; 4.2.3 Un significativo problema babilonese risolto algebricamente 95; 4.2.4 La "falsa posizione" 99; 4.3 Egiziani 100; 4.4 Cinesi 102; 4.5 Greci 110; 4.5.1 Premessa 110; 4.5.2 Euclide 111; 4.5.3 Archimede 113; 4.5.4 Erone 116; 4.5.5 Diofanto 122; 4.6 Indiani 131; 4.6.1 Brahmagupta 131; 4.6.2 Bhaskara 133; 4.6.3 Intermezzo... irrazionale 141; 4.7 Arabi 143; 4.7.1 L'importanza dell'al-Jabr di AI-Khuwarizmi 143; 4.7.2 AI-Khuwarizmi e la matematica greca 147; 4.7.3 Le equazioni di secondo grado 149; 4.7.4 Ornar Khayyam risolve la stessa equazione di AI-Khuwarizmi 152; 4.7.5 Un importante risultato di AI-Khuwarizmi 154; 4.8 Le equazioni di secondo grado arrivano in Europa 158: 4.8.1 Savasorda e Leonardo Pisano 158; 4.8.2 I maestri d'abaco. Antonio de' Mazzinghi 161; 4.8.3 Luca Pacioli 165; 4.8.4 Gerolamo Cardano 168; 4.8.5 Bombelli e un'ulteriore generalizzazione 172; 4.9 Conclusioni 175.

VI

1 79

INDICE

Capitolo quinto

Equazioni e sistemi di terzo e quarto grado 5.1 Premessa 179; 5.2 Babilonesi 180; 5.3 Greci 184; 5.3.1 Premessa 184; 5.3.2 I Pro­ blemi Classici 185; 5.3.2.1 Menecmo di Proconneso e la soluzione del problema della duplicazione del cubo 187; 5.3.2.2 Archimede e il "problema complementare" 193; 5.3.3 Diofanto 200; 5.3.3.1 Un'ipotesi sulla soluzione delle equazioni di terzo grado in Diofanto 203; 5.4 Arabi 209; 5.4.1 Premessa: i due percorsi dello sviluppo algebrico 209; 5.4.2 Gli Arabi e l'aritmetizzazione dell'algebra 210; 5.4.3 Ornar Khayyam 215; 5.5 Cinesi e Indiani 225; 5.5.1 Premessa 225; 5.5.2 I Cinesi e l'approssimazione delle radici 225; 5.5.3 Gli Indiani e il completamento della potenza del Binomio. Un proble­ ma di Luca Pacioli 229; 5.6 Gli algebristi italiani del

XVI

secolo 234; 5.6.1 Premessa:

Leonardo Pisano 234; 5.6.2 Scipione Dal Ferro: La prima risoluzione delle equazioni di terzo grado 236; 5.6.3 Tartaglia e i radicali cubici del tipo

�..ra ±b

242; 5.6.4 Cardano,

Tartaglia, Ferrari 244; 5.6.4.1 La sfida tra Tartaglia e Ferrari 244; 5.6.4.2 Cronologia della scoperta delle equazioni di terzo e quarto grado 248; 5.6.4.3 Alcune conclusioni sulla controversia tra Cardano e Tartaglia 249; 5.6.4.4 I versi di Tartaglia e la dimostra­ zione della formula risolutiva presente in essi 252; 5.6.4.5 La dimostrazione di Cardano 259; 5.6.4.6 I "semi" di Cardano 266; (a) Le sostituzioni di Cardano 266, (b) Cardano e i numeri "falsi" e le radici delle equazioni 273, (c) Cardano e il teorema di... Ruffini 278, (d) Cardano e i numeri immaginari 280; 5.6.5 Bombelli 284; 5.6.5.1 Il primo libro dell'Algebra 286; 5.6.5.1.1 Bombelli e la scoperta dei numeri immaginari 290; 5.6.5.2 Bombelli e le equazioni di terzo grado 294; 5.6.5.3 Bombelli e il "caso irriducibile" 296; 5.6.6 Le equazioni di quarto grado 302; 5.6.6.1 Premessa 302; 5.6.6.2 Cardano e le equazioni di quarto grado 303; Intermezzo 305; 5.6.6.3 Bombelli e le equazioni di quarto grado 311; 5.6.6.3.1 Dimostrazione geometrica di Bombelli dell'equazione x4=ax+b 316; 5.6.6.3.2 Osservazione sull'incognita unica e sull'uso dei parametri 318; 5.6.7 Algebra e geometria negli algebristi italiani 319; 5.6.7.1 Premessa 319; 5.6.7.2 Leonardo Pisano (1170? - 1228?) 320; 5.6.7.3 Luca Pacioli (1445? - 1514) 324; 5.6.7.4 Tartaglia (1500106 - 1556) 326; 5.6.7.5 Girolamo Cardano (1501 - 1576) 331; 5.6.7.6 Rafael Bombelli (? - 1572?) 335; 5.7 Conclusioni 340.

34 1

Capitolo sesto Il sogno di Viète e la risposta di Descartes 6.1 Premessa 341; 6.2 Viète e la sistemazione assiomatica 343; 6.2.1 Analisi e sintesi secondo la definizione di Pappo 346; 6.2.2 L'analisi nella matematica greca prima del riassunto di Pappo 351; 6.2.3 L'analisi e la sintesi algebrica in Viète 353; 6.2.4 Alcuni sistemi risolti da Viète 356; 6.2.5 Un esempio significativo 358; 6.2.6 I "semi" di Viète 366; 6.2.7 Algebra letterale 369; 6.3 La generalizzazione di Descartes 375; 6.3.1 I "semi" di Descartes 381; 6.3.1.1 Un'ipotesi sulla dimostrazione della ''regola di Cartesio" 383; 6.3.2 Altri risultati algebrici di Descartes 386; 6.4 Conclusioni 395.

397

Capitolo settimo

Il teorema fondamentale dell'algebra 7.1 Premessa 397; 7.2 La prima dimostrazione di Gauss (1799) 400; 7.2.1 Due esempi significativi 403; 7.2.2 Si ritorna al caso generale 406; 7.3 Conclusioni 409.

INDICE

411

VII

Capitolo ottavo

Lagrange e i tentativi di risoluzione delle equazioni di grado maggiore di quat­ tro 8.1 Premessa 411; 8.2 Le "Introduzioni" di Lagrange 412; 8.3 Nascita del metodo di La­ grange 416; 8.3.1 Analisi delle equazioni di terzo grado 416; 8.3.2 Analisi delle equazioni di quarto grado 424; 8.4 Il metodo di Vandennonde 432; 8.5 Lagrange e le equazioni di ogni grado 434; 8.5.1 L'equazione di secondo grado con il metodo di Lagrange 441; 8.5.2 L'equazione di terzo grado con il metodo di Lagrange 443; 8.6 Conclusioni 448.

449

Capitolo nono

Il teorema di Ruffini-Abel sulla impossibilità della risoluzione di equazioni di grado maggiore di quattro 9.1 Premessa 449; 9.2 Ruffini, Cauchy e Lagrange 450; 9.3 La dimostrazione di Ruffini 454; 9.3.1 Considerazioni iniziali 455; 9.3.2 Traccia della dimostrazione di Ruffini 456; 9.3.3 La dimostrazione di Ruffini del 1813 459; A. Le premesse 459; B. La dimostrazione 463; 9.4 Ruffini, Abel e le irrazionalità accessorie 474; A. Ruffini 474; B. Il lemma di Abel 478; 9.5 Conclusioni 487.

489

Capitolo decimo

Il lavoro di Evariste Galois 10.1 Introduzione 489; 10.2 Un primo esempio di carattere euristico 492; 10.3 Un primo approccio al caso generale 496; 10.4 Un altro esempio 498: 10.5 Il metodo di Galois 503; 10.5.1 Premessa 503; 10.5.2 La risolvente di Galois 504; 10.5.3 Un altro passo avanti: la riducibilità 511; 10.6 Le proposizioni di Galois 517; 10.7 Il teorema di Ruffini-Abel con il metodo di Galois 519; 10.8 Alcune considerazioni finali. Schema riassuntivo 520; 10.9 L'equazione di secondo grado con il metodo di Galois 522; 10.10 Le equazioni di terzo grado con il metodo di Galois 526; 10.10.1 Premesse 526; (a) Radici cubiche dell'unità 526; (b) Radici di un'equazione cubica 527; (c) Funzioni simmetriche 528; 10.10.2 I due percorsi di Galois 529; 10.10.2.1 Lo schema della soluzione diretta 529; 10.10.2.2 La soluzione diretta 531; 10.10.2.2.1 Calcolo dei coefficienti della risolvente di Galois 532; 10.10.2.2.2 La riducibilità della risolvente di Galois 533: 10.10.2.2.3 L a soluzione dell'equazione d i terzo grado 534; 10.10.3 L a soluzione indiretta 537; 10.11 Conclusione 540.

543

Capitolo undecimo

L'Analisi in soccorso all' Algebra 11.1 Introduzione e la traccia di Hennite 543; 11.2 Sintetica cronologia dei risultati sulla soluzione delle equazioni di quinto grado 545; 11.3 Enrico Betti 546; 11.4 L'indicazione di Hennite e conseguenze immediate 549; 11.5 Cenno sulla risoluzione delle equazioni di sesto grado 554; 11.6 Conclusioni 555.

557

Conclusione finale

VIII

56 1

INDICE

Appendice A.O Origine di alcuni "strumenti" algebrici 561; A.O.l La creazione del nulla 561; A.0.2 I numeri negativi: Le origini 563; A.O.3 Le avventure dell'incognita 565; A.OA Sim­ bolismo 567; A.l Risoluzione delle equazioni di terzo grado 569; A.l.l Premesse 569; A.1.2 Equazioni di terzo grado 571; A.1.3 Equazioni di terzo grado a coefficienti reali 574; A.l.4 Il caso irriducibile e la trisezione dell'angolo 577; A.2 Principio di identità dei polinomi e conseguenze 581; A.3. Conseguenze del teorema fondamentale dell'algebra 583; A.3.1 Scomposizione di un polinomio 583; A.3.2 Formule di Viète-Girard 584; A.3.3 Molteplicità delle radici di un'equazione 585; A.3.3.1 Applicazione del teorema 2 586; A.4 Equazioni coniugate 589; A.5 Equazioni con radici comuni 590; A.5.1 Risultan­ te di due polinomi 592; A.6 Discriminante di un polinomio 594; A. 7 Riducibilità di un equazione razionale intera. Metodo di Kronecker 596; A.8 Funzioni simmetriche 606.

61 1

Bibliogrqfia

635

Indice delle Tavole

637

Indice dei nomi

645

Indice analitico

INTRODUZIONE

Almeno in origine, con algebra si intese lo studio sistematico di regole generali atte a consentire la soluzione di equazioni numeriche. In seguito indicò, ed indica tuttora, lo studio delle leggi di composizione, cioè delle strutture che consentono di associare tra loro elementi astratti, nonché lo studio delle relazioni che possono stabilirsi tra tali elementi e le relazioni tra le stesse leggi di composizione. Nel primo significato l'algebra costituisce una generalizzazione dell'aritmetica, nata probabilmente dalla necessità di invertire le operazioni aritmetiche e di rendere appunto generali i procedimenti da eseguire. Sappiamo, ad esempio, che 3·5 1 5 ; ci possiamo però chiedere: «qual è quel numero che moltiplicato per 3 dà per risultato 15?» in questo caso si determina un'operazione, la divisione, che consente di rispondere alla domanda. È però evidente che la domanda ha un sapore algebrico: si tratta di determinare un numero coinvolto in un problema di cui si conosce la soluzione. Questo consente di poter scrivere un'egua­ glianza che deve essere soddisfatta da quel valore che si ricerca I. In tal senso si opera su numeri incogniti alla stregua di quanto si usa fare su quelli noti2 , cosicché alcune regole relative a tali operazioni appartengono all'algebra e vi =

I In questi procedimenti di inversione, a metà strada tra aritmetica ed algebra, erano maestri i matematici indiani che ne misero a punto le regole (Aryabhata, V secolo) e ne presentarono complicati esercizi (Aryabhata e Bhaskara, XII secolo); cfr. M. Cantor, ( 1 922), I, p. 6 1 7 sgg. e L. V. Gurjar, ( 1 947) p. 86; v. nota 83 di p. 44. 2 Una delle prime definizioni esplicite di Algebra è dovuta ad AI-Karaji (X-XI sec.): «determi­ nazione di incognite a partire da premesse conosciute». Ancora meglio definisce il matematico arabo As-Samaw'al (morto nel 1 1 75) risalendo in un certo senso al significato etimologico del termine come vedremo tra poco: «operare su [quantità ] incognite per mezzo di tutti gli strumenti aritmetici, come l 'aritmetica su le [grandezze] note»; cfr. R. Rashed ( 1 984) pp. 27-38. Ormai questo significato di Algebra è diffuso nei matematici del Medio Oriente: ecco infatti che cosa scrive il matematico e poeta persiano Ornar Khayyam (XI-XII sec.) nel suo Trattato di Algebra al-Muqabala: X2' X4' Xj,

•..

)

.

In questa ipotesi io dico, che i risultati della y, che provengono da questa seconda sostituzione sono uguali fra loro». In altre parole, indicando sempre con YI = J;(xl, X2, X3, X4, Xs, ) una radice della (6) e con Y. e YO+I i valori che si ottengono da essa applicando successivamente la sostituzione circolare (X I ' X2 , X3 ), cioè • • •

( 1 7)

si deve dimostrare: YI = Yo

= YO+ I ·

Per la dimostrazione precedente, dato che YI è per ipotesi radice della (6) JI' = II , si ha che YI , Yo , Yo+ I , sono tutte sue radici. Inoltre, come abbiamo già visto «per la natura delle radici dell 'unità», scrive Ruffini, si può porre: Yo = Y YI

( 1 8)

con Y radice p-sima dell ' unità. Anche in questo caso, applicando successivamente ai due membri la sostituzione indicata nell ' enunciato, si ha: 4S Opere, II,

p.

1 63 .

IL TEOREMA DI RUFFINI-ABEL

467

Ya = Y YI Ya+1 = Y Ya

( 1 9)

Si ottiene, sostituendo: (20) da cui (2 1 ) xj> xy .. .) = Yc;f(x}> xz,. xj> xy x4> .. .) = Yc+ 1 sarà ancora YI = Yc = Yc+I» · •••

470 5.

STORIA DELL'ALGEBRA

Teorema IV. «Si verifichino al tempo stesso tutte le Equazioni [che lasciano inva­ riata la n nei casi precedenti dei teoremi I, II, mSo:!; in quest 'ipotesi io dico, che dovrà esser ancora contemporaneamente

Questo è un punto d'arrivo fondamentale per la dimostrazione di impossibilità di Ruffini: l'invariabilità di una funzione delle radici dell'equazione data sotto particolari sostituzioni. Anche in questo caso, detta YI una radice dell'equazione (6) yll = n, già sappiamo dai teoremi precedenti che:

Si consideri allora

e le si applichi la sostituzione seconda (Y I

�

yJ; si ha:

si è dunque ottenuto Y2 ! Ebbene, poiché si è ottenuto YI = Y2 segue dalla (3) YI = /3 Y2 che /3, radice quinta dell'unità, è uguale a 1 e dalla ( 1 4) si ottiene quindi: YI = Y2

=

Y3 = Y4 = Ys

c. d. d.

Notiamo che questa proprietà, applicabile nel caso che sia m � 5, non è più valida per m < 5 . Ad esempio, per m = 4 (oppure prendendo in considerazione solo quattro radici tra quelle date) tutto procederebbe allo stesso modo sino al teorema IV e si avrebbe 50 Ruffini fa qui riferimento alle formule, sul tipo della (9), secondo la sua numerazione diversa dalla mia. 5 1 Ruffini dimostra successivamente (Opere. II, p. 1 7 1 ) che questa proprietà non è valida ad esempio per m = 3. Per m = 4, vedi, ivi, pp. 1 79 sgg.

IL TEOREMA DI RUFFINI-ABEL

47 1

YI =}; (X I , X2 , XJ' X4, . . . ) = � h(x�, Xl�' . . · ); Ya = !.(�Jl' X4 , . . · ); Yc = j{X l > �' X�, �, . . ); � 4 = l ; Y. = Y YI con t = l ; � 4 y 4 = l ; YI = Ya ecc. ecc. Solo che applicando la seconda sostituzione (X I ' X2 , XJ' X4 ' . . . ) � (X I ' XJ' X4, X2 , . . . ) alla y. si ottiene j{x2 ' X I ' X4, X3 ' . . . ) che non è uguale alla Y2 h(x4, X l' X2 , XJ' . . . ) per cui non risulterebbero uguali YI ' Y2 ' Y3 ' Y4 e non sarebbe possibile ottenere la conclusione che ora Ruffini può trarre e che mostra nel successivo n. 6. .

=

6. X2' X3' • • • essere non solamente uguale. m a identica con la XI> avremmo u n 'espressione razionale. cioè XI> identica con un ·irrazionale. il che è un assurdo». •••

•

••••

Noi sappiamo che questa uguaglianza non porta, di per sé, ad un assurdo poiché sarà proprio il "lemma di Abel" a stabilire che è possibile esprimere razionalmente mediante le radici dell'equazione gli eventuali radicali64• A questo proposito devo fare due osservazioni; la prima è che l'assurdo di cui parla Ruffini sta nel fatto che se l'espressione irrazionale non fosse stata riducibile ulteriormente, come è in realtà, la sua uguaglianza con una razionale sarebbe stata effettivamente assurda. La seconda è che nei casi di equazioni risolubili egli effetti­ vamente ottiene le espressioni razionali dei radicali presenti nelle formule risolutive mediante le radici dell'equazione data6S• Nulla però consente di concludere che Ruffini abbia avuto la percezione che questi risultati parziali si sarebbero potuti estendere in 62 «Teorema chiave» secondo la definizione di M . Kieman, ( 1 97 1 - 1 972). p. 58; anche Kieman. che in precedenza (p.

57)

aveva riportato i progressi di Ruffini nella teoria dei gruppi e giudicato lo

(lRuffini provò che se l 'espres­ sione di una radice può avere una forma tale che i radicali in essa sono espressioni razionali delle radici di una data equazione e le radici dell 'unità, allora la soluzione algebrica è impossibile quando il grado è superiore al quarto. Sfortunatamente Ruffini non ha mai verificato l 'ipotesi di questo teorema chiave». Alla stessa maniera si era espresso Sylow allorché scrive: «il punto debole nelle argomentazioni di Ruffini sta nel fatto che egli assume senza dimostrazione che i radicali presenti nella soluzione sono funzioni razionali delle radici [dell'equazione data]» [citato da R. G. Ayoub ( 1 98 0), p. 272]. 63 Opere, Il. p. 262 (nota relativa ali ' indicazione di p. 1 69); si noti che si intende quellO "intero" studio dei suoi lavori proficuo, lamenta la lacuna di Ruffini e scrive:

relativamente a

XI in senso fonnale (ho considerato poi XI anziché x. come fa Ruffini. per unifor­

mità con quanto ho esemplificato nei capitoli precedenti. senza che questo muti la sostanza del suo ragionamento).

64 Vedremo il "lemma di Abel" nel prossimo paragrafo; nelle espressioni razionali dobbiamo

considerarvi anche le opportune radici dell·unità.

65 Queste relazioni si trovano di seguito al brano ora citato (ivi. pp. 262 sgg.) servendosi delle

dimostrazioni che si trovano alle pp.

1 73

sgg.; cfr. anche V. Notari

( 1 983),

pp.

493-494.

IL TEOREMA DI RUFF INI-ABEL

477

ogni caso per ogni eventuale formula risolutiva di equazioni di grado anche maggiori del quarto anche se è lecito porsi la domanda. Prima di esprimere una mia ipotesi a tal proposito, riporto le formule ottenute da Ruffini che mostrano come i radicali presenti nelle formule risolutive delle equazioni di secondo e terzo (per quella di quarto grado mi limiterò ad una semplice indicazione) si possano esprimere razionalmente mediante le radici delle equazioni. Così nel caso dell' equazione xl +

ax

+b

=

0,

Ruffini, per il radicale presente nella formula risolutiva, ottiene:

Nel caso dell'equazione di terzo grado

xl + bx +

c =

0,

i radicali presenti nella formula sono:

e

In questo caso, Ruffini ottiene rispettivamente:

e

con p una radice cubica dell'unità diversa da

1 66•

66 Considerando il segno meno tra i due tennini del radicando del radicale cubico, si ha

1

2

3" (X\ + J3x2 + 13 x3 ) .

478

STORIA DELL'ALGEBRA

Anche per le equazioni di quarto grado Ruffini mostra un risultato analogo che gli permette di concludere in questo caso; « come le rispettive fimzioni irrazionali dei coefficienti b, c, d diventano funzioni [razionali] delle radici Xl> Xl> X3, X4» . Ebbene, da parte mia avanzo l' ipotesi che Ruffini, addestrato alla naturale "indu­ zione" del procedimento matematico, abbia potuto pensare all'estensione dei risultati già ottenuti ma che abbia sottovalutato la proprietà generale per la convinzione della irresolubilità delle equazioni di grado maggiore del quarto, creando in questo modo un circolo vizioso che ha determinato quella indubbia lacuna già indicata. Questo però nulla toglie all' importanza di aver per primo pensato alla irresolubilità delle equazioni di grado maggiore del quarto e non toglie molto al grande valore del risultato effettivamente ottenuto da Ruffini: Infatti, una volta colmata la lacuna detta, la dimostrazione di Ruffini è perfettamente valida, tanto che, di solito si riassume quella di Abel con una particolare semplificazione ("modificazione di Wantzel") che è proprio simile alla dimostrazione del 1 8 1 3 di Ruffini67• B. Il lemma di Abel

La Memoria di Abel del 1 824 è molto sintetica68 ma essa contiene i tratti essenziali e corretti della dimostrazione; fu questa Memoria che, pubblicata a spese dello stesso Abel, venne inviata da Schumacher a Gauss per un parere69• Nelle successive stesure

67 Ricordo le parole di E. Bortolotti a questo proposito (Opere, II, pp. VIII-IX): «Ma rimase tuttavia un punto debole della sua trattazione, sul quale P. Ruffini è più volte ritornato. È quello che riguarda le cosiddette sulle quali, in questo suo scritto [si tratta del passo della Risposta di Palo Ruffini ai dubbi propostigli dal socio Gian-Francesco Malfatti già citato], p. Ruffini fa mostra di possedere idee fondamentalmente esatte, che solo molti anni dopo di lui furono completamente sviluppate//( .. .) Su questo argomento P. Ruffini torna nella sua Memoria: (1813) ( .. .) Questa redazione della di­ mostrazione, coincide in tutti i punti principali con quella che si suoi indicare come la modificazione di Wantzel della dimostrazione di Abel». Di questo avviso sono molti storici; ad esempio Burkhardt [( 1 894), p. 209] : «È appena necessario dire che questa redazione della dimostrazione coincide in tutti i punti principali con quella che nei libri si suole indicare come "la modificazione di Wantzel della dimostrazione di Abel "»; così J. Cassinet [( 1 988), p. 48] che, esaminando la Memoria di Ruffini del 1 8 1 3 scrive di questa: «che è dello stesso tipo di quella che J. Serret chiamerà più tardi la (v. Cours d'A lgèbre Supèrieure de J. Serret, 22" Lezione della II edizione (1854)>>; v. P. J. Serret ( 1 866), pp . 474 sgg. 68 Mémoire sur les équations algèbriques, ou l 'on démontre l 'impossibilité de la résolution de l 'èquation générale du cinquème degré, faccio riferimento alla sua stampa apparsa in Abel ( 1 88 1 ), pp. 28-33 e ripresa dalla «Brochure imprimée chez Grondhal, Christiana 1824».

69 Cfr. P. Dubreil (v. Dubreil in Bibliografia) che riporta in forma dubitativa quello che Gauss avrebbe esclamato ricevendo il lavoro: «ancora una di queste mostruosità!» (p. 63). Per quanto Dubreil giudichi ..., ' Xi. e X,.' X12' ... , X, . possano portare a valori uguali, si avrebbe allora h""· (x,. - x, ) + h,...2 (x, n ,.... - x,,....) + ... + h (xi:> - x12) + (Xi. -X,. ) = O. Ma allora basta escludere quei valori di h (radici di tale equazione) per evitare che questo possa accadere. l. Talvolta è proprio la r(x., X2' Xl'''' Xn) ad essere chiamata "risolvente di Galois" (cfr H.M. Ed­ wards ( 1 984), pp. 32; 35) mentre la G(y) viene detta "equazione della r" (ibidem p. 38), ma questa variazione di denominazione non cambia la sostanza di quanto segue.

506

STORIA DELL'ALGEBRA

delle sostituzioni corrispondenti, si dice gruppo di Ga/ois dell'equazione data. Vedremo nel seguito che l'equazione (2) è equazione "normale" cioè tale, come è stato già detto (in nota), che ogni sua radice può essere espressa razionalmente in C mediante le altre rimanenti e vedremo le conseguenze che da questo si potranno trarre. Si tenga presente, come sappiamo già da Lagrange, che i coefficienti della (2) sono simmetrici rispetto alle sue soluzioni rsl , rS2, rS3 , , rsn! . Permutando poi le Xl' X2, X3 , Xn queste rS ' rs2, rs3 , , rsn! si scambiano tra loro ma, a parte l'ordine dei fattori, la I (2) rimane la stessa e così i suoi coefficienti. Tali coefficienti sono dunque simmetrici rispetto alle Xl' X2' X3 , Xn e pertanto esprimibili mediante i coefficienti dell'equazione 2 ( 1 ) data, come insegna la teoria delle funzioni simmetriche3 • •••

•••

•••

•••

Si può dimostrare che, nel caso di riducibilità dell'equazione (2) in C, i fattori in cui essa si spezza (4) sono irriducibili e tutti dello stesso grado h

(n!

= q h)33 .

Ebbene, nel caso della riducibilità della (2) in C, sia (5) quel fattore che si annulla per y = rs , e siano l

(6) le ulteriori radici di tale fattore e, in corrispondenza,

(7 ) le sostituzioni che consentono di ottenere da r tutte le radici della (5). 32 Cfr. App endice. Osserviamo che la scelta dell'espressione r non è essenziale poiché anche se scegliessimo un'altra espressione I (e di conseguenza, ISI' t!h' tsn! ) quest'ultima si potrebbe esprimere .•.

razionalmente mediante la prima, per cui le funzioni simmetriche delle t, cioè delle nuove soluzioni Isi' l!h' Isi' ... ISn!' si potrebbero esprimere mediante le r e ciò consentirebbe di trasformare le (2) nella nuova risolvente. Cfr. ad esempio, Michele Cipolla ( 1 922), pp. 25 sgg. 33 Questa affermazione verrà giustificata tra poco. Si noti, inoltre, che si può dimostrare l'unicità della scomposizione di un polinomio in fattori irriducibili in un corp o assegnato. cfr. M. Cipolla ( 1 922), p. 6. Riducibile in C vuoi dire che i vari fattori gl (Y), g2(Y), ... gq(y) hanno tutti i coefficienti in C. Teniamo presente che, dalla stessa teoria di Galois e cioè dall'esame del gruppo associato ad un' equazione, si può stabilire la sua riducibilità o meno, possibilità legata alla stessa risolubilità. 34 Per non appesantire il simbolismo ho indicato con r !h rS 3 rSh i valori della r legati alla (5) ma essi devono considerarsi eventualmente diversi da quelli indicati nella (2) con simboli uguali. In •••

IL LAVORO DI E VARISTE GALOIS

507

Nel caso della riducibilità detta per la (2), è la

gJCy) = O

(8)

a considerarsi la "risolvente di Galois" e poiché si può dimostrare che le sostituzioni (7) formano un gruppo GI , sottogruppo di G, sarebbe GI a essere considerato il "gruppo di Galois" dell' equazione data.

Le sostituzioni (7) GJ per le quali la gly) rimane invariata costituiscono gruppo e i polinomi gly), g2(y), ... , glY) hanno tutti lo stesso grado. Applicando una sostituzione Sk> scelta tra le (7), alla gl si ha, per la definizione di Un primo Teorema:

queste sostituzioni e solo per esse:

Ebbene, applichiamo ora ai due membri una stessa sostituzione SI' sempre appar­ tenente alle (7), si ha allora ancora una identità, cioè:

pertanto

Ma ciò vuoi dire che S,'Sk è ancora una sostituzione (7); questa "chiusura" è suf­ ficiente per stabilire che tali sostituzioni formano gruppo (GI). Presa ora una sostituzione S,*

�

G l ' si ha che anche le h sostituzioni:

S ,*·S I ,' S *·S 2, S '*·S 3.... S ,*·S h formano classe laterale (S,*'GI) distinto da G I . Considerando ora un'altra sostituzione St * * non appartenente n é a GI n é a S,*'GI e proseguendo in questo modo si viene a strutturare il gruppo G nei q "laterali":

altre parole, tranne che per la sostituzione identica che è sempre la stessa, le sostituzioni (3) sono quelle che applicate alla r = rs" portano ai suoi nl valori diversi che sono poi radici della (2) e le sostituzioni (7) sono quelle che applicate alla r = r, portano alle radici del fattore (5) dell'equazione (2) senza che lo stesso simbolismo indichi necessariamente la stessa sostituzione. 3 S Con ciò si intende che operando nella g, la sostituzione Sk> poiché le radici di essa si trasfor­ mano in loro stesse, la g, rimane invariata.

508

STORIA DELL'ALGEBRA

ciascuno dei quali ammesso da un solo polinomio delle (4) che risultano pertanto tutte dello stesso grado. Notiamo infine che la scelta di g. (y) anziché quella di un qualsiasi altro fattore della (4) non sarebbe essenziale poiché si potrebbe dimostrare che anche in tal caso le sostituzioni (7) rimarrebbero sempre le stesse3 6• La teoria prosegue. È possibile dimostrare che ogni numero appartenente ad N, comprese le radici dell'equazione data, si può esprimere razionalmente in C mediante una qualsiasi radice della (8), ad esempio mediante rs•. È questa seconda parte, relativa alle radici dell' equazione data, a costituire in sostanza il ( r), ... , rn diversi tra loro ri * rj per i * j e date due funzioni di grado n

se le due funzioni assumono lo stesso valore, diverso da zero, sui numeri fissati j(ri) = g(r;) * O i = 1 , 2, . . . , n, allora le due funzioni sono identiche. Dati due polinomi, j(z) e g(z) (quest'ultimo non identicamente nullo), è sempre possibile determinare in uno ed un solo modo due polinomi q(z) e r(z) con il grad r(z) < grad g(z), detti rispettivamente polinomio quoziente e polinomio resto tali che:

f(z) = g(z)q(z) + r(z) Con l'algoritmo euclideo è possibile determinare, come nel campo numerico, il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) di due polinomi; se n ed m sono rispettivamente i gradi dei polinomi j{z) e g(z) con n > m allora il grado di q(z) è pari a h = n - m. Vedremo in seguito un esempio a tal proposito.

583

APPENDICE

A.3 Conseguenze del teorema fondamentale dell' algebra

Ometto la dimostrazione del Teorema Fondamentale dell 'Algebra [Un 'equazione algebrica di grado n � 1 in una sola variabile (complessa) z ammette almeno una radice] dato che già conosciamo la sua prima dimostrazione (v. cap. 7).

A.3.1 Scomposizione di un polinomio

Applicando il Teorema Fondamentale dell'Algebra dividendo successivamente per un polinomio di grado n (con ak i vari zeri dei polinomi via via ottenuti), si ottiene, come sappiamo, che: Un polinomio di grado n del tipo

z -

a",

con ao '# 0, ak (k = 0, l , esprimere nella forma

con VI + V2 + . . . + Vr

=

2, . . . , n)

a valori complessi,

z

variabile complessa, si può

n dove Vb numero intero, è la molteplicità

della radice

ak•

Vedremo ora la relazione intercorrente tra le radici ed i coefficienti di un polinomio; premettiamo però la seguente osservazione sul prodottotra due polinomi:

Dati due polinomi di grado n ed m rispettivamente, del tipo:

con ao '# ° e bo '# 0, ak e si esprime nella forma

con

bk a valori complessi, z variabile complessa, il loro prodotto

584

STORIA DELL'ALGEBRA

A.3.2 Formule di Viète-Girard

Dato un polinomio di grado n del tipo:

con ao ::F- 0, ak (k = 0, 1 , 2, ... , n) a valori complessi, z variabile complessa, e siano ai (k = 1, 2, ... , n) le radici, eventualmente multiple, allora valgono le seguenti relazioni tra i coefficienti del polinomio e le sue radici:

(somma a gruppi di

n) .

Dim. Si effettuerà una dimostrazione di tipo combinatorio. In base alla proposizione precedente, il polinomio

lo si può esprimere nella forma

Il prodotto precedente genera 2n monomi uno per ogni sottoinsieme dell'insieme

{ a h a h .. . an} e raggruppando insieme i monomi simili, si ottiene: f(z) = ao z n + ao (-a\ - a2 - a3 - · · · - an_\ - an )z n-\ + +aO (a\a 2 + a\a3 + . . . + an _\an )z n -2 + · · ·(- lt + (a\a 2 a3 ···an )

Il Principio d'Identità dei Polinomi, ci consente di ottenere le relazioni intercorrenti tra le radici ed i coefficienti di un polinomio.

585

APPENDICE

A.3.3 Molteplicità delle radici di un'equazione

Teorema l : Se a è una radice semplice (molteplicità 1) della.f(z) = O, essa non è radice della derivataf' (z) = 0; se a è una radice di molteplicità v � 2, allora essa è radice di

molteplicità v- l per laf'�) = O.

Dim. Sia a è una radice semplice allora f(z) = (z - a)g(z) con g(a) *- O e quindi derivando f ' (z) = g(z) (z - a)g'(z), cioè 1 '(a) = g(a) *- o . Sia a è una radice di molteplicità v alloraf(z) = (z - arg(z) con g(a) *- O, derivando l'espressione, si ottiene

+

f '(z) = v(z - at- 1 g(z) + (z - a) V g '(z) = (z - at- 1 [vg(z) + (z - a)g '(z) ]

+

cioè f '(z) = (z - a)1>- I

552 riguardano i complementi di matematica posti in Appendice)

ABEL A. colma la lacuna di Ruffini sulle irraziona­ lità accessorie 478 sgg. AHMES "Autore" del papiro Rhind 1 7 ALGEBRA Definizioni di A. 1 -3 ; 6; 69; 1 62; 336-367 In A. si suppone noto quello che dev'essere trovato 1 -2 A. geometrica (greca) non è A. 2; 1 1 1 - 1 1 3 Nascita e significato del termine A . 3 ; 1 43 Aristotele e il germe dell'A. 4 L'A. porta a verità generali 6; 343 I primi passi nell'A. 1 4 L'A. e l a "falsa posizione" 5 0 L'A. come estensione dell'Aritmetica 6 9 (cal­ colo A.ico 2 1 0) L'A. e la geometria nella risoluzione dei pro­ blemi 76; 285; 3 1 1 -3 1 2 ; 3 1 9 sgg.; 32 1 ; 323 sgg.; 336 Autentica A. in un problema babilonese 95 sgg. L'A. distaccata dalla geometria 72; 92; 95 sgg. 97; in Erone 1 20- 1 2 1 ; in Diofanto 1 24; in Bombelli 285; 3 1 1 -3 1 2 I procedimenti A.ici dei babilonesi si ritrovano in AI-Khuwarizmi 1 45- 1 46; 1 5 1 sgg. Polemica (Libri-Chasles) sull'ingresso del­ l'A. in Europa 1 59; 1 66 L'A. si diffonde anche per il contributo dei "maestri d'abaco" 1 62 Applicazione dell' A. alla geometria (L. Pa-

cioli) 1 66; 327 passim A. letterale. Primi passi: Antichità 1 76- 1 77 (nota 282); Bombelli 1 73- 1 74. Implicita­ mente intesa 2 1 8. Esplicitamente enunciata (Viète) 366-367. Breve storia 369-370 A.izzazione di un problema geometrico di Archimede 2 1 1 Abbassamento del grado di un' equazione 2 1 4; 2 1 8-2 1 9; 278 sgg. L'A. come "Arte grande" 285 Cavalieri avversa l'applicazione dell'A. alla geometria 320 Ancora nel XVII secolo l'A. non veniva ac­ cettata da tutti 342 Organizzazione assiomatica dell'A. (Viète) 343-344 Studio teorico dell'A. 3 5 1 L'A. astratta si sviluppa con la teoria di Galois 497-498 Lo sviluppo dell'A. dopo Galois 557-559 AL-KAZIM Al.K. risolve un'equazione di terzo grado con le coniche 2 1 1 AL-KHUWARIZMI AI-K. non conosce Diofanto 5 1 ; 1 46 Sulle fonti matematiche di AI-K 1 44 AI-K.c1assifica le equazioni di primo e secondo grado 1 44; 1 46 Influenze indiane su AI-K. 1 45 AI-K. Epigono della matematica babilonese 1 45- 1 46; 1 5 1 AI-K. Scrive per primo un'opera dedicata

646

STORIA DELL'ALGEBRA

completamente all'algebra 1 46 AI-K. Non conosce gli Elementi di Euclide 1 46; 1 56- 1 57 AI-K. ed Erone 1 47 sgg. Novità algebriche di AI-K. 1 58 AMPLIAMENTO A. del campo dei coefficienti di un'equazione 495 ; 505 ANALISI (metodo di) Platone e il metodo dell'A. 2 A. zeetetica 2 A. Poristica 2 Etimologia dei termini A. e Sintesi 346 Definizione di A. di Pappo 347 sgg.; Pitagora 35 1 ; Platone 352; Aristotele 352; pseudo­ Euclide 353 Le tre tappe dell' A. secondo Viète 354 sgg.: un esempio 358 sgg.

Algebrizzazione di un problema geometrico di A. 2 1 1 ARISTOTELE A. e il germe dell'algebra 4 A. e lo zero 44 ARYABHATA A. e il ''fiore di Timarida" 27 Equazioni indeterminate in A. 27; 45; 1 33

ANTOLOGIA GRECA Un'applicazione del ''fiore di Timarida" 25 Il problema sulle epoche della vita di Dio­ fanto 43 Il problema dei buoi 1 1 4

BABILONESE / I Tavolette B. v. Tavolette Matematica B. 1 8 sgg. Divisione B. 1 9 Equazioni di secondo grado B . 7 l sgg. For­ mazione del quadrato 74 sgg. Omogeneità nelle equazioni B. 72; 82; 90 Il procedimento geometrico B. si ritrova in un problema di Piero Della Francesca 79 Sistemi lineari 79 sgg. La matematica B. è talvolta priva di interesse pratico 92 Algebra autentica in un problema B. 95-97 L'algebra B. è più antica delle sue tavolette 96 La "falsa posizione" nella matematica B. 1 81 9; 82 Algebra B. e geroglifici egiziani 1 00 Influenze della matematica B. 1 00; 1 22 Matematica B. e il teorema di Pitagora 1 03 La matematica B. si ritrova in Erone 1 1 6

APPROSSIMAZIONE A. delle radici di un'equazione 1 1 8 (Erone); 2 1 2 (Al Biruni); 229 (Cina); 234-236 (Leo­ nardo Pisano)

BAKSALI Manoscritto B. 18 sgg. Equazioni indeterminate di primo grado nel B. 45

ARABI Gli A. e la doppia falsa posizione 52 Le cifre A.e sono indiane 1 44 Influenza dell'algebra indiana su quella A.a 1 45 V. paragrafi specifici

BHASKARA B. e la "falsa posizione" 50 B. e un problema sul teorema di Pitagora 1 06 B. e la risoluzione di un'equazione di secondo grado 1 07

ARCHIMEDE Nel problema dei buoi di A. vi dev'essere stato un simbolismo algebrico 1 1 6

BINOMIO Cubo del B. 202; 256; 262; 284 (con i numeri complessi)

ANALISI INDETERMINATA A.i. da un problema greco 22-3 1 Aryabhata risolve equazioni indeterminate 45 A.i. in Archimede 1 1 3- 1 1 6 Equazione pitagorica 1 33

INDICE ANALITICO BOMBELLI B. dà regole esplicite per la risoluzione del sistema di somma e prodotto 1 73 e di una proporzione continua 1 74 B. parla della trisezione di un angolo legata alle equazioni di terzo grado 2 1 3 ; 300-301 B. citato da Cardano 284 I precursori algebrici di B. 286 B. segue il procedimento arabo per risolvere le equazioni di terzo grado 294 B. e l'ennagono regolare 298 B. affronta 42 tipi di equazioni di quarto gra­ do 3 1 1 B. cita Diofanto 3 1 1 B . considera autonomo il procedimento alge­ brico 3 1 1

647

C. abbassa di grado se conosce una radice dell'equazione 278-279 C. scrive una vera e propria formula con coef­ ficienti letterali 375 Ai tempi di Lagrange C. era ancora insuperato 413; 416 CASA DEL SAPERE C. d. S. di Bagdad 1 44 CASO IRRIDUCIBILE C. i. e la trisezione dell 'angolo 2 1 3 ; 284; 297 sgg. 388; (e l'aiuto della goniometria) 4 1 5 C . i . affrontato mediante l e coniche: 33 1 (Car­ dano)

BORTOLOTTI B. e la matematica babilonese 72-73

CAUCHY C. apprezza la dimostrazione di impossibilità di Ruffini 450-45 1

BRAHAMAGUPTA B. e la regola dei segni 45 B. e lo zero 45 B. e la radice quadrata a due valori 46 B. e l'equazione di primo grado 46

CENSO C. come incognita al quadrato, deriva dal­ l'arabo 5 1 C . usato da Luca Pacioli 23 1 Vedi "Incognita"

CARDANO C. e la regola dei segni 45 C. e la doppia falsa posizione 64 sgg. C. e la risoluzione generale di un sistema di primo grado 67-68 C. dà inizio all'analisi delle equazioni 1 68; 351 C . considera un'equazione senza radici reali 1 69; 280 Schema risolutivo in C. 1 7 1 La dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di terzo grado è proprio di C. 246 Il giuramento di C. 252-253 Per C. "meno per meno" può fare anche "meno" 282 C. cita Bombelli 284 Contributo di C. alla soluzione delle equazioni di quarto grado 308-3 1 0 C . usa i l metodo delle coniche d i Menecmo per risolvere un' equazione di 3 o grado (caso irriducibile) 33 1 sgg.

CHASLES Una interpretazione di C. di un problema di Erone 1 1 7 Polemica tra C . e Libri 1 59; 370 CHUQUET In C. problemi determinati e indeterminati 30 C. e la regola dei segni 45 C. e le equazioni non risolubili 1 69 CICLOTOMIA La C. e il "teoreme fondamentale dell'alge­ bra" 409 CINA CINESE / I La matematica C. non ha influito su quella europea 55; 228 La doppia falsa posizione in C. 56; 59 sgg. Matematica astratta in C. 56; 58 L'Arte del calcolo in nove capitoli 56 Le matrici nella matematica cinese 57-58 Il metodo della "eliminazione di Gauss" per

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STORIA DELL' ALGEBRA

un sistema lineare, simile alla risoluzione C. 57-59 Contatti tra la matematica C. e quella giap­ ponese 62 Contatti tra la matematica C. e quella babilo­ nese 1 02 Matematica C. e il teorema di Pitagora 1 05 ; 1 09 Matematica C. derivata da altre 1 09 Matematica concreta in C . : approssimazioni 1 09- 1 1 O; 229

C. mediante il movimento: (Bombelli) 295; (Leonardo Pisano) 337 C. della "parte aurea" mediante la soluzione algebrica (Bombelli) 339 La C. della curva non è più l'unica garanzia di esistenza per D. 380

CLASSIFICAZIONE DELLE CURVE C.d.c. secondo i matematici greci 378-379 C.d.c. secondo Descartes 379 C. delle curve dall'esame delle equazioni cor­ rispondenti 392 sgg.

DESCARTES Le fonti matematiche di D. 376-377 D. tende all'unita' della matematica 376-377 Per D. la matematica esiste perché Dio esiste 376 Rapporti tra D.e Viète 377; 395-396 Geometria e algebra in D. 378 Segmento unitario in D. 379 Le classificazioni delle curve di D. mediante formule 379 D. non segue l'omogeneità dei termini nelle sue formule 379-3 80 D. riferisce le curve a due assi fissi 380 Per D. la costruibilità non è più l'unica garan­ zia di esistenza di una curva 380 Regola dei segni delle radici di un'equazione 382 sgg. Equazione di secondo grado in D. 3 86-387 D. padre della moderna geometria (Giusti) e padre degli algebrista francesi (Marre) 395

COEFFICIENTI DI UN'EQUAZIONE (C. e.) Una notevole proprietà dei C. e. (Pélétier) 1 64 Relazioni tra coefficienti e radici di un'equa­ zione 1 70; 584; 608-609 La presenza per la prima volta di un parametro tra i C.e. (Bombelli) 3 1 8-3 1 9 COMPASSO v : RIGA E COMPASSO CONICHE Le C. e Menecmo di Proconneso 1 89 Le C. e la risoluzione delle equazioni di terzo grado: 220 sgg. (Ornar Khayyam); 33 1 sgg. (Cardano) COSA Leonardo Pisano usa "Res" per indicare la C. come incognita 29 C. sostituita da "Tanto" per indicare l'incognita (Bombelli) 47 C. come incognita, deriva dall'arabo 5 1 La C . usata da Luca Pacioli 1 66; 1 67; 23 1 Vedi "Incogfnita" COSTRUZIONI C. di radici di un'equazione di 3° grado me­ diante intersezioni di coniche 1 96 sgg. 220 sgg.;

D'ALEMBERT D'A. si è avvicinato molto alla dimostrazio­ ne del "teorema fondamentale dell'algebra" 399

DIMENSIONI Le D. geometriche e le varie potenze dell'in­ cognita 2 1 8; 303 ; (non rispettate) 93, 236, 3 1 7 passim DIMOSTRAZIONE La D. geometrica più sicura di quella alge­ brica La D. di impossibilità è altrettanto bella di quella della possibilità 302; in ogni caso più difficile: 450 Anche una D. imperfetta è importante 399; 456 Dj attuali nell'Appendice 553 sgg.

INDICE ANALITICO

DIOFANTO D. e le equazioni di primo grado 39 sgg. Simbolismo in D. in parte presente nel Papiro Michigan 36 I quattro libri di D. ritrovati da R. Rashed 39; 204 Simbolismo in D. 39 per l'incognita e le sue potenze 1 22 D. considera impossibili (assurde) le radici irrazionali (negative) 1 23 Un esempio di scrittura simbolica di D. 1 24 D. e i sistemi di somma e prodotto 1 25 e dif­ ferenza e prodotto 1 26 D. usa una sola incognita 129 L'algebra di D. superiore a quella di AI-Khu­ warizmi 1 44 AI-Khuwarizmi non conosce l'opera di D. 146 La traduzione araba di D. 1 46 D. e l'equazione di terzo grado 20 1 passim Intenzione euristica di D. 20 1 Bombelli cita D. 293 D. vicino alle equazioni di quarto grado DIORISMA D. nelle equazioni di secondi grado 1 69 D. in Archimede 1 99 DOPPIA FALSA POSIZIONE v. FALSA PO­ SIZIONE DOPPIA MEDIA PROPORZIONALE D.m.p. e la risoluzione della duplicazione del cubo (Menecmo) 1 88 sgg. D. m. p. e la costruzione della radice di un'equazione di terzo grado (Ornar Khay­ yam) 220 sgg. D.m.p. e la risoluzione di equazioni di terzo grado 300 Con la D.m.p. e la trisezione dell'angolo si possono risolvere tutte le equazioni di terzo grado 393 DUPLICAZIONE DEL CUBO (D. C.) La D. C. e Ippocrate di Chio 1 87 La D. C. risolta da Menecmo di Proconneso 1 88 sgg.

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EBLA La civiltà di E. I l La tavoletta TM 75 G 1 693, 1 3 sgg. Il più antico matematico noto: Jsma-Ja 1 3 EGIZIANO II lA Scarso contributo degli E: allo sviluppo ma­ tematico 1 5 Matematica E . 1 5 Geroglifici egiziani come l'algebra babilonese 1 00 La "doppia falsa posizione" nella risoluzione di un sistema di secondo grado 1 00 sgg. ENNAGONO REGOLARE E. r. e le equazioni di terzo grado 2 1 2 (Al­ Biruni); 298 (Bombelli) EQUAZIONE I I E. di ottavo grado in una tavoletta di Susa 97 Generalizzazione delle E. numeriche 78; 1 6 1 , 322 (Leonardo Pisano); 3 1 4; 3 1 8-3 1 9 Classificazione delle equazione di primo e se­ condo grado (AI-Khuwarizmi) 1 44 Nelle equazioni conviene considerare una sola radice (Bombelli) 1 55 ; 1 67 (Luca Pa­ cioli) E. biquadratiche 1 59; 1 69; (secondo il proce­ dimento di Galois) 498 sgg. L'analisi delle E. nasce sostanzialmente con Cardano 1 68 E. non risolubili (Chuquet, Cardano) 1 69 E. con parametro letterale (Bombelli) 1 731 74 I termini di un'E. uguagliati a zero (Bombelli) 1 76 E. e problemi geometrici risolubili con riga e compasso 1 84 Soluzioni geometriche (e non numeriche) del­ le E. 209; 2 1 1 ; 2 1 7 sgg. Il coefficiente del grado maggiore si rende uguale ad uno 270 La speranza nella risoluzione dell'equazione di quinto grado (Montucla) 4 1 1 ; 4 1 4 (La­ grange); 449; 490 Nella risoluzione numerica di un 'E. non si può seguire il procedimento seguito 4 1 4

650

STORIA DELL' ALGEBRA

In che cosa consiste la soluzione A.ica di un'equazione (Ruffini) 454; 457 Condizione necessaria e sufficiente per la ri­ solubilità di un'E. mediante una formula radico-razionale 5 1 8; per radicali quadra­ tici 520 E. normali 495 ; 506; 508; 520; 530 Molteplicità delle radici di un'E. 569 E. coniugate 573 E. a radici comuni 574 Riducibilità di un'E. 580 V. Approssimazioni EQUAZIONI DI PRIMO GRADO (E.p.g.) V. Cap. 3, pp. 1 5-69 Egiziani e le E. p. g. 1 5- 1 8 E.p.g. e i Babilonesi 1 9 sgg. E.p.g. in Diofanto 39 sgg. E.p.g. in Brahmagupta: enunciato di una re­ gola 46 E.p.g. in Bhaskara 49 E.p.g. in AI-Khuwarizmi 50-5 1 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO (E.s.g.) V. Cap. 4, pp. 7 1 - 1 78 >Le E.s.g. in Descartes 3 86-3 87 >Le E.s.g. risolte con il metodo di Lagrange 44 1 sgg. >Le E.s.g. risolte con il metodo di di Galois 522 sgg. Le E.s.g. si trovano nei più antichi documenti matematici 7 1 E.s.g nella matematica babilonese 7 1 sgg. L'omogeneità nelle E.s.g. : 72 (mat. babilo­ nese); 72-73 (AI-Khuwarizmi); 73 (O. Khayyam) Nascita dell'algebra mediante le E.s.g 73; 90 Formazione del quadrato per la risoluzione delle E.s.g. (mat. babilonese) 74 sgg: E.s.g in Bhaskara risolta con procedimento moderno 1 07 E.s.g. in Erone (senza l'aiuto della geometria) 1 20- 1 2 1 ; 1 3 0 Diofanto annuncia l a risoluzione delle E.s.g. 1 22 Condizioni per radici razionali in una E.s.g. (Diofanto)

Regole per la risoluzione delle E.s.g. enuncia­ te esplicitamente 1 3 1 - 1 32 (Brahmagupta); 1 37 (Bhaskara); 1 50 (AI-Khuwarizmi); 322 (Leonardo Pisano) E.s.g. da equazioni irrazionali (Bhaskara) 1 34- 1 3 8 Dimostrazione algebrica della formula risolu­ tiva delle E.s.g (Bhaskara) 1 37- 1 3 8 E.s.g con due radici distinte 1 40; 1 54 sgg.; 1 66 Classificazione delle E.s.g (AI-Khuwarizmi) 1 44; 1 49- 1 50 Costruzioni geometriche risolutive sul tipo babilonese (AI-Khuwarizmi) 1 50 sgg. Il diorisma nnelle E.s.g. 1 68 Costruzione della formula risolutiva delle E.s.g. 1 75 sgg. Le E.s.g. e Ulam 1 78 EQUAZIONI DI TERZO GRADO (E.t.g.) Cap. 5, pp. 1 79-3 0 1 >Le E.t.g i n Descartes 388 sgg. >Le E.t.g. risolte con il metodo di Lagrange 442 sgg. >E.t.g risolte con il metodo di Galois 526 sgg. Contributo delle E.t.g. allo sviluppo dell'al­ gebra 1 79 E.t.g. in Babilonia 1 80 sgg. Un problema di Archimede si traduce in una E.t.g. 1 94 passim Problemi geometrici greci traducibili in E.t.g. (indic. Bibliografica) 1 99 E.t.g. in Diofanto 20 1 passim E.t.g e i matematici arabi 2 1 1 sgg. ; 2 1 4 E.t.g. e l a costruzione dell 'ennagono regolare (al-Biruni) 2 1 2 sgg.; (Bombelli) 298 E.t.g. e la trisezione di un angolo 2 1 3 ; 5 6 1 L e radici delle E.t.g. costruite geometricamen­ te da Ornar Khayyam 2 1 7 sgg. Approssimazione delle radici di una E.t.g. in Cina 227-229; 2 1 2 (Al Biruni); 234-236 (Leonardo Pisano) Una risoluzione particolare di Bhaskara 229 Ipotesi sulla soluzione delle E.t.g. 239 Luca Pacioli giudica difficile la risolubilità delle E.t.g. 245 La dimostrazione di Cardano della formula v.

INDICE ANALITICO risolutiva delle E.t.g. è sua 246 Caso irriducibile 278 sg. (Cardano) Bombelli segue un procedimento arabo per la risoluzione delle E.t.g. 294 Analisi di Lagrange delle E.t.gA24 Risoluzione attuale delle E.t.g. 553 sgg. EQUAZIONI DI QUARTO GRADO (E.q.g.) V. Cap. 5 pp. 302-3 1 9 >E.q.g in Descartes 3 9 1 sgg. E.q.g. risolta con l'uso della circonferenza 217 Una risoluzione particolare di Bhaskara 230 Una risoluzione particolare di Luca Pacioli 23 1 Le E.q.g. all'origine della loro risoluzione 302; 304 Le E.q.g. studiate da Cardano solo per diletto non perché necessarie ai problemi naturali 303 Le E.q.g. si svincolano dalla rappresentazione geometrica 7; 1 79; 303 Il metodo risolutivo di Ferrari 305 sgg. Risoluzione delle E.q.g biquadratiche 266 (Cardano); 324 (Leonardo Pisano) Analisi di Lagrange delle E.q.g. 424 EQUAZIONI DI QUINTO GRADO Hermite risolve per primo le E.q.g. 543 Hermite indica la strada per la risoluzione delle E.q.g. 544-545 Galois e le E.q.g. 544 La semplificazione di Jerrard per le E.q.g. 544 EQUAZIONI INDETERMINATE 26 (manoscritto Baksali); 27 (Leonardo Pisano); 30 (Chuquet; Archimede); 3 1 (Mahavira); 45; 1 3 3 (Aryabhata) E. pitagorica 98; 1 0 1 ; 1 1 0; 1 33 Il problema sdei buoi di Archimede 1 1 3 sgg. Equazione di PelI-Eulero 1 1 5 ; 1 3 3 E . i. per l a soluzione d i un problema d i Dio­ fanto 200 ERONE Un antico problema babilonese nella pseudo­ geometria di E. 97

65 1

In E. si ritrova la matematica babilonese 1 1 6; 1 20 Sistema di somma e prodotto in E. 1 1 8- 1 1 9 E . supera la disomogeneità delle grandezze considerando le loro misure 1 20 E. per p usa il valore 22/7, 1 20- 1 2 1 E . usa esplicitamente l e unità d i misura au­ mentando via via le dimensioni 1 2 1 Contatti tra E . e AI-Khuwarizmi 1 47 sgg. ESISTENZA E. delle radici di un'equazione 22 1 ESPONENTI E. negativi 1 69 V. Appendice A.0.3 ; A.OA EUCLIDE E. non fa algebra ma solo geometria 1 1 1 - 1 1 2 E . non è noto ad AI-Khuwarizmi 1 47; 1 56 Applicazione della II,6 per la risoluzione di equazioni di secondo grado 1 52; 321 La geometria di E. è limitata alla "riga e com­ passo" 450 EULERO Un errore di E. sui numeri complessi 1 4 1 ; 1 78 Capacità didattica di E. 1 78 FALSA POSIZIONE, Semplice (s.), Doppia (d.) F.P.s. egiziana 1 7- 1 8 F.P.s. babilonese 1 8- 1 9; 82 F.P.s. trasmessa dagli arabi all'Europa 1 8 F.P.s. in versi 1 8- 1 9 F.P.d. nata in India 49 F.P.s. in Baskara 50 La F.P. e la sua differenza con l'algebra 50 La F.P.d. presso gli arabi 52 La F.P.d. in Leonardo Pisano 52 sgg. La F.P.d. in Cina 56; 59 sgg. La F.P.d. in Cardano 64 sgg. La F.P.s. nell'algebra di secondo grado 98, 99 (babilonese); 1 00 (egiziana) La F.P.s. in Diofanto 1 30 FERRARI Ludovico I Cartelli di sfida di F. con Tartaglia 248

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STORIA DELL'ALGEBRA

La sfida con Tartaglia è vinta da F. 250 F. affronta lo studio delle equazioni di quarto grado spinto da Cardano 303 Il metodo di F. per risolvere le equazioni di quarto grado è il più ingegnoso sino a quello di Descartes (Lagrange) 424 FORMULA l E Cardano conosce qualche caso particolare del­ le "F. di Viète-Girard" 276 Le F. di Viète-Girard (nascita) 368-369; di­ mostrazione 568 Una F. stampata forse per la prima volta (Car­ dano) 375 FUNZIONI ELLITTICHE Precedenza di Gauss 543 Le F.E. per la risoluzione delle equazioni di quinto e sesto grado 543 Le F.E. nominate anche da Galois 543-544 Indicazione di Hermite su come usare le F.E. per la risoluzione delle equazioni di quinto grado 544-545 Articoli di Betti sulle F.E. 546 Definizione di F.E. 55 1 FUNZIONI (F); FUNZIONI SIMMETRI­ CHE (F.S.) F.S. in Lagrange 447 F.S. delle radici di un'equazione date dalle for­ mule di Viète-Girard 492-493 ; 528; 592 Teoria delle F.S. (cenni) 590 F. simili 448; 475 GALOIS La teoria di Galois alla base della nascita dell'algebra astratta 497-498 Gruppo di G. 498 sgg. 505-506 sgg. 5 1 6 Sintetica bibliografia sulla teoria di G . 504 Risolvente di G. 505 ; 507 Schema riassuntivo del metodo di G. 52 1 522 I due percorsi risolutivi di G.529 GAUSS G. pone i numeri complessi su un piano 400; 409

GEOMETRIA G. e algebra nella risoluzione dei problemi 72; 76; 3 1 9 sgg.; 336 Un antico esempio di algebra distaccato dalla G. 95-97 Contatti tra G. e algebra 71 sgg.; 1 1 1 ; 336 Giustificazioni G.che delle risoluzioni alge­ briche di AI-Khuwarizmi simili a quelle babilonesi 145; 1 50 sgg. Con l'uso dei radicali si possono affrontare anche le grandezze continue della G. (L. Pacioli) 1 66 Con la G. è possibile costruire segmenti risol­ venti le equazioni 209; 2 1 1 ; 2 1 7 sgg. La costruzione logica della G. è apparsa la più sicura per secoli 342 GIAMBLICO G. e il "fiore di Timarida" 2 1 sgg. G. e lo zero 45-46 GIRARD G. ha ottenuto o migliorato molti risultati al­ gebrici: 368-369; 388 Le formule di Viète-G. 368-369; 568 GRANDEZZE CONTINUE Con i radicali si possono affrontare in algebra anche le G.c. 1 66- 1 67 GRECI Il "fiore di Timarida" 2 1 -23 Antologia greca 25 Algebrista G. 3 1 Papiro Michigan 3 3 sgg. G. e l'equazione pitagorica 1 1 0 Matematici G. e la derivazione da altre civiltà 110 I matematici G . più antichi non proseguono l'algebra babilonese ed egiziana 1 1 0- 1 1 1 GRUPPI I O La teoria dei G. finiti all'origine della soluzio­ ne del.le equazioni (Lagrange) 425 passim; Ruffini e la teoria dei G. 455-456 G: delle sostituzioni delle radici di un'equa­ zione 493; 495-497

INDICE ANALITICO

G. di Galois 498; 505-506; 5 1 6 G . delle sostituzioni con le radici di un'equa­ zione 500 passim Alcune proprietà dei G. introdotte da Galois 5 1 4 sgg. Alcune proprietà della teoria dei G. 541 INCOGNITA / E Breve storia dell 'I. 549-55 1 I. egiziana 1 6 I . Greca 22; (in Diofanto) 39; 1 22; 229 I. Indiana 47; 1 3 1 ; 229 I matematici indiani potevano usare più I. 48-49 I. Araba 5 1 ; 1 48 I. in Luca Pacioli 1 66- 1 67; 23 1 Vedi "Appendice" A.O.3 INDIANI / A Costruzione geometrica I. simile a quelle babilonesi 8 sgg. Aryabhata e il ''fiore di Timarida" 27 La matematica I. proviene da altre civiltà 44 Sulvasutra e matematica 44 Sourya Siddhantas e matematica 44 Indipendenza della matematica I. 44 Aryabhata e l'inversione 44; (anche in Bhaskara) 45 Aryabhata e le potenze di un binomio 44 Aryabhata e l'equazione indeterminata ax + by = c 45 Regola dei segni 45 Simbolismo I. 47-48 Gli I. usavano più incognite 48 Gli I. e la nascita della "doppia falsa posizione" 49 Matematica cinese e matematica I. 55 L'algebra I. ha influito su quella araba 1 45 Modernità dell'algebra I. 1 47 INSERZIONE L'operazione matematica dell'I. 1 84 L'I. assunta per postulato da Viète 346 INVERSIONE I procedimenti dell'I. alle origini dell'algebra 1 ; 5 ; 20; 44

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IRRAZIONALITÀ I. "impossibile" (Diofanto) 1 23 Le I. accessorie "trascurate" da Ruffini 474 sgg. JSMA-JA Il più antico matematico noto 1 3 KAZIM v. A-Kazim KHUWARIZMI v. AI-Khuwarizmi KHAYVAM v. OMAR KHAYAMM LAGRANGE Sensibilità storica di L. 4 1 2 Primi passi verso i l metodo generale d i L . per la soluzione di equazioni di ogni grado 420; 425-426; 429; 435 Risolvente di Lagrange 336-337 Rapporti tra L. e Ruffini sulla dimostrazione di impossibilità di quest'ultimo 452-454; 459 LEONARDO DA VINCI L.d.V: allievo, in matematica, di Luca Pacioli 1 65 LEONARDO PISANO Il "Fiore" di L.P. 23 L.P. e i numeri negativi 27 sgg. L.P. usa anche due incognite simultaneamente 29 L.P. e la doppia falsa posizione 52 sgg. L.P. e i suoi contatti con Savasorda 78; 1 6 1 L.P. e l'usa del segmento unitario 9 3 passim L.P. e un problema sul teorema di Pitagora 1 05 L.P. fa conoscere l'algebra all'Europa 1 591 60 L.P. usa le potenze dell'incognita non coe­ rentemente con le dimensioni geometriche 93; 236 LIBRI, Guglielmo Polemiche L.-Chasles 1 59; 370 Giudizi di L. sulla matematica indiana (44), araba (5 1 , 1 45) cinese (55)

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STORIA

DELL'ALGEBRA

LOGISTICA L. numerosa 6 L. speciosa 6 MAESTRI D'ABACO I M. d'A. e il loro contributo alla diffusione dell'algebra 1 62- 163; 1 65 I M. d'A. avevano a disposizione molte opere matematiche 1 63 MAGGIORE e MINORE M. e m. legati all' indeterminatezza (Proco) 1 43 MANOSCRITTO BAKSALI Vedi Baksali MATEMATICA La M. cinese non ha influito su quella europea 55 M. eurocentrista 55 M. cinese e M. araba 55 M. prebabilonese 7 1 ; 1 07 La matematica araba comprende anche quella persiana 1 43 La M. ha un suo intimo legame logico 4 1 2 MATRICI Le matrici nella matematica cinese 57-58 MAZZINGHI M. risolve in maniera diversa un sistema di tipo babilonese 96 MENECMO DI PROCONNESO M. di P. e la risoluzione della duplicazione del cubo 1 88 sgg. M. di P. e le coniche 1 89 NATURA Per le dimensioni in N. sono sufficienti i primi tre gradi delle equazioni (Cardano, Ornar Khayyam) 303 NUMERI / O N. poligonali 23 N. negativi in India 28; 44; 1 32; 1 77- 1 78 N. negativi in Leonardo Pisano 28

N. positivi e negativi in Cina 43 ; 56 N. negativi non sempre accettati 1 23 ; 1 40; 274 N. complessi: "assurdi" (Diofanto) 1 23 ; "im­ possibili" (Chuquet) 1 69; 280 (Cardano) prime intuizioni 1 40- 1 4 1 ; 1 77 N. scritti nella forma posizionale (Leonardo Pisano) 1 59 Si accetta un N. negativo come radice (Maz­ zinghi) 1 63 sgg. Utilità dei N. negativi 1 64, 369 (Pélétier); 1 78 (al-Karaji) Un errore di Eulero nei N. complessi 1 4 1 ; 1 68 I N. complessi hanno una loro terza natura sconosciuta (Cardano) 283 Aritmetica dei N. complessi in Bombelli 29 1 I N. complessi nel teorema fondamentale del­ l'algebra indicati su un piano 400 sgg.; 409 Proprietà delle radici cubiche dell'unità 526527 Le origini dei N. negativi 547-549 OMAR KHAYYAM O.K. ricorre alla geometria di Euclide per la risoluzione delle equazioni di secondo gra­ do 1 52 sgg. O.K. e la semplificazione di un'equazione 2 1 8 sgg. O.K. e la costruzione di segmenti risolventi equazioni di terzo grado 220 sgg. OMOGENEITÀ DEI TERMINI DELLE EQUAZIONI O. in Babilonia 72; 82; 90, 220 sgg. ; 97 (ter­ mini non omogenei) O. in Descartes 92; 1 20 L' O. aggirata da Erone attraverso le misure 1 20 L'O. in AI-Khuwarizmi 1 50 L'O. è una legge da rispetare (Viète) 345 PACIOLI P. e la regola dei segni 45 P. affronta un problema simile a quello di una tavoletta babilonese 96 P. e un problema sul teorema di Pitagora 1 05 P. e il nome delle incognite 1 66; 1 67; 23 1

INDICE ANALITICO PAPIRO P. di Mosca 1 6- 1 7 P. Rhind 1 5 ; 1 7; 559 P. Michigan, un ponte tra la matematica egi­ ziana e quella greca 3 1 sgg. P. di Berlino 1 0 1 P. del Cairo 1 03 PAPPO Un problema di Erone generalizzato da P. 117 PIERO DELLA FRANCESCA P.D.F. traduce la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado con procedimento geometrico simile a quello ipotizzato per i babilonesi 78-79 PI GRECO Il valore di P.g. usato da Erone è 22/7 1 20121 Approssimazioni arabe d i P.g. 1 45 POLEMICA P. sul significato di Algebra 2; 1 1 3 P. Chasles-Libri 1 59; 344; 370 P. Cardano-Tartaglia 245 sgg. P. Bortolotti-Loria 349 sg. POLINOMI Una prima teoria dei P. 1 40 (in AI-Khuwarizmi); 1 60 in al-Karaji Principio di identità dei P.565 Risultante di due P. 577 Discriminante di un P. 578 POTENZE DI UN BINOMIO P. di un binomio in Aryabhata 44 PRIORITÀ MATEMATICHE Primi documenti "algebrici" I l sgg. (tavolet­ ta di Ebla; 95 (problema babilonese); 1 20 Erone I primi nomi di matematici noti 1 3 (Jsma-Ja, sumero); 1 7 (Ahames, egiziano) Primi simbolismi 36 passim (papiro Michigan); 39 passim (Diofanto); 47, 1 3 1 (Indiani)

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Prime proprietà dei numeri negativi 40, 45 Primo uso delle Matrici (Cina) 57 P. di matematici italiani in argomenti matema­ tici di vario tipo 549 (Van der Waerdern); 4 1 3 (Lagrange, per l'algebra) Prima regola esplicita per la risoluzione di equazione di secondo grado 1 3 1 ; 373 Il "segmento unitario" 92, 336 (Leonardo Pi­ sano); 338 (Bombelli) Primo uso di esponenti negativi (Chuquet) 1 69 Primo uso di parametri nelle equazioni 1 73 (Bombelli); 356 sgg. (Viète) Prime approssimazioni delle radici di equazio­ ni di grado maggiori di due (Cina) 229 P. sulla risoluzione delle equazioni di terzo grado (Scipione Dal Ferro) 236, 238-239 P. sulla risoluzione delle equazioni di quarto grado (Ferrari) 244; 303; 307-308 P. sulle sostituzioni (papiro Michigan) 33; (Cardano) 273 passim P. sui numeri immaginari 280 (Cardano); 29 1 (Bombelli) Primo uso della "riduzione" dei problemi (Pi­ tagora, Ippocrate di Chio) 3 5 1 sgg. La prima dimostrazione del "teorema fonda­ mentale dell'algebra" (Gauss) 400 P. sulla insolubilità delle equazioni di grado maggiore di quattro 450 passim (Ruffini) Prime dimostrazioni delle indicazioni di Ga­ lois (Betti) 546 P. sulla risoluzione delle equazioni di quinto grado (Hermite) 544 sgg. P. sulla risoluzione delle equazioni di sesto grado (Brioschi) 555 PROBLEMI P. simili in varie civiltà 78-79 I P. classici 1 85 PROPORZIONE Regola per la risoluzione di una qualsiasi P. continua 1 76 RADICALI Nessuna distinzione per gli Indiani tra numeri razionali e R. 1 4 1 Uso dei R . i n Leonardo Pisano 1 59- 1 60

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STORIA DELL' ALGEBRA

Uso dei radicali in Luca Pacioli 1 66 Con i R. si possono affrontare in algebra anche grandezze continue 1 66- 1 67 RADICE / I DELL'EQUAZIONE Sul nome R. per indicare il valore che risolve un'equazione 5 1 R. multiple di un'equazione 84; 1 67 R. irrazionali: "impossibili" per Diofanto 123 R. "esatte" 1 4 1 ; 1 43 R. negative: "assurde per Diofanto 1 23 ; "fal­ se" 1 63 ; 1 69 Il numero delle R. è uguale al grado dell' equa­ zione 369 (Viète, Rath, Girard); 369, 3 8 1 (Descartes) RADICE QUADRATA (R.q.) E CUBICA (R.c.) R.q. in Aryabhata 44 R.q. con due valori (Brabrnagupta) 46; 1 391 40 Erone sa calcolare la R.q. di un numero R.c. in Erone 1 87 R.c. in Cina 227 Costruzione geometrica della R.q. e delle R.c. di un numero (Leonardo Pisano) 336-337 RAZIONALIZZAZIONE R. della matematica operata dal numero 90 Considerazioni teoriche sulle equazioni 1 68 REGOLA R. per la risoluzione. di un'equazione di primo grado (Brabrnagupta) 46 R. per la risoluzione di un sistema di primo grado (Cardano) 67-68; (Viète) 357 R. per la doppia falsa posizione (Cina) 5960 R. per la risoluzione delle equazioni di se­ condo grado: 1 3 1 - 1 32 (Brabrnagupta); 1 3 7 (Bhaskara); 1 50 sgg. /AI-Khuwarizmi); 322 (Leonardo Pisano) R. esplicita per la risoluzione di un sistema di somma e prodotto (Bombelli) 1 73 R. per trovare la "parte aurea" di un numero (Bombelli) 1 74

R. per la risoluzione dell'equazione xl+px=q (Cardano) 265 REGOLA DEI SEGNI R.s. in Diofanto 39 R.s in Luca Pacioli, Cardano e Chuquet 45 R.s. in Cardano 1 69; 277; in Bombelli 287 R. di Cartesio sui segni delle radici 382 sgg RIDUCIBILITÀ R. di un'equazione in un determinato campo numerico 497 R. secondo Galois 5 1 1 sgg. RIGA E COMPASSO Equazioni e problemi risolti con R.C. 1 841 85 Per la costruzione della radice cubica di un numero non sono sufficienti R.C. 338 Risolubilità con R.C. dall'esame delle equa­ zioni corrispondenti (Desacartes) 392 sgg. La geometria degli Elementi di Euclide è geo­ metria di R.C. 450 Condizione necessaria e sufficiente per la ri­ solubilità con R.C. 520; 541 RISOLUZIONE R. di un'equazione mediante costruzione di un segmento 3 8 Regola per l a R . d i un'equazione d i primo grado (Brabrnagupta) 46 Regola per la R. di un'equazione di secondo grado 1 3 1 - 1 32; 1 37; 1 50; 1 54 Per la R. di equazioni di grado maggiore di due ci vuole capacità (Bhaskara) 1 37 RISOLVENTE R. di Galois 505 RUFFINI La dimostrazione di impossibilità di R. è ap­ prezzata da Cauchy 450-45 1 La dimostrazione di impossibilità di R. è stata apprezzata solo dopo molto tempo 45 1 sgg. Rapporti tra R. e Lagrange sulla dimostrazio­ ne di impossibilità 452-454; 459 R. e la teoria dei gruppi 455-456 La dimostrazione di R. 463 sgg.

INDICE ANALITICO Una lacuna nella dimostrazione di R. 474 sgg. SAVASORDA S. e Leonardo Pisano 78; 1 6 1 Sulle opere d i S. 1 59

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SINTESI v. ANALISI Etimologia dei termini Analisi e S. 346

SCIPIONE DAL FERRO S.D.F. primo risolutore delle equazioni di ter­ zo grado 238 passim Giudizi contrastanti su S.D.F. 238

SISTEMI / A S. di primo grado determinati e indeterminati 2 1 sgg. risoluzione di Viète 356-357 S. di primo grado in Cina 56 sgg. S. di primo grado risolto in forma generale da Cardano 67-68 Risoluzione del S. differenza e prodotto: 79 (babilonese); 1 28 (Diofanto); 359 (Viète) Risoluzione del S. somma e prodotto: 8 1 sgg. (babilonese); 1 1 8 (Erone); 1 23- 1 25 (Diofanto) Risoluzione di un S. di quarto grado 304 sgg.

SEGMENTO UNITARIO S.u. negli Arabi 73 S.u. in Leonardo Pisano 92 sgg. S.u. in Bombelli 93 ; 335 S.u. in Descartes 93; 379

SOSTITUZIONI S. per semplificare la risoluzione delle equa­ zioni 1 3 5 ; 1 64; 224; 267; 27 1 ; 273; 368 (Viète) Gruppo delle S. v. GRUPPO

SEMPLIFICAZIONE S. dei termini simili: 3 (nella matematica ara­ ba); 48 (in Brahmagupta); 52, 1 43 (in AI­ Khuwarizmi); 1 22 (in Diofanto) Una S . . . . geometrica (Ornar Khayyam) 2 1 8219 S. di equazione, nota una radice (Cardano) 278 S . di un fattore comune (Bombelli) 300; (Leo­ nardo Pisano) 324; (Viète) 300; 346

STORIA Non si può fare filosofia della storia (Bur­ ckhardt) sebbene la ragione governa il mondo (Hegel) 341 Priorità nella S. della matematica 452

SCHEMA Uno S. risolutivo nel papiro Michigan, 36; in Cardano 1 7 1 , 265; in Cina 57-58, 60 S. riassuntivo del metodo di Galois 52 1 -522

SIMBOLISMO S. di Diofanto 39; 1 24; (per le potenze suc­ cessive) 229 S. indiano 47-48; 1 3 1 ; (per le potenze suc­ cessive) 229 Nel problema dei buoi di Archimede vi deve essere stato un S. algebrico 1 1 6 Il S. di ''uguale'' 1 76 Il S. di "radice" 1 77 Il S. del "più" e del "meno" 1 77 S. di Bombelli 1 76; 293 S. in Cardano 265 S. in Pacioli 23 1 -232 S. efficiente in Descartes 3 82 Esempi di S. 567-569

TARTAGLIA T. e i cartelli di sfida di Ferrari 248 Il contributo di T. all'Ars Magna di Cardano 250 Nei versi di T. vi è anche la dimostrazione (non percepita) della formula risolutiva 255 sgg. TAVOLETTE MATEMATICHE Collocazione delle T.m. 1 8 T M 7 5 G 1 693 1 3 sgg. VAT 8389, 1 * 1 8- 1 9 YBC 4652 20-2 1 BM 1 390 1 , 1 * 74; 23* 76-78; 1 2* 82, 95 sgg.; 1 0*99- 1 0 1 A O 8862, 1 * 74; 82; 8 6 sgg. BM 34568, 1 5 * 79, 1 02; 12* 1 03 Susa IX 3* 82 sgg. TMS XIX 97, 99; XIII 98 Db- 1 46 98

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STORIA DELL'ALGEBRA

BM 85 1 96,9* 1 03- 1 04 "Plimpton 322"; 1 33

T.a. e trigonometria per affi"ontare il caso irri­ ducibile 577 sgg.

TEOREMA T. di Pitagora e la matematica cinese 1 02 sgg. T. di Pitagora nelle antiche civiltà 1 02 T. di Pitagora nel VI libro di Diofanto 1 30 T. fondamentale dell'algebra e conseguente scomposizione di un polinomio (Gauss) 398 Il T. fondamentale dell'algebra ha avuto nu­ merose dimostrazioni 398 Il T. fondamentale dell'algebra "quasi dimo­ strato" da D'Alembert (Gauss) 399 Conseguenze del T. fondamentale dell'algebra 567-572

ULAM U. e le equazioni di secondo grado 1 78

TERNE PITAGORICHE v. EQUAZIONE PITAGORICA TIMARIDA Il "fiore" di T. 22 sgg. TRASFORMAZIONE DI VARIABILE T. di v. nel papiro Michigan 35 T. di v. per risolvere le equazioni di secondo grado 125 (Diofanto); 1 64 (Mazzinghi); 1 7 1 (Cardano) T. di v. per risolvere le equazioni di terzo grado 254 (Tartaglia); 260 (Cardano), 368 (Viète); 4 1 6 (Lagrange) T. di v. in Cardano 267-269; 273 TRINOMIO v. BINOMIO TRISEZIONE DELL'ANGOLO (T.a.) T.a. e il caso irriducibile 2 1 3 284; 297; sgg.; 388 sgg.

UGUALE Il simbolo di U. è assai importante 5 L' U. è legato agli ordinamenti divini 1 43 Nascita del simbolo di U. 1 76 UNITÀ DI MISURA / E L'U.d.M. sono usate da Erone 1 2 1 VIÈTE L"'oblio" di V. 343 V. vuole organizzare assiomaticamente l'A. 343-344 V. inventore dell'algebra (Chasles) 344; fondatore della moderna algebra (Giusti) 395 Gli assiomi di V. simili a quelli euclidei 344 Rapporti tra V. e Descartes 377; 395-396 La legge di omogeneità in V. 345 V. e le tre tappe dell' Analisi 354: un esempio 358 sgg. Costruzioni geometriche e operazioni aritme­ tiche sono isomorfe in V: 4 1 4 V. s i è occupato per primo della soluzione delle equazioni di qualsiasi grado (Lagran­ ge) 4 1 5 ZERO Breve storia dello Z. 545-547 Z. in Brahmagupta 45 Z. in Giamblico 45-46 Prima uguaglianza a Z: in un' equazione (Bom­ belli) 1 76; sistematica in Descartes 3 8 1