Rekenen-wiskunde en didactiek - de rol van de leerkracht in het basisonderwijs 9789046905562

Citation preview

REKENENWISKUNDE •

•

•

Rekenen-wiskunde en didactiek Oe rol van de leerkracht in het basisonderwijs

Peter Ale 8 Martine van Schaik

ui tg e ve c out i n ha bussum 2017

rij

ww w.eau tinho.nl/rwd je kunt aande slag met het online studiemateriaal bij dit boek. Dit materiaal bestaat uit links en antwoorden op de vragen uit het boek.

@ 201 7 Uitgeverij Coutinho bv Alle rechten voorbehouden. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit

deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagenin een ge automatiseerdgegevensbestand,of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, doorfo. tokopieen, opnamen,of op enige andere manier. zonder voorafgaande schriftelijke toestemming vande uitgever. Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgaveistoegestaan op grond van artikel 16h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor wenelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3051, 2130 KB Hoofddorp, www.

reprorecht.nl). Voor het overnemen van (een) gedeelte(n) uitdezeuitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie en Reproductierechten Organisatie, Postbus 3060, 21 30 KB

Hoofddorp, wwwsti«hting pro.nl) Uitgeverij Coutinho Postbus 333 1400 AH Bussum infoCecoutinho.nl www.coutinho.nl

Omslag: Garlic, Amsterdam Noot van de uitgever

Wij hebben alle moeite gedaan om rechthebbenden van copyright ceachterhalen. Personen of instanties die aanspraak maken op bepaalde rechren,wordt vriendelijk verzocht contacc op te nemen met de uitgever. De personenop de fotos komen niet in de tekstvoor en hebben geen relatiem ethetgeen in de tekst wordt beschreven. ISBN e book 9789046967300 ISBN boek

9 7 8 90469 0556 2

NUR

123

Voorwoord

Dit boek gaat overreken-wiskundeonderwijs met een link naar de rekeninhoud van het basisonderwijs en een link naar de kennisbasisvoor pabostudenten. Het boek gaat over hoe kinderen leren, over de uitgangspunten van de didactiek en de uitwerking daarvan, maar bovenal over rekenles geven.Het is geen recep-

tenboek:het leraarschap wordt naast deopgedane kennisen vaardigheid ook bepaald door demensdie menis. In Rekenenverbeteren?Begin bij de /eraar! een publicatie van het APS (Hoogland et al„2011) worden de idealen van leerkrachten genoemd: • re kenen metplezier en zelfvertrouwen;

• voor allekinderen positieve resultaten; • meten vanelkaar leren; • ze lfontdekken door te doen; • een gezamenlijk doel als kader, daarbinnen ruimte voor ieder kind. We hopen dat na het lezen van dit boek studenten ervarendat deze idealen

haalbaarzijn. Oe voorwaarde daarvoor is devakdidactiek beheersen. Oiestaat in dit boek centraal. We danken alle collegas die bij het schrijven van dit boek hebben meegelezen en ons van (somspittige) feedback hebben voorzien. Hunhulp heeft ervoor gezorgddat er nu een volwaardig didactiekboek reken-wiskunde ligt. Samenmet Rekenen en wiskunde uitgelegd vormt dit boek eencomp letedekking

van dekennisbasisrekenen-wiskunde. In Rekenenen wiskundeuitgelegdkande student zich derekenvaardigheid eigen maken die nodigis voor het basisonderwijs„ terwijl dit boekingaat op de rol van de leerkracht tijdens het lesgeven in rekenen-wiskunde.

Inhoudsopgave

Inleiding

DEEL I De basis van het reken-wiskundeonderwijs Visies.strom ingen enontwikkelingeninhet rekenwiskundeonderwijs

'l.l Samenvaning '1.2 Inleiding 1.3 Enkele theorieen over leren

1.3.1 Neurologie

1.3.2 De invloeden van verschillende ontwikkelingsstromingen 1.3.3 Realistisch rekenen: reconstructiedidactiek en progressieve schematisering 1.4 Consecluenties van de theorieen 1.4.1 Begripsvorming 1 4.2 Strategieontwikkeling

1 4.3 Automatiseren en memoriseren 14.4 Probleemoplossen 1.4.5 Functioneel rekenen 1.4.6 Realistisch en functioneel rekenen 'I.S De rol van de leerkracht 1.5.1 Realistisch rekenen

1.5.2 Klassenmanagement in rekenonderwijs 1.5.3 Differentiatie 1.5.4 Zelfstandig werken 1.5.5 Passend onderwijs en zorgverbreding 1.5.6 Slaaf van de methode 1.5.7 Toetsen en opbrengstgericht werken

17 17 18 20 22 29 39 39 42 43 4S 51 52 SS 55 58 60 61 61 63 64

Deel II De rol van de leerkracht in de onderbouw, middenbouw en bovenbouw

2.1 2.2

Onderbouw (groep 1-2)

69

Samenvaning Inleiding 2.2.1 Reken-wiskundigeontwikkeling van zeer jonge kinderen

69 70 70 74 80

2.2.2 Spelend leren en hoeken 2.2.3 De kring en andere organisatievormen 2.3 Het curriculum 2.3.1 Getalbegrip 2.3.2 hheten 2.33 hheetkunde

23.4 Breuken enverhoudingen 23.5 Verbanden 2.4 Cruciale leermornenten 2.5 De rol van de leerkracht

2.5.1 Derol vande leerkracht tijdens spel:redeneren stimuleren 2.5.2 De rol van de leerkracht bij toetsen 2.53 De rol van de leerkracht bij prentenboeken: rekenen-wiskunde stimuleren

Middenbouw (groep 3-5) 3.1 Samenvatting 3.2 Inleiding 3.3 Het curriculum

33.1 Hele getallen 3.3.2 hheten

3.3 3 hheetkunde

3.3.4 Verhoudingen 3.3.5 Verbanden Cruciale leermomenten 3.5 De rol van de leerkracht 3.5.1 Differentieren 3.5.2 Onderwijs opmaat

3.53 Werkenmet rijke rekenproblernen

84 84 97 109 128 130 131 133 133 13S 137

141 141 141 142 142 170 175 178 179 181 185 185 193 195

Bovenbouw (groep 6-8) 4.1 Samenvatting 4.2 Inleiding 4.3 Het curriculum

4.3.1 Helegetallen 4.3.2 hheten

4.33 hheetkunde

4.3.4 Verhoudingen,procenten. breukenen kommagetailen 4.3.5 Verbanden Cruciale leermornenten 4.5 De rol van de leerkracht 4.5.1 Differentieren 4.5.2 Passend onderwijs

197 197 197 202 202 246 253 256 284 287 289 289 291

Deel III De didactiek toegepastin een project Project: een rekenboek voor het land van Sixt

317

Bijlage

Clobale beschrijvingenvandoelen per bouwen per domein

340

Illustratieverantwoording

353

Bibliografie

355

Register

361

Over de auteurs

367

Inleiding

Kunnenrekenen isin de maa tschappij,naast een goede taalbeheersing, van groot belang.Het lijkt een opendeur. Tochwordr.er, alsde media gelijk hebben, in ons onderwijs te weinig aan rekenen gedaan, of in iedergeval vindt men het

niveau telaag.Omkinderen rekenente leren is meer nodigdan het doorlopen van eenrekenmethode. Er is een leraar nodig met enthousiasme voor het vak en bovendien een grondige basis van kennis en vaardigheden van zowel het rekenen als de didactiek.

In de kennisbasisrekenen-wiskunde isuitvoerig beschreven wat de leerkracht moet weten en kunnen omhet onderwijs te verzorgen. De vertaling van deze kennisbasis naar de rekenvaardigheidis gemaakt in het boek Rekenenen wiskunde uitgelegd.In Rekenen-wiskunde en didactiek —De rel van de leerkracht in het basisonderwijszijn de didactische vaardigheden om reken-wiskundeonderwijste verzorgenin de rekenlessen, maar ook daarbuiten, het doel. In dit boek wordt de onder wijsinhoud van het basisonderwijsvertaald naar leerkrachtgedrag. Nietde tafels zijn het onderwerp van dit boek, maar de stappen die eenleerling moet zetten om beheersing hiervante krijgen en de activiteiten die eenleerkracht uitvoert omde leerling hiertoe in staat te stellen. Orn dit te kunnen moet de leerkracht weten wat de achterliggende theorieen

zijn over hetlerenvan kennisen vaardigheden opjonge leeftijd (4-12 jaar). Deze komenin het eerste deelvan dit boek uitvoerig aandeorde. In deel II vandit boek staat de rol van de leerkracht centraal in relatie tot het curriculum van de onderwijsfase. We hebben gekozen voor een indeling indrie

hoofdstukken:onderbouw (groep 1-2), middenbouw(groep 3-4-5) en bovenbouw (groep6-7-8). Hiervoor isgekozen omdat leerlingen in groep 1-2anders leren danleerlingenin groep3. Tegelijkertijd worden er binnen het reken-wiskundeonderwijs aan leerlingenin groep 3-4-S andere accenten gelegddan in de schooljaren daarna. In de middenbouw zijn deleerlingen bijvoorbeeld vooral bezigmet basisvaardigheden, terwijl de leerlingen in groep 6-7-8 deze vaardigheden toepassenin verschillende situaties en zich daarnaast nieuwe rekenonderdeleneigenmaken, zoalshet omgaanmet (woord)formules, het leren cijferen en

het werken met breuken.

11

Rekenen-wiskunde en didactiek

In dit boek staan voorbeelden van leerlingenwerk en van oefeningen uit reken-wiskundemethoden, maar altijd in relatie tot de rol van de leerkracht. Wat

is de achtergrond van dezeopgaven?Met welk doel worden dergelijke opgaven aangeboden en waar moet de leerkracht op letten, bij het uitleggen en nabespreken van dergelijke opgaven, zodat de leerlingen hier zo veel mogelijk van begrijpen en leren?

Alle hoofdstukken in deel II kennen dezelfde opbouw: • inleiding • curriculum • cr uciale leermomenten • de rol van de leerkracht In de paragrafen over de rol van de leerkracht ligt de nadruk op differentiatie,

onderwijs op maat en niveauverhoging. In het hoofdstuk gericht op de bovenbouw komen daar nog expliciet de 21e-eeuwse vaardigheden bij. In de andere hoofdstukken zijn ze impliciet aanwezig door middel van het aanbieden van rijke

problemen. In deel III, hoofdstuk S. komt het geheel bij elkaar door middel van een project.

De inhoud van de voorafgaande hoofdstukken wordt ingezet om onderwijsmateriaal te ontwerpen ten behoeve van het aanleren van het rekenen in het zestallig stelsel.

In de bijlage zijn de globale overzichten van de doelen per bouw en per domein opgenomen. Dezebeschrijven wat er per bouw per rekenonderdeel centraal staat, zodat je hierop je onderwijs kunt vorrngeven. Voor een volledig overzicht

van de kerndoelen en de leerlijnen verwijzen we naar dewebsites tule.slo.nl, rekenlijn.nl en de websites bij de verschillende basisschoolmethoden. Net als in Rekenen en wiskunde uitgelegd wordt de theorie aangevuld met rips en opdrachten. Deze hebben twee bedoelingen: je als leerkracht in spe aanzetten tot het verder doordenken van de didactiek en het doen van suggesties voor

activiteiten in de rekenles. Deopdrachten in dit boek zijn bedoeld om samen met andere studenten de theorie toe te passen en de kennis te verdiepen. Op de website bij dit boek zijn mogelijke uitwerkingen van de opdrachten te vinden. Aan het eind van het boek is de bibliografie opgenomen. Wehebben ervoor gekozen om vanwege de leesbaarheid zelden in de lopende tekst te verwijzen naar

bronnen. In de opgenomen literatuurverwijzingen is voldoende onderbouwing 12

Inleiding

te vinden. Woorden alsmoeten, belangrijk,belang. noodzakelijk, enzovoort worden door onsveelvuldig gebruikt om te onderstrepen welke aspecten wij belang-

rijk vinden. Welaten het aande besprekingtijdensde collegesrekenen-wiskunde endidactiekom daarverder,somsgenuanceerder,overnatedenken. Leeswijzer Alseerstejaarsstudent aande paboishet van belangeerst deel I te lezen.)e krijgt zo inzichtin de achterliggendegedachten van het onderwijs datjij gaatgeven. Het israadzaamom dit hoofdstukaf entoe nogeensdoor te lezen.)e zult merken dat je elke keer meer dingen gaat begrijpen en ook steeds meer herkent in de stages ofin de casussen die worden behandeld op de pabo.

Alsjouw paboin de opbouw van het curriculum uitgaatvan bouwen,dan is het verstandig om in het eerste jaardeel I globaal door te lezen. Achtereenvolgens

komen daninde pabolessen vanjaar 1 en 2de hoofdstukken 2 tot en met 4 van deel II aan de orde. Aan het einde van elk hoofdstuk ishet verstandig deel I nog eens door te lezen. Jezult merken dat er dan steeds meer van de rekendidac tiek duidelijk wordt en dat je steeds meer van de grondslagen van het huidige rekenonderwijs terugziet inde stages. Als jouw pabo in jaar 1 en jaar 2 het onderwijs niet per bouw. maar per domein

van het rekenonderwijsaanbiedt, dan kun je dit boek ookgebruiken.)e werkt het danniet per bouwdoor, maar per domein. Hierna staat welke paragrafen dat dan betreft: Domein

Deel II hoofdstuk 2

Deel II hoofdstuk 3

Deel II hoofdstuk 4

Hele getallen

paragraaf 2.3.1

paragraaf 33.1

paragraaf 4.3.1

hheten

paragraaf 2.32

paragraaf 33.2

paragraaf 4.32

hheetkunde

paragraaf 2.3.3

paragraaf 3.3.3

paragraaf 4.3.3

ten, verhoudingen en komrnagetallen

paragraaf2.3.4

paragraaf 3.3.4

paragraaf 4.3 4

Verbanden

paragraaf2.3.5

paragraaf 3.3.5

paragraaf 4.3.5

Breuken,procen-

Deel III komt pasaande ordealsde delen I enII goedzijn afgesloten. Dit deel kan individueel worden gemaakt, maarbeter is het om het met twee of meer studenten te doen. Het isbelangrijk om bij elk deel de bijbehorende hoofdstukken uit Rekenen en Wiskundeuifge(egd (of een ander theorieboek) te bestuderen. Het lesgeven in

13

Rekenen-wiskunde en didactiek

rekenen/wiskunde kan niet zonder kennis en begrip van de wiskunde die hieronder ligt.

In de tekst verwijzen pictogram men naarextra informatie.

o

verwijst naar extra informatie over de leerlijnen in het basisonderwijs. Oeze zijn weergegeven op de websites bij de verschillende basiss«hoolmethoden, Het Freudenthal, Rekenweb en 5LO. Een globaal overzicht is te vinden, in de bijlage achter in dit boek.

verwijst naar de bijbehorende website. Hier vind je links naar de websites die in hetboek genoemd worden en de uitwerkingen van de opdrachten. verwijst naar relevante rekentheorie uit het boek Rekenen en wiskunde uitgelegd.

14

•

-

• g

•

•

•

Visies, stromingen en ontwikkelingen in het

reken-wisk undeonderw ijs 1.1 Samenvatting In dit deel komenverschillende theorieen aan,deorde die van belangzijn voor het onderwijs. Oeinvloed van dezetheorieen op het huidige reken-wiskundeonderwijswordt belicht, waarna uitvoerigdeverschillende rekenstrorningenvan dit moment wordenbesproken. Ook wordt er ingegaan op het onderliggende doel van het reken-wiskundeonderwijs: kinderen gecijferd maken, zodat ze goed kunnen functioneren in de maatschappij. Maar wat betekent het begrip gecij-

ferdheid?Wat valt er allemaal onder?Enwat wordt er vande leerkracht verwacht? Tot slot worden deze theorieen en dit onderliggende doel geplaatst in

algemenedidactische uitgangspunten zoalsdirecte instructie en differentieren.

1.2 Inleiding Hoe leren kinderen rekenen? Webeginnen met een vraag waarop veel antwoor-

den mogelijk zijn. Kinderenverschillen en zullen dusniet allemaalop hetzelfde moment en opdezelfde manier leren. Erisveel onderzoekgedaannaar hoe kinderenleren en zich ontwikkelen. 2o is onderzocht wat kinderen in verschillende leeftijdsfasenal kunnen en hoeje ze het best kunt laten leren. Kleuters lerenbijvoorbeeld heel anders danleerlingen in groep 3, 4en S. Onderzoekers en theoretici als Vygotsky, Freudenthal, maar ook Gardner bieden met hun werk kennisover hoe kinderen zich ontwikkelen en hoe zij leren. Orn een goed didac-

ticus tezijn. moet de leerkracht wetenhoedeleerling zich ontwikkelt en hoehij daarop kanaansluiten. Waarom wordt er zoveel aandacht besteedaan spelen in de kieuterklassen? Waarom rekenen kinderen in de middenbouw een periode met een rekenrek enzovoort.

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

Om grip op dezematerie te krijgen behandelen we in dit deel achtereenvolgens de theorieen die ten grondslag liggen aan het rekenonderwijs, de ontwikkelingen

in het huidige onderwijs en tot slot de rol van de leerkracht in dit proces.

1.3 Enkele theorieen ever leren Leren is een proceswaarin door middel van ervaringen wijzigingen ontstaan in bestaand gedrag of begrip. Die ervaringen gaanover wat je meemaakt. hoort, bespreekt met anderen en demate waarin de inhoud interessant is. Er issprake van een didactische vierhoek (Treffers & De Coeij, 2003). Oe leerling leert niet alleen, maar wordt beinvloed door de leraar, de medeleerlingen en de leerstof. Andersom heeft de leerling ook invloed op het leren en functioneren van de

groep en de leraar. leraar

leerling

groep

leerstof

Figuur 1.1 Didactische vierhoek

Opdracht 1.1 Bedenk een situatie waarin de leerkracht organiseert dat de leerling invloed heeft op de leerstof

informatie of leerstof kun je direct via je zintuigen ontvangen, bijvoorbeeld door wat je hoort en ziet, of door te experimenteren. De leerkracht kan dit bewust

oproepen door de leeromgeving die hij creeert en inricht. Informatie kan ook indirect opgenomen worden. Door het lezen van een boek. het kijken naar een

18

18 Enkeletheorieen over leren

documentaire of het lezen vaneen krant wordt informatie van anderen aangereikt, die de leerling dan kan verwerken.

Het gaat bij leren ook om het verwerken van informatie, waardoor je je iets eigen hebt gem aakt (kunnen) of te weten bent gekomen (kennen) wat je daarvoor nog niet kon of wist. Motivatie en aandacht spelen hierbij een belangrijke rol. Het proces van verwerken van informatie verloopt voor iedereen anders en in

een ander tempo. Kinderen leren door teexp erimenteren endoorteervaren. Kleuters doen dat al spelend. Oudere kinderen onderzoeken bijvoorbeeld hoe

een wekker werkt door hemuit elkaar te halen en te kijken hoe deze er vanbinnen uitziet. Over het algemeenkangezegdworden dat kinderenvoornamelijk leren door dingen uit te proberen, door ervaring op te doen (dire«te informatie door de zintuigen ontvangen). De leerkracht moet er dus voor zorgen dat de leeromgeving zo is ingericht dat er ook daadwerkelijk van alles te ervaren en te onderzoeken is. Een omgeving waar de leerling geprikkeld en uitgedaagd wordt

is van belang. Leren door imiteren Kinderen leren ook doordat ze mensen om zich heen dingen zien doen. Ze obser-

veren dat en kapieren het gedrag Dit zie je bij kleuters vooral terug in hun spel. Zij spelen bijvoorbeeld 'vadertje en moedertje' en kopieren dan vooral het gedrag dat ze hun eigen oudersdagelijks zien uitvoeren. Ze kunnen dan aak in een hoekje zittenen doen alsofzeeen boek lezen. In delaap van de basisschaol leert het kind manieren am dingen bewust te onthouden Ze zeggenwoorden af feitjeshardop na, ze classificeren deze en leggen verbanden zodat ze deze feitjesbeter onthouden.

Het mentale handelen van kinderen ontwikkelt zich ook. Ze kunnen zich steeds beter in gedachte iets voorstellen:mijn bouwwerk valt steeds om, wat zal er gebeuren als ik aan deonderkant meer blokken gebruik? Uit allerlei verschillende ervaringen wordt geleerd. Op een latere leeftijd zijn ze zelfs in staat verbanden te leggen, waardoor ze niet iedere soort ervaring hoeven op te doen. Ze bedenken dan bijvoorbeeld dat het bij de toren gaat om een stevige basis en ze passen deze

kennis toe op het rnornent dat ze eenpapieren gebouw willen maken.

tip Het domein meetkunde gebruikt de didactische opbouw ervaren, verklaren en

verbinden. Hierdoor sluit het onderwijs aan bij de ontwikkeling van het mentale handelen van leerlingen.

19

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

1.3.1 Neurologie Rekenen-wiskunde leren is een actief proces, waarbij verschillende denkhandelingenworden verricht. Het gaat daarbij om het veranderen van hoeveelheden, het ordenen van materialenof gegevens door middel van bijvoorbeeld toe-

voegen,herhaaldafnemen, verdelen, vereenvoudigenof schematiseren.Hierbij spelenprobleernoplossenen informatieverwerkeneen belangrijke rol. Om dat te kunnen,zijn vaardigheden als analyseren van binnenkomende gegevens, verge-

li jken vaninformatie met aanwezig evoorkennis,inhetwerkgeheugen beschikbaar houdenvaninformatie en tussentijds controleren cruciaal. Dezecognitieve vaardigheden zijn niet rekenspecifiek, maarwel van groot belang bij het leren rekenen.

Bij dezeprocessenspelen het kortetermijngeheugen, het werkgeheugenen het langetermijngeheugen een belangrijkerol. Het kortetermijngeheugen kan gedurende een aantal seconden een beperkte hoeveelheid informatie vasthouden, waarmee het werkgeheugen vervolgens aande slag kan. Bijvoorbeeld door met deze informatie bepaalde bewerkingen, uit te voeren. watbij getallen binnen rekenopgaven vaak gebeurt. Voorbeelden van het gebruik van het kor tetermijnge heugen Bij een opgave als 14+ 7 zou een leerling die die uitkomst niet direct weet eerst 13+ 7 kunnen berekenen.Hijonthoudt dan inzijn w erkgeheugen het tussenantwoord en

de stap dat hij er nog 1 bij moet doen. Bij een opgave als 'Hoeveel centimeter is 14,7 km?' zal eenleerling die de tussenstap via de eenheid 'meter' maakt 14700 meter in zijn werkgeheugen onthouden Hij moet dit getal daarna nog naar de eenheid 'centimeter' omrekenen door het met 100 te vermenigvuldigen. Bij het cijferend optellen kan het te onthouden cijfer bovenaan worden geschreven, maar je kunt het ook onthouden in je werkgeheugen.

tip leerli ngen met een zwak werkgeheugen zijn gebaat bijhetgebruik van kladpapier om tussenantwoorden en gedachten op te schrijven.

Het langetermijngeheugenis te vergelijken met een kennisbestand waarin feitenkennis (declaratievekennis) en bewuste en onbewuste procedurele kennis voor

langeretijd is opgeslagen.Bij rekenengeldt dat declaratieve kennis isgericht op wat je weet aan rekenfeiten en -begrippen en relaties. procedurele kennis richt zich op wat je weet over hoe rekenproblemen (door een rekenregel) moeten

20

1.3 Enkele theorieen over leren

worden opgelost.Het gaat hier dus om rekenstrategieen. Declaratievekennis en procedurele kennis zijn bij rekenennauw verweven, omdat het gaat om inzichtelijke kennis die onder andere gebruikt wordt bij probleemoplossen.

tip Als je over dit onderwerp meer wilt weten, lees dan het artikel lnttdtion and

Probfern Sofving (Nelissen, 2013). In het literatuuroverzicht tref je de volledige verwijzing.

Uit Reken zeker, leerlingenboek BA, blok 3, week i stamt de volgende opgave. Eenclown in het circus treedt tijdenseen voorstelling 4 keer op. 1"keer: 2 minuten en 3 seconden.

2' keer: 1minuut en 38seconden. 3"keer. 3 minuten en $7 seconden. 4" keer. 4 minuten en 22 seconden. Hoeveelseconden treedt hij in totaal op? ...

Figuur1.2 Bron: Rekenzeker, leerlingenboek 8A, 1e editie (2009) Groningen: Noordhoff Uitgevers

De declaratieve kennis die hier vooral gebruikt wordt, is dat 1 minuut 60 seconden bevat (rekenfeit). De procedurele kennisricht zich op de oplossingsstrategie, bijvoorbeeld eerst minuten omrekenen naar seconden (vermenigvuldigen met 60} en

vervolgensallesoptellen.

Toevoegingen vaninformatie aan het langetermijngeheugen ontstaan wanneer deze nodig blijken na vergelijkingmet de al aanwezige kennis. Kennis wordt dus

aan elkaargekoppeld.Oit gebeurt via het kortetermijngeheugen.waar het werkgeheugende informatie codeert. Hierbij speelt de hippocampus een belangrijke rol; hij maakt de informatie 'klaar' voor opslag in het langetermijngeheugen. Oit gebeurt door middel vanherhaling van de informatie. Het kan soms wel meer

dantweejaardurenvoordatinformatievolledigindehersenen isvastgelegd. Om dit proces goedte laten verlopen is aandacht nodig. Als je veel aandacht

aan ietsgeeft, bijvoorbeeld omdat je het belangrijk of interessantvindt, dan isde kansgroot dat de w aarnem ingeenvast plekjein het geheugenkrijgt. Hoe vaker je deinformatie gebruikt„des te beter blijven de gegevens in het langetermijngeheugenaanwezigen hoe sneller zeweer 'oproepbaar' zijn, wanneer nodig.Op deze manier is informatie of een vaardigheid dussnel paraat.

21

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

Informatieverwerking en didactisch handelen Het proces van informatieverwerking heeft voor de didactiek en het didactisch

handelen van de leerkracht de volgendeconsequenties: r Kennisis aan elkaar gekoppeld in netwerken.

tip Behandelnieuwe rekenstof in relatie totalbekende stof,zodat deze beter in een netwerk wordt opgeslagen. • Het werkgeheugenwordt veelgebruiktbinnen hetrekenonderwijs.

tip Ceef opdrachten diehetwerkgeheugen stimuleren en houd hierbijrekening met verschillen tussen leerlingen. • Erisaandacht en herhaling nodig om kennis op te slaan in het langetermijngeheugen.

tip let erop dat leerlingen voldoende geconcentreerd blijven en aandachtig werken.Herhaal rekenonderdelen regelmatig,zodat deze beterworden opgeslagen,vakerworden teruggeroepen en daarmee gemakkelijkeroproepbaar zlin.

tlP Als je meer wilt weten over de werking van de hersenen in relatie tot onderwijzen, lees dan Breindidacoek (Dirksen et al., 2014).

1.3.2 De invloeden van verschillende ontwikkelingsstrosningen Belangrijke stromingen uit het verleden bepalen nog voor een groot deel de ideeen die tegenwoordig over het leren worden aangehangen.Voor het vak rekenen-wiskunde beperken we ons tot slechts enkele belangrijke personen; Vygotsky (1896-1934), Cal'perin (1902-1988) en Polya (1887-198S). Vanuit het Nederlandse (reken)onderwijs zijn vooral Freudenthal (1905-1990) en Van Parreren (1920-1991) van belang. Lev Vygotsky was een Russische ontwikkelingspsycholoog die zich vooral met

denken en taal bezighield. Hij zag taal als schakel in het procesvan abstrahering en formalisering in de wetenschap. Toch is hij voor het hele Nederlandse onderwijstoonaangevend geworden, omdat van hem hetconcept van de'zone van de naaste ontwikkeling' stamt. Hierin is sociale interactie noodzakelijk, in

22

1 3 Enkele theorieen over leren

hetbi jzonderomgangmet bekenden offamilieleden, om denkvaardigheden en gedrag teleren dat specifiek is voor de eigen cultuur en samenleving. Hieruit volgde de belangrijke stelling dat je alleen samen met anderenop

een hogerlogischniveau kunt komen. Dat wil zeggendat ietsnieuwsleren in het algemeenbeter alsgroepsactiviteit kangebeuren.Vygotskylegdedebodem voorhetidee van (sociaal) constructivisme.Het samen met anderen construeren van kenniswerd als uitgangspunt van leren gekozen. Kennis vergaart een kind niet door veel uit het hoofd te leren (of erinte stampen). maar kennis is het Figuur 1.3 resultaat van denkactiviteitenvan het kind zelf. Het kind Lev Vygotsky leert door de nieuwe informatie te verbinden met hetgeen hij al weet, hij construeert nieuwe kennis (constructivisme). Als daar een sociaal element aan wordt toegevoegd,samen leren met anderen, spreek je van sociaal constructivisme.

tip Als je meer wilt weten over de werking van interactie en de leerlingen zelf kennis latenconstrueren in de rekenles,kun je kijken naar de lesideeen van de Crote Rekendag (zie voor meer informatie www.groterekendag.nl). dok hetartikelRekenprobiemen open aanbieden. Kinderen ieren redeneren in discussiesover open waa gstukken(Van Calen fk Oosterwaal, 2007) biedt handvatten om gripte krijgen op het uitlokken van meer interactie in de rekenles, waarbij leerlingen zelf kennis construeren.

Een voorbeeldvan een rekenactiviteit volgens het sociaal constructivisme De tafelsleerde je vroeger door heel vaak de sommen te herhalen (te stampen). Sinds 1990 is er een didactiek, gebaseerd op het sociaal constructivisme, waarbij er door de leerlingen (gestuurddoor de leerkracht) een aantal strategieen wordt ontwikkeld. De leerl ingen bespreken samen welke strategie ze hebben toegepast en waarom. Zo zal hAarieke 7 x 8 uitrekenen doordat ze weet dat 7 x 4 gelijk is aan 28. 7 x 8 moet dan

wel twee keer zoveel zijn.Andre vertelt dat hij eerst 7 x 7doet, want die som weet hij. Daarna doet hij er nog een keer 7 bij. Door hier onder leiding van de leerkracht over te praten. construerende leerlingen samen kennis over het uitrekenen van tafelsomrnenen denken zevanuit de betekenis van de bewerking (vermenigvuldigen) na of al deze strategieen wiskundig correct zijn.

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

De zone (of fase) van de actuele ontwikkelingen de zone van de naaste ontwikkeling zijn begrippendie gerelateerd zijn aande theorie van Vygotsky. Hij stelde dat het actuele ontwikkeiingsniveau over activiteiten gaat diede leerling zelfstan-

digkan.terwijl dezonevannaaste ontwikkeling verwijst naaracdviteitendie de leerling met ondersteuning van anderen zou kunnen. Deze ondersteuning wordt meestalgegeven door volwassenen (de ouder of de leerkracht). In dit kader wordt tegenwoordig ookwel het begrip sec?g ofding gebruikt. Scaffolding (bedacht door J.S.Sruner) betekent 'in de steigers zetten'. Wanneer een leerkracht een kind helpt en begeleidt bij het zich eigen maken van dingen diehet nog nht niet z elfstandig kan. ontstaan leerrnornenten waarbij het kind steeds weer boven zichzelf uitstijgt.

Deleerkrachtondersteunt alleen als het nodig is.Hij stelt vragen.doet dingen voor en maakt situaties aanschouwelijk. Dit betekent datje kinderen precies zoveel hulp biedt dat ze een taak zelf met succes kunnen uitvoeren. Opdracht 1.2 Volgens deze theorie zou je kunnen denken dat leerlingen beter leren wanneer ze

samenwerken. Wat vind je van samenwerking in de rekenles? Onder welke voorwaarden zou je dat wel vormgeven en onder welkevoorwaarden niet? Wat vind je bijvoorbeeld van het koppelenvan sterke rekenaars aan zwakkererekenaars?Beargumenteer je meningdoor haar in verband te brengen met bovenstaande theorieen.

Cal'perin, eenleerlingvan Vygotsky.ontwikkelde eentheorie over hoe leerlingen zichkennis eigen maken. Hij sloot daarbij aan op de ideeen van Vygotsky.Zijn theorie wordt de trapsgewijze ontwikkeling van mentale handelingen genoemd, waarin vijfniveaus worden onderscheiden. Hij bedacht een, stappenplan waarin wordt aangegeven welke

stappeneenleerling moet doorlopen omhandelingenof Figuur 'l.4

kennis te verinnerlijken. Net als Vygotsky hechtte hij groot belang aan de taal in het leerproces. Voor het vakgebiedrekenen-wiskunde betreft dit reken-

handelingenzoalsbasisvaardlghden of cijferen. Volgens Cal'perinstheorie gebeurt dat door middel van eenaantal stappen die de leerkracht het best volgenshet volgende stappenplan kan stimuleren. Stap 1 —orientatie De leerling moet zich afvragen wat het doel is van de handeling. Kan de handeling worden onderverdeeldin deelhandelingen? Wat is er nodigom dit te leren?

24

13 Enkeletheorieen over leren

Deleerkracht staat dus stil bij het doel. de betekenis (relevantie) en de voorkennis

en/of vaardighedendie nodigzijn voor het aanlerenvandeze rekenhandelingen. Stap 2 —gematerialiseerde handeling De leerling voert dehandeling eerst in deelstappen uit en later in haar geheel. Er wordt hierbij gebruikgernaakt van tnateriaal. Denk aan het aanleren van splitsin-

genmet behulp vanbijvoorbeeld een rekenrekvoordat je tot opt elsommen komt. Hetmateriaal moetvoldoendestructuur hebbenomhet denkenrichting te geven. Liefst isereenrelatie met eendenkmodel. Om ervoor te zorgen dat leerlingen de volgende stap in het leerproces kunnen zetten, is het van belang het gebruik van materialen na enige tijdaf te bouwen. Stap 3 —verbale handeling

In deze stapis hetvan belang dat de handeling wordt uitgevoerdterwijl de leerling verwoordt wathij doet. In het begin komtdaar noghet (gestructureerde) materiaal bij kijken,later is het alleen nog een verbale handeling. De leerkracht moet de leerlingen stimuleren ook te verwoorden wat zij doen en/ of denken. Stap 4 —mentale handeling

De leerlingheeft geenmateriaal meer nodig,maar hoort deverbale handeling nogwel in zijn hoofd. HIj zoekt al naar verkortingen van de rekenhandeling. Ook hier speelt verwoorden een rol,als de leerkracht wil weten hoe de leerling denkt. Interactie tussen leerkracht, leerling en de hele groep is hierbij belangrijk,om te weten wat de leerling precies doet.

Stap 5 —handeling verinnerlijken De handelinggaat automatischen zeerverkort. De (reken)handeling is opgenomen in het langetermijngeheugen en kan ook worden toegepastin andere situaties. Hierbij spelen oefenen en herhalen een belangrijkerol. van uiterlijk handelen naar innerlijk handelen es van 2is keer 2 Is

4

I + 1+ l a

groepies van i rs keer i is

Ho eveel gioepjesr

4 5 + 5

,,groepies van 5 rs keer 5 is „.

b 3s3 r 3

greep>es van 3 is „, keer 3 rs

c 4 r 4 r 4 + '4 -

„groepies ven 4 rs „ keer 4 is

Figuur 1.17 Bron: Al/es telt, groep Ca, leerlingenboek,ze editie (2089). Amersfoort: Thiemeivleulenhoff, p. 82 Kijk bijvoorbeeld naar het kratje «ola in figuur 1 'll. Kinderen kunnen een voor een tellen hoeveel colaAesjes er in het kratje zitten. Uiteraard wordt al g dat ze per rij en dus per twee tellen. Bij het voorbeeld met de pindas is deze stimulans om niet een voor een te tellen nog duidelijker: de pindas zijn zelfs niet alleen zichtbaar, ze zitten nogin de dop. Bij dergelijke opgaven staat herhaald tellen en uiteindelijk de bewerking entraal. In deze opgave wordt die koppeling ook duidelijk gemaakt, ziede invulvakken onder de afbeeldingen.

estimuleerd

vermenigvuldigenc

Opdracht 1.8 Een van de eigenschappen die bij begripsvorming van het vermenigvuldigen centraal staat is de commutatieve eigenschap (bijvoorbeeld 6 is 8 = 8 x 6). Bij welke opgaven uit figuur 1.17 kandeze eigenschap ter sprake komen? Bij welke ligt dat voor de hand? En bij welke opgaven is dat niet mogelijk?

Als je wilt vaststellen of een leerling het begrip ende bijbehorende handeling heeft verinnerlijkt, kunje hem vragen om te verwoorden wat een bepaalde o p-

gavebetekent, of hij dit kanverwoorden in reken-wiskundetaal en relaties ziet met eerdere rekenopgaven. In bovenstaand voorbeeld uit een reken-wiskundemethode wordt de rekentaalsterk gesumuleerd door de tekst die onder iedere situatie is weergegeven en die leerlingen deels moeten aanvullen. Ook het vragen

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

naar een zelfbedachte situatie of tekening die bij dat voorbeeld behoort, geeft inzicht in de mate van verinnerlijking van het begrip en de rekenhandeling.

1.4.2 Strategieotttwikkeling Kinderen ontwikkelen al op vroege leefojd strategieen. Tellen met stappen van een of twee is een strategie. Ook het vergelijken van hoeveelheden zonder te tellen, bijvoorbeeld door hoeveelheden te structureren, is een

strategie om te ontdekken waar meer van is. Een andere manier om aan een oplossing van een opgave te komen iseen,tekening maken van de situatie. om er grip op te krijgen. Dit

is ook een strategie die zelfs in veel rekensituaties kan worden ingezet. Leerkrachten

Figuur 'l.18 Structureren van hoeveelheden

kunnen strategieontwikkeling beinvloeden door te modelen (het Engelse woord voor 'voordoen') en door de juiste contexten aan te bieden. Oe leerkracht doet de handeling voor, verwoordt de handeling zelf en laat de

leerling dit ook doen. Hij doet dan de handeling samen met de leerling en kijkt of de leerling het oppakt. Opdracht 1.9 Op welkemanier kan modeten een plaats krijgen in de reconstructiedidactiek7

Bij het aanleren van nieuwe vaardigheden is een leerkracht zich altijd bewust van welke denk- en rekenstrategieen een leerling kan gebruiken. Oe drie hoofdcategorieen op het gebied van rekenstrategieen zijn rijgen, splitsen en variastrategieen. Oeze worden verder toegelicht in hoofdstuk 3 (deel II) van dit boek. Vervolgens zullen ook andere strategieen besproken worden: strategieen voor

het vermenigvuldigen en delen, voor het complexere rekenen, voor het schriftelijk rekenen en het kunnen schatten. Deze strategieen worden toegelicht in de hoofdstukken 3 en 4 uit deel II.

42

1.C Consequenties van de theorieen

1.4.3 Automatiseren en memoriseren Nadat kinderen begrip ontwikkeld hebben over de becreffende handeling of

bewerking enookin ieder geval eenoplossingsprocedure kennen, kunnenze overgaantot het vlot leren uicvoerenvandeze procedure(s). Bij het vlot leren rekenen staan cweebegrippen centraal: automatiseren en memoriseren. Automatiseren betreft hec vrijwel roucinernacig uitvoeren van rekenhandelingen. De leerling denkt nog wel in stappen, maar het gaat zo snel dac hec lijkt alsof de leerling het uit zijn hoofd weec. Bijvoorbeeldde cafelsom 7 x 8 kan een leerling, die deze som nog niet uit het hoofd kent, vrij vlot oplossen dooreerst 7 x 7 te doen. Deze som kent hij namelijk wel, het is een ankerpunt. Vervolgens doet hij

er dan eenkeer 8 bij. De leerling komt zo ongeveerin vijf secondentot een ancwoorcLReken-wiskundemethoden en leerkrachten stimuleren deze ontwikkeling door dergelijke scracegieenin de rekenles te oefenen en centraal te stellen. Hecis noodzakelijk omreg elmatigstrategieen te herhalen (oefenen), zodat dit steeds vlotter gaat ener aut omatiseringtotstand komt. Hiermee wordt niec klakkeloos

opdreunenbedoeld. maaroefenen in allerlei situatiesen vormen. Dit heec'gevarieerd oefenen'.Zoalseen oude wijsheid luidt: oefening baart kunst. Een voorbeeldvan gevarieerd oefenen In een doolhof moet worden gezocht naar de route met de hoogste of de laagste

uitkomst door rechtstreeks van de ingang naar de uitgang tegaan. Hierbij worden de getallen die je tegenkomt opgeteld. Zijn er aak routes waar hetzelfde uitkamt?

Elk

Figuur 1.19 Rekendaolhof Door deze oefeninggaan kinderen aan de slag met allerlei optelsommen Zo oefenen zij in korte tijd op speelse wijze een heleboel optelsommen tot en met $0. Dit is

eengoedevervanger van een rijtje

opt elsommenuiteen methode.

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

6

tip Bekijkook eens de Latijnse rekenpotjesvan het Freudenthal Instituut op Rekenweb. Dit is een mooi voorbeeld om gevarieerd te oefenen met alle basisbewerkingen door elkaar. Zie www.coutinho.nl/rwd voor een link naar dit materiaal.

In de pedagogiekwordt vaak de term 'automatiseren' gebruikt voor wat in de reken-wiskundedidactiek memoriseren heet. Voor rekenen geldt dat een leerling kennis heeft gememoriseerd als hij het antwoord direct uit het hoofd weet. Een tussendoel van het reken-wiskundeonderwijsis dat de tafels van vermenigvul-

digingeind groep 5gem em oriseerd zijn. De leerlingenweten dan direct: 7 x 8 = 56. Dit isopgeslagen in het langetermijngeheugen.Het doel vanautomatiseren en/of oefenen ismeestal dat er uiteindelijkheel veelgememoriseerd wordt. zoals bij de tafels het geval is, ofbij plus- en rninsommen tot 20. Soms richt automatiseren zich op het vlot kunnen toepassen van een oplossingsstrategie. Zozijn de oefeningen voor s«hriftelijkrekenen (onder elkaar rekenen) gericht op het steeds sneller worden in deze oplossingswijze, terwijl het niet de bedoeling is dat de

leerlingalle plus-, min-. keer- endeelsomrnenmemoriseert (direct weet). Het isniet de bedoeling dat alle rekenkennisgeautomatiseerd en(of gememoriseerdwordt. Het geldt alleen voorde basisvaardigheden. Bij automa tiseren gaat het om getalbegrip, optellen en aftrekken tot 100 en 1.000. Bijmem oriseren gaat het om optellen en aftrekken tot enmet 10 en 20 en de tafels van 1 tot en met 10. Het leren beheersen van kennis van meten, breuken,verhoudingen en kom-

magetallenwordt over het algemeenniet onder automatiseren en/of memoriseren geduid, ho~el bij deze domeinen natuurlijk wel zaken, uit het hoofd gekend moeten worden en het omrekenen in het metrieke stelsel vaak volgens (geautomatiseerde) standaardstappen verloopt. Opdracht 1.10 Kijkeens in de handleiding van de reken-wiskundernethode die je schooi gebruikt. Wat moeten de kinderen in jouw klasdit jaar automatiserenen)of memoriseren?

Sommige reken-wiskundemethoden gebruiken deze begrippen overigens precies om gekeerd. Bekijkook eensde opgaven uit het blokwaarin dit wordt aangeboden en op welke wijze dit wordt g Welke achterliggende theorieen zieje hierin

estimuleerd.

terug?

1.C Consequenties van de theorieen

Opdracht 1.11 In het tekstgedeelte over hersenontwikkeling is stilgestaan bij opname van kennis in het langetermijngeheugen. Ook is gesproken over denoodzaak van het blijven gebruiken van opgeslagen kennis,om te voorkomen dat je haar uiteindelijk weer vergeet. Onderzoek wat erin de bovenbouw gedaan wordt om de tafelkenniste onderhouden diein groep 5 is gernernoriseerd.

1.4.4 Probleemoplossen Het woord 'probleem' heeft in de rekendidactiek meerdere betekenissen.Het

kangaanomeen leerling met een,rekenprobleem. bijvoorbeeld alshij achterblijf in zijn rekenontwikkeling. Een rekenprobleem betekent ook een vraagstuk dat niet door een enkele rekenregel kanworden opgelost, maar waarbij de oplossing gevonden kan worden door te redeneren en allerlei bewerkingen te combineren. Hierbij worden algemene strategieen gebruikt die zich richten op het kunnen oplossen van een probleem. In het voorbeeld van het terras van de

vader vanGuus(zie pagina37) werd eentekening gemaakt om opideeen te komenvoor de oplossing.Oestrategieen richten zich in tegenstelling tot rijgen, splitsen en varia niet opde bewerking in de opgave en dus het uitrekenen van de opgave. De strategieen richten zichmeer op het komen tot begrip van de situatie, om vervolgens te kunnen bepalen om welke bewerking(en) het in dit probleemgaat. Deze zoekstrategieen worden ook wel heuristieken genoemd.

Heuristiekenzijn vooral nodigbij echte rekenproblernen. Oeleerling stelt zich

dan de vraag waar het om gaat bij dit probleem, wat hij al weet, wat er gegeven is. Ook vraagt hij zich bijvoorbeeld af of hij er misschien een model of een teke-

ning vankan maken. 'Heb ik een dergelijk probleem weleenseerder gezieneKen ik misschien een formule die ik hiervoor nodigheb?'Als de leerling die vragen niet stelt, kan de leerkracht helpen door hem deze vragen re stellen voordat hij

overgaat tot het proberenoplossenvan het probleem. ln deel II gaanwedieper in op de rol vande leerkracht bij het oplossenvan rekenproblemen. Jteftenenin de 27e eeuw

Gecijferdfreid en referentieniveaus Het verschijnen van Ongecijferdheid van John Allen Paulos in 19$9 (een vertaling

vanJnnumeracy;Mat Jrenratical Iffrteraey andits Conserluences(1988)) heeft voor een impuls voor rekendidactiek gezorgd. Er werd ontdekt dat ondanks de vele realistische rekenmethodende leerlingen (en leerkrachten) nog erg vastzaten aan de standaardwerkwijzenen niet aan het denken werden gezet over de be-

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

tekenis en relevantie van het rekenen in dagelijkse situaties. Paulos beschreef in zijn boek dat je pas echt iets aan rekenen hebt, als je ook inzicht in getallen hebt en je er iets bij kunt voorstellen. De hoeveelheid 10.000 was voor hem het muur-

tje van zijn garage. Hij had voor demetselaar de stenen voor de nieuwegarage van derand van de weg met behulp van een kruiwagen naar de bouwplaats van de nieuwe garage gebracht. Zijn rug wist toen zeker wat 10.000 was, en hij ook. Je er iets bij kunnen voorstellen, je dingen afvragen (hoelang duurt het voor de druppelende kraan het bad laat overstromen?) zijn aspecten van wat we 'gecijferdheid' zijn gaan noemen. Er zijn veel definities van gecijferdheid. Kees Hoog-

land van gecijferdheid.nl geeft de volgende Cecijferdheid is de combinatie van kennis. vaardigheden en persoonlijke kwaliteiten die een,individu nodig heeft om a4equaat en autonoom om te gaan met de kwantitatieve kant van de wereld om ons heen.' Voor leerkrachten in het baslsonderwij» zijn er drie niveaus van gecijferdheid

benoemd: beginnende gecijferdheid, gevorderde gecijferdheid en professionele gecijferdheid. Bij beginnende gecijferdheid ls de leerkracht zelf gecijferd. In de andere fasen is hij steeds meer bekwaam in het begeleiden van leerlingen om

gecijferd te worden en te leren rekenen. Door Van den Bergh, Faes en Olofsen (1992) werden tien karakteristieken van gecijferdheid beschreven. Ze volgen hierna met per karakteristiek een voorbeeld. 1 Kun je je iets bij getallen voorstellen? 6 is een doos eieren. 50.000 een vol voetbalstadion.

2 Heb je manieren om getallen te onthouden? 3

4

5

6

7

ritme en melodie, regelmaat, herhaling Heb je persoonlijke getallen? Voor Martine is 24 een mooi getal, een getal met redelijk veel delers en daardoor goed in te zetten in het onderwijs. Voor Peter is het 1001, een getal opgebouwd uit verschillende, opvolgende, priemgetallen 7 x 11 x 13. Zie je de interne structuur van getallen? 37 = 36 + 1 en het bestaat uit 3 tie~talle~ en 7 eenheden. 37 is een getal dat na 35 komt en voor 40. Heb je gevoel voor de externe structuur bij getallen? 36 is een even getal (deelbaar door 2), deelbaar door 3 en een vierkantsgetal (het kwadraat van 6). Heb je gevoel voor de grootteorde van getallen? De wereldbevolking kan het best lnmilj ardenwordenuitgedrukt. het aantal inwoners in de provincie Utrecht in miljoenen. Heb je kapstokken (referentlematen) voor het maken van schattingen? Een wandelaar loopt ongeveer 5 km per uur, een normale verdieping is vaak 3 meter hoog.

1.4 Consequenties van de theorieen

8 Kun je benaderingen maken en binnen gegeven grenzen blijven? Je kunt schattingsvragenals 'Hoeveel verdient iemand per jaar afgerond op

duizenden?'beantwoorden zonder meer dan tienduizendaf te wijken. 9 Kunje je iets voorstellen bij kale rekensomm en? 486 : 6 = vertalen naar bijvoorbeeld 'hoeveel eierdoosjes van 6 kunnener gevuld wordenmet 486 eieren?' 10 Heb je persoonlijke voorkeuren en aanpakken? 28 x 2Sis voor mij 7 x 100, terwijl Jeannette20 x 25 en 8 x 25doet. Interne en externe getalstructuur De interne getalstructuur gaat over de opbouw van getallen. Dit kan gaan om tientallen en eenheden, maar ook om hoe een getal weergegeven kan worden in

hoeveelheden. Die hoeveelheden wardenzichtbaar in verschillende structuren. Za kamen sommige getallen ap een dobbelsteen in eenbepaa ldestructuurvoor. Sommige zijn terug te vinden in de vijfstructuur van het aantal vingers opeen hand, andere worden getoond op het rekenrek of de kralenketting, enzovoort. Een getal wordt hierdoor sneller alshoeveelheid herkend en in evallen wordt rne-

som mige g

teen aok de interne structuur duidelijk een rekenrek en een kralenketting tanen

aok devijf- of tienstructuur van het getal De externegetalstructuur gaat over eigenschappendie het getal heeft, zoals deelbaarheidof kwadraat. De relatie met andere getallen, bijvoorbeeld af ze gemeenschappelijke delers hebben, wordt nu duidelijk.

Opdracht 1.12 Kijkeens goed naar de lijst met tien karakteristieken van gecijferdheid en vergelijk waarjij staat. Hoe gecijferd benjij? Vergelijk de lijst oak eens met de activiteiten die in jouw rekenlessenaan bod komen. Hoe zou je gecijferdheid nogmeer tot uiting kunnen laten komen in de klas? Werk een aantal lesactiviteiten uit waarin het ontwikke-

len van gecijferdheid centraal staat en voer dezeindien mogelijk uit.

Sommige rekendidactici onderscheiden naast gecijferdheidook 'functionele ge-

cijferdheid'.Hiermee wordt bedoeld dat leerlingen buiten schoolen later alsvolwassenenhun rekenvaardigheid in dagelijksesituaties opti maal kunnengebruiken. Oit verschilt niet zoveel van deeerder genoemdedefinitie van Hoogland. In 2009 zijn door de commissie Meijerink in opdracht van de regering niveaus vastgelegddie richting gevenaan wat l eerlinge nmoeten kunnen aan heteind

van debasisschoolen aanhet eind van het middelbaar onderwijs.

47

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

ca Taal

Rekenen

If

1F

1F

vnlao

Taa l

?f

Rekene n

if

15

Taal NAVO

Rekenen

vwo ILekene n

1f

I• Taal

eaBO 1-2-3

HBO Rekenen

1f

Taal

BIBO

Rekenen

Figuur 1.M

Doorgaandelijn referentieniveaus

Het F-niveau (F = functioneel) ls het rninirnale niveau dat iedere leerling moet

beheersen (zelfs in hetspeciaal onderwijs) gedurendedeverschillende opleidingen diehij volgt. Er lsook een 5-niveau (S= streef) beschreven voor alle leerlingen. Het reguliere onderwijs moet zich opdat streefniveau richten, zodat de leerling een goede overstap kan maken naar vervolgopleidlngen. In het Referentiekader taal en rekenen (www.taalenrekenen.nl) zijn de inhouden uitvoerig beschreven. Het Referentiekadertaal en rekenen geeft een duide-

lijk overzicht. Elkdomein isbij rekenen opgebouwd uit de onderdelen: notatie,taal en betekenis. ~aarbij het gaat om de uitspraak. schrijfwijze en betekenis vangetallen, symbolen en relaties en om het gebruik van wiskundetaal; 2 metelkaar inverbandbrengen, waarbij het gaat om het verband tussen be-

grippen.notaties, getallen en dagelijks spraakgebruik; 3 gebruiken, waarbij het gaat om rekenvaardigheden inte zetten bij het oplos-

senvanproblem en. Elk van deze drie onderdelen ls steeds opgebouwd uit drie typen kennis en vaardigheden. Die zijnals volgt kort te karakteriseren:

48

1.C Consequenties van de theorieen

• p araat hebben: kennis van feiten en begrippen, reproduceren, routines,technieken; • fu nctioneel gebruiken: kennis van een goede probleemaanpak, het toepassen, het gebruiken binnen en buiten het schoolvak;

• weten waarom: begrijpen en verklaren van concepten en methoden. forrnaliseren, abstraheren engeneraliseren, blijk geven van overzicht.

tlP Oe Sti chting leerplanontwikkeling (SI.O) heeftconcretiseringen van de referentieniveausbeschreven. Ca naar www.co utinho.nlfrwd voor de link naar deze concretiseringen.

In het onderwijs is het verplicht om ervoor te zorgen dat de leerlingen de referentieniveaus kunnen bereiken. Om dat te borgen zijn er voor alle vormen van voortgezet onderwijs toetsen ontwikkeld die voorwaardelijk zijn voor het beha-

len van een diploma. 2 f e-eeuwse vaanhgheden 21e-eeuwse vaardigheden (of ski%i) zijn beschreven na een herorientering op wat kinderen op dit moment op school moeten leren. Er is de afgelopen jaren narne-

lijk veel veranderd en de vraag is of we de kinderen,van nu nog wel voldoende voorbereiden op de toekomst die hen te wachten staat. Dit betreft niet alleen

rekenen en wiskunde, maar ook alle andere vakken, zoals taal, aardrijkskunde, geschiedenis enzovoort. Wetenschappers voorspellen dat de maatschappij verandert van een industriele maatschappij naar een kennissamenleving. Aanleiding daartoe zijn demog elijkheden dieICT heeft en nog gaat krijgen. Conrad Wolfram, een bekend wiskundige en ontwerper van WolframAIpha.com, hield in 2010 een TED-talk (lezing) over wiskunde en wiskundeonderwijs, te zien op TED. com. In zijn lezing gaf hij aan dat er een discrepantie bestaat tussen het wiskun-

deonderwijs en de wiskunde die in het dagelijks leven nodig is. Hij pleit ervoor dat het doel van het wiskundeonderwijs zou moeten zijn om leerlingen kritisch te leren denken. Er zou dan ook veel meer aandacht moeten zijn voor probleem-

oplossen dan voor het aanleren van rekenvaardigheden.Wolfram beschrijft wiskunde als een proces dat altijd in vier stappen verloopt. 1 Stel de juiste vragen.

2 Vertaal die vragen in wiskundige beweringen. 3 Werk de wiskundige beweringen uit, dat wil zeggen: ga rekenen. C Vertaal de uitkomsten als een antwoord op de vragen.

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

Tot nu toe besteedt het wiskundeonderwijs volgens hem alle tijd aanstap 3, terwijl dat de enige stap is die door computers kan worden uitgevoerd en dus kan worden vervangen. Wolfram meent dat het verstandiger is leerlingen de stappen

1,2 en 4 te leren en zedaarnaast te leren hoe ze decomputer stap 3 kunnen laten uitvoeren.

t

.sg Opdracht 1.13 vvat zou je aan je eigen wiskundeonderwijs veranderen alsje de ideeenvan Wolfram zou toepassen?

Opdracht 1.14 Inwelke mate komen de vierstappen van Wolfram overeen met de stappen van Polya?

Voorlopig is het onderwijs nog niet zover om dezedrastische stap te nemen: om de computer al het rekenwerk te laten vervangen. Argumenten tegen zijn er

genoeg. Eengreep; 1 je moet toch begrijpen hoe het rekenwerk verloopt. 2 Als decom puter stuk gaat, kun je niets meer.

3 Het is eenonderdeel van je algemene ontwikkeling dat je kunt rekenen. 4 Voor het dagelijks leven is basale rekenvaardigheid nodig. De vraag is echter hoe ver die basale rekenvaardigheid gaat? Aan de andere kant wordt er steeds meer gesproken over de zogenoemde 21e-eeuwse vaardigheden als vaardigheden die meer een plaats zouden moeten

krijgen in het onderwijs. Dit zijn geen nieuwe vaardigheden. maar vaardigheden waarvan verwacht wordt dat die de komende decennia extra belangrijk zullen zijn en daarom in het onderwijs bijzondere aandacht moeten krijgen. 21e-eeuwse vaardigheden bestaan uit twee gebieden; kernvakken en competenties. De kernvakken zijn de gewoneschoolvakken. De compe tentieszijneenvakoverstijgende mix van vaardigheden en attitudes.

Dit lijkt een schot voor open doel als het om realistisch rekenen gaat. Wanneer namelijk in het reken-wiskundeonderwijs de vijf principes van de rekendidactiek (zie pagina 30) worden aangehouden, is er automatisch sprake van samenwerken, communiceren, eigen oplossingen creeren, probleemoplossen en kritisch denken. En met een beetje fantasie krijgen creativiteit en sociale vaardigheden 50

1.4 Consequenties van de theorieen

(interactie} daar ook een plek in. Het is dan ook niet voor niets dat we in dit boek expliciet willen aangeven welke mogelijkheden en verbanden er zijn om wiskunde te integreren en/of te koppelen aan deze vaardigheden. Kernvakken 1 hhoedertaal 2 Vreemde talen

3 Kunstvakken 4 Wiskunde

5enmn a jan

S Economie • n aJtaeela

i

tinesIc

6&leenleelenmJ en aaalI nala

E

6 Natuurwetenschappen

7 Aardrijkskunde a Geschiedenis 9 hhaatschappijleer

tvnmnnnnm

Competenties

1 Samenwerken 2 Cr eativiteit Iimlaall 484HII

la mannm

3 ICT-geletterdheid

4 Communiceren S Probleernoplossend vermogen

6 Kritisch denken 7 Sociale en culturele

vaardigheden Figuur 1.21 Vaardighedenvoor de 21e eeuw, geconceptualiseerd door Kennisnet

Bovendien staat in de preambule van de kerndoelen van het primair onderwijs; 'In de reken-wiskundeles leren kinderen een probleem wiskundig op te lossen en een oplossing in wiskundetaal aan anderen uit te leggen. 2e leren met respect voor ieders denkwijze wiskundige kritiek te geven en te krijgen. Het uitleggen, formule-

ren en noteren enhet elkaar bekritiseren leren kinderen alsspecifiek wiskundige werkwijze te gebruiken om alleen en samen met anderen het denken te ordenen, te onderbouwen en, fouten te voorkomen' (kerndoelen via www.slo.nl). In deel II (hoofdstuk 2, 3 en 4) gaan we in op deze vaardigheden. In hoofdstuk 4 doen we dat uitgebreid, omdat groep 6 tot en met 8 zich uitermate lenen om

bezig te zijn met probleemoplosvaardigheden. 1.4.5 Functioneel rekenen Functioneel rekenen is ook bekend onder de namen 'mechanistisch rekenen' of 'traditioneel rekenen'. Sommigen noemen het zelfs opa-rekenen, omdat het terugwijst naar de didactiek van voor het realistisch rekenen. In eerste instantie 51

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

was funccioneel rekenen een tegenreactie cen opzichte van realistisch rekenen. Het verdwijnen vande craditionele staartdeling werd door sommi genal seen

groocverlies vanhet cultureel erfgoedgezien. Erwasook moeite met de vervanger hiervan„hec kolornsgewijs delen, omdat het zeer ongewensc werd gevonden dat kinderen bij het maken van deelsommen heel lange sliercen moesten maken om cot het antwoord te komen. Sommigen vindendat een leerling voor elke bewerking slechts een standaardoplossing hoeft te kennen, waaronder bijvoor-

beeld het cijferen (onderelkaar rekenen) in plaats vanallerlei handigerekenstrategieen. Zozouje leerlingen eenstrategie kunnenbieden om tocoplossingen van veelopgavente komen. Eenandere gehoordeopinie isdacverhaaltjes bedenken bij een bewerking weinig met rekenen te maken heeft. Erwordc daarom voornamelijkingestoken op hec oefenen vankale opgaven. Ondertussen zijn er naast de realistische rekenrnechodennu ook methoden

voor funccioneelrekenenop papier endigitaal verschenen. Denadruk ligt bij functioneelrekenen op instructie. Er is steeds deaanpak: instructie, inoefenen, inzicht. Hierbij wordt bijde instructie voorgedaan, hoe een bewerking moet en het is de bedoeling dat aan het eind de leerling bewust wordt gemaakt van de betekenis van de bewerking. De functionele rekendidactiekis in dit opzicht een voorbeeld van de reproductiedidactiek van vroeger. Opdracht 1.15 Tegen welke principes die ten grondslag liggen aan het realistisch rekenen druist deze aanpakvan functioneelrekenen in?Vraag ook eens aan de le erkrachten op jestageschoolhoe zij aankijken tegen het aanleren van rekenen volgens de kenmerken van het realistisch rekenen. Zit het team op een lijn?

Her. isvervelend dacde term funccioneel rekenen in hecmbo en in Belgie op een anderem anier gebruikt wordt. Daar wordt het functioneelrekenen in verband gebrachc met het eerder genoemde ontwikkelen van funccionele gecijferdheid. Deze benadering ligt dus weer erg nauw bijde realistische rekendidactiek.

1.4.6 Realistisch en functioneel rekenen Hiervooris realistischrekenen uitvoerig beschreven.Voor functioneel rekenen hadden we minder woorden nodig. Dit komt vooral door de anderevisie die deze didactiek opleren heeft. Als leren voordoen en nadoen is, dan is de didac-

tischeaanpak veel rechtlijnigerdan wanneer je probeer tactief aan te sluiten bij hoe leerlingen leren. Functioneel rekenen gaat veel meer uic vanhet program m a

van deleraar,terwijl realistischrekenen uitgaat vandekennisvan de leerling. 52

1.4il Consequenties van de theorieen

Realistisch rekenen vraagt daarom veel meer van de rekenvaardigheid, de gecijferdheid en de didacrische vaardigheden van de leraardan functioneel rekenen. Realistisch rekenen differentieert door aandacht te hebben voor verschillen in

oplossingsniveau, tempo en vaardigheid, terwijl funnioneel rekenen differentieert naar niveau binnen de klas en naar tempo.

Q 3

R o con hcl porconlogo U t Eclat ecnalrrcr, oan Ueroltorlofl.

Q

Step l rnaigi vtvr dc Urcck ccn dclrig. 23 vivi dc ett c Stap 2. crack ccn «ctvttleig niet dc dding. rrr ~ = j Stap 3: deel de tater door de rrrerrcr.

Stap 4I rolren het percentage Clt deer de Irtkendt Veelde danig II rat tgO te Vemrertt rntdigere

23 van 46

ecnatehg

0&.'ace hlhg

lv

23.40 • 10C- 17,92%

4a

45 van 80 27 ven 144 00 van 20tr

Figuur 1.22 Een voorbeeld van mechanistisch rekenen

Bron;Rekenzeker, leerlingenboek 8A, le editie (2009). Groningen: Noordhoff Uitgevers. p. 71 Een lesover schatten en berekenen wordt vanuit functioneel rekenen gestart m et instructie, het Ieren vaneen stappenpian Bij realistisch rekenen zou eerst een context geintroduceerd worden Wilmaheeft een zak met 48 knikkers. 23 daarvan zijn

gekleurd.' Daarna gaan de leerlingen bedenken het hoeveelste deel gekleurd is. Pas daarna wordt er over een notatie nagedacht.

Functioneel rekenen is gemakkelijker te organiseren dan realistisch rekenen. omdat de irtsa unie vaststaat en de oplossingswijzen die leerlingen aangeboden krijgen ook. De structuur van alle rekenrnethoden (realistisch of funnioneel) is meestal gebaseerd op het oude 'dllferentlatle-binnen-klassenverband-model' (08K-model, zie figuur 1.23). Git wordt ook wel het BHV-model (basisstof. herhaling, verrijking)

genoemd. Een blok begint met nieuwe stof,daarna volgt oefening en hetgeheelwordt afgesloten met een toets. Als de onderdelen van de toets voldoende zijn gemaakt, dan krijgen de leerlingen verrijkingsstof. Als leerlingen bepaalde onderdelen van

de toets onvoldoende maken, stelt de leerkracht een diagnose enhelpt hij het 53

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

verrijking voldoende

(meer)

taken en toeu

onvoldoende

taken en toeu

extra hulp

rernediering

(weer) Figuur 1.23 DBK-of BHV model

kind door extra uitleg en extra oefenstofte geven. Daarna begint de hele klas weer met een nieuw blok. Afhankelijk van de differentiatiemogelijkheden vande leerkracht en van de methodewerkt dit model goed. Vroeger was de verrijking gebaseerd op herhaling vande stof uit de voorgaande blokken, waardoor de motivatie vanleerlingen niet werd bevorderd. Tegenwoordig worden de leerlingen

in de verrijkingsfasemeer uitgedaagdmet pittigere opgavenen problem en.

eerlinge nsomszeifstandigwerken. Somswordt er zelfs iedere rekenleseen moment van z elfstandig

Dm ruimte te geven voor extra hulp aan leerlingen moeten l

werken ingelast. Dit betekent vaakdat ze na de introductie zelfstandig oefeningen maken. Afhankelijk van de visie van de school is deze periode van zelfstandig

werken kort of lang. Opdracht 1.16 Hoeveel en hoelangwerken de kinderen bij jou in de klas zelfstandig in eenweek? Welke begeleiding (feedback, evaluatie, ondersteuning) krijgen ze tijdenshet zelfstandigwerken nog van de leerkracht? In hoeverre sluit dat aan bij de besproken theorieen en kenmerken van het ontwikkelen van rekenvaardigheden die zijn besproken in dit hoofdstuk?

1.S Oe rol van de leerkracht

1.5 De rel van de leerkracht AI het voorgaandeis bepalend voor de rol van de leerkracht. Daarnaast zijn er conceptenuit de algemene didactiek die het werk van de leerkracht vormge-

ven. Denkhierbij aan klassenmanagement, onderwijsmodellen. de balans tussen toetsen,uitdagenen zelfstandig werken. Verder zijn er maatschappelijkeontwikkelingendie het onderwijs beinvloeden, zoals opbrengstgericht werken, handelingsgerichtwerken en talentontwikkeling. Het meesteleren dat in het basisonderwijs plaatsvindt, is georganiseerd. Oe leerkracht zorgt ervoor dat leerlingen bepaalde ervaringen opdoen,met als doel daarvan te leren. Oit doet hij door bepaalde informatie beschikbaar te stellen,

door hetlokaal op eenbepaalde manier in te richten. door bepaalde stof op een bepaalde manier op het juiste moment aan te bieden(vertellen„ instrueren, door middel van allerlei werkvorrnen en activiteiten) en door interactie tussen de leerlingen te bevorderen. Hierbij wordt rekening gehoudenmet wat er is afgesproken. zoals de kerndoelen reken-wiskunde van het basisonderwijs (SLO. 2006). de

referentieniveausen de onderwijsbehoeften van deleerlingen.

tip reke nonderw ijs h

O verinteractie in het eeft lo Nelissen (2002 en 2003) twee interessante artikelen geschreven in hetTijdschrift voor nascholing en onderzoek von het reken-wiskundeonderwijs. In de literatuuropgave staat de volledige verwijzing naar deze artikelen.

1.5.1 Realistisch rekenen Hiervoor beschreven we devijf principes van de realistische rekendidactiek. • Le erlingen, moeten eigen constructies (ideeen. vondsten) maken om proble-

men op telossen. • Leerlingen reflecteren op oplossingen. • D e kinderen discussieren over elkaars ideeen; het onderwijsis interactief. • D e kinderen begrijpen aan de hand van contexten waar een bewerking echt over gaat. • D e kinderen leren rekenen ook in werkelijke situaties te gebruiken. Opdracht 1.17 Onderzoekwac deze principesvoor consequentieshebben voor hethandelenvan een leerkracht. Observeer op school of je deze principes tijdens derekenles herkent.

1 Visies, stromingen en ontwikkelingen in het reken-wiskundeonderwijs

De vijf principes kunnen worden weergegeven in begrippenparen, die zichtbaar maken hoe de eerder besproken, leertheorieen en de rol van de leerkracht binnen deze didactische stroming bij elkaar komen.

construeren 4I C

concretiseren

I4

0 4I

4I

niveaus

9

modellen

4I

reflectie

re 4

eigen producties

I4

sociale context

interactie

44

verstrengelen

rt

ff

*

structureren

C

0

R

4I

I4 v

H

I4

I4 C

C u 4I

n I4

O 4I

4J

n

Ill

4

4

*

Figuur 1.2Ii

Principes van de realistische rekendidactiek en begrippenparen Bron: Proevevan een nationaal programma1Treffers et al„1989)

Opdracht 1.18 Kijk nogeens naar de vorige opdracht Komen in jouw uitwerking begrippen uit bovenstaand overzicht voor?

De activiteiten van de leraar worden behalve door de inhoud ook bepaald door didactische hulpmiddelen. In dit kader verdient Gardner, met zijn theorie gericht op intelligentie, enige aandacht. Gardner heeft de theorie van de meervoudige intelligenrie ontwikkeld. Dit is ongetwijfeld al tijdens de pedagogieklessen be-

sproken. Hij stelde dat alle mensen in meer of mindere mate beschikken over verschillende intelligenties, die afhankelijk van de uit te voeren taak worden ingezet. Of dit echt zo is, is niet bewezen. To«h kan in het onderwijs bewust omgegaan worden met deze intelligenties. Je kunt daarop inspelen door verschillende soorten opdrachten en/of instructies te geven die aansluiten bij de intelligenties die Gardner beschrijft.

Zelf gaf Gardner al aan dat dit niet te rigide moest worden doorgevoerd. Het is niet altijd nodig om in een les alle intelligenties aan te spreken. Van Parreren

heeft dit didactis«h uitgangspunt ook aangehaald, waarin hij het belang noemde van het benutten van vers~ h & [5 l lff f

R++ I

2ff f

Figuur 4.33 Notatiewijzen voor 47 x 52, steeds verder verkort (van notatiewijze 1 naar 3)

De laatste variant wordt meestal als volgt uitgelegd; 7 x 2 = 14. 4opschrijven, een onthouden. 7 x 5 = 35 (plus dieeen) maakt dat er 36 wordt genoteerd. Nu is 7 x 52 = 364 berekend. Vervolgens wordt er overgegaan op het vermenigvuldigen van 40 x 52. Hiervoor geldt dat er eerst een nul opgeschreven wordt omdat je meteen tiental ver menigvuldigt.Sommigemethodennoemendit de nulregel. Vervolgens wordt 4 x 2 = 8 gedaan. Vervolgens 4 x 5 = 20 en zo ontstaat 40 x 52 = 2080. Ge twee tussenantwoorden wordenbij elkaar opgeteld en zo ontstaat

2444. Oestappen om te komen tot de meestverre verkorting zijn: 1 Het nietmeer opschrijven van alle tussenberekeningen, maar enkele tussenberekeningen samen nemen. 2 De orientatie veranderen van van groot naar klein(links-rechts) naar van

kleinnaar groot (rechts-links). 3 Eengesprekover de betekenisende noodzaakvan alle nullen. 4 Watonthouden moet worden wordt boven het goede getalgeplaatst. 5 Eventueelwordt alleen in het hoofd onthouden. Hierna wordt verder geoefend, kaal en in situaueopgaven.

Bij stap 3 ishet vanbelangdat de leerlingen weten dat als je eengetal met tien vermenigvuldigt er een nul achter komt.Als het goed is. is dit is geen trucje. maar is dezekennis bij de leerlingen door ervaring verworven. De nulregel wordt echter door veel leerlingen niet begrepen, omdat veel leerkrachten vertefjen dat het zo werkt. Het iseen essentieel onderdeel van cijferend vermenigvuldigen,

maar welvanuit inzicht in de tafels enniet vanuit aangeleerdeaxiomas:omdat het nou eenmaal zo is. Opdracht 4.14 Beredeneer wat denulregel precies inhoudt en bedenk hoe je deze regel inzichtelijk zou kunnen uitleggenaan leerlingen van groep 6.

232

4.3 Het curriculum

Alshet v ermenigvuldigenvan een getal van twee cijfers met een ander getal

van twee cijfers goed gaat, volgen getallen van twee cijfersmaal een getal van drie cijfers. Eventueel komt het rechthoekrnodel weerterug om de tussenstappen te ondersteunen. Oan volgen bijvoorbeeld twee getallen vandrie cijfers en

uiteindelijk is zelfs uitbreiding naarnoggrotere getallen of naar kommagetallen mogelijk.Op dezewijze wordt het kolomsgewijsvermenigvuldige~ aangeleerd door middel van progressief schematiseren. Oe rekenmethoden volgen soms een iets andere werkwijze. Deze werkwijze wordt ingegeven door nieuwe inzichten van auteursen ervaringen uit depraktijk. Zozie je in methoden dat er wordt voorgeschreven hoe de leerlingen het moeten aanpakkenof noteren, in plaatsvan dat zi jditzelfontdekken.Of erwordt een extra tussenstap bedacht

som m ige

waardoorsommigeleerlingen het eerder begrijpen. Opdracht 4.15 Vergelijk deaanpakvan de methode van jouw school met de hiervoor geschetste aanpak Doe ditdoor zowel de handleiding van groep 6 door te lezen (enkelde lessen die zich richten op het cijferend vermenigvuldigen) en de opgaven voor de leerlingen bij deze lessengoed te bekijken Op welke punten zie je verschillen? Probeer te verklarenwaarom de methode diekeuzes heeftgem aakt.Overleg zo mog elijkmet de leerkracht van groep 6 of medestudenten hierover.

Kojornsgewij sen cijferend delen Het staartdelen wasvroeger eenabstract proces.Het aanleren verliep volgensde didactiek van progressieve cornplicering„zoals ook al weergegeven in deel I. Oit zag er alsvolgt uit: 3 / 6 II 2

+ / 12 % 3 12 0

3 / 4 5 '\ 1 5

1 3 / + 5 5 II 3 5

3$65

13 /

+ 5 '6 3 I 3 5 1

16 /

I f 650 'I 6OI5

3$ 66

OQ

65 3

Figuur 4.34 Stappen van schriftelijklcijferend delen volgens progressieve cornplicering

Rond deeeuwwisseling isde mening ontstaan dat het niet nodigwasom vanalle leerlingen deze notatiewijze te eisen. Bovendien sloot de didactiek om het aan te lerenniet aan bij de diversiteit van deleerlingen. Progressieve complicering werd vervangen door progressieve schematisering. Binnen het concept vankolorns-

233

4 Bovenbouw (groep 6-8)

gewijs rekenen werd een werkwijze ontwikkeld die leerlingenin staat stelde op hun eigen niveaute delen,. Ze werden uitgedaagd om daarbij zo veel mogelijk te komen toc verkorting. Rond 2005 werd de maatschappelijke roep omterug ce gaan naar de oude notatie van de staarcdeling steeds groter. Er zijn bovenbouw-

leerkrachten enuiteindelijk ook methoden die destaartdeling alslaatste fasevan het progressiefschematiseren weer zijn gaanaanleren. Hierna wordt beschreven hoe met de didactiek van progressieve schematisering het delen wordc aangeleerd. In de beschrevenleerlijn wordt toegewerkt naarde notatie vande ouderwetse staar tdeling als einddoel. Alle fasen worden weerge-

gevenmet als uitgangspunt steedsdezelfde context. In werkelijkheid is de leerganguicgespreid over m eerdere weken en iser per faseeenandere context rnec andere, grotere getallen nodig, zodat leerlingen ookbekend raken rnec meerdere toepassingssicuaties.

Stap1:Introductie van eenprobleem in rijke context. Leerlingenzien in dat de staartdeling een manier is om een verdeling uit te rekenen. Kinderen hebben al

ervaringmet opdelen enverdelen. Eengoede context om het kolomsgewijs delen te starcengaat uit vanopdelen. hAoederheeft postzegelsvan vroeger in een doosje verzameld. Ze heeft ze bewaard (figuur 4 3$). Het zijn er 127 Haar drie kinderen mogenze eerlijk verdelen. Hoeveel krijgt ieder'.

Figuur 4.55 Doosje met postzegels

234

4.3 Het curriculum

De leerkracht zorgt dat er daadwerkelijk 127 postzegels of snippers of plaacjes

van postzegels voor ieder groepje aanwezig zijn. Oeleerlingen lossen in groepjes

dit probleem op. Oetneeste leerlingen zullen een oplossing bedenken die bestaat uit het maken van drie groepjes. Dat kan de leerkracht aanmoedigen door

te zorgen voor doosjeswaarin ze de postzegels kunnen leggen (figuur 4.36).

Figuur4.36 Postzegels verdelen over drie bakjes

Stap 2: Materiele oplossing schematisch noteren: leerlingen denken kritisch na

over hun werkwijze en worden gestimuleerd deze zogoed mogelijk te noteren. Als het proces begrepen wordt, kan er gediscussieerd worden over de werkwijze. 'Hoe zouden we het probleem kunnen oplossen als er geen postzegels beschikbaar zijn? Moet je er echt postzegels bij gebruiken? Is het niet handiger om een notatie (een manier van opschrijven) ce bedenken bij het opdelen? Hoe weet

je zeker dat je de tel niet kwijtraakt en dacieder evenveel heefc?Wie heeft er in zijn groepje al een notatie bedachc? Is het e«ht verdelen dan nog wel nodig als je goed noteerc hoeveel je hebt verdeeld? Moet je het verdeelproces helemaal uitvoeren of zou je daarmee ook kunnen stoppen en coch bij het antwoord kunnen komen?' Oit leidt tot de zogenaamde happenmethode. De redenering is: als iedereen een postzegel krijgt, gaan er drie postzegels van de stapel af. Kinderen die

deze notatie begrijpen, kunnen staartdelen. Oestaart wordt wel erg lang, zodac er behoefte ontstaacaanverkorten. Er wordt nog wel een bakje gecekend om de relatie rnec de introduccie zichtbaar te maken (figuur 437).

235

4 Bovenbouw (groep 6-8)

st atie

Figuur 4.37

Schriftelijk delen (kolornsgewijs)

Stap 3:Werkwijze intuitief en daarnastructureel verkorten. De leerlingenworden gestimuleerdte verkorten. Het bakje hoeft er niet meer bij getekend teworden. want iedereen weet nu dac

er inelk bakje evenveelkomc.Erzijn twee soorcenverkorten; intuitief en systematisch. Bij intuitief verkorten kiest de leerlingde verkortingen die in hem opkomen (zie figuur 438). Bij systematisch verkorten wordchet tientallig stelselals uitgangspunt gebruikt. Dit becekent dat er «ontinu gezocht wordt naar de grootste hap perposi-

tie. In dit geval isergeen hapvaneen honderdvoudmogelijk, wel eenveelvoud van tien, namelijk 4 tientallen (40 x 3 = 120). Oanblijven er nog7 postzegelsover om teverdelen,dat leverc nog2 postzegelsvoor ieder kindop (figuur 439). Bij eenintuitieve verkortingkiest de leerling de happen op voorkeur, gebaseerd opzijn eigen getallenkennls of getallennetwerk (zie figuur 43$). Een leerling kiest bijvoorbeeld

alseersteeenhapvan 1omdat hij dit gemakkelijkvindt. Oankiest hij nogeenhap van 10(dat is hetzelfde rneceen nul erachter). Er bleek nog wel 3 keer zoveelaf te kunnen, dus 30x 3= 90 eraf. Entot slot past in de 4 nog 1 x 3.Aheestal beginnen leerlingen met intuitief verkorten. De leerkracht moet de leerlingen stimuleren om systematischte verkorcen. Samen de verschillende verkortingen bespreken helpt daarbij.l eerllngenzien dandacsys tematischverkorten tot de snelste werkwijze leidt.

236

4.3 Het curriculum

Bo

$f

Qo

Figuur 4.38 Schriftelijk delen (kolornsgewijs). intuitief verkort

Figuur 4.39 Schriftelijk delen (kolornsgewijs). systematisch verkort

Opdracht 4.16 Leg deze opgave eens voor aan leerlingen uit groep 7/8. Waar zitten de leerlingen in deze leerlijn? Welke verkortingen neem je waar? Welke verschillende intuïtieveverkortingenworden door de leerlingen bij dezeopgave toegepast?hhaak voor de leerkracht een overzicht van de kinderen uit deze klas. Geef hierin weer welke leerlingen verkorten, intuitief verkorten met drie happen, intuitief verkorten met

systematisch

vier happenen welke leerlingen intuitief verkorten met meer dan vier happen Geef tegelijkertijd aan of ze foutjes maken bij het optellen,aftrekken en/of verrnenigvuldigen.gedenk welk adviesjede leerkracht zou geven voor hetverderontwikkelen van deze vaardigheid in dezeklas.

De sliert blijft in sommige situaties nogsteeds erg lang. Als het systematisch verkorten goed gaat, kan de leerkracht de leerlingen aanmoedigen nog verder te

verkorten, doorhente stimuleren grotere happente maken. Dit leidt uiteindelijk tot de kortstesliert (zie figuur 4AO}Alsde leerling voornamelijk nog intuitief

systematischeaan-

verkort, kan hij aangemoedigd urorden over te gaan tot een

237

4 Bovenbouw (groep 6-8)

pak. Dit kan gestimuleerd worden door het maken van een hulptabel, zie hierna. Gedurende deze fase kan elke leerling dus staartdelen op zijneigen,niveau. Stap 4: De kortstesliert en de traditionele notatie. Leerlingen die de kortste

sliert kunnen maken,kunneneventueel de overstap makennaar de traditionele schrijfwijze. Dezevariant wordt vaak bedoeld wanneerer wordt gesprokenover de traditionele of ouderwetse staartdeling. Voor het begripis dat niet nodig,

maar deschrijf wijze iswelefficienter (Aguur 4.40). 3 / x? + i+? raatx.

oy6

?

+? Figuur 4AO

Schriftelijk delen (links kolomsgewijs. rechts traditionele staartdeling). beide meest verkort

Opdracht 4.17 Bespreekmet een groepjemedestudenten ofmet de leerkrachten van je stageschool in hoeverre leerlingen moetenkunnen cijferen. Wat vind je van het cijferen? Ofis handig rekenen het enige wat je moet kunnen? Is het voldoende om kolomsgewijs te kunnen cijferend delen? Welke mate van verkorting eisje van alle leerlingen?Vvat

vind jevan het cijferen en de traditionele schrijfwijze? Ishet nodig dat alle leerlingen de traditionele schrijfwijze beheersen of heb je hiervoor eenspeciale groep in gedachten? Neem in je overwegingen ook de uitwerking van de vorige opdracht mee.

Als de getallen groter worden, zoals in een opgave als 231.456 : 27, kun je vaak

niet in eenkeer inschatten hoeveel keer 27 erin past. Rekenmethodengebruiken alshulpmiddel vaakeen verdubbelings- of verhoudingstabel om bij dezeopgave eerstgrip te krijgen op veelvouden van 27. Zo kan van tevoren het volgende lijstje gemaakt worden;

ioo x ? f = ?+x

of

aso

?oo x? p = %+Llo

+oo x ?p = s.o aoo troo x ?p = ? s . &do

238

xo. srcH5

4.3 Het curriculum

Het cabelletje rechts is uiteraard niecs anders dan een verkorte schrijfwijze van

het linkerrijcje.Het hulpmiddel rechcswordcookwel eenT-cabel genoemd.Mec behulp van een dergelijk rijtje kun je sneller schatten welkehappen je kunt ne-

men. Uiteindelijk zaldit in sommigegevallenookuithethoofdgaan.Eenvorm tussenkolomsgewijsdelen endetraditionele schrijfwijze vande staartdeling is weergegeven in figuur 4.41. 2 ax+56 : 2 p

= R ..

2 a& 5 6 : 2f

2 1f4 0 0

216000

15+$6

1 54$ 6

sa5oo

A&

= 85

2 as+5 6 : 2 p = 0 5 p 21606 0 1 545 6

2as+ 5 62 p = R 5 7 2 vest 12 216OCX> i& h %6

sa500 1P56 1@O

1a5OD 1+ 5 6

&&

&&

1$Sio

12

Figuur 4,41 Schriftelijk delen (notatievorm tussen kolomsgewijs en traditioneel)

De uitkomst is dus 8572 rest 12. Hierbij staat rest voor hec restant dat niet meer deelbaar is door 27. 12 is uiteraard nog wel te delen door 27, maar de uitkomst is

dangeengeheel gecal. Opdracht 4.18 660 : 24 = 27,5 maar ook 27 rest 12.Wat is de relatie tussen rest 12 en het deel achter

de komma van dit antwoord?Hoe zou je leerlingen uit de bovenbouw dezerelati» tussen het deel achter dekomma en rest l2 zelf kunnen laten ontdekken? Welk» vragen stel je daarbij, zodat de leerlingen worden uitgelokt kritisch te kijken naar de werkwijze enhet antwoord?Hoe worden ze ge stimuleerdte redeneren of en hoe preciesdit werkt voor alledelingen met rest?

Vanuit deze notacie is hecmak kelijkerom achter de kommadoor cerekenen. je kunt immers gewoon doorgaan door eerst naar de tienden te kijken. Dat geef je aan door een komma achter de 2 van 8572 te zetten, de uitkomst gaat dus achter de komma door (figuur 4.42). Achter de 2 van derest 12 zecje een nul. Dat mag omdat je dan eigenlijk 231.456,0 gedeeld door 27 uitrekenc. Als je nog

verder wilt, volstaat het omnullen coecevoegen. Kommagetallen ontstaan dus door bij eenstaartdelingachter de kommadoor te delen.

239

4 Bovenbouw (groep 6-8) ?a 1 + 5 & : ? p = R~ ? ,

?a d & & : 2 p = R~ ? ,+

?1 & D DD

? Si + S & : 2 P = R ~ ? ,f + ?1 & OOO

18+5&

1S+S&

15+S&

1SSDO

1 55 6 6

1SSOO

1$5&

1$5&

1R +D

1R +D

1$5& 1RQD

&&

&&

&&

5+

5+

16R

1DR

S?D

16 R

Figuur 4.42 Schri ftelijk delen.daorgerekend na dekomma

Opdracht 4.19 Bedenk hoe je leerlingen uit de bovenbouw uitlegt dat je een nul mag toevoegen. Be-

denk oak hoeveel nullen je vervolgens achter de komma mag plaatsen enhae je dat uitlegt. Bedenk een context waarmeeje dit duidelijk kunt maken aan leerlingen van groep 7/8. Vergelijk ookeens hae de rekenmethode van de bovenbauw deze stap uitlegt.

De leerkracht moet leerlingen helpen te beoordelen wanneer het verstandig is

om eensom cijferend uit te rekenen en wanneer handig rekenen toepasselijker is. Het is daaromvan belang om leerlingen aan te leren altijd eerst te kijken naar de opgave en naar de getallen die hierin voorkomen. Qp grond daarvan wordt een oplossingswijze, strategie of aanpak gekozen. Opdracht 4.20 Ontwerp een rijtje van vijf deelopgavenwaarbij leerlingen moeten bedenken welke aanpak het verstandigst is. Denk hierbij goed na over de context en situatie en de ge-

bruikte getallen. Wanneer ligt werkelijk het cijferen vaar de hand en wanneer niet?

Hetisw aardevol om met deze opgaven een wedstrijdje teorganiseren tussen leer-

lingen die opgaven op een papiertje cijferend delen en leerlingen die kolomsgewijs delen. laat ook een groep vrij in zijn aanpak en voeg een aantal opgaven tae die juist heel goed handig op te lassen zijn. Bespreek met elkaar welke opgaven geschikt zijn vaar de verschillende werkwijzen.

240

4.3 Het curriculum

Schatten enaPonden Leerlingen leren formeel te rekenen is een doel van de leerlijn Cijferen. Oicgaat

hand inhandmet leerlingenlerenschatten. Bij het cijferenwordt gema kkelijkeen nulletje vergeten.Handig isdat je vantevoren beseft wat deorde vangrootcevan het antwoord zou zijn, en je dus herkent dat een antwoord niet mog elijkis. Schatten heeft nog een heel ander doel; het vraagt om redeneren met getallen. Als een leerling moet schacten wat ongeveer de uitkomst van 987 x 427 is, kan hij allerlei gradaties van afronden kiezen: 1000 x 400, 1000 x 427 of 1000 x 500. Met de klas kan worden besproken welke afronding het best is en waarom.Oe gewenste

nauwkeurigheidhangt afvan het doelvan de schatting. Bij devoorgaandeopgave kan het voldoende zijn dat een leerling weet dat het een getal wordt van,6 cijfers en dat het eindigt op een 9. Oac isnamelijk voldoende wanneer de vermenigvuldiging onder elkaar wordt uicgerekend om na te gaan of het antwoord kan kloppen. Als het niet de bedoeling isdat het antwoord uitgerekend wordt, omdat het bij-

voorbeeldgaat over hoegroot eenbepaald gebiedongeveer is,danis 1000 x 500 voldoende. Leerlingen moeten ervaren dat schatten zinvol is. Opdracht 4.21 Hoe reageer je op een leerling die een vermenigvuldiging eerst onder elkaar zet en dan een afgeronde uitkomst als schatting geeft?

Ontbinden in pnemfactoren In sommige recente rekenmethoden worden in groep 7 of 8 zeker in het pluswerk ten behoeve van de becere rekenaars de grootste gemene deler (ggd) en het kleinste gemene veelvoud (kgv) behandeld. Soms komc zelfs het ontbinden in priemfactoren daarbij aan de orde. Een voorbeeld uit Rekentijger is weergege-

ven in figuur4.43.

241

4 Bovenbouw (groep 6-8)

Ab te grote getallen hebt.a net lathg lvvopdeeemanlerdeGGD tevmden • K lik nog eens op blad 6 Daar heb le geren dat el een Verband n t«mende pnemontbrndmg van een getal en de prrementb«ndmgen van de delen van dat getal Sthnft rn le eigen «voorden op vrat dat verkond 6

De 66 D van 210 I'n eor

•

Pra rnnetbrndrng van 2 10 e

pr«entente ndrngI an berde gert lvnl

Promoetnrndog van 90 =

tta l I a I IKtvr vrvt

• •

Dln bl'll'ktvl e Pent de

D v6GD n

« r m lvv vv r 210, dm«ml«vr re do p r rn«v «tfrvrdin e van dv GGD qvvvr rvk v pr rnevlaavn

• op«kernen den 2 3. 5 of 7, • H etaedde gekit voor de priemontbind ng van 50 2. 3 en 5 kOmen in beide fviemOntbin«engen VOOr,d«n 66012 10. 901 a 2 a 3 a 5 • 30 Kloot de redenering van Hafireat

Figuur 4A3 Bron:Rekentijger, groep 7, boekje A (2015). Tilburgl Zwijsen, p. 13

Toepassingen van de priemfactoren, de grootste gemene deler (ggd) en het

kleinstegemeneveelvoud (kgv), komenhierbij ook aandeorde. Voor de ggd enhet kgv dienje twee of meer getallen enhun delersmet elkaar tevergelijken. Eerst moet je getallen ontbinden in priernfac toren. Deze werkwijze biedt namelijk de mogelijkheid om alle delers van een getalte vinden, waarnaje kunt delen

door dezegetallen, of enkel door degrootste geme enschappelijke.Omdatde echte toepassingenpas bij breuken een rol spelen. komen we er in die paragraaf

nog eenkeer opterug.

tip Zoek eensop wat de ggd en het kgv betekenen. Waarvoor dienen ze? probeer eens in je eigen woorden een uitleg te geven voor leerlingen uit groep 7 enL Bedenk ook bij welke les uit de methode je dit onderwerp voor de sterke rekenaars logischerwijs kunt aansnijden. Wat moeten de leerlingen weten en kunnen voordat je ze uitlegt wat de ggd en het kgv is?

Omdat ontbinden in factoren een abstract begripis, oefenen de leerlingen eerst met spelletjes waarin deelbaarheid een rol speelt. Hierbij komen ook de regels over deelbaarheidaan bod. Vragen als 'Door welke getallen is 68 deelbaar?' en 'Bedenk eengetal dat deelbaar is door 2, ti, 7 en 11' kunnen leerlingen op het

spoor zetten. Alsuitdaging kangevraagdworden Door welke getallen is6048 deelbaar?' Dit kunnen leerlingen niet zonder papier bijhouden, waardoor de behoefte aan een notatievorrn ontstaat. Ook zal er de behoefre ontstaan om dit systematisch aante pakken. Daarbij worden deverschillende aanpakken van 2152

4.3 Het curriculum

de leerlingenbesproken. De leerkracht geeft op het bord de verschillende delers

weer(figuur4.44). •

Vr etke getallen atjn deelbaar door 2, Sen 1O! liet ene getal kun je urel delen door 2 lof 5 ot 101en het andere getal niet. Wc spreken urn deelbaarheid door 2 (oi 5ol lol als het antnroord rran de delmo een heel getal is.

950

31I T

999999

10935

350

76

100925 325900

25

355

• Omcirkel met Irrauw alle getallen die jekunt delen door 2. Maak dan de regel ai: 4 egel ten getalis deelbaar door2abheteen

. ..

geta l is,

b Omorkelmetroodailegetallendrejekumdelendoorlo 4eget. ten getal it deelbaar dOOr lg alt c Omcirkel met groen alle getallen die je kont delen door 5.

kegel. ten g«al is deelbaardoor 5als

Figuur 4.44

Bron; Dewereld in gerojjen. 4e editie. digibordsoftware groep 8, thema 1. week L werkboek 5, werkblad 5 plus, opgave 1. '-Hertogenboschr jtrjajmberg

opdracht 4.22 Analyseer de oefening uit f3e wereldin getagen. In welke fase van de didactiek kan dezeopgave voorkomen?

Voor de rekenaar die uitgedaagdwil worden door iets moeilijks kan als eenvervolgop bovenstaande ervaringenontbindenin priemfactoren worden aangeboden. Dit kan het best vanuit een com plexe realistische context gebeuren, waarin de leerling de werkwijze nader onderzoekt. Eerst wordt ingegaan op ontbinden. Cetallenzijn n amelijkte ontbinden in twee of meer factoren. 2ois het getal 18 te ontbinden in 2 en 9 (1$= 2 x 9), maar ook in drie factoren, namelijk 2,3 en 3 (18 = 2 x 3 x 3). De formule voor het berekenen van de inhoud van een balkvormig figuur (I x b x h) ligt bij getallen met drie factoren voor de hand. De opgave diebij kolomsgewijs optellen in dit hoofdstuk uit Pluspuntls gebruikt, zou je hierVOOrkunnen inaetten (figuur 4.413). 243

4 SoveIIbouw (groep 6-8)

Hewssl clone&r ~ 8 »8

Dn Intnttand w44 9433 Itnnnn.

88»

,/ lt'

Etttetaer 554I slenen gameSee

57

Httnlttrt Stenen 4tllllttn etc&

~ 8 4»

IOO

I XI I 4

t npt

»44

4 80

It

48 888 48tlnr r » l '

rtt I/t84 Jttr t I

)

n+ 700Qi-&ol:I tol+ I = l6OO! IO + I l$9'

8440t 8t' JIL»t48n tnttl

)

Roltnn @Il 09 itltn 't Snint, 7545 — 3723

l 59 I,

C»lint'III»»t 84 t 14 I4»l 4844488» tt»'

53 7 5 — 3999

954 7 - 4529 »

n n

IQ 5 3 9 5 5»

44 &4 — 3597 n

Figuur 4.45 Bron:PllIsfIIIIIt, lesboek groep 63, le editie (1991). 's4 Hertogenbosth: Malrnberg, p.27

We vroegen ons bij deze opgave af hoe realistischhet is om 8432 stenen te kopen en koppelden daar de afmetingen van een pallet aan. Misschien dachtje ook dat 8432 een raar aantal stenen is.Misschien vroeg je je ook of een dergelijk aantal stenen realistischis. Als de leerling met dit getal 8432 aan de slag gaat, blijkt dit aantal precies op een pallet te passen. 8432is namelijk 16 x 17 x 31. Oat levert duseen mooie stapel op eenpallet van 16 stenen in de lengte, 31 stenen in de breedte en 17 lagen.

aangem oedigd

Omdat proberen met deze getallen moeilijk ls, kan de leerling worden het wat systematischer aan te pakken.In plaats van alle delerslangs te gaan, ishet handigerom van klein naar groot de getallen langs te lopen en te controlerenof het getal deelbaaris door dat getal. In dit geval ziet hij direct dat 8432 deelbaar is door 2. 8432 ; 2 = 4216. Dit is vervolgens nogmaals deelbaar door 2 en ook deelbaar door4 (4216 : 4 = 1054), enzovoort. dpdracht 4.23 V/aarom is het handig om niet alle delers af te gaan, maar enkel de priemgetallen?

Als de leerling de notatie goed heeft begrepen, komt hij tot een,van de volgende oplossingen in figuur4.46.

244

48 Het curriculum Of f 2 zh 210e

Rf 32

f2ze

1 05 f 5 2j F

zp

31

Figuur 4.46

Priemfactorontbinding van 84s2

De grootstegemenedeler (ggd) ershet k(einste gemeneveelvoud (kgv) Veel leerkrachten vindenhet moeilijk omuit te leggen wat voor nutde begrippen grootste gemene deler en kleinste gemeneveelvoud hebben. Dit komt

omdat we dezebegrippen niet zo vaakmeer expliciet noemen.lrnpliciet maken we tamelijk vaak gebruik van veelvouden en delers. De ggd enhet kgv zijn daar

voorbeeldenvan. Het isdan ook handig omvan twee getallen juist de grootste gemeenschappelijkedeler te kunnen bepalen en eenzo klein mog elijke,het kleinste, een veelvoud, enzovoort. Dit is behoorlijk waardevol bij het rekenen met breuken. De grootste gemene deler kunje gebruiken om breuken in een keer te vereenvoudigen tot de meest vereenvoudigde breuk. Het kleinste ge-

meneveelvoud kangebruikt worden bij het in een keer gelijknamig maken van

ongelijknamigebreuken, zonder dater onnodig grote noemers ontstaan. Daarnaast zijn er ook situaties binnen het domein Hele getallen, waar het gebruik van de ggd enhet kgv handig is, omdat het sneller leidt tot de juiste oplossing dan zomaar wat proberen. Zois in de volgende situatie het gebruik van de

ggdvanm eerwaarde. Bij eenfruitteler hebben drie kinderen appels geplukt. Ze mochten net zo veel appels plukken als ze wilden. lanheeft er 36 geplukt, hharieke 42 en Ilse S4. Zewillen de appels allemaal in dezelfde soort verpakking doen. De fruitteler heeft bakjes van 2, 4 en6 appels. Ze willen elk bakje helemaal vullen. Wat is het grootste bakje dat zealle drie kunnen gebruiken?

Ook nuzou jeop zoekgaan naardedelersvan 36,42en 54.Degrootstegemeens«happelijkedeler van dezedrie zou het antwoord op voorgaand probleem

opleveren.

245

4 Sovenbouw (groep 6-8)

Eencontext waarbij het kgv gebruikt kan worden, zou de volgende kunnenzijn. Vadermaakt stappen van 120 m .Roodkapje m aaktstappen van 80 cm. Ze maakt dus veel meer stappen dan vader alsze hem bij wil houden. Ze lopen samen van hun huis naar grootmoeder. Daar vertellen ze haar dat ze samen in totaal 250 stappen hebben

gem aakt. Hoeveelmeter wonen Roodkapje en haarvader bijgrootmoeder vandaan?

Opdracht 4.24 Analyseerde twee voorbeelden en beredeneer waarom de eersteoverde ggd gaaten de tweede over het kgv.

4.3.2 M e t en

Zoalseerder gem eld kan deleerlijn Meten in drie fasen worden beschreven:

vergelijken en ordenen, afpassen en aflezen. Dit is een globale leerlijn. Git kan uitgewerkt worden in een gedetailleerde lijn, waar al in hoofdstuk 2 en 3 naar werd verwezen (tabel 4.1). Tabel 4.1

Globale leerlijn Meten groep 1.8 (naar Goffree, 1992) • Vergelijken • Or denen • Samenstellen en afpassen

Ideuters en groep 3

• Ma atstaf gebruiken • Stan daardeenheid

groep 3. 4 en 5

• hf leten is benaderen • Me t riek stelsel • Ni euwe maten

groep 6,7en 8

Hierna volgt een beschrijving van de onderdelen van de leerlijn die juist in de bovenbouwcentraal staan. Meten is benaderen De slagzin 'Metenis weten' is niet altijd waar. Eenrneedes waarin de lengte van alle leerlingen wordt genoteerd en vergeleken kan leiden tot een les over hoe

precieser isgemeten. Waren het centimeters. millimeters, of is er met een nog kleinereeenhedengemeten?Hoepreciesiser gemeten?Hoe precieskunje me246

4.3 Het curriculum

tenT Waarhangt dat vanaP. Als iemand 1.76 meter lang is, is hij dat dan echt of

zouhet misschienook 175,7 meter of 176,3 meter kunnenzijn? Kortom,beredeneer eensmet de leerlinge~wat je eigenlijk meet en hoenauwkeurigje kunt meten. Wat weetje werkelijk na het meten van een voorwerp of object? Opdracht 4.25 Ontwerp een rekenles rond afronden. Laat de klas nadenken over

bijvoorbe eld de

verpakkingvan een pak melk (figuur 4.47). Daarop staat vaak wat er per IDO ml aan voedingsstoffenaanwezigis. Een interessante vraag isnu hoeveel mgzout er kan zijn toegevoegd. Iee ~iere lrelreha*r rrrr vu rrave~arie eair rrivalle iarrrame(nov l"t)

lrrrerrratawaarda per 100mi eaertre afwil koearydralaa *au'varr aralcra .

lf lrca

- '5C - : 5,0 0

.Ga

val v aarvae .eedel . vrreeintaveael

L.5 0 .1.00

ealnum

0.05 0

iectcveete rerrl

I

Gr

00 g

Figuur 4.47 Voedingswaardetabelvan een pak melk

M etrie kstelsel Het metrieke stelselwordt in methoden nogvaak met trappetjes geassocieerd. Somsgebeurt dat in com binatie met de poster vanhet Freudenthal Instituut (figuur 4.4g).

247

4 Bovenbouw (groep 6-8)

00 m

W lynn

I& III

d 44e II ' • I

III II g. - •

•I

Figuur 4AB

Systematiekvan hetmetrieke stelsel Bron:Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht

Deze poster geeft inzicht in de systematiek van het metrieke stelsel. Hij biedt vanuit de voorvoegsels inzicht in de eenheden die in het metrieke stelsel worden gebruikt. Door ze te koppelen aan allerlei voorwerpen uit de dagelijkse praktijk

beginnen dezeeenheden te leven en ontwikkelen leerlingen referentiematen. Referentiematen zijn voorbeelden van voorwerpen en objecten waarvan je weet hoe groot, lang of zwaar ze zijn. Deze kennis is handig om andere voorwerpen en objecten mee te vergelijken. Zo kun je metingen voorspellen of schatten en metrieke omzettingen controleren. 'Ik weet dat een pak suikereen kilo weegt Gp het moment dat je mij vraagt hoe zwaar bijvoorbeeld een zak drop is, gaik in gedachten na, terwijl ik de zak drop oppak,of deze zak zwaarder of lichter is dan een pak suiker

Andere voorbeelden zijn vaak te vinden in de eigen leeforngeving van mensen. Iemand weet bijvoorbeeld hoe lang hij zelf is. Hij weet hoeveel de inhoud van een tube tandpasta is of het gewicht van een pakje vleeswaren. Om te kunnen schatten met maten als afstand. tijd. gewicht en oppervlakte is eigen ervaring met meten noodzakelijk. Laat kinderen veelvoorkornende maten koppelen aan voorwerpen of situaties die ze kennen. Welke voorwerpen wegen een kilo? Laat ze dit eerst op gevoel met de hand inschatten en daarna op een

weegschaal werkelijk nagaan. 248

4.3 Het curriculum

Omdat schatten bij meten zo belangrijk is, doet de leerkracht regelmatig oefeningetjes met opgaven die het schatten bevorderen. Voorbeelden hiervan zijn Hoe groot is Nederland eigenlijk? Hoeveel liter past er in een bad?' en 'Heb ik genoeg aan C l O op het rnornent dat ik twee flessen «ola en een, zak chips wil kopen?' In

deze voorbeelden is preciesberekenen nam elijkniet mogelijk of niet nodig. Nagaan hoe groot Nederland precies is, kan niet, het zal altijd een schatting blijven. Niet ieder bad is even groot, dus je moet een beetje middelen. je wilt alleen maar weten of je genoeg geld hebt, je wilt niet weten hoeveel je precies moet betalen. Door dergelijke situaties voor te leggen en de verschillende mogelijke afrondingen te bespreken, leren de leerlingen kritisch na te denken over afronden en de consequenties van afronden bij bepaalde bewerkingen.

Wanneer je veel referentiematen ontwikkelt en inzicht krijgt in de grootte van de eenheden door bij voorb eeld de voorvoegsels en voorbeelden op de poster in figuur 4.4$, zijn trappetjes en ezelsbruggetjes overbodig.

tip ln VolgensSartj erts (jaargang 36, 2016ii2017, maart nummer 4 en mei nummer 5) wordt een nieuwe visualisatie van het metrieke stelselbeschreven: Flexmaat. De ontwerpersUschi van der Velden en Pauline van Vliethebben postersontworpen dieeen doorgaande lijn van groep 3 toten met groep 8 weergeven. De leerlingen leren hierdoor op een inzichtelijke manier in het metrieke stelsel te rekenen.

Op www.coutinho.nl/rwd staateen link naar dewebsitewaar de posterskunnen worden gedownload.

gup I I

1 414 4

I OO

C lO I

leltate

1

I »»»

• O»4» • o»O»»OO» ~»

I • • 14 I I I» 1 4 44»1

14»» I m 1 44~ 1 1 »

hm

hm

dam

m

e»1»»O»

oppervlakte

===-'=I +' IOO»o' 14»i' '1444

%%~mm 5

Figuur 4A9 Fragmentvan Flexmaat

mm

» OO»

4 Sovenbouw (groep 6-8)

Ingroep 4-5 zijn bijvoorbeeld de centimeters endecimeters al aan deorde geweest. In groep 6kan de structuur daarachter worden verklaard. Niet door

sprongenvan 10te maken, maardoor devoorvoegselste bespreken ennate gaandat eendecimeter 10keer in eenmeter past endat er eenliter water past in een kubiekedecimeter. Leerde kinderen om gebruik te maken van de voorvoegsels.'Hoeveel centimeter zit er in 4,75 km?' kan danin twee stappen worden berekend. Kilo betekent duizenden centi betekent honderdste. In 4,75 km zitten dus 4.750 meter (x 1000) en 475000 centimeter (x 100). Oit isveel inzichtelijker dan trappetjes of rijtjes

langslopen.Bovendienkrijgen leerlingenzoook goedzicht opwelke maten nu werkelijkgroter zijn danandere maten. Bij detrappetjeswordt nogaleensde vraag gesteld naar welke kant de komma precies moer. verschuiven, omdat er niet aan dat inzicht wordt gewerkt. Eenmanier om aan, inzicht in het metrieke stelsel te werken is leerlingen een

netwerk telatenmaken waarin ze allerlei bekendeonderwerpen koppelen aan begrippen uit het metrieke stelsel. Het voorbeeldin figuur 4.50, dat is gemaakt door het TAL-team in 2006, heeft lengteals onderwerp. Je kunt leerlingen indivi-

dueel zo'nnetwerk laten maken, maareengroot vel aande muur hangenwaarop de leerlingen blaadjes met ideeen kunnen plakken en die later gezamenlijk verbinden is ookeen goede werkvorm.

nvln kamer n ongwwr 't Itlcttl

na cito het ton ttcfpaalcits

langne

hen le een kilometer wrder • en voetbalwkl n een hectometer lang en 'I0 nwter breed

ctn RUk vanttn Intometer bij een

wn kilometer is 1000 meear

10 hectomecer il een kilometer ttn vwlkentc kllorncter heelt nwcvwrkatt te rijn

tolomccer iseen

tneeethalve rnecer brec4 10vnnkancc meter

een voctlwlveld heth de oppervlakce van ecn halw heetaw

vvlltnn tc

kilotwter

tnl htctale

ttn am h ccn stok veil

een stok van 100 rnetcr bij 100 nwter is een

10 bij 10 meter

heelalt

hoeh nlec

vierkantte njn

1 ha = t00a 1 centiart ll

ecnvierkante meter

Figuur 4.50 Netwerk met alg onderwerp lenye

250

I lnn' = I ha

4.3 Het curriculum

In het metrieke stelselin de bovenbouw is uiteraard niet alleen aandacht voor de

grootheidlengte. Ook oppervlakte en inhoudzijn al in de middenbouwaan bod geweest. Eriseen verschil tussende eenheden binnende lengtematen en die van de oppervlakte- of inhoudsmaten. Orn deze redenis het aan te raden samen met de leerlingen deze structuur, de overeenkomsten enverschillen grondig te onderzoeken,in plaats van een ezelsbruggetje aan te leren. Dit kan door de o ppervlaktesen de inhouden in eerste instantie concreet te onderzoeken en visueel

weer tegeven. Daarnakunje gezamenlijk beredenerenwelke stappenje moet zetten om bijvoorbeeld 2,53 m'om te zetten naar mm'. Dit verlooptals volgt: 1 m' = 1 tn x 1 m x 1 tn (figuur 4.50). De leerkracht heeft een dergelijke kubus in de klas ende leerlingen hebben eerder al onderzocht dat hierin 1000 dm' gaat, omdat er 10 dm in 1 m past. Zo volgt dat de inhoud 10dm x 10 dm x 10 dm is. De leerlingen redeneren daarom: 1 m' = 1000 mm x 1000 mm x 1000 mm = 1.000.000.000mm'. Dan is2,53 rn'= 2,53 x 1.000.000.000 mm' = 2.530.000.000 mm'.

Figuur 4.51 Eenkubus van 1ns'

Deze aanpak werkt bij alle grootheden die volgens het metrieke stelsel zijn opgebouwd. Hij isdaardoor altijd in te zetten en na te bootsen. De visuele ondersteuning zoalsin figuur 4.51 is voor veel leerlingen van toegevoegde waarde om

deze redenatiegoed te kunnenvolgen. Het is leukom het vullen vaneen kubieke meter met blokjes vaneen kubieke decimeter hieraan vooraf te laten gaan.Je kunt de leerlingen vormen van een kubieke decimeter laten plakken in het kader van het maken van uitslagen. Een vormvan een kubieke meter kun je met latjes maken, maar ook bij educatieve uitgeverijen bestellen. Het rekenen met oppervlakte- en inhoudsmaten binnen het metrieke stelsel

verloopt door middelvaneen brede inbeddingvan dezegrootheden, gevolgd

4 Bovenbouw (groep 6-8)

door een introductie met een realiscische context. In de onder- en middenbouw hebben de leerlingen al inzicht verworven in deze grootheden. Ze weten wat

oppervl akceen inhoud becekent.Demeestemethoden hebben daarvooreen opbouwvanaf groep 1.Omdat het aanleren vande formules I x b enI x b x h in de bovenbouw hec uiteindelijke doel is voor het berekenen van een oppervlakte en inhoud. is de context die de leerkracht gebruikt voor opper vlakte gebaseerd op hec rechchoekmodel. Git kan bijvoorbeeld gaan overhet 'betegelen' van het lokaal met velletjes A4. In een inleidend gesprek wordt de strategiebesproken om dic daadwerkelijk uit te voeren. Bespreek vragen als 'Waar beginnen we?'

en 'Welk probleemkaner aan de rand oncscaan?', maar ook'Hoeveel velletjes denk jedac er nodig zijn? Hoe zouje na bijvoorbeeld een rij een goede s«hacting kunnen maken? Paster nog zo'n rij in het lokaal? Hoeveel A4'tjes hebik dan?" In de nabesprekingwordt bekeken wat de relatie is tussenhet aantal velletjes in de lengte ende breedte en hec totaal aantal vellen. Omdat leerlingen al vaker in

aanrakingzijn geweest met het rechthoekmodel, isde stapvantellen naar lengce keerbreedte niet zo groot meer. Opdracht 4.26 Bedenkeen geschiktecontextom de formule van de inhoud teontdekken.W at maakt deze context geschikt? Welke vragen zou je stellen om de leerlingende formule zelf te laten ontdekken?

Nieuwe maten De laatstestap in de leerlijn gaat in op nieuwe maten. Oe maatkennis van deleerlingenwordt in de bovenbouw uitgebreid mechet denken over nieuwe, andere maten. Wat is de bevolkingsdichtheid van Nederland?Oac is een term die mogelijk

bij aardrijkskundeaanbod komt. Het gaathier omhet aantal inwonersper vierkancekilometer. Oit iseenmaat, maartegelijkertijd eenverhouding. Bevolkingsdichtheid is daarmee een voorbeeld van een samengestelde grootheid. Het is immerseen combinatie van twee groocheden: aantal per oppervlakte. Een samengestelde grootheid diede leerlingen al kennen is snelheid. Dit wordt vaak geassocieerd met het verkeer. Maar er zijnallerlei andere situaties waarbij snelheid een

rol speelc.Hoesnelgaat bijvoorbeeld een,lift in eenheel hooggebouw?Hoe snel groeienje nagels?Enje haar?Hoesnelgroeit tuinkersen hoekunje daar achcerkomen?Samen nadenkenover deeenheid waarin je dit aangeeft isnoodzakelijk. Een nader onderzoek naar hoeje kilometer per uur kunt omrekenen naar meter per secondeis in dic kader ook inceressant.

252

4B Het curriculum

tip ln Kinderen onderzoeken snelheid (Van Galen, Gravemeijer, Van hhulken 4 Quant, 2012) staat een lessenserie voor groep 7-8 over snelheid. Het is ook interessant

om met de leerlingen nieuwe maten te bedenken. Wat voor maat hoort er bij. voorbeeld bij de populariteit van een rapper of een televisieserie? De rapfactor? De spanningsboog?Welke maat hoort analoog aan de bevolkingsdichtheid bij de leerlingdichtheid van de klas? gij het bedenken van nieuwe maten worden meestalbestaande maten gecombineerd.

4.3.3 Meetkunde Zoals eerder gemeld is er geenvastomlijnde opbouw van groep 1 tot en met groep 8 als het om rneetkunde gaat. Er zijn wel verschillende meetkundige deel-

leergebieden. namelijk: • projecteren en viseren • construeren • or i enteren en lokaliseren • tr a nsformeren en opereren met vormen en figuren • re presenteren en visualiseren

In elke bouw kunnen activiteiten worden uitgevoerd waarin ontdekkingen op hetgebied van deze deelleergebieden worden gedaan. Het niveau en de moeilijkheidsgraad moeten worden aangepast aan de vaardigheden en ervaringen die de leerlingen eerder hebben opgedaan. Meetkunde in het basisonderwijs is erop gericht dat leerlingen steeds meer grip krijgen op de wereld om zich heen. Ze ontdekken hoe dingen werken en in elkaar zitten. Het is bovendien van belang dat ze steeds meer besef krijgen van de relatie tussen meetkunde en andere

schoolvakken. Er is een didactische opbouw voor het leren van rneetkunde, namelijk: ervaren, verklaren en verbinden. Een meetkundeles kan alle drie de fasen bevatten; de fasen kunnen echter ook in een serie lessen achtereenvolgens aan de beurt komen.

Een uitdagend voorbeeld voor zo'n les in de bovenbouw is het verkennen van de ring van iviobius of rnobiusband (figuur 4i.52). Dat is eenstrook papier die aan de twee uiteinden wordt vastgepakt. Daarna wordt een kant een halve slag gedraaid en de zo ontstane gedraaide strook wordt met de uiteinden aan elkaar geplakt.

253

4 Sovenbouw (groep 6-8)

Figuur 4.52

Ring,van hhobius

tlP Laat alle leerlingen een mobiusband maken. Let op of dat bij iedereen goedis ge-

gaan. Het is namelijk best ingewikkeld en cruciaal voor de verdere ontdekkingen. Aan een mobiusband blijkt veel te verkennen. Wat gebeurc er als je een punt er-

gens neerzet en dan vanaf dat punt met je vinger langs destrook gaat? Laat leerlingen eerstvoorspellenwaterzalgebeuren.Wa nneerverwachten zedatzeweer bij dac punc cerugkomen? Laat vervolgens nagaan of hun voorspelling klopt.

tip Deze ervaring biedt allerlei mogelijkheden om het over de bijzonderheden van dezeband tehebben. Deze bandheeft geen begin en geen eind. Hoe kun je dit 5guur het best beschrijven? Een kubus is bijvoorbeeld een hguur dat bestaat uit acht gelijke vierkanten, met twaalf ribben of randen. Uit hoeveel randen bestaat

ditfiguur en hoeveelvlakken heeftditfiguur?Hetheeftook ietsweg van hetsymbool dat staat voor oneindigheid (ee). Zou er een verband zijn?

Als de leerlingen, deeigenschappen van de band begrijpen, volgt een nieuwe ervar ing.'Zetdepuntvaneen schaarin hecpuntdatjeeerderalsstartpunthebc getekend en knip vanaf daar de scrook in de lengte door totdat je helemaal rond bent. Maar voordat je daaraan begint proberen we eersc te voorspellen en ce beredeneren hoe het resultaat eruit zal zien.' Vervolgens ontdekken of ervaren de leerlingen wac er aan de hand is. 'Als iedereen de ontdekking heeft gedaan.

proberen we te verklaren hoe dat kan.' In onderscaande opdracht uit de methode A/les? elt, groep g zijn bovenstaande stappen uitgewerkt (figuur 4.$3). In deze methode wordt niet gesuggereerd om continu bezig te zijn met voorspellen en redeneren, iets wat in bovenstaande beschrijving juist wel extra aandacht heeft gehad.

254

4.3 Het curriculum

Oe Mabiueband a Neem eenstrookpapre vonnis :mto ge 1 mbreed Hoeveetkanten zneneraanhet pcprer> Kun terne een ountrnnre ear knnrre l r n reiken ao.een punt aan de andere kont zander over cr rand Ir geen?

A B b S t h rkt A, II, C e" D bt de hoeken en plot dr hoekencon ettaor, Ooe het ro A t egenC, B

tegen 0, Zitne nu noq ste dstrree ko te-?

ll

r c

M o ok nu nor z o n s troou Sttr r tA tt . C eno b r l d e h oeken kvzudre t e n e e n d v c s te n d r ooi

hetCndere erna tO dat C en 0 aa. de at markant r t:en.Plek D teqen A en C teqen B.Teken met pocooct een lri" meden over de >anc. Kn p de bcnd op de Irtn open. Wat gebeurt er?

Figuur 4.S3

Bron: A/lestdr, groep Sa, leerlingenboeit. 2e editie (201O). Amersfoort: Thiemeigiettlenhoff, p. 125

tip Probeerdeze opdracht eerstzelf,want hetresultaat isanders dan je waarschijnlij kverwacht. hhaak vervolgens nog een mobiusband en probeer ook uitwa ter gebeurt als je de band over de lengte in drieën knipt. Is de uitkomst wat je had verwacht naje ervaring met het knippen van de band in twee stukken? Kun jedit

ook verkl aren? Vraag medestudenten naar Run redenaties en ga eventueelop verder onderzoek uit met nog een aantalmobiusbanden.

Via bovenstaande stappen wordt aandacht besceed aan de fasen ervaren en

verklaren. Om ook de stap te maken naar verbinden. kun je samenmet de leerlingen bedenkenof ze dit effect al eens eerderof ergens anders hebben gezien. Afbeeldingen vanEsscher of het logo van het recycle-instituut kunnen leiden tot verbinding met de mobiusband. Ook is dit principe terug te zien in het symbool voor oneindigheid, trouwringen en verschillende kunstobjecten. Onderwerpen die in de onder- en middenbouw ook aan bod zijn geweest. zoals

schaduw, spiegelen, bouwplaten en uitslagen, projecties, symmetrie en aanzichten komen in de bovenbouw weervoor,maar opeen hogerniveau. 255

4 Sovenbouw (groep 6-8)

4.3.4 Verhoudirsgen, procenten, breuken en kommagetallen Hetdomein Verhoudingen,bestaat uit de onderwerpen verhoudingen,procenten, breukenen kommagetallen. Dit zijn allemaal verschijningsvormenvan verhoudingen. De verhouding1 : 2 kun je namelijk ook in eenbreuk weergeven als 1/2, in een percentageals 50% en in een kornmagetal als 0,5.

Van dezevier vers chijningsvormenwordthetonderdeelbreukendoorveelkinderen alshet rnoeilijksc ervaren. Een belangrijke oorzaak daarvan ls dat er in het

onderwljsprocesvaak te snel wordt overgaanop formele werkwijzen enregels. in plaats van uitgebreid aandacht te besteden aan betekenisverlening. Ookls voor lang niet alle leerlingen even duidelijk wat deze vier onderwerpen met elkaar te maken hebben. 5ommige leerlingen zien verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen als aparte rekenonderdelen. Als leerlingen wel doordrongen

zijn van desamenhang tussendeze vier verschijningsvormen,kan het inzicht in deenev erschijningsvormbijdragenaaninzicht ln de andere. Hierbij spelen

de begrippenparen gestandaardiseerd en ongestandaardiseerd en relatief en absoluut een rol. Figuur 4.54 geeft de samenhang tussen de vier verschijningsvormen van verhou-

dingengoed weer. ongestandaardiseerd

breuken

verhoudings-

kommagetall en

procenten

notatie

gestandaardiseerd Figuur 4.54 Vier verschijningsvormen van verhoudingen Bron: TAL-team, 2005

Gestandaardiseerd betekent dater maar een schrijfwijze voor een getal of

waardemogelijkis.Eenkommagetal als8,75kanniet op eenandere manier als 2 •

komrnagetal worden weergegeven. Breuken zijn niet gestandaardiseerd. s is een

even grootdeelals se .Erzijn oneindig veel ma nieren om dat op te schrijven, 256

4B Het curriculum

wat ook geldt voor verhoudingen als 2 : 5 of 1 ; 2,5 of 4 ; 10, enzovoort. Percentages zijn weer wel gestandaardiseerd: 25% betekent 25 ten opzichte van 100.

Een getal is relatief als er sprake isvan een verhouding. Oereele grootte wordt bepaald door de grootte van het bedrag waar het betrekking op heeft. 25% van 4 28 = 4 7. 25% van 844 = 211. Een percentage is dus relatief. Kornmagetallen hebben maar een berekenis, daarom noemen we ze ook wel absoluut. Breuken zijn zowel relatief als absoluut. Een breuk is relatief als hij verwijst naar een deel van een geheel: een derde van de aanwezigen had bruine schoenen aan. Een

breuk is absoluut als hij gezien wordt als rationaal getal, dat een plaats heeft op de getallenlijn en waarmee gerekend kan worden. In methoden wordt aan het inzicht in de relatie tussen breuken, kommagetallen, procenten en verhoudingen gewerkt (figuur 4.55). Q

Trek lijnen Iveeen oeel loeleelfete h. d 2

~ dw d

00

~ es< ~

0.03

03 ~

~ ~ 2Wd

3

1W d O.10

~

w

371es l op de 10

3 Op de 8 ~

2333

o.eo

~ li d 3 0.375

Figuur 4.55 Bron: Oe lverekf in getollen,4e editie, digibordsoftware groep 8, thema 4, week 2, werkboek 8, werkblad 8 basis, opgave 3. '5-Hertogenbosch: ivialrnberg

Voordat leerlingen zinvol in het domein Verhoudingen kunnen rekenen, moet aan een aantal basisvoorwaarden voldaan zijn: • in zicht in de bewerkingen vermenigvuldigen en, delen; • op t el- en aftrekopgaven tot en met 100 volledig geautomatiseerdlgernemoriseerd; • tafel- en deelsomrnen geautornatiseerdlgememoriseerd;

• in staat zijn om rekenverhalen en -situaties te vertalen naar rekenforrnules en vice versa; • de rekenhandelingen +, —, x en ; kunnen uitvoeren en verwoorden met materiaal en modellen en formeel.

257

4 Sovenbouw (groep 6-8)

In het dagelijksleven spelen slechts enkele breuken een rol. Een half brood,een kwart liter slagroom . eendriekwartbroek of een achtste pizza, hoewel die meest-

al eenslice wordt genoemd,zijn voorbeelden uit het dagelijks leven.Eenvoudige breukenals dehelft. een derdeendriekwart worden nogwel gebruikt, maar verder is derol van breuken in de dagelijkse praktijk grotendeels overgenomen door procenten en komrnagetallen. Inzicht in breuken vormt echter het fundament voor het flexibelkunnen rekenen met verhoudingen, kommagetalien en procenten. Het is daarom nodig breuken een belangrijke plaatsin het onderwijs te geven. Om te leren wat de betekenis van breukenprecies is„kan begonnen wordenmet een verzameling voorbeeldendie te maken hebben met de vier verschijningsvormen breuken, kommagetalien, procenten en verhoudingen. Oe leerlingen

verkennendit begrip door m iddel van een aantal voorbeelden die de leerkracht laatzien(figuur 4.56).

++i

D

Cl

4I

Cl

cl E

V

nl

4l C

CJ

C

I0 Cl C

ID C

•h CL

CJ O

C

4

C

C

vCl 4l

I

IU

Cl C

Yl 0 'D

0

4J C

Cl Ih

E

X

DD

CJ )C

Ih

0

C

nl C

Cl Cl

C

CI

4I

I C

)

4J C

0

0

DD Q

v CL V

4I E

4J

O 00 0

CJ

E

Cl

v

C Xv

nl

VJ C

DO 4I

v

E cn 0 L O

4

0

OJ C

v«

c

CJ

V D

IC

zv

E v VI

Iv

4

C

a

E

4I Cl

C

4J C

DO C Cl

0

Cl

4J C

8

0 0

Ih

00 y

Ih

4l E

E 9CI E IC

00 C

IU Cl C 3 C

CJ

E

N C

8 4I

E

Ql C OD O

YJ X

nl CJ E

Cl C

OI

Cl

4J C

tf

'p4I

co

Cl

C 4I C

v

E

E )JC E

Bijlage

C Cl iV 4I

4I e 0

C

8

0

Cl C

E

DD C I 0 OJ C

Ial

nl

g

IJI

4J sv C 4J

OJ

4I C

Cl

e

nl I

0

CD

nl

E

C

4I V

O. 0

e C

C C

Cl

CJ g

E

0 t7

g OD

OJ

00 C 0

y

C

0

CL 4l

" H O

CL 0 0 4 l 'D C C 0

C

DD Cl Cl C CD C 4

C u V

•

C

Cl

V g

Cl •

Cl

5

Cl

E

g

e

CL eC

C 4

EQ

e

4l

e

JC CL' CC •

•

E

Cl

4I C 0 0l C

CDa

C

I 0 Cl

ZV

0

Cl

g

Cl C

4I C

C C

aaa

IC

E

1

CL ~

DD IC

4I C

u

CJ

IC

Cl

OJ C

0 IC4

4

e C uC 0L

I

C

V

E C

4I

e

C

CD u Cl

DD ) C C

0

C .p 'e u lc

an •0

0

-

E ~

Cl

C C

P ce

J •

nl e

u

• g

OJ

OJ

0

8

ue

IC C 0

C

)Cl

C 0

5 OJ

Cl 0

4I C

CD 0

4I C

Cl C

E

CI T V CD C C

0 C

CI O

ZV

CD

r

CD

CI 0

CI

Cl 0

0 CI

C

C

8

uCL

•

Cl

nal

CL 0 nl 0

gC

C OL' pe 4J V

Cl e C

Cl

nl u

Cl 0 CJ

e

c

E

u C e V

Cl

OD 4

e c0 Ial C CJ C CL + C Cl u 0 V

4J C

C

O 0 C

DD C u

00 0L Cl V C C CD I0 c 00 DD C C C IO

e an

•

C

Cl

Cl C

C

C

V

IC

Cl C

C

4I

CL

00

4l 0 CL IC 0

u

Vl V

uC CJ

IA

V

C e J C

lt

4I C

C

an e

CJ Cl

e

C

E

CJ 0

C

C

Ol

0

YI

0 C

'V

0 V C

C

ICJ

ICJ

Cl C

E

0

C

C CD

E

DD C 0

Cl

C

C

JC

nl

O.

C

CD

e I

C

JC

Z

e ni In CJ

DD C

E

e 0 C

IC

Cl

4I ah Cl

C

lal

C

e C

C •u an Cl

DD CO

4I

Cl

C 0

C e DD C

Rekenen-wiskunde endidactiek

E 0 nl

C 3 lrl Cl

4J

C C DD D 0 DD C 0 0 rD I

Cl C

rrl

C

Cl

~g,

4J

2 ~ DD Cl

C Cl 0 DD 0rrl

c E

C

v

C

g 4l

E0 rg

E 0 I

nl

Cl

C

4I L Cl

a

Cl

C

C

E

Cl

6

C

Cl

Cl

O.

Cl

ID

CD

I

O

C

O. ~

E

• Cl

C

Cl

hh

C

C

C c

CI 4 CI C

E 'll

C ILnl

J3 'D DD 4l CP

C

Cl

'0

nl

Cl g g C

Q

•

5 'UE

•

C

CI

C

IC

IC 8 C C

C C Cl

4I

nl 4 I IJ

E

C P.

DD nl

0 Cl

E

CI C

352

C

Cl

•

C

CI

L

C

O. 8r4

4l

DD

0 L

v

L

C7 Q 6

rlr

8 0 E rC r4

Cl

Cl

nl

4I

C

C

z

E 0

) C

Cl 44

C C

Cl

Cl nl

4J

C

C

2 E9 g C

Dl C Cl

4l

r

C

.

0

v Cl

I

0

JJ

C O

C Cl

C

0l C

Cl 'g

v

C

C

•

•

lllustratieverantwoording Figuurnummers 1.9, 1.14, 2.1, 2.17, 2.21, 2.22, 3.21, 4.3, 4.4, 4.66, 5.9

Shutterstock

2.11, 2.15, 2.16. 2.19

PeterAle

1.18 (Vinesh Kalloe, 5 jaar), 2.35 h h artine van Schaik 1.3

https://arhicks.wordpress.cam/

http //psyberia.ru/data/02 10 1.6

https.//profs.library.uu.nl/index php/profrec/ getprofdata/1604/4/78/0

1.7

http://apprendre-math.info/anglais/historyOetail. htm?id=Polya

1.8

https://en.wikipedia.org/wiki/Hans Freudenthal

2.23

https.//commons.wikimedia.org/wiki/File:People ShadowjPG

2.24

Stillvan www.npo.nl/schaduwspel/24-06-2010/ WO NTR 427127?ns linkname=ikns source= npo-shortener

2.36

Techniek in je klas

2.40

wwwtalentkracht.nl

3.18

Lidwien Fokkema

4.2

http://eenmiljardseconden.frankdeboosere.be

Bibliografie De hiernagenoem de literatuur en websiteszijn geraadpleegd en/of bedoeldals aanvulling op dein het boek geleerde stof. Veel websites bieden extra oefenrnateriaal.

Gebruikte bronnen Al e,P.Ik Schaik, IVI. van (2016). Rekenen en wiskunde uitgelegd. Kennisbasis voor leerkrach-

ten basison derwijs s.Bussum: Coutinho. Bauersfeld, H. (1991). What works?Research in the primary mathernatics classroom. In IVI. Dolk lk E.Feijs (red.). Panama Cursusboek 9 Deskundigheid (pp. 9-'I5). Utrecht: SOL coproductie met: OW lk OC, RU Utrecht

Bergh,j. van den, Faes,W lk Olofsen, K.(1992). Gecijferdheid. Den Haag„HBO-raad Berkhout, L (2012).Ptay and psychosocial heatth of boysand girls aged four to six (proefschrift Rijksuniversiteit Croningen). Croningen. Rijksuniversiteit Groningen.

Berns tein,D.A.,Clarke-Stewart,A .,penner.LA .,Roy.E.l.IkW ickens,C.D.(2000).Psycholagy (vijfde editie). Boston: Houghton-IVlifflin Company. Beland, A. (2015).Het jonge kind (lectorale rede). Arnsterdarn: Hogeschool iPabo Amsterdam.

Boenen, A.l H. (20I5) Comprehend,visualize &calcutate. Solving mathematicat word pro. blems in contemporary math «ducation (proefschrift Vrije Universiteit Amsterdam). Amsterdam:Vrije Universiteit Amsterdam. Boswinkel, N. (201 2).Durf te kiezen in doelenvoor zwakke rekenaars: l9 tips. Den Haag: School aan Zet. Boswinkel, N lk hhoerlands, F. (2003). Het topje van de ijsberg. InK. G recL), JVattonateRekendagen 2002. Een praktische terugblik (pp. 1D3-114) Utrecht: Freuden-

roen ew egen (

thal Instituut.

Bruining, T.(recL) (2008). De logica van vraaggericht teren. Antwerpen: Garant. Buijs, K. (2D03).Telactiviteiten voor kleuters (tweede druk). Baarn.Bekadidact. Buijs, K. (2008). Lerenvermenigvuldigen met meercjtferige getallen (proefschrift Universiteit Utrecht). Utrecht: Universiteit Utrecht. Danhof, W., Bandstra, P.Ik Hofstetter, W. (2015). Rekendrernpels nemen VotgensBartjens,

34(3), 4-7. Dirksen, G Boer, IVL de,IVloller, H. Ik Willemse,j. (2014). Breindidactiek: Helpen teren met breinkennis.Utrecht: Synaps. Drijvers, I? (201 5). Denken over wiskunde, onderwijs en lCT (inaugurelerede). Utrecht: Freudenthal Instituut.

354

Bibliograhe

Eerde,D. van (2005). Wiskunde en psychologie: Oe brug en de kloof tussen Freudenthal en Van Parreren. Panama-Post, (themanummer Freudenthal 100), 55-63. Freudenthal, H. (1984). Appels en peren / wiskunde enpsychologie. Cebundelde opstellen Apeldoorn: Van Walraven. Friso-vanden Bos,I. (2014). iVlaking sense oj'numbers. Early rnathematics achievement and working memory in primary school children (proefschrift Universiteit Utrecht). Utrecht: Universiteit Utrecht.

Calen,F.van,Cravemeijer,K„hhulken,F.van fkQ uant,E.(2012) Kinderen onderzoeken 'snelheid.'Eindhoven: TU/e, Eindhoven School af Education. Galen,F.van & Oosterwaal, L (2007). Rekenproblemen open aanbieden: Kinderen leren redeneren in discussies over open vraagstukken. Volgens Bartjens, 27(2), 30-34. Gelderblom, G.(2009). tedereen kan leren rekenen.Utrecht: PO-Raad/Prejectbureau Kwaliteit. Gelderblom,G. & Buter,A .(2013).Zwakke rekenaars in de bovenbouw. Den Haag:School aan Zet.

Goeij, E de (2001). Aftrekken volgens een standaardpracedure (1). Tij dschrift voor nascholi ng en onderzoek van hetreken-wis kundeonderwijs,20{2),12-21. Goffree, F.(1992). Wiskunde & didactiek voor aanstaande leraren basisonderwijs 2 (tweede, herziene druk). Groningen: Walters-Noardhoff. Goffree, F. (1994). Wiskunde 8rdidacti ek voor aanstaandeleraren basisonderwij s 1(vierde, herzienedruk).Croningen:W olters-Noardhoff. Gravemeijer, K. (1999) How emergent rnodels may fosterthe constitution of farrnal mathernatics. iVlathematical Thinki ng and L.erniig,, 1(2), 155-177.

Gravemeijer, K. (2015). Rekenen met perspectief: Wat leerlingen moeten kunnen in de 2'1 eeeuw. Volgens Bartj ens,34(5), 4-7. Greven, J.Br Letschert, J. (2006). Kemdoelen Primair Onderwijs.Oen Haag. hhinisterie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap. Groenestijn, iVL van,Borghouts, C. fk janssen, C. (2011) ProtocolErnstige RekenWiskunde-problem en en Dyscalculie. Assen: Van Corcurn. Heege, H. ter (2008). Wat is realistisch reken-wiskundeonderwijs?Een voordracht van

Koene Gravemeijer Reken-wrskundeonderwijs:Onderzoek, ontwikkeling, praktjik,27(34), 3-7. Heijden, A. van der (2011). Spel of schoolsevaardigheden? HJK. 38(6), 28-31 Heuvel-Panhuizen, hrL vanden & Loornans, H. (2012). Rekenen met prentenboeken Rekenen-wiskundevoor kleuters.j5W. /eugd rn5choolen Wereld,97(2),32-35. Hofrnan, I 8r Kusters, V. (2010).Bewegend Leren Rekenen. Het effect van bewegenop de rekenontwikkeling van kleuters (praktijkenderzoek master SEN rekenspecialist Hogeschool Windesheim). Opgevraagd op25 april 2017 van http://www.bewegendlerenrekenen.nl/verslag.pdf

355

Rekenen-wiskunde endidactiek

HooglancLK. (2005, 19 januari). Dyscafculie (powerpointpresentatie) Bijdrage aan de Derde Reeharstconferentie,Ede.

HooglancL K., fanson, D„Vliegenthart, hh., Vugt, R. van, Zonneveld, E. &Zwart, A. (2011}. Rekenen verbeteren? Begin bij de leraar! Utrecht: APS. Huitema.S. (2009}. Dagelijks instructie voor de hele groep. JSW.Jeugd in Schoof en Werefd, 94(1), 18-21. fanssen-Vos,F.(2008). Basisontwikkeling voor peuters en de onderbouw. Assen: Van Gorcum.

Kessel,A. van (2013, 25 oktober). Wiskundevoor baby' s:Tellende baby rekent beter als kleuter [artikel]. hIE/vIO Kennislink. Geraadpleegdop 25 april 2017via wwwnemakenrdslink.nl/publicaties/wiskunde-voor-baby-s Lenstra, ).K. (2009}.Rekenonderwij s op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering: Advies. Amsterdam: KNAW

fVieijerink, H. (2009). Referentiekader taal en rekenen: De referentieniveaus Enschede: Doorlopende leerlijnen Taal en Rekenen. fvlenne, j.(2013). Ketting rijgen: gevlet sprongen vooruit in grae p 3 en 4. volgens Bartj ens. 32(4}, 28-31. fViaerlands, E & Straaten, H. van der (2008). Dejisbergmetafoor. Tilburg Parwa. fViulder, IVI & Houtsma, S. (2016) We gaan opreis ...: Spelenderwijs werken aan rekendaelen.Volgens Bartjens,35(5), 22-26. Nap-Kalhoff, E Schilt-IViol, T. van, Simons,hh Sontag, L,Steensel, R van & Vallen, T. (2008).V VE onder de loep: Een studie naar de uitvoering en effectiviteit van voor- en vroegschoofs eeducatieveprogrammas. Tilburg IVA. Nelissen,) fVLC (2002}. Interactie. Een vakpsychalagische analyse (1). Tijdschrift voor nascholi ng en onderzoek van hetreken-wiskundeonderwijs,20(4},3-14. Nelissen,).IVLC (2003}. Interactie Een vakpsychalogischeanalyse {2) Tijdschrift voor nascholingen onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs,21(1), 17-21. Nelissen,).IVI.C (2009}.Tat drie tellen: Onderzoek naar de prille ontwikkeling van begrip vanhoeveelheden.Reken-wiskundeonderwijs.On derzoek,ont wikkelingpraktij k,28(4). 22-26.

Nelissen, 1IVIC (2013}. Intuitian and Prablem Salving Curriculum andTeaching,28(2), 27-44.

Noteboom, A. (2012}. Rekenenin Sesamstraat. Toelichting bij filmpjes van Sesamstraat. Enschede SLO. Noteboom,A. (2015}. Over de drempels van basisvaardigheden ... Volgens Bartj ens, 34(3}, 32-34. Noteboom, A. & Klep.). (2010} Als kleuters leren tellen Peilen en stirnuferen vangetafbegripbj ijonge kinderen. Amersfoort. C PS. Noteboom, A., Os, S.van lk Spek, W. (2011}. Concretisering referent ieniveaus rekenen IF/ISEnschede. SLO

356

Bibfiograhe

Noteboom,A. Os, S.van & Versteeg,B.(2012).Checklist Verantwoord kiezen voorjundamenteefrekenniveau 1F'.Enschede:SLO. Oetel aar, F.van den (2012). 21st century skiffs in het onderwijs: Whitepaper versie 1 0.Oisterwijk: 21st Century Skills NL

Onderwijsinspectie (2011).Opbrengsten. maak er werk van! [brochure]. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs. Oonk, W. Keijzer, R.,Lit, SA. Barth, F. Engelsen, ).FfVLden, Lek, A. fk Waveren-Hegervorst, C.van (20'l5). Reke»en-wiskundein de praktjik Keminzichten. Groningen: Neordhoff. Parreren, C.F van ('l968). Lerenop schoot(zesde druk). Groningen: Welters-Neordheff. Paulos, J.A. (1989).Ongecijferdheid. De gevolgen van wiskundige ongeletterdheid. Arnsterdam: Bert Bakker.

Polya,G. (1945). How to solve it: A new aspect of mathematical method. Princeton: Princeton University Press. Singer, E.fkKleerekoper,L.(2009).Pedagogisch kaderkindercentra 0-4jaar.hhaarssen: Elsevier gezondheidszorg SI.O (2006).Kemdoelen rekenen(wiskunde van het basisonderwijs. Enschede: SLO Starr, A„Libertus, hh E fk Brannon, E.hh.(2013). Number sense in infancy predictsmathe-

maticalabilities in childhoocLPNAS, 110(45), 18116-18120. TAL-team (2004).Jonge kinderen leren meten en meelkunde. TussendoelenAnnex Leerl ji nem Onderbouw basisschook Groningen: Walters-Neordhoff. TAL-team (2005) Breuken, procenten, kommagetaffen en verhoudingen:TussendoeferrAnnex Leerlij nen:Bovenbouw basisschool. Groningen: Wolters-Noordhoff. TAL-team (2006, januari) Richting gevenaan het onderwijs in meten en meetkunde in de bovenbouw. Hand-out bij verdiepingswerkgreep op de 24" Panamaxonferentie, Neerdwijkerhout, 18januari 2006. Tavecchio, L (2008). Succesfactoren in programmas ep het gebied vanvoor- en vroegscheolse educatie. Kind en Adolescent Review, 15(3),362-365. Treffers, A. fk hhoor, E. de(1990). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wis-

sferen.

kundeonderwijs opde basisschool Deel 2. Basisvaardighedenen Tilburg: Zwijsen. Treffers.A., hheor.E de fk Feijs, E. (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwij sop de basisschool. Deel 1:Overzicht einddoefen. Tilburg: Zwijsen. Treffers, A„StreeflantL L fk hheor, E de (1994). Proeve varr een nationaaf programma voor het reken-wiskundeonderwijsop de basisschool. Deel 3A. Breuken.Tilburg: Zwijsen Treffers, A.,Streef lantLL fkhheor,E de (1996).Proeve van een nationaal programma

voor hetreken.wiskundeonderwijs op de basisschool. Deef 3B:Kommagetalfen. Tilburg Zwijsen.

357

Rekenen-wiskunde endidactiek

Treffers, A. fkGaeij, E. de (2003) 'Het magischevierkant van reken-wiskundeonderwijs naar menselijke maat'(Frank Stdteler lezing). Arnhem/Utrecht: Pabo-Arnhem/Freudenthal Instituut.

Tarnlinsan,C (1999) Thedij)!erentfated cfassroom: Responding to the needsoj' aff learners. Alexandria. ASCD Velden, U. van der fk Vliet, P.van (2017) Flexmaat: Een nieuwe visualisatie van het me.

triek stelsel. Vofgens Bartjens, 36(4), 14-17. Verbeeck,K.(2008).Rekenen,maar dan anders!blaareen vi siegefefdeaanpak van rekenen op de basisschoof. 's-Hertogenbosch: KPC Croep. Verschuren, fVL fkButer, A. (2013). Instructievaardigheden. Den Haag Schaal aan Zet. Visscher, C., Hartman, E. fk Elferink-Cemser, hh. (2011). Fit, vaardig en verstandig! Een decennium 'Croninger' onderzoek naar de relatie tussen bewegen en cognitie, sport- en

schoolprestaties bij de jeugd. Croningen: Centrum voor Bewegingswetenschappen, Universitair hhedisch Centrum/Rijksuniversiteit Groningen. Wismans, C.,Slot, E. fk Bastings, hh. (2014). De kunst van het vragenstellen: Excellentiebevorderrn g door middelvan onderzoekend en ontwerpend leren.Den Haag School aan Zet.

Aanbevolen literatuur chan son,D.(2007).Een schatterkan nietzonderredeneren:Waarom schatten waardevol is. Volgens Bartjens, 27(2). 22-25. Lansink, N. (2013). Toetsenvan jonge kinderen Arnhem: Cito. Ruissen, AC. (201 3). A1o»tessorimateriafers kunnen we daar nog op rekenenf (praktijkanderzoek master SEN Hogeschool Utrecht). Utrecht: Hogeschool Utrecht.

Schalkers, K„Haan, fVLde BcBaoij, N (2014) Leren! Dat kan ik zelf.' blaar wil j e even helpen?Handvatten voor schoofteams die zefjsturend leren com petentiesvan leerlingen willenstimuleren. 's-Hertagenbosch. KPCGroep. Schouten,E. (red.) (2010). Zelfsturing als basisvoor de ontwikkeling van het kind: Een arientatie vanuit wetenschap en praktijk. SardesSpeciale Editie, (9). Schreuder, L Boogaard, fVL, Fukkink, R fk Hoex,). (2011) Pedagogisch kaderkindercentra 4-13 jaar. Springpfank naar eengefundeerde aanpak in de buitenschoolse opvang Amsterdam: ReedBusiness. TAL-team (1999). Jonge kindcrcnlcrcn rckcncn: Tusscndoclcn Annex Lcctlijnarc Hclc getallen onderbouw basisschool. Croningen: Wolters-Noordhoff. Treffers, A. fkGoeij, E. de (2004) Vierkant tegen zelfstandig werken. Reken-wiskundeonderwijs.Onderzoek, ontwikkeling, praktjik, 23(4), 8-'13. Treffers, A. fk Noteboom,A. (2000). Kalamsgewijsrekenen en cijferen. Wi/lem Bartj ens, 19(1), 1 1-14.

35$

Bibliograhe

Veen, A„Roeleveld, j. Ik Daalen, hh. van (2008). Imp/ementatie en effectenvan Voor- en Vroegschoolse Educatiein Rotterdam. Sarnenvat6ng Amsterdam:SCO-Kohnstamm Instituut.

Verbeeck,K.(2010).Hetkwartjevalt:Doelgerichtrekenen inandersgeorganiseerd onderwijs. 's-Hertogenbosch: KPC Croep. Voogt,). Ik Pareja Roblin, N.(2010) 2lst century skiils Discussienota. Enschede: Universiteit Twente.

2anten, IVI. van, Barth, F„Faarts,l., Gooi, A vanlk Keijzer, R. (Elwier ontwikkeltearn) (2009). Kennisbasis rekenen. wiskundevoor de pabo: Eindversie, 3 juli 2009. Den Haag, HBO-Raad. Zanten, IVL van lk Buter.A. (2011). Schripefij k verrnenigvufdigen volgensstandaard proceduresin de nieuwe reken-wiskundemethodes Publicatie t.b.v. 29"' Panama-conferentie, Noordwijkerhout, 19-21 januari 2011.

Geraadpleegde websites csunplugged org eurowijskids.nl passendonderwijsaanbocLslo nl/rekenen/intensief reken spelslo.ni tule.slo.nl www.codekinderen.nl wwwdbnl.org/tekst/freu002appe01 01 wwwfi.uu.nl/panama/conferentie/archief conf/2015/PC2015~r Hoogendoorn BewegenlnOeRekenies.pdf wwwgecijferdheid.nl/FAQhtm wwwgroterekendag.nl www.ipouitgevercorn/HThhL/HSS Index.htm (Het Spelend Streefsysteem) www.learn-math.info/dutch/historyDetail.htm?i d=Polya www.rnasterplandyscalculie.nl/po.html www.rnathe2000.de www.rnindresearch.org www.nwo.nl/actueel/nieuws/2014/magw/hoe-leerkrachten-hun-le«rlingen-kunnen-motiveren.html

wwwonderwijsinspectie.nl/documenten/brochures/2011/01/01/brochure-opbrengstenmaak-er-werk-van www.parwo.nl/parwoposter/ijsberg/ www.prentenboek.nl/wat-is-een-prentenboek www.rekenlijn.nl www.rekenweb.nl

Rekenen-wiskundeen didactiek

wwwschoolaanzetnl wwwslo.nl/organisatie/recentepublicaties/concretiseringI f-1S wwwslo.nl /downloads/documenten/Schemas Rekenen-Wiskunde hhR.pdf wwwslo.nl/downloads/ReAL ieeriijnen LR.pdf www.taalenrekenen.nl/downioads/referentiekader-taal-en-rekenen-referentieniveaus.pdf www.ted.com/talks/conrad wolfram teaching kids real math with computers?

www toets.nl/upioads/i mages/BAO/doorlopende%20leerlijn%20groot jpg In alle hoofdstukken zijn de websites bij de methoden bruikbaar. www.bazalt. nl/expertise-rekenwonders

www.malmberg.nl/Basisonderwijs/IVlethodes/Rekenen/De-wereld-in-getallen.htm www.malmberg.nl/Basisonderwijs/Methodes/Rekenen/Pluspunt.htm www.noordheffuitgevers.nl/wps/portal/nubao/basisonderwijs/methoden/rekenen/ rekenrijk www.noordhoffuitgevers.nl/wps/portal/nubao/basisonderwijs/methoden/rekenen/ rekenzeker www.thiememeulenhoff.nl/primair-onderwijs/rekenen/alles-telt/alles-telt www.zwijsen.nl/iesmethoden/wizwijs

360

Register 21e eeuwsevaardigheden 49, S1,295

• verhoudingstabel 273, 274, 280 • vermenigvuldigen 27$

n 310

bouwen 113, 114, 115, 117

absoluut 257

cijferen 206. 207

activeren 80

cijferend optellen zie kolomsgewijs optellen cijferend vermenigvuldigen 224, 232

activerend 59

activerend-direct-instructiemodel (ADI) 58, 59

classiffceren 100, 101 cognitief conflict 105

afpassen 102, 132, 170

compenseren 157, 167

afronden 198. 241

competenties 50, 51

akoestisch tellen 8$. 88 206, 207

computational thinking 313

algoritme

ankerpunt 40, 43, 159, 161 asynchroon tellen 85

automatisering 43, 44. 164, 165, 289

concretiseren 56 construeren 56, 76, 111,113 • met blokken 114 • met kosteloos materiaal 116 • met papier 117. 118

basisstrategieen optellen en aftrekken 149 • rijgen 149 • splitsen 153 • variastrategie 181 rekenrek 152 basisvaardigheden 142 gauersfeld 146. 147

beginnende gecijferdheid 46 begrippen paren 56 begripsvorming 39, 1$4, 260

contexcen voor breuken 26$ convergent differentieren 59 cruciale leerrnornenten 131 • groep 1-2 131, 132 • groep 3-$181. 182, 183 • groep 6.8 28? curriculum 84. 142. 202

• groep 1.2 84 • groep 3.$142 • groep6.8 202

breuken 69, 128, 178, 256. 267 e bemiddelende grootheid 272, 273, 274 • -cirkel 269, 275

decimale breuken 268

e dubbele getallenlijn 269. 272, 273. 274.

delen 162

275 • -lijn 270

dialogisch onderwijs 27 didactische vierhoek 18

• modellen voor optellen en aftrekken 271

differentiatie 33, 60, 207

• ondermaat 273 • .strook 269, 275

differentieren 62. 185. 187, 188, 289

declaratieve kennis 20 21

direct vergelijken 99

Rekenen-wiskundeen didactiek

directe instructiemodel (Di) 58 divergent differentieren 59 doorgaande leerlijn referentieniveaus 48

gemiddelde 284. 285 gemiddelde leerlingen 185 gestandaardiseerd 256

• F-niveau 48

gestandaardiseerde verhoudingen 287

e 5-niveau 48

getalbegrip 202

doortellen 164, 19$

getalle n en bewerkingen 298

drempels 132, 183, 184

getallenlijn 155. 156, 270, 287

dyscalculie 35,63 een eencorrespondentie 86

gevarieerd oefenen 18$ gevoelige (sensitieve) perioden 77 gevorderde gecijferdheid 46

eenprocentregel 265. 266

globale perceptie 70, 96. 152

efficient rekenen 293

graAeken 179, 284, 285

eigen producties 31. 56

groepsniveau 65 grootheden 105 grootste gemene deler (ggd) 241, 242, 245,

elementair getalbegrip 92, 135 emergent modelleren 34 externe getalstructuur 47

275

guided reinvention 28. 218 fase van de actuele ontwikkeling zie zone van de actuele ontwikkeling

handig rekenen 168, 204

flexibele leeractiviteit 83

happenmethode 235

Freudenthal. H. 28

hele getallen 69, 141, 142

Frobel, F 70, 72, 115,119

heuristieken 27. 45, 296, 299, 302

frobelschool 71

hippocampus 21

functies van getallen 86

hoeken 75, 76

e hoeveelheidsfunctie 87 • rneetfunctie 87

• bouwhoek 75 • huishoek 75

• naamfunctie87

• inrichten 79

• rekenfunctie 87 • telfunctie 87

• leeshoek 75

functioneel gebruiken 49 functioneel niveau 48

functioneelrekenen 51,52,53 functionele gecijferdheid 47 Gal'perin,P. 24, 26 Gal'perin,stappen van 24, 25

• ontwerpen 79 • ontwikkelen 78

hoeveelheden, omgaanmet veranderende 95

hoeveelheidsbegrip 86 hoeveelheidsgetal 87 hoeveelheidsvraag 83 hoofdrekenen 207, 168, 293

Gardner, H. 56. 57

362

gecijferdheid 39, 46 gedifferentieerde feedback 169, 206

ijsberg(metafoor) 1$7. 193

geleid heruitvinden zre guided reinvention

impulsen 71

imiteren 19

Register

indirect vergelijken 99, 100

• Cijferen 206

interactief gedifferentieerd 59

• Cijferend aftrekken 219

interactief-gedifferentieerd direct-inscruccie-

• Meetkunde 175

model (IGDI) 58 inceractie 56

• Meten 98, 101. 102. 246. 172 • Tafels 158

interne getalstruccuur 47 incuicief verkorcen 236

• Verhoudingen 259 leerlingniveau 65

inverse 147 isomorfe opgave 297, 300

leerrijke ervaringen 77

lapansesoroban 201

lijnsymmecrie 122

lege getallenlijn 155, 156, 157, 181 lenen 223 liniaal 173

kardinaalgetal $7

lokaliseren 120

kernvlakken 50, 51 kijklijn 112

inaatstaf 172

klassenmanagement 58

MAB materiaal 192, 212

kleine groepjes $2 kleinste gemene veelvoud(kgv) 241. 242,

mechaniscisch rekenen 51 meervoudige incelligencie 56

245, 275

kolomsgewijs 210-211 • aftrekken 219

meetkunde 69, 109. 141. 175.253 meetkundige activiteiten 109. 110. 111 • ervaren 110

• rekenen 207. 210, 212

• verbinden 110

• vermenigvuldigen 224, 233

• verklaren 110

• opcellen 212 kommagecallen 256,277,27$,279,281,2$2, 283

korceterrnijngeheugen 20, 21 kralensnoer 157. 158 kringactiviteit 80, 82 kwalitatieve verhoudingen 128, 260 kwanticatieve verhoudingen 128. 130, 260. 261

kwantificeren 172

meetkundige deelleergebieden 111 • construeren 111. 113, 175 • orienceren en lokaliseren 111, 120, 17S • representerenen visualiseren 111, 126, 175

• tr ansformeren en opereren inec vormen en figuren 111. 122, 175 • viseren en projecteren 111.112, 175 inernorisering 43, 44, 164, 165, 289 inecen 69, 97, 141. 170

inetriek stelsel 247, 248, 249. 288 langetermijngeheugen 20, 21. 44 leergang bouwen 115

leergang vouwen 119

mobiusband 254 inodellen 56

leerimpulsen 75, 78, 114

• van de kinderen 34 • voor breuken 268

leerlijn passim

• voor hec rekenen 34

• Aucornaciseren en Memoriseren 164

363

Rekenen-wiskunde endidactiek

AAontessori, AfL 72, 77 montessorimateriaal 72, 82. 212. 269

paraat hebben 49 Parreren, C van 27,57 participerende observaties 71

natuurlijke maten 172 netwerk van vermenigvuldiging 159

passend onderwijs 61, 291

niet-gestandaardiseerde verhoudingen 287

pi 310

niet-interactieve kringactiviteit 81

Polya.G. 22

niveaus 56

positieschema 198

objectgebonden tellen 85 ongestandaardiseerd 256

positiekaart 198 positioneren 149 prentenboeken 137-140

ontwikkeling zeer jonge kinderen 70

probleerngeorienteerde klassencultuur 307

ontwikkelingsgericht onderwijs 76

probleernoplossen 45, 295

ontwikkelingsmateriaal 82, 93

procedurele kennis 20, 21

ontwikkelingsstromingen 22

procenten 178. 256, 263

• Freudenthal, H. 28 • Gal'perin,P. 24, 26

professionele gecijferdheid 46

• Paneren, C.van 27,57

progressief schem atiseren 37, 233, 234

• Polya, G. 22

progressieve co mplicering 36, 210

e Vygotsky, L 22. 23,24

progressieve schematisering 36, 210, 211

prograrnrneren 313

opa rekenen zie rnechanistisch rekenen opbrengstgericht werken 64

projecteren 1 1 1. 112, 113, 1 75, 253

opdelen 128. 163

realistisch rekenen 29, 52, 53, 55

opereren met vormen en figuren 122

realistisch rekenonderwijs 28

oplossingsprocedure 43 oppervlakte meten 106

realistische rekendidactiek 30. 52, 56

optellen en aftrekken 144. 149

reconstructiedidactiek 29, 15S, 209 reconstructiedidactiek relatie 38

• positioneren 149 • rijgen 149, 153 • splitsapp 150

rechthoekrnodel 226, 229, 231. 276

reconstructiedidactiek stappenplan 30 • introductiefase 31

• splitsbloem 150

• mernoriseerfase 32. 33

• splitsdoos 150

• rechthoekmodel 31

e splitsen 150

• reconstructiefase 31

• splitsend rekenen153

• uitbreidingsfase 33. 34

• to t 20 144 • tot 100 155

ordenen 100

364

peilingsspelletjes 13S

redeneren 109, 134 referentiematen 248 referentieniveaus 292

ordinaal getal 87

• 1F 291,294

orienteren en lokaliseren 111. 120. 175

• 15 291, 293, 294

Register

reflectie 56

splitsend rekenen 153, 211

rekendictee 169, 205. 206

sprongen 155

rekendrempels 184

staartdeling 23$

rekenmethoden 63 reken probleem 63

stappenvan Gal'perin 24,2S

rekenrek 145, 152-154

startfout 158 sterke rekenaars 295

rekenrijke activiteiten 83

strategieontwikkeling 42

rekenvoorschriften 286 reken. wiskundige activiteiten 76. 83. 301

streefniveau 48

reken. wiskundige ontwikkeling 70, 84, 137 rekenzwakke kinderen 61, 62, 294 relatief 257

structureren 56. 95. 96 symmetrie 123

synchroon tellen 85

systematischverkorten 236

representeren en visualiseren 111, 126, 175 reproductiedidactiek 52

tafels van verinenigvuldiging 158. 182

resultatief tellen 86

tellen 85, 86

rijke leeromgeving 74

• asynchroon 85

rijke rekenprobleinen 195, 301, 303, 306, rijpheid 77

• akoestisch 85. 88 • synchroon 85 • resultatief 85. 87

rol van de leerkracht bij toetsen 135

• verkort $5

307, 308

rol van de leerkracht tijdens spel 133

telspeiletjes en .liedjes 8$

Romeinse abacus 201 Romeinse cijfers 200

terugtellen 88. 164, 19$ tijdsbegrip 107 tijdsbesef 107

samengestelde breuk 276 samengestelde grootheid 252

toetsen 64

traditioneel rekenen zie rnechanistisch

sainenstellen 102, 104

rekenen

scaffolding 24, 135

trainingsactiviteit 83

schatten 198, 241

transformeren en opereren met vormen en

schriftelijk rekenen 206, 207 sleutelinzichten 131, 132, 287

figuren 111, 122, 175 trapsgewijze ontwikkeling van mentale

snelle leerlingen 185, 243

handelingen 24, 25

sociaal constructivisrne 23

• origntatie 24

social e context 56

• • • •

spelend leren 73, 74. 77. 136 spiegelen 123, 124 splitsapp 150

gematerialiseerde handeling 25 verbale handeling 25 mentalehandeling 25 handeling verinnerlijken 25

splitsbloem 150 splitsdoos 150

verbanden 69. 130, 141. 179, 284

splitsen 153

verdelen 128

365

Rekenen-wiskundeen didactiek

verdwijnsommen 167

waarde van cijfers 143

vergelijken 98

weten waarom 49

verhoudingen 69, 128. 141. 178, 257 • kwalitatieve verhoudingen 128, 260

Wolfram, C. 49. 50

• kwantitatieve verhoudingen 128, 130, 260, 261 verhoudingsdding 163

woordformules 286 werkgeheugen 20, 21, 168 zdfstandig werken 61

verhoudingsnotatie 256 verhoudingstabel 262, 264. 265. 280

zoekregds ae heuristieken

verinnelijking 41, 42

zonevan de actueleontwikkding 24

verkort tellen 85 vermenigvuldiging 158, 182

zone van de naaste ontwikkeling 24. 193

verstrengelen 56

zwakke leerlingen 185. 194

vervolga«tiviteiten 71

zwakke rekenaars 291, 292

viseerlijn 112 viseren 112, 175. 253 visualiseren 126 vouwen 117, 118, 119 vrij spel 74 Vygotsky, L 22, 23, 24

zoekstrategieen 45

zorgverbreding 61

Over de auteurs Peter Ale (1950) is zijn onderwijscarriere gestartais leer-

kracht basisonderwijs. Op devroeger gebruikelijke rnanier heeft hij in deavonduren MO-A enMO-6 wiskunde behaald. Na werken in het voortgezet onderwijs en bij een groot automatiseringsbedrijfheeft hij in 1990 gekozen voor

depabo van deHogeschoolvanAmsterdam.Daarheeft hij 25 jaar met veelplezier gewerkt. Sinds zijn pensionering in 2615 is hij betrokken bij de Kennisbasistoets rekenen en

wiskunde.

Martine van Schaik (1986) heeft, na de pabo, de studie onderwijskunde aan de Universiteit Utrecht afgerond. Tijdensdeze studies heeft zij zich altijd al gespecialiseerd in het reken- en wiskundeonderwijs. Na een stagebij het

Preudenthai instituut iszij gaanwerkenalsdocent rekenen wiskundedidactie k aan de pabo van de Hogeschool van Amsterdam en heeft daar ook de studietot tweede graad wiskundedocent afgerond. Momenteelis zij werkzaam bij het Marnix Onderwijscentrum als onderwijsadviseur

gespeci aliseerd inrekenen-wiskunde enonderzoekend en ontwerpend leren.

367