Qualitative Eigenschaften und Abschätzungen stochastischer Modelle [Reprint 2021 ed.] 9783112563762, 9783112563755

Citation preview

DIETRICH

STOYAN

Qualitative Eigenschaften und Abschätzungen stochastischer Modelle

Qualitative Eigenschaften und Abschätzungen stochastischer Modelle von Dr. D I E T R I C H

STOYAN

Mit 3 Abbildungen und 6 Tabellen

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN 1977

Erschienen im Akademie-Verlag, 108 Berlin, Leipziger Str. 3—4 © Akademie-Verlag Berlin 1977 Lizenznummer: 202 • 100/409/77 Gesamtherstellung: V E B Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Bestellnummer: 7620493 (6243) • LSV 1074 Printed in GDR DDR 2 6 , - M

Vorwort Unter stochastischen Modellen versteht man die mathematischen Modelle der Bedienungs- und Zuverlässigkeitstheorie, der Lagerhaltung und Ablaufplanung usw., in denen zufällige Einflüsse berücksichtigt werden. Da viele dieser Modelle sehr kompliziert sind, haben Abschätzungen stochastischer Modelle große praktische Bedeutung. Eine wichtige theoretische Grundlage für Absehätzungen und auch viele Näherungsverfahren bilden qualitative Eigenschaften stochastischer Modelle. Diese charakterisieren den Einfluß von Größen, die das Verhalten der Systemelemente bestimmen, auf Parameter, welche das System als Ganzes beschreiben. In vielen Lehrbüchern über stochastische Modelle werden vor allem die exakten Verfahren dargestellt, während Abschätzungen und Näherungsverfahren oft etwas stiefmütterlich behandelt werden, obwohl doch gerade diese für die Praxis von größter Bedeutung sind und auch stets untersucht wurden; erinnert sei nur an die diesbezüglichen Beiträge solcher Pioniere der Bedienungstheorie wie E R L A N G , CKOMMELIN und P O L L A C Z E K . Das vorliegende Buch ist zwei besonders wichtigen Typen qualitativer Eigenschaften und darauf aufbauenden Näherungsverfahren gewidmet. Dabei handelt es sich um Monotonie- und Stabilitäts-(Stetigkeits-)eigenschaften stochastischer Modelle, also Probleme der Art, wie sie im Vorwort zur deutschen Ausgabe der „Einführung in die Bedienungstheorie" von G N E D E N K O und KOVAXENKO formuliert werden. Berücksichtigt wird vor allem die Bedienungstheorie und weniger die Zuverlässigkeitstheorie; weitere stochastische Modelle werden nur fragmentarisch behandelt. Es wurde jedoch versucht, die Methoden so darzustellen, daß ihre Anwendbarkeit auf weitere stochastische Modelle ersichtlich ist. Monotonieeigenschafterl, die die Grundlage vieler Abschätzungen bilden, werden sehr ausführlich dargestellt und zwar sowohl in theoretischer (Beschreibung von Methoden zu ihrem Nachweis) als auch in praktischer Hinsicht (Anwendungen für konkrete Modelle). In Kapitel 1 werden zunächst Halbordnungsrelationen für Verteilungsfunktionen und -gesetze behandelt, in Kapitel 2 die wichtigsten Methoden zum Beweis von Monotonieeigenschaften. Diese Methoden werden benutzt, um in Kapitel 3 einige Probleme der Versuchsplanung, in Kapitel 4 Monotonie- und Vergleichbarkeitseigen-

VI

Vorwort

Schäften stochastischer Prozesse, insbesondere MARKOVscher Prozesse, sowie in den Kapiteln 5 und 6 die Warteschlangenmodelle Gl/GIß und GljGIjs zu studieren. In Kapitel 7 werden verschiedene andere Modelle, vor allem solche aus der Zuverlässigkeitstheorie, untersucht. Soweit möglich, werden für die behandelten Modelle auch praktisch nutzbare Näherungsformeln angegeben. Verfahren zum Nachweis von Stabilitätseigenschaften sind in Kapitel 8 dargestellt. Die dort untersuchten Beispiele stammen überwiegend aus der Bedienungstheorie, in der besondere Schwierigkeiten auftreten. Der Nachweis von Stabilitätseigenschaften gibt (theoretisch) erst die Berechtigung für die Anwendung vieler Näherungsverfahren, z.B. der ERLANGschen Phasenmethode oder der Simulation. Im vorliegenden Buch wird über ein relativ junges, noch in der Entwicklung befindliches Forschungsgebiet berichtet. Dementsprechend werden in ihm neue und neueste Ergebnisse dargestellt, von denen wahrscheinlich in Zukunft einige durch die weitere Entwicklung überholt werden. Am Ende der einzelnen Kapitel finden sich Anmerkungen mit Hinweisen zur Literatur sowie zu weiteren Problemen und Ergebnissen. Außerdem werden offene Probleme angegeben, deren Lösung zur Vervollkommnung der Theorie beitragen kann. Dabei ist zu berücksichtigen, daß ihr Niveau sehr unterschiedlich ist: Manche Probleme können sich als einfach lösbar (oder schon gelöst) erweisen, andere als außerordentlich kompliziert oder in der gegebenen Form unlösbar. Ich würde mich freuen, durch ihre Angabe zu weiteren Untersuchungen angeregt zu haben. Der angesprochene Leserkreis ist entsprechend der Konzeption des Buches recht breit: Es dürfte für Theoretiker von Nutzen sein, die sich für qualitative Eigenschaften stochastischer Modelle bzw. Prozesse und Näherungsverfahren interessieren, für in der Praxis tätige Mathematiker, die für konkrete Modelle Abschätzungen zu bestimmen haben, und es wird auch für solche Leser einiges bieten, die „nur" fertige Formeln für stochastische Modelle suchen. Um gerade diesen Lesern die Benutzung des Uuches zu erleichtern, wurden die Nummern aller derjenigen Formeln, die ich für praktisch wichtig und empfehlenswert halte, fett gedruckt. Ihre Anwendung dürfte, namentlich bei Variantenentscheidungen, oft günstiger als die der sonst üblichen Simulationsverfahren sein. An dieser Stelle sei Herrn Prof. Dr. KÖNIG für zahlreiche wertvolle Anregungen, für seine großzügige Unterstützung meiner Arbeiten sowie für die kritische Durchsicht des Manuskriptes herzlich gedankt. Auch den Herren Prof. Dr. F R A N K E N und Prof. Dr. ROSSBERG, ebenfalls Gutachter meiner Dissertation B (Bergakademie Freiberg, 1975), aus der dieses Buch entstand, möchte ich für viele nützliche Ratschläge und Anregungen, die zum Teil auch das Buchmanuskript betrafen, vielmals danken. Ferner unterstützten

VII

Vorwort

mich die Herren BERGMANN, KIRSTEIN und Dr. NÄTHER dankenswerterweise, indem sie Teile des Manuskripts durchsahen. Die Genannten und viele andere informierten mich bereitwillig über neueste, teilweise noch unpublizierte Forschungsergebnisse und gaben mir auch sonst wichtige Hinweise. Besonderer Dank gebührt meiner Frau für ihre unermüdliche Mitarbeit bei der Herstellung des Manuskriptes. Schließlich danke ich dem Akademie-Verlag und namentlich Frau H E L L E f ü r das verständnisvolle Eingehen auf meine die Gestaltung des Buches betreffenden Anliegen, wodurch es u. a. möglich war, bei der Korrektur einige erst kürzlich erschienene Arbeiten zu berücksichtigen und das im September 1975 abgeschlossene Manuskript teilweise zu erweitern. Freiberg, Dezember

Adresse des

1976

Autors:

Sektion Mathematik Bergakademie Freiberg DDR-92 Freiberg Bernhard-von-Cotta-Straße 2

DIETRICH STOYAN

VIII

ZuseCmmenfassung

Summary. Stochastic models, i. e. models of queueing, reliability, inventory etc. grow more and more complicated, and it is often impossible to treat them exactly with known analytical methods. Therefore, approximation methods and considerations of qualitative (sensitivity) properties of models are of increasing importance. The most interesting examples of such properties are monotonicity and continuity (stability) properties. In the present book these properties, and connected approximations and bounds, are considered systematically, and an effort is made to understand all the important, relevant literature up to 1975. In ch. 1 the main properties of the used semi-ordering relations are studied. General methods for proving monotonicity properties and of some variation problems are treated in ch. 2, especially, the elementary „mapping method". Ch. 3 is devoted to some problems of experiment design. The ch. 4 presents the theory of comparable and monotone M a r k o v chains. In the following chapters 5 to 7 monotonicity properties are proved and many bounds for special stochastic models are given and justified. The models 61/01 and GljGJs are exhaustively studied, and loss systems, renewal processes, P e r t networks, and inventory models are also considered. The final chapter 8 treats stability properties. The most important known methods for proving them are described, in particular, for the case of stationary distributions of M a r k o v chains and of queueing systems. A t the end of each of the chapters comments and open problems are listed, which could stimulate further research. Peaioue. B HacTonmee BpeMH HccjienoBaTejiH Macro CTajiKiiBaioTCfi c TaKHMH CTOxaenwecKHMH MonejiHMH (nan HanpHMep, MonejiH T e o p H H MaccoBoro 06cjiysKHBaHHH, TeopHH HaflejKHOCTH, ynpaBJieHHH 3anacaMH h t. h.), cjiojkhocti. KOTopwx He n03B0JiHeT nona tohho pacciHTaTb sth MojjejiH c noMombio H3BecTHHX aHajIHTHHeCKHX MeTOHOB. Il03T0My BeCbMa aKTyajlbHMM CTaHOBHTCH pa3BHTHe pa3JiHqHHX npH6jiHH die Eigenschaft (F). B e w e i s . Es gilt f ü r beliebige Flt F2 und Ge SS, f ü r die die Integrale existieren, oo oo / f(x) dFk * G(x) = / f f ( x + y) dFk(x) dG(y); k = 1, 2 . — OO —CO — OO Falls f € &__! J . < ; 0 < i, r < oo F'(t) ~ F(t) Integration beider Seiten von (1.6.6) bezüglich r liefert für alle t oo oo f F'(u) du f F(u) du F'(t)

-

< '

-

F(t)

und durch Umformung unter Berücksichtigung der Monotonie von in v, die aus (1.6.6) folgt, ergibt sich OO

_

F(v) /F(u) du t für alle v mit 0 < v < t.

(1.6.6)

F'(v)/F(v)

19

1.6. Spezielle Klassen von Verteilungsfunktionen

I n Determinantenform lautet die letzte Beziehung f F'{u) du t

F'{v)

/ F{u) du t

F{v)

^ 0;

oo

0 < v < t

Integration bezüglich v f ü h r t zu oo t f F'(u) du i oo / F'(u) du t

f F' (u) du

o

o

t _ fF(u)du

^ 0 ,

und Addition der ersten Spalte zur zweiten ergibt OO , f F' (u) du t OO fF{u)du

m m

d. h., f F'(u) du

f F(u)


( 0 gilt. Bei einer Verteilungsfunktion, die vom Typ N B U E ist, ist die mittlere frische Lebensdauer (gemäß F verteilt) größer als die mittlere Restlebensdauer für jedes Alter r (gemäß Fr verteilt),

m

(i)

Da die Eigenschaft (E) hat, ist jede Verteilung, die N B U ist, auch N B U E und jede KWU-Verteilung auch N W U E . Eine andere Deutung für (1.6.10) ist folgende: Wir betrachten einen stationären Erneuerungsprozeß mit der Ajjstandsverteilungsfunktion F (vgl. STÖRMEB(1970a)undCox(1966)). FR sei die stationäre Vorwärts-Bekurrenzzeit1 f' F(x) Verteilungsfunktion, die bekanntlich die Form FR(t)= — dx hat. OO 00 oo m 0 Berücksichtigen wir m = J F(x) dx, f F(r x) dx = J F(x) dx, so erkennen 0 0 wir, daß (1.6.10) mit (i)

(i)

äquivalent ist. M A B S H A L L und

(1.6.11)

PROSCHAN ( 1 9 7 2 )

Satz 1.6.2. Die Verteilungsfunktion wartungswert sei m. Dann gilt (2) (3) /1\ F ^ Expl — ) . \m Beweis,

(NBUE). E S

bewiesen den folgenden F sei vom Typ

NBUE

(NWUE),

ihr

Er-

(1.6.12)

gilt wegen (1.6.11) für alle t

F(t) FR(t)^m—=mfR(t), m wobei fR die Dichtefunktion zu FR ist. Für die zugehörige Ausfallrate AR(t) folgt also 3 m L)

f»(t)

-i

bedeutet new better (worse) than used in expectation = (schlechter) als gebraucht im Mittel.

NBUE (NWUE)

neu besser

(2)

1.7. Abschwächungen der Relation

Also ergibt sich tf F{%) dx ----- mFR(t)

nach (1.3.1) also (1.6.12).

und kleinste (größte) Verteilungsfunktion FSUJ> {Fia[) F H Fsup

(Fioi

F)

von dl

die

mit

für alle F e J t .

Wir geben nun für einige Mengen dl von Verteilungsfunktionen die ex(2)

tremalen Elemente bezüglich 5S und

an.

a) Menge dim

mit dem Erwartungswert

aller Verteilungsfunktionen (2)

m

Minimum bezüglich : Orn; Maximum bezüglich ^ L : © m ; Infimum bezüglich < ¿ : © 0 . Ein Supremum bezüglich

(2)

existiert nicht.

b) Menge e eine Halbordnungsrelation auf der Menge Cs der möglichen Werte der Systemgröße c E . Definition. Die Systemgröße c£(t) bzw. cs(n) ist bezüglich bei der Anfangsverteilung 91 in t bzw. n monoton wachsend (fallend), wenn für alle tv t2 bzw. nx, n2 die Beziehung bzw.

cdh, ST. Elt ...) «i ^ n2 -> c^K, % Ev ...)

) c£(t2, 91, Elr ...) ) c£(n2, 91, Ex, ...)

(2.1.1) (2.1.2)

erfüllt ist. Wir sprechen dann von innerer Monotonie. Sofern c£(t) bzw. c£(n) für t —• oo bzw. n —> oo einem vom Anfangszustand unabhängigen Grenzwert c2 zustrebt, ist es im Fall innerer Monotonie oft möglich zu zeigen, daß aus (2.1.1) bzw. (2.1.2) zusätzlich für alle t bzw. n die Beziehung cz(t,91, ELT ...) ) C£(E1, ...) = c r (2.1.3)

37

2.1. Monotonieeigensohaften

folgt, wenn und die entsprechende Konvergenzart in geeigneter Beziehung zueinander stehen. Wird also die Anfangsverteilung 21 geschickt gewählt, so kommen wir auf diesem Wege zu Schranken f ü r cs. Ein wichtiger Spezialfall ist der, d a ß die cs(t) bzw. cL(n) die absoluten Verteilungen homogener MABKOVscher Prozesse sind u n d 2t die Anfangsverteilung. Wie hier innere Monotonieeigenschaften nachgewiesen werden können, wird im Satz 2.2.8 sowie im Kapitel 4 gezeigt. 2.1.2.

Äußere Monotonieeigenschaften

E s seien 27 ein stochastisches Modell mit den Elementverteilungen E1, E%, ... und c£ eine Systemgröße in E. Mit 33m (rn = 1, 2, ...) bezeichnen wir Mengen von Verteilungen Em, die durch halbgeordnet seien, und -=!c sei eine Halbordnungsrelation auf der Bildmenge «¿.(SSj, SS2, ...) = C£. Definition. Die Systemgröße cE ist bezüglich -4m in Em monoton wachsend {fallend), wenn bei gleichem Anfangszustand f ü r alle Eml, Em2 f gilt 1 E ,2 — z { E v ••• > Em, 1. •••) {cc~ ) cA^l, Wir sprechen d a n n von äußerer Monotonie. c

m

—>

E

m,2>

—) •

(2.1.4)

Falls äußere Monotonieeigenschaften vorliegen, können wir also die Systemgrößen stochastischer Modelle mit gleicher S t r u k t u r , aber verschiedenen Elementverteilungen Untereinander vergleichen. Wir formulieren äußere Monotonieeigenschaften dementsprechend o f t folgendermaßen: E s s e i e n 27j u n d 272 z w e i s t o c h a s t i s c h e M o d e l l e m i t g l e i c h e r S t r u k t u r u n d A n f a n g s v e r t e i l u n g . W e n n für die zugehörigen E l e m e n t v e r t e i l u n g e n Em l u n d i? mi 2 d i e B e z i e h u n g Em l Em 2 g i l t , so f o l g t d a r a u s f ü r die S y s t e m g r ö ß e n x Äußere Monotonieeigenschaften sind bei Abschätzungen von großem Nutzen. W e n n beispielsweise eine vorgegebene Elementverteilung Em durch zwei Verteilungen Eml, Ern 2 € S3m eingrenzbar ist, 1

Em

E m ,2>

(2.1.5)

so gilt im Fall äußerer Monotonie f ü r die zugehörige Systemgröße cs die zweiseitige Abschätzung Cr,2 > c

c

(2.1.6)

z,k = AEi> ••• > Em,k> •••); k = 1, 2. I n den Kapiteln 5, 6 und 7 werden zahlreiche Beispiele f ü r äußere Monotonieeigenschaften angegeben, in 2.2 und Kapitel 4 allgemeine Methoden zu ihrem Nachweis.

2. Monotonieeigenschaften Stochastischer Modelle

38 2.2.

Methoden zum Nachweis von Monotonieeigenschaften

2.2.1.

Die Funktionalmethode

Es ist möglich, zahlreiche Monotonieeigenschaften stochastischer Modelle mit Hilfe von Monotonieeigenschaften von Funktionalen Vf zu beweisen, die auf Mengen von Verteilungsfunktionen bzw. -gesetzen definiert sind und die •Gestalt oo

Vj{F)=

f f(t) dF(t)

bzw.

Vj{P) = f f { x ) P{dx) E

— oo

besitzen. Derartige Funktionale treten in vielen bekannten Formeln für die Systemgrößen cz stochastischer Modelle auf. Haben diese die Gestalt c^E,,

E2, ...) = g(Elt

... , Em_t,

(2.2.1)

Vj(E

wobei g bei fixierten Et (l =j= m) eine monoton nicht fallende bzw. wachsende reelle Funktion ist, so gilt folgender Satz 2.2.1. Es sei eine Halbordnungsrelation auf der Menge aller möglichen Elementverteilungen Em, f sei Element von 3i Em>2 € SS« m

Em,x

Emi2 - ex(Elt ... , EmA, ...) ^ c^E,,...,

Em>2,...)

.

(2.2.2)

Voraussetzung für die Anwendung der Methode ist die Kenntnis der Funktion g, was die Anwendungsmöglichkeiten dieser Methode natürlich einschränkt, nämlich auf solche Fälle, in denen Formeln vorliegen, wo also wenigstens prinzipiell auch die exakte Berechnung der Systemgrößen möglich ist. Dennoch hat diese Methode großen Wert bei sehr komplizierten Formeln für die Cr und bei „unvollständigen Informationen"; vgl. 2.3.2. In den Kapiteln 3, 5, 6 und 7 sind viele Beispiele für die Anwendung der Funktionalmethode gegeben. 2.2.2.

Die Abbildimgsmethode

Der Grundgedanke der Abbildungsmethode besteht darin, Beziehungen der Gestalt (2.0.1) und (2.0.2) auszunutzen. Da der Fall (2.0.2) stets auf (2.0.1) zurückzuführen ist (er = 3>

-

(l — 1, 2, ...) die Halbordnungsrelation fu

Fl

xi f Vi> - > X1 I Vi' $ Es gilt für die Wn folgender x

x

=

••• > xi)> y = (Vi' - > Vi) •

Satz 2.2.6. a) Die Wn sind für alle n monoton wachsend in yn, wenn alle „ in x monoton wachsend und in {x, y) konvex (konkav) sind. c) Die Wn sind für alle n in den yt (l — 1, ... , n) einzeln konvex, wenn alle q>n in x monoton wachsend sowie in x und y einzeln konvex sind. B e w e i s , a) Monotonie. Wegen der Monotonie von in y (e F) ist W1 = £*,»); die

k=l,2,

Beziehung (2)

(2)

Fi^Fz^Gi^Gf

(3-1.1)

Wenn rjl und rj2 den gleichen Erwartungswert haben, folgt aus (3.1.1) Ef{%) ^ Ef(V2) für alle konvexen /, für die die Erwartungswerte

(3.1.2) existieren.

(3)

Falls 0 konkav in den ¡ t ist, gelten analoge Aussagen für sS.

3.2. Lösung von Problemen der Versuchsplanung

_ 1 n X = — ¿1

1. Der Stichprobenmittelwert

71

2. Die Stichprobenstreuung

S2 =

ist linear (also auch konvex) in den

i = l

1 n

»

—£

1

~

51

i=i

3. Die Stichprobenspannweite D — max Funktionen ebenfalls konvex. W

_

(fj — X ) 2 ist konvex in den £ t . — min (')

ist als Summe zweier konvexer

Bei Schätzproblemen in der mathematischen Statistik treten oft Verlustfunktionen R auf, die Differenzen zwischen einem Parameter 0 und Schätzwerten 6 für 0 bewerten. Falls die Stichprobenfunktion 0 = &(£ v ..., £ n ) und R passende Eigenschaften haben, sind Monotonieeigenschaften des Risikos E R(6, 0) in Abhängigkeit von den nachweisbar. Schätzen wir beispielsweise einen Erwartungswert m durch den Stichprobenmittelwert X, so ist der Verlust R(X — m) in den konvex, wenn R konvex ist. Wir erhalten somit (2)

falls

_

fi.i^f2,, mit der (subjektive) Vermutungen über die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten verschiedener 0'-Werte ausgedrückt werden. Da die Wahl von Fe• ziemlich problematisch ist — sie erfordert oft mehr Informationen als normalerweise zur Verfügung stehen —, erscheint folgende Vorgehensweise als sinnvoll: A n s t e l l e einer a - p r i o r i - V e r t e i l u n g Fe> i s t eine Menge von V e r t e i l u n g s f u n k t i o n e n v o r z u g e b e n , aus der die „ u n g ü n s t i g s t e " V e r t e i l u n g s f u n k t i o n Fl> a u s g e w ä h l t und als a - p r i o r i - V e r t e i l u n g b e n u t z t wird. kann z.B. durch Schranken für 0', Schranken für die Erwartungswerte der Verteilungsfunktionen usw. bestimmt sein. Das Optimierungsproblem (3.2.1) wird damit durch die Minimax-Aufgabe oo oo K{n) + sup / f R(x — 0) dF${n, y, x) dFe.{y) min! (3.2.4) Fg'ZMß'

— OO —00

ersetzt. Wenn wir nun zeigen können, daß OO 1. die Funktion /, f(y) = f R(x — 0) dF^{n, y, x), passende Monotonie— 00

und/oder Konvexitätseigenschaften besitzt und 2. in cM0. ein Maximum bezüglich einer Halbordnungsrelation H für Verteilungsfunktionen existiert, die die Gültigkeit von OO OO Fi^F*ff(y)dF1(yff(y)dF(y) — 00 — 00 für alle vergleichbaren F1 und F2 sichert (/ € 31K), dann vereinfacht sich (3.2.4) zu oo oo K(n) + / / - 0) dFt(n, y, x) dFl'(y) -» min! (3.2.5) — 00 —00 Das ist das Optimierungsproblem im Falle der a-priori-Verteilung Fq*.

3.2. Lösung von Problemen der Versuchsplanung

53

Beispiel. Schätzung des Erwartungswertes (i einer normal verteilten bei unbekannter Varianz er2 (0 = ju,6' = er).

Zufallsgröße

Als Schätzfunktion wird das Stichprobenmittel X benutzt. Das Risiko bei festem er ist dann nach (3.2.3) gleich 1 00 / x2\ — ER(X{n, ff2), fi) = — f Biozn-1'2) exp - — \dx , (3.2.6) y2jt -ao \ 2) wobei ausgenutzt wird, daß X — ¡j, normal N(0, a2jn) — verteilt ist. 1 00 / x2\ Wenn nun die Funktionen /„, fn(y) = f B(yxn~1/2) exp — —] dx |/2jr -oo V 2/ (n = 1, 2, ...) konvex und monoton nicht fallend in y sind, kann man mit (2)

der Halbordnungsrelation 0, und für er seien folgende Informationen vorhanden: 1) ff liegt mit Sicherheit im Intervall [clt c 2 ]; 2) im Mittel werden für ff Werte zwischen m1 und m2 erwartet. Dementsprechend wird angenommen, daß die möglichen a-priori-Verteilungen für a in der Menge aller Verteilungsfunktionen F mit oo F{x) = 0 für X

c1,

F(x) = 1 für a ; > c 2 ,

m^

fxdF(x)1 } H { | n 2 } bzw. { f

u

}

H {£ 2 } . (i)

Der Prozeß { | „ ) 2 } bzw. { f ( 2 } heiße bezüglich streng größer als bzw. {£( a } , falls für beliebige m und n^, ... , nm bzw. f 1( ... , tm (0 bzw.

(0 (0 (») (i) gilt; symbolisch: {| n > 1 } 1 }

(4.1.4")

Wir werden in 4.2 Methoden zum Nachweis der Vergleichbarkeit und strengen Vergleichbarkeit homogener MAKKOVScher Prozesse behandeln. Hier wollen wir noch kurz den Zusammenhang der strengen Vergleichbarkeit reellwertiger Prozesse mit einer noch schärferen Form der Vergleichbarkeit diskutieren. Man könnte nämlich sagen, ein Prozeß sei kleiner als ein Prozeß { f t g}*' w e n n die durch die Prozesse auf E n + erzeugten Verteilungsgesetze vergleichbar sind (Vergleichbarkeit der TrajeJctorien der Prozesse). Der folgende Satz zeigt uns, daß aus (0 (») {St.i) ^ ^ {£,2} (4-1.5) wenigstens für gewisse Funktionale / aus ^(¿Z®-»)1) die Gültigkeit von (i)

/({fi.i})^/({&,«})

(4.1.G) folgt. Wir bezeichnen für n = 1,2,... mit Q n Folgen nicht negativer reeller Zahlen U*,i> - > tn,kj mit tnA 2 lc; k = 1, 2; n = 1, 2, ... . 1

Wir benutzen auf

die Halbordnungsrelation x g y — x(t) ig y(t) für alle t ig 0.

4.2. Vergleichbarkeit und Monotonie

59

Satz 4.1.1. Es sei f e ^¡(Ä1^). Aus (4.1.5) folgt (4.1.6), wenn die Folgen {P„>jfe} für beliebige (3«} schwach gegen dieFk konvergieren (i = 1) und wenn zusätzlich oo

lim / Fnik{t)

oo

0

dt = f Fk(t) dt {i^ 2) bzw. lim

ii —• oo 0

0

/ Fn-oo —oo

0

f Fk{t)dt(i

= 3);

—oo

k = 1, 2. B e w e i s . Wegen der strengen Vergleichbarkeit der Prozesse gilt für alle n und (>')

3 „ die Beziehung {f ( „ 1 > 1 ; ... , ^ . i ) < : {&, 1 > 2 - , £tn,kn,2>- Nach Satz 2.2.2b (0 " '«) folgt hieraus /({Ift'}) ^ / ( { £ $ } ) , d. h. FnA ^ Fn>z für alle n. Die Sätze 1.2.3, 1.3.2 und 1.4.2 sichern sodann die Gültigkeit von (4.1.6). • Die Bedingung des Satzes wird im Fall reellwertiger Prozesse mit Realisierungen in D[0, oo) von allen bezüglich der SKOEOCHOD-Metrik stetigen Funktionalen auf D[0, oo) erfüllt; es gibt darüber hinaus weitere Funktionale / mit dieser Eigenschaft, z . B . f({x{t)}) = inf {t: x(t) a) = 1, so kann / ( { £ t } ) als Zeitpunkt durch das Niveau a von oben interpretiert werden. 4.2. 4.2.1.

des ersten

Durchgangs

Yergleichbarkeit und Monotonie homogener Markovsclier Prozesse Monotone und vergleichbare Operatoren

Es seien T, T1; T2 Operatoren auf Pm, d. h. Abbildungen von Pm in sich, und eine Halbordnungsrelation auf P w . Definition. Ein Operator T heiße monoton bezüglich -*>, falls für alle P 1 ; P 2 6 P 9 n mit P1 P2 auch TP1 H TP2 gilt. Der Operator Tx heiße bezüglich -=S kleiner als T 2 , wenn für alle P 6 Pm gilt T j P H T 2 P ; symbolisch: Tx -i T2. Für die Anwendung auf homogene MABKOVSche Prozesse benötigen wir Aussagen über die Vergleichbarkeit der Verteilungsgesetze Pnl und P n > 2 , Pn>h=TlPk-,

4=1,2;

n=

1,2,...

für zwei Anfangsverteilungen Pk und Operatoren Tk. Es gilt folgender Satz 4.2.1. Es seien Tt und T 2 Operatoren auf folgt

T\ ^ P 2 ;

Aus

Pi, P 2 e P m

(4.2.1)

Pn, i ^ Pn,2 für alle n = 1, 2, ... , wenn es einen monotonen T± H T H T2 .

(4.2.2) Operator T auf

gibt mit (4.2.3)

60

4. Monotone und vergleichbare stoehastisehe Prozesse

B e w e i s . (4.2.2) gilt für n = 1, und wir nehmen an, (4.2.2) sei auch für m ¡2; 1 erfüllt. Dann haben wir Pm

+1,1

T P

=

m t

1

T P

m ¡

2

T

2

P , n

d. h., (4.2.2) gilt auch für m + 1 und damit für alle n.

t

2

=

Pm

+ 1,2

>

•

Bemerkung. Ä e zw $aiz 4.2.1 analoge Aussage gilt allgemein für auf halbgeordneten Räumen.

Operatoren

Wir betrachten nun Übergangsoperatoren homogener MABKOVscher Prozesse mit diskreter Zeit {£„} und dem Phasenraum [E, Ü0i]. Die Übergangsoperatoren werden durch ihre Übergangsfunktionen p(x, B),

P(X, B) = P(£ B + 1 e B11„ = X) ;

xzE,Bem-,

bzw. im Fall reellwertiger Prozesse durch ihre p{x> y)> p{x> y) = P(fn+1 < 3 / 1 1 « = «);

Übergangsverteilungsfunktionen x,yeE,EQK,

charakterisiert. sei eine Halbordnungsrelation auf Pw, die gemäß (1.10.1) definiert ist, wobei / die Elemente einer Menge 31K von Funktionalen sind, die die folgende Eigenschaft hat: Wenn für ein Funktional / die Ungleichung (1.10.1) für alle Plf P2 e Pm mit P1 P 2 erfüllt ist, so ist / e 3i, fT(x)=Jf(t)p(x,dt);

xtE,

E

für alle x endlich und Element von 3l
Em-1 E

m) -P ( f

—'

dx

m-l)>

dx

wobeiPj¡P das Verteilungsgesetz von {£ 1 ¡ k , ... , £, ¡¡c } ist; k = 1, 2; l = 1, 2, .... Es seien (k = 1, 2) und f m ) folgende Funktionale f-fiPh, ••• > xm-1) = J f i x i , ••• , xm) Pk{xm-1, dzm); E / u) = £

5k;

v. k = 1, 2.

noch

(4.2.19)

SUP (—ffrr) ^ A < 00 (0 SM

fordern.

Der Beweis des Satzes 4.2.8 beruht auf folgender Konstruktionsvorschrift (,,Auslösungsprinzip") für homogene MARKOVsche Ketten mit kontinuierlicher Zeit, die der Bedingung (4.2.19) genügen. Es sei {!(} eine derartige MARKOvsche Kette mit den Intensitäten qrs. Wir betrachten einen PoissoN-Prozeß der Intensität X. Seine Sprungzeitpunkte seien t n ; 0 < tt < f 2 < ••• . } sei ein stochastischer Prozeß, dessen Verteilung folgendermaßen gegeben ist: P(f* = r ) = P ( f 0 = r ) ; t ^ t,; r = 0,1,...; P(ft* =

= Z P(ft! = r)p„;

8 = 0, 1, ... ,

(r)

tn 0, so ist £„ gleich der Untätigkeitszeit. Bilden wir in (5.0.8) auf beiden Seiten Erwartungswerte, so erhalten wir Ef» = — Eöffl = mA — m B , und wegen Ef„ = (1 — pw) mL ergibt sich (5.0.6). Quadrieren wir beide Seiten von (5.0.8) und beachten w n + 1 £ n = 0, so gelangen wir zu Wn + l +

= W% + 2 W„ Ön + bl .

Hieraus ergibt sich, indem wir Erwartungswerte bilden 1 ), die Unabhängigkeit von wn und 8n sowie = (1 — pw) • 2. Moment der Untätigkeitszeit = beachten, die Beziehung

(1 — pw) (m| + cr|)

(1 - pw) (ml + at) = 2E6„Ew„ + Eö* und mit Hilfe von (5.0.6) die Gültigkeit von (5.0.7). • Bei diesem Beweis wird die Endlichkeit von Eiv% vorausgesetzt, die nur dann gesichert ist, wenn Eß% < oo. Der Beweis von ROSSBERG (1970a) hat diesen Nachteil nicht. Wegen der Übertragbarkeit auf O/O/l folgen wir hier dennoch MABSHALL.

74

5. Monotonieeigenschaften und Abschätzungen für Wartesysteme

Für Systeme des Typs M/GIß, d. h. für Systeme mit PoissoNschen Forderungenströmen, wo die ocn exponentiell verteilt sind (Parameter: 7i = m j 1 ) , haben wir die Formeln W(t) = (1 -

oo ( I t_ «(i) !?) £ e* { — /B{X) dx\ ; k=o \m B o J

0 ^ t < oo ,

q = fonB (5.0.9)

( v g l . S. 116 o d e r C o h e n (1969), S. 255), mw

= —

y-

(Formel

von P o l l a c z e k / C h i n c i n ) .

(5.0.10)

Bei Systemen vom Typ GI/M/1, wo die ßn exponentiell verteilt sind (Parameter: fj, = m^ 1 ), gilt (vgl. Pkabhtj (1965), S. 42), W(t) = 1 - f exp {-¡i{ 1 -C)t);

0 t die Anzahl der zur Zeit t im System wartenden Forderungen ist. Dann gilt oo P°k = / A*W{t) dW(t) , (5.0.15) o oo

mit

Pk = f A'Vt-» M Ä (i) dW(t) , o

k = 1, 2, ...

(5.0.16)

1 1 AR{t) = — f A{x) dx . mA o

Beweis. Wir betrachten das System im stationären Zustand zur Zeit t und numerieren die wartenden Forderungen in der Reihenfolge ihres Eintreffens. Offensichtlich gilt eot k, wenn seit Eintreffen der ersten Forderung mindestens noch A; — 1 weitere ankamen. Das ist dann der Fall, wenn die Wartezeit wx der Forderung 1 größer als die Summe der folgenden k — 1 Pausenzeiten (%l, ... und der folgenden stationären Restpausenzeit + + 0 f>0 f{t) =

Wartezeitverteilungsfunk-

^ «/exp ( % -

0 ^ t < oo . (5.3.4)

(5.3.5) 0 ^ ai > a2 Sa 1 > 0 ^ t < oo .

,

(5.3.6) (5.3.7)

o)

JWJV und pw genügen den Ungleichungen (5.3.8) ®a = Vw iS a j . (5.3.9) Beweis. Wir beweisen nur die linke Seite von (5.3.4); der Beweis der rechten Seite kann analog geführt werden. Der Einfachheit halber arbeiten wir dabei mit W usw. und beweisen die Ungleichung W{t) ^ aa exp {-6t);

0

... , 6 t + — +

;

n = 1, 2, ... ,

und W kann als die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße y gedeutet werden, y = sup Yn; (n)

n

Yn = £ ök . 4=1

84

5. Monotonieeigenschaften und Abschätzungen für Wartesysteme

Also haben wir Wn+1(t)

- W(t) = P(Y ^ t) -

^ P(r„


(5.4.6V

Beweis. NachMAESHALIJ (1968a) gilt für Pausenzeitverteilungsfunktionen A mit wachsender Fehlerrate die Abschätzung (5.6.5). Diese Abschätzung kann auch auf DjGI/1-Systeme angewendet werden, da natürlich OmA eine wachsende Fehlerrate hat. Somit erhalten wir folgende Ungleichungen f mittlere Wartezeit in D/GI/l mit Pausenzeitverteilungs- 1 mw = | funktion 0mA und Bedienungszeitverteilungsfunktion B J > ( < ) —

_

_ Ü Ü £ +

falls A ifb (dfe).

(5.6.5)

Weitere Abschätzungen gab Mabshall für Pausenzeitverteilungen vom Typ y-MBLA (y-MKLB) an. Eine Verteilungsfunktion F auf [0, oo] heißt vom Typ y-MBLA ( = ymean residual life bounded above) bzw. y-MBLB ( = y- . . . below), falls für alle r > 0

/

=— dx -S=y bzw. ^ y , F(r)

d. h., die Erwartungswerte der Restzeiten sind gleichmäßig beschränkt. Eine Verteilungsfunktion vom Typ nbue (nwüe) mit dem Erwartungswert m ist m-MBLA (m-MBLB). Ferner sind Eblang-Verteilungen mit den Parametern s und X für alle s 1/A-mrlb. Wie in Satz 5.5.2 erhalten wir mL

y .

(5.6.6)

Außerdem gilt nach Mabshall für Pausenzeitverteilungen vom Typ yMBLA (y-MBLB) « + ol)l2mL ^ y. (5.6.7) Das kann z. B . bewiesen werden, indem der linksstehende Quotient als E r wartungswert der stationären Rekurrenzzeitverteilung eines Erneuerungsprozesses aufgefaßt wird, dessen Erneuerungszeiten wie die Untätigkeitszeit verteilt sind. (5.6.7) und (5.0.7) liefern für y-MBLA (y-MBLB)-Pausenzeiten >

" ~

(

l , i mw k < — w-k~ 2mA(l-e*)

; h =

1, ... , , .

( 5 . 7 . 1 1 ) erhalten

(5.7.11) wir

k-1 .27(1 ~Qi)mB>i \- — ; 2(1 - e k )

k = 1, ... , s . (5.7.12)

Während (5.7.11) für alle k größenordnungsmäßig dieselbe Ungenauigkeit hat, werden die Schranken (5.7.10) und (5.7.12) mit wachsendem k immer gröber. B e w e i s . Die Formel (5.7.11) ist eine Folgerung aus (5.7.1). (5.7.10) wird mit Hilfe von (5.0.21) bewiesen, wozu die Kovarianz eov(w0, 80) sowie o\ in ES» = cs\ -)-j- (mA — m B ) 2 abzuschätzen sind, worin wir SUZUKI und MARUTA ( 1 9 7 0 ) folgen. Es seien af® die Pausenzeit zwischen der

5.7. Abschätzungen bei nicht-rekurrentem Forderungenstrom

93

Ankunft der n-ten und (n + l)-ten Forderung beim A;-ten Apparat und ß^ die Bedienungszeit der w-ten Forderung auf dem k-ten Apparat und die zugehörige Differenz, á® = — a ® ; k = 1, ... , s; n = 0, 1 vf® sei die Wartezeit der w-ten Forderung vor dem ¿-ten Apparat. Dann gilt analog (5.0.1) = max { 0 , te»> + ó ® } und mit f® = -

min { 0 , «£> + 3}

~ I?' =

+ ^

;

» = 0, 1,

(5.7.13)

Außerdem haben wir < + 1 ) = «?> + ^ l i + fäh - fl? - «£> = flfV i + I ® • (5.7.14) Wir nehmen jetzt an, daß sich das System im stationären Zustand befindet, d . h . daß die Folgen {«}, { ß f } , {á ( *>},{«/*>} und { £ « } stationär sind. 1. Abschätzung der Kovarianzen cov 8f&) = cov b^): cov {wf, bf) ^ 0 ;

k = 1,... , s ,

n=

0 , 1 , ... .

(5.7.15)

Wegen der Unabhängigkeitseigenschaften der Bedienungszeiten, der Definition der ó® und (5.7.14) gilt nämlich cov

bf)

= - cov («£>, «) = -

cov {wf,

.

(5.7.16)

cov ( W ® , kann mit Hilfe des folgenden Lemmas von G U B L A N D ( 1 9 6 7 ) abgeschätzt werden. E s seien £ eine beliebige Zufallsgröße sowie / und g reelle, stetige Funktionen, für die die folgenden Erwartungswerte existieren. Wenn / und g beide monoton nicht fallend bzw. wachsend sind, gilt m ) e gm ^ E/(f > ), und wenn / monoton nicht fallend und g monoton nicht wachsend (oder umgekehrt) sind

E/(f) Eg(S) S? E/(f) gm Wir drücken nun vJ® und Beziehungen gilt £{tn

_1)

. als Funktion von

= max { 0 , ^ - D -

Bei fixierten oc^ - 1 ', wachsende Funktionen in > E«"> |

w«-»

~ ß ^ )

aus. Nach den obigen ,

... sind und w/*' beides monoton nicht und das Lemma liefert uns i c » - « , ...)

| «

>

5

•

(5.7.17) Ausgehend v o n (5.7.14) ergibt sich nämlich =

* ! , , + D E

und mittels (5.7.13) D4i0 = o i * + , ¿W) + 2 cov ( « ? { „ ££>)

2

c o v { w f , ¿) -

und wegen w * * ^ ^ = 0 Di?> = < 4 * +

+

2m^(l -

ok) m W t k .

U n t e r B e a c h t u n g v o n (5.7.15) folgt dann (5.7.17). Die Abschätzung (5.7.6) liefert u n s m

W,k

^ n, Wn die von w n . Nach K i e f e r und W o l f o w i t z (1955) gibt es im F a l l SMA~^>

bzw.

MB

Q/S

< 1;

Q =

(6.0.2)

mA

eine eindeutig bestimmte, stationäre Anfangsverteilungsfunktion W des Prozesses {w n }, so daß für eine beliebige Anfangsverteilungsfunktion W

^W.

n

(6.0.3)

Aus (6.0.3) folgt für die entsprechenden

Wartezeitverteilungsfunktionen

W„ =» W .

(6.0.4)

Der Erwartungswert mw zu W ist endlich, wenn die Bedienungszeit ein endliches zweites Moment besitzt. Die mittlere Anzahl nbes der im stationären Zustand (Q < s) besetzten Apparate ist (auch bei Abhängigkeiten zwischen Bedienungs- und Pausenzeiten) gleich wbes = Q ,

(6.0.5)

und es gilt für die mittlere stationäre Wartezeit m w und die mittlere Schlangenlänge Lw die LiTTLE.se/ie Formel Lw

= hnw

, X=

,

(6.0.6)

vgl. S. 120. Praktisch nutzbare Formeln für W bzw. mw existieren nur in Spezialfällen, z . B . f ü r M/M/s MjDfs

(vgl. G n e d e n k o / K o w a l e n k o

(vgl. P b a b h u ( 1 9 6 5 ) , S . 3 2 ) u n d f ü r Gl ¡M/s

(1971), S. 25),

für

(vgl. B o b o v x o v ( 1 9 7 2 a ) ,

S. 248). Die Formeln für m w lauten: a) M/M/s: mBVw

S — Q

(vgl. Tafel 1)

Q'Po

Ptv

(6.0.8)

( S - 1 ) \ ( S - Q ) =

r ¿e* ¡c^OKL

es+1

(6.0.7)

1

s\{s — Q)

-1

(6.0.9)

100

6. Monotonieeigenschaften und Abschätzungen für Wartesysteme

b) MjDjs: %

) — IS = I exp (—üm B ) £ (»Aotb)3'-1 ; A = m2 {vgl. Tafel 2) i=1 j = 1S + 1

c) Gl ¡M/s: m w = C[(l — £)2 Sfi]- 1 ,

(6.0.10)

ii = mg1

(vgl. Tafel 3 für D/M/s)

(6.0.11)

wobei £ die Lösung der Gleichung z = A*({1 —z)s/i) , 0 < z< 1 ist und C =

«(1 —

(6.0.12)

£s,n>

ist offenbar ein homogener MABKOVscher Prozeß mit diskreter Zeit und dem Phasenraum [ E , SR], wobei E die Menge aller endlichen Folgen x = { x 0 , ... , xj} (j = m a x {s, x 0 } ) mit x0 € { 0 } u N und 0 xt < oo (i = 1, ... , j) und 3Ji die cr-Algebra ist, die durch die Mengen M der G e s t a l t M

_

=

, ^{ { {i> { (i,

0 } * - * X B);

B);

0

i^s

(B: BoEEL-Menge desR' + ) erzeugt wird. Der Zusammenhang von %n und % n+x kann ähnlich wie bei w„ und wn+1 durch eine Abbildung f : i x R+ X R+ —• E beschrieben werden, Zn+l = V(Xn; «n, ß») •

102

6. Monotonieeigenschaften und Abschätzungen für Wartesysteme

Diese Abbildung ist meßbar und .hat die Monotonieeigenschaft x1^x2,

a1^a2,

E

xlt x2 € E\

b1^b2-^T{x1-,a^,b1)^W{x2\a2>b2)\ E

Oj, a2, blt b2 e R + ,

falls auf E die folgende Halbordnungsrelation

E

benutzt wird:

a?! ^ x2 bedeutet für xk = {xk¡0, ... , a * , m a x { s , s M } } ; x

k = 1, 2 :

i,o iä x2,o und für jedes i e I1 gibt es ein jt e I2 mit xlti 2. im Fall s < < i 2 auch s < ^ < jit und 3. im Fall i < s + 1 auch jtl < / i + 1 . Ik bezeichnet die Menge Ik = {1, ..., max {s, a;¿ ;0 }}; k = 1, 2. Auf den langwierigen, aber elementaren Beweis dieser Behauptung soll hier verzichtet werden, vgl. dazu H. S T O Y A N (1973). Der Prozeß {/„} erfüllt also die Voraussetzungen von Satz 2.2.8 bezüglich (i)

der durch

erzeugten Halbordnungsrelation 5S auf der Menge aller VerE

teilungsgesetze auf 9JÍ, und wir haben folglich Satz 6.1.2. wird, daß

Wenn die Anfangsverteilung (i)

P1

des Prozesses {%„} so gewählt

(i)

P i ^ P , (P2^Pi), so folgt für alle n = 1, 2, ... die Gültigkeit von (i)

(i)

Pn ^ Pn+1 (Pn+1 ^ Pn) jür die Verteilungsgesetze der yn und stationäre Verteilung P (i)

Pn^P

(6-1.5)

(6-1.6) und — sofern sie existieren — für die

(i)

(P^Pn).

(6.1.7)

(6.1.5) ist z . B . für Xi = (0; 0, 0) erfüllt. €.2.

Äußere Monotonieeigenschaften von

GljGI/s

Auch äußere Monotonieeigenschaften von GIJGIjs

können im allgemeinen

(i)

nur bezüglich 5S bewiesen werden. Es ist möglich, durch Beispiele zu zeigen, daß eine (6.2.1) entsprechende Beziehung für

(2)

nicht allgemein erfüllt ist.

Satz 6.2.1. Es seien und Z2 zwei Gl ¡Gl ¡s-Systeme mit den Pausen- und Bedienungszeitverteilungsfunktionen A1; A2, B1 und B2. Wn l und W„ti seien

103

6.2. Äußere Monotonieeigenschaften

die zugehörigen Verteilungsfunktionen der Wartezeitvektoren bei Ankunft der n-ten Forderung. Dann gilt (i) (i) (i) (i) A2^AV B1^B2^WUil^WnX, n= 1 , 2 , . . . (6.2.1)

und für die stationären Verteilungsfunktionen W1 und W2 (i) (i) (i) A2^A1, B1^Bs^W1^W2. (6.2.2) Natürlich folgen aus (6.2.1) und (6.2.2) entsprechende Beziehungen für die eigentlichen Wartezeitverteilungsfunktionen. Satz 6.2.1 ist eine einfache Folgerung aus Satz 2.2.7, wenn man berücksichtigt, daß die durch (6.1.1) definierte Abbildung

•••; h < t2 < ••• . oo

Es sei Sn der Beitrag, den die n-te Forderung zu dem Integral f V(x) dx 0 liefert. Wir haben (Wl,„ + ßn? ßl , .„ o Sc n = - — = J+ WhJn , weil für die zur Zeit t > tn noch vorhandene Arbeitsmenge vn t der w-ten Forderung "6 gilt \ max {0, ßn + whn — t}; t > tn + whn ' Berücksichtigt man, daß die mittlere Anzahl der in [0, t) ankommenden Forderungen gleich Ai ist, so ergibt sich E lim I / V(x) dx = 2.[Ewl nßn + EßJ2]. •00 t 0 Aus (6.3.2) und (6.3.4') folgt der

•

Satz 6.3.1. Die mittlere stationäre Wartezeit mw in GljGIjs schätzung g | • U l i , i) 2mB s wobei die mittlere stationäre Wartezeit in Pausenzeitverteilungsfunktion A(t) und der B(st) ist.

mw ^

-

W | +

genügt der Ab(6.3.5)

dem GljGIß-System mit der Bedienungszeitverteilungsfunktion

*) Nach Mori (1975) kann im Fall s — 1 > g der Faktor (s — 1 )js durch qjs ersetzt werden, sofern A vom Typ N b u e ist.

107

6.3. Abschätzungen für mehrlinige Wartesysteme

Für können die unteren Schranken für die mittlere Wartezeit in Gi/O// 1-Systemen aus Kapitel 5 benutzt werden. Mit Hilfe von Satz 6.3.1 können wir, B r u m e l l e (1971a) folgend, noch folgendes interessante Problem wenigstens teilweise lösen: Wann gilt die (6.3.1) entsprechende Beziehung auch für die mittleren Verweilzeiten der Forderungen im stationären Zustand, d.h., wann werden die F o r d e r u n gen in im M i t t e l s c h n e l l e r a b g e f e r t i g t als in Z I Es sei mty die mittlere stationäre Verweilzeit in m

a>=^ s

+

m a>

und m v die in £ mv = m ß + mw . Satz 6.3.2. Unter den Voraussetzungen von Satz 6.3.1 gilt, sofern aB mw ^ ,

(6-3.7) (6.3.8)

wobei Pv? bzw. die stationäre Wartewahrscheinlichkeit bzw. mittlere stationäre Wartezeit in ist. Beispiele.

1. Nach S t o y a n (1974) gilt für Pw

^ gjs =

.

MjGI/s (6.3.9)

B e w e i s . Die mittlere Anzahl der im stationären Zustand i n G / O / s besetzten Apparate ist gleich q = h n B . Hieraus ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit Pbes dafür, daß alle Apparate besetzt sind, die Abschätzung •Pbes S eis . g/s ist nämlich die größte Wahrscheinlichkeitsmasse, die der Punkt s bei einer diskreten Verteilung auf 0 , . . . , s mit dem Erwartungswert g haben kann. Da in MjGIjs •Pbes = PW > ergibt sich (6.3.9). • Für M/GI/s ist also (6.3.7) gültig, da

= q/s.

2. Die Beziehung (6.3.8) ist für M/M/s und M/D/s richtig. 3. Nach B r t j m e l l e ( 1 9 7 3 ) und M o r i ( 1 9 7 2 ) gilt für Gl/M/s und GI/D/s sogar (i)

W ^

Wx.

108

6. Monotonieeigenschaften und Abschätzungen für Wartesysteme

für die stationären Wartezeitverteilungsfunktionen W und W1 in 2J und woraus natürlich (6.3.7) und (6.3.8) folgen. Falls (6.3.8) für M/OI/s richtig ist, ergibt sich die von MAALOE (1973) vorgeschlagene, aber nur heuristisch begründete Abschätzung K(a% + m|) W i e SUZUKI u n d YOSHIDA ( 1 9 7 0 ) zeigten, ist a u c h die U n t e r s u c h u n g v o n

27 von Nutzen, wenn untere Schranken für m w gesucht sind. Nach KIEFEB und WOLFOWITZ (1955) gilt nämlich für die Wartezeiten w'n in folgendes: Aus w[ »,» — W») • i=2 Bilden wir in (6.3.12) Erwartungswerte, so erhalten wir für den stationären Fall m

w

^

m

'

w

~ s

E i

.

(6.3.12')

Daraus können wir untere Schranken für m w ableiten, wenn wir untere Schranken für die mittlere stationäre Wartezeit m'w in und obere Schranken für den Erwartungswert E£ der im stationären Zustand in Z auftretenden Summe der Restbedienungszeiten benutzen. Im Fall s = 2 ist es möglich, Ef relativ einfach abzuschätzen. Satz 6.3.3. Für die mittlere stationäre mw

— — 2

4m B

Wartezeit mw in Gl ¡Gl ¡2 gilt

,

(6.3.13)

wobei m'w die mittlere stationäre Wartezeit in dem GI/GI/l-System mit der Pausen- bzw. Bedienungszeitverteilungsfunktion A(t/2) bzw. B(t) ist. B e w e i s . (6.3.13) folgt aus (6.3.12') und der Ungleichung

E f~2Eß ^ J '« , n

die sich aus

f»+i ^ \ßn ~ U

(6.3.14)

6.3. Abschätzungen für mehrlinige Wartesysteme

109

durch Quadrieren und Erwartungswertbildung ergibt. Wir zeigen also nur noch die Gültigkeit von (6.3.14). Falls ßn g £„, so gilt £ Sn + 1 — w2,n* 1 ~

i n\-l — \

w

Analog ergibt sich £« +1

Ai

im Fall ßn > £„.

ßn > . ,. +1„—