Renormalization: An Introduction to Renormalization, the Renormalization Group and the Operator-Product Expansion 0521242614, 9780521242615, 9780511867392, 0511867395

Most of the numerical predictions of experimental phenomena in particle physics over the last decade have been made poss

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Table of contents :
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contents
1 Introduction
2 Quantum field theory
2.1 Scalar field theory
2.2 Functional-integral solution
2.3 Renormalization
2.4 Ultra-violet regulators
2.5 Equations of motion for Green's functions
2.6 Symmetries
2.7 Ward identities
2.8 Perturbation theory
2.9 Spontaneously broken symmetry
2.10 Fermions
2.11 Gauge theories
2.12 Quantizing gauge theories
2.13 BRS invariance and Slavnov-Taylor identities
2.14 Feynman rules for gauge theories
2.15 Other symmetries of (2.11.7)
2.16 Model field theories
3 Basic examples
3.1 One-loop self-energy in phi3 theory
3.1.1 Wick rotation
3.1.2 Lattice
3.1.3 Interpretation of divergence
3.1.4 Computation
3.2 Higher order
3.3 Degree of divergence
3.3.1 phi3 at d = 6
3.3.2 Why may Z be zero and yet contain divergences?
3.3.3 Renormalizability and non-renormalizability
3.4 Renormalization group
3.4.1 Arbitrariness in a renormalized graph
3.4.2 Renormalization prescriptions
3.5 Dimensional regularization
3.6 Minimal subtraction
3.6.1 Definition
3.6.2 d = 6
3.6.3 Renormalization group and minimal subtraction
3.6.4 Massless theories
3.7 Coordinate space
4 Dimensional regularization
4.1 Definition and axioms
4.2 Continuation to small d
4.3 Properties
4.4 Formulae for Minkowski space
4.4.1 Schwinger parameters
4.4.2 Feynman parameters
4.5 Dirac matrices
4.6 gamma_5and epsilon
5 Renormalization
5.1 Divergences and subdivergences
5.2 Two-loop self-energy in (phi3)6
5.2.1 Fig. 5.1.2
5.2.2 Differentiation with respect to external momenta
5.2.3 Fig. 5.1.3
5.3 Renormalization of Feynman graphs
5.3.1 One-particle-irreducible graph with no subdivergences
5.3.2 General case
5.3.3 Application of general formulae
5.3.4 Summary
5.4 Three-loop example
5.5 Forest formula
5.5.1 Formula
5.5.2 Proof
5.6 Relation to L
5.7 Renormalizability
5.7.1 Renormalizability and non-renormalizability
5.7.2 Cosmological term
5.7.3 Degrees of renormalizability
5.7.4 Non-renormalizability
5.7.5 Relation of renormalizability to dimension of coupling
5.7.6 Non-renormalizable theories of physics
5.8 Proof of locality of counterterms; Weinberg's theorem
5.8.1 Degree of counterterms equals degree of divergence
5.8.2 \bar{R}(G) is finite if delta{G) is negative
5.8.3 Asymptotic behavior
5.9 Oversubtractions
5.9.1 Mass-shell renormalization and oversubtraction
5.9.2 Remarks
5.9.3 Oversubtraction on IPR graphs
5.10 Renormalization without regulators: the BPHZ scheme
5.11 Minimal subtraction
5.11.1 Definition
5.11.2 \bar{MS} renormalization
6 Composite operators
6.1 Operator-product expansion
6.2 Renormalization of composite operators: examples
6.2.1 Renormalization of phi2
6.2.2 Renormalization of (phi)2(x)(phi)2(y)
6.3 Definitions
6.4 Operator mixing
6.5 Tensors and minimal subtraction
6.6 Properties
Property 1. Linearity
Property 2. Differentiation is distributive
Property 3. Simple equation of motion
Property 4. Equation of motion times operator
Property 5. Ward identities
Property 6. Non-renormalization of current
6.7 Differentiation with respect to parameters in L
6.8 Relation of renormalizations of phi2 and m2
7 Renormalization group
7.1 Change of renormalization prescription
7.1.1 Change of parametrization
7.1.2 Renormalization-prescription dependence
7.1.3 Low-order examples
7.2 Proof of RG invariance
7.3 Renormalization-group equation
7.3.1 Renormalization-group coefficients
7.3.2 RG equation
7.3.3 Solution
7.4 Large-momentum behavior of Green's functions
7.4.1 Generalizations
7.5 Varieties of high- and low-energy behavior
7.5.1 Asymptotic freedom
7.5.2 Maximum accuracy in an asymptotically free theory
7.5.3 Fixed point theories
7.5.4 Low-energy behavior ofmassless theory
7.6 Leading logarithms, etc.
7.6.1 Renormalization-group logarithms
7.6.2 Non-renormalization-group logarithms
7.6.3 Landau ghost
7.7 Other theories
7.8 Other renormalization prescriptions
7.9 Dimensional transmutation
7.10 Choice of cut-off procedure
7.10.1 Example: phi4 self-energy
7.10.2 RG coefficients
7.10.3 Computation of g0 and Z; asymptotically free case
7.10.4 Accuracy needed for g0
7.10.5 m20
7.10.6 Non-asymptotically free case
7.11 Computing renormalization factors using dimensional regularization
7.12 Renormalization group for composite operators
8 Large-mass expansion
8.1 A model
8.2 Power-counting
8.2.1 Tree graphs
8.2.2 Finite graphs with heavy loops
8.2.3 Divergent one-loop graphs
8.2.4 More than one loop
8.3 General ideas
8.3.1 Renormalization prescriptions with manifest decoupling
8.3.2 Dominant regions
8.4 Proof of decoupling
8.4.1 Renormalization prescription R* with manifest decoupling
8.4.2 Definition of R*
8.4.3 IR finiteness of C*(\Gamma)
8.4.4 Manifest decoupling for R*
8.4.5 Decoupling theorem
8.5 Renormalization-group analysis
8.5.1 Sample calculation
8.5.2 Accuracy
9 Global symmetries
9.1 Unbroken symmetry
9.2 Spontaneously broken symmetry
9.2.1 Proof of invariance of counterterms
9.2.2 Renormalization of the current
9.2.3 Infrared divergences
9.3 Renormalization methods
9.3.1 Generation of renormalization conditions by Ward identities
10 Operator-product expansion
10.1 Examples
10.1.1 Cases with no divergences
10.1.2 Divergent example
10.1.3 Momentum space
10.1.4 Fig. 10.1.3 inside bigger graph
10.2 Strategy of proof
10.3 Proof
10.3.1 Construction of remainder
10.3.2 Absence of infra-red and ultra-violet divergences in r(\Gamma).
10.3.3 R(T) — r(T) is the Wilson expansion
10.3.4 Formula for \bar{C}(U)
10.4 General case
10.5 Renormalization group
11 Coordinate space
11.1 Short-distance singularities of free propagator
11.1.1 Zero temperature
11.1.2 Non-zero temperature
11.2 Construction of counterterms in low-order graphs
11.3 Flat-space renormalization
11.4 Externa] fields
12 Renormalization of gauge theories
12.1 Statement of results
12.2 Proof of renormalizability
12.2.1 Preliminaries
12.2.2 Choice of counterterms
12.2.3 Graphs with external derivatives
12.2.4 Graphs finite by equations of motion
12.2.5 Gluon selfenergy
12.2.6 BRS transformation of A.
12.2.7 Gluon self-interaction
12.2.9 Quark-gluon interaction; introduction of B
12.3 More general theories
12.3.1 Bigger gauge group
12.3.2 Scalar matter
12.3.3 Spontaneous symmetry breaking
12.4 Gauge dependence of counterterms
12.4.1 Change of Xi
12.4.2 Change of Fa
12.5 R-gauge
12.6 Renormalization of gauge-invariant operators
12.6.1 Caveat
12.7 Renormalization-group equation
12.8 Operator-product expansion
12.9 Abelian theories: with and without photon mass
12.9.1 BRS treatment of massive photon
12.9.2 Elementary treatment of abelian theory with photon mass
12.9.3 Ward identities
12.9.4 Counterterms proportional to A2 and d-A2
12.9.5 Relation between e0 and Z3
12.9.6 Gauge dependence
12.9.7 Renormalization-group equation
12.10 Unitary gauge for massive photon
13 Anomalies
13.1 Chiral transformations
13.2 Definition of gamma5
13.3 Properties of axial currents
13.3.1 Non-anomalous currents
13.3.2 Anomalous currents
13.3.3 Chiral gauge theories
13.3.4 Supersymmetric theories
13.4 Ward identity for bare axial current
13.4.1 Renormalization of operators in Ward identities
13.5 One-loop calculations
13.6 Non-singlet axial current has no anomaly
13.6.1 Reduction of anomaly
13.6.2 Renormalized current has no anomalous dimension
13.7 Three-current Ward identity; the triangle anomaly
13.7.1 General form of anomaly
13.7.2 One-loop value
13.7.3 Higher orders
14 Deep-inelastic scattering
14.1 Kinematics, etc.
14.2 Parton model
14.3 Dispersion relations and moments
14.4 Expansion for scalar current
14.5 Calculation of Wilson coefficients
14.5.1 Lowest-order Wilson coefficients
14.5.2 Anomalous dimensions
14.5.3 Solution of RG equation - non-singlet
14.6 OPE for vector and axial currents
14.6.1 Wilson coefficients - electromagnetic case
14.7 Parton interpretation of Wilson expansion
14.8 W4 and W5
References
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ＳＩＣＳ

ＲＥＮＯＲＭＡＬＩＺＡＴＩＯＮ Ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ， ａｎｄ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ＪＯＨＮ

Ｃ．ＣＯＬＬＩＮＳ

Ｉｌｌｉｎｏｉｓ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

Ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ ｔｏ ｐｒｉｎｔ ａｎｄ ｓｅｌｌ ａｌｌ ｍａｎｎｅｒ ｏｆ ｂｏｏｋｓ ｗａｓ ｇｒａｎｔｅｄ ｂｙ Ｈｅｎｒｙ ＶＩＩＩ ｉｎ １５３４． Ｔｈｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｈａｓ ｐｒｉｎｔｅｄ ａｎｄ ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｌｙ ｓｉｎｃｅ １５８４．

ＣＡＭＢＲＩＤＧＥ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＰＲＥＳＳ ＣＡＭＢＲＩＤＧＥ ＬＯＮＤＯＮ

ＮＥＷ ＹＯＲＫ

ＭＥＬＢＯＵＲＮＥ

ＮＥＷ ＲＯＣＨＥＬＬＥ ＳＹＤＮＥＹ

Ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｐｒｅｓｓ Ｓｙｎｄｉｃａｔｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｔｈｅ Ｐｉｔｔ Ｂｕｉｌｄｉｎｇ， Ｔｒｕｍｐｉｎｇｔｏｎ Ｓｔｒｅｅｔ， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ ＣＢ２ １ＲＰ ３２ Ｅａｓｔ ５７ｔｈ Ｓｔｒｅｅｔ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ， ＮＹ １００２２， ＵＳＡ ２９６ Ｂｅａｃｏｎｓｆｉｅｌｄ Ｐａｒａｄｅ， Ｍｉｄｄｌｅ Ｐａｒｋ， Ｍｅｌｂｏｕｒｎｅ ３２０６， Ａｕｓｔｒａｌｉａ ？ Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ １９８４ Ｆｉｒｓｔ ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ １９８４ Ｐｒｉｎｔｅｄ ｉｎ Ｇｒｅａｔ Ｂｒｉｔａｉｎ ａｔ ｔｈｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｌｉｂｒａｒｙ ｏｆ Ｃｏｎｇｒｅｓｓ ｃａｔａｌｏｇｕｅ ｃａｒｄ ｎｕｍｂｅｒ： ８３－２３９２７

Ｂｒｉｔｉｓｈ Ｌｉｂｒａｒｙ ｃａｔａｌｏｇｕｉｎｇ ｉｎ ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎ ｄａｔａ Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｊｏｈｎ Ｃ． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ．—（Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ ｍｏｎｏｇｒａｐｈｓ ｏｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｈｙｓｉｃｓ） １． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ （Ｐｈｙｓｉｃｓ） ２． Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ Ｉ． Ｔｉｔｌｅ ５３０．Ｔ４３

ＱＣ１７４．４５

ＩＳＢＮ ０ ５２１ ２４２６１ ４

Ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ ｗａｓ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｉｎ ｐａｒｔ ｂｙ ｔｈｅ ＵＳ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｅｎｅｒｇｙ ｕｎｄｅｒ ｃｏｎｔｒａｃｔ ｎｕｍｂｅｒ ＤＥ－ＡＣ０２－８０ＥＲ１０７１２．

Ｃｏｎｔｅｎｔｓ

１

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

２

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

２．１

Ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

１ ４ ４ ６ ９

２．２

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ

２．３

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

２．４

Ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒｓ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

１２

２．５ ２．６

Ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

１５

２．７

Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

１９

２．８

Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ

２１

ｓｏｌｕｔｉｏｎ

１３

２．９

Ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

２５

２．１０

Ｆｅｒｍｉｏｎｓ

２７

２．１１

Ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

２８

２．１２

Ｑｕａｎｔｉｚｉｎｇ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ａｎｄ Ｓｌａｖｎｏｖ－Ｔａｙｌｏｒ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

２９

３４

２．１５

Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ Ｏｔｈｅｒ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｏｆ （２．１１．７）

２．１６

Ｍｏｄｅｌ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

３６

２．１３ ２．１４

３２

３５

３８

３

Ｂａｓｉｃ ｅｘａｍｐｌｅｓ

３．１

Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｉｎ

３．１．１

Ｗｉｃｋ ｒｏｔａｔｉｏｎ

３９

３．１．２

Ｌａｔｔｉｃｅ

４０

３．１．３

Ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

４１

３．１．４

Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ Ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ

４３ ４５

３．３．１

Ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃ／＞３ ａｉｄ ６

３．３．２

Ｗｈｙ ｍａｙ Ｚ ｂｅ ｚｅｒｏ ａｎｄ ｙｅｔ ｃｏｎｔａｉｎ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ？

４８

３．３．３

４９

３．４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

３．４．１

Ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｉｎ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

３．４．２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

３．２ ３．３

３．５ ３．６

＜／＞３ ｔｈｅｏｒｙ

３８

４４ ４７

＝

ｇｒａｐｈ

５０ ５０ ５２ ５３ ５６

Ｖ

Ｃｏｎｔｅｎｔｓ

ＶＩ

３．６．１

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

３．６．２

ｄ

３．６．３

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

＝

５６

６

５７ ５８

３．６．４

Ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

５９

３．７

Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ

５９

４

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

６２

４．１

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ ａｘｉｏｍｓ

６４

４．２

Ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｓｍａｌｌ ｄ

６８

４．３

Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

７３

４．４

Ｆｏｒｍｕｌａｅ ｆｏｒ Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ ｓｐａｃｅ

８１

４．４．１

８３

４．５

Ｓｃｈｗｉｎｇｅｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ Ｆｅｙｎｍａｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ

４．６

７ ｓ ａｎｄ ｅＫ＾ｖ

８６

５

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

８８

５．１

Ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｎｄ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ Ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｉｎ （ｃ／＞３）６ Ｆｉｇ． ５．１．２ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ Ｆｉｇ． ５．１．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ Ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｎｏ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ Ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ

４．４．２

５．２ ５．２．１ ５．２．２ ５．２．３ ５．３ ５．３．１ ５．３．２

８１

８３

８９ ９３ ９４ ９７ ９９ １０１ １０２ １０３ １０５

５．３．３

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

５．３．４

Ｓｕｍｍａｒｙ

１０６

５．４

Ｔｈｒｅｅ－ｌｏｏｐ ｅｘａｍｐｌｅ

１０６

５．５

Ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ

１０９

５．５．１

Ｆｏｒｍｕｌａ

１０９

５．５．２

Ｐｒｏｏｆ

１１０

５．６

Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｔｏ ｉｆ

１１２

５．７

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

１１６

５．７．１

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

１１６

５．７．２

Ｃｏｓｍｏｌｏｇｉｃａｌ ｔｅｒｍ

１１８

５．７．３

Ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

１１８

５．７．４

Ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

１２０

５．７．５

Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｔｏ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｃｏｕｐｌｉｎｇ

１２１

５．７．６

Ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃｓ

１２２

５．８

Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｌｏｃａｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ； Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ Ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｅｑｕａｌｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

１２５

５．８．１ ５．８．２

Ｒ（Ｇ） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｉｆ ｄ（Ｇ） ｉｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ

１２７

５．８．３

Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ Ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ Ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

１３０

５．９ ５．９．１

ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａｅ

１２６ １２９

ａｎｄ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

１３０

Ｃｏｎｔｅｎｔｓ ５．９．２

Ｒｅｍａｒｋｓ

５．９．３

Ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ｖｎ

１３１ ｏｎ １ ＰＲ

ｇｒａｐｈｓ

１３１

５．１０

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈｏｕｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒｓ： ｔｈｅ ＢＰＨＺ ｓｃｈｅｍｅ

１３３

５．１１

Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

１３５

５．１１．１

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

１３５

５．１１．２

ＭＳ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

１３７

５．１１．３

Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｏｔｈｅｒ ｒｅｇｕｌａｔｏｒｓ

１３７

６

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

１３８

６．１

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

１３９

６．２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ： ｅｘａｍｐｌｅｓ

１４２

６．２．１

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ

６．２．２

ｃ／＞２ ｃ／＞２（ｘ）（／＞２（＞！）

１４２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ

６．３

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ

１４６

６．４

Ｏｐｅｒａｔｏｒ ｍｉｘｉｎｇ Ｔｅｎｓｏｒｓ ａｎｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

１５０

６．６

Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

１５２

６．７

Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ＇ｍ＜ｆ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ＜ｆ＞２ ａｎｄ ｍ２

１６６

６．５

６．８

７ ７．１ ７．１．１ ７．１．２

１４５

１４９

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ Ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ Ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ

１６３

１６８ １６９ １６９

７．１．３

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ Ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｅｘａｍｐｌｅｓ

７．２

Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ＲＧ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ

１７６

７．３

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

１８０

１８３

７．３．３

ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ

１８４

７．４

Ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

１８５

７．４．１

Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ

１８７

７．５

Ｖａｒｉｅｔｉｅｓ ｏｆ ｈｉｇｈ－ ａｎｄ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｒｅｅｄｏｍ

１８７ １８９

７．５．３

Ｍａｘｉｍｕｍ ａｃｃｕｒａｃｙ ｉｎ Ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

７．５．４

Ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ

１９０ １９１

７．６

Ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ， ｅｔｃ．

１９３

７．６．１

１９３

７．６．２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ Ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ

７．６．３

Ｌａｎｄａｕ ｇｈｏｓｔ

１９６

７．７

Ｏｔｈｅｒ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

１９７

７．８

２００

７．９

Ｏｔｈｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ Ｄｉｍｅｎｓｉｂｎａｌ ｔｒａｎｓｍｕｔａｔｉｏｎ

７．１０

Ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

２０６

７．３．１

７．３．２

７．５．１ ７．５．２

ａｎ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ

１７１ １７２

１８０

ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ

１８７

１９６

２０３

Ｃｏｎｔｅｎｔｓ

Ｖｌｌｌ

ｃ／＞４ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

７．１０．１

Ｅｘａｍｐｌｅ：

７．１０．２

ＲＧ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

７．１０．３

Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｇ０ ａｎｄ Ｚ； ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｃａｓｅ

７．１０．４

Ａｃｃｕｒａｃｙ ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｇ０

７．１０．５ ７．１０．６

ｍｌ Ｎｏｎ－ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ

７．１１

Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ

ｆｒｅｅ

ｃａｓｅ

２０８ ２０８ ２０９ ２１３ ２１６ ２１６

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒｓ ｕｓｉｎｇ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

７．１２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｆｏｒ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

８

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

８．１

Ａ ｍｏｄｅｌ

２１７ ２１９

８．２

Ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ

８．２．１

Ｔｒｅｅ

８．２．２

Ｆｉｎｉｔｅ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｈｅａｖｙ ｌｏｏｐｓ

２２２ ２２４ ２２５ ２２５ ２２６

８．２．３

Ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈｓ

２２６

８．２．４

Ｍｏｒｅ ｔｈａｎ

２２９

８．４．２

ｌｏｏｐ Ｇｅｎｅｒａｌ ｉｄｅａｓ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ Ｄｏｍｉｎａｎｔ ｒｅｇｉｏｎｓ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ Ｒ＊ ｗｉｔｈ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｒ＊

８．４．３

ＩＲ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ Ｃ＊（Ｔ）

２３７

８．４．４

Ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｆｏｒ Ｒ＊

２３９

８．４．５

Ｄｅｃｏｕｐｌｍｇ ｔｈｅｏｒｅｍ

２３９

８．５

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ａｎａｌｙｓｉｓ

８．５．１

Ｓａｍｐｌｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

８．５．２

Ａｃｃｕｒａｃｙ

９

Ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

２４４

９．１

Ｕｎｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

２４５

９．２

２４７

９．２．１

Ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

９．２．２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ

２５１

９．２．３

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

２５２

８．３ ８．３．１ ８．３．２ ８．４ ８．４．１

９．３ ９．３．１

ｇｒａｐｈｓ

ｏｎｅ

２３０ ２３１ ２３２ ２３３ ２３３ ２３６

２４０ ２４２ ２４３

Ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ

２４９

２５３

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｂｙ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

２５４

１０

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

２５７

１０．１

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

２５８

１０．１．１

Ｃａｓｅｓ ｗｉｔｈ

１０．１．２ １０．１．３ １０．１．４

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ Ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｅｘａｍｐｌｅ

２５８

Ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ Ｆｉｇ． １０．１．３ ｉｎｓｉｄｅ ｂｉｇｇｅｒ

２６２

ｎｏ

ｇｒａｐｈ

２６０ ２６２

Ｃｏｎｔｅｎｔｓ

ＩＸ

２６９

１０．４

Ｓｔｒａｔｅｇｙ ｏｆ ｐｒｏｏｆ Ｐｒｏｏｆ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ Ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ａｎｄ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ ｒ（Ｔ） Ｒ（Ｆ） ｒ（Ｔ） ｉｓ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ Ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ Ｃ（Ｕ） Ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ

１０．５

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

２７４

１１

Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ

２７７

１１．１

Ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

２７８

１１．１．１

Ｚｅｒｏ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ

２７８

１１．１．２

Ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ

２８０ ２８６

１１．４

Ｆｌａｔ－ｓｐａｃｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｉｅｌｄｓ

１２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

２９３

１２．１

Ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｏｆ ｒｅｓｕｌｔｓ

２９６

１２．２

２９８

１２．２．１

Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ Ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｉｅｓ

１２．２．２

Ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

３００

１２．２．３

Ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ

３０１

１２．２．４

３０２

１２．２．５

Ｇｒａｐｈｓ ｆｉｎｉｔｅ ｂｙ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ Ｇｌｕｏｎ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

１２．２．６

ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ

３０３

１２．２．７

Ｇｌｕｏｎ ｓｅｌｆ－ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

１２．２．８

ＳＲｃ

１２．２．９

Ｑｕａｒｋ－ｇｌｕｏｎ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ，

１２．３

Ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

３０７

１２．３．１

Ｂｉｇｇｅｒ

３０７

１２．３．２

Ｓｃａｌａｒ ｍａｔｔｅｒ

１２．３．３

Ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

１２．４

Ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ

１２．４．１

Ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｃ，

３１０

１２．４．２

Ｃｈａｎｇｅ ｏｆ Ｆａ

３１３

Ｋｒｇａｕｇｅ

３１４

１０．２ １０．３ １０．３．１ １０．３．２ １０．３．３ １０．３．４

１１．２ １１．３

１２．５

—

２６３ ２６６ ２６６ ２７０ ２７２ ２７３

２８１ ２９１

２９８

３０２

Ａ＾

３０４ ３０４

Ｓｉｐ， Ｓｉｐ； ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ＰＭａｉｌ

ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ

３０５

３０７ ３０８

ｂｒｅａｋｉｎｇ

３０９

ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

１２．６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

３１６

１２．６．１

Ｃａｖｅａｔ

３１９

１２．７

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ

３１９

１２．８ １２．９

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ Ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ： ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｐｈｏｔｏｎ

１２．９．１

ＢＲＳ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ｍａｓｓｉｖｅ

１２．９．２

Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

１２．９．３

Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

３２１

ｐｈｏｔｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｐｈｏｔｏｎ

ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ａｂｅｌｉａｎ

３２２

ｍａｓｓ

３２３ ｍａｓｓ

３２４ ３２５

Ｃｏｎｔｅｎｔｓ

Ｘ

３２６

１２．９．５

Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ Ａ２ ａｎｄ ｄ－Ａ２ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｅ０ ａｎｄ Ｚ３

１２．９．６

Ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ

３２７

１２．９．７

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｕｎｉｔａｒｙ ｇａｕｇｅ ｆｏｒ ｍａｓｓｉｖｅ ｐｈｏｔｏｎ

３２９

１２．１０ １３

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

３３１

１３．１

Ｃｈｉｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

３３３

１３．２ １３．３

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｙ５ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

１２．９．４

３２７

３３０

３３４ ３３８

１３．３．１

Ｎｏｎ－ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

３３８

１３．３．２

Ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

３３８

１３．３．３

Ｃｈｉｒａｌ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ Ｓｕｐｅｒｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

３３９

Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｏｒ ｂａｒｅ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

３３９

Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ Ｎｏｎ－ｓｉｎｇｌｅｔ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ ｈａｓ

３４２

１３．３．４ １３．４ １３．４．１ １３．５ １３．６

３３９

ｎｏ

ａｎｏｍａｌｙ－

３４０

３４６

１３．６．２

Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｎｏｍａｌｙ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔ ｈａｓ

１３．７

Ｔｈｒｅｅ－ｃｕｒｒｅｎｔ Ｗａｒｄ

１３．７．！

Ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍ ｏｆ ａｎｏｍａｌｙ

３４９

１３．７．２

Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｖａｌｕｅ

３５１

１３．７．３

Ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒｓ

３５２

１４

Ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

３５４

１４．１

Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ， ｅｔｃ．

３５５

１４．２

Ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ

３５８

１４．３

３５９

１４．４

Ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔｓ Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｆｏｒ ｓｃａｌａｒ ｃｕｒｒｅｎｔ

１４．５

Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

３６４

１４．５．１

Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

３６４

１４．５．２

Ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ

３６５

１４．５．３

Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ＲＧ

１４．６

ＯＰＥ ｆｏｒ

１４．６．１

Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

１３．６．１

１４．７ １４．８

３４６ ｎｏ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ：

ｅｑｕａｔｉｏｎ

－

ｔｈｅ ｔｒｉａｎｇｌｅ ａｎｏｍａｌｙ

ｎｏｎ－ｓｉｎｇｌｅｔ

ｖｅｃｔｏｒ ａｎｄ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

３４７ ３４９

３６１

３６７ ３６７

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｃａｓｅ Ｐａｒｔｏｎ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ Ｗ４ ａｎｄ Ｗ５ Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ

３６８

Ｉｎｄｅｘ

３７７

－

３６９ ３７１ ３７２

１ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

Ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ａ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆｔｅｎ ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｓ ｗｈｅｎ

ｏｎｅ

ｃｏｎｓｉｄｅｒｓ

ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｒ ｓｈｏｒｔ ｄｉｓｔａｎｃｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｎ ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｏｎｅ＇ｓ ａｂｉｌｉｔｙ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｉｎ ｅｓｓｅｎｃｅ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｓｕｂｊｅｃｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｔｈｅ ｖｅｒｙ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｕｓｕａｌｌｙ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｌａｒｇｅ ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ（ｓ） ｏｎ ｓｈｏｒｔ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｃａｌｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ ｉｎ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ ａｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｗｈｅｎ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｆｉｘｅｄ． Ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ． Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ ｏｕｒ ｆｉｒｓｔ ｔａｓｋ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｏ ｔｒｅａｔ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ

ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ ａｒｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ， ｆｏｒ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｍｏｓｔ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｄｏ ｎｏｔ ｅｘｉｓｔ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｈｅｎ ｅｘｐｏｓｅ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｈａｎｄｌｅ ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ／ｓｈｏｒｔ－ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｔｈｅ ａｉｍ ｉｓ ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｅｓｔａｂｌｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ａ

ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ，

ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｒａｔｅ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｗｅａｋｌｙ ｃｏｕｐｌｅｄ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ

ｏｒ ｔｏ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｇｅｎｅｒａｌｌｙ ｔａｋｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ａ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｏｒ ｏｆ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ， ｅａｃｈ ｆａｃｔｏｒ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｔｈａｔ ｈａｐｐｅｎ ｏｎ ｏｎｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｃａｌｅ． Ｓｕｃｈ ａ ｉｎ

ａ

ａｎ ｏｎ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｆｏｒ ａ ｐｒｏｃｅｓｓ ａｒｅ ｌａｒｇｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｗｉｄｅｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｃａｌｅｓ．

ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ｔｈｅ ｉｎｄｕｓｔｒｙ ｃａｌｌｅｄ ＇ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ＱＣＤ＇ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｄｅｒｉｖｉｎｇ ｓｕｃｈ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｆｏｒ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ （Ｍｕｅｌｌｅｒ （１９８１）） ａｎｄ ｅｘｐｌｏｒｉｎｇ ｔｈｅｉｒ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｉｃａｌ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｏｎｌｙ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｅａｒｌｉｅｓｔ ｏｆ

ｔｈｅｓｅ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎｓ， ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ （１９６９）． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｔｈａｔ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｅｎ ｏｆ ｉｔｓ ｆｉｅｌｄｓ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ （Ａｐｐｅｌｑｕｉｓｔ ＆ Ｃａｒａｚｚｏｎｅ （１９７５） ａｎｄ Ｗｉｔｔｅｎ Ｔｈｅｓｅ ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｈａｖｅ ｔｈｅｉｒ ｍａｉｎ ｕｓｅｓ ｉｎ ｗｅａｋ （１９７６））． ｔｈｅ

ｍａｓｓｅｓ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ，

ｂｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ，

ｍｅａｎｓ

１

ｅｖｅｎ

ｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅｙ

ａｒｅ

ｃａｎｃｅｌｌｅｄ

ｔｈａｔ ｉｎ ａｎｙ ｐｒｏｃｅｓｓ ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

２

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｅｖｅｒｙ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｃａｌｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｂｏｔｈ ａ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｎ ｏｐｐｏｒｔｕｎｉｔｙ ｔｏ ｆｉｎｄ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｐｈｙｓｉｃｓ． Ｔｈｅ

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｉｓ ｍａｄｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ． Ｔｈｅ ｏｐｐｏｒｔｕｎｉｔｙ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｂｌｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｔｈａｔ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｒｅｓｕｌｔ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ａ ｓｔａｎｄａｒｄ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｓｃａｌｉｎｇ ｖｉｏｌａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ． Ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ （Ｓｔｕｅｃｋｅｌｂｅｒｇ ＆ Ｐｅｔｅｒｍａｎｎ （１９５３） ａｎｄ Ｇｅｌｌ－Ｍａｎｎ ＆ Ｌｏｗ （１９５４）） ｔｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｋｅｙ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｉｎ ｄｉｓｅｎｔａｎｇｌｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｓｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ． Ｉｎ ｆａｃｔ， ｔｈｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ０ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇＲ ａｎｄ ａ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ａｇ ｉｓ ａｒｂｉｔｒａｒｙ．

Ｏｎｅ ｃａｎ ｒｅｐａｒａｍｅｔｒｉｚｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｔｒａｎｓｆｅｒｒｉｎｇ ａ ｆｉｎｉｔｅ ａｍｏｕｎｔ ｆｒｏｍ ｇＲ ｔｏ Ａｇ ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃｓ： ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ．

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ

Ｔｈｉｓ ｔｒｉｖｉａｌ－ｓｏｕｎｄｉｎｇ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｖｅｒｙ ｕｓｅｆｕｌ， ａｎｄ ｆａｒ ｆｒｏｍ ｔｒｉｖｉａｌ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｏｎｅ ｈａｓ ｓｏｍｅ ｇｒａｐｈ ｗｈｏｓｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｉｓ ｌａｒｇｅ （ｓｏ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ

ｉｎａｄｅｑｕａｔｅ

ｔｏ ｕｓｅ ａ ｆｅｗ ｌｏｗ ｏｒｄｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ

ｔｏ

ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｑｕａｎｔｉｔｙ）． Ｔｈｅｎ ｉｎ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｃｉｒｃｕｍｓｔａｎｃｅｓ ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ａｄｊｕｓｔ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ｇ０ （ｖｉｚ．， ｇ０ ｇＲ ＋ Ａｇ） ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＝

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ａｇ ｃａｎｃｅｌｓ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ

ｌａｒｇｅ ｐｉｅｃｅ

ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｈｅ

ｅｘｃｅｓｓｉｖｅｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｇｒａｐｈ＇ｓ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔ． Ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｐｉｅｃｅ ｉｓ ｎｏｗ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒｓ． Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｏｆ

ｏｆ ｔｈｅ

ｏｒｄｅｒ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ

ｔｈｅ ｓｏｒｔ ｒｅｖｉｅｗｅｄ ｂｙ Ｍｕｅｌｌｅｒ （１９８１） ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｍａｎｙ ｃｉｒｃｕｍｓｔａｎｃｅｓ ｗｈｅｒｅ ｔｈｉｓ ｔｒｉｃｋ ｉｓ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ． Ｗｉｔｈｏｕｔ ｉｔ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｗｏｕｌｄ ｂｅ

ａｌｍｏｓｔ

ｐｏｗｅｒｌｅｓｓ．

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｕｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ， ａｎｄ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｒｅ ｉｎｔｉｍａｔｅｌｙ ｌｉｎｋｅｄ， ａｎｄ ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ Ｗｅ

ｓｅｅ

ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｈａｔ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘａｍｉｎｅ ｂｕｔ ｉｎ ｍａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ａｉｍ ａｔ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｒｉｇｏｒ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｐｉｔｆａｌｌｓ ａｎｄ ｔｒａｐｓ ｒｅａｄｙ ｔｏ ｅｎｓｎａｒｅ ａｎ ｕｎｗａｒｙ ｐｈｙｓｉｃｉｓｔ． Ｔｈｕｓ ａ ｐｒｅｃｉｓｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ａｎｄ ｎｏｔａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ， ｆｏｒ ｍａｎｙ ｏｆ ｔｈｅ ｄａｎｇｅｒｓ ａｒｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ． Ｔｈｅ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｂａｓｉｓ ｉｓ ｔｈｅｎ ｔｈａｔ ｏｆ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９６９， ｔｈｅｍ ａｌｌ ｉｎ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ． Ｔｈｅ ａｉｍ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｏ ａｒｅ

ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ

ｔｏ ｔｈｅ

１９７０， １９７３ａ， １９７３ｂ）． Ｏｎｅ ｏｔｈｅｒ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｆ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｃｕｔ ｏｆｆ． Ｆｒｏｍ ａ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ， ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｓｅｅｍｓ ｂｅｓｔ ａｓ ｉｔ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ｎｏｎ－

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔｓ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ （ｅ．ｇ．， Ｇｌｉｍｍ ＆ Ｊａｆｆｅ （１９８１））． Ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｏｎｅ ｃａｎ ａｒｒａｎｇｅ ｔｏ ｕｓｅ ｎｏ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｗｈａｔｓｏｅｖｅｒ （ｅ．ｇ．， Ｐｉｇｕｅｔ ＆ Ｒｏｕｅｔ （１９８１））． Ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ， ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇ－

３

Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ

ｄｅｓｅｒｖｅｄｌｙ ｂｅｃｏｍｅ ｖｅｒｙ ｐｏｐｕｌａｒ． Ｔｈｉｓ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ ４ ｂｙ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｕｍｂｅｒ ｄ． Ｔｈｅ ｍａｉｎ ａｔｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｔｈａｔ ｖｉｒｔｕａｌｌｙ ｎｏ ｖｉｏｌｅｎｃｅ ｉｓ ｄｏｎｅ ｔｏ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ａ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ； ａ ｓｅｃｏｎｄ ａｔｔｒａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ａｌｓｏ ｒｅｇｕｌａｔｅｓ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｓ ｎｏｔ ｂｅｅｎ ｆｏｒｍｕｌａｔｅｄ ｏｕｔｓｉｄｅ ｏｆ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ （ａｔ ｌｅａｓｔ ｎｏｔ ｙｅｔ）． Ｍｕｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ， ｗｉｌｌ ｂｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｈａｓ

ｔｈｅ

ｕｓｅ

ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｓｔｒｏｎｇｌｙ

ｔｈａｔ

ｎｏｎｅ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ．

Ｈｏｗｅｖｅｒ ｉｔ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｄｅｐｅｎｄ

ｏｎ

ｅｍｐｈａｓｉｚｅｄ ｔｈｉｓ ｃｈｏｉｃｅ．

ｔｏｏ

２

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ Ｍｏｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｗｏｒｋ ｉｎ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｗｉｌｌ ｂｅ

ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｎｏｔ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ａｓ ｔｈｅ ｂｅ－ａｌｌ ａｎｄ ｅｎｄ－ａｌｌ ｏｆ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ． Ｒａｔｈｅｒ， ｉｔ ｍｕｓｔ ｂｅ ｌｏｏｋｅｄ ｏｎ ｏｎｌｙ ａｓ ａ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒｓ ｕｎｄｅｒ ｃｏｎｔｒｏｌ． Ｓｏ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｖｉｅｗ ｔｈｅ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｓｔａｒｔｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｔｈｅ ｐｕｒｐｏｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｒｅｖｉｅｗ ｉｓ ｐａｒｔｌｙ ｔｏ ｓｅｔ ｏｕｔ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｒｅｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｂｏｏｋ ｉｓ ｂａｓｅｄ． Ｉｔ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｏｕｒ ｎｏｔａｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｌｉｓｔ ａ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｔａｎｄａｒｄ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ ｔｈｅ ｂｏｏｋ． Ｓｏｍｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｗｏｒｌｄ； ｏｔｈｅｒｓ ａｒｅ ｓｉｍｐｌｅｒ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｈｏｓｅ ｏｎｌｙ ｐｕｒｐｏｓｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ． ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｎｏｔ ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ． Ｉｔｓ ｕｓｅ ｉｓ ｔｏ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ ｂａｓｉｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｓｔ ｏｆ ｏｕｒ ｗｏｒｋ： ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ａｎｙ ｇｉｖｅｎ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ． Ｏｕｒ ｔａｓｋ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｏ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ． Ｔｈｅ

ｕｓｅ

Ｆｏｒ

ｍｏｒｅ

ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｄｅｔａｉｌｓ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ ｃｏｎｓｕｌｔ

ａ

ｓｔａｎｄａｒｄ ｔｅｘｔｂｏｏｋ

ｏｎ

ｆｉｅｌｄ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｏｆ ｔｈｅｓｅ， ｐｒｏｂａｂｌｙ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｎｄ ｕｐ－ｔｏ－ｄａｔｅ ｉｓ ｂｙ Ｉｔｚｙｋｓｏｎ ＆ Ｚｕｂｅｒ （１９８０）； ｔｈｉｓ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ａ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ． Ｏｔｈｅｒ ｕｓｅｆｕｌ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ｉｎｃｌｕｄｅ： Ｂｊｏｒｋｅｎ ＆ Ｄｒｅｌｌ （１９６６）， Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ ＆ Ｓｈｉｒｋｏｖ （１９８０）， Ｌｕｒｉｅ （１９６８）， ａｎｄ Ｒａｍｏｎｄ （１９８１）．

２．１ Ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ Ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｆ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｒｅａｌ ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ ｔ／＞（ｘＭ）． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｃａｎｏｎｉｃａｌｌｙ ｑｕａｎｔｉｚｉｎｇ ａ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ

ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ＜？

＝

ａ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｄｅｎｓｉｔｙ：

（ｄｃｔ＞）２／２－Ｐ（（ｔ＞＼

（２．１．１）

ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ Ｄ＜／＞ ＋ Ｐ＇（０） ４

＝

Ｏ．

（２．１．２）

２．１ Ｓｃａｌａｒ

５

ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

Ｐ（０） ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ＜／＞（ｘ）， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｇｅｎｅｒａｌｌｙ ｔａｋｅ ｔｏ ｂｅ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｌｉｋｅ Ｐ（４＞） ｍ２４＞２／２ ＋ ＃４／４！， ａｎｄ Ｐ＇（（／＞） ｄＰ／ｄｔ／＞． （Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｕｓｅ ｕｎｉｔｓ ｗｉｔｈ ｈ ｃ １．） Ｉｎ ｔｈｅ Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｃａｎｏｎｉｃａｌ Ｈｅｒｅ

－－＝

＝

＝

＝

ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ： ｎ（ｘ）

＝

ｄ＾／ｄｃｊ）

＝

＜ｊ）

＝

（２．１．３）

ｄｔｆｒ／ｄｔ，

ａｎｄ ｔｈｅ Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ

－Ｊ－

ｄ３ｘ（；ｒ２／２ ＋ Ｖ０２／２ ＋ Ｐ（０））．

（２．１．４）

Ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ， ｗｅ ｒｅｑｕｉｒｅ ｔｈａｔ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｖｅ ａ ｌｏｗｅｓｔ ｅｎｅｒｇｙ ｓｔａｔｅ．

Ｉｆ ｉｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ

ｕｎｓｔａｂｌｅ ａｇａｉｎｓｔ ｄｅｃａｙ ｉｎｔｏ ａ ｌｏｗｅｒ ｅｎｅｒｇｙ ｓｔａｔｅ ｐｌｕｓ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ． Ｉｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｐ（ｔ／＞） ｈａｓ ｎｏ ｍｉｎｉｍｕｍ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｔｈｅｎ ａｌｌ ｓｔａｔｅｓ

ａｒｅ

ｃａｔａｓｔｒｏｐｈｉｃ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｅｘｉｓｔｓ （Ｂａｙｍ （Ｉ９６０））． ｒｅｑｕｉｒｅ Ｐ（（ｊ＞） ｔｏ ｂｅ ｂｏｕｎｄｅｄ ｂｅｌｏｗ． ｉｎ ｔｈｅ Ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｅｄｓ Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ ｐｉｃｔｕｒｅ ｂｙ ｒｅｉｎｔｅｒｐｒｅｔｉｎｇ （ｊ＞（ｘ） ａｓ ａ ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｏｎ ａ Ｈｉｌｂｅｒｔ ｓｐａｃｅ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｅｑｕａｌ－ ｆｏｒｍｕｌａ （２．１．４） ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｊｕｓｔ ｓｕｃｈ Ｔｈｕｓ

ａ

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｗｅ

ｔｉｍｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ， ｉ．ｅ．，

［４＞（ｘＵ（ｙ）￣＼

＝

ＷＭｙ）］

＝

ｙ＇

ｏｊ

ｌ＂＇

ｇｉｖｅｎ ｂｙ （２．１．４） ｓｏ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ （２．１．２） Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ

Ｔｈｅ Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ ｉｓ ｓｔｉｌｌ

ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｉ３４＞／ｄｔ

＝

（２．１．６）

＼＿４＞９ｉｒ］．

ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｓｔａｔｉｎｇ ｗｈａｔ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｏｆ ｓｔａｔｅｓ ｉｓ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ｔｈｅ ｍａｎｎｅｒ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ＜ｆ＞ ａｃｔｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔａｔｅｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｂｙ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｎｏｔｅｄ ｔｈａｔ ＜ｊ）（ｘ） ｉｓ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｎｏｔ ａ ｗｅｌｌ－ｂｅｈａｖｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ， ｂｕｔ ｒａｔｈｅｒ ｉｔ ｉｓ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｖａｌｕｅｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ． Ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｔｈａｔ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｏｎｅ ｃａｎｎｏｔ ｍｅａｓｕｒｅ ０（ｘ） ａｔ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｐｏｉｎｔ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ ａｖｅｒａｇｅｓ ｏｆ （／＞（ｘ） ｏｖｅｒ ａ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｒｅｇｉｏｎ． Ｔｈａｔ ｉｓ， Ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ

ａｎｄ

４＞ｆ

＝

０（ｘ）／（ｘ）ｄ４ｘ，

ｆｏｒ ａｎｙ ｃｏｍｐｌｅｘ－ｖａｌｕｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／（ｘ）， ｉｓ

ａｎ

（２．１．７）

ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｎｏｗ， ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ

ａｌｗａｙｓ ｍａｋｅ ｓｅｎｓｅ （ｅ．ｇ．， ＜５（ｘ）２）． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｔｈｅ Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ Ｈ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ ｆｉｅｌｄｓ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｉｎｔ． Ｓｏｍｅ ｃａｒｅ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｐｒｏｐｅｒｌｙ； ｔｈｉｓ ｉｓ， ｉｎ ｆａｃｔ， ｔｈｅ ｓｕｂｊｅｃｔ ｏｆ

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｄｏ

ｎｏｔ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ｔｏ ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ｓｈｏｒｔｌｙ． Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ

ａｒｅ

ｓｔａｎｄａｒｄ：

６

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

（１） Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ

ａ

｜０＞，

Ｐｏｉｎｃａｒｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｇｒｏｕｎｄ ｓｔａｔｅ

ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ

ｖａｃｕｕｍ．

（２） Ｔｈｅ

ｓｔａｔｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ

（ｊ＞

ｏｎ

ｔｈｅｍ

ｃａｎ

ｂｅ ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ＧＮ（ｘ１，．．．，ｘＮ）

＝

＜０｜Ｔ＾（ｘ１）．．．＾（ｘＮ）｜０＞．

（２．１．８）

Ｔｈｅ Ｔ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ ｓｙｍｂｏｌ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ ａｒｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｔｉｍｅ ｆｒｏｍ ｒｉｇｈｔ ｔｏ ｌｅｆｔ． Ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｃａｕｓａｌｉｔｙ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ， ｅｔｃ．， ｓｏ （３） ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｌｙ， ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｒｅ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｗｉｇｈｔｍａｎ ａｘｉｏｍｓ （Ｓｔｒｅａｔｅｒ ＆

Ｗｉｇｈｔｍａｎ （１９７８））．

Ｂｏｓｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ

（／＞－ｆｉｅｌｄ

ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｕｎｄｅｒ ｉｎｔｅｒｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｏｆ

＜ｆ＞

ｍｅａｎｓ

ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｎｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ

ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ

Ｆｏｒ

ａ

ｇｅｎｅｒａｌ （Ｎ

＋

ｌ）－ｐｏｉｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，

＝

ｗｅ

ｏｆ

ｂｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ

ｃａｎ

ｓｉｍｐｌｅｓｔ

ＤｙＧ２（ｙ９ｘ） ＋ ＜０｜ ＴＰ＇（ｄ＞（ｙ））ｃｔ＞（ｘ）＼Ｏｙ

ａｒｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ａｎｙ ｏｆ ｔｈｅ ｘ＇ｓ． Ｆｒｏｍ ｔｈｅ

－

ｉ＜５＜４＞（＊

－

ｙ）．

（２．１．９）

ｈａｖｅ Ｎ ＜５－ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｏｎ

ｔｈｅ

ｒｉｇｈｔ：

□，ＧＮ＋１（ｙ，ｘ１，．．．，ｘｉＶ） ＋ ＜Ｏ｜ＴＰ＇（＾））０（ｘ１）．．．＾（ｘＮ）｜Ｏ＞ ＝

－ｉ￡ Ｓ？｛ｙ－ｘＪ）ＧＮ＿ｌ（ｘｌ９．．．９ｘＪ＿ｌ９ｘＪ＋ｉ９．．．９ｘＮ）．

（２．１．１０）

ｊ＝ｉ

ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ． Ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｍｅａｎｓ ｉｎ

Ｔｈｉｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｅｓｓｅｎｃｅ

ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｉｓ

ｓｅｔ ｏｆ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｔｈｅ ｅａｓｉｅｓｔ

ｔｈｅｏｒｙ

ｃａｎ

ｂｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ

２．２

ｃｏｕｐｌｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． Ｉｔ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ． Ａｌｌ ｏｔｈｅｒ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｏｎｃｅ

ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ

ａｒｅ

ｋｎｏｗｎ．

ｓｏｌｕｔｉｏｎ

ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｔｗｏ ｃａｓｅｓ ａｒｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ： ｆｒｅｅ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ （Ｐ ｍ２（／＞２／２）， ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ． Ｏｎｌｙ １ ｉｓ ａ ｒａｔｈｅｒ ＼． Ｔｈｅ ｃａｓｅ ｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｏｎｅ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｄ Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

＝

＝

＝

ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｏｆ ａ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｗｉｔｈ Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ＜ｆ＞（ｔ） ｉｎ ａ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ Ｐ（（／＞）． （Ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．１， ｗｅ ｅｘｐｌａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｄ ４． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｇｏ ｂａｃｋ ａｎｄ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｔｏ ｂｅ ｖａｌｉｄ ｆｏｒ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｄ） ｔｒｉｖｉａｌ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ， ｆｏｒ ｉｔ ｉｓ ＝

２．２ Ｆｏｒ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｏｆ

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ

（／＞４ ｔｈｅｏｒｙ， Ｐ（（／＞）

７

ｗｉｔｈ

（２．２．１）

ｍ２＜／＞２／２ ＋ ＃７４！，

＝

ａｒｅ ｒｉｇｏｒｏｕｓｌｙ ｋｎｏｗｎ ｔｏ ｅｘｉｓｔ ｉｆ ｄ ２ ｏｒ ３ （Ｇｌｉｍｍ ＆ Ｊａｆｆａ （１９８１））． Ｉｆ ｄ ＞ ４ ｔｈｅｎ ｎｏ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｅｘｉｓｔｓ （Ａｉｚｅｎｍａｎ （１９８１））． Ｔｈｅ ｃａｓｅ ｄ ４ ｉｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ； ｔｈｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ ｉｓ ｔｏ ｐｅｒｆｏｒｍ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ

＝

＝

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｅｙｏｎｄ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｔ ｄ ４ ｉｓ ＇ｅｘａｃｔｌｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ＇ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ； ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｃａｓｅ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｐａｒｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｉｇｎｏｒｅ ｔｈｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓ ｉｎ ｇｏｉｎｇ ｂｅｙｏｎｄ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｔｕｒｎ ｔｏ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．１０ ＝

ｗｈｅｎ

ｗｅ

ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｏｕｔｓｉｄｅ ｏｆ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｆ ｗｅ ｉｇｎｏｒｅ， ｔｅｍｐｏｒａｒｉｌｙ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ， ｔｈｅｎ ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ

ＧＮ（ｘｌ９．．．，ｘＮ）

＝

ａｓ

ｊｒ

［ｄ＾］ｅｉｓ＾Ｍ（ｘ１）．．．＾ｌ（ｘＪＶ）．

（２．２．２）

（Ｓｅｅ Ｃｈａｐｔｅｒ ９ ｏｆ Ｉｔｚｙｋｓｏｎ ＆Ｚｕｂｅｒ （１９８０）， ｏｒ ｓｅｅ Ｇｌｉｍｍ ＆Ｊａｆｆｅ（１９８１）．）Ｏｎ ｔｈｅ

ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｉｓ

ｓｉｄｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ＾（ｘ） ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ ａ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｉｅｌｄ， ａｎｄ ｔｈｅ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ＾（ｘ） ａｔ ｅｖｅｒｙ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｐｏｉｎｔ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ

ｏｖｅｒ

ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎ （２．２．２） ｉｓ ｔｈｅ Ｎ－ｐｏｉｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ， （／＞． Ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ａｐｐｅａｒｓ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｃｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ

Ｓ｜＞４］＝ ｄ４＊＾－ Ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ Ｊｆ ｉｓ ｔｏ

＾

Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｔｏ

（２．２．２） ｉｓ

＝

ｔｈｅ

（２－２－３）

ｇｉｖｅ ＜０｜０＞

｛［［＾］ｅｉＳＭ１ｊ ｉｎｔｅｇｒａｌ

＝

１，

ｓｏ

ｔｈａｔ

＼

ｆｏｒ ｔｈｅ

（２．２．４）

ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｏｆ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ：

Ｚ［Ｊ］

＝

Ｊｆ

Ｉ［（Ｌ４］ｅｘｐ ｊｉＳ［ｖ４］

＋

＼ｄ＊ｘＪ（ｘ）Ａ（ｘ） １，

（２．２．５）

ｗｈｅｒｅ Ｊ（ｘ） ｉｓ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ Ｊ（ｘ）

ｇｉｖｅｓ

ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｅ．ｇ．，

＜０｜Ｔ＾（，）｜０＞

＝

＾＾＾ＺＷ｜＾ｏ）

Ｉｔ ｉｓ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｄｅｌｉｃａｔｅ ｔｏ ｍａｋｅ ｏｖｅｒ Ａ．

Ｔｈｅ

ｐｒｉｎｃｉｐａｌ ｓｔｅｐｓ

ａｒｅ：

ｐｒｅｃｉｓｅ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

（２．２．６） ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ

８

ｔｈｅｏｒｙ

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ

（１） ＇Ｗｉｃｋ－ｒｏｔａｔｅ＇ ｔｉｍｅ

ｔｏ

ｉｍａｇｉｎａｒｙ

ｖａｌｕｅｓ： ｔ

Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ． Ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ

＂ＳＥｕｄＭ＝ Ｗｉｔｈ

ｏｕｒ

ｍｅｔｒｉｃ，

ｗｅ

－

ｉｎｔｅｇｒａｌ

＝

—

ｉ－ｒ，

［ｄｒｄ３ｘ［－ｄＡ２／２

ｈａｖｅ ３ Ａ２

＝

－

ｓｏ

ｔｈａｔ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｉｓ

ｉｓ ｔｈｅｎ：

（ｄＡ／ｄｒ）２

—

（２．２．７）

Ｐ（Ａ）ｌ

＋

ＶＡ２． Ｗｅ ｍａｙ ｓｕｂｔｒａｃｔ

Ｐ（Ａ）； ｔｈｉｓ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ， ａｎｄ ｉｔ ｃａｎｃｅｌｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ （２．２．４）． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ａｃｔｉｏｎ ５Ｅｕｃｌ ｉｓ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ｅｘｐ（－ＳＥｕｃｌ） ｇｉｖｅｓ ｍｕｃｈ ｏｕｔ ｆｒｏｍ ￥￡ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｖａｌｕｅ ｏｆ

ｂｅｔｔｅｒ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ Ａ ａｎｄ ｆｏｒ

ｒａｐｉｄｌｙ ｖａｒｙｉｎｇ Ａ ｔｈａｎ ｄｏｅｓ ｉｎ Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ ｅｘｐ（ｉＳ） ｓｐａｃｅ． （２） Ｒｅｐｌａｃｅ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｂｙ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｌａｔｔｉｃｅ． Ｗｅ ｍａｙ ｃｈｏｏｓｅ ａ ｃｕｂｉｃ ｌａｔｔｉｃｅ ｗｉｔｈ ｓｐａｃｉｎｇ ａ． Ｉｔｓ ｐｏｉｎｔｓ ａｒｅ ｔｈｅｎ ｘ＂ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｎ＾ｓ ａｒｅ

ｂｏｘ

＝

ｎ＇ａ．

ｉｎｔｅｇｅｒｓ． Ｔｈｅｙ ａｒｅ ｂｏｕｎｄｅｄ ｔｏ ｋｅｅｐ ｘ ｉｎｓｉｄｅ ａ ｓｐａｔｉａｌ Ｔ／２ ｔｏ ＋ ７／２． Ｔｈｅ ｋｅｅｐ ｔ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｒａｎｇｅ

ｏｆ ｖｏｌｕｍｅ Ｖ ａｎｄ ｔｏ

—

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｔ［ｄＡ｝Ａ（ｘｌ）．．．Ａ（ｘＮ）ｅｘｐ（－ＳＥｕｃｌ［Ａ］） ｉｓ ｏｆ

ｎｏｗ ａｎ

ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ．

Ｔｈｅ

ａｃｔｉｏｎ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ． （３） Ｔａｋｅ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ

５Ｈｕｃｌ

ａ －＞

ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｔｉｍｅ Ｔ． （４） Ａｎａｌｙｔｉｃａｌｌｙ ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｂａｃｋ

ｉｓ

ｇｉｖｅｎ

ｏｖｅｒ ａ

（２．２．８） ｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ

ｏｂｖｉｏｕｓ

ｉｔｓ

ｄｉｓｃｒｅｔｅ

０， ａｎｄ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｖｏｌｕｍｅ Ｖ ａｎｄ

ｔｏ Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ．

Ｔｈｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓ ｏｃｃｕｒ ａｔ ｓｔｅｐ ３． Ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅ Ｔ ａｎｄ Ｖ ｇｉｖｅｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｓｏｒｔ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃ ｌｉｍｉｔ ｏｆ ａ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｅｅ ｂｅｌｏｗ． Ｆｕｒｔｈｅｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｃｃｕｒ ｗｈｅｎ －

ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ

（２．２．２） ｇｉｖｅｓ ｏｒ

ａｓ

ａｎ

ａ －＞

ｏｖｅｒａｌｌ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｇｏｅｓ ｔｏ

ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ａｂｓｏｒｂｅｄ

ｂｙ

０ ｉｓ ｔａｋｅｎ． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｐｏｉｎｔｓ

ｇｏｅｓ ｔｏ

ｉｎｆｉｎｉｔｙ ａｓ ａ －＞０ ｉｎｆｉｎｉｔｙ； ｔｈｉｓ ｆａｃｔｏｒ ｉｓ

ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｊｆ．

Ｔｈｅ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｖｏｌｕｍｅ ａｎｄ ｔｉｍｅ

ａｒｅ

ｕｎｄｅｒ

ｇｏｏｄ

ｃｏｎｔｒｏｌ． Ｔｈｅｙ

ａｒｅ

ｌｉｔｅｒａｌｌｙ ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃ ｌｉｍｉｔｓ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ｆｏｕｒ ｓｐａｔｉａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｒｅｃａｌｌ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈａｔ ｉｎ ｗｒｉｔｅ

Ｓ［Ａ］＝ｇ￣ｌ

ｃｊ）４ ｔｈｅｏｒｙ

＼ｄ＊ｘ（ｄＡ２／２－ｍ２Ａ２／２－Ａ４／４＼）

ｏｎｅ ｃａｎ

（２．２．９）

２．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ＝

ｇｕｌＡ．

Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ

Ｊ＜

ｗｈｅｒｅ Ａ

ｆ ［ｃＬ４］ ｅｘｐ（

９

－

Ｓ［／ｌ］） ｉｓ

ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ

ｆ［（Ｌ３］ｅｘｐ｛－（ｌ／ｆｉｆ）Ｓ［ｙｌ－＾ｆｆ－ｌ］｝．

（２．２．１０）

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ ａｔ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｌ／ｇ， ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｓｐａｃｅ ｉｓ ｓｐａｎｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ Ａ， ａｎｄ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｏｆ ａ ｇｉｖｅｎ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｉｓ

＾ＥｕｃｌＭＪ

￣

ｄ４ｘ（

－

３Ａ２／２ ＋ ｍ２Ａ２／２ ＋ Ａ＊／４＼）．

ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｃｅｒｔａｉｎ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｓｙｓｔｅｍｓ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｆｒｕｉｔｆｕｌ ｂｏｔｈ ｉｎ ｗｏｒｋｉｎｇ ｏｕｔ ｔｈｅ ｒｉｇｏｒｏｕｓ Ｔｈｅ

ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ （Ｇｌｉｍｍ ＆ Ｊａｆｆｅ （１９８１）） ａｎｄ ｉｎ ｆｉｎｄｉｎｇ ｎｅｗ ｗａｙｓ ｔｏ ｔｒｅａｔ ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍｓ （Ｗｉｌｓｏｎ ＆ Ｋｏｇｕｔ （１９７４））． Ａｓ ｉｓ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｅｍｐｈａｓｉｚｅｄ ｉｎ Ｗｉｌｓｏｎ＇ｓ ｗｏｒｋ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｌｏｔ ｏｆ ｃｒｏｓｓ－ｆｅｒｔｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｉｅｌｄ

ｔｈｅｏｒｙ

ａｎｄ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ

ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｆｉｅｌｄｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ ｉｎ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎ ｂｅ

ｐｈａｓｅ

ａｒｅ ｃｏｍｍｏｎ ｔｏ

ｂｏｔｈ

ｕｓｅｆｕｌｌｙ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｙｐｅ ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｐｈａｓｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃ ｌｉｍｉｔ ｇｉｖｅｓ ａ ｆａｃｔｏｒ ｅｘｐ（ ｐＴＶ）， ｗｈｅｒｅ ｐ ｉｓ ｔｈｅ ｇｒｏｕｎｄ ｓｔａｔｅ ｅｎｅｒｇｙ－ｄｅｎｓｉｔｙ． Ｔｈｉｓ ｆａｃｔｏｒ ｉｓ ｃｌｅａｒｌｙ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ Ｊｆ． Ａｌｌ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ ａ －＞ ０． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｔｈａｔ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｓｕｂｊｅｃｔ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｅｙ ａｒｅ —

ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ （ＵＶ） ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｏｎｅ ｎｏｔａｔｉｏｎａｌ ｃｈａｎｇｅ ｎｅｅｄｓ ｔｏ ｂｅ ｍａｄｅ ｎｏｗ． Ｉｎ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｔｈｅｒｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｆｉｅｌｄｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ

ｔｈｅｏｒｙ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ａｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｉｅｌｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ． Ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｓｙｍｂｏｌ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｉｅｌｄ ｔｈａｔ ｉｓ ｃｌｅａｒｌｙ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ． Ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｓｙｍｂｏｌ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｖａｒｉａｂｌｅ ｓｕｃｈ

ａ

ｉｎ （２．２．２） ｆｒｏｍ Ａ（ｘ） ｔｏ ０（ｘ）， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ

＜Ｏ｜Ｔ（／＞（ｘＪ．．．０（ｘ＾）｜Ｏ＞ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｏｆ ｗｈｅｔｈｅｒ

ｉｓ

ｏｎｅ

ｏｒ ｔｏ ｍｅａｎ

ａｎ

ｕｓｉｎｇ （／＞

＝

＾｜１［ｄ０］ｅｉＳ＾（ｘＯ．．＞（％）－

（２．２．１１）

ａｂｕｓｅ ｏｆ ｎｏｔａｔｉｏｎ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｔ ｉｓ ｕｓｕａｌｌｙ ｏｂｖｉｏｕｓ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ， ａｓ ｏｎ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ，

ｔｏ ｍｅａｎ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｉｅｌｄ，

ａｓ ｏｎ

ｔｈｅ

ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ

ｓｉｄｅ．

２．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｌｉｍｉｔ； ｔｈｉｓ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｋｎｏｗｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅａｒｌｉｅｓｔ ｄａｙｓ ｏｆ ｑｕａｎｔｕｍ ｅｌｅｃ－

Ｔｈｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｌｉｍｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ ａ

－？

０． Ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

１０

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

ｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ （ｅ．ｇ．， Ｏｐｐｅｎｈｅｉｍｅｒ （１９３０））． Ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｓａｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｍａｋｅｓ ｎｏ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｅｎｓｅ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｕｂｊｅｃｔ ｏｆ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｓ ｆｕｌｌ ｏｆ ｎｏｎｓｅｎｓｅ （Ｄｉｒａｃ （１９８１））． Ｌｕｃｋｉｌｙ ｗｅ ｃａｎ ｄｏ ｂｅｔｔｅｒ， ｆｏｒ ｏｕｒ ｕｌｔｉｍａｔｅ ａｉｍ ｎｅｅｄ ｎｏｔ ｂｅ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｌｉｔｅｒａｌｌｙ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ （２．１．２）—（２．１．５）． Ｒａｔｈｅｒ， ｏｕｒ ａｉｍ ｉｓ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ａ ｌｏｃａｌ ｆｉｅｌｄ ａｓ ｉｔｓ ｂａｓｉｃ ｏｂｓｅｒｖａｂｌｅ． Ｔｈｅｓｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｉｆ ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ （ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ａｓ ｆｏｒｍｕｌａｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ Ｏｓｔｅｒｗａｌｄｅｒ－Ｓｃｈｒａｄｅｒ ａｘｉｏｍｓ （１９８１））． Ｗｅ ｍａｙ ｆｕｒｔｈｅｒ ａｓｋ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｆｉｎｄ

ａ

－

ｓｅｅ

Ｇｌｉｍｍ ＆ Ｊａｆｆｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｔｈａｔ ｉｓ ｃｌｏｓｅ ｉｎ ｓｏｍｅ ｓｅｎｓｅ

ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （２．１．２）—（２．１．５）． Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｉｔｈ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅｏｒｙ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅｓｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ． ｔｏ

ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｄｅａ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ

ｃｏｍｅｓ

ｔｈｅ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｉｎ

ｇｒａｐｈｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅｙ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｂｙ ｃｊ）（ｘ） ｔｈｅ

ａｍｏｕｎｔ ｔｏ ｓｈｉｆｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ

ａｃｔｉｏｎ． Ｆｏｒ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ

ｍ ｔｏ ｓｏｍｅ

ｏｔｈｅｒ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｖａｌｕｅ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｉｆ ｍ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ．

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｏｆ ｃａｎｃｅｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｙ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ． Ｔｏ ｂｅ ｐｒｅｃｉｓｅ， ｌｅｔ ｕｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃ／＞４

ａｄｊｕｓｔｉｎｇ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ

ｔｈｅｏｒｙ

ｗｉｔｈ ＜￡

＝

（３Ａ０）２／２

－

ｍ２０Ａ２／２

－

ｇＡ＊／４１

＋

Ａ０．

（２．３．１）

ｓｕｂｓｃｒｉｐｔ ｚｅｒｏ ｉｓ ｈｅｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ ｂａｒｅ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ， ｉ．ｅ．， ｔｈｏｓｅ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｗｈｅｎ ｔｈｅ （３Ａ０）２／２ ｔｅｒｍ ｈａｓ ｕｎｉｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ． （Ｗｅ ａｌｓｏ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｔｅｒｍ． Ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ａ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｄｅｎｓｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｃｕｕｍ．） Ｔｈｅｎ ｗｅ ｒｅｓｃａｌｅ ｔｈｅ

Ｔｈｅ

ｆｉｅｌｄ ｂｙ ｗｒｉｔｉｎｇ Ａ０ ｓｏ

ｔｈａｔ， ｉｎ

＝

＝

ＺｄＡ２／２ ＺｄＡ２／２

ｄｒｏｐｐｅｄ Ａ０ ｆｒｏｍ

－

－

（２．３．２）

Ｚｉｌ２Ａ，

ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ＇ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ＇

＜￡

Ｗｅ ｈａｖｅ

＝

Ａ， ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ

ｍ２ＺＡ２／２ ｇ０Ｚ２Ａ＊／４！ ｍ２Ａ２／２ ｇＢＡ４／４＼． －

－

ＳＣ ｓｉｎｃｅ ｉｔ ｈａｓ

ｎｏ

ｅｆｆｅｃｔ

Ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ＜ｆ＞ （２．３．３） ａｓ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｏｎ

（２．３．３）

ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ （２．２．２）． Ｗｅ ｌｅｔ Ｚ， ｍ０， ａｎｄ

ａｒｅ ｎｏｗ

ｇ０ ｂｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐａｃｉｎｇ ａ， ａｎｄ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ （ｉｆ ｐｏｓｓｉｂｌｅ） ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ＜／＞ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ ａ－＞ ０． Ｉｆ ｔｈｉｓ ｃａｎ ｂｅ

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｔｅｒｍｅｄ＇ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ＇． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｍａｙ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｓｏｌｖｉｎｇ

ｄｏｎｅ， ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｓｕｃｃｅｅｄｅｄ ｉｎ

１１

２．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

（２．１．２）—（２．１．５）． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ａ ｄｉｓｃｒｅｔｅ （ｉ．ｅ．， ｌａｔｔｉｃｅ） ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔａｋｉｎｇ ａ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｏｄｄ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｃａｌｌ ｍ０ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｍａｓｓ， ａｎｄ ｇ０ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ａｎｄ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃａｌｌ Ｚ ｔｈｅ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｏｒ ｆｉｅｌｄ－ｓｔｒｅｎｇｔｈ， ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｃｏｍｍｏｎ ｔｏ ｃａｌｌ ｍＢ ａｎｄ ｇＢ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｍａｓｓ ａｎｄ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｄｏ ｔｈｉｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ．

ｖｉｅｗｉｎｇ ｔｈｅ

Ａｎｏｔｈｅｒ ｗａｙ ｏｆ ｃ￡

＝

ｃｏｕｐｌｉｎｇ；

ｂｕｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓａｋｅ ｏｆ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ｗｒｉｔｅ （２．３．３）

ａｓ

ｄＡ２／２ ｍ２Ａ２／２ ｇＡ＊／４！ ＋ ６Ｚ３Ａ２／２ ６ｍ２Ａ２／２ ＳｇＡ４／４！． －

－

－

（２．３．４）

－

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｃａｌｌ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｈｒｅｅ ｔｅｒｍｓ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｔｈｒｅｅ ｔｈｅ

ｍａｓｓ ｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｈｅｌｄ ｆｉｘｅｄ ａｓ ａ－＞０． Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ Ｚ ＳＺ １， Ｓｍ２ ｍ＾ ｍ２， ａｎｄ Ｓｇ ｇＢ ｇ ａｒｅ ａｄｊｕｓｔｅｄ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｓ ａ－＾０． Ｔｈｉｓ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ ｉｎ ｄｏｉｎｇ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ； ｗｅ ｔｒｅａｔ ３Ａ２／２ ｍ２Ａ２／２ ａｓ ｔｈｅ ｆｒｅｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ａｎｄ

Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

＝

—

＝

＝

—

—

—

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ． Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｅｘｐａｎｄｅｄ ｉｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｒｉｅｓ， ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ

ａｓ

ｅａｃｈ ｔｅｒｍ ｃａｎｃｅｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ ｏｎｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｇｒａｐｈ． Ｔｈｅ ｆｏｒｍ （２．３．４） ｆｏｒ Ｓ￡ ａｌｓｏ ｅｘｈｉｂｉｔｓ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ， ａｎｄ ｏｆ

ｍ

ａｎｄ ｇ． Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ａｒｅ

ｔｗｏ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍ， ｇ，

ａ．

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅｓｅ ｉｓｓｕｅｓ ｉｎ ｍｕｃｈ ｇｒｅａｔｅｒ ｄｅｐｔｈ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｃｃｅｅｄｉｎｇ ｃｈａｐｔｅｒｓ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔ ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏ ｇｒａｓｐ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｄｅａｓ：

（１） Ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｃｒｅａｔｅ， ａｍｏｎｇ ｏｔｈｅｒ ｔｈｉｎｇｓ， ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ， ｔｏ ｔｈｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｐａｒｔｉｃｌｅｓ， ａｎｄ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｔａｔｅ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｔｏ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ

（２）

ａｐｐｅａｒｉｎｇ

Ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ，

ｉｎ ｔｈｅ ｏｒ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ．

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ，

ａｒｅ

ｉｎｆｉｎｉｔｅ， ｉｎ ｍａｎｙ

ｃａｓｅｓ．

Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｉｎｆｉｎｉｔｉｅｓ， ｉｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｃａｌｌｅｄ ＇ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ＇． （３） Ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｉｅｓ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ，

ａｒｅ

ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｍａｓｓ， ａｎｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｅｔ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ．

ａｒｅ ｓｏ

ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ ｔｈｅ ｓｉｚｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｉｅｓ， ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｉｅｓ ａｐｐｅａｒ ａｓ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｗｈｅｎ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｓｐａｃｉｎｇ ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ．

（４） Ｔｏ ｍａｋｅ ａｓ

ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ ｏｆ

１２

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ２．４ Ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒｓ

Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｓｅｃｔｉｏｎｓ

ｗｅ

ｓｈｏｗｅｄ ｈｏｗ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ

Ｕｌｔｒａｖｉｏｌｅｔ ｚｅｒｏ，

ａｓ

ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ ｏｆ

ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｎｇ

ｌａｔｔｉｃｅ ｔｈｅｏｒｙ．

ａ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｐｐｅａｒ ａｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐａｃｉｎｇ， ａ， ｇｏｅｓ ｔｏ ａｎｄ ａｒｅ ｒｅｍｏｖｅｄ ｂｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ

ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｉｓ ａ

Ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ

ｒｅｇｕｌａｔｏｒ，

ｏｒ

ｃｕｔ－ｏｆｆ， ｆｏｒ ｔｈｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ．

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｑｕａｎｔｉｔｉｖｅｌｙ ａｎｄ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ， ｉｔ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｕｓｅ ｓｏｍｅ ｋｉｎｄ ｏｆ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｓ ａｎ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｌｉｍｉｔ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｗａｙｓ ｏｆ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ａ ｃｕｔ－ｏｆｆ， ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｇｏｉｎｇ ｔｏ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ ｏｎｌｙ ｏｎｅ ｅｘａｍｐｌｅ． Ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ａｐｐｅａｒｓ ｔｏ ｂｅ ｖｅｒｙ ｎａｔｕｒａｌ ｗｈｅｎ

ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ

ｗｏｒｋｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ．

Ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ ｃｕｍｂｅｒｓｏｍｅ ｔｏ

ｗｉｔｈｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｓｓ ｏｆ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｏｔｈｅｒ ｖｅｒｙ ｓｔａｎｄａｒｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｍａｋｉｎｇ ａｎ ｕｓｅ

ｕｌｔｒａｖｉｏｌｅｔ ｃｕｔ－ｏｆｆ： ｔｈｅ Ｐａｕｌｉ－Ｖｉｌｌａｒｓ ｍｅｔｈｏｄ， ａｎｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ Ｐａｕｌｉ－Ｖｉｌｌａｒｓ （１９４９） ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｖｅｒｙ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ． Ｉｎ ｉｔｓ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｖｅｒｓｉｏｎ ｉｔ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ

ＳＦ（ｐ，ｍ；Ｍ）

＝

＾

ｉ／（ｐ２

—

ｍ２）

ｉｎ

ａ

ｓｃａｌａｒ

ｐ２－Ｍ２

（ｍ２ Ｍ２） （ｐ２－ｍ２）（ｐ２－Ｍ２）＇ －

（２Ａ１）

ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ． Ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ ｂｅｅｎ ｃｌｅａｒｌｙ ｉｍｐｒｏｖｅｄ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｉｎ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｒｅｄｕｃｅｄ． Ａｌｌ ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔ／＞４ ｔｈｅｏｒｙ， ｅｘｃｅｐｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ａｒｅ ｉｎ ｆａｃｔ ｍａｄｅ ｆｉｎｉｔｅ． Ｉｎ ｔｈｅ ＜／＞４ ｔｈｅｏｒｙ ｉｔ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｕｓｅ ａ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｍａｋｅ ａｌｌ ｇｒａｐｈｓ ｆｉｎｉｔｅ： Ａｓ Ｍ

－＞

ｏｏ， ｔｈｉｓ

ｐ ｈａｓ

ＳＪｐ，ｍ；ＭｕＭ７） ＦＫｙ ｉ９ Ｖ

＝—

＼－ （ｐ２－Ｍ＊） （Ｍ＼－Ｍ￥）

—－＾

（ｐ２－ｍ２）

（ｍ２

ｉ

＝

－

＝

Ｍ２）

￣（ｐ２－ｍ２２）（ｍ２－ｍＪ） ｉ ￣￣

（ｐ２ Ｉｔ ｉｓ

ｕｓｕａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ

Ｎｏｗ ｔｈｅ

ａｎｄ

ｐ２

＝

－

（Ｍｌ－ｍ２）（Ｍ２２－ｍ２） ｍ２） （７－Ｍ２） （ｐ２ Ｍ２２）＇ －

ｔｏ ｓｅｔ Ｍｘ Ｍ２． ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｈａｓ ｅｘｔｒａ ｐｏｌｅｓ ａｔ ｐ２

Ｍ２． Ｓｉｎｃｅ

ｔｏ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ａｔ

ｐ２

＝

ｏｎｅ

（２．４．２）

＝

ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｔｒａ ｐｏｌｅｓ ｈａｓ

ａ

＝

Ｍ２， ｏｒ ａｔ ｐ２

＝

Ｍ＼

ｒｅｓｉｄｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｓｉｇｎ

ｍ２， ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎｎｏｔ

ｂｅ

ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｐｈｙｓｉｃａｌ．

２．５ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｉｔ ｉｓ ｎｏｒｍａｌｌｙ ｔｒｕｅ ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ ｆｅａｔｕｒｅｓ．

ｔｈａｔ ａ

ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ

ａｎ

１３

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｈａｓ

ｓｏｍｅ

Ｐｅｒｈａｐｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｆｏｒ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｅｒｅ ｉｔ ｉｓ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｒｅｍｏｖｅｄ ｂｙ ｇｏｉｎｇ ｔｏ ａ ｌｏｗ ｅｎｏｕｇｈ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ， ｓｏ ｄ ｉｓ ｔｒｅａｔｅｄ

ａｓ ａ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｖａｒｉａｂｌｅ． Ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｉｓ

ｃａｎ

ｂｅ ｄｏｎｅ

ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｌｙ （Ｗｉｌｓｏｎ （１９７３））， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｗｈｅｎ ｗｅ ｇｉｖｅ ａ ｆｕｌｌ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ４． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｉｔ ｈａｓ ｎｏｔ ｂｅｅｎ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｍａｋｅ ｉｔ ｗｏｒｋ ｎｏｎ－ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅｌｙ， ｓｏ ｉｔ ｃａｎｎｏｔ ａｔ ｐｒｅｓｅｎｔ ｂｅ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｍｅｔｈｏｄ． Ｓｉｎｃｅ ｉｔ ｉｓ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｎｏ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｔｈａｔ ｉｓ ｏｆ ｔｒｕｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔ， ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｉｒｒｅｌｅｖａｎｔ． Ｉｎ ｆａｃｔ， ａｌｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓ

ａｒｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ，

ａｒｅ

ｍａｉｎｌｙ

ａ ｍａｔｔｅｒ

ｏｆ

ａｔ ｌｅａｓｔ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ （ｏｒ ｏｆ ｐｅｒｓｏｎａｌ

ｔａｓｔｅ）． Ｔｈｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｖｅｒｙ ｕｓｅｆｕｌ ｆｏｒ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｍａｙｂｅ ｍｏｓｔ ｐｏｗｅｒｆｕｌ ｗｈｅｎ ｗｏｒｋｉｎｇ

ｂｅｙｏｎｄ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ； ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ ｂｙ Ｍｏｎｔｅ－Ｃａｒｌｏ ｍｅｔｈｏｄｓ （Ｃｒｅｕｔｚ （１９８０， １９８３）， ａｎｄ Ｃｒｅｕｔｚ ＆ Ｍｏｒｉａｒｔｙ （１９８２））． Ｗｉｔｈｉｎ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ

ｔｈｅｏｒｙ

ｏｎｅ

ｎｅｅｄ

ｎｏｔ

ｅｖｅｎ

ｕｓｅ

ａ

ｃｕｔ－ｏｆｆ．

Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９７０， １９７３ａ） ｈａｓ ｓｈｏｗｎ ｈｏｗ ｔｏ

ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄｓ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｆｏｒ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｅ ｌａｃｋ ｏｆ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｏｆ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｔｈｅｒｅｂｙ ｍａｄｅ ｍａｎｉｆｅｓｔ． Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔｏ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ， ｉｓ ｒｅｇａｒｄｅｄ ｂｙ ｍｏｓｔ ｐｅｏｐｌｅ ａｓ ｃｕｍｂｅｒｓｏｍｅ． ２．５ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｗｅ ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ

ａ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａｒｅ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｌｉｍｉｔｉｎｇ ｂｅｌｏｗ （２．２．６）．） Ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｔａｋｅ ａｓ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ

（Ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｉｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓ， ａｓ ｌｉｓｔｅｄ

（２．２．２）．

ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｓｔ ｏｆ ｏｕｒ ｗｏｒｋ． Ｆｉｒｓｔ

ｗｅ ｍｕｓｔ

ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｎ ｆａｃｔ ｇｉｖｅｓ ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ

ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ， ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｍｏｔｉｏｎ （２．１．１０） ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｔｈｕｓ ｅｎｓｕｒｉｎｇ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ ｔｈｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ （２．１．２） ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ （２．１．５） ｈｏｌｄ． （Ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｏｆ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｓｐｅｃｉｆｙ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｈｏｗ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ａｆｆｅｃｔｓ ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓ．） Ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ

ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ （２．２．５）． Ｗｅ ｍａｋｅ ｗｈｅｒｅ ｅ ｉｓ ａ ｓｍａｌｌ ｎｕｍｂｅｒ， ａｎｄ Ａ（ｘ） Ａ（ｘ） ｅｆ（ｘ）， ｏｆ ｘ＂． ａｎ Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｍｅａｓｕｒｅ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｆ（ｘ） ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ

－＞

＋

１４

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

ｕｎｄｅｒ ｔｈｉｓ ｓｈｉｆｔ， ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ：

｜［ｄ＾］ｅｘｐｊｉＳ｜＞４＋ｅ／］

Ｍ＋ｅ／）ｊ［＝ ｜［ｄ＾］ｅｘｐｊｉ５［＾］＋

＋

ＩＡ

Ａ． （２．５．１）

Ｐｉｃｋｉｎｇ

ｏｕｔ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｅ

ｄＶＷ ｗｈｅｒｅ，

ａｓ

ｕｓｕａｌ，

ｇｉｖｅｓ

［ｃＬ４］ｅｘｐ＾ｉＳ｜Ｘ｜

ｗｅ

ｆ

＋

８Ｓ ＝

ＳＡ（ｙ）

０，

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ＳＳ

ｄＰ

（２．５．３）

ＳＡ（ｙ）￣￣ｎＡ￣ｄＡ＇ ＿

Ｓｉｎｃｅ ｆ（ｙ） ｉｓ ａｒｂｉｔｒａｒｙ，

ｗｅ

ｇｅｔ

［ｄｉ４］ｅｘｐ｜ｉＳ［＾］＋ Ｊ

（２．５．２）

＼ａｊ＼

ＳＳ

．

＝

８Ａ（ｙ）

０．

（２．５．４）

Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ＪＶ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ Ｊ， ｆｏｌｌｏｗｅｄ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ０， ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ （２．１．１０）． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，

＝

（５

０

＝

，／Ｔｔｔｔｔ ［ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （２．５．４） ］Ｊ＝０ ＳＪ（ｘ）

＝

＝

＝

＝

ｊｒ

ＪＴ

－

ｉ［ｄＡ］ｅｉＳｌＡ］

Ａ（ｘ）ｉ

ＳＳ

ＳＡ（ｙ）

＋

Ｓｗ（ｘ－ｙ）

［ｄＡ］ｅｉＳＷ｛ｉＡ（ｘ）［－ ＵＡ（ｙ）－ Ｐ＇（Ａ（ｙ））］ ＋ ３ｗ（ｘ－ｙ）｝

Ｊ＾ｉＤｙ＼［ｄＡ＇］ｅ［ＳｉＡ］Ａ（ｘ）Ａ（ｙ）

－ｉｎ／Ｏ｜７０（ｘ）＜／＞（ｙ）｜Ｏ＞－ｉ＜Ｏ＾＾ （２．５．５）

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ （２．１．９）．

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｕｒｔｈ ｌｉｎｅ ｗｅ ｈａｖｅ ｅｘｃｈａｎｇｅｄ

ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ □ ｙ ｔｅｒｍ． Ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｓｏ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ （２．２．４）． Ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ （ｎｅｘｔ－ｔｏ－ｌａｓｔ ｌｉｎｅ） ｉｓ ｏｕｔｓｉｄｅ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｏｒｄｅｒｉｎｇ， ａｎｄ ＳＳ／Ｓ（ｊ）（ｙ） ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｌｉｎｅ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ ａ ｓｈｏｒｔｈａｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｌｉｎｅ．

１５

２．６ Ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｓｏｍｅｗｈａｔ

ｐａｒａｄｏｘｉｃａｌ ｓｉｎｃｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ

ｍｏｔｉｏｎ：

ｆｒｏｍ

＜０｜

ｗｈｉｃｈ

ｉｔ

ｉｓ

ｔｅｍｐｔｉｎｇ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｔｃｊ）（ｘ）ＳＳ／ｄ（ｊ）（ｙ）＼Ｏｙ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｚｅｒｏ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｎ ｖｉｅｗ ｏｆ ｔｈｅ ｗｏｒｋ ａｂｏｖｅ

ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ

ｂｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｉｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｆｏｒｍｕｌａ

＜０ｌＴ＾｜０＞＝＾ｊ［ｄ＾ｅｉＳ［＾（ｘ）＾ Ｔｈｅｎ，

ｈａｖｅ ｓｅｅｎ， ｔｈｅ Ｄｙ ｉｓ ｉｍｐｌｉｃｉｔｌｙ ｏｕｔｓｉｄｅ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ． ｉｎｓｉｄｅ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ ｇｉｖｅｓ ａ ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒ， ｓｏ ｔｈａｔ ｗｅ ｇｅｔ ｔｈｅ

ａｓ ｗｅ

Ｂｒｉｎｇｉｎｇ ｉｔ

（５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｅｒｍ ｉｎ （２．１．９）

ｏｒ （２．５．５）． Ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ （２．１．１０） ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｕｓｅｆｕｌ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ＧＮ（ｐｔ，

？

？ ？，

ＰＮ）

＝

ＧＮ（Ｐｉ，．．．， ｐＮ）｛２ｎ）＊８？｛Ｐｌ

＝

Ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｐｊ

ｄ４ｘｔ．． ．ｄ％ ｅｘｐ ｛ｉ（ｐｌ－ｘｌ

ｂｅ ｒｅｇａｒｄｅｄ

＋

＋

？

？

？

■

？

■

＋

＋

ｐＮ－ｘＮ）｝ＧＮ（ｘｕ．．．， ｘＮ） （２．５．６）

ｐＮ）．

ｆｌｏｗｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈｅ （５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｉｓ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｆａｃｔｏｒｅｄ ｏｕｔ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｌｉｎｅ ｏｆ （２．５．６）． Ａ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｎｏｔａｔｉｏｎ （ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ｏｆｔｅｎ） ｉｓ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ａｒｅ ｔｏ

ｏｕｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

ａｓ

Ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ

ＧＮ（ｐ１，．．．，ｐＪＶ）

＝

＜Ｏ｜ｒ０（ｐ１）．．．＾（ｐＮ）｜Ｏ＞．

（２．５．７）

Ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｆｏｒｍｕｌａ ｉｓ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｏｖｅｒ ｘ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｆｉｅｌｄ ＜／＞（ｐ） ａｒｅ ａｌｌ ｔａｋｅｎ ｏｕｔｓｉｄｅ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ， ａｓ ｓｔａｔｅｄ ｉｎ （２．５．６）． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ａ ｔｉｌｄｅ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｓｙｍｂｏｌ ｆｏｒ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ－ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ

（２．１．１０） ｇｉｖｅｓ

－ｑ＼０＼Ｕ（ｑ）￥（Ｐｌ）．．．４＞（ｐＮ）＼０ｙ ＋ ＜０＼ＴＰ＼￥）（ｑ）￥（ｐｄ．．．￥（ｐＮ）＼０＞ ＝

－ｉ

Ｉ ＜Ｏ｜Ｔ＜￡（ｐＪ．．．０（ｐ．＿Ｊ＾

７＝１

２．６

Ｗｅ

Ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｔｈｅ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ． Ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ， ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈａｔ ｓｔｅｍ

ｎｏｗ ｔｕｒｎ ｔｏ

ｍａｎｙ

（２．５．８）

ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ

１６

Ｑｕａｎｔｕｍ

ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｑｕｅｓｔｉｏｎ： Ｉｆ

ａ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ｃｅｒｔａｉｎ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ， ｄｏｅｓ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｓｕｒｖｉｖｅ ａｆｔｅｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ？ Ｇｅｎｅｒａｌｌｙ， ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｎｅｅｄ ｆｏｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈａｔ ｍａｋｅｓ ｔｈｉｓ ａ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｑｕｅｓｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｒｅ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｙ

ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． （Ｈｉｓｔｏｒｉｃａｌｌｙ ｔｈｅ ｅａｒｌｉｅｓｔ ｅｘａｍｐｌｅ ｗａｓ ｆｏｕｎｄ ｂｙ Ｗａｒｄ （１９５０） ｉｎ ＱＥＤ．） Ｉｆ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｎｏｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ ｂｙ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｅｘｔｒａ ｔｅｒｍｓ ｃａｌｌｅｄ ａｎｏｍａｌｉｅｓ． Ｉｎ ｍａｎｙ ｃａｓｅｓ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ａｎｏｍａｌｉｅｓ， ｓｏ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｇｎｏｒｉｎｇ ｔｈｅ ｓｕｂｔｌｅｔｉｅｓ ｔｈａｔ ｉｎ ｓｏｍｅ ｃａｓｅｓ

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｌｅａｄ ｔｏ ａｎｏｍａｌｉｅｓ． Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ａｎｏｍａｌｏｕｓ

ｃａｓｅｓ

ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ

１３．

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｎ ｆｉｅｌｄｓ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｖｅｌｙ ｄｅｎｏｔｅ ｂｙ ａ ｖｅｃｔｏｒ ０ （０，，．．．， ＜／＞Ｎ）． Ｏｕｒ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｌ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｉｎｃｌｕｄｅ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｆｉｅｌｄｓ ｗｉｔｈ ｓｐｉｎ． Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ Ｓ［０］． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ａ

＝

ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ｏｎ

ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｉｅｌｄｓ

０－＋Ｆ［＞；ｃｔｆ］

＝

（２．６．１）

０＇，

ｗｈｉｃｈ ｌｅａｖｅｓ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｉｎｖａｒｉａｎｔ：

Ｓ［＊＇］ ａ

（２．６．２）

Ｓ｜＞］．

ｗ （ｗ＜ｚ） ｉｓ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｈｅｒｅ ｔｏ ０ Ｌｉｅ ｇｒｏｕｐ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅ ａ／ｓ ｔａｋｅ ｏｎ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｓｅｔ ｏｆ ｖａｌｕｅｓ． Ｗｅ ｌｅｔ ｗ

Ｈｅｒｅ

ｂｅ

＝

ｂｅ ｔｈｅ

＝

＝

ｉｄｅｎｔｉｔｙ： Ｆ［０；Ｏ］

＝

０．

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｉｅｓｔ ｔｏ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ：

ｄＦ－ ＝

ｏ

（Ａ ｓｕｍｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ

ｏｎ ａ

（２．６．３）

ａＡ５ａ０，

ｉｓ ｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄ．）

Ｉｎ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ａｓ ａ ｕｎｉｔａｒｙ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ Ｕ（ａ）） ｏｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｏｎ ｔｈｅ Ｈｉｌｂｅｒｔ ｓｐａｃｅ ｏｆ ｓｔａｔｅｓ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

Ｕ（ａ＞）ｊＵ｛ａ＞）－！ Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｉｓ ｕｎｉｔａｒｙ， Ｕ（ｏ） ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ Ｑａ ａｌｇｅｂｒａ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ：

Ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ａｒｅ

＝

ｗｅ

＝

（２．６．４）

Ｆ［０；ｏ＞］．

ｍａｙ

ｐａｒａｍｅｔｒｉｚｅ

ｅｘｐ（ｉ（Ｄ＂Ｑ，＼

ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ

ｓｏ

ｔｈａｔ

（２．６．５）

ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｈｉｃｈ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ Ｌｉｅ

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ ｃａｆｉｙ ａｒｅ ｔｏｔａｌｌｙ ａｒｅ ｔｈｅｎ ｇｉｖｅｎ ｂｙ：

ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃ． Ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ＜５＾ｉＷ

＝

ｉ［ａ＾，Ｗ］－

（２－６．７）

２．６ Ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ Ｔｈｅｒｅ

（１）

ａｒｅ ａ

１７

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅｓ， ｅａｃｈ ｗｉｔｈ ｉｔｓ

ｓｐｅｃｉａｌ ｆｅａｔｕｒｅｓ：

ｏｗｎ

Ｇｌｏｂａｌ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ： Ａ ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｌｉｅ ｇｒｏｕｐ ａｃｔｓ ｏｎ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｔ ｅａｃｈ

ｆｉｅｌｄｓ ａｔ ｅａｃｈ

ｐｏｉｎｔ． Ｔｈｕｓ

ｙｆ＝－ｉＷｉ％ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｔａ ｆｏｒｍ

ａ

（２－６．８）

ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｍａｔｒｉｘ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａ：

Ｓｉｎｇｌｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｔａｔｅｓ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｔｈｉｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ．

ａｒｅ

ａｎｎｉｈｉｌａｔｅｄ ｂｙ ＜／＞，．．

Ｔｈｅ

（２） Ｇｌｏｂａｌ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ： Ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｉｓ ｏｎ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ； ｔｈｅ Ｐｏｉｎｃａｒｅ

ａ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｉｔｓ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ

ｃａｓｅｓ． Ｆｏｒ ａ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｘＭ－＞

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ａ￡ｘｖ

＋

ａＭ，

ｈａｖｅ ｔｈｅ

ｗｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ：

（２．６．１０）

（／＞；（＊）－＋（／＞．（Ａｘ ＋ａ）ｊＲ（Ａ）Ｖ

Ｈｅｒｅ Ｒ ｉｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｍａｔｒｉｘ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｇｒｏｕｐ （ｎｅｖｅｒ ｕｎｉｔａｒｙ ｉｆ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ）， ａｃｔｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｓｐｉｎ ｉｎｄｉｃｅｓ ｏｆ ０． Ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｎｏｔ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｉｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ

ａｓ

Ｊ＾［０，ｘ］－＋Ｊ＾｜＞，Ａｘ ＋ ａ］， ｓｏ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ Ｓ

＝

Ｊｄ４ｘｉｆ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ｏｆ （ｊ＞ ｉｎｖｏｌｖｅ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ （／＞． （３） Ｇｌｏｂａｌ ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ： Ｔｈｉｓ ｌｏｏｋｓ ｌｉｋｅ

ｇｌｏｂａｌ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｂｕｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｌｙ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄｅｄ ｐａｒｔｓ ｏｆ Ｄｉｒａｃ ｆｉｅｌｄｓ （ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｈａｖｅ ｙｅｔ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ）． Ａｎｏｍａｌｉｅｓ ａｒｅ ｏｆｔｅｎ ｐｒｅｓｅｎｔ ｓｅｅ Ｃｈａｐｔｅｒ １３． （４） Ｓｕｐｅｒｓｙｍｍｅｔｒｙ： Ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｔｙｐｅ ｏｆ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｗｈｅｒｅ Ｂｏｓｅ ａｎｄ Ｆｅｒｍｉ ｆｉｅｌｄｓ ａｒｅ ｒｅｌａｔｅｄ （Ｆａｙｅｔ ＆ Ｆｅｒｒａｒａ （１９７７））． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｃｔｓ

ｏｎ

ａ

ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ ａｎｄ

－

ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｉｓ ｔｈｅ ＢＲＳ－ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ （Ｂｅｃｃｈｉ， Ｒｏｕｅｔ ＆ Ｓｔｏｒａ （１９７５）） ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ． （５） Ｇａｕｇｅ， ｏｒ ｌｏｃａｌ， ｓｙｍｍｅｔｒｙ： Ａｎｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｗｈｏｓｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｄｅｐｅｎｄ

ａ

ｍａｙ ｂｅ

ｏ（ｘ）． Ｉｎ ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｎｏｔ ｒｅａｌｌｙ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ｂｙ ｕｎｉｔａｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｉｒ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｉｓ ｒａｔｈｅｒ ｓｐｅｃｉａｌ． Ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ｉｎ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ， ａｎｄ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ

ａ

ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｎ Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｔｏｏｌ ｆｏｒ

ｏｎ ｘ．ｗ

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｓｍ．

ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｉｓ Ｎｏｅｔｈｅｒ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ， ｗｈｉｃｈ

ｒｅｌａｔｅｓ ｔｈｅｍ ｔｏ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｌａｗｓ． Ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｎ ｉｔｓ ｍｏｓｔ

ｆｏｒｍ

ａｐｐｌｉｅｓ ｏｎｌｙ

ｔｏ

＝

ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｈｒｅｅ ｔｙｐｅｓ．

ｓｔｒａｉｇｈｔｆｏｒｗａｒｄ

１８

Ｑｕａｎｔｕｍ Ｆｏｒ

Ｎｏｅｔｈｅｒ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｓｓｅｒｔｓ ｔｈａｔ

ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ，

ａ

ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ａ

ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ

ｃｕｒｒｅｎｔ＾ ｅｘｉｓｔｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ ｏｆ ａ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｌｅｔ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｈａｖｅ

ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓ￡－＋Ｓ￡ ＋ ｏｆｂ＾ ｓｏ

＝

＆＋

（２．６．１１）

ｃｏ＊ｄ＾ Ｙ￡，

ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｄｅｆｉｎｅ

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ

ｉｍｐｌｙ

ｄｊ￡／ｄｘ？ Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｙ￡， ｉ．ｅ．， ＝

ｇｒｏｕｐ

（２．６．１３）

０．

ａｒｅ

Ｑ＾Ｗｘｊｌ

（２．６．１４）

Ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ

ｔｉＭｘ）＃３＼ｘ ［ｆｔ？＾）］＝－ｉ＾Ｍ

Ｄ，°Ｗ， ＜／？，（＞－）］

ａｓ

－

＝

－

ｙ），

（ｉｆ ＊°

＝

Ａ （２－６．１５）

ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｂｙ （２．６．７）． ｏｎｌｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ＇ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ＇． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｃａｓｅｓ （ｎｏｔ

Ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｎｏｔ

ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｙ， ｂｕｔ ａｌｓｏ ｍｕｔｕａｌｌｙ ｅｘｃｌｕｓｉｖｅ）． Ｌｅｔ ｕｓ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅｍ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｃｅｒｔａｉｎ ａｍｏｕｎｔ ｏｆ

ｃｏｎｆｕｓｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｔｅｒｍｉｎｏｌｏｇｙ： （１） Ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｂｒｅａｋｉｎｇ： Ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｃｔｉｏｎ ｈａｓ ａ ｎｏｎ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｔｅｒｍ． Ｉｆ ６ａＪ？ ｄ＾Ｙ￡ ＋ Ａａ ｔｈｅｎ ｔｈｅ Ｎｏｅｔｈｅｒ ｃｕｒｒｅｎｔｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ： ＝

Ａａ． Ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃａｓｅ ｉｓ ｗｈｅｒｅ ｔｈｉｓ ｔｅｒｍ ｉｓ ｓｍａｌｌ， ｓｏ ｔｈａｔ ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ａｓ ａ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ． （２） Ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｂｒｅａｋｉｎｇ： Ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏｔ， ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔ． Ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ

ｄｊ＊

＝

ｔｒｅａｔｅｄ

ａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｙ， ｓｉｎｃｅ ｉｔ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｃａｕｓｅ ｏｆ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｌｌｙ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｐｒｏｂｌｅｍ： ｄｊ％ ＾ ０ ｉｎ ｔｈｅ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ

ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｄｉｓａｐｐｅａｒ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ． （Ｃａｓｅｓ

ａｒｅ

ｃｏｎｆｏｒｍａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ａｎｄ

ｓｏｍｅ

ｃｈｉｒａｌ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ．） （３） Ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ

ｂｒｅａｋｉｎｇ：

Ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ （ｉｎ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ

ｔｈｅｏｒｙ），

ｂｕｔ ｔｈｅ

ｖａｃｕｕｍ

ａｒｅ

ｉｓ ｎｏｔ ｉｎｖａｒｉａｎｔ

ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｗｈｅｔｈｅｒ

ｏｒ ｎｏｔ ａ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｂｒｏｋｅｎ ｅｉｔｈｅｒ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ

ａｎｏｍａｌｏｕｓｌｙ ｉｓ ａ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｑｕｅｓｔｉｏｎ． Ｔｈａｔ ｉｓ，

ｏｎｅ ｍｕｓｔ

ｏｒ

ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ， ａｔ ｌｅａｓｔ

１９

２．７ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

ｐａｒｔｉａｌｌｙ， ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ａｎｓｗｅｒ． Ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ， ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａｄｅｑｕａｔｅ ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ ａｎｄ

ｌｏｗｅｓｔ

ｏｒｄｅｒ ｏｒ ｎｅｘｔ－ｔｏ－ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｓｕｆｆｉｃｅ．

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｒｅａｔｉｎｇ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｂｒｅａｋｉｎｇ （ｓｅｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ａｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ １３），

ｗｈｉｌｅ

ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｉｎ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ （Ｃｏｌｅｍａｎ ＆ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９７３））． Ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｔｈａｔ ｉｓ ｎｏｔ ｖｉｓｉｂｌｅ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｔｅｒｍｅｄ ｄｙｎａｍｉｃａｌ （Ｊａｃｋｉｗ ＆ Ｊｏｈｎｓｏｎ （１９７３）， Ｃｏｒｎｗａｌｌ ＆ Ｎｏｒｔｏｎ （１９７３）， ａｎｄ Ｇｒｏｓｓ （１９７６））． Ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｉｓ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｃａｌｌｅｄ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ， ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｂａｄ ｔｅｒｍｉｎｏｌｏｇｙ， ｂｅｃａｕｓｅ ｉｔ

ｇｉｖｅｓ

ｔｗｏ ｖｅｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ

ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｔｈｅ

ｓａｍｅ ｎａｍｅ．

２．７ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｅｘｐｒｅｓｓ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｈｅ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ａ

ｉｔ ｉｓ ｂｒｏｋｅｎ）． Ｏｎｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ａｐｐｌｉｅｓ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ （２．１．１０） ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｊｊ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ： ｏｎｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ， ａｎｄ ｏｎｅ ｉｎ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ （ｗｈｅｔｈｅｒ

ｏｒ ｎｏｔ

ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ＾－ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｅｄ ｐｒｏｄｕｃｔ ａｒｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ． ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｅｘｐｒｅｓｓｅｓ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｔｓ ｃｕｒｒｅｎｔ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ （２．６．１５）， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ

Ｔｈｕｓ ｔｈｅ

Ｗａｒｄ

ａ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｔｈｅ

ｌａｗ．

Ｗａｒｄ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ

ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

ａｒｅ ｃｅｎｔｒａｌ

ｔｏ

ａ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ

ｏｆ ｔｈｅ

ｗｉｔｈ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ， ｅｘｐｅｃｉａｌｌｙ ｉｆ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ

ｔｈｅｏｒｙ

ｂｒｏｋｅｎ． Ｏｕｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｂｅｇｉｎｓ ｂｙ ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ：

Ａｉ（ｘ）－＋Ａｉ（ｘ）＋ｆ（ｘ）８ａＡｉ（ｘ） ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｚ［Ｊ］． ｂｅｆｏｒｅ， ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ Ａ｛ ｕｎｄｅｒ ｆａ（ｘ） ｉｓ ｘ －？

ｏｏ．

ａ ｓｅｔ

ｗｅ

ｖａｒｉａｂｌｅｓ

０＝

＝

ＨｅｒｅｙＪ，

Ｈｅｒｅ

ＳａＡｔ ｉｓ， ａｓ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ａｎｄ

ａ

ｏｆ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃｏｍｐｌｅｘ－ｖａｌｕｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｖａｎｉｓｈ ｒａｐｉｄｌｙ

ａｓ

Ｗｅ ｇｅｔ

Ｚ［Ｊ］ （Ｈｅｒｅ

（２．７．１）

＝

ｊ［ｄＡ］

ｅｘｐ

｛ｉＳ［Ａ ＋／＊＜５ａＡ］

ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ

（２．７．１）．） Ｔｈｅ

ｍｅａｓｕｒｅ

ｔｅｒｍｓ ｉｎ

＋

Ｊ＾． ＋ｆ＇８ｇｃＡｉ）｝．

ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ

（２．７．２） ｔｈａｔ

ａｒｅ

＋

ｅｘｐ

（ｉＳ

＋

ｊＪ－

Ａ

Ｗ／＾ＯＯ

＋

ｃｈａｎｇｅ

ｏｆ

ｌｉｎｅａｒ ｉｎ ｆ＂ ｇｉｖｅ

ｆ［ｄＡ］ｅｘｐＭＳ ｆｊ－ＡＶ－５Ｓ［Ａ＋／＾ａＡ］／５／＾）

ｆ［ｄＡ］

（２．７．２）

ｉ＾Ｍｙ）｝－

ｉｓ ｔｈｅ Ｎｏｅｔｈｅｒ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ．

＋

ｉＪ＇Ｍ．－（）＇）｝ ＜２－７－３）

２０

Ｑｕａｎｔｕｍ

ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｆｏｌｌｏｗ ｂｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ Ｊ（ｘ）． Ｔｈｕｓ ｏｎｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｇｉｖｅｓ

ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅｓ

＾７＜０｜ ｒ￡０＃，（ｘ）｜０＞

－

＝

ｏｙ

ｗｈｉｌｅ ａ ｄｏｕｂｌｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ

ｉ＜５＜４＞（＊

－

ｙＫ０＼ＳＭｙ）＼０＞，

（２．７＇．４）

ｇｉｖｅｓ

＾＜Ｏ｜７７＾）０ｆ（ｗ）＾（ｘ）｜Ｏ＞ －ｉＳ＾ｗ－ｙＫ０＼Ｔ５Ｍｙ）＜ｔ＞ｊＭ＼°＞

＝

－

ｉ＜５＜４＞（＊

－

＞＜）＜０｜ Ｔ０，（ｗ）＾（／＞．（ｙ）｜Ｏ＞．

（２．７．５）

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ， ｊｕｓｔ ａｓ ｉｎ ｏｕｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．５， ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｄ／ｄｙ＂ ｉｓ ｏｕｔｓｉｄｅ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ ｉｓ：

Ａ＜ｏｉＴＯｎ＊ｊ＊，）ｉｏ＞ °ｙ

ｉ

＝

＂

＝

ｉ

Ｘ ＜５（％

ｉ

＂

＊／）＜０｜ Ｔ＾ＧＯ Ｊ］ ＾，．Ｗ｜０＞．

（２．７．６）

Ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｙ （ｗｉｔｈ ｙ° ｆｉｘｅｄ）． Ｔｈｅ ｓｐａｔｉａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｇｉｖｅ ａ ｓｕｒｆａｃｅ ｔｅｒｍ， ｗｈｉｃｈ ｖａｎｉｓｈｅｓ， ｓｏ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，

ｊｄ３＞＇＾ｏ ＜０｜ ７￡０＃，（ｘ）｜０＞ Ｔｈｅ ｓｐａｔｉａｌ

－

ｉ＜５（＊°

－

／）＜０｜＾ｆ（ｘ）｜０＞．

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ；＇０ ｉｓ ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｃｈａｒｇｅ Ｑ°． Ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ａｃｔｓ ｅｉｔｈｅｒ

ｔｈｅ ｃｈａｒｇｅ ｔｈａｔ ｏｎ

＝

ｏｒ ｏｎ

ｔｈｅ ＾－ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ；

＜０｜ｒｄｅａ／ｄｔ＾（ｘ）｜０＞ ＋ ＜０｜［ｅａ，＾（ｘ）］｜０＞？５（ｘ０－ｙ０） －ｉ５（ｘ°－ｙ°Ｋ０＼ＳＭｙ）＼０ｙ． ＝

Ｉｎ ｔｈｉｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｆｉｎｄ

（２－７．７）

（２．７．６）， ｗｅ ｍａｙ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｙ°． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｄｇａ／ｄｔ ｉｓ ｚｅｒｏ． Ｔｈｅ

ａｎｄ ｉｔｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ

ｔｉｍｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ

＜／＞ｆ（ｘｆ）

ｎｏｔ ｔｏ ｃｏｉｎｃｉｄｅ ｗｉｔｈ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｄｇａ／ｄｒ ｉｓ ｚｅｒｏ， ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｐａｒｔ ｏｆ （２．７．７） ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ

ｓｏ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｇｉｖｅｓ：

＜Ｏ｜［ｅａ，０，－Ｍ］｜Ｏ＞＝ －ｉ＜０｜＾．（ｙ）｜０＞． Ｆｒｏｍ

ｓｏ ｗｅ

（２．７．８） ａｎｄ ｉｔｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ

ｍｏｒｅ

ｆｉｅｌｄｓ，

ｗｅ

（２．７．８） ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｇａ＇ｓ

ｈａｖｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ０ｆ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｇｒｏｕｐ． Ｆｉｎａｌｌｙ， ａｎｏｔｈｅｒ ｓｐｅｃｉａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ （２．７．６） ｉｓ ｔｏ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｉｔ

ｏｖｅｒ

ａｌｌ ｙ＊ ａｎｄ ｔｏ

２１

２．８ Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ

ｄｒｏｐ

ｔｈｅ

ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｓｕｒｆａｃｅ

ｔｅｒｍ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ

Ｉ＜ｏ｜ｒ５Ａ／＊；）ｎ６，（（＊．）｜ｏ＞

ｏ＝

＜５ａ＜０｜７ｎ＾，（ｘｉ）｜０＞．

＝

（２．７．９）

ｉ＝ １

Ａｌｌ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ａｒｅ ｔｒｕｅ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｏｆ

ａ

ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ

ｕｎｂｒｏｋｅｎ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｂｒｅａｋｓ ｄｏｗｎ ａｔ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｓｔｅｐ ｉｆ ｗｅ ｈａｖｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｂｒｅａｋｉｎｇ． （Ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １３ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｔｅｒｍｓ ｔｈａｔ

ｍｕｓｔ ｔｈｅｎ ｂｅ ｉｎｓｅｒｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅｍ ｃｏｒｒｅｃｔ．） Ｆｏｒ

ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ

ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｗｈｅｒｅ ｄ－ｊ

＝

Ａｊ＝Ｑ，

ｗｅ ｍｕｓｔ

ａｄｄ

ａｎ

ａ ｔｅｒｍ

＜０＼ＴＡｘ（ｙ）Ｙ＼４＞ｎ，（ＸｉＰ＞

（２－７．１０）

＊ ＝ １

ｔｏ ｔｈｅ

ｓｉｄｅ ｏｆ （２．７．６）．

ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ

Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ （２．７．４）－（２．７．６） ｒｅｍａｉｎ ｔｒｕｅ－ｗｅ ｓｔｉｌｌ ｈａｖｅ ａｎ ｅｘａｃｔ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ （２．７．７） ａｎｄ （２．７．９） ａｒｅ ｎｏ ｌｏｎｇｅｒ ｔｒｕｅ． Ｅｑｕａｔｉｏｎ （２．７．９） ｍｕｓｔ ｂｅ ｆａｌｓｅ ｉｆ ｔｈｅ ｖａｃｕｕｍ ｉｓ ｎｏｔ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｆａｉｌｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｔｅｒｍ ｉｓ ｎｏｔ ｚｅｒｏ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｚｅｒｏ－

ｐａｒｔｉｃｌｅｓ． Ｔｈｅｓｅ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９６２）） ａｒｅ

ｍａｓｓ

Ｎａｍｂｕ－Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｂｏｓｏｎｓ （Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ， Ｓａｌａｍ ＆ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ａ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ

ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ．

２．８ Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ Ａｓ

ａｎ

ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｇａｉｎ （／＞４ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｉｔｈ ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ Ｓ￡

Ｗｅ ｗｉｌｌ

＝

Ｚ（ｄＡ）２／２

－

ｍ２ＢＡ２／２

－

（２．８．１）

ｇＢＡ＊／４Ｌ

ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｅｘｐａｎｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ， ｆｏｒ ｓｍａｌｌ ｇ． ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｇ，

ｗｅ

Ｔｏ

ｅｘｐａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａ （２．２．２） ｉｎ

ｗｒｉｔｅ ｉ？

＝

Ｊ５？０

＋

（２－８－２）

＾ｉ＞

ｗｈｅｒｅ ｉｆ０ ｉｓ ｔｈｅ ｆｒｅｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ： （２．８．３）

＆０＝（ｄＡ）２／２－ｍ２Ａ２／２， ａｎｄ ＜￡ｘ ｉｓ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ： Ｓｅ，

＝

－

Ｗｅ ｗｉｌｌ

ｇＡ＊／４！

ｅｘｐａｎｄ

＋

（Ｚ

－

ｌ）（ｄＡ）２／２

－

（ｍ２

－

ｍ２）Ａ２／２

－

ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， Ｚ

（ｇＢ —

－

１，

ｇ）Ａ＊／４１ （２．８．４）

ｍ｜

—

ｍ２，

ａｎｄ

２２

Ｑｕａｎｔｕｍ

ｇＢ

—

ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

０，ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ＃，ｓｏ ｔｈａｔ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｉｆ， ｈａｖｅ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｔｈｅｎ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ （２．２．２）

ｇ． Ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ａｓ：

ＧＮ（ｘ１，ｘ２，．．． ，ｘＮ）

￡

（ｉ＂／ｎ！）

ｆ

［［ｄ＾ｘ，）－￣Ａ（ｘＪ ｆｄ４ｙ＾ｉＷ

ｅｘｐ（ｉＳ０Ｍ）

（２．８．５）

ｆ［ｄ＾］｜＂ ｆｄＶ＾ｗＴｅｘｐ＾ｏ＾］）

（ｉ－／ｎ！）

Ｈｅｒｅ

［ｄ４ｙ＾ｏ＝ ［ｄ４ｙ（＾２／２－ｍ２／（２／２）

ＳｏＷ＝ ｉｓ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ａｃｔｉｏｎ．

Ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｉｓ （ａｓｉｄｅ ｆｒｏｍ

ａ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｆｒｅｅ－ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ）， （１９５１） ｆｏｒｍｕｌａ：

ａ ｃｏｍｍｏｎ

Ｍａｎｎ－Ｌｏｗ

ｓｏ

（２．８．５） ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｔｏ ｔｈｅ Ｇｅｌｌ－

ｕＮ（ｘｌ９．．． ｘ；Ｖ） ，

＿

￡ （ｉＷｆｌ Ｕ＊ｙＪ）＜０＼Ｔ＜ｔ＞Ｆ（ｘ１）．．．ｃｔ＞Ｆ（ｘＮ） ｆ［ Ｊ＾（ｙｉ）｜０＞ ＼ｊ＝ｌ Ｊ

ｎ＾Ｏ

／

＿

ｊｆｊ

．

ｔｒ／ｎｉ）（ｆ＼ Ｕｙｊ］＜ｏ＼Ｔｆ＼ ＾（ｙｊ）＼ｏｙ （２．８．６） Ｈｅｒｅ ｔ／＞Ｆ ｉｓ ａ ｆｒｅｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｍａｓｓ ｍ． Ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｒｅｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｆ０ （ｄ（ｊ）Ｆ）２／２ ｍ２ｔ／＞Ｆ／２． Ｔｈｅｎ ｉ＾ ｉｓ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ｉｆ ｊ￡ｆ０， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｆｉｅｌｄ ０Ｆ． ＝

－

—

Ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｉｎ （２．８．５） ｉｔ ｓｕｆｆｉｃｅｓ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｏｆ ｆｒｅｅ－ｆｉｅｌｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ：

Ｚ０［ Ｊ］

＝

Ｊ－

｜［＜Ｕ］ｅｘｐｌ ｉＳ０ＩＸＩ＋ ｙＡ Ｊ－ ＾ ＾ －ｒ

ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ

（２．８．７）

［ｄ＾］ｅｘｐ（ｉＳ０［＾］） Ｔｈｉｓ ｉｓ ｄｏｎｅ ｂｙ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ：

ｃｏｍｐｌｅｔｉｎｇ ｔｈｅ

Ａ（ｘ）

Ｈｅｒｅ， ＧＦ（ｘ）， ｉｓ

－

ｓｑｕａｒｅ， ｉ．ｅ．，

Ａ（ｘ）

＋

ｂｙ ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｈａｎｇｅ

ｆｄ＊ｙＧＦ（ｘ

－

ｙ）Ｊ（ｙ）．

（２．８．８）

ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ （□ ＋

ｍ２）ＧＦ（ｘ）

＝

－

ｉ＜５（４）（ｘ），

（２．８．９）

２３

２．８ Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ

ｘ°

ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ，

ａ

＝

—

ｉｔ， ＧＦ（ｘ）

－？

０

ａｓ ｘ －？

ｏｏ．

ａｆｔｅｒ ｒｏｔａｔｉｎｇ ｔｏ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｓｐａｃｅ ｂｙ

Ｔｈｕｓ

Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ

Ｚ０［Ｊ］ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

＝

ｅｘｐ

ｊ± ｆｄ４ｘｄ Ｖ（＊）ＧＦ（＊－ｙ）Ｊ（ｙ）＼．

ｏｆ ｆｒｅｅ ｆｉｅｌｄｓ

（２．８．１１）

ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ

ａｒｅ

ｔｏ Ｊ； ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ

（０＼Ｔ＜ｔ＞（ｘ）＜ｔ＞（ｙ）＼０｝＝－ ＳＪ（ｘ）ＳＪ（ｙ）＼Ｊ

＝

０

（２．８．１２）

ＧＦ（ｘ－ｙ）．

＝

ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｗｅｌｌ－ｋｎｏｗｎ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ ｆｒｏｍ （２．８．６）． Ｔｈｅｓｅ ｃａｎ ｂｅ ｇｉｖｅｎ ｅｉｔｈｅｒ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｏｒ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｈｅｏｒｙ ｓｐａｃｅ． Ｉｎ ｅｉｔｈｅｒ ｃａｓｅ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＧＮ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ ａ ｓｕｍ ｏｖｅｒ ａｌｌ Ｗｅ

ｃａｎ ｎｏｗ

ｐｏｓｓｉｂｌｅ

ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌｌｙ ｄｉｓｔｉｎｃｔ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ． Ｅａｃｈ ｇｒａｐｈ Ｔ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａ ｂｙ ｌｉｎｅｓ． Ｉｔ ｈａｓ Ｎ ＇ｅｘｔｅｒｎａｌ ｖｅｒｔｉｃｅｓ＇， ｏｎｅ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｊｏｉｎｅｄ

０（ｘｆ），

ｗｉｔｈ

ｏｎｅ

ｌｉｎｅ ａｔｔａｃｈｅｄ， ａｎｄ

ｎｕｍｂｅｒ，

ｓｏｍｅ

ｎ， ｏｆ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｖｅｒｔｉｃｅｓ．

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （２．８．４）． Ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ ｔｈｅ Ａ＊ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｈａｓ ｆｏｕｒ

Ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｒｅ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｔｙｐｅｓ， ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

ｌｉｎｅｓ ａｔｔａｃｈｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄＡ２ ａｎｄ Ａ２ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｔｗｏ ｌｉｎｅｓ ａｔｔａｃｈｅｄ． Ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｙｊ ｏｆ ｔｈｅ

ｎ

ｇｒａｐｈ， ｄｅｎｏｔｅｄ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｖｅｒｔｉｃｅｓ． Ｔｈｅ

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｉｓ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ

／（Ｔ）， ｉｓ ｔｈｅ

ｆａｃｔｏｒｓ： （１）

ＧＦ（ｗ

ｚ） ｆｏｒ ｅａｃｈ ｌｉｎｅ， ｗｈｅｒｅ

—

ｗ

ａｎｄ

ｚ ａｒｅ

ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｔ

ｉｔｓ ｅｎｄ． （２） Ａ ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ ｆａｃｔｏｒ １／Ｓ（ｒ）． （３） ｉ＃Ｂ ｆｏｒ ｅａｃｈ Ａ４ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． —

（４）

（５）

—

—

ｉ（ｍ｜ ｉ（Ｚ

—

—

ｍ２）

ｆｏｒ ｅａｃｈ Ａ２ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ．

ｌ）ｄ２／ｄｗ＂ｄｗＭ

ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｗ ａｃｔ ｏｎ ｏｎｅ

（ｄＡ）２

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ： ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｗｉｔｈ

ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ａｔｔａｃｈｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ．

Ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｑｕａｌ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ （２．８．５）． Ｉｆ Ｔ ｈａｓ ｎｏ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ａｎｄ ｉｆ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ａｒｉｓｅ ｉｎ ｉｔ ｈａｓ ｎｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｖｅｒｔｉｃｅｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｉｓ ｎｕｍｂｅｒ ｉｓ ｎ ！（４！）＂ ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｎ！ ｉｎ （２．８．５） ａｎｄ ｔｈｅ ４！ ｉｎ ｅａｃｈ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

ａｒｅ

ｃａｎｃｅｌｌｅｄ．

Ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｈａｖｅ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｎｕｍｂｅｒ ５（ｒ）． （Ｆｏｒ ｂｙ ６．） Ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ Ｆｉｇ． ２．８．１ ｈａｓ ５

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｓｍａｌｌｅｒ

ａ

＝

ｆａｃｔｏｒ ｉｓ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ Ｓ（Ｔ）．

２４

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ

ｔｈｅｏｒｙ

ＣＯ Ｆｉｇ． ２．８．１． Ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃ－ ｔｏｒ ５

Ｆｉｇ． ２．８．２． Ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ

６．

＝

ａ

ｖａｃｕｕｍ

ｂｕｂｂｌｅ．

ｉｓ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ａｌｌ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｎｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ． ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒａｔｏｒ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ｄｉｓｃｏｎｎｅｃｔｅｄ

Ｔｈｅ ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ ｏｆ （２．８．５）

Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ａｌｌ ｖａｃｕｕｍ ｂｕｂｂｌｅｓ

（ｌｉｋｅ Ｆｉｇ． ２．８．２．）．

Ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｅａｃｈ ｌｉｎｅ ｉｓ

Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ

（１）

Ａ ｆａｃｔｏｒ

（２） Ａ ｆａｃｔｏｒ

ｉ／［（２７ｒ）４（／ｃ２ （２ｎ）４＇

ｏｒ

ｍ２

—

ｔｉｍｅｓ

ｖｅｒｔｅｘ （ｅｘｔｅｒｎａｌ

（３） Ａｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ

ａｓｓｉｇｎｅｄ

ａ

（ｄｉｒｅｃｔｅｄ）

ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｋ． Ｔｈｅ

ａｒｅ：

＋

ｉａ）］

ｆｏｒ

ａ

ａ ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｌｉｎｅ ｗｉｔｈ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｋ．

ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ＾－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ）．

ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｏｆ ｅｖｅｒｙ ｌｉｎｅ． （４） Ａ ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ ｆａｃｔｏｒ １／Ｓ（Ｔ）． （５） ｉ＃Ｂ ｆ°ｒ ｅａｃｒｉ ＾４ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． ｏｖｅｒ

—

（６） （７）

＼｛ｍｌ ｍ２） ｆｏｒ ｅａｃｈ Ａ２ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． ｉ（Ｚ ＼）ｐ２ ｆｏｒ ｅａｃｈ （ｄＡ）２ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ， ｗｈｅｒｅ ｐ ｉｓ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｆｌｏｗｉｎｇ —

—

—

ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ａｔｔａｃｈｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ．

ｏｎ ｏｎｅ

Ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ （２．８．５） ｎｅｅｄ ｎｏｔ ｂｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ． Ｌｅｔ ＧＮ ｂｅ ｔｈｅ ｓｕｍ ｕｐ ｔｏ ｏｒｄｅｒ ｇｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ ｆｏｒ ？

ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＧＮ． Ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｔｏ ＧＮ ｉｆ ｆｏｒ ａｎｙ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

＼ＧＮ￣ＧＮＪ ａｓ ｇ

＝

ｎ

ｔｈｅ

ｅｒｒｏｒ

（２．８．１３）

０（ｇｎ＋＇）

ｇｅｎｅｒａｌ， ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｕｔ ｎｏｔ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． ｒｉｇｏｒｏｕｓｌｙ ｋｎｏｗｎ （Ｇｌｉｍｍ ＆ Ｊａｆｆｅ （１９８１）） ｆｏｒ ｔｈｅ ＜／＞４ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｔｈｅ

－＞０． Ｉｎ

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｃａｓｅｓ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｓ ｄ

＝

０，１， ２， ３． （ｄ

＝

０ ｉｓ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｘ ｅｘｐ （ ｗｈｉｌｅ ｄ

＝

－

ｍ２ｘ２／２

－

ｇｘ＊／４！），

１ ｉｓ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｎｈａｒｍｏｎｉｃ

Ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ， ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎ ｆｏｒ ｎｏｎ－ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｗｈｅｎ ｇ ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ ｂｅｌｏｗ ａｎｄ

ｓｏ

ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ．）

ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｉｓ

ｔｈｅ ｖａｃｕｕｍ－ｓｔａｔｅ ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ ｆｒｏｍ ｇ＞０ ｉｓ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ ｉｎ ｑｕａｎｔｕｍ

ｕｎｓｔａｂｌｅ． （Ｄｙｓｏｎ （１９５２） ｆｉｒｓｔ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｔｈｉｓ

ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ．）

＜ ０

Ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

２．９ Ｉｎ ｌａｔｅｒ

ｃｈａｐｔｅｒｓ

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ａｓｓｕｍｅ

（２．８．１３）．

ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ， ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ

Ｗｈｅｎ

２５

ｃｏｍｐｕｔｅ ｌａｒｇｅ－

ｗｅ

ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ

ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｆ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｕｔ ｎｏｔ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． ２．９

Ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ

ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

（／＞４ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． Ｉｆ ｍ２ ｉｓ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ａｎｄ ｇ ｉｓ ｓｍａｌｌ， ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｔｈｅｏｒｙ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ｏｆ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｏｆ ｍａｓｓ

ｓｌｉｇｈｔｌｙ ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｂａｓｉｃａｌｌｙ ａ ｒｅｐｕｌｓｉｖｅ （５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ， ａｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｔｈｅ Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ ｉｎ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｍ

Ｂｕｔ ｉｆ ｍ２ ｉｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｔｈｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｃｏｒｒｅｃｔ． Ｔｈｅ ｔｒｕｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｃａｎ

ｂｙ ｎｏｔｉｃｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ （ｉｎ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｓｐａｃｅ） ｉｓ ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｂｙ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｉｅｌｄｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ａｃｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｂｅ ｄｉｓｃｏｖｅｒｅｄ

ＳＥｕｃｉＭ （Ｒｅｍｅｍｂｅｒ

＝

（ｄＡ）２

ｔｈａｔ

［ｄ４ｘ［ ＝

Ａ

＝

ａｒｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ

Ａ＿

＝

（２．９．１）

（ｄＡ）２／２ ＋ ｍ２Ａ２／２ ＋ ｇＡ＊／４ｉ］．

ｉｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ．） Ｉｆ ｍ２ ＞ ０， ｔｈｅｎ ０． Ｂｕｔ， ｉｆ ｍ２ ＜ ０， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｍｉｎｉｍａ；

－（ｄＡ／ｄｚ）２－ＶＡ２

ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ａｃｔｉｏｎ ｆｉｅｌｄ ｉｓ Ａ

ｔｈｅｓｅ

－

＝

ｆｉｅｌｄｓ ｗｉｔｈ Ｐ＇（Ａ）

＝

０， ｉ．ｅ．， Ａ＝Ａ＋

－Ｊ（－６ｍ２／ｇ）．

＝ｙ／（

—

６ｍ２ｊｇ）

ａｎｄ

ｉｎ ｔｈｅ ｉｍｐｏｓｅ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ Ａ（ｘ） －＞Ａ ｉｎｔｅｇｒａｌ． （Ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ Ａ＾Ａ＿ ｇｉｖｅｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｐｈｙｓｉｃｓ， Ａ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ．） Ｔｈｅｎ ｆｉｅｌｄ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ Ａ ｗｉｔｈ Ａ ｃｌｏｓｅ ｔｏ Ａ ｗｉｌｌ ｄｏｍｉｎａｔｅ． Ｗｅ ｍａｙ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｉｓ ｂｙ ｏｂｓｅｒｖｉｎｇ Ａ ｔｈａｔ ｆｉｅｌｄ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｌａｒｇｅ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ ｎｏｔ ｃｌｏｓｅ ｔｏ Ａ ｗｉｌｌ ｇｉｖｅ ｓｍａｌｌ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ （２．２．８） ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅｉｒ ａｃｔｉｏｎ ＳＥｕｃｌ ｉｓ ｓｏ ｂｉｇ． Ｉｎｄｅｅｄ， ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｆｉｅｌｄ ｗｉｔｈ Ａ ｎｏｔ ｅｑｕａｌ ｔｏ Ａ Ａ ａｎｄ ｉｔｓ Ａ ｈａｓ ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ ｍｏｒｅ ａｃｔｉｏｎ ｔｈａｎ ｏｎｅ ｗｉｔｈ Ａ Ａ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｚｅｒｏ． Ｏｎｅ＇ｓ ｆｉｒｓｔ ｉｎｃｌｉｎａｔｉｏｎ ｔｈｅｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ ｈａｖｅ Ａ＾Ａ＋ ｏｒ Ａ＾Ａ＿ ａｓ ｘ－＞ｏｏ． Ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ

＋

ａｓ ｘ －＞ｏｃ

ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

－＞

—

＋

＋

＋

ｏｒ

＝

＿

＋

Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｏｔｈｅｒ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅｒｅ

ｏｒ

ａｒｅ

ｏｒ

＿

＿，

ｍａｎｙ ｏｆ

ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｏｎｅ ｃａｎ ｔｈａｔ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ Ａ ｗｉｌｌ ｂｅ ａｒｇｕｅ ｅｖｅｎ ｒｉｇｏｒｏｕｓｌｙ （Ｇｌｉｍｍ ＆ ＪａｆＴｅ （１９８１） Ａ ｔｙｐｉｃａｌ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｉｅｌｄ ＾（ｘ） ｗｉｌｌ ｔｏ Ａ ｃｌｏｓｅ ｔｏ Ａ ｂｅ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｖｅｒ ａｌｍｏｓｔ ａｌｌ ｏｆ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ． ｔｈｅｍ

ｏｎｅ

－

ｈａｓ ｔｏ

－

－

＋

＿．

ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ Ａ＾＞Ａ ＋ ， ｅｖｅｎ ｍｏｒｅ ｉｓ ｔｒｕｅ： ａ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｃｌｏｓｅ ｔｏ Ａ Ａ ＋ ａｌｍｏｓｔ ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｔｏ

Ｇｉｖｅｎ

ｔｙｐｉｃａｌ

ｏｒ

ｅｉｔｈｅｒ Ａ

ｏｕｒ

＝

＿

ｏｒ Ａ ＋．

Ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｆ ｉｔ ｈａｄ

ａ

ｌａｒｇｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗｉｔｈ Ａ（ｘ） ｃｌｏｓｅ ｔｏ

２６

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ Ａ ±Ａ

＋

＋

－

＋

－

＋

－

－

ｄ＝＼

ｄ＞＼

Ｆｉｇ． ２．９．１． Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｆｉｅｌｄｓ ｃｌｏｓｅ ｍｉｎｉｍａ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ

Ａ＿ （Ｆｉｇ． ２．９．１）， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｗｏｕｌｄ ｂｅ

ｔｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ

ａ

ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎｓ ａｎｄ ｏｆ ｎｅｇａｔｉｖｅ Ａ（ｘ）． Ｏｎｌｙ ｉｆ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｓ ｄ

ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ Ａ（ｘ） —

１ ｗｉｌｌ

ｈａｖｅ

ｗｅ

ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ． Ｔｈｉｓ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ ｉｓ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｏｆ ａ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｉｎ ａ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｗｅｌｌｓ． Ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｃａｎ ｔｕｎｎｅｌ ａ

ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｗｅｌｌｓ． Ｉｎ ｔｈｅ

ｈａｖｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ， ｏｆ ａ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｏｆ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｔｈａｔ Ａ ｉｓ ｃｌｏｓｅ ｔｏ Ａ ＋ ａｌｍｏｓｔ ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｃａｓｅ ｗｅ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｔｈａｎ

ｏｎｅ．

ｃｏｒｒｅｃｔ ｉｎ ａｌｌ

Ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｈａｓ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｇｒｅａｔｅｒ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｃｌｏｓｅ

ａ ｖａｃｕｕｍ

ｔｏ Ａ＋：

＜０｜＜￡（ｘ）｜０＞

＝

＾

＼＆Ａ￣］Ａ｛ｘ）ｅ－Ｓ｛Ａ］＾Ａ

＋

．

Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｍｉｎｉｍａ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ． Ａ ｆｉｅｌｄ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｃａｎ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｉｎｉｍａ ｗｉｔｈｏｕｔ ｇｏｉｎｇ ｏｖｅｒ ａ ｂｉｇ ｈｕｍｐ ｉｎ ｔｈｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｓｕｐｐｒｅｓｓｅｓ ｔｈａｔ ｄｏ ｎｏｔ ｓｔａｙ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｏｎｅ ｍｉｎｉｍｕｍ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ ｉｎ ｍｏｒｅ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎｓ ｔｈａｎ ｔｗｏ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｉｎ ｏｎｅ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｐｅｎａｌｔｙ

ｃｏｍｅｓ

ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｏｆ

ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ （Ｍｅｒｍｉｎ ＆ Ｗａｇｎｅｒ （１９６６）， Ｈｏｈｅｎｂｅｒｇ （１９６７）， ａｎｄ Ｃｏｌｅｍａｎ （１９７３））． Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｓ ａ ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｂｏｕｔ

ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ Ａ（ｘ） Ａ＼ｘ） ＋ ｖ ｗｈｅｒｅ ｖ ｗｅ ｔｒｅａｔ Ａ＇｛ｘ） ａｓ ｔｈｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｖａｒｉａｂｌｅ． Ｗｅ ｈａｖｅ ＝

ｉｆ Ｈｅｒｅ Ｃ

ｈａｖｅ

ａ

＝

－

＝

ｍ

（３Ａｆ／２

Ｖ／２

ｔｈｅｏｒｙ

ｏｆ

－

－

Ｍ２Ａ＇２／２

ｇｖ＊／４！，

ｐａｒｔｉｃｌｅｓ

－

ａｎｄ Ｍ２ ｏｆ

ｍａｓｓ

ｇｖＡ＇３／３＼－ ｇＡ＇＊／４＼ ＝

ｇｖ２／２ ＋ ｍ２

Ｍ

＝

ｗｉｔｈ ｂｏｔｈ

－

ａｎ

＝

Ａ

＞

Ｎｏｗ

（２．９．２）

＋ Ｃ．

２ｍ２

＋．

０． Ｗｅ

Ａ＇３ ａｎｄ

ａｎ

ｎｏｗ

Ａ＇４

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｈｉｄｄｅｎ； ｉｔｓ ｏｎｌｙ ｏｂｖｉｏｕｓ ｍａｎｉｆｅｓｔａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ Ａ＇３ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｓｓ ａｎｄ Ａｆ４ｒ ｔｅｒｍｓ： ｇｖ

＝

Ｍ（３ｇｙｔ２．

（２．９．３）

２７

２．１０ Ｆｅｒｍｉｏｎｓ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｌａｔｅｒ ｔｈａｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｃｏｎｔｉｎｕｉｎｇ ｉｎ ｍ２ ｆｒｏｍ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｍ２． Ｔｈｅ ｖａｃｕｕｍ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｃｆ＞ ｈａｓ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ

＜０｜＜／＞｜０＞

＝

？ ＋

＜０｜＜／＞＇｜０＞

＝

ｖ ＋

０（ｇ１／２）．

（２．９ Ａ）

Ｅｘａｃｔｌｙ ｓｉｍｉｌａｒ ｍｅｔｈｏｄｓ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ａ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｓｃａｌａｒ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｂｒｏｋｅｎ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ． ２．１０ Ｆｅｒｍｉｏｎｓ Ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ａｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．２ ａｌｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｆ ｂｏｓｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ａｒｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｕｎｄｅｒ

ｅｘｃｈａｎｇｅ

＜０｜７＼／＞（ｙ）＜￡（ｘ）｜０＞）．

ｏｆ

ｆｉｅｌｄｓ

＜Ｏ｜！Ｔ０（ｘ）０（）Ｏ｜Ｏ＞

（ｅ．ｇ．，

＝

Ｉｎ ｔｕｒｎ， ｔｈｉｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａ （２．２．２）

ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｖａｒｉａｂｌｅｓ （ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｉｅｌｄ Ａ（ｘ）） ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ． Ｔｏ ｇｅｔ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｑｕａｎｔｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄｓ， ｉｔ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ ｌｉｋｅ ａｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔｉｎｇ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ａ ｒａｔｈｅｒ ｓｍａｌｌ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｕｎｉｑｕｅｌｙ （Ｉｔｚｙｋｓｏｎ ＆ Ｚｕｂｅｒ （１９８０））． Ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ￡ｅ Ｈｅｒｅ

０

＝

＾ ｉｓ

７＊ｄ＾

ａ

ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ

Ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ ａｎｄ ｔｈｅ ａ

ａ

ｆｒｅｅ Ｄｉｒａｃ ｆｉｅｌｄ：

（２．１０．１）

￥（＼￥－Ｍ）＼ｌ，．

￥ ａ ｒｏｗ ｖｅｃｔｏｒ， ｗｈｉｌｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ：

ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｌｕｍｎ ｖｅｃｔｏｒ ａｎｄ

Ｔｈｅ

Ｚ［ｒｊ，ｒｊ］＝ｊｒ ｓｅｃｔｏｒ ｏｆ

＝

ｆｏｒ

［［ｄ＾ｄ＾ｅｘｐｊｉ

Ｊ２？＋

＃＋

ＵＡ

（２．１０．２）

ｒｊ（ｘ） ａｎｄ ｆｊ（ｘ） ｔａｋｅ ｔｈｅｉｒ ｖａｌｕｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｅｒｍｉｏｎｉｃ ａｌｇｅｂｒａ． Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ （２．１０．２） ｉｓ ｒｅａｌｌｙ ａｌｇｅｂｒａｉｃ （Ｉｔｚｙｋｓｏｎ ＆ Ｚｕｂｅｒ （１９８０））．

ｓｏｕｒｃｅｓ

Ｇｒａｓｓｍａｎｎ

ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｉｎ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｓｏｕｒｃｅｓ． Ｏｎｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｇｒａｓｓｍａｎｎ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｎ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｃａｓｅ ａｒｅ

｛？

ｏｆ ｔｈｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｔｗｏ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｘ ａｎｄ ｗｈｅｒｅ ａ ｉｓ ａ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ． Ｆｏｒ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｒｅａｌ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｔｈｅ ｄｘｄｘｅｉｉｆｌｘ

＝

２７ｔ

ｄｘ＜５（ｘａ）

＝

２ｎ／ａ．

ｘ

ｏｆ ｅｘｐ （ｉｘａｘ），

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｉｓ

（２．１０．３）

２８

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

Ｆｏｒ Ｇｒａｓｓｍａｎｎ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ｇｅｔ

ｗｅ

＼ｄｘｄｘ＆＊ａｘ

ｉａ．

＝

Ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｒｒｅｌｅｖａｎｔ ｆｏｒ

ｏｕｒ

（２．１０．４）

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ｆｏｒ ｉｔ ｉｓ ａｌｗａｙｓ

ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｗｈａｔ ｍａｔｔｅｒｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ （２．１０．４） ｉｓ ｉｎｖｅｒｓｅ ｔｏ ｔｈａｔ ｉｎ （２．１０．３）． ２．１１ Ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ Ａ ｇａｕｇｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ａｎ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｕｎｄｅｒ ａ ｇｒｏｕｐ Ｇ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ａｔ ｅａｃｈ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｐｏｉｎｔ． Ｔｈｅ ｅａｒｌｉｅｓｔ ｅｘａｍｐｌｅｓ

Ｇｅｎｅｒａｌ Ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ （ｗｈｅｒｅ Ｇ ｉｓ ＧＬ（４）， ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ）， ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ （ｗｈｅｒｅ Ｇ ｉｓ ｔｈｅ ｗｅｒｅ

ｒｏｔａｔｉｏｎｓ）． Ｙａｎｇ ＆ Ｍｉｌｌｓ （１９５４） ａｎｄ Ｓｈａｗ （１９５５） ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｇｅｎｅｒａｌ ｇｒｏｕｐ． Ｂｅｇ ＆ Ｓｉｒｌｉｎ （１９８２） ａｎｄ Ｂｕｒａｓ （１９８１） ｅｘｐｌａｉｎ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｓｅｓ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｓ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃｓ． Ｌｅｔ Ｇ ｂｅ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｌｅｔ ａ ｍａｔｔｅｒ ｆｉｅｌｄ ＼＼／ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｓ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｐｈａｓｅ

ｔｈｅ ｉｄｅａ ｔｏ

ａ

Ｍｘ）－ｅｘｐ（

－

ｉ＾（ｘ）ｔ＞（ｘ）

＝

（２．１１．１）

ｌ／（ａｉ（ｘ））＂Ｖ（４

Ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ＾ ｉｓ ａ ｃｏｌｕｍｎ ｖｅｃｔｏｒ ｏｆ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｔａ ｆｏｒｍ ａ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ， ｗｉｔｈ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ ｃａＰｙ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ

［Ｗ／Ｊ＝ｉ＜Ｗｒ Ｔｈｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ Ｕ（ａ）） ｆｏｒｍ

ａ

（２－１Ｌ２）

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ．

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｂｅ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ｗｅ ｎｅｅｄ

ａ

ｃｏｖａｒｉａｎｔ

ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ：

（２．１１．３）

Ｄ＾＾ｉｄ＾ｉｇＡ＾

ｗｅ ｈａｖｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ Ａ＾． Ｉｔ ｉｓ ａ ｖｅｃｔｏｒ ｕｎｄｅｒ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ａｓ ｆａｒ ａｓ ｉｔｓ ｇａｕｇｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｒｅ ｏｒ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ， ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ ａ ｍａｔｒｉｘ Ａ＾：

Ｈｅｒｅ

ＡＭ

（２．１１．４）

Ａ，＝ Ｉ＾ｒ．． ３

Ｉｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ

ａｓ：

＼（ｘ）－＞ ＵＨｘｒ＇Ｗｉｘｉ－ｉｇ－＇ｄ＾ＵＨｘ））． Ｔｏ ｂｕｉｌｄ

ａｎ

ａｃｔｉｏｎ，

ｗｅ

ｎｅｅｄ ｔｈｅ

ｗｈｉｃｈ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ ａｓ Ｆ－＊Ｕ￣ｌＦＵ．

ｆｉｅｌｄ－ｓｔｒｅｎｇｔｈ

ｔｅｎｓｏｒ

（２．１１．５）

２．１２ Ａ

ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ＂

＝

ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ａｓｓｕｍｅｄ Ｉｎ

ｔｊｐ ＜５ａ／Ｊ／２． ｆｉｅｌｄｓ． Ｉｆ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｒ

Ｑｕａｎｔｉｚｉｎｇ

＝

ｗｉｔｈ

＋

ｓｐｉｎ ＼

ｎＰ

￣

２９

ｍａｔｔｅｒ ｆｉｅｌｄｓ ｉｓ

（２．１１．７）

ＭＷ，

ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｏｆ ｔｈｅ

ｔａ＇ｓ， ｖｉｚ．，

ｅｘａｃｔｌｙ ｓｉｍｉｌａｒ ｗａｙ， ａｎ ａｃｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｔ ｕｐ ｕｓｉｎｇ ｓｃａｌａｒ ｍａｔｔｅｒ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ ａ ｔｅｒｍ

ａｎ

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｉｎ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ

Ｆ？ＶＦ＂７２

ｔｒ

ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

＜￡． Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ （２．１１．５）

ｅｎｓｕｒｅｓ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｇ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｆｏｒ ａｌｌ ｍａｔｔｅｒ ｆｉｅｌｄｓ ｉｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｉｓ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ．

Ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ：

Ｊｉ ８，０＊１ Ｓ

＾Ｆ＾ Ｉｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｉｓ

ｎｏｔ

ｅ．ｇ．， ＳＵ（２）？ＳＵ（２）．

＝

＝

＝

ｓｉｍｐｌｅ，

ｉｇｃｏ＾ｔ＾ ＾ｃｏ＇ ＋ ｇｃ＾ｃａＰＡｌ，

ｄｃａｐｙＦｌｖ．

（２．１１．８）

ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｓｉｍｐｌｅ ｇｒｏｕｐｓ， ａ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄ ａｎｄ ａｎ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ． ２．１２ Ａ ｇａｕｇｅ

ｔｈｅｏｒｙ

ｓｕｃｈ

ａｓ

ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｆｅｒｍｉｏｎ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ．

＜ｏ｜ｒｗｘ）０ｏｏ｜ｏ＞

Ｑｕａｎｔｉｚｉｎｇ

ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （２．１１．７） ｃａｎ ｂｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｔｈｕｓ， ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｃａｎ ｗｒｉｔｅ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｔｈｅ

＝

ｏｎｅ

＾＾＾

（２．１２．１）

Ｉｎ ｆａｃｔ，

ａ ｌａｔｔｉｃｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒｍｓ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ Ｍｏｎｔｅ－Ｃａｒｌｏ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ （Ｃｒｅｕｔｚ （１９８３） ａｎｄ Ｃｒｅｕｔｚ ＆ Ｍｏｒｉａｒｔｙ （１９８２））． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｔｒｏｕｂｌｅ ｗｉｔｈ （２．１２．１） ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｚｅｒｏ． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｉｓ ｗｅ ｏｂｓｅｒｖｅ

ｔｈａｔ， ｇｉｖｅｎ ａｎｙ ｆｉｅｌｄ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ， ｗｅ ｃａｎ ｍａｋｅ ａ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｎ ｉｔ， ａｓ ｉｎ （２．１１．１） ａｎｄ （２．１１．５）． Ｔｈｅ ｎｅｗ ｆｉｅｌｄ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｈａｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｃｔｉｏｎ ａｓ ｔｈｅ ｏｌｄ ｆｉｅｌｄ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎ

ｅｘｐｌｉｃｉｔ ＼＾｛ｘ）＾｛ｙ）． Ｎｏｗ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ａｔ ｅａｃｈ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｐｏｉｎｔ． Ｓｏ （２．１２．１） ｃｏｎｔａｉｎｓ ａ ｆａｃｔｏｒ

ｔｈｅ

ｎ

ｊｏｉｎｔｓ ｚ

＝

＼ｄＵ（ｚ））ｕ－＼ｘ）？Ｕ（ｙ）

Ｊ

／

（ｎｕｍｂｅｒ））

＼＜ｉＵ（ｘ）Ｕ（ｘｙｌ Ｖ

ｄＩ７（ｙ）ｌ％）＼

（２．１２．２）

３０

Ｑｕａｎｔｕｍ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

（Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ

ｚｅｒｏ．

ａ

ｍａｔｒｉｘ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ

ｓｐａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ．） Ｔｈｅ ｖａｎｉｓｈｉｎｇ ｏｆ （２．１２．１） ｉｓ ｎｏｔ ａ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ， ｆｏｒ ｗｅ ｍａｙ ｃｈｏｏｓｅ ｏｎｌｙ ｔｏ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ （ｅ．ｇ．， ｔｆｔｙ， Ｆ？ｖＦａ＂ｖ， ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｌｏｏｐ （Ｗｉｌｓｏｎ （１９７４） ａｎｄ Ｋｏｇｕｔ （１９８３）））． Ｂｕｔ ｔｈｅ

ｖａｎｉｓｈｉｎｇ ｉｓ

ａ

ｄｉｓａｓｔｅｒ ｆｏｒ

ｆｏｒｍｕｌａｔｉｎｇ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ； ｆｏｒ

ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｏｂｊｅｃｔｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ． Ａｎ ｅｌｅｇａｎｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｉｓ

Ｆａｄｄｅｅｖ

ａｒｅ

ａｍｏｎｇ

ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ｆｏｒ

ｐｒｏｂｌｅｍ

ｗａｓ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

＆ Ｐｏｐｏｖ （１９６７）． Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄｓ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ ｔｈｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｆｉｅｌｄｓ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｓｏｍｅ ｇｉｖｅｎ ｇａｕｇｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

ｐｒｏｄｕｃｔ （ｓｕｃｈ ａｓ ｄ＇Ａａ ０） ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ａｎｙ ｆｉｅｌｄ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇ ｓｏｍｅ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｆｏｒ ａ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ＝

ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｇａｕｇｅ

ｏｖｅｒ ｇａｕｇｅ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ

ａｎ

ｏｖｅｒａｌｌ

ｉｎｖｅｒｓｅ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｓｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｌｙ ｏｍｉｔｔｅｄ．

ｆａｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｃａｎｃｅｌｓ

ａｎ

Ｔｈｅ ｎｅｗ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｆｉｅｌｄｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｍｐｏｓｅｄ ａｌｓｏ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｖａｒｉａｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｌｉｋｅ （２．１２．１） ｎｏ ｌｏｎｇｅｒ ｖａｎｉｓｈ． Ｉｔ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ， ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｍｅａｓｕｒｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ； ｔｈｉｓ ｗａｓ ｔｈｅ ｋｅｙ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｗｏｒｋ ｏｆ Ｆａｄｄｅｅｖ ａｎｄ Ｐｏｐｏｖ． Ｔｈｅｓｅ ａｕｔｈｏｒｓ ａｌｓｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ

ａ

ｓｌｉｇｈｔｌｙ

ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｉｓ ｍｏｓｔ ｏｆｔｅｎ ｕｓｅｄ， ａｎｄ ｔｈａｔ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ； ｉｔ ｉｓ ｔｈｉｓ ｗｅ

ｗｉｌｌ ｒｅｖｉｅｗ

ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ａｎｄ ｆｕｒｔｈｅｒ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｔｏ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ

Ｉｔｚｙｋｓｏｎ

Ａ ｄｅｔａｉｌｅｄ

＆ Ｚｕｂｅｒ （１９８０）．

ｓｕｍｍａｒｉｚｅ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ａｎｄ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｔｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ｔｈｅｍ． Ｈｅｒｅ

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｎｏｗ．

ｍｅｒｅｌｙ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｇａｕｇｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｆａ［Ａ，ｘ］ ＝／ａ（ｘ）． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｔ ｅａｃｈ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ａｎｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ

ｏｎｅ

ｇｒｏｕｐ． Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｆａ ｍｉｇｈｔ ｂｅ ｄ Ａａ， ｆｏｒ ａｎｙ ｒｅａｌ ｖａｌｕｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｘ． Ｆａｄｄｅｅｖ ａｎｄ

＜０｜ＴＸ＼０｝

Ｐｏｐｏｖ ｗｒｉｔｅ ＝

ＪｆＧｌ

ａｎ

ｅｘａｍｐｌｅ． Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ／ａ（ｘ） ａｒｅ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａｓ

ｆ［ｃＵ］［＃］［ｄｉＡＪＸｅｘｐ（ｉＳｌｎｖ）Ａ［＾］＼＼Ｓ（Ｆａ－／Ｊ．

Ｊ

ｘ＇＂

（２．１２．３） ｉｓ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ａｃｔｉｏｎ， ａｎｄ Ｘ ｉｓ ａｎｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｅ ５ｉｎｖ ｆａｃｔｏｒ Ａ｜＼４］ ｉｓ ａ Ｊａｃｏｂｉａｎ ｔｈａｔ ａｒｉｓｅｓ ｉｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｆｉｅｌｄｓ ｔｈａｔ ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｐｌｕｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｈｅｒｅ

Ｔｈｅ ｋｅｙ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ

Ａ［Ａ￣＼ Ａ＝

ｉｓ

ａ

ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ，

ｓｏ

ｔｈａｔ ｉｔ

ｆ［ｄｃｊ［ｄｃｊｅｘｐ（ｉｉ？ｇｃ）．

ｃａｎ

ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ

ａｓ

（２．１２．４）

２．１２ Ｈｅｒｅ ｃａ ａｎｄ ｃａ ａｒｅ

ｇｈｏｓｔｓ． Ｔｈｅ

Ｑｕａｎｔｉｚｉｎｇ

ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔｉｎｇ ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄｓ， ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ Ｆａｄｄｅｅｖ－Ｐｏｐｏｖ ｇａｕｇｅ－ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｎｇ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ

ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ

＾ｇｃ ｗｈｅｒｅ

ＳｃＦａ

Ｆｏｒ ｔｈｅ

３１

ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

＝

（２．１２．５）

ｃａＳｃＦａ［Ａ，ｘｌ

ｉｓ ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ

ｃａｓｅ

Ｆａ

＝

Ｆａ

ｗｉｔｈ

ａ）

ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ

ｃ．

ｄＡ＊

Ｓｅ％ｃ

＝

ｄ？ｃ（ｄ？ｃａ

＋

（２．１２．６）

ｇｃａｆｉ７ｃｆｉＡｌ） ＋ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｅｙ ａｒｅ ｎｏｔ ｇｅｎｕｉｎｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｆｉｅｌｄｓ， ａｓ ｔｈｅｙ ｄｏ ｎｏｔ ｏｂｅｙ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｓｐｉｎ－ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ｔｈｅｏｒｅｍ． Ａ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｆｏｒｍ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ａｖｅｒａｇｉｎｇ ｏｖｅｒ ￣１ ａｌｌｙ＇ｓ， ｗｉｔｈ ｗｅｉｇｈｔ ｅｘｐ （— ￡ ＼ｆｌ／２）． Ｔｈｉｓ ｌｅａｖｅｓ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｕｎａｌｔｅｒｅｄ， ａｎｄ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｆｏｒｍｕｌａ： Ｗｅ ｔｒｅａｔ

ｃ

ａｎｄ

ｃ ａｓ

＜０｜ ＴＸ＼０｝ ｗｉｔｈ

＝

Ｊｆ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ

ａ

Ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｉｓ

ｏｖｅｒ

＋

ｉｆｇｃ）．

（２．１２．７）

ａｌｌ ｆｉｅｌｄｓ （Ａ， ＼ｊ／９

＝

｜ｄ４ｘ（ｉ？ｉｎｖ

＋

ｉ？ｇｆ

Ｔｈｅ

ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ

ａ

ｃ）．

ａｎ

ｃｈｏｓｅｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ．

ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ Ｆａ．）

ａｎｄ

ｔｅｒｍ ｉｓ

Ｊ？ｇｆ＝－ｉＦ，２／（２￡）， ｗｈｅｒｅ ￡ ｉｓ

ｃ，

（２．１２．８）

ａｌｒｅａｄｙ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｂｙ （２．１１．７）

ＪＳｆｇｃ ｂｙ （２．１２．５）．

ｉｎｔｏ

＼Ｊ／，

Ｓ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｒｅｅ ｔｅｒｍｓ： Ｓ

Ｗｅ ｈａｖｅ

Ｉ［ｄ ｆｉｅｌｄｓ］Ｘｅｉｓ

（Ｉｆ ｄｅｓｉｒｅｄ，

（２．１２．９） ｉｔ ｍａｙ ｂｅ ａｂｓｏｒｂｅｄ

ｒｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

Ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （２．１２．８） ｉｓ ｔｈａｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ

ａｒｅ

ｄｅｆｉｎｅｄ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｂｓｅｒｖａｂｌｅ Ｘ ｔｈｅ

ｏｂｊｅｃｔｓ

ａｓ

＜０｜Ｔ＊｜０＞ Ｉｆ

ａｓ ｉｎ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｎｏｎ－ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｆｏｒ ａ ｇａｕｇｅ－ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （２．１２．３） ａｎｄ （２．１２．７） ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ

＝

ＪＴＧＩ ［ｄ＾ｄ＾ｄｉ？］Ａ：ｅｘｐ（ｉ５ｉｎｖ）．

（２．１２．１０）

ｖａｒｉａｎｔ， ｔｈｅｎ ａｌｌ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｇｉｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔｓ， ａｎｄ （２．１２．７） ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ￡． Ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｔｈａｔ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ａ ｇａｕｇｅ ｆｉｘｉｎｇ Ｘ ｉｓ ｇａｕｇｅ

ａｒｅ

ｃａｌｌｅｄ ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ． Ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｇａｕｇｅ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｍｐｌｉｅｓ ｇａｕｇｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ．

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ａｎｄ ｇａｕｇｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ． Ｇａｕｇｅ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ａ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｑｕａｎｔｉｔｙ ａｎｄ ｉｓ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ｕｎｄｅｒ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｇａｕｇｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｉｓ ａ ｐｒｏｐｅｒｔｙ Ｉｔ ｉｓ

ｏｆ ａ ｑｕａｎｔｕｍ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｗｈｅｎ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｏｎｅ ｂｙ ｆｉｘｉｎｇ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ． Ｉｔ ｉｓ

３２

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｆｉｘｉｎｇ． Ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｍｐｌｉｅｓ ｇａｕｇｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ ｉｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｆｉｘｉｎｇ ｉｓ ｄｏｎｅ ｐｒｏｐｅｒｌｙ． Ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｓｕｃｈ ａｓ （２．１１．７） ｈａｖｅ ａ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｆ ｓｐａｃｅ－ ｔｉｍｅ ｉｓ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ． Ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ ｉｎ ｌａｔｅｒ ｃｈａｐｔｅｒｓ， ｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｎｅｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈｅｓｅ ｓａｍｅ

ｒｅｓｕｌｔｓ

ａｖａｉｌａｂｌｅ ｂｙ

ｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ ｍａｎｙ ｍｏｒｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｉｎｇ （２．１１．７）．

ｅｘｔｒａ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ

ａｒｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｍａｙ

Ｃｈａｐｔｅｒ

Ｉｎ

ａｂｓｅｎｔ． Ｔｈｅ ｔｏｏｌｓ ｎｅｅｄｅｄ

ａｒｅ

１２

ｗｅ

ｂｅ ｎｅｅｄｅｄ ｔｈａｎ

ａｒｅ

ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｓｅｃｔｉｏｎ． Ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｂｙ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄｓ ｃａ ａｎｄ ｃａ ｄｏ ｎｏｔ ｅｎｔｅｒ ｕｎｉｔａｒｉｔｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｏｆ ａｌｓｏ ｇａｕｇｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｈｅｓｅ

ｎｅｅｄｓ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ Ｚｕｂｅｒ （１９８０））．

ｗｅ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｅｘｈｉｂｉｔｅｄ ｉｎ

ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ （ｓｅｅ Ｉｔｚｙｋｓｏｎ ＆

２．１３ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ａｎｄ Ｓｌａｖｎｏｖ－Ｔａｙｌｏｒ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

ｆｉｘｉｎｇ， ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ａ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏ ｌｏｎｇｅｒ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ． Ｓｌａｖｎｏｖ （１９７２） ａｎｄ Ｔａｙｌｏｒ （１９７１） ｗｅｒｅ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｔｈａｔ ｃａｒｒｙ ｔｈｅ Ａｆｔｅｒ ｇａｕｇｅ

ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｔｈｅｉｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ

ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｂｙ Ｂｅｃｃｈｉ，

Ｒｏｕｅｔ ＆ Ｓｔｏｒａ

ｗａｓ

ｖｅｒｙ ｍｕｃｈ

（１９７５） ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｄｉｓｃｏｖｅｒｙ ｏｆ ｗｈａｔ ｉｓ

ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ＢＲＳ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ （２．１２．８）． ＢＲＳ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ａ ｓｕｐｅｒｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｔｈａｔ ｉｓ， ｉｔｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ｎｏｗ

ｉｎｖｏｌｖｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｔｈａｔ ｔａｋｅ ｔｈｅｉｒ ｖａｌｕｅｓ ｉｎ ａ Ｇｒａｓｓｍａｎｎ ａｌｇｅｂｒａ． Ｌｅｔ ８Ｘ ｂｅ ａ

ｆｅｒｍｉｏｎｉｃ Ｇｒａｓｓｍａｎｎ ｖａｒｉａｂｌｅ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ａ

ｏｒ ａ

ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ

＾ｂｒｓ＾Ａ

＜Ｗｓ＊Ａ

＝

＝

ａ

－

ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｏｆ

ｉｇ（ｃ＂ＳＸ）ｔａｉｌ／

＝

＝

ｍａｔｔｅｒ

ｃａＳＬ Ｔｈｕｓ

ｉｇｔ＾ｉｊ／ＳＸ，

ｉｇ￥ｔａｃ＊ＳＡ９

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ８ｋ ｉｓ ｆｅｒｍｉｏｎｉｃ， ｓｏ ｉｔ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔｅｓ ｗｉｔｈ ｆｅｒｍｉｏｎ ｆｉｅｌｄｓ （ｃ， ｃ， ＾， ＼ｊｉ）． Ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｓ

＜Ｗ＇ａ

Ｗ．

＝

＝

－ｉｇｃａｆｉｙｃｐｃｙ５ｌ９ （２－１３－２）

Ｗ？－

（Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｃａ ａｎｄ ｃａ ａｒｅ ｎｏｔ ｒｅｌａｔｅｄ ｂｙ ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｃｏｎｊｕｇａｔｉｏｎ， ｃｏｎｔｒａｒｙ ｔｏ ａｐｐｅａｒａｎｃｅｓ．） Ｓｉｎｃｅ ＾ｉｎｖ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ， ｉｔ ｉｓ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｈｅｎｃｅ

＾ＢＲＳ＾

＝

＝

＝

＜Ｗ＾ｇｆ ＋ ＾ｇｃ） （ｌ／￡）ＦａＳＭＦａｌＡ；ｘ］ －

０．

－

（ｌ／Ｓ）Ｆａ５ＭｃＦａ

￣

＊Ａｒｓ（Ｗ （２．１３．３）

２．１３ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ａｎｄ

Ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｌｉｎｅ

ｗｅ

ｕｓｅｄ

ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔｅｄ ８ｋ ａｎｄ

ｗｅ

ａｄｄｉｔｉｏｎ

８

３３

ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｌｉｎｅ ｚｅｒｏ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｌｉｎｅ． Ｉｎ

Ｊ＾ｇｃ ｃ

＝

ｃｘ８ｃＦｘ， ｗｈｉｌｅ

—

ｎｉｌｐｏｔｅｎｃｅ ｏｆ

ｕｓｅｄ ｔｈｅ

ｗｅ

Ｓｌａｖｎｏｖ－Ｔａｙｌｏｒ

ｔｈｅ ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ：

＼２

＾ｆＹ＊．

＝

０，

（２．１３．４）

ｗｈｉｃｈ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃ＇ｓ． Ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ Ｎｏｅｔｈｅｒ ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｅ ｆｉｎｄ ａ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔ： ｉｈ＊

＝

ｇｆｒｔｊｃ

Ｆ＊＂＞Ｄｖ＜ｒ

－

－

（ｌ／ｗ－Ａ＇ｉｙｄ＇ （２．１３．５）

－ｉｇ（ｄ＂ｃａ）ｃｌ＇ｃｙｃａｌｈ．

ｔｈｅ ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｅ Ｇｒａｓｓｍａｎｎ－ｖａｌｕｅｄ

Ａｌｔｈｏｕｇｈ

ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．７ ｇｏｅｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｏｎｌｙ

ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ， ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． （２．７．９）． Ａ ｃａｓｅ

Ｆｏｒ

ｏｕｒ

ｗｅ

ｐｕｒｐｏｓｅｓ， ｏｆ （２．７．９） ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ Ｓｌａｖｎｏｖ－

Ｔａｙｌｏｒ ｉｄｅｎｔｉｔｙ． Ａ ｓｉｍｐｌｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ０ ＆Ｈ＊ｓ＜０＼ＴＡｌ（ｘ）ｃ，（ｙ）＼０ｙ／８Ａ． ＝

－＜０＼Ｔ（ｄｆｌｃｘ ＋ ｇｃ，Ｓｙｃ＊Ａ？）ｃｌ！（ｙ）＼Ｏｙ ＋ ｛ＶＺ）＜０＼ＴＡＨｘ）ｄ－Ａ＇（ｙ）＼０＞．

＝

Ｗｅ ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ

＜５ＢＲＳ （ｑｕａｎｔｉｔｙ）／＜５Ａ ｔｏ

（２．１３．６） ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ８）． ｉｎ ｔｈｅ

ＢＲＳ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｍｍｕｔｅｄ ｏｒ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ

Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｕｓｅｄ ｏ

＝

＝

Ｈｅｒｅ

Ｘ ｉｓ ａ

ｒｉｇｈｔ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｄｅｌｅｔｅｄ．

ｏｆ ｔｈｅ Ｓｌａｖｎｏｖ－Ｔａｙｌｏｒ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

ｃａｓｅｓ

ａｒｅ：

ＷＯ｜ｒｘｃ．Ｍ｜ｏ＞／＜５；． －＜０＼Ｔ（ＳＢＲＳＸ／８１）ｃａ＼０＞ ＋ （ｌ／ＺＫ０＼ＴＸｄ－Ａ°＼０ｙ．

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｆｉｅｌｄｓ ｗｉｔｈ ｔｏｔａｌ ｇｈｏｓｔ ｎｕｍｂｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ｌｅｔ：

（２．１３．７）

ｚｅｒｏ．

Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ

＃＊＝－Ｚｒ－ｄ？ＪＴ７ｒ＝Ｗ－ＭＷ， ＾

Ｓｅ＾

＜ｅｉ（ｔ

＝

？Ａ（－ｉ＾－Ｍ），

＝

－

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－

ＤＶＦ＂＞＂

－

ｇｈ＇％＾

＋

ｉ＼／Ｗｄ－Ａ＇ ＋

０Ｃ？？（３＂ｃ％

＾ｄ＂ｃ＂，

Ｓｅ＇，＝ －Ｕｃ．－ ｇｃ＾ｉｄ＾Ｕ＂． Ｔｈｅｎ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｉｓ

ｔｈｅｏｒｙ

ｗｅ

ｚｅｒｏ．

Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｆｏｒ ＜ｊ＞ ｅｑｕａｌ

（２．１３．８） ｔｏ ａｎｙ ｆｉｅｌｄ ｉｎ ｔｈｅ

ｈａｖｅ； ＜ｏ｜ｒｊｓ＾（ｘ）ｘ｜ｏ＞

＝

ｉ＜ｏ｜Ｔａ＊／＾（ｘ）｜ｏ＞，

（２．１３．９）

３４

Ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ

ｔｈｅｏｒｙ

ｗｈｅｒｅ ｔｉｍｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｉｎ ＾ ａｒｅ ｔａｋｅｎ ｏｕｔｓｉｄｅ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ （ａｓ ｓｅｅ

ｕｓｕａｌ

－

Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．５）．

２．１４ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ２．１４．１ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｏｆ （２．１１．７）， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ ｔｅｒｍ Ｆａ ｄ－Ａａ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ａｇｒｅｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｉｇｕｒｅｓ ｂｕｔ ＝

ｎｏｔ ｔｈｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｍａｒｃｉａｎｏ ＆ Ｐａｇｅｌｓ （１９７８）． Ｔｈｅｙ ａｒｅ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｑｕａｎｔｕｍ ｃｈｒｏｍｏｄｙｎａｍｉｃｓ （ＱＣＤ）， ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ， ｉｆ ｔｈｅ

ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ ｉｓ ＳＵ（３）． Ｔｈｅ ｆｅｒｍｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｔｈｅ ｑｕａｒｋｓ ａｎｄ ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ

ｏｗｎ ｍａｓｓ ｔｅｒｍ． （Ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｇｌｕｏｎ ｆｉｅｌｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｔｅｒｍｉｎｏｌｏｇｙ， ｇａｕｇｅ

ｔｒｉｐｌｅｔｓ ｏｆ ＳＵ（３）， ｅａｃｈ ｗｉｔｈ ｉｔｓ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｃｏｌｏｒ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｅａｃｈ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｑｕａｒｋ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ

ａ

ｆｌａｖｏｒ， ａｎｄ ｈａｓ

ａ

ｌａｂｅｌ： ｕ， ｄ， ｓ， ｃ， ｂ， ｅｔｃ．） Ｔｈｅ ｓａｍｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ａｌｓｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅｓ ｑｕａｎｔｕｍ ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ （ＱＥＤ） ｉｆ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ ｔｏ Ｃ／（ｌ）． Ｉｎ ｔｈａｔ ｃａｓｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｂｕｔ ｏｎｅ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄ （ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎ） ａｎｄ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｉｓ ａｂｅｌｉａｎ， ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ－ ａｎｄ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｓｅｌｆ－ ｗｅ

ｐ

ｉｊ／

ｐ

—

Ｍ ＋ ＼Ｅ

■ｗＸ ＇ａ， ｎ ４＂ ｐ

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（／＞？－ ｑ，）ｇＫ Ｊ

ｉｇ２［ｃａＰｅｃｙｄ ｛ｇ＾ｇｋｖ ｇＫＶｇ？Ｊ －

＋

ｃａ８ｔｃｆｉｙｔ（ｇＫｋｇ＾

－

ｇＫｆｔｇＸｖ）］

＝－ｇｃａｆｉｙＰ＇＞

Ａｔ ２．１４．１． Ｆｉｇ． Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ

ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （２．１１．７）．

２．１５ Ｏｔｈｅｒ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

３５

ｏｆ （２．１１．７）

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄ ｖａｎｉｓｈ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｆｉｘｉｎｇ ｔｅｒｍ Ｆ＼Ａ＼ ８－Ａ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄｓ， ｓｏ ｗｅ ｍａｙ ｄｒｏｐ ｔｈｅｍ ＝

ｆｒｏｍ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ｐｈａｓｅ

ｒｏｔａｔｉｏｎｓ：

＼ｊ／－＋ｅ￣ｌｑ＜°＼ｌ／ ｗｈｅｒｅ

ｔｈｅ ｍａｔｔｅｒ ｆｉｅｌｄｓ

ａｒｅ ｓｉｍｐｌｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｔｈｅ （ｎｅｇａｔｉｖｅ ｆｏｒ ｃｈａｒｇｅ

ｏｎ

ｑ ｉｓ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｆｉｅｌｄ）． Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ

Ａ＾Ａ＾－Ｖ ｄ＾ｃｏ．

２．１５ Ｏｔｈｅｒ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｏｆ （２．１１．７） Ｔｈｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （２．１１．７）

ｉｓ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ａｆｔｅｒ ｇａｕｇｅ

ｆｉｘｉｎｇ

ｗｅ

ｇｅｔ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ｂｕｔ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ＢＲＳ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ （２．１２．８） ａｌｓｏ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｇｌｏｂａｌ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｔｈｏｓｅ

（２．１２．８）， ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｎｏｔ ｇａｕｇｅ

－

ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ

ａ＞

－

ｂｅｃａｕｓｅ

ｃｈｏｓｅ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｆｉｘｉｎｇ ｎｏｔ ｔｏ ｂｒｅａｋ ｔｈｉｓ

ｗｅ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａｌｓｏ ｗｈａｔ ｉｎ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｃａｌｌｅｄ ｆｌａｖｏｒ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ａｃｔ ｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙ ｏｎ ｅｖｅｒｙ ｍｅｍｂｅｒ ｏｆ ａｎ ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｔｈｅｙ ｇｉｖｅ

ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ

ｏｆ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｌａｖｏｒｓ ｏｆ ｑｕａｒｋ． Ｏｔｈｅｒ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｏｆ ｐａｒｉｔｙ ａｎｄ ｔｉｍｅ－

ｆｌａｖｏｒ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｉｎｃｌｕｄｅ ｔｈｅ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｒｅｖｅｒｓａｌ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ．

Ｃｈａｒｇｅ－ｃｏｎｊｕｇａｔｉｏｎ ｉｓ ａｌｓｏ ａｎ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ （２．１２．８）， ａｎｄ ｉｔｓ ａｃｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄｓ ｉｓ ｒａｔｈｅｒ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ． Ｌｅｔ ｕｓ ｄｅｆｉｎｅ ｅａ ｂｙ ｔｈｅ ｐａｒｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｕｎｄｅｒ ｔｒａｎｓｐｏｓｉｔｉｏｎ： ｔａ Ｉｎ ｔｈｉｓ ａｎｄ ｔｈｅ

＝

Ｅｊｌ（％）．

（２．１５．１）

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ， ｔｈｅ ｓｙｍｂｏｌ （Ｊ） ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｎ ｒｅｐｅａｔｅｄ ｉｎｄｉｃｅｓ ｉｓ ｓｕｓｐｅｎｄｅｄ． Ｔｈｅ ｆｅｒｍｉｏｎ ａｎｄ

ｓｕｍｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ

ａｓ

ｕｓｕａｌ：

（２．１５．２）

＾－＞？ｃ（ｉｙＶ）（＜Ａ）Ｔ． ｗｈｅｒｅ ｒｊｃ ｉｓ

ａ

ｒｅａｌ ｍａｔｒｉｘ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

ｔｌ Ｔｈｅ

ｇｈｏｓｔｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ

＝

（２．１５．３）

ｎＸｎｃ．

ａｓ： ｃａ－＋

－

ｅａｃａ，

ｃ＊－＞

－

ｅａｃａ．

（２．１５．４）

ＡＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｙ ｓｏ ｏｎｌｙ ｔｗｏ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｉｎｄｉｃｅｓ ａｒｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ： ｃ＾ｙ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃ， ａｎｄ ａ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｃａｎ ｃａｌｌ ｄｘＰｙ． Ｃｈａｒｇｅ－ｃｏｎｊｕｇａｔｉｏｎ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｐｒｏｈｉｂｉｔｓ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃａ

－

ｃｐ

－

Ａ＼ ａｎｄ ｔｈｅ Ａ＼

－

Ａ＊

－

ａｒｅ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｇｌｏｂａｌ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ｔｈｅ

ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ，ｃｏｕｐｌｉｎｇ．

３６

ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

Ｑｕａｎｔｕｍ

２．１６ Ｍｏｄｅｌ

ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｏｆ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ａｒｅ ｖｅｒｙ ｇｅｎｅｒａｌ， ｗｅ ｈａｖｅ ｒｅｖｉｅｗｅｄ ｔｈｅｍ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｍａｉｎｌｙ ｔｗｏ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｍｏｄｅｌｓ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｗａｓ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ａ ｒｅａｌ ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ （２．１．１）， ｍｏｓｔｌｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ （／＞４ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ （２．２．１）． Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｗａｓ ａ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ （２．１１．７） ｗｉｔｈ ｍａｔｔｅｒ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｂｙ ｓｏｍｅ Ｄｉｒａｃ ｆｉｅｌｄｓ． Ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ａｐｐｌｙ ｔｏ ａｎｙ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ￡￡． Ａ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｌｉｓｔｉｎｇ ｉｔｓ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ａｎｄ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ￥￡＼ Ｉｔ ｉｓ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｔｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

ｉｓ ｔｏ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｗｏｒｌｄ． Ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｔｅｎｔ ｔｈａｔ ａ ｆｉｅｌｄ－ ｉｓ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｏｎｅ， ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｐｈｙｓｉｃｓ

Ｔｈｅ ａｉｍ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃｓ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ

ｉｓ ｔｏ ｆｉｎｄ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （２．１１．７） ａｐｐｅａｒｓ ｔｏ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｉｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｍａｔｔｅｒ ｆｉｅｌｄｓ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｃｈｏｓｅｎ． Ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｃａｎ ｂｅ ｉｎｃｌｕｄｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ－Ｓａｌａｍ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｍａｎｙ ｓｐｅｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｍａｄｅ ａｂｏｕｔ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ （ｓｅｅ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｍｏｓｔ ｒｅｃｅｎｔ ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅｓ ｏｎ ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ ｐｈｙｓｉｃｓ）． Ｏｕｒ ａｉｍ ｉｎ ｔｈｉｓ ｂｏｏｋ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｂａｄｌｙ ｓｅｒｖｅｄ ｂｙ ｏｎｌｙ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｒｅａｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｏｎｅ ｒｅａｓｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｄｅｖｅｌｏｐ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ａｎｄ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｔｏ ａｎｙ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｏ ｔｈｅ ｍａｎｙ Ｇｒａｎｄ Ｕｎｉｆｉｅｄ Ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｃｕｒｒｅｎｔｌｙ ｕｎｄｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ （ｓｅｅ Ｌａｎｇａｃｋｅｒ （１９８１） ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｆｉｅｌｄ

ｄｏ ｔｈｉｓ ｆｏｒ ｓｔｒｏｎｇ ａｎｄ

Ｒｏｓｓ （１９８１） ｆｏｒ ｒｅｖｉｅｗｓ）， ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｏ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｔｏ ｂｅ ｉｎｖｅｎｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｔｕｒｅ． Ａｓ ｉｓ ｕｓｕａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｂｊｅｃｔ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｍａｋｅ ｕｓｅ ｏｆ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｍｏｒｅ ｐｒｏｐｅｒｌｙ ｃａｌｌｅｄ ｍｏｄｅｌｓ． Ｔｈｅ （／＞４ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａｎ ｏｂｖｉｏｕｓ ｃａｓｅ． Ａｎｏｔｈｅｒ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｅａｓｏｎ ｆｏｒ ｕｓｉｎｇ ｍｏｄｅｌｓ ｉｓ ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｈａｖｉｎｇ ｏｔｈｅｒ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｃｌｕｔｔｅｒ ｕｐ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ． Ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ

ａｓ ｎｅｅｄｅｄ． Ｓｏｍｅ ｗｉｌｌ ｒｅｃｕｒ ｏｆｔｅｎ， ｓｕｃｈ ａｓ ｔｈｅ ｔ／＞４ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ （２．１１．７）． Ａｎｏｔｈｅｒ ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ ｕｓｅｄ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｔｈｅ （／＞３ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｒｅａｌ ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ：

＜￡ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｍｕｃｈ

＝

｛ｄ（ｔ＞）２ｌｌ

－

－

００３／３！．

（２．１６．１）

ｔｈａｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｍｏｄｅｌｓ． Ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ

ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ． Ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｍｏｒｅ

ｍ２（ｊ）２／２

ｅｖｅｎ

ｔｈｅ （／＞３ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｉｓ ｎｏｔ ｂｏｕｎｄｅｄ ｂｅｌｏｗ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｉｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｒｕｅ ｉｎ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｙ （Ｂａｙｍ （Ｉ９６０））． Ｈｅｎｃｅ ａｎｙ ｓｔａｔｅ ｍｕｓｔ ｃａｔａｓｔｒｏｐｈｉｃａｌｌｙ

ｄｅｃａｙ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｗｅｌｌ－ｄｅｆｉｎｅｄ， ａｎｄ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｓｉｍｐｌｅｒ ｔｈａｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔ／＞４ ｔｈｅｏｒｙ． Ｓｏ ｉｔ ｐｒｏｖｅｓ ｖｅｒｙ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ ｃｊ）３ ｍｏｄｅｌ ｉｎ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ．

２．１６ Ｍｏｄｅｌ

ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

３７

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｍｏｄｅｌｓ ｉｓ ｔｏ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｄ， ｏｆ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｖａｌｕｅ ４． Ｏｎｅ ｍｏｔｉｖａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂｅｃｏｍｅｓ ｅａｓｉｅｒ ａｓ ｄ ｉｓ ｒｅｄｕｃｅｄ； ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ｄｅｃｒｅａｓｅｓ． Ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ４， ｉｔ ｉｓ Ａｎｏｔｈｅｒ ｗａｙ ｏｆ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｆｒｏｍ

ｉｔｓ

ｂｏｔｈ ｕｓｅｆｕｌ ａｎｄ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｔｒｅａｔ ｄ

ａｓ ａ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｖａｒｉａｂｌｅ， ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｕｒｐｏｓｅ

ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ．

３ Ｂａｓｉｃ

ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｃｈａｐｔｅｒｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｅｖｅｌｏｐ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｔｒｅａｔ ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ． Ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｂｅｃｏｍｅｓ ｒａｔｈｅｒ ｉｎｔｒｉｃａｔｅ ａｔ ｔｉｍｅｓ， ｓｏ ｔｈｉｓ Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｔｅｒ

ｃｈａｐｔｅｒ ｉｓ ｄｅｖｏｔｅｄ ｔｏ

ｅｘｐｏｓｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅｉｒ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｉｓｓｕｅｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｏ ｔｈｉｓ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ｉｎ ｔ／＞３ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｅｘｈｉｂｉｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｌａｔｅｒ ｂｅ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ． Ｗｅ ｗｉｌｌ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ （ｉｎ ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ）

ｔｈｅ

ｇｒａｐｈ ｉｓ

ｒｅ－

ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ ａ ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ＇ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ＇ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｖａｒｙｉｎｇ ｄ， ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ ｏｆ ｓｐａｃｅ－ ｔｉｍｅ． Ｔｈｉｓ ｄｅｖｉｃｅ ｗｉｌｌ ｅｎａｂｌｅ ｕｓ ｔｏ ｓｅｅ ｈｏｗ ｓｉｍｐｌｅ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ

ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｗｈａｔ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ． Ｉｔ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｕｓ ｔｏ ｔｈｅ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ

ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ

ａｓ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ， ｐ， ｉｓ ｍａｄｅ ｌａｒｇｅ． Ｂｙ ｅｘｐｌｏｉｔｉｎｇ ｔｈｅ ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ， ｗｅ ｃａｎ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ

ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｗｈｅｎ ｐ＂ ｉｓ ｌａｒｇｅ． ３．１

Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｉｎ

＜￡３ ｔｈｅｏｒｙ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ３．１．１ ｉｎ ｔｈｅ （ｊ）３ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ （２．１６．１）． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｉｔｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｏ ｂｅ ｉ ｔｉｍｅｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ｒｅｍｏｖｅｄ：

＾ｉ｛ｐ２）

＝

ｌｉ＾ｒｋ［ｋ＾－ｍ２

Ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｆａｃｔｏｒ ＼ ｉｓ

ａ

＋

ｕ－＼ｉ｛ｐ ＋ ｋｆ－ｍ＇＋＾

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒ． ｋ

－Ｏ－

Ｆｉｇ． ３．１．１． Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ｉｎ ＜ｆ＞３ ｔｈｅｏｒｙ． ３８

（３Ｕ）

３．１

Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｉｎ

＜ｆ＞３ ｔｈｅｏｒｙ

３９

Ｗｈｅｎ ａｌｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｋ＊ ｇｅｔ

ｌａｒｇｅ， ｔｈｉｓ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｓ ｏｆ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ， ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ． ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｅｘａｍｐｌｅ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃａｎ ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ａ ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｂｕｔ ｔｏ ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｐｅｒｌｙ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｄｉｓｃｕｓｓ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｏｔｈｅｒ ｉｓｓｕｅｓ ａｓ ｗｅｌｌ： Ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ

（１） Ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｉｆ ｜ ｋ° ｜

＾

｜ ｋ ｜ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｓ ｋ ｇｏｅｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ａｐｐｅａｒｓ ｔｏ

ｂｅ ｍｕｃｈ ｗｏｒｓｅ．

（２） Ａ ｐｒｅｃｉｓｅ

ｗａｙ ｏｆ

ｃａｎｃｅｌｌｅｄ

ｆｏｒｍｕｌａｔｉｎｇ

ｔｈｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ

ｂｙ （３） Ｔｈｅ ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｉｎｈｅｒｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． （４） Ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ． ａ ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ．

３．１．１ Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｆ ｔｈｅｓｅ

Ｗｉｃｋ ｒｏｔａｔｉｏｎ

ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｓ ｈａｎｄｌｅｄ ｂｙ ｒｅｃａｌｌｉｎｇ

ｔｈｅ Ｗｉｃｋ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｉｎｔｏ

Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｓｐａｃｅ ｔｈａｔ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｔｈｉｓ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｔｈｅ ｓｉｇｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ． Ｔｈｅ Ｗｉｃｋ

ｉｔ， ｔｈｅｎ ｐｅｒｆｏｒｍｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ， ａｎｄ ｆｉｎａｌｌｙ ａｎａｌｙｔｉｃａｌｌｙ ｃｏｎｔｉｎｕｉｎｇ ｂａｃｋ ｔｏ ｒｅａｌ ｔｉｍｅ． Ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ， ｔｈｉｓ ｆｏｒｃｅｓ ｕｓ ｔｏ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｋ° ＋ ｉｃａ， ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｓｉｇｎ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｓｔａｒｔｉｎｇ ｗｉｔｈ

ｉｍａｇｉｎａｒｙ

ｔｉｍｅ ｔ

＝

—

＝

ａｐｐｅａｒｉｎｇ

ｓｏ

ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＆ｋｘ ｉｓ ａｌｗａｙｓ

Ｉｎ ｔｈｅ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｌｅｔ ｕｓ

ｐｅｒｆｏｒｍ

ｔｈｅ

ａ

ｐｈａｓｅ．

／ｃ°－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｉｒｓｔ． Ｔｈｅ ｐｏｌｅ

／ｃ°－ｐｌａｎｅ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ３．１．２， ｗｈｅｎ ｐ° ｉｓ ｉｍａｇｉｎａｒｙ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ａｎｄ （ｐ ＋ ｋ）２ ａｒｅ ｂｏｔｈ ｎｅｇａｔｉｖｅ， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｉｓ ｐｏｓｉｔｉｖｅ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｋ２

ｄｅｆｉｎｉｔｅ． Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ｉ ｃｏｍｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｗｉｃｋ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｃｏｍｂｉｎｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｉ ｉｎ （３．１．１） ｔｏ ｍａｋｅ Ｚ， ｒｅａｌ． （Ｗｅ ｈａｖｅ ｄ４／ｃ ＝

ｉｄａｘｌ３ｆｃ．） Ｎｏｗ ｒｏｔａｔｅ

ｓｈｏｗｎ ｉｎ

Ｆｉｇ．

ｐ°

ｂａｃｋ ｔｏ

ｒｅａｌ ｖａｌｕｅ． Ｉｆ

ａ

３．１．３： ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｎｏ

｜ ｐ° ｜ ＜ ｍ ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ

ｏｂｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｔｏ

ｒｏｔａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｋ° ｃｏｎｔｏｕｒ ｔｏ ｒｕｎ ａ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｒｅａｌ ａｘｉｓ． Ｉｔ ｉｓ ｏｎｌｙ ａｔ ｔｈｉｓ ｌａｓｔ ｓｔｅｐ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｌ ｐ° ￣ＥＰ＋ｋ

＋

Ｐ

＾ｐ

＋ ｆｃ

－Ｘ－ Ｅ＊

Ｆｉｇ． ３．１．２． Ｔｈｅ

ｆｃ°＇－ｐｌａｎｅ

ｗｈｅｎ

ｉｍａｇｉｎａｒｙ．

ｐ°

ｉｓ

Ｆｉｇ． ３．１．３． Ｔｈｅ ｆｃ°－ｐｌａｎｅ ｗｈｅｎ ｐ° ｉｓ ｒｅａｌ， ｂｕｔ ＼ｐ°＼ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｍ．

Ｂａｓｉｃ ｅｘａｍｐｌｅｓ

４０

ＩＮ

ｍ－

Ｆｉｇ． ３．１．４． Ｔｈｅ ／ｃ°－ｐｌａｎｅ ｗｈｅｎ ｐ° ｉｓ ｒｅａｌ， ｂｕｔ

ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｜ｆｃ°｜ ｜ｆｃ｜． ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｙ ｒｏｔａｔｉｎｇ ￣

ｗｅ

ｐｉｃｋ

ｐｏｌｅ

ｕｐ ａ

ｒｕｎ

ｍ．

ｗｅ ｍｅｒｅｌｙ ｈａｖｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ａｘｉｓ．

ｔｈｅ

ｒｅｇｉｏｎ

ｔｏ ｔｈｅ

ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇ． ３．１．４． Ａｇａｉｎ

（ｐ ＋ ｋ）２

ｐｒｏｂｌｅｍ

ｔｈｅ ／ｃ°－ｃｏｎｔｏｕｒ ｔｏ

ｉｓ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ

｜ｐ°｜＞ｍ． Ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｐ° ｉｓ Ｗｉｃｋ－ｒｏｔａｔｅ ｔｏ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｋ°， ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｔｉｍｅ ｔｅｒｍ． Ｎｏｗ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｔｅｒｍ ｏｃｃｕｒｓ ｏｎｌｙ ｗｈｅｎ （ｐ０）２ ＞ ｍ２ ＋ ｐ°

Ｎｏｗ ｃｏｎｔｉｎｕｅ

Ｔｏ ａｖｏｉｄ ｔｈｅ

＼ｐ°＼

ｗｅ

Ｅ２＋ｋ．

Ｔｈｕｓ ｉｔ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓ ｏｎｌｙ ｉｎ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｋ； ｔｈｅ ＵＶ ｓｔｉｌｌ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｏｖｅｒ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｋ°． ｃｏｍｅｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｔｈｅ ｍｏｒａｌ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ，

ｉ．ｅ．，

＝

ｗｅ ｍａｙ

ｒｅｇａｒｄ ｋ°

ａｓ

ｉｍａｇｉｎａｒｙ ３．１．２

ａｎｄ ｋ２ ＜ ０， （ｐ ＋

ｋ）２

＜ ０．

Ｌａｔｔｉｃｅ

ｑｕａｎｔｉｆｙ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｌａｒｇｅ－／ｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｌ／（ｋ２）２． Ｌｅｔ ｕｓ ａｄｄ Ｗｅ ｎｅｘｔ ｎｅｅｄ ｔｏ

ａｎｄ ｓｕｂｔｒａｃｔ ＝

：｛｛＇

ｚ１

ａ ｔｅｒｍ

Ｉｆｆ ３２ｎ

ｄ４ｋ

ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ ｂｅｈａｖｉｏｒ： １

１

ｌ（ｋ２

－ｍ２

＋

ｉｅ）［（ｐ ＋ ｋ）２

－ｍ２ ＋

ｉｅ］

（ｋ２

－

ｆｉ２

＋

１

ｄ４ｆｃ－ （ｋ２－ｎ２＋ｉｅ）２

＋

ｉｓ）２ （３．１．２）

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｍａｎｉｆｅｓｔｌｙ ｆｉｎｉｔｅ， ｆｏｒ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｏｆｆ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ． Ｔｏ ａｖｏｉｄ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ａｎ ｅｘｔｒａ

Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｓｉｎｃｅ

ｗｅ

ａｔ

ｋ２

＝

０ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ

ｌ／（／ｃ２

—

ｐｉ２）２

ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ

ｌ／（／ｃ２）２．

ｏｆ／ｉ ｉｓ ｉｒｒｅｌｅｖａｎｔ； ２ ｉ ｉｓ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｐ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ

ａｄｄ ｔｈｉｓ ｔｅｒｍ ｂａｃｋ ｏｎ， ｔｈｅ ｖａｌｕｅ

Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ， ｗｈｉｌｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ， ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｂｙ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｗｅ ａｒｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ， ｓｏ ｔｈａｔ （３．１．２）， ａｓ ｉｔ ｓｔａｎｄｓ， ｍａｋｅｓ ｎｏ ｓｅｎｓｅ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｍｅｄｙ ｔｈｉｓ ｄｅｆｅｃｔ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎｉｔｉａｌｌｙ ｏｎ ａ ｌａｔｔｉｃｅ． Ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ｗｉｌｌ ｔｈｅｎ ｂｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｗｉｌｌ ｅｎａｂｌｅ

ｕｓ ｔｏ

ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ （３．１．２） ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ ａｆｔｅｒ

ｉｍｐｏｓｉｎｇ

ａ

ｃｕｔ－ｏｆｆ，

ａｓ ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｎｏｗ

ｓｈｏｗ．

Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

３．１

Ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｌｓｏ ｈａｄ ｔｏ ｐｕｔ ｔｈｅ

ｔｈｅｏｒｙ， ｌｉｍｉｔ ｑａ

ｔｈｅｏｒｙ

ｏｎ ａ

ｌｅｔ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ －＞

０， ｔｈｉｓ ｉｓ ｊｕｓｔ ｉ／（ｑ２

—

ｉｎ

＜ｆ＞３

４１

ｔｈｅｏｒｙ

ｏｎｌｙ ｈａｄ ｔｏ Ｗｉｃｋ ｒｏｔａｔｅ ｔｉｍｅ， ｂｕｔ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｌａｔｔｉｃｅ， ｏｆ ｓｐａｃｉｎｇ ａ． Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｏｆ ａ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｏｆ ｍａｓｓ Ｍ ｂｅ ＳＦ（ｑ；Ｍ， ａ）． Ｉｎ ｔｈｅ ｗｅ ｎｏｔ

Ｍ２ ＋ ｉｅ）． Ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ

ｚｅｒｏ

ｉｆ ｑａ

＞

１， ｓｉｎｃｅ ｈｉｇｈ－

ｉｓ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｔｈａｔ ｗｈｅｎ ｏｎｅ ｍａｋｅｓ ａ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｎ ａ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｐａｃｅ， ｏｎｅ ｏｎｌｙ ｕｓｅｓ

（Ｔｈｅ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｔａｔｅｓ ｄｏ ｎｏｔ ｅｘｉｓｔ ｏｎ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ．

ｍｏｄｅｓ ｗｉｔｈ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｗａｖｅ－ｌｅｎｇｔｈｓ ｌｏｎｇｅｒ

ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ， ａｎｄ （３．１．２）

ｏｎ

Ｚｘ（ｐ， ｍ＼ａ）

－ｉ２ １０

ｔｈａｎ ｎｏｗ

ｌａｔｔｉｃｅ

ａ

ｓｐａｃｉｎｇ．）

Ｔｈｅ

ｒｅａｄｓ：

（ｒ

＼ｄ＊ｋ［ＳＦ（ｋ；ｍ，ａ）ＳＦ（ｐ ＋ ｋ；ｍ，ａ）－ＳＦ（ｋ；ｔｉ，ａ）２］

＝

３２ｎ

＾

＋

＝

ｒｅａｓｏｎ

＼ｄ＊ｋＳＦ（ｋ；ｉｘ，ａ）２＼ （３．１．３）

Ｚｌｆｉｎ（ｐ，ｍ，／ｉ，ａ） ＋ Ｚｌｄｉｖ（ｍ，／ｉ，ａ）．

ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ａｒｅ ｎｏｗ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ， ｓｏ （３．１．３） ｉｓ ａ ｃｏｒｒｅｃｔ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ （３．１．２）． Ａｓ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐａｃｉｎｇ ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ， ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎ （３．１．２）． Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｓ， ｂｕｔ ｉｓ Ａｌｌ ｔｈｅ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｐ． Ｔｈｕｓ （３．１．２） ｉｓ ｎｏｔ ｎｏｎｓｅｎｓｉｃａｌ， ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ａｒｅ ｉｍｐｌｉｃｉｔｌｙ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｌａｔｔｉｃｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ｗｈｅｒｅｖｅｒ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ．

３．１．３ Ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｎｏ ｍａｔｔｅｒ ｈｏｗ ｉｔ ｉｓ ｌｉｍｉｔ． Ｔｈｅ Ｆｒｏｍ

ｕｓｅ

ｍａｎｉｐｕｌａｔｅｄ， ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｄｉｖｅｒｇｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｕｓ ｔｏ ｑｕａｎｔｉｆｙ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

ｏｆ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｎｏｗ ｅｎａｂｌｅｓ

（３．１．３）

１２＿ Ｚｉ＝Ｔ＆ｊｄ４＾Ｆ（＾；／ｉ，ａ）２ ３２ｎ４

３２７Ｕ４ ２

１６ｔｃ２

＝

－Ｑ２

Ｊｆｌ）２＋ｆｃ２＜１

＋

Ｚｌｆ

ｄｃｏｄ３／ｃ—－—＝ｒ； ｋ２ （ｗ２

＋

ｒ－ｒ

＋

ｎ２）２

＋ ｆｉｎｉｔｅ

ｆｌ／ａ

Ｊ

０

（／ｃ２ ＋ ／ｉ２）２

—＾ｌｎｌ／ａ ＋ｆｉｎｉｔｅ

＋ ｆｉｎｉｔｅ

ａｓａ－＋０．

（３．１．４）

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ： Ｌｅｔ ￡ ｂｅ （ｉ ｔｉｍｅｓ） ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈｓ． （Ａｓ ｕｓｕａｌ， ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｔｈｕｓ ｗｅ ｃａｎ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ ａｍｐｕｔａｔｅｄ ａｎｄ ｔｈａｔ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｓｐｌｉｔ

４２

Ｂａｓｉｃ

Ｇ＊

Ｆｉｇ．

＋

＝

－＃－ －＃－＃－ ＋

３．１．５． Ｓｕｍｍａｔｉｏｎ ｏｆ

ｉｎｔｏ ｄｉｓｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｐａｒｔｓ

ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈｓ

＋

ｉｎｔｏ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ．

ｂｙ ｃｕｔｔｉｎｇ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｌｉｎｅ．） Ｔｈｅｎ

Ｇ２（ｐ２）

＝

ｉ／（ｐ２

－

ｍ２

－

Ｉ ＋

－

ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ

ｉｅ）．

（３．１．５）

Ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇ． ３．１．５； ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｏｆ

ａ

ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ． Ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｍａｓｓ ｍｐｈ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ， ｐ２ ｍ２ｈ． Ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｍ２ｈ ｉｓ ｎｏｔ ｍ２ ｂｕｔ ｍ２＋ Ｅ（ｐ２ ｍ２ｈ，ｍ２）． Ｉｎ ｏｔｈｅｒ ｗｏｒｄｓ， ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ ＝

＝

ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｃｏｍｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ （３．１．４） ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｐ２， ｓｏ ｉｔ ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ａ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｍａｓｓ． （Ｗｅ ｉｇｎｏｒｅ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒｓ ｆｏｒ ｎｏｗ．） Ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ， ｏｎｅ ｏｂｓｅｒｖｅｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｎｏｔ ｂｙ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｍ ｔｈａｔ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｂｕｔ ｂｙ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍａｓｓ ｍｐｈ． Ｏｎｅ ｗｒｉｔｅｓ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｔｅｒｍ ｉｎ ＜￡ ａｓ －

ｍ２ｃｔ＞２／２

＝－－

－

ｍ２ｈ＜／＞２／２

－

Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｉｓ ｌｅｆｔ ｉｎ ｔｈｅ ｆｒｅｅ

ｉ／（ｐ２

—

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ

ｍ２ｈ ＋ ｉｅ）． Ｂｕｔ ｔｈｅ

－

－

ｐｕｔ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｈａｓ ａ ｐｏｌｅ ａｔ

ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ

（３．１．６）

？５ｍ２＜／＞２／２．

ｓｏ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ，

ｐ２

ｍ２ｈ．

＝

ｔｏ ｔｈｅ

ａｎｄ

ａｄｊｕｓｔｅｄ

ｓｏ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｌｌ

Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｅｘａｃｔｌｙ ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ

ｐａｒｔｉｃｌｅ＇ｓ

ｍａｓｓ．

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｄｅａ ｏｆ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｉｔ ｉｓ ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｉｒｒｅｌｅｖａｎｔ ｔｈａｔ ｄｍ２ ｈａｐｐｅｎｓ ｔｏ ｄｉｖｅｒｇｅ． Ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｄｍ２ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ａｓ ａ ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ ｇ． Ｔｏ ０（ｇ２） ｗｅ ｈａｖｅ， ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｔｏ Ｆｉｇ． ３．１．１， ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． ３．１．６ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｎ

ｉｓ ｔｈｅ

ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ

（３．１．６）． Ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｓｕｍ

ｏｆ Ｆｉｇｓ． ３．１．１

ｔｏ

０（ｇ２）

ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｎｅｗ

ａｎｄ ３．１．６． Ｗｅ ｃａｌｌ ｉｔ ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ： ＾ｉＲ

＝

＝

｛＾ｉ（ｐ２；ｍｐｈ＾） ＋ ＾２｝｜ｆｌ－ｏ Ｉｌｆｉｎ（ｐ２；ｍｐ２ｈ；／ｉ，０）－ｆ［＜５ｍ２ ＋ Ｉｌｄｉｖ］．

（３．１．７）

Ｘ Ｆｉｇ．

３．１．６． Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈ ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ．

ａｄｊｕｓｔ ｄｍ２ ｆｉｒｓｔ ｏｆ ａｌｌ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ￡ ｌｄｉｖ， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｉｎ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ ａ－＞０． Ｔｈｅｎ ｗｅ ａｄｊｕｓｔ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔ ｓｏ ｔｈａｔ Ｗｅ

＜５ｍ２ ＋ Ｚｌｄｉｖ＝

－ＸＵｉ＞ｐ２ｈ，ｍｐ２ｈ，／ｚ）．

（３．１．８）

Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

３．１

Ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

＊．．－￡Ｋ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

（＊

－

ｖａｌｕｅ ａｔ

－

ｗｅ

＝

４３

ｆｉｎｄ

ｍｐ２ｈ ＋ ｉｅ）［（ｐ ＋ ｋ）２ ｐ２

＜ｆｉ３ ｔｈｅｏｒｙ

ｉｎ

－

ｍ２ｈ ＋ ｉｆｉ］

（ｋ２

－

＼ｉ２

ｍ２ｈ．

＋

ｉｅ＞

（３．１．９）

＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｃａｎｃｅｌｓ． Ｅｑｕａｔｉｏｎ （３．１．９） ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｔｈｅｏｒｙ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃｏｒｒｅｃｔ ｔｏ

０（ｇ２）． ３．１ Ａ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ

Ｏｎｅ ｗａｙ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｃｏｕｒｓｅ ａ Ｌｏｒｅｎｔｚ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ

Ｚ１Ｒ

ｉｓ ｔｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ

ｓｃａｌａｒ．） Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｇｉｖｅｓ Ｚ１Ｒ； ｔｈｅ

ｉｓ ｆｉｘｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ

ｐ２． （Ｉｔ

ｉｓ ｏｆ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｏｆ

ＴｌＲ（ｍ２ｈ） ｉｓ ｚｅｒｏ．

Ｗｅ ｈａｖｅ：

ａｓｕ

＿

＜＞

ｆ

ｒ

＇Ｊ＇

￣＇ｅ＇

Ｕ，？（ｋ２ －ｍ２，，．，＊？ ？？， ｉｓ） ［（ｐ ｋ）２ ３２；ｒ４ｐ２ Ｊ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ ｗｈａｔ

ｗｅ

＋

＋

＋

（３．１．１（０

．．，？■

－

ｍ２

＋

ｉ￡］２

ｗｏｕｌｄ ｈａｖｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ （３．１．１） ｗｉｔｈｏｕｔ ｒｅｇａｒｄ ｔｏ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｈａｖｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｉｔ ｄｏｗｎ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｗｉｔｈｏｕｔ ｇｏｉｎｇ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｌｏｎｇ ｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｗｅ ｕｓｅｄ． Ｂｕｔ ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｗｏｕｌｄ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｎｏ ｄｅｆｅｎｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ

ｔｈａｔ

ｗｅ

ａｒｅ

ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｎｇ ｍｅａｎｉｎｇｌｅｓｓ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ

ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ

ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｍａｋｅｓ ｎｏ ｓｅｎｓｅ． Ｓｉｎｃｅ （３．１．１０） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｅａｓｉｌｙ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ

ａ

Ｆｅｙｎｍａｎ

ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｂｙ ｓｈｉｆｔｉｎｇ ｔｈｅ ／ｃ－ｉｎｔｅｇｒａｌ： ＜５Ｉ１Ｒ

ｉｇ２

ｄｐ２

１６ａ Ｖ

ｆ Ｊ

ｉｇ２

ｆ

１６ｋＶＪ ３２＊２

ｇ２．

Ｊ０ ｏ

３２ｎ２ｄｐ：

ｄ＊＊

ｄｘｘ

ｄｘ

ｐ－（ｐ＋ｋ）

［Ｗｐｈ

，４，．

－

Ｐ２ｘ

－

２ｐ－ｋｘ －ｋ２－ ｉｅ］３

Ｐ－ｊｋ ＋ ｐｊｌ－ｘ）］

ａ＼ｍ２ｆｈ－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）－ｋ２－ｉｅＹ ｘ（ｌ－ｘ）

［ｍ２ｈ－ｐ２ｘ（＼－ｘ）－＼

｜ｒｄｘｌｎ［ｍｐ２ｈ－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）］｜．

（３．１．１１）

４４

Ｂａｓｉｃ

Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ Ｚ１Ｒ

＝

０ ａｔ

＊ｌＲ￣３２ｎ２ Ｔｈｉｓ ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｃａｎ

ｐ２

ｅｘａｍｐｌｅｓ ＝

ｄｘｌｎ

ｂｅ ｗｏｒｋｅｄ ｏｕｔ

３．２

ｍ２ｈ

ｎｏｗ

ｍｐ２ｈ（ｌ

－

ｇｉｖｅｓ ｘ ＋

ｘ２）

（３．１．１２） ．

ａｎａｌｙｔｉｃａｌｌｙ．

Ｈｉｇｈｅｒ

ｏｒｄｅｒ

ｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． ３．１．１ ｉｓ ｎｏｔ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ５ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｈｏｗ ｔｏ ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｅ ｒｅｍｏｖａｌ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｇｒａｐｈｓ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｅｃａｕｓｅ Ｆｉｇ． ３．１．１ ｏｃｃｕｒｓ ａｓ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ３．２．１．

Ｔｈｅ

Ｏｎｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｃｌｅａｒ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｃｏｍｅ ｆｒｏｍ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ａｌｌ ｏｆ ｗｈｏｓｅ ｌｉｎｅｓ ａｒｅ ｐａｒｔ ｏｆ ａ ｌｏｏｐ． Ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｗａｙ ｏｆ

ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｉｓ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ａ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｇｒａｐｈ ｏｒ ｓｕｂｇｒａｐｈ． Ａ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ （１ＰＩ） ｇｒａｐｈ ｉｓ ｏｎｅ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ａｎｄ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｍａｄｅ ｄｉｓｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｂｙ ｃｕｔｔｉｎｇ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｌｉｎｅ． Ａ ｇｒａｐｈ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｏｔ １ＰＩ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ （１ＰＲ）． Ｔｈｅ ｉｎ Ｆｉｇ． ３．２．１ ａｒｅ ａｌｌ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｙ ａｌｌ ｈａｖｅ ｏｎｅ ｏｒ ｌｉｎｅｓ ｔｈａｔ ｗｈｅｎ ｃｕｔ ｌｅａｖｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｎ ｔｗｏ ｄｉｓｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｐｉｅｃｅｓ． Ｔｈｅ

ｇｒａｐｈｓ ｍｏｒｅ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． ３．１．１ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｌｉｎｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｉｓ １ ＰＩ． Ｔｈｉｓ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｃｃｕｒｓ ｓｅｖｅｒａｌ ｔｉｍｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． ３．２．１． Ｗｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ

ａ ｍａｓｓ

６

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ，

ｓｏ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｏ＾＞

ｗ

（ｃ） Ｆｉｇ． ３．２．１． Ｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ａｓ ａ

ｓｕｂｇｒａｐｈ．

３．３ Ｄｅｇｒｅｅ

ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

（ａ）

４５

（ｂ）

Ｆｉｇ． ３．２．２． Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｔｏ Ｆｉｇ． ３．２．１．

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｇｒａｐｈ Ｆｉｇ．

ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｅｘ

３．１．６ ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ

ｃａｎ

ｂｅ ｕｓｅｄ

ａｓ ａｎ

ｉｎ Ｆｉｇ． ３．１．１． Ｃｌｅａｒｌｙ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ａｎｙｗｈｅｒｅ ｉｎ ａ ｇｒａｐｈ．

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

Ｉｎ ｆａｃｔ， ａｌｌ ｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ： （ａ） ｔａｋｅ ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｏｆ Ｆｉｇ． ３．１．１ ｏｃｃｕｒｒｉｎｇ ａｓ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｔｉｍｅｓ， ｂｕｔ ｗｉｔｈ ｎｏ ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｖｅｒｔｉｃｅｓ； （ｂ） ｒｅｐｌａｃｅ

ｏｎｅ

（ｏｒ ｍｏｒｅ） ｏｆ ｔｈｅ

ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅｓ ｏｆ

ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ Ｆｉｇｓ． ３．２．１ （ａ）－（ｃ） ａｒｅ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ３．２．２． ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｇｒａｐｈ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈ（ｓ） ｉｓ ｔｈｅ ｊｕｓｔ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｅｖｅｒｙ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｉＺ１Ｒ． Ｉｔ ｉｓ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｏ ｋｅｅｐ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌｏｏｐ， ｔｈｅｒｅｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｐｌｕｓ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ａｓ ａ ｓｉｎｇｌｅ

Ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ， ｔｈｅ

—

ｅｎｔｉｔｙ． Ｉｎ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． ３．２．１ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｔｈｉｓ

ｇｒａｐｈｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｕｔ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ５．

ｍａｋｅ ｔｈｅ ｗｏｒｋｅｄ

３．３ Ｗｅ

Ｄｅｇｒｅｅ

ｏｆ

ｔｏ ａｎ

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉｓ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｇｒａｐｈ ｗｉｌｌ

ｔｏ ｂｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｈｏｗ ｔｈｅ Ｗｉｃｋ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｅｎｓｕｒｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｎｅ－ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｉｓ ａ ｐｕｒｅｌｙ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｐｒｏｂｌｅｍ． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｓａｗ

ｌｏｏｐ

ｒｅｇｉｏｎ

｜ ｆｃ＾ ｜

－＾

ｏｏ， ｗｉｔｈｏｕｔ ａｎｙ

ｒｅｇａｒｄ

ｔｏ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ．

Ｔｈｕｓ， ｓｉｍｐｌｅ ｐｏｗｅｒ－

ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ－ ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｍｅｒｅｌｙ ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｋ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ ｋ．

ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ

ａｓ

Ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｉｎ ｔｈｉｓ ｆａｓｈｉｏｎ

ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐａｃｉｎｇ， ａ， ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ． ｗｏｒｋｓ ｆｏｒ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｇｒａｐｈ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ

４６

Ｂａｓｉｃ ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ＇ ｏｒ ｔｈｅ ＇ｓｕｐｅｒｆｉｃｉａｌ Ｃｈａｐｔｅｒ ５． Ｔｈｅｒｅ ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｓｅｅ ｈｏｗ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ａ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｅｎａｂｌｅ ｕｓ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｗｈｅｔｈｅｒ ｏｒ ｎｏｔ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｂｙ ｉｎｖｏｋｉｎｇ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｒｅｖｏｌｖｉｎｇ ｗｈａｔ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｅｉｔｈｅｒ ｔｈｅ ＇ｏｖｅｒａｌｌ

ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ＇． Ｔｈｉｓ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｏｖｅｒ ｉｎ

ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ． ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ， ｄ， ｏｆ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ， Ｆｉｇ． ３．１．１． Ｗｅ ｃａｎ ｔｈｅｎ ｅｘｐｌｏｒｅ ｔｈｅ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ａｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｐｏｗｅｒ－

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｖａｒｙ ｔｈｅ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｃｏｕｎｔｉｎｇ， ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒ Ｆｉｇ． ３．１．１ ｉｓ ｎｏｗ ，２

＾（ｐ２，ｍ２，ｄ） Ｔｈｅ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ

１＆

＝

ｈａｓ

ｄｄｋ（ｋ２ －ｍ２

２｛２ｉｉｆ ｏｎｅ

＋

ｉｅ）［（ｐ ＋ ｋ）２ －ｍ２

ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｄ

—

＋

ｉｅ］＇

（３＇３Ｊ）

１ ｓｐａｃｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｉｎ ｔｈｅ

Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒｓ （２ｎ）Ａ ｇｅｔ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｛２ｎｆ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｙ ａｒｉｓｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ

ｆ

ｄｄｘＱｉｋｘ

＝

（３．３．２）

（２ｎ）ｄＳ＾（ｋ）．

Ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｋ ｉｎ ｔｈｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． Ｂｕｔ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｎｏｗ ｄ ４； ｗｅ ｃａｌｌ ｔｈｉｓ ｔｈｅ Ｉｆ ｇｒａｐｈ． ｄ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｆｏｕｒ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｄ ｉｓ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ｏｒ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｆｏｕｒ， ｔｈｅ ｇｒａｐｈ —

ｄｉｖｅｒｇｅｓ． Ｏｕｒ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｓｅｃｔｉｏｎｓ ｔｅｌｌｓ

ｂｙ ａｄｄｉｎｇ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｉｔ

Ｎｏｗ， ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ

ｔｒｙ

ｔｏ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ．

ｏｎｃｅ

ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｐ＂ ｇｉｖｅｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｆ ｄ

＾１ Ｚ２ｔ Ｕ ＝

（２７ｒ）ｄ

ｄｐ＊

ｕｓ ｗｅ ｍｕｓｔ

＾±＾

Ｊ Ｖ－ｍ２）［（ｐ ＋ ｆｃ）２－ｍ２］２＇

＝

４：

ｌ（３ ３ ３）｝ ＊

ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｅｉｎｇ ｒｅｄｕｃｅｄ ｂｙ ｏｎｅ ｔｏ ｄ ５． ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｏｎｅ ｍｉｇｈｔ ｓｕｒｍｉｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｉｅｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｋｆｌ ｋ ｗｏｕｌｄ ｋｉｌｌ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ａｎｄ ｔｈａｔ ｓｙｍｍｅｔｒｉｚｉｎｇ ｂｙ ｋ－＋

ｗｉｔｈ ｔｈｅ

Ｉｆ ｄ

＝

—

５ ｔｈｅ

—

ｔｒｕｅ， ｂｕｔ ｌｅｔ ｕｓ ｂｅ ｍｏｒｅ ｓｉｍｐｌｅ－ｍｉｎｄｅｄ． Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ａｇａｉｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｄ

９％ ｄｐ？ｄｐｖ ＾ｄｐｖ Ｔｏ ｒｅｃｏｖｅｒ

—

ａ

ｒｅｓｕｌｔ ｗｉｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ

６：

ｉｎ＇

［＾ＡＨｐ ＋ ｋＵｐ ＋ ｋｌ－ｇＪｉｐ ＋ ｋｆ －ｍ＇］｝

（２ｎ）ｄ （２ｎ）ｄ］Ｊ

Ｚ１Ｒ

ｐ ｇｉｖｅｓ

（ｋ２

ａｔ ｄ＝ ５ ｗｅ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒ

－

ｍ２）［（ｐ ＋ ｋ）２

ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｔｗｉｃｅ．

ａｓ ａｎ

－

Ｔｈｅｒｅ

ｍ２］３

（３Ｊ４）

ａｒｅ ｍｏｒｅ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ

ａｄｄｉｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ： Ａ ＋

ｏｆ

Ｂ＾ｐ＊．

３．３ Ｄｅｇｒｅｅ

ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

４７

ｒｅｑｕｉｒｅ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ￡， ｓｏ ｔｈｅ Ｂｆｉ ｔｅｒｍ ｉｓ ｅｌｉｍｉｎａｔｅｄ， ａｎｄ ｗｅ ａｒｅ ｌｅｆｔ ｗｉｔｈ ａ ｍａｓｓ ｔｅｒｍ ａｓ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｔｈｉｓ ｉｓ Ｈｏｗｅｖｅｒ，

ｗｅ

ｍｕｓｔ

ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ａｎｄ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｕｓｅ

ｏｆ

ａ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ａｒｇｕｍｅｎｔ

ｔｏ

ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｔｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｌｏｗ ｆｏｒ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ．

（ｊ）３

３．３．１

ａｔｄ

＝

６

Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ Ｚｊ ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ ｇｉｖｅｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｕｌｔ ｗｉｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｄ ７． Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ Ｚ１Ｒ ｇｉｖｅｓ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａ Ｂｐ２， ｗｈｅｒｅ ａｇａｉｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｕｓｅｄ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｉｆ ｗｅ ｗｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｆｉｎｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ Ｉ／ａ２， ｍ２ｌｎ（ａ） ａｎｄ ｐ２ｌｎ（ａ）． Ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｔｅｒｍｓ ｈａｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ２ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒ Ｅｘ ｈａｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ２． Ｔｏ ｍａｋｅ ｉｔ ｆｉｎｉｔｅ ｗｅ ｍｕｓｔ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｕｓｅ ａ ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｂｕｔ ａｌｓｏ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｐ２； ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃａｌｌ ｄｍ２ ｄＺｐ２． Ｌｅｔ

ｕｓ ｎｏｗ

ｇｏ ｔｏ ｄ

—

６．

—

—

—

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

－

（３．３．５）

６ｍ２（ｊ）２ｌ２ ＋ ６Ｚ｛ｄ（ｆ））２ｌ２

ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｄｅｇｒｅｅ

ｍａｘｉｍｕｍ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ

ｏｒ

ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｐ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

Ｅｑｕａｌｌｙ， ｉｔ ｉｓ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒ ｗｈｅｎ ｗｅ ｒｅｃｏｖｅｒ Ｚ１Ｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ Ｔ，ｌ． Ｔｈｅｓｅ ｔｗｏ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｈａｐｐｅｎ ｆｏｒ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｇｒａｐｈ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｌａｔｅｒ． Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐｒｏｏｆ ｗｉｌｌ ｉｎ ｆａｃｔ ｂｅ ｔｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ ｅａｃｈ ｇｒａｐｈ ｅｎｏｕｇｈ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｕｎｔｉｌ ｉｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ．

ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｖｅ－ ｃａｎ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｉｔ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｆｉｅｌｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ． ｃａｎ ｂｅ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ： Ｔｈｅ

（ｄ（ｆ））２

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｎ

（３．３．５） ｉｓ ｏｆ

ｃｏｕｒｓｅ ａｎ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．３． Ｗｅ

ｅ２（Ｏ）

＜ｏ｜ｒ＃ｏ（ｐ）０ｏ（Ｏ）｜ｏ＞

＝

Ｚ＜０｜７＞（ｐ）４＞（０）｜０＞

＝

ｉＺ／（ｐ２

＝

－

ｍ２ｈ

－

￡１（０）

－

ｄｍ２

＋

ＳＺｐ２

＋

ｉｅ）

ｉＺ／（ｐ２－ｍｐ２ｈ－Ｚ１Ｒ）．

＝

（３．３．６）

Ｎｏｔｅ ｔｈｅ ｄｉｓｔｉｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｂａｒｅ ａｎｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕｅ ｏｆ

ｐａｒｔｉｃｌｅ ｐｏｌｅ ｉｎ ｕｎｉｔｙ： ｔｈｅ

Ｇ２（０）

＝

ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｏｆ

ｉＲ（０）／（Ｐ２

￣

＂＊ｐｈ

＋

ｉｅ）

ａｎ

＋

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ ｆｉｅｌｄ ｉｓ

ｆｉｎｉｔｅ＞

ａｓ

Ｐ２

－＞

ｉｎ

ｇｅｎｅｒａｌ

（３－３－７）

ｍｐｈ－

Ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｔｓ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓ ｔｈａｔ ０

ｎｏｔ

＜

Ｒ（０）

＜

１，

４８

Ｂａｓｉｃ ｅｘａｍｐｌｅｓ

（ｊ＞０ ｈａｓ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｅｑｕａｌ－ｔｉｍｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ． （Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｇｉｖｅｎ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １６．４ ｏｆ Ｂｊｏｒｋｅｎ ＆ Ｄｒｅｌｌ （１９６６）．） Ｎｏｗ ｗｅ ｃａｎ ａｌｗａｙｓ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ （／＞ Ｚ＂ １／２０ｏ ｂｙ ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ Ｚ ｂｙ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｆａｃｔｏｒ． Ｓｏ ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ａｄｊｕｓｔ Ｚ ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｈａｓ ａ ｐｏｌｅ ｏｆ ｕｎｉｔ ｒｅｓｉｄｕｅ ａｔ ｐ２ ｍｐ２ｈ： ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ

＝

＝

＜５２ Ｉｎ ｔｈｉｓ

ｃａｓｅ ｗｅ

＝

ｉ／（ｐ２

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ

＝

ｉｅ）

＋

Ｗｐｈ

ｉｄｅｎｔｉｆｙ Ｒ｛０） Ｚ，Ｒ

Ｗｈｅｎ

－

ｆｉｎｉｔｅ，

＋

ｗｉｔｈ Ｚ． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

５Ｚ１Ｒ／３ｐ２

＝

０

ｐ２

ａｔ

（３．３．８）

ｐ２－＞ｍ２ｈ．

ａｓ

＝

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

（３．３．９）

ｍ２ｈ．

Ｚ１Ｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ Ｚｌ９ ｔｈｉｓ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ ｔｏ ｂｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ． Ｉｔ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ

ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｅｎａｂｌｅｓ ｔｈｅ

ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．

３．３．２

Ｗｈｙ

ｍａｙ Ｚ ｂｅ

ｚｅｒｏ

ａｎｄ ｙｅｔ ｃｏｎｔａｉｎ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ！

ａ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘａｃｔ ｔｈｅｏｒｙ ｗｅ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ ０ ＜ Ｚ ＜ １， ｉｆ ｗｅ ａｄｏｐｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ （３．３．９）； Ｚ ｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｅｌｙ ｆｉｎｉｔｅ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｉｔｓ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｓｔａｒｔｓ ａｔ １ ＋ ｇ２［Ｃ Ｉｎ （ａ） ＋ ｆｉｎｉｔｅ］ ＋ ＼ （Ｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ．） Ｔｈｉｓ ｓｅｅｍｓ ｔｏ ｂｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ａｓ ａ －？ ０， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｆｉｎｉｔｅ． Ｗｅ ｒｅｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔｉｏｎ ｂｙ ｒｅａｌｉｚｉｎｇ ｔｈａｔ ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ ｅｘｐｅｃｔ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｔｅｒｍｓ ｔｏ ｂｅ ｓｍａｌｌ ｉｆ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ｌａｒｇｅ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｈａｖｅ

Ａｓ

？

？

ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ

Ｌｌ－０２［（Ｃ／Ｄ）ｌｎ（ａ） ＋ ｃｏｎｓｔ．］Ｊ ｗｈｅｒｅ Ｄ ｉｓ

ａ

ｌｏｏｐ （ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｉｆ

ｗｅ

ｆｉｘ

Ｉｔ ｗｏｕｌｄ ａｐｐｅａｒ

；

ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｏｎｅ－ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ａ ａｎｄ ｌｅｔ ＃－＞０ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｒｅｇｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｚ ＞ １）． ｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ａ ｆｏｒｍｕｌａ ｌｉｋｅ （３．３．１０） ｓｉｎｃｅ ｉｔ

ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ． ｉｎｆｉｎｉｔｙ． Ｉｎ

ｔｅｒｍ ｇｏｅｓ ｔｏ

＇

Ｔｈｅｎ Ｚ －？ ０ ａｎｙ ｅｖｅｎｔ

ａｓ ａ －？ ０ ｅｖｅｎ

ｗｅ ｓｅｅ

ｔｈａｔ Ｃ ｍｕｓｔ ｂｅ

ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｓｕｍｍｉｎｇ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ ｏｆ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ ｉｔ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ａｎ ａｎａｌｙｔｉｃ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｗｉｔｈｉｎ ｉｔｓ ｒａｄｉｕｓ ｏｆ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｜ Ｉｎ （ａ） ｜

＜

Ｄ／ｇ２Ｃ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ

ｔｏ

ｓｅｒｉｅｓ

｜ Ｉｎ （ａ） ｜ ａｒｅ

＝

ｏｃ．

Ｔｈｉｓ

ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ

ｓｅｅｍｓ ｔｏ

ｍａｋｅ

ｎｏ ｓｅｎｓｅ ａｔ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｅｒｉｅｓ ｒａｔｈｅｒ

ａｌｌ ｓｉｎｃｅ

ｔｈａｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ

ｓｅｒｉｅｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ７， ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ， ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｆｉｎｄ ａ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ Ｚ ａｎｄ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ａ－？０．

Ｉｔ ｒｅｌｉｅｓ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ （３．３．１０） ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

ｆｒｅｅｄｏｍ ｏｆ ｔｈｅ

ｏｎ

ｔｈｅ ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ

ｗｉｌｌ ｔｕｒｎ ｏｕｔ ｔｏ ｂｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ

ｃｏｒｒｅｃｔ， ｉｎ Ｎｏ ｍａｔｔｅｒ ｗｈａｔ ｔｈｅ ｔｒｕｔｈ ｉｓ， ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｈ ｔｈｅｏｒｙ ａｓ ａ －？ ０ ｎｅｅｄ ｎｏｔ ｂｅ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ａｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘａｃｔ

ｔｈｅｏｒｙ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ

ａｓ

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ．

３．３ Ｄｅｇｒｅｅ ３．３．３

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈｅ

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

ｗｅ ｎｏｗ ｇｏ ｔｏ ａ

ａｎｄ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｈａｓ

ａ

４９

ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

＞ ６．

Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｌｅｔ

ｑｕａｒｔｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ

ｕｓ ｓｅｔ

ｄ

＝

８． Ｔｈｅｎ

ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｕｎｔｅｒ－

ｔｅｒｍｓ ｃｏｎｔａｉｎ ｕｐ ｔｏ ｆｏｕｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ： －

Ｔｈｅ ｑｕａｒｔｉｃ ｔｅｒｍ

Ｓｍ２（ｊ）２／２

－

ＳＺ（ｄ（ｊ））２／２ ＋ Ｅ（ □ ｃ／＞）２／２．

ｉｓ ｎｏｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ａｎｙ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ

（３．３．１１）

ｏｒｉｇｉｎａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ，

ｉｔ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｗｈｅｎ ｔｈｉｓ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｏｃｃｕｒｓ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ． Ｎｏｎ－ ｓｏ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

ｉｓ

ａ

ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ． Ｔｈｅｒｅ

ｇｏｏｄ ｒｅａｓｏｎ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｗａｙｓ ｔｏ

ｐｒｉｏｒｉ ａｒｅ

ａ

ｆｏｒ

ｄｒｏｐｐｉｎｇ

ｔｈｅ

ａｖｏｉｄ ｔｈｉｓ， ｂｕｔ

ｔｈｅｏｒｙ

ｗｅ

ｆｒｏｍ

ｗｉｌｌ ｌｅａｖｅ

ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｕｎｔｉｌ ｌａｔｅｒ．

ｓｉｍｐｌｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｔｈａｔ ｈｅｌｐｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｗｈｅｔｈｅｒ ｏｒ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ． Ｉｔ ｌｉｎｋｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｐｏｗｅｒ ｃｏｕｎｔｉｎｇ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｇｒａｐｈ Ｔ． Ｌｅｔ ｉｔｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｂｅ Ｓ（Ｔ）， ａｎｄ ｌｅｔ ｉｔｓ ｍａｓｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｂｅ ｄ（Ｔ）． Ｎｏｗ Ｔ ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｆａｃｔｏｒ， ａ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ， ａｎｄ ａｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ａｓ ｗｅ ｓｅｅ ｆｒｏｍ （３．３．１） ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ， ｉｆ Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｎｏｔ ａ

ｗｅ

ｌｅｔ Ａ（ｒ） ｂｅ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｉｎ Ｔ，

ｄ（ｒ） Ｎｏｗ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

３（ｒ）

＝

＋

ｗｅ

ｈａｖｅ

（３．３．１２）

Ａ（ｒ）．

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ Ｓ（Ｔ） ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔｅｒｍ Ｃ ｉｎ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ， ｌｅｔ Ｓ（Ｃ） ｂｅ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａｎｄ ｌｅｔ Ａ（Ｃ） ｂｅ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ， ｓｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ Ｔ． Ｔｈｅｓｅ ｆｏｒｍ ａ

ｔｈａｔ ｉｔｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ

ｓａｍｅ ａｓ Ｔ：

＜５（Ｃ） ＋ Ａ（Ｃ）

＝

（３．３．１３）

ｄ（ｒ）．

Ｎｏｗ， ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｓ

ｄ（Ｔ）＝ｄ（Ｔ）－Ａ（ｎ Ｉｆ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ

ｈａｖｅ

ｌａｒｇｅ ｂｙ ｇｏｉｎｇ

ｔｏ

ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｔｈｅｎ ８（Ｔ） ｃａｎ ｇｒａｐｈ ｏｆ ｈｉｇｈ ｅｎｏｕｇｈ ｏｒｄｅｒ．

ａ

ｍｉｒａｃｕｌｏｕｓ ｃａｎｃｅｌｌａｔｉｏｎｓ ｔｈｉｓ ｔｅｌｌｓ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｈａｖｅ

Ｉｆ ｔｈｅ

ａｓ

ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ

Ｉｎ ｔｈｅ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ

ｅｘｐｅｃｔ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ． Ｉｆ ｔｈｅ

ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｉｎｃｅ Ａ（ｒ） ｉｓ ｂｏｕｎｄｅｄ ａｂｏｖｅ ｂｙ ｚｅｒｏ ａｎｄ ｄ（Ｔ）

ｚｅｒｏ ｏｒ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｉｃｅｓ， ｄｅｃｒｅａｓｅｓ

ｕｓ ｔｏ

ｂｅ ｍａｄｅ

—

ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ．

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ

ｎｅｖｅｒ

ｈａｖｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｓａｔｉｓｆｙ

Ａ（Ｃ）

＝

ｄ（Ｔ）－ｄ（Ｃ）

＞ｄ（Ｔ）－Ｓ（ｒ） ＝

Ａ（ｒ），

ｗｅ

ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

５０

Ｂａｓｉｃ ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｌｓｏ ｈａｖｅ ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｔｈｉｓ， ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｃａｓｅｓ， ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｅｎｓｕｒｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｎ ｔｈｅ （／＞３ ｔｈｅｏｒｙ ｃｊ＞ ｈａｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ／２ １． （Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ￥￡ ｈａｓ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ａｎ ｅｎｅｒｇｙ－ｄｅｎｓｉｔｙ．） Ｔｈｅｎ Ａ（ｇ） ３ ｄ／２． Ｓｏ ｉｆ ｄ ＞ ６ ｔｈｅ ＜ ６， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｏｎｌｙ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ， ａｓ ｗｅ ｓａｗ ｂｙ ｅｘａｍｐｌｅ． Ｉｆ ｄ －

＝

－

ａ ｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｓｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ．

ａｒｅ

ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｔｏ ｈａｖｅ

３．４ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ３．４．１ Ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｉｎ Ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｉｅｓ ｏｆ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｇｒａｐｈ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｍｏｕｎｔ ｔｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｔｈａｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ．

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ Ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ

ａ

ａ

ｏｎｅ

ｔｈｉｎｋｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ａｓ

ｔｈｅ

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

ｏｆ

ｗｏｒｋｉｎｇ

ｗｉｔｈ ｍｅａｓｕｒｅｄ

ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｂａｒｅ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ． Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｏｂｖｉｏｕｓ ｃａｓｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｍｐｈ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄ．

Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｏ ｔａｋｅ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｖｉｅｗ ｉｓ ｍｕｃｈ ｔｏｏ

ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｖｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓｓｕｅ ｃａｎ ｂｅ ｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄ

ｂｙ ｌｏｏｋｉｎｇ ａｔ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｒｅ ｗｅ ｔｈｅｏｒｙ， ＱＣＤ， ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｄｏ ｆｉｅｌｄｓ ｎｏｔ ｔｏ ｅｘｉｓｔ ａｐｐｅａｒ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ （ｐａｃｅ ＬａＲｕｅ， Ｐｈｉｌｌｉｐｓ ＆ Ｆａｉｒｂａｎｋ （１９８１））． Ｓｏ ａｒｉｓｅｓ ｔｈｅ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ ｏｆ ｑｕａｒｋ ｃｏｎｆｉｎｅｍｅｎｔ ｎｏｔ ｐｒｏｖｅｄ ｆｒｏｍ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｆｒｅｅ

ａ

ｈａｖｅ

－

ｓｏ ｆａｒ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｑｕａｒｋｓ ａｒｅ ｎｅｖｅｒ ｉｓｏｌａｔｅｄ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ． Ｅｖｅｎ ｈａｓ ｔｈｅ ｓｏ， ｔｈｅｏｒｙ ｑｕａｒｋ ｍａｓｓｅｓ， ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｍｅａｓｕｒｅｄ （ｕｐ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｇｈｔ ｑｕａｒｋｓ）． Ｂｕｔ ｏｎｅ ｃａｎｎｏｔ ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｔｈｅｓｅ ｍａｓｓｅｓ

ＱＣＤ，

－

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ

ｍａｓｓｅｓ

ｏｆ ｆｒｅｅ

ｑｕａｒｋｓ．

Ｏｎｅ ｍｕｓｔ

ｏｎｌｙ ｓｐｅａｋ

ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ， ｍｅａｓｕｒｅｄ， ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ， ｒａｔｈｅｒ ｉｎｄｉｒｅｃｔｌｙ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｉｓ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，

ｏｆ

ｍａｓｓ

ｔｈｅ

（ｆ＞３ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ＆

＝

ｄ（ｊ）２ｌ２

－

ａｓ ａ

ｂａｓｉｃ

ｍ２（／＞２／２

－

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｐｌｕｓ

＃３／３！

－

ｗｅ

ｗｒｉｔｅ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ：

ｄｍ２４＞２／２

Ｓｇ（ｆ）３／３！． （３．４．１）

６Ｚｄ（ｊ）２ｌ２

－

－

ａｖｏｉｄ ｉｄｅｎｔｉｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｍａｓｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｍｐｈ ｏｆ ａ ｐａｒｔｉｃｌｅ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ｇ， ｗｉｔｈ ａｎｙ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｑｕａｎｔｉｔｙ， ａｎｄ ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｄｅｆｉｎｅ Ｚ ｂｙ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｂｕｔ

ｗｅ

ｒｅｓｉｄｕｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ＇ｓ ｐｏｌｅ

ｂｅ

ｕｎｉｔｙ．

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃｈｏｏｓｅ ＳＺ

＝

０ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ； ｔｈｅ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ （３．１．７）

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ａｔ ｄ ４． Ｗｅ ｃａｎ ｏｎｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｉｎ ｄｍ２． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＝

ｉｓ

ＳｉＲ

＝

＾ｉｆｉｎ

＋

（＜５ｍ２

＋

Ｚｌｄｉｖ）．

３．４ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ Ｗｅ ｍｕｓｔ ｃｈｏｏｓｅ ｄｍ２ ｔｏ ｈａｖｅ ａ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｐａｒｔ

５１

ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ａｔ

０ ｏｆ ￡ｌｄｉｖ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｄｍ２ ｉｓ ｎｏｔ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ； ｔｈｅ ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈａｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｗｈｅｎ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ Ｉ１Ｒ ｂｙ

ａ

＝

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｄｙＬｌ／ｄｐｆｌ． Ａｔ ｆｉｒｓｔ ｓｉｇｈｔ ｉｔ ｍｉｇｈｔ ａｐｐｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｒｕｉｎｓ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｕｎｌｅｓｓ ｏｎｅ ｐｉｎｓ ｄｏｗｎ ｍ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍａｓｓ ｍｐｈ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｎｏｔ ｓｏ； ｔｈｅ ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｉｓ

ｍｏｒｅ ｌｉｋｅ ｔｈｅ ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｉｎ ｃｈｏｏｓｉｎｇ ａ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ． ｆｉｒｓｔ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｃｏｍｐｕｔｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ￡ｉｒ（Ｐ２ ０ ０． Ｔｈｅｎ ｏｎｅ

＝

＝

Ｇ２

＜

＝

＝

ｉ／［ｐ２

＜

－

＂

ｍ２ｈ

＾ｉｄｉｖ

－

－

Ｉｌｆｉｎ（ｐ２） ＋ Ｉｌｆｉｎ（ｐ２ Ｓｌｆｉｎ（ｍｐ２ｈ） ＋ ０（ｇ＊）．

Ｏｎｅ ｃｏｕｌｄ ａｌｓｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｗｉｔｈ

Ｇ２

ｍ２０

＝

＝

ｉ／［＞２ ｍ２

－

－

ｍ２

Ｉｌｄｉｖ

ａ

－

－

＝

ｍ２ｈ） ＋ ０（ａ４）］， （３．４．２ａ） （３．４．２６）

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔ ｔｏ

５ｍ２，

Ｉｌｆｉｎ（ｐ２， ｍ２） ＋ ｇ２Ｃ ＋ ０（ａ４）］， ｇ２Ｃ ＋ ０（ａ４），

ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ ａｎｙ ｃｈｏｓｅｎ ｎｕｍｂｅｒ． Ｔｈｅ

Ｘ￥（ｐ＼ｍ２）

＝

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｉ：Ｕｉｎ

＋

ｉｓ

ｗｉｔｈ

ａ

ｒｅｓｕｌｔ

（３．４．３ａ） （３．４．３６）

ｎｏｗ

ｇ２Ｃ．

Ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｔｈｅ ｔｗｏ ｗａｙｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｆ ｗｅ ｒｅｑｕｉｒｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｍａｓｓ ｍｌ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｉｎ ｂｏｔｈ ｏｆ （３．４．２） ａｎｄ （３．４．３）． Ｉｎ ｔｈｅ

ｍｌ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｓａｙ ｂｙ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ， ｉｔ ｉｓ ｏｎｌｙ ｔｈａｔ ｍａｔｔｅｒｓ， ｎｏｔ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｉｎｔｏ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｍａｓｓ ｓｑｕａｒｅｄ ｍ２ ａｎｄ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

—

Ｚｌｄｉｖ ｍ２

ｗｉｔｈ ｔｈｅ

＝

ｇ２Ｃ． Ｃｌｅａｒｌｙ ｗｅ ｈａｖｅ ｍ２ｈ ＋ ｇ２Ｃ Ｉｌｆｉｎ（ｍｐ２ｈ） ＋ ０（ａ４），

－

－

（３．４．４）

０（ａ４） ｔｅｒｍｓ ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｓｅｌｆ－

ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈｓ． Ｗｅ ｃｏｍｅ ｔｈｅｎ ｔｏ ｔｈｅ ｃｅｎｔｒａｌ ｉｄｅａ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ． Ｔｈｅ

ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｉｒｒｅｌｅｖａｎｔ， ｆｏｒ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｃ ｃａｎ ｂｅ ｅｘａｃｔｌｙ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｄ ｂｙ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｍ２． Ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ Ｃ ｍｅｒｅｌｙ ｇｉｖｅｓ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｚ１Ｒ ｉｓ

ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｖａｒｙｉｎｇ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｍ． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈａｔ

ｃａｎ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ａｃｃｏｍｐｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｍｏｖｉｎｇ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ￥￡ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ

ｍ

ｉｔ ｉｓ

ａ ｍｏｖｅ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｒｅｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ａ

ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ．

ｒｅａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ

ｇｉｖｅｓ ｋｅｙ ｔｏ ｔｈｅ ｍａｎｙ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ Ｉｔ ｍｉｇｈｔ ｂｅ ｏｂｊｅｃｔｅｄ ｔｈａｔ

Ｔｈｉｓ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ．

ｐ２－ｍ２－Ｉｌｆｉｎ（ｐ２，ｍ２） ＋ ａ２Ｃ

５２

Ｂａｓｉｃ ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｉｓ ｎｏｔ

ｅｑｕａｌ

ｔｏ

ｐ２ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ

ｍ２ｈ

－

－

Ｉｌｆｉｎ（ｐ２，ｍ２ｈ） ＋ Ｚｌｆｉｎ（ｍｐ２ｈ，ｍｐ２ｈ），

ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ

ｍａｓｓ

Ｚｌｆｉｎ（ｐ２）

ｐａｒａｍｅｔｒｉｚｅｄ ｉｎ ｅｉｔｈｅｒ ｗａｙ ｉｓ ｔｈｅ

ａｒｅ

ｓａｍｅ．

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ， ｗｈｅｒｅａｓ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ

Ｂｕｔ ｓｉｎｃｅ

ｍ２ｈ

—

ｍ２ ｉｓ

０（ｇ２）

ｔｈｅ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ０（＃４）． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｒｅａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｌｅａｖｅ ｔｈｅ ｐ２－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｔｈｅ

０（ｇ＊）

ｔｅｒｍｓ ｗｉｌｌ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ

（ｕｐ

ｔｏ ｅｖｅｎ

ｈｉｇｈｅｒ－

ｏｒｄｅｒ ｔｅｒｍｓ）， ｅｔｃ．

ｕｔｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｉｎ ｉｔｓ ａｂｉｌｉｔｙ ｔｏ ｒｅｏｒｇａｎｉｚｅ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ． Ｓｉｎｃｅ ｏｎｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ Ｔｈｅ

ｉｎｄｕｃｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ

ｇｏｏｄ ｉｄｅａ

ｍａｓｓ

ａｎｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ， ｉｔ ｉｓ ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ

ａ

ｔｏ ａｒｒａｎｇｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｓｍａｌｌ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｏ

ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｕｓ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ． Ｎｏｗ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｍａｓｓ ｏｒ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｍｕｓｔ ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ａｓ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｎ ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｕｎｄｅｒ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ Ｚ１Ｒ ｇｉｖｅｎ ｉｎ （３．１．１２） ａｔ ｌａｒｇｅ ｐ２： ｒｅｄｕｃｅ

ｔｈｅ

ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ

ｖａｌｕｅｓ

ｏｆ

ａ

Ｌ１Ｒ

￣

（０２／３２７ｔ２）［ｌｎ（

－

ｐ２／ｍ２ｈ）

＋ ｃｏｎｓｔａｎｔ

＋？？？］．

（３Ａ５）

Ｉｆ ｜ ｐ２１ ｉｓ ｌａｒｇｅ ｅｎｏｕｇｈ ｔｈｉｓ ｃａｎ ｂｅ ｌａｒｇｅ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｏｃｃｕｒｓ ａｓ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ， ｉｔ ｉｓ ｌｉｋｅｌｙ （ａｎｄ ｏｆｔｅｎ ｉｓ ｔｒｕｅ） ｔｈａｔ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ａｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｓ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ａｔ ｌａｒｇｅ ｅｎｏｕｇｈ ｐ２． Ｔｈｉｓ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｕｎｄｅｓｉｒａｂｌｅ ａｎｄ ｃａｎ ｂｅ ｒｅｍｅｄｉｅｄ ｂｙ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｗｅ ａｂｓｏｒｂ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｐａｒｔ ｏｆ Ｚ１Ｒ ｉｎｔｏ ａ ｒｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｍａｓｓ

ｍ２． Ｗｅ ｍｕｓｔ ｅｘａｍｉｎｅ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ

ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｏｕｒｃｅｓ ｏｆ

ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙ

ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ

ｌａｒｇｅ ｐ２ ｔｏ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｌａｒｇｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｏ ｔｈｉｓ ａｔ

７．

３．４．２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ

ｒｅｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ａｍｂｉｇｕｉｔｙ ｉｎ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｇｉｖｅｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｗａｙｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｉｔ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｔｈａｔ， ｗｈｅｎｅｖｅｒ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈ ｏｃｃｕｒｓ ａｓ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｆ ａ ｂｉｇｇｅｒ ｇｒａｐｈ， ｔｈｅ ａｍｂｉｇｕｉｔｙ ｉｓ Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ

ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ

ｍａｎｙ ｗａｙｓ ｏｆ

ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ

ｒｅｓｏｌｖｅｄ ｉｎ ｔｈｅ

ａ

ｓａｍｅ ｗａｙ ａｔ

ｅａｃｈ ｏｃｃｕｒｒｅｎｃｅ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｅｘ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

ｐｅｒｆｏｒｍ

ｃｏｎｃｒｅｔｅ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ

ａ

ｏｎｅ

ａｍｂｉｇｕｉｔｙ．， Ｓｕｃｈ ａ ｒｕｌｅ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ．

ｓｉｎｇｌｅ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｓｏ ｔｏ ａｄｏｐｔｓ ｓｏｍｅ ｒｕｌｅ ｔｏ ｒｅｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ａ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

ｏｒ

３．５ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

５３

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ ｍａｎｙ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ， ａ ｆｅｗ ｈａｖｅ ｂｅｃｏｍｅ ｓｔａｎｄａｒｄ， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｅｉｔｈｅｒ ｆｏｒ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｕｓｅ ｏｒ ｆｏｒ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｓ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘｐｌａｉｎ ｔｗｏ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｏｎｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ Ｆｉｇ． ３．１．１． Ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｒｅａｄｙ ｅｎｃｏｕｎｔｅｒｅｄ ｔｈｅ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ， ｏｒ ｐｈｙｓｉｃａｌ， ｓｃｈｅｍｅ． Ｔｈｅ Ｏｆ ｔｈｅ

ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍａｓｓ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｆｉｘｅｄ ｂｙ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｐｏｌｅ． ｒｅｓｉｄｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｔｏ ｂｅ ｕｎｉｔｙ （ｓｅｅ （３．３．９））． Ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ

ｍａｓｓ

ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ

ａ

ｓｕｉｔａｂｌｅ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ．

Ａ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ｔｈａｔ ｉｓ ｍｕｃｈ ｕｓｅｄ ｉｎ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｈｅ ＢＰＨ ｏｒ ＢＰＨＺ ｓｃｈｅｍｅ （Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ－Ｐａｒａｓｉｕｋ－Ｈｅｐｐ－Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ）， ａｓ ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｌｅｔ Ｙ ｂｅ ａ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ （１Ｐ１） ｇｒａｐｈ ｔｈａｔ ｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ， ｉ．ｅ．， ｉｔ ｈａｓ （５（ｒ）＞０． Ｔｈｅ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ａｔ ｚｅｒｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｉｔｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ Ｒ（Ｔ） ａｎｄ ｉｔｓ ｆｉｒｓｔ Ｓ（Ｔ） ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ａｒｅ ｚｅｒｏ．

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｋｎｏｗｎ

ｔｈｉｓ ｂｙ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｎｇ ｏｆｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ Ｓ（Ｔ） ｉｎｔｅｇｒａｎｄ （Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９７０））， ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｂｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｏｖｅｒ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｎｏ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｃｈｅｍｅ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ａｌｒｅａｄｙ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｓ， ａｔ ｄ ４， Ｔｈｅ ＢＰＨＺ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｔｏ

ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ

ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

＝

￡（１ＲＰＨＺ） ｗｈｉｌｅ

＝

ａｔ ｄ

＝

ｙ（ＢＰＨＺ）

Ｊｄ４／Ｃ｛［（ｆｃ２

３２＾４ ６，

ｗｅ

＾２

＂

＿

＿

ｍ２｝］

｛ｋ２

＾２

＿

ｊ＞

（３Ａ６）

ｈａｖｅ：

ｆＪ６，ｆ

＊Ｍ＼（ｋ２

．

ｍ２）｛｛ｐ ＋ ｋ）２

１２８ｔｕ６ Ｊ

＋

１

１ －

ｍ２）［（ｐ ＋ ｋ）２

－

ｍ２］

（ｋ２

－

ｍ２ ＋ ｉ￡）２

［Ｖｆｃ２－（／ｃ２－ｍＶ］｜

Ｉｒｋ

（／ｃ２－ｍ２）３

３．５ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

（ｆｃ２－ｍ２）４

Ｊ＊

［Ｘ）

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

ｗｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ａｓ ａ ｃｕｔ－ｏｆｆ， ｏｒ ｗｅ ｉｎ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗｈａｔ ａｒｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄ ｒｅａｌｌｙ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｎｏ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｅｑｕａｌｌｙ ｗｅｌｌ ｕｓｅ ｓｏｍｅ ｏｔｈｅｒ ｋｉｎｄ ｏｆ

Ｉｎ

ｏｕｒ

ｉｎｉｔｉａｌ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｒｅｇｕｌａｔｏｒ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，

ｈｉｇｈｅｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ Ｓ￡

＝

ａ

Ｐａｕｌｉ－Ｖｉｌｌａｒｓ ｔｙｐｅ ｏｆ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｂｙ

ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ

ｄＡ２／２

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ．

ｍ２＾２／２

－

－

ｑＡ ３／３！

－

［（Ｑ

＋

Ｆｏｒ

ａ

ｅｘａｍｐｌｅ， ｆｒｏｍ

ｍ２）＾］２／２（Ｍ２

＋ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

－

ｍ２） （３．５．１）

５４

Ｂａｓｉｃ

ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ （２．４．１）． Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ Ｍ ｇｏｅｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ， ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｔｈｅ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｏｎｅ， ｂｕｔ ｗｈｅｎ ｐ２ ｉｓ ｍｕｃｈ ｂｉｇｇｅｒ ｔｈａｎ Ｍ２， ｉｔ

ｗｅ

ｉｓ ｓｍａｌｌｅｒ ｂｙ ａ ｆａｃｔｏｒ ｐ２／Ｍ２． ｉｎ ｓｉｘ

ｏｒ

Ｔｈｕｓ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｆｅｗｅｒ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ； ｔｈｅ

ｔａｋｅ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ Ｍ

－？

ａｒｅ

ｃｕｔ－ｏｆｆ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｒｅａｐｐｅａｒ ｗｈｅｎ ｗｅ

ｏｃ．

Ｉｆ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｗｏｕｌｄ ａｐｐｅａｒ ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ｓｔｅｐ， ｂｕｔ ｔｈｅ ａ －？ ０ ｌｉｍｉｔ ｗｏｕｌｄ ｇｉｖｅ ｎｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｉｆ Ｍ ｉｓ

ａｓ ａｎ

Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｔｈｅｏｒｙ （３．５．１） ｅｘｉｓｔ， ｔｈｅ Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ ｓｐａｃｅ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏｔ ｐｈｙｓｉｃａｌ． Ａ ｓｙｍｐｔｏｍ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ａｔ ｐ２ Ｍ２ ｈａｓ ｔｈｅ ｗｒｏｎｇ ｓｉｇｎ ｏｆ ｒｅｓｉｄｕｅ； ｉｔ ｉｍｐｌｉｅｓ ａ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｗｉｔｈ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｍｅｔｒｉｃ． Ａ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｎｏ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ａｄｄｉｎｇ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈ

ｆｉｎｉｔｅ．

＝

ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ Ｍ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅｓ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ Ｍ ｌｉｍｉｔ． Ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｗｅ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ． Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｗｅ ａｓｓｕｍｅｄ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ， ｗｅ ｕｓｅｄ ｎｏ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｔｈａｔ ａｒｅ ｎｏｔ ｔｒｕｅ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｐａｕｌｉ－Ｖｉｌｌａｒｓ ｃａｓｅ． Ｗｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｏｎｌｙ ｔｈａｔ： （１） Ｉｆ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｔａｋｅｎ ａｗａｙ （ｉ．ｅ．， Ｍ ０） ｗｉｔｈ ｐ ａｎｄ ｍ ｆｉｘｅｄ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｇｏｅｓ ｔｏ ｉ／（ｐ２ ｍ２）． －？

ｏｏ

－？

ｏｏ ｏｒ ａ －？

—

（２）

Ｉｆ

ｐ２

－＞ ｏｏ

ｗｉｔｈ ｆｉｘｅｄ ｃｕｔ－ｏｆｆ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｌｙ ｍｕｃｈ １／ｐ２ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｎｏｔ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ．

ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ

（３）

Ｉｎ ｔｈｅ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ

ｒｅｇｉｏｎ ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ ｎｏ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｐｏｌｅｓ．

Ｉｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ， ａｎｙ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｉｍｐｏｓｉｎｇ ａ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｇｏｏｄ ｅｎｏｕｇｈ， ｂｕｔ ｉｎ

ｐｒａｃｔｉｃｅ

ｍｅｔｈｏｄｓ

ｓｏｍｅ

ａｒｅ

ｍｏｒｅ

ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｈａｎ ｏｔｈｅｒｓ． Ｆｏｒ ｍｏｓｔ

ｐｕｒｐｏｓｅｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ． Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｓｔａｒｔｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｔｈａｔ Ｕ Ｖ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｅｌｉｍｉｎａｔｅｄ ｂｙ ｇｏｉｎｇ ｔｏ ａ ｓｍａｌｌ ｅｎｏｕｇｈ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ． Ｗｅ ｃａｎ ｕｓｅ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ

ａｓ ａ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ

ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｃａｎ

ｗｅ ｔｒｅａｔ

ｄ

ａｓ ａ

ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｖａｒｉａｂｌｅ （ｓｏ

ｂｅ ｒｅｍｏｖｅｄ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｄ－＞４）． Ｔｈｉｓ ｉｄｅａ ｈａｓ

ａ

ｌｏｎｇ ｈｉｓｔｏｒｙ， ｂｕｔ ｉｔｓ ｐｏｐｕｌａｒｉｔｙ ｒｏｕｇｈｌｙ ｓｔａｒｔｅｄ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｐａｐｅｒｓ ｂｙ Ｗｉｌｓｏｎ （１９７３） ｉｎ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ ｂｙ＇ｔ Ｈｏｏｆｔ ＆ Ｖｅｌｔｍａｎ （１９７２ａ）， Ｂｏｌｌｉｎｉ ＆ Ｇｉａｍｂｉａｇｉ （１９７２）， Ａｓｈｍｏｒｅ （１９７２）， ａｎｄ Ｃｉｃｕｔａ ＆ Ｍｏｎｔａｌｄｉ （１９７２） ｉｎ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ （ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ）． Ｓｉｎｃｅ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅｓ ｏｆ ｎｏｎ－ｉｎｔｅｇｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄｏ ｎｏｔ ｅｘｉｓｔ ａｓ ｓｕｃｈ， ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｏｂｖｉｏｕｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃｏｎｃｅｐｔ ｈａｓ ａｎｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ， ｌｅｔ ａｌｏｎｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ，

ｅｖｅｎ

ｉｎ

ａ

ｐｕｒｅｌｙ ｆｏｒｍａｌ ｓｅｎｓｅ． Ｔｈｉｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｍｅｄｙ ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｃｈａｐｔｅｒ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｉｎｔｅｇｒａｌ

ａｓｓｕｍｅ

ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ

ａｎｄ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ， ａｎｄ

ａｐｐｌｙ

ｓｔａｎｄａｒｄ

３．５ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

５５

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

ｕｎｔｉｌ ｉｔ ｉｓ ｏｆ ａ ｆｏｒｍ ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｃａｎ ｓｅｎｓｉｂｌｙ ａｓｓｉｇｎ ａ ｖａｌｕｅ． Ｗｅ ｗｉｌｌ （ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ Ｗｉｌｓｏｎ （１９７３）） ｅｘｐｒｅｓｓ （３．５．２） ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ａ ｓｔａｎｄａｒｄ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ：

｜ｄｄｆｃｅｘｐ（／ｃ２）

＝

ｉ ＼ｄｃｏ

ｇｉｖｅ ｔｈｉｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｉｎｄ／２， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔ ｉｆ ｄ ｉｓ

Ｉｔ ｉｓ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｏ

（３．５．３）

＼ｄｄ－ｌｋｅｘｐ（－ｗ２－ｋ２）． ａｎ

ｉｎｔｅｇｅｒ．

Ｉｎ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ （３．５．２） ｗｉｔｈ ｎｏｎ－ｉｎｔｅｇｅｒ ｄ， ｔｈｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ａｒｅ ｉｔａｌｉｃｉｚｅｄ． Ａｌｌ ｔｈｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｖａｌｉｄ ｆｏｒ ａｎｙ ｉｎｔｅｇｅｒ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｄ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ． ｔｈｅ

Ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ

Ｓｃｈｗｉｎｇｅｒ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ：

ｒｄａｅｘｐ［－ａ（ｍ２－ｆｃ２－ｉｅ）］．

ｌ／（ｍ２－ｋ２－ｉｅ）＝

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｗｉｃｋ ｒｏｔａｔｉｏｎ

ｅｘｃｈａｎｇｅ

ｗｅ ｔｒｅａｔ

ｋ２

ａｓ

（３．５．４）

ｎｅｇａｔｉｖｅ． Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

２（２７ｒ）＂ Ｊｏ

ｄａ

ｄｂ

Ｊｏ

＼ｄ＂ｋｅｘｐ［－（ａ ＋ ｂ）ｍ２ ＋ ｂｐ２ ＋ ２ｂｐｋ ＋ （ａ ＋ ｂ）ｋ２ｌ

Ｊ

（３．５．５） Ｗｅ ｓｈｉｆｔ ｋ＂ ｂｙ ｘ

＝

ａ／ｚ

ａｎ ａｍｏｕｎｔ

ｐ＂ｂ／（ａ ＋ ｂ）

ｃｈａｎｇｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

ａｎｄ

ｔｏ ｚ

＝

ａ ＋

ｂ，

ｔｏ ｇｅｔ：

Ｚｉ＝＾Ｍ ｄｘｒｄｚｚ［ｄｄｆｃｅｘｐ｛－ｚ［ｍ２－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）］＋ｚ／ｃ２｝． ｚ（Ｚｎ＞ Ｊｏ Ｊｏ Ｊ Ａｆｔｅｒ ｓｃａｌｉｎｇ ｋ ｂｙ

ａ

ｆａｃｔｏｒ

ｚ

２

ｗｅ

ｆｉｎｄ ｔｈａｔ

Ｅ１＝Ｊ｜—Ｉ ｄｘ｜＝°ｄｚｚ１－ｄ／２ｅｘｐ｛－ｚ［ｍ２－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）］｝

ｄ＂ｋｅｘｐ（ｋ２）． （３．５．６）

ｂｒｉｎｇｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ ｄ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｎｏｗ ｒｅｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （３．５．３）， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ ｉ７ｒｄ／２．

Ｉｔ ｉｓ ｔｈｉｓ ｓｔａｇｅ ｗｈｉｃｈ

Ｔｈｅ ｚ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎ （３．５．６） ｇｉｖｅｓ

ａ

Ｔ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ，

ｓｏ ｗｅ

ｆｉｎａｌｌｙ ｏｂｔａｉｎ：

＾ｉ＝＾Ｆ２Ｔ（２－ｄ／２）＾ｄｘ［ｍ２－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）ｒ１２－２．

Ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅ （ｅｘｃｅｐｔ ｐｏｓｓｉｂｌｙ ｆｏｒ

ａｎ

（３．５．７）

ｏｖｅｒａｌｌ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ）． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ Ｔｈｅ ｎｏｗ ｒｅｓｉｄｅ ｉｎ ｔｈｅ Ｔ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｓｉｍｐｌｅ ｐｏｌｅｓ ａｔ ｄ ４， ６， ８， ｒｅｓｉｄｕｅ ｏｆ ｅａｃｈ ｐｏｌｅ ｉｓ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｐ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ

－

ｔｈｅ

ｓａｍｅ

＝

—

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｉｎ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅｌｙ ａｐｐａｒｅｎｔ． Ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｗａｓ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ ｆｒｏｍ ｉｔｓ ｆｏｒｍ ｉｎ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ

５６

Ｂａｓｉｃ ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｉｎｔｅｇｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｗｉｔｈ ｎｏ ｃｕｔ－ｏｆｆ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｗａｓ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． Ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ （３．５．４） ｉｓ ａｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｗａｙ ｏｆ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ ａ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｌｉｋｅ （３．５．７） ｆｏｒ ａ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ． Ａ ｓｅｃｏｎｄ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｌａｔｅｒ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｎｏｔ ｏｎｌｙ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｔｈｅｏｒｙ， ｂｕｔ ａｌｓｏ ｇａｕｇｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ． Ｔｈｉｓ ｗａｓ ａ ｍａｉｎ ｍｏｔｉｖａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｉｔｓ ｕｓｅ ｂｙ ＇ｔ Ｈｏｏｆｔ ＆ Ｖｅｌｔｍａｎ （１９７２ａ） ａｎｄ ｍａｎｙ ｏｔｈｅｒｓ． Ｍｏｓｔ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ａ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｆａｉｌ ｉｎ ｔｈｉｓ ｒｅｓｐｅｃｔ． （Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ｌｏｓｔ．）

ｏｎ

ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｂｕｔ ｆｕｌｌ Ｐｏｉｎｃａｒｅ

ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｓ ａｌｓｏ ａ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｆｏｒ Ａ ｔｈｉｒｄ

ａｄｖａｎｔａｇｅ

－

ａｌｓｏ ｏｆ ｇｒｅａｔ

－

ａ

ｉｎｆｒａｒｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｆｉｅｌｄｓ （Ｇａｓｔｍａｎｓ ＆ Ｍｅｕｌｄｅｒｍａｎｓ （１９７３）， Ｇａｓｔｍａｎｓ， Ｖｅｒｗａｅｓｔ ＆ Ｍｅｕｌｄｅｒｍａｎｓ （１９７６）， ａｎｄ Ｍａｒｃｉａｎｏ ＆ Ｓｉｒｌｉｎ （１９７５））． Ａ ｔｒｉｖｉａｌ ｅｘａｍｐｌｅ， ｂｕｔ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｎｙ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ， ｉｓ ｂｙ ｔｈｅ （／＞３ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｗｉｔｈ ｍ ０ ａｔ ｄ ２． Ｉｔ ｉｓ ＝

８ｔｔ２Ｊ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ａｔ ｋ

ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ

ｄ． Ｃａｒｅ ｉｓ

ｐｒｅｓｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

＝

（ｆｃ２

ｇｉｖｅｎ

＝

ｉ￡）［（ｐ ＋ ｋ）２ ＋ ｉ￡］＇

＋

０ ａｎｄ ａｔ ｐ

＝

—ｋ． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｉｎ ｕｓｉｎｇ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｆ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｇｒａｐｈ， ｆｏｒ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｒｅｄｕｃｉｎｇ ｄ．

ｂｙ ａｒｅ

３．６ Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ３．６．１

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ （３．５．７） ｗｅ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ４ ｂｙ ａｄｄｉｎｇ ａ ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｓｍ２（ｇ，ｍ２，ｄ） ａｎｄ ｄ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｍ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍａｓｓ． Ｔｈｅｎ

Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ Ｚ１Ｒ

ａｔ

ｔｈｅｎ ｌｅｔｔｉｎｇ ｄ－＞４．

＝

＝＾ｒ（２－ｊ／２）｜＾ｄｘ｛Ｋ－ｒｔｉ－ｘ）ｆ－２

－［ｍｐ２ｈ（ｌ－ｘ ＋ ｘ２）ｒ２＂２｝． （３．６．１）

Ｎｏｗ

Ｔ（ｚ）

ｈａｓ

ａ

ｐｏｌｅ

ａｔ ｚ

＝

０：

ｒ（ｚ）

ｗｈｅｒｅ

ｙＥ

０．５７７２

＝

＇

．．．

＾ｈ＇

ｉｎ ａｇｒｅｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ

＝

ｌ／ｚ－ｙＦ

＋

ｉｓ Ｅｕｌｅｒ＇ｓ ｃｏｎｓｔａｎｔ． Ｓｏ ａｔ ｄ ＝

ｏｕｒ

（３．６．２）

０（ｚ）， ＝

４

＃，｜＂ｄｘｌｎＨ－ｐ２ｘ（１－２Ｘｎ ｅａｒｌｉｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．

（３．６．３）

５７

３．６ Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ Ｚ， ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｐｏｌｅ ａｔ ｄ ４， ａ ｒａｔｈｅｒ ｏｂｖｉｏｕｓ ｗａｙ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｉｎｇ ｉｔ ｉｓ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｄｍ２ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅ ｐｏｌｅ （＇ｔ Ｈｏｏｆｔ （１９７３））． Ｔｈｉｓ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ

ｃｈａｎｇｉｎｇ ｓｅｅ

＝

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｏｕｒ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｂｙ ｒｅｆｅｒｒｉｎｇ ｂａｃｋ

ｔｏ （３．５．７），

ｗｅ

ｔｈａｔ ｄｍ２ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ： Ｓｍ２

ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

＝

（ｇ２／３２ｎ２）／（２

ｇｅｔ Ｉ１Ｒ ｂｙ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ Ｚｊ ｉｎ ＇

ｆ

ｉｌＲ￣３２７ｔ２

－

ａ

ｄ／２），

（３．６．４）

ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ ｄ

＼￣ｍ２－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）￣＼

－

４． Ｗｅ ｆｉｎｄ

）

Ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ

ｔｈｉｓ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｏｆ ａ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｑｕａｎｔｉｔｙ． Ｔｈｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｄ ４ ｗｅ ｄｉｄ ｎｏｔ ａｌｌｏｗ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｇ ｈａｓ ａ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｎ ｄ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｗｅ ｉｍｐｌｉｃｉｔｌｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ａ ｍａｓｓ ｓｃａｌｅ． ｒｅａｓｏｎ

—

Ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｉｓ ｓｃａｌｅ

ｅｘｐｌｉｃｉｔ，

ｗｅ

ｒｅｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ

（３．６．６）

ｇ＾ｔｘ２－ｄ／２ｇ，

ｗｅ ｈａｖｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ａ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｆｉ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｍａｓｓ， ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ｆｔ Ｈｏｏｆｔ （１９７３））． Ｔｈｅ ｒｅｄｅｆｉｎｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ ｎｏｗ ｈａｓ

ｗｈｅｒｅ

ｆｉｘｅｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ

ｅｑｕａｌ

ｔｏ

０

ｙ（ＭＳ）＿ ＾１Ｒ

１， ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｃｏｍｅｓ

ｆ

ｄｘｉｌｎ

＂３２ｔｔ２Ｊ０ ｊｌｎ

Ｗｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｔｈｉｓ

ｂｙ ｏｂｓｅｒｖｉｎｇ

￣ｍ２ －ｐ２ｘ（ｌ －ｘ）

４７ｉ／ｒ

＋ ｙＥ

（３．６．７）

？

ｔｈａｔ

？２－ｄ／２ ＝ｅ（２－ｄ／２）ｌｎＭ ＝

１ ＋ （２

－

ｄ／２）＼ｎ ｆｉ ＋ｉ（２

－

ｄ／２）２ Ｉｎ Ｖ ＋

＇＇＇ ？

Ｔｈｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ， ｗｈｅｒｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｐｕｒｅ ｐｏｌｅｓ ａｔ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｄ， ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ （ＭＳ）． Ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ｆｉ ｉｓ ｅｎｔｉｒｅｌｙ ａｒｂｉｔｒａｒｙ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ （３．６．７） ｎｏｗ

ｔｈｅ

ｄｅｐｅｎｄｓ

ｏｎ

ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ａ

ｔｈｒｅｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｔｗｏ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ａ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｆｉ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ， ｓｏ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｃａｎ ｂｅ

ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｄ， ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ， ｂｙ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｍ． ａ

Ｉｎ ｅｆｆｅｃｔ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｉｓ

ｏｎｅ－ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ． ３．６．２ ｄ

Ｗｅ ｃａｎ ａｌｓｏ

Ｔｈｅｒｅ

ｗｅ

＝

６

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｘ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ａｐｐｌｙ

ｔｈｅｏｒｙ．

ｄｅｆｉｎｅ Ｓｍ２

＝

Ｓｚ

＝

￥０

＝

ｐｏｌｅｓ

ａｔ ｄ

＝

６，

ｐｏｌｅｓ

ａｔ ｄ

＝

６，

ｊｘ３－ｄ＇２（ｐｏｌｅｓａｔｉ

＾

Ｉ

＝

６）Ｊ

（３．６．８）

５８

Ｂａｓｉｃ ｅｘａｍｐｌｅｓ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ

ｉｓ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ． Ｓｉｎｃｅ

ｎｏｗ

ｒ（ｚ－ｌ）＝－ｌ／ｚ ＋ ｙＥ－ｌ ａｓ ｚ －＞

０，

ｗｅ

＋

０（ｚ）

（３．６．９）

ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｉ２

＿

ｙ（ＭＳ）． １２８ｔｔ

（ｍ２－ｐ／６）（ｙＥ－ｌ）

ｄｘ［ｍ２－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）］ｌｎ

＋

ｍ２

—

ｐ２ｘ（ｌ

—

ｘ）

（３．６．１０）

４７１／ｉ

ａｎｄ

ｗ－ｓ？＾＋０＾－ １

ａ２ ６

ｘ

（３．６．１１） （３．６．１２）

６４７Ｔ ｄ－６

Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｓｇ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｃａｎ ａｌｓｏ ｂｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ． Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｏｆ

Ｆｉｇ． ３．６．１，

ｗｅ

ｆｉｎｄ （Ｍａｃｆａｒｌａｎｅ ＆ Ｗｏｏ （１９７４）） ７

Ｓｇ

Ｆｉｇ．

＿

＝

ｗｅ

３

６４ｎ３（ｄ－６）

＋

ｏｔｏ５）．

３．６．１． Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｖｅｒｔｅｘ ｇｒａｐｈ ｉｎ

３．６．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｗｈｅｎ

９

，．３－ｄ／２＿ ｎ

（３．６．１３）

＜／＞３ ｔｈｅｏｒｙ．

ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ７，

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｆｏｃｕｓ

ｏｎ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｕｂｇｒｏｕｐ． Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ ／ｉ ｂｙ ａ ｆａｃｔｏｒ ａｎｄ ｍａｋｉｎｇ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｎｇ ｃｈａｎｇｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｍａｓｓ． Ａｓ ａ ｇｒｏｕｐ ｉｔ ｉｓ ｔｒｉｖｉａｌ ｂｅｉｎｇ ａ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒｏｕｐ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｕｎｄｅｒ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ． Ｗｈａｔ ｉｓ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｉｓ ｔｈｅ ｗａｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｉｔ ｉｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｍａｓｓ． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｃａｎ ｂｅ ｅｘｐｌｏｉｔｅｄ ｉｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ ｏｎｅ

－

ｆｕｌｌ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｍａｄｅ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ７， ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｄｅａ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ． Ｌｅｔ ｐ２ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ （ｗｉｔｈ ｍ ａｎｄ ＼ｉ ｆｉｘｅｄ）， ａｎｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｄｅｆｉｎｅｄ ｕｓｉｎｇ ｍｉｎｉｍａｌ ６： ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ａｔ ｄ ｂｅｈａｖｉｏｒ． Ｗｈｉｌｅ

ａ

＝

ｐ２

ｉ－

７６８７ｔ３

Ｉｎ

＋ ｃｏｎｓｔ．

＋

Ｏ（０４）

（３．６．１４）

３．７ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ Ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｍａｋｅ ｕｓｅ ｏｆ

ａ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｓｍａｌｌ． Ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ

ｓｏ

５９

ｋｅｅｐ ｈｉｇｈｅｒ－ ｌａｒｇｅ． Ｔｈｅ Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ＼ｐ２＼．

ｗｅ ｍｕｓｔ

ｉｎ （３．６．１４） ｉｆ

ｐ２

ｉｓ ｔｏｏ

ｌａｒｇｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ａｖｏｉｄｅｄ ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｆｉ２ ｔｏ ｂｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｉｓ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ ｉｆ ｗｅ ｍａｋｅ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｃｈａｎｇｅｓ ｉｎ ｇ， ｉｎ ｍ， ａｎｄ ｉｎ

ｔｈｅ ｓｃａｌｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｆｉｅｌｄ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｌｅａｒｎ ｈｏｗ ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ７， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ

ｍｏｖｅｄ ｆｒｏｍ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ

ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ．

ｌａｒｇｅ

ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ

３．６．４ Ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

（ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ） ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｍ －＞ ０． Ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｗｅ ｈａｖｅ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅｏｒｙ． Ｌｅｔ

ｕｓ ｒｅｔｕｒｎ

（３．６．３）， ｗｈｉｃｈ ｄｉｖｅｒｇｅｓ ａｓ ｍ２ｈ－＋０． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａｎ ａｒｔｉｆａｃｔ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｓｃｈｅｍｅ， ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ，２

（＊ｉ

Ｓｍ＊＝２（！＾ｒ（２＂ ｄ／２）ｍｄｐ＾Ｌｄｘ（１＂ｘ＋ｘ２）ｄｌ２ ＝

＾ｒ＾＾－ｌｎ（ｍｐ＼）

Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ

ｌｎ（ｍ＊ｈ）

ｐｏｌｅ ｎｅｅｄｅｄ

＋

７２－

ｆｉｎｉｔｅ（ａｓｍｐｈ－０，＾４）ｌ．

ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ＵＶ

（３．６．１５）

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｔｅｒｍ．

Ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｗｈａｔ ｈａｐｐｅｎｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｎ ａ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｌｏｎｇ－ｒａｎｇｅ ｆｏｒｃｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ａｒｅ ｎｅｖｅｒ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｆｒｅｅ ｏｆ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒｓ＇ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ． Ｔｈｕｓ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｎｏｔ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｐｏｌｅ， ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ （ｗｉｔｈ ＭＳ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ） ｉｓ， ｆｒｏｍ （３．６．５），

ｓ－Ｋｓ？）＊＊－２｝

（３６１６＞

Ｔｈｅ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｒｅｌｉｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｐｏｌｅ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ｓｏ ｉｔ ｍｕｓｔ ｆａｉｌ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ＇ｓ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｓ ａｎ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍ， ｓｏ ｉｔ ｉｓ ｉｒｒｅｌｅｖａｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｏｆ ｗｈｅｔｈｅｒ

ａｎ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｃａｎ

ｂｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ． Ｓｏｍｅ ｏｔｈｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ， ｌｉｋｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｍｕｓｔ ｂｅ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ．

３．７ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ Ａ ｇｏｏｄ ｗａｙ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｔｏ ｗｏｒｋ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ， ａｓ ｗａｓ ｅｍｐｈａｓｉｚｅｄ ｂｙ Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ ＆ Ｓｈｉｒｋｏｖ （１９８０）． Ｔｈｉｓ

ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ ｉｓ ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｕｓｅｆｕｌ ｉｎ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ａｔ

ｆｉｎｉｔｅ

６０

Ｂａｓｉｃ ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｏｒ ｏｎ ａ ｃｕｒｖｅｄ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １１． Ｔｈｅｒｅ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｗｈｙ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ａｔ ｚｅｒｏ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ． ｏｒｄｉｎａｒｙ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ， ｉｔ ｉｓ ｃｕｍｂｅｒｓｏｍｅ ｔｏ ｗｏｒｋ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ＳＦ（ｘ） ｆｏｒ ａ ｆｒｅｅ ｍａｓｓｉｖｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ａ Ｂｅｓｓｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ： ｉ／（ｐ２ ｍ２ ＋ｉｅ）． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ＳＦ（ｘ） ａｓ ｘ－？０ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ． ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｉｎ ｆｌａｔ

Ｆｏｒ ｍｏｓｔ

—

Ｗｅ ｈａｖｅ

Ｓｆ

＝

４＾／２（＿ｘ２）ｄ／２－ｉ

Ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ

Ｇ２，ｚ

＝

＝

ｗｈｅｒｅ Ｅ＾ｚ

—

￣

（９２／２）

＼ｄｄｚ

＋ｌｅｓｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ

ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

Ｕｄｚ ＼ｄ＂ｗＳＴ（ｘ

＼ｄｄｗＳＦ（ｘ ｚ）！＾ －

－

Ｗ）２ＳＦ（ｗ

－

ｗ）ＳＦ｛ｗ

０．

（３．７．１）

ｉｓ

Ｇ２｛ｘ，ｙ）

ｚ）ＳＦ（ｚ

－

ａｓ ｘ －＋

－

－

ｙ） （３．７．２）

ｙ），

ｗ） ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ：

±１（ｚ－ｗ）＝－（ｇ２／２）ＳＦ（ｚ－ｗ）２．

（３．７．３）

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ ａｔ ｚ ｗ， ａｎｄ ｃａｕｓｅｓ ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ （３．７．２）， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｚ ａｎｄ ｗ． Ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ＝

ｒｅｇｉｏｎ

ｚ￣ｗ ｍｅａｎｓ

ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ

ａ

＜５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ：

Ｇ２ａ＝＼ｄｄｚＳＦ（ｘ－ｚ）ＳＦ（ｚ－ｙ）

Ｂｙ Ｗｉｃｋ ｒｏｔａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｗ°－ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｎｄ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔ （ｎｅｘｔ ｃｈａｐｔｅｒ） ｆｏｒ ｔｈｅ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ａ Ｌｏｒｅｎｔｚ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＼ｄｄｗｆ（ｗ２） ｗｅ

－

ｉ［２ｎｄ／２／ｒ（ｄ／２）］

ｐｄｖｙｗ＾－Ｙ（ｗ２），

（３．７．５）

ｆｉｎｄ Ｇ２２

ａｓ

＝

ｄ

－？

＝

ｔｄｄｚＳＦ（ｘ

－

ｚ）ＳＦ（ｚ

－

ｙ）ｌ６Ｊｇ｛４＿ｄ）

＋

ｆｉｎｉｔｅ，

（３．７．６）

４．

Ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ， ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ａｄｄｉｎｇ

ａ

（５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ

ｔ．ｌ：

６１

３．７ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｅｘａｃｔｌｙ

ｔｈｅ

ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｅａｒｌｉｅｒ ｂｙ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ－

ｓｐａｃｅ ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｔｈｅ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｏｉｎｔ， ｗｈｉｃｈ

ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｔｒｕｅ ｆｏｒ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｇｒａｐｈ，

ａｎ

ｉｓ ｔｈａｔ

ａｎｙ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ａ ｒｅｇｉｏｎ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ ｗｈｅｒｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｃｃｕｒ ｖｅｒｙ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃａｎ ｔｈｅｎ ｂｅ

ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｉｆ ｔｈｅ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｉｓ

ａ

ｗｏｒｓｅ

（５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒ－

ｔｈａｎ

ｔｅｒｍ ｗｉｌｌ ｉｎｃｌｕｄｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｏｆ ｔｈｅ （５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｉｎ ａｎｙ ｅｖｅｎｔ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ａ （５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｃａｎ ｂｅ ｉｎｃｌｕｄｅｄ ａｓ ａ ｌｏｃａｌ

ｌｏｃａｌｉｔｙ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｆｉｅｌｄｓ ａｔ ｐｏｉｎｔ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ａｔ ｘ ０ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ＳＦ（ｘ） ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｉｔ， ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ｅｘｐｅｃｔ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ

ｔｈｅ

ｓａｍｅ

＝

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅｒｍａｌ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ

ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ． Ａｔ ｓｔａｔｅ， ａｎｄ ｔｈｅ

ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ， ｔｈｅ

ａｒｅ

ｔｈｅ

ｓａｍｅ ａｓ ａｔ ｚｅｒｏ

ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ａ ｍｉｘｅｄ Ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ＳＦ（ｘ） ｃｈａｎｇｅ． ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ｖａｃｕｕｍ

ｉｓ

ｐｒｏｏｆ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｍａｄｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－ｓｐａｃｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ．

ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ， ｂｕｔ ｔｈｅ

４ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

Ｗｅ ｈａｖｅ

ｓｅｅｎ

ｈｏｗ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｉｔ ｉｓ ｔｏ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｄａｔｅ，

ｎｏ－ｏｎｅ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｒｅｇｕｌａｔｅ ｔｈｅ

ＵＶ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｏｆ

ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ． Ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｂｕｔ

ｈａｓ ｓｈｏｗｎ ｈｏｗ ｔｏ

ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ， ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ａｎｄ ｗｅｌｌ－ｄｅｆｉｎｅｄ． Ｎｏｗ ａｌｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ

ｏｔｈｅｒ， ｍｏｒｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ （ｓａｙ， ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ）． Ｂｕｔ ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ ｍｕｃｈ ｌａｂｏｒ ｉｓ ｉｎｖｏｌｖｅｄ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ａ ｔｒｉｖｉａｌｉｔｙ， ｆｏｒ ｉｎ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｉｎ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｉｔ ｅｎａｂｌｅｓ ｕｓ ｔｏ ｈａｎｄｌｅ ｔｈｅ ｔｅｃｈｎｉｃａｌｉｔｉｅｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｗａｙ． Ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ａ ｌｏｎｇ ｔｉｍｅ ｉｎ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ （ｓｅｅ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， Ｆｉｓｈｅｒ ＆ Ｇａｕｎｔ （１９６４））． Ｉｔ ｂｅｃａｍｅ ｍｏｒｅ

ｖｅｒｙ ｐｒｏｍｉｎｅｎｔ ｗｈｅｎ Ｗｉｌｓｏｎ ＆ Ｆｉｓｈｅｒ （１９７２） ｄｉｓｃｏｖｅｒｅｄ ｔｈｅ

ａ－ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｎｄ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｔ ｔｏ ｆｉｅｌｄ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ （Ｗｉｌｓｏｎ （１９７３）， Ｍａｃｋ （１９７２）， ａｎｄ Ｗｉｌｓｏｎ ＆ Ｋｏｇｕｔ （１９７４））． Ｉｎ ｔｈｅ ａ－ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｎｅ ｅ ｓｐａｔｉａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ， ａｎｄ ｅｘｐａｎｄｓ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｅ． Ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗｏｒｋｓ ｉｎ ４ ａ ｉｎ ｔｉｍｅ， ｐｕｒｅｌｙ ｆｉｅｌｄ－ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｃｏｎｔｅｘｔ， ａ ｎｅｅｄ ａｒｏｓｅ ｔｏ ｆｉｎｄ ａ ｗａｙ ｏｆ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｒｅｇｕｌａｔｉｎｇ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｔｈａｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ａｎｄ —

Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｔｈｉｓ ｌｅｄ ｔｏ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ （＇ｔ

Ｈｏｏｆｔ ＆

Ｖｅｌｔｍａｎ （１９７２ａ）， Ｂｏｌｌｉｎｉ ＆ Ｇｉａｍｂｉａｇｉ （１９７２）， Ｃｉｃｕｔａ ＆ Ｍｏｎｔａｌｄｉ （１９７２）， ａｎｄ Ａｓｈｍｏｒｅ （１９７２））． Ｓｐｅｅｒ ＆ Ｗｅｓｔｗａｔｅｒ （１９７１） ｈａｄ ａｃｔｕａｌｌｙ ｄｉｓｃｏｖｅｒｅｄ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｅａｒｌｉｅｒ， ｂｕｔ ｔｈｅｉｒ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｙ ｍｏｒｅ ａｂｓｔｒａｃｔ， ａｎｄ ｈａｄ ｎｏｔ ａｔｔｒａｃｔｅｄ ｍｕｃｈ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ．

ｉｎｔｅｇｅｒ ｎｏｎ－ｉｎｔｅｇｅｒ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｄ， ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｔａｋｅｎ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｌｉｔｅｒａｌｌｙ． Ｅｉｔｈｅｒ ｉｔ ｉｓ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｐｕｒｅｌｙ ｆｏｒｍａｌ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ ａｎｓｗｅｒｓ ｏｒ ｉｔ ｉｓ ａｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｉｓ ｎｏｔ ｌｉｔｅｒａｌｌｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｉｎ ｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ ｂｅｈａｖｅｓ ｉｎ ｍａｎｙ ｒｅｓｐｅｃｔｓ ａｓ ｉｆ ｉｔ ｗｅｒｅ Ｎｏｗ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅｓ ｅｉｔｈｅｒ ｈａｖｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｒ ａ ｆｉｎｉｔｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ．

Ｓｏ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ

ｉｎ ｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｔｒｅａｔ ｉｔ

ｏｎ ａ

ｓｐａｃｅ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ

ｏｎｌｙ

ａｓ ａ ｓｅｔ

ｏｆ

ｆｏｒｍａｌ ｒｕｌｅｓ （ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｔｈａｔ ｉｓ ｗｈａｔ ｉｔ ｂｅｃｏｍｅｓ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ）， ｂｅｃａｕｓｅ ｏｎｅ ｍｕｓｔ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ａｎｏｔｈｅｒ ａｎｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃａｒｒｉｅｓ ｏｕｔ

ｉｎｔｅｇｒａｌｓ． Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ．

ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎｓ

ｏｎｅ

ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｉｅｓ

ｗｅ ｍｕｓｔ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａｎ

ｃａｎ

ａｒｉｓｅ，

６２

ｏｎ

ｎｏ

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｔｈｅｒｅ

６３

ｔｈｒｅｅ ｉｓｓｕｅｓ ｔｏ ａｄｄｒｅｓｓ： （１） ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ， （２） ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ， ａｎｄ （３） ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ

ａｒｅ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ， ｔｏ ａｖｏｉｄ

ｔｗｏ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ， ｅａｃｈ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｂｅｉｎｇ ｓｅｌｆ－ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｂｕｔ ｇｉｖｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ， ｓｈｏｗｎ ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｎｏ ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｉｅｓ ａｒｉｓｅ． Ｏｎｃｅ ｈａｖｉｎｇ

ｓｅｅｎ

ｃａｎｎｏｔ

ｊｕｓｔ

ｔｈａｔ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｉｎ ｎｏｎ－ｉｎｔｅｇｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ， ｗｅ ｔｈａｔ ａｌｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ

ａｓｓｕｍｅ

ｔｒｕｅ； ｉｎｄｅｅｄ ｔｈｅｙ ｎｅｅｄ ｎｏｔ ｂｅ． Ｓｏ ｗｅ ａｌｓｏ ｈａｖｅ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｏｓｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ

ｔｒｕｅ． Ｗｅ

ｉｓ

ａｌｓｏ ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｇｒｅｅ ｗｉｔｈ

ｗｅ

ｎｅｅｄ ａｎｄ ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ

ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｉｆ ｄ

ａｎ ｉｎｔｅｇｅｒ． Ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｑｕｉｔｅ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ， ａｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ，

ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ

ａｎｏｍａｌｙ ｉｎ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ ｔ＇ｉｅ ８ａｕ８ｅ ｍｏｄｅｌ （２．１１．７）． Ｉｆ ｔｈｅ ｆｅｒｍｉｏｎ ｍａｓｓｅｓ ａｒｅ ｚｅｒｏ， ｎａｉｖｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｅｒｍｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｊ（５）＝ ｉｐｙ＾ｙｓ１！＇ ｔｈｅｎ

ａ

ｍ

ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ： ｄ

ｊｆ５）

＝

０． Ｉｎ ｆａｃｔ， ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｎｏｔ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ，

ａｓ

ｂｙ Ａｄｌｅｒ （１９６９，１９７０） ａｎｄ Ｂｅｌｌ ＆ Ｊａｃｋｉｗ （１９６９）． Ａ ｃｏｕｎｔｅｒ ｔｅｒｍ ｃａｎ ｂｅ ａｄｄｅｄ ｔｏ ｊｆ５） ｔｏ ｍａｋｅ ｉｔ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ ａｔ ｔｈｅ ｅｘｐｅｎｓｅ ｏｆ ｒｅｍｏｖｉｎｇ ｉｔｓ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． ｓｈｏｗｎ

Ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｔｏ ｂｅ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ａｒｅ ｔｈｅ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ （ｙ＂ ａｎｄ ｙ５）． Ｉｆ ｗｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｉｒ ａｎｔｉｃｏｍ－ ｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ， ｔｈｅｎ ｆｏｒ ａｌｌ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｄ

｛ｙＶ／ｖ｝

＝

Ｂｕｔ ｔｈｅｎ

ｗｅ

＝

ｗｏｕｌｄ ｈａｖｅ

２＜ＴＵ

｛ｙ５，ｙ＂｝＝０，

ｙ５２

ｗｅ

ｉ．

｝

Ｊ

（４．０．１）

ｗｏｕｌｄ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｆａｌｓｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｚｅｒｏ． Ｓｏ ｔｈｅｒｅ ｈａｓ ｔｏ ｂｅ ａｎ ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ （＇ｔ Ｈｏｏｆｔ ＆ Ｖｅｌｔｍａｎ （１９７２ａ））． Ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ａ ｓｉｍｉｌａｒ ｖｅｉｎ ａｒｉｓｅ ｗｈｅｎ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｓｕｐｅｒｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ （Ｊｏｎｅｓ ＆ ＬｅＶｅｉｌｌｅ （１９８２））． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｔａｒｔ ｂｙ ｓｔａｔｉｎｇ ｔｈｅ ａｘｉｏｍｓ ｆｏｒ ｄ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｗｉｌｓｏｎ （１９７３）． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ． Ｏｕｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．５ ｗａｓ ｉｎ ｆａｃｔ ａ

ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｐｒｏｏｆ ｆｏｒ ｏｎｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ

ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ｓｐａｃｅ

ｏｎ

ａｎ

ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

ｗｏｒｋ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ．

Ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ， ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｇｉｖｅｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔ ｉｎ ｍｏｓｔ ｃａｓｅｓ， ｓｏ ｗｅ ａ ｐｏｗｅｒｆｕｌ ｅｎｏｕｇｈ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ （Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．２）． Ｗｅ ｔｈｅｎ

ｗｉｌｌ ｎｅｘｔ ｈａｖｅ ｔｏ ｆｉｎｄ

ｓｏｍｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ （Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．３）． Ｏｎｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｒｅｓｕｌｔ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｆｉｎｄｉｎｇ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｒｉｃ ｔｅｎｓｏｒ ｏｎ ａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｐｒｏｖｅ

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

６４

ｓｐａｃｅ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｉｔｓ ｔｒａｃｅ ｉｓ ｄ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｙ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎ ａ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｓｏｍｅ ｕｓｅｆｕｌ ｆｏｒｍｕｌａｅ

（Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ４．４ ｇｒａｐｈ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． Ｆｉｎａｌｌｙ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ； ｔｈｉｓ ｉｓ ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｆ ｗｅ ａｒｅ ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｌｙ ｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ Ａｄｌｅｒ－Ｂｅｌｌ－Ｊａｃｋｉｗ ａｎｏｍａｌｙ． Ｔｈｅ ｕｔｉｌｉｔｙ ｏｆ ａ ｐｒｅｃｉｓｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｓｕｃｈ ａｓ ｗｅ ｇｉｖｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｆ ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｉｅｓ ａｎｄ

４．５） ｆｏｒ ｕｓｅ ｉｎ

ａｒｉｓｅ ａｔ

ｓｏｍｅ

Ｆｅｙｎｍａｎ

ｓｔａｇｅ， ｔｈｅｎ

ａｌｗａｙｓ

ｏｎｅ ｃａｎ

ｇｏ ｂａｃｋ ｔｏ ｆｉｒｓｔ

ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ

ｔｏ

ｄｉｓｃｏｖｅｒ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ．

４．１ Ｌｅｔ ｄ ｂｅ ａ

ｃｏｍｐｌｅｘ ｎｕｍｂｅｒ． Ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｏｖｅｒ ａ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｐａｃｅ：

ｔｈａｔ

Ｊ－

ｒｅｇａｒｄ

ａｓ

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ ａｘｉｏｍｓ

／＇（ｐ） ｉｓ

ａｎｙ

ｇｉｖｅｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ

ｍａｙ

（４．１．１）

ｄ＇ｐ／（ｐ）．

Ｈｅｒｅ

ｗｅ

ｖｅｃｔｏｒ ｐ，

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｓｐａｃｅ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｉｓ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ． （Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ ｓｐａｃｅ ｉｓ ｌ）－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａ ｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｉｍｅ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａ （ｄ —

Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｓｐａｃｅ．） Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ Ｗｉｌｓｏｎ （１９７３） ｗｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｉｓ ａｃｔｕａｌｌｙ ｉｎｆｉｎｉｔｅ

ｗｉｌｌ

ｇｉｖｅ

ａｎ

ｅｘｐｌｉｃｉｔ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ； ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ． Ｍａｋｉｎｇ ｄ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒ ｎ ｗｉｌｌ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｉｎｓｅｒｔ ａ （５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｗｉｌｌ ｆｏｒｃｅ ａｌｌ ｖｅｃｔｏｒｓ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｉｎ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／（ｐ） ｔｏ ｌｉｅ ｉｎ ｓｏｍｅ ｎ－ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｕｂｓｐａｃｅ． Ｗｈａｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｍｕｓｔ ｗｅ ｉｍｐｏｓｅ ｏｎ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｏｆ／ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｒｅｇａｒｄ ｉｔ ａｓ ｄ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ？ Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｒ ａｘｉｏｍｓ （ｄｕｅ ｔｏ Ｗｉｌｓｏｎ （１９７３））

ａｒｅ

ｎａｔｕｒａｌ ａｎｄ

ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｉｎ

ａｒｅ

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ

ｔｏ

Ｆｅｙｎｍａｎ

ｇｒａｐｈｓ： （１） Ｌｉｎｅａｒｉｔｙ： Ｆｏｒ

ａｎｙ

ｃｏｍｐｌｅｘ

Ｊｄｄｐ［ａ／（Ｐ） （２） Ｓｃａｌｉｎｇ：

＋

ｎｕｍｂｅｒｓ

ＭＰ）］

Ｆｏｒ ａｎｙ ｎｕｍｂｅｒ

ａ

ａｎｄ ｂ

ｊｄ Ｖ（Ｐ） ｊｄｄｐｆｌｒ（ｐ）． ＋ ｂ

（４．１．２）

ｓ

ｆｄ－ｐ／（ｓｐ） （３）

＝

ａ

＝

ｓ＂－｜＜ｌＶ（Ｐ）－

（４．１．３）

Ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ： Ｆｏｒ ａｎｙ ｖｅｃｔｏｒ ｑ

（ｄｄｐ／（Ｐ Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ

ｒｅｑｕｉｒｅ

＋

ｑ）

＝

ｆｄｄｐ／（Ｐ）．

ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ ｃｏｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ

ｏｕｒ

ｒｅｓｕｌｔｓ．

（４－１－４）

６５

４．１ Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ ａｘｉｏｍｓ

Ｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ

ａｒｅ

ｔｒｕｅ ｏｆ ａｎｙ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ，

ｂａｓｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ

ｗｈｉｌｅ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｏｔａｔｉｏｎ

Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｓｐａｃｅ， ａｎｄ ｔｈｅ ｓｃａｌｉｎｇ

ａ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｅｍｂｏｄｉｅｓ ｔｈｅ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ． Ｎｏｔ ｏｎｌｙ ａｒｅ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｔｈｒｅｅ ａｘｉｏｍｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ， ｂｕｔ ｔｈｅｙ ａｌｓｏ ｅｎｓｕｒｅ ｔｈａｔ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｕｎｉｑｕｅ， ａｓｉｄｅ ｆｒｏｍ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ （Ｗｉｌｓｏｎ （１９７３））． Ｉｎ ｆａｃｔ， ｔｈｅｙ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｍｅａｓｕｒｅ ｉｎ ａｎ ｉｎｔｅｇｅｒ－ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｐａｃｅ （ａｇａｉｎ ｕｐ ｔｏ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ）． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ： Ｕｓｅ ｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｔｏ ｅｘｐａｎｄ／（ｐ） ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｃｈｏｏｓｅ ａ ｂａｓｉｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

／ｓ，ｑ（Ｐ）

（４－１－５）

ｅｘｐ［－５２（ｐ ＋ ｑ）２］．

＝

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ａ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｏｎｅ

ｓｉｎｇｌｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ：

Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｔｈｉｓ

［ｄｄＰ／Ｍ ｏｎｅ

（Ｐ）

＝

ｓ￣ｄ

（４－１．６）

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｅｔｓ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｉｔ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｔｏ

ｒｅｑｕｉｒｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｂｅ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｗｒｉｔｅ

ｏｎｅ

Ｉ＜

ｃａｎ

｜ｄＶｘｐ（－ｐ２）．

ｄｄｌｐｄ＇，２ｑｅｘｐ（－ｐ２－ｑ２）

ｉｎ ｉｎｔｅｇｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈａｔ

＝

ｗｅ

（４．１．７）

ｄ＾＇＾ｋｅｘｐｔ－ｋ２）．

Ｊ＇

Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

｜ｄｄｐｅｘｐ（－ｐ２） Ａｎ ａｂｓｔｒａｃｔ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ

＝

７ｒ＇＇／２．

（４．１．８）

ｎｏｔ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｆｏｒ ｕｓ． Ｗｅ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ａｎ

ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｓｏ ｔｈａｔ ａ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｃａｎ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ ａ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ． Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｎ ａｌｌｏｗｉｎｇ ｕｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｉｔ ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｓ

ａ

ｓｅｌｆ－ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｉｔ ｉｓ

ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｅｘｉｓｔｓ； ｔｈｅ

ａ

ｐｒｉｏｒｉ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｈａｔ

ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｎｌｙ ａｐｐｌｉｅｓ

ｎｏ

ｉｆ ｔｈｅ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｅｘｉｓｔｓ． Ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／（ｐ） ｔｈａｔ ｗｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｃｏｕｌｄ ｉｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｂｅ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｉｔｓ ｖｅｃｔｏｒ ａｒｇｕｍｅｎｔ． Ｈｏｗｅｖｅｒ，

ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ， ｓａｙ， ｓｏｏｎ ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ

ｗｉｌｌ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ

ａｒｅ

ｉｎ ｆａｃｔ

ａ ｖｅｃｔｏｒ

ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ

ｄｏ ｎｏｔ， ａ ｐｒｉｏｒｉ， ｋｎｏｗ ｔｈｅ ｉｎ ３．９９ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ

ｗｅ

ｍａｎｙ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ． Ｉｎ

ｒｏｔａｔｉｏｎａｌｌｙ ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

Ｓｏ

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｐｒａｃｔｉｃｅ， ｗｅ ｔｈａｔ／ｉｓ

ａｓｓｕｍｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｖｅｃｔｏｒｓ： ｐ， ｑ２，．．．， ｑ＾ ｓａｙ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｓｃａｌａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｎｌｙ ｏｆ ｓｃａｌａｒ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａ ｔｅｎｓｏｒ

／

＝

／（ｆ＞２，ｐ－ｑｉ，４，２，．－－）－

ａ

（４．１．９）

６６

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｃａｌａｒ ｎｕｍｂｅｒｓ， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｓｏｍｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｋｉｎｄ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｃａｌａｒ

Ｔｈｕｓ ／ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｍｏｒｅ

ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｌｉｅ ｉｎ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｒａｎｇｅｓ． Ｔｈｕｓ：

ｑ２＞０，

ｋ－ｑ＊｜＜ｑＸ２． Ａ

ｔｅｎｓｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ

（４．１．１０）

ｂｙ ｗｒｉｔｉｎｇ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ８ｉｊ， ｗｉｔｈ ｓｃａｌａｒ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ．

ｔｅｎｓｏｒｓ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｖｅｃｔｏｒｓ ｐ， ｑｉ，．．．， ｑ＾ ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｒｉｃ ｔｅｎｓｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ，

ｗｅ

ｍｉｇｈｔ

／Ｉ＇ｉＰ，ｑ） Ｓｕｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

＝

＾ｙ／ｆｌ（Ｐ＾ｐ？ｑ，ｑ２）

ｖｅｃｔｏｒｓ ａｓ ｗｅ

ｉｎ

ａ

ａｎ

＋

ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈａｔ

ｌａｔｅｒ ｈｏｗ ｔｏ ｈａｎｄｌｅ ｔｈｅ

ｍａｔｒｉｃｅｓ．） Ｔｏ ｇｉｖｅ

ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃ

ｏｒｄｉｎａｒｙ

（４．１．１１）

＾ｙ６（ｐ２，ｐ？ｑ，ｑ２）．

ｗｅ

ｎｅｅｄ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ． （Ｗｅ ｗｉｌｌ

ｔｅｎｓｏｒ

ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔｓ ｐ，ｑ１？．．．，

ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｉｎ

Ｆｏｒ

ｈａｖｅ

ｅＫＡ／ｉＶ

ａｎｄ

ｗｅ ａｓｓｕｍｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅｙ

ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ． Ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｍｕｓｔ ｂｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ

Ｓｏ

ａ ｍｏｍｅｎｔ．

ａｒｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒｓ ｅａｃｈ ｔｏ ｂｅ

ｗｅ

ｓｅｅ

ｔｈｅ Ｄｉｒａｃ ｙ－

ｉｎｆｉｎｉｔｅ

ａｎ

ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ， ｐ （ｐ＼ｐ２，．．．）＞ ｊｕｓｔ ａｓ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｖｅｃｔｏｒ Ｖ ａｓ ａ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ （Ｖ１， Ｖ２， ｍｅｔｒｉｃ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ： ＝

ａ

ｔｈｒｅｅ－

Ｖ３）．

Ｔｈｅ

ａｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｉｔｈ， ｓａｙ， ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｆｏｒ ａ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａ ｓｐａｃｅ－ ｔｉｍｅ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ０ ４， ｂｕｔ ａｌｓｏ ａｓ ａ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｆｏｒ ａ ｍｏｄｅｌ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａｎｙ ５ ｏｒ ６ ｏｒ Ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒｓ ｑｔ，ｑ２，．．． ｉｎ （４．１．９） ｃａｎ ｈｉｇｈｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｅ．ｇ．， ｄ０ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ， ａｎｄ ｏｕｒ ｖｅｃｔｏｒ ｓｐａｃｅ ｍｕｓｔ ｂｅ ｌａｒｇｅ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ａｃｃｏｍｍｏｄａｔｅ ｄ０ ｌｉｎｅａｒｌｙ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｓｉｎｃｅ ｄ０ ｉｓ ａｒｂｉｔｒａｒｙ， ｗｅ ａｒｅ ｆｏｒｃｅｄ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ．

Ｔｈｅ ｄ

＝

ｒｅａｓｏｎ

３．９９

ｃａｎ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｔｙ ｉｓ ｔｈａｔ

ｂｅ ｕｓｅｄ ｎｏｔ

ｏｎｌｙ ａｓ

ａ

＝

＝

Ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｄ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ａ ｓｃａｌａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｗｅ ｆｉｎｄ ａ ｆｉｎｉｔｅ－ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ａｌｌ ｔｈｅ ｑ＾＇ｓ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｒｉｔｅ ｐ ａｓ ａ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ Ｐｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｐａｃｅ ａｎｄ Ｐ

＝

＝

ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ

ａｎ

ｐＴ：

Ｐ｜｜ ＋Ｐｔ

ｉ＞ｊｅ，．

（４．１．１２）

＋ ｐＴ．

Ｔｈｅ ＇ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐａｃｅ＇， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｌｉｅ ｔｈｅ ｑ＾ｓ， ｉｓ ｓｐａｎｎｅｄ ｂｙ ａｎ ｏｒｔｈｏｎｏｒｍａｌ ｂａｓｉｓ

１，．．．， Ｊ）． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｐ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｏｒｄｉｎａｒｙ Ｊ－ ｅ，． （ｗｉｔｈ ｊ Ｊ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ Ｐｕ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ａｆｔｅｒ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｉｎ ｄ ＝

—

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ

ｏｖｅｒ ｐＴ：

Ｊｄｄｐ／（Ｐ） ［ｄｐ１ ＝

？

？

ｄｐＪ

（ｄｄ－Ｗ（ｐ）．

（４－１．１３）

４．１ Ｓｉｎｃｅ

ｆ（ｐ） ｄｏｅｓ

ｎｏｔ

ｄｅｐｅｎｄ

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ

ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｐＴ

ｏｎ

ｄ＊－Ｊ？Ｔｆ（ｐ）

ｗｅ ｎｏｗ ｃａｎ

ｄｅｆｉｎｅ

（４．１．１４）

ｄＰｊＰｄＴ－Ｊ－ｌｆ（Ｖ＼

Ｋｄ

＝

６７

ａｘｉｏｍｓ

０

Ｋｖ （ｗｉｔｈ ｖ ｄ Ｊ） ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｔｈｅ ａｒｅａ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｏｆ ａ ｈｙｐｅｒｓｐｈｅｒｅ ｉｎ ｖ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｋｖ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ ｗｈｅｒｅ／ｉｓ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｂｅ ａ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｓｅｅ （４．１．８） ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ Ｈｅｒｅ

＝

－

－

－

Ｈｅｎｃｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ａ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｄ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ

ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ：

ｌ＂ｄｐｍ－ｍ＾ｉｋｈ＂Ｊ＞＊￣Ｊ￣，／，ｐ）

（４Ｕ６）

Ｗｅ ｍｕｓｔ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｏｆ

ｔｈｅ Ｐ｜｜． Ｗｅ ｍｕｓｔ ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｔｏ ｈａｎｄｌｅ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｔ ｐＴ＝ ０ ｗｈｅｎ ｄ ｉｓ ｓｍａｌｌ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｏ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．２． Ｔｈｅｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．３ ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｂｕｔ ｆｉｒｓｔ ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ ａ

ｃｏｕｐｌｅ

ｏｆ

ｄｅｔａｉｌｓ ｔｏ ｃｌｅａｒ ｕｐ． Ｔｈｅ Ｊ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｏｆ ｐ，｜＇ｓ ｉｓ ｃｈｏｓｅｎ ｓｕｂｊｅｃｔ ｏｎｌｙ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｎｃｌｕｄｅ ａｌｌ ｑ ．＇ｓ． Ｓｏ ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｔｏ ｉｎｃｌｕｄｅ ｅｘｔｒａ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈｉｓ ｈａｓ ｎｏ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ ｒｏｏ

ＫＡ ＪＯ ｆｏｒ ａｎｙ

ｒ

ｄｐｐ－ｌｇ｛ｐ２）＝＼Ｊ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ，

ｔｒｕｅ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ

ｇ， ｗｈｉｃｈ

ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ

２７ｒ（ｖ－Ｄ／２

ｗｈｅｒｅ

ＡｋＫｙ＿Ａ ｄｐｊｐｒ＇ｇｉｐｆ ＋ ｋ２） －

ｄｅｐｅｎｄｓ

＝

（４．１．１７）

ＪＯ

Ｘ

ｏｎ ａ

ｓｃａｌａｒ ａｒｇｕｍｅｎｔ． Ｔｈｉｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｉｓ

ｓｉｄｅ ｉｓ

ｉＪ＞＇＂－ｗ，！ｏ ｄｘｘ（ｖ－３）／２（ｌ－ｘ）－１／２，

ｒ（（ｖ－ｉ）／２）， ｐ＊ ｘｐ２ ａｎｄ ｋ２ ＝

ｒ ｑｏ

ｏｏ

（１

—

（４．１．１８）

ｘ）ｐ２．

＇ｐａｒａｌｌｅｌ＇ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｈａｖｅ ｎｏ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｂｏｔｈ ｓｐａｃｅｓ ｔｏ ａ ｃｏｍｍｏｎ ｌａｒｇｅｒ ｅｘｔｅｎｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ， ｍｅｒｅｌｙ ｉｓ ｔｈａｔ Ｔｈｅ ｔｈｅｒｅ ｓｏｌｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｍａｙ ｂｅ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ （４．１．１８） ａｔ ｓｐａｃｅ． ｘ ０； ｔｈｉｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｖｅｒ ｂｙ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．２． Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃｈｏｉｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｗｅ

＝

Ｕｐ ｔｉｌｌ

ｆｉｊ＂（ｖ＼

ｎｏｗ ｗｅ ｗｅ

ａ

ｓｃａｌａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｉｆ ｉｔ ｉｓ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ－ｂｙ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ．

Ｊ－

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ

ｈａｖｅ ｓｕｐｐｏｓｅｄ ／（ｐ） ｉｓ

ｗｏｒｋ

ｄ＂ｐ／１２（ｐ），

Ｔｏ

ｄｅｆｉｎｅ，

ａ ｔｅｎｓｏｒ

ｓａｙ，

ｔｈｅ

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

６８

ｔａｋｅ ｔｈｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐａｃｅ ｔｏ ｉｎｃｌｕｄｅ ｔｈｅ １－ ａｎｄ ２－ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ａｎｙ ｖｅｃｔｏｒｓ ｗｈｉｃｈ／１７ ｄｅｐｅｎｄｓ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｐｒｏｃｅｅｄ ａｓ ｂｅｆｏｒｅ． ｑ＾ Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｓｕｐｐｏｓｅ／°（ｐ） ｐｉｐ＊ｇ｛￥２＼ ｗｈｅｒｅ ｇ ｉｓ ａ ｓｃａｌａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ ｗｅ

ｏｎ

＝

ｊ／１２（ｐ）ｄ＜ｐ ＪｄｐＭｐ２ ［ｄ＇－Ｗｐ２＾１）２ ＝

ｗｈｉｌｅ

ｄＶ ｎ（ｐ２）

＝

｜

＋

（ｐ２）２ ＋ ｐ２］

＝

０，

ｄ＇－Ｗｉ＾Ｐｊｊ＋Ｐ２）

ｄｐ ｏｏ

ｃｉｒ（ｄ／２）

＾ｙｐｐｄ＋ｉｔ９（Ｐ２）

－ｈ

＂Ｗ２９（Ｐ２ｌ

Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ，

ｗｅ ｓｅｅ

ｔｈａｔ

ＪｄＶｐ＾（ｐ２） ＾［ｄＶ２＾（ｐ２）． ＝

Ｍｏｒｅ

ｇｅｎｅｒａｌ

ｃａｓｅｓ ａｒｅ

ｔｒｅａｔｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．３．

４．２ Ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｓｍａｌｌ ｄ Ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ （４．１．１６） ｉｓ ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ａｔ ｐＴ ０ ａｎｄ ｏｏ． Ｉｔ ｉｍｐｒｏｖｅｓ ａｔ ｐＴ ｏｏ ｗｈｅｎ ｄ ａｔ ０ ｉｔ ｂｕｔ ｐＴ ｓｍａｌｌｅｒ， ｉｍｐｒｏｖｅｓ ｐＴ ｇｅｔｓ ｗｈｅｎ ｄ ｇｅｔｓ ｂｉｇｇｅｒ． Ｅｖｅｎ ｆｏｒ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｄｅｃｒｅａｓｅｓ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｌｙ ａｔ ｌａｒｇｅ ＝

＝

＝

＝

ｐ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｉｓ ａｎａｌｙｔｉｃ ｆｏｒ ｆｉｎｉｔｅ ｐ， ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｈａｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｆ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｓｐａｃｅ ｈａｓ ａ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ Ｊ ＜ ０； ｔｈｉｓ ｉｓ ｆｏｒｃｅｄ ｔｏ ｈａｐｐｅｎ ｉｆ ｄ ｉｓ —

ｎｅｇａｔｉｖｅ ｏｒ ｚｅｒｏ． Ｓｏ ｏｕｒ ｆｉｒｓｔ ｔａｓｋ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ｆｉｎｄ ａｎ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｏｆ （４．１．１６） ｔｏ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐＴ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｈａｓ ｐｏｌｅｓ ｗｈｅｎｅｖｅｒ （ｄ Ｊ）／２ ｉｓ ｚｅｒｏ ｏｒ ａ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒ， ｂｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｚｅｒｏｓ ｉｎ １／Ｔ（（ｄ Ｊ）／２）． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｈｅｎ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ａｄｏｐｔ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｆｏｒｍｕｌａ ａｓ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ —

－

＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ （４．１．１６） ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ ｆｏｒ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｄ． Ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｓｕｃｈ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ／（Ｐ） Ｔｈｅ

ｑ２，

＝

（ｑｉ＋Ｐ）２ ＋ （ｑ２

＋

Ｐ）２

＋ ？２＇

ａｎｄ

ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐａｃｅ ｍｕｓｔ ｂｅ ａｔ ｌｅａｓｔ ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｏ ａｃｃｏｍｍｏｄａｔｅ ｑ ｌ

ｓｏ ｗｅ ｍａｙ ｓｅｔ Ｊ

ｏｎｌｙ ｉｆ ｄ ＞ ｉｆ ｄ ＜ ２．

Ｊ

＝

＝

ｎｏ

２． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ ａｔ ｐＴ

２， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ

ａｔ ｐ

＝

ｏｏ

＝

０

ｏｎｌｙ

６９

４．２ Ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｓｍａｌｌ ｄ

ｄｄｐ／（ｐ）

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｈａｖｅ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｄｅｆｉｎｅｓ

ｆｏｒ ａｌｌ ｓｍａｌｌ

ｅｎｏｕｇｈ

ｄ． Ｆｏｒ ｌａｒｇｅｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｄ

ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｙ ａｎａｌｙｔｉｃ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ． Ｉｎ ｗｉｌｌ ｔｈｅｒｅ ｂｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｇｅｎｅｒａｌ ｐｏｌｅｓ ａｔ ｃｅｒｔａｉｎ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｄ ｊｕｓｔ ａｓ ｉｎ ｔｈｅ ｗｅ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ３．５ ａｎｄ ３．６． Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ｃｏｍｐｕｔｅｄ －

ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｓｍａｌｌ ｄ， ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ／（ｐ２）． Ｌｅｔ ｕｓ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ／－＞０ ｒａｐｉｄｌｙ ｅｎｏｕｇｈ ａｓ ｐ－＞ ｏｏ ｔｈａｔ Ｔｏ

ａ

ｄＶ（Ｐ２） ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ ａｔ ｐ

－？

ｏｏ

ｆｏｒ

ｓｏｍｅ

２ｎｄ

（４．２．１）

ｄｐｐ＇－Ｗ

＝

Ｔ（ｄ／２）．

ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｄ．

Ｗｅ ａｌｓｏ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ／（ｐ２） ｉｓ

０． Ｔｈｅｎ （４．２．１） ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ ａｎｄ ｉｓ ａｎａｌｙｔｉｃ ｉｎ ｄ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｒａｎｇｅ ａｎａｌｙｔｉｃ ａｔ ｐ ０ ＜ Ｒｅ ｄ ＜ ｄｍａｘ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒ ａｌｌ ｏｔｈｅｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｄ ｂｙ ａｎａｌｙｔｉｃ ＝

ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｄ． Ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｓｍａｌｌｅｒ ｄ＇ｓ ａｒｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂｙ ａｄｄｉｎｇ ａｎｄ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｂｅｈａｖｉｏｒ ａｔ ｐ ０． Ｆｏｒ －？

ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｆｏｒｍｕｌａ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｒａｎｇｅ ＜ｄｍ

２ ＜ Ｒｅｄ

？

２＾ ｄｄｐ／（ｐ２）

２７Ｔｄ／２

（

ｄＰｐｄ－＼ｆ（ｐ２）

＇ｆＷ）｛，

＝

ｄｐｐ－－１［／（ｐ２）－／（０）］＋／（０）Ｃ－／ｄ＾

＋

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ａｒｂｉｔｒａｒｙ Ｗｈｅｎ

—

２ ＜ Ｒｅ ｄ ＜ ０

ｗｅ

ｄ＇ｐ／（Ｐ２） ａｔ ｄ

＝

２ｎｉｌ２ ＝

０ ｔｈｅ ｚｅｒｏ ｉｎ

ｒｗ２）

－？

ｏｃ

ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

（４．２．３）

ｄｐ／－１［／（Ｐ２）－／（０）］，

ｌ／ｒ（ｄ／２） ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐｏｌｅ

ｔｅｒｍ ｔｏ

ｆｄ°ｐ／（ｐ２）＝／（０）． Ｗｅ ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｉｓ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒ

（４．２．２）

ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｃ．

ｍａｙ ｌｅｔ Ｃ

！－

ｗｈｉｌｅ

—

ｔｏ ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｔｏ

—

ｇｉｖｅ （４．２．４）

２／

—

２ ＜ Ｒｅ ｄ ＜

—

２／ ｆｏｒ ａｎｙ

／：

ｄｄｐ／（Ｐ２）

２ｎｄ＇２

ｆ００

＝

ｒ（ｄ／２）．

ｄｐｐｄ－ｌ｛ｆ（ｐ２）－ｍ－ｐ２ｍ－￣ ．．．－（Ｐ２）ｒ＼ｏ）／ｉ＼｝，

ｆ｜ｄ－２ｉｐ／（ｐ２）

＝

Ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｇｉｖｅｓ

（４．２．５）

（－７ｒ）－＇／＜＇？（０）．

ｕｓ

ｔｈｅ

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｗｈｅｎ

—

２／

—

２ ＜ Ｒｅ ｄ ＜ —２１

ｏｎ

ｔｈｅ

７０

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｆｏｒｍｕｌａ （４．２．１） ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ ｗｈｅｎ ｄ ｉｓ ｊｕｓｔ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ｚｅｒｏ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｎｏｗ ｔｈａｔ （４．２．１） ｄｉｖｅｒｇｅｓ ａｔ ｐ ｏｏ ｆｏｒ ａｌｌ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｄ， ｂｕｔ ｔｈａｔ／ｉｓ ｐｏｗｅｒ ｂｅｈａｖｅｄ ａｓ ｐ －？ ｏｏ． Ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｏ ａｄｏｐｔ （４．２．５） ａｓ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｔｈｉｓ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ＝

ｓｉｎｃｅ ｔｈａｔ

ｗｅ

ａｒｅ

ｗｉｌｌ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｒｅｇｕｌａｔｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ

ｕｓｅ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ａｔ ｄ

Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ｆｒｅｑｕｅｎｔｌｙ ｈａｓ

＝

ａ

４． Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

（４．１．１６） ａｐｐｌｉｅｄ

ｎｕｍｂｅｒ ｄ

ｎｅｇａｔｉｖｅ

—

ｔｏ ａ

４ ｏｆ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｐＴ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｉｔｈ ｄ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｅｎｓｕｒｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｔｈｅｎ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｄ

ｗｅ —

ｍａｙ

ａｐｐｌｙ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ （４．２．５） ｔｏ ｔｈｅ

Ｊ．

Ａｎｏｔｈｅｒ ｏｂｓｔａｃｌｅ ｔｏ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｄ ｉｓ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｔｈａｔ

／（ｐ２）

ｉｓ ｎｏｔ

０ ｂｕｔ ｈａｓ ａ ｐｏｗｅｒ－ｌａｗ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｔｈｅｒｅ． Ｗｅ ｍａｙ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ａｎａｌｙｔｉｃ ａｔ ｐ２ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ （４．２．５） ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｄｏｗｎ ａ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＝

ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｕｓｅ

ｏｆ （４．２．５）

ｆ（ｐ２） ｗｈｅｒｅ Ａ ／

＝

Ｔｈｅ

（ｐ２

＋

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ

Ａ）／（ｐ２

ａｎｄ Ｂ ａｒｅ ｎｕｍｂｅｒｓ． Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

１， （４．２．５） ｇｉｖｅｓ

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｃａｎ

ｕｓ ａ

ｂｅ

ｊｄｄｐ（ｐ２ ｗｈｉｃｈ

＝

ａｓ ａ

ｃａｎ

＋

Ａ）／（ｐ２

＋

Ｂ）

＝

Ｂ＼

＋

（４．２．１） ｄｉｖｅｒｇｅｓ ｆｏｒ ａｌｌ ｄ， ｂｕｔ ｗｉｔｈ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｖａｌｉｄ ｆｏｒ

ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｃｏｍｐｕｔｅｄ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｃｈｏｏｓｉｎｇ

－

ｔｏ

２ ＜ Ｒｅ ｄ ＜ ０：

ｇｉｖｅ：

（７ｉＢｆ２（Ａ／Ｂ

－

１）Ｔ（１

－

ｄ／２），

ｂｅ ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ ｔｏ ａｌｌ ｄ．

Ｓｕｐｐｏｓｅ ／ｈａｓ

ａ

ｐｏｗｅｒ－ｌａｗ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ， Ｊ

（Ｐ

＋

ｑ）２（ｐ２

＋

ａｓ

ｆｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ

ｍ２）＊

Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ （４．１．１６） ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｔｈｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ ｉｆ ２ ＜ ｄ ＜ ４． Ｔｏ ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｉｔ ｔｏ ｌｏｗｅｒ ｄ ｗｅ ｍｕｓｔ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｂｅｈａｖｉｏｒ ａｔ ｐ ｑ， ｗｅ ｃａｎ Ｔｈｅｎ ｉｎ ０ ｏｒ ａｔ ｆｏｒ ａｔ ｄｉｄ ａｓ ｗｅ （４．２．２）． ｐ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｐ１ ０， ｊｕｓｔ ＝

＝

－

＝

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｓａｙ

（ｐ

＋

ｐ２ ｑ）２（ｐ２ ＋ ｍ２）＇

Ｏｎｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｅｓｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｏｆ

ａ

ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｐ ｉｓ

７１

４．２ Ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｓｍａｌｌ ｄ ｚｅｒｏ：

（４．２．６）

ｄ？ｐ（Ｐ２ｒ＝ｏ

ｆｏｒ ａｎｙ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａ （ｉｎｔｅｇｅｒ ｏｒ ｎｏｔ）． Ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎｙ （４．２．６）． Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ （ａ） ｔｈｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｏｆ （４．１．１６） ｔｏ

ｃｈｏｉｃｅ ｉｎ ｓｍａｌｌ

ｄ， ａｎｄ （ｂ） ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ ｆｏｒｍｕｌａ

ｌｄｄＰ（Ｐ２ｒ．

Ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌｉｓｍ

＝

（Ｐ２）７（Ｐ２

＋

？２）－

Ｔｈｅｎ ｗｈｅｎ

ｄｄｐ／（ｐ２） Ｉｆ

ｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｉｓ

ａｌｓｏ

－

＝

２ａ

ｒｅｑｕｉｒｅｓ （４．２．６）． ２ ＜ｄ ＜

－

－

２ａ

ａｓ ａ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

Ｆｏｒ ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ

ｔｈａｔ／（ｐ）

ｈａｖｅ

ｄ＇ｐ［／（ｐ２）－（ｐ２）７ｍ２］．

（４．２．６）． ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｌｙ， ｂｙ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｉｓ ｎｏｔ Ｂｕｔ ｔｈｅｎ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｉｎ （４．２．２） ｗｏｕｌｄ ｎｏ ｌｏｎｇｅｒ ｏｃｃｕｒ．

ｔｏ ｂｅ ｔｒｕｅ ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ

Ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｏｕｔ ｔｈｅ

ｊｕｓｔ

ａ

ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｐ．

ｂｙ ｔａｋｉｎｇ

Ｃ

－？

ｏｏ

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｉｆ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｆ

ｐｏｓｉｔｉｖｅ－ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，

ｏｕｒ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ （４．１．１６）， ｗｅ ｔａｋｅ ／ ｔｏ ｂｅ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ． Ｂｕｔ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ

ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｅｄ ａｗａｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｒｅｇｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｅｒｍｓ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｉｓ ｎｏ ｌｏｎｇｅｒ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｎｅｅｄ ｎｏｔ ｂｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ． Ａｔ ｔｈｅ ｅｎｄ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．１， ｗｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｈｏｗ ｗｅ ｓｐｌｉｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎｔｏ ａｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｓｏｍｅ ｉｎｔｅｇｅｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ＇ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐａｃｅ＇ ａｎｄ ａ ｓｐｈｅｒｉｃａｌｌｙ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｗｅ ｌｅｔ Ｊ ｂｅ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐａｃｅ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｗｈａｔ ｈａｐｐｅｎｓ ｗｈｅｎ Ｊ ｉｓ ｉｎｃｒｅａｓｅｄ ｂｙ ｏｎｅ． Ｕｌｔｉｍａｔｅｌｙ ｗｅ ｈａｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ （４．１．１７）， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｗｅｒｅ ｎｏ

ｎｏｔ

ａ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ． Ｗｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｄ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｅｒｍｓ． Ｔｏ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｏ ｔｈｅ

ｐｏｓｉｔｉｖｅ，

ｗｅ ｍｕｓｔ

＞

Ｊ，

ｃａｓｅ

ｓｏ

ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ

ｔｈａｔ ｄ

—

Ｊ ｉｓ

ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ［Ｊ／２－ｄ／２］

Ｋ．ｄ－ｊ

Ａ－Ｊ－ １

ｄｐｐ１

－Ｋ＇－＇－＇＼

ｆ（ｐ２）－ ｄ／ｃ

Ｚ ｄｐｘＰｉ

ｆ ０

／ｗ（０）ｐ２－／ｎ！

ｆ（ｋ２＋Ｐ？）

［（Ｊ＋ｌ－ｄ）／２］ －

ｚ

／■（？）， （ｋ２）ｐ２ｎ／ｎ＼

（４．２．７）

ｎ ＝ ０

ｓｙｍｂｏｌ ［ｄ＼ ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｌａｒｇｅｓｔ ｉｎｔｅｇｅｒ ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ ａ． Ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｅ ｃｈａｎｇｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｔｏ ｘ ａｎｄ ｐ， ｗｈｅｒｅ Ｈｅｒｅ ｔｈｅ

７２

ｐ２－

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ＝

ｘｐ２

ａｎｄ ｋ２

（１

＝

－

ｘ）ｐ２．

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

Ｆｏｒ ｔｈｅ

ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ

ｇｅｔ

ｄＰＰ＞Ｊ－Ｊ－＼

ｄｘｘ（Ｊ－Ｊ－３）２（１＿ｘ）－ｌ／２

Ｋ－ｄ－ｊ－ｉ

ｗｅ

［｛Ｊ＋ｌ￣ｄ）！２）

ｆ（ｐ２）－ ＝

＾－，－１

ｄｘＸ？－Ｊ－＾２（ｌ－Ｘ）－＾２＼

０

ｄＰ２（Ｐｎ２＼ｄｉ２－Ｊ／２－

１

ＪＯ

ｎ

［ｊ／２－ｄ／２］

ｆ（ｐ２）￣

ｆｎ＼（ｌ－ｘ）ｐ２）ｘｎｐ２ｎｌｎ＼

Ｚ

／（ｎ）（０）ｐ２７？！

Ｚ

ｎ ＝ ０

Ｊ

［（Ｊ－ｃ／）／２］

ｎｎ２ｎ

［（Ｊ＋ｌ－ｄ）／２］

Ｉ

ｎ ＝ ０

Ｊ

＝

／ｉ ＿

＼ｊ－ｎ

２ｊ

ｎ

＂

（４．２．８） Ｈｅｒｅ ｗｅ ｈａｖｅ ａｄｄｅｄ ａｎｄ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｌ（Ｊ－ｄ）／２］ ｎ ＝ ０

ｓｏ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｐ２ ｏｆ ｐｄ￣Ｊ￣２ ｔｉｍｅｓ ｅａｃｈ ｓｃａｌｉｎｇ ｐ２ ｂｙ （１ ｘ）， ｗｅ ｇｅｔ：

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． Ａｆｔｅｒ

２ｉＶｄ－Ｊ－

ｏｖｅｒ

ｄｘｘ（ｄ－Ｊ－３）／２（１ ＿ｘ）－ｌ／２

１

ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔ ｔｅｒｍ ｉｓ

—

０

ｄｐ２（ｐ２）ｄ／２－Ｊ／２－１

ｘ

ＪＯ ［Ｊ／２－ｄ／２］

ｆ（ｐ２）－

Ｚ ｎ

＝

／（Ｗ）（０）Ｐ２＾！

０

［（Ｊ＋ｌ－ｄ）／２］ｘｎ／ｊ ＿ｘｊＪ／２－ｄ／２－ｎ

２ｎ

ｒ．２ｊ

［（Ｊ－ｄ）／２］

／（＂Ｖ）－

／０）（°）

Ｚ

（ｎ－ｊ）ｌ

Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｂｙ ｐａｒｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｇｉｖｅｓ Ｋｄ＿Ｊ＿ｌ

Ｊ

ｄｘｘ＾－＾ｌ－ｘＴ＾ｘ ［（Ｊ＋ｌ－＜ｉ）／２］

￡

１－

／Ｉ

ｘ＂（ｌ－ｘ）Ｊ＇２－ｄ／２－＂

？＝０

［Ｊ／２－ｄ／２］ Ａ－Ｊ－ｌ

ｄｐｐ

ｎ ＝ ０

．

１／２－

ｎｌ（ｌ＋Ｊ／２

－ｒｆ／２－ｎ）ｌＪ

４．３ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

７３

ｘ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｔ ｅｑｕａｌｓ ｒ（ｌ／２）ｒ［（ｄ－Ｊ－ｌ）／２］／ｒ［（ｄ－Ｊ）／２］， ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｒｅｓｕｌｔ

Ａｎ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｂｙ ｐａｒｔｓ

ｏｎ

ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｓ．

４．３ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ １． Ａｘｉｏｍｓ： Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ （４．１．１６） ａｎｄ （４．２．５） ｓａｔｉｓｆｙ Ｗｉｌｓｏｎ＇ｓ ａｘｉｏｍｓ （４．１．２）， ｅｔｃ．， ｆｏｒ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ．

Ｐｒｏｏｆ． Ｗｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｔｏ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｓｏ ｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｏｆ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ． Ｗｅ ｍｕｓｔ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｐ｜｜ ｓｐａｃｅ ｔｏ ｂｅ ｌａｒｇｅ ｅｎｏｕｇｈ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ／ ａｎｄ ｇ ｉｎ （４．１．２）． Ｏｕｒ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ （４．２．５） ｔｏ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄ ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈａｔ ｒｅｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｓｐａｃｅ ｉｓ ｎｏ ｐｒｏｂｌｅｍ． Ｓｃａｌｉｎｇ ａｎｄ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｃｏｖａｒｉａｎｃｅ ａｒｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａｌｌ ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ． Ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ｖａｌｉｄ ｆｏｒ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ， ｓｏ ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ （４．１．１６） ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈｅ ｐｕ ｓｐａｃｅ ｉｓ ｂｉｇ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｉｎｃｌｕｄｅ ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ ｑ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ａｘｉｏｍ

（４．１．４）．

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ２．

Ｕ （ｐ２）ａ ＝ｎ．２Ｍｄ＋２＊－２Ｐｎ？＋ｄ／ｍｐ－＊－ｄ／２） ｒ（＜＊／２）ｒ（ｊＢ） Ｊ Ｖ ＋ Ｍ２／ Ｐｒｏｏｆ． Ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｆｒｏｍ （４．２．５）． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ

ｏｆ

ｐ２

ｉｓ ｚｅｒｏ， ｓｉｎｃｅ

Ｔ（ｆ｝）

＾

ｌ／ｐ

ａｓ

＇

［

，Ｊ

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ａ

／？－？（）．

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｌａ．

｜ｄＪｐ（ｐ２）＊

＝

０．

（４．３．１ａ）

Ｐｒｏｏｆ． Ａｌｒｅａｄｙ ｄｏｎｅ． Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ３．

ｆ

ｄＶ（Ｐ，ｑ，－）＝

Ｐｒｏｏｆ． Ｃｏｎｔｒａｃｔ ｗｉｔｈ

ｋｐ＾／（ｐ，ｑ，．．）．

（４．３．２）

＜５ｑ ｗｈｉｃｈ ｐｒｏｊｅｃｔｓ ｏｕｔ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｑ ｉｎ ｔｈｅ ＜５ｑ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐａｃｅ （ｏｆ ｐ｜｜ ＇ｓ） ｂｉｇ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｉｎｃｌｕｄｅ ｄｑ ａｎｄ ｕｓｅ （４．３．２） ｏｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｒｕｅ ｆｏｒ ａｌｌ Ｓｑ． ａ ｖｅｃｔｏｒ

７４

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

４．

＆％ Ｐｒｏｏｆ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

（４．３．３）

ｏｆｄｔｊ． Ｎｏｗ ３ｉｊ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｆｏｒｍ ｏｆ

ａ ｃｏｎｔｒａｖａｒｉａｎｔ ｔｅｎｓｏｒ ｗｉｔｈ ８ｉＪ

＝

１ ｉｆ ／ ＝ｊ ａｎｄ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｔｅｎｓｏｒ

ｔｈｉｎｇ． Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ

ｄ．

＝

３＾５＾

＝

ｃｏ．

５ｔｊ ｉｓ

ｚｅｒｏ

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ． Ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ

ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｍａｔｒｉｘ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅ

ａｓ

Ｈｏｗｅｖｅｒ ｉｎ

ａｎ

ｓａｍｅ

ｉｎｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｐａｃｅ，

ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｓｐａｃｅ ｆｏｒ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ａ ｃｏｎｔｒａｖａｒｉａｎｔ ｔｅｎｓｏｒ ｍａｙ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ ｉｔｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ． Ｂｕｔ ａ ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｔｅｎｓｏｒ ｃｏ ｉｓ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｌｙ ａ ｌｉｎｅａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｃｔｉｎｇ ｏｎ ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｔｅｎｓｏｒｓ： ｃｏ（Ｔ）．Ｗｅ

ｃａｎ

ｗｒｉｔｅ ｃｏ（Ｔ）＝

ｏｎｌｙ ｉｆ ｔｈｅ ｓｕｍ ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ． ｓｙｍｂｏｌｉｚｅ ｂｙ ８ｔｊ） ｔｏ ｂｅ ｒｏｔａｔｉｏｎ

（ＤｔｊＴｉｊ

Ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｃｏｖａｒｉａｎｔ ５ （ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ａｎｄ ｔｏ ｇｉｖｅ Ｓ（Ｔ）＝ Ｔｌｉ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｔｈｅ ｓｕｍ ｅｘｉｓｔｓ． Ｗｅ ｗｏｕｌｄ ａｌｓｏ ｌｉｋｅ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ

５ｔｊ

ｔｏ ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ

＊ｕ ｄｄＶＰｉＰｉｆ（ｐ２）

＝

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ．

Ｓｉｊ ＂

ａｎｄ

＾

５ｉｊ ｄ＞ｙ／（Ｐ２） Ｓｉｎｃｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｕｓ

ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｕｍ，

ｄＷ／（Ｐ２）／＜＊ｊ

（４．３．４）

ｄ＞２／（Ｐ２）－

ｗｅ ｃａｎｎｏｔ

ｉｍｍｅｄｉａｔｅｌｙ ａｐｐｌｙ ｌｉｎｅａｒｉｔｙ

ｔｏ

ｄｅｆｉｎｅ ａｍ

ｄＴ｛ｄ／２）

ｄｄｐｌＴｉｊＰ，＾（ｐ２－ｌ）．

７１

￡Ｔ＂

Ｗｈｅｎｅｖｅｒ

Ｂｕｔ ｉｆ ｔｈｅ

ｅｘａｍｐｌｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎ．

ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ

Ｌｅｔ

ａｎ

＝

Ｆｏｒ

ｓｕｍ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ， ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｄｉｖｅｒｇｅｓ， ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ

（４３．５）

ｇｉｖｅｓ

ｔｏ

ｇｅｔ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｖａｌｕｅ ｆｏｒ ３（１）． Ｉｎ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，

ｍＪＪｗｖｊ＾ｎ＇－ｉ）－＊，

ａｓ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ．

ｒｏｔａｔｉｏｎａｌｌｙ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｂｅ ａ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｄｔｊ ｔｗｏ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｌａｔｅｒ．

Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ

ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ

ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｉｔｙ

ｏｆ

ａｎｄ

－

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ５． Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｂｙ ｐａｒｔｓ：

｜ｄＶ／（ｐ）／＾

＝

０．

（４－３．６）

４．３

７５

Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

Ｐｒｏｏｆ． Ｗｏｒｋ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ－ｂｙ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ． Ｃｏｎｔｒａｃｔ ｗｉｔｈ

ａｎ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ

ｖｅｃｔｏｒ ｋ：

ｉｎｔｅｇｒａｌ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｕｔ ｋ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐａｃｅ， ａｎｄ ｗｅ ｃａｎ ｏｆ （４．３．６） ｆｏｒ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ｔｏ ｋ． ｐｒｏｏｆ

Ｔｈｅｎ， ｔｏ ｕｓｅ

ｔｈｅ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｉｓ

｛＇

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ６． Ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ

ｏｖｅｒ ｔｗｏ

（ｏｒ ｍｏｒｅ） ｖａｒｉａｂｌｅｓ：

｜ｄ－ｐｄＶ（ｐ，ｋ；ｑｉ，－ｑ？） ｗｅ ｍｕｓｔ

ｒｕｌｅｓ

ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ

ｏｎｅ

ａｌｒｅａｄｙ ｓｔａｔｅｄ．

ｉｎｔｅｇｒａｌ

Ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｔｏ ｂｅ ｓｅｎｓｉｂｌｅ

ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ

ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ，

ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｏ ｂｅ

ｗｅ

ｔｏ ｔｈｅ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｏｆ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ： ｄｄＰ ｄＶ

＝

ＪｄｄｋｊｄＶ．

（４．３．７）

Ｗｅ ｃｏｕｌｄ ａｌｓｏ ａｌｌｏｗ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐ－ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ．

ａｃｃｏｒｄｉｎｇ

Ｔｈｅｎ

ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｏｆ

ｅｘｃｈａｎｇｅ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ

ｋ－ｉｎｔｅｇｒａｌｓ

ｔｏ

ｂｅ

ｊ＇ｄｃｉｐｊｄｄ＇ｋ－＞ｊ＇ｄｄ＇ｋ｛ｄｄｐ．

ｉｓ ａｌｌｏｗｅｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｄ ｄ＼ ｏｒ ｉｆ ／ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｐｋ． Ｐｒｏｏｆ． Ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ＝

／＝／（ｐ２，ｐ－ｋ，ｋ２）． （Ｉｆ

ｔｈｅｒｅ

ｑ／ｓ，

ａｒｅ

ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｑ／ｓ，

ｓｏ

ｔｈａｔ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｗｅ

ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ

ｔａｋｅ ｏｕｔ

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｋ ａｎｄ ｐ ｗｈｉｃｈ ｓｐａｎｓ ａｌｌ ｑ／ｓ ａｎｄ ｔｈｅｎ

ａｒｅ ｎｏ

ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．） Ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （４．３．７） ｉｓ

ｔｏ ｔｈｅ

４＾－１／２

ｒｏｃ

ｄｐ

ｒ（ｄ／２）ｒ（（ｄ－ｉ）／２）

ｆｏｅ

／＊ｏｏ

ｄｋＡ

ｄｋＴｐ－，－ｌｋ＂Ｔ－２ｆ（ｐ＼ｋｉｐ，ｋ２ｌ＋ｋ２Ｔ）， （４．３．７Ｌ）

ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｉｓ ／■ ｏｏ

ｆ ｏｏ

４ｎｄ￣ｌ！２

ｒ（ｄ／２）ｒ（（ｄ－ｉ）／２）．Ｊｏ

ｄ／ｃ

Ｊ

ｆ＊

ｄｐ， －

ｏｏ

｜ ｄｐ＾－＾－＇／ｆＰｉ＋ｐｉｐ，＊，＊２）．

Ｊ

（４．３．７Ｒ）

Ｈｅｒｅ ｋｌ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｋ ｐａｒａｌｌｅｌ ｔｏ ｐ， ｗｈｉｌｅ ｐｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｐ ｐａｒａｌｌｅｌ ｔｏ ｋ． Ｃｈａｎｇｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｔｏ， ｓａｙ， ｐ２， ｋ２， ａｎｄ ｚ ｐ－ｋ／（ｐｋ） Ｐｉ／ ＼／（Ｐ２ ＋ Ｐ？） ｋＪ ＼／（ｋ２ ＋ ＊ｒ Ｘ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ （４．３．７Ｌ） ａｎｄ ＝

＝

＝

（４．３．７Ｒ）

ａｒｅ

ｅｑｕａｌ

４＊ｄ

１／２

（

ｔｏ ／？？

＇－１）／２）Ｊ０ ｄｐｐ＂

ＷＩ２）Ｔ（｛ｄ

ｄｋｋ＊－

ｄｚ（ｌ－ｚ２ｆ－３ｖ２ｆ（ｐ＼ｐｋｚ，ｋ２）． （４．３．７Ｃ）

７６

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｔｈｕｓ

ｐｒｏｖｅｄ ｉｎ

ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ

（４．３．７Ｌ） ａｎｄ （４．３．７Ｒ）

ａｒｅ

ｂｏｔｈ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ａ ｔｒｉｖｉａｌ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｉｎｔｅｇｅｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ． Ｉｆ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ， ｔｈｅｎ ｌｅｔ ｔｈｅ ｋ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｈａｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ＇． Ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｇｉｖｅｓ

４７Ｃ＜ｄ

＋ ｄ＇－ｌ）／２

Ｔ（ｄ／２）ｒ（（ｄ＇

－

ｌ）／２）

ｐｄ＾－１ ｐｄｆｃ＾－１ ｒ

ｄ２（ｉ－ｚ２）＜ｄ＇－３＞＇２／，

ｗｈｉｃｈ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｉｓ ｎｏｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ． Ｂｕｔ ｉｆ ／ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｚ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｚ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｃａｎ ｂｅ

！■

ｃｏｍｐｕｔｅｄ

Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ

ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ．

Ａ－（ｄ＋ｄ＇）！２

ｆｏｅ

＆ｋｋ＊－ｌｆ（ｐ２，ｋ２）． ０

（４．３．８）

ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ

ｔｈａｔ ｉｆ ｄ ｉｓ ｎｏｔ

ｐｏｓｉｔｉｖｅ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｍａｋｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ａｓ ｉｎ ｃｌｅａｒｌｙ ａｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｏｒｄｅｒｓ （４．３．７Ｌ） ａｎｄ （４．３．７Ｒ） ｏｆ ｐｅｒｆｏｒｍｉｎｇ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ （ｗｉｔｈ ｎｏｗ ｄ＇ ｄ）；ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ， ｄ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｖｅｃｔｏｒｓ Ａ

（４．２．５）． Ｔｈｅｓｅ

ａｒｅ

＝

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ ｄ ｗｉｌｌ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｂｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｉｎ ｒｅｇｕｌａｔｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｓｏ ｗｅ ｍｕｓｔ ｕｓｅ （４．２．５） ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ． Ｔｈｅｎ （４．３．７） ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｇｉｖｅ （４．３．７Ｌ）， （４．３．７Ｒ） ａｎｄ （４．３．７Ｃ）． Ｗｅ ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂｙ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ａｎ ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｉｔｈ ａ

ｑ！，．．．， ｑＮ． Ｉｎ

ｏｒｄｅｒ

ｔｏ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｆａｃｔｏｒ，

ｓａｙ

Ｉ（ａ９ｄ）－ Ａｓｓｕｍｅ

ｉ

／ ｉｓ ｐｏｗｅｒ－ｂｅｈａｖｅｄ

ｄ？Ｖ（ｐ，ｋ）ｅｘｐ ［ ａｔ

－

ａ（ｐ２

＋

（４．３．９）

ｋ２）］．

ｏｒ Ｒ） ｉｓ ＵＶ ａｎｄ （４．３．７Ｒ） ａｒｅ ＩＲ （４．３．７Ｌ） Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｉ（ａ， ｄ） ｉｓ ａｎａｌｙｔｉｃ ｉｎ ａ ａｎｄ ｄ．

ｉｎｆｉｎｉｔｙ．

Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ａｌｌ ｄ， （４．３．７Ｌ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｉｆ ｄ ＞ １ ｔｈｅｎ ｂｏｔｈ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｗｉｔｈｏｕｔ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ．

Ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｄｏｗｎ ｔｏ ｓｍａｌｌ ｅｎｏｕｇｈ ｄ ｔｈａｔ （４．３．７） ｉｓ ＵＶ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． Ｔｈｅｎ Ｉ｛ａ，ｄ） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｏｔｈ ｂｙ （４．３．７Ｌ） ａｎｄ （４．３．７Ｒ） ｗｉｔｈ ／ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ａ（ｐ２ ＋ ｋ２）］， ａｎｄ ｗｉｔｈ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｍａｄｅ． Ｎｏｗ ｓｅｔ ａ ０ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ／ ｅｘｐ ［ ＝

－

ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ （４．３．７）． Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ７． ｄｄｋ

ｄ＇ｐ／（ｐ２

＋

ｋ２）

＝

ｄＶ（ｑ２）．

（４．３．１０）

Ｐｒｏｏｆ． Ｓｉｎｃｅ ／ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｐｋ， ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｉｓ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ

ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ，

ｅｖｅｎ

ｉｆ

ｔｈｅ

１１

４．３ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐ－ ａｎｄ

ｃｈａｎｇｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ

ｔｏ ｑ

ｋ－ｉｎｔｅｇｒａｌｓ

（ｐ２

＝

＋

ｋ２）１＇２

ａｒｅ

ａｎｄ

ｘ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ． Ｔｈｅｎ ＝

ｕｓｅ

（４．３．９） ａｎｄ

ｐ２／ｑ２．

８． ｗ ｖ ｓａｐ ） ｄＶ－ｐＷ）

＝

■

ｗｉｔｈ

Ｔ１－１＇

ｆ＇． ＼Ｔｌｉ－ｉ＜Ａｔ［ｇ］， ＾ｉＳ°ｄｄ＇

［５ｉｌｉ２５ｉ３ｉ４＇－－５ｉ－＊－ｉｔ ＋

＝

＋ ａｌｌ

ｉｆ ｔ

ｒｎ

（４－３．１１）

ｉｓ ｅｖｅｎ，

＇？－

ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎｓ

ｏｆ ｔｈｅ

（４．３．１２）

ｆｓ］／ｔ！，

ａｎｄ

，Ｗ

Ｔ（ｄ／２）ｒ（ｔ／２ ＋ ｌ／２） ｄｄｐ（ｐ２）＇／２＜７（Ｐ２） Ｔ（＼ｆｌ）Ｔ（ｄｌ２ ＋１／２） ２ｎｄ／２ｒ（ｔ／２ ＋１／２） ［＊

－ｒ（ｉ／２）ｒｗ２ ＋

，／２）Ｊ０ｄ＾＂＂＇＂（＾ ｌｘ

，

，

＜４３＇１３）

Ｐｒｏｏ＾． Ｉｆ ｒ ｉｓ ｏｄｄ， ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｕｎｄｅｒ ｐ－＞ ｐ ｍａｋｅｓ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ＇ｐａｒａｌｌｅｌ＇ ｓｐａｃｅ ｚｅｒｏ． Ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｙ ｕｎｄｅｒ ｒｅｖｅｒｓａｌ ｏｆ ｏｎｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｐ， ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｕｎｄｅｒ —

ｔｈｅ

ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｓ， ａｎｄ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍ （４．３．１１） ａｎｄ （４．３．１２）． Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｎｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ （ｓａｙ， ｉ｛ ｉ２ ＝

ｉｔ

＝

＝

？

？

？

＝

１） ｔｈｅｎ ｇｉｖｅｓ （４．３．１３）．

Ｅｘａｍｐｌｅｓ．

ＩｄＶｐＷｔ－ａＷ Ｕ＇ｐｐＷ）．

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ

９． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｎ

ｉｎｔｅｇｒａｌ

／（Ｐｉ，．．．，Ｐ，）＝ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ＵＶ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ

（４．３．１４）

ｆｄＶ（ｋ，Ｐｉ，．．．，Ｐｊ）

ｂｙ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ａｔ

＾

＝

４； ｔｈａｔ ｉｓ ／

（４－３－１６） ＝

０（ｌ／ｋ４＋ａ） ａｓ

ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｉｎ ａｎｙ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ， ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ ａ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｉｓ ａｎａｌｙｔｉｃ ｉｎ ｄ ａｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｐ．， ｗｈｅｎ ｄ ｉｓ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｆｏｕｒ， ｉｆ ｔｈｅ

ｋ ｇｏｅｓ ｔｏ

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ

ｉｓ

ａｎａｌｙｔｉｃ． Ｉｆ

ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｔ ｄ

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ／．

＝

ｔｈｅ

ｐｆ＇ｓ

ｌｉｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ

４ ｈａｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｖａｌｕｅ ａｓ ｔｈｅ

ｏｒｄｉｎａｒｙ ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

７８

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

Ｅｘａｍｐｌｅ Ｓｕｐｐｏｓｅ ／ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

／＝／（Ｒ５ｐ１，．．．５ｐＪ）ｅｘｐ（－Ａｋ２ ｗｈｅｒｅ ｆｏｒ

ａｎｙ ｖｅｃｔｏｒ

ｌｅｔ ７ ｂｅ ｔｈｅ

ｗｅ

ｌｅｔ

ｖ

ｖ

ｂｅ ｉｔｓ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｏｎｔｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ

ｂｅ ｉｔｓ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ，

ｄ￡ｉ＂４ｋｅｘｐ（－Ａｋ２

／

＝

＝

ｈａｖｅ

＋

２Ａｐ－ｋ）

Ｉ（７ｉ／Ａ）ｄｉ２－２ｅｘｐ（Ａｖ２）．

ｍａｎｉｆｅｓｔｌｙ ａｎａｌｙｔｉｃ

ｉｎ ｄ ａｎｄ ｐ． Ｉｆ

７ Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｗｅ

（ｄ＇ｋ／

／＝

Ｔｈｉｓ ｉｓ

（４．３．１７）

２Ａｋ－ｐ），

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｏｎｔｏ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｔｈｅｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ／． Ｂｙ ｕｓｅ ｏｆ ｏｕｒ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ａｎｄ ｌｅｔ ｗｅ

ｖ

＋

ｎｏ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｆ

＝

（４．３．１８）

ｗｅ ｓｅｔ

ｄ

＝

４， ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｅｃｏｍｅｓ

７ｅｘｐ（＾ｐ２）．

ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ

ｏｎ

ｐ， ｅｖｅｎ

ｔｈｏｕｇｈ

ｐ

＝

０ ｉｎ ｆｏｕｒ

ｌｅｔ ｄ－＞４ ａｎｄ ｐ－＞０， ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｉｓ ｓｍｏｏｔｈ．

ｗｅ

Ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ９． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｍａｄｅ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ． Ａｓ ｕｓｕａｌ ｗｅ ｄｉｖｉｄｅ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｉｎｔｏ ａ ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐａｃｅ ｂｉｇ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｃｏｎｔａｉｎ Ｐ！，．．．，Ｐｊ， ａｎｄ ｉｎｔｏ ａ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｓｐａｃｅ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．

Ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ

ｐａｒａｌｌｅｌ

ｓｐａｃｅ ｔｏ ｈａｖｅ

ａｎ

ｏｄｄ

ｎｕｍｂｅｒ ２Ｎ ＋ １ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｔｈｅｎ： ｛ｄ－ｌ）：２－Ｎ

ｌＴ（（ｄ－ｌ）／２－Ｎ）

ｘ｛Ｆ（ｋｌ９ｋ２，．．．９ｋ２Ｎ＋ｌ９ｋ＊）－

￡

ｄｋ２Ｔ（ｋ２Ｔｙｄ￣

Ｆｉ？＼ｋｌ９．．．９ｋ２Ｎ＋ｌＭｌＶ＊ｄ

（４．３．１９）

Ｈｅｒｅ ｗｅ ｈａｖｅ ｕｓｅｄ Ｆ ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ／ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ２Ｎ ＋ １ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｋ ａｎｄ ｏｆ ｋ２． Ｓｉｎｃｅ ／ ｉｓ ａｎ ａｎａｌｙｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｋ， ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｅｘｐａｎｄｅｄ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｋ２． Ａｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ， ｗｅ ｈａｖｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｏｆｆａ ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ ｋ＼， ｔｏ

ｇｉｖｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｔ ｆｃ７ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ

＝

０． Ｗｅ ｕｓｅ Ｆ（ｎ） ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｎｔｈ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ Ｆ ｗｉｔｈ

ｋ＼． Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｔ ｋＴ

＝

ｏｆ ｔｈｅ ｋ２ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｅｈａｖｅｓ

０ ｉｆ ｄ ＞ ３． Ｓｉｎｃｅ

／ ｉｓ ａｎａｌｙｔｉｃ，

ａｓ

ｋｄ－￣５，

ｈａｖｅ

ｓｏ ｗｅ

ｔｈｅｒｅ ａｒｅ

ｎｏ

ｏｔｈｅｒ

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ａｔ ｆｉｎｉｔｅ ｋ， ａｎｄ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｏｔｈｅｒ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｓｏｕｒｃｅ ｏｆ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｆｒｏｍ ｌａｒｇｅ ｋ． Ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｄｏ ｎｏｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ

ｄ＜

５． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，

ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ ｎｏ

ｗｅ

ｈａｖｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈａｔ

ｏｔｈｅｒ ｌａｒｇｅ ｋ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

／＝ ０（ｌ／ｆｃ４＋ｆｌ）

ａｓ

ｆｃ－＞ ｏｏ，

ｓｏ

ｔｈａｔ

ｗｈｅｎ ｄ ｉｓ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｆｏｕｒ． Ｈｅｎｃｅ （４．３．１９）

７９

４．３ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

ａｎａｌｙｔｉｃ ｉｎ ａ ｎｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄ ｏｆ ｄ ４． Ｎｏｗ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｉｌｌ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐ．＇ｓ ｏｎｌｙ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｓｃａｌａｒｓ Ｖａ＇Ｖｂ （ｗｉｔｈ １ ＜ ａ ＜ ｂ ＜ Ｊ）． Ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｉｓ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ， ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｋｅｅｐ ｔｈｅ ｐ￡＇ｓ ｗｉｔｈｉｎ ｓｏｍｅ ｆｉｘｅｄ Ｊ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｕｂｓｐａｃｅ． Ｓｉｎｃｅ （４．３．１９） ｉｓ ａ ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ， ｉｔ ｉｓ ａｎ ａｎａｌｙｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐ－＇ｓ． ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ ａｎｄ ｉｓ

＝

Ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ，

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｈｅｎ ｄ

＝

４ ａｎｄ ｗｈｅｎ ｔｈｅ

ｐ＾＇ｓ ａｒｅ ｉｎ

ｔｈｅ ｆｒｅｅｄｏｍ ｔｏ ｖａｒｙ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ （４．３．１９）． Ｌｅｔ ｕｓ ｎｏｗ ｍａｋｅ ｉｔ ｆｏｕｒ ＇ｐａｒａｌｌｅｌ＇ ｓｐａｃｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｏｂｔａｉｎ ａｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ： ／＝

Ｔ

ｗｅ ｕｓｅ

ｄ／ｃ１．．．ｄ／ｃ４Ｔ＾－＾ ｐｄｆｃｆｅ＇＇－５／（／ｃ１，／ｃ２，／ｃ３，／ｃ４，Ｐ）

ｉｆ ｄ＞４． Ｗｈｅｎ

ｗｅ

ｌｅｔ ｄ－＞４， ｔｈｅ

ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ

Ｉ（ｄ ａｓ

＝

４）＝

ｒｅｑｕｉｒｅｄ． ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｌｙ ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｆｒｏｍ ｆ

＝

Ｔｈｅ

２ｎｄ／２￣２

ｏｖｅｒ

＝

Ｉｄｋ．ｄｋ＾ｋ．ｄｋＪｉｋ＾ｋ＾ｋ＾ｋ＾Ｏｌ

Ｗｅ ｍａｙ ／

ｋ ｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ ａｔ ｆｃ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ Ｔ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｚｅｒｏ

ｆ００

Ｊｄ／ｃ，．．．ｄ＾Ｙ＾７＾＾２） Ｊ

ｄ＜４

０； ｔｈｅ

ｇｉｖｅ （４．３．２１）

ｕｓｉｎｇ

ｄｆｃ＾＂５Ｃ／（ｆｃｉ＞－ －，＾，＾２） ／（＾ｉ， －

－

ｏ

（４．３．２０）

－

＾４，０）］． （４．３．２２）

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ａｔ ｋ ０ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ， ｂｕｔ ａｓ（ｉ－＞４ｗｅ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｓｕｌｔ （４．３．２１）． ＝

ｇｅｔ

ａ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ａｔ

ｋ＝ ｏｃ ｗｈｉｃｈ

Ｃｏｍｍｅｎｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐｒｏｏｆ ｗｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｆｒｅｅｄｏｍ ｔｏ ａｌｔｅｒ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ４， ｉｔ ｗａｓ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐａｃｅ． Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｗｅｌｌ－ｂｅｈａｖｅｄ ａｔ ｄ ＝

ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐａｃｅ ｔｏ ｈａｖｅ ａｎ ｏｄｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｂｕｔ ｔｏ ４， ｉｔ ｗａｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｖａｌｕｅ ａｔ ｄ ＝

ｓｐａｃｅ ｔｏ ｈａｖｅ ａｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｉｎ ａ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｓｐｅｃｉｆｉｃａｌｌｙ， ｆｏｕｒ． Ｉｔ ｉｓ ｉｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｃａｓｅ． （Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ ｗａｓ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ ｅｖｅｎ

ａｔ ｔｈｅ ｅｎｄ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．２．） Ｓｕｐｐｏｓｅ ３ ＜ ｄ ＜ ４． Ｔｈｅｎ ｄｅｆｉｎｅ ｎｍ－２ ７？ ＝ｒｕｎ ｎ

ｒ｛ｄ／２ ｆｏｏ

／２

＝

－

２） Ｊ

０

ｄｋ＼Ｂ）ｄ＾ｆ｛ｋ＾ｋ２＾ｋ＾＼

－（＜＊－５）／２

（４．３．２３）

ｆｏｏ

Ｊ ｄ／Ｃ５ｒ（＾－５））Ｊ０ｄｆｃＴ２（ｆｃ＇）（ｄ＂７）／２［／（／Ｃｌ＇－－－＇ｆｅ４＇ｆｃ＇

＋

ｆｃＴ２）

－ｆ（ｋｉ，．．．，ｋ４，ｋ２５）ｌ

（４．３．２４）

８０

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

Ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＾－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ

ｄｆｃ１．．．ｄｆｃ４／１

／＝ Ｊ ｓｏ ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ

Ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ

（１

—

ｘ）ｋ２

ｗｅ

＝

／

ｔｅｌｌｓ

ｔｈａｔ

ｕｓ

ｄｆｃｊ ．．．ｄ／ｃ４／２，

（４．３．２５）

００

－

ｔｈａｔ ｌｘ＝ Ｉ２． ｃｈａｎｇｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｎ ／２， ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｋ２

＝

ｘｋ２ ａｎｄ

ｋ＼

＝

ｔｏ ｏｂｔａｉｎ：

ｗＷ－５）／２

ｒ（ｄ／２－５／２） Ｊｏ

Ｊｏ

１／２＾／２－７／２ ｄｋ２（ｋ２）ｄｌ２－３（ｌ－ｘ）－１！２ｘ＇

ｘｌｆ（ｋｌ，．．．，ｋ４，ｋ２）－ｆ（ｋ１，．．．，ｋ４，Ｋ２（ｌ－ｘｍ

ｒｒ（ｄ－５）／２

ｒ（ｄ／２－５／２）ＪＯ

ｄｘ＼ ｄＨ２ｋｄ－６（ｌ－ｘ）－ｌｌ２ｘｄｌ２－７／２ｘ Ｊ０

ｘ｛［ｆ（ｋｕ．．．，ｋＡ，Ｋ２）－ｆ（ｋ１，．．．，ｋＭ －Ｕ＇（ｋ１，．．．，ｋ４，Ｈ２（ｌ－ｘ））－ｆ（ｋｌ，．．．，ｋ４，０）］｝． Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｌｉｎｅ ｗｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ａｎｄ ａｄｄｅｄ

ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｓｅｐｅｒａｔｅｌｙ ｅａｃｈ

（４．３．２６）

ｆ（ｋｔ，．．．，ｋ４，０）， ｓｏ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｗｅ ｈａｖｅ

ｔｅｒｍ ｉｎ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ． Ｉｎ

ｄｆｃ２＾－６［／（／ｃ１，．．．，／ｃ４，Ｐ（ｌ－ｘ））－／（／ｃ１，．．．，／ｃ４）０）］ ＝

（！－＊） ２－ｄ／２

Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｗｉｔｈ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｉ２＿７ｉ－１／２ｒ（ｄ／２－２） ｆ１ Ｉ，

ｄｋ２ｋｄ－６ｌｆ（ｋｌ，．．．，ｋ＾２）－ｆ（ｋｌ，．．．ｉｋ＾０）］．

Ｔ（ｄ／２－５／２）

（４．３．２３） ｏｆ ／ｘ

ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ

ｄｘ［（ｌ－ｘ）－１／２ｘｄ／２＂７／２ －ｘ＾２－７／２（ｌ－ｘ）３／２＂ｄ／２］．

Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｄ ＞ ｓｏ

ｔｈａｔ ｉｔ

１０．

Ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｒｅｓｕｌｔ ｌｘ ＝／２

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ

ｅｑｕａｌｓ Ｆ（ｄ／２－５／２）ｒ（ｌ／２）／ｒ（ｄ／２－２）． ｆｏｌｌｏｗｓ． ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ａｔ

ｄ

＝

５

（４．３．２７）

ｏｆ ａ

Ｔｈｅ

ｂｅｔａ－

ｒｅｑｕｉｒｅｄ

４．

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

／（Ｐ１５．．．，ＰＮ）＝

＼ｄ％．．．ｄｄｋＬｆ（ｋｌ９．．．９ｋＬ＾ｌ９．．．９ｖＮ）．

（４．３．２８）

Ｔｈｉｓ ｍｉｇｈｔ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ａ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ Ｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ ａｎｄ Ｌ ｌｏｏｐｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐ－＇ｓ ａｎｄ ｋ．＇ｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｖｅｃｔｏｒｓ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ａｔ ｄ ４ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｕｌｔｒａｖｉｏｌｅｔ （ｆｃ－＞ ｏｏ） ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｒ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｉｆ ｗｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔ ｔｈｅ ｐｆ＇ｓ ｔｏ ｔｈｅ ＝

－

ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ａｎｄ ｓｅｔ ｄ

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｆ ／．

＝

４， ｔｈｅｎ ／ ｉｓ ｔｈｅ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

４．４ Ｆｏｒｍｕｌａｅ

ｆｏｒ Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ

８１

ｓｐａｃｅ

Ｐｒｏｏｆ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｖｅｃｔｏｒ ｖ， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ ｖ ａｎｄ ｖ， ｏｎｔｏ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ａｎｄ ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ， ａｓ ｂｅｆｏｒｅ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｏ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｆ Ｐｊ

＝

ｐｆ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｐ．＇ｓ ｔｈｅｎ ／ ｄｅｆｉｎｅｄ

ａｓ

ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ

ａｓ

ｄ －？ ４ ｏｆ ｔｈｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｌｙ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｗｅ ｅａｃｈ ｏｖｅｒ ａ ｉｎｔｏ ａｎ ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｐｌｉｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｋｚ ｏｖｅｒ ｋｔ ａｎｄ ａ （ｄ ４）－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｋｆ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｏ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ ｉｓ ｉｓ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ ｔｈｅ

ｃａｎ

—

ｔｈｅｎ ｔｈａｔ

ｌｉｍｊｄ＇－４＾．．．＾＾＾ ａｓ

（４．３．２９）

ｄ－＞４． Ｔｈｉｓ ｆｏｒｍｕｌａ ｉｓ

ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｄｏｉｎｇ ａｌｌ ｂｕｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｆｔ，．

Ｌｅｔ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ

ｂｅ／（１）： ／（ｌ）（ｋ１）＝ ｉｔｓ ｏｎｌｙ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ （４．３．２９） ｉｓ

ｏｎ

ｋｔ

ｉｄｄ－％．．．ｄｄ￣＊ｋＬｆ；

ｉｓ ｖｉａ ｉｔｓ

ｌｅｎｇｔｈ．

（４．３．３０）

Ｗｅ ｔｈｅｎ ｈａｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ

ｓｉｄｅ ｏｆ

ｂｙ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ９． ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｗｅ

ｃａｎ

ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ｋｊ

ｉｓ

ｏｎ

ｉｔｓ ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ

｜ｄ－４ｋ３．．．ｄ－－４ｋＬ／（ｋｌ，ｋ２，ｋ３，．．．）．

／（１）（０）＝ Ａｎｏｔｈｅｒ Ｌ—２

Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｔｈｅｎ ｒｅｐｅａｔ ｔｈｉｓ ｐｒｏｃｅｓｓ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｒｅｐｅｔｉｔｉｏｎｓ ｇｉｖｅ （４．３．２９），

ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｄｅｓｉｒｅｄ ｐｒｏｐｅｒｔｙ

ｆｏｌｌｏｗｓ．

４．４ Ｆｏｒｍｕｌａｅ ｆｏｒ Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ ｓｐａｃｅ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

ｗｅ

ｄｅｒｉｖｅ

ａ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｓｕｌｔｓ ｔｈａｔ

ａｒｅ

ｕｓｅｆｕｌ ｆｏｒ Ｆｅｙｎｍａｎ

ｇｒａｐｈ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ．

４．４．１ Ｔｏ ｃｏｎｖｅｒｔ ａｎ

Ｓｃｈｗｉｎｇｅｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｇｒａｐｈ ｉｎ ｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｔｏ ｕｓｉｎｇ

ａ

ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｉｎｔｅｇｒａｌ，

ｗｅ

ｆｉｒｓｔ ｒｅｗｒｉｔｅ ｅａｃｈ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｐｅｒｆｏｒｍ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ．

Ｓｉｎｃｅ ａｌｌ Ｆｅｙｎｍａｎ

ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｏｆ

８２

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔａ ｔｉｍｅｓ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｓｉｍｐｌｅ ｓｃａｌａｒ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ， ｗｅ ｏｎｌｙ ｈａｖｅ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｄ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ： ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ

ａ

Ｉ＾＂？（Ａ，Ｂ）

ｄｄｋｋ＞＂

＝

／ｃ＂－ｅｘｐ ［

．．．

－

（

－

Ａｋ２

２Ｂｋ）ｌ

－

（４．４．２）

ｏｎ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ （４．４．１）， ｗｈｉｌｅ Ｂ＂ ｔｈｅｓｅ ｄｅｐｅｎｄｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ａｌｓｏ ｌｉｎｅａｒｌｙ ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｍｏｍｅｎｔａ （ｂｏｔｈ ｅｘｔｅｒｎａｌ ａｎｄ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ）．

Ｈｅｒｅ Ａ

ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎｌｙ ｏｎ

Ｂｙ ｌｉｎｅａｒｉｔｙ

ｗｅ ｃａｎ

＇１

ｕｓｅｓ

３

■＝ｎ ２ｄＢＵｌ Ｊ＝１ ｖ＿？？／ｌｊＶ

Ｉｔ

（Ｔｈｉｓ

ｆｉｎｄ ｌｎ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ／０：

ｌｉｎｅａｒｉｔｙ

ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｆｃ＂－？ｆｃ＂

ｄｄｋｅｘｐ｛Ａｋ２

＝

ｉ（ｎ／Ａｆ２ ｅｘｐ（

＼（ｎ／Ａ）ｄ／２ｅｘｐ（

４＼ｄｄｋｋ＞－ｋ＞＇ｋｖｅｘｐ（Ａｋ２

１ Ａ

＝

＝

ｔｈｅ

ｉ（ｎ／Ａｆ２ｅ－Ｂ２：：Ａ

＋

２Ｂ－ｋ）

Ｂ２／Ａ）（

－

ｒ

－

－

＋

（４．４．４）

２Ｂ－ｋ）

＋

ｄ＂／ｃ／ｃ＂／ｃｖｅｘｐ（＾２

Ｉｘ３＂ｖ＝

＝

７０ ｂｙ ｕｓｉｎｇ

ｉ（ｎ／Ａ）ｄｌ２ｅｘｐ（－Ｂ２／Ａ）．

／？＝ ＼ｄｄｋｋ＂ｃｘｐ（Ａｋ２ ＝

（４．４．３）

Ｂ＂／Ａ， ｔｈｅ ｓｃａｌｉｎｇ ／ｃ－＞／ｃ Ａ￣ｉ／２， ａｎｄ Ｗｉｃｋ ｒｏｔａｔｉｏｎ：

Ｔｈｕｓ

＝

２Ｂ－ｋ）．

ｏｆ ｒｆ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ．） Ｗｅ ｆｉｎｄ —

Ｉ０（Ａ，Ｂ）＝ ＼ｄｄｋｅｘｐ（Ａｋ２

Ｉ＂２Ｖ＝

＋

ｊ

＋

－

Ｂ？／Ａ），

（４．４．５）

２Ｂ－ｆｃ）

Ｂ２／Ａ）（Ｂ＂ＢＶ／Ａ２ －ｉｇ＂ｖ／Ａ），

（４．４．６）

２Ｂ－ｋ）

ＢＸＢ＂ＢＶ

（Ｂ＇ ｇ＂ｖ ＋

Ｂ＂ｇＸｖ ＋ Ｂｖｇｘ＂） ２Ａ２

（４．４．７）

＼ｄｄｋｋ＂，ｋｘｋ＂ｋｖｃｘｐ（￣Ｂ２／Ａ）

ｉ（ｉｔ／Ａ）ｄ＇２ｅｘｐ（－Ｂ２／Ａ）

ＶＢＫＢＸＢ？ＢＶ

（ＢＫＢｘｇ＂ｖ ＋ ｆｉｖｅ ｓｉｍｉｌａｒ） ２Ａ３

Ａ＊

｝■

＋

｛ｇＫＸｇ＇ｌｖ ＋ ｔｗｏ ｓｉｍｉｌａｒ） ￣｜ ４Ａ２

（４．４．８）

Ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｉｓ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｗａｙ． Ａｔ ｅａｃｈ ｓｔａｇｅ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｎｌｙ ａｐｐｅａｒ ｑｕａｄｒａｔｉｃａｌｌｙ ａｎｄ ｌｉｎｅａｒｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐｏｎｅｎｔ．

４．５ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ

８３

４．４．２ Ｆｅｙｎｍａｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ Ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ

ｃｏｍｍｏｎ ｔｏ ｕｓｅ

＇－￡

ｌ／（ＡＢ） ａｎｄ ｉｔｓ

＝

ｄｘ／［Ａｘ ＋ Ｂ（＼

－

（４．４．９）

ｘ）］２

ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ： １

Ｉ＼＊ ＋

Ａ＊＆—Ｅ＇

ｐ＋ ？■？＆）

ｘ

ｒ（ａ）ｒ（＾）－－－ｒ（ｅ） ｘ

Ｊｏ

ｄｘｄｙ－ｄｚｄ｛＼—ｘ

—

ｙ

ｚ）

ｘ

ｘａ－ｙ－ｌ．．．ｚｅ－ｌ （Ａｘ ＋ Ｂｙ ＋ －－－Ｅｚｆ＋ｆｉ＋－＋ｅ＇

（４．４．１０）

Ｈｅｒｅ Ａ， Ｂ，．．．，Ｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ｏｆ ａ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｋ＇＂－－－ｋ＇＇＂

Ｃ ＪＨｆ－ｌｈ，— ｌＡｄｈ ？ｖ＊

］ａ＼－ｋ２＿２Ｐ．ｋ ＋ ｃｙ

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ （４．４．１） ａｎｄ Ｊ０

＼ｄ＂ｋ／（

＝

－

ｋ２

－

ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ

２ｐ－ｋ

ｉｎｄ／２（Ｃ ＋ ｐ２）＂＇２ ＂Ｈａ

Ｊ＼

＝

Ｊｆ

ｉｎｄｌ２（Ｃ ＋ ｐ２Ｙ＇２－＇（

＝

＝

－

＼ｄｄｋ ｋ＂／（ －ｋ２－２ｐ－ｋ

＝

－

（４．４．４）－（４．４．８）， ｅｔｃ．， ｇｉｖｅｓ

Ｃｆ

＋

＂

＝

｛（４．４１１）＇

＋

ｒｆ／２）／ｒ（ａ）， Ｑ＊

ｐ＂）ｒ（ａ

ｄ＂ｋｋ？ｋｖ／（－ｋ２－２ｐ－ｋ

（４．４．１２）

－

ｄ／２）／Ｔ（ａ），

（４．４．１３）

Ｃ）ａ

＋

ｉｎｄ，２（Ｃ ＋ ｐ２ｆ２－ｘｘ ｘ

［ｒ（ａ

－

ｄ／２）ｐ＂ｐ＂

－

Ｔ（ａ

－

１

－

ｄ／２）ｇ？ｖ（Ｃ

＋

ｐ２）／２］／ｒ（ａ）．

（４．４．１４）

４．５ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ Ｔｈｅ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ：

（１） Ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ： ｛／，ｙｖ｝＝２０＊ｖｌ．

（４．５．１）

８４

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

Ｈｅｒｍｉｔｉｃｉｔｙ：

（２）

／ｗ

＊－／ ｉｆ／ｘ ＞ １．

Ｗｈｅｎ ｗｅ ｕｓｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ， ｔｈｅ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎｄｉｃｅｓ ｒａｎｇｅ ｏｖｅｒ ａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｖａｌｕｅｓ， ｓｏ ｗｅ ｎｅｅｄ ｉｎｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｔｏ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａ （４．５．１）． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ａ ｔｒａｃｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ：

ｔｒｌ

＝／（＜＊），

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｂｅｈａｖｅｓ ａｓ ｉｆ ｉｔｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｗｅｒｅ ｆ｛ｄ）． Ｗｅ ｍｕｓｔ ｒｅｑｕｉｒｅ ｆ（ｄ０） ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｖａｌｕｅ ａｔ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｄ ｄ０． Ｕｓｕａｌｌｙ ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ ／（４） ４． ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｓｏ

＝

＝

ｌｉｎｅａｒ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ｌａｔｅｒ． ｉｎｔｅｇｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ ２ｃｏ， ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ／＇ｓ

Ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｉｓ

Ｉｎ

ａｎ ｅｖｅｎ

ａ

＝

ｈａｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ２°＼ Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ｆ（ｄ） ２ｄ／２． Ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ／ （ｄ） ｆ （ｄ０） ｉｓ ｏｎｌｙ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｆｏｒ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈ， ｓｏ， ｂｙ Ｃｈａｐｔｅｒ ＝

—

７， ａｎｙ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｆ（ｄ） ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． ｕｓｕａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｓｅｔ ｆ（ｄ） ｆ（ｄ０） ｆｏｒ ａｌｌ ｄ．

Ｉｔ ｉｓ

＝

Ｔｏ ｓｅｔ ｕｐ ａ ｆｏｒｍａｌｉｓｍ ｆｏｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｌｙ ｒｅｇｕｌａｒｉｚｅｄ ｙ－ｍａｔｒｉｃｅｓ， ｔｒｅａｔ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｉｓｓｕｅｓ：

（１）

ｗｅ ｍｕｓｔ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ； ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ． ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｙＭ＇ｓ ｍｕｓｔ ｂｅ

Ｗｅ ｍｕｓｔ ｅｘｈｉｂｉｔ

ａ

ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｅｎｓｕｒｅ

（２）

Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｅ

ｄｅｒｉｖｅｄ． （３） Ｗｈｉｌｅ ａ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ／＇ｓ ａｌｏｎｅ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｆｏｒ ＱＣＤ ａｎｄ ＱＥＤ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｙ５ ｓｏ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｔｒｅａｔ ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ．

Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｇｉｖｅ

ｕｓ ａ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃ

ｔｅｎｓｏｒ

ｅＫＡ／ｉＶ．

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｇｉｖｅｓ ａ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ： Ｌｅｔ ｃｏ ｂｅ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒ， ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ａ ２Ｗ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｙｆｗ） ｏｆ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａ （４．５．１） ｆｏｒ １ ｂｙ １． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｙ＊ ｆｏｒ ０ ＜ ＼ｉ ＜ ２ｃｏ ０ ＜ ｆｉ ＜ ２ｏｊ ｈａｖｉｎｇ ａ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｙ＾＇ｓ ｄｏｗｎ ｔｈｅ ｄｉａｇｏｎａｌ， ａｎｄ ｚｅｒｏｓ ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ ｅｌｓｅ： Ｔｈｅ

—

—

ＶＭ

ｙ

＜

＼ｉ

＜

２ａ＞ ＋

＼

０ ｖｙ

ｏ ｖＣ．． ｎｏ？

｜

？

（４－５－３）

＋

ｈｉｇｈｅｒ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｙｆ（０＋１｝ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ２＜° ＊， １． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ （４．５．３） ａｐｐｌｙ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ ｏｆ ｃｏ， ｗｅ ｍｕｓｔ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｔｈｅ ｎｅｘｔ

ｗｉｔｈ ０

ｂｕ — ￣

８５

４．５ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｃｈｏｏｓｅ

Ｔｈｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ （４．５．１） ａｎｄ ｔｈｅ ｈｅｒｍｉｔｉｃｉｔｙ ｒｅｌａｔｉｏｎ （４．５．２）， ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ ０ ＜ ｆｉ， ｖ ＜ ２ｃｏ １． Ｏｕｒ ｔａｓｋ ｔｈｅｎ ｉｓ ｔｏ ｆｉｎｄ —

ｆ°ｒ ＾ ２ｗ ａｎｄ ２ｃｏ ＋ １． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｓｔａｒｔｓ ｗｉｔｈ

ｙｆａ＞＋１）

＝

１

＊°？＝

０＼

，

ｃｏ

＝

１． Ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ

＿／

０ １

－ｉ）＞ ｙ＾－＼－＼

Ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ２ａ）－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

？０）－

？

ｎ＿ｉ ｏ

ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｙｆａ

Ｈ－５－４）

■

＿，ｎ

ｏ

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ ａｎｏｔｈｅｒ ｍａｔｒｉｘ

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ

＆＞ Ａｌｓｏ， ｗｈｅｎ ａｔ ｃｏ ａｔ ｄ

＝

＝

ｙ＜？＞

？＜？＞，

２， ｗｅ ｈａｖｅ ｆ

＝

＝

＝

｛ｉｗＸ＞｝＝ｏ．

１＞

（４－５－６）

ｙ５， ｉｎ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ

４． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ

／，ｗ＋１，＂Ｖ－ｙ？．，

ｏ

ｙｉｖｉ＝（－° ｉｆｒ）－ Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ

ｔｏ

ｃｈｅｃｋ

ｔｈａｔ

（４－５－７＞

（４．５．１） ａｎｄ （４．５．２）

ａｒｅ

ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｆｏｒ ０＜／ｉ，

ｖ￡ ２（ｏ＋ｌ．

ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｆｏｒ ａｎｙ ｕ＞， （４．５．３）． Ｓｔａｎｄａｒｄ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｖａｌｉｄ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ ｏｆ ｄ． Ｔｗｏ ｕｓｅｆｕｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ： Ｗｅ

ｎｏｗ ｈａｖｅ ａｎ

ａｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃａｓｅ， ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ

ｒｔｖ＝Ｔ｛ｙ＂，ｙ？｝ｉ＝＜ｉ ／Ｗ？

＝

＝

ｒｆｉ，

（４－５．８）

２０？ｖｙ＂－／ｙ？ｙｖ （４．５．９）

（２－ｄ）ｙｖ．

Ｗｅ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｒａｃｅｓ ｏｆ ｙ－ｍａｔｒｉｃｅｓ， ｉｎ ａ

＝

ｇｒａｐｈｓ

ｗｉｔｈ ｆｅｒｍｉｏｎ ｌｏｏｐｓ． Ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ

ａｔｖ（Ａ）

＋ ｂ

ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｌｉｎｅａｒ ：

ｔｉ（ａＡ

＋

ｂＢ）

＝

（４．５．１０）

ｔｒ（ｆｌ），

ａｎｄ ｉｓ ｃｙｃｌｉｃ： ｔｒ（ＡＢ） Ｈｅｒｅ Ａ ａｎｄ Ｂ

ａｒｅ

ａｎｙ

＝

（４．５．１１）

ｔｒ（ＢＡ）．

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｙ－ｍａｔｒｉｃｅｓ， ａｎｄ

ａ

ａｎｄ ｂ

ａｒｅ ａｎｙ

ｎｕｍｂｅｒｓ．

８６

Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｔｈｅｓｅ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｒ １， ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ ａｎｙ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ

ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｒ

（ｙ＂ｙｖ）

＝

ｔｒ

（／／）

（ｃｙｃｌｉｃｉｔｙ）

＝

ｔｒ

（

＋

＝

ｓｏ ｗｅ

ｙ－ｍａｔｒｉｃｅｓ．

－

／ｙ

－

ｔｒ

（ｙ＂ｙｖ）

２￥Ｔ １）

＋

（ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ）

Ｖｖｔｒ

（ｌｉｎｅａｒｉｔｙ），

１

ｈａｖｅ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｒｅｓｕｌｔ ｔｒ（ｙＹ）

＝

＾ｖｔｒｌ．

（４．５．１２）

０ＫＶＶ ＋ ０ＫＶ＂）ｔｒ １．

（４．５．１３）

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｔｒ

Ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ

（ｙＫｙＶｙｖ） ｐｒｏｄｕｃｔ

（０ＫＶＶ

＝

ｏｆ

ａｎ

－

ｏｄｄ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ｙ－ｍａｔｒｉｃｅｓ

ｉｓ

ｚｅｒｏ．

Ｆｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ ｄｔｒｙＡ

＝ｔｒ ＝

＝

ｓｏ

ｔｒｙＡ

＝

［ｙＫｙＫｙｋ）

－ｔｒ（ｙＹ７ｊ ＋ ２ｔｒｙＡ

－ｔｒ（ｙＫｙＶ）－ｈ２ｔｒｙＡ，

０．

ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｍａｋｅ ａ ｍｏｒｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ， ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｏｆ （４．３．５）． Ｉｔ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ． Ｗｅ ｃａｎ ｆｉｎｄ ａ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ ａｎｙ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｙ－ｍａｔｒｉｃｅｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｉｎｇ （４．５．１３）． Ｉｔ ｉｓ ｔｒｕｅ ｆｏｒ ａｎｙ ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ， ｙｆａ， ｓｏ ｉｔ ａｇｒｅｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． Ｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｄｅｆｉｎｅｓ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ． Ｔｈｉｓ Ｗｅ ｍｕｓｔ ａｌｓｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｇ＾ ｃｏｍｍｕｔｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｃｈｅｃｋｅｄ ｄｉｒｅｃｔｌｙ． Ａ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ ａ ｍａｔｒｉｘ ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ Ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ

－

Ｍｉｊｉｓ ｔｒＭ，． Ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｏｆ

ａ

（ｔｒｌ）ｌｉｍｉ Ｎ－ｏｏｉＶ

￡ Ｍｊｙ

（４．５．１４）

ｊ＝ｌ

ｅｘｐｌｏｉｔｓ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｍａｔｒｉｘ ｙ＂ ｉｓ ａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｐｉｅｓ

ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

＝

ｏｆ ｄ， ｔｈｅ

ｙｆａ ｓｔｒｕｎｇ ａｌｏｎｇ ｔｈｅ ｄｉａｇｏｎａｌ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｙ＾＇ｓ

ｏｎｌｙ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｒｆ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｈｏｉｃｅ

ａｒｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｒ １．

４．６

ｙ５ａｎｄ

ｅｋｘ＾ｖ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ， ｙ５ ｉｙ°ｙ１ｙ２ｙ３ ａｎｄ ｅＫ＞ｆｉＸ ｉｓ Ｌｏｒｅｎｔｚ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｔｅｎｓｏｒ ｗｉｔｈ ｅ０１２３ １． Ｗｅ ｎｅｅｄ

Ｉｎ ｆｏｕｒ

＝

＝

ａ

ｔｏｔａｌｌｙ ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

ｙ５， ｆｏｒ

８７

４．６ ｙ５ ａｎｄ ｅＫ＾ｖ ｔｈｅ

ｃｕｒｒｅｎｔ

ａｘｉａｌ

ｉｅ＾＾ｙＶＶ／＾！，

ａｎｄ

ｗｅ

＝

１

＝

ｉ￡＊＾ｖ ｔｒ １

ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｃｈａｎｇｅｓ

Ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｙ５ ￡０１

￡－ｔｅｎｓｏｒ

＝

—

ｗｅ

ｈａｖｅ

￡１０， ￡００

Ｔｏ ｃｏｎｔｉｎｕｅ

ｆ（１） ￡ｕ

＝

ｉｎ

ｃｏｍｅｓ

ｂｅｃａｕｓｅ

ｙ５

＝

ｈａｖｅ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｆｏｒｍｕｌａ：

ｔｒ ｙ５ｙＫｙＹｙｖ Ｔｈｅ

Ｔｈｅ

ｉ／ｓｙ＾ｙ＾．

＝

＝

ｙ°ｙ１９ ａｎｄ

—

＝

ｗｈｅｎ

ｉｅＫＸｆｌｖ ｔｒ １． ｗｅ ｇｏ

ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｅＫＸ／ｌｖ

ｔｏ

ｗｅ

ｔｗｏ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ：

ｈａｖｅ ￡ＭＶ， ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

Ｕ．

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｌｙ，

ｍｉｇｈｔ ｅｘｐｅｃｔ

ｗｅ

ｙ５ ｔｏ

ｓａｔｉｓｆｙ

ａｓ ｉｎ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｂｕｔ ｔｈｅｎ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １３， ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｙ５ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｈａｓ ｚｅｒｏ ｔｒａｃｅ ｗｈｅｎ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｄ ｂｙ ａｎｙ ｓｔｒｉｎｇ ｏｆ ｙ＂＇ｓ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｈａｖｅ ａ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｙ５．

ｊｕｓｔ

ｗｒｉｔｉｎｇ

Ａ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ

ｙｓ

！１ －

＝

ｉｆ

１ ｉｆ

ｉｙｏｙｙ ｙ３

（Ｋ？？ｆｉｖ） ｉｓ （ＫＡｆｉｖ） ｉｓ

＝

ｉｒｙｒｖｗ４！＞

ａｎ ｅｖｅｎ ａｎ

ｏｄｄ

ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ （０１２３）， ｐｅｒｍｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ （０１２３），

（４－６－１）

（４．６．２）

０ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ．

Ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ ｎｏｔ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎｖａｒｉａｎｔ

ｏｎ

ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｓｐａｃｅ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ

ｏｎ

ｔｈｅ

ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｗｅ ｈａｖｅ

｛ｙ５，／｝＝０， ｜ｊ５＞ Ｖ＂］

（７ｓ）２

＝

０，１，２，３，

＝

０，

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ，

＝

１，

／５＝ｙ５－

（４－６．３）

ａ ｎｕｉｓａｎｃｅ， ｂｕｔ ｉｔ ｄｏｅｓ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ Ｈｏｏｆｔ ＆ Ｖｅｌｔｍａｎ ａｎｏｍａｌｙ ｆｔ （１９７２ａ））．

Ｔｈｅ ｌａｃｋ ｏｆ ｆｕｌｌ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ａｘｉａｌ

ｉｆ ＾

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｃｈａｐｔｅｒ ｗｅ ｃｏｍｅ ｔｏ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ ｉｓ ｔｈａｔ ａ ｇｒａｐｈ ｍａｙ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｐｏｓｓｅｓｓ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｉｔ ｍａｙ ｈａｖｅ ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｍａｎｙ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｎｅｓｔｅｄ ｏｒ ｃａｎ ｏｖｅｒｌａｐ ｉｎ ｖｅｒｙ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｗａｙｓ． Ｍｏｓｔ ｏｆ ｏｕｒ ｅｆｆｏｒｔ ｍｕｓｔ ｇｏ ｔｏ ｄｉｓｅｎｔａｎｇｌｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｂｅｇｉｎ ｂｙ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｎｇ ｓｏｍｅ ｓｉｍｐｌｅ ｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｅｓｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｕｓ Ｉｎ ｔｈｉｓ

ｈｏｗ ｔｏ ｓｅｔ ｕｐ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌｉｓｍ ｉｎ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ． Ｔｈｅ ｕｌｔｉｍａｔｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９６９）． Ｃｏｎｔｒａｒｙ ｔｏ ｉｔｓ ｒｅｐｕｔａｔｉｏｎ， ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ， ｄｅｓｉｇｎｅｄ ｆｏｒ ｐｅｄａｎｔｉｃａｌｌｙ ｒｉｇｏｒｏｕｓ ｔｒｅａｔｍｅｎｔｓ． Ｒａｔｈｅｒ， ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｉｓ ｍｅｒｅｌｙ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｗａｙ ｏｆ ｗｒｉｔｉｎｇ ｄｏｗｎ ｗｈａｔ ｉｓ ｉｎ ａｎ

ｅｓｏｔｅｒｉｃ

ｆａｃｔ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ａｎｄ ｏｂｖｉｏｕｓ ｗａｙ ｏｆ ｅｘｔｒａｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｆｒｏｍ ａｎｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｉｔｓ ｐｏｗｅｒ ｉｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｅａｓｅ ｏｆ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ

ｔｈｅ ｈａｎｄｌｉｎｇ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｏｒｍａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｔｈｅ ｂｅｔｅ ｎｏｉｒｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ．

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ，

Ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ． Ｉｔ ｅｘｔｒａｃｔｓ ｇｒａｐｈ ｂｙ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｎｇ ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｉｔｓ

ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔ ｏｆ ａ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｃａｎ ｂｅ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄ ａｓ ａｃｔｕａｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｌｏｃａｌ， ｉ．ｅ．， ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｅａｃｈ ｇｒａｐｈ， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｗｏｒｋｉｎｇ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｗｉｔｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ａｐｐｌｉｅｓ ｔｏ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ． Ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ

ｓｅｅ

ｍｏｒｅ

ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ６， ｉｔ ｗｉｌｌ ｅｎａｂｌｅ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ

ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ

ａ

ｃａｓｅ

ｉｓ ｔｈｅ

ｕｓ ｔｏ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ａ

ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ａｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ． Ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ， ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ

ｇｏｏｄ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ＇ｓ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０． Ｌｅｔ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ：

ｐｅｒｍｉｔｓ

ａ

／？

Ｕ（Ｇ）（Ｐｌ，．．．，ｐＮ）＝ ｄ＂ｆｅ，．．．ｄ＇ｉｆｅＬ／（ｐ１（．．．，ｐｌｖ；／ｃ１，．．．ｆｃｔ）－ Ｈｅｒｅ ｐｌ９．．．，ｐＮ ａｒｅ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ， ａｎｄ

ｋ｛，．．．，ｋＬ

ａｒｅ

（５－０．１） ｔｈｅ ｌｏｏｐ

５．７

Ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

８９

ａｎｄ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｌａｒｇｅ－ｆｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｔｈｅ ｖｅｒｙ ｓａｍｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ

ｍｏｍｅｎｔａ． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｒｅｍｏｖａｌ ｏｆ ｔｈａｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈａｔ

ｃａｕｓｅｓ

ｅｘｔｒａｃｔ ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ ｐ ａｓ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０． －

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｓｅｅ

ｗｈｅｎ

ｗｅ ｔｒｅａｔ

ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

Ａｌｔｈｏｕｇｈ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ （１９６０） ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｔｏ ｅｉｔｈｅｒ ｋｉｎｄ ｏｆ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ， ｉｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｔｅｌｌ ｕｓ ｈｏｗ ｔｏ ｏｒｇａｎｉｚｅ ｉｔ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｉｔ ｗａｓ ｏｎｌｙ ｍｕｃｈ ｌａｔｅｒ ｔｈａｔ Ｗｉｌｓｏｎ （１９６９）

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏｏｌ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｎ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｓｅｅ Ｃｈａｐｔｅｒ １４． Ｍａｎｙ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｍａｄｅ ｓｅｅ Ｍｕｅｌｌｅｒ （１９８１） ｆｏｒ ａ ｒｅｖｉｅｗ． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｉｃａｌｌｙ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ， ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｂｙ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ ｉｓ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｔｈａｔ ｆｏｒ Ｗｉｌｓｏｎ＇ｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． ｆｏｒｍｕｌａｔｅｄ ｈｉｓ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ

－

－

５．１

Ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

Ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ａｎｄ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｈａｔ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｏｆ

ａ

ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ａｒｅ ｔｏ ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｐｒｏｐｏｓｅ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｅｘｐａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ｇ， ｔｈｅｒｅｂｙ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｅｘｔｒａ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｓ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ． Ｔｏ ａｖｏｉｄ ｓｕｐｅｒｆｌｕｏｕｓ ｔｅｃｈｎｉｃａｌｉｔｉｅｓ， ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ．

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｏｆ

＜／＞３ ｔｈｅｏｒｙ

ｉｎ ｓｉｘ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｗａｓ ｄｉｓｃｏｖｅｒｅｄ ｂｙ Ｓｈｉｒｋｏｖ ＆ ａｎｄ （１９５５， １９５６， １９８０） Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ ＆ Ｐａｒａｓｉｕｋ （１９５７）， ａｎｄ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｆｏｌｌｏｗ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｓｔｅｐ ｉｓ ｔｏ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅ ｔｈｅ

Ａ ｖｅｒｙ ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｗａｙ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ａｓ

ｆｏｌｌｏｗｓ： ＾

Ｈｅｒｅ

ｉ／（ｐ２

Ｓ￡０ －

＝

＾０

＋

＾ｂ

＋

（５．１．１）

＾ｃｔ．

ｉｓ ｔｈｅ ｆｒｅｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｕｓｅｄ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

ｍ２ ＋ ｉｅ） ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ：

（５．１．２）

Ｊ？０＝（ｄ＜ｔ＞）２／２－ｍ２（ｆ）２／２， ｗｉｔｈ ｉｆ ｂ

＋

ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｍａｓｓ． Ｔｈｅ ｒｅｓｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ＜￡， ＪＳ？ｃｔ， ｉｓ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ， ａｎｄ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ

ｍ

＝

ｃａｌｌ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ， ｉｓ

（５．１．３）

Ｊ？ｂ＝－ｇ＜Ｐ３／３＼， ｗｈｅｒｅ ｇ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ， Ｊ＾ｃｔ， ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ．

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｃａｌｌ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｓｅ ｈａｖｅ ＵＶ

９０

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ

ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ

ｔｏ

ｂｙ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ｏｆ ｔｈｅｉｒ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｔａｋｅｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ＪＳ？ｒｔ （Ｔｈｅ

＝

（５Ｚ（＜３０）２／２

－

５ｍ２（ｊ）２／２

－

５ｇｃｊ）３／３！

－

ｃｊ＞ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔａｄｐｏｌｅ ｇｒａｐｈｓ

（５．１．４）

ｄｈｃｊ）．

Ｆｉｇｓ． ｂｅｌｏｗ．） Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｇｉｖｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｔｏ ５Ｚ， ｄｍ２， ５ｇ， ａｎｄ ５ｈ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｉｍｐｏｓｅ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｌｉｎｅａｒ ｉｎ

－

ｓｅｅ

５．１．４ ａｎｄ

５．１．５

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｅｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｋｅｙ ｔｏ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈａｔ ｗｅ ｕｓｅ ｉｓ ｔｏ ｒｅａｌｉｚｅ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｔｅｒｍｓ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｓ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｑｕａｎｔｉｔｙ． Ｒａｔｈｅｒ ｉｔ ｉｓ ｔｏ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｓ ａ ｓｕｍ ｏｆ ｔｅｒｍｓ， ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅｍ ｃａｎｃｅｌｌｉｎｇ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｏｎｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｇｒａｐｈ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ， Ｆｉｇ． ３．１．１， ｇｉｖｅｓ ａ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ＳＸＺ ｔｏ ＳＺ， ａｎｄ ａ ｔｅｒｍ ｄ＾ｍ２ ｔｏ ｄｍ２． Ｏｕｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｇｒａｐｈ ｌｅｄ

ｔｏ

（３．５．７），

ｓｏ

ｗｉｔｈ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

５１Ｚ

＝

＾ｍ２

＾／［３８４７ｒ３（ｒｆ－６）］，

＝

Ｔｈｅｎ ｃ５Ｚ＝

ｗｅ

ｈａｖｅ

Ｊ

ｌ

３２ｍ２／［６４７ｒ３（ｄ－６）］．ｊ ￡ ５ＧＺ

ｇｒａｐｈｓ Ｇ

＝

＇

＇

＇

８１Ｚ＋－－；

ｗｉｔｈ ｓｉｍｉｌａｒ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

ｕｔｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｄｅａ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｇｒａｐｈｓ ｌｉｋｅ ｔｈｏｓｅ ｉｎ Ｆｉｇ． ３．２．１ Ｇｒａｐｈｓ ｌｉｋｅ Ｆｉｇ． ３．２．２ ｃｏｎｔａｉｎ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｂｘｍ２ （ａｎｄ ＳｌＺ）． Ｓｕｃｈ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ａｌｌ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｇｒａｐｈｓ ｌｉｋｅ Ｆｉｇ． ３．２．１ ｗｉｔｈ ｎｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｎｄ ｆｉｎｄｉｎｇ ｗｈｅｒｅ Ｆｉｇ． ３．１．１ ｏｃｃｕｒｓ ａｓ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ． Ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｏｆ Ｗｅ ｓａｗ ｔｈｅ

ａｎｄ Ｆｉｇ． ３．２．２．

ｔｈｅｓｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｉｃｅｓ． Ｔｈｉｓ ｌｅａｄｓ ｔｏ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｔｈａｔ ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｂｙ ｉｔｓｅｌｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ

ｓｉｎｇｌｅ ｇｒａｐｈ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ

ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ．

Ｗｅ ａｄｄ ｔｏ ｉｔ

ａ ｓｅｔ

ａ

ｏｆ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｔｏ ｇｉｖｅ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｕｌｔ． Ｏｎｌｙ ａｓ ａ ｓｅｐａｒａｔｅ ｓｔｅｐ ｄｏ ｗｅ ｒｅｃｏｇｎｉｚｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｒｅ， ｉｎ ｆａｃｔ， ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ａ ｐｉｅｃｅ ｏｆ ａｎ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． ｇｒａｐｈ－ｂｙ－ｇｒａｐｈ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｐｒｏｂａｂｌｙ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｐｏｗｅｒｆｕｌ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｍａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ． Ｅｖｅｎ ｓｏ， ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ａｔ ａｌｌ ｔｒｉｖｉａｌ Ｔｈｅ

ｔｏ

ｅｎｓｕｒｅ

ｓｔｅｐｓ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｇｒａｍ ｃａｎ ｂｅ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ． Ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ

ａｒｅ：

（１） Ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ．

ｓｐａｃｅ ｏｆ

ｌｏｏｐ

ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ ａ

ｇｒａｐｈ ｔｈａｔ ｇｉｖｅ

５．７

Ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｎｄ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

（２） Ｔｏ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ

ａ

ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

９１

ｇｒａｐｈｓ

ｆｏｒ

ａ

ｇｉｖｅｎ

ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ． （３）

（ｉ．ｅ．， ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ

Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｒｅ ｌｏｃａｌ

ｍｏｍｅｎｔａ）． （４）

Ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｕｎｄｅｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｍｏｕｎｔ

ｏｎｌｙ

ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ．

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｏｕｔ ｔｈｉｓ ｐｒｏｇｒａｍ ａｒｉｓｅ ｗｈｅｎ ｏｎｅ ｔｒｅａｔｓ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈ． Ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｗｈｙ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｇ＊ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ Ｆｉｇｓ． ５．１．１－５．１．３． Ｔｈｅ

ｃａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ

－

—Ｏ—Ｏ—＋—Ｏ—＊－

＋

－＊—０－＋

ｘ

１１

（ａ）

（ｂ）

ｘ

１１

ｉｄ）

（ｃ）

Ｆｉｇ． ５．１．１． Ａ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ．

（ｊ＞３ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ

ｗｉｔｈ ｉｔｓ

１

ｐ

ｌ＾＾＾

ｖ

（？）

＊２

Ｊ＾＾ （？

（ｃ）

Ｆｉｇ． ５．１．２． Ａ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

ｉｎ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ．

＜Ｄ－

＜ｊ＞３ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ

ｗｉｔｈ ｉｔｓ

Ｖ

（ａ）

（ｃ）

（ｂ）

（ｄ）

Ｆｉｇ． ５．１．３． Ａ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｎ （ｊ＞３ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ．

Ｗｅ ｉｇｎｏｒｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｔａｄｐｏｌｅｓ， ｓｕｃｈ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ

ａｎｄ ｎｅｅｄ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｚｅｒｏ

＜Ｏ｜０｜Ｏ＞

（ｅ．ｇ．， Ｆｉｇ． ５．１．５），

Ｌｅｔ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｕｓ ｒｅｔｕｒｎ ｔｏ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｏｎｅ ｂａｓｉｃ

Ｓｈ（ｐ．

Ｗｅ

ａｓ

ｃａｎ

ｕｓｅ ａ

ｖａｎｉｓｈｅｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｏｆ ｔｈｅ

ｓｏ ｗｅ

５．１．４． Ｔｈｅｓｅ

Ｆｉｇ．

ａｒｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｔａｄｐｏｌｅ ｇｒａｐｈｓ

ｉｓ

ｏｍｉｔ ａｎｙ ｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅｍ．

ｇｒａｐｈｓ ｌｉｓｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇｓ． ５．１．１－５．１．３． Ｉｎ ｅａｃｈ ｓｅｔ ｇｒａｐｈ ａｎｄ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ． Ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｔｈｅ ｓｅｔｓ ｏｆ

ｏ

￥５

Ｆｉｇ． ５．１．４． Ａ ｔａｄｐｏｌｅ ｇｒａｐｈ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ．

９２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ＜ｏ｜０｜ｏ＞＝

Ｑ

＋

＋

—＜Ｄ

＋

Ｆｉｇ．

＊

＋

—ＣＶ—￡＞＋—＊

５．１．５． Ｇｒａｐｈｓ ｔｏ

０（ｇ３）

ｆｏｒ

６

＜Ｏ｜０｜Ｏ＞．

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｉｎｖｏｌｖｅ ａ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｔｈａｔ ｇｅｔｓ ｌａｒｇｅ， ｓｏ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｃｏｎｆｉｎｅｄ ｔｏ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ａｌｗａｙｓ ｃａｓｅ ｉｓ Ｆｉｇ． ５．１．１， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ ｈａｓ ｔｗｏ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ． Ｉｔ ｉｓ ｍａｄｅ ｆｉｎｉｔｅ ｂｙ ａｄｄｉｎｇ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｏｒ ｂｏｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ ａｒｅ

ｅｎｅｒｇｙ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． （Ｗｅ ｕｓｅ ａ ｃｒｏｓｓ ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒ ｍ ｉｎ ａ ｇｒａｐｈ， ａｎｄ ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ｌａｂｅｌ＇ １＇ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｏｎｅ－

ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ．） Ｉｎ Ｆｉｇ． ５．１．２， ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ ｉｔ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．２， ａｎｄ ｗｅ ｍｅｒｅｌｙ ｓｕｍｍａｒｉｚｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｈｅｒｅ． Ｉｔ ｈａｓ ｔｗｏ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｌｅｔｔｉｎｇ ｂｏｔｈ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｋ ａｎｄ ／ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ； ｗｅ ｃａｌｌ ｔｈｉｓ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｂｕｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｓｏ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｉｎ ｔｈｅ ｏｕｔｅｒ ｌｏｏｐ ｓｔａｙｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｉｔｓ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ， ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｔｅｒｍ

ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ

ｔｏ

ｐ２ Ｉｎ （ｐ２）

ｉｎ ｔｈｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ．

Ｔｈｉｓ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ａｎｙ ｌｏｃａｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｓｏ ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ． Ｔｈｉｓ ｇｒａｐｈ ｉｓ Ｆｉｇ． ５．１．２（ｈ）． Ａｆｔｅｒ ｗｅ

ａｄｄ ｔｈｅ ｔｗｏ

ｇｒａｐｈｓ， ｔｈｅ ｎｏｎ－ｌｏｃａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃａｎｃｅｌｓ． Ｔｈｅ

ｏｖｅｒａｌｌ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｗｅ ｕｓｅ

ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈｅｎ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ａ ｌｏｃａｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｌａｂｅｌ ＇２＼ Ｗｅ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔ ｔｈｉｓ ａｓ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｂｙ

ｉｎｓｅｒｔｉｎｇ ｔｅｒｍｓ Ｓ２Ｚ ａｎｄ ５２ｍ２ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ５Ｚ ａｎｄ ｄｍ２． Ｔｈｅ ｐａｔｔｅｒｎ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ． Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｓ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｎｔｉｔｙ ｏｎｅ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｉｔｓ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ａｎｏｔｈｅｒ ｃａｓｅ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ５．１．３． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｅａｃｈ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ａ ｖｅｒｔｅｘ ｓｕｂｇｒａｐｈ． Ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｖｅｒｔｅｘ ｉｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ａｎｄ ｉｓ ｍａｄｅ ｆｉｎｉｔｅ ｂｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ （Ｆｉｇ． ３．６．１）． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｔｗｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｏｖｅｒｌａｐ， ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ ｏｎｅ ｂｕｔ ｎｏｔ ｂｏｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｇｒａｐｈｓ ｂｙ ｉｔｓ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈｅｎ ｌｏｃａｌ ａｎｄ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ３４Ｚ ａｎｄ Ｓ４ｍ２．

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

５．２

Ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

Ｏｕｒ ｆｉｒｓｔ ｔａｓｋ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．２ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｏ

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ

ｗｅ

ｉｎ

ｖｅｒｉｆｙ

（＜／＞３）６

９３

ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ． Ｔｏ

ｗｉｌｌ ｔｈｅｎ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ

ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ

ａｓ

ｉｎ

Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．３ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｏｆ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｆｆｅｃｔ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， ｒｅｍｏｖｅ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｔｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａｎ

ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ

ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｐｒｏｏｆ ｔｈａｔ ｉｆ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｌｏｃａｌ ａｎｄ ｉｔｓ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｓｉｍｐｌｅ

ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ

ｄｉｓｅｎｔａｎｇｌｅ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉｃ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｈｅｎ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ Ｆｉｎａｌｌｙ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｗｈｉｃｈ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｗｅ ｍｕｓｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ． Ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ ｏｎｅ ｉｓ ｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ－ｍｉｎｄｅｄ ａｂｏｕｔ ｌｏｃａｔｉｎｇ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｓｔａｔｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎｓ ｇｉｖｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｆｏｒ Ｆｉｇ． ５．１．２ａｒｅ： （ａ） ｋ ａｎｄ ／ ｇｏｉｎｇ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｔｏｇｅｔｈｅｒ， ａｎｄ （ｂ） Ｉ ｇｏｉｎｇ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ， ｗｉｔｈ ｋ ｆｉｘｅｄ． Ｉｎ ｅａｃｈ ｒｅｇｉｏｎ， ａｌｌ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ ｉｎ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ １ＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｔｈａｔ ｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｂｙ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ． Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．１．２ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｒｅｇｉｏｎ ｔｈａｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ， ｗｈｅｒｅ ／ ｇｏｅｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｗｉｔｈ ｋ ａｌｓｏ ｇｏｉｎｇ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ， ｂｕｔ ｍｕｃｈ ｍｏｒｅ ｓｌｏｗｌｙ． Ｔｈｉｓ ｒｅｇｉｏｎ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｔｗｏ， ｂｕｔ ｉｎ ｆａｃｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｎｅｅｄ ｔｏ ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ａｓ ａ ｓｅｐａｒａｔｅ ａｒｅ

ｎｅｓｔｅｄ．

ｃａｓｅ．

５．２

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

Ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｉｎ

（￥３）６

ｗｉｌｌ

ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｎｄ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｙ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈｓ， Ｆｉｇｓ ５．１．２ ａｎｄ ５．１．３， ｉｎ ０３ ｔｈｅｏｒｙ ａｔ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ ６． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｇａｉｎ ｕｓｅ ｗｅ

＝

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｗａｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．６．２， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｆｏｕｎｄ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｎｅｅｄｅｄ

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ （ｃｆ．， （３．６．１３）） ｔｈｅ

ｖｅｒｔｅｘ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ （５．１．５）． Ｗｅ ｃａｎ ａｌｓｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｇｒａｐｈ， Ｆｉｇ． ３．６．１， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｂｅｉｎｇ ？３ｆｆ

Ｉｔ ｉｓ ｗｏｒｔｈ

＝

ｗｅｒｅ

Ｍ３＂－／Ｖ／［６４７ｃ３（ｄ－６）］．

ｎｏｔｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ａ

（５．２．１）

ｖａｌｕｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｒｅ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ： ０ｏ

＝

＝

ｉｙ－ｄ／２０＋＜５３０ ＋ ０（＜７５）］Ｚ－３／２ ｇｎ３－＂＇２｛ｌ ＋ｉｇ２／［６４ｎ３（ｄ－６）－＼

＋

０｛ｇ＊）｝．

（５．２．２）

９４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ５．２．１ Ｆｉｇ． ５．１．２

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ Ｆｉｇ． ５．１．２ ｉｎ ｃｌｏｓｅｄ ｆｏｒｍ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ

＊＊２ａ＂

ｇｒａｐｈ

ｗｅ

ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｉｓ ｔｈｅｎ

（２ｎ）２ｄ １

ｘ

＇［（ｐ ｋ）２ ｉｅ］（ｆｃ２ ｉｆｉＴ２（／２ ｉｓ）［（ｆｃ ０２ ２Ｊｄｄ／ｃｄＪ／ｒ＾＿Ｌ＾２＿Ｌ．ｏ－｜＾２＿Ｌ．＾２＾７２＿Ｌ．＾ｒ＾＿ ＋

＋

＋

＋

－

， Ａ２ ＋

ｉｅ］

．ｎｌ．

（５．２．３）

Ｔｈｅ ｉｎｎｅｒ ｌｏｏｐ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｔ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ： １

Ｋ２ ｄｄ／７２７７ ￣ｌ２｛ｋ－ｌ）２

＝

ｎｏｗ

－

ｄ／２）

ｄｘ［

ｆｃ２ｘ（ｌ

－

－

ｘ）］ｄ／２

－２

０

＝

Ｗｅ

ｉ＾／２ｒ（２

ｉ＾２ｒ（２

－

＊Ａ ｄ／２）ｒ｛？／．２ ｒ（ｄ ２）

－

－

＊２）？２＂２．

ｈａｖｅ

１

ｌｄ＇＾ｉＹ－？［－（ｐ＋＊）■］？

（５．２．５）

■

Ｔｈｅ ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒｓ

ｃａｎ

１

ｂｅ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｂｙ

Ｆｅｙｎｍａｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒ：

ｒ（４－ｒｆ／２）Ｊ０ｄＸ［＾ｘ

ａｆｔｅｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ／ｃ－ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｌ２°

ａ

ｒ（５－ｄ／２）ｒ，

＾４－＜，／２Ｂ

ｖ

（５．２．４）

ｃａｎ

＼６４ｎ３） ２＼４ｎｎ２Ｊ －

ｄ／２）Ｔ（５

Ｔ（ｄ

－

＋

３－ｄ／２

Ｂ（ｌ－ｘ）］５－＊２＇

－

２）ｒ（４

＊

ｄ）ｒ（ｄ／２ －

－

ｌ）３ｒ（ｒｆ

ｒｆ／２）ｒ（３ｒｆ／２

－

－

４）

５）

＾）２ｙ（４＾）＂６ｒ（２－ｒｆ／２）ｒ（５－＾ｗ Ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

（５＂２＂６）

ｂｅ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ

－（ｊＬＹｅＬ（ｚｐＬＹ￣６ Ｔ（２

ｘ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ

＜５－２－７）

ｉｎ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ Ｔ（５

ｄ）． Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｉｓ Ｔ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｍｉｎｕｓ ｈａｌｆ ｔｉｍｅｓ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ Ｔ（２ ｄ／２）； ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｗｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ３． －

－

Ｂｅｆｏｒｅ ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ｗｅ

ｄｉｓｃｕｓｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｔｈｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ｃｏｍｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｌｏｎｇ－

ａｌｓｏ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ

ｒａｎｇｅ ｆｏｒｃｅｓ ｉｎ

ａ

ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｆｉｅｌｄｓ．

Ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ，

ｔｈｅｙ

５．２

Ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｉｎ

（＾３）６

９５

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｗｈｅｎ ｓｏｍｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｏ ｔｏ ｚｅｒｏ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｔｈｒｏｕｇｈ ａｎｙ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｈａｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｔ ｚｅｒｏ ｍｏｍｅｎｔｕｍ：

ａｐｐｅａｒ ａｓ ｄ ＜ ２ ｔｈｅ

ｄｄｑ／ｑ２

￣

ｃｏｎｓｔａｎｔ／＾

Ｔｈｉｓ ａｃｃｏｕｎｔｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ，

ａｔ ｋ

ｓｏ ｗｅ

＝

ｉｔｓ

Ｔ（＾／２－ｌ）３．

ｉｇｎｏｒｅ ｔｈｅ ＩＲ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

ｅｘｐａｎｄ Ｚ２ａ ｉｎ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ｐ２： ｕｓ

１，２（２

２）

ａｔ ｄ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ２．

Ｗｈｅｎ ｄ＜４ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｓｏ

０ ｗｉｔｈ ／ ａｎｄ ｐ ｆｉｘｅｄ． Ｏｕｒ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｗｏｕｌｄ ｇｏ ａｗａｙ， ｂｕｔ Ｎｏｗ ｌｅｔ

－

ｇ２ ＼Ｖｆ

＼６４ｔｔＶ

ｗｅ

ｗｏｕｌｄ ｎｏｔ ｈａｖｅ

ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｄ

ｉ

ｉ

ｏｎｌｙ

Ｉｆ ｗｅ ｕｓｅｄ

３６（（＜＊－６）２＋＜＊－６

－

ｃｏｎｃｅｒｎ

－—＝－

Ａｗ２

ｉｓ ｗｉｔｈ ＵＶ

ａ

ｍａｓｓｉｖｅ ｆｉｅｌｄ， ｔｈｅ ＩＲ

ａｎ

ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ

６ ｔｏ ｅｘｈｉｂｉｔ ｉｔｓ

Ｉｎ Ｉ

ａ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ，

Ｉ －｜－ ｃｏｎｓｔａｎｔ

＋ｉｌｎ２（ ｔ－Ｐ￣２ ） ＋ ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｉｎ （ —＾ ｊ ＋ ｃｏｎｓｔａｎｔ ＋ ０（ｄ

－

６）

ａｎｄ

＋

１． （５．２．８）

Ｔｈｅ ｄｏｕｂｌｅ ｐｏｌｅ ａｔ ｄ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔ ａｒｅ ｂｏｔｈ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｏｆ ｈａｖｉｎｇ ａ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｐ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｉｓ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｐ２ ｔｉｍｅｓ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ Ｉｎ（ ｐ２）． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｆｅａｔｕｒｅ ＝

６ ａｎｄ ｔｈｅ ｄｏｕｂｌｅ

—

ｏｆ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｐｏｌｅ ｈａｓ

ｉｎ ｐ． Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ， ｉｔ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ａｎｙ ｌｏｃａｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ａ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｈａｔ ｉｓ

ｎｏｔ

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ

ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｎｅｒ ｌｏｏｐ ｇｏｅｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｋ ｉｎ ｔｈｅ ｏｕｔｅｒ ｌｏｏｐ ｒｅｍａｉｎｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｏｖｅｒ ｆｉｎｉｔｅ ｋ ｇｉｖｅｓ ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｏｆ ｐ ｔｉｍｅｓ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｎｅｒ ｌｏｏｐ． Ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｒｅａｄｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ａ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｎｅｒ ｌｏｏｐ，

ｗｈｉｃｈ ｔｈｉｓ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｓｏ

ａｐｐｅａｒｓ

ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｉｎ

ｓｕｃｈ

ａ

ａ

ｇｒａｐｈ， Ｆｉｇ． ５．１．２（ｈ），

ｗａｙ

ａｓ

ｔｏ

ｃａｎｃｅｌ

ｉｎ

ｔｈｅ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ Ｆｉｇｓ． ５．１．２（ａ） ａｎｄ （ｂ） ｓｈｏｕｌｄ ｈａｖｅ ｎｏ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｉｓ ｃａｎ ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ａ ｌｏｃａｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．２．２ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｐｆｉ； ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

（ｉ．ｅ．， ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｐ）．

Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈａｔｅｖｅｒ， ｓｏ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｍｕｓｔ ｂｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｉｎ ｐ． Ｗｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｉｓ ｂｙ Ｆｉｇ． ５．１．２（ｃ）．

９６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．２．２

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｍａｋｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｔｈｉｓ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｌｏｃａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｈｅｒｅ

ｗｅ

ｃａｓｅ ｔｈａｔ

ｗｉｌｌ

ｍ

＝

ｖｅｒｉｆｙ

ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ

ｂｙ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ．

Ｉｎ ｏｕｒ

０， ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．１．２（ｈ） ｉｓ ｆｆＶ－＇ ｜＼？． ｄ＂ｋ

Ｚ？＝－ｉ８ｌｚＺ－Ｚ－ｒ－ （２ｎｆ ｅ２ Ｖ

６４ｎ３）

Ｊ

ｋ２

（ｋ２）２（ｐ ＋ ｋ）２

（－ｐ２＼ｒ（２－ｄ／２）ｒ（ｄ／２－ｉ）２／－Ｐ２ｙ２－３ ＼ ６ Ｊ （ｄ－６）Ｔ（ｄ－２） ＼４ｎｆｘ２ ）

ｇ２ ＶＰ２ｆ

－２

１

６４７ｉ３Ｊ ３６｛（ｄ－６）２ —￡ｌｎ２（

－—ｆ

—

ｄ－６

Ｉｎ （

－—ｊ

） －｜－ ｃｏｎｓｔａｎｔ

ｊ ＋ ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｉｎ （ —＾ ） ＋ ｃｏｎｓｔａｎｔ ＋ ０（ｄ－ ６） （５．２．９）

Ｔｈｅ ｎｏｎ－ｌｏｃａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｄｉｓａｐｐｅａｒｓ ｗｈｅｎ

ｗｅ

ａｄｄ ｔｈｉｓ

ｇｒａｐｈ

ｔｏ

Ｚ２ｆｌ，

ｗｉｔｈ

ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｖ

＋ｖ

－

（ ｇ２ Ｖｐ２ Ｓ

＋ｉｌｎ２ｉ２ （ —＾－

￣

ｌ

，

ｃｏｎｓｔａｎｔ

） ＋ ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｉｎ

＼４Ｖ／

ｆ —Ｖ－＾ ） ＋ ｃｏｎｓｔａｎｔ ＋ ０（ｄ ＼４Ｖ／

－

６） ｝．

Ｊ

（５．２．１０） Ｔｈｅ ｎｏｎ－ｌｏｃａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｈａｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ， ａｓ ｐｒｏｍｉｓｅｄ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｄｏｕｂｌｅ ｐｏｌｅ ａｎｄ， ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔ， ｔｈｅ ｄｏｕｂｌｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｈａｖｅ ｎｏｔ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ， ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｉｔ ｉｓ ｅｖｉｄｅｎｔ ｆｒｏｍ ｏｕｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ａｒｅ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｎｅｓｔｅｄ ｉｎｓｉｄｅ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ． Ｉｎｄｅｅｄ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ７， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ， ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｏｕｂｌｅ ｐｏｌｅ ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｄｏｕｂｌｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｃｏｕｌｄ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｐｒｅｄｉｃｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃｏｕｎｔｅｒ－ ｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｎｙ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｌｏｃａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｈａｖｅ ｎｏｗ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ， ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

Ｔｈｅｎ

ｃａｎ

ｗｅ

ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ

ｏｂｔａｉｎ ａｔ ｄ

＝

６

ａ

ｃｈｏｏｓｉｎｇ

ａ

ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｕｌｔ， ｗｈｉｃｈ

ｗｅ ｔｅｒｍ

ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

５．２

ｖａｌｕｅ ｏｆ

Ｆｉｇ．

Ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

（＾３）６

９７

５．１．２：

Ｅ＜２ＭＲＳ）＝Ｓ２ｆｌ ＋ Ｚ２６ ＋ （Ｅ２ｃ ＝

ｉｎ

＝

－ｐ２＜５２Ｚ）

｛＜￡？］ ｆｅ ｛＞２（ｊ￥）

＋ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｌｎ

｛ｉ￥） ｃｏｎｓｔａｎｔ［ ＋

（５．２．１２） ５．２．２ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ

ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ

ｇｒａｐｈ Ｆｉｇ． ５．１．２ ｈａｓ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｌｏｃａｌ， ｏｎｌｙ ａｆｔｅｒ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｉｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｏｆ ａ １ＰＩ ｇｒａｐｈ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｉｎ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｗｉｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｏｕｒ ａｒｇｕｍｅｎｔ （ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ Ｃａｓｗｅｌｌ ＆ Ｋｅｎｎｅｄｙ （１９８２）） ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｔｏ Ｆｉｇ． ５．１．２， ｅｍｐｈａｓｉｚｉｎｇ ｉｔｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ． Ｔｈｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ａｐｐｌｙ ｉｔ ｔｏ Ｆｉｇ． ５．１．３． Ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｔｈａｔ ｇｒａｐｈ ｈａｓ ａｎ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ Ｗｅ

ｓａｗ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｂｕｔ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｌｏｃａｌ

ａ

ｈａｒｄ

ｐｒｏｂｌｅｍ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｏｕｒ ｍｅｔｈｏｄ ｗｏｒｋｓ ａｓ ｅａｓｉｌｙ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｇｒａｐｈ ａｓ

ｆｏｒ Ｆｉｇ． ５．１．２．

Ｆｉｇ． ５．１．２（ａ） ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｐ＂， ｔｏ ｍａｋｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ． Ｗｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｐｉｃｔｏｒｉａｌｌｙ ｂｙ

Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ ｉｔｓ

ｏｆ

ｄｅｇｒｅｅ Ｆｉｇ． ５．２．１， ｗｈｅｒｅ ｅａｃｈ ｄｏｔ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｏｎｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｐ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ， ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ Ｆｉｇ． ５．１．２（ｈ） ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ ｇｉｖｅｓ Ｆｉｇ． ５．２．２． Ｎｏｗ Ｆｉｇ． ５．２．２ ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ Ｆｉｇ． ５．２．１， ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｓｏ ｔｈｅｉｒ ｓｕｍ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ Ｆｉｇｓ． ５．１．２（ａ） ａｎｄ （ｂ） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｓｏ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｉｎ ｐ． Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ｆｏｒｃｅｓ ｉｔ ｔｏ ｂｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａ（ｄ）ｐ２ ＋ Ｂ（ｄ）． Ｗｅ ｇｌｉｂｌｙ ａｓｓｅｒｔｅｄ ｔｈａｔ Ｆｉｇ． ５．２．１ ｐｌｕｓ Ｆｉｇ． ５．２．２ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｉｓ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｉｓ ｎｏｔ ａｓ ｏｂｖｉｏｕｓ ａｓ ｉｔ ｓｅｅｍｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ｐｒｏｖｅ ｉｔ． Ｗｅ Ｗｉｃｋ－ｒｏｔａｔｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｓ ｏｖｅｒ ｋ ａｎｄ ／ｉｎ Ｆｉｇ． ５．２．１， ａｎｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｔｈａｔ ｍｉｇｈｔ ｇｉｖｅ ａ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｉｆ ｋ ａｎｄ ／ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒａｔｅ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ

＜２＞

Ｏ

ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ Ｆｉｇ． ５．２．１． Ｒｅｓｕｌｔ Ｆｉｇ． ５．１．２（ａ） ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ

Ｆｉｇ． ５．２．２． Ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ Ｆｉｇ． ５．１．２（６） ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ

ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ．

ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ．

９８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ． Ｉｆ ／ ｇｏｅｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｗｉｔｈ ｋ ｆｉｘｅｄ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈ， Ｆｉｇ． ５．２．２． Ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ｉｓ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ ｋ ａｎｄ ／ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ， ｂｕｔ ｔｈａｔ ｋ ｉｓ ｍｕｃｈ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ／． Ｔｈｅ ｒａｔｉｏｓ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｅｉｔｈｅｒ ｏｎｅ ｏｆ ｋ

ｏｒ

／

ａｒｅ

ｆｉｎｉｔｅ，

ｓｏ

ｗｅ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ

ｍａｙ ｓｕｍｍａｒｉｚｅ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ

ｒｅｇｉｏｎ

ｏｆ ｔｈｅ

ｍａｇｎｉｔｕｄｅ

ａｓ：

ｆｉｎｉｔｅ

ＡＩＬ

ｄｆｃｆｅ＂

（５．２．１３）

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ， ｉｆ ／ ｉｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｋ３！２． Ｗｅ ｍｕｓｔ ａｄｄ Ｆｉｇ． ５．２．２， ｗｈｉｃｈ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ， ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｉｓ ｎｅｗ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｗａｓ ａｒｒａｎｇｅｄ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈｅｎ ／ ｇｏｅｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｗｉｔｈ ｋ ｆｉｘｅｄ， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｗｈｅｎ ｋ ｉｓ ｌａｒｇｅ， ａｓ ｗｅ ｎｏｗ ｈａｖｅ． Ｌｅｔ ｕｓ ｅｘｐａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｎｅｒ ｌｏｏｐ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．２．１ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｋ ｗｈｅｎ ／ ＞ ｋ， ｕｐ ｔｏ ｉｔｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｑｕａｄｒａｔｉｃ． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｐｏｗｅｒｓ ａｒｅ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｏｖｅｒ ａｌｌ ／， ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｔｏ ／ Ｐ－ ｋ． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｒｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ Ｆｉｇ． ５．２．２， ａｎｄ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｚｅｓ Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ

ａ

ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ： ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｋ°

ｆｉｎｉｔｅ＜

＝

ｆｉｎｉｔｅ＜

＝

０｛ｋ＼

＝

Ａｌｌ

ｉ；

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ／ｃ１

＝

Ａｌｌ

Ｔｈｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｐ＊

—

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

＞ ＋

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

＞

Ａｌ／ｌ

—

０（ｌｎ（／ｃ））．

ｏｆ Ｆｉｇｓ． ５．２．１ ａｎｄ ５．２．２ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｋ－＊ ｏｏ， ｗｉｔｈ ／ ｔｈａｎ ｋ， ｉｓ ｔｈｅｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ｓｕｍ

ｂｉｇｇｅｒ

ｆｉｎｉｔｅ

Ａｌｌ

０（ｋ＼

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｋ２＝ ｆｉｎｉｔｅ ＜ ＝

—

ｄｋｋ￣２＼ｎ｛ｋ）．

（５．２．１４）

ｐｏｓｓｉｂｌｙ

ｍｕｃｈ

（５．２．１５）

Ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｂｕｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｅｘｔｒａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ． Ｗｅ ｇｅｔ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｕｌｔ， ａｓ ｃｌａｉｍｅｄ． Ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ－

ｔｈａｎ－ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｋ ｇｉｖｅ ｎｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｔ ａｌｌ． Ｗｈａｔ ｈａｓ ｈａｐｐｅｎｅｄ？ Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｏｒ ｌ＞ｋ＞＼ ｃｏｕｌｄ ｏｎｌｙ ｏｃｃｕｒ

５．２

Ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｉｎ

（（／＞３）６

９９

ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｌｏｏｐ ｗａｓ ｉｔｓｅｌｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｗｅ ｓｅｎｔ ｋ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｍｅｒｅｌｙ ｓｕｐｐｒｅｓｓｅｄ ｔｈｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｓｏｍｅｗｈａｔ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｎｅｇｌｅｃｔ ｋ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｓｉｄｅ ｌｏｏｐ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｉｎ ｅｆｆｅｃｔ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ／ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｆｒｏｍ ｆｉｎｉｔｅ ／ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ． Ｂｕｔ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗｅ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｆｏｒ Ｆｉｇ． ５．２．１， ｗｅ ａｒｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｎｇ ／ ｔｏ ｂｅ ｍｕｃｈ ｂｉｇｇｅｒ ｔｈａｎ ｆｃ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｉｔｓｅｌｆ ｇｅｔｔｉｎｇ ｌａｒｇｅ． Ｓｏ ｉｆ ｗｅ ｎｅｇｌｅｃｔ ｋ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｏｐ， ｔｈｅｎ ｗｅ ａｒｅ

ｌｅｆｔ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ＋

ｄ／ （ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｏｆ ｌｏｏｐ ｗｉｔｈ ｋ ｎｅｇｌｅｃｔｅｄ）．

（５．２．１６）

Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｗｅ ｅｘｐａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｋ， ｔｏ ｕｎｃｏｖｅｒ ｔｈｅ ｓｕｂ－ｌｅａｄｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｅａｃｈ ｅｘｔｒａ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｋ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｏｗｅｒｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｔｅｒｍ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｓ ｊｄ／／／， ｓｏ

ｇｉｖｉｎｇ ａｎ ｅｘｔｒａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ （ｂｕｔ ｎｏｔ ａ ｐｏｗｅｒ）． Ｔｈｅ ｋｅｙ ｓｔｅｐ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｔｏ ｐｅｒｆｏｒｍ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｉｔｈ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ／ ｆｉｒｓｔ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｓｈｏｗｎ

ｗｈｅｔｈｅｒ

ｏｒ ｎｏｔ

ａ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｔｈｅ

ｌａｒｇｅｒ

ｔｈａｔ， ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｕｒｐｏｓｅ ｏｆ ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ

ｏｃｃｕｒｓ， ｗｅ ｎｅｅｄ

ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ａｓ

ｄｉｓｔｉｎｃｔ

ｒｅｇｉｏｎｓ： （１） ｆｃ， ／ －？ ｏｏ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒａｔｅ， ａｎｄ （２） ／ －＞ ｏｃ ｗｉｔｈ ｋ ｆｉｎｉｔｅ． （Ｗｅ ｍｉｇｈｔ ａｌｓｏ ｔｒｙ ｋ －？ ｏｏ ｗｉｔｈ ／ ｆｉｎｉｔｅ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｋ ｈａｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｓｏ ｗｅ ｇｅｔ ｎｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｒｏｍ ｔｈａｔ ｒｅｇｉｏｎ．） Ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｆｃ， ／－？ ｏｏ， ｗｉｔｈ ｋ ＾ ／， ｉｓ ｓｃｈｉｚｏｉｄ： ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｐａｒｔ ｏｆ ｅｉｔｈｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｒｅｇｉｏｎｓ （１） ａｎｄ （２） ｔｈａｔ ｗｅ

ｈａｖｅ ｊｕｓｔ ｄｅｆｉｎｅｄ． Ａｓ ｒｅｇｉｏｎ （２）， ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｗｈｅｎ ／－？ ｏｏ， ｗｉｔｈ ｋ ｌａｒｇｅ ｂｕｔ ｆｉｘｅｄ． Ａｓ ｒｅｇｉｏｎ （１）， ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｋ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ， ａｎｄ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｓｉｇｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ

ｃａｓｅ

ｉｓ ｔｈｅ ｅｘｔｒａ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｉｎ ｔｈｅ

ｉｎｔｅｇｒａｎｄ． ５．２．３ Ｆｉｇ． ５．１．３

ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．１．３． ｋｉｄ —６ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ （ａ） ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｉｔ ａｌｓｏ ｈａｓ ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈｅｎ ｅｉｔｈｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｋ ｏｒ ／ ｇｅｔｓ ｌａｒｇｅ． Ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｖｅｒｔｅｘ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ， ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｓｈｏｗｎ ｉｎ ｇｒａｐｈｓ （ｂ） ａｎｄ （ｃ）． Ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ （ｄ） ｉｓ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｉｎ ｐ． Ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌｌｙ， ｔｈｉｓ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ｆｏｒ ｉｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａｎ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈａｔ ｉｓ ｔｏ ｓａｙ， ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｉｓ ｃｏｍｍｏｎ ｔｏ ｂｏｔｈ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｓｅｅｎ ａｓ ａ ｐｒｏｂｌｅｍ （Ｂｊｏｒｋｅｎ ＆ Ｄｒ＾ｌｌ （１９６６）） ｉｆ ｏｎｅ ｔｒｉｅｓ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ａｓ ａｎ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｗｅ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｈａｓ

ａｎ

ｏｖｅｒａｌｌ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖｅｒｔｅｘ， Ｆｉｇ． ５．２．３， ｉｎ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ． Ｔｈｅ ｇｒａｐｈ （ｂ）

１００

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐ＋

ｋ

Ｆｉｇ． ５．２．３． Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ａｓ

ｓｅｅｎ

ｉｎ Ｆｉｇ． ５．１．３．

？■ ｒａ＞－ｏｏ： －

＜ｉ＞－ｃｉｘｉ＞ （＊）

ｓｃｅｋ－ｊｃｄ－

Ｆｉｇ． ５．２．４． Ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ Ｆｉｇ． ５．１．３ ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ

ｔｏ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ．

ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｓ ｎｏｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｈａｐｐｅｎ ｉｎ ｏｕｒ ｆｉｒｓｔ ｅｘａｍｐｌｅ，

ｆｏｒｍ． Ｔｈｅ

Ｆｉｇ． ５．１．２． ｏｆ ｔｒｉｃｋ ｔｏ ｗｉｔｈ ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｒｅｓｐｅｃｔ ｐ ｗｏｒｋｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ａｓ ｗｅｌｌ ｆｏｒ Ｆｉｇ． ５．１．３ ａｓ ｉｔ ｄｉｄ ｆｏｒ Ｆｉｇ． ５．１．２． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ （ａ）， （ｂ＼ ａｎｄ （ｃ）， ｗｅ ｆｉｎｄ Ｆｉｇ． ５．２．４． Ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｅｉｔｈｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ

ｄｏｅｓ ｎｏｔ

ｏｕｒ

ｍａｋｅｓ ｉｔ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｗｅ ｇｅｔ ｔｅｒｍｓ （ａ） ａｎｄ （ｂ＼ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｒｅ－ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ， ａｎｄ ｇｒａｐｈｓ （ｃ） ａｎｄ （ｄ）， ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｎｏ ｓｕｂ－ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｔ ａｌｌ． Ｎｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｈａｓ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｓ ｌｅｆｔ

ａｎ

ｏｖｅｒａｌｌ

ａｓ ａｎ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

Ｔｈｅ

ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ．

Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ （Ｍａｃｆａｒｌａｎｅ ＆ Ｗｏｏ （１９７４））：

＇？＊－（￡ ３＊ｍ ｉｆ

ｗｅ ｕｓｅ

ｉ

ｉ

６（ｄ－６Ｙ

３（ｄ－６）Ｊ＊

－１，６４；？ ＇－（ｉ＆Ｈ＂＾－＾｝

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ．

，＂＂）

５．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

５．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ

Ｗｅ

ｈａｖｅ

ｓｅｅｎ

ｔｈａｔ， ｉｎ ｏｒｄｅｒ

１０１

ｏｆ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ

ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｓｅｎｓｉｂｌｅ

（ｉ．ｅ．， ｌｏｃａｌ）

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ， ｏｎｅ ｍｕｓｔ ｆｉｒｓｔ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｏｆｉｆｉｔｓ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｈａｖｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｂｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｐｉｅｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ （１ ＰＩ）

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｗｉｔｈｏｕｔ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ ｎｅｅｄ ｎｏｔ ｂｅ ｌｏｃａｌ． Ｉｔ ｍａｙ ｅｖｅｎ ｈａｖｅ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ； ａｎ ｏｂｖｉｏｕｓ ｃａｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｇｒａｐｈ ｔｈａｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｎａｉｖｅ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｂｕｔ ｔｈａｔ ｈａｓ ａ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｉｔ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｄｅｖｉｓｅ ａ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆｏｒ ｓｔａｒｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｂａｓｉｃ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ Ｇ， ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ， ａｎｄ ｔｈｅｒｅｂｙ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ Ｒ（Ｇ）： Ｒ（Ｇ）＝Ｕ（Ｇ） ＋ Ｓ（Ｇ）．

（５．３．１）

Ｈｅｒｅ （７（Ｇ） ｉｓ ｔｈｅ ＇ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ＇ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ （ｗｈｉｃｈ ｄｉｖｅｒｇｅｓ ａｓ ｔｈｅ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ）， ａｎｄ Ｓ（Ｇ） ｉｓ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ －

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｇｒａｐｈｓ．

ｗｅ ｕｓｅ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ Ｓ（Ｇ） ｉｓ ｖｅｒｙ ｇｅｎｅｒａｌ． Ｉｔ ａｐｐｌｉｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ａｎｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｓ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｐｐｒｏａｃｈ ａ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ

Ｔｈｅ ｓｔｒａｔｅｇｙ

ｖａｌｕｅ． Ｉｎ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｏ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ

ｌｉｍｉｔｉｎｇ

ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａｓ ｓｏｍｅ

ｂｕｔ ｎｏｔ ａｌｌ ｏｆ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ

ｇｅｔ ｌａｒｇｅ． （Ａ ｓｔａｎｄａｒｄ ｅｘａｍｐｌｅ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０ ｉｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ （１９６９））． Ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｕｓｅ ｆｏｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｗａｓ ｆｉｒｓｔ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｂｙ

Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ ａｎｄ Ｐａｒａｓｉｕｋ （ｓｅｅ Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ ＆ Ｓｈｉｒｋｏｖ （１９８０））， ｗｉｔｈ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｄｕｅ ｔｏ Ｈｅｐｐ （１９６６）． Ｔｈｅｉｒ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｗａｓ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ａｎｄ ｈａｓ ｔｈｅ ａｃｒｏｎｙｍ ＢＰＨ． Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９６９） ｓｈｏｗｅｄ ｈｏｗ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｂｅｉｎｇ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ． Ａｌｌ ｔｈｅｓｅ ａｕｔｈｏｒｓ ｕｓｅｄ －

ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９７０， １９７３ａ） ｓｈｏｗｅｄ ｍｏｒｅｏｖｅｒ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｔｈｅｎ ｎｏ ｎｅｅｄ ｔｏ ｕｓｅ ａｎ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ｈｅ ａｐｐｌｉｅｄ

ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｒ（Ｇ） ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ； ｔｈｉｓ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｈａｓ ｔｈｅ ｔｉｔｌｅ ＢＰＨＺ． Ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｕｓｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ Ｓｐｅｅｒ （１９７４）， Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９７５ｂ）， Ｂｒｅｉｔｅｎｌｏｈｎｅｒ ＆ Ｍａｉｓｏｎ （１９７７ａ， ｂ， ｃ） ｓｈｏｗｅｄ ｈｏｗ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｉｄｅａｓ ｗｏｒｋ ｕｓｉｎｇ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ．

ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ

Ｏｕｒ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｗｉｌｌ ａｉｍ ａｔ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｐｏｗｅｒ ｔｏ ｄｅｍｙｓｔｉｆｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｄｏ ｎｏｔ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｕｓｅ ｏｆ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ，

ｅｖｅｎ

ｔｈｏｕｇｈ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｏｆｔｅｎ

ｕｓｅ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ．

１０２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ａ ｇｒａｐｈ Ｇ． （Ａ ｇｒａｐｈ ｄｅｆｉｎｅ ｂｙ ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ ｉｔｓ ｓｅｔ ｏｆ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｌｉｎｅｓ， ｅａｃｈ ｌｉｎｅ ｊｏｉｎｉｎｇ ｔｗｏ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｎｄ ｅａｃｈ ｖｅｒｔｅｘ ａｔｔａｃｈｅｄ ｔｏ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｌｉｎｅ．） Ｗｅ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ＇ｓ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ

ｗｅ

ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｖａｌｕｅ

？＾ｇ（Ｐｉ

ａｓ

Ｐｎ）＝

＼ｄ％．．．ｄｄｋＬＩＧ（Ｐｌ，．．．，ｐＮ；ｋｕ．．．，ｋＬ）．

（５．３．２）

Ｈｅｒｅ ｗｅ ｌｅｔ Ｌ ｂｅ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｌｏｏｐｓ ａｎｄ Ｎ ｂｅ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｖｅｒｔｉｃｅｓ． Ｔｈｅ

ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｔ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｆｉｅｌｄｓ， ｂｕｔ ａｔ

ａｎ

ａｎ

ａｒｅ ｐ．． Ｉｎ ａ

Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ

ａ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ａｔ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｖｅｒｔｅｘ，

ｗｅ

５．３．１ Ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ

ｈａｖｅ ｐ．

０．

＝

ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ

ｎｏ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

Ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｃａｓｅ ｉｓ ａ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ （１ＰＩ） ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｎｏ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ

ａｌｌ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ． Ｗｅ ｍａｙ ｂｙ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｎｇ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ：

ｏｎ

ｇｒａｐｈ

Ｒ（Ｇ）

（５．３．３）

Ｕ（Ｇ）－ＴｏＵ（Ｇ）．

＝

ｓｏｍｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｅｘｔｒａｃｔｓ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ Ｕ（Ｇ）． Ｉｔ ｗｈａｔｅｖｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｕｓｅ． ｉｍｐｌｅｍｅｎｔｓ Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｕｓｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｉｎ ｔｈａｔ ｃａｓｅ Ｔ ｔａｋｅｓ ｔｈｅ Ｌａｕｒｅｎｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ （７（Ｇ） ａｂｏｕｔ ｄ ｄ０， ａｎｄ ｐｉｃｋｓ ｏｕｔ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｔｅｒｍｓ． （Ｗｅ

Ｈｅｒｅ Ｔ ｄｅｎｏｔｅｓ

＝

ｌｅｔ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｂｅ ｄ０； ｉ．ｅ．， ｄ０

ｄ０

＝

６ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｃ／＞３

ｍｏｄｅｌ

ｗｅ

ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ

ｏｆ ｔｗｏ ｎｏｔａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｔ ｏｒ

Ｔ（Ｇ）． Ｂｏｔｈ ｗｉｌｌ Ｗｅ

ｃｏｕｌｄ

ｍｅａｎ

ｔｈｅ

＝

４ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｗｏｒｌｄ，

ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｓｅｃｔｉｏｎｓ．）

ｏｎ ａｎ

Ｗｅ ｗｉｌｌ

ｕｓｅ

ｏｒ

ｅｉｔｈｅｒ

ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｂｊｅｃｔ： ７°［／（Ｇ）

ｓａｍｅ．

ｕｓｅ ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｉｎ ｔｈａｔ

ｃａｓｅ Ｔ

ｐｉｃｋｓ

ｏｕｔ ｔｈｅ

５（Ｇ） ｉｎ ｔｈｅ Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ （７（Ｇ） ａｂｏｕｔ ｚｅｒｏ Ｈｅｒｅ ３（Ｇ） ｉｓ， ａｓ ｕｓｕａｌ， ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ

ｔｅｒｍｓ ｕｐ ｔｏ ｏｒｄｅｒ ｍｏｍｅｎｔｕｍ．

ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｉｅｓ． Ｉｎ ｏｕｒ ｗｏｒｋ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ． Ｔｈｅｎ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ ｅｎｅｒｇｙ ｉｎ （ｃ／＞３）６ ｇｉｖｅｓ

ｏｔｈｅｒ

Ｔｏ

＾ ２

＝

，，６－ｄ

ｄｄｋ

（２７ｉ）ｄ （ｋ２－ｍ２）［（ｐ ＋ ｋ）２－ｍ２］

ｐｏｌｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｄｘ

＼＾－ｉ－－Ｔ（２ （１２８７Ｔ

ｍ２ —ｐ２ｘ（ｌ

４ｎｆｉ２

ｇ２ （ｐ２／６－ｍ２） ６４ｔｔ３ （ｄ ６） －

＂

—

－

ｘ）

ｄｆｌ）

ｘ

ｌｄ／２－ ３

［ｍ２－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）］ （５．３．４）

５．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｔｈｅ

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｖｅｒｔｅｘ， Ｆｉｇ． ３．６．１， ｇｉｖｅｓ ｄｋ

ｆｉ９－＾２

■ＭＳ

）＇ （ｋ２

ｍ２） ［｛ｐ ＋ ｋ）２

－

ｐｏｌｅ ｐａｒｔ ｏｆ

＝

ｄｘ ｏ

－Ｗ＂２

＼ —＾ｆ－３

（ Ｊｏ

ｄｙ

ｍ２

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｌａｓｔ

＾３－ｄ／２

－

－

ｍ２］ ［（ｐ ＋ ９ ＋ ｆｃ）２

Ｔ（３

ｑ２ｘｙ

－

－

ｄ／２）

－

ｍ２］

ｘ

（ｐ２ｘ ＋ （ｐ ＋ ｑ）２ｙ）（ｌ －ｘ－ｙ） ４ｎｆｉ２

ｌｄ／２－３

ｇＶ＂＂

．

ｐａｒｔ

１０３

ｏｆ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ

Ｙ＾ｊｇ ｊｓ

ａｎ

ｅｘａｍｐｉｅ

ｏｆ （７（Ｇ） ｔｏ ｈａｖｅ ｔｈｅ

０ｆ

ａ

ｓａｍｅ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｐｏｌｅ ｔｏ ｃｏｍｅ ｗｉｔｈ ａ ｆａｃｔｏｒ ｒｕｌｅ ｔｈａｔ ｏｎｅ ｍｕｓｔ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ａｓ （７（Ｇ）， ｆｏｒ ａｌｌ ｄ．

ｃａｓｅ ｗｅ

５．３．２ Ｇｅｎｅｒａｌ

ｃａｓｅ

ｇｅｎｅｒａｌ ｗｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｈａｖｅ ｔｏ ｈａｎｄｌｅ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｎｅｓｔｅｄ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ．

Ｉｎ

ｉｓ ｅｘｅｍｐｌｉｆｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ （Ｆｉｇ． ５．１．１）， ｗｈｅｒｅ ｗｉｔｈｉｎ ｏｎｅ ｇｒａｐｈ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｄｉｖｅｒｇｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ． Ａｓ ｗｅ ｓａｗ ｆｒｏｍ ｅｘａｍｐｌｅｓ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｏｆｆ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｅｆｏｒｅ ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｉｎ ｖｉｅｗ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ ｈａｖｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｅｔｃ． ｛ａｄ ｎａｕｓｅａｍ）， ｗｅ ｍｕｓｔ Ａｎｏｔｈｅｒ

ｃａｓｅ

ｉｎｓｅｒｔｉｏｎｓ

ｂｅ ｅｘｔｒｅｍｅｌｙ ｐｒｅｃｉｓｅ ｉｓ

ｈｅｌｐｆｕｌ

ｔｏ ｈａｖｅ ａ

ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．

ａｓ ｔｏ

ｗｈａｔ ｉｓ ｔｏ ｂｅ ｄｏｎｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｗｈａｔ

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｎｏｗ

ｄｏ． Ｉｔ

ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｎ ｍｉｎｄ， ｔｏ ｍａｋｅ ｓｅｎｓｅ ｏｆ ｔｈｅ

Ｓｕｃｈ

ｅｘａｍｐｌｅｓ

ａｒｅ

ｔｒｅａｔｅｄ ｉｎ

ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ５．３．３

ａｎｄ ｉｎ

Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．４． Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ ｔｒｙ ｔｏ ｒｅａｄ ｔｈｅｓｅ ｓｅｃｔｉｏｎｓ ｃｏｎｃｕｒｒｅｎｔｌｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ． Ｆｉｒｓｔ， ｌｅｔ ｕｓ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｓ ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｃｃｕｒｒｉｎｇ

ｗｈｅｎ

ｔｈｅ

ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｎ

ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｓｅｔ ｏｆ ｌｉｎｅｓ ｇｅｔ

ｏｎ ｏｔｈｅｒ ｌｉｎｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ

ｇｉｖｅｎ

ｓｅｔ ｏｆ ｌｉｎｅｓ ｈａｓ ａ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｓｔａｙｉｎｇ

ｂｉｇ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｍｏｍｅｎｔａ

ｆｉｎｉｔｅ． Ｗｈｅｔｈｅｒ

ｏｒ ｎｏｔ ａ

ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｉｔ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｐｏｗｅｒ－

ｃｏｕｎｔｉｎｇ． Ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈｕｓ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｓｕｂｇｒａｐｈ． （Ａｔ ｔｈｉｓ ｓｔａｇｅ， ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｒｅｑｕｉｒｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｂｅ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ．）

ｄｉｖｅｒｇｅｓ ｗｈｅｎ ａｌｌ ｉｔｓ ｌｉｎｅｓ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ， ｉｔ ｉｓ ｓａｉｄ ｔｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ａ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｇｒａｐｈ （ｌｉｋｅ ａｎｙ ｏｆ ｈａｖｅ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｓｏｍｅ ｌｉｎｅｓ ａｒｅ ｎｏｔ ａ ｐａｒｔ ｏｆ ｃａｎｎｏｔ Ｆｉｇ． ３．２．１）

Ｉｆ ａ ｇｒａｐｈ

Ｇ

ｈａｖｅ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ

－

ａｎｙ ｌｏｏｐ． Ａｌｌ ｏｔｈｅｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎｖｏｌｖｅ ａ ｓｍａｌｌｅｒ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ． Ｔｈｅｙ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｏｖｅｒａｌｌ

ａｒｅ

ｃａｌｌｅｄ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｅｖｅｒｙ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｏｆ

ｏｎｅ

ｏｆ ｉｔｓ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ．

ａ

ｇｒａｐｈ

ｉｓ ｔｈｅ

１０４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｆｉｇ． ５．１．１（ａ）

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ．

Ｔｈｅｓｅ

ｈａｓ

ｎｏ

ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｂｕｔ ｈａｓ ｔｈｒｅｅ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ

ｏｖｅｒ ｌｏｏｐ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｈａｓ （１） ｌｏｏｐ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ， （２） ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ ｈａｎｄ ｌｏｏｐ ｈａｓ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ， ａｎｄ （３） ｂｏｔｈ ｌｏｏｐｓ ｈａｖｅ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ａ ｇｒａｐｈ Ｇ ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｋｎｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ

ｃｏｍｅ

ｍｏｍｅｎｔａ ｗｈｅｒｅ：

ｉｔｓ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ，

ａｎｄ

ｗｅ

ｔｈｅｎ ｌｅｔ Ｒ（Ｇ） ｂｅ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｇ

ｗｉｔｈ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｍａｄｅ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈａｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｉｓ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｓｏ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａｎ

ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ： （５．３．６）

Ｃ（Ｇ）＝ －ＴｏＲ（Ｇ）

ｔｏ Ｒ｛Ｇ） ｔｈｅ ｓａｍｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｔ ａｓ ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ （ｅ．ｇ．， ｉｆ Ｇ ｉｓ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ） ｅａｒｌｉｅｒ； ｔｈｅｎ Ｃ（Ｇ） ｉｓ ｚｅｒｏ． Ｉｎ ａｎｙ ｅｖｅｎｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｇ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｓ

ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ

Ｒ（Ｇ）

＝

Ｒ（Ｇ）

＋

Ｃ（Ｇ）．

（５．３．７）

Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ （５．３．６） ａｎｄ （５．３．７） ｇｉｖｅ ｕｓ Ｒ（Ｇ） ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ ｗｅ ｋｎｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｓｕｂｔｒａｃｔ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ．

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ

ａ ｍａｔｔｅｒ

ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｉｎｇ

ｓｍａｌｌｅｒ ｇｒａｐｈｓ； ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ Ｒ（Ｇ） ｉｎ ａ ｍｏｍｅｎｔ． Ｏｎｃｅ ｔｈｉｓ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｈａｖｅ ａ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｒ（Ｇ）： ｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｄｏｎｅ

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｕｓ ｔｏ ｓｍａｌｌｅｒ ａｎｄ ｔｏ ｓｍａｌｌｅｒ （５．３．７） ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｕｌｔｉｍａｔｅｌｙ ｂｒｉｎｇｓ ｎｏ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ｗｅ ｋｎｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ． Ｎｏｗ ｌｅｔ ｕｓ ｄｅｆｉｎｅ Ｒ（Ｇ＼ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｏ ｂｅ Ｕ（Ｇ） ｗｉｔｈ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｎｏ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｗｅ ｍｕｓｔ ｄｅｆｉｎｅ Ｒ（Ｇ） Ｆｏｒ

ａ

ｌａｒｇｅｒ ｇｒａｐｈ

＝

ｗｅ

Ｕ｛Ｇ）

（ｉｆ Ｇ ｈａｓ

ｎｏ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ）．

（５．３．８ａ）

ｄｅｆｉｎｅ Ｒ｛Ｇ）

＝

Ｕ（Ｇ）＋

（５．３．８ｂ）

Ｘ Ｃｙ（Ｇ）．

Ｗｅ ｓｕｍ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｙ ｏｆ Ｇ， ｏｔｈｅｒ ｔｈａｎ Ｇ ｉｔｓｅｌｆ， ａｓ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｙ ￡ Ｇ． Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｎｅｗ ｎｏｔａｔｉｏｎ Ｃｙ（Ｇ） ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｒｅｐｌａｃｅ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｙ ｂｙ ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， ａｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ （５．３．６）， ｉ．ｅ．， ｆ ＾

Ｔｏ ｍａｋｅ ｏｎｌｙ

ｏｖｅｒ

ｃｏｕｌｄ ｏｆ

—

［０

ＴｏＲ（ｙ），

ｉｆ

ｙ ｈａｓ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ

ｉｆ ｙ ｈａｓ

ｎｏ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

（５．３．９）

ｓｉｍｐｌｅ ｆｏｒｍｕｌａ， ｗｅ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｓｕｍ ａｓ ｂｅｉｎｇ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｙ＇ｓ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｙ＇ｓ； ｔｈｅｎ ｔｈｅ Ｃｙ（Ｇ） ｉｓ ｚｅｒｏ ｉｆ ｙ ｉｓ ｎｏｔ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｗｅ ｃｏｕｒｓｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｎｌｙ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ａｎ

ａ

ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｏｎｅ ｔｒｉｃｋｙ ｐｏｉｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｉｓｅｓ ｉｎ ｄｅｆｉｎｉｎｇ Ｃ（ｙ） ｆｏｒ ａ ｄｉｓｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｙ． Ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．１．１（ａ） ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｌｏｏｐｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｉｓ ｎｅｘｔ．

１０５

ｏｆ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ

５．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａｅ

５．３．３

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （５．３．６） ｔｏ （５．３．９） ｇｉｖｅ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｒ（Ｇ）． Ｌｅｔ ｕｓ ｓｅｅ ｈｏｗ ｔｈｅｙ ａｐｐｌｙ ｔｏ ｓｉｍｐｌｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｆｏｒ ａ １ＰＩ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｎｏ ｓｕｂｄｉ ｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｔｈｅｙ ｊｕｓｔ ｒｅｐｒｏｄｕｃｅ Ｒ（Ｇ） （７（Ｇ） Ｔｏ Ｕ（Ｇ）． Ｎｅｘｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｇｒａｐｈ ｌｉｋｅ Ｆｉｇ． ３．２．１（ａ） ｏｒ （ｃ）， ｗｈｏｓｅ ｏｎｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｎｏ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｓｏ ｂｙ （５．３．７） ＝

－

Ｒ（Ｇ） Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｏｎｌｙ

ｏｎｅ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ，

＝

（５．３．８） ｃｏｌｌａｐｓｅｓ

ｓｏ

Ｒ（Ｇ）＝Ｕ（Ｇ） ｗｈｅｒｅ ｙ ｉｓ ｔｈｅ

（５．３．１０）

Ｒ（Ｇ）．

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈ．

＋

ｔｏ

ｇｉｖｅ

（５．３．１１）

Ｃｙ｛Ｇ）９

Ｈｅｒｅ

ｉｓ ｔｈｅ ｆｕｌｌ

Ｃｙ（Ｇ）

ｇｒａｐｈ

ｗｉｔｈ ｙ

Ｔｏ Ｕ（ｙ）． Ｗｅ ｒｅｐｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ｒｅｓｕｌｔ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｏｎｅ ｇｒａｐｈ ｌｉｋｅ Ｆｉｇ． ３．２．２（ａ） ｏｒ （ｃ）． Ｗｅ ｎｏｗ ｌｏｏｋ ａｔ ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｏｒ ｍｏｒｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｗｈｉｃｈ ｄｏ ｎｏｔ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔ ａｎｄ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｎｏ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ｇ ｔｏ ｂｅ Ｆｉｇ． ５．１．１（ａ）． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｓｏ ａｇａｉｎ Ｒ（Ｇ） Ｒ（Ｇ）． Ｌｅｔ ｙ１ ａｎｄ ｙ２ ｂｅ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｕｂｂｌｅｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｙｌ９ ｙ２， ａｎｄ ｙｌ＾ｊｙ２． （Ｈｅｒｅ ｙｘ ｕｙ２ ｍｅａｎｓ， ａｓ ｕｓｕａｌ， ｔｈｅ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｙｘ ａｎｄ ｙ２．） Ｓｏ

ｒｅｐｌａｃｅｄ

ｂｙ

－

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

＝

Ｒ（Ｇ）

＝

Ｒ（Ｇ）

Ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ Ｃｙｉ（Ｇ） —

＝

Ｕ（Ｇ）

＋

Ｃ７ｌ（Ｇ） ＋ ＣＪＧ） ＋ ＣｌｕＴ２（Ｇ）．

（５．３．１２）

ｉｓ ｊｕｓｔ

Ｕ（Ｇ） ｗｉｔｈ ｙｘ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， Ｔｏ ［／（ｙｊ； ａｎｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｆｏｒ ｙ２． Ｂｕｔ ｗｈａｔ ｉｓ Ｃ， （Ｇ）？ Ｉｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ａ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｙ｝ ＼ｊｙ２ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ａｌｌ ｌｏｏｐ ｕ．，

ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ

ｌａｒｇｅ．

ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｈｅｒｅ ｏｎｌｙ

Ｃ（ｙ＾ｙ２）＝ Ｈｅｒｅ

ｗｅ

Ｂｕｔ

ｗｅ ｍｕｓｔ

ｓｕｂｔｒａｃｔ ｆｒｏｍ ｉｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｏｎｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ

－

ｉｓ ｌａｒｇｅ：

Ｔｏ［Ｕ｛ｙ１）Ｕ｛ｙ２） ＋ Ｃ（ｙｌ）Ｕ（ｙ２）＋ Ｃ／（ｙｉ）Ｃ（ｙ２）］． （５．３．１３）

ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｙｘ＼ｊｙ２ ｉｓ ｄｉｓｃｏｎｎｅｃｔｅｄ，

Ｕ（ｙ１＾ｙ２） Ｔｏ ｗｏｒｋ ｏｕｔ （５．３．１３），

ｗｅ ｍｕｓｔ

ｔｏ ａｃｔ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ

ｏｎ

Ｔｏ［Ｕ（ｙｉ）Ｕ（ｙ２）］ Ｔｏ［Ｃ（ｙｉ）Ｕ（ｙ２）］

＝

ｓｏ

ｔｈａｔ

（５．３．１４）

Ｕ（ｙｌ）Ｕ（ｙ２）．

ｄｅｆｉｎｅ Ｔ ｗｈｅｎ

ａｃｔｉｎｇ ｏｎ ａ ｄｉｓｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｇｒａｐｈ

ｉｔｓ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ． Ｔｈｕｓ： ＝

＝

［Ｔｏｔ／（ｙｉ）］［Ｔｏｌ／（ｙ２）］ ［ＴｏＣ（ｙｉ）］［Ｔｏ ｔ／（ｙ２）］

＝

＝

Ｃ｛ｙ，）Ｃ｛ｙ２ｌ －

Ｃ｛ｙ，）Ｃ（ｙ２＼

（５．３．１５） （５．３．１６）

ｅｔｃ． Ｗｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｔｈａｔ Ｔｏ

Ｔｏ

Ｕ（ｙｔ）， ｉ．ｅ．，

ｔｈｅ

ｐｏｌｅ ｐａｒｔ

Ｃ（ｙ ■）． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， Ｔｏ ［Ｔｏ Ｕ（ｙ ？）］ Ｕ｛ｙ（） ａ ｐｏｌｅ ｐａｒｔ ｉｓ ｉｔｓｅｌｆ． Ｗｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｆｉｎｄ

ｏｆ

＝

－

＝

１０６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｔｈａｔ

（５．３．１７）

Ｃ（ｙ１ｕｙＪ＝［ＴｏＵ（ｙ１）－］ｌＴ°Ｖ（ｙ２）ｌ ｓｏ

ｔｈａｔ

ｗｅ

ｒｅｐｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

Ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ ｔｏ

ｅｘｃｅｓｓｉｖｅｌｙ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ， ｂｕｔ

ｇｒａｐｈ Ｆｉｇ． ５．１．１（ｄ）． ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｇｒａｐｈ．

Ｉｔ ｍａｙ ａｐｐｅａｒ ｉｔ ａｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｓｍｏｏｔｈｅｓｔ ｗａｙ ｏｆ ｄｅｆｉｎｉｎｇ Ｒ（Ｇ）． ａｎ

ｗｅ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ （５．３．６）—（５．３．１０） ｅｘａｃｔｌｙ ｒｅｐｒｏｄｕｃｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈｓ ｌｉｋｅ Ｆｉｇｓ． ５．１．２ ａｎｄ ５．１．３．

Ｆｉｎａｌｌｙ， ｏｕｒ

５．３．４ Ｓｕｍｍａｒｙ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｐｒｏｖｅｄ ｖｅｒｙ ｌｉｔｔｌｅ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｓｅｔ ｕｐ

ａ

ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｓｔａｔｅ ｅｘａｃｔｌｙ ｗｈａｔ ｗｅ ｍｅａｎ ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ． Ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｎ

ｍａｋｉｎｇ ｐｒｏｏｆｓ． Ｗｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｌｏｃａｌ ａｎｄ ｏｆ ａ ｄｅｇｒｅｅ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｎａｉｖｅ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｔｏ ｆｉｎｄ ａｎ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｄｕｅ ｔｏ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９６９）． ５．４ Ｔｈｒｅｅ－ｌｏｏｐ ｅｘａｍｐｌｅ

ｔｈｒｅｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．４．１ ｉｎ ０３ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｓｉｘ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｉｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｎｅｓｔｅｄ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｐｌｙ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｗｅ ｃａｌｌ ｉｔ Ｇ． Ｉｔｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ａｒｅ： Ｔｈｅ

ｙｘ

＝

ｙ２

＝

ｙ３

＝

ｙ４

＝

ｙｓ

＝

｛ｌｉｎｅｓ ｛ｌｉｎｅｓ ｛ｌｉｎｅｓ ｛ｌｉｎｅｓ

ｃａｒｒｙｉｎｇ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｃａｒｒｙｉｎｇ

ｌｏｏｐ ｌｏｏｐ ｌｏｏｐ ｌｏｏｐ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｍｏｍｅｎｔａ ｋ ｍｏｍｅｎｔａ ｑ

ｆｅ｝， ｑ｝， ａｎｄ／ｏｒ ／｝， ａｎｄ／ｏｒ ／｝， （５Ａ１）

ｙｉｖｙ２＞

Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ＩＰＩ ｖｅｒｔｅｘ

ｔｗｏ ｕｎｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｖｅｒｔｅｘ

ｇｒａｐｈｓ；

ｔｈｅ ｌａｓｔ ｉｓ

ａ ｓｅｔ

ｇｒａｐｈｓ． Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ

ｏｆ

５．３

ｗｅ ｈａｖｅ

Ｒ（Ｇ）

＝

＝

Ｒ（Ｇ）

＋

Ｃ（Ｇ）

Ｒ（Ｇ）－Ｔｃ［Ｒ（Ｇ）ｌ

Ｆｉｇ． ５．４．１． Ｔｈｒｅｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ｉｎ ０３ ｔｈｅｏｒｙ．

（５．４．２）

１０７

Ｔｈｒｅｅ－ｌｏｏｐ ｅｘａｍｐｌｅ

５．４

Ｔｈｉｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｓｔａｔｅｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔａｋｅ ｏｆｆ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

Ｒ（Ｇ）

ｓｕｂｔｒａｃｔ

ｗｅ

Ｒ（Ｇ）

＝

ｔｈｉｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

Ｇ＋

ｉ Ｃｙｉ（Ｇ）

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ

（５．４．３）

？Ｃｆｏ）

５．４．２． Ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｂａｒ ｉｎ

ｗｅ ｔａｋｅ Ｇ ａｎｄ ｒｅｐｌａｃｅ ｙ． ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｆｉｇｕｒｅ， ｔｈｅ ｌａｂｅｌｓ １，．．．，４ ｓｉｇｎｉｆｙ ｗｈｉｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅｅｎ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ．

ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈａｔ

Ｃ（ｙｔ）．

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

Ｆｉｇ．

ａｓ

Ｒ（Ｇ＼

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ：

－Ｇ＋ＩＧ｜ Ｗｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｉｓ

ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

Ｉｎ ｔｈｅ

ｙ！，．．．， ｙ４ ｈａｓ

Ｒ（Ｇ）

＝

＋ ＇４

１

Ｆｉｇ． ５．４．２． Ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．４．１． Ｏｎｌｙ ｙｌ ａｎｄ ｙ２ ｈａｖｅ

Ｃ（ｙ Ｊ ａｎｄ Ｃ（ｙ２） ａｒｅ ｔｈｅ Ｂｕｔ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｔｉｌｌ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ Ｃ（ｙｔ） ｆｏｒ ｉ ３，４，

ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ，

ｎｏ

ｏｒｄｉｎａｒｙ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

ｓｏ

—

５： Ｃ（ｙ３）＝

Ｃ（ｙ４）

ｃ（ｙ５）

＝

＝

＝

－＾ｂｓ－ｙｓｌｙ＾ｎｙ＾ｌ Ｔｏ［ｙ４ ｙ４｜ｙ２＿Ｔ（Ｖ２）］， －

－

＼ｙｘｙ２ Ｔ｛ｙｉ）ｙ２ ［－Ｔｆ（ｙｉ）］［－ｒ（ｙａ）］． －Ｔｏ

－

－

ｙｔ

Ｔ（ｙ２）￣＼ （５．４．４）

ｂｙ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ （５．４．２）－（５．４．４）． Ｉｆ ｗｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ １ ＰＩ ｇｒａｐｈ ｂｙ ｅｎｃｌｏｓｉｎｇ ｉｔ ｉｎ ａ ｂｏｘ， ｗｅ ｃａｎ ｗｒｉｔｅ

Ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ

ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ａｐｐｌｙｉｎｇ Ｔ ｔｏ

ａ

ａｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ５．４．３． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｓｉｘｔｅｅｎ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ａｌｌ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｅｉｇｈｔ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ （７（Ｇ） ｍｉｎｕｓ ｉｔｓ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｅｉｇｈｔ ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｒ（Ｇ） ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ

Ｒ（Ｇ）

Ｆｉｇ． ５．４．３ ｉｓ

ａｎ

ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ

ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ， ｔｏ ｂｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ

ｓｅｃｔｉｏｎ． Ａｓ

ｗｅ ｓａｗ

ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈｓ，

ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ

ａ

ｆｉｒｓｔ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｏｆｆ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｇｒａｐｈ ｔｈｅｒｅ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｗｈｅｒｅ ｓｏｍｅ ｂｕｔ ｎｏｔ ａｌｌ ｉｓ ｎｏｎ－ｌｏｃａｌ ｕｎｌｅｓｓ

ｗｅ

１０８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｒ（Ｇ）－

＜ｎ＞ （？）

（ｂ）

＿Ｍ－

（ｄ）

（ｅ）

（ｆ）

（９）

（Ａ）

！Ｌ

｜ Ｐｒｅｖｉｏｕｓ １ １８ ｇｒａｐｈｓｊ Ｆｉｇ．

５．４．３． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．４．１．

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｈａｖｅ ｌａｒｇｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｔｈｅｒｅ ｗｏｕｌｄ ａｌｓｏ ｂｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ａｌｌ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ ｂｕｔ ａｔ Ｆｉｇ． ５．４．３ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ．

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒａｔｅｓ． Ｗｅ ｃａｎ ｃｈｅｃｋ ｆｒｏｍ

ｆｏｒ Ｒ｛Ｇ）． Ｌｅｔ

ｏｃｃｕｒ

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｕｓ

ｄｏ ｔｈｉｓ

ｔｈａｔ

ｎｏｎｅ

ｏｆ ｔｈｅｓｅ

ｐｒｏｂｌｅｍｓ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ Ｇ ｉｓ ｌｏｃａｌ． Ｗｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ

Ｒ（Ｇ） ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｐ ａｎｄ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｒｏｕｔｉｎｇ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．４．１， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｈｒｅｅ ｌｉｎｅｓ ｔｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ： ｐ ＋ ｆｃ， ｐ ＋ ／， ｐ ＋ ｑ． Ｈｅｒｅ ｗｅ ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｙ ｔｈｅ ｌｉｎｅ ａｓ ａ ｌａｂｅｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｎｅ． Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｇｒａｐｈ

ｃａｒｒｉｅｄ

ｇｉｖｅｓ

ｔｅｎ ｔｅｒｍｓ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａｒｅ

ａｐｐｌｉｅｄ

ｔｏ ａｎｙ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ

ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｌｉｎｅｓ． Ｏｎｅ ｔｅｒｍ ｉｓ ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ ｐ ＋ ｋ ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ

５．４．４）． Ａｌｔｈｏｕｇｈ

（Ｆｉｇ．

ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｔｈｅｒｅ ｒｅｍａｉｎ ｓｕｂ－ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎｓ ａｐｐｌｉｅｄ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｔｈｅｎ

ｎｏ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｓｏ ｗｅ ｍｕｓｔ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ （ｂ）－（ｈ）． Ｗｅ ｍｕｓｔ ｒｅｇａｒｄ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａｓ ａｃｔｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅｓｅ ｇｒａｐｈｓ ｂｅｆｏｒｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ （ｂｙ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ

ｓｙｍｂｏｌｉｚｅｄ ｂｙ

ｔｈｅ ｂｏｘ）．

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｙｘ ａｎｄ ｙ３ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｆｉｎｉｔｅ， ｂｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｙ３＇ｓ ｏｎｌｙ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｈｅｎｃｅ

Ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ

ｒｅｍｏｖｉｎｇ

ｂｏｔｈ ｔｈｅｉｒ ｏｖｅｒａｌｌ

Ｆｉｇ． ５．４．４． Ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ Ｆｉｇ． ５．４．１ ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ．

５．５ Ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ

１０９

ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｇｒａｐｈｓ （ｂ＼ ［ｄ＼ （ｅ＼ ａｎｄ （ｈ） ａｒｅ ｚｅｒｏ ａｆｔｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｇｒａｐｈｓ （ｃ）， （／）， ａｎｄ （ｇ）． Ｔｈｅｓｅ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ （ａ） ｃｏｍｉｎｇ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｙ２ ａｎｄ ｙ４， ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｕｎａｆｆｅｃｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ．

ｌｅａｖｅｓ ｆｒｏｍ

Ｗｅ ｍａｙ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｎｉｎｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｄ３Ｒ（Ｇ）／ｄｐ３ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｉｎ ｆａｃｔ ｄ３Ｒ（Ｇ）／ｄｐ３ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ， ａｓ ｃｌａｉｍｅｄ．

ｓｉｍｉｌａｒｌｙ，

ａｎｄ

ｗｅ

５．５ Ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ ５．５．１ Ｆｏｒｍｕｌａ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９６９， １９７０） ｇａｖｅ ａｎ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ Ｒ（Ｇ） ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ Ｇ． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｉｄｅａ ｃａｎ ｂｅ ｇｌｅａｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｗｅ ｅｘａｍｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｓｅｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｒｅ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｓｉｘｔｅｅｎ ｔｅｒｍｓ． Ｏｎｅ ｗａｓ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｇｒａｐｈ， ａｎｄ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒｓ ｈａｄ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ Ｔ ａｐｐｌｉｅｄ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｔｉｍｅｓ．

ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｎ ｇｒａｐｈ （ｅ） ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｒｅｐｌａｃｅ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｍｏｓｔ ｌｏｏｐ ｙ ｘ ｂｙ Ｔ（ｙ Ｊ， ｗｉｔｈ ａ ｒｅｓｕｌｔ ｗｅ ｃａｎ ｗｒｉｔｅ ａｓ Ｔｙｉ（Ｇ）． Ｗｅ ｔｈｅｎ ｔａｋｅ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｙ３， ｉｔ ｖｉｚ． ａｎｄ ｒｅｐｌａｃｅ ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ａｃｔｉｎｇ ｗｉｔｈ Ｔ． Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ｇｒａｐｈ （ｅ）． Ｔｙｉ（ｙ３＼ Ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｇｒａｐｈｓ （ｄ） ａｎｄ （ｅ） ｉｓ ｕｓｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ Ｇ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｙ３． Ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｘｔｅｅｎ ｔｅｒｍｓ ｉｓ ｐｉｃｔｕｒｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ＩＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｅｎｃｌｏｓｅｄ ｉｎ ｂｏｘｅｓ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｔ ｔｏ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ． Ｅａｃｈ ｔｅｒｍ ｃａｎ ｂｅ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ ｇｉｖｉｎｇ ｉｔｓ ｓｅｔ ｏｆ ｂｏｘｅｄ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ． Ｅａｃｈ ｓｕｃｈ ｓｅｔ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａ ｆｏｒ ｅｓｔ． Ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｗｈｉｃｈ ｆｏｒｍ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｆｏｒｅｓｔ ａｒｅ ｅｉｔｈｅｒ ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｏｒ ｎｅｓｔｅｄ： ｔｈｅｙ ａｒｅ ｓａｉｄ ｔｏ ｂｅ ｎｏｎ－ Ｆｏｒ

ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ． Ｔｈｅｒｅ ｓｅｔ

ａｒｅ

Ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｌｌ

ｃａｌｌｅｄ ＃＂（Ｇ）． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

ｅｉｇｈｔ

ａｒｅ

（ｉｎ

ｔｈｅｏｒｙ ｎｏｔａｔｉｏｎ）：

（ａ） ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ （ｃ） （ｄ） （？） ｉｆ） ｔｏ） （ｈ）

ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｆｏｒｅｓｔｓ ｆｏｒ Ｇ ｉｓ ｏｃｃｕｒｒｉｎｇ ｉｎ Ｆｉｇ． ５．４．３．

ｓｉｘｔｅｅｎ ｆｏｒｅｓｔｓ

ｓｅｔ

０，

｛ｙ２｝， ｛ｙ３｝， ｛Ｖｉ．Ｖｓ｝． （Ｕ ｛＾．ｙＪ． ｛ｙ？ｙａ｝．

Ｔｈｅｓｅ ｄｏ

ｎｏｔ ｃｏｎｔａｉｎ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ

ｇｒａｐｈ； ｔｈｅｙ

ａｒｅ

ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌ ｆｏｒｅｓｔｓ．

Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｅｉｇｈｔ ｆｏｒｅｓｔｓ ｉｎ Ｆｉｇ． ５．４．３ ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｅｉｇｈｔ ｆｏｒｅｓｔｓ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａｄｄｅｄ ａｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｅｌｅｍｅｎｔ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｇｒａｐｈ Ｇ． Ａ ｆｏｒｅｓｔ ｏｆ Ｇ

１１０

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ

Ｇ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

ａ．

ｆｕｌｌ ｆｏｒｅｓｔ． Ｔｈｅ ｄｉｓｔｉｎｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｎｏｒｍａｌ ａｎｄ ｆｕｌｌ

ｆｏｒｅｓｔｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌ ｆｏｒｅｓｔｓ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｏｆｆ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｆｏｒｅｓｔｓ ｃｏｍｂｉｎｅ ｔｏ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｎｏｔ ａｌｌ ｆｏｒｅｓｔｓ Ｕ

ｏｃｃｕｒ

ｉｎ Ｆｉｇ． ５．４．３； ｆｏｒ

｛ｓｕｂｇｒａｐｈ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ

＝

ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ

ｏｆ ｌｉｎｅｓ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｐｐｅａｒ． Ｓｕｃｈ ｆｏｒｅｓｔｓ ｃｏｎｔａｉｎ ａｔ ｌｅａｓｔ

ｓｕｂｇｒａｐｈ

ａｓ ａｎ

ｆｏｒｅｓｔ

ｏｎｅ

／｝

ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ

ｅｌｅｍｅｎｔ．

Ｉｎｓｐｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．４．３ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ

Ｉ

＊（Ｇ）＝

（５．５．１）

ｒｉ（－ｒ，）Ｇ．

Ｃ７ｅ．＾（Ｇ） ｙｅＵ Ｈｅｒｅ

ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｉｓ

ｏｖｅｒ

ａｌｌ ｆｏｒｅｓｔｓ Ｕ ｏｆ Ｇ． Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｎｅｓｔｅｄ

Ｔｙ ｒｅｐｌａｃｅｓ ｙ ｂｙ Ｔ（ｙ）．

ｙ＇ｓ ｔｈｅ ７，，＇ｓ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎｓｉｄｅ

ｔｏ ｏｕｔｓｉｄｅ．

Ｅｑｕａｔｉｏｎ （５．５．１） ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ； ｉｔ ｉｓ ｄｕｅ ｔｏ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９６９）． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｃｏｍｐｕｔｅ Ｒ｛Ｇ） ｆｏｒ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｇｒａｐｈ Ｇ ｂｙ ｕｓｉｎｇ （５．５．１）． Ｔｈｅｎ，

ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｓｈｏｒｔｌｙ， ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｒ（Ｇ） ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．３． ａｓ ｗｅ

Ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｌｅｔ ｔｈｅ

ｓｕｍ ｏｖｅｒ

ｆｏｒｅｓｔｓ ｂｅ

ｏｖｅｒ

ｉｆ

ｗｅ

ｕｓｅｄ ｔｈｅ

ａｌｌ ｆｏｒｅｓｔｓ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ

ｓｕｐｅｒｆｉｃｉａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ； ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎ ｆｏｒ ｄｏｉｎｇ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｗｅ

ｏｆ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｔｈａｔ

ｔｈｏｓｅ

ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｅｘｔｒａ ｆｏｒｅｓｔｓ ｇｉｖｅ ａ ｚｅｒｏ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｏｖｅｒ

ｓａｍｅ ａｓ

ａｒｅ

ｗｉｌｌ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｗｉｓｈ ｔｏ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｔ ｓｏ ｔｈａｔ ｗｅ ｍａｋｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ， ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｆｏｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ．

ｅｘａｍｐｌｅ， ｓｕｃｈ

ｒｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｈｅ ｋｅｙ ｔｏ ｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０． Ｗｅ ｎｏｗ ｈａｖｅ ｂｏｔｈ ａ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ａｎｄ ａ ｎｏｎ－ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｆｏｒ

ａ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ． Ｉｔ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｖｅｒｙ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｈａｖｅ ｂｏｔｈ ｐｒｏｏｆｓ ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｏｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ａｖａｉｌａｂｌｅ． Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｐｒｏｏｆｓ

ｇｒａｐｈ

ｗｉｌｌ ｎａｔｕｒａｌｌｙ

ｕｓｅ

ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

ｏｎ

ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｌｏｏｐｓ ｏｆ

ａ

ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ．

５．５．２ Ｐｒｏｏｆ Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｉｓ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ， ｂｕｔ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｉｎｖｏｌｖｅｄ． Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｕｓｅ （５．５．１）， ａｎｄ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ：

Ｃ７ｅ＾（Ｇ） ｙｅＶ

Ｃ－ＴＧｏＲ（Ｇ＼ Ｃ（Ｇ） ＝＜ ｎ［ｃ（ｆｔ）］＞ （０

＇

＊）

ｉｆ Ｇ ｉｓ １ ＰＩ，

ｉｆ Ｇ ｉｓ

ａ

ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｕｎｉｏｎ ｏｆ

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ，

１ＰＩ

ｙｔ％＼ （５．５．３）

Ｊ

５．５ Ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ

１１１

Ｒ（Ｇ）， ａｎｄ Ｃ（Ｇ）． Ｈｅｒｅ ＃（Ｇ） ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｎｏｒｍａｌ ｆｏｒｅｓｔｓ （ｉ．ｅ．， ｔｈｏｓｅ ｔｈａｔ ｄｏ ｎｏｔ ｃｏｎｔａｉｎ Ｇ）． Ｔｈｅｓｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ Ｆｉｇ． ５．４．１， ａｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｂｙ ｉｎｓｐｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．４．３． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｕｎｉｑｕｅｌｙ ｇｉｖｅ Ｒ（Ｇ＼ Ｒ（Ｇ＼ ａｎｄ Ｃ（Ｇ） ｉｎ ａｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｒ（Ｇ＼ ｏｆ Ｇ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ Ｔｙ， ｉｔ ｓｕｆｆｉｃｅｓ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ （５．５．１）—（５．５．３） ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ （５．３．６）－（５．３．９）． Ｎｏｔｉｃｅ ｆｉｒｓｔ ｔｈａｔ （５．３．６） ａｎｄ （５．３．９） ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ， ｒｅａｌｌｙ ｅｘｃｅｐｔ ｆｏｒ ｂｅｉｎｇ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ． Ｉｆ Ｒ｛Ｇ） ｇｉｖｅｎ ｂｙ （５．５．２） ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔ， ａｎｄ ｉｆ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ， ｔｈｅｎ （５．５．３） ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｏｕｒ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ （５．３．６） ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ

Ｃ（Ｇ）． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ Ｇ ｉｓ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ａｎｄ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ． Ｎｏｗ ｅａｃｈ ｆｏｒｅｓｔ ｏｆ Ｇ ｉｓ ｅｉｔｈｅｒ ａ ｎｏｒｍａｌ ｆｏｒｅｓｔ， ｔｈａｔ ｉｓ， ａ ｆｏｒｅｓｔ ｏｆ ｗｈｉｃｈ Ｇ ｉｓ ｎｏｔ

ｅｌｅｍｅｎｔ，

ａｎ

ｏｒ

ｉｔ ｉｓ

ａ

ａｄｊｏｉｎｅｄ Ｇ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｆ （５．５．１）—（５．５．３） ｆｏｒ ｓｕｃｈ ａ

ｎｏｒｍａｌ ｆｏｒｅｓｔ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

（５．３．７） ｆｏｒ Ｒ（Ｇ） ｉｓ ａ ｄｉｒｅｃｔ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｇｒａｐｈ． Ｉｆ Ｇ ｉｓ ｎｏｔ ａ ｕｎｉｏｎ ｏｆ １ＰＩ ｇｒａｐｈｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ，

ｆｏｒｍｕｌａ

ａｎｄ ａｇａｉｎ （５．３．７） ｈｏｌｄｓ． Ｓｏ ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：

（１） Ｒ（Ｇ） ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔ ｗｈｅｎ Ｇ ｉｓ ａ ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｍｏｒｅ ｔｈａｎ ｏｎｅ １ＰＩ ｇｒａｐｈ． （Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． ３．２．１（ｈ）， ａｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．３．）

ｗｅ ｓａｗ

（２） Ｒ（Ｇ） ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔ， ｉ．ｅ．， ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ （５．３．８）， ｆｏｒ

Ｉｆ

Ｇ ｉｓ

ｆｏｒｅｓｔｓ，

ｄｉｓｊｏｉｎｔ

ａ

ｏｎｅ

ｇｅｎｅｒａｌ ｇｒａｐｈ．

ａ

ｕｎｉｏｎ ｏｆ １ＰＩ ｇｒａｐｈｓ ｙ．， ｔｈｅｎ ｅａｃｈ ｆｏｒｅｓｔ ｉｓ

ｆｏｒ ｅａｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ． Ｔｈｅｎ Ｒ（Ｇ）

＝

［￣］ Ｒ（ｙ．），

ａｓ ｗｅ

ａ

ｕｎｉｏｎ ｏｆ

ｓｈｏｕｌｄ ｅｘｐｅｃｔ．

ｉ

Ｔｈｅ

ｐｒｏｂｌｅｍ

ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ

ｍａｋｅ

ａｎ

ｍａｎｉｆｅｓｔｌｙ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，

ｏｖｅｒａｌｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｇ． Ｗｅ ｄｅａｌｔ ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ

ｂｅｔｗｅｅｎ （５．３．１１） ａｎｄ （５．３．１７）． Ｏｕｒ ｐｒｏｏｆ ｏｆ （５．３．８） ｉｓ ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

ｇｒａｐｈ ｈａｓ

ｔｒｕｅ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ

ｏｎ

ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ Ｇ． Ｎｏｗ

ａ

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ １ＰＩ

ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ， ｓｏ ｉｔｓ ｏｎｌｙ ｎｏｒｍａｌ ｆｏｒｅｓｔ ｉｓ ｔｈｅ ｅｍｐｔｙ ｓｅｔ． Ｔｈｅｎ ｆｏｒｍｕｌａ （５．５．２） ｃｏｌｌａｐｓｅｓ ｔｏ Ｒ（Ｇ） Ｕ（Ｇ＼ ｊｕｓｔ ａｓ ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ． Ｔｈｉｓ ｎｏ

＝

ｅｎａｂｌｅｓ

ｕｓ ｔｏ ｓｔａｒｔ

ｔｈｅ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ．

（５．３．Ｓｂ）． Ｆｏｒ ｔｈｉｓ， ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｆｏｒｅｓｔ Ｕ ｈａｓ ａ ｂｉｇｇｅｓｔ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ Ｍｌ９．．．，Ｍｊ． Ｅａｃｈ Ｍ， ｉｓ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｎｏ ｕｎｉｑｕｅ ｂｉｇｇｅｒ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｉｎ Ｕ， ａｎｄ ｅａｃｈ ｙ ｅ Ｕ ｉｓ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｓｏｍｅ Ｍｔ． Ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｓｅｔ ｏｆ Ｍ＇ｓ ｉｓ ｓｅｅｎ ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｐａｉｒｓ ｙ．， ｙｋ ｏｆ Ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｓｅｔ ｏｆ

ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｕ．

Ｓｉｎｃｅ ｙ． ａｎｄ ｙｋ ａｒｅ

ｎｏｎ－ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ，

ｔｈｅｒｅ

ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｉｅｓ： （１）

ｙ．

（２） ｙｋ

（３）

ｃ

ｙｋ， ｉｎ ｗｈｉｃｈ

ａ

ｙ．， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｃａｓｅ ｒｅｍｏｖｅ ｙｋ ｆｒｏｍ ｆｕｒｔｈｅｒ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ．

ｙ．ｎｙｋ

＝

ｃａｓｅ ｒｅｍｏｖｅ ｙ．

０， ｉｎ ｗｈｉｃｈ

ｃａｓｅ

ｆｒｏｍ ｆｕｒｔｈｅｒ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ．

ｌｅａｖｅ ｂｏｔｈ ｉｎ．

ａｒｅ

ｔｈｒｅｅ

１１２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｒｅｐｅａｔ ｕｎｔｉｌ

ｎｏ

ｆｕｒｔｈｅｒ ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎｓ

ｐｏｓｓｉｂｌｅ； ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ

ａｒｅ

Ｍｆ＇ｓ． Ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ Ｕ ｉｓ ｔｈｅ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｕｌｌ ｆｏｒｅｓｔ，

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ （５．５．２） ｏｆ Ｒ（Ｇ）

Ｒ（Ｇ）

＝

．

Ｈｅｒｅ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ

Ｚ

Ｉ

？？

ｏｕｒ

ｘ

（－Ｔｎ）－Ｕ（－Ｔｙｊ］Ｇｌ

ｎ ｙｉ

ｃｏｍｅｓ

ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｍｔ． Ｗｅ ｃａｎ ｗｒｉｔｅ

＼ｆ＼（－ＴＭ）

Ｉ

Ｇ＋

＼

ｏｎｅ

ａｓ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｉｎ （５．５．２） ｔｈａｔ Ｕ

＝

（５．５．４） ０， ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｍ ｉｎ

ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ｉｓ ｏｖｅｒ ｎｏｎ－ｅｍｐｔｙ ｓｅｔｓ ｏｆ ｄｉｓｊｏｉｎｔ １ＰＩ ｇｒａｐｈｓ Ｍ｛ ｅｘｃｅｐｔｉｎｇ Ｇ． Ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｙ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ Ｍｔ Ｍ１ｕ．．．ｕＭｎ ａｎｄ ｕｓｉｎｇ （５．５．３） ｔｏ ＝

ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ

Ｃ（Ｍ｛

＝

ｕ．．． ｕ

Ｍｎ＼

ｗｅ

ｆｉｎｄ （５．３．％ｂ）．

５．６ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｔｏ ｉｆ Ｗｅ ｈａｖｅ

ｈｏｗ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ

ｍａｋｉｎｇ ｄｏｉｎｇ ｔｈｉｓ ｃａｍｅ ｆｒｏｍ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｗｅｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ａ

ｓｅｅｎ

ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ．

Ｔｈｅ

ａｎ

ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ｂｙ

ｍｏｔｉｖａｔｉｏｎ ｆｏｒ

ｔｒｕｅ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ

ａｓｓｕｍｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｒｅｓｕｌｔ （ｔｏ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ ｌａｔｅｒ） ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｉｔｓ

ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｊｕｓｔ ａｓ ｆｏｒ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ． Ｆｉｒｓｔ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｍａｋｅ ｐｒｅｃｉｓｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｇｒａｐｈ Ｇ， ｗｅ ｈａｖｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ（Ｇ）． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｉｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ

ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ Ｇ， ｉｔ

ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ

Ｎ（Ｇ） ｉｓ

ａ

ａｎ

ｃａｎ

ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ

ａｓ

１ＰＩ ｉｓ

ａ

ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｔｅｒｍ Ｄ（Ｇ）／Ｎ（Ｇ） ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｊ￡ｆ． Ｈｅｒｅ ｓａｍｅ ｓｏｒｔ ａｓ ｔｈｅ ３！ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ０３

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｔｅｒｍ ｉｎ ｉｆ． Ｅａｃｈ ｐｏｗｅｒ ｏｆ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｐｏｉｎｔ ｇｒａｐｈ ａｎｄ

ｅｎｔｅｒｉｎｇ Ｄ（Ｇ） ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｆｉｅｌｄ． Ｉｆ Ｇ ｉｓ ａｎ ｎ－ ｌｉｎｅｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｙｐｅ ｏｆ ａ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｔｏ ｉ ｔｉｍｅｓ ａ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｅａｃｈ ｏｆ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ

ｆｉｅｌｄ， ｔｈｅｎ Ｎ（Ｇ） ｉｓ ｎ＼． Ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｌｉｎｅｓ ｏｆ ｔｙｐｅ ｉ

ａｒｅ ａ

ｅｎｔｅｒｉｎｇ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｉｅｌｄｓ ａｎｄ

ｎ．

ｉｓ ｔｈｅ

Ｇ ｔｈｅｎ

ｉＶ（Ｇ）＝ｎ＾！－

（５－６１）

ｉ

ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｇｉｖｅｓ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｗｉｔｈ ｇｒａｐｈｓ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｇｒａｐｈｓ Ｆｏｒ ｅａｃｈ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ＇（ｆ）３ ｔｈｅｏｒｙ． ｉｆ

＝

Ａｓ ｂｅｆｏｒｅ， ｊｓｆ ０

＋

ｓｅｈ

ｗｅ

ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ

＋ ＜？ ｃｔ

＝

ｓｅ ０ ＋

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ＜ｅｖ

ａｓ：

（５．６．２）

１１３

５．６ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｔｏ ￥￡ Ｔｈｅ ｆｒｅｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ＳｅＱ

＝

（ｄ（ｊ））２／２

（５．６．３）

ｍ２（ｊ）２／２

－

ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ！￡ｘ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ， ｉｆｂ ａｎｄ ｉｆｃｔ． Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｉｓ

（５．６．４）

ｉｆｂ＝－＾３￣ｄ／２（／＞３／３！， ａｎｄ

ｉｆｃｔ ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ：

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ｕｓｅｄ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

（５．６．５）

＜？ｃｔ＝ＺＤ（Ｇ）／Ｎ（Ｇ）． Ｇ

ｓｕｍ

ｉｓ

ａｌｌ １ＰＩ

ｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｏｓｅ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ｎｏ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅｓｅ Ｄ（Ｇ） ０． Ｅａｃｈ １ＰＩ ｇｒａｐｈ ｔｈａｔ ｈａｓ ａｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ； ｇｅｎｅｒａｔｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ａ ｔｅｒｍ ｉｎ （５．６．５）． Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｅ （５．６．２） ａｎｄ Ｈｅｒｅ ｔｈｅ

ｏｖｅｒ

ｎｏ

＝

（５．６．５） ａｐｐｌｙ ｉｎ ａｎｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｓｉｎｃｅ （５．６．５） ａｐｐｌｉｅｓ ｔｏ ａｎｙ ｔｈａｎ

ｓｉｘ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．

ｔｈｅｏｒｙ， ｉｔ ａｐｐｌｉｅｓ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｏ ０３ ｉｎ ｈｉｇｈｅｒ

Ｔｈｕｓ

ｉｔ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｂｕｔ ｔｈｅ

ｅｎａｂｌｅｓ

ｓｕｍ ｍｕｓｔ

ｕｓ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ

ｔｏ

ａ

ｎｏｎ－

ｉｎｃｌｕｄｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ Ｄ（Ｇ） ｗｉｔｈ

ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ａｎｄ ｗｉｔｈ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ ｆｏｒ Ｇ． Ｉｔ ｉｓ ｏｎｌｙ ｉｎ ｓｉｘ ｏｒ ｆｅｗｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｔｈａｔ

ａｎ

ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｉｆ ０

＋

ｓａｍｅ

ｆｏｒｍ

ａｓ ｔｅｒｍｓ

ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

０３ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

￡ｃｈ．

Ｎｏｗ ｔｈａｔ

ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｔｏ

ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ａ

ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｎｏｔａｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ ｆａｃｔｏｒｓ

ｃｏｍｅ ｏｕｔ ｒｉｇｈｔ． ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎｄ ｂｙ （５．６．２） （５．６．５） ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ｅｎｓｕｒｅ

ｓａｍｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｓ ｔｈｏｓｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｏｕｒ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．３ （ａｎｄ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙ ｓａｍｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．５ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ）． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｗｉｌｌ ｂｅ

ｇｉｖｅｎ ｆｏｒ

０３ ｔｈｅｏｒｙ

ｉｎ ｓｉｘ

ｏｒ

ｆｅｗｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ， ｂｕｔ ｉｔ ｅａｓｉｌｙ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ．

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ＡＴ－ｐｏｉｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＧＮ ａｔ ｏｒｄｅｒ ｇｐ． Ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｎｌｙ ｗｉｔｈ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｇｒａｐｈｓ． Ｉｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ （ａｓ ｗｅ

ｔｏ ｗｏｒｋ

ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．７）， ｔｈｅｎ ｔｈｅ Ｓｅｃｉ

＝

ＳＺ（ｄ（ｔ＞）２／２

－

ｓｕｍ

ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ：

ｄｍ２（ｊ）２／２

－

Ｓｇ（ｆ＞３／３！．

（５．６．６）

ｗｉｔｈ （ｂｙ （５．６．５）） －３Ｚ＝

￡

［Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ

￡

［Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｉｐ° ｉｎ Ｃ｛Ｇ）＼

￡

Ｃ（Ｇ）／ｉ．

２－ｐｏｉｎｔ Ｇ

－ｄｍ２＝

２－ｐｏｉｎｔ Ｇ

－５ｇ＝ Ｗｅ

ｉｇｎｏｒｅ

ｔｈｅ

３－ｐｏｉｎｔ Ｏ＊

ｏｆ

ｔａｄｐｏｌｅｓ， ｙｅｔ ａｇａｉｎ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍ

－

ｉｐ２

ｉｎ

Ｃ｛Ｇ）＼

（５．６．７） ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ｇｐ ｉｎ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ

１１４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ＧＮ ｈａｓ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｉｆ ｂ －Ｉ－ ｉｆ ｃｔ． Ｔｈｅｒｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅｉｒ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｉｆ ｂ． Ｌｅｔ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｂｅ ｃａｌｌｅｄ Ｂ． Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｌｌ ｃｏｎｔａｉｎ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ （５．６．６）． Ｅａｃｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄ ｉｎｔｏ

ａ ｓｕｍ

ｏｆ ｔｅｒｍｓ

ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ （５．６．７）

ｖｅｒｔｅｘ． Ｅａｃｈ ｔｅｒｍ ｈａｓ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｉｃｅｓ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｍｅ ｇｒａｐｈ． ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ ｏｖｅｒａｌｌ

Ｓｏ

ｗｅ

＝

ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ

Ｔｈｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ， ｅａｃｈ ｔｅｒｍ

ｔｈｅ

Ｔ

ｂ（Ｔ）ｅＢ．

Ｚ（ｇ＋ Ｇ

Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ， Ｇ

ｔｈｅｎ ｂｅ

ｈａｖｅ

Ｇ？

ｇｒａｐｈｓ

ｃａｎ

ａｔ ｅａｃｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｗｅ

＼

Ｉ

ｂ（Ｔ）

＝

Ｇ

Ａ

（５．６．８）

／

ｈａｖｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ

ｂｙ ｗｒｉｔｉｎｇ Ｒ（Ｇ）

Ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ

＝

￡ Ｃｙ（Ｇ）．

Ｇ＋

（５．６．９）

（５．６．８） ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂｙ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ ｅａｃｈ ｏｆ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｄｉｓｊｏｉｎｔ １ＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｙｌ９．．．９ｙｊ ｂｙ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｏｎ ｉｎ （５．６．９） ｗｉｔｈ ｉｄｅｎｔｉｆｙｉｎｇ ｙ ｉＤｙ｛Ｇ）． ｙｌｖｙ２＂＇ｖｙｐ ｗｅ ｅｘｐｅｃｔ ｔｈａｔ Ｔｉｎ

Ｇ？＝ＥＫ（Ｇ）．

（５．６．１０）

Ｇ

Ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｏｂｖｉｏｕｓ，

ｗｅｒｅ ｉｔ ｎｏｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒｓ ｄｏ ｎｏｔ ｍａｔｃｈ ｍａｎｉｆｅｓｔｌｙ ｕｐ． Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｂｙ Ｆｉｇ． ５．６．１． Ｔｈｅｒｅ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ ｉｓ （ａ＼ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｉｔ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ （ｂ）－（ｅ）．

Ｎｏｗ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒ ｆｏｒ （ａ） ｉｓ １／８： Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｆａｃｔｏｒ １／２ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｓｅｌｆ－ ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ａｎｄ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ １／２ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｏｐ－ｂｏｔｔｏｍ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ

ｇｒａｐｈ．

Ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ

（ｂ）

ａｎｄ

ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｆａｃｔｏｒ １／２ ｇｏｅｓ ｉｎｔｏ ｔｈｅ

ｇｒａｐｈｓ （ｂ） ａｎｄ （ｃ）

ａｒｅ

（ｃ） ｈａｓ

ａ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒ １／４， ｓｉｎｃｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ．

ｅｑｕａｌ．

（ａ）

（６）

ｏ－ｏ

ｗ

Ｍ）

（ｃ）

Ｆｉｇ． ５．６．１． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ

－＊

ａ

ｇｒａｐｈ，

ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒｓ．

Ｂｏｔｈ

５．６ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｔｏ＜￡

１１５

Ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｓ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ， ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｇｒａｐｈ， ｂｕｔ ｗｉｔｈ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒ １／２． Ｓｏ ｔｈｅｙ ｇｉｖｅ ｏｎｅ ｔｅｒｍ ｗｉｔｈ ｆａｃｔｏｒ １／２ ｉｎ （５．６．８） （ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ）， ｗｈｉｌｅ ｉｎ （５．６．９） （ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ） ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｅｑｕａｌ ｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈ ｆａｃｔｏｒ １／４． Ｔｈｅ ｅｎｄ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ． Ｗｅ ｍｕｓｔ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ

（ｂ）

（ｃ）

ａｎｄ

ｄｉｓｔｉｎｃｔ ｇｒａｐｈｓ ｗｈｅｎ ｄｅｆｉｎｉｎｇ Ｒ（Ｇ＼ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｙ ｗｅ ｍｕｓｔ ｔａｋｅ

ａｓ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｌｏｏｐ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｅａｃｈ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｖａｒｉａｂｌｅ ｔｏ ｂｅ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈａｂｌｅ．

ｇｅｎｅｒａｌ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｔｅｄｉｏｕｓ． Ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ Ｇ １／／Ｖ（Ｇ）， ｗｈｅｒｅ Ｎ（Ｇ） ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ＇ｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｇｒｏｕｐ． Ｓｏ Ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ｉｓ

－

ｗｅ

ａ

ｗｒｉｔｅ Ｇ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｏｖｅｒｂａｒ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ Ｃ（Ｇ）

＝

ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｉｇｎｏｒｉｎｇ ａｌｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒｓ．

ｂｙ Ｃ（Ｇ）

＝

＝

Ｇ＋

ｗｅ

ｇｒａｐｈ

Ｇ ｉｓ

Ｙ Ｃｙ（Ｇ）

Ｎ（Ｇ） Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｌｉｎｅ

（５．６．１２）

Ｃ（Ｇ）／Ｎ（Ｇ）．

Ｎｏｗ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａ

Ｒ（Ｇ）

（５．６．１１）

Ｇ／Ｎ（Ｇ＼

Ｎ（Ｇ）

ｎ＊．

Ｃ，（Ｇ）

ａ ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｕｎｉｏｎ ｏｆ １ＰＩ ｇｒａｐｈｓ ｙ，， ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒｓ １／Ｎｔ ｙｔ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｆｏｒ ａ ｕ ｙ（ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｔｈｅ ｙ；＇ｓ ａｒｅ ａ ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ ｓｅｔ

ｈａｖｅ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｔｈａｔ ｙ ｉｓ

ｙ２，．．．． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｗｅ ｈａｖｅ

ｆｏｒ ｅａｃｈ

（５．６．１３）

ｌ／Ｎ（ｙｔ） ｇｉｖｅｎ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｙ ｏｆ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ

＝

＝

ＪＶ（Ｇ）／Ｊ￣［ ＡＴ，

ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｇ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｉｔｙ

ｍｕｓｔ ｂｅ ａｎ

ｉｎｔｅｇｅｒ．

ｉ

Ｎｅｘｔ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （５．６．２）， ａｓ

ｉｎ （５．６．８），

ＧＮ＝Ｙ＜－＾— Ｇ＋Ｙ＇—－—Ｃ （Ｇ） １．

（５．６．１４）

ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｃｏｕｎｔｅｒ－ ｔｅｒｍｓ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ａ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ ｂｙ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ ｓｏｍｅ １ＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｙ ｌ，．．．， ｙｉ ｂｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ ｙ ａｓ ｔｈｅ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｙｆ＇ｓ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｌｅｔ Ｇ／ｙ ｂｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｆｒｏｍ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｎｇ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｙｆ＇ｓ． Ｂｙ ｔｈｅ Ｈｅｒｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｔｈａｔ ｅａｃｈ

１１６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｉｓ ｔｈｅ

ｓａｍｅ ａｓ

Ｃｙ（Ｇ），

ａｓｉｄｅ ｆｒｏｍ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒｓ． Ｔｈｅ ｐｒｉｍｅ ｏｎ ｔｈｅ ￡＇ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｙ＇ｓ ｇｉｖｉｎｇ ｄｉｓｔｉｎｃｔ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ． （Ｔｈｕｓ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，

Ｆｉｇｓ． ５．６．１（ｈ）

ａｎｄ

Ｋ（Ｇ， ｙ） ｔｈｅｎ

（ｃ） ＝

ａｒｅ ｎｏｔ

［ｎｕｍｂｅｒ

ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ

ｃｏｕｎｔｅｄ

ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ．） Ｔｈｕｓ， ｉｆ

ｏｆ ｇｒａｐｈｓ ／ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ Ｇ／ｙ

＝

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ

Ｇ／／］，

ｔｈａｔ Ｘ（Ｇ，ｙ）

＝

Ｍ

ｐ

［ｍ

（５．６．１５）

．

［Ｎ（Ｇ／ｙ）ｌ

ｌａｎｇｕａｇｅ ｏｆ ｇｒｏｕｐ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （５．６．１５） ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ ｏｆ ｃｏｍｍｕｔｉｎｇ ｓｕｂｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｇ． （Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ， ｆｏｒ Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｉｅｓｔ ｔｏ ｃｏｕｃｈ ｔｈｉｓ ｆｉｎａｌ ｓｔｅｐ ｉｎ ｔｈｅ

ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｗｏ （ｆｔ３ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｃｏｕｎｔｅｄ ａｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ．） Ｔｈｅｓｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｇｅｎｅｒａｔｅ ａｎｏｔｈｅｒ ｓｕｂｇｒｏｕｐ， ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｓｅｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｇ ｈａｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （５．６．１５）． Ｂｕｔ， ｃｏｎｃｒｅｔｅｌｙ， ｅａｃｈ ｃｏｓｅｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｃｏｕｎｔｅｄ ｂｙ Ｋ（Ｇ， ｙ）．

５．７

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

５．７．１ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ， ｎｏｎ－ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ， ａｎｄ ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｄｏ ｔｈｉｓ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

ｗｅ

ｆｉｒｓｔ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｔｈｅｎ ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｏ ｗｈａｔ ｅｘｔｅｎｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｒｅ ｔｒｕｅ ｂｅｙｏｎｄ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ａｎａｌｙｓｉｓ．

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｆｉｒｓｔ

ａｎｄ

（ｆｔ３ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｏｆ ｉｎｔｅｇｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ０． Ｗｅ ｈａｖｅ

ｈｏｗ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｉｔ ｔｏ ｇｅｔ ｆｉｎｉｔｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｙ ａｄｄｉｎｇ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ （５．６．５） ｔｏ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｅａｃｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｓｅｅｎ

ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ

（ｆｔ

ａｎｄ ｉｔｓ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｉｆ ｔｈｅ ａｒｅ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ （ｄ（ｆｔ）２， （ｆｔ２， ａｎｄ （ｆｔ３

ｏｎｌｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｎｅｅｄｅｄ

ｐｒｅｓｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｆ ０ ｔｈａｔ ｔｈｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ｉｆｂ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｔｏ

ｓａｙｉｎｇ

ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｉｆ

＝

（ｄ（ｆｔ０）２／２

－

ｍ２＜ｆｔ２０／２

－

０ｏ＜／＞ｏ／３！，

（５．７．１）

（ｆｔ０ ｉｓ Ｚ１／２０． Ｔｈｅ ｂａｒｅ ｍａｓｓ ｍ０， ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ０， ａｎｄ Ｚ ｅａｃｈ ｈａｖｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｂｅｈａｖｉｏｒ ａｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆｉｅｌｄ－ｓｔｒｅｎｇｔｈ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅ

－ｆ

５．７

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

１１７

ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ． Ａ ｌｉｎｅａｒ ｔｅｒｍ Ｓｈ（ｆ） ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ａｓ ｗｅｌｌ． Ｗｅ ａｓ ｂｅｉｎｇ ｐｒｅｓｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｉｎ ａｎｙ ｅｖｅｎｔ ｉｔ ｉｓ ａ ｏｎｌｙ ｓｉｎｇｌｅ ｅｘｔｒａ ｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｉｇｎｏｒｅｄ ｉｆ ｗｅ ｉｍｐｏｓｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ＜０｜（／＞｜０＞ ＝０ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ８ｈ， ａｎｄ ｉｆ ｗｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｍａｙ ｒｅｇａｒｄ ｉｔ

ｉｇｎｏｒｅ ｔａｄｐｏｌｅ ｇｒａｐｈｓ． Ｗｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｏ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｃａｌｌｉｎｇ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｉｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｉｔｓ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｃａｎ ｂｅ ｍａｄｅ ｆｉｎｉｔｅ ｂｙ ｒｅｓｃａｌｉｎｇ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ （ｉｎ ａ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｗａｙ） ａｎｄ ｂｙ ｍａｋｉｎｇ ｓｏｍｅ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｎｄ ｍａｓｓｅｓ． Ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｗｈｅｔｈｅｒ

ｏｒ

ｗｅ

ｎｏｔ

ｈａｖｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ＩＰＩ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｆｏｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ３（Ｇ） ｇｒａｐｈｓ． ｅｖｅｒｙ ｇｒａｐｈ Ｇ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｉｆ ｔｈｅ

３（Ｇ） ＞０． Ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．８ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ（Ｇ） ｉｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ３（Ｇ） ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ， ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｗｅ ｕｓｅ

ａ

ａ

ｓｃｈｅｍｅ ｌｉｋｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ， ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｌｅｔ

ｕｓ

ｎｏｗ

ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｗｈｅｔｈｅｒ

ｏｒ

ｎｏｔ

＜ｊ）３ ｔｈｅｏｒｙ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｍｏｍｅｎｔｕｍ （ｉｎ ｓｐａｃｅ）

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ． Ｉｎ ｄ

ｇｒａｐｈｓ

ｈａｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ

ｄ（ＧＮ）

＝

Ｎ＋

３（ＧＮ）

ｄ ＋ （１

－

ｔｈｅ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ Ｎ－ｐｏｉｎｔ ＩＰＩ

ｄ－Ｎｄ／２．

Ｔｈｅｎ （ｂｙ （３．３．１２）） ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ ＝

ｉｎ ｄ

ｄ／２）Ｎ

＋

（ｄ／２

－

ｆｏｒ

ＧＮ

ａｔ ｏｒｄｅｒ

ｇｐ ｉｓ

（５．７．２）

３）Ｐ．

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｐ ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｇｒａｐｈ ｉｓ Ｎ． Ｉｎｓｐｅｃｔｉｏｎ ｏｆ （５．７．２） ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｉｆ ｄ ＞ ６ ｔｈｅｎ， ｆｏｒ ａｎｙ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｎ， ｔｈｅｒｅ ｃａｎ ｂｅ ｍａｄｅ ＡＴ－ｐｏｉｎｔ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｈｉｇｈ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｂｙ ｇｏｉｎｇ ｔｏ ｌａｒｇｅ ｅｎｏｕｇｈ ｏｒｄｅｒ ｉｎ ｇ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｎｏｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｉｆ ｄ ＞

６， ａｎｄ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｉｓ

ａ

ｄｉｒｅｃｔ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｇ．

＇－？－０—Ｏ—ＣＤ

＇－＇－０—￡）－－＜Ｄ－＇ ａｎｄ ｔａｄｐｏｌｅ ｇｒａｐｈｓ ｔｏ ４ ｌｏｏｐｓ

Ｆｉｇ． ５．７．１． Ａｌｌ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ ＜ｊ）３ ｔｈｅｏｒｙ ａｔ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｗｈｅｒｅ ｉｔ ｉｓ ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ．

ｔｈｏｓｅ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ

１１８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

６， ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｏｎｅ－， ｔｗｏ－， ａｎｄ ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ， ｗｉｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ４，２， ａｎｄ ０， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｅ ｐｅｒｍｉｓｓｉｂｌｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｊｕｓｔ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｏｓｅ ｉｎ ｊ￡？０ ＋ ｊ￡？ｂ， ｓｏ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｉｉｚａｂｌｅ ｉｆ ｄ ６． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｅｖｅｒｙ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｇ （ｅｘｃｅｐｔ ｆｏｒ ｔｒｅｅ ｇｒａｐｈｓ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ）． ｌｔｄ

＝

＝

３， ４， ｏｒ ５， ｔｈｅｎ ｏｎｌｙ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｇｒａｐｈｓ， ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇ． ５．７．１， ｈａｖｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ａｎｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｏｎｌｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍａｓｓ ａｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔａｄｐｏｌｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ａｇａｉｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ． Ｉｆ ｄ

＝

５．７．２ Ｃｏｓｍｏｌｏｇｉｃａｌ ｔｅｒｍ Ｓｔｒｉｃｔｌｙ

ｓｐｅａｋｉｎｇ，

ｗｅ

ｓｈｏｕｌｄ ａｌｓｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ

ｎｏ

ｂｕｂｂｌｅｓ． Ｔｈｅｙ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｏｆ ａｎｄ ｔｈｅ ｖａｃｕｕｍ， ｄｅｎｓｉｔｙ ｎｏｒｍａｌｌｙ ａｒｅ ｉｇｎｏｒｅｄ． Ｂｕｔ ｉｎ ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌ ｂｅ ｃａｎｎｏｔ ｐｈｙｓｉｃｓ， ｔｈｅｙ ｉｇｎｏｒｅｄ． Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｓｕｃｈ ｇｒａｐｈｓ （ｐｒｅｓｅｎｔ ｉｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ． Ｔｈｅｓｅ

ａｒｅ

（ｊ）３ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｄ

＞

ｔｈｅ

ｖａｃｕｕｍ

２） ａｒｅ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｔｈｅｙ ａｒｅ ａ ｃｏｓｍｏｌｏｇｉｃａｌ ｃｏｎｓｔａｎｔ． Ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｅｖｅｎ ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｆｒｅｅ－ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌｌｙ ｒｅｍｏｖｅｄ ｂｙ ｎｏｒｍａｌ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ （ｓｅｅ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， Ｂｊｏｒｋｅｎ ＆ Ｄｒｅｌｌ （１９６６））． Ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｎｏｒｍａｌ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ ｉｓ ｎｏｔｈｉｎｇ ｂｕｔ ａ ｐｒｉｍｉｔｉｖｅ ｆｏｒｍ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｗｈａｔ ｉｎ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ ｉｓ ｔｈｅ －

ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ．

５．７．３ Ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ Ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ

（１） Ｆｉｎｉｔｅ：

ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ

ｎｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｔｈｒｅｅ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｉｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ：

ｎｅｅｄｅｄ ａｔ ａｌｌ．

（２） Ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ： ｏｎｌｙ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｇｒａｐｈｓ ｎｅｅｄ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒ－

ｔｅｒｍｓ． （３） Ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｒｅｎｏｒｍａｉｉｚａｂｌｅ： ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ ｍａｎｙ ｇｒａｐｈｓ ｎｅｅｄ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒ－ ｔｅｒｍｓ． （Ｂｕｔ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ｏｎｌｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ｓｉｎｃｅ ｗｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ．） ｏｒ ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｎｏｒｍａｌｌｙ ｏｃｃｕｒ ｗｈｅｎ ａｌｌ ｔｈｅ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｈａｖｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｎ ａ ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈｓ ｉｓ ｉｎｆｉｎｉｔｅ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｅｖｅｎ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｏｎｌｙ ｏｎｅ ｇｒａｐｈ ｙ ｗｉｔｈ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ａｎｙ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｙ ａｓ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ．

Ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ

Ｈｏｗｅｖｅｒ ａｌｌ ｓｕｃｈ ｇｒａｐｈｓ ｂｅｃｏｍｅ ｆｉｎｉｔｅ ａｆｔｅｒ ａｄｄｉｎｇ ｔｏ ｙ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ，

ｓｏ

ｏｎｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， Ｃ（ｙ）， ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｈｙｓｉｃｉｓｔｓ （ｓｅｅ Ｇｌｉｍｍ ＆ Ｊａｆｆｅ （１９８１）） ｈａｖｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｂｅｙｏｎｄ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ， ｓｉｎｃｅ

ｏｎｌｙ

５．７

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ

１１９

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｅｒｉｅｓ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ Ｅｖｅｎ ｈａｓ ｉｔ ｂｅｅｎ ｐｒｏｖｅｄ ｆｏｒ ｍａｎｙ ｓｕｐｅｒ－ ｓｏ， ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅｏｒｙ． ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｔｈａｔ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｅｘａｃｔｌｙ ｃｏｒｒｅｃｔ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． （Ａ ｍｕｃｈ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｃａｓｅ ｉｓ ０４ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｔｗｏ ａｎｄ ｉｎ ｔｈｒｅｅ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．） Ｉｎ ａ ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｆｏｒ ａ ｂａｒｅ ｍａｓｓ ｏｒ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｈａｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｓ， ａｎｄ ｏｎｅ ｏｎｌｙ ｈａｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ （ａ） ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｔｏ ｔｈｅ ｔｒｕｅ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ （ｂ） ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｔｅｒｍｓ ｌｉｋｅ ｅｘｐ （ ｌ／ｇ） ｉｎ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｍａｓｓｅｓ ｏｒ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ ｓｅｒｉｅｓ． Ｔｈｕｓ

ａｒｅ

ｏｎｅ ｃａｎｎｏｔ

ｓｉｍｐｌｙ

ｓｕｍ

—

ａｎｙ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｇ． Ｔｈｅ ｒｉｇｏｒｏｕｓ ｐｒｏｏｆ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ ｉｎ ｓｕｍｍｉｎｇ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ ｔｏ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｏｒｄｅｒ， ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｏｍｉｔｔｅｄ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｔｈｉｓ

ａｐｐｌｉｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａｎｙ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｒｉｇｏｒｏｕｓ ｐｒｏｏｆｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｙｅｔ ａｖａｉｌａｂｌｅ ｆｏｒ ａｎｙ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｏｎｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ ｉｓ ｏｂｖｉｏｕｓ： ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｆｏｒ， ｓａｙ， ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ｇ， ｉｓ ａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｒｉｅｓ， ｅａｃｈ ｔｅｒｍ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｄｉｖｅｒｇｅｓ ａｓ ｔｈｅ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ．

ｐｒｅｓｕｍａｂｌｙ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ， ｏｎｅ ｏｂｔａｉｎ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ａｎｙ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｅｒｒｏｒ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｕｓｉｎｇ ａ ｔｒｕｎｃａｔｅｄ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ： ｔｈｅ Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｉｓ

ｃａｎｎｏｔ

ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｏｍｉｔｔｅｄ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｉｓ ａｌｗａｙｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｉｔ ｍｉｇｈｔ ｅｖｅｎ ａｐｐｅａｒ ｔｈａｔ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ｎｏ ｌｉｇｈｔ ａｔ ａｌｌ ｔｏ ｓｈｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ａｓ ｗｅ

ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｎｏｔ ｓｏ， ｗｈｅｎ ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ７． Ｉｆ

ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｗｉｌｌ

ｓｅｅ

ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｃａｌｌｅｄ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｒｅｅｄｏｍ ｔｈｅｎ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｒｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇ ａｌｌｏｗｓ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｔｏ ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ

ｒｅｌｉａｂｌｙ．

Ｉｎ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｈｅ

ＵＶ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｃａｎ

ｂｅ

ｃｏｍｐｕｔｅｄ

ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ

ｗｅａｋ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｓｅｒｉｅｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． Ｉｔ ｉｓ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｏ ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ ｔｈａｔ ａ ｓｕｉｔａｂｌｙ ｒｅｆｉｎｅｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ｃａｎ ｂｅ ｍａｄｅ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｒｉｇｏｒｏｕｓ ｂｏｕｎｄｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒｓ ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｍｏｎｔｅ－Ｃａｒｌｏ ｓｔｕｄｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ （Ｃｒｅｕｔｚ ＆ Ｍｏｒｉａｒｔｙ （１９８２）） ｓｕｐｐｏｒｔ ｔｈｉｓ ｃｏｎｊｅｃｔｕｒｅ． Ｉｎ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ， ｏｎｌｙ ｃｅｒｔａｉｎ

ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ （ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ＱＣＤ） ａｒｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ （Ｇｒｏｓｓ

（１９７６））． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ

０４

ｓｅｅ

ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ

７ ｔｈａｔ ｉｎ

ｎｏｎ－ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ

ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ，

ａｎｄ ＱＥＤ ｉｎ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ， ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎｎｏｔ ｒｅｌｉａｂｌｙ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ， ｉｎ ｆａｃｔ， ｉｎｄｉｃａｔｉｏｎｓ （Ｓｙｍａｎｚｉｋ （１９８２）） ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｃ／＞４ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ， ｃｏｎｔｒａｒｙ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｏｒｄｅｒ－ｂｙ－ｏｒｄｅｒ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． ｌｉｋｅ

ｄｅｓｃｒｉｂｅ

１２０

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ５．１ Ａ

Ｆｏｒ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ ｎｏｔ

（１） Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｏｎｌｙ

ａ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｉｎ

ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｉｅｓ． Ａｍｏｎｇ

ｍａｎｙ

Ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｔｈｅｍ

ａｒｅ

ｔｈｅ

ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ １ＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｏｖｅｒａｌｌ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， Ａ ｔｙｐｉｃａｌ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｗｈｅｎ

＝

ｉｎ ｓｉｘ

ｏｒ

ｆｅｗｅｒ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ，

ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

＜＊？

０３ ｔｈｅｏｒｙ

ｉｓ

ｃａｓｅ

（ｄ（ｊ））２／２

－

ｍ２ｃｊ）２／２

－

（５．７．３）

＃３／３！，

ｌｉｎｅａｒ ｉｎ ＜＼＞． Ｔｈｅ ｏｎｅ－， ｔｗｏ－， ａｎｄ ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｂｕｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｔｅｒｍ ｈ＜＼＞ ｗｈｏｓｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｃａｎ ｂｅ ｒｅ－ ｈａｓ

ｎｏ ｔｅｒｍ

ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔａｄｐｏｌｅ ｇｒａｐｈｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ａｄｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｃｈ ａ ｔｅｒｍ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｍｏｒｅ

ｇｅｎｅｒａｌｌｙ， ｓｕｐｐｏｓｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ

ａ

ｏｖｅｒａｌｌ－ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ａｄｄｉｎｇ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ

ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ

ｔｈｅｏｒｙ

ｉｓ

ｅｘｔｒａ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． （２） Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｆｏｒ ａｌｌ ｂｕｔ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｃａｎｃｅｌ ａｆｔｅｒ ｓｕｍｍｉｎｇ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ ａ ｇｉｖｅｎ ｏｒｄｅｒ． （Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｋｎｏｗｎ ｃａｓｅｓ ｏｆ ｔｈｉｓ．） ｃａｓｅ ２， ｅｘｃｅｐｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｃａｎｃｅｌ ｏｎｌｙ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｆｏｒ ａｌｌ ｏｆｆ－ｓｈｅｌｌ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃａｓｅ ｉｓ ａ

（３） Ａｓ ｆｏｒ

ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ

ｇａｕｇｅ

ｔｈｅｏｒｙ， ｗｈｅｎ

ｉｔ ｉｓ

ｑｕａｎｔｉｚｅｄ

ｉｎ ｉｔｓ

ｕｎｉｔａｒｙ

ｇａｕｇｅ．

（４） Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｍａｄｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｂｙ ｇｏｉｎｇ ｂｅｙｏｎｄ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｓｏｍｅ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ ａｎｄ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｗａｙ． Ｏｎｅ ｃａｓｅ （ａｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｇｒｏｓｓ－ Ｎｅｖｅｕ （１９７４） ｍｏｄｅｌ ｓｅｅ Ｇｒｏｓｓ （１９７６）） ｉｓ ｏｆ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈａｔ ｉｓ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ａｎｄ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ ｄ０， ａｎｄ －

＝

ｔｈａｔ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ

（５）

Ａｓ ｆｏｒ ｃａｓｅ

ｓｏｍｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ ｓｌｉｇｈｔｌｙ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ

ｉｓ ｔｈｅ Ｙａｎｇ－Ｍｉｌｌｓ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｅｘｔｒａ ｔｅｒｍｓ ｄｅｓｔｒｏｙ

（６）

ｄ０．

１， ｅｘｃｅｐｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｘｔｒａ ｔｅｒｍｓ ｍａｋｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｎｏｎｓｅｎｓｅ． Ａ ｃａｓｅ ａ ｍａｓｓ ｔｅｒｍ

ｉｎ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇａｕｇｅ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ

ｕｎｉｔａｒｉｔｙ （＇ｔ Ｈｏｏｆｔ （１９７１ａ））．

Ｎｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ．

Ｒｏｕｇｈｌｙ ｓｐｅａｋｉｎｇ， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｇｅｎｅｒａｌ ｒｕｌｅｓ．

Ｅａｃｈ

ｃａｓｅ ｍｕｓｔ

ｂｅ ｈａｎｄｌｅｄ

ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ． Ｏｎｌｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｔｗｏ ｃａｓｅｓ （５ ａｎｄ ６） ｓｈｏｕｌｄ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｂｅ ｃａｌｌｅｄ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ． Ａ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ， ｆｏｒ

ａｃｔｕａｌｌｙ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｏｒ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ， ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｓｐｅｃｉｆｙ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｅｉｔｈｅｒ

ｂｕｔ

ａｎ

ｐｈｙｓｉｃａｌ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ

ａｒｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｉｎｓ． Ｎｅｖｅｒｔｈｅｌｅｓｓ，

ａ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ

ｔｈａｔ

ａ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ

５．７

１２１

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

ｉｓ ｒｅａｌｌｙ ａ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｏｆ ｉｇｎｏｒａｎｃｅ： ｎｏｂｏｄｙ ｈａｓ ｆｏｕｎｄ ａ ｗａｙ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． （Ｃａｓｅｓ １ ｔｏ ５ ａｒｅ ｗｈｅｒｅ ｓｏｍｅｂｏｄｙ ｈａｓ ｆｏｕｎｄ ａ ｗａｙ．） Ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ， ｗｈｅｎ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｌａｂｅｌｌｅｄ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ， ｗｈａｔ ｉｓ ｕｓｕａｌｌｙ ｍｅａｎｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｏｒｄｅｒ－ｂｙ－ ｏｒｄｅｒ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ； ｓｕｃｈ ａ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｃａｎ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｇｒａｐｈｓ． Ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｏｎｌｙ ｈａｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ３， ｂｕｔ ｉｔ ｈａｓ ｂｅｅｎ

０４ ｔｈｅｏｒｙ

ａｐｐｒｏａｃｈ （ｗｉｔｈ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ）， ｎｏｔ ２ ａｎｄ ｂｅｅｎ ｐｒｏｖｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｆｏｒ ｄ ＝

ｐｒｏｖｅｄ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ

５．７．５ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

ｆｏｒ ｄ

＞ ４

ｔｏ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ

（Ａｉｚｅｎｍａｎ （１９８１））．

ｏｆ ｃｏｕｐｌｉｎｇ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄｓ， ｗｅ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｌｅａｄｉｎｇ ｔｏ （５．７．２）． Ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｗｉｌｌ ａｐｐｌｙ ｗｈｅｎ ｎｏ ｈａｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｗｉｌｌ ｈｏｌｄ ｗｉｔｈ ｐｏｓｓｉｂｌｙ ｔｈｅ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｅｘｔｒａ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ （ｌｉｋｅ ｔｈｅ ｈ＜＼＞ ｔｅｒｍ ｉｎ ０３ ｔｈｅｏｒｙ） ｗｈｏｓｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｈａｖｅ ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｏｕｒ ｐｒｏｏｆ ｗｉｌｌ ｅａｓｉｌｙ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｏ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｆｅｒｍｉｏｎ ａｎｄ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｎｃｏｕｎｔｅｒ ｉｎ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｌｌ ａｌｌ ｂｅ ｔｏ ｄｏ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｏｆ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｅｓｅ ｅｘｔｒａ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｃｏｍｐａｔｉｂｌｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｂｕｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｌｅａｖｅ ｔｈｅｓｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｔｏ Ｃｈａｐｔｅｒ １２． Ｌｅｔ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｅｒｍ ｉｎ ＜￡ ｏｒ ｊ￡？ｃｔ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｓｃｈｅｍａｔｉｃａｌｌｙ ａｓ Ｔｏ ｐｒｏｖｅ

（ｃｏｕｐｌｉｎｇ ／＇）（ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ）－４ （ｆｉｅｌｄ）＊．

（５．７．４）

Ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｉｓ ｔｅｒｍ ｉｓ ｏｎｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｔｈｅ １ＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ＴＮ ｗｉｔｈ Ｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ＴＮ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｄ（ＴＮ）

＝

ｄ（ｆ）

（５．７．５）

＋ Ａ．

Ｓｉｎｃｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｈａｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａｎｙ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ＴＮ ｉｓ ａｔ ｍｏｓｔ ｄ（ＴＮ）， ａｓ ｗｅ ｓａｗ ｆｒｏｍ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．３．３， ａｎｄ ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．８． Ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｄ（ＴＮ） ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｎｏ

（５．７．６）

ｄ（ｒＮ）＜ｄ（ｒＮｉ ｗｉｔｈ ｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｎｌｙ

ｇｒａｐｈｓ ａｌｌ ｏｆ ｗｈｏｓｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｈａｖｅ ｚｅｒｏ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｎ－ｐｏｉｎｔ ｇｒａｐｈｓ， ｗｅ ａｄｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｓ（ＴＮ） ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ． Ｓｏ ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｓａｔｉｓｆｙ

ｆｏｒ

Ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ （５．７．４） ｗｉｔｈ ａｔ ｍｏｓｔ

ｄ（ｆ） Ｔｈｅ ｌａｓｔ

＝

ｄ（ＴＮ） －Ａ＞ ５（ＴＮ）

－Ａ＞０．

ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｆｏｌｌｏｗｓ ｓｉｎｃｅ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｗｉｔｈ Ａ

（５．７．７）

ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ

ｏｎｌｙ ｉｆ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａｔ ｌｅａｓｔ Ａ． Ｆｒｏｍ （５．７．７） ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ

ｗｅ

１２２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｎｅｅｄ

ｎｏ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｏｆ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｇｉｖｅｎ

ｏｒｉｇｉｎａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｔｈｅ

ｏｒｉｇｉｎａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ

ｅｖｅｎ

ｂｅｃａｕｓｅ ｏｎｌｙ

ｏｆ

ｎｏｎｅ ａｒｅ

ｐｒｅｓｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ

ｂｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｉｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｏｆ ｎｅｇａｔｉｖｅ

ａｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｍａｙ ｎｏｔ

ｉｆ ｉｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ

ｎｅｗ

ｔｈａｔ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ

ｎｏ

ｎｅｅｄｅｄ ｉｓ ｎｅｖｅｒｔｈｅｌｅｓｓ ｆｉｎｉｔｅ，

ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｓａｔｉｓｆｙ （５．７．７）．

ａ

５．７．６ Ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃｓ Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ａｂｏｖｅ， ｉｔ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｔｏ ｃｏｎｃｌｕｄｅ ｔｈａｔ

ａ

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃｓ

ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ． Ｉｎ ｆａｃｔ， ｔｈｅ ｓｔｒｏｎｇ， ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ， ａｎｄ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ａｐｐｅａｒ ｔｏ ｂｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｂｙ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｙ

ｉｓ

ａ

ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｑｕａｎｔｕｍ ｃｈｒｏｍｏｄｙｎａｍｉｃｓ ｆｏｒ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ

ｔｈｅ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ－Ｓａｌａｍ ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ａｒｏｕｎｄ １９７０ ｔｈｅｒｅ ｗａｓ ａ ｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｗｈｅｎ ｉｔ ｗａｓ ｄｉｓｃｏｖｅｒｅｄ ｔｈａｔ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｒｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ． Ｉｔ ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｔｈａｔ ｗａｓ ｆｏｕｎｄ ｔｏ ｂｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ａｇｒｅｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ． Ｓｅｅ Ｂｅｇ ＆ Ｓｉｒｌｉｎ （１９８２） ｆｏｒ ａ ｈｉｓｔｏｒｉｃａｌ ｒｅｖｉｅｗ．

Ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ， ｔｈｉｓ ｐｒｏｇｒｅｓｓ ｈａｓ ｎｏｔ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｇｒａｖｉｔｙ． Ｅｉｎｓｔｅｉｎ＇ｓ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ ｉｓ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ， ａｆｔｅｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ， ａｎｄ ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ． （Ｔｈｉｓ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｅｘｉｓｔｓ ｄｅｓｐｉｔｅ ｍａｎｙ ｔｏ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ａｔｔｅｍｐｔｓ ｉｍｐｒｏｖｅ ｉｔ Ｈａｗｋｉｎｇ ＆ Ｉｓｒａｅｌ （１９７９）．） Ｉｔ ｉｓ ａ ｍｉｓｔａｋｅ ｔｏ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｎｏ ｖｅｒｙ

ｐｒｏｍｉｓｉｎｇ

－

ｂａｎｉｓｈｅｄ ｆｒｏｍ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ． ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ

ｗｅｒｅ

Ｒｅｍｅｍｂｅｒ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｍａｎｙ ｙｅａｒｓ ｗｅａｋ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｆｅｒｍｉｏｎ＇ ｔｈｅｏｒｙ，

ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｕｓｉｎｇ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ． Ｆｏｒ ｍｏｓｔ ｐｕｒｐｏｓｅｓ， ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ａｄｅｑｕａｔｅｌｙ ｔｒｅａｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｈｅｒｅ ｎｏ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｒａｉｓｅｄ ｔｈｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ： ｉｓ ｉｔ ｌｅｇｉｔｉｍａｔｅ ｅｖｅｎ ａｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ａ ｎｏｎｓｅｎｓｉｃａｌ （ｉ．ｅ．， ｎｏｎ－ｅｘｉｓｔｅｎｔ） ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｍｅａｎ ａｎｙｔｈｉｎｇ？ Ｔｈｅ ｓａｍｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ Ｗｉｌｌ ｔｈｅｏｒｙ？

ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ

ｇｒａｖｉｔｙ． Ｔｈｅｒｅ， ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｉｚｅｄ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｂａｄｌｙ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ．

ａｒｉｓｅ ｉｎ

ｉｓ ｖｅｒｙ

Ｗｅ ｍｕｓｔ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｈｏｗ ａｎｄ ｗｈｙ ｗｅ ｍａｙ ｕｓｅ ｎｏｎ－ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｎ ｐｈｙｓｉｃｓ． Ｎｏｗ， ｔｏ ｐｅｒｆｏｒｍ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｎ ａｎｙ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｉｍｐｏｓｅ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｃｕｔ－ｏｆｆ， Ｍ， ｏｆ ｓｏｍｅ ｓｏｒｔ．

Ｉｎ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｏｆ

ａ

ｗｅ ｃａｎ ｔａｋｅ Ｍ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ａｎｄ ｉｎｓｅｎｓｉｔｉｖｅ ｔｏ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ａｎｏｔｈｅｒ ｒｅｌａｔｅｄ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ

ｏｂｔａｉｎ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｔｈａｔ

ａｒｅ

５．７

１２３

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ

ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ Ａｐｐｅｌｑｕｉｓｔ ａｎｄ Ｃａｒａｚｚｏｎｅ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ８． Ｔｈｉｓ

ｔｈｅｏｒｅｍ

ａｐｐｌｉｅｓ

ｔｏ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｆｉｅｌｄｓ ｗｈｏｓｅ

ｂｉｇｇｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｕｎｄｅｒ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｓｔａｔｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄｓ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｌｅｔｅｄ ｗｉｔｈ ｍａｓｓｅｓ ａｒｅ ｍｕｃｈ

ｏｎｌｙ

ａ

ｓｍａｌｌ ｅｆｆｅｃｔ （ｓｕｐｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ

ｓｅｃｔｉｏｎｓ，

ａ

ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｍａｓｓ）

ｅｔｃ． Ｔｈｅ ｈａｌｌｍａｒｋ ｏｆ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ

ｏｎ ｃｒｏｓｓ－

ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｉｎ ｉｔｓｅｌｆ． Ｉｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｎｏ ｄｉｒｅｃｔ ｉｎｄｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｗｈｅｔｈｅｒ ｉｔ ｉｓ ｏｎｌｙ ｐａｒｔ ｏｆ ａ ｌａｒｇｅｒ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅｓｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｆａｌｓｅ ｆｏｒ ａ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｏｌｄ ｆｏｕｒ－ｆｅｒｍｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｉｔｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｓ Ｇ ＾１０￣５ ＧｅＶ２． Ｗｅ ｃａｎｎｏｔ ｔａｋｅ ｔｈｅ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｌａｒｇｅ， ｆｏｒ ａｎ ｎｔｈ ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ ｈａｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ２ｎ＼ ｉｔ ｂｅｈａｖｅｓ ｌｉｋｅ （Ｍ２Ｇ）ｎ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ Ｍ． Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｆｉｎｉｔｅ ｎｅｅｄ

ａ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｌｙ ｌａｒｇｅ

ｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ， ｂｕｔ

ｏｎｌｙ

ａｖａｉｌａｂｌｅ． Ｈｅｎｃｅ

ｔａｋｅ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ， ａｎｄ ｉｆ

ｗｅ ｃａｎｎｏｔ

ａ

ａｒｅ

ｗｅ ｗａｎｔ

ｉｎｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ ｔｏ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｗｅ ｍｕｓｔ ｔａｋｅ Ｍ ＜Ｇ￣ｌ／２． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ， Ｅ， ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｕｎｄｅｒ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ ｍｕｓｔ ｂｅ ｍｕｃｈ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ Ｍ， ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｂｙ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ． Ｉｎ ｏｔｈｅｒ ｗｏｒｄｓ， ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｆｅｒｍｉｏｎ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｉｓ ａ ｇｏｏｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ｐｈｙｓｉｃｓ ｏｎｌｙ ｉｆ Ｅ

＾ Ｍ ＾ Ｇ￣１／２． Ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ

ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｅｒｒｏｒ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ

ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｏｆ Ｍ２Ｇ ａｎｄ

Ｅ２／Ｍ２．

Ｎｏｗ，

ｉｔ ｉｓ ａｌｗａｙｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｉｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｔｏ ｄｏ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ａｔ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｅｎｅｒｇｙ． Ｓｏ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｆｏｕｒ－ｆｅｒｍｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ａｔ ｌｏｗ ｅｎｅｒｇｉｅｓ

ｈｉｇｈ １／２ ３００ ＧｅＶ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｅｗ ｐｈｙｓｉｃｓ． ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ａｔ ｅｎｅｒｇｉｅｓ ｒａｔｈｅｒ ｂｅｌｏｗ Ｇ＂ Ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｆｅｒｍｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｂｅｃｏｍｅｓ ｉｎｃｏｒｒｅｃｔ ａｔ ｔｈａｔ ｅｎｅｒｇｙ． Ｔｈｅ ｌａｓｔ ｆｉｆｔｅｅｎ ｙｅａｒｓ ｏｆ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｐｈｙｓｉｃｓ ｃｏｎｆｉｒｍｓ ｔｈｉｓ． （Ｓｅｅ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， Ｂｊｏｒｋｅｎ （１９８２）） Ｆｏｒ ｇｒａｖｉｔｙ， ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｅｎｅｒｇｙ ｓｃａｌｅ ｉｓ ｔｈｅ Ｐｌａｎｃｋ ｍａｓｓ， ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ １０１９ＧｅＶ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅｘｔｒｅｍｅｌｙ ｆａｒ ｂｅｙｏｎｄ ｔｈｅ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｎｏｒｍａｌ ￣

ａｃｃｅｌｅｒａｔｏｒ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ． Ｅｖｉｄｅｎｃｅ ｆｏｒ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｏｎ ｓｕｃｈ ａｎ ｅｎｅｒｇｙ ｓｃａｌｅ ｃｏｍｅ ｆｒｏｍ ｍｕｃｈ ｍｏｒｅ ｅｓｏｔｅｒｉｃ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓ． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ｍｉｇｈｔ ｂｅ

ｍｕｓｔ

ｆｏｕｎｄ ｉｎ ｃｅｒｔａｉｎ ａｒｅａｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｓｍｏｌｏｇｙ ｏｆ ｔｈｅ ｅａｒｌｙ ｕｎｉｖｅｒｓｅ， ｏｒ ｆｒｏｍ ｓｅｅｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｃａｙ ｏｆ

ａ

ｐｒｏｔｏｎ （Ｌａｎｇａｃｋｅｒ （１９８１））．

Ｉｎ ａｎｙ ｃａｓｅ，

ａ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｉｎｄｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｃａｎｎｏｔ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ａｌｌ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ． Ｉｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｓｅｅｄｓ ｏｆ ｉｔｓ ｏｗｎ ｄｅｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ａｓ ａ ｖｉａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ａ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃｓ． Ｓｏ， ｇｉｖｅｎ ａ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ ｎｏｎ－

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｏｎｅ ｍｕｓｔ ａｓｋ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ： （１） ＇Ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｉｔ ａ ｐａｒｔ？＇ （２） ＇Ｈｏｗ ｉｓ ｉｔ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｔｈａｔ ｔｈｅｏｒｙ？＇ Ａｎ

ｍｏｒｅ

ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ

Ｗｅｉｎｂｅｒｇ－Ｓａｌａｍ ｔｈｅｏｒｙ，

１２４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｘ－Ｘ．

Ｆｉｇ． ５．７．２． Ｗ－ｂｏｓｏｎ ｅｘｃｈａｎｇｅ ｇｉｖｅｓ

ａｎ

ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ａｔ ｌｏｗ

ｅｎｅｒｇｉｅｓ．

ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ， ａｎｄ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｆｅｒｍｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｏｔ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｒｉｓｅｓ ａｓ ａｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ Ｗ－ｂｏｓｏｎ ｅｘｃｈａｎｇｅ ａｔ

ｆｏｕｒ－ｆｅｒｍｉｏｎ ｌｏｗ ｅｎｅｒｇｙ

（Ｆｉｇ． ５．７．２）．

Ｏｎｅ ｒｅｐｌａｃｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

ｉｌ｛ｌ２－ｍ２ｗ＼ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｗ－ｂｏｓｏｎ，

ｂｙ ｉ／（－０－

Ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｓｕｐｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ａｔ ｌｅａｓｔ Ｅ２ｊｍ＼ｙ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｐｈｏｔｏｎ ｅｘｃｈａｎｇｅ． Ｉｔ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ： ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｈａｖｅ ｓｍａｌｌ ｅｆｆｅｃｔｓ ａｔ ｌｏｗ ｅｎｅｒｇｉｅｓ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｒｅａｓｏｎ ｗｅ ｃａｎ ｓｅｅ ｓｕｃｈ ｅｆｆｅｃｔｓ ｉｓ ｔｈｅ ｈｉｇｈ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｏｎｇ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｓｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｃｏｎｓｅｒｖｅ Ｐ，

Ｃ， Ｔ， ａｎｄ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅａｃｈ ｆｌａｖｏｒ ｏｆ ｑｕａｒｋ ａｎｄ ｏｆ ｅａｃｈ ｆｌａｖｏｒ ｏｆ ｌｅｐｔｏｎ． Ｗｅａｋ－ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓ ａｒｅ ｍｕｃｈ ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ ｓｔｒｏｎｇ－ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｏｒ ｆｏｒ ｓｉｍｉｌａｒ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ， ａｎｄ ａｒｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｎｏｒｍａｌｌｙ ｉｎｖｉｓｉｂｌｅ． Ｂｕｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ； ｆｏｒ ｔｈｅｓｅ， ａｎｙ ｗｅａｋ－ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｃｒｏｓｓ－

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓ

ｓｅｃｔｉｏｎ，

ｎｏ ｍａｔｔｅｒ

ｈｏｗ ｓｍａｌｌ， ｉｓ ａｌｌ ｔｈｅｒｅ ｉｓ．

Ｓｏ ｏｎｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｗａｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ａ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｒｉｓｅｓ ｉｓ ａｓ ａ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａ ｐｒｏｃｅｓｓ ｔｈａｔ ｉｓ ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｇｉｖｅ ａ

ｃｕｔ－ｏｆｆ

ｏｎ

ｔｈｅ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅｎ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｆｏｕｒ－

ｆｅｒｍｉｏｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇ Ｇ ｉｓ ｃｏｍｐｕｔａｂｌｅ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ ｖｉａ ｆｏｒｍｕｌａ ｌｉｋｅ

Ｇ

＝

ｃｏｎｓｔａｎｔ

＃２／ｍ＾ ＋ ｈｉｇｈｅｒ

ａ

ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｇ．

Ｈｅｒｅ ｇ ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ－Ｓａｌａｍ ｔｈｅｏｒｙ． Ｏｎｅ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｔｈｉｓ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｈｅ ｗｅａｋｎｅｓｓ ｏｆ

ｈｉｇｈｅｒ ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｇ ｉｓ ａ ｈｉｇｈｅｒ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｏｗｅｒ ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｍｗ ａｓ ｍｗ ｇｅｔｓ ｌａｒｇｅ， ｓｏ ｉｔ ｉｓ ｉｎ

ｉｔｓ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ａｌｓｏ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｏｆ

ｍ＾ｒ．

Ｗｅ ａｒｅ

ｔａｋｉｎｇ

ｔｈｅ

ａ

ｇｅｎｅｒａｌ ｉｎｃｏｒｒｅｃｔ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｉｎ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｅｙｏｎｄ ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ． Ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｍｕｓｔ ｂｅ ｄｏｎｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ． Ａ ｓｌｉｇｈｔｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ａｒｉｓｅｓ ｉｎ ｇｒａｖｉｔｙ． Ｔｈｅｒｅ ｏｎｅ ｍｕｓｔ ｐｅｒｆｏｒｍ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｙｏｎｄ ｔｒｅｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ， ｓｉｎｃｅ

ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌｌｙ ｂｏｕｎｄ ｓｔａｔｅｓ

５．８ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｌｏｃａｌｉｔｙ ｌｉｋｅ

ｔｈｅ

ｓｏｌａｒ

ｓｙｓｔｅｍ

ａｒｅ

ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒ ｔｅｒｍｓ

１２５

ｆｏｒｍｅｄ ｂｙ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｅｘｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｇｒａｖｉｔｏｎｓ．

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｈｉｇｈｅｒ－ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ （ｅ．ｇ．， Ｔｈｅ Ｒ２， Ｒ＊ｖ． ｅｔｃ．）． ａｍｂｉｇｕｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｉｎ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｉｓ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｄｉｖｉｄｅｄ ｂｙ ｓｏｍｅ ｌａｒｇｅ ｍａｓｓ ｓｃａｌｅ， ａｎｄ ｉｓ ｎｅｇｌｉｇｉｂｌｅ ｆｏｒ ｌｏｗ－ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｔｒａｎｓｆｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ． Ｉｎ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ， ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ－ Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ａｒｅ

ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ， ｂｕｔ ｉｎ

ｓａｍｅ

ｇｒａｖｉｔｙ

ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ

ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ

ｓｏ

ａｓ

ｔｈｅ ｉｎｔｒｉｎｓｉｃ

ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｅｒｒｏｒ

ｚｅｒｏ ｍａｓｓ

ｉｎ

ｏｆ ｔｈｅ

ｇｒａｖｉｔｏｎ． Ａｎｏｔｈｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈａｔ

ｇｒａｖｉｔｙ

ｉｓ ａｃｔｕａｌｌｙ ｔｈｅ ｓｔｒｏｎｇｅｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｕｒ

ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｗｈｅｎ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｃｏｎｔｒａｓｔ，

ｏｎ

ａｔｏｍｉｃ

ｏｒ

ｏｎ

ａ

ｌａｒｇｅ ｅｎｏｕｇｈ ｓｃａｌｅ．

Ｉｎ

ｍｏｌｅｃｕｌａｒ ｓｃａｌｅｓ， ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｔｈｒｅｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ

ｂｙ ｆａｒ ｔｈｅ ｓｔｒｏｎｇｅｓｔ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｓｔｒｏｎｇ ａｎｄ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｆｉｎｉｔｅ ｒａｎｇｅ， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｚｅｒｏ ｏｕｔｓｉｄｅ ｔｈｅ ｎｕｃｌｅｕｓ． Ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｃａｎ ｈａｖｅ ｂｏｔｈ ｓｉｇｎｓ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｃｈａｒｇｅ， ｓｏ ｔｈａｔ ｂｕｌｋ ｍａｔｔｅｒ， ｉｆ

ｔｈａｔ

ａｒｅ

ｈａｖｅ

ａ

ｃｈａｒｇｅｄ， ｔｅｎｄｓ ｔｏ ａｔｔｒａｃｔ ｃｈａｒｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｓｉｇｎ ｔｏ ｉｔ． Ｂｕｌｋ ｍａｔｔｅｒ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌｌｙ ｎｅｕｔｒａｌ． Ｂｕｔ ｇｒａｖｉｔｙ ｃｏｕｐｌｅｓ ｔｏ ｍａｓｓ ｏｒ ｅｎｅｒｇｙ， ｓｏ ｉｔ ｉｓ ａｌｗａｙｓ ａｔｔｒａｃｔｉｖｅ． Ｈｅｎｃｅ ｇｒａｖｉｔｙ ｗｉｎｓ ｏｕｔ ａｓ ｔｈｅ ｓｔｒｏｎｇｅｓｔ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ ｅｎｏｕｇｈ ａｓｓｅｍｂｌａｇｅｓ ｏｆ ｍａｔｔｅｒ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ａｔ ｎｕｃｌｅａｒ ａｎｄ ａｔｏｍｉｃ ｓｃａｌｅｓ， ｉｔ ｉｓ ｎｅｇｌｉｇｉｂｌｅ ｂｙ ａ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ａｂｏｕｔ １０４０ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｌｅｔ

ｕｓ

ｂｅｔｗｅｅｎ

ｓｕｍｍａｒｉｚｅ

ｂｙ ｒｅｓｔａｔｉｎｇ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ

ａｎｄ

ｔｈｅ ｋｅｙ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｄｉｓｔｉｎｃｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ａ ｎｏｎ－

ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｔ ｌｏｗ ｅｎｅｒｇｙ ｇｉｖｅｓ ｓｏｍｅ ｉｎｄｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ａｔ ｈｉｇｈ ｅｎｏｕｇｈ ｅｎｅｒｇｉｅｓ ｉｔ ｍｕｓｔ ｂｒｅａｋ ｄｏｗｎ， ａｎｄ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ

ｔｈｅｏｒｙ． Ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｇｉｖｅｓ

ｎｏ

ｓｕｃｈ ｉｎｄｉｃａｔｉｏｎ．

５．８ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｌｏｃａｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ； Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ

ｅｘａｍｐｌｅｓ， ｗｅ ｓａｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ（Ｇ） ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ Ｇ ｉｓ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ， ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ３（Ｇ）． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｐｒｏｖｅ． Ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｓ ｄｕｅ ｔｏ Ｉｎ

ｏｕｒ

Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９６０）； ａ ｓｉｍｐｌｅｒ ｐｒｏｏｆ ｗａｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｈａｈｎ ＆ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９６８）． Ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ ｔｈｒｅｅ ｒｅｓｕｌｔｓ： （１） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

ａ

１ＰＩ

ｇｒａｐｈ

Ｇ ａｎｄ ａｌｌ ｉｔｓ １ＰＩ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ

ｈａｖｅ

ｎｅｇａｔｉｖｅ

ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ａｎｄ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｗｈｅｎ ａｌｌ ｏｒ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｍｏｍｅｎｔａ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｏ ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｔｈｅ ｗｉｔｈ ｔｏｇｅｔｈｅｒ， ｏｆ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｒｏｍ ｍｏｒｅ ｅｘｏｔｉｃ ｓｃａｌｉｎｇｓ． ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ｎｏ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

１２６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ａ １ＰＩ ｇｒａｐｈ Ｇ ｈａｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｂｕｔ ｔｈａｔ ｉｔ ｍｉｇｈｔ ｈａｖｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｉｆ ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｓｕｂｔｒａｃｔ

（２）

ｏｆｆ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｍｏｒｅ ｓｉｍｐｌｙ， ｉｆ ３（Ｇ） ＜ ０ ｔｈｅｎ Ｒ（Ｇ） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． （３） Ｉｆ ａ １ＰＩ ｇｒａｐｈ Ｇ ｈａｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ５（Ｇ）， ｔｈｅｎ ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ（Ｇ） ｉｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ Ｇ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ５（Ｇ）． Ｐｒｏｐｅｒｔｙ （１） ｉｓ ａ ｔｒｉｖｉａｌ ｃａｓｅ ｏｆ （２）． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｄｕｃｅ （３） ｔｏ （２） ｂｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｓ ｗｅ ｕｓｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．２．２． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｎａｔｕｒａｌｌｙ ｓｕｇｇｅｓｔｓ ｔｈａｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｒ（Ｇ） ｏｆ Ｇ． Ｏｎｅ

ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｗｅ ｕｓｅ

ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ． Ｉｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｍａｙ ｂｅ ｃｈｏｓｅｎ ｓｏ ｔｈａｔ ｒｅｓｕｌｔ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ （３） ｒｅａｄｓ ｆｔ Ｈｏｏｆｔ （１９７３）， Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９７３）， ａｎｄ

Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９７４））：

ｇｒａｐｈ Ｇ ｈａｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ５（Ｇ）， ｔｈｅｎ ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ Ｃ（Ｇ） ｉｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ Ｇ ａｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｍａｓｓｉｖｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． （Ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ａｒｅ ｔｈｅ ｍａｓｓｅｓ ｏｆ ｆｅｒｍｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｑｕａｒｅｄ ｍａｓｓｅｓ ｏｆ ｂｏｓｏｎｓ．） Ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ａｒｅ ａｔ ｍｏｓｔ ３（Ｇ）．

（３＇） Ｉｆ

ａ

１ＰＩ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

５．８．１ Ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｅｑｕａｌｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ （３）， ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ（Ｇ） ｏｆ ａ １ＰＩ ｉｓ ｇｒａｐｈ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ３（Ｇ）． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｏ ｔｈｉｓ ａｓｓｕｍｉｎｇ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ （２）， ｔｈａｔ ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｉｆ ｉｔｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ． Ｌｅｔ Ｇ ｂｅ ａ １ＰＩ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ３（Ｇ） ＞ ０． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ｒ（Ｇ＼ ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｇ ｐｌｕｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｐｒｏｖｅ

ｆｏｒ

ｉｔｓ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

Ｃａｓｗｅｌｌ ＆ Ｋｅｎｎｅｄｙ （１９８２）， ｌｅｔ

ｕｓ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ３（Ｇ） ＋ １ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｄｕｃｅｓ ａ ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ ｈａｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｗｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ Ｇ， ｂｕｔ ａｌｓｏ ｉｔｓ ｖａｒｉｏｕｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ

Ｃｙ（Ｇ）． ｗｅ

Ｔｈｅ ａｉｍ ｉｓ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ａｃｔｕａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． Ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ

ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｇｒａｐｈｓ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ

ｏｂｖｉｏｕｓ， ｂｕｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ

ｓｏｍｅ

ｓｕｂｔｌｅｔｉｅｓ，

ｏｒｉｇｉｎａｌ ｇｒａｐｈ． Ｔｈｉｓ ｍａｙ ｗｉｌｌ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ．

ｓｏｕｎｄ

ｓｏ ｗｅ

Ｌｅｔ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ Ｇ ｂｅ ｐｕ．．．，ｐｎ． Ｉｔｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｉｓ Ｒ（Ｇ）＝Ｇ＋ ＝

＝

Ｒ（Ｇ）

Ｘ Ｃｙ（Ｇ） ＋

Ｃ（Ｇ）

Ｒ（Ｇ）－ＴＧｏＲ（Ｇ）．

（５．８．１）

５．８

Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｌｏｃａｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

１２７

ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ， ｄｘ ｄｅｎｏｔｅ ａｎｙ Ａ－ｆｏｌｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ

Ｌｅｔ ｄ ｄｅｎｏｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ

ａｎｄ ｌｅｔ

ｄｘＲ（Ｇ） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｉｆ Ｘ ＞ ５（Ｇ）． （Ｉｔ ｉｓ ｃｌｅａｒ ｆｒｏｍ ｎａｉｖｅ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｔｈａｔ Ｓ（ｄｘＧ） Ｓ（Ｇ）－ Ｘ．） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｅｎｓｕｒｅ ｔｈａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｃｏｍｍｕｔｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｔｙ． Ｔｈｉｓ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｉｍｐｏｓｉｎｇ ａ ｖｅｒｙ ｎａｔｕｒａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎ

ｍｏｍｅｎｔａ． Ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｔｏ ｂｅ ｓｈｏｗｎ ｉｓ ｔｈａｔ

＝

ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔｓ ｏｆ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， Ｔｙ（ｄＧ） ａｎｄ Ｔｙ（Ｇ）． （Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐｏｌｅ－ｐａｒｔ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ， ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ｅｘｏｔｉｃ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｇｒａｐｈ

ｎｏｔ

ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ．）

Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ａｎｙ

ｙ ｗｅ ｈａｖｅ

ｄＣ（ｙ） Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ， ｆｏｒ ｔｈｅ

ｐｏｉｎｔ

ｈｅｒｅ ｉｓ ｔｈａｔ

ａ

ａ

ｗｅ

ｈａｖｅ

（５．８．３）

Ｒ（ｄｘＧ）．

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｈｅｎ ａｃｔｉｎｇ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｅｒｍｓ， ｉｎ ｅａｃｈ ｏｆ ｗｈｉｃｈ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ． Ｉｔ ｉｓ

＝

（５．８．２）

Ｃ（ｄｙ）．

＝

ｏｒｉｇｉｎａｌ ｇｒａｐｈ，

ｄｘＲ（Ｇ） Ｔｈｅ

ｔｈｅ

ｏｎｅ

ｏｎ ａ

ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ

ｇｒａｐｈ ｇｉｖｅｓ ｏｒ

ａ

ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｉｓ

ｓｉｍｐｌｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｇｒａｐｈｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ

Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ５．２．２ ａｎｄ ５．２．３ ｆｏｒ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ Ｎｏｗ

ｏｆ Ｇ

Ｒ（ｄｘＧ）

ａｒｅ

ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ

ｉｓ ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｏｆ

ａｆｔｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｉｎ （５．８．３）． ｇｒａｐｈ ｄｘＧ ｔｈａｔ ｈａｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ

ｏｎｅｓ ａ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｉｔｓ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｈｅｎｃｅ ｂｙ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ （２） ｉｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ， ｓｏ ｔｈａｔ ｗｅ ｍａｙ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｔ ｔｏ ｇｉｖｅ ｚｅｒｏ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｎ （５．８．１） ｆｏｒ ｔｈｅ ｕｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ３（Ｇ） ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ （Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９７４）） ａｌｓｏ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｉｎ ｍａｓｓ． Ｈｅｒｅ ｉｔ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｍ２ ｔｏ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｒｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｉｓ ｒｅｓｐｅｃｔ ｏｎｌｙ ｈａｐｐｅｎｓ ｉｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ． Ｉｆ ａ

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｈａｓ

ａ

ｐｉｅｃｅ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ

ｔｏ Ｉｎ

（ｍ２）

ｔｈｅｎ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ

ｗｉｔｈ

ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｍ２ ｌｅａｖｅｓ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｍｅｒｅｌｙ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ａｌｗａｙｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｂｅ

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ

ｉｎ

ｍ２；

ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｃｏｍｐｕｌｓｏｒｙ．

５．８．２ Ｒ（Ｇ） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｉｆ ５｛Ｇ） ｉｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｅｖｉｄｅｎｔ ｉｎ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｔｈａｔ ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ３ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ ａ ｌｏｃａｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ５ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ Ｉｔ

ｗａｓ

ｍｏｍｅｎｔａ． Ｔｏ

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｈｅ

ｒｅｓｕｌｔ ｔｏ

ａｎ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｇｒａｐｈ， ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ａ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｗｈｉｃｈ ｉｎｖｏｌｖｅｄ

１２８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

１ＰＩ ｇｒａｐｈ ｏｎｌｙ ａｆｔｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｎｇ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｗｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ Ｓ ＋ １ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ ｂｅ ｌｏｃａｌ ａｎｄ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ Ｓ． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｏｆ ｒｅｌｉｅｄ ｏｎ ａｓｓｕｍｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ： ａ

Ｉｆ ａ ｇｒａｐｈ ｈａｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｈａｓ ｉｔｓ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ， ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｍｏｒｅ ｂｒｉｅｆｌｙ， ｉｆ ５（Ｔ） ＜ ０

ｔｈｅｎ Ｒ（Ｔ） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｉｓ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｓｏｕｎｄｓ ｅｘｔｒｅｍｅｌｙ ｐｌａｕｓｉｂｌｅ． Ｉｔ ｉｓ ｎｅｖｅｒｔｈｅｌｅｓｓ ｉｎ ｎｅｅｄ ｏｆ ｐｒｏｏｆ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ

ｅｎｓｕｒｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ａｃｔｕａｌｌｙ

ｒｅｍｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． （Ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｉｎｄｕｃｅｄ ｓｐｕｒｉｏｕｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ．） Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ， ｗｅ ｎｏｒｍａｌｌｙ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｓ ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ｒｅｇｉｏｎｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｓｏｍｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ， ａｌｌ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒａｔｅ； ｔｈｉｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｐｏｗｅｒ－ ｃｏｕｎｔｉｎｇ． Ｉｔ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｍｏｒｅ ｅｘｏｔｉｃ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｉｅｓ． Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｏｎｅ ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘａｍｉｎｅ， ｉｓ ｔｏ ｔｒｅａｔ ａｃｃｏｍｐｌｉｓｈｅｓ ｉｔｓ ｐｕｒｐｏｓｅ ｏｆ

ｃａｓｅ ｔｈａｔ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ， ｂｕｔ ａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒａｔｅｓ． Ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．２．２， ｗｅ ｅｘａｍｉｎｅｄ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．２．１． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ ｉｓ ｖｅｒｙ ｓｉｍｉｌａｒ． Ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ， ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ （１） ｔｏ （３），

ｔｈｅ

ｌｉｓｔｅｄ

ｇｒａｐｈｓ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｏｖｅｒ ｒｅｇｉｏｎｓ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｗｈｅｒｅ ａｌｌ ｏｒ ｓｏｍｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ， ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒａｔｅ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｔｈｅｍ ａｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｓｏｕｒｃｅｓ ｏｆ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｉｆ ａｌｌ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｔｏｇｅｔｈｅｒ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ａｃｔｕａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｒｏｍ ａｔ ｔｈｅ

ｂｅｇｉｎｎｉｎｇ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ

５．８，

ａｒｅ ｔｒｕｅ

ｆｏｒ ａｌｌ ｓｍａｌｌｅｒ

Ｇ ｕｎｄｅｒ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ． Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｔｈｉｓ ｒｅｇｉｏｎ． Ｉｆ ｓｏｍｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｓｔａｙ ｆｉｎｉｔｅ ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒｓ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ （ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒａｔｅ）， ｔｈｅｎ ｌｅｔ ｙ ｂｅ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｏｓｅ ｌｉｎｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｏｕｒ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ

ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ

ｅｎｓｕｒｅｓ

ｔｈａｔ ａｌｌ ｔｈｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｃａｓｅ ｉｓ ｔｈａｔ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｏ

ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ

ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ， ｂｕｔ

ａｇａｉｎ ｎｏｔ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒａｔｅ． Ｌｅｔ ｋ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｍｏｍｅｎｔａ， ａｎｄ ｌｅｔ ／ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｒｅｓｔ． （Ｏｕｒ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｉｓ ｍｅａｎｔ ｔｏ ｃｏｐｙ ｔｈａｔ ｕｓｅｄ

ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ．） Ｌｅｔ ｙ ｂｅ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ／． Ｉｔ ｍａｙ ｂｅ ａ ｓｉｎｇｌｅ １ＰＩ ｇｒａｐｈ ｏｒ ａ ｕｎｉｏｎ ｏｆ １ＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ． Ｌｅｔ ｔｈｅｓｅ １ＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｂｅ ｙｌ９．．．，ｙＬ．

ｆｏｒ Ｆｉｇ． ５．２．１， ａｎｄ ｔｈｏｓｅ ｌｉｎｅｓ

ｄｉｓｊｏｉｎｔ

ｓｏ

ｃａｒｒｙｉｎｇ

Ｅｘｐａｎｄ ｅａｃｈ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｕｐ ｔｏ ｉｔｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｉｓ ｒｅａｌｌｙ ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ； ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｖａｎｉｓｈｅｓ ａｓ ／ ｇｏｅｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ， ｓｏ ｗｅ

ｓｈｏｕｌｄ ｈａｖｅ ｓｅｔ ／

＝

０（ｋ）． Ｔｈｅ ｅｘｐａｎｄｅｄ

ｔｅｒｍｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ

ｊｕｓｔ

ａｓ

ｔｈｅｙ

５．８ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｌｏｃａｌｉｔｙ

ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒ ｔｅｒｍｓ

１２９

Ｆｉｇ． ５．２．１． Ａｆｔｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｖｅｒ ｋ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ． Ｗｅ ｇｌｏｓｓ ｏｖｅｒ ｈｅｒｅ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｄｅｔａｉｌｓ， ｎｏｔａｂｌｙ ｗｈａｔ ｈａｐｐｅｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｗｈｅｎ ｓｏｍｅ ｏｆ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｌｉｎｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ａｐｐａｒｅｎｔ． Ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｉｎ ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ５．２．２ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｄｉｄ ｆｏｒ

ｉｓ ｔｈｅ

ｓａｍｅ．

５．８．３ Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ

Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９６０） ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｓｔａｔｅｄ ａｂｏｖｅ ｗｉｔｈ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｒｉｇｏｒ， ｂｕｔ ｈｅ ａｌｓｏ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｗｈａｔ ｈａｐｐｅｎｓ ｗｈｅｎ ｓｅｖｅｒａｌ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｐｔ， ｐ２，．．．， ｐｎ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ ｙ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ ｉｎ ｔｈｅ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｒｅｇｉｏｎ． Ｔｈｅｙ ａｒｅ ａｓｓｕｍｅｄ ａｌｌ ｔｏ ｂｅ ｏｆ ａｎ ｏｒｄｅｒ Ｑ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒａｔｉｏｓ

Ｐｊ／Ｑ ｆｉｘｅｄ ａｓ Ｑ

－？

Ｎｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｏｏ．

ｓｕｍｓ

ｏｆ ｓｕｂｓｅｔｓ

ｏｆｐｆ／Ｑ ｖａｎｉｓｈ． Ｗｅｉｎｂｅｒｇ

ｔｈｅｎ ｓｔａｔｅｓ ｈｏｗ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ：

（１） Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｎｙ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｙ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｔｏ ａｌｌ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｌｅｔ ａｌｌ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ ｙ ｂｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｑ． Ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｑ： Ｑａｙ． （２） Ｌｏｏｋ ａｔ ａｌｌ ｓｕｃｈ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ． Ｌｅｔ ａｙ ｈａｖｅ ａ ｍａｘｉｍｕｍ ｖａｌｕｅ ａ． （ａ） Ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｕｎｉｑｕｅ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｔｈｉｓ ｍａｘｉｍｕｍ ｐｏｗｅｒ， ｔｈｅｎ Ｔ ｏｃ Ｑａ

Ｑ＾ｏｃ． （ｂ） Ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｓｕｃｈ

ｒ

＝

ａｒｅ

ｓｅｖｅｒａｌ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ

ｗｉｔｈ ａｙ ａ， ｔｈｅｎ ｌｅｔ Ｎ ｂｅ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ Ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ：

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ．

＝

Ｑａ［Ａ０Ｂ０ ＋ ＡｌＢｌ＼ｎＱ ＋ Ａ２Ｂ２（＼ｎＱ）２ ＋ ０（Ｑａ￣ｌｙ

Ｈｅｒｅ ｔｈｅ Ａ？ｓ

ａｎｄ ｔｈｅ Ｂ．＇ｓ

ａｒｅ

ａｒｅ

ａｓ

＋

－－

Ａ＾．Ｂ＾＾ｌｎＱｆ－＾ （５．８．４）

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｏｓｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｔｈａｔ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ

ａｒｅ

ｆｉｘｅｄ

ａｓ

Ｑ－＞

ｏｏ

Ｐｊ／Ｑ．

ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｇｕｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ． Ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｏｂｖｉｏｕｓ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｐａｒｔ ｏｆ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｏｆ ｍｕｃｈ ｕｓｅ ｆｏｒ ｐｈｙｓｉｃｓ， ｏｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｆｏｒ ｉｔｓ ｐａｒｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｐｒｏｏｆ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ｏｆ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｅｐ－ ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｏｆ ａ ｌｅｐｔｏｎ ｏｎ ａ ｈａｄｒｏｎ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｐｈｏｔｏｎ ｏｒ ａ ｗｅａｋ Ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ

ｐｒｏｖｅｄ ｉｎ

ｔｈｅ ｌａｓｔ ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ． Ｉｔｓ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｂｏｓｏｎ ｔｈａｔ ｉｓ ｆａｒ ｏｆｆ－ｓｈｅｌｌ． Ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｃａｒｒｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｂｏｓｏｎ ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ， ａｎｄ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｐｐｌｉｅｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｔｈｉｓ ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ １４． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａｌｓｏ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｏｔｈｅｒ ｉｎｔｒｉｎｓｉｃａｌｌｙ Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉａｎ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ （ｅ．ｇ． Ａｍａｔｉ， Ｐｅｔｒｏｎｚｉｏ ＆ Ｖｅｎｅｚｉａｎｏ （１９７８）， Ｅｌｌｉｓ ｅｔ

１３０

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ａｌ （１９７９），

Ｌｉｂｂｙ ＆ Ｓｔｅｒｍａｎ （１９７８）， Ｍｕｅｌｌｅｒ （１９７８，１９８１）， Ｓｔｉｒｌｉｎｇ （１９７８）， ａｎｄ ａｒｅ ｂｅｙｏｎｄ ｔｈｅ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｂｏｏｋ．

Ｂｕｒａｓ （１９８１））． Ｔｈｅｓｅ

５．９ Ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ Ｗｅ ｓｈｏｗｅｄ ｈｏｗ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ａ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ｂｙ ｍａｋｉｎｇ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ａｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ． Ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ， ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｏ ｍａｋｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｇｒａｐｈｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｎｏｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｃａｎ ａｌｓｏ ｂｅ ｍａｄｅ ｗｉｔｈ ａ ｈｉｇｈｅｒ ｄｅｇｒｅｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｔｈａｎ ｃａｌｌｅｄ ｆｏｒ ｂｙ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｅｉｔｈｅｒ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｃａｓｅｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｎｏｗ， ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ｅｉｔｈｅｒ ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｒ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ， ｄｉｄ ｎｏｔ ｓｐｅｃｉｆｙ ｔｈｅ ｅｘａｃｔ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｔ． Ｓｏ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｃａｎ ｂｅ ｍａｄｅ ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍａｌｉｓｍ．

Ｔｈｅｒｅ

ｗｉｓｈ ｔｏ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｕｓｅｓ ｆｏｒ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｓ ｗｈｅｎ ｗｅ ＇ｐｈｙｓｉｃａｌ ｖａｌｕｅｓ＇ ｏｆ ｍａｓｓｅｓ ｏｒ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ａｒｅ ｔｗｏ ｕｓｅ

ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｉｓ ｉｎ

ａ ｍｏｍｅｎｔ．

Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ． Ｔｈｅｒｅ， ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｃａｎｃｅｌ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｏ ｅｘｔｒａｃｔ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ

ｕｓｅ

ｉｓ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ｍａｄｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｏ ｂｅｈａｖｉｏｒ

ａｓ ｓｏｍｅ

ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｉｓ ｌａｔｅｒ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０．

５．９．１ Ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ Ｗｅ ｈａｖｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ａｎｏｔｈｅｒ ｐｏｉｎｔ

ｏｆ ｖｉｅｗ

ａｓ

ｃｏｍｅｓ

ｏｆ ｒｅｍｏｖｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｏｎｅ ｔｈｅ

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒ ａｓ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｅｒｅ ｅａｃｈ ｆｉｅｌｄ ｈａｓ ａ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｓｉｎｇｌｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｔａｔｅ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍａｓｓｅｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｍｅａｓｕｒｅｄ ａｒｅ ｔｈｏｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｅ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ， ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｏ ｃａｎｎｏｔ

ｏｂｓｅｒｖｅ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｔｈｅ

ｍａｓｓ

Ｆｏｒ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｐａｒａｍｅｔｒｉｚｅ

ａｎｄ

ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ

ｍａｓｓｅｓ．

Ｓｉｍｉｌａｒ ｒｅｍａｒｋｓ

ｃａｎ

ｂｅ

ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ． （Ｔｈｕｓ ｉｎ ＱＥＤ ｏｎｅ ｎｏｒｍａｌｌｙ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚｅｓ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ＇ｓ ｍａｓｓ ａｎｄ ｃｈａｒｇｅ， ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｌｏｎｇ－ｒａｎｇｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｉｔｓ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ．） Ｉｔ ｃａｎ ａｌｓｏ ｂｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｒｅｓｃａｌｅ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ ｓｏ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｈａｓ

ａ

ｐｏｌｅ

ｏｆ ｕｎｉｔ ｒｅｓｉｄｕｅ．

ｓｉｍｐｌｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｌｉｋｅ ０３ ｉｎ ｓｉｘ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｔｏ ａｃｃｏｍｐｌｉｓｈ ｓｕｃｈ ａ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ ａｒｅ Ｉｎ

ａ

ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｔｈｏｓｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｍａｙ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ａ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ Ｚ（ｐ２） ｔｏ ｂｅ

Ｔ（ｐｈ）ｏ２Ｖ）

＝

Ｚ（ｍｐ＼） ＋ （ｐ２

－

ｍｐ２ｈ）Ｉ＇（ｍｐ２ｈ）＞

ｔ５－９－１）

５，９ Ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

ｓｏ

＂

ａｓ

１３１

ｐ２

－？

ｉ［Ｐ２

ｍ２ｈ．

＂

＜

－

Ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ

￡ｐｈ（Ｐ２）］

＂

＝

ｓｕｂｓｃｒｉｐｔ ＇ｐｈ＇

ｉ（Ｐ２

＂

Ｏ ＋ ０（ｐ２

－

ｍｐ＼）２，

ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

（５．９．２）

ａｃｃｏｒｄｉｎｇ

ｔｏ ｔｈｅ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｓｃｈｅｍｅ． Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｍａｙ

ｏｎｌｙ

ｕｓｅ ｔｏ

ｏｎｅ

ｏｕｔ

ｏｆ ｍａｎｙ

ｃａｎｃｅｌ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｂｕｔ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ， ｅｘａｍｐｌｅ， （ｆｔ３ ｔｈｅｏｒｙ ａｇａｉｎ， ｂｕｔ ｎｏｗ ｉｎ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｗｅ ｍａｙ ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｔｏ ｕｓｅ （５．９．１） ａｎｄ （５．９．２） ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｓｏ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ＇ｐｈｙｓｉｃａｌ＇ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｂｕｔ ａｌｌ ｅｘｃｅｐｔ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ ｎｏ ｈａｖｅ ｓｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ａｌｌ ｔｈｅ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｗｅ

ｍａｙ ａｌｓｏ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ．

ａｓ ａｎ

ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ａｌｌ ｂｕｔ

ｏｎｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

ａｓ

ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉｃｓ

ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｅａｒｌｉｅｒ ａｌｌ ｗｏｒｋ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ．

５．９．２ Ｒｅｍａｒｋｓ Ｏｎｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｏｖｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ

ａｎｄ

ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｌｙ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｄｉｆｆｅｒ ｏｎｌｙ ｂｙ ａ ｒｅｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｃａｎ ｂｅ ｄｏｎｅ ｂｙ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ７．１ ａｎｄ ７．２． Ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ５．９．１， ｗｅ ｔｏｏｋ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ ｔｈａｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｒｅｐａｒａｍｅｔｒｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ＇ｐｈｙｓｉｃａｌ＇ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ． Ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｎｏｔｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ａｌｗａｙｓ ａ ｕｓｅｆｕｌ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ． Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｐｌａｃｅ， ｏｔｈｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｍｏｒｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｆｏｒ ｈａｎｄｌｉｎｇ ｃｅｒｔａｉｎ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ． Ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｐｌａｃｅ， ｔｈｅｒｅ ｍａｙ ｂｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｔｈａｔ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ａ

ｔｈｅｏｒｙ

ｎｏｔ ｗｈａｔ ｏｎｅ ｗｏｕｌｄ

ｎａｉｖｅｌｙ ｅｘｐｅｃｔ：

ｔｈｕｓ ｉｎ

ＱＥＤ

ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ＇ｓ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈａｖｅ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｐｏｌｅ． Ａｎｄ， ｆｉｎａｌｌｙ， ｉｎ ｓｏｍｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｍｏｒｅ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ａｎｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｔｈａｎ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ｔｈｉｓ

ｉｓ ｖｅｒｙ

ｃｏｍｍｏｎ

ｉｎ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

５．９．３ Ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ｏｎ

ＩＰＲ

ｇｒａｐｈｓ

Ｔｈｅ ａｉｍ ｏｆ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｇｅｎｅｒａｌｌｙ， ｉｓ ｔｏ ｉｍｐｏｓｅ ｓｏｍｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｓｏ ｆａｒ， ｗｅ ｈａｖｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｏ ｂｅ ｉｍｐｏｓｅｄ

ｇｒａｐｈｓ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｏｓｅ ａｒｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ （ｆｔ３

ｔｈｅ

１ＰＩ

２

Ｌｅｔ

ｕｓ

＝

（ｃ＜ｐ）２／２

－

ｔｈｅ ＋

ｚｅｒｏ

ｎｅｅｄｉｎｇ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ

（ｆｔ４ ｔｈｅｏｒｙ：

ｍ２ｃｆｔ２／２ －ｆ（ｆｔ３／６

ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ａｔ

ｏｎｅｓ

ｏｎ ｏｎ

－

＃７２４ ＋ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

（５．９．３）

ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－

１３２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ＩＨＩＸ （ｂ）

（ａ）

（ｃ）

｛ｄ）

Ｆｉｇ． ５．９．１． Ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ． ｅｎｅｒｇｙ Ｉ ａｎｄ ｔｈｅ

ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ

ｌ（ｐ２＝０）￣（ｐ２

ＩＰＩ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＝

ｄｐ２

ｒｏ）（Ｐｉ

Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｆｒｏｍ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｏｕｒ

＝

Ｐｉ

０）

Ｐ％

＝

＝

＝

ｅａｒｌｉｅｒ ｗｏｒｋ

ｒ（４） ｂｙ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ

ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｒ（３） ｓａｔｉｓｆｙ

０，

０）

＝

ｗｅ

ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ

＝

－

ｉｆ

（５．９．４）

ｍｉｇｈｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｇｒａｐｈｓ ｔｏ ｂｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔｈｅｉｒ

ｏｆ ｔｈｅ ＩＰＩ

ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ ｖａｌｕｅ ａｔ ｚｅｒｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｓｅｎｓｉｂｌｅ

ｉｍｐｏｓｅ ｉｎｓｔｅａｄ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ａｍｐｕｔａｔｅｄ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｔ＾． ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ＩＰＩ ｏｎｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｕｒ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ． （Ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ａｍｐｕｔａｔｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｅｘ ｗｉｌｌ ｈａｖｅ ａｔｔａｃｈｅｄ ｔｏ ｉｔ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ．） Ｔｈｕｓ ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｔｒｅｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．９．１ （ａ）－（ｃ＼ ｗｅ ｒｅｑｕｉｒｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， Ｆｉｇ． ５．９．１（ｄ）： Ｏｕｒ ｇｅｎｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｈａｔ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ （ａ）， （ｂ＼ ｏｒ （ｃ） ｉｎ Ｆｉｇ． ５．９．１ ａｓ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ， ｔｈｅｒｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｉｓ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｅｘ （ｄ）． Ｔｈｅｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｍａｙ ｂｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｅｖｅｎ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ５．９．２． Ｉｎ Ｆｉｇ． ５．９．２（ａ） ｉｆ ｗｅ ｉｍｐｏｓｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ＩＰＩ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ （ｂ） ｏｃｃｕｒｓ ａｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ；（ａ） ｐｌｕｓ （ｂ） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｉｆ ｔｏ

Ｔｈｅｓｅ

ｉｍｐｏｓｅ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ ａｍｐｕｔａｔｅｄ ｇｒａｐｈｓ ｗｅ ｉｍｍｅｄｉａｔｅｌｙ ｍｅｅｔ ｇｒａｐｈ （ｃ） ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌｉｎｅ Ａ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｉｔｓ １／３ ｓｈａｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｆｉｇ． ｗｅ

５．９．１（ｄ）． Ｂｕｔ

ｇｒａｐｈ （ｃ） ｈａｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｓｏ ｗｅ ｍｕｓｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｉｔ ｂｙ ａ ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅ Ａ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｏｐ Ｂ． Ｔｈｉｓ ｉｓ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ ｔｈｅ

［ａ （ｂ）

［ａ

Ｉ

（ａ）

（ｂ）

＂ＴＶ

＾Ｔ

（ｃ）

Ｗ）

Ｆｉｇ． ５．９．２． Ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｆｉｇ． ５．９．１， ｉｎｓｉｄｅ

ａ

ｂｉｇｇｅｒ ｇｒａｐｈ．

５．１０ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈｏｕｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒｓ

１３３

ｇｒａｐｈ （ｄ）． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｌｉｎｅ Ａ ａｎｄ ｌｏｏｐ Ｂ ｈａｓ ａ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｂｕｔ ｎｏ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｅｖｅｎ ｓｏ， ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒ－ ｔｅｒｍ ｉｎ （ｄ） ｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｘｔｒａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｉｍｐｏｓｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ １ＰＲ ａｍｐｕｔａｔｅｄ ｇｒａｐｈｓ ｄｏ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ ｓｈｏｗｎ ｉｎ

ｏｕｒ

ｒｅｓｕｌｔｓ

ｏｎ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ

Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ５．３ ａｎｄ ５．５

ｃａｎ

ｂｅ ｕｓｅｄ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｏｎｌｙ ｔｈａｔ

ｓｕｂｇｒａｐｈ＇ ｂｙ ＇ａｍｐｕｔａｔｅｄ ｓｕｂｇｒａｐｈ＇． Ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ １ＰＲ ｇｒａｐｈｓ Ｈｏｗｅｖｅｒ ｉｔ ｉｓ

ａ

ｉｓ ｔｏｏ

ｗｅ

ｒｅｐｌａｃｅ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ＇１ＰＩ

ｂａｒｏｑｕｅ ｆｏｒ

ｄｅｖｉｃｅ ｔｈａｔ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ ｆｏｒ ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ

ａｎｄ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （Ｃｈａｐｔｅｒｓ

ｎｏｒｍａｌ

ｍａｓｓ

ｕｓｅ．

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

８ ａｎｄ １０）．

５．１０ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈｏｕｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒｓ： ｔｈｅ ＢＰＨＺ ｓｃｈｅｍｅ

ｓｅｔｔｉｎｇ ｕｐ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ５．３ ａｎｄ ５．５ ｗｅ ｗｅｒｅ ｃａｒｅｆｕｌ ｎｏｔ ｔｏ ｕｓｅ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｗａｓ Ｉｎ

ａｌｌｏｗ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｏｎｅ ｏｕｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ ｍａｎｙ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ． Ａｎ ｏｂｖｉｏｕｓ ｏｎｅ ｉｓ ｔｈｅ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｓｅｃｔｉｏｎ． Ａｎｏｔｈｅｒ ｉｓ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔｏ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．１１； ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｒｅａｄｙ ｍａｄｅ ｍｕｃｈ ｕｓｅ ｏｆ ｉｔ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９６９）， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｔｏ ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ， ｓｏ ｔｈａｔ ｎｏ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｎｅｅｄ ｂｅ ｕｓｅｄ． Ｔｈｅ ｓｔａｒｔｉｎｇ ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｄｕｅ ｔｏ Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ ＆ Ｐａｒａｓｉｕｋ （１９５７） ａｎｄ Ｈｅｐｐ （１９６６）， ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ＢＰＨ ｓｃｈｅｍｅ． Ｔｈｅｙ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ａ ｇｒａｐｈ Ｔ ｉｓ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ｄ（Ｔ）， ｉｔｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｓｏ ｔｈｅｙ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｔ（Ｔ） ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｕｐ ｔｏ ｏｒｄｅｒ Ｓ（Ｔ） ｉｎ ｔｈｅ Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｔ ａｂｏｕｔ ｚｅｒｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ｔｏ

Ｆｉｇ．

３．１．１ ｉｎ

０３ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ

ｓｉｘ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ａｆｔｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

ｉｔｓ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｉｓ

Ｚａ（ｐ＼ｄ）

＝

２（Ａｎ ４１２ ｖ

Ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｕｐ ｔｏ ｏｒｄｅｒ

ｘ

ｄｘ［ｍ２－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）ｆ／２－２．

Ｔ｛２－ｄｌ２）

，

ｐ２

Ｖ

（５．１０．１）

０

ｉｎ ｉｔｓ Ｔａｙｌｏｒ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ａｂｏｕｔ ｐ

＝

０

＼ｌｄｘｍｄ－４［ｌ－（ｄ／２－２）ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）／ｍ２ｌ

ａｒｅ

（５．１０．２）

１３４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｇ２ １２８７Ｔ３

ｄｘ｛ ［ｍ２

－

ｐ２ｘ（ｌ

ｇｒａｐｈ

－

ｏ

ｉｓ

Ｆａ

ｘ）］Ｉｎ ［１

－

－

Ｔ°ｒａ．

ｐ２ｘ（ｌ

－

Ｓｏ ａｔ ｄ

ｘ）／ｍ２］

＝

＋

６ ｔｈｉｓ ｉｓ

ｐ２ｘ（ｌ

－

ｘ）｝．

（５．１０．３） Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ＇ｓ （１９６９） ａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔ ｗａｓ ｔｏ ｒｅａｌｉｚｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ． Ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ｈｉｓ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ａｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｈｉｃｈ， ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ， ｈａｓ ｎｏ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｈａｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｎｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ （Ｈａｈｎ ＆ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９６８）， Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９６８））． Ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ＢＰＨＺ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ３．４， ｗｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｇｒａｐｈ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ （３．４．７）． Ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｐｕｔｔｉｎｇ ａｌｌ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｏｖｅｒ ａ ｃｏｍｍｏｎ ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｕｓｉｎｇ ｓｔａｎｄａｒｄ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ

ａｇｒｅｅｓ ｗｉｔｈ （５．１０．３）． Ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ

ａ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｆｉｇ． ｉｎｔｅｇｒａｌ ｂｅ

５．１０．１ ｆｏｒ

０４

ｉｎ

ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｌｅｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｒＢＰＨＺ １

－＞３

２（２ｔｔ）８

（５．１０．４）

ｄ４／ｃｄ４／／（Ｐｌ，ｐ２，ｐ３，ｐ４，／ｃ，／）．

Ｐｚ

Ｆｉｇ． ５．１０．１． Ａ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｔｈｅ

Ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｕ

１ ＝

ｖｅｒｔｅｘ

（Ｉ２

－

ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｉｓ

１

ｍ２） ［（＊

＋

Ｉ）２

ｇｒａｐｈ ｉｎ ０４ ｔｈｅｏｒｙ．

／．

Ｉ

１ －

ｍ２］ ［（＊

＋

ｐ３）２

－

ｍ２］ ［（＊

－

ｐ４）２ ｍ２］ －

Ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｇｉｖｅｓ Ｒ（Ｕ） ￣Ｕ￣

（／２－ｍ２）２［（／ｃ ＋ ｐ３）２－ｍ２］［（／ｃ－ｐ４）２－ｍ２］ －２ｋ－ｌ－ｋ２

＂

｛Ｉ２

－

ｍ２）２ ［（＊ ＋ Ｉ）２

－

ｍ２］ ［（／ｃ ＋ ｐ３）２

－

ｍ２］ ［（ｋ

－

ｐ４）２

－

ｍ２］＇ （５．１０．６）

５．１１ Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂ ｔｒａｃｔｉｏｎ Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ

Ｉ

＝

＿

Ｒ（Ｕ） （２ｋ－ｌ

ｋ２）｛（ｋ２

＋

（Ｉ２

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

Ｒ（Ｕ）－［Ｒ（Ｕ）］＼ｐｉ＝Ｐ２

＝

－

１３５

ｉｓ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｔｏ ｇｉｖｅ ＝

Ｐ３＝Ｐ４

＝

０

ｍ２）［ｐ２ ＋ ｐ＼ ＋ ２／ｃ－（ｐ３ ｐ４）］ ＋ （ｐ２ ＋ ２ｋ－ｐ，）（ｐ２ ２／ｒｐ４）｝ ｍ２）２（ｋ２ ｍ２）２［（／ｃ ＋ Ｉ）２ ｍ２］ ［（＊ ＋ ｐ３）２ ｍ２］ ［（＊ ｐ４）２ ｍ２］ －

－

－

－

－

－

－

＂

－

（５．１０．７） Ｔｈｅ ＢＰＨＺ ｓｃｈｅｍｅ ｈａｓ （１） Ｉｔ ｉｓ

ａｐｐｌｉｅｄ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ：

ａ

ｉｎｔｅｇｒａｎｄ

ｔｏ ｔｈｅ

ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ

ａ

ｗｉｔｈｏｕｔ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ａｎｙ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｕｓ ｉｔ ｅｘｈｉｂｉｔｓ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ （２） ｔｈｅｏｒｙ ｄｏ ｎｏｔ ｄｅｐｅｎｄ

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｌｙ ｉｔ

（３）

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ

ｗｈｉｃｈ ＵＶ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｉｓ ｕｓｅｄ． ｉｓ ｒａｔｈｅｒ ｅｌｅｇａｎｔ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｏｎ

ｎｏ

ｎｅｅｄ ｔｏ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｈａｔ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｈａｔ ａ ｇｒａｐｈ ｔｈａｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｎａｉｖｅ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｉｓ ａｃｔｕａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． （４） Ｉｔ ａｌｌｏｗｓ ａ ｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． ｄｉｓｃｕｓｓ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｔｈｅ

Ｔｈｅｒｅ

（１）

ａｒｅ ａ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ｏｆ Ｆｅｙｎｍａｎ

ｇｒａｐｈｓ；

ｉｔ ｉｓ ｏｎｌｙ

ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ：

Ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｔｈｅ ｂｅｓｔ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ，

（ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ

ｇａｕｇｅ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ） ｗｉｔｈ

ｗｈｅｒｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｈａｖｅ ｔｏ

ｂｅ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ； ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｌｌｏｗ ｄｉｒｅｃｔ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ

（２）

ａ

ｏｆ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

Ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ

ｉｎ

ａｒｅ

ｍａｄｅ ａｔ

ｚｅｒｏ ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ａｎｄ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ

ａｒｅ

ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ． ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ （３） Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｔｏ ｈａｎｄｌｅ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｉｔ ｂｅｃｏｍｅｓ ｍｕｃｈ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ （Ｌｏｗｅｎｓｔｅｉｎ， Ｗｅｉｎｓｔｅｉｎ ＆ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ， ｉｎｆｒａｒｅｄ

１９７４ａ，

ａ

ｂ）． ５．１１ Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ５．１１．１

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｐｒｏｖｅｄ （Ｓｐｅｅｒ （１９７４） ａｎｄ Ｂｒｅｉｔｅｎｌｏｈｎｅｒ ＆ Ｍａｉｓｏｎ （１９７７ａ， ｂ， ｃ）） ｗｈｅｎ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｄ， ｔｈｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈａｔ， Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ ａｐｐｅａｒ ａｓ ｐｏｌｅｓ ａｔ ｉｓｏｌａｔｅｄ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ． Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｆｔ Ｈｏｏｆｔ （１９７３）） ｔｈｅ ＭＳ ｓｃｈｅｍｅ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｂｅ ｐｏｌｅｓ ａｔ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｄ， ４． Ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｒｅａｄｙ ｕｓｅｄ ｔｈｉｓ ｓｃｈｅｍｅ， ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ３． Ｏｕｒ ｐｕｒｐｏｓｅ ｉｎ ｔｈｉｓ ｄ ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ｍａｋｅ ｐｒｅｃｉｓｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｉｔ ｃａｎ ｂｅ

－

－

＝

Ｔｈｅ ｍａｉｎ

ｄｅｐｅｎｄｓ

ｏｎ

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｄ，

ｓｏ

ｔｈａｔ

ｉｓ ｔｈａｔ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｈａｖｅ ａ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｔｈａｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ｆｉ， ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ：

ｗｅ ｍｕｓｔ

１３６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

（１） Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｉｎ ｔｕｒｎ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｇ． ＋ ｄｇｔ ｏｆ ｅａｃｈ ｔｅｒｍ ｉｎ ｉｆ． Ｌｅｔ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｇ． ｂｅ ａ｛ ＋ ｂｆ（４ ｄ）． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｒｅｐｌａｃｅ ｇｘ ＋ （５＃－ ｂｙ ＾，（４＿ｄ） －

Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

（Ｇｉ ＋ ＾／）－

ｃｏｕｐｌｉｎｇ

ｇｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｂｏｔｈ ｈａｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ａｉ９ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ ｏｆ ｄ． （２） Ｌｅｔ Ｔ ｂｅ ａ １ＰＩ ｇｒａｐｈ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｉｔ ｉｓ ｄｅｓｉｒｅｄ ｔｏ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｔ． Ｌｅｔ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｔ ｂｅ Ａ ＋ Ｂ（ｄ

ａｐｐｌｙ

６ｇｉ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ａ

４）， ａｎｄ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈｅ ｊｕｓｔ ｅｘｐｌａｉｎｅｄ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ －

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｌｌ ｃｏｎｔａｉｎ Ｔ（Ｔ） Ｔｈｅ Ｗｅ

＝

ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ＼ｉ ａｓ

／（＂－４）｛ｐｏｌｅ

ｐａｒｔ ｏｆ

（／（４＂ｄ）ｒ）

ａｔ ｄ

＝

４｝．

ｐｏｌｅ ｐａｒｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｍａｋｉｎｇ ａ Ｌａｕｒｅｎｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｄ ４． ｈａｖｅ ａｒｒａｎｇｅｄ ｔｏ ｔａｋｅ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｐａｒｔ ｏｆ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｏｓｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ＝

ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｄｅｐｅｎｄ

ｏｎ

ｄ．

ｔａｌｋｉｎｇ ａｂｏｕｔ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｔｈａｎ ｆｏｕｒ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｂｅ ｉｎ ０３ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｓｉｘ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ＇４＇ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ

（３） Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｐｈｙｓｉｃａｌ

ｗｅ ａｒｅ

ｖａｌｕｅ．

Ｆｏｒ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｎｏ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｌｉｋｅ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｉｎ （５．１０．１）， ｔｈｉｓ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｐｏｌｅ：

Ｚｒ）（ｄ

＝

６）

＝

＼ｉｍ＼＾＾ｒ（２－ｄ／２）｛１ｄｘ［ｍ２－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）ｒ１２－２ Ａｆ＊ｎ） Ｊｏ

ｄ＾ｅ（

ｇ２ １２８７Ｔ３

＼［ｙＥ－ｌ－ｌｎ（４ｎ）］（ｍ２－ｉｐ２） ＾

ｉ

ｍ２

２＾ ｄｘ［ｍ２－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）］ｌｎ

＋

—

ｐ２ｘ（ｌ —ｘ） ｉｔ

ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｒｅｍｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｐｏｌｅ． Ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ ａｒｅ：

Ｆｏｒ

（５．１１．１）

ｍｕｓｔ ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ ｂｅ

ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｂｅｆｏｒｅ

（１）

Ｉｔ

ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ．

Ｔｈｅ

ｅｘｃｅｐｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｂｙ

ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｉｋｅ， ｗｈｉｃｈ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ

ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｓｅｅ Ｃｈａｐｔｅｒ １３． （２） Ｉｔ ｈａｓ ｎｏ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｉｎ ｆａｃｔ， ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｒｅｇｕｌａｔｅｓ ｂｏｔｈ ＩＲ ａｎｄ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｔｈｕｓ ｒｅｍｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｎｅｅｄ ｆｏｒ ａ ｓｅｐａｒａｔｅ ＩＲ ｃｕｔ－ｏｆｆ． －

（３） Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｖｅｒｙ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ．

（４） Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｐａｒｔ ｏｆ

ａ

Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ

－

ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ

５．１１ Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂ ｔｒａｃｔｉｏｎ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ

１３７

ｉｓ ａｌｍｏｓｔ ｔｒｉｖｉａｌ ａｔ ｔｈｅ

－

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ

ｌｅｖｅｌ．

ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

Ｓｏｍｅ

（１） （２）

ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ． ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｍａｄｅ ｈａｒｄｅｒ ｔｈａｎ ｉｎ ｔｈｅ

Ｉｔ ｉｓ

Ｔｈｅ

ａｒｅ：

ＢＰＨＺ ｓｃｈｅｍｅ．

５．１１．２ ＭＳ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ＱＣＤ， ｗｈｅｒｅ ｉｔ ｈａｓ ｂｅｃｏｍｅ ｓｔａｎｄａｒｄ． Ａｎｏｔｈｅｒ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｎ ａｐｐｅａｒｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｅｎｄｓ ｔｏ ｐｒｏｄｕｃｅ ｌａｒｇｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｐｒｉｍａｒｉｌｙ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ Ｉｎ ｛Ａｎ） ｙＥ １．９５ ｔｅｒｍ ｓｕｃｈ ａｓ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ （５．１１．１）． Ｉｔ ｈａｓ ｂｅｃｏｍｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ａ ｍｏｄｉｆｉｅｄ Ｔｈｅ ＭＳ ｓｃｈｅｍｅ ｈａｓ ｆｏｕｎｄ ｍｕｃｈ

ｕｓｅ

ｉｎ ｗｏｒｋ

ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ

￣

－

ｓｃｈｅｍｅ， ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ＭＳ ｓｃｈｅｍｅ

（Ｂａｒｄｅｅｎ， Ｂｕｒａｓ， Ｄｕｋｅ ＆

Ｈｅｒｅ ｔｈｅ ＼ｉ ｏｆ ｔｈｅ ＭＳ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ

ｗｅ

Ｍｕｔａ

（１９７８））．

ａｓ

Ｘ

Ｔｈｅｎ

ｏｎ

（５．１１．２）

；０－３８／ｉ．

ｈａｖｅ， ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ （５．１１．１）， ｔｈｅ ｃｌｅａｎｅｒ ｆｏｒｍ

１２８７Ｔ ｍ２

ｄｘ［ｍ２－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）］ｌｎ

＋

—

ｐ２ｘ（ｌ

—

ｘ）

（５．１１．３）

ｆｉ２

５．１１．３ Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｏｔｈｅｒ ｒｅｇｕｌａｔｏｒｓ Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ａｌｓｏ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｗｉｔｈ ｏｔｈｅｒ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｏｆ ｓｐａｃｉｎｇ ａ ｉｓ ｕｓｅｄ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ａ －？ ０ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｇｒａｐｈ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ３ ｉｓ

ａ￣ｓ［ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ Ｏｎｅ

ｃａｎ

ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｄｅｆｉｎｅ Ｔ（Ｔ）

ａｓ

ｔｈｅ

ｉｎ Ｉｎ

（ａ）］．

ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐａｒｔ ｏｆ Ｔ， ｗｉｔｈ

ｔｈｅ

ｇｅｎｅｒａｌ

ｆｏｒｍ Ｔ（Ｄ＝ ／？

Ｚ＂［ｌｎＭ］＾０；／Ｊ＋ ￡ ｌ＾｛．＼ｎ（ａｎ）ｆＡｘＪ． ＝

Ａｆｔｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｓｓｅｓ

１

ａ＝ｌ Ｐ

＝

（５．１１．４）

０＂

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ Ａａ＾ ａｒｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ ｉｎ

ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｎｏｔｅ ａｇａｉｎ ｔｈｅ ａｐｐｅａｒａｎｃｅ ｏｆ

ｓｃｈｅｍｅ ｈａｓ ｆｏｕｎｄ ｌｉｔｔｌｅ

ｕｓｅ．

ａ

ｕｎｉｔ ｏｆ

ｍａｓｓ．

Ｔｈｉｓ

６

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

Ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ

２

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ｗｅ ｍｅｔ ａ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｐｒｏｄｕｃｔｓ

ｏｆ ｆｉｅｌｄ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｉｎｔ． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ （２．１．１０） ａｎｄ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ （２．７．６）． Ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃａｌｌ Ｗｈｅｎ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｔｈｅｙ ｈａｖｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ０（ｘ）（／＞（ｙ） ｍａｋｅｓ ｕｎａｍｂｉｇｕｏｕｓ ｓｅｎｓｅ ｉｆ ｘ ｉｓ ｎｏｔ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ： ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ

ｅｑｕａｌ ｔｏ ｙ９ ｂｕｔ ｉｆ ｘ ｅｑｕａｌｓ ｙ ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ０（ｘ）２， ｗｈｉｃｈ ｄｉｖｅｒｇｅｓ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｅｘｐｒｅｓｓ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｆｉｎｉｔｅ， ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｉｔｈ ｗｈｉｃｈ ｔｏ ｅｘｐｒｅｓｓ ｔｈｅｓｅ ｓａｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． Ｉｔ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ａｒｇｕｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｎｅｅｄ ｔｏ ｈａｖｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ｏｎｅ ｃｏｕｌｄ ｓａｙ ｔｈａｔ ｏｎｅ ｏｎｌｙ ａｃｔｕａｌｌｙ ｎｅｅｄｓ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ． Ａ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｗｈｅｒｅ ｗｅ ａｃｔｕａｌｌｙ ｄｏ ｎｅｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ， ｔｏ ｂｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ａ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｉｃａｌ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｓｕｃｈ ａｓ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

（Ｃｈａｐｔｅｒ １４）

ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ． Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｌｙ， ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｋｎｏｗ ｈｏｗ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ， ｌｉｋｅ ｃｐ（ｘ）（ｊ）（ｙ）， ｂｅｈａｖｅｓ ａｓ ｘ＾ｙ．

ｗｈｅｎ

ｓｏｍｅ

Ｔｈｉｓ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｏｆ

Ｗｉｌｓｏｎ （１９６９） ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

＜ｔ＞｛ｘ）＜ｔ＞｛ｙ）

－

Ｃｘ（ｘ

－

ｙ）＼

＋

Ｃ＋２（ｘ

－

ｙ）［ｃｊ）（ｙ）２］

＋

？

■

？．

（６．０．１）

ｓｙｍｂｏｌ ［＾（ｘ）］ ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ａ（ｘ）． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ Ｃ（ｘ ｙ） ａｒｅ ｏｎｕｍｂｅｒｓ， ａｎｄ ｅａｃｈ ｈａｓ ａ ｓｕｂｓｃｒｉｐｔ ｗｈｉｃｈ ｌａｂｅｌｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈａｔ ｉｔ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｓ． Ｈｅｒｅ ｔｈｅ

ｔｏ ａｎ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

—

Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｏｆ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ，

ｗｅ

ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｅ．ｇ．，

＜Ｏ｜Ｔ０（ｘ）（／＞（ｙ）（／＞２（２）｜Ｏ＞， ＜Ｏ｜Ｔ０（ｗ）（／＞（ｘ）（／＞（ｙ）２（／＞（２）２｜Ｏ＞， ＜Ｏ｜Ｔ０（ｘ）２（／＞Ｗ２｜Ｏ＞． １３８

（６．０．２）

６．１

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｆｉｒｓｔ ｍｏｔｉｖａｔｅ ｔｈｅ

ｕｓｅ

１３９

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｂｙ ｓｅｅｉｎｇ ｈｏｗ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ

ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｒｉｓｅｓ ｉｎ

ａ

ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｍｕｓｔ ｅｘｐｅｃｔ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ：

［４＞２］

＝

Ｚ＾２，

［０２］ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ ｔｈｅ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ， ｗｈｉｌｅ Ｚ０２ ｉｓ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ． Ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ （ｊ）（ｘ）２ ｉｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ． ｗｈｅｒｅ

（６．０．３）

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ

Ｔｈｅｓｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｉｄｅ ｍｏｔｉｖａｔｉｏｎ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｂｙ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ

Ｒ－

ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ５． Ａｆｔｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｉｓｓｕｅｓ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｅｒｉｖｅ ｓｏｍｅ ｂａｓｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ

ｔｈａｔ

ｗｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ， ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ．

６．１ Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｏｓｔｐｏｎｅ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０． Ｈｅｒｅ ｗｅ ｍｅｒｅｌｙ ｗｉｓｈ ｔｏ ｍｏｔｉｖａｔｅ ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ

ｔｏ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｉｔｈ

Ｆｉｇ．

ａｎ

６．１．１． Ｔａｋｅ ｑ＾＞

ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅｉｒ

ｏｏ

ｕｓｅ．

ｉｎ ｔｈｅｓｅ ｇｒａｐｈｓ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ．

ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． ６．１．１ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ０３ ｔｈｅｏｒｙ． ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｗｉｔｈ ｐｘ ａｎｄ ｐ２ ｆｉｘｅｄ， ａｎｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒａｔｉｏｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｗｅ ｅｘｐａｎｄ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｏｆ ｑ ｆｉｘｅｄ． Ｔｈｅｎ ＼ｑ２ ｜

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

Ｗｅ ｌｅｔ ｑ＊ ｇｏ ｔｏ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ

ｑ２

－？

ｏｏ．

ｔｏ ｆｉｎｄ：

Ｆｉｇ． ６．１．１ （ａ）

＋

（ｆｔ）－

（ｐ２－ｍ２）（ｐ２２－ｍ２）． （ｑ２ｒ

（６．１．１ａ）

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

１４０

Ｆｉｇ． ６．１．１（ｃ）

１０

？

２＼２ （Ｐｉ－ｍ２）（ｐ２２－ｍ２）（（Ｐｌ＋ｐ２）２－ｍ２）＿ （ｑ２）

１

－

２ｇ＇（Ｐｉ＋Ｐ２） ＜Ｔ

，

■

＋

（２？２

－

（Ｐｉ

Ｐ２）２） ＋ ４ｇ＇（Ｐｉ＋Ｐ２

＋

＾

－

（９：２＾２

（６．１．１ｂ） ｓｈｏｗ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｏｆ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｌｉｋｅ （６．０．１） （ａｆｔｅｒ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｎｔｏ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ）． Ｉｎ （６．１．１ ａ） ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ：

Ｉｎ ｅａｃｈ

ｐｘ ａｎｄ ｐ２ ｈａｓ ｆａｃｔｏｒｉｚｅｄ． Ｗｅ

ｔｅｒｍ ｔｈｅ

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ

ａ

ｎｏｗ

ｃａｓｅ

＜ｏ｜ｒ＾（－Ｐｌ）＾（－ｐ２）０２（Ｏ）／２｜ｏ＞ ｄ＾ｅｘｐ（－ｉｐｒｘ－ｉｐ２＾）＜０｜Ｔ（／＞（ｘ）（／＞Ｗ（／）２（０）／２｜０＞．

（６．１．２）

Ｗｅ ｈａｖｅ

ｎｏｔ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｔｈｅ ０２（Ｏ） ｏｐｅｒａｔｏｒ， ｂｕｔ ｈａｖｅ ｓｅｔ ｉｔ ａｔ ｔｈｅ ｗｅ Ｉｆ ｈａｄ ｍａｄｅ ｔｈｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｍｅｒｅｌｙ ｐｉｃｋ ｕｐ ｏｒｉｇｉｎ．

ａ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

Ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅ ａｐｐｅａｒａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｄｏ ｎｏｔ ｈａｖｅ ｉｎ

（６．１．１ａ）．

０２（Ｏ）／２ ｉｎ （６．１．２）， ｗｅ ｍａｙ

ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｓｉｎｃｅ ０２（Ｏ） ｍｅａｎｓ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｗｏ ｆｉｅｌｄｓ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｓｐａｃｅ－ ｔｉｍｅ ｐｏｉｎｔ， ｓｕｃｈ ａ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｏｕｒ ｗｏｒｋ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．２． Ｉｔ ｉｓ

ｆｉｎｄ

ａ

ｔｈｉｓ

＜Ｏ｜Ｔ０（ｘ）０（ｊ＃ａ（Ｏ）／２｜Ｏ＞

＝

．＞Ｋ

［ｄＡ］Ａ（ｘ）Ａ（ｙ）±Ａ２（０）ｅｉｓ．

Ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｔｈｉｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｒｅ

ｔｈｅ ｕｓｕａｌ

ｏｎｅｓ

ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａｄｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｅｘａｃｔｌｙ

ｏｎｅ

ｃａｎ

（６．１．３）

ｔｈｅｎ ｂｅ ｄｅｒｉｖｅｄ． Ｔｈｅｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

（０＼Ｔ（ｆｔ（ｘ）（ｊ）（ｙ）＼０｝ ｓｐｅｃｉａｌ

ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ ｔｈｅ

０２（Ｏ）／２

ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ６．１．２， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉａｌ

ｃｊ）２／２

ｖｅｒｔｅｘ ｉｓ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ

ｂｙ

ａ ｃｒｏｓｓ．

Ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｉｓ ｕｎｉｔｙ， ｆｏｒ ｔｈｅ

ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｆａｃｔｏｒ １／２ ｉｎ ０２／２ ｇｅｔｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ． Ｔｈｉｓ ｈａｐｐｅｎｓ ｉｎ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗａｙ ａｓ ｔｈｅ １／４！ ｉｎ ｔｈｅ ｃ／＞４ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｏｒ ｔｈｅ １／３！ ｉｎ ｔｈｅ ０３ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｇｅｔｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｔｏ ｌｅａｖｅ Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｆｉｅｌｄ）．

ａ

ｖａｌｕｅ

—

＼ｇ ｆｏｒ

ａｎ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｖｅｒｔｅｘ．

ｆｉｒｓｔ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ａ ｃ／＞２（０）／２ ｗｅ ｔｈｉｓ ｔｅｒｍ ｍｅａｎ， ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ， Ｂｙ ｉｓ

ｏｕｒ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ （ｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

ａ

Ｆｉｇ． ６．１．２． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ

０２．

６．１

ｆｉｅｌｄｓ

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

（ｏｒ ｔｈｅｉｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ）

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ Ｗｅ ｃａｎ ｗｒｉｔｅ

ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ

ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ

Ｆｉｇ． ６．１．１（ａ） ＋ （ｂ）

ｐｏｉｎｔ． Ｉｔ ｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ．

１４１

ｔｈｅ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ

２ｉｑ２

－

ｓｕｃｈ

ｉｎ ｔｈｉｓ

＾３ ＜０｜ ７ＷＰｌ）０（ Ｐ２）＜／＞（０）２／２｜０＞，

（６．１．４ａ）

－２

Ｆｉｇ． ６．１．１（ｃ）

２ｉｇ２ ２３

ｉｄ ）

１

（ｑ２

２ｉｑ＂ ３

ｑ２

ｄｘ＂

／ ＼

／

＋

（２ｍ２＋Ｄ） ＇

（ｃ）

＼

Ｆｉｇ． ６．１．３． Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． ６．１．１ （ａ） ａｎｄ （ｂ）．

￣

Ｖ＜ｆ３？ａ

ｑ２

＜Ｏ｜Ｔ＾（ｐ１）＾（ｐ２）０（ｘ）｜Ｏ＞｜ｘ

ｘ

Ｗ ＋ （ ）￣

ｒ

ｉｇ

｛ｑ２）２

Ｌ］

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ ｄｉａｇｒａｍｓ ｂｙ Ｆｉｇ． ６．１．３． Ｉｎ ｓｉｍｉｌａｒ ｆａｓｈｉｏｎ， ｗｅ ｄｅｒｉｖｅ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ （６．１．１ｂ）：

ｑ４ ＝

（６．１．４ｆｔ）

ｏ．

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｙ ＾

ｘ

ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ

Ｆｉｇ． ６．１．４． Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． ６．１．１ （ｃ）

Ｈｅｒｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｓｑｕａｒｅ－ｂｒａｃｋｅｔ ｆａｃｔｏｒ

ｍｅａｎｓ

ｔｈａｔ

ｗｅ

ｎｅｅｄ

ａｎ

ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄ ０（ｘ）， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ａ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｆｉｅｌｄ． Ｔｈｅ ｐｔ＇ｓ ａｎｄ ／？２＇ｓ ｉｎ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒａｔｏｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｓｑｕａｒｅ－ｂｒａｃｋｅｔ ｆａｃｔｏｒ ｈａｖｅ ｔｕｒｎｅｄ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ ｉｎｔｏ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｘ；

ｗｅ ｓｅｔ ｘ

＝

０ ａｔ ｔｈｅ ｅｎｄ．

Ｅｑｕａｔｉｏｎ （６．１．４ｂ）

ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇ． ６．１．４． Ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ （６．１．４） ｓｕｇｇｅｓｔｓ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｆｏｒｍｕｌａ：

＜０＼Ｔ＾ｑ）ｃｔ＞ｍ（ｐ＾（ｐ２）＼０｝ ＾＾Ｃ＾）＜Ｏ｜７＾（Ｏ）０（Ｐｌ）０（ｐ２）｜Ｏ＞．

（６．１．５）

ｉ

Ｔｈｅ ｓｕｍ ｉｓ ｏｖｅｒ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｌｏｃａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ （９ｔ． Ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｉｓ ｅｉｔｈｅｒ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄ ０， ｏｎｅ ｏｆ ｉｔｓ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ， ｏｒ ａ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｕｃｈ ａｓ ０２． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ Ｃ＾ｑ） ａｒｅ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． Ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｈａｖｅ ａｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｆｏｒ ａｎｙ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｏｎ ｓｏｍｅ ｏｆ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ． Ｎｏｗ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｔｈｅ ０２（Ｏ） ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ （６．１．４ａ） ｈａｖｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｅｙｏｎｄ ｔｈｏｓｅ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｔｈｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｓｅｃｔｉｏｎ， Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．２． Ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ， ｌｉｋｅ （６．１．５）， ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ， ｍｏｓｔ ｏｆ ｔｈｉｓ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ｔｏ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｔｈｉｓ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｐｒｏｂｌｅｍ ｃｈａｐｔｅｒ．

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ

ｗｉｌｌ ｏｃｃｕｐｙ

１４２

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ６．２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ： ｅｘａｍｐｌｅｓ

６．２．１ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ （ｊ）２ Ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ， ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ａｎ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｒｕｌｅｓ， ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｏｎｌｙ ｂｙ ｈａｖｉｎｇ ｓｅｖｅｒａｌ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｉｅｌｄｓ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｉｎｔ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ

＜０｜Ｔ４，（ｘ）４＞０＃２（２）／２｜０＞

（６－２．１）

０３ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｓｉｘ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ． Ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｇｒａｐｈｓ ｕｐ ｔｏ ｏｒｄｅｒ ｇ２ ａｒｅ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ６．２．１． Ａｓ ｂｅｆｏｒｅ， ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ ＜ｆ＞２／２ ｉｓ ｄｅｎｏｔｅｄ ｂｙ ｉｎ

ａ ｃｒｏｓｓ．

－ｏ－ （？）

（ｂ）

（ｃ）

Ｍ

（ｄ）

Ｆｉｇ． ６．２．１． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ （ｊ）１． Ｔｏ ｗｏｒｋ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ，

Ｇ

＝

＝

Ｔｈｅ

ｗｅ

Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，

ａｓ

ｕｓｕａｌ， ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ

＜Ｏ｜Ｔ０（ｐ）＾）０（ｚ）２／２｜Ｏ＞

｜ｄ＂ｘｄ＇＇＞；ｅｘｐ［ｉ（ｐ１－ｘ

ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ

＋

ｐ２－３；］＜Ｏ｜Ｔ０（ｘ）０（３；）０（ｚ）２／２｜Ｏ＞

ｇｒａｐｈ， Ｆｉｇ． ６．２．１（ａ）， ｉｓ ｅｑｕａｌ

ｔｏ

＇

／－＜

ａ￣（ｐ２－ｍ２

（６．２．２）

ｔｉｉ

＋

ｉｅ）（ｐ２－ｍ２

＋

ｉｅ）＇

＾

ｏ＼

＇

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ １／２ ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ＜＼＞２ｊ２ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ， ｊｕｓｔ ｌｉｋｅ ｔｈｅ １／３！ ｔｈａｔ ｃｏｍｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｖｅｒｔｉｃｅｓ．

ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． ６．２．１． Ｔｈｅｙ ａｒｅ ａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ： Ｆｉｇ． ６．２．１（ｂ） ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｇｒａｐｈｓ， Ｆｉｇ． ６．２．１（ｃ） ｔｏ （ｅ＼ ａｒｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ （ａｌｌ ａｔ ｄ ６）． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｔｗｏ ｇｒａｐｈｓ， Ｆｉｇｓ． ６．２．１（ｄ） ａｎｄ ｛ｅ＼ ｉｎｖｏｌｖｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｏｎｌｙ， ｓｏ ｔｈｅｓｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｗａｖｅ－ Ｌｅｔ

ｕｓ

ｎｏｗ

ｔｕｒｎ

ｔｏ

ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ

ｉｓ

＝

６．２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ： ｅｘａｍｐｌｅｓ

１４３

－Ｘ—？－ （ａ）

（ｂ）

Ｆｉｇ． ６．２．２． Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ Ｆｉｇ． ６．２．１（ｄ） ａｎｄ （ｅ）．

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， Ｆｉｇ． ６．２．２． Ｉｎ ｔｈｅｓｅ ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｔｈｉｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ

ｍａｓｓ

ｃｈａｐｔｅｒ，

ｉｎｄｉｃａｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｂｙ

ｗｅ

ａ

ｈｅａｖｙ ｄｏｔ

ａｎｄ

ａｎ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｂｙ Ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｔｗｏ ｇｒａｐｈｓ ｈａｖｅ ｎｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｒｏｍ ａｎｄ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｂｏｔｈ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｆｏｒ Ｆｉｇ． ６．２．１（ｂ） ｗｅ ｇｅｔ

ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ａ ｃｒｏｓｓ．

ｉ

（ｐ２

－

ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ，

ｉ

ｍ２ ＋ ｉｅ）

ｄｄｋ

（ｐｊ－ｍ２

＋

ｉｅ） ｌ

（ｋ２ －ｍ２

＋

ｍ）［（＊

－

Ｐｌ）２

－

ｍ２ ＋

ｉ

－Ｔ（３－ｄ／２）ｘ （Ｐｉ－ｍ２）（ｐ２－ｍ２）６４ｎ２ ￣ｍ２

－

ｄｙ＼

ｄｘ

ｉｅ］ ［（ｊｆｃ ＋ ｐ２）２

－

ｍ２ ＋

ｉｅ］

ｘ

ｏ

ｐ＼ｙ（＼ －ｘ－ｙ）－ ｐ２２ｘ（＼ －ｘ－ｙ）－（ｐ１＋ ｐ２ｆｘｙ Ａｎｉｌ２ （６．２．４）

ａｎｄ ｆｏｒ

Ｆｉｇ．

６．２．１

（ｃ）

ｗｅ

ｇｅｔ

（ｐ？－ｍ２）（ｐ２２－ｍ２）［（ｐ１＋ｐ２）２－ｍ２］ －ｄ／２

２（２＊）＇

ｒ

Ｊ

（／ｃ２－ｍ２）［（ｐ１＋ｐ２ ＋ ｆｃ）２－ｍ２］ －ｆｌｆＡｔ３－－＇２ （ｐ２－ｍ２）（ｐ２－ｍ２）［（ｐ１＋ｐ２）２－ｍ２］ ＂

－＾／２＂３ｒｎ １２８，３

＾ｆ１． ［ｍ２－（Ｐｌ＋ｐ２）２ｘ（ｌ－ｘ）ｒ２－２

－ｒ（２－．／２）ｊｏｄ＾

－（４；Ｖ－３

（６－２．５）

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒ １／２ ｉｎ ｔｈｉｓ ｌａｓｔ ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｏｆ （６．２．４） ａｎｄ （６．２．５） ｄｉｖｅｒｇｅｓ

ｍｅａｎｓ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

０２（Ｏ） ｉｓ

ｎｏｔ

ｆｉｎｉｔｅ． ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｎｅｅｄ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ０２． Ｒａｔｈｅｒ， ｗｅ ｎｅｅｄ ｓｏｍｅ ｌｏｃａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ０２ ｔｈａｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｉｓ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｂｙ

Ｆｏｒ

ｕｓｅ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ａｇｒｅｅ ｔｏ ｕｓｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ ｅａｃｈ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｌｏｏｐ ｂｙ

１４４

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

（ａ） Ｆｉｇ．

（ｂ）

６．２．３． Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ Ｆｉｇ． ６．２．１（６） ａｎｄ （ｃ）．

ｐｏｌｅ ｐａｒｔ， ａｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇ． ６．２．３． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈ

ｍｉｎｕｓ ｉｔｓ

ｆｏｒ Ｆｉｇ． ６．２．１（ｈ） ｉｓ ｒ

ｉｐ＼

－

ｍ２）（ｐ２２

ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ

（Ｐ？

＂

ｍ２）（ｐ＼

－

ｍ２）［（Ｐｌ

＋

ｐ２）２

－

ｍ２）６４７ｒ３（ｄ

－

（６．２．６）

６）＇

Ｆｉｇ． ６．２．１（ｃ） ｉｓ

－

ｍ２］ ＼（Ａｎ＼ｄ

６）＾ ￣ｉｉＰｌ Ｐ＾）＇ ＋

－

（６．２．７） Ｔｈｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒｓ ｏｆ ＼ｉ ｉｓ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｎ ｃｕｒｌｙ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｈａｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ａｓ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｉｔ ｉｓ ａ

ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ．

Ｗｅ ｔｈｕｓ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅｓ ａｔ ｄ

Ｒ（Ｇｂ） ＂

（ｐ？－ｍ２）（ｐ２＿ｍ２）６４７ｒ３ｌ

＇￣ｘ

ｏ

Ｒ（ＧＣ）

－｛ｐ２１ｙ ｄｙｌＪｍ２ Ｌ

＝

＋

Ｔｏ

６：

ｄｘ

２

ｐ２２ｘ）（ｌ－ｘ－ｙ）－（ｐｌ＋ｐ２）２ｘｙＴｌ ４ｊｔ）＂２

－９

（６． ２．８）

ＪＪ＇ －９

｛ｊ＞ｌ－ｍ２）（ｐ２－ｍ２）［｛Ｐｌ＋ｐ２）２－ｍ２－＼＼ｍｎ＼

ｘ？ｊ（ｙ－ｌ）［ｍ２－ｉ（ｐ１＋ｐ２）２］＋ ｘ

＝

Ｉｎ

ｆ＇ｄｘ＾－＾

＋

ｐ＾ｘａ－ｘ＾ｘ

４ｎｆｘ２

（６．２．９）

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ ｔｈｅｓｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｗｅ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ＜ｆ＞２（０） ｉｎ （６．２．６） ａｎｄ ｆｏｒ （ｍ２ ＋ Ｄ／６）＜／＞ ｉｎ （６．２．７）． Ｔｈｕｓ

ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｆｏｒ

Ｇａ

＋

Ｒ（Ｇｂ） ＋ Ｒ（ＧＣ） ＋ Ｒ（Ｇｄ） ＋ Ｒ（Ｇｅ） ｉ ＋

＋

Ｌ

６４ｎ３（ｄ ．．

９Ｈ

－

Ｊ＜ｏ｜ｒ＜ｆｔ（Ｐｌ）＜？（ｐ２）ｌ４＞２（０）｜０）

６）

ｄ／２－ｉ

６４ｔｔＶ－６）

＜０＼Ｔ￥（Ｐｌ）４＞｛ｐ２）（ｍ２＋ｉ＼３）＜ｔ＞（０）＼０＞ ＋ Ｏ（ｇ４ （６．２．１０）

６．２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｓｏ ｗｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ

ｉｓ

ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ： ｅｘａｍｐｌｅｓ ａ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ，．ｄ／２－３

？２

＜ｔ＞２ ＋ ２９

２

１４５

＾ｍ２ ＋ ＊□）＜／＞ ＋ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ．

６４ｎ＼ｄ－６） ＊ａ

３，ｊ

（６．２．１１） ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｕｓｅ ｔｈｅ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｏｎ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｉｎ ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｔ ｓｅｃｔｉｏｎｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ： ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ［０２］ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ ｂｙ ａ

Ｗｅ

ａ

ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ：

ｉ［０２］＝＾０２ ＋ ／ｉｄ／２－３Ｚ，ｍ２０ ＋ ／／２－３ＺｆＤｃ／＞，

（６．２．１２）

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ Ｚ＇ｓ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎｌｙ ｏｎ ｇ ａｎｄ ｄ． Ｓｕｃｈ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｅｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９７３ａ）． Ｈｅ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅｍ ｎｏｒｍａｌ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ａｎｄ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ Ｎ［（／＞２］． Ｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｄｉｆｆｅｒｅｄ ｆｒｏｍ

ｏｕｒｓ

ｏｎｌｙ ｉｎ ｔｈａｔ ｈｅ

ｕｓｅｄ ＢＰＨＺ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａｔ ｌｅａｓｔ ｚｅｒｏ， ｔｈｅ （６．２．１１） ｏｒ （６．２．１２） ｈａｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ０２． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｇｅｎｅｒａｌ

ａ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒ ａｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ

ｌｅｓｓ ｔｈａｎ

ｅｑｕａｌ

ｏｒ

ｔｏ ｔｈａｔ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ ｓｕｃｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ

ａｒｅ

ａｃｔｕａｌｌｙ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｉｎ （６．２．１２）． Ｗｅ ｍａｙ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｆｏｒｍ：

＼Ｚａ ＾－＞Ｚｂｍ２ ｉｔ？－＼

Ｈｅｒｅ

ｗｅ

Ｏｃｊ＞

ａｒｅ

１

０

０

０

１

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ

ｓａｉｄ ｔｏ ｍｉｘ ｗｉｔｈ

ｄｉａｇｏｎａｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ Ｚｂ ａｒｅ

０

ａｎｄ Ｚｃ

ｃｐ２

０

ａｎｄ

Ｄ０

ａｒｅ

Ｉ Ｉ

（／＞

］．

ｔｈｏｓｅ ａｓ

ａ

（６．２．１３）

ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ （ｊ） ａｎｄ

ｕｎｄｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｏｆｆ－

ａｒｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ．

ｎｅｅｄｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ，

ｓｏ

ｆｕｒｔｈｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ □＜／＞ ａｒｅ ｓａｉｄ ｔｏ ｆｏｒｍ ａ

Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，

０２， ０

ｎｏ

ｃｌｏｓｅｄ ｓｅｔ ｕｎｄｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ．

６．２．２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．

ｗｅ

Ａ

（ｊ）２（ｘ）（ｊ）２｛ｙ）

ｎｅｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｗｏ

ｏｒ ｍｏｒｅ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ

ｓｉｍｐｌｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ

＜ｏｉｎ［？ｐ］（ｐ）ｉ［＞２］（ｏ）｜ｏ＞ ＝

ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｆｄ＇ｘｅ－＾ＯｌｒｉＯＴＭＫ＾ＯＪｌＯ），

ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ

ｇｒａｐｈ ｉｓ Ｆｉｇ．

（６．２．１４）

６．２．４． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ

１４６

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

Ｆｉｇ．

（６．２．１１）

６．２．４． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ

＜Ｏ｜ｒ［０２］／２［＞２］／２｜Ｏ＞．

ｄｏ ｎｏｔ ａｐｐｅａｒ ｕｎｔｉｌ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｏｒｄｅｒ，

１

２｛２ｎ）ｄ） Ｔｈｉｓ ｉｓ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｄ

Ｖ－ｍ２）［（ｐ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ，

ｅｖｅｎ

ｓｏ

＋

ｔｈｅ

ｇｒａｐｈ

ｈａｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ

（６＇１１５）

ｋ）２－ｍ２］＇

ｉｎ ｆｒｅｅ－ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ． Ｅｖｅｎ

ｔｈｏｕｇｈ

ｔｈｅ

（ｊ）２（ｘ） ａｎｄ ０２（Ｏ） ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ （６．２．１４） ａｒｅ ｗｅｌｌ－ｄｅｆｉｎｅｄ， ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｘ ０． Ａｔ ｘ ０ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｎｏｔ ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ ｉｆ ｄ ＞ ４． Ｗｅ ｍａｙ ｎｅｖｅｒｔｈｅｌｅｓｓ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｆｉｎｉｔｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＝

ｂｙ ａｄｄｉｎｇ

ａ

＝

ｌｏｃａｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ：

＜Ｏ｜ｎ［０２］Ｗ｜［＾？２］（Ｏ）｜Ｏ＞Ｊ？

＝

ｗｉｔｈ

Ｃ（ｘ） Ｏｎｃｅ

＝

（ｍ２

＋

＜Ｏ｜Ｔｉ［＾２］Ｗｉ［０２］（Ｏ）｜Ｏ＞ （６．２．１６） －Ｃ（ｘ）＜０｜ｌ｜０＞．

Ｄ／６）ｄ＾（ｘ））Ａ ３ｒ， ；Ｎ ＋ ０（ｇ２）． ，６４ｔｔ３（＾－６）

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ａｔ ｄ

ｍｏｒｅ ｗｅ

＝

（６．２．１７）

６．

６．３ Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ Ｋ－ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ， ｊｕｓｔ ａｓ ｗｅ ｄｉｄ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ５．３ ａｎｄ ５．５． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ （ｅ．ｇ．， （６．２．１２））． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｗｈａｔ ｗｅ

ｗｅ

ｄｉｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．６， ｗｈｅｒｅ

ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｓｔａｒｔｉｎｇ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ－ｂｙ－ｇｒａｐｈ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ａｇａｉｎ ｔｏ ａｌｌｏｗ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｎｅｅｄ ａ ｎｅｗ ｐｒｏｏｆ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｌｏｃａｌ； ｏｕｒ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｐｒｏｏｆ ｓｕｆｆｉｃｅｓ． Ｏｕｒ ｍｏｔｉｖａｔｉｏｎ ｆｏｒ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ

Ａｓ ｂｅｆｏｒｅ， ｏｎｅｓ

ｔｈａｔ

ｓｃｈｅｍｅ

－

ｗｅ

ｈａｖｅ

ａｒｅ ｍｏｓｔ

ｓｅｅ

ａ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｓｕｂｓｅｑｕｅｎｔ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｔｈｅ ＢＰＨＺ

ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｍａｎｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｕｓｅｆｕｌ ｆｏｒ

Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ

（１９７３ａ）

－

ａｎｄ

ｍｉｎｉｍａｌ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

－

ｓｅｅ

Ｂｒｅｉｔｅｎｌｏｈｎｅｒ ＆ Ｍａｉｓｏｎ （１９７７ａ， ｂ， ｃ） ａｎｄ Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９７５ｂ）． Ｉｎ ａｎｙ ｃａｓｅ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ７（Ｇ） ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ａ ｇｒａｐｈ Ｇ （ａｆｔｅｒ

ｒｅｍｏｖａｌ ｏｆ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ） ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｅｘｔｒａｃｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｐａｒｔ ｏｆ Ｇ． Ｉｎ ｔｈｅ

６．３ ＢＰＨＺ ｓｃｈｅｍｅ， Ｔ（Ｇ）

１４７

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ

ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ３（Ｇ） ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｂｏｕｔ

ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ， ｗｈｅｒｅ ｄ（Ｇ） ｉｓ， ａｓ ｕｓｕａｌ， ｉｔｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｗｅ ｍｕｓｔ ｓｔａｔｅ ｈｏｗ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ＼ｉ ｉｓ

ｚｅｒｏ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．２， ｗｅ ｍｕｓｔ ａｌｗａｙｓ ａｒｒａｎｇｅ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｐａｒｔ ｏｆ ａ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｗｈｏｓｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｖａｒｙ ｗｉｔｈ ｄ． Ｓｏ ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｎｅｅｄ ＴＭＳ（Ｇ） ｆｏｒ ａ １ＰＩ ｇｒａｐｈ Ｇ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｔｒｅａｔｅｄ． Ａｓ

＾Ｂ（ｄ－ｄ０）

ｃａｎ

Ｔｈｅｎ

ｂｅ

ｗｅ

ｓｅｅｎ

ｄｅｆｉｎｅ ７＝

／（ｄ－ｄｏ）｛ｐｏｌｅ

ｐａｒｔ ｏｆ

（６．３．１）

Ｇ＾￣％

ｗｈｅｒｅ， ａｓ ｕｓｕａｌ， ｄ０ ｉｓ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｂｙ ｔｈｅ Ｒ－ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｒａｔｈｅｒ ａｂｓｔｒａｃｔ， ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｔ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ

ｎｏｗ

ａｄｄｉｎｇ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｉｎ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．２ ｔｈｉｓ

ｒａｔｈｅｒ ｏｂｖｉｏｕｓ． Ｉｎ ｔｈｅ

ｆｒｏｍ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ

（ｓｅｅ

ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ， ｗｅ ｓｔａｒｔ ａｒｂｉｔｒａｒｙ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｒ（Ｇ）

＝

ｗａｓ

ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ

（５．３．７）—（５．３．９））：

Ｇ＾＾Ｃｙ（Ｇ）．

（６．３．２）

７

Ｈｅｒｅ， ａｓ ｕｓｕａｌ， ｔｈｅ ｓｕｍ ｉｓ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｙ ｔｈａｔ ｃｏｎｓｉｓｔ １ＰＩ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ

ｙｌ９．．．，ｙｎ． Ｅａｃｈ ｙ． ｉｓ ａｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．３．

ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ

ｏｆ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｄｉｓｊｏｉｎｔ

ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｖｅｒｔｅｘ， ｇｅｎｅｒａｔｅｄ

ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ ｔｈｅ ｖａｒｉｏｕｓ ｙ．＇ｓ ｔｈａｔ ｏｃｃｕｒ， ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ｃｏｎｔａｉｎ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， Ｆｉｇ． ６．３．１， ｗｈｉｃｈ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ＜０｜ Ｔ（ｊ） （ｊ） （ｊ）２／２＼０ｙ ｉｎ ｔｈｅ ０３ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｓｉｘ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｙａ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃｙａ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｓｏ ａ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｙｂ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖｅｒｔｅｘ． （Ｔｈｉｓ ｈａｓ ａ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， Ｌｅｔ

ｕｓ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ｗｈｉｃｈ ｍｕｓｔ ｂｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ．） Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ，．

ｗｈｅｒｅ

ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ

ａｓ

／

ｉ

．

ｃａｎ

ｉ

４？． １３｝

Ｆｉｇ． ６．３．１． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ．

１４８

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

＜２＞ Ｏ （？）

（ｂ）

ｃＯ Ｏ＂ （ｃ）

（ｅ）

（ｄ）

Ｆｉｇ． ６．３．２． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｒｅｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

０（＃４）

？

＜０｜Ｔ［＞２］／２｜＞２］／２｜０＞．

Ｚａ． ｇｒａｐｈ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｇ４ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＜０｜ ７￣［０２］／２［＜／＞２］／２｜Ｏ＞． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｔｏ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｉｔ ｈａｓ ｔｈｒｅｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ． Ｏｎｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｙａ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ ａ ａｎ

Ｎｅｘｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ

Ｆｉｇ． ６．３．２，

ａ

ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｔｗｏ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｙｂ ａｎｄ ｙｃ ｅａｃｈ ｌｏｏｋ ｌｉｋｅ ｙｂ ｏｆ Ｆｉｇ． ６．３．１， ａｎｄ ａｒｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｔｈｅｓｅ ｔｗｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

＜Ｏ｜７ｉ［０２］（ｘ＾ ＋ ｏｔｈｅｒ ｔｅｒｍｓ ｆｒｏｍ

ｂｙ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ｅａｃｈ Ｚａ ｔｏ ０（＃４） ａｎｄ ｐｉｃｋｉｎｇ ｏｕｔ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ． Ｉｔ ｇｉｖｅｓ ａ ｔｅｒｍ

Ｚｂ

ａｎｄ

ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｙｂ．

ｏｆ

０（ｇ＊）

Ｚｃ，

（６．３．３）

Ｆｉｎａｌｌｙ， ｔｈｅ

ｉｎ ｔｈｅ Ｃ（ｘ） ｏｆ

（６．２．１６）． Ｔｈｅｓｅ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｅａｓｉｌｙ ｔｏ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ａ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ

ｏｎｅ

ｇｒａｐｈｓ． Ｉｔ ｓｕｆｆｉｃｅｓ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

（０＼ＴＹ＼４＞（ｘ＾［Ａ｛ｙ）｝＼０ｙ．

ｔｏ

（６．３．４）

ｉ＝ｌ

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｆｏｒｍｕｌａ （６．３．２）， ａｎｄ ｗｅ ｗｉｓｈ

ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｌｓ

ＥＺ＾Ｏｌｒｎ＾ＯＢＭｌＯ）． Ｂ

Ｈｅｒｅ

ＺＡＢ ｉｓ

ａ

（６．３．５）

ｉ＝ｌ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ ｗｈｏｓｅ ｖａｌｕｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ｗｒｉｔｉｎｇ，

ｉｎ

ａｎａｌｏｇｙ ｔｏ （５．６．５），

Ｍ

＝

Ｅｚ＾＝ＥｔｔＴ＾Ｇ）． ｉｙｉＧｌ Ｂ

（６．３．６）

Ｇ

Ｈｅｒｅ Ｇ ｉｓ ａｎｙ １ＰＩ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ ｔｈａｔ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ａ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ Ａ． Ｉｔ ｈａｓ ＮＧ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ Ａ， ａｎｄ Ｄ（Ｇ） ｉｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ

６．４ Ｏｐｅｒａｔｏｒ ｍｉｘｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ（Ｇ）． Ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ

１／ＪＶＧ！

（５．６．５）， ｔｏ ｏｒｇａｎｉｚｅ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆａｃｔｏｒｓ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ （６．３．４）． Ｗｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ Ｔｈｅ

ｓｕｂｇｒａｐｈ

１４９

ｏｎｅ

ｉｓ ｊｕｓｔ ｌｉｋｅ ｔｈｅ ｌ／Ｎ（Ｇ） ｉｎ

ｏｆ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

Ｃｙ｛Ｇ）．

ｇｒａｐｈｓ ｙｌ９．．．９ｙｎ．Ａｙｊ ｔｈａｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｃｏｎｔａｉｎ ｂｙ Ｃ｛ｙ）， ｗｈｉｃｈ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｙ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ １ＰＩ

ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ Ａ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｉｆ． Ａ ｙ． ｗｈｉｃｈ ｄｏｅｓ ｃｏｎｔａｉｎ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ Ａ ｍｕｓｔ ｂｅ ｏｎｅ ｏｆ

（６．３．６）， ｓｏ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｂｙ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ （６．３．６）． Ｎｏｗ ｓｕｍ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｇｒａｐｈｓ Ｇ ｆｏｒ ｏｕｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｘｐａｎｄ ｅａｃｈ Ｒ（Ｇ） ｂｙ （６．３．２）． Ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｖｅｒ １ＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｙ． ｔｈａｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｔｈｅ Ｇ＇ｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｓｕｍｍｅｄ ｏｖｅｒ ｉｎ ｏｎｅ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ

ｔｈｅ

￡￡ ｃａｎ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｇｉｖｉｎｇ

ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｖｅｒｔｅｘ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ

ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｄｅｓｉｒｅｄ ｒｅｓｕｌｔ

ｂｅ ｄｏｎｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ

ｓｕｍ

ｏｖｅｒ

（６．３．５）． ６．４ Ｏｐｅｒａｔｏｒ ｍｉｘｉｎｇ

Ｗｅ ｈａｖｅ ｓｅｅｎ ｔｈａｔ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ＼Ａ＼ ｂｙ

ｉｓ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ

ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

＼＿Ａ］

＾ＺＡＢＢ．

＝

（６．４．１）

Ｂ

Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

［０２］

ｈａｄ ｔｈｅ

ｗｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ

ｓａｗ

ｓａｍｅ ｏｒ

ｌｏｗｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｌｅｔ

ｗｅｒｅ

ｕｓ ｎｏｗ

ｎｅｅｄｅｄ

ａｓ

ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ

ｔｈｉｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ｌｅｔ Ｇ ｂｅ ａ １ＰＩ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ａ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ Ａ ａｎｄ ｈａｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｎｕｍｂｅｒ ＮＢ ｏｆ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ ａｓ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｂ． Ｎｏｗ Ｂ ｉｓ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ＮＢ ｆｉｅｌｄｓ ｗｉｔｈ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｎｕｍｂｅｒ ＤＢ ｏｆ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ． Ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｃａｎ

ｏｎｌｙ ｂｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｉｆ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ

ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ３（Ｇ） ｉｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ＤＢ． Ｎｏｗ ｉｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｈａｖｅ ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｓｏ

ｄ（Ｇ）

＝

ｄｉｍ （Ｇ）

－

ａ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｌｌ

ｄｉｍ （ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ） （６．４．２）

＜ｄｉｍ（Ｇ）． Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ， ｓｉｎｃｅ ＺＡＢＢ ｉｓ ｄｉｍ

Ｂｕｔ ｗｅ

ｏｎｌｙ ｎｅｅｄ

（Ｇ）

＝

ａ

ＤＢ

ｐｏｓｓｉｂｌｅ ＋ ｄｉｍ

Ｂ ａｓ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｆ

ＤＢ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｗｅ ｈａｖｅ

（６．４．３）

（ＺＡＢ）． ＜

３（Ｇ），

ｓｏ

ｄｉｍ（Ｚ＾）＞０ ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｔｈｉｓ

ｍｅａｎｓ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ Ａ９ ａｓ ｗｅ ｗｉｓｈｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ． Ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．８．１ ｗｅ ｅｘａｍｉｎｅｄ ｔｈｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

１５０

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｏｎ ｍａｓｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｗｅ ｕｓｅｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｉｓ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｗａｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｂｅｈａｖｉｎｇ ａｓ ａ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｎ ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ ａｌｌｏｗｅｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ａｐｐｌｉｅｓ ｈｅｒｅ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ ＺＡＢ ｉｓ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｍａｓｓｅｓ （ａｎｄ ｓｕｐｅｒ －

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ） ｔｉｍｅｓ ｔｈｅ ｉｎｅｖｉｔａｂｌｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ｐ． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ａｒｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｎｄ ｏｆ ｄ． Ａ ｔｙｐｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｏｕｒ ｓｅｅ （６．２．１１） ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．２ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ［＜／＞２］ －

（６．２．１２）． ６．５ Ｔｅｎｓｏｒｓ ａｎｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｔｅｍｐｔｉｎｇ ｔｏ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

ｕｓｅ

［（５０）２］

［ｄ＾ｄｖ４＞］．

ａｎｄ

［（Ｓ０）２］＝＾ｖ［３，０５ｖ０］． Ｔｈｉｓ ｓｕｐｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｆａｌｓｅ， ｔｈａｔ ｔｈｅ

Ｉｔ ｉｓ

ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ

ｔａｋｉｎｇ

ｏｆ

ａｓ ｗｅ

ｗｉｌｌ

（６．５．１） ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ． Ｔｈｉｓ

ｎｏｗ

ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ｔａｋｉｎｇ ｇｅｎｅｒａｌ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘｐｌａｉｎ ｔｈｅ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｆａｃｔ． ａ ｔｒａｃｅ

ａ

ｍｅａｎｓ

ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔ， ｉｎ

Ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ （ｉｎ ０３ ｔｈｅｏｒｙ） ｆｏｒ ｅｉｔｈｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ ｄ＜ｊ＞２／２ ｂｅｆｏｒｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ

Ｆｉｇ．

６．５．１．

Ｔｈｅ １ＰＩ ｐａｒｔ ｆｏｒ

Ｇ（Ｐ）

＝

２（２ｎ）ｄ Ｊ （ｋ２ －＾ｙｒｊｄ＇ｆｃ＾２

？Ｈ！ Ｊ Ｌ

１２８ｔｃ３ ｘ

Ｆｏｒ

ｄ＾（ｊ）ｄｖ（ｊ）／２

ｗｅ

－

－

－ｉ

￣＊ ｍ２］

－ －

－

３ Ｘ

４ｎｐ２

ｘ）［ｍ２ ｐ２ｘ（ｌ ｘ）］ ｄ／２）［ｍ２ ｐ２ｘ（＼ ｘ）］２｝

ｄ／２）ｐ２ｘ（＼

（ｄ／２）Ｔ（＼

￣２＾￣ Ｍ２ ＋ ｋ）２ ｍ２）［（ｐ

｜ｄ／ ２

０

｛Ｔ（２ ＋

－ －

－

－

－

－

－

（６．５．２）

ｈａｖｅ

Ｇ，Ｍ－ ＇，，，＿＊， ｌｄ

ｋ？（ｋ

＋

Ｖ－ｍ２）ｔ（Ｐ

＋

ｐ）ｖ

＊）２－？？２］ ｜ｄ／２

１２８ｔｔ３ ｘ

Ｊ０ ＊ｌ

－

３ Ｘ

Ａｎｎ２

ｘ）［ｍ２ ｐ２ｘ（ｌ ＊）］ ＜ｉ／２）ｐ？ｐｖｘ（ｌ ＋ ＾，ｒ（ｌ ｄ／２）［＿ｍ２ ｐ２ｘ（ｌ ｘ）］２｝．

｛Ｔ（２

－

－

－

－

－

－

－

ｋ＋ｐ

Ｆｉｇ． ６．５．１． Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎ （６．５．１）．

（６．５．３）

１５１

６．５ Ｔｅｎｓｏｒｓ ａｎｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

Ｍａｎｉｆｅｓｔｌｙ （６．５．４）

ｇ＾Ｇ＾＾Ｇ ｆｏｒ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｈａｓ Ｗｅ ｃａｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ

Ｋ［Ｇ（ｐ）］

Ｋ［＜Ｖ（Ｐ）］

＝

＝

ｂｙ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ．

Ｇ（ｐ）

３ｍ＊ ＋

－１２８？３（ｄ＿６）Ｃ－

Ｇ？，（ｐ）

！ｍＶ

－１２ｇ＾＿６）［Ｐ，Ｐｖ（Ｘ

＂

Ｋ［Ｇ（ｐ）］－＾Ｋ［Ｇ？］＝ Ｔｈｅ

ｒｅａｓｏｎ

ｗｈｙ

＆＞＊］． （６－５－５ｆｌ）

＂

ｉＶＰ２）

－＾（Ｘ－！？Ｖ

Ｔｈｕｓ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｂｅ ｔｒｕｅ ｓｉｎｃｅ

ｔｏ

＋

－＾－＾［Ｘ－ｉｍＶ

＾４）］－ （６．５．５６） ＋

ｆｏＰ４］． （６．５．６）

ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ０＂ｖ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｃｏｍｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｓ ｓｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓ ｄ－

ｐｏｌｅ

ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ． Ｔｈｕｓ： ｇ＾

ｐｏｌｅ ｐａｒｔ ｐｏｌｅ ｐａｒｔ

ｏｆ

ｏｆ

ｄ ｄ－６＇

ｄ－６

——＾ ｄ－６

＝

ｐｏｌｅ ｒ

ｄ－６

ｄ－６

Ｗｅ ｍｕｓｔ ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｂｅ ｃａｒｅｆｕｌ ｔｏ ｓｐｅｃｉｆｙ ｗｈｅｔｈｅｒ ａ ｔｒａｃｅ ｉｓ ｉｎｓｉｄｅ ｏｒ ｏｕｔｓｉｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ ｉｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｗｈｉｃｈ ｐｌａｃｅ ｔｏ ｐｕｔ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｄｅｐｅｎｄｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ．

ｏｎ

ｔｈｅ

ｐｒｏｂｌｅｍ ｕｎｄｅｒ

ｐｒｏｂｌｅｍ ａｒｉｓｅｓ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｔｅｎｓｏｒ ｏｆ ｒａｎｋ ａｔ ｌｅａｓｔ ａ ｔｒａｃｅ ｏｆ Ｄｉｒａｃ ｙ－ｍａｔｒｉｃｅｓ ｅｘｃｅｐｔ ｔｈａｔ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉｔ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｘ ｔｏ ｂｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｔｈｅ

２． （Ｉｔ ｃｏｕｌｄ ａｌｓｏ ａｒｉｓｅ ｉｎ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔａｋｉｎｇ

ｏｕｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｄｏ ｎｏｔ ｈａｖｅ ａｌｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｄｏ． Ｔｈｅ ｌａｃｋ ｏｆ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ－ｐａｒｔ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ａ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｅｆｆｅｃｔ， ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｏｆ ｄ．） Ｗｅ ｈａｖｅ ｄｉｓｃｏｖｅｒｅｄ ｔｈａｔ

ｔｈｅ

ａｎｏｍａｌｙ ｉｎ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｏｒ ｓｃａｌｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｓｅｅ Ｃａｌｌａｎ （１９７０）， Ｓｙｍａｎｚｉｋ （１９７０ｂ） ａｎｄ Ｂｒｏｗｎ （１９８０）． Ｉｆ ｗｅ ｗｅｒｅ ｔｏ ｕｓｅ， ｓａｙ， ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ （ＢＰＨ ｏｒ ＢＰＨＺ）， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ－ｐａｒｔ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｗｏｕｌｄ ｃｏｍｍｕｔｅ ａｓ ｃａｎ ｂｅ ｃｈｅｃｋｅｄ ｆｒｏｍ ｏｕｒ ｅｘａｍｐｌｅ． Ｓｏ ｉｔ ｍｉｇｈｔ ａｐｐｅａｒ ｔｈａｔ ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｂｅｔｔｅｒ ａｌｌ－ｐｕｒｐｏｓｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｎ ｄｏｅｓ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｗｈｅｎ ｕｓｉｎｇ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｎｏｗ ｄｉｓａｐｐｅａｒ ｏｒ ｂｅｃｏｍｅ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ． ａｎ

－

－

１５２

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．６ ａｒｅ ｏｎｌｙ ｔｒｕｅ ｉｆ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ． Ｔｈｉｓ ｔｕｒｎｓ ｏｕｔ ｔｏ ｐｒｅｖｅｎｔ ｓｏｍｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｆｒｏｍ ｂｅｉｎｇ ｔｒｕｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ， ｗｈｅｒｅａｓ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｔｒｕｅ ｉｎ ｔｈｅｉｒ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｆｏｒｍ ｗｈｅｎ ｕｓｉｎｇ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．６ ａｌｓｏ． Ｔｈｅ ｍｏｒａｌ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｎｅ ｃａｎｎｏｔ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ （Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９７５ｂ）） ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ， ｓａｙ， Ｆｏｒ

［ｄ＾ｄ＾／２］ ｗｈｉｃｈ ｕｓｅｓ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｆｏｒ ［（ｄ＜／＞）２］－ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｄｏｎｅ ｂｙ ｗｒｉｔｉｎｇ ｔｅｎｓｏｒｓ ｉｎ ｔｅｒｍｓ

ｗｈｉｃｈ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｗｒｉｔｅ ａ ｓｅｃｏｎｄ－ｒａｎｋ ｔｅｎｓｏｒ

Ｍ＾

ａｎｔｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｅｒｍ，

Ｍ？ｖ

＝

ａ

ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｒａｃｅｌｅｓｓ ｔｅｒｍ， ａｎｄ

ｉ（Ｍ？ｖ＂ ＭＪ ＋ ｉ（Ｍ？ｖ

Ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ＭＶｆｉ

＋

－

ｇ＾ｌｄ＾ｃ＾／ｌ］

＝

ｏｆ Ｌｏｒｅｎｔｚ－ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ａｓ

ａｎ

ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｏｆ

ａｎ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｔｅｒｍ：

｛２ｌｄ）ｇ＾ＭＤ ＋ （１／＾ＶＭ？．

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｅａｃｈ ｔｅｒｍ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ． Ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｌｏｓｅｓ ｏｔｈｅｒ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｎｅｒｇｙ ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｉｓ ａ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｒｅ ０． Ｉｆ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｅｎｅｒｇｙ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｔｅｎｓｏｒ ０ｆｉＶ ｈａｓ ｚｅｒｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ： ＜３＂０＾ｖ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｅｎｅｒｇｙ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｔｅｎｓｏｒ ［０ ］ ｂｙ ｏｕｒ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ＝

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｔｈｅｎ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ

ｓａｍｅ ａｓ

ｒｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ． Ｂｕｔ ｉｆ ｗｅ

ｊｕｓｔ ｓｕｇｇｅｓｔｅｄ， ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ

ｏｕｒ

０＾ｖ

ｕｐ ｔｏ ａｌｌｏｗｅｄ

［０ ］ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

ｎｏｔ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ．

６．６

Ｏｎｅ ｏｆ

ｔｈｅ ｂａｒｅ

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ｍｏｔｉｖａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ

Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

ｗｏｒｋｉｎｇ

ｏｕｔ ｔｈｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ

ｔｈａｔ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ２ ｗｅ ｈａｄ ｐｒｏｖｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗａｓ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｓｏ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ，

ｎｏｗ

ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ

ｔｈａｔ

ｔｈｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ

ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ， ｆｏｒ ｔｈｅｓｅ ｅｘｐｒｅｓｓ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｄｅｒｉｖｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｓｏｍｅ

ａ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

ｗｉｌｌ ｂｅ

ｏｔｈｅｒｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ ｗｉｌｌ ｂｅ

ｇｉｖｅｎ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ａ ｔｙｐｉｃａｌ ｐｒｏｏｆ ｏｆ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ

ｓｏｍｅ

ｔｒｕｅ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｕｒｅｌｙ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ， ｗｈｉｌｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． Ｏｕｒ ｐｒｏｏｆ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｕｓｅｆｕｌ

ａｒｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ

ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ ｍｉｎｉｍａｌ

ｓｔａｒｔｓ

ｂｙ ｏｂｓｅｒｖｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｂｏｔｈ ｓｉｄｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎ， ｓｏ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｐｌａｃｅｓ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ａｌｍｏｓｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉｓ ｎｏｔ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｗｏ ｓｉｄｅｓ．

６．６

１５３

Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

Ｉｔ ｉｓ ａｌｗａｙｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｆａｌｓｅ ｂｙ ｃｈａｎｇｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｕｓｉｎｇ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ

ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ａｌｍｏｓｔ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｓｉｒａｂｌｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． （Ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ａｍｏｕｎｔｓ， ｒｏｕｇｈｌｙ， ｔｏ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｅａｃｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ＇ｒｅｍｏｖｅ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ＇．） Ｔｈｅｓｅ ａ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

ａｒｅ

ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｍｏｓｔ ｏｆ

Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｓｔａｎｄａｒｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｓｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｔｈｅ

ＢＰＨ

（ｏｒ ＢＰＨＺ） ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｉｎ ｆａｃｔ， ｔｈｅ ｐｒｏｏｆｓ ｗｅｒｅ ｆｉｒｓｔ ｇｉｖｅｎ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ＢＰＨＺ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ （Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９７３ａ， ｂ）， Ｌｏｗｅｎｓｔｅｉｎ （１９７１） ａｎｄ Ｌａｍ （１９７２））． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈｅ ｕｓｅ

ｉｎｆｒａｒｅｄ

ｏｆ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｂｅｔｔｅｒ ｆｏｒ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅｉｒ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆｓ ｗｅｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｂｙ Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９７５ｂ） ａｎｄ

Ｂｒｅｉｔｅｎｌｏｈｎｅｒ ＆ Ｍａｉｓｏｎ （１９７７ａ， ｂ， ｃ）． Ａｌｌ ｔｈｅｓｅ ｗｏｒｋｓ Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｄｅａｓ ａｒｅ ｓｉｍｐｌｅ．

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ

ｒａｔｈｅｒ ｔｅｃｈｎｉｃａｌ．

１． Ｌｉｎｅａｒｉｔｙ．

ａ［Ａ］ ｗｈｅｒｅ ａ ａｎｄ ｂ ａｒｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ａｒｅ

＋

ｂ［Ｓ］

＝

［ａＡ

＋

（６．６．１ａ）

ｂＢ＼

ｎｕｍｂｅｒｓ， ｗｈｉｌｅ Ａ ａｎｄ Ｂ ａｒｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｔｈｉｓ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ａｓ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｕｒｅ

ｉｓ ｔｏ ｂｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｔｈａｔ ｉｓ， ｉｆ Ｘ ｉｓ ａｎｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｒ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ）， ｔｈｅｎ

ａ＜０｜ Ｔ［Ａ］Ｘ＼０）

＋

ｆｅ＜０｜ Ｔ［Ｂ］Ｘ＼０＞

＝

（ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

＜０｜ Ｔ［ａＡ ＋ ｂＢ］Ｘ＼０｝

（６．６．１６）

Ｐｒｏｏｆ． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｉｓ ａｌｍｏｓｔ ｏｂｖｉｏｕｓ． Ｉｆ Ａ ａｎｄ Ｂ ｈａｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｎｕｍｂｅｒｓ ｌｅｇｓ （ｅ．ｇ． ０２ ａｎｄ ０４）， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｓｉｍｐｌｅ ｗａｙ ｏｆ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （６．６．１） ｅｘｃｅｐｔ ａｓ ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ． Ｂｕｔ ｉｆ Ａ ａｎｄ Ｂ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｆｉｅｌｄｓ， ｌｉｋｅ （ｄｃｊ））２ ａｎｄ ￥２， ｔｈｅｎ ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｏｆ ｅｘｔｅｒｎａｌ

＜０｜７＼４Ｘ｜０＞， （０＼ＴＢＸ＼０ｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓ ａｒｅ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ

ａｎｄ

＜０｜Ｔ（ａＡ ＋ ｂＢ）Ｘ＼０＞

ａｒｅ

ｔｈｅ ｓａｍｅ； ｔｈｅ

ｏｎｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｏｆ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｏ

（６．６．１６）

ｉｓ ｔｒｕｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

ｇｒａｐｈｓ （ｉ．ｅ．，

ｗｉｔｈｏｕｔ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ）． Ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｅ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｔｏ ｅａｃｈ ｇｒａｐｈ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

Ｔｙ．

Ｃｏｍｍｅｎｔｓ． ａ

ｓａｍｅ．

Ｔｈｅｎ （６．６．１）

（１） Ｉｔ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｂｅ ｐｅｄａｎｔｉｃ ａｂｏｕｔ ｔｈｉｓ ｐｒｏｏｆ ｂｅｃａｕｓｅ： （ａ） ｉｔ ｉｓ

ｐｒｏｔｏｔｙｐｅ ｆｏｒ ｌｅｓｓ ｔｒｉｖｉａｌ ｃａｓｅｓ， ａｎｄ （ｂ） ｉｔ ｆａｉｌｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ，ｒｅａｓｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆａｉｌｕｒｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，

［（＜３０）２］

ａｎｄ

［（＜３０）２

＋

ｍ２＜／＞２］

Ｔｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅｎ ｎｏｔ

ｎｅｅｄ ｔｗｏ ｅｘｔｒａ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ

１５４

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ［０２］， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｔｗｏ ｈｉｇｈｅｒ． ｃａｎ ｏｎｌｙ ｈａｖｅ

［（Ｗｂｐｈ

＋

？２［０２］ｂｐｈ

＝

Ｓｏ

ｗｅ

（６．６．２）

［Ｗ）２ ＋ ｍ２０２］ＢＰＨ

［０２］ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａ ａｎｄ ｂ ｉｎ （６．６．１） ｍｕｓｔ ｂｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｄ， ｆｏｒ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ （２）

ｉｆ ｔｈｅ

ｔａｋｉｎｇ ａ ｐｏｌｅ ｐａｒｔ ｉｓ ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｗｅ ｃａｎｎｏｔ ｕｓｅ （６．６．１） ｔｏ ｓｈｏｗ， ［（３０）２］． Ａｓ ｗｅ ｓａｗ， ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｆａｌｓｅ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｆａｉｌｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｉｔ ｃａｎ ｏｎｌｙ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｓｕｍ ｏｖｅｒ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｉｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ａｐｐｌｙ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ＾ＭＶ［３Ｍ０５Ｖ０］

ｓｕｍｍａｔｉｏｎｓ．

＝

Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｗｈｅｎ

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４， ｗｅ ｓａｗ ｔｈａｔ ｏｕｒ ｖｅｃｔｏｒｓ ａｎｄ ｔｅｎｓｏｒｓ ｈａｖｅ ｔｏ ｈａｖｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ ｍａｎｙ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ． Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ２．

Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ

ｉｓ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅ． Ｌｅｔ Ａ ｂｅ ｔｈｅ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

Ａ＝ｆ＼ ＜ｔ＞ｊ（ｘ） ｗｈｅｒｅ ｅａｃｈ

ｉｓ

（ｊ）ｊ

ａｎ

ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄ

￡＂－ Ａｇａｉｎ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｄＡ＿

ｉｓ ｔｏ ｂｅ

ｏｒ ｏｎｅ

＾ＩＵｗ

－Ｉ

ｏｘ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ

＾＜０｜Ｔ［＾（ｘ）］Ｘ｜０＞

＝

ｏｆ ｉｔｓ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ． Ｔｈｅｎ

（６．６３ａ）

ｊｆｉ

ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ：

＜０｜Ｔ［＾／＾］Ｘ｜０＞．

（６．６．３６）

Ｐｒｏｏｆ． Ｌｅｔ ｐ＂ ｂｅ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｌｅａｖｉｎｇ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ （６．６．３ｂ） ａｔ ｔｈｅ ３／ｃｂｃ＾ｇｉ ｖｅｓ ａ ｆａｃｔｏｒ ｉｐＭ． Ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｏｆ （６．６．３）

ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ Ａ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ

ｉｓ

ｔｏ ｓｔａｔｅ ｔｈａｔ ｗｅ

ｆｉｎｉｔｅ－ｐａｒｔ

ｇｅｔ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

—

ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｈｅｔｈｅｒ

ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｉｓ ｔｒｕｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

Ｃｏｍｍｅｎｔｓ．

（１）

ｔａｋｅ ｐＭ ｉｎｓｉｄｅ ｔｈｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ

Ｔｙ．

Ｗｅ ｃａｎ ｃｏｎｔｒａｃｔ ＼ｉ ｗｉｔｈ ａｎ ｉｎｄｅｘ ｉｎ Ａ． Ｔｈｕｓ

９＊＊ Ｗｄ＊＜ｆｔ

＝

Ｑ＇Ｖ＾Ｍ

＝

［（＃）２］

Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｍｅｒｅｌｙ ｇｉｖｅｓ ａ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ

ｏｒ ｎｏｔ ｗｅ

ｏｐｅｒａｔｉｏｎ． Ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ， ｉｔ ｉｓ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ

ｃｏｎｔｒａｓｔ ｔｏ ｔｈｅ

ｅｘｔｒａ ｃａｓｅ

－

＋

ｉ／＾

＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｂｙ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｎｇ

ｗｅ

ｈａｖｅ

（６－６－４）

［０ □ ＜／＞］？ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ

ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ

ｗｉｔｈ ｇ＾． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｎ

ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．５．

（２） Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｏｒｄｅｒｉｎｇ． Ｔｈｕｓ：

ａｒｅ

ａｌｗａｙｓ ｉｍｐｌｉｃｉｔｌｙ ｔａｋｅｎ ｏｕｔｓｉｄｅ ｏｆ ｔｈｅ

＜０ｌｒ（＜＾）（ｘ＞ｉｔｆ＞２（ｙ）｜０＞

＝

ｌｉｍ—＜０｜Ｔ＾（ｚ）＜／＞（ｘ）ｉ＜／．２（ｙ）｜０＞．

ｔｉｍｅ

（６．６．５）

６．６ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ Ｔｈｉｓ

１５５

ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ， ｗｉｔｈ ｅａｃｈ ｇｉｖｉｎｇ ａ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｌｉｎｅ． ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｏｆ （６．６．５） ｉｓ

ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｏｆ ａ ｆｉｅｌｄ

Ｔｈｅ

ｄｄｘｄＶｐ＇ｘ＋ｉ９，３；＜Ｏ｜Ｔ（０５Ｍ０）（ｘ）＾２（ｙ）｜Ｏ＞ ＝

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ

？＊ｒ］？

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

－ｍ

＜６－６＇６）

＿２ｖ

％）ｄ（ｋ２－ｍ２）［（ｋ－ｐ）２－ｍ２ｙ

Ｓｉｍｐｌｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ｄｅｃｏｍｐｏｓｅ

３．

ａｃｔｉｏｎ ａｎｄ

ｇ）Ｊ（２＾／ｉ，２

（２ｎ）ｄｄ＾（ｐ ＋

ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｉｎｔｏ

ａ

ｂａｓｉｃ

ａｃｔｉｏｎ： ＾

＝

＾ｂ

＋

＾ｃｔ，

（６．６．７）

ｊｕｓｔ ｌｉｋｅ ｔｈｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ （５．１．１） ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ｅｘｃｅｐｔ ｔｈａｔ ９＂ｈ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ａｎｄ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｔｅｒｍｓ： ９？ｈ Ｊｄｄｘ（ｉｆ０ ＋ ｉｆｂ）． Ｔｈｅｎ ｄｅｆｉｎｅ ＝

ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄｓ

＾（Ｘ）Ｓ＾Ｗ＝＾）－＾＾＾）＇ ｙ＊＼ｘ） Ｗｅ

ａｌｒｅａｄｙ ｋｎｏｗ

＝

ｂｙ

ｔｔＡ

＝

５＜ｐ（ｘ）

＆＊

ｗｉｔｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｏｍｉｔｔｅｄ．

ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｗｅ

（６．６．９）

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ （２．５．５）

＜０｜Ｔ＜＾（ｘ）Ｘ｜０＞＝ｉ＾＜０｜Ｔ＊｜０＞． Ｎｏｗ

（６Ａ８）

（６．６．１０）

ｗｉｓｈ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎ

＜０｜Ｔ［＾（ｘ）］Ａ－｜０＞＝ｉ－＾－＜０｜ｒＸ｜０＞，

（６．６．１１）

ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ

［＾］＝０． Ｃｏｍｍｅｎｔｓ．

（６．６．１２）

（１） Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａｒｅ ｔｏ ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ｉｎ ａ ｐｕｒｅｌｙ ｆｏｒｍａｌ

ｓｅｎｓｅ．

（２）

Ｅｖｅｎ

ｔｈｏｕｇｈ

［＜９％（ｘ）］

ｉｓ

ｚｅｒｏ ａｓ ａｎ

ｏｐｅｒａｔｏｒ， ｉｔｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅｍ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｏｕｔｓｉｄｅ （６．６．１１） ｔｈｅｍ ｉｎｓｉｄｅ ｇｉｖｅｓ ｅｑｕａｌ－ｔｉｍｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒｓ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ． Ｂｒｉｎｇｉｎｇ ａｒｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ｂｅｃａｕｓｅ

ｗｅ

（Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．５）． （３） Ｓｉｇｎｓ ｆｏｒ ｆｅｒｍｉｏｎｓ ａｒｅ ｅａｓｉｅｓｔ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ２．

１５６

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

Ｅｘａｍｐｌｅ．

Ｉｎ ｔｈｅ

＜ｆ＞３ ｔｈｅｏｒｙ ＪＳ？

ｗｅ

＝

Ｚ（ｄ＜ｐ）２／２

ｍ２Ｚ （ｊ＞２／２

－

－

ｇ０Ｚ３ｌ２（ｊ）３／６，

ｈａｖｅ

５％

［＾］ Ｔｈｅｎ

＝

－

＝

－

ｏｆ （６．６．１１）

ｃａｓｅｓ

ＺＱ４， □ ４＞

－

ｔｉ０Ｚ３＇２＜ｌ＞＼

（６．６．１３）

ｔｆ－＇Ｖｇｔｆｌ

（６．６．１４）

ｍ２Ｚ４＞

－

ｍ２＜ｔ＞

－

－

ａｒｅ

＜０｜ Ｔ［＾（ｘ）］０（ｙ）｜Ｏ＞

＝

＝

ｍ２Ｋ０＼ Ｔ０（ｘ）０（ｙ）｜Ｏ＞ －＾３＂ｄ／２＾＜Ｏ｜Ｔ［０２（ｘ）］（／＞（ｙ）｜Ｏ＞

（

－

ｎｘ

￣

（６．６．１５）

ｉｄｉｄ＼ｘ￣ｙ＼

＜Ｏ｜ｒ［＾（ｘ）］［０３（ｙ）］０（ｚ）０（ｗ）｜Ｏ＞Ｒ ３Ｗ？＞（ｘ ｙ）＜０｜ Ｔ［０２（ｙ）］（／＞（ｚ）（／＞（ｗ）｜Ｏ＞ ＝

－

＋ ＋

ｉ＾＞（ｘ－ｚ）＜Ｏ｜Ｔ［＜／＞３（ｙ）］０（ｗ）｜Ｏ＞ ｉ（５（ｄ）（ｘ－ｗ）＜Ｏ｜７［（／）３（ｙ）］０（ｚ）｜Ｏ＞．

（６．６．１６）

Ｐｒａ＾／． ｇｅｎｅｒａｌ ｐｒｏｏｆ ｏｆ （６．６．１１） ｉｓ ｒａｔｈｅｒ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｐｏｉｎｔｓ ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｏｎｅ ｃａｓｅ， （６．６．１５） ｉｎ ＜／＞３ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ａ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｅｒｍｓ． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ

ｍ２）ｔｆ＞－ｉ０／ｉ３－ｄ／２＜／＞２．

（６．６．１７）

ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇｓ． ａｒｉｓｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ． ｗｅ ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｈａｖｅ

６．６．１ ａｎｄ ６．６．２． Ｔｈｅ

－（Ｄ

＝

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｏｆ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ａｒｅ

ｔｈｏｓｅ

Ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ

＜０｜ｒ＾ｏ？＾）｜０＞

？＞｜ｒｙＭ ＜？（Ｐ）｜ｏ＞＝（ｐ２

－

ｍ２） ＋

＋

＝

（ｐ２－ｍ２）＜０｜Ｔ＾（ｐ）＾）｜０＞．

｜—＋ （－Ｏ－ —－） （－００＋＾０＋０＾

＋

Ｆｉｇ． ６．６．１． Ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ （６．６．１５） ｗｉｔｈ ｆｒｅｅ ｐａｒｔ ｏｆ ａｃｔｉｏｎ．

（６．６．１８）

１５７

６．６ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

＜°ｍ＾￡＊ｊｆｏ）ｉｏ＞

（ｏ－Ｏ－ ＋０—） （＜ｉ＾＋ｏ－）

＜＾＋

＝

＋

＋

？

？？

Ｆｉｇ． ６．６．２． Ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ （６．６．１５） ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｐａｒｔ ｏｆ ａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ

ｐ２

—

ｍ２ ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ａｔｔａｃｈｅｄ

ｔｏ

０（ｐ）

ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ

ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ． Ｔｈｕｓ ｉｎ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｅｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ￥（ｑ） ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （６．６．１５）． Ｉｎ ａｌｌ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｇｒａｐｈｓ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｅｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｖｅｒｔｅｘ， ｅｉｔｈｅｒ

ａ

ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

ｏｒ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ．

Ｉｎ ｆａｃｔ

ａｎ ｗｅ

ｏｂｔａｉｎ

＜Ｏ｜７＼？ｌｎｌ？０ｔｅ）｜Ｏ＞

（６．６．１９）

ｗｈｅｒｅ

＝

－（Ｚ－ ｌ）ｎ＜ｔ＞ －（ｍ２Ｚ－ｍ２）（ｆ）

－ｉｇ０Ｚ３ｉ２＜ｊ）２．

（６．６．２０）

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｗｈａｔ ｗｅ ｍｕｓｔ ｏｂｔａｉｎ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ （６．６．１０） ｉｓ ｔｒｕｅ． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｂｅｃａｕｓｅ （６．６．１８） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ， ｓｏ ｉｓ （６．６．１９）． Ｗｅ ｍｕｓｔ ｎｏｗ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ

（６．６．２０）

ａｒｅ

ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ

ｔｈｏｓｅ

［＾ｎｔ Ｊ＝ －－￡＃／ｉ３￣ｄ／２［＜／＞２］

ｔｈａｔ

ａｒｅ

ｎｅｅｄｅｄ

ｔｏ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ

ｇｉｖｅ ｏｕｒ

ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｔａｎｄａｒｄ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｆｏｒ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｎｏｗ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｔｏ ａｄｄ ｔｏ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｔｅｒｍ Ｓ＊ｎｕ＜ｊ＞ —＾ｇｆｉ３￣ｄ／２（ｊ）２ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｈｏｓｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ＝

ｐｏｌｅｓ ａｔ ｄ ６， ｓｏ ａｓ ｔｏ ｍａｋｅ ｉｔｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ （６．６．２０）． Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｆｒｏｍ ａ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ Ｆｉｇｓ． ６．６．１ ａｎｄ ６．６．３． ａｒｅ ｐｕｒｅ

＝

＜＾１＊￥（Ｐ）＼０＞＝ ＋

（０＂＋

＊

）

（ｏｏ＋ｏ—＋＊ｏ－＋＊—）

＋＇＂ ，

Ｆｉｇ． ６．６．３． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｆｉｇ． ６．６．２．

１５８

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ４． Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｔｉｍｅｓ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｂｅｆｏｒｅ ｗｅ ｈａｖｅ

＜０｜Ｔ［＾＾（ｘ）］Ｘ｜０＞Ｒ

＝

ｓａｍｅ

ｎｏｔａｔｉｏｎ

ｉ＜０｜Ｔ＾（ｘ）＾Ｘ｜０＞Ｒ，

ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ ａｎｙ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｔ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｐｏｉｎｔ．

ａｓ

（６．６．２１）

Ｈｅｎｃｅ

［Ａ，？ｇ＝０．

（６．６．２２）

Ｃｏｍｍｅｎｔｓ ａｎｄ ｅｘａｍｐｌｅｓ． （１） Ｔｈｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｉｓ ｃｒｕｃｉａｌ

ｔｏ

ｐｒｏｖｉｎｇ

Ｗａｒｄ

ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． （２） Ａｌｌ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｐｐｅａｒｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ （６．６．２１） （３） Ｉｎ ４＞３ ｔｈｅｏｒｙ， ｃａｓｅｓ ｏｆ （６．６．２１） ａｒｅ

ａｒｅ ｔｏ

ｂｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ．

＜０｜ Ｔ＼＿ ＜ｆ＞ □ ４＞ ｍ２４＞２ ＾３］（ｘ）Ｍ＃（ｚ）｜０＞ ｔｆ（ｘ－ｙ）＜０｜Ｔ４＞０＃（ｚ）｜０＞ ＋ （ｙ＜－＋ｚ）， ＜０｜Ｔ［－＾２ｎ＾－ｍ２＜／＞３－ｉ＾］（ｘ）［＾２］（ｙ）＜／．（ｚ）｜０＞Ｒ ２ｉ，５（ｘ－ｙ）＜０｜Ｔ［＞３］０＃（ｚ）｜０＞ ＋ ｉ＜５（ｘ－ｚＫ０｜Ｔ［ｔｆ＞２］（ｙ）［，￡２］（ｚ）｜＜）＞Ｒ． －

－

－

＝

（６．６．２３）

＝

（６－６．２４）

Ｐｒｏｏｆ． Ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ （６．６．２１ ）ｆｏｌｌｏｗｓ ａｌｍｏｓｔ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｉｎ ｉｔｓ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖｅｒｓｉｏｎ． Ｔｈｉｓｉｎ ｔｕｒｎｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ－ｉｎｔｅｇｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ， ａｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．５． Ｗｅ ｈａｖｅ

＜０｜Ｔ＾（ｘ），＾（ｘ）Ｘ｜０＞

－＜０ｌ＾ｗ３＾）ｌ０＞ ｉ＜０ｌＴ＾ｘｌ°＞－ ＋

Ｔｈｅｎ

ｗｅ ｕｓｅ

ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｉｎ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

￡（ｄ）（０）＝

（６Ａ２５）

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

｜ｄｄｐｌ＝０，

（６．６．２６）

ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ４． Ｔｈｉｓ ｅｎａｂｌｅｓ ｕｓ ｔｏ ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｔｈｅ ＳＡ｛ｘ）／ｄ（ｊ）（ｘ） ｔｅｒｍ． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ （６．６．２１） ｃａｎ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ． Ｉｔ ｉｓ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ （６．６．２３）． Ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （６．６．２３） ａｒｅ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ６．６．４． Ｔｈｅ （－ □ ｍ２） ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ？Ｓ＾Ｏ＞０ ｃａｎｃｅｌｓ ａｎ ａｔｔａｃｈｅｄ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ． Ｉｆ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｅｎｄ ａｔｔａｃｈｅｓ ｔｏ ａｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｉｅｌｄ （ｖｉｚ．， ０（ｙ） ｏｒ ０（ｚ））， ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ． Ｉｆ ｉｔ ａｔｔａｃｈｅｓ ｔｏ ａｎ －

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｏｆ ａ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ＜９＾ｎｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ， ｓｕｃｈ

Ｆｉｇ． ６．６．５． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｓｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎｓ

ｄｏ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ

ａｓ

ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－

６．６

１５９

Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

＜Ｏ＼Ｔ（＜ｊ＞ｙｏＪ￥（ｋ）￥（ｑ）＼０＞ －－（ｑ２－ｍ２） ＜ｆ

＋（ｋ２－ｍ２） ＊９ ｐ ＋ ｋ ＋ ｔ

＋

｛（ｐ２－ｍ２）

＋

［（ｐ

＋ ｆｃ ＋

＜？）２－ｍ２］ Ｐ

＋

（ｋ２ ＋ ｑ２￣２ｍ２）－

Ｆｉｇ． ６．６．４． Ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （６．６．２３）， ｕｓｉｎｇ ｆｒｅｅ ａｃｔｉｏｎ．

＜０＼ｎ＜ｐ＾Ｊ￥（ｋ）￥（ｑ）＼０｝

＋ ｃｔｓ

Ｆｉｇ． ６．６．５． Ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （６．６．２３）， ｕｓｉｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｐａｒｔ ｏｆ ａｃｔｉｏｎ． （ｉｒ）ｒｅｄｕｃｉｂｉｌｉｔｙ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ， ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｗｉｔｈｏｕｔ

ｃｈａｎｇｉｎｇ

ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ．

Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ

ＳｆＱ＾ ｔｅｒｍｓ

（１） Ｓｉｎｃｅ □＜／＞

＝

ｎｅｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｗｏ ｓｕｂｔｌｅｔｉｅｓ ａｒｉｓｅ：

＃ＭＶ＜３Ｍ＜／）ＳＶ￥，

ｔｈｅ

ａｍｂｉｇｕｉｔｙ ａｂｏｕｔ

ｔｈｅ

ｒｅｌｅｖａｎｔ． Ｔｏ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｉｔ ｍｕｓｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ．

ｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｏｆ ＃ＭＶ ｉｓ

ｃｏｍｅ

ｂｅｆｏｒｅ ｔｈｅ

（２） Ｉｎ ｔｈｅ ＢＰＨＺ ｓｃｈｅｍｅ ｍ２＜／＞２ ｍｕｓｔ ｂｅ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｗｅ ｃａｎｎｏｔ ｕｓｅ

ｌｉｎｅａｒｉｔｙ

ｔｏ ｃｏｍｂｉｎｅ

—

＜／＞□＜／＞

ａｎｄ

—

ｍ２０２．

Ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ （６．６．２４） ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｔｗｏ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｕｂｔｌｅｔｉｅｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｇｒａｐｈ （ａ） ｔｈｅ （－

ｂｙ Ｆｉｇ．

６．６．６．

ｍ２） ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｓ ｔｈｅ ｌｉｎｅ ｃｏｍｉｎｇ ｂａｃｋ ｔｏ ａ

□ ＜／＞（ｘ） ｆａｃｔｏｒ． Ｔｈｉｓ ｔｅｒｍ ｇｉｖｅｓ ｚｅｒｏ ａｆｔｅｒ ｕｓｅ ｏｆ （６．６．２６）． Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｇｒａｐｈ （ｂ） ｈａｓ ｔｗｏ —

ｓｅｐａｒａｔｅｄ ｂｙ ａ ｌｉｎｅ． Ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ， ｔｈｅ ｑ２ ｍ２ ｆａｃｔｏｒ ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｔｏ ｇｉｖｅ ｇｒａｐｈ （ｃ）， ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｄｕｃｉｂｉｌｉｔｙ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． １ＰＩ ｌｏｏｐｓ

—

Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｗｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｉｎ Ｆｉｇ． ６．６．６（ｄ）． Ｔｈｅｓｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｗｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ Ｆｉｇ． ６．６．６（ｂ）． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｎ （ｂ） ｈａｓ ｔｗｏ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｇｒａｐｈ ｖｅｒｔｅｘ． Ｔｈｅｉｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ： ｇｒａｐｈ （ｅ） ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｘ －？ ｙ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ ０４（ｘ） ＜／＞２（ｙ）． Ｅｖｅｎ ｓｏ ｔｈｅ

（ｅ） ｈａｓ ｏｎｅ

１６０

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

（ｋ２－ｍ２）

，

＇Ｑ

＜■＞

（ｂ）

（９２－ｍ２）

ｚ

／ｙ

｛ｘＣ＾Ｏ－ｚ Ｗ—．

＇ｇ＾

（０

＊＾＞—

１－

Ｉ

ｘ—？

＾ ｘ

（ｅ）

ｘ， ｙ

＊

ｚ

Ｆｉｇ． ６．６．６． Ｓｏｍｅ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ （６．６．２４）．

ｔｗｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｇｒａｐｈｓ

ｍｕｓｔ ｂｅ

ｅｑｕａｌ． Ｔｈｅｙ

ａｒｅ

ｂｏｔｈ

ａ

ｓｉｎｇｌｅ

ｆｒｅｅ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｔｉｍｅｓ ａ ｐｏｌｅ ｐａｒｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｉｍｅｓ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｔｉｍｅｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ． Ｔｈｅｙ ｂｏｔｈ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｒａｔｈｅｒ ｔｅｄｉｏｕｓ ａｎｄ

ｃａｎ

ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９７５ｂ）．

ｓｃｈｅｍｅ， ｂｕｔ ａｌｓｏ ｗｏｒｋｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ＢＰＨ（Ｚ） ｓｃｈｅｍｅ． Ｉｎ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ＢＰＨＺ ｐｒｏｏｆ， ｂｙ Ｌａｍ （１９７２）， ｏｆ （６．６．２１）， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ， ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｗｏ ｓｉｄｅｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｉｎ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｉ．ｅ．， ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔｓ ａｒｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｏｆ ｗａｓ ｇｉｖｅｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

－

Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ５． Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ： Ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．６ ｆｏｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｕｎｄｅｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ． Ｌｅｔ

Ｑｊ＾Ｑｊ ＋ Ｓｉｆｒｊ ｂｅ

ａｎ

ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ ｕｎｄｅｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ

ａｓ

－＾ｂａｓｉｃ

￣￣＊

＾ｂａｓｉｃ

＋

＾ｂ

＋

＾Ｍ ＊

ｂ＊

ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｎｇ ｏｕｒ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｏｎｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ ｏｆ ａ ｇｒｏｕｐ． Ｔｈｕｓ， ａｓ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．６， ｗｅ ｎｏｗ ｄｒｏｐ ｔｈｅ ｉｎｄｅｘ Ｖ， ｗｈｉｃｈ ｌａｂｅｌｌｅｄ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ． Ｔｈｅ ｓｕｂｓｃｒｉｐｔ ＇ｂ＇ ｏｎ Ａｂ ａｎｄ Ｙｂ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ ｗｅ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （ｉ．ｅ．， ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ）． Ｉｎ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｂｅｌｏｗ， ｗｅ ｗｉｌｌ ａｄｄ ｉｎ ｔｈｅ Ｗｅ

ａｒｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｂｙ ｕｓｅ ｏｆ ｏｕｒ ｓｔａｎｄａｒｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ． Ｎｏｔｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｉｎ ｓｅｔｔｉｎｇ ｕｐ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．８， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ａ ｆｒｅｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｆ ０ ａｎｄ ａ ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｊＳｆ ｂ． Ｗｅ ｎｏｗ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｔｈｅｉｒ ｓｕｍ：

ｉ？ｂａｓｉｃ ｉ？０ ＋ ｊＳ？ｂ． Ｗｅ ｐｒｏｖｅｄ ｅａｒｌｉｅｒ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ （２．７．６）． Ｔｈｅ ＝

１６１

６．６ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｗａｒｄ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ

ｉｓ

＾ｒ＜ｏ｜ＴＣ／ＳＷ］Ａ＇｜ｏ＞Ｒ ＝

＜０｜ ７［Ａｂ（ｘ）］Ｘ｜０＞Ｒ

－

ｉ＜０｜Ｔ５ｂ４＞（ｘ）Ｊ＾－＼０｝Ｒ．

（６．６．２７）

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｈａｖｅ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｉｔ． Ｆｒｏｍ ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ

３？［／６］ ａｎｄ

ｂｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ０

Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ

Ａ

＝

＝

ａｌｌ

ｏｖｅｒ

＝

ｄ４ｘ＜０｜ Ｔ［Ａｂ（ｘ）］Ｘ｜０＞Ｒ

０ ｆｏｒ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｈｅ

ａ

（６．６．２８）

［Ａｂ］

ｘ：

－

ｉｄ（０＼ＴＸ＼０）Ｒ．

（６．６．２９）

ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ

＾＾？Ｊ－Ｃｎ］－ Ｐｒｏｏｆ． ｏｎｅ

Ｉｎ

ｄｅｆｉｎｉｎｇ Ｙｇ ａｎｄ Ａｂ，

ｗｅ

（６－６．３０）

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｏｍｉｔｔｅｄ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｂｅｃａｕｓｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ

ｗｅ ｕｓｅ

ｓｙｍｂｏｌｉｚｅｄ ｂｙ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ （６．６．２７）－（６．６．３０） ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｎｏｅｔｈｅｒ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ， ｂｕｔ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓｌｙ ｐｒｏｖｅｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｉｔ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｆｉｒｓｔ －

ｗｅ ｕｓｅ

［Ａｂ］

＋

［＜ｙｇ］

＝

＝

Ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ ｔｈｅ Ｗａｒｄ

（６．６．２２）． Ｗｅ ｅｘｃｈａｎｇｅｄ

＾Ｌ／ｂ］

＝

ａｎｄ

ｌｉｎｅａｒｉｔｙ

［ｄｊｊｂ］－

Ｉ

ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｉｔｙ

ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

ｄ＾ｌ＾＾ｊｓ＾ Ｊ －

ｙｇ

＋

［ａ， ｙｇ

－

＜５ｉ？ｂａｓｉｃ］

－Ｉ［＾＾Ｊ． ｊ

（６．６．３１）

ｉｄｅｎｔｉｔｙ （６．６．２７） ｆｏｌｌｏｗｓ ｂｙ

ｔｈｅ

ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ

Ｔｈｉｓ ｉｓ

ｐｅｒｍｉｔｔｅｄ

－

ｓｅｅ ｏｕｒ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｔｒａｃｉｎｇ

ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ

ｏｖｅｒ ＼ｉ ｔｏ

ｗｒｉｔｅ

ｒｅｍａｒｋｓ ｂｅｌｏｗ （６．６．４）．

Ｃｏｍｍｅｎｔｓ （１） Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｐｐｅａｒｓ ｔｏ ｇｉｖｅ ａｎ ｕｎｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． Ｔｈｉｓ ａｐｐｅａｒａｎｃｅ ｉｓ ｆａｌｓｅ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ

ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｔｈａｔ， ｃａｎ ａｎｄ ｏｆｔｅｎ ｄｏ ｈａｖｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｂｒｅａｋｉｎｇ－ｓｅｅ Ｃｈａｐｔｅｒ １３． Ｓｕｃｈ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ａｒｅ ｄｉｌａｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｎｆｏｒｍａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ａｎｄ

１６２

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ｃｈｉｒａｌ ａｎｄ ｓｕｐｅｒｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ． Ｔｈｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｆｏｒ ｓｕｃｈ ａｎｏｍａｌｉｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｂｙ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ａｂ ｉｎ ａ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｔｈｅｏｒｙ； ｉｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｗｈｉｃｈ

ｖａｎｉｓｈｅｓ

ａｓ

ｄ－＞４． Ｓｕｃｈ ｉｓ ｔｈｅ

ｃｈｉｒａｌ

ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ （ｗｈｅｒｅ

ｉｎ ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ

ｆｏｒ ｃｏｎｆｏｒｍａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｆｏｒ

ｃａｓｅ

ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｅ ｙ５

ｅＫＸｆｌｖ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ）． Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅｎ ｎｏｔ ｅａｓｉｌｙ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｗｅ ｕｓｅｄ ａｒｅ

ｏｒ

ｆａｌｓｅ．

（２） Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｐｐｅａｒ ｗｉｔｈ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ａｎｄ ｗｉｔｈ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ （Ｐｉｇｕｅｔ ＆ Ｒｏｕｅｔ （１９８１））． Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｃｏｎｆｉｎｅｓ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｔｏ ｃａｓｅｓ ｗｉｔｈ ａｎｏｍａｌｉｅｓ． Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ６． Ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｕｒｒｅｎｔ： Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ａｎ

ｉｎｔｅｒｎａｌ

ｅｘａｃｔ

ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｔｈａｔ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ （ｓｕｃｈ Ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｓ

ｇｉｖｅｓ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｃｈａｒｇｅ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ）． ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔ；＂ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｎｏｗ／ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ／

＝

Ｃｏｍｍｅｎｔｓ Ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｄｏｅｓ ｎｏｔ

ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｍａｋｅ ／ ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｔｈａｔ

（６．６．３２）

［）￡］？

ａｐｐｌｙ

ｔｏ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

－

ｓｅｅ

Ｃａｌｌａｎ， Ｃｏｌｅｍａｎ ＆ Ｊａｃｋｉｗ （１９７０）， Ｆｒｅｅｄｍａｎ， Ｍｕｚｉｎｉｃｈ ＆ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９７４）， Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９７６）， Ｂｒｏｗｎ ＆ Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９８０） ａｎｄ Ｊｏｇｌｅｋａｒ （１９７６） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｔｅｎｓｏｒ． Ｉｔ ａｌｓｏ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｏｆ ａ

ｎｏｎ－

ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔ ｕｎｌｅｓｓ ｔｈｅ

ｂｒｅａｋｉｎｇ ｔｅｒｍ ｈａｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｂｅｌｏｗ ｔｈａｔ ｏｆ Ｓ￡ （Ｓｙｍａｎｚｉｋ （１９７０ａ））． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｐｐｌｙ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｉｆ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ５（ｊ＞｝＼ｓ ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ ｉｎ ＜／＞ Ｉｔ ａｌｓｏ ｎｅｅｄｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｇａｕｇｅ ？．

ｔｈｅｏｒｉｅｓ．

Ｐｒｏｏｆ．

Ｂｏｔｈ／

ａｎｄ

Ｑ／ｇ］

ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｃｕｒｒｅｎｔ；ｇ ｐｌｕｓ

ｓｏｍｅ

ｍｉｎｉｍａｌ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ

（６．６．３３）

ｚ？＝ｒ－［Ｊｔｔ

ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｐｕｒｅ ｐｏｌｅ ｔｅｒｍｓ， ａｎｄ ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｉｔ ｖａｎｉｓｈｅｓ． Ｅａｃｈ ｔｅｒｍ ｈａｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ３ ｏｒ ｌｅｓｓ （ａｔ ｄ ４）， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｓ ｈａｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ３． ｉｓ

ａ

＝

Ｎｏｗ ｂｏｔｈ

；￡ ａｎｄ ［ｊｇ］ ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ，

ｓｏ

ｄｆｌ（０＼Ｔｅｆｌ（ｘ）Ｘ＼０）＝０． Ｔｈｕｓ

５Ｍ￡Ｍ

＝

０， ｗｉｔｈｏｕｔ

ｕｓｅ

ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ； ａｎｙ ｎｅｅｄ ｔｏ

（６．６．３４） ｕｓｅ

ｔｈｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｗｏｕｌｄ ｇｉｖｅ ａ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｔｏ （６．６．３４）． Ｉｎ ｔｈｅ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄｓ， ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｓｕｃｈ ａ ｔｅｒｍ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｔｈｕｓ ｐｒｏｙｅｄ． Ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄｓ， ｓｕｃｈ ｔｅｒｍｓ ｄｏ ｅｘｉｓｔ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｎ

６．７

Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ

ｑｕａｎｔｕｍ ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ

ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ

ｃｕｒｒｅｎｔ

ｗｅ

＜３Ｖ．ＰＶ，

ｔｏ

ｔｏ

ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ ￡￡

１６３

ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ－ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｔｅｎｓｏｒ ｄｉｌＡｖ ｍｉｇｈｔ ｈａｖｅ ＾ｏｃｅＫ＾ｖ３Ｋ（＾＾＾），

ｈａｖｅ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ

ｗｈｅｒｅ ￥ ＾ ｉｓ ｔｈｅ

—

Ｗｉｔｈ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄｓ ｏｎｅ ｂｕｔ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ￡ｋＡ／ｉｖ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ａ ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｗｈｉｃｈ ｉｎ ａｎｙ ｃａｓｅ ｎｅｅｄｓ ｓｐｅｃｉａｌ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｉｎ ａ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｅ ｍｕｓｔ ａｌｓｏ

ｄ＾Ａ＾．

ｔａｋｅ ａｃｃｏｕｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ

ｓｕｂｊｅｃｔ

ｗｅ

ｉｍｐｏｓｅｄ ｂｙ

Ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｔｅｎｓｏｒ ａｌｓｏ ｈａｓ

（ｄｊＡ

—

ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ａ

ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｔｒｅａｔ ｕｎｔｉｌ Ｃｈａｐｔｅｒ １２．

ｇ＾Ｏ）＾２

－

ｓｅｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ｌｉｋｅ

ｐｏｓｓｉｂｌｅ

ｔｈｅ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ｑｕｏｔｅｄ ａｂｏｖｅ．

６．７ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ Ｓ￡ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ￥￡

ｂｙ ｕｓｉｎｇ

＝

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ＧＮ

Ｚ（ｄＡ）２／２

ｍ２ＢＡ２／２

－

－

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ｇＢＡ＊／４！

ｉｎｔｅｇｒａｌ： ＝

（０＼Ｔ＜ｔ＞（ｘ１）．．．＜ｔ＞（ｘＮ）＼０｝

Ｊ＜

ｊ［ｄＸ］Ａ｛ｘ１）．．．Ａ（ｘＮ）＆＊ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ

ｔｏ ｇＢ

（６．７．１）

ｇｉｖｅｓ

［ｄＡ］Ａ（Ｘｌ）．．．Ａ｛ｘＪ＾＼ｄ＊ｙＡ４（ｙ）ｙ＾

８０＾

［ｃＵＪｅ＂－２， Ｊ

｜Ｊ［ｄ＾］Ａ（ｘ１）．．Ｍ（ｘｗ）ｅ，＾｝｜｜［ｄ＾］＾）ＪｄＶ４０＇）ｅｉ＇ｊｒ｝ ［ｄＡ］ｅ＂＾ Ｕ）

＝

１

ｄ４ＫＯ｜Ｔ０（ｘＪ．．．０（ｘＮ）ｆ＾－＜Ｏ｜＾＾｜Ｏ＞）｜Ｏ＞．

（６．７．２）

Ｓｉｍｉｌａｒ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｈｏｌｄ ｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ Ｚ

ｏｒ

ｍ＼．

Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｏｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ａｌｓｏ ｕｓｅｆｕｌ．

Ｏｎｅ

ｕｓｅ

１６４

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｏ ｓｈｏｗ， ｗｉｔｈｉｎ ｃａｎ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈａｔ ｔｅｒｍｓ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｆｆｅｃｔｉｎｇ ｔｈｅ

ｂｅ ｓｈｉｆｔｅｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｒｅｅ ａｎｄ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｆｉｒｓｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ｇ． Ｗｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

（６．７．３）

ｒＬ

Ａｐｐｌｉｅｄ

ｔｏ ｅａｃｈ ｂａｓｉｃ

ｇｒａｐｈ

ｙ

Ｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｆｏｒｍｕｌａ， ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ

１

—

ＴＴ

ｎｏｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ＂

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ （６．７．４） ｐｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｏｓｅ ｉｎ

ａ ｓｅｔ

ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｊｕｓｔ ｇｉｖｅｓ （６．７．４）

ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ

ｔｏ

（６．７．３）． Ｓｏ

ｄｇ°Ｎ－

ｄｄｙ＜Ｏ｜Ｔ｛［０（ｙ）４］－＜Ｏ｜［（／＞（ｙ）４］｜Ｏ＞｝（／＞（ｘ１）．．．（／＞（ｘＮ）｜Ｏ＞．

４！

（６．７．５） Ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｂｅｃａｕｓｅ ｎｏ

ｖａｃｕｕｍ

ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｔｏ Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｓｏｍｅ

ｗｅ

＝

ｚ（ｄ＜ｆ＞）２／２

ａｎｄ ｌｅｔ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ａｎｄ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

＜ｅ０

＜ｅｈ

ｍ＼

＋

ｍ＼

［０４］ ｃｏｍｅｓ ａｂｏｕｔ ＜／＞４ ｖｅｒｔｅｘ ｉｎ ｄＧＮ／ｄｇ ｉｓ

ｏｆ

ｌｅｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｂｅ ＾ｂａｓｉｃ

ｗｉｔｈ

ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ

ｖａｃｕｕｍ

ｂｕｂｂｌｅｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｉｎ ＧＮ． Ｔｈｕｓ ｅａｃｈ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅ．

＝

＝

＝

－

ｍ２＜ｔ＞２／２

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎｓ

（ｄ＜ｊ＞）２／２ ｍ２＜ｊ）２／２ （ｚ ｌ）（ｄ（ｆ））２／２ （ｍ２

－

ｇｔｐＨ！

－

－

ｍ２． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ

－

ｗｅ

－

（６．７．６）

ｂｅ

ｍ２）（ｔ）２／２

－

ｈａｖｅ ａｌｌｏｗｅｄ ｔｈｅ

ｇｉｆ／Ａ！，

（６．７．７ａ） （６．７．７ｂ）

（ｄ（ｊ））２ ｔｅｒｍ ｔｏ ｈａｖｅ ａｎ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ． Ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｐｕｔ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｉｎ ＜ｊ＞ ｉｎｔｏ ｓｏ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｒｉｖｅ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｄＧＮ／ｄｚ ｏｒ ｄＧＮ／ｄｍ２ ｌｉｋｅ （６．７．５）． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｗｅ ｃａｎ ｍｏｖｅ ｔｈｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｔｅｒｍｓ ｔｏ ｔｈｅ ５￡０ ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ，

Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ

ＪｚＧｎ

２

ｚ ｏｒ

ｍ２ ｇｉｖｅｓ

ｄ＂ｙ＜０｜ｒ｛［（ｏ＜／））２］－＜０｜［（ａ＾）２］｜０＞｝＾（ｘ１）．．．＜／）（ｘＪＶ）｜０＞） （６．７．８）

＿ｄ＿

ｄｍ２

ＧＪＶ

＝

＾ｊ＇ｄ＇＇ｙ＜Ｏ｜ｒ｛［？／）（）；）２］－＜Ｏ｜［０（ｙ）２］｜Ｏ＞｝＾（ｘ１）．．＾（ｘＮ）｜Ｏ＞． ＇

，

（６．７．９）

Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ

６．７

Ｈｏｗｅｖｅｒ，

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ．

ｗｅ

ｍａｙ ｗａｎｔ ｔｏ ｐｕｔ ａｌｌ ｏｆ

ｔｏ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ ５￡

（＜７＜／＞）２ｚ／２

ｍ２（ｊ）２／２

—

１６５

ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｆｒｅｅ

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ

ｉ／（ｚｐ２－ｍ２）． （６．７．８） ａｎｄ （６．７．９） ｒｅｍａｉｎ ｖａｌｉｄ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｄ／ｄｍ２ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ａｎ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｇｒａｐｈ

Ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ｔｅｒｍｓ

Ｔ ｇｉｖｅｓ

ａ ｓｕｍ ｏｖｅｒ

ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｅａｃｈ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ ｉ

ｄ ｄｍ２

ｚｐ２

—

ｍ２

ｚｐ＊

（６．７．１０）

ｍ

Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ｕｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｇｒａｐｈｓ ａｓ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （６．７．９）． Ｎｅｘｔ，

ｗｅ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ

－

ｇｒａｐｈ Ｃｙ（ｒ）．

Ｅｉｔｈｅｒ

ａ

ｉ ｉｎ （６．７．９） ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ

［＜ｔ＞２（ｙ）］＞ｏｒ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ（ｙｘ） ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｏｎｄ ｃａｓｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈ Ｃｙ（ｄＴ／ｄｍ２） ｗｉｔｈ ａ ｔｅｒｍ ｃｙｊｄｍ２

ａｌｓｏ

Ｎｏｗ

Ｃ｛ｄｙｊｄｍ２）

＝

（６．７．１１）

ｄＣ（ｙｉ）／ｄｍ２

ｉｎ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ． （Ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ ｐｕｒｅ ｐｏｌｅｓ ｔｉｍｅｓ ｐ ｔｏ ａ ｐｏｗｅｒ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｇｒａｐｈｓ．） Ｗｅ ｔｈｕｓ ｏｂｔａｉｎ ａｌｌ －

ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （６．７．９）． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ （６．７．８） ｉｓ ｔｒｕｅ ｉｆ ｚ（ｄ（ｊ＞）２ ｉｓ ａｌｌ ｉｎ ｔｈｅ ｆｒｅｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ Ｗｅ ｔｈｕｓ ｓｅｅ ｔｈａｔ， ｆｏｒ ａｎｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ

ａ

ｉｎ ｔｈｅ

ｉｆ０． Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ Ｓ￡，

ｈａｖｅ

ｗｅ

－ＧＮ ＣＡ

＝

ｉ

＼ｄｄｙ（０＼Ｔ

＊＾￣

ｂａｓｉｃ

［＾

（ｙ）

＜Ｊ＞ ｂａｓｉｃ

Ｍ Ｏ）Ｕ（ｘ，）．．．０（％）ＩＯ＞

ｄａ

（６．７．１２） Ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｗｅ ｃａｎ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （６．７．６） ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｏｎｅ ｗｉｔｈ ｕｎｉｔ ｋｉｎｅｔｉｃ ｔｅｒｍ

￡＇ｈ

ｂｙ

ａ

＝

（８４＞＇）２／２

－

ｍ＇２＜ｔ＞＇２／２

ｇ＇４＞＇４／４！

－

（６．７．１３）

ｓｃａｌｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ， ｗｉｔｈ ４＞ ｍ２ ｇ

Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｔｏ ｗｒｉｔｅ （６．７．６）

＝

（６．７．１４ａ） （６．７．１４ｂ） （６．７．１４ｃ）

ｚ－ｖ２４＞＼

＝

ｚｍ＇２，

＝

ｚ２ｇ＇．

ａｓ

＾ｂａＳ，ｃ＝ ｚ（８＜ｆ＞）２／２

－

ｍ＇２ｚ＜ｔ＞２／２

－

ｇ＇ｚ２ｃｆ＞Ｖ４！．

（６．７．１５）

１６６

Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

Ｔｈｅｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＧＮ ｏｆ ０ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｚ ｇｉｖｅｓ

ｚｄＧＮ／ｄｚ

＝

ｚｄＧＮ／ｄｚ＼ｆｉｘｅｄ＾ｇ ＋

＝

ｍ２ｄＧＮ／ｄｍ２ ＼ｆｉｘｃｄＺｊｇ ＋ ２ｇｄＧＮ／ｄｇ＼ｆ ｉｘｃｄｚ．ｍ

ｄ４ｙ＜０｜ Ｔ｛［ｚ（＜ｌ＜ｆ））２／２

１

—

－

ｖａｃｕｕｍ

ｄ４ｙ（＜Ｏ｜Ｔ｛［０ｆ５＾＾］

ｍ２＜／＞２／２

２＃４／４！］

ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ｝ ０（ｘ１）．．．０（ｘｗ）｜Ｏ＞

ｖａｃｕｕｍ

－

－

ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ｝

ｘ

（６．７．１６）

ｘ０（ｘ１）．．．０（ｘＮ）｜Ｏ？． Ｗｅ ｎｏｗ ｕｓｅ ｔｈｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ （６．６．２１） ｗｉｔｈ

Ａ

＝

０

ｔｏ

ｇｉｖｅ （６．７．１７）

ｚｄＧＮ／ｄｚ＝－ＮＧＮ／２． Ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ

ｉ．ｅ．，

＜Ｏ｜Ｔ＜／＞（ｘ１）．．．０（ｘＮ）｜Ｏ＞

ｚ－＾２＜Ｏ｜Ｔ０＇（ｘ１）．．．０＇（ｘＮ）｜Ｏ＞，

＝

（６．７．１８）

ｅｘａｃｔｌｙ ａｓ ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｅｘｐｅｃｔ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｏｎｌｙ ｂｅｃａｕｓｅ ｗｅ ａｒｅ ｓｈｉｆｔｉｎｇ ｔｅｒｍｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ａｎｄ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎｓ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｍｕｓｔ ｅｎｓｕｒｅ

ｔｈａｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｄｏ ｎｏｔ ｇｏ ａｓｔｒａｙ．

６．８ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ

＜ｆ＞２

ａｎｄ ｍ２

ｇ２ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ Ｚａ ｆｏｒ ＜ｆ＞２ ｉｎ （６．２．１３） ａｎｄ ｍ＼ｊｍ２． Ｔｈｉｓ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｓ ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｐｒｏｖｅ． （Ｗｅ ａｒｅ ｎｏｗ ｂａｃｋ ｉｎ ０３ ｔｈｅｏｒｙ ａｔ

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ａｔ ｏｒｄｅｒ

（６．２．１１） ｉｓ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ ｔｒｕｅ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ， ｄ

６．） Ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｏｒｍｕｌａ

＝

ｄｍ２

ＧＮ

＝

ｉ

Ｉ ｄ４ｙ＜ ０｜ Ｔ＜ ｍ２＾－＾；

—

ｖａｃｕｕｍ

ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ

＞ ｘ

Ｘ（ｊ）（ｘｌ）．．．（ｊ）（ｘＮ）＼０｝ －１

２ Ｂｕｔ

ｗｅ

２

－ｍｚ

ｄ４ＫＯ｜ｒ｛［０２］－＜ｏ｜［０２］｜ｏ＞｝０（ｘ１）．．．０（ｘＮ）｜ｏ＞．

ａｌｓｏ ｈａｖｅ

（６．８．１） ｉｆ

＝

｛ｄ＜ｊ＞０）２／２

－

ｍ２Ｚｍ０２／２

－

０ｏ＾／６，

（６．８．２）

６，８ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ＜ｆ＞２ ａｎｄ ｍ２ ｓｏ

１６７

ｔｈａｔ

ｍ２ｄ￡？／ｄｍ２

＝

－

ｍ２Ｚｍ＜＾／２．

（６．８．３）

Ｈｅｎｃｅ ８ ｄｍ２

Ｎ

２

ｄｄｙ＜Ｏ｜Ｔ｛＾－＜Ｏ｜０２｜Ｏ＞｝０（ｘ１）．．．＾（ｘＮ）｜Ｏ＞． （６．８．４）

Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｄＶＭ＝

ｄ＞ｏ＾，

（６．８．５）

ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｄｅｓｉｒｅｄ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｌｌｏｗｓ． Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ Ｂｒｏｗｎ （１９８０） ａｎｄ Ｂｒｏｗｎ ＆ Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９８０）．

７ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

Ａｓ

ｗｅ ｓａｗ

ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ ３，

ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ： ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ

ａ

ｇｒａｐｈ

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

ｈａｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｅ

ｍｕｓｔ ｃａｎｃｅｌ ｉｔｓ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｂｕｔ

ｍａｙ ｃｏｎｔａｉｎ ａｎｙ ａｍｏｕｎｔ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔ． Ａ ｒｕｌｅ ｆｏｒ ｃｈｏｏｓｉｎｇ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｗｅ ｃａｌｌｅｄ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｉｎ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ ｉｔ

ｅｘａｍｐｌｅｓ ｔｈａｔ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｂｙ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ， ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｅａｃｈ ｔｏ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｕｓ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｕｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ ｂｙ ｗａｓ

ｃｌｅａｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｃａｎ

ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｍａｓｓ． Ｗｈａｔ ｉｓ ｎｏｔ ｓｏ ｅａｓｙ ｉｓ ｔｏ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｉｓ ｔｒｕｅ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ． Ｔｈｉｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．１． Ｔｈｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｕｎｄｅｒ ｓｕｃｈ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ （ＲＧ） ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｕｓｅｆｕｌ ｔｙｐｅ ｏｆ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍａｓｓ ＼ｉ． Ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｃｈａｎｇｅｓ ａｒｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｌｙ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｂｙ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ， ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ

ｏｆ

ｔｈｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｅｒｉｖｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．３． Ｔｈｉｓ ｌｅａｄｓ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｔｈｉｓ ｃｏｎｃｅｐｔ ｉｓ ｖｅｒｙ ｕｓｅｆｕｌ ｉｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ， ａｓ ｅｘｐｌａｉｎｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．４． Ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｒｅ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｎｄ ａｒｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａ ｔｈｅｏｒｙ． Ｖａｒｉｏｕｓ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌｉｓｍ ｏｃｃｕｐｙ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

ｉｎ

ｔｈｅ

ｓｅｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｗａｓ ｆｉｒｓｔ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｂｙ Ｓｔｕｅｃｋｅｌｂｅｒｇ ＆ Ｐｅｔｅｒｍａｎｎ （１９５３） ａｎｄ ｂｙ Ｇｅｌｌ－Ｍａｎｎ ＆ Ｌｏｗ （１９５４）． Ｖｅｒｙ ｓｉｍｉｌａｒ ｉｄｅａｓ ａｒｅ

ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｐｈｙｓｉｃｓ （Ｗｉｌｓｏｎ ＆ Ｋｏｇｕｔ （１９７４））． Ｍａｎｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ａｒｉｓｅ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｒｅｅｄｏｍ ｏｆ ＱＣＤ． Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｃａｎ ｂｅ

ｒｅｃｅｎｔ

ｆｏｕｎｄ ｉｎ ｍａｎｙ ｐｌａｃｅｓ： （１） Ｇｒｏｓｓ （１９７６） ｌｉｓｔｓ ｍａｎｙ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｓｃａｌａｒｓ ａｎｄ ｆｅｒｍｉｏｎｓ ａｎｄ ｕｐ ｔｏ ｔｗｏ ｌｏｏｐｓ ｆｏｒ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｏｎｌｙ ｆｅｒｍｉｏｎｓ．

（２） Ｃｈｅｎｇ， Ｅｉｃｈｔｅｎ

＆ Ｌｉ （１９７４） ｇｉｖｅ ｔｈｅ ＾－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ．

１６８

ａ

ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚ－

Ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

７．１

１６９

（３） Ｔａｒａｓｏｖ， Ｖｌａｄｉｍｉｒｏｖ＆ Ｚｈａｒｋｏｖ （１９８０） ｃｏｍｐｕｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ ｇｒｏｕｐ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｔｏ ｔｈｒｅｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ ｉｎ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｆｅｒｍｉｏｎｓ

ｕｓｉｎｇ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． （４） Ｖｌａｄｉｍｉｒｏｖ， Ｋａｚａｋｏｖ ＆ Ｔａｒａｓｏｖ （１９７９） ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｏ ｆｏｕｒ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ ｉｎ

＜／＞４ ｔｈｅｏｒｙ． （５） Ｃｈｅｔｙｒｋｉｎ， Ｋａｔａｅｖ

＆ Ｔｋａｃｈｏｖ （１９８１） ａｎｄ Ｃｈｅｔｙｒｋｉｎ ＆ Ｔｋａｃｈｏｖ （１９８１） ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｎ ￥４ ｔｈｅｏｒｙ ａｔ ｆｉｖｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ． （６） Ｔｋａｃｈｏｖ （１９８１） ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． （７） Ｃａｓｗｅｌｌ

＆ Ｚａｎｏｎ （１９８１）

ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｔ

ｔｈｒｅｅ－ｌｏｏｐ ７．１

Ｃｈａｎｇｅ

ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｗｉｌｌ

ｗｅ

ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅ， ｂｕｔ

ａｌｌ，

ｗｅ ｃａｎ

ｗｉｌｌ ｄｅｓｃｒｉｂｅ

０３ ｔｈｅｏｒｙ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

ｖａｌｉｄ ｆｏｒ ａｎｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｏ ｂｅ

ａｒｅ

ｉｎ ｓｉｘ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ｔｈｒｅｅ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ， ｆｏｒｍｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｆｉｒｓｔ ｏｆ

ｗｒｉｔｅ ｉｔ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｆｉｅｌｄ ＜／＞０： ｉｆ

（Ａｓ ｂｅｆｏｒｅ，

ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｍａｉｎｌｙ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｅ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｕｓｉｎｇ ａｓ ａ ｓｏｕｒｃｅ

ｓｐｅｃｉｆｉｃ， ｏｆ ｅｘａｍｐｌｅｓ， ｔｈｅ ｗｅ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｓｕｐｅｒｓｙｍｍｅｔｒｉｃ

Ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ

７．１．１

Ｔｈｅ

ｐｅｒｆｏｒｍ

ｏｒｄｅｒ．

ｗｅ

＝

（ｄ＜ｊ＞０）２／２

－

ｍ２０＜ｆ＞２０／２

－

ｇ０＜ｔ＞３０／６．

（７．１．１ａ）

ｉｇｎｏｒｅ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｌｉｎｅａｒ ｉｎ ＜／＞．） Ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｆｏｒｍ ｉｓ ０Ｏ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｆｉｅｌｄ

ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ， ｂｅｃａｕｓｅ ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ． ｅｑｕａｌ－ｔｉｍｅ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ： ｉｔｓ Ｗｈｅｎ

ｗｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ，

ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ ＜／＞

＝

Ｚ￣

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ Ｓｅ

＝

＝

１／２０ｏ．

Ｚ（ｄｃｆ＞）２／２ Ｚ（ｄ＜ｔ＞）２／２

－

－

ｗｅ

ｏｂｔａｉｎ ｆｉｎｉｔｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ

Ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｍ２０Ｚｃｆ＞２／２

－

ｆｉｅｌｄ， ｔｈｅ

ｇ０Ｚ＾２＾／６

ｍ２Ｂ（ｊ＞２／２ －ｇＢ＜ｊ＞＇ｌ６．

（７．１．１６）

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｆｏｒｍｓ． Ｉｎ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ｗｅ ｗｒｏｔｅ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ａｓ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ａ ｆｒｅｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ａ ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ａｎｄ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ： ＝

ｉｆｂａｓｉｃ

＋

（７．１．１ｃ）

ｉ？ｃｔ．

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｈｅｒｅ，

ｗｅ

ｈａｖｅ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ

ａ

１７０ ｂａｓｉｃ

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ＾ｂａｓｉｃ

＝

（ｄ＜Ｐ）２／２

－

ｍ２＜ｔ＞２／２

－

（７．１．２）

ｆｉ３－ｄ＇２ｇ＜ｐ３／６，

ｍ ａｎｄ ｇ ａｒｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｍａｓｓ ａｎｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｓｉｎｃｅ ｗｅ ｗｉｌｌ ｍｏｓｔｌｙ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｉｔ ｉｓ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｇ ｔｏ ｂｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ， ａｎｄ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｏ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ＼ｉ． Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ

ｗｈｅｒｅ ｕｓｅ

５￡ｃｘ

＝

ｂＺ（ｄ（ｆ））２／２

－

ｂｍ２（ｊ）２／２

－

（７．１．３）

ｂｇ＾／６，

ｂｍ２， ａｎｄ ｂｇ ａｒｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ａｓ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｎｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ｓｏｍｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． ｇ， ＼ｉ Ｔｏ ｂｅ ｃｏｎｃｒｅｔｅ， ｌｅｔ ｕｓ ｕｓｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｓｏ ｔｈａｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｂＺ， ｍ

ｂＺ＝

￡

（７．１ Ａａ）

（６－ｒｆ）－Ｖ７．（０，ｍ，／ｉ）， ００

ｂｍ２

Ｓｇ

＝

ｍ２

＝

＾－－／２

￡

（６

－

Ｊ

ｄ）－Ｊｂｊ｛ｇ９ｍ９ｒｉ９

（６

＿

７＝１

（７．１．４６）

ｄ）－ｊａｊ｛ｇ＾ｍ＾ｙ

（７．１．４ｃ）

Ｗｅ ｓａｗ， ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．８， ｔｈａｔ ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｔ， ｂｉ９ ｃ｛ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｍ ａｎｄ ＼ｉ＼ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ ｏｎｌｙ．

ｏｆ

Ｈｏｗｅｖｅｒ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｎｏｔ

ｕｓｅ

ｔｈｉｓ ｆａｃｔ ａｔ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔ．

Ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｆｏｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｌｉｓｔｅｄ ｉｎ （７．１．１） ａｒｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ａｎｙ ｏｆ ｔｈｅｍ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ －

ｗｉｌｌ ｒｅｓｕｌｔ． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ Ｚ， ６ ｗｉｔｈ ＃，ｍ， ａｎｄ ＼ｉ ｆｉｘｅｄ． Ｔｈｅ

ｍ２，， ａｎｄ ｇ０ ｗｉｌｌ ｂｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｗｈｅｎ ｄ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ

ｗｉｌｌ ｂｅ ｊｕｓｔ

ｓｕｃｈ

ａｓ ｔｏ

ｇｉｖｅ

ｆｉｎｉｔｅ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ０ ａｔ ｄ ６． Ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｙ ｇ， ｍ， ａｎｄ ＼ｉ ｉｓ ｒａｔｈｅｒ ａｒｂｉｔｒａｒｙ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｃｈａｎｇｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｔｏ ｇ＼ ｍ＼ ａｎｄ ＼ｉ， ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ＝

ｇｉｖｅｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇ， ｍ， ａｎｄ ＼ｉ． Ｔｈｅｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｍａｙ ｅｖｅｎ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ， ｄ， ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ ｒｅｍａｉｎｓ ｎｏｎ－ｓｉｎｇｕｌａｒ ａｔ ｄ ６． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｇｅｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ＧＮ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． Ｉｔ ｉｓ ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｍａｓｓ ａｎｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ｃｈａｎｇｅｄ． Ｗｅ ｍａｙ ｅｖｅｎ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｓｃａｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ ｂｙ ｗｒｉｔｉｎｇ ＜／＞＇ （０， ｗｈｅｒｅ （ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｎｏｗ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ：

ｓｏｍｅ

＝

＝

Ｇ＇Ｎ

＝

ＺＮＧＮ．

ｐｈｙｓｉｃａｌ ｏｂｓｅｒｖａｂｌｅ ｌｉｋｅ ｔｈｅ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｎ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ Ｎ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ． Ｉｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ＧＮ ｂｙ （１） ｄｉｖｉｄｉｎｇ ｏｕｔ ａｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ Ｇ２（Ｐｉ） ｆｏｒ Ｂｕｔ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ （ｉｓ ｉｒｒｅｌｅｖａｎｔ ｆｏｒ

ａ

７．１

Ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

１１１

ｅａｃｈ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅ ａｎｄ （２） ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ ｂｙ ｚ１＇２ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅ， ｗｈｅｒｅ ｉｚ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｏｆ Ｔｈｕｓ Ｓ＝ ＝

Ｇ２（ｐ）． Ｆｉｎａｌｌｙ ｗｅ

ｌｅｔ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｐｔ ｇｏ ｏｎ－ｓｈｅｌｌ．

＼ｇｎｚｎ＇２／ｙ［Ｇ２｝ Ｉ

ｌｉｍ

ｐ＾ｍ＊ｈ Ｉ

）

ｉ＝ｌ

＼ｉｍ｛Ｇ＇Ｎ｛＾２ｆｌＹ＼Ｇ＇２）．

（７．１．５）

Ｂｕｔ

Ｇ２ ｓｏ

ｔｈｅ

＝

（７．１．６）

Ｃ２Ｇ２，

ｐａｒｔｉｃｌｅ ｐｏｌｅ ｉｓ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｉｎ Ｇ２ ａｓ ｉｎ Ｇ２ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｅｗ ｒｅｓｉｄｕｅ

ｉｓ ｚ＇

＝

ｔ２ｚ．

（７．１．７）

Ｈｅｎｃｅ

Ｓ＝＼ｉｍ｛Ｇ＇Ｎ（ｚ＇Ｖ２）Ｎ／Ｙ＼Ｇ＇２｝． ａｎｄ

ｔｈｅ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ，

ａｓ

（７．１．８）

ｃｌａｉｍｅｄ．

７．１．２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ

ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ｓｏ ｔｈｅｒｅ ｔｗｏ－ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ

Ｉｎ ｔｈｅ ｂａｒｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （７．１．１ａ）， ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ｏｎｌｙ

ｔｗｏ

ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｏｎｌｙ ａ ｆｒｏｍ ｉｔ． Ａｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｊｕｓｔ ｓｅｅｎ， ｔｈｅ ｆｒｅｅｄｏｍ ｔｏ ｖａｒｙ ｔｈｅ ｓｃａｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ

ｃｆ＞ ｉｎ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ａ ｔｈｉｒｄ ｒｅａｌ

ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｆｏｒｍ ｏｆ ￡￡， ｖｉｚ．

（７．１．１６）， ｄｏｅｓ

ｎｏｔ

ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃｓ．

Ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ， ｗｅ ａｐｐｅａｒ ｔｏ ｈａｖｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ａ ｌａｒｇｅ ａｎｄ ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｂｙ ｈａｖｉｎｇ ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ｏｎｅ ｏｕｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅｌｙ ｍａｎｙ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ． Ｏｎｅ ｍｉｇｈｔ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｉｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ， ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｍ０ ａｎｄ ｇ０ ａｓ ｄ－＾６ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｉｎ ｓｕｃｈ ａ ｗａｙ ｔｈａｔ ｏｎｅ ｐｉｃｋｓ ｕｐ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｈａｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ ｆａｃｔ， ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ｓｏ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ａ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ７．１．１． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｇｒｏｕｐ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｅｖｅｎ ｗｉｔｈｉｎ

ａ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ

ａｓ

ｓｉｎｇｌｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ， ｗｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－

ｈａｖｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ

ｔｈｉｒｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ， ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ， ｐ． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ａ

ｄｏｅｓ

ａｎｄ ｇ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｐ３ ￣ｄｌ２ｇ＼ ｂｕｔ ｎｏｔｉｃｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｉｓ ｎｏｔ ｔｒｕｅ ｆｏｒ， ｓａｙ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ｎｏｔ ｄｅｐｅｎｄ

ｏｎ ｐ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｔ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ａ

ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｐ ｉｓ

ｉｎ ｅｆｆｅｃｔ ａ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｉｎｄｅｅｄ， ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ｔｈａｔ ｐ ａｎｄ

ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｗｅ

ｃｏｕｌｄ ｉｎｃｌｕｄｅ ｉｎ

ｏｕｒ ｍ

ｃｈａｎｇｅ

ｉｎ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｈａｖｅ

ａ

ｆｉｘｅｄ

１７２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｒａｔｉｏ；

ｗｅ

ｗｏｕｌｄ ｓｔｉｌｌ ｈａｖｅ ｔｗｏ ｆｒｅｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｉｓ ｒａｔｉｏ ｉｓ ｔｈｅｎ

ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｏｕｒ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ ｇｒｏｕｐ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｗｉｌｌ， ｉｎ ｆａｃｔ， ｏｎｌｙ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｃｏｖｅｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｐ． Ｔｈｅ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｉｆ ｗｅ ｃｈａｎｇｅ ｐ ｔｏ ＼ｉ＇， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃｓ ｉｓ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ， ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｎｅｗ ｖａｌｕｅｓ， ｇ＇ ａｎｄ ｍ＇， ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｍａｓｓ． Ｔｈａｔ ｉｓ， ａｎ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ Ｓ（ｇ９ｍ，ｐ） ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ａ

Ｓ（ｇ９ｍ９ｆｉ） Ｔｈｅ ｂａｒｅ Ｔｈｅ

Ｓ（ｇ＇９ｍ＼ｆｉｆ）．

ａｎｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｍ０ ａｎｄ ｇ０ ａｒｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ ０＇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｍａｓｓ

ｎｅｗ

ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｓ ｎｏｔ ｔｈｅ

ｗｈｅｒｅ （ｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

＝

ａ

ｓａｍｅ ａｓ

ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． ｎｅｗ ｖａｌｕｅｓ （ｇ＼ｍ＼ｐ）

ｏｆ ｔｈｅ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｌｄ ｖａｌｕｅｓ ｂｕｔ ｉｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｂｙ

ｆｉｎｉｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇ９ ｍ， ＼ｉ ａｎｄ ｐ． Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ｓａｔｉｓｆｙ ＧＮ（ｐ１，－．．，ｐＮ；ｇ，ｍ９ｐ）

＝

＝

Ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ

ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ， ｉｎ

ｏｕｒ

＜／＞＇，

ｐｒｏｏｆ，

（７．１．９）

ｃｏｍｐｕｔｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｏ

ｖａｌｕｅ ｐ！ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ． Ｎｏｗ， ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ

ｏｒｉｇｉｎａｌ ｆｉｅｌｄ ０， ｂｕｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｆｉｅｌｄ

ｔ－ＮＧＮ（ｐｌ９．．．９ｐＮ；ｇ＇９ｍ，９ｆｉ＇） ＣＮＧ＇Ｎ．

＜￡

＝

ｎｅｗ

Ｚ＇ｄ（ｆ）＇２／２

－

ｍ＇Ｂ２＜ｊ），２／２

－

ｇ＇＾／６．

（７．１．１０）

Ｈｅｒｅ ｗｅ ｗｒｉｔｅ Ｚ＇

＝

ｍ＇２

＝

９Ｂ

＝

Ｚ｛ｇ＇９ｍ＇ｌｐ＇９ｄ）９

（７．１．１１ａ）

ｍ２Ｂ｛ｇ＇９ｍ＇９ｐ＇９ｄ）９

（７．１．１１ｂ）

９Ｂ（ｇ＇＾＇＞ｄ）．

（７．１．１１ｃ）

ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｗ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｍ＼ ｇ＼ ａｎｄ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｂａｒｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗｅｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｌｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ＼ｘ ａｎｄ ｍ， ｇ， ｐ． Ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｆｉｅｌｄ ０ ｂｕｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｎｅｗ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ， ｗｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ ￡０ ｆｏｒ ０＇ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

Ｔｈｅｓｅ ａｓ

Ｓ￡

＝

Ｚ（０＇，ｍｙ／／，ｒｆ）Ｃ２＃７２

－

ｍ２Ｂ｛ｇ＼ｍ＇ＷＭ２＜ｂ２

－ｇＢ（ｇ＼ｍ＼ｆｉ＼ｄ）Ｃ３（ｔ＞３／６． ７．１．３ Ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ Ｌｅｔ

（７．１．１２）

ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｒｅｍｉｎｄ ｏｕｒｓｅｌｖｅｓ ｈｏｗ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅｓ ｉｎ ｇ ａｎｄ ｍ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｔ ｏｎｅ－ ｏｒｄｅｒ．， Ｗｅ ｍｕｓｔ ｓｔａｒｔ ａｔ ｔｒｅｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｉｇｎｏｒｅ ａｌｌ

ｕｓ

ｌｏｏｐ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｗｏ ｆｏｒｍｕｌａｅ

（７．１．１６） ａｎｄ （７．１．１２） ｆｏｒ

５￡ ｂｅ

Ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａ ｔｉｏｎ ｐ ｒｅｓｃｒｉｐｔ ｉｏｎ

７．１ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｉｎ ｔｒｅｅ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｗｈｅｎ ０＇

＝

０ｎ．ｗ

ｍ＇

＝

ｍ，

Ｃ

＝

＝

ｗｅ

ｃｈａｎｇｅ

＼ｉ ｔｏ

ｐ，＼

１７ ３

ｗｅ ｍｕｓｔ

ｗｒｉｔｅ

（／Ｖ／Ｏ３＂ｄ／２０，

１． （Ａｌｌ ｔｒｅｅ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ．）

（７．１．１３）

６ ｗｅ ｈａｖｅ ｇ＇ ｇ ｔｏ ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ． Ｗｅ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ ｇ＇ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｇ＇ ｉｎ ｔｒｅｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ． Ｉｎ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ， ｇ＇ ｇｅｔｓ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ， ｂｕｔ ＃ｎｃｗ ｗｉｌｌ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｏ ｂｅ Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ａｔ ｄ

０ｎｅｗ： ０ｎｅｗ

＝

＝

ｌｓ

（＼ｉｌ＼ｉ？￣ｄｌｌｇ ａｌｗａｙｓ． Ｔｏ ｔｒｅａｔ

ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ， ５￡

＝

ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ

ｗｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （７．１．１２）

（８＜ｔ＞）２／２ ｍ２＜ｔ＞２／２ ｉｉ＊－＊２［ｇ（ｉｉｌｉｔｆ－＇ｌ２Ｗｌ６ ＋ ｄ＇Ｚ（ｄ（ｆ））２／２ ｄ＇ｍ２（ｆ）２／２ （５Ｖｙ＜／＞７６． －

ａｓ

－

－

－

（７．１．１４）

Ｏｕｒ ｓｔｒａｔｅｇｙ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｏ ｅｘｐｒｅｓｓ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ （７．１．１４） ａｓ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｐｌｕｓ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｆｉｎｉｔｅ ｐｉｅｃｅｓ． Ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐｉｅｃｅｓ ｗｉｌｌ

ａｃｃｏｍｐｌｉｓｈ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｆｉｒｓｔ ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ， Ｆｉｇ．

３．１．１． Ｔｈｅ

＊）ｒ／２－２（４Ｖ）３－＇／２－

（７．１．１５）

ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｉｓ

ｒ？ Ｔｈｉｓ

＝

＇ｇ２？－）２０￣３ｒｆ／２） Ｊｆ １２Ｓ７Ｔ

ｉｓ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ

ｇ（ｌｉ／ｆｉ＇）３￣ｄ／２）．

Ｉｆ

ｄｘ

１＞２

－

Ｐ２＊＊１

－

０

ｕｎｄｅｒ

ｗｅ ｕｓｅ

ｔｈｅ

ｕｎｉｔ ｏｆ

（／＊， ｍ， ＃）－？（／＊＇， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｍａｓｓ ＼ｉ，

ｍ，

Ｃ（ｒｉ）＝－ｐｏｌｅ（ｒｉ）

Ｎｅｘｔ

ａｎｄ ｇｎｅｗ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｃｈａｎｇｅｓ ｔｏ ｗｅ

ｕｓｅ

＼ｉ

＝

（ｎ／ｖ＇）３￣ｄ／２ｇ

ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ＼ｉ ａｎｄ ｇ． Ｔｈｅ

Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ＣｆＴＪ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｐａｒｔ ｏｆ Ｙｘ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ＃ｎｅｗ ｉｇｎｏｒｅｄ． Ｔｈａｔ ｉｓ， ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｔｉ ｒｉ（Ｐ＞０ｎｅｗ＞ｍ＞ＡＯ ａｎｄ ｅｘｔｒａｃｔ ｉｔｓ ｐｏｌｅ ａｔ ｄ ６ ｗｉｔｈ ｇｎｃｗ ｆｉｘｅｄ． Ｔｈｉｓ ＝

＝

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｍａｙ ｌａｔｅｒ ｒｅｐｌａｃｅ ｇｎｃｗ ｂｙ ｉｔｓ ｖａｌｕｅ ａｔ ｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ． Ｓｉｎｃｅ ｂｏｔｈ Ｃ＾） ａｎｄ Ｃ＇ｉＦＪ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｔｈｅｉｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ

＝

ｆｉｎｉｔｅ． Ｗｅ ｍａｙ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

６

ｉｓ

ｖａｌｕｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｐｌｕｓ

１７４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｂｙ ｌｅｔｔｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｎｄ ｂ＇ｍ２， ｅａｃｈ ｂｅ ａ ｓｕｍ ｏｆ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ： ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｉｎ

（７．１．１４）， ｎａｍｅｌｙ ｂ＇Ｚ

（７．１．１８）

３Ｓ４ｎ３（ｄ－６）

３８４ｔｔ

６４ｗ３（ｄ－６）

６４ｔｔ３

［

（７．１．１９）

ｄ－６

Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｉｎ ｅａｃｈ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｅｗ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ ｄ －？ ６． Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ （７．１．１２） ｆｏｒ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ，

Ｃ２

＝

＝

ｗｅ

ｍａｙ ｒｅｇｒｏｕｐ ｔｈｅｓｅ ｔｅｒｍｓ ｔｏ

／ｎｅｗ

ｌ ＋

３８４ｔｔ３

ｄ－６

９２

１ Ｈ ＋

３８４ｒｃ３

Ｉ

６４ｋ３

Ｈｅｎｃｅ

（７．１．２０）

ｄ－６

Ｌ

（７．１．２１）

ｄ－６

ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｍ＇：

ｗｅ

ｍ＇２

１ ＋

ｍ２

＝

１ ＋

？ｍ

Ａｌｓｏ ａｔ ｄ

ｇｉｖｅ

＝

６

ｗｅ

３｜＿

Ｓｇ２ ３８４ｔｔ：

＋

ｄ－６

■ＩｎＭＯ

＋

Ｏｆｏ＊）

０ｔｅ４） ａｓ

ｄ－＞６．

（７．１．２２）

ｈａｖｅ Ｃ（ｄ

Ｗｅ ｃａｎ

Ｓｇ２

３８４ｔｔ

ａｐｐｌｙ ｔｈｅ

＝

６）

ｓａｍｅ

ｖａｌｕｅ ｉｓ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ｃｕｒｌｙ

ｌ ＋

＝

７６８ｗ：

？Ｉｎ

（ｆｉ／ｆｉ＇） ＋ ０（ｇ４）．

（７．１．２３）

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔｏ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｇｒａｐｈ， Ｆｉｇ． ３．６．１， ｗｈｏｓｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｉｎ （５．３．５）． Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｂ＇ｇ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ

ａｓ ３

．３

？＇３＂ｄ／２

？ｎｅｗｒ

．

６４ｎ３（ｄ

－

６）

，／３－ｄ／２ ｐ＇３－ｄ／２ｒ（＾）ｆｅ－ｄ－ｉ ６４ｊｒ ｒｔｒｃ３ ｄ－６

ｏｎｅｗ

｜＿

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ

Ｃ３ｇ＇ｎ＇３－ｄ／２

＝

２ ？ｎｅｗ

ｇ＾ｎ＇３－ｄｌ２Ｕ ＋ ６４ｊｒ３ ｒ＾２ ｄ－６

（７．１．２４）

７．１

Ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

１７５

Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ９＇

＝

９（ｎ／ｆｉ＇）ｒ＼３－ｄ／２ １ ＋ Ｌ

Ｏｕｒ

６－ｄ＂

■｛Ｍｌ１１１

ｌ１＋２５６７ｒ３Ｌ

３＾２

０（ｇ４）＼

Ｍ（ｐ／ｐ＇） ＋

２５６７Ｔ３

＋

ｄ－６

Ｏ（０４） （７．１．２６）

ａｓｄ－＞６．

ｊ

ｓｔｒａｔｅｇｙ ｆｏｒ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ａｂｓｏｒｂ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｉｎｔｏ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｗｉｌｌ ｉｔｓｅｌｆ ｇｅｎｅｒａｔｅ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｔｈｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｂｉｇｇｅｒ ｇｒａｐｈ． Ｆｉｎａｌｌｙ ｗｅ ｒｅｏｒｇａｎｉｚｅ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｂｙ ｐｕｔｔｉｎｇ ａｌｌ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｄ ｂｙ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｗｈｅｎ ｗｅ ｉｎｓｅｒｔ ｉｔ

ｉｎｔｏ ａ

ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｈａｔ ｈａｐｐｅｎｓ ｗｈｅｎ ｗｅ ｇｏ ｔｏ

ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ？ Ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． ７．１．１（ａ）． Ｇｒａｐｈｓ （ｆｔ）， （ｃ）， ａｎｄ （ｄ） ｒｅｎｏｒｍａｌ－ ｉｚｅ ｉｔｓ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｎｄ ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｐ ａｓ

￡ｉ（ｐ，ｆｌｆ，ｗ，／ｉ）

Ｚａ

＝

（Ｗｅ ｔｈａｔＺｆｃ Ｚｃ．） ｗｅ ｒｅｐｌａｃｅ ｐ ｂｙ ｐ ａｎｄ ｇ ｂｙ ＃ｎｅｗ． ｅｘａｃｔｌｙ ａｓ ａｔ （７．１．２４）， ｓｏ ｔｈａｔ： ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｆａｃｔ

Ｚｂ（ｐ， ｇ， ｗ， ｐ）

＝

＝

＋

２Ｚ６

＋

（７．１．２７）

Ｚｄ．

Ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

Ｚｆｃ（ｐ， ＃ｎｅｗ， ｍ， ｐ＇）

ｇｒａｐｈ

ｉｓ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ ｉｆ

＋

Ｂｕｔ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｔｒｅａｔｅｄ

［Ｚｆｃ（ｐ， ｇ， ｍ， ｐ）

Ｓ６（ｐ， ＃ｎｅｗ， ｍ， ｐ＇）＼

－

（７．１．２８） Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ

ｂｙ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｓ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｕｎｉｔ ｏｆ

ｏｎｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ｍａｓｓ ｐ．

ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ． Ｉｔ ｈａｓ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

（ａ）

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ， ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｅｘａｃｔｌｙ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ

Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ

（Ｗ

－Ｘ－ （ｄ） （ｃ） Ｆｉｇ． ７．１．１． Ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ．

１７６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｐａｒｔ ｉｎ （７．１．２４）， ｖｉｚ． Ａｇ

Ｗｅ

ｎｏｗ

￡１

＝

Ｓ？（Ｐ？

＾ｎｅＷＪ ？＞

６４ｔｔ３

／Ｏ

ｊ２ｒｉ

ｗｅ ｗｒｏｔｅ ｏｕｔ

Ｚｊ ｗｉｔｈ

ａ３ ｕ＇３－ｄｉ２ ｙ＾＾

（７．１．２９）

］＇

ｄ－６

ｗｒｉｔｅ

＋

Ｈｅｒｅ

＝

ｕｎｉｔ ｏｆ

２Ｚｂ（ｐ， ＃ｎｅｗ， ｍ， ／／）

＋

＋

Ｚｄ（ｐ， ＃ｎｅｗ， ｍ， ／／）

＾ｒ＾ｊ＋ Ｚｄ（Ａ＾ｗ，＾）－Ｚｄ（ｐ，＾ｎｅｗ，ｗ，＾）＞． （７．１．３０） ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｈｒｅｅ ｔｅｒｍｓ

ｍａｓｓ ＼ｊｌ

２ｒｌＡ＃／（＃ｎｅｗ／／３￣ｄ／２）

．

ａｓ

ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ

Ｚ１ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｏｆ ｉｔｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ａ

Ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ， ｓｉｎｃｅ

ｉｓ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ Ａｇ．

Ｉｔ ｈａｓ ａ

ｍｉｎｉｍａｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ： Ｃ Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｉｎ

２ｒｉＡｇ ｇ＾￣ｄｌ２

－ｉ／＞２）． ｉ＾＝Ｈｍ２ ６）

＝

６４７ｒ３（ｒｆ

（７．１．３１）

－

ｃｕｒｌｙ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｉｓ ＋ ２Ｃ

＋

［Ｓｄ（ｐ，ｇ， ｍ， ／ｉ）

－

Ｓｄ（ｐ， ｇｎｅｗ， ｍ， ／ｉ＇）

－

２Ｃ］． （７．１．３２）

Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ ｎｏ

ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ．

Ｉｔ ｉｓ ｏｆ

ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｉ（ ａｎｄ

ｓｏ

ｇｉｖｅｓ

－

Ａｍ２

＋

ＡＺｐ２），

ｒｉｓｅ ｔｏ ａｎｏｔｈｅｒ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｍ＇２ ａｎｄ ｔｏ ￡．

７．２ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ＲＧ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ Ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ ｏｆ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈａｔ ｇ＼ ｍ＇ ａｎｄ （ ｃａｎ ｂｅ ｃｈｏｓｅｎ ｓｏ ｔｈａｔ （７．１．９） ｈｏｌｄｓ， ｗｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｆｒｏｍ ｏｕｒ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ

（３ｇ＇ｎ＇３－＜＂２＝ｇｎ３－＜＂２ ＋ Ａｇ， Ｃ２ １ ＋ ＡＣ２， Ｃ２ｍ＇２ ｍ２ ＋ Ａｍ２． ＝

＝

（７．２．１）

Ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｗｉｔｈ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ｆｉ： ＆

Ｗｅ

ｎｏｗ

ｃｈａｎｇｅ

＝

＆ｂｉｓｉｃ

ｔｏ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ

＼ｉ＇

＋

＆ｃｔ（ｎ）－

ａｎｄ ｗｉｓｈ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

（７－２－２） ｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙ

ｔｈｅ

Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ＲＧ

７．２

ｓａｍｅ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｏｔａｌ

ｃｈａｎｇｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （７．２．１）． Ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｗｒｉｔｔｅｎ ｃｐ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

Ｐｈａｓｉｃ

（Ａｓ ｂｅｆｏｒｅ，

＝

ｄｅｆｉｎｅ ＃ｎｅｗ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ＇

＾ｃ

＝

ｃｐ

＊＊＾

ｔｈｅ

ａｒｅ

ｏｂｔａｉｎｅｄ ｉｆ

ｍａｋｅ

ｗｅ

ｂａｓｉｃ

（７．２．３）

－Ｌ．ｃｐ－Ｌ．ｃｐｆ ＇ ＂＂＾ ＇ °＾ ｃ

ｓａｍｅ ａｓ

ｃｖ

ｂｅｆｏｒｅ， ｂｕｔ ｗｒｉｔｔｅｎ

ａｓ

（７．２．４） ｍ２？／？２／２ －ｇｎｅｖ，ｎ＇３－＂＾／６． （／ｉ／／／）３￣ｄ／２＃．） Ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｉｆｃ ｉｓ ａ ＇ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｎｇ

（＃）７２

ｗｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

１７７

ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

—

°＾

ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ

＝

－

Ａ（２ｄ（ｆ）２／２

－

Ａｍ２０２／２

－

（７．２．５）

Ａｇ＜ｊ）３／６．

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ￡ｆ＇ｃｔ ｉｎ （７．２．３） ｉｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｕｓｉｎｇ ｍｉｎｉｍａｌ ｍａｓｓ ＼ｉ＇． Ｗｅ ｍａｙ ｌａｔｅｒ ｒｅｏｒｇａｎｉｚｅ （７．２．３） ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｔａｋｅｎ ａｓ ｉｆ ｂａｓｉｃ ＋ Ｊ２？ｃ． Ｗｅ ｍａｙ ｄｒｏｐ ｔｈｅ ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ Ａｇ， ＡＣ２， ａｎｄ Ａｍ２， ｓｉｎｃｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ｗｉｔｈ ｕｎｉｔ ｏｆ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ． Ｆｉｎａｌｌｙ ｗｅ ｍａｙ ｒｅｓｃａｌｅ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ ｔｏ ｇｉｖｅ （７．１．１０）． ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｍｏｓｔ ｅａｓｉｌｙ ｇｉｖｅｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （７．２．３）． Ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ａｓ ａ ｓｕｍ ｏｆ ｔｅｒｍｓ， ｏｎｅ ｆｏｒ ｅａｃｈ ＩＰＩ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｌｅｖａｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ： Ｂｕｔ

ａ

Ａ０＝￡Ａｒ（０），ｅｔｃ．

（７．２．６）

ｒ

Ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ

ｃａｓｅｓ ａｒｅ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

＾．ｉＣ２

＝

ｍ２

＝

Ａ７．ｉ．ｉ（Ｃ２Ｐ２ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌａｂｅｌ

ｏｎ

ｍ２）

ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｃ／ｎｅｗ

－（ｎ＇ｌｎｆ－＜－＼￣ ｄ－６

？２０ｎｅｗ Ｖ／／ｘ）６－＂－ｉ ６４ｎ３

＝

ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．１． Ｔｈｕｓ

３８４ｔｔ３

＆３．６．ｌ９＝Ｈ －

ｔｈｅ

ｄ－６

＇３ －Ｊ／２ ？ｎｅｗ

－

（ｎ＇／ｎ）６－＂－ｉ

６４ｎ２

ｄ－６

ｉ［Ｉ，ｄ（ｐ，ｇ，ｍ，ｎ）

－

Ｚｄ（ｐ， ｇｎｔｗ， ｍ， ｆｔ＇）

Ａ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｈｅ

－

２Ｃ］，

ｆｉｇｕｒｅ ｄｅｐｉｃｔｉｎｇ ｔｈｅ

ｂａｓｉｃ

ｇｒａｐｈ． Ｔｈｅ

ｇｒａｐｈ －

ｇｅｎｅｒａｌ ｐｒｏｏｆ

ｉｓ ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ

ｏｎ

ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ

Ｇ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ ｔｏ ｓｏｍｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

ｇｎ３￣ｄｌ２（ｊ＞３／６ ｗｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｉｔ

ｗｉｔｈ ｕｎｉｔ ｏｆ

ａ

ｇｒａｐｈ．

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ａ

Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

ｍａｓｓ ｆｔ

ｕｓｉｎｇ

ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ

Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．１１． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｇ ｉｓ ｔｈｅｎ Ｒ（Ｇ）

＝

Ｇ＋

￡ Ｃｙ（Ｇ）．

（７．２．７）

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

１７８ Ｈｅｒｅ ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｉｓ

ｏｖｅｒ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｇ ｔｈａｔ ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｄｉｓｊｏｉｎｔ

１ＰＩ

ｇｒａｐｈｓ， ａｎｄ Ｃｙ（Ｇ） ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｏｆ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅｓｅ １ＰＩ ｇｒａｐｈｓ ｂｙ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｗｉｔｈ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ＼ｉ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｗｅ ｃａｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ Ｇ ｗｉｔｈ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ

ｕｎｉｔ

ｏｆ

ｍａｓｓ

ｂｕｔ

＼ｉ

ｗｉｔｈ

ｔｈｅ

ｂａｓｉｃ

ｓａｍｅ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

－＾＾－＂＇Ｗｔｏｇｅｔ Ｒ＇（Ｇ） Ｈｅｒｅ，

ｗｅ ｕｓｅ

ｔｈｅ

ｐｒｉｍｅ

＝

￡ Ｃ＇ｙ（Ｇ）．

Ｇ＋

（７．２．８）

ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ＼ｉ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ

ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｎｇ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｊ＾ｃ ｉｎ （７．２．３）． Ｔｈｅ ａｎｄ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ａｒｒａｎｇｅ ｔｈｅｍ

ｓｏ

ｎｅｗ

ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｖａｌｕｅ Ｒ（Ｇ）． Ｔｈｅ ａｉｍ ｗｉｌｌ ｂｅ ｅｖｅｒｙ １ＰＩ ｇｒａｐｈ ｙ ｔｈａｔ ｉｓ

Ａｙ＇ｓ

ｓｏ

ｇｒａｐｈｓ

ｔｈａｔ ｗｈｅｎ ｔｈｅｙ

ａ ｖｅｒｔｅｘ ｏｒ

ａｒｅ

ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ＼ｉ．

ｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｆｉｎｉｔｅ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｄｅｒｉｖｅ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｎｅｗ ｂａｓｉｃ

ｇｅｎｅｒａｔｅ ｔｈｅ

ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ａｄｄｅｄ ｔｏ

Ｒ＇（Ｇ＼ ｗｅ ｇｅｔ ｂａｃｋ

ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ．

Ａｙ ｆｏｒ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｒｒａｎｇｅ ｔｈｅ

ｔｈａｔ

Ｒ（Ｇ）

＝

Ｒ＇

Ｇ＋Ｘ ＡＶ（Ｇ） ＋ Ａ（Ｇ）

（７．２．９）

＞＇ ￡ Ｇ

Ｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｖｅｒ ｙ ｉｓ ｏｖｅｒ ｐｒｏｄｕｃｔｓ ｏｆ １ ＰＩ ｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ａ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｕｓｉｎｇ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｂｕｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄ－ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ＃ｎｅｗ ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ Ａｙ ｉｇｎｏｒｅｄ （ｓｅｅ ｏｕｒ ｒｅｍａｒｋｓ ｂｅｌｏｗ （７．１．１７））． Ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ Ｒ＇

ａｔ ｄ

＝

６ ｗｉｔｈ ｔｈｅｉｒ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

ｖｅｒｔｅｘｓｕｂｇｒａｐｈ，

ａｒｅ ａ

ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ ＃ｎｅｗ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｆａｃｔｏｒ ｊｘ＇２￣ ｄ／２． Ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

Ａ（Ｇ） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｇｒａｐｈ ｉｎ （７．２．９） ｉｓ ｏｎｌｙ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｉｆ Ｇ ｉｓ ａ

ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｐｏｌｅｓ

ｂｅｉｎｇ

ａ １ ＰＩ ｖｅｒｔｅｘ ｏｒ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ

ａ

１ＰＩ

ｇｒａｐｈ Ｃ（ｙ）

＝

Ｃ＇（ｙ＋ Ｘ ＡＪＬｙ））

Ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （７．２．９） ａｎｄ （７．２．１０）

＋

（７．２．１０）

ｍ

ｔｒｉｖｉａｌｌｙ ｔｒｕｅ ｆｏｒ ｔｒｅｅ ｇｒａｐｈｓ， Ａ（ｔｒｅｅ ｇｒａｐｈ） ０． Ｓｏ ｌｅｔ ｕｓ ａｓｓｕｍｅ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｔｒｕｅ ｆｏｒ ａｌｌ ｇｒａｐｈｓ ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ ａ ｇｉｖｅｎ ｇｒａｐｈ Ｇ， ｗｉｔｈ ａｌｌ ｔｈｅ Ａｙ＇ｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｃａｓｅｓ： （ａ） Ｇ ｉｓ ｎｏｔ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ； ｔｈｅｎ ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ （７．２．９） ｗｉｔｈ ｎｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ａ（Ｇ）． （ｂ） Ｇ ｉｓ １ＰＩ ａｎｄ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ； ｔｈｅｎ ｗｅ ｕｓｅ （７．２．１０） ｗｉｔｈ ｙ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ Ｇ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ Ａ（Ｇ）． Ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ Ａ（Ｇ） ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｐｒｏｖｅ （７．２．９）． Ｗｅ ｍｕｓｔ ａｌｓｏ ｐｒｏｖｅ Ａ（Ｇ） ｉｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ Ｇ， ｗｉｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｗｈｅｒｅ

ｎｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ

ｎｅｅｄｅｄ， ｆｏｒ

ａｒｅ

ｗｅ ｃａｎ ｓｅｔ

＝

７．２

ｏｆ Ｇ；

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ａｓｓｕｍｅ

Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ＲＧ

ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ

ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ

１７９

ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｒｕｅ ｗｉｔｈ Ｇ

ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ

ａｎｙ

ｇｒａｐｈ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ｓｍａｌｌｅｒ

ｔｅｒｍｓ ｉｎ （７．２．７）． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｗｅ ｉｄｅｎｔｉｆｙ ａ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｎ Ｇ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ Ｇ ｉｎ Ｒ＼Ｇ）． Ｎｅｘｔ ｌｅｔ ｙ ｂｅ ａ １ＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｆ Ｔｈｅ ｔｅｒｍ （７．２．９）． Ｇ （Ｇ ｉｔｓｅｌｆ ｂｅｉｎｇ ｅｘｃｌｕｄｅｄ）． Ｄｅｃｏｍｐｏｓｅ Ｃｙ（Ｇ） ｂｙ （７．２．１０）：

（１） （２） （３）

Ｔｈｅ

Ｃ＼ｙ）

Ｔｈｅ ｔｅｒｍ

Ｔｈｅ ｔｅｒｍ

ｔｅｒｍ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ

Ａ（ｙ）

ｏｃｃｕｒｓ ａｓ

Ｃｙ（Ａ＃（ｙ））

Ｒ＼Ｇ）

ａｓ

Ａｙ（Ｇ）．

ｏｃｃｕｒｓ

Ｃ＇ｙ｛Ｇ）．

ａｓ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｒ＇（ＡＳ（Ｇ））． ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ， ｔｈｅｓｅ ｅｘｈａｕｓｔ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ Ｒ（Ｇ） ａｎｄ ｏｎ ｏｆ ｓｉｄｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ （７．２．９）． Ｂｕｔ ｉｆ Ｇ ｉｓ １ ＰＩ ａｎｄ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ

Ｉｆ Ｇ ｉｓ ｎｏｔ ｏｖｅｒａｌｌ ｔｈｅ

ｒｅｍａｉｎｓ Ｃ（Ｇ） ｉｎ （７．２．７） ａｎｄ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ Ｃ

Ｇ＋

Ｚ Ａ，（Ｇ）

＋

Ａ（Ｇ）

６￥Ｇ

ｉｎ （７．２．９）． Ｗｅ ａｒｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｆｏｒｃｅｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ Ａ（Ｇ） ｐｒｏｖｅ

Ａ（Ｇ） ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓ

ｎｏｗ

ｅａｓｙ， ｓｉｎｃｅ

Ｒ（Ｇ＼ Ｒ＇（Ｇ＼ ａｎｄ Ｒ＇＼ ａｒｅ

ａｌｌ ｆｉｎｉｔｅ， ｗｈｉｌｅ

ｗｅ

ｂｙ （７．２．１０）， ａｎｄ ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ

￡ Ａ，（Ｇ）

（７．２．１１）

ｈａｖｅ Ｋ＇（Ａ（Ｇ））

＝

Ａ（Ｇ）．

Ｍｏｒｅｏｖｅｒ ａｌｌ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ （７．２．１０）， ｅｘｃｅｐｔ ｐｏｓｓｉｂｌｙ Ａ（Ｇ）， ａｒｅ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｍｉｎｉｍａｌ－ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｓｏ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ Ｇ， ｗｉｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ Ｇ． Ｓｏ Ａ（Ｇ） ｉｓ

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ， ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｄｅｇｒｅｅ． （Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｏｆ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｙ ｂｙ Ａｙ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａｎｙ ｇｒａｐｈ Ｔ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｙｇｒｇＧ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｏｕｒ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ Ａｙ．） Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ａｌｓｏ ｔｒｕｅ ｉｆ Ｒ ａｎｄ Ｒ＇ ｓｔａｎｄ ｎｏｔ ｆｏｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｕｎｉｔｓ ｏｆ ｍａｓｓ， ｂｕｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｔｗｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ．

Ｉｔ ｉｓ

ｏｆ Ａｙ ｉｓ ｔａｋｅｎ ｏｕｔｓｉｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ

ｐｏｌｅ ｐａｒｔｓ ｗｈｅｎ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｌｉｋｅ Ｃｒ（Ａｙ）． Ｔｈｉｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ Ｆｉｇ． ７．１．１， ａｔ （７．１．３１）． Ｔｈｅ ｐｒｉｍｅｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｍｕｓｔ ｂｅ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ＃ｎｅｗ， ／／， ｍ＇， ａｎｄ ｄ． Ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｇ＇ ｉｔｓｅｌｆ ｉｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｔｈｅｒ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｉｓ ｉｇｎｏｒｅｄ． Ｅｑｕａｔｉｏｎ （７．２．１０） ｅｘｐｒｅｓｓｅｓ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ（ｙ） ｆｏｒ ａ ｇｒａｐｈ ｙ （ｗｉｔｈ ｕｎｉｔ ａ

ｏｆ ｍａｓｓ ｐｔ） ｉｎ ａｎｄ

ａ

ｔｅｒｊｎｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ＼ｉ

ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

Ａ（ｙ）． Ｗｅ ｃａｎ ｕｓｅ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ

１８０

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｔｈｅ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｉｎｇ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉ？ｃ ｉｎ （７．２．３）， ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｉｍｅｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｎｅｗ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｏｎｅ （ｗｉｔｈ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ｐ＼ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ０ ａｎｄ ３＜／＞． Ｉｆ ｗｅ ｓｅｔ （ｊ）０ Ｚ１／２＜／＞， ｗｉｔｈ Ｚ Ｚ（ｇ９ ｍ， ｐ）， ｔｈｅｎ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｍ０ ａｎｄ ｇ０ ａｒｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｉｎｖａｒｉａｎｔ：

ｇｅｎｅｒａｔｅ

＜ｇ＇ｃＶ

Ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｅｖｉｄｅｎｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ

＝

＝

ｍ０（ｇ９ｍ９ｐ） Ｑｏ（９＞ ｍ＞ Ｉ＊） ７．３

＝

＝

ｍ０（ｇ＇９ｍ＼ｐ＇）９ ９ｏ（９＇＞ ｍ＇＞ Ｖ＇＼

（７．２．１２）

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ＼ｉ ｍａｓｓ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ａｃｃｏｍｐａｎｉｅｄ ｔｈｅ ｗｈｉｌｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅｏｒｙ， Ｗｅ ｓａｗ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ７．１ ａｎｄ ７．２ ｔｈａｔ

ａ

ｂｙ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｃｈａｎｇｅｓ ｉｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ

ＧＮ（ｘ１９．．．９ｘＮ＇９ｇ９ｍ９ｐ）

＝

Ｃ￣ＮＧＮ（ｘｌ９．．．，ｘＮ９ｇ＇９ｍ＇９ｐ）．

（７．３．１）

ｍ２９ ｐ９ ａｎｄ ｐ＼ Ｉｆ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｉｔ ｎｏｔ ｉｓ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｕｓｅ ｌａｒｇｅ， ｐ／ｐ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｓｉｎｃｅ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｎ （７．１．２６） ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｇ２ ｍａｙ ｂｅ ｌａｒｇｅ． Ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｄｅｖｉｃｅ ｉｓ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｌａｒｇｅ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｐ ａｓ ｂｅｉｎｇ ｍａｄｅ ｕｐ ｏｆ ａ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｖｅｒｙ ｓｍａｌｌ ｃｈａｎｇｅｓ， ｓｏ ｔｈａｔ ｇ＼ ｍ＇２， ａｎｄ （ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｓ Ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｇ＇９ ｍ＇２ ａｎｄ （ ａｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇ，

ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｎｏｗ ｔｕｒｎ． Ｔｈｅ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｏｕｒ ｗｏｒｋ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ７．１ ａｎｄ ７．２ ｉｓ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａ ｇｉｖｅｎ

ｐｈｙｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｅ ｈａｖｅ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｐ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｍａｓｓ ｍ（ｐ）． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ （ｏｒ ｒｕｎｎｉｎｇ） ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ

ｇ（ｐ） ａｎｄ

ｗｉｌｌ ｄｅｒｉｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｇ（ｐ） ａｎｄ ｍ（／ｉ）． Ｔｈｅ ｅａｓｉｅｓｔ ｗａｙ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｓ ｔｏ ｌｏｏｋ ａｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｆｉｅｌｄ ０Ｏ． Ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ

ｍａｓｓ． Ｗｅ

ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ０Ｏ ａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｏｕｒ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ （ｆｉ９ｇ９ｍ）－＋（ｎ＇９ｇ＇９ｍ＇）． （Ｔｈｉｓ ｉｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｍａｓｓ ａｎｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｒｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ．） ７．３．１

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

Ｐｈｙｓｉｃａｌ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｌｉｋｅ ｔｈｅ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｖａｒｉａｂｌｅ （／＊，＃（／＊）， ｍ（／＾））＾ （／／，＃（／／）， ｍ（／／））． Ｔｈｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｌｙ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ａ ｓｍａｌｌ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｐ９ ａｃｃｏｍｐａｎｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｃｈａｎｇｅｓ ｉｎ ｇ ａｎｄ ｍ． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ａｓ

／ｉｄＳ／ｄ／ｉ Ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｐ

／ｊｄ／ｄｆｉ

＝

＝

（７．３．２）

０．

ｃａｎ

ｐｄ／ｄｐ ＋ ｐｄ／ｄｇ

ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ

－

ａｓ

ｙｍｍ２ｄ／ｄｍ２．

（７．３．３）

７．３

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ

１８１

ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｔｈｅ ｐａｒｔｉａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｎ．ｇｏｒｍ ａｒｅ ｆｉｘｅｄ， ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｐ ａｎｄ ｙｍ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇ｛ｆｘ） ａｎｄ ｍ２（／ｉ） ｗｈｅｎ ／＊ ｉｓ ｖａｒｉｅｄ． Ｔｈｅ ｓｉｇｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍ２ｄ／ｄｍ２ ｔｅｒｍ ｉｓ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ （Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９７３））． Ｗｅ ｈａｖｅ Ｏｎ ｔｈｅ

ｔａｋｅｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｔｗｏ

Ｐ

＝

ｌ＊ｄｇ（／ｉ）／ｄｆｒ

（７．３ Ａａ）

ｙｍ＝－ｍ２ｔｉｄｍ２＜ｊｉ）／ｄｉｉ．

（７．３．４６）

ｆｔ ａｎｄ ｙｍ ａｒｅ ｃａｌｌｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． ｔｈｅｙ ａｒｅ ｅａｓｙ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ａｓ

Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

Ａｓ

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｓｅｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇ， ｍ， ＼ｘ， ａｎｄ ｄ． Ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｔｈｅｙ ｈａｖｅ ｎｏ ｍａｓｓ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ． Ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ （７．３．４） ｃａｎ ｂｅ ｒｅａｄｉｌｙ ｓｏｌｖｅｄ ａｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｆｏｒ

ａｎｄ

ｇ（ｆｉ）

ｍ（／ｉ）．

Ｉｎｄｅｅｄ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｅａｓｉｅｓｔ ｗａｙ ｉｎ

ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ

ｐｒａｃｔｉｃｅ

ｔｏ

ｍａｓｓ．

Ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ／？ ａｎｄ ｙｍ ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｆｉｅｌｄ ＜／＞０ ｓｅｅ （７．１．１ａ）． Ｗｅ ｓａｗ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．２ －

ｔｈａｔ

ｍｌ

ａｎｄ ｇ０

ａｒｅ

ｊｉｄ０ｏ／ｄ／ｉ

Ｈ＆ｍｌ／ｄｉｘ Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｗｅ

ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｔｏ Ａｎ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ：

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ＝

Ｏ，

＝

０．

ｈａｖｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｇ０ ａｎｄ ｍ０ ｔｏ ｇｉｖｅ ｐ ａｎｄ ｙｍ．

ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｓｕｃｈ

ａ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

（７．３．５）

ｓｏｍｅ

ｃｏｍｅｓ

ｏｒｄｅｒ ｉｎ ｇ． Ｔｈｅｎ （７．３．５）

ｆｒｏｍ

ｏｕｒ

ｒｅｓｕｌｔｓ

ｏｎ

ｃａｎ

＜／＞３ ｔｈｅｏｒｙ，

ｗｈｅｒｅ

ｍｌ

ｍ：

？｝

＾－＂２ｉ

＝

３＜７２

１＋２＊＾＋＜＊＊｝ Ｉ＋３８４＾＋０，＊４＞ｌ－

９ｏ＝

＂＇３＇６）

Ｔｈｕｓ ０

＝

■％－＊－＊｛？－＜＊－■￡＞

ｎ＾ ｎ３－＇？２＼ｇ（３－ｄ／２）－＾ｒ－３

＋

＝

＋

Ｍ

Ｏ＾） ９ａ２

２５６ｋ （ａ

－

６）

ｓｏ

Ｐ（ｇ）

＝

（ｄ／２－３）ｇ－－＾ ３ａ３ ｙ ２５６ｎ

＋

０（ｇ５）

＋０（ｇ５）ａｔｄ

＝

６．

（７．３．７）

１８２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ０

＾ ｄ／ｚ

＝

－ｍ２ｙｍ［ｌ

＝

ｓｏ

＋

０（ｇ２）－＼

＋

５ｇ ＋ ０（ｇ３） １９２ｎ３（ｄ－６）

ｍ２ｐ（ｇ）

ｔｈａｔ

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ （ｄ／２ ３）ｇ ｔｅｒｍ ｉｎ ／？ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｎ ｔｈｅｓｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｓ， ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｄｉｓａｐｐｅａｒｓ ａｔ ｄ ６． Ｏｂｓｅｒｖｅ ａｌｓｏ ｔｈａｔ， ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅ —

＝

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎ ｇ０ ａｎｄ ｍ０ ｄｉｖｅｒｇｅ ａｔ ｄ ６， ｉｔ ｉｓ ｃｒｕｃｉａｌ ｔｏ ｅｘｐａｎｄ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｇ． Ａ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ ｔｒｕｅ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｐ ａｎｄ ｙｍ ａｒｅ ＝

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｏｆ

ｍ

ａｎｄ ＼ｉ，

ｐｒｏｖｉｄｅｄ

ｔｈａｔ

ｗｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｂｙ ｍｉｎｉｍａｌ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｐ ａｎｄ ｙｍ ｃａｎ ｂｅ ｏｒｇａｎｉｚｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ （７．１．４） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｓｉｎｃｅ ｗｅ ｕｓｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｍ－ ａｎｄ ＼ｉ－

ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ

ｔｈｅ ｂａｒｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｓ ９ｏ

ｍｌ

＝

＝

ｓｉｍｐｌｅ：

＾￣ｄｌ２９ｏ（９＞＾ ｍ２Ｚｍ｛ｇ，ｄ）．

（７．３．９）

Ｔｈｅｎ

ｐ（ｇ，ｄ）

＝

ｙｍ（ｇ） Ｔｈｅ

ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ （７．３．９）

ａｒｅ ｔｏ

＝

（ｄ／２－３）ｇ０ Ｐ（ｇ，ｄ）

Ｓｇ０ ｄｇ＇ （７．３．１０）

ｄｇ

ｂｅ ｅｘｐａｎｄｅｄ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ

（７．１．４）． Ｎｏｗ ｇ０

＝

＝

（ｔｉ３－ｄ／２ｇ ＋ ￥ｇ）Ｚ－３／２ ａｘｉｇ）－ｌｃ，｛ｇ） ／ｉ３－ｄ／２ ｇ＋－ ６－ｄ

Ｚｍ

＝

（１

＋

＋ ｈｉｇｈｅｒ ｐｏｌｅｓ

｝

８ｍ２／ｍ２）Ｚ－

１＋＾４＾ ＋ｈｉｇｈｅｒ ｐｏｌｅｓ＇ ６

ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｈ＾ｖｅ ｐｉｃｋｅｄ

—

ｏｕｔ ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ （７．１．４）． （Ｔｈｅｓｅ

（７．３．１１）

ｄ

ｓｉｎｇｌｅ ｐｏｌｅｓ

ａｒｅ

ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｏｆ ｔｈｅ

ａｌｌ ｔｈａｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｒｅｌｅｖａｎｔ．） Ｔｈｅｎ （７．３．１０）

７．３

１８３

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｂｅｃｏｍｅｓ

ｒ Ｐ（ｇ，ｄ）

＝

＝

ｙ？（？）

ｆ＞

＝

（ｒｆ／２

－

ａ ９ ＋

－

６－－ｄ

［ｉ＋ａ－＼｛ｇ）－ ６－ ３）０

＋ ｉ

１

ｔｅ）

ｇ—

－

ｉｆｏ） ＋

５ｇ

＋

ｈｉｇｈｅｒ ｐｏｌｅｓ ｈｉｇｈｅｒ ｐｏｌｅｓ

［ｆｃｔｏ）

－

ｆｌｌ（ｆｆ）］

＋

ｐｏｌｅｓ

（ｄ／２－３）ｆｆ ＋ ／ＫｆｆＸ

＝

＝

（７．３．１２ａ）

＂ｆｃｉ（ｇ）￣ｃｉ（ｇ） ＋

［（ｄ／２－３） ＋ ｊ５＾）］－

６－ｄ

ｈｉｇｈｅｒ ｐｏｌｅｓ

＾［＾１ｔｏ）－＊１ｔｏ）］．

Ｔｈｅｓｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｍａｄｅ

（７．３．１２６） ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｇ． ｕｓｅｄ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ａｌｔｈｏｕｇｈ

ｂｙ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ

Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｌｉｎｅ ｏｆ ｅａｃｈ ｏｆ （７．３．１２）

ｐｏｌｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｐｒｅｓｅｎｔ， ｔｈｅｙ ｍｕｓｔ ｃａｎｃｅｌ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｐ ａｎｄ ｙｍ ｂｅ ６． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｐ ａｎｄ ｙｍ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｍ ａｎｄ ／＊， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ ｄ ｏｎｌｙ ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈｅ （ｄ／２ ３）ｇ ｔｅｒｍ ｉｎ ｐ． Ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｅ－ｐｏｌｅ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｗｅ

ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｉｎ －？

—

ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｓｅ ａｎｄ

ｈｉｇｈｅｒ ｐｏｌｅｓ ｔｈａｔ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｅｓｅ ｌａｔｅｒ． ｔｈｅ

ｅｎｓｕｒｅｓ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｐｏｌｅｓ

ｃａｎｃｅｌ ｉｎ

（７．３．１２）；

ｗｅ

ｗｉｌｌ

７．３．２ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｗｏ ｏｕｔ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ （７．３．４） ｔｈｅｎ ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ． Ｔｏ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｗｅ

Ｔｈｅ ＲＧ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｐ ａｎｄ ｙｍ

ａｒｅ

ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ

ｅｎａｂｌｅ ｇ ａｎｄ ｍ＇ ｉｎ （７．３．１） ｔｏ

ｎｅｅｄ ￡． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｉｅｓｔ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｂｙ ｏｂｓｅｒｖｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｒｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｇ（§） ＺＮ／２ＧＮ ａｒｅ ＝

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｉｎｖａｒｉａｎｔ，

ｓｏ

ｔｈａｔ

Ｎ

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｄ

ｙ＾ｄｎ Ｚ）ＧＮ．

（７．３．１３）

ｄ７ｌｎＺ；

（７．３．１４）

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ＾

＝

１８４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ＧＮ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９７３））：

ｔｈｅｎ

［＾＋ｒ＇］Ｇ？＝［＾

＋

＝

３８４７１－

２

＂＂＇＂

ｄｇ

［（ｄ／２－３）ｇ ＋ ｐ（ｇ）］

＂２

Ｎ

Ｐｉｒ－ｙｍｍ２ ８ｍ２

Ｉｎ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ｙ

ｇｒｏｕｐ

ｄｇ

＜ｐ３

ｗｅ

６－ｄ

＋

ｅｑｕａｔｉｏｎ （ｅ．ｇ．

＇￣ｋ＝ｏ．

（７．３．１５）

ｆｉｎｄ

ｈｉｇｈｅｒ ｐｏｌｅｓ

＋０（ｇ＊）．

（７．３．１６）

７．３．３ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｆｉｎｄ ｇ（ｎ＇）， ｍ（ｆｉ＇） ａｎｄ Ｃ，（ｎ＇，ｎ） ｉｎ （７．３．１）， Ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｈａｔ ｍ（ｆｉ）

Ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ＲＧ

ｇｉｖｅｎ

ｔｈａｔ

ｇ｛ｎ）

＝

ｇ ａｎｄ

＝

ｍ．

＂＇ｄ７ｌｎ ｃ＝＾＇ｄ７ｌｎ ｔＧ？Ｍ／ＧＮ＜Ｍ）ｌ ＝

Ｓｏ

ｗｅ

ｍｕｓｔ

－Ｍ０＆Ｏ］．

ｓｏｌｖｅ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ （７．３．４） ｆｏｒ ｇ ａｎｄ

ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ

＝

Ｔｈｅ

ｍ，

（７．３．１８）

Ｃ（／ｉ，／ｉ）＝Ｌ ｃａｎ

ｍ．

ａｒｅ

ｍ（ｆｊ） Ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ

（７－３－１７）

ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ：

ｌｎ（Ａｉ７Ａｉ）

＝

＂

ｍ２（［ｉ＇）

＝

ｍ２（［ｉ）ｅｘｐ

ｄｊｉ

Ｗ） ＝

Ｃ（Ｍ＇＾）

＝

ｍ２（／ｉ）ｅｘｐ＜＾

ｙ

（ａ＇）

－

＾ｐｉ－ｉ＼ｆｌｊｙ（＾））

Ｈ－Ｃｖｍ［

（７＇３Ｉ９）

Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｃａｎ ｂｅ ｍａｄｅ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ ｆｏｒ ／？， ｙｍ ａｎｄ ｙ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ： ＜

ｌｎ（Ａｉ７ｒｔ＝－

３

ｒｕｉｎ＇）

ｄｇ

Ｊ ｇ（ｎ）

［１

＋

１

１２８ｔｔ３

１８５

ｏｆ Ｇｒｅｅｎｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

７．４ Ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ

ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ

Ｏ（０２）］ ＋ ０

Ｉｎ

（７．３．２０）

０（／＊）

Ｔｈｉｓ ｉｓ

ａｃｃｕｒａｔｅ ｉｆ ｇ（ｆｉ＇） ａｎｄ ＃（／＊） ａｒｅ ｓｍａｌｌ． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｇ（ｔｉ＇）－＞０ ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｃａｌｌｅｄ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｒｅｅｄｏｍ． Ｉｔ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ Ｔｈｉｓ ＼ｉ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｓｉｇｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｉｎ ｆｔ ａｔ ｄ ６． －？

ｏｏ．

ａｓ

ｂｙ

＝

Ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ＲＧ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｉｓ

Ｎ ｆ ｄｐ， ｆ ￣—＼ ￣｜ —ｙ（ｇ（ｆｉ））＼ＧＮ（ｘ＼ｇ（／ｉ，）９ｎｉｆｉ％ｆｉｆ）． ＂

ＧＮ（ｘ；ｇ，ｍ＾）

＝

ｅｘｐ＼

（７．３．２１）

７．４ Ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｉｓ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｔｒｅａｔ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｃａｓｅ， ｔｈａｔ ｏｆ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｍｏｍｅｎｔａ

ａｒｅ

ｍａｄｅ

ＧＮ（ｐｕ．．．，ｐＮ） ａｌｌ ｏｆ ｗｈｏｓｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌａｒｇｅ． （Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｏｕｒ ｓｔａｎｄａｒｄ ｎｏｔａｔｉｏｎ，

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｔｉｌｄｅ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｎｔｏ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ．） Ｌｅｔ

ｓｕｐｐｏｓｅ ｉｎｉｔｉａｌｌｙ ｔｈａｔ ａｌｌ ｔｈｅ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎｖａｒｉａｎｔｓ ｆｏｒｍｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｃａｌｅ ａｌｌ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｂｙ ａ ｆａｃｔｏｒ ｋ： Ｐｉ

－＋

ｂｙ

ｕｓ

ＫＰｎ ａｎｄ ｌｅｔ ｋ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ． Ｔｈｕｓ ａｌｌ ｔｈｅ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎｖａｒｉａｎｔｓ ｐｉ－ｐｊ ａｒｅ ｓｃａｌｅｄ ｆａｃｔｏｒ ｋ２ ａｎｄ ｂｅｃｏｍｅ ｌａｒｇｅ． Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ， Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ

ａ

ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｅｌｌｓ

ｕｓ

ｔｈａｔ ａｔ ｌｅａｓｔ ｉｎ

ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ＧＮ ｃａｒｒｙ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ

ａ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｌｌ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ ｏｆ ａｎｄ ｔｈａｔ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ＧＮ ｈａｖｅ ｔｈｅ

ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔａ，

／ｃｄｉｍ ＾＇（ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ

ｏｆ ｋ）．

（７．４．１）

Ｓｉｎｃｅ ａｌｌ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒｓ ａｒｅ ｌａｒｇｅ， ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｎｅｇｌｅｃｔ ｍａｓｓｅｓ ａｎｄ ｍａｋｅ ｏｎｌｙ ａｎ ｅｒｒｏｒ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｋ ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ

ｂｅｈａｖｉｏｒ （７．４．１）． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｎ ＜／＞３ ｔｈｅｏｒｙ ａｔ ｄ ６． Ｔｈｅ ａｔ ｌｉｋｅ ｉｓ ｔｈｅ ｗｈｉｌｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｇｒａｐｈ ｇｏｅｓ ｉ／ｐ２ ｌａｒｇｅ ｐ２， ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ＝

ｇ

１２８ｔｔ３

＆＞－！）＋

ｄｘｘ（ｌ－ｘ）ｌｎ

°ｂｌｎ

ｐ２ｘ（ｌ

—

ｘ）

４７Ｔ／ｉ２

ｍ

（Ｗｅ ｕｓｅｄ （３．６．１０） ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ

ｔｒｅｅ

（７．４．２） ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｉｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎ．）

１８６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

Ｎｏｗ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｔｅｒｍ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｌｎ（－ ｐ２／ｐ２）／ｐ２ ｔｎａｔ ８ｅｔｓ ｌａｒｇｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｔｏ ｔｈｅ ｔｒｅｅ ｇｒａｐｈ ｉｆ ｐ２ ｉｓ ｌａｒｇｅ ｅｎｏｕｇｈ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ ｈａｓ ｌａｒｇｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｎｄ ｉｓ ｎｏｔ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｕｓｅｆｕｌ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｗｅ ｍａｙ ｕｓｅ ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｔｏ ｓｅｔ ｐ２ ０（ｐ２）． Ｔｈｉｓ ｍａｋｅｓ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｓｍａｌｌ ａｇａｉｎ． Ｓｏ ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔｒａｔｅｇｙ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ＧＮ（ｉｃｐ） ａｔ ｌａｒｇｅ ｋ： ＝

（１） Ｓｅｔ ｐ！

＝

Ｋｐ， ａｎｄ ｕｓｅ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＲＧ

ＧＮ（Ｋｐ， ｇ， ｍ， ｐ） （２） Ｎｅｇｌｅｃｔ ａｎａｌｙｓｉｓ

＝

ｔｏ

ｔｏ ｗｒｉｔｅ

Ｃ（／ｃ／ｉ， ｐ）－Ｎ，２ＧＮ（Ｋｐ， ｇ｛Ｋｐ＼ ｍ（Ｋｐ＼ Ｋｐ）．

（ｉｆ ｍ（Ｋｐ） ｄｏｅｓ ｇｉｖｅ

ｍ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｎｏｔ ｇｅｔ ｔｏｏ

ｌａｒｇｅ）． Ｔｈｅｎ

ｕｓｅ

（７．４．３）

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ＧＮ（Ｋｐｙ ｇ，ｍｙｐ）￣（￣ ＂，２ＧＮ（Ｋｐ， ｇ｛Ｋｐ＼ ０， Ｋｐ）

＾＾ａ＾ｐｙ＾＇Ｇ＾ｇ＾Ａｐｙ （７．４．４） （３） Ｌａｒｇｅ ／ｃ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ， ａｓ ｉｎ （７．４．２）， ａｒｅ ｎｏｗ ｒｅｍｏｖｅｄ， ｓｏ ｉｆ ｇ（Ｋｐ） ＝

ｉｓ ｓｍａｌｌ，

ａ

ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｓｕｆｆｉｃｅｓ．

Ｔｈｉｓ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｍａｋｅｓ ｉｔ ｅｖｉｄｅｎｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈａｔ ｉｓ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｉｓ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｓｃａｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｉｎｖｏｌｖｅｄ． ｗｅ ｈａｖｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ＧＮ ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｚｅｒｏ－ｍａｓｓ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｔ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｃｒｕｃｉａｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｚｅｒｏ－ｍａｓｓ ｌｉｍｉｔ ｅｘｉｓｔｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈｉｓ ｌｉｍｉｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｌｗａｙｓ

Ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｎｏｔｅｄ ｔｈａｔ

ｅｘｉｓｔ： ｉｆ

ｗｅ ｕｓｅ

ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ

ｏｒ ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｆｒｏｍ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， （３．４．７）， ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ， ｔｈｅｎ

ｗｅ ｓｅｅ

ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ （７．４．２）

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｈａｔ， ｉｎ ｔｈｅ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｒｅｇｉｏｎ ｆｏｒ ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ａｌｌ ｌｉｎｅｓ ａｒｅ ｆａｒ ｏｆｆ－ ｓｈｅｌｌ； ｈｅｎｃｅ ｍａｓｓｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｎｅｇｌｅｃｔｅｄ． Ｓｏ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｍｕｓｔ ｂｅ ｔｈａｔ ｗｉｔｈ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｏｒ ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ， ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒ－ ｔｅｒｍｓ ｄｉｖｅｒｇｅ ａｓ ｍ －？ ０． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｃｈｅｃｋｅｄ ｆｒｏｍ ｏｕｒ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｄｉｖｅｒｇｅｓ

ａｓ

ｓａｍｅ

ａｓ

ｍ－＞０． Ｎｏｗ

（ｓｅｅ （５．１０．２））． Ｗｅ ｃａｎ ｎｏｗ

ｓｅｅ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｈｏｓｅ ｐｒｏｏｆ ｗａｓ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｅｎｄ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．８， ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｍａｙ ｂｅ ｃｈｏｓｅｎ

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｍａｓｓｅｓ． Ｉｔ ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｚｅｒｏ－ｍａｓｓ ｌｉｍｉｔ ｍａｙ ｂｅ ｔａｋｅｎ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ａｎｄ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ． Ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｏｎｅ ｗａｙ ｏｆ ｅｎｓｕｒｉｎｇ ｔｈａｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｍａｓｓ． Ｉｆ ｏｎｅ ｕｓｅｓ， ｓａｙ， ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ， ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｍａｙ ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｂｙ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｏ， ｓａｙ， ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ａｎｏｔｈｅｒ ａｐｐｒｏａｃｈ ｉｓ ｔｏ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｆ ｐ２ ｂｒｅａｋ ａ，ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｕｎｄｅｒ ｓｃａｌｉｎｇ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ ｗｅｒｅ ｗｏｒｋｅｄ ｏｕｔ ｂｙ Ｃａｌｌａｎ （１９７０）

７．５

Ｖａｒｉｅｔｉｅｓ

ｏｆ ｈｉｇｈ－ ａｎｄ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ

１８７

ａｎｄ Ｓｙｍａｎｚｉｋ （１９７０ｂ）． Ｔｈｅｙ ｄｅｒｉｖｅｄ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｏｒ ｓｃａｌｉｎｇ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｉｔ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ Ｃａｌｌａｎ－Ｓｙｍａｎｚｉｋ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｌｏｏｋｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｍａｙ ａｌｓｏ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｈｉｇｈ－ ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ． ７．４．１

Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ

ＧＮ ｗｈｅｎ ａｌｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｓｃａｌｅｄ ｂｙ ａ ｌａｒｇｅ ｆａｃｔｏｒ ｋ ｉｓ ｎｏｔ ｎｏｒｍａｌｌｙ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｌｙ ｒｅｌｅｖａｎｔ， ｆｏｒ ａｌｌ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｔｈｅｎ ｆａｒ ｏｆｆ－ｓｈｅｌｌ． Ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｌｉｍｉｔ ｏｆ ＧＮ（ｘｌ９．．．ｘＮ）９ ｗｈｅｒｅ ｅｖｅｒｙ Ｘｊ ｘｋ＾＞ ｘｋ ｉｓ ｍａｄｅ ｓｍａｌｌ： ｘｊ （Ｘｊ Ｘｋ）／Ｋ． Ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ

—

—

－

Ｔｈｉｓ

ｍｅａｎｓ

ｔｈａｔ

ｗｅ

ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｕｓｅ

ＲＧ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ

ｔｈｅｏｒｙ， ｆｏｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ

ａ

ｐｕｒｅｌｙ

ｓｈｏｒｔ－

ｄｉｓｔａｎｃｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｗｏｒｋ ｏｕｔ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．１０． Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ， ｐｈｙｓｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｉｎｖｏｌｖｅ ｌｏｎｇ ｄｉｓｔａｎｃｅｓ． Ｔｏ ｇｅｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ． Ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｉｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０． Ｔｈｅｓｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｔｙｐｉｃａｌｌｙ ｇｉｖｅ ａ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ａｓ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ａ ｆａｃｔｏｒ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｂｙ ｐｕｒｅ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｏｆ

ｓｉｍｐｌｅ ｆａｃｔｏｒｓ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ．

ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ｗｅ ｃｏｕｌｄ ａｌｓｏ

ｕｓｅ

ｉｎｃｏｍｉｎｇ ａｎｄ／ｏｒ ｏｕｔｇｏｉｎｇ

ＲＧ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｌｉｍｉｔ

ｋ －？

０． Ｔｈｉｓ ｉｓ

ｏｎｌｙ ｕｓｅｆｕｌ ｉｆ ｍａｓｓｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｎｅｇｌｅｃｔｅｄ． Ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｒｕｅ ｉｎ ａ ｐｕｒｅｌｙ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．５．４， ａｎｄ ｔｈｅｎ ＩＲ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ｃｏｍｐｕｔａｂｌｅ ｉｆ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｉｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏｔ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ． Ｂｕｔ ｉｎ ａ ｍａｓｓｉｖｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｔａｋｅ ＼ｉ ｍｕｃｈ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｏｎｅ ｏｂｔａｉｎｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｆ ｍ／／ｉ， ａｎｄ ｔｈｅｓｅ ｐｒｅｖｅｎｔ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ

ａ

ｔｙｐｉｃａｌ ｍａｓｓ， ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｅ ｕｓｅ ｏｆ

ａ

ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｈｅｎ ＼ｘ＾ｍ． ７．５ Ｖａｒｉｅｔｉｅｓ ｏｆ ｈｉｇｈ－ ａｎｄ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ ７．５．１ Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｒｅｅｄｏｍ

ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ， ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｗｏ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｗｈｅｔｈｅｒ ｆｉ ｉｓ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｏｒ ｎｅｇａｔｉｖｅ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｃａｓｅ， ｗｈｅｎ ｐ ｉｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ（ｎ） ｉｓ ｓｍａｌｌ ｆｏｒ ｏｎｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ＼ｉ， ｓｏ ｔｈａｔ ｐ ｉｓ ｗｅｌｌ Ｉｎ

ｃａｓｅｓ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ （７．３．４ａ） ｓｈｏｗｓ ｅｖｅｎ ｓｍａｌｌｅｒ ａｔ ｌａｒｇｅｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｆｊ， ａｎｄ ｉｎ ｆａｃｔ ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ ａｓ

ｔｈａｔ ｇ ｂｅｃｏｍｅｓ ／＾－？ｏｏ．

Ｔｈｕｓ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｒｅｌｉａｂｌｅ ｆｏｒ

ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ

１８８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｂｅｈａｖｉｏｒ． Ｆｒｏｍ

（７．３．７）

０３

ｔｈａｔ

ｗｅ ｓｅｅ

ｆｒｅｅ．

ｉｎ ｓｉｘ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｉｓ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ

Ｉｔ ｉｓ ｉｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ ｉｎ Ｌｅｔ

ｕｓ

／？．

ｄｅｆｉｎｅ

Ｐ＝－Ａｉｇ３－Ａ２ｇ５ ＋ ０｛ｇ７）． Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ

（７．５．１）

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ：

＾

＝

（７．５．２）

Ｐ（ｇ）＞

Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｆｏｒｍ ａｓ （７．５．１） ａｎｄ （７．５．２） ｈｏｌｄ ｉｎ ａｎｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｎ ＱＣＤ， ｔｈｏｕｇｈ Ａ ｛ ａｎｄ Ａ２ ａｒｅ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ． Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ （７．５．２） ｉｓ Ｉｎ ／ｉ

＝

ｃｏｎｓｔａｎｔ ＋

＝

ｃｏｎｓｔａｎｔ ＋

＝

ｃｏｎｓｔａｎｔ ＋

ｄｇ＇／ｆ｝（ｇ＇） ｆｇ｛ｎ）

Ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ

ｃａｎ

ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ

＋

０（ｇ２）．

（７．５．３）

（Ｂｕｒａｓ， Ｆｌｏｒａｔｏｓ， Ｒｏｓｓ ＆ Ｓａｃｈｒａｊｄａ （１９７７））

ｍａｓｓ．

＼Ａ ２Ａ，￣

２

ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ

Ｉｎ （Ａ，）， ｗｈｅｒｅ Ａ ｉｓ ａ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

Ｔｈｅｎ

ｌｎ（｜ｚ７Ａ＇） ｌｎ（Ｍ２／Ａ２） ｓｏ

＾｜ｌｎ ［＾）］

ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｆｒｏｍ ａ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆｇ（ｎ） ａｔ ｏｎｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ＼ｉ． Ｉｔ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｉｎ Ａ ＋

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ

＾． ＋＾＋°（９＇： Ａ．ｇ＇３ Ａ＼ｇ ２ ＋

＾

．，－，］，

－１

Ｗ

Ａ

１

＝

——－Ｊ ＋ —

Ａｌｇ（ｎＹ

＼ｎ［Ａｌｄ（ｆｉ）２￣＼ ＋ ０（ｇ（ｔｆ）， －Ｉ Ａ］

（７．５．４）

ｔｈａｔ ９Ｗ

ＡＭｎ＇／Ａ２）

Ａ］＼ｎ２（ｎ２／Ａ２）

＋

Ｕ＼

ｌｎ３（，ｉ／Ａ）

ｆ

（０＾

ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｓｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ａ．

ｏｆ ｇ（ｎ） ａｔ ｏｎｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｎ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ａ Ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｅ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｃａｌｅ ｏｆ Ａ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｎ （７．５．５） ｔｈｅ

ｏｍｉｔｔｅｄ ｔｅｒｍｓ

ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｓｈｏｗｎ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

Ａ

ａｒｅ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （７．５．５） ｉｓ ｍｕｃｈ ｕｓｅｄ ｉｎ ＱＣＤ． Ａ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｂｅ ｍａｄｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｌｎ

（＾／Ａ２）

１

＝

ｔ－１７３２ ＋

Ａｔ＇ｇＷ ＋ ２

Ｉ？

ｌ／ｌｎ２（＾／Ａ）． Ｔｈｅ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｇ ｃａｎ

Ａ２

ｌＡ ｉ＾）２］ －ｒｌｌｎ Ａ２＇

，ｒｊ＿

ｉ

ｌ０ ９＼＿Ｗ）＋＾７ｑ Ａ．ｇ＇３

Ａ＼ｇ＼

（７．５．６）

７．５

Ｖａｒｉｅｔｉｅｓ

ｏｆ ｈｉｇｈ－ ａｎｄ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ

Ｉｔ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｇｏ ｔｏ

ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ ｔｏ

ｏｆ （７．５．６） ｔｈａｔ

ａｓ

ｄｉｖｅｒｇｅ

ｏｂｔａｉｎ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ

１８９ ｏｎ

ｔｈｅ

ｒｉｇｈｔ

＃－？（）． Ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｍ（ｆｉ） ａｎｄ ￡ ｍａｙ ｂｅ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ ｙ＝Ｃｌ９２

ｔｈｅｎ

（７．５．７）

＋ －，

Ｌ２Ｊｇｗ

９

Ａｔ

Ｊ

＂＂＂ｉｔ． ［ｌ ｏｃ

７．５．２ Ｍａｘｉｍｕｍ

＋

［ＩｎＯｉ＇／Ａ＊）］ ＂Ｃｌ／４ｉ４Ｓ

ａｃｃｕｒａｃｙ ｉｎ

ａｎ

０（＾２）］ ａｓ

／／

－ ｏｏ．

（７．５．８）

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ

Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｂｏｖｅ ｅｎａｂｌｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｂｅ ｍａｄｅ ａｔ

ｈｉｇｈ ｅｎｅｒｇｙ． Ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｍｏｒｅ ａｎｄ ｍｏｒｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ， ｗｅ ｍａｙ ｉｍｐｒｏｖｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ， ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ ａｒｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ，

ｔｈｅ

ｎｏｔ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． Ａ ｔｒｉｖｉａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｔｈｅ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ／＊００

Ｉ（ｇ，ｍ） Ｔｈｉｓ

ｃａｎ

ｔｈｅｏｒｙ ａｔ Ｊ

＝

＝

ｍ（２ｎ）－１１２

Ｊ

ｄｚｅｘｐ（－ ｍ２ｚ２／２－ｇｚ４／４＼） —

００

ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ０４ ｆｉｅｌｄ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｇｉｖｅ ０． Ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ

ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｔｏ ｂｅ ｚｅｒｏ

１ ｗｈｅｎ ｇ

＝

Ｉ￣ｍ（２ｎ）－Ｕ２

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Ｎ

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０

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■－ｇｚ＊Ｙ± ｄｚｅｘｐ（－ｍＶ／２）（＾－） ＪＶ！ Ｖ ＾

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ｌ／２） ｉ） （７－５－９）

ｍ

Ｎｏｗ

ＩＮ

＝

ＮＮ（＾＼ （ｎＮｙｌ／２［ｌ

＋

０（ｌ／Ｎ）ｌ

ａｓＮ＾ｏｃ，

（７．５．１０）

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｓ ｉｆ ｇ ｉｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ， ｓｏ ｔｈａｔ Ｊ ｉｓ ｎｏｔ ａｎａｌｙｔｉｃ ａｔ ｇ ０． Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ０４ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ ｉｓ ｕｎｂｏｕｎｄｅｄ ｂｅｌｏｗ （ｉ．ｅ．， ｔｈｅ ｖａｃｕｕｍ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｅｘｉｓｔ） ｉｆ ｇ ｉｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ． ｓｏ

ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｉｓ

＝

１９０

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

Ｗｈａｔ

ｓａｙ ｉｓ ｔｈａｔ

ｗｅ ｃａｎ

／

ｂｙ ｔｒｕｎｃａｔｉｎｇ

＝

ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ：

（７．５．１１）

＋

Ｎ

ｅｒｒｏｒ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ

Ｉ （＃Ｔ＾ ＋ ０［（＃Ｙ １］．

／＝ Ｔｈｅ

ｗｅ ｃａｎ

０

ｉｓ ｅｓｔｉｍａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｏｍｉｔｔｅｄ， ｉ．ｅ．，

Ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓ

ａｒｅ

ｓｔａｎｄａｒｄ ｉｎ ｔｈｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｅ

ｉｎｔｅｇｒａｌｓ． Ａｌｌ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｒｉｇｏｒｏｕｓ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｆｏｒ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ （Ｇｌｉｍｍ ＆ Ｊａｆｆａ （１９８１） ａｎｄ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ｔｈｅｒｅｉｎ）， ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ｉｎ ａ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ （ｉ．ｅ．， ｄ ＞ ０）．

ｔｙｐｉｃａｌ

ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｉｎｔｅｇｒａｌｓ

Ｎｅｘｔ， ｌｅｔ

ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｓｏｍｅ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｉｎ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｔｒｕｎｃａｔｉｎｇ ｉｔｓ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｕｓ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ

ａｎ

Ｉ ９（Ｈ）２ＮＩＮ－

Ｎ

Ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｔ

ｊｊ，

ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ

＝

＝

０

ｑｕａｎｔｉｔｙ ｄｅｐｅｎｄｓ

ｏｎ ｓｏｍｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｐ，

ａｎｄ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｂｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｐ． Ａ ｃａｓｅ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｗｉｔｈ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｂｅｈａｖｅ ｌｉｋｅ

＼ｉ ｔｏ

０（＼ｐ＼）． Ｓｕｐｐｏｓｅ

ＩＮ

￣

ＮＮｂＮＮａｄ［ｌ

＋

０（１／Ｎ）］，

（７．５．１２）

ｆｏｒ ｌａｒｇｅ Ｎ． Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｂｅｓｔ ａｃｃｕｒａｃｙ ｗｉｔｈ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｃａｎ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｉｔｙ ？ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｅｒｒｏｒ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｏｆ ＩＮｇ２Ｎ ａｓ Ｎ

ｖａｒｉｅｓ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｐｏｓｓｉｂｌｅ

ｅｒｒｏｒ ｉｎ ａ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ｃｏｎｓｔａｎｔ｜ｐ｜－２＾／ｅ＊（ｌｎ｜ｐ｜）ｆｌ． ｔｈａｔ ｂｅｙｏｎｄ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｌｅｖｅｌ， ｐｏｗｅｒ－ｌａｗ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ａｒｅ ｍｅａｎｉｎｇｌｅｓｓ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｅｒｒｏｒ ｉｎ ｕｓｉｎｇ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｐｏｗｅｒ－ｌａｗ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｔｈｏｓｅ ｔｈａｔ ａｒｅ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｐ２ ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ

Ｔｈｉｓ

ｍｅａｎｓ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ

ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｔｅｒｍ．

７．５．３ Ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｉｅｓ Ｉｎ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ， ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ａｒｅ ｎｏｎ－ ａｂｅｌｉａｎ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ａ ｓｍａｌｌ ｅｎｏｕｇｈ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｍａｔｔｅｒ ｆｉｅｌｄｓ ｓｅｅ Ｃｏｌｅｍａｎ ＆ Ｇｒｏｓｓ （１９７３） ａｎｄ Ｇｒｏｓｓ （１９７６）． Ｏｔｈｅｒ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｌｉｋｅ ０４ ａｎｄ －

ＱＥＤ， ｈａｖｅ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈａｔ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｗｉｔｈ ｅｎｅｒｇｙ． Ｔｈｕｓ， ｉｎ ｓｕｃｈ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｔｒｕｅ ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｂｙ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． （Ｎｏｔｅ ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｎ ＱＥＤ ｉｓ ａ／ｎ

ｏｆ ｈｉｇｈ－ ａｎｄ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ

７．５ Ｖａｒｉｅｔｉｅｓ

１９１

９＊ Ｆｉｇ． ７．５．１． ｆｉ（ｇ） ｉｎ

￣

１／４３０．

ａ

ｎｏｎ－ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｖｅｒｙ ｓｍａｌｌ，

ｎｏｔ ｏｃｃｕｒ ｕｎｔｉｌ ｖｅｒｙ ｍａｎｙ

ａ

ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ａｔ ｇ

＝

ｇ＊．

ｎｏｎ－ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｒｅｇｉｏｎ ｉｎ ＱＥＤ ｄｏｅｓ ｏｒｄｅｒｓ ｏｆ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ｂｅｙｏｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｌｙ ｓｏ

ｔｈｅ

ａｃｃｅｓｓｉｂｌｅ ｅｎｅｒｇｉｅｓ．） Ａｎ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ｉｓ ｔｈａｔ Ｐ（ｇ） ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ７．５．１， ｗｉｔｈ ａ ｚｅｒｏ ａｔ ｇ ｇ＊． Ｔｈｅｎ ＃（／＊） ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ＇ ｇ＊ ａｓ ＼ｉ －？ ｏｏ． Ａｔ ＝

ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｅｈａｖｅ ｌｉｋｅ

ＧＮ（Ｋｐｌｙ．．．， ＫｐＮ９ｇ９ ｍ９ｆｉ）

￣

ｃｏｎｓｔ

Ｋｄｉｍ＾＋ｉＶ＾）／２ＧｉＶ（ｐ１，．． ．，ｐＮ，ｇ＊Ａｆｉ）． （７．５．１３）

Ｔｈｉｓ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ

Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ， ０．

ａｓ

ｉｆ

＜ｊ＞

ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｈａｄ

ａｎ

ｅｘｔｒａ

ｔｅｒｍ

ｙ（ｇ）／２ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

ｙ（ｇ＊）／２

ｉｎ ｉｔｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ．

ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｆｉｅｌｄ

７．５．４ Ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ

Ｉｆ ｍ

＝

０， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｏｆｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎ

ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ

ｃａｌｃｕｌａｂｉｌｉｔｙ ｉｓ ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｏｆ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ＵＶ ｂｅｈａｖｉｏｒ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｆｉｒｓｔ ａｎ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅｒｅ， ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ｛ｆｉ） ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ ｗｈｅｎ ＼ｉ ｇｏｅｓ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ， ｓｏ ｔｈａｔ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ｃｏｍｐｕｔａｂｌｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅｌｙ， ａｓ ｗｅ ｓａｗ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．５．１． Ｂｕｔ， ｗｈｅｎ ＼ｉ ｉｓ ｓｍａｌｌ， ｇ｛ｊｘ） ｉｓ ｌａｒｇｅ， ｓｏ ｔｈｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｒｅｌｉａｂｌｙ ｂｙ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． （Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｆｏｒ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ， ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ＱＣＤ．） Ｌｅｔ ｕｓ ｎｏｗ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ ｎｏｎ－ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｆｏｒ ｌａｒｇｅ ／＊， ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ． Ｔｈｅ

ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｓ ｌａｒｇｅ，

ｓｏ

ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ｎｏｔ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅｌｙ ｃｏｍｐｕｔａｂｌｅ． （Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ａ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｎ ｌｏｗ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ， ｇ＊９ ｉｎ Ｆｉｇ． ７．５．１ ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ／？（＃＊） ｉｓ ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏ ｌａｒｇｅ ｅｒｒｏｒｓ ｆｒｏｍ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｕｎｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ．） Ｂｕｔ ｗｈｅｎ ／＊ ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ， ｓｏ ｄｏｅｓ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｗｅ ａｒｅ ａｓｓｕｍｉｎｇ ｔｈｅ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｍａｓｓ ｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ， ｓｏ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｌａｒｇｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｆ ｍｊ＼ｉ ａｓ ｆｘ ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ． Ｈｅｎｃｅ， ｗｅ ｃａｎ ｃｏｍｐｕｔｅ ＩＲ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ ｓｕｃｈ ａ ｔｈｅｏｒｙ， ｊｕｓｔ

１９２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ａｓ ｗｅ

ｃｏｍｐｕｔｅｄ

Ｕ Ｖ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ

ａｎ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ．

Ｗｅ ｗｉｌｌ

ｎｏｗ

ｄｏ ｔｈｉｓ． Ｎｏｗ， ｆｏｒ ａｌｍｏｓｔ ａｎｙ

ｇｒａｐｈ

ｔｈｅｒｅ

ｌａｒｇｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｆ ｐ２／ｆｉ２

ａｒｅ

ａｓ

ｐ２ －＞０

ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ， ｊｕｓｔ ａｓ ｉｎ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ， ｔｈｅｓｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ＇ｓ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｓ ｎｏｔ ａ ｐｏｌｅ， ａｔ ｉｎ

ａ

ｌｅａｓｔ

Ｔｏ

ｏｒｄｅｒ－ｂｙ－ｏｒｄｅｒ． ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｔｈｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｙ｛ｇ）

＝

ｌｅｔ

Ｃｌ９２９

ｕｓ

ａｇａｉｎ ｗｒｉｔｅ

（７．５．１４）

Ｐ（ｇ）＝－Ａｉｇ＼

ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ａｓ ｂｅｆｏｒｅ， ｂｕｔ ｎｏｗ ｗｉｔｈ Ａ ｘ

＜

ｂｅｌｏｗ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

ｏｎｅ．

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ＃＊， ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

０． Ｗｅ

ｔｈａｔ ｇ ｉｓ Ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ａｓｓｕｍｅ

ｒｇ（Ｋｆｉ）

Ｇ２（Ｋｐ；ｇ（ｆｉ＼ｆｉ） ＝

＝

ｉ／（／ｃＶ）［ｌ

Ｋ￣２Ｇ２｛ｐ；ｇ（Ｋｉｉ＼ｆｉ）Ｑｘｐ ＋

Ｊ ｇｉｎ）

ｄｇｙ（ｇ）／ｆｉ（ｇ）

Ｏ（０Ｍ２）］ｅｘｐｊ－ ！ｄｇ（ＣＪＡｌ９）［ｌ

＋

Ｏ＾２）］ （７．５．１５）

－ｉ／（Ｋ２ｐ２）－ｃｏｎｓｔａｎｔ［ｌｎ（ｌ／／ｃ）］Ｃｌ／２ｙｉｌ， ａｓ

ｋ：－＞０． Ｈｅｎｃｅ ｉｆ

ｎｏｎｚｅｒｏ

ｌｉｍｉｔ

ａｓ ｐ

Ｃｘ

ｉｓ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ， ｔｈｅｎ

ｐ２Ｇ２（ｐ） ｄｏｅｓ

－？０； ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ Ｇ２（ｐ２）

ｐ２

ｎｏｔ ｈａｖｅ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ

０ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ Ｔｈｅ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ａｔ

＝

ｓｉｍｐｌｅ ｓｉｎｇｌｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ ｐｏｌｅ． ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ａｓ ａｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｐａｒｔｉｃｌｅ， ｂｅｃａｕｓｅ ｉｔｓ ｌｏｎｇ－ｒａｎｇｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｔｏｏ ｓｔｒｏｎｇ． Ｐｏｓｉｔｉｖｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｒｉｃ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｔｅ ｖｅｃｔｏｒｓ

ｔｏ

ａ

Ｃｘ ｔｏ ｂｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ， ａｎｄ ｗｅ ａｓｓｕｍｅｄ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ Ａｔ ｎｅｇａｔｉｖｅ， ｓｏ Ｋ２ ｔｉｍｅｓ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （７．５．１５） ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ． （Ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｖｉｔｙ

ｃｏｎｓｔｒａｉｎｓ

ａｒｇｕｍｅｎｔ ｉｓ ｔｈｅ

ｏｎｅ

ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｉｎ

ｔｅｘｔｂｏｏｋｓ （ｅ．ｇ．，

Ｂｊｏｒｋｅｎ

＆ Ｄｒｅｌｌ （１９６６））

ａ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｕｎｉｔｙ ｉｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｆｉｅｌｄ． Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕｅ ｏｆ

ｅｎｅｒｇｙ ｍｕｓｔ ｂｅ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ Ｃｘ ｉｓ ｐｏｓｉｔｉｖｅ．） Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｉｆ Ｃｘ ０， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｄｏｅｓ ｈａｖｅ ＝

ｐ

＝

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｉｄｕｅ ａｔ

０：

－ｉＫ２ｐ２Ｇ２（ＫＰ，ｇ（ｉｉ＼ｉｉ）＾ｅｘｐ＼

Ｆｉｇ． ７．５．２． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ｉｎ ０４ ｔｈｅｏｒｙ．

－

ｄｇｙ（ｇ）／ｍｙ

（７－５．１６）

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ Ｆｉｇ． ７．５．３． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓ ｔｈａｔ ｇｒａｐｈ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｎ （ｐ４ ｔｈｅｏｒｙ．

Ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ，

７．６

ｅｔｃ．

１９３

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｉｎ ｙ ｉｓ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｅｘｉｓｔ ｏｒｄｅｒ－ｂｙ－ｏｒｄｅｒ． Ａ ｃａｓｅ ｗｈｅｒｅ Ｃｘ ０ ｉｓ ｔｈｅ ＝

０４ ｔｈｅｏｒｙ，

ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ

ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ．

Ｆｉｇ．

７．５．３

Ｆｉｇ．

７．５．２ ｉｓ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｏｆ ｐ． Ｔｈｅ

ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ

７．６

Ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ，

ｅｔｃ．

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ

７．６．１

Ｗｅ ｓａｗ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．４ ｈｏｗ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ

ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｂｙ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇ ｉｔ ｂｙ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｍ ０． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｔｏ ｒｅｏｒｇａｎｉｚｅ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎｔｏ ａ ｆｏｒｍ ｗｉｔｈ ｓｍａｌｌ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． Ｉｔ ｉｓ ｏｆ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｔｏ ｅｘａｍｉｎｅ ｈｏｗ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｒｅｓｕｌｔ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ａ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃ ｒｅｓｕｍｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． Ｆｏｒ ｃｏｎｃｒｅｔｅｎｅｓｓ， ｌｅｔ ｕｓ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ Ｇ２（ｐ， ｇ， ｐ） ｉｎ ｍａｓｓｌｅｓｓ ０３ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｓｉｘ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ ｉｔｓ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｓ ｏｆ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＝

Ｇ２

＝

（ｉ／Ｐ２）ｆ

ｎ ＝ ０

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ

Ｔ０

（７．６．１）

９２ｎＴｎ（－ｐ２ｌｎ＼

＝

１． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｅａｃｈ

Ｔｎ ｉｓ

ａ

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ Ｉｎ ＼ｉ （ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｉｎ Ｉｎ （ ｐ２ｌ＼ｉ２）） ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ａｔ ｍｏｓｔ ｎ， ｗｉｔｈ ｎ ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｌｏｏｐｓ． Ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｇａｒｄ ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ （７．３．１５） ｎｏｔ ａｓ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ Ｇ２ ｗｈｅｎ ＼ｉ ｉｓ ｃｈａｎｇｅｄ ｗｉｔｈ ｇ ｓｅｔ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ（ｐ） （ｔｈｕｓ ｋｅｅｐｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｆｉｘｅｄ）， ｂｕｔ ａｓ ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ／＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ Ｇ２ ｗｉｔｈ ｇ ｆｉｘｅｄ． Ｐｉｃｋｉｎｇ ｏｕｔ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｇ２ｎ ｔｅｒｍ ｇｉｖｅｓ —

ｄ

Ｔ ｄｉｎ ｆｉ＇

＝

－ｙ（ｇ）－Ｐ（９）ｆ］ｎｉ Ｔｎ，ｇ２ｎ］ Ｃ９ Ｊｎ＇

＝

０

Ｔ？

—

＋

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｇ２ｎ．

０（ｇ２） ａｎｄ ｆｔ ｉｓ ０（＃３）， ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ Ｔｎ，＇ｓ：

Ｓｉｎｃｅ ｙ ｉｓ ｏｒｄｅｒ

Ｊ

（７．６．２）

Ｔｎ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｌｏｗｅｒ－

ｃｏｎｓｔａｎｔ

Ｉ －＼ｙ｛Ｇ）＾ｍＰ＼ｇ２ｎ＇［＾＾＾ＴＡ－Ｐ２／ｉｉ＇２）］ ｛ｌｎ＇＜ｎ Ｌ Ｊ ０９ Ｊ

ＪＯ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ３２＂．

（７．６．３） Ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ａｎｏｔｈｅｒ ｎ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ

ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ．

—

ｇｉｖｅｓ Ｔｎ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｔ０ ａｎｄ ｎ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｏｆ ｄｅｇｒｅｅ ｎ ｉｎ ｌｎ／＾ ａｓ

１ ｔｉｍｅｓ

Ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ Ｔｎ ｉｓ

ａ

１９４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｃｌａｉｍｅｄ：

ｉ

Ｔ？＝

Ｔｎｔ？＿ｌ［ｌｎ｛－Ｐ２／Ｈ２）ｙ－

／＝０

Ａｌｌ ｂｕｔ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｔｅｒｍ

ａｒｅ

（７－６．４）

ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｌｏｗｅｒ－ｏｒｄｅｒ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． Ａ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｗａｙ ｏｆ ｏｒｇａｎｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｉｓ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｔｅｒｍ Ｌ＝

－

Ｔｈｉｓ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ

ｇ２

＋ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ

＝

－ｌ ＋

ｉｓ

ｎ．

（７．６．５）

ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅ． Ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈ Ｌ ０ （ｖｉｚ．， Ｔｎ０［ｌｎ（－ ｐ２／ｐ２）Ｙ） ｇｉｖｅｓ ｗｈａｔ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ Ｇ２． Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｄ／ｄｐ， ｐｄ／ｄｇ ｏｒ ｙ ｔｏ Ｇ２ （ｗｉｔｈ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｖａｌｕｅｓ ｆｏｒ ｐ ａｎｄ ｙ） ｉｎｃｒｅａｓｅｓ Ｌ ｂｙ １． Ａｌｌ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｇｉｖｅ ｅｖｅｎ ＝

ｈｉｇｈｅｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ Ｌ． Ｓｏ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｓｅｒｉｅｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｏｎｅ－ ｌｏｏｐ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｈｅｎｃｅ ｗｅ ｍａｙ ｓｕｍ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｓｅｒｉｅｓ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｉｓ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ

Ｇ２（ｐ２＾ｐ）Ｌ＝０＝Ｕｐ＼ Ｔ Ｉ

＝

Ｈｅｒｅ

［１

＋

％ｙ｛ｇ｛ｐ＇））＼｛ｐ２－ｇ｛Ｊ－ｐ２）Ｊ－ｐ２）｝ ＾

ＬＪｍ

ｕｓｅｄ ｔｈｅ

ｗｅ

Ｐ

Ａ｛ｇ２＼ｎ（

Ｊ

－

ｎｏｔａｔｉｏｎ

ｓａｍｅ

Ｊｌ＝ｏ

（７．６．６）

ｐ２／ｐ２）］Ｃｌｉ２Ａｌｉ／Ｐ２－

ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．５．１． Ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ

ａｓ

ｒｅｐｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｄｅｒｉｖｅｄ ａｔ （７．５．８）． Ａｎｏｔｈｅｒ ｗａｙ ｏｆ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ａｎｄ ｎｏｎ－ｌｅａｄｉｎｇ

ｔｏ

ｕｓｅ

ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ

＊Ｚ

Ｌ

＝

０

（７．６．２）

ｔｏ

ｇｉｖｅ

［２＾１（？－ｌ）－Ｃ１］Ｅ１Ｔ？－ｕＤｎ（－ｐＶ）ｒｌ＂ｉ Ｌ

＋

＝

０

＼２Ａ２｛ｎ－２）－Ｃ２－｝＼

１＝０

Ｔｈｅ

＝

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｉｓ ＴｎＬ＇ｓ：

ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ

２（Ｌ－ｎ）Ｔｎ，Ｌ［＼ｎ（－ｐ２／ｐ２）ｆ－Ｌ－ｉ ＝

ｗｈｅｒｅ ｙ

ａ

Ｃｘｇ２ ＋ Ｃ２ｇ４ Ｈ

ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ －

Ｔｎ＿２＞Ｌ［ｌｎ（－ｐ２／／ｉ２）］ｎ＂２－Ｌ＋－＂， （７．６．７）

ａｎｄ ／？＝ －Ａｘｇ２ Ａ２ｇ５ ＋ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ

２ｎＴｎｔ０

—

，

＝

［２ＡＭ

￣

１）

＂

ＣＪ Ｔ？＿

１＞０．

？？■．

（７．６．８）

Ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｔ００ ａｎｄ ｏｆ Ａｔ ａｎｄ Ｃｘ； ｔｈｉｓ ｓｅｒｉｅｓ ｓｕｍｓ ｔｏ （７．６．６）． Ｅｑｕａｔｉｏｎ （７．６．７） ａｌｓｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ． ｅｘａｍｐｌｅ ｔｈｅ ｎｅｘｔ－ｔｏ－ｌｅａｄｉｎｇ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ

－２｛ｎ－＼）ＴｎＡ＝ ［２ＡＭ－ ＾－Ｃ＾Ｔｎ＿１Ａ

＋

＝

１，

Ｆｏｒ

［２Ａ２（ｎ －２） －Ｃ２］Ｔｎ＿２，０． （７．６．９）

７．６ ｎ－Ｌ

＝

Ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ，

１９５

ｅｔｃ．

＃ｌｏｇｓ

ｎ

＝

＃ ｌｏｏｐｓ

Ｆｉｇ． ７．６．１． Ｉｌｌｕｓｔｒａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ａｎｄ ｎｏｎ－ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｆ

ａ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

Ａｇａｉｎ ａ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｓｅｒｉｅｓ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｉｔｓ ｓｕｍ ｉｓ ｅｑｕａｌｌｙ ａｃｃｕｒａｔｅ ａｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ｐ ａｎｄ ｙ ｉｎ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ （７．３．２１）． Ｔｈｅｒｅ ＼ｉ ｉｓ ｓｅｔ ｅｑｕａｌ ｔｏ （— ｐ２）１／２ ａｎｄ ｗｅ ｔａｋｅ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ

ｏｆ

Ｇ２（ｐ＼ｇ（ｙ／－ｐ２），

０， Ｊ￣ｐ２＼ ｉ．ｅ．， （ｉ／ｐ２） （１ ＋＾２Ｔｎ）． Ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｆｏｒ ｌａｒｇｅｒ Ｌ ｍａｙ ｂｅ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ． Ｉｎ Ｆｉｇ． ７．６．１ ｍ

＝

ｗｅ

ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｄｉａｇｏｎａｌ ｌｉｎｅｓ ａｒｅ ｌｉｎｅｓ ｏｆ ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｌ， ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ （７．６．７） ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ａ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ＴｎＬ ｉｎ

ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｌｏｗｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｔｅｒｍｓ

ｉｔｓ

ａｎｄ

ｔｈｅ

ｈｉｇｈｅｒ ｄｉａｇｏｎａｌｓ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｈａｖｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ｎ １ ｌｏｏｐｓ ｆｏｒ Ｇ２ ａｎｄ ｗｉｓｈ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｒｃ－ｌｏｏｐ ｔｅｒｍ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｔｅｒｍ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ａｌｌ ｂｕｔ ｌｎ（ —ｐ２／／ｉ２） ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ａｒｅ ｆｉｘｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｌｏｗｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． ｏｎ

ｄｉａｇｏｎａｌ

ｏｎ

—

ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｎｔｈ ｏｒｄｅｒ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｃｎ ｆｏｒ ｙ ａｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ａｎｄ ｎｏ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ， ｉ．ｅ．， ｉｎ Ｔｎｎ＿ ｘ ａｎｄ Ｔｎｎ． Ｔｈｅ （Ｉｎ）０ ｔｅｒｍ ｉｎ Ｔｈｕｓ ｔｈｅ

ｎｅｗ

（７．６．７） ｉｓ

＂

２Ｔｎ，？＿ｘ

＝

－

Ｃｎ

＋

Ｖ ｌ２Ａｍ＿ｊｊ

－

ｉ＝ ｉ

ＣＢ＿，］ Ｔｊｊ．

（７．６．１０）

ｋｎｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ， Ｔｎｎ＿ｌｉ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｙ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｉｓ Ｔｎ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｋｎｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｒｃ－ｌｏｏｐ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｃｎ ｉｎ ｙ（ｇ）． Ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｍａｙ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ａｎｙ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＧＮ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｉｔ ｉｓ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｇｒａｐｈｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ｗｒｉｔｅ Ｔｈｉｓ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ

ｔｅｒｍ ｉｎ

＾（ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ）

＝

（ｐ２）ｄｔａ＇Ｇ＞／２５＂－２

ｆ ￡

Ｇ＾ｌｎ＂＂＾－ ｐＶ／＇Ｖ，

ｎ＝０Ｌ＝０

（７．６．１１） ｗｈｅｒｅ ｐ ｉｓ

ｏｎｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｎｄ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｇ

ａｐｐｅａｒｉｎｇ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｆａｃｔｏｒｅｄ ｏｕｔ

ｉｎ ｔｈｅ ｔｒｅｅ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ．

ｇＮ￣２， Ｔｈｅ

１９６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

Ｇ｛￡１

ａｒｅ

ｎｏｗ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｒａｔｉｏｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎｖａｒｉａｎｔｓ ｆｏｒｍｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｓｅｒｉｅｓ ａｎｄ ａｌｌ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｌｅａｄｉｎｇ ｓｅｒｉｅｓ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ，

ｓｏ

ｔｈｅｙ

ａｐｐｅａｒｓ ｗｈｅｎ

ｗｅ

ｂｅ ｓｕｍｍｅｄ． Ｔｈｅ ｎ＼ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ

ｃａｎ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ａｒｅ

ｌａｒｇｅ ｏｒｄｅｒｓ ｏｎｌｙ

ｓｉｎｇｌｅ ｌｏｇ ａｎｄ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｔｅｒｍｓ， ａｎｄ ｔｈｕｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｓｕｍ ｏｖｅｒ Ｌ．

７．６．２

Ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ

Ｉｎ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｃａｓｅｓ ｔｈｅｒｅ ｗａｓ

ｌｏｏｐ． Ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ ｍｏｒｅ

ｏｎｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｐｅｒ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｗｈｅｒｅ ｎｏｔ ａｌｌ ｉｎｖａｒｉａｎｔｓ ｇｅｔ

ｌａｒｇｅ． Ａ ｓｉｍｐｌｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ－ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｉｎ ＱＥＤ ｗｉｔｈ ａ ｍａｓｓｉｖｅ ｐｈｏｔｏｎ （Ｆｉｇ． ７．６．２）． Ｈｅｒｅ ｑ２ （ｐｘ ｐ２）２ ｇｅｔｓ ｌａｒｇｅ ｂｕｔ ｐｉ ＝

ａｎｄ

ｐ＼ ａｒｅ ｆｉｘｅｄ． Ｉｔ ｔｕｒｎｓ ｏｕｔ

ｔｗｏ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ

ｐｅｒ

（Ｓｕｄａｋｏｖ （１９５６）， Ｊａｃｋｉｗ （１９６８）） ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍｕｓｔ ｂｅ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ Ｇ＾ｌ ｉｎ （７．６．１１），

ｌｏｏｐ． Ｔｈｅｓｅ

ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｉｓ ｔｏｏ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｉｎ （７．６．１１）．

Ｆｉｇ．

—

ｈｉｇｈ

ｆｏｒ ｔｈｅｍ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ

ｅｘｐｌｉｃｉｔ

７．６．２． Ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ＇ｓ ｆｏｒｍ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ＱＥＤ．

ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ ｓｕｃｈ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ． ｓｕｍ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ， ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｏｆｔｅｎ ｔｏ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｅａｓｙ ｃｏｍｐｕｔｅ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｎ－ｓｈｅｌｌ ｆｏｒｍ－ｆａｃｔｏｒ ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ａ ｗｈｉｃｈ ｓｅｒｉｅｓ ｓｕｍｓ ｔｏ （Ｊａｃｋｉｗ （１９６８）） ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ Ｏｎｅ ｗｏｕｌｄ ｌｉｋｅ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ

Ａ ｍｕｃｈ－ｕｓｅｄ

ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ

Ｆ

ｉｓ ｔｏ

￣

ｅｘｐ

［

－

（ｅ２／ｌ６ｎ２）＼ｎ２ｑ２ｌ

（７．６．１２）

（Ｓｅｅ

ａｌｓｏ Ｍｕｅｌｌｅｒ （１９８１）． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｃａｓｅｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｅａｒｌｉｅｒ， ｗｉｔｈ ａｌｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｌａｒｇｅ， ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｊｕｓｔｉｆｉｅｄ ｂｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｍｅｔｈｏｄｓ， ａｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｅｅｎ． Ｆｏｒ ｃａｓｅｓ ｌｉｋｅ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｏｎｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ－ｆａｃｔｏｒ， ｉｔ ｍａｙ ｂｅ

ａ

ｂａｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ

（１９８１，１９８２ｂ））． ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ ｓｏｍｅ

Ｈｏｗｅｖｅｒ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ａｖａｉｌａｂｌｅ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

（Ｃｏｌｌｉｎｓ ＆ Ｓｏｐｅｒ ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ． Ｓｅｅ Ｍｕｅｌｌｅｒ （１９７９， １９８１） ａｎｄ Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９８０） ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｆｏｒｍ－ｆａｃｔｏｒ ａｎｄ Ｃｏｌｌｉｎｓ ＆ Ｓｏｐｅｒ （１９８１） ｆｏｒ ｃａｓｅｓ ｉｎ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ．

７．６．３ Ｌａｎｄａｕ Ｔｈｅ

ｇｈｏｓｔ

ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ （７．６．６）

ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｈａｓ

ａ

７Ｊ Ｏｔｈｅｒ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

１９７

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｗｈｅｎ （７．６．１３）

ｐ２＝－Ａｉ２ｅｘｐ［－ｌ／Ｍ＾２）］．

Ｔｈｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ， ｉｆ ｐｒｅｓｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｔｒｕｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ， ｗｏｕｌｄ ｓｉｇｎａｌ ａ ｓｔａｔｅ ｏｆ ｓｑｕａｒｅｄ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕｅ ｈａｓ ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｓｉｇｎ ｔｏ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａ ｎｏｒｍａｌ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｐｏｌｅ， ｔｈｉｓ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ａ ｓｔａｔｅ ｗｉｔｈ ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．

ｔｈｉｓ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｍａｓｓ

Ｉｔ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ Ｌａｎｄａｕ ｇｈｏｓｔ （Ｌａｎｄａｕ ＆ Ｐｏｍｅｒａｎｃｈｕｋ （１９５５））． Ｉｎ

ａ ｎｏｎ－

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ ｌｉｋｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ

ａｎ

ｃａｓｅ ｉｔ

ＱＥＤ， ｉｔ ｏｃｃｕｒｓ ａｔ ｖｅｒｙ ｌａｒｇｅ ｅｎｅｒｇｉｅｓ ａｎｄ ｉｎ ｌｉｋｅ ＱＣＤ， ｉｔ ｏｃｃｕｒｓ ａｔ ｌｏｗ ｅｎｅｒｇｉｅｓ． Ｉｎ ｅｉｔｈｅｒ

ｗｈｅｒｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ

ｏｃｃｕｒｓ

ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｉｓ

ａ

ｉｎａｐｐｌｉｃａｂｌｅ

ａｎｄ

ｓｏ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ

ｂａｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ．

７．７ Ｏｔｈｅｒ ｔｈｅｏｒｉｅｓ Ｗｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ

ｏｕｒ

ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｉｎ

ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｆｉｅｌｄ，

ｔｏ ａ

ｏｎｅ

ｄｅｒｉｖｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ａｎｄ ｏｎｅ ｍａｓｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒ． Ｈｏｗｅｖｅｒ

ｂｙ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｍｅｔｈｏｄ， ａ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｓｅｖｅｒａｌ ｆｉｅｌｄｓ ＜／＞！，．．．，（ｊ）Ａ （ｅａｃｈ ｍａｙ ｂｅ Ｂｏｓｅ ｏｒ Ｆｅｒｍｉ）， ｓｅｖｅｒａｌ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｇｌ９．．．９ｇＢ， ａｎｄ ｓｅｖｅｒａｌ ｍａｓｓｅｓ． Ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍａｓｓ ＼ｉ ｉｓ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｄ ｂｙ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓｃａｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ａ ｗｅ

ｍａｙ ｔｒｅａｔ，

ｐｒｏｌｉｆｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｄｉｃｅｓ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｉｅｓｔ ｔｏ ｔｒｅａｔ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｎｄ ｍａｓｓｅｓ ｏｎ ｔｈｅ ｆｏｏｔｉｎｇ． Ｓｏ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｇｌ９．．．９ｇｃ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ， ｗｉｔｈ Ｃ ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｎｄ ｍａｓｓｅｓ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｍｕｓｔ ｗｒｉｔｅ ｓａｍｅ

ｅａｃｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｆｉ｝ ｂｅｉｎｇ， ａ ｐｒｉｏｒｉ， ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ａｎｄ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｍａｓｓ， ｗｏｕｌｄ （ｇ， ｍ２）， ａｎｄ ｐｘ ｆ｝（ｇ） ａｎｄ ｐ２＝ ｙｍ（ｇ）ｍ２． Ｇｉｖｅｎ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ／ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ｏｆ

ａ

＝

Ｔｈｅ ＲＧ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｇｊ｛０）

ａｒｅ

ｈａｖｅ

（ｇｌ９ｇ２）

＝

－

＊ｈ＂＊＊－（％＋￥４ｒｙ ｃａｎ

ｏｆ ／／，

ｗｅ

ｈａｖｅ

，７７２）

ｂｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｎｏｔｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ：

Ｔｈｅｓｅ ｆｏｒｍ Ｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｇ ｕｎｋｎｏｗｎｓ． Ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ｔｈａｔ ｆｉｅｌｄｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｎｕｍｂｅｒｓ ｍａｙ ｍｉｘ ｕｎｄｅｒ

１９８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ．

Ｗｒｉｔｉｎｇ ＜ｔ＞（０）ｉ

ｗｅ

＝

ＩＪ￡ｉｊ（＆ｄ）＜ｔ）ｐ ｊ

ｆｉｎｄ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈａｔ ＇ｋｉｎｅｔｉｃ ｅｎｅｒｇｙ＇ ｉ

ｔｅｒｍｓ ｉｎ ￥￡ ａｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｉ

ｈｉ

ＪＪ

Ｈｅｎｃｅ， ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｍａｔｒｉｘ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ－ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｚｉ／ｇ，ｄ）＝ＥＣ？Ｃｙ

＝

（ｔｒＯｙ，

（７．７．４）

Ｔ

ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｒａｎｓｐｏｓｅ． （Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ （ ｈａｓ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｅａｎｉｎｇ ｈｅｒｅ ｔｈａｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ７．１ ａｎｄ ７．２．） Ｉｆ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｍａｔｒｉｘ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｂｙ

ｗｈｅｒｅ

ｔｈｅｎ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｆｉｅｌｄｓ ｇｉｖｅｓ °

＝

＾＾（０）．

＝

（＾＾－Ｋｙ）＾

（７．７．６ａ）

ｉ．ｅ．， ｄ

＊＇－＂ｓ？－ ｏｒ

＾Ｚ＝｜｛Ｚ，ｙ｝．

（７．７．６６）

Ｉｆ Ｚ ｉｓ ｄｉａｇｏｎａｌ （ａｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｉｎ ｍｏｓｔ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ）： Ｚｔｊ （７．７．６） ｒｅｄｕｃｅｓ ｔｏ

ａｎ

—

ｂｔｉＺｈ ｔｈｅｎ

ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆｉｅｌｄ

＾４＞ｉ＝－ｈｉ４＞ｉ， ｄｐ

（７－７．７）

ｄ Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｄｉａｇｏｎａｌ Ｚ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｎ Ａｐｐｏｉｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ＇

ｄ

＝

－

＊

Ｅ ＫｔｅＸＶ

ｄｌ

（７－７．８）

７．７ Ｏｔｈｅｒ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

１９９

Ｈｅｒｅ

ｙｉａ ｉｓ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｔｈ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｉｅｌｄ ｏｆ Ｉｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ Ｚ ｉｓ ｎｏｔ ｄｉａｇｏｎａｌ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｓｉｍｉｌａｒ，

ＧＮ． ｂｕｔ

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ， ｓｅｔ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｒｅ ｃｏｕｐｌｅｄ， ｓｏ ｔｈｅｉｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ａｃｈｉｅｖｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｏｕｒ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｏｎ ｍａｓｓｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ． Ｌｅｔ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｇｌ９．．．，ｇＡｂｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ａｎｄ ｌｅｔ ｔｈｅ ｍｏｒｅ

Ｔｈｅ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ

ｂａｒｅ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ

ｂｅ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｇ（０）ｉ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎｌｙ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｓａｋｅ ｏｆ ｄｅｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ， ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｐｈｙｓｉｃａｌ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｄ ４． Ｔｈｅ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｌｓｏ ｏｎ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｄｅｐｅｎｄ Ｚｆ ＝

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ

ｄ． Ｌｅｔ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ （ｍａｓｓｅｓ ａｎｄ ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ） ｂｅ ｄｅｎｏｔｅｄ ｂｙ ／ｓ， ａｎｄ ｌｅｔ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｆｓ ｂｅ （４ ｄ）ｚｓ ＋ ａｓ． Ｉｆ ｆｓ ｉｓ ｏｎ

－

ｔｈｅ

ｍａｓｓ

ｏｆ ａ ｆｅｒｍｉｏｎ， ｔｈｅｎ ｏｓ

＝

１， ｔｓ

＝

０． Ｉｆ ｉｔ ｉｓ

ａ

ｂｏｓｏｎ

ｍａｓｓ

ｓｑｕａｒｅｄ， ｔｈｅｎ

２ ａｎｄ ｔｓ ０， ｗｈｉｌｅ ｆｏｒ ａ ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｓ ＾ ０ ａｎｄ ＜ｊｓ ＞ ０． Ｔｈｅｎ （ｂｙ Ｓｅｃｔｉｏｎ ５．８） ｔｈｅ ｂａｒｅ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｆｓ ｈａｓ ｔｈｅ ｃｓ ｆｏｒｍ ＝

＝

／（ｏ，ｓ＝ Ｉ Ｈｉ４－ｄ）ｔ＊ＸＦｓＸ（ｇ，ｄ）． ｄｘ

Ｈｅｒｅ Ｘ ｉｓ ａｎｙ

ｄ

—

４） ｅｑｕａｌ

Ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ

（７．７．９）

－ａｓ

ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｓ ｏｆ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｗｉｔｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ （ａｔ

ｆｓ．

ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｇｉｖｅｓ ０

＝

ｙｊ＝ ０

＝

（４

－

ｄ）Ｐｉｇｍ ＋ Ｘ Ｐｊ７ｒ－ｇｍ， ｊ＝ｉ Ｇ９ｊ

Ｉ＾ｌｎＺ，

（７－７－１０？） （７．７．１０ｂ）

（４－ｄＸＸＸＦｓｘ＋ＺＸＰｊ４－ＦｓＸ Ｘ

ｔ，Ｘ

Ｘ， Ｊ

＂Ｖｊ

Ｃｈ

ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｔｏ ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ： ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎｌｙ ｏｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｔｈｅｎ

ａ

Ｉｎ ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ， ｔｈｅ ｉｎｄｅｘ； ｒｕｎｓ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ １ ｔｏ Ａ９ ｉ．ｅ．， ｏｖｅｒ ｔｈｏｓｅ ｖａｌｕｅｓ ｔｈａｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｉｎｄｉｃｅｓ ５

ａｎｄ ｔ

ｒｕｎ ｏｖｅｒ

ｔｈｅ ｌａｂｅｌｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｆｕｌ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ．

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

２００ Ｉｆ ｗｅ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｓ ｒａｔｈｅｒ

ｕｓｅ

ｅａｓｙ． Ｌｅｔ

Ｇｔ（ｇ＼ Ｚｔ（ｇ＼ ａｎｄ ＰｓＸ（ｇ） ｂｅ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｓｉｎｇｌｅ ｐｏｌｅｓ ｉｎ ｇ｛０）ｉ， Ｚｔ

ａｎｄ

Ｔｈｅｎ

ＦｓＸ．

ｗｅ

ｈａｖｅ

Ｐｊ（ｇ，ｄ）＝（ｄ－４）Ｐｊｇｊ ＋ ｐｊ（ｇ）９ ｆｃ（ｇ， ｔ９ｄ） （ｄ ４）ｔＪｓ ＋ ＆（ｇ， ｆ）， ＝

ｗｉｔｈ

ｙｊ９

ａｎｄ

ｐｊ

／？ｓ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ Ａ

ｌ

？

Ｉ

Ｑ

｛（ｘ．＂ Ｚ＾）（＾） ＾Ｉ Ｐ＾ｔｆ｝． －

７．８ Ｏｔｈｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｉｔ ｗａｓ

ｏｎｌｙ ｆｏｒ

（７．７．１１）

－

ｔｈｅ ｓａｋｅ ｏｆ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ ｔｈａｔ

（７－７．１２）

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ

ｗｅ

ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ

ｏｕｒ

ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．２ ｉｎ ｆａｃｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ａｎｙ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｄ ｂｙ ａ

ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｓｃａｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｓ ｅｘａｍｉｎｅ ｗｈａｔ ｈａｐｐｅｎｓ ｉｎ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｃｈｅｍｅｓ． Ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｒｅｓｔｒｉｃｔ ｏｕｒ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ． Ｌｅｔ

ｍａｓｓ， ｌｉｋｅ

０３ ｔｈｅｏｒｙ

Ｉｆ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ

ｂｅ

ａ

ａ

ｉｎ ｓｉｘ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｗｉｔｈ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｐｏｉｎｔ，

ｓｔｉｌｌ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ａｎｄ ｃｏｍｐｕｔｅｄ

ｇｅｎｅｒａｌ

ａｎ ｅｘｔｒａ ｍａｓｓ ＼ｉ，

ｗｈｉｃｈ ｍｉｇｈｔ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

ｔｈｅｎ

ｃａｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｂｙ （７．３．４）， （７．３．５）， ａｎｄ （７．３．１４）． Ｗｈａｔ ｗｅ ｌｏｓｅ ｉｎ

ａｒｅ：

（１） ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｆｏｒｍｕｌａｅ （７．３．１２）， （２） ｔｈｅ ｌａｃｋ ｏｆ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ／？，

ｙｍ ａｎｄ ｙ ｏｎ ｔｈｅ ｍａｓｓｅｓ．

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ＵＶ ｌｉｍｉｔｓ， ｉｔ ｉｓ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ａ ｓｃｈｅｍｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｍ－＞０ ｅｘｉｓｔｓ． Ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ

／？，

ｙｍ９ ｙ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ，

ｏｒｄｅｒ－ｂｙ－ｏｒｄｅｒ，

ａｓ

ｍ－＞０．

ｒｅｌａｔｅｄ ｂｙ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉ－ ｍａｙ ｒｅｌａｔｅ ｔｈｅ ＲＧ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ

Ｎｏｗ， ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ

ｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ｓｏ ｗｅ ｓｃｈｅｍｅｓ ｂｙ ｌｏｏｋｉｎｇ ａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ

ｔｈｅｎ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ／ｉｄ／ｄ／ｉ ｉｎ

ｏｎｅ

ａｒｅ

ｉｎ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｏｆ／ｉｄ／ｄ／ｉ ｉｎ ａｎｏｔｈｅｒ ｓｃｈｅｍｅ

ｓｃｈｅｍｅ ｉｎ ｔｅｒｍｓ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈａｉｎ ｒｕｌｅ．

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ａ

ｓｅｃｏｎｄ ｓｃｈｅｍｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

ｎｅｗ ｍａｓｓ，

ｃｏｕｐｌｉｎｇ

ａｎｄ

７．８ Ｏｔｈｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｆｉｅｌｄ

ａｒｅ

ｍ＇， ｇ ａｎｄ ０＇： ｇ＇ ｍ＇２

＝

＝

ｇ＇（ｇ，ｍ２／ｎ２），

ｍ２ｚｍ（ｇ，ｍ２／ｎ２），＼

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｎｅｗ

Ｇ＇Ｎ（ｐ；ｇ＼ｍ＇２ｙｐ） Ｔｈｅ

２０１

＝

ｓｃｈｅｍｅ

ａｒｅ

（７．８．２）

ｔ：ＮＧＮ（ｐ；ｇｉｍ＼ｐ）．

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ

ｐ＇（ｇ＇，ｍ＇２／ｎ２）

＝

（７．８．１）

ｎｅｗ

ｓｃｈｅｍｅ

ｐｌ￣ ｙｍｍ２ Ａ Ｖ＾＞ ｎ＾ｇ＇ （ｎ￣ ＼ ｄｐ ｄｐ＇ ＋

＝

ａｒｅ：

？

ｄｍ２

ｏｇ

Ｖ）， （７．８．３）

ｙｍ（９＇＾＇２／ｐ２）＾－＾ｊ－ｍ＇ ＝

Ｊｍ

￣

＋ Ｌ－＾ ｛．ｚｍ｛ｇ，ｍ２１ ｐ２）＼ Ｐｙ ｙｍｍ２＾）ｌｎ ｅｇ Ｊ ＼ ｃｐ ￣

ｃｍ

（７．８．４）

Ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｄ／ｄｐ ｉｓ ａｓ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｐ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ０ ａｎｄ ｂａｒｅ ｍａｓｓ ｍ０ ａｒｅ ｈｅｌｄ ｆｉｘｅｄ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ， ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｉｎ ｂｏｔｈ ｓｃｈｅｍｅｓ． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｓｔｅｐｓ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ／？＇ ｏｒ

ｙ＇ｍ＼ Ｆｉｒｓｔ， ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｓｅｃｏｎｄ， ｃｈａｎｇｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｎｅｗ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｍａｓｓ． Ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ０＇ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｓ

ｏｆ ｇ９ ｍ， ａｎｄ ｐ＼

ｙ＇（ｇ＼ｍｆ２／ｐ２）＝－＾ｐ＾＼ｎＧ＇Ｎ －２ｐ—ＩｎＣ ｄｐ ＝＊

Ａ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｅ

－

＋ ｙ

２（／Ｖ％ ｙ＾ｔｏ？）ｌｎ ＾ ｍ２＇＾ ￣

ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ

ｓｃｈｅｍｅｓ． Ｔｈｅｎ ｇ＼ （ ａｎｄ

ｚｍ

ｏｃｃｕｒｓ

ａｒｅ

ｙｍ（ｇ＇）

／（０＇）

＝

＝

＝

ｒｅｌａｔｉｎｇ ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇ ａｌｏｎｅ，

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｐ＇（ｇ＇）

ｉｎ

（７－８－５）

ｎｅｗ

ｓｃｈｅｍｅ

ｓｏ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｓａｔｉｓｆｙ

ｌ｝（ｇ）Ｔｇ＇（９ｌ ｙｍ－Ｐ—＾ｚｍ（ｇ）， ７－２／？－ｌｎＣ（０）． ？ｇ

（７．８．６）

２０２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ， ｌｅｔ

ｇ＼

ｚｍ ａｎｄ ￡ ｈａｖｅ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ

ｆｌｉ０３＋ｆｌ２０５ ＋ ＂Ｏ ｚｍ＝ｌ＋Ｍ２ ＋ ｆｃ２０４ ＋ ＂－Ａ Ｑ＇

＝

０ ＋

ａｎｄ ｌｅｔ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ／？，

ｙｍ（ｇ） ｙｔｅ）

＝

＝

Ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ／？＇，

ｐｒｉｍｅｄ． Ｔｈｅｎ ｅｘａｍｐｌｅ： ＝

－

ｙｍ， ａｎｄ ｙ ｂｅ

＞

Ｂｉｇ２ ＋ Ｂ２ｇ＊ ＋ －－－ｙ ｃ＾２ ＋ ｃ２＾４ ＋

ｙ＾，

ａｎｄ ｙ＇

ａｒｅ

ｇｓ（Ａ＇２

＋

３ａｘＡ＼）

－

（７．８．８）

Ｊ

－－－

ｗｒｉｔｔｅｎ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｗｉｔｈ ａｌｌ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ

ｂｙ ｕｓｉｎｇ （７．８．７）．

ｅｘｐｒｅｓｓ ｔｈｅｍ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｇ

ｗｅ ｃａｎ

Ａ［ｇ３

－

（７－８．７）

０７（＾

５＾２ｆｌｊ

＋

３＾；ａ２

＋

＋ ３，４

Ｘ） ＋

Ｆｏｒ

？

■

？．

（７．８．９） Ｔｈｉｓ

ｍｕｓｔ ａｇｒｅｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ

（７．８．６） ｐｄｇ＇／ｄｇ＝－Ａｌｇ３－ｇ５（Ａ２

＋

３ａｌＡｌ）－ｇ７（Ａ３

３Ａ２ａｌ

＋

＋

５Ａ１ａ２） ＋

＇￣．

（７．８．１０） Ｆｒｏｍ ｔｈｅｓｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｗｅ ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｗｏ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎ ｆｔ ｄｏ ｎｏｔ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｉｓ ｃｈａｎｇｅｄ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ２． Ｂｙ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ ｗｅ ａｌｓｏ ｊ Ａ＼， Ａ２ ｓｅｅ ｔｈａｔ， ｂｙ ａｄｊｕｓｔｉｎｇ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｇ＼ｇ＼ ｗｅ ｍａｙ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｗｈｅｎ

ｃｈａｎｇｅ Ａ

＝

ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ａ

＝

ｔｅｒｍｓ ｂｅｙｏｎｄ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｉｎ ／？＇ ｔｏ ｂｅ ｗｈａｔｅｖｅｒ ｗｅ ｗａｎｔ． Ｉｎ ｓｉｍｉｌａｒ ｆａｓｈｉｏｎ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ０（ｇ２） ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｙｍ ａｎｄ ｙ ａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ．

ｗｅ

ｓｅｅ

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｔｅｒｍ ｉｎ ｙ ｏｒ ｙｍ ｉｓ ｚｅｒｏ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｏｆ ｙ （ｏｒ ｙｍ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ） ｍａｙ ｂｅ ｍａｄｅ ｚｅｒｏ ｂｙ ａ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｐｒｉｖｉｌｅｇｅ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｅｘｔｅｎｄ ｔｏ ／？： ｉｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｎｏｎ－ｖａｎｉｓｈｉｎｇ ｔｅｒｍ ｉｎ ｐ ｉｓ ａｔ ｒｃ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ （ｎ ＞ １） ｔｈｅｎ ｔｈａｔ ｔｅｒｍ ｉｓ ＲＧ ｉｎｖａｒｉａｎｔ （ｂｕｔ ｎｏｔ ｔｈｅ （ｎ ＋ ｌ）－ｌｏｏｐ ｔｅｒｍ）． Ｉｎ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｍｏｒｅ ｔｈａｎ ｏｎｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｗｅ ｍａｙ ｔｒｙ ｔｏ Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｆ ｔｈｅ

ａｐｐｌｙ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｌｅｆｔ

ａｓ ａｎ

ｅｘｅｒｃｉｓｅ． Ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ

ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｉｎ ｅａｃｈ ｐ ｉｓ ｎｏｗ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ｅｘｃｅｐｔ ｉｎ ｔｈｅ ＾－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｍｉｘ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ．

Ｔｈｅ

ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ

ｏｆ

ｔｈｅｓｅ

ｃａｓｅ

ａｐｐｌｉｅｓ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

ｏｎｌｙ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ．

Ｉｆ ｏｎｅ

ａｒｅ

ｚｅｒｏ．

Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｆ｝

＝

ｙ

＝

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ

ｗｉｔｈｉｎ

ｗｅｒｅ ｔｏ ｕｓｅ， ｓａｙ，

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ＼ｉ ｗｏｕｌｄ ｎｏｔ ａｐｐｅａｒ， ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ＼ｉ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｙｍ

ｓｏ

＝

ｍａｓｓ－

ｏｎ－ｓｈｅｌｌ

ａｌｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｗｉｔｈ

０．

（Ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ

７．９ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｒａｎｓｍｕｔａｔｉｏｎ

２０３

ｂｅｈａｖｉｏｒ ｔｈａｔ ｗｅ ｅｘｔｒａｃｔ ｂｙ ｖａｒｙｉｎｇ ＼ｉ ｃａｎ ｎｏ ｌｏｎｇｅｒ ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｂｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｍｅｔｈｏｄｓ， ｉｆ ｗｅ ｓｔａｙ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｉｎｓｔｅａｄ

－

ｃａｓｅ ｔｈｅ Ｃａｌｌａｎ－Ｓｙｍａｎｚｉｋ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｍｕｓｔ ｂｅ ｕｓｅｄ Ｃａｌｌａｎ （１９７０） ａｎｄ Ｓｙｍａｎｚｉｋ （１９７０ｂ）．）

ｓｅｅ

７．９ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｒａｎｓｍｕｔａｔｉｏｎ

ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ ａｎｄ ｎｏ ｍａｓｓｅｓ． Ａ ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃａｓｅ ｉｓ ＱＣＤ ｗｉｔｈ ｓｅｖｅｒａｌ ｆｌａｖｏｒｓ ｏｆ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｑｕａｒｋ； ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｏｒ ｔｈｒｅｅ ｆｌａｖｏｒｓ ｔｈｉｓ ｉｓ ａｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ａｃｔｕａｌ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ａ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｆｉｅｌｄ

ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ

ｎｏ ｍａｓｓｅｓ ｗｅ ｍｕｓｔ ｕｓｅ ａ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍａｓｓ ／＊． Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｐｐａｒｅｎｔｌｙ ｈａｓ ｔｗｏ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ， ｇ ａｎｄ ／＊， ｗｅ ｓａｗ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ｓｏ： ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ＼ｉ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｄ ｂｙ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｇ． Ｉｎ ｆａｃｔ， ａｓ Ｃｏｌｅｍａｎ ＆ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９７３） ｐｏｉｎｔｅｄ ｏｕｔ， ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｒｅａｌｌｙ ｈａｓ ｎｏ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｔ ａｌｌ． Ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｂｕｔ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｅｌｕｓｉｖｅ， ｓｏ ｗｅ ｅｘｐｌａｉｎ ｉｔ ａｔ ｌｅｎｇｔｈ． Ａ ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｍｕｓｔ ｂｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｌｅｔ Ｍ（＃，／ｉ） ｂｅ ａ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｍａｓｓ． Ｂｙ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｗｉｔｈ

ａｎａｌｙｓｉｓ， ｉｔ ｉｓ

＼ｉ ｔｉｍｅｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇ ａｌｏｎｅ． Ｓｏ ０

ｄ

＝

ｎ—Ｍ ｄ／ｉ

＝

ｄ

（７．９．１）

ｐ— Ｍ． ｄｇ

Ｍ ＋

Ｈｅｎｃｅ Ｍ

＝

／ｒ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｅｘｐ

ｔ－ｒ

１

＝

＝

Ｐ（９ｌ．

Ａ２，

［＇Ａ ，｛．Ａ＼ｇ＂ ＋ ＾ｇ＇）（Ａ，－Ａ２ｇ＇２）－］

ｎＣｅｘｐｌ－——－—— ＼ｎ（ｇ）－＼ ｄｇ ２Ａｌ９２ Ａ＼ Ｊ ０ Ｊ０ ，

，

＂

ｉｉＣ ｅｘｐ

｛

－

＾—２

－

２Ａｌ９２

Ｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ａｎｄ

Ａ２ｇ＇３ｐ（ｇ＇）

Ｉｎ （ｇ） ＋ ０（ｇ２）｝． －ｆ Ａ２ ｗｅ

ｈａｖｅ ｗｒｉｔｔｅｎ

ｆ｝（ｇ）

（７．９．２） ＝

—

Ａ｛ｇ３

—

Ａ２ｇ５ Ｈ

，

ａｓ

ｕｓｕａｌ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ：

ｔｏ ｍｅａｓｕｒｅ ａ

Ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｈａｓ Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，

ａｎ

（７．９．２）

ａｒｅ

ｎｏｔ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ

ｏｎｅ ｍｕｓｔ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．

ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｆｒｅｅｄｏｍ ｈａｓ

ａ

ｔｏ ｖａｒｙ ｉｔｓ ｓｃａｌｅ．

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｓ：

ｐａｒｔｉｃｌｅ ｍａｓｓｅｓ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｉｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ （ｉｎ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｎｏ ｍａｓｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ）． Ｆｏｒ ｔｏ ａｖｏｉｄ ｌａｒｇｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｎｅ ｍｕｓｔ ｓｅｔ ＼ｉ ｔｏ ｂｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｍ， ｗｈｅｒｅ Ｍ ｉｓ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｍａｓｓ

（１） Ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

２０４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｂｅｉｎｇ ｃｏｍｐｕｔｅｄ． ｉｓ

（２）

ａ

Ｔｈｅｎ （７．９．２） ｔｅｌｌｓ

ｕｓ

ｔｈａｔ ｇ（Ｍ） ｉｓ ｎｏｔ

ｆｒｅｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ； ｉｔ

ａ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

Ｉｎ ａ

ｕｎｉｔｙ． ｎｏｎ－ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ （Ａ，

＜

０）， ｓｕｐｐｏｓｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ａ

ｓｍａｌｌ

ｖａｌｕｅ ｆｏｒ ｇ（ｐ）． Ｔｈｅｎ ｊｘ＜Ｍ， ｗｈｅｒｅ Ｍ ｉｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｏｆ ａｎｙ ｇｉｖｅｎ ｍａｓｓｉｖｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ． Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｏｎｌｙ ｕｓｅｆｕｌ ｆｏｒ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ

（３）

ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｏｒ

ｍａｓｓｉｖｅ

Ｉｎ

＞

ｐｒｏｄｕｃｉｎｇ ａｎｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｎ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ （Ａ ｘ

ｍｕｃｈ ｂｅｌｏｗ ｔｈｅ

ａｒｅ

ｐａｒｔｉｃｌｅｓ．

０）， ｗｅ ｈａｖｅ ｐ， ＞ Ｍ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｇ（ｐ） ａ ｔｈｅｏｒｙ ｏｎｌｙ ｗｈｅｎ

ｉｓ ｓｍａｌｌ． Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ ｉｎ ｓｕｃｈ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｍｕｃｈ ｂｉｇｇｅｒ ｔｈａｎ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｍａｓｓｅｓ．

（４） Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ （７．９．２） ｉｓ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅ ｓａｍｅ ｆｏｒ ａｌｌ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ， ｒａｔｉｏｓ ｏｆ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｍａｓｓｅｓ ａｒｅ ｐｕｒｅ ｎｕｍｂｅｒｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｇ ａｎｄ ｐ． Ｌｅｔ ｕｓ ｅｍｐｈａｓｉｚｅ ｏｎｃｅ ｍｏｒｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｔｒｕｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｍａｓｓ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｔｈｅ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｏｌｅｍａｎ ＆ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９７３） ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ａｓｋｉｎｇ ｗｈａｔ

ｂｅ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｓｔａｒｔ ｗｉｔｈ ｐ ｐｘ ａｎｄ ｇ ｇｘ ａｎｄ ａｓｋ ｈｏｗ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃｈａｎｇｅｓ ｗｈｅｎ ｗｅ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ

ｃａｎ

＝

—

ｖａｌｕｅ

ｏｆｇ，ｇ ｇ２． （Ｗｅ ｓｕｐｐｏｓｅ ｇｘ ａｎｄ ｇ２ ａｒｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｇ ｆｉｒｓｔ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ／？．） Ｅａｃｈ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ａｎ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ＝

Ｎｏｗ ｅｖｏｌｖｅ

０ ａｎｄ ｇ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ

＝

ｇ（ｐ）

ｇ＊， ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ＝

ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｖｅｒｓｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｐ ｗｈｅｒｅ

０ｖｅｒｓ２（／＊２）

＝

０１－

ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｖｅｒｓｉｏｎ ｗｉｔｈ ａｌｌ ｐ２ｊｐｖ Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｌｅｔ ａｂｅａ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｆａｃｔｏｒ

ｂｙ ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎ ｍｏｍｅｎｔａ ａｎａｌｙｓｉｓ ｇｉｖｅ ｕｓ ｍｏｍｅｎｔａ ｓｃａｌｅｄ

ａ

ｐ｛ｙ．．．ｙｐＮ． Ｔｈｅｎ ＲＧ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ａｎｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｇ（Ｐｉ＞－－－＞Ｐｎ＇＞９２＞Ｈｉ）

＝

＝

°（Ｐｉ＞＇￣＞Ｐｎ＇＞９ｉ＞Ｉ＊２）

（？ｌ＼ ＼／＊ｌ／

Ｊ ｔｋｐ ＼Ａ＊２

Ｖ±ｐＮ；ｇｉ＾ＡＪ １＊２

（７．９．３）

Ｔｈｅ ｌａｓｔ ｆａｃｔｏｒ ｉｓ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ｖｅｒｓｉｏｎ １ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｉｔｈ ｉｔｓ ｍｏｍｅｎｔａ ｓｃａｌｅｄ． Ｗｅ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ

ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ

ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｂａｓｉｃａｌｌｙ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ ｉｔｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｒａｎｓｍｕｔａｔｉｏｎ． Ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ ｍａｎｙ ｗａｙｓ

ｍｉｇｈｔ ｇｉｖｅ

ｔｈｅ ｐｒｏｔｏｎ

ｉｎ

ｍａｓｓ

ａ

ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ

ｓｃａｌｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

ｏｆ ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ ｔｈｅ ｓｃａｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ： ｉｎ ＱＣＤ ｏｎｅ Ｆｏｒ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｐｕｒｐｏｓｅｓ ｉｔ ｉｓ ｂｅｔｔｅｒ ｔｏ ｕｓｅ

ｍａｓｓ．

７．９ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｒａｎｓｍｕｔａｔｉｏｎ

２０５

ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ ｔｈａｔ ｃａｎ

ｂｅ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ／ｉ ａｔ ｗｈｉｃｈ ｇ（ｊｉ） ｈａｓ ｓｏｍｅ ｇｉｖｅｎ ｖａｌｕｅ （ｅ．ｇ．， ０．１） ｉｎ ｏｎｅ＇ｓ ｃｈｏｓｅｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｏｎｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｗａｙ ｉｓ ｔｏ ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ ／＊，

ｇ（［ｉ）

ｈａｓ ｉｔｓ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ２／

）＝

ｂｅｈａｖｉｏｒ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ

１

Ａ２ｌｎ（ｌｎｆｃＶｆｌｏ）） ＋

ｃｏｎｓｔａｎｔ

ｒｉｎ＾Ｏｎ，ｌ（／Ｖ／＊ｏ）） Ｌ ｌｎ３（ＡＷ７＊ｏ） ｘ

＾，

Ｈｅｒｅ ｆｉ０ ｉｓ ａ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ／＊． Ｉｆ ／＾０ ｉｓ ｃｈａｎｇｅｄ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｉｓ ｒｅｏｒｇａｎｉｚｅｄ； ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． Ａｓ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ

（Ｂｕｒａｓ， Ｆｌｏｒａｔｏｓ， Ｒｏｓｓ ＆ Ｓａｃｈｒａｊｄａ （１９７７））， ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｓｃａｌｅ Ａ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇ ａｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｊｘ０ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｌ／ｌｎ２（／ｉ２／／＾） ｔｅｒｍ ｉｓ ｚｅｒｏ． Ｔｈｉｓ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ

ｇｉｖｅｓ （７．５．５）． Ｉｆ ｗｅ ｃｈａｎｇｅ ｆｒｏｍ，

ｓａｙ， ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｏ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ

ｕｎｃｈａｎｇｅｄ ｐｒｏｖｉｄｅｄ

ｔｈｅ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ

ｉｓ

ａｄｊｕｓｔｅｄ． Ｔｈｉｓ ｍａｙ ｂｅ ｄｏｎｅ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｍｉｇｈｔ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｇ ｉｎ ｔｈｅ ＭＳ ｓｃｈｅｍｅ ａｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ａｒｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｂｙ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ （７．５．５） ｗｉｔｈ Ａ ＡＭＳ， ａｎｄ ｌｅｔ ｇｍｏｍ ｂｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （７．５．５） ｗｉｔｈ Ａ Ａｍｏｍ． （Ｗｅ ａｌｒｅａｄｙ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ Ａｘ ａｎｄ Ａ２ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｉｎ ｂｏｔｈ ｓｃｈｅｍｅｓ．） Ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ ｉｎｔｏ （７．５．５） ａｎｄ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ｇｉｖｅｓ

Ｎｏｗ ｌｅｔ ｇＭＳ ｂｅ

＝

＝

ＡＭｓ

＝

Ａｍｏｉｎｅｘｐ（ａ１／＾ｉ）．

（７－９．６）

Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｂｏｔｈ Ａ｛ ａｎｄ ａｘ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｗｈａｔｅｖｅｒ （Ｃｅｌｍａｓｔｅｒ ＆ Ｇｏｎｓａｌｖｅｓ （１９７９））． Ａｎ ａｍｕｓｉｎｇ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｉｓ （７．９．２）． Ｓｉｎｃｅ Ｍ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｎｇ （７．５．５） ｆｏｒ ｇ ｉｎ ｍａｙ ｌｅｔ ／＊－？ ｏｏ． Ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ

ｏｂｔａｉｎｅｄ

ｏｆ ｆｉ

ｗｅ

ｔｅｒｍｓ ａｌｌ ｇｏ ａｗａｙ ａｎｄ ｌｅａｖｅ Ｍ

＝

ＣＡ（Ａｌ）Ａ＊＜２Ａ＊．

（７．９．７）

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｎｏｔ ｖｅｒｙ ｕｓｅｆｕｌ ｆｏｒ ｐｅｒｆｏｒｍｉｎｇ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． Ｉｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃｓ， ｔｈｅｎ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ａ ａｎｄ ｔｈｅ ｐ＇ｓ ｉｎ （７．９．３） ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ａ ｓｔａｎｄａｒｄ ｏｆ ｍａｓｓ． Ｔｈｉｓ ｗｅ ｍａｙ ｔａｋｅ ｔｏ

Ｔｈｉｓ

ｐａｒｔｉｃｌｅ （ｓａｙ， ｔｈｅ ｐｒｏｔｏｎ）． Ｌｅｔ ｕｓ ｎｏｗ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｆｒｏｍ ｇｌ ｔｏ ｇ２ Ｊｕｓｔ ａｓ ｗｅ ｄｉｄ ｅａｒｌｉｅｒ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｏｆ ｍａｓｓ ｉｓ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｄ ｂｙ ／＾２／Ｖｉ－ Ｓｏ ｉｆ ｗｅ ｄｏ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｉｎ ｂｅ ｔｈｅ

ｍａｓｓ Ｍ

ｏｆ

ｓｏｍｅ

２０６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｉｎ ｖｅｒｓｉｏｎ １， ｔｈｅ ａｃｔｕａｌｌｙ ｉｎｃｒｅａｓｅｄ ｂｙ ａ ｆａｃｔｏｒ ／ｉ２／Ｖｉ Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ， （７．９．３） ｔｅｌｌｓ ｕｓ

ｖｅｒｓｉｏｎ ２ ｗｉｔｈ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔａ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ

ｔｈａｔ

ｏ

ｇｅｔｓ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｄ ｂｙ

ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｓｅｎｓｅ

？

ｂｙ

ａ

ｆａｃｔｏｒ

ｔｈｅ ｓａｍｅ ｆａｃｔｏｒ，

ｓｏ

（／＾２／Ｍｉ）ｄｉｍｒ７－

Ｂｕｔ ｉｔｓ ｕｎｉｔ ｏｆ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ

ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ （ｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ

ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｖａｌｕｅ ｉｓ

ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｖａｌｕｅｓ ｏｆ Ａ）

ａｒｅ

ｏｆ Ｃｏｌｅｍａｎ ＆

ｉｎｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈａｂｌｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｐｅｒｈａｐｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｅｓｕｌｔ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９７３）．

Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｔｈａｔ ｃｌａｉｍ ｔｏ ｍｅａｓｕｒｅ Ａ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｇｉｖｅ （ｗｉｔｈｏｕｔ ｑｕａｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ） ａ ｓｉｎｇｌｅ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｇ．

ｅｖｅｎ ｓｏｍｅ ｔｈａｔ

Ｈｏｗ

ｃａｎ

ｔｈｉｓ ｂｅ？ Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｄｉｓｐｏｓｅ ｏｆ． Ｗｈａｔ ｉｓ ｂｅｉｎｇ

ｍｅａｓｕｒｅｄ ｉｓ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ ｉｎ ｓｏｍｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｗｉｔｈ ＼ｉ ｓｅｔ ｔｏ ａ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ （ｔｙｐｉｃａｌｌｙ ｉｎ ｅ＋ｅ￣－ ａｎｎｉｈｉｌａｔｉｏｎ）． Ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｏｎｅ ｓｈｏｕｌｄ ｓｐｅｃｉｆｙ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｇ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ＼ｘ． Ｎｏｗ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ａｒｅ ａｔ ａｒｏｕｎｄ １０ ｔｏ ３０ＧｅＶ， ａｎｄ Ａ ｉｓ ａｔ ｍｏｓｔ

ａ

ｆｅｗ １００ ＭｅＶ． Ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｇ

ｏｖｅｒ

ａｎｄ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅｓ

ｔｈｉｓ ｒａｎｇｅ

ａｒｅ

ｏｆｔｅｎ

ｎｏ

ｔｈａｎ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｅｒｒｏｒｓ． Ｓｏ ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｔａｌｋ ｌｏｏｓｅｌｙ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｗｅ ｊｕｓｔ ａｓｓｅｒｔｅｄ ｔｈａｔ ｍａｓｓｌｅｓｓ ＱＣＤ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ Ａ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｓｅｎｓｅ ｏｆ ａ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｏｆ Ａ ｉｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｍｅａｓｕｒｅ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｏｆ Ａ （ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ （７．５．５）） ｔｏ ａ ｓｔａｎｄａｒｄ ｏｆ ｍａｓｓ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｕｒｐｏｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ， ｗｅ ｍａｙ ｒｅｇａｒｄ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ａｓ ｂｅｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｕｃｌｅｏｎ ｍａｓｓ ｉｓ ９３９ ＭｅＶ． Ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｃ ｉｎ （７．９．７） ｗｈｅｎ Ｍ ｉｓ ｔｈｅ ｎｕｃｌｅｏｎ ｍａｓｓ． （Ｉｎ ｔｈｅ ＭＳ ｓｃｈｅｍｅ， ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ Ｃ ｉｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ａｂｏｕｔ ５ ａｎｄ ２０．） Ｔｈｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｍａｓｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｒｋｓ ｍａｋｅ ａ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｓｍａｌｌ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｍｏｒｅ

ａｒｇｕｍｅｎｔ． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｉｆ ｗｅ

ｓｔａｎｄａｒｄ

ｍａｓｓ

ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． Ｉｎ ＱＥＤ

ｐｌａｙ Ｇｏｄ ａｎｄ ｄｏｕｂｌｅ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ Ａ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ

ａｌｓｏ ｄｏｕｂｌｅｓ，

ｓｏ

ｔｈａｔ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ

ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ． Ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｈａｓ

ａ

ｍａｓｓ，

ａｒｅ

ａｎｄ ｉｔｓ

Ｃｏｕｌｏｍｂ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｔ ｌａｒｇｅ ｄｉｓｔａｎｃｅｓ． Ａ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｍａｓｓ－ｓｃａｌｅ， ａｎ ｕｎｑｕａｌｉｆｉｅｄ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｏｆ ａ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ

ＱＥＤ ｗｉｔｈ

ｍａｋｅｓ ｇｏｏｄ ｕｎｌｉｋｅ ＱＣＤ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ ｓｅｎｓｅ．

７．１０

Ｉｔ ｉｓ ｖｅｒｙ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｃｕｔｏｆｆ ｉｎ

ａ

ＱＥＤ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ｖｉｚ．，

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｖａｌｕｅ ｏｆ

ｑｕａｒｋ

ｉｓ

ｅ

ａ

ｅ

＝

（４７ｒ／１３７）１／２，

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｔｈｅｏｒｙ，

ｍａｓｓｅｓ．

Ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

ｕｓｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｈｏｗｅｖｅｒ，

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｎｏ

ａｓ ａｎ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｋｎｏｗｎ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

７．１０ Ｃｈｏｉｃｅ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ

２０７

ｏｆ ｃｕｔ－ｏｆｆｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃｏｍｐｌｅｘ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｓｏ ｏｎｅ ｍｕｓｔ ｂｅｗａｒｅ ｏｆ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｔｏ ｕｓｅ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ ｔｒｕｅ ｗｈｅｎ ｗｅ ｕｓｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｔｈａｔ ｅｘｐｌｏｉｔｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｒｅｍｏｖｅｄ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ｗｅ ｓａｗ ｔｈｉｓ ｉｎ ｏｕｒ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． ａｎ

ａｓｓｉｇｎｉｎｇ ｔｏｏ ｍｕｃｈ ｐｈｙｓｉｃａｌ

ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｉｓ ｅａｓｉｅｓｔ ｔｏ ｓｅｅ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ＢＰＨＺ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｓ ａ ｍａｎｉｆｅｓｔｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｆｒｅｅｄｏｍ ｌｅｆｔ ｉｓ ａ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ， ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｋｎｏｗｎ ａｓ ａ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｗｈｅｎ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｕｓｅｄ． Ｆｏｒ ｄｅｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｗｅ ｃｕｔ ｏｆｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａ ｌａｔｔｉｃｅ， ｗｉｔｈ ｓｐａｃｉｎｇ ａ． Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｎｙ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ ａｎｄ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｍａｓｓ ｍ． Ｉｔ ｉｓ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｏ ａｎｙ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ａｎｄ ｔｏ ａｎｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｗｅ ｗｉｌｌ Ｉｎ

ａｎ

ｎｅｅｄ

ａ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｍａｓｓ ＼ｉ，

Ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ０， ｂａｒｅ

ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ

ｍａｓｓ

ｗｅ ｃａｎ

ｔａｋｅ ｔｈｅ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｌｉｍｉｔ．

ｍ０， ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｅ Ｉｄ－ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍ ａｎｄ ＼ｉ， ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ

Ｚ ａｒｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｇ，

ｃｕｔｏｆｆ

ａ．

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｗｒｉｔｔｅｎ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｂａｒｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅｍ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ

０ ｅｘｉｓｔｓ．

ａ －？

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． Ｌｅｔ ｕｓ ｃｈｏｏｓｅ ａ ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ， ｓｏ ｔｈａｔ ａｇａｉｎ ＃０， Ｔｈｅ

Ｚ， ａｎｄ ｍ０ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍｓ ：

Ｚ

ｍｏ

＝

＝

Ｔｈｅ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ

＞

Ｚ｛ｇ＾ａ＼

（７．１０．２）

ｒｎ２Ｚｍ（ｇ，ｆｉａ） ＋ ａ￣２Ｙ｛ｇ９ｆｉａ）Ｊ ｍ

＝

０， ａｎｄ，

ａｓ

ｂｅｆｏｒｅ， ｇ０ ａｎｄ

Ｚ ａｒｅ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｏｆ

ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ， ｓｏ ｇ０ ａｎｄ Ｚ ｈａｖｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ｆｊ， ａｓ ｓｈｏｗｎ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｇ０ ｉｓ ｆｉｘｅｄ ａｔ ｚｅｒｏ，

ｍａｓｓ． Ｂｕｔ ｎｏｗ

ｓｏ

ｔｈｅ Ｔｈｅ

ｌｏｎｇｅｒ

＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｆｊ， ｉｓ ｎｏｔ ｕｓｅｄ．

ｍ２－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｍａｓｓ ｓｑｕａｒｅｄ ｔｒｕｅ ｔｈａｔ ｍ０

＝

０ ｗｈｅｎ

ｍ

＝

０． Ｉｎ ｔｈｅ

ｉｓ

ａｇａｉｎ ｌｉｎｅａｒ．

ｃａｓｅ

Ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ

ｎｏ

ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇ－

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｓ ＼ｉ， ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ （Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９７４）） ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｂｙ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ２ ｆｉ２ Ｙ（ｇｙ ｄ）． Ｂｕｔ ｗｉｔｈ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ａ ｔｅｒｍ ａ Ｙ ｉｓ ｂｏｔｈ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ａｎｄ ｎｅｅｄｅｄ， ｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅ

ｏｎｌｙ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ

￣

ａｓ ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｎｏｗ

ｖｅｒｉｆｙ ｂｙ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ

ａ

ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ

ｇｒａｐｈ．

２０８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ７．１０．１ Ｅｘａｍｐｌｅ：

＜／＞４ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｅｘａｍｐｌｅ ｔｈａｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｙ－ｔｅｒｍ ｉｎ （７．１０．２） ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． ７．１０．１， ｎｏｔ ｉｎ ｔｈｅ ０３ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｕｓｉｎｇ， ｂｕｔ ｉｎ ｔｈｅ ０４ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｆｏｕｒ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ （ｗｉｔｈ ｍ ０）． Ｔｈｅ Ｔｈｅ

＝

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ （２．３．１）． Ｗｉｔｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ

＾Ｏ（２ｎ）－ｄ［ｄ＇ｌｋ／ｋ２＾０，

Ｆｉｇ．

ｂｕｔ ｗｉｔｈ

ａ

７．１０．１． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ

ｌａｔｔｉｃｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ

ｗｅ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ

ｉｎ

＜ｊ＞４ ｔｈｅｏｒｙ．

ｆｉｎｄ

－ｉｇ０（３２ｎＹｌ

Ｊ

ｄ３ｋｄｃｏＤ（ｃｏ，ｋ；ａ）．

（７．１０．３）

｜ｆｃ＊＊｜＜７ｔ／ａ

Ｈｅｒｅ ｔｈｅ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｌａｔｔｉｃｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ

ｌ／（ａ＞２

＋

ｋ２） ｉｆ ｃｏ

ａｎｄ

（７．１０．３）

ｉｓ

｜ｆｅ｜

ａｒｅ

ｍｕｃｈ

ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ ＼ｊａ． Ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ＆＂， ｉｔ ｉｓ

ａ２＼Ｕ

｜ ｓｉｎ２（ｆｃ＂ａ／２）｜，

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｓ ｔｏ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ＼ｊａ２ ａｓ ａ－＞０． Ａ ｓｉｍｉｌａｒ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｏｃｃｕｒｓ

ｉｎ ｔｈｅ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｏｆ

ａ

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ａｎｄ

ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ ｉｎ ａｎｙ

ｔｈｅｏｒｙ．

７．１０．２ ＲＧ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｏｕｒ ｇｅｎｅｒａｌ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｕｓｅｄ． Ａｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｕｓｉｎｇ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｗｅ

ｎｏｗ

ｗｈｅｎ

ａ

％＝％＋Ｋｇ＞ ？ａ）ｉｇ

￣

Ｕ９＞

？ａ）ｍ２ｉｂ－

（７－１０４）

ｃｈａｎｇｅｄ ｏｕｒ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｓｌｉｇｈｔｌｙ， ａｎｄ ｕｓｅｄ ａｎ ｏｖｅｒｂａｒ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅｓｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｐ ａｎｄ ｙｍ ｈａｖｅ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｍｉｔｓ， ｆｌ（ｇ） ａｎｄ ｙｍ｛ｇ＼ ａｓ ａ －？ ０． Ｉｎ ｏｕｒ ｌａｔｅｒ ｗｏｒｋ ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｒａｔｈｅｒ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｂｅｆｏｒｅ ａｎｄ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ

Ｗｅ ｈａｖｅ

７．１０ Ｃｈｏｉｃｅ

２０９

ｏｆ ｃｕｔ－ｏｆｆｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

ｃａｎ

ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｆｒｏｍ

＞Ｖｏ＝０；

ｄｐ．

ｗｉｔｈ （７．１０．４） ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｆｉｄ／ｄｆｉ． Ｗｅ ａｌｓｏ ／ｉｄ Ｉｎ Ｚ／ｄ／ｉ， ｊｕｓｔ ａｓ ｗｉｔｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｙ ＝

ｈａｖｅ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ａｌｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ

ｄ

｝ｄ｛？ａＹ

－［ －［

ｄ

－ｄ＇

５（Ｈ

＜３＃

Ｉｎ

ｔ＞５

５

（７．１０．５）

Ｚｍ｛ｇ，ｐａ＼

＼ｎＺ（ｇ，ｐａ）．

Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ

０

＝

＾（ａ－

Ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｏｎ

ｔｈｅ

／？， ｙｍ ａｎｄ ｙ． Ｉｆ ｄｅｓｉｒｅｄ，

ｇ０

ａ

／？

＝

ｂｅ ｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ

－Ｉ

ｐａ

ｇ（／ｉｆｌ）

ｄ＃＿

ｇ３Ｇｌ ｘ

（７．１０．６）

Ｙ｛ｇ，ｐａ）．

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｓ ａｌｌ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｗｅ ｃａｎ ｕｓｅ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｇ５Ｇ２ｌ

＋ －＇ｙ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇ ａｌｏｎｅ． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｏｆ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ａｐ ｍｕｓｔ ｃａｎｃｅｌ ｉｎ ｐ． Ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ２Ｇ２２

ｓｏ ｔｈａｔ

ｆｔ

Ｙ）

ｇ３Ｇｌｌ＼ｎ（ａｐ） ＋ ｇ５＼＿Ｇ２２＼ｎ２（ａｐ）＋Ｇ２１＼ｎ（ａｐ）］

ｇ ＋

＝

２Ｖ＼－ ＝

３Ｇ＼Ｖ

—

—

—

■

？

？

ｉｓ

ａ

ａ－＋０ ａｌｌ ｔｈｅ

ａｓ

＝

Ａｎ

ａｎａｌｏｇｏｕｓ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ， ａｓ ｃａｎ

ｓｅｔ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｏｃｃｕｒｓ ｗｈｅｎ ｗｅ ｕｓｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｆｒｏｍ （７．３．１２）． Ｔｈｅｓｅ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．１１． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｗｅ

ｈａｖｅｊ８

＝

ｊ５，

ｙｍ

＝

ｂｅ

ｓｅｅｎ

ｙｍｉ ｅｔｃ．

７．１０．３ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ

Ｉｆ

ｗｅ

ｗｅｒｅ

ｔｏ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ，

ｏｆ ｇ０ ａｎｄ Ｚ； ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ

ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｅｘａｃｔ ｔｈｅｏｒｙ， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｗｅ

ｗｏｕｌｄ ｎｅｅｄ ｔｏ ｋｎｏｗ ｈｏｗ

ｃａｓｅ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｇ０（ｇ， ＼ｉｄ） ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ａ ａｓ ａ －？ ０ ａ

ｗｉｔｈ ｇ ａｎｄ ｐ ｆｉｘｅｄ． Ａ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｎｏｔ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ， ｆｏｒ ｇ０ ｈａｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｉｎ ｉｔｓ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． Ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ

ｌａｒｇｅ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ， ｗｅ ｃａｎ ｒｅｍｅｄｙ ｔｈｉｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ， ｊｕｓｔ ａｓ ｗｅ ｄｉｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ

２１０

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ

ｓｔａｒｔｉｎｇ ｐｏｉｎｔ ｉｓ

ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ

４＾４０ｏ＋＾°＝０＇ ｗｈｉｃｈ

ｉｓ ｉｎ ｅｆｆｅｃｔ ｔｈｅ

ｉｔ

ａｓ

（７－１０－７）

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｇ０．

Ｗｅ ｍａｙ ｓｏｌｖｅ

ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

ｊｕｓｔ Ｕｌｔｉｍａｔｅｌｙ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｌｅｔ ａ ａｐｐｒｏａｃｈ ｚｅｒｏ ｗｈｉｌｅ ｈｏｌｄｉｎｇ ｇ ａｎｄ ＼ｉ ｆｉｘｅｄ． Ｂｕｔ ｆｉｒｓｔ ｌｅｔ ｕｓ ｋｅｅｐ ａ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ（ｐ） ｂｙ ｔｉ＇ｄｇ（？＇）／ｄ？＇

＝

（７．１０．Ｍ

ｐ（ｇ（？ｎ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ＃／ｉ）

（７．１０．８６）

０．

＝

Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｔ ｄｅｎｏｔｅ ｉｔ ｂｙ ｔｈｅ ｓｙｍｂｏｌ ｇ（ｊｉ＇）． Ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

／Ｉ＇ｄ＆Ｏ／ｄ／ｉ＇ ９ｉｖ）

＝

Ｉｍｐｌｉｃｉｔｌｙ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

＝

ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｇ

＝

ｊＪｔｆＯｉ＇））

＝

Ｎｏｗ， ｗｈｅｎ

＝

ｕｓ

０），

０－

ｏｆ ｇ

ｏｎ ＼ｉ

ｇ（＼ｉ＼＼ｉ，ｇ＼

９ｏ（９＞ Ｗ）

＝

０． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔ， ｌｅｔ

Ｍｖ＇Ｙ＾＇ａ

ｇ

ａｎｄ ｇ， ａｎｄ ｏｆ ｇ

＝

＝

ｏｎ ／＊， ｇ

ａｎｄ

ａ：

ｇ（＼ｉ＼＼ｉ，ａ，ｇ＼

Ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ＃（／／）－？ ＃（／＊＇） ａｓ ａ－＞０． Ｗｅ ｃａｎ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ０ｏ

ａ

＝

ｅｑｕａｔｉｏｎ （７．１０．７）

ｆｏｒ ｇ０ ｔｏ ｆｉｎｄ

９ｏ（９（Ｖａ）＞ ！）？

ｍｉｇｈｔ ａｐｐｅａｒ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｒｅｐｌａｃｅ ｇ（ｌ／ａ） ｂｙ ｇ（ｌ／ａ＼ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｉｎ ｉｔｓ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （ｓｉｎｃｅ ｇ（ｌ／ａ） ｉｓ ｓｍａｌｌ）． Ｔｈａｔ ｉｓ， ａｎｄ ｔｈａｔ

ａ

ｉｓ ｓｍａｌｌ， ｉｔ

ｇ０ ｉｓ ｗｅｌｌ

ｇ０

＝

ｇ（ｌ／ａ） ＋ ｎｅｇｌｉｇｉｂｌｅ

ｅｒｒｏｒ．

Ｔｈｅｓｅ ｓｕｐｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ａｃｔｕａｌｌｙ ｆａｌｓｅ， ｆｏｒ ｔｗｏ ｒｅａｓｏｎｓ． Ｆｉｒｓｔ， ｆｉ（ｇ，ａｎ） ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ａ＼ｉ， ｓｏ ｗｅ ｃａｎｎｏｔ ｊｕｓｔ ｒｅｐｌａｃｅ ｇ ａｔ ＼ｉ ＼ｊａ ｂｙ ｇ（ｌ／ａ） ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ａ ０ ｔｈｅｏｒｙ． Ｓｅｃｏｎｄｌｙ， ｗｅ ｃａｎｎｏｔ ｓｉｍｐｌｙ ｄｒｏｐ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ－ ＝

＝

ｏｒｄｅｒ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ＃０， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｇ０ ｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ． Ｔｈｕｓ ｓｍａｌｌ ｅｒｒｏｒｓ ｉｎ ｇ０ ｍａｙ ｇｉｖｅ ｒｉｓｅ ｔｏ ｌａｒｇｅ ｅｒｒｏｒｓ ｉｎ ａ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｍｐｕｔｅｄ

ａｓ ａ

Ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｍｏｒｅ

ｃｌｏｓｅｌｙ． Ｓｏ ９ｏ

＝

ｗｅ

ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ． ａ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｆｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｇ０ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ：

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｂａｒｅ ｗｅ ｍｕｓｔ

ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ

ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ

９＾９３ｌＧｌｌ＼ｎ（ａ＾）＾Ｇｉ０ ＋ Ｇｌ（ａ＾）］ ＋

６ｆ５［Ｇ２２ｌｎ２Ｍ ＋ Ｇ２１ｌｎＭ＋Ｇ２０＋Ｇ２Ｍ］＋－－－

（７－１０．９）

７．１０ Ｃｈｏｉｃｅ

ｏｆ ｃｕｔ－ｏｆｆｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

２１１

ｈａｖｅ ｎｏｔ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ， ｓｏ ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｗｅ ｎｅｅｄ ｆｉｎｉｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｇｘ（ａ＾＼ ｅｔｃ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｔｅｒｍｓ Ｇｌ０， ｓｏ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ Ｇｔ（ａｆｉ） ｔｏ ｂｅ ｚｅｒｏ ａｔ ａｆｉ ０． Ｏｎｃｅ ａｎｄ ｆｒｏｍ ｂｅｅｎ ｈａｖｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ Ｆｅｙｎｍａｎ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ Ｈｅｒｅ

ｗｅ

ｔｏ ｔｈｅ

＝

ｇｒａｐｈｓ， ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅ ｗｉｔｈ ｐｏｗｅｒ－ｌａｗ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｏｕｒ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ， ａｎｄ ｉｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｔｒｅａｔｅｄ ｉｎ

Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９６０）． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ

ｓａｙ

ｗｅ ｃａｎ

Ｇｉ（ａｉｉ）＝０（（ａｆｉｒ） ａｓ ａ／ｉ－＞０， ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｆ ａ＼ｉ， ｓｏ ｗｅ ｃａｎ ｓａｆｅｌｙ ｓｅｔ Ｆｉｒｓｔ ｗｅ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ＾－ｆｕｎｃｔｉｏｎ：

ｃｔ

＝

ｇｅｎｅｒａｌ， １／２．

Ｇ－

ｅｑｕａｌｓ

ａ＼ｉ ｔｉｍｅｓ

ｌ８ｇｏ

ｄ

ｒ

ｃ（． Ｉｎ

？

｛＜■■

＋

ｄ Ｉｎ

（ａｆｉ）

Ｇｉ

２Ｇ２２ｌｎ（＾）

＋

Ｇ２１

（ｌ＋３０２［Ｇ１１ｌｎＭ ＋ Ｇｌｏ＋Ｇ１］

＋

ｄ＼ｎ（ａｎ）Ｇ＼

＋

■

＋

ｄ（ｆｘａ） －ｒ＜Ｇ２ｌ－３Ｇｌ０Ｇｌｌ

＋

ｄｌｎ（ｆｉａ）

［Ｇ２－ｉＧ２ｌ－３ＧｌｌＧ１＼ｎ（＾） －３Ｇ１０ｅ，］Ｖ ＋

Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｌｉｍｉｔ ａ－＞０

２Ｇ２２ ｇｉｖｅｓ

Ｐ（ｇ） ｓｏ

－？

ｆｔ ｉｓ

ａｓ

ａ－＋０． Ｔｈｅ

Ｐ（ｇ，０）＝－ｇ３Ｇｌｌ－ｇ５（Ｇ２１－３ＧｌｏＧｌｉ）＋－，

（７．１０．１１）

＝

ｍｕｓｔ ｈｏｌｄ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ

ｏｕｒ

＝

＝

０， ｔｈｅｉｒ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ａ＾ｄＧ｝／ｄ（ａ＾，） ａｌｓｏ ｇｏ

Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

ｏｆ ｇ０

ｆｉｎｉｔｅ

ｕｓｕａｌ ｎｏｔａｔｉｏｎ Ａｘ Ｇｎ ａｎｄ Ａ２ Ｇ２１ ３ＧｎＧ１０． Ｓｉｎｃｅ ａｎｄ Ｇ２（ａ／ｉ） ｇｏ ｔｏ ｚｅｒｏ ｌｉｋｅ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ａ＼ｉ （ｔｉｍｅｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ） ｗｈｅｎ ａ＼ｉ

ｔｈａｔ ｗｉｔｈ

Ｇ＾ａｐｉ）

＝

３Ｇ＼Ｘ

（７．１０．１０）

－．

ｓｔｅｐ ｉｎ

ｉｍｐｌｉｅｓ

ｏｕｒ

—

ｔｏ ｚｅｒｏ ｌｉｋｅ ａ ｐｏｗｅｒ．

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｇ０ ｉｓ ｔｏ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＲＧ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ

ｔｈａｔ

ｇｏ（９＞ｌ＊ａ）＝ｇ０（ｇ（ｊｉ＇），ｉｉ＇ａ） ＝

Ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｓｔｅｐ ｉｓ ｔｏ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｇ（ｌ／ａ） ｂｙ

ｔｈｅ

（７．１０．１２）

０Ｏ（０（１？，１）． ｅｒｒｏｒ

ｉｎ ｔｈｅ

ｔｈａｔ ｉｓ ｍａｄｅ ｉｎ

ｒｅｐｌａｃｉｎｇ Ｆｉｎａｌｌｙ， ｗｅ ｗｉｌｌ

ｅｆｆｅｐｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ｛＼／ａ） ｇ０（ｇ（＼／ａ）ｙ １） ｍｕｓｔ ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

ｆｉｎｄ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｔｏ ｗｈｉｃｈ

ａ

＝

０ ｔｈｅｏｒｙ．

２１２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｔ Ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ

ｇ（ｌ／ａ）３

ｔｕｒｎ ｏｕｔ ｔｏ ｂｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ｗｈｅｎ

ａ

＝

０．

ｉｓ ｓｍａｌｌ． Ｓｏ ｌｅｔ

ａ

ａｎｄ ｇ（ｌ／ａ） ｗｉｌｌ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｇ（ｌ／ａ） ｕｓ

ｇ２Ａ ｂｙ

ｅｒｒｏｒ

ｇ（＾；＾ａ，ｇ）

＝

／＊＇ ｌ／ａ ａｎｄ ａ－＞０． （７．１０．１３） ａｎｄ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｐ ａｎｄ ｐ ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ａ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｗｈｅｎ

Ｆｒｏｍ

／ｉ＇＾７ ＡＭ

＝

ｒ３ ［ｊ３（（ｌ －

＝

＋

Ａ（／／，／ｉ， ａ，＃） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ

ＡＱｉ＇） Ｗｅ

ｎｏｗ

ａｓ

＋

－

＋

３ｇ２Ａ）ｐ（ｇ）］

０（￡ Ｖ＊）１／２） ＋ ０（５４Ａ）．

／ｉ＇－＞ｏｃ，

ｗｈｅｎ ａ－＞０ ａｎｄ ／ｉ ＝

＝

ｇ２Ａ）ｇ， ｐｔａ）－ （１

／ｉ＇ｆｌ＾－５，

ｇ２（ｆｉ＇）￣ ＼／Ａ１ｌｎ（ｆｉ＇／Ａ）

Ｎｏｗ

（７．１０．１３）

ｇ（ｆｉ＇；＾ｇ）［ｌ＋ｇ（＾；＾ｇ）２Ａ（＾＇；＾ａｉｇ）Ｊｉ．

＜

ｓｏ ＼ｉ

（７．１０．１４）

ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｅｌｌｓ

＜

ｌ／ａ．

Ｇ＾ｃｉ／ｉ＇） ＋ ０（ｌ／ｌｎ（ｌ／ｆｌ））．

ｃｏｍｐｕｔｅ ｇ０． Ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ

ｕｓ

ｉｍｐｌｉｅｓ

Ｉｎ ｆａｃｔ ｉｔ

ｔｈａｔ

ｔｈａｔ

（７．１０．１５）

ｔｏ ｗｒｉｔｅ ａ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｉｔｓ ｓｑｕａｒｅ：

ｇ０（ｇ＾ａ）２＝ｇ０（ｇ（ｌ／ａ），ｌ）２ ＝

｛ｇ（ｌ／ａ）（ｌ

＋

ｇ２Ａ） ＋ ｇ＼＼

０２Ａ）３［Ｇ１Ｏ ＋ ＾（１）］

＋

０（ｇ５）｝２

＾２ｌｎ［ｌｎ（ｌ／ａ２Ａ２）］

１ ＿ ＂

＾ｆｌｎ＾ｌ／＾Ａ２＂＂）］

［＾ｔ ｌｎ（ｌ／ｆｌ２Ａ２）］ ＋

＋

＋ ０｛ｌｎ２［ｌｎ（ｌ／ａ）］／ｌｎ３（ｌ／ａ）｝． ｒ７２ｌ＾７Ｔ７＾Ｔ２７Ｔ ［＾２ｌｎ２（ｌ／ａ２Ａ２）］

（７．１０．１６）

＃（／ｉ） ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ＼ｉ ａｎｄ Ａ （７．５．５）． Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｇ０ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｌ／ａ ａｎｄ Ａ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ （７．５．５） ｅｘｃｅｐｔ ｆｏｒ ａｎ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ １／ｌｎ２ ｔｅｒｍ． Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｉｔ ｗａｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｔｏ ｋｅｅｐ ｔｈｅ ａ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｉｎ ／％，ａ／ｉ）； ｔｈｅ Ｇ＾ｌ） ｔｅｒｍ ｉｎ （７．１０．１５） ｃａｎｃｅｌｅｄ ｔｈｅ Ｇ＾ｌ） ｉｎ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ Ｈｅｒｅ

ｗｅ

ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ

－

－

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｎ ｇ０．

Ｆｉｎａｌｌｙ ９ｏＷ＞Ｗ

ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｇ， ａ ａｎｄ ＼ｉ＼

，４ ２ Ｉｎ （Ｉｎ （ｌ／ａ Ｖ））

１

￣Ａｌｌｎ（ｌ／ａ２ｆｉ２） ＋

ｗｈｅｒｅ

（７．１０．１６） ｉｎ

ｗｅ ｅｘｐｒｅｓｓ

１

，４３ｌｎ２（ｌ／ａＶ）

２Ｇ１０￣＼－＾＼ｎ（Ａｉｇ２）－２ＡＪ（ｇ）

９ ，４２ｌｎ２（ｌ／ａＶ）［ ＋ ０｛ｌｎ２［ｌｎ（ｌ／ａ，＜）］／ｌｎ３（ｌ／ａ／ｚ）｝，

ｆｉｇ）－

ｄ？＇［ｌ／／Ｊ（ｆｆ＇） ０

＋

Ａｉ

ｌ／Ｍ，ｆｆ＇３）－＾２／Ｍ？ｆｆ＇）］．

（７．１０．１７）

（７－１０．１８）

７．１０ Ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｃｕｔ－ｏｆｆｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

２１３

Ｓｉｍｉｌａｒ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｈｏｌｄ ｆｏｒ Ｚ， ｆｏｒ Ｚｍ， ａｎｄ ｆｏｒ Ｙ． Ｔｈｕｓ Ｚ

［Ａｌｇ２＼ｎ（ｌ／ａ２ｎ２）ｙＣｌｌ２Ａｌ

＝

ｘ

ｙ（ｇ＇）

＜ｆｏ＇

ｅｘｐ

ｘ

ｃｘ

１ ＋ ０

￣ｌｎ（ｌｎ（ｆｌ／ｘ））＇ Ｊ

＼ｎ（ａｆｉ）

（７．１０．１９） ｗｈｅｒｅ ｙ

＝

Ｃｘｇ２

＋

０（ｇ４）． ７．１０．４ Ａｃｃｕｒａｃｙ ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｇ０

Ｌｅｔ

ｕｓ ｎｏｗ

ｓｕｐｐｏｓｅ

ｗｅ

ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ：

ＧＮ（ｘ１９．．．９ｘＮ；ｇ９ｍ９ｆｉ；ａ） Ｗｅ ｍｕｓｔ

ｎｏｗ

ｌｅｔ

ａｐｐｒｏａｃｈ

ａ

Ｚ￣Ｎｆ２Ｇ｛０）Ｎ（ｘｕ．．．９ｘ＾ｒ９ｇ０９ｍ０；ａ）．

＝

ｚｅｒｏ， ａｎｄ ａｓｋ ｈｏｗ

ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ

（７．１０．２０）

ｗｅ

ｎｅｅｄ ｔｏ

ｃｏｍｐｕｔｅ ｇ０ ａｎｄ Ｚ． Ｉｎ （７．１０．１７） ａｎｄ （７．１０．１９） ｗｅ ｇａｖｅ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｆｏｒ ｇ０ ａｎｄ Ｚ， ｗｉｔｈ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒｓ ｃｏｍｉｎｇ ｆｒｏｍ ｕｎｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ．

Ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｔｅｌｌ

ｕｓ

ａ＼ｉ） ｗｈｅｎ ｗｅ ｌｅｔ ａ －？ ０ ｗｈｉｌｅ ｋｅｅｐｉｎｇ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ｍｉｇｈｔ ａｆｆｅｃｔ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｇ０（ｇ，

ｇ ａｎｄ ［ｉ ｆｉｘｅｄ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｂａｒｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ

ｇ０， ｔｈｅ ｕｎｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅｓｅ ｔｅｒｍｓ ｄｏ ｎｏｔ ａｆｆｅｃｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ， Ｔｈｅ

ａｓ ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｎｏｗ

ｋｅｙ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｓｈｏｗ．

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｆｉｎｉｔｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｎｅｅｄ ｔｏ ｈｏｌｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｍａｓｓ ｆｉｘｅｄ ｗｈｉｌｅ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ ａ －？

０． Ｗｅ ｍａｙ ｉｎ ｆａｃｔ ｌｅｔ ｔｈｅｍ ｖａｒｙ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｌｙ， ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｏｎｌｙ ｔｈａｔ ｔｈｅｉｒ ａ ０ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｂｅｆｏｒｅ． Ｎｏｗ ｅｘａｍｉｎｅ （７．１０．１７）． Ｉｔ ｉｓ ｅｖｉｄｅｎｔ

ｖａｌｕｅｓ ａｔ

ｔｈａｔ

ｗｅ

＝

ｍａｙ ａｂｓｏｒｂ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｔｅｒｍ ｉｎｔｏ

ｖａｒｉａｔｉｏｎ

ｏｆ

Ｉｎ

ｇ．

ｌｎ２（ｌｎ（ｌ／ｆｌ））／ｌｎ（ｌ／ｆｌ）

９２ｏ

ａｓ

ｆａｃｔ

ａ－＞０． Ｓｏ

１ ＝

＾ｌｎＯ／ａＶ） ＋

Ａ＼

ｔｈｅ

ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｗｅ

ｃｈａｎｇｅ

ｉｎ

ｇ

ｍａｙ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｂａｒｅ

ｊｕｓｔ

ｉｓ

ｓｕｃｈ

ｏｆ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ

ａ

ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｂｅ

＾２ｌｎ［ｌｎ（ｌ／ａＶ）］ Ａ＼＼ｎ２｛＼ｌａ２ｎ２

ＩｏｏｔＫ－？－＾＾－２＾ （７．１０．２１ａ）

Ｈｅｎｃｅ ｉｎ （７．１０．１６）， Ｓｏ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ

ｗｅ ｃａｎ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ａｌｓｏ ｄｒｏｐ ｔｈｅ

０｛ｌｎ２［ｌｎ（ｌ／ａ２）］／ｌｎ３（ｌ／ａ）｝

ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｇ０ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ

１

＾２ｌｎ［ｌｎ（ｌ／ａ２Ａ２）］

＾１ｌｎ（ｌ／ａ２Ａ２）

Ａ＼＼ｎ２（＼／ａ２Ａ２）

＋

ａ

２Ｇ１０ ＾２ｌｎ２（ｌ／ａ２Ａ２）

■

ｔｅｒｍｓ．

Ａ ａｌｏｎｅ：

（７．１０．２１６）

２１４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

Ｉｎ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ

ｏｆ ｔｈｅ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｚ， ｔｈｅ ｕｎｃａｌｃｕｌａｔｅｄ

ｃａｎ

ｂｅ ａｂｓｏｒｂｅｄ ｉｎｔｏ

ａ

￡ｉＶ ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ

ｆａｃｔｏｒ

ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＧＮ． Ｔｈｉｓ ｆａｃｔｏｒ ｍｕｓｔ ａｐｐｒｏａｃｈ ｕｎｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ． Ｈｅｎｃｅ ｗｅ ｍａｙ ｕｓｅ

Ｚ

Ａ＾ｌｎ

＝

－ＣｕｌＡｙ

１

ｄ０＇

ｅｘｐ

ａ２Ｍ２

ｙ（ｇ＇）

Ｐ（ｇ＇）

，

＋

ｃｉ

ａｉ９＇］ （７．１０．２２）

ｗｈｅｒｅ Ｍ ｉｓ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｗｅ ｈａｄ ａ ｆｏｒｍ （７．１０．２１ ｂ） ｔｈａｔ ｈａｄ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ Ａ， ｂｕｔ ｎｏｔ ｏｎ ＼ｉ ｏｒ ｏｎ ｇ． Ｔｈｉｓ ｗａｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｇ０ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｉｎｖａｒｉａｎｔ： ｗｅ ｍａｙ ｔａｋｅ ＼ｉ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｌａｒｇｅ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｆｆｅｃｔｉｎｇ ｇ０９ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈａｔ ｗｅ ａｌｓｏ ｓｅｔ ｇ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｔ ／＊． Ｗｈｅｎ ／＊ ｉｓ ｖｅｒｙ ｂｉｇ， ｇ ｉｓ ｖｅｒｙ ｓｍａｌｌ， ａｎｄ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｆ（ｇ） ｇｏ ｔｏ ｚｅｒｏ． Ｂｕｔ Ｚ ｉｓ ｎｏｔ ｉｎｖａｒｉａｎｔ； ｉｔ ｍｕｓｔ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｇ． Ｗｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｓａｙ ｉｓ ｔｈａｔ ａｎｙ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ａ ａｎ

ｍａｓｓ

ｔｈａｔ ｉｓ ｉｒｒｅｌｅｖａｎｔ ｗｈｅｎ

ａ －？

０． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｆｏｒ

ｔｈｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｚ

＝

ｆｉｎｉｔｅ－［ｌｎ（ｌ／ｆｌ）］－Ｃｌ／２Ａｌ

ｗｉｌｌ ｐｒｏｄｕｃｅ ｆｉｎｉｔｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｉｆ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ Ｚ ｖａｎｉｓｈｅｓ， ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｍａｙ ｌｅｔ Ｚ ｂｅ

ｆｉｎｉｔｅ： Ｚ

Ｔｈｅｒｅ ｗｉｌｌ ｉｎ

ｏｒｄｅｒｓ． Ｗｈａｔ

＝

ｅｘｐ

ｄｇ＇ｙ（ｇ＇Ｗ（ｇ＇）

ｇｅｎｅｒａｌ ｂｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｈａｖｅ ｐｒｏｖｅｄ ｉｓ ｔｈａｔ

ｍｕｓｔ ｓｕｍ ｔｏ

ｗｅ

Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｇ０ｉ ａｎｙ

ｇｌ

＝

ｌ／Ａｘ ｌｎ（ｌ／ｆｌ２）

－

ｔｈｅｙ ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｈｉｇｈｅｒ ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ ｆｉｎｉｔｅ．

ｆｏｒｍ

Ａ２＼ｎ［＼ｎ（ｌ／ａ）］／［Ａ３ｌ＼ｎ２（ｌ／ａ２）］

＋

ｆｉｎｉｔｅ／Ｉｎ２＾

ｇｉｖｅ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｏｎｌｙ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ

ｏｆ Ａ２ ａｎｄ ａｎｄ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ Ａｘ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｆｏｒ ｔｈｉｓ． Ｔｈｅｙ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｌ／ｌｎ２ａ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｇ．

ｗｉｌｌ

ｏｎｅ－

Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ （７．１０．２１６） ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ａ－ ｐａｒａｍｅｔｅｒ． Ｉｎ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｓｏ ｏｎｅ

ｓｉｎｇｌｅ ｎｕｍｂｅｒ

ｃａｎｎｏｔ

ｓｉｍｐｌｙ ｓｐｅｃｉｆｙ

Ｒａｔｈｅｒ，

ｏｎｅ ｍｕｓｔ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ａ

ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ

ａｓ

ａｓ

ｔｈｅ ｂａｒｅ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ

ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ ｏｆ

ｌａｔｔｉｃｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｉｔｈ ｇ０ ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐａｃｉｎｇ， （７．１０．２１６） ｇｉｖｅｓ ｇ０ ａｓ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ．

Ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｃｅｒｔａｉｎ ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ ｉｎ

ａ．

ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ

ｓｏｍｅ

Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈｏｗ

ｏｎｅ

ｌａｔｔｉｃｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ａ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｉｒｒｅｌｅｖａｎｔ （ａｌｔｈｏｕｇｈ ｓｏｍｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｍａｙ

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｓ ￡ ａｒｂｉｔｒａｒｉｎｅｓｓ

ａ

ｃｏｎｓｔａｎｔ．

７．１０ Ｃｈｏｉｃｅ

ｂｅ ｓｕｐｅｒｉｏｒ ｗｈｅｎ

ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｄ ｆｏｒ

ａ

２１５

ｏｆ ｃｕｔ－ｏｆｆｐｒｏｃｅｄｕｒｅ

ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ）． Ｓｏ

（７．１０．２１６） ｉｓ ａｌｓｏ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｂｅｃａｕｓｅ ｉｔ ｅｘｐｒｅｓｓｅｓ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ （Ａ， Ａｌ９ ａｎｄ Ａ２）， ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｄｉｒｅｃｔ ｍｅａｎｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｉｎ Ｇ１０， ｗｈｉｃｈ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ， ｂｕｔ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ａｃｔｕａｌｌｙ ｂｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ａｎａｌｙｔｉｃａｌｌｙ （Ｈａｓｅｎｆｒａｔｚ ＆ Ｈａｓｅｎｆｒａｔｚ （１９８０））． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｓｕｃｈ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｎｏｒｍａｌｌｙ ｇｉｖｅｎ ａｓ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ

ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｏｎｅ ｎｕｍｂｅｒ

ｏｆ ａ

Ａｊａｔｔｉｃｅ

ｔｏ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ａ ｉｎ ｓｏｍｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｓｃｈｅｍｅ． Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

＾

＝

Ａｌａｔｔｉｃｅ ｉｓ

ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｌ／［＞？１ｌｎ（ｌ／ｆｌ２Ａ１２Ｂｔｔｌｃｅ）］ －＾ａｌｎｐｎａ／＾Ａ＾ＪＭ＾＾＾ｌ／＾Ａ，２．＾．）］

ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ ａｓ （７．１０．２１）． Ａｌａｔｔｉｃｅ

＝

Ｉｔ ｉｓ

（７．１０．２３）

ｅａｓｉｌｙ ｃｈｅｃｋｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ

ｉｓ

（７．１０．２４）

Ａｅｘｐ（Ｇ１０／＾１）．

Ｄｅｓｐｉｔｅ ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｏｆ Ａ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｉｎ ｉｔｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｉｎ ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｉｔｓ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ａ， ｏｎｅ ｍｕｓｔ ｓｐｅｃｉｆｙ ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａｎａｌｏｇｏｕｓ ｉｎ ｉｔｓ ｅｆｆｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｎｅｅｄ ｆｏｒ ｓｐｅｃｉｆｙｉｎｇ ａ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｕｎｉｔｓ ｉｎ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｓｍ． Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ

ｏｎｅ

ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｉｎ ｔｈｅ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｉｎ （７．５．３）． Ｉｔ ｉｓ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｏ ｆｏｌｌｏｗ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ， ｔｏ ａｖｏｉｄ ｃｏｎｆｕｓｉｏｎ． Ｗｅ ｈａｖｅ

ｓｅｅｎ

ｔｈａｔ

ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ

ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ

（ｂｅｙｏｎｄ

ｔｗｏ

ｌｏｏｐｓ） ｄｏ ｎｏｔ （７．１０．２１ａ），

ｅｎｔｅｒ ｉｎｔｏ ｏｕｒ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｇ０ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ａ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｎ ｃｏｎｔｒａｓｔ ｔｏ

ｗｈｉｃｈ

ｅｘｐｒｅｓｓｅｓ ｇ０ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｇ ａｎｄ ＼ｉ． Ｓｏ ｉｔ ｉｓ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｏ ｔｒｅａｔ Ａ ａｓ ａ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ－ｓａｙ ｉｎ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｂｕｔ ｍｅａｓｕｒｅ Ａ． Ａ ｔｙｐｉｃａｌ ｗｈｉｃｈ ａ ｕｓｅｆｕｌ ｆｏｒ ｍｅａｓｕｒｉｎｇ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｅ￣ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｅｘｉｓｔｓ （ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ａ ｊｅｔ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｎ ｅ＋ ａｎｎｉｈｉｌａｔｉｏｎ）． Ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｍｅａｓｕｒｅｓ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ（ｊｉ） ａｔ ｓｏｍｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｐｉ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｅｒｇｙ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｅｒｒｏｒｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｕｎｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ

ｐｒａｃｔｉｃａｌ

ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｓ ｉｎｔｅｒｖｅｎｅ ｉｆ

ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ

ｏｎｅ

ｔｒｉｅｓ ｔｏ

ａ

—

ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ． ｅｒｒｏｒｓ

Ｗｅ

ｄｕｅ ｔｏ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｉｎ

Ｓｉｎｃｅ

ｇ ｉｓ ｍｏｒｅ

ｄｉｒｅｃｔｌｙ

ｃａｎ

ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ， ｎｏｔ ｔｏ ｍｅｎｔｉｏｎ ｎｏｎ－

ｔｈｅｎ ｄｅｄｕｃｅ Ａ ｆｒｏｍ

（７．５．６）， ｗｉｔｈ ｆｕｒｔｈｅｒ

ｐ． ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ， ｉｔ ｉｓ

ｐｅｒｈａｐｓ ｃｏｒｒｅｃｔ ｔｏ ａｒｇｕｅ ｔｈａｔ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｓｈｏｕｌｄ ｑｕｏｔｅ ｔｈｅｉｒ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｓ ａ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｇ． Ｂｕｔ ｔｏ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ａ ｉｓ ｅｑｕａｌｌｙ ｖａｌｉｄ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ａ ｓｍａｌｌ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｅｒｒｏｒ ｉｎ ｇ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ａ ｍｕｃｈ ｃａｎ

ｂｅ

ｓｅｅｎ

ｆｒｏｍ （７．５．６）． Ｉｆ

＼ｄＡ／Ａ＼

＝

ｗｅ

ｃｈａｎｇｅ

ｌａｒｇｅｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｅｒｒｏｒ ｉｎ Ａ． Ｔｈｉｓ ｈｏｌｄｉｎｇ ＼ｉ ｆｉｘｅｄ， ｔｈｅｎ

ｇ ａｎｄ Ａ ｗｈｉｌｅ

＼ｄｇ／ｇ＼［２Ａｉｇ２ｙｉ［ｌ

＋

０（ｇ２）ｌ

２１６ Ｉｆ

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｏｎｅ

ｃｏｕｌｄ ｄｏ

ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｍａｓｓ．

Ａｓ

ｗｅ ｓａｗ

ｔｒａｎｓｍｕｔａｔｉｏｎ， ｔｈｅ

ｍａｓｓ

ｍａｓｓ ｏｆ， ｓａｙ， ｔｈｅ ｐｒｏｔｏｎ ｉｎ ＱＣＤ， ｉｎ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ａ ｔｈａｔ ｗｏｕｌｄ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｉｎ ｔｈｅ

ｒｅａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ａ

ｅｒｒｏｒ

ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．９， ｗｈｅｎ

ｉｓ

ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ

ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｗｅ

ｔｏ Ａ．

７．１０．５

ｍ２０

Ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ ｍｌ ｈａｓ ａ １／ａ２ ｔｅｒｍ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｍ０ ｗｉｔｈ ｍ２ ｄｅｐｅｎｄｓ ［＼ｎ（ｌ／ａ）］￣ｈｌｌ／Ａｌ ｔｅｒｍ． Ｓｏ ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ １／ａ２ ｔｏ ｖｅｒｙ ｈｉｇｈ

ｏｎ ａ

Ａｎｙ ｓｌｉｇｈｔ ｅｒｒｏｒ （ｓａｙ ｏｆ ｏｒｄｅｒ １／ａ） ｗｉｌｌ ｂｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｍａｓｓ ｄｉｖｅｒｇｅ ｌｉｋｅ １／ａ ａｓ ａ－＋０． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｎｅｅｄ ｔｏ ｂｅ ｖｅｒｙ ａｃｃｕｒａｔｅ ｉｎ ｍ０ ｌｅａｄｓ ｍａｎｙ ｐｅｏｐｌｅ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｃｃｕｒａｃｙ．

ｕｎｎａｔｕｒａｌ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｆｅｒｍｉｏｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｕｎｄｅｒ ｍ

＝

０，

ｔｈｅ Ｙ ｔｅｒｍ ｉｓ ａｂｓｅｎｔ ａｎｄ

ｓｏ

ｍ０

＝

ｍＺｍ

７．１０．６

￣

ｗｅ

＼ｊｊ

－？

ｙ５＼ｊ／

ｗｈｅｎ

ｈａｖｅ

［ｌｎ（ｌ／ａ）］ ￣Ｂｌ／２Ａｌ．

ｍ－ｃｏｎｓｔａｎｔ

Ｎｏｎ－ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ

ｃａｓｅ

Ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｇ０， ｅｔｃ．， ａｓ ａ －？ ０ ａｒｅ ｎｏｔ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅｌｙ ｃｏｍｐｕｔａｂｌｅ ｕｎｌｅｓｓ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｆ ｗｅ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｐ ｉｎ ａ ｎｏｎ－

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ

ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ

ａ

ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ， ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｍａｙ ｗｒｉｔｅ

（７．１０．２５）

＾ｏ（０＊，ｌ）ａｓ＾Ｏ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ

ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｇ０（ｇ（ｌ／ａ）， １） ｉｓ

ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｉｓ Ａｎ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇ， ｓｏ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｅｘｉｓｔｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ａ ０ ｆｏｒ ａｎｙ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｇ｛ｆｉ）． Ｓｏ ｔｈｅ ｗａｙ ｉｎ

ｖａｌｕｅ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｏｒ ｇ０ ａｔ

ｅｘａｍｐｌｅ

ａｐｐｒｏａｃｈｅｄ

＝

ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｇ．

ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ． Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｐ（ｇ）

＝

ｗｅ

ｈａｖｅ

ａ

ｓｍ２（ｇ２）／（２ｇ），

ｔｈｅｏｒｙ

ｉｎ ｗｈｉｃｈ

（７．１０．２６）

ａｎｄ

ｇ０（ｓＡ） Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｈａｓ ３

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｇ＊ ａ－＞０ ｍｕｓｔ ｂｅ ａ

９，ｏ（９， Ｗ）

＝

＝

＝

＝

ｇ．

（７－１０．２７）

ｔｈｅ ｆｏｒｍ

［ａｒｃｔａｎ（ｌ／ｌｎ（Ａ／Ｍ））］１＇＇２．

ｎ１／２． Ｗｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ

ａｓ

［ａｒｃｔａｎ （１／ｌｎ （ａＡ））］ｌ＇２

＾ｌ２－２＾Ｗ）＋°ｉｌ／ｌｎ２｛ａＡ））－

（？－ｉａ２８）

２１７

Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒｓ

７．１１

Ｉｔ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｋｎｏｗ ｈｏｗ

ｇ０（ｇ，ａｎ） ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ

ｉｔｓ ｌｉｍｉｔ

ｇ０（ｇ＊， １）

ｉｎ ｏｒｄｅｒ

ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ａ．

７．１１

Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒｓ ｕｓｉｎｇ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

Ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｓｅｃｔｉｏｎ， Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．１０， ｗｅ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｈｏｗ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ０ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅｈａｖｅ ａｓ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｓｐａｃｉｎｇ

ａ．

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ

ｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｕｓｉｎｇ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ

ｗｅ

ａｓ ｔｈｅ

Ｗｅ ｄｏ ｔｈｉｓ ｂｙ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ （７．３．１０） ｏｆ ｐ ａｓ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｇ０． Ｏｕｒ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｖａｌｉｄ ｉｎ ａｎｙ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｌｉｋｅ ＜／＞３ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｓｉｘ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｒ ＱＣＤ ｉｎ ｆｏｕｒ ｃｕｔ－ｏｆｆ．

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｉｆ

ｌｅｔ

ｗｅ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚｅ ｂｙ ｇｏｉｎｇ

ｄ０

ｂｅ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｄ０ ｓ．

ｔｏ ａ ｌｏｗｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ

＝

ｔｈｅｎ

ｗｅ

—

Ｆｉｒｓｔ ｗｅ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｌｏｗｅｒ ａｎｄ ｈｉｇｈｅｒ ｐｏｌｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｎｏｗ ｗｅ ｗｒｉｔｅ

０ｏ

＝

＾／２

￡ ｄｊ（ｇ）ｅ－ｊ＼Ｊ

ｇ＋

（７．１１．１）

ｊ＝ｉ

ａｎｄ

ｗｅ

￣ｐ＼

ｈａｖｅ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｅｇ０／２ ＋ ｐ（ｇ，ｄ）ｄｇ０／ｄｇ Ｌｅｔ ｕｓ

＝

０．

（７．１１．２）

ｅｘｐａｎｄ （７．１１．２） ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｅ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｅ ａｎｄ ｅ° ｇｉｖｅ

ｕｓ：

ｐ＝－ ｅｇ／２ Ｗｅ ｈａｖｅ

ｌｉｍｉｔ ｏｆ

ｊ５ ｆｔ

ｐ｛ｇ）

＝

ｃｈａｎｇｅｄ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｄｅｆｉｎｅｄ

＋

ｗｅ

－

ｅｇ／２

ｏｕｒ

＋

％ｇｄ／ｄｇ

ｏｒｉｇｉｎａｌ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｔｏ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ

ｗｈｉｌｅ

ｄｅｆｉｎｅｄ ／？

ａｓ

ｗｅ

ｔｈｅ

ｐｏｌｅ ｅ￣ｊ ｉｎ （７．１１．２） ｉｓ

ｉ（ｌ －ｇｄ／８ｇ）ｄｊ＋ｌ（ｇ） ＋ ｐ｛ｇ）ｄｄｊ／ｄｇ Ｔｈｉｓ ｉｓ

ｗｅ

ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ．

Ｎｏｗ， ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ

ａ

＼）ｄｘ｛ｇ＼

ｕｓｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．１０ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ｔｈｅｒｅ

ｔｏ ｂｅ ＲＧ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｎ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｔｈｅｏｒｙ， ａｓ

－

＝

０．

（７．１１．３）

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ， ｗｈｅｎ ｓｏｌｖｅｄ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｄ．（０）

＝

０， ｇｉｖｅｓ ａｌｌ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｄ．（ｇ） ｉｎ

ｓｉｎｇｌｅ ｐｏｌｅ ｄｘ（ｇ）． Ｓｉｍｉｌａｒ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｆｔ Ｈｏｏｆｔ （１９７３）） ｈｏｌｄ

ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｆｏｒ ａｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒ－

ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． Ｔｈｅｙ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｎｅｗ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｎ ａ ｇｉｖｅｎ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｅ ｐｏｌｅ． Ａ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｗａｙ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅｓｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｔｏ ｗｏｒｋ ｏｕｔ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｎ ｅａｃｈ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ

ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ

ｅｑｕａｔｉｏｎ （７．１１．２）．

ｌｎ［０ｏ（０＞／＾￣￡／２］＝

Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ

ｆＷ［ｌｇ －２Ｐ（ｇ）／ｅ －ＶｌＪ Ｊｏ ＊

，

，Ｗ

ｇ

＋

ｆａｆｔ

ｆ７－１１－４）

２１８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｉ．ｅ．，

ｇ０／ｇ＾＞ｎ￡＇２ ａｓ ＃－？０ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｕｓｅｄ． Ｗｅ ｎｏｗ ａｓｋ ｈｏｗ ｇ０ ｍｕｓｔ ｂｅｈａｖｅ ａｓ ｅ ｄ０ ｄ ０， ｗｉｔｈ ｇ （ａｎｄ ｆｘ） ｆｉｘｅｄ． Ｉｆ Ａ ｘｇ３ ＋ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏｔ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ （ｓｏ ｔｈａｔ ｉｎ Ｐ（ｇ） ＊， Ａ ｘ ｉｓ ｔｈｅ ｔｈｅｎ ｈａｓ ａ ａｔ ｎｅｇａｔｉｖｅ）， ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｐｏｌｅ Ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

＝

—

－？

＝

—

■

■

ｇ＇２＝－（ｄ０－ｄ）／２Ａｉ＋Ｏ（ｄ－ｄ０）２． （７．１１．４） ｏｎｌｙ ｕｎａｍｂｉｇｕｏｕｓｌｙ ｅｘｉｓｔｓ ｉｆ ｇ２ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｔｈｉｓ ｖａｌｕｅ， ｗｈｅｎ ｄ ｄ０． Ｔｏ ｇｅｔ ｔｏ ｔｈｅ ｄ ｄ０ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｇ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｗｅ ｍｕｓｔ ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｇ０ ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ａｖｏｉｄｓ ｔｈｅ ｐｏｌｅ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｇ０ ｈａｓ ａｎ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｐａｒｔ． Ｔｈｉｓ， ａｍｏｎｇ ｏｔｈｅｒ ｔｈｉｎｇｓ， ｓｕｇｇｅｓｔｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ （ｓｅｅ Ｗｉｌｓｏｎ （１９７３）， Ｇｒｏｓｓ （１９７６））． Ｒｅｃｅｎｔｌｙ， ｅｖｉｄｅｎｃｅ ｈａｓ Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｚｅｒｏ

＝

＝

ａｃｃｕｍｕｌａｔｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌａｔｔｉｃｅ

ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ

－

ｓｅｅ

＜／＞４ ｔｈｅｏｒｙ

Ｓｙｍａｎｚｉｋ （１９８２） ｆｏｒ

ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈａｖｅ ａ

ａ

ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ

ｒｅｖｉｅｗ．

Ｉｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｎ ｗｅ ｍａｙ ｃｏｎｔｉｎｕｅ （７．１１．４） ｔｏ ｄ ｄ０， ｉ．ｅ．， ｅ ０． Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｂｅｃｏｍｅｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｗｈｅｎ ｅ ０， ａｎｄ ｗｅ ＝

＝

＝

ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｂｙ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｇ＇＼

Ｉｎ０ｏ

＝

ｌｎ０

４－＾ｌｎ／＊

／％＇）］ －｜Ｉ＞＇｛ｆ＾ Ａ２ｇ＇５

１

ｌ－ｅｇ＇／ｌ－Ａ．ｇ＇＾

＋

＼＿－ｅｇ＇／２－Ａｉｇ＇３ｙ

＂＾ｌＥ－＾－＾＾＾－＾－ｌ＾ｐｖ｝． Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

ｌｎ０ｏ＝＾ｌｎ ＋

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｗｅ ｍａｙ ｓｅｔ ｅ

＝

０ ａｎｄ ｈａｖｅ

ｅｒｒｏｒｓ

ｔｈａｔ

ａｒｅ

（７．１１－６）

ｏ（ｌ）． Ｓｏ

２Ａ［

ｌｈ－＾－２＞（＾ｈＶｗ

＋

ｏ（ｓ），

（７．１１．７）

ｗｈｅｒｅ／（ｇ） ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ （７．１０．１８）． Ｔｈｕｓ

？？－Ａ－ｆｅ）｛ｉ＋＃－ｉｎ０）］＋４

（７１１８）

７．１２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

２１９

ｆｏｒ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

７．１２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｆｏｒ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ Ｗｅ ｈａｖｅ

ｈｏｗ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｄ ｂｙ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｅｎ

ａ

ｃｈａｎｇｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． Ｔｈｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ｗｅ

ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｓａｍｅ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｈｏｌｄｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ

ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ６．

Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ［０２］ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｎ ０３ ｔｈｅｏｒｙ ａｔ ｄ ６． Ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．２ ｗｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｉｔ ｉｎ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ： ＝

＜Ｏ｜Ｔ０（ｘ）０（ｙ）［０２］（ｚ）／２｜Ｏ＞ ＝

ｔｒｅｅ

ｇｒａｐｈ

＋

＝

｛ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ＋ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ｝

（７．１２．１）

Ｈ—

Ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｉｌ＞２］ ｗｅ

＝

Ｗ

＼＆Ｚａ（ｆ）２ ＋ ｄＺｂｍ２（ｊ）

＋

＋

３ＺＣ □ ０

＋

ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ， （７．１２．２）

ｈａｖｅ

ｉｌ＞２］？ｅｗＲＰ

＝

ｉｌ＞２］ｏ．ｄＲＰ ＋ ？？［＞２］

＋

ｂ＜ｊ，

＋

ｃＵ４＞．

（７．１２．３）

Ｈｅｒｅ ａ， ｆｔ， ａｎｄ ｃ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｏｒｄｅｒ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｓ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ （７．１２．３） ｉｓ， ｓｏ ｆａｒ， ｏｎｌｙ ｄｅｒｉｖｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ－ｓｏ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｔｏ ｂｅ ｕｓｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅｉｒ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎｓｅｒｔｅｄ ｉｎ ｔｒｅｅ ｇｒａｐｈｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｗｅ ｅｘｐｅｃｔ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ

（６．２．１２）

ｉｓ

（７．１２．４） Ｎｏｗ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｆｉｅｌｄ

ｉｓ

＋

＋

＝

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｏｆ ｎ，

ｓｏ ｗｅ ｍａｙ

ｗｒｉｔｅ

＾２－３ＺｂＺ－ｌ＇２ｍ２＾０ｔｉ＾－＼ｎ（ｆｉｄ＇２－３ＺｂＺ－１＇２ｍ２） ｎｄｌ２－３ｚｃｚ－ｌｌ２ｎ＜Ｐｏｎ－ｆｌｎ＆＇＂２￣３ｚｃｚ￣１１２）

ｌ［＾２］＾ｌｎ（Ｚａ／Ｚ） ＋

／ｚ＂＇２－３Ｚ６ｍＶ＾ｌｎ（／／２－３Ｚ６Ｚ１／２Ｚｆｌ－１ｍ２） ｄ＾

＋

／＇２－３ＺｆＤ＜＾ｌｎ（／／２－３ＺｃＺ１＇２Ｚ；１）， ｄ／ｚ

（７．１２．５）

２２０

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

＾ｉ［＊２］＝ ｖ＆Ｗ Ｗｅ

ｃａｎ

（６＝｜

ｆｏｒｍｕｌａｔｅ ｔｈｉｓ

ｆｉ｜＞２］｜ ＜￡

＝

ａｓ ａ

＋

ｙｔ＞ｍ２Ｓ＇２￣３＜ｔ＞ ＋ ｙｙ／２＂３ □ ＊■

ｍａｔｒｉｘ

ｅｑｕａｔｉｏｎ：

／ｚ＾－＇ｍ＾Ｚ－＇－Ｖ＇２－３ Ｚ，Ｚ＿１／Ｖ／２＂３｜ ０

Ｄ＜Ｍ

＜７－１２－６）

０

Ｚ＂１＇２

０

０

２００

Ｃ０ｏ／

Ｚ－１＇２

（７．１２．７） ｄＭ

ｄ

＾—０ ｄ／ｘ

＝

ｄｐ

Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｙａ，ｙ６， ａｎｄ ｙｃ Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．２， ｗｅ ｈａｖｅ

ｗｈｅｒｅ Ｘ

＝

ｇ

／６４ｋ

．

．，

１＜ｂ

ｆｉｎｉｔｅ ａｔ ｄ

ａｒｅ

Ｖ ３８４ｒｃ３

＝

＝

（７．１２．８）

ｙ＜ｐ＜ｂ． ６． Ｆｒｏｍ

＾

＝

６４＾

？ｃ

＝

３８４ｔｔ３＂６Ｘ／＾

＝

（７．１２．９）

ＡＭ

．１

ｇ

Ｔｈｕｓ

０ ０

６

ＡｂｉＶ＇２－３ ｙ／２＇３ ａ ３ ６ｇ ０

＋

ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ．

ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｕｓｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ

Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ （７．１２．７）

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

％ ｐＴ９￣ ＋

ｗｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｍ．

Ｔｈｉｓ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｆｏｒ ｙｍ ａｎｄ ｙ．

ｐｒｏｖｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ： ｗｅ

ｙｍＷ２ｉ）＜０１ Ｔ＜ｔ＞（ｘ）＜ｆｉ（ｙ）Ｋ４＞２Ｗ＼ｏ＞ ＝

ｗｈｅｒｅ

（７．１２．１０）

ｉ９

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｙａ， ｙｂ， ａｎｄ ｙｃ ａｒｅ ａｌｌ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ／ｚ ａｎｄ ｓａｍｅ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｎ

５

＝

０

ｔｈｅ

ｏｕｒ

＜＊＇ ６＇

ｙａ

，＿５ ？＊＝！

／ｚ－— Ｍ

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ

（ｙａ－ｙ）＜ｏ＼Ｔ＜ｔ＞４＞Ｋ＜Ｐ２］＼ｏｙ ＋ （ｙｂｍ２ ＋ ｙｃｎＫ０＼Ｔ＜ｌ＞（ｘ）４＞（ｙ）＜Ｐ（ｚ）＼０＞，

＾．ｄｔｐ／ｄ／ｘ

￣３ ｆａｃｔｏｒｓ． ｅｌｉｍｉｎａｔｉｎｇ ｔｈｅ ／／＇２

＝

—

ｙ＜ｊ＞／２，

ａｎｄ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｓｅｔ

（７．１２．１１） ｄ

＝

６， ｔｈｕｓ

７．１２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ Ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ

ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ

ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ

（７．１２．８） ｂｏｔｈ ｔｏ

２２１

［０２］ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ｉｎ ｉｔｓ ｂａｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｒｅ Ｓｉｎｃｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．

ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｔｏ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ａｎｙ

ＲＧ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ｔｈｅ

ｆｏｒ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ｏｎｌｙ ｑｕｅｓｔｉｏｎ

ｉｓ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ

ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｈａｎｄｌｅｄ ｂｙ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．２ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｒｄｉｎａｒｙ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｓｐｅｌｌ ｏｕｔ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ

ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ

ａｒｅ

－

ｆｏｒ ｔｈａｔ ｉｓ

ｊｕｓｔ

ａ

ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｅｘｅｒｃｉｓｅ．

８

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｐｈｙｓｉｃｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｎ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｎｇ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｏｎ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｃａｌｅ， ｏｎｅ ｓｅｅｓ ｎｏ ｈｉｎｔ ｏｆ ｔｈｏｓｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｔｈａｔ ｈａｐｐｅｎ ａｔ Ａ

ｃｏｍｍｏｎ

ｍｕｃｈ ｓｈｏｒｔｅｒ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｃａｌｅｓ． Ｉｎ ａ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｔｈｉｓ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｓｅｅｍｓ ｅｖｉｄｅｎｔ． Ｆｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ， ｏｎｅ ｃａｎ ｔｒｅａｔ ｆｌｕｉｄ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｎｙ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｐｈｙｓｉｃｓ ｔｈａｔ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ｔｈｅ ａｃｔｕａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｕｉｄｓ．

ｏｆ ｔｈｅ ａｔｏｍｉｃ

ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｉｓ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｆｒｏｍ ｌｏｎｇ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｉｓ ｎｏｔ ｓｅｌｆ－ｅｖｉｄｅｎｔ ａｔ ａｌｌ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｎ

ａ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｎ ｅ＋

—

ｅ￣ ａｎｎｉｈｉｌａｔｉｏｎ

ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ａｔ ａ ｃｅｎｔｅｒ－ｏｆ－ｍａｓｓ ｅｎｅｒｇｙ

ＧｅＶ， ｔｈｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ ｆｏｒ ｍａｋｉｎｇ ｈａｄｒｏｎｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｆｅ－ Ｔｈｅｒｅ ｉｓ， ｆｏｒ ｐｒａｃｔｉｃａｌ （ｏｒ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ） ｐｕｒｐｏｓｅｓ， ｎｏ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｒｋ． ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｑｕａｒｋ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｑｕａｒｋ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔ ｉｎ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ ｗｅｌｌ ｂｅｌｏｗ １０

ｖｉｒｔｕａｌ ｐａｒｔｉｃｌｅ， ａｎｄ ｃａｎ ｈａｖｅ ａｎ ａｐｐａｒｅｎｔｌｙ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｃｒｏｓｓ－ ｓｅｃｔｉｏｎｓ． Ｏｕｒ ｔａｓｋ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｗｈａｔ ｉｓ ｋｎｏｗｎ ａｓ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｔｈｉｓ ｓｔａｔｅｓ ｔｈａｔ ａ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ａ ａｓ ａ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｆｏｒ

ａ

ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ ｔｈｅ

ｇｒａｐｈ ｉｓ

ｆｉｅｌｄ ｗｈｏｓｅ

ｍａｓｓ

ｉｓ ｍｕｃｈ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｂｙ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｍａｓｓ．

ｉｎ ｆａｃｔ ｓｕｐｐｒｅｓｓｅｄ

ｐｈｙｓｉｃｓ ａｔ ｌｏｗ ｅｎｅｒｇｙ ｉｓ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｂｙ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈａｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｄｅｌｅｔｉｎｇ ａｌｌ ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ｈｅａｖｙ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｉｓ ｎｏｔ ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ． Ｏｎｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｎｄ ｔｙｐｉｃａｌ ｅｘｃｅｐｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｆ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｌｅｔ ｕｓ

Ｔｈｅ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｈａｄｒｏｎｓ ａｔ ｅｎｅｒｇｉｅｓ ｏｆ ａ ｆｅｗ ＧｅＶ． Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ， ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｎｓｅ ｊｕｓｔ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ， ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇ ａｎｄ

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ａｌｏｎｅ， ｗｉｔｈｏｕｔ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｓｏ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｉｇｎｏｒａｂｌｅ ａｔ ｌｏｗ ｅｎｅｒｇｉｅｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｔ ｉｓ ｗｅｌｌ ｋｎｏｗｎ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｉｎ ｆａｃｔ ｍａｎｙ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ， ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｄｅｃａｙｓ， ｔｈａｔ ａｒｅ ｄｕｅ ｅｎｔｉｒｅｌｙ ｔｏ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｔｈａｔ， ｉｎ ｔｈｅ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ， ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ａｒｅ ｅｘａｃｔｌｙ ｆｏｒｂｉｄｄｅｎ ｂｙ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ， ｓｕｃｈ ａｓ ｐａｒｉｔｙ， ｃｈａｒｇｅ－ｃｏｎｊｕｇａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｓｔｒａｎｇｅｎｅｓｓ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ． Ｗｅａｋ－ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｎ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｐｏｗｅｒ－ｌａｗ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｓｕｐｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｅｎｅｒｇｙ ｄｉｖｉｄｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｗ－ｂｏｓｏｎ ｗｅｒｅ ｉｔ ｎｏｔ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｚｅｒｏ． Ｔｈｅ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ， ａｔ ｌｏｗ ｅｎｅｒｇｉｅｓ， ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ －

－

２２２

２２３

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｂｙ

ｒａｗ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｖｉｚ．， ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｆｅｒｍｉｏｎ

ａ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． Ｅｆｆｏｒｔｓ ｔｏ ｆｉｎｄ ａ

ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｏｆ

ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｌｅｄ ｔｏ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ａｎｄ ｔｈｅ Ｗ－ ａｎｄ Ｚ－ｂｏｓｏｎｓ ｆｒｏｍ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ａｔ ｅｎｅｒｇｉｅｓ ｍｕｃｈ

ｌｏｗｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅｉｒ

ｃｌｕｅｓ Ｉｎ

ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｈａｖｅ ｉｎｄｅｅｄ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ａｓ ｔｏ ｗｈａｔ ｍｉｇｈｔ ｈａｐｐｅｎ ａｔ ｍｕｃｈ ｈｉｇｈｅｒ ｅｎｅｒｇｙ． ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ ｔｈｅ ｃａｓｅｓ ｗｈｅｒｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｃｃｕｒｓ． Ｔｈｅ ｍａｓｓｅｓ：

ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｈａｔ ｔｅｌｌｓ

ｅｘｐｅｃｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｏ

ｕｓ ｔｏ

ｏｃｃｕｒ

ｉｎ ｍａｎｙ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｗａｓ

ｆｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ Ａｐｐｅｌｑｕｉｓｔ ＆ Ｃａｒａｚｚｏｎｅ （１９７５） ａｎｄ Ｓｙｍａｎｚｉｋ （１９７３）． Ｔｈｅｙ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｓｏｍｅ ｆｉｅｌｄｓ ｈａｖｅ ｍａｓｓｅｓ ｖｅｒｙ

ｌａｒｇｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒｓ． Ｔｈｅｙ ｔｈｅｎ ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｍａｓｓ ｆｉｅｌｄｓ ａｔ ｍｏｍｅｎｔａ ｍｕｃｈ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｍａｓｓｅｓ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈｏｓｅ ｉｎ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ

ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄｓ． Ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｓｍａｌｌｅｒ ｂｙ ａ ｈｅａｖｙ ｍａｓｓ． Ｔｈｅ ｓｏｌｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｌｏｏｐｓ ｏｆ ｈｅａｖｙ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎ ｈａｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｖａｌｕｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｏｓｅ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｈａｖｅ ｎｏ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ａ ｐｒｉｏｒｉ ｖａｌｕｅ， ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ

ａ

ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ

ｄｅｌｅｔｉｎｇ ａｌｌ

ｏｆ ｔｈｅ

ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｄｉｖｉｄｅｄ

ｈｅａｖｙ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ

ａｒｅ

ｕｎｏｂｓｅｒｖａｂｌｅ ｕｎｔｉｌ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ． Ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ

ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｔｈａｔ

ｗｉｔｈｏｕｔ ｈａｖｉｎｇ

ａ

ｏｎｅ ｃａｎ

ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ

ｐｈｙｓｉｃｓ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｆｏｒ ａｌｌ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ．

ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｃａｎ ｂｅ

ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ

ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ

ｏｆ

ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｏｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｍａｎｙ ｒａｍｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ， ｂｕｔ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｎｏｔ

ｔｒｅａｔ ｔｈｅｓｅ． Ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｉｓ ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｅｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｏ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ （ｓｅｅ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， Ｋａｚａｍａ ＆ Ｙａｏ （１９８２））． Ａｎｏｔｈｅｒ ｉｓ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｗｉｔｔｅｎ （１９７６）－ｗｈｅｒｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ．

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｎｏｔ ｔｒｅａｔ ｔｈｅ

ａｒｅ

ｃｏｍｐｕｔｅｄ； ｔｈｉｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｓ ｄｅｅｐ－

ｅｘｃｅｐｔｉｏｎｓ

ｔｏ ｔｈｅ

ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ

ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｔｈｅｓｅ

ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｔｈｏｓｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｔｓｅｌｆ． Ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｒｅａｄｙ ｍｅｎｔｉｏｎｅｄ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ａｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｎ

ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｔｙｐｉｃａｌ ｅｘｃｅｐｔｉｏｎｓ． Ｌｅｔ

（１）

ｕｓ

ａｓ

ｊｕｓｔ

ｎｏｔｅ ｔｗｏ ｏｔｈｅｒ ｍａｉｎ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ

Ｉｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

ｂｒｅａｋｉｎｇ，

ａ ｍａｓｓ

ｅｘｃｅｐｔｉｏｎ：

ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｍａｄｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ （Ｖｅｌｔｍａｎ （１９７７） ａｎｄ Ｔｏｕｓｓａｉｎｔ （１９７８））． Ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｓｓｕｍｅｓ ｔｈａｔ ａ ｍａｓｓ ｉｓ ｍａｄｅ ｌａｒｇｅ ｂｙ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．

ｌａｒｇｅ ｂｙ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ

ａ

ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｖｉｏｌａｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ （ｓｅｅ Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｗｉｌｃｚｅｋ ＆ Ｚｅｅ

（２） Ｓｏｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｎｅｅｄｅｄ ｂｙ （１９７８））．

２２４

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

Ｉｎ ａｎｙ ｅｖｅｎｔ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ． Ｉｔ ｍｉｇｈｔ ｂｅ ｓｕｐｐｏｓｅｄ ｔｈａｔ ｓｉｎｃｅ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ ｉｓ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｉｎ

ｉｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｓｏｍｅ ｃｌｕｅｓ ｔｏ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ａｔ ｖｅｒｙ ｈｉｇｈ ｆｏｒ ｅｎｅｒｇｉｅｓ （ｓｅｅ， ｅｘａｍｐｌｅ， Ｈａｗｋｉｎｇ ＆ Ｉｓｒａｅｌ （１９７９））．

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ，

８．１ Ａ ｍｏｄｅｌ Ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｓｔｒｉｃｔ

ｔｗｏ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ ｓｉｘ ｉｆ

＝

ｓｉｍｐｌｅ ｍｏｄｅｌ． ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ： ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ

ｏｕｒ

ａ

ｖｅｒｙ

（３＾）２／２ ＋ （ｄｃｆ＞ｈ）２／２ ｍ２ｔｉ／２ Ｍ２０ｈ２／２ ／＊３＂ｄ／２［０ｉ＜／＞ｉ３／６ ＋ ０２＜／＞ｉ＜／＞ｈ／２］ ／２＂ Ｖ＞ｉ －

Ｉｔ ｉｓ

ａ

０３ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ

－

－

－

＋ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

（８．１．１）

Ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｕｎｄｅｒ ０ｈ ０ｈ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｉｍｐｏｓｅｄ ｔｏ ｃｕｔ ｄｏｗｎ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ Ｔｈｅｎ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ． （８．１．１） ｃｏｎｔａｉｎｓ ａｌｌ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｆｏｒ Ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｍａｓｓ， Ｍ， ｏｆ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ． ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｍａｄｅ ｌａｒｇｅ ｗｈｉｌｅ ａｌｌ ｏｔｈｅｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｈｅｌｄ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒｓ ｏｆ －？

ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｆ

－

ｎｅｅｄｅｄ ｗｉｔｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｍａｓｓ ｆｊ，

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ

ａｒｅ

ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ

ｉｎｄｉｃａｔｅｄ． Ａｌｌ

ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ （ｒｅａｌｉｓｔｉｃ） ｔｈｅｏｒｉｅｓ． ｏｕｒ

ｃａｎ

ｂｅ

ｒｅａｄｉｌｙ

Ａｓ ｕｓｕａｌ ｗｅ ｈａｖｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ

ｔａｄｐｏｌｅ ｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｉｓ

ａ

ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｔｒｅａｔ

ｌｉｎｅａｒ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ

ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ

ｂｙ

ｍｏｒｅ

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ

＜Ｏ｜０１｜Ｏ＞＝Ｏ． Ｔｈｅ

ｒｅｍａｉｎｉｎｇ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｃａｎ ｂｅ ｐｕｔ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｊ５ｆｃ，＝（Ｚｌ－ｌ）＾，２／２ ＋ （Ｚｈ－ｌ）ａ＾／２ ＼ｍ＼Ｚｍ １） ＋ Ｍ２ＺｍＭ／２ ＼Ｍ＼ＺＭ １） ＋ ｍ２ＺＭＪ＜ｐ２Ｊ２ Ｈ３－ｄｌ２ｔｔｇｉＢ ９ｉ）＜ｔ＞？／６ ＋ （０２Ｂ ０２）Ｍｈ／２］ （８－１－２） －／＇２＂３（／ｂ－／）＜￡．？ Ａｓ ｕｓｕａｌ，

－

￣

－

ａｎｄ ｔｈｅ

ｗｅ

＃Ｂ＇ｓ）

－

－

－

－

ｍａｙ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｂｅ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

（ｖｉｚ．， ｔｈｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ

Ｚ＇ｓ

ｍ２， Ｍ２，

ａｎｄ ／． Ｔｈｅ

ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ

ｏｎ ｅｎｅｒｇｙ ｓｃａｌｅｓ ｍｕｃｈ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｏｓｅ

ａｓｓｅｒｔｓ ｔｈａｔ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ

ｌｅｓｓ ｔｈａｎ Ｍ ａｒｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ

ｂｙ

ａｎ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｓｅ＾

＝

ｚｄ（ｆ）ｉ／２

－

ｍ＊２ｚ４＞＼ｌ２

－

ｉｉ２￣ｄｌ２ｇ＊ｚ＊ｌ２＜￥＞＼／＊＞

￣

？ｄ／２￣３ｚ１／２ｆ＊＜ｔ＞ｉ

＋ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ＝

ｃ０＊２／２

－

ｍ＊２０＊２／２

＋ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

－

＾ ￣ｄ／Ｖ０＊３／６

－

＼ｉｄｌ２￣ ７＊＜／＞＊ （８．１．３）

２２５

８．２ Ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ Ｈｅｒｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ

ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ

ａ

ｚ ｃａｎ

ｓｃａｌｅｄ ｆｉｅｌｄ

ｂｅ ｃｈｏｓｅｎ

ｚ１／２＜／＞，． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｇ＊， ｍ＊ ｔｈａｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ＜／＞， ｏｂｔａｉｎｅｄ

０＊

ｓｏ

＝

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （８．１．１） ｂｙ ｂｙ Ｍ． ｆｉｅｌｄ ＜／＞＊ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｕｎｉｔ

ｆｒｏｍ Ｊ５ｆｒｆｆ ｄｉｆｆｅｒ ｆｒｏｍ ｔｈｏｓｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｕｌｌ

ｔｅｒｍｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｄｉｖｉｄｅｄ

Ｉｔ ｉｓ ｕｓｕａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｆｏｒ ｉｔｓ ｋｉｎｅｔｉｃ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｅｎｅｒｇｙ

ｔｏ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｃａｌｅｄ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

ｔｈｅｏｒｙ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ．

Ｔｈｅｎ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｗ－

ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ

ＧＮ（ｐｌ，．．．，ＰＮ；ｇ｛，ｇｈ，ｍ，Ｍ＾） ＝

＝

ａｓ

ａｒｅ

Ｍ —？

ｏｏ

（０＼Ｔｆａ（ｐ１）．．． ０ｌ（ＰＮ）｜Ｏ＞ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ

＝

ｚ－＾２Ｇ＊（Ｐｌ，．．．，ｐＮ；＾，ｍ＊，／ｉ）［Ｈ－０（ｌ／Ｍａ）］ ｚ－Ｎ！＼０＼Ｔｒ（Ｐｌ）．．．￥＊（ｐＮ）＼０）［ｌ ＋ Ｏ（ｌ／Ｍａ）ｌ （８．１．４）

ｗｉｔｈ ｐ１，．．．， ｐＮ ｆｉｘｅｄ． Ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ｅｒｒｏｒｓ

ｇｏ ｔｏ

ｚｅｒｏ ａｓ ａ ｐｏｗｅｒ

ｏｆ Ｍ ｔｉｍｅｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ； ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｉｓ ｔｙｐｉｃａｌｌｙ Ｍ￣２． Ｗｅ ｃａｎ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｕｓｅ １／Ｍａ， ｗｉｔｈ ａ ｓｌｉｇｈｔｌｙ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｔｗｏ， ｔｏ ｂｏｕｎｄ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ． Ａｓ ｉｓ ｏｕｒ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ，

ｔｈｅ ｔｉｌｄｅ ｓｉｇｎｓ

ｏｖｅｒ

ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ ａｎｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ

ａ

Ｆｏｕｒｉｅｒ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｉｎｔｏ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ．

８．２

Ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ

ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｊｉｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｍ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｒａｐｈ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ， ａｎｄ ｗｉｌｌ ｉｎｖｏｌｖｅ ｕｓ ｉｎ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｗｈｉｃｈ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ａｒｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｍｏｓｔｌｙ ｂｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄ ｉｎ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ，

ｗｅ

ｉｎ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ

ａ

ｗｉｌｌ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ａｓ Ｍ －＞ ｏｏ．

Ｔｈｅｓｅ ｆｏｒｍ

ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｇｈｔ ｆｉｅｌｄ ＜／＞，． Ｏｕｒ ａｉｍ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｏｓｅ ｇｒａｐｈｓ ｔｈａｔ ｃｏｎｔａｉｎ ｌｉｎｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄ ａｎｄ ｔｈａｔ ｄｏ ｎｏｔ ｖａｎｉｓｈ ａｓ Ｍ ｇｏｅｓ ｔｏ

ｉｎｆｉｎｉｔｙ． ８．２．１ Ｔｒｅｅ

Ｂｅｃａｕｓｅ

ｗｅ

ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ

ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ

ｇｒａｐｈｓ

ｉｍｐｏｓｅ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ＜￡ｈ ＜／＞ｈ， ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｔｒｅｅ ｇｒａｐｈｓ ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄ ｈａｖｅ ｈｅａｖｙ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ． Ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ －？

－

ｌｉｎｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ

Ｆｉｇ． ８．２．１． Ｓｉｎｃｅ ａｌｌ ｍｏｍｅｎｔａ

ｏｎ

ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ

ａｒｅ

ｆｉｘｅｄ， ａｎｄ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ０ｈ－

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｉ／（ｐ２－Ｍ２）￣ －ｉ／Ｍ２，

－＜ Ｆｉｇ． ８．２．１． Ａ

ｔｒｅｅ

ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ

ａ

ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅ．

２２６

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ａｎｙ

ｇｉｖｅｎ

ｔｒｅｅ

ｇｒａｐｈ

ａｓ Ｍ －？

ｏｏ

ｉｓ

Ｍ￣２Ｈ，

（８．２．１）

ｗｈｅｒｅ Ｈ ｉｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅｓ． （Ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｅｒｍｉｎｏｌｏｇｙ ｏｆ ｃａｌｌｉｎｇ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ｈｅａｖｙ ｏｒ ｌｉｇｈｔ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｗｈｅｔｈｅｒ ｉｔｓ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｆｏｒ ｃ／＞ｈ ｏｒ ｃ／＞， ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｏｕｒ ｇｒａｐｈｉｃａｌ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ａ

ｌｉｎｅ ｏｆ

ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅｓ

ａｒｅ

ａ

ｔｈｉｃｋｅｒ ｔｈａｎ ｌｉｇｈｔ ｌｉｎｅｓ．）

８．２．２ Ｆｉｎｉｔｅ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｈｅａｖｙ ｌｏｏｐｓ

ｇｒａｐｈ ｔｈａｔ ｈａｓ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｌｏｏｐｓ ｂｕｔ ｎｏ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｒ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｈａｓ ｓｏｍｅ ｈｅａｖｙ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ． Ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ Ｆｉｇ． ８．２．２（ａ）， ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ （ｉｆ ｓｍａｌｌ） ｍａｙ ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｂｅ ｎｅｇｌｅｃｔｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｎｏｗ ａ

ｌｏｏｐ， ｗｈｏｓｅ ｖａｌｕｅ ｉｓ ｔｈｅｎ ｒ．４ ｒ， ２

（Ｗｅ

＝ －

Ｖ－Ｍ２）４￣３８４７ｒ３Ｍ２＇

（２ｎ）６

ｌａｂｅｌ ｔｈｅ ｓｙｍｂｏｌ Ｔ ｂｙ ｔｈｅ

ｌ

］

ｆｉｇｕｒｅ ｎｕｍｂｅｒ．） １０２ ３８４ｔｉ３Ｍ２

／

（ａ）

＼

Ｆｉｇ． ８．２．２． Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ

（ｂ）

ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈｏｕｔ

ａｎ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

ｏｏ． Ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｍ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｂｙ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ （ａｆｔｅｒ Ｗｉｃｋ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ． ｒｏｔａｔｉｏｎ）， Ａｎｙ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｋ ｔｈａｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ Ｍ－＞ｏｏ ｇｉｖｅｓ ａ

Ｔｈｅ

ｇｒａｐｈ

ｖａｎｉｓｈｅｓ

ａｓ

Ｍ －＞

ｇｒａｐｈ ｉｓ ＵＶ ｆｉｎｉｔｅ， ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｏｔｈｅｒ ０｛Ｍ）． Ｓｉｍｐｌｅ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｇｉｖｅｓ Ｍ￣２， ａｓ ｆｏｕｎｄ ｉｎ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｍ￣６． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ

ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ

ｉｓ ｋ

＝

（８．２．２）． Ｔｈｉｓ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ＵＶ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｎｅｇｌｉｇｉｂｌｅ （ｂｙ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｍ２） ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｎｏ

ｈｅａｖｙ

ｗａｎｔｅｄ ｉｔｓ ｌｅａｄｉｎｇ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ， ｔｈｅｎ ｉｔ ｔｈｅ ｌｏｃａｌ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｖｅｒｔｅｘ ｓｙｍｂｏｌｉｚｅｄ ｉｎ Ｆｉｇ． ８．２．２（ｂ）．

ｌｉｎｅｓ． Ｉｆ， ｎｅｖｅｒｔｈｅｌｅｓｓ，

ｗｏｕｌｄ ｂｅ

ｗｅ

ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ Ｔｈｅ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｉｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ （ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｓ ｓｉｘ） ｉｓ ｔｉｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｍ２．

８．２．３ Ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈｓ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｖｅｒｔｅｘ

ｇｒａｐｈ

ｉｎ Ｆｉｇ． ８．２．３（ａ）． Ａｆｔｅｒ

８．２ Ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ

（？）

（＊）

Ｆｉｇ． ８．２．３． Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｅ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

ｄｘ

ｄｙｘ

Ｍ２－（ｐ２ｘ ＋ ｐ２２ｙ）（ｌ

■ｘ－ｙ）－

ｐｉｘｙ

－｝｝

Ｉｎ

ａｎ

ｌｏｏｐ ｇｉｖｅｓ

＋ ６４ｎ３ ｂ

ｘ

２２７

（８．２．３） Ｔｈｅ

ｓａｍｅ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ａｓ ｆｏｒ Ｆｉｇ． ８．２．２ ｃｏｎｆｉｒｍｓ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ Ｍ° ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｂｅｈａｖｉｏｒ ａｓ Ｍ －？ ｏｏ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｓｏ ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ． Ｔｈｉｓ ｏｃｃｕｒｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｗｏ ｒｅｇｉｏｎｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ ｔｏ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｂｅｈａｖｉｏｒ： ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｓ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｋ ｉｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｍ． Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｒｅｇｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ＵＶ ｒｅｇｉｏｎ ｗｈｅｒｅ

ｋ －＞

Ａｆｔｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒｅｍａｉｎｓ． ｏｃ．

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ

Ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｇｉｖｅｓ ａ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｗｉｔｈ Ｍ． Ｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｖａｎｉｓｈｉｎｇ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｓｏ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ Ｍ， ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ａ ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ ｖｅｒｔｅｘ， ａｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ８．２．３（ｂ）． Ａ ｐｒｏｏｆ ｗｈｉｃｈ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ ｔｏ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｉｓ ｔｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ａｎｙ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ

ｇｒａｐｈ

ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ， ｉｔ ｖａｎｉｓｈｅｓ ｗｈｅｎ Ｍ －＞ ｏｏ， ｌｉｋｅ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｍ． ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ， ｔｈａｔ ａｔ ｌｏｗ ｅｎｅｒｇｉｅｓ， ｗｅ

Ｒｅｃａｌｌ ｏｕｒ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ

ｃｏｕｌｄ ｃａｌｃｕｌａｔｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （８．１．３）． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｏｕｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｆｉｇ． ８．２．３ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ａｎ ｅｘｔｒａ

ｐｉｅｃｅ

ｉｎ ｔｈｅ

＜／＞，３ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ．

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ

ｗｒｉｔｅ

ｚ３／Ｖ

＝

０ｉ－

１２８ｔｉ３

ｙ ＋ ｌｎ

Ｍ２

４ｎｊｎ２

＋

０（ｇ５）．

（８．２．４）

Ｗｅ ｍａｙ ｄｒｏｐ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ Ｆｉｇ． ８．２．３ ａｎｄ ｒｅｐｌａｃｅ ｉｔ ｂｙ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｇ３ ｔｅｒｍ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ （８．２．４）． Ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ａ ｌｏｃａｌ ｖｅｒｔｅｘ ｗｈｅｒｅ ａｌｌ ｔｈｅ

ｌｉｎｅｓ

ｃｏｍｅ ｔｏ ａ

ｓｉｎｇｌｅ ｐｏｉｎｔ．

ｌｉｎｅ ｉｓ ｆａｒ ｏｆｆ－ｓｈｅｌｌ ａｎｄ

ｃａｎ

Ｔｈｉｓ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｏｎｌｙ ｅｘｉｓｔ ｆｏｒ ａ ｓｈｏｒｔ ｔｉｍｅ．

２２８

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

Ｆｉｇ． ８．２．４． Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ

Ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ， Ｆｉｇ． ８．２．４， ｇｉｖｅｓ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｉｓ

ａ

ａ

ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

ｌｅａｄｉｎｇ

ｔｅｒｍ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

Ｍ２． Ｔｈｅ

１０２

］｝

ｆ－＂Ｗ１－＊）］ｌｎＬ Ａ＆￣ ｉ ｄｘ［Ｍ２－ｐ２ｘ（ｌ －＆｛４＂＋＂（＆）］－ｆｒ＋，－（￡）］ ＋

＋ ０

（８．２．５）

Ｍ２

Ａｇａｉｎ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｏ

ｔｈｅｒｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ａｔ ｍｏｓｔ

ｋ ｃａｎ ｂｅ ｅｉｔｈｅｒ ＵＶ ｏｒ ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｍ ｔｏ

ａ

ｓｉｎｇｌｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｏｆ Ｍ２／ｆｉ２． Ｓｉｎｃｅ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ ｔｈｒｅｅ ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｐ＾ ｂｅｆｏｒｅ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ

ｇｒａｐｈ， ｔｈｅ ｎｏｎ－ｖａｎｉｓｈｉｎｇ ｔｅｒｍｓ， ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （８．１．３），

ｚｔｎ＊２ Ｗｅ

＝

ｍ２

ｗｅ ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

９ｌ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ

ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｉｎ ｐ． Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｍａｙ ｂｅ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ａ

ｉ［（ｚ

－

＋

７６８ｎ３

—

ｈａｖｅ ｔｏ

ａｓ Ｍ－＞ ｏｏ， ａｒｅ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｖｅｒｔｅｘ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｉｔｈ ｚ＝ｌ－

ａ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ， ｗｅ

ｇ＼Ｍ２ １２８７Ｔ３

ｉ）ｐ２

—

（ｍ＊２ｚ

—

０（ｇ％

ｍ２）］

ｉｎ

（８．２．６）

＋

０（ｇ％

（８．２．７）

＋

Ｏ（０５），

（８．２．８）

ｃｏｍｐｕｔｅ ｇ＊ ａｎｄ ｍ＊：

ｃａｎ ｎｏｗ

ｇ＊ ｍ

＝

ｇｌ（ｇ２

９ｉ－：

－

ｉ

＊２

ｙ ＋

Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｌｎ（＾？ＩＩＩ＞

＋

Ｏ（０４）－

（８－Ｚ９）

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｍ２ ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ａｎｄ

８．２ ｈｅｎｃｅ ｔｏ ｍ＊２． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ

ｍ＊ ｆｉｎｉｔｅ

２２９

Ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ

ｋｅｅｐ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍａｓｓ ｏｆ ＜／＞ｊ ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｋｅｅｐ ｌｅｔ ｍ２ ｈａｖｅ ａ ｔｅｒｍ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｇ＼Ｍ２ （ｗｉｔｈ

ａｓ Ｍ －＊ ｏｏ， ｗｅ ｍｕｓｔ

ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ）： ｍ２ Ｏｎ

ｆｉｎｉｔｅ ＋

＝

＃２

ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ｍ＊２ ＂＊２ ｍ＊

＝

Ｍ２

ｙ

－

＇１２８ｔｃ３Ｌ＃

Ｍ２

１ ＋ Ｉｎ ￣

ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ

＇

＋

＂Ｗ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ，

ｗｅ

ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ．

（８．２．１０）

ｆｉｎｄ

ｆｉｎｉｔｅ ｔｅｒｍ ｉｎ ｍ２ ＇

＋

Ｓｉｎｃｅ

ｍ

ｉｓ ｔｈｅ

ｕｎｎａｔｕｒａｌ

ｙ ＋Ｉｎ

６Ｖｌ２８７ｔＶ ｍａｓｓ

Ｍ２

４＾

４－

ｈｉｇｈｅｒ

ｏｒｄｅｒ．

（８．２．１１）

ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｇｈｔ ｆｉｅｌｄ， ｉｔ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｌｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ

ｔｏ ｈａｖｅ ｔｏ ｆｉｎｅ－ｔｕｎｅ ｉｔ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ

ｉｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ

ｍ＊２／Ｍ２， ａｓ

ｏｏ． Ｉｎ ｔｈｅ ｂｙ （８．２．１０）， ｃｏｎｔｅｘｔ ｏｆ ｇｒａｎｄ ｕｎｉｆｉｅｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｔｈｉｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｈｉｅｒａｒｃｈｙ ｐｒｏｂｌｅｍ （Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９７４，１９７６）， Ｇｉｌｄｅｎｅｒ ＆ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９７６））． Ｉｔ ｉｓ ｈｏｐｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｉｔ ｂｙ ｆｉｎｄｉｎｇ ａ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｉｃａｌｌｙ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｎｏ ｎｅｅｄ ｆｏｒ ｆｉｎｅ－ ｔｕｎｉｎｇ． ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｍ＊ ｗｈｅｎ Ｍ－？

８．２．４ Ｍｏｒｅ ｔｈａｎ

ｏｎｅ

ｌｏｏｐ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈｓ ｏｃｃｕｒｒｉｎｇ ｉｎｓｉｄｅ ａ ｌａｒｇｅｒ ｓｕｐｅｒｆｉｃｉａｌｌｙ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈ． Ａ ｔｙｐｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ Ｆｉｇ． ８．２．５． Ｗｈｅｎ Ｗｅ ｍａｙ ｈａｖｅ

ｏｎｅ

ｏｆ ｔｈｅ

Ｍｇ＊ｚ

＼ｒ－ Ｆｉｇ． ８．２．５． Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ Ｍ－＞ｃｏ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｍｏｍｅｎｔａ ｔｈａｔ

ｇｉｖｅｓ

ａ

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ａｎ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

ｆｉｘｅｄ， ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｓ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｏｕｔｅｒ－ｌｏｏｐ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ ／ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｔｈｅ

ｌａｒｇｅｒ． Ｓｏ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｌｏｏｐ ｃａｎ

ｉｎｎｅｒ－ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｋ ｉｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｍ ｏｒ ｂｅ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｖｅｒｔｅｘ

ｃｏｍｐｕｔｅｄ ａｔ （８．２．３）． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ａｔ ｓｕｂｔｌｅ ａ

ａｓ ｗｅ

ｗｉｔｈ ｏｖｅｒａｌｌ－ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ ｉｓ ｍｏｒｅ Ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． ８．２．６ ｉｓ ｔｙｐｉｃａｌ． Ｎｏｗ， ｉｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ

ｈｉｇｈｅｒ

ｗｉｌｌ ｎｏｗ

ｓｅｅ．

ｏｒｄｅｒ

ｏｒ

ｓｕｂｇｒａｐｈ， ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｌｏｏｐ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｒｅａｄｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．

２３０

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

？Ｐ０３－Ｏ］ Ｆｉｇ． ８．２．６． Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ａｎｏｔｈｅｒ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ

ａｎ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ， ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａ ｇｒａｐｈ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｌｏｏｐ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ａ ｖｅｒｔｅｘ ｕｓｉｎｇ （８．２．４） ｆｏｒ ｇ＊ｚ３ｆ２ ｇ． Ｔｈｉｓ ｇｒａｐｈ ｅｘａｃｔｌｙ ｒｅｐｒｏｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ｋ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ／ ｉｓ ｌａｒｇｅ ｆｏｒ Ｆｉｇ． ８．２．６． Ｗｅ ａｄｄ ａｎｄ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｔｈｉｓ ｇｒａｐｈ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｇｒａｐｈ ａｓ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｇｕｒｅ． Ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｔｅｒｍ （ｉｎ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ） ｈａｓ ａ ｖａｎｉｓｈｉｎｇ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｆｉｎｉｔｅ ｋ （ａｓ Ｍ－＞ ｏｏ）． Ｓｏ ｗｅ ｒｅｐｌａｃｅ ｉｔ ｂｙ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｖｅｒｔｅｘ Ａ６． Ｔｈｅ ｓａｍｅ －

ａｒｇｕｍｅｎｔｓ

ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ， Ｆｉｇ． ８．２．４， ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｉｔ ｈａｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｐ２， ｍ２， ａｎｄ Ｍ２， ｗｉｔｈ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ

ａｓ ｗｅ

ｔｈｒｅｅ ｔｅｒｍｓ，

ｌｎ（Ｍ２／／ｘ２）．

ｇｒａｐｈｓ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｇｒａｐｈ ａｎｄ ｆｏｒ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ． Ｉｍｐｌｉｃｉｔｌｙ， ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｔｏ ｂｅ ｉｎｃｌｕｄｅｄ． Ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｗｅ ｕｓｅ ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｗｅ ａｒｅ ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ａｓ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｇｒａｐｈｓ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｇｈｔ ｍａｓｓｅｓ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｄｏ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ Ｉｎ ｔｈｉｓ ａｎｄ ｉｎ ｏｔｈｅｒ

ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｔｈａｔ

ａｒｅ

ｃｒｕｃｉａｌ ｔｏ

ｏｕｒ

ｗｏｒｋ．

８．３ Ｇｅｎｅｒａｌ ｉｄｅａｓ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｌｙ， ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｓｅｃｔｉｏｎ ａｐｐｅａｒ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｕｓｅｄ ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ

７ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ

ｂｙ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｉｎ ｆａｃｔ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ａ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｅｘａｃｔｌｙ ｂｙ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ａ ｃａｎ

ｂｅ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅｄ

ｓｅｃｔｉｏｎ， Ｓｅｃｔｉｏｎ ８．４，

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ

ｃａｎ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｓｉｍｐｌｙ ｂｙ ｄｅｌｅｔｉｎｇ

ａｎｄ

ｍａｓｓｅｓ

ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｎｄ ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ ８．３．１．

ｗｅ

ｂｅ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｈａｖｅ

ａ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ

ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ

ｔｈｅ ｍｏｓｔ

ａｌｌ

ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｇｈｔ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｅｘｐｌａｉｎ ｉｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｎ

ｗｉｌｌ

２３１

８．３ Ｇｅｎｅｒａｌ ｉｄｅａｓ Ｏｕｒ

ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

ａｐｐｒｏａｃｈ

Ａｐｐｅｌｑｕｉｓｔ

＆ Ｃａｒａｚｚｏｎｅ

（１９７６）． Ｔｈｉｓ ａｐｐｒｏａｃｈ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｓ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｃａｓｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ８．２．６． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎｏｔｈｅｒ ａｐｐｒｏａｃｈ ｄｕｅ ｔｏ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９８０） ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｂｙ ｆｉｒｓｔ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ ｔｈｅ （１９７５） ａｎｄ Ｗｉｔｔｅｎ

ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ． （Ｓｅｅ ａｌｓｏ Ｏｖｒｕｔ ＆ Ｓｃｈｎｉｔｚｅｒ （１９８０）．） Ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｌｅｓｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｆｏｒ

ｔｒｅａｔｉｎｇ ｇｒａｐｈｓ ｌｉｋｅ Ｆｉｇ． ８．２．６，

ｓｏ ｗｅ

ｄｏ ｎｏｔ

ｕｓｅ

ｉｔ．

８．３．１ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｕｓｅｄ ＢＰＨ（Ｚ） ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｕｐ ｔｏ ｐｄ（ｆ） ａｒｅ ｚｅｒｏ ｉｎ ｔｈｅ Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ Ｔ ａｂｏｕｔ ｚｅｒｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｈｅｒｅ

５（Ｆ） ｉｓ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｆｏｒ ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｌｏｏｐ， ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ａ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅ， ｔｈｅｓｅ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｔｈｏｓｅ ｔｈａｔ ａｒｅ ｎｏｎ－ｖａｎｉｓｈｉｎｇ ａｓ Ｍ－＞ ｏｏ． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇｓ． ８．２．３ ａｎｄ ８．２．４． Ｉｎ ｆａｃｔ， ｆｏｒ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｇｒａｐｈ， ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｔｈｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｉｐｔｉｏｎ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｍｅｒｅｌｙ ｂｙ ｄｅｌｅｔｉｎｇ ａｌｌ ｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅｓ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａｌｌ ｔｈｅｉｒ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｎｄ ｍａｓｓｅｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅｄ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ＢＰＨ（Ｚ） ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｈａｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｗｅ ｃａｌｌｅｄ ＇ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ＇． Ｉｔ ｍｉｇｈｔ ａｐｐｅａｒ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ａｌｗａｙｓ ｔｏ ｕｓｅ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｈａｓ ｔｈｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｆｏｒ ｍａｎｙ ｐｕｒｐｏｓｅｓ ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｕｓｅ ｏｔｈｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ， ｅ．ｇ． ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅｌａｔｉｖｅｓ． Ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｃａｓｅｓ

ａｒｅ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｆｉｅｌｄｓ， ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ

ｎｏｎ－

ａｂｅｌｉａｎ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ａｎｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｂｒｅａｋｉｎｇ． Ｉｎ ａｎｙ ｃａｓｅ， ｉｔ ｉｓ ｇｏｏｄ ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｄｉｒｅｃｔ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈａｔ ｃａｎ

ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ａｎｙ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｉｓ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｉｆ

ａ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

ｌｉｋｅ ｍｉｎｉｍａｌ

ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ （Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．４） ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｄ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ． Ｉｎ ｆａｃｔ， ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ｗｉｌｌ ｓｔａｒｔ ｆｒｏｍ ａ ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｄｅｆｉｎｅｄ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｓｕｃｈ ａ ｗａｙ ａｓ ｔｏ ｓａｔｉｓｆｙ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｗａｓ ｆｉｒｓｔ ｓｔａｔｅｄ ｂｙ Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｗｉｌｃｚｅｋ ＆ ｍｏｒｅ

ｏｎｅ

ａｌｓｏ ｗｉｓｈｅｓ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ

Ｚｅｅ （１９７８）． Ｏｎｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｇｉｖｅｓ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｔ ｌｏｗ ｅｎｅｒｇｉｅｓ ａｎｄ ｔｈａｔ ａｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｔ ｈｉｇｈ ｅｎｅｒｇｉｅｓ ｉｓ ｄｕｅ ｑｒｉｇｉｎａｌｌｙ ｔｏ Ｇｅｌｌ－Ｍａｎｎ ＆ Ｌｏｗ （１９５４）． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｃｈｅｍｅ，

ｍａｋｅｓ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ａｔ

ｓｏｍｅ

ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ

ｏｎｅ

ｃｈｏｓｅｎ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｔｈｉｓ

２３２

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂｙ Ｇｅｏｒｇｉ ＆ Ｐｏｌｉｔｚｅｒ （１９７６）． Ｔｈｅ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｓｃｈｅｍｅ， ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ａｃｔｕａｌｌｙ ｕｓｅ， ｉｓ ｔｈａｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｒｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｍ／ｐ， ａｎｄ ｏｆ ｍｊ＼ｘ＼ ｓｃｈｅｍｅ ｗａｓ

Ｐｉ＝Ｐｉ（９ｉ＞９２＇＞Ｍ／ｉＪＬ，ｍ／ｉｉ）． Ｔｈｉｓ

ｍａｋｅｓ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ

ｓｏｍｅ

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，

ｔｈｉｓ ｓｃｈｅｍｅ ｏｂｓｃｕｒｅｓ

ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ． ８．３．２ Ｄｏｍｉｎａｎｔ ｒｅｇｉｏｎｓ

ａ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ， ｌｅｔ ｕｓ ｇｉｖｅ ａ ｔｈａｔ ｇｉｖｅ ｕｎｓｕｐｐｒｅｓｓｅｄ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ （ｉ．ｅ． ｒｅｇｉｏｎｓ ｐｒｅｃｉｓｅ ｎｏｔ ｓｕｐｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｍ２）． Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｅａｃｈ ｇｒａｐｈ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｇｒａｐｈｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｉｔｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｎｄ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｇｒａｐｈｓ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ．

Ｂｅｆｏｒｅ ａｃｔｕａｌｌｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ

Ｆｉｒｓｔ ｏｆ ａｌｌ， ａｎｙ

ｇｒａｐｈ

ｗｉｔｈ

ｎｏ

ｈｅａｖｙ

ｌｉｎｅｓ ａｔ ａｌｌ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓ ｗｉｔｈｏｕｔ

ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｏｎ． Ａ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅｓ ｃａｎｎｏｔ ｇｉｖｅ ａ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｕｎｌｅｓｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｉｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｍ． Ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ａ ｇｒａｐｈ ｗｈｅｎ Ｍ ｉｓ ｌａｒｇｅ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ

ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ａｓ

ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｓｐａｃｅ． Ｔｈｅ

ｏｆ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｖａｒｉｏｕｓ

ｒｅｇｉｏｎｓ

ｃａｎ

ｂｅ

ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｂｙ

ｔｈｅ

ｓｉｚｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｆｏｒ ｏｕｒ ｐｕｒｐｏｓｅｓ， ｉｔ ｉｓ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｃｌａｓｓｉｆｙ ａ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ａｓ ｅｉｔｈｅｒ ｆｉｎｉｔｅ ｏｒ ｌａｒｇｅ． ＇Ｌａｒｇｅ＇ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｏ ｍｅａｎ ＇ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｍ ｏｒ

ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｒｅｇｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｏｂｖｉｏｕｓ ｗａｙ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｏｏｐｓ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔａ， ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ Ｍ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ａ ｆａｃｔｏｒ Ｍｄ， ｗｈｅｒｅ Ｓ ｉｓ ｔｈｅ ｂｉｇｇｅｒ＇．

Ｗｅ

ｃａｎ

ｄｏ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔａ． Ａ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｆｉｎｉｔｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｃｏｕｎｔｓ ａｓ Ｍ￣２． Ａ ｌｉｇｈｔ ｌｉｎｅ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｆｉｎｉｔｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｃｏｕｎｔｓ ａｓ Ｍ°．

ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｍ ｆｏｒ ａ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｒｅｇｉｏｎｓ． Ｌｅｔ ｕｓ ｄｅｆｉｎｅ ＳＭ（Ｔ） ｔｏ ｂｅ ｔｈｉｓ ｈｉｇｈｅｓｔ ｐｏｗｅｒ． Ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅｒｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔｓ． Ｂｕｔ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ Ｔｈｅ

ｌｅａｄｉｎｇ

ｐｏｗｅｒｓ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｇｕａｒａｎｔｅｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ＳＭ（Ｔ） ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｌｉｓｔｅｄ． Ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｔｒｅａｔｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ８．２ ｐｒｏｖｉｄｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ． （Ｔｈｅ ｓｕｂｓｃｒｉｐｔ ＇Ｍ＇ ｉｓ ｔｏ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ ５Ｍ（Ｔ） ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｌｔｒａｖｉｏｌｅｔ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．） Ａ ｒｅｇｉｏｎ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ ｔｏ ａ ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｔｈａｔ ｉｓ Ｍ° ｏｒ ｂｉｇｇｅｒ ｉｓ ｓｙｍｂｏｌｉｚｅｄ ｂｙ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｎｇ ｔｏ ａ ｐｏｉｎｔ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｔｈｅ ｐｏｉｎｔｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ； ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｒｅａｄｙ ｕｓｅｄ ｔｈｉｓ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ８．２， ｉｎ ｔｈｅ

８．４ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ

Ｆｉｇ． ８．３．１． Ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｃｏｎｔｒａｃｔｅｄ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ，

２３３

Ｆｉｇ． ８．３．２． Ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｓｕｂ－ ｇｒａｐｈｓ ｍａｙ ｈａｖｅ ｔｏ ｂｅ ｃｏｎｔｒａｃｔｅｄ．

ｆｉｇｕｒｅｓ． Ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ （ｓｅｅ Ｆｉｇ． ８．３．１） ｔｈｅ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｗｉｌｌ ｒｅｓｕｌｔ ｉｎ ｓｅｖｅｒａｌ ｖｅｒｔｉｃｅｓ． Ｗｅ ｉｎｃｌｕｄｅ ｉｎ ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｉｓ ｏｎｌｙ ｃｏｎｔｒａｃｔｅｄ ｔｏ ａ ｐｏｉｎｔ ｉｆ ｉｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅ． Ａ ｃｏｎｔｒａｃｔｅｄ

ｓｕｂｇｒａｐｈ ｉｓ １ＰＩ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｇｈｔ ｃｕｔｔｉｎｇ ａ ｌｉｇｈｔ ｌｉｎｅ ｔｈｅｎ ｔｈａｔ

ｌｉｎｅｓ； ｆｏｒ ｉｆ ｉｔ

ｃａｎ

ｂｅ ｓｐｌｉｔ ｉｎｔｏ ｔｗｏ ｐａｒｔｓ

ｌｉｎｅ ｉｓ ｎｏｔ ｃａｒｒｙｉｎｇ

ａ

ｌａｒｇｅ ｌｏｏｐ

ｂｙ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ．

Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｃｏｎｔｒａｃｔｅｄ ｇｒａｐｈ ｍａｙ ｂｅ １ＰＲ ｉｎ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅｓ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｎ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ＜／＞ｈ ＜／＞ｈ ｉｓ ｎｏｔ ｖａｌｉｄ， ａ ｇｒａｐｈ －？

—

ｐｏｗｅｒ Ｍ°； ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｉｖｅｓ ａ ｐｏｗｅｒ Ｍ２ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ． Ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｔｈａｔ ｉｓ ｃｏｎｔｒａｃｔｅｄ ｔｏ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｖｅｒｔｅｘ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｍ ａｓ ｉｔｓ ＵＶ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ． Ｓｏ

ｌｉｋｅ

Ｆｉｇ．

８．３．２

ｇｉｖｅｓ

ｗｈｉｃｈ ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ

ａ

ｌｅａｄｉｎｇ

１／Ｍ２

ｄｉｍ （ｓｕｂｇｒａｐｈ）

＝

ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｍ ＋ ｄｉｍ （ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ）．

Ｈｅｎｃｅ ｉｎ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ （ｗｈｅｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｈａｖｅ ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ） ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｃｏｎｔｒａｃｔｅｄ ｇｒａｐｈｓ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ａ ｎｏｎ－ｖａｎｉｓｈｉｎｇ ｖａｌｕｅ ａｓ Ｍ －？ ｏｏ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｗｈｏｓｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｈａｖｅ ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｔｈｅｓｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ

ｇｉｖｅ

ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ

ｇ＊ｚ３／２

ａｎｄ ｇ， ｅｔｃ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ

ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｓａｔｉｓｆｙ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ． Ｉｎ ａ ｓｃａｌａｒ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ａｃｔｕａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ， ｐｒｏｖｉｄｅｄ ａｌｌ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ｎｏｎ－ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｔｈａｔ ｏｂｅｙ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ．

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ

ｉｎ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ

ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｆｏｒ

８．４ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ

ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ

８．４．１ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ Ｒ＊ ｗｉｔｈ

ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ

ｕｓ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ （８．１．１）． Ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ａ ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｅｎｏｔｅ ｂｙ ａ ｓｙｍｂｏｌ Ｒ． Ｆｏｒ ｄｅｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｉｓ ｔｏ ｂｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｂｙ ｄｅｌｅｔｉｎｇ ａｌｌ ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄｓ ｆｒｏｍ （８．１．１） ａｎｄ ｂｙ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ （８．１．３）． Ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ａ ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ Ｒ＊， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ａｌｓｏ ｔａｋｅ ｔｏ ｂｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｏｕｒ ｐｒｏｏｆ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｅｘｔｅｎｄｉｎｇ Ｒ＊ ｔｏ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｌｌ

Ｌｅｔ

ｉｔ

２３４

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ

ｓａｔｉｓｆｙ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｓｉｎｃｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｄｉｆｆｅｒ ｏｎｌｙ ｂｙ ａ ｒｅｐａｒａｍｅｔｒｉｚａｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ （８．１．４） ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｉｌｌ ｈｏｌｄ． Ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ／？＊ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｌｌ ｇｉｖｅ ａ ＇ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ＇ ｆｏｒｍ ｆｏｒ ｇ＊， ｍ＊２ ａｎｄ ｚ： ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｗｉｌｌ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

）

０＊＝０＊（０１＞０２＞ＭＭ ｚ

＝

ｍ＊２

＝

＞

ｚ（ｇｌ９ｇ２９Ｍ／ｒｉ９

ｍ２ｚＪｇｖｇ２，Ｍ／ｉｉ）

＋

（８．４．１）

Ｍ２ｚｍＭ（ｇｌ９ｇ２９Ｍ／ｆｉ）．）

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｇｈｔ ｍａｓｓ． Ａｓ ｂｅｆｏｒｅ， ｔｏ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ０． Ｗｅ ｔｈｅｎ ｉｇｎｏｒｅ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｆ（ｆ＞｝ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｈａｔ ＜０｜＜／＞，｜０＞ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅ ｔａｄｐｏｌｅ ｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎ ｗｅ ｕｓｅ ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａｌｌ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｏｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｌｉｎｅａｒ ｉｎ ０ ｉｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｔｈｅｒｅｂｙ ｍａｋｅ ｖｅｒｙ ｃｌｅａｒ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ａｔ ｓｍａｌｌ ｍａｓｓ ｓｃａｌｅｓ ｆｒｏｍ ｌａｒｇｅ ｍａｓｓ ｓｃａｌｅｓ． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ （８．４．１） ａｒｅ ｍｕｃｈ ｓｉｍｐｌｅｒ ｔｏ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｔｈａｎ ｔｈｅｙ ｗｏｕｌｄ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｂｅ． Ｍａｓｓ

ｓａｖｅ

ｍｅａｎｓ

ｎｏｔａｔｉｏｎａｌ

＝

Ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｗｏ ｃｏｎｃｅｐｔｓ： （１） Ａ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄ ＜／＞ｈ）．

（２）

Ａ

ｌｉｇｈｔ ｇｒａｐｈ ｉｓ

ｏｎｅ

ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅ （ｉ．ｅ． ａ ｌｉｎｅ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｏｎｅ

ｔｈａｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ

ｎｏ

ｈｅａｖｙ

ｌｉｎｅｓ．

ｔｈｅｏｒｙ ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｉｔｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｉｆ Ｔ ｉｓ ａ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈ， ｔｈｅｎ ｗｅ ａｌｓｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｔｏ ｂｅ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈｓ， ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅｙ ｍａｙ ｃｏｎｔａｉｎ ｎｏ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅｓ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｃｈｏｓｅｎ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ Ｒ＊ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｄｅｆｉｎｅｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａｎｙ ｇｒａｐｈ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｏｆ ａｎｙ ｌｉｇｈｔ ｇｒａｐｈ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｎｏｗ ｗｉｓｈ ｔｏ Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｂａｓｉｃ

ｇｒａｐｈ

Ｔ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｌｌ

ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｉｓ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｏ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈｓ， ｉｎ ｓｕｃｈ ａ ｗａｙ ｔｈａｔ ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ Ｒ＊（Ｔ） ｏｆ ａ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈ ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ

ａｓ Ｍ －＞ ｏｏ．

Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｄｅａ ｉｓ ｔｏ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｓｕｃｈ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｓｅｎｓｉｂｌｅ

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ

ｇｒａｐｈｓ ｆｒｏｍ Ｓｅｃｔｉｏｎ ８．２． ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｓａｗ ｔｈａｔ Ｆｉｇ．

ｓｅｅｎ

ｇｒａｐｈｓ ａｔ ｚｅｒｏ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ａ

ｆｅｗ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｏｒ

Ｍ－？ｏｃ，

ｉｆ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ｗｅ

＝

ｗｅ ｕｓｅ

８．２．３ ｄｉｖｅｒｇｅｓ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ

ｗｈｅｎ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｂｕｔ ｗｉｔｈ ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｈａｖｅ

０（ｐ２／Ｍ２）

ａｓ Ｍ －＞ ｏｏ．

（８．４．２）

２３５

８．４ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ

Ｃｌｅａｒｌｙ， ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （８．２．４） ｆｏｒ ｇ＊ｚ３／２ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ｔｗｏ －

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｉｓ

ｈｉｇｈ

ｇ． Ａｔ

ｊｕｓｔ ｔｈｅ

ｅｎｅｒｇｙ ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｕｓｅ

ｂｅ ｎｅｇｌｅｃｔｅｄ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｍｏｍｅｎｔａ ｗｏｕｌｄ ｕｓｅ ｔｈｅ Ｒ＊ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｓｏ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ

ｓｏ Ｍ ｃａｎ

－

ｂｕｔ ａｔ ｌｏｗ ｅｎｅｒｇｙ ｗｅ ｓｉｍｐｌｉｆｙ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｂｙ

－

－

ｄｒｏｐｐｉｎｇ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈｓ．

Ｆｉｇ．

８．４．１．

Ｆｉｇ． ８．４．１ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｏｆ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄ． Ｔｈｉｓ ｇｒａｐｈ ｌｉｇｈｔ ａｎｄ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅｓ． Ｉｔ ｗｏｕｌｄ ｂｅｈａｖｅ ｌｉｋｅ Ｍ２ Ｉｎ （Ｍ） ｆｏｒ ｌａｒｇｅ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｎｅｘｔ

ｃｏｎｔａｉｎｓ ｂｏｔｈ

Ｍ， ｉｆ ｗｅ ｕｓｅｄ ｍｉｎｉｍａｌ Ｋ｛１＂＇

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｉｎｓｔｅａｄ， ｌｅｔ

ｕｓ

ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｂｙ

６４ｎ３（４ｎｆｉ２Ｙ＇２－３

ｄｘ｛［Ｍ２ｘ ＋ ｍ２（ｌ－ｘ）－ｐ２ｘ｛ｌ－ｘ）］ｄ＇２－２－（Ｍ２ｘ）ｄｌ

ｘ

２－２

－｛ｄ／２－２）（Ｍ２ｘ）＇＂２－３［ｍ２（ｌ－ｘ）－ｐ２ｘｉｌ－ｘ）￣＼｝

ｄｘ＼＼＿Ｍ２ｘ Ｉ

—＾７７３

＾６）６４ｎ３Ｊ０ ：ｌｎ ＝

ｍ２（ｌ－ｘ）－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）］ｘ

ｍ２（ｌ－ｘ）

ｐ２（ｌ－ｘ）

Ｍ２ｘ

Ｍ２

１＋－

０（１／Ｍ２）

＋

－

ｍ２｛＼ －ｘ） ＋ ｐ２ｘ（ｌ

－

ｘ）

（８．４．３）

ａｓＭ－＞ｏｏ．

Ｈｅｒｅ， ｗｅ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｔｈａｔ ｗｈｅｎ Ｍ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｌｉｎｅａｒ ｉｎ ｍ２ ａｎｄ

－＞ ｏｏ

ｐ２．

Ｓｏ

ｔｈｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｗｅ

ａｂｏｕｔ ｐ

ｅｘｐａｎｄｅｄ

＝

ｍ

０ ａｎｄ

＝

ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｉｎ ｍ ａｎｄ ｐ． Ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｍ， ｉ．ｅ．， ＇ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ＇ ｈｏｌｄｓ ｇｏｏｄ．

ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｕｐ ｔｏ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ａｒｅ

Ｎｏｒｍａｌｌｙ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ａｔ ｚｅｒｏ ｍａｓｓ ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｈａｖｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅ ｐｒｅｖｅｎｔｓ ｔｈｉｓ ｈｅｒｅ． Ａｓ ａ ｆｉｎａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｌｅｔ ｕｓ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． ８．２．６． Ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｇｒａｐｈ

ｃａｎｎｏｔ ｂｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅｒｅ

ｐ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ

Ｉ

，，，

ａｒｅ ｔｗｏ

ｅｘｐａｎｄｅｄ ａｂｏｕｔ ｍ ｌｉｇｈｔ ｌｉｎｅｓ． Ａｔ ｍ， ｐ ￣

（ｖａｌｕｅ ｏｆ ｈｅａｖｙ ｌｏｏｐ ａｔ ｐ ｆｃ ７７１ ２ｉｒｖ ＋ Ｌｎ： ２１ （ｋ２ ｍ２）［（ｐ ｋ）２ ｍ２］ ＝

－

Ｔｈｅ

０

ｐ

＝

０ ｔｏ

ｔｈｅｙ ｇｉｖｅ

ｇｉｖｅ

ａ

ｍ－

ａｎｄ

，

２＼

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｄ ｋ－ ？＞ｍ＞０

＝

－

＝

０）

＂￣

．

（Ｐ

，

＋

２

ｒｎ２）ｌｎ（ｐ２ ＋ ｍ２）． ２，，

，

（８．４．４） ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ

ｓｉｄｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ａｎｄ

ｓｙｍｂｏｌｉｚｅｓ

ｔｈｅ

２３６

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｏ ｏ Ｗ

（ｂ）

Ｆｉｇ． ８．４．２． Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ Ｆｉｇ． ８．２．６． ｍａｘｉｍｕｍ ｐｏｗｅｒｓ ａｎｄ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｆ ｏｂｔａｉｎ

ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｖａｌｕｅ

ｍ

ａｎｄ ｏｆ ｐ ｔｈａｔ

ｏｆ ｔｈｅ

ｇｒａｐｈ

ｗｅ

ｏｃｃｕｒ．

Ｈｏｗｅｖｅｒ，

ｔｏ

ｆｉｒｓｔ ｓｕｂｔｒａｃｔ

ｍｕｓｔ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ Ｆｉｇ． ８．４．２， ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｒ＊－ ｓｃｈｅｍｅ． Ｎｏｗ， ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈ （ｂ） ｈａｓ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｅｘａｃｔｌｙ ｅｑｕａｌ ａｎｄ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｔｏ ｔｈａｔ ｏｆ （８．４．４）， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｍｉｎｕｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｌｏｏｐ ａｔ ｐ ｋ ０． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｇｒａｐｈｓ ｈａｓ ｔｈｅ —

＝

ｅｘｔｒａ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｅ ｎｅｅｄ． Ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｔｈｅｎ ｌｉｎｅａｒ ｉｎ ｍ２． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｆ ｍ ａｓ Ｍ －＞ ｏｏ．

８．４．２

ｐ２ ａｎｄ

Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｒ＊

Ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｓｕｍｍａｒｉｚｅ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｗｈａｔ Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｗｅ

Ｒ＊ ｉｎ

ｇｅｎｅｒａｌ，

ｗｅ

ｓｉｍｐｌｙ

ｈａｖｅ ｊｕｓｔ ｄｏｎｅ ｆｏｒ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｇｒａｐｈｓ．

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ Ｒ＊ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｉｔ ａｃｔｓ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｐｕｒｅｌｙ ｌｉｇｈｔ ｇｒａｐｈ． Ｆｏｒ ａ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈ Ｔ， ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｉｔｙ Ｒ＊｛Ｔ） ｉｎ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｗａｙ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｒ ｐｌｕｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｋ＊－ｓｃｈｅｍｅ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｉｔｓ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． ｓａｍｅ ａｓ ｏｕｒ ｃｈｏｓｅｎ

ｏｎ ａ

Ｉｆ Ｔ ｈａｓ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｓ（Ｔ）

＞

０， ｔｈｅｎ ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ

ｂｙ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ａｔ ｍ ｐ ０． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｔ ｉｓ Ｒ＊（Ｔ） ＋ Ｃ＊（Ｔ）， ａｓ ｕｓｕａｌ． Ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ Ｃ＊（Ｔ） ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｅｘｐａｎｄ Ｒ＊（Ｔ） ｉｎ ａ Ｔａｙｌｏｒ ｓｅｒｉｅｓ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｗｈｅｒｅ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｎｄ ｔｈｅ ｌｉｇｈｔ ｍａｓｓ ｍ ａｒｅ ｚｅｒｏ． Ｐｉｃｋ ｄｅｆｉｎｅｄ

Ｒ＊（Ｔ）

＝

—

＝

ｗｉｔｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｕｐ ｔｏ ５（Ｔ）， ａｎｄ ｌｅｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ＊（Ｔ） ｂｅ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｔｅｒｍｓ． Ｏｕｒ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｔｅｌｌ

ｏｕｔ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｗｈｅｒｅ ｍｏｍｅｎｔａ ａｎｄ ｍ２

ｕｓ ｔｏ

ｅｘｐｅｃｔ ｔｈａｔ ｗｉｔｈ ｓｕｃｈ

（１） ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ （２） ｔｈｅｒｅ

Ｍ－＞

ａｒｅ ｎｏ ＩＲ

ｏｏ

ｏｃｃｕｒ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ：

ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｅｄ，

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ

ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ．

ｇｅｎｅｒａｌ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｗｉｌｌ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｆｒｏｍ Ｆｉｇ． ８．２．６． Ｔｈｅｒｅ， ｔｈｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ

Ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅｓｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ ｉｎ

ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ

ｃａｓｅ，

ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｎｏｔ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ

ｍ

ａｎｄ ｐ， ｂｕｔ ａｆｔｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｙ ｔｈｅ ｆｌ＊－ｓｃｈｅｍｅ， ｉｔ ｂｅｃｏｍｅｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ Ｒ＊－ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｉ｝ ｃａｎ ｌｅｇｉｔｉｍａｔｅｌｙ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ａｆｔｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｌａｒｇｅ－Ｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ａｌｓｏ

８．４ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ

２３７

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｍ ａｎｄ ｐ ｗｉｔｈ ｄｅｇｒｅｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｓｏ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｅｖｅｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ＩＲ ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ｆｉｇ． ８．４．１ ａｎｄ ｅｘｐａｎｄ ｉｔｓ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｓｅｅ （８．４．３） ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｍ２ ａｎｄ ｐ２． Ａｌｌ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｂｅｙｏｎｄ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｇｉｖｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｔ ｘ ０； ｉｔ ｉｓ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｈａｔ ａｒｅ ｎｏｎ－ｓｉｎｇｕｌａｒ． －

－

＝

８．４．３ ＩＲｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓｏｆＣ＊（ｒ） Ｓｕｐｐｏｓｅ ｒ ｉｓ ａ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈ， １ＰＩ ｉｎ ｉｔｓ ｌｉｇｈｔ ｌｉｎｅｓ． Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ Ｃ＊（Ｔ） ａｒｉｓｅ ｗｈｅｎ ｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｍａｄｅ ｓｍａｌｌ． Ｔｈｅｙ ｃｏｍｅ ｆｒｏｍ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｈｅｒｅ ｓｏｍｅ ｏｒ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ｍ．

Ｔｈｅ

ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｃａｓｅ ｉｓ ｗｈｅｒｅ ａｌｌ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ｍ．

Ｉｆ ｒ

ｗｅｒｅ ａ

ｌｉｇｈｔ ｇｒａｐｈ，

ｗｅ

ｗｏｕｌｄ ｏｂｔａｉｎ

ａ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ｗｈｅｒｅ ｄ（Ｔ） ｉｓ ｔｈｅ ＵＶ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｓｏ ｌｅｔ ｕｓ ｃａｌｌ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ＩＲ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ Ｔ． Ｉｆ ｄ（Ｔ） ０， ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ＝

ｍ３｛ｒ＼

ｄ（Ｔ） ｔｈｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ －

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｉｆ （５（Ｔ）＞０， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ ｍ－？０． Ｂｕｔ ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｗｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅ ｕｐ ｔｏ Ｓ（Ｔ） ｔｉｍｅｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｓｔ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ａｒｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ａｌｗａｙｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ＩＲ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ， ｆｏｒ ａ ｌｉｇｈｔ ｇｒａｐｈ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｒ ｉｓ ａｃｔｕａｌｌｙ ａ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈ． Ｓｏ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｏｆ ｉｔｓ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ｃｏｕｎｔｓ

ａｓ

１／Ｍ２ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ １／ｍ２． Ｔｈｕｓ ａｌｌ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｉｓ

ｒｅｇｉｏｎ，

ｗｈｅｒｅ ａｌｌ ｉｔｓ

Ｔｈｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｆｏｒ ａｌｌ

ｇｒａｐｈｓ ｈａｖｅ ｓｍａｌｌ

ｈａｖｅ

ｌｏｏｐ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈｓ．

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｃｏｍｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， Ｆｉｇ．

ＩＲ ｆｉｎｉｔｅ

ｍｕｌｔｉ－ｌｏｏｐ ｌｏｏｐｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｂｕｔ

ｆｒｏｍ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｈｅｒｅ ｏｎｌｙ

ｈａｖｅ ＩＲ

ａｎ

ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｓｍａｌｌ．

８．２．６ ｈａｓ

ａ

ｓｅｍｅ

ｒｅｇｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ｐ ａｎｄ ｋ ａｒｅ ｓｍａｌｌ， ｉ．ｅ．， ｏｒｄｅｒ ｍ， ａｎｄ ／ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｏｒ ｌａｒｇｅ． Ｔｈｉｓ ２， ａｎｄ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （８．４．４）． Ａｓ ｗｅ ｓａｗ， ｔｈｅ ＩＲ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ＩＲ ｄｅｇｒｅｅ ｔｈｅ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｂｙ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｌｏｏｐ． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｓｏｍｅ ｌｉｇｈｔ ｌｉｎｅｓ ｃａｒｒｙ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｍ ａｎｄ —

（ａ） Ｆｉｇ． ８．４．１， ｗｉｔｈ ｋ ａｎｄ ｐ ｏｆ ｏｒｄｅｒ （ｂ） Ｆｉｇ． ８．２．６， ａｌｌ ｌｏｏｐ

ｍｏｍｅｎｔａ

（ｃ） Ｆｉｇ． ８．２．６， ｋ ａｎｄ ｐ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ｍ

ｍ

ｌａｒｇｅ

＞

Ｖ？＾

＞

？

＞

（

Ｆｉｇ． ８．４．３． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｒｅｄｕｃｅｄ ｇｒａｐｈｓ．

＾—

２３８

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｅｉｔｈｅｒ

ａｒｅ ｈｅａｖｙ ｏｒ ｃａｒｒｙ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｅａｃｈ ｒｅｇｉｏｎ ｉｓ ｓｙｍｂｏｌｉｚｅｄ ｂｙ ａ ｒｅｄｕｃｅｄ ｇｒａｐｈ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｗｉｔｈ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔａ ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅｓ ａｒｅ ｃｏｎｔｒａｃｔｅｄ ｔｏ ｐｏｉｎｔｓ． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｒｅｄｕｃｅｄ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ８．４．３．

ｓｕｃｈ

Ｎｏｔｅ： （１） Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｃａｎ ａｌｓｏ ｈａｖｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒ－ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｉｎｓｉｄｅ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ｇｒａｐｈｓ． Ａｌｌ ｌｉｎｅｓ ｏｆ ｒｅｄｕｃｅｄ

（２）

ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｌｉｇｈｔ， ｓｏ ａｔ ｇｒａｐｈ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ａ ｈｅａｖｙ ｓｕｂｇｒａｐｈ．

ｌｅａｓｔ

ｏｎｅ ｖｅｒｔｅｘ

ｏｆ

ｒｅｄｕｃｅｄ

ａ

ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｒｅｄｕｃｅｄ ｇｒａｐｈ ｙ ａｓ Ｗｅ

ｃａｎ

Ｓ１Ｒ（Ｔ；ｙ）＝￣Ｓ（ｒ）＋

［＊Ｗ ＋ＩＲ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ Ｋ＊（Ｐ）］．

￡

（８．４．５）

ｒｅｄｕｃｅｄ ｖｅｒｔｉｃｅｓ Ｖ

Ｔｈｅ

ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｃａｎ

ｂｅ

ｓｅｅｎ

ｆｒｏｍ

ａｎ

ｅｘａｍｐｌｅ．

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

Ｆｉｇ． ８．２．６ ｗｈｅｎ ｋ ａｎｄ ｐ ａｒｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｍ． Ｉｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｗｅｒｅ ｐｕｒｅｌｙ ｌｉｇｈｔ， ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｈａｖｅ ＩＲ ｄｅｇｒｅｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ２， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ＵＶ ｄｅｇｒｅｅ． —

Ｔｈｉｓ ｗｏｕｌｄ ｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍ２ ａｎｄ ｐ２ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｍ ｗｏｕｌｄ ｂｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｈｏｗｅｖｅｒ，

ｔｈｅ

ｓｉｎｇｌｅ ｒｅｄｕｃｅｄ

ｖｅｒｔｅｘ

－

ａｓ

＝

ｐ

＝

０

ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ

Ｆｉｇ． ８．４．３（ｃ） ｈａｓ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｔｈｉｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ＇ｓ ｖａｌｕｅ ｉｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｍ２／Ｍ２ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｍ°． Ｔｈｅ ＩＲ ｄｅｇｒｅｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ －

ｔｈｅｒｅｂｙ ｄｅｃｒｅａｓｅｄ ｂｙ ２． Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ｉｎ （８．４．５）， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｕｍ ｉｓ ｏｖｅｒ ｔｈｉｓ ４； ｓｉｎｇｌｅ ｖｅｒｔｅｘ， ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈｉｓ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｅｘｐａｎｄ ｕｐ ｔｏ ｏｒｄｅｒ ｍ２ ａｎｄ ｐ２ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｎ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ —

ｗｅ ｃａｎ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ａｒｅ ｎｏｔ

ｍ４， ｐ４， ｅｔｃ．， ａｒｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ，

ｂｕｔ ｔｈｅｙ

ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ．

ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ ｏｆ （８．４．５）， ｅａｃｈ ｒｅｄｕｃｅｄ ｖｅｒｔｅｘ Ｖ ｗｏｕｌｄ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ ｉｆ ｉｔ ｗｅｒｅ ｌｉｇｈｔ ａｎｄ ａｌｌ ｉｔｓ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ ｈａｄ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｍ． Ｂｕｔ ｄ（Ｖ） ａｃｔｕａｌｌｙ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓ ｗｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｐｒｏｖｅ ｉｓ ａ ｓｍａｌｌｅｒ ａｍｏｕｎｔ．

Ｉｎ ｔｈｅ －

ｉｔ

Ｒｅｍｅｍｂｅｒ ｔｈａｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｉｃｅｓ

Ｒ＊（Ｖ） ｉｓ ｉｔｓ ｐｏｗｅｒ ｃａｓｅｓ ｆｏｒ Ｖ ａｒｅ：

ｇｒａｐｈｓ

ａｌｓｏ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ， ａｎｄ

ｗｅ ａｓｓｕｍｅ

ｔｈａｔ

ｉｎｃｌｕｄｅｄ ｉｎｓｉｄｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ｖｅｒｔｉｃｅｓ． Ｔｈｅ ＩＲ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｓｃａｌｅｄ ｌｉｋｅ ｍ． Ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ

ａｒｅ

ａｓ

（１） Ｉｆ Ｖ ｉｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ａｎｄ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅ， ｔｈｅｎ ｉｔｓ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｄｅｇｒｅｅ ｉｓ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ｉｔｓ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｅｇｒｅｅ． Ｆｉｇ． ８．４．３（ａ） ｈａｓ ａ ｖｅｒｔｅｘ ２ ａｎｄ ＩＲ ｄｅｇｒｅｅ ｚｅｒｏ． ｗｉｔｈ ＵＶ ｄｅｇｒｅｅ Ｉｆ ａｎｄ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａ ｈｅａｖｙ ｌｉｎｅ ｔｈｅｎ ｏｒｄｉｎａｒｉｌｙ ｗｅ Ｖ ｉｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ （２） －

ｗｏｕｌｄ ｅｘｐｅｃｔ ｉｔ ｔｏ ｂｅｈａｖｅ

ａｓ

ｍ° ｗｈｅｎ

ｍ －＞

０ ｗｉｔｈ ｆｉｘｅｄ Ｍ． Ｂｕｔ

ｗｅ

ｍａｋｅ

２３９

８．４ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｄｅｃｏ ｕｐｌｉｎｇ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｂｙ ｔｈｅ Ｒ＊ ｓｃｈｅｍｅ ｓｏ ｔｈａｔ ｉｔｓ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ａｃｔｕａｌｌｙ ｍ３｛Ｖ） ２． Ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｗｅ ｍａｙ ａｓｓｕｍｅ ｉｔｓ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｎｏ ＩＲ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． ＋

Ｈｅｎｃｅ，

ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈ Ｔ ａｌｗａｙｓ ｈａｓ ａｔ ｌｅａｓｔ ｄｅｇｒｅｅ ｂｅｌｏｗ ｄ（Ｔ） ａｎｄ ｎｏｎｅ ｔｏ ｉｎｃｒｅａｓｅ ｉｔ．

ｉｎ ｅｖｅｒｙ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔａ

ｏｎｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｉｔｓ ＩＲ

ａ

—

Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ＊（Ｔ） ｉｓ ＩＲ ｆｉｎｉｔｅ． Ｉｔ ｉｓ ｃｒｕｃｉａｌ ｔｏ

ｐｒｏｏｆ

ｔｈａｔ

ｗｅ

ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ

ｏｕｒ

ｆｉｒｓｔ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｙ ｔｈｅ Ｒ＊ ｓｃｈｅｍｅ．

８．４．４ Ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｆｏｒ Ｒ＊ Ａ ｐｕｒｅｌｙ ｌｉｇｈｔ ｇｒａｐｈ ｉｓ

ａ

ｇｒａｐｈ ｉｎ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ

ｔｈｅｏｒｙ． ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈｓ ｖａｎｉｓｈ ｗｈｅｎ

Ｉｔ ｓｕｒｖｉｖｅｓ ｕｎａｌｔｅｒｅｄ ｗｈｅｎ ｗｅ ｌｅｔ Ｍ －？

ｔｈｅ

Ｍ

－＞

ｏｏ，

ｇｉｖｅｎ

ｏｏ．

ｎｏｗ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ａｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅｍ ｂｙ

Ｗｅ ｗｉｌｌ

ｔｈａｔ

ｗｅ

ｔｈｅ Ｒ＊ ｓｃｈｅｍｅ． Ｔｏ ｄｏ ｔｈｉｓ， ｄｅｃｏｍｐｏｓｅ ｅａｃｈ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈ ｉｎｔｏ ｉｔｓ ｓｋｅｌｅｔｏｎ， ｉ．ｅ．， ａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｂｙ ｌｉｎｅｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｎｏｔ ｐａｒｔ ｏｆ ａｎｙ ｌｏｏｐ． Ｓｉｎｃｅ ａ ｈｅａｖｙ

１ＰＩ

ｌｉｎｅ

ｌｏｏｐ ｖａｎｉｓｈｅｓ ａｓ Ｍ－＞ ｏｏ， ａｌｌ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈｓ ｖａｎｉｓｈ ａｓ ｇｒａｐｈｓ ｖａｎｉｓｈ． ｌｉｍｉｔ ｏｆ ａ １ ＰＩ ｇｒａｐｈ ｃａｎ ｂｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ａｎ ＩＲ ｌｉｍｉｔ ｂｙ ｓｃａｌｉｎｇ

ｔｈａｔ ｉｓ ｏｕｔｓｉｄｅ

ａ

Ｍ－＞ ｏｏ， ｉｆ ｔｈｅ １ＰＩ

Ｔｈｅ ａｌｌ

Ｍ

－＞ ｏｏ

ｍａｓｓｅｓ

ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔａ： Ｍ－＊ｌ，

ｐ＾ｐ／Ｍ，

ｍ－＋ｍ／Ｍ．

Ｔｈｅｎ Ｔ（ｐ， ｍ， Ｍ）

＝

（８．４．６）

Ｍｄｉｒ）Ｔ（ｐ／Ｍ， ｍ／Ｍ， １），

ｗｈｅｒｅ ｄ（Ｖ） ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｔ． Ｓｏ Ｔ ｖａｎｉｓｈｅｓ ａｓ Ｍ －＞ ｏｏ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ｌｅｓｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｔｈａｎ ｍ￣ｄ（ｒ）． Ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｗｈａｔ

ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｗｅ

ｔｈｅ

ｓｈｏｗｅｄ ｉｎ

ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ＩＲ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． （Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ａ

ｇｒａｐｈ

ｉｓ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ

ｏｒ

ｅｑｕａｌ

ｔｏ ｉｔｓ ＵＶ

ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．）

８．４．５ Ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ Ｗｅ ｈａｖｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｔｗｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ， ｌａｂｅｌｌｅｄ Ｒ ａｎｄ Ｒ＊，

ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｕｎｄｅｒ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅｓ Ｒ ａｎｄ Ｒ＊ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｗｅ ｍａｋｅ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｃｈａｎｇｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ：

０ｉ－？０＊， ０ｈ－＊０ｈ＞ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｄｃｐ＼／２

－？

ｚ，

ｏｉｄ＾ｌ／ｌ

－？

ｚｈ，

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ

ｍ２＾＞ｍ＊２， Ｍ２－＋Ｍ＊２

（８．４．７）

２４０

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｊｕｓｔ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ Ｓｅｃｔｉｏｎ ７．２． Ｗｈｅｎ Ｍ ｍａｙ ｄｒｏｐ ａｌｌ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｒ＊ ｓｃｈｅｍｅ （ｓｏ ａｌｓｏ ｇ￡， ｚｈ， Ｍ＊ ｄｒｏｐ ｏｕｔ ｏｆ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎ）． Ｔｈｉｓ ｔｈｅｎ ｇｉｖｅｓ （８．１．４）， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｉｓ ｔｒｕｅ ｂｅｃａｕｓｅ ｗｅ ｈａｖｅ ａｒｒａｎｇｅｄ ａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｂｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｇｈｔ ｍａｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｄｅｇｒｅｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓ

－＊ ｏｏ

８．５

Ｗｈｅｎ

ｏｎｅ

ｃｏｍｐｕｔｅｓ

ａ

ｗｅ

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ａｎａｌｙｓｉｓ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｌｉｎｅｓ ｆｏｒ ｆｉｅｌｄｓ ｗｉｔｈ ｗｉｄｅｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ

ｆｉｎｄｓ， ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ， ｔｈａｔ ｉｔｓ ｖａｌｕｅ ｇｅｔｓ ｌａｒｇｅ ａｓ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｒａｔｉｏ． Ｓｕｃｈ ｌａｒｇｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｒｅ ｕｎｄｅｓｉｒａｂｌｅ ｉｎ ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ

ｍａｓｓｅｓ，

ｏｎｅ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ，

ｆｏｒ

ｔｈｅｙ

ｍｅａｎ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ

ｕｓｉｎｇ

ａ

ｆｅｗ

ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｔｅｒｍｓ ｉｓ ｗｏｒｓｅｎｅｄ． Ｔｈｉｓ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ａｒｉｓｅｓ ｉｎ ｂｏｔｈ ｓｔｒｏｎｇ－ ａｎｄ ｗｅａｋ－ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

ｐｈｙｓｉｃｓ．

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｏ ｃｏｍｂｉｎｅ ｔｈｅ

ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｔｏ ｄｏ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｔｈｅｉｒ ｂｅｉｎｇ ｍａｄｅ ｕｎｒｅｌｉａｂｌｅ ｂｙ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ． Ａ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｔｏ ｕｓｅ ａ ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｓｃｈｅｍｅ （ｓｐｅｃｉｆｉｃａｌｌｙ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ） ｆｏｒ ｈｉｇｈ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ， ｗｈｅｒｅ ｏｎｅ ｏｆｔｅｎ ｗｉｓｈｅｓ ｔｏ ｎｅｇｌｅｃｔ ａｌｌ ｍａｓｓｅｓ， ａｎｄ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ Ｒ＊ ｓｃｈｅｍｅ， ａｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ８．４， ａｔ ｌｏｗ ｍｏｍｅｎｔａ， ｗｈｅｒｅ ｏｎｅ ｗｉｓｈｅｓ ｔｏ ｎｅｇｌｅｃｔ ｈｅａｖｙ ｇｒａｐｈｓ． Ａｎ

ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｎｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ ａｎｄ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． Ｏｎｅ ｎｅｅｄｓ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｇｒａｐｈｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ａｔ ｚｅｒｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｍａｔｃｈ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘｐｌａｉｎ ｈｏｗ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｉｓ ｓｃｈｅｍｅ ｉｎ ｔｈｅ ｔｏｙ ｔｈｅｏｒｙ （８．１．１）． Ｆｉｒｓｔ ｌｅｔ ｕｓ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｆｏｒ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｘ

ｌｉｇｈｔ

ａｎｄ Ｎｈ

ｈｅａｖｙ ｆｉｅｌｄｓ，

ｗｅ

ｈａｖｅ

｛％ ＋±２Ｎｉｙｉ＋ｉｉＶｈ７ｈ） Ｇ？＞＝ａ

ｗｈｅｒｅ

－

（Ｍ２ｙＭ ＋

ｍ２ｙｍＭ）＾

－

（ｍ２ｙｍ ＋

Ｍ２ｙＭｍ）－＾．

（８－５＇１）

（８．５．２）

Ｔｈｅ ＲＧ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｕｓｕａｌ． Ｔｈｅｉｒ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｖａｌｕｅｓ

ａｒｅ

ａｓ

８．５ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ａｎａｌｙｓｉｓ

Ｐｌ

１ ＝

１２８ｔｉ

３（５０２

１

Ｖｉ

＝

ｙｈ

＝

＋

０１９２—ｚ９２ｉ９２） ＋

２４１

＜

＋ －．

０２ ｍｎ３＊２ １

Ｉｎ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ

（８．５．３）

３８４ｒｒ

ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ，

ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ （８．５．４）

ｗｉｔｈ ｄ＊

８

Ｍ

ｄ

，

８

（８．５．５）

４６４ｔｃ３ ＊２

７＊

０

＝

３８４ｔｃ

ｒ ＋

Ｔｏ ｃｏｍｐａｒｅ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｅ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｈｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ａ ｒｅｎｏｒｍａｈｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ Ｒ＊ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｌｌ

ｄ＊

ｄ

Ｍ

ｔｈｅｏｒｙ．

８

８

？．

－（Ｍ＊２ｙ＊Ｍ ＋

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｃｈｅｍｅ ｔｈｅ ＲＧ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｍ＊２ｙ＊ｍＭ）＾ｉ ￣ｉ＾＊２ｙ＊ Ｍ＊２ｙ＊Ｍｍ）－＾２， ＋

（８－５－６）

ｙ＊ ａｎｄ ｙ￡． Ｉｎ ｆａｃｔ ／？＊， ｙ＊， ａｎｄ ｙ＊ ａｒｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ （ｓｅｅ （８．５．４） ａｎｄ （８．５．５））， ｗｈｉｌｅ ｆ｝％ ｙ＊Ｍ ｙ＾ｍ ｙ￡ ｙ￡ ０． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｓｅｅｎ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｐｒｏｖｉｄｅ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｎｄ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ

ａｒｅ

ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｉｎ ｔｈｅ ＝

＝

＝

＝

＝

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ．

ｈｅａｖｙ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｗｈｅｎ

Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ｔｈｅ

ａｎｄ ｍ２

ａｒｅ

ｂｏｔｈ

ｐ２

ｍｕｃｈ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ Ｍ２：

１／Ｇ０ｉ２＝ －ｉ［ｐ２－Ｍ＊２

＋

０（ｐ＼ｍ２ｐ＼ｍ４）］

（８．５．７）

ｗｈｉｃｈ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

＾￣Ｇｏ，ｉ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ ｉｆ ｙ＊

＝

ｙｔｉ

＝

＝

ｙｔＧＺ，ｌ

ｙ＊Ｍ

＝

０－

（８－５．８）

２４２

Ｌａｒｇｅ－ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ８．５．１ Ｓａｍｐｌｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

Ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｓｔａｒｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｕｌｌ

ｔｈｅｏｒｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． ｔｈｅｏｒｙ， ｗｅ ｋｎｏｗ ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ． Ｏｕｒ ａｉｍ ｉｓ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｓｓ ａｎｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ａｒｅ Ｉｎ ｔｈａｔ ｖｅｒｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

？２／

１２８＊３

，

３ Ｉｎ （ｐ／Ａ＊） ＝

ｆｉｘｅｄ，

ｍ＊２

＝

ｃｏｎｓｔａｎｔ

Ｍ＊２

＝

ｆｉｘｅｄ．

ｑＩ

（８．５．９）

［Ｉｎ （／ｘ／Ａ＊）］￣１／９，

Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅｙ ｓｏｌｖｅ ａ ｃｏｕｐｌｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｗｏ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅｓ ｗｅ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ ｏｒｄｅｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ． Ｗｅ ｅｑｕａｔｅ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｆｏｒ ０， ｉｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｓｃｈｅｍｅｓ，

ｗｉｔｈ

ｕｓｅ

ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （８．１．３） ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ

Ｆｉｇ． ８．２．４ ４－ ｐｏｌｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ＝

Ｆｉｇ． ８．２．４

４－ ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ４－

Ｗｅ ｔｈｕｓ ｏｂｔａｉｎ

ｚ

ａｎｄ ｎｏｔ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ａｎｄ ｍ＊２

Ｍ２，

ｍ２

＋

ａｓ

ｉ（ｚ

－

ｌ）ｐ２

ｇｉｖｅｎ ｂｙ （８．２．６） ａｎｄ （８．２．７）． ｒｅｐｌａｃｅ ｍ２ ｂｙ

Ｔｏ

－

ｉ（ｍ＊２ｚ

－

ｍ２）．

ｋｅｅｐ ｍ＊２ ｆｉｎｉｔｅ，

ｗｅ ｍｕｓｔ

Ｔ＾ｐＭ２＾２［ｙ－ｌ ＋ｌｎ（Ｍ２／４＾２）］．

Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｉｎｖａｌｉｄａｔｅ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ

（８．５．１０）

ｏｆ Ｍ／ｐ． Ｉｆ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｌａｒｇｅ ｅｎｏｕｇｈ， ｔｈｅｙ ｔｈｅｏｒｙ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｇ＊， ｍ＊２， ａｎｄ ｚ．

Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｗｅ ｗｒｉｔｅ ａｒｅ ｖａｌｉｄ ａｔ ａｎｙ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｐ， ｓｏ ｗｅ ｍａｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｐ ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｍ． Ａｆｔｅｒ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｇ＊， ｍ＊， ａｎｄ ｚ ｉｎ ｐｅｒｆｏｒｍ

ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｇ｛， ｇ２， ｍ， ａｎｄ Ｍ，

ｗｅ ｃａｎ

ｅｖｏｌｖｅ ｔｈｅｍ ｔｏ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｐ ｔｈａｔ

ｆｏｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ． ｐｏｉｎｔ ｔｏ ｄｏ ｔｈｅ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｉｓ ｗｈｅｒｅ ｇ｛ ｇ＊９ ｉ．ｅ．， ａｔ ｗｈｅｒｅ ｐｉ Ｍ２ｅｙ／４ｎ． Ｔｈｅｎ ｆｏｒ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｐ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ

ｗｅ

ｗｉｓｈ

ｕｓｅ

Ａ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ

＝

ｐ２

＝

ｐｉ，

＝

＾２（／ｚ）＝ｌ／＾（／，０） Ａ ｓｉｍｉｌｉａｒ

＋

（３／１２８７ｒ３）ｌｎ＾０）＋－－

（８－５，ｌｌａ）

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈｏｌｄｓ ｆｏｒ ｍ＊： ｍ＊２（Ａｉ）

Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ

ｚ

＝

ｉｓ

ｍ２［（１２８７ｃ３／３ｆｆ？） ＋ ｌｎＯｉ／Ａｉ０） ＋ －］＂ｌ／９．

ｍｏｒｅ

（＊．５．Ｕｂ）

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ．

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

８．５

２４３

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ａｎａｌｙｓｉｓ ８．５．２ Ａｃｃｕｒａｃｙ

Ｗｅ ｃｏｍｐｕｔｅ

ｇ＊（ｆｉ） ｉｎ

ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｔｈｅｏｒｙ ｅｖｏｌｖｉｎｇ ｔｏ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍａｓｓ ＼ｘ ｆｒｏｍ ｆｉ０． Ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｉｎ ｇ＊（ｆｉ） ｔｈａｔ ｗｅ ｎｅｅｄ ｆｏｒ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｅｒｆｏｒｍ ｔｈｅ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｔｈｅ

ａｔ ｓｏｍｅ ｆｉ０ ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｍ ａｎｄ ｔｈｅｎ

ａｎｄ ｔｏ ｗｈｉｃｈ

Ｔｈｅ ＲＧ

ｗｅ ｍｕｓｔ

ｋｎｏｗ ／？．

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｇ＊（ｆｉ） ｇｉｖｅｓ ｌｎ（ｆｉ／ｔｔ＞）＝

Ｓｏ ｉｆ ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ｓｍａｌｌ

ｅｒｒｏｒｓ

ｆｆｆ（Ｍ） Ｊ

（８．５．１２）

ｄｏ＇／Ｐｉｇ＊）．

０（Ｍｏ）

Ａｇ（ｆｉ０） ａｎｄ Ａ（ｌ／／？） ｉｎ ＾（＾０） ａｎｄ １／／？ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ

ｉｎ ｇ（ｊｊ） ｉｓ

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｐｅｒｆｏｒｍ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｕｐ ｔｏ ｎｍ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ； ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｉｎ ｇ（ｆｉ０） ｉｓ ＋ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｇ（ｆｉ０）２ｎｎｉ ３． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｆｔ ｉｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｔｏ ｒｃ＾－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ； ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｉｎ

＼／ｆｉ（ｇ）

ｉｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ｇ２ｎｆｉ￣３．

Ｔｈｅｓｅ ｔｒａｎｓｌａｔｅ ｔｏ

ｅｒｒｏｒｓ

ｉｎ ｇ（ｆｉ） ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ＱｉｔｆｇＭ２＂＇＂ ａｎｄ

ｇ（ｆｉ）３＼ｎ［ｇ（ｆｉ）／ｇ（ｆｉ０）］＼ｉｎｆｉ

＝

ｌ，

ｏｒ ＋

０［ｇ（ｆｉＶ ２ｎ＞－＼ Ｆｏｒ ｗｅ

ｅｘａｍｐｌｅ，

ｉｆ

ｗｅ

＋

ｗｉｓｈ ｔｏ

Ｏ［ｆｆ０ｉ）３＾０ｉｏ）２（＂＇－１｝］ ｉｆ ？， ｐｅｒｆｏｒｍ

ｎｅｅｄ Ａｇ ｔｏ ｂｅ ｍｕｃｈ ｓｍａｌｌｅｒ ｔｈａｎ

＞２．

ｒｅｌｉａｂｌｅ ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ， ｔｈｅｎ Ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｏ ｄｏ ｔｈｅ

ｇ３．

ｏｎｅ ｌｏｏｐ ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ／？－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｔｗｏ ｌｏｏｐｓ． ｍｉｎｉｍｕｍ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ａ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｅｒｒｏｒ ｏｎ Ａ （ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ７） ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｍｕｃｈ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｕｎｉｔｙ．

ｍａｔｃｈｉｎｇ ｃｏｒｒｅｃｔ ｔｏ

９ Ｇｌｏｂａｌ

Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｏｎ

ｗｅ

ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｉｍｐａｃｔ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｏｆ ａ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ａ ｃｈａｒｇｅｄ

ｉｔｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ａｓ

ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ ： ＜￡

＝

ｄｔｆｄ＜ｆ＞

－

ｍ２＾（ｆ）

－

（９．０．１）

ｇ（ｆｔ（ｔ＞）２／４．

ｅ＂ｉｗ＜／＞． Ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａｌｓｏ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ｎｏｔ ａ ｖｅｒｙ ｄｅｅｐ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｄｏ Ｔｈｉｓ ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ０

ｎｏｔ

ａｌｗａｙｓ ｓｕｒｖｉｖｅ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ，

ａｓ ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｓｅｅ

ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ

－？

１３． Ｔｈｕｓ ｉｔ ｉｓ

ｕｓｅｆｕｌ ｔｏ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｎ ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｙ． Ｏｎｅ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ； ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ

ｄｏ ｎｏｔ ｎｅｅｄ ｔｏ

ｕｓｅ

ｎｏｎ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ

０２ ＋ ０ｔ２

ｏｒ

ｉ（（ｆ＞２

－

＜ｆ＞ｕ）．

Ｏｔｈｅｒ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ， ｗｈｉｃｈ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ａｔ ｔｈｅ ｌｅｖｅｌ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｓｔｅｐ ｉｎ ｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ ｉｓ ｔｏ ｉｍｐｏｓｅ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｐｕｔｔｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｎ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｏｒ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ． Ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ｃｕｔｏｆｆ． Ｉｆ ｔｈｉｓ ｉｓ ｄｏｎｅ ｂｙ ２．７

ａｒｅ

ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｏｌｌｏｗｓ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ａｓ ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｓｅｅ

ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ９．１

ｗｅ ｃａｎ

ｔｈｅｎ ｗｒｉｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｉｎ

ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｅｘｈｉｂｉｔｓ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｉｎ

ｃａｓｅｓ ｔｈｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆａｉｌｓ． ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｂｒｅａｋｓ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｎ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｂｒｅａｋｓ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｌｕｃｋｉｌｙ， ｏｔｈｅｒ

ｍｏｒｅ

Ｏｎｅ

ｐｕｔｔｉｎｇ

ｇｅｎｅｒａｌ

ｃａｓｅ

ｒｅｇｕｌａｔｏｒｓ， ｌｉｋｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ， ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｔｈｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ， ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｎｏ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｓｏｍｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ ａｆｔｅｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ． Ｉｔ ｍｕｓｔ ｂｅ ｔｒｕｅ ｔｈａｔ ｎｏ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｃａｎ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｔｈｅｍ． Ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｏ ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １３， ｉｓ ｔｈｅ ｃｈｉｒａｌ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ＱＣＤ． ２４４

９．１ Ａｎｏｔｈｅｒ ｃａｓｅ， ｗｈｉｃｈ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｂｒｅａｋｉｎｇ，

ｂｙ ｔｈｅ

—

ｗｅ

２４５

Ｕｎｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ ｌａｔｅｒ ｉｎ ｔｈｉｓ

ｔｙｐｉｆｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｇｉｖｅｎ

ｉｓ ｏｆ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｂｙ （９．０．１） ｗｉｔｈ ｍ２ ｒｅｐｌａｃｅｄ

ｃｈａｐｔｅｒ，

ｍ２． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｍｏｄｅｌ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｔｈｅ ｇｒｏｕｎｄ－ｓｔａｔｅ

ｖａｃｕｕｍ

ｖａｃｕｕｍ

－

ｉｓ ｎｏｔ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ａｃｑｕｉｒｅｓ

ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ

－

ａ

ｖａｌｕｅ：

＜Ｏ｜０｜Ｏ＞

＝

＼２＼ｍ２＼ｌｇ］Ｘ１２ ＋ ｈｉｇｈｅｒ

ｏｒｄｅｒ．

Ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ａｎ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ， ｌｉｋｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｔｉｌｌ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｐｒｏｖｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． Ｈｅｎｃｅ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ．

Ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｆｏｌｌｏｗｓ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ， ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｂｏｓｏｎ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ ｏｆ

ａ

ａ

ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ．

９．１ Ｕｎｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ａ ｔｏｔａｌｌｙ ｕｎｂｒｏｋｅｎ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ． Ｔｈｕｓ：

Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｍａｔｒｉｘ

ｃａｒｒｙ

Ｓ＊＜ｔ＞ｉ＝－ｉ（Ｑｉｊ＜ｔ＞ｊ， ｉｎ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．６． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ． Ｗｅ ｉｎ ｌｅｓｓ ｔｒｉｖｉａｌ

ｓｐｅｌｌ

ｏｕｔ ｔｈｅ

ｓｔｅｐｓ

ｃａｎ ｓｏ

ａ

（９．１．１）

ｂｅ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ ｕｎｄｅｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｗｅ ｃａｎ ｓｅｅ ｗｈａｔ ｎｅｅｄｓ ｔｏ ｂｅ ｄｏｎｅ

ｔｈａｔ

ｃａｓｅｓ：

（１） Ｒｅｇｕｌａｔｅ ｉｎ ａ ｗａｙ ｔｈａｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｓ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｌａｔｔｉｃｅ ａｎｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｂｏｔｈ ｄｏ ｔｈｉｓ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｃｏｍｍｕｔｅｓ ｗｉｔｈ ａｌｌ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｉｎｃｌｕｄｅ ｉｎ ＜￡ ａｌｌ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｕｐ ｔｏ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ （２） ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｔｈｕｓ ８ａＪ？ ０． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ （９．０．１） ｗｅ ｒｅｐｌａｃｅ ｊＳ？ ｂｙ ＝

＜￡

＝

Ｚｄｆｔｄｃｆ）

－

ｍ２＜ｔ＞ｉ（ｆ＞

－

０Ｂ（＜／＞Ｗ／４．

（９．１．２）

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｌｅｔ ｔｈｅ ｆｒｅｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｂｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ： ＳａＪ？０ ０． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ａｌｓｏ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． （４） Ａｔ ｅａｃｈ ｏｒｄｅｒ， ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ １ ＰＩ

（３）

Ｔｏ ｄｏ

＝

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ａｎｄ

ａｌｌ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｔｈｅ

ｎｏｎ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ａｒｅ ｎｏｔ

ｎｅｅｄｅｄ．

（５） Ｒｅｍｏｖｅ ｔｈｅ ＵＶ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

＾＜Ｏ｜Ｔ０ｊｉ（＞；１）．．．０Ｊ．Ｎ（ｙＪｖ）｜Ｏ＞＝Ｏ． ａｎ ａｒｒｏｗ

（９．１．３）

（９．０．１） ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｈａｒｇｅｄ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｌｏｗ ｏｆ ｃｈａｒｇｅ． Ａｌｌ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｈａｖｅ ｉｎｄｉｃａｔｉｎｇ

Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ

ｃａｒｒｉｅｓ

ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ：

２４６

Ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｅｑｕａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｆ ｉｎｇｏｉｎｇ ａｎｄ ｏｕｔｇｏｉｎｇ ｌｉｎｅｓ． Ｉｎ ａｎｄ ｄ（ｆ）ｆ ｉ（ｆ）＼ ｓｏ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｌｉｔｅｒａｌｌｙ

（９．１．３） ａ

＝

ｗｅ

ｈａｖｅ

６（ｆ＞

＝

—

ｉｃ／＞

ｏｆ ｃｈａｒｇｅ

ｓｔａｔｅｍｅｎｔ

ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ

ｃｕｒｒｅｎｔ

ｆｏｒ

ａ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ

ｄｅｆｉｎｅｄ

ｂｙ

Ｎｏｅｔｈｅｒ＇ｓ

ｔｈｅｏｒｅｍ

（Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．６）： ＆

Ｉｎ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

＾＜ｗｚ－

＝

ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｍｏｄｅｌ （９．０．１） ｔｈｅｒｅ ｉｓ

／

（９１４） ａ

ｓｉｎｇｌｅ

（９．１．５）

Ｗｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｔｈｅｏｒｙ

（９．０．１） ｔｈｅｓｅ

（２．７．６）． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ

ａｒｅ

＾＜０｜ Ｔｆ（ｘ）＜ｔ＞（ｙｉｙ ■■＜ｔ＞（ｙｆ，）４＞＼ｚｉｙ ＝

ｃｕｒｒｅｎｔ

ｉＺ＜／＞ｔ＾．

＝

？

－０ｔ（ｚｗ）｜Ｏ＞

ｉ￡ ［６（ｘ－ｙｊ）－Ｓ（ｘ－ｚＪｆｉ（０＼Ｔ＜ｔ＞（ｙｉｙ－－＜ｌ＞（ｙＮ）４？（ｚｉｙ－－＜ｌ＞＼ｚＮ）＼０＞． （９．１．６）

Ｗｅ ｓｈｏｗｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．６ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｆｉｎｉｔｅ；

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆａｃｔｏｒ Ｚ ｉｎ （９．１．５）． Ｉｔ ｉｓ ｏｆ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｔｏ

ｓｅｅ

ａｒｅ

ｎｅｅｄｅｄ ｂｅｙｏｎｄ ｔｈｏｓｅ

ｈｏｗ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｔｈａｔ

ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ Ｚ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ／ Ｆｉｇ． ９．１．１， ｕｐ ｔｏ ｏｒｄｅｒ Ｚ ｂｙ １ ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ

ｇ２．

Ｓｉｎｃｅ Ｚ

ｅｘｃｅｐｔ

＝

１ ＋

０（ｇ２）

ｉｎ ｔｈｅ ｔｒｅｅ

ｎｏ ｅｘｔｒａ

ｉｍｐｌｉｅｄ ｂｙ

ｔｈｅ

ａｒｅ

ｐｒｅｓｅｎｔ ｇｅｔ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｔｈｅ ＩＰＩ

ｉｎ ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｙ，

ｗｅ

ｇｒａｐｈｓ

ｍａｙ

ｇｒａｐｈ （ａ）． Ｇｒａｐｈ （ｂ）

ｏｆ

ｒｅｐｌａｃｅ

ｃｏｕｌｄ ｂｅ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｂｙ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ， ｂｕｔ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｚｅｒｏ，

ｓｏ ｎｏ

ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ａｔ ｏｒｄｅｒ ｇ． Ｇｒａｐｈ （ｅ） ｉｓ ａｌｓｏ ｚｅｒｏ． Ｇｒａｐｈｓ （ｃ） ａｎｄ （ｄ） ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ ａｆｔｅｒ ｔｈｅｉｒ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ； ｔｈｅｙ ａｌｓｏ ｃａｎｃｅｌ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ． Ｔｈｅｓｅ ｃａｎｃｅｌｌａｔｉｏｎｓ ａｒｉｓｅ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｓｅ ｇｒａｐｈｓ ｈａｖｅ ａ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

＜ ＜Ｘ （？）

（ｂ）

＜Ｘ ＜＾Ｋ （ｃ）

［ｄ）

０ＣＸ＜Ｊ ＜Ｋ （？）

（／）

（９）

Ｆｉｇ． ９．１．１． Ｇｒａｐｈｓ ｕｐ ｔｏ ｏｒｄｅｒ ｇ２ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｙ．

Ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

９．２

ｓｕｂｇｒａｐｈ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｆｏｒ

ｇｒａｐｈ

ａ

２４７

＜０｜Ｔ／＊（ｘ）４＞ｔｙＯ＞）｜０＞． Ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｔｈｉｓ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｔｈａｔ ｉｔｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ

ｑ＊ｆ｛ｑ２）．

Ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｉｍｐｌｉｅｓ

ｚｅｒｏ：

＾＜Ｏ｜Ｔ／（ｘ）０ＶＷ｜Ｏ＞＝ｉ（５（ｘ－＞；）＜Ｏ｜＜５（０Ｖ）｜Ｏ＞＝Ｏ， ｔｈａｔ

ｓｏ

ｑ２ｆ｛ｑ２）

＝

０．

Ｇｒａｐｈｓ （／） ａｎｄ （ｇ） ｅａｃｈ ｈａｖｅ ｇｒａｐｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （ｂ）， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ

９．２

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ａ Ｔｈｅｉｒ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｍｕｓｔ ｂｅ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｚｅｒｏ．

Ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ

ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｉｆ

＝

＝

ｇｒａｐｈ （ａ）．

ｔｅｒｍ ｉｎ Ｚ ｉｎ

ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｉｔｈ

ｅｘｐｌａｉｎ

Ｔｏ

ｇ２

ａ

Ｚｄ＾ｄｔｙ ＋ ｍ２０Ｖ

ｃａｓｅ

ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ

ｇ（ｆｔ（ｆ））２／４ ＋ ５ｍ２＾（ｆ） ５ｇ（＾（ｆ））２／４ ＋ ＋ （＾ｔ）２／２ （５０２）２／２ ｍ２（ｃｆ＞２ ＋ ０２２）／２ ｇ（＜ｆ＞２ ＋ ０２）２／１６ －

－

－

（９．２．１）

＋ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

Ｈｅｒｅ （ｆ＞

＝

ｂｒｏｋｅｎ

ｏｆ ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｍｏｄｅｌ：

ｈａｖｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｒｅａｌ ｆｉｅｌｄｓ： （（ｊ）ｌ－＼－ ｉ（ｆ＞２）２￣１／２． Ｔｈｅ ｍａｓｓ ｔｅｒｍ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ＇ｗｒｏｎｇ ｓｉｇｎ＇． Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｒｅｓｕｌｔ ｉｎ ｗｅ

ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｕｎｄｅｒ ０－ｘ／＞ｅ＂ｌｗ． Ｔｈｅ Ｎｏｅｔｈｅｒ ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ／ Ｆｏｒ ｓｍａｌｌ

＝

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ

ｉＺ（ｐＦｌ４＞

＝

Ｚ（（ｆ）ｌｄ＾（ｔ）２

－

ｆａｄ＾）．

（９．２．２）

ｐｏｔｅｎｔｉａｌ

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｂｙ ｉｎ （９．２．１）． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａｔ

＼（ｔ＞＼＝２ｍ／ｇ＾２．

（９．２．３）

ｔｈｅ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｆｉｅｌｄｓ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｏｆ ｔｈｅ

Ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ａ ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ． Ｉｔ ｉｓ ｓｅｔ ｕｐ ｂｙ

ｍａｋｉｎｇ

ｃｆ＞１ ｔｏ

＝

ｔｈｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ

＜ｔ＞＇ｌ

＋

（９．２．４）

２ｍ／ｇ１＇２，

ｇｉｖｅ ＜￡

＝

（ｄｃｆ＞［）２／２ ＋ （ｄ（ｆ＞２）２／２￣ｍ２ｃｆ＞＇２ －ｇ（＜ｆ＞＇２ ＋ ＜Ｉ＞２２）２／１６ －ｍｇｌ＇２＜ｆ＞＇ｌ（＜ｆ＞，２ ＋ ｃｆ＞２）／２ ＋ ＾ｃｉ，

（９．２．５ａ）

ｗｈｅｒｅ ＾？

＝

－

－

－

Ｗｔ？ ＋ ４＞ｌ）２／Ｈ＞ Ｓｇｍｇ－ ｉｌ２（ｆ＞＼（４＞＼２ ＋ ＜ｔ＞２２）／２ ＜Ｐ＇２（３ｍ２５ｇ／ｇ Ｓｍ２）／２ ４＞２２（ｍ２Ｓｇ／ｇ ５ｍ２）／２ ２４＞＼ｍｇ－ ｌｌ２（ｍ２ｄｇ／ｇ ｄｍ２） ＋ （Ｚ ｌ）＾；２ ＋ ｄ＜ｔ＞２２）／２． （９．２．５ｂ） －

－

－

－

－

－

２４８

Ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｍａｋｉｎｇ ｔｈｉｓ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｅ ｉｍｐｏｓｅ ａ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｆｉｘｅｓ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ａｔ ｏｏ． Ｂｙ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｗｅ ｍａｙ ｍａｋｅ ｔｈｉｓ ｐｈａｓｅ ｒｅａｌ， ｗｉｔｈｏｕｔ ｌｏｓｓ ｏｆ Ｉｎ ｏｒ ｔｈｒｅｅ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ． ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ， ｆｉｅｌｄｓ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｈａｓｅ ｏｖｅｒ ａ ｌａｒｇｅ ｒｅｇｉｏｎ ｈａｖｅ ａｎ ａｃｔｉｏｎ ｓｏ ｍｕｃｈ ｌａｒｇｅｒ ｔｈａｔ Ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ

ｑｕａｎｔｕｍ ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎｓ ｃａｎｎｏｔ ｄｅｓｔｒｏｙ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ ｆｏｒｃｅｄ ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｒｅａｌ ｖａｃｕｕｍ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ２ｍ／ｇｌ／２． Ｉｎ

ｓｅｔｔｉｎｇ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｔａｄｐｏｌｅ ｇｅｎｅｒａｔｅ ａ ｖａｃｕｕｍ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｆｏｒ ＜ｆ＞＼

ｕｐ ｔｈｅ

Ｆｉｇ． ９．２．１． Ｔｈｅｓｅ

＜ｏ｜０；｜ｏ＞

＝

＜ｊ）１

ｉｓ

ｇｒａｐｈｓ ｌｉｋｅ

＾

ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ２ｍｇ￣ｌ／２ ｔａｄｐｏｌｅｓ ｇｒａｐｈｓ ａｐｐｅａｒ ａｓ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ． Ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｒｅｃａｓｔ ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｂｙ ｗｒｉｔｉｎｇ ０， ０Ｊ ＋ ２ｍｇ＂１／２ ＋ ８ｖ ａｎｄ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｆｙ＼ ｔｏ ｈａｖｅ ｚｅｒｏ ｖａｃｕｕｍ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ． Ａ ｂｅｔｔｅｒ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ａｐｐｒｏａｃｈ ｉｓ ｔｏ ｉｍｐｏｓｅ ｄｖ ０ ａｓ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｓｔａｒｔｓ ａｔ ｏｒｄｅｒ

ｇｌ／２．

Ｉｔ

ｍｅａｎｓ

＋ ｄｖ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｈｅｎ

ｔｈａｔ

（ｐｌ

ｈａｓ

ｖａｃｕｕｍ

ｌｉｋｅ Ｆｉｇ． ９．２．２， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ

＝

＝

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

ｄｍ２．

ｏｎ

Ｆｉｇ． ９．２．１． Ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ＜Ｏ｜０ｉ｜Ｏ＞．

Ｆｉｇ． ９．２．２． Ｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔａｄｐｏｌｅｓ Ｉｆ

ｗｅ

ｓｔａｒｔ

ａｓ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ．

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ （９．０．１） ｗｉｔｈｏｕｔ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

ｂｒｅａｋｉｎｇ ａｎｄ ｖａｒｙ ｍ２ ｕｎｔｉｌ ｉｔ ｉｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ｐａｓｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ａ ｐｈａｓｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅｒｅｂｙ ｒｅａｃｈ ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｍｏｄｅｌ （９．２．１）． Ｔｈｅｒｅ ｍｕｓｔ ｂｅ ａｎ ａｃｔｕａｌ ｐｈａｓｅ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｂｅｃａｕｓｅ ＜Ｏ｜０｜Ｏ＞ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｚｅｒｏ ｉｎ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｗｉｔｈ ｕｎｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｉｓ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｉｓ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｉｎ ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｐｈａｓｅ ｔｈｅｒｅ ｍｕｓｔ ｂｅ ｎｏｎ－ａｎａｌｙｔｉｃｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆｍ２． Ｎｏｗ，

ｗｅ

ｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ

ｍｕｓｔ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ： ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ

ｍ２ ｉｓ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｏｎｌｙ ｉｆ ｔｈｅ ｍ２ ａｎｄ ｇ ｉｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｐｈａｓｅｓ． Ｉｔ ｉｓ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｔｏ ｕｓｅ

ｍａｓｓ

ｒｅ－

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａ

ｍａｓｓ－

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ， ｆｏｒ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ｍ２ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ： ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

９．２

２４９

ｐｈａｓｅ ｉｓ ａｃｃｏｍｐｌｉｓｈｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｏｎｌｙ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （９．２．１）．

（１） Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ

ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ

（２）

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ

Ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ Ｚ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ

ｉｎ ｔｈｅ

ａｓ

ｐｈａｓｅ

—

１， Ｓｇ， ａｎｄ

Ｓｍ２／ｍ２ ｃａｎ

ｏｆ ｕｎｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

ｂｅ ｃｈｏｓｅｎ

（ｔｈｅ ｓｏ－ｃａｌｌｅｄ

Ｗｉｇｎｅｒ ｐｈａｓｅ）． （３） Ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （９．２．２） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｊｕｓｔ

ａｓ ｉｔ ｉｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｗｉｇｎｅｒ ｐｈａｓｅ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｂａｒｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ０－＞０ｅ＂１＜ｏ， Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ａｒｅ ｖａｌｉｄ ａｎｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅｍ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｌｌｏｗｓ， ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｐｈｙｓｉｃａｌ

ｍａｓｓ

ｏｆ （ｊ＞２ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ

ｚｅｒｏ．

Ｗｅ ｍｕｓｔ ａｌｓｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ａ

ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ．

９．２．１ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｏ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｃｈｏｏｓｉｎｇ ＪＳ？０

＝

ｔｈｅ ｆｒｅｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ｍ２（ｆ＞［２，

（９．２．６）

ｍｇ＾ＶＭ？ ＋ ＊Ｄ／２．

（９－２７）

ｄ（ｆ＞［２／２ ＋ ｄ＜ｆ＞２２／２

－

ａｎｄ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

ＪＳ？ｂ

＝

－

９（＜ｔ＞？ ＋ ０Ｄ／１６

－

Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （９．２．５ｂ） ａｎｄ Ｓｇ， Ｓｍ２／ｍ２， ａｎｄ Ｚ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｖａｌｕｅｓ ａｓ ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｂｒｏｋｅｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ａ ｍａｓｓ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ

ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｂｒｏｋｅｎ－ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｔｈｅｏｒｙ ｆｉｎｉｔｅ． Ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｗｉｇｎｅｒ ｐｈａｓｅ． Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｎｇ ２ｍ／ｇｌ／２ ｆｏｒ ＜ｊ）ｖ Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｇｒａｐｈｓ

ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘｔｒａ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｅｒａｓｉｎｇ ｅｘｔｅｒｎａｌ （ｆ＞１ ｌｉｎｅｓ ｏｎ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｇｒａｐｈｓ． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ９．２．３． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｍａｓｓ ｔｅｒｍｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｇｏ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｏｌｅ ｓｏｕｒｃｅ ｏｆ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ

ｉｎ

ｏｕｒ

ｐｒｏｏｆ． ＋ ｏｔｈｅｒ ｔｅｒｍｓ

＋ ｏｔｈｅｒ ｔｅｒｍｓ

１

１

Ｆｉｇ． ９．２．３． Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆｒｏｍ ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｈｅｏｒｙ．

２５０

Ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｔｈｅｏｒｙ ｌｅｔ

Ｔｏ ｒｅｌａｔｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｔｈｏｓｅ ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｂｒｏｋｅｎ

ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ

＾

ａｓ

ｉ

，

ｉ

－

２ｍ２

ｐ２

－

Ｍ２

＋

ａ

－

－

－ｉＭ２

＾＇＇ｐ２＇ ｐ２ －Ｍ２＋ （ｐ１ Ｈｅｒｅ Ｍ２ ｉｓ

－

－

ｉ

ｊ＿＿

ｗｒｉｔｅ

ｉ（２ｍ２ Ｍ２）２ ｉ（２ｍ２ Ｍ２） ＋ （ｐ２ Ｍ２）２ （ｐ２ Ｍ２）２（ｐ２ ２ｍ２）＇ －

＿ ￣

＞２

ｕｓ

ｆｏｌｌｏｗｓ：

ｉＭ４

－Ｍ２）１＊ （ｐ２ －Ｍ２）＾１＇

ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｐａｒａｍｅｔｅｒ．

（９．２．８）

Ｗｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ （９．２．８） ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｌｉｎｅ ｉｎ

ａ

ｇｒａｐｈ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ （９．２．８） ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｌｉｎｅ ｏｆ ａ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｏｎｌｙ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｂａｓｉｃ ｖｅｒｔｉｃｅｓ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ａ ｇｒａｐｈ ｉｎ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｍａｓｓ Ｍ． Ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｓｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｇｒａｐｈｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｔｒｕｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ： （１） ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｔｈｒｅｅ－ｐｏｉｎｔ ｖｅｒｔｉｃｅｓ， （２） ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒ ｔｈｉｒｄ ｔｅｒｍ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ （９．２．８） ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅｄ ｆｏｒ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ． Ｉｎ ｅｉｔｈｅｒ

ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｒｅｄｕｃｅｄ． Ｎｏｗ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｔｗｏ． Ｓｏ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｔｅｒｍ ｉｎ （９．２．８）

ｃａｓｅ

ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ

ａｌｗａｙｓ ｍａｋｅｓ ａ ｇｒａｐｈ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． Ｗｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ．

Ｌｅｔ

ｕｓ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

Ｚｍ

ｏｎｅ

ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｆｅｗｅｒ ｔｈａｎ Ｎ ｌｏｏｐｓ ａｒｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ． Ｔｈｅ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｓｔａｒｔｓ

ｉｎ ￥￡ｃｔ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｗｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅ ｔｈｅ

＾＇２［＿３ｍ２Ｓｇ／ｇ ＋ （Ｚｍ １）（ ｈ＜ｔ＞ｌ＼ｊｎ２５ｇｌｇ ＋ （Ｚｍ １）（ －

＝

ｍａｓｓ

ａｓ

－

Ｈｅｒｅ

ａｌｌｏｗｅｄ ａｔ ｍｏｓｔ

ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ａｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ ｏｕｒ

ｎｏｗ

ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ ｔｈａｔ ａｌｌ ＡＭｏｏｐ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｒｅｅ ｇｒａｐｈｓ ｎｅｅｄ ｎｏ －

ａｒｅ

－

（ｍ２ ＋ Ｓｍ２）／ｍ２

ｉｓ ｔｈｅ

－

－

ｍａｓｓ

Ｍ２） ＋ （Ｚｍ １）Ｍ２］ ｍ２ Ｍ２） ＋ （Ｚｍ １）Ｍ２］．

ｍ２

－

－

－

－

（９．２．９）

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ．

Ａｆｔｅｒ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ （９．２．８） ｆｏｒ ｅａｃｈ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｎ ａ ｂａｓｉｃ １ＰＩ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ＡＭｏｏｐ ａｌｌ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｏｆ ｌｏｗｅｒ ｏｒｄｅｒ，

ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ．

Ｗｅ

ａｒｅ

ｌｅｆｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｏｖｅｒａｌｌ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ： （１）

Ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａｌｌ

Ｍ２） ａｎｄ ｗｉｔｈ ｏｎｌｙ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｖｅｒｔｉｃｅｓ． Ｓｕｃｈ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ｓｅｔ ｔｏ ｉ／（ｐ２ ｇｒａｐｈｓ ｈａｖｅ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ Ｍ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ －

ｂｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ８ｇ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｎｏ ｏｔｈｅｒ １ＰＩ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈａｓ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

Ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

９．２

（２） Ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｏｎｌｙ

ｉ／（ｐ２

－

Ｍ２）．

Ｆｉｅｌｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅｓｅ， ａｇａｉｎ ｅｘａｃｔｌｙ ａｓ ｉｎ （３） Ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈｓ ａｓ ｉｎ （２） ｂｕｔ ｗｉｔｈ

ｔｈｅ

ａｎｄ ｗｉｔｈ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ

（Ｚｍ １）Ｍ２ ｔｅｒｍｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｈｅｏｒｙ．

ｏｎｅ

—

２ｍ２

－Ｍ２

Ｍ２ ＝

Ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ

（

ｍ２

３ｍ２

ｉｎ

（９．２．９）

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ

ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ｉｎ （９．２．８）． Ｉｎ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ （９．２．８） －

２５１

ｗｅ

ａ

ｗｒｉｔｅ

（ｍ２ ＋ Ｍ２） （２ｍ／ｇｌ／２）２｛３ｇ／４） （ｍ２ ＋ Ｍ２＼ ｍ２－ （ｍ２ ＋ Ｍ２） （２ｍ／ｇｉ／２）２｛ｇ／４） （ｍ２ ＋ Ｍ２）． （９．２．１０） ＝

＝

－

－

＝

ｗｉｔｈ

Ｍ２） ｐａｒｔｓ

—（ｍ２

Ｍ２）

＋

ｏｆ ｔｈｅ

－

ａｒｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｂｙ ｔｈｅ

（Ｚｍ—１）

Ｔｈｅｙ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｔｈｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ Ｍ２． Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｔｅｒｍｓ ｉｎ （９．２．１０） ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｇａｒｄ ａｓ ａｎ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｖｅｒｔｅｘ ｏｎ ａ ｌｉｎｅ ｗｈｅｎ ｔｗｏ ＜ｊ＞ｌ ｆｉｅｌｄｓ ａｒｅ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ２ｍ／ｇ１／２． Ｔｈｅｓｅ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｕｎｄｅｒ （４）． （４） Ｇｒａｐｈｓ ｏｆ ｃｌａｓｓｅｓ （１） ａｎｄ （２） ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ （ｆ＞１ ｆｉｅｌｄｓ ａｒｅ ｄｅｌｅｔｅｄ ａｎｄ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ２ｍ／ｇｌ／２． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ Ｆｉｇ． ９．２．３（ｂ） ａｎｄ Ｆｉｇ． ９．２．４． Ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （９．２．５ｂ） ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｈｅｏｒｙ， ｓｏ ｗｅ ｈａｖｅ ｃｏｕｎｔｅｒ－ —

—

ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅｍ． Ｔｈｉｓ

Ｆｉｇ．

ｃｏｍｐｌｅｔｅｓ

ｔｈｅ

ｐｒｏｏｆ．

９．２．４． Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｌｏｏｐｓ ｉｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｆｒｏｍ ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｈｅｏｒｙ．

９．２．２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｔｈｅ ｓａｍｅ

ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｓｈｏｗｓ ／

＝

ｏｆ ｔｈｅ

ｃｕｒｒｅｎｔ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ

Ｚ（（ｊ），１ｄ＾２

－

４＞２ｄ＾＼） ＋ ２Ｚｍｇ￣ｌ／２ｄｔｌ（ｔ）２

２ ｌｏｏＰ

２

Ｆｉｇ． ９．２．５． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ

（９．２．１１）

ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｎ

ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｔｈｅｏｒｙ．

２５２

Ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｈａｓ ｆｉｎｉｔｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ２Ｚｍｇ￣ ｇｒａｐｈｓ ｌｉｋｅ Ｆｉｇ． ９．２．５．

ｌ＇２ｄｆｉ（ｊ）２ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｈａｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ Ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

ａｒｅ

ｔｈｅｎ ｔｒｕｅ ａｎｄ ｉｎｖｏｌｖｅ ｆｉｎｉｔｅ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ． Ａ ｔｙｐｉｃａｌ

ｉｓ

ｃａｓｅ

＾＜Ｏ｜Ｔ／（ｘ）０２（ｙ）｜Ｏ＞＝ｉ＜Ｏ｜＜５０２（ｙ）｜Ｏ＞ －ｉ＜Ｏ｜０１（ｙ）｜Ｏ＞ ＝

＝

－ｉ（２ｍ／ｇｌ／２

＋

ｄｖ）．

（９．２．１２）

Ｂｙ ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ ｂｙ ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｆｏｒ ０２ ａｎｄ ｇｏｉｎｇ

ｔｏ ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｓｐａｃｅ， ｗｅ ｆｉｎｄ

Ｐ＾ＵＰ） ｗｈｅｒｅ

ｒ￡２

ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ

ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ

ｈａｓ

ａ ｚｅｒｏ ａｔ

Ｆｉｇ．

ｐ２

＝

＝

ｇｒａｐｈｓ

ｆｏｒ

９．２．６． Ｓｉｎｃｅ Ｆ１

＜Ｏ｜Ｔ／０２｜Ｏ＞ ｔｈａｔ ａｒｅ １ＰＩ ｉｎ ０２． Ｔｈｉｓ ｐ＂ ａｓ ｐ２ ０， （９．２．１３） ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ Ｇ２２ｌ

ｏｃ

－＞

０， ｉｎ ｏｔｈｅｒ ｗｏｒｄｓ ｔｈａｔ ０２ ｉｓ ｍａｓｓｌｅｓｓ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ．

（９．２．１３）

（２ｍ／９ｌ／２ ＋ Ｓｖ）（ｉ／Ｇ２２（ｐ２）），

ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ ｏｆ

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｔｈｅｏｒｅｍ （Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ， Ｓａｌａｍ ＆

Ｗｅｉｎｂｅｒｇ （１９６２））．

Ｆｉｇ． ９．２．６． Ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｔｈａｔ ｉｍｐｌｉｅｓ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ．

９．２．３ Ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｏｎ ａ ＜／＞２ ｌｉｎｅ ｈａｖｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇ． ９．２．７， ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｋ ｏｎ ｔｈｅ ０２ ｌｉｎｅ ｉｓ ｃｌｏｓｅ ｔｏ

Ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｓｕｃｈ ｃｏｍｅｓ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ａ

ａ

ｚｅｒｏ：

Ｉｆ ｕｎｃａｎｃｅｌｌｅｄ， ｔｈｉｓ ｔｏ ａ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ

ｖａｌｕｅ ｏｔｈｅｒ ｔｈａｎ

ｅｎｅｒｇｙ ｉｓ

ｚｅｒｏ

ａｔ

ｚｅｒｏ．

Ｊｃ

＝

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｓｈｉｆｔｓ ｔｈｅ

Ｂｕｔ ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｅｌｌｓ

０． Ｓｏ ｔｈｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ ｏｔｈｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｕｓ

ｍａｓｓ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃａｎｃｅｌｓ ａｇａｉｎｓｔ

ｏｒｄｅｒ．

Ｆｉｇ． ９．２．７． Ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

９．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ

２５３

９．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ Ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｔｈａｔ ａｒｉｓｅｓ ｉｎ ｍａｋｉｎｇ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｎ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｉｓ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｌｙ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｐｒｏｂｌｅｍ， ｆｏｒ ａｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｂｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ａｒｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｅｑｕａｌｌｙ ｇｏｏｄ． Ｂｕｔ， ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃｅ， ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｏｎｅ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｖｅｒ ａｎｏｔｈｅｒ ｃａｎ ｓａｖｅ ｓｏｍｅ ｌａｂｏｒ． Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｂｅｃｏｍｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ａｃｕｔｅ ｉｎ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｆ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ （Ｂｅｇ ＆ Ｓｉｒｌｉｎ （１９８２））． Ａｍｏｎｇ ｔｈｅ ｉｓｓｕｅｓ ｔｏ ｂｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ ｃｈｏｏｓｉｎｇ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ａｒｅ：

（１） Ｉｆ ｗｅ ｉｇｎｏｒｅ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ， ｔｈｅｎ ｓｏｍｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ， ｌｉｋｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｍａｓｓｅｓ， ｔｈａｔ ａｒｅ ｅａｓｉｌｙ ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ． Ｉｔ ｉｓ ｏｆｔｅｎ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｉｍｐｏｓｅ ｅｘａｃｔ ｅｑｕａｌｉｔｙ ａｓ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． （２） Ｏｎｅ ｍｕｓｔ ｔｒｅａｔ ｔａｄｐｏｌｅ ｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｅｉｒ ｅｆｆｅｃｔ ｉｓ ｔｏ ｐｒｏｖｉｄｅ ａｎ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ｓｈｉｆｔ Ｓｖ ｉｎ ｔｈｅ ｖａｃｕｕｍ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ． Ｌｅａｖｉｎｇ ｔｈｅｓｅ

ｇｒａｐｈｓ

ａｓ

ｔｈｅｙ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ ｔｏ

ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｙ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｔｈｅ ｇｉｖｅｎ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｓｈｉｆｔｉｎｇ

ａｒｅ ａ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｇｒａｐｈｓ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ

ｍａｎｙ ｅｘｔｒａ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｉｎ

（９．２．５ｂ）． Ｏｎｅ

ｃａｎ

ｉｍｐｏｓｅ

Ｓｖ

＝

０

ｂｙ Ｓｖ ｇｉｖｅｓ （９．２．５ａ） ａｎｄ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ， ａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｐｈａｓｅｓ ｏｆ

ａｓ ａ

ｅｘｐｅｎｓｅ ｏｆ ｒｅｍｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｂｒｏｋｅｎ ａｎｄ ｕｎｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ （ａｓ

ｗａｓ ｅｘｐｌｏｉｔｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ９．２）． ｔｏ ｉｓ ｒｅｌａｔｅ Ｉｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｄｏｎｅ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｅｏｐｌｅ． Ｄｉｒｅｃｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ （３） ｃａｎ ｉｆ ｂｅ ｍａｄｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ． Ｉｔ ｏｎｌｙ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ ｔｏ ａ ｉｓ ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｕｓｅｆｕｌ ｓｔａｎｄａｒｄ． ａｇｒｅｅ ｏｎ （４） Ｉｆ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｓ ｎｏｔ ｖｅｒｙ ｓｍａｌｌ ｏｒ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｏｃｃｕｒ ｖｅｒｙ ｌａｒｇｅ ｒａｔｉｏｓ ｏｆ ｍａｓｓｅｓ

ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔａ， ｔｈｅｎ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ａｂｉｌｉｔｙ

ｏｎｅ

ｍｕｓｔ

ｃｈｏｏｓｅ

ｔｏ ｒｅｍｏｖｅ ｔｈｅ

ａ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｌａｒｇｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ．

Ｏｎｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｉｓ ｔｏ ｕｓｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｍｉｎｉｍａｌ Ｇｒａｐｈｓ ｃａｎ ｂｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ． Ａｔ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ ｔｈｉｓ ａｍｏｕｎｔｓ ｔｏ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｐａｒｔ ｆｒｏｍ ｅａｃｈ １ＰＩ ｇｒａｐｈ． Ｗｅ ｃａｎ ｄｏ ｔｈｉｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｒｅｇａｒｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｐｕｒｅ－ｐｏｌｅ ｆｏｒｍ， ｔｈｅｓｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ． ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ．

ａｐｐｒｏａｃｈ ｉｓ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ Ｚ， Ｓｇ， ａｎｄ Ｓｍ２ ｂｙ ｔｈｒｅｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｉｍｐｏｓｅｄ ｏｎ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ １ＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｂｒｏｋｅｎ－ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｐｈａｓｅ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｏｔｈｅｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｃ６ｍｐｕｔｅｄ ｆｒｏｍ （９．２．５ｂ）． Ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｍ２Ｓｇ／ｇ －Ｓｍ２ ｂｙ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ Ｓｖ ０， ｉ．ｅ．， ＜Ｏ｜０ｊ｜Ｏ＞ ２ｍｇ￣１１２ ｅｘａｃｔｌｙ． Ｔｈｅｎ Ａｎｏｔｈｅｒ

＝

＝

２５４

Ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ １

２

ｏｒ ２

２

２

Ｘ

＋

２

２

２

２

１

＋ ２

２

２

２

Ｆｉｇ． ９．３．１． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｔｈｅ

１ ｏｒ ２

／－＾

ａｔ

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ．

ｆｏｒ

０２ ｆｏｒｃｅｓ ｔｈｅ ＩＰＩ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｏｆ ０２ ｔｏ ｂｅ ｅｘａｃｔｌｙ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． ９．３．１． Ｂｏｔｈ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｒｅｑｕｉｒｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ Ｚ， ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｚｅｒｏ

ｗｈｅｎ ｋ２

＝

０． Ｔｈｅ

８ｇ， ａｎｄ ｄｍ２ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｖａｒｉｏｕｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｐｏｓｓｉｂｌｅ （Ｓｙｍａｎｚｉｋ （１９７０ａ）） ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ＩＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｂａｓｉｃ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｓｉｍｐｌｅ ｉｆ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｂａｓｉｃ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ

９．３．１

Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ

ａｒｅ

ｉｍｐｏｓｅｄ

ａｔ ｚｅｒｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ．

ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｂｙ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｉｓ

＝

－ｉ

ｎ ＾－＾ｘｏｉ＾＾ｗｎ＾＾ｉｏ）． ｉ

Ｊ＝ｌ

（９．３．ｉ）

＋ｊ

ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｍｏｄｅｌ， ｔｈｅ ｌａｂｅｌｓ ｎｔ ｔａｋｅ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ １＇ ｏｒ ２， ａｎｄ ｗｅ ｈａｖｅ ０Ｘ （＜／＞［ ＋ ２ｍ／ｇ１／２）． Ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ ｗｅ ｉｍｐｏｓｅ （５０ｉ ０２ ａｎｄ ８（ｆ＞２

Ｉｎ

＝

＝

ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

－

＜Ｏ｜０ｉ｜Ｏ＞

＝

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｖａｌｉｄ ｕｐ ｔｏ ／

＝

－

０．

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｈａｖｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｌｏｏｐｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ

－

１

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ／－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈｓ． １ ｗａｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ （９．２．１２）ａｎｄ （９．２．１３）， ａｎｄｉｎ Ｆｉｇ． Ｔｈｅ ｃａｓｅ ＪＶ ＝

９．２．６． Ｗｅｓａｗ

ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｏｆ ０２ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｚｅｒｏ ０． Ａｎｏｔｈｅｒ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｃａｎ ｂｅ ｃｈｏｓｅｎ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ， ａｔ ｐ２ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｆｒｅｅｄｏｍ ｔｏ ｍｕｌｔｉｐｌｙ Ｚ ｂｙ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｆａｃｔｏｒ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｐｏｌｅ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｕｎｉｔｙ， ａｎｄ ｗｅ

ｔｈａｔ

ｏｎｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

ｏｎ

ｔｈｅ

＝

ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｍａｋｅ ｄｖ ｏｎ

＝

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｉｓ

０． Ｔｈｅｎ

ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｔｏ

ｗｅ

ａｌｓｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｗｉｔｈ ０２． Ｔｈｅ ０． Ｔｈｉｓ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｏ ｉｔｓ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｖａｌｕｅ ａｔ ｐ

＜Ｏ｜Ｔ／（ｘ）０２（＾）｜Ｏ＞

ｅｑｕａｌ ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ

＝

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｅｑｕａｌ

２ｍ０－１／２（Ｚ－ｌ）ｄ＂０２，

ｔｏ

９．３ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｓ

ｒｅｑｕｉｒｅｄ ｉｆ／ ｉｓ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ Ｎｏｅｔｈｅｒ Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｗｅ ｍａｙ ｔｒｅａｔ ｔｈｅ ｃａｓｅ Ｎ

２５５

ｃｕｒｒｅｎｔ． ＝

２：

ｄ，＜０＼Ｔｒ（ｘ）４＞［（ｙ）ｃｆ＞２（ｚ）＼０ｙ －ｉｄ（ｘ－ｙＫ０＼Ｔｃｔ＞２（ｙ）（ｆ）２（ｚ）＼０＞ ＋ ｉ＜５（ｘ－ｚ）＜Ｏ｜Ｔ０；（＞；）０ｉ（ｚ）｜Ｏ＞， （９．３．２） ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｕｓｅｄ ＜Ｏ｜０ｉ ｜０＞ ０． Ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ＩＰＩ ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ＝

＝

ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ Ｆｉｇ． ９．３．２． Ａｆｔｅｒ

ｕｓｅ

ｏｆ

Ｆｉｇ．

９．２．６

．２

ｆｉｎｄ

ｗｅ

Ｆｉｇ．

９．３．３．

＋ ｉ

＾ Ｆｉｇ．

ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ

９．３．２． Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｏｒ

Ｐ

Ｓｊ

ｎ

２ｍ ＝１

ｇｍ２

２

－＜Ｔ＾

＋ ｉ

ｎｏｗ ｓｅｔ ｐ ＋ ｑ

０

＝

＝

２

２

Ｆｉｇ． ９．３．３． Ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ Ｆｉｇ． ９．３．２ ｂｙ Ｗｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ／．

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ．

０ ｔｏ ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ． Ｔｈｉｓ

＾ｉｒ２１２（０，ｐ，－ｐ）－［ｐ２－２ｍ２－ｉ：１（ｐ２）］

＋

ｙ

＝

ｑ

ｔｗｏ ｉｎｖｅｒｓｅ

％ｉｒ２１２（０，ｐ，－ｐ）

＋ ２ｍ２

－

＾（ｐ２）

－

ｇｉｖｅｓ

［ｐ２－Ｚ２（ｐ２）］

Ｚ２（ｐ２）．

（９．３．３）

Ｚｘ ａｎｄ Ｚ２ ａｒｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｉｅｓ ａｎｄ Ｔ２１２ ｉｓ ｔｈｅ ＩＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ０２ ｆｉｅｌｄｓ ａｎｄ ｏｎｅ ￥［． Ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ａ ｍａｓｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ０． Ｓｉｎｃｅ ｗｅ ａｌｒｅａｄｙ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ Ｉ２（０） Ｉ ｘ， ｓａｙ Ｉ ｘ （０） ０， ｔｈｉｓ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｎ Ｔ２１２ ｉｓ Ｈｅｒｅ

ｔｗｏ

＝

＝

ｒ２１２（０，０，０） Ｓｉｎｃｅ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ Ｔ２１２ ｒ２１２（ｐ，４，ｒ） ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ

＝

－

ｉｍｇ－１／２

＝

ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｖａｌｕｅ．

（９．３．４）

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｗｅ ｋｎｏｗ ａｔ ｔｈｉｓ ｏｒｄｅｒ． Ｆｒｏｍ （９．３．３） ｗｅ ｃａｎ ｎｏｗ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ Ｚｊ（ｐ２）． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｚｘ（ｐ２） ｆｒｏｍ ｉｔｓ ｇｒａｐｈｓ ｉｓ ａｌｒｅａｄｙ ｆｉｘｅｄ ｅｘｃｅｐｔ ｆｏｒ

ａ

ａｒｅ ａｔ ｗｏｒｓｔ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ－

２５６

Ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｓｔｒｅｎｇｔｈ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｓｏ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ

（９．３．３） ｇｉｖｅｓ （Ｚ ｌ）ｐ２．

—

Ｓｉｍｉｌａｒ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｍａｙ ｂｅ

ａｌｌ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ａｒｅ

ｕｓ

ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｈｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｓｕｃｈ

ａ ｗａｙ

－

ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｇｉｖｅ ｒｅｎｏｒｍａｈｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅｙ

１ ＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ｏｖｅｒａｌｌ

ｅａｓｉｅｓｔ ｔｏ ｅｘｐｒｅｓｓ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｆｏｒ １ＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

（Ｓｅｅ

Ｌｅｅ （１９７６）， ａｎｄ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ

ｔｈｅｒｅｉｎ．）

Ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ ｗｈａｔ ｕｎｂｒｏｋｅｎ ｐｈａｓｅ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， （９．３．２） ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｏｖｅｒ

ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｄｏｎｅ ｉｎ ｔｈｅ

ｗｏｕｌｄ ｇｉｖｅ Ｚｘ Ｚ２ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐｈａｓｅ． Ｔｈｉｓ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｗｏｕｌｄ ｓａｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ Ｚｘ ａｎｄ Ｚ２ ａｒｅ ｅｑｕａｌ． Ｂｕｔ ｉｎ ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｐｈａｓｅ ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ｓｏ． Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｏｖｅｒ ｘ ｉｓ

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

ｔｏ

ｓｅｔｔｉｎｇ ｔｈｅ

ｘ

＝

ｍｏｍｅｎｔｕｍ ａｔ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｔｏ ｚｅｒｏ．

ｇｉｖｅｓ ａ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｏｍｅｎｔｕｍ， ｂｕｔ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｐｏｌｅ ｌ／ｐ２ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （９．３．２） ｉｓ ｎｏｔ ｚｅｒｏ． Ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｄ ｔｏ ｕｓｅ ｉｓ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ． Ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｗｉｔｈ

ｒｅｓｐｅｃｔ

ｔｏ ｘ

１０

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ Ｉｎ ｔｈｉｓ

ｃｈａｐｔｅｒ

ｗｉｌｌ

ｗｅ

（ｆ＞４ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｄ

ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ

ｔｗｏ

ｃｌｏｓｅｌｙ

ｒｅｌａｔｅｄ

ｐｒｏｂｌｅｍｓ．

Ｗｅ ｗｏｒｋ

ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｅｄ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｗｏ ｆｉｅｌｄｓ， Ｔ０（ｘ）０（Ｏ）， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｉｔｓ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｗｉｔｈ

＝

４ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ａｎｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒ

７０（４）０（０）＝

ａ

ｄ４ｘｅ＾＊７０（ｘ）０（Ｏ）．

（Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｉｅｓｔ

ｔｏ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｅｄ ｐｒｏｄｕｃｔｓ． Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｏｆ ａｎｙ ｐａｉｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ＴＡ（ｘ） Ｂ（０） ｉｎ ａｎｙ ｔｈｅｏｒｙ．） Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｏ ａｓｋ ｈｏｗ Ｔ０（ｘ）０（Ｏ） ｂｅｈａｖｅｓ ａｓ ｘＭ －＞ ０． Ｉｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ

ｔｏｔａｌｌｙ ｆｉｎｉｔｅ

ｗｅｒｅ

ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｗｏｕｌｄ

ｊｕｓｔ

ｂｅ

０２（Ｏ）． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｔｈａｔ ｐｒｅｖｅｎｔ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｆｒｏｍ ｅｘｉｓｔｉｎｇ， ｓｏ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｅｘｉｓｔ． Ｉｔ ｗａｓ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ （１９６９） ｔｈａｔ ０（ｘ）０（Ｏ） ｓｈｏｕｌｄ ｂｅｈａｖｅ ｌｉｋｅ Ｔｈｅ

ｓｉｎｇｕｌａｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｘ ｔｉｍｅｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ［０２］ ｏｐｅｒａｔｏｒ， ａｓ ｆｕｌｌ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ａｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ａ

Ｔ０（ｘ）０（Ｏ） ａｓ ｘ －？

０． Ｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｕｍ ｉｓ

Ｃ＜ｐ（ｘ）＇ｓ ［０］ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ， ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ Ｃ６

ａｒｅ

ａｒｅ

ｓｍａｌｌｅｒ ｂｙ ａ ｐｏｗｅｒ Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｐｒｏｂｌｅｍ

＼ｑ２＼－＋

Ｍｏｒｅ

Ｘ Ｃ，（ｘ＊）［０（Ｏ）］

０．

（１０．０．１）

ｏｖｅｒ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｌｏｃａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｆｉｅｌｄｓ ｏｎｕｍｂｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ ｆｏｒｍｕｌａ， ｏｒ ｏｎｅ ｏｆ ｉｔｓ ａｎ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （ＯＰＥ）， ａｎｄ ｔｈｅ

ｏｆｔｅｎ ｃａｌｌｅｄ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． Ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｔｏ （１０．０．１）

ａｒｅ

ｏｃ．

￣

ｘ －？

ｏｆ ｘ２ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｗｅ

ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ

ｇｉｖｅｎ．

ｗｉｓｈ ｔｏ ｔｒｅａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ

ｗｅ

Ｔ０（ｇ）０（Ｏ）

ａｓ

ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｓｗ＋２

＝

＜Ｏ｜Ｔ０ｔｅ）＃＞）０（ｐ１）．．．０（ｐｗ）｜Ｏ＞，

（１０．０．２）

ｗｈｅｎ ｑ１１ ａｌｏｎｇ ａ ｆｉｘｅｄ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｐｌ９．．．，ｐＮ ｆｉｘｅｄ． Ｉｎ ｏｔｈｅｒ ｗｏｒｄｓ ｗｅ ｓｃａｌｅ ｔｈｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔｓ ｑ２＾＞Ｋ２ｑ２， Ｐｔ＇ｑ＾Ｋｐ＾ｑ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ －？

ｏｏ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

６Ｎ ２－ＥＣ＾）＜０ｌ＾（°）＾ｉ）－－－＾ｉｖ）｜０＞． ＋

（１０．０．３）

６

Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ

ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－ｓｐａｃｅ ２５７

ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｅｘｐａｎ－

２５８

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｓｉｏｎｓ ｉｓ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ． Ｌｅｔ

ｕｓ

ｔａｋｅ ｔｈｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｆｒｏｍ

ｘ ｔｏ

ｑ ｏｆ ａ

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ－ｇ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ｄｏｍｉｎａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｉｎ ｘ－ｓｐａｃｅ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｒｅｌｅｖａｎｔ ０． Ｓｏ Ｃ＾ｑ） ｉｓ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ－４ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｓ ａｔ ｘ ｉｆ Ｑ，（ｘ）． Ｃｏｎｖｅｒｓｅｌｙ ｏｎｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ ＧＮ ＋ ２ ｔｏ ｇｅｔ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ

Ｔ（ｆ）（ｘ）（ｆ）（０）．

＝

／？

＜Ｏ｜Ｔ０（ｘ）０（Ｏ）＾（ｐＪ．．．＾（ｐｗ）｜Ｏ＞

＝

１４

Ｊ＾ｅ－ｉ？－＊ｅｊｖ

＋ ２，

（１０．０．４）

ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｘ －＞ ０ ｆａｉｌｓ ｔｏ ｅｘｉｓｔ ｉｆ ＧＮ ＋ ２ ｆａｌｌｓ ｏｎｌｙ ａｓ １／ｑ＊ ｏｒ ｓｌｏｗｅｒ ａｓ ｑ －＞

００．

Ｔｈｕｓ ｋｎｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ－ｇ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｋｎｏｗｉｎｇ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｍａｌｌ－ｘ ｂｅｈａｖｉｏｒ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－ｓｐａｃｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｌｓｏ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｎｏｎ－ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｍａｌｌ－ｘ ｒｅｇｉｏｎ． ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ ｈａｖｅ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｕｓｅｓ， ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｉｎ ａｎ

ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｔｈｅｓｅ

ｏｎ

ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅｒｅ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗｈｅｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｇｉｖｅｓ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． Ａｍｏｎｇ ｔｈｅ

ｕｓｅｓ ａｒｅ

ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：

（１） Ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （１０．０．１） ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｉｎｖｏｌｖｅ ａｎｙ ｒｅｇ－ ｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ （Ｂｒａｎｄｔ （１９６７））． （２） Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｒｏｃｅｓｓ ｗｈｉｃｈ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｕｓｅｓ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｔａｋｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （１０．０．３）， ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｄ

ｉｎｄｉｒｅｃｔｌｙ ｆｏｒ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｏｆ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ａ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ａ

ｌｅｐｔｏｎ

ｏｎ ａ

ｈａｄｒｏｎ． Ｔｈｉｓ

＜ｐ｜Ｍ／（０）｜ｐ＞． Ｈｅｒｅ

ｑ２

－？

－

００， ｂｕｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ

Ａ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｅｓ ｔｈｉｓ ＯＰＥ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎｄｉｒｅｃｔｌｙ，

ａｓ ｗｅ

ｑ２／ｑ－ｐ ｆｉｘｅｄ ｉｎｓｔｅａｄ

ｃａｓｅ ｔｏ

ｗｉｌｌ

ｓｅｅ

ｏｆ ｑ２／ｑｐ２ ｆｉｘｅｄ．

ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｕｓｅｄ ｉｎ

ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ

（１０．０．３）， ｓｏ

ｔｈｅ

１４．

（３） Ｔｈｅ ｆｏｒｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｔｏ ｈａｎｄｌｅ ｍａｎｙ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ

ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ． （Ｓｅｅ Ｂｕｒａｓ （１９８１） ａｎｄ Ｍｕｅｌｌｅｒ （１９８１） ｆｏｒ ａ ｒｅｖｉｅｗ．） Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｃｈａｐｔｅｒ ｆｏｒｍ ａ ｐｒｏｔｏｔｙｐｅ ｆｏｒ ｔｈｅｓｅ ｏｔｈｅｒ

ｒｅｓｕｌｔｓ．

１０．１ Ｅｘａｍｐｌｅｓ １０．１．１ Ｃａｓｅｓ ｗｉｔｈ Ｗｅ ｗｉｌｌ

ｎｏ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｍａｉｎｌｙ ｒｅｓｔｒｉｃｔ ｏｕｒ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ＜／＞（ｘ）＜／＞（０） ｉｎ ０（ｘ） ａｎｄ （ｆ）（０） ａｒｅ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｔｏ ｏｔｈｅｒ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ

ｗｈｉｃｈ ｂｏｔｈ

１０．１

ｘ

Ｏｘ

０

／＼．Ｐ２

Ｐｉ

２５９

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

Ｐｉ

ｙＣ

＞Ｐｉ／＼ｐ２

ｐ２

（ｆｌ）

（ｂ）

Ｆｉｇ． １０．１．１． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ０（ｘ）０（Ｏ）． ｃａｓｅ

ｔｈａｔ ｉｓ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｔｏ ｍｏｓｔ ＆

Ｆｉｒｓｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｄ（ｆ＞２ｌ２

＝

－

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．

ｍ２（ｆ）２／２

－

Ｏｕｒ

＃４／２４

ｇｒａｐｈｓ Ｆｉｇ． １０．１．１（ａ）

ｔｈｅ ｔｒｅｅ

ｔｈｅｏｒｙ

ｗｉｌｌ ｂｅ

０４ ｔｈｅｏｒｙ （１０．１．１）

＋ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

ｆｏｒ

＜Ｏ｜Ｔ０（ｘ）０（Ｏ）＾（Ｐｌ）０（ｐ２）｜Ｏ＞．

（１０．１．２）

Ｔｈｅｓｅ ｇｉｖｅ ｐ２

Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｉｎ

＿

ａ

ｍ２

２

＿

ｍ２

ＣｅＸＰ（

ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ａｂｏｕｔ

ｌ

￣

｛Ｐｌ＇Ｘ） ＋ ｅＸＰ（

ｘ

＝

０

－

（１０．１．３）

ｉＰ２＂＾）］－

ｇｉｖｅｓ

—ｉ［２－ｉ（ｐ１＋ｐ２）－ｘ－（ｐｒｘ２ ＋ ｐ２－ｘ２）／２＋－－］－

ｐ２－ｍ２ｐ２－ｍ２ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ

－

ｔｏ ｔｈｅ

Ｔ（ｆ＞（ｘ）（ｆ＞（０）

＝

－

＂－

＂

＾

（１０．１．４）

ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ

（ｆ＞２（０） ＋ １２ｘｆｌｄ，＜ｔ＞２

＋

：ｂ＾ｘｖ（Ｋ３ｖ０ ＋ ＊＂＇

（１０－Ｌ５）

Ｆｉｇ． １０．１．１（ｂ）． Ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （１０．０．１）． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ （ｆｒｅｅ－ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ） ｉｓ ０． Ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｘ ｉｎ ｅａｃｈ ｔｅｒｍ ｉｓ ｒｅａｌｌｙ ａ Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ０（ｘ） ａｂｏｕｔ ｘ ａｓ

ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ

＝

ｊｕｓｔ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ

Ｃｅ（ｘ）

＝

ｎｏ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｘ

ａｒｅ

ｎｅｅｄｅｄ：

｜ｘ｜ａ， ｗｉｔｈ ａ ＝＝ｄｉｍ（０）－ｄｉｍ［０（ｘ）０（Ｏ）］．

（１０．１．６）

Ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ａｌｓｏ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ－ｌａｗ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ． Ｂｕｔ ｔｈｅｒｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｂｅ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ

ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ．

Ａ ｆｅａｔｕｒｅ ｗｈｉｃｈ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｐｐｅａｒ ｔｏ ｓｕｒｖｉｖｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ （１０．１．４） ｉｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ａｎｄ ｓｕｍｓ ｔｏ ｇｉｖｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ

Ｔ０（ｘ）０（Ｏ）． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｎｅｘｔ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． １０．１．２ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｔ＜ｆ＞（ｘ）＜ｆ＞（０）． Ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆａｃｔｏｒ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｆｄ＾

｛ｅｘＰ（－ｉ，－ｘ） ＋ ｅｘｐ［ｉ（ｇ－ｐ，－Ｐｉ，）－ｘ］｝ ｍ２）ＨｐＡ－ｑ）２－ｍ２Ｘ（ｑ－ｐＡ－ＰＢ）２－ｍ２Ｊ

２６０

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

￥Ｐａ

Ｐｂ

Ｆｉｇ． １０．１．２． Ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ＜／＞（ｘ）＜／＞（０）． Ｗｅ

ｎｏｗ

ｅｘｐａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ

ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ

＇４

（１０．１．７）＇

）Ａ （ｑ２

－

ｍ２）［（ｐＡ

－

ｘ ｔｏ

ｏｂｔａｉｎ

２－ｉ（ｐＡ ＋ ｐＢ）－ｘ ｑ）２ ｍ２］ ［（ａ －ｐＡ－ ｐＢ）２ ￣

－

２Ｔ ＋ －＂．

ｍ２］

（１０．１．８） Ｔｈｅｓｅ ｆｉｒｓｔ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ

ｈｉｇｈｅｒ

ａｒｅ

ｊｕｓｔ ｔｈｏｓｅ ｗｅ ｗｏｕｌｄ

ｅｘｐｅｃｔ ｆｒｏｍ （１０．１．５）． Ｂｕｔ ｔｈｅ

ｔｅｒｍｓ ｈａｖｅ ａｔ ｌｅａｓｔ ｔｗｏ ｅｘｔｒａ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｑ ｉｎ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒａｔｏｒ ａｎｄ ａｒｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｔｈｏｓｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｔｈｅｙ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｃ／＞ｄＭｄｖ０ ｉｓ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｂｙ ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｏｆ ｘ． ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

Ｓｉｍｉｌａｒ ｍｏｄｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ

＜ｆ＞２，

ｗｈｅｎ

ｗｅ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｗｅ ｗｉｌｌ ｆｉｎｄ ｉｔ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｊｕｓｔ ｔｏ ｒｅｓｔｒｉｃｔ ｏｕｒ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ－ｐｏｗｅｒ ｂｅｈａｖｉｏｒ， ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ （ｆ）２ ｔｅｒｍ ｉｎ （１０．１．５）． １０．１．２ Ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｅｘａｍｐｌｅ

Ａｓｉｄｅ ｆｒｏｍ ｔｒｉｖｉａｌ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｇ ｔｏ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ７ｃ／＞（ｘ）０（Ｏ） ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｆｉｇ． １０．１．３（ａ）， ｗｈｉｃｈ ｇｉｖｅｓ

Ｉ （ｐｌ－ｍ Ｗｈｅｎ

．

ｆｄ＾＿

ｌ）ｉＰ２２－ｍ２）ｇ）（２ｎ）＼ｑ２－ ｍ２）［（ｑ－ｐｌ￣ｐ２）２－＾２］

（１０．１．９）

ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｓｙｍｐｔｏｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｑ ｔｈａｔ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｓ ｘ －？

０ ｔｈｅ

Ｘ／ ｖ０ －ｕｖ

＋ ＵＶ

（ｃ） Ｆｉｇ． １０．１．３． Ｇｒ，ａｐｈ ｆｏｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ０（ｘ）０（Ｏ） ｗｉｔｈ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ．

１０ Ａ

ｗｈｅｒｅ

ｑ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ

Ｔ０（ｘ）０（Ｏ） ｂｙ

２６１

Ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｘ－？０； ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ

０２（Ｏ）

ｉｎ ｔｈｅ

ｌａｒｇｅ， ｕｐ ｔｏ ０（ｌ／ｘ）

ａｓ

ｇｒａｐｈ．

Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｒｅｇｉｏｎ ｉｓ ｗｈｅｒｅ ｑ ｂｅｃｏｍｅｓ

ｘ－＞０； ｉｎ ｔｈｉｓ ｒｅｇｉｏｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

ｖｅｒｔｅｘ ｉｎ

ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ ｉｓ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｘ ａｎｄ ０． Ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ

ｓｐａｃｅ． Ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｒｅｇｉｏｎ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｉｓ ｃｏｎｆｉｎｅｄ ｔｏ ａ ｓｍａｌｌ ｒｅｇｉｏｎ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ ｏｆ ｐｘ ａｎｄ ｐ２ ｔｈｅ ｌｏｏｐ ｉｓ ａ ｐｏｉｎｔ． Ｓｏ ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ

ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｉｓ ｒｅｇｉｏｎ ｂｙ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ０２：

ａｎ ｅｘｔｒａ ｔｅｒｍ

７０（ｘ）０（Ｏ）＾Ｑ２（ｘ）［０２］， Ｃ＋２ Ｌｅｔ

ｕｓ ｎｏｗ

ｃａｌｃｕｌａｔｅ

（１０．１．１０）

ｉ

ｌ＋（ｇ／１６ｎ２）ｃｄｘ２）１ ，

＝

ｉｎ ｔｈｅ

ｃ２（ｘ２）．

Ｎｏｗ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｒｅｇｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ Ｔ＜／＞（ｘ）＜／＞（０） ｂｙ ｃ／＞２（０）． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｉｓ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｈａｓ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｓｏ ｌｅｔ ｕｓ

ａｄｄ ａｎｄ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ

［０２］， ｉ．ｅ．，

＜Ｏ｜Ｔ［０２（Ｏ）］＾（ｐ１）＾（ｐ２）｜Ｏ＞，

（１０．１．１１）

ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｄｅｐｉｃｔｅｄ ｂｙ Ｆｉｇ． １０．１．３． Ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ １ ｒｅｇｉｏｎ ｉｓ ｅｎｔｉｒｅｌｙ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｔｅｒｍ （ｂ） ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｉｎｇ （１０．１．１１）： ｔｏ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

（ｐ２－ｍ２）（ｐ２－ｍ２）１６＾２｜Ｊ０ｄＸｌｎＬ

Ｊ Ｔ

４Ｖ

（１０．１．１２） Ｈｅｒｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ， ｔｅｒｍ （ｃ）， ｉｓ １

－ｉｇ

｛ｐ＼－ｍ２）（ｐ２２－ｍ２）｛２ｎｆ

ｆｄ４？ｒｒ－ ｔｏ２

Ｊ

－＇

ｘ

）ｌ（ｑ－Ｐｌ－ｐ２）２－ｍ＾

ＵＶｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｉ．

＂—

＊—Ｊ

（１０．１．１３）

Ｗｈｅｎ ｘ－＞０ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｆｉｎｉｔｅ ｑ ｉｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｜ｘ｜． Ｂｕｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ １ ｆｒｏｍ ｌａｒｇｅ ｑ： ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｇｒａｐｈ ｍｉｎｕｓ ｗｈａｔｅｖｅｒ ｉｓ ｔａｋｅｎ ｃａｒｅ ｏｆ ｂｙ ｇｒａｐｈ （ｂ）． ｔｈｅ ｘ－＞０ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｌｙ ｂｒａｃｋｅｔ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ （１０．１．１３） （ａｓｉｄｅ ｆｒｏｍ ａ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ）， ｓｉｎｃｅ ｔｏ Ｗｅ

ｃａｎ

ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｃｘ（ｘ２）

ｉｎ

（１０．１．１０）

ａｓ

ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ

＜０｜７＞２＃（ｐｔ）＃（ｐ２）｜０＞＝－ （Ｐ？－ｍ２）（ｐ２２－ｍ２）＇ Ｎｏｗ ｔｈｅ

ｌｅａｄｉｎｇ－ｐｏｗｅｒ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｌｙ－ｂｒａｃｋｅｔ ｆａｃｔｏｒ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｙｎ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｓｅｅｎ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ａｎｙ ｏｆ

°ｆ ＰｍＰｉ ａｎｄ

２６２

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｔｈｅｓｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｘ ｗｈｅｎ ｘ

－？

０． Ｓｏ

ａ

ｗｅ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｗｈｉｃｈ ｇｏｅｓ ｍａｙ ｄｅｆｉｎｅ

ｃｘ（ｘ） ｂｙ ｓｅｔｔｉｎｇ ｍ

ｔｏ ｚｅｒｏ ｌｉｋｅ ａ

＝

ｃ＾－Ｍ＾ｈ＾＋Ｍ

ｐｌ

＝

ｐ２

＝

０：

，ｉｏｕ４）

Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｄｏｎｅ ｂｙ ｕｓｉｎｇ

－ｊ；ｐｄｚｚｅ－２＜－？２）

ｌ／（ｑ２）２

＝

ｆｏｒｍ， ｗｉｔｈ

ｔｏ ｔｕｒｎ ｉｔ ｉｎｔｏ ａ Ｇａｕｓｓｉａｎ

＊ｉ（＊）

＝

ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ

ｉ［ｙ ＋ ｌｎ（

￣

＊

Ｖ＊２）］．

（１０．１．１５）

１０．１．３ Ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ Ｗｅ

ｎｏｗ

Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ Ｆｉｇ． １０．１．３ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ０（ｇ） ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ

＜ｏ｜ｒ＾（？）＾（０）＾（ｐ１）＾（ｐ２）｜ｏ＞． Ａｓ

ｑ２

－＞■ ｏｏ

ｗｅ

ｆｉｎｄ

Ｆｉｇ． １０．１．３（ａ） Ｔｈｉｓ

ｇｉｖｅｓ ａ （１０．０．３） ｗｉｔｈ

￣

—２

＝－－！， ＋ ０［ｌ／（ｏ２）３］． （１０．１．１６）

ｊ—

（ｐ２－ｍ２）（／＞２２－＇？Ｗ）２

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ０

＝

０２．

ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ

Ｃ＋＊（＜ｌ２）

＝

＾

＋

（１０．１．１７）

０（ｇ２ｌ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｊｕｓｔ ｔｈｅ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｇ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－ ｓｐａｃｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ， ＾ｃ１（ｘ）／（１６７ｉ２）． Ｔｈｅ ｇ° ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－ｓｐａｃｅ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ａｎｄ ｈｅｎｃｅ

ｎｏｔｈｉｎｇ

ａｔ

ｏｆ ｘ，

ｓｏ

ｔｈａｔ ｉｔ

ｇｉｖｅｓ

ａ

ｄ（Ａ＼ｑ） ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ，

ｌａｒｇｅ ｑ２．

１０．１．４ Ｆｉｇ．

１０．１．３ ｉｎｓｉｄｅ ｂｉｇｇｅｒ

ｇｒａｐｈ

（１０．０．３） ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｏｏ） ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ． Ｔｈｉｓ ｈａｐｐｅｎｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｇｒａｐｈｓ ｌｉｋｅ Ｆｉｇ． １０．１．３ ｃａｎ ｏｃｃｕｒ Ｔｈｅ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （１０．０．１）

ｂｅｈａｖｉｏｒ

ａｓ

ｘ－＞０ （ｏｒ

ｏｒ

ａｓ ｑ－＋

１６７Ｔ

Ｆｉｇ． １０．１．４． Ｅｖｅｎ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ０（ｘ）０（Ｏ）．

１０．２ Ｓｔｒａｔｅｇｙ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ Ｆｉｇ． １０．１．４．

ａｓ

ｏｆ

ｇｒａｐｈｓ

ｗｉｔｈ

ｍｏｒｅ

１０．２

Ｆｉｒｓｔ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｍａｋｅ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｐｐｌｉｅｓ．

Ｉｆ

ｐｒｅｃｉｓｅ ｗｅ ａｒｅ

２６３

ｏｆｐｒｏｏｆ

ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ． Ａｎ

Ｓｔｒａｔｅｇｙ

ｏｆ

ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ

ｅｘａｍｐｌｅ

ｐｒｏｏｆ

ｔｈｅ ｌｉｍｉｔｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｉｎ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ ｓｐａｃｅ （ｉ．ｅ．， ｗｉｔｈ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｔｉｍｅ

ａｎｄ ｅｎｅｒｇｙ） ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｒｅａｌｌｙ ｏｎｌｙ

ｏｎｅ

ｗａｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ

ｗｅ ｃａｎ

ｔａｋｅ ｘＭ ｔｏ

ｚｅｒｏ

ｉｎｆｉｎｉｔｙ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｎ Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ ｓｐａｃｅ ｗｅ ｃａｎ ｌｅｔ ｘ２ ０ ｗｉｔｈｏｕｔ ｅａｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｇｏｉｎｇ ｔｏ ｚｅｒｏ， ａｎｄ ｗｅ ｃａｎ ｌｅｔ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｑ＊１ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｗｉｔｈｏｕｔ ｇ２－＞ｏｏ． Ｔｈｅｓｅ ｃａｓｅｓ ａｒｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｑ＾＾ｃｏ ｌｉｍｉｔ ｗｉｔｈ ｆｉｎｉｔｅ ｑ２ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｈｉｇｈ－ｅｎｅｒｇｙ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ． Ｍｕｃｈ ｉｓ ｋｎｏｗｎ ａｂｏｕｔ ｔｈｅｓｅ ｌｉｍｉｔｓ， ｂｕｔ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｂｅｙｏｎｄ ｔｈｅ ｓｃｏｐｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｃｆ

ｏｒ

ｔｏ

－？

ｂｏｏｋ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－ｓｐａｃｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （１０．０．１） ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ａｌｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｘＭ ｇｏ ｔｏ ｚｅｒｏ ｗｉｔｈ ｔｈｅｉｒ ｒａｔｉｏｓ ｆｉｘｅｄ． Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （１０．０．３）

ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｔｈａｔ ａｌｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｑ＊ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｗｉｔｈ ａ ｆｉｘｅｄ ｒａｔｉｏ， ａｎｄ ｗｉｔｈ ｑ＊ ｎｏｔ ｌｉｇｈｔ－ｌｉｋｅ， ｓｏ ｔｈａｔ ｑ２ －？ｏｏ． Ｔｈｅｓｅ ｌｉｍｉｔｓ ａｒｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ．

Ｏｕｒ ｐｒｏｏｆ ｗｉｌｌ ｂｅ

ｉｎ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ．

Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｓｔｅｐ ｉｓ ｔｏ

ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｌｏｏｐ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｔｈａｔ ｇｉｖｅ ｔｈｅ

ｔｈｅ

ｘ －？

０

ｏｒ ｑ －？

ｏｏ

ｌｉｍｉｔｓ． Ｔｈｅｎ

ｓｅｃｔｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ａｐｐｌｉｅｄ

ｔｏ

ｗｅ

ｌｅａｄｉｎｇ－ｐｏｗｅｒ

ｉｄｅｎｔｉｆｙ

ｔｈｅ

ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ

ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｇｒａｐｈｓ．

Ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｌａｒｇｅ ｑ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｉｎ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （１０．０．３） ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｔｈｅ ｏｎｅ ｔｏ ｗｈｉｃｈ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ （１９６０） ｔｈｅｏｒｅｍ

ａｐｐｌｉｅｓ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｌｌ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ （ｆ＞（ｑ） ａｎｄ ｃ／＞（０） ｉｎ （１０．０．２）． Ｆｏｒ ｅａｃｈ ｓｕｃｈ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｗｅ ｌｅｔ ａｌｌ ｉｔｓ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｑ， ａｎｄ ｃｏｕｎｔ ｐｏｗｅｒｓ ｊｕｓｔ ａｓ ｗｅ ｄｉｄ ｆｏｒ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ（ｓ） ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌａｒｇｅｓｔ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｑ２ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｔｈｅ ｄｏｍｉｎａｎｔ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ． Ｔｈｅｎ ａｓ ＾２－＞ｏｏ， ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｔｈｉｓ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｑ２ ｔｉｍｅｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｆ ｑ２． ｓｍａｌｌｅｒ ｂｙ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｑ２． Ａｌｔｈｏｕｇｈ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｒｅｓｕｌｔ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｓｔ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｌｎ（＾２） ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒｓ， ｉｔ ｉｓ ｅａｓｉｅｒ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｉｓ

Ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｔｅｌｌｓ

ｕｓ

ａｒｅ

ｂｙ ｆｉｒｓｔ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅｎ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｍｅｔｈｏｄｓ （ａｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １０．５ ｂｅｌｏｗ） ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． Ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ， （１０．０．１）． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｎ Ｆｉｇ． １０．１．４ ｗｅ ｈａｖｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｑ ｆｉｎｉｔｅ ｏｒ ｗｉｔｈ ｑ ｌａｒｇｅ （ｏｆ ｏｒｄｅｒ １／ｘ）， ｂｕｔ ａｌｗａｙｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌｏｗｅｒ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔｕｍ， ／ｃ， ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｉｓ （ｘ２）０． Ｔｈｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ｏｆ ｘ ｉｎ

２６４

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

（１０．１．１５）

ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ

ｏｖｅｒ ｍｏｍｅｎｔａ

Ｓｕｐｐｏｓｅ

ｗｅ

ｃｏｍｅｓ

ｆｒｏｍ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ

ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｓｅ ｔｗｏ ｒｅｇｉｏｎｓ． ｈａｖｅ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｃｏｎｆｉｎｅｄ ｔｏ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ Ｔ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ

（ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ） ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｏｕｒ ｓｉｎｃｅ Ｔ， ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ， ｗｉｔｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ． Ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｑ２ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌａｒｇｅｓｔ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ， ｉ．ｅ．， ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｑ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ． Ｔｈｉｓ ｎｕｍｂｅｒ ｉｓ ｔｗｏ （ｂｅｙｏｎｄ ４＞（ｑ） ａｎｄ （ｆ）（０））， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｉｓ ｌ／（ｑ２）２． Ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ Ｕ ｉｎ Ｆｉｇ． １０．２．１． Ｉｎ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｓｕｂｇｒａｐｈ Ｕ， ａｌｌ ｌｉｎｅｓ ｃａｒｒｙ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｑ． Ｔｈｉｓ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｉｓ １ ＰＩ ｉｎ ｉｔｓ ｌｏｗｅｒ ｔｗｏ ｌｉｎｅｓ． Ａｌｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｓｕｂｇｒａｐｈ ／ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ．

Ｆｉｇ． １０．２．１． Ｇｅｎｅｒａｌ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｌｅａｄ－

Ｆｉｇ． １０．２．２． Ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ

ｏｆ Ｆｉｇ． １０．２．１．

Ｕ ｉｓ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｆｏｒ Ａｐｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ＜／＞（ｘ）＜／＞（０）． Ｎｏｗ， ｔｏ ｔｈｅ

ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｑ２， ｔｈｅ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｇｒａｐｈ

ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｋ ａｎｄ ／ ｆｌｏｗｉｎｇ ｉｎｔｏ ｉｔ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｍａｙ ｒｅｐｌａｃｅ Ｕ ｂｙ ０ （ａｎｄ ｗｅ ｍａｙ ｓｅｔ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｍ ｌ ｉｔｓ ｖａｌｕｅ ｗｈｅｎ ｋ ０）． Ｗｅ ｍａｙ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｓｕｂｇｒａｐｈ ／ ｂｙ ａｎ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ ｃ／＞２／２ ｉｎ ａｎ ＝

ｒｅｐｌａｃｅ Ａｐｐｏｉｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｓ

＝

＝

ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇ． １０．２．２． Ｔｈｉｓ ｈａｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． Ｂｕｔ ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｅｍｐｈａｓｉｚｅｄ

ｔｈｅ

ｓｕｐｐｏｓｉｎｇ ｔｈａｔ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｔｏ ｃｅｒｔａｉｎ ｒｅｇｉｏｎｓ． Ｔｈｅｓｅ ｒｅｇｉｏｎｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｄｅｆｉｎｅｄ ｖｅｒｙ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ， ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔａｓｋｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｔｏ ｒｅｍｅｄｙ ｔｈｅ ｉｍｐｒｅｃｉｓｅｎｅｓｓ． Ｓｃｈｅｍａｔｉｃａｌｌｙ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

Ｘ Ｇｎ ２（４＞Ｐｉ＞＇￣＞Ｐｎ） ＋

ｇｒａｐｈｓ

￡！／（？，＊

＝

０， Ｊ

＝

ｄ＊ｋｄ＊ｌｄ（ｋ ＋１

０）￡ ／

ＺＴ，

－

￡ｐ，）／（Ｕｐｉ，．．．，Ｐｎ）－ （１０．２．１）

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｔｈａｔ ｗｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ Ｆｉｇ． ｇｒａｐｈ Ｕ ｔｈａｔ ｃｏｕｌｄ ａｐｐｅａｒ ｉｎ Ｆｉｇ． １０．２．１， ｂｕｔ ｎｏｔ ｉｔｓ ｍｏｍｅｎｔａ． ｒｅｓｔｒｉｃｔ Ｉｔ ｃａｎ ｏｃｃｕｒ ａｓ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｆ ｓｏｍｅ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ ｗｅ ｄｏ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｉｆ ａｌｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｉｎ Ｕ ａｒｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｑ ａｎｄ ｉｆ ａｌｌ Ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｔｈｅ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｗｅ

１０．１．３． Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｅａｃｈ

２６５

１０．２ Ｓｔｒａｔｅｇｙ ｏｆ ｐｒｏｏｆ

ｌａｒｇｅ

ｍｏｍｅｎｔａ

ｓｍａｌｌ ｍｏｍｅｎｔａ

Ｆｉｇ． １０．２．３． Ａ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ ｆｏｒ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｕｔｓｉｄｅ ａｒｅ

ａ

ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ

Ｕ ｉｎ Ｆｉｇ． １０．２．１．

ｓｍａｌｌ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｇｅｔ ａ ｌｅａｄｉｎｇ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－

ｌｅａｄｉｎｇ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｐｒｏｐｅｒ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｆ ｔ／－ａｓ ｉｎ Ｆｉｇ． １０．２．３． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｏｆｆ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｌｏｏｐ ｓｅｃｔｉｏｎ． Ｗｅ ｃａｎ ａｌｓｏ ｈａｖｅ ａ ｏｃｃｕｒ

ｉｎｓｉｄｅ

ａ

ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ Ｕ ａｎｄ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｎｌｙ ｇｉｖｅｓ ａ ｌｅａｄｉｎｇ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｗｈｅｎ ａｌｌ ｉｔｓ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｌａｒｇｅ． Ｗｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｕ ｔｏ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ

Ｃ（Ｕ） ａｌｌ ｅｖａｌｕａｔｅｄ

＝

ａｓ

Ｕ－ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ

ａｔ ｋ

＝

／

＝

ｍ

＝

ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｆｏｒｍ Ｆｉｇ． １０．２．３ （１０．２．２）

０．

ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ Ｃ（Ｕ） ｉｓ ｖｅｒｙ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈａｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ． Ｉｎ ｆａｃｔ， ａｓ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ （１９７０， １９７３ｂ） ｅｘｐｌａｉｎｓ， ａ ｇｏｏｄ ｗａｙ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ｔｒｅａｔ ｉｔ ｅｘａｃｔｌｙ ａｓ ａ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ， ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｓｅｃｔｉｏｎ， ｉｓ ｎｏｔ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｂｕｔ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｆｉｒｓｔ ａ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｉｎｕｓ Ｔｈｅ

ｔｈｅ

ｌｅａｄｉｎｇ

ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｉｔｓ

ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ： Ｃ

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ

ａｓ ａ ｓｕｍ ｏｖｅｒ

ｇｒａｐｈｓ

Ｔ ｆｏｒ

ＧＮ ＋ ２－

Ｅａｃｈ ｇｒａｐｈ ｈａｓ

ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｆｒｏｍ ｉｔ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｒｅｍｏｖｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ－Ｑ （ｏｒ ｓｍａｌｌ－ｘ） ｂｅｈａｖｉｏｒ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｗｅ

ｃａｌｌ

Ｎｏｗ，

ＲＷ（Ｔ）． ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ

ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｓｏ

ｉｓ

ｒｅｍｏｖｅ ｔｈｅ

ｌａｒｇｅ－Ｑ ｂｅｈａｖｉｏｒ

ｏｆ

ａｒｅ ａ ｓｏｒｔ

ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ Ｒ（Ｔ） ｉｎ ｔｈｅ

ｓｔｙｌｅ

ｏｆ

ｓｉｍｐｌｙ ＲＷ｛Ｔ） ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃａｎ ｔｈｅｎ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ． Ａ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ＇ｓ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｕｓｅｓ ＢＰＨＺ

ａ

ｂｅ

ｒｅ－

ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｈｅ ｔａｋｅｓ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｃｅｒｔａｉｎ ｓｈｏｒｔ－ｃｕｔｓ ａｖａｉｌａｂｌｅ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｚｅｒｏ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｈｏｏｓｅ ｎｏｔ ｔｏ ｔａｋｅ ｔｈｅｓｅ ｂｅ

ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｏｕｒ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｐｒｏｏｆ ｗｉｌｌ ｂｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈｅ ｏｎｅ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ ｌａｒｇｅ ｍａｓｓｅｓ （Ｃｈａｐｔｅｒ ８）． Ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ａｐｐｌｙ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－ｓｐａｃｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． Ｈｅｒｅ， ｔｈｅ ｓｈｏｒｔｃｕｔｓ

ｓｏ

ｔｈａｔ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ｃａｎ

２６６

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｏｖｅｒ． Ｗｈｅｎ ｗｅ ｄｏ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ， ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ １／ｘ ａｎｄ ｓｍａｌｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｓ ｆｉｎｉｔｅ ｗｈｅｎ ｘ －＞ ０． Ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｂｅｈａｖｉｏｒ ａｇａｉｎ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｕ ｉｎ Ｆｉｇ． １０．２．１， ａｎｄ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｉｓ （ｘ２）０． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｇｒａｐｈｓ Ｕ ｔｈａｔ ｃａｒｒｙ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ａｌｌ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｕｓｅ ｉｎ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｑ ｉｓ

ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｃａｓｅ ａｒｅ ａｌｓｏ ｕｓｅｄ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ． Ｂｕｔ ｗｅ ｃａｎ ａｌｓｏ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｆｏｒ ０（ｘ） ａｎｄ （ｆ）（０） ａｎｄ ｏｆ

ｎｏｔｈｉｎｇ ｅｌｓｅ． １０．３ Ｐｒｏｏｆ Ｗｅ ｍｕｓｔ

ｎｏｗ

ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ．

Ｉｎ

０４ ｔｈｅｏｒｙ

ｗｅ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， Ｇｗ ＋ ２（ｘ，ｐ１，．．．，ｐｉｖ）

＝

＜Ｏ｜Ｔ０（ｘ）０（Ｏ）＾（ｐ１）－－＾（ＰｉＶ）｜Ｏ＞．

ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｅａｃｈ ｏｆ ０（ｘ） ａｎｄ （ｆ）（０） ｉｓ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｌｉｎｅｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｓｃａｌｅ ｘ

（１０．３．１）

ｔｏ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｅｘｔｅｒｎａｌ

ｂｙ ａ ｆａｃｔｏｒ ｋ ａｎｄ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ａ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｆｏｒｍ：

Ｇｎ ２｛ｋｘ，Ｐｉ，．－＇，Ｐｎ） ＋

＝

Ｃ（ｉｃＶ）＜Ｏ｜＾［０２］（Ｏ）＾（ｐＪ－－＾（ｐｗ）｜Ｏ＞ ＋ ｒＮ

Ｉｎ ｅｖｅｒｙ ｏｒｄｅｒ ｏｆ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ，

ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ

（ｋ２）０ ｔｉｍｅｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ， ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｃａｌｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ ｌｉｋｅ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｋ． Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｏｎ ｘ

＋

ｋ

２（ｉｃｘ，ｐ１，．．．，ｐＡｒ）． （１０．３．２）

Ｃ（ｋ２ｘ２）

ｂｅｈａｖｅｓ ｌｉｋｅ

ｇｏｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ

ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ

ＧＮ ２（＜ｉ／Ｋ＞Ｐｉ＞－－ ＞Ｐｎ） ＋

＝

ＣｔａＶｉｃ２）＜Ｏ｜Ｔ￥［０２＾ （１０．３．３）

４／ｊｃ－ｘｘ＞， Ｃ（ｑ２ＪＫ２） ｂｅｈａｖｅｓ ｌｉｋｅ Ｋ＊／ｑ＊ ｔｉｍｅｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ， ｗｈｉｌｅ ＾ ＋ ２（＾Ｐｉｖ） ｉｓ ｓｍａｌｌｅｒ ｂｙ ａ ｐｏｗｅｒ． Ｏｕｒ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｆｏｒ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｃ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｔｈｅｏｒｙ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｔ ｃａｎ ｅａｓｉｌｙ ｂｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ． Ｆｅａｔｕｒｅｓ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｔｏ ａ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｌｌ ｂｅ ｐｏｉｎｔｅｄ ｏｕｔ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １２． Ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｃａｓｅ ｏｆ ＱＣＤ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １４． Ｗｈｅｎ

１０．３．１ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｇｒａｐｈｓ

ｆｏｒ ＧＮ

＋ ２．

ｇｒａｐｈ Ｔ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ Ｅａｃｈ ｇｒａｐｈ Ｖ ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｏ ｂｅ

Ｆｏｒ ｅａｃｈ

ｉｔｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｒ（Ｔ） ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｒＮ ＋

２．

１０３ ａｎ

Ｐｒｏｏｆ

２６７

ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ （ｂｕｔ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ） ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｏｎｌｙ ｂａｓｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ

ｖｅｒｔｉｃｅｓ． Ｔｈｅｓｅ

＾ｂａｓｉｃ

＝

ｏ４＞２／２

－

ｍ２ｃｆ＞２／２

－

／ｉ４－ｄ＃４／２４，

ｗｈｅｒｅ ｇ ａｎｄ ｍ ａｒｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｍａｓｓ． Ａｓ ｕｓｕａｌ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ Ｒ（Ｙ）， ｗｈｉｃｈ ｉｓ Ｔ， ｐｌｕｓ

ａ

ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｉｔｓ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｆｏｒ ｏｕｒ ｐｒｏｏｆ ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｍａｓｓ ｍ ｉｓ ｓｅｔ ｔｏ ｚｅｒｏ． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ Ｒ（Ｙ） ｉｓ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｙ ｔｏ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＧＮ ＋ ２． Ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｔｅｒｍ ｒ（Ｙ） ｉｓ ｅｑｕａｌ ｔｏ Ｙ ｐｌｕｓ ａ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｅｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ｃａｎｃｅｌ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｘ－＞０ ｏｒ ４

－？

ｏｏ

ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ Ｙ．

Ｎｏｗ ｒ（Ｙ） ｉｓ ｉｎ ｅｆｆｅｃｔ ａ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｙ． Ｔｈｅ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ａｎ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ［０２］ ｔｉｍｅｓ ａ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ． Ｔｈｕｓ

ｒ｛Ｙ） ｉｓ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ （１０．３．２） （１０．３．３）． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｃ（ｘ２） （ｏｒ Ｃ（ｑ２）） ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ ａｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍａｓｓ ＼ｉ． Ｉｔ ｍｕｓｔ ｂｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｉｎ Ｒ（Ｙ）

—

ｏｒ

ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｎｅｇｌｅｃｔ ｍ ｉｎ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｌｉｍｉｔ ｘ －＞ ０ ｏｒ ｑ －＞ ｏｏ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｕｓｅ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｄｏ ｎｏｔ ｂｅｃｏｍｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｗｈｅｎ ｕｓｅ

ｍ

－＞０

（ｗｉｔｈ ｆｉｘｅｄ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ）．

Ｆｏｒ ｃｏｎｃｒｅｔｅｎｅｓｓ

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｉｎ ｗｈａｔ ｆｏｌｌｏｗｓ．

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｒ（Ｙ＼ ｌｅｔ ｕｓ ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｒ（Ｙ）． Ｔｈｉｓ ｓｔａｒｔｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ Ｙ ｃｏｍｅ ｆｒｏｍ ｒｅｇｉｏｎｓ ｏｆ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ｗｈｅｒｅ ａｌｌ ｌｉｎｅｓ ｉｎ ｓｏｍｅ ｓｅｔ ｏｆ ＩＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｃａｒｒｙ

ａ ｍｏｍｅｎｔｕｍ

ｓｕｂｇｒａｐｈ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ

ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｉｎｆｉｎｉｔｙ． Ｗｅ ｌａｂｅｌ ｅａｃｈ ｒｅｇｉｏｎ ｂｙ ｔｈｅ ａｌｌ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｃａｒｒｙｉｎｇ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｔｈｅｎ

ｔｈａｔ ｏｆ

Ｒ（Ｈ

＝

ｒ－ｊ；ｑｒ）．

（１０．３．４）

ｙ

ｉｓ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｙ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｉｔｓ Ｃｙ（Ｙ） ｔｏ ｂｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｏｎｌｙ ｉｆ ｙ ｉｓ Ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｙ！，．．．，７？．

ｏｖｅｒ

ａｌｌ

ｙ ｏｆ Ｔ， ａｎｄ

Ｃｙ（Ｙ）

ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ Ｙ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａ ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ ＩＰＩ ｇｒａｐｈｓ

Ｉｎ ｔｈａｔ ｃａｓｅ ｅａｃｈ ｙ． ｉｓ

ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｅｘ

Ｃ｛ｙ＾，

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｙ．． Ｔｏ ａｖｏｉｄ ｄｏｕｂｌｅ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ， ｔｈｅ ｓｕｂ－ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｏｆｆ ｆｉｒｓｔ：

Ｃ（ｙｔ）

＝

？

ｙ，－

Ｉ

Ｃａ（ｙＡ

（１０．３．５）

２６８

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

Ｈｅｒｅ ＼＾＇ ｄｅｎｏｔｅｓ

＇ｐｏｌｅ ｐａｒｔ

ａｔ ｄ

＝

４＇ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｍ ｉｓ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｐｒｏｐｅｒ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ８ ｏｆ ｙ－． Ａｓ ｕｓｕａｌ， ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ｓｏｍｅ ｏｔｈｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｈａｎ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ０＞ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｒ（Ｔ） ｉｓ ａｌｍｏｓｔ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｒ（Ｔ）． Ｎｏｗ， ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ （ｉ．ｅ．， ｘ －＞ ０） ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ Ｔ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｒｅｇｉｏｎｓ：

（１）

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｑ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ， （２） ｗｈｅｒｅ ｑ ｇｅｔｓ ｌａｒｇｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｉｎ Ｆｉｇ． １０．２．１ ａｌｓｏ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ．

Ｆｕｒｔｈｅｒ ｌｅａｄｉｎｇ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｅｔ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｉｎ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ

ｃｏｍｅ

ｓｏｍｅ ｓｅｔ

ｔｏ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｑ．

ｏｆ

ａ

ｇｒａｐｈ ｏｆ

ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｕ ｉｎ

ｆｒｏｍ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｈｅｒｅ ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ＩＰＩ ｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｅｓｅ ｅｘｔｒａ

ｔｈｅ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ．

Ｉｎ

ｔｈｅ

（１０．３．３） ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｇｉｏｎｓ ａｒｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｅｘｃｅｐｔ ｆｏｒ

Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｒ（Ｖ） ｔｏ ｂｅ ｒ ｗｉｔｈ ａｌｌ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｗｉｔｈ ａｌｌ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｓｍａｌｌ－ｘ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ： ｒ（ｒ）

＝

Ｒ（ｒ）－ＺｌＬｙＵｎ ｄ

Ｈｅｒｅ ｔｈｅ

ｇｒａｐｈｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｕ ｉｎ Ｆｉｇ． １０．２．１ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｙ ｏｆ Ｔ ｔｈａｔ ｄｏ ｎｏｔ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔ ８． Ｗｅ ｕｓｅ Ｌｙｕ５ ｔｏ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｅｌｏｗ． Ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｅｘｔｒａｃｔ ｔｈｅ

ｓｕｍ ｏｖｅｒ

ｓｕｍ ｏｖｅｒ ｙ

ｉｓ

ｓｙｍｂｏｌｉｚｅ

ａ

（１０．３．６）

ｙ

ｏｖｅｒ

８ ｉｓ

ｏｖｅｒ

ａｌｌ

ａｌｌ

ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｉｎ ｇｒａｐｈ ８ ａｒｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ １／ｘ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｉｎ ｙ ｇｏ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ． Ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｑ ｉｎ Ｆｉｇ． １０．２．１ ｉｓ ｃｏｖｅｒｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ８ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｆｏｒ ０（ｘ） ａｎｄ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｈａｔ

０（０） ｏｎｌｙ．

Ｌ＾ｕｄ（Ｔ） ｔｏ ｂｅ ｚｅｒｏ ｕｎｌｅｓｓ ｙ ｉｓ ａ ｄｉｓｊｏｉｎｔ ｕｎｉｏｎ ｏｆ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ（ｙｔ） ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ （１０．３．５） ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ８ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ａ ｑｕａｎｔｉｔｙ Ｌ（８）． Ｌ（８） ｉｓ ｔｏ ｃｏｎｔａｉｎ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ８ ｗｈｅｎ ａｌｌ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ ｈａｖｅ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｉｄｅａ ａｓ ｔｈａｔ Ｃ（ｙｔ） ｉｓ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｙ－． Ｎｏｗ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｈｅｒｅ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ８＇ ｏｆ ８ ｃａｒｒｉｅｓ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｑ ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ｌｉｎｅｓ ｉｎ ８ ｃａｒｒｙ ｓｍａｌｌ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｔｏ ａｖｏｉｄ ｄｏｕｂｌｅ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｗｅ Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ＩＰＩ ｙｌ９．．．， ｙｎ． Ｉｎ ｔｈａｔ

ｃａｓｅ

ｓｕｂｔｒａｃｔ ｔｈｅｍ ｆｉｒｓｔ． Ｓｏ Ｌ（８）

ｅａｃｈ ｙｔ ｉｓ

ｗｅ

＝

ｗｒｉｔｅ： Ｔ

Ｉ

Ｘ

＜５＇＜￡ ５ ｙｎＳ

Ｈｅｒｅ Ｔ ｉｓ ｔｏ ｂｅ

ａｎ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈａｔ ｐｉｃｋｓ

ａｒｇｕｍｅｎｔ． Ｎｏｗ ｔｈｉｓ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｓ

＝

０

ｏｕｔ ｔｈｅ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

（１０．３．７）

Ｌ７Ｕ６．Ｑ） ｌｅａｄｉｎｇ

ｘ －＞

０ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｉｔｓ

ｏｆ ｍ， ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ

１０３

２６９

Ｐｒｏｏｆ

（Ｗｅ ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｍ ｐ？．） Ｓｏ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ Ｔ ｔｏ ｓｅｔ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ

ｍｏｍｅｎｔａ．

ａｎｄ

ｍｏｍｅｎｔａ ｔｏ Ｗｅ ｎｏｗ

ｚｅｒｏ．

ｈａｖｅ

ａ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｒ（ｒ）．

１０．３．２ Ａｂｓｅｎｃｅ Ｉｎ

Ｆｉｇ． １０．１．１（ａ）

ｏｆ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ

ｔｈｅ ｏｎｌｙ

ｔｈａｔ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ

ａｎｄ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｇｒａｐｈ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｉｎ

ｒ（Ｔ）．

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｕ ｉｓ ｔｈｅ

ａｌｏｎｅ． Ｗｅ ｃａｌｌ ｉｔ ｄ｛． Ｉｔｓ ｖａｌｕｅ ｉｓ ｅ＂ｉｐｉ

Ｑ－１Ｐ２＊ ｊｔ ｋａｓ ｎｏ

０（ｘ）０（Ｏ） ｓｕｂｇｒａｐｈｓ

ｓｏ

Ｌ０１） （ｅ－，＇？－＊ Ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ＝

＊

＋

ｔｈａｔ

＝

／－（Ｆｉｇ． １０．１．１）

ｏｎｅ

＋

Ｆｉｇ．

ｅ－，＂－＊）Ｐｉ＿Ｐ２＝ｏ １０．１．１

－

＝

（１０．３．８）

２．

（１０．３．９）

Ｆｉｇ． １０．１．１（ｂ）．

Ｈｅｒｅ ｗｅ ｒｅｇａｒｄｅｄ Ｌ（＜５ （） ａｓ ａ ［＜￡２］ ｖｅｒｔｅｘ． Ｉｔ ｉｓ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｍｉｎｕｓ ｉｔｓ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． Ｎｏｗ ｗｅ ｔｕｒｎ ｔｏ Ｆｉｇ． １０．１．３（ａ）． Ｉｔ ｈａｓ Ｓｘ ａｓ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｆ ｆｏｒｍ Ｕ ａｎｄ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｌｏｏｐ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｃａｌｌ ３２． Ｔｈｅｎ ｂｙ （１０．３．７）

Ｌ（Ｓ２）

＝

｛Ｓ２－Ｌｄｉ（ｄ２）｝ｍ＝ｐｉ＝Ｐ２＝０

＼（２ｎＹ ＝

］

ｑ（ｑ２－ｍ２）［（ｐｌ＋ｐ２－ｑ）２－ｍ２－＼Ｓｍ＝Ｐｉ＝Ｐ２

＾ｋ＜？＞

＝

０

（１０．３，０）

Ｈｅｎｃｅ

Ｋｒ）＝＊（ｒ）－Ｍｒ）－ｗｎ

Ｗ＊－＇＼ ｆ

ｉ２

Ｊ＇

（ｐｉ２＿ｍ２）（ｐ２＿ｍ２） ［２ｎｙ －＼ｄ＂ｑ

，

ｅ＾Ｚ

｜Ｊｄ Ｖ－？２）［（Ｐｌ＋Ｐ２－？）２－？２］

（ｑ２－ｍ２）［（Ｐｌ＋ｐ２－ｑ）２－ｍ＾

．■（ｅ－１＇＂－！） ｄｄｑ （１０．３．１１）

ｗｈｅｒｅ Ｔｈｅ

ｗｅ ｕｓｅ Ｔ ｔｏ

ｄｅｎｏｔｅ Ｆｉｇ． １０．１．３（ａ）．

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

ｈｏｌｄ：

ｉｓ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｉｔ ｈａｓ ｚｅｒｏ ｍａｓｓ ａｎｄ ｚｅｒｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｄ２ ｈａｓ ａｎ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈｅｎ ｍ，

（１） Ｌｄ２（Ｔ）

ｐｌ９ ａｎｄ ｐ２

ａｐｐｒｏａｃｈ

ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

ｚｅｒｏ， ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｅｒｍ

Ｌｄｌ（８２） ｅｘａｃｔｌｙ ｃａｎｃｅｌｓ

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

２７０

（２） Ｌｄｉ（Ｔ） ｉｓ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ， ｓｉｎｃｅ ｉｎ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ Ｓｔ ＝ｉＱ￣＇ｌｑ＇ｘ ｂｙ １ ｗｅ ｒｅｍｏｖｅ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｃｕｔ ｏｆｆ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， Ｌｄ２（Ｔ） ｃｏｎｔａｉｎｓ ａｌｌ ｔｈｅ ｌａｒｇｅ－４ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ Ｔ ａｎｄ ｏｆ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｏｆ ８２． Ｔｈｕｓ Ｌｄ２（Ｔ） ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ Ｌｄｉ（Ｔ）． （３） Ｗｈｅｎ ｍ， ｐｌ９ ｐ２ ａｐｐｒｏａｃｈ ｚｅｒｏ， ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ

ｒ（ｄ２）

＝ ＝

Ｒ（ｄ２）－ＬＳｉ（ｄ２）－Ｌ（ｄ２） ８２－ＬＳｉ（８２）－Ｌ（８２）

－？０． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｐ２

Ｔｈｅ

＝

ｔｈｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｔｈａｔ

ｊｕｓｔ

０， ａｆｔｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅｓｅ

ｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎｓ

ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ

ｏｎ

Ｌ（８２） ｉｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｍａｄｅ．

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

ａｒｅ

ｏｆ

８２

ａｔ ｍ

＝

ｐ１

＝

ｃｏｎｖｏｌｕｔｅｄ， ｂｕｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ａｉｍ ｏｆ

ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ． Ｒｅｆｅｒ ｎｏｗ ｔｏ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｒ（Ｔ）， ｖｉｚ．， （１０．３．６）， ａｎｄ ｒｅｆｅｒ ｔｏ Ｆｉｇ． １０．２．１ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ Ｆｉｇ． １０．１．３． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ

ａｒｅ ｔｒｕｅ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｇｅｔ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ：

（１） Ｌ｛８）

ｉｓ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｆｏｒ ａｎｙ ｇｒａｐｈ ｏｎｌｙ ｒｅｇｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｃｏｕｌｄ ｇｉｖｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ

ｏｆ ｆｏｒｍ

Ｕ ｉｎ

Ｆｉｇ．

ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ． （２） ｒ（Ｔ） ｉｓ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ａｎｄ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ｉｆ ｍ， ｐ＼ ａｎｄ ｐ＼ Ｔｈｅ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ ｔｅｒｍｓ

ａｒｅ

１０．２．１： ｔｈｅ

ｃａｎｃｅｌｌｅｄ

ｂｙ

ａｒｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ．

Ｌｙｕｄ（Ｔ） ａｒｅ ＩＲ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｒｅｍｏｖｅ ａｌｌ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｂｅｈａｖｉｏｒ．

（３） ｒ（８）

＝

０ ｗｈｅｎ

ｍ

＝

ｐ｛

＝

１０．３．３ Ｒ（Ｔ）

ｐ２

—

０．

＝

ｒ（Ｔ）

ｉｓ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｗ（ｎ ＝ Ｒ（ｒ）－ｒ（ｒ）

ｃｏｎｔａｉｎｓ

ＺＬ＾

ｘ

ｃ／ｎ）

（１０．３．１２）

０ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ Ｒ（Ｔ）， ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｙｅｔ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ

ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ

＝

ｘ －＞

Ｗ（Ｄ

＝

Ｘｓ Ｃ（Ｓ）Ｒ（ｒ／８）．

（１０．３．１３）

（ｏｆ ｆｏｒｍ Ｕ） ｔｏ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｐｏｉｎｔ， ｉ．ｅ．， ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ａ ＜ｆ＞２ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｐｏｌｅ－ｐａｒｔ

Ｈｅｒｅ Ｃ（ｄ） ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ６ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ， ｗｈｉｌｅ Ｔ／Ｓ ｉｓ Ｖ ｗｉｔｈ ８ ｃｏｎｔｒａｃｔｅｄ ｔｏ ａ ｖｅｒｔｅｘ．

Ｒ（Ｔ／ｄ） ｗｉｌｌ

ｎｏｗ

ｉｎｃｌｕｄｅ

（ｆ＞２． Ｓｕｍｍｉｎｇ（１０．３．１３） ｏｖｅｒ Ｔ ｃａｎ ｂｅ ｄｏｎｅ ｂｙ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ ｓｕｍｍｉｎｇ ｏｖｅｒ ８

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ

ａｎｄ ｒ／８． Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－

２７１

１０．３ Ｐｒｏｏｆ ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （１０．０．１）） ｗｉｔｈ

Ｑ２（ｘ２）＝ＩＣ（＜５）．

（１０．３．１４）

Ｓ

（Ｗｅ ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ａｓ

ｓａｍｅ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｓｙｍｂｏｌ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ

ａ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｃ＾２（ｘ） ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｇｒａｐｈ．） Ｈｅｎｃｅ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （１０．０．１） ｏｒ （１０．０．３）， ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ Ｗ（Ｖ） ａｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ （１０．３．１２） ｅｑｕａｌｓ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （１０．３．１３）． Ａｎｙ ｇｒａｐｈ ｒ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＧＮ ＋ ２ ｃａｎ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｆｉｇ． １０．２．１． Ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅｒｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ

ｓｕｂｇｒａｐｈ Ｕ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｈｏｏｓｅ Ｕ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｂｉｇｇｅｓｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｇｒａｐｈ． Ｔｈｅｎ， ｉｎ （１０．３．１２） ｆｏｒ Ｗ（Ｔ）， ａｌｌ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｄ ａｒｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ Ｕ． Ｓｏ

ｗｅ

ｈａｖｅ

Ｗ（Ｔ）

ｐｒｏｖｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ （１０．３．１３） ｗｈｅｎ

（１０．３．１５）

Ｗ｛Ｕ）？Ｒ（Ｉ＼

＝

ｓｉｎｃｅ ｎｏ

ｆｄ４／ｃｄ４／ ｗＷ｛Ｕ）Ｒ（ｌ） （２ｋ）８

＝

ＩＰＩ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｉｎｃｌｕｄｅ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｂｏｔｈ Ｕ ａｎｄ ／． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ ｒ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ Ｕ． Ｔｈｅｎ ｆｒｏｍ （１０．３．１５） ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ｐｙ（Ｄ

＝

＝

＾Ｃ（（５）Ｒ（（／／（５）？＾（／）

（１０．３．１６）

ＹＣ（８）Ｒ（ｍ－ ｓ

Ｔｈｅ ｌａｓｔ ｌｉｎｅ ｆｏｌｌｏｗｓ ｂｅｃａｕｓｅ （ａ） ｔｈｅ

ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ Ｔ／Ｓ ａｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｕ／ｄ ｔｉｍｅｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ＩＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｅｎｔｉｒｅｌｙ ｗｉｔｈｉｎ Ｕ／ｄ ｏｒ

／， ａｎｄ （ｂ） ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｗｉｔｈｉｎ ／． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｘｔｒａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｆｏｒ Ｔ／Ｓ ａｓ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ Ｔ ａｒｅ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ０２ ｖｅｒｔｅｘ． Ｔｈｅｓｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｃｏｎｆｉｎｅｄ ｔｏ

ｇｒａｐｈｓ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｕ／ｄ．

（１０．３．１３） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ Ｔ Ｕ， ｗｅ ｕｓｅ ｉｔ Ｃ（Ｕ＼ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｃ（ｄ） ｆｏｒ ｓｍａｌｌｅｒ ｄ： Ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｐｒｏｖｅ

２Ｃ（Ｕ）＝Ｗ（Ｕ）－

＝

ａｓ ａ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ

Ｘ Ｃ（ｄ）Ｒ（Ｕ／ｄ）．

（１０．３．１７）

ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ Ｃ（Ｕ） ｉｓ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ＩＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ＜ｊ＞２． Ｉｔ ｉｓ ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｍｕｃｈ ｔｏｏ ｇｏｏｄ ｔｏ ｂｅ ｔｒｕｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ｗｈａｔ ｏｕｇｈｔ ｔｏ ｂｅ ａ ｄｅｅｐ ｐｒｏｏｆ ｔｏ ａ ｍｅｒｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｈｙｓｉｃｓ ｗａｓ ａｔ ｔｈｅ ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｓｔｅｐ， （１０．３．１６）． Ｂｙ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｕｓｅ ｏｆ ｐｏｗｅｒ－ ｃｏｕｎｔｉｎｇ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ， ｔｏ ｒｅｓｔｒｉｃｔ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｔｏ ｗｉｔｈｉｎ Ｕ／ｄ， ｗｅ ｐｒｏｖｅｄ （１０．３．１３） ｇｉｖｅｎ ｉｔｓ ｔｒｕｔｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ Ｔ＝Ｕ． Ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ

２

Ｃ＾２（ｘ） ａｓ ｉｔ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （１０．０．１） ｉｓ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｎｏ ｍａｔｔｅｒ ｗｈａｔ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．ｗｅ ｔａｋｅ ｏｆ ７＜／＞（ｘ）＜／＞（０）． Ｔｈｉｓ ｕｎｉｖｅｒｓａｌｉｔｙ ｉｓ ｆｅａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ．

ａｎ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ

２７２

Ｔｈｅ

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｔｈｅｒ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ

ａ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｅａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｐｕｒｅｌｙ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｏｂｊｅｃｔ． Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｅｎａｂｌｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－

ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｔｏ ｂｅ ｕｓｅｆｕｌ ｉｎ ｉｔｓ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ． Ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｐｕｒｐｏｓｅ ｗｅ ｍｕｓｔ Ｃ（Ｕ） ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｍ， ｋ ａｎｄ ／． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｄｏｎｅ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （１０．３．１７） ｗｉｔｈ

ｇｒｏｕｐ

ｎｏｗ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｍ ｏｒ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｋ ｏｒ ／． Ｌｅｔ Ａ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ ｔｈｉｓ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ． Ｉｔ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｔｕｒｎ ｔｏ ｅａｃｈ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｎ

Ｉｎｄｕｃｔｉｖｅｌｙ， ｗｅ ａｓｓｕｍｅ Ｃ（ｄ） ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ＡＣ（ｄ） ０． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｒｕｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ， ６１９ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ０（５＾ １ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ （１０．３．８）． Ｉｎ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ ＡＣ（Ｕ） ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｗ（Ｕ） ａｎｄ ｉｎ Ｒ（Ｕ／５）．

＝

＝

２ＡＣ（Ｕ）

ＡＷ（Ｕ）－

＝

￡ Ｃ（ｄ）ＡＲ（Ｕ／ｄ），

（１０．３．１８）

６Ｚ．Ｕ

Ｆｉｇ． １０．３．１． Ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｅａｃｈ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｏｎｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｏｆ Ｕ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ． Ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｉｍｐｒｏｖｅｓ

ａｓ

ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ

ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｂｅｈａｖｉｏｒ，

ｓｏ

ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｅｄ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ

ｏｆ ａ ｌｅａｄｉｎｇ ｌａｒｇｅ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｒｅｇｉｏｎ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｆａｃｔｏｒ ｏｕｔ

ａ

ｍａｘｉｍａｌ ｔｗｏ－ｐａｒｔｉｃｌｅ

ｔｏ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ

ｇｒａｐｈ ＜５＇，ｊｕｓｔ

ａｓ ｗｅ

ａ

ｐａｒｔ

０（ｘ）＜／＞（Ｏ）．

Ｗｅ

ｆａｃｔｏｒｅｄ ｏｕｔ

Ｕ ｉｎ （１０．３．１５）．

Ｆｉｇ． １０．３．１． Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ

ａ ｍａｓｓ ｏｒ ａｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ．

Ｎｏｗ ｗｅ ｃａｎ ｕｓｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ

ｄ＂

ｆｏｒ ＡＣ（Ｕ）． （Ｔｈｉｓ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｉｓ ａｎａｌｏｇｏｕｓ ｔｏ （１０．３．１６）．） Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｎｏｗ ｐｒｏｖｅｄ．

ｔｏ

ｇｉｖｅ

ｚｅｒｏ

１０．３．４ Ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ Ｃ（Ｕ） Ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｒｅｓｕｌｔｓ

Ｃ（Ｕ）

ｗｅ

＝

Ｌ

ｍａｙ ｄｅｄｕｃｅ

Ｒ（Ｕ）￣

￡ Ｃ（８）Ｒ（Ｕ／８）

（１０．３．１９）

Ｈｅｕｒｉｓｔｉｃａｌｌｙ ｔｈｉｓ ｓａｙｓ ｔｈａｔ Ｃ（Ｕ） ｉｓ ｔｈａｔ ｐａｒｔ ｏｆ Ｕ ａｒｉｓｉｎｇ ｗｈｅｎ ａｌｌ ｉｔｓ ｉｎｔｅｒｎａｌ

１０．４ Ｇｅｎｅｒａｌ

２７３

ｃａｓｅ

ｌｉｎｅｓ ｈａｖｅ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ ｏｒｄｅｒ １／ｘ， ｌｅｓｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｔａｋｅｎ

ｃａｒｅ ｏｆ ｂｙ ｔｅｒｍｓ Ｃ（５） ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｗｉｔｈ ｓｍａｌｌｅｒ ｇｒａｐｈｓ ８ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ Ｕ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｉｎ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｉｓ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｕ ｍｉｎｕｓ （ａ） ａｌｌ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔａ ｎｏｔ ａｌｌ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｑ， ａｎｄ （ｂ） ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ａｌｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｑ ｔａｋｅｎ ｃａｒｅ ｏｆ ｂｙ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｓ ｕｎｄｅｒ （ａ）． Ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｒｅｐｒｏｄｕｃｅｓ ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １０．１ ｏｆ

ｔｈｅ ０（ｇ） Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ， ｖｉｚ．，

Ｃ（Ｓ２）

＝

｛Ｓ２－ＱＳ１）Ｒ（Ｓ２／５１）］ｍ＝ｔ，ｉ＝Ｐ２＝０． １０．４ Ｇｅｎｅｒａｌ

ｃａｓｅ

Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ （１０．０．１）， ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ ｉｔｓ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｗｈｉｃｈ ｉｓ

（１０．０．２）． Ｗｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｔｏ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｇｒａｐｈｓ ｉｎ ＜／＞４ ｔｈｅｏｒｙ， ａｎｄ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｘ２． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｔｈａｔ ｔｈｅｎ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓ ｉｓ （９ ＜ｆ＞２． Ｏｕｒ ｐｒｏｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ． Ｗｅ ｍａｙ ｔａｋｅ ｔｈｅ ｆｕｌｌ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ａｎｙ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｉｎｃｌｕｄｅ ｎｏｎ－ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｘ．

ｏｐｅｒａｔｏｒ

＝

ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｌ ｅｘｔｒａｃｔｓ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ Ｔａｙｌｏｒ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｍ２ ａｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｅａｃｈ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ＣＧ｛ｘ） ｂｅｈａｖｅｓ ｉｎ ｅａｃｈ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｌｉｋｅ ａ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｘ２ ｔｉｍｅｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｆ （ｘ２＾２） ｔｉｍｅｓ ａ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｘＭ ａｎｄ ｍ２ ｗｉｔｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． Ｉｆ （９ ｉｓ ａ ｔｅｎｓｏｒ Ｉｎ ｔｈｅ

ｔｅｒｍｓ ｉｎ

ａ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｏｒｄｅｒ ｅｘａｍｐｌｅ （１０．１．５）． Ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｆｏｒ

ａ

ｔｅｎｓｏｒ，

ａｓ

ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－

０４ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｓｉｎｃｅ ｉｔ ｈａｓ

ｌｏｗｅｓｔ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｗｅ ｈａｖｅ

Ｔｃｆ＞（ｘ）ｃｆ＞（０）

＝

Ｃｔ（ｘ２）ｌ

＋

Ｑ２（ｘ２）［０２］ ＋ ０（ｘ？ｌｏｇｓ）．

（１０．４．１）

Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｌｉｎｅａｒ ｉｎ ＜ｆ＞ ａｒｅ ｐｒｏｈｉｂｉｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ＜ｆ＞ ＜ｆ＞ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ， Ｃｘ（ｘ２＼ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｏ ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ， －？

ｗｅ ｕｓｅ

ｔｈｅ

ｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ．

—

１０．４．１． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘｔｒａｃｔ ｔｅｒｍｓ ｕｐ ｔｏ

ｕ

Ｆｉｇ． １０．４．Ｌ Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ

ｔｅｒｍ ｆｏｒ

Ｏ（ｘ０）， ｓｏ ｔｈａｔ ｗｅ

＜Ｏ｜７＞（ｘ）０（Ｏ）｜Ｏ＞．

２７４

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｆｉｎｄ：

Ｃ１（ｘ２）

＝

＝

Ｃ１（ｘ２）＜０｜ｌ｜０＞ ｛Ｆｉｇ．

１０．４．１

－

Ｃ０２（ｘ２）＜Ｏ｜［＞２（Ｏ）］｜Ｏ＞｝ ｅｘｐａｎｄｅｄ

ｉｎ ｐｏｗ ｏｆ ｍ２ ｔｏ ｏｒｄｅｒ ，

ｉｅ＇？ ｄｄｑ （２ｎ）ｄｑ２－ｍ２ ＋ ｉｅ ＊

－

ｍ２

Ｈｄ－＊ｍ２

＋ ｋ

］｝．

ｑ２

）ｅｘｐａｎｄｅｄ

Ｊ（２＾１（Ｃ

１）Ｕ２＋（＾）２Ｊ

１

＝

＋

＂４ｍ２ ８＾ ８７１Ｖ－４）

ｍ２

－＾２＾２＋Ｙ＾［ｙ ＋ ｌｎ（－７ｉＶｘ２）］

ａｔ Ｊ

＝

（１０．４．２）

４．

Ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｍａｓｓ ａｎｄ ａｎ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｄｅｇｒｅｅ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｗｏ ｈｅｒｅ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｎｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ， ｓｏ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｍ２． Ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｓｅｃｔｉｏｎ， ｗｈｅｎ ｗｅ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｅａｃｈ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ａｓ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍａｓｓ ＼ｉ ｓｅｔ ｔｏ （— ｘ２）１／２． Ｔｈｅ ｍａｉｎ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｏ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｆｒｅｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｉｆ ｗｅ ｔｒｕｎｃａｔｅ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｗｉｌｌ ｂｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｕｐ ｔｏ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｏｍｉｔｔｅｄ ｔｅｒｍ， ａｎｄ ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ｅｒｒｏｒ

ｉｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ｌ／［ｌｎ（－ｘ２）］＇＋１， ｗｈｅｒｅ ｐ ｉｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ｌｏｏｐｓ

ｉｎ ｔｈｅ

ｈｉｇｈｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ． Ｔｈｉｓ

ｄｏｍｉｎａｔｅｓ ａｎｙ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｘ． Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ， ｉｔ ｉｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｕｓｅ ｔｈｅ

ｐｏｗｅｒ－ｌａｗ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ

ｅｒｒｏｒ

ｔｏ ｔｈｅ

ｃａｎｎｏｔ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ． Ｔｈｉｓ ｗｏｕｌｄ ｓｕｇｇｅｓｔ ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｉｎ ｐｒｏｐｅｒｌｙ ｕｓｅ ａｎｙｔｈｉｎｇ ｂｕｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｉｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｎ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｒｍａｌｌｙ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｆｏｒ ｔｈｅｓｅ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｐａｒｔｉｃｌｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ （ｊ＞２． ａ

ｗｅ

１０．５ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ Ｔｏ

ｍａｋｅ

ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ

ｆｏｒ

ａ

Ｗｉｌｓｏｎ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，

ｗｅ

ｍｕｓｔ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｍａｘｉｍｕｍ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｗａｙ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｅｘｐｌａｉｎ． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ

ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ

Ｃ｛ｘ２，ｇ，ｆｉ）．

ａ

ｕｓｅ

ｔｈｅ

ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ

１０．５ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

２７５

＼ｘ２ ｔｏ ｂｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｜ ｌ／ｘ２１ ｔｏ ａｖｏｉｄ ｌａｒｇｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ， ｊｕｓｔ ａｓ ｉｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｈｅｎ ａｌｌ ｔｈｅｉｒ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ （Ｃｈａｐｔｅｒ ７）． Ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｓｉｍｐｌｅ， ｓｉｎｃｅ， ｔｏ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｍａｓｓ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ． （Ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ｎｏｎ－ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｘ ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ｍａｓｓｅｓ．） Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｍｏｓｔ ｅａｓｉｌｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｔｏ

ｔｈｉｓ

ｕｓｅ

ｗｅ ｍｕｓｔ ｓｅｔ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆａｓｈｉｏｎ． Ｉｎ ｔｈｅ

０４ ｔｈｅｏｒｙ

ｗｅ

ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｈａｖｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｏｐｅｒａｔｏｒ：

％－％＋＾－ｉ－ｍ＇＾ Ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

＾ＡＧ（ｊｏｎｎ）

￡ＧＮ（［＜ｔ＞２ｌ？ Ｈｅｒｅ，

Ｇｆｆ＋ｐ

ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ

？

．）（ｃｏｎｎ）

＿

＝

｛Ｎ／２

（ｙｍ

＝

ｗｅ

ｍｌ

Ｗｅ

＋

ａｒｅ

（１０．５．２）

ｌ）ｙＧｌ＊？＊）９

ｉ２Ｎｙ）ＧＮ（［＞２］，．．．）＜ｃｏｎｎ＞．

［＜／＞２］

（１０．５．３） ０－ｆｉｅｌｄｓ，

ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｗｉｔｈ Ｎ ０－ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｏ

ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ

ｍ２［０２］ ａｎｄ

－

ｎｅｅｄ

ｇｒａｐｈｓ． ＧｉＶ（［０２］，．．．）（ｃｏｎｎ）

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｄｅｒｉｖｅ （１０．５．３）

＝

ｗｅ

，ｉ，ｍ）

ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｎ ＋ ２ ｅｘｔｅｒｎａｌ

ｔｏ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

＝

ｍ＼§＼ ４－ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ

ｔｉｍｅｓ

１，

Ｚｍｍ２．

ａｐｐｌｙ

ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｆｉｄ／ｄｆｉ ４－ （Ｎ／２ ＋ ｌ）ｙ

ｔｏ ｂｏｔｈ ｓｉｄｅｓ ｏｆ

（ｏ＼Ｔ＜ｔ＞（ｘ）ｃｆ＞（０）４＞（ｐ１）．．．４＞ｉｐＮ）＼ｏｙ ＝

Ｃ＜ｆ＞２（ｘＫ０＼Ｔ［ｃｔ＞＾４＞（ｐｌ）．．．￥ｉｐＮ）＼０｝ ＋ ０（ｘ２＼

（１０．５．４）

ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

０＝ｒ＾＾＊２＇ ＾（ｙ ｙ？＞ｃ＾＂ｊ＜°ｌ

＾ｔ＊２］＊＾＾

＂■＂

Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ

０（ｘ２）

ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｏｒｄｅｒ

－

－

＊＜ｐ＾）ｌ°＞ －？－ °ｃ＾２＞－ （１０．５．５）

ｘ２ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ ｏｆ ｇ，

ｉｉｄ／ｄｐ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ． （Ａｓ ｕｓｕａｌ， ＇ｏｒｄｅｒ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ．） Ｉｍｍｅｄｉａｔｅｌｙ ｗｅ ｏｂｔａｉｎ

ｒｅｍａｉｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｘ２ ａｆｔｅｒ ｘ２ ｍｏｄｕｌｏ

－

＾＜＾２

＝

（ｙｍ ＋ ｙ）Ｃ＞

ｍ， ａｎｄ ＼ｉ，

ｘ２＇

ｍｅａｎｓ

ｔｈｅｙ

ｏｒｄｅｒ

（１０－５．６）

２７６

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ

０ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｉｔ ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｍ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｃ＾２ ｉｓ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ０（ｘ）０（Ｏ） ｍｉｎｕｓ Ｔｈｉｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｃａｎ

ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ

＝

－

［＜／＞２］．

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｓｉｇｎｓ ｉｎ （１０．５．６） ａｒｉｓｅ ｆｒｏｍ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｙｍ ａｎｄ ｙ．

ｒｅｌａｔｉｏｎ

ａｓ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｐｅｃｕｌｉａｒｉｔｉｅｓ

ｏｆ ｏｕｒ

１１ Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ

ｐｒｅｖｉｏｕｓ ｃｈａｐｔｅｒｓ ｗｅ ｓｅｔ ｕｐ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｇｉｖｅ ａ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ． Ｎｏｗ， ｔｈｅ ｕｔｉｌｉｔｙ ｏｆ ａ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ， ｓｕｃｈ ａｓ ｗｅ ｇａｖｅ ｉｎ ｔｈｅ ｅａｒｌｉｅｒ Ｉｎ ｔｈｅ

ｃｈａｐｔｅｒｓ， ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ａ ｐｒｏｂｌｅｍ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｒａｔｈｅｒ ｏｂｓｃｕｒｅｓ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｉｓｅ ｆｒｏｍ ｐｕｒｅｌｙ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ． Ｔｈｕｓ ａ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－

ｓｐａｃｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ ｆｒｏｍ ａ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａｌｓｏ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ， ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｉｅｌｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ， ｗｈｅｒｅ

ａ ａ

ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－ｓｐａｃｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ． Ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－ｓｐａｃｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｒｏｍ

ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｉｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ

ｍａｋｅｓ ｉｔ ｅａｓｙ ｔｏ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ａｒｅ

ｔｈｅ

ａ ｍｏｒｅ

ｓａｍｅ ａｓ

ｗｉｔｈ

ｎｏ

ｅｘｔｅｒｎａｌ

ｆｉｅｌｄ． Ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃａｓｅ， ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ ｉｎ ｔｈｉｓ

ｃｈａｐｔｅｒ， ｉｓ

ｔｈａｔ ｏｆ

ｔｈｅｒｍａｌ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ａｔ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ Ｔ （Ｆｅｔｔｅｒ ＆ Ｗａｌｅｃｋａ （１９７１）， Ｂｅｒｎａｒｄ （１９７４）， ａｎｄ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ｔｈｅｒｅｉｎ）． Ｔｈｅｒｅ ｏｎｅ ｗｏｒｋｓ ｗｉｔｈ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｔｉｍｅ ｕｓｉｎｇ

ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ （ｐｅｒｉｏｄ １／Ｔ）． Ｉｔ ｉｓ ｆｉｒｓｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｗｏｒｋ ｏｕｔ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒｅｅ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ． Ｔｈｉｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｏ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １１．１． Ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｆｏｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｗｉｌｌ ｂｅ ｇｉｖｅｎ， ｗｈｏｓｅ ｕｓｅｆｕｌｎｅｓｓ ｗｉｌｌ ｂｅｃｏｍｅ ａｐｐａｒｅｎｔ ｗｈｅｎ ｗｅ ｔｒｅａｔ ｓｏｍｅ

ｅｘａｍｐｌｅｓ

ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １１．２． Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ

ｐｒｏｂａｂｌｙ ｓｋｉｐ

ｔｏ

ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｉｒｓｔ ａｎｄ ｒｅｆｅｒ ｂａｃｋ ｔｏ Ｓｅｃｔｉｏｎ １１．１ ａｓ ｔｈｅ ｎｅｅｄ ｆｏｒ ｖａｒｉｏｕｓ

ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ａｒｉｓｅｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｃｏｍｐｕｔｅ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ． Ｏｕｒ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｏｆ ａ ｆｏｒｍ ｔｈａｔ ｗｉｌｌ ｒｅａｄｉｌｙ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｏ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒｓ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｏ ｏｔｈｅｒ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ． Ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １１．３ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ ｏｆ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈａｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｔ ｆｉｎｉｔｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ Ｔ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｏ ｔｈｉｓ ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｆｌａｔ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｉｎ ｓｕｃｈ ａ ｗａｙ ａｓ ｔｏ ｍａｋｅ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ａｆｆｅｃｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ａｎｏｔｈｅｒ ｃａｓｅ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ

２７７

１１．４， ｉｓ ｆｌａｔ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｗｉｔｈ，

２７８

Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ． Ｉｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｗｅａｋ ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ａｓ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ， ｉ．ｅ．， ａｓ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． Ｂｕｔ ｉｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｓｔｒｏｎｇ， ｏｎｅ

ｓａｙ， ａｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ａ

ｐｕｔ ｉｔ ｉｎ ｔｈｅ ｆｒｅｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

ｍｕｓｔ

（ｉ？ ＋ ｅＡ－ Ｍ）ＳＦ（ｘ，ｙ；ｅＡ）

＝

ｉｄ｛ｘ

－

（１１．０．１）

ｙ），

ｗｈｉｃｈ

ｃａｎｎｏｔ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｂｅ ｓｏｌｖｅｄ ｂｙ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ｉｎ ａ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ （Ｓｃｈｗｉｎｇｅｒ （１９５１））． Ａｎｏｔｈｅｒ ｃｏｍｍｏｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｉｅｌｄ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｆ ｑｕａｎｔｉｚｉｎｇ ａ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ａ ｃｕｒｖｅｄ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｒｅｍｎａｎｔ ｏｆ ａ ｇｌｏｂａｌ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｉｓ ｔｈｅｎ ａｎ ｉｎａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｔｏｏｌ． Ｏｎｅ

ｗｉｓｈｅｓ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＵＶ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｉｓ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ． ｔｈｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｇｉｖｅｎ．

ｃａｎ

ｂｅ ｋｅｐｔ ｔｈｅ ｈｅｒｅ． Ｂｕｔ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ａ ｆａｉｒｌｙ ｓｉｍｐｌｅ ｃａｓｅ

ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｓｈｏｕｌｄ ｅｎａｂｌｅ

１１．１ Ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ

ｓａｍｅ ａｓ ａｎ

ｉｎ ｆｌａｔ

ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ

ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｔｏ ｂｅ

ｏｆ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

１１．１．１ Ｚｅｒｏ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ

ｇｒａｐｈ ｉｓ ｕｌｔｉｍａｔｅｌｙ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ－ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ｍａｋｅ ｕｐ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ． Ｓｏ ｗｅ Ｔｈｅ ＵＶ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｏｆ ａ １ ＰＩ

ｎｅｅｄ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅｓｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ； ａｎｄ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｄｏ ｔｈｉｓ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ．

Ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｓｃａｌａｒ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

Ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ｆｏｒ ｆｉｅｌｄｓ ｗｉｔｈ ｓｐｉｎ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｘ． Ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｎｇ

（１１．１．２）

（□ Ｗ）ＳＦ＝－ｉ＜５（ｄ＞（ｘ）， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｒｅｄｕｃｅｓ ｔｏ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ． Ｗｈｅｎ

（４ｚｄ２／ｄｚ２ ＋ ２ｄｄ／ｄｚ ｗｈｅｒｅ

ｚ ＝

－

ｘ２． Ｔｈｕｓ ＳＦ

＝

Ｂｅｓｓｅｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ａｎｄ ｔｈａｔ

ｖ

－

ｍ２）ＳＦ

＝

ｚ１／２＿ｃ／／４ｗ（ｍｚ１／２）， ｗｈｅｒｅ ＝

ｄ／２

－

１． Ｔｈｅ

ｗｉｔｈ

ｘ

ｉｓ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｔｈｉｓ

０， ｗ

（１１．１．３） ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｍｏｄｉｆｉｅｄ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ

ｗｅ

ｎｅｅｄ ｉｓ

ｂｙ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｔｈａｔ ｔｈｅ （５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ （１１．１．２） ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ａｔ ｘ２

ＳＦ－？０

ａｓ

ｘ２－＞

－

ｏｏ．

＝

０

２７９

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｏｆｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

１１．１ Ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ

Ａ ｓｔａｎｄａｒｄ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ （１１．１．３） ｉｓ

ｔｏ

ｅｘｐａｎｄ ｉｎ

ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ

ｚ：

００

ｎ ＝ ０ ＝

Ｔｈｅｒｅ ａ

＝

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ａｒｅ ｔｗｏ

＊２）ｆｌＫ

（＂

－

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ

ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ

ｉｓ ｔｏ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ， ｉｆ

ＳＦ（ｍ

＝

０）

＝

０， ｉ．ｅ．， ｉｔ ｈａｓ ｌ—ｄ／２． ＳＦ ｉｓ ａ ｌｉｎｅａｒ

ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ． Ｏｎｅ ｉｓ ａｎａｌｙｔｉｃ ａｔ

０； ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ， ｗｉｔｈ

ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ

ｍ

Ｔ（ｄ／２

＝

－

（１１．１．４）

ｍ２ｘ２）ｎｗｎ． ａ

＝

ｑｕｉｃｋｅｓｔ

ｚ

＝

ｗａｙ ｔｏ

ｃｏｍｐｕｔｅ

ｔｈｅ

０， ｔｈｅｎ （１１．１．１） ｇｉｖｅｓ

ｌ）／［４ｎｄ／２（

－

（１１．１．５）

ｘ２ｆ２￣ ＊］．

Ｔｈｉｓ ｎｏｒｍａｌｉｚｅｓ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ Ｂｅｓｓｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｂｙ

ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ

ｔｈａｔ ＳＦ

－？

０

ａｓ

ｘ２

－？

－

ｏｏ．

Ｔｈｅｎ

ｗｅ

ｆｉｎｄ ｔｈａｔ

ｆ ｆｍ２ｘ２＼ｎＶ（ｄ／２－ｌ－ｎ）

１

００

＋

ｍｄ－２（４ｎ）－＂１２ ￡ （ｍ２ｘ２／４）Ｔ（ｌ－ｎ－ｄ／２）／ｎ＼ ｎ ＝ ０

＝

Ｈｅｒｅ，

ｗｅ

ＳＦｓｉｎｇ ＋ ＳＦａｎａ．

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ

（１１．１．６）

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ， ｆｒｏｍ （１１．１．１）， ｔｈａｔ ＳＦ

＝

ｃａｎ

Ｔ（ｌ

ｏｆ ｔｈｅ Ｂｅｓｓｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ

ｑｕｉｃｋｌｙ ｂｙ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ

ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ －

ｄ／２）ｍｄ－２／（４ｎ）ｄ／２

ａｔ ｘ

＝

０， ｉｆ ｄ ｉｓ

ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ２． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｕｒｐｏｓｅｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｏｆ ＳＦ． ｏｆ ｔｗｏ ｔｙｐｅｓ： ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｏｆ ＳＦｓｉｎｇ ａｓ ｘ－＞０， ａｎｄ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ｏｆ ＳＦａｎａ ａｓ ｄ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ａｎ ｅｖｅｎ ｉｎｔｅｇｅｒ． Ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｍｏｓｔ ｏｆ

Ｔｈｅｓｅ

ａｒｅ

ｐｏｌｅｓ ｗｈｅｎ ｄ ｉｓ ａｎ ｅｖｅｎ ｉｎｔｅｇｅｒ ｄ ２ａ＞， ｒｅｆｌｅｃｔｓ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｎｓａｔｚ （１１．１．４） ｉｓ ｔｈｅｎ ｉｎｃｏｒｒｅｃｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ Ｆ－ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ

＝

ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｄ ｌｅｔｔｉｎｇ ｄ －＞ ２ａ＞． Ｔｈｅ ｌｉｍｉｔｓ ｘ －＞ ０ ａｎｄ ｄ＾＞２ａ＞ ａｒｅ ｎｏｎ－ｕｎｉｆｏｒｍ．

ｇｒａｐｈｓ

ｌｉｋｅ ｔｈｅ

＜／＞３ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ

ｎｅｅｄ

ｘ

—

２ａ＞ ａｎｄ ｔｈｅｎ

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ

± ０， ｂｕｔ ｔａｄｐｏｌｅ ｇｒａｐｈｓ （ｅ．ｇ．，

Ｆｉｇ． １１．１．１ ｉｎ ０４ ｔｈｅｏｒｙ） ｈａｖｅ ａ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｗｉｔｈ

Ｆｉｇ． １１．１，１． Ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ

ａ

ｘ

—

０ ｆｏｒ ａｌｌ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｄ． Ｓｏ

ｔａｄｐｏｌｅ．

２８０

Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ

ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｅｘｔｒａｃｔ ａｌｌ ｔｈｅ ｘ

＝

０

ｓｉｎｇｕｌａｒ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ＳＦ ｃｌｏｓｅ ｔｏ

＝

２ａ＞ ａｎｄ

ｂｙ ｗｒｉｔｉｎｇ

Ｏｐ

＞ＦＳｉｎｇ

＝

Ｊｐｓｉｎｇ ＋ ＾Ｆａｎａ

－

４ｎ＊，｛

ｊｙｏ－ｉ

＿

／

ｎ ＝ （ｏ－ １

ｓ ＪＦａｎａ

＝

＼＾ｏｙ￣

Ｗ Ｖ＂

＼＂

Ｉ

Ｉ

ｎ！（

１１／７／／

ｙ Ｚ＾ Ｍ－ｒ＾ｗ （４？ｒ ？＾０Ｖ

ａｓ

ａ

（－ｌ）ｎ＾Ｖ

７７ Ｉ

Ｉ

—

（＜／／２

－

１

＆））（？

（－１）＂＋Ｖ￣２＜°

＋ １

－

１

＿＿＿＿＾＿—＿｜．

ｘ｜ｒ（１＿ｎ＿，／２）（＿ｊ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｍｉｔ

—

／２－ａ＞

ｅｏ）！ Ｊ ｊ＇

ｘ

７ ｎ！

４

｛ｍ２＼ｉｌ２￣ａ

Ｎｅｉｔｈｅｒ ｔｅｒｍ ｉｓ

Ｉ

—

（－ ｎｘ２ｆ

－

Ｔｒｘ２）＂＂２＂＂

－

Ｔ（ｄ／２－ｌ－ｎ）

４

Ｖ

Ｊ

４

ｎ＝０

ｆ

ａ

ｄ

ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ＳＦ． Ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃ ｐａｒｔ ０． Ｔｈｅ ｎｏ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｂｅｈａｖｉｏｒ ａｔ ｘ

ｄ＾＞２ａ＞， ｗｉｔｈ

＝

（１１，．７） ｎｏｗ

ｈａｓ

ｓｉｎｇｕｌａｒ

ｘ＾Ｏ． Ｉｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｘ－＞０ ｗｅ ｔｈｅｎ ｆｉｒｓｔ ｔａｋｅ ｄ ＜ ２， ｔｈｅｎ ｘ －？ ０， ＳＦ（ｘ ０） ２ａ＞． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｎ

ｔｅｒｍ ａｌｓｏ ｈａｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｌｉｍｉｔ ａｓ ｄ＾２ａ＞ ｉｆ

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ．

Ｂｕｔ ｉｆ

ａｎｄ ｆｉｎａｌｌｙ ｄ

－＊

ｃｏ－ｌ ｔｅｒｍ ｉｎ

ｎｅｅｄ

ｗｅ

＝

＝

ＳＦｓｉｎｇ： （＿ｌ）＾ｍ２ｃｏ－２＾ｄ－２ｃｏ

ｗ＾ｏｉ＾：／＾：，＾ （＾／２－ａ））（４７ｒ）＜＞）－ｌ）！

（ｉｎ．？

？，．

Ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｗｉｌｌ

ｂｅ ｎｅｅｄｅｄ ｉｎ ｅｖａｌｕａｔｉｎｇ

ｔａｄｐｏｌｅ ｇｒａｐｈｓ．

１１．１．２ Ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ Ｔｈｅｒｍａｌ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｔ ｉｎｖｅｒｓｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｐ

Ｗｉｃｋ－ｒｏｔａｔｉｎｇ ｔｉｍｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ （Ｆｅｔｔｅｒ ＳＦ（ｘ ｙ；ｐ） ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

ｔ

－＞

＆

ｈ ａｎｄ ｔｈｅｎ

－

Ｗａｌｅｃｋａ

１／７ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｂｙ ｉｍｐｏｓｉｎｇ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｏｕｎｄａｒｙ

（１９７１））．

Ｔｈｕｓ

＝

ｔｈｅ

ｆｒｅｅ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

—

（

－

ｄ２／ｄｒ２

－

Ｖ２

＋

ｍ２）ＳＦ（Ｔ，ｘ）

Ｓｆ（ｔ，ｘ）－＞０， Ｓｆ（ｔ

＋

Ｐ，ｘ）

＝

＝

（５（ｔ）（５（３）（ｘ），

ａｓｘ－＞ｏｏ，

Ｓｆ（ｔ，ｘ）．

（１１．１．９ａ） （１１．１．９６）

（１１．１．９ｃ）

ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｏｖｅｒ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ａｒｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｒａｎｇｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ０ ａｎｄ Ｔｈｅ ｐ． ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｚｅｒｏ－ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ Ａｌｌ

ＳＦ（ｘ；ｏｏ） ｂｙ ｗｒｉｔｉｎｇ

ＳＦ（＊＇Ｊ）＝

ｔ

Ｓ￥｛Ｔ ＋ ｎ０９ｉ；ｃｃ）．

（１１．１．１０）

ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

１１．２ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ

（Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｉｎ

ａｐｐｌｙ ｔｈｅ

ｎ

－

＝

Ｔｈｅ

ＳＦ（ｘ

ｄ２／ｄＴ２

－

—

Ｖ２

ｙ；Ｐ） ｂｏｔｈ

ｔｘ ａｎｄ ｚｙ

＋ ｍ２ ｔｏ ｉｔ ｔｈｅ

ａｒｅ

ｉｎ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ

２８１

ｇｒａｐｈｓ

ｂｅｔｗｅｅｎ ０ ａｎｄ ｐ， ｓｏ ｗｈｅｎ ｗｅ ｉｎ （１１．１．９ａ） ａｒｉｓｅｓ ｆｒｏｍ

ｏｎｌｙ （５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ

０ ｔｅｒｍ．）

ｏｎｌｙ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ

ｉｎ

ＳＦ（ｘ＼ｐ） ａｒｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｎ

＝

０ ｔｅｒｍ ｗｈｅｎ ｘＭ

＝

０，

ｓｏ

ｈａｖｅ

ｗｅ

ＳＦ（ｘ＇，Ｐ） ｗｈｅｒｅ

ＳＦｓｉｎｇ

ｉｓ ｔｈｅ

ｓａｍｅ ａｓ

＝

ｉｎ （１１．１．７）， ｗｉｔｈ

ｔｅｒｍ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ． Ｉｔ ｄｉｆｆｅｒｓ ｆｒｏｍ

Ａ５Ｆ＝

ｗｈｉｃｈ， ｉｎ ｔｈｅ （Ｄ ＋ ｍ２）ＳＦ

＝

（１１．１．１１）

Ｓ￥ｕ］ａｇ（ｘ） ＋ ３￥ｍ（ｘ；Ｐ）， ＳＦａｎａ（ｘ； ｏｏ）

－

ｘ２

＝

ａｔ ｚｅｒｏ

ｘ２． Ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｂｙ

ｔ２

＋

￡ ＳＦ（Ｔ ＋ ｎＰ，ｘ；ｏｏ），

ｒａｎｇｅ ０ ＜ ｔ ＜ ｐ， ｉｓ ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ０． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｘ２ ａｌｏｎｅ， ｉ．ｅ．， ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ

Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ａｎｏｔｈｅｒ， ｄｉｒｅｃｔ， ｗａｙ ｏｆ ｄｅｒｉｖｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （１１．１．１１） ｉｓ ｔｏ ｅｘｐａｎｄ ＳＦ（ｘ； Ｐ） ｉｎ

ｒｅｑｕｉｒｅ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ （１１．１．９ａ） ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈａｔ ＳＦ ＳＦｓｉｎｇ（ｘ） ＋ ＳＦａｎａ（ｘ；ｐ）， ｗｈｅｒｅ ＳＦｓｉｎｇ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｓ ｉｎ （１１．１．６）． Ｔｈｅｎ ＳＦａｎａ ｉｓ ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｔｉｃ ａｔ ｘ ０， ａｎｄ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ＳＦｓｉｎｇ ＋ ＳＦａｎａ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｔｈｅｎ ａｄｄ ａｎｄ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｔｈｅ ｐｏｌｅｓ ２Ｘｄ ２ｏ＾ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ （１１．１．１１）． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｉｎ ５Ｆａｎａ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ａｔ ｚｅｒｏ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ， ｂｅｃａｕｓｅ ｉｔ ｍｕｓｔ ｃａｎｃｅｌ ａ

ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ａｂｏｕｔ ｘＭ

＝

０， ａｎｄ ｔｈｅｎ

ｔｏ

ｔｏ ｂｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ． Ｔｈｅ （５－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ

＝

＝

—

ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｉｎ

ＳＦｓｉｎｇ，

ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ｏｆ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ．

１１．２ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ Ｔｏ ｅｘｐｌａｉｎ ｈｏｗ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｗｏｒｋｓ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇｓ． １１．２．１ ｔｏ １１．２．４ ｆｏｒ ０４ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｆｏｕｒ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｔｈｅｓｅ

ａｒｅ

ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈｅ ｖａｒｉｏｕｓ

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ

ｔｈａｔ

ｏｃｃｕｒ． Ｏｕｒ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ

Ｔｈｅ

ｗｏｒｋｓ

ａｓ

ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｅｘａｍｐｌｅ

ｘ

ｚ

（ａ）

ｗｅｌｌ ａｔ ａｎｙ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ．

ｉｓ ｔｈｅ

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ

ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ，

＊ ｙ

（ｂ）

Ｆｉｇ． １１．２．１． Ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ．

２８２

Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ

Ｆｉｇ． １１．２．１． Ｉｔｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ： Ｍ，

＝

－ｙＡ＊４＂＂ ＼ｄｄｚＳＦ（ｘ－ ｚ，ｄ；ｌ／Ｔ）ＳＦ（ｚ

ｙ，ｄ；ｌ／Ｔ）ＳＦ（０，ｄ；ｌ／Ｔ）． （１１．２．１）

ＳＦ（ｘ ｚ） ａｎｄ ＳＦ（ｙ ｚ） ａｒｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ ａｒｅ ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ

Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｈｅ

－

—

—

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ

（１１．１．１１）

Ｍｘ

ｔｏ ｗｒｉｔｅ

Ｍｌ

＝

＂

Ｔ

ＳＦ（０，ｄ；ｌ／Ｔ）

ａｔ ｚ

ｘ

ａｎｄ ａｔ

ｚ

ｙ， ｂｕｔ

ｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ，

ｓｏ ｗｅ ｕｓｅ

（１１．１．８） ａｎｄ

ａｓ

ＷＺＳ＾Ｘ

￣

Ｚ）Ｓ＾Ｚ

￣

＞＾Ｆａｎａ（０， ｄ

＝

ｔｅｒｍ

４； ｌ／Ｔ）

＋

０（＾４）－

ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｅｘａｃｔｌｙ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ

ｉｓ

（１Ｌ２＊２） ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， Ｆｉｇ． １１．２．１（ｂ）． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｉｚｅｄ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ａｔ ｏｒｄｅｒ ｇ ｉｓ

！ Ｊｄ４ｚＳＦ（ｘ

－

＝

ｄｏ ｎｏｔ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ ａｎｙ

｜｜ｄｄｚＳＦ（ｘ－ Ｚ）ＳＦ（Ｚ＂ｙ）ｒｉ＾ Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ

＝

－

ｚ）ＳＦ（ｚ

－

ｙ）ＳＦａｎａ（０，４， ｌ／Ｔ）．

ｍａｓｓ－

ｒｅｎｏｒｍａ－

（１１．２．３）

Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｎｌｙ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｔｅｒｍ ｉｎ ＳＦ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｈｏｗｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｔ ａｎｙ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ． Ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

Ｍ２

＝

ｇｒａｐｈ

Ｕ－ ｗ４＂＂）２

ｏｆ

Ｆｉｇ． １１．２．２ ｆｏｒ

ＩｄＶ＊ｓＦ（＊ｉ

－

ｔｈｅ

ｙ）ｓＦ（＊２

ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

－

ｙ）ＳＡｙ

ＳＦ（ｙ

—

ｚ）２

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｔ ｙ

＝

ｚ； ｉｔ ｉｓ

Ｍ２

＝

Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ

ｄ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ４

ａｓ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ．

ｇ２

＊？ （１１．２．４）

ｘＳＦ（ｚ－ｘ３）ＳＦ（ｚ－ｘ４）． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ

－

ｉｓ

Ｌｅｔ

ｃｏｎｉｅｓ ｕｓ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ

ｏｆ

ｗｒｉｔｅ

Ｌ＇ｙｄ＇ｚｇＳｒｌｙ －ｚ）２ｆ（ｙ，ｚ，｛Ｘｉ｝）．

（１１．２．５）

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ， ｉｔ ｉｓ ｇｏｖｅｒｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ

（ａ）

ｍ

Ｆｉｇ． １１．２．２． Ｖｅｒｔｅｘ ｇｒａｐｈ ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ．

１１．２ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｔｈｅ

ｏｆ （１１．２．５）

ｉｎｔｅｇｒａｎｄ

ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ａｓ ｙ－？ｚ．

Ｔｈｕｓ

ｉｎ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ

ｗｅ ｃａｎ

ｇｒａｐｈｓ

ｇｅｎｅｒａｔｅ

ａ

２８３

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ，

ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇ． １１．２．２（６）， Ｍ，

－Ｊ－Ｖｙ＆Ｗｆ｛ｙ，ｙＡ＊ｉｉ） ［ｐｏｌｅ

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｓ ｅｎｔｉｒｅｌｙ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （１１．１．７） ｏｆ ＳＦｓｉｎｇ Ｔｈｅ

ｓＦ１ Ｔｈｅ

ｐｏｌｅ－ｐａｒｔ ｆａｃｔｏｒ

＝

ｄ＂ｚＳＦ１ （ｙ－＊）２］． （１１．２．６）

ｐａｒｔ ｏｆ

ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ

ｒ（ｄ／２ －１ ）／［４７ｒｄ／２（

－

ＳＦ１

ｉｎ ｔｈｅ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｘ２ｙ＂２ －＊］．

ｉｎ （１１．２．６） ｉｓ ｔｈｅｎ

－ｐｏｌｅｊｊ ｄ＾ＳＦ１（ｙ－ｚ）２｜＝－ｐｏｌｅ｜ｒ（＾￣１）２Ｊ ＝ －—－

ｄ＇ｚ（－ｚ＞？－

ｄｚｚ－

ｐｏｌｅ ＜

１ ｆｉｕ ８ｎ２４－ｄ＊

Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｌｉｎｅ

ｗｅ

ａｎｄ ｔｈｅ ｎｏｔａｔｉｏｎ Ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ

＼ｉｄ￣＊

ｊ＊

ｓｈｉｆｔｅｄ ｚ

＿

ｚ ｔｏ ｚ ＋

（１１．２．７）

ｙ． Ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｌｉｎｅ ｗｅ Ｗｉｃｋ ｒｏｔａｔｅｄ

０ｄｚ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｎｅａｒ ｚ

ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｌｉｎｅ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ，

ｊ

ａｓ

ｕｓｕａｌ，

＝

ｚ°，

０ ｍａｔｔｅｒｓ．

ｔｏ ｐｒｅｓｅｒｖｅ

ｅｘｐｌｉｃｉｔ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ． Ｗｅ ｔｈｕｓ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｍ２ ｉｓ

Ｍ２

＼ｉｍ［ｄｄｚｄｄｙ［ｇ２ＳＦ（ｙ－ ｚ）２＋８＾ＱＷ）（＇－ｚ）

＝

（１１．２．８）

ｘｆ（ｙ，ｚ；｛Ｘｉ｝）．

４． Ａｇａｉｎ Ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｉｓ ａ ｗｅｌｌ－ｄｅｆｉｎｅｄ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ａｔ ｄ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｏｎｌｙ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐａｒｔ ＳＦｓｉｎｇ ｏｆ ＳＦ ｉｎ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ＝

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， Ｔｈｅ

ｓｏ

ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ． ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｓ ｗｅｌｌ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ

ｇｒａｐｈ Ｆｉｇ．

１１．２．３ ｈａｓ

，

（？）

ａ

＞ｃ＜

ｘ

（ｂ）

（ｃ）

Ｆｉｇ． １１．２．３． Ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｖｅｒｔｅｘ ｇｒａｐｈ ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

ａｓ

ａｎ

２８４

Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ

ｏｖｅｒａｌｌ

Ｍ３

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． ＝

ｉ（

－

＝

ｇ３

ｉｄｄＷｄｄｙｄｄｚＳＦ（ｘ１

ｉｇｆｉ４－＂）３

ＳＦ（ｘ４

ｘ

Ｉｔｓ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｖａｌｕｅ ｉｓ

－

ｚ）ＳＦ（ｗ

－

ｙ）ＳＦ（ｗ

ｊｄ＇ｗｄ＇ｙｄ＇ｚｆ ＜３＞（ｗ，

ｙ， ｚ，

－

－

ｗ）ＳＦ（ｘ２

ｚ）ＳＦ（ｙ

｛ｘｊ ）ＳＦ（ｗ

ｗ）ＳＦ（ｘ３

－

ｙ）

ｘ

ｚ）２

－

－

－

ｙ）ＳＦ（ｗ

－

ｚ）ＳＦ（ｙ

－

ｚｆ． （１１．２．９）

Ｉｆ ｗ ｉｓ ｎｏｔ ｃｌｏｓｅ ｔｏ ｙ ｏｒ ｚ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈｅｎ ｙ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ ｚ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ Ｆｉｇ． １１．２．２． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｓｏ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈｅｎ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｐｏｉｎｔｓ ｗ， ｙ， ａｎｄ ｚ ａｐｐｒｏａｃｈ

ｅａｃｈ

ｏｔｈｅｒ．

Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｓｕｂｔｒａｃｔ ｔｈｅ

Ｒ（Ｍ３）

＝

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｂｙ

ｇ３

ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ （１１．２．７）：

ｊ｝（３）（ｗ，ｙ，ｚ， ｛ｘｊ｝）ＳＦ（ｗ ［ｓＦ（ｙ－ ＊＋ Ｓｎ２（４－ｄ） ８？＼ｙ－ｚ） －

！

ｙ）ＳＦ（ｗ

－

ｚ）

ｘ

＊

（１１．２．１０）

ｚ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｔ ｉｓ Ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｉｎ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ ａｔ ｙ ｔｏ ４， ｉｆ ｉｔ ｉｓ ｉｔ ｄ ｔｈａｔ ａ ｗｈｅｎ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ， ｇｏｅｓ ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ； ｐｒｏｄｕｃｅｓ ｚ． ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｔｈｅ ａ ａｔ ｔｅｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ＝

—

／（３）（ｗ， ｙ， ｚ）ＳＦ（ｗ

—

ｙ）ＳＦ（ｗ

ｚ） ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

－

ａｔ ｙ

—

ｚ， ｕｎｌｅｓｓ ａｌｓｏ ｗ

＝

ｙ

＝

ｚ．

Ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ Ｒ（Ｍ３） ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗ ｙ￣ ｚ， ｗｈｅｒｅ ｚ ａｒｅ ｂｏｔｈ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｉｆ ａｎｄ ｎｏｔ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ． ａｌｓｏ ｉｓ ｉｓ ａ （Ｔｈｅｒｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｙ ／（３） ｘ３ ｏｒ ｘ４； ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｉｓ ｒｅｇｉｏｎ ｉｓ ａｇａｉｎ ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ．） Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｔ ｗ ￣

＝

ｙ

＝

ｚ

ｉｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ，

ｓｉｎｇｕｌａｒ

ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ｃ＝

－

ｓｏ

ａｇａｉｎ ｉｔ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｅｎｔｉｒｅｌｙ ｂｙ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ． Ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ

ＪｄＷ／（Ｖ，ｗ，ｗ，｛ｘＪ）ｒｘ）ｌｅｊ ｆｄＶｄｚＳＦ１（ｙ）ＳＦ１（ｚ）

［ ｓ＾－ｚ）２＋ｓ？，ｆ＾＾－） ｓｈｏｗｎ ｉｎ

Ｆｉｇ． １１．２．３（ｃ）． ｓｉｎｇｕｌａｒ ｂｕｔ ｉｎｔｅｇｒａｂｌｅ ａｔ ｙ ａｓ

＝

ＳＦ（ｙ）ＳＦ（ｚ）

＊

（１１．２．１１）

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｉｓ ｚ． Ｓｏ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｃｏｍｅｓ ｗｈｅｎ

ｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ， ｉ．ｅ．， ａｔ ｙ

—

ｚ

＝

０． Ｉｔ ｉｓ

ｅａｓｉｌｙ ｃｈｅｃｋｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｃ ｔｈｅｎ ｒｅｄｕｃｅｓ ｔｏ ３？２＜＜－８

ｊｕｓｔ

＝

ａｓ

ＪｄＶ（３）（ｗ，ｗ，ｗ，｛ｘｉ｝）（＇－＾

）２

Ｃ

２Ｔ２－

１

（４－ｄ）２

４￣ｄ

（１１．２．１２）

ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ （Ｖｌａｄｉｍｉｒｏｖ， Ｋａｚａｋｏｖ ＆ Ｔａｒａｓｏｖ （１９７９））．

１１．２ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ

ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒ ｔｅｒｍｓ

ｉｎ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ

＆＊ ＊￥■ （ａ）

２８５

ｇｒａｐｈｓ

（ｃ）

（ｂ）

Ｆｉｇ． １１．２．４． Ｔｗｏ－ｌｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ ａｎｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

Ｏｕｒ ｆｉｎａｌ

ｇｒａｐｈ， Ｆｉｇ． １１．２．４，

ｉｓ

ａ

ｌｉｔｔｌｅ

ｍｏｒｅ

ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ． Ｉｔｓ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ Ｍ４

＝

±（

－

ｘｇ＾－ｄ）２＼＆ｄｙ＆ｄｚＳ￥（ｘ，

－

ｙ）ＳＦ（ｙ

－

ｚｆＳＦ（ｚ

－

ｘ２）

＾＾２｜ｄＶＶ（４）（ｙ＾；ｋ－｝）ｓＦ（ｙ－ｚ）３．

（ｎ．２．１３）

Ｔｈｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｂｕｔ ａｌｓｏ ｔｈｒｅｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ （１１．２．１３） ａｐｐｅａｒｓ ｔｏ ｈａｖｅ ｏｎｌｙ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｗｈｅｎ ｙ ｇｏｅｓ ｔｏ ｚ； ｔｈｉｓ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ａｌｌ ｔｈｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ， ｆｏｒ ａ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｒｏｍ ｔｗｏ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｇｉｖｅｓ ａ ｇｒａｐｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｆｉｇ． １１．２．１ （ａ）． Ｔｈｅｒｅ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ａｔ ｙ ｚ， ｗｈｅｒｅａｓ ｔｈｅ —

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ ｉｎ （１１．２．１３）

ａｒｅ

ａｌｓｏ ｕｓｅｄ ａｔ ｙ ＾ ｚ． ｃａｓｅ ｉｓ ｔｏ ｗｒｉｔｅ

Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｗａｙ ｔｏ ｈａｎｄｌｅ ｔｈｉｓ ＳＦ

ｗｈｅｒｅ ＳＦ１ ｉｓ ｔｈｅ ＾

Ｆｓｉｎｇ

ｓａｍｅ

＝

ＳＦ１＋ＳＦ２

ｌｅａｄｉｎｇ ｔｅｒｍ

ａｓ

＋

（Ｈ．２．１４）

Ｓｒｃｍ，

ｂｅｆｏｒｅ， ａｎｄ ＳＦ２ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ

ｉｎ

？＇

ＳＦ２（＊）

＝

ｒ（ｄ／２－２）

￣

１６＾

（－ｎｘ２）＂１２－２

ｄ－４

ｎ

ｄ／２－２＿

（１１．２．１５）

ｚ） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ ｄ －＊ ４ ａｎｄ／ｏｒ ｙ－＊ｚ． Ｗｅ ｎｏｗ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ （１１．２．１４） ｆｏｒ ｅａｃｈ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ＳＦ（ｙ ｚ） ｉｎ （１１．２．１３） ａｎｄ ｏｂｔａｉｎ Ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ

ＳＴｅｍ（ｙ

—

－

Ｍ４

＝

ｇ２＼ ＼ｄ＇ｙｄｄｚｆ？＼ｙ，ｚ）ＳＦ１（ｙ ＋ ３＼

／＜４＞（ｙ，ｚ）ＳＦ１Ｓｒｅｍ Ｕ ｆ／（４）（ｙ，ｚ）ＳＦ１ｓｒｅｍ｜

－ｚｆ ＋ ３ ｆ？＼ｙ，ｚ）Ｓ２Ｆ１ＳＦ ｆｉｎｉｔｅ．

２

（１１．２．１６）

ＳＦ１＇ｓ ｈａｓ ｔｈｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ＳＦ１＇ｓ ａｒｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｗｉｔｈ ＳＦ１ Ｓｒｅｍ ｈａｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｏｍｉｎｇ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｗｏ ＳＦ１＇ｓ， ａｎｄ ｉｔｓ ｆａｃｔｏｒ ３ ｒｅｆｌｅｃｔｓ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｈｒｅｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ． Ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｗｉｔｈ ａｌｌ

２８６

Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｉｓ Ｆｉｇ． １１．２．４（ｂ）：

２，，４－ｄ

Ｍ＊？

８＾（４

＝

－

＾Ｗｔｏ＇＊＇ Ｗ＞Ｓｆ＜°＞

ｇ＾ｆｒ＾ｌｄＶ（４）（ｙ，＞＇；｛ｘ１｝）［ｓＦ２（０）

＝

＋

ｓｒｅｍ（０）］． （ｉ １．２．１７）

Ｈｅｒｅ ｗｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ

ｗｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ａｔ （１１．２．７） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｖｅｒｔｅｘ． Ｔｈｅ Ｓｒｅｍ（０） ｔｅｒｍ ｈｅｒｅ ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｔｅｒｍ ｉｎ （１１．２．１６）， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ＳＦ２ ｔｅｒｍ ｃｏｍｂｉｎｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ｉｎ

（１１．２．１６）

ｔｏ

ｐｒｏｄｕｃｅ

３０２

ａ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｆｒｏｍ

ｉＶ４）（ｙ，ｙ）｛ ［

ｄｄｚＳＦ１（ｙ－ｚ）２Ｓｈ２（ｙ－ｚ）ｎ

ｄ＇

８－２ｄ

，４－＜Ｊ

Ｌｅｔ

／（４）

ｕｓ ｒｅｔｕｒｎ ｔｏ

；ＳＦ２（０？． Ｓｎ２（４－ｄ）＊￥２Ｋ＂＇ｆ－

（１１＇１１８）

（１１．２．１６）． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ

ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｉｓ ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ ｔｏ

ａｎｄ ｉｔｓ ｓｅｃｏｎｄ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ａｔ ｙ

ｇ２

Ｊｄ＇ｚ ｆ

ｚ：

ｄ＂ｙＳＦｌ（ｙ－ｚ）３［／＜＊＞（ｚ，ｚ） ＋ （ｙ －ｚｆ（ｄｆ＾ｌｄｙ％＝ｚ ＋

＝

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ｆｉｎｉｔｅ ＋

［２ｉｇ２ｎｄ＇２／ｒ（ｄ／２）］

Ｕｙ

－

ｚＹ（ｙ

－

ｚｙ（ｄ２ｆ＾ｌｄｙ＂ｄｙ％＝ｚ－＼

ｘ

ｙ２ ｄ２ｆＡ）

＾－■？［／＜＜＞Ｍ＞－ ＝

ｆｉｎｉｔｅ

—

ｉ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

Ｔｄｄｙ＾ｄｙ．

ｄｄｙｄｄｚｆ｛４）（ｙ，ｚ）ｎＳ｛ｄ）（ｙ

１６ｎ２ ｔｅｒｍ ｗｉｔｈ

／（４）（ｚ，ｚ） ｇｉｖｅｓ

ａ

ｐｏｌｅ

－

ａｔ ｄ

ｚ）／（８ ＝

－

２ｄ）．

（１１．２．１９）

２ ｂｕｔ ｎｏｔ ａｔ ｄ

＝

４．

１１．３ Ｆｌａｔ－ｓｐａｃｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｓｅｃｔｉｏｎ

Ｏｕｒ ｍｅｔｈｏｄ

ｗｅ

ｗａｓ ｎｏｔ

ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ． ａ ｇｏｏｄ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｐａｒｔｓ． Ｂｕｔ ｉｔ

ｍａｄｅ ｖｅｒｙ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｄｅｐｅｎｄ ｏｎｌｙ ｏｎ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ－

ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｉｔ ｍａｄｅ ｉｔ ｏｂｖｉｏｕｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ． Ｗｅ ｍｕｓｔ ｎｏｗ ｓｐｅｌｌ ｏｕｔ ｈｏｗ ｔｏ

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ

ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｔｏ

ａｎ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｇｒａｐｈ

ｉｎ

ａｎ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ Ｇ ｂｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｄ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ （ｉ．ｅ．， ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｏｒ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ

１１．３

ｆｏｒｍｕｌａ）．

Ｆｌａｔ－ｓｐａｃｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

２８７

Ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｅｖｅｒｙ １ＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｆｉｒｓｔ ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｓ ａｌｌ ｏｆ ｉｔｓ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｐｐｒｏａｃｈ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ， ａｎｄ ｂｙ ｔｈｅｎ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ （ｓｉｎｃｅ ｉｔ ｉｓ ａｎ ｘ －＞ ０ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ）． Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｓ ｏｖｅｒ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｒｅ ｉｎｃｌｕｄｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｃｏｉｎｃｉｄｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ

ｓｕｂｇｒａｐｈ． Ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｆｏｒ

１ＰＩ

１ ＰＩ

ｓｕｂｇｒａｐｈ． Ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｇ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｏｖｅｒ ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｃｏｍｅ ｆｒｏｍ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｈｅｒｅ ｓｏｍｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ａｐｐｒｏａｃｈ ｅａｃｈ ｏｔｈｅｒ． Ｔｏ ｅａｃｈ ｒｅｇｉｏｎ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ａ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｔｈａｔ ｇｏ ｔｏ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｉｎｔ， ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａｌｌ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｊｏｉｎｉｎｇ ｔｈｅｍ． Ｉｔ ｍｉｇｈｔ ａｐｐｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｇｒａｐｈｓ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｉｎ ｏｎｅ－ｔｏ－ｏｎｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ １ ＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｔｈａｔ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ａｒｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｗｈｅｎ ａｌｌ ｔｈｅｉｒ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｌｏｏｐ ｍｏｍｅｎｔａ ａｒｅ ｌａｒｇｅ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ｓｏ， ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｒｅａｓｏｎｓ： ａ

ｏｆ ｉｔｓ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｖｅｒｔｉｃｅｓ， ａｎｄ ｔｈｅ

（１） Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ ｔｈａｔ ａｒｅ ｎｏｔ １ＰＩ． （２） Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｔｈａｔ ａｒｅ ｎｏｔ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ； ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｗｈｅｎ ｓｏｍｅ ｂｕｔ ｎｏｔ ａｌｌ ｌｉｎｅｓ ｃｏｎｎｅｃｔｉｎｇ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｏｆ ａ １ＰＩ ｇｒａｐｈ ａｒｅ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ．

ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｃａｓｅ ｉｓ Ｆｉｇ． １１．３．１， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ａｔ ｗ， ｙ， ｚ， ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ｊｏｉｎｉｎｇ ｔｈｅｍ． Ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｃａｎｃｅｌ ａｌｌ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｂｕｔ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ ＳＦ（ｗ ｙ） ｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ， ｓｏ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｏ ｊｕｓｔｉｆｙ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｒｅｓｕｌｔ． Ｏｔｈｅｒ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｂｕｔ ｄｏ ｎｏｔ ｏｃｃｕｒ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ａｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ． Ａ ｔｙｐｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． １１．２．４． Ａｎ

—

Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｃｏｍｅｓ

ｔｈｅ ｔｒｉｃｋ

ｔｏ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ，

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｙ －＞ｚ， ａｎｄ ｉｔ ａｐｐｅａｒｓ ｔｏ ｉｎｖｏｌｖｅ ａｌｌ

ｊｕｓｔ ｔｗｏ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ． Ａｓ ｗｅ ｓａｗ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １１．２， ｔｈｉｓ ｈａｎｄｌｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｔｏ ｍａｋｅ ａ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈｒｅｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ， ａｓ

ｎｅｖｅｒ

ｉｎ （１１．２．１４）．

￣／ｗ Ｆｉｇ． １１．３．１． Ｔｈｅ

ｙ

Ｖ

１

ｚ

ｓｕｂｇｒａｐｈ ｉｓ ｏｎｅ－ｐａｒｔｉｃｌｅ－ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ａｎｄ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ．

ｗ－ｙ－ｚ

ａｐｐａｒｅｎｔｌｙ

ｈａｓ

ａｎ

Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ

２８８ Ｆｉｒｓｔ， ｈｏｗｅｖｅｒ， ｌｅｔ

ｕｓ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ

ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ １ＰＲ

ｐｒｏｂｌｅｍ

ｇｒａｐｈｓ

ｌｉｋｅ

ｏｆ Ｆｉｇ． １１．３．１． Ａｆｔｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， Ｆｉｇ． １１．３．１ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｔｈｅ （ｗ，ｙ，ｚ）

ｓｕｂｇｒａｐｈ

ｄｄｗｄｄｙｄｄｚｆ（ｗ）ＳＦ（ｗ

ｘ［ＳＦ（ｙ－ｚ）３ Ｈｅｒｅ ｆ（ｗ） ｉｓ

ｙ）

－

ｘ

（１１．３．１）

ＡＳ（ｙ－ｚ） ＋ Ｂ＼ｊＳ（ｙ－ｚ）］ＳＦ（ｚ－ｘ２）．

＋

ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ｎｏｎ－ｓｉｎｇｕｌａｒ ａｔ ｗ ｙ． Ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｐｌｕｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ａｔ ｄ ４， ｗｅ ｈａｖｅ ＳＦ（ｗ ｙ） １／ （ｗ ｙ）２ ａｎｄ ＳＦ（ｙ ｚ）３ ｌ／（ｙ ｚ）６， ｓｏ ｉｔ ｍｉｇｈｔ ａｐｐｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｈｅｎ ｗ ａｎｄ ｙ ｂｏｔｈ ａｐｐｒｏａｃｈ ｚ． Ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ａ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｖｅｒｔｅｘ ａｎｄ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ａｌｌｏｗｅｄ． ａ

＝

＝

—

＾

—

Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ｒｅｓｕｌｔ ｇｉｖｅｓ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ

ｎｏ

ｄｉｒｅｃｔｌｙ

ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｓｕｌｔ

Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ

￣

—

—

ｓｕｃｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ，

ｓｏ

ｉｔ ｉｓ

ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ．

ｏｖｅｒ ｗ， ａｎｄ ｓｅｅ ｔｈａｔ

ｉｄｄｗｆ（ｗ）ＳＦ（ｗ－ｙ） ｎｏｎ－ｓｉｎｇｕｌａｒ ａｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｙ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｃａｎ ｐｅｒｆｏｒｍ ｔｈｅ ｙ－ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ａｌｔｈｏｕｇｈ ＳＦ（ｙ ｚ） ｉｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ ａｔ ｙ ｚ， ｉｔ ｉｓ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｎｏ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｔｈｅｒｅ， ｓｏ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｔｈｅｎ， ｆｉｎａｌｌｙ， ｗｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ ｏｖｅｒ ｚ． Ｔｈｅ ｃｒｕｃｉａｌ ｐｏｉｎｔ ｉｓ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ

＝

—

ｔｈａｔ

ｆｉｎｄ ａｎ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｙ：－ｅａｃｈ ｋｉｌｌｓ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｎ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｏｎｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｗｉｔｈｏｕｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｎｅｗ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｉｅｓ． Ｉｆ ｗｅ ｒｅｐｌａｃｅｄ Ｆｉｇ． １１．３．１ ｂｙ Ｆｉｇ． １１．２．３， ｓａｙ， ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｈａｖｅ ａ ｎｏｔ－ｑｕｉｔｅ ｓｉｍｉｌａｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ： ｗｅ

ｄｄｗｄｄｙｄｄｚＳＦ（ｗ Ｔｈｅ

ＳＦ（ｗ

ｉｎｔｅｇｒａｌ —

ｏｖｅｒ

ｗ，

ｆｏｒ

－

ｙ）ＳＦ（ｗ

－

ｅｘａｍｐｌｅ，

ｚ）［ＳＦ（ｙ

ｗｅ

ｚ）２

－

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ］．

ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｔｗｏ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ

ｚ）． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｂｅｃｏｍｅｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ

Ｓｏ ｆａｒ

－

ａｔ ｙ

＝

ＳＦ（ｗ

—

ｙ），

ｚ．

ｈａｖｅ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ

ｏｒ

ｔｈａｔ， ａｆｔｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｏｎｌｙ １ＰＩ ｂｙ ｇｒａｐｈｓ ｈａｖｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｓｏｍｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｔｈａｔ ｎｅｅｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ． Ｗｅ ｈａｖｅ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ

（ｌｉｋｅ Ｆｉｇ． １１．２．４）

ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ， ｓｉｎｃｅ

ｗｅ

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ

ｗｅ

ｓａｗ

７ ａｓ ｉｎ

ｇｅｎｅｒａｌ ａｎｄ

ｄｏ ｎｏｔ ａｐｐｅａｒ

ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ

ａｓ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｄｅｆｉｎｅｄ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ

ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－ｓｐａｃｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｏ Ｅｖｅｎ ｓｏ，

ｓｅｅｎ

ｉｎｃｌｕｄｅ ａｌｌ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ

ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １１．２ ｔｈａｔ

Ｆｉｇ． １１．２．４（ｂ）．

ｗｅ

ａ

ｃｏｎｎｅｃｔｉｎｇ ｉｔｓ ｖｅｒｔｉｃｅｓ．

ｈａｖｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｓｕｃｈ

Ｔｏ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｈｅｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｉｓｅ ｉｎ

ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ，

１１．３ Ｆｌａｔ－ｓｐａｃｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｗｅ

ｄｅｃｏｍｐｏｓｅ ＳＦ

２８９

ａｓ

ＳＦ

＝

ＳＦ１

＋

－

＋

（１１．３．２）

ＳＦＮ ＋ Ｓｒｅｍ．

ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐａｒｔ ＳＦｓｉｎｇ ｏｆ ＳＦ． Ｗｅ ｌａｒｇｅｒ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ Ｇ ｔｈａｔ ｉｓ ｂｅｉｎｇ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ． Ｔｈｕｓ ｗｈｅｎ ＳＦ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ Ｓｒｅｍ， ａｎｙ （ｓｕｂ）ｇｒａｐｈ ｙ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｉｔ ｂｅｃｏｍｅｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． Ｗｈｅｎ ｗｅ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ （１１．３．２） ｆｏｒ ｅｖｅｒｙ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｎ ａ ｇｒａｐｈ， ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ａ ｓｕｍ ｏｆ ｇｒａｐｈｓ， ｉｎ ｅａｃｈ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｅｖｅｒｙ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｏｎｅ ｏｆ Ｗｅ ｏｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｎｅｗ ｇｒａｐｈｓ ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ． Ａ ５Ｆ１，．．．， ＳＦＮ， Ｓｒｅｍ． ｓｕｂｇｒａｐｈ ｎｅｅｄｓ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｆ ｉｔｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒ ｏｒ ｚｅｒｏ， ａｎｄ ｗｅ ｍａｋｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ａｌｌ １ＰＩ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｔｈｅ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｒｅ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｏｂｖｉｏｕｓ． Ａｎｙ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｗｉｔｈ ＳＦ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ＳＦ１ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓ ａｓ ｉｎ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｇｒａｐｈ， ａｎｄ ａ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｂｙ ＳＦＮ ｒｅｄｕｃｅｓ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｂｙ ＩＮ ２． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｓｕｂｔｌｅｔｙ ｉｓ ｔｈａｔ ｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｏｆ ＳＦ１ ｂｙ Ｓｒｅｍ（ｘ ｙ） ｉｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ ２Ｎ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｉｔ ｄ ＋ ２Ｎ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｂｅｈａｖｅ ａｓ （ｘ ０： Ｉｔｓ ａｎａｌｙｔｉｃ ｐａｒｔ ｂｅｈａｖｅｓ ｗｈｅｎ ｘ ｙ）２ ｙ ａｓ （ｘ ｙ）°． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃ ｐａｒｔ ｎｅｖｅｒ ａｃｔｕａｌｌｙ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓ ｔｏ ａｎｙ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ａｎｄ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐａｒｔ ｏｆ Ｓｒｅｍ ｄｏｅｓ ｇｏ ｌｉｋｅ （ｘ ｙ）２￣ｄ＋２Ｎ Ｈｅｒｅ

ＳＦ１

ｃｈｏｏｓｅ Ｎ

ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ Ｎ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ

ｔｏ

ＳＦＮ

ｓｏ

ｔｈａｔ ２Ｎ ｉｓ

ａｒｅ

ｔｈａｎ ｔｈｅ

ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａｎｙ

—

—

—

＂

—

—

－＞

—

—

ｒｅｌａｔｉｖｅ ｔｏ Ａ ｔｙｐｉｃａｌ

ＳＦ１． ｃａｓｅ

ｉｓ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｔｅｒｍ

ｏｎ

ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｔｈｉｓ ｔｅｒｍ ｉｓ

ｉｆ｛４）（ｙ，ｚ）Ｓｒｅｍ（ｙ ＳＦ１ （ｙ ｚ）２ ￣（ｙ－ ｚｆ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｔ

Ｎｏｗ ａ

＂

－

２ｄ

ｙ

ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ －

ｚ）ＳＦ１（ｙ

ａｓ ｙ －＞ ｚ， ＝

ｚ．

［／（４）（ｙ，ｚ）Ｓｒｅｍ（ｙ ｚ）［ｓＦ１（ｙ －

ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ （１１．２．１６）． Ｂｅｆｏｒｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

－

ｔｏ

ｚ）２ｄｄｙｄｄｚ

ｗｈｉｌｅ Ｓｒｅｍ

－

ＳＦａｎａ（０） ＋ ０． Ｓｏ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｂｕｔ ａｆｔｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， －

ｚ）２

＋

ｗｅ

ｈａｖｅ：

ｓ＊（４＊＿ｄ）Ｈｙ ＊）］ｄ ｄｙｄｄｚ． －

ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｗｉｔｈ ａｎ ａｎａｌｙｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｌｉｋｅ／（４）（ｙ，ｚ）ＳＦａｎａ（ｙ－ｚ）， ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ｉｎ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｇｉｖｅｓ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｕｌｔ． Ｓｏ ａｎｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ Ｗｈｅｎ

ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｎ ５ｒｅｍ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｉｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ （ｙ ｚ）６￣ｄ， ｓｏ ｎｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｃｃｕｒｓ． Ｗｅ ｎｏｗ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｏｕｒ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｆｉｇ． １１．２．４． Ｗｅ ｅｘａｍｉｎｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｆｉｇ． １１．３．２（ａ）． Ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ Ａ ｉｓ １ＰＩ ａｎｄ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ ／，，．．．， ／Ｊｏｉｎ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｏｆ Ａ． Ａ ｇｒａｐｈ ｔｈａｔ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ Ａ ａｎｄ ｓｏｍｅ ｏｒ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ／－＇ｓ ｉｓ １ＰＩ ａｎｄｊｓ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ， ｔｈｅｓｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｃｏｍｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ａｌｌ ｖｅｒｔｉｃｅｓ ｏｆ Ａ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｉｎｔ； ｉｔ

ｔｈｅ

—

２９０

Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ

Ｆｉｇ． １１．３．２． Ｇｅｎｅｒａｌ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｗｈｅｒｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｂｕｔ ａｐｐｅａｒ ｔｏ ｈａｖｅ

ｎｏ

ａｒｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ， ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ．

ｌｖ．．．， ｌａ ａｌｌ ｐａｒｔｉｃｉｐａｔｅ ｉｎ ｅｖｅｒｙ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｐｒｅｓｅｒｖｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｗｅ ｍｕｓｔ ｉｎｃｌｕｄｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ ｆｏｒｍ Ａ ｉｎ ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． ａｐｐｅａｒｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｉｎｅｓ

Ｔｈｉｓ

ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈａｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ． Ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｉｎ ０４ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｏｎｅ ｌｉｎｅ ／ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ ｐｕ ｐ２． Ｓｃｈｅｍａｔｉｃａｌｌｙ ｗｅ ｈａｖｅ

ｄｄｗｄｄｘｄｄｙｄｄｚＳＦ（ｘ Ｈｅｒｅ

ＳＦ（ｘ

—

－

ｗ）Ａ（ｗ， ｘ， ｙ， ｚ）ｆ（ｙ， ｚ）．

（１１．３．３）

ｗ） ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｏｆ ｌｉｎｅ ／， ｗｈｉｌｅ ｆ（ｙ，ｚ） ｉｓ ａｎａｌｙｔｉｃ ａｔ ｙ ｚ ｇｒａｐｈ． Ａ（ｗ， ｘ， ｙ， ｚ） ｉｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｇｒａｐｈ Ａ． Ｗｅ ＝

ａｎｄ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ ｔｈｅ ｒｅｓｔ ｏｆ ｔｈｅ

ｓｕｂｔｒａｃｔ ｏｆｆ ａｌｌ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ Ａｕ｛ｌ｝． Ａｍｏｎｇ ｔｈｅｓｅ ｉｓ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ Ａ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ＣＡ（ｗ，ｘ，ｙ９ｚ；ｄ９ｇ，ｒｉ ｓｉｎｃｅ

Ａ

ｇｉｖｅｓ

ａ

＝

Ｃ（ｄ，ｇ，＾ｄ＼ｗ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

－

ｚ）ｄ＾（ｘ

－

ｚ）ｄ？（ｙ

Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ

－

ｚ），

ｒｅｐｌａｃｉｎｇ

（１１．３．４） Ａ

ｂｙ ｉｔｓ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｔｈｅｎ

Ｃ（ｄ９ｇ９ｒｉ（ｄｄｚｆ（ｚ，ｚ）Ｓ￥（Ｑ）．

（１１．３．５）

ｂｙ ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ， ｓｉｎｃｅ ｗｈｅｎ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ｌｏｏｐｓ ｉｔ ｎｅｅｄｓ

Ｔｈｉｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ Ａ

ｏｃｃｕｒｓ

ａｎ

ｉｎ

ａ

ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｈｉｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ

ｃａｎｃｅｌ ｃｅｒｔａｉｎ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ （１１．３．３） ａｓ ｙ－＊ｚ． Ｌｅｔ ｕｓ ｎｏｗ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ ｅａｃｈ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｂｙ （１１．３．２） ｗｉｔｈ ＪＶ

＝

２． Ｔｈｅ

／ｍａｙ ｂｅ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ＳＦ１， ＳＦ２， ｏｒ Ｓｒｅｍ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈ ＳＦｘ ａｎｄ ＳＦ２ ｂｏｔｈ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ ｔｏ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｔ ｙ ｚ， ｗｈｅｔｈｅｒ ｉｎ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｏｒ ｉｎ Ｔｈｅ ｆｒｏｍ （１１．３．５） ｗｉｔｈ ＳＦ ＳＦ１ ｏｒ （１１．３．５）． ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｇｒａｐｈ （１１．３．３） ＳＦ２ ｉｓ ｌｏｃａｌ ａｎｄ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ， ｓｏ ｔｈａｔ ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｏｖｅｒａｌｌ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｗｉｔｈ Ｓｒｅｍ ａｌｓｏ ｇｉｖｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ，，ｂｕｔ ｃａｎｃｅｌ ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ （１１．３．３） ａｎｄ （１１．３．５）， ｊｕｓｔ ａｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｃａｓｅ ｏｆ Ｆｉｇ． １１．２．４． ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｆｏｒ ｌｉｎｅ

＝

＝

２９１

１１．４ Ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｉｅｌｄｓ

Ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ

ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａｂｏｖｅ

ｉｓ

ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｙ

ｍｏｒｅ

ｃｕｍｂｅｒｓｏｍｅ ｔｈａｎ

ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｃａｓｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｉｔ ｗａｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｓｏ ｅｍｐｈａｓｉｚｅ ｉｔｓ ｆｏｒｍ ａｓ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｇｅｎｅｒａｌ ａｒｇｕｍｅｎｔ． Ｔｈｉｓ

ｈａｐｐｅｎｓ

ｏｎｌｙ

ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ

ａｓ ｔｏ ｃａｓｅ

ｐｒｅｓｅｎｔ ｉｎ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｉｎ ｔｈｅ

ｏｎｅ

ｂｕｂｂｌｅｓ （ｕｓｅｄ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｇｒｏｕｎｄ－ｓｔａｔｅ ｅｎｅｒｇｉｅｓ） ａｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃａｎ ｂｅ ｈｉｇｈｅｒ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｎｅｅｄｉｎｇ ａ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｐｒｏｏｆ． ｖａｃｕｕｍ

Ｉｎ ａｎｙ ｅｖｅｎｔ， ｔｈｅ ｍｏｒａｌ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｆ

ｗｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｔｈｏｓｅ

ｃｈｏｏｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ

ｏｆ ｆｏｒｍ Ａ ｉｎ Ｆｉｇ． １１．３．２， ｔｈｅｎ ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｎｅｅｄ ｏｎｌｙ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ＳＦ１，ＳＦ２， Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ＳＦａｎａ ｉｓ ｉｒｒｅｌｅｖａｎｔ． Ｉｔ ｉｓ ｏｎｌｙ ＳＦａｎａ ｔｈａｔ ｋｎｏｗｓ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ， ｓｏ ｏｎｌｙ ｉｔ ｋｎｏｗｓ ｔｈｅ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＳＦ／ｓ ａｒｅ ｍｏｎｏｍｉａｌｓ ｉｎ ｍａｓｓ． Ｈｅｎｃｅ ａ

ｏｕｒ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ

ｔｏｔａｌｌｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ

ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ ｉｎ ｍａｓｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ， ａｓ ｗｅ ｓａｗ ｂｙ

ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ．

１１．４ Ｅｘｔｅｒｎａ］ ｆｉｅｌｄｓ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ａｓ

ａｎ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ

ｂｙ

ａ

２

－

＝

－

ｅｘａｍｐｌｅ ＱＥＤ

ｃｌａｓｓｉｃａｌ

ｓｏｕｒｃｅ

ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ

Ｊ＊． Ｗｅ ｈａｖｅ

（ｉｎ ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｇａｕｇｅ）

ｉＦｌ＊ ＋ ＃（＃＋ ＊＊－ Ｍ）＼ｌ＊ Ｊ？Ａ＾ ｉ（Ｚ３ ｌ）Ｆｊｖ ＋ （Ｚ２ ｌ）０（ｔｆ＋ ｅＡｔｙ －

－

－

－

Ｗ（Ｚ２Ｍ０

－

Ｍ）

－ｉｍ）ｄ－Ａ２． （１１．４．１） Ｔｏ ｓｅｐａｒａｔｅ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｎｄ ｑｕａｎｔｕｍ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ， ｗｅ ｌｅｔ ｓｔｆ ＾ ｂｅ ａ ｃ－ｎｕｍｂｅｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｔｈａｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｍａｘｗｅｌｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｓｏｕｒｃｅ Ｊ＂． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｒｅｐｌａｃｅ Ａ＾ ｉｎ （１１．４．１） ｂｙ Ａ ＋ ｓｔ ＾ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ＆

＝

＂

－

＋

ｉＦｌ＊ ｉ（Ｚ３ （Ｚ２

－

￣

－

０（ｔｆ＋ ｅｓｔ－ Ｍｔｙ ＋ ｅ￥Ａｔｙ １）Ｆ＊Ｖ ＋ （Ｚ２ ｌ）０（ｉ＊＋ ｅＡ）ｉＰ （Ｚ２Ｍ０ Ｍ）＾

（Ｖ２ＯＳ＇Ａ２

＋

－

＼）＼＼ｉｅｉ＃＼＼ｉ

－

＋

ｓｔ＾

（１１．４．２）

＋ ｔｏｔａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ．

Ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｄ －ｓｒｆ

Ａ

－

＝

ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｃ－ｎｕｍｂｅｒ ｐａｒｔ

３－＾ Ｑ＾

＝

０

＝

Ｊ＂．

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ

０． Ｔｈｅ ｔｏｔａｌ

（１１．４．３）

￥ｔ＾ ｉｓ ｌａｒｇｅ ｔｈｅｎ ｗｅ ａｒｅ ｎｏｔ ａｌｌｏｗｅｄ ｔｏ ｅｘｐａｎｄ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｓｔ＾． Ｉｎｄｅｅｄ， ａｓ，Ｓｃｈｗｉｎｇｅｒ （１９５１） ｐｏｉｎｔｅｄ ｏｕｔ， ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ Ｉｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ

ＳＦ（ｘ，ｙ；ｅｊｔｆ） ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ

ａｎａｌｙｔｉｃ

ａｔ ｊｔｆ

＝

０．

２９２

Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ

Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｈｅ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ

ｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ａｎ ｅｌｅｃｔｒｉｃ ｆｉｅｌｄ． ｗｉｔｈｏｕｔ ａｓｓｕｍｉｎｇ ｔｈａｔ ｅｓｉ＼

ｎｏｎ－ａｎａｌｙｔｉｃ ｐａｒｔ ｔｈａｔ ｉｓ ｒｅｌｅｖａｎｔ ｆｏｒ ｐａｉｒ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｅ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｄｏ

ｉｓ ｓｍａｌｌ． Ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ （ｉｎ

ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｅ） ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ： （ｉｙ？ｄ／ｄｘ＊ ＋

Ｓｉｎｃｅ ＳＦ ｉｓ

ｎｏ

ｅｆｄ＾

ｌｏｎｇｅｒ ｓｉｍｐｌｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｔｈｅ

－

Ｍ）ＳＦ（ｘ， ｙ； ｅｓｔ）

＝

ｉ（５（４）（ｘ

－

ｙ）＼．

（１１．４．４）

ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ， ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｗｉｔｈ ｓｉ＼ ０． Ｌｅｔ ｕｓ ｗｏｒｋ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ

ｓａｍｅ ａｓ

＝

（１１．４．４）． Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｙ， ｐｌｕｓ ｓｅｒｉｅｓ ａｎａｌｙｔｉｃ ｔｈｅｒｅ． Ｗｅ ｏｎｌｙ ｎｅｅｄ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｔｅｒｍｓ， ａｎｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｗｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅ ＳＦ ａｓ ｉｎ （１１．３．２）． Ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｎｏｔ ｔｏ ｕｓｅ ａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｒｉｅｓ ｆｏｒ ＳＦ ａｔ ｔｈａｔ ｓｔａｇｅ， ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｃｏｎｖｅｒｇｅ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｘ， ｙ ａｎｄ ｓｉ． Ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｅｒｉｅｓ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｂｏｔｈ ｅ ａｎｄ Ｍ ｉｎ （１１．４．４） ａｓ ｓｐａｃｅ． Ｗｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ

ａ

ｓｅｒｉｅｓ ｓｉｎｇｕｌａｒ ａｔ ｘ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｅｗ ｓｉｎｇｕｌａｒ ａ

ｘ

－

ｙ ｔｏ ｓｏｌｖｅ

ａ

＝

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈｅ ｗａｙ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｓｃａｌａｒ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ａｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｍ２． Ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｘ ｙ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ —

ｖｆｄｌｄｘ？Ｓ￥１ ＝ｉ（５（ｘ

－

（１１．４．５）

ｙ）＼．

Ｅａｃｈ ｎｏｎ－ｌｅａｄｉｎｇ ｔｅｒｍ ＳＦｎ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｅａｒｌｉｅｒ ｔｅｒｍｓ ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ ａｔ ｘ±ｙ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｎ－ｌ

ｉｙ？ｄ／ｄｘ？ＳＦｎ

＝

（Ｍ

－

ｅｓｔ ＾ｆ）

（１１．４．６）

￡ ＳＦ，

ＳＦｎ ｕｎｉｑｕｅｌｙ， ｗｅ ｒｅｑｕｉｒｅ ｉｔ ｔｏ ｂｅ ａ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｘ ｙ ｔｉｍｅｓ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｙ． Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｉｙ＾ｄ／ｄｘ＊ ｍａｋｅｓ ＳＦｎ ｍｏｒｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｗｈｉｌｅ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｂｙ Ｍ ｏｒ ｂｙ ｅｙ＾ｓｔ＾ ｌｅａｖｅｓ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． Ａｆｔｅｒ ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｒｅａｔｉｎｇ ａｓ ａ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ＪＭ＾ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （１１．４．１） ｂｅｆｏｒｅ Ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

—

ｔｈｅ ｓｈｉｆｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｔｏ

Ａ＾ ＋ ｓｉ ＾ Ｓｉｎｃｅ Ａ＾ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ， ｔｈｉｓ ｔｅｒｍ

ｃａｎｎｏｔ ａｆｆｅｃｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｗｉｔｈ ｅａｃｈ ｏｆ

ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ

－

ｉｔ

ｓｉｍｐｌｙ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｏ ｉｎｔｅｇｒａｔｅ Ｊ＾（ｘ） ｓｅｐａｒａｔｅｌｙ ａｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ｅｘｔｅｒｎａｌ ｐｈｏｔｏｎ ｆｉｅｌｄｓ ｏｆ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｗｅ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ， ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ｓｈｉｆｔ

ｔｏ

ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｃｏｒｒｅｃｔｌｙ ｓｉ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｅｗ ｔｅｒｍｓ．

Ａ＾ ＋ ｓｉ＾

ｔｒｅａｔｅｄ ｂｙ ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ｉｎ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ Ｔｈｅ ｎｏｎ－ａｎａｌｙｔｉｃｉｔｙ ｉｓ ｅｎｔｉｒｅｌｙ ｃｏｎｆｉｎｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｔｅｒｍ ｉｎ ＳＦ； ｔｈｉｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓ ｔｏ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｈｙｓｉｃｓ， ｂｕｔ ｎｏｔ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ．

１２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ ｃａｎ ｂｅ ａｃｃｏｍｐｌｉｓｈｅｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｖｉｏｌａｔｉｎｇ ｉｔｓ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ； ａｍｏｎｇ ｏｔｈｅｒ ｔｈｉｎｇｓ ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｄ （ｖｉａ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ） ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｔａｔｅｓ ｄｅｃｏｕｐｌｅ （＇ｔ Ｈｏｏｆｔ （１９７１ａ））． Ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ９ ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｏｆ ａ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ａ ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ａｓ ｏｐｐｏｓｅｄ ｔｏ ａ ｇａｕｇｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｓｕｃｈ ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｎｇ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ． Ｗｅ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ａｌｓｏ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｎｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ａ ｇａｕｇｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｏｎｅ ｍｉｇｈｔ ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ａｌｓｏ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｊｕｓｔ ａｓ ｆｏｒ ａ ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ｔｒｕｅ， ｈｏｗｅｖｅｒ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｆｉｘｉｎｇ （ａｓ ｅｘｐｌａｉｎｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ２．１２ ａｎｄ ２．１３） ｄｅｓｔｒｏｙｓ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｏｎｅ ｍｉｇｈｔ ｉｎｓｔｅａｄ ｐｏｉｎｔ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｇａｕｇｅ ｆｉｘｉｎｇ ｉｓ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ａｎｄ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｔｈｉｓ ｄｅｄｕｃｔｉｏｎ ｉｓ ｆａｌｓｅ． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｉｓ， ｗｅ ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ａｎ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｒｅｌａｔｅｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｃｅｒｔａｉｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｉｅｌｄｓ ｔｏ ｏｔｈｅｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｄｉｆｆｅｒｉｎｇ ｏｎｌｙ ｂｙ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｌａｂｅｌｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ＢＲＳ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｒｅｌａｔｅｓ ａ ｆｉｅｌｄ ｔｏ ａ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ Ｉｔ ｉｓ

ｆｉｅｌｄ （２．１３．１）． Ｔｈｉｓ ｗｒｅｃｋｓ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｅｘｃｅｐｔ ｉｎ ａｎ ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ Ｆａｄｄｅｅｖ－Ｐｏｐｏｖ ｇｈｏｓｔ ｉｓ ａ ｆｒｅｅ ｆｉｅｌｄ．

Ｂｅｆｏｒｅ ｔｒｅａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｃａｓｅ， ｌｅｔ ＱＥＤ． Ｔｈｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

－

－

ｕｓ

ｅｘａｍｉｎｅ

ａｎ

ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ，

ｉｓ

ｉ（Ｚ３ ＼）Ｆｌ ＋ （Ｚ２ ｌ）０（ｉ０ ＋ ｅＲＡ－ ＭＷ Ｚ２｛ｐ（Ｍ０ Ｍ）￥ （ｌ／２￡）ｄ－Ａ２． －

－

－

－

（１２．０．１）

Ｈｅｒｅ ｅＲ ａｎｄ Ｍ ａｒｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｎｄ ｍａｓｓ， ｗｈｉｌｅ Ａ＾＼ｐ ａｎｄ ＼ｊ／ ａｒｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄｓ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｉｎｃｌｕｄｅ ｏｎｌｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

＾－＞ｅ－＾， ２９３

＞

（１２．０．２）

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

２９４

ｏｆ ｇａｕｇｅ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ ｏｆ ｏｕｒ ｌａｔｅｒ ｒｅｓｕｌｔｓ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｇａｕｇｅ ｎｏｎ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｃｔｕａｌｌｙ ｖａｎｉｓｈ． （Ｗｅ ｗｉｌｌ ｗｒｉｔｅ ｅＲ ｆｉ２￣ｄ／２ｅ ｉｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｄ， ｗｉｔｈ ｅ ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ－

Ａ

＝

ｌｅｓｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｈａｒｇｅ．） Ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ Ｚ＼／２＊？， ＜Ａｏ Ｚｊ＇Ｖ， ｅ０ Ｚ＂ ＊＇２ｅＲ９ ａｎｄ ￡０ ＾ ｛Ｚ３， ｗｅ ｈａｖｅ ＾

＝

ｉ（ｄＨＡ０ｖ Ｍｏ／ ＋ ＜Ｍｔｆ ＋ ｅｏ４ｏ －

＂

Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｐｈｏｔｏｎ－ｅｌｅｃｔｒｏｎ （Ｚ２

ｗｈｉｃｈ ｈａｓ

ａ

Ａ＾

＝

￣

＝

－

￣

Ｍｏ￥ｏ

ｖｅｒｔｅｘ

＂

ｉ＾ｉ０）ｄ＇Ａ２． （１２．０．３）

ｉｓ， ｆｒｏｍ （１２．０．１），

（１２．０．４）

Ｉｊｅ＾Ａ＾

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ

ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｏ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔ． Ｏｕｒ ｌａｔｅｒ

ｒｅｓｕｌｔｓ ｐｒｏｖｅ ｉｔ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ． Ｉｆ ｔｈｅ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ

ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ （２．１１．７）

ａｎｄ （２．１１．８）

ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｗｅｒｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ

ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｉＪ／Ａｉｐ

ｃｏｕｎｔｅｒ－

ｑｕａｒｋ ｆｉｅｌｄ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｚ２ ｗｏｕｌｄ ｈｏｌｄ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｂｙ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｆａｌｓｅ． Ａｓ ｗｅ ｐｏｉｎｔｅｄ ｏｕｔ ａｂｏｖｅ， ｔｈｅ

ｔｅｒｍ ｔｏ ｔｈｅ

ｒｅａｓｏｎ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｎｅｅｄ ｎｏｔ ｂｅ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＢＲＳ

ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ｎｏｔ

ａ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｔｈａｔ ｒｅｌａｔｅｓ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ

ｔｏ

ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ａｆｔｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ｂｕｔ ｕｎｄｅｒ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＢＲＳ ｓｙｍｍｅｔｒｙ，

ｆｉｅｌｄｓ． Ｅｖｅｎ ｓｏ， ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ａｓ ｗｅ

ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｉｎ ｔｈｉｓ

ａｒｅ

ｃｈａｐｔｅｒ．

Ｏｎｅ ｒｅｓｕｌｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｈａｔ ｗｈｅｒｅａｓ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｅｒｍｉｏｎ ｆｉｅｌｄ ｉｎ ＱＥＤ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｄｉ／／ ｉｅＲａ＞ｉｌ／， ｗｉｔｈ ｅＲ ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｈａｒｇｅ， ＝

ｔｈｅ

ｗｈｅｒｅ Ｘ ｉｓ

ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅｒｅ

ａ

ｆｅｒｍｉｏｎ ｆｉｅｌｄ ｉｎ ＱＣＤ ｉｓ ｄｘｊｊ

ｉｇ＾ｆＸｘｊｊｄＸ， ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｄｉｐ

ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

＝

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ ｆｏｒ ｐｒｏｖｉｎｇ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ． Ｂｅｆｏｒｅ ｌｅｔ ｕｓ ｒｅｍａｒｋ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｉｍ ｉｓ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｔｈｅｏｒｙ ｅｘｉｓｔｓ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． Ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ａｒｅ ａ

ｅｘｐｌａｉｎｉｎｇ ｔｈｅｍ，

ｅｘｈｉｂｉｔｅｄ ｂｙ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． Ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｃｈｏｏｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｓｕｃｈ ａ ｗａｙ ｔｈａｔ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈｏｌｄ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｗｅ ｃｏｕｌｄ ａｄｄ ａ ｔｅｒｍ ｔｏ ｔｈｅ ＱＥＤ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｔｅｒｍ ｉｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ， ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ａｄｄｉｎｇ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｅｘｔｒａ ｉｎｆｉｎｉｔｅ

（Ａ＾Ａ＾２

ｉｓ ｎｏｔ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ， ｆｏｒ ｔｈａｔ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｍｅｔｒｉｃ ｓｔａｔｅｓ ｄｏ ｎｏｔ ｄｅｃｏｕｐｌｅ ｆｒｏｍ ｐｈｙｓｉｃａｌ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｂｕｔ ｔｈｉｓ

ｅｘａｍｐｌｅ，

ｔｈｅｏｒｙ

ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ．

Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆｓ ｓｔａｔｅ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ

ｃｈｏｏｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｓｏ ｔｈａｔ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｈｏｌｄｓ． Ｓｅｖｅｒａｌ

ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ

ｃａｎ

ｂｅ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ：

２９５

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

１． Ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ． Ｕｓｅ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｔｈａｔ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｂｒｅａｋ ｇａｕｇｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ａｒｅ ｔｒｕｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （２．１１．７）， （２．１２．５）， ａｎｄ （２．１２．９）． Ａｌｌｏｗ ａｌｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ｆｉｅｌｄｓ ｔｏ ｇｅｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ

ｐｒｏｖｅｄ ａｒｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｆｉｎｉｔｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｃｅｎｔｅｒ ａｒｏｕｎｄ ｔｈｅ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｐｒｅｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｔｈｅ ｔｏ ｂｅ

ｔｈａｔ ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｃａｎｎｏｔ ｂｅ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔｌｙ； ｔｈｉｓ ｓｙｍｐｔｏｍｉｚｅｓ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｎｏｔ ａｌｌ ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ ａｆｔｅｒ

ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ

ａｒｅ

ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ

－

ｓｅｅ

Ｃｈａｐｔｅｒ

１３．

２． Ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ＋ ＭＳ． Ｌｅｔ

ｕｓ

ａｇａｉｎ

ｕｓｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ （ｏｒ ａｎｏｔｈｅｒ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｃｕｔ－ｏｆｆ）． Ｂｕｔ ｎｏｗ ｌｅｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｅａｃｈ ｓｅｐａｒａｔｅ ｇｒａｐｈ ｂｙ ｔｈｅ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｒ ｂｙ

ｕｓ

ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ

ｔｈｅ ｒｅｃｕｒｓｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ （ａｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ５）． Ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｃｏｎｓｔｒａｉｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｓａｔｉｓｆｙ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ； ｓｏ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｗｅ ｈａｖｅ ｖｉｏｌａｔｅｄ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｂｕｔ ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ： ｓｉｎｃｅ ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔｌｙ， ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｈａｔ ｉｓ ｎｏｔ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｍｕｓｔ ｂｅ ｆｉｎｉｔｅ， ａｆｔｅｒ ｓｕｍｍｉｎｇ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｏｒｄｅｒ． Ｂｕｔ ｉｎ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｆｉｎｉｔｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｚｅｒｏ． Ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｏｆ ｇｒｅａｔ ｕｓｅ ｗｈｅｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｎｏｎ－ｌｏｃａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ （Ｃｏｌｌｉｎｓ ＆ Ｓｏｐｅｒ （１９８１））． Ｗｅ ｃａｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ

ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｎｇ

ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． Ｔｈｅ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ

ｃｌｏｓｅｌｙ ｔｉｅｄ ｔｏ

ａ

ｓｐｅｃｉｆｉｃ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

３． Ｎｏｎ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ａｎｙ

ｒｅｇｕｌａｔｏｒ Ｐｉｇｕｅｔ

Ｔｈｅｒｅ

ｎｏｎ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｏｎｅ ｃａｎ ｕｓｅ

ａｄｊｕｓｔ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ｉｆ ｐｏｓｓｉｂｌｅ， ｔｏ ｓａｔｉｓｆｙ ａｌｌ ｔｈｅ （Ｐｉｇｕｅｔ ＆ Ｒｏｕｅｔ （１９８１）， Ｓｙｍａｎｚｉｋ （１９７０ａ）， ＇ｔ Ｈｏｏｆｔ （１９７１ａ），

ａｎｄ

Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ａｎｄ

ｐｌｕｓ

ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ．

＆ Ｓｉｂｏｌｄ （１９８２ａ， ｂ， ｃ））．

ａｒｅ ｔｗｏ

ｂｅ ｕｓｅｄ． Ｔｈｅｒｅ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｏｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ， ｅｉｔｈｅｒ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｍａｙ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｄｅｒｉｖｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ２．１３ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ａｒｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ ｔｈｅ ｏｎｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ １ＰＩ ｇｒａｐｈｓ， ａｓ ｄｅｒｉｖｅｄ ｂｙ Ｌｅｅ Ｏｕｒ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ＢＲＳ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ （１９７６）． ａｐｐｒｏａｃｈ ａ ｗｉｔｈ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎｄ ２． Ｉｔ ｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ １ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ

ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｂｒａｎｄｔ （１９７６）． Ｍｏｓｔ ｏｔｈｅｒ ｔｒｅａｔｍｅｎｔｓ ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ １ＰＩ ｇｒａｐｈｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｓｔｒｉｃｔ ｇｅｎｅｒａｌ

ｃａｓｅｓ

－

ｏｕｒ

ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｌｉｋｅ ＱＣＤ． Ｍｏｒｅ ｓｕｐｅｒｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｔｒｅａｔｅｄ ｈｅｒｅ． Ｓｅｅ

ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ

ｗｉｔｈ ｃｈｉｒａｌ

Ｃｈａｐｔｅｒ １３ ｆｏｒ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ．

ｏｒ

－

２９６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ １２．１ Ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ｏｆ ｒｅｓｕｌｔｓ

ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ ｗｅ ｗｉｌｌ ｍａｉｎｌｙ ｔｒｅａｔ ｏｎｅ ｃａｓｅ： ａ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ａ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄ ｃｏｕｐｌｅｄ ｔｏ ａ Ｄｉｒａｃ ｆｉｅｌｄ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ ｔｅｒｍ ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｏｎｅ， ￡（３－Ａａ）２／（２￡）． Ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ （ｉｎ ｔｈｅ Ｆｏｒ

—

ａ

ｐｈｙｓｉｃａｌｌｙ， ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｏｎｌｙ ｏｎｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｇａｕｇｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｗｉｔｈ ａ １／（１） ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ Ｄｉｒａｃ ｆｉｅｌｄｓ， ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｑｕａｎｔｕｍ ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ． Ｉｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ ｉｓ ＳＵ（３） ａｎｄ ｔｈｅ ｍａｔｔｅｒ ｆｉｅｌｄｓ ａｒｅ ｉｎ ｔｈｅ ｔｒｉｐｌｅｔ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｃｈｒｏｍｏｄｙｎａｍｉｃｓ． ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｅｎｓｅ）；

Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｏ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｍａｄｅ ｆｉｎｉｔｅ ｂｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ａｌｌ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

（２．１１．７）． Ｔｈｅｓｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ

ａｒｅ

ｔｈｅ ｇａｕｇｅ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ，

ｔｈｅ ｆｅｒｍｉｏｎ

ｍａｓｓｅｓ

ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄｓ ｓｅ

－

＝

－

＼ｚｚｇ％ ＋ ￡ ｚｆｔｊｉｐ （ｌ／２｛）５－ Ａａｌ

＋

－

Ｍ， ｉｓ

Ｍｇｕ （１２．１．１）

Ｚ３／ｆｌＤ＂Ｃｆｌ．

Ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｌｏｗｅｄ ｔｈｅ ｆｅｒｍｉｏｎ ｆｉｅｌｄｓ ｔｏ ｂｅ ｉｎ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ ｌａｂｅｌｌｅｄ ｂｙ ｉ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｓｅｐａｒａｔｅ ｆｉｅｌｄ－ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ Ｚ（２° ａｎｄ ｂａｒｅ ｍａｓｓｅｓ Ｍ｛￡ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ

ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｉｓ

＝

ｗｈｅｒｅ ｇ０ ａｎｄ

（ｄｆｌ ＋ ｉｇＲＸＺ－ｌｔａＡｌ）ｉｌ／，

ｇＲ ａｒｅ ｔｈｅ ｂａｒｅ ａｎｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ Ｌｅｅ （１９７６）

ｗｅ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ． （Ｗｉｔｈ

ｆｉ２￣ｄ／２ｇ， ｗｉｔｈ ｇＲ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｓ ｗｒｉｔｅ

ｗｅ

（１２．１．２）

＝

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ．）

ｇ

Ｘ

０ｏ ｓｏ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃｏｕｐｌｉｎｇ

Ｇａ

＝

Ｚｄｆｄ＇ｃ． ＋ ｇＲＸＣａｂｅ（ｄｆ）＜＊Ａ？．

—７－ｌ／２ｒＴａ

Ｖ°

＂

ＭＳ

－

ＧｋＸＺ－＇ｃ＾ＡＩ．

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｉｎ ａｃｃｏｒｄａｎｃｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅＴｅｓｕｌｔｓ

ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ

（１２．１．４）

ｔｅｎｓｏｒ ｉｓ

＝

ｔｈｅ

（１２－Ｌ３＞

２＾Ｔ７２０Ｒ＞

ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄ ｔｏ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｉｓ ＸｇＲ：

ＺｄｆＤ＞ｃａ Ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｓｔｒｅｎｇｔｈ

＝

ｔｅｒｍ

（ｄ－Ａ）２

ｔｏ ｂｅ

ｐｒｏｖｅｄ，

（１２．１．５） ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ

ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ， ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｕｓｅｄ．

１２．１ Ｓｔａｔｅｍｅｎｔ Ｔｈｉｓ

ｇｉｖｅｓ

ａ

ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ ｔｅｒｍ

－

ｏｆ ｒｅｓｕｌｔｓ

２９７

（ｄ＇Ａ０）２／（２￡０＼ ｗｈｅｎ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ

ｔｈｅ ｂａｒｅ ｆｉｅｌｄ， ｗｉｔｈ

？ｏ

＝

（１２１－６）

Ｚ３￡

Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｏ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ ｉｓ： Ｔｈｅｏｒｅｍ １． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ

Ａｆｇ＞， ｃａｎ

ｂｅ ｃｈｏｓｅｎ

Ｘ， Ｚ，

Ｚｆ，

ａｎｄ

ｔｈａｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ａ， ｉｊ／，

ｓｏ

（１２．１．７）

Ｚ３

｛／｝，

ｃ， ａｎｄ ｃ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ．

Ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｔｈｅｓｅ ｉｎｖｏｌｖｅ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｆｉｅｌｄｓ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ａｌｓｏ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｒｅ

ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅｓｅ

ｎｅｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ

ｂａｓｉｃ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ （１２．１．７）． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ： Ｔｈｅｏｒｅｍ ２．

（５ＢＲＳ（ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ）／（５／ｌＲ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈａｔ ｉｓ， ｉｔｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ａｎｙ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄｓ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＳＢＲＳ／ｄｌＲ ａｓ

ｆｏｌｌｏｗｓ： （１） Ｌｅｔ ｔｈｅ ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ８ＢＲＳ ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ （２．１３．１）， （２．１３．２） ｗｉｔｈ ｇ ａｎｄ ｛ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｇ０ ａｎｄ ｆ０ ａｎｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ

ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄｓ （ｉ．ｅ．， Ａ －＋Ａ０， ｅｔｃ）． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ．

（２） Ｄｅｆｉｎｅ ６ＡＲ

＝

＾

ＭＳ

Ｖ Ｋ＾

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （１２．１．１） ｉｓ

６ＸＺ￣ １／２Ｚ＂１／２． Ｔｈｅｎ

＝

＝

＝

＜Ｗｓ＜Ａ／＜＾ｒ

＜Ｗ＂／＜＾ｒ Ｓｍｓｃａ／Ｓ？．Ｒ

－

＝

＝

ｉｇＲｘｔａｉｌ／ｃａ，

＾ｃａＺ ＋ ｇＲｃａｂｃｃｂＡｌＸ， ｈｇＲＸｃａｈｃｃｈｃｃ ＼ｇＲＸｃ

－

＝

＝

－

ａ ｃ，

）

（１２．１．８）

１．

＝

ｓＢＲＳｃａ／ＳＡＲ＝－ｄ＇Ａａ．

Ｔ

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｆｏｌｌｏｗ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｂｙ ８Ｘ／８ａｒ． ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ Ｔｈｅｏｒｅｍ ２． Ｃｅｒｔａｉｎ

ａｕｘｉｌｉａｒｙ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｒｅ ｕｓｅｆｕｌ ｐｒｏｖｉｎｇ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ １ ａｎｄ ２．

ａｐｐｅａｒｉｎｇ

ｆｏｒ

ｒｅａｓｏｎｓ

ｉｎ ｔｈｅｍ

ｂｙ ｆｉｎｉｔｅ，

ｏｎｅｓ

ａｒｅ

ｗｈｉｃｈ ｏｎｌｙ ｂｅｃｏｍｅ

ａｐｐａｒｅｎｔ ｉｎ

？

＝

Ｚ □ ｃ＊ ＋

＝

（Ｚ／Ｘ

ａ

４？

－

ｄ＾Ａ＾Ｘｃ＾，

ｌ）ｄ＾／ｇＲ ＋ ｃａｂｃｃｂＡ＾

ｃ ａ ｃ

Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ （９ａ ｉｓ

ｚｅｒｏ

ｂｙ

ｔｈｅ

＝

ｃａｂｃｃｂｃｃ．

ｇｈｏｓｔ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

（１２．１．９）

（１２．１．１０） （１２．１．１１）

ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ：

２９８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｔｈｅｏｒｅｍ ３． Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ （Ｄａ，

ｆｉｅｌｄｓ

ａｒｅ

ｆｉｎｉｔｅ．

Ｔｈｅｏｒｅｍ ４． Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ

ｔｈａｎ ｚｅｒｏ） ｏｆ ｂａｓｉｃ ｆｉｅｌｄｓ

ａｒｅ

（ｂｉｇｇｅｒ

￥ａｆｌ， ａｎｄ ｃ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ａ ｃ

ｗｉｔｈ ａｎｙ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｂａｓｉｃ

ｄＲ＜ｆ＞ ａｎｄ ａｎｙ ｎｕｍｂｅｒ （ｇｒｅａｔｅｒ ｆｉｎｉｔｅ， ｗｈｅｒｅ ０ ｉｓ ａｎｙ ｂａｓｉｃ ｆｉｅｌｄ．

３１＾

Ｔｈｅｏｒｅｍ ５． Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ

ｎｕｍｂｅｒ

ｏｆ ｇａｕｇｅ

ｗｉｔｈ

ｃ ａ ｃ

ｗｉｔｈ

ｔｈａｎ ｚｅｒｏ） ｏｆ ｂａｓｉｃ ｆｉｅｌｄｓ

ａｒｅ

ｏｎｅ

ｏｒ ｔｗｏ

＜５Ｒ＜／＞＇ｓ

ａｎｄ ａｎｙ

ｆｉｎｉｔｅ．

Ｔｈｅ ｌａｓｔ ｆｅｗ ｒｅｓｕｌｔｓ ｈａｖｅ

ｎｏ ｉｎｔｕｉｔｉｖｅ ａｐｐｅａｌ． Ｔｈｅｙ ｗｉｌｌ ｂｅ ｎｅｅｄｅｄ ａｓ ｐａｒｔ ｉｎｄｕｃｔｉｖｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ Ｔｈｅｏｒｅｍ １． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｆｉｎｄ ｉｔ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｕｓｅ ＣＰＴ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ （ａｆｔｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｏｆ

ａｎ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ）． Ｎｏｗ ｒｅｖｅｒｓａｌ ｏｆ ｏｎｅ ｔｉｍｅ ａｎｄ ｏｎｅ ｓｐａｃｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｒｅｖｅｒｓａｌ ｏｆ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ０，１，２， ａｎｄ ３ ｗｉｔｈ ａ ｓｐａｔｉａｌ ｒｏｔａｔｉｏｎ． Ｓｏ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ＴＰ ｐａｒｔ ｏｆ ＣＰＴ， ｗｅ ｎｅｅｄ ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｒｅｖｅｒｓａｌ ｏｆ ｔｈｅ ０ ａｎｄ １ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｎｌｙ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ

ｉｆ／ｘ ｖ ０ｏｒ ｌ，ｉｆ＾ｖ＞２， ０， ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ．

ｆ－１，

＾＝ｊＩ

＋

Ｌｅｔ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｕｎｄｅｒ ＣＰＴ

＝

＝

１，

２）

ａｓ

＜／，（ｘ）＾ｙ１ｔＴ（０ｘ），＇｝ ４ａ（ｘ）＾Ａａ（９ｘｌ

（１２．１．１３）

ｃ＂（ｘ）－＊＜ｆ（０ｘ），

Ｊ

？＂（＊）－ ＊ｃ＂（ｆｅ）． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ＣＰＴ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． （Ｗｅ

ｙ０Ｔ

＝

ｙ°＊５ ａｎｄ ｙＭｔ

＝

ｒｅｇａｒｄｅｄ

ａｓ

ｙ－ｍａｔｒｉｃｅｓ

ｉｎ ｗｈｉｃｈ

ｙ°

＝

ｙ＾） Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄ， ｃｆｌ， ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ ｔｏ ｉｔｓｅｌｆ，

ａｎｔｉｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄ， ｃａ， ｃｏｍｐｌｅｘ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｆｉｅｌｄｓ．

ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｔｏ ｔｈｅ

ｕｓｅ

ｅｖｅｎ

ｔｈｏｕｇｈ

ｔｈｅｓｅ ｆｉｅｌｄｓ ｍｉｇｈｔ ｂｅ

１２．２ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ １２．２．１ Ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｉｅｓ

ｔｈｅｏｒｙ ｐｒｏｖｉｄｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｍｏｓｔｌｙ ｒｅｌａｔｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｔｏ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｆｉｅｌｄｓ ｌｉｓｔｅｄ ｉｎ （１２．１．８）—（１２．１．１１）． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ， ｗｅ ａｃｔｕａｌｌｙ ｎｅｅｄ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｏｎｌｙ． Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ ｐｒｏｏｆｓ ｔｅｎｄ ｔｏ ｂｅ ｒａｔｈｅｒ ｉｎｄｉｒｅｃｔ ａｎｄ ｌｏｎｇ． Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ｃｏｎｔａｉｎ ａ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｖｅ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆｓ Ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｏｆ

ａ

ｇａｕｇｅ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

１２．２ Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

２９９

ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ： ＇ｔ Ｈｏｏｆｔ （１９７１ａ， ｂ）， Ｔａｙｌｏｒ （１９７１）， Ｓｌａｖｎｏｖ （１９７２）， ＇ｔ Ｈｏｏｆｔ ＆ Ｖｅｌｔｍａｎ （１９７２ｂ）， Ｌｅｅ ＆ Ｚｉｎｎ－Ｊｕｓｔｉｎ （１９７２）， Ｂｅｃｃｈｉ， Ｒｏｕｅｔ ＆ Ｓｔｏｒａ （１９７５），

Ｌｅｅ （１９７６）， Ｉｔｚｙｋｓｏｎ ＆ Ｚｕｂｅｒ （１９８０）， ａｎｄ

Ｐｉｇｕｅｔ ＆ Ｒｏｕｅｔ （１９８１）． Ａ ｇｒｅａｔ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｂｙ ｄｉｓｃｏｖｅｒｙ ｂｙ Ｂｅｃｃｈｉ ｅｔ ａｌ． ｏｆ ｔｈｅｉｒ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｐｒｏｏｆｓ ｓｔｉｌｌ ａｒｅ ｍｏｓｔｌｙ ｒａｔｈｅｒ ｉｎｅｘｐｌｉｃｉｔ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｗａｓ

ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｇｉｖｅｓ ａｌｌ ｔｈｅ ｓｔｅｐｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｇｏ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ

ｔｏ ｂｅ

ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｂｒａｎｄｔ （１９７６） ａｎｄ Ｃｖｉｔａｎｏｖｉｃ （１９７７）． Ａ ｐｏｉｎｔ ａｔ ｗｈｉｃｈ ｐｒｏｏｆｓ ｂｅｃａｍｅ ｒａｔｈｅｒ ｉｎｅｘｐｌｉｃｉｔ ｔｕｒｎｓ ｏｕｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ｍａｎｙ

ｐｏｉｎｔ ａｔ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ￥ａｉｌ （ｄｅｆｉｎｅｄ Ｉｔ ｉｓ

ｉｎ （１２．１．１０）） ｍａｋｅｓ ｉｔｓ ａｐｐｅａｒａｎｃｅ． ｕｎｏｂｖｉｏｕｓ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｏ ｕｓｅ， ｂｕｔ ｉｔｓ ｕｓｅ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｔｏ ｃｏｍｐｌｅｔｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｏ ｍａｔｔｅｒ ｆｉｅｌｄｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈｅ ｓｅｌｆ－

ａｎ

ｐｒｏｏｆ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｂｙ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ， ＪＶ， ｏｆ ｌｏｏｐｓ． Ｗｅ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ａｌｌ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ Ｎ ｌｏｏｐｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｉｍｐｌｉｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （１２．１．１）． Ｗｅ ａｌｓｏ ｒｅｑｕｉｒｅ ｔｈａｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ ２ ｔｏ ５ ａｒｅ ａｌｓｏ ｆｉｎｉｔｅ ｕｐ ｔｏ Ｎ １ ｌｏｏｐｓ ｉｆ ｔｈｅ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ． Ｔｈｅ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ｓｔａｒｔｓ ｗｉｔｈ ｔｒｅｅ ｇｒａｐｈｓ， ｗｈｉｃｈ ｎｅｅｄ ｎｏ —

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ．

Ｏｕｒ ｓｔｒａｔｅｇｙ ｉｓ

ａｓ

ｆｏｌｌｏｗｓ：

（１） Ａｔ ｅａｃｈ ｏｒｄｅｒ ｂｅｌｏｗ Ｎ ｌｏｏｐｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｖｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ Ｚ， Ｚ２， Ｚ３， Ｍ０， ａｎｄ Ｘ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ １ＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ

ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ａｎ

ｃｏｍｐｕｔｅｄ

ａ

ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｈｅｎｃｅ

ａｔ ｅａｃｈ ｏｒｄｅｒ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ Ｎ． Ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｔｈｉｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｎｔｏ ａ

ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ

ｇｒａｐｈｓ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ

ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

（２） Ｃｏｍｐｕｔｅ Ｎ－ｌｏｏｐ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｔｏ Ｚ， Ｚ２， Ｚ３， Ｍ０， ａｎｄ Ｘ ｂｙ ｉｍｐｏｓｉｎｇ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｎ ｃｅｒｔａｉｎ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｒｕｅ， ｂｕｔ ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍａｎｙ ｏｔｈｅｒ １ＰＩ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｄｏｎｅ ａｔ ｓｔｅｐ （３）． （３） Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅｓｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ １ ｔｏ ５ ｈｏｌｄ ｆｏｒ Ｎ－ｌｏｏｐ

ｇｒａｐｈｓ． ｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｂｕｔ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ． Ｉｔｓ ｕｓｅ ｉｓ ｔｈａｔ， ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｓａｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ａｎ Ｎ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｈａｖｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｏｆｆ ｉｔｓ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｆｏｒ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ ｇｒａｐｈｓ ｔｈｅ

Ｓｔｅｐ （１） ｉｓ

ｉｍｐｏｓｅｄ ｂｙ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｄｏ ｎｏｔ ｈｏｌｄ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ， ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｗｏ－Ｊｏｏｐ ｇｒａｐｈ， Ｆｉｇ． １２．２．１． Ｉｔｓ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｎｅｅｄｓ ａ ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ａ ｛ｇ＾ｋ２ Ｂｘｋｊｉｖ． ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ

—

３００

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ｆｉｇ． １２．２．１．

Ｆｉｇ． １２．２．２．

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｏｆ Ｆｉｇ． １２．２．２ ｈａｓ Ａｓ

Ｂ２ｋ＾ｋｖ．

ｗｉｌｌ ｓｅｅ， ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

ｗｅ

ａ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｉｍｐｌｙ

Ａ２ｇ＾ｋ２

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｓｅｌｆ－

ｅｎｅｒｇｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｅｒｍ ￡（Ｚ３ ｌ）（ｄ＾Ａｖ ｉｎ ＪＳ？． Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ Ａｘ ＋ Ａ２ Ｂｘ ＋ Ｂ２． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｓ －

－

＝

ｔｈｅ ｓｅｐａｒａｔｅ ｇｒａｐｈｓ， ｉ．ｅ．，

ｗｅ

ｈａｖｅ

—

—

ｄｖＡＪ２

ｆａｌｓｅ ｆｏｒ

Ａｌ＾Ｂ１， Ａ２＾ Ｂ２．

Ａｔ ｓｔｅｐｓ （２） ａｎｄ （３）， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ Ｎ－ｌｏｏｐ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ｗｅ ｔｈｅｎ ｋｎｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｏｎｅｓ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｗｅ ｋｎｏｗ ｔｈｉｓ ｗｉｔｈｏｕｔ

ｈａｖｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ．

ｔｏ ｃｈｅｃｋ

ｏｎ

ｉｎｔｒｉｃａｔｅ ｓｅｒｉｅｓ

ｏｆ ｃａｎｃｅｌｌａｔｉｏｎｓ

ｂｅｔｗｅｅｎ

Ｂｕｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｕｒｐｏｓｅｓ ｏｆ ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｉｍｐｏｓｅｄ ｂｙ ｏｎ ｔｈｅ ＡＭｏｏｐ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ

ｓｉｎｇｌｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ａｌｌ ＡＭｏｏｐ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ａ ｇｉｖｅｎ １ ＰＩ Ｈａｖｉｎｇ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ， ｗｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅ ｔｈｅ Ｎ－ ｌｏｏｐ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎｔｏ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ ｐｏｒｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｇｒａｐｈ； ｔｈｉｓ ｅｎａｂｌｅｓ ｕｓ ａ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

ｔｏ

ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｔｈｅ ｉｎｄｕｃｔｉｏｎ ａｔ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｏｒｄｅｒ． Ｉｆ ｗｅ

ｕｓｅ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｗｉｔｈｏｕｔ

ｂｙ－ｇｒａｐｈ

ｗｏｒｒｙｉｎｇ ａｂｏｕｔ

ｃａｎ

ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ

ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｇｒａｐｈ－ ｉｍｐｏｓｅｄ ｂｙ Ｗａｒｄ

ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ． Ｆｏｒ ａ

ｉｎ

ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｔｈｅ Ｆｉｇｓ． １２．２．１ ａｎｄ １２．２．２ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ

ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｎ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ

ｆｆ２ｋ－／＾＂４） ＋ ｆｌ；］， ＾－＾［Ｖｔｆ－＾ ＋ ｆｔｊ］，

＾

＝

ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｔｅｌｌ ｕｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｙ ａ

ｗｈｅｒｅ

ａ＼

ａｎｄ

ｂ＼

ａｒｅ

ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

（ａ，

＋

ａ２）／（ｄ

－

４）

＋

ａ＼ ＋ａ＇２＝ （ｂｘ

＋

ｂ２）／（ｄ

－

４）

＋

ｂ［

＋

ｂ＇２．

Ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ａｘ ＋ ａ２ ｂｘ ＋ ｂ２， ａｎｄ ａ＼ ＋ａ＇２ ｂ［ ＋ ｂ２． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｌｗａｙｓ ｂｅ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ， ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｍｕｓｔ ｂｅ ｉｍｐｏｓｅｄ ｂｙ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａ＼ ＝ａ＇２ ｂ＼ ｂ２ ０ ａｌｗａｙｓ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ． ＝

＝

ｍｕｓｔ

＝

＝

—

１２．２．２ Ｃｈｏｉｃｅ Ｗｅ ｎｏｗ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｓｅｔ

ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｓｔｅｐ （１） ｈａｓ ｂｅｅｎ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ． Ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｓｔｅｐ ｉｓ ｔｏ ｐｉｃｋ

ａ

ｏｆ １ＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｆｉｘ Ｚ， Ｚ２， Ｚ３， Ｍ０， ａｎｄ Ｘ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｓｏｍｅｗｈａｔ

１２．２

３０１

Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ， ｂｕｔ ｏｕｒ ｃｈｏｉｃｅ ｗｉｌｌ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ． Ｗｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｅｔ：

ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｅ

（１） Ｔｈｅ ｆｅｒｍｉｏｎ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｈａｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｐ ａｎｄ ｔｏ Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ Ｚ２ ａｎｄ Ｍ０． （２） Ｚ ｉｓ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｐ２ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ．

（３）

Ｘ ｉｓ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ

ｇｈｏｓｔ－ｇｌｕｏｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇ

ｆｉｎｉｔｅ

ｐａｒｔ ｉｓ ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ． （４） Ｚ３ ｉｓ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ＋ ／ｃＭ／ｃｖ． ｅｎｅｒｇｙ ｔｈａｔ ｉｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ －

Ｎｅｘｔ

ｗｅ

ｃｈｅｃｋ ｆｏｒ

ｏｆ

ａｓ

ｆａｒ

ｔｈｅ

ａｓ

１．

ｔｈｅ ｃａｂｃ

ｇｌｕｏｎ＇ｓ ｓｅｌｆ－

ｇ＾ｖｋ２

ｗｉｌｌ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｕｓｅｄ ｉｎ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ １ ｔｏ ５ ｔｏ

ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｌｏｗｅｒ ｏｒｄｅｒ

ａｒｅ

ａｔ

Ｎ－ｌｏｏｐ

ｏｒｄｅｒ． Ｓｉｎｃｅ ａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｔ

ｃａｎｃｅｌｌｅｄ， ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ａｒｅ

ｏｖｅｒａｌｌ

ｏｆ Ａｆ－ｌｏｏｐ １ＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｅｉｔｈｅｒ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ ｏｒ ｗｉｔｈ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｒｉｏｕｓ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｅ ｕｓｅ． Ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ａ １ ＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｍｕｓｔ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｓｕｃｈ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｒｅ （ａ） ＡＭｏｏｐ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈｓ， （ｂ） ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｂｅ ｚｅｒｏ ｏｒ ｇｒｅａｔｅｒ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｉｔ ｈａｖｅ

ａ

ａｎｄ ｔｈｕｓ ｂｅ

ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， （ｃ） ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ Ｎ－ｌｏｏｐ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ Ｚ， Ｚ２， Ｚ３， Ｍ０， ａｎｄ Ｘ． Ｗｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ

ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｏｕｒ

ｏｆ ｔｈｅｓｅ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ．

１２．２．３ Ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ

ｏｎ ａ

ｇｈｏｓｔ ｌｉｎｅ ｗｈｅｒｅ ｉｔ ｅｘｉｔｓ ｆｒｏｍ ａｎ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｕｓ

ｔｈｅ １ＰＩ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． １２．２．３ ｈａｖｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

Ｆｉｇ．

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ

ｔｏ

＜０｜ Ｔｃｃｃｃ＼０｝

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ

ｔｏ

（０＼ＴｃｃＡＡ＼０）

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ

ｔｏ

＜０｜７ｃ ａｃｃｃ｜０＞

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ

ｔｏ

＜０＼Ｔ＆ａｆｔＡｃ＼０ｙ

ｅｖｅｎ

１２．２．３． Ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ．

３０２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅｉｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｓ ｚｅｒｏ． ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ａｒｅ

ｐｒｅｓｅｎｔ，

ｓｏ

Ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ａｎｄ ｎｏ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ＩＰＩ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ

ｔｈｅ

ｆｉｎｉｔｅ．

ａｒｇｕｍｅｎｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｎｅｅｄｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， ｂｕｔ ｏｎｌｙ ａ ｆｉｅｌｄ－ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｚ． Ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｎｏ ｍａｓｓ

１２．２．４ Ｇｒａｐｈｓ ｆｉｎｉｔｅ ｂｙ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ （９ａ ｗｉｔｈ ｂａｓｉｃ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｅｓｅ

ａｒｅ

ｆｉｎｉｔｅ． Ｆｏｒ

ｅｘａｍｐｌｅ，

＜０｜Ｔ＾（ｘ）＾（ｙ）｜０＞

＝

Ｚｎｘ＜０｜Ｔｃｆｌ（ｘ）ｃｂ（ｙ）｜０＞ ＋

＝

－

ｇＫＸｃａｄｃ＾（０＼ Ｔｃｄ（ｘ）Ａｃ？（ｘ）ｃｂ（ｙ）＼０＞ ｉｄａｈｄ｛ｄ）（ｘ

－

ｙ）．

Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｗｉｔｈ

（１２．２．１）

ｓｕｂｇｒａｐｈ ａｒｅ ｏｆ Ｎ－ｌｏｏｐ ｔｈｅ ｆｏｒｍ Ｆｉｇ． １２．２．４（ａ） ａｎｄ （ｂ）． Ｔｈｅ ｇｒａｐｈ （ａ） ｈａｓ ａ ｇｈｏｓｔ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｍａｄｅ ｆｉｎｉｔｅ ｂｙ ｉｔｓ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｇｒａｐｈ （ｂ） ｎｅｅｄｓ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｎ Ｏａ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ □ ｃａ． Ｓｕｃｈ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｇｒａｐｈ （ｃ）， ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｔｈｅ Ｎ－ ｌｏｏｐ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ Ｚ［Ｊｃａ ｔｅｒｍ ｉｎ （９ａ． Ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ （１２．２．１） ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ， ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｐｏｔｅｎｔｉａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ＆ａ， ｖｉｚ．， ＩＰＩ

ａｎ

（０＼ＴＯａｃｂＡｃ＼０） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ．

（ａ）

（ｃ）

（ｂ）

Ｆｉｇ． １２．２．４． Ｏｖｅｒａｌｌ－ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ０

ａ

１２．２．５ Ｇｌｕｏｎ ｓｅｌｆｅｎｅｒｇｙ Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ０

＝

＝

＝

ｉｄｅｎｔｉｔｙ

（５＜０｜ Ｔｄ－Ａａ（ｘ）ｃｂ（ｙ）＼０）／８ｌＲ （ｌ／Ｏ＜０｜Ｔ３－＾（ｘ）５＾５（ｙ）｜０＞－＜０｜Ｔ＾（ｘ）ｃｂ（ｙ）｜０＞

＼￡－＾＜０＼ＴＡ＾（ｘ）Ａｂ＼ｙ）＼０｝

＋

ｉ＆＊（ｘ －ｙ＼

Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ｉｎｖｏｌｖｅｓ Ｏａ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｎｅ ｗｅ ｕｓｅｄ （１２．２．１） ｏｎ Ｇａ９ ａｎｄ ｒｅｍｅｍｂｅｒｅｄ ｔｈａｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｏｕｔｓｉｄｅ ｔｈｅ

（１２．２．２）

ＳＫＡａ＾．

Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｄ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ． ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ， ｂｙ

Ａ

３０３

Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

１２．２

Ｆｉｇ．

１２．２．５． Ｇｌｕｏｎ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ．

Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ ＜０｜Ｔ，４ｊＪ（ｘ），４ｊ（）；）｜０＞ ａｒｅ ｉｎ ｔｈｅ ＡＭｏｏｐ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈｓ （Ｆｉｇ． １２．２．５）， ａｎｄ ｔｈｅｙ ｃｏｎｓｉｓｔ ｏｆ ｔｅｒｍｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｇ＾Ｍ２ ｏｒ ｔｏ ｋｊｋｖ． Ｒｅｍｅｍｂｅｒ ｔｈａｔ ｗｅ ｕｓｅｄ Ｚ３ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ａｎｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｇ＾ｋ２ ｋｊｉｖ． Ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ａｂｓｅｎｔ， ｂｙ （１２．２．２）． Ｔｈｕｓ ｎｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ， ａｎｄ ｎｏ ｇｌｕｏｎ ｍａｓｓ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ． Ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ （１２．２．２） ｉｓ ｊｕｓｔ ａｓ ｉｎ ＱＥＤ． Ｉｔ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｌｕｏｎ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｉｓ ｐｕｒｅｌｙ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ ｂｙ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ． Ｈｅｎｃｅ， ｗｅ ｃａｎ —

ｗｒｉｔｅ：

ｄｄｘｅｉ？；ｔ＜０｜Ｔ＾＾ｘ）＾＊（０）｜０＞ ＾

Ｘ Ｉ Ａ ￣＼ １１１ Ｉ １１ ＞

＝ —；＝

—

＆？？，

Ｉ

ｑ２ ＋ ｉｅ ｜＿

１ ＋

ｎ（＜ｚ２） （１２．２．３）

１２．２．６ ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ａ＂． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ０

＝

＝

Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

５（０＼ＴＡｌ（ｘ）ｃｂ（ｙ）＼０｝／５ＸＲ （ｌ／＾）＜０｜ｒ＾（ｘ）ａ＾６（ｙ）｜０＞

－

＜０｜ＴＭｆｌＷ＾）｜０＞．

（１２．２．４）

ｊｕｓｔ ｐｒｏｖｅｄ ｔｏ ｂｅ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｐｏｔｅｎｔｉａｌｌｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ａｒｅ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． １２．２．６． Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅｉｒ ｓｕｍ ｂｅ ｔｏ ｆｉｎｉｔｅ． （１２．２．４） Ｔｈｅ ｃ（ｙ）Ａ（ｚ） Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ （Ｆｉｇ． １２．２．７） ｏｆ ｄＲＡ ｉｓ ａｌｓｏ ｐｏｓｓｉｂｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ （ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ）． Ｂｕｔ ｗｅ ｈａｖｅ： ｔｅｒｍ ｗｅ ｈａｖｅ

ｄ ｄｘ＂

（０＼ＴｄＲＡ＂ｉｘ）ｃｂ（ｙ）Ａｃｖ（ｚ）＼０＞

＝

＝

＝

＜０＼ＴＯ°（ｘ）ｃ＊（ｙ）Ａｃｖ（ｚ）＼０＞ －ｉ＾（ｘ－ｙ）＾＜０｜＾ｖ（ｚ）｜０＞ ０．

ｔ Ｎ－ｌＯＯｐ

Ｚ＾ＡＭｏｏｐ

Ｆｉｇ． １２．２．６． Ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｒｉｇｈｔ－ ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （１２．２．４）．

（１２．２．５）

＾

９

ｒ Ｆｉｇ． １２．２．７． Ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ０＞．

＜０｜Ｔ＜＾（ｘ）ｃ１＇（＞Ｋ．Ｗ｜

３０４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ａｐｐｌｙｉｎｇ ｄ／ｄｘ＊ ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ ｂｙ ｋ＾ ｉｎ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａｔ ｍｏｓｔ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ， （１２．２．５） ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ａｔ ａｌｌ．

１２．２．７

Ｇｌｕｏｎ

ｓｅｌｆ－ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

Ｎｏｗ

０

＝

＝

５＜０＼ＴＡ；（ｘ）Ａｂｖ（ｙ）？（ｚ）＼０｝／ＳｌＲ ＜０＼Ｔ５ＫＡｌ（ｘ）Ａｂｖ（ｙ）？（ｚ）＼０｝ －＜０＼ＴＡ；（ｘ）ｄＲＡｂ（ｙ）ｃ＜（ｚ）＼０｝ －＜０＼ＴＡｌ（ｘ）Ａ＇Ｘｙ）５ｔｐ（ｚ）＼０＞ １

＝

ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ，

ｕｓｅｄ ｔｈｅ ａｎｄ

ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ

ｗｅ

ｆｉｎｉｔｅ

ｐｒｅｖｉｏｕｓ

ｈａｖｅ

ｒ）

＋－＿＜０｜ｒ＾４＾｜０＞，

（１２．２．６）

ｒｅｓｕｌｔ． Ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ－ｇｌｕｏｎ ｖｅｒｔｅｘ ｉｓ

ｅｑｕａｌ （Ｚ３ＸＺ￣ｌ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｌｅｆｔ－ｏｖｅｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｔｏ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｖｅｒｔｅｘ． Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ

—

ｌｉｎｅａｒｌｙ

１） ｔｉｍｅｓ ｔｈｅ ｔｈａｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

（１２．２．６）．

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ

—＜０＼ＴＡＫ（ｗ）Ａ，（ｘ）Ａ＾ｙｍｚ）＼Ｏｙ＝ｒｉｍｔｅ． Ｈｅｒｅ ｔｈｅ

ｏｎｌｙ ｐｏｔｅｎｔｉａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ＡＭｏｏｐ

１ＰＩ

（１２．２．７）

ｓｕｂｇｒａｐｈｓ

ａｒｅ

ａｓ

ｉｎ

Ｆｉｇ． １２．２．８． Ｗｅ ｈａｖｅ ｊｕｓｔ ｓｅｅｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ Ｆｉｇ． １２．２．８（６） ａｒｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｒｉｐｌｅ ｇｌｕｏｎ ｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｇｒａｐｈ （ａ） ｉｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ， （１２．２．７） ｐｒｏｖｅｓ ｔｈａｔ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｇｌｕｏｎ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ．

ｉｔ ｉｓ ｅｘａｃｔｌｙ

ｃａｎｃｅｌｌｅｄ

ｃｒｏｓｓｉｎｇｓ （ａ）

（ｂ）

Ｆｉｇ． １２．２．８． Ｐｏｔｅｎｔｉａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇｌｕｏｎ．

１２．２．８ ＳＲｃ Ｔｈｅ ｏｎｌｙ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ５Ｒｃ ｔｈａｔ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｉｓ

＜０｜ＴＶ＂｜０＞．

（１２．２．８）

１２．２

Ｂｕｔ ０

＝

＝

３０５

Ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ

ｄ（０＼Ｔｃａ（ｘ）ｃｂ｛ｙ）ｃｃ｛ｚ）＼０｝ （０＼ＴｄＲｃａ（ｘ）ｃｂ（ｙ）ｃｃ（ｚ）＼０｝ －（ｌ／￡Ｋ０＼Ｔｃ？（ｘ）ｄ＇Ａｂ（ｙ）？（ｚ）＼０＞ ＋ （ｌ／￡） ＜ ０｜ Ｔｃａ（ｘ）ｃｂ（ｙ）ｄ－Ａｃ（ｚ）＼０ｙ，

（１２．２．９）

ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ （１２．２．８） ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ－ｇｌｕｏｎ ｖｅｒｔｅｘ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． ｓｏ

１２．２．９ Ｑｕａｒｋ－ｇｌｕｏｎ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ，

ｄｉｐ， ｄ＼Ｊ／；

ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ９８ａｆｌ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ０

＝

＝

ｄ＜０＼ＴｉＰ（ｘ）ｉｊ，（ｙ）ｃ（ｚ）＼０＞／ｄｌＲ ＜０｜ Ｔｄ＾ｃｌＯｙ ＜０｜ Ｔ＾＾ｃ｜０＞ ＋ ＜０｜ Ｔｉ／，￥（ｄ－Ａ／Ｚ）＼０＞． －

Ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｔｅｒｍ ｆｏｌｌｏｗｓ ｉｆ ｗｅ ｃａｎ （Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ Ｎｏｗ Ｘ

ｄＲ＼ｊ／

ｉｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ

ｄＲ＼／／ ｂｙ ｔｈｅ

ｐｒｏｖｅ

ｄＲｉｌ／

＝

—

ｉｇＲＸｔａ＼ｊ／ｃａ ｆｉｎｉｔｅ．

ＣＰＴ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ （１２．１．１３）．）

ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ－ｇｌｕｏｎ ｖｅｒｔｅｘ ｔｏ ｂｅ ｆｉｎｉｔｅ． Ａｎ ｐｒｏｏｆ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｎｏｗ ｇｉｖｅ， ｂｒｉｎｇｓ ｉｎ ａｌｌ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗａｓ

ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｌｉｓｔｅｄ ｉｎ （１２．１．９）—（１２．１．１１）， ａｎｄ ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ＆ａｆｌ． Ｉｎ Ｆｉｇ． １２．２．９ ｗｅ ｌｉｓｔ ａｌｌ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｓｔｉｌｌ ｔｏ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ ｆｉｎｉｔｅ． Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｄＲｃ ｄ－Ａ／ｌ；９ ｓｏ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｉｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ． Ａｌｓｏ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｏｒ ｃ ａ ｃ ｗｉｔｈ ＳＲ（ｊ） ａｎｄ ａｎｙ ｎｕｍｂｅｒ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ｚｅｒｏ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ９８ ＝

ａ

ｆｉｎｉｔｅ， ｉｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｆｉｇｓ． １２．２．７ ｔｏ １２．２．９ ａｒｅ （Ｈｅｒｅ ｄＲ＜ｆ） ｉｓ ｔｈｅ ＢＲＳ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎｙ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄ ＜ｊ＞） Ｔｈｉｓ ｐｒｏｖｅｓ

ｂａｓｉｃ ｆｉｅｌｄｓ ｆｉｎｉｔｅ．

ａｒｅ

Ｔｈｅｏｒｅｍｓ ４ ａｎｄ ５， ｓｏ ｉｔ ｒｅｍａｉｎｓ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇ． １２．２．９． Ｔｈｅ ｉｄｅａ ｂｅｈｉｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｔｏ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｍｏｓｔ ｖｅｒｔｅｘ ｏｎ ｔｈｅ

ｇｈｏｓｔ ｌｉｎｅ ｉｎ Ｆｉｇ １２．２．９（ａ）． Ｔｈｉｓ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ

ｃｏｍｅｓ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ：

ＬｂｃｇＲ（ｄ＾ｃａ）ｃｂＡ＾ｘ．

（１２．２．１０）

（ａ）

Ｚ＾＋ｘ％￥＆＾－， ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ， ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ ｔｏ

＜０｜Ｔ＜５Ｒｉ／＾ｃ｜０＞

｛ｂ）

ＪＬ４ｆｃＪ￥ｇｇ－＋－ｉ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ， ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ

＜０｜ Ｔ＜％ａｆｌｃ＼０）

ｔｏ

Ｆｉｇ． １２．２．９． Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｎｏｔ ｙｅｔ ｐｒｏｖｅｄ ｆｉｎｉｔｅ．

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

３０６

Ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｉｓ ｏｎ ｔｈｅ ｌｉｎｅ

ｐａｒｔｓ，

ｗｅ ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ

－

ｏｆ ｇａｕｇｅ

ｅｎｔｅｒｉｎｇ ｅｑｕａｌｓ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ

ｇｒａｐｈ． Ｂｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｂｙ

０Ｒｃ．Ｊ ｄ４ｘ［Ｆ（３ＭｃＶ＂ ＋ ｃ°＜？ｄ－Ａ＇ｌ

（１２．２．１１）

ｌｏｏｐ－ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ， ｓｏ Ｆａｃｔｏｒｉｎｇ ｏｕｔ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｄ＾ｃ＊ ｏｎ

Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｉｓ ｏｕｔｓｉｄｅ ｔｈｅ

ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ

ｔｈｅ

ｒｅｄｕｃｅｄ ｂｙ ｏｎｅ． ｂａｓｉｃ ｖｅｒｔｅｘ

ｃａｂｃｃｂＡｃｔｌ

ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

｛％ａ）１．

Ｔｈｅ

ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ｉｎ （１２．２．１１） ｃｏｎｔａｉｎｓ ｄ－Ａ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｓｈａｌｌ ｒｅｌａｔｅ ｔｏ ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ ｅｌｓｅ ｂｙ ｕｓｅ ｏｆ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ． Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｐｒｏｖｅ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ＾ａ／Ｊ， ｂｙ ｆｏｒｍａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｌｅａｄｉｎｇ ｔｏ

（１２．２．１１）． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｄｏｎｅ ｉｎ

ａｎ

ｕｎｏｂｖｉｏｕｓ ｗａｙ：

□，＜ｏ｜ｒａＲｃ－（ｘ）ｃｔｙ）？（ｚ）｜ｏ＞ （ｌ／Ｘ）｛Ｚｎｚ＜０｜Ｔ＾Ｒｃａｃ＊ｃｃ｜０＞ ＋ ｇＲＸｃｃｄｅ（０＼ ＴＶａ＜＊Ｍ＾ｄ）｜０＞｝ ＋ ｇＲ＜０＼ＴｄＲｃ°ｃｂ（ｃｃｄｅｃ＇ｌｄ－Ａ°）＼０｝ ＝

－０Ｒ＾＜°｜ｒＶ－°＾（ｚ）｜Ｏ＞ ＝

＝

ｉｆｌＭ＾Ｏｌ ＴＣ＂（ｘ）ｃ？（ｙ）｜０＞＾？（ｘ ＋ｉｇＲ＜０＼ＴＳＲｃ°ｃｂｄＲ（ｃｃｄｅｃ＜＞ｃ°）＼Ｏｙ

－

ｆｉｎｉｔｅ

－

ｚ）

ｉ０Ｒ＜Ｏ｜ ＴｄＲ＜ｆｄ－Ａｂ｛ｃ ａ ｃ）ｃ｜０＞

－０ｒ＾＜°ＩｔＶ＾Ｗ｜Ｏ＞． ｂｙ ｔｈｅ ａｎｔｉｇｈｏｓｔ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｐｌｕｓ ｔｈｅ ｎｉｌｐｏｔｅｎｃｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ

Ｔｈｅ ｎｅｘｔ－ｔｏ－ｌａｓｔ ｌｉｎｅ ｆｏｌｌｏｗｓ ｌｉｎｅ

ｕｓｅｓ ａ

Ｗａｒｄ

ｏｎ

ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （１２．２．１２） ｉｓ

Ｔｈｅ ｌａｓｔ

（１２．２．１３）

＜５Ｒ［＜Ｖｆｌ］＝０． Ｎｏｗ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ

（１２．２．１２）

ｔｈｅ ｌａｓｔ ｌｉｎｅ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ （ｂｙ Ｔｈｅｏｒｅｍ ５）， ａｎｄ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－

ｆｉｎｉｔｅ．

Ｓｏ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｔｅｒｍ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ￥ａｆｌ ｆｏｌｌｏｗｓ． ｕｎｃａｎｃｅｌｌｅｄ

ｏｎ

ｒｉｇｈｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ Ｆｉｇ． １２．２．１０， ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ

ｔｈｅ

ｆｏｒｍ ｏｆ

＜

Ｆｉｇ． １２．２．１０． Ｏｎｌｙ ｐｏｓｓｉｂｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ （１２．２．１２）．

１２．３ Ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ＳＲｉｊ／ ｆｏｌｌｏｗ ｂｙ

Ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ

ｔｈｅ

ｓａｍｅ

３０７

ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎｓ ａｐｐｌｉｅｄ

＜０｜ｒ，５Ｒ＃ｃ｜０＞： □ ，＜Ｏ｜７Ａ＜Ｋｘ）＃（３０？（ｚ）｜Ｏ＞ ＝０Ｒ＜ｏ｜ｒｔｖ（ｘ）＃ｏｏ｜ｏ＞ａ＊Ｖ－＊） －ｉｇＲ＜０＼Ｔ５＾３＾（０ ａ ｃ）＼０｝

ｔｏ

（１２．２．１４）

－９Ｋ＾＼ＴＳＲｉＰ（ｘ）ｉｌ｝（ｙ）＾（ｚ）＼０ｙ． １２．３ Ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｐｒｏｖｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ： ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ ｗｉｔｈ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ａｎｄ ｗｉｔｈ ｆｅｒｍｉｏｎ ｍａｔｔｅｒ ｆｉｅｌｄｓ． Ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅｓ ｃａｎ ｅａｓｉｌｙ ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ａｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｓｔｒｅｎｇｔｈ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｆｉｅｌｄ ｍｕｌｔｉｐｌｅｔ． Ｌｅｔ ｕｓ ｅｘａｍｉｎｅ ｓｏｍｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ． Ｉｎ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｓｅｃｔｉｏｎ

ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｏｓｅ ｗｉｔｈ

ｗｅ

ａ

１２．３．１ Ｂｉｇｇｅｒ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ Ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ ｃａｎ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｂｅ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ： Ｇ Ｙ［ｎｉ ｉ Ｇ｛ ？ ＾Ｕ）ｖ－ Ｈｅｒｅ ｅａｃｈ Ｇ｛ ｉｓ ａ ｓｉｍｐｌｅ ｃｏｍｐａｃｔ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｇｒｏｕｐ ＝

＝

（ｌｉｋｅ ＳＵ（Ｎ）＼

ａｎｄ ｔｈｅｒｅ

ｆａｃｔｏｒ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｒｅ ｖ

ａｂｅｌｉａｎ ｌ／（ｌ）＇ｓ． Ｆｏｒ ｅａｃｈ Ｇｔ ａｎｄ ｆｏｒ ｅａｃｈ （７（１）

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ．ｍ Ｗｈｅｎ ｗｅ ｐｅｒｆｏｒｍ ｇａｕｇｅ ｆｉｘｉｎｇ ｔｈｅｒｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ａ ｍｕｌｔｉｐｌｅｔ ｏｆ ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ｗｉｌｌ ｎｅｅｄ ｎｏ ｃｈａｎｇｅ． Ｉｔ ｗｉｌｌ ｒｅｌａｔｅ ｔｈｅ ａｎ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｗｉｔｈｉｎ ｅａｃｈ ｍｕｌｔｉｐｌｅｔ． Ｔｈｕｓ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｎ ＋ ｖ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒｓ Ｘｉ９Ｚ３ｉｉ ａｎｄ Ｚｈ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄ． Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍａｔｔｅｒ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ ｓｏｍｅ

ｓｐｅｃｉａｌ ｆｅａｔｕｒｅｓ

ｏｆ ｔｈｅ ａｂｅｌｉａｎ

ｃａｓｅ

ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ ｉｎ

Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．９．

１２．３．２ Ｓｃａｌａｒ ｍａｔｔｅｒ Ｔｈｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ｆｏｒ

ａ

ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ ｃｏｕｐｌｅｄ ｔｏ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄｓ ｉｓ

Ｄ＾Ｄ＾－Ｖ（＜ｆ＞＼＜ｆ＞）． Ｈｅｒｅ Ｆｉｓ

ＤＭ

ａ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ＜＼＞ ａｎｄ

（１２．３．１）

￥ ｔｈａｔ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ， ａｎｄ

９ｏｖａｒｉａｎｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ． ｅｘａｍｐｌｅ， ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａｎ ＳＵ（２） ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ

ｉｓ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ

Ｆｏｒ

ｉｎ ｗｈｉｃｈ ￥ ｉｓ

ａ

ｄｏｕｂｌｅｔ

３０８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｏｆ ｇａｕｇｅ

ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｓｔ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｋｉｓ ｛１２３２）

Ｖ＝ｍ２＜ｐ４＞＋＼ｋ（＜ｐ４＞）２，

ｗｈｉｌｅ

Ｄ＾Ｄ＜ｊ＞

＝

＝

Ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ

＼ｄ＾＼２ ｜３Ｍ０｜２

ＩｇＡ＇＾ｆｆｙ ＋ ｇ２ＡｌＡｂ＾ｔａｔｂ＜ｆ＞ ＼ｇＡｌ４？ｆ３＂４＞ ＋ ｉｇ２Ａａ２＾＜ｔ＞．

－

－

（１２．３．３）

ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｉｓ ｃｆ）ｆｄ（ｆ）Ａ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｐｒｏｖｅｄ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ ｆｏｒ ａ ｆｅｒｍｉｏｎ． Ｔｈｅ ｓｅｌｆ－ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ０－ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｍａｄｅ ｆｉｎｉｔｅ ｂｙ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｘｆｔ ０２ ｔｅｒｍ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｆｏｕｒ－ｐｏｉｎｔ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｇｌｏｂａｌ ＳＵ（２） ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｏｎｅ ｆｕｒｔｈｅｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｖｉｚ．， ＜０｜ ＴＡＡ（ｆ）ｆ（ｆ）＼０ｙ ｈａｓ ａ ｍａｓｓ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｆｉｎｉｔｅ， ａｎｄ ｔｈｅ

ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

＝

Ｉｔ ｉｓ

ｐｒｏｖｅｄ ｆｉｎｉｔｅ ｂｙ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ：

＋

（ｌ／＾）＜０｜Ｔａ－＾＾（／） （／）｜０＞－ｈ＜０｜Ｔｃ＾（／）ｔ（／）｜０＞ ＋ ＜０｜Ｔｃ＾＾Ｖ｜０＞ ＋ ＜０｜Ｔｃ＾（／）ｔ＾｜０＞．

（１２．３．４）

１２．３．３ Ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｂｒｅａｋｉｎｇ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ａｂｅｌｉａｎ Ｈｉｇｇｓ ｍｏｄｅｌ ａｓ ａｎ ｅａｓｙ ｅｘａｍｐｌｅ． ｉｓ

＾ｂａｓｕ

＝

－ｉ＾２ｖ ＋ （３？

＂

ｉｅＡＪｊＵＰ ＋ ｉｅＡ？）＜ｔ＞

－

Ｉｔｓ ｂａｓｉｃ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

｜ＡＶｔｆ＞ －／２／２Ａ２）２－ （１２．３．５）

Ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｗｉｔｈ ＜ ０１ ＜／＞ １０ ＞ ＝／／（Ａ ｗｅ ｗｒｉｔｅ ＜／＞ ［ｆ／／． ＋ （＜／＞ｌ ＋ ｉ＜／＞２）］／

ｏｒｄｅｒ． Ｓｏ

＾ｂａｓｉｃ

＝

Ｊｌ：

＝

－

ｉ＾２ｖ （ｅ２ｆ２／２ｌ２）Ａ２ ＋

ｉｅｆ／ＶＡ＾ｆａ ＋ ｈ＾＼ ＋ ＼ｔｙ＼ －／２＜Ａ２／４ ＭＭ＊ ＋ ４＞＼）ＩＡ ＋

＾（４＞＼ ＋ ＜／？ｌ）２／１６ ＋ ｅＡｌｉ＜ｐｉｄ＂４＞２ ＋ ｅ２Ａ２（＜｝＞２ －

Ｉｆ

ｗｅ

ｑｕａｎｔｉｚｅ ｗｉｔｈ

－

ｔｈｅ

＊Ｊ２）， ｉｎ ｌｏｗｅｓｔ

ｓｉｍｐｌｅ

＋

＜ｊ＞２ ＋ ２／＞１／Ａ）／２．

ｇａｕｇｅ

ｆｉｘｉｎｇ

（１２．３．６）

ｔｅｒｍ

（１２－３．７）

＊＊＝—￥？ Ａ？，

ｂｙ ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ ９．２， ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｉｎ ａ ｎｏｎ－ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｉｎ ｔｈｅ ｕｎｂｒｏｋｅｎ ｔｈｅｏｒｙ （ｉ．ｅ．， ｗｉｔｈ／２ ｆ２）． Ｗｅ ｎｅｅｄ ｗａｖｅ－ ｔｈｅｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｖｅｒｅｄ

ｔｒｅａｔｅｄ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

－？

—

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ Ｚ２ ａｎｄ Ｚ３， ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ａ２ －？ ／￡ Ｙ９ ａｎｄ ｍａｓｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ （ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｆ２－＋ｆ２Ｚｍ）． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ Ｆａｄｄｅｅｖ－Ｐｏｐｏｖ ｇｈｏｓｔ ｉｓ ａ ｆｒｅｅ ｆｉｅｌｄ， ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ １． Ａｆｔｅｒ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ Ｘ ＝

１２Ａ Ｇａｕｇｅ

ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒ ｔｅｒｍｓ

ｍａｋｅ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｉｎｉｔｅ．

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｍａｋｅｓ ｕｓｅ

３０９

Ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ ｔｈｅ ＡＪｊ＊￥２ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｆｒｅｅ

ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｒａｔｈｅｒ ｍｅｓｓｙ， ｓｏ ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ ａｎｏｔｈｅｒ ｇａｕｇｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｉｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．５．

１２．４ Ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ Ｔｏ

ｑｕａｎｔｉｚｅ ａｎｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ａ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｆｉｘ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｉｎ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｗａｙ． Ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｔｈｉｓ ｃｈｏｉｃｅ． Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ， Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｃａｎ ｃｅｒｔａｉｎｌｙ ｂｅ ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ． Ｓｉｎｃｅ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｗｈｉｃｈ

ｗｅ

ｗｏｒｋ ｗｈｅｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ，

ｗｅ ｍｕｓｔ

ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ａｎｄ ｉｔｓ ｅｆｆｅｃｔ ｏｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ． Ｏｎｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ

ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ａｌｓｏ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｓ ｔｈｅ Ｓ－ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｔａｔｅｓ． Ｉｎ ａ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｔａｔｅｓ ｔｈａｔ ｃｏｕｐｌｅ ｔｏ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ． Ｓｏｍｅ ｓｕｃｈ ｓｔａｔｅｓ ａｒｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ， ａｎｄ ｗｅ ｍｕｓｔ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｉｒ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｇａｕｇｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ． Ｂｕｔ ｏｔｈｅｒ ｓｔａｔｅｓ， ｌｉｋｅ ｔｈｅ Ｆａｄｄｅｅｖ－Ｐｏｐｏｖ ｇｈｏｓｔ， ａｒｅ ｕｎｐｈｙｓｉ－ ｃａｌ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ａｔｔｅｍｐｔ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｈｅｒｅ． Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ

ｍａｔｒｉｘ ｆｏｒ

Ｗｈｅｎ ａ ｇａｕｇｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｕｎｂｒｏｋｅｎ ｔｈｅｒｅ ｍａｙ ｅｖｅｎ ｂｅ ｎｏ ｓｔａｔｅｓ

ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ． Ｉｎｄｅｅｄ， ｉｔ ｉｓ ｃｏｍｍｏｎｌｙ ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｔｈａｔ ｉｎ ＱＣＤ ｃｏｌｏｒｅｄ ｓｔａｔｅｓ ａｒｅ ｃｏｎｆｉｎｅｄ． Ｃｅｒｔａｉｎｌｙ， ｗｉｔｈｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｓｅｖｅｒｅ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎ ｏｂｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ｆｏｒ ｑｕａｒｋｓ ａｎｄ ｇｌｕｏｎｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｈａｄｒｏｎｓ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ

ｃｏｕｐｌｅｄ

ｔｏ ｔｈｅ

ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ：

＜０｜ ＾Ｋ（ｗ）／５Ａ（ｘ）／５／ｉ（＞；）／５ｖ（ｚ）｜０＞，

（１２．４．１）

ｗｈｅｒｅｊ＾ ｉｓ ｔｈｅ ａｘｉａｌ ｉｓｏｓｐｉｎ ｃｕｒｒｅｎｔ． Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ＬＳＺ ｆｏｒｍａｌｉｓｍ ｗｉｌｌ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ５－ｍａｔｒｉｘ ｆｏｒ ％ｎ －？ ％ｎ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｆｉｅｌｄ ＊ｌ／ｉ＊ｌ／ｊ＊ｌ／ｋ￡ｉｊｋ ｉｓ ａｎ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ ｆｉｅｌｄ ｆｏｒ ｂａｒｙｏｎｓ． Ｈｅｒｅ ＾ ｉｓ ａ ｑｕａｒｋ ｆｉｅｌｄ ａｎｄ ｉ ｉｔｓ ｃｏｌｏｒ ｌａｂｅｌ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ

ｓｏｒｔｓ

ｏｆ ｇａｕｇｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｓ

ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｆａ ｔｏ ａ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｃ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｕｒ ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ｇｉｖｅｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．５ ｆｏｒ ｔｈｅ ｉ＾－ｇａｕｇｅ． Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｙｐｅ ｏｆ ｇａｕｇｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｉｓ ａ

ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｆｉｅｌｄｓ． Ａ

ｉｎ

ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ＜！；． Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｉ ｂｙ ａ ｆａｃｔｏｒ Ｘ ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ Ｆａ ｂｙ ａ ｆａｃｔｏｒ Ｉ ￣１／２， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｐｅｃｉａｌ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｗｉｌｌ ｌｅａｄ ｕｓ ｔｏ ｔｒｅａｔ ｔｈｉｓ ｓｅｃｏｎｄ ｃａｓｅ ｆｉｒｓｔ． Ｔｈｅ

ｕｓｅ

ｏｆ ＩＪＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｗｉｌｌ ｍａｋｅ

ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｖｅｒｙ

ｓｉｍｐｌｅ．

ｏｕｒ

ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ

ｏｆ ｇａｕｇｅ

３１０

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ １２．４．１

Ｃｈａｎｇｅ ｏｆｔ

Ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒｓ ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ＜！；． Ｗｅ

ｃａｎ ｕｓｅ

ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ

ｎｏ

ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ

＜０｜ＴＡＴ｜０＞．

ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ

ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ

Ｈｅｒｅ Ｘ ｄｅｎｏｔｅｓ ａｎｙ

ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ＾ ｏｆ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｌｏｃａｌ ｆｉｅｌｄｓ

＜！；． Ｔｈｅｎ

ｏｎ

＾＜０｜ｒＸ｜０＞＝ｉｌｄ４Ｋ０｜ｒ：—｛ｙ）：Ｘ＼０＞ ＋

＾ｔｄ＊ｙ＜０＼Ｔ：Ｆ２ａ（ｙｙ．Ｘ＼０＞．

Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｗｅ ｕｓｅ Ｙ ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ａｎｙ ｏｆ ｔｈｅ

ｆａｃｔｏｒｓ． ｖａｃｕｕｍ

Ａｓ ｕｓｕａｌ， ｗｅ

ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ

ｕｓｅ

ｔｈｅ

ｓｙｍｂｏｌ：

ｖａｌｕｅ． Ｎｅｘｔ

：

ｗｅ ｕｓｅ

（１２．４．２）

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｔｏ

ｉｎｄｉｃａｔｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ＢＲＳ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｗｒｉｔｅ

（１２．４．３）

（ｌ／Ｚ）Ｆ２ａ＝ｄ（ｃａＦａ）－ｃａｄＦａ９ ａｎｄ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅ ｆｏｒ

Ｆ＼

ｉｎ

（１２．４．２）．

Ｗｅ

ｃａｎ ｕｓｅ

ｄ（０＼ＴｃＦＸ＼０｝ ａｎｄ ｔｈｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ

＝

ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ０

ｍｏｔｉｏｎ

＜０＼ＴｃａｄＦａ（ｙ）Ｘ＼０ｙ＝￣ｉ＾（０＼ＴｃＪＸ／ｄｃａ（ｙ）＼０ｙ ａ

ｔｏ

ｇｉｖｅ

｜＜０｜ＴＸ｜０＞＝ｉＥ｜ＪｄＶ０｜ｙ：ｉ＾｜０＞ －＾ｆｄ４＞；＜０｜Ｔ：ｃａＦａ：＾｜０＞

＋

（Ｎｃ／２０＜０｜ＴＸ｜０＞． （１２．４．４）

Ｈｅｒｅ

Ｎｃ ｉｓ

ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｆａｃｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ

Ｓｕｐｐｏｓｅ ｆｉｒｓｔ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ

ｕｓｅ

ｔｈｅ

ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄ

ｉｎ Ｘ．

ｓａｍｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｆｏｒ ａｌｌ ｖａｌｕｅｓ

ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｖａｌｕｅ， ｓａｙ ￡ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｂｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｘｃｅｐｔ ａｔ ｔｈｉｓ ｓｐｅｃｉａｌ ｖａｌｕｅ． Ｂｕｔ ｉｆ ｗｅ ｔａｋｅ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ－ｉｎ ｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈｅｎ （１２．４．４） ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｇａｕｇｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ， ｆｏｒ ｓｕｃｈ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｃｏｎｔａｉｎ ｎｏ ｇｈｏｓｔｓ． ｏｆ ￡

ａｓ

ａｔ

ｓｏｍｅ

＝

０． Ｔｈｅｎ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ

１２．４

Ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

Ｎｅｘｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ

＜０｜７Ｘ｜０＞

＝

ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

３１１

ｆｉｅｌｄｓ：

＜０｜Ｔｎ＾Ｗ）｜０＞．

（１２．４．５）

ｉ＝ｌ

ａｒｅ ａｄｊｕｓｔｅｄ ｔｏ ｋｅｅｐ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｆｉｎｉｔｅ ｆｏｒ （１２．４．４） ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｉｎ ＜￡ ａｎｙ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｆ． Ｔｈｅｎ ｉｎ

ｂｙ

ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ

ｔｈｅ ｄＹｄ＾

＼ｄｆ ｄＹ＇＇ ｔｅｒｍ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｃａｎｃｅｌ ｔｈｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ

－：ｃａＦａ：／（２ａ Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｏｆ

＜０＼Ｔ：ｃａＦａ（ｙ）：ｄＸ＼０｝．

（１２．４．６）

Ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ （１２．４．６） ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｖｅｒｔｉｃｅｓ

ｏｒ

ｏｃｃｕｒ ｅｉｔｈｅｒ ｗｈｅｎ ｙ ｃｏｉｎｃｉｄｅｓ ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｓｅｔ ｏｆ ｗｈｅｎ ｉｔ ｃｏｉｎｃｉｄｅｓ ｗｉｔｈ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｘ／ｓ， ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｔｈｅ

ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ Ｘ． Ｗｅ ｃａｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ：ｃａＦａ： ｗｉｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｂｙ ａｄｄｉｎｇ ｔｏ ｉｔ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ：Ｄ（ｙ）：． Ｓｉｎｃｅ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ Ｘ ｔｏ ｂｅ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ， ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｉｎ （１２．４．６） ａｒｅ ｗｈｅｎ ｙ ｃｏｉｎｃｉｄｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｘ ｏｆ ａ ＢＲＳ ｖａｒｉｅｄ ｆｉｅｌｄ ｄ（ｆ）（ｘ） ｉｎ ＳＸ． Ｔｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅ ｔｈｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｗｅ ｎｅｅｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ （１２．４．６） ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

＜０｜ｒ：Ｄ（ｊＯ：Ｗ｜０＞＋ ￡ ａｗ（ｙ ＊，）＜０｜ ＴＡＴ ｌＯ）＾．＾，，，， －

（１２．４．７） Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｗｈｅｎ ｙ ｃｏｉｎｃｉｄｅｓ ｗｉｔｈ －

ｉＥ＜ｐ（ｘ）ｄ（ｙ

—

ｘ）， ｔｈｅｒｅ

ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ

－

ａｒｅ

ｐｏｓｓｉｂｌｙ

ｄ＜ｊ）（ｘ）

ｈａｓ ｂｅｅｎ ｗｒｉｔｔｅｎ

ａｓ

ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ＾－ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ａｎｄ ｔｈｅ

ｉ ｗｉｌｌ ｂｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｌａｔｅｒ．

Ｂｙ ｕｓｅ ｏｆ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ，

ｗｅ ｃａｎ

ｗｒｉｔｅ （１２．４．７）

ａｓ

－＜０｜Ｔ：５ｉ）（ｙ）：Ｘ｜０＞－Ｘ＜０ｌ７，：￡＾）＾／＾（ｙ）：Ｘ｜０＞．

（１２．４．８）

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｋｅｅｐ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｉｎｉｔｅ ａｓ ￡ ｖａｒｉｅｓ． Ｉｔ ｉｓ ｅｖｅｎ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｆｏｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ａ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｆａ９ ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．４．４． Ｔｏ

ｐｒｏｃｅｅｄ

ａｎｙ ｆｕｒｔｈｅｒ ｗｅ ｍｕｓｔ ｄｏ

ｗｈｉｃｈ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ

ｏｃｃｕｒ．

ｒｅｓｔｒｉｃｔ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ Ｆａ ｄ－Ａａ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｙ ｔｈｅｉｒ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｏｆ：ｃａＦａ：ａｒｅ

Ｗｅ ｎｏｗ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ

ａｃｔｕａｌｌｙ

ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ＝

ｏｆ ｇａｕｇｅ

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

３１２

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ＸＴ０＂ Ｆｉｇ． １２．４．１． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ

Ｆｉｇ．

ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ

ｇｒａｐｈ

ｈａｓ

ａ

ｃａｓｅｓ

ｉｎ

（０＼ＴｃＡ：ｃａＥａ：＼０）

Ｆｉｇｓ．

１２．４．１ ａｎｄ １２．４．２． Ｔｈｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

Ｓｉｎｃｅ

ｉｎｔｅｇｒａｔｅ

ｏｖｅｒ

ｔｏ

ｏｎｌｙ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｃａＦａ．

：ｃａＦａ： ｗｉｔｈ

１２．４．３． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｆａ ａｓ Ｔｈｅ

＝

ａｌｌ ｙ， ｔｈｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｄ ｉｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ

Ｆｉｇ．

ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ａｔ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ． Ｔｈｅ （ｄ＾ｃＪＡ＊ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｃａＦａ．

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ Ｆｉｇ． １２．４．２ ｉｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｗｅ

ｇｒａｐｈ ｆｏｒ

１２．４．２． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ

＜０｜ｒｃ：ｃ．Ｆ．：｜０＞．

ｗｉｔｈ

—

ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ＢＲＳ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ

ａ ＢＲＳ－ｖａｒｉｅｄ ｆｉｅｌｄ ６＜ｊ＞ ｉｓ ｉｎ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． １２．４．３． Ｓｏ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ｗｅ

ｈａｖｅ

ａ

ｆｉｅｌｄ．

ａｎｄ

￡０ｏｃ０．

Ｔｈｉｓ

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ａ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ￡ ｏｆ ｔｈｅ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｇ０ ａｎｄ Ｍ０ ｆｉｘｅｄ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｄＺ，ｄ＆

ｄ￡ ｄＺ２ Ａ

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎ ａｒｉｓｅｓ ｓｉｎｃｅ

ｄＺ３ｄ＆ ｄ￡ ｄＺ３

ｌａｉｎＺ，

Ｈｉｌ／ＳＳ／Ｓｉ）／ ＋ ｉｌ／ｄＳ／ｄｉｊ／）

２

ｄ￡

ｗｅ

ｋｎｏｗ ￡ ｉｓ ｎｏｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ：

ｌｄｌｎＺ， ２

；（Ｓ±Ｆ２ａ／２￡）

ｌ５Ａ＜

ｄ￡

＋ Ｆ２Ｊ２Ｑ）． ｍｎＺ－３（Ａ－ｇｄＳ／ＳＡ ｄ￡

２

Ｐｕｔｔｉｎｇ

ａｌｌ ｔｈｉｓ ｗｏｒｋ ｔｏｇｅｔｈｅｒ，

ｗｅ

｜＜？－ｓ（１＋Ｓ

（１２．４．１０）

ｆｉｎｄ

ｄ＊ｙ（０＼Ｔ：ｃａＦａ（ｙ）：ＳＸ＼０） ，

ｄｌｎＺ ２

－＜ｏ｜ｒ＊｜ｏ＞＜；ｊｖ，－＾

，

＋

ＮＡ８ｌｎＺ３ ｆｔ

ｒａｉｎ（ｚｚｎ ｉ

ＣＬ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｊｕｓｔ ｔｈｅ

（１２．４．９）

ｆｔ

２

（１２．４．１１）

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｗｅ ｎｅｅｄ． Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｃａＦａ ｉｓ

１２．４

Ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒ ｔｅｒｍｓ

３１３

ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｌｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｂｙ ｔｈｅｏｒｙ

ｎｏ

ａ ｆａｃｔｏｒ １ ＋ ￡ｄ Ｉｎ Ｚ３／ｄ￡． （Ｉｎ ａｎ ａｂｅｌｉａｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｓｉｎｃｅ ｃａ ｉｓ ａ ｆｒｅｅ ｆｉｅｌｄ； ｓｏ Ｚ３ ｉｓ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ￡．） Ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｔｅｒｍｓ （ｗｈｅｒｅ ｉＶ０ ｉｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｅｘｔｅｒｎａｌ ＜＼＞ ｆｉｅｌｄｓ ｏｆ Ｘ） ｃｏｍｅ ｆｒｏｍ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ １ＰＩ ｇｒａｐｈｓ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｂｏｔｈ ｃａＦａ ａｎｄ

ａ

６＜ｊ）．

Ｚ３／３＾ ｏｃｃｕｒｓ ｉｎ ｔｗｏ ｐｌａｃｅｓ． Ｔｈｉｓ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ａｓｓｕｍｉｎｇ ｔｈａｔ ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ ｔｅｒｍ ｉｓ ｄ－Ａ２／（２＾） ｗｉｔｈ ｎｏ ｅｘｔｒａ Ｆ２／（２￡） ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ． Ｗｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈｉｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ： Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｄ Ｉｎ

ｔｈｅ

０

＝

＝

＝

—

＝

—

ｄ（０＼Ｔｃａ（ｘ）Ｆｂ（ｙ）＼０｝ （ｌ／？＜０＼ＴＦａ（ｘ）Ｆｂ（ｙ）＼Ｏｙ ＋ （０＼ＴｃａｄＦｂ＼０｝ （＼／ＺＫ０＼ＴＦａ（ｘ）Ｆｂ（ｙ）＼Ｏ＞－ｉｄ（ｘ－ｙ）ｄａｂｉ

（１２．４．１２）

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｌａｓｔ ｌｉｎｅ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ｓｉｎｃｅ Ｆａ ｄ－Ａａ， ｉｔｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｆｉｎｉｔｅ， ａｎｄ ｓｏ ￡ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｗｅ ｃａｎ ｕｓｅ （１２．４．１１） ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｇａｕｇｅ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ｂｙ ｐｉｃｋｉｎｇ ｏｕｔ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕｅ ｗｈｅｎ ｗｅ ｇｏ ｔｏ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｐｏｌｅ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅ． Ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ， ＜！；－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｊ￡ｆ， ｔｈｅｎ ａ ｇａｕｇｅ－ ＝

ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｌｉｋｅ

（Ｇ°ｖ）２

＝

（ｄ＾Ａｌ

－

ｄｖＡ； ＋ ＱｏＺ￥ｃａｂｃＡ＼Ａ＜ｙ

ｉｓ ａｃｔｕａｌｌｙ ＜！；－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ； ｆｒｏｍ （１２．４．１１）

ｗｅ ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｉｓ

（１２．４．１３）

ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ

ｔｏ

Ｚ＾ｉ．

Ｂｕｔ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

（＾（０）／ｉｖ） ｉｓ ｇａｕｇｅ

＝

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ．

（＾ｉ

￣￣

（０）ｖ

°ｖ＾（０）ｆｉ ＋ ９ｏＣａｂｃ＾｛０）ｎ＾｛０）ｖ）

Ｂｏｔｈ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｈａｖｅ ＵＶ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ，

ｓｏ

ｔｈａｔ ｔｈｅｙ

ｍｕｓｔ ｂｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ．

１２．４．２ Ｃｈａｎｇｅ ｏｆ Ｆａ Ｌｅｔ

ｕｓ

ａｓｓｕｍｅ

ｔｈａｔ Ｆａ

ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓａｍｅ

ｍｅｔｈｏｄ

ａｓ

ｄｅｐｅｎｄｓ

ｔｗｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ

ｏｎ

ａ

ｐａｒａｍｅｔｅｒ

ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ

ｋ．

Ｔｈｉｓ ａｌｌｏｗｓ

ｕｓ

ｔｏ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｆｏｌｌｏｗ ｔｈｅ

ｆｏｒ ｔｈｅ ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ． Ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｔｈｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ｉｓ

ｄ＾＝Ｙ——－－Ｆｄ－＾￣－＾ Ｃａ ｄＹ ３ｋ ３ｋ

ｙｄＫ

ｆ

ａ

ｄＫ

Ｓｏ ｄｉｅ

＜０｜ＴＸ｜０＞

＝

ｉｘｇｆｄ４ｙ＜０｜Ｔ：＾（ｙ）：ＡＴ｜０＞ ＋

ｆ

８Ｆ

ｉ＼ｄ＇ｙ＜０＼Ｔ：ｃａ－＾：８Ｘ＼０＞．

（１２．４．１５）

３１４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｏｆ ｇａｕｇｅ

Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ｈａｖｅ

ｉｎ ｔｈｅ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｅｘａｃｔｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｆｏｒｍ ａｓ ｗｅ ｍｅｔ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅ ｆｏｒｍ （１２．４．８）． Ｕｎｔｉｌ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｆａ ｉｓ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｗｅ ｃａｎ ｍａｋｅ ｎｏ ｆｕｒｔｈｅｒ ｓｔａｔｅｍｅｎｔ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘａｍｉｎｅ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．５．

＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ

ｏｆ

ａ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ－ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ ｏｍｉｔ ａｎｙ ／ｃ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ＜￡． ０． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｇａｕｇｅ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ： ＜９＜０｜ ＴＸ＼０｝／６ｋ Ｉｎ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｇｅｎｅｒａｌ

ｃａｓｅ

ｗｅ ｃａｎ

ｔａｋｅ

ａ

＝

１２．５

Ｒ＾－ｇａｕｇｅ

ｍｉｘｉｎｇ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｆｉｅｌｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ ｉｎ ｂｒｏｋｅｎ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｏｎｅ ｃａｎ ｕｓｅ ｔｈｅ ｉ＾－ｇａｕｇｅ ｄｅｖｉｓｅｄ ｂｙ＇ｔ Ｔｏ ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｔｈｅ

Ｈｏｏｆｔ （１９７１ｂ）， Ｆｕｊｉｋａｗａ， Ｌｅｅ ＆ Ｓａｎｄａ （１９７２）， ａｎｄ Ｙａｏ （１９７３）． Ｌｅｔ ｕｓ ｕｓｅ ｔｈｅ Ｈｉｇｇｓ ｍｏｄｅｌ ｏｆ （１２．３．５） ａｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ． Ｔｈｅ ｉ＾－ｇａｕｇｅ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ

ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ Ｊ２Ｖ

Ｗｅ

ｕｓｅ

ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ

ａｎｄ ｔｈｅ ｇａｕｇｅｓ

ｗｅ

－

＝

ｋ ｔｏ

（１／２￡）（＜Ｍ

ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅ

－

（１２．５．１）

Ｋ＾ｍ＜ｊ＞２）２．

ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ

ｕｓｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．２， ｗｈｅｒｅ

ｋ

ｉ＾－ｇａｕｇｅ， ｗｈｅｒｅ

＝

０． Ａｌｓｏ，

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ Ｆａｄｄｅｅｖ－Ｐｏｐｏｖ ｇｈｏｓｔ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ， ｅｖｅｎ ｔｈｅｏｒｙ （ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｃａｓｅ ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｔｒｅａｔ）： Ａｎ

ｊ￡？ｇｃ

＝

ｄ＾ｃｄ＾ｃ

—

Ｔｈｅ ＢＲＳ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ

６＜ｆ）２

—

＝

（ｍ

Ｋ＾ｍ２ｃｃ

—

＝

ｄｃ

＝

＝

１，

ｅｆ／Ｌ

ａｎ

ａｂｅｌｉａｎ

（１２．５．２）

｝ Ｆ／￡９＼

（１２．５．３）

ａｒｅ：

＋

ｅ＾Ｊｃ，

（ｄ＇Ａ－￡Ｋｍ（ｔ）２）／￡

＝

０．

Ｏｂｓｅｒｖｅ ｆｉｒｓｔ ｏｆ ａｌｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｅｘｔｒａ ｓｏ

ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｔｏ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｋ

＝

０ ａｒｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ

ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ， ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ ｃａｎ ｒｅｍａｉｎ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ． ａｌｌ

ｉｎ

ｋ

ｅｆｙｎＫ＜ｆ＞ｘｃｃ．

Ｈｉ＝ｅ＜ｌ＞２ｃ， ｄｃ

ｍ

＝

Ｔｈｅｓｅ

ａｒｅ Ｘ

（ｗｈｉｃｈ ｅｑｕａｌｓ ｕｎｉｔｙ ｉｎ

ａｎ

ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ）， Ｙ， Ｚ２， ａｎｄ Ｚ３． Ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｗｈａｔ ｆｕｒｔｈｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ， ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．４．２， ｗｉｔｈ ｄＦ／ｄＫ ￡ｍ（／＞２． ＝

Ｔｈｕｓ

ｗｅ

—

ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ －ｉｆｍ

＼ｄ＊ｙ（０＼Ｔ：ｃ＜ｆ）２（ｙ）：５Ｘ＼０ｙ．

（１２．５．４）

Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｔａｉｎ ｃ＜／＞２， ｔｈｅ ＢＲＳ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ６＜ｆ＞ｕ ａｎｄ ｏｔｈｅｒ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｌｉｎｅｓ． Ｔｈｅｙ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ

Ｆｉｇ． １２．５．１，

ｗｈｉｃｈ ｉｓ

ｎｏ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉ－

１２．５

＊■

＾４＞ｉＶ

３１５

Ｒｒ ｇａｕｇｅ ７＾１

＝

ｅＣ（ｔ＞２

Ｆｉｇ． １２．５．１． Ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ （１２．５．４）．

ｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｌｉｎｅ ｗｏｕｌｄ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ （１２．５．４） ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

ｃｆｄＶ＜０｜Ｔ＾／＾１Ｗ｜０＞ ＝

ｉＣ

（１２．５．５）

ｄ４ＫＯ｜ｒ：５Ｓ／５０１Ｏ＇）：Ａ＇｜Ｏ＞．

Ｔｈｉｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

ａ

ｓｈｉｆｔ ｏｆ ＜ｊ＞１ ｉｎ ｔｈｅ

Ｓｅ（４＞１＋ｍｌｅｉ４＞２ｉＡ，ｃｉｃ）＾￡ｅ（４＞１

＋

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ：

（１２．５．６）

Ｂｍ／ｅ９＜ｆ）２９Ａ９ｃ９ｃ）

ｗｉｔｈ

？＾ ｅ

Ａｓ ｆａｒ

ａｓ

＝

（１２．５．７）

Ｃ．

ｏｋ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｎｃｅｒｎｅｄ， ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｎｅｗ ｇａｕｇｅ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｖａｃｕｕｍ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ｇｅｎｅｒａｔｅ

Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｔｈｉｓ ｍｉｇｈｔ ａｐｐｅａｒ ｓｔｒａｎｇｅ， ｉｔ ｉｓ ｐｅｒｍｉｔｔｅｄ ｔｏ ｈａｐｐｅｎ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｎｏｔ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｇａｕｇｅ－ｉｎ ｖａｒｉａｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ａｓ ｉｓ ｔｈｅ Ｓ－ ｍａｔｒｉｘ． Ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄ， ０２， ａｎｄ ｔｈｅ ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ ｐａｒｔ ｏｆ Ａ＾ ａｌｌ ｃｏｕｐｌｅ ｔｏ ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｔａｔｅｓ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ， Ｆ＾ ｉｓ ａ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｆｉｅｌｄ ｗｈｉｃｈ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ．

ｃｏｕｐｌｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｇｌｕｏｎ， ｗｈｉｌｅ

ＺｍＺ２＾４＞

＝

＝

ＺｍＺ２ｌ（４＞１

＋

ＺｍＺ２（Ｂｍ／ｅ）２

Ｂｍ／ｅ）２ ＋

＋

ｔｆ＼

＾ ［２（ｆｔｎ／ｅ）ＺｍＺ２］

＋

？

？

■

ｉｓ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ａｎｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ， ａｎｄ ｃｏｕｐｌｅｓ ｔｏ ｔｈｅ （ｆ）１ －ｐａｒｔｉｃｌｅ． Ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｃａｎ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｏｕｔ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ， ｔｏ ｅｘｈｉｂｉｔ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｉｔ ｉｓ ｒａｔｈｅｒ ｆｅａｒｓｏｍｅ－ｌｏｏｋｉｎｇ． Ｗｅ ｓｅｔ ｋ １ ａｎｄ ｆｉｎｄ ＝

￡ｅ

＝

－ｉＺ３Ｆ２＾ （ｌ／２￡）ｄ－Ａ２ ＋ ＼ｍ２Ｂ２Ｚ２Ａｌ ＋ ｄｃｄｃ －

－

ｍ２Ｂｌｃｃ ＋ ＡＪｄ＾２ｍ（Ｚ２Ｂ

－

１）

ｉＺ２（ｄ（ｔ＞Ｕｄ（ｔ＞２２）－ｉ（ｔ＞２ｍ２＾ｅ－２（３Ｂ２Ｙ－Ｚｍ） －ｈ＜ｔ＞Ｗｔｅ ＋ ＼Ａ２ｅ－＼Ｂ２Ｙ－Ｚｍ）－］ －＾Ａ２ｙ（＾ ＋ ＾）２－＾２ｍｅ－１５ｙ０１（＾ ＋ （／）２２） －ｉＡ２ｍ３ｅ＂３Ｂ（Ｂ２ｙ－ＺＪ０１ ＋ ｅＺ２Ａ￥ｘＨ２ ＋＼ｅ２Ｚ２Ａｌ｛ｃｔ＞２ ＋ ＜ｊ＞２２） ＋

＋

ｅｍＢＺ２＜＼＞ｘＡｌ

－

ｉｍ＜＼＞ｘｃｃ．

（１２．５．８）

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

３１６ Ｔｈｅ

ｓａｍｅ

ｍｅｔｈｏｄｓ

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ

ｃａｎ

ｂｅ

ａｐｐｌｉｅｄ

ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｅｘｔｒａ Ｆｕｊｉｋａｗａ， Ｌｅｅ ＆ Ｓａｎｄａ

ｔｏ ａ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ

ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｔｉｃｅｓ

－

ｓｅｅ

（１９７２）． １２．６ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｔｏ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｉｔ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｔｏ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｉｎ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ， ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ Ｉｎ

ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅｓｅ， ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｒｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ａｇａｉｎ， ｉｔ ｉｓ ｎａｔｕｒａｌ ｔｏ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ． Ｂｏｔｈ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ， ｔａｋｅｎ ｌｉｔｅｒａｌｌｙ， ａｒｅ ｆａｌｓｅ （Ｄｉｘｏｎ ＆ Ｔａｙｌｏｒ （１９７４）， ａｎｄ Ｋｌｕｂｅｒｇ－Ｓｔｅｒｎ ＆ Ｚｕｂｅｒ （１９７５））． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｆｉｒｓｔ ｔｒｅａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ａｓｓｕｍｅ

ｐｒｏｂｌｅｍ， ｗｈｅｒｅ ｃｅｒｔａｉｎ ｇａｕｇｅ－ｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｍｉｘ ｗｉｔｈ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ， ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｖａｎｉｓｈ ｉｎ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔｓ （Ｊｏｇｌｅｋａｒ ＆ Ｌｅｅ （１９７６）， Ｊｏｇｌｅｋａｒ （１９７７ａ ａｎｄ ｂ））． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｉｍｐｌｉｆｙ ｍａｎｙ ｐａｒｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｂｙ ｗｏｒｋｉｎｇ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒ ｉｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． ｏｒｄｉｎａｒｙ ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ （ｌｉｋｅ

Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａｎ

Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ

ｏｒ

ｉｓｏｓｐｉｎ）， ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈａｔ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｍｉｘｅｓ ｏｎｌｙ ｗｉｔｈ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ， ｗｅ ｂｒｅａｋ ｔｈｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ａｎ

ｏｆ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ

ｂｙ ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ， ｌｅａｖｉｎｇ ｏｎｌｙ

ａ

ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ． Ｂｕｔ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｅｖｅｎ ｍｉｘｅｓ ｗｉｔｈ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ Ｈｏｗ ｃａｎ ｔｈｉｓ ｂｅ？

Ｔｏ

ａｎｓｗｅｒ

ｔｈｉｓ ｑｕｅｓｔｉｏｎ，

ｗｅ

ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ａｎ

ａｒｅ ｎｏｔ

ａ ｇａｕｇｅ－ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ．

ｏｐｅｒａｔｏｒ ０ ｔｈａｔ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ

ｕｎｄｅｒ ｓｏｍｅ ｇｉｖｅｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｌｅｔ Ｃ ｂｅ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ａｎｄ ａｓｓｕｍｅ

ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ， ｏ

＝

＝

＝

Ｎｏｗ Ｃ ｉｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｆｉｎｉｔｅ． Ｆｏｒ

＜５＜ｏ｜ｔａ：（０

＋

ｃ）｜ｏ＞

ｉｏ＼Ｔｓｘ｛ｏ

＋

ｃ）＼ｏｙ

＋

ｉｏ＼ＴＸＳ（ｏ

（０＼ＴｄＸ（Ｖ

＋

Ｃ）＼０｝

＋

（０＼ＴＸ ５Ｃ＼０＞．

ｓｏ

ａｒｅ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ

ｓｏ

＋

Ｑ＼ｏｙ （１２－６１）

ｔｈａｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ０ ＋ Ｃ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎ

ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄ ｉｓ

ｏｒｄｉｎａｒｙ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄ， ｓｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｅｒｍ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ （１２．６．１） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｔｅｒｍ， ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ＳＣ， ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ

ａｒｅ

ａｇａｉｎ

ａｎ

ａｎ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ １／ｅ， ｓｏ ＳＣ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｏｎｌｙ ｉｆ ｉｔ ｉｓ ｚｅｒｏ． Ｔｈｕｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ａｎ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ．

１２．６ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｂｕｔ ｗｈｅｎ ６ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｓ

ｏｆ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

３１７

ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ａｎ

ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ． Ｓｏ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ（０＼ＴＳＸ（Ｇ ＋ Ｃ）＼Ｑ｝ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｆｏｌｌｏｗ ｆｒｏｍ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ０ ＋ Ｃ． Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ａ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｎｅｅｄ ｎｏｔ ｂｅ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ｌｅｔ ａｌｏｎｅ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｔｈｉｓ ａｒｇｕｍｅｎｔ ａｌｓｏ ｓｈｏｗｓ ｕｓ ｈｏｗ ｔｏ ｈａｎｄｌｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ． Ｌｅｔ Ｘ ｂｅ ａ （ｔ）１（ｘ１）．．．（ｆ）Ｎ（ｘＮ） ｏｆ ｌｏｃａｌ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｐｒｏｄｕｃｔ

＜ ０１Ｔ５Ｘ （（９ （ｙ） ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ

＋

ｏｆ

Ｃ（ｙ）） １０ ＞ ｔｈａｔ ｌａｃｋ ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ａｒｅ ｗｈｅｎ ｙ ｃｏｉｎｃｉｄｅｓ ｗｉｔｈ

ａ ＢＲＳ－ｖａｒｉｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ＜５＜／＞ｆ（ｘ．） ｉｎ ＳＸ． Ｈｅｎｃｅ， ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｙ ｉｓ ｎｏｔ ｅｑｕａｌ ｔｏ ａｎｙ ｘｉ９ （０＼ＴＳＸ（（９｛ｙ） ＋ Ｃ（ｙ））｜０＞ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｆｒｏｍ （１２．６．１） ｗｅ ｔｈｅｎ ｓｅｅ ｔｈａｔ ＜０｜ ＴＸｄＣ＼０｝ ｉｓ ｔｈｅｎ ｆｉｎｉｔｅ． Ｂｕｔ ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｉｓ

ｍｅａｎｓ

ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ

ｚｅｒｏ．

Ｈｅｎｃｅ

ａｎ

ａｒｂｉｔｒａｒｙ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ＳＣ ｗｉｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｉｓ ｚｅｒｏ． Ｔｈｕｓ， ａｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ ａ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ａｎ ａｒｅ

＜０｜ ＴＸ５Ｃ＼Ｑ｝

ｏｐｅｒａｔｏｒ， ＜５ＢＲＳＣ

＝

ｏｆ

０： ｔｎｅ

ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ．

ｔｒｙ ｖｅｒｉｆｙｉｎｇ ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｂｙ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ （ｅ．ｇ． Ｋｌｕｂｅｒｇ－Ｓｔｅｒｎ ＆ Ｚｕｂｅｒ （１９７５））． Ｔｈｅｓｅ ａｐｐａｒｅｎｔｌｙ ｃｏｎｔｒａｄｉｃｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｎｏｎ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｍｕｓｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ｖａｎｉｓｈ ｂｙ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ａｓ ｕｓｕａｌ， ｔｈｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｏｎｅ

ｃａｎ

ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｏｆ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｍｐｌｉｃｉｔｌｙ ｇｅｎｅｒａｔｅｓ ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒ ｔｅｒｍｓ． Ａｆｔｅｒ Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｎｔｏ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｍａｎｉｆｅｓｔｌｙ ｚｅｒｏ．

ａｃｔｕａｌｌｙ ｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄ ｉｎ ａｒｅ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｒａｔｈｅｒ ＢＲＳ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｍｅｒｅｌｙ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ， ｆｏｒ ｉｔ ｉｓ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ． Ｓｏ ｗｅ ｍｕｓｔ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｉｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ｍｉｘ ｗｉｔｈ （９ ｄｏ ｎｏｔ ｅｎｔｅｒ ｉｎｔｏ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ． Ｌｅｔ ０ｕ．．．，０ｎ ｂｅ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ｍｉｘ ｗｉｔｈ （９． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｕｎｄｅｒ ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ （ｅ．ｇ． Ｌｏｒｅｎｔｚ， ｉｓｏｓｐｉｎ） ａｓ ０， ａｎｄ ｗｈｏｓｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｉｓ ａｔ ｍｏｓｔ ｔｈａｔ ｏｆ （９． Ｃｈｏｏｓｅ ｔｈｉｓ ｓｅｔ ｓｏ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｌｉｎｅａｒｌｙ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ （ａｆｔｅｒ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ）． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｈｒｅｅ ｏｔｈｅｒ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ｍｉｘ Ｗｈａｔ

ｗｅ ａｒｅ

ｔｈａｎ

ｗｉｔｈ （！）： Ｃｌａｓｓ Ａ Ｔｈｅｓｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ， Ａｉ９

Ａｔ

＝

ａｒｅ

ｔｈｅ ＢＲＳ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ

ｏｐｅｒａｔｏｒ：

５Ａｔ

Ｃｌａｓｓ Ｂ Ｔｈｅｓｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ， Ｃｌａｓｓ Ｃ

Ａｎｙ

Ｂｉ９ ｖａｎｉｓｈ ｂｙ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ．

ｏｔｈｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ｍｉｘ ｗｉｔｈ （９， ａｎｄ ｔｈａｔ

ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ ｏｆ

Ａｔ＼ Ｂ（％

ａｒｅ ｎｏｔ

ｌｉｎｅａｒ

ａｎｄ ＃．＇ｓ．

ｎｉｌｐｏｔｅｎｃｅ ｏｆ ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｖａｎｉｓｈｉｎｇ ｂｙ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ．

Ｔｈｅ

ｓｏｍｅ

ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈａｔ

ＳＡｔ

＝

０ ｕｐ ｔｏ ｔｅｒｍｓ

３１８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｏｆ ｇａｕｇｅ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｏｂｖｉｏｕｓ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ＢＲＳ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ０ｔ ａｎｄ ｔｈｅ ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｂＡ｛． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｒｅｓｕｌｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｏｔｈｅｒｓ； ｉ．ｅ．， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ

ｃｌａｓｓ Ｃ． Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｅｘｐｒｅｓｓｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ［＃］， ＼Ａ＼ ａｎｄ ＼Ｂ＼ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ：

Ｍ ［Ａ］

＾７ ＝

Ｍ

ｉ

＼

７

７

０

Ｚａａ

Ｚａｂ＼

０

０

＼°＼

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｓ

Ａ

ＺＢＢ＼ ｗ

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｉｓ ｓｅｃｏｎｄ ｒｅｓｕｌｔ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ

（１２．６．２） ｃａｎ

ｂｅ

ｃｌａｓｓ Ｂ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｍｕｓｔ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ ｖａｎｉｓｈ ｂｙ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ， ｉ．ｅ．， ｔｈｅｙ ａｒｅ ｏｆ ｃｌａｓｓ Ｂ． Ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ Ａ ｏｐｅｒａｔｏｒ ＳＡ．

ａ

ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ

ｃａｎ

ａｓ

＜ｋ０＼Ｔ５Ａｌ｛ｙ）Ｘ＼０ｙ＝－（０＼ＴＡｔ５Ｘ＼０）． Ｔｈｕｓ ｉｆ ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ

Ａ｛

ｉｓ

Ｃ（Ａｔ）

（１２．６．３）

ｔｈｅｎ

＜０｜Ｔ［＾ ＋ ＣＭ．）］＜５Ｘ｜０＞ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｉｆ ｙ ｅｑｕａｌｓ

ＳＣ（Ａｔ）９

ｏｆ ｔｈｅ

ｘｔ＼ Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ ｖａｎｉｓｈｉｎｇ ｂｙ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｎｏｎｅ

ｍｏｄｕｌｏ ｔｅｒｍｓ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ

ＳＡ（ ｉｓ

ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ Ａｔ ＳＡ－ ａｒｅ ｃｌａｓｓ Ａ ａｎｄ ｃｌａｓｓ Ｂ ｏｎｌｙ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｃｌａｓｓ Ｃ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｓ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ． Ｉｔ ＝

ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ａ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｉｎ ｈｏｍｏｌｏｇｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｒｅｆｅｒ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ Ｊｏｇｌｅｋａｒ （１９７７ａ， ｂ） ａｎｄ Ｊｏｇｌｅｋａｒ ＆ Ｌｅｅ （１９７６） ｆｏｒ ｐｒｏｏｆｓ． Ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｓ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ： ｂｏｔｈ ｃｌａｓｓ Ａ ａｎｄ ｃｌａｓｓ Ｂ

ｉｓ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｖａｎｉｓｈ ｉｎ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔｓ． Ｆｏｒ ｃｌａｓｓ Ｂ ｔｈｉｓ ｉｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ｆｏｒ ｃｌａｓｓ Ａ ｗｅ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ ｂｙ ｔｈｅ

ＬＳＺ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｆｒｏｍ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＜ ０１ＴＡ ｔＸ１０ ＞． Ｂｕｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

Ｗａｒｄ

ａ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ

＜０｜Ｔ＜Ｍ＞｜０＞＝ －＜０｜７＼３．（５Ａ：｜０＞．

（１２．６．４）

Ｗｈｅｎｅｖｅｒ Ｘ ｉｓ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｗｅ ｇｅｔ ｚｅｒｏ． Ｂｕｔ ｗｅ ｍａｙ ａｌｓｏ ｕｓｅ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎ Ｘ． Ａ ｔｅｒｍ ｉｎ ６Ｘ ｗｉｔｈ ａ ｖａｒｉｅｄ ｆｉｅｌｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ６＜ｆ＞（ｘ） ｈａｓ ｎｏ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｐｏｌｅ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｌｉｎｅ． Ｔｈｉｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｂｙ ｅｘａｍｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ， ａｎｄ ｏｂｓｅｒｖｉｎｇ ｔｈａｔ ６＜ｊ＞ ｃｏｎｔａｉｎｓ ａ ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄ． Ｉｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｉｎ （１２．６．２） ｗｅｒｅ ｎｏｔ ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ ｔｈｅｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ ｃｌａｓｓｅｓ Ａ ａｎｄ Ｂ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｏｎ－ｓｈｅｌｌ， ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｒｅ ｚｅｒｏ． Ｔｈｅ ｔｒｉａｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｅｎｓｕｒｅｓ ｔｈａｔ ｆｏｒ

ｐｈｙｓｉｃａｌ

ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔｓ

＼Ｐ＼ Ｔｈｕｓ

ｗｅ ｃａｎ

ｄｉｓｒｅｇａｒｄ

ｗｅ ＝

ｈａｖｅ

ＺｅｃＱ．

ｔｈｅ ｎｏｎ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．

（１２．６．５）

３１９

１２．７ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ １２．６．１ Ｃａｖｅａｔ

ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ ｏｎｅ ｍｕｓｔ ｂｅｗａｒｅ ｏｆ ｔａｋｉｎｇ （１２．６．５） ｔｏｏ ｇｌｉｂｌｙ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ［Ｇ＾］ ｉｎ ＱＣＤ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｏ ｍｉｘ ｗｉｔｈ ｉｔ ｉｓ ｛Ｊ／ｉｊ／， ｓｏ ｗｅ ｃａｎ ｗｒｉｔｅ （１２．６．５） ａｓ Ｉｎ

（＆｝） （＊？ ＺＡ（Ｇ＾＼

（１２．６．６）

＝

Ｔｈｅ Ｚ２１－ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ

ｚｅｒｏ

ｂｅｃａｕｓｅ

｛ｊ／ｉ／／

ｈａｓ ｌｏｗｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｔｈａｎ Ｇ２．

Ｆｉｇ． １２．６．１． Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ Ｗｅ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ

Ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ

ｔｅｒｍ ｉｎ

ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ

ｇｒａｐｈ

ｏｆ Ｆｉｇ． １２．６．１．

０ｖｖＰ２

￣

Ｇａ２ｘ

ｔｏ

Ｔｅｎｓｏｒｓ ｔｈａｔ ｖａｎｉｓｈ ｏｎ－ｓｈｅｌｌ ａｒｅ， ｆｏｒ

ｓｉｍｐｌｉｆｙ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ

ｖａｒｉｏｕｓ ｔｅｎｓｏｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｉｓ

Ｔｏ

Ｚｎ

＜０｜Ｔ＾［Ｇ；Ｊｖ］｜０＞．

ｅｘａｍｐｌｅ，

９Ｈｖ（Ｐ ＋ ＜ｌ）２

Ｐｆｌｖ

ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｔ ｉｓ

￣

（Ｐ

ｔｅｍｐｔｉｎｇ

＋

＜ｌ＼（Ｐ ＋ ？）ｖ

ｔｏ ｓｅｔ ｑ

＝

０． Ｂｕｔ ｔｈｅｎ ｔｈｅｓｅ

ｅｑｕａｌ ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｓｅｐａｒａｔｅ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． Ｉｆ ｏｎｅ ｓｅｔｓ ｐ２ ０ （ｐ ＋ ｑ）２ ｓｏ ｔｈａｔ ｐ ａｎｄ ｑ ａｒｅ ｏｎ－ｓｈｅｌｌ， ａｎｄ ｔｈｅｎ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｓ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｂｙ ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｖｅｃｔｏｒｓ ｅ＾ｅ，ｖ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ ｅ－ｐ ０ ｅ＇－（ｐ ＋ ｑ＼ ｔｈｅｎ ｏｎｅ ｈａｓ ｔａｋｅｎ ａ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ

ａｒｅ

＝

＝

＝

＝

Ｇａ２ｖ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｓｕｒｖｉｖｅｓ．

Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ

Ｋｌｕｂｅｒｇ－Ｓｔｅｒｎ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ， ａｎｄ ｔｈｅｙ ｈａｖｅ ｔｏ ｇｏ ｔｏ

１２．７

ｓｏｍｅ

＆ Ｚｕｂｅｒ

ｅｆｆｏｒｔ ｔｏ

（１９７５）

ｏｖｅｒｃｏｍｅ

ａｒｅ ａｔ ｚｅｒｏ

ｔｈｅ ａｂｏｖｅ

ｐｒｏｂｌｅｍｓ．

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ

ａｒｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｉｎ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｊｕｓｔ ｉｎ ａｓ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｔｈｅｏｒｙ． Ｏｎｅ ｆｅａｔｕｒｅ ｔｈａｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｏｖｅｒｌｏｏｋ ｗｈｅｎ ｍａｋｉｎｇ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｕｎｄｅｒ ａ

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ （１２．１．１） ａｎｄ ｌｅｔ ＾Ｎｃ．Ｎｆ．ｔｆｇ ＾ｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｎｇ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｇｌｕｏｎｓ， Ｎｆ ｆｅｒｍｉｏｎｓ， Ｎｆ ａｎｔｉｆｅｒｍｉｏｎｓ， Ｎｃ ｇｈｏｓｔｓ， ａｎｄ Ｎｃ ａｎｔｉｇｈｏｓｔｓ． Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｂａｒｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ （７（０）

＿

ｆＮｃｙＮｆｙ］Ｓｇ／２ｒＴ

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

３２０

ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ＲＧ ｉｎｖａｒｉａｎｔ：

－ｌ＂￡ Ｈｅｒｅ

／？，

？Ｓ－＇＂＂＇５＝－？Ｓ＞ｃＭ－

＋

ｙＭ ａｎｄ ６ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ

ｂｙ ｒｅｑｕｉｒｉｎｇ

＃０，

（１２．７．１）

Ｍ０， ａｎｄ ｑ０

＝

Ｚ３￡ ｔｏ

ｂｅ ＲＧ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｉｎ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｗｅ ｈａｖｅ

ｇ０

＝

Ｖ２－ｄ／２ｇ＼ｌ＋ ｆａ＾）／（４－＾ｒ Ｌ

ｎ＝＼

（１２．７．２） ｎ＝ １

２． Ｈｅｒｅ

＝

ｉ＋

Ｉ ｃ，ｎ（３，ａ／（４－ｒｆｒ．

Ｚｆ ｓｔａｎｄｓ ｆｏｒ Ｚ２， Ｚ３， ｏｒ Ｚ． ｐ

＝

＝

Ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｒｅ

（ｄ／２－２）ｇ０／（ｄｇ０／ｄｇ） （ｄ／２－２）ｇ ＋ ±ｇｄａＪｄｇ，

ｙＭ＝ｐｄｌｎＺＭ／ｄｇ＝－ｌｇｄｂｌ／ｄｇ＾ ｙ．

ｄ

＝

＝

（１２．７．３）

ｐｄ＼ｎＺｉ／ｄｇ＝ －＼ｇｅｃｉｘｌｄｇ， ｙ３＝

－ｊｇｄｃ３Ａ／ｄｇ．

Ｓｉｍｉｌａｒ ｆｏｒｍｕｌａｅ ｈｏｌｄ ｉｎ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ． Ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ， ｂｙ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．４， ｇ０ ａｎｄ ＺＭ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ￡ ｓｏ ｔｈａｔ ｐ ａｎｄ ｙＭ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ￡． Ｂｕｔ Ｚ２， Ｚ３ ａｎｄ Ｚ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ＾， ｓｏ ｔｈａｔ ｙ２， ｙ３９ ｙ ａｎｄ ｄ ａｌｓｏ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ＜！；． Ａｓ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ， ｉｎ ａｎ ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｎ２￣ｄ／２ｇＺ３１１２， ｓｏ ｔｈａｔ Ｚ３， ｙ３ ａｎｄ ６ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ＜！；． ＃０ ＝

Ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

０－［ｆｉ＾Ｎｃｙ

＋

Ｎ（ｙ２＋＼Ｎｇｙ３）Ｇ

＆Ｚｊ￡ Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｆｏｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ｔｈｅｎ

ａｒｅ ａ

ｌｉｔｔｌｅ

Ｌａｎｄａｕ ｇａｕｇｅ ￡

＝

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ．

ａｒｅ

＋

Ｎｃｙ ＋ Ｎｆｙ２

＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ，

ｃｏｍｐｕｔｅｄ ／？

＊Ｊｔｙ３ ）Ｇ．

（１２．７．４）

ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ＲＧ

Ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｇａｕｇｅ ｔｏ

ｕｓｅ

ｉｓ ｔｈｅ

０， ｆｏｒ ｔｈｅｎ ￡ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｖａｒｙ ｗｈｅｎ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｍａｄｅ． Ｔａｒａｓｏｖ Ｖｌａｄｉｍｉｒｏｖ ｔｏ

＋

ｔｈｒｅｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ ｉｎ ｔｈｉｓ ｔｈｅｏｒｙ．

＆ Ｚｈａｒｋｏｖ

（１９８０） ｈａｖｅ

１２．８ １２．８

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

３２１

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

Ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

Ｍ（ｙ；ｘｌ９．．．９ｘＮ）

＝

（０＼Ｔｊ（ｙ）ｊ（０）Ｘ＼０｝．

（１２．８．１）

ｗｈｅｒｅ ｊ ｉｓ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ， ａｎｄ Ｘ ｉｓ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｌｏｃａｌ ｆｉｅｌｄｓ ａｔ ｐｏｉｎｔｓ ｘｌ９．．．９ｘＮ． Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

Ｍ（＞；；ｘ１，．．．，ｘＮ）＾ＸＣＩ．（＞；）＜０｜ｒ［＾（０）］Ｘ｜０＞．

（１２．８．２）

ｉ

ａｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｉｎ ａ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗａｙ ａｓ ｉｎ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ

Ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｉｓ

ｏｖｅｒ

ｔｈｅｏｒｙ．

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １３， ｗｅ ｗｉｌｌ ｔａｋｅ ｂｅ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｗｏ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ ｕｓｅ ｔｈｅ ＬＳＺ

Ｉｎ ｔｈｅ

Ｘ ｔｏ

ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ

ａ

ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ：

Ｗ＝＜Ｐ＼Ｔｊ（ｙ）ｊ（０）＼Ｐ＞ ＥＱ＜Ｐ｜［＾０）］｜Ｐ＞．

（１２．８．３）

＝

ｉ

Ｗｅ ｗｏｕｌｄ ｌｉｋｅ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｎｅｅｄ ｂｅ ｉｎｃｌｕｄｅｄ ｉｎ （１２．８．３）． Ｎｏｗ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ （ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０） ｔｒｅａｔｓ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗａｙ ａｓ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ． Ｓｏ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ

ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ａｐｐｌｉｅｄ ａｐｐｌｉｅｓ ｔｏ

ｗｅ

ａｌｓｏ

ｔｏ ｔｈｅ

ｒｅ－

ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ

Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ Ｇ｛ ａｒｅ ｅｉｔｈｅｒ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ａｒｅ ｔｈｅ ＢＲＳ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ， ｏｒ ｖａｎｉｓｈ ｂｙ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ ｉｆ ｗｅ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． ｋｅｅｐ

ｙ

＝￡ ０ ｉｎ （１２．８．３） （ａｓ ｉｓ ｔｈｅ

ｃａｓｅ

ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｊ ｈａｓ，

ｉｎ

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ）

ａｃｃｏｒｄｉｎｇ

ｗｅ

ｏｎｌｙ

ｔｏ Ｓｅｃｔｉｏｎ

ｎｅｅｄ ｇａｕｇｅ－

１２．６， ｔｈｅ ｆｏｒｍ

８ｒ＊ ＋ Ｂ，

（１２．８．４）

ｗｈｅｒｅ ７ＧＩ ｉｓ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ａｎｄ Ｂ ｖａｎｉｓｈｅｓ Ｈｅｎｃｅ ｉｆ ｗｅ ｔａｋｅ ａ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｊ（ｙ）ｊ（０）９

ｂｙ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． ｌｉｋｅ （１２．８．３）， （ｏｒ ｉｆ ｗｅ ｔａｋｅ ａ

Ｊ＝Ｊｇｉ

ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｔｅｒｍｓ，

ｓｏ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

＋

ｏｆｊ（ｙ）ｊ（０））９ ｔｈｅｎ ｗｅ ｃａｎ ｄｒｏｐ ｔｈｅ

Ａ ａｎｄ Ｂ

ｔｈａｔ

＜Ｐ＼Ｔｊ（ｙ）ｊ（０）＼Ｐ＞

＝

＜Ｐ＼ＴｊＧｌ（ｙ）ｊＧｌ（０）＼Ｐ＞．

（１２．８．５）

Ｗｅ ｎｏｗ ｆｏｌｌｏｗ ｏｕｒ ｐｒｏｏｆ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．６， ｓｔａｒｔｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ０

＝

＝

Ｈｅｒｅ

ｗｅ

ＳｈＲＳ（０＼Ｔｊｉｙ）ｊ（０）Ｘ＼０｝ ＜０＼Ｔｊ（ｙ）ｊ（０）５Ｘ＼０｝．

ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ ｙ

９

ｘｉｆｌ９ ａｎｄ ０

（１２．８．６） ａｒｅ

ａｌｌ ｄｉｓｔｉｎｃｔ，

ｓｏ

ｔｈａｔ

３２２

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｂｙ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎ，

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ｂｕｔ ｉｆ ｙ ｓｏ ｔｈａｔ：

＜０＼Ｔｊ（ｙ）ｊ（０）ｄＸ＼０｝

－

＝

－？

０， ｔｈｅｎ

ｎｏｎｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ｘｉｆｌ９ｓ

ａｒｅ ａｔ

ｔｈｅ

ＸＣ＾）＜０｜７［＾．（０）］＾｜０＞ －

Ｘｃ，０）＜ｏ｜ｒ［＾ｒ，．（０）］ｘ｜ｏ＞．

（１２．８．７）

ｉ

Ｂｕｔ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｉｓ ｚｅｒｏ， ｂｙ （１２．８．６）， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｉｓ ｉｔｓ ｌｅａｄｉｎｇ ｂｅｈａｖｉｏｒ ａｓ ｙ－＞ ０ ａｎｄ ｉｓ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ａｌｓｏ ｚｅｒｏ． Ｉｆ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ

ａｎ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ ｚｅｒｏ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｔｓｅｌｆ ｉｓ ｚｅｒｏ， ｉ．ｅ．，

ＸＱ ［＞＇，．］

＝０．

（１２．８．８）

ｉ

Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｎｅｅｄｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ａｒｅ ｔｈｏｓｅ ｔｈａｔ ａｒｅ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ａｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．６， ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｅｉｔｈｅｒ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｒ

ｏｆ ｃｌａｓｓｅｓ Ａ ａｎｄ Ｂ． Ｉｎ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｌｉｋｅ （１２．８．３）

ｗｅ ｃａｎ

ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ

ｒｅｓｔｒｉｃｔ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｏ ｂｅ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔａｔｅ ｜Ｐ＞ ｔｏ ｂｅ ａ ｓｔａｔｅ ｏｆ ｏｎｅ ｏｎ－ｓｈｅｌｌ ｑｕａｒｋ ｏｒ ｇｌｕｏｎ． Ｔｈｅ

ｉｎｆｒａｒｅｄ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｂｙ ｇｏｉｎｇ ｔｏ ｄ ＞ ４． Ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｔ／ｓ ｃａｎ ｂｅ ｕｎａｍｂｉｇｕｏｕｓｌｙ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｃａｒｅ ｉｓ ｔａｋｅｎ ｔｏ ｓｅｐａｒａｔｅ ｔｈｅ ＩＲ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ （ｂｏｔｈ ｏｆ ｗｈｉｃｈ ａｐｐｅａｒ

ａｓ

ｐｏｌｅｓ

ａｔ ｄ

＝

４）．

１２．９ Ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ： ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｐｈｏｔｏｎ

ｍａｓｓ

Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ＱＥＤ ｗｉｔｈ ａ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｍａｓｓ ｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎ． Ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｃａｎ ｂｅ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｕｎｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄｓ：

＝

Ｈｅｒｅ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ａ

－

ｓｉｎｇｌｅ

ｉＺ３Ｆｌｖ ＋ ｋ＜Ｚ，Ａｌ ＋ ＺＪＷ ｖｅｃｔｏｒ ｆｉｅｌｄ Ａ

Ｚ＞＞

＝

＝

，

ａｎｄ

ｗｅ

－

Ｍ０）ｆ

（１２．９．１）

ｌｅｔ

（＾－ｉｅ０４＞Ａ （ｆ＾－ｉｅｏＺ＾＞．

（１２．９．３）

Ａ＾ ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎ． Ｗｉｔｈｏｕｔ ａ ｍａｓｓ ｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎ， Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （１２．９．１） ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｗｅ ｗｉｌｌ ｃａｌｌ

Ａ？ Ａ？ ＋ ｄ＾ｉｏ， ￣ｊ ＞ ？Ａ－＋ｔＡｅｘｐ（ｉｅ０Ｚ．Ｗ ｉｊ｝ ｉｊ） ｅｘｐ（ ｉｅ０Ｚ＼！２ａ））．）

ｔｈｅ

－＞？

－＊

—

（１２－９－４）

１２．９ Ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ： ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ Ｗｉｔｈ

ａ ｍａｓｓ ｔｅｒｍ

ｐｈｏｔｏｎ

３２３

ｍａｓｓ

ｂｅ

ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｎｏｔ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ．

ｃａｎ

ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ

ｉｓ ｎｏｔ

ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｌｙ ｔｒｅａｔｅｄ， Ｉｎ

ｃｏｎｔｒａｓｔ，

ａ

ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ｇｌｕｏｎ

ａ

ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ

ｓｔａｔｅｓ

－

ｔｅｒｍ

ｍａｓｓ

ｔｈｅ

Ｆａｄｄｅｅｖ－Ｐｏｐｏｖ

ｗｈｉｃｈ ｖｉｏｌａｔｅ ｔｈｅ ｓｐｉｎ－ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ｔｈｅｏｒｅｍ， ａｎｄ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｍｅｔｒｉｃ ｇｌｕｏｎ ｓｔａｔｅｓ． Ｉｎ ｔｈｅ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅｓｅ ｃａｎｃｅｌ ｉｎ ｓｕｍｓ ｏｖｅｒ ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅ ｓｔａｔｅｓ， ｂｕｔ ｉｎ ａ ｍａｓｓｉｖｅ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅｙ ｄｏ ｎｏｔ ｃａｎｃｅｌ． Ｔｈｅｓｅ

ｇｈｏｓｔｓ

－

ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｄｏ ｎｏｔ

ｏｃｃｕｒ

ｉｎ ｔｈｅ ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ

ａ

ｍａｓｓｉｖｅ ｐｈｏｔｏｎ．

１２．９．１ ＢＲＳ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ｍａｓｓｉｖｅ ｐｈｏｔｏｎ Ｅｖｅｎ ｗｉｔｈ ｗｅ ｕｓｅ

ａ ｍａｓｓ ｔｅｒｍ

ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎ， ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ｉｆ ｆｉｘｉｎｇ． Ｗｅ ｗｒｉｔｅ

ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｇａｕｇｅ ＜￡

＝

ｊ￡＇．ｎｖ

－

（ｌ／２￡）ｄ－Ａ２

＋

ｄ＾ｃ

－

（１２．９．５）

￡ｍ２Ｚ３ｃｃ．

ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ ＢＲＳ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ

ＳＡ＾

＝

ａＭｃ， Ｓｉｊ／ （５ｃ

＝

＝

ｉｅ０ＺＶ２ｏＡ＞ ５￥ ０，

－

ｉｅ０Ｚ＾ｃ９

ｄｃ＝ －ｄ－Ａ／ｌ

Ｔｈｅｎ ｉｆ ｉｓ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ａｓｉｄｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｆａｄｄｅｅｖ－Ｐｏｐｏｖ ｇｈｏｓｔ ｉｓ

＝

ａｎ

（１２．９．６）

ｉｒｒｅｌｅｖａｎｔ ｔｏｔａｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｓｉｎｃｅ

ｆｒｅｅ ｆｉｅｌｄ， ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｏｍｉｔｔｅｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｆｆｅｃｔｉｎｇ ｐｈｙｓｉｃｓ （ｅｘｃｅｐｔ ｇｒａｖｉｔｙ）． Ｗｅ ｍａｙ ｕｓｅ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．２， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｉｓ ａ ｆｒｅｅ ｆｉｅｌｄ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ａ

ａｎｙ

ｆａｃｔｏｒｓ Ｘ ａｎｄ Ｚ

ａｒｅ

ｂｏｔｈ ｕｎｉｔｙ． Ｈｅｎｃｅ

（１２．９．７）

ｅ０＝ｅＲＺ；１＇２

ｅ ｉｓ ｇａｕｇｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ． （Ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｗｒｉｔｅ ｅＲ ｊａ２￣ｄ／２ｅ．） Ｗｅ ｎｏｗ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｅ０Ａ｛？］ ｅＲＡ＾ ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ａｎｄ ｇａｕｇｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｓｉｍｐｌｉｆｙ：

ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ

ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ

ｗｅ

＝

＝

（１２．９．８）

（ｄ＾ｉｅＲＡ＾， ｘｊｊ＾＾ｘｊｊ．

Ｄ＾

＝

Ｕｓｉｎｇ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｗｅ ａｌｓｏ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｍｌ ｆｉｎｉｔｅ

ｍａｓｓ．

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

＾＝

ｔｈｅ

１ｍ２， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄ ｈａｓ

（１２．９．１０）

Ｚ２ｉＡ（ｉｆ？ ＋ ｅ４－ Ｍ０）ｉｐ，

ｇｈｏｓｔ ｉｇｎｏｒｅｄ， ｓｉｎｃｅ ｉｔ ｉｓ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ＺＪ

ｉｓ

－ｉＺ３Ｆｌｖ ＋ ￥ｍ２Ａｌ－（ｌ／２￡）ｄ－Ａ２ ＋

ｗｉｔｈ

＝

（１２．９．９）

ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎ

ａ

ｆｒｅｅ ｆｉｅｌｄ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｎｏ

ｍａｓｓ．

Ｓｉｍｉｌａｒ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｐｐｌｙ ｉｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ ｉｓ

ａ

ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ａ

３２４

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｏｆ ｇａｕｇｅ

Ｕ（ｌ） ｆａｃｔｏｒｓ．

ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｏｎｅ ｏｒ ｍｏｒｅ

ｔｈｅｏｒｙ

ｏｆ ｗｅａｋ ａｎｄ

ｇａｕｇｅ ｇｒｏｕｐ

１２．９．２

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ５（７（２） ？（１）．

Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ

ｔｒｅａｔｍｅｎｔ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ｗｅｉｎｂｅｒｇ－Ｓａｌａｍ ｓｉｍｐｌｅ ｃａｓｅ ｗｉｔｈ

Ｔｈｅ

ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｉｓ

ａ

－

ｏｆ ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｐｈｏｔｏｎ

ｍａｓｓ

ｓｏｐｈｉｓｔｉｃａｔｅｄ ｔｈａｎ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｆｉｒｓｔ ｗｅ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｈｏｔｏｎ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｔｈｅ ＢＲＳ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ，

ａｒｅ

ｓｏ ｗｅ

ｍｕｃｈ

ｗｉｌｌ

ｍｏｒｅ

ｎｏｗ ｔｒｅａｔ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ （１２．９．１０）： ｉ Ｄｕｖ Ｍｖ

＝

￣ｎ

２

（

？

ｍ

＝

０， ｔｈｅｎ

ｗｅ

＋ Ｇｕｖ ｙ＂ｖ

ｊ

ｒ＿ ９＾

ｃａｎｎｏｔ

ｒｅｍｏｖｅ

ｍ２ ＋ ｉｅ

Ｉｆ

￣

ｋ２－ｍ２＋ｉ￡Ｋ ，

＇ ｋｕｋｊｍ２） ＂ ｖ／

ｉ

ｋ ｋ

ｔ＾—：ｆ－｜—－ ｍ２ｋ２－￡ｍ２＋ｉｅ ｊ

（ｉ－ｇ）Ｍｖ ｉｍ２ ＋ ｉｅ

［

（１２．９．１１）

ｋ２－ ｔｈｅ

ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ

ｔｅｒｍ， ｆｏｒ ｔｈｅｎ ｔｈｅ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｅｘｉｓｔ． （Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｍ ｉｓ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｅｘｉｓｔｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ

ｉｋ＾ｋｊｋ２ｍ２９

ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ． Ｈｏｗｅｖｅｒ ｉｔ ｂｅｈａｖｅｓ ｌｉｋｅ

ｌｉｍｉｔ ＾ ｏｏ．） Ｂｕｔ ｉｆ ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ ｔｅｒｍ

ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ

－？

１／ｋ２．

Ｓｏ ｔｈｅ

ｈａｓ ｗｏｒｓｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ ｍ ０ ａｎｄ ￡ ｍａｎｉｆｅｓｔｌｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ． Ｅｖｅｎ ｓｏ， ｐｈｙｓｉｃａｌ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ￡ ａｎｄ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｉｆ ￡ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ． Ｈｅｎｃｅ ｅｎｏｕｇｈ ｃａｎｃｅｌｌａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ａｓ ￡ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｒｅｍａｉｎｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｉｆ ＝

＝

ｏｏ

－？

ｗｅ

ｔｈａｎ ｕｓｕａｌ ａｎｄ ｉｓ ｎｏｔ

ｏｏ

ｏｎｌｙ ｃｏｍｐｕｔｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ．

Ｏｕｒ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｍａｋｅｓ ｅｘｔｅｎｓｉｖｅ

ｕｓｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ：

ＡＳ ＝

＝

Ｚ３ｍ２Ａ＾ ＋ Ｚ３（Ｄ＾＂

＝

０，

－

ｄ？ｄ－Ａ）

＋

ｄ＊ｄ－Ａ／￡

＋

ｅ０Ｚｊ／２＃ｙｔｙＺ２

ＡＳ

＜？＋

＝

｜＾

＝

Ｚ２￥（

－

ｉ ０－

Ｍ０）

＝

０．

（１２．９．１２）

Ｗｅ ｈａｖｅ ｎｏｔ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ （１２．９．７）． ｇａｕｇｅ－ｆｉｅｌｄ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｇｉｖｅｓ ０

Ｈｅｒｅ，

ｗｅ

＝

（ｎ／Ｚ

＋

Ｔａｋｉｎｇ

ｍ２）ｄ＇Ａ．

ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ

（１２．９．１３）

ｈａｖｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ， ｗｈｉｃｈ

ａｒｅ

（１２．９．４） ｗｉｔｈ

ｇｌｏｂａｌ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏ． Ｔｈｅ Ｎｏｅｔｈｅｒ ｃｕｒｒｅｎｔ

１２．９ Ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ： ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｐｈｏｔｏｎ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ｔｈｅ

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ

ｃｕｒｒｅｎｔ：

（１２．９．１４）

ｊｒ＝－ｅ０ｚｙ２Ｚ２￥Ｗ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ， ｂｙ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ＇ｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ （１２．９．１３） ｔｈａｔ ｄ－Ａ ｉｓ ａ ｆｒｅｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｆｏｒ ｔｈｒｅｅ

（１）

Ｉｔ ｗｏｕｌｄ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｂｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔ

ｔｈｅ

ｗｈｉｃｈ ｈａｓ

（２）

Ｔｈｅ

３２５

ｍａｓｓ

ｒｅａｓｏｎｓ：

ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ ｐａｒｔ ｏｆ Ａ＾

ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． ＜！；－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

ｉｓ ｃｏｎｆｉｎｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｋｊｉｖ ｔｅｒｍ， ｗｈｉｃｈ ｏｎｌｙ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓ ｔｏ ｄ－Ａ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｄｅｃｏｕｐｌｅｓ ｆｒｏｍ ｐｈｙｓｉｃｓ ｉｆ ｄ－Ａ ｉｓ ｆｒｅｅ．

（３） Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｔｈｅ ｂａｄ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｗｈｅｎ ＾

－？

ｏｏ

ｉｓ ｄｅｃｏｕｐｌｅｄ ｆｒｏｍ

ｐｈｙｓｉｃｓ． Ｔｏ ｍａｋｅ ｔｈｅｓｅ ｓｔａｔｅｍｅｎｔｓ

Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ

（１）

Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ，

（２）

ｍ２，

（３）

ｎｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ

＝

ｐｒｅｃｉｓｅ ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．

ｄｉｒｅｃｔｌｙ：

Ｚ＾ｌｍ２，

ｓｏ

ｔｈａｔ

ｎｏ ｍａｓｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎ，

ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄ－Ａ２ ｔｅｒｍ，

ｅＲＺｚ １／２， ｗｉｔｈ ｅＲ ｆｉｎｉｔｅ， ｂｕｔ ｎｏｔ Ｚ３ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ＾， （５） Ｚ２ （６） ｔｈｅ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ＜！；．

（４） ｅ０

＝

Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｄ， ａｎｄ

ｗｅ

ｅｘａｃｔ

＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ Ｚ２ ｗｈｅｎ ｍｉｎｉｍａｌ ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｅ．

ｗｉｌｌ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｅｘａｃｔ

ｒｅｓｉｄｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎ＇ｓ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ

１２．９．３ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ＆Ａ９

＜￡＾ ａｎｄ Ｓ￡＾ ａｒｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｉｎ

ａｒｅ ｉｍｐｌｉｃｉｔｌｙ ｔａｋｅｎ ｏｕｔｓｉｄｅ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｉｎｇ． Ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ （１２．９．１３）， ｗｅ ｕｓｅ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｌｉｋｅ

ｔｈｅｓｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈｅ Ｗａｒｄ

＜０｜Ｔ＾（ｘ）Ｘ｜０＞＝ｉ＜０｜７＾＾｜０＞．

Ｎｏｗ

（Ｕｌｔ

＋

ｍ２）ｄ－Ａ

＝

ｄ＾Ａｌｌ

－

ｉｅｊ＾ｉ ＋ ｉｅＪＳ？＾．

（１２．９．１５）

（１２．９．１６）

＊

Ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｅ０ ｅＲＺ＾１／２， ｍ＾ Ｚ Ｊ ｍ２． Ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ａ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍ （１２．９．１０）． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｎｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ Ａ２ ａｎｄ ｄ－Ａ２， ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ １ ｆｏｒ ＾＾． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｆｏｒ ｛Ｊ／４＾ ｉｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｚ２ ＝

＝

—

ｌａｔｅｒ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔ． Ｂｕｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｈａｖｅ

Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ

ｏｕｒ

ｉｎ ｔｈｉｓ ｆｏｒｍ． Ｏｕｒ ｇａｍｂｉｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｆ ｅｘｔｒａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ

３２６

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｎｅｅｄｅｄ， ｔｈｅｎ

ｔｈｅｙ ｗｉｌｌ

ｏｆ ｇａｕｇｅ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｎｏｔ ｂｅ ａｖａｉｌａｂｌｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｌｌ

ｄｉｖｅｒｇｅ． （１２．９．１６）

Ｆｒｏｍ

（ｎｘ／Ｚ ＝

＋

ｍ２Ｋ０＼Ｔｄ＇Ａ（ｘ）Ｘ＼０ｙ

ｉ－＾（０＼ＴＡＸ／ＡＡ＾（ｘ）＼Ｏｙ ＋

＝

ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ

ｅＲ（０＼ＴｉＩ／（ｘ）ＡＸ／Ａ｛ｌ／（ｘ）＼０｝ －ｅＲ（０＼Ｔｉ／／（ｘ）ＡＸ／Ａｉｌ／（ｘ）＼Ｏｙ

ｉ｜￡￣￡Ｔ＜０｜Ｔ＾｜０＞，

（１２．９．１７）

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ

ｇａｕｇｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｉｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ （１２．９．４）． Ａ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｗａｙ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｓ ａｓ ｆｏｌｌｏｗｓ：

（１） Ｌｅｔ ０ ｂｅ

（２）

Ｌｅｔ

ａ

（５（ｆｉｅｌｄ）

ｆｒｅｅ ｓｃａｌａｒ ｂｏｓｏｎ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ＝

ｍａｓｓ

￡１／２ｍ．

ｇａｕｇｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ＇ｆｉｅｌｄ＇ ｗｉｔｈ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ０， ｉ．ｅ．，

Ｓａ＾＝ｄｒｆ， ６＼ｊｊ

ｄｉｊ／

（３）

＝

ｉｅＲ（ｆ）＼ｌ／，

＝

—

＼ｅＲ＜ｆ＞＾ｊ．

Ｔｈｅｎ （１２．９．１７） ｉｓ

（ｉ／ＺＫＯ＼Ｔｄ－Ａｘ＼ｏｙ Ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ＜ｊ＞ ｉｓ

＝

＜ｏ＼Ｔ＜ｆ＞（ｘ）ｓｘ＼ｏｙ．

ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈｅ Ｆａｄｄｅｅｖ－Ｐｏｐｏｖ ｇｈｏｓｔ ｅｘｃｅｐｔ ｆｏｒ

（１２．９．１８）

ｂｅｉｎｇ ａ ｂｏｓｏｎ

（ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｂｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｌａｔｅｒ）． Ｉｎ ａ ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅ ｎｉｌｐｏｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ＢＲＳ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｃｒｕｃｉａｌ ｔｏ ｐｒｏｖｉｎｇ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｃ ｗｉｔｈ ｉｔｓｅｌｆ． Ａ ｆｉｅｌｄ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗａｙ ｈａｓ ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｇｈｏｓｔ ｆｉｅｌｄ ａｎｄ ｍｕｓｔ ｂｅ ｔｏ ｂｅ ａ ｂｏｓｏｎ．

ａ

ｆｅｒｍｉｏｎ． Ｉｎ （１２．９．１８）

ｗｅ ｃａｎ

ａｓ

０

ｃｈｏｏｓｅ ０

１２．９．４ Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ Ａ２ ａｎｄ ｄ－Ａ２ Ｌｅｔ

ｕｓ

ａｐｐｌｙ （１２．９．１７）

ｔｏ ｔｈｅ ｃａｓｅ Ｘ

＝

Ａｖ｛ｙ）：

（ａｊ＾ｍ２）－＾＜０＼ＴＡ＾（ｘ）Ａｖ（ｙ）＼０ｙ －ｉ－ＪＬ＾ｘ－ｙ）． Ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｄ－Ａ２

ｎｏ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ

ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ

ｔｏ

（１２．９．１９） Ａ２

ｏｒ

ｔｏ

ｎｅｅｄｅｄ． Ｆｏｒ ｓｕｐｐｏｓｅ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ． Ｔｈｅｎ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｏｍｅｓ ａｒｅ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｏｆ

ａ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈ

ｉｎ ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｐｈｏｔｏｎ

ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ． Ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｆｉｇ． １２．９．１， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ ｄｅｎｏｔｅｓ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ ｔｈｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｉｎｄｉｃａｔｅｓ ｔｈａｔ

１２．９ Ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ： ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ

ｐｈｏｔｏｎ

３２７

ｍａｓｓ

Ｆｉｇ． １２．９．１． Ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ ｐｈｏｔｏｎ＇ｓ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ．

ｏｎｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｋｊｋｖ ａｎｄ ｇ＾ｖ． Ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｇ＾ｋ２ ｋｊｃｖ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ Ｚ３ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎ． Ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｔｒａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ｇｉｖｅｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ

ｔｈｅ —

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （１２．９．１９）． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｓｏ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｉｎ ｆａｃｔ ｎｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｈｅｎｃｅ ｍ＼ Ｚ＾ ｌｍ２． Ｉｔ ａｌｓｏ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ＝

ｐｈｏｔｏｎ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｉｓ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ． Ａｐｐｌｙｉｎｇ（１２．９．１７）ｔｏＡ： ＾Ｍ（＾ｖ（ｚ）ａｎｄｔｏ＾Ｋ（ｗ）＾Ａ（＞；）＾ｖ（ｚ）ｓｈｏｗｓｔｈａｔｎｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｃｕｂｉｃ ｏｒ ｑｕａｒｔｉｃ ｉｎ Ａ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ． ｔｈｅ

＝

１２．９．５ Ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｅ０ ａｎｄ

Ａｐｐｌｙ （１２．９．１７）

ｔｏ Ｘ

（Ｄ＾ ＝

Ｚ３

＜Ａ０＃（ｚ）：

＝

＋

ｍ２）＾＜０｜Ｔ＾（ｘ）＾｜０＞

ｅ（０＼ ｒＭＯ０（ｚ）｜Ｏ＞ ［８（ｘ －ｙ）－ Ｓ（ｘ

－

（１２．９．２０）

ｚ）］．

Ｗｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｅ０ Ｚ＾ ｌ／２ｅＲ． Ｉｆ ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， ｔｈｅｎ ｌｅｔ ｔｈｅ ＼ｌ／－＼］／－Ａ １ ＰＩ ｖｅｒｔｅｘ ｆｉｒｓｔ ｄｉｖｅｒｇｅ ａｔ ＡＭｏｏｐｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （１２．９．２０） ＝

ｄｉｖｅｒｇｅｓ

ａｔ ｏｒｄｅｒ

ｍａｋｅ ｔｈｅ

ｅ２ｉＮ＋１ｉ

ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ

ｗｈｉｌｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

Ｚ２

—

１ ａｖａｉｌａｂｌｅ ｔｏ

ｓｉｄｅ ｆｉｎｉｔｅ． Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｄｏｅｓ ｎｏｔ

ｄｉｖｅｒｇｅ．

１２．９．６ Ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ Ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ａ

＜０｜ ＴＸ＼０｝

ｉｓ

＾ｏｌｒａｌｏ－＾ｊ ｄ４ｘ＜ｏ｜ｒ［ａ－＾２（ｘ）－＜ｏ｜ａ－＾２｜ｏ＞］ｘ｜ｏ＞ ＾ｊｄ４ｘ＜０｜Ｔ＾Ｘ｜０＞ ．

８ Ｉｎ Ｚ，

＋ ｉ－

＝

＾－

ｄ４ｘ ＜ ０１Ｔ８ Ａ（ｘ）＜ｊ＞（ｘ）５Ｘ １０ ＞ ■

－Ｎ，＜０＼ＴＸ＼０＞ｄｈｉＺ２／ｄＺ

＝＾｜ｄ４ｘ＜０｜Ｔ［？／，２（ｘ）－＜０｜＜／．２｜０＞］ｌ２Ｘ｜０＞ －ｉｖ＾，＜ｏ｜ＴＡ：｜ｏ＞ａｉｎｚ２／ａ＾

（１２．９．２１）

Ｈｅｒｅ Ｎ＾ ｉｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｉ／ｆ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ Ｘ （ｗｈｉｃｈ ｅｑｕａｌｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ￥ ｆｉｅｌｄｓ）．

３２８

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｏｆ ｇａｕｇｅ

ｄ

ｉ

＜０｜７Ｖ４？／１Ｊ０＞＝

—

ｆｔ

＝

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ

；

ｊ

＾ｔｘ

（ ） ５１ｎＺ２ ＾Ｊ

＾

＾＜０｜Ｔ＾／ｉ｜０＞＝ ＾＾－＋－＾－＾ ｛） ａｉｎＺ．

＋

ｌｎ｛

Ｆｉｇ． １２．９．２． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ （１２．９．２１）．

Ｔｈｅ

ｄｉｓａｐｐｅａｒａｎｃｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ

＼ ｉｎ

ｔｈｅ ｌａｓｔ ｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｓ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ＜Ｏ｜０２｜Ｏ＞ ａｐｐｅａｒｓ， ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ０２，

ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ＜ｊ＞ ｆｉｅｌｄｓ． Ａｌｓｏ， ＜ｊ＞２ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｐｕｒｅ ｖａｃｕｕｍ ｇｒａｐｈｓ ｎｅｖｅｒ

—

ｏｃｃｕｒ ｏｎ

ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ． （Ａ ｂｅｔｔｅｒ

ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｕｓｅｓ ｔｗｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｉｅｌｄｓ ＜ｊ＞ ｔ ａｎｄ ＜ｊ＞ ２ ｆｏｒ ｅａｃｈ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ．） Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎｎｏｔ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｆ ＜ｊ＞ ｉｓ ａ ｆｅｒｍｉｏｎ， ｆｏｒ

ｔｈｅｎ （ｆ＞２ ｔｈｅ

ｎｏｎ－ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｍｕｓｔ ｂｅ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｏｎｅ ｗｈｉｃｈ ｌｅａｄｓ ｔｏ ｔｈｅ ｗｅａｋｅｒ （１２．４．４）． Ｔｈｅ ｇｒａｐｈｉｃａｌ

＝

ｍｏｒｅ

０． Ｓｏ， ｉｎ

ａ

（１２．９．２１） ｆｏｒ ａ ｆｅｗ ｓｉｍｐｌｅ ｃａｓｅｓ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． １２．９．２． Ｆｒｏｍ （１２．９．２１） ｉｔ ｉｓ ｉｍｍｅｄｉａｔｅ ｔｈａｔ ａｌｌ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇａｕｇｅ－ｉｎ ｖａｒｉａｎｔ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ

ｆｉｅｌｄｓ

＾－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ． ｏｎｌｙ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｔｈｏｓｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｌｏｏｐ （Ｆｉｇ． １２．９．３） ａｔｔａｃｈｅｄ ｔｏ ａ ￥ ｏｒ ａ ＼ｊ／ ｖｅｒｔｅｘ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ｔｈｏｓｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃ Ｉｎ Ｚ２／ｄ￡ ｆａｃｔｏｒ． Ｗｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ａｒｅ

Ｔｈｅ

ｄｌｎＺ，

－

＂￡ ．

＋

，

—

ｌ—ｎｔ

（１２－９．２２）

（２ｎＹ（ｋ２－ｉｍ２）２

ｉｓ ＵＶ ｆｉｎｉｔｅ． Ｈｅｎｃｅ

ａｉｎＺ２２ ｄ￡

ｅ２

／￡ｍ２ Ｖ＇２＂２

１６７ｉ２ｊｒ（２－ｄ／２）（７—ｊ ＼４ｗ

＼

＿

．

＋ ｆｉｎｉｔｅ．

）

Ｆｉｇ． １２．９．３． Ａｌｌ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ

ｔｏ

（１２．９．２１） ｃｏｎｔａｉｎ ｔｈｉｓ ｌｏｏｐ．

１２．９ Ａｂｅｌｉａｎ ｔｈｅｏｒｉｅｓ： ｗｉｔｈ ａｎｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｐｈｏｔｏｎ Ｉｆ

ｗｅ ｕｓｅ

３２９

ｍａｓｓ

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｅｎ

Ｚ２＝Ｚ２（￡ ＝０）ｅｘｐ

（１２．９．２３）

％ｎ２（ｄ－４）＿

＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ， ｗｅ ｒｅｃａｌｌ ｔｈｅ ＬＳＺ ｆｏｒｍｕｌａ． Ｉｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ａｎｄ ｐｉｃｋ ｏｕｔ ｔｈｅ

Ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ

ｔｅｌｌｓ

ｕｓ ｔｏ

ｐｏｌｅｓ ｉｎ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ． Ｓｉｎｃｅ ｗｅ ｕｓｅ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎ （ｅ－ｋ ０） ｆｏｒ ｐｈｏｔｏｎｓ ｔｈｉｓ ｐｉｃｋｓ ｏｕｔ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌｏｏｐ Ｆｉｇ． １２．９．３ ａｎｄ ｔｈｅ ｄ Ｉｎ Ｚ２／ｄ￡ ＝

ｔｅｒｍｓ． Ｔｈｅｎ

ｎ

Ｓ－

Ｆｅｒｍｉｏｎｓ

Ｆｒｏｍ

ｐｈｙｓｉｃａｌ

Ｆｉｇ．

（＾ｐ＊）

ｍａｓｓｅｓ

ｐｈｏｔｏｎｓ

＜０｜ Ｔｉ／＾｜０＞

１２．９．２ ｆｏｒ

（ｔ＾）＜０｜ｒＸ｜０＞．

０

ａｎｄ ｆｏｒ

（１２．９．２４）

＜０｜ Ｔ＾ｖ｜０＞， ｗｅ ｓｅｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｈｏｔｏｎ ｐｏｌｅ

ａｒｅ

＾－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ， ｗｈｉｌｅ

ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｚ２ ｅｘａｃｔｌｙ ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｐｏｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ＜０（７Ｘ｜０＞．

Ｗｅｃａｎｃｏｍｐｕｔｅｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙｔｈｅ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅｏｆｔｈｅｒｅｓｉｄｕｅ，ｚ２，ｏｆｔｈｅｐｏｌｅｏｆ

ｔｈｅ ｆｅｒｍｉｏｎ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ， ｉｆ

ｗｅ ｕｓｅ

＾

＝

＝

ｉ．ｅ．， ｚ２

＝

ｚ２（￡

＝

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ：

ｌｉｍ （１２．９．２２）

＾？［ｙ ｌｎ｛＾）］ ＋

０） ｅｘｐ ｉ

＾ｐ ＼ｙ

Ｓｉｎｃｅ ￡０ ＾Ｚ３， ｅ＼ Ｚ＾ｌｅ２， ａｎｄ ｍｌ ￡ｍ２ ｉｎ （１２．９．２５） ａｒｅ ＲＧ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． ＝

—

１２．９．７

＝

－

１ ＋ Ｉｎ

Ｚ＾ｍ２，

（－＾ ｖ４７ｒ／ｒ

ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ

（１２．９．２５）

ｅ２￡

ａｎｄ

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ

Ｕｓｉｎｇ ｏｕｒ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｅ０， ￡０， ａｎｄ ｍｌ ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｆ＼Ｊ／＇ｓ， Ｎ ｛ｉｊｉ％ ａｎｄ ＮＡ Ａ＇ｓ ｔｏ ｂｅ

０＝（４＋ｐｉ ｙ？ＭｉＬ＋ｙ＞ｍ２ｉｂ ＾｜＋Ｎ＾＋＞Ｎ＾）Ｇ＇ ￣

￣

（１２．９．２６）

ｗｉｔｈ Ｐ

＝

ｉｅｙ３ ＋ （ｄ／２－２）ｅ．

Ｉｆ ｗｅ ｕｓｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ＾－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｉｓ ｙ２， ａｎｄ

３３０

Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｆｒｏｍ

（１２．９．２３）

ｗｅ

ｏｆ ｇａｕｇｅ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ７２

＝

ｙ２？

＝

（１２．９．２７）

０） ＋ ＾２／８ｔｔ２．

Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓ（１２．９．２３），（１２．９．２５），ａｎｄ（１２．９．２７）ｗｅｒｅｄｅｒｉｖｅｄｂｙＬａｕｔｒｕｐ（１９７６） ａｎｄ

ｂｙ Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９７５ａ）． １２．１０

Ｕｎｉｔａｒｙ

Ｔｈｅ ｕｎｉｔａｒｙ ｇａｕｇｅ ｉｓ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ￡

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

－？

ｇａｕｇｅ ｆｏｒ ｍａｓｓｉｖｅ ｏｏ．

ｐｈｏｔｏｎ

Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ａｎｄ ｇａｕｇｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ

＜！；－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ， ｔｈｉｓ ｌｉｍｉｔ ｅｘｉｓｔｓ ｆｏｒ ｔｈｅｍ． Ｂｕｔ ｆｏｒ ｇａｕｇｅ－ｖａｒｉａｎｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｓｅｖｅｒｅ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔｓ ￡－？ ｏｏ，

ａｒｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｄ －？ ４ ｄｏ ｎｏｔ ｃｏｍｍｕｔｅ．

ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｂｙ ｅｘｔｒａ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｂｅｙｏｎｄ ｔｈｏｓｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ａｌｒｅａｄｙ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ Ｓ－ｍａｔｒｉｘ ｉｓ ｇａｕｇｅ－ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ， ａｌｌ Ｗｅ ｍａｙ ｔａｋｅ ￡－＞ｏｏ ｆｉｒｓｔ， ｉｎ ｔｈｅ ａｔ ｄ

＝

４ ｍａｙ ｂｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ

ｔｈｅｓｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｍｕｓｔ ｖａｎｉｓｈ ｂｙ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ．

１３ Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

Ａ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｆｅａｔｕｒｅ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｉｓ ｔｈａｔ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ａｒｅ ｎｏｔ ａｌｗａｙｓ ｐｒｅｓｅｎｔ ａｆｔｅｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ．

Ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ

ｍｅａｎ

ｎｏｎ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ

ｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｔｈａｔ ｉｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｄ ｂｙ ａ ａｎｄ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｂｏｓｏｎｓ． Ｒａｔｈｅｒ

ｖａｃｕｕｍ

ｓｉｔｕａｔｉｏｎ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｗｅ ｍｅａｎ ａ

ｎｏ

ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

ｄｅｓｐｉｔｅ ｔｈｅ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ ａｎｙ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ａｃｔｉｏｎ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒ ｔｏ ｂｒｅａｋ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｓｕｃｈ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｏｆ ａ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ａｎｏｍａｌｏｕｓ． Ｉｆ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｃｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ｔｈｅｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｇｉｖｅｓ ｓｙｍｍｅｔｒｙ

ｕｓ

ａ

ｂｒｅａｋｉｎｇ．

ａ

ｎａｉｖｅ

ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

ｏｆ Ｎｏｅｔｈｅｒ＇ｓ

ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔ． Ｔｈａｔ ｉｓ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ａｎｏｍａｌｏｕｓ Ｗｈａｔ ｐｒｅｖｅｎｔｓ ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｆｒｏｍ ｂｅｉｎｇ ｃｏｒｒｅｃｔ ｉｓ ｔｈｅ

ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ＵＶ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ａ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ， ｉ．ｅ．， ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｉｎｔ， ａｎｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｉｔ， ｓｏｍｅ ｋｉｎｄ ｏｆ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ． Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍａｙ ｉｎｖａｌｉｄａｔｅ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ Ｎｏｅｔｈｅｒ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｏｎｌｙ ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ， ａｓ ｏｐｐｏｓｅｄ ｔｏ

ｌｏｃａｌ，

ｏｒ

ｇａｕｇｅ，

ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ．

Ｔｈｅ

ｓｉｍｐｌｅｓｔ

ｃａｓｅｓ

ｏｆ

ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｗｅｒｅ

ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ９． Ｔｈｅｓｅ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｔｒｅａｔｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｔｈａｔ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｎｏｅｔｈｅｒ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｃａｎ ｔｈｅｎ ｂｅ ｍａｄｅ ｉｎ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ．

ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｏｎｌｙ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｒｅｍａｉｎｓ ｇｏｏｄ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ

ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｎｏｔ ａｌｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ ａｆｔｅｒ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｃａｓｅ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｒｅａｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｆ ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ａｃｔ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ ｏｎ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ ａｎｄ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄｅｄ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ Ｄｉｒａｃ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｂｅｃａｕｓｅ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｏｆ ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｃａｎｃｅｌｓ． Ｉｎｄｅｅｄ

ｔｈｅｏｒｅｍ， ｆｉｒｓｔ ｐｒｏｖｅｄ ｂｙ Ａｄｌｅｒ ＆ Ｂａｒｄｅｅｎ （１９６９）， ｔｈａｔ ｉｆ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｏｆ ａ ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｚｅｒｏ ｔｏ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｚｅｒｏ ｔｏ

ａ

ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ．

Ｏｕｒ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｗｉｌｌ

ｖａｌｉｄ ｉｎ ｔｈｅ

ｕｓｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ４， ｂｕｔ ｎｏｔ ｗｈｅｎ ｄ ＝￡ ４． Ｔｈｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｄ

＝

ａｎｏｍａｌｙ ｉｎ， ｓａｙ， ａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｕｒｒｅｎｔ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｂｅ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｗｉｔｈ

３３２

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

ｉｎ ｅｆｆｅｃｔ

ａ

４， ｗｈｅｒｅ ｄ ｉｓ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ４， ｗｅｒｅ ｉｔ ｎｏｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｄ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ｗｏｕｌｄ ｖａｎｉｓｈ

ａｔ ｄ

＝

—

ｕｌｔｒａｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｗｈｉｃｈ ａｌｌｏｗ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｏ ｈａｖｅ ａ ｐｏｌｅ ａｔ ｄ ４ ｓｏ ｔｈａｔ ａ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ａｎｏｍａｌｙ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｔ ｄ ４． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｈｏｗ ｔｈｉｓ ＝

＝

ｗｏｒｋｓ． Ｔｈｅｒｅ

ｋｅｙ ｉｓｓｕｅｓ．

ａｒｅ ｔｗｏ

Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｓ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ

ｓｉｍｐｌｅ ｆｏｒｍｓ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ａｎｏｍａｌｙ． Ｏｆ ｔｈｅｓｅ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｄｒａｍａｔｉｃ ｉｓ ｔｈｅ Ａｄｌｅｒ－Ｂａｒｄｅｅｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｈａｔ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｈａｔ ｉｎ ｓｏｍｅ ｃａｓｅｓ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｃａｎｃｅｌｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ． Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｉｓｓｕｅ ｉｓ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ａ ｆｏｒｍ ｔｈａｔ ｉｓ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｔｏ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ， ｉ．ｅ．， ａｆｔｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｍｏｖａｌ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ，

ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｍｕｓｔ ｂｅ

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａｎ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

ａｎｏｍａｌｙ， ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ

ｏｆ ｔｈｉｓ ｃｈｏｉｃｅ．

ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｓａｙ ｔｈａｔ

ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｎ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ｉｓ ｂｒｏｋｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｍａｙ ｇｏ ａｗａｙ ａｆｔｅｒ ｒｅｍｏｖａｌ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｉｆ ｏｎｅ ｕｓｅｓ ａ ｌａｔｔｉｃｅ ｔｈｅ

ｃｕｔ－ｏｆｆ， ｔｈｅｎ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ｌｏｓｔ． Ｈｏｗｅｖｅｒ，

ｏｎｅ ｍｕｓｔ

ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｉｓ ｒｅｓｔｏｒｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ， ｉｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｔｏ ａｇｒｅｅ ｗｉｔｈ ｒｅａｌ ｗｏｒｌｄ

ｐｈｅｎｏｍｅｎａ． Ａｓｉｄｅ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｃｈｉｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｏｔｈｅｒ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａｎｏｍａｌｉｅｓ． Ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｏｆ ｄｉｌａｔａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｓｅ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ： ｘ＂－＞ａｘｍ． Ａ ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ ｓｃａｌｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｉｆ ｉｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｎｏ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ， ｌｉｋｅ ａ ｍａｓｓ ｓｃａｌｅ． Ｂｕｔ ｔｏ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｗｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅ ａ ｍａｓｓ ｓｃａｌｅ． Ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ａｒｉｓｅｓ ｏｆ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｒｅｍａｉｎｓ ｂｒｏｋｅｎ ａｆｔｅｒ ｔｈｅ ａｎｓｗｅｒ

ｓｃａｌｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ｔｈｅｏｒｙ

ｏｎ

ｉｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ． Ｔｈｉｓ

ｉｓ， ｉｎ ｇｅｎｅｒａｌ， ｙｅｓ， ｉｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｈａｓ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ

ｔｈｅｒｅ ｉｓ， ｉｎ ｆａｃｔ， ｗｈｅｎ

ａｒｅ

ｗｅ

ａ ｍａｓｓ

ｓｃａｌｅ ｈｉｄｄｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ

ｒｅａｓｏｎ

ｔｈｅｏｒｙ，

ｉｓ ｔｈａｔ

ａｓ ｗｅ ｓａｗ

ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｒａｎｓｍｕｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

ｇｒｏｕｐ， ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ７． Ｄｅｔａｉｌｅｄ ｔｒｅａｔｍｅｎｔｓ ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ （ｓｅｅ Ｃｏｌｌｉｎｓ （１９７６）， Ｂｒｏｗｎ （１９８０） ａｎｄ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ ｔｈｅｒｅｉｎ）． Ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｆｏｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｉｓ ｋｎｏｗｎ ａｓ ｔｈｅ Ｃａｌｌａｎ－Ｓｙｍａｎｚｉｋ ｅｑｕａｔｉｏｎ （Ｃａｌｌａｎ （１９７０） ａｎｄ

Ｓｙｍａｎｚｉｋ （１９７０ｂ））． Ｔｈｅ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ Ｃａｌｌａｎ－Ｓｙｍａｎｚｉｋ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎ ｆａｃｔ ａｌｓｏ ｃｏｎｔａｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｗｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ７． Ｏｔｈｅｒ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｔｒｅａｔ ｉｎｃｌｕｄｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ： ｃｈｉｒａｌ ｇａｕｇｅ

Ｐｉｇｕｅｔ ＆ Ｒｏｕｅｔ （１９８１））， ｃｏｎｆｏｒｍａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ （Ｓａｒｋａｒ （１９７４）） ａｎｄ ｓｕｐｅｒｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ （Ｐｉｇｕｅｔ ＆ Ｒｏｕｅｔ （１９８１）， Ｃｌａｒｋ， Ｐｉｇｕｅｔ ＆ Ｓｉｂｏｌｄ （１９７９， １９８０）， ａｎｄ Ｐｉｇｕｅｔ ＆ Ｓｉｂｏｌｄ （１９８２ａ， ｂ， ｃ））． ｔｈｅｏｒｉｅｓ （ｓｅｅ Ｃｏｓｔａ ｅｔ ａｌ （１９７７）， Ｂａｎｄｅｌｌｏｎｉ ｅｔ ａｌ． （１９８０），

１３．１ Ｃｈｉｒａｌ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

３３３

１３．１ Ｃｈｉｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ＱＣＤ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｆｌａｖｏｒｓ ｏｆ ｑｕａｒｋ： ｕｐ ａｎｄ ｄｏｗｎ． （Ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｆｌａｖｏｒｓ， ｂｕｔ ｎｏ ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｎｅｗ ｉｄｅａｓ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｎｅｅｄｅｄ．） Ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｉｓ （２．１１．７）． Ｉｆ ｔｈｅ ｑｕａｒｋｓ ｗｅｒｅ ａｌｌ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｒｋ ｆｉｅｌｄｓ： Ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｈａｖｅ

ｍｏｒｅ

ｉ／，

－

ｅｘｐ

｛ｉ［｜（ｌ

－

ｙ５）Ｋ ＋ ｃｏｍ ＋ ｉ（ｌ

＋

ｙ５）Ｋ ＋ ＜＊＂）］ ｔｙ．

（１３．１．１）

Ｈｅｒｅ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｔａ ａｒｅ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｓｏｓｐｉｎ ｇｒｏｕｐ ａｃｔｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｆｌａｖｏｒ ｉｎｄｉｃｅｓ． Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ （１３．１．１） ｆｏｒｍ ａ ｇｒｏｕｐ ｔｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃａｌｌ

Ｕ（１）Ｌ？ Ｕ（＼）Ｒ？ ＳＵ（２）Ｌ？ＳＵ（２）Ｒ． Ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ＱＣＤ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅｓｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｉｓ ｂｒｏｋｅｎ ｂｙ ｍａｓｓ ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｑｕａｒｋｓ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｏｆ ｔｈｅ ｕ ａｎｄ ｄ ｑｕａｒｋｓ ａｒｅ ｓｍａｌｌ， ｔｈｅ ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ａｒｅ ｏｎｌｙ ｗｅａｋｌｙ ｂｒｏｋｅｎ． Ｔｈｅｓｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｗｅｒｅ ｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄ ｗｅｌｌ ｂｅｆｏｒｅ ｔｈｅ

ｍａｓｓｅｓ

ａｄｖｅｎｔ ｏｆ ＱＣＤ－ｓｅｅ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， Ｔｒｅｉｍａｎ， Ｇｒｏｓｓ ＆ Ｊａｃｋｉｗ （１９７２）．

ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｇｈｔ ｏｆ ＱＣＤ ｃａｎ ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ Ｍａｒｃｉａｎｏ ＆ Ｐａｇｅｌｓ （１９７８） ａｎｄ ｉｎ Ｌｌｅｗｅｌｌｙｎ－Ｓｍｉｔｈ （１９８０）． Ｔｈｕｓ ｉｔ ｉｓ ｕｎｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｇｏ ｉｎｔｏ ｄｅｔａｉｌｓ ｈｅｒｅ． Ｗｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｅｍｐｈａｓｉｚｅ ｉｓ ｈｏｗ ｔｈｅ Ｔｒｅａｔｍｅｎｔｓ ｏｆ ｃｈｉｒａｌ

ｐｏｔｅｎｔｉａｌ

ｆｏｒ ａｎｏｍａｌｉｅｓ ａｒｉｓｅｓ．

Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｓｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｉｎｖｏｌｖｅ ｙ５， ｔｈｅｙ

ｓｐｉｎ ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ，

ｔｈｅ

ｗｅ

ｉｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｏｆ

ｃａｎ

ａｎ

ｉｎ

ｃｏｕｐｌｅｄ ｔｏ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｏｆ

ｓｏｍｅ ｓｅｎｓｅ

ｔｏ ｔｈｅ

ｅｘｐｅｃｔ ｔｒｏｕｂｌｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ， ｆｏｒ

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｍｕｓｔ ａｌｔｅｒ ｔｈｅ

Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｃｏＬ

ｃｏｒｒｅｃｔ． Ｔｈｅ

ａｒｅ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｓｉｎｃｅ ｓｐｉｎ ｉｓ ｒｅｌａｔｅｄ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ． ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｙ５； ｔｈｅｓｅ ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｔｈｅｍ ｔｈｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒ ９ ｉｓ

Ｕ（１）？ＳＵ（２） ｃｏＲ． Ｆｏｒ

＝

ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ

Ｎｏｅｔｈｅｒ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

ｒａ

＝

ｎｏｔ

ａｒｅ

（１３．１．２）

Ｚ￥ｙ？ｔｙ．

Ｔｈｅ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｃｈａｒｇｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｒｏｍ ｊ＊１ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｑｕａｒｋ ｎｕｍｂｅｒ， ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｆａ ａｒｅ ｊｕｓｔ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｓｏｓｐｉｎ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ ｃｈｉｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ， ｌｅｔ

ｕｓ

ｄｅｆｉｎｅ ａｘｉａｌ

ｃｕｒｒｅｎｔｓ

ｙ￡５ Ｉｎ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ

ｙ＾ｙ５

＝

＝

—

ｙ ５ｙＭ，

ｓｏ

ｔｈａｔ ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｈａｖｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ／ｙ５ ｉｎ ｐｌａｃｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒ ｉｎ （１３．１．３）． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｂｅｃａｕｓｅ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ， ｃｕｒｒｅｎｔｓ ａｒｅ ｈｅｒｍｉｔｉａｎ．

ｗｅ ｍｕｓｔ ｕｓｅ

（１３．１．３）

＾ｌ［＾ｙ５］ｒＶ． ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｔｈｅ ｆｏｒｍ （１３．１．３） ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ

ｕｓｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｅｎｓｕｒｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ

３３４

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

Ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ

ｔｈｉｓ

ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｕｓｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｗｅ ｍｕｓｔ ｒｅｇｕｌａｔｅ ｉｔｓ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ， ａｎｄ ｆｏｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ

ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏｔ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ

ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ

ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ

ｔｈｅ ａｘｉａｌ

ｃｕｒｒｅｎｔｓ；＾ ａｎｄ；＾ａ． Ｔｈｉｓ ａｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａｎ ａｎｏｍａｌｙ． Ｗｈｅｎ ｔｈｅｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ ｗｅ ｗｉｌｌ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｗｅ ｃａｎ ａｒｒａｎｇｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｓｉｎｇｌｅｔ ｃｕｒｒｅｎｔｓ）＾ ｔｏ ｂｅ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｎｏｍａｌｙ．

Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｉｔ， ｉｔ ｉｓ ｔｒｕｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｓｉｎｇｌｅｔ ｃｕｒｒｅｎｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｈａｓ ａｎ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｏｕｒ ｒｅｍａｒｋｓ ａｂｏｖｅ ｗｅｒｅ ａｄｄｒｅｓｓｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｔｈａｔ ａｌｌ ｔｈｅ ｑｕａｒｋｓ ｍａｓｓ ｌｅｓｓ．

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｏｕｒ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ． Ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ ｓｉｎｇｌｅｔ ｃｕｒｒｅｎｔ ／＊ ｉｓ ｔｈｅ ｑｕａｒｋ ｎｕｍｂｅｒ ｉ．ｅ．， １／３ ｏｆ ｂａｒｙｏｎ ｎｕｍｂｅｒ ｓｏ ｔｈｉｓ ｒｅｍａｉｎｓ ａｎ

ｓｏ ｗｅ ｎｏｗ

ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｏｒ ｅｘａｃｔ

－

－

ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｈｅ ＳＵ（２） ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ ｃｕｒｒｅｎｔｓ ｉｓ ｂｒｏｋｅｎ

ｂｙ ｑｕａｒｋ

ｍａｓｓ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓ：

（１３．１．４）

ｆｙ＇Ｊ ＝－￥［＊－， Ｍｔｙ， ｗｈｅｒｅ Ｍ ｉｓ ｔｈｅ ｑｕａｒｋ ｓｍａｌｌ

ａｒｅ

Ｂｕｔ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｗｏｒｌｄ， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｑｕａｒｋ ｍａｓｓ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ，

ｗｅ

ｈａｖｅ

ａｎ

ｍａｓｓ

ｍａｔｒｉｘ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｍａｓｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｕ ａｎｄ ｄ ｑｕａｒｋｓ ａｒｅ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｉｓｏｓｐｉｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ．

ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ ９， ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｓ；＾ ａｎｄ／，

ｆｉｎｉｔｅ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｂｒｅａｋｉｎｇ ｉｓ ｆｒｏｍ Ｔｈｅ ａｘｉａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ

ｍａｓｓ ｔｅｒｍｓ

ａｓ

（Ｓｙｍａｎｚｉｋ （１９７０ａ））．

ｂｒｏｋｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ

ａｒｅ

Ｂｙ

ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ （１３．１．２）， ａｒｅ

ａｓ

ｗｅｌｌ

ａｓ

ｂｙ ｔｈｅ ｑｕａｒｋ

ｍａｓｓ ｔｅｒｍｓ：

ｄｊ％

＝

—

２＼＼ｊｊｙ５Ｍ＼ｌ／

＋

ａｎｏｍａｌｙ，

Ｗａ５＝－ｉｈ５｛ｔ＼Ｍ｝ｉｌ，． Ｔｈｅ

ａｎｄ

（１３．１．５）

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｒｆ－ｑｕａｒｋ ｌｉｇｈｔ ｅｎｏｕｇｈ ｇｉｖｅ ＳＵ（２） ？ ＳＵ（２） ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｔｈｅ ａｘｉａｌ ｐａｒｔ ａｐｐｅａｒｓ ｔｏ ｂｅ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ａｓ ｗｅｌｌ ａｓ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｂｒｏｋｅｎ． Ｔｈｅ ａｂｎｏｒｍａｌｌｙ ｌｉｇｈｔ ｍａｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｉｏｎ ｉｓ ｕｓｕａｌｌｙ ｗ－

ｔａｋｅｎ ｔｏ

ｍｅａｎ

Ｍａｒｃｉａｎｏ ＆

ｔｏ

ｍａｓｓｅｓ ａｒｅ

ｔｈａｔ ｉｔ ｗｏｕｌｄ ｂｅ

ａ

ｕｓ ａｎ

Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｂｏｓｏｎ ｉｆ ｍｕ ＆ Ｌｅｕｔｗｙｌｅｒ （１９８２） ｆｏｒ

＝

Ｐａｇｅｌｓ （１９７８） ａｎｄ Ｇａｓｓｅｒ

ｍｄ

＝

ｍｏｒｅ

０． Ｓｅｅ

ｄｅｔａｉｌｓ．

１３．２ Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ７ ｓ Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｆｏｒｍｕｌａｔｅ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔｌｙ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｗｉｔｈ ｆｅｒｍｉｏｎｓ ｗｅ ｈａｄ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｅｔ ｏｆ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｙＭ， ｛ｊｘ ｗｅ ｓａｗ

ｉｎ

Ｃｈａｐｔｅｒ ４， ｔｈｅｙ ｓａｔｉｓｆｉｅｄ

ｔｈｅ

｛／ｊＷＩ． Ｏｕｒ ｔａｓｋ ｉｓ

ｎｏｗ ｔｏ

ｆｉｎｄ

ａ

＝

０，１，２，．．．）． Ａｓ

ａｌｇｅｂｒａ （１３．２．１）

ｔｒｌ＝４．

ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｗｈｉｃｈ ａｔ ｄ

＝

４ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ

ｙ５． Ｉｔｓ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ ｙｓ

＝

ｉｙ＜ｙ ｙ．

（１３．２．２）

１３．２ Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

３３５

ｏｆｙ５

ａｎｄ ｉｔ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ ｔｈｅ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ

｛ｙ＊，ｙ５｝＝０ （ｒｆ

＝

４）．

（１３．２．３）

Ｉｔ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｎａｔｕｒａｌ ｔｏ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｒｅｌａｔｉｏｎ （１３．２．３） ｃａｎ ｂｅ ｍａｉｎｔａｉｎｅｄ ｆｏｒ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｄ．

ｓｈｏｗ， ｗｈｅｎ

ｎｏｗ

ｗｅ

Ｕｎｆｏｒｔｕｎａｔｅｌｙ

ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ａｒｉｓｅｓ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｙ５ ｗｉｔｈ ａ ｐｒｏｄｕｃｔ ｏｆ ｔｈｅ

ａｎ

ｗｉｓｈ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ

ｏｒｄｉｎａｒｙ ｙＭ＇ｓ． Ｔｈｅ ｕｌｔｉｍａｔｅ ｒｅｓｕｌｔ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｈａｔ ｓｔａｔｅｄ

ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．６， ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ （１３．２．２） ｏｆ ｙ５ ｆｏｒ ａｌｌ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｄ． Ｔｈｅｎ ｙ５ ｈａｓ ｍｉｘｅｄ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ， （４．６．３）． Ｗｅ ｎｏｗ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ｉｎ ｔｒａｃｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ， ｓｔａｒｔｉｎｇ ｗｉｔｈ

ｔｒｙ５： ｄｔｒ（ｙ５）

＝

＝

＝

＝

Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ａｎｄ ｌａｓｔ ｌｉｎｅｓ

ｔｒ（ｙＭｙ５ｙＭ） －ｔｒ（ｙ５ｙＭ／） （１３．２．４）

－ｄｔｖ（ｙ５）．

ｕｓｅｄ

ｗｅ

ｙ，ｙ＂

ｔｒ（ｙ５ｙ？ｙｊ

＝

Ｈｙ＾｝

＝

ｇ＾＝ｄ．

Ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｌｉｎｅ ｗｅ ｕｓｅｄ ｃｙｃｌｉｃｉｔｙ ｏｆ ａ ｔｒａｃｅ， ａｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｌｉｎｅ ｗｅ ａｓｓｕｍｅｄ

（１３．２．３）． Ｆｒｏｍ （１３．２．４）

ｗｅ ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｒ ｙ５

＝

０ ｅｘｃｅｐｔ ａｔ ｄ

ａｐｐｌｙ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｗｅ ｗｉｓｈ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｄ． Ｈｅｎｃｅ ｗｅ ｍｕｓｔ ｈａｖｅ ｔｒｙ５ Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ

＝

＝

＝

＝

＝

Ｈｅｒｅ

ｗｅ

ｓａｍｅ

ａ ＝

ｗｅ

ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ ｉｓ

ａ

０ ｆｏｒ ａｌｌ ｄ．

ｔｒ７Ａ７５Ｖ／ｖ７Ａ －ｔｒ７５／Ｖ／ｖ７Ａ ２Ｋｔｒ ｙｓｙＪｘ ＋ ２＃ｖ ｔｒ ７５ Ｖａ ｄ ｔｒ ｙ５ｙ＾ｙｙ ２ｔｒ７５｛７？，７ｖ｝ ＋ （４ ｄ）ｔｒｙ５ｙ＾ｙｖ （４－ｄ）ｔｒｙ５Ｖｖ． －

－

￣

－

ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｒ ７５

Ｎｏｗ， ｔｈｅ

０． Ｎｏｗ ｗｈｅｎ

＝

ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ

＝

ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ （ｄ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈａｔ

０． Ｈｅｎｃｅ

ｃａｎ

（４－＾ｔｒ（７５７ＫＷｖ）

—

＝

０．

（１３．２．５）

２） ｔｒ ７５７Ｍ７Ｖ ｉｓ ｚｅｒｏ． （１３－２－６）

４ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｐｅｒｍｉｔｓ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｙ５ ｗｉｔｈ ｆｏｕｒ ｏｔｈｅｒ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｆ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｉｓ ｔｏ ｂｅ ｍｅｒｏｍｏｒｐｈｉｃ ｉｎ ｄ９ ｅｑｕａｔｉｏｎ （１３．２．６） ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｍｕｓｔ ｂｅ ｚｅｒｏ ａｔ ｄ ４， ａｎｄ ｗｅ ｃａｎ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｎｏｔ ｏｂｔａｉｎ

Ａｔ ｄ

＝

＝

ｎｏｒｍａｌ ｐｈｙｓｉｃｓ ａｔ ｄ ｓｅｃｔｉｏｎ．

＝

４． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｉｎｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ ａｔ ｔｈｅ ｓｔａｒｔ ｏｆ ｔｈｉｓ

３３６

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

Ｗｅ ａｒｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｆｏｒｃｅｄ ｔｏ ｄｒｏｐ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｈｙｐｏｔｈｅｓｅｓ ｔｈａｔ ｌｅｄ ｔｏ （１３．２．６）． Ｃａｎｄｉｄａｔｅ ｈｙｐｏｔｈｅｓｅｓ ｆｏｒ ｒｅｍｏｖａｌ ｉｎｃｌｕｄｅ：

（１） ｔｈｅ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ （１３．２．３） （＇ｔ Ｈｏｏｆｔ ＆ Ｖｅｌｔｍａｎ （１９７２ａ））， （２） ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｆｅｒｍｉｏｎ ｌｏｏｐｓ （Ｂａｒｄｅｅｎ （１９７２）， ａｎｄ Ｃｈａｎｏｗｉｔｚ， Ｆｕｒｍａｎ ＆ Ｈｉｎｃｈｌｉｆｆｅ （１９７９））．

Ｔｈｅｓｅ ｌａｓｔ ａｕｔｈｏｒｓ ｈａｖｅ ｓｈｏｗｎ ｈｏｗ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｗｉｔｈ ａ ｔｏｔａｌｌｙ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔｉｎｇ ｙｓ． Ｂａｒｄｅｅｎ ｃｈｏｏｓｅｓ ｔｏ ｕｓｅ ａ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ ｏｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｌｌ ｆｅｒｍｉｏｎ ｌｏｏｐｓ． Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ， Ｃｈａｎｏｗｉｔｚ ｅｔ ａｌ． ｒｅｇｕｌａｔｅ ｆｅｒｍｉｏｎ ｌｏｏｐｓ ｗｉｔｈ ａｎ ｅｖｅｎ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｙ５＇ｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｌｙ． Ｔｈｅｉｒ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ ｆｏｒ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ａｒｅ ｐｒｅｓｅｒｖｅｄ ｆｏｒ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｆｅｒｍｉｏｎ ｌｏｏｐｓ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｗｅ ｔｈｅｎ ｌｏｓｅ ｔｈｅ ｕｓｅ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｓ ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｒｅｇｕｌａｔｏｒ； ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｔｈａｔ ｗｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ６．６ ａｎｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １２ ｎｏ ｌｏｎｇｅｒ ａｐｐｌｙ． Ｔｈｅ ｄｅｔａｉｌｓ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｂｙ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｈａｖｅ ｎｏｔ ｂｅｅｎ ｓｐｅｌｌｅｄ ｏｕｔ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｌｅｔ

ｕｓ

ｆｏｌｌｏｗ ＇ｔ Ｈｏｏｆｔ ＆ Ｖｅｌｔｍａｎ （１９７２ａ） ａｎｄ Ｂｒｅｉｔｅｎｌｏｈｎｅｒ ＆ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ． Ｉｎ ｆａｃｔ， ｗｅ ｍａｙ

Ｍａｉｓｏｎ （１９７７ａ） ａｎｄ

ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ （１３．２．２） ｆｏｒ ａｌｌ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｄ９ ｊｕｓｔ ａｓ ｓｔａｔｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ ４．６． Ｏｕｒ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ， ｏｆ ｃｏｕｒｓｅ， ｎｏｔ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｃｏｖａｒｉａｎｔ， ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ａｒｅ ｐｉｃｋｅｄ ｏｕｔ ａｓ ｓｐｅｃｉａｌ． Ｂｕｔ ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ａｎ ｏｖｅｒｗｈｅｌｍｉｎｇ ｕｓｅ

ｏｂｊｅｃｔｉｏｎ， ｆｏｒ

ａｃｔｕａｌ

ｏｕｒ

ｐｈｙｓｉｃｓ

ｉｓ ｃｏｎｆｉｎｅｄ ｔｏ ｔｈｅｓｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ａｎ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｇｉｖｅｓ ｏｆ ｙ５． Ｗｅ ａｒｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ． Ｏｎｅ ｎｏｔａｔｉｏｎａｌ ｉｎｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ ａｒｉｓｅｓ． Ｗｅ ｈａｖｅ ＼ｉ

＝

０，１，２，．．．． Ｕｓｕａｌｌｙ

ｗｅ

ｏｎｌｙ

ｒｅｆｅｒ

ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ

ａ ｓｅｔ

ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ

ｏｆ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｙＭ ｆｏｒ

ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

ｆｏｕｒ； ｔｈｅ

ｒｅｓｔ ａｒｅ

ｃｏｌｌｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｂｕｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ／ ｗｉｔｈ ｊａ ５． Ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｙ５ ｂｙ （１３．２．２）． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｗｅ ｂｏｗ ｔｏ ｓｔａｎｄａｒｄ ｕｓａｇｅ ａｎｄ ｕｓｅ ｙ５ ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ

ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ

ｄｅｆｉｎｅｄ

ａ ｃｏｎｃｒｅｔｅ

＝

ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ （１３．２．２）． Ｃｏｎｆｕｓｉｏｎ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｒａｒｅ． Ｔｈｅ ｙ５ ｓｏ ｄｅｆｉｎｅｄ ｈａｓ ｍｉｘｅｄ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ

ｔｈａｔ ｆｏｌｌｏｗ ｆｒｏｍ （１３．２．２） ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ／． Ｔｈｅｓｅ ｗｅｒｅ ｓｔａｔｅｄ ｉｎ （４．６．３）． Ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ （１３．２．４）－（ １３．２．６） ｎｏｗ ｆａｉｌｓ， ｂｅｃａｕｓｅ ｙ５ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｎｔｉｃｏｍ－ ｍｕｔｅ ｗｉｔｈ ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｒａｃｅ ｏｆ

ａｎ

ｙ＾ｓ． Ｗｅ ｃａｎ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｅａｓｉｌｙ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ

ｏｄｄ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｙ＾＇ｓ ｉｓ ｚｅｒｏ， ｔｒ （／ｙ５）

＝

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｔｒ｛ｙ５ｙＫｙＹ）

０，

＝

０，

（１３．２．７）

ｅｔｃ．

Ｗｅ ｍａｙ ｒｅａｄ ｏｆｆ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｙ５ ｗｉｔｈ ａｎ ｅｖｅｎ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ／＇ｓ ｆｒｏｍ （４．５．１３） ａｎｄ ｉｔｓ ｒｅｌａｔｉｖｅｓ ｗｉｔｈ

ｍｏｒｅ ｔｈａｎ

ｆｏｕｒ

ｙ－ｍａｔｒｉｃｅｓ． Ｔｈｕｓ

ｔｒＷ ｔｒ（？５ｙＶ）

＝

＝

°＇ｌ ｏ．Ｊ

ｗｅ

ｈａｖｅ

（１３．２．８）

１３．２ Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｏｆｙ５

３３７

Ｆｉｎａｌｌｙ ＾（ｙ５ｙＫｙ，ｙ，ｙｖ）

＝

（１３．２．９）

＾Ｋ＾

ｗｈｅｒｅ ｅＫ＾ｖ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ （４．６．２）． Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ （４．６．３） ｍｅａｎ ｔｈａｔ ｔｈｅｃｈｉｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ （１３．ｌ．ｌ）ｎｏ ｌｏｎｇｅｒ

ｇｅｎｅｒａｔｅ ａ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｆ ｄ ｉｓ ｎｏｔ ｅｑｕａｌ ｔｏ ４． Ｔｏ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ， ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｎｏｔａｔｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｆｕｌ （Ｂｒｅｉｔｅｎｌｏｈｎｅｒ ＆ Ｍａｉｓｏｎ （１９７７ａ））： ＾

＼ｇｕｖ９

＝

ｉｆ ｎ ａｎｄ

Ｋ

ｖ ａｒｅ

４

ｏｒ

ｌａｒｇｅｒ，］

ｊ

ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ；

（１３２１°）

Ｖ＂＝ｇ＂ｖＶｖ． Ｈｅｒｅ Ｖ ｉｓ ａｎｙ ｖｅｃｔｏｒ． Ｔｈｅｎ ｇ＾ ｉｓ ａ ｐｒｏｊｅｃｔｏｒ ｏｎｔｏ ｔｈｅ ｕｎｐｈｙｓｉｃａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．

Ｔｈｕｓ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，

｛Ｖ，ｙ５｝＝ Ｉ Ｗｅ ｍａｙ ａｌｓｏ ｄｅｆｉｎｅ

ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ

Ｗ，ｙ５｝＝２ｆ？５ ２？５ｆ．Ｊ ＝

ｏｎｔｏ ｔｈｅ ｆｏｕｒ

＼ｇ＂ｖ ｉｆ ｉｘ ａｎｄ ｖ ａｒｅ ＾０ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ； Ｗ

Ｔｈｅ

ｐｈｙｓｉｃａｌ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ：

ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ４ Ｊ ＞

Ｊ

ｇ＞＂Ｖｖ．

＝

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ

ａｒｅ

ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ，

ｂｕｔ ｗｉｌｌ ｐｒｏｖｅ ｕｓｅｆｕｌ：

？ｆｉ＝（６－＜＊）ｆ， ｆｆｉ＝（４－＜ｏｆ， ｆｆｙ？＝－２ｆ， ４ｆ Ｔｆｉｕ ＝

Ｌｅｔ

ｄｅｆｉｎｅ ａ＞ｆｌ

ｕｓ

？

＝

＋

（１３．２．１２）

（１３．２．１３）

－

？

＜ｗ￡）／２ ａｎｄ ａ＞＂５

＝

（－ ａ￡

＋

ａ￡）／２．

Ｔｈｅｎ ｔｈｅ

ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｆ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｃｈｉｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ （１３．１．１） ｉｓ ｂ＜￡

＝

ｉ＃（２ｏ＞２ｙ５ ＋ ａ）＂［Ｍ，ｆ］ ＋ ａ＞ａ５ｙ５｛Ｍ，ｒｆｌ｝）ｉ＾ －２ｉ｝＞ｙ５ｐ（ｃｏ０５ ＋ ｏ／５ｔｆｌ）＂Ａ－ （１３．２．１４）

Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ＳＪｉａ

＝

＝

ｄｊｉ

＝

ｏｆ ｔｈｅ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔｓ ａｒｅ

ｉｈｓＰ＊ Ｍ）＊ ＋ ｆａｓｔ？＊ －ｉ￥ｙ５｛ｔ°，Ｍ｝＾ ＋ ｆａ５｛ｔ°，Ｐ｝ｉｌ，／２， ２＃ｙ５Ａｔｙ ＋ ＃ｙ５＾． －

－

（１３．２．１５） （１３．２．１６）

Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｔｅｒｍ ｉｎ ｅａｃｈ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｃａｎ ｐｏｔｅｎｔｉａｌｌｙ ｇｉｖｅ ａｎ ａｎｏｍａｌｙ ｗｈｅｎ ｗｅ ｌｅｔｄ＾４．

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

３３８ １３．３ Ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ ａ

Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

ｏｆ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

ａｐｐｅａｒ． Ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ｐａｐｅｒｓ ｏｎ ｃｈｉｒａｌ ａｎｏｍａｌｉｅｓ ｐｒｉｍａｒｉｌｙ ａｄｄｒｅｓｓｅｄ ａｎｏｍａｌｉｅｓ ｉｎ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｈｉｒａｌ ｃｕｒｒｅｎｔｓ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ

ｈａｖｅ ｓｉｎｃｅ ｂｅｅｎ ｗｏｒｋｅｄ ｏｕｔ， ｗｉｔｈ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ａｄｌｅｒ－Ｂａｒｄｅｅｎ ｔｈｅｏｒｅｍ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｌｉｓｔ ｔｈｅ ｖａｒｉｏｕｓ

ｃａｓｅｓ

ｃａｓｅｓ

ａｎｄ ｓｔａｔｅ ｗｈａｔ ｉｓ ｋｎｏｗｎ． １３．３．１ Ｎｏｎ－ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ａｐｐｌｙ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｏ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｓｉｎｇｌｅｔ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔｓ ｉｎ

ＱＣＤ：

（１） Ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ａｎｏｍａｌｙ ｔｏ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ （ａｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ）＾）， ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ａｎｏｍａｌｙ ｔｏ ａｌｌ ｏｒｄｅｒｓ． Ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｗｉｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｈａｖｅ ｎｏ ａｎｏｍａｌｉｅｓ． （２） Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｓ ｉｎ （１） ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ａｎｏｍａｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｃｕｒｒｅｎｔ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ．

（３） Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ａｎｏｍａｌｙ ｉｎ ａ ｔｈｒｅｅ－ｃｕｒｒｅｎｔ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ （ｌｉｋｅ ｔｈｅ ｏｎｅ ｆｏｒ ｄＫ（０＼ ＴｊＫａ５（ｘ）ｊ￡（ｙ）ｊｖｃ（ｚ）＼０ｙ）． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｉｓ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ａｎｏｍａｌｙ ｉｎ ｔｈｅｓｅ ｃａｓｅｓ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｖａｌｕｅ ｉｓ ｄｕｅ ｔｏ Ａｄｌｅｒ ＆ Ｂａｒｄｅｅｎ （１９６９）． Ｔｈｅ ｌａｃｋ ｏｆ ａｎｏｍａｌｉｅｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｏｆ

ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｉｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

ｏｎｅ

ｃｕｒｒｅｎｔ

ｇｅｎｅｒａｔｅ ｔｈｅ

ａｒｅ ｔｏ

ｂｙ ｔｈｅ

ｗｉｔｈ

ｃｏｒｒｅｃｔ

ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｌａｗ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ． Ｔｈｅｓｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｉｍｐｌｙ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ

ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｓ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｓｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒｓ

ａｒｅ

ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ

ｂｙ

ｔｈｅ

Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｃｕｒｒｅｎｔｓ， ｔｈｅ ｔｗｏ－ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｍｕｓｔ ｂｅ

ａｎｏｍａｌｙ－ｆｒｅｅ． Ｎｏ ｓｕｃｈ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ａｐｐｌｉｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ－ｃｕｒｒｅｎｔ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ． Ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｉｔｓ ａｎｏｍａｌｙ ｉｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｃａｙ ｒａｔｅ ｆｏｒ ｎ° ２ｙ， ａｎｄ －？

ｔｈｅ ｌａｃｋ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｅｎａｂｌｅｓ

ｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｔｏ ｂｅ ｍａｄｅ ｅａｓｉｌｙ． （Ｓｅｅ Ａｄｌｅｒ （１９７０）； ｆｏｒ ｒｅｖｉｅｗｓ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｏｆ ｖｉｅｗ ｏｆ ＱＣＤ， ｓｅｅ Ｍａｒｃｉａｎｏ ＆ Ｐａｇｅｌｓ （１９７８） ａｎｄ

ａ

Ｌｌｅｗｅｌｌｙｎ－Ｓｍｉｔｈ （１９８０）．）

１３．３．２ Ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｃｕｒｒｅｎｔｓ Ｔｈｅ

ｓｉｎｇｌｅｔ

ｃｕｒｒｅｎｔ ｙ ５ ｈａｓ ａｎ ａｎｏｍａｌｏｕｓ

ｆｙ＇Ｓ

＝

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．

Ｃ（ｇ）ＧｌｖＧａ＾ ＋ ｍａｓｓ

ｗｈｅｒｅ Ｇ＂ｖ ｉｓ ｔｈｅ ｇｌｕｏｎ ｆｉｅｌｄ ｓｔｒｅｎｇｔｈ

ｇ？Ｍｖ

＝

ｔｅｒｍｓ，

ｔｅｎｓｏｒ ａｎｄ

ｆｉｉ＊ｖＫＡＧ？

Ｉｔ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

（１３．３．１）

Ｇ＂ｖ ｉｓ ｉｔｓ ｄｕａｌ： （１３．３．２）

１３．４ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｏｒ ｂａｒｅ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ

３３９

Ｔｈｅ Ａｄｌｅｒ－Ｂａｒｄｅｅｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｓｓｅｒｔｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ Ｃ｛ｇ） ｉｓ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｉｔｓ

ｏｎｅ－ｌｏｏｐ

ｖａｌｕｅ

Ｈｏｗｅｖｅｒ，

ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ＾ ａｎｄ ＧＧ ｎｅｅｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏｔ

Ｃ（ｇ）＝Ｎｎｇ２／（３２ｎ２）． ａｎ

ｏｂｖｉｏｕｓ ｎａｔｕｒａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ． Ｓｏ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｃ ｉｓ ｓｕｓｃｅｐｔｉｂｌｅ ｔｏ ｃｈａｎｇｅ ｂｙ ｒｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｔｒｅａｔ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ ｈｅｒｅ．

１３．３．３ Ｃｈｉｒａｌ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ｗｅｉｎｂｅｒｇ－Ｓａｌａｍ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｗｅａｋ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ａ ｇａｕｇｅｄ ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ． Ｉｔ ｉｓ ｅｓｓｅｎｔｉａｌ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｂｅ ｎｏ ａｎｏｍａｌｙ， ｆｏｒ ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｎｏｔ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ａｎｄ ｌｏｓｅｓ ｏｔｈｅｒ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ （Ｇｒｏｓｓ ＆ Ｊａｃｋｉｗ （１９７２） ａｎｄ Ｋｏｒｔｈａｌｓ Ａｌｔｅｓ ＆ Ｐｅｒｒｏｔｔｅｔ （１９７２））． Ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ａｄｌｅｒ－Ｂａｒｄｅｅｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｉｓ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ａｎｏｍａｌｙ ｔｏ ａｎｙ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｉｆ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏｎｅ ｔｏ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｏｒｄｅｒ． Ｐｒｏｏｆｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｂｅｃｃｈｉ， Ｒｏｕｅｔ ＆ Ｓｔｏｒａ （１９７６）， ａｎｄ ｂｙ Ｃｏｓｔａ ｅｔ ａｌ． （１９７７）． Ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｌｉｋｅ ｔｈｅ

１３．３．４ Ｓｕｐｅｒｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ Ｓｕｐｅｒｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｈａｖｅ ｐｏｔｅｎｔｉａｌ ａｎｏｍａｌｉｅｓ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｔｈｅ ｃｈｉｒａｌ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｈａｓ ｎｏｔ ｙｅｔ ｂｅｅｎ ｇｉｖｅｎ， ｂｕｔ ｍａｎｙ ｃａｓｅｓ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｔｒｅａｔｅｄ ｓｅｅ Ｐｉｇｕｅｔ ＆ Ｒｏｕｅｔ （１９８１）， Ｐｉｇｕｅｔ ＆ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ Ｓｉｂｏｌｄ （１９８２ａ， ｂ， ｃ）， Ｃｌａｒｋ， Ｐｉｇｕｅｔ ＆ Ｓｉｂｏｌｄ （１９７９，１９８０）， ａｎｄ Ｊｏｎｅｓ ＆ Ｌｅｖｅｉｌｌｅ （１９８２）． ａｎｏｍａｌｉｅｓ． Ａ

－

１３．４ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｏｒ ｂａｒｅ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ Ｗｉｔｈｏｕｔ

ｕｓｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ

ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｔｈｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｏｆ ｔｈｅ

ｎｏｎ－ｓｉｎｇｌｅｔ

ｃｕｒｒｅｎｔ）＾ ｉｓ

ｄＪｉ５＝＆２ｆａ５ｔａ（ｔｙ－Ｍ０）ｉｌ， ＋ ｈｃ ＋ ｉＺ２＜Ａ｛Ｍ０， ｆ｝ｙ５ｉｌ， ＋ ＆￥？｛％ ｙ５ｔｙ ＾Ｌ Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ

＋

＾

＋

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｔｅｒｍ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃａｌｌ ｔｈｅ

０３Ａ１）

＾ｎｏｎｖ

ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｔｅｒｍ． Ｗｈｅｎ ｉｎｓｅｒｔｅｄ ｉｎ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｉｔ

ｇｉｖｅｓ

＜ｏ＼ＴＤａｅｊｘ）ｉ＼ＡＵ＾ｙｉ）Ｕ＾ｊ）＼ｏ＞ ｉ

Ｊ

＝Ｅ＃＊－：ｖｘｏ｜Ｔｎ＾ｎ＊ｎ＊ｉｏ＞，？，－－，，．， ｉ

ａ

３４０

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

Ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄｓ

ｉ． （Ｗｅ ｓｅｔ ｃｏｒ

—

＝

ａ＞ｌ

＝

ｊｕｓｔ ｔｈｅｉｒ ｃｈｉｒａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｄ ｂｙ

ａｒｅ

ｏｆ５

ｉｎ （１３．１．１） ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅｓｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．） Ｔｈｉｓ

ｅｑｕａｔｉｏｎ （１３．４．２） ｈａｓ ｔｈｅ ｅｘｐｅｃｔｅｄ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ ａｎｏｍａｌｉｅｓ． Ｔｈｅ

ｍａｓｓ ｔｅｒｍ ｏｎ

ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｏｆ （１３．４．１） ｉｓ ｅｘｐｅｃｔｅｄ； ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｎｏｎ－ａｎｏｍａｌｏｕｓ

ｂｒｅａｋｉｎｇ． Ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｔｅｒｍ ｉｓ Ｄ°ｎｏｍ． Ｉｆ ｗｅ ｉｎｓｅｒｔ ｉｔ ｉｎ ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｎｏ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ ａｎｙ ｋｉｎｄ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｍａｙ ｓｅｔ ｄ ４． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｍｕｓｔ ｂｅ ｚｅｒｏ ＝

Ｄａｎｏｍ ｖａｎｉｓｈｅｓ ｉｆ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ ｙ－ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ （ｆｏｒ ｔｈｅｎ ０）． Ｂｕｔ ｉｆ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｈａｓ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｏｒ ｉｆ ｉｔ ｈａｓ ａ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｔｈａｔ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ Ｄａｎｏｍ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｍａｙ ｂｅ ｂｅｃａｕｓｅ

｛ｐ， ｙ ５｝

＝

ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ａｔ

ｄ

＝

４，

ａｓ ｗｅ

ｗｉｌｌ

ｓｅｅ．

—＜０｜Ｔ＾５（ｘ）ｎ＾ｎ，／＇ｎ，／＇ｌ０＞

＝

Ｔｈｅ ｆｕｌｌ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｒｅａｄｓ

ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ

ｓｉｄｅ ｏｆ

（１３．４．２） ＋

ｍａｓｓ ｔｅｒｍ

＋＜ｏ｜ｒｒ＞ａｆｌｎｏｉｎｗｎ＾ｎ＇Ａｒ［＇／；ｉｏ＞－

（１３．４．３）

Ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｓｕｃｈ ａｓ ｔｈｅ ｉｓｏｓｐｉｎ ＳＵ（２） ｏｆ ＱＣＤ ｔｈａｔ ｈａｓ

ａｎｏｍａｌｙ， ｗｅ ｕｓｅｄ ｉｔｓ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｉｔｓｅｌｆ， ｓｏ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ， ｄ ７， ｉｍｐｌｉｅｓ ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｔｓｅｌｆ． Ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． ｎｏ

Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｆｏｒ ｔｈｅ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔｓ ｔｈｅ ｅｘｔｒａ ｔｅｒｍ ｉｎ （１３．４．３） ｐｒｅｖｅｎｔｓ ｔｈｉｓ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｆｒｏｍ

ｂｅｉｎｇ

ｍａｄｅ．

１３．４．１ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ Ｏｕｒ ａｉｍ ｗｉｌｌ ｂｅ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｊ％ａ５ ｔｈａｔ ａｔ ｄ

＝

４ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ

ａ ｎｏｎ－

ａｎｏｍａｌｏｕｓ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ：

Ａ＜０｜Ｔ７Ｌ５（ｘ）ｎ＾ｎ＾ｎ＾ｌ°＞＝ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （１３．４．２）． （１３．４．４） Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｓｔｅｐ ｉｓ ｔｏ ｏｂｓｅｒｖｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ ｆａ５ ｉｓ ｉｔｓｅｌｆ． Ｎｏ ｏｔｈｅｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ａｎｄ ｑｕａｎｔｕｍ ｎｕｍｂｅｒｓ． Ｓｏ ｗｅ ｃａｎ

ｄｅｆｉｎｅ

ａ

ｍｉｎｉｍａｌｌｙ

ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ

＝

１２Ｚ５Ｚ２｛ｐ［ｙ＂，ｙ５］ｔ＾．

（１３．４．５）

Ｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔ ｔｈｉｓ ｓｅｃｔｉｏｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｕｓｅ ｓｑｕａｒｅ ｂｒａｃｋｅｔｓ ｔｏ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ． Ｓｏ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ Ｚ５ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

Ｚ５

＝

１ －Ｉ－

ｐｏｌｅｓ

ａｔ ｄ

＝

４．

１３．４ Ｗａｒｄ Ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｏｒ ｂａｒｅ ａｘｉａｌ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｊＲａ５９

ｗｅ

３４１

ｃｕｒｒｅｎｔ

ｗｉｌｌ ｌａｔｅｒ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｈａｖｅ ｔｏ ｉｎｖｏｋｅ

ａ

ｆｕｒｔｈｅｒ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｗａｒｄ

ｂｙ

ｔｈｅ

ｍｉｎｉｍａｌｌｙ

ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ （１３．４．４） ｉｓ ｎｏｔ ｃｏｒｒｅｃｔ ｔｔｊＲａ５ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ

［ｊａ５］．

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ａ Ｗａｒｄ Ｊｒｏ５

＝

＝

ｗｈｅｒｅ

ｚ５（ｇ）

ｉｓ

ａ

Ｒａｔｈｅｒ

ｗｅ ｍｕｓｔ

ｍａｋｅ

ａ

ｆｕｒｔｈｅｒ ｆｉｎｉｔｅ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｗｉｔｈｏｕｔ ａｎｏｍａｌｉｅｓ． Ｔｈｕｓ ｗｅ ｈａｖｅ

Ｚ５Ｕａ５ｊ

（１３Ａ６）

ｉｚ５Ｚ５Ｚ２（Ａ［／，ｙ５］＾，

ｆｉｎｉｔｅ ｆａｃｔｏｒ．

Ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｉ＞ａｎｏｍ ｉｓ ａ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｆｏｕｒ ｓｃａｌａｒ ｑｕａｎｔｉｔｙ， ｓｏ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｓｅｖｅｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｗｉｔｈ ｗｈｉｃｈ ｉｔ ｃａｎ ｍｉｘ． Ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｅ－ｔｅｎｓｏｒ

ＡＫ？ｆｉＶ． Ｓｉｎｃｅ ｅＫＡｆｉＶ ａｐｐｅａｒｓ ｎｏｗｈｅｒｅ ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ｔｈｅ ｔｅｎｓｏｒ Ａ＊；／ｉＶ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｕｎｄｅｒ ａｌｌ Ｌｏｒｅｎｔｚ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ． Ｇｉｖｅｎ ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎｓ， ａ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｌｉｓｔ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ｔｉｍｅｓ ａ ｆｏｕｒｔｈ ｒａｎｋ ｔｅｎｓｏｒ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃａｌｌ

ｍｉｘ ｗｉｔｈ Ｄ°ｎｏｍ ｉｓ

＾５，＾？ｏｍ＾｛Ｍ０，ｒｆｌ｝ｙ５（Ａ． ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｏｎｌｙ ｇｈｏｓｔ ａｎｄ ｇｌｕｏｎ ｆｉｅｌｄｓ ｃａｎ ｂｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｉｔ ｍｉｘｅｓ ｗｉｔｈ Ｄ°ｎｏｍ． Ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒｉｔｙ ｉｎ ｅＫＸｆｌｖ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｆｏｕｒ ｆａｃｔｏｒｓ ｏｆ ｖｅｃｔｏｒ ｏｂｊｅｃｔｓ （ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｏｒ ，４－ｆｉｅｌｄｓ）． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ Ｎｏ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｍａｓｓ， ｂｙ ｏｕｒ ｕｓｕａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ａ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｓｅｔ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｖａｒｉａｎｔ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ （ｓｅｅ Ｃｈａｐｔｅｒ １２） ｏｆ ｗｈｉｃｈ ｈａｖｅ ｌｏｗ ｅｎｏｕｇｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｔｏ ａｐｐｅａｒ． Ｓｉｎｃｅ ｊａ５ ｉｓ ｅｖｅｎ ｕｎｄｅｒ

＾ａｎｏｍ ａｌｌｏｗｓ ｎｏｎｅ

ｓｏ ｉｓ Ｄ°ｎｏｍ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ａｌｌｏｗｅｄ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｑｕａｒｋ ｍａｓｓ ｈａｓ ａ ｆｌａｖｏｒ ｆａｃｔｏｒ ｛Ｍ，ｔａ｝ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒ ［Ｍ， ＊＊］； ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ｕｓ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ＤａＭ ｔｈａｔ ａｐｐｅａｒｓ ｉｎ （１３．４．１）． Ｗｅ ｃａｎ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌｌｙ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ

ｃｈａｒｇｅ

ｔｏ

ｃｏｎｊｕｇａｔｉｏｎ，

［Ｄａｆｌｎｏｍ］

ａｓ

ＷｎｏｎＪ

＝

ＺａＩＴａｎｏｍ

＋

Ｚａ５ｄ－ｊａ５

Ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ

＋

ｂｙ ｉｔｓｅｌｆ

（１３．４．７）

ＺａｍＤａＭ．

－

ｓｅｅ

（１３．４．２）

－

ｓｏ ｗｅ

ｈａｖｅ

（１３．４．８）

［＾ｍ］＝＾ｍ．

Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｄａｔｍ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ｓｏｍｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ｂｕｔ ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｍａｓｓ， ａｎｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ

ｉｎ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ． Ｗｅ ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｌＤａＭ￣＼

＝

ｍａｓｓ

ｏｐｅｒａｔｏｒ

Ｚ５ＭＤ°Ｍ．

Ｉｔ ｉｓ ｓｏｍｅｗｈａｔ ｕＱｏｂｖｉｏｕｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ

（１３．４．９） ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ．

Ｔｈｅ

ｅａｓｉｅｓｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｔｏ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｙ－ｍａｔｒｉｘ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｓｅｌｆ－ｅｎｅｒｇｙ ｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

３４２ ａｎ

ｉｎｓｅｒｔｉｏｎ ｏｆ

￥ｔａｙ５＼ｌｊ

ｏｒ

＼ｊ／ｙ５ｉｊ／．

ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅｌｙ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ

Ｔｈｅｓｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｃａｎ ｔｈｅｎ ｂｅ ｓｈｏｗｎ ｔｏ ｂｅ ｗｉｔｈ ａ ｃｏｍｍｏｎ ｆａｃｔｏｒ．

ｏｆ （１３．４．６）—（１３．４．９） ｗｅ ｃａｎ ｅｘｐｒｅｓｓ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ （１３．４．１）， ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｒｅ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ， ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｏ

Ｂｙ

ｕｓｅ

ｆｉｎｄ

［Ｄ＊ｅｍ］＝Ｚ－ｌ（ｌ－Ｚａ５Ｚ＾）ｄ＾ｆａ５－］ －

［ＤａＭ］Ｚ＾（ｌ

＋

ＺａＭＺａ ＊）

－

Ｚ－１

［＾ｎｏｍ］．

（１３．４．１０）

ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ａｒｅ ａｌｌ ｌｉｎｅａｒｌｙ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ， ｓｏ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅｍ ｃａｎ ｅｑｕａｌ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｉｓ ｆｏｒ

Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ｏｎｌｙ

ｗａｙ ａ

ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｔｏ ｂｅ ｆｉｎｉｔｅ． Ｓｉｎｃｅ

ｗｅ ｕｓｅ

ＺａＭ

ｚａ５

＝

＝

ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ：

ｉ－ｚ５．

Ｗｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ Ｗａｒｄ

＾＜０｜Ｔ［；＾］ｎ＾ｎ＾ｎ＾ｌ°＞

（１３．４．１１）

Ｚ５Ｍ－ｌ，｝ ｉｄｅｎｔｉｔｙ：

＝ｒ－ｈｓ． ｏｆ （１３Ａ２）

＋＜ｏ｜Ｔ（ｒａ＋［＾ｎｏｍ］）ｎ＾ｎ＾ｎ＾ｉｏ＞， （１３．４．１２）

ｗｈｉｃｈ ａｐｐａｒｅｎｔｌｙ ｓｔｉｌｌ ｈａｓ ａｎ ａｎｏｍａｌｙ． Ｂｅｆｏｒｅ ｓｈｏｗｉｎｇ ｈｏｗ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｉｎ ｄｉｓａｐｐｅａｒｓ， ｌｅｔ ｕｓ ｅｘａｍｉｎｅ ｓｏｍｅ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈｓ．

ｆａｃｔ

１３．５

Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ

Ｔｈｅ ｔｒｅｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｆＤ＾］ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｆｉｇ．

１３．５．１． Ｔｏ

ｓａｖｅ

ａｌｇｅｂｒａ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｅｔ ｑｕａｒｋ ｍａｓｓｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ． Ｔｈｅ ｇｒａｐｈ＇ｓ

ｖａｌｕｅ ｉｓ

ｌ＾２（－Ｗ ｐ）ｙ５ｔａ％． Ｐ

（１３．５．１）

＋

Ｐ

Ｉｆ ｗｅ ｌｅｔ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｂｅ

ｐｈｙｓｉｃａｌ， ｉ．ｅ．， ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ，

ｔｈｅｎ ｔｈｉｓ ｖａｎｉｓｈｅｓ． Ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ Ｄ％ｎｏｍ ｈａｓ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａｓ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｃｅ： ｉｔ ｖａｎｉｓｈｅｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｃｕｔ－ｏｆｆｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ ａｎｄ ｗｅ ｇｏ ｔｏ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｔｈｅｏｒｙ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｆｏｒｍｕｌａｔｅ

ｌａｔｅｒ， ｗｈｅｎ

ｗｅ

ａ

ｐｒｅｃｉｓｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｏｆ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｃｅ

ｈａｖｅ ｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄ ｔｈｅ ｓｕｂｔｌｅｔｉｅｓ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ

ｉｎｓｅｒｔｉｎｇ

ｔｈｅ

ｖｅｒｔｅｘ ｉｎｓｉｄｅ ｌｏｏｐｓ． ａ

Ｄａｎｏｍ ＞

ｐ

Ｘ

） ｐ

Ｆｉｇ． １３．５．１． Ｔｒｅｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ［￡￡ｎｏｍ］．

Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ

１３．５

３４３

Ｐ＇

ｐ

ｔｏ

（ｂ）

（ｃ）

Ｆｉｇ． １３．５．２． Ｇｒａｐｈｓ ｕｐ ｔｏ ｏｒｄｅｒ ｇ２ ｆｏｒ ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ；￡５． Ｎｅｘｔ ｌｅｔ ｕｓ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ；＇＾， ａｓ

ｇｉｖｅｎ ｉｎ Ｆｉｇ．

１３．５．２． Ｇｒａｐｈ （ａ） ｈａｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ

ｙｓｒｖＳ＾． Ｔａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ｔｈｅ

＝

Ｗｈｅｎ

ｗｅ ｓｅｔ

ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ

ｐ

＝

ｃａｓｅ

ｐ＇

－

＝

ｓａｍｅ ａｓ

ｙ５ｔ°ｉｐｌｐ２

０，

ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ ｂｙ ｉ（ｐ＇

—

ｐ）Ｍ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ

ｉ（ｆ／ｐ＇２）ｙ５ｆ ＋ （１３．５．１）．

ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ

ｒｅｓｕｌｔ，

（１３．５．３） ｗｅ

ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｃｈｉｒａｌ Ｗａｒｄ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ． Ｆｉｇ． １３．５．２（ｂ）． Ｉｔｓ

Ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ ｉｓ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒｓ

－

（１３－５．２）

ｖａｌｕｅ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ

ａｍｐｕｔａｔｅｄ， ｉｓ ＼４－ｄ

ｒ＂＝７６＾（２７ｌ／ｉ）

ｋ＼ｐ＇

＋

ｋ）＼ｐ ＋ ｋ）２

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ． Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ａｔ ｄ

ｐｏｌｅ （ｒ２６）

＝

［

？

＝

Ｘ）

４：

ｇ２ｆＣＦ ｆ １ ｐｏｌｅ ＜ －＾－ｊ－ —＾ｙ＾ｙｙ

ｇ２ｔａｃＦ

ｌ＾ｙｙ５（ｄ－６）２Ｊ

；－３２＾－ｐｏｌｅ）４－ｒｆ

Ｃ￥ｆ，ｙ？ｙ＊．

％ｎ２Ａ－ｄ Ｈｅｒｅ

ｗｅ

（１３．５．５）

ｈａｖｅ ｔｗｉｃｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ

ｙＫｆｙ￥ｆ

＝

＝

＝

ｙＫｆｙｓＴ ＋ ｙＫｆｙｓｙＫ ２ｆ？５

－

ｉｆ ｆ ｙｓ

（６－ｄＷｙ５．

（１３．５．６）

３４４

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

Ｔｈｅｒｅ

ｉｓ

ａ

＾２＾７＾７５ｆｆｌ，Ａ＞

ｉｎ

ｉｍｐｌｉｃｉｔ

ｇｒａｐｈ

ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｔｈｅ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｗ＾ｔｒｉ ｔｒｉｅ ｑｕａｒｋ ｗａｖｅ－ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

Ｚ２

＝

ｇ２ＣＦ

＝

０（ｇ４）．

（１３．５．７）

ｇｒａｐｈ Ｆｉｇ． １３．５．２（ｃ） ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｃａｎｃｅｌｓ

ｔｈｅ ＵＶ

ｌｒ ｌ－Ｓ％ｎ２｛４－ｄ） ？

Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ

ｊ％５ ｇｉｖｅｎ ｂｙ

＋

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｇｒａｐｈ （ｂ）， ｌｅａｖｉｎｇ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｕｌｔ． Ｎｏ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ：

Ｚ５ Ｌｅｔ

ｕｓ

ｎｅｘｔ

ｔａｋｅ ｔｈｅ

（１３．５．８）

ｌ＋Ｏ（０４）．

＝

ｏｆ （１３．５．５） ｐｌｕｓ ｉｔｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ， ｂｙ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ

ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ ｂｙ ｉ（ｐ＇ ｐ）＾ Ｉｔ ｉｓ ｌｅｆｔ ａｓ ａｎ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ （１３．４．３） ｈｏｌｄｓ ａｔ ｔｈｉｓ ｏｒｄｅｒ． Ｗｈａｔ ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｏ ｉｓ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ —

ｇｒａｐｈｓ

ｇ２

ｏｆ ｏｒｄｅｒ

ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｄｌｎｏｍ． Ｔｈｅｓｅ

Ｆｉｇ． １３．５．３． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｎｃｌｕｄｅｓ

＝

Ｔｈｅ ＼［ｆＡｙ５＼ｊｊ

ｇｉｖｅｓ ｒｉｓｅ

ｔｅｒｍ Ｐ

Ｚ２ｉ０ｙ５＾ ｔｏ ｔｈｅ

－

ａ

ａｒｅ

ｌｉｓｔｅｄ ｉｎ

ｃｏｖａｒｉａｎｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ：

２ｉｇ０Ｚ２＾０ｙ５ｔａ＾

（１３．５．９）

ｇｒａｐｈｓ （ｂ） ａｎｄ （ｃ）．

ｐ＇

－Ｔｚｒ－

ｘ＾ｒ

ｔ７

ｋ

（ａ）

（ｂ）

（ｃ）

（ｄ）

Ｆｉｇ． １３．５．３． Ｇｒａｐｈｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｇ２ ｆｏｒ ｔｗｏ－ｐｏｉｎｔ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ［ｆｉ°ｎｏｍ］－ Ｇｒａｐｈ （＜ｊ） ｅｑｕａｌｓ ｒ３ａ

ｔ＊＊ｉ－ｙＷ ４＊ Ｃｒｆ２ｆ（２＾）＊－＂ １６＊４ Ｊ

＋

＝

Ｗ

ｉｇ２ｃＦ

｜ ｄｘ｜ ＾－３－＾（２＾）＊－＂ Ｊｏ Ｊｏ ｘ

－

Ｍｆｉ

＋

ｔ ＋ ２ｈ＾ ＋ ｆｔ）ｙ

ｋ２｛ｐ＞＋ｋ）２｛ｐ ＋ ｋ）２

ｄｙｘ

｛ｒ（３－ｄ／２）Ｄｄ！２－３ｙｖ［ｔ＇（ｌ －ｙ）－＊ｘ］ｔｆ＇（ｌ －２ｙ） ＋ ｐ＼＼ －２ｘ）］ ｉｒ（２

ｒｆ／２）＾＇２ ２ｙｖ［２（／＞＇（ｌ －ｙ）－ ｔｘ）ｙＫｙ５ｆ －

－

＋

２ｙＫｆｙ５Ｗ－ｘ）－ｆｙ）

＋

７Ｋ（ＰＶ－２ｙ） ＋ ｋｌ－２ｘ））ｙ５ｙＫｙ｝，

（１３．５．１０）

ｗｈｅｒｅ Ｄ＝

Ｉｆ ｉｔ

ｗｅｒｅ

ｎｏｔ

－ｐ２ｘ（ｌ－ｘ）－ｐ＇２ｙ（ｌ－ｙ） ＋ ２ｐ－ｐ＇ｘｙ．

ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａｎ

（１３．５．１１）

ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ ｔｈｅ

３４５

１３．５ Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ

ｄ／２）９ ｗｅ ｃｏｕｌｄ ｌｅｔ ｐ ａｎｄ ｐ＇ ｂｅ ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ， ａｎｄ ｔｈｅｎ ｓｅｔ ｄ ４ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｚｅｒｏ． （Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｙＫｙＫ ｙＫｙＫ ｄ ４．） Ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｐｒｅｖｅｎｔｓ ｔｈｉｓ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｆｒｏｍ ｂｅｉｎｇ ｍａｄｅ． Ｆｉｒｓｔ ｏｆ ａｌｌ， ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｉｓ Ｔ（２

＝

—

＝

＝

—

ｐｏ＇ｓ（ｒ，．）－－＾ＩＩｆｆｐｏｉｅ｜５－－ｊＨ．（＾ ＿＾Ｖ￡，！￡±？ ８７Ｔ ４

Ｔｈｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎｓ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

ｙ＾ｓｆ

＝

＝

＝

（ｄ

—

ｙＫｙＫｆｙ５

ａｒｅ ｅａｓｙ ｔｏ

＋

ｄｏ ｉｎｃｏｒｒｅｃｔｌｙ， ｓｏ ｌｅｔ ｕｓ

ｉｖ／＾ｆ

ｙＫｙＫｆｙ５ （１０－ｄ）ｆ＜％．

ｗｅ

（１３．５．１２，

ｒｅｓｕｌｔ

ｙＫｆｙ５ｙＫ

ｓｐｌｉｔ ｙＫ ４）－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐｉｅｃｅ ｙ＊．

Ｉｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｌｉｎｅ

ｆｅ！ｖＶ

ｄ

－

ｔｈｅ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ

ｏｎ

ｂｅ ｃａｒｅｆｕｌ． Ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｈｅ

＋

－

＋

ｉｆ ｙ５

（１３．５．１３）

ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐｉｅｃｅ ｙ＊ ａｎｄ ａ Ｔｈｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｌｉｎｅ ｗｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ

ｉｎｔｏ

ａ

ｏｒ ａｎｔｉｃｏｍｍｕｔａｔｏｒｓ ｏｆ ｙＫ ａｎｄ ｙＫ ｗｉｔｈ ｙＭ ａｎｄ ｙ５． Ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． １３．５．３（６） ａｎｄ （ｃ） ｍａｙ ｂｅ ｅｖａｌｕａｔｅｄ ｓｉｍｉｌａｒｌｙ． Ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｅ ｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ａｌｌ ｔｈｒｅｅ ｇｒａｐｈｓ ｉｓ

ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒｓ

ｐｏｉｅ（ｒ３ａ

＋

ｒ３ｂ

＋

ｒ３Ｃ）＝

＊

ｇ＾２

，

４＿ｒｆ

（１３．５．１４）

ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｔｈｅｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｆｉｇ． １３．５．３（ｄ）． Ｔｈｉｓｉｓｉｎ ａｇｒｅｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ ｏｕｒ ｇｅｎｅｒａｌ ｒｅｓｕｌｔ （１３．４．１１）．

ｒｅａｄｙ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ａｔ ｄ ４ ｏｆ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． １３．５．３． Ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｅ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｃｃｕｒｓ． Ｓｉｎｃｅ ｐ ａｎｄ ｐ＇ ａｒｅ ｎｏｗ ｚｅｒｏ， ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｉｎ （１３．５．１０） ｔｈａｔ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｓ Ｔ（３ ｄ／２） ｖａｎｉｓｈｅｓ． Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ ｔｈｅ ｌａｓｔ Ｔｈｅ ｔｅｒｍ ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ Ｔ（２ ｚｅｒｏ． ｄ／２） ｇｉｖｅｓ ｒｅｍａｉｎｉｎｇ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ ｈａｖｅ ａ Ｗｅ

ａｒｅ ｎｏｗ

＝

－

—

ｆａｃｔｏｒ ｙＫｙＫ

＝

ｄ－４， ｗｈｉｃｈ ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ ｐｏｌｅ

ｒ３ｆｌＵ＾＝ｐ．

＝

ｔｏ ｌｅａｖｅ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｕｌｔ：

ｏ＝１０Ｌ＾＇－＾５－

（１３－５．１５）

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ Ｔ３ｂ ａｎｄ ｒ３ｃ ｇｉｖｅ （ｒ３ｆｃ

＋

ｒ３ＪＵ４，＾＾０

Ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ Ｆｉｇ． １３．５．３

ｄ－ｊａ５． ｆｃ

ｃａｎ

ｐ

ｔｏ

＾ｔｖ－＾，

ｇ２ＣＦ／（Ａｎ２）

ｔｉｍｅｓ

（１３．５．１６） ｔｈｅ

ｖｅｒｔｅｘ

ｆｏｒ

ｗｈｙ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｆｏｒｍ． ｌｏｏｐ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ， ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｆｏｒ Ｄ％ｎｏｍ ｖａｎｉｓｈｅｓ ｗｈｅｎ

Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｙ ｔｏ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ

Ｗｉｔｈｏｕｔ ＝

ｓｕｍｓ

＝

＝

ｇｅｔ

ｐ＇

ｔｈｅ ＝

０． Ｗｈｅｎ ｗｅ ｉｎｃｌｕｄｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｋ， ｗｅ

ａ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ｖａｌｕｅ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｇｒａｐｈｓ

ｅｖｅｎ

ｉｆ ｐ

＝

ｐ＇

＝

０． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

３４６

ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｖｅｒｔｅｘ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｈａｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ａ ｆａｃｔｏｒ ｄ－４． Ｗｅ ｏｎｌｙ ｇｅｔ ａ ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｕｌｔ ｂｙ ｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇ ｂｙ ａｎ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｃｅ

４ ｉｓ ｏｆ ａ ｌｏｃａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ． ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｓｏ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ａｔ ｄ Ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｃａｎ ｂｅ ｗｏｒｋｅｄ ｏｕｔ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｉｍｐｌｙ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ ｗｈａｔ ｗｅ ｈａｖｅ ｌｅａｒｎｔ ｆｒｏｍ ｅｘａｍｐｌｅｓ： ＝

－

（１） Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ａｎ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ

ｇｒａｐｈ ｗｈｅｎ

ｔｒｅｅ

ｗｅ ｓｅｔ

ｄ

ｖｅｒｔｅｘ ａｓ ｏｎｅ

＝

ｔｈａｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｎｄ ｔｈａｔ ｖａｎｉｓｈｅｓ ｉｎ

ａ

４ ａｎｄ ｗｈｅｎ ａｌｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｎｄ ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎｓ ａｒｅ

ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ． （２） Ａ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄ

ｏｒ ａ

ｇｒａｐｈ ｏｒ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ ｉｆ ｉｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ａｔ ｐｏｌａｒｉｚａｔｉｏｎｓ ａｒｅ

４ ａｎｄ ｉｆ ｉｔ ｖａｎｉｓｈｅｓ ｗｈｅｎ ｉｔｓ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｎｄ

＝

ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ． （３） Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ａ

ｇｒａｐｈ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ

ａｎ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ

ｖｅｒｔｅｘ．

Ｉｆ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ｉｓ

ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｆｉｎｉｔｅ ｔｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ． （＇Ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ ｆｉｎｉｔｅ＇ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｇｒａｐｈ ａｎｄ ａｌｌ ｉｔｓ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｈａｖｅ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ．）

（４）

Ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ

［￡］

ｗｈｏｓｅ ｂａｓｉｃ ｖｅｒｔｅｘ ｉｓ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ ｈａｓ ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ：

［￡］ Ｔｈｅ

ｓｕｍ

ｉｓ

ｏｖｅｒ

＝

￡Ｃ￡Ｋ［Ｆ］

＋ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ

（１３．５．１７）

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．

ｖ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ Ｖ ｗｈｏｓｅ ｂａｓｉｃ ｖｅｒｔｉｃｅｓ

ａｒｅ ｎｏｎ－ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ．

Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈａｔ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ ａｒｅ ｔｈｅ ｏｎｅｓ ｔｈａｔ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｕｓｕａｌ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ａｎｄ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ ｗｉｌｌ ｍｉｘ ｗｉｔｈ Ｅ ｕｎｄｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｐｒｏｏｆ ｉｓ ｌｅｆｔ ａｓ ａｎ ｅｘｅｒｃｉｓｅ ｔｏ ｔｈｅ

ｒｅａｄｅｒ． １３．６ Ｎｏｎ－ｓｉｎｇｌｅｔ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ ｈａｓ

ｎｏ

ａｎｏｍａｌｙ

１３．６．１ Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ａｎｏｍａｌｙ Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｔｈａｔ ｃａｎ ａｐｐｅａｒ ｏｎ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （１３．５．１７） ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｓｅ

Ｅ

＝

Ｄｌｎｏｍ

ｉｓ

ｄ－＼＿ｊａ５］．

Ｔｈｅ ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｔｈａｔ ｉｔ ｂｅ ｐｓｅｕｄｏｓｃａｌａｒ，

ｉｓｏ ｖｅｃｔｏｒ， ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ａｎｄ ｏｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ａｔ ｍｏｓｔ ｆｏｕｒ． （Ｉｆ ｗｅ ｈａｄ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ

ｑｕａｒｋ

ｍａｓｓｅｓ， ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

Ｗｎｏｍ］

＝

［￡＞￡，］

ｃｏｕｌｄ ａｌｓｏ

Ｃ（ｇ）ｄ＇ｌＪｉ５］

ａｐｐｅａｒ．）

＋ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ，

Ｓｏ

ｗｅ

ｈａｖｅ

（１３．６．１）

ｗｈｉｃｈ， ｗｈｅｎ ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｅｄ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ （１３．４．１２）， ｇｉｖｅｓ

＾＜ｏ｜Ｔ（ｉ－Ｑ［；ｓ５］ｎ＾ｎ＾ｎ＊ｉｏ＞ ＝

ｒ．ｈ．ｓ． ｏｆ （１３．４．２） ＋ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ．

（１３．６．２）

１３．６

Ｓｏ

ｗｅ

Ｎｏｎ－ｓｉｎｇｌｅｔ ａｘｉａｌ

ｃｕｒｒｅｎｔ ｈａｓ ｎｏ

３４７

ａｎｏｍａｌｙ

ｓｈｏｕｌｄ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉ｛．３

＝

＝

（ｉ－ｃ）［Ａ］ （ｌ－Ｃ）Ｚ；１ｒａ５ｉ

（１３．６．３）

ｗｈｉｃｈ ｉｓ （１３．４．６） ｗｉｔｈ ｚ５ １ Ｃ． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｊ＾ａ５ ｈａｓ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ｗｉｔｈ ｎｏ ａｎｏｍａｌｙ， ｖｉｚ． （１３．４．４）， ａｓ ｗｅ ＝

—

ｗｉｓｈｅｄ ｔｏ ｐｒｏｖｅ． Ｆｒｏｍ ｏｕｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｆｉｇ． １３．５．３ Ｃ

＝

ｗｅ ｓｅｅ

（１３．６．４）

ｇ２ＣＦ／（４ｎ２） ＋ ０（ｇ４）．

ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ ｉｄｅａ， ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ． ｉｎ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ｗｈｅｎ ａ

ｐｒｏｏｆ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｌｏｎｇ ａｎｄ ｉｎｖｏｌｖｅｓ

Ｏｕｒ

ｔｈａｔ

ａ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １３．５． Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

Ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｗａｙ

ａｎ

ａｎｏｍａｌｙ

ｃａｎ ａｐｐｅａｒ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃａｎｃｅｌｓ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｄ ４ ｆｏｒ ｔｈｅ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｃｅ ｏｆ ａｎ ａｎｏｍａｌｙ． Ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｉｓ ａ ｌｏｃａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ， —

ａｎｄ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｒｅ ｔｈｏｓｅ ｗｈｉｃｈ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ｗｏｕｌｄ ａｌｌｏｗ ａｓ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｔｏ

ｄ－ｊ．

Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｏｕｒ ｉｓｏ ｖｅｃｔｏｒ ｃｕｒｒｅｎｔ， ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｓｕｃｈ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ ｄ －ｊ ｉｔｓｅｌｆ． Ｓｏ

ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ （１３．６．３）

ｓｅｒｖｅｓ ｔｏ

ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ａｔ ｄ

１３．６．２ Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔ ｈａｓ

ｎｏ

ｕｓ

ｆｘ— ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ

＝

ｄｊｊ．

ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｛Ｚ

ａ

Ａ．

ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ

ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｏｐｅｒａｔｏｒ ／ｘｄ／ｄｊｕ ｉｄｅｎｔｉｔｙ （１３．４．４）． Ｆｏｒ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｗｅ ｇｅｔ Ｌｅｔ

—

ｔｏ ｔｈｅ Ｗａｒｄ

ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｆｉｅｌｄｓ｝．

Ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ， ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｊ￡ａ５ ｍｕｓｔ ｈａｖｅ ｚｅｒｏ

ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ （ｗｈｅｎ ｄ

＝

４）：

ｄｊａ Ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｓｅｎｓｉｂｌｅ ｒｅｓｕｌｔ： ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｊ＾ａ５ ｉｓ ａ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｏｂｊｅｃｔ， ａｎｄ ｉｔ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ ｏｎ ｈｏｗ ｗｅ ｐａｒａｍｅｔｒｉｚｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｂｙ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｏｕｐｌｉｎｇ． Ｕｓｅｆｕｌ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｓ ｆｏｌｌｏｗ， ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌｌｙ ｓｕｂｔｒａｃｔｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔ ｄｏｅｓ ｈａｖｅ ａｎ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ：

ｄｅｐｅｎｄ

ｎｄ［Ｕ／ｄｎ＝－ｙ５［ｊａ５ｌ

（１３．６．６）

ｗｈｅｒｅ

ｙ５（ｇ）

＝

＝

ｎｄ＼ｎ（Ｚ５）／ｄｎ

［（２－ｄ／２）ｇ ＋ ｐ（ｇ）］ｄ＼ｎ（Ｚ５）／ｄｇ．

（１３．６．７）

３４８

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

Ｎｏｗ， ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｃ ｉｓ

ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇ； ｉｔ ｉｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ａｎｄ

ａ

ｍａｓｓｅｓ ｃａｎｎｏｔ

ｄｅｐｅｎｄ

ｆａｃｔｏｒ Ｚ５． Ｗｅ ａｌｓｏ ｄｅｆｉｎｅ ｉｔ ｔｏ

ｏｎ

ｈａｖｅ ｎｏ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ，

ｂｅｔｗｅｅｎ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｔ ｄ

ｅｖｅｎ

ｉｎ ｔｈｅ

ｔｈｅｍ， ｊｕｓｔ ｌｉｋｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ＝

ｓｉｎｃｅ ｉｔ ｉｓ ａ ｆａｃｔｏｒ

４．

Ｗｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｈａｖｅ ０

＝

＝

Ａ＊ｄ／ａｆｌ５／ｄ＾

－Ｐ（ｄＣ／ｄｇ）［ｊａ５－］－（＼－Ｃ）ｙ５［ｊａ５ｌ

ｔｈａｔ

ｓｏ

／Ｗ（ｌ－ｑ／３０

＝

（１３．６．８）

ｙ５（ｌ－Ｃ）．

Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ １－Ｃ

ｗｈｅｒｅ

ｕｓｅｄ

ｗｅ

ａｓ ａ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｓｔａｒｔｉｎｇ

ｅｘｐｊ ｅｘｐ

＝

ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

ｇ２．

ａｔ ｏｒｄｅｒ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ， ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ

＜１３－６－９）

ｄｇ＇ ｄｇ＇ｙ５（ｇＶｐ｛０＇）ｈ ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ Ｃ ｈａｓ

Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｔｈｅ

ａ

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｉｎ （１３．６．９） ｂｅ

ｇ２ ｔｅｒｍ ｉｎ ｙ５ ｍｕｓｔ ｖａｎｉｓｈ． （１３．６．７） ｉｔ ｍｕｓｔ ｂｅ ｔｈａｔ Ｚ５ ｈａｓ ｎｏ ｏｒｄｅｒ ｇ２ ｔｅｒｍ； ｔｈｉｓ

Ｓｏ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ

ｂｙ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ， ｗｅ ｌｏｏｐ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｃ， ｓｏ ｔｈａｔ

ｗｅ

ｋｎｏｗ

ｙ５

＝

－

—

＝

（１３．６．４） ｔｈｅ ｏｎｅ－

Ａ，ｇ＊Ｃ￥ｌ｛２ｎ２） ＋ ０（ｇ％

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｔｅｒｍ ｉｎ ／？ ｉｓ Ａ ｔｇ３． Ｈｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ Ｚ５：

ｚ３

ｋｎｏｗ ｆｒｏｍ

ｉ－， Ｚ￥＼， ４ｎ２（４－ｄ）

＋

（１３．６．１０）

（１３．６．１０） ｇｉｖｅｓ ｕｓ ａ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ

ｏ｛ｇ６）．

（１３．６．１１）

Ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｉｓ ｉｎｖｉｔｅｄ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｔｈｉｓ ｂｙ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． Ｗｅ ｍａｙ ｕｓｅ ｔｈｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒ ７ ｔｏ ｓｕｍ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ． Ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｙ＇＾ａ５ ｔｏ ｂｅ ｉｆ１

＾ Ｊ

＝

（ｉ＿ｃ）ｚ５－１

ａ５

＝

＝

＝

ｅｘｐ｛Ｊ９ｏｄ，Ｗ）［＾－

ｙ５（ｇ％ｄ／２－２）ｇ＇

ｄｇ＇ ｅｘｐ＼ ａ＂＊ ／？（９＇）［（＜＊／２－Ｗ＋ ／？（＜？＇）］． ｌ ＋

－＞１

Ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ

（ｄ／２－２）ｇ＇ ＋ ｐ（ｇ＇）．

（ｒｆ－４）Ｏ［ｌｎ（０２／（４－＜＊））］ （１３．６．１２）

ａｓ＜＾４．

ｔｈｅ Ｎｏｅｔｈｅｒ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ ｉｎ ｔｈｅ

ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｔｈｅｏｒｙ．

１３ Ｊ Ｔｈｒｅｅ－ｃｕｒｒｅｎｔ Ｗａｒｄ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ； ｔｈｅ ｔｒｉａｎｇｌｅ ａｎｏｍａｌｙ

１３．７ Ｔｈｒｅｅ－ｃｕｒｒｅｎｔ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ；

Ｗａｒｄ

１３．７．１ Ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍ

３４９

ｔｈｅ ｔｒｉａｎｇｌｅ ａｎｏｍａｌｙ

ｏｆ ａｎｏｍａｌｙ

Ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｄ＆（Ｐ，Ｐ＇）

ｊｄ＊ｘｄＶｐ－ｘ＋ｉ＂＇－ｙ＜０｜ Ｔｊ＊ａ５（０）ｊ＆ｘ）ｊ；（ｙ）＼０＞．

＝

（１３．７．１）

Ｏｎｌｙ ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｇｒａｐｈｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅ； Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎ ｖａｒｉａｎｃｅ ｆｏｒｃｅｓ ｔｈｅ ｖａｃｕｕｍ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅ ｏｆ ａ ｃｕｒｒｅｎｔ ｔｏ ｂｅ ｚｅｒｏ． Ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｓ ａｒｅ ａｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔｓ， ｓｏ ａｌｌ ｓｕｂｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ａｒｅ ｃａｎｃｅｌｌｅｄ ｂｙ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｉｎ （１３．７．１） ｉｓ ａｎ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｉｎ ｆａｃｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ａｓ ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ｓｈｏｗ．

４＋ｋ ＊

ｒ＾ ＊

ｋ

＼＾ｋ Ｊ＞＇

ｎｏ

ｏｖｅｒａｌｌ

＋

＾

＾

Ｆｉｇ． １３．７．１． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｇｒａｐｈ ｆｏｒ （１３．７．１）． Ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ （１３．７．１） ｈａｖｅ ａ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ａｓ ｃａｎ ｂｅ ｓｅｅｎ ｆｒｏｍ， ｓａｙ， Ｆｉｇ． １３．７．１． Ａｎｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｍｕｓｔ ｂｅ ｌｉｎｅａｒ ｉｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ａｎｄ

ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ

ｔｏ ｔｈｅ ｅ－ｔｅｎｓｏｒ． Ｔｈｅ

ｏｎｌｙ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ｉｓ

＾［ａ｛ｄ）ｐＫ

＋

（１３．７．２）

ｂ｛ｄ）ｐ＇Ｋｌ

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｌｓｏ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｏｆ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｃｔｏｒ ｃｕｒｒｅｎｔ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ

ａ

Ｗａｒｄ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｌｙ ｒｅｇｕｌａｒｉｚｅｄ

ｔｈｅｏｒｙ． Ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ＰＭ０ＡＭＶ＝－ｉｆｄ＇＾＾ Ｂｙ

ｕｓｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ

ｉ＾Ｚ＾ｙ＾ｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ

（１３．７．３）

＝

Ｚ２｛ｊ｝ｔａ｛ｉｐ

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ，

ｐ＾

＝

ｗｅ

－

Ｍ０）＼ｊｊ

－

Ｚ￥（

－

ｉｌｊ）

－

Ｍ０）ｆｔｙ

ｆｉｎｄ

ｊｄＷ＋＇＇＞－＜０｜ Ｔ／ｉｆｌ５（０）Ｚ２＜Ａ［Ｙ， ｒ＞］／＜ＡＷ｜０＞ ｄＶｉｊ，＇＇ｙ＜Ｏ｜ＴＺ２０［＾ｆ＊］ｙ＾；＾）｜Ｏ＞．

＋

（１３．７．４）

Ｉｎ ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｅ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｓ；＾ ａｎｄｙｊ ａｒｅ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ． Ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ （１３．７．４） ｉｓ

ａ

Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ

ｖｅｃｔｏｒ

ａｎｄ

ａ

ｐｓｅｕｄｏｖｅｃｔｏｒ

３５０

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

ｃｕｒｒｅｎｔ

Ｐａｒｉｔｙ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｆｏｒｃｅｓ

ｔｈｅｍ ｔｏ ｂｅ ｚｅｒｏ，

ＰｆｉＤ＾ｖ

Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ

ｐｆｖＤ＾ｖ

ｓｏ

＝

０．

（１３．７．５ａ）

＝

０．

（１３．７．５６）

Ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ （１３．７．２） ｍｕｓｔ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｇｉｖｅ ｚｅｒｏ ｗｈｅｎ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｄ ｂｙ ｐ＾ ｏｒ ｐ＇ｖ． Ｔｈｉｓ ｆｏｒｃｅｓ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｔｏ ｂｅ ｚｅｒｏ； ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ （１３．７．１） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ

ａｓ

ｉｔ ｓｔａｎｄｓ．

Ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｔｅｄ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈｅ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｎｏｔ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ， ｓｏ ｗｅ ｃａｎｎｏｔ ０ ｂｙ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎｓ． Ｉｎｄｅｅｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ （ｐ ＋ ｐ＼ＤＸｆｌｖ ＝

ｗｅ

ｈａｖｅ

（Ｐ ＋

Ｐ＇）ｘＤ＾ｖ

＝

ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒ ｔｅｒｍｓ ＋

ｄ４ｘｄ４ｙｅｉ（ｐｘ

＋ ｐ＇ｙ）

ｘ

ｘ＜０＼ＴＥａ（０）ｒｂ（ｘ）ｒｃ（ｙ）＼０｝． （１３．７．６） Ｈｅｒｅ Ｅ ｉｓ ｔｈｅ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｎ Ｅ

＝

＝

（１３．６．２）：

ｌＤｌＢｏｍ］－Ｃ８Ｕａ５］ ［＾ｎｏｍ］－Ｃ（ｌ－Ｃ）－１ａ７ｆｉａ５．

Ｔｈｅ ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒ ｔｅｒｍｓ ｉｎ

（１３．７．６） ｖａｎｉｓｈ，

ａｓ

（１３．７．７）

ｉｎ ｔｈｅ Ｗａｒｄ

ｉｄｅｎｔｉｔｙ

ｆｏｒ ｔｈｅ

ｖｅｃｔｏｒ ｃｕｒｒｅｎｔｓ． Ｈｅｎｃｅ， ｆｉｎｉｔｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｅｆｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ￡ ｗｉｔｈ／￡ ａｎｄ） ｉｓ ｆｉｎｉｔｅ． Ｅｖｅｎ ｔｈｏｕｇｈ ｇｒａｐｈｓ ｆｏｒ ｉｔ ａｒｅ ｑｕａｄｒａｔｉｃａｌｌｙ ＊

ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ， ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｃａｎｃｅｌ． Ｎｏｗ， Ｅ ｉｓ ａｎ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｔｈｉｓ ｍｅａｎｓ ｔｈａｔ ｉｔｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｆｉｅｌｄｓ ｖａｎｉｓｈ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｕｒ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｈｅｏｒｙ． Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ， ｗｈｉｃｈ ｗｅ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｅｎｄ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ １３．５， ｔｈｅｎ ｔｅｌｌｓ ｕｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｗａｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （１３．７．６） ｗｉｌｌ ｆａｉｌ ｔｏ ｖａｎｉｓｈ ｉｓ ｆｏｒ Ｅ ｔｏ ｂｅ ｐａｒｔ ｏｆ ａ ｇｒａｐｈ ｏｒ ｓｕｂｇｒａｐｈ ｗｉｔｈ ｏｖｅｒａｌｌ ｄｅｇｒｅｅ

ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｔ ｌｅａｓｔ ｚｅｒｏ． Ｎｏｗ， ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｅ ｈａｓ ｅｎｓｕｒｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｓｅ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ａｌｌ ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ． Ｈｅｎｃｅ ｗｅ ａｒｅ ｌｅｆｔ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｇｒａｐｈｓ． Ｓｏ ｗｅ ｈａｖｅ （ａｔ ｄ ４） ＝

（ｐ

Ｔｈｅ

ｔｅｎｓｏｒ

＋

ｐ，ｈＤ＾

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ａｔ ｄ

＝

４，

ｉｓ ｓｏ

Ａ（ｇ）ｅ＾ｐｐ＾Ｅａｂｃ －ｉ＾ｊｉｐ＋ｐ＇ｎｐ－ｐｙ１＊＊．

＝

ｔｈｅ

ｉｔ

ｃａｎ

ｏｎｌｙ ｏｎｅ ｐｏｓｓｉｂｌｅ． Ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ａ ｉｓ ｏｎｌｙ ｂｅ ａ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇ． Ｎｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－

ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｏｆ （１３．７．８） ｏｂｅｙｓ ｖｅｃｔｏｒ ｃｕｒｒｅｎｔ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ，

Ｐ，（Ｐ ＋ Ｐ＼Ｄ＾ ａｓ

ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ．

（ｌ３－７－８）

＝

０，

ｓｏ

ｔｈａｔ

１３．７ Ｔｈｒｅｅ－ｃｕｒｒｅｎｔ Ｗａｒｄ

３５１

ｉｄｅｎｔｉｔｙ； ｔｈｅ ｔｒｉａｎｇｌｅ ａｎｏｍａｌｙ

１３．７．２ Ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｖａｌｕｅ Ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ａ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． １３．７．１． ａ

＂ｖａ＂Ｐ

．

Ｐ

＊ ＝ ３

ｆ ｄ＂／ｃ

ｔｒ

？Ｊ （２ｎ）ｄ ＋

［ｔｆ ￥＇ ＋ ２｜）ｙｓ（／＞ ＋ ＪＱｙ＇ＭＥ －

ｋ＼ｐ

＋

ｋ）２（ｐ＇

－

／＞＇）］

ｋ）２

－

ｃｈａｒｇｅ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ．

（１３．７．９）

Ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ３ ｉｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｑｕａｒｋ ｃｏｌｏｒｓ． Ｔｏ ｅｖａｌｕａｔｅ ｔｈｉｓ， ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ

／ｒ（ＹＶ） ０＼ １ ＝

（１３－７．１０）

Ｓｉｎｃｅ ｅＫＸｆｉＶ ｉｓ ｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｆｏｕｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ， ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｒａｃｅ ｏｆ ｙ５ ｗｉｔｈ ｆｏｕｒ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｉｓ ｚｅｒｏ ｉｆ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｉｓ ａ ｙ：

ｔｒ（ｙ５ｆｙＶＶ） Ｌｅｔ

ｕｓ

ｔｈｅ

ｃｏｍｍｕｔｅ

ｗｈｅｎｅｖｅｒ ｐｏｓｓｉｂｌｅ． ｔｒ

－ｐ＇

＋

ｆｔ ｉｎ （１３．７．９） ｐ＇

Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｌｓｏ ｓｅｔ ｐ

＝

＝

ｎｏｗ

ａｎ

ｌｅｆｔ， ａｎｄ

ｔｏ ｔｈｅ ＝

ｕｓｅ

（１３．７．１１）

０． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ

ｕｓｅ

（１３．７．１２）

ｏｆ （１３．７．１１）． Ｔｈｅ ｃｈａｒｇｅ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ

ｅｑｕａｌ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．

ｈａｖｅ

＾＜ＷＶ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｗ

（１３．７．１１）

－ｔｒ［２ｔｙ５Ｕ＞ ＋ ｍｙ＇ｌＰ＂ｆ＇］ ＋ ０ －ｔｒ［２｜）－５＃ＴＶｙ］＋０ －ｔｅ［２ｆｔｔｙｓ＾ｙ］ ＋ ０－

Ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｂｙ ＇０＇ ｖａｎｉｓｈ ｂｙ Ｗｅ

＝

０．

［ｔｆ －｝＇ ＋ ２％）ｙ５（ｊ＞ ＋ ＪＷＭ －ｆ ＋ ｍ

＝

ｔｅｒｍ ｇｉｖｅｓ

＝

＝

３

＇ｄ＇ｋ

ｔｒ［＃ｙ５＃＊ｙ］

｝｛２ｎｆｋ２｛ｐ＇－ｋｆ｛ｐ

（１３．７．１３）

ｋｆ

＋

ｏｎｌｙ ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｄｉｖｅｒｇｅｎｔ ｉｎｔｅｇｒａｌ． Ａｆｔｅｒ ｕｓｅ ｏｆ Ｆｅｙｎｍａｎ

ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｒｅｓｕｌｔ （４．４．１４） ｇｉｖｅｓ

Ａ＾ａｐＰ＇Ｐ

＂￡Ｊ＞．

１－ＪＣ

ｄｙ±Ｔ（２

－

ｄｆｌ）

ｘ

ｏ

ｔｒ［ｉ／７５／Ｗ］ ［

－

Ｐ

＊（１ －ｘ）－ ｐ＇２ｙ（ｌ －ｙ） ＋ Ｉｐｐ＇ｘｙ］

＋０（ｄ－４）

－＂ｇ＾Ｗ＾＂－ Ｔｈｅ

ｅｖａｎｅｓｃｅｎｃｅ

ｏｆ ｔｈｅ ｖｅｒｔｅｘ ｈａｓ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｇｉｖｅｎ

（１３．７．１４） ａ

ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｄ

—

４ ｗｈｉｃｈ

Ａｎｏｍａｌｉｅｓ

３５２ ｃａｎｃｅｌｓ ｔｈｅ ＵＶ ｐｏｌｅ ｔｏ ｌｅａｖｅ

ａ

ｆｉｎｉｔｅ ｒｅｓｕｌｔ

（１３．７．１５）

Ａ＝－３／｛ｉｎ２） ＋ ０（ｇ２）． Ｔｈｉｓ ｒｅｓｕｌｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ａｘｉａｌ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｆｏｒ （１３．７．１） ｆｏｕｎｄ ｂｙ Ａｄｌｅｒ （１９６９）， ａｎｄ Ｂｅｌｌ ＆ Ｊａｃｋｉｗ （１９６９）．

ｗａｓ

ｆｉｒｓｔ

１３．７．３ Ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒｓ Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ， ｉｎ ｆａｃｔ， （Ａｄｌｅｒ ＆ Ｂａｒｄｅｅｎ （１９６９）） ｎｏ ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ

ａｎｏｍａｌｙｆｏｒ（１３．７．１）．ＷｅｗｉｌｌｆｏｌｌｏｗｔｈｅｐｒｏｏｆｄｕｅｔｏＺｅｅ（１９７２）．Ｔｈｅｂａｓｉｃｉｄｅａ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ． Ｅａｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｓ ｉｎ （１３．７．１） ｉｓ ＲＧ ｉｎｖａｒｉａｎｔ， ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ｎｏ

ｏｖｅｒａｌｌ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｉｓ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｗｈｅｎ

ｗｅ

ＲＧ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｍｕｓｔ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｂｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ａｌｓｏ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ａ （ｇ） ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｇ ａｎｄ ｏｎ ｎｏ

ｍａｋｅ

ａｎ

ｏｔｈｅｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｔｈｅ

ｔｈｅｏｒｙ．

Ｗｅ

ｃａｎ

ｃｈａｎｇｅ ｇ ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ ｂｙ ｃｈａｎｇｉｎｇ ｔｈｅ

ｍａｓｓ ／ｘ． Ｈｅｎｃｅ Ａ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｇ． Ｔｈｉｓ ｐｒｏｏｆ ｍａｙ ｅａｓｉｌｙ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｏｕｔ． Ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ Ｄ＊ｊ￡ ｉｓ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ

＂ｄｐ＊ Ｈｅｎｃｅ

＾ＡｇＫｂｃ＾Ｐｊ＇ｐ Ｓｉｎｃｅ

ｊｕｄ／ｄ＾ｕ

＝

＼ｉｄｊｃ＼ｉ

＋

ｆｉｄ／ｄｇ，

＝

（ｐ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ

ｇ， ｓｏ ｉｔ

Ａ

＝

Ｖ＾＾ｉＣ

＝

°－

ｔｈｉｓ ｇｉｖｅｓ ｆｉｄＡ／ｄｇ

Ｔｈｅｎ Ａ ｉｓ

＋ ｐ

－

＝

０．

ｅｑｕａｌｓ ｉｔｓ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ

ｖａｌｕｅ：

（１３．７．１６）

３／（８ｔｔ２） ｅｘａｃｔｌｙ．

Ｔｈｉｓ ｉｓ ａ ｖｅｒｙ ｓｔｒｉｋｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔ． Ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｗｅ ｈａｖｅ ｇｉｖｅｎ ｉｓ ｖｅｒｙ ｓｉｍｐｌｅ， ｂｕｔ ｔｈｅ ｒｅａｄｅｒ ｓｈｏｕｌｄ ｎｏｔ ｓｕｐｐｏｓｅ ｉｔ ｉｓ ｎｏｔ

ａ

ｄｅｅｐ ｒｅｓｕｌｔ． Ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ

ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｔｈｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ａｐｐａｒａｔｕｓ ｉｓ ｎｅｅｄｅｄ ｆｏｒ ｉｔｓ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ． Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｈａｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ａｎｏｍａｌｙ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｄ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ｗａｓ ｎｏ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ ｎｅｅｄｅｄ ｔｏ ｍａｋｅ

Ｄｅｆｉｎｉｔｅ． Ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓ

ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｂｌｅ ｃａｎｃｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ＵＶ ｉｎｆｉｎｉｔｉｅｓ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｉｎ ｄ－ｊａ５

ｄｉｓａｐｐｅａｒｓ ｗｈｅｎ ｔｈｅ Ｕ Ｖ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｉｓ ｒｅｍｏｖｅｄ， ｉｔ ｃａｎ ａｆｆｅｃｔ ａ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ｏｎｌｙ ｂｙ ｂｅｉｎｇ ｅｎｈａｎｃｅｄ ｂｙ ａ ＵＶ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｎｏｔ ｍａｄｅ ｉｔｓ ａｐｐｅａｒａｎｃｅ ｅａｒｌｉｅｒ． Ｔｈｕｓ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｉｓ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｔｈ ａ ＵＶ ｐｏｌｅ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｉｎ ｔｈｅ Ｆｅｙｎｍａｎ ｇｒａｐｈｓ． Ｉｔ ｉｓ ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ ｆｏｒ ｔｈｉｓ ｒｅａｓｏｎ ｔｈａｔ ｉｔ ｍｕｓｔ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ｔｈｅ

１３．７ Ｔｈｒｅｅ－ｃｕｒｒｅｎｔ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｙ； ｔｈｅ ｔｒｉａｎｇｌｅ ａｎｏｍａｌｙ

３５３

ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｍｏｍｅｎｔａ ｔｈａｔ ｉｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ． Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ， ｉｔ ｉｓ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｉｎ ｔｈｅ

ｍｏｍｅｎｔａ ａｎｄ ｍａｓｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ Ｕ Ｖ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ． Ｏｎｃｅ ｔｈｉｓ ｉｓ ｃｌｅａｒ， ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｇｅｎｅｒａｌ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｉｓ （１３．７．８）． Ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｓｔｅｐ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ａ ｉｓ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｇ ｉｓ ｔｒｉｖｉａｌ． Ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｌｏｇｉｃａｌ ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｙ ｉｓ ａ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｃａｙ ｒａｔｅ ｆｏｒ ｎ° －＞ ２ｙ （ｓｅｅ Ｍａｒｃｉａｎｏ ＆ Ｐａｇｅｌｓ （１９７８） ａｎｄ

Ｌｌｅｗｅｌｌｙｎ－Ｓｍｉｔｈ （１９８０））． Ｔｈｅ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｑｕａｒｋ ｃｏｌｏｒｓ， ｓｏ ｔｈｅ ｄｅｃａｙ ｒａｔｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏ ｔｈｅ ｓｑｕａｒｅ ｏｆ ｔｈｉｓ ｎｕｍｂｅｒ． Ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｒａｔｅ ｉｎ ｆａｃｔ ａｇｒｅｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｔｈｅｏｒｙ ｔｈａｔ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｈｒｅｅ ｃｏｌｏｒｓ．

１４

Ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｗｅ ｗｉｌｌ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ

ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｆａｉｒｌｙ

ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｔｈｉｓ ｓｔｒａｉｇｈｔｆｏｒｗａｒｄ， ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃ ｔｅｓｔｓ ｏｆ

ｑｕａｎｔｕｍ ｃｈｒｏｍｏｄｙｎａｍｉｃｓ （ＱＣＤ）． Ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｏｆ ａ ｌｅｐｔｏｎ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｕｍ Ｐ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｐＭ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ

ｏｎｌｙ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｉｎ

ｏｎ ａ

ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｓｔａｔｅ

ｈａｄｒｏｎ ｏｆ

ｂｅｉｎｇ ｔｈｅ

ｌｅｐｔｏｎ： ／ ＋ Ｎ －？ ／＇ ＋

ｐｒａｃｔｉｃｅ ｈａｄｒｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔａｒｇｅｔ

Ｉｎ

ｏｎｅ ｕｓｅｓ ａ

ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ

ａｎｙｔｈｉｎｇ．

（１４．０．１）

ｂｅａｍ ｏｆ ｅｌｅｃｔｒｏｎｓ， ｍｕｏｎｓ，

ａｒｅ

ｎｕｃｌｅｏｎｓ． Ｔｈｅｒｅ

ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｄａｔａ，

ｔｈｅ

ｃａｓｅｓ

－？

ｅ

＋

－＞

ｆｘ ＋

ａｒｅ ａ

ｏｒ

ｎｅｕｔｒｉｎｏｓ， ａｎｄ ｔｈｅ

ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｃａｓｅｓ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ

ｂｅｉｎｇ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈｅｄ ｂｙ

ｔｈｅ ｔｙｐｅｓ ｏｆ

ｌｅｐｔｏｎ ｉｎｖｏｌｖｅｄ： ｅ ＋

Ｎ

ｊｘ ＋ Ｎ

Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

ｖ ＋

Ｎ －？

ｖ ＋

Ｎ

－＞

ｖ

＋

（ｅ

ａｎｙｔｈｉｎｇ，

ａｎｙｔｈｉｎｇ， ａｎｙｔｈｉｎｇ，

ｏｒ

ｊｊ）

＋

ｆ

（１４．０．２）

ａｎｙｔｈｉｎｇ． Ｊ

ｍｅａｓｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅｓｅ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｓ ｔｏ （ｑｕａｒｋｓ ａｎｄ ｇｌｕｏｎｓ） ｏｆ ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ． ｗｅ ｈａｖｅ ａ ｏｆ ａ Ｓｕｐｐｏｓｅ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｌｅｐｔｏｎ ｏｎ ａ ｓｍａｌｌ－ｓｉｚｅｄ ｃｏｎｓｔｉｔｕｅｎｔ， ａｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｉｓ ｌａｒｇｅ， ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｈａｐｐｅｎｓ ｏｖｅｒ ａ ｓｍａｌｌ ｔｉｍｅ－ｓｃａｌｅ． Ｔｈｅ ｗｅａｋ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ａ ｓｍａｌｌ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ｓｏ ｔｏ ａ ｇｏｏｄ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｈｅ ｌｅｐｔｏｎ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｉｎｔｅｒａｃｔ ａｇａｉｎ． ｒｅａｓｏｎ ｆｏｒ

ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｃｏｎｓｔｉｔｕｅｎｔｓ

Ｍｏｒｅｏｖｅｒ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｔｈａｔ ｔｕｒｎ ｔｈｅ ｆｉｎａｌ ｓｔａｔｅ， ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｋ ｑｕａｒｋ， ｈａｐｐｅｎ ｏｎ ａ ｍｕｃｈ ｌｏｎｇｅｒ ｔｉｍｅ－ｓｃａｌｅ． Ｓｏ ｔｈｅｓｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｄｏ

ｉｎｔｏ ｈａｄｒｏｎｓ

ｎｏｔ ｉｎｔｅｒｆｅｒｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ Ｂｏｒｎ ｇｒａｐｈ．

Ｈｅｎｃｅ， ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ

ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ （１４．０．１） ｒａｔｈｅｒ ｓｉｍｐｌｙ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｌｅｐｔｏｎ－ｑｕａｒｋ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ （Ｆｉｇ． １４．０．１）． Ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｆｉｎａｌ－ｓｔａｔｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎｓ ａｒｅ ｉｇｎｏｒｅｄ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｉｍｐｕｌｓｅ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ． ｏｖｅｒ

Ｗｅ ｃａｎ ｕｓｅ ｉｔ ｂｅｃａｕｓｅ

ａｌｌ ｈａｄｒｏｎｉｃ ｆｉｎａｌ ｓｔａｔｅｓ． ３５４

ｗｅ

ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ

ｓｕｍ

ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ

３５５

１４．１ Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ， ｅｔｃ．

Ｆｉｇ． １４．０．１． Ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ． Ａ ｍｏｒｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｉｄｅａ ｉｓ ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ，

ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １４．２． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ， ｈｏｗｅｖｅｒ， ｍａｎｙ ｗｅａｋ ｐｏｉｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｕｉｔｉｖｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｊｕｓｔ ｇｉｖｅｎ， ａｎｄ ｗｅ ｍｕｓｔ ｒｅｍｅｄｙ ｔｈｅｍ． Ｉｎ ｔｈｅ ｒｅｍａｉｎｄｅｒ ｏｆ

ｅｘｐｌａｉｎｅｄ

ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ （ＱＣＤ）． Ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ ｗｉｌｌ ｉｎ ｆａｃｔ ｇｉｖｅ ａ ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅｌｙ ｃｏｒｒｅｃｔ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ． Ｏｕｒ ｉｎｔｕｉｔｉｖｅ ａｒｇｕｍｅｎｔ ｓｈｏｗｓ ｗｈｙ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｉｓ ｓｉｍｐｌｅ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｐｅｒｍｉｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． Ｏｕｒ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ ｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍａｔｅｒｉａｌ ｔｏ ｂｅ ｆｏｕｎｄ， ａｍｏｎｇ ｏｔｈｅｒ ｐｌａｃｅｓ， ｉｎ Ｇｒｏｓｓ （１９７６） ａｎｄ Ｔｒｅｉｍａｎ， Ｊａｃｋｉｗ ＆ Ｇｒｏｓｓ （１９７２）． １４．１ Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ， ｅｔｃ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｔｏ ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ ｉｎ ｗｅａｋ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ （１４．０．１） ｈａｖｅ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｆｉｇ． １４．１．１ ｗｈｅｒｅ ａ ｂｏｓｏｎ ｉｓ ｅｘｃｈａｎｇｅｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｌｅｐｔｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ． Ｔｈｅ ｂｏｓｏｎ ｃａｎ ｂｅ ａ ｐｈｏｔｏｎ， ａ

Ｗｏｔ ａ

Ｚ． Ａｔ ｈｉｇｈ ｅｎｏｕｇｈ

ｅｎｅｒｇｙ， ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔｏ ｉｎｃｌｕｄｅ Ｈｉｇｇｓ ｂｏｓｏｎ ｅｘｃｈａｎｇｅ． Ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｗｅａｋ ａｎｄ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｄｏ ｎｏｔ ｎｅｅｄ ｔｏ ｂｅ ｉｎｃｌｕｄｅｄ， ｅｘｃｅｐｔ ｆｏｒ

ｐｈｏｔｏｎ ｅｆｆｅｃｔｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｉｇｎｏｒｅ ｔｈｅ ｓｏｆｔ ｐｈｏｔｏｎ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｈｅｒｅ， ａｎｄ ｗｉｌｌ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅ ｏｎ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｓｔｒｏｎｇ－ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ． ｓｏｆｔ

／

Ｆｉｇ． １４．１．１． Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｆｏｒ

，

？ｏｔ＞＊ ｐｒｏｃｅｓｓ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ

ｔｏ

ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ．

Ｗｅ ｆｉｒｓｔ ｒｅｖｉｅｗ ｔｈｅ ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ． Ｔｈｅ

ｔｗｏ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ

Ｌｏｒｅｎｔｚ ｉｎｖａｒｉａｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ａｒｅ ｃｈｏｓｅｎ ｔｏ ｂｅ

Ｑ２＝－ｑ％， ｖ

＝

（１４．１．１）

ｐ－ｑ，

ｗｈｅｒｅ ｑ＊ ｉｓ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｔｒａｎｓｆｅｒ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｌｅｐｔｏｎｓ． Ｔｈｅ

ｍａｓｓ

ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｎａｌ

ｈａｄｒｏｎ ｓｔａｔｅ Ｘ ｉｓ ｔｈｅｎ

ｍｌ

＝

（ｐ

＋

ｑ）２

＝

ｍ￡ ＋ ２ｖ

－

Ｑ２．

（１４．１．２）

３５６

Ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

Ｉｎ ｔｈｅ

ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｆｒａｍｅ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｈａｄｒｏｎ ｉｓ ａｔ ｒｅｓｔ， ｗｅ ｃａｎ ｅｘｐｒｅｓｓ Ｑ２

ａｎｄ ｖ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌａｎｄ ｆｉｎａｌ ｌｅｐｔｏｎ ｅｎｅｒｇｉｅｓ Ｅ ａｎｄ ￡＇， ａｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｌｅｐｔｏｎ

ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ａｎｇｌｅ

６：

ｎｅｇｌｅｃｔｅｄ ｌｅｐｔｏｎ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｈｏｌｄ Ｗｅ ｈａｖｅ

＜２２

＝

ｖ

＝

２￡￡＇（１

－

ｃｏｓ

０）．

（１４．１．３）

ｍＮ（Ｅ－Ｅ＇）．

ｍａｓｓｅｓ

ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ Ｅ ａｎｄ ￡＇． Ｔｈｅ

ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ

（１４．Ｌ４）

ｖ＞Ｑ２／２＞０．

Ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗｅ ｗｉｌｌ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｉｓ ｗｈｅｒｅ ｂｏｔｈ Ｑ２ ａｎｄ ｍ＼ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ ｉｎ ａ ｆｉｘｅｄ ｒａｔｉｏ． Ｗｅ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ Ｂｊｏｒｋｅｎ ｓｃａｌｉｎｇ ｖａｒｉａｂｌｅ ｘ Ｑ２／（２ｖ）． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｌｅｔ Ｑ２ ｇｅｔ ｗｉｔｈ ｆｉｘｅｄ． ｔｈｅ ｘ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｌａｒｇｅ Ｂｊｏｒｋｅｎ ｌｉｍｉｔ ｏｒ ｔｈｅ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｒｅｇｉｏｎ． ＝

Ｉｎ ｔｈｉｓ

ｒｅｇｉｏｎ ｔｈｅ ｍｉｓｓｉｎｇ

ｍａｓｓ ｍｘ

ｍ２

＝

ｉｓ ｌａｒｇｅ：

（１４．１．５）

Ｑ２（ｌ／ｘ－ｌ＼

（ｗｈｅｒｅ ｗｅ ｎｅｇｌｅｃｔ ｍ＾ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ Ｑ２）． Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｍ＼ ｂｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｗｅ ｍｕｓｔ ｈａｖｅ ０ ＜

ｘ ＜

ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｖａｒｉａｂｌｅ ｔｏ ｘ ｔｈａｔ ｉｓ Ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｅ＇

ｄｃ

ｄ３／／

ａｐｐｌｉｅｓ ｏｎｌｙ ｉｆ ｘ ｉｓ ｎｏｔ ａｔ ｉｔｓ ｅｎｄｐｏｉｎｔｓ． Ａｎ ｓｏｍｅｔｉｍｅｓ ｕｓｅｄ ｉｓ ｃｏ １／ｘ．

１． Ｔｈｅ Ｂｊｏｒｋｅｎ ｌｉｍｉｔ

１

＝

ｄｃ

ＩｎＥ＇ｄＥ＇ｄｃｏｓｄ ｎ

４ＭＥ

＾ＺＫ＇１／／ｐｌＯ＜＾｜；ｒｉｉｖ＞Ｄ＾）｜２＾４Ｋ－＾－＾） ｘ

４ｋ） ＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾（Ａ＾ ／ｅｐｔ

ｊ＊＊ｄ

（１４．１．６）

ｅｘｃｈａｎｇｅｄ ｖｅｃｔｏｒ ｂｏｓｏｎ ｃｏｕｐｌｅｓ， ｇｗ ｉｓ ｉｔｓ ｃｏｕｐｌｉｎｇ， ａｎｄ Ｄｘ＼ｑ） ｉｓ ｉｔｓ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ． Ｔｈｅ ｌｅｐｔｏｎ ｔｅｎｓｏｒ ＬＫＡ ｉｓ ｅａｓｉｌｙ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｔｒｅｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｈｅｒｅ

ａｎｄ

ａｒｅ

ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｓ ｔｏ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

ＬＫＸ Ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ

Ｗｌｔｖ（ｐ，ｑ）

ｔｅｎｓｏｒ ｉｓ

＝

＝

＜ｌ＼ｆ；？（０）＼ｌ＇＞＜ｌ＇＼ｊ）＾ （０）｜／＞．

ｅｑｕａｌ

（１４．１．７）

ｔｏ

＾－ＹＪ＜ｐ＼ｊｔｌ（Ｏｙ＼Ｘ＞（Ｘ＼ｊｖ（０）＼ＰＸＷ＃＊）（Ｐ＂ｘ ＂Ｐ＂ ４７Ｔ ｘ

４ｔｔＪ ｄＶｒ＾ｐ｜；＞）Ｖｖ（０）｜ｐ＞，

－

＜？＂）

（１４．１．８）

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎ．

Ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｇｉｏｎ ｗｈｅｒｅ Ｑ ｇｅｔｓ ｌａｒｇｅ ｗｉｔｈ ｘ ｆｉｘｅｄ． Ｔｈｉｓ ｔｒｅａｔｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０． Ｔｈｅｒｅ ｗｅ ｔｏｏｋ ａｌｌ ｆｉｘｅｄ ｒａｔｉｏ， ｓｏ ｔｈａｔ Ｑ＾＞ ｃｏ ｗｉｔｈ Ｑ／ｐ－ｑ ｆｉｘｅｄ，

ｉｓ ｎｏｔ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｌｉｍｉｔ

ｗｅ

ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｑ＂ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｉｎ

ａ

３５７

１４．１ Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ， ｅｔｃ． ｉ．ｅ．， ｘ ｉｓ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｔｏｇ． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ｉｎ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｒｅｇｉｏｎ ０ ＜

ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ． Ｌｕｃｋｉｌｙ

ｘ ＜

１ ｆｏｒ ｄｅｅｐ－

ｒｅｌａｔｉｏｎ （Ｃｈｒｉｓｔ， Ｈａｓｓｌａｃｈｅｒ ＆ Ｍｕｅｌｌｅｒ （１９７２）） ｔｏ ｒｅｌａｔｅ ｔｈｅ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｌｉｍｉｔ ｏｆ Ｗ＾ ｔｏ ｔｈｅ ｗｅ

ｃａｎ

ｕｓｅ

ａ

ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ

ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｌｉｍｉｔ ｏｆ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｅｄ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ

Ｔ，ｖ

＝

［ｄ Ｖ？＜Ｐ｜

７７＞）ＶＶ（０）｜０＞．

（１４．１．９）

ｐｅｒｆｏｒｍ ｔｈｉｓ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １４．３． ｄｅｃｏｍｐｏｓｅ Ｗ＾ ｉｎｔｏ ｔｅｎｓｏｒｓ ｗｉｔｈ ｓｃａｌａｒ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ ｉｓ ｕｎｐｏｌａｒｉｚｅｄ， ｉ．ｅ．， ｔｈａｔ ｗｅ ａｖｅｒａｇｅ ｏｖｅｒ ｉｔｓ ｓｐｉｎ ｓｔａｔｅｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｇｅｎｅｒａｌ ｆｏｒｍ ｏｆ Ｗ＾ ｉｓ Ｗｅ ｗｉｌｌ

Ｌｅｔ

ｕｓ ｎｏｗ

Ｗｗ

＝

Ｗｄ

０，ｖ ＋

￣

Ｗｊｌ２） ＋ Ｗ２（Ｐｌｔ

－

ｑ，ｖ／ｑ２）（ｐｖ

－ｉ＾３Ｗ？Ｖ／（２Ｍ２）＋ Ｗ＾ｑＪＭ２ ＋ ＷＪ／（２Ｍ２） ＋ Ｗ５（Ｐ？？， －ｉＷ６（ｐｆａ Ｔｈｅ ｓｃａｌａｒ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ Ｗ．（Ｑ２，ｖ）

ａｒｅ

－

－

ｑｖｖ／ｑ２）

ｑ，ｐｖ）／（２Ｍ２）．

（１４．１．１０）

ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ

ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ． Ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ

ｆｏｌｌｏｗ ｆｒｏｍ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ａｎｄ ｂａｓｉｃ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ （Ｔｒｅｉｍａｎ， Ｊａｃｋｉｗ， ＆ Ｇｒｏｓｓ （１９７２））： （１） Ｅａｃｈ Ｗｉ ｉｓ ｒｅａｌ． （２） Ｔｉｍｅ ｒｅｖｅｒｓａｌ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ Ｗ６ Ｉｎ ｔｈｅ

ｏｆ

ｃａｓｅ

ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ，

ｓｏ

ｐｕｒｅｌｙ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ

ａ

ｔｈａｔ

ｑｌｌＷｌｌｖ

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｉｎｖａｒｉａｎｔ． Ｓｏ Ｗ３ ０．

＝

ｐｒｏｃｅｓｓ， ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ

０． Ｈｅｎｃｅ Ｗ４＝ Ｗ５

＝

＝

ｊｈ＾ｄ

０．

ｉｓ

０． Ｍｏｒｅｏｖｅｒ ｔｈｅ

ａ ｐｕｒｅ ｖｅｃｔｏｒ， ａｎｄ ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ

ｐａｒｉｔｙ

＝

ｏｎｌｙ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｉｆ ｑｕａｒｋ ｍａｓｓｅｓ ａｒｅ ｚｅｒｏ． Ｉｎ ｔｈａｔ ｃａｓｅ ｔｈｅ ｏｎｌｙ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ Ｗｘ， Ｗ２ ａｎｄ Ｗ３． Ｉｔ ｔｕｒｎｓ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｍａｓｓｅｓ ａｒｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｗ± ａｎｄ Ｗ５ ｔｏ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ａｒｅ ｓｕｐｐｒｅｓｓｅｄ ｂｙ ａ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｍ＾ＪＱ２， ｗｈｅｒｅ ｍｌ ａｎｄ ｍｑ ａｒｅ ｌｅｐｔｏｎ ａｎｄ ｑｕａｒｋ ｍａｓｓｅｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｉｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｉｎ Ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ｎｅｕｔｒｉｎｏ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ， ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

ａｒｅ

Ｓｅｃｔｉｏｎ １４．８． Ｗｈｅｎ

ｗｅ

ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｂｊｏｒｋｅｎ ｌｉｍｉｔ，

Ｑ２

－？

ｏｏ， ｘ

ｆｉｘｅｄ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ｂｅｈａｖｅ ａｓ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｐｏｗｅｒ ｏｆ Ｑ２ ｔｉｍｅｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ．

Ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｉｓ （Ｑ２）０ ｆｏｒ

Ｗｌ９

ｌ／ｇ２ｆｏｒ Ｗ２ａｎｄ Ｗ３ｉｚｎｄ ｌ／＜２４ｆｏｒ Ｗ４ａｎｄ Ｗ５． Ｓｏ ｉｔ

ａｎｔｉｃｉｐａｔｅ ｔｈｅｓｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｅ ｓｃａｌｉｎｇ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ＦｉｆａＱ２） ｗｈｉｃｈ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎｌｙ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃａｌｌｙ ｏｎ Ｑ２． Ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｉｓ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｏ

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ：

Ｆ１（ｘ，Ｑ２）＝Ｗｌ（Ｑ２ｉｖ Ｑ２／（２ｘ））ｉ Ｆｉ（ｘｉＱ２） ｖＷｉ／Ｍ２９ ｆｏｒ ｉ ２ ａｎｄ ３， Ｆ．（ｘ９ Ｑ２） ｖ２ ＷＪＭ＼ ｆｏｒ ｉ ４ ａｎｄ ５． ＝

＇

＝

＝

＝

＝

＂）

＞

Ｊ

（１４．１．１１）

Ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

３５８

１４．２

Ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ

ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｔｒｕｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｌｅｔ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ， ｕｓ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ （Ｂｊｏｒｋｅｎ ＆ Ｐａｓｃｈｏｓ （１９６９））． Ｔｈｉｓ ｉｓ Ｂｅｆｏｒｅ

ｗｅ

ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅｓｔ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ， ａｎｄ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔ ｐｈｙｓｉｃｓ． Ｏｎｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｓ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ ｓｔａｔｅ ｈａｄｒｏｎ ｉｎ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｃｅｎｔｅｒ－ｏｆ－ｍａｓｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ． Ｎｏｗ ｔｉｍｅ ｄｉｌａｔｉｏｎ ｓｌｏｗｓ ｄｏｗｎ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ｔｙｐｉｃａｌｌｙ ｏｃｃｕｒ ｏｎ ａ ｒａｔｈｅｒ ｌｏｎｇ ｔｉｍｅ－ｓｃａｌｅ Ｔ ｏｆ ｏｒｄｅｒ Ｑ／ｍ＾． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｈａｐｐｅｎｓ ｏｎ ａ ｍｕｃｈ ｓｈｏｒｔｅｒ ｔｉｍｅ－ｓｃａｌｅ Ｔ￣ １／Ｑ． Ｔｈｉｓ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ ｍａｙ ｂｅ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ａｎ ａｓｓｅｍｂｌｙ ｏｆ ｎｏｎ－ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ ｐｏｉｎｔ－ｌｉｋｅｃｏｎｓｔｉｔｕｅｎｔｓ． Ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｗｈａｔ ｗｅｒｅ ｏｒｉｇｉｎａｌｌｙ （Ｆｅｙｎｍａｎ （１９７２）） ｃａｌｌｅｄ ｐａｒｔｏｎｓ． （Ｗｅ ｎｏｗ ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｔｈｅｍ ａｓ ｑｕａｒｋｓ ａｎｄ ｇｌｕｏｎｓ．） Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｆｒａｍｅ ｉｓ ｕｌｔｒａ－ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｒｅｇａｒｄ ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎｓ ａｓ ｍａｓｓｌｅｓｓ ａｎｄ ａｓ ｅａｃｈ ｍｏｖｉｎｇ ｐａｒａｌｌｅｌ ｔｏ ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ ｗｉｔｈ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｆｒａｃｔｉｏｎ ｚ ｏｆ ｉｔｓ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ

ｐａｒｔｏｎｓ＇

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｒｅｅ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ

ｂｙ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｔｈｅ

ａｎｄ ｂｙ ｔｈｅｎ ｓｕｍｍｉｎｇ

ａｌｌ ｐａｒｔｏｎｓ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅｉｒ ｎｕｍｂｅｒ ｄｅｎｓｉｔｙ． Ｌｅｔｆａ／Ｎ（ｚ）ｄｚ ｂｅ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐａｒｔｏｎｓ ｏｆ ｔｙｐｅ ａ ｉｎ ｈａｄｒｏｎ Ｎ ｗｉｔｈ ｆｒａｃｔｉｏｎ ｚ

ｏｖｅｒ

ｔｏ ｚ ＋

ｄｚ ｏｆ ｉｔｓ ｍｏｍｅｎｔｕｍ． Ｔｈｅｎ， ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ， ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ：

２Ｆ７ｎ（＊）

＝

＊￣１＊Ｔｌ（＊） ＋

Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ Ｆ２

＝

ｈｅａｖｙ ｑｕａｒｋ

２ｘＦ１

（１４．２．１）

ｔｅｒｍｓ．

ｓｐｉｎ－＾ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｒｋｓ （Ｃａｌｌａｎ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ Ｑ２． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ

ｉｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｏｆ ｔｈｅ

＆ Ｇｒｏｓｓ （１９６９））． Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ Ｆｊ ａｎｄ Ｆ２ ａｒｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｋｎｏｗｎ ａｓ ｓｃａｌｉｎｇ． Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｌｙ，

Ｆｌ

ａｎｄ Ｆ２ ｏｂｅｙ ｔｈｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｙ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙ． Ｉｔ ｉｓ

ｃｏｍｍｏｎ

ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ ｔｏ

ｕｓｅ

ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ＇ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ＇ ａｎｄ

ｂｅｃａｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｍ （１４．２．１）， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ａｌｓｏ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｌｙ ｔｒｕｅ ｉｎ ＱＣＤ－ｓｅｅ Ｓｅｃｔｉｏｎ １４．７． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｔ ｉｓ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｏ ｄｉｓｔｉｎｇｕｉｓｈ ｔｈｅ ｔｗｏ ｔｅｒｍｓ． Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ＇ｑｕａｒｋ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ＇

ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｉｎｔｅｒｃｈａｎｇｅａｂｌｙ，

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｃｅｒｔａｉｎ ｔｅｎｓｏｒｓ ｉｎ

ａ ｃｕｒｒｅｎｔ

ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

ｂｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｆｏｒ ｏｔｈｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ， ｅ．ｇ．， ｔｈｅ Ｄｒｅｌｌ－Ｙａｎ ｐｒｏｃｅｓｓ （Ｌａｍ ＆ Ｔｈｅｙ Ｔｕｎｇ （１９７８））． Ｏｎ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ｈａｎｄ ｔｈｅ ｑｕａｒｋ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｅｘａｃｔｌｙ ｃａｎ

ｗｈａｔ ｔｈｅｉｒ

ｎａｍｅ

ｉｍｐｌｉｅｓ： ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ

ｏｆ

ｑｕａｒｋｓ

ｉｎ

ａ

ｈａｄｒｏｎ．

Ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｃｏｒｒｅｃｔ ｉｎ ａ ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ （Ｄｒｅｌｌ，

Ｌｅｖｙ

ａｎｄ Ｙａｎ （１９６９，１９７０ａ， ｂ， ｃ））． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｉｎ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｌｅ ｔｈｅｏｒｙ ｌｉｋｅ ＱＣＤ， ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｉｎｓｉｄｅ ａ ｈａｄｒｏｎ ｔｈａｔ ｈａｐｐｅｎ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙ ｏｎ ａｌｌ ｔｉｍｅ ｓｃａｌｅｓ

１４３ Ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔｓ

３５９

ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｈｏｌｄ． ｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｔｏ ｃｏｍｅ ｉｎｔｏ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｐｌａｙ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ， ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｆｏｒ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ：

ｄｏｗｎ ｔｏ ｚｅｒｏ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ

Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｆａｃｔ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ｓｈｏｒｔ ｔｉｍｅｓ ｔｈａｔ

（１）

Ｕｓｅ ａ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｔｏ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

（ｉ．ｅ．， Ｍ

ＦｉＡＱ）

＝

（１４．２．２）

Ａｘｘ＾－＇Ｆ＾Ｑ２））

ｂｅ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． Ｔｈｉｓ ａｐｐｒｏａｃｈ ｗａｓ ｉｎｉｔｉａｔｅｄ ｂｙ Ｃｈｒｉｓｔ， Ｈａｓｓｌａｃｈｅｒ ＆ Ｍｕｅｌｌｅｒ （１９７２）， ａｎｄ ｉｔ ｉｓ ｔｈｅ ｏｎｅ ｗｅ ｗｉｌｌ ｃａｎ

ｕｓｅ．

（２） Ｏｎｅ

ｃａｎ

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ

ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

（Ａｍａｔｉ， Ｐｅｔｒｏｎｚｉｏ ＆ Ｖｅｎｅｚｉａｎｏ （１９７８）， Ｅｌｌｉｓ ｅｔ ａｌ． （１９７９）， Ｌｉｂｂｙ ＆ Ｓｔｅｒｍａｎ （１９７８）， Ｓｔｉｒｌｉｎｇ （１９７８））． Ｆｏｒ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ， ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｔｈｅ ｔａｋｉｎｇ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｓ．

１４．３ Ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔｓ Ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｅｄ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ＴＭＶ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ （１４．１．９）． Ｉｔ ｃａｎ ｂｅ

ｅｘｐａｎｄｅｄ ｉｎ ｓｃａｌａｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｔｌ９Ｔ２９Ｔ３ｉ Ｔ４， Ｔ５， Ｔ６，ｊｕｓｔ ｌｉｋｅ Ｗ＾． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｏｎｌｙ ｎｅｅｄ Ｔｌ９ Ｔ２ｉ ａｎｄ Ｔ３． Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｄｅｒｉｖｅｄ ｉｎ Ｃｈａｐｔｅｒ １０ ｃａｎ ｂｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ Ｔ＾ ｗｈｅｎ Ｑ２ ａｎｄ ｖ ｇｅｔ ｌａｒｇｅ ｗｉｔｈ Ｑ２／ｖ２ ｆｉｘｅｄ． Ａｓ ｗｅ ｈａｖｅ ｓｅｅｎ， ｔｈｉｓ ｉｓ ｎｏｔ ｔｈｅ ｓｃａｌｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ， ｆｏｒ ｗｅ ｈａｖｅ ｘ－＞ ｏｏ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｘ ｆｉｘｅｄ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｗｅ ｗｉｌｌ ｒｅｌａｔｅ Ｔ＾ｖ ｔｏ Ｗ＾ ｂｙ ａ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ． Ｔｈｅｎ ｗｅ ｗｉｌｌ

Ｗ＾ｖ ｉｎ ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｒｅｇｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｆｏｒ Ｔ＾ｖ． Ｉｆ Ｑ２ ｉｓ ｆｉｘｅｄ ａｎｄ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｔｈｅｎ ｅａｃｈ Ｔ－ ｉｓ ａｎａｌｙｔｉｃ ｉｎ ｔｈｅ ｖ－ｐｌａｎｅ． Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｃｕｔｓ ｇｏｉｎｇ ｏｕｔ ｔｏ ｉｎｆｉｎｉｔｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｈｒｅｓｈｏｌｄｓ ｖ ± Ｑ２／２． Ｓｅｅ Ｆｉｇ． １４．３．１． ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｏｎ

＝

（Ｔｈｉｓ

ｉｓ

ａ

Ｆｉｇ．

ｓｔａｎｄａｒｄ

１４．３．１．

ｐｒｏｐｅｒｔｙ．

Ａｎａｌｙｔｉｃｉｔｙ ｏｆ

Ｗ

Ｉｔ

ｃａｎ

ｂｅ

ｐｒｏｖｅｄ

ａｎｄ ｃｏｎｔｏｕｒ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ

ｂｙ ｅｘｐｒｅｓｓｉｎｇ

（１４．３．１）．

３６０

Ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

＜Ｎ ｜ Ｔｊ＾ｙＶｊｌＯ）｜ Ｎ ＞ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ Ｗ＾ ａｎｄ ｎｏｔｉｎｇ ｔｈａｔ Ｔｈｅ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｉｅｓ ａｃｒｏｓｓ ｔｈｅ ｃｕｔ ａｒｅ：

Ｔ＾Ｐ，ｑ）＼＼＾ ＴＪＰ，ｑ）＼；；＇￡ ｉｓ

Ｗ＾

Ｗ＾ｖ

＝

］ ＞ ０）， Ｊ

＾ＷＪｐｔｑ）， （ｉｆ ｖ＞０）．

．

，

ｗｈｅｒｅ

＝

Ｗ＾ ｉｓ ｚｅｒｏ ｉｆ ｜ ｖ｜＜ Ｑ２／２．）

４ｔｔ Ｗｖ？（ｐ，ｑ），

（ｉｆ

ｖ ＜

（１４．３．１）

ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ／：

ｗｉｔｈ ；＇

Ｋ＝＾＊ｙｅｉｑｙ＜ｐ＼Ｍｙ）ｊＭ＼ｐ＞－ Ｆｏｒ ｔｈｅ

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ

ｈｅｒｍｉｔｉａｎ，

ｓｏ

Ｂｙ

Ｃａｕｃｈｙ＇ｓ

ｎｅｕｔｒａｌ－ｃｕｒｒｅｎｔ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ

Ｗ＾ Ｗ＾． Ｗ＾ｖ ｉｓ ｆｏｒ ｃｈａｒｇｅｄ－ｃｕｒｒｅｎｔ ｎｅｕｔｒｉｎｏ ｔｈｅ ｆｏｒ ａｎｔｉｎｅｕｔｒｉｎｏ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ． ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ Ｗ＾ ｇｉｖｅｓ

ｔｈａｔ

ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｔｈｅｎ

ｏｒ

（１４．３．２）

Ｂｕｔ ｉｆ

＝

ｔｈｅｏｒｅｍ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ ａｎｙ ｃｏｎｔｏｕｒ ｅｎｃｌｏｓｉｎｇ ｖ， ａｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ． １４．３．１． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｂｅ ａｂｌｅ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ

Ｔｉ（Ｑ２， ｖ） ｉｎ

Ｔ／ｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｌｉｍｉｔ ｖ／Ｑ２

ａ

ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ １／ｘ

Ｔｒ＝

ｖＴ，／Ｍ２＝

＝

Ｔｌｎ（Ｑ２）ｘ－＼

ｔ

Ｔ，．ｎ（Ｑ２）ｘ－＂ （ｉ

ｎ ＝ ０

ｅｘｐａｎｄ

２ｖ／Ｑ２：

ｔ

ｎ＝０

０． Ｓｏ ｓｕｐｐｏｓｅ ｗｅ

－？

＝

２ｏｒ３）．

（１４．３．４）

（Ｗｅｅｘｐａｎｄｖｒ．／Ｍ２（ｉｆｎｓ２ｏｒ３）ｉｎａｎａｌｏｇｙｗｉｔｈ（１４．１．１１）．）Ｔｈｅｎｆｒｏｍ（１４．３．３） ｉ

ｒ ｄｖｖｅ２ ，

ｗｈｅｒｅ

ａ．

＝

０ ｉｆ ｉ

＝

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ａｔ ｜ ｖ＇ ｜

１ ａｎｄ ＝

ａ．

＝

，，

１ ｉｆ ｉ

＝

，

２

ｉ

Ｔ，（２２，ｖ＇Ｍｖ７Ｍ２ｒ，

ｏｒ

ｗｅ

ｎ

ｉｓ ｌａｒｇｅ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｇｉｖｅ

ｏｏ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｃａｎ ｄｅｆｏｒｍ ｔｈｅ ｃｏｎｔｏｕｒ ａｎｄ ｐｉｃｋ ｕｐ ｏｎｌｙ ｔｈｅ

ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ Ｔ｛

Ｆｉｎａｌｌｙ

３． Ｉｆ

（１４．３．５）

ａｃｒｏｓｓ

ｔｈｅ ｃｕｔｓ：

ｗｒｉｔｅ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ－ｈａｎｄ ｓｉｄｅ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｃａｌｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

Ｆ；（ｘ，２２）： ７ｙ＜２２）＝ ＝

－ａ －

ｆ１ｄｘ＇ｘ＇＂－ｉ［Ｆｉ（ｘ＇，ｅ２）＋（－ ｉｒ＋＂＾＇，Ｇ２）］

２ｉ＼＿ＦｔＪＱ２） ＋ （－

１）＂＋＂ Ｗ）］－

（１４．３．７）

１４．４ Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｆｏｒ

ｓｃａｌａｒ ｃｕｒｒｅｎｔ

３６１

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｔｈｅ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｒｅｆｅｒｒｅｄ ｔｏ ｅａｒｌｉｅｒ． Ｉｔ ｒｅｌａｔｅｓ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ７＾ ａｂｏｕｔ ｖ ０ ｔｏ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｆ＇ｓ， ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ＝

ＰｉＡＱ２）＝

ｆｄｘ＾－＇Ｆ＾Ｇ２）．

Ｊ

（１４．３．８）

ｏ

ａｐｐｌｉｅｓ ｉｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ． Ｆｏｒ ｓｍａｌｌ ｉｔ ｏｆ ｎ ｖａｌｕｅｓ ｅｎｏｕｇｈ ｄｉｖｅｒｇｅｓ． Ｉｆ ｖａｉ Ｗｉ ｂｅｈａｖｅｓ ｌｉｋｅ ｖｐ ａｓ ｖ －？ ｏｏ， ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｎｌｙ ｉｆ ｎ ｉｓ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ ｐ． Ｎｏｗ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｖ －？ ｏｏ ａｔ ｆｉｘｅｄ Ｑ２ ｉｓ ａ Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ （１４．３．７） ｏｎｌｙ

Ｒｅｇｇｅ ｌｉｍｉｔ （ｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｏｆ ａ ｖｉｒｔｕａｌ ｂｏｓｏｎ ｏｆｆ ａ ｈａｄｒｏｎ ａｔ ｅｎｅｒｇｙ ｍ ＼）． Ｓｏ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｆｏｒｉ

＝

ａ

１ ｓｔａｎｄａｒｄ ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ （Ｔｒｅｉｍａｎ， Ｊａｃｋｉｗ ＆ Ｇｒｏｓｓ （１９７２）） ｔｈａｔ ｐ Ｏｆｏｒｉ ２． Ｔｈｉｓ ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ＦｖＦ２／ｘ９Ｆ３ ａｌｌ ｂｅｈａｖｉｎｇ ＝

１ ｏｒ ３ ａｎｄ ｐ

＝

＝

１／ｘ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｆｏｒ ｑｕａｒｋ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ｉｓ ｒｏｕｇｈｌｙ ｗｈａｔ ｉｓ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｌｙ． Ｏｕｒ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓ ｗｉｌｌ ｇｉｖｅ ａｌｌ ｔｈｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ７）＇ｓ， ｅ．ｇ． （１４．３．４）． Ｔｈｏｓｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ （１４．３．７） ｄｏｅｓ ｎｏｔ ａｐｐｌｙ ｗｉｌｌ ｌｉｋｅ １／ｘ ａｓ ｘ －？ ０． Ｉｎ ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ ｔｈｉｓ ｗｏｕｌｄ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ａ

ｎｏｔ ｈａｖｅ ａｎｙ ｄｉｒｅｃｔ

ｉｍｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ

１４．４ Ｔｏ

ｆｏｒ

Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎｓ．

ｆｏｒ ｓｃａｌａｒ ｃｕｒｒｅｎｔ

ｅｘｐｌａｉｎ ｗｉｔｈｏｕｔ ａ ｓｌｅｗ ｏｆ ｉｎｄｉｃｅｓ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ， ｌｅｔ ｕｓ ｆｉｒｓｔ ｗｏｒｋ ｏｕｔ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｗｈｅｒｅ ；Ｍ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ａ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ

ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｓｃａｌａｒ ｏｐｅｒａｔｏｒ；． Ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ，； ｍｉｇｈｔ ｂｅ ＺＺｍｑｔｑｉ９ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ａ ｓｃａｌａｒ ｂｏｓｏｎ ｔｏ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｆｌａｖｏｒ ｉ ｏｆ ｑｕａｒｋ． Ｗｅ ｈａｖｅ ａ

ｓｉｎｇｌｅ ｓｃａｌａｒ

ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ：

Ｆ（ｘ９Ｑ２）＝Ｗ（ｖｉＱ２）

＝

（ｌ／４ｎ）

ｄＡｙ＾＜ｐ＼ｊ（ｙ）ｊ（０）＼Ｐｙ９

（１４．４．１）

ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｔｉｍｅ－ｏｒｄｅｒｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｓ： Ｔ（ｖ， Ｑ２）

＝

ＩｄＶ？

ｙ（ｐ＼ Ｔｊ（ｙ）ｊ（０）＼ｐ｝．

（１４．４．２）

（Ｎｏｔｉｃｅ ｔｈａｔ ｗｅ ｃｈｏｏｓｅ ｊ ｔｏ ｂｅ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ａｓ ｉｓ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｆｏｒ ｔｈｅ

ｃｆ）２ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｆｏｒ ａ ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ， ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ ｆｏｒ ｑｑ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｔｈｅ ｍａｓｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ， ｓｏ ［ｑｑ￣＼ ＺＺｍｑｑ Ｚｍｇ０ｇ０， ｗｈｅｒｅ ｇ０ ｉｓ ｔｈｅ ＝

＝

ｂａｒｅ

ｑｕａｒｋ ｆｉｅｌｄ．） ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ－ｒｅｌａｔｉｏｎ ａｒｇｕｍｅｎｔ ａｐｐｌｉｅｄ

Ｔｈｅ

Ｔ（Ｑ２／（２ｘ＼Ｑ２）＝

ｔ

ｎ ＝ ０

ｔｏ ｔｈｅ ｓｅｒｉｅｓ

Ｔｎ（Ｑ）ｘ－？

（１４．４．３）

ｇｉｖｅｓ ＵＱ）

＝

￣

２ｉ［Ｆｎ（Ｑ） ＋ （

－

１）＂Ｆ？（Ｇ）］．

（１４．４．４）

３６２

Ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｈｅｒｍｉｔｉａｎ， ｒ（Ｑ） ｎＷ） Ｒｅｇｇｅ

ｔｈｅｏｒｙ ｓｕｇｇｅｓｔｓ

Ｔ

＝

ｈａｖｅ Ｆ（ｘ， Ｑ）

｛－４ｉＦ？（ｅ）＇ ＼ ０，

１／ｘ

￣

ｗｅ

ａｓ ｘ －？

０，

＝

Ｆ（ｘ， Ｑ）９

ｓｏ

ｔｈａｔ

ｉｆ＂ｉｓｅｖｅｎ＞ ｉｆ ｎ ｉｓ ｏｄｄ． ｓｏ

ｔｈｉｓ

［（１４ ４ ５）＇

ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ

ｖａｌｉｄ

ｏｎｌｙ ｉｆ ｎ ｉｓ

ｂｉｇｇｅｒ ｔｈａｎ １． Ｗｅ ｎｏｗ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ Ｃｈａｐｔｅｒ １０

ａｐｐｌｙ ｉｎ ｔｈｅ Ｎｏｗ

ｌｉｍｉｔ

Ｑ２

－？

ｏｏ

ｗｉｔｈ

ＴＨｘ－＊

ｖ２／Ｑ２ ｆｉｘｅｄ， ｉ．ｅ．， ｗｉｔｈ ｘ

Ｑ２

（１４．４．５） ｉｓ

ｎｏｔ

Ｑ．

（１４－４－６）

０ ｔｅｒｍ ａｒｅ ｎｏｎ－ｌｅａｄｉｎｇ ｂｙ ａ ｐｏｗｅｒ ａ ｈａｖｅ ｒｅｌｉａｂｌｅ ｏｎｌｙ ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｎ ０． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ

ｔｈａｔ ｉｔ ｗｏｕｌｄ ａｐｐｅａｒ ｔｈａｔ ａｌｌ ｂｕｔ ｔｈｅ ｎ

ｏｆ

ｗｅ

ｃｏｎｓｔａｎｔ ｔｉｍｅｓ

Ｑ－＂［ＴＨ（２ｖ／Ｑｒｌ

＝

ｓｏ

ａｎｄ ｔｈａｔ

＝

＝

＝

ｅｘｐｅｃｔｅｄ

ｔｏ ｈｏｌｄ ｕｎｌｅｓｓ ｎ ＞ １．

Ｆｉｇ．

１４．４．１． Ｔ（ｖ， Ｑ）．

ｒｅｍｅｄｙ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ， ｗｅ ｍｕｓｔ ｆｉｎｄ ａｎ ｏｂｊｅｃｔ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｘ￣ｎＴｎ ｃｏｎｔａｉｎｓ Ｔｈｉｓ ｉｓ ｄｏｎｅ ｂｙ ｍａｋｉｎｇ ａ ｐａｒｔｉａｌ ｗａｖｅ Ｑ ｉｎ ｔｈｅ ｔ－ｃｈａｎｎｅｌ． Ｔｈａｔ ｉｓ， ｗｅ ｔｒｅａｔ Ｔ（ｖ， Ｑ） （Ｆｉｇ． １４．４．１） ａｓ ｗｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｗｏｕｌｄ ｔｒｅａｔ ａ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ， ａｎｄ ｄｅｃｏｍｐｏｓｅ ｉｔ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ａｎｇｕｌａｒ Ｔｏ

ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ－ｐｏｗｅｒ ｂｅｈａｖｉｏｒ ａｓ

－？

ｏｏ．

ｍｏｍｅｎｔａ：

＜ｐ｜ｒ／ＧＯ．／（０）｜０＞＝

Ｊ

￡ ＝

０

（ｐｌＶｊｌｐｙＭ＾ｙｑ／ｑ２）．

（１４．４．７）

Ｈｅｒｅ＜ｐ｜ Ｖｊ＼ｐ｝ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｓｏｍｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ７ＪｆｌｆｌｏｆｓｐｉｎＪ，

ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ ｉｎ ｙｑ／ｑ２． （Ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｖ３ ｉｓ ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｌｏｃａｌ．） Ｎｏｗ ｗｅ ｐｅｒｆｏｒｍ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｔ７＇（ｙ）；（０）， ｋｅｅｐｉｎｇ ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ－ｐｏｗｅｒ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｓｐｉｎ：

ａｎｄ ｔｈｅ Ｍ３

ａｒｅ

＜ｐ＼Ｔｊ（ｙ）ｊ（０）＼ｐ＞

￣

－

２ｉ

￡ （－ ｉ）＼ｐＫ＾ＪｐｙＣＪａ（ｙ２）ｙ＾．．．ｙ＾

Ｊ，ａ

（１４．４．８） Ｈｅｒｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

（９＾

＾

ｉｓ

ａ

ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ

ｌｏｃａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｏｆ ｓｐｉｎ Ｊ． Ｔｈｅ ｌａｂｅｌ Ｖ ｄｅｎｏｔｅｓ ｓｐｉｎ． Ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ

ｉｓ ｒｅｌｅｖａｎｔ， ａｎｄ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ ｉｔ ｂｅ ｏｆ ｄｅｆｉｎｉｔｅ

ｓｐｉｎ， ｉｔ

ｍｕｓｔ ｂｅ ｔｒａｃｅ ｌｅｓｓ． Ｓｉｎｃｅ

１４．４ Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

３６３

ｓｃａｌａｒ ｃｕｒｒｅｎｔ

ｆｏｒ

ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ ｉｓ ｕｎｐｏｌａｒｉｚｅｄ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

（１４．４．９） ＜ｐＫｌ．．Ｊｐ＞ ＜ｐ＼＆Ｊａ＼ｐ＞（ｐ？ｒ．．ｐ，ｊ －ｔｒａｃｅｓ）， （ｐ＼（９Ｊａ＼ｐ｝ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ－ａ ｓｃａｌａｒ ｑｕａｎｔｉｔｙ． Ｔｈｅ ＝

ｗｈｅｒｅ

ａｄｊｕｓｔｅｄ ｆｏｒ ｌａｔｅｒ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ． ｌｅａｄｉｎｇ ｙ＾Ｏ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ． Ｉｎ ＱＣＤ ｔｈｅｓｅ ａｒｅ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｔｈｅ

ｈａｖｅ ｂｅｅｎ

ｐｏｗｅｒ ｏｆ ｙ ａｓ

＾Ｊ（＾．．．ｐｌｊ ？ｉ９

（１４．４．８）

＝

＝ ｕ

２１

￣ＪｑｙｔｌｉＤｆｌ２．．． ｉＤＨｊ ｑ， ｓｙｍｍｅｔｒｉｚｅｄ ｍｉｎｕｓ ｔｒａｃｅｓ，

－２３＂ＪＧＵｉＶｉＤ ．．．ｉＤ？

Ｇｌ

，

ｓｙｍｍｅｔｒｉｚｅｄ ｍｉｎｕｓ

ｔｒａｃｅｓ．

（１４．４．１０） Ｉｎ ａｃｃｏｒｄａｎｃｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ Ｓｅｃｔｉｏｎ １２．８

ｗｅ

ｈａｖｅ ｋｅｐｔ ｏｎｌｙ ｇａｕｇｅ－

ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ． （Ｗｅ ｕｓｅ Ｄ＾ ｔｏ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｃｏ ｖａｒｉａｎｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ， ａｎｄ ｑ ｔｏ ｑｕａｒｋ ｏｆ ｆｌａｖｏｒ ｑ． Ｓｕｍｓ ｏｖｅｒ ｃｏｌｏｒ ｉｎｄｉｃｅｓ ａｒｅ ｉｍｐｌｉｃｉｔ ｉｎ

ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ａ

（１４．４．１０）． Ｏｎｌｙ ｈｅｒｍｉｔｉａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ．） Ｏｕｒ ｕｓｕａｌ ｐｏｗｅｒ－ｃｏｕｎｔｉｎｇ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ｉｍｐｌｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｓｃａｌａｒ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ

ＣＪａ（ｙ２）

ｉｎ （１４．４．８） ｉｓ

（＾２）＂ｄｉｍ（Ｃ） ｔｉｍｅｓ

ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ，

ｗｉｔｈ ｄｉｍ（Ｃ）

＝

＝

２ｄｉｍ（；）－ｄｉｍ（０￡ Ｊ＋ Ｊ

２ｄｉｍ０）－ｄｉｍ［＜ｐ｜＾［ｐ＞／＜ｐ｜ｐ＞］．

Ｔｈｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｍｉｎｕｓ ｔｈｅ ｓｐｉｎ ｏｆ

（１４．４．１１）

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ ｅｖｉｄｅｎｔｌｙ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｈｅｒｅ； ｉｔ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ ｔｗｉｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ． Ｔｈｅ ｌｅａｄｉｎｇ ｔｗｉｓｔ ｉｓ ｔｗｏ， ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｆ （１４．４．１０）， ａｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅｍ Ｃ（ｙ） ￣ｙ￣＊ ｍｏｄｕｌｏ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ． ａｎ

Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ （１４．４．８）

ｎｏｗ

Ｔ（ｖ，ｇ２）＝ －２ｉ￡ ＜ｐ＼ＶＪａ＼ｐ＞ＣＪ＊（Ｑ）ｘ－Ｊ Ｊ，ａ

ｇｉｖｅｓ ＋

ｎｏｎ－ｌｅａｄｉｎｇ

ｐｏｗｅｒｓ ｏｆ ｆｔ （１４．４．１２）

ｗｈｅｒｅ

ｗｅ

ｄｅｆｉｎｅ

ｅ？－＜ｍｗｊｄｖ？ｃ？

（．４．４，３，

Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｔ（ｖ， Ｑ２） ｗｉｌｌ ｇｉｖｅ ｕｓ ＣＪａ ｉｎ （１４．４．１３）． Ｗｅ ｃａｎ ｔｈｅｎ ｏｂｔａｉｎ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｆ（ｘ， Ｑ） ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ：

２Ｆｊ（Ｑ）＝Ｚ＜ｐ＼＆Ｊａ＼ｐ＞ＣＪ％Ｑ）［ｌ ａ

ｉｆ Ｊ ｉｓ ｇｒｅａｔｅｒ ｔｈａｎ

ｏｎｅ．

＋

０（ｌ／Ｑ）ｌ

（１４．４．１４）

３６４

Ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ １４．５ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｐａｒｔｓ ｔｏ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｐａｒｔ ｉｓ ｔｏ ｄｏ ｌｏｗ－ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

ｗｈｅｒｅ

ｎｏｗ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ ｉｎｄｉｃａｔｅｄ ｔｈｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ａｌｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ． ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ ｈａｖｅ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ ｏｆ Ｑ／／ｚ， ｓｏ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｐａｒｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｔｏ ｄｏ ａ ｗｅ

ｈａｖｅ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ

ｔｏ ｓｅｔ ＼ｉ ｔｏ ｂｅ ｏｆ ｏｒｄｅｒ

Ｑ． Ｔｈｕｓ

ｗｅ

ｗｒｉｔｅ

２ＦＪＬＱ）

Ｉ ＜ｐ＼ｅＪｔｔ＼ｐ＞ｗＣＪａ＼ｇ（Ｑ），ｉ）ＭａｔＡｇ（Ｑ），Ｑ／ｒｉ－

＝

（１４．５．１）

ａ，ａ＇

Ｔｈｅ ｓｕｂｓｃｒｉｐｔ ｛ｊｘ） ｏｎ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔ ｄｅｎｏｔｅｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｕｎｉｔ ｏｆ Ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ Ｍ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ

ｂｙ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ａｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ＣＪａ ｉｓ Ｃ， ｅｑｕａｔｉｏｎ （ｇ（Ｑ＼ １） ｗｅｌｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｍａｓｓ ｊｕ．

ｔｅｒｍ ｉｎ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ． Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ａｔ ｏｎｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｑ ａｒｅ ｅｎｏｕｇｈ ｔｏ ｇｉｖｅ ＜ｐ｜０Ｊｆｌ｜ｐ＞， ａｎｄ ｔｈｅｎ （１４．５．１） ｐｒｅｄｉｃｔｓ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｔ ｏｔｈｅｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ Ｑ．

１４．５．１ Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ Ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ ｔａｒｇｅｔ， ｓｏ ｗｅ ｍａｙ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｂｙ ａ ｑｕａｒｋ ｓｔａｔｅ． Ｉｎ ｔｒｅｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｓｋｅｔｃｈｅｄ ｉｎ Ｆｉｇ． １４．５．１． Ｔｈｅ ｓｃａｌａｒ ＇ｃｕｒｒｅｎｔ＇； ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ＺＺＪｑ＾ ［＾ｇ，］， ｆｏｒ ａ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｑｕａｒｋ ｆｌａｖｏｒ ｉ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｍａｓｓ， ｗｅ ｓｅｔ ｑｕａｒｋ ｍａｓｓｅｓ ｔｏ ｚｅｒｏ． Ｔｈｅｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． １４．５．１ ｗｅ ｆｉｎｄ ａｒｅ

ｔｈｅｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｈａｄｒｏｎ ｓｔａｔｅ ｒｅｐｌａｃｅｄ ＝

ｉｔｒ［＞（Ｊ ＋ ｆｔｌ ２ （ｐ ＋ ｑ）２

ｒ＝

＝

＋

４）］ （ｐ－ｑ）２

ｉ＿ ｔｒ Ｗ ２

－

１／ｘ２ ＇，， ２． ＇１－１／ｘ２

（１４．５．２）

－２ｉ，

Ｔｈｅ ｆａｃｔｏｒ ＼ ｃｏｍｅｓ ｆｒｏｍ ａｖｅｒａｇｉｎｇ ｏｖｅｒ ｔｈｅ ｓｐｉｎ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｒｋ． Ｆｏｒ ａ ｑｕａｒｋ ｏｆ ａｎｙ ｏｔｈｅｒ ｆｌａｖｏｒ ｔｈａｎ ｉ，

ｐ ＋ ｑ

ｏｒ

ｆｏｒ

ａ

ｇｌｕｏｎ，

ｗｅ

ｈａｖｅ Ｔ＝ ０ ｔｏ ｔｈｉｓ ｏｒｄｅｒ．

ｐ－ｑ

Ｆｉｇ． １４．５．１． Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ

＜０｜Ｔ／／｜０＞

ｔｏ ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ．

ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

１４．５ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

Ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ （１４．４．１０）． Ｉｎ

ｗｅ

ａｌｓｏ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆｔｈｅ

ｑｕａｒｋ

ａ

３６５

ｓｔａｔｅ ｗｉｔｈ ｆｌａｖｏｒ ｉ ｗｅ ｈａｖｅ

＜ｐ＾ｉ；＇．．．，Ｊｐｏ＝ｉ＾ｔｒ（＾ｉ＾２．．．＾） ＝

（１４．５．３）

２ｄｉｒｐ＾．．．ｐＭｊｉ

ｉｎ ｔｒｅｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌａｂｅｌ ｉ＇ ｄｅｎｏｔｉｎｇ ａ ｑｕａｒｋ ｆｌａｖｏｒ ｏｒ ａ ｇｌｕｏｎ． Ｆｏｒ ａ

ｇｌｕｏｎ

ｓｔａｔｅ ａｎｄ

ｇｌｕｏｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ

＜Ｈ°＾．．．，．，Ｎ＞＝２／ｖ－／ｖ Ａｌｌ ｏｔｈｅｒ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｅｌｅｍｅｎｔｓ

ａｒｅ ｚｅｒｏ．

Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｒｅｄｕｃｅｄ ｍａｔｒｉｘ

ａｌｌ ｅｑｕａｌ ｔｏ ２． Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ （１４．５．２）－（１４．５．４） ｗｉｔｈ ｔｈｅ

（１４．４．１２）

（１４－５－４）

ａｒｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ

０｛ｇ２＼

ＣＪｉ

＝

１ ＋

ＣＪｉ＇

＝

０｛ｇ２＼

ｉｆ

ｉｆ

Ｊ ＞ １ ａｎｄ ｉｓ ｅｖｅｎ，

ｉ＇ｊ＝ Ｕ

ｏｒ

ｉｆｆ ｉｓ

ａ

ｇｌｕｏｎ．

＂］ Ｉ

Ｊ

（１４．５．５）

１４．５．２ Ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ Ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ＺＺ＾＾ ｉｓ ｙｍ：

＾（ＺＺｍｑｑ） ａｎｄ

ｗｅ

ｌｅｔ

ｙＪａａ＼ｇ）

＝

ｙｍ（ｇ）ＺＺｍｑｑｉ

（１４．５．６）

ｂｅ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ｔｈｅ （９Ｊａｉｓ：

＾Ｊａ

＝

Ｉｙａａ（ｇ）ｅＪａ＇－

（１４．５．７）

（Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｐｉｎ ｄｏ ｎｏｔ ｍｉｘ．） Ａｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １０．５ ｉｎ ａ ｓｉｍｐｌｅｒ ｃａｓｅ， ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｔｈｅｎ ｉｍｐｌｉｅｓ ａ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ：

ｄ

ｄ

ＣＪａ（９， ＱＭ

＝

－

Ｘ ｙａ．ａＣＪａ＇ ＋ ｙｍＣＪａ ａ＇

（１４．５．８）

Ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｔｒｉｖｉａｌ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｗｅｒｅ ｉｔ ｎｏｔ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ａ ｍａｔｒｉｘ ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ｏｆ Ｆｉｇ． １４．５．２． Ｉｔ ｉｓ ｅｖｉｄｅｎｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｍｉｘ． Ｔｏ ｓｏｌｖｅ

ｄｉａｇｏｎａｌｉｚｅ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ａｔ ｏｒｄｅｒ ｇ２． Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｓｔｅｐ ｉｓ ｔｏ ｒｅｃａｌｌ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ａｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｏｆ ｑｕａｒｋ ｍａｓｓｅｓ． Ｓｏ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｈｅ ＳＵ（ｎｎ） ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌａｖｏｒ ｓｐａｃｅ． Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｌｅｔ ｕｓ ｎｏｗ ｃｈｏｏｓｅ ａ ｎｅｗ ｂａｓｉｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｗｉｓｔ－２

ｔｈｅ ＲＧ

ｅｑｕａｔｉｏｎ

ｏｐｅｒａｔｏｒｓ．

ｗｅ ｍｕｓｔ

３６６

Ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

＂Ａ

＋

＇＊＼

＋

ＡＡＡ ＡＡ ＿ｒｓ

ＣＪｇ

Ｆｉｇ． １４．５．２． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｎ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ＜０｜Ｔ／ｙ｜０＞．

Ｔｈｅｒｅ ｉｓ

ａ

ｍｕｌｔｉｐｌｅｔ

ｏｆ ｎｏｎ－ｓｉｎｇｌｅｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ：

ＧＪ，？ｓ，ａ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ／ｌｆｌ＇ｓ Ｔｈｅｒｅ

ａｒｅ ｔｗｏ

ａｒｅ

ｔｈｅ ｎｆｌ

ｘ

＝

２ｉ

－＾ｙＭｉＬＤＭ２．．． ＾

（１４．５．９）

ｓｉｎｇｌｅｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ： ０＂， ｄｅｆｉｎｅｄ ｂｙ ＆＇ｓ＝

（１４．４．１０），＇

ｆ

ｑ＊＼

￡

ｆｌａｖ，ｉ Ｔｈｅ

；．＞，

ｎ｛ｌ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｔｈａｔ ｇｅｎｅｒａｔｅ ｔｈｅ ｆｌａｖｏｒ ｓｙｍｍｅｔｒｙ．

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ

（１４．５．１０）

ａｒｅ

［０ＪＳ］

＼［ｅ＞ＪＮＳ＇＼

＝

Ｕ２１ ＼

ｚ２２

０

０

｜Ｕ？ １，

（１４．５．１１）

Ｉ

（１４．５．１２）

０

ｆｒｏｍ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｍａｔｒｉｘ ７ｕ

７ｉ２

０

？２２ ０

＾＝｜？２１

０

１４．６ ＯＰＥ ｆｏｒ ｖｅｃｔｏｒ ａｎｄ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔｓ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ

３６７

ｂｙ

Ｚ＾＾ Ａ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ

ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ

ｉ？｜－Ｚａｒ

＝

ｏｆ ｔｈｅ

（１４．５．１３） ｏｆ Ｆｉｇ． １４．５．２

ｇｒａｐｈｓ

ｇｉｖｅｓ （Ｇｒｏｓｓ

（１９７６）） ｒ，２

Ｉ１

２

＝

－

＋

１）＋＼？２＊Ｊ＇

１２

Ｖｎ＝＾Ｔ２ ８ｔｔ ｙ？

Ｊ（Ｊ

Ｊ（Ｊ

－

Ｊ

１２

１）

（Ｊ

＋

ｌ）（Ｊ ＋ ２）

＋

１

２

１

２ｎｆｌ （Ｊ２ ＋ Ｊ ＋ ２） ．ｚｉ ４ｊｔ２ Ｊ（Ｊ ＋ ｌ）（Ｊ ＋ ２）＇

ｒ；２．＿ｉｌ＜４±ｉ±＊

（１４．５，４，

１４．５．３ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ

－

ｎｏｎ－ｓｉｎｇｌｅｔ

Ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎ－ｓｉｎｇｌｅｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｅｖｏｌｖｅ

ｔｔ＾ＣＪＮＳ（ｇ（ｎ）， Ｑｌｎ） Ａｎ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ

ｃａｎ

＝

（

ｂｅ ｆｏｕｎｄ

－

ｖｅｒｙ

ｙｉｓ ＋ ｙｍ）ＣＪＮＳ．

ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｇｉｖｅｓ

ｓｉｍｐｌｙ：

（１４．５．１５）

ｔｈｅ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ

ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｔｈｉｓ

ＣＪＮＳ（９（？＼Ｑ／ｌｉ）

＝

￣ｌｎ？２／Ａ）

ＣＪＮＳ（９（Ｑｌｌ）＼＼Ｍｆｉ／Ａ）］

（１４．５．１６）

ｙ＾ ７ ａｎｄ ｙ＾ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｇ２／４ｎ２ ｉｎ ｙＪＮＳ（ｇ） ａｎｄ ｙｍ｛ｇ＼ ａｎｄ Ａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｇ３／（４ｎ２）ｉｎｐ（ｇ）． Ｗｅ ｍａｙ ｒｅｐｌａｃｅ ＣＪＮＳ｛ｇ｛Ｑ）９ ｌ）ｂｙｉｔｓ

ｗｈｅｒｅ －

ｖａｌｕｅ ｉｎ ｔｒｅｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ （１４．５．１６） ｍａｙ ｂｅ ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙ

ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｂｙ ｔａｋｉｎｇ ｍｏｒｅ ｔｅｒｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ／？， ｙＮＳ９ ｙｍｉ ａｎｄ Ｃ Ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｅｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｍａｙ ｂｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ｄｉａｇｏｎａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ２ ｘ ２ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ． Ｔｈｅｎ ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｉｎｇｌｅｔ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｔｈａｔ ｈａｖｅ ｓｉｍｐｌｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｌｉｋｅ （１４．５．１６）．

１４．６ ＯＰＥ ｆｏｒ ｖｅｃｔｏｒ ａｎｄ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔｓ Ｗｅ ｗｉｌｌ ｎｏｗ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｔ ｆｏｒ ａ ｗｅａｋ ＞ｏｒ

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ

ｃｕｒｒｅｎｔ． Ｔｈｅ

ａｒｇｕｍｅｎｔ ｉｓ

ａ

ｓｉｍｐｌｅ

３６８

Ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎｓ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｓｃａｌａｒ ｃｕｒｒｅｎｔ． Ｗｅ ｈａｖｅ

１４．４ ａｎｄ １４．５ ｏｆ

ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ

ｄＶ＊，ｙＸ＜Ｈ＾．．．ＪＰ＞（－ｉ）Ｊｘ

ｒＭＶ（ｐ，＊）￣－２ｉ

ｉ＿２

ｘ＞＂－Ｈ－＾－＾ＣＭ ｖｄｙ２ ｏｙ＂３ｙｙ

－＾？？？＾＾－＾）（＾－＾－？Ｗ） －ｉ／Ｊ．．．／＇Ｖ＾Ｃ？（ｙ２）｜－

（１４６．１）

ａｃｔｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ Ｃｆｆｌ，ｓ ａｒｅ ａｒｒａｎｇｅｄ ｔｏ ｂｅ ｉｎ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ， ｔｏ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｑ＊ ７＾ｖ ０． Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｓ ａｔ （１４．４．１３）， ｗｉｔｈ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆａｃｔｏｒｓ ｏｆ Ｑ２， ｇｉｖｅｓ

Ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｚｅｒｏ

＝

＾ｖ－－２ｉｌ＜ｐ｜＾ｊ？ｘ Ｊ，ａ

＊｛（－０，，ｖ＋ｖ？ｖＡ？２）＊￣ＪＣｉａ（ｅ） ＋ （ｌ／ｖ）（ｐ？ ｑ？ｖ／ｑ２）（ｐｖ ｑｖｖ／ｑ２）ｘ＜ ￣ＪＣ｛°｛Ｑ） ｉ＜ｗＶ（ｌ／２ｖ）ｘ－ＪＣ＾（０｝． －

￣

－

（１４．６．２）

Ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｌｅａｄｉｎｇ ｔｗｉｓｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｉｎ Ｓｅｃｔｉｏｎ １４．４， ａｎｄ ｗｅ ｈａｖｅ ａｒｒａｎｇｅｄ ｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｓｏ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｃ／ｓ ａｒｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｌｅｓｓ ｉｎ ｌｅａｄｉｎｇ ｔｗｉｓｔ． Ｈｅｎｃｅ ｔｈｅ ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｓａｔｉｓｆｙ

ＦｌｔＪ（Ｑ） ＋ （－ １）ＪＦＭ（０＝ ￡Ｃｆ（０＜ｐ｜＾＂｜ｐ＞＋ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ， ａ

Ｆ２，ｊ－１（Ｑ） ＋ （－１）ＪＦ２．ｊ－ｉ（Ｑ） ｆ

＝

ｌＣＪ２＂（ＱＫｐ＼＆Ｊａ＼ｐ） ＋ ｃｏｎｃｃｔｉｏｎ， ａ

３，ｊ（６） ＋ （－ ｌ）Ｊ １＾３，ｊ（ｅ）＝ Ｚ Ｃｉａ（Ｑ）＜Ｐ＼？Ｊａ＼Ｐ＞ ＋

＋ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ．

（１４．６．３） Ｔｈｅｓｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｖａｌｉｄ ｆｏｒ Ｊ ｔｉｍｅｓ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ． １４．６．１

Ｗｉｌｓｏｎ

＞

１， ａｎｄ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ

ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ

－

ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ

ａｒｅ

ｏｆ ｏｒｄｅｒ

１／Ｑ２

ｃａｓｅ

Ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｗｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｐｎ ａ ｑｕａｒｋ ｔａｒｇｅｔ． Ｔｈｅ ｇｒａｐｈｓ ａｒｅ ｔｈｅ ｓａｍｅ ａｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ ａ ｓｃａｌａｒ

ｃｕｒｒｅｎｔ， Ｆｉｇ． １４．５．１， ｅｘｃｅｐｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｉｓ

ｎｏｗ

ｔｈｅ ｅｌｅｃ－

１４．７ Ｐａｒｔｏｎ ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ

ｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｔ－１

ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

３６９

ｃｕｒｒｅｎｔ． Ｗｅ ｆｉｎｄ

（ｌｏｗｅｓｔ ｏｒｄｅｒ）

－４Ｋ＾Ｍ＊￡＆］｝ Ｘｅ２Ａ ９ ） （－ ０？ｖ

＝

Ｖ

＋

Ｅｘｐａｎｄｉｎｇ ａｂｏｕｔ １／ｘ

０

＝

Ｖｆｉｖ

Ｕ＞，

－

＜７？＜７ｖ／＜Ｚ２ｈ），１／Ｘ２

＋＜

，２

ｌｉｉｌｖｌｌ

ｑｊ＞／ｑ２）（ｐｙ

－

－

１

＜？ｖｖ／＜？２）

＜＞． －－＾－ １／ｘ

ｖ

—

１

（１４．６．４）

ｇｉｖｅｓ

￡

ｒ１＝－２ｉｅ２

（ｉ／ｘ）２＂＋２

＋

（ｌ／ｘ）２ｎ＋１

＋

ｏ（０２），

ｎ＝０

ｖＴ２／Ｍ２＝

，２ －４ｉｅ２ ｙ ￡

ｎ

Ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ［ｆｉｃｉｅｎｔｓ

￣

ａｒｅ

＝

ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒ

￣

￣

ｊ

（１４．６．５）

Ｏ（０２）．

ｎ ／＾２ｎ＋ｉ ＿ｌ ｎ＾２

０

，

，

ｉｆ Ｊ ｉｓ

ｅｖｅｎ

ａｎｄ ＞ ２，

Ｃ３＝０， Ｃ＾ Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ

＝

（１４．６．６）

０＋Ｏ（＾２）．

Ｃ２ ２Ｃｔ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｃａｌｌａｎ－Ｇｒｏｓｓ ｒｅｌａｔｉｏｎ Ｆ２ ＝２ｘＦｔ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ． Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ

ｆｏｒ

ｂｏｔｈ

Ｃ＼ａ

ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ

＝

ＣＪ２ａ９ ｏｆ ０（ｇ（Ｑ）２）． ａｎｄ

ｔｈｅ Ｃａｌｌａｎ－Ｇｒｏｓｓ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｔｒｕｅ ｉｎ ＱＣＤ ｗｉｔｈ Ｔｈｅｓｅ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，

ａｎｄ ｈａｖｅ ｂｅｅｎ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ． Ｓｅｅ Ｂｕｒａｓ （１９８１） ｆｏｒ ａｎ ｕｐ－ｔｏ－ｄａｔｅ ｌｉｓｔ ｏｆ ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ．

Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ－ｇｒｏｕｐ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｅｘｃｅｐｔ ｔｈａｔ ｙｍ ｉｓ ｒｅｐｌａｃｅｄ ｂｙ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｃｕｒｒｅｎｔ ｉｓ ｚｅｒｏ．

１４．７ Ｐａｒｔｏｎ

ｚｅｒｏ

ａｒｅ

ｔｈｅ

ｓａｍｅ ａｓ

ｉｎ ｔｈｅ ｓｃａｌａｒ ｃａｓｅ，

ｓｉｎｃｅ ｔｈｅ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆ

ｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ

ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ

ａ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

Ｔｈｅ

ｕｓｅ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｓ ｉｎ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｉｓ ｎｏｔ ｖｅｒｙ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ， ｓｉｎｃｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｎｅｅｄｅｄ ｏｕｔｓｉｄｅ ｔｈｅ ｒａｎｇｅ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅｙ ａｒｅ ｍｅａｓｕｒｅｄ． Ａ ｍｏｒｅ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｆｏｒｍ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｉｎ ｗｈｉｃｈ ａｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｔｈｅｍｓｅｌｖｅｓ． Ｗｅ ｗｉｌｌ ｊｕｓｔ ｓｕｍｍａｒｉｚｅ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ． Ｍｏｒｅ ｄｅｔａｉｌｓ

ｃａｎ

ａｇａｉｎ

ｂｅ ｆｏｕｎｄ ｉｎ Ｂｕｒａｓ

Ｉｔ ｉｓ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｔｏ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｏｆ

ａ

（１９８１）．

ｓｃａｌａｒ ｃｕｒｒｅｎｔ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ

ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｉｓ Ｆ（ｘ， Ｑ）

＝

￡

ｐ．

－ｆａｌＮ（ｚ，ｎ）Ｃａ（ｚ／ｘ；Ｑ／ｎ，ｇ（ｎ））．

（１４．７．１）

３７０

Ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ

Ｔｈｅ ｓｕｍ ｉｓ ｏｖｅｒ ａｌｌ ｓｐｅｃｉｅｓ ｏｆ ｐａｒｔｏｎ， ｉ．ｅ．， ｆｌａｖｏｒｓ ｏｆ ｑｕａｒｋ ａｎｄ

ａｎｔｉｑｕａｒｋ， ａｎｄ ｇｌｕｏｎ．ＴｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＷｉｌｓｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔＣａｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙａｓｔｒｕｃｔｕｒｅｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｏｆ ａ ｐａｒｔｏｎ ｓｔａｔｅ， ｗｈｉｌｅ ｆａｌＮ（ｚ， ｎ） ｉｓ ａ ｐａｒｔｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ． Ｌｏｗｅｓｔ－ｏｒｄｅｒ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｒｅｐｒｏｄｕｃｅ ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎ－ｍｏｄｅｌ ｒｅｓｕｌｔ，

ｆｏｒ

ｓｏ

ｔｈａｔ

Ｃｑ

Ｃ－＝ｅｑ２Ｓ（ｚ／ｘ－ｌ）／２ｙ

＝

Ｃｇ

０．

＝

Ｔｈｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ

Ａ＊；ｐ／Ｕ（＊＞Ａ０

（１４．７．２）

ｅｑｕａｔｉｏｎ

＝

Ｅ

ｆｏｒ ／ ｈａｓ ｔｈｅ ｆｏｒｍ

－ｊｙｂａＷｘ，ｇ）ｆｂｉＮ（ｚ＞ｉ＊）－

Ｔｈｉｓ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｔｈｅ Ａｌｔａｒｅｌｌｉ－Ｐａｒｉｓｉ （１９７７） ｅｑｕａｔｉｏｎ

（１４－７－３）

ｉｔ ｗａｓ ｆｉｒｓｔ ｄｅｒｉｖｅｄ ｂｙ ｔｈｅｓｅ ａｕｔｈｏｒｓ ｉｎ ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ａｎ ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ ａｒｇｕｍｅｎｔ． Ｌａｔｅｒ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｓ （Ｃｏｌｌｉｎｓ ＆ Ｓｏｐｅｒ （１９８２ａ）， ａｎｄ Ｃｕｒｃｉ， Ｆｕｒｍａｎｓｋｉ

＆ Ｐｅｔｒｏｎｚｉｏ （１９８０））

－

ｃｏｍｐｌｅｔｅ． Ｉｎｔｅｇｒｏ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｌｉｋｅ （１４．７．３） ａｒｅ ｎｏｔ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒｌｙ ｅａｓｙ ｔｏ ｗｏｒｋ ｗｉｔｈ． Ｏｎｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｉｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｃａｎ ｂｅ ｍａｄｅ ｉｓ ｔｏ ｔａｋｅ ｍｏｍｅｎｔｓ， ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ａｒｅ ｍｏｒｅ

Ｓｅｃｔｉｏｎｓ １４．５ ａｎｄ １４．６ ｉｓ ｒｅｃｏｖｅｒｅｄ． Ｔｈｉｓ ｗｉｌｌ ｅｎａｂｌｅ

ｕｓ ｔｏ ｓｅｅ

ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｗｏ

ｅｓｓｅｎｔｉａｌｌｙ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｌｙ ｍｏｒｅ ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｕｓｉｎｇ ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｓ， ａｓ ｉｎ （１４．７．３）， ｇｉｖｅｓ ｍｏｒｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｉｎｓｉｇｈｔ， ｃａｎ ｂｅ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｏｔｈｅｒ ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ （Ｂｕｒａｓ （１９８１））， ａｎｄ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｋｎｏｗｉｎｇ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｔ ｓｍａｌｌ ｘ． Ｔｏ ｓｅｅ ｔｈｅ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ， ｌｅｔ ｕｓ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ

ａｒｅ

ｍｏｍｅｎｔｓ：

／＆ｆｏ）＝ Ｃ？

＝

ｙ￡＞＝ Ｔｈｅｎ （１４．７．１）

ｆｄｚｚ＂－１／，，＾）， Ｐ Ｗｚ）（ｘｌｚｒｌＣａ｛ｚ，ｘ－，ＱｌｔＬ，（ｍ， ｛

ｄ（ｘ／ｚ）（ｘ／ｚｒ－ｌｙｂａ（ｚ，ｘ；ｇ（ｆｘ））．

（１４．７．４）

ｉｍｐｌｉｅｓ Ｆｎ（Ｑ）

＝

ＴＳ？Ｕｉ＊）Ｃ＂＼ｇ，

Ｑｌｆｒ

（１４．７．５）

ａ

Ｔｈｉｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｈａｓ ｔｈｅ ｔｈｅ

ｓａｍｅ ａｓ

ｓａｍｅ

ｆｏｒｍ

ａｓ

（１４．４．１４）． Ｉｎ ｆａｃｔ， ｍｏｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ／＇ｓ ａｒｅ

ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｉｓｔ－２ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ：

（Ｎ＼０Ｊａ＼Ｎ｝

＝

Ｐ ｄｘｘＪ￣ Ｖａ／ｊｖＭ ＋ｆｍ（＊）ｌ

Ｊｏ

＜１４－７－６）

１４．８

Ｗ４

ａｎｄ

３７１

Ｗ５

ａ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｅａｃｈ ｔｙｐｅ ｏｆ ｐａｒｔｏｎ ａｎｄ ａｎｔｉｐａｒｔｏｎ． Ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｃａｎ ｂｅ ｐｒｏｖｅｄ （Ｃｏｌｌｉｎｓ ＆ Ｓｏｐｅｒ （１９８２ａ）， ａｎｄ Ｃｕｒｃｉ， Ｆｕｒｍａｎｓｋｉ ＆ Ｐｅｔｒｏｎｚｉｏ （１９８０）） ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｏｎｌｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ

ｗｈｅｒｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ

（ｅ．ｇ．， ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ） ｉｓ ｕｓｅｄ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ．

１４．８ Ｗ４ ａｎｄ Ｗ５ Ｓｏ ｆａｒ

ｗｅ

ｈａｖｅ

ｉｇｎｏｒｅｄ Ｆ４

ａｎｄ

Ｆ５． Ｔｈｅｙ

ａｒｅ ｚｅｒｏ

ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ． Ｂｕｔ ｔｈｅ ｗｅａｋ－ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｃｕｒｒｅｎｔｓ

ｉｆ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ／ ｉｎ

ａｒｅ ｎｏｔ

Ｗ＾ ｉｓ

ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｉｆ ｑｕａｒｋ

ｍａｓｓｅｓ ａｒｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ：

＾ＯＡ／ａ

－

？５ｕ？＝＾（［＞ａａ］ ＝

Ｈｅｒｅ ｍ ｉｓ ｔｈｅ ｑｕａｒｋ

ｍａｓｓ

－

ｙ５｛ｍ＾ａ｝ｗ （１４．８．１）

ｉＤａ／２．

ｍａｔｒｉｘ． Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈａｔ Ｗ４ ａｎｄ Ｗ５ ａｒｅ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｉｎ ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ｒｅｇａｒｄ ｔｈｅ ｒａｔｉｏ ｍ／Ｑ ａｓ ｓｅｔｔｉｎｇ ｔｈｅ

ｎｅｕｔｒｉｎｏ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ． Ｈｏｗｅｖｅｒ， ｓｃａｌｅ ｆｏｒ ｔｈｅｉｒ ｅｆｆｅｃｔ

ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ （Ｊａｆｆｅ ＆ Ｌｌｅｗｅｌｌｙｎ－Ｓｍｉｔｈ （１９７３） ａｎｄ Ｌｌｅｗｅｌｌｙｎ－Ｓｍｉｔｈ （１９７２））． Ｔｈｅｙ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｇｉｖｅ ａ ｓｍａｌｌ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｅｐ－ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ． Ｓｉｎｃｅ Ｗ４ ａｎｄ Ｗ５ ａｒｅ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｎｏｎ－ｌｅａｄｉｎｇ ｉｎ ｏｎ

ｔｈｅ Ｂｊｏｒｋｅｎ ｌｉｍｉｔ， ｔｈｅｙ ａｒｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｄｉｒｅｃｔｌｙ． Ａ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ Ｗ４ ａｎｄ Ｗ５ ｉｓ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ

ｑ？Ｗ＾ｖ

＝

（ｑ２Ｗ４ ＋ ｐ－ｑＷ５／２）ｑｖ／Ｍ２ ＋ ｑ２ｐｖＷ５／２Ｍ２．

（１４．８．２）

Ｗｅ ｈａｖｅ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｆｏｒｍｕｌａ

Ｗｖ ｓｏ ｗｅｃａｎ

７Ｍ（ｙ）Ｚ）（０）．

＝

Ｊｄ ＊ｙｅｉｑ＇ｙ＜ｐ＼Ｕｙ）Ｄ（０）＼ｐ｝，

（１４．８．３）

ｃｏｍｐｕｔｅ Ｗ４ａｎｄ Ｗ５ ｂｙ ｍａｋｉｎｇ ａｎ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｆｏｒ

Ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｆａｃｔｏｒ ｏｆ ｑｕａｒｋ ｍａｓｓ

ｍ

ｉｎ ｔｈｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｆｏｒ

Ｚ）， ｔｈｉｓ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｂｅｈａｖｅｓ ａｓ ａ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ３ ｒａｔｈｅｒ ｔｈａｎ ａ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ４ ｏｐｅｒａｔｏｒ．

Ｑ２． Ｓｉｎｃｅ，ｉｎ（１４．１．１０），ｔｈｅｔｅｎｓｏｒｓｍｕｌｔｉｐｌｙｉｎｇＷ／４ａｎｄＰＶ５ｈａｖｅａ＾ｏｒ＾ｆｖｉｎｔｈｅｍ，ａ

Ｔｈｉｓ ｓｕｐｐｒｅｓｓｅｓ ｔｈｅ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｆｏｒ Ｗ４ ａｎｄ Ｗ５ ｂｙ

ａ

ｐｏｗｅｒ ｏｆ

ｓｉｍｉｌａｒ ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｃｃｕｒｓ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｌｅｐｔｏｎ ｍａｓｓｅｓ ａｒｅ ｍｕｃｈ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ Ｑ， ａｓ ｉｓ ｓｅｅｎ ｂｙ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｎｇ ｑ＾ ｏｒ ｑｖ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｌｅｐｔｏｎ ｔｅｎｓｏｒ （１４．１．７）． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｔｈａｔ

Ｗ４ ａｎｄ Ｗ５ ｍａｋｅ

ａ ｎｅｇｌｉｇｉｂｌｅ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｃｒｏｓｓ－ｓｅｃｔｉｏｎ ａｔ ｌａｒｇｅ Ｑ． Ａ ｄｅｔａｉｌｅｄ ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｗ４ ａｎｄ Ｗ５ ｗｉｔｈｉｎ ＱＣＤ ｃａｎ ｂｅ ｍａｄｅ ｂｕｔ ｈａｓ ｎｏｔ ｙｅｔ ｂｅｅｎ ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ． Ｉｔ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ Ｊａｆｆｅ ＆ Ｌｌｅｗｅｌｌｙｎ－Ｓｍｉｔｈ

（１９７３）， ｗｈｏ ｗｏｒｋｅｄ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ．

Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ

Ａｄｌｅｒ， Ｓ． （１９６９）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． １７７， ２４２６． Ａｄｌｅｒ， Ｓ． （１９７０）． Ｉｎ Ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｏｎ Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ａｎｄ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｆｉｅｌｄ Ｔｈｅｏｒｙ， ｅｄｓ． Ｓ． Ｄｅｓｅｒ ｅｔ ａｌ． （Ｍ．Ｉ．Ｔ．， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ， Ｍａｓｓ．）． Ａｄｌｅｒ， Ｓ． ＆ Ｂａｒｄｅｅｎ， Ｗ． （１９６９）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． １８２， １５１７． Ａｉｚｅｎｍａｎ， Ｍ． （１９８１）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｌｅｔｔ． ４７， １． Ａｌｔａｒｅｌｌｉ， Ｇ． ＆ Ｐａｒｉｓｉ， Ｇ． （１９７７）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１２６， ２９８． Ａｍａｔｉ， Ｄ．， Ｐｅｔｒｏｎｚｉｏ， Ｒ． ＆ Ｖｅｎｅｚｉａｎｏ， Ｇ． （１９７８）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１４６， ２９． Ａｐｐｅｌｑｕｉｓｔ， Ｔ． ＆ Ｃａｒａｚｚｏｎｅ， Ｊ． （１９７５）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄｌｌ， ２８５６． Ａｓｈｍｏｒｅ， Ｊ． Ｆ． （１９７２）． Ｎｕｏｖｏ Ｃｉｍｅｎｔｏ Ｌｅｔｔ． ４， ２８９． Ｂａｎｄｅｌｌｏｎｉ， Ｇ．， Ｂｅｃｃｈｉ， Ｃ， Ｂｌａｓｉ， Ａ． ＆ Ｃｏｌｌｉｎａ， Ｒ． （１９８０）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． ７２， ２３９． Ｂａｒｄｅｅｎ， Ｗ． Ａ． （１９７２）． Ｉｎ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ＸＶＩ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｈｉｇｈ Ｅｎｅｒｇｙ Ｐｈｙｓｉｃｓ （Ｎａｔｉｏｎａｌ Ａｃｃｅｌｅｒａｔｏｒ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ， Ｂａｔａｖｉａ， ＩＬ）． Ｂａｒｄｅｅｎ， Ｗ． Ａ， Ｂｕｒａｓ， Ａ． Ｊ．， Ｄｕｋｅ， Ｄ． Ｗ． ＆ Ｍｕｔａ， Ｔ． （１９７８）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１８， ３９９８． Ｂａｙｍ， Ｇ． （１９６０）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． １１７， ８８６． Ｂｅｃｃｈｉ， Ｃ， Ｒｏｕｅｔ， Ａ． ＆ Ｓｔｏｒａ， Ｒ． （１９７５）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． ４２， １２７． Ｂｅｃｃｈｉ， Ｃ， Ｒｏｕｅｔ， Ａ． ＆ Ｓｔｏｒａ， Ｒ． （１９７６）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） ９８， ２８７． Ｂｅｇ， Ｍ． Ａ． Ｂ． ＆ Ｓｉｒｌｉｎ， Ａ． （１９８２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｐ． ８８， １． Ｂｅｌｌ， Ｊ． Ｓ． ＆ Ｊａｃｋｉｗ， Ｒ． （１９６９）． Ｎｕｏｖｏ Ｃｉｍｅｎｔｏ ５１， ４７． Ｂｅｒｎａｒｄ， Ｃ． （１９７４）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ９， ３３１２．

Ｂｊｏｒｋｅｎ， Ｂｊｏｒｋｅｎ，

Ｊ． Ｄ． （１９８２）． Ｐｈｙｓｉｃａ Ｓｃｒｉｐｔａ ２５， ６９． Ｊ． Ｄ． ＆ Ｄｒｅｌｌ， Ｓ． Ｄ． （１９６６）． Ｒｅｌａｔｉｖｉｓｔｉｃ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｆｉｅｌｄｓ （ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）． Ｂｊｏｒｋｅｎ， Ｊ． Ｄ． ＆ Ｐａｓｃｈｏｓ， Ｅ． Ａ． （１９６９）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． １８５， １９７５． Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ， Ｎ． Ｎ． ＆ Ｐａｒａｓｉｕｋ， Ｏ． （１９５７）． Ａｃｔａ Ｍａｔｈ． ９７， ２２７． Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ， Ｎ． Ｎ． ＆ Ｓｈｉｒｋｏｖ， Ｄ． Ｖ． （１９５５／６）． Ｕｓｐ． Ｆｉｚ． Ｎａｕｋ ５５， １４９ （１９５５）．

（Ｇｅｒｍａｎ ｔｒａｎｓ．： Ｆｏｒｔｓｃｈｒ． Ｐｈｙｓ． ４， ４３８ （１９５６）．） Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ， Ｎ． Ｎ． ＆ Ｓｈｉｒｋｏｖ， Ｄ． Ｖ． （１９８０）． Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｑｕａｎｔｉｚｅｄ Ｆｉｅｌｄｓ （３ｒｄ ｅｄｎ） （Ｗｉｌｅｙ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）． Ｂｏｌｌｉｎｉ， Ｃ Ｇ． ＆ Ｇｉａｍｂｉａｇｉ， Ｊ． Ｊ． （１９７２）． Ｐｈｙｓ． Ｌｅｔｔ． ４０Ｂ， ５６６． Ｂｒａｎｄｔ， Ｒ． Ａ． （１９６７）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） ４４， ２２１． Ｂｒａｎｄｔ， Ｒ． Ａ． （１９７６）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１１６， ４１３． Ｂｒｅｉｔｅｎｌｏｈｎｅｒ， Ｐ． ＆ Ｍａｉｓｏｎ， Ｄ． （１９７７ａ）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． ５２， １１． Ｂｒｅｉｔｅｎｌｏｈｎｅｒ， Ｐ． ＆ Ｍａｉｓｏｎ， Ｄ． （１９７７ｂ）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． ５２， ３９． Ｂｒｅｉｔｅｎｌｏｈｎｅｒ， Ｐ． ＆ Ｍａｉｓｏｎ， Ｄ． （１９７７ｃ）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． ５２， ５５． Ｂｒｏｗｎ， Ｌ． Ｓ． （１９８０）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） １２６， １３５． Ｂｒｏｗｎ， Ｌ． Ｓ． ＆ Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｊ． Ｃ． （１９８０）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） １３０， ２１５． Ｂｕｒａｓ， Ａ． Ｊ． （１９８１）． Ｉｎ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ Ｌｅｐｔｏｎ－Ｐｈｏｔｏｎ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ （Ｂｏｎｎ）． Ｂｕｒａｓ， Ａ． Ｊ．， Ｆｌｏｒａｔｏｓ， Ｅ． Ｇ．， Ｒｏｓｓ， Ｄ． Ａ． ＆ Ｓａｃｈｒａｊｄａ， Ｃ． Ｔ． （１９７７）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１３１， ３０８．

Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ

３７３

Ｃａｌｌａｎ， Ｃ． Ｇ． （１９７０）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ２， １５４１． Ｃａｌｌａｎ， Ｃ． Ｇ．， Ｃｏｌｅｍａｎ， Ｓ． ＆ Ｊａｃｋｉｗ， Ｒ． （１９７０）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． ｛Ｎ．Ｙ．） ５９， ４２． Ｃａｌｌａｎ， Ｃ． Ｇ． ＆ Ｇｒｏｓｓ， Ｄ． （１９６９）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｌｅｔｔ． ２２， １５６． Ｃａｓｗｅｌｌ， Ｗ． Ｅ． ＆ Ｋｅｎｎｅｄｙ， Ａ． Ｄ． （１９８２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ２５， ３９２． Ｃａｓｗｅｌｌ， Ｗ． Ｅ． ＆ Ｚａｎｏｎ， Ｄ． （１９８１）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１８２， １２５． Ｃｅｌｍａｓｔｅｒ， Ｗ． ＆ Ｇｏｎｓａｌｖｅｓ， Ｒ． Ｊ． （１９７９）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ２０， １４２０． Ｃｈａｎｏｗｉｔｚ， Ｍ， Ｆｕｒｍａｎ， Ｍ． ＆ Ｈｉｎｃｈｌｉｆｆｅ， Ｉ． （１９７９）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１５９， ２２５． Ｃｈｅｎｇ， Ｔ． Ｐ．， Ｅｉｃｈｔｅｎ， Ｅ． ＆ Ｌｉ， Ｌ．Ｆ． （１９７４）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ９， ２２５９． Ｃｈｅｔｙｒｋｉｎ， Ｋ． Ｇ， Ｋａｔａｅｖ， Ａ． Ｌ． ＆ Ｔｋａｃｈｏｖ， Ｆ． Ｖ． （１９８１）． Ｐｈｙｓ． Ｌｅｔｔ． ９９Ｂ， １４７， ａｎｄ ｅｒｒａｔｕｍ． Ｃｈｅｔｙｒｋｉｎ， Ｋ． Ｇ． ＆ Ｔｋａｃｈｏｖ， Ｆ． Ｖ． （１９８１）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１９２， １５９． Ｃｈｒｉｓｔ， Ｎ．， Ｈａｓｓｌａｃｈｅｒ， Ｂ． ＆ Ｍｕｅｌｌｅｒ， Ａ． （１９７２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ６， ３５４３． Ｃｉｃｕｔａ， Ｇ． Ｍ． ＆ Ｍｏｎｔａｌｄｉ， Ｅ． （１９７２）． Ｎｕｏｖｏ Ｃｉｍｅｎｔｏ Ｌｅｔｔ． ４， ３２９． Ｃｌａｒｋ， Ｔ． Ｅ．， Ｐｉｇｕｅｔ， Ｏ． ＆ Ｓｉｂｏｌｄ， Ｋ． （１９７９）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１５９， １． Ｃｌａｒｋ， Ｔ． Ｅ．， Ｐｉｇｕｅｔ， Ｏ． ＆ Ｓｉｂｏｌｄ， Ｋ． （１９８０）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１７２， ２０１． Ｃｏｌｅｍａｎ， Ｓ． （１９７３）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． ３１， ２５９． Ｃｏｌｅｍａｎ， Ｓ． ＆ Ｇｒｏｓｓ， Ｄ． Ｊ． （１９７３）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｌｅｔｔ． ３１， ８５１． Ｃｏｌｅｍａｎ， Ｓ． ＆ Ｊａｃｋｉｗ， Ｒ． （１９７１）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） ６７， ５５２． Ｃｏｌｅｍａｎ， Ｓ． ＆ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ， Ｅ． （１９７３）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ７， １８８８． Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｊ． Ｃ． （１９７４）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ８０， ３４１． Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｊ． Ｃ． （１９７５ａ）． ＰｈＤ． Ｔｈｅｓｉｓ： Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ． Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｊ． Ｃ． （１９７５ｂ）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ９２， ４７７． Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｊ． Ｃ． ［＼９１６）．Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１４， １９６５． Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｊ． Ｃ． （１９８０）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ２２， １４７８． Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｊ． Ｃ． ＆ Ｓｏｐｅｒ， Ｄ． Ｅ． （１９８１）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１９３， ３８１． Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｊ． Ｃ． ＆ Ｓｏｐｅｒ， Ｄ． Ｅ． （１９８２ａ）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１９４， ４４５． Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｊ． Ｃ． ＆ Ｓｏｐｅｒ， Ｄ． Ｅ． （１９８２ｂ）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１９７， ４４６． Ｃｏｌｌｉｎｓ， Ｊ． Ｃ， Ｗｉｌｃｚｅｋ， Ｆ． ＆ Ｚｅｅ， Ａ． （１９７８）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１８， ２４２． Ｃｏｒｎｗａｌｌ， Ｊ． Ｍ． ＆ Ｎｏｒｔｏｎ， Ｒ． Ｅ． （１９７３）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ， Ｄ８， ３３３８． Ｃｏｓｔａ， Ｇ．， Ｍａｒｉｎｕｃｃｉ， Ｔ．， Ｔｏｎｉｎ， Ｍ． ＆ Ｊｕｌｖｅ， Ｊ． （１９７７）． Ｎｕｏｖｏ Ｃｉｍｅｎｔｏ ３８Ａ， ３７３． Ｃｒｅｕｔｚ， Ｍ． （１９８０）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ２１， ２３０８． Ｃｒｅｕｔｚ， Ｍ． （１９８３）． Ｑｕａｒｋｓ， Ｇｌｕｏｎｓ ａｎｄ Ｌａｔｔｉｃｅｓ （Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ）． Ｃｒｅｕｔｚ， Ｍ． ＆ Ｍｏｒｉａｒｔｙ， Ｋ． Ｊ． Ｍ． （１９８２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ２６， ２１６６． Ｃｕｒｃｉ， Ｇ．， Ｆｕｒｍａｎｓｋｉ， Ｗ． ＆ Ｐｅｔｒｏｎｚｉｏ， Ｒ． （１９８０）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１７５， ２７． Ｃｖｉｔａｎｏｖｉｃ， Ｐ． （１９７７）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１３０， １１４． Ｄｉｒａｃ， Ｐ． Ａ． Ｍ． （１９８１）． Ｉｎ Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｃｈｒｏｍｏｄｙｎａｍｉｃｓ （Ｔａｌｌａｈａｓｓｅｅ， １９８１）， ｅｄ． Ｄｕｋｅ， Ｄ． Ｗ． ＆ Ｏｗｅｎｓ， Ｊ． Ｆ． （ＡＩＰ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）． Ｄｉｘｏｎ， Ｊ． Ａ． ＆ Ｔａｙｌｏｒ， Ｊ． Ｃ （１９７４）． Ｎｕｃｌ Ｐｈｙｓ． Ｂ７８， ５５２． Ｄｒｅｌｌ， Ｓ． Ｄ．， Ｌｅｖｙ， Ｄ． ＆ Ｙａｎ， Ｔ． Ｍ． （１９６９）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． １８７， ２１５９． Ｄｒｅｌｌ， Ｓ． Ｄ．， Ｌｅｖｙ， Ｄ． ＆ Ｙａｎ， Ｔ． Ｍ． （１９７０ａ）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄｌ， １０３５． Ｄｒｅｌｌ， Ｓ． Ｄ．， Ｌｅｖｙ， Ｄ． ＆ Ｙａｎ， Ｔ． Ｍ． （１９７０ｂ）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄｌ， １６１７． Ｄｒｅｌｌ， Ｓ． Ｄ．， Ｌｅｖｙ， Ｄ． ＆ Ｙａｎ， Ｔ． Ｍ． （１９７０ｃ）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄｌ， ２４０４． Ｄｙｓｏｎ， Ｆ． Ｊ． （１９５２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． ８５， ６３１． Ｅｌｌｉｓ， Ｒ． Ｋ．， Ｇｅｏｒｇｉ， Ｈ， Ｍａｃｈａｃｅｋ， Ｍ， Ｐｏｌｉｔｚｅｒ， Ｈ． Ｄ． ＆ Ｒｏｓｓ， Ｇ． Ｇ． （１９７９）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１５２， ２８５． Ｆａｄｄｅｅｖ， Ｌ． Ｄ． ＆ Ｐｏｐｏｖ， Ｖ． Ｍ． （１９６７）． Ｐｈｙｓ． Ｌｅｔｔ． ２５Ｂ， ２９． Ｆａｙｅｔ， Ｐ． ＆ Ｆｅｒｒａｒａ， Ｓ． （１９７７）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｐ． ３２， ２４９． Ｆｅｔｔｅｒ， Ａ． Ｌ． ＆ Ｗａｌｅｃｋａ， Ｊ． Ｄ． （１９７１）． Ｑｕａｎｔｕｍ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｍａｎｙ－Ｂｏｄｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ （ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）． Ｆｅｙｎｍａｎ， Ｒ． Ｐ． （１９７２）． Ｐｈｏｔｏｎ－Ｈａｄｒｏｎ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ （Ｂｅｎｊａｍｉｎ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）． Ｆｉｓｈｅｒ， Ｍ． Ｅ． ＆ ｄａｕｎｔ， Ｄ． Ｓ． （１９６４）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． １３３， Ａ２２４．

Ｆｒｅｅｄｍａｎ， Ｄ． Ｚ．， Ｍｕｚｉｎｉｃｈ， Ｉ． Ｊ． ＆ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ， Ｅ． Ｊ． （１９７４） Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） ８７， ９５．

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Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ

Ｆｕｊｉｋａｗａ， Ｋ．， Ｌｅｅ， Ｂ． Ｗ． ＆ Ｓａｎｄａ， Ａ． Ｉ． （１９７２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ６， ２９２３． Ｇａｓｓｅｒ， Ｊ． ＆ Ｌｅｕｔｗｙｌｅｒ， Ｈ． （１９８２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｐ． ８７， ７７． Ｇａｓｔｍａｎｓ， Ｒ． ＆ Ｍｅｕｌｄｅｒｍａｎｓ， Ｒ． （１９７３）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ６３， ２７７． Ｇａｓｔｍａｎｓ， Ｒ．， Ｖｅｒｗａｅｓｔ， Ｊ． ＆ Ｍｅｕｌｄｅｒｍａｎｓ， Ｒ． （１９７６）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１０５， ４５４． Ｇｅｌｌ－Ｍａｎｎ， Ｍ． ＆ Ｌｏｗ， Ｆ． Ｅ． （１９５１）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． ８４， ３５０． Ｇｅｌｌ－Ｍａｎｎ， Ｍ． ＆ Ｌｏｗ， Ｆ． Ｅ． （１９５４）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． ９５， １３００． Ｇｅｏｒｇｉ， Ｈ． ＆ Ｐｏｌｉｔｚｅｒ， Ｈ． Ｄ． （１９７６）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１４， １８２９． Ｇｉｌｄｅｎｅｒ， Ｅ． ＆ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ， Ｓ． （１９７６）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１３， ３３３３． Ｇｌｉｍｍ， Ｊ． ＆ Ｊａｆｆｅ， Ａ． （１９８１）． Ｑｕａｎｔｕｍ Ｐｈｙｓｉｃｓ： Ａ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｐｏｉｎｔ ｏｆ Ｖｉｅｗ （Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）． Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ， Ｊ．， Ｓａｌａｍ， Ａ． ＆ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ， Ｓ． （１９６２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． １２７， ９６５． Ｇｒｏｓｓ， Ｄ． （１９７６）． Ｉｎ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｆｉｅｌｄ Ｔｈｅｏｒｙ， ｅｄ． Ｂａｌｉａｎ， Ｒ． ＆ Ｚｉｎｎ Ｊｕｓｔｉｎ， Ｊ． （Ｎｏｒｔｈ－Ｈｏｌｌａｎｄ， Ａｍｓｔｅｒｄａｍ）． Ｇｒｏｓｓ， Ｄ． ＆ Ｊａｃｋｉｗ， Ｒ． （１９７２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ６， ４７７． Ｇｒｏｓｓ， Ｄ． ＆ Ｎｅｖｅｕ， Ａ． （１９７４）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１０， ３２３５． Ｈａｈｎ， Ｙ． ＆ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ， Ｗ． （１９６８）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． １０， ３３０． Ｈａｓｅｎｆｒａｔｚ， Ａ． ＆ Ｈａｓｅｎｆｒａｔｚ， Ｐ． （１９８０）． Ｐｈｙｓ． Ｌｅｔｔ． ９３Ｂ， １６５． Ｈａｗｋｉｎｇ， Ｓ． Ｗ． ＆ Ｉｓｒａｅｌ， Ｗ． （１９７９）． Ｇｅｎｅｒａｌ Ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ （Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ）． Ｈｅｐｐ， Ｋ． （１９６６）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． ２， ３０１． Ｈｏｈｅｎｂｅｒｇ， Ｐ． （１９６７）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． １５８， ３８３． Ｉｔｚｙｋｓｏｎ， Ｃ． ＆ Ｚｕｂｅｒ， Ｊ．－Ｂ． （１９８０）． Ｑｕａｎｔｕｍ Ｆｉｅｌｄ Ｔｈｅｏｒｙ （ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）． Ｊａｃｋｉｗ， Ｒ． （１９６８）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） ４８， ２９２． Ｊａｃｋｉｗ， Ｒ． ＆ Ｊｏｈｎｓｏｎ， Ｋ． （１９７３）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ８， ２３８６． Ｊａｆｆｅ， Ｒ． ＆ Ｌｌｅｗｅｌｌｙｎ－Ｓｍｉｔｈ， Ｃ． Ｈ． （１９７３）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ７， ２５０６． Ｊｏｇｌｅｋａｒ， Ｓ． （１９７６）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） １００， ３９５． Ｊｏｇｌｅｋａｒ， Ｓ． （１９７７ａ）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） １０８， ２３３． Ｊｏｇｌｅｋａｒ， Ｓ． （１９７７ｂ）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） １０９， ２１０． Ｊｏｇｌｅｋａｒ， Ｓ． ＆ Ｌｅｅ， Ｂ． Ｗ． （１９７６）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） ９７， １６０． Ｊｏｎｅｓ， Ｄ． Ｒ． Ｔ． ＆ Ｌｅｖｅｉｌｌｅ， Ｊ． Ｐ． （１９８２）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ２０６， ４７３． Ｋａｚａｍａ， Ｙ． ＆ Ｙａｏ， Ｙ．－Ｐ． （１９８２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ２５， １６０５． Ｋｌｕｂｅｒｇ－Ｓｔｅｒｎ， Ｈ． ＆ Ｚｕｂｅｒ， Ｊ． Ｂ． （１９７５）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１２， ４６７． Ｋｏｇｕｔ， Ｊ． （１９８３）． Ｒｅｖ． Ｍｏｄ． Ｐｈｙｓ． ５５， ７７５． Ｋｏｒｔｈａｌｓ Ａｌｔｅｓ， Ｃ． Ｐ． ＆ Ｐｅｒｒｏｔｔｅｔ， Ｍ． （１９７２）． Ｐｈｙｓ． Ｌｅｔｔ． ３９Ｂ， ５４６． Ｌａｍ， Ｃ． Ｓ． ＆ Ｔｕｎｇ， Ｗ．－Ｋ． （１９７８）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１８， ２４４７． Ｌａｍ， Ｙ．－Ｍ． Ｐ． （１９７２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ６， ２１４５． Ｌａｎｄａｕ， Ｌ． Ｄ． ＆ Ｐｏｍｅｒａｎｃｈｕｋ， Ｉ． （１９５５）． Ｄｏｋｌ． Ａｋａｄ． Ｎａｕｋ ＵＳＳＲ １０２， ４８９． Ｌａｎｇａｃｋｅｒ， Ｐ． （１９８１）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｐ． ７２， １８５． ＬａＲｕｅ， Ｇ． Ｓ．， Ｐｈｉｌｌｉｐｓ， Ｊ． Ｄ． ＆ Ｆａｉｒｂａｎｋ， Ｗ． Ｍ． （１９８１）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｌｅｔｔ． ４６， ９６７． Ｌａｕｔｒｕｐ， Ｂ． （１９７６）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１０５， ２３． Ｌｅｅ， Ｂ． Ｗ． （１９７６）， Ｉｎ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｆｉｅｌｄ Ｔｈｅｏｒｙ， ｅｄ． Ｂａｌｉａｎ， Ｒ． ＆ Ｚｉｎｎ－Ｊｕｓｔｉｎ， Ｊ． （Ｎｏｒｔｈ－Ｈｏｌｌａｎｄ， Ａｍｓｔｅｒｄａｍ）． Ｌｅｅ， Ｂ． Ｗ． ＆ Ｚｉｎｎ－Ｊｕｓｔｉｎ， Ｊ． （１９７２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ５， ３１２１． Ｌｉｂｂｙ， Ｓ． ＆ Ｓｔｅｒｍａｎ， Ｇ． （１９７８）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１８， ３２５２． Ｌｌｅｗｅｌｌｙｎ－Ｓｍｉｔｈ， Ｃ． Ｈ． （１９７２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｐ． ３， ２６１． Ｌｌｅｗｅｌｌｙｎ－Ｓｍｉｔｈ， Ｃ． Ｈ． （１９８０）． Ｉｎ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｆｌａｖｏｒｄｙｎａｍｉｃｓ， Ｑｕａｎｔｕｍ Ｃｈｒｏｍｏｄｙｎａｍｉｃｓ， ａｎｄ Ｕｎｉｆｉｅｄ Ｔｈｅｏｒｉｅｓ， ｅｄ． Ｍａｈａｎｔｈａｐｐａ， Ｋ． Ｔ． ＆ Ｒａｎｄａ， Ｊ． （Ｐｌｅｎｕｍ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）． Ｌｏｗｅｎｓｔｅｉｎ， Ｊ． Ｈ． （１９７１）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ４， ２２８１． Ｌｏｗｅｎｓｔｅｉｎ， Ｊ． Ｈ．， Ｗｅｉｎｓｔｅｉｎ， Ｍ． ＆ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ， Ｗ． （１９７４ａ）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１０， １８５４．

３７５

Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ Ｌｏｗｅｎｓｔｅｉｎ，

Ｊ． Ｈ．， Ｗｅｉｎｓｔｅｉｎ， Ｍ． ＆ Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ， Ｗ． （１９７４ｂ）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． ＤＩＯ，

２５００． Ｌｕｒｉｅ， Ｄ． （１９６８）． Ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ａｎｄ Ｆｉｅｌｄｓ （Ｉｎｔｅｒｓｃｉｅｎｃｅ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）． Ｍａｃｆａｒｌａｎｅ， Ａ． Ｊ． ＆ Ｗｏｏ， Ｇ． （１９７４）． Ｎｕｃｌ Ｐｈｙｓ． Ｂ７７， ９１； Ｂ８６， ５４８（Ｅ）． Ｍａｃｋ， Ｇ． （１９７２）． Ｋａｉｓｅｒｓｌａｕｔｅｒｎ Ｌｅｃｔｕｒｅｓ． Ｓｐｒｉｎｇｅｒ Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ ｉｎ Ｐｈｙｓｉｃｓ， ｖｏｌ． １７， ｅｄ． Ｒｕｈｌ， Ｗ． ＆ Ｖａｎｃｕｒａ， Ａ． Ｍａｒｃｉａｎｏ， Ｗ． ＆ Ｐａｇｅｌｓ， Ｈ． （１９７８）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｐ． ３６， １３８． Ｍａｒｃｉａｎｏ， Ｗ． ＆ Ｓｉｒｌｉｎ， Ａ． （１９７５）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ８８， ８６． Ｍｅｒｍｉｎ， Ｎ． Ｄ． ＆ Ｗａｇｎｅｒ， Ｈ． （１９６６）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｌｅｔｔ． １７， １１３３． Ｍｕｅｌｌｅｒ， Ａ． Ｈ． （１９７８）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１８， ３７０５． Ｍｕｅｌｌｅｒ， Ａ． Ｈ． （１９７９）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ２０， ２０３７． Ｍｕｅｌｌｅｒ， Ａ． Ｈ． （１９８１）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｐ． ７３， ２３７． Ｏｐｐｅｎｈｅｉｍｅｒ， Ｊ． Ｒ． （１９３０）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． ３５， ４６１． Ｏｖｒｕｔ， Ｂ． Ａ． ＆ Ｓｃｈｎｉｔｚｅｒ， Ｈ． Ｊ． （１９８０）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ２１， ３３６９． Ｐａｕｌｉ， Ｗ． ＆ Ｖｉｌｌａｒｓ， Ｆ． （１９４９）． Ｒｅｖ． Ｍｏｄ． Ｐｈｙｓ． ２１， ４３４． Ｐｉｇｕｅｔ， Ｏ． ＆ Ｒｏｕｅｔ， Ａ． （１９８１）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｐ． ７６， １．

Ｐｉｇｕｅｔ， Ｏ． ＆ Ｓｉｂｏｌｄ， Ｋ． （１９８２ａ）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１９７， ２４７． Ｐｉｇｕｅｔ， Ｏ． ＆ Ｓｉｂｏｌｄ， Ｋ． （１９８２ｂ）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１９７， ２５７． Ｐｉｇｕｅｔ， Ｏ． ＆ Ｓｉｂｏｌｄ， Ｋ． （１９８２ｃ）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１９７， ２７２． Ｒａｍｏｎｄ， Ｐ． （１９８１）． Ｆｉｅｌｄ Ｔｈｅｏｒｙ： Ａ Ｍｏｄｅｒｎ Ｐｒｉｍｅｒ （Ｂｅｎｊａｍｉｎ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）． Ｒｏｓｓ， Ｇ． Ｇ． （１９８１）． Ｒｅｐ． Ｐｒｏｇ． Ｐｈｙｓ． ４４， ６５５．

Ｓａｒｋａｒ， Ｓ． （１９７４）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ８３， １０８． Ｓｃｈｗｉｎｇｅｒ， Ｊ． （１９５１）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． ８２， ６６４． Ｓｈａｗ， Ｒ． （１９５５）． Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｔｈｅｓｉｓ． Ｓｌａｖｎｏｖ， Ａ． （１９７２）． Ｔｈｅｏｒ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． １０， １５３ （Ｒｕｓｓｉａｎ）； １０， ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ）． Ｓｐｅｅｒ， Ｅ． Ｒ． （１９７４）． Ｊ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． １５， １．

９９

（Ｅｎｇｌｉｓｈ

Ｓｐｅｅｒ， Ｅ． Ｒ． ＆ Ｗｅｓｔｗａｔｅｒ， Ｍ． Ｊ． （１９７１）． Ａｎｎ． Ｉｎｓｔ． Ｈｅｎｒｉ Ｐｏｉｎｃａｒｅ Ａ１４， １． Ｓｔｉｒｌｉｎｇ， Ｗ． Ｊ． （１９７８）． Ｎｕｃｌ Ｐｈｙｓ． Ｂ１４５， ４７７． Ｓｔｒｅａｔｅｒ， Ｒ． Ｆ． ＆ Ｗｉｇｈｔｍａｎ， Ａ． Ｓ． （１９７８）． ＰＣＴ， Ｓｐｉｎ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ， ａｎｄ Ａｌｌ Ｔｈａｔ

（Ｂｅｎｊａｍｉｎ， Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ）． Ｓｔｕｅｃｋｅｌｂｅｒｇ， Ｅ． Ｃ． Ｇ． ＆ Ｐｅｔｅｒｍａｎｎ，

Ａ． （１９５３）． Ｈｅｌｖ． Ｐｈｙｓ． Ａｃｔａ ２６， ４９９． Ｓｕｄａｋｏｖ， Ｖ． （１９５６）． Ｚｈ． Ｅｋｓｐ． Ｔｅｏｒ． Ｆｉｚ． ３０， ８７ （ＥｎｇＵｓｈ ｔｒａｎｓ．： Ｓｏｖ． Ｐｈｙｓ． ＪＥＴＰ ３， ６５）． Ｓｙｍａｎｚｉｋ， Ｋ． （１９７０ａ）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． １６， ４８． Ｓｙｍａｎｚｉｋ， Ｋ． （１９７０ｂ）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． １８， ２２７． Ｓｙｍａｎｚｉｋ， Ｋ． （１９７３）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． ３４， ７．

Ｓｙｍａｎｚｉｋ， Ｋ． （１９８２）． Ｉｎ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ＸＸＩＩ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｈｉｇｈ Ｅｎｅｒｇｙ Ｐｈｙｓｉｃｓ， ｅｄ． Ｐｅｔｉａｎ， Ｐ． ＆ Ｐｏｒｎｅｕｆ， Ｍ． （Ｅｄｉｔｉｏｎｓ ｄｅ Ｐｈｙｓｉｑｕｅ， Ｌｅｓ Ｕｌｉｓ，

Ｆｒａｎｃｅ）． Ｔａｒａｓｏｖ， Ｏ． Ｖ， Ｖｌａｄｉｍｉｒｏｖ，

Ａ． Ａ． ＆ Ｚｈａｒｋｏｖ， Ａ． Ｙｕ． （１９８０）． Ｐｈｙｓ． Ｌｅｔｔ． ９３Ｂ，

４２９． Ｔａｙｌｏｒ， Ｊ． Ｃ． （１９７１）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ３３， ４３６． ＇ｔ Ｈｏｏｆｔ， Ｇ． （１９７１ａ）． Ｎｕｃｌ Ｐｈｙｓ． Ｂ３３， １７３． ＇ｔ Ｈｏｏｆｔ， Ｇ． （１９７１ｂ）． Ｎｕｃｌ Ｐｈｙｓ． Ｂ３５， １６７．

（１９７３）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ６１， ４５５． ＇ｔ Ｈｏｏｆｔ， Ｇ． ＆ Ｖｅｌｔｍａｎ Ｍ． （１９７２ａ）． Ｎｕｃｌ Ｐｈｙｓ． Ｂ４４， １８９． ＇ｔ Ｈｏｏｆｔ， Ｇ． ＆ Ｖｅｌｔｍａｎ Ｍ． （１９７２ｂ）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ５０， ３１８． Ｔｋａｃｈｏｖ， Ｆ． Ｖ． （１９８１）． Ｐｈｙｓ． Ｌｅｔｔ． １００Ｂ， ６５． Ｔｏｕｓｓａｉｎｔ， Ｄ． （１９７８）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１８， １６２８． Ｔｒｅｉｍａｎ， Ｓ． Ｂ．， Ｊａｃｋｉｗ， Ｒ． ＆ Ｇｒｏｓｓ， Ｄ． Ｊ． （１９７２）． Ｌｅｃｔｕｒｅｓ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ （Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ）． ＇ｔ Ｈｏｏｆｔ， Ｇ．

ｏｎ Ｃｕｒｒｅｎｔ

Ａｌｇｅｂｒａ

３７６

Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ

Ｖｅｌｔｍａｎ， Ｍ． （１９７７）． Ｎｕｃｌ． Ｐｈｙｓ． Ｂ１２３， ８９． Ｖｌａｄｉｍｉｒｏｖ， Ａ． Ａ．， Ｋａｚａｋｏｖ， Ｄ． Ｉ． ＆ Ｔａｒａｓｏｖ， Ｏ． Ｖ． （１９７９）． Ｚｈ． Ｅｋｓｐ． Ｔｅｏｒ， Ｆｉｚ． １１， １０３５ （Ｅｎｇｌｉｓｈ ｔｒａｎｓ．： Ｓｏｖ． Ｐｈｙｓ． ＪＥＴＰ ５０， ５２１）． Ｗａｒｄ， Ｊ． Ｃ． （１９５０）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． ７８， １８２． Ｗｅｉｎｂｅｒｇ， Ｓ． （１９６０）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． １１８， ８３８． Ｗｅｉｎｂｅｒｇ， Ｓ． （１９７３）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ８， ３４９７． Ｗｅｉｎｂｅｒｇ， Ｓ． （１９７４）． Ｉｎ Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ＸＶＩＩ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｈｉｇｈ

Ｅｎｅｒｇｙ Ｐｈｙｓｉｃｓ （Ｌｏｎｄｏｎ， １９７４）， ｅｄ． Ｓｍｉｔｈ， Ｊ． Ｒ． （Ｒｕｔｈｅｒｆｏｒｄ Ｌａｂ．， Ｃｈｉｌｔｏｎ， Ｄｉｄｃｏｔ， Ｂｅｒｋｓｈｉｒｅ， Ｅｎｇｌａｎｄ）． Ｗｅｉｎｂｅｒｇ， Ｓ． （１９７６）． Ｉｎ Ｇａｕｇｅ Ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ Ｍｏｄｅｒｎ Ｆｉｅｌｄ Ｔｈｅｏｒｙ， ｅｄｓ． Ａｒｎｏｗｉｔｔ， Ｒ． ＆ Ｐｒａｎ Ｎａｔｈ （Ｍ．Ｉ．Ｔ．， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ， Ｍａｓｓ．）． Ｗｅｉｎｂｅｒｇ， Ｓ． （１９８０）． Ｐｈｙｓ． Ｌｅｔｔ． ９１Ｂ， ５１． Ｗｉｌｓｏｎ， Ｋ． Ｇ． （１９６９）． Ｐｈｖｓ． Ｒｅｖ． １７９， １６９９． Ｗｉｌｓｏｎ， Ｋ． Ｇ． （１９７３）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ７， ２９１１． Ｗｉｌｓｏｎ， Ｋ． Ｇ． （１９７４）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ１０， ２４４５． Ｗｉｌｓｏｎ， Ｋ． Ｇ． ＆ Ｆｉｓｈｅｒ， Ｍ． Ｅ． （１９７２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｌｅｔｔ． ２８， ２４０． Ｗｉｌｓｏｎ， Ｋ． Ｇ． ＆ Ｋｏｇｕｔ， Ｊ． （１９７４）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｐ． １２， ７５． Ｗｉｔｔｅｎ， Ｅ． （１９７６）． Ｎｕｃｌ Ｐｈｙｓ． Ｂ１０４， ４４５．

Ｙａｎｇ， Ｃ． Ｎ． ＆ Ｍｉｌｌｓ， Ｒ． （１９５４）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｙａｏ， Ｙ． Ｐ． （１９７３）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｄ７， １６４７． Ｚｅｅ， Ａ． （１９７２）． Ｐｈｙｓ． Ｒｅｖ． Ｌｅｔｔ． ２９， １１９８．

９６， １９１．

Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ， Ｗ． （１９６８）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． １１， １． Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ， Ｗ． （１９６９）． Ｃｏｍｍ． Ｍａｔｈ． Ｐｈｙｓ． １５， ２０８． Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ， Ｗ． （１９７０）． Ｉｎ Ｌｅｃｔｕｒｅｓ ｏｎ Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ａｎｄ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｆｉｅｌｄ Ｔｈｅｏｒｙ， ｅｄｓ． Ｓ． Ｄｅｓｅｒ ｅｔ ａｌ． （Ｍ．Ｉ．Ｔ．， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ， Ｍａｓｓ）．

Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ， Ｗ． （１９７３ａ）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） ７７， ５３６． Ｚｉｍｍｅｒｍａｎｎ， Ｗ． （１９７３ｂ）． Ａｎｎ． Ｐｈｙｓ． （Ｎ．Ｙ．） １１， ５７０．

Ｉｎｄｅｘ

ｅ－ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ６２ ＜ｊ＞３ ｔｈｅｏｒｙ ３６ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ３８ Ａ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ＱＣＤ １８８ Ａｄｌｅｒ－Ｂａｒｄｅｅｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ３３８ Ａｌｔａｒｅｌｌｉ－Ｐａｒｉｓｉ ｅｑｕａｔｉｏｎ ３７０ ａｎｏｍａｌｉｅｓ ３３１ Ａｄｌｅｒ－Ｂａｒｄｅｅｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ３３８ ｎｏｔ ｉｎ ｎｏｎ－ｓｉｎｇｌｅｔ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ ３４６ ｏｎｅ－ｌｏｏｐ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ３４２ ｔｒｉａｎｇｌｅ ３４９ ａｎｏｍａｌｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ １８， ３３１ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｒｅｅｄｏｍ １８７ ｂａｒｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ １０ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ２０９ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ２１７ ｂａｓｉｃ ｇｒａｐｈ ９０ ｂａｓｉｃ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ８９ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ １１ ＢＰＨ ５３ ｓｅｅ ａｌｓｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ＢＰＨＺ ５３， １３３ ｓｅｅ ａｌｓｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ １８ ａｎｏｍａｌｏｕｓ １８ ｄｙｎａｍｉｃａｌｌｙ １９ ｅｘｐｌｉｃｉｔｌｙ １８ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ １８ ｎｏｔ ａｔ ｄ ２ ２６ ＝

ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ２６， ２４７ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ２４７， ３１４ ＢＲＳ， ｓｅｅ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ５ ｃａｕｓａｌｉｔｙ ６ ｃｈａｒｇｅ ｃｏｎｊｕｇａｔｉｏｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ， ｆｏｒ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ３５ ｃｈｉｒａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｙ １７， ３３３ ａｎｄ ａｎｏｍａｌｉｅｓ ３３８ ｃｏｍｍｕｔａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｅｑｕａｌ－ｔｉｍｅ ５ ｆｒｏｍ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ６

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

１３８

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ １４６ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ １５５， １５８ ｍｉｘｉｎｇ ｕｎｄｅｒ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ １４９ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ １５２ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ， ｅｘａｍｐｌｅ １４２ ｔｅｎｓｏｒ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ １５０ ｔｗｉｓｔ ３６３ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ １６０ ｓｅｅ ａｌｓｏ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ ８ ｓｅｅ ａｌｓｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ， ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ５９， ２７７ ｃｏｓｍｏｌｏｇｉｃａｌ ｔｅｒｍ， ａｎｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ １１８ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ １１， ８９ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ １３， ５３， ６２ ｆｏｒ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ５６ ｌａｔｔｉｃｅ ８ Ｐａｕｌｉ－Ｖｉｌｌａｒｓ １２ ｓｅｅ ａｌｓｏ ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ ｅｎｔｒｉｅｓ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ２２２ ｅｘａｍｐｌｅｓ ２２６ ｅｘｃｅｐｔｉｏｎｓ ２２３ ｍａｎｉｆｅｓｔ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ２３０ ｐｒｏｏｆ ２３３ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ２４０ ｄｅｅｐ ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ３５４ Ａｌｔａｒｅｌｌｉ－Ｐａｒｉｓｉ ｅｑｕａｔｉｏｎ ３７０ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｗｉｌｓｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ３６４ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ３６１ ｐａｒｔｏｎｓ ａｎｄ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ

３６９ Ｗ± ａｎｄ Ｗ５ ３５７， ３７１ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ４５ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｎ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ １６３ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ １３， ５３， ６２ ａｘｉｏｍｓ ６４ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ６７ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ６８ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｉｎ ８３， ３３４ ｌｉｓｔ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ８１ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ７３

３７８

Ｉｎｄｅｘ

ｒｅｄｕｃｅｄ ｔｏ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ６７ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ６５ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｒａｎｓｍｕｔａｔｉｏｎ ２０３ Ｄｉｒａｃ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｙ５ ａｔ ４＾４ ８６， ３３４ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｎ ｄ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ ８３

ｄｙｎａｍｉｃａｌｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ １９

ｕｎｂｒｏｋｅｎ， ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ２４５ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｂｏｓｏｎｓ， ｓｅｅ Ｎａｍｂｕ－Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｂｏｓｏｎｓ Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｍｏｄｅｌ ２４７ Ｇｒａｓｓｍａｎｎ ａｌｇｅｂｒａ ２７ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ

ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ １５

ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ６ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ １３ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ７ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ７

ｏｐｅｒａｔｏｒ ５

ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｓｐａｃｅ １５

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ６，１３

Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ

ｓｐａｃｅ－ｔｉｍｅ ８．

ｅｖａｎｅｓｃｅｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ３４６

ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｂｒｅａｋｉｎｇ １８ ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍｓ １， １８７ Ｆａｄｄｅｅｖ－Ｐｏｐｏｖ ｇｈｏｓｔ， ｓｅｅ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ

Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ３４ ｓｅｅ ａｌｓｏ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ １９０ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ １０９ ３－ｌｏｏｐ ｅｘａｍｐｌｅ １０６ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒ ｂｏｓｏｎｓ ６ ｆｏｒ ｆｅｒｍｉｏｎｓ ２７ Ｍｏｎｔｅ－Ｃａｒｌｏ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ １３

ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ３０９， ３２７ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ３１６ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ２８ ＢＲＳ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ３２

Ｈａｍｉｌｔｏｎｉａｎ， ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ５ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｂｅｈａｖｉｏｒ， ａｎｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ １８７， １９１ Ｌａｎｄａｕ ｇｈｏｓｔ １９６ ｌａｒｇｅ ｍａｓｓ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ２２２ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ １８５ ｌａｔｔｉｃｅ ８ ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ １９３ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ １９６ ｌｉｓｔ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ８１ ｌｏｗ－ｅｎｅｒｇｙ ｂｅｈａｖｉｏｒ １９１ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ４８ ｍａｓｓｉｖｅ ｐｈｏｔｏｎ， ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ３２４ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ５６， １３５ ｓｅｅ ａｌｓｏ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ Ｍｏｎｔｅ－Ｃａｒｌｏ １３

ｃｈａｒｇｅ ｃｏｎｊｕｇａｔｉｏｎ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ３５ Ｆａｄｄｅｅｖ－Ｐｏｐｏｖ ｇｈｏｓｔ ３０ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ３４ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｖ． ｇａｕｇｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ３１

Ｎａｍｂｕ－Ｇｏｌｄｓｔｏｎｅ ｂｏｓｏｎｓ ２１， ２５２ Ｎｏｅｔｈｅｒ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ １８ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ４９

ｇａｕｇｅ－ｆｉｘｉｎｇ ３０ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ３２１ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ２９８ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ２９

ｎｏｒｍａｌ ｐｒｏｄｕｃｔｓ，

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ２９３ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ３１９ Ｓｌａｖｎｏｖ－Ｔａｙｌｏｒ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ３２ Ｇｅｌｌ－Ｍａｎｎ－Ｌｏｗ ｆｏｒｍｕｌａ ２２ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ ａｓ ｅｘａｍｐｌｅ ｏｆ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｙ １７ ｃｏｓｍｏｌｏｇｉｃａｌ ｔｅｒｍ ａｎｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ １１８ ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｆｏｒ Ｇｒｅｅｎ＇ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ７ ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ２４４ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ， ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ２４７

ｉｎ ｒｅａｌ ｐｈｙｓｉｃｓ １２２ ｎｏｎ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｕｒｒｅｎｔｓ １６２ ｓｅｅ

ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ

ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ２５７ ａｎｄ ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ ３６９ ａｎｄ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ２７４ ｄｅｅｐ ｉｎｅｌａｓｔｉｃ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ３６１ ｅｘａｍｐｌｅｓ １３９，２５８ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ３２１ ｉｎ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ－ ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔｕｍ－ｓｐａｃｅ ２５７ ｐｒｏｏｆ ２６６ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ２５８ ｏｖｅｒｌａｐｐｉｎｇ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ ９９ ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ １３０ ｏｎ １ ＰＲ ｇｒａｐｈｓ １３１

ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ， ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ａｓ ８ ｐａｒｔｏｎ ｍｏｄｅｌ ３５５， ３５８， ３６９ Ｐａｕｌｉ－Ｖｉｌｌａｒｓ ｃｕｔ－ｏｆｆ １２

３７９

Ｉｎｄｅｘ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ２１

ｓａｄｄｌｅ ｐｏｉｎｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ２６ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ｆｏｒ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ３４ ｍａｘｉｍｕｍ ａｃｃｕｒａｃｙ ｗｉｔｈ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｒｅｅｄｏｍ １８９ ｎｏｔ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ ２４， １８９ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ ＱＣＤ １ Ｐｏｉｎｃａｒｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ １７ ｐｒｏｐａｇａｔｏｒ ２２ ｓｈｏｒｔ－ｄｉｓｔａｎｃｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ２７８ ｔｈｅｒｍａｌ ２８０ ａｓ

ＱＣＤ Ａ ｐａｒａｍｅｔｅｒ １８８ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｒｅｅｄｏｍ １８８ Ｆｅｙｎｍａｎ ｒｕｌｅｓ ３４ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅ １ ｓｅｅ ａｌｓｏ ｇａｕｇｅ

ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ＱＥＤ ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ３２７ ｉｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｉｅｌｄ ２９１ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ２９３， ３２２ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ３２９ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ３２６ ｓｅｅ ａｌｓｏ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｓｅｅ ＱＣＤ ｑｕａｎｔｕｍ ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ， ｓｅｅ ＱＥＤ ｑｕａｎｔｕｍ ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ａｎａｌｏｇ ｏｆ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ８ ａｘｉｏｍｓ ６ ｒｅｖｉｅｗ ４ ｓｔａｎｄａｒｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ６ ｓｔａｎｄａｒｄ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ３６ ｓｅｅ ａｌｓｏ， ＜￡３ ｔｈｅｏｒｙ； ＱＣＤ； ＱＥＤ ｑｕａｎｔｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ

ｑｕａｎｔｕｍ ｃｈｒｏｍｏｄｙｎａｍｉｃｓ，

ａｓ

ｆｉｅｌｄ ｔｈｅｏｒｙ ａｔ ｄ

／＾－ｇａｕｇｅ

３１４

ｒｅｇｕｌａｔｏｒ，

ｓｅｅ

＝

１ ６

ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ６

ｃｕｔ－ｏｆｆ

ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ ４９， １１６ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ９， ８８ ａｎｄ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｌｉｍｉｔ ９ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ ３４０ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｐａｃｅ ５９， ２７７ ｅｘａｍｐｌｅｓ ２８１ ｅｘａｍｐｌｅｓ ３８ ｆｏｒ ｍａｓｓｌｅｓｓ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ５９ ｆｏｒｅｓｔ ｆｏｒｍｕｌａ １０９ ｇａｕｇｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ３０９， ３２７ ｇａｕｇｅ ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ３１６ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ２９３ ｗｉｔｈ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｂｒｅａｋｉｎｇ ３０８， ３１４ ｉｎ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｉｅｌｄ ２９１ ｌｏｃａｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｕｎｔｅｒｔｅｒｍｓ ９７， １２５ ｎｏｎ－ｚｅｒｏ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ２８６

ｏｖｅｒｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ １３０ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ５２ ＱＥＤ ２９３， ３２２ ｗｉｔｈ ｐｈｏｔｏｎ ｍａｓｓ ３２３ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｇｒｏｕｐ ５０， １６８ Ａ ｐａｒａｍｅｔｅｒ １８８ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｒｅｅｄｏｍ １８７ ｃｈａｎｇｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ２００ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ １８０ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ２１９ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｂａｒｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ２０９ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ２１７ ｃｕｔ－ｏｆｆ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ， ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｎ ２０６ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ ２４０ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｔｒａｎｓｍｕｔａｔｉｏｎ ２０３ ｅｑｕａｔｉｏｎ １８３ ｅｘａｍｐｌｅｓ ５０， １７２ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔｓ １９０ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ３１９ ｉｎｆｒａ－ｒｅｄ ｂｅｈａｖｉｏｒ １８７， １９１ Ｌａｎｄａｕ ｇｈｏｓｔ １９６ ｌａｒｇｅ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｂｅｈａｖｉｏｒ １８５ ｌｅａｄｉｎｇ ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ １９３ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ ５６， １８１ ｓｅｖｅｒａｌ ｃｏｕｐｌｉｎｇｓ １９７ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ＲＧ ｅｑｕａｔｉｏｎ １８４ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｓ ５２ ＢＰＨ ５３ ＢＰＨＺ ５３， １３３ ｍａｓｓ－ｓｈｅｌｌ ４８ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ １３５ ａｔ ｏｎｅ ｌｏｏｐ ５６

ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ２５３ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｆｉｅｌｄ １０ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚｅｄ ｍａｓｓ， ａｎｄ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍａｓｓ ５１

Ｓｌａｖｎｏｖ－Ｔａｙｌｏｒ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ ３２ ｓｐｏｎｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ １８ ａｂｓｅｎｃｅ ｏｆ ＩＲ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅｓ ２５２ ｃｈｏｉｃｅ ｏｆ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ２５３ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ２４７ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｕｒｒｅｎｔ ２５１ ｓｕｐｅｒ－ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ， ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ １１８ ｓｕｐｅｒｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ １７， ３３９ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ １５， ２４４ ＢＲＳ， ｓｅｅ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｃｈａｒｇｅ ｃｏｎｊｕｇａｔｉｏｎ， ｓｅｅ ｇａｕｇｅ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ｇａｕｇｅ ２８ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ １９， １６０ ｓｅｅ ａｌｓｏ ｂｒｏｋｅｎ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ； ｇｌｏｂａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ｔｈｅｒｍｏｄｙｎａｍｉｃ ｌｉｍｉｔ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ８ ｔｒｉａｎｇｌｅ ａｎｏｍａｌｙ ３４９

３８０ ｔｗｉｓｔ ３６３ ｕｌｔｒａ－ｖｉｏｌｅｔ ｒｅｇｕｌａｔｏｒｓ １２ ｓｅｅ－ ａｌｓｏ ｃｕｔ－ｏｆｆ； ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｕｎｉｔａｒｙ ｇａｕｇｅ ３２４， ３３０ Ｗａｒｄ ｉｄｅｎｔｉｔｉｅｓ １６， １９， １６０ ａｘｉａｌ ｃｕｒｒｅｎｔ ３３９． ３４９ ＯＥＤ ３２６

Ｉｎｄｅｘ ｒｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎ ２４６－２５６ Ｗｅｉｎｂｅｒｇ＇ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ １２５ Ｗｉｃｋ ｒｏｔａｔｉｏｎ ８， ３９ Ｗｉｇｈｔｍａｎ ａｘｉｏｍｓ ６ Ｗｉｌｓｏｎ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ， ｓｅｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ Ｙａｎｇ－Ｍｉｌｌｓ ｔｈｅｏｒｙ， ｔｈｅｏｒｉｅｓ

ｓｅｅ ｇａｕｇｅ

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