วิชาสถิตยศาสตร์ (Statics) MT 02202.pdf

Citation preview

เอกสารประกอบการสอน วิชาสถิตยศาสตร์ MT 02202

สุทิน พลบูรณ์ วศ.ม.(วิศวกรรมเครื่องกล)

คณะเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี 2556

คำนำ เอกสารประกอบการสอนรายวิชาสถิตยศาสตร์ รหัส MT02202 จัดทาขึ้นเพื่อใช้ประกอบ การเรียนการสอนประจาสาขาวิชาเทคโนโลยีเครื่องกล คณะเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี เนื้ อ หาในเอกสารประกอบการสอนประกอบด้ ว ย พื้ น ฐานกลศาสตร์ เวกเตอร์ แ ละระบบแรง โมเมนต์ของแรง สมดุลของอนุภาค สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง การวิเคราะห์โครงสร้าง จุดศูนย์ถ่วง และจุดเซนทรอยด์ แรงเสียดทาน และ งานเสมือน รวมทั้งสิ้น 9 บทเรียน โดยผู้เขียนได้เรียบเรียง จากตาราภาษาไทยและภาษาอังกฤษหลายเล่ม เพื่อให้ผู้เรียนมีความเข้ าใจในเนื้อหาได้ เป็นอย่างดี ทั้งนี้ ผู้เขียนได้ยกตัวอย่างประกอบการคานวณที่หลากหลายรูปแบบของปัญหา เพื่อให้ผู้เรียนนาไปใช้ ในการแก้โจทย์ปัญหาท้ายบทเรียนได้อย่างมีประสิทธิภาพ และ แต่ละบทเรียนจะมีใบงานในการฝึก ปฏิบัติเพื่อให้นักศึกษามีความเข้าใจในเนื้อหาของแต่ละบทเรียนได้ดียิ่งขึ้น ส าหรั บ เอกสารประกอบการสอนเล่ ม นี้ เ สร็ จ สมบู ร ณ์ ไ ด้ ต้ อ งขอขอบพระคุ ณ ดร.ณั ติ เ ทพ พิทักษานุรัตน์ อธิการบดีมหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี รองศาสตราจารย์สมชาย ชื่นวัฒนาประณิธิ และรองอธิการบดีทุกท่าน คณบดีคณะเทคโนโลยี และรองคณบดีทุกท่าน หัวหน้าสาขาวิชาเทคโนโลยี เครื่องกล และ คณาจารย์ทุกท่าน ที่ให้การสนับสนุนในการจัดทาเอกสารประกอบการสอนเล่มนี้ สุดท้ายนี้ คุณงามความดีทั้งหมดที่เกิดจากเอกสารประกอบการสอนเล่มนี้ ผู้เขียนขอมอบให้แด่ บิดา มารดา บุคคลอันเป็นที่รักและเคารพยิ่งสาหรับผู้เขียน ตลอดจนขอมอบแด่ครูอาจารย์ทุกท่านที่ ได้ประสิทธิ์ประสาทวิชาความรู้ให้แก่ผู้เขียน จนทาให้เอกสารประกอบการสอนเล่มนี้สาเร็จลงได้ด้วยดี สุทิน พลบูรณ์ มิถุนายน 2556

I

สารบัญ

หน้า คานา…………………………………………………………………………………………………………………………….……….I สารบัญ………………………………………………………………………………………………………………………………..III สารบัญรูป…………………………………………………………………………………………………………………………..VII สารบัญตาราง………………………………………………………………………………………………………….…….…XVII แผนบริหารการสอนประจาวิชา……………………………………………………………………………………………..1 แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 1………………………………………………………………………………………..7 บทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์……………………………………………………………………………………………………9 1.1 บทนา………………………………………………………………………………………………………………9 1.2 กลศาสตร์และวิวัฒนาการ………………………………………………………………………………….9 1.3 แนวคิดพื้นฐานทางกลศาสตร์……………………………………………………………………………13 1.4 ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์………………………………………….……………………..15 1.5 กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน………………………………………………………………………………..15 1.6 หน่วยการวัดทางกลศาสตร์…………………………………………………………………………..….16 1.7 ขั้นตอนการวิเคราะห์ปัญหาทางกลศาสตร์………………………………………………………….18 แบบฝึกหัดบทที่ 1…………………………………………………………………………………..…….23 บทสรุป………………………………………………………………………………………………………..………..24 แบบทดสอบบทที่ 1……………………………………………………………………………………..………..25 เอกสารอ้างอิง…………………………………………………………………………………………………..……26 แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 2………………………………………………………………………………..…….27 บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง…………………………………………………………………………………….…...29 2.1 บทนา………………………………………………………………………………………………….…………29 2.2 พื้นฐานของเวกเตอร์…………………………………………………………………………………….….29 2.3 แรงในระบบ 2 มิติ……………………………………………………………………………….……….36 แบบฝึกหัดตอนที่ 1……………………………………………………………………………………..…50 2.4 แรงในระบบ 3 มิติ……………………………………………………………………….……………….54 แบบฝึกหัดตอนที่ 2………………………………………………………………………………………..63 บทสรุป……………………………………………………………………………………………………………..…..67 แบบทดสอบบทที่ 2……………………………………………………………………………………………….68 เอกสารอ้างอิง………………………………………………………………………………………………………..73 แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 3……………………………………………………………………………………..75 บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง………………………………………………………………………………………………..….77 3.1 บทนา………………………………………………………………………………………………………..…..77 3.2 การหาโมเมนต์แบบสเกลาร์………………...................................................................….77 3.3 ผลคูณแบบเวกเตอร์…………………………………………………………………………………………79 III

สารบัญ (ต่อ)

หน้า 3.4 การหาโมเมนต์ด้วยผลคูณแบบเวกเตอร์……………………………………………………….…….82 แบบฝึกหัดตอนที่ 1………………………………………….…………………………………………….93 3.5 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ……………………………………………………………………………………..97 แบบฝึกหัดตอนที่ 2………………………………………………………………………..…………….103 บทสรุป…………………………………………………………………………………………………………..…..105 แบบทดสอบบทที่ 3……………………………………………………………………….……………………106 เอกสารอ้างอิง…………………………………………………………………………………………..………….109 แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 4…………………………………………………………………………..…….…111 บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค……………………………………………….………………………………………………113 4.1 บทนา…………………………………………………………………………………………………..…….113 4.2 เงื่อนไขความสมดุลของอนุภาค……………………………………………………………………..113 4.3 การเขียนผังวัตถุอิสระ………………………………………………………………………..…..…….113 4.4 สมดุลในระบบ 2 มิต…ิ ……………………………………………………………………………….115 แบบฝึกหัดตอนที่ 1……………………………………………………………………………..……122 4.5 สมดุลในระบบ 3 มิต…ิ ………………………………………………………………………...…….126 แบบฝึกหัดตอนที่ 2………………………………………………………………………….......….135 บทสรุป…………………………………………………....................................................................137 แบบทดสอบบทที่ 4…………………………………………………………………………………………...138 เอกสารอ้างอิง…………………………………………………………………………………………………....141 แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 5……………………………………………………………………………..…….143 บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง……………………………………………………………………………….………145 5.1 บทนา…………..……………………………………………………………………………………………..145 5.2 สมดุลในระบบ 2 มิติ……………………………………………………………………..……………145 แบบฝึกหัดตอนที่ 1……………………………………………………………………………..……..156 5.3 สมดุลในระบบ 3 มิติ…………………………………………………………………………..………159 แบบฝึกหัดตอนที่ 2……………………………………………………………….…….……………..170 บทสรุป………………………………………………………………………………………………………….……173 แบบทดสอบบทที่ 5…………………………………………………………………………………..………..174 เอกสารอ้างอิง…………………………………………………………………………………………………..….177

IV

สารบัญ (ต่อ)

หน้า แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 6……………………………………………………………………………..….…179 บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง…………………………………………………………………………………….…181 6.1 บทนา……………………………………………………………………………………………….……...….181 6.2 โครงถักระนาบอย่างง่าย………………………..…………………………………………………….…181 6.3 วิธีการหาแรงในชิ้นส่วนโครงสร้าง…………………………………………………………….……..185 แบบฝึกหัดตอนที่ 1……………………………………………………………………………………199 6.4 โครงกรอบและเครื่องมือกล……………………………………………………………………….…..202 แบบฝึกหัดตอนที่ 2…………………………………………………………………………………...208 บทสรุป……………………………………………………………………………………………………………….211 แบบทดสอบบทที่ 6……………………………………………………………………………………….…….212 เอกสารอ้างอิง……………………………………………………………………………………………..……….215 แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 7……………..…………………………………………………………..…..……217 บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์…………………………………………………………………..……..…219 7.1 บทนา………………………………………………………………………………………………………..…219 7.2 การหาจุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์……………………………………………………...………219 แบบฝึกหัดตอนที่ 1……………………………………………………………………………………232 7.3 การหาจุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ของวัตถุผสม………………………………………..….235 แบบฝึกหัดตอนที่ 2………………………………………………………………………….………..239 7.4 แรงกระทาเป็นบริเวณ……………………………………………………………………………..…….242 แบบฝึกหัดตอนที่ 3……………………………………………………………………………..…….248 บทสรุป…………………………………………………………………………………………………………..…..250 แบบทดสอบบทที่ 7…………………………………………………………………………………………….251 เอกสารอ้างอิง……………………………………………………………………………………………….……..254 แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 8…………………………………………………………………………..….……255 บทที่ 8 แรงเสียดทาน………………………………………………………………………………….……………….…257 8.1 บทนา…………………………………………………………………………………………………………..257 8.2 แรงเสียดทานแห้ง………………………………………………………………………………………….257 แบบฝึกหัดบทที่ 8…..…………………………………………………………………………………..269 บทสรุป……………………………………………………………………………………………………..………..272 แบบทดสอบบทที่ 8…………………………………………………………………………………………….273 เอกสารอ้างอิง…………………………………………………………………………………………….………..276

V

สารบัญ (ต่อ)

หน้า แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 9…………………………………………………………………..………..……..277 บทที่ 9 งานเสมือน……………………………………………………………………………………………………….…279 9.1 บทนา…………………………………………………………………………………………………..………279 9.2 หลักการพื้นฐานของงานเสมือน…………………………………….………………………….…….279 9.3 งานเสมือนสาหรับระบบของวัตถุแข็งเกร็งที่เชื่อมต่อกัน………………………..…………...283 แบบฝึกหัดตอนที่ 1…………………………………………………………….……………….……..291 9.4 เสถียรภาพ………………………………………………………………………………………….………..293 แบบฝึกหัดตอนที่ 2…………………………………………………………………………….……….304 บทสรุป……………………………………………………………………………………………………….………306 แบบทดสอบบทที่ 9…………………………………………………………………………………….………307 เอกสารอ้างอิง………………………………………………..……………………………………….……………309 บรรณานุกรม……………………………………………………………………….………………………………….…..……311 ภาคผนวก…………………………………………………………………………………………………………………………313 ภาคผนวก ก ใบงาน………………………………………………………………………………..…………..315 ภาคผนวก ข เฉลยแบบฝึกหัด……………………………………………………………………………….389 ภาคผนวก ค เฉลยแบบทดสอบ……………………………………………………………………..……..393 ภาคผนวก ง จุดเซนทรอยด์……………………………………………………………………………..…..397 ภาคผนวก จ สูตรแคลคูลัส…………………………………………………………………………………..399

VI

สารบัญรูป

รูปที่ หน้า 1.1 อาร์คิมีดีส…………………………………………………………………………………………………………..…..….10 1.2 กาลิเลโอ กาลิเลอิ…………………………………………………………………………………………………...…..10 1.3 คริสเตียน ฮอยเกนส์………………….…………………………………………………………………………………11 1.4 เซอร์ ไอแซค นิวตัน………………………………………………………………………………………….….………11 1.5 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์…….…………………………………………………..………………………………..…….…….12 1.6 มักซ์ พลังค์………………………………………………………………………………………………………..………..12 1.7 แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์………………………………………………………………………………………………...….13 1.8 เวิร์นเนอร์ ไฮเซนเบิร์ก…………………………………………….…………………………………………..……….14 1.9 แรงดึงดูดระหว่างวัตถุสองชิ้น……………….……………………………………………………………………….15 1.10 ประกอบตัวอย่างที่ 1.3……………………………………………………………………………..……………..…..21 1.11 ประกอบตัวอย่างที่ 1.4…………………………………………………………………………………………..…….22 2.1 หลักการเขียนเวกเตอร์…………………………………………………………………………………………………29 2.2 การบวกเวกเตอร์…………………………………………………………………………………………………….…..30 2.3 การลบเวกเตอร์………………………………………………………………………………………………….……….30 2.4 การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ด้วยสูตรตรีโกณมิติ………………………………………….……..30 2.5 การแตกเวกเตอร์…………………………………………………………………………………………………………31 2.6 เวกเตอร์ 3 มิติ…………………………………………………………………………………………………….………32 2.7 ตาแหน่งของเวกเตอร์ 3 มิต…ิ ………………………………………………………………………………..……..33 2.8 เวกเตอร์กระทาผ่านจุดสองจุด………………………………………………………………………………………33 2.9 การคูณแบบสเกลาร์ของเวกเตอร์…………………………………………………………………………..………34 2.10 ส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่ขนานและตั้งฉากกับเส้นตรง……………………………………………..…..35 2.11 เวกเตอร์ของแรงในพิกัดฉาก………………………………………………………………………………..………..36 2.12 การแตกเวกเตอร์ของแรง……………………………………………………………………………………………...37 2.13 การบวกเวกเตอร์ของแรง………………………………………………………………………………………………37 2.14 การรวมเวกเตอร์ของแรงสามแรง……………………………………………………………………………..……39 2.15 ประกอบตัวอย่างที่ 2.1………………………………………………………………………………….………..……40 2.16 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.1……………………………………………………………………….………40 2.17 ประกอบตัวอย่างที่ 2.2…………………………………………………………………………………………….…..42 2.18 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.2…………………………………………………………………………..…..42 2.19 ประกอบตัวอย่างที่ 2.3…………………………………………………………………………………………….…..43 2.20 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.3…………………………………………………………………………..…..43 2.21 ประกอบตัวอย่างที่ 2.4…………………………………………………………………………………………....…..45 2.22 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.4………………………………………………………………………….…...45 2.23 ประกอบตัวอย่างที่ 2.5……………………………………………………………………………………...…………46 VII

สารบัญรูป (ต่อ)

รูปที่ หน้า 2.24 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.5………………………………………………………………………….……47 2.25 ประกอบตัวอย่างที่ 2.6………………………………………………………………………..………………..……..48 2.26 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.6……………………………………………………………………….………48 2.27 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.1…………………………………………………………………………………..…..50 2.28 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.2…………………………………………………………………………….………...50 2.29 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.3……………………………………………………………………………………....50 2.30 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.4…………………………………………………………………………………….…51 2.31 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.5…………………………………………………………………………….…………51 2.32 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.6………………………………………………………………………………….……52 2.33 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.7……………………………………………………………………………….………52 2.34 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.8………………………………………………………………………………….……53 2.35 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.9………………………………………………………………………………….……53 2.36 การแตกแรงในระบบ 3 มิต…ิ ………………………………………………………………………………………54 2.37 แนวแรงที่กระทาผ่านวัตถุสองจุด……………………………………………………………………………….…..55 2.38 วัตถุรับแรง 3 แรง………………………………………………………………………………………………….…..56 2.39 ประกอบตัวอย่างที่ 2.7………………………………………………………………………………….………..……56 2.40 ประกอบตัวอย่างที่ 2.8………………………………………………………………………………………..……….58 2.41 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.8………………………………………………………………………..……..58 2.42 ประกอบตัวอย่างที่ 2.9………………………………………………………………………………………..…..…..59 2.43 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.9……………………………………………………………………….………60 2.44 ประกอบตัวอย่างที่ 2.10……………………………………………………………………………………..………..61 2.45 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.10………………………………………………………………….………….61 2.46 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.10……………………………………………………………………….……..……..63 2.47 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.11………………………………………………………………………………..……63 2.48 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.12………………………………………………………………………………...…..64 2.49 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.13……………………………………………………………………………..….…..64 2.50 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.14……………………………………………………………………………….…….65 2.51 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.15………………………………………………………………………………...…..65 2.52 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.16……………………………………………………………………………...……..66 2.53 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.17…………………………………………………………………………….……….66 2.54 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.1…………………………………………………………………………..…..…….68 2.55 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.2……………………………………………………………………………...……..68 2.56 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.3……………………………………………………………………………………..69 2.57 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.4……………………………………………………………………………………..69 VIII

สารบัญรูป (ต่อ)

รูปที่ หน้า 2.58 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.5……………………………………………………………………..………………70 2.59 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.6………………………………………………………………....……………..…..70 2.60 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.7…………………………………………………………….………………..……..71 2.61 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.8………………………………………………………………………..……..…….71 2.62 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.9……………………………………………………………………………….…….72 2.63 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.10…………………………………………………………………….……..………72 3.1 การเกิดโมเมนต์และทิศทางโมเมนต์ของแรง……………………………………………………………………78 3.2 การหาโมเมนต์ด้วยทฤษฎีของวาริยอง…………………………………………………………….……………..79 3.3 คุณสมบัติการสลับที่ของผลคูณแบบเวกเตอร์…………………………………………………………………..80 3.4 ผลคูณแบบเวกเตอร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัดฉาก……………………………………………………80 3.5 หลักความเข้าใจกฎมือขวาอย่างง่าย…………………………………………………………………………..…..81 3.6 การหาโมเมนต์ด้วยผลคูณแบบเวกเตอร์…………………………………………………………………….……82 3.7 ขนาดโมเมนต์ของแต่ละแกนในพิกัดฉาก…………………………………………………………………………83 3.8 การหาโมเมนต์ด้วยทฤษฎีวาริยองในระบบ 3 มิติ……………………………………………………..……..84 3.9 ประกอบตัวอย่างที่ 3.1…………………………………………………………………………………………..…….84 3.10 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.1……………………………………………………………………………….84 3.11 ประกอบตัวอย่างที่ 3.2…………………………………………………………………………………………..…….85 3.12 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.2…………………………………………………………………………….…85 3.13 ประกอบตัวอย่างที่ 3.3………………………………………………………………………………………..…..…..86 3.14 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.3………………………………………………………………………..……..87 3.15 ประกอบตัวอย่างที่ 3.4…………………………………………………………………………………….……..……88 3.16 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.4………………………………………………………………………….……88 3.17 ประกอบตัวอย่างที่ 3.5…………………………………………………………………………………………....…..89 3.18 ประกอบตัวอย่างที่ 3.6…………………………………………………………………………………………..…….91 3.19 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.6……………………………………………………………………………….91 3.20 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.1…………………………………………………………………………………….…93 3.21 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.2………………………………………………………………………….……….…..93 3.22 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.3…………………………………………………………………………….…….…..94 3.23 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.4…………………………………………………………………………………...….94 3.24 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.5………………………………………………………………………………….……95 3.25 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.6…………………………………………………………………………………..…..95 3.26 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.7…………………………………………………………………………….………...96 3.27 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.8…………………………………………………………………………..…….…….96 3.28 แรงคู่ควบ……………………………………………………………………………………………………………….…..97 IX

สารบัญรูป (ต่อ)

รูปที่ หน้า 3.29 การหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบ…………………………………………………………………………………………97 3.30 การหาขนาดและทิศทางของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ………………………………………………….………98 3.31 การรวมโมเมนต์ของแรงคู่ควบ……………………………………………………………………………………….98 3.32 หลักการย้ายแรงที่กระทากับวัตถุ……………………………………………………………………………………99 3.33 ประกอบตัวอย่างที่ 3.7…………………………………………………………………………………..…….………99 3.34 ประกอบตัวอย่างที่ 3.8…………………………………………………………………………………..…………..100 3.35 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.8………………………………………………………………………….….100 3.36 ประกอบตัวอย่างที่ 3.9………………………………………………………………………………………….……102 3.37 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.9…………………………………………………………………..…………102 3.38 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.9………………………………………………………………………………….….103 3.39 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.10……………………………………………………………………..………..…..103 3.40 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.11……………………………………………………………………………..…….104 3.41 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.12………………………………………………………………….………..………104 3.42 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.1……………………………………………………………………….……..…..106 3.43 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.2..............................................................................................106 3.44 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.3…………………………………………………………………………..……….107 3.45 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.4……………………………………………………………………….……..……107 3.46 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.5……………………………………………………………………………..…….108 3.47 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.6……………………………………………………………………………….…..108 4.1 การหาแรงที่กระทาผ่านสปริง………………………………………………………………………………….….114 4.2 แรงดึงกระทาผ่านเคเบิล………………………………………………………………………………….…………114 4.3 การเขียนผังวัตถุอิสระ…………………………………………………………………….…………………..……..115 4.4 แรงกระทากับอนุภาคในระนาบ xy …………………………………………………………………………….116 4.5 ประกอบตัวอย่างที่ 4.1……………………………………………………………………………………….……..117 4.6 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.1………………………………………………………………………..…..117 4.7 ประกอบตัวอย่างที่ 4.2………………………………………………………………………………………..…….118 4.8 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ .2……………………………………………………………………………….119 4.9 ประกอบตัวอย่างที่ 4.3………………………………………………………………………………………..…….120 4.10 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.3…………………………………………………………………..…………120 4.11 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.1…………………………………………………………………………………..…122 4.12 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.2……………………………………………………………………………….…….122 4.13 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.3………………………………………………………………………………..……123 4.14 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.4……………………………………………………………………….……….……123 4.15 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.5………………………………………………………………………….…….……124 X

สารบัญรูป (ต่อ)

รูปที่ หน้า 4.16 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.6……………………………………………………………………………...……..124 4.17 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.7……………………………………………………………………….……..……..125 4.18 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.8………………………………………………………………….…………..……..125 4.19 สมดุลของอนุภาคในระบบ 3 มิต…ิ …………………………………………………….…..……………….……126 4.20 ประกอบตัวอย่างที่ 4.4……………………………………………………………………………………….………127 4.21 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.4……………………………………………………………………………..127 4.22 ประกอบตัวอย่างที่ 4.5……………………………………………………………………………………….….…..129 4.23 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.5……………………………………………………………………….…….129 4.24 ประกอบตัวอย่างที่ 4.6……………………………………………………………………………………………….130 4.25 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.6……….………………………………………………………………….…131 4.26 ประกอบตัวอย่างที่ 4.7……………………………………………………………………………………….………132 4.27 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.7……………………………………………………………………….…….133 4.28 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.9…………………………………………………………………………………..…135 4.29 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.10………………………………………………………………………………..….135 4.30 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.11……………………………………………………………………..……..……..136 4.31 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.12……………………………………………………………………………....…..136 4.32 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.1…………………………………………………………………..……….……..138 4.33 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.2……………………………………………………………………..……….…..138 4.34 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.3………………………………………………………………………………..….139 4.35 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.4……………………………………………………………………………..…….139 4.36 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.5……………………………………………………………………………….…..140 4.37 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.6……………………………………………………………………………..…….140 5.1 ประกอบตัวอย่างที่ 5.1………………………………………………………………………………………..…….148 5.2 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.1…………………………………………………………………………….148 5.3 ประกอบตัวอย่างที่ 5.2………………………………………………………………………………………..…….149 5.4 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.2………………………………………………………………………….…149 5.5 ประกอบตัวอย่างที่ 5.3………………………………………………………………………………………………150 5.6 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.3…………………………………………………………………………….150 5.7 ประกอบตัวอย่างที่ 5.4……………………………………………………………………………………..……….152 5.8 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.4………………………………………………………………………….…152 5.9 ประกอบตัวอย่างที่ 5.5………………………………………………………………………………………..…….153 5.10 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.5…………………………………………………………………….….……153 5.11 ประกอบตัวอย่างที่ 5.6………………………………………………………………………………………….……154 5.12 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.6……………………………………………………………………………..155 XI

สารบัญรูป (ต่อ)

รูปที่ หน้า 5.13 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.1……………………………………………………………..…………………..….156 5.14 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.2………………………………………………………………………..………..….156 5.15 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.3…………………………………………………………………………………..…157 5.16 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.4……………………………………………………………………………………..157 5.17 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.5…………………………………………………………………………….…….…158 5.18 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.6………………………………………………………………………….…….……158 5.19 ประกอบตัวอย่างที่ 5.7………………………………………………………………………………………….……162 5.20 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.7………………………………………………………………………….….163 5.21 ประกอบตัวอย่างที่ 5.8………………………………………………………………………………….……………165 5.22 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.8……………………………………………………………………..………165 5.23 ประกอบตัวอย่างที่ 5.9………………………………………………………………………………………….……167 5.24 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.9………………………………………………………………………….….168 5.25 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.7……………………………………………………………………………….…….170 5.26 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.8……………………………………………………………………………….…….170 5.27 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.9………………………………………………………………………………….….171 5.28 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.10…………………………………………………………………………..……....171 5.29 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.11…………………………………………………………………………..……….172 5.30 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.12……………………………………………………………………………..…….172 5.31 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.1……………………………………………………………………….……..……174 5.32 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.2……………………………………………………………………………..….…174 5.33 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.3…………………………………………………………………….………..……175 5.34 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.4…………………………………………………………………..………….…..175 5.35 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.5……………………………………………………………………………...…..176 5.36 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.6…………………………………………………………………………..……...176 6.1 โครงสร้างหลังคา…………………………………………………………………………..………………..…………181 6.2 โครงสร้างสะพาน……………………………………………………………………………………………………....182 6.3 โครงถักที่มีการใช้งานในปัจจุบัน…………………………………………………………………………….……183 6.4 จุดเชื่อมต่อด้วยหมุนของโครงถัก……………………………………………………………………..………….184 6.5 ชิ้นส่วนของโครงถักที่รับแรงสองแรง………………………………………………………………………….…184 6.6 โครงถักอย่างง่าย…………………………………………………………………………………………...…..……..185 6.7 การหาแรงในโครงถักด้วยวิธีแบบจุด……………………………………………………………………..……..186 6.8 ประกอบตัวอย่างที่ 6.1……………………………………………………………………………………………...187 6.9 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.1………………………………………………………………………..…..187 6.10 ผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดที่กระทากับชิ้นส่วนของตัวอย่างที่ 6.1………………………………………...189 XII

สารบัญรูป (ต่อ)

รูปที่ หน้า 6.11 ประกอบตัวอย่างที่ 6.2………………………………………………………………………………..……….…....189 6.12 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.2…………………………………………………………….……………….190 6.13 ขั้นตอนการหาแรงด้วยวิธีแบบภาคตัด………………………………………………………………………….193 6.14 ประกอบตัวอย่างที่ 6.3……………………………………………………………………………………………….194 6.15 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.3……………………………………………………………..………….…..194 6.16 ประกอบตัวอย่างที่ 6.4……………………………………………………………………………………………….196 6.17 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.4………………………………………………………………………..……196 6.18 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.1…………………………………………………………………………..…….…..199 6.19 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.2…………………………………………………………………………..…….…..199 6.20 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.3………………………..……………………………………………..……..…..…199 6.21 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.4…………………………………………………………………………….…….…200 6.22 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.5………………………………………………………………………….……..…..200 6.23 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.6……………………………………………………………………………..….…..200 6.24 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.7……………………………………………………………………………….….…201 6.25 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.8…………………………………………………………………………….…….…201 6.26 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.9………………………………………………………………………………..…...201 6.27 ประกอบตัวอย่างที่ 6.5………………………………………………………………………………………….……204 6.28 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.5…………………………………………………………………………..…204 6.29 ประกอบตัวอย่างที่ 6.6…………………………………………………………………………………………..…..206 6.30 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.6……………………………………………………………………..….…..207 6.31 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.10………………………………………………………………….…………..……208 6.32 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.11…………………………………………………………………….……..………208 6.33 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.12…………………………………………………………………………...………209 6.34 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.13……………………………………………………………………………...……209 6.35 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.14……………………………………………………………………………....…..210 6.36 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.15……………………………………………………………………………………210 6.37 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.1…………………………………….………………………………………..……212 6.38 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.2……………………………………………………………………………….…..212 6.39 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.3……………………………………………………………………..…….……..213 6.40 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.4………………………………………………………………….…………..……213 6.41 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.5……………………………………………………………………….……...….214 6.42 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.6……………………………………………………………………………………214 7.1 การหาจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุ…………………………………………………………………………………..…….220 7.2 การหาจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ………………………………………………………………………….……..220 XIII

สารบัญรูป (ต่อ)

รูปที่ หน้า 7.3 การหาจุดเซนทรอยด์ของปริมาตร…………………………………………………………………………………221 7.4 การหาจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่…………………………………………………………………………..…….…..222 7.5 การหาจุดเซนทรอยด์ของเส้น……………………………………………………………………………..…..……223 7.6 ประกอบตัวอย่างที่ 7.1…………………………………………………………………………………………...…..224 7.7 ประกอบตัวอย่างที่ 7.2…………………………………………………………………………………………...…..225 7.8 ประกอบตัวอย่างที่ 7.3………………………………………………………………………………………..……...226 7.9 ประกอบตัวอย่างที่ 7.4………………………………………………………………………………………….…….228 7.10 ประกอบตัวอย่างที่ 7.5……………………………………………………………………………………….………230 7.11 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.1…………………………………………………………………………….…….…232 7.12 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.2………………………………………………………………………….……..…..232 7.13 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.3……………………………………………………………………………..….…..233 7.14 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.4……………………………………………………………………………………..233 7.15 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.5……………………………………………………………………….…………….234 7.16 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.6……………………………………………………………………………….…….234 7.17 ประกอบตัวอย่างที่ 7.6…………………………………………………………………………………………….…236 7.18 การแยกชิ้นส่วนประกอบตัวอย่างที่ 7.6…………………………………………………………………..……236 7.19 ประกอบตัวอย่างที่ 7.7…………………………………………………………………………………………..…..237 7.20 การแยกชิ้นส่วนประกอบตัวอย่างที่ 7.7………………………………………………………………………..238 7.21 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.7……………………………………………………………………………….…….239 7.22 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.8……………………………………………………………………….…………....239 7.23 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.9………………………………………………………………………….……..…..240 7.24 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.10……………………………………………………………………………….…..240 7.25 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.11……………………………………………………………………….……..……241 7.26 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.12………………………………………………………………………………..….241 7.27 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.13……………………………………………………………………………………241 7.28 ชนิดของคานในทางสถิตยศาสตร์…………………………………………………………………………….…..242 7.29 คานที่รับแรงกระทาเป็นบริเวณ…………………………………….………………………………………..……243 7.30 แรงรวมของแรงกระทาเป็นบริเวณที่กระทากับคาน……………………………………………………..…244 7.31 แรงกระทาเป็นบริเวณทั่วไปที่เกิดขึ้นกับคาน………………………………………………………….……..244 7.32 ประกอบตัวอย่างที่ 7.8……………………………………………………………………………………………....245 7.33 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 7.8………………………………………………………………………..……246 7.34 ประกอบตัวอย่างที่ 7.9………………………………………………………………………………………….……246 7.35 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 7.9……………………………………………………………………………..247 7.36 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.14……………………………………………………………………………………248 XIV

สารบัญรูป (ต่อ)

รูปที่ หน้า 7.37 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.15……………………………………………………………………..…………….248 7.38 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.16…………………………………………………………………………..……….248 7.39 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.17……………………………………………………………………………………249 7.40 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.18…………………………………………………………………………….……..249 7.41 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.19…………………………………………………………………………..……….249 7.42 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.1……………………………………………………………………………….…..251 7.43 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.2………………………………………………………………………………..….251 7.44 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.3……………………………………………………………………………...…..252 7.45 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.4…………………………………………………………………………..……….252 7.46 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.5……………………………………………………………………………….…..253 7.47 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.6……………………………………………………………………….……..……253 7.48 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.7……………………………………………………………………………..…….253 8.1 กลไกการเกิดแรงเสียดทานระหว่างวัตถุผิวแห้ง……………………………………………………………..258 8.2 ประกอบตัวอย่างที่ 8.1……………………………………………………………………………………………...261 8.3 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 8.1…………………………………………………………………………….261 8.4 ประกอบตัวอย่างที่ 8.2………………………………………………………………………………………………262 8.5 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 8.2…………………………………………………………………………….263 8.6 ประกอบตัวอย่างที่ 8.3………………………………………………………………………………………………263 8.7 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 8.3……………………………………………………………………..……..264 8.8 ประกอบตัวอย่างที่ 8.4………………………………………………………………………………………………265 8.9 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 8.4…………………………………………………………………………….265 8.10 ประกอบตัวอย่างที่ 8.5…………………………………………………………………………………………….…266 8.11 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 8.5…………………………………………………………………….……….267 8.12 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.1……………………………………………………………………………….….…269 8.13 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.2………………………………………………………………………….……..…..269 8.14 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.3………………………………………………………………………………...…..270 8.15 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.4…………………………………………………………………………………..…270 8.16 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.5……………………………………………………………………………….…….271 8.17 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.6………………………………………………………………………….……..…..271 8.18 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.1……………………………………………………………………………..…….273 8.19 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.2……………………………………………………………………………..…….273 8.20 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.3……………………………………………………………………………...……274 8.21 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.4…………………………………………………………………………..…….…274 8.22 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.5…………………………………………………………………………...……..275 XV

สารบัญรูป (ต่อ)

รูปที่ หน้า 8.23 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.6……………………………………………………………………………..…….275 9.1 งานที่เกิดจากแรง………………………………………………………………………………………………………279 9.2 งานที่เกิดจากโมเมนต์ของแรงคู่ควบ………………………………………………………………………..…..280 9.3 การคานวณหางานจากเงื่อนไขของงานเสมือน………………………………………………………….…..281 9.4 การหางานเสมือนกับคานที่รับแรง..........................................................................................282 9.5 ระบบของวัตถุแข็งเกร็งที่มีการเชื่อมต่อกัน……………………………………………………………………283 9.6 ประกอบตัวอย่างที่ 9.1………………………………………………………………………………………………285 9.7 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 9.1…………………………………………………………………………….285 9.8 ประกอบตัวอย่างที่ 9.2…………………………………………………………………………………………..….287 9.9 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 9.2…………………………………………………………………………….287 9.10 ประกอบตัวอย่างที่ 9.3…………………………………………………………………………………………….…289 9.11 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 9.3………………………………………………………………………….….289 9.12 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.1…………………………………………………………………………….……….291 9.13 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.2…………………………………………………………………………..……..….291 9.14 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.3……………………………………………………………………………….….…292 9.15 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.4…………………………………………………………………………….……….292 9.16 การหางานของการเคลื่อนที่ของกล่อง…………………………………………………………………………..293 9.17 การหางานที่เกิดจากแรงของสปริง……………………………………………………………………………....294 9.18 พลังงานศักย์ของความโน้มถ่วงของวัตถุ…………………………………………………………………….….295 9.19 พลังงานศักย์ของความยืดหยุ่นของสปริง……………………………………………………………………....296 9.20 การหาฟังก์ชันของศักยภาพของระบบ………………………………………………………………………….297 9.21 เสถียรภาพของความสมดุลของแผ่นจาน……………………………………………………………………….299 9.22 กราฟฟังก์ชันศักยภาพของระบบ……………………………………………………………………………..…..300 9.23 ประกอบตัวอย่างที่ 9.4………………………………………………………………………………………….……301 9.24 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 9.4……………………………………………………………………………..301 9.25 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.5……………………………………………………………………….……..……..304 9.26 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.6………………………………………………………………………………...…..304 9.27 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.7……………………………………………………………………………….…….305 9.28 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.8………………………………………………………………………….……..…..305 9.29 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 9.1………………………………………………………………………………...…307 9.30 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 9.2……………………………………………………………………….…….…...307 9.31 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 9.3……………………………………………………………………………..…….308 9.32 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 9.4…………………………………………………………………………..……….308 XVI

สารบัญตาราง

ตารางที่ หน้า 1.1 หน่วยการวัดพื้นฐานทางกลศาสตร์………………………………………………………………………………..…16 1.2 การแปลงหน่วยการวัดระหว่างหน่วยสากลและหน่วยอังกฤษ……………………………………………...17 1.3 คาอุปสรรคของหน่วยสากลที่นิยมใช้ในทางกลศาสตร์…………………………………………………….…..17 5.1 รูปแบบของแรงปฏิกิริยาที่กระทากับวัตถุแข็งเกร็งแบบ 2 มิต…ิ …………………………………….…..145 5.2 แรงปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นกับจุดรองรับแบบ 3 มิติที่แตกต่างกัน……………………………………….……..159

XVII

แผนบริหารการสอนประจาวิชา รหัสวิชา MT02202 ชื่อวิชา สถิตยศาสตร์ (Statics)

3(2-2-5)

คาอธิบายรายวิชา ศึกษาหลักการเบื้องต้นของกลศาสตร์ แรง และโมเมนต์ของแรง ระบบแรง และผลลัพธ์ของ ระบบแรง การสมดุลของอนุภาคและวัตถุแข็งเกร็ง การเขียนแผนภาพวัตถุอิสระ การวิเคราะห์แรงใน ชิ้นส่วนของโครงสร้างชิ้นส่วน ภาพวัตถุของเครื่องจักร แรงเสียดทาน จุดศูนย์ถ่วง จุดเซนทรอยด์ งานเสมือน ความเสถียร วัตถุประสงค์ทั่วไป เพื่อให้ผู้เรียนมีความสามารถดังนี้ 1. มีความรู้ ความเข้าใจเกี่ยวกับหลักเบื้องต้นของกลศาสตร์ 2. สามารถหาแรงและโมเมนต์ของแรงในระบบได้ 3. สามารถหาแรงลัพธ์และโมเมนต์ลัพธ์ที่เกิดในระบบได้ 4. มีความรู้ ความเข้าใจเกี่ยวกับความสมดุลของอนุภาคและวัตถุแข็งเกร็ง 5. สามารถเขียนผังวัตถุอิสระของแรงในระบบได้ 6. สามารถหาแรงในชิ้นส่วนของโครงสร้างได้ 7. สามารถหาแรงเสียดทานที่เกิดขึ้นในระบบได้ 8. มีความรู้ ความเข้าใจเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วง จุดเซนทรอยด์ ของอนุภาค 9. มีความรู้ ความเข้าใจเกี่ยวกับงานเสมือน ความมีเสถียรภาพของอนุภาค เนื้อหา บทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์ 1.1 บทนา 1.2 กลศาสตร์และวิวัฒนาการ 1.3 แนวคิดพื้นฐานทางกลศาสตร์ 1.4 ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ 1.5 กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน 1.6 หน่วยการวัดทางกลศาสตร์ 1.7 ขั้นตอนการวิเคราะห์ปัญหาทางกลศาสตร์ แบบฝึกหัดบทที่ 1 บทสรุป แบบทดสอบบทที่ 1 เอกสารอ้างอิง มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

4 ชั่วโมง

อาจารย์ สุทนิ พลบูรณ์

2 สถิตยศาสตร์ บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 2.1 บทนา 2.2 พื้นฐานของเวกเตอร์ แบบฝึกหัดตอนที่ 1 2.3 แรงในระบบ 2 มิติ แบบฝึกหัดตอนที่ 2 2.4 แรงในระบบ 3 มิติ แบบฝึกหัดตอนที่ 3 บทสรุป แบบทดสอบบทที่ 2 เอกสารอ้างอิง

8 ชั่วโมง

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 3.1 บทนา 3.2 การหาโมเมนต์แบบสเกลาร์ แบบฝึกหัดตอนที่ 1 3.3 ผลคูณแบบเวกเตอร์ 3.4 การหาโมเมนต์ด้วยผลคูณแบบเวกเตอร์ แบบฝึกหัดตอนที่ 2 บทสรุป แบบทดสอบบทที่ 3 เอกสารอ้างอิง

8 ชั่วโมง

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 4.1 บทนา 4.2 เงื่อนไขความสมดุลของอนุภาค 4.3 การเขียนผังวัตถุอิสระ แบบฝึกหัดตอนที่ 1 4.4 สมดุลในระบบ 2 มิติ แบบฝึกหัดตอนที่ 2 4.5 สมดุลในระบบ 3 มิติ แบบฝึกหัดตอนที่ 3 บทสรุป แบบทดสอบบทที่ 4 เอกสารอ้างอิง

8 ชั่วโมง

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แผนบริหารการสอนประจาวิชา 3 บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 5.1 บทนา 5.2 สมดุลในระบบ 2 มิติ แบบฝึกหัดตอนที่ 1 5.3 สมดุลในระบบ 3 มิติ แบบฝึกหัดตอนที่ 2 บทสรุป แบบทดสอบบทที่ 5 เอกสารอ้างอิง

8 ชั่วโมง

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 6.1 บทนา 6.2 โครงถักระนาบอย่างง่าย 6.3 วิธีการหาแรงในชิ้นส่วนโครงสร้าง แบบฝึกหัดตอนที่ 1 6.4 การหาแรงในโครงกรอบและเครื่องมือกล แบบฝึกหัดตอนที่ 2 บทสรุป แบบทดสอบบทที่ 6 เอกสารอ้างอิง

8 ชั่วโมง

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 7.1 บทนา 7.2 การหาจุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ แบบฝึกหัดตอนที่ 1 7.3 การหาจุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ของวัตถุผสม แบบฝึกหัดตอนที่ 2 7.4 แรงกระทาเป็นบริเวณ แบบฝึกหัดตอนที่ 3 บทสรุป แบบทดสอบบทที่ 7 เอกสารอ้างอิง

8 ชั่วโมง

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 8.1 บทนา 8.2 ชนิดของแรงเสียดทาน

4 ชั่วโมง

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทนิ พลบูรณ์

4 สถิตยศาสตร์ 8.3 แรงเสียดทานแห้ง แบบฝึกหัดบทที่ 8 บทสรุป แบบทดสอบบทที่ 8 เอกสารอ้างอิง บทที่ 9 งานเสมือน 8 ชั่วโมง 9.1 บทนา 9.2 หลักการพื้นฐานของงานเสมือน 9.3 หลักการพื้นฐานของงานเสมือนสาหรับระบบของวัตถุแข็งเกร็งที่เชื่อมต่อกัน แบบฝึกหัดตอนที่ 1 9.4 เสถียรภาพของความสมดุล แบบฝึกหัดตอนที่ 2 บทสรุป แบบทดสอบบทที่ 9 เอกสารอ้างอิง วิธีการสอนและกิจกรรม 1. นาเข้าสู่บทเรียนและบรรยายประกอบ Microsoft Word ของเนื้อหาในแต่ละบทเรียน 2. ให้นักศึกษาได้ซักถามเพิ่มเติมในประเด็นหรือหัวข้อทีเ่ ข้าใจไม่ชัดเจน 3. แบ่งกลุ่มนักศึกษาทาแบบฝึกหัดท้ายบทเรียนเพื่อทบทวนความรู้ในชั้นเรียน 4. แบ่งกลุ่มนักศึกษาเพื่อปฏิบัติตามใบงาน 5. มอบหมายงานให้ทาเป็นการบ้านเพื่อทบทวนความรู้ 6. แบบทดสอบ สื่อการเรียนการสอน 1. โปรแกรม Microsoft Word ใช้ประกอบการบรรยายเนื้อหา 2. เอกสารประกอบการสอนรายวิชาสถิตยศาสตร์ 3. เครื่องคอมพิวเตอร์ 4. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ 5. ใบงาน

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แผนบริหารการสอนประจาวิชา 5 การวัดและการประเมินผล การวัดผล 1) คะแนนระหว่างภาคเรียน (70%) ความสนใจในการเรียน แบบฝึกหัดท้ายบทเรียน ใบงานสถิตยศาสตร์ ทดสอบย่อย ทดสอบกลางภาค 2) คะแนนปลายภาคเรียน (30%) ทดสอบปลายภาค รวม การประเมินผล คะแนนระหว่าง คะแนนระหว่าง คะแนนระหว่าง คะแนนระหว่าง คะแนนระหว่าง คะแนนระหว่าง คะแนนระหว่าง คะแนนระหว่าง

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

80 – 100 75 – 79 70 – 74 65 – 69 60 – 64 55 – 59 50 – 54 0 – 49

5 5 20 20 20

คะแนน คะแนน คะแนน คะแนน คะแนน

30 100

คะแนน คะแนน

เกรด เกรด เกรด เกรด เกรด เกรด เกรด เกรด

A B+ B C+ C D+ D F

อาจารย์ สุทนิ พลบูรณ์

6 สถิตยศาสตร์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์ หัวข้อเนื้อหา 1.1 บทนา 1.2 กลศาสตร์และวิวัฒนาการ 1.3 แนวคิดพื้นฐานทางกลศาสตร์ 1.4 ปริมาณสเกลาร์และปริมารเวกเตอร์ 1.5 กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน 1.5.1 กฎของนิวตันที่เกี่ยวกับแรงดึงดูดระหว่างมวล 1.5.2 น้าหนักของวัตถุ 1.6 หน่วยการวัดทางกลศาสตร์ 1.6.1 การแปลงหน่วยการวัดทางกลศาสตร์ 1.6.2 คาอุปสรรคของหน่วยการวัดทางกลศาสตร์ 1.6.3 กฎการคานวณด้วยคาอุปสรรค 1.7 ขั้นตอนการวิเคราะห์ปัญหาทางกลศาสตร์ แบบฝึกหัดบทที่ 1 วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อเรียนจบบทนี้แล้วผู้เรียนควรมีความรู้และทักษะดังนี้ 1. อธิบายปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ 2. สามารถอธิบายกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน 3. สามารถคานวณหาน้าหนักของวัตถุ 4. สามารถแปลงหน่วยการวัดทางวิศวกรรมโดยใช้คาอุปสรรค 5. สามารถปฏิบัติการตามใบงานที่ 1 วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ผู้สอนนาเข้าสู่บทเรียนโดยการสอบถามถึงกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน 2. เฉลยกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันพร้อมเข้าสู่บทเรียนพื้นฐานกลศาสตร์ 3. ให้ผู้เรียนสอบถามข้อสงสัยในประเด็นที่ยังไม่เข้าใจ 4. แบ่งกลุ่มทาแบบฝึกหัดเพื่อทบทวนความรู้ 5. แบ่งกลุ่มปฏิบัติตามใบงานที่ 1 6. มอบหมายงานเพื่อให้ทาเป็นการบ้านเพื่อเพิ่มพูนความรู้ 7. แบบทดสอบ 8. เฉลยคาตอบแบบฝึกหัด 9. เฉลยคาตอบแบบทดสอบ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

8 สถิตยศาสตร์ สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาสถิตยศาสตร์ บทที่ 1 เรื่อง พื้นฐานกลศาสตร์ 2. โปรแกรม Microsoft Word ใช้ประกอบการบรรยายเนื้อหา 3. เครื่องคอมพิวเตอร์ 4. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ 5. ใบงานที่ 1 การวัดและการประเมินผล การวัดผล 1. สังเกตการเข้าร่วมกิจกรรมกลุ่มทาแบบฝึกหัด 2. จากการทาแบบฝึกหัด 3. จากการปฏิบัติตามใบงาน 4. จากการทาแบบทดสอบ การประเมินผล 1. ทากิจกรรรมได้แล้วเสร็จตามเวลาที่กาหนด 2. ทาแบบฝึกหัดได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 60 เปอร์เซ็นต์ 3. ปฏิบัติตามใบงานได้สาเร็จตามเวลา 4. ทาแบบทดสอบท้ายบทเรียนได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 60 เปอร์เซ็นต์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

9

บทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์ 1.1 บทนา

ในบทนี้ ก ล่ า วถึ ง วิ วั ฒ นาการและแนวความคิ ด พื้ น ฐานของกลศาสตร์ ความหมายของ ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งเป็นปริมาณทางวิศวกรรมที่มีความแตกต่างกัน ทาให้ผู้ศึกษา มีความเข้าใจและสามารถแยกปริมาณทั้งสองได้ อีกทั้งยังศึกษาถึงกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน อันเป็น กฎที่มีความสาคัญมากสาหรับการศึกษาวิชาสถิตยศาสตร์ และวิชาพลศาสตร์ กล่าวถึงการหาน้าหนัก ของวัตถุ และหน่ ว ยของการวัด ทางวิศวกรรม รวมทั้งได้ศึกษาถึงหลั กการแปลงหน่ ว ยการวัดทาง วิศวกรรม สุดท้าย แนะนาหลักการพื้นฐานในการแก้โจทย์ปัญหาในทางวิศวกรรม

1.2 กลศาสตร์และวิวัฒนาการ

กลศาสตร์ (Mechanics) เป็นวิทยาศาสตร์กายภาพแขนงหนึ่งที่ศึกษาเกี่ยวกับการหยุดนิ่งอยู่ กับที่หรือ การเคลื่ อนที่ของวัตถุเมื่อถูกแรงกระทา โดยทั่วไป กลศาสตร์แบ่งเป็น 3 แขนง ได้แก่ กลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็ง (rigid-body mechanics) กลศาสตร์การเสียรูปของวัตถุ (deformablebody mechanics) และ กลศาสตร์ของไหล (fluid mechanics) ในที่นี้จะศึกษากลศาสตร์ของวัตถุ แข็งเกร็ง ซึ่งเป็นพื้นฐานที่สาคัญในการศึกษากลศาสตร์การเสียรูปของวัตถุและกลศาสตร์ของไหล และยิ่งกว่านั้น กลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็งยังเหมาะกับการออกแบบและการวิเคราะห์ ชิ้นส่วนของ โครงสร้าง ส่วนประกอบของเครื่องมือทางกลหรืออุปกรณ์ทางไฟฟ้าที่ใช้ในงานทางวิศวกรรม กลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็งแบ่งออกเป็น 2 แขนง ได้แก่ สถิตยศาสตร์ (Statics) ทาการศึกษา เกี่ยวกับความสมดุลของวัตถุทั้งที่อยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่และพลศาสตร์ (Dynamics) จะ ศึกษาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มคี วามเร่ง กลศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์กายภาพที่เก่าแก่ที่สุดแขนงหนึ่ง ที่เป็นจุดเริ่มต้นสาหรับการศึกษา ทางด้านวิศวกรรมศาสตร์ โดยมีวิวัฒนามาจากการศึกษาของ อาร์คิมีดีส (287- 212 ปีก่อนคริสต ศักราช) กล่าวถึงกฎของคานดีด (the law of lever) ซึ่งสามารถนาไปใช้ประดิษฐ์เครื่องผ่ อนแรงชนิด ต่างๆ นอกจากนี้อาร์คิมีดีสยังค้นพบ “การหาความถ่วงจาเพาะ” (specific gravity) ของวัตถุที่มี รูปร่างขรุขระไม่เป็นไปตามรูปทรงทางเรขาคณิต ซึ่งเรียกว่า “หลักของอาร์คิมีดีส” (Archimedes's principle) หลักการนี้มีสาระสาคัญว่า “น้าหนักของวัตถุที่หายไปในน้าย่อมเท่ากับน้าหนักของน้าที่ถูก วัตถุนั้นแทนที่” และอาร์คิมีดีสยังได้ค้นพบกฎของแรงลอยตัว (Buoyancy) ที่กล่าวว่า “ถ้าวัตถุนั้น บางส่วนจมอยู่ในน้าและบางส่วนลอยอยู่เหนือน้า น้าหนักของวัตถุก้อนนั้นจะเท่ากับน้าหนักของน้าที่มี ปริมาตรเท่ากับส่วนจมของวัตถุนั้น ” จากหลักฐานและกฎเกณฑ์ที่บันทึกไว้ทาให้ อาร์คิมีดีสได้รับการ ยกย่องว่าเป็น “บิดาแห่งกลศาสตร์” (the father of mechanics) กาลิเลโอ กาลิเลอิ (1564-1642) ทดลองจับเวลาที่ลูกตุ้มแกว่งไปและกลับ ผลการทดลองพบว่า ได้ เ วลาเท่ า กั น ทุ ก ครั้ ง เมื่ อ เที ย บกั บ จั ง หวะการเต้ น ของหั ว ใจ กาลิ เ ลโอจึ ง ตั้ ง ชื่ อ การค้ น พบนี้ ว่ า กฎเพนดูลัม (Pendulum) หรือกฎการแกว่งของลูกตุ้ม ในปี ค.ศ. 1584 กาลิเลโอนาหลักการจากการ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

10 สถิตยศาสตร์ ทดลองครั้งนี้มาสร้างเครื่ องจับ เวลา ซึ่งต่อมาในปี ค.ศ. 1667 คริส เตียน ฮอยเกนส์ (Christian Huygens) ได้นากฎนี้มาสร้างนาฬิกาลูกตุ้ม (Pendulum clock) เรือนแรกได้สาเร็จ

รูปที่ 1.1 อาร์คิมีดีส (ที่มา : http://www.electron.rmutphysics.com/teaching-glossary/ index.php?option=com_content&task=view&id=2508&Itemid=11) เซอร์ ไอแซค นิวตัน (1642-1727) สร้างกฎแรงโน้มถ่วงสากลและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน จากการสั ง เกตผลแอปเปิ้ ล ที่ ต กจากต้ น เป็ น กฎวิ ท ยาศาสตร์ อั น เป็ น เสาหลั ก ของการศึ ก ษา วิทยาศาสตร์กายภาพ นิวตันแสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่ของวัตถุบนโลกและวัตถุบนท้องฟ้าล้วนอยู่ ภายใต้ก ฎธรรมชาติช นิ ดเดียวกัน โดยแสดงให้ เห็ น ความสอดคล้ อ งระหว่ างกฎการเคลื่ อนที่ ของ ดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ กับกฎแรงโน้มถ่วงของตน ซึ่งช่วยยืนยัน แนวคิดดวงอาทิตย์เป็นศูนย์กลาง จักรวาลและช่วยให้การปฏิวัติวิทยาศาสตร์ ก้าวหน้ายิ่งขึ้น และในเวลาต่อมากฎนี้ได้ถูกนามาใช้อย่าง แพร่หลายโดยนักวิทยาศาสตร์ เช่น อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์

รูปที่ 1.2 กาลิเลโอ กาลิเลอิ (ที่มา : http://www.lesa.biz/astronomy/cosmos/galileo) อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์ 11

รูปที่ 1.3 คริสเตียน ฮอยเกนส์ (ที่มา : http://sarakadeeclub.blogspot.com/2013/07/blog-post_6210.html) อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (1879-1955) เป็นนักทฤษฎีฟิสิกส์ชาวเยอรมันที่มีสัญชาติสวิสและอเมริกัน (ตามลาดับ) ซึ่งเป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวางว่าเป็นนักวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในคริสต์ศตวรรษ ที่ 20 เขาเป็น ผู้ เสนอทฤษฎีสั มพัทธภาพ และมีส่ว นร่ว มในการพัฒนากลศาสตร์ ควอนตัม และ จักรวาลวิทยา เขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิ กส์ในปี ค.ศ. 1921 จากการอธิบายปฏิกิริยาโฟโต อิเล็กทริก และ จากการทาประโยชน์แก่ทฤษฎีฟิสิกส์

รูปที่ 1.4 เซอร์ ไอแซค นิวตัน (ที่มา : http://writer.dek-d.com/oshitari/story/viewlongc.php?id= 417778&chapter=6)

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

12 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 1.5 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (ที่มา : http://megatopic.blogspot.com/2013/07/albert-einstein.html) มักซ์ พลังค์ (1858 - 1947) เป็นนักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน ผู้บุกเบิกการศึกษาทฤษฎีควอนตัม อัน เป็นส่วนสาคัญในการศึกษาฟิสิกส์สมัยใหม่ เขาได้ตั้งทฤษฎีฟิสิกส์ที่สาคัญต่อฟิสิกส์สมัยใหม่ คือ กฎการแผ่รังสีของวัตถุดาของพลังค์ รวมถึงค่าคงตัวของพลังค์ ซึ่งนับว่าขาดไม่ได้เลยสาหรับการศึกษา กลศาสตร์ควอนตัม มักซ์ พลังค์ ได้รับรางวัลโนเบล สาขาฟิสิกส์ ประจาปี ค.ศ. 1918 (มอบให้เมื่อปี ค.ศ. 1919) นอกจากนี้ สมาคมฟิสิกส์เยอรมันได้นาชื่อเขาไปตั้งชื่อรางวัล “เหรียญมักซ์ พลังค์” ซึ่ง เขาเป็นผู้ได้รับในปีแรกร่วมกับ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เมื่อปี ค.ศ. 1928

รูปที่ 1.6 มักซ์ พลังค์ (ที่มา : http://www.vcharkarn.com/vblog/59198)

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์ 13

รูปที่ 1.7 แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ (ที่มา : http://www.manacomputers.com/erwin-schrodinger/) แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ (1887 - 1961) เป็นนักทฤษฎีฟิสิกส์ชาวออสเตรีย มีชื่อเสียงในฐานะผู้ วางรากฐานกลศาสตร์ควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการชเรอดิงเงอร์ ซึ่งทาให้เขาได้รับรางวัลโนเบล สาขาฟิสิกส์ ในปี ค.ศ. 1933 ต่อมาปี ค.ศ. 1935 หลังจากได้ติดต่อคบหาและเป็นเพื่อนกับ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ และได้เสนอแนวคิดการทดลองในจินตนาการ เรื่อง แมวของชเรอดิงเงอร์ เวิร์นเนอร์ ไฮเซนเบิร์ก (1901- 1976) เป็นนักฟิสิกส์ชาวเยอรมันที่มีชื่อเสียงที่สุดของวงการ ฟิสิกส์โลก เขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ประจาปี ค.ศ.1932 ขณะมีอายุเพียง 31 ปี เป็นผู้ที่มี บทบาทสาคัญต่อการพัฒนาทฤษฎีควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง “The Uncertainty Principle” หรือ หลักความไม่แน่นอน ซึ่งเป็น หลักการสาคัญของทฤษฎีควอนตัม และเป็นส่วนที่ทาให้ไอน์สไตน์ ไม่สู้จะสบายใจ เพราะไอน์สไตน์ไม่ชอบความไม่แน่นอน และเป็นอุปสรรคสาคัญสาหรับการรวมแรง พื้นฐาน 4 ชนิด เข้าด้วยกัน

1.3 แนวคิดพื้นฐานทางกลศาสตร์

ก่อนที่จะศึกษาวิชากลศาสตร์วิศวกรรม ภาคสถิตยศาสตร์ มี ความจาเป็นต้องเข้าใจแนวคิด และคาจากัดความพื้นฐาน ดังต่อไปนี้ ปริภูมิ (Space) เป็นมิติที่ระบุตาแหน่งของวัตถุ โดยสามารถบอกได้เป็นพิกัด ด้วยการวัด อ้างอิงกับระบบพิกัดแบบต่างๆ เช่น ปัญหาสามมิติ วัดเป็น x  y  z หรือ r    z สาหรับปัญหา สองมิติวัดเป็น x  y หรือ r   เป็นต้น เวลา (Time) เป็นการวัดความต่อเนื่องของเหตุการณ์ “เวลา” เป็นปริมาณพื้นฐานที่สาคัญใน การศึกษาพลศาสตร์ แต่ไม่จาเป็นต้องคานึงถึงในการศึกษาวิชาสถิตยศาสตร์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

14 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 1.8 เวิร์นเนอร์ ไฮเซนเบิร์ก (ที่มา : http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/4/ 10-physicist/index5.htm) มวล (Mass) เป็นปริมาณความเฉื่อยของวัตถุ เป็นตัวบอกถึงความต้านทานการเปลี่ยนแปลง ความเร็วของวัตถุ มวลเมื่อพิจารณาอีกด้านหนึ่งได้เป็น ปริมาณของสสารที่อยู่ในวัตถุ สาหรับมวล 2 ชิ้น จะมีแรงดึงดูดระหว่างกันเกิดขึ้นเสมอ ขนาดของแรงดึงดูดนี้จะขึ้นอยู่กับขนาดของมวล โดยมวล ขนาดใหญ่จะมีแรงดึงดูดมากกว่ามวลขนาดเล็ก แรง (Force) เป็นการกระทาของวัตถุหนึ่งต่อวัตถุอื่น วัตถุที่ได้รับแรงกระทาจะเกิดการ เคลื่อนที่ไปตามทิศทางที่แรงกระทา เนื่องจากขนาด ทิศทาง และตาแหน่งที่แรงกระทา มีความสาคัญ ต่อวัตถุที่ได้รับแรง ดังนั้น แรงจึงเป็นปริมาณทีม่ ีทั้งขนาดและทิศทาง เรียกว่า “ปริมาณเวกเตอร์” อนุภาค (Particle) เป็นวัตถุที่มีมวลแต่ถือได้ว่ามีขนาดที่เล็กมากจนไม่ต้องนามาพิจารณา เช่น โลกมีขนาดเล็กมากเมื่อเปรียบเทียบกับขนาดของวงโคจรของโลก ดังนั้น โลกถือได้ว่าเป็นอนุภาคเมื่อ ทาการศึกษาถึงวงโคจรของโลก เมื่อวัตถุใดถูกพิจารณาว่าเป็นอนุภาค หลักพื้นฐานทางกลศาสตร์ระบุ เอาไว้ว่ารูปร่างของวัตถุนั้นไม่ต้องนามาพิจารณาวิเคราะห์ปัญหา ดังนั้น อนุภาคจึงถือว่ามีมวลรวมอยู่ ที่จุดเดียว วัตถุแข็งเกร็ง (Rigid body) สาหรับวัตถุแข็งเกร็งเป็นการรวมตัวกันของอนุภาคหลายอนุภาค โดยอนุภาคเหล่านั้นมีตาแหน่งที่แน่นอนทั้งก่อนและหลังถูกแรงกระทา รูปแบบนี้มีความสาคัญมาก เพราะคุณสมบัติของวัสดุของวัตถุใดที่ถูกสมมุติให้เป็นวัตถุแข็งเกร็ง จะไม่ถูกนามาพิจารณาเมื่อศึกษา ถึงผลของแรงที่กระทากับวัตถุนั้น โดยทั่วไป การเสียรูปที่แท้จริงเกิดในโครงสร้างเครื่องจักรกล กลไก ของเครื่องจักรกลมีขนาดที่น้อยมาก และ การสมมุติให้เป็นวัตถุแข็งเกร็งจึงมีความเหมาะสมสาหรับ การวิเคราะห์

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์ 15

1.4 ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์

ปริมาณสเกลาร์ หมายถึง ปริมาณทางฟิสิกส์ที่ระบุให้ทราบถึงขนาด เช่น เวลา ปริมาตร ความ หนาแน่น พลังงาน มวล และความยาว ปริมาณเวกเตอร์ หมายถึง ปริมาณทางฟิสิกส์ที่ต้องระบุให้ทราบทั้งขนาดและทิศทางถึงจะ เพียงพอ เช่น การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง แรง โมเมนต์ และ โมเมนตัม

1.5 กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

เซอร์ ไอแซค นิ วตัน เป็น นักวิทยาศาสตร์ คนแรกที่อธิบายกฎพื้นฐานของการเคลื่อนที่ของ อนุภาคได้อย่างถูกต้องและถูกนามาใช้อย่างกว้างขวาง กฎของนิวตันมี 3 ข้อ ดังนี้ กฎข้อที่ 1 กล่าวว่า “อนุภาคจะหยุดนิ่งอยู่กับที่หรือเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็ว ที่คงที่ตราบที่ยัง ไม่มีแรงมากระทากับอนุภาคนั้น” จากกฎข้อที่ 1 ของนิวตัน สามารถเขียนเป็นสมการได้เป็น  (1.1) F  0 กฎข้อที่ 2 กล่าวว่า “ความเร่งของอนุภาคจะเป็นสัดส่วนกับเวกเตอร์ของแรงที่กระทากับ อนุภาคและจะมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ของแรงนั้น ” จากกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน สามารถเขียนเป็น สมการได้เป็น F  ma (1.2) กฎข้อที่ 3 กล่าวว่า “แรงกิริยาและแรงปฏิกิริยาระหว่างพื้นผิวสัมผัสของวัตถุใดๆจะมีขนาด เท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม และอยู่ในแนวเดียวกัน” 1.5.1 กฎของนิวตันเกี่ยวกับแรงดึงดูดระหว่างมวล กฎของนิวตันเกี่ยวกับ แรงดึงดูดระหว่างอนุภาคสองอนุภาคตามรูปที่ 1.9 สามารถ เขียนสมการได้เป็น F G

โดยที่

m1m2 r2

(1.3)

เป็นแรงดึงดูดระหว่างอนุภาคสองอนุภาค, N G = ค่าคงตัวของความโน้มถ่วง, G  66.73 10 12 m3 m1, m2  มวลของอนุภาคทั้งสอง, kg r  รัศมีระหว่างอนุภาคทั้งสอง, m F=

kg  s 2

รูปที่ 1.9 แรงดึงดูดระหว่างวัตถุสองชิ้น

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

16 สถิตยศาสตร์ 1.5.2 น้าหนักของวัตถุ จากสมการแรงดึงดูดระหว่างอนุภาคสองอนุภาคของนิวตันดังสมการ (1.3) สามารถหา น้าหนัก W ของอนุภาคใดๆที่มีมวล m1  m ถ้าหากสมมติว่าความหนาแน่นของโลกมีค่าคงที่และมี มวล m2  M e ถ้า r เป็นระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลางของโลกกับอนุภาคใดๆ จะได้ว่า W G

m Me

(1.4)

r2

กาหนดให้ g  GM e r ดังนั้น น้าหนักของวัตถุหาได้จากสมการ 2

(1.5) โดยน้าหนัก W มีหน่วยเป็นนิวตัน (N ) เมื่อมวล m มีหน่วยเป็นกิโลกรัม (kg) และ ความเร่งเนื่องจากแรงดึงดูดของโลก g มีค่าเท่ากับ 9.81 หน่วยเป็น (m s 2 ) ในระบบหน่วยสากล และน้าหนัก W มีหน่วยเป็นปอนด์ (lb ) เมื่อมวล m มีหน่วยเป็น slug (lb.s 2 ft ) และความเร่ง เนื่องจากแรงดึงดูดของโลก g มีค่าเท่ากับ 32.2 หน่วยเป็น ( ft s 2 ) ในระบบหน่วยอังกฤษ W  mg

1.6 หน่วยการวัดทางกลศาสตร์

ในทางกลศาสตร์มีหน่วยการวัดพื้นฐานอยู่ 4 ปริมาณ คือ ความยาว มวล แรง และ เวลา สาหรับหน่วยการวัดที่ใช้มี 2 ระบบหน่วย คือ หน่วยสากล และ หน่วยอังกฤษ รายละเอียด แสดง ดังตารางที่ 1.1 ตารางที่ 1.1 หน่วยการวัดพื้นฐานทางกลศาสตร์ หน่วยการวัด ความยาว หน่วยสากล เมตร m หน่วยอังกฤษ ฟุต  ft 

เวลา วินาที s  วินาที s 

มวล กิโลกรัม kg สลัก slug 

แรง นิวตัน N  ปอนด์ lb 

1.6.1 การแปลงหน่วยการวัดทางกลศาสตร์ ปริมาณในทางกลศาสตร์ แรง มวล และความยาว สามารถแปลงค่าระหว่างหน่วยการ วัดได้ดังตารางที่ 1.2

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์ 17 ตารางที่ 1.2 การแปลงหน่วยการวัดระหว่างหน่วยสากลและหน่วยอังกฤษ ปริมาณ หน่วยอังกฤษ แรง 1 lb 1 slug มวล ความยาว 1 ft

หน่วยสากล 4.448 N 14.594 kg 0.305 m

1.6.2 คาอุปสรรคของหน่วยการวัดทางกลศาสตร์ ปริมาณในทางกลศาสตร์จะมีได้ทั้งปริมาณมากหรือปริมาณน้อย หน่วยสากลนิยมใช้ คาอุปสรรค (Prefix) แทนปริมาณเหล่านั้น โดยคาอุปสรรคในหน่วยสากลที่นิยมใช้ในทางกลศาสตร์ แสดงได้ดังตารางที่ 1.3 ตารางที่ 1.3 คาอุปสรรคของหน่วยสากลที่นิยมใช้ในทางกลศาสตร์ เลขยกกาลัง คาอุปสรรค 10

9

10 6 10 3

10 2 10 3 10 6

10 9

จิกะ เมกะ กิโล เซนติ มิลลิ ไมโคร นาโน

สัญลักษณ์ G

M k c m

 n

1.6.3 กฎการคานวณด้วยคาอุปสรรค สาหรั บ การคานวณทางวิศวกรรมจะมีเทอมของคาอุป สรรคอยู่ เสมอ ดังนั้ น กฎการ คานวณด้วยเทอมที่มีคาอุปสรรคล้วนต้องพิจารณาเป็นประเด็นหลักโดยเฉพาะหน่วยสากล 1) ปริมาณที่ประกอบด้วยผลคูณของหลายหน่วยจะใช้สัญลักษณ์จุด (dot) เพื่อแยก ออกจากปริมาณที่ประกอบด้วยคาอุปสรรคที่แตกต่างกัน เช่น N  kg  m s 2  kg  m  s 2 ดังนั้น m s หมายถึง meter-second ขณะที่ m s หมายถึง milli-second 2) เลขชี้กาลั งของหน่ว ยที่ป ระกอบด้วยคาอุปสรรคหมายความว่า ทั้งหน่ว ยและ คาอุปสรรค ต่างมีเลขชี้กาลังตัวเดียวกัน เช่น  N 2  N 2  N  N เช่นเดียวกับ mm2 หมายความว่า (mm) 2  mm  mm 3) ข้อยกเว้นของหน่วยพื้นฐาน กิโลกรัม kg โดยทั่วไปไม่ใช้สาหรับคาอุปสรรคที่เป็น ตัวหาร ในกรณีปริมาณนั้นมีหน่วยหลายหน่วย เช่น จะไม่เขียน N mm แต่จะเขียนเป็น kN m เช่นเดียวกับ m mg จะเขียนเป็น M m kg มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

18 สถิตยศาสตร์ 4) เมื่อการคานวณมีการกระจายเทอมของคาอุปสรรคทั้งหมดอยู่ในเทอมของฐาน 10 ยกกาลัง ผลลัพธ์สุดท้ายต้องเขียนให้อยู่ในรูปของคาอุปสรรคตัวเดียว ดังนั้น หลังจากการคานวณต้อง ทาให้ค่าที่ได้อยู่ระหว่าง 0.1 และ 1000 อย่างไรก็ตาม คาอุปสรรคก็ต้องเลือกให้เหมาะสม เช่น 50kN 60nm   50103 N  6010 9 m





 3000 10 6 N  m





 3 10 3 N  m  3 mN  m

1.7 ขัน้ ตอนการวิเคราะห์ปัญหาทางกลศาสตร์

หลักการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ให้มีประสิทธิภาพ ให้ผู้เรียนทาตามขั้นตอนดังนี้ 1) อ่านโจทย์ให้เข้าใจว่าโจทย์ถามหาอะไร 2) รวบรวมข้อมูลที่ได้จากโจทย์และเขียนไดอะแกรมต่างๆที่จาเป็น 3) ประยุกต์ใช้ทฤษฏีที่เกี่ยวข้องและใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้องในการแก้ปัญหา 4) แก้ปัญหาจากสมการที่ได้ 5) ศึกษาคาตอบที่ได้โดยอาศัย หลักการทางด้านวิทยาศาสตร์ที่มีอยู่ว่ามีความเป็นไปได้ หรือไม่ แล้วสรุปคาตอบนั้น

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์ 19 ตัวอย่างที่ 1.1 จงแปลง 5 km/ h ให้เป็น m / s วิธีทา เนื่องจาก 1 km  1000 m และ 1 h  3600 s ดังนั้น สามารถแปลงหน่วยได้เป็น 5 km / h 



5 km  1000 m  1 h     h  1km  3600 s 

5000 m 3600 s

1.39 m / s

Ans.

ตัวอย่างที่ 1.2 จงหาผลลัพธ์และเขียนคาอุปสรรคในแต่ละข้อให้เหมาะสม 2 a) 50mN 6 GN  c) 45MN 3 / 900 Gg b) 400 mm0.6 MN  วิธีทา ในตอนแรกให้แปลงแต่ละจานวนให้อยู่ในหน่วยพื้นฐานแล้วทาการคานวณ หลังจากนั้นให้เลือก คาอุปสรรคที่เหมาะสม a)

50mN 6 GN 

      

 50 10 3 N 6 10 9 N

 

 300 10 6 N 2

 

 1kN  1kN   300 10 6 N 2  3  3   10 N  10 N   300 kN 2

ข้อสังเกต: จะพบว่า

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

kN  kN   10 N 2

2

6

2

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

20 สถิตยศาสตร์ b)

      

400 mm0.6 MN 2

 400 10 3 m 0.6 106 N

2

      

 400 10 3 m 0.36 1012 N 2

 

 144 109 m  N 2  144 G m  N 2

Ans.

สามารถตอบได้อีกรูปแบบเป็น

 

 

 1MN  1MN  144 109 m  N 2  144 109 m  N 2  6  6   0.144 m  MN 2  10 N  10 N 

c) 45 MN 3 900 Gg

   

3

45 10 6 N  900 10 6 kg

   

45 1018 N 3  9 10 8 kg

 

 5 10

10

   

45 1018 N 3 900 10 6 kg

 

 5 1010 N 3 / kg

 1 kN  N  3   10 N  3

 50 kN 3 / kg

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์



Ans.

3

 1   1 kN     50 10 9 N 3  3   10 N   kg 

 

3

 1     kg  Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์ 21 ตัวอย่างที่ 1.3 จงคานวณหาน้าหนักของรถยนต์ในหน่วยนิวตันเมื่อรถยนต์มีมวล 1500 kg พร้อมกันนี้ให้แปลง หน่วยมวลของรถยนต์ให้เป็นหน่วย slug และ คานวณน้าหนักในหน่วยปอนด์

รูปที่ 1.10 ประกอบตัวอย่างที่ 1.3 (ที่มา : http://www.macthai.com/2014/01/23/all-new-honda-city-2013-thai-withsiri-eye-free-iphone-ipad/) วิธีทา

1) จากความสัมพันธ์ น้าหนักของรถยนต์จะได้ W  mg  15009.81  14715 N Ans. 2) จากตารางที่ 1.2 จะได้ว่า มวล 1 slug เท่ากับ 14.594 kg ดังนั้น สามารถแปลงมวลของ รถยนต์ให้เป็นหน่วย slug ได้เป็น  1slug  m  1500 kg   102.782 slugs 14.594 kg 

3) คานวณน้าหนักในหน่วยปอนด์ได้จากความสัมพันธ์ W  mg  102.78232.2  3310 lb หรือ สามารถคานวณได้จากตารางที่ 1.2 จะพบว่า 1 lb เท่ากับ 4.448 N  1lb  W  14715 N    3310 lb  4.448 N 

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

Ans.

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

22 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 1.4 จงใช้ กฎของแรงดึ งดู ด ระหว่ า งมวลของนิ ว ตั น ค านวณหาน้ าหนั ก ของชายคนหนึ่ งที่ มี ม วล 70 kg ซึ่งยืนอยู่ที่ผิวโลก หลังจากนั้นทาการคานวณโดยใช้ความสัมพันธ์ W  m g เมื่อกาหนดให้ มวลของโลกเท่ากับ me  5.976 10 24 kg และรัศมีของโลกเท่ากับ R  6371 km

รูปที่ 1.11 ประกอบตัวอย่างที่ 1.4 (ที่มา : http://region3.prd.go.th/Environment/index.php/2010-09-16-08-44-20/62010-09-16-08-43-32.html) วิธีทา จะได้

1) หาน้าหนักของชายคนนั้นโดยใช้กฎของแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน จากสมการ (1.3) W







Gme m 6.673  10 11 5.976  10 24 70   688 N 2 R2 6371 10 3





Ans.

2) หาน้าหนักของชายคนนั้นโดยอาศัยสมการ (1.5) จะได้ W  m g  709.81  687 N

Ans.

ข้อสังเกต จากการคานวณน้าหนักโดยใช้สมการ (1.3) และ (1.5) ได้น้าหนักแตกต่างกัน 1 N ถือว่าแตกต่างกัน น้ อยเมื่อเปรี ยบเทียบกับน้ าหนัก ที่คานวณได้ จึงถือว่ายอมรั บ ได้ ดังนั้ น ในการ คานวณหาน้าหนักของวัตถุจึงนิยมคานวณโดยใช้สมการ (1.5) จะมีความสะดวกกว่า

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์ 23

แบบฝึกหัดบทที่ 1

1.1 จงแปลงค่าในหน่วยสากล ให้อยู่ในรูปที่ถูกต้อง 1) MN 2) N m 3) MN ks2 4) kN ms 1.2 จงแปลงค่าในหน่วยสากล ให้อยู่ในรูปที่ถูกต้อง 3) 0.00532 km 1) 0.000431kg 2) 35.3 103 N 1.3 จงแปลงค่าในหน่วยสากล ให้อยู่ในรูปที่ถูกต้อง 1) Mg ms 2) N mm 3) mN kg  s  1.4 จงแปลงค่าในหน่วยสากล ให้อยู่ในรูปที่ถูกต้อง 1) kN s 2) Mg / mN 3) MN kg  ms 1.5 ถ้ารถยนต์คันหนึ่งวิ่งไปด้วยความเร็ว 88 km/ h จงหาความเร็วของรถคันนี้ในหน่วย m / s 1.6 จงแปลงน้าหนักของวัตถุให้อยู่ในหน่วยนิวตัน เมื่อทราบมวลของวัตถุ โดยใช้ทศนิยม 3 ตาแหน่ง และใช้คาอุปสรรคที่เหมาะสม 1) 10 kg 2) 0.5 g 3) 4.50 Mg 1.7 จงหาผลลัพธ์สุทธิโดยใช้ทศนิยม 3 ตาแหน่งในหน่วยสากล โดยใช้คาอุปสรรคที่เหมาะสม 1) 354 mg45 km/0.0356 kN  2) 0.00453 Mg 201ms 3) 435 MN / 23.2 mm 1.8 จงหามวลของวัตถุในหน่วย kilogram เมื่อทราบน้าหนัก โดยใช้ทศนิยม 3 ตาแหน่ง 1) 20 mN 2) 150 kN 3) 60 MN 1.9 จงหาผลลัพธ์สุทธิโดยใช้ทศนิยม 3 ตาแหน่งในหน่วยสากล โดยใช้คาอุปสรรคที่เหมาะสม 1) 0.631 Mm 8.60 kg2 2) 35 mm2 48 kg3 1.10 จงหาผลลัพธ์ของ 204 mm0.00457 kg 34.6 N  โดยใช้ทศนิยม 3 ตาแหน่ง ในหน่วย สากล และใช้คาอุปสรรคที่เหมาะสม 1.11 จงหาน้าหนักของคานในหน่วยนิวตันและปอนด์เมื่อมวลของคานเท่ากับ 75 kg 1.12 จงหาน้าหนักในหน่วยนิวตันของหญิงคนหนึ่งที่มีน้าหนักเท่ากับ 130 lb พร้อมทั้งหามวล ของเธอในหน่วย slug และ kilogram 1.13 จงบอกชนิดของปริมาณที่ขีดเส้นใต้ว่าเป็นปริมาณสเกลาร์หรือปริมาณเวกเตอร์ พร้อมให้เหตุผล ประกอบการตัดสินใจ 1) เมื่อตอนบ่ายอาจารย์ให้ทดลองการเกิดโมเมนตัมของวัตถุสองชนิดที่ชนกัน 2) นักฟุตซอลทีมชาติไทยคนหนึ่งเตะบอลด้วยความเร็ววัดได้ 90 km/ h 3) นักศึกษาคนหนึ่งทดลองวัดความหนาแน่นของน้าหวานชนิดหนึ่งได้ 1.215 kg / m3 4) นักมวยคนหนึ่งออกแรงชกคู่ต่อสู้ด้วยขนาด 250 N 1.14 ใช้แรงขนาด 125 N ผลักกล่องใบหนึ่งที่มีมวล 3 kg ให้วิ่งไปตามราง อยากทราบว่ากล่อง ใบนี้จะเคลื่อนที่ไปด้วยความเร่งขนาดเท่าใด 1.15 จงอธิบายกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันมาให้เข้าใจพอสังเขป

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

24 สถิตยศาสตร์

บทสรุป

1) วิชาสถิตยศาสตร์เป็นการศึกษาถึงวัตถุที่อยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ 2) อนุภาคมีมวลแต่มีขนาดที่น้อยมากจนไม่ต้องพิจารณาในการคานวณ 3) วัตถุแข็งเกร็งต้องพิจารณาขนาดและรูปร่าง โดยรูปร่างไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อถูกแรงใดๆ กระทา 4) กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันมี 3 ข้อ 5) กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันสามารถเขียนเป็นสมการได้เป็น F  m a 6) น้าหนักของวัตถุใดๆสามารถคานวณได้จากสมการ W  m g 7) ในหน่วยสากลจะได้หน่วยของแรงเป็น นิวตัน ซึง่ เป็นหน่วยที่ได้มาจากการผสมของหลายๆ หน่วย แต่หน่วย เมตร วินาที และ กิโลกรัม เป็นหน่วยพื้นฐาน 8) G, M , k , c, m,  และ n เป็นคาอุปสรรคที่นิยมใช้ในทางวิศวกรรม 9) การคานวณเกี่ยวกับหน่วยการวัดทางวิศวกรรมต้องทาการแปลงหน่วยให้อยู่ในรูปที่ เหมาะสมเสมอ

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 1 พื้นฐานกลศาสตร์ 25

แบบทดสอบบทที่ 1

1.1 สามารถบอกได้วา่ ข้อใดเป็นปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์พร้อมให้เหตุผลประกอบ 1) เมื่อเช้านายทองใสขับรถไปทางานด้วยความเร็ว 120 km/ h 2) นายทองใสจอดรับเพื่อนคนหนึ่งระหว่างทางที่มีมวล 65 kg 3) ระหว่างทางได้จอดซื้อน้าอัดลมมาฝากที่ทางานขวดหนึ่งมีปริมาตร 120 CC 4) ใกล้ได้เวลาทางานแล้วเขาจึงเร่งเครื่องขึ้นไปเป็น 10 m / s 2 5) รวมเวลาที่เขาเดินทางมาทางานทั้งสิ้น 55 นาที 1.2 จงใช้สมการการเคลื่อนที่ของนิวตันอธิบายว่า ระหว่างกล่องบรรจุเหล็กเส้นที่มีมวล 120 kg และกล่องดินสอสีที่มีมวล 61 kg กล่องไหนจะวิ่งไปด้วยความเร่งมากกว่ากัน เมื่อออกแรงผลัก กล่องเท่าๆกัน 1.3 จงคานวณหามวลของเครื่องกลึงในหน่วยกิโลกรัม เมื่อเครื่องกลึงมีน้าหนักเท่ากับ 1500 lb พร้อมทั้งหาน้าหนักในหน่วยนิวตัน 1.4 จงแปลงค่าในหน่วยสากลให้อยู่ในรูปที่เหมาะสม 1) MN / s 2) mg /MN s  3) kN m /ms 1.5 จงแปลงมวลของวัตถุให้อยู่ในหน่วย slug เมือ่ ทราบมวลของวัตถุ 1) 5 kg 2) 1.2 g 3) 12 Mg 1.6 จงหาผลลัพธ์สุทธิโดยใช้ทศนิยม 3 ตาแหน่งในหน่วยสากลและใช้คาอุปสรรคที่เหมาะสม 1) 450 mg  /45 kN 30 ms 2) 550 kN  s  / mm2 1.7 จงหาผลลัพธ์สุทธิโดยใช้ทศนิยม 3 ตาแหน่งในหน่วยสากลและใช้คาอุปสรรคที่เหมาะสม 1) 50 ms /12 kN 5 mm2 2) 12 mm2 30 kg /45 kN 2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

26 สถิตยศาสตร์

เอกสารอ้างอิง

มนตรี พิรุณเกษตร. (2554). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. วีระศักดิ์ กรัยวิเชียร และ คณะ. (2551). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons. http://www.electron.rmutphysics.com/teaching- glossary/index.php?option=com_ content&task=view&id=2508&Itemid=11 http://www.lesa.biz/astronomy/cosmos/galileo http://writer.dek-d.com/oshitari/story/viewlongc.php?id=417778&chapter=6 http://megatopic.blogspot.com/2013/07/albert-einstein.html http://sarakadeeclub.blogspot.com/2013/07/blog-post_6210.html http://www.vcharkarn.com/vblog/59198 http://www.manacomputers.com/erwin-schrodinger http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/4/10-physicist/index5.htm http://www.macthai.com/2014/01/23/all-new-honda-city-2013-thai-with-siri-eye-freeiphone-ipad/ http://region3.prd.go.th/Environment/index.php/2010-09-16-08-44-20/6-2010-09-1608-43-32.html

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง หัวข้อเนื้อหา 2.1 บทนา 2.2 พื้นฐานของเวกเตอร์ 2.2.1 การเขียนเวกเตอร์ 2.2.2 การบวกเวกเตอร์ 2.2.3 การลบเวกเตอร์ 2.2.4 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ 2.2.5 การแตกเวกเตอร์ 2.2.6 การหามุมของเวกเตอร์ 2.2.7 การหาขนาดของเวกเตอร์ 2.2.8 การหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย 2.2.9 เวกเตอร์บอกตาแหน่ง 2.2.10 การคูณแบบสเกลาร์ 2.3 แรงในระบบ 2 มิติ 2.3.1 ส่วนประกอบของแรงในพิกัดฉาก 2.3.2 การบวกเวกเตอร์ของแรง 2.3.3 แรงลัพธ์ของระบบ แบบฝึกหัดตอนที่ 1 2.4 แรงในระบบ 3 มิติ 2.4.1 ส่วนประกอบของแรงในพิกัดฉาก 2.4.2 เวกเตอร์ของแรงที่กระทาผ่านจุดสองจุด 2.4.3 แรงลัพธ์ของระบบ แบบฝึกหัดตอนที่ 2 วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว ผู้เรียนควรมีความรู้และทักษะดังนี้ 1. สามารถระบุขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ที่กระทากับจุดใดๆได้ 2. สามารถบวกเวกเตอร์และหาส่วนประกอบของเวกเตอร์ด้วยสูตรตรีโกณมิติได้ 3. คานวณหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ทั้งระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ ได้ 4. สามารถหาระยะระหว่างจุดสองจุดด้วยเวกเตอร์บอกตาแหน่งได้ 5. ประยุกต์ใช้ผลคูณแบบสเกลาร์ในการหาขนาดของแรงลัพธ์ได้

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

28 สถิตยศาสตร์ วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ผู้สอนนาเข้าสู่บทเรียนและรายละเอียดของบทเรียนเกี่ยวกับเรื่องเวกเตอร์, ระบบแรง และการดาเนินการเกี่ยวกับเวกเตอร์และระบบแรงพร้อมยกตัวอย่างอธิบายการคานวณ 2. ให้ผู้เรียนสอบถามข้อสงสัยในประเด็นที่ยังไม่เข้าใจ 3. แบ่งกลุ่มทาแบบฝึกหัดเพื่อทบทวนความรู้ 4. มอบหมายงานการบ้านให้ทบทวนความรู้ 5. ปฏิบัติตามใบงานที่ 2 - 3 6. ทาแบบทดสอบ 7. เฉลยคาตอบแบบฝึกหัด 8. เฉลยคาตอบแบบทดสอบ สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาสถิตยศาสตร์ บทที่ 2 2. โปรแกรม Microsoft Word ใช้ประกอบการบรรยายเนื้อหา 3. เครื่องคอมพิวเตอร์ 4. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ 5. ใบงานที่ 2 - 3 การวัดและการประเมินผล การวัดผล 1 จากการทาแบบฝึกหัด 2. จากการส่งการบ้าน 3. การปฏิบัติตามใบงาน 4. จากการทาแบบทดสอบ การประเมินผล 1. ทาแบบฝึกหัดได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์ 2. ทาการบ้านได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 75 เปอร์เซ็นต์ 3. ปฏิบัติใบงานได้สาเร็จตามเวลาที่กาหนด 4. ทาแบบทดสอบท้ายบทเรียนได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 75 เปอร์เซ็นต์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 2.1 บทนา

ในบทนี้กล่าวถึงพื้นฐานของเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์ การหาขนาดและมุมของเวกเตอร์โดยใช้ กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ การหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย การหาเวกเตอร์บอกตาแหน่งและการหา เวกเตอร์ของแรงที่กระทาผ่านจุดสองจุด การคูณแบบสเกลาร์และการประยุกต์ การหาส่วนประกอบ ของแรงเมื่อทราบทิศทางของแรงที่กระทาและการหาแรงลัพธ์ที่กระทาในระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ

2.2 พื้นฐานของเวกเตอร์

ปริ ม าณเวกเตอร์ คื อ ปริ ม าณที่ ต้ อ งบ่ ง ชี้ ทั้ ง ขนาดและทิ ศ ทางจึ ง สามารถบอกปริ ม าณได้ รายละเอียดเกี่ยวกับการดาเนินการเกี่ยวกับเวกเตอร์จะได้กล่าวถึงอย่างละเอียดในหัวข้อนี้ 2.2.1 การเขียนเวกเตอร์ การเขียนเวกเตอร์สามารถเขียนแทนด้วยลูกศรแสดงดังรูปที่ 2.1 โดยความยาวของ ลูกศรแสดงถึงขนาดของเวกเตอร์ และ ทิศทางของหัวลูกศรแสดงถึงทิศทางของเวกเตอร์ และ  เป็น มุมที่เวกเตอร์กระทากับแกนอ้างอิง ในที่นี้ แกนอ้างอิงอยู่ในแนวระดับ โดยเส้นทึบแสดงถึงเวกเตอร์ที่ เป็นบวก ส่วนเส้นประแสดงถึงเวกเตอร์ที่เป็นลบและเวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรง ข้ามกัน โดยทิศทางตรงข้ามกันแทนด้วยเครื่องหมายลบสาหรับการคานวณเกี่ยวกับเวกเตอร์

รูปที่ 2.1 หลักการเขียนเวกเตอร์ 2.2.2 การบวกเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์จากรูปที่ 2.2(ก) สามารถทาได้โดยการต่อเวกเตอร์เข้าด้วยกันโดยใช้ กฎของสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือการต่อเวกเตอร์แบบหัวต่อหางที่เป็นไปตามกฎของสามเหลี่ยมแสดง ดังรูปที่ 2.2(ข) และ 2.2(ค), ตามลาดับ โดยสมการของการบวกเวกเตอร์สามารถเขียนได้เป็น (2.1) V  V1  V2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

30 สถิตยศาสตร์ จากการเปรียบเทียบผลของการบวกเวกเตอร์จากรูปที่ 2.2 พบว่าลาดับของการบวก ไม่มีผลต่อคาตอบที่ได้ ดังนั้น สามารถบวกเวกเตอร์ได้เป็น (2.2) V  V1  V2  V2  V1

รูปที่ 2.2 การบวกเวกเตอร์ 2.2.3 การลบเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์สามารถทาได้โดยการบวกเวกเตอร์ ดังรูปที่ 2.3 โดยสมการของการลบเวกเตอร์สามารถเขียนได้เป็น V '  V1  V2  V1   V2 

(V2 )

เข้ากับเวกเตอร์

(V1 )

(2.3)

รูปที่ 2.3 การลบเวกเตอร์ 2.2.4 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ หลังจากการรวมเวกเตอร์โดยใช้กฎของสามเหลี่ยมจะได้ผลลัพธ์ของเวกเตอร์ออกมา แสดงดังรูปที่ 2.4 สามารถหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ได้โดยใช้กฎของตรีโกณมิติดังนี้ กฎของโคไซน์ : C 2  A2  B 2  2 AB cos( ) กฎของไซน์

:

A B C   sin( ) sin(  ) sin( )

รูปที่ 2.4 การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ด้วยสูตรตรีโกณมิติ อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 31

V

2.2.5 การแตกเวกเตอร์ จากรูปที่ 2.5 พบว่าเวกเตอร์ V ทามุมกับแกน X ด้วยมุม  สามารถแตกเวกเตอร์ ออกเป็นสองเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกันและกัน สามารถเขียนสมการของการแตกเวกเตอร์ได้เป็น V x V cos( )

(2.4) (2.5)

V y V sin( )

รูปที่ 2.5 การแตกเวกเตอร์

สมการ

2.2.6 การหามุมของเวกเตอร์ จากรูปที่ 2.5 มุม  ที่เกิดจากเวกเตอร์ V เทียบกับแนวแกน X สามารถหาได้จาก  Vy  Vx

  tan 1 

  

(2.6)

2.2.7 การหาขนาดของเวกเตอร์  จากรูปที่ 2.5 สามารถเขียนเวกเตอร์ V ให้อยู่ในเทอมของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย โดย   กาหนดให้ i แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวแกน x และ j แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในแนวแกน  y สามารถเขียนเวกเตอร์ V ได้เป็น    (2.7) V  Vx i  V y j  โดยสามารถหาขนาดของเวกเตอร์ V ได้จากสมการ (2.8) V  Vx2  V y2 2.2.8 การหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของเวกเตอร์ V นิยามโดยเป็นอัตราส่วนระหว่างเวกเตอร์ V กับขนาดของเวกเตอร์ V สามารถเขียนสมการได้ เป็น  โดยที่

 n

 V n V

เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของเวกเตอร์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

V

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

32 สถิตยศาสตร์ สมการ

จากรูปที่ 2.6 สามารถเขียนเวกเตอร์

V

ให้อยู่ในรูปของผลรวมของเวกเตอร์ ได้ดัง

   V  V x i  V y j  Vz k

และขนาดของเวกเตอร์ V หาได้จาก V  Vx2  V y2  Vz2

ดังนั้น เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของเวกเตอร์ V หาได้จากสมการ    Vx i  V y j  Vz k n Vx2  V y2  Vz2

(2.9)

รูปที่ 2.6 เวกเตอร์ 3 มิติ 2.2.9 เวกเตอร์บอกตาแหน่ง เวกเตอร์บอกตาแหน่งมีความสาคัญเป็นอย่างมากเพราะสามารถใช้ในการหาเวกเตอร์ ของแรงได้เมื่อทราบแนวกระทาของแรงผ่านจุดสองจุด ซึ่งจะได้กล่าวถึงในหัวข้อถัดไป เวกเตอร์บอกตาแหน่ง r กระทาผ่านจุดเริ่มต้นที่จุด O ไปยังตาแหน่ง P( x, y, z) ดังรูปที่ 2.7 เวกเตอร์บอกตาแหน่ง r สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ ในพิกัดฉากได้เป็น     r  x  0i   y  o j  z  0k

หรือลดรูปได้เป็น

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

    r  xi  yj  zk

(2.10)

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 33

รูปที่ 2.7 ตาแหน่งของเวกเตอร์ 3 มิติ โดยทั่วไปเวกเตอร์บอกตาแหน่งกระทาผ่านจุดสองจุด แสดงดังรูปที่ 2.8 สามารถเขียน เวกเตอร์บอกตาแหน่งได้เป็น rAB โดยที่ A แสดงถึงจุดเริ่มต้น และ B แสดงถึงจุดสิ้นสุด ดังนั้น เวกเตอร์บอกตาแหน่งระหว่างจุด A และ B สามารถเขียนได้เป็น     rAB  xB  x A i   y B  y A  j  z B  z A k (2.11)

รูปที่ 2.8 เวกเตอร์กระทาผ่านจุดสองจุด 2.2.10 การคูณแบบสเกลาร์ การคูณแบบสเกลาร์ หรือ Dot Product เป็นวิธีที่สะดวกสาหรับการคูณเวกเตอร์ใน ระบบแบบ 2 มิติ การคูณแบบเสเกลาร์ ของเวกเตอร์ A และ B ดังรูปที่ 2.9 เขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A B และอ่านว่า “ A dot B ” ผลลัพธ์ของการคูณแบบสเกลาร์เขียนได้เป็น มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

34 สถิตยศาสตร์   A  B  A B cos 

โดยที่  เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ ผลลัพธ์ของผลคูณแบบสเกลาร์เป็นปริมาณสเกลาร์

(2.12) A

และ

B

มีค่าอยู่ระหว่าง

0    180 

รูปที่ 2.9 การคูณแบบสเกลาร์ของเวกเตอร์ 1) กฎการคูณแบบสเกลาร์ 1) กฎการสลับที่ : 2) การคูณด้วยค่าคงที่ : 3) กฎการกระจาย :

A B  B  A

a A  B  aA B  A  aB

A  B  D   A  B   A  D

2) การคูณแบบสเกลาร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ผลลัพธ์ของการคูณของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉาก สามารถเขียนได้

เป็น

  i i 1   i  j 0

  k k 1   j k  0

  j  j 1   i k  0

ดังนั้น สามารถเขี ยนการคู ณแบบสเกลาร์ ของเวกเตอร์       





A  B  Ax i  Ay j  A z k  Bx i  B y j  Bz k



 A

และ

 B

ได้เป็น

 

       Ax Bx i  i   Ax B y i  j   Ax Bz i  k

 

       Ay B x  j  i   A y B y  j  j   A y B z j  k

 

 

 

       Az Bx k  i  Az B y k  j  Az Bz k  k

ผลลัพธ์สุดท้ายเขียนได้ดังสมการ

 A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz

เวกเตอร์

 A

(2.13)

3) การประยุกต์ใช้การคูณแบบสเกลาร์ การคูณแบบสเกลาร์มีการประยุกต์ใช้ในทางกลศาสตร์ได้ 2 วิธี ดังนี้ (1) หามุมระหว่ างเวกเตอร์ ส องเวกเตอร์ พบว่า มุ ม  ที่อยู่ ร ะหว่า ง  และ B ตามรูปที่ 2.9 สามารถหาได้โดยใช้สมการ (2.12) และเขียนอยู่ในรูป

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 35    A B   0    180   cos  A B       โดยที่ A  B หาได้ จ ากสมการ (2.13) เมื่ อ A  B  0 จะได้     cos 1 0  90 สามารถสรุปได้ว่า เวกเตอร์ A ตั้งฉาก (Perpendicular) กับเวกเตอร์ B 1

(2) หาส่วนประกอบของแรงที่ขนานและตั้งฉากกับเส้นตรง ส่วนประกอบ ของเวกเตอร์ ที่ขนานกับเส้นตรง aa / แสดงดังรูปที่ 2.10 กาหนดโดย A|| เมื่อ A||  A cos   ส่วนประกอบนี้เป็นการฉายภาพ (projection) ของเวกเตอร์ A ลงบนเส้นตรง ถ้าทิศทางของเส้นตรง เส้นนั้นถูกกาหนดโดยเวกเตอร์หนึ่งหน่วย u เนื่องจากขนาดของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยมีค่าเท่ากับ 1 จึง สามารถหาขนาดของ A|| ได้โดยตรงจากการคูณแบบสเกลาร์  A

  A||  A cos   A  u

ในที่นี้พบว่าการฉายภาพแบบสเกลาร์ (Scalar Projection) ของ  เวกเตอร์ ไปยังเส้นตรงใดๆ หาได้จากผลคูณแบบสเกลาร์ของเวกเตอร์ A และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย  u ซึ่งเป็นตัวกาหนดทิศทางของเส้นตรงเส้นนั้น ถ้าผลลัพธ์ที่ได้เป็นบวกแสดงว่า A|| มีทิศทางเดียวกับ   u แต่ถ้าผลลัพธ์เป็นลบ แสดงว่า A|| มีทิศทางตรงข้ามกับ u โดยสามารถเขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์ ได้เป็น    A

  A||  ( A  u ) u  ส่วนประกอบของเวกเตอร์ A ที่อยู่ในแนวตั้งฉากกับเส้นตรง aa / หา        ได้จากรูปที่ 2.10 เนื่องจาก A  A||  A ดังนั้น A  A  A|| โดยที่ A หาได้ 2 วิธี ดังนี้ วิธี   แรก หา  จากผลคู ณ แบบสเกลาร์ จะได้   cos 1 A  u A หลั ง จากนั้ น หา A จาก    A  A sin  อี ก วิ ธี ห นึ่ ง หาได้ เ มื่ อ ทราบ A|| โ ดยใช้ ทฤษฎี ของสามเหลี่ ย มปิ ธ าโกรั ส

(Pythagorean’s theorem) สามารถเขียนสมการได้เป็น

A  A2  A2 ||

รูปที่ 2.10 ส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่ขนานและตั้งฉากกับเส้นตรง

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

36 สถิตยศาสตร์

2.3 แรงในระบบ 2 มิติ

2.3.1 ส่วนประกอบของแรงในพิกัดฉาก

รูปที่ 2.11 เวกเตอร์ของแรงในพิกัดฉาก แรง

F

ที่กระทาตามรูปที่ 2.11 สามารถแตกแรงและเขียนเป็นสมการได้เป็น    F  Fx  Fy

(2.14) โดยที่ และ เป็นส่วนประกอบทางเวกเตอร์ของแรง ในทิศทางแกน x และ  แกน y ตามลาดับ สามารถเขียนเวกเตอร์ F ให้อยู่ในรูปผลคูณระหว่างขนาดของแรงและเวกเตอร์ หนึ่งหน่วยของทิศทาง ได้เป็น    F  Fx i  Fy j (2.15) โดยที่ F x และ F y เป็นส่วนประกอบทางสเกลาร์ในทิศทางแกน x และ แกน y ของแรง F และ ส่วนประกอบทางสเกลาร์ ของแรงจะมีค่าเป็นบวกหรือลบขึ้นอยู่กับตาแหน่งการวาง ของแรง F และจากรูปที่ 2.11 ส่วนประกอบทางสเกลาร์ในทิศทางแกน x และ แกน y จะมีค่า เป็นบวกทั้งคู่ โดยสามารถหาขนาดและทิศทางของ F ได้จากสมการ  Fx

 Fy

Fx  F cos 

 F

F  Fx2  Fy2

(2.16) Fy  F sin 

F    tan 1  y   Fx 

ตัวอย่างการแตกเวกเตอร์ของแรงแสดงได้ดังรูปที่ 2.12

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 37

Fx  F sin 

Fx   F cos 

Fy  F cos 

Fy   F sin 

รูปที่ 2.12 การแตกเวกเตอร์ของแรง 2.3.2 การบวกเวกเตอร์ของแรง เวกเตอร์ของแรง F1 และ F2 สามารถทาการบวกกันด้วยกฎสี่เหลี่ย มด้านขนานหรือ กฎของสามเหลี่ยมแสดงดังรูปที่ 2.13(ก) และ (ข), ตามลาดับ โดยผลลัพธ์สามารถเขียนได้เป็น R  F1  F2 (2.17) และสามารถหาขนาดของแรงลัพธ์ และทิศทางที่กระทาได้โดยอาศัยกฎของโคไซน์หรือ กฎของไซน์

รูปที่ 2.13 การบวกเวกเตอร์ของแรง 2.3.3 แรงลัพธ์ของระบบ การรวมเวกเตอร์ของแรงมากกว่าสองแรง วิธีที่นิยมและสะดวกคือการรวมแบบสเกลาร์ (scalar algebra) ทาได้โดยการแตกเวกเตอร์ของแต่ละแรง หลังจากนั้นนาเวกเตอร์ของแรงที่แตก เวกเตอร์มารวมกัน รูปที่ 2.14(ก) เป็นการรวมกันของแรงสามแรง และ รูปที่ 2.14(ข) เป็นการแตก เวกเตอร์ของแต่ละแรง การรวมกันแบบเวกเตอร์ของแรงหาได้ดังสมการ   F1  F1x i  F1 y j   F2   F2 x i  F2 y j

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

38 สถิตยศาสตร์   F3  F3 x i  F3 y j

ดังนั้น เวกเตอร์ของแรงลัพธ์ หาได้จาก FR  F1  F2  F3

       F1x i  F1 y j  F2 x i  F2 y j  F3 x i  F3 y j    F1x  F2 x  F3 x i  F1 y  F2 y  F3 y  j    FRx i  FRy  j

จะได้ผลลัพธ์ของแรงในแต่ละแกน ดังสมการ 

()

FRx  F1x  F2 x  F3 x

( )

FRy  F1 y  F2 y  F3 y

ดังนั้น สรุปหลักการหาแรงลัพธ์ในกรณีที่มีแรงกระทาหลายๆแรงได้ ดังสมการ FRx   Fx

(2.18) FRy   Fy

โดยที่ผลลัพธ์ของแรงรวมในแต่ละแกนสามารถเขียนได้ดังรูปที่ 2.14(ค) และขนาด ของแรงลัพธ์รวม FR หาได้จาก FR  FRx2  FRy2 (2.19) และมุม  ของแรงลัพธ์รวม FR หาได้จาก   tan 1

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

FRy FRx

(2.20)

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 39

รูปที่ 2.14 การรวมเวกเตอร์ของแรงสามแรง

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

40 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 2.1 ตะขอดังรูปที่ 2.15 รับแรง

F1

และ

F2

จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ของแรงทั้งสอง

รูปที่ 2.15 ประกอบตัวอย่างที่ 2.1 วิธีทา

กฎของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เริ่มจากลากเส้นต่อจากส่วนหัวของ F1 ที่ขนานกับ F2 และลากเส้นจาก F2 ที่ขนานกับ แรงลัพธ์ FR จะได้จุดตัดกันที่จุด A ดังรูปที่ 2.16 (ก) ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าคือ FR และ 

F1

รูปที่ 2.16 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.1 ตรีโกณมิติ จากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสามเหลี่ยมเวกเตอร์ ของแรงแสดงดังรูปที่ 2.16 (ข) โดยใช้กฎ ของโคไซน์จะได้

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 41

100 N 2  150 N 2  2100 N 150 N cos115

FR 

 10000  22500  30000 0.4226N  212.6 N  213 N

Ans.

จากกฎของไซน์สามารถหา  ได้จาก 150 N 212.6 N  sin  sin 115  150 N   sin 115 sin     212.6 N   0.6394

  sin 1 0.6394  39.8

ดังนั้น มุม  ของแรงลัพธ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

FR

เมื่อวัดเทียบกับแนวระดับหาได้จาก

  15    15  39.8  54.8

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

42 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 2.2 จงหาขนาดของแรง y ที่เป็นบวก

F

ดังรูปที่ 2.17 และขนาดของแรงลัพธ์

FR

ถ้า

FR

อยู่ในทิศทางแกน

รูปที่ 2.17 ประกอบตัวอย่างที่ 2.2 วิธีทา

รูปที่ 2.18 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.2 รวมแรงโดยใช้กฎของสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ดังรูป ที่ 2.18 (ก) และแยกสามเหลี่ยมของแรง ออกมาพิจารณาดังรูปที่ 2.18 (ข) ดังนั้น ขนาดของแรง F และ FR หาได้โดยอาศัยกฎของไซน์ 200 lb F   sin 60 sin 45  sin 60    200 lb F     sin 45   F  1.225  200 lb F  245 lb

ขนาดของแรงลัพธ์

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

FR

Ans.

หาได้จากกฎของไซน์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 43 FR 200 lb  sin 75 sin 45  sin 75   200 lb F      sin 45  F  1.366  200 lb F  273 lb

ตัวอย่างที่ 2.3 กลไกรับแรง ลัพธ์

F1

และ

F2

Ans.

ด้วยขนาดและทิศทางดังรูปที่ 2.19 จงหาขนาดและทิศทางของแรง

รูปที่ 2.19 ประกอบตัวอย่างที่ 2.3 วิธีทา

วิธีที่ 1 แบบสเกลาร์ แตกแรงของแต่ละแรงให้อยู่ในแนวแกน x และ แกน y แสดงดังรูปที่ 2.20 (ก) และทาการบวกแรงโดยคิดทิศทางที่เป็นบวกตามแนวแกน x และ แกน y จะได้ว่า

รูปที่ 2.20 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.3 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

44 สถิตยศาสตร์ 

 FRx   Fx ;

F Rx  600 cos 30 N  400 sin 45 N

 519.62 N  282.84 N  236.8 N 

  FRy   Fy ;

FRy  600 sin 30 N  400 cos 45 N  300  282.84

 582.8 N 

เวกเตอร์ของแรงรวมแสดงดังรูปที่ 2.20 (ข) และมีขนาดเท่ากับ 2 2 FR  236.8 N   582.8N   629 N

Ans.

จากเวกเตอร์ของแรงรวมรูปที่ 2.20 (ข) หามุม  ได้จาก

F   582.8     tan 1  Ry   tan 1    67.9  236.8   FRx 

Ans.

วิธีที่ 2 แบบเวกเตอร์ จากรูปที่ 2.20 (ก) สามารถเขียนแต่ละแรงให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ได้เป็น





F1  600 cos 30 i  600 sin 30 j N F2   400 sin 45 i  400 cos 45 jN

ดังนั้น แรงรวมหาได้จาก





FR  F1  F2  600 cos 30 N  400 sin 45 N i





 600 sin 30 N  400 cos 45 N j

 519.61 N  282.84 N i  300 N  282.84 N  j  {236.8 i  582.8 j} N

ส่วนขนาดและทิศทางของเวกเตอร์

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

FR

หาได้เช่นเดียวกับวิธีแบบสเกลาร์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 45 ตัวอย่างที่ 2.4 ประแจที่จุด O รับแรงสามแรงและอยู่ในระนาบเดียวกัน แสดงดังรูปที่ 2.21 จงหาขนาดและ ทิศทางของแรงลัพธ์

รูปที่ 2.21 ประกอบตัวอย่างที่ 2.4 วิธีทา

รูปที่ 2.22 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.4 แต่ละแรงสามารถแตกแรงให้อยู่ในทิศทางแกน x และแกน y แสดงดังรูปที่ 2.22 (ก) และหา แรงรวมตามแนวแกน x ได้เป็น 

 FRx   Fx ;

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

4 FRx  400 N  250 sin 45 N  200  N 5  383.2 N  383.2 N 

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

46 สถิตยศาสตร์ เครื่องหมายลบหมายความว่า FRx กระทาในทิศทางแกน x เป็นลบ และแรงรวมตามแนวแกน y หาได้จาก   FRy   Fy ;

3 FRy  250 cos 45 N  200  N 5  296.8 N 

เวกเตอร์ของแรงลัพธ์แสดงดังรูปที่ 2.22 (ข) และหาขนาดได้เป็น FR  FRx2  FRy2 

 383.2 N 2  296.8 N 2

 484.5 N

Ans.

จากเวกเตอร์ของแรงลัพท์ดงั รูปที่ 2.22 (ข) หาทิศทางได้จาก F   296.8     tan 1  Ry   tan 1    37.8  383.2   FRx 

Ans.

ตัวอย่างที่ 2.5 แรง F1 , F2 และ F3 กระทาที่จุด A โดยมีขนาดและทิศทางดังรูปที่ 2.23 จงหาส่วนประกอบ ของแรงตามแนวแกน x และแกน y ของแรงทั้งสาม

รูปที่ 2.23 ประกอบตัวอย่างที่ 2.5 วิธีทา

ส่วนประกอบแบบสเกลาร์ของแรง

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

F1

แสดงดังรูปที่ 2.24 (ก) จะได้ว่า

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 47 F1x  F1 cos 35  600 cos 35  491.5 N 

Ans.

F1 y  F1 sin 35  600 sin 35  344.1 N

Ans.



รูปที่ 2.24 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.5 ส่วนประกอบแบบสเกลาร์ของแรง

F2

แสดงดังรูปที่ 2.24 (ข) จะได้ว่า

4 4 F2 x   F2    500   400 N  400 N  Ans. 5 5  3  3 F2 y  F2    500   300 N  Ans. 5 5 จะสังเกตพบว่ามุมของแรง F2 ไม่ต้องคานวณ แต่ใช้ cosine และ sine จากสามเหลี่ยม 3-45 แทน จากการสังเกตุพบว่าส่วนประกอบตามแนวแกน x ของ F2 จะมีค่าเป็นลบ ส่วนประกอบแบบสเกลาร์ของแรง F3 หาได้จากการคานวณหามุม  จากรูปที่ 2.24 (ค) จะ

พบว่า

 0.2    tan 1    26.6  0.4 

ดังนั้น

F3 x  F3 sin   800 sin 26.6  358.2 N 

Ans.

F3 y   F3 cos   800 cos 26.6  715.3 N  715.3 N 

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

48 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 2.6 ต้องการแตกแรงขนาด 50 lb ตามรูปที่ 2.25 ให้อยู่ในแนวเส้นตรง a  a / และ b  b / 1) จงหามุม  โดยใช้สูตรตรีโกณมิติเมื่อทราบขนาดของแรงที่กระทาตามแนว a  a / เท่ากับ 35 lb 2) จงหาขนาดของแรงตามแนว b  b /

รูปที่ 2.25 ประกอบตัวอย่างที่ 2.6 วิธีทา

โดยใช้กฎของสามเหลี่ ยม สามารถบวกเวกเตอร์ของแรงตามแนวแกน a  a / และ แกน b  b / ได้ดังรูปที่ 2.26

รูปที่ 2.26 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.6 1) หามุม  โดยใช้กฎของไซน์ จะได้ 35 50  sin  sin 40   35  sin     sin 40   50   0.4499

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 49   sin 1 0.4499  26.74 และ จากกฎของสามเหลี่ยมที่ว่ามุมภายในรวมกันได้ 180 ดังนั้น มุม  หาได้จาก   180  40  26.74  113.3 Ans. 2) หาขนาดของแรงตามแนวแกน b  b / ได้จากกฎขอไซน์ Fbb 50  sin  sin 40 /

 sin 113.3  50 Fbb/      sin 40   Fbb/  71.5 lb

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

50 สถิตยศาสตร์

แบบฝึกหัดตอนที่ 1

2.1 จากรูปที่ 2.27 กาหนดให้   30 และ T  6 kN จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ที่วัดใน ทิศตามเข็มนาฬิกาจากแกน x ที่เป็นบวก

รูปที่ 2.27 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.1 2.2 ชิ้นส่วนสองชิ้นรับแรงดึงและแรงกดกระทาที่จุด O ดังรูปที่ 2.28 จงหาขนาดของแรงลัพธ์ และมุมของแรงลัพธ์  กระทากับแกน x ในทิศทางที่เป็นบวก

FR

รูปที่ 2.28 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.2 2.3 จากรูปที่ 2.29 ถ้า FB  2 kN และ แรงลัพธ์กระทาในทิศทางแกน ตรีโกณมิติ จงหาขนาดของแรงลัพธ์และมุม 

u

ที่เป็นบวก โดยใช้สูตร

รูปที่ 2.29 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.3 อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 51 2.4 แรงสองแรงกระทากับชิ้นส่วนดังรูปที่ 2.30 จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ด้วยวิธี 1) แบบสเกลาร์ 2) แบบเวกเตอร์

รูปที่ 2.30 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.4 2.5 แรง F1 และ F2 กระทากับชิ้นส่วนด้วยขนาดและทิศทางดังรูปที่ 2.31 จงหาขนาดและทิศทาง ของแรงลัพธ์โดยใช้กฎของไซน์และโคไซน์

รูปที่ 2.31 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.5

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

52 สถิตยศาสตร์ 2.6 แรง P และ Q กระทาที่จุด A ดังรูปที่ 2.32 โดยมีขนาดของแรง จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ด้วยวิธี 1) แบบสเกลาร์ 2) แบบเวกเตอร์

P  15 lb

และ

Q  25 lb

รูปที่ 2.32 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.6 2.7 จากรูปที่ 2.33 จงหาขนาดของแรงลัพธ์และทิศทางที่วัดตามเข็มนาฬิกาในแนวแกน x ที่เป็นบวก

รูปที่ 2.33 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.7

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 53 2.8 จากรูปที่ 2.34 กาหนดให้ F1  600 N และ   30 จงหาขนาดของแรงลัพธ์และทิศทางวัด ตามเข็มนาฬิกาจากแกน x ที่เป็นบวก

รูปที่ 2.34 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.8 2.9 จากรูปที่ 2.35 จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ที่วัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x ที่เป็นบวก เมื่อกาหนดให้ F1  500 N และ   20

รูปที่ 2.35 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.9

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

54 สถิตยศาสตร์

2.4 แรงในระบบ 3 มิติ

2.4.1 ส่วนประกอบของแรงในระบบ 3 มิติ สาหรับปัญหาทางวิศวกรรมโดยส่วนใหญ่จะเป็นการวิเคราะห์แรงในระบบ 3 มิติ หรือพิกัดฉาก จาเป็นต้องแตกแรงให้อยู่ในส่วนประกอบที่ตั้งฉากกันและกันแสดงดังรูปที่ 2.36 โดย สามารถหาส่วนประกอบของแรงได้ดังสมการ

รูปที่ 2.36 การแตกแรงในระบบ 3 มิติ Fx  F cos  x

 F  Fx i  Fy j  F z k

Fy  F cos  y

 F  F i cos  x  j cos  y  k cos  k 

Fz  F cos  z

F  Fx2  Fy2  Fz2

(2.21)

 Fy F F Fx  j z k uF   i  F F F F cos 2  x  cos 2  y  cos 2  z  1

โดยที่

i, j , k F

เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางแกน x , y และ z ตามลาดับ  เป็นขนาดของแรง F เป็นเวกเตอร์ของแรง u F เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแรง

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 55 2.4.2 เวกเตอร์ของแรงที่กระทาผ่านจุดสองจุด แนวแรง F กระทาผ่านแท่ง AB แสดงดังรูปที่ 2.37 สามารถเขียนเวกเตอร์ของแรง F ให้อยู่ในทิศทางเดียวกับเวกเตอร์บอกตาแหน่ง r ที่ผ่านจุด A และ B โดยเขียนให้อยู่ในรูปของ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของเวกเตอร์บอกตาแหน่ง, u  r / r ดังนั้น เวกเตอร์ของแรง F สามารถเขียน ได้เป็น   x  x i   y  y  j  z  z k   r  A B A B A  F AB  F u  F    F  B (2.22)  x B  x A 2   y B  y A 2  z B  z A 2  r  

รูปที่ 2.37 แนวแรงที่กระทาผ่านวัตถุสองจุด 2.4.3 แรงลัพธ์ของระบบ สาหรับการหาแรงลัพธ์ในกรณีที่วัตถุรับแรง 3 แรงแสดงดังรูปที่ 2.38 โดยสามารถหา เวกเตอร์ของแรงลัพธ์ได้เป็น  FR   F  F1  F2  F3

  Fxi   Fy j   F z k

โดยที่

F F F

x

 F1x  F2 x  F3 x

y

 F1 y  F2 y  F3 y

z

 F1z  F2 z  F3 z

(2.23)

และสามารถหาขนาดของแรงลัพธ์ได้จาก FR 

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

 F    F    F  2

x

2

y

2

z

(2.24)

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

56 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 2.38 วัตถุรับแรง 3 แรง ตัวอย่างที่ 2.7 จงเขียนเวกเตอร์ของแรง

 F

ตามรูปที่ 2.39 ให้อยู่ในพิกัดฉาก

รูปที่ 2.39 ประกอบตัวอย่างที่ 2.7 วิธีทา

เนื่องจากทราบมุมสองมุม ส่วนมุม  ไม่ทราบค่า ดังนั้น หามุม  ได้จากคุณสมบัติ cos 2   cos 2   cos 2   1

cos 2   cos 2 60  cos 2 45  1

cos   1  cos 2 60  cos 2 45

cos   1  0.5  0.707 2

2

 0.5   cos 1 (0.5)

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 57   cos 1 0.5  60 หรือ   cos 1  0.5  120



จากการสังเกตพบว่า มุม   60 มีความเป็นไปได้มากที่สุดเนื่องจาก Fx อยู่ในแกน ดังนั้น สามารถเขียนเวกเตอร์ของแรง F  200 N ให้อยู่ในพิกัดฉากได้เป็น

x

 F  F cos  i  F cos  j  F cos  k

 (200 cos 60 N ) i  (200 cos 60 N ) j  (200 cos 45 N ) k  100.0 i  100.0 j  141.4 k N Ans.  ข้อสังเกต : สามารถพิสูจน์หาขนาดของเวกเตอร์ของแรง F ได้จากสมการ

F

1002  1002  141.42

 200 N

่ได้จากเวกเตอร์ ของแรง พบว่าขนาดของแรงที  เวกเตอร์ของแรง F ที่หามาได้ถูกต้องแล้ว #

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

 F

มีค่าเท่ากับโจทย์ กาหนดมาให้ แสดงว่า

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

58 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 2.8 จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ที่กระทากับแหวนตามรูปที่ 2.40

รูปที่ 2.40 ประกอบตัวอย่างที่ 2.8 วิธีทา

รูปที่ 2.41 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.8 เพราะว่าแต่ละแรงอยู่ในรู ปของเวกเตอร์ในพิกัดฉาก แรงลัพธ์แสดงดังรูปที่ 2.41 หาได้จาก  F R  F  F1  F2  60 j  80klb 50i  100 j  100klb  50i  40 j  180k lb ขนาดของแรงลัพธ์หาได้จาก FR  Fx2  Fy2  Fz2 

502   402  1802

 191 lb

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

An.s

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 59 ทิศทางของแรงลัพธ์  ,  ,  หาได้จากส่วนประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของแรงที่กระทา ในทิศทางของเวกเตอร์ FR จะได้  FR 40 180 50  nFR  i j k  FR 191.0 191.0 191.0

 0.2617 i  0.2094 j  0.9422k

ดังนั้น

cos   0.2617 cos   0.2094

cos   0.9422

  74.8   102   19.6

Ans. Ans.

Ans.

มุมเหล่านี้แสดงดังรูปที่ 2.41 ตัวอย่างที่ 2.9 แรงสองแรงกระทากับชิ้นส่วนดังรูปที่ 2.42 จงหาทิศทางของแรง ในแนวแกน y ที่เป็นบวกและมีขนาดเท่ากับ 800 N

F2

ที่ทาให้แรงลัพธ์

FR

อยู่

รูปที่ 2.42 ประกอบตัวอย่างที่ 2.9

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

60 สถิตยศาสตร์ วิธีทา

รูปที่ 2.43 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.9 ในการแก้ปัญหาแบบนี้ แรงลัพธ์ FR และส่วนประกอบทั้งสองของแรง F1 และ F2 จะเขียน อยู่ในรูปแบบเวกเตอร์ แสดงดังรูปที่ 2.43 สามารถเขียนสมการหาแรงลัพธ์ได้เป็น FR  F1  F2  F1  F1 cos 1 i  F1 cos 1 j  F1 cos  1k

 300 cos 45 i  300 cos 60 j  300 cos120 k  212.1i  150 j  150 kN

 F2  F2 x i  F2 y j  F2 z k

เนื่องจากแรงลัพธ์มีขนาดเท่ากับ 800 N และกระทาในทิศทาง FR  800 N  j   800 jN จากที่ทราบว่า

จะได้

j

FR  F1  F2 800 j  212.1i  150 j  150 k  F2 x i  F2 y j  F2 z k

800 j  212.1  F2 x i  150  F2 y  j   150  F2 z k

ในการแก้สมการข้างบน ทาได้โดยการให้แต่ละเทอมของเวกเตอร์ เท่ากัน จะได้ว่า 0  212.1  F2 x 800  150  F2 y 0  150  F2 z

i, j

และ

k

ทั้งสองด้าน

F2 x  212.1 N F2 y  650 N F2 z  150 N

สามารถหามุม  2 ,  2 และ  2 ได้จากสมการ cos  2 

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

 212.1 : 700

 2  108

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 61 650 : 700 150 : cos  2  700

cos  2 

 2  21.8

Ans.

 2  77.6

Ans.

ผลลัพธ์ที่ได้แสดงดังรูปที่ 2.43 ตัวอย่างที่ 2.10 หนังยางเส้นหนึ่งถูกตรึงไว้กับจุด A และ B แสดงดังรูปที่ 2.44 จงหาความยาวของหนังยางและ ทิศทางซึง่ วัดจากจุด A ไปยัง B

รูปที่ 2.44 ประกอบตัวอย่างที่ 2.10 วิธีทา

รูปที่ 2.45 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 2.10

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

62 สถิตยศาสตร์ แยกเวกเตอร์บอกตาแหน่งจากจุด A และ B ดังรูปที่ 2.45(ก) โดยเริ่มต้นที่จุด A มีพิกัดเป็น (1m, 0, -3m) จะถูกหักออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดคือจุด B ที่มีพิกัดเป็น (-2m, 2m, 3m) จะได้ เวกเตอร์บอกตาแหน่งเป็น  rAB   2m  1mi  2m  0m j  3m   3mk   3i  2 j  6 km ส่วนประกอบของเวกเตอร์ rAB ชี้บอกถึงทิศทางและระยะทางของแต่ละแกนสาหรับระยะทาง จากจุด A ไปถึงจุด B เช่น ระยะไปตามแกน x เป็น  3im ระยะไปตามแกน y เป็น 2 jm และ ระยะไปตามแกน z เป็น 6 km ดังนั้น สามารถหาความยาวของหนังยางได้จาก 2 2 2 rAB   3 m  2 m  6 m  7 m Ans.  เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของเวกเตอร์ rAB หาได้จาก  3 2 6  rAB u  i j k rAB 7 7 7

แต่ละส่วนประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยจะแสดงถึงทิศทางของเวกเตอร์  3  7 2   cos 1    73.4 7 6   cos 1    31 7

  cos 1     115

Ans.

Ans.

Ans.

โดยมุมของเวกเตอร์แสดงดังรูปที่ 2.45(ข)

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 63

แบบฝึกหัดตอนที่ 2

2.10 เสาไฟฟ้าต้นหนึ่งถูกยึดด้วยเคเบิลสามเส้นดังรูปที่ 2.46 จุด D ถูกยึดไว้กับพื้นอย่างมั่นคงจนทา ให้เกิดแรงดึง T ในเคเบิล CD เท่ากับ 1.2 kN จงคานวณหาแรงดึง T ให้อยู่ในรูปเวกเตอร์หนึ่งหน่วย i, j และ k

รูปที่ 2.46 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.10 2.11 จงเขียนแรง

F  750 N

ดังรูปที่ 2.47 ให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

รูปที่ 2.47 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.11 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

64 สถิตยศาสตร์ 2.12 จงหาเวกเตอร์บอกตาแหน่งของ ขนาดของความยาวของเส้นเชือก AB

r

ของเส้นเชือกจากจุด A ไปยังจุด B ดังรูปที่ 2.48 และหา

รูปที่ 2.48 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.12 2.13 เคเบิล AB รับแรงดึงขนาด พิกัดฉาก

2 kN

จากจุด A ดังรูปที่ 2.49 จงเขียนเวกเตอร์ของแรงดึงให้อยู่ใน

รูปที่ 2.49 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.13

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 65 จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ที่เกิดจากแรงสองแรงดังรูปที่ 2.50 เมื่อกาหนดให้ P  600 N และ Q  450 N

2.14

รูปที่ 2.50 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.14 2.15 จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ที่เกิดจากแรงดึงในเส้นเชือกยึดเสาไฟจราจรดังรูปที่ 2.51

รูปที่ 2.51 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.15 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

66 สถิตยศาสตร์ 2.16 แรง FAB  560 N กระทาผ่านเคเบิล AB แสดงดังรูปที่ 2.52 จงเขียนเวกเตอร์ของแรงให้อยู่ ในพิกัดฉาก

รูปที่ 2.52 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.16 2.17 จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์จากแรงกระทาดังรูปที่ 2.53 กาหนดให้ Q  120 N

P  145 N

และ

รูปที่ 2.53 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 2.17

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 67

บทสรุป

1) การบวกเวกเตอร์สามารถทาได้เป็น V  V1  V2  V2  V1 2) การบวกเวกเตอร์ด้วยกฎการบวกแบบสามเหลี่ยมสามารถหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ ที่ไม่ทราบค่าได้โดยใช้ตรีโกณมิติ ดังนี้ กฎของโคโซน์ : C 2  A2  B 2  2 AB cos( ) กฎของไซน์

:

3) แรงลัพธ์ของระบบหาได้จาก

A B C   sin( ) sin(  ) sin( ) FRx   Fx

FRy   Fy FR 

4) เมื่อทราบเวกเตอร์ของแรง

 F

FRx 2  FRy 2

F   tan 1  Ry  FRx

  

สามารถหาขนาดของเวกเตอร์ได้จาก F  Fx2  Fy2  Fz2

และหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยได้จาก Fy F F  j z k uF  x i  F F F

และหามุมที่กระทาตามแนวแกน x , แกน y และ แกน z ได้จาก Fy Fx F ; cos   ; cos   z F F F 2 2 2 cos   cos   cos   1

cos  

โดยมีข้อจากัดว่า 5) เวกเตอร์บอกตาแหน่งระหว่างจุดสองจุดหาได้จาก     rAB  xB  x A i   y B  y A  j  z B  z A k 6) เวกเตอร์ของแรงที่ผ่านจุดสองจุดหาได้จาก   x  x i   y  y  j  z  z k    r  A B A B A  F AB  F u  F    F  B 2 2  xB  x A    y B  y A   z B  z A 2  r   7) ผลคูณแบบสเกลาร์ หาได้จาก   A  B  A B cos   Ax Bx  Ay By  Az Bz

มุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองหาได้จาก

   A B     cos   AB  1

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

68 สถิตยศาสตร์

แบบทดสอบบทที่ 2

2.1 จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ดังรูปที่ 2.54 โดยวัดในทิศตามเข็มนาฬิกาจากแนวแกน โดยใช้วิธีกฎของไซน์และโคไซน์

x

รูปที่ 2.54 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.1 2.2 ถ้าแรง 3 แรงกระทากับชิ้นส่วนด้วยขนาดและทิศทางแสดงดังรูปที่ 2.55 จงหาขนาดของแรง เมื่อแรงลัพธ์มีขนาดไม่เกิน 2400 N

P

รูปที่ 2.55 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.2

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 69 2.3 จากรูปที่ 2.56 จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ แนวแกน x ที่เป็นบวก

R

โดยวัดในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาจาก

รูปที่ 2.56 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.3 2.4 จากรูปที่ 2.57 จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์

R

โดยวัดจากแกน x ที่เป็นบวก

รูปที่ 2.57 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.4

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

70 สถิตยศาสตร์ 2.5 จงหาแรงลัพธ์ R ที่เกิดจากสองแรงกระทาดังรูปที่ 2.58 โดยเขียนให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์หนึ่ง หน่วยตามแกน x และ y ในทิศทางดังรูป

รูปที่ 2.58 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.5 2.6 แรงทั้ง 3 กระทากับชิ้นส่วนดังรูปที่ 2.59 จงหาขนาดของแรงลัพธ์และทิศทางที่วัดในทิศทางทวน เข็มนาฬิกาจากแนวแกน x ที่เป็นบวก

รูปที่ 2.59 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.6

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 71 2.7 เสาสายส่งโทรศัพท์รับแรงด้วยขนาดดังรูปที่ 2.60 จงเขียนเวกเตอร์ของแต่ละแรงให้อยู่ ใน พิกัดฉาก โดยไม่พิจารณาผลที่เกิดจากขนาดของเสารับส่ง

รูปที่ 2.60 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.7 2.8 จงหาขนาดของแรงลัพธ์ที่เกิดจาก 2 แรงกระทาที่จุด A ดังรูปที่ 2.61

รูปที่ 2.61 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.8 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

72 สถิตยศาสตร์ 2.9 จงเขียนแรงลัพธ์ที่เกิดจากแรงสองแรงดังรูปที่ 2.62 ให้อยู่ในรูปเวกเตอร์พิกัดฉาก

รูปที่ 2.62 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.9 เชือกสามเส้ น ถูกยึ ดตรึงไว้กับ เสาดังรูป ที่ 2.63 ถ้า FB  520 N , FC  680 N และ FD  560 N จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ที่เกิดจากเชือกสามเส้นกระทาที่จุด A

2.10

รูปที่ 2.63 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 2.10

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 2 เวกเตอร์และระบบแรง 73

เอกสารอ้างอิง

มนตรี พิรุณเกษตร. (2554). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. วีระศักดิ์ กรัยวิเชียร และ คณะ. (2551). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

74 สถิตยศาสตร์

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 3 โมเมนต์ของแรง หัวข้อเนื้อหา 3.1 บทนา 3.2 การหาโมเมนต์แบบสเกลาร์ 3.2.1 โมเมนต์ของแรง 3.2.2 ทฤษฎีวาริยอง 3.3 ผลคูณแบบเวกเตอร์ 3.3.1 ผลคูณแบบเวกเตอร์ 3.3.2 กฎของผลคูณแบบเวกเตอร์ 3.3.3 ผลคูณแบบเวกเตอร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัดฉาก 3.4 การหาโมเมนต์ด้วยผลคูณแบบเวกเตอร์ 3.4.1 การหาโมเมนต์ของแรงด้วยผลคูณแบบเวกเตอร์ 3.4.2 ทฤษฎีของวาริยอง แบบฝึกหัดตอนที่ 1 3.5 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ 3.5.1 โมเมนต์ของแรงคู่ควบแบบสเกลาร์ 3.5.2 โมเมนต์ของแรงคู่ควบแบบเวกเตอร์ 3.5.3 การรวมโมเมนต์ของแรงคู่ควบ 3.5.4 หลักการย้ายแรง แบบฝึกหัดตอนที่ 2 วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว ผู้เรียนควรมีความรู้และทักษะดังนี้ 1. อธิบายองค์ประกอบสาหรับการเกิดโมเมนต์ของแรง 2. ประยุกต์ใช้ทฤษฎีวาริยองในการหาโมเมนต์ของแรง 3. สามารถใช้ผลคูณแบบเวกเตอร์หาโมเมนต์ของแรง 4. สามารถหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่กระทากับวัตถุ วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ผู้สอนนาเข้าสู่บทเรียนโดยการสอบถามถึงหลักการเกิดโมเมนต์ของแรง 2. เฉลยหลักพื้นฐานสาหรับการเกิดโมเมนต์ของแรงและเข้าสู่เนื้อหา 3. ให้ผู้เรียนสอบถามข้อสงสัยในประเด็นที่ยังไม่เข้าใจ 4. แบ่งกลุ่มทาแบบฝึกหัดเพื่อทบทวนความรู้ 5. แบ่งกลุ่มปฏิบัติตามใบงานที่ 4-5 6. มอบหมายงานเพื่อให้ทาเป็นการบ้านเพื่อเพิ่มพูนความรู้ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

76 สถิตยศาสตร์ 7. แบบทดสอบ 8. เฉลยคาตอบแบบฝึกหัด 9. เฉลยคาตอบแบบทดสอบ สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาสถิตยศาสตร์ บทที่ 3 เรื่อง โมเมนต์ของแรง 2. โปรแกรม Microsoft Word ใช้ประกอบการบรรยายเนื้อหา 3. เครื่องคอมพิวเตอร์ 4. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ 5. ใบงานที่ 4-5 การวัดและการประเมินผล การวัดผล 1. สังเกตการเข้าร่วมกิจกรรมกลุ่มทาแบบฝึกหัด 2. จากการทาแบบฝึกหัด 3. จากการปฏิบัติตามใบงาน 4. จากการทาแบบทดสอบ การประเมินผล 1. ทากิจกรรรมได้แล้วเสร็จตามที่กาหนด 2. ทาแบบฝึกหัดได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์ 3. ปฏิบัติตามใบงานได้สาเร็จตามเวลา 4. ทาแบบทดสอบท้ายบทเรียนได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 3.1 บทนำ

ในบทนี้กล่าวถึงการหาโมเมนต์ของแรงในระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ ทฤษฎีวาริยอง ซึ่งเป็น หลั ก การหาโมเมนต์ ของแรงที่ กระทาในระบบ วิธี การหาโมเมนต์ ของแรงแบบสเกลาร์ แ ละแบบ เวกเตอร์ การหาทิศทางการหมุนของโมเมนต์รอบจุดหรือรอบแกน และกล่าวถึงโมเมนต์ของแรงคู่ควบ

3.2 กำรหำโมเมนต์แบบสเกลำร์

3.2.1 โมเมนต์ของแรง นอกจากแรงสามารถทาให้วัตถุเคลื่อนที่ไปตามทิศทางที่แรงกระทา แรงยังทาให้วัตถุ หมุนไปรอบแกนได้ ซึ่งแกนที่ใช้ในการหมุนของวัตถุอาจจะอยู่ในแนวตั้งฉากหรือขนานกับทิศทางที่ แรงกระทา สาหรับการทาให้วัตถุหมุนไปรอบแกนได้นี้เรียกว่า โมเมนต์ของแรง และถูกเรียกอีกชื่อ หนึ่งว่า ทอร์ค (Torque) การหาโมเมนต์ของแรงแบบสเกลาร์พิจารณาจากรูปที่ 3.1(ก) ออกแรงหมุนในทิศทาง ตั้งฉากกับประแจทาให้ประแจหมุนไปรอบท่อ ในทิศทางตั้งฉากกับแกนหมุน ขนาดของโมเมนต์ขึ้นอยู่ กับขนาดของแรง F และระยะความยาวของประแจกับจุดจับยึด d จากรูปที่ 3.1(ข) ออกแรง F กระทากับวัตถุในระนาบ 2 มิติ ขนาดโมเมนต์ของแรงที่ ทาให้วัตถุหมุนรอบแกน O  O ที่ตั้งฉากกับระนาบของวัตถุ จะเป็นสัดส่วนกับขนาดของแรงและ ระยะ d ซึ่งเป็นระยะทางที่ตั้งฉากจากแกนหมุนถึงจุดที่แรงกระทา ดังนั้น ขนาดโมเมนต์หาได้จาก สมการ M F d (3.1) โมเมนต์เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทิศทางตั้งฉากกับระนาบของวัตถุ ที่รับแรง ทิศทางของ โมเมนต์ M ขึ้นอยู่กับทิศทางของแรง F ที่ทาให้วัตถุหมุนไปโดยอาศัยกฎมือขวาดังรูปที่ 3.1(ค) ใช้ ในการหาทิศทางลัพธ์ของโมเมนต์ ของแรง จากรูปที่ 3.1(ข) โมเมนต์ของแรง F ที่หมุนรอบแกน O  O จะมีทิศทางลัพธ์ไปตามนิ้วหัวแม่มือ ส่วนนิ้วชี้แสดงถึงทิศทางของแรงที่ทาให้เกิดโมเมนต์ โมเมนต์ของแรงในหน่วยสากลเป็น นิวตัน-เมตร N  m ส่วนหน่วยอังกฤษ เป็น ปอนด์-ฟุต lb  ft  เมื่อมีแรงกระทากับวัตถุในระนาบ ทาให้เกิดโมเมนต์รอบจุด ซึ่งให้โมเมนต์ลัพธ์อยู่ใน ทิศทางตั้งฉากกับระนาบของวัตถุและผ่านจุดที่แรงกระทากับวัตถุนั้น ดังนั้น โมเมนต์ของแรง F รอบ จุ ด A ดั ง รู ป ที่ 3.1(ง) จะมี ข นาดเท่ า กั บ M  F d และมี ทิ ศ ทางทวนเข็ ม นาฬิ ก า (counterclockwise) ทิ ศ ทางของโมเมนต์ นิ ย มบ่ ง ชี้ ด้ ว ยเครื่ อ งหมายทางคณิ ต ศาสตร์ โดยก าหนดให้ เครื่องหมายบวก ( + ) แทนโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา และ เครื่องหมายลบ ( - ) แทนโมเมนต์ตามเข็ม

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

78 สถิตยศาสตร์ นาฬิกา จากเกณฑ์ที่กาหนดให้ รูปที่ 3.1(ง) โมเมนต์ของแรง นาฬิกา จึงมีค่าเป็นบวก

F

หมุนรอบจุด

A

ในทิศทางทวนเข็ม

รูปที่ 3.1 การเกิดโมเมนต์และทิศทางโมเมนต์ของแรง 3.2.2 ทฤษฎีวำริยอง หลั ก การพื้ น ฐานส าคั ญ ในการหาโมเมนต์ ข องแรงคื อ ทฤษฎี ว าริ ย อง (Varignon’s theorem) กล่าวว่า “โมเมนต์ของแรงลัพธ์รอบจุดใดมีค่าเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของส่วนประกอบ ของแรงรอบจุดนั้น” เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีวาริยอง พิจารณาแรงลัพธ์ R กระทากับวัตถุในระนาบตามรูปที่ 3.2 จะได้ขนาดโมเมนต์ของแรงลัพธ์ R รอบจุด O เท่ากับ R d อย่างไรก็ตาม พบว่าระยะ d หาได้ยาก กว่าระยะ p และ q สาหรับแรงลัพธ์ R สามารถแตกแรงออกเป็นส่วนประกอบ P และ Q ซึ่ง สามารถหาโมเมนต์ได้จาก MO  R d   p P  qQ

โดยกาหนดให้โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกามีค่าเป็นบวก

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 79

3.3 ผลคูณแบบเวกเตอร์

3.3.1 ผลคูณแบบเวกเตอร์ ผลคูณแบบเวกเตอร์ หรือ Cross Product เป็นวิธีการคานวณทางเวกเตอร์ที่ช่วยใน การหาโมเมนต์ของแรงในระบบ 2 มิติ หรือ 3 มิติ ที่สะดวกและเป็นที่นิยมมาก จากรูปที่ 3.1(ข) ยนอยู่ในรูป Cross Product ได้เป็น โมเมนต์ของแรง F หมุนรอบจุด A สามารถเขี    (3.2) M r F  โดย r เป็นเวกเตอร์บอกตาแหน่งซึ่งวัดจากจุด A ไปยังตาแหน่งใดๆของแรง F และ ขนาดของโมเมนต์สามารถเขียนอยู่ในรูป M  F r sin   F d (3.3)

รูปที่ 3.2 การหาโมเมนต์ด้วยทฤษฎีของวาริยอง 3.3.2 กฎของผลคูณแบบเวกเตอร์ A B  B  A 1) กฎการสลับที่ A  B  B  A แต่ คุณสมบัติการสลับที่แสดงดังรูปที่ 3.3 (ก) และ 3.3(ข) ตามลาดับ โดยใช้กฎมือขวา พบว่ า B  A ผลลั พ ธ์ เ ป็ น ปริ ม าณเวกเตอร์ ที่ มี ข นาดเท่ า กั น แต่ ทิ ศ ทางตรงข้ า มกั บ C นั่ น คื อ B  A  C

2) กฎการคูณค่าคงที่ a A  B  aA B  A  aB   A  Ba เมื่อ a เป็นค่าคงที่ 3) กฎการกระจาย A  B  D   A  B   A  D

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

80 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 3.3 คุณสมบัติการสลับที่ของผลคูณแบบเวกเตอร์ ( ที่มำ http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/7/vector/vector4.html) 3.3.3 ผลคูณแบบเวกเตอร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัดฉำก จากรูปที่ 3.4 สามารถหาผลคูณแบบเวกเตอร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัดฉากได้ ตัว อย่ างเช่ น ต้ องการหา i  j ขนาดของผลลั พ ธ์ห าได้ จาก i  j sin 90   111  1 และ สามารถหาได้โดยตรงด้วยกฎมือขวา แสดงดังรูปที่ 3.4 จะพบว่าทิศทางของผลคูณแบบเวกเตอร์จะอยู่ ในทิศ  k ดังนั้น จะได้ i  j  1k ในลักษณะเดียวกัน จะได้ i j  k jk  i k i  j

ik  j j i  k k  j  i

i i  0 j j  0 k k  0

รูปที่ 3.4 ผลคูณแบบเวกเตอร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัดฉาก ( ที่มำ :: http://www.rmutphysics.com/CHARUD/oldnews/180/physics2/ Physics2_4.files/frame.htm#slide0129.htm) อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 81 อย่างไรก็ตาม ผลคูณแบบเวกเตอร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในพิกัดฉาก สามารถหาได้โดย กฎมือขวาด้วยความเข้าใจอย่างง่ายดังรูปที่ 3.5 พบว่าผลคูณแบบเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์หมุนไปใน ทิศทางทวนเข็มนาฬิการอบวงกลม ผลลัพธ์ของเวกเตอร์อยู่ในทิศทางเป็นบวก เช่น k  i  j ในทาง ตรงข้าม หากผลคูณแบบเวกเตอร์ ของสองเวกเตอร์ หมุนไปในทิศทางตามเข็มนาฬิการอบวงกลม ผลลัพธ์ของเวกเตอร์อยู่ในทิศทางเป็นลบ เช่น i  k   j

รูปที่ 3.5 หลักความเข้าใจกฎมือขวาอย่างง่าย พิจารณาผลคูณแบบเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์ เวกเตอร์ในพิกัดฉาก ได้เป็น 

 A

และ

 B

สามารถเขียนอยู่ในรูปของ

A  B  Ax i  Ay j  Az k  Bx i  By j  Bz k 

 Ax Bx i  i   Ax By i  j   Ax Bz i  k 

 Ay Bx  j  i   Ay By  j  j   Ay Bz  j  k   Az Bx k  i   Az By k  j   Az Bz k  k 

หาผลลั พธ์และรวมเทอมของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย จะได้  

A  B  Ay Bz  Az By i   Az Bx  Ax Bz  j  Ax By  Ay Bx k

(3.4) จากสมการ (3.4) สามารถเขียนอยู่ในรูปของ ดิเทอร์มิแนนท์ (determinant) ได้เป็น i   A  B  Ax

j

k

Ay

Az

Bx

By

Bz

(3.5) 



ดัง นั้ น ในการหาผลคู ณ แบบเวกเตอร์ ข องเวกเตอร์ A และ B สามารถท าได้ ด้ ว ย การหาดิเทอร์มิแนนท์โดยกาหนดให้แถวแรกเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย i, j และ k แถวที่สองและ   สามให้แทนด้วยสัมประสิทธิ์ในทิศทาง x, y และ z ของเวกเตอร์ A และ B , ตามลาดับ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

82 สถิตยศาสตร์

3.4 กำรหำโมเมนต์ด้วยผลคูณแบบเวกเตอร์

การหาขนาดโมเมนต์ของแรงในระบบ 2 มิติ นิยมใช้สมการ (3.1) เพราะมีความสะดวกในการ หาระยะจากจุดหมุนไปถึงจุดที่แรงกระทาหรือ moment arm d  แต่ปัญหาของแรงในระบบ 3 มิติ เป็นปัญหาอย่างมากในการหาระยะที่กระทาของแรง ดังนั้น การหาขนาดโมเมนต์โดยใช้ความรู้เรื่อง ผลคูณแบบเวกเตอร์จึงมีความสาคัญเป็นอย่างมาก ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อนี้ 3.4.1 กำรหำโมเมนต์ของแรงด้วยผลคูณแบบเวกเตอร์ จากรูปที่ 3.6 ทราบเวกเตอร์ r ในแนวแกน x, y แล z สามารถเขียนเป็นเวกเตอร์บอก ตาแหน่ง r และทราบเวกเตอร์ของแรง F ดังนั้น สมการโมเมนต์ของแรงกลายเป็น i   M O  r  F  rx

j

k

ry

rz

Fx

Fy

Fz

(3.6)

โดยที่

คือ ส่วนประกอบเวกเตอร์บอกตาแหน่งจากจุด O ถึงระยะของแรง ตามแนวแกน x, y และ z, ตามลาดับ Fx , Fy , Fz คือ ส่วนประกอบเวกเตอร์ของแรงตามแนวแกน x, y และ z, ตามลาดับ rx ,r y , rz

รูปที่ 3.6 การหาโมเมนต์ด้วยผลคูณแบบเวกเตอร์ จากสมการ (3.6) ผลลัพธ์ได้เป็น

M O  ry Fz  rz Fy  i  rz Fx  rx Fz  j  rx Fy  ry Fx  k

ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้พบว่าเกิดโมเมนต์หมุนรอบจุด O ในทิศทางแกน x, y และ z ดังนี้ M x  ry Fz  rz Fy , M y  rz Fx  rx Fz , M z  rx Fy  ry Fx โดยมีรายละเอียดแสดงดังรูปที่ 3.7

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 83

รูปที่ 3.7 ขนาดโมเมนต์ของแต่ละแกนในพิกัดฉาก 3.4.2 ทฤษฎีวำริยอง จากที่ได้กล่ าวถึงทฤษฎีวาริยองในการหาโมเมนต์ของแรงในระบบ 2 มิติ มาแล้ ว พิจารณารูปที่ 3.8 ระบบประกอบด้วยแรง F1 , F2 และ F3 ผลรวมของโมเมนต์รอบจุด O สามารถ หาได้จาก r  F1  r  F2  r  F3 .....  r  F1  F2  F3 ....  r F

โดยอาศัยผลคูณแบบเวกเตอร์ สามารถหาโมเมนต์ ห มุนรอบจุด O ได้จาก     M O   r  F   r  R

(3.7) จากสมการ (3.7) กล่าวได้ว่า “ผลรวมของโมเมนต์รอบจุดใดของระบบที่ประกอบด้วย แรงหลายแรงมีค่าเท่ากับโมเมนต์ที่เกิดจากแรงลัพธ์ของระบบนั้น” ซึ่งเป็นไปตามทฤษฎีวาริยอง

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

84 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 3.8 การหาโมเมนต์ด้วยทฤษฎีวาริยองในระบบ 3 มิติ ตัวอย่ำงที่ 3.1 กาหนดให้มุม   45 จงหาขนาดและทิศทางของโมเมนต์ของแรง ดังรูปที่ 3.9

วิธีทำ

4 kN

หมุนรอบจุด A

รูปที่ 3.9 ประกอบตัวอย่างที่ 3.1

รูปที่ 3.10 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.1 อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 85 จากผังวัตถุอิสระรูปที่ 3.10 แตกแรงขนาด 4 kN ออกเป็น 2 ส่วนประกอบตามแนวแกน x และ y หลังจากนั้นหาโมเมนต์รอบจุด A โดยอาศัยทฤษฎีวาริยองและกาหนดให้โมเมนต์หมุนทวนเข็ม นาฬิกาเป็นบวก จะได้ M A  4 cos 45 0.45  4 sisn 45 3  1.27  8.49  7.22  7.22 kN  m

(โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา)

Ans.

ตัวอย่ำงที่ 3.2 แรงขนาด 100 N กระทาที่ปลายชิ้นงานดังรูปที่ 3.11 จงหาโมเมนต์ของแรงหมุนรอบจุด O

รูปที่ 3.11 ประกอบตัวอย่างที่ 3.2

วิธีทำ

รูปที่ 3.12 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.2 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

86 สถิตยศาสตร์ จากผังวัตถุอิสระรูป ที่ 3.12 แตกแรง 100 N ออกเป็น 2 ส่วนประกอบ หลังจากนั้นหา โมเมนต์หมุนรอบจุด O โดยอาศัยทฤษฎีวาริยองและกาหนดให้โมเมนต์หมุน ตามเข็มนาฬิกาเป็นบวก จะได้ M O  100(3 / 5)  5  100(4 / 5)  2

 60  5  80  2 M O  460 N  m

(โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา)

Ans.

ตัวอย่ำงที่ 3.3 รถขนของขนาดเล็กพร้อมน้าหนักที่บรรทุกรวมมีมวล 50 kg และอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวล G ดังรูปที่ 3.13 ถ้าโมเมนต์ลัพธ์ที่กระทาด้วยแรง F และน้าหนักที่บรรทุกรอบจุด A มีค่าเท่ากับศูนย์ จงหาขนาดของแรง F

รูปที่ 3.13 ประกอบตัวอย่างที่ 3.3 (ที่มำ : http://www.mycutegraphics.com/graphics/valentines-day/ boy-pushing-wheelbarrow-of-hearts.html)

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 87 วิธีทำ

รูปที่ 3.14 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.3 จากผังวัตถุอิสระรูปที่ 3.14 แตกแรง F ออกเป็น 2 ส่วนประกอบตามแนวตั้งฉากและขนาน กับพื้นราบ หลังจากนั้นหาโมเมนต์หมุนรอบจุด A โดยอาศัยทฤษฎีวาริยองและกาหนดให้โมเมนต์หมุน ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จะได้ M A   F cos 30 1.15  F sin 30 1.5  509.810.3 0  0.996 F  0.75 F  147.15 0  1.746 F  147.15 147.15 F 1.746  84.3 N

ดังนั้น ต้องออกแรงขนของเท่ากับ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

84.3 N

Ans.

จึงจะทาให้โมเมนต์รอบจุด A เท่ากับศูนย์

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

88 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่ำงที่ 3.4 จงหาขนาดของโมเมนต์รอบจุด O ของแรง ต่างกันในการคานวณ

600 N

ตามรูปที่ 3.15 โดยใช้ 2 แนวทางที่

รูปที่ 3.15 ประกอบตัวอย่างที่ 3.4

วิธีทำ

รูปที่ 3.16 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.4 1)

จากรูปที่ 3.16(ก) หาระยะการเกิดโมเมนต์จากจุด O ถึงแรง

d  4 cos 40  2 sin 40  4.35 m.

จาก 2)

600 N

ได้จาก

M  F d จะได้โมเมนต์หมุนตามเข็มนาฬิกาและมีขนาดเท่ากับ M O  600 4.35  2610 N  m

Ans.

จากรูปที่ 3.16(ข) แตกแรงที่จุด A ออกเป็นสองส่วนประกอบในพิกัดฉาก จะได้ F1  600 cos 40  460 N F2  600 sin 40  386 N

โดยอาศัยทฤษฎีวาริยอง จะได้โมเมนต์รอบจุด O หมุนตามเข็มนาฬิกาและมีขนาดเป็น อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 89 M O  4604  3862  2610 N  m

Ans.

ข้อสังเกต พบว่าคาตอบจากสองแนวทางในการหามีค่าเท่ากัน ตัวอย่ำงที่ 3.5 แรงดึง T ขนาด 10 kN กระทากับเสาที่ตาแหน่งบนสุด A และถูกยึดกับพื้นที่ตาแหน่ง ดังรูปที่ 3.17 จงหาขนาดของโมเมนต์ M z ที่เกิดจากแรง T ในทิศทางแกน z หมุนรอบจุด O

B

รูปที่ 3.17 ประกอบตัวอย่างที่ 3.5 วิธีทำ

ในการหาโมเมนต์ในทิศทางแกน z หมุนรอบจุด O จะใช้วิธีผลคูณแบบเวกเตอร์ ซึ่งต้องหา ขนาดของเวกเตอร์ ของแรง T และเวกเตอร์ ของระยะทางจากจุ ดหมุน O ถึงระยะใดๆของแนว กระทาของแรง T โดยในที่นี้จะใช้ ระยะจากจุด O ไปยัง จุด A สามารถเขียนเป็นเวกเตอร์ของ ระยะทางได้เป็น r OA  15 j ส่วนเวกเตอร์ของแรง T หาได้จากความสัมพันธ์ดังนี้  12 i  15 j  9k   T  T n AB  10  12 2   152  9 2





  

   12i  15 j  9k   10  450  



    10 0.566i  0.707 j  0.424k

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี



อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

90 สถิตยศาสตร์     5.66i  7.07 j  4.24k

โมเมนต์ของแรง T รอบจุด O โดยวิธีผลคูณแบบเวกเตอร์ หาได้จาก i    M O  rOA  T  0 5.66

j 15

k 0

 7.07

4.24

   154.24   7.07 0i  05.66  4.240 j    7.07 0  5.6615k    (63.6 i  84.9 k ) kN  m



ค่าของ M z เป็น ปริ มาณสเกลาร์ของเวกเตอร์ โมเมนต์ M O ในทิศทางแกน z หาได้จาก   M z  M O  k ดังสมการ





   M z  63.6 i  84.9 k  k

 84.9 kN  m

Ans.

เครื่องหมายลบหมายความว่าเวกเตอร์ของโมเมนต์ M z มีทิศทางไปยังแกน z ที่เป็นลบ โดย มีขนาดเท่ากับ 84.9 kN  m

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 91 ตัวอย่ำงที่ 3.6 จงหาโมเมนต์ของแรง

FB

หมุนรอบจุด O ดังรูปที่ 3.18 โดยใช้วิธีผลคูณแบบเวกเตอร์

รูปที่ 3.18 ประกอบตัวอย่างที่ 3.6 วิธีทำ

รูปที่ 3.19 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.6 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

92 สถิตยศาสตร์  rOA

จาก

เวกเตอร์บอกตาแหน่งและเวกเตอร์ของแรงจากรูปที่ 3.19 ในที่นี้จะใช้เวกเตอร์บอกตาแหน่ง หรือ rOB เพื่อใช้ในการหาโมเมนต์ของแรง FB รอบจุด O ดังนั้น เวกเตอร์บอกตาแหน่งหาได้  rOA  [6 k ] m

เวกเตอร์ของแรง

FB

เขียนได้เป็น

และ

 rOB  [2.5 j ] m

 0  0i  2.5  0 j  0  6k     FB  FB u AB  780   0  02  2.5  02  0  62   2.5 j  6 k   780   42.25   1202.5 j  6 k   [300 j  720 k ] N

โมเมนต์ของแรง

FB

รอบจุด O โดยวิธีผลคูณแบบเวกเตอร์ i    M B  rOA  FB  0 0

j 0

k 6

300  720

 0 720  6300i  60   7200 j

 3000  00k   1800 i  N  m  1.80 ikN  m หรือ คิดจากเวกเตอร์บอกตาแหน่ง rOB  [2.5 j] m จะได้

i    M B  rOB  FB  0 0

j 2.5

Ans.

k 0

300  720

 2.5 720  3000 i  00   7200 j

 3000  02.5 k    1800 i  N  m  1.80 ikN  m

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 93 แบบฝึกหัดตอนที่ 1 3.1 แรงดึงขนาด 90 N กระทากับแท่ง AB แสดงดังรูปที่ 3.20 ที่มีความยาวเท่ากับ หาขนาดและทิศทางของโมเมนต์รอบจุด B

225 mm

จง

รูปที่ 3.20 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.1 3.2 ออกแรง F  70 N กระทาที่จุด B ดังรูปที่ 3.21 จงหาขนาดและทิศทางของโมเมนต์ของแรง หมุนรอบจุด A เมื่อกาหนดให้ a  0.9 m, b  0.3 m, c  0.7 m,   60

รูปที่ 3.21 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

94 สถิตยศาสตร์ 3.3 จงคานวณหาขนาดของโมเมนต์ของแรง 250 N หมุนรอบจุดศูนย์กลางของ Bolt เมื่อออกแรง กระทาที่ปลายด้ามจับของประแจดังรูปที่ 3.22

รูปที่ 3.22 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.3 3.4 จงหาขนาดและทิศทางของโมเมนต์ของแรง

F  4 kN

หมุนรอบจุด O ดังรูปที่ 3.23

รูปที่ 3.23 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.4

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 95 3.5 ออกแรงดึง P เท่ากับ 3 lb กระทากับแท่งเหล็กที่จุด P หมุนรอบจุด A เมื่อ   30

B

ดังรูปที่ 3.24 จงหาโมเมนต์ของแรง

รูปที่ 3.24 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.5 3.6 จงหาเวกเตอร์ของโมเมนต์หมุนรอบจุด O ที่เกิดจากแรง T  1.2 kN ดังรูปที่ 3.25 โดยการใช้ ระยะ OC และ OD จากจุดหมุนไปยังแนวกระทาของแรงเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้

รูปที่ 3.25 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.6

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

96 สถิตยศาสตร์ 3.7 จากรูปที่ 3.26 จงหาโมเมนต์ของแต่ละแรงหมุนรอบจุด

O

โดยเขียนให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์

รูปที่ 3.26 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.7 (ที่มำ : http://www.makitathailand.com/p/153/dp-4700%E0%B8%AA%E0%B8%A7%E0%B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B9 %84%E0%B8%9F%E0%B8%9F%E0%B9%89%E0%B8%B2-1_2) 3.8 จงหาโมเมนต์ของแรง

F

หมุนรอบจุด

O

ดังรูปที่ 3.27 โดยเขียนให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์

รูปที่ 3.27 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.8

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 97

3.5 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ

แรงคู่ควบ (Couple) หมายถึง แรงสองแรงที่ขนานกัน มีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้าม และห่างกันด้วยระยะ d ดังรูปที่ 3.28 เนื่องจากผลลัพธ์ของแรงคู่ควบจะมีค่าเท่ากับศูนย์ ผลของแรง คู่ควบจึงทาให้เกิดการหมุนของวัตถุในทิศทางที่แรงกระทา

รูปที่ 3.28 แรงคู่ควบ โมเมนต์ที่เกิดจากแรงคู่ควบ เรียกว่า โมเมนต์ของแรงคู่ควบ (Couple Moment) พิจารณารูป ที่ 3.29 เวกเตอร์บอกตาแหน่ง rA และ rB วัดจากจุด O ถึงจุด A และ B ตามลาดับ ซึ่งเป็นจุดการ กระทาของแรง  F และ F โมเมนต์ของแรงคู่ควบรอบจุด O หาได้จาก M  rB  F  rA   F  rB  rA  F โดยที่ r B  rA  r หรือ r  rB  rA ดังนั้น จะได้โมเมนต์ของแรงคู่ควบเป็น M  rF

รูปที่ 3.29 การหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบ พบว่า โมเมนต์ของแรงคู่ควบเป็นเวกเตอร์อิสระ (free vector) คือ โมเมนต์ของแรงคู่ควบจะ กระทาที่ตาแหน่งใดของวัตถุก็ได้ เนื่องจาก M ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์บอกตาแหน่ง r ซึ่งเป็นระยะห่าง ระหว่างแรงสองแรง 3.5.1 โมเมนต์ของแรงคู่ควบแบบสเกลำร์ โมเมนต์ของแรงคู่ควบ M ดังรูปที่ 3.30 สามารถหาขนาดได้จากสมการ M Fd (3.10) มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

98 สถิตยศาสตร์ โดยที่ F เป็นขนาดของแรงเพียงแรงเดียว และ d เป็นระยะห่างที่ตั้งฉากระหว่าง แรงทั้งสอง ส่วนทิศทางของโมเมนต์ของแรงคู่ควบหาได้จากกฎมือขวา (right hand rule) นิ้วหัวแม่มือแสดงถึงทิศทางลัพธ์ของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ ส่วนนิ้วชี้แสดงถึงการหมุนไปของแรงคู่ ควบ โดยที่ M อยู่ในทิศทางตั้งฉากกับระนาบของแรงคู่ควบเสมอ ดังรูปที่ 3.30

รูปที่ 3.30 การหาขนาดและทิศทางของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ 3.5.2 โมเมนต์ของแรงคู่ควบแบบเวกเตอร์ โมเมนต์ของแรงคู่ควบสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณแบบเวกเตอร์ได้ ดังสมการ    (3.11) M  r F โดยสมการ (3.11) นิยมแก้ปัญหาในระบบ 3 มิติ 3.5.3 กำรรวมโมเมนต์ของแรงคู่ควบ ในการรวมโมเมนต์ของแรงคู่ควบสามารถใช้กฎการรวมกันของปริมาณเวกเตอร์ จากรูป ที่ 3.31 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ M 1 เกิดจากแรง F1 และ  F1 รวมกับโมเมนต์ของแรงคู่ควบ M 2 เกิดจากแรง F2 และ  F2 ทาให้ได้โมเมนต์ของแรงคู่ควบลัพธ์เป็น M ซึ่งเกิดจากแรง F และ  F ดังนั้น การรวมโมเมนต์ของแรงคู่ควบหลายแรงเขียนเป็นสมการได้เป็น M R   r  F  (3.12)

รูปที่ 3.31 การรวมโมเมนต์ของแรงคู่ควบ อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 99 3.5.4 หลักกำรย้ำยแรง หลักการย้ายแรงสามารถทาได้ทั้งในระบบ 2 มิติ หรือ 3 มิติ โดยหลักการย้ายแรงแสดง ดังรูปที่ 3.32 เมื่อจะย้ายแรง F ซึ่งกระทาที่จุด A ไปไว้ที่จุด B ทาได้โดยการบวกแรง F และ  F ที่จุด B ทาให้เกิดโมเมนต์ของแรงคู่ควบ M  r  F ซึ่งโมเมนต์ของแรงคู่ควบนี้เกิดจากแรง  F และ F ในตอนเริ่มต้น

รูปที่ 3.32 หลักการย้ายแรงที่กระทากับวัตถุ ตัวอย่ำงที่ 3.7 จงหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบรวมที่เกิดจากแรงคู่ควบสามแรง ดังรูปที่ 3.33

รูปที่ 3.33 ประกอบตัวอย่างที่ 3.7 วิธีทำ

จากรูปที่ 3.33 จะได้ระยะทางที่ตั้งฉากระหว่างแรงคู่ควบแต่ละคู่เป็น d1  4 ft , d 2  3 ft และ d 3  5 ft โดยการพิจารณาให้โมเมนต์ของแรงคู่ควบหมุนทวนเข็มนาฬิกามีค่าเป็นบวก จะได้ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

100 สถิตยศาสตร์ M R  M ;

M R   F1 d1  F2 d 2  F3 d 3

  200 lb 4 ft   450 lb 3 ft   300 lb 5 ft   950 lb  ft

 950 lb  ft

Ans.

เครื่องหมายลบแสดงถึงเกิดโมเมนต์ของแรงคู่ควบรวมในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ตัวอย่ำงที่ 3.8 จงหาผลลัพธ์ของโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่กระทากับท่อดังรูปที่ 3.34

รูปที่ 3.34 ประกอบตัวอย่างที่ 3.8 วิธีทำ

รูปที่ 3.35 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.8 อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 101 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ

M1

เกิดจากแรงกระทาที่จุด

A

และ

B

หาได้จาก

M 1  F d  (150 N )(0.4m)  60 N  m

จากกฎมือขวา เวกเตอร์ได้เป็น

M1

จะกระทาในทิศทาง

i

สังเกตได้จากรูปที่ 3.35 (ก) ซึ่งเขียนอยู่ในรูป

  M 1  60 i  N  m

สาหรับโมเมนต์ของแรงคู่ควบ M 2 สามารถหาได้จากการใช้วิธีผลคูณแบบเวกเตอร์ของแรง   กระทาที่จุด C และ D ดังรูปที่ 3.34 จะได้ M 2  rDC  FC ดังนั้น     4    3   M 2  rDC  FC  0.3 i  125  j  125  k  5   5



    0.3 i  100 j  75 k





     30 i  j   22.5 i  k







   22.5 j  30 k N  m

เนื่องจากโมเมนต์ของแรงคู่ควบ M 1 และ M 2 เป็นเวกเตอร์อิสระ จึงสามารถนาไปรวมกันที่ จุดใดก็ได้และผลรวมของโมเมนต์ของแรงคู่ควบแบบเวกเตอร์แสดงดังรูปที่ 3.35 (ข) ดังนั้น ผลลัพธ์ ของโมเมนต์ของแรงคู่ควบหาได้จาก





      M R  M 1  M 2  60 i  22.5 j  30 k N  m

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

102 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่ำงที่ 3.9 จงย้ายแรงในแนวระดับขนาด แรงคู่ควบ

80 lb

ไปกระทาที่จุด O ดังรูปที่ 3.36 พร้อมทั้งหาโมเมนต์ของ

รูปที่ 3.36 ประกอบตัวอย่างที่ 3.9 วิธีทำ

รูปที่ 3.37 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 3.9 การย้ายแรงไปกระทาที่ตาแหน่ง O ทาให้เกิดโมเมนต์ของแรงคู่ควบในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ดังรูปที่ 3.37 และมีขนาดเท่ากับ





M  80 9 sin 60  624 lb  in

Ans.

ด้วยเหตุนี้ แรงในตอนเริ่มต้นขนาด 80 lb ได้ถูกย้ายไปกระทาที่จุด O และเกิดโมเมนต์ของแรง คู่ควบด้วยขนาด 624 lb  in ดังรูปที่ 3.37 ลาดับที่สาม

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 103 แบบฝึกหัดตอนที่ 2 3.9 จงหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบลัพธ์ที่เกิดจากแรงคู่ควบกระทาดังรูปที่ 3.38

รูปที่ 3.38 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.9 3.10 ภาพด้านบนของประตูแบบหมุน แสดงดังรูปที่ 3.39 และมีบุคคลสองคนออกแรงกระทากับ ประตูและมีขนาดเท่ากัน ถ้าโมเมนต์ของแรงคู่ควบลัพธ์ที่กระทากับประตูที่จุด O เท่ากับ 25 N  m จงหาขนาดของแรง F

รูปที่ 3.39 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.10

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

104 สถิตยศาสตร์ 3.11 ในขณะเลี้ยวซ้าย ผู้ขับขี่รถยนต์ออกแรงสองแรงขนาด 1.5 kN กระทากับพวงมาลัยแสดงดัง รูปที่ 3.40 จงหาขนาดและทิศทางของโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่ได้จากการหมุนพวงมาลัยนี้

รูปที่ 3.40 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.11 3.12 จากรูปที่ 3.41 กาหนดให้ F1  500 N และ ลัพธ์ของแรงทั้งสาม โดยใช้วิธีผลคูณแบบเวกเตอร์

F2  1000 N

, จงหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบ

รูปที่ 3.41 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 3.12

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 105

บทสรุป

1) โมเมนต์ของแรงที่กระทากับวัตถุหาได้จากสมการ M  F d 2) กฎมือขวา กล่าวว่า นิ้วหัวแม่มือแสดงถึงทิศทางลัพธ์ของโมเมนต์ ส่วนนิ้วชี้ แสดงถึงการหมุนไปของแรง   3) การหาโมเมนต์ของแรงด้วยวิธีผลคูณแบบเวกเตอร์ เขียนสมการได้เป็น M  r  F 4) ผลคูณแบบเวกเตอร์เขียนในรูปดิเทอร์มิแนนท์ได้เป็น i    M O  r  F  rx

j

k

ry

rz

Fx Fy Fz      M O   r  F   r  R

5) ทฤษฎีวาริยอง เขียนสมการได้เป็น 6) โมเมนต์ของแรงคู่ควบเกิดจากแรงคู่ควบคูณกับระยะห่างที่ตั้งฉากระหว่างแรงคู่ควบนั้น เขียนสมการได้เป็น M  F d 7) หลักการย้ายแรงจะเกิดโมเมนต์ของแรงคู่ควบเสมอ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

106 สถิตยศาสตร์

แบบทดสอบบทที่ 3

3.1 จงหาขนาดและทิศทางของโมเมนต์หมุนรอบจุด O ของแรง

F  300 N

ดังรูปที่ 3.42

รูปที่ 3.42 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.1 3.2 จากรูปที่ 3.43 จงหาโมเมนต์ลัพธ์หมุนรอบจุด O ของแรง

F1  500 N

และ

F2  600 N

รูปที่ 3.43 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.2

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 107 3.3 จงหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบลัพธ์ที่กระทากับคานดังรูปที่ 3.44

รูปที่ 3.44 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.3 3.4 เส้นลวด AE ถูกยึดไว้ที่มุม A และ E ของแผ่นเหล็กดังรูปที่ 3.45 เมื่อกาหนดให้เส้นลวดมี แรงกระทาเท่ากับ 435 N จงหาโมเมนต์ที่เกิดจากแรงในเส้นลวดหมุนรอบจุด O ก) เมื่อจุดสิ้นสุดของแรงกระทาที่มุม A ข) เมื่อจุดสิ้นสุดของแรงกระทาที่มุม E

รูปที่ 3.45 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.4 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

108 สถิตยศาสตร์ 3.5 ส่วนหนึ่งของผนังคอนกรีตถูกยึดไว้ชั่วคราวด้วยเคเบิลดังรูป ที่ 3.46 ถ้าขนาดของแรงดึงในเคเบิล BD มีค่าเท่ากับ 900 N จงหาโมเมนต์หมุนรอบจุด O ที่เกิดจากแรงในเคเบิลกระทาที่จุด B

รูปที่ 3.46 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.5 3.6 แท่งเหล็กกลมมีความยาว 6 m ปลายด้านหนึ่งถูกยึดไว้ที่จุด A เคเบิลทามาจากลวดผูกปลาย อีกด้านที่จุด B ยึดไว้กับผนังที่จุด C ดังรูปที่ 3.47 ถ้าทราบขนาดแรงดึงในเคเบิลเท่ากับ 2.5 kN จงหาโมเมนต์หมุนรอบจุด A ที่เกิดจากแรงในเคเบิลกระทาที่จุด B ของแท่งกลม

รูปที่ 3.47 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 3.6 อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 โมเมนต์ของแรง 109

เอกสำรอ้ำงอิง

มนตรี พิรุณเกษตร. (2554). กลศำสตร์วิศวกรรม : ภำคสถิตยศำสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. วีระศักดิ์ กรัยวิเชียร และ คณะ. (2551). กลศำสตร์วิศวกรรม : ภำคสถิตยศำสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons. http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/7/vector/vector4.htm http://www.rmutphysics.com/CHARUD/oldnews/180/physics2/Physics2_4.files/frame.h http://www.mycutegraphics.com/graphics/valentines-day/boy-pushing-wheelbarrowhttp://www.makitathailand.com/p/153/dp-4700-%E0%B8%AA%E0%B8%A7%E0% B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8% 9F%E0%B9%89%E0%B8%B2-1_2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

110 สถิตยศาสตร์

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 4 สมดุลของอนุภาค หัวข้อเนื้อหา 4.1 บทนา 4.2 เงื่อนไขความสมดุลของอนุภาค 4.3 การเขียนผังวัตถุอิสระ 4.3.1 หลักการเขียนผังวัตถุอิสระ 4.4 สมดุลในระบบ 2 มิติ 4.4.1 สมการสมดุล 4.4.2 ลาดับขั้นตอนการแก้ปัญหา แบบฝึกหัดตอนที่ 1 4.5 สมดุลในระบบ 3 มิติ 4.5.1 สมการสมดุล 4.5.2 ลาดับขั้นตอนการแก้ปัญหา แบบฝึกหัดตอนที่ 2 วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว ผู้เรียนควรมีความรู้และทักษะดังนี้ 1. อธิบายหลักความสมดุลของอนุภาคในระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ 2. สามารถเขียนผังวัตถุอิสระของอนุภาคในระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ 3. สามารถหาแรงเพื่อทาให้ระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ อยู่ในสภาวะสมดุล วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ผู้สอนนาเข้าสู่บทเรียนโดยการสอบถามถึงหลักการเกิดความสมดุลของอนุภาค 2. เฉลยหลักพื้นฐานการเกิดความสมดุลของอนุภาคและเข้าสู่เนื้อหา 3. ให้ผู้เรียนสอบถามข้อสงสัยในประเด็นที่ยังไม่เข้าใจ 4. แบ่งกลุ่มทาแบบฝึกหัดเพื่อทบทวนความรู้ 5. แบ่งกลุ่มปฏิบัติตามใบงานที่ 6-7 6. มอบหมายงานเพื่อให้ทาเป็นการบ้านเพื่อเพิ่มพูนความรู้ 7. แบบทดสอบ 8. เฉลยคาตอบแบบฝึกหัด 9. เฉลยคาตอบแบบทดสอบ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

112 สถิตยศาสตร์ สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาสถิตยศาสตร์ บทที่ 4 เรื่อง สมดุลของอนุภาค 2. โปรแกรม Microsoft Word ใช้ประกอบการบรรยายเนื้อหา 3. เครื่องคอมพิวเตอร์ 4. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ 5. ใบงานที่ 6-7 การวัดและการประเมินผล การวัดผล 1. สังเกตการเข้าร่วมกิจกรรมกลุ่มทาแบบฝึกหัด 2. จากการทาแบบฝึกหัด 3. จากการปฏิบัติตามใบงาน 4. จากการทาแบบทดสอบ การประเมินผล 1. ทากิจกรรรมได้แล้วเสร็จตามที่กาหนด 2. ทาแบบฝึกหัดได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์ 3. ปฏิบัติตามใบงานได้สาเร็จตามเวลา 4. ทาแบบทดสอบท้ายบทเรียนได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 4.1 บทนา

ในบทนี้กล่าวถึงเงื่อนไขความสมดุลของอนุภาคในระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ เมื่อมีแรงกระทากับ อนุภาค การเขียนผังวัตถุอิสระของอนุภาคในระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ ซึง่ เป็นสิ่งที่สาคัญเพื่อนาไปใช้ใน การหาความสมดุลของอนุภาค สุดท้ายกล่าวถึง หลักการแก้ปัญหาความสมดุลของระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ เพื่อหาส่วนประกอบของแรงที่ทาให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล

4.2 เงื่อนไขความสมดุลของอนุภาค

อนุภาคอยู่ในสภาวะสมดุล ระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ เมื่ออยู่ในสภาวะหยุดนิ่ง ก็จะหยุดนิ่ ง ตลอดไปหรือเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วคงที่ ในขณะที่มีการเคลื่อนที่ ดังนั้น เพื่อให้วัตถุอยู่ในสภาวะ สมดุลต้องใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อหนึ่งของนิวตันในการหาแรงลัพธ์กระทากับวัตถุมีค่าเป็นศูนย์ เขียนอยู่ ในรูปสมการได้เป็น (4.1) F  0 โดยที่  F คือผลรวมของแรงที่กระทากับอนุภาค

4.3 การเขียนผังวัตถุอิสระ

ในการประยุกต์ใช้สมการสมดุลของอนุภาค มีความจาเป็นต้องเขียนแรงที่ทราบค่าและไม่ทราบ ค่าทั้งหมดที่กระทากับอนุภาค เรียกว่า ผังวัตถุอิสระ (free body diagram, FBD) จุดเชื่อมต่อระหว่างอนุภาคให้อยู่ในสภาวะสมดุลมี 2 ชนิด คือ สปริง และ เคเบิล สปริง ให้สปริงมีความยาวก่อนการเสียรูปเป็น lo ใช้ในการเชื่อมต่อกับอนุภาค ทาให้สปริงมี ความยาวเปลี่ยนแปลงไปตามแรง F ที่กระทาดังรูปที่ 4.1 โดยให้สปริงมีค่าคงที่ของสปริงหรือ stiffness, k ขนาดของแรงที่กระทากับสปริงจนทาให้สปริงมีความยาวเปลี่ยนแปลงไป s  l  lo สามารถ หาขนาดของแรงได้จากสมการ F ks (4.2) ถ้าระยะ s มีค่าเป็นบวก แสดงว่าสปริงยึดออกเพราะถูกแรงดึง F แต่ถ้าระยะ s มีค่าเป็นลบ แสดงว่าสปริงหดตัวเพราะถูกแรงกด F โดยค่า k มีหน่วยเป็น N / m เคเบิลและพูลเล่ย์ ในที่นี้จะไม่คิดน้าหนักของสายเคเบิล ดังนั้น จึงกาหนดให้เคเบิลรับแรงดึง และมีทิศทางไปตามความยาวของเคเบิล ปกติแล้วเคเบิลจะพาดผ่านพูลเล่ย์ที่ไม่คิดแรงเสียดทานที่มี น้าหนักคงที่ ทาให้เคเบิลอยู่ในสภาวะสมดุล จากรูปที่ 4.2 พบว่าเคเบิลรับแรงดึง T ตลอดความยาว ของเคเบิลและทามุม  กับแนวราบ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

114 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 4.1 การหาแรงที่กระทาผ่านสปริง (ที่มา : http://th.88db.com/thailand/Bangkok-Area+Bang-Kho-Laem/BusinessServices/Industrial-Products/ad-1463204/) 4.3.1 หลักการเขียนผังวัตถุอิสระ การเขียนผังวัตถุอิสระมีขั้นตอนที่สาคัญ 3 ขั้นตอน คือ 1) เขียนรูปวัตถุ เขียนวัตถุแยกออกจากสิ่งรอบข้างหรือเขียนเฉพาะรูปร่างของวัตถุ 2) เขียนแรงทั้งหมดที่กระทา เขียนแรงกิริยาหรือแรงปฏิกิริยาที่กระทากับวัตถุทั้งหมดที่เป็นไปได้ 3) ระบุขนาดและทิศทางของแรง ระบุขนาดและทิศทางของแรงที่ทราบค่าให้ตรงกับชื่อที่กาหนดไว้ พร้อมทั้งระบุชื่อ ของแรงที่ไม่ทราบขนาดและทิศทางด้วย ตัวอย่างการเขียนผังวัตถุอิสระแสดงดังรูปที่ 4.3

รูปที่ 4.2 แรงดึงกระทาผ่านเคเบิล (ที่มา : http://science.howstuffworks.com/transport/engines-equipment/ pulley.html

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 115

(ก) แรงกระทากับอนุภาคแรงเดียว

(ข) แรงกระทากับอนุภาคหลายแรง รูปที่ 4.3 การเขียนผังวัตถุอิสระ (ที่มา : http://artytoy.tarad.com/product.detail_685082_th_4624301 )

4.4 สมดุลในระบบ 2 มิติ

4.4.1 สมการสมดุล อนุภาคถูกแรงกระทาในระนาบ xy ดังรูปที่ 4.4 หลังจากนั้น แตกแรงแต่ละแรงให้อยู่ ในรูปของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย i และ j แล้วทาการรวมแรงทั้งหมดให้แรงลัพธ์เท่ากับ ศูนย์ สามารถ เขียนสมการได้เป็น 

F  0 F i  F j  0 x

และ

และ

y

y

y

การทาให้สมการเวกเตอร์ข้างบนเป็นจริงได้ ต้องทาให้ผลรวมของแรงในแนวแกน มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น สมการสมดุลของแรงในแต่ละแกนเท่ากับ

F F

x

0

y

0

(4.3)

ในการคานวณด้วยสมการ (4.3) ต้องคานึงถึงทิศทางของแรงที่กระทาในแนวแกน เป็นสาคัญ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

x

x

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

116 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 4.4 แรงกระทากับอนุภาคในระนาบ

xy

4.4.2 ลาดับขั้นตอนการแก้ปัญหา การแก้ปัญหาสมดุลของแรงที่กระทากับอนุภาค มีขั้นตอนดังนี้ การเขียนผังวัตถุอิสระ 1) เขียนพิกัด x, y ในตาแหน่งที่เหมาะสม 2) ระบุชื่อให้กับแรงที่ทราบและไม่ทราบขนาดและทิศทาง 3) สมมุติทิศทางให้กับแรงที่ไม่ทราบค่า การใช้สมการสมดุล 1) ประยุกต์ใช้สมการสมดุล  Fx  0 และ  Fy  0 2) ชิ้นส่วนมีทิศทางเป็นบวกเมื่อชี้ไปในแนวแกนที่เป็นบวก ตรงกันข้าม ชิ้นส่วนมี ทิศทางเป็นลบเมื่อชี้ไปในแนวแกนที่เป็นลบ 3) ถ้ามีแรงที่ไม่ทราบค่ามากกว่า 2 แรง และ เกี่ยวข้องกับสปริงให้ใช้สมการ F  k s มาช่วยในการแก้ปัญหา 4) เนื่องจากขนาดของแรงมีค่าเป็นบวกเสมอ ถ้าผลลัพธ์จากการคานวณได้ค่าเป็น ลบแสดงว่าทิศทางของแรงตรงกันข้ามกับที่แสดงในผังวัตถุอิสระ

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 117 ตัวอย่างที่ 4.1 จงหาแรงดึงในเคเบิล BA และ BC เพื่อพยุงทรงกระบอกกลมมวล ดังรูปที่ 4.5

60 kg

ให้อยู่ในตาแหน่ง

รูปที่ 4.5 ประกอบตัวอย่างที่ 4.1

วิธีทา

ผังวัตถุอิสระ จากสภาวะสมดุลทาให้น้าหนักของทรงกระบอกกลมเกิดแรงดึงในเคเบิล BD เท่ากับ TBD  609.81  588.6 N แสดงดังรู ป ที่ 4.6 (ก) ส่ ว นแรงดึงในเคเบิ ล BA และ BC สามารถหาได้โดยใช้สมการสมดุลที่แหวน B สาหรับผังวัตถุอิสระแสดงดังรูป ที่ 4.6 (ข) ขนาดของ แรงดึง TA และ TC ไม่ทราบค่า แต่ทราบทิศทาง

(ก) แรงกระทาที่กล่อง D (ข) แรงกระทาที่แหวน B รูปที่ 4.6 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.1

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

118 สถิตยศาสตร์ สมการสมดุล ประยุกต์สมการสมดุลตามแนวแกน 

  Fx  0;

   Fy  0;

จัดรูปสมการ (1) จะได้

x

และ

y

จะได้

 4 TC cos 45   TA 0 5 3 TC sin 45   TA  588.6 N  0 5

5 TA    TC cos 45 4 TA  0.8839TC

แทนสมการ (3) ลงในสมการ (2) จะได้



(1) (2)

(3)



3 TC sin 45    0.8839 TC  588.6 N  0 5 0.707 TC  0.5303TC  588.6 N 0

1.2373TC  588.6 TC  475.71 N  476 N

Ans.

แทนค่า TC  476 N ลงในสมการ (3) จะได้

TA  0.8839 476  420 N

Ans.

ตัวอย่างที่ 4.2 กล่องมวล 200 kg ดังรูปที่ 4.7 ถูกยึดด้วยเชือก AB และ AC โดยเชือกแต่ละเส้นสามารถ รับแรงได้สูงสุด 10 kN ก่อนที่จะขาด ถ้าเชือก AB ถูกดึงให้อยู่ในแนวระดับเสมอ จงหามุม  น้อยที่สุดที่จะพยุงกล่องไว้ได้ก่อนเชือกขาด

รูปที่ 4.7 ประกอบตัวอย่างที่ 4.2

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 119 วิธีทา

ผังวัตถุอิสระ จากรูปที่ 4.8 มีแรงสามแรงกระทาที่แหวน A โดยขนาดของแรง น้าหนักของกล่อง คือ FD  2009.81  1962 N  10 kN

FD

เท่ากับ

รูปที่ 4.8 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.2 สมการสมดุล ประยุกต์ใช้สมการสมดุลในแนวแกน x, y จะได้ 

  Fx  0 ;

FB  FC cos   0

FC     Fy  0 ;

FB cos 

(1)

FC sin   1962  0

(2) จากสมการ (1) พบว่า FC จะมีค่ามากกว่า FB เสมอ เนื่องจาก cos   1 ดังนั้น เชือก AC จะมีค่ามากที่สุดก่อนเชือก AB ขาด ดังนั้น จึงแทนค่า FC  10 kN ในสมการ (2) จะได้

1010 N sin 1962 N  0 3

1962  0.1962 10000   sin 1 0.1962  11.31 sin  

แรงดึงในเส้นเชือก AB หาได้โดยการแทนค่า  และ

 

10 10 3 N 

FC

Ans.

ลงในสมการ (1) จะได้

FB cos 11.31

FB  10000cos 11.31  9.81 kN

ข้อสังเกต พบว่าแรงดึงในเชือก AB น้อยกว่าแรงดึงในเชือก AC คือ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

9.81 kN  10.0 kN

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

120 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 4.3 จงหาความยาวของเชือก AC ที่จะพยุงหลอดไฟมวล 8 kg ให้อยู่ในตาแหน่งดังรูปที่ 4.9 เมื่อ กาหนดให้ ความยาวของสปริง AB ก่อนการเสียรูปเท่ากับ l AB/  0.4 m และ ค่า stiffness ของ สปริงเท่ากับ k  300 N / m

รูปที่ 4.9 ประกอบตัวอย่างที่ 4.3 (ที่มา : http://www.banidea.com/lamp-vintage-diy-bootsngus/lamp-vintage-6/)

รูปที่ 4.10 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.3 วิธีทา

ผังวัตถุอิสระ น้าหนักของหลอดไฟมีค่าเท่ากับ W  8 9.81  78.5 N และผังวัตถุอิสระของ แหวน A แสดงดังรูปที่ 4.10 สมการสมดุล ใช้สมการในแนวแกน x, y จะได้ 

  Fx  0 ;

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

TAB  TAC cos 30

0

(1)

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 121    Fy  0 ;

TAC sin 30  78.5 N  0

(2)

จากสมการ (2) จะได้ 78.5 sin 30   157 N

TAC 

แทนค่า TAC

 157 N

ลงในสมการ (1) จะได้ TAB  (157) cos 30  135.9 N

หาระยะยืดของสปริงได้จากสมการ TAB  k AB s AB ;

135.9 N  300 N / ms AB  135.9 s AB   0.453 m 300

ความยาวของระยะสปริงหลังการยืดหาได้จาก

/ l AB  l AB  s AB  0.4 m  0.453 m  0.853 m

ระยะทางในแนวระดับจาก C ไปยัง B ดังรูปที่ 4.9 หาได้จาก

2 m  l AC cos 30  0.853 m

 2  0.853   l AC      cos 30   1.32 m

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

122 สถิตยศาสตร์

แบบฝึกหัดตอนที่ 1

4.1 ถ้ากล่องมีน้าหนักเท่ากับ 2.75 kN จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาแรงตึงในเส้นเชือก AB และ AC ที่ทาให้กล่องอยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 4.11

รูปที่ 4.11 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.1 จากรูปที่ 4.12 ถ้ากล่องมีมวล 5 kg ถูกรองรับด้วย Pulley B และ ความสูงของระยะ d  0.15 m จงหา แรงดึงในเส้นเชือก AB และ BC เมื่อไม่คิดมวลของ Pulley และ เชือก

4.2

รูปที่ 4.12 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.2

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 123 4.3 จงหาแรงดึงในเส้นเชือกแต่ละเส้นเพื่อทาให้กล่องมวล 200 kg อยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 4.13 กาหนดให้เชือก BC อยู่ในแนวระดับเนื่องจากลูก กลิ้ ง C เชือก AB ยาว 1.5 m และระยะ y  0.75 m

รูปที่ 4.13 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.3 4.4 ถ้าทรงกระบอก C มีมวล 40 kg จงเขียนผังวัตถุอิสระและหามวลของทรงกระบอก A ที่ทาให้ ระบบอยู่ในตาแหน่งสมดุลดังรูปที่ 4.14

รูปที่ 4.14 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.4

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

124 สถิตยศาสตร์ 4.5 เชือก AB และ AC รองรับด้วยมวลที่มีน้าหนักเท่ากับ เชือกแต่ละเส้น

200 N

ดังรูปที่ 4.15 จงหาแรงดึงใน

รูปที่ 4.15 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.5 4.6 ชิ้นส่วนของโครงถักอยู่ในระนาบดังรูปที่ 4.16 ถ้าให้แรงรวมจากแรงทั้งสามผ่านจุด O จงเขียน ผังวัตถุอิสระและหาขนาดของแรง F และ T เมื่อกาหนดให้   90

รูปที่ 4.16 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.6

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 125 4.7 ถ้ากล่อง B มีน้าหนัก 1 kN และ กล่อง C มีน้าหนัก มุม  เพื่อให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 4.17

0.5 kN

จงหาน้าหนักของกล่อง D และ

รูปที่ 4.17 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.7 4.8 จงหาแรงดึงในเส้นเชือก CA และ CB ที่ทาให้กล่องมวล 10 kg อยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 4.18 เมื่อกาหนดให้   40

รูปที่ 4.18 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.8

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

126 สถิตยศาสตร์

4.5 สมดุลในระบบ 3 มิติ ได้เป็น

4.5.1 สมการสมดุล เงื่อนไขความสมดุลของอนุภาคในระบบ 3 มิติ สามารถเขียนสมการในรูปของเวกเตอร์ 

F  0

(4.4) พิจารณาจากรูปที่ 4.19 สามารถแตกแรงให้อยู่ในส่วนประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ในแนวแกน x, y และ z จะได้ว่า  Fx i   Fy j   Fz k  0 ดังนั้น จะได้สมการสมดุลของ อนุภาคในระบบ 3 มิติ เป็น

F F F

x

0

y

0

z

(4.5)

0

รูปที่ 4.19 แสดงถึงสมดุลของอนุภาคในระบบ 3 มิติ 4.5.2 ลาดับขั้นตอนการแก้ปัญหา การแก้ปัญหาสมดุลของแรงในระบบ 3 มิติ สาหรับอนุภาคมีขั้นตอนได้ดังนี้ การเขียนผังวัตถุอิสระ 1) เขียนพิกัด x, y และ z ในตาแหน่งที่เหมาะสม 2) ระบุชื่อของแรงที่ทราบและไม่ทราบขนาดและทิศทาง 3) สมมุติทิศทางของแรงที่ไม่ทราบขนาด การใช้สมการสมดุล 1) ประยุกต์ใช้สมการสมดุล  Fx  0 ,  Fy  0 และ  F z  0 2) ถ้าการแตกแรงออกเป็นองค์ประกอบของแรงในแนวแกน x, y และ z กระทาได้ยาก จะทาการเขียนแรงแต่ละแรงลงในผังวัตถุอิสระในรูปของ อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 127 

เวกเตอร์ในพิกัดฉากแล้วแทนค่าในรูปของเวกเตอร์ลงในสมการ  F  0 หลังจากนั้น จัดเทอมของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย i, j และ k ให้เท่ากับศูนย์ แล้วแก้สมการหาค่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่า 3) ถ้าคาตอบที่ได้มีค่าเป็นลบแสดงว่าทิศทางของแรงจะมีทิศทางตรงข้ามกับที่ สมมุติไว้ในผังวัตถุอิสระ ตัวอย่างที่ 4.4 ออกแรงดึง 90 lb กระทากับตะขอดังรูปที่ 4.20 ถ้าแรงดึงนี้ถูกรองรับด้วยเคเบิลสองเส้นและ สปริงที่มีค่า stiffness k  500 lb / ft จงหาแรงดึงในเคเบิลและระยะยืดของสปริง ที่อยู่ในสภาวะ สมดุล กาหนดให้เคเบิล AD อยู่ในระนาบ x  y และ เคเบิล AC อยู่ในระนาบ x  z

รูปที่ 4.20 ประกอบตัวอย่างที่ 4.4

รูปที่ 4.21 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.4

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

128 สถิตยศาสตร์ วิธีทา

ผังวัตถุอิสระ จุดเชื่อมต่อจุด A ถูกนามาใช้ในการวิเคราะห์ความสมดุล ผังวัตถุอิสระแสดง ดังรูปที่ 4.21 สมการสมดุล เพื่อความสะดวกต้องทาการแตกแรงให้อยู่ในแกน x ,y และ z ตามลาดับ หลังจากนั้น ใช้สมการสมดุลในแต่ล ะแกนในการแก้ปั ญหา โดยให้ส่วนประกอบของแรงที่ชี้ไปตาม แนวแกนที่เป็นบวกให้ส่วนประกอบของแรงนั้นมีค่าเป็นบวก จะได้สมการสมดุลเป็น

F

 0;

F F

y

 0;

z

0;

x

4 FD sin 30   FC    0 5  FB  FD cos 30 0

3 FC    90 lb 5

จากสมการ (3) จัดรูปใหม่เป็น

0

905 3  150 lb

(1) (2) (3)

FC 

แทนค่า

FC  150 lb

Ans.

ลงในสมการ (1) จะได้

4 FD sin 30  150   0 5 304 FD  sin 30 

 240 lb

แทนค่า

FD  240 lb

Ans.

ลงในสมการ (2) จะได้ FB  240cos 30  0 FB  207.8 lb

ระยะยืดของสปริงหาได้จาก

Ans.

FB  k s AB 207.8 lb  500 lb / ft s AB  207.8 lb s AB  500 lb / ft   0.416 ft

Ans.

ข้อสังเกต เนื่องจากผลลัพธ์ของแรงในเคเบิลทั้งหมดมีค่าเป็นบวกแสดงว่าเคเบิลแต่ละเส้นรับ แรงดึงจากจุด A ซึ่งเป็นไปตามรูปที่ 4.21

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 129 ตัวอย่างที่ 4.5 โคมไฟมวล 10 kg ถูกแขวนไว้ด้วยเชือกสามเส้นที่มีความยาวเท่ากันดังรูป ที่ 4.22 จงหาระยะ ในแนวตั้งต่าที่สุด (s) จากเพดาน ถ้าแรงที่กระทาในเชือกแต่ละเส้นไม่เกิน 50 N

รูปที่ 4.22 ประกอบตัวอย่างที่ 4.5

รูปที่ 4.23 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.5

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

130 สถิตยศาสตร์ วิธีทา

ผังวัตถุอิสระ เนื่องจากความสมดุลดังรูป ที่ 4.23 ระยะ DA  DB  DC  600 mm ซึ่ง เป็นไปตามความสมดุลจาก  Fx  0 และ  Fy  0 แรงดึง T ในเชือกแต่ละเส้นมีค่าเท่ากัน ดังนั้น มุมระหว่างเชือกแต่ละเส้นกับแนวแกน z มีค่าเท่ากันคือ  สมการสมดุล ประยุกต์ใช้สมการสมดุลตามแนวแกน z โดยให้ T  50 N จะได้ 350 N cos    109.81 N  0  Fz  0 ; 150 cos   98.1  98.1    150   49.16

  cos 1 

จากสามเหลี่ยม AED ดังรูปที่ 4.23 จะได้ 600 mm s 600 mm s tan 49.16 

tan 49.16 

 519 mm

ตัวอย่างที่ 4.6 จงหาแรงดึงในเชือกแต่ละเส้นที่ใช้ในการดึงกล่องที่มีน้าหนัก

Ans.

40 lb

ดังรูปที่ 4.24

รูปที่ 4.24 ประกอบตัวอย่างที่ 4.6

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 131

รูปที่ 4.25 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.6 วิธีทา

ผังวัตถุอิสระ แสดงดังรูปที่ 4.25 เป็นผังวัตถุอิสระของจุด A ซึ่งเป็นจุดรวมแรงที่ไม่ทราบค่า ของเชือกแต่ละเส้น สมการสมดุล เริ่มต้นจากการเขียนแต่ละแรงให้อยู่ในรูปเวกเตอร์ในพิกัดฉาก เนื่องจากพิกัด ของจุด B และ C เป็น B  3 ft ,  4 ft , 8 ft  และ C  3 ft , 4 ft , 8 ft  จะได้     3 i  4 j  8k  FB  FB    32   42  82    3 i  4 j  8k   FB   89    0.318 FB i  0.424 FB j  0.848 FB k   3 i  4 j  8k    FC  FC    32  42  82    3 i  4 j  8k   FC   89    0.318 FC i  0.424 FC j  0.848 FC k  FD  FD i  W   40 k lb

แทนค่าลงในสมการสมดุ ล จะได้ 

 F  0;

    FB  FC  FD  W  0

 0.318 FB i  0.424 FB j  0.848 FB k  0.318 FC i  0.424 FC j  0.848 FC k  FD i  40 k  0

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

132 สถิตยศาสตร์ รวมเทอมของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

 F  0;  F  0;  F  0;

i, j , k

x

 0.318 FB  0.318 FC  FD  0

y

 0.424 FB  0.424 FC  0

จัดสมการ (2) จะได้ FB  FC

(1) (2) (3)

0.848 FB  0.848 FC  40  0

z

แทน

แล้วให้เท่ากับศูนย์ จะได้

(4)

FB  FC

ลงในสมการ (3) จะได้

0.848 FC  0.848 FC  40  0

1.696 FC  40 FC  23.6 lb FB  FC  23.6 lb

แทน

FB  FC  23.6 lb

Ans.

ลงในสมการ (1) จะได้

 0.318 23.6  0.318 23.6  FD  0 FD  15.0 lb

Ans.

ข้อสังเกต พบว่าขนาดของแรงทั้งสามมีค่าเป็นบวกแสดงว่าทิศทางที่ได้เป็นไปตามรูปที่ 4.25 ตัวอย่างที่ 4.7 จงหาแรงดึงในเชือกแต่ละเส้นที่รองรับไว้ด้วยกล่องมวล 100 kg ดังรูปที่ 4.26

รูปที่ 4.26 ประกอบตัวอย่างที่ 4.7 (ที่มา : http://www.gunsandgames.com/smf/index.php?topic=95200.0)

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 133

รูปที่ 4.27 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 4.7 วิธีทา

ผังวัตถุอิสระ แรงดึงในเชือกแต่ละเส้นสามารถหาได้โดยการใช้สมการสมดุลที่จุด A ผังวัตถุ อิสระแสดงดังรูปที่ 4.27 น้าหนักของกล่องหาได้จาก W  1009.81  981 N สมการสมดุล เริ่มต้นจากการเขียนแรงดึงในเชือกแต่ละเส้นให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ในพิกัดฉาก   สาหรับ FC และ FD ซึ่งมีพิกัดเป็น D 1, 2, 2 จะได้  FB  FB i  FC  FC cos120 i  FC cos135 j  FC cos 60 k  0.5 FC i  0.707 FC j  0.5 FC k

  1i  2 j  2 k    FD  FD    12  22  22   0.333 FD i  0.667 FD j  0.667 FD k  W  { 981k} N

แทนค่าลงในสมการสมดุ ล จะได้ 

    FB  FC  FD  W  0

 F  0;

FB i  0.5 FC i  0.707 FC j  0.5 FC k  0.333 FD i  0.667 FD j  0.667 FD k  981 k

รวมเทอมของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

 F  0;  F  0;  F  0; x

จัดสมการ (2) จะได้

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

i, j , k

0

แล้วให้เท่ากับศูนย์ จะได้

FB  0.5 F C 0.333 FD  0

y

 0.707 FC  0.667 FD  0

z

0.5 FC  0.667 FD  981  0

(1) (2) (3)

 0.667  FC    FD  0.707 

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

134 สถิตยศาสตร์ (4)

FC  0.943 FD

แทนค่า

ลงในสมการ (3) จะได้ 0.5 0.943 FD   0.667 FD  981  0

FC  0.943 FD

0.471 FD  0.667 FD  981  0 1.138 FD  981

FD  862 N

แทนค่า

FD  862 N

ลงในสมการ (4) จะได้

FC  0.943 862

 813 N

แทนค่า

Ans.

Ans.

และ FD  862 N ลงในสมการ (1) จะได้ FB  0.5 813  0.333 862  0

FC  813 N

FB  694 N

Ans.

ข้อสังเกต จะพบว่าขนาดของแรงทั้งสามมีค่าเป็นบวกแสดงว่าทิศทางเป็นไปตามรูปที่ 4.27

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 135

แบบฝึกหัดตอนที่ 2

4.9. จงหาขนาดของแรง

F1 , F2

และ

F3

ที่ทาให้อนุภาคอยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 4.28

รูปที่ 4.28 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.9 4.10. จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาแรงดึงในเคเบิล สมดุลดังรูปที่ 4.29

AB, AC

และ

AD

ที่ทาให้ระบบอยู่ในสภาวะ

รูปที่ 4.29 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.10

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

136 สถิตยศาสตร์ 4.11. จากรูปที่ 4.30 กล่องน้าหนัก 150 lb ถูกยึดไว้ด้วยเชือก เชือกแต่ละเส้น

AB, AC

และ

AD

จงหาแรงดึงใน

รูปที่ 4.30 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.11 4.12 100 kg

จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาขนาดของแรงดึงในเชือกแต่ละเส้นที่รองรับไว้ด้วยกล่องมวล ให้อยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 4.31

รูปที่ 4.31 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 4.12

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 137

บทสรุป

1) เมื่ออนุภาคหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วคงที่ เรียกว่า อนุภ าคอยู่ในสภาวะสมดุล ส่งผลให้แรงลัพธ์ที่กระทากับอนุภาครวมกันเป็นศูนย์ เขียนเป็นสมการได้  F  0 2) สภาวะสมดุลในระบบ 2 มิติ เขียนสมการได้เป็น  Fx  0 ,  Fy  0 3) แรงดึงในเคเบิลที่มีความยาวต่อเนื่องที่คล้องผ่าน Pulley ที่ไม่คิดความเสียดทานจะมีขนาด แรงดึงคงที่ตลอดความยาวของเคเบิล 4) เมื่อปัญหาเกี่ยวข้องกับสปริง สามารถหาระยะยืดหรือระยะหดของสปริงได้จากสมการ F ks



5) สภาวะสมดุลในระบบ 3 มิติ สมการสมดุลอยู่ในรูปของเวกเตอร์เขียนได้เป็น  F  6) สมดุลในระบบ 3 มิติ แยกพิจารณาในแต่ละแกน เขียนเป็นสมการได้

F

x

 0,

F

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

y

 0,

F

z

0

0

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

138 สถิตยศาสตร์

แบบทดสอบบทที่ 4

4.1 จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาแรงดึงในเส้นเชือก AB และ AC ที่จะต้องพยุงลูกบอล 20 kg ให้อยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 4.32 กาหนดให้ F  300 N และ d  1 m

D

มวล

รูปที่ 4.32 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.1 4.2 ออกแรงดึง P  10 lb ในแนวตั้งที่ปลายเชือก AB ยาว 2 ft และ สปริง AC ถ้าระยะที่ยัง ไม่ยืดตัวของสปริงเท่ากับ 2 ft จงหามุม  ที่ทาให้ระบบอยู่สภาวะสมดุล ดังรูปที่ 4.33 กาหนดให้ k  15 lb / ft

รูปที่ 4.33 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.2 อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 139 4.3 ถ้าถังมีน้าหนัก 0.25 kN จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาแรงดึงในเชือกแต่ละเส้นที่ทาให้ระบบอยู่ ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 4.34

รูปที่ 4.34 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.3 4.4 สปริงมีค่า stiffness k  800 N / m และ ระยะที่ยังไม่ยืดตัวเท่ากับ เชือก BC และ BD เมื่อสปริงถูกยืดออกตามรูปที่ 4.35

200 mm

จงหาแรงดึงใน

รูปที่ 4.35 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.4

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

140 สถิตยศาสตร์ 4.5. ถ้ากล่องมีมวล 50 kg จงหาแรงดึงในเส้นเชือกแต่ละเส้ นเพื่อทาให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล ดังรูปที่ 4.36 เมื่อกาหนดให้ x  2 m และ z  1.5 m

รูปที่ 4.36 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.5 4.6 จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาแรงดึงในเคเบิล มวล 75 kg ให้อยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 4.37

AB, AC

และ

AD

ที่ใช้ในการยกถังทรงกระบอก

รูปที่ 4.37 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 4.6

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมดุลของอนุภาค 141

เอกสารอ้างอิง

มนตรี พิรุณเกษตร. (2554). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. วีระศักดิ์ กรัยวิเชียร และ คณะ. (2551). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons. http://th.88db.com/thailand/Bangkok-Area+Bang-Kho-Laem/BusinessServices/Industrial-Products/ad-1463204/ http://science.howstuffworks.com/transport/engines-equipment/pulley.htm http://www.banidea.com/lamp-vintage-diy-bootsngus/lamp-vintage-6/ http://www.gunsandgames.com/smf/index.php?topic=95200.0 http://artytoy.tarad.com/product.detail_685082_th_4624301

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

142 สถิตยศาสตร์

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง หัวข้อเนื้อหา 5.1 บทนา 5.2 สมดุลในระบบ 2 มิติ 5.2.1 ผังวัตถุอิสระของวัตถุแข็งเกร็ง 5.2.2 ขั้นตอนการเขียนผังวัตถุอิสระ 5.2.3 สมการสมดุล แบบฝึกหัดตอนที่ 1 5.3 สมดุลในระบบ 3 มิติ 5.3.1 ผังวัตถุอิสระของวัตถุแข็งเกร็ง 5.3.2 สมการสมดุล แบบฝึกหัดตอนที่ 2 วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว ผู้เรียนควรมีความรู้และทักษะดังนี้ 1. สามารถเขียนแผนผังวัตถุอิสระของวัตถุแข็งเกร็งที่รับแรงในสภาวะที่แตกต่างกันได้ 2. สามารถคานวณหาแรงที่ทาให้วัตถุแข็งเกร็งอยู่ในสภาวะสมดุล 2 มิติ ได้ 3. สามารถคานวณหาแรงที่ทาให้วัตถุแข็งเกร็งอยู่ในสภาวะสมดุล 3 มิติ ได้ วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ผู้สอนนาเข้าสู่บทเรียนโดยการสอบถามถึงหลักการเกิดความสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 2. เฉลยหลักพื้นฐานการเกิดความสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งและเข้าสู่เนื้อหา 3. ให้ผู้เรียนสอบถามข้อสงสัยในประเด็นที่ยังไม่เข้าใจ 4. แบ่งกลุ่มทาแบบฝึกหัดเพื่อทบทวนความรู้ 5. แบ่งกลุ่มปฏิบัติตามใบงานที่ 8-9 6. มอบหมายงานเพื่อให้ทาเป็นการบ้านเพื่อเพิ่มพูนความรู้ 7. แบบทดสอบ 8. เฉลยคาตอบแบบฝึกหัด 9. เฉลยคาตอบแบบทดสอบ สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาสถิตยศาสตร์ บทที่ 5 เรื่อง สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 2. โปรแกรม Microsoft Word ใช้ประกอบการบรรยายเนื้อหา 3. เครื่องคอมพิวเตอร์ 4. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ 5. ใบงานที่ 8-9 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

144 สถิตยศาสตร์ การวัดและการประเมินผล การวัดผล 1. สังเกตการเข้าร่วมกิจกรรมกลุ่มทาแบบฝึกหัด 2. จากการทาแบบฝึกหัด 3. จากการปฏิบัติตามใบงาน 4. จากการทาแบบทดสอบ การประเมินผล 1. ทากิจกรรรมได้แล้วเสร็จตามที่กาหนด 2. ทาแบบฝึกหัดได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์ 3. ปฏิบัติตามใบงานได้สาเร็จตามเวลา 4. ทาแบบทดสอบท้ายบทเรียนได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 145

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 5.1 บทนา

ในบทนี้กล่าวถึงสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งในระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ โดยเริ่มต้นด้วยหลัก การเขียนผังวัตถุอิสระซึ่งเป็นหัวใจสาคัญ ในการแก้ปัญหาความสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง ตัวอย่างการ เขียนผั งวั ตถุอิส ระเพื่อหาแรงปฏิ กิริ ยาที่ จุ ดรองรั บ เมื่อ เขีย นผั งวั ตถุอิ ส ระแล้ ว ขั้นตอนต่อ ไปคื อ การเขียนสมการสมดุล เพื่อหาแรงปฏิกิริยาที่ได้จากผังวัตถุอิสระ โดยบทนี้จะนาเสนอสมการสมดุล ในระบบ 2 มิติ และ 3 มิติ ของวัตถุแข็งเกร็ง

5.2 สมดุลในระบบ 2 มิติ

5.2.1 ผังวัตถุอิสระของวัตถุแข็งเกร็ง หัวใจสาคัญสาหรับการแก้ปัญหาสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งคือการระบุแรงทั้งหมดที่ทราบ ค่าและไม่ทราบค่าที่กระทากับวัตถุแข็งเกร็ง ดังนั้น การเขียนผังวัตถุอิสระจึงเป็นสิ่งที่สาคัญในการหา แรงเหล่ า นั้ น สามารถกล่ า วได้ ว่ า “การท าความเข้ า ใจให้ ต ลอดถึ ง การเขี ย นผั ง วั ต ถุ อิ ส ระเป็ น ความสาคัญพื้นฐานสาหรับการแก้ปัญหาในทางกลศาสตร์” ตารางที่ 5.1 แสดงถึงรูปแบบของแรงปฏิกิริยาที่กระทากับวัตถุในกรณีที่วัตถุรับแรงใน สภาวะที่แตกต่างกัน อันเป็นรูปแบบพื้นฐานในการเขียนผังวัตถุอิสระเพื่อใช้ในการแก้ปัญหาสมดุล ของวัตถุแข็งเกร็ง ตารางที่ 5.1 รูปแบบของแรงปฏิกิริยาที่กระทากับวัตถุแข็งเกร็งแบบ 2 มิติ ชนิดของการสัมผัสและแรงกระทา แรงกระทาบนผังวัตถุอิสระ 1. เคเบิลยืดหยุ่น สายพาน โซ่ หรือ เชือก แรงจากเคเบิ ล พิจ ารณาเป็ น แรงดึง และมี ทิ ศ กรณีไม่คิดน้าหนักเคเบิล ออกจากวัตถุไปตามเคเบิลเสมอ

กรณีคิดน้าหนักเคเบิล

2. ผิวสัมผัสเรียบ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แรงที่ผิวสัมผัสเป็นแรงกดและมีทิศทางตั้งฉาก กับผิวสัมผัสเสมอ

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

146 สถิตยศาสตร์ ตารางที่ 5.1 รูปแบบของแรงปฏิกิริยาที่กระทากับวัตถุแข็งเกร็งแบบ 2 มิติ (ต่อ) ชนิดของการสัมผัสและแรงกระทา แรงกระทาบนผังวัตถุอิสระ 3. ผิวสัมผัสหยาบ ผิ ว สั ม ผั ส หยาบมีแ รงในทิ ศ ทางขนานและตั้ ง ฉากกับผิวสัมผัส

4. ผิวสัมผัสลูกกลิ้ง

ผิวสัมผัส ลูกกลิ้ง มีแรงกดในทิศทางตั้งฉากกับ ผิวสัมผัส

5. ลูกกลิ้งไถลอย่างอิสระไปตามผิวเรียบ

ลู ก กลิ้ ง ลื่ น ไถลไปบนผิ ว เรี ย บจะรั บ แรงใน แนวตั้งฉากกับการเคลื่อนที่

6. ข้อต่อหมุดย้า

หมุดย้าหมุนอิสระรับแรงปฏิกิริยาสองแรง

7. จุดรองรับยึดแน่น

รั บ แรงในแนวแกนและแรงเฉื อ นพร้ อ มทั้ ง โมเมนต์ของแรงคู่ควบ (โมเมนต์ดัด)

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 147 ตารางที่ 5.1 รูปแบบของแรงปฏิกิริยาที่กระทากับวัตถุแข็งเกร็งแบบ 2 มิติ (ต่อ) ชนิดของการสัมผัสและแรงกระทา แรงกระทาบนผังวัตถุอิสระ 8. รองรับด้วยแรงโน้มถ่วงของโลก แรงลัพธ์มีค่าเท่ากับ W=mg และกระทาที่จุด ศูนย์กลางมวล

9. แรงที่เกิดจากสปริง

แรงจากสปริงเป็นแรงดึงเมื่อสปริงยืดออกหรือ เป็นแรงกดเมื่อสปริ งหดสั้ นลง โดยขนาดของ แรงเท่ากับค่าคงที่ของสปริง,k คูณกับระยะยืด ของสปริง, x

5.2.2 ขั้นตอนการเขียนผังวัตถุอิสระ ในการเขียนผังวัตถุอิสระสาหรับวัตถุแข็งเกร็งหรือกลุ่มของวัตถุ มีขั้นตอนดังนี้ 1) เขียนรูปร่างภายนอกของวัตถุ 2) แสดงถึงแรงหรือโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่ทราบค่าและไม่ทราบค่าทั้งหมดที่กระทา กับวัตถุ โดยพิจารณาจากตารางที่ 5.1 3) ระบุขนาดและทิศทางของแรงหรือโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่ทราบขนาดและทิศทาง พร้อมกันนี้ให้ตั้งชื่อแรงหรือโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่ไม่ทราบค่า

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

148 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 5.1 จงเขียนผังวัตถุอิสระของคานที่รับแรงดังรูปที่ 5.1 โดยกาหนดให้คานมีมวลเท่ากับ

m

รูปที่ 5.1 ประกอบตัวอย่างที่ 5.1 วิธีทา ผังวัตถุอิสระของคานที่รับแรงแสดงดังรูปที่ 5.2 พบว่าที่จุดรองรับ A คานถูกยึดแน่นไว้ ดังนั้น จึงเกิดแรงในแนวนอนและแนวตั้ง คือ F, V และ สมมุติให้เกิดโมเมนต์ในทิศทวนเข็มนาฬิกา M พร้อมกันนี้ เกิดแรงเนื่องจากน้าหนักของคานที่ จุด กึ่งกลางคานด้ว ยขนาด W  mg ในที่นี้ไ ด้ กาหนดแกน x และ แกน y เพื่อสะดวกในการคานวณ

รูปที่ 5.2 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.1

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 149 ตัวอย่างที่ 5.2 จงเขียนผังวัตถุอิสระของโครงถักที่รับแรงดังรูป ที่ 5.3 โดยไม่คิดน้าหนักเนื่องจากมวลของ โครงถัก

รูปที่ 5.3 ประกอบตัวอย่างที่ 5.2 วิธีทา

ผังวัตถุอิสระของโครงถักแสดงดังรูป ที่ 5.4 พบว่า เมื่อไม่คิดน้าหนักเนื่องจากมวลของโครงถัก จึงเขียนรูปโครงถักเฉพาะภายนอกเท่านั้น จุดรองรับ A เป็นแบบหมุด จึงมีแรงในแนวนอนและแนวตั้ง เป็น Ax และ Ay ตามลาดับ ส่วนที่จุดรองรับ B เป็นแบบลูกกลิ้งจึงเกิดแรงในแนวตั้งฉากกับจุด รองรับเป็น B y พร้อมกันนี้ได้กาหนดแกน x และ แกน y เพื่อใช้ในการคานวณ

รูปที่ 5.4 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

150 สถิตยศาสตร์ 5.2.3 สมการสมดุล ในการพิจารณาสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งในระบบ 2 มิติ จะได้สมการสมดุลอยู่ในรูปดังนี้

F F M

x

 0

y

 0 o

(5.1)

 0

โดยที่  Fx และ  Fy แสดงถึงผลรวมของแรงในแนวแกน x และ แกน y ที่ กระทากับวัตถุ และ  M O แสดงถึงผลรวมของโมเมนต์ของแรงคู่ควบและโมเมนต์ของแรงทั้งหมด ที่กระทากับวัตถุในระนาบ xy และ หมุนรอบจุด O ตัวอย่างที่ 5.3 จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวนอนและแนวตั้งที่กระทากับคานที่จุดรองรับ A และ B ดังรูปที่ 5.5 โดยไม่พิจารณาน้าหนักของคาน

วิธีทา

รูปที่ 5.5 ประกอบตัวอย่างที่ 5.3

รูปที่ 5.6 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.3

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 151 ผังวัตถุอิสระ พิจารณาแรงที่กระทากับคานจากผังวัตถุอิสระรูป ที่ 5.6 จะพบว่าแรงขนาด 600 N ได้แตกแรงออกเป็นส่วนประกอบในแนวแกน x และ แกน y เพื่อความสะดวกในการคานวณ สมการสมดุล หาแรง Bx โดยการรวมแรงในแนวแกน x จะได้ 

  Fx  0 ;

600 cos 45  Bx  0 Bx  600 cos 45 Bx  424 N

หาแรง ได้

Ay

Ans.

โดยการหาโมเมนต์หมุนรอบจุด B โดยให้โมเมนต์หมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จะ

M

B

 0;

100 N 2 m  (600 sin 45 )5 m  (600 cos 45 )0.2 m  Ay 7 m  0

200  2121  84  (7) Ay  0 Ay  319 N

หาแรง

By

Ans.

โดยการรวมแรงในแนวแกน y จะได้

   Fy  0 ;

319 N  600 sin 45 N

 100 N  200 N  By  0 319  424  300  By  0 By  405 N

Ans.

ข้อสังเกต สามารถตรวจสอบคาตอบได้โดยการหาโมเมนต์หมุนรอบจุด A ให้โมเมนต์ทวนเข็ม นาฬิกาเป็นบวก จะได้  M A  0;  600 cos 45 N 0.2 m  600 sin 45 N 2 m  100 N 5 m  200 N 7 m  By 7 m  0  84  848  500  1400  By 7 m  0 B y  405 N

จะพบว่าได้คาตอบเท่ากันทั้งสองวิธี แสดงว่าคาตอบที่ได้ถูกต้องแล้ว

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

152 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 5.4 ชิ้นส่วนดังรูปที่ 5.7 รองรับด้วยหมุดที่จุด A และวัตถุผิวเรียบที่จุด B จงหาแรงปฏิกิริยาใน แนวนอนและแนวตั้งฉากที่จุดรองรับ A

รูปที่ 5.7 ประกอบตัวอย่างที่ 5.4 วิธีทา

รูปที่ 5.8 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.4 ผังวัตถุอิสระ จากรูปที่ 5.8 จะพบว่า ที่หมุด A มีแรงปฏิกิริยา Ax และ Ay ส่วนที่จุดรองรับ B แรง N B จะอยู่ในทิศทางตั้งฉากกับชิ้นส่วน B สมการสมดุล หาแรง N B โดยการใช้โมเมนต์หมุนรอบจุด A และให้โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก

M

A

 0;

 90 N  m  60 N 1 m  N B 0.75 m  0

0.75 m N B 150 N  m N B  200 N

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 153 หาแรง

Ax

โดยการรวมแรงในแนวแกน x จะได้



  Fx  0 ;

Ax  200 sin 30 N  0 Ax  100 N

หาแรง

Ay

Ans.

โดยการรวมแรงในแนวแกน y จะได้

   Fy  0 ;

Ay  200 cos 30 N  60 N  0 Ay  233 N

Ans.

ตัวอย่างที่ 5.5 จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวนอนและแนวตั้งที่จุดรองรับ A และ แรงปฏิกิริยาในแนวตั้งฉากกับพื้น ของจุดรองรับ B เมื่อวัตถุรับแรงดังรูปที่ 5.9

รูปที่ 5.9 ประกอบตัวอย่างที่ 5.5 วิธีทา

รูปที่ 5.10 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.5

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

154 สถิตยศาสตร์ ผังวัตถุอิสระ จากรูปที่ 5.10 จะพบว่าแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A คือ Ax และ Ay ส่วนที่จุด B จะเกิดแรงปฏิกิริยาในแนวตั้งฉากกับพื้นเป็น N B สมการสมดุล หาแรง N B โดยใช้โมเมนต์หมุนรอบจุด A และให้โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก จะได้

M

A

 0;

N B cos 30 lb6 ft   N B sin 30 lb2 ft   750 lb3 ft   0

5.2 N B  1N B  2250  0 2250 NB  4.2  536 lb

หาแรง

Ax

โดยการรวมแรงในแนวแกน x จะได้ 

 Fx  0 ;

หาแรง

Ay

Ans.

Ax  536 sin 30 lb  0 Ax  268 lb

Ans.

โดยการรวมแรงในแนวแกน y จะได้

   Fy  0 ;

Ay  536 cos 30 lb  750 lb  0 Ay  464 lb  750 lb  0 Ay  286 lb

Ans.

ตัวอย่างที่ 5.6 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับของชิ้นส่วนรูป ที่ 5.11 เมื่อ collar ที่จุด A ถูกตรึงไว้แน่นและ สามารถไถลได้เฉพาะในแนวตั้งตลอดความยาวของเพลา

รูปที่ 5.11 ประกอบตัวอย่างที่ 5.6

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 155

รูปที่ 5.12 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.6

วิธีทา

ผังวัตถุอิสระ จากรูปที่ 5.12 จะพบว่า แรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A มีเฉพาะแรง แนวนอน และโมเมนต์ M A ส่วนที่จุดรองรับ B เกิดแรง N B ในแนวตั้งฉากกับลูกกลิ้ง สมการสมดุล หาแรง Ax ได้จาก 

  Fx  0 ;

หาแรง

NB

ได้จาก

   Fy  0 ;

Ax  0

MA

ใน

Ans.

N B  900 N  0 N B  900 N

หาโมเมนต์ บวก จะได้

Ax

Ans.

โดยการหาโมเมนต์รวมรอบจุด A และให้โมเมนต์หมุนทวนเข็มนาฬิกาเป็น





M A  900 N 1.5 m  500 N  m  900 N 3 m  1mcos 45  0 M A  1350 N  m  500 N  m  900 N 3.707 m  0 M A  1486 N  m

แสดงว่าโมเมนต์ หรือ หาโมเมนต์ เป็นบวก จะได้

MA

ที่เกิดขึ้นจริงเป็นโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกาและมีขนาดเท่ากับ M A  1486 N  m  1.49 kN  m

MA

Ans.

โดยการให้โมเมนต์หมุนรอบจุด B และให้โมเมนต์หมุนทวนเข็มนาฬิกา





M A  900 N 1.5 m  1mcos 45  500 N  m  0 M A  900 N 2.207 m  500  0 M A  1486 N  m

แสดงว่าโมเมนต์

MA

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ที่เกิดขึ้นจริงเป็นโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกาและมีขนาดเท่ากับ M A  1486 N  m  1.49 kN  m

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

156 สถิตยศาสตร์ แบบฝึกหัดตอนที่ 1 5.1 จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาแรงปฏิกิริยาในแนวนอนและแนวตั้งที่จุดรองรับ A และ แรง ปฏิกิริยาที่จุด C เมื่อวัตถุรับแรงดังรูปที่ 5.13

รูปที่ 5.13 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.1 5.2 โครงถักระนาบดังรูปที่ 5.14 รองรับด้วยหมุดที่จุด A และ ลูกกลิ้งที่จุด B จงเขียนผังวัตถุอิสระ และหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับทั้งสอง

รูปที่ 5.14 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.2

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 157 5.3 จากรูปที่ 5.15 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A เมื่อถูกตรึงไว้กับพื้นอย่างมั่นคงและไม่คิด ความหนาของคาน

รูปที่ 5.15 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.3 5.4 จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาแรงปฏิกิริยาในแนวนอนและแนวตั้งที่จุดรองรับ A และ แรงดึงใน เส้นเชือก BC ที่ใช้ในการพยุงชิ้นส่วนดังรูปที่ 5.16

รูปที่ 5.16 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.4

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

158 สถิตยศาสตร์ 5.5 คานรูปตัว I มวล 450 kg รองรับภาระดังรูปที่ 5.17 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับทั้งสอง

รูปที่ 5.17 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.5 5.6 โครงถักรองรับด้วยหมุดที่จุด C และ เคเบิล AB ดังรูปที่ 5.18 จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาแรง ปฏิกิริยาที่หมุด C และ เคเบิล AB

รูปที่ 5.18 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.6

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 159

5.3 สมดุลในระบบ 3 มิติ

5.3.1 ผังวัตถุอิสระของวัตถุแข็งเกร็ง ขั้นตอนแรกในการแก้ปัญหาสมดุลในระบบ 3 มิติ ก็คล้ายๆกับปัญหาในระบบ 2 มิติ คือ การเขียนผังวัตถุอิสระ ในตารางที่ 5.2 แสดงถึงแรงปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นกับจุดรองรับที่แตกต่างกัน ของวัตถุแข็งเกร็ง ตารางที่ 5.2 แรงปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นกับจุดรองรับแบบ 3 มิติที่แตกต่างกัน จุดรองรับ แรงปฏิกิริยา ตัวแปรที่ไม่ทราบค่า 1. เคเบิล แรงจากเคเบิลมีทิศทางออกจาก เคเบิล 2. จุดรองรับผิวเรียบ แรงปฏิกิริยาตั้งฉากกับผิวสัมผัส

3. ลูกกลิ้ง แรงปฏิกิริยาตั้งฉากกับผิวสัมผัส

4. ข้อต่อแบบลูกบอล

5. ข้อต่อแบบเจอนัลแบริ่ง

6. เจอนัลแบริ่งที่มี เพลาสี่เหลี่ยม

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แรงปฏิกิริยาในแนว พิกัดฉาก 3 ทิศทาง 4 ตัวแปร คือ 2 แรงปฏิกิริยา และ 2 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ ในทิศทางตั้งฉากกับเพลา 5 ตัวแปร คือ 2 แรงปฏิกิริยา และ 3 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

160 สถิตยศาสตร์ ตารางที่ 5.2 แรงปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นกับจุดรองรับแบบ 3 มิตทิ ี่แตกต่างกัน (ต่อ) จุดรองรับ แรงปฏิกิริยา ตัวแปรที่ไม่ทราบค่า 7. ทรัสต์แบริ่ง 5 ตัวแปร คือ 3 แรงปฏิกิริยา และ 2 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ 8. ข้อต่อหมุดผิวเรียบ

5 ตัวแปร คือ 3 แรงปฏิกิริยา และ 2 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ

9. บานพับ 5 ตัวแปร คือ 3 แรงปฏิกิริยา และ 2 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ 10. จุดรองรับยึดแน่น

6 ตัวแปร คือ 3 แรงปฏิกิริยา และ 3 โมเมนต์ของแรงคู่ควบ

(ที่มา : Hibbeler. 2010 : 238) 5.3.2 สมการสมดุล เงื่อนไขสาหรับใช้ในการแก้ปัญหาสมดุลในระบบ 3 มิติ เมื่อมีแรงกระทากับวัตถุ แข็งเกร็ง สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ ได้เป็น 

F  0 M  0

(5.2)

O

โดยที่



 F  0 คือ ผลรวมของแรงที่กระทากับวัตถุแข็งเกร็ง   M  0 คือ ผลรวมโมเมนต์ของแรงคู่ควบและโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ O

ดังนี้

กระทากับวัตถุแข็งเกร็งรอบจุด O ที่อยู่บนวัตถุแข็งเกร็งหรือไม่ อยู่บนวัตถุแข็งเกร็ง และสามารถเขียนสมการ (5.2) ให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ในพิกัดฉากของแต่ละแกนได้ 

F  F

x

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

i   Fy j   Fz k  0

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 161 

M พบว่า เวกเตอร์ สะดวกต่อการคานวณได้เป็น

และ

O

 M x i  M y j  M z k  0

i, j

และ

เป็ นอิส ระต่อ กัน สามารถเขี ยนสมการให้ อยู่ ใ นรู ป ที่

k

F F F

M M M

x

0

y

0

z

0

x

0

y

0

z

0

(5.3)

(5.4)

อาจกล่าวได้ว่า สมดุล ของวัตถุแข็งเกร็ งสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อผลรวมของแรงและ ผลรวมของโมเมนต์ที่กระทากับวัตถุแข็งเกร็งมีค่าเท่ากับศูนย์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

162 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 5.7 ป้ า ยโฆษณาขนาด 1.5  2.4 m มี น้ าหนั ก เท่ า กั บ 1200 N และรองรั บ ด้ ว ยข้ อ ต่ อ แบบ ลูกบอลที่จุด A และรองรับด้วยเคเบิลสองเส้น ดังรูปที่ 5.19 จงหาแรงดึงในเส้นเชือกแต่ละเส้นและ แรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A

รูปที่ 5.19 ประกอบตัวอย่างที่ 5.7 วิธีทา  TBD

ผังวัตถุอิสระ รายละเอียดผังวัตถุอิสระแสดงดังรูปที่ 5.20 และส่วนประกอบเวกเตอร์ของแรง  และ TEC สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของแรงที่ไม่ทราบขนาด TBD และ TEC ตามขั้นตอนดังนี้     BD  2.4 mi  1.2 m j  2.4 mk 2 2 2 BD   2.4  1.2   2.4  3.6 m     EC  1.8 mi  0.9 m j  0.6 mk 2 2 2 EC   1.8  0.9  0.6  2.1 m ดังนั้น จะได้เวกเตอร์ของแรงเป็น       BD    2.4i  1.2 j   2.4 k   T   T T  BD    BD  3.6      2  1  2   TBD   i  j  k  3 3   3        1.8i  0.9 j  0.6 k   EC     TEC  TEC  TEC  2.1  EC    BD

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

BD

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 163  6  3  2   TEC   i  j  k  7 7   7

รูปที่ 5.20 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.7 สมการสมดุลในที่นี้จะใช้การวิเคราะห์ แบบเวกเตอร์ จะได้      F  0 ; Ax i  Ay j  Az k  TBD  TEC  1200 N  j  0 2 6 1 3       Ax  TBD  TEC  i   Ay  TBD  TEC  1200 N  j 3 7 3 7      2 2     Az  TBD  TEC  k  0 3 7  

และ

1

   r  F  0         2.4 m i  TBD   2 i  1 j  2 k   1.8 m i  TEC   6 i  3 j  2 k  3 3  7 7   7  3    1.2 m i   1200 N  j  0      0.8TBD k  1.6TBD  j  0.771TEC k  0.514TEC  j  1440 N k  0

M

A

รวมเทอมของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย  1.6TBD  0.514TEC  j  0.8TBD  0.771TEC  1440 N  k  0

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

2

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

164 สถิตยศาสตร์ แก้สมการโดยให้สัมประสิทธิ์หน้าเวกเตอร์หนึ่ง สมการเพื่อใช้ในการหา TBD และ TEC

 j

และ

 k

เท่ากับศูนย์ในสมการ (2) จะได้สอง 3 4

1.6TBD  0.514TEC  0

0.8TBD  0.771TEC  1440 N  0

ทาการคูณสมการ (3) ด้วย

0.771 จะได้ 1.234TBD  0.396TEC  0

5

ทาการคูณสมการ (4) ด้วย

0.514 จะได้  0.396TEC  740.16 N  0

6

0.411TBD

ทาการบวกสมการ (5) และ (6) จะได้

1.645TBD  740.16 N

TBD  450 N

แทนค่า TBD

Ans.

 450 N ลงในสมการ (3) จะได้ 1.6450 N   0.514TEC  0 TEC  1400.8 N

Ans.

ในการหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A ทาได้โดยให้เทอมหน้าสัมประสิทธิ์เวกเตอร์หนึ่งหน่วย เท่ากับศูนย์ หลังจากนั้นแทนค่า TBD  450 N และ TEC  1400.8 N ลงในสมการ (1) จะได้ คาตอบเป็น     Ans. A  1500.7 N  i  449.7 N  j  100.2 N  k

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 165 ตัวอย่างที่ 5.8 ถังใบหนึ่งมีน้าหนัก 75 lb ถูกยึดไว้ที่จุด A ดังรูปที่ 5.21 จงหาแรงดึงในเส้นลวด AB และ AC เมื่อกาหนดให้จุดรองรับเป็นแบบลูกบอลที่จุด O

รูปที่ 5.21 ประกอบตัวอย่างที่ 5.8 วิธีทา

ผังวัตถุอิสระ รายละเอียดผังวัตถุอิสระแสดงดังรูปที่ 5.22

รูปที่ 5.22 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.8 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

166 สถิตยศาสตร์ สมการสมดุล ในที่นี้จะใช้การวิเคราะห์แบบเวกเตอร์ ดังนั้น จะได้

   rAB    FAB  FAB  r  AB   2i  6 j  3k ft  FAB  2 2 2   2 ft    6 ft   3 ft   2i  6 j  3k ft   FAB   7   2 6 3  FAB i  F AB j  FAB k 7 7 7

และ

   

   rAC    FAC  FAC  r  AC    2i  6 j  3k  ft  FAC  2 2 2    2 ft    6 ft   3 ft    2i  6 j  3k ft   FAC   7   2 6 3   FAC i  F AC j  FAC k 7 7 7

   

เพื่อความสะดวกโดยไม่ต้องหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ O จึงต้องทาการหาโมเมนต์หมุนรอบ จุด O แทน จะได้    

M

6 j   2 FAB i  6 F AB  7

7

O

 0;

 rA  F AB  FAC  W   0

 3 6 3    2 j  FAB k     FAC i  F AC j  FAC k    75 k   0 7 7 7    7 

กระจายเทอมผลคูณแบบเวกเตอร์ จะได้ 6 j   2 FAB i   6 j    6 FAB j   6 j   3 FAB k   6 j    2 FAC i  7  6   6 j    FAC  7

 7  7  3    j   6 j   FAC k   6 j   75k   0  7 

 7



ผลลัพธ์ของผลคูณแบบเวกเตอร์ จะได้

 12   18   12   18    FAB k    FAB i    FAC k    FAC i   (450i)  0  7  7  7  7  18 12  18   12   FAB  FAC  450  i    FAB  FAC  k  0 7 7 7   7 

จะได้

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 167

M M M จัดสมการ (2) จะได้ แทนค่า

FAB  FAC

(1)

y

18 18 FAB  FAC  450  0 7 7  0; 00

z

 0;

12 12 FAB  FAC  0 7 7

(2)

x

 0;



(3)

FAB  FAC

ลงในสมการ (1) จะได้ 18 18 FAC  FAC  450  0 7 7 36 FAC  450 7 4507  FAC  36 FAC  87.5 lb

จะได้ขนาดของแรงดึงในเส้นลวด AB และ AC เท่ากับ

FAB  FAC  87.5 lb

Ans.

ตัวอย่างที่ 5.9 แท่ง AB ดังรูปที่ 5.23 มีแรงขนาด 200 N กระทา จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับแบบลูกบอลที่ จุด A และ แรงดึงในเคเบิล BD และ BE

รูปที่ 5.23 ประกอบตัวอย่างที่ 5.9

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

168 สถิตยศาสตร์ วิธีทา

ผังวัตถุอิสระ รูปที่ 5.24 แสดงถึงผังวัตถุอิสระของแรงปฏิกิริยาที่จุด A และ B

รูปที่ 5.24 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 5.9 สมการสมดุล เขียนสมการของแต่ ละแรงให้อยู่ในรูปเวกเตอร์ในพิกัดฉาก จะได้  F A  Ax i  Ay j  Az k  TE  TE i  TD  TD j  F   200 kN

จากสมการสมดุล จะได้ 

 F  0;

    FA  TE  TD  F  0

Ax i  Ay j  Az k  TE i  TD j  200 k  0

รวมเทอมของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย จะได้

F F F

x

 0;

Ax  TE  0

y

 0;

Ay  TD  0

z

 0;

Az  200  0

หาโมเมนต์หมุนรอบจุด A จะได้ 

M

เนื่องจาก

A

 0;



(1) (2) (3)



     rC  F  rB  TE  TD  0

 1 rC  rB จะได้ว่า 2 0.5i  1 j  1k   200 k   1i  2 j  2 k  TE i  TD j  0

กระจายผลลัพธ์ของแต่ละเทอม จะได้ อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 169

0.5i    200k   1 j    200k    1k    200k   1i   TE i   2 j   TE i    2k   TE i   1i   TD j   2 j   TD j    2k   TD j   0 ผลลัพธ์ของผลคูณแบบเวกเตอร์ จะได้ 100 j    200i    2TE k    2TE j   TD k   2TDi   0 รวมเทอมของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย จะได้ 2TD  200  0 (4)  M x  0; (5) 100  2TE  0  M y 0; (6) TD  2TE  0  M z  0; ทาการแก้สมการ ตามลาดับดังนี้ จากสมการ (5) จะได้ TE  50 N

Ans.

แทนค่า TE  50 N ลงในสมการ (6) จะได้ TD  100 N

Ans.

แทนค่า TE  50 N ลงในสมการ (1) จะได้ Ax  50 N

Ans.

แทนค่า TD  100 N ลงในสมการ (2) จะได้ จากสมการ (3) จะได้

Ay  100 N

Ans

Az  200 N

Ans.

ข้อสังเกต เครื่องหมายลบ แสดงว่า รูปที่ 5.24

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ax

และ

Ay

มีทิศทางตรงข้ามกับที่แสดงในผังวัตถุอิสระ

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

170 สถิตยศาสตร์ แบบฝึกหัดตอนที่ 2 5.7 จากรูปที่ 5.25 จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาแรงดึงในเส้นเชือก มวลเท่ากับ 50 kg

AB, AC

และ

AD

เมื่อกล่องมี

รูปที่ 5.25 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.7 5.8 แท่งเหล็กรับน้าหนักทรงกระบอกเท่ากับ 400 kg โดยถูกยึดไว้ด้วยเคเบิลจานวนสามเส้น ดังรู ป ที่ 5.26 และที่จุ ดรองรั บ O เป็ นแบบลู กบอลอยู่ ในระนาบ x  y จงหาแรงปฏิกิริ ยาที่ จุดรองรับ O และแรงดึงในเส้นเชือกทั้งสาม

รูปที่ 5.26 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.8

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 171 5.9 แท่งกลมยาว 2.4 m ถูกรองรับที่จุด C ด้วยลูกบอลและเคเบิล อิสระและหาแรงดึงในเคเบิลที่รับแรงดังรูปที่ 5.27

AD

และ

AE

จงเขียนผังวัตถุ

รูปที่ 5.27 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.9 5.10 ท่อนเหล็กยาว 10 m รับแรงขนาด 4 kN ดังรูปที่ 5.28 จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาแรงดึงใน เส้นเชือกแต่ละเส้นและแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับที่เป็นแบบลูกบอลที่จุด A

รูปที่ 5.28 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.10

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

172 สถิตยศาสตร์ 5.11 แท่งกลมยาว 12 m รองรับแรงดึงเคเบิล CD ที่อยู่ในแนวระดับและรองรับด้วยลูกบอลที่จุด A และเคเบิล BE และ BF ดังรูปที่ 5.29 กาหนดให้แรงดึงในเคเบิล CD เท่ากับ 14 kN และ ขนานกับแนวแกน x (  0) จงหาแรงดึงในเคเบิล BE และ BF พร้ อมทั้งแรงปฏิกิริยาที่จุ ด รองรับ A

รูปที่ 5.29 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.11 5.12 ถ้าไม่พิจารณามวลของแท่งกลมเมื่อเปรี ยบเทียบกับน้าหนักขนาด 30 kN ที่รองรั บ ดังรู ป ที่ 5.30 จงหาแรงดึ งในเคเบิ ล T1 และ T2 พร้ อ มทั้ งหาแรงปฏิ กิริ ยาที่ รองรั บ ด้ ว ยลู ก บอล ที่จุด A

รูปที่ 5.30 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 5.12 อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 173

บทสรุป

1) หัวใจสาคัญสาหรับการแก้ปัญหาสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งคือการเขียนผังวัตถุอิสระ 2) สมการสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งในระบบ 2 มิติ เขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์ได้เป็น    F  0 และ  M O  0 หรือ เขียนอยู่ในรูปแบบสเกลาร์ได้เป็น

F

x

 0,

F

y

 0,

M

o

 0

3) สมการสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งในระบบ 3 มิติ เขียนอยู่ในรูปของเวกเตอร์ได้เป็น    F  0 และ  M O  0 หรือ เขียนอยู่ในรูปแบบสเกลาร์ได้เป็น

F

x

 0,

F

y

 0,

F

z

0

และ  M x  0,  M y  0,  M z  0

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

174 สถิตยศาสตร์

แบบทดสอบบทที่ 5

5.1 เครนถูกรองรับที่จุด C ด้วยหมุด และเชือก AB ดังรูปที่ 5.31 ถ้าภาระที่เครนรองรับมีมวล 200 kg และอยู่ที่ตาแหน่ง G จงหาแรงในเชือก AB และแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ C เมื่อกาหนดให้ ระยะ x=5 m.

รูปที่ 5.31 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.1 5.2 เครนมีมวล 1000 kg และยกน้าหนักมวล 2400 kg โดยใช้หมุดยึดที่จุด A และ ยึดด้วยลูกกลิ้งที่ จุด B กาหนดให้จุดศูนย์กลางของเครนอยู่ที่จุด G ดังรูปที่ 5.32 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับทั้งสอง

รูปที่ 5.32 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.2

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 175 5.3 จงหาค่าของระยะ a ที่ทาให้แรงปฏิกิริยาที่จุด ปฏิกิริยาที่จุด A ของวัตถุดังรูปที่ 5.33

B

มีค่าเท่ากับ

800 N

พร้อมทั้งหาแรง

รูปที่ 5.33 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.3 5.4 ถ้าไม่คิดแรงเสียดทานของ Pulley ที่จุด B ดังรูปที่ 5.34 จงหาแรงดึงในเส้นเชือก ABD และ แรงปฏิกิริยาที่จุด C เมื่อรองรับด้วยหมุด กาหนดให้   40

รูปที่ 5.34 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.4

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

176 สถิตยศาสตร์ 5.5 แท่งกลมยาว 6 m ที่ตาแหน่งปลายมีแรงขนาด 455 N กระทาดังรูปที่ 5.35 ถูกรองรับด้วย ลูกบอลที่จุด A และ เคเบิล BD และ BE จงหาแรงดึงในเคเบิลแต่ละเส้นและแรงปฏิกิริยาที่จุด รองรับ A

รูปที่ 5.35 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.5 ท่อกลมยาว 1.2 m รับแรงขนาด 1.6 kN รองรับด้วยลูกบอลที่จุด C และเคเบิลสามเส้น AD, AE และ BF ดังรูปที่ 5.36 จงหาขนาดของแรงดึงในเคเบิลแต่ละเส้นและแรงปฏิกิริยาที่จุด รองรับ C 5.6

รูปที่ 5.36 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 5.6 อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 177

เอกสารอ้างอิง

มนตรี พิรุณเกษตร. (2554). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. วีระศักดิ์ กรัยวิเชียร และ คณะ. (2551). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

178 สถิตยศาสตร์

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง หัวข้อเนื้อหา 6.1 บทนา 6.2 โครงถักระนาบอย่างง่าย 6.2.1 ข้อกาหนดการออกแบบโครงถัก 6.2.2 โครงถักอย่างง่าย 6.3 วิธีการหาแรงในชิ้นส่วนโครงสร้าง 6.3.1 วิธีแบบจุด 6.3.2 วิธีแบบภาคตัด แบบฝึกหัดตอนที่ 1 6.4 โครงกรอบและเครื่องมือกล 6.4.1 นิยาม 6.4.2 ผังวัตถุอิสระ 6.4.3 ขั้นตอนการหาแรงในโครงกรอบและเครื่องมือกล แบบฝึกหัดตอนที่ 2 วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว ผู้เรียนควรมีความรู้และทักษะดังนี้ 1. สามารถหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถักด้วยวิธีแบบจุดได้ 2. สามารถหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถักด้วยวิธีแบบภาคตัดได้ 3. สามารถหาแรงที่กระทาในโครงกรอบและเครื่องมือกลได้ วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ผู้สอนนาเข้าสู่บทเรียนโดยการสอบถามถึงความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับโครงสร้าง 2. เฉลยความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับโครงสร้างและเข้าสู่เนื้อหา 3. ให้ผู้เรียนสอบถามข้อสงสัยในประเด็นที่ยังไม่เข้าใจ 4. แบ่งกลุ่มทาแบบฝึกหัดเพื่อทบทวนความรู้ 5. แบ่งกลุ่มปฏิบัติตามใบงานที่ 10-11 6. มอบหมายงานเพื่อให้ทาเป็นการบ้านเพื่อเพิ่มพูนความรู้ 7. แบบทดสอบ 8. เฉลยคาตอบแบบฝึกหัด 9. เฉลยคาตอบแบบทดสอบ สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาสถิตยศาสตร์ บทที่ 6 เรื่อง การวิเคราะห์โครงสร้าง 2. โปรแกรม Microsoft Word ใช้ประกอบการบรรยายเนื้อหา มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทนิ พลบูรณ์

180 สถิตยศาสตร์ 3. เครื่องคอมพิวเตอร์ 4. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ 5. ใบงานที่ 10-11 การวัดและการประเมินผล การวัดผล 1. สังเกตการเข้าร่วมกิจกรรมกลุ่มทาแบบฝึกหัด 2. จากการทาแบบฝึกหัด 3. จากการปฏิบัติตามใบงาน 4. จากการทาแบบทดสอบ การประเมินผล 1. ทากิจกรรรมได้แล้วเสร็จตามที่กาหนด 2. ทาแบบฝึกหัดได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์ 3. ปฏิบัติตามใบงานได้สาเร็จตามเวลา 4. ทาแบบทดสอบท้ายบทเรียนได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 181

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 6.1 บทนา

ในบทนี้กล่าวถึงโครงถัก (truss) และ โครงถักอย่างง่าย (simple truss) อันเป็นชิ้นส่วนพื้นฐาน ที่ป ระกอบอยู่ ในโครงหลั งคาหรื อโครงสะพาน กล่ าวถึงวิธี การหาแรงในโครงถัก ที่นิ ยมใช้ใ นการ วิเคราะห์แรงในโครงสร้าง ประกอบด้วยวิธีแบบจุด และ วิธีแบบภาคตัด โดยที่วิธีแบบจุดนิยมใช้เมื่อ ต้องการหาแรงในทุกชิ้นส่วนของโครงสร้าง ส่วนวิธีแบบภาคตัดนิยมใช้เมื่อต้องการหาแรงในชิ้นส่วนใด ชิ้น ส่ ว นหนึ่ งของโครงสร้ าง นอกจากนี้ยั งได้กล่ าวถึงโครงกรอบและเครื่ องมือกล (frame and machine) ประกอบด้วยชิ้นส่วนที่รับแรงหลายแรง (multiforce members) รวมทั้งได้แสดงถึง ตัวอย่างของวิธีการหาแรงในโครงกรอบและเครื่องมือกล

6.2 โครงถักระนาบอย่างง่าย

โครงถัก (truss) เป็นชิ้นส่วนของโครงสร้างมีลักษณะเป็นชิ้นส่วนบางๆที่ประกอบเข้าด้วยกันที่ จุดปลายของแต่ละชิ้นส่วน ชิ้นส่วนเหล่านี้โดยทั่วไปจะเป็นชิ้นไม้หรือแท่งเหล็ก ซึ่งโครงถักระนาบ (planar truss) จะเป็นโครงถักที่วางอยู่ในระนาบเดียวและโดยทั่วไปจะใช้เป็นโครงหลังคาและสะพาน โครงถักที่แสดงดังรูปที่ 6.1(ก) เป็นโครงถักที่ใช้ในโครงหลังคา พบว่าน้้าหนักของหลังคาจะกระจายไป ยังโครงถักเป็นจุดหรือข้อต่อของหลังคา เนื่องจากน้้าหนักของหลังคาจะกระจายอยู่ในระนาบเดียวกัน ดังรูปที่ 6.1(ข) การวิเคราะห์ถึงแรงที่กระท้าในชิ้นส่วนโครงถักจึงวิเคราะห์แบบ 2 มิติ

(ก) (ข) โครงถักของโครงสร้างหลังคา การวิเคราะห์แรง 2 มิติ รูปที่ 6.1 โครงสร้างหลังคา (ที่มา : http://www.plakard.com/id-4de76f60e216a73304000050.html) ในกรณีของโครงถักที่ใช้ท้าโครงสะพานแสดงดังรูปที่ 6.2(ก) พบว่า น้้าหนักของสะพานจะ ถ่ายเทมายังคานตามยาว หลังจากนั้น จะถ่ายเทผ่านมายังคานตามขวางและ สุดท้ายก็จะถูกถ่ายเทไป มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

182 สถิตยศาสตร์ ยังจุดเชื่อมต่อของโครงถักแต่ ละคู่ คล้ายๆกับการวิเคราะห์โครงหลังคาคือแรงจะกระจายในระนาบ แสดงดังรูปที่ 6.2(ข) เมื่อโครงสะพานหรื อโครงหลั งคาที่มีความยาวมากจะรองรั บปลายด้านหนึ่งไว้ด้วย ลู กกลิ้ ง (roller) เพื่อรองรับการขยายตัวของชิ้นส่วนอันเนื่องมาจากอุณหภูมิหรือการรับน้้าหนัก

(ก) โครงถักของโครงสร้างสะพาน

(ข) การวิเคราะห์แรง 2 มิติ รูปที่ 6.2 โครงสร้างสะพาน (ที่มา : http://portal.rotfaithai.com/modules.php?name=Forums&file= viewtopic&t=1293) ส้าหรับตัวอย่างของโครงถักที่มีการใช้งานแสดงดังรูปที่ 6.3

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 183

รูปที่ 6.3 โครงถักที่มีการใช้งานในปัจจุบัน (ที่มา : วีระศักดิ์ และคณะ 2551 : 109) 6.2.1 ข้อกาหนดการออกแบบโครงถัก ในการออกแบบชิ้นส่วนโครงถักและจุดเชื่อมต่อ มีความจ้าเป็นต้องหาแรงที่กระท้าใน แต่ละชิ้นส่วนเมื่อโครงถักรับแรง ในการนี้ได้มีข้อก้าหนด 2 ข้อดังนี้ 1) แรงทั้งหมดกระทาที่จุ ดเชื่อมต่อของชิ้นส่วน ทั้งโครงสะพานและโครงหลังคา ข้อก้าหนดนี้ใช้ได้จริง เนื่องจากน้้าหนักของชิ้นส่วนโครงถักจะน้อยมากเมื่อเทียบกับน้้าหนักที่โครงถัก ต้องรับเอาไว้ 2) ชิ้นส่วนเชื่อมต่อกันด้วยหมุดผิวเรียบ ข้อต่อที่มีการเชื่อมต่อด้วยหมุดที่ปลายด้าน หนึ่งเข้ากับแผ่นเหล็ก ดังรูปที่ 6.4(ก) หรือ เชื่อมต่อกันด้วยหมุดขนาดใหญ่หรือหมุดระหว่างชิ้นส่วน เหล่านั้น ดังรูปที่ 6.4(ข) ซึ่งจะให้ข้อก้าหนดที่ว่าการเชื่อมต่อเหล่านี้เป็นการเชื่อมต่อกันด้วยหมุด เพื่อให้ถือได้ว่ามีแรงกระท้าผ่านจุดศูนย์กลางจุดเดียวกัน

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

184 สถิตยศาสตร์

(ก) การเชื่อมต่อหมุดกับแผ่นเหล็ก (ข) การเชื่อมต่อด้วยหมุดขนาดใหญ่ รูปที่ 6.4 จุดเชื่อมต่อด้วยหมุดของโครงถัก จากข้อก้าหนดทั้ง 2 ข้อข้างต้น พบว่าแต่ละชิ้นส่วนของโครงถักจะเป็นชิ้นส่วนรับแรง สองแรง (two force member) หมายความว่าแรงที่กระท้าผ่านจุดปลายของชิ้นส่วนจะเป็น แรงชนิด เดียวกันตลอดชิ้นส่วนนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าชิ้นส่วนรับแรงแล้วมีความยาวเพิ่มขึ้น (elongate) แสดงว่า ตลอดชิ้นส่วนนั้นจะรับแรงดึง (tensile force, T ) ดังรูปที่ 6.5(ก) ตรงกันข้าม หากชิ้นส่วนนั้นรับ แรงแล้วมีความยาวลดลง (shorten) แสดงว่าตลอดชิ้นส่วนนั้นจะรับแรงกด (compressive force, C ) ดังรูปที่ 6.5(ข) ในการออกแบบโครงถักจะพิจารณาถึงว่าชิ้นส่วนจะรับแรงกดหรือแรงดึงเป็น หลัก เพราะหากชิ้นส่วนรับแรงกดจะถูกออกแบบให้มีความหนามากกว่าชิ้นส่วนที่รับแรงดึง เนื่องจาก จะเกิดการโก่งงอได้เมื่อชิ้นส่วนถูกแรงกด

รูปที่ 6.5 ชิ้นส่วนของโครงถักที่รับแรงสองแรง

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 185 6.2.2 โครงถักอย่างง่าย เมื่อชิ้น ส่ว นสามชิ้น ถูกเชื่อมต่อด้ว ยหมุด ที่ต้าแหน่ งจุดปลายทั้งสามจะได้โครงถักที่ เรียกว่า โครงถักแบบสามเหลี่ยม (triangular truss) ซึ่งถือได้ว่าเป็นโครงถักที่มีความแข็งเกร็ง (rigid frame) ดังรูปที่ 6.6(ก) เมื่อประกอบชิ้นส่วนเพิ่มเติมเข้าไปที่ต้าแหน่ง D ท้าให้ได้โครงถักที่มีขนาด ใหญ่ขึ้น ดังรูปที่ 6.6(ข) โดยสามารถเพิ่มชิ้นส่วนจนท้าให้โครงถักมีขนาดใหญ่มากขึ้นได้อย่างนี้ไป เรื่อยๆ ถ้าโครงถักถูกขยายขนาดโดยเริ่มจากโครงถักสามเหลี่ยมพื้นฐาน (basic triangular truss) ใน ลักษณะข้างต้น โครงถักที่ได้จะถูกเรียกว่า โครงถักอย่างง่าย (simple truss)

รูปที่ 6.6 โครงถักอย่างง่าย

6.3 วิธีการหาแรงในชิ้นส่วนโครงสร้าง

6.3.1 วิธีแบบจุด ในการวิเคราะห์หรือออกแบบโครงถัก มีความจ้าเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องท้าการหาแรงใน แต่ละชิ้นส่วนของโครงถัก ส้าหรับวิธีที่ใช้ในการหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถักวิธีหนึ่งคือ วิธีแบบจุด (method of joint) ซึ่งเป็นวิธีที่ใช้เมื่อโครงถักอยู่ในสภาวะสมดุล ส่งผลให้จุดต่อแต่ละจุดอยู่ใน สภาวะสมดุลไปด้วย ดังนั้น เมื่อเขียนผังวัตถุอิสระของแต่ละจุดต่อเสร็จแล้ว หลังจากนั้นก็ใช้สมการ สมดุลของแรงเพื่อหาแรงที่กระท้าในแต่ละจุดต่อได้ เพราะว่าชิ้นส่วนของโครงถักจะเป็นชิ้นส่วนที่รับ แรงสองแรงตลอดชิ้นส่วน ดังนั้น จึงสามารถใช้สมการสมดุล  Fx  0 และ  Fy  0 ในการหา แรงภายในของแต่ละชิ้นส่วนได้ ตั ว อย่ า งการหาแรงในชิ้ น ส่ ว นโครงถั ก พิ จ ารณาหมุ ด ที่ จุ ด B ของโครงถั ก ดังรูปที่ 6.7(ก) ซึ่งมีแรง 3 แรงกระท้าที่หมุดนี้คือ แรงขนาด 500 N และแรงในชิ้นส่วน BA และ BC ส่วนผังวัตถุอิสระของหมุด B แสดงดังรูปที่ 6.7(ข) พบว่า FBA ดึงออกจากหมุดนี้ หมายความ ว่า ชิ้นส่วน BA รับแรงดึง ในขณะที่ FBC กดเข้าไปยังหมุดนี้ หมายความว่า ชิ้นส่วน BC รับแรง กด ผลที่เกิดขึ้นแสดงให้ชัดเจนด้วยการแยกจุดของหมุดพร้อมชิ้นส่วนขนาดเล็กที่เชื่อมต่ออยู่กับหมุด แสดงดังรูปที่ 6.7(ค) การถูกกดหรือถูกดึงที่แสดงยังชิ้นส่วนขนาดเล็กเนื่องจากชิ้นส่วนนั้นรับแรงกด หรือแรงดึง มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

186 สถิตยศาสตร์

(ข) ผังวัตถุอิสระที่จุด B (ค) ผังวัตถุอิสระพร้อมหมุดที่จุด B รูปที่ 6.7 การหาแรงในโครงถักด้วยวิธีแบบจุด เมื่อใช้วิธีแบบจุดหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถัก สามารถเริ่มต้นได้จากจุดต่อที่ทราบค่า ของแรงอย่างน้อยหนึ่งแรง และ แรงที่ไม่ทราบค่ามากที่สุดสองแรง ดังรูป ที่ 6.7(ข) ซึ่งสามารถ ประยุกต์ใช้สมการสมดุล  Fx  0 และ  Fy  0 เป็นสองสมการและมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าอยู่ สองตัวแปร ค้าตอบจากสองสมการที่ได้นี้ สามารถตรวจสอบค่าของแรงที่ไม่ทราบขนาดและทิศทางได้ ดังนี้ โดยทั่วไป แรงที่ไม่ทราบขนาดและทิศทางจะใช้การสมมุติในการค้านวณ กล่าวคือ เมื่อ ผลลัพธ์ที่ได้มีค่าเป็นบวกแสดงว่าทิศทางที่สมมุติตามผังวัตถุอิสระนั้นถูกต้องแล้ว แต่หากผลลัพธ์ที่ได้ มีค่าเป็นลบแสดงว่าทิศทางที่ถูกต้องจะมีทิศทางตรงข้ามกับผังวัตถุอิสระ หลังจากได้ทิศทางที่ถูกต้อง แล้ว นิยมเขียนตัวอักษรย่อไว้เพื่อแสดงถึงชนิดของแรงที่กระท้ากับชิ้นส่วนในโครงถัก เช่น แรงดึงใช้ ตัวอักษรย่อเป็น T และ แรงกดนิยมใช้ตัวอักษรย่อเป็น C

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 187 ตัวอย่างที่ 6.1 จงหาแรงภายในแต่ละชิ้นส่วนของโครงถักดังรูปที่ 6.8 โดยให้แสดงว่าชิ้นส่วนไหนรับแรงดึงหรือ แรงกด

รูปที่ 6.8 ประกอบตัวอย่างที่ 6.1 วิธีทา

(ก) ผังวัตถุอิสระที่จุด B

(ข) ผังวัตถุอิสระที่จุด C (ค) ผังวัตถุอิสระที่จุด A รูปที่ 6.9 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.1

เพราะว่าจะสามารถหาแรงภายในของชิ้นส่วนถักที่จุดเชื่อมต่อได้ ต้องเริ่มจากจุดที่มีแรง ไม่ ทราบขนาดและทิศทางไม่เกินสองค่าและทราบขนาดและทิศทางอย่างน้อยหนึ่งค่า ดังนั้น สามารถ เริ่มต้นหาแรงได้ที่จุด B จุด B ผังวัตถุอิสระของจุด B แสดงดังรูปที่ 6.9 (ก) โดยสมมุติให้ FBA เป็นแรงดึง และ FBC เป็นแรงกด สามารถหาแรงได้จากสมการสมดุล 

  Fx  0 ;

500 N  FBC sin 45  0 FBC  707.1 N (C )

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

188 สถิตยศาสตร์    Fy  0 ;

FBC cos 45  FBA  0 (707.1 N ) cos 45  FBA  0

FBA  500 N T 

Ans.

เนื่องจากทราบขนาดและทิศทางของแรงในชิ้นส่วน BC แล้ว ดังนั้น จึงสามารถหาแรงใน ชิ้นส่วน CA ด้วยการค้านวณที่จุด C และหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ จุด C ผังวัตถุอิสระแสดงดังรูปที่ 6.9 (ข) โดยให้ FCA เป็นแรงดึง และ C y เป็นแรงกด 

  Fx  0 ;

   Fy  0 ;

(707.1 N ) cos 45  FCA  0

FCA  500 N T 

C y  (707.1 N ) sin 45  0 C y  500 N

จุด A สามารถหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A ด้วยการใช้ผลลัพธ์ของแรง จากผังวัตถุอิสระรูปที่ 6.9 (ค) จะได้ 

  Fx  0 ;

   Fy  0 ;

Ans.

Ans. FCA

และแรง FBA

500 N  Ax  0 Ax  500 N

500 N  Ay  0 Ay  500 N

ข้อสังเกต ผลลัพธ์จากการค้านวณแรงทั้งหมดแสดงดังรูปที่ 6.10 พบว่า ผังวัตถุอิสระแต่ละจุด ได้แสดงถึงชิ้นส่วนและแรงภายนอกที่กระท้ากับชิ้นส่วนนั้น โดยที่แต่ละชิ้นส่วนได้แสดงเฉพาะแรงที่ ต้าแหน่งจุดปลายเท่านั้น

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 189

รูปที่ 6.10 ผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดที่กระท้ากับชิ้นส่วนของตัวอย่างที่ 6.1 ตัวอย่างที่ 6.2 จงหาแรงในแต่ละชิ้นส่วนของโครงถักดังรูปที่ 6.11

รูปที่ 6.11 ประกอบตัวอย่างที่ 6.2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

190 สถิตยศาสตร์ วิธีทา

(ก) ผังวัตถุอิสระตลอดโครงถัก

(ข) ผังวัตถุอิสระจุด A

(ค) ผังวัตถุอิสระจุด D

(ง) ผังวัตถุอิสระจุด C

รูปที่ 6.12 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.2 หาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ จากรูปที่ 6.11 พบว่าไม่สามารถหาแรงภายในชิ้นส่วนที่จุดใดๆได้ เพราะว่าแต่ละจุดมีแรงที่ไม่ทราบค่าเกินสองแรง จึงจ้าเป็นต้องหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับเสียก่อน โดยผังวัตถุอิสระตลอดโครงถักแสดงดังรูปที่ 6.12 (ก) จากสมการสมดุล จะได้ว่า 

  Fx  0 ;

M

600 N  C x  0 C x  600 N

C

 0;

400 N 3 m  600 N 4 m  Ay 6 m  0

Ay  600 N

   Fy  0 ;

600 N  400 N  C y  0 C y  200 N

ส้าหรับการหาแรงในชิ้นส่วนสามารถเริ่มต้นหาได้จากจุด A เนื่องจากมีหนึ่งแรงที่ทราบค่าและ สองแรงที่ไม่ทราบขนาดและทิศทาง อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 191 จุด A จากผังวัตถุอิสระรูปที่ 6.12 (ข) FAB ถูกสมมุติให้รับแรงกด และ FAD ถูกสมมุติให้รับ แรงดึง จากสมการสมดุล จะได้    Fy  0 ;

4 600 N  FAB    0 5



  Fx  0 ;

FAD

FAB  750 N C   3  750 N    0 5 FAD  450 N T 

Ans.

Ans.

จุด D ผังวัตถุอิสระดังรูปที่ 6.12 (ค) เนื่องจากทราบค่า FAD ซึ่งรับแรงดึง และหาผลรวมของ แรงในแนวนอน จะได้ 

  Fx  0 ;

 3 600 N  450 N  FDB    0 5

FDB  250 N

เครื่องหมายลบ แสดงว่า กระท้าในทิศทางตรงข้ามกับผังวัตถุอิสระ จะได้ว่า FDB  250 N T 

Ans.

ในการหา FDC สามารถท้าได้โดยการใช้ทิศทางที่ถูกต้องของ FDB ในผังวัตถุอิสระ แล้วใช้ สมการ  Fy  0 หรือ ใช้สมการนี้ได้เลยและให้คงเครื่องหมายลบของแรง FDB ดังเดิม    Fy  0 ;

4  FDC   250 N    0 5 FDC  200 N C 

Ans.

จุด C ผังวัตถุอิสระแสดงดังรูปที่ 6.12 (ง) ใช้สมการสมดุล จะได้ 

  Fx  0 ;

   Fy  0 ;

FCB  600 N  0

FCB  600 N C 

Ans.

200 N  200 N  0

จากการตรวจสอบแรงในแนวแกน y เท่ากับศูนย์จริง แสดงว่า แรงที่ค้านวณมาทั้งขนาดและ ทิศทางถูกต้องแล้ว ของฝากเพื่อทบทวนความเข้าใจยิ่งขึ้น คือ ให้นักศึกษาท้าการวาดรูปประกอบผลลัพธ์ของแรง ทั้งหมดที่กระท้ากับชิ้นส่วนของตัวอย่างที่ 6.2 ซึ่งจะมีลักษณะคล้ายกับตัวอย่างที่ 6.1

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

192 สถิตยศาสตร์ 6.3.2 วิธีแบบภาคตัด เมื่อมีความจ้าเป็นจะต้องค้านวณหาแรงในบางชิ้นส่วนของโครงถัก สามารถหาแรงใน โครงถักได้โดยใช้วิธีแบบภาคตัด (method of sections) ซึ่งอาศัยพื้นฐานที่ว่า ถ้าโครงถักอยู่ใน สภาวะสมดุลแล้วชิ้นส่วนใดๆจะอยู่ในสภาวะสมดุลด้วย วิธีแบบภาคตัดจะใช้ “การตัด” หรือ “ภาคตัด”ชิ้นส่วนใดๆของโครงถักที่สนใจหาแรง ภายในออกเป็น 2 ส่วน หลังจากนั้น จะใช้สมการสมดุลในการหาแรงภายในของชิ้นส่วนที่ถูกตัด ออกมาด้ า นใดด้ า นหนึ่ ง เนื่ อ งจากมี ส มการส้ า หรั บ หาแรงภายในอยู่ เ พี ย ง 3 สมการ คื อ  Fx  0,  Fy  0 และ  M O  0 ที่จะใช้ในการหาแรงภายในของภาคตัดใดๆ ดังนั้น จึง ควรเลือกภาคตัดที่มีชิ้นส่วนที่ไม่ทราบขนาดและทิศทางของแรงไม่เกิน 3 ชิ้นส่วน ตัวอย่างเช่น พิจารณาโครงถักดังรูปที่ 6.13(ก) ถ้าต้องการหาแรงในชิ้นส่วน BC, GC และ GF ซึ่งภาคตัด aa เหมาะสมที่สุ ด ในการหาแรง ซึ่ง ผั ง วัต ถุ อิ ส ระของทั้ งสองภาคตัด แสดงดั ง รู ป ที่ 6.13(ข) และ (ค) ตามล้าดับ โดยสมมุติให้แรงแต่ละชิ้นส่วนกระท้าไปตามแนวของชิ้นส่วนในโครงถัก นั้นๆ ดังนั้น แรงใน ชิ้น ส่ ว นเดี ยวกั น จะมี ขนาดเท่า กัน แต่ มี ทิศ ทางตรงกั น ข้ ามเมื่อ อยู่ คนละภาคตัด ซึ่ง เป็ น ไปตามกฎ ข้อที่สามของนิวตัน ชิ้นส่วน BC และ GC ถูกสมมุติให้รับแรงดึง และ ชิ้นส่วน GF ถูกสมมุติ ให้รับแรงกด แรงในชิ้นส่วนที่ไม่ทราบขนาดและทิศทาง FBC , F GC และ F GF หาได้โดยใช้สมการ สมดุล 3 สมการ ตามผังวัตถุอิสระรูปที่ 6.13(ข) อย่าไรก็ตาม ถ้าใช้ผังวัตถุอิสระดังรูปที่ 6.13(ค) แรง ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ Dx , Dy และ E x จะต้องทราบเสียก่อน เพราะว่าสมการสมดุลใช้ได้เพียง 3 สมการเท่านั้น เมื่อใช้สมการสมดุลในการหาแรงจึงควรพิจารณาที่จะใช้เพื่อหาค้าตอบได้ด้วยวิธีตรง (direct solution) ส้ า หรั บ ชิ้ น ส่ ว นที่ ไ ม่ ท ราบแรง ตั ว อย่ า งเช่ น พิ จารณาโครงถั ก ภาคตั ด ดังรูปที่ 6.13(ข) และหาโมเมนต์หมุนรอบจุด C จะท้าให้ได้ค้าตอบโดยตรงของ F GF เนื่องจาก FBC และ F GC เกิดโมเมนต์เป็นศูนย์หมุนรอบจุด C เช่นเดียวกัน FBC หาได้โดยตรงด้วยการหาโมเมนต์ หมุนรอบจุด G สุดท้าย F GC หาได้โดยตรงด้วยการรวมแรงในแนวตั้ง เนื่องจาก FBC และ F GF ไม่ได้อยู่ในทิศทางในแนวตั้ง การหาแรงได้โดยตรงจึงเป็นข้อได้เปรียบหลัก (main advantage) ของ วิธีแบบภาคตัด

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 193

(ก) เลือกภาคตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการหาแรง

(ข) ผังวัตถุอิสระด้านซ้ายของภาคตัดที่เลือก

(ค) ผังวัตถุอิสระด้านขวาของภาคตัดที่เลือก รูปที่ 6.13 ขั้นตอนการหาแรงด้วยวิธีแบบภาคตัด

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

194 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 6.3 จงหาแรงในชิ้นส่วน GE, GC และ BC ของโครงถักที่ตัดผ่านระนาบ a-a ดังรูปที่ 6.14

วิธีทา

รูปที่ 6.14 ประกอบตัวอย่างที่ 6.3

(ก) ผังวัตถุอิสระตลอดโครงถัก

(ข) ผังวัตถุอิสระด้านซ้ายของภาคตัดที่เลือก รูปที่ 6.15 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.3 อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 195 ภาคตัด aa ดังรูปที่ 6.14 ถูกเลือกเนื่องจากตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการหาแรงภายใน เพื่อที่จะ หาแรงโดยการใช้วิธีภาคตัด ในล้าดับแรกจ้าเป็นต้องหาแรงปฏิกิริยาภายนอกที่จุด A หรือ D เนื่องจาก จ้ า เป็ น ต้ อ งน้ า ไปใช้ ใ นการค้ า นวณเมื่ อ เลื อ กใช้ ภ าคตั ด ด้ า นซ้ า ยหรื อ ด้ า นขวา ของภาคตั ด aa ตามล้าดับ ผังวัตถุอิสระดังรูป ที่ 6.15 (ก) แสดงแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับทั้งสอง อาศัยสมการสมดุล จะได้ 

  Fx  0 ;

M

400 N  A x  0 Ax  400 N

A

 0;

Dy 12 m  1200 N 8 m  400 N 3 m  0 Dy  900 N

   Fy  0 ;

Ay  1200 N  900 N  0 Ay  300 N

ผังวัตถุอิสระ ส้าหรับการวิเคราะห์หาแรงจะใช้ผังวัตถุอิสระภาคตัดด้านซ้าย เนื่องจากมีแรง กระท้าน้อยกว่าภาคตัดด้านขวา ดังรูปที่ 6.15 (ข) สมการสมดุล หาโมเมนต์รอบจุด G ส่วนแรง FGE และ FGC ไม่ท้าให้เกิดโมเมนต์รอบจุด G และท้าให้ได้แรง FBC ได้โดยตรง จะได้ว่า  M G  0; FBC 3 m  300 N 4 m  400 N 3 m  0 FBC  800 N T  Ans. หาโมเมนต์หมุนรอบจุด C จะท้าให้ได้แรง FGE โดยตรง  M C  0 ; FGE 3 m  300 N 8 m  0 FGE  800 N C  Ans. เนื่องจากแรง FBC และ FGE ไม่มีส่วนประกอบในแนวตั้ง ดังนั้น รวมแรงในแนวแกน y จะได้ แรง FGC โดยตรง    Fy  0 ;

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

 3 300 N  FGC    0 5 FGC  500 N T 

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

196 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 6.4 จงหาแรงในชิ้นส่วน EF และ GI ของโครงถักดังรูปที่ 6.16

วิธีทา

รูปที่ 6.16 ประกอบตัวอย่างที่ 6.4

(ก) ผังวัตถุอิสระตลอดโครงถัก รูปที่ 6.17 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.4

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 197

(ข) แรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับหลังค้านวณ

(ค) ภาคตัดด้านซ้ายที่เลือก

รูปที่ 6.17 (ต่อ)

(ง) ภาคตัดด้านขาวที่เลือก

ผังวัตถุอิสระ เพื่อหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ B และ J แสดงดังผังวัตถุอิสระรูปที่ 6.17 (ก) จากสมการสมดุล จะได้  M B  0; J 32 ft   28 kips8 ft   28kips24 ft   16kips10 ft   0 J  33 kips J  33 kips  

  Fx  0 ;

   Fy  0 ;

16 kips  Bx  0

Bx  16 kips Bx  16 kips  B y  33 kips  28 kips  28 kips  0

By  23 kips By  23 kips 

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

198 สถิตยศาสตร์ ผังวัตถุอิสระของแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับที่ถูกต้องทั้งขนาดและทิศทางแสดงดังรูปที่ 6.17 (ข) หาแรงในชิ้นส่วน EF ภาคตัด nn ถูกน้ามาพิจารณาเพราะตัดผ่านชิ้นส่วน EF และชิ้นส่วนที่ไม่ ทราบแรงอีกสองชิ้นส่วน หลังจากนั้น เลือกภาคตัดทางด้านซ้ายมาใช้ในการค้านวณหาแรงในชิ้นส่วน EF ดังรูปที่ 6.17 (ค) และมีแรงที่ไม่ทราบขนาดและทิศทางสามแรง หาแรงในชิ้นส่วน EF โดยการรวม แรงในแนวตั้ง จะได้    Fy  0 ;

23 kips  28 kips  FEF  0

FEF  5 kips เครื่องหมายลบแสดงว่า FEF มีทิศทางตรงข้ามกับรูปที่ 6.17 (ค) ดังนั้น FEF จึงเป็นแรงกด FEF  5 kips C  Ans. หาแรงในชิ้นส่วน GI ภาคตัด mm จากรูปที่ 6.17 (ข) ถูกน้ามาพิจารณาเพราะตัดผ่านชิ้นส่วน

GI และชิ้นส่วนที่ไม่ทราบแรงอีกสองชิ้นส่วน หลังจากนั้น เลือกภาคตัดทางด้านขวามาใช้ในการ ค้านวณหาแรงในชิ้นส่วน GI ดังรูปที่ 6.17 (ง) และมีแรงที่ไม่ทราบขนาดและทิศทางสามแรง หาแรง ในชิ้นส่วน GI โดยการหาโมเมนต์หมุนรอบจุด H จะได้  M H  0; FGI 10 ft  33 kips8 ft  16 kips10 ft   0 FGI  10.4 kips FGI  10.4 kips C  Ans.

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 199

แบบฝึกหัดตอนที่ 1

6.1 จงหาแรงภายในของทุกชิ้นส่วนของโครงถัก ดังรูปที่ 6.18 และให้ระบุด้วยว่าชิ้นส่วนไหนรับ แรงดึงหรือแรงกด

รูปที่ 6.18 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.1 6.2 จงหาแรงภายในของทุกชิ้นส่วนของโครงถัก ดังรูปที่ 6.19 และให้ระบุด้วยว่าชิ้นส่วนไหนรับแรง ดึงหรือแรงกด

รูปที่ 6.19 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.2 6.3 จงหาแรงภายในของชิ้นส่วน AB และ AE ของโครงถักดังรูปที่ 6.20 และให้ระบุด้วยว่าชิ้นส่วน ไหนรับแรงดึงหรือแรงกด

รูปที่ 6.20 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.3 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

200 สถิตยศาสตร์ 6.4 จงหาแรงภายในของชิ้นส่วน CE, BE และ BD ของโครงถักดังรูปที่ 6.21 และให้ระบุด้วยว่า ชิ้นส่วนไหนรับแรงดึงหรือแรงกด

รูปที่ 6.21 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.4 6.5 จงหาแรงภายในของชิ้นส่วน DG และ FH ของโครงถักดังรูปที่ 6.22 (แนะน้าให้ใช้ภาคตัด aa

)

รูปที่ 6.22 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.5 6.6 จงหาแรงภายในของแต่ละชิ้นส่วนของโครงถัก ดังรูปที่ 6.23 และให้ระบุด้วยว่าชิ้นส่วนไหนรับ แรงดึงหรือแรงกด เมื่อก้าหนดให้ P1  2 kN และ P2  1.5 kN

รูปที่ 6.23 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.6 อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 201 6.7 จงหาแรงภายในของทุกชิ้นส่วนของโครงถัก ดังรูปที่ 6.24 และให้ระบุด้วยว่าชิ้นส่วนไหนรับแรง ดึงหรือแรงกด

รูปที่ 6.24 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.7 6.8 จงหาแรงภายในของชิ้นส่วน BC, CF และ FE ของโครงถักดังรูปที่ 6.25 และให้ระบุด้วยว่า ชิ้นส่วนไหนรับแรงดึงหรือแรงกด

รูปที่ 6.25 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.8 6.9 จงหาแรงภายในของชิ้นส่วน BC, HC และ HG ของโครงถักดังรูปที่ 6.26 และให้ระบุด้วยว่า ชิ้นส่วนไหนรับแรงดึงหรือแรงกด

รูปที่ 6.26 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.9 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

202 สถิตยศาสตร์

6.4 โครงกรอบและเครื่องมือกล

6.4.1 นิยาม โครงกรอบและเครื่องมือกลเป็นสองชนิดของโครงสร้างที่ชิ้นส่วนมีการรับแรงหลายแรง โดยที่ โครงกรอบ (frame) เป็นโครงสร้างที่ถูกออกแบบมาเพื่อการรับแรงและไม่สามารถเคลื่อนที่ได้ ในขณะที่ เครื่องมือกล (machines) เป็นโครงสร้างที่ชิ้นส่วนสามารถเคลื่อนที่ได้และถูกออกแบบมา เพื่อการส่งถ่ายแรงหรือโมเมนต์ของแรงคู่ควบ 6.4.2 ผังวัตถุอิสระ ในการหาแรงกระท้าที่ข้อต่อและจุดรองรับของโครงกรอบและเครื่องมือกล ต้องท้าการ แยกชิ้นส่วนของโครงกรอบและเครื่องมือกลนั้นออกจากกัน แล้วท้าการเขียนผังวัตถุอิสระของแต่ละ ชิ้นส่วน โดยยึดหลักการทีส่ ้าคัญดังนี้ 1) แยกแต่ละชิ้นส่วนด้วยการเขียนภาพรวมของชิ้นส่วน หลังจากนั้น ให้แสดงถึงแรง และ/หรือ โมเมนต์ของแรงคู่ควบที่กระท้ากับชิ้นส่วนนั้ น ทั้งที่เป็นแรงหรือโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่ ทราบและไม่ทราบขนาดและทิศทาง โดยให้แยกไปตามแกน x และ แกน y ในระบบพิกัดฉาก แล้วใช้ สมการสมดุลเพื่อหาแรงและโมเมนต์ที่ไม่ทราบขนาดและทิศทาง 2) ระบุชิ้นส่วนที่รับแรงสองแรงทั้งหมดของโครงสร้างและแสดงผังวัตถุอิสระของ ชิ้นส่วนที่รับแรงสองแรงโดยมีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้าม จากการพิจารณาชิ้นส่วนรับแรงสอง แรง สามารถหลีกเลี่ยงการแก้ปัญหาด้วยสมการสมดุลที่ไม่มีความจ้าเป็นได้ 3) แรงที่กระท้ากับชิ้นส่วนคู่หนึ่งๆจะมีขนาดเท่ากันแต่มีทิศทางตรงกันข้าม 6.4.3 ขั้นตอนการหาแรงในโครงกรอบและเครื่องมือกล แรงปฏิกิริยาที่เกิดขึ้นกับข้อต่อในโครงกรอบและเครื่องมือกลประกอบด้วยชิ้นส่วนที่รับ แรงหลายแรง หาได้จากขั้นตอนดังนี้ เขียนผังวัตถุอิสระ 1) เขียนผังวัตถุอิสระของโครงกรอบหรือเครื่องมือกล อาจจะเป็นส่วนใดส่วนหนึ่ง หรือ ชิ้นส่วนแต่ละชิ้นส่วนก็ได้ โดยให้ตรงกับค้าตอบของปัญหาให้มากที่สุด 2) เมื่อเขียนผังวัตถุอิสระของกลุ่มชิ้นส่วนของโครงกรอบหรือเครื่องมือกลแล้วแรงที่อยู่ ระหว่างชิ้นส่วนที่ติดกันเหล่านี้จะเป็นแรงภายในและไม่ได้แสดงไว้ในผังวัตถุอิสระเหล่านี้ด้วย 3) แรงที่อยู่ในชิ้นส่วนคู่หนึ่งๆจะมีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้ามที่ แสดงไว้ในผัง วัตถุอิสระของชิ้นส่วน 4) ชิ้นส่วนที่รับแรงสองแรง โดยไม่ขึ้นกับรูปร่างของชิ้นส่วน จะมีขนาดของแรงเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้ามเมื่อกระท้าที่จุดปลายของชิ้นส่วนใดๆ 5) ในหลายกรณี สามารถระบุทิศทางของแรงที่ไม่ทราบขนาดที่กระท้ากับชิ้นส่วนได้ ด้วยการตรวจสอบทิศทางที่กระท้ากับชิ้นส่วน อย่างไรก็ตาม หากการตรวจสอบท้าได้ยากสามารถใช้ การสมมุติแทนได้ 6) จ้าไว้เสมอว่าโมเมนต์ของแรงคู่ควบเป็นเวกเตอร์อิสระ (free vector) และสามารถ กระท้าที่จุดใดๆของผังวัตถุอิสระได้ ดังนั้น แรงซึ่งเป็นเวกเตอร์แบบเลื่อนที่ (sliding vector) และ สามารถกระท้าที่จุดใดๆในทิศทางของแรงก็ได้ อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 203 สมการสมดุล 1) นับจ้านวนของแรงที่ไม่ทราบขนาดและทิศทาง แล้วท้าการเปรียบเทียบกับจ้านวน สมการสมดุลที่สามารถใช้ได้ โดยในระบบ 2 มิติ มี 3 สมการสมดุลที่สามารถใช้ได้ในแต่ละชิ้นส่วน คือ  Fx  0,  Fy  0 และ  M O  0 2) รวมโมเมนต์หมุนรอบจุดๆหนึ่งที่เป็นจุดเชื่อมต่อของแนวกระท้าของแรงที่ไม่ทราบ ขนาดและทิศทางที่เป็นไปได้ 3) ถ้าค้าตอบขนาดของแรงหรือโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่ได้มีค่าเป็นลบ แสดงว่า แรง หรือโมเมนต์ของแรงคู่ควบจะมีทิศทางตรงข้ามกับที่แสดงในผังวัตถุอิสระ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

204 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 6.5 จงหาส่วนประกอบในแนวนอนและแนวตั้งของแรงที่กระท้าที่หมุด C ของชิ้นส่วน BC ของโครง กรอบดังรูปที่ 6.27

รูปที่ 6.27 ประกอบตัวอย่างที่ 6.5 วิธีทา

(ก) ผังวัตถุอิสระเมื่อพิจารณาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง

(ข) ผังวัตถุอิสระเมื่อไม่พิจารณาชิ้นส่วนรับแรงสองแรง รูปที่ 6.28 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.5 อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 205 แบบที่ 1 ผังวัตถุอิสระ จากการตรวจสอบ พบว่า ชิ้นส่วน AB เป็นชิ้นส่วนที่รับแรงสองแรง ซึ่ง ผังวัตถุอิสระแสดงดังรูปที่ 6.28 (ก) สมการสมดุล พบว่า ชิ้นส่วน BC มีแรงที่ไม่ทราบขนาดและทิศทางอยู่ 3 แรง คือ FAB , C x และ C y โดยการใช้สมการสมดุล 3 สมการ จะได้

M

C

 0 ; 2000 N 2 m  FAB sin 60 4 m  0

FAB  2000 N 2 m / sin 60 4 m FAB  1154.7 N



  Fx  0 ;

   Fy  0 ;

1154.7 cos 60 N  C x  0

C x  577 N

Ans.

1154.7 sin 60 N  2000 N  C y  0 C y  1000 N

Ans.

แบบที่ 2 ผังวัตถุอิสระ เมื่อไม่พิจารณาว่าชิ้นส่วน AB เป็นชิ้นส่วนที่รับแรงสองแรง การ แก้ปัญหาก็จะมีความยุ่งยากพอสมควร ส้าหรับผังวัตถุอิสระแสดงดังรูปที่ 6.28 (ข) สมการสมดุล มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าอยู่ 6 ตัวแปร สามารถแก้ได้โดยการใช้สมการ สมดุลทั้ง 3 สมการในแต่ละชิ้นส่วน พิจารณาชิ้นส่วน AB จะได้ (1)  M A  0; Bx 3sin 60 m By 3cos 60 m  0 

  F x  0;

Ax  Bx  0 Ax  Bx

   F y  0;

(2)

Ay  By  0

(3)

Ay  B y

พิจารณาชิ้นส่วน BC จะได้

M

C

 0;

2000 N 2 m  By 4 m  0

(4)

B y  1000 N 

  Fx  0 ;

   Fy  0 ;

Bx  C x  0

Bx  C x

(5)

By  2000 N  C y  0 C y  2000 N  By

แทนค่า

(6)

ลงในสมการ (1) จะได้ Bx 3sin 60 m  1000 N 3 cos 60 m  0

B y  1000 N

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

206 สถิตยศาสตร์





Bx 3sin 60 m 1500 N  m



Bx  1500 N  m / 3sin 60 m



Bx  577 N

จากสมการ (5) จะได้ว่า แทนค่า

B y  1000 N

Cx  577 N

Ans.

ลงในสมการ (6) จะได้ C y  2000 N  1000 N C y  1000 N

Ans.

ตัวอย่างที่ 6.6 จงหาแรงดึงในเคเบิลและแรงดึง P เพื่อใช้ในการดึงภาระขนาด 600 N ดังรูปที่ 6.29 โดยไม่คิด แรงเสียดทานของรอก

รูปที่ 6.29 ประกอบตัวอย่างที่ 6.6 วิธีทา

ผังวัตถุอิสระ ส้าหรับผังวัตถุอิสระของรอกแต่ละตัวรวมทั้งหมุดและแรงดึงในเคเบิลแต่ละเส้น แสดงดังรูปที่ 6.30 เนื่องจากเคเบิลมีความต่อเนื่องท้าให้ตลอดทั้งเส้นมีแรงดึงเท่ากับ P ส่วนข้อต่อที่ ต่ออยู่ระหว่างรอก B และ C เป็นชิ้นส่วนที่รับแรงสองแรง และสมมุติให้มีแรงดึงเท่ากับ T กระท้าที่ข้อ ต่อ พบว่าแรง P และ T มีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้าม เมื่อกระท้ากับคนละชิ้นส่วนในผังวัตถุ อิสระ

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 207

รูปที่ 6.30 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 6.6 สมการสมดุล จะพบว่ามีแรงไม่ทราบค่าอยู่ 3 แรง โดยพิจารณารอกแต่ละตัว จะได้ พิจารณารอก A    Fy  0 ;

3P  600 N  0

P  200 N

พิจารณารอก B

   Fy  0 ;

Ans.

T  2P  0 T  400 N

พิจารณารอก C

   Fy  0 ;

Ans.

R  2P  T  0 R  2P  T R  2  200  400 R  800 N

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

208 สถิตยศาสตร์

แบบฝึกหัดตอนที่ 2

6.10 จงหาแรงปฏิกิริยาในแนวนอนและแนวตั้งของจุดรองรับที่จุด C ดังรูปที่ 6.31

รูปที่ 6.31 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.10 6.11 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับของหมุด A และ B ของโครงกรอบดังรูปที่ 6.32

รูปที่ 6.32 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.11

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 209 6.12 จงหาแรงดึง P ที่ท้าให้มวล 10 kg อยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 6.33

รูปที่ 6.33 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.12 6.13 จงหาแรง P ที่ใช้ส้าหรับยึดมวลที่มีน้าหนัก 300 N ให้อยู่ให้สภาวะสมดุลดังรูปที่ 6.34

รูปที่ 6.34 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.13

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

210 สถิตยศาสตร์ 6.14 จงหาแรง P ที่ต้องใช้ในการพยุงวัตถุที่มีมวล 100 kg ให้อยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 6.35

รูปที่ 6.35 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.14 6.15 จงหาแรง P ที่ต้องใช้ในการพยุงมวล 50 kg ให้อยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 6.36

รูปที่ 6.36 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 6.15

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 211

บทสรุป

1) โครงถักอย่างง่าย (simple truss) ประกอบไปด้วยชิ้นส่วนสามชิ้นที่เชื่อมจุดปลายเข้า ด้วยกันโดยการใช้หมุด สามารถหาแรงในชิ้นส่วนได้ด้วยการสมมุติว่าเป็นชิ้นส่วนที่รับแรงสองแรง (two force member) ชิ้นส่วนเหล่านั้นอาจจะรับแรงดึงหรือแรงกดก็ได้ 2) การหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถักด้วยวิธีแบบจุด (method of joint) นิยมใช้เมื่อต้องการ หาแรงในทุกชิ้นส่วนของโครงถัก โดยอาศัยหลักการที่ว่า ถ้าโครงถักอยู่ในสภาวะสมดุลแล้วชิ้นส่วนใน แต่ละข้อต่อก็จะอยู่ในสภาวะสมดุลด้วยเช่นกัน 3) เมื่อแยกและเขียนผังวัตถุอิสระของแต่ละชิ้นส่วนของโครงถักแล้ว สามารถใช้สมการสมดุล  Fx  0 และ  Fy  0 ในการหาแรงในชิ้นส่วนได้ 4) เมื่อผลลัพธ์ที่ได้มีค่าเป็นบวกแสดงว่าทิศทางเป็นไปตามที่ก้าหนดในผังวัตถุอิสระ แต่ถ้า ผลลัพธ์ที่ได้มีค่าเป็นลบ แสดงว่าทิศทางที่เป็นไปได้จะตรงกันข้ามกับที่แสดงในผังวัตถุอิสระ 5) ชิ้นส่วนรับแรงสองแรง (two force member) หมายความว่า ชิ้นส่วนใดที่รับแรงดึงก็จะ รับแรงดึงตลอดความยาวของชิ้นส่วน เช่นเดียวกัน ชิ้นส่วนใดที่รับแรงกดก็จะรับแรงกดลอดความยาว ของชิ้นส่วน 6) การหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถักด้วยวิธีแบบภาคตัด (method of section) นิยมใช้เมื่อ ต้องการหาแรงในชิ้นส่วนใดชิ้นส่วนหนึ่งของโครงถัก 7) การหาแรงด้วยวิธีแบบภาคตัดท้าได้โดยการแบ่งภาคตัดของโครงถักออกเป็นสองส่วนโดย ให้ ผ่ านชิ้น ส่ วนที่ต้องการหาแรงในชิ้นส่ว นนั้ นๆ แล้ว ท้าการหาแรงในชิ้นส่ ว นจากภาคตัดที่ทราบ จ้านวนของแรงในชิ้น ส่ว นที่น้ อยที่สุ ด หลังจากนั้น ใช้สมการสมดุล  Fx  0,  Fy  0 และ  M O  0 หาแรงในชิ้นส่วนที่ต้องการ 8) โครงกรอบ (frame) เป็นโครงสร้างที่ถูกออกแบบมาเพื่อการรับแรงและไม่สามารถเคลื่อนที่ ได้ ในขณะที่ เครื่องมือกล (machines) เป็นโครงสร้างที่ชิ้นส่วนสามารถเคลื่อนที่ได้และถูกออกแบบ มาเพื่อการส่งถ่ายแรงหรือโมเมนต์ของแรงคู่ควบ 9) การหาแรงในโครงกรอบและเครื่องมือกล ท้าได้โดยการแยกเขียนผังวัตถุอิสระของแต่ละ ชิ้ น ส่ ว น แล้ ว ระบุ แ รงที่ ก ระท้ า ที่ จุ ด รองรั บ ให้ ค รบถ้ ว น (หากมี ) หลั ง จากนั้ น ใช้ ส มการสมดุ ล  Fx  0,  Fy  0 และ  M O  0 เพื่อหาแรงที่ไม่ทราบค่าในแต่ละชิ้นส่วน

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

212 สถิตยศาสตร์

แบบทดสอบบทที่ 6

6.1 จงหาแรงในแต่ละชิ้นส่วนของโครงถักดังรูปที่ 6.37 และให้ระบุด้วยว่าชิ้นส่วนใดรับแรงดึงหรือ แรงกด

รูปที่ 6.37 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.1 6.2 จงหาแรงในแต่ละชิ้นส่วนของโครงถักดังรูปที่ 6.38 และให้ระบุด้วยว่าชิ้นส่วนใดรับแรงดึงหรือ แรงกด

รูปที่ 6.38 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.2

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 213 6.3 จงหาแรงในชิ้นส่วน CD และ DF ของโครงสร้างดังรูปที่ 6.39

รูปที่ 6.39 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.3 6.4 จงหาแรงในชิ้นส่วน CD, CF และ FG ของโครงถักดังรูปที่ 6.40 และให้ระบุด้วยว่าชิ้นส่วนใดรับ แรงดึงหรือแรงกด

รูปที่ 6.40 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.4

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

214 สถิตยศาสตร์ 6.5 โครงกรอบรับแรงดังรูปที่ 6.41 จงหาแรงปฏิกิริยาในชิ้นส่วน ABC ที่จุด B และ C

รูปที่ 6.41 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.5 6.6 จงหาแรงปฏิกิริยาที่ลูกกลิ้งส้าหรับโครงกรอบดังรูปที่ 6.42

รูปที่ 6.42 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 6.6

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 การวิเคราะห์โครงสร้าง 215

เอกสารอ้างอิง

มนตรี พิรุณเกษตร. (2554). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. วีระศักดิ์ กรัยวิเชียร และ คณะ. (2551). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons. http://www.plakard.com/id-4de76f60e216a73304000050.html http://portal.rotfaithai.com/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=1293

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

216 สถิตยศาสตร์

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนต์ทรอยด์ หัวข้อเนื้อหา 7.1 บทนา 7.2 การหาจุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 7.2.1 จุดศูนย์ถ่วง 7.2.2 จุดศูนย์กลางมวล 7.2.3 จุดเซนทรอยด์ แบบฝึกหัดตอนที่ 1 7.3 การหาจุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ของวัตถุผสม แบบฝึกหัดตอนที่ 2 7.4 แรงกระทาเป็นบริเวณ 7.4.1 ชนิดของคาน 7.4.2 แรงกระทาเป็นบริเวณ แบบฝึกหัดตอนที่ 3 วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว ผู้เรียนควรมีความรู้และทักษะดังนี้ 1. สามารถหาจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่และปริมาตรได้ 2. สามารถหาจุดเซทรอยด์ของพื้นที่ของวัตถุผสมได้ 3. สามารถหาแรงกระทาเป็นบริเวณที่กระทากับคานได้ 4. สามารถหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานที่มีแรงกระทาเป็นบริเวณได้ วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ผู้สอนนาเข้าสู่บทเรียนโดยการสอบถามถึงความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วงและ จุดเซนทรอยด์ 2. เฉลยความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์และนาเข้าสู่เนื้อหา 3. ให้ผู้เรียนสอบถามข้อสงสัยในประเด็นที่ยังไม่เข้าใจ 4. แบ่งกลุ่มทาแบบฝึกหัดเพื่อทบทวนความรู้ 5. แบ่งกลุ่มปฏิบัติตามใบงานที่ 12-13 6. มอบหมายงานเพื่อให้ทาเป็นการบ้านเพื่อเพิ่มพูนความรู้ 7. แบบทดสอบ 8. เฉลยคาตอบแบบฝึกหัด 9. เฉลยคาตอบแบบทดสอบ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทนิ พลบูรณ์

218 สถิตยศาสตร์ สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาสถิตยศาสตร์ บทที่ 7 เรื่อง จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 2. โปรแกรม Microsoft Word ใช้ประกอบการบรรยายเนื้อหา 3. เครื่องคอมพิวเตอร์ 4. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ 5. ใบงานที่ 12-13 การวัดและการประเมินผล การวัดผล 1. สังเกตการเข้าร่วมกิจกรรมกลุ่มทาแบบฝึกหัด 2. จากการทาแบบฝึกหัด 3. จากการปฏิบัติตามใบงาน 4. จากการทาแบบทดสอบ การประเมินผล 1. ทากิจกรรรมได้แล้วเสร็จตามที่กาหนด 2. ทาแบบฝึกหัดได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์ 3. ปฏิบัติตามใบงานได้สาเร็จตามเวลา 4. ทาแบบทดสอบท้ายบทเรียนได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 219

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 7.1 บทนา

ในบทนี้กล่าวถึงการหาจุดศูนย์ถ่วง (center of gravity) จุดศูนย์กลางมวล (center of mass) และจุดเซนทรอยด์ (centroid) ของวัตถุ ทั้งในกรณีของวัตถุเชิงเดี่ยวและวัตถุผ สม โดยการหา จุ ด เซนทรอยด์จ ะรวมการหาจุ ด เซนทรอยด์ ข องเส้ น ของพื้น ที่ และ ของปริ มาตร ของวั ตถุ ใ ดๆ ในท้ายสุดกล่าวถึงการหาแรงกระทาเป็นบริเวณ (distributed load) ที่เกิดขึ้นกับคาน โดยจะกล่าวถึง การหาแรงรวมที่เกิดจากแรงกระทาเป็นบริเวณพร้อมทั้งหาตาแหน่งของแรงรวมที่ได้ และสามารถหา แรงปฏิกิริยาทีจ่ ุดรองรับของคานได้โดยอาศัยสมการสมดุล

7.2 การหาจุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์

7.2.1 จุดศูนย์ถ่วง วัตถุประกอบด้วยการรวมกันของอนุภาคจานวนมากโดยแต่ละอนุภาคมีน้าหนักเท่ากับ dW ดังรูปที่ 7.1(ก) และน้าหนักรวมของวัตถุจะผ่านจุดที่เรียกว่า จุดศูนย์ถ่วง (center of gravity) G ดังรูปที่ 7.1(ข) หาผลรวมของแรงในแนวแกน z จะได้    FR   Fz ;

W   dW

หาตาแหน่งของจุดศูนย์ถ่วงวัดจากแกน y โดยการหาโมเมนต์ของน้าหนัก W รอบ แกน y จากรูปที่ 7.1(ข) ให้เท่ากับโมเมนต์ของน้าหนักของทุกๆอนุภาคหมุนรอบแกนเดียวกัน ถ้า น้าหนักของแต่ละอนุภาค dW ตั้งอยู่ที่ตาแหน่ง ~x , ~y , ~z  ดังรูปที่ 7.1(ก) จะได้ M R y   M y ; xW   ~ x dW ในลักษณะเดียวกัน โมเมนต์รวมหมุนรอบแกน x จะได้ M R x   M x ; yW   ~ y dW ขั้นตอนสุดท้าย ลองจินตนาการว่าหมุนระบบไป 90  รอบแกน y ดังรูปที่ 7.1(ค) ผลรวมของโมเมนต์หมุนรอบแกน y จะได้ M R y   M y ; zW   ~ z dW ดังนั้น จะได้ตาแหน่งของจุดศูนย์ถ่วง G ตามแนวแกน x, y และ z เป็น

 x dW x  dW ~

โดยที่ x , y, z ~ x, ~ y, ~ z

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

 y dW y  dW ~

~ z dW  z  dW

(7.1)

คือ ระยะของจุดศูนย์ถ่วง G คือ ระยะของจุดศูนย์ถ่วงของแต่ละอนุภาคของวัตถุ

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

220 สถิตยศาสตร์

(ก) อนุภาคของวัตถุ

(ข) จุดศูนย์ถ่วงของวัตถุ

(ค) หมุนวัตถุรอบแกน y รูปที่ 7.1 การหาจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุ 7.2.2 จุดศูนย์กลางมวล ในการศึกษาผลที่เกิดจากพลศาสตร์ (dynamics response) หรือการเคลื่อนที่ด้วย ความเร่งของวัตถุ มีความจาเป็นต้องหาตาแหน่งของจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ (body’s center of mass, Cm ) ดังรูปที่ 7.2 หาได้โดยการแทนค่า dW  g dm ลงในสมการ (7.1) เนื่องจาก g เป็นค่าคงที่ จึงลดรูปสมการได้เป็น

 x dm x  dm ~

 y dm y  dm ~

~ z dm  z  dm

(7.2)

รูปที่ 7.2 การหาจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 221 7.2.3 จุดเซนทรอยด์ 1) จุดเซนทรอยด์ของปริมาตร ถ้าวัตถุดังรูปที่ 7.3 ทามาจากวัสดุชนิดเดียวกันที่มีความหนาแน่น  คงที่ ดังนั้น ปริมาตรขนาดเล็กๆ d V จะมีมวลเป็น d m   d V แทนค่านี้ลงในสมการ (7.2) สามารถหา ตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์ C ของวัตถุได้เป็น x

 ~x dV  dV

y

 ~y dV  dV

z

 ~z dV  dV

(7.3)

รูปที่ 7.3 การหาจุดเซนทรอยด์ของปริมาตร 2) จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ ถ้ า พื้ น ที่ ว างอยู่ ใ นระนาบ x-y และขอบเขตอยู่ ใ นเส้ น โค้ ง y  f x  ดังรูปที่ 7.4(ก) สามารถหาจุดเซนทรอยด์ได้โดยการอินทิเกรตสมการ(7.3) และจัดรูปใหม่ จะได้เป็น ~ x dA  x  dA

~ y dA  y  dA

(7.4)

การอินทิเกรตทาได้โดยการอิน ทิเกรตหนึ่งตัวแปรเมื่อพื้นที่เล็กๆอยู่ในพิกัดฉาก ตัวอย่างเช่น ถ้าพื้นที่เล็กๆวางในแนวตั้ งดังรูปที่ 7.4(ข) พื้นที่ของชิ้นส่วนนี้หาได้จาก d A  y d x และ จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่อยู่ที่ตาแหน่ง ~x  x และ ~y  y / 2 ถ้าหากพิจารณาพื้นที่ในแนวนอน ดังรูปที่ 7.4(ค) จะได้ d A  x d y และจุดเซนทรอยด์ ของพื้นที่อยู่ที่ตาแหน่ง ~x  x / 2 และ ~ yy

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

222 สถิตยศาสตร์

(ก) จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่

(ข) พื้นที่อินทิเกรตวางในแนวตั้ง

(ค) พื้นที่อินทิเกรตวางในแนวนอน รูปที่ 7.4 การหาจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ 3) จุดเซนทรอยด์ของเส้น เมื่อเส้นวางอยู่ในระนาบ xy และอธิบายเส้นนี้ด้วยฟังก์ชันเส้นโค้ง ดังรูปที่ 7.5(ก) สามารถหาจุดเซนทรอยด์ได้จาก x

dL

 ~x dL  dL

y

 ~y dL  dL

y  f x 

(7.5)

ในที่ นี้ ความยาวของชิ้ น ส่ ว นเล็ ก ๆหาได้ โ ดยอาศั ย ทฤษฎี ปิ ท าโกรั ส , d x 2  d y 2 สามารถเขียนได้ดังสมการ 2

2

 dx   dy  d L    dx 2    dx 2  dx   dx  2   dy     1   dx  dx     

หรือ 2

2

 dy   dx  d L    dy 2    dy 2  dy   dy 

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 223     

2   dx     1  dy   dy  

สามารถเลือกใช้ได้รูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง สาหรับการประยุกต์นั้นควรจะ เลื อ กรู ป แบบที่ ท าการอิ น ทิ เ กรตได้ อ ย่ า งง่ า ยจะเหมาะสมกว่ า ตั ว อย่ า งเช่ น พิ จ ารณาเชื อ ก ในรู ป ที่ 7.5(ข) ที่ อ ธิ บ ายด้ ว ยฟั ง ก์ ชั น y  2 x 2 ,ความยาวของชิ้ น ส่ ว นเท่ า กั บ 2 2 d L  1 dy / dx  dx , และเนื่องจาก dy / dx  4 x ดังนั้น จะได้ d L  1 4 x  dx จุดเซนทรอยด์ของเชือกเส้นนี้อยู่ที่ตาแหน่ง ~x  x และ ~y  y

(ก) ตาแหน่งจุดเซนทรอยด์ของเส้น

(ข) การเลือกรูปแบบการอินทิเกรต รูปที่ 7.5 การหาจุดเซนทรอยด์ของเส้น

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

224 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 7.1 จงหาจุดเซนทรอยด์ของส่วนของเส้นโค้งที่แสดงดังรูปที่ 7.6

รูปที่ 7.6 ประกอบตัวอย่างที่ 7.1 วิธีทา

โดยในที่นี้เลือกใช้พิกัดเชิงขั้วในการแก้ปัญหาเนื่องจากรูปร่างมีลักษณะเป็นเส้นโค้ง ขนาดของชิ้นส่วน ชิ้นส่วนเล็กๆของเส้นโค้งที่เลือกแสดงดังรูปที่ 7.6 โดยที่ชิ้นส่วนนี้มีตาแหน่ง อยู่ที่จุด R,  ความยาวและระยะของโมเมนต์ ความยาวของชิ้นส่วนเล็กๆที่เลือกมีค่า dL  R d และจุด เซนทรอยด์อยู่ตาแหน่ง ~x  R cos และ ~y  R sin  การอินทิเกรต, ประยุกต์ใช้สมการ (7.5) และทาการอินทิเกรต จะได้

 x dL d L ~

x

 /2



 R cos  R d 0

 /2

 R d 0

 /2

R2 

  cos   d 0

 /2

R

 d 0

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

x

2R

y

 ~y dL d L



Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 225  /2



 R sin   R d 0

 /2

 R d 0

 /2

  sin   d

R2 

0

R

 /2

 d 0

y

ตัวอย่างที่ 7.2 จงหาระยะ

y

2R

Ans.



ที่วัดจากแกน x ถึงจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังรูปที่ 7.7

รูปที่ 7.7 ประกอบตัวอย่างที่ 7.2 วิธีทา

ขนาดของชิ้นส่วน พิจารณาพื้นที่ของชิ้นส่วนที่มีความหนาเท่ากับ dy และอยู่ที่ตาแหน่งตรง ปลายที่จุด x, y  ดังรูปที่ 7.7 พื้ น ที่ แ ล ะ ร ะ ย ะ ก า ร เ กิ ด โ ม เ ม น ต์ พื้ น ที่ ข อ ง ชิ้ น ส่ ว น ข น า ด เ ล็ ก ๆ เ ท่ า กั บ b y  y ที่วัดจากแกน x dA  x dy  h  y dy และจุดเซนทรอยด์อยู่ที่ตาแหน่ง ~ h

การอินทิเกรต ประยุกต์ใช้สมการ (7.4) และอินทิเกรตเทียบกับตัวแปร y จะได้

 y dA y  dA ~

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

226 สถิตยศาสตร์ b

h





 y  h h  y dy  0

h

 h h  y dy b

0

1 2 bh  6 1 bh 2 h  3

Ans.

ตัวอย่างที่ 7.3 จงหาจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่หนึ่งในสี่ของวงกลมดังรูปที่ 7.8

รูปที่ 7.8 ประกอบตัวอย่างที่ 7.3 วิธีทา

ขนาดของพื้นที่ พิกัดเชิงขั้ว ถูกนามาพิจารณาเนื่องจากขอบเขตของรูปร่างเป็นวงกลม โดย เลือกชิ้นส่วนให้มีรูปร่างเป็นแบบสามเหลี่ยมดังรูปที่ 7.8 และชิ้นส่วนมีจุดรวมอยู่ที่จุด R,  พื้นที่และระยะการเกิดโมเมนต์ พื้นที่ของชิ้นส่วนที่เลือก หาได้จาก d A

2 1 R Rd   R d 2 2

และใช้ผลลัพธ์ที่ได้จากตัวอย่างที่ 7.2 ในการหาจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่สามเหลี่ยม จะได้ ชิ้นส่วนที่เลือกมีจุดเซนทรอยด์อยู่ที่ตาแหน่ง ~x  2 R cos และ ~y  2 R sin  3

3

การอินทิเกรต ประยุกต์ใช้สมการ (7.4) และอินทิเกรตเทียบกับตัวแปร  จะได้ว่า

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 227 x

 ~x d A A

d A A

 /2



 0

2 R d  R cos   3  2  /2 R2 0 2 d 2

 /2



2   R   cos  d 3  0  /2

 d 0

4R  3 ~ A y d A y d A

Ans.

A

 /2



 0

2 R d  R sin   3  2  /2 R2 0 2 d 2

 /2



2   R   sin  d 3  0  /2

 d 0

4R  3

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

228 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 7.4 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งดังรูปที่ 7.9

(ก) เลือกพื้นที่ในแนวตั้ง (ข) เลือกพื้นที่ในแนวนอน รูปที่ 7.9 ประกอบตัวอย่างที่ 7.4 วิธีทา

วิธีที่หนึ่ง ขนาดของชิ้นส่วน ชิ้นส่วนขนาดเล็กๆที่มีความหนาเท่ากับ dx แสดงดังรูปที่ 7.9(ก) โดยชิ้นส่วนสัมผัสกับผิวโค้งที่จุด x, y  และมีความสูงเท่ากับ y พื้นที่และระยะการเกิดโมเมนต์ พื้นที่ของชิ้นส่วนเล็กๆมีค่าเท่ากับ dA  y dx และมี จุดเซนทรอยด์อยู่ที่จุด ~x  x และ ~y  y / 2 การอินทิเกรต ประยุกต์ใช้สมการ (7.4) และอินทิเกรตเทียบกับตัวแปร x จะได้ x

 ~x d A A

d A

A 1m



 xydx

0 1m

 ydx 0

1m

 x dx 3

 10m

x

2

dx

0



0.250 0.333

 0.75 m

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 229

 y dA  dA ~

y

1m



  y / 2ydx 0

1m

 ydx 0

 x



1m



2

/ 2 x 2 dx

0

1m

x

2

dx

0

0.100 0.333  0.3 m 

Ans.

วิธีที่สอง ขนาดของชิ้นส่วน ชิ้นส่วนขนาดเล็กๆที่มีความหนาเท่ากับ dy แสดงดังรูปที่ 7.9(ข) โดยชิ้นส่วนสัมผัสกับผิวโค้งที่จุด x, y  และมีความยาวเท่ากับ 1  x  พื้นที่และระยะการเกิดโมเมนต์ พื้นที่ของชิ้นส่วนเล็กๆมีค่าเท่ากับ dA  1  xdy และมีจุดเซนทรอยด์อยู่ที่จุด ~x  x   1  x   1  x และ ~y  y  2 

2

การอินทิเกรต ประยุกต์ใช้สมการ (7.4) และอินทิเกรตเทียบกับตัวแปร จะได้ x

 ~x d A A

d A

A 1m



 [1  x  / 2]1  x dy 0

1m

 1  x dy 0



1 2

1m

 1  y dy 0

 1 

1m



y dy

0

0.250  0.333  0.75 m ~ y dA  y  dA

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

230 สถิตยศาสตร์ 1m



 y1  x dy 0 1m

 1  x dy 0

 y  y dy

1m

3/ 2



0 1m

 1 



y dy

0

0.100 0.333  0.3 m



ตัวอย่างที่ 7.5 จงหาจุดเซนทรอยด์

y

Ans.

ของปริมาตรที่เกิดจากการหมุนกราฟพาราโบลาหนึ่งรอบดังรูปที่ 7.10

รูปที่ 7.10 ประกอบตัวอย่างที่ 7.5 วิธีทา

ขนาดของชิ้นส่วน เลือกขนาดของชิ้นส่วนเล็กๆที่มีรูปร่างเป็น แผ่นจานบางๆ (thin disk) ที่มี ความหนาเท่ากับ dy โดยที่แผ่ นจานนี้ สัมผั สกับ ผิวโค้งที่จุด 0, y, z  และ รัศมีแผ่ นจานเท่ากับ rz

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 231 ปริ ม าตรและระยะการเกิ ด โมเมนต์ ปริ ม าตรของชิ้ น ส่ ว นเล็ ก ๆที่ เ ลื อ กมี ค่ า เท่ า กั บ dV   z 2 dy และมีจุดเซนทรอยด์อยู่ที่จุด ~ yy การอินทิเกรต ประยุกต์สมการที่สองของสมการ (7.3) และอินทิเกรตเทียบกับตัวแปร y จะ ได้

 y dV ~

y

V

 dV

V 100 mm

 y  z dy 2



0 100 mm

  z dy 2

0

100

100 mm

 100

y

2

dy

0 100 mm

 y dy 0

 66.7 mm

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

232 สถิตยศาสตร์

แบบฝึกหัดตอนที่ 1

7.1 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์

x

และ

y

ของพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งดังรูปที่ 7.11

รูปที่ 7.11 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.1 7.2 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์

x

และ

y

ของพื้นที่เหนือเส้นโค้งดังรูปที่ 7.12

รูปที่ 7.12 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.2

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 233 7.3 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์

x

ของพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งดังรูปที่ 7.13

รูปที่ 7.13 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.3 7.4 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์

y

ของปริมาตรที่หมุนรอบแกน y ดังรูปที่ 7.14

รูปที่ 7.14 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.4

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

234 สถิตยศาสตร์ 7.5 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์

x

และ

y

ของพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งดังรูปที่ 7.15

รูปที่ 7.15 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.5 7.6 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์ในพิกัด x และ y ของพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งดังรูปที่ 7.16 โดย เขียนให้อยู่ในรูปของ a และ b

รูปที่ 7.16 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.6

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 235

7.3 การหาจุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ของวัตถุผสม

วัตถุผ สม (composite body) เป็น วัตถุที่ป ระกอบขึ้นจากวัตถุที่มีรูป ร่ างพื้นฐาน เช่น สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และ วงกลม เป็นต้น โดยสามารถแบ่งวัตถุชนิดนี้ออกเป็นชิ้นส่วนต่างๆได้ ถ้า ทราบน้าหนักและจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุเหล่านั้น สามารถหาจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุผสมได้โดยใช้สมการ (7.1) นามาเขียนให้อยู่ในรูป  ~x W  ~y W  ~z W (7.6) y z x

W

W

W

โดยที่

เป็นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง G ของวัตถุผสม เป็นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง G ของแต่ละส่วนประกอบของวัตถุผสม W เป็นผลรวมของน้าหนักของวัตถุผสมทั้งหมด เมื่ อ วั ต ถุ มี ค วามหนาแน่ น หรื อ น้ าหนั ก จ าเพาะคงที่ จุ ด เซนทรอยด์ ข องวั ต ถุ ไ ม่ ว่ า จะเป็ น จุดเซนทรอยด์ของเส้น จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ จุดเซนทรอยด์ของปริมาตร สามารถหาได้โดยอาศัย สมการ (7.6) โดยแทนที่ W ด้วย L, A และ V , ตามลาดับ โดยจุดเซนทรอยด์ของวัตถุที่มีรูปร่าง พื้นฐานหาได้จากภาคผนวก ง x , y, z ~ x, ~ y, ~ z

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

236 สถิตยศาสตร์ ตัวอย่างที่ 7.6 จงหาจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ที่ไม่ได้แรเงาที่มีขนาดดังรูปที่ 7.17

รูปที่ 7.17 ประกอบตัวอย่างที่ 7.6 วิธีทา

ทาการแยกส่วนประกอบออกเป็น 4 รูป แสดงดังรูปที่ 7.18 โดยจุดเซนทรอยด์ของแต่ละรูปหา ได้จากภาคผนวก ง ข้อสังเกต จะพบว่าพื้นที่ของรูปที่แรเงา (หมายเลข 3 และ 4 ) จะมีเครื่องหมาย เป็นลบแสดงดังตารางด้านล่าง

รูปที่ 7.18 การแยกชิ้นส่วนประกอบตัวอย่างที่ 7.6

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 237 ชิ้นส่วน 1 2 3 4 รวม

A

~ x

~ y

~ xA

~ yA

in 2

in

in

in 3

in 3

120 30 -14.14 -8 127.9

6 14 6 12

5 10/3 1.273 4

720 420 -84.8 -96 959

600 100 -18 -32 650

ประยุกต์ใช้สมการ (7.6) จะได้ ~  xA  x      A    ~y A  y   A  

x

959  7.50 in 127.9

Ans.

y

650  5.08 in 127.9

Ans.

ตัวอย่างที่ 7.7 จงหาจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ที่แรเงาดังรูปที่ 7.19

รูปที่ 7.19 ประกอบตัวอย่างที่ 7.7 วิธีทา

ทาการแยกส่วนประกอบออกเป็น 3 รูปแสดงดังรูปที่ 7.20 (ก) และ (ข) โดยจุดเซนทรอยด์ของ แต่ละรูปหาได้จากภาคผนวก ง ข้อสังเกต จะพบว่าพื้นที่ของรูปหมายเลข 3 จะมีเครื่องหมายเป็นลบ แสดงดังตารางด้านล่าง

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

238 สถิตยศาสตร์

(ก) ชิ้นส่วนพื้นที่เป็นบวก

(ข) ชิ้นส่วนพื้นที่เป็นลบ รูปที่ 7.20 การแยกชิ้นส่วนประกอบตัวอย่างที่ 7.7 ชิ้นส่วน 1 2 3 รวม

A

~ x

~ y

~ xA

~ yA

m2

m

m

m3

m3

4.5 9 -2 11.5

1 -1.5 -2.5

1 1.5 2

4.5 -13.5 5 -4

4.5 13.5 -4 14

ประยุกต์ใช้สมการ (7.6) จะได้

~  xA   x     A    ~y A  y   A  

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

x

4  0.348 m 11.5

Ans.

y

14  1.22 m 11.5

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 239

แบบฝึกหัดตอนที่ 2

7.7 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์

y

ของพื้นที่ภาคตัดของคานดังรูปที่ 7.21

รูปที่ 7.21 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.7 7.8 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์

y

ของพื้นที่ที่แรเงาดังรูปที่ 7.22

รูปที่ 7.22 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.8

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

240 สถิตยศาสตร์ 7.9 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์

y

ของพื้นที่ที่แรเงาดังรูปที่ 7.23

รูปที่ 7.23 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.9 7.10 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ที่แรเงาดังรูปที่ 7.24

รูปที่ 7.24 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.10

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 241 7.11 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ที่แรเงาดังรูปที่ 7.25

รูปที่ 7.25 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.11 7.12 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ที่แรเงาดังรูปที่ 7.26

รูปที่ 7.26 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.12 7.13 จงหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ที่แรเงาดังรูปที่ 7.27

รูปที่ 7.27 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.13 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

242 สถิตยศาสตร์

7.4 แรงกระทาเป็นบริเวณ

คาน (Beam) เป็นชิ้นส่วนของโครงสร้างที่ต้านทานการเกิดการดัด (bending) เมื่อถูกแรง กระทา เนื่องจากคานมีลักษณะเป็นแท่งยาว ดังนั้น จึงอนุมานได้ว่าแรงจะกระทาในแนวตั้งฉากกับ คานเสมอ ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงแรงภายนอกและแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานเท่านั้น โดยไม่พิจารณา แรงภายในที่เกิดขึ้นกับคาน 7.4.1 ชนิดของคาน คานที่ มี จุ ด รองรั บ และสามารถหาแรงปฏิกิ ริ ยาที่ จุ ด รองรั บ ภายนอกได้ ด้ว ยวิธี ท าง สถิตยศาสตร์จะเรียกว่า คานที่หาคาตอบได้ด้วยวิธีสถิตยศาสตร์ (statically determinate beams) ดังรูปที่ 7.28(ก) ส่วนคานที่มีจุดรองรับมากกว่า สมการสมดุลที่จะนามาใช้ในการแก้ปัญหาได้ จะ เรียกว่า คานที่ไม่สามารถหาคาตอบได้ด้วยวิธีสถิตยศาสตร์ (statically indeterminate beam) ดัง รูปที่ 7.28(ข) ในการหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับของคานนั้นจึงต้องพิจารณาถึงการเสียรูปของคาน เพิ่ ม เติ ม กั บ สมการสมดุ ล ในหั ว ข้ อ นี้ จ ะกล่ า วถึ ง เฉพาะคานที่ ส ามารถหาค าตอบได้ ด้ ว ยวิ ธี ท าง สถิตยศาสตร์เท่านั้น

รูปที่ 7.28 ชนิดของคานในทางสถิตยศาสตร์ นอกจากนี้ คานยั ง แบ่ ง ได้ ต ามชนิ ด ของแรงภายนอกที่ ก ระท า คานดั ง รู ป ที่ 7.28 เรียกว่า คานรับแรงรวม (concentrated load) ส่วนคานดังรูปที่ 7.29 เรียกว่า คานรับแรงกระทา อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 243 เป็นบริเวณ (distributed load) ความหนาแน่นของแรง (intensity) w มีหน่วยเป็นแรงต่อความ ยาวของคาน โดยที่ความหนาแน่นของแรงอาจจะมีค่าคงที่, เปลี่ยนแปลง, ต่อเนื่อง หรือ ไม่ต่อเนื่อง ความหนาแน่นของแรงดังรูปที่ 7.29 จะมีค่าคงที่จาก C ถึง D และ มีการเปลี่ยนแปลงจาก A ถึง C และ D ถึ ง B ความหนาแน่ น ของแรงไม่ ต่ อ เนื่ อ งที่ จุ ด D โดยมี ก ารเปลี่ ย นขนาดอย่ า ง ทันทีทันใด

รูปที่ 7.29 คานที่รับแรงกระทาเป็นบริเวณ 7.4.2 แรงกระทาเป็นบริเวณ ความหนาแน่นของแรงที่มีค่าคงที่หรือมีการเปลี่ยนแปลงเป็นเส้นตรงเป็นกรณีศึกษาที่ ง่ายที่สุด รูปที่ 7.30 แสดงถึงแรงกระทาเป็นบริเวณสามกรณีที่เกิดขึ้นมากที่สุดกับคานและได้แสดงถึง แรงรวมของแรงกระทาเป็นบริเวณในแต่ละกรณีด้วย ในกรณี (ก) และ (ข) ดังรูปที่ 7.30 พบว่าแรงรวม R คือพื้นที่ของความหนาแน่นของ แรง w และ แรงกระทาเป็นบริเวณตลอดความยาว L ของคาน โดยแรงรวมนี้จะกระทาผ่านจุดเซน ทรอยด์ของพื้นที่ของแรงกระทาเป็นบริเวณ ในกรณี (ค) ของรูปที่ 7.30 ได้แบ่งพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นพื้นที่ สี่เหลี่ยมและ พื้นที่สามเหลี่ยมและเกิดแรงรวม R1 และ R2 ที่จุดเซนทรอยด์ของแต่ละพื้นที่ สาหรับกรณีของแรงกระทาเป็นบริเวณทั่วๆไปที่เกิดขึ้นกับคาน ดังรูปที่ 7.31 เริ่มต้น ด้วยการหาขนาดของแรงขนาดเล็กๆ dR  w dx แรงรวม R หาได้ด้วยการรวมขนาดของแรง ขนาดเล็กๆ เขียนอยู่ในรูป R   w dx

จากที่ทราบว่า แรงรวม R จะกระทาที่จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ที่พิจารณา สามารถ หาจุดเซนทรอยด์ในพิกัด x ได้ด้วยหลักการของโมเมนต์ R x   x wdx หรือ เขียนให้อยู่ในรูป x

 x wdx R

เมื่ อ ท าการลดรู ป ของแรงกระท าเป็ น บริ เ วณให้ อ ยู่ ใ นรู ป ของแรงรวม เสมื อ น (equivalent concentrated load) แล้ว แรงปฏิกิริยาภายนอกที่กระทากับคานก็สามารถหาได้โดย อาศัยหลักการวิเคราะห์ทางสถิตยศาสตร์ที่กล่าวไว้ในบทที่ 4 และ บทที่ 5

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

244 สถิตยศาสตร์

(ก) ความหนาแน่นเป็นแบบสี่เหลี่ยม

(ข) ความหนาแน่นเป็นแบบสามเหลี่ยม

(ค) ความหนาแน่นเป็นแบบสี่เหลี่ยมคางหมู รูปที่ 7.30 แรงรวมของแรงกระทาเป็นบริเวณที่กระทากับคาน

รูปที่ 7.31 แรงกระทาเป็นบริเวณทั่วไปที่เกิดขึ้นกับคาน

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 245 ตัวอย่างที่ 7.8 จงหาแรงรวมเสมือนและแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับสาหรับคานที่รับแรงกระทาเป็นบริเวณดังรูป ที่ 7.32

รูปที่ 7.32 ประกอบตัวอย่างที่ 7.8

วิธีทา

พื้นที่ของแรงกระทาเป็นบริเวณถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนคือ พื้นที่สี่เหลี่ยมและพื้นที่สามเหลี่ยม ดังรูปที่ 7.33(ก) โดยแรงเสมือนคือพื้นที่ที่รับแรงและอยู่ที่ตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ที่รับ แรงนั้น เมื่อหาแรงรวมเสมือนของแรงกระทาเป็นบริเวณเรียบร้อยแล้วให้นาแรงที่ได้มาเขียนลงในผัง วัตถุอิสระของคานโดยรวมแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A และ B ไว้ด้วย ดังรู ป ที่ 7.33(ข) จาก หลักการสมดุล จะได้

M

M

A

B

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

 0;

RB 10  12005  4808  0

Ans.

 0;

RB  984 lb 4802  12005  RA 10  0 RA  696 lb

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

246 สถิตยศาสตร์

(ก) การหาแรงรวมของแรงกระทาเป็นบริเวณ

(ข) การหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ รูปที่ 7.33 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 7.8 ตัวอย่างที่ 7.9 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

A

ของคานที่รับแรงดังรูปที่ 7.34

รูปที่ 7.34 ประกอบตัวอย่างที่ 7.9

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 247 วิธีทา

รูปที่ 7.35 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 7.9 ค่ า คงที่ k  2N / m

4

ของแรงที่ ก ระท ากั บ คานหาได้ โ ดยให้ ดังนั้น แรงรวมเสมือน R หาได้จาก

wo  1000 N / m

k

และ จะได้

R   w dx 8





  1000  2 x 3 dx 0

 10048 N

หาระยะของจุดเซนทรอยด์

x

ของแรงรวมที่กระทาได้จาก x

 x wdx

R 8 1  x 1000  2 x 3 dx 10048 0





 4.49 m

หลังจากนั้นนาค่าที่ได้ไปเขียนผังวัตถุอิสระ จะได้ดังรูปที่ 7.35 แล้วหาแรงปฏิกิริยาจะได้

M

A

F

y

 0;  0;

M A  100484.49  0

M A  45115 N  m A y 10048  0 Ay  10048 N

F

x

 0;

Ans.

Ax  0 Ax  0

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

248 สถิตยศาสตร์

แบบฝึกหัดตอนที่ 3

7.14 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

A

และ

B

ของคานที่รับแรงดังรูปที่ 7.36

รูปที่ 7.36 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.14 7.15 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

A

และ

B

ของคานที่รับแรงดังรูปที่ 7.37

รูปที่ 7.37 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.15 7.16 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ รูปที่ 7.38

A

สาหรับคานที่แรงกระทาเป็นบริเวณและแรงรวมดัง

รูปที่ 7.38 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.16

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 249 7.17 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

A

และ

B

ของคานที่รับแรงดังรูปที่ 7.39

รูปที่ 7.39 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.17 7.18 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

A

สาหรับคานที่รับแรงดังรูปที่ 7.40

รูปที่ 7.40 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.18 7.19 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

A

และ

B

ของคานที่รับแรงดังรูปที7่ .41

รูปที่ 7.41 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 7.19

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

250 สถิตยศาสตร์

บทสรุป 1) จุดศูนย์ถ่วงของวัตถุใดๆหาได้จาก

 x dW  dW ~

x

2) จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุใดๆหาได้จาก

 x dm  dm ~

x

 y dm  dm ~

y

z

 y dW  dW ~

y

z

 ~z dW  dW

 ~z dm  dm

3) จุดเซนทรอยด์ของปริมาตรของวัตถุใดๆหาได้จากสมการ x

 ~x dV  dV

y

 ~y dV  dV

z

 ~z dV  dV

4) จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ของวัตถุที่มีรูปร่างทั่วไปหาได้จาก ~ x dA  x  dA

~ y dA  y  dA

5) จุดเซนทรอยด์ของเส้นของวัตถุใดๆหาได้จาก

x

 ~x dL  dL

6) จุดเซนทรอยด์ของวัตถุผสมหาได้จากสมการ x

 ~x W W

y

 ~y W W

z

y

 ~y dL  dL

 ~z W W

7) การหาแรงรวมเสมือนจากแรงกระทาเป็นบริเวณหาได้จากสมการ R   w dx หรือ เท่ากับพื้นที่ของแรงกระทาเป็นบริเวณนั้นๆ 8) การหาตาแหน่งของแรงรวมเสมือนที่ได้จากแรงกระทาเป็นบริเวณหาได้จาก x

 x wdx R

หรือ เท่ากับ จุดเซนทรอยด์ของรูปร่างของแรงกระทาเป็นบริเวณนั้นๆ

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 251

แบบทดสอบบทที่ 7

7.1 จงหาจุดเซนทรอยด์ x, y  ของพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งดังรูปที่ 7.42

รูปที่ 7.42 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.1 7.2 จงหาจุดเซนทรอยด์ x, y  ของพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งดังรูปที่ 7.43

รูปที่ 7.43 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

252 สถิตยศาสตร์ 7.3 จงหาจุดเซนทรอยด์

y

ของพื้นที่หน้าตัดของคานคอนกรีตดังรูปที่ 7.44

รูปที่ 7.44 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.3 7.4 จงหาจุดเซนทรอยด์ x, y  ของพื้นที่ที่แรเงาดังรูปที่ 7.45

รูปที่ 7.45 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.4

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 7 จุดศูนย์ถ่วงและจุดเซนทรอยด์ 253 7.5 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

A

และ

B

ของคานที่รับแรงดังรูปที่ 7.46

รูปที่ 7.46 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.5 7.6 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

A

และ

B

ของคานที่รับแรงดังรูปที่ 7.47

รูปที่ 7.47 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.6 7.7 จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ

A

และ

B

ของคานที่รับแรงดังรูปที่ 7.48

รูปที่ 7.48 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 7.7

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

254 สถิตยศาสตร์

เอกสารอ้างอิง

มนตรี พิรุณเกษตร. (2554). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. วีระศักดิ์ กรัยวิเชียร และ คณะ. (2551). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons.

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 8 แรงเสียดทาน หัวข้อเนื้อหา 8.1 บทนา 8.2 แรงเสียดทานระหว่างวัตถุผิวแห้ง 8.2.1 กลไกการเกิดแรงเสียดทานระหว่างวัตถุผิวแห้ง 8.2.2 แรงเสียดทานสถิต 8.2.3 แรงเสียดทานจลน์ 8.2.4 มุมของแรงเสียดทาน 8.2.5 ประเภทของปัญหาเกี่ยวกับแรงเสียดทาน แบบฝึกหัดบทที่ 8 วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว ผู้เรียนควรมีความรู้และทักษะดังนี้ 1. สามารถเขียนผังวัตถุอิสระของแรงเสียดทานได้ 2. สามารถหาแรงเสียดทานที่เกิดขึ้นกับวัตถุได้ 3. สามารถระบุได้ว่าวัตถุอยู่ในสภาวะสมดุลหรือเคลื่อนที่เมื่อมีแรงเสียดทาน วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ผู้สอนนาเข้าสู่บทเรียนโดยการสอบถามถึงความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแรงเสียดทาน 2. เฉลยความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแรงเสียดทานและนาเข้าสู่เนื้อหา 3. ให้ผู้เรียนสอบถามข้อสงสัยในประเด็นที่ยังไม่เข้าใจ 4. แบ่งกลุ่มทาแบบฝึกหัดเพื่อทบทวนความรู้ 5. แบ่งกลุ่มปฏิบัติตามใบงานที่ 14 6. มอบหมายงานเพื่อให้ทาเป็นการบ้านเพื่อเพิ่มพูนความรู้ 7. แบบทดสอบ 8. เฉลยคาตอบแบบฝึกหัด 9. เฉลยคาตอบแบบทดสอบ สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาสถิตยศาสตร์ บทที่ 8 เรื่อง แรงเสียดทาน 2. โปรแกรม Microsoft Word ใช้ประกอบการบรรยายเนื้อหา 3. เครื่องคอมพิวเตอร์ 4. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ 5. ใบงานที่ 14

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทนิ พลบูรณ์

256 สถิตยศาสตร์ การวัดและการประเมินผล การวัดผล 1. สังเกตการเข้าร่วมกิจกรรมกลุ่มทาแบบฝึกหัด 2. จากการทาแบบฝึกหัด 3. จากการปฏิบัติตามใบงาน 4. จากการทาแบบทดสอบ การประเมินผล 1. ทากิจกรรรมได้แล้วเสร็จตามที่กาหนด 2. ทาแบบฝึกหัดได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์ 3. ปฏิบัติตามใบงานได้สาเร็จตามเวลา 4. ทาแบบทดสอบท้ายบทเรียนได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 257

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 8.1 บทนา

ในบทนี้กล่าวถึงกลไกการเกิดแรงเสียดทานระหว่างวัตถุผิวแห้ง (dry friction) ประกอบไปด้วย แรงเสียดทานสถิต (static friction) และแรงเสียดทานจลน์ (kinetic friction) โดยแสดงให้เห็นว่า แรงเสี ย ดทานทั้ ง สองชนิ ด นี้ เ กิ ด ขึ้ น ได้ อ ย่ า งไรและเกิ ด ขึ้ น ในเวลาเดี ย วกั น หรื อ ไม่ เมื่ อ วั ต ถุ เ กิ ด การเคลื่ อ นที่ ห ลั ง จากถู ก แรงกระท า กล่ า วถึ ง ขั้ น ตอนการแก้ ปั ญ หาการเคลื่ อ นที่ ข องวั ต ถุ เ มื่ อ มี แรงเสียดทานเข้ามาเกี่ยวข้อง

8.2 แรงเสียดทานระหว่างวัตถุผิวแห้ง

8.2.1 กลไกการเกิดแรงเสียดทานระหว่างวัตถุผิวแห้ง พิจารณากล่องมีมวล m ถูกวางอยู่บนพื้นราบดังรูปที่ 8.1(ก) สมมุติให้พื้นผิวสัมผัสมี ความหยาบ ทดลองออกแรงในแนวระดับขนาด P โดยเพิ่มค่าของแรงขึ้นเรื่อยๆจากศูนย์จนถึงขนาด ที่ส ามารถท าให้ วั ตถุ นี้ เคลื่ อ นที่ และมี ความเร็ ว ผั งวั ตถุ อิส ระของกล่ องที่ รั บ แรง P แสดงดั ง รูปที่ 8.1(ข) โดยที่แรงเสียดทานในแนวระดับจากพื้นกระทากับกล่องมีค่าเท่ากับ F แรงเสียดทานนี้ กระทากับกล่องในทิศทางตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่เสมอและมีแรงในแนวตั้งฉาก N โดยในกรณีนี้ มีค่าเท่ากับ mg และแรงรวมเท่ากับ R ซึ่งเป็นผลรวมของแรง N และ F พื้นผิวสัมผัสมีความขรุขระแสดงดังรูปที่ 8.1(ค) ช่วยทาให้เกิดความเข้าใจถึงการกระทา ของแรงเสียดทานได้ดียิ่งขึ้น ทิศทางของแรงปฏิกิริยาที่กระทากับกล่อง R1 , R2 , R3 ไม่ได้ขึ้นอยู่กับพื้น ผิ ว สั ม ผั ส เท่า นั้ น แต่ยั งขึ้ น อยู่ กับ การเสี ย รู ป ของแต่ ล ะต าแหน่ ง ของจุ ด สั มผั ส อีก ด้ว ย แรงรวมใน แนวตั้งฉาก N จึงเป็นผลรวมของส่วนประกอบในแนว n ของ R และแรงเสียดทานรวม F จะ เป็นผลรวมของส่วนประกอบในแนว t ของ R จากการทดลองและสามารถเขียนความสัมพันธ์ระหว่างแรงเสียดทาน F ให้อยู่ในรูป ของแรง P จะได้ความสัมพันธ์แสดงดังรูปที่ 8.1(ง) เมื่อแรง P เท่ากับศูนย์ จะอยู่ในสภาวะสมดุล นั่นคือไม่มีแรงเสียดทาน เมื่อแรง P เพิ่มขึ้น, แรงเสียดทานจะมีขนาดเท่ากันแต่มีทิศทางตรงข้ามกับ แรง P ตราบเท่าที่กล่องยังไม่มีการลื่นไถล ซึ่งในช่วงนี้กล่องจะอยู่ในสภาวะสมดุล และแรงที่กระทา กับ กล่ องสามารถหาได้จากสมการสมดุล จนในที่สุ ด เมื่อเพิ่มแรง P จนทาให้ กล่ องลื่ นไถลและ เคลื่อนที่ไปในทิศทางที่แรงกระทา ซึ่งในช่วงนี้จะทาให้แรงเสียดทานลดลงเล็กน้อยและทันทีทันใด และค่อนข้างเกือบคงที่อยู่ช่วงหนึ่ง แต่หลังจากนั้น จะลดลงมากเมื่อความเร็วมีค่าเพิ่มขึ้น

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

258 สถิตยศาสตร์

(ก) การออกแรงดึงวัตถุ

(ข) ผังวัตถุอิสระของการออกแรงดึงวัตถุ

(ค) ความขรุขระของพื้นผิวสัมผัส (ง) ความสัมพันธ์ของแรงเสียดทาน รูปที่ 8.1 กลไกการเกิดแรงเสียดทานระหว่างวัตถุผิวแห้ง 8.2.2 แรงเสียดทานสถิต ช่วงบริเวณตามรูปที่ 8.1(ง) จากเริ่มต้นจนกระทั่งเริ่มเกิดการลื่นไถลถูกเรียกว่าช่วงของ แรงเสียดทานสถิต (static friction) และค่าของแรงเสียดทานในช่วงนี้สามารถหาได้โดยอาศั ยสมการ สมดุ ล ค่ า ของแรงเสี ย ดทานเริ่ ม ตั้ ง แต่ ศู น ย์ ไ ปจนถึ ง ค่ า มากที่ สุ ด โดยจากการทดลองจะพบว่ า แรงเสียดทานมากที่สุด Fmax เป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง N และเขียนให้อยู่ในรูป ได้เป็น Fmax   s N

(8.1)

โดยที่  s เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิต จากสมการ (8.1) อธิบายได้เพียงเฉพาะขอบเขตจากัดหรือค่าของแรงเสียดทานสถิตที่ มากที่สุดและไม่ใช่ค่าที่น้อยที่สุด ดังนั้น สมการนี้ ใช้ได้เฉพาะในกรณีเริ่มเกิดการเคลื่อนที่ด้วยค่าของ แรงเสียดทานที่มากที่สุด สาหรับกรณีของสมดุลสถิตคือยังไม่เกิดการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานสถิตหาได้ จาก F  s N

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 259 8.2.3 แรงเสียดทานจลน์ หลังจากเกิดการลื่นไถล เงื่อนไขของแรงเสียดทานจลน์จะถูกนามาพิจารณาสาหรับการ เคลื่อนที่ โดยทั่วไปแล้ว แรงเสียดทานจลน์มีค่าน้อยกว่าแรงเสียดทานสถิตที่มากที่สุด และสามารถหา แรงเสียดทานจลน์ได้จากสมการ Fk   k N

(8.2)

โดยที่  k เรียกว่า สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์และโดยทั่วไป  k มีค่าน้อยกว่า  s 8.2.4 มุมของแรงเสียดทาน ทิศทางของแรงลัพธ์ R ดังรูปที่ 8.1(ข) วัดเทียบกับแรงในแนวตั้ง N โดยหาได้จาก tan   F / N เมื่อแรงเสียดทานมีค่าเข้าใกล้ค่าสูงสุด Fmax มุม  จะมีค่าสูงสุดเป็น  s ดังนั้น จะ ได้ว่า tans   s

เมื่อวัตถุเกิดการลื่นไถล มุม จลน์ ดังนั้น เขียนสมการได้เป็น



จะมีค่าสูงสุดเป็น  k อันเป็นผลมาจากแรงเสียดทาน

tank   k

โดยที่มุม  s และ  k เรียกว่า มุมของแรงเสียดทานสถิต (angle of static friction) และ มุมของแรงเสียดทานจลน์ (angle of kinetic friction), ตามลาดับ 8.2.5 ประเภทของปัญหาเกี่ยวกับแรงเสียดทาน สามารถแยกประเภทของปั ญหาเกี่ยวกั บแรงเสียดทานระหว่างวัตถุผิวแห้ ง ออกเป็ น 3 ประเภท ซึง่ การแก้ปัญหาในขึ้นตอนแรกจึงต้องทาการแยกประเภทของปัญหาเสียก่อน 1) ปัญหาประเภทที่หนึ่ง ทราบเงื่อนไขของการเริ่มเคลื่อนที่ของวัตถุ ในกรณีนี้วัตถุ เกือบจะเริ่มเกิดการลื่นไถล (slipping) และ แรงเสียดทานจะมีค่าเท่ากับค่าสูงสุดของแรงเสียดทาน Fmax   S N ทั้งนี้สมการสมดุลยังสามารถใช้ในการหาคาตอบได้ 2) ปัญหาประเภทที่สอง ไม่ทราบทั้งเงื่อนไขการเริ่มต้นเคลื่อนที่และเงื่อนไขของการ เคลื่อนที่ของวัตถุ ในการหาแรงเสียดทานที่เกิดขึ้นจริง จึงควรสมมุติให้ วัตถุอยู่ในสภาวะสมดุลแบบ สถิ ต และหลั ง จากนั้ น ท าการหาแรงเสี ย ดทาน F โดยใช้ ส มการสมดุ ล ซึ่ ง มี ค วามเป็ น ไปได้ อ ยู่ 3 แนวทาง คือ (2.1) F  Fmax   s N  : ในที่นี้จะพบว่าแรงเสียดทานที่ได้ยังสามารถทาให้ วัตถุอยู่ในสภาวะสมดุได้ตามที่สมมุติและแรงเสียดทานที่เกิดขึ้นจริง F จะมีค่าน้อยกว่าแรงเสียดทาน สูงสุด Fmax ที่หาได้จากสมการ (8.1) และทั้งนี้ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นกับวัตถุคือแรงเสียดทาน F ที่ หาได้จากการใช้สมการสมดุล นั่นเอง

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

260 สถิตยศาสตร์ (2.2) F  Fmax   s N  : เนื่องจากว่าแรงเสียดทาน F เท่ากับค่าของแรง เสียดทานสูงสุด Fmax ทาให้การเคลื่อนที่เกือบจะเริ่มต้นขึ้น การสมมุติเงื่อนไขของสมดุลแบบสถิตยัง สามารถใช้ได้ (2.3) F  Fmax   s N  : เป็นที่ชัดเจนได้ว่า เงื่อนไขแบบนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ จริง เพราะว่าพื้นผิวไม่สามารถรองรับกับแรงเสียดทานค่าสูงสุด  s N ได้ การสมมุติเงื่อนไขให้อยู่ใน สภาวะสมดุล จึงไม่สามารถใช้ได้ เพราะการเคลื่ อนที่เกิดขึ้น แล้ ว ดังนั้ น แรงเสียดทาน F จึงมีค่า เท่ากับ  k N จากสมการ (8.2) 3) ปัญหาประเภทที่สาม มีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ระหว่างพื้นผิวทั้งสองและทราบ สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ ปัญหาประเภทนี้ สามารถหาแรงเสียดทานได้โดยใช้สมการ (8.2)

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 261 ตัวอย่างที่ 8.1 จงหาช่วงค่าของมวล mo ที่ทาให้กล่องมวล 100 kg ที่แสดงดังรูปที่ 8.2 ไม่เริ่มเคลื่อนที่ขึ้น และลงจากระนาบเอียงนี้ เมื่อกาหนดให้สัมประสิทธ์แรงเสียดทานสถิตสาหรับพื้นผิวสัมผัสเท่ากับ 0.30

รูปที่ 8.2 ประกอบตัวอย่างที่ 8.1 วิธีทา

(ก) กล่องเคลื่อนที่ขึ้น (ข) กล่องเคลื่อนที่ลง รูปที่ 8.3 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 8.1 1) มวล mo มีค่ามากที่สุดเมื่อ กล่องเคลื่อนที่ขึ้นไปตามพื้นเอียง แรงเสียดทานที่กระทากับ กล่องจึงมีทิศทางลงมาตามพื้นเอียง แสดงดังผังวัตถุอิสระรูป ที่ 8.3 (ก) โดยที่น้าหนักของกล่องหาได้ จาก mg  1009.81  981 N จากสมการสมดุล จะได้    Fy  0 ;

N  (981 ) cos 20  0

N  922 N

Fmax   s N  0.30922  277 N 

  Fx  0 ;

mo 9.81  277  981sin 20   0

mo 9.81  612.52  0 mo  62.4 kg

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

262 สถิตยศาสตร์ 2) มวล mo มีค่าน้อยที่สุดเมื่อกล่องเคลื่อนที่ลงมาตามพื้นเอียง แรงเสียดทานที่กระทากับ กล่องจึงมีทิศทางขึ้นไปตามพื้นเอียง แสดงดังผังวัตถุอิสระรูปที่ 8.3 (ข) จากสมการสมดุล จะได้ว่า 

mo 9.81  277  981sin 20   0

  Fx  0 ;

mo 9.81  58.52  0 mo  5.96 kg

ดังนั้น มวล พื้นเอียงได้

mo

Ans.

จะมีค่าอยู่ในช่วง 5.96 kg ถึง 62.4 kg จะทาให้กล่องมวล 100 kg อยู่นิ่งกับ

ตัวอย่างที่ 8.2 กล่องดังรูปที่ 8.4 มีมวล 20 kg ถ้ามีแรง P  80 N กระทากับกล่อง จงหาแรงเสียดทาน และระยะของแรงในแนวตั้ ง ฉากกระทาเพื่อ ให้ ก ล่ องอยู่ ในสภาวะสมดุล ก าหนดให้ สั ม ประสิ ท ธิ์ ความเสียดทาน  s  0.3

รูปที่ 8.4 ประกอบตัวอย่างที่ 8.2 วิธีทา

เขียนผังวัตถุอิสระ จากรูปที่ 8.5 พบว่าแรงปฏิกิริยาในแนวตั้ง N C กระทาเป็นระยะทาง x จากจุดศูน ย์ถ่ว งเพื่อป้องกัน การลื่ นไถลเนื่องจากแรง P ที่กระทา และ น้ าหนักของกล่ องเท่ากับ mg  209.81  196.2 N ดังนั้น ตัวแปรที่ไม่ทราบค่า F, N C และ x ค่าหาได้จากสมการสมดุล สมการสมดุล 

  Fx  0 ;

80 cos 30 N  F  0 F  69.3 N

   Fy  0 ;

N C  80 sin 30 N  196.2 N  0 N C  236 N

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 263

รูปที่ 8.5 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 8.2

M

O

 0;

N C x   80 sin 30 N 0.4 m  80 cos 30 N 0.2 m  0

236 x   16  13.856  0 x  0.00908 m  9.08 mm

เนื่องจากระยะ x เป็นลบ แสดงว่า แรงปฏิกิริยาในแนวตั้ง N C จะกระทาที่ตาแหน่งด้านซ้าย ของจุดศูนย์ถ่วง จึงจะไม่เกิดการลื่นไถล เนื่องจาก x  0.4 m ดังนั้น แรงเสียดทานสูงสุดที่จะเกิดขึ้น ที่ผิ ว สั ม ผั ส เท่ า กั บ Fmax   s N C  0.3236 N   70.8 N แต่ เ นื่ อ งจาก F  69.3 N  70.8 N ดังนั้น กล่องจึงไม่เกิดการลื่นไถล ตัวอย่างที่ 8.3 ออกแรง 100 lb กระทากับกล่องที่มีน้าหนัก 300 lb ดังรูปที่ 8.6 โดยที่สัมประสิทธิ์ของแรง เสียดทานระหว่างพื้นผิวสัมผัสเท่ากับ  s  0.25 และ  k  0.20 จงหาแรงเสียดทานที่ทาให้กล่อง อยู่ในสภาวะสมดุล

รูปที่ 8.6 ประกอบตัวอย่างที่ 8.3

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

264 สถิตยศาสตร์ วิธีทา

เขียนผังวัตถุอิสระ ในตอนแรกจะหาแรงเสียดทานที่ทาให้กล่องอยู่ในสภาวะสมดุล จึงสมมุติให้ แรงเสียดทาน F มีทิศทางลงมาตามพื้นเอียง แสดงดังรูปที่ 8.7 (ก)

(ก) สมมุติให้กล่องเคลื่อนที่ขึ้น (ข) หลังคานวณกล่องเคลื่อนที่ลง รูปที่ 8.7 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 8.3 สมการสมดุล จะได้ 

F

x

 0 ; 100 lb 

3 300 lb   F  0 5 F  80 lb F  80 lb



F

y

 0;

N

4 300 lb   0 5 N  240 lb N  240 lb

แรงเสียดทาน F ที่ทาให้กล่ องอยู่ในสภาวะสมดุลมีค่าเท่ากับ 80 lb ในทิศทางขึ้นไปตาม พื้นเอียงทางด้านขวา นั่นหมายความว่า กล่องจะเคลื่อนที่ลงมาตามพื้นเอียง หาแรงเสียดทานสูงสุด ขนาดของแรงเสียดทานสูงสุดหาได้จากสมการ Fmax   s N  0.25240 lb   60 lb

เนื่องจากว่าแรงเสียดทานที่ทาให้กล่องอยู่ในสภาวะสมดุลเท่ากับ 80 lb ซึ่งมากกว่าค่าของแรง เสียดทานสูงสุดที่จะเกิดขึ้นคือ 60 lb ดังนั้น สภาวะสมดุลจึงไม่มีอยู่จริง ซึ่งหมายความว่ากล่องจะ เคลื่อนที่ลงมาตามพื้นเอียง หาแรงเสียดทานที่เกิดขึ้นจริง ขนาดของแรงเสียดทานที่เกิดขึ้นจริงหาได้จาก Factual   k N  0.20240 lb   48 lb

เนื่องจากกล่องน้าหนัก 300 lb เคลื่อนที่ลงมาตามพื้นเอียง ดังนั้น ทิศทางของแรงเสียดทานที่ เกิดขึ้นจริงจึงมีทิศทางขึ้นไปตามพื้นเอียงดังรูปที่ 8.7 (ข) และมีขนาดเท่ากับ Factual  48 lb

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 265 ตัวอย่างที่ 8.4 บันไดมวล 10 kg ดังรูปที่ 8.8 ถูกวางพาดไว้กับผนังผิวเรียบที่จุด B ส่วนที่จุด A ในแนวระดับ ผนั ง ผิ ว หยาบที่ มีสั ม ประสิ ทธิ์แ รงเสี ย ดทานสถิต  s  0.3 จงหามุ มเอี ยงของบั น ได  และแรง ปฏิกิริยาที่กระทากับบันไดที่จุด B เมื่อบันไดเกือบจะลื่นไถล

รูปที่ 8.8 ประกอบตัวอย่างที่ 8.4 วิธีทา

รูปที่ 8.9 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 8.4 เขียนผังวัตถุอิสระ จากรูปที่ 8.9 จะพบว่าแรงเสียดทาน FA มีทิศทางกระทาไปทางด้านขวา เนื่องจากบันไดที่จุด A จะลื่นไถลไปทางด้านซ้าย สมการสมดุล เนื่องจากบันไดเกือบจะลื่นไถล ดังนั้น FA   s N A  0.3 N A สามารถหา N A ได้จากสมการ    Fy  0 ;

N A  109.81 N  0

N A  98.1 N

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

266 สถิตยศาสตร์ จาก

แทนค่ า

N A  98.1 N 

จะได้

  Fx  0 ;

FA   s N A  0.398.1 N   29.43 N

และหา

NB

ได้

29.43 N  N B  0

N B  29.43 N  29.4 N

Ans.

สุดท้าย หามุม  ได้จากการรวมโมเมนต์หมุนรอบจุด A จะได้

M

A

 0;

(29.43 N )4 msin   [109.81 N ]2 mcos   0 (117.72 ) sin   (196.2) cos   0 (117.72 ) sin   (196.2) cos  196.2 tan   117.72  1.6667   tan 1 1.6667

 59.04   59.0

Ans.

ตัวอย่างที่ 8.5 วงล้อไม้มีมวล 200 kg ถูกวางอยู่บนพื้นคอนกรีตและพิงอยู่กับผนังอิฐบล็อกดังรูปที่ 8.10 ถ้า กาหนดให้สัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตที่จุด A และ B เท่ากับ  s A  0.4 และ  s B  0.5 ตามลาดับ จงหาแรง P ต่าที่สุดที่ทาให้วงล้อไม้เกิดการหมุน

รูปที่ 8.10 ประกอบตัวอย่างที่ 8.5

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 267 วิธีทา

รูปที่ 8.11 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 8.5 เขียนผังวัตถุอิสระ จากรูปที่ 8.11 ผังวัตถุอิสระของวงล้อไม้ จะพบว่า มีแรงไม่ทราบค่าอยู่ ทั้งหมด 5 ตัวแปร คือ P, N A , N B , FA และ FB ซึ่งสามารถหาได้โดยใช้สมการสมดุล 3 สมการ และ สมการของแรงเสียดทานที่จุด A และ B สมการสมดุลและสมการแรงเสียดทาน จากสมการสมดุล จะได้ว่า  (1) FB  N A  0   Fx  0 ; (2)    Fy  0 ; P  N B  FA  2009.81 N  0 (3) FA 0.4 m  FB 0.4 m  P0.1m  0  M G  0; จากสมการแรงเสียดทาน F   s N จะได้ว่า (4) FA  ( s ) A N A  0.4 N A (5) FB  ( s ) B N B  0.5 N B แทน FB  0.5 N B ลงในสมการ (1) จะได้ 0.5 N B  N A  0

N A  0.5 N B

แทน

FA  0.4 N A

แทน

FA  0.4 N A

ลงในสมการ (2) จะได้

(6)

P  N B  0.4 N A  2009.81  0

(7)

และ FB  0.5 N B ลงในสมการ (3) จะได้ 0.4 N A 0.4 m  0.5 N B 0.4 m  P0.1m  0 0.16 N A  0.20 N B  0.1  P  0

(8)

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

268 สถิตยศาสตร์ คูณสมการ (7) ด้วย 0.1 ตลอดสมการ จะได้ 0.1P  0.1N B  0.04 N A  196.2  0 ทาการบวกสมการ (8) และ (9) จะได้ (0.20) N A  0.3 N B  196.2  0 แทนสมการ (6) ลงในสมการ (10) จะได้ (0.20) 0.5N B  0.3 N B  196.2  0 0.4N B  196.2

(9) (10)

N B  490.5 N

ลงในสมการ (6) จะได้ N A  0.5 490.5  245.25 N แทน N A  245.25 N และ N B  490.5 N ลงในสมการ (7) จะได้ P  490.5 N  0.4 245.25 N   2009.81  0 แทน

N B  490.5 N

P  1373 N  1.373 k N

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 269

แบบฝึกหัดบทที่ 8

8.1 ออกแรง P  85 lb กระทากับกล่องที่มีน้าหนัก 200 lb ซึ่งหยุดนิ่งอยู่กับที่ดังรูปที่ 8.12 ก่อน ถูกแรงกระทา จงหาขนาดและทิศทางของแรงเสียดทาน F ที่พื้นกับกล่องใบนี้

รูปที่ 8.12 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.1 8.2 จากรูปที่ 8.13 กาหนดให้น้าหนักของกล่อง WA  25 lb และ มุม   30 จงหา ก) น้าหนักที่น้อยที่สุดของกล่อง B ที่ทาให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล ข) น้าหนักที่มากที่สุดของกล่อง B ที่ทาให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล

รูปที่ 8.13 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

270 สถิตยศาสตร์ 8.3 ถ้ากาหนดให้สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างผิวสัมผัสที่จุด A และ B เท่ากับ  s  0.3 จงเขีย นผั งวัตถุอิ ส ระและหาแรงดึ ง P ที่มากที่สุ ดที่ท าให้ ว งล้ อไม้มวล 100 kg ไม่เกิดการหมุ น ดังรูปที่ 8.14

รูปที่ 8.14 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.3 เมื่อทราบค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างกล่องน้าหนัก  s  0.25 ดังรูปที่ 8.15 จงหา ก) แรง P น้อยที่สุดที่ทาให้กล่องอยู่ในสภาวะสมดุล ข) มุม 

8.4

30 lb

กับพื้นเอียงเป็น

รูปที่ 8.15 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.4

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 271 8.5 จากรูปที่ 8.16 จงหาว่ากล่องมวล 10 kg อยู่ในสภาวะสมดุลหรือไม่ และให้หาขนาดและทิศทาง ของแรงเสียดทาน เมื่อกาหนดให้ P  40 N และ   20

รูปที่ 8.16 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.5 8.6 จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาแรง P ขนาดต่าสุดที่จะผลักกล่องมวล 50 kg ให้เคลื่อนที่ขึ้นไป ตามพื้นเอียงดังรูปที่ 8.17 เมื่อกาหนดให้สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตระหว่างพื้นเอียงและกล่อง เท่ากับ  s  0.25

รูปที่ 8.17 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 8.6

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

272 สถิตยศาสตร์

บทสรุป

แรงเสียดทานจะมีทิศทางตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่ของวัตถุ แรงเสียดทานสถิตสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อวัตถุเริ่มเกิดการลื่นไถลหาได้จากสมการ Fmax   s N แรงเสียดทานจลน์เกิดขึ้นเมื่อวัตถุเกิดการลื่นไถลหาได้จากสมการ Fk   k N เทคนิคการแก้ปัญหาเกี่ยวกับแรงเสียดทานทาได้ดังนี้ (1) ปัญหาประเภทที่หนึ่ง, ทราบเงื่อนไขของการเริ่มเคลื่อนที่ของวัตถุ ในกรณีนี้วัตถุ เกือบจะเริ่มเกิดการลื่นไถล (slipping) และ แรงเสียดทานจะมีค่าเท่ากับค่าสูงสุดของแรงเสียดทาน Fmax   S N ทั้งนี้สมการสมดุลยังสามารถใช้ในการหาคาตอบได้ (2) ปัญหาประเภทที่สอง, ไม่ทราบทั้งเงื่อนไขการเริ่มต้นเคลื่อนที่และเงื่อนไขของการ เคลื่อนที่ของวัตถุ ในการหาแรงเสียดทานที่เกิดขึ้นจริง จึงควรสมมุติให้วัตถุอยู่ในสภาวะสมดุลแบบ สถิตและหลั งจากนั้ น ทาการหาแรงเสี ยดทาน F โดยใช้ส มการสมดุล ซึ่งมีความเป็ นไปได้อยู่ 3 แนวทาง คือ 2.1 F  Fmax   s N  : ในที่นี้จะพบว่าแรงเสียดทานที่ได้ยังสามารถทาให้วัตถุ อยู่ในสภาวะสมดุได้ตามที่สมมุติไว้ และแรงเสียดทานที่เกิดขึ้นจริง F จะมีค่าน้อยกว่าแรงเสียดทาน สูงสุด Fmax ที่หาได้จากสมการ (8.1) และทั้งนี้ แรงเสียดทานที่เกิดขึ้นกับวัตถุคือแรงเสียดทาน F ที่ หาได้จากการใช้สมการสมดุล นั่นเอง 2.2 F  Fmax   s N  : เนื่องจากว่าแรงเสียดทาน F เท่ากับค่าของแรงเสียด ทานสู งสุ ด Fmax ทาให้ การเคลื่อนที่เกือบจะเริ่ มต้นขึ้น การสมมุติเงื่อนไขของสมดุล แบบสถิตยั ง สามารถใช้ได้ 2.3 F  Fmax   s N  : เป็นที่ชัดเจนได้ว่า เงื่อนไขแบบนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ จริง เพราะว่าพื้นผิวไม่สามารถรองรับกับแรงเสียดทานค่าสูงสุด  s N ได้ การสมมุติเงื่อนไขให้อยู่ใน สภาวะสมดุล จึงไม่สามารถใช้ได้เพราะการเคลื่ อนที่เกิดขึ้น แล้ ว ดังนั้ น แรงเสียดทาน F จึงมีค่า เท่ากับ  k N จากสมการ (8.2) (3) ปัญหาประเภทที่สาม, มีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ระหว่างพื้นผิวทั้งสองและทราบ สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์ ปัญหาประเภทนี้ สามารถหาแรงเสียดทานได้โดยใช้สมการ (8.2) 1) 2) 3) 4)

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 273

แบบทดสอบบทที่ 8

8.1 จงหาว่าวัตถุอยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 8.18 หรือไม่ พร้อมทั้งหาขนาดและทิศทางของแรงเสียด ทาน เมื่อกาหนดให้   25 และ P  750 N

รูปที่ 8.18 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.1 จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิตที่น้อยที่สุดระหว่างหลอดด้ายมวล 50 kg และผนังที่ไม่ทาให้หลอดด้ายเกิดการลื่นไถลดังรูปที่ 8.19

8.2

รูปที่ 8.19 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

274 สถิตยศาสตร์ 8.3 แรงขนาด 700 N กระทากับกล่องมวล 100 kg ดังรูปที่ 8.20 โดยอยู่นิ่งก่อนที่จะถูกแรง กระทา จงหาขนาดและทิศทางของแรงเสียดทานที่กล่องกระทากับพื้น

รูปที่ 8.20 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.3 8.4 จากรูปที่ 8.21 จงหาว่าวัตถุอยู่ในสภาวะสมดุ ลหรือไม่ พร้อมทั้งหาขนาดและทิศทางของแรง เสียดทานเมื่อกาหนดให้   35 และ P  200 N

รูปที่ 8.21 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.4

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 8 แรงเสียดทาน 275 8.5 สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานระหว่างกล่องและพื้นมีค่าเป็น  s  0.30 และ  k  0.25 เมื่อ กาหนดให้   65 ดังรูปที่ 8.22 จงหาขนาดของแรง P น้อยที่สุดที่ทาให้ ก) กล่องเริ่มเคลื่อนที่ขึ้น ข) กล่องเคลื่อนที่ลง

รูปที่ 8.22 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.5 8.6 จากรูปที่ 8.23 เมื่อพิจารณามุม  มีค่าไม่เกิน 90  จงหาค่าของมุม  น้อยที่สุดที่ทาให้กล่อง เคลื่อนที่ไปด้านขวาเมื่อกล่องมีน้าหนักเท่ากับ ก) W  75 N ข) W  100 N

รูปที่ 8.23 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 8.6

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

276 สถิตยศาสตร์

เอกสารอ้างอิง

มนตรี พิรุณเกษตร. (2554). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. วีระศักดิ์ กรัยวิเชียร และ คณะ. (2551). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons.

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 9 งานเสมือน หัวข้อเนื้อหา 9.1 บทนา 9.2 หลักการพื้นฐานของงานเสมือน 9.2.1 งานของแรง 9.2.2 งานของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ 9.2.3 งานเสมือน 9.2.4 พื้นฐานของงานเสมือน 9.3 งานเสมือนสาหรับระบบของวัตถุแข็งเกร็งที่เชื่อมต่อกัน แบบฝึกหัดตอนที่ 1 9.4 เสถียรภาพ 9.4.1 แรงอนุรักษ์ 9.4.2 พลังงานศักย์ 9.4.3 เกณฑ์กาหนดพลังงานศักย์สาหรับความสมดุล 9.4.4 เสถียรภาพของความสมดุล แบบฝึกหัดตอนที่ 2 วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว ผู้เรียนควรมีความรู้และทักษะดังนี้ 1. สามารถเขียนผังวัตถุอิสระของวัตถุแข็งเกร็งที่เชื่อมต่อกันเมื่อรับแรงได้ 2. สามารถคานวณหาเงื่อนไขที่ทาให้วัตถุแข็งเกร็งที่เชื่อมต่อกันอยู่ในสภาวะสมดุลได้ 3. สามารถระบุถึงความมีเสถียรภาพของวัตถุแข็งเกร็งที่เชื่อมต่อกันได้ วิธีสอนและกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ผู้สอนนาเข้าสู่บทเรียนโดยการสอบถามถึงความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับงานเสมือน 2. เฉลยความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับงานเสมือนและนาเข้าสู่เนื้อหา 3. ให้ผู้เรียนสอบถามข้อสงสัยในประเด็นที่ยังไม่เข้าใจ 4. แบ่งกลุ่มทาแบบฝึกหัดเพื่อทบทวนความรู้ 5. แบ่งกลุ่มปฏิบัติตามใบงานที่ 15 6. มอบหมายงานเพื่อให้ทาเป็นการบ้านเพื่อเพิ่มพูนความรู้ 7. แบบทดสอบ 8. เฉลยคาตอบแบบฝึกหัด 9. เฉลยคาตอบแบบทดสอบ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทนิ พลบูรณ์

278 สถิตยศาสตร์ สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาสถิตยศาสตร์ บทที่ 9 เรื่อง งานเสมือน 2. โปรแกรม Microsoft Word ใช้ประกอบการบรรยายเนื้อหา 3. เครื่องคอมพิวเตอร์ 4. เครื่องฉายโปรเจคเตอร์ 5. ใบงานที่ 15 การวัดและการประเมินผล การวัดผล 1. สังเกตการเข้าร่วมกิจกรรมกลุ่มทาแบบฝึกหัด 2. จากการทาแบบฝึกหัด 3. จากการปฏิบัติตามใบงาน 4. จากการทาแบบทดสอบ การประเมินผล 1. ทากิจกรรรมได้แล้วเสร็จตามที่กาหนด 2. ทาแบบฝึกหัดได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์ 3. ปฏิบัติตามใบงานได้สาเร็จตามเวลา 4. ทาแบบทดสอบท้ายบทเรียนได้ถูกต้องไม่น้อยกว่า 80 เปอร์เซ็นต์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 279

บทที่ 9 งานเสมือน 9.1 บทนา

ในบทนี้กล่าวถึงงานเสมือนของแรงและโมเมนต์ของแรงคู่ควบ หลักการพื้นฐานของงานเสมือน ที่เกิดขึ้นกับวัตถุ งานเสมือนที่เกิดขึ้นกับวัตถุแข็งเกร็งที่เชื่อมต่อกัน เป็นระบบ เกณฑ์ที่ทาให้ระบบอยู่ ในสภาวะสมดุลและหาความเสถียรภาพของตาแหน่งสมดุลที่เกิดขึ้นกับวัตถุ

9.2 หลักการพื้นฐานของงานเสมือน

9.2.1 งานของแรง งานของแรงเกิดขึ้นเมื่อ ออกแรงกระทาและได้การกระจัดในทิศทางที่แรงนั้น กระทา พิจารณารูปที่ 9.1(ก) ออกแรง F กระทาและได้การกระจัด dr โดยแรงและการกระจัดทามุมกัน เท่ากับ  ดังนั้น ส่วนประกอบของแรงในทิศทางของการกระจัดคือ F cos และสามารถหางานที่ เกิดจากแรง F ได้เท่ากับ d U  F dr cos (9.1) และสามารถหาได้จากผลคูณของแรง F และส่วนประกอบของการกระจัดในทิศทาง ที่แรงกระทา dr cos  ดังรูปที่ 9.1 (ข) ถ้าใช้นิยามของผลคูณแบบสเกลาร์ งานที่เกิดจากแรงเขียน อยู่ในรูปเป็น   dU  F d r (9.2) จากสมการข้างบนแสดงให้เห็นว่า งานเป็ นปริมาณสเกลาร์ และคล้ายๆกับ ปริ มาณ สเกลาร์ชนิดอื่น คือ มีเพียงขนาด ในหน่วย SI งานมีหน่วยเป็น จูล (joule) J ซึ่งเกิดจากผลคูณของแรง 1 N กับระยะ การกระจัด 1 m ในทิศทางที่แรงกระทา 1 J 1 N  m

(ก) แตกแรงให้อยู่ในทิศทางการกระจัด (ข) แตกการกระจัดให้อยู่ในแนวแรง รูปที่ 9.1 งานที่เกิดจากแรง มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

280 สถิตยศาสตร์ 9.2.2 งานของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ การหมุนไปของโมเมนต์ของแรงคู่ควบทาให้เกิดงานได้ พิจารณารูปที่ 9.2 ถูกกระทา โดยแรงคู่ควบ F และ  F จึงทาให้เกิดโมเมนต์ของแรงคู่ควบ M ที่มีขนาดเท่ากับ M  F r เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ไปได้ระยะการกระจัดดังรูป โดยจุด A และ B เคลื่อนที่ไปเป็นระยะการกระจัด d rA และ d rB ถึงจุดสุดท้ายเป็นจุด A และ จุด B , ตามลาดับ เนื่องจาก d rB  d rA  d r  โดยการเคลื่ อนย้ ายนี้ เป็ น การเคลื่ อนที่ (translation) ด้ว ยระยะ d rA เมื่อจุ ด A และจุ ด B เคลื่อนย้ายไปที่จุด A และ B และเกิดการหมุน (rotation) รอบจุด A ไปเป็นมุม d  เทียบ กับจุด A เมื่อแรงคู่ควบไม่ทาให้เกิดงานระหว่างการเคลื่อนที่ d rA เพราะว่าแต่ละแรงเคลื่อนที่ไปได้ ระยะการกระจัดเท่ากันในทิศทางที่ตรงข้ามกัน จึงไม่ทาให้เกิดงาน และในระหว่างการหมุน แรง F ได้ ก ารกระจั ด เป็ น d r   r d จึ ง ท าให้ เ กิ ด งานเท่ า กั บ d U  F dr   F r d เนื่ อ งจาก M  F r ดังนั้น งานที่เกิดจากโมเมนต์ของแรงคู่ควบ M หาได้จาก d U  M d

(9.3)

ถ้าหาก M และ d  มีทิศทางเดียวกัน งานที่ได้จะมีค่าเป็นบวก แต่ถ้าหากมีทิศทาง ตรงกันข้าม งานที่ได้จะมีค่าเป็นลบ

รูปที่ 9.2 งานที่เกิดจากโมเมนต์ของแรงคู่ควบ 9.2.3 งานเสมือน จากนิ ยามงานของแรงและงานของโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่เขียนอยู่ ในรูปของการ เคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นจริง (actual movement) ที่มีระยะการกระจัดเป็น d r และ d  หากพิจารณา การเคลื่อนที่ในจินตนาการ (imaginary) หรือ การเคลื่อนที่เสมือน (virtual movement) ของวัตถุที่ อยู่ในสภาวะสมดุลสถิต (static equilibrium) ซึ่งจะเขียนอยู่ในรูปของระยะการกระจัดหรือการหมุน ที่ถูกสมมุติหรือไม่เกิดขึ้นจริง โดยการเคลื่อนที่นี้จะเขียนให้อยู่ในรูปของอนุพันธ์อันดับหนึ่งและใช้

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 281 สัญลักษณ์เป็น  r และ   , ตามลาดับ ดังนั้น งานเสมือน (virtual work) ของแรงที่ทาให้เกิด ระยะการกระจัดเสมือน  r (virtual displacement) สามารถเขียนให้อยู่ในรูป  U  F cos  r

(9.4)

ในลั กษณะคล้ ายๆกัน เมื่อโมเมนต์ของแรงคู่ควบที่ทาให้ เกิดการหมุนเสมือน   (virtual rotation) งานเสมือนเขียนอยู่ในรูป  U  M 

(9.5)

9.2.4 พื้นฐานของงานเสมือน หลั กการพื้น ฐานของงานเสมือนกล่ าวไว้ว่า ถ้าวัตถุอยู่ ในสภาวะสมดุล แล้ ว ผลรวม ของงานเสมื อ นที่ ก ระท าโดยแรงหรื อ โมเมนต์ ข องแรงคู่ ค วบมี ค่ า เท่ า กั บ ศู น ย์ ส าหรั บ ทุ ก ๆระยะ การกระจัดเสมือนของวัตถุ เขียนเป็นสมการได้เป็น U 0

(9.6)

ตั ว อย่ า งเช่ น พิ จ ารณาผั ง วั ต ถุ อิ ส ระของอนุ ภ าค (ลู ก บอล) ที่ ถู ก วางอยู่ กั บ พื้ น ดังรูปที่ 9.3 ถ้าหากจะ “จิ นตนาการ” ว่าลูกบอลเคลื่อนที่ล งด้วยระยะการกระจัดเท่ากับ  y หลังจากนั้นกาหนดให้น้าหนักทาให้เกิดงานเสมือนในทิศทางบวกเป็น W  y และแรงปฏิกิริยาใน แนวตั้งฉากทาให้เกิดงานเสมือนในทิศทางลบเท่ากับ  N  y สาหรับสภาวะสมดุลจะได้ว่า ผลรวม ของงานเสมื อ นมี ค่ า เท่ า กั บ ศู น ย์ ดั ง นั้ น  U  W y  N y  W  N y  0 เนื่ อ งจาก  y  0 ทาให้ W  N ซึ่งมีค่าเท่ากับการประยุกต์ใช้สมการ  Fy  0

รูปที่ 9.3 การคานวณหางานจากเงื่อนไขของงานเสมือน

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

282 สถิตยศาสตร์ ในลักษณะคล้ายๆกัน สามารถใช้สมการของงานเสมือน  U  0 กับวัตถุแข็งเกร็งที่มี การรับระบบของแรงได้ โดยให้ทาการแยกการเคลื่อนที่แบบเสมือนไปตามทิศทางแกน x และ y และการหมุนแบบเสมือนรอบจุดใดๆที่ตั้งฉากกับระนาบ xy ผ่านจุด o โดยสามารถใช้สมการสมดุล 3 สมการในการหาคาตอบได้คือ  Fx  0,  Fy  0 และ  M o  0 เมื่อใช้สมการเหล่านี้ แล้วจะไม่รวมถึงงานที่เกิดจากแรงภายในที่กระทากับวัตถุเนื่องจากวัตถุแข็งเกร็งไม่เกิดการเสียรูป เมื่อรั บ แรงกระทาภายนอกและเมื่อวั ตถุเคลื่ อนที่ไปด้ว ยระยะการกระจั ด เสมือนแล้ ว แรงภายใน ที่เกิดขึ้นกับวัตถุจะมีค่าเท่ากันแต่มีทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้น งานที่เกิดจากแรงภายในจึงไม่ต้องนามา พิจารณา ตัว อย่า งของการประยุ กต์ใช้สมการดังกล่ าวข้างต้น พิจารณาคานรับ แรงอย่ างง่าย ดังรูปที่ 9.4(ก) โดยคานหมุนไปด้วยมุมเสมือน   รอบจุด B ดังรูปที่ 9.4(ข) ส่วนแรงที่ทาให้เกิด งานมี เ พี ย งแรง P และ Ay เท่ า นั้ น เนื่ อ งจาก  y  l   และ  y  l / 2  ดั ง นั้ น งานเสมือนที่เกิดขึ้นจากแรงหาได้จาก  U  Ay l     Pl / 2   Ay l  P l / 2   0 เนื่องจากว่า    0 ดังนั้น จะได้ Ay  P / 2 โดยไม่รวมเทอม   จะพบว่าเทอมในวงเล็บเป็น ผลมาจากการใช้สมการ  M B  0 นั่นเอง จากสองตัวอย่างข้างต้น จะพบว่าไม่ต้องใช้เงื่อนไขเพิ่มเติม ในการแก้ปัญหาสมดุลของ อนุภาคและวัตถุแข็งเกร็งเมื่อแก้ปัญหาด้วยหลักพื้นฐานของงานเสมือน

(ก) คานรับแรง

(ข) การหาการกระจัดเสมือน รูปที่ 9.4 การหางานเสมือนกับคานที่รับแรง อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 283

9.3 งานเสมือนสาหรับระบบของวัตถุแข็งเกร็งที่เชื่อมต่อกัน

วิธีของงานเสมือนถูกใช้เป็นการเฉพาะสาหรับแก้ปัญหาสมดุลของระบบของวัตถุแข็งเกร็งที่มี การเชื่อมต่อกันดังรูปที่ 9.5

รูปที่ 9.5 ระบบของวัตถุแข็งเกร็งที่มีการเชื่อมต่อกัน แต่ละระบบสามารถกล่าวได้ว่ามีดีกรีขั้นความเสรี (degree of freedom) เท่ากับหนึ่ง เนื่ องจากกลไกสามารถระบุ พิ กัดได้เ พียงแค่  เท่า นั้ น ในทางตรงกันข้า ม ด้ว ยการระบุ ดีกรีขั้ น ความเสรีได้เพียงหนึ่งนี้ สามารถใช้ความยาวของกลไกแทนได้ ซึ่งสามารถระบุตาแหน่งของแรง F และ P ที่กระทาได้ ในบทเรียนนี้จะพิจารณาถึงการประยุกต์ใช้ หลักพื้นฐานของงานเสมือนกับระบบที่ประกอบไป ด้วยดีกรีขั้นความเสรีเท่ากับหนึ่งเท่านั้น (one degree of freedom) เนื่องจากจะมีความซับซ้อน น้อยกว่าและสามารถใช้เป็นพื้นฐานในการแก้ปัญหาที่มีความซับซ้อนมาก รวมทั้งระบบที่มีดีกรีขั้น ความเสรีมากได้ โดยขั้นตอนในการแก้ปัญหาของระบบของวัตถุแข็งเกร็งที่ มีการเชื่อมต่อกันที่ไม่คิด ความเสียดทาน มีขั้นตอนดังนี้ 1) เขียนผังวัตถุอิสระ (1.1) เขียนผังวัตถุอิสระของระบบของวัตถุแข็งเกร็งที่มีการเชื่อมต่อกันและกาหนดพิกัด เป็น q (1.2) ระบุ “ตาแหน่งที่มีการเปลี่ยนแปลง” ของระบบกับผังวัตถุอิสระเมื่อระบบถูกแรง กระทาให้มีระยะการกระจัดเสมือนในทิศทางบวกเป็น d q 2) หาระยะการกระจัดเสมือน (2.1) แสดงพิกัดของตาแหน่งเป็น s ในผังวัตถุอิสระ โดยแต่ละตาแหน่งวัดจากจุดที่อยู่นิ่ง (fixed point) ให้ระบุพิกัดเหล่านี้มีทิศทางไปยังแรงที่ทาให้เกิดงาน (2.2) แกนของแต่ละพิกัดจะขนาน (parallel) กับแนวการกระทาของแรง ดังนั้น งานเสมือนตลอดพิกัดที่กาหนดสามารถคานวณได้ (2.3) หาความสัมพันธ์ของแต่ละพิกัดของตาแหน่ง s กับพิกัด q หลังจากนั้น หา อนุพันธ์ของความสัมพันธ์ที่ได้แล้วแทนค่าของแต่ละระยะการกระจัดเสมือน  s ในเทอมของ  q มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

284 สถิตยศาสตร์ 3) ใช้สมการงานเสมือน (3.1) เขียนสมการงานเสมือน (virtual work equation) สาหรับระบบที่สมมุติขึ้นมา ว่ามีความเป็นไปได้หรือไม่ โดยแต่ละพิกัดของตาแหน่งที่เป็นไปได้ s ที่ถูกแรงกระทาจนทาให้เกิด ระยะการกระจัดเสมือนที่เป็นบวก  s ถ้าหากว่าแรงหรือโมเมนต์ของแรงคู่ควบอยู่ในทิศทางเดียวกับ ทิศทางของงานเสมือนที่เป็นบวกแล้วงานที่ได้จะมีค่าเป็นบวก หากเป็นตรงกันข้าม งานที่ได้จะมีค่า เป็นลบ (3.2) เขียนงานของแต่ละแรงและโมเมนต์ของแรงคู่ควบในสมการให้อยู่ในเทอมของ  q (3.3) รวมเทอมของระยะการกระจัดเสมือนที่สมมุติขึ้นมาทั้งหมด แล้วทาการหาตัวแปรที่ ไม่ทราบค่า ไม่ว่าจะเป็น แรง โมเมนต์ของแรงคู่ควบ หรือ ตาแหน่งของความสมดุล q

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 285 ตัวอย่างที่ 9.1 จงหามุม  สาหรับการคงอยู่ในสภาวะสมดุลของกลไก 2 ชิ้นส่วนดังรูปที่ 9.6 กาหนดให้แต่ละ ชิ้นส่วนมีมวล 10 kg

รูปที่ 9.6 ประกอบตัวอย่างที่ 9.1 วิธีทา

รูปที่ 9.7 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 9.1 เขียนผังวัตถุอิสระ ระบบนี้มีดีกรีขั้นความเสรีเท่ากับหนึ่งเท่านั้น เนื่องจากตาแหน่งของกลไก ทั้งสองสามารถระบุได้เพียงพิกัดเดียว (q )  แสดงดังผังวัตถุอิสระรูปที่ 9.7 เมื่อมุม  มีค่าเป็น บวก (ทิศทางตามเข็มนาฬิกา) การหมุนเสมือน (virtual rotation) เป็น   มีเพียงแรง F และ แรงเนื่องจากน้าหนัก 98.1 N ทั้งสองเท่านั้นที่ทาให้เกิดงาน (แรงปฏิกิริยา Dx และ D y ถูกยึดอยู่ กับที่ และ แรง B y ไม่อยู่ในทิศทางการกระทาของแรง) หาระยะการกระจัดเสมือน ถ้าพิกัดในตอนเริ่มต้นถูกกาหนดโดยวัดจากหมุด D ที่ถูกยึดแน่น อยู่กับที่ ดังนั้น ตาแหน่งของแรง F และ W สามารถระบุด้วยพิกัดบอกตาแหน่งเป็น x B และ yW ในการหางานต้องใช้พิกัดในทิศทางที่ขนานกับทิศทางการกระทาของแรง จึงสามารถเขียนพิกัดบอก ตาแหน่งในเทอมของ  และ หาอนุพันธ์ จะได้ว่า มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

286 สถิตยศาสตร์ xB  21cos m 1 yW  1sin  m 2

 xB  2 sin    m

(1)

 yW  0.5 cos    m

(2)

จากเครื่องหมายที่แสดงในสมการและจากรูปที่ 9.7 จะพบว่าเมื่อมุม  เพิ่มขั้นเป็น   จะ ทาให้ระยะ x B ลดลงและ ระยะ yW เพิ่มขึ้น สมการของงานเสมือน ถ้าระยะการกระจัดเสมือน  xB และ  yW เป็นบวกทั้งคู่ ดังนั้น แรง F และ W ก็ทาให้เกิดงานที่เป็นบวก เนื่องจากแรงและระยะการกระจัดที่เกิดจากแรงนี้ย่อมอยู่ ในทิศทางเดียวกัน เพราะฉะนั้น สมการงานเสมือนสาหรับระยะการกระจัด   หาได้จาก  U  0;

W  yW  W yW  F xB  0

(3)

แทนค่าจากสมการ (1) และ (2) ลงในสมการ (3) เพื่อที่จะหาความสัมพันธ์ของระยะการ กระจัดเสมือนกับระยะการกระจัดเสมือนทั่วๆไป   จะได้ 98.10.5 cos     98.10.5 cos     25 2 sin     0

จะพบว่า “งานเป็นลบ” ที่เกิดจากการกระทาของแรง F (แรงมีทิศทางตรงข้ามกับระยะการ กระจัด) เกิดขึ้นจริงสาหรับสมการด้านบนโดยสังเกตจาก “เครื่องหมายลบ” ของสมการ (1) หา คาตอบโดยการรวมเทอมของระยะการกระจัดทั่วๆไป   และ หาคาตอบในเทอมของ  จะได้ว่า

98.1cos  50 sin 

0

เนื่องจากว่า    0 98.1cos   50 sin   0 98.1 tan  50  98.1    50 

  tan 1   63.0

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 287 ตัวอย่างที่ 9.2 จงหาแรง P ในรูปที่ 9.8 ที่ทาให้กลไกอยู่ในสภาวะสมดุล เมื่อ   60 โดยสปริงไม่ยืดตัวที่ มุม   30 ทั้งนี้ไม่พิจารณามวลของกลไก

รูปที่ 9.8 ประกอบตัวอย่างที่ 9.2 วิธีทา

รูปที่ 9.9 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 9.2 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

288 สถิตยศาสตร์ เขียนผังวัตถุอิสระ มีเพียงแรง Fs และ P เท่านั้ นที่ทาให้ เกิ ดงานเมื่อระยะการกระจั ด เสมื อ นเป็ น บวก   ดั ง รู ป ที่ 9.9 โดยที่ ต าแหน่ ง ใดๆ  สปริ ง ถู ก ยื ด ออกไปด้ ว ยระยะ  0.3 msin  0.3 msin 30 เพราะฉะนั้น จะได้ว่า



Fs  k s  5000 N / m 0.3 msin   0.3 msin 30



 (1500 sin   750) N

หาระยะการกระจั ด เสมือน พิกัดบอกตาแหน่ง x B และ xD วัดจากจุด หยุ ดนิ่ ง A เป็ น ตาแหน่งของแรง Fs และ P ตามลาดับ ซึ่งพิกัดเหล่านี้ขนานกับแนวกระทาของแรงด้วย เขียน x B และ xD ให้อยู่ในเทอมของมุม  โดยใช้กฎของตรีโกณมิติ จะได้ xB  0.3 msin  xD  30.3 msin    0.9 msin 

หาอนุพันธ์ของสมการข้างบน จะได้ระยะการกระจัดเสมือนของจุด

B

และ

D

เป็น (1) (2)

 xB  0.3cos    xD  0.9 cos  

สมการงานเสมือน แรง P ทาให้ เกิดงานที่เป็น บวกเนื่องจากกระทาในทิศทางของระยะ การกระจั ดเสมือนที่เป็ น บวก แรงเนื่ องจากสปริ ง Fs ทาให้ เกิดงานที่เป็ นลบเนื่ องจากกระทาใน ทิศทางตรงกันข้ามกับระยะการกระจัดเสมือน ดังนั้น สมการงานเสมือนหาได้จาก  U  0;  Fs  xB  P  xD  0  1500 sin   7500.3 cos     P0.9 cos     0 225  450 si n  cos     0.9 Pcos     0 0.9 P  225  450 sin cos     0

เนื่องจาก

cos    0

จะได้ 0.9 P  225  450 sin   0

เมื่อ   60 จะได้แรง 

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

P 0.9 P  225  450 sin 60  0 P  183 N

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 289 ตัวอย่างที่ 9.3 ถ้ากล่องดังรูปที่ 9.10 มีมวล 10 kg จงหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบ สภาวะสมดุล เมื่อ   60 โดยไม่พิจารณามวลของชิ้นส่วน

M

ที่ทาให้ระบบอยู่ใน

รูปที่ 9.10 ประกอบตัวอย่างที่ 9.3 วิธีทา

รูปที่ 9.11 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 9.3 เขียนผังวั ตถุอิ สระ เมื่อมุ ม  หมุน ไปด้ ว ยระยะการกระจั ดเสมือ นเป็ นมุม   มี เพีย ง โมเมนต์ของแรงคู่ควบ M และน้าหนักของกล่องเท่านั้นที่ทาให้เกิดงาน ดังรูปที่ 9.11 หาระยะการกระจัดเสมือน พิกัดบอกตาแหน่ง y E วัดจากจุดหยุดนิ่ง B เป็นตาแหน่งของ น้าหนักของกล่อง 109.81 N  98.1 N ในที่นี้ จะได้ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

290 สถิตยศาสตร์ y E  0.45 msin   b

เมื่อ

b

เป็นระยะคงที่ หาอนุพันธ์ของสมการข้างบน จะได้  y E  0.45 m cos  

(1)

สมการงานเสมือน สาหรับสมการงานเสมือน จะกลายเป็น  U  0;

M   98.1 N  y E  0

แทนค่าสมการ (1) ลงในสมการข้างบน จะได้ M   98.1 N 0.45 m cos     0

M  44.145 cos    0

เนื่องจาก    0 จะได้ M  44.145 cos  0

เมื่อ   60 จะได้ M  44.145 cos 60  0 M  22.1 N  m

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 291

แบบฝึกหัดตอนที่ 1

9.1 จงเขียนผังวัตถุอิสระและหาขนาดของแรง P ที่ทาให้กลไกอยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 9.12 เมื่อ   60 กาหนดให้แต่ละชิ้นส่วนมีมวล 10 kg

รูปที่ 9.12 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.1 9.2 จงใช้วิธีของงานเสมือนสาหรับหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบ ดังรูปที่ 9.13

M

ที่ทาให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล

รูปที่ 9.13 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

292 สถิตยศาสตร์ 9.3 กลไกดังรูปที่ 9.14 รับแรง P  2 kN จงเขียนผังวัตถุอิสระและหามุม  ที่ทาให้ระบบอยู่ใน สภาวะสมดุล สปริงยังไม่มีการยืดตัวเมื่อมุม   0 โดยที่ไม่พิจารณามวลของชิ้นส่วน

รูปที่ 9.14 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.3 9.4 แต่ละชิ้นส่วนของกลไกทั้งสองมีมวล m และความยาว l โดยรับแรง ผังวัตถุอิสระและหามุม  ที่ทาให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล

P

ดังรูปที่ 9.15 จงเขียน

รูปที่ 9.15 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.4

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 293

9.4 เสถียรภาพ

9.4.1 แรงอนุรักษ์ งานที่เกิดจากแรงขึ้นอยู่กับตาแหน่งในตอนเริ่มต้นและตาแหน่งสุดท้ายเท่านั้น โดยไม่ ขึ้นอยู่กับแนวการกระทาของแรง ดังนั้น จะเรียกแรงนี้ว่า แรงอนุรักษ์ (conservative force) ซึ่ง น้าหนักของวัตถุและแรงของสปริงเป็นตัวอย่างของแรงอนุรักษ์ น้าหนัก พิจารณากล่องที่มีน้าหนัก W เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางดังรูปที่ 9.16(ก) เมื่อ เคลื่ อ นที่ ขึ้ น ไปตามเส้ น ทางได้ ร ะยะเท่ า กั บ d r จะได้ ง านมี ค่ า เป็ น d U  W  d r  หรื อ d U  W d r cos    W d y แสดงดังรูปที่ 9.16(ข) ในกรณีนี้ งานที่ได้มีเครื่องหมายเป็นลบ เนื่องจาก W กระทาในทิศทางตรงกันข้ามกับระยะ d y ด้วยเหตุนี้ ถ้ากล่องเคลื่อนที่จากจุด A ถึง จุด B ที่มีความสูงเท่ากับ h งานที่ได้เขียนอยู่ในรูปเป็น h

U    W d y  W h

(9.7)

0

น้าหนักของวัตถุใดๆถือว่าเป็น แรงอนุรั กษ์ เนื่ องจากงานที่ได้จากน้าหนั กขึ้นอยู่กับ ระยะการกระจัดในแนวดิ่ง (vertical displacement) ของวัตถุเท่านั้น ซึ่งไม่ขึ้นอยู่เส้นทางการ เคลื่อนที่ของวัตถุ

(ก) เส้นทางการเคลื่อนที่ของกล่อง (ข) แตกการกระจัดอยู่ในทิศทางของแรง รูปที่ 9.16 การหางานของการเคลื่อนที่ของกล่อง แรงของสปริง พิจารณาสปริงดังรูปที่ 9.17 ที่มีระยะยืดเท่ากับ d s งานที่ได้จากแรง ของสปริ ง กระท าต่ อ กล่ อ งมี ค่ า เป็ น d U  Fs d s  k s d s งานที่ ไ ด้ มี เ ครื่ อ งหมายเป็ น ลบ เนื่องจาก Fs กระทาในทิศทางตรงข้ามกับระยะยืดของสปริง d s ดังนั้น งานที่ได้จากแรง Fs เมื่อ กล่องเคลื่อนที่จาก s  s1 ถึง s  s2 หาได้จาก s2

1 1  U    k s d s   k s22  k s12  2 2  s1

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

(9.8)

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

294 สถิตยศาสตร์ ในที่นี้ งานที่ได้ขึ้นอยู่กับตาแหน่งในตอนเริ่มต้นและสุดท้ายของสปริงเท่านั้นคือ s1 และ s 2 โดยวัดจากตาแหน่งของสปริงที่ยังไม่ยืดตัว เนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้ไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางการ เคลื่อนที่ของกล่อง ดังนั้น แรงของสปริงจึงเป็นแรงอนุรักษ์ด้วย

รูปที่ 9.17 การหางานที่เกิดจากแรงของสปริง 9.4.2 พลังงานศักย์ เมื่อแรงอนุรักษ์กระทากับวัตถุจะทาให้วัตถุนั้นมีศักยภาพเพียงพอที่จะทาให้เกิดงานได้ ซึ่งศักยภาพนี้จะวัดออกมาในรูปของ พลังงานศักย์ (potential energy) โดยขึ้นอยู่กับตาแหน่งของ วัตถุเทียบกับจุดอ้างอิงอยู่กับที่ พลังงานศักย์ของความโน้มถ่วง (gravitational potential energy) ถ้าวัตถุอยู่ เหนือจากแกนอ้างอิงในแนวนอนที่อยู่กับที่เป็นระยะ y ดังรูปที่ 9.18 น้าหนักของวัตถุเกิดพลังงาน ศักย์ ของความโน้มถ่วงที่เป็น บวก Vg เนื่ องจาก W มีศักยภาพที่จะทาให้ เกิดงานที่เป็ นบวกเมื่อ เคลื่อนที่ไปยังจุดอ้างอิงที่อยู่กับที่ ในทานองเดียวกัน ถ้าวัตถุอยู่ด้านล่างห่างจากแกนอ้างอิงเป็นระยะ y แล้ว V g จะมีค่าเป็นลบเนื่องจากน้าหนักทาให้เกิดงานที่เป็นลบเมื่อวัตถุเคลื่อนที่ย้อนกลับไปยัง แกนอ้างอิง โดยที่จุดอ้างอิงนี้ให้ Vg  0 เมื่อวัดระยะ y ด้านบนให้เป็นบวก แล้วพลังงานศักย์ของความโน้มถ่วงของน้าหนัก ของวัตถุ W มีค่าเป็น Vg  W y

(9.9)

พลังงานศักย์ของความยืดหยุ่น (elastic potential energy) เมื่อสปริงยืดออก หรือหดสั้นลงด้วยระยะ s จากตาแหน่งที่ยังไม่มีการยืดตัว พลังงานที่ถูกเก็บไว้ในสปริงเรียกว่า พลังงานศักย์ของความยืดหยุ่น (elastic potential energy) ซึ่งเขียนอยู่ในรูป 1 Ve  k s 2 2

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

(9.10)

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 295

รูปที่ 9.18 พลังงานศักย์ของความโน้มถ่วงของวัตถุ พลังงานศักย์ของความยืดหยุ่นจะมีค่าเป็นบวกเสมอ เนื่องจากแรงของสปริงกระทากับ วัตถุที่เชื่อมต่ออยู่ด้วยกันทาให้เกิดงานที่เป็นบวกกับวัตถุนั้น เหมือนกับแรงดึงกลับไปยังตาแหน่งที่ยัง ไม่มีการยืดตัวของสปริงดังรูปที่ 9.19 ฟังก์ชันศักยภาพ (potential function) โดยทั่วไป ถ้าวัตถุรองรับทั้งแรงเนื่องจาก ความโน้มถ่วงและแรงเนื่องจากสปริง พลังงานศักย์หรือฟังก์ชันศักยภาพ V ของวัตถุสามารถเขียนอยู่ ในรูปได้เป็น V  Vg  Ve

(9.11)

เมื่อทาการหาพลังงานศักย์ V โดยขึ้นอยู่กับตาแหน่งของวัตถุเ ทียบกับแกนอ้างอิงที่ เลือกให้มีความเหมาะสมแล้วใช้สมการ (9.9) และ (9.10) ถ้าระบบประกอบด้วยวัตถุแข็งเกร็งที่ไม่มีความเสียดทานโดยมีดีกรีของขั้นความเสรี เป็นหนึ่ง นั่นคือ ตาแหน่งที่วัดในแนวตั้งของวัตถุจากแกนอ้างอิง กาหนดให้มีพิกัดเป็น q ดังนั้น ฟังก์ชันศักยภาพของระบบสามารถเขียนได้เป็น V  V q  สามารถหางานที่ทาได้จากน้าหนักและ แรงของสปริงทั้งหมดที่กระทากับระบบที่เคลื่อนที่จาก q1 ถึง q2 โดยการหาอนุพันธ์ของ V ซึ่ง เขียนเป็นสมการได้เป็น U12  V q1   V q2 

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

(9.12)

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

296 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 9.19 พลังงานศักย์ของความยืดหยุ่นของสปริง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันศักยภาพสาหรับระบบที่ประกอบด้วยกล่องที่มีน้าหนัก W ซึ่ง รองรับด้วยสปริงดังรูปที่ 9.20(ก) สามารถเขียนพิกัด (q ) ได้เป็น y โดยวัดจากตาแหน่งแกน อ้างอิงที่อยู่กับทีซ่ ึ่งเป็นตาแหน่งของสปริงที่ยังไม่มีการยืดหยุ่น ในที่นี้เขียนได้เป็น V  Vg  Ve 1  W y  k y 2 2

Fs

(9.13)

ถ้ากล่องเคลื่อนที่จาก y1 ถึง y 2 ประยุกต์ใช้สมการ (9.12) งานที่ได้จาก W และ เขียนได้เป็น U12  V  y1   V  y2 



1  W  y1  y2   k y12  y 22 2

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์



มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 297

(ก) สปริงรองรับกล่องน้าหนัก W (ข) ผังวัตถุอิสระของกล่อง รูปที่ 9.20 การหาฟังก์ชันของศักยภาพของระบบ 9.4.3 เกณฑ์กาหนดพลังงานศักย์สาหรับความสมดุล ถ้าระบบที่เชื่อมต่อกันแบบไม่คิดความเสียดทานมีดีกรีขั้นความเสรีเท่ากับหนึ่ง และ พิกัดของตาแหน่งระบุได้เป็น q หลังจากนั้นวัตถุเคลื่อนที่จาก q ถึง q  d q ดังนั้น สมการ (9.12) เขียนใหม่เป็น d U  V q   V q  d q 

หรือ

d U  d V

ถ้าระบบอยู่ ในสภาวะสมดุลและมีระยะการกระจัดในแนวตั้งเป็น  q ซึ่งมากกว่า ระยะการกระจัดจริง d q ดังนั้นสมการด้านบนจะกลายเป็น  U   V แต่จากหลักการพื้นฐาน ของงานเสมื อ นที่ ว่ า  U  0 และจะได้ ว่า  V  0 และ สามารถเขี ยนรู ป สมการใหม่ ไ ด้ เ ป็ น  V  d V / dq  q  0 แต่เนื่องจาก  q  0 ดังนั้น สามารถเขียนความสัมพันธ์ได้เป็น dV 0 dq

(9.14)

ในที่นี้สามารถกล่าวได้ว่า เมื่อระบบที่มีการเชื่อมต่อกันแบบไม่คิดความเสียดทานของ วัตถุแข็งเกร็งอยู่ในสภาวะสมดุลแล้วอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันของศักยภาพจะมีค่าเป็นศูนย์ จาก ตัวอย่าง สมการ (9.13) สามารถหาตาแหน่งสมดุลของสปริงและกล่องดังรูปที่ 9.20(ก) ได้จาก dV  W  ky  0 dy

ในที่นี้ จะได้ตาแหน่งสมดุล y  yeq เป็น มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

298 สถิตยศาสตร์ yeq 

W k

เช่นเดียวกัน จะได้ผลลัพธ์เท่ากันเมื่อใช้สมการสมดุล  Fy  0 กับแรงที่กระทาใน ผังวัตถุอิสระของกล่องแสดงดังรูปที่ 9.20(ข) 9.4.4 เสถียรภาพของความสมดุล ฟังก์ชันศักยภาพ V ของระบบสามารถใช้ในการหาความมีเสถียรภาพของเกณฑ์ของ ความสมดุลได้ ซึ่งถูกแยกออกเป็น มีเสถียรภาพ (stable) เป็นกลาง (neutral) หรือ ไม่เสถียรภาพ (unstable) รายละเอียดดังต่อไปนี้ สมดุลแบบมีเสถียรภาพ (stable equilibrium) ระบบจะถูกกล่าวว่ามีเสถียรภาพ ถ้าระบบนั้นสามารถย้อนกลับไปอยู่ในตาแหน่งในตอนเริ่มต้นได้เมื่อเคลื่อนที่ไปได้ระยะการกระจัด เพียงเล็กน้ อย ตัวอย่างแสดงดังรูปที่ 9.21(ก) เมื่อแผ่นจานเคลื่ อนที่ไปได้ ระยะการกระจัดเพียง เล็กน้อย จุดศูนย์กลางมวล G ก็สามารถหมุนกลับมาอยู่ในตาแหน่งสมดุล ได้เสมอ ซึ่งอยู่ในตาแหน่ง ต่าที่สุดของการเคลื่อนที่ ซึ่งเป็นจุดที่พลังงานศักย์ของแผ่นจานมีค่าต่าที่สุด สมดุลแบบเป็นกลาง (neutral equilibrium) ระบบจะถูกกล่าวว่าอยู่ในสภาวะ สมดุลแบบเป็นกลาง ถ้าระบบอยู่ในสภาวะสมดุลได้เสมอเมื่อระบบเคลื่อนที่ไปได้ระยะการกระจัด เพียงเล็กน้อยจากจุดเริ่มต้นในตอนแรก โดยที่เงื่อนไขของความสมดุลแบบนี้ จะพบว่าพลังงานศักย์ ของระบบมีค่าคงที่ สมดุลแบบเป็นกลางแสดงดังรูปที่ 9.21(ข) ซึ่งแผ่นจานถูกยึดแน่นด้วยหมุดไว้ที่จุด G ในทุกครั้งที่แผ่นจานหมุนไป ตาแหน่งสมดุลตาแหน่งใหม่จะอยู่ที่เดิมเสมอ และ พลังงานศักย์ไม่ เปลี่ยนแปลง สมดุลแบบไม่เสถียรภาพ (unstable equilibrium) ระบบจะถูกกล่าวว่าไม่มี เสถียรภาพ ถ้าระบบไม่มีโอกาสมาอยู่ในตาแหน่งสมดุลในตอนแรกได้ เมื่อเคลื่อนที่ไปได้ระยะการ กระจัดเพียงเล็กน้อย โดยพลังงานศักย์ของระบบในเงื่อนไขนี้จะมีค่ามากที่สุด ตาแหน่งของสมดุลแบบ ไม่มีเสถียรภาพของแผ่นจานแสดงดังรูปที่ 9.21(ค) จะพบว่า แผ่นจานหมุนไปจากตาแหน่งสมดุลเมื่อ จุดศูนย์กลางมวลเปลี่ยนตาแหน่งไปเพียงเล็กน้อย ที่ตาแหน่งสูงสุดนี้ พลังงานศักย์จะมีค่าสูงสุด ระบบที่มีดีกรีขั้นความเสรีเป็นหนึ่ง (one degree of freedom system) ถ้า ระบบมีดีกรีขั้นความเสรีเป็นหนึ่งและตาแหน่งของระบบนั้นถูกระบุด้วยพิกัดเป็น q ดังนั้น ฟังค์ชัน ศักยภาพ V สาหรับระบบในเทอมของ q สามารเขียนเป็นกราฟได้ดังรูปที่ 9.22 เมื่อพิจารณาระบบ อยู่ในสภาวะสมดุล ดังนั้น d V / d q แสดงถึงความชันของฟังค์ชัน ต้องมีค่าเท่ากับศูนย์ ในการหา ความเสถียรภาพที่ตาแหน่งที่มีความสมดุลต้องใช้การหาอนุพันธ์อันดับที่สองของฟังค์ชันศักยภาพ

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 299

(ก) สมดุลแบบมีเสถียรภาพ (ข) สมดุลแบบเป็นกลาง (ค) สมดุลแบบไม่เสถียรภาพ รูปที่ 9.21 เสถียรภาพของความสมดุลของแผ่นจาน ถ้า d 2V / d q 2 มีค่ามากกว่าศูนย์ ดังรูปที่ 9.22(ก) พลังงานศักย์ของระบบจะมี ค่า น้อยที่สุด ซึ่งเป็นการแสดงว่าระบบมีความสมดุลในเงื่อนไขที่เรียกว่า มีเสถียรภาพ ด้วยเหตุนี้ สามารถ สรุปได้ว่า dV  0, dq

d 2V 0 d q2

สมดุลแบบมีเสถียรภาพ

(9.15)

ถ้า d 2V / d q 2 มีค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังรูปที่ 9.22(ข) พลังงานศักย์ของระบบจะมีค่า มากที่สุด ซึ่งเป็นการแสดงว่าระบบมีความสมดุลในเงื่อนไขที่เรียกว่า ไม่มีเสถียรภาพ สามารถสรุปได้ ว่า dV  0, dq

d 2V 0 d q2

สมดุลแบบไม่เสถียรภาพ

(9.16)

ถ้า d 2V / d q 2 มีค่าเท่ากับศูนย์ และถ้าหากว่าอนุพันธ์อันดับที่สูงขึ้นเรื่อยๆนั้นมีค่า เท่ากับศูนย์ด้วย ระบบนั้นจะกล่าวว่าอยู่ในสภาวะสมดุลแบบเป็นกลาง ดังรูปที่ 9.22(ค) สามารถสรุป ได้ว่า d V d 2V d 3 V    ...  0 dq d q2 d q3

สมดุลแบบเป็นกลาง

(9.17)

โดยเงื่อนไขนี้เกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อฟังค์ชันศักยภาพของระบบมีค่าคงที่เท่านั้น

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

300 สถิตยศาสตร์

(ก) สมดุลแบบมีเสถียรภาพ (ข) สมดุลแบบไม่เสถียรภาพ (ค) สมดุลแบบเป็นกลาง รูปที่ 9.22 กราฟฟังค์ชันศักยภาพของระบบ ขั้นตอนการแก้ปัญหา โดยการใช้วิธีของพลังงานศักย์ ตาแหน่งของความสมดุลและ ความเสถียรภาพของวัตถุห รื อระบบของวัตถุที่มีการเชื่อ มต่อกัน และมีดีกรี ขั้ นความเสรี เป็ นหนึ่ ง สามารถหาได้โดยใช้ขั้นตอนดังต่อไปนี้ 1) เขียนฟังก์ชันศักยภาพ (1.1) วาดระบบที่ระบุด้วยตาแหน่งใดๆด้วยพิกัด q (1.2) เขียนแกนอ้างอิงในแนวนอนผ่านจุดหยุดนิ่งใดๆ และ เขียนพลังงานศักย์ ของความโน้ มถ่ว ง Vg ให้ อยู่ในเทอมของน้าหนัก W ของแต่ละชิ้น ส่ว นและระยะการกระจั ดใน แนวตั้ง y วัดจากแกนอ้างอิง จะได้ Vg  W y (1.3) เขียนพลังงานศักย์ของความยืดหยุ่น Ve ของระบบในเทอมของระยะยืด 1 2 s ของสปริง จะได้ Ve  k s 2

(1.4) เขียนฟังก์ชันศักยภาพ V  Vg  Ve และเขียนพิกัดบอกตาแหน่ง y และ s ให้อยู่ในเทอมของพิกัดเพียงอันเดียว q 2) หาตาแหน่งสมดุล (2.1) ตาแหน่งสมดุลของระบบสามารถหาได้ด้วยการหาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งของ V และจัดผลลัพธ์ให้มีค่าเท่ากับศูนย์, dV / dq  0 3) หาความเสถียรภาพ (3.1) ความเสถียรภาพที่ตาแหน่งสมดุลสามารถหาได้ด้วยหาอนุพันธ์อันดับที่สอง หรือมากกว่าของฟังก์ชัน V (3.2) ถ้าอนุพันธ์อันดับที่สองมีค่ามากกว่าศูนย์จะได้ว่าระบบอยู่ในสภาวะสมดุล แบบมีเสถียรภาพ, ถ้าอนุพันธ์ทุกๆอันดับมีค่าเท่ากับศูนย์จะได้ว่าระบบอยู่ในสภาวะสมดุลแบบเป็น กลาง และ ถ้ า อนุ พั น ธ์ อั น ดั บ ที่ ส องมี ค่ า น้ อ ยกว่ า ศู น ย์ จ ะได้ ว่ า ระบบอยู่ ใ นสภาวะสมดุ ล แบบไม่ เสถียรภาพ

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 301 ตัวอย่างที่ 9.4 กลไกดังรูปที่ 9.23 มีมวลเท่ากับ 10 kg ถ้าสปริงยังไม่มีการยืดเมื่อมุม   0 จงหามุม  ที่ทาให้ระบบอยู่ในตาแหน่งสมดุลและหาความเสถียรภาพของสมดุลในตาแหน่งนั้นด้วย

รูปที่ 9.23 ประกอบตัวอย่างที่ 9.4 วิธีทา

รูปที่ 9.24 ผังวัตถุอิสระประกอบตัวอย่างที่ 9.4 หาฟังค์ชันศักยภาพ สาหรับแกนอ้างอิงกาหนดเอาไว้ที่ตาแหน่งต่าสุดของกลไก ดังรูป ที่ 9.24 เมื่อระบบอยู่ในตาแหน่งมุมใดๆ  สปริงมีการเพิ่มพลังงานศักย์จากการยืดตัวออกและน้าหนักของ กลไกทาให้พลังงานศักย์ลดลงไป จะได้ว่า มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

302 สถิตยศาสตร์ V  Vg  Ve 1  W y  k s2 2

เนื่องจาก l  s  l cos  หรือ s  l 1 cos  และ y  l / 2cos  ดังนั้น l  1 2 V  W  cos   k l 2 1  cos  2  2

หาตาแหน่งสมดุล หาได้โดยการหาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งของฟังค์ชัน V dV Wl  sin   k l 2 1  cos sin   0 d 2

หรือ จัดรูปใหม่ได้ W  l k l 1  cos     sin   0 2 

สมการข้างบนมีความเป็นไปได้เมื่อ sin   0   0

Ans.

และ k l 1  cos   

W 0 2

1  cos    W

2kl W cos   1  2kl  W    cos 1 1    2kl   109.81   cos 1 1    22000.6

  53.8

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

Ans.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 303 หาความเสถียรภาพ ทาได้โดยการหาอนุพันธ์อันดับที่สองของฟังค์ชัน V จะได้ d 2V Wl   cos   kl 2 1  cos  cos   sin  sin   2 2 d

แทนค่ามุม   0 และ   53.8 ลงในสมการด้านบน จะได้ d 2V d 2

  0



109.810.6 2 cos 0  2000.6 1  cos 0 cos 0  sin 2 0 2



สมดุลแบบไม่เสถียรที่มุม   0

 29.43  0

d 2V d 2

  53.8



Ans.

109.810.6 cos 53.8  2





2000.6 1  cos 53.8 cos 53.8  sin 2 53.8  17.38  720.242  0.651  46.91  0 สมดุลแบบเสถียรที่มุม   53.8 2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี



 Ans.

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

304 สถิตยศาสตร์

แบบฝึกหัดตอนที่ 2

9.5 สปริงมีค่าความแข็งเท่ากับ k  10 kN / m และยังไม่มีการยืดตัวเมื่อมุม   45 ถ้ากลไกอยู่ ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 9.25 เมื่อมุม   60 จงหาน้าหนักของทรงกระบอก D โดยไม่คิดน้าหนัก ของชิ้น ส่ว นอื่น แท่ง AB สามารถเคลื่อนที่ในแนวระดับ ได้ตลอดเวลาเนื่องจากปลอกไถลขึ้นใน แนวดิ่งได้อย่างอิสระ

รูปที่ 9.25 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.5 9.6 จงหามุม  ที่ทาให้กล่องมวล 100 kg อยู่ในสภาวะสมดุล ดังรูปที่ 9.26 และหาความ เสถียรภาพของแต่ล ะตาแหน่ง เมื่อกาหนดให้ k  6 kN / m และความยาวของสปริงก่อนยื ดตัว เท่ากับ 225 mm

รูปที่ 9.26 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.6 อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 305 9.7 ถ้ากลไกอยู่ในสภาวะสมดุล ดังรูปที่ 9.27 เมื่อ   30 จงหามวลของแท่ง BC กาหนดให้ค่า ความแข็งเกร็งของสปริง k  2 kN / m และ สปริงยังไม่ยืดตัวเมื่อ   0 โดยไม่พิจารณามวล ของกลไกนี้

รูปที่ 9.27 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.7 9.8 แท่ง OA รูปแบบแน่นอนมีน้าหนักเท่ากับ 100 N และสปริงยังไม่ยืดตัวเมื่อแท่ง OA อยู่ใน แนวตั้ง จงหาตาแหน่งของ  ที่ทาให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล ดังรูปที่ 9.28 พร้อมทั้งหาความมี เสถียรภาพของตาแหน่งนั้นมาด้วย

รูปที่ 9.28 ประกอบแบบฝึกหัดข้อที่ 9.8

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

306 สถิตยศาสตร์

บทสรุป

1) งานเสมือนที่ได้จากแรงหาได้จากสมการ  U  F  r 2) งานเสมือนที่ได้จากโมเมนต์ของแรงคู่ควบหาได้จากสมการ  U  M  3) หลักพื้นฐานของงานเสมือนกล่าวว่า ผลรวมของงานเสมือนที่กระทาโดยแรงหรือโมเมนต์ ของแรงคู่ควบมีค่าเท่ากับศูนย์  U  0 4) พลังงานศักย์ของความโน้มถ่วงหาได้จากสมการ Vg  W y 5) พลังงานศักย์ของความยืดหยุ่นหาได้จากสมการ Ve 

1 2 ks 2

6) ฟังค์ชันศักยภาพหาได้จากสมการ V  Vg  Ve 7) เกณฑ์ที่ใช้ในการกาหนดเงื่อนไขความสมดุลของระบบวัตถุแข็งเกร็งที่มี การเชื่อมต่อกัน หา ได้จากเงื่อนไขของสมการ ดังนี้

dV 0 dq

8) ระบบที่มีดีกรีขั้นความเสรีเท่ากับหนึ่งแบ่งความเสถียรภาพของระบบออกได้ตามเงื่อนไข dV  0, dq

d 2V 0 d q2

สมดุลแบบเสถียรภาพ

dV  0, dq

d 2V 0 d q2

สมดุลแบบไม่เสถียรภาพ

d V d 2V d 3 V    ...  0 dq d q2 d q3

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

สมดุลแบบเป็นกลาง

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 307

แบบทดสอบบทที่ 9

9.1 จงเขียนผังวัตถุอิสระและหามุม  ที่ทาให้แท่งมวล 50 kg อยู่ในสภาวะสมดุลดังรูปที่ 9.29 โดยสปริงยังไม่ยืดตัวที่มุม   60

รูปที่ 9.29 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 9.1 9.2 กลไกดังรูปที่ 9.30 รับแรง P  6 kN จงเขียนผังวัตถุอิสระและหามุม  ที่ทาให้ระบบอยู่ใน สภาวะสมดุล โดยสปริงยังไม่มีการยืดตัวที่มุม   60 และไม่พิจารณามวลของกลไก

รูปที่ 9.30 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 9.2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

308 สถิตยศาสตร์ 9.3 สปริงมีระยะที่ยังไม่ยืดตัวเมื่อมุม   90 ถูกต่ออยู่กับกลไกดังรูปที่ 9.31 จงหามุม  ที่ทาให้ ระบบอยู่ในสภาวะสมดุลและหาความเสถียรภาพของกลไกที่ตาแหน่งนั้นด้วย เมื่อแผ่นดิสค์ A ถูกต่อ ด้วยหมุดย้าที่ตาแหน่ง B และมีน้าหนักเท่ากับ 100 N

รูปที่ 9.31 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 9.3 9.4 แท่งมีน้าหนักคงที่เท่ากับ W จงหามุม  ที่ทาให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล ดังรูปที่ 9.32 โดย สปริงยังไม่ถูกกดที่มุม   90 เมื่อไม่มีพิจารณามวลของลูกกลิ้ง

รูปที่ 9.32 ประกอบแบบทดสอบข้อที่ 9.4

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 9 งานเสมือน 309

เอกสารอ้างอิง

มนตรี พิรุณเกษตร. (2554). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. วีระศักดิ์ กรัยวิเชียร และ คณะ. (2551). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์สทุ ิน พลบูรณ์

310 สถิตยศาสตร์

อาจารย์สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บรรณานุกรม มนตรี พิรุณเกษตร. (2554). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. วีระศักดิ์ กรัยวิเชียร และ คณะ. (2551). กลศาสตร์วิศวกรรม : ภาคสถิตยศาสตร์. กรุงเทพฯ : วิทยพัฒน์. Beer, F.P., Johnston, E.R. and Mazurek D.F. (2013). Vector Mechanics for Engineers : Statics (10th ed.). New York : McGraw-Hill. Hibbeler, R. C. (2010). Engineering Mechanics : Statics (12th ed.). Singapore : Prentice Hall. Meriam, J. L., and Kraige, L. G. (2013). Engineering Mechanics : Statics (7th ed.). Singapore : John Wiley & Sons. http://www.electron.rmutphysics.com/teaching- glossary/index.php?option=com_ content&task=view&id=2508&Itemid=11 http://www.lesa.biz/astronomy/cosmos/galileo http://writer.dek-d.com/oshitari/story/viewlongc.php?id=417778&chapter=6 http://megatopic.blogspot.com/2013/07/albert-einstein.html http://sarakadeeclub.blogspot.com/2013/07/blog-post_6210.html http://www.vcharkarn.com/vblog/59198 http://www.manacomputers.com/erwin-schrodinger http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/4/10-physicist/index5.htm http://www.macthai.com/2014/01/23/all-new-honda-city-2013-thai-with-siri-eye-freeiphone-ipad/ http://region3.prd.go.th/Environment/index.php/2010-09-16-08-44-20/6-2010-09-1608-43-32.html http://www.rmutphysics.com/charud/specialnews/7/vector/vector4.htm http://www.rmutphysics.com/CHARUD/oldnews/180/physics2/Physics2_4.files/frame.h http://www.mycutegraphics.com/graphics/valentines-day/boy-pushing-wheelbarrowhttp://www.makitathailand.com/p/153/dp-4700-%E0%B8%AA%E0%B8%A7%E0% B9%88%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B9%84%E0%B8%9F%E0%B8% 9F%E0%B9%89%E0%B8%B2-1_2 http://th.88db.com/thailand/Bangkok-Area+Bang-Kho-Laem/BusinessServices/Industrial-Products/ad-1463204/ http://science.howstuffworks.com/transport/engines-equipment/pulley.htm http://www.banidea.com/lamp-vintage-diy-bootsngus/lamp-vintage-6/

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

312 สถิตยศาสตร์

บรรณานุกรม (ต่อ) http://www.gunsandgames.com/smf/index.php?topic=95200.0 http://artytoy.tarad.com/product.detail_685082_th_4624301 http://www.plakard.com/id-4de76f60e216a73304000050.html http://portal.rotfaithai.com/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=1293

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ภาคผนวก

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

314 สถิตยศาสตร์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ภาคผนวก ก ใบงาน

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

316 สถิตยศาสตร์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 1 การค้านวณหาน้าหนักของวัตถุ 319

ใบงานที่ 1 เรื่อง การค้านวณหาน้าหนักของวัตถุ วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล........................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง................... วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาสามารถใช้เครื่องชั่งน้าหนักและสปริงวัดแรงได้ 2. เพื่อให้นักศึกษาสามารถแปลงหน่วยของน้าหนักของวัตถุได้ 3. เพื่อให้นักศึกษาเปรียบเทียบน้าหนักที่ได้จากสปริงวัดแรงกับสมการหาน้าหนักของวัตถุ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง จากกฎของนิวตันเกี่ยวกับแรงดึงดูดระหว่างอนุภาคสองอนุภาคสามารถหาแรงดึงดูดระหว่าง วัตถุใดๆกับโลกได้ นั่นคือการหาน้าหนักของวัตถุใดๆ ส้าหรับการหาน้าหนักของวัตถุ ค้านวณได้จาก สมการ W  mg (1) โดยที่ น้าหนัก W มีหน่วยเป็นนิวตัน (N ) มวล m มีหน่วยเป็นกิโลกรัม (kg) และความเร่ง เนื่องจากแรงดึงดูดของโลก g มีค่าเท่ากับ 9.81 หน่วยเป็น (m s 2 ) ในระบบหน่วยสากล และ น้าหนัก W มีหน่วยเป็นปอนด์ (lb ) มวล m มีหน่วยเป็น slug (lb.s 2 ft ) และความเร่งเนื่องจาก แรงดึงดูดของโลก g มีค่าเท่ากับ 32.2 หน่วยเป็น ( ft s 2 ) ในระบบหน่วยอังกฤษ การแปลงหน่วยของน้าหนักของวัตถุระหว่างหน่วยนิวตันและปอนด์ คือ น้าหนัก 1 ปอนด์ เท่ากับ 4.448 นิวตัน หรือ 1 นิวตัน เท่ากับ 0.225 ปอนด์ วัสดุและอุปกรณ์ 1. เครื่องชั่งน้าหนักแบบดิจิตอล 2. สปริงวัดแรงขนาด 10 นิวตัน 3. ประแจปากตาย 4. คีมล๊อค 5. ไขควง 6. ประแจเลื่อน 7. ตลับเมตร วิธีการทดลอง 1. น้าประแจปากตายไปชั่งน้าหนักด้วยเครื่องชั่งดิจิตอลแล้วบันทึกน้าหนักของประแจใน หน่วยกิโลกรัม

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

318 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 1 การชั่งน้าหนักของประแจปากตายด้วยเครื่องชั่งดิจิตอล 2. แปลงน้าหนักที่อ่านได้จากเครื่องชั่งดิจิตอลให้อยู่ในหน่วยนิวตันโดยใช้สมการ [1] 3. ชั่งประแจปากตายอีกครังด้วยสปริงวัดแรงแล้วบันทึกน้าหนักที่ได้ในหน่วยนิวตัน

รูปที่ 2 ชั่งประแจปากตายด้วยสปริงวัดแรง 4. แปลงน้าหนักที่อ่านจากสปริงวัดแรงให้อยู่ในหน่วยปอนด์ 5. ท้าการทดลองซ้าข้อ 1- 4 โดยเปลี่ยนวัตถุเป็น คีมล๊อค ไขควง ประแจเลื่อน และ ตลับเมตร, ตามล้าดับ อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 1 การค้านวณหาน้าหนักของวัตถุ 319

รูปที่ 3 แสดงคีมล๊อค ไขควง ประแจเลื่อน และตลับเมตร ที่ใช้ในการทดลอง 6. ค้านวณหาความแตกต่างของน้าหนักของวัตถุแต่ละชนิดที่ได้จากข้อ 2 และ ข้อ 3 แล้วท้า การเปรียบเทียบความแตกต่างและสรุปผลการทดลอง ตารางบันทึกผลการทดลอง อุปกรณ์

เครื่ องชัง่ ดิจิตอล (kg) (N)

สปริ ง วัดแรง (N)

หน่วย ปอนด์ (lb)

ความ แตกต่าง (N)

ประแจปากตาย คีมล๊อค ไขควง ประแจเลื่อน ตลับเมตร

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

320 สถิตยศาสตร์ วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………............................................................................................ ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 10 การสร้างโครงถักอย่างง่าย 357

ใบงานที่ 10 เรื่อง การสร้างโครงถักอย่างง่าย วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล......................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง........... ........ วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาสามารถออกแบบและสร้างโครงถักอย่างง่ายได้ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง โครงถักระนาบอย่างง่าย โครงถัก (truss) เป็นชิ้นส่วนของโครงสร้างมีลักษณะเป็นชิ้นส่วนบางๆที่ประกอบเข้าด้วยกันที่ จุดปลายของแต่ละชิ้นส่วน ชิ้นส่วนเหล่านี้โดยทั่วไปจะเป็นชิ้นไม้หรือแท่งเหล็ก ซึ่งโครงถักระนาบ (planar truss) จะเป็นโครงถักที่วางอยู่ในระนาบเดียวและโดยทั่วไปจะใช้เป็นโครงหลังคาและสะพาน โครงถักที่แสดงดังรูปที่ 1(ก) เป็นโครงถักที่ใช้ในโครงหลังคา พบว่าน้้าหนักของหลังคาจะกระจายไปยัง โครงถักเป็นจุดหรือข้อต่อของหลังคา เนื่องจากน้้าหนักของหลังคาจะกระจายอยู่ในระนาบเดียวกันดัง รูปที่ 1(ข) การวิเคราะห์ถึงแรงที่กระท้าในชิ้นส่วนโครงถักจึงวิเคราะห์แบบ 2 มิติ

(ก) (ข) โครงถักของโครงสร้างหลังคา การวิเคราะห์แรง 2 มิติ รูปที่ 1 โครงสร้างหลังคา (ที่มา : http://www.plakard.com/id-4de76f60e216a73304000050.html) ในกรณีของโครงถักที่ใช้ท้าโครงสะพานแสดงดังรูปที่ 2(ก) พบว่า น้้าหนักของสะพานจะถ่ายเท มายังคานตามยาว หลังจากนั้น จะถ่ายเทผ่านมายังคานตามขวางและ สุดท้ายก็จะถูกถ่ายเทไปยังจุด เชื่อมต่อของโครงถักแต่ละคู่ คล้ายๆกับการวิเคราะห์โครงหลังคาคือแรงจะกระจายในระนาบแสดงดัง รูปที่ 2(ข) เมื่อโครงสะพานหรื อโครงหลั งคาที่มีความยาวมากจะรองรั บปลายด้านหนึ่งไว้ด้วย ลู กกลิ้ ง (roller) เพื่อรองรับการขยายตัวของชิ้นส่วนอันเนื่องมาจากอุณหภูมิหรือการรับน้้าหนัก

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

358 สถิตยศาสตร์

(ก) โครงถักของโครงสร้างสะพาน

(ข) การวิเคราะห์แรง 2 มิติ รูปที่ 2 โครงสร้างสะพาน (ที่มา : http://portal.rotfaithai.com/modules.php?name=Forums&file= viewtopic&t=1293) ข้อกาหนดการออกแบบโครงถัก ในการออกแบบชิ้นส่วนโครงถักและจุดเชื่อมต่อ มีความจ้าเป็นต้องหาแรงที่กระท้าในแต่ละ ชิ้นส่วนเมื่อโครงถักรับแรง ในการนี้ได้มีข้อก้าหนด 2 ข้อดังนี้ 1) แรงทั้งหมดกระทาที่จุ ดเชื่อมต่อของชิ้นส่วน ทั้งโครงสะพานและโครงหลังคา ข้อก้าหนดนี้ใช้ได้จริง เนื่องจากน้้าหนักของชิ้นส่วนโครงถักจะน้อยมากเมื่อเทียบกับน้้าหนักที่โครงถัก ต้องรับเอาไว้ 2) ชิ้นส่วนเชื่อมต่อกันด้วยหมุดผิวเรียบ ข้อต่อที่มีการเชื่อมต่อด้วยหมุดที่ปลายด้าน หนึ่งเข้ากับแผ่นเหล็ก ดังรูปที่ 3(ก) หรือ เชื่อมต่อกันด้วยหมุดขนาดใหญ่หรือหมุดระหว่างชิ้นส่วน เหล่านั้น ดังรูปที่ 3(ข) ซึ่งจะให้ข้อก้าหนดที่ว่าการเชื่อมต่อเหล่านี้เป็นการเชื่อมต่อกันด้วยหมุดเพื่อให้ ถือได้ว่ามีแรงกระท้าผ่านจุดศูนย์กลางจุดเดียวกัน

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 10 การสร้างโครงถักอย่างง่าย 359

(ก) การเชื่อมต่อหมุดกับแผ่นเหล็ก (ข) การเชื่อมต่อด้วยหมุดขนาดใหญ่ รูปที่ 3 จุดเชื่อมต่อด้วยหมุดของโครงถัก จากข้อก้าหนดทั้ง 2 ข้อข้างต้น พบว่าแต่ละชิ้นส่วนของโครงถักจะเป็นชิ้นส่วนรับแรง สองแรง (two force member) หมายความว่าแรงที่กระท้าผ่านจุดปลายของชิ้นส่วนจะเป็นแรงชนิด เดียวกันตลอดชิ้นส่วนนั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าชิ้นส่วนรับแรงแล้วมีความยาวเพิ่มขึ้น (elongate) แสดงว่า ตลอดชิ้นส่วนนั้นจะรับแรงดึง (tensile force, T ) ดังรูปที่ 4(ก) ตรงกันข้าม หากชิ้นส่วนนั้นรับแรง แล้วมีความยาวลดลง (shorten) แสดงว่าตลอดชิ้นส่วนนั้นจะรับแรงกด (compressive force, C ) ดังรูปที่ 4(ข) ในการออกแบบโครงถักจะพิจารณาถึงว่าชิ้นส่วนจะรับแรงกดหรือแรงดึงเป็นหลัก เพราะหากชิ้นส่วนรับแรงกดจะถูกออกแบบให้มีความหนามากกว่าชิ้นส่วนที่รับแรงดึง เนื่องจากจะ เกิดการโก่งงอได้เมื่อชิ้นส่วนถูกแรงกด

รูปที่ 4 ชิ้นส่วนของโครงถักที่รับแรงสองแรง

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

360 สถิตยศาสตร์ 6.2.2 โครงถักอย่างง่าย เมื่อชิ้น ส่ว นสามชิ้น ถูกเชื่อมต่อด้ว ยหมุดที่ต้าแหน่ งจุดปลายทั้งสามจะได้โครงถักที่ เรียกว่า โครงถักแบบสามเหลี่ยม (triangular truss) ซึ่งถือได้ว่าเป็นโครงถักที่มีความแข็งเกร็ง (rigid frame) ดังรูปที่ 5(ก) เมื่อประกอบชิ้นส่วนเพิ่มเติมเข้าไปที่ต้าแหน่ง D ท้าให้ได้โครงถักที่มีขนาดใหญ่ ขึ้น ดังรูปที่ 5(ข) โดยสามารถเพิ่มชิ้นส่วนจนท้าให้โครงถักมีขนาดใหญ่มากขึ้นได้อย่างนี้ไปเรื่อยๆ ถ้า โครงถักถูกขยายขนาดโดยเริ่มจากโครงถักสามเหลี่ยมพื้นฐาน (basic triangular truss) ในลักษณะ ข้างต้น โครงถักที่ได้จะถูกเรียกว่า โครงถักอย่างง่าย (simple truss)

รูปที่ 5 โครงถักอย่างง่าย วัสดุและอุปกรณ์ 1. สปริงวัดแรง 2. ไม้ไอศกรีม 3. สกรูขนาดเล็ก 4. ฐานรองรับโครงถัก 5. ประแจปากเลื่อน ประแจปากตาย เลื่อย ค้อนตอกตะปู วิธีการทดลอง 1. น้าไม้ไอศกรีมที่เตรียมไว้มาท้าการขึ้นรูปโครงถักอย่างง่ายตามที่ได้ออกแบบไว้ดังรูปที่ 1(b) ให้ยึดด้วยสกรูขนาดเล็กและจัดขึ้นรูปเป็นแบบ 3 มิติ โดยใช้ไม้ไอศกรีมเป็นคานเชื่อมต่อระหว่าง ระนาบของโครงถัก 2. น้าสปริงวัดแรงยึดไว้ที่จุดต่อตรงกลางของคานและอีกด้านหนึ่งของสปริงให้ยึดด้วยประแจ ปากเลื่อน 3. อ่านค่าของน้้าหนักจากสปริงที่คานรองรับได้ 4. เปลี่ยนจากประแจปากเลื่อนเป็นประแจปากตาย เลื่อย และค้อนตอกตะปูแล้วท้าการ ทดลองซ้้า และให้สังเกตด้วยว่าคานเสียรูปไปหรือไม่

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 10 การสร้างโครงถักอย่างง่าย 361 ตารางบันทึกผลการทดลอง อุปกรณ์ ประแจปากเลื่อน ประแจปากตาย เลื่อย ค้อนตอกตะปู

น้าหนักที่รับได้ (N)

สภาพของโครงถัก

วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………............................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

362 สถิตยศาสตร์ สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 11 การหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถัก 363

ใบงานที่ 11 เรื่อง การหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถัก วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล......................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง........... ........ วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาสามารถหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถักได้ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง วิธีที่นิยมใช้ในการคานวณหาขนาดและทิศทางของแรงในชิ้นส่วนของโครงถักมี 2 ชนิด คือ 1. วิธีแบบจุด ในการวิเคราะห์หรือออกแบบโครงถัก มีความจาเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องทาการหาแรงในแต่ ละชิ้นส่ ว นของโครงถัก ส าหรั บ วิธีที่ใช้ในการหาแรงในชิ้นส่ ว นของโครงถักวิธีหนึ่ งคือ วิธีแบบจุ ด (method of joint) ซึ่งเป็นวิธีที่ใช้เมื่อโครงถักอยู่ในสภาวะสมดุล ส่งผลให้จุดต่อแต่ละจุดอยู่ใน สภาวะสมดุลไปด้วย ดังนั้น เมื่อเขียนผังวัตถุอิสระของแต่ละจุดต่อเสร็จแล้ว หลังจากนั้นก็ใช้สมการ สมดุลของแรงเพื่อหาแรงที่กระทาในแต่ละจุดต่อได้ เพราะว่าชิ้นส่วนของโครงถักจะเป็นชิ้นส่วนที่รับ แรงสองแรงตลอดชิ้นส่วน ดังนั้น จึงสามารถใช้สมการสมดุล  Fx  0 และ  Fy  0 ในการหา แรงภายในของแต่ละชิ้นส่วนได้ ตัวอย่างการหาแรงในชิ้นส่วนโครงถัก พิจารณาหมุดที่จุด B ของโครงถักดังรูปที่ 1(ก) ซึ่งมีแรง 3 แรงกระทาที่หมุดนี้คือ แรงขนาด 500 N และแรงในชิ้นส่วน BA และ BC ส่วนผังวัตถุ อิสระของหมุด B แสดงดังรูปที่ 1(ข) พบว่า FBA ดึงออกจากหมุดนี้ หมายความว่า ชิ้นส่วน BA รับ แรงดึง ในขณะที่ FBC กดเข้าไปยังหมุดนี้ หมายความว่า ชิ้นส่วน BC รับแรงกด ผลที่เกิดขึ้นแสดง ให้ชัดเจนด้วยการแยกจุดของหมุดพร้อมชิ้นส่วนขนาดเล็กที่เชื่อมต่ออยู่กับหมุด แสดงดังรูปที่ 1(ค) การถูกกดหรือถูกดึงที่แสดงยังชิ้นส่วนขนาดเล็กเนื่องจากชิ้นส่วนนั้นรับแรงกดหรือแรงดึง

รูปที่ 1 การหาแรงในโครงถักด้วยวิธีแบบจุด

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

364 สถิตยศาสตร์

(ข) ผังวัตถุอิสระที่จุด B

รูปที่ 1 (ต่อ)

(ค) ผังวัตถุอิสระพร้อมหมุดที่จุด B

เมื่อใช้วิธีแบบจุดหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถัก สามารถเริ่มต้นได้จากจุดต่อที่ทราบค่า ของแรงอย่ างน้ อยหนึ่ งแรง และ แรงที่ไม่ทราบค่ามากที่สุ ดสองแรง ดังรู ป ที่ 1(ข) ซึ่งสามารถ ประยุกต์ใช้สมการสมดุล  Fx  0 และ  Fy  0 เป็นสองสมการและมีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าอยู่ สองตัวแปร คาตอบจากสองสมการที่ได้นี้ สามารถตรวจสอบค่าของแรงที่ไม่ทราบขนาดและทิศทางได้ ดังนี้ โดยทั่วไป แรงที่ไม่ทราบขนาดและทิศทางจะใช้การสมมุติในการคานวณ กล่าวคือ เมื่อ ผลลัพธ์ที่ได้มีค่าเป็นบวกแสดงว่าทิศทางที่สมมุติตามผังวัตถุอิสระนั้นถูกต้องแล้ว แต่หากผลลัพธ์ที่ได้ มีค่าเป็นลบแสดงว่าทิศทางที่ถูกต้องจะมีทิศทางตรงข้ามกับผังวัตถุอิ สระ หลังจากได้ทิศทางที่ถูกต้อง แล้ว นิยมเขียนตัวอักษรย่อไว้เพื่อแสดงถึงชนิดของแรงที่กระทากับชิ้นส่วนในโครงถัก เช่น แรงดึงใช้ ตัวอักษรย่อเป็น T และ แรงกดนิยมใช้ตัวอักษรย่อเป็น C 2 วิธีแบบภาคตัด เมื่อมีความจาเป็นจะต้องคานวณหาแรงในบางชิ้นส่วนของโครงถัก สามารถหาแรงในโครง ถักได้โดยใช้วิธีแบบภาคตัด (method of sections) ซึ่งอาศัยพื้นฐานที่ว่า ถ้าโครงถักอยู่ในสภาวะ สมดุลแล้วชิ้นส่วนใดๆจะอยู่ในสภาวะสมดุลด้วย วิธีแบบภาคตัดจะใช้ “การตัด” หรือ “ภาคตัด”ชิ้นส่วนใดๆของโครงถักที่สนใจหาแรง ภายในออกเป็น 2 ส่วน หลังจากนั้น จะใช้สมการสมดุลในการหาแรงภายในของชิ้นส่วนที่ถูกตัด ออกมาด้ า นใดด้ า นหนึ่ ง เนื่ อ งจากมี ส มการส าหรั บ หาแรงภายในอยู่ เ พี ย ง 3 สมการ คื อ  Fx  0,  Fy  0 และ  M O  0 ที่จะใช้ในการหาแรงภายในของภาคตัดใดๆ ดังนั้น จึง ควรเลือกภาคตัดที่มีชิ้นส่วนที่ไม่ทราบขนาดและทิศทางของแรงไม่เกิน 3 ชิ้นส่วน ตัวอย่างเช่น พิจารณาโครงถักดังรูปที่ 2(ก) ถ้าต้องการหาแรงในชิ้นส่วน BC, GC และ GF ซึ่งภาคตัด aa เหมาะสมที่สุดในการหาแรง ซึ่งผังวัตถุอิสระของทั้งสองภาคตัดแสดงดังรูปที่ 2(ข) และ (ค) ตามลาดับ โดยสมมุติให้แรงแต่ละชิ้นส่วนกระทาไปตามแนวของชิ้นส่วนในโครงถักนั้นๆ ดังนั้น แรงในชิ้นส่วน เดียวกันจะมีขนาดเท่ากันแต่มีทิศทางตรงกันข้ามเมื่ออยู่คนละภาคตัดซึ่งเป็นไปตามกฎข้อที่สามของ นิวตัน ชิ้นส่วน BC และ GC ถูกสมมุติให้รับแรงดึง และ ชิ้นส่วน GF ถูกสมมุติให้รับแรงกด

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 11 การหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถัก 365 แรงในชิ้นส่ว นที่ไม่ทราบขนาดและทิศทาง FBC , F GC และ F GF หาได้โ ดยใช้สมการ สมดุล 3 สมการ ตามผังวัตถุอิสระรูปที่ 2(ข) อย่าไรก็ตาม ถ้าใช้ผังวัตถุอิสระดังรูปที่ 2(ค) แรง ปฏิกิริยาที่จุดรองรับ Dx , Dy และ E x จะต้องทราบเสียก่อน เพราะว่าสมการสมดุลใช้ได้เพียง 3 สมการเท่านั้น เมื่อใช้ส มการสมดุล ในการหาแรงจึ ง ควรพิ จารณาที่จ ะใช้เ พื่ อหาคาตอบได้ ด้ว ยวิ ธีตรง (direct solution) ส าหรั บ ชิ้ น ส่ ว นที่ ไ ม่ ท ราบแรง ตั ว อย่ า งเช่ น พิ จารณาโครงถั ก ภาคตั ด ดังรูปที่ 2(ข) และหาโมเมนต์หมุนรอบจุด C จะทาให้ได้คาตอบโดยตรงของ F GF เนื่องจาก FBC และ F GC เกิดโมเมนต์เป็นศูนย์หมุนรอบจุด C เช่นเดียวกัน FBC หาได้โดยตรงด้วยการหาโมเมนต์ หมุนรอบจุด G สุดท้าย F GC หาได้โดยตรงด้วยการรวมแรงในแนวตั้ง เนื่องจาก FBC และ F GF ไม่ได้อยู่ในทิศทางในแนวตั้ง การหาแรงได้โดยตรงจึงเป็นข้อได้เปรียบหลัก (main advantage) ของ วิธีแบบภาคตัด

(ก) เลือกภาคตัดผ่านชิ้นส่วนที่ต้องการหาแรง

(ข) ผังวัตถุอิสระด้านซ้ายของภาคตัดที่เลือก รูปที่ 2 ขั้นตอนการหาแรงด้วยวิธีแบบภาคตัด

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

366 สถิตยศาสตร์

(ค) ผังวัตถุอิสระด้านขวาของภาคตัดที่เลือก รูปที่ 2 (ต่อ) วัสดุและอุปกรณ์ 1. สปริงวัดแรง 2. โครงถักที่ขึ้นรูปแล้วเสร็จจากใบงานที่ 10 3. ฐานรองรับโครงถัก 4. ประแจปากเลื่อน ประแจปากตาย ค้อนตอกตะปู วิธีการทดลอง 1. นาโครงถักที่ขึ้นรูปแล้วเสร็จจากใบงานที่ 10 มาทาการรับแรง โดยใช้สปริงวัดแรงยึดกับ ฐานของโครงถักที่ข้อต่อตาแหน่งตรงกลางและอีกด้านหนึ่งจับยึดกับประแจปากเลื่อน หลังจากนั้น ปล่อยประแจปากเลื่อนให้อยู่ในสภาวะสมดุล อ่านขนาดของแรงที่วัดได้ บันทึกผลการทดลอง 2. ทาการคานวณหาขนาดของแรงในชิ้นส่วนของโครงถักแต่ละชิ้นโดยใช้วิธีที่เหมาะสม โดย ทาการหาขนาดและทิศทางของแรงในชิ้นส่วนของโครงถักในระนาบแนวตั้งระนาบเดียว หลังจากนั้น บันทึกผลการคานวณ 3. เปลี่ยนชนิดของอุปกรณ์เป็นประแจปากตายและค้อนตอกตะปู ทาการทดลองซ้า

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 11 การหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถัก 367 ตารางบันทึกผลการทดลอง ชนิดของอุปกรณ์ ประแจปากเลื่อน

ขนาดแรงที่รองรับ (N)

ขนาดและทิศทางของแรง ในแต่ละชิ้นส่วน (N)

ประแจปากตาย

ค้อนตอกตะปู

วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

368 สถิตยศาสตร์ สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… .

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 12 จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ของวัตถุ 369

ใบงานที่ 12 เรื่อง จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ของวัตถุ วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล......................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง........... ........ วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาสามารถหาตาแหน่งของจุดเซนทรอยด์ของวัตถุที่มีรูปทรงทางเรขาคณิตได้ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ ถ้าพื้นที่วางอยู่ในระนาบ x-y และขอบเขตอยู่ในเส้นโค้ง y  f x  ดังรูปที่ 1(ก) สามารถหา จุดเซนทรอยด์ได้โดยการอินทิเกรตสมการ(7.3) และจัดรูปใหม่ จะได้เป็น ~ x dA  x  dA

~ y dA  y  dA

(1)

การอินทิเกรตทาได้โดยการอินทิเกรตหนึ่งตัวแปรเมื่อพื้นที่เล็กๆอยู่ในพิกัดฉาก ตัวอย่างเช่น ถ้า พื้นที่เล็กๆวางในแนวตั้งดังรูปที่ 1(ข) พื้นที่ของชิ้นส่วนนี้หาได้จาก d A  y d x และ จุดเซนทรอยด์ ของพื้นที่อยู่ที่ตาแหน่ง ~x  x และ ~y  y / 2 ถ้าหากพิจารณาพื้นที่ในแนวนอนดังรูปที่ 1(ค) จะได้ x  x / 2 และ ~ d A  x d y และจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่อยู่ที่ตาแหน่ง ~ yy

(ก) จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่

(ข) พื้นที่อินทิเกรตวางในแนวตั้ง

(ค) พื้นที่อินทิเกรตวางในแนวนอน รูปที่ 1 การหาจุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ ทั้งนี้ จุดเซนทรอยด์ของรูปทรงทางเรขาคณิตสามารถหาได้ในภาคผนวก ง มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

370 สถิตยศาสตร์ วัสดุและอุปกรณ์ 1. วัตถุรูปร่างวงกลม สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ทาจากแผ่นอะคริลิคใส 2. ฐานรองรับ 3. เวอร์เนียร์ 4. ปากกาเขียนแผ่นใส วิธีการทดลอง 1. นาฐานรองรับมาวางไว้ที่โต๊ะทดลองการหาจุดเซนทรอยด์ของวัตถุ 2. น าวัตถุ รู ป ร่ างสี่ เหลี่ ย มจั ตุ รั ส ที่ทาจากแผ่ นอะคริ ลิ คใสมาวางไว้ ตรงปลายเข็ม ของ ฐานรองรับจนกระทั่งแผ่นใสอยู่ในสภาวะสมดุลแล้วทาที่หมายระบุตาแหน่งเอาไว้ด้วยปากกาเขียน แผ่นใส 3. ทาการหาจุดเซนทรอยด์ของวัตถุโดยวัดระยะของที่หมายในแนวแกน x และ y, ตามลาดับ หลังจากนั้น บันทึกผลการทดลอง 4. ทาการหาจุดเซนทรอยด์ของวัตถุโดยอาศัยสูตรส าเร็จในภาคผนวก ง บันทึกผลการ คานวณและเปรียบเทียบค่าที่ได้

รูปที่ 2 ระบุตาแหน่งเพื่อหาจุดเซนทรอยด์ 5. เปลี่ยนวัตถุที่มีรูปร่างเป็นสามเหลี่ยม วงกลม และ สี่เหลี่ยมผืนผ้า ทาการทดลองซ้า

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 12 จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ของวัตถุ 371

รูปที่ 3 วัตถุที่ใช้ในการทดลอง ตารางบันทึกผลการทดลอง วัตถุ

จากการทดลอง

จุดเซนทรอยด์

วงกลม

x y

x y

สามเหลี่ยม

x y

x y

สี่เหลี่ยมจัตุรัส

x y

x y

สี่เหลี่ยมผืนผ้า

x y

x y

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

จากการคานวณ

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

372 สถิตยศาสตร์ วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………................................................................................................................... สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 13 จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ของวัตถุผสม 373

ใบงานที่ 13 เรื่อง จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ของวัตถุผสม วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล......................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง........... ........ วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาสามารถระบุตาแหน่งจุดเซนทรอยด์ของวัตถุผสมได้ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง วัตถุผ สม (composite body) เป็น วัตถุที่ป ระกอบขึ้นจากวัตถุที่มีรูป ร่ างพื้นฐาน เช่น สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และ วงกลม เป็นต้น โดยสามารถแบ่งวัตถุชนิดนี้ออกเป็นชิ้นส่วนต่างๆได้ ถ้า ทราบน้าหนักและจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุเหล่านั้น สามารถหาจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุผสมได้โดยสามารถ เขียนสมการให้อยู่ในรูป ~ xW  x W

~ yW  y W

(1)

โดยที่

เป็นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง G ของวัตถุผสม เป็นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วง G ของแต่ละส่วนประกอบของวัตถุผสม W เป็นผลรวมของน้าหนักของวัตถุผสมทั้งหมด เมื่ อ วั ต ถุ มี ค วามหนาแน่ น หรื อ น้ าหนั ก จ าเพาะคงที่ จุ ด เซนทรอยด์ ข องวั ต ถุ ไ ม่ ว่ า จะเป็ น จุดเซนทรอยด์ของเส้น จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ จุดเซนทรอยด์ของปริมาตร สามารถหาได้โดยอาศัย สมการ (1) โดยแทนที่ W ด้วย L, A และ V , ตามลาดับ โดยจุดเซนทรอยด์ของวัตถุที่มีรูปร่าง พื้นฐานหาได้จากภาคผนวก ง ดังนั้น จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ของวัตถุผสมสามารถเขียนเป็นสมการอยู่ในรูป x, y ~ x, ~ y

x

 ~x A A

y

 ~y A A

(2)

วัสดุและอุปกรณ์ 1. วัตถุรูปร่างครึ่งวงกลมและสามเหลี่ยม ครึ่งวงกลมและสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ ครึ่งวงกลม และสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ทาจากแผ่นอะคริลิคใส 2. ฐานรองรับ 3. เวอร์เนียร์ 4. ปากกาเขียนแผ่นใสแบบลบได้

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

374 สถิตยศาสตร์ วิธีการทดลอง 1. นาฐานรองรับมาวางไว้ที่โต๊ะทดลองการหาจุดเซนทรอยด์ของวัตถุ 2. นาวัตถุรูปร่างครึ่งวงกลมและสี่ เหลี่ยมจัตุรัสที่ทาจากแผ่นอะคริลิคใสมาวางไว้ ตรงปลาย เข็มของฐานรองรับจนกระทั่งวัตถุอยู่ในสภาวะสมดุลแล้วระบุตาแหน่งเอาไว้ด้วยปากกาเขียนแผ่นใส

รูปที่ 1 การหาจุดเซนทรอยด์ระหว่างครึ่งวงกลมและสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3. ทาการหาจุดเซนทรอยด์ ของวัตถุผสมโดยวัดระยะของที่หมายในแนวแกน x และ y, ตามลาดับ หลังจากนั้น บันทึกผลการทดลอง 4. ทาการหาจุดเซนทรอยด์ของวัตถุผสมโดยอาศัยสูตรสาเร็จในภาคผนวก ง บันทึกผลการ คานวณและเปรียบเทียบค่าที่ได้ 5. เปลี่ยนวัตถุที่มีรูปร่างเป็นครึ่งวงกลมและสามเหลี่ยม และ ครึ่ง วงกลมและสี่เหลี่ยมผืนผ้า ทาการทดลองซ้า

รูปที่ 2 วัตถุรูปร่างผสมที่ใช้ในการทดลอง

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 13 จุดเซนทรอยด์ของพื้นที่ของวัตถุผสม 375 ตารางบันทึกผลการทดลอง

จุดเซนทรอยด์ จากการทดลอง จากการคานวณ

วัตถุผสม ครึ่งวงกลมและสามเหลี่ยม

x y

x y

ครึ่งวงกลมและสี่เหลี่ยมจัตุรัส

x y

x y

ครึ่งวงกลมและสี่เหลี่ยมผืนผ้า

x y

x y

วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

376 สถิตยศาสตร์ สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 14 การหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน 377

ใบงานที่ 14 เรื่อง การหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล.....................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง............ ....... วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาสามารถหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานของวัตถุได้ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง กลไกการเกิดแรงเสียดทานระหว่างวัตถุผิวแห้ง พิจารณากล่องมีมวล m ถูกวางอยู่บนพื้นราบดังรูปที่ 1(ก) สมมุติให้พื้นผิวสัมผัสมีความหยาบ ทดลองออกแรงในแนวระดับขนาด P โดยเพิ่มค่าของแรงขึ้นเรื่อยๆจากศูนย์จนถึงขนาดที่สามารถทา ให้วัตถุนี้เคลื่อนที่และมีความเร็ว ผังวัตถุอิสระของกล่องที่รับแรง P แสดงดังรูปที่ 1(ข) โดยที่แรง เสียดทานในแนวระดับจากพื้นกระทากับกล่องมีค่าเท่ากับ F แรงเสียดทานนี้กระทากับกล่องใน ทิศทางตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่เสมอและมีแรงในแนวตั้งฉาก N โดยในกรณีนี้มีค่าเท่ากับ mg และแรงรวมเท่ากับ R ซึ่งเป็นผลรวมของแรง N และ F พื้นผิวสัมผัสมีความขรุขระแสดงดังรูปที่ 1(ค) ช่วยทาให้เกิดความเข้าใจถึงการกระทาของแรง เสียดทานได้ดียิ่งขึ้น ทิศทางของแรงปฏิกิริยาที่กระทากับกล่อง R1 , R2 , R3 ไม่ได้ขึ้นอยู่กับพื้นผิวสัมผัส เท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับการเสียรูปของแต่ละตาแหน่งของจุดสัมผัสอีกด้วย แรงรวมในแนวตั้งฉาก N จึงเป็นผลรวมของส่วนประกอบในแนว n ของ R และแรงเสียดทานรวม F จะเป็นผลรวมของ ส่วนประกอบในแนว t ของ R จากการทดลองและสามารถเขียนความสัมพันธ์ระหว่างแรงเสียดทาน F ให้อยู่ในรูปของแรง P จะได้ความสัมพันธ์แสดงดังรูปที่ 1(ง) เมื่อแรง P เท่ากับศูนย์ จะอยู่ในสภาวะสมดุลนั่นคือไม่มี แรงเสียดทาน เมื่อแรง P เพิ่มขึ้น, แรงเสียดทานจะมีขนาดเท่ากันแต่มีทิศทางตรงข้ามกับแรง P ตราบเท่าที่กล่องยังไม่มีการลื่นไถล ซึ่งในช่วงนี้ กล่องจะอยู่ในสภาวะสมดุล และแรงที่กระทากับกล่อง สามารถหาได้จากสมการสมดุล จนในที่สุด เมื่อเพิ่มแรง P จนทาให้กล่องลื่นไถลและเคลื่อนที่ไปใน ทิศทางที่แรงกระทา ซึ่งในช่วงนี้จะทาให้แรงเสียดทานลดลงเล็กน้อยและทันทีทันใด และค่อนข้าง เกือบคงที่อยู่ช่วงหนึ่ง แต่หลังจากนั้น จะลดลงมากเมื่อความเร็วมีค่าเพิ่มขึ้น

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

378 สถิตยศาสตร์

(ก) การออกแรงดึงวัตถุ

(ข) ผังวัตถุอิสระของการออกแรงดึงวัตถุ

(ค) ความขรุขระของพื้นผิวสัมผัส (ง) ความสัมพันธ์ของแรงเสียดทาน รูปที่ 1 กลไกการเกิดแรงเสียดทานระหว่างวัตถุผิวแห้ง แรงเสียดทานสถิต ช่วงบริเวณตามรูปที่ 1(ง) จากเริ่มต้นจนกระทั่งเริ่มเกิดการลื่นไถลถูกเรียกว่าช่วงของ แรงเสียด ทานสถิต (static friction) และค่าของแรงเสียดทานในช่วงนี้สามารถหาได้โดยอาศัยสมการสมดุล ค่า ของแรงเสียดทานเริ่มตั้งแต่ศูนย์ไปจนถึงค่ามากที่สุด โดยจากการทดลองจะพบว่า แรงเสียดทานมาก ที่สุด Fmax เป็นสัดส่วนโดยตรงกับแรงปฏิกิริยาในแนวดิ่ง N และเขียนให้อยู่ในรูปได้เป็น Fmax   s N

(1)

โดยที่  s เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสถิต จากสมการ (1) อธิบายได้เพียงเฉพาะขอบเขตจากัดหรือค่าของแรงเสียดทานสถิตที่มากที่สุด และไม่ใช่ค่าที่น้อยที่สุด ดังนั้ น สมการนี้ใช้ได้เฉพาะในกรณีเริ่มเกิดการเคลื่อนที่ด้วยค่าของแรงเสียด ทานที่มากที่สุด สาหรับกรณีของสมดุลสถิตคือยังไม่เกิดการเคลื่อนที่ แรงเสียดทานสถิตหาได้จาก F  s N

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 14 การหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน 379 แรงเสียดทานจลน์ หลั งจากเกิ ดการลื่ น ไถล เงื่ อนไขของแรงเสี ยดทานจลน์ จะถูก น ามาพิจ ารณาส าหรั บ การ เคลื่อนที่ โดยทั่วไปแล้ว แรงเสียดทานจลน์มีค่าน้อยกว่าแรงเสียดทานสถิตที่มากที่สุด และสามารถหา แรงเสียดทานจลน์ได้จากสมการ Fk   k N

(2)

โดยที่  k เรียกว่า สัมประสิทธิ์แรงเสียดทานจลน์และโดยทั่วไป  k มีค่าน้อยกว่า  s วัสดุและอุปกรณ์ 1. กล่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 10x10x10 เซนติเมตร 2. โต๊ะทดลองความเสียดทาน 3. สปริงวัดแรงขนาด 1000 กรัม 4. แท่งเหล็กจานวน 10 ชิ้น 5. เครื่องชั่งดิจิตอล 6. แผ่นไม้อัด 7. แผ่นสังกะสี 8. แผ่นเหล็ก 9. แผ่นอะลูมิเนียม 10. แผ่นแก้วใส วิธีการทดลอง 1. นาแท่งเหล็กจานวน 10 ชิ้น ไปชั่งน้าหนักด้วยเครื่องชั่งดิจิตอล แล้วนามาบรรจุไว้ในกล่อง สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่วางไว้ที่พื้นไม้อัด 2. นาสปริงวัดแรงไปยึดเข้ากับตะขอเกี่ยวที่กล่องสี่เหลี่ยมที่บรรจุแท่งเหล็ก 3. ค่อยๆออกแรงดึงสปริงวัดแรงอย่างช้าๆแล้ วสังเกตพฤติกรรมการเคลื่อนที่ของกล่อง สี่เหลี่ยมที่บรรจุแท่งเหล็ก

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

380 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 2 การออกแรงดึงกล่องที่บรรจุแท่งเหล็กบนพื้นไม้อัด 4. เมื่อกล่องสี่เหลี่ยมที่บรรจุแท่งเหล็กเริ่มเคลื่อนที่ให้อ่านค่าของแรงดึงจากสปริงวัดแรงแล้ว บันทึกผลการทดลอง 5. ทาการคานวณหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานสถิตของพื้นไม้อัด บันทึกผลการคานวณ 6. ทาการทดลองซ้าแต่เปลี่ยนพื้นจากไม้อัดเป็นแผ่นสังกะสี, แผ่นเหล็ก, แผ่นอะลู มิเนียมและ แผ่นแก้วใส ตารางบันทึกผลการทดลอง พื้นผิว น้้าหนักแท่งเหล็ก (N) แผ่นไม้อัด แผ่นสังกะสี แผ่นเหล็ก แผ่นอะลูมิเนียม แผ่นแก้วใส

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

แรงดึงสปริง (N)

สัมประสิทธิ์ความเสียดทาน

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 14 การหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน 381 วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………. สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

382 สถิตยศาสตร์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 15 เสถียรภาพของวัตถุ 383

ใบงานที่ 15 เรื่อง เสถียรภาพของวัตถุ วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล......................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง........... ........ วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาเข้าใจและระบุตาแหน่งความมีเสถียรภาพของวัตถุ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง เสถียรภาพของความสมดุล ฟังก์ชันศักยภาพ V ของระบบสามารถใช้ในการหาความมีเสถียรภาพของเกณฑ์ของความ สมดุลได้ ซึ่งถูกแยกออกเป็น มีเสถียรภาพ (stable) เป็นกลาง (neutral) หรือ ไม่เสถียรภาพ (unstable) รายละเอียดดังต่อไปนี้ สมดุลแบบมีเสถียรภาพ (stable equilibrium) ระบบจะถูกกล่าวว่ามีเสถียรภาพ ถ้า ระบบนั้นสามารถย้อนกลับไปอยู่ในตาแหน่งในตอนเริ่มต้นได้เมื่อเคลื่อนที่ไปได้ระยะการกระจัดเพียง เล็กน้อย ตัวอย่างแสดงดังรูปที่ 1(ก) เมื่อแผ่นจานเคลื่อนที่ไปได้ระยะการกระจัดเพียงเล็กน้อย จุ ด ศูนย์กลางมวล G ก็สามารถหมุนกลับมาอยู่ในตาแหน่งสมดุลได้เสมอ ซึ่งอยู่ในตาแหน่งต่าที่สุดของ การเคลื่อนที่ ซึ่งเป็นจุดที่พลังงานศักย์ของแผ่นจานมีค่าต่าที่สุด สมดุลแบบเป็นกลาง (neutral equilibrium) ระบบจะถูกกล่าวว่าอยู่ในสภาวะสมดุลแบบ เป็นกลาง ถ้าระบบอยู่ในสภาวะสมดุลได้เสมอเมื่อระบบเคลื่อนที่ไปได้ระยะการกระจัดเพียงเล็กน้อย จากจุดเริ่มต้นในตอนแรก โดยที่เงื่อนไขของความสมดุลแบบนี้ จะพบว่าพลังงานศักย์ของระบบมี ค่าคงที่ สมดุลแบบเป็นกลางแสดงดังรูปที่ 1(ข) ซึ่งแผ่นจานถูกยึดแน่นด้วยหมุดไว้ที่จุด G ในทุกครั้ง ที่แผ่นจานหมุนไป ตาแหน่งสมดุลตาแหน่งใหม่จะอยู่ที่เดิมเสมอ และ พลังงานศักย์ไม่เปลี่ยนแปลง สมดุลแบบไม่เสถียรภาพ (unstable equilibrium) ระบบจะถูกกล่าวว่าไม่มีเสถียรภาพ ถ้าระบบไม่มีโอกาสมาอยู่ในตาแหน่งสมดุลในตอนแรกได้ เมื่อเคลื่อนที่ไปได้ระยะการกระจัดเพียง เล็ ก น้ อ ย โดยพลั ง งานศั ก ย์ ข องระบบในเงื่ อ นไขนี้ จ ะมี ค่ ามากที่สุ ด ต าแหน่ ง ของสมดุ ล แบบไม่ มี เสถียรภาพของแผ่นจานแสดงดังรูปที่ 1(ค) จะพบว่า แผ่นจานหมุนไปจากตาแหน่งสมดุลเมื่อจุด ศูนย์กลางมวลเปลี่ยนตาแหน่งไปเพียงเล็กน้อย ที่ตาแหน่งสูงสุดนี้ พลังงานศักย์จะมีค่าสูงสุด ระบบที่มีดีกรีขั้นความเสรีเป็นหนึ่ง (one degree of freedom system) ถ้าระบบมีดีกรี ขั้นความเสรีเป็นหนึ่งและตาแหน่งของระบบนั้นถูกระบุด้วยพิกัดเป็น q ดังนั้น ฟังค์ชันศักยภาพ V สาหรับระบบในเทอมของ q สามารเขียนเป็นกราฟได้ดังรูปที่ 2 เมื่อพิจารณาระบบอยู่ในสภาวะ สมดุล ดังนั้น d V / d q แสดงถึงความชันของฟังค์ชันต้องมีค่าเท่ากับศูนย์ ในการหาความเสถียรภาพ ทีต่ าแหน่งที่มีความสมดุลต้องใช้การหาอนุพันธ์อันดับที่สองของฟังค์ชันศักยภาพ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

384 สถิตยศาสตร์

(ก) สมดุลแบบมีเสถียรภาพ (ข) สมดุลแบบเป็นกลาง (ค) สมดุลแบบไม่เสถียรภาพ รูปที่ 1 เสถียรภาพของความสมดุลของแผ่นจาน ถ้า d 2V / d q 2 มีค่ามากกว่าศูนย์ ดังรูปที่ 2(ก) พลังงานศักย์ของระบบจะมีค่าน้อย ที่สุด ซึ่งเป็นการแสดงว่าระบบมีความสมดุลในเงื่อนไขที่เรียกว่า มีเสถียรภาพ ด้วยเหตุนี้ สามารถสรุป ได้ว่า dV  0, dq

d 2V 0 d q2

สมดุลแบบมีเสถียรภาพ

(9.15)

ถ้า d 2V / d q 2 มีค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังรูปที่ 2(ข) พลังงานศักย์ของระบบจะมีค่ามาก ที่สุด ซึ่งเป็นการแสดงว่าระบบมีความสมดุลในเงื่อนไขที่เรียกว่า ไม่มีเสถียรภาพ สามารถสรุปได้ว่า dV  0, dq

d 2V 0 d q2

สมดุลแบบไม่เสถียรภาพ

(9.16)

ถ้า d 2V / d q 2 มีค่าเท่ากับศูนย์และถ้าหากว่าอนุพันธ์อันดับที่สูงขึ้นเรื่อยๆนั้นมีค่า เท่ากับศูนย์ด้วย ระบบนั้นจะกล่าวว่าอยู่ในสภาวะสมดุลแบบเป็นกลาง ดังรูปที่ 2(ค) สามารถสรุปได้ ว่า d V d 2V d 3 V    ...  0 dq d q2 d q3

สมดุลแบบเป็นกลาง

(9.17)

โดยเงื่อนไขนี้เกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อฟังค์ชันศักยภาพของระบบมีค่าคงที่เท่านั้น

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 15 เสถียรภาพของวัตถุ 385

(ก) สมดุลแบบมีเสถียรภาพ

(ข) สมดุลแบบไม่เสถียรภาพ (ค) สมดุลแบบเป็นกลาง รูปที่ 2 กราฟฟังค์ชันศักยภาพของระบบ

วัสดุและอุปกรณ์ 1. ขาตั้งชุดทดลองหาความเสถียรภาพของวัตถุ 2. แผ่นจานกลมที่เจาะร่องไว้ตาแหน่งด้านบน ด้านล่างและตรงกลาง 3. แผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เจาะร่องไว้ตาแหน่งด้านบน ด้านล่างและตรงกลาง วิธีการทดลอง 1. นาแผ่นจานกลมที่เจาะร่องไว้ด้านบนไปยึดไว้กับเข็มของขาตั้งชุดทดลอง

รูปที่ 3 การยึดแผ่นจานกลมกับขาตั้ง 2. ปล่อยแผ่นจานกลมให้เคลื่อนที่ได้อย่างอิสระจนกระทั่งแผ่นจานกลมหยุดนิ่งแล้วสังเกต ความสมดุลของแผ่นจานกลม บันทึกผลการทดลอง 3. เปลี่ยนแผ่นจานกลมที่เจาะร่องไว้ตาแหน่งตรงกลางและด้านล่าง แล้วทาการทดลองซ้า บันทึกผลการทดลอง 4. ทาการทดลองซ้าโดยเปลี่ยนจากแผ่ นจานกลมเป็นแผ่นสี่ เหลี่ยมผืนผ้ าที่เจาะร่องไว้ ตาแหน่งด้านบน ด้านล่างและตรงกลาง แล้วบันทึกผลการทดลอง มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

386 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 4 แผ่นจานกลมและแผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เจาะร่องสาหรับการทดลอง ตารางบันทึกผลการทดลอง วัตถุ ตาแหน่งเจาะร่อง ด้านบน แผ่นจานกลม ตรงกลาง ด้านล่าง ด้านบน แผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ตรงกลาง ด้านล่าง

ความสมดุล

วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 15 เสถียรภาพของวัตถุ 387 สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

388 สถิตยศาสตร์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 2 การหาแรงลัพธ์ของแรง 2 แรง 321

ใบงานที่ 2 เรื่อง การหาแรงลัพธ์ของแรง 2 แรง วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล...................................................รหัสนักศึกษา......................................ห้อง.......................... วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาสามารถหาแรงลัพธ์โดยใช้กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ได้ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง หลังจากการรวมแรงโดยใช้กฎของสามเหลี่ยมจะได้ผลของแรงลัพธ์ออกมาแสดงดังรูปที่ 1 ซึ่ง สามารถหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์โดยใช้กฎของตรีโกณมิติดังนี้ กฎของโคไซน์ : กฎของไซน์

:

C 2  A2  B 2  2 AB cos( ) A B C   sin( ) sin(  ) sin( )

รูปที่ 1 การหาขนาดและทิศทางของแรงด้วยสูตรตรีโกณมิติ วัสดุและอุปกรณ์ 1. สปริงวัดแรงขนาด 1000 กรัม 2 อัน 2. ชุดทดลองการหาแรงลัพธ์ 3. ไม้โปรแทรกเตอร์วัดมุมแบบครึ่ง วิธีการทดลอง 1. ใช้สปริงวัดแรงอันที่หนึ่งจับยึดที่ตาแหน่งปลายขาตั้งของชุดทดลองแล้วออกแรงดึงขึ้นให้มี ขนาดเท่ากับ 5 นิวตัน ทามุม  กับแนวระดับเท่ากับ 15 บันทึกค่าของแรงและมุม 2. ใช้สปริงวัดแรงอีกอันหนึ่งจับยึดที่ตาแหน่งปลายขาตั้งชุดทดลองตาแหน่งเดียวกับสปริงวัด แรงอันแรก หลังจากนั้นออกแรงดึงลงให้มีขนาดเท่ากับ 10 นิวตัน ทามุม  กับแนวดิ่งเท่ากับ 30 บันทึกค่าของแรงและมุม

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

322 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 2 แสดงทิศทางของสองแรงที่ใช้ในการทดลอง 3. ทาการคานวณหาขนาดของแรงลัพธ์ที่ได้จากสองแรงนี้โดยใช้กฎของไซน์และกฎของ โคไซน์ บันทึกผลการคานวณ 4. เปลี่ยนขนาดของแรงของสปริงอันที่หนึ่งเป็น 8 และ 4 นิวตัน แรงของสปริงอันที่สองเป็น 6 และ 10 นิวตัน และมุมของสปริงอันที่หนึ่งเป็น 60 และ 45 มุมของสปริงอันที่สองเป็น 30 และ 75 แล้วทาการทดลองซ้า ตารางบันทึกผลการทดลอง F1 (N) F2 (N)



(องศา)

 (องศา)

R (N)

วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 2 การหาแรงลัพธ์ของแรง 2 แรง

323

สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………….

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

324 สถิตยศาสตร์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 3 การหาแรงลัพธ์ของแรง 3 แรง

325

ใบงานที่ 3 เรื่อง การหาแรงลัพธ์ของแรง 3 แรง วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล...........................................................รหัสนักศึกษา.....................................ห้อง................... วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาสามารถหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ของแรง 3 แรงได้ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง สาหรับการรวมเวกเตอร์ของแรงมากกว่าสองแรง วิธีที่นิยมและสะดวกคือการรวมแบบสเกลาร์ (scalar algebra) ทาได้โดยการแตกเวกเตอร์ของแต่ละแรง หลังจากนั้นนาเวกเตอร์ของแรงที่แตก เวกเตอร์มารวมกัน รูปที่ 1(ก) เป็นการรวมกันของแรงสามแรง และ รูปที่ 1(ข) เป็นการแตกเวกเตอร์ ของแต่ละแรง การรวมกันแบบเวกเตอร์ของแรงหาได้ดังสมการ   F1  F1x i  F1 y j   F2   F2 x i  F2 y j   F3  F3 x i  F3 y j

ดังนั้น เวกเตอร์ของแรงลัพธ์ หาได้จาก FR  F1  F2  F3

       F1x i  F1 y j  F2 x i  F2 y j  F3 x i  F3 y j    F1x  F2 x  F3 x i  F1 y  F2 y  F3 y  j    FRx i  FRy  j

จะได้ผลลัพธ์ของแรงในแต่ละแกน ดังสมการ 

()

FRx  F1x  F2 x  F3 x

( )

FRy  F1 y  F2 y  F3 y

ดังนั้น สรุปหลักการหาแรงลัพธ์ในกรณีที่มีแรงกระทาหลายๆแรงได้ ดังสมการ FRx   Fx

(1) FRy   Fy

แรงลัพธ์รวม

FR

โดยที่ผลลัพธ์ของแรงรวมในแต่ละแกนสามารถเขียนได้ดังรูปที่ 1(ค) และขนาดของ หาได้จาก

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

326

สถิตยศาสตร์ FR  FRx2  FRy2

และมุม  ของแรงลัพธ์รวม   tan

FR หาได้จาก FRy 1

FRx

(2) (3)

รูปที่ 1 การรวมเวกเตอร์ของแรงสามแรง วัสดุและอุปกรณ์ 1. สปริงวัดแรงขนาด 1000 กรัม จานวน 3 ชิ้น 2. ชุดทดลองการหาแรงลัพธ์ของแรงสามแรง 3. ไม้โปรแทรกเตอร์วัดมุมแบบครึ่งวงกลม วิธีการทดลอง 1. ใช้สปริงวัดแรงชิ้นที่หนึ่งจับยึดที่ปลายขาตั้งของชุดทดลองแล้วออกแรงดึงสปริงขึ้นให้มี ขนาดเท่ากับ 5 นิวตัน ทามุม  กับแนวระดับเท่ากับ 15 บันทึกค่าของแรงและมุม 2. ใช้สปริงวัดแรงอีกชิ้นหนึ่งจับยึดที่ปลายขาตั้งชุดทดลองแล้วออกแรงดึงสปริงขึ้นให้มีขนาด เท่ากับ 7 นิวตัน ทามุม  กับแนวระดับเท่ากับ 45 บันทึกค่าของแรงและมุม 3. ใช้สปริงวัดแรงชิ้นสุดท้ายจับยึดที่ปลายขาตั้งชุดทดลองแล้วออกแรงดึงสปริง ลงมาให้มี ขนาดเท่ากับ 8 นิวตัน ทามุม  กับแนวดิง่ เท่ากับ 30 บันทึกค่าของแรงและมุม

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 3 การหาแรงลัพธ์ของแรง 3 แรง

327

รูปที่ 2 แสดงทิศทางของแรงสามแรงที่ใช้ในการทดลอง 4. ให้แรงทั้งสามกระทาอยู่ในระนาบเดียวกัน หลังจากนั้น หาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์ ของแรงทั้งสาม บันทึกผลการคานวณ 5. เปลี่ยนขนาดของแรงเป็น 3, 9 และ 10 และทิศทางเป็นมุม 30 , 53 และ 60  , ตามลาดับ แล้วทาการทดลองซ้า ตารางบันทึกผลการทดลอง F2 (N) F1 (N) F3 (N)

 (องศา)

 (องศา)

 (องศา)

R (N)

 (องศา)

วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………….

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

328

สถิตยศาสตร์

สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 4 การหาโมเมนต์ของแรง 329

ใบงานที่ 4 เรื่อง การหาโมเมนต์ของแรง วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล......................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง........... ........ วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาสามารถคานวณหาขนาดโมเมนต์ของแรงได้ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง โมเมนต์ของแรง นอกจากแรงสามารถทาให้วัตถุเคลื่อนที่ไปตามทิศทางที่แรงกระทา แรงยังทาให้วัตถุหมุนไป รอบแกนได้ ซึ่งแกนที่ใช้ในการหมุนของวัตถุอาจจะอยู่ ในแนวตั้งฉากหรื อขนานกับ ทิศทางที่แรง กระทา สาหรับการทาให้วัตถุหมุนไปรอบแกนได้นี้เรียกว่า โมเมนต์ของแรง และถูกเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า ทอร์ค (Torque) การหาโมเมนต์ของแรงแบบสเกลาร์พิจารณาจากรูปที่ 1(ก) ออกแรงหมุนในทิศทางตั้งฉากกับ ประแจทาให้ประแจหมุนไปรอบท่อในทิศทางตั้งฉากกับแกนหมุน ขนาดของโมเมนต์ขึ้นอยู่กับขนาด ของแรง F และระยะความยาวของประแจกับจุดจับยึด d จากรูปที่ 1(ข) ออกแรง F กระทากับวัตถุในระนาบ 2 มิติ ขนาดโมเมนต์ของแรงที่ทาให้ วัตถุหมุนรอบแกน O  O ที่ตั้งฉากกับระนาบของวัตถุจะเป็นสัดส่วนกับขนาดของแรงและระยะ d ซึ่งเป็นระยะทางที่ตั้งฉากจากแกนหมุนถึงจุดที่แรงกระทา ดังนั้น ขนาดโมเมนต์หาได้จากสมการ M F d (1) โมเมนต์ เป็ น ปริ มาณเวกเตอร์ มี ทิศทางตั้งฉากกั บ ระนาบของวั ตถุที่ รั บ แรง ทิศ ทางของ โมเมนต์ M ขึ้นอยู่กับทิศทางของแรง F ที่ทาให้วัตถุหมุนไปโดยอาศัยกฎมือขวาดังรูปที่ 1(ค) ใช้ใน การหาทิศทางลัพธ์ของโมเมนต์ของแรง จากรูปที่ 1(ข) โมเมนต์ของแรง F ที่หมุนรอบแกน O  O จะมีทิศทางลัพธ์ไปตามนิ้วหัวแม่มือ ส่วนนิ้วชี้แสดงถึงทิศทางของแรงที่ทาให้เกิดโมเมนต์ โมเมนต์ของแรงในหน่วยสากลเป็น นิวตัน -เมตร N  m ส่วนหน่วยอังกฤษ เป็น ปอนด์ฟุต lb  ft  เมื่อมีแรงกระทากับวัตถุในระนาบ ทาให้เกิดโมเมนต์รอบจุด ซึ่งให้โมเมนต์ลัพธ์อยู่ในทิศทาง ตั้งฉากกับระนาบของวัตถุและผ่านจุดที่แรงกระทากับวัตถุนั้น ดังนั้น โมเมนต์ของแรง F รอบจุด A ดังรูปที่ (ง) จะมีขนาดเท่ากับ M  F d และมีทิศทางทวนเข็มนาฬิกา (counterclockwise) ทิศทางของโมเมนต์นิยมบ่งชี้ด้วยเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ โดยกาหนดให้เครื่องหมาย บวก ( + ) แทนโมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา และ เครื่องหมายลบ ( - ) แทนโมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา จาก เกณฑ์ที่กาหนดให้ รูปที่ 1(ง) โมเมนต์ของแรง F หมุนรอบจุด A ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา จึงมีค่า เป็นบวก

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

330 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 1 การเกิดโมเมนต์และทิศทางโมเมนต์ของแรง ทฤษฎีวาริยอง หลักการพื้นฐานสาคัญในการหาโมเมนต์ของแรงคือ ทฤษฎีวาริยอง (Varignon’s theorem) กล่าวว่า “โมเมนต์ของแรงลัพธ์รอบจุดใดมีค่าเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของส่วนประกอบของแรงรอบ จุดนั้น” เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีวาริยอง พิจารณาแรงลัพธ์ R กระทากับวัตถุในระนาบตามรูปที่ 2 จะได้ ขนาดโมเมนต์ของแรงลัพธ์ R รอบจุด O เท่ากับ R d อย่างไรก็ตาม พบว่าระยะ d หาได้ยากกว่า ระยะ p และ q ส าหรั บ แรงลั พธ์ R สามารถแตกแรงออกเป็ นส่ ว นประกอบ P และ Q ซึ่ ง สามารถหาโมเมนต์ได้จาก MO  R d   p P  qQ

โดยกาหนดให้โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกามีค่าเป็นบวก

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 4 การหาโมเมนต์ของแรง 331

รูปที่ 2 การหาโมเมนต์ด้วยทฤษฎีของวาริยอง วัสดุและอุปกรณ์ 1. ชุดทดลองการหาขนาดโมเมนต์ 2. กล่องทรงลูกบาศก์เมตรขนาด 10x10x10 เซนติเมตร 3. แท่งเหล็ก 10 ชิ้น 4. สปริงวัดแรง 5. ไม้บรรทัด วิธีการทดลอง 1. นาแท่งเหล็กจานวน 2 ชิ้น บรรจุลงในกล่องสี่เหลี่ยมที่เตรียมไว้ 2. นาสปริงวัดแรงมายึดไว้กับตะขอของกล่องแล้วนาไปยึดไว้กับคานที่ระยะห่างจากจุดหมุน (L) เท่ากับ 50 เซนติเมตร 3. อ่านค่าน้าหนักของแท่งเหล็กที่ได้จากสปริงวัดแรง บันทึกขนาดของแรง 4. ทาการคานวณหาขนาดของโมเมนต์ของแรง บันทึกผลการคานวณ 5. เพิ่มจานวนแท่งเหล็กครั้งละ 2 ชิ้น จนถึง 10 ชิ้น ทาการทดลองซ้า 6. ทาการทดลองซ้าโดยการเปลี่ยนระยะห่างจากจุดหมุนไปเป็น 40 เซนติเมตร และเพิ่ม จานวนแท่งเหล็กครั้งละ 2 ชิ้น จนถึง 10 ชิ้น บันทึกผลการทดลอง

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

332 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 3 การทดลองหาขนาดโมเมนต์ของแรง ตารางบันทึกผลการทดลอง จานวนแท่งเหล็ก ขนาดของแรง (N) (ชิ้น) 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

ระยะห่าง (m)

ขนาดโมเมนต์ (N.m)

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 4 การหาโมเมนต์ของแรง 333 วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….. สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………........................................................................

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

334 สถิตยศาสตร์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 5 การหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบ 335

ใบงานที่ 5 เรื่อง การหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบ วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล......................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง........... ........ วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาสามารถคานวณหาขนาดโมเมนต์ของแรงคู่ควบได้ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง แรงคู่ควบ (Couple) หมายถึง แรงสองแรงที่ขนานกัน มีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกัน ข้าม และห่างกันด้วยระยะ d ดังรูปที่ 1 เนื่องจากผลลัพธ์ของแรงคู่ควบจะมีค่าเท่ากับศูนย์ ผลของ แรงคู่ควบจึงทาให้เกิดการหมุนของวัตถุในทิศทางที่แรงกระทา

รูปที่ 1 แรงคู่ควบ โมเมนต์ที่เกิดจากแรงคู่ควบ เรียกว่า โมเมนต์ของแรงคู่ควบ (Couple Moment) พิจารณา รูปที่ 2 เวกเตอร์บอกตาแหน่ง rA และ rB วัดจากจุด O ถึงจุด A และ B ตามลาดับ ซึ่งเป็นจุดการ กระทาของแรง  F และ F โมเมนต์ของแรงคู่ควบรอบจุด O หาได้จาก M  rB  F  rA   F  rB  rA  F โดยที่ r B  rA  r หรือ r  rB  rA ดังนั้น จะได้โมเมนต์ของแรงคู่ควบเป็น M  rF

รูปที่ 2 การหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

336 สถิตยศาสตร์ พบว่า โมเมนต์ของแรงคู่ควบเป็นเวกเตอร์อิสระ (free vector) คือ โมเมนต์ของแรงคู่ควบจะ กระทาที่ตาแหน่งใดของวัตถุก็ได้ เนื่องจาก M ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์บอกตาแหน่ง r ซึ่งเป็นระยะห่าง ระหว่างแรงสองแรง โมเมนต์ของแรงคู่ควบแบบสเกลาร์ โมเมนต์ของแรงคู่ควบ M ดังรูปที่ 3 สามารถหาขนาดได้จากสมการ (1)

M Fd

โดยที่ F เป็นขนาดของแรงเพียงแรงเดียว และ d เป็นระยะห่างที่ตั้งฉากระหว่างแรงทั้งสอง ส่วนทิศทางของโมเมนต์ของแรงคู่ควบหาได้จากกฎมือขวา (right hand rule) นิ้วหัวแม่มือแสดงถึง ทิศทางลัพธ์ของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ ส่วนนิ้วชี้แสดงถึงการหมุนไปของแรงคู่ควบ โดยที่ M อยู่ใน ทิศทางตั้งฉากกับระนาบของแรงคู่ควบเสมอ ดังรูปที่ 3

รูปที่ 3 การหาขนาดและทิศทางของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ วัสดุและอุปกรณ์ 1. สปริงวัดแรงขนาด 1000 กรัม จานวน 2 อัน 2. ชุดทดลองโมเมนต์ของแรงคู่ควบ 3. ตลับเมตร 4. ไม้โปรแทรกเตอร์วัดมุมแบบครึ่งวงกลม วิธีการทดลอง 1. นาสปริงวัดแรงทั้งสองอันไปยึดที่จุดปลายของชุดทดลองโมเมนต์ของแรงคู่ควบโดยให้ สปริงมีทิศทางของการดึงตรงข้ามกัน 2. ออกแรงดึงสปริงวัดแรงทั้งสองอันทามุม ( ) เท่ากับ 90 องศา กับแนวแกนของชุด ทดลอง จนกระทั่งชุดทดลองเริ่มหมุน แล้วบันทึกค่าของแรงดึง

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 5 การหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบ 337

รูปที่ 4 การออกแรงดึงหาโมเมนต์ของแรงคู่ควบ 3. ทาการคานวณหาขนาดของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ บันทึกผลการคานวณ 4. ทาการทดลองซ้าโดยเปลี่ยนมุมจาก 90 เป็น 75, 60, 45 และ 30 องศา แล้วคานวณหา ขนาดของโมเมนต์ของแรงคู่ควบ ตารางบันทึกผลการทดลอง แรงดึง มุม ( ) (N) (องศา)

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ระยะห่าง (d) (m)

โมเมนต์ของแรงคู่ควบ (N.m)

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

338 สถิตยศาสตร์ วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 6 สมดุลของอนุภาค 2 มิติ 339

ใบงานที่ 6 เรื่อง สมดุลของอนุภาค 2 มิติ วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล......................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง........... ........ วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาสามารถหาแรงที่ทาให้อนุภาคอยู่ในสภาวะสมดุลได้ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง อนุภาคอยู่ในสภาวะสมดุล แบบ 2 มิติ เมื่ออยู่ในสภาวะหยุดนิ่ งก็จะหยุดนิ่งตลอดไปหรื อ เคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วคงที่ในขณะที่มีการเคลื่อนที่ ดังนั้น เพื่อให้วัตถุอยู่ในสภาวะสมดุลต้องใช้กฎ การเคลื่อนที่ข้อหนึ่งของนิวตันในการหาแรงลัพธ์กระทากับวัตถุมีค่าเป็นศูน ย์ เขียนอยู่ในรูปสมการได้ เป็น

F 

(1)

0

โดยที่  F คือผลรวมของแรงที่กระทากับอนุภาค สมการสมดุล อนุภาคถูกแรงกระทาในระนาบ xy ดังรูปที่ 1 หลังจากนั้น แตกแรงแต่ละแรงให้อยู่ในรูปของ เวกเตอร์ห นึ่งหน่ วย i และ j แล้ว ทาการรวมแรงทั้งหมดให้แรงลัพธ์เท่ากับศูนย์ สามารถเขียน สมการได้เป็น 

F  0 F i  F j  0 x

y

การทาให้สมการเวกเตอร์ข้างบนเป็นจริงได้ ต้องทาให้ผลรวมของแรงในแนวแกน มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น สมการสมดุลของแรงในแต่ละแกนเท่ากับ

F F

x

0

y

0

และ

y

(2)

ในการคานวณด้วยสมการ (2) ต้องคานึงถึงทิศทางของแรงที่กระทาในแนวแกน เป็นสาคัญ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

x

x

และ

y

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

340 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 1 แรงกระทากับอนุภาคในระนาบ

xy

ลาดับขั้นตอนการแก้ปัญหา การแก้ปัญหาสมดุลของแรงที่กระทากับอนุภาค มีขั้นตอนดังนี้ การเขียนผังวัตถุอิสระ 1) เขียนพิกัด x, y ในตาแหน่งที่เหมาะสม 2) ระบุชื่อให้กับแรงที่ทราบและไม่ทราบขนาดและทิศทาง 3) สมมุติทิศทางให้กับแรงที่ไม่ทราบค่า การใช้สมการสมดุล 1) ประยุกต์ใช้สมการสมดุล  Fx  0 และ  Fy  0 2) ชิ้นส่วนมีทิศทางเป็นบวกเมื่อชี้ไปในแนวแกนที่เป็นบวก ตรงกันข้าม ชิ้นส่วนมี ทิศทางเป็นลบเมื่อชี้ไปในแนวแกนที่เป็นลบ วัสดุและอุปกรณ์ 1. ขาตั้งชุดทดลองสมดุลของอนุภาค 2 มิติ 2. สปริงวัดแรงขนาด 1000 กรัม 1 อัน 3. กล่องอะลูมิเนียมขนาด 10x10x10 เซนติเมตร 4. แท่งเหล็กจานวน 8 ชิ้น 5. เครื่องชั่งดิจิตอล 6. ไม้โปรแทรกเตอร์วัดมุมแบบครึ่งวงกลม 7. ลวด วิธีการทดลอง 1 นาแท่งเหล็ก 1 ชิ้น ไปชั่งน้าหนักด้วยเครื่องชั่งดิจิตอล บันทึกน้าหนัก

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 6 สมดุลของอนุภาค 2 มิติ 341

รูปที่ 2 การชั่งแท่งเหล็กด้วยเครื่องชั่งดิจิตอล 2. นาแท่งเหล็กที่ชั่งน้าหนักแล้วไปวางไว้ในกล่องสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยึดไว้กับลวดที่ขาตั้งของชุด ทดลอง แล้วนาสปริงวัดแรงมายึดไว้กับตะขอที่ยึดไว้กับกล่อง

รูปที่ 3 แท่งเหล็กที่บรรจุไว้ในกล่อง 3. ออกแรงดึงสปริงวัดแรงให้ขนานกับแนวระดับจนกระทั่งลวดที่ยึดกับขาตั้งทามุมกับแนวดิ่ง (  ) เท่ากับ 45 องศา แล้วบันทึกขนาดของแรงของสปริงวัดแรง F 

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

342 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 4 การออกแรงดึงกล่องที่บรรจุแท่งเหล็ก 4. ทาการคานวณหาขนาดของแรงดึงในลวด T  ที่ยึดกับขาตั้ง 5. ทาการทดลองซ้าโดยการเพิ่มแท่งเหล็กที่ละชิ้นจนถึง 8 ชิ้น

รูปที่ 5 แท่งเหล็กที่ใช้ในการทดลอง

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 6 สมดุลของอนุภาค 2 มิติ 343 ตารางบันทึกผลการทดลอง จานวน น้าหนักบรรจุ แท่งเหล็ก ในกล่อง (ชิ้น) (N) 1 2 3 4 5 6 7 8

มุม ( ) (องศา)

แรงดึงสปริง (N)

แรงดึงในลวด (N)

T

วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

344 สถิตยศาสตร์ สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 7 สมดุลของอนุภาค 3 มิติ 345

ใบงานที่ 7 เรื่อง สมดุลของอนุภาค 3 มิติ วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล......................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง........... ........ วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาคานวณหาแรงที่ทาให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล 3 มิติได้ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง สมการสมดุล เงื่อนไขความสมดุลของอนุภาคในระบบ 3 มิติ สามารถเขียนสมการในรูปของเวกเตอร์ ได้เป็น  (1) F  0 พิจารณาจากรูปที่ 1 สามารถแตกแรงให้อยู่ในส่วนประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใน แนวแกน x, y และ z จะได้ว่า  Fx i   Fy j   Fz k  0 ดังนั้น จะได้สมการสมดุลของ อนุภาคในระบบ 3 มิติ เป็น

F F F

x

0

y

0

z

(2)

0

รูปที่ 1 แสดงถึงสมดุลของอนุภาคในระบบ 3 มิติ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

346 สถิตยศาสตร์ ลาดับขั้นตอนการแก้ปัญหา การแก้ปัญหาสมดุลของแรงในระบบ 3 มิติ สาหรับอนุภาคมีขั้นตอนได้ดังนี้ การเขียนผังวัตถุอิสระ 1) เขียนพิกัด x, y และ z ในตาแหน่งที่เหมาะสม 2) ระบุชื่อของแรงที่ทราบและไม่ทราบขนาดและทิศทาง 3) สมมุติทิศทางของแรงที่ไม่ทราบขนาด การใช้สมการสมดุล 1) ประยุกต์ใช้สมการสมดุล  Fx  0 ,  Fy  0 และ  F z  0 2) ถ้าการแตกแรงออกเป็นองค์ประกอบของแรงในแนวแกน x, y และ z กระทาได้ยาก จะทาการเขียนแรงแต่ละแรงลงในผังวัตถุอิสระในรูปของ  เวกเตอร์ในพิกัดฉากแล้วแทนค่าในรูปของเวกเตอร์ลงในสมการ  F  0 หลังจากนั้น จัดเทอมของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย i, j และ k ให้เท่ากับศูนย์ แล้วแก้สมการหาค่าตัวแปรที่ไม่ทราบค่า 3) ถ้าคาตอบที่ได้มีค่าเป็นลบแสดงว่าทิศทางของแรงจะมีทิศทางตรงข้ามกับที่ สมมุติไว้ในผังวัตถุอิสระ วัสดุและอุปกรณ์ 1. สปริงวัดแรง 2 อัน 2. ขาตั้งชุดทดลองสมดุลของอนุภาค 3 มิติ 2 ชุด 3. กล่องอะลูมิเนียมขนาด 10x10x10 เซนติเมตร 4. แท่งเหล็กจานวน 8 ชิ้น 5. เครื่องชั่งดิจิตอล 6. ไม้โปรแทรกเตอร์วัดมุมแบบครึ่งวงกลม 7. ลวด วิธีการทดลอง 1. บรรจุแท่งเหล็กจานวน 1 ชิ้น ที่ผ่านการชั่งน้าหนักด้วยเครื่องชั่งดิจิตอลเรียบร้อยแล้วลงใน กล่องอะลูมิเนียมที่ยึดไว้กับลวดและสปริงวัดแรง ซึ่งได้ทาการยึดไว้กับขาตั้งของชุดทดลองทั้งสองขา ตัง้

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 7 สมดุลของอนุภาค 3 มิติ 347

รูปที่ 2 แท่งเหล็กที่บรรจุในกล่องขณะทาการทดลอง 2. นาสปริงวัดแรงอีกชิ้นหนึ่งมายึดไว้กับตะขอที่ยึดไว้กับกล่องที่บรรจุแท่งเหล็กแล้วทาการ ออกแรงดึงให้ขนานกับแนวระดับจนมุมของลวดกระทากับแนวดิ่ง ( ) เท่ากับ 45 องศา แล้วทาการ บันทึกขนาดของแรงดึงในสปริงวัดแรงที่ใช้ในการดึงกล่อง ( F1 ) และสปริงที่ยึดกับขาตั้ง ( F2 )

รูปที่ 3 การออกแรงดึงกล่องที่บรรจุแท่งเหล็ก 3. ทาการคานวณหาขนาดของแรงดึงในลวดที่ยึดกล่องไว้ (T ) บันทึกผลการคานวณ 4. ทาการทดลองซ้าโดยเพิ่มแท่งเหล็กที่ละชิ้นจนถึง 8 ชิ้น

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

348 สถิตยศาสตร์ ตารางบันทึกผลการทดลอง จานวน น้าหนัก แท่งเหล็ก ในกล่อง (ชิ้น) (N) 1 2 3 4 5 6 7 8

F1

(N)

F2 (N)

 (องศา)

T

(N)

วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………..……………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 8 สมดุลของวัตถุ 2 มิติ 349

ใบงานที่ 8 เรื่อง สมดุลของวัตถุ 2 มิติ วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล......................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง........... ........ วัตถุประสงค์ 1. เพื่อให้นักศึกษาเข้าใจและสามารถระบุเงื่อนไขที่ทาให้วัตถุแข็งเกร็งอยู่ในสภาวะสมดุล ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง ในการพิจารณาสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งในระบบ 2 มิติ จะได้สมการสมดุลอยู่ในรูปดังนี้

F F M

x

 0

y

 0 o

(1)

 0

โดยที่  Fx และ  Fy แสดงถึงผลรวมของแรงในแนวแกน x และ แกน y ที่กระทากับ วัตถุ และ  M O แสดงถึงผลรวมของโมเมนต์ของแรงคู่ควบและโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่กระทา กับวัตถุในระนาบ xy และ หมุนรอบจุด m1 วัสดุและอุปกรณ์ 1. ชุดทดลองสมดุลของวัตถุแข็งเกร็ง 2 มิติ 2. ไม้บรรทัด 3. แท่งเหล็กขนาดเล็กจานวน 10 ชิ้น 4. เครื่องชั่งดิจิตอล วิธีการทดลอง 1. นาฐานชุดทดลองวางไว้ที่พื้นโต๊ะทดลองสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งแล้วนาไม้บรรทัดมาวางไว้ ที่ฐานชุดทดลองโดยวางไว้ตรงกึ่งกลางฐาน 2. นาแท่งเหล็กจานวน 1 ชิ้น มาวางไว้ที่ตาแหน่งปลายสุดทางด้านซ้ายของไม้บรรทัดให้มี ระยะห่างจากจุดหมุน 15 เซนติเมตร 3. หลังจากนั้นให้นาแท่งเหล็กไปวางทางด้านขวาของไม้บรรทัดตาแหน่งที่ทาให้ระบบอยู่ใน สภาวะสมดุล

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

350 สถิตยศาสตร์

รูปที่ 1 การวางแท่งเหล็กเมื่อวางไม้บรรทัดที่จุดกึ่งกลางฐาน 4. เมื่อระบบอยู่ในสภาวะสมดุลให้น าแท่งเหล็กทางด้านซ้ายและขวาของจุดหมุนไปชั่ง น้าหนักด้วยเครื่องชั่งดิจิตอล บันทึกผลการทดลอง 5. ให้คานวณหาโมเมนต์หมุนทวนเข็มและตามเข็มนาฬิกา บันทึกผลการคานวณ 6. ทาการทดลองซ้าโดยให้เลื่อนไม้บรรทัดออกไปทางด้านขวามือทั้งหมด 5 ครั้ง โดยมี ระยะห่างของการเลื่อนครั้งละ 2 เซนติเมตร แล้ววางแท่งเหล็กจนทาให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล บันทึกผลการทดลอง

รูปที่ 2 การจัดวางแท่งเหล็กเมื่อเปลี่ยนระยะจากจุดหมุน

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 8 สมดุลของวัตถุ 2 มิติ 351 ตารางบันทึกผลการทดลอง m1

m2

L1

L2

(N)

(N)

(m)

(m)

โมเมนต์ตาม เข็มนาฬิกา (N.m)

โมเมนต์ทวน เข็มนาฬิกา (N.m)

วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

352 สถิตยศาสตร์ สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 9 สมดุลของวัตถุ 3 มิติ 353

ใบงานที่ 9 เรื่อง สมดุลของวัตถุ 3 มิติ วิชา สถิตยศาสตร์ ชื่อ – สกุล......................................................รหัสนักศึกษา........................................ห้อง........... ........ วัตถุประสงค์ 1. เพื่อนักศึกษาสามารถหาแรงที่ทาให้ระบบอยู่ในสภาวะสมดุล 3 มิติ ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง เงื่อนไขสาหรับใช้ในการแก้ปัญหาสมดุลในระบบ 3 มิติ เมื่อมีแรงกระทากับวัตถุแข็งเกร็ง สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ได้เป็น

F  0 M  0

(1)

O

โดยที่



F  0 คือ ผลรวมของแรงที่กระทากับวัตถุแข็งเกร็ง  M  0 คือ ผลรวมโมเมนต์ของแรงคู่ควบและโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่ O

กระทากับวัตถุแข็งเกร็งรอบจุด O ที่อยู่บนวัตถุแข็งเกร็งหรือไม่ อยู่บนวัตถุแข็งเกร็ง และสามารถเขียนสมการ (1) ให้อยู่ในรูปของเวกเตอร์ในพิกัดฉากของแต่ละแกนได้ดังนี้ 

 F   F i   F j   F k  0 M  M i  M j  M k  0 x

O

พบว่าเวกเตอร์ การคานวณได้เป็น

i, j

และ

และ

y

x

k

z

y

z

เป็นอิสระต่อกัน สามารถเขียนสมการให้อยู่ในรูปที่สะดวกต่อ

F F F

M M M

x

0

y

0

z

0

x

0

y

0

z

0

(2)

(3)

อาจกล่าวได้ว่า สมดุลของวัตถุแข็งเกร็งสามารถเกิดขึ้นได้เมื่อผลรวมของแรงและผลรวมของ โมเมนต์ที่กระทากับวัตถุแข็งเกร็งมีค่าเท่ากับศูนย์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

354 สถิตยศาสตร์ วัสดุและอุปกรณ์ 1. ชุดทดลองสมดุลพร้อมขาตั้ง 3 อัน 2. สปริงวัดแรง 2 ชิ้น 3. แผ่นเหล็กสามเหลี่ยมมุมฉากขนาด 30x40x50 เซนติเมตร หนา 2 มิลลิเมตร 4. เชือก 5. แท่งเหล็ก 10 ชิ้น 6. เครื่องชั่งดิจิตอล วิธีการทดลอง 1. นาแผ่นเหล็กสามเหลี่ยมมุมฉากไปยึดติดกับสปริงวัดแรงสองชิ้นแล้วนาไปยึดไว้กับขาตั้ง ของชุดทดลอง 2. นาเชือกผูกเข้ากับขาตั้งและนามายึดไว้กับแผ่นเหล็กที่ยึดไว้กับสปริงวัดแรง พยายามรักษา ระดับให้อยู่ระนาบเดียวกัน 3. นาแท่งเหล็กสองชิ้นที่ชั่งน้าหนักด้วยเครื่องชั่งดิจิตอลแล้วมาวางไว้บนพื้นผิวของแผ่นเหล็ก โดยวางไว้ที่ตาแหน่งตรงกลางของแผ่นเหล็ก

รูปที่ 1 การหาแรงดึงในเชือก 4. อ่านค่าของแรงดึงในสปริงวัดแรงทั้งสอง บันทึกผลการทดลอง 5. คานวณหาขนาดของแรงดึงในเชือก (T) 6. ทาการทดลองซ้าโดยเพิ่มจานวนของแท่งเหล็กทีละ 2 ชิ้น ไปจนถึง 10 ชิ้น

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ใบงานที่ 9 สมดุลของวัตถุ 3 มิติ 355

รูปที่ 2 แท่งเหล็กที่ใช้ในการทดลอง ตารางบันทึกผลการทดลอง จานวนแท่ง น้าหนักแท่ง เหล็ก (ชิ้น) เหล็ก (N) 2 4 6 8 10

F1 (N)

F2 (N)

T

(N)

วิเคราะห์ผลการทดลอง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

356 สถิตยศาสตร์ สรุป ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ภาคผนวก ข เฉลยแบบฝึกหัด

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

390 สถิตยศาสตร์ แบบฝึกหัดบทที่ 1 1.2) MN / m 1.3) N / s 2 1.4) MN / s 1. 1.1) N 3. 3.1) M kg / s 3.2) k N / m 3.3) k N / kg  s 5. 24.44 m / s 7.2) 0.910 kg  s 7.3) 18.750 GN / m 7. 7.1) 0.447 kg  m / N 9. 9.1) 8.532 km/ kg 2 9.2) 134.750 m2  kg3 11. 165.41 lb 13. 13.1) ปริมาณเวกเตอร์, โมเมนตัม เพราะต้องมีขนาดและทิศทาง 13.2) ปริมาณเวกเตอร์, ความเร็ว เพราะต้องมีขนาดและทิศทาง 13.3) ปริมาณสเกลาร์, ความหนาแน่น เพราะมีเพียงขนาด 13.4) ปริมาณเวกเตอร์, แรง เพราะต้องมีขนาดและทิศทาง 13.5) ปริมาณสเกลาร์, ปริมาตร เพราะมีเพียงขนาด แบบฝึกหัดบทที่ 2 2.1 R  8.67 kN,   3.03 2.3 R  3.92 kN,   78.6 2.5 R  217.94 N ,   81.58 2.7 R  338.19 N ,   11.33 2.9 R  1030.53 N ,   87.92     2.11 T  0.320 i  0.642 j  0.962 k  kN    2.13 rAB  {3i  6 j  k } m , rAB  6.78 m 2.15 R  940.22 N ,   76,47 ,   65.73 ,   28.24     2.17 FAB   240.24i  479.92 j  160.16k  N แบบฝึกหัดบทที่ 3 3.1 M B  13.01 N  m (โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา) 3.3 M o  46.35 N  m (โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา) 3.5 M A  16.03 lb  in (โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา)         3.7 M OA  18 i  9 j  3k  N  m M OA  18 i  7.5 j  30k  N  m 3.9 M R  740 N  m (โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา) อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

เฉลยแบบฝึกหัด 391 3.11

M o  0.3 kN  m

(โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา)

แบบฝึกหัดบทที่ 4 4.1 TAB  2.39 kN, TAC  2.59 kN 4.3 TAB  3924 N , TBC  3398.18 N 4.5 TAB  TAC  125 N 4.7   64.34 , WD  1.15 kN 4.9 F1  465.52 N , F2  879.31 N , F3  775.87 N 4.11 FAB  161.63 lb, FAC  242.33 lb, FAD  346.19 lb แบบฝึกหัดบทที่ 5 5.1 C  11.31 kN, Ax  8.0 kN, Ay  4 kN 5.3 M A  3900 N  m, Ax  346.41 N , Ay  800 N 5.5 Ax  0, Ay  2854.71 N , B  3717.99 N 5.7 TAB  TAC  234.31 N , TAD  156.21 N 5.9 TAD  2.12 kN, TAE  2.98 kN    5.11 TBE  TBF  17.5 kN, A   7 i  22.4 j  kN แบบฝึกหัดบทที่ 6 6.1 FAB  225 N (T ), FAD  318.20 N (C), FDC  318.20 N (T ), FDB  0, FBC  225 N (T ) 6.3 FAB  533.33 N (T ), FAE  666.67 N (C) 6.5 FDG  1.8 kN(C), FFH  1.8 kN(T ) 6.7 FAB  437.5 N (T ), FBC  262.5 N (C), FAC  1028.5 N (C), FAD  983.88 N (T ) FCD  262.5 N (C ),

6.9 FBC  75 kN(C), FHC  48.02 kN(T ), FHG  37.5 kN(T ) 6.11 Ax  506.32 N , Ay  76.9 N , Bx  506.32 N , By  876.9 N 6.13 P  100 N 6.15 P  81.75 N

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

392 สถิตยศาสตร์ แบบฝึกหัดบทที่ 7 7.1 x  1.55, y  0.756 7.3 x  5a / 8 7.5 x  0.8 m, y  0.29 m 7.7 y  237.5 mm 7.9 y  17.47 mm 7.11 x  243.63 mm, y  117.73 mm 7.13 x  5.67 cm, y  5.17 cm 7.15 RA  23.12 N , RB  29.38 N 7.17 RA  900 N , RB  650 N 7.19 RA  1430 N , RB  370 N แบบฝึกหัดบทที่ 8 8.1 F  85 lb มีทิศทางไปด้านซ้าย 8.3 P  342.62 N 8.5 อยู่ในสภาวะสมดุล, F  4.04 N แบบฝึกหัดบทที่ 9 9.1 P  28.32 N 9.3   77.2 9.5 W  1.376 kN 9.7 m  7.10 kg

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ภาคผนวก ค เฉลยแบบทดสอบ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

394 สถิตยศาสตร์ แบบทดสอบบทที่ 1 1.1 ปริมาณเวกเตอร์, ความเร็ว เพราะต้องมีทั้งขนาดและทิศทาง 1.2 ปริมาณสเกลาร์, มวล เพราะมีเพียงขนาด 1.3 ปริมาณสเกลาร์, ปริมาตร เพราะมีเพียงขนาด 1.4 ปริมาณเวกเตอร์, ความเร่ง เพราะต้องมีทั้งขนาดและทิศทาง 1.5 ปริมาณสเกลาร์, เวลา เพราะมีเพียงขนาด 3 m  680 kg และ W  6670 N 5.1) m  0.343 slug 5.2) m  8.22 105 slug 5.3) 7.1) 166.7 ms / N  m 2 7.2) 2.133  m 2  kg / kN 2

m  822.25 slug

แบบทดสอบบทที่ 2 2.1 R  91.70 N ,   166.78 2.3 R  17.43 kN,   26.06    2.5 R  88.83i  244.62 j  N         2.7 FAc   43.5 i 174.25 j  174.25k  N , FBD  52.5i  78.75 j  145.25 k  N     2.9 R   16.8 i  85.9 j  578.2 k  N แบบทดสอบบทที่ 3  3.1 M O  36.72 N  m (โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา) 3.3 M R  20 kN  m (โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา)     3.5 M  1602 i  2002.5 j  1192.5 k N  m แบบทดสอบบทที่ 4 4.1 FAB  99.39 N , FAC  266.08 N 4.3 FBA  0.43 kN, FBC  0.35 kN, FEB  0.22 kN, FED  0.15 kN 4.5 FAB  523.39 N , FAC  305.36 N , FAD  283.53 N

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

เฉลยแบบทดสอบ 395 แบบทดสอบบทที่ 5 5.1 TAB  3693.52 N , Cx  2884.15 N , C y  345.33 N 5.3 a  213.33 mm, Ax  800 N , Ay  300 N     5.5 TBD  780.6 N , TBE  390.6 N , A   195.01i  1171.19 j  130.13 k N แบบทดสอบบทที่ 6 6.1 FBE  5.0 kNT ), FDE  4.0 kN(C), F AB  4.0 kN(T ), FBD  9.0 kN(C) FAD  15 kNT ), FCD  16 kN(C ) 6.3 FDF  12 kNT ), FCD  9 kN(C) 6.5 Bx  100 N , By  75 N , Cx  100 N , C y  75 N แบบทดสอบบทที่ 7 7.1 x  2.4 m, y  0.86 m 7.3 y  19.15 cm 7.5 RA  12wo L / 54, RB  15wo L / 54 7.7 RA  1.44 kN, RB  2.88 kN แบบทดสอบบทที่ 8 8.1 F  172.6 N 8.3 F  379 N , ทิศไปทางด้านซ้าย 8.5 a) P  403.21 N , b) P  228.94 N แบบทดสอบบทที่ 9 9.1   56.3 9.3   38.45 d 2V / d 2  179.5  0 ระบบมีความเสถียรภาพ

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

396 สถิตยศาสตร์

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ภาคผนวก ง จุดเซนทรอยด์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

..

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

398 สถิตยศาสตร์ ตารางที่ ง.1 แสดงจุดเซนทรอยด์ของรูปทางเรขาคณิต พื้นที่ครึ่งวงกลม

รูปร่าง

จุดเซนทรอยด์

y  34r พื้นที่หนึ่งในสี่ของวงกลม

x  y  34r

พื้นที่ส่วนหนึ่งของวงกลม x

พื้นที่สามเหลี่ยม

2 r sin  3 

ab 3 h y 3 x

พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า x

b 2

y

a 2

(ที่มา : Meriam et al. 2013: 497)

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

.

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ภาคผนวก จ สูตรแคลคูลัส

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

400 สถิตยศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน dx n  nx n1 dx d (uv) dv du u v dx dx dx u d   v du  u dv  v   dx dx dx v2 d sin x  cos x dx d cos x   sin x dx d tan x  sec 2 x dx

การอินทิเกรต n  x dx 



x n1 n 1

dx  ln x x

ax  e dx 

e ax a

ax  xe dx 

e ax (ax  1) a2

 sin xdx   cos x  cos xdx  sin x  sec xdx  tan x 2

ตรีโกณมิติ sin 2   cos 2   1 sec 2   tan 2   1

csc 2   cot 2   1 sin 2  2 sin cos

cos 2  cos 2   sin 2  sin      sin  cos   cos sin  cos     cos cos   sin sin 

อาจารย์ สุทิน พลบูรณ์

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี