Probleme de algebră pentru concursuri de admitere şi olimpiade şcolare : ecuaţii de gradul II, funcţii, inegalitǎţi, radicali, sisteme de ecuaţii 9789733016397, 973301639X

Citation preview

GH. ANDREI I. CUCUREZEANU

C. CARAGEA GH. BORDEA

proble111e de algebră pentru concursuri• de ad111itere şi oli111piade şcolare - ECUAŢII DE GRADUL 11, FUNCŢII, INEGALITĂŢI, RADICALI, SISTEME DE ECUAŢII -

EDITURA DIDACTICA ŞI PEDAGOGICA, R.A.,

BUCUREŞTI

- 1993

_

Referenţi: Prof. univ. dr.

O.

STANAŞILA

Prof. univ. dr. C. NASTASESCU

CUPRINS

Enunţuri

I.

Funcţia şi ecuaţia

n. Funeţil, Definiţii.

de gradul al II-iea

Proprietiţi

5

Soluţii

98

23

129

. . .

57

208

IV. Radicali • • • .

77

241

Probleme propuse

285

III.

Inegalităţi

ISBN 973-30-1639-l(

Reda~r: prof. VALENTIN RADU Tehnoredactor: PARASCHIVA GAŞPAR. Coperta: V. WEGEMAN

Coli de tipar: 19 Format: 70X100/16 Bun de tipar: 6.01.1993 Nr. plan: 36330 Ediţia: 1993

['fparul executat la: Imprimeria ,,ARDEALUL" Cluj B-dul ~2 Decembrie nr. 146 România Comanda nr. 173

Prefaţă ,,Culegerea de exerciţii şi probleme de algebră pentru concursuri şi olimpiade şcolare" conţine un mare număr de exerciţii şi probleme cu un grad ridicat de dificultate, corespunzător exigenţelor sporite la admiterea în învă­ ţămîntul superior sau la concursurile şi olimpiadele şcolare. Semnificativ este faptul că multe 'exerciţii şi probleme au fost alese dintre cele date la olimpiadele şcolare din ţara noastră ( etapele locale din diferite judeţe, faza judeţeană şi finală), precum şi din alte ţări. !n vederea alcătuirii culegerii de probleme, autorii au consultat colecţiile mai multor publicaţii de specialitate din mai multe ţări, dar au selectat cele mai multe aplicaţii din valoroasa colecţie „Gazeta matematică" din ţara noastră. Selectarea exerciţiilor şi problemelor din „Gazeta matematică", din revistele similare din josia U.R.S.S., Bulgaria, Polonia, Ungaria, S.U.A. etc., precum şi din di/eritele culegeri de probleme de largă circulaţie de la noi şi din alte ţări, con/eră varietate şi noutate aplicaţiilor fiecărui capitol, care tinde să capete o anume completitudine enciclopedică. Volumul mai conţine şi unele probleme originale ale autorilor, concepute cu ocazia unor concursuri de matematică. Fiecare capitol cuprinde în mod gradat exerciţii şi probleme de la nivelul relativ - mediu de dificultate, pînă la cele foarte dificile date la olimpiadele de matematică - faza naţională şi internaţională. Autorii au acordat deosebită atenţie exerciţiilor şi problemelor reprezentative, cu conţinut semiteoretic şi cu forţa aplicativă la alte exerciţii şi probleme. Astfel, capitolul „Funcţii" se constituie într-o adevărată lucrare de cuprindere a unei variate game de aplicaţii, grupate în mai multe paragrafe. Adresăm mulţumiri tinerilor profesori de matematică Marius Cavachi, Dorin Arventiev şi Viviana Ene pentru sprijinul acordat în selectarea şi verificarea unor aplicaţii. Culegerea constituie rodul colaborării autorilor avînd o îndelungată şi rodnică experienţă la catedră, în cercurile profesorilor de specialitate şi ale elevilor, precum şi în taberele de matematică. Cartep. se adresează deopotrivă profesorilor de matematică şi elevilor, sprijinind efortul comun de ridicare a calităţii învăţămîntului matematic din ţara noastră. Pentru profesorul de matematică, lucrarea rămîne un bogat material bibliografic în activitatea de perfecţionare metodico-ştiinţifică, iar 3

pentru elevii pasionaţi şi dornici de performanţe superioare, culegerea oferă un bogat material de studiu în ·oeder~a pregătirii pentru concursurile de admitere şi olimpiadele şcolare. Unele capitole încep cu prezentarea definiţiilor şi proprietăţilor de bază ce se folosesc în rezolvări. Prin varietatea exerciţiilor şi problemelor şi, mai ales, prin noutatea unor soluţii, culegerea de algebră poate asigura celui ce se apleacă cu pasiune şi dăruire în studierea şi cercetarea acestora, o consistentă cultură matematică elementară, premisă a căilor de acces spre dezvoltări ulterioare, interdisciplinaritate, spre o adevărată libertate a gîndirii. Cultura matematică rămîne unul dintre elementele de bază pentru întregirea culturii generale. Este bine de ştiut că posesorul unei culturi matematice este şi beneficiarul unei igienizări intelectuale, care constă în exersarea supleţii gîndirii, cu consecinţe faste şi în planul sincerităţii şi corectitudinii. Orice elev pasionat ăe matematica de performanţă care îşi însuşeşte tehnica gîndirii matematice, se disciplinează şi îşi potenţează zestrea naturală intelectuală. Nicăieri ca în matematică nu este surprins spectacolul împresurării necunoscutelor de către multitudinea cunoscutelor pe terenul efortului de creaţie umană. Mai mult, putem spune că tînărul matematician începător în acest domeniu - are deja în faţă o cale regală către meditaţia filozofică.

Autorii

Cap. I

FUNCJIA ŞI ECUAJIA DE GRADUL AL II-LEA 1.

2.

Să

,.

:

a) x(x + l)(x + 2)(x + 3) = 24, b) (I - x)(2 - x)(x + 3)(x + 4) = 84, c) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = (x + 2J 2 + (x + 6) 2 + (x + 8)2 + 4, d) (1 + x~) 2 = 4x(l - x2). Să

a) b) c) d)

3.

ecuaţiile

se rezolve

se rezolve ecuaţiile: + (x + 1)3 + (x + 2)3

x3

(x

(x x4

+ 2) + = 82, + a) + (x + b) = O,

+ (x + 3)3 = O,

x4

4

4

4

16x - 12

-

+ (x + 4) +

=

O.

Să

se rezolve ecuaţiile: a) (2x2 + Sx - 4) 2 - 5x2 (2x2

b) c)

+ Sx (x2 + 3x - 1) 4 - 13x2 (x2 + 3x x3 - 4 Jax + 3x + 18 J3 = O.

Să

se rezolve

4) 1)

+ 6x4 = O, + 36x4 = O,

2

ecuaţiile

:

x+l }2+(-:11 x-1 )2= 6, L~2l2+(x: 1l2=~. (::~J2+(x:l}2=m(m-1).

a) ( - " b) c) ă. Să

a)

-

5:tt

1

+3

4x1

Să

+

6,

2x1

1 -

c) _ _ 4x_ _

6.

:

13x = + :tt + 3 X 6x - ~ + ----- = -1, x +2 x 6x + 2 2x

2x1

b)

ecuaţiile

se rezolve

-

8x

+7

se rezolve

+

4x1

-

3:11 lOx

+7

=

1.

ecuaţiile:

+ ~ = ~5 (~2 + !) b) ~ + ~ = 10l' ~ - ~) . 3 xi 3 c) x +;.49 +· 2 ( x +;7 j- 34 = O, d) :~ + ab• = 2 .Jiab(~ - !!..) , a > O, b > O. a x• a a) ~ 2

.1,.&

:11

X

'

1

2

:11

5

2

7.

Să

ecuaţiile:

se rezolve

a) 2x4 - 7x3 + 9x2 - 7x + 2 = O. b) x 4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1 = O. c) x 4 - 4x3 + 2x2 + 4x + 2 = O. d) x 4 + 2x3 + 2x2 + lOx + 25 = O. e) x 4 + 4x3 + 3x2 - 2x - 2 = O. f) x 4 + 6x3 + 5x2 - 12x + 3 = O.

8.

Să

că:

se arate

a) ~ b8

+ ~a - a(~+~)+ 5 ;;;i,. o, b a 1

(V) a, b

s.:.y + 3~:ii - s!." + 10 ;;;i,. o,

b) 3~ y•

e

R*.

(V) x,y

e

R*.

c) Să se calculeze .:. ; dacă y

I~+~)3 (.:. + !.) lyl x• y "

2

d) x2

1

=

o.

+ y2 + z2 + xy + yz + zx + x + y + z + _38

(V} x,y, z

e

O,

R.

9. Să se determine numerele să aibă loc inegalitatea :

2a(x2

;;;i,.

reale a astfel încît oricare ar fi x, y eR

+ y + 4axy -y 2)

2 -

2xy - 2x

+ 1 ;;;i,. O.

I. Mitrads, Etapa final4, 1986

10.

Să

x2

11.

se determine valorile întregi ·ale lui m, astfel încît :

+ my2 -

Să

4my + 6y - 6x se rezolve ecuaţia: x4

+

x3

-

2x2

+ 2m + 8 ,;;;i,. O,

+ 3mx -

m2

( V) x, y

e

R.

= O.

Titu Andreeseu - Rl\IT, nr. 1-2/1988

12. Fie a > 2. Să se rezolve ecuaţia : x3 - 2.i:,x2 + (a2 + l)x + 2 - 2a = O ordine crescătoare.

şi să

se scrie Etapa

13. Fie a, b

e

(O, oo).

Să

se arate

•

.

Şl X1

(a

+

şi -

a

b

+

G

6

1981

distincte

se arate că oricare ar fi a, b, c .e (O, oo), distincte b + c)x2 - 6x + ~ + ~ ~ = O nu are rădăcini reak.

14.

Să

judeţeană,

în

că ecuaţia:

+ -1- + -1- = O are rawdwac1n1 • '}e· reale :r-a :r+b (a 2a) • ( 2b b) E 3 , 3 Şl X2 E - 3 , - 3 •

-1

rădăcinile

ccr:aţia

Să

15.

se arate

că

oricare ar. fi a, b, c

(x - a)(x - b)

are

rădăcini

+ (x -

b)(x -,- c)

e

R

ecuaţia

+ (x -

c)(x - a)

=O

reale.

16. Demonstraţi că rădăcinile ecuaţiei'':' a(x - b)(x - c)

+ b(x -

sînt reale, oricare ar fi a, b, c 17.

e

a)(x - c)

a)(x - b)

=

O

e

R.

R.

Demonstraţi că rădăcinile ecuaţiei:

1 1 l- = O sin At - +- +x-a x-b x-c

18.

+ c(x -

Să

2nx2

-

se arate 2(n2

că

(V) n

+ l)x -

19. Să se arate că atunci şi ecuaţia: x2 reale.

n2

e

N*,

·1e oncare . rea ar f"1 a, b, c ecuaţia

1 = O are rădăcini reale şi iraţionale.

-

: x + ax + b = O, are rădăcini reale, + 2)x + a2 + (b - 1)2 = O are rădăcini

dacă ecuaţia -

(a2

-

2b

2

20. Fie/(x) = ax2 + bx + c, a, b, c e R, a =f, O. Să se arate că dacă. a: e R* astfel încît/(0t}/(-a:) ~ (aa:2 - c) 2, atunci ecuaţia/(x) = O are rădăcini reale. există

Geoyge Marina -

21. ecuaţia

elev

Cc,nstanţa

Să se determine valorile reale ale parametrului m, astfel încît x(x - l)(x - 2)(x - 3) = m să aibă toate rădăcinile reale.

Liviu Pîl'şan - GM nr. 9/1983

ax 2 + bx + c = O, a, b c, e R*. Să se arate că dacă O, atunci ecuaţia are rădăcini reale şi de semne contrare·.

22. Fie ~

b

x2

+ !!_ =

ecuaţia

C

23.

Să

se arate că dacă a+ b + 1 < O, atunci ecuaţiile O şi x2 + bx + a = O au rădăcini reale şi distincte.

24.

Să

se demonstreze

+ ax + b =

din

ecuaţiile x 2 +ax+ b

=

că

O

oricare ar fi a, b

şi x 2

e

[4, oo), cel

+ bx +a= O are

Etapa

puţin

rădăcini locală

-

una reale.

Timiş,

1984

25. Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi. Să se demonstreze că a) x2 - 2a(b + c)x + 2(b - cJ 2 - 1 = O are rădăcini reale şi distincte, b) x2 - (a + b + c)x + b2 + c2 = O, unde a ;;,,, max (b, c), are rădăcini reale şi distinc.te, c) b2 x2 + (b 2 + c2 - a2)x + c2 = O nu are rădăcini reale, d) a2 x 2 - 2(b2 - c2 )x + 2b2 + 2c2 - a2 = O ntt are rădăcini reale, e) cel puţin una din ecuaţiile x2 - 2ax + 2bc = O, x2 - 2bx + 2ac=0, x 2 - 2cx + 2ab = O nu are rădăcini reale. 26. Fie a;, b,

+

R, i

=

1, 2, ... , n. I) (af + a: + ... + a!)x2 - 2x(a 1 b1 ... + b:, ; , , o { VJ X E R. e

7

Să

+

se arate că: a:,b 2 + ... + a„b,.)

+ bf + b~ +

2) Folosind 1)

(a 1b1

să

se

deducă

+ a 2b2 + ... + a„b,.)

2

inegalitatea :

(a~+~+ ...

:ie;;

+ a~)(b~ +bi+ ... + b~). Cauchy-Buniacovschi-Schwart:

3) Folosind 2)

să

se

deducă

inegalitatea :

+ a 2 + ... + a,.)(~ +~ + ... + ~} > n2, a a

{a1

unde a,

>

O,

1 _ _ _ _" -

1

{ V) i

=

1, 2 ... n.

27. Dacă pentru orice x e ll, ax2 + 2bx + c > O şi a'x2 + 2b'x+c' >0, unde a, b, c, a', b', c' e R, aa' 'F O, atunci pentru orice x e R aa'x2 + 2bb'x + cc' > O. Olimpiada

+

28. Fie a, b, c e R* şi A, B, C e R, astfel încît a2 + b2 + c2 B 2 + C2 • Să se demonstreze că cel puţin una din ecuaţiile: bx2 + 2Ax + c = O, cx2 + 2Bx+ a = O, ax 2 + 2C x + b = O are rădăcini reale.

29. Fie a, b, c e R. Atunci cel puţin una din ecuaţiile : x2 - 2ax + bc = O, x2 - 2bx + ac = O, x2 - 2cx are rădăcini reale.

=

ungară

A2

+

+ ab = O

30. Dacă a, b, c e {O, +oo), atunci cel puţin una din ecuaţiile x 2 - 2ax + 2bc = O, x2 - 2bx + 2ac = O, x2 - 2cx + 2ab = O nu are rădăcinile reale. Gh.

31. Fie a, b x'

e

R.

Dacă

a2

~

Ianuş

2b, atunci :

+ ax3 + bx2 + ax + 1 > O pentru

orice x

e

R. M arcei

Chiriţă

32. Dacă numerele reale a, b, c, d verifică relaţia ac > 2(b + d), atunci cel puţin una din ecuaţiile x2 + ax + b = O şi x2 + ex + d = O are rădă­ cini reale

33. Determinaţi numerele două rădăcinile ecuaţiilor: ax2

+ 2bx + a =

reale nenule a, b, c

O, bx'I-

+ 2cx + b =

ştiind că

O, cx2

sînt două cîte

+ 2ax + c =

O. M.

Codiţă

34. Fie ecuaţia ax2 + bx + c = O, a, b, c e R* şi ac > O. Să se afle toate valorile reale ale lui k, pentru care ecuaţia are rădăcini reale, dacă ~ +~ = !!_, li

C

b

Walter Ianoiis, GM 4/1979

35. Să se arate că dacă a, b, c e R şi x e R, atunci a = O, b = O, şi c e Q.

ax2

+ bx + c

e

Q pentru ori.::e

I. Vladimirescu - Concursul interjude/ean „Gh. Ţiţeica", 1984

8

36. Să se demonstreze că dacă p, q1 , q2 e R astfel încît p = q1 + q2 + 1, atunci măcar una din ecuaţiile : x2 + x + q1 = O; x2 + px + q2 = O are rădăcinile reale şi distincte. Ccn:icurs

internaţional

+

„Drujba" 1988, Bulgaria

+

>

37. Să se demonstreze că dacă ecuaţia ax2 bx c ~ O, cu a O, rădăcini reale x 1 , x 2, atunci condiţia lxJ I :E; I, lx2 I :E; 1 este echivalentă cu a b c ;;i:. O, a - b c ;;i:. O, a - c ;;i:. O.

are

+ +

+

Propus4 pentru a 20-a OIM - 1978

38. Fie trinoamele f(x) = x2 - 2px + q şi q(x) = x2 - 2qx+ p. a} Să se arate că dacă 4P + 4q + 1 < O, p :I= q, atunci trinoamele au rărlăc" ni reale, I.,} Să se arate că f(x) < O şi q(x) < O pentru toate valorile lui x cupn nse în intervalele [max {min (xJ, x2), min (x', x")}, min (max(x1 , x2), max{x', x") ]. 39.

Ştiind că

numerele a, b, c satisfac inegalitatea 63(a6 + b6 + c8) :E; 31(a3 + b3 + c3) 2

s~ demonstreze că numerele a, b, c sînt nenule şi cel puţin una din ax2 + bx + c = O, bx2 +ex+ a= O, cx2 +ax+ b = O _nu 1 are reale ·

i,~

ecuaţiile: rădl•cini

Titu Andreescu

40. Fie

b

;;i:. ..: •

Ba

f: R-+ R,

f(x)

Să se arate că f(/l.)

= a,r!J, + bx + c, ;;i::

unde a, b, c

e

R, a> O

O, Â fiind discriminantul ecuaţiei f(x) Titu Andreescu - etapa local4,

41.

Să

a,.+1 x2 are

se determine numerele naturale n, pentru care -

rădăcini

şi

= O.

Timiş

1989

ecuaţia:

2,Ja~ + al + ... + a! + a!+ix + a 1 + a 2 + ... + a,. = O reale pentru orice alegere a numerelor reale a 1, a 2, ••• , a,., a„+J D. M.

+

+

42. Fie trinomul f(xJ = x2 px q, p, q Dacă f(x) ;;i:. O, ( Y) x e R, atunci ecuaţia:

(b - ap)x2 + 2(c - aq)x + pc - bq tru orice a, b, c e R.

e

B4tineţ

•

R.

= O are

rădăcini

reale penDumitr'U A c'U

Dll

B r.:

43. Fie ecuaţia ax2 + bx + c = O, a, b, c e Q. Să se arate că poate avea o rădăcină 0t e R - Q, astfel încît 0t2 e R - Q şi

ecuaţia e Q.

0t 3

44. Se consideră mulţimile: A = {x e R lx2 - ax+ b = O} e Rlx2 - ax+ c = O}. Să se determine a, b, c ştiind că Au B {1, 2, 3, 4}.

= {x

şi

=

45. Se consideră mulţimile A = {x e R Ix2 + ax + b = O} şi B = {x e R Ix'! - bx + a = O} a, b e R. Să se determine a şi b ştiind că A. u B = {-1, 1, 2, 3}. R.M.T. -

9

1983

46. Fie M = {x e:R lx2 - ax+ b = O} şi N = {x Să se determine a, b, c e R ştiind că M u N

e

+ c = O}.

Gh. Andrei'- Etapa

47. Fie a, b, C E z 1) Să se determine 2) Să se arate că ~emente.

=

locală

R !x2

bx+

-

f}, a, b, c}.

- Co11stan/a 1968

/(x) = ax2 + bx + c. {x e Z 1/(x3) =:x} ştiind că /(8) = 2. {x e, Z l/(x2) = x} are cel mult două

n-n,

şi/: mulţimea mulţimea

Florin Vulpescu-Jalea

48. cienţii

Să se determine condiţiile pe care trebuie reali a, b, c ale ecuaţiei

49.

Să

să

le

satisfacă

ax2 + bx + c = O pentru ca jx1 I = !x2 ise determine valorile reale ale lui m pentru ca

coefi-

rădăcinile

ecuaţiei:

mx2

+ 2(m -

3)x

+ 2m -

Pentru ce valori ale lui

50. Ji'ie

a

R, a'#: O.

drept

ecuaţia

= O să satisfacă m, lx 1 I = lx2 I = 3. 14

de gradul al doilea ax2

bx

-

lx1 I = lx2 I.

condiţia

+ c = O,

unde a, b, c

e

Să se determine coeficienţii a, b, c astfel încît ecuaţia să admită

rădăcini

numerele a, b

şi

drept discriminant pe c. G.M. nr 4/1981

51. Fiind dată ecuaţia ax2 + bx + c = O, a =/: O cu rădăcinile x 1 şi x 2 • Să se afle condiţia ca ecuaţia a 2 x2 + b2 x + c2 = O să aibă rădăcinile

xf

şi

x:.

• E( x ) 5. 2• Se dva expresia

Xz sînt rădăcinile ecuaţiei E(x1 ) + E(x2) = a + c.

+ bx = ax --+ -c. 2

z1

bx2

-

+I

Sva se arate ca, d aca x 1 v

(c - a)x - b = O,

v

avem

Gh. D. Simio11tsc1e, Etapa

53. Fie

ecuaţia

Să se arate că ax 1 +b=O.

ax2

+ bx + c =

+ bx + c = O, 2

O, a, b, c

e

R*,

ş1 •

egalitatea finală,

1958

distincte.

dacă şi numai dacă { 1a:!.c

+ ~/ac + 2

Adrian A tanasi•

54. Fie x1 .Să

se arate

că

x2~+ px + q = O şi x{, x~ ale xz + p'x + q' =10 . dacă are loc relaţia : 4qq' - qp'2 - q'p2 = O, atunci ecuaţia,

şi

x2 rădăcinile

ecuaţiei

+ (p + p')x + q + q' = O x + x;, x; = x + x~ şi reciproc.

x2

are

rădăcinile

55. Ce

x; =

1

ecuaţiPi

(*)

2

relaţie

trebuie să fie între a, b, c pentru ca O să satisfacă relaţia : mx1 + nx1 = p, unde m, n, p sînt daţi.

,u• + bx + c =

10

rădăcinile ecuaţiei

+ bx + c = O cu rădăcinile x 1, x 11 şi mx11 +' nx + x', x". Să se afle relaţia între coeficienţii celor două ecuatii, ştiind că între rădăcini avem relaţia : xi - x' + xs - x' = O. 56. Fie ecuaţiile ax11

+ p = O cu

rădăcinile

~-~

,

~-~

57. Se consideră ecuaţia ax11 + bx + c = O, a #: O şi fie S,. unde Xi, x11 sînt rădăcinile ei. Să se arate că : aS„+1 + bS,. + cS,._ 1 = O pentru orice n e N*. 58. Fie a

R *.

e

x 11

Dacă x 1 , x 2

+ ax - ..!.. = o, 2a 1

sînt

rădăcinile ecuaţiei

=

x~

+ x;

:

~ + X: > 2 + ,Jz.

atunci

Olimpiada bulgard, 1980

59. Fiind dată ecuaţia x11 + px + q = O de meze ecuaţia de gradul al doilea de rădăcini YJ

m

n

n

X1

X1

X1

rădăcini

xv x 11 • Să se for ·

m

= - + - , Y11 = - + -X1 · N. M ikdileanu

rădăcinile ecuaţiei (a+ rădăcinile ecuaţiei

60. Fie xv x11

Demonstraţi că

x11 -

x~, x: sînt

xii -

(a3

d)x

+ d 3 + 3abc + 3bcd)x + (!,d -

+ ad bc)~

=

bc

=

O.

O.

Olimpiada ungard, 1892

61. Fie x1 , x1 rădăcinile ecuaţiei x1 x' + bx + 1 = O. Să se arate

ecuaţiei

(x 1

-

x~)(x 2

-

x~)(x1

+

+ ax + 1 = O şi

rădăcinile

x;, x~

că

x~)(x1

+

x~)

=

b2 -

a11.

Olimpiada Anglia, 1967, Grecia, 197

62. Fie f(x) = ax2 + bx + c, a, b, c e R, a #: O şi oe 1, oe 2, oe8, oe 4 numere reale sau complexe, astfel încît, suma oricăror două numere să fie diferită de suma rădăcinilor ecuaţiei /(x) == O şi oe 1 + oe 4 = oe 2 + oe3 • Să se arate că : oe1 - 3oe11 + 3,ic3 oe 4 = O dacă şi numai dacă /( oe 1) - 3/( oc1 } + 3/( oe 3 ) - /{ oe 11 ) = O.

Nicolae Negoescu

63. O condiţie necesarii şi suficientă ca rădăcinile ecuaţiei ax 2 fie în raportul k (k #: O) este să avem

+ bx + c = O să

kb2

consideră ecuaţiile

64. Se

p, q, P', q' acestor

e

R*

şi

se·

ecuaţii.

a)!Să

se arate

notează

+ 1) ac = O. x 2 + px + q = O, (k

2

x 2 + p' x + q' cu x 1, x 11 respectiv cu x3, x 4

că dacă x 1 x4 =

b) Reciproc, dacă rădăcinilor

-

2 = !!... ; (P..) P' q'

+

x 11 x3, atunci:(f

= O,

!lnde

rădăcinile

)2= (:,) ·

atunci există o notaţie convenabilă a

primei ecuaţii cu x1, x2 altfel ca x 1 x 4 = x2x3 •

şi

a celei de-a doua

ecuaţii

Concurs - Etapa

11

cu x3 , x 4

judeţean4,

1988

.x1, x2 aJe ecuaţiei x2 - 3.x + 1 = .6. se calculeze expresia. E = 2xf- 7xf + llx1 + I + 2x\- 74 + llx1 + I .

65. Fie Să

rădăcinile

3xf - 2xf -

66. Fie are

rădăcini

ecuaţia ax2 Dacă

reale.

I

I

3xi - 2xf -

+ bx + c = O cu coeficienţi reali, dar care nu a+ b + c > O, ce semn are a - b + c?

+ b + c < O şi ecuaţia ax2 + bx + c = O nu se determine semnul lui c şi semnul lui a + c. 68. Fie f(x) = ax2 + bx + c. Dacă a, b, c e R as~fel incit a -# O, 1:1- < 4ac şi a + c < b, si se precizeze semnul lui c. 69. Se consideră ecuaţia 2x2 - 2mx + m2 - 10m + 45 = O. 1) Să se afle mulţimea valorilor :r;e care le pot lua rădăcinile reale l~1 şi x2 cînd m variază. 2) Să se afle mulţimea valorilor pe care le pot lua suma, produsul şi citul rădăcinilor reale. 67~ Fit a, b, c

are

rădăcini

rea!e.

e

Să

R, a

Ionescu-Ţiu

C.

70. ax2

Demonstraţi că dacă ecuaţia

+ bx + c = O,

(O, 1) atunci a

~

cu a

>

coeficienţi

cu

două rădăcini

O, are

- concurs, 1973

întregi distincte în intervalul

5. ittgosla11ă,

Olimpiada

71. Să se arate că dacă ecuaţia două rădăcini reale şi distincte în a~5şic~5n2 +1.

ax2

+ bx + c =

intervalul (n, n

are

O, a, b, c + 1), n

e e

1981

Z, a > O N, atunci

72. Se consideră ecuaţia ax2 + bx + c = O, a, b, c e R, a -# O, cu reale. Ştiind că (b - c)(b c 2a) = 2a2 - c'A, să se găsească valorile minime şi maxime ale rădăcinilor ecuaţiei. rădăcini

+ +

Ioan Să

73.

se determine ax2

legătura

dintre

+ bx + c = O şi

+

75. Dacă ecuaţia ax2 rădăcinile €CUaţiei x2 [b2 se află în intervalul [-1,

+ bx + a = O. ecuaţiei ax + bx + c =

+ bx + c = O,

+ (c 1].

a) 2 ]

rădăcinile ecuaţiilor

cx2

74. Dacă x 1 > O este o rădăcină a o rădăcină x2 a ecuaţiei cx2 bx

există

c,·işan

2

+a= O astfel, ca

x1

O, atunci ~ 2.

+ x2

a -# O are rădăcini reale atunci

+ 2b(a + c)x + 4ac = O sînt

reale

şi

Maria Elena Panaitopol, G.M. nr. 2/1985

76. Fie p

ecuaţiei

+r +

x2 s?

şi

+ rx + s = O şi r, s rădăcinile Care sînt valorile posibile ale sumei p + q +

q rădăcinile ecuaţiei x2

+ px + q = O.

Olimpiada Belgia, 1987

77. În ecuaţia x2 + px + q = O coeficienţii variabili p şi q satisfac IP I ~ 1, lq I ~ 1. Să se dEtermine mulţimea valorilor pe care le pot lua rădăcinile reale ale ecuaţiei.

condiţia

Olimpiadă

12

Moscova, 1965

78. Se consideră ecuaţiile ax2 + bx +

+

o

C = o şi cx2 bx +a= a, b, c e (O, +oo) şi a =/: c. Să se arate că dacă a+ c < b, atunci rădăci­ nile celor două ecuaţii se s~pară.

I. Ursu

79. Pentru ce valori ale lui a x2

+ .!a x -

2a = O şi x2

+ ~a

e

rădăcinile ecuaţiilor

R*

x - a= O sînt distincte şi se separă?

80. Fie a 1, a 2, a 3 , b, c e R* şi xJ', x3 cîte o rădăcină reală, respectiv a ecuaţiilor a1x2 bx c = O, a3x2 bx c = O. Să se arate că ecuaţia a2 x 2 bx c = O are o singură rădăcină cuprinsă între x 1 şi x 8 dacă şi numai dacă a1 este cuprins între a 1 şi a 3 .

+

+

+

+

+

-ax2 + bx + c = O. reale ale primei ecuaţii şi respectiv celei de a doua, atunci există o rădăcină y a ecuaţiei ~ x2 + ecuaţiile

81. Fie

ax2 + bx

+

Demonstraţi că dacă

+ bx + c =

ot

+c= O

şi ~

sînt

şi

rădăcini

2

O

cuprinsă

între ele. Olimpiada din Moscova, 1953

82. Demonstraţi că trinoamele x 2 + mx + n şi reciproc.

dacă şi x 2

(n - q) + (m - p)(mq - np) < O, + px + q au rădăcini reale care se 2

atunci separă

Olimpiada polonezlJ, 1950

83. Să se arate că dacă ecuaţiile x 2 + ax + b = O şi x 2 + ex + ă = O (a, b, c, ă e Q) cu o rădăcină iraţională comună, atunci a= c şi b = ă. 84.

Să

mulţimea

se determine relaţia dintre a şi b (a, b e R, a =I- O) pentru care e R !ax2 + b Ix I + a2 - b2 = O} are un singur element.

{x

Luana Cojocaru

85. Fie a, b, c e R, a + b + c =I- O. Dacă ecuaţiile ax2 + bx + c = O, bx2 + ex + a = O, cx2 + ax + b = O au o rădăcină comună, atunci ab + + bc +ca> O. Nicolae Popescu

86. Fie a, b, c e R. Ecuaţiile : ax 2 + bx + c = O; bx2 + ex + a = O ; cx2 + ax + b = O, au o rădăcină reală comună, dacă şi numai dacă a+ b + C = 0. 87. Fie a, b, c e B, a =I- c. Să se demonstreze că ecua..ţiile ax2 + bx + + c = O, cx2 + bx + a = O au rădăcini comune atunci şi numai atunci

dnd (a + c) 2 = b2 • 88. Fie a, b, c e B*. Dacă ecuaţiile x2 +ax+ bx = O, x 2 + bx + + ac = O au o rădăcină comună, atunci celelalte rădăcini verifică ecuaţia x 2 + ex + ab = O.

f BI

89. Fie A = x e R I - ax2 + bx + c = O}, B = x e ax2 - bx + c = O}, C = x e R ax2 + bx - c = O}. Să se demonstreze că oricare ar fi a, b, c e R*, nu poate avea exact trei elemente.

mulţimea

A U B UC

Concurs - 1983

13

00. Condiţia ca ecuaţiile: ax2 + bx + c = O; Ax2 + Bx ,ţ. C = O. Să aibă o rădăcină comună- este I (aB - Ab)(bC - Bc) - (aC - Ac) 2 = O care se mai scrie:

1: ~III~ ~/-/: ~1 = I; :I= 2

unde

0•

ad - bc.

consideră patru ecuaţii de gradul al doilea astfel încît oricare să aibă o rădăcină . reală comună. Să se demonstreze că cele patru

91. Se

trei

ecuaţii

au o rădăcină comună. · 92. Se consideră numerele întregi a, b, c şi mulţimile 4. = {x e Rjx2 + ax + b = O}, B = {x e Rlx2 + bx + c = O}, C = {x e Rjx2 + ex + a = O}. Să se arate că A u B u C = 0 => a = b = c.

+ +

Titu Andresecu

93. Fie a, b, c reale a #: O. Condiţia necesară şi suficientă ca sistemul de ecuaţii: { ax2 + bx + c = y, ay2 + by + C = Z, az2 + bz + c = x să aibă soluţie reală unică este ca (b - 1) 2 = 4ac. 94. Fie a, b, c e R*, nu toate ega,le şi d e R. Ecuaţiile: ax2 + (b + d)x + c = O, bx2 + (c + d)x + a = O, cx2 + (a+ d)x + b = O au o rădăcină comună dacă şi numai dacă a + b + c + d = O. V. M atrosenco

95.

Să

se determine numerele reale a {x e R/x2 + 2ax + b =O}". {x e

şi

M. .A. ndronach#

şi

b astfel ca R/x2.+ 2bx +(+O}= 0. C. N ăstăsesi;u

96. Fie ecuaţia ax2 + bx + c = O, a #: O şi oe. > O. Dacă (aoc. + c) 2 < oc.b2 , atunci ecuaţia are rădăcini reale şi distincte, cu o rădăcină în modul mai mică decît .[«..


1 şi reciproc. 99. Să se arate că dacă a2 + ab +ac< O atunci, b2 - 4ac > O. Mal. v'şkole, 2/1988

100. Fie ecuaţia ax2 + bx + c = O, a #: O. Dacă există m e R astfel încît !!. (3m2 + 3m + 1) + !!.. (2m + 1) + c = O, atunci ecuaţia are rădă3

cini reale

2

şi

distincte cu cel

puţin

o

rădăcină

în intervalul (m, m + 1). Gh. Andrei

14

101. Fie a, b. c e R, m

'/J2-4ac

~

>

a

1. Dacă - · m+l

+ 'm. -b- +· m-1 --. = o,. C

··

atunci

O. I. Cucu,ezeanu

102. Dacă; Sa+ 4b + 5c = O, cu a, b, c e R, atunci ecuaţia + bx + c = O are cel puţin o rădăcină -în intervalul [O, 2].

ax2

+

M. Chiri/4

103. Numerele reale x, y, z verifică relaţiile x + y + z xy + xz + yz = 9. Să se arate că x,y, z e [O, 4].

= 6,

+ y + z = a, xyJ+ xz + yz = b, atunci ,/a -3b . { }. max {x,y, z}-mm x,y, z "2 v-a-·

104. Dacă x

1

105. Numerele reale x, y, z

x

verifică relaţia

+y + z = a

(a fixat).

Se cere: a) maximul expresiei: xy + xz + yz, b} minimul expresiei: .x2 + y 2 + z2,

c~ +:

c}

100. a

2

Dacă

+ +c = b2

2

+

zr "

x• + ~·

+ z'

•

numerele reale a, b, c au proprietăţile a 1, a ~ b ~ c, atunci b2 " ~ şi (c - a) 2 ~ 2.

+ b + c = O,

6

Do,el Mike/

107. Fie ecuaţia (m + l)x2 - (2m + l)x - 2m = O, m #: -1. 1) Să se determine valorile întregi ale lui m pentru care ecuaţia are rădăcini întregi. 2) Să se determine valorile raţionale ale lui m pentru care ecuaţia are rădăcini întregi. 108. Dacă ex şi ~ sînt rădăcinile ecuaţiei ax2 + bx formeze ecuaţia de gradul al doilea cu rădăcinile 2cx + 3~

+ c = O, să şi 3cx + 2~.

se

(.x - a1}2 + (x - a 2 )2 + ... + (x - an) 2, unde ai e ll, 1, 2, ... , n. Sva se arat e cav ,-"() , x ;.,. f{a1+11t+,. ... +a.·)· (\I\I x e R• 109. Fie/(x)

,• =

=

y

O.M. 1969

110. Determinaţi numerele întregi nenule, a, b, A, B /, q: R-R date de f(x) = ax2 + b şi g(x) = Ax3 egalitatea / o g = g o J. ţiile

asţfel

+ Bx

încît funcverifice

să

Liviu Pfrsa,s .

3

1

5

1

4

N

4

N

111. Fie/, g:R-R,/(x) = x2 +-x+-; g(x} = -x2 +-x--. Să

se arate

că

(/of o f)(x}

~

(gog o g}(x) (V} x

e

R. C. Ca,agea

15

112. Fie /, g: R -

R, f(x)

=

x2 + 2x

+2

şi

g(x) ~/-x2

+

2x.

Sţ. se arate. că ecuaţiile (/ o g)(x) = (g o f)(x), f(f(g(x)) = gfg(f(x)) nu au

ntct o

soluţie reală.

/

C. Caragea

113. Aflaţi polinoamele P, Q de gradul al doilea cucoeficienţicomplecşi, ce satisfac condiţia P o Q = Q o P. Tiberiu Spircu

114. Să se găsească o funcţie de gradul al doilea, f(x) = ax2 + bx a cărei restricţie la mulţimea numerelor raţionale să fie injectivă.

=

115. Să se determine funcţiile/: R-R, f(x) încît 1/(x) I :i;; (x - 1) 2 oricare ar fi x e R.

ax2 + bx

+c

+c

astfel

Constantin Caragea

116. Se consideră funcţiile de gradul al doilea f(x) = 2x2 + 2, g(x) = x2 + 2x + 1. Să se arate că pentru orice funcţie de gradul al doilea h astfel încît g(x) .i;; h(x) ~ f(x), oricare ar fi x real, avem h(l) = 4 şi e~stă A e [O, 1] constant astfel încît h(x) = )..j(x) + (1 - )..) g(x) pentru once x e R.

=

L. Panaitopol - Etapa judeţeană, 1978

117. Fie a, b, c e (O, oo) şi ax2 + bx Să se afle Im/, unde/: R-R, f(x) =

+c> O "

ax1 + bx + c

pentru orice x e R.

.

118. Fiind dată funcţia /: R "'{(a+ b)/2}-R, J(x)

unde a, b

e

= x•- ab

i.

2x- a- b

R, să se determine Imf.

C. N rlstăsescu

t 19. Să se arate că dacă /(x) = x2 + ax

+ b, a, b e R are rădăcini reale, atunci f(J(x)) nu poate avea exact trei rădăcini egale. Mihai

Mogoşanu

120, Fie trinomul /(x) = ax2 + bx + c astfel încît ecuaţia /(x) = x nu are rădăcini reale. Să se demonstreze că nici ecuaţia /(/(x)) = x nu are rădăcini reale. 121. Fie b, ce R şi/: R-R, f(x) = x2 + bx + c. Să se arate că /(O) . J(l) #: O şi/ are o singură rădăcină în intervalul (O, 1), atunci Jo J are o singură rădăcină pozitivă sau o singură rădăcină negativă. dacă

122. Să se determine toate tatea că {V) x e A=> x2 - lxl

mulţimile

+1e

finite A

c

R, care au proprie-

A. Dan

+

+

Comănescu

+

123. Fie familia de funcţii/,.(x) = -x2 2(m l}x 3m - 1, und_E;m este un parametru real. Să se arate că parabolele asocrate acestor funcţu trec prin punctul A (-3/2, -25/4), iar una din parabole are vîrful. în A şi să se află pe

scrie ecuaţia ei. parabola y = x2

Să

-

se arate 3x + 4.

că

vîrfurile parabolelor respective se C.

16

Ionescu-Ţiu,

Concurs etapa finală, 196t

124. Fie a, b, c

e

R, a 'F O.

Să

se arate că funcţia/: R"'Q-R,/{x)

=

= axz + bx + c nu este injectivă, iar funcţia g: Q.,..... R, g(x) = ax + bx +

+c

este injectivă dacă şi numai dacă ~

e

2

R"' Q.

a Florin Vulpescu-Jalea-Etapa localii. Bucurefti, 1989

125. Fie familia de funcţii de gradul al doilea/,. {x) = mx2 - 2(m + m 'F O şi A mulţimea punctelor din plan prin care trec toate parabolele din familie, B mulţimea punctelor din plan prin care trece o singură parabolă din familie, C mulţimea punctelor din plan prin care trec două parabole din familie, D mulţimea punctelor din plan prin care nu trece nici o parabolă. Să se determine şi să se reprezinte grafic mulţimile A, B, C, D şi apoi să se compare A u B u C u D cu mulţimea R xR.

+ 3)x + m + 6,

Gh. Andrei - Etapa

128.

...

ex

e

Să

se rezolve

ecuaţia

ax2 + bx

+c=

O ştiind

locală, Constanţa,

198(.;

+ c I = lb 1. la I + Ic I = ex lb I,

că

la

127. Fie ecuaţia ax2 + bx + c = O, a #:, O. Dacă (O, 1), atunci una din rădăcinile ecuaţiei are modulul mai mic decît ex •

128. Fie x1 o rădăcină a ecuaţiei x2 + px + q = O, arate că dacă IP I + lq I < 1, atunci I.xii < 1.

p, q

e

C.

Să

se

Bogdan Enescu - Concurs „Spiru Haret" - 1986

129. Fie ecuaţia ax2 + bx + c = O, a ·:1, O cu coeficienţi reali şi rădăcini reale. Să se arate că : 1) Dacă la + b + c I < la I, atunci cel puţin o rădăcină se află în intervalul (O, 2). 2) Dacă la - b + c I < la I, atunci cel puţin o rădăcină se află în intervalul (-2, O). Ion Cristian

Atiărei

130. Fie ecuaţia ax2 + bx + c = O, a, b, c e R, a 'F O, cu rădăcini reale. Dacă lacx2 + bat+ c I < la I, atunci cel puţin o rădăcină a ecuaţiei se află în intervalul (ex - 1, ac + 1). Ion Cristian Andrei

131. Să se demonstreze că dacă pentru orice x e [ -1, 1] are loc inegalitatea lax2 + bx + c I :E; h, atunci la'I + lb I + Ic I :E; 4h. Matematica v' şcole, nr. 1/1983

pentru orice x e [ -1, 1] are loc inegalitatea lax 2 + bx + atunci să se determine cel mai mic număr real pozitiv k, pentru care are loc · 132.

Dacă

+ c I :E;; h,

!!-

,,

~

la I + lb I + Ic I

:E; kh. Matematica v' şcole, nr. 1/1983

,~~ ~ţ

133. Fie ecuaţiile x2 + ax + b = O şi x2 + ex + d = O, unde a, b„ care au modulul rădăcinilor mai mic decît 1. Să se arate. că modulul rădăcinilor ecuaţiei x2 + a + c x + b + ă = O este tot mai mic decît 1.

c

e R.şi

2

2

OlimpiaăiJ

17

URSS - 1964

134. Fie ecuaţia ax2 + bx + c = O cu a, b, c e R, a > Q, şi astfel încît lb I ~ a + c, a ;;i. c. Să se arate că dacă ecuaţia are rădăcini reale, atunci ele sînt în modtil mai mici decît 1. Să

135. Fie ecuaţia ax2 + bx + c = O, a, b, c e R* cu rădăcinile x1, x2 • se arate că I.xii < 1 < jx2 I dacă şi numai dacă la+ c I ~ lb I, 136. Fie ecuaţia ax2 + bx + c = O, a, b, c e R, a :/: O şi : P1: lx1I < ot < lx2I, P 2 : jaot2 + c I < ot lb I, P 3 : Xi, x 2 e R. Să se demonstreze că: 1) P 1 V P 2 => P 3 , 2) P 1 P~.

consideră propoziţiile

ot > O.

Se

Gh. Andret

137. Fie ecuaţiile ax 2 + bx + c = O (1) şi la lx2 + lb Ix + Ic I = O (2) a :/: O. 1) Să se arate că dacă ecuaţia (2) are rădăcini reale, atunci şi ecuaţia (1) are rădăcini reale. În ce caz este adevărată şi reciproca? 2) Dacă există ot > O, astfel încît la I ot 2 - lb lot+ Ic I < O, atunci ecuaţia (1) are rădăcini reale şi o rădăcină în modul mai mică decît ot. Gh. Andrei - Etapa

138. Dacă lax2 + bx + c I : ,; 1 pentru orice x j2ax + b I ~ 4 pentru orice x e [-1, 1].

locală Constanţa,

e

[ -1,

1989

1], atunci

Olimpiada ungarit, 1914

139. Fie f(x) = ax2 + bx + c cu proprietatea că 1/(1) I ~ 1, 1/(0) I 1/(-1)1::,;; 1. Să se arate că J/(x)I ~~ pentru orice x e [-1, l].

~

1,

4

140. Fie /: [-1, l ] - [-1, l], J(x) = ax2 + bx + c, a :f: O. Să se determine valoarea maximă a lui a astfel încît / să fie injectivă. Pentru a = ~ să se determine b şi c astfel încît / să fie surjectivă. 2

M. Martin

şi

E. Constantinescu

141. Fie trinomul cu coeficienţi reali /(x) = ax2 + bx + c. Să se arate 1/(x) I : ,; 1. pentru O ~ x ::,;; 1, atunci a ~ 8. Pentru a = 8 să se calculeze valorile lui b şi c.

că dacă

142. Fie trinoamele J(x) Dacă lf(x) I ~ 1 pentru orice x

orice x

e

= e

[-1, 1].

ax2 + bx + c şi g(x) = cx2 [ -1, 1], atunci 1/(x) + g(x) I

+ bx + a. ~

2 pentru

I. Cucurezeanu

e

+

+

143. Fie a, b, c e R. Dacă lax2 bx c I ~ 1 pentru orice x e [-1, l], atunci lcx2 bx a I ::,;; 2, pentru orice x e [-1, 1].

+

+

Olimpiadit sovieticlJ - 1973

144. Să se determine numerele reale a, b, c pentru care 1/(x) I = - lax2 + bx + c I ~ 1 pentru orice x e [ -1, 1], iar expresia 4a2 + 3b2 este maximă. C. Ursu

18

+ +

145. Fie trinomul f(x) = ax2 bx c · cu coeficienţi reali şi g(x) un trinom obţinut din el printr-o permutare oarecare a coeficienţilor săi. Dacă lf(x) I ~ 1 pentru orice x e [ -1, 1], atunci lg(x) I ~ 3 · pentru orice xe[-1,1]. I. Cucurueanu

146. Fie 6 ecuaţii de gradul al .doilea cu proprietatea că oricare două din ele au o rădăcină comună. Să se demonstreze că există 4 ecuaţii dintre ele care au o rădăcină comună. I. Cucurezeanu

147. Dacă ecuaţia x 2 +ax+ b atunci a2 + b2 este compus.

+ 1 = O are

rădăcini

întregi nenule,

01',npiaăa

URSS - 1986

148. Fie trinomul/(x) = ax2 + bx + c; a =/: O. Să se arate că nu există nici un triplet (a, b, c) de numere întregi astfel încît funcţia f să ia valori consecutive pentru două valori consecutive impare ale lui x. Revista „Matematica" - Bulgaria -1983

+

+ =

149. Dacă ecuaţia ax2 bx c O (a =/: O) cu coeficienţi rădăcini raţionale, atunci unul din numerele a, b, c este par. 150. Să se arate că ecuaţia ax2 nu are rădăcini raţionale.

+ bx + c =' O cu a, b, c e

întregi are Z, impare,

·

151. Nici o ecuaţie algebrică de grad par cu impare, nu admite rădăcini raţionale.

coeficienţi

152. Se dă ecuaţia x2 + ax - b = O, unde O < b nu are ambele rădăcini întregi.

~

numere întregi a.

că ecuaţia

Etapa loealtJ -

153. Să se arate că ecuaţia x2 + 2.px impare, nu are rădăcini raţionale.

Să

se arate

Bucureşti,

+ 2q = O, unde p şi q sînt

1983

numere

154. Fie ecuaţia 9x2 - 6mx - (3m + 2) = O, m e R. Să se determine valorile întregi ale lui m pentru ca ecuaţia să aibă rădăcini raţionale. Stan Sava - Etapa localtJ, Constan/a, 1985

155. Să se determine a şi b, ştiind că a+ b .::.. _ 12 şi rădăcinile ecuaţiei întregi.

+ ax + b = O sînt

x2

Ion Cristian Andrei

156. Se consideră polinomul / e Q [x], f = ax + bx + c + d(x + + x + 1). Să se arate că nu există numere raţionale a, b, c, d astfel încît 3d + 2a + c să fie număr raţional cu numitorul diferit de 1 şi polinomul 2

2

f

să

ia valori întregi pentru orice x

e

Z.

Rnista „Matematica'' - Bulgaria, 1983

157. Să se demonstreze că există o singură funcţie/: R-R. f(x) = ax 2 + bx + c, unde a, b, c e R şi a 'F O, astfel încît a, A, P, S să fie numere întregi consecutive în această ordine.

=

Etapa

19

judeţeană

- 1983

158. Fie T = x2 + ax + b un trinom care admite ca rădăcini numere întregi. Să se arate că dacă c este întreg, astfel încît T(c) == 13, atunci max {T1c-11, T1c+11} = 28. Dorei Mihe/ - Etapa judeJeanil, 1982

159.

x2

+ ax -

se determine numerele a, b e R, O < b :;;; a astfel încît 2b = O să aibă ambele rădăcini întregi.

Să

ecuaţia

Constantin Caragea Să

160.

x2

-

se determine numerele naturale a şi b, astfel încît aibă rădăcini întregi.

+ a + b = O să

abx

ecuaţia

161. Fie ecuaţiile ax2 + bx + c = O şi cx2 + bx + a = O, a, b, c e R*, astfel încît ambele ecuaţii au rădăcini raţionale x1 , x2, respectiv x3, x 4 • Să se arate că dacă numărul n = x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 este natural, atunci acesta nu poate fi decît 4. V. Dndil Să

162.

se determine a şi b întregi astfel ca ecuaţia: + (bx - a) 2 = x să aibă o rădăcină întreagă.

(ax - b) 2

M. Becheanu - Etapa pe /aril, 1986

163. Dacă trinomul de gradul al doilea ax2 + bx + c, ia valori întregi pentru orice x întreg, atunci 2a, a + b şi c sînt numere întregi şi reciproc. Olimpiada polonezil, 1951

164. Fie ecuaţia: x2

x(a

-

+ b) + a + b2 = _:, unde 2 2

a, b

e

a) Să se rezolve ecuaţia considerînd că necunoscuta este a. b) Să se arate că ecuaţia are cel puţin o rădăcină întreagă numai dacă a2 + b2 = _:.

R. dacă şi

2

c)

Să

se determine a

şi

b astfel încît ambele Laurenţiu

165. Dacă coeficienţi

!.. , p q

e

166. Dacă

!.. , p q

e

fie întregi.

Panaitopol - Etapa finalil, 1985

N, q e Z* este o rădăcină raţională a ecuaţiei cu

+ bx + c = O,

întregi ax2

rădăcini să

a :/: O, atunci

PI c

şi

q/a.

N, q e Z* este o rădăcină raţională a ecuaţiei cu

întregi ax2 + bx + c = O, a :/: O, atunci : 1) p - qja + b c şi p + qja - b c; 2) p - mqjam 2 + bm + c, ( 'v') m e z.

coeficienţi

+

+

167. Fie ecuaţia ax2 + bx + c = O cu a, b, c e {O, 1, 2, ... , 9}, a:,/:0 astfel ca numărul abc să fie prim. Să se arate că ecuaţia nu are rădăcini raţionale.

168. Fie ecuaţia (m + l)x2 - (2m + l)x - 2m = O, m :/: -1. 1) Să se determine valorile întregi ale lui tn pentru care ecuaţia are rădăcini întregi. 2) Să se determine valorile raţionale ale lui m pentru care ecuaţia are rădăcini întregi. 20

+ bx + c = O şi cx2 + bx +a= O, cu a, b, c eR"'. 1) Care este legătura dintre rădăcinile ecuaţiilor de mai sus ? 2) Să se arate că dacă rădăcinile sînt reale şi ac> O, atunci lx1 + + x2 + x3 + x 4 I ;., 4, unde x 1, x2 sînt rădăcinile primei ecuaţii, iar x3, x 4 rădăcinile ecuaţiei a doua. 169. Fie ecuaţiile ax2

170. Să se determine numerele naturale a, b, c astfel încît ecuaţiile ax + b = O, x2 - bx + c = O, x2 - ex + a = O, să aibă simultan rădăcinile întregi.

x2

-

I. Cucurezeanw

171. Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi exprimate prin numere întregi. Dacă ecuaţia: x2 + (a 2 + b2 + c2 + l)x + ab + bc +ac= O are rădăcini întregi, atunci triunghiul este echilateral. I. Cucurezeanw

172. Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi exprimate prin numere întregi. Dacă ecuaţia: x2 + (a + l)x + b - c = O are rădăcini întregi, atunci triunghiul este isoscel. I. Cucurezeanu

173. Fie.a, b, c lungimile laturilor unui triunghi exprimate prin numere întregi. Dacă ecuaţia x2 + (2ab + l)x + a 2 + b2 = c2 are rădăcini întregi, atunci triunghiul este dreptunghic. I. Cucurezeanu

174. Fie / = ax2 + bx + c un polinom cu coeficienţi întregi. pentru orice n e N* există Cn e Z astfel încît n 1/(c,.), atunci/ are cinile numere raţionale.

Dacă rădă­

Marius Cavachi

175. Fie a un număr întreg par şi x 1, x 2 rădăcinile ecuaţiei x2 + ax+ + 1 = O. Să se arate că pentru orice întreg k, numărul x~ + x~ este un întreg prim cu a 2 - 1. I.· Cucurezeanu

176. Să se determine toate valorile reale ale lui m pentru care există un triplet unic (x, y, z) care satisface relaţiile: x + y + z = x2 + 4y2 şi x + 2y + 3z = m. 177. Să se găsească cea mai mică valoare a lui x pentru care există numerele reale y, z care satisfac egalitatea x 2 + 2y2 + z2 + xy - xz -

-yz

=

1.

178. Numerele x, y, z satisfac relaţia x2 + 3y2 mai mare valoare a expresiei : 2x + y -:-- z ? 179.

+ z = 2. 2

Care este cea

Să

se determine a, b e Z* astfel încît ecuaţia x 2 - (a2 + b2 )x + ab = O să aibă rădăcini întregi.

180. Fie

ecuaţiile:

ax2 + bx + c = O, bx2 + ex + a = O, cx2 + bx +a= O, 21

unde

a, b, c

e

R*.

1) nu au 2)

Să se arate că dacă acelaşi semn.

cele trei

Să se arate că există aibă soluţii reale.

a, b, c

ecuaţii e

au

soluţii

reale, atunci a, b, c

R* astfel încît cele trei Etapa localt'l,

ecuaţii să Argeş,

1981

181. Fie polinomul P = x2 + bx + c e R[X]. Să se arate că: a) Dacă rădăcinile x1, x2 ale lui P sînt reale, atunci lx1 I < 1 şi lx2 I < 1 dacă şi numai dacă au loc condiţiile : Ic I < 1 ; 1 + b + c > O; 1-b + C > 0. b) Dacă rădăcinile x1, x2 ale lui P nu sînt reale, atunci lx1 I < 1 şi lx11 I < 1 dacă şi numai dacă are loc condiţia Ic I < 1. Admitere, Fac. matem.,198!>

22

Cap. li

FUNCJII DEFINIŢII PROfRIETAŢI

I. Fie J c R, interval şi /: I - R. I) a) funcţia / este (strict} crescătoare pe I dacă ( 'v') x, y e J, x < y => => (J(x) < f(y}) f(x) :::;; f(y}, b} funcţia/ este (strict) crescătoare pe I, dacă sensul inegalităţii dintre oricare · două valori ale argumentului se păstrează pentru valorile funcţiei,

c) funcţia/ este (strict} crescătoare, dacă ( 'v'} x #= y => lf(:x) respectiv

f(:x) - /(y) ;;,: :X -

"-

O.

f(y)

,,

>

o),

,,

2) a) funcţia f este (strict} descrescătoare pe I dacă ( 'v') x < y => (f(x) > > f(y}), respectiv f(x} ;;,, f(y), b) funcţia / este (strict) descrescătoare pe I dacă sensul inegalităţii dintre oricare două valori ale argumentului se schimbă pentru valorile funcţiei, c) funcţia/ este (strict) descrescătoare, dacă ( 'v') x #= y => (f(:x) - f(y) < respecth· /(:x) Fie/: A-

A 3) a)

/(y) :::;;

" - ,,

O.

•-y B şi g: B->-

o),

C, atunci g of: A-C

.... B

f

~ lg &'o./ ._.! C

Dacă/:

A- B, g: B-C, h,: C-D, Iz o (g of)= (hog) o Iz, (asociativitatea c~mpunerii funcţiilor). ~c) Dacă/ şi g sînt Înversabile,tatunci (goJ)-1 =J-1 og-1 •

b)

a) b) c) d)

II. Fie/: R-R, funcţia / este pară dacă /(-x) = J(x), ( V) x e R, funcţia / este impară dacă /(-x) = ~J(x), ( 'v') x e .R, graficul funcţiei/ are axă de simetrţe dreapta x = a, dacă f(a + x) = = /(a - x) sau J(x) = f(2a - x), graficul funcţiei / are centru de simetrie punctul A (a, b) dacă f(x) + /(2a - x) = 2b.

III. Fie/: R-... R şi T > O. 1) Funcţia f este periodică dacă /( ~ + T) = /( x), ( 'v') x e R. 2) Cel mai mic număr pozitiv T O (dacă există) se numeşte perioadă principală.

3) f(x

+ kT)

=/(x), ('v') x e R, ('v') k e Z*.

23

a)

b)

c)

d)

IV. Fie/: A-B. 1) Funcţia/ este injectivă, dacă ( V} x, y e A, x =/: y => f(x) #: f(y). 2) Funcţia/ este injectivă, dacă din /(x) = /(y) => x = y. 3) Funcţia f este injectivă, dacă orice paralelă la axa Ox intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct. 4) Funcţia/ este injectivă, dacă ( \f) y e B, există cel mult un x e A. astfel încît j(x) = y. Funcţia/ este surjectivă, dacă ( V) y e B, (3) x e A, a.î. j(x) = y. 2) Funcţia/ este surjectivă, dacă f(A) = B. 3) Funcţia f este surjectivă, dacă orice paralelă la axa Ox, dusă printr-un punct al lui B, intersectează graf.icul funcţiei în cel puţin un punct. . 4) Fun 1 /(2) = 3, x", (V) x e R, a=/: b, n impar.

= {2x -

- x)

=

3,

+ 3,

2. Fie/: R*-R, astfel încît / (x) Să

+

3/(-;J = x

2•

se determine /(2). 3. Să se determine funcţia /: R- R care satisface relaţia 3/(x) - 5/(-x) = 2x2 + 24.x + 4, (V) x e R.

4.

Să

se determine funcţiile /: n- R care verifică inegalităţile f(x + a) ,E;; x ,E;; f(x) + a, (V) x e R şi a e R*, dat.

5.

Să

se determine funcţiile /: R- R pentru care /(ax+ b) ,E;; ax ,E;; /(ax)+ b, (V) x e R, b numere reale date, a =I: O.

unde a

şi

V. Chtria,;

8. Să se arate că funcţiile J, g: R-R care verifică simultan condiţiile 1) 2/(x) /(1 - y) g(x) - g(y) = 3(x 1) 2 - 6y, ( V) x, y e R, 2) g(O) = O, sînt egale.

+

+

+

7. Fie/: n-n o funcţie astfel încît af(x) + bf(I - x) unde a, b e n, a+ b "F o. . 1 Să se arate că: 1. /(x) + /(1 - x) = - - , (V) x e R.

=

X,

{V) xeR„

a+b

2. Dacă a =/: b, atunci f(x)

= -a -1 -b 26

x-

_ b _ , ( V)

a• - b1

x

e

R.

8.

Să

se determine

funcţiile

+ a) =

/(ax+ b)f(bx

/: R-+ R cu proprietatea

x, (V) x e R, unde a, b e R sînt fixate.

9. Fie /: R - {O, 1}-+ R o

funcţie

care satisface

relaţia

:

/(x)+/(x~l)=l+x, (V) xeR-{0,1}. Să

se determine

funcţia

/. OlimpiadiJ U.R.S.S.

10.

Să

relaţia

se determine /: R - {± 1}-+ R care satisface

f(x) -f(x+ 3 )-J{x- 3 J= 1-x

lx+l

(V)

X,

X e

:

R - {±1}.

I. Ursu, Etapa localtl, Tg. JI•

11. Să se determine funcţiile /: R-{o,± I, 2, ¾}-R pentru care/(x) - _x_fl l - 2-) = (V) x e R -{o, ±1, 2, 2-}. 1-x I 2 1-,

1

x+I

x

Aurelia CataniJ

12.

Să

se determine

/{x:

funcţiile

+ f(x) = ~ -

1)

/: R - {O, 1}-+ ll pentru care

+ 1,

x

( V) x

e

R - {O, 1}.

Teodor DiJneţ, Etapa finaliJ, 1983

13.

Să

se determine

f(x} (unde [ ] şi { } a lui x}.

funcţiile

+ /([x]}

reprezintă

/: R-+ R care satisfac egalitatea l

· /({x})

partea

= x,

întreagă

(V} x e R

a lui x, respectiv partea zeci-

mală

14.

Să

se determine

xf(x}

+

fu,ncţia

/: R - R cu proprietatea :

(1 - x}/(-x}

=x+

1, ('v'} x e R. Etapa locald, Gii1rgiu, 1984

15.

Considerăm funcţiile·/:

1. ./3(x} - xj2(x)

2. g3(x) - xg2 (x) Să

se arate 1. /(3) = 3. 2. Există a

+ j(x) = 3(x + g(x, = (4x -

relaţiile:

g: R-+R care satisfac 1} - /(2x - 3), ( 'v') x

3) - g(3x - 3), ('v'} x

e

e

R. R.

că

R astfel încît g(a) = a? 16. Fiind dată funcţia/: R-+ R,f(x} = x2 + 1, să se determine funcţia de gradul întîi g : n--- R astfel încît g(x) =_2x_ + g(-x) şi (g o /)(x} = x2, ( 'v') x e R. e

Etapa

27

locală,

Giurgiu, 1984

f: R-R,

funcţia

17. Fie

a1 }(x - a 2} + (x - a2 )(x - a 3 ) + (x -· a3 )(x- a 1), a 1 , a2, a3 e R Să se arate că dacă f(x) ~ O, ( 'v') x e lt, atunci a 1 = a2 = a 3 • Generalizare.

f(x)

= (x -

Vlad Boskoff, Etapa

18. Fie /: R-R, f(x) = (x - 1) 2 + (x - 2) 2 Să se arate că f(x) ~ (n - l){n + l), ('v') x e n.

locală

Constanţa,

-

+ ... +

1984

(x - n) 2 •

12

G.Af. nr. 9/1981

19.

Să

ştiind că

se determine funcţia/: R-+ R f(x) = max (x2 +ax+ b, x2 + bx + a), a ,fi b graficul funcţiei trece prin punctele A(-1, 5) şi B(2, 9). RMT nr. 1/1981

+ d ,fi O,

20. Dacă ex

a> O, atunci nb

( 'v') x

„ a- bk [O, 1] şi ~ c + dk

e

= O,

n ~ 2 şi

[a, an].

e

Mircea Popovici

incit

21. Fie f: R- R o

mf(x) Să

funcţie

cu proprietatea

+ nf(-x) = {-; + ;:

se determine/,

ştiind că

/(3)

=4

şi

că există

m, n

e:

R astfel

~:~! : ; ~: /(-3)

=

-2. V. Chiriac

funcţia polinomială

22. Fie f(x)

=

X'" -

13%'"- 1

10%'"- 2

-

+ 4X'"- 3 + x3 -

l4x2

+ 4x + 1.

Să se calculeze /(7 - 3,Js),

23. Fie /: R - R dată prin l(x) = Ix + 1 I + Ix + 21

+

Ix

+ n I-

Arătaţi că

1

2

cea mai

+ Ix + 3 I + .. · + Ix + n - 1 I + m(m + 1) (m + 2) (m + 3), unde m e N* şi n e 2N*.

mică

valoare a lui/ este

diferită

de zero. Adrian Ghioca

24. Să se determine funcţiile f: R - R pentru care 1((1 - t)x + ty) ~ min (f(x),f(y)), (V) x,y e R, (V) t e (O, 1). Ovidiu Pop

25. Să se arate că dacă funcţia J: R _,,.n satisface a) (3) M e R astfel încît l(x) ~ M, (V) x e R,

b)

1( ; ) ~ /(~)/" , (V)

(V)

X

E

x e R, unde a e

Ii., a

condiţiile:

fixat, atunci /(x)

~ a,

R. Cornelia GuJan

28

26. Fie/: n-n. Să se arate că: 1. dreapta x = a este axă de simetrie a graficului funcţiei, dacă şi numai dacă J(x) = f(2a - x), ('v') x e R, 2. dacă graficul funcţiei fare două axe de simetrie, atunci f este periodică,

şi

3. punctul A (ţi, b) este centrul de simetrie al graficului numai dacă f(x)+ f(2a - x) = 2b, ('v') x e R.

funcţiei, dacă

27. Să se determine funcţia f: R- R ştiind că af(-x 2) bf(x 1) = mlx - 21 3x, unde a, b e R sînt constante ce urmează a fi determinate, ştiind că /(O)= -2, /(3) = 3, iar m e R - {-1, 3}. Să se precizeze o valoare a parametrului m pentru care funcţia este bijectivă.

+ +

+

+

Etapa localiJ, Alba Iulia, 1988 Să

28. să aibă

se determine loc egalitatea : 2/(x)

+ f(-x) = {

29. Să se arate reali, astfel încît 2x

dar nu

există

f

funcţia/:

R-R, astfel încît pentru orice x

-x - 3 pentru x x 3 pentru x

+

că există două funcţii

2

cu

coeficienţi raţionali

1.

('v') x

şi g

coeii.cienţi

cu

R, proprietate.

e

această

cu

R

1,

polinomiale f

+ 1 + (3x + 1)/(x) = g (x),

şi g

:Iii,;

>

e

Maria Elena Panaitopol

30.

Să

se determine

mulţimea

funcţiei

valorilor

J:R-R; f(x)

~+2 =--. ~+l Etapa

Să

31. Fie/: R-R, j(xJ se determine Im/.

=

.Jx2 + x + 1 -

+

şi

,.Jx

finală,

1976

x-1.

2 -

+ ... +

32. Fie /(x) = (ax - a 1) 2 (ax - a 2) 2 tax - a,.) 2 cu a ,t, O a, e R, i = 1, 2 ... n. a) Să se arate că valoarea minimă a lui / nu depinde de a. _ b) Dacă af al a! = 1, atunci a 1 a 2 a„ :Ei,; .Jn.

+ + ... +

+ + ... +

33. Să se arate că dacă f: R-R satisface relaţia f(x + a) =J(x) + b ('v') x e R cu a şi b reali fixaţi; a ,t, O, atunci J se poate scrie ca sumă a două funcţii, una periodică şi alta liniară. 34. Fie f: n- R o funcţie cu proprietatea 9

f(f(x))

= (~ + l)(x&; x' + 2~ + 1)

('v')

X e

R.

Să se arate că există un număr real unic a, astfel încît j(a)

29

=

a.

35. Fie/: R-R o f(x Să

că

se arate

/ este

funcţie neconstantă

+ y) =

f(:1)

+ f(y)

1 + /(:,) ./(y) '

impară şi că

/(R)

c

care satisface egalitatea

(V) x y

R.

e

' ( -1,

38. Să se găsească funcţia/: R-R+ care 1. f(x)f(-x) ~ 1 (V) x e R, 2. (3) m, n e N* astfel ca nf(x) + mf(-x)

1). îndeplineşte candiţiile:

= m + n,

(V) x e R.

G.M. ""· 9-10/1982

37.

Să

se determine toate funcţiile/: R-R care satisfac x2.f(x) +/(1- x) =2x- x 4 (V) x e R.

relaţia

Olimpiada Austria, 1985

o

38. .Să se arate că orice funcţie/: funcţie pară şi una impară.

39.

Să

n- R se poate scrie ca o sumă

dintre

se determine funcţiile/: R-R care satisfac relaţia af(x - 1) + b/(1 - x) = ex, unde a, b, c e R.

40. Fie a, b, c e R, nu toate egale şi astfel încît a + b + c #: O să se demonstreze că pentru .orice funcţie g: R - {O, 1} -R există o singură funcţie /: R - {O, 1}-R care verifică relaţia: ai(x)

+ bf(" ~ 1 ) + cf ( 1 ~ xJ= g(x),

(V) x

eR -

{O, 1}. Cornelia

Guţan

-{± ¾}-n care satisface relaţia {V) x R -{± 2-}.

41. Să se determine func;ţia /: R f ("1-+3:,1 ) = x - f(x),

e

3

Matematica - Bulgaria, 1989

42.

Să

se determine funcţiile /: R- R+ cu proprietatea f(x)f(x + 1) = f(x) - f(x + 1), (V) x e R.

• / 43• F 1e

1,Q

: \,

' +-X + oo)-R,f(x) =X - 1. 1

(x

+ 1)•

Să

se arate că dacă a, b, c sînt lungimile laturilor unui triunghi, atunci J(a), f(b), f(c) sînt lungimile laturilor unui triunghi ascuţitunghic. Constantin Ca„agea, Etapa locald -

«.

Să

se determine

f(x) 45.

Să

f: R- R

C-ţa

1985

astfel încît

+ f([x]) + /({x}) = X,

{V)

X E

R.

se determine funcţiile f: R- R care satisfac relaţia J(a + x) - f(a - x) = 4ax, unde a e R, fixat. Marina Doina

30

46. Fie /: R-. R o /(x)·=

funcţie definită

.

E

a„ sin (x

11-1

.Dacă

f(O)

=

O şi (3) x 0 =/: k~, k

+b

astfel .

unde 'a„b„

11 ),

Z astfel încît j(x0 )

e

e

B.

=

O. atunci f

= O.

47. Fie j: R-.R

= 1 + a cos x + b sin x +_ c cos 2x + d sin 2x. că dacă f(x) > O, (V) x e R, atunci J(x) < 3, (V)

J(x) Să

se arate

x e B.

Matematica

4-8.

Să

funcţiile

se determine toate

cu proprietatea că .f2(xJ f ( l •

1

- ") = +"

rlşcole, 1fJ89'

J:B-{0,±1}-.R- {0,±1}

64x, (V) x

.

e

R - {0,±. l},

.

Olimpiada Amel'ieano-IberictJ, 1fJ81

Să

49. Fie o funcţie crescătoare J: [a, b] - [a, b]. a< b. se arate că există c e [a, b] astfel încît f(c) = c. Lema lui Knaster

50. Să se determine funcţia f: R - {O, 1}-.R, care

verifică

relaţia:

j(x)

+ f{-1- ) =

x, (V) x

e

R - {O, l}.·

1- "

Concurs Polonia - 1fJ89'

51. Fie n j,.(x)

e

N*

şif,.:

(k

+1-

= A

[O, 1~- [O, 1] nx)

V: +

A+ 1

- :E:; X :E;; - - , n n Să se demonstreze litatea

că există

IJ(x) - j,.(x)

I

:E:;

o

= 0, 1, 2,

unică funcţie

~-.

4'\ln

k

(nx - k)

(V}

X e'

V

1

11 :

pentru

, , . , n - 1. ·

f pentru care are loc inega-

ro. l] şi

(V) n

e

N*.

52. Fie j: B-.R o funcţie cu proprietatea că există n e N, impar„ astfel încît f(xn) + f'(x) = 2, (V}x e R. Să se demonstreze că există a e R pentru care ecuaţia j(x) = a are cel puţin trei rădăcini reale, distincte. Titu Andreescu

53. Fie o funcţie care satisface în fiecare punct x al - intervalului maxim de definiţie I, egalitatea intervalul I.

Vx -,Jx + J(x)

= f(x). Să

se determine J

Concurs „Gh.

31

şi

Ţiteica" 1fJ81

§ 2. DETERMINAREA UNOR FUNCJH

t.

Să

se determine

f(x

funcţiile

/: R- R care satisfac

+ y) + 2/(x -

=

y)

relaţia

:

3/(x) - y.

Gheorghe Andrei, Etapa local4, ConstanJa, 1981

2.

Să

se determine

xf(y)

funcţiile

+ yf(x) = 2/(x · y)

Mircea Trifu

3.

Să

J(x 2)

/: R- R cu proprietatea :

şi

se determine /: R-R care -

J(2xy) + J(y 2)

( V)y, x

R.

e

Florin Vulpescu -Jalea, Etapa local4, Giu,giu,1980

= 2x2 -

verifică relaţia:

4xy + 2y2 + 5; ( V) x, y

e

R.

-'· Se consideră funcţia/: [O, 1]- [O, +oo) cu proprietăţile: a) /(1) = 1, b) (V) x,y e [O, 1] cu x ~ 1 ~J(x) +f(y) :!;,.f(x +y).

+Y

2.x, dacă x

Să

se demonstreze

că

f(x)

~

11 , dacă x

1] [o, {].

e [{

e

,

C. Ursu

5.

Să

se determine

f(x

funcţiile

/: R- R cu proprietatea :

+ y) = aYj(x) + f(y),

(V) x, y

e

R (a> O, a :f, 1). Marcel

Să

Chiriţ4

6. Fie/: R-R, f(x,y) = xy - a(x + yJ + a2 + a. se arate că dacă (x, y) e (a - 1, a + 1) atunci/ (x, y) e (a - 1, a + 1). C. Joiţa şi N. Joiţa

7. Se

consideră funcţiile

crescătoare şi funcţiile g şi Demonstraţi că

f(x) g(y)

/, g, h: [a, b]- (O, +oo), unde/ este strict h sînt strict descrescătoare.

= f(y) g(x)

dacă şi

numai

f(x) h(y) =J(y) h(x); (V) x,y

dacă

[a, b].

e

Etapa local4, Craiova, 1987

8. Fie /: R- R astfel încît

există

a

e

R pentru care

f(x + y + a) =J(x) + f(y) + J(a) (V) x,y Să

se arate că f(x

+ y) = f(y) + J(x)

( V) x, y

e

e

R.

R. Laurenţiu

9. Fie/: R-R o funcţie cu proprietăţile 1) J(x) :!;,. x, (V) x e R, 2) f(x + y) ~ f(x) + f(y), (V) x, y e B. Să

se determine funcţia /.

32

Panaitopol

f: R-+- R

I O. Să se determine funcţiile f(x

+ y)

~

f(xy), (V)

care satisfac relaţia

y

X,

R.

E

G. G. N iculesc•

11. Fie

funcţia

/(1) = O şi

f: R

- {O, -1 }-+- R cu

!(=-) = y,

f(x) - !_ f(y), (V) x k

şi

a) b)

Să

proprietăţile

k

e

R - {1, O}, x #= y

Z-{±1,0}.

e

se exprime f(X") în funcţie de f(x) pentru (V) n se arate că f nu este injectivă.

Să

e

Z*.

G.M. Nr. 7/1981,

12.

Să

se determine

f(x) • f(y) = f(x

13.

Să

f2(x

+ y) + f2(x -

se determine

f: R-+- R

funcţiile

+y

care satisfac

- xy), ( V) x, y

funcţiile

e

/: R-+- R care

R

Să

/(1) #= O.

verifică relaţia

y) + 2(x + y) J(x - y) + 2(x - y) f(x - 6x 2 + 2y2 = O, ( V) x, y e R.

14. Să se determine toate funcţiile/: R-+- R cu a) (/ of)(x) = X, (V) X E R. b) f(x), + f(y) ~ x + y, (V) x, y e R. 15.

şi

relaţia

se determine

funcţiile

f(x - y)

= f(x)

f: R-+- R

e

+ y)

-

proprietăţile

care satisfac

· f(y), (V) x, y

:

relaţia

:

R.

16. Fie /:R-+R, astfel încît f(x +Y) =P(x) +f2(y), (V) x,y toate funcţiile care satisfac relaţia dată.

e

R.

Determinaţi

Marcel Chiri/t'l, Etapa localt'l, Buc. 1.981,

17. Fie/, g : R-+-R

două funcţii

f(x) = (x - y) g(x) Să

se arate

că g

este

cu proprietatea

+ f(y),

constantă şi că

( V) x, y

f este

funcţie

e

R.

de. gradul întîi. G.M. nr. 2-3/1982

18.

Să

f(x) · f(y) = f(x)

19.

Să

se determine

xf(y) 20.

Să

funcţiile

+ yf(x) =

se determine

+ f(y) + xy (x

Să

I=

1, (V) x, y

f: R-+ R

f:

1, ( V) x, y 33

e

R.

care satisfac

· f(y), {V) x, y

e

care satisfac

+ 1,

relaţia 1

R. relaţia

:

R. R-+ R cu proprietatea :

- x 2 - y2

funcţiile

relaţia,

R-+R care satisfac

f: R-+- R

+ yf(y)

se determine toate

lf(x) - f(y)

nenule

+ y)f(x)

funcţiile

J(x) · J(y) - xy = xf(x) 21.

funcţiile/:

se determine toate

e

(V) x,y

R, x =I= y.

e

22.

Să

funcţiile

se determine toate

polinomiale pentru care

f(x+y) =f(x) +j(y) +2xy-1, (V) x,y eR. Marcel Chin/I

23. Fie f(x

funcţia

/: R-+ R care satisface

+ y) -

f(x)

constantă şi /(1)

24.

Să

=

5.

Să

=

axy

funcţiile

+ y) = 1

şi

expresia

funcţiei

pare/: R-~ R care satisfac

+

f(x) f(y) ( V) /(x) • f(y) '

+

:

V) x, y e R, cu a e R

(

se determine valoarea lui a

se determine toate j(x

+ 2y2,

relaţia

x y

e

relaţia 1

R.

'

Olimpiada Mangalia -

25.

Să

funcţiile

se determine

~

y1/(x)(j(x) - 2x)

condiţia

/: R-- R care satisfac

(1 - xy)(1

+

j.

xy), (V) x, y

198$

:

R.

e

Mihai Piticari, Olimpiada local4, Suceava, 1984

26. Să se determine funcţia /: R-+ R care satisface proprietăţile :

a) f(x) b) /(1)

+ f(y) =f(x + y), =

c) x!f(:}=f(x), (V) x

27.

Să

se determine

j(x)

28.

Să

(V} x,y

e

R,

1,

f(xy)

R*.

funcţiile/,

+ j(y) + g(x)

se determine

e

- g(y)

g: R-+ R care satisfac

=

funcţiile/:

+ f(xz)

sin x

+ cosy,

(V) x,y

R-+R care satisfac

- f(x) f(yz)

> 1,

relaţia

(V) x, y, z

e

e

relaţia:

R.

Etapa

29. Fie/: (a, oo)-+R, (a > O) o funcţie astfel încît g(x) = f(:1) este descrescătoare. Să

" + y)

se arate d f(x

(adică/

e

~ f(x) + f(y), ( V) x, y este subaditivă).

e

R.

judeţean4,

1988

funcţia

R,

30. Fie /, g : [O, 1]-+ R două funcţii arbitrare. Atunci [O, 1] astfel încît 1/(x) + g(y) - xy I > ~ .

există

x, y e

4

31. Fie /: R-+ R o funcţie subaditivă astfel încît /(-x) ~ /(x) ( V) x e R. Atunci /(x) > O şi 1/(x) - /(y) I ~ f(x - y), ( V} x, y e R. 32. Deternrlnaţi funcţiile /: R-+R care verifică relaţiile /(O) (« e R, fixat) şi f(x + y) = x + f(y), (V} x,y e R - Q.

=

«

M. Cotli/4, Etapa localiJ, C414raşi, 1988

33. Să se determine funcţia continuă/: R-+R care satisface relaţia

f(x

+ y) -

f(x - y)

=

2/(y)

+ 6x y, 2

(V) x

e

R, (V} y e R. Amlret Ion-Cristian

34

funcţie

34. Fie /: R- R o

cu proprietatea

+ y) =J(x) + J(y),

J(x

Să se determine mulţimea 1f finit de elemente.

= {x

(V) x,y

R 1/(x)

e

=

R.

e

x} ştiind că ea are un număr

35. Să se determine toate funcţiile/: [a, b]- [a, b], a, b astfel încît lf(x) - f(y) I ;li: Ix - y I, (V) x, y e [a, b].

e

Etapa local4 -

36.

Să

funcţiile/,

se determine

R, a ,;. b, Galaţi,

198„

g, h: R-R cu proprietatea:

(hogof)(x +Y + z) + (gof)(y + z) + f(z) V x,y, z e R.

=

x + 2y + 3z, Viorel B4,uJ,iM

37. Fie a /(O) :f: O

R.

e

şi

J(x

Să

funcţiile/:

se determine

+ y) = J(x)J (a -

y)

R-R astfel încît

+ f(y)f(a -

x), (V) x, y

e

R.

Balcaniada de matematic4, 1981

38. Fie/: (O, +ooJ-R o f(x)+f(y) 2

Să se arate că

/(x)

funcţie

cu proprietatea

=J(,Jxi), (V) x,y

e

(O,+oo).

+ /:) + /(z) = /(~ xyţ), (V) x, y, z

e

(O, oo).

Generalizare. Marian Dinctl., Concursul revistei din funcţie

39. Fie /: (O, oo)-R o f(x)+f(y) 2 ~ă

D

Timişoara

- 1981

cu proprietatea:

=f( 2"Y ), (V) x,y

e

(O, +oo).

x+y

v /(,r) + /(y) + /(z) se arat e ca·...;...;......;'-"-'-......;...;..;

3

3xyz ) . = f (------

xy

+ yz + zx,

Generalizare. Iftapa

40. Fie A s;; R

şi

/: A - R o

J(x) -f(y)

=

funcţie

locală

- Suceava, 1981

cu proprietatea :

(y- x)f(x)f(y), (V) x,y

e

A.

= R, să se arate că unica funcţie cu proprietatea de mai identic nulă. b) Petru A = R - {1}. Să se determine toate funcţiile cu proprietatea

a) Pentru A

sus este

funcţia

dată.

Concursul interjude/ean „ Traian Lalescu"

41. Să se determine funcţia/: [O, oo)- [O, oo) care satisface 1) J(xf(y)) ·f(y) =J(x+y), (V) x,y e [O, +oo), 2) /(2) = O, 3) f(x) :f: O, (\I) x e [O, 2). Olimpiada

35

Interna/ională

condiţiile,

de matematictl., Varfovia, 1981

42.

Să

funcţiile

se determine

(x - y)(J(x) - f(y))

=

f: R-+ R , cu

+ y)J(x -

(x

proprietatea :

y), ( 'v') x, y

e

R.

Marcel Ch_ir,iţiJ, RMT/81>_

43.

Să

funcţii

se determine toate perechile de

/, g: n- R astfel incit

f(y)- f(x)

y-x

=

g(x

+y),

([, g),

( 'v')

X,

y

R,

e

X

"F y ..

Attila Fu,·dek, Concursul ,ezolvitorilor „Gazetei matematice", 1984

44. Să se determine funcţiile f: R _,,_ R cu proprietatea : f(xy)

+ 5/(xz)

~

J(x)f(yz)

+ 9,

{'v') x, y, z

e

R.

D. M. BiJtine/u - Giurgiw

45. Fie /: R-- R o J(xy) Să

funcţie

+f(y -

cu proprietatea

+

x) ~ f(y

se arate că a) /{x) ~ O, ('v') x e-R. b) Există funcţii neconstante care

x), ('v') x,y

e

R.

verifică relaţi~ dată.

Alexandru Blaga

46. Fie X

c

R o

mulţime finită şi

IJ(x) -f(y) I= Să

Ix - y I, ('v') x,y

că există

se demonstreze

cel mult

există două funcţii ?

In ce caz

/: X-+ X astfel încît e

X cu card. X> 3°.

două funcţii

cu

această

proprietate.

Ctmdtmlin DrugM

47. Fie/: R-+R o

funcţie

f (x) ; f(y)

Să se arate că

/(x)

astfel încît

= J(x ;

x, y

Y ) , { V)

+ !~) + f(z) = / ( x+ : + z),

e

('v')

R.

x, y, z

e

R. Generali.;.

zare. 48.

Să

se determine xf(y)

49.

Să

se xj(x

f: R-+ R

funcţia

+ yj(x)

relaţia

care satisface

- xy =f(x)f(y), ('v') x,y

e

R.

găsească funcţiile

/: R-+ R cu proprietatea

+ y) + yf(y -

= P(x)

x)

+ P(y),

( V) x, y

e

că

B.

L. Panaitopol-Ba,aj -

50. Fie a e R f(x Să

se arate

şi funcţia

f: R-+ B

+ y) = f(x) f(a -

că

/ este

YJ

1911

astfel încît pentru orice x, J e R,

+ f(y) J(a -

x) şi /(O) ·

.!.. 2

constantă.

L. Panaitopol, G.M. 1911

36

51. Fie/: R - R satisfăcînd pţ9prie.tăţile: 1) f(x) = 0, ( 'v') x e [O, 1), 2) f(x + z)-;-- f(x) z, ('v') .x e.R_şi z e Z. se determine funcţia /.

+

Să

Concurs Bulgaria

52. Se consideră funcţia /: R- R cu proprietăţile : 1) f(x + y) = J(x) + f(y), ('v'} x, y e R.

= 1, 3) !(~) = (~) 2) /(1)

Să se arate că

f(x), ('v') x

e

R*.

/(J1990) = Jl990. Matematica v'şcol,

53. Să se arate că cea mai mică valoare pozitivă a funcţiei· J(x, y)=

x• + .r• definită

pentru perechile (x, y) cu x e R, y e R* şi

y

7x2

+ 3xv- + 3:.r•.2 =

1, este

2.. 2 Tabtlra

naţionalii

de matematicit, Baia Mar, -

54. Fie /: R- R o funcţie cu proprietăţile 1) f(x + y) + f(x -y) = 2/(x)/(y), ('v') x,y e R, 2) ( 3) x0 e R* astfel încît /(x 0 ) = -·l. Să se arate a) / este pară şi periodică, b) /(x) e [-1, 1], ('v') x e R.

1989

că:

Mircea Mam,r.

55. Fie /: R - R o

funcţie satisfăcînd condiţiile

: a) Dacă x > y şi /(y) - y ~ v ~ f(x) ....: x, atunci există z e (y, x) astfel încît f(z) = v + z. b) Ecuaţia /(x) = O are cel puţin o soluţie şi printre soluţiile acestei ecuaţii există una care este mai mar~ sau egală decît celelalte. c) /(O) = 1 şi /(1987) ~ 1988. d) Pentru orice x, y e R, f(x)f(y) = f(xf(y) yf(x) - xy). Să s~ determine /(1987).

+

Olimpioda Inumaţionalit - Havan;;. 1987

56. Fie Să

funcţia/:

1° /(1) = 1, 2° f(x) + f(y) se demonstreze

[O, 1)- [O, oo)

+ y),

~ f(x că: a)

f(x) b) este f(x)

şi

care satisface

{'v') x, y e [O, l], cu x ~ 2x, ( 'v') x e [O, 1 ], adevărată inegalitatea ~ l,9x, ('v') x e [O, 1]?

condiţiile

+y

~

1.

Concurs Bulgaria

57. Fie /: [O, 1 J- R cu proprietatea că /(O) = /( 1) = O şi pentru orice x 1 :fa x 2 , l/{x1) - /{x2) I < jx1 - x2 I, Atunci pentru orice x 1, x2 e e [0,1], i/(x 1)-/(x2)I O şi /: R- R o funcţie astfel încît J(x Să

se arate

că

+ a) = .:2 + ..Jf(x) -

/ este

8. Se Să

funcţie

+ T) = !!..2 + '\'Pf(x)

r~al pozitiv iar p dă

se arate

>

a, b

că

e

e

R.

periodică.

7. Fie/: R-R o J(x

f2(x), ( Y} x

- .f2(x}; (Y) x

O dat.

R+

cu proprietatea:

Să

şi/:

,e

arate

e

că /

T es~e u1;1 număr

R, unde est.e

periodică.

R- [a, b], astfel încît

f2(x - a) + .f2(x + a) / este periodică.

=

b2, (Y} x

e

R. Gheorghe Andrei

9. Se dă funcţia /: R-R, cu proprietăţile: a) / este periodică, ·de perioadă principală T, b} /(x} -~ M, ('v'} x e R, c) dacă x e [O, T~, funcţia/ are valoarea numerică M numai pentru X=O. Dacă

g(x}

8 este un

număr iraţional, să se nu este periodică.

= f(x) + f(6x}

38

că funcţia

g : U -.. R,

Dorin Andrica, Etapa locala -

Cluj - 1983

demonstreze

dă

UJ.; Se

e

R*

şi/:

R- [O, 1] astfel încît

+ f2(x + 2a) + f2(x + 3a) + f2(x +Sa)=

P(x) Să

a

că g

se arate

este

periodică,

g(x)

= f2(x)

1, (V) x e R.

+ P(x + 2a). G.M. nr. 10/1984

11. Fie/: n-R o funcţie periodică, de perioadă T, cu proprietatea {J(n) ln e N} este infinită. Să se demonstreze că Teste iraţional.

că mulţimea

Dorin Andrict1

12. Fie /: R- R o st antă.

funcţie periodică şi monotonă.

13. Dacă o funcţie /: R-R nu este injectivă ~ g: R X R- R astfel încît f(x + y) = g(f(x), y), ( V) x, y

Atunci / este conexistă o funcţie e R, atunci/ este

·

periodică.

D. M. BiltineJu - Giurgiu

se studieze periodicitatea funcţiei J: R- R [x], (V) x e R, unde g: R-+ R este o cu proprietatea g(x 0 ) =O~ x 0 e R - Q*.

U.

/(x)

=

Să

g(x)

+x-

definită

prin

funcţie impară

I. Vladimirescu, G.M. 5/1980

15.

Să

se arate că funcţia f: R- R care satisface relaţia J(x + 1) + f(x - 1) = ,../2- f(x), (V) x e R, este periodică.

16. Fie j: R-R o funcţie mărginită şip> O. f(x + p) + f(x - P) = 2j(x), ( 'v')x e R. Să se arate periodică, iar p este o perioadă a lui f. Dacă

că

f

este

G. M. nr. 9-10/1982, Martin Bottesch

17. Fief: R- [O, 1] ce verifică relaţia (*) P(x) + P(x + 2a) + P(x + 3a) + P(x (a e Jl, fixat). Atunci / este periodică.

+ Sa) =

1, (V) x

e

R.

§ 4. BIJECJII

1. Fie oe > O şi /: R-+ R o

1/(x) - J(y) Să

se arate

că

~

care satisface proprietatea :

oe Ix - y I, ( V) x, y

e

R.

injectivă.

n- R

o funcţie cu proprietatea : f(f(x)) = x2 - x + 1, ( V) x e R. se arate că: a) f(l) = 1, b) funcţiile J, g: R- R, g(x) = x2 - xj(x) nu sînt injective.

2. Fie f:

Să

f este

I

funcţie

+

1

Dan Secliiman, Etapa localiS -

39

Dolj -

1983

Să

3. Fie/: R-+R, J(x) = x3 + ax, a e R. se arate că / este bijectivă dacă şi numai Th.

Să

dacă

DtJneţ,

a ; ; : . O. Buciireşti,

Etapa local,J -

4. Fie /:R-+R astfel înci"t (Jof)(x) = -x, {V) x se arate că : a) / este bijectivă, b) f nu este strict monotonă, c) /{O)= O.

1986

R.

e

Prahova, 1986

Etapa localtJ -

5. Fie J: [-1, l]-+ [-1, 1], J(x) = ax2 + bx + c, a, b, c e R, a;&O 1) Să se arate că -2 ~ a ~ 2 şi a2 + c2 ~ 5. 2) Să se determine valoarea maximă a lui a astfel încît / să fie

injectivă.

3)

Să

Dacă a = --~. Să se. determine b şi c astfel încît / să fie surjectivă. 2

6. Fie/: (O, oo)-R, astfel încît: 1) f(x · y) =J(x) + f(y), (V) x,y e (O, oo) 2) J(x) ;& O ('v') x e (O, +oo) - {1}. se arate că / este injectivă. G. M. Nr. 1/1983

7.

Să

se arate

că

nu

există funcţii

/{4")

+ /{3") =

injective /: R- R cu proprietatea

1, {V) x

e

R.

se arate că nu există funcţii injective/: R-R care satisfac : a) (fof)(x)= lxl, b) (/ of)(x) = ax1 + bx + c, a;& O, a, b, ce R, c) f'(x) + J(x) + 1 ~ 3/(x2 - x).

8.

Să

condiţiile

9. Să se arate că nu există două a) (fog) (x) = x2, ('v') x e R, b) (g of) (x) = 2x, {'v') x e R.

funcţiţ

/, g: R-R astfel încît

Aurel Em,

10.

Să

se determine

f(f(x) + y)

11.

Există funcţii

3f3{x5

-

funcţiile

= /(x +

injective /: R-R astfel încît:

y) + /(O), {V) x, y

e

R.

injective f: R- R cu proprietatea

x 4 + x3) - J2(x5

-

x' + .x?)

~

că

:

J4(x) + 4? (V) x

e

R.

D. M.

12.

Să

Bătineţu

se demonstreze că nu există funcţii bijective /: (O, oo)- {O, oo) astfel încît J(x) + f(x + y) = y, ( 'v') x, y e (O, +oo). R.M.T. nr. 1/1981

40

13.

Să

se demonstreze

x !( ) nu este

=f

l-

că,

oricare ar fi a, b

R*

funcţia

bijectivă.

Există funcţii

Mogoşanu,

Timiş

El!Jpa)ocaltJ -

-

/2.(x) ;;;i.

1 4 , (V)

x

R?

e

Titu Andreescu, Etapa

15. Fie /: R-+ R o

f(f(x)) injectivă. Să

funcţie

=

Să

afle

1981,

x, (V) x

e

R

şi

g(x)

= x + f(x)

se determine/. Determinaţi funcţiile

/: Z-+ Z

+ (-l)"P -2][/(x) +f(y)] = 2[y + (-1)%p], {V) x,yeZ

se determine

J-1 •

finală

cu proprietatea :

16. Fie p un număr natural nenul. care satisfac relaţia :

J(x)f(y) - { [x

19f3

injective/: R-R, astfel încît

/(x 2 )

este

J: R- R

lax + b I, dacă x ;;;i. O, lbx + c I, dacă x < O Mihail

14.

e

funcţiile

f inversabile care

verifică relaţia dată, şi să

se

I. Olaru

17. Să se arate că orice funcţie două funcţii surjective / 1 2•

= / +/

/: R- R poate fi

scrisă

ca

sumă

,a

18. Se consideră funcţiile/: ({, oo ) - (O, 1) şi g: ({, oo )-(1, 2) astfel

încît g(x) - J(x) = xf(x) g(x) = 1. a) Să se ·demonstreaze că funcţiile/ 1-l(t)

b)

Să

se arate

că

= g-l(t + 1),

J(n)

rei;>rezintă

şi

(V} t un

2-) , (V) n

1 (- - , n+ 1 n

g sînt inversabile E

(O, 1).

număr iraţional e

şi că

din intervalul

N*. G.M• n,-. 12/1984

19. Fie/: A-+ B. Să se demonstreze că următoarele afirmaţii sînt echivalente : a) / este injectivă, b) oricare ar fi E 1 , E 2 c A, E 1 n E 2 = 0 Q /(E1) n /(E2) = 0. Etapa localt'l, Buc. 1985

20. Fie / z R-+ R o funcţie cu proprietatea /(x) • f(y) (V) x, y e R. Să se arate că: a) / nu este surjectivă b) / injectivă ~ /(O) = 1 şi /(x) .,. 1, ( V) x e R*. ~1

= f(x + y)

2f. Se dă funcţia f: R-+ R cu proprietatea : oricare ar fi numerele reale şi distincte x, şi x 2 , există un număr iraţ"ic-11:'J ix, astfel încît /(x 1 ) - /(x 2) = IX. Notînd {/(xr)} = J(xr) - [f(xc) ], partea fracţionară a lui J, să se demonstreze că f şi {/} sînt funcţii injective. G.M. 2-3/1982

Să

22~ Fief: R-+ R astfel încît/ este injectivă şi/(x) /(1 - x) = /(ax + b). se arate că : ('t/) X E R 1) a= O, a, b e R 2) /(1 - b) = 1, 3) / nu este surjectivă. Maria Elena Panaitopol, Etapa

locală

-

Bucureşti

1983

23. a) Să se arate că funcţia f: R ~ R definită prin

f(x) b) Dar g(x)

=

x

=

x + sin x este

bijectivă

+ cos x?

Ştefănescu

Doru

Să

24. Fie J, g : R-+ R care satisfac relaţiile a) IJ(x)-f(y)I ~ lx-yl, ('t/) x,y eR b) lg(x) - g(y) I ~ Ix - y I, ( 'v') x, y e R. se arate că : 1) funcţiile f şi/+ 1Xg sînt injective, oricare ar fi IX e (-1, 1), 2) funcţiile f şi/+ 1Xg sînt monotone, dacă/ este surjectivă, 3) / + 1Xg este bijectivă?

25. Fie /: R-•R o funcţie cu proprietatea că (fof)(x) ('v') x ·e R. Să se demonstreze că funcţia k(x) = f(x) - x nu este

=

x + 1,

injectivă.

Dan Secleman

28. Fie f: R-+ Il o funcţie cu proprietatea f(x + y) = f(x) + f(y), e Il. Să se arate că/ are un singur punct fix dacă şi numai dacă funcţia g: R-+ R, g(x) = f(x) - x este injectivă.

( 'v') x, y

.Marian Diaconescu

f: Il-+ R o funcţie = g(f(x), y), ( 't/) x, y e

27. Fie j(x + y)

neinjectivă şi g : R X Il-+ R astfel încît R, atunci/ este periodică.

D. M.

Bătineţu

- Giurgiu

28. Fie A o mulţime. Să se arate că : a} mulţimea A este finită dacă şi numai dacă orice funcţie injectivă f: Â-+ A este surjectivă, b) mulţimea A este finită dacă şi numai dacă orice funcţie surjectivă f: A-+ A este injectivă. V. Matro;enco, Baraj -

29. Să se determine funcţiile bijective J: R-+ R astfel încît/ fie lipschitziene de ranguri ~nverse.

42

şi

1976

J-1 să

=

30. Fie/: {O, +oo)- {O, +oo) o funcţie astfel încît (Jof)(x) oricare ar fi .x e {O, ex>). Să se arate că: 1) J este bijectivă, 2) .Jl{x) = j(,Jx), oricare ar fi x e {O, CJO). Pal D4ly4y, Etapa

jude/eană,

x1

1982

31. Fie a e R *. Să se arate .că există funcţii bijective/: R- R astfel încît a2J2((a2 + l)x) - 2a/(.x 2 + a 2) + 1 :s;; O pentru orice x e R dacă şi numai dacă a e {-1, l}. Olimpiada de matematictl, Etapa

şi/: X

judeţeantl,

1988

32. Fie A o mulţime finită de numere reale cu cel puţin două element..: A-A o funcţie astfel ca 1/(x) - /(y) I < Ix - y I pentru orice x,y eA

:f,.y.

a) Să se arate că/ nu este surjectivă. b) Să se demonstreze că {3) .x0 e A, astfel ca /{x 0 )

=

x0•

Mihai Piticari, Baraj I, _1982

33.

Să

condiţiile

se determine toate

funcţiile/:

1) J(x ·f(y)) =yf(x), {V) x,y 2) lim/(.x) = O.

e

{O, co)- {O, oo) care

verifică

(O, +oo),

O, b e R. Să se determine funcţiile /: R- (O, oo} descresavînd proprietatea că (fof)(x) = 211/C;r)+b, (V) x e R.

cătoare şi

Valentin Blender.

16. Fie a e R şi/:R-R o funcţie crescătoare pe R, avînd proprietatea că (/o/)(x) = a, ( V) x e R. Să se arate că : 1) / nu este injectivă şi nici surjectivă. 2) f(a) = a, f(x} > x dacă x < a şi /(x) < x dacă .x > a. 3) Există m şi M e R astfel încît m 2 şi a e B*, astfel încît (!of ... of)(x) = x + a, (V) x e B. 11

Să se arate că f o funcţie de gr.

ori

se poate scrie ca o I.

sumă

dintre o

funcţie periodică şi

· Florin Vulpescu Jaka

58. Fie f: R- R cu proprietatea

J(21x -21 + 31x -31 - 4) Să

se arate

că ecuaţia

f(f(x))

= 21J(x) -21 +31J(x)-31-4 = x are cel puţin o soluţie.

(V) x eB.

Concursul Spirt1 Haret, 1986

59. Dacă A este o mulţime finită şi există o funcţie g : A- A fără puncte fixe şi astfel încît g o g = lÂ, atunci A are un număr par de elemente. Dan

§ 6.

1. Fie

funcţiile/, g:

J(n - k)

= }(k)

.

şi g(n - k)

k=O

Să

NUMERICE

[O, n]-B cu proprietăţile:

Să se arate că EJ(k) g(k)

2. Fie

FUNCŢII

Nicuşo„

=

-g(k), (\/) k e {O, 1, 2, ... , n} .

= O.

z- Z care satisface condiţiile > g(a) + g(b), (V) a, b e Z,

funcţia g :

1) g (a+ b) 2) g(l) = g(-1) = 1. se arate că g(O) = O şi g(2) = 2.

3.

Să

se determine nf(n - 1)

f: N - Z l)J(n) = O

funcţiile

+ (n -

cu proprietatea : (V) n e N*. Etapa localit - Giurgiu 1989

,. Fie f şi g : N- N funcţii injective. /(i) > g(i), (V) i e N atunci demonstraţi

Dacă

că

g?Z-Z?

f

= g.

Dar

dacă/ şi

F;,ecuş

5.

Să

Viorica

se determine/: N*-N pentru care f(n

+ 1) -

f(n - 1)

= 4n.

8. Fie /: (O, oo) - B o funcţie crescătoare şi a 1, a 2, astfel încît a 1 • a2 • ••• • a.= 1. Demonstraţi că

••• ,

a.

e

B

a{ > 1. R.M.T. nr. 2/1982

51

pentru orice n e N* · există un singur k· e N• ă.î. k(k - 1) < 2n ~ k(k 1). b) Se conside:ră funcţia /: N*-N*, /(n) = k, unde k(k - 1) < 2n ~ k(k + 1), k e N*.

7. a)

Să Să

Să

că

se arate

+

se arate că / nu este injectivă, dar este surjectivă. . . se determine /(1987) şi x e N* pentru care f(x) = 1987. locală

Etapa

8.

Fiţ

m, n

Craiova, 1981

două

numere întregi prime între ele. z-z cu proprietatea că: /(am + bn) = af(m) + bf(n) ( V) a, b e Z.

Si se determine toate

funcţiile/:

G.M.

9.

Să

funcţiile

se determine f(n

/: N*-N* care satisfac

+ 1) > f(f(n)),

(V) n

11-12/1986

relaţia:

N*.

e

0.1.M. Belg,ad 1911

10. Fie/: N-N, crescătoare. f(n + 2) ~ 1 + f(n), ( V) n e N, încît /(n 0 ) = n0 • Dacă

să

se arate

că există

Do,el Mike/, Concursul „Revistei din

11.

Să

se determine

funcţiile

f: N- N care satisfac

=

J(f(n))

1~. Fie /: Z- Z o

funcţie

f(n) Să

se arate

=

{

că

f(n)

=

n 0 e N astfel Timişoara"

1984

relaţia

+ 3.

n

cu proprietatea·:

n - 10, n > 100, f(f(n + 1)), n ~ 100. n l•91,

10, n

>

100,

n ~ 100.

13. Să se determine funcţiile strict monotone f: z- Z cu proprietatea J(xy) = f(x) f(y),( V) x, y e Z şi ( 3) k e Z cu lk I ;ii. 2 astfel încît J(k) = k. că

D. M.

Bătineţu

- Giu,giu, I. V. Mafiei, Et.

finală,

1984

14. Să se deternµne toate funcţiile bijective J i N*- N* pentru care şirul (an),.., 1, a,.

= _n_ este J(n)

crescător.

Marius Burtea, Etapa

-15.

Să

se determine toate

a) /(O) b) J(x)

funcţiile

= 1, = .../J-(x_+_Y)-f{·-x---y-),

- Teleorman, 1984

/: Q- Rţ cu· proprietatea l

(V) x,y

Nicolae Pavelescu, Etapa

52

locală

e

Q.

locală

- Rimnicu Vllcea, 1988

16.

Să

se determine toate

f(x

+ y)

funcţiile

- f(x - y)

=

/~ Q-+ Q care· sattstac egalitatea

2(/(x)

+ f(y) + 1). Pal Dalyay - Baraj, 1975

17. Se J(O)

=

consideră funcţia

1, /(1)

=

/: N--+ N, cu

+ 1)

2 şi f(n

· f(n - 1)

proprietăţile:

= f2(n) + (-1)•,

Săsedemon,strezecă/estestrictcrescătoareşică/(n

N*. +.1)-f(n _,.. 1) =/(n), (V) n

e

(V) ne N*. Titu Andreescu, Concurml S.S.M. 1982

18. Dacă a este nn număr real, notăm {a}= a - [a], partea fracţio­ a sa. Fiind dat m (m ;;,,: 2) un număr natural, să se arate că funcţia 1-+ [O, 1) definită prin:

nară

J

!

este injectivă.

= {m„ .J'i}

f(n)

Constantin Ni/iJ, Etapa judeJeaniJ, 1980

19. Fie f: R-+ R o funcţie periodică, de perioadă T, cu proprietatea N} este infinită. Să se demonstreze că Teste iraţional.

că mulţimea {f(n) ln e

Dorin Andrica R.M.T., 2/1982 Să

20.

se

găsească funcţia

f(f(n))

/: N-+ N cu proprietatea

+ f(n) =

2n

+6

{V) n

e

N.

Cristinei Martici G.M. 6/1987 Să

21.

se determine a) /(4) = 4,

b)

1 /(1)/(2)

funcţia

/: N*-+ R

1

proprietăţile

cu

I

:

/(n)

+ /(2)/(3) + · · · + f(n)f(n+I)

-

f(n+I)

D. M. BiJtinefll, Etapa na/ionaliJ, 1983

22.

Să

J(n)

se demonstreze

=

că funcţia

,oln[.J2n + = O, .J2n dacă n

J -

definită

/: N-+ R

1] dacă n

>

prin

O este injectivă. Etapa finaliJ, 1987

Să

23. Se consideră funcţiile j, g, h : N-+ N cu 1) g şi h bijective, 2) J(x) = g(x) - h(x), (V) x e N. se demonstreze că f(n) = O, {V) n e N.

proprietăţile

:

Etapa finaliJ, 1979

24.

Să

se determine toate

funcţiile

cazurile: 1) J(m) 2) g(m)

= J-1 (m) + 2, = g-1 (m) + 3,

bijective f: Z-+ Z în fiecare din

( V) m e Z, ( V) m e Z. Florin Vulpescu Jalea G.M. nr. 9/1986

53

Să

25. a)

că

se arate

nu

f( of)(x) Să

b)

se arate

g:

z-z

f: z- Z

există funcţii

= x + 1,

că există

('v) x

e

=

z.

funcţii

o infinitate de

astfel încît (g o g)(x)

astfel încît

-x, (V} x

Z.

e

Etapa republicand Cluj. 1988

26. Fie/: N- N o f(m · n) Să

că

se arate

27.

/

=

funcţie

= f(m)

strict

crescătoare

· f(n), {V} m, n

cu

proprietăţile /(2)

N, (m, n)

e

=

= 2 şi

1.

lN .

Să

funcţia/:

se determine a) /(2) = 2,

N*- (O, oo) cu

proprietăţile:

b) tt(k3) =fl(n)f'(n+ 1). 4

l=l

A le:ranrlru SzortJs

28. Fie funcţia/: N* - [O, l}, f(n) = {,Jn(n + 1)} unde {a} reprezintă partea fracţiona:ră a numărului a. Să se arate că: 1 ° / este crescătoare 2° 0,4k 1.

Dacă

2.

Dacă

3. a+~ a I

+ -a

a

4.

I

.;-

2k

~

O< a

>2 ~

b, atunci (am - bm)(an - bn) ;;ii, O,(V) m, n e N,

(V) a >-0,

< O.

-2 ( V) a I

1-

1-

I

1-

< .;-k+ .k-1 ; - = 'Vk

I

- '1,/k - 1,

.2k .;- > .;-· . ; - = 'Vk + 1 k+ k+l 5. -a•+b• 2G.

> (a+b2 - 2 J (V)

a, b

1-

'Vk.

R.

e

a• + b a+b 12 -->-->,vab>-a+b 2 1 1 1

(V) a,b>O,

-+a b

+ b + c > ab +ac+ bc (V} a, b, c e R. 8. 3(a + b + c > (a + b + c) (V} a, b, c e R. a +b +cl I 9. ----'--- > - (a + b + c) ( V) a, b, c e R~ . a+b+c 3 7. a 2

2

2

1

2

2

2)

2

1

(Ja + ,.jb + ,./c) (V) a, b, C > 0 11. (n - l)(a~ + al + ... + a!) > 2(a a + a a + ... + a 1an + a a + ... + an-ian)• 12. n(a~ +ai+ ... + a!) > (a 1 + a 2 + ... + an) 2 10. ,./a+ b + c

;;ii,

.ja 3

1 2

1 3

2 3

> (a+b - 2 -J•

13. an+bn 2

(V)

n

14. Dacă O < ~ < 1 => ~ < b

b

e

11

N ş1. a, b > O.

+ ", ( V) r > O.

b +,.

l~>~+r (V) r>O. b

15. Ix I

:i:;;

a (a

18. ja ± b I

~

b

b +,.

> O) -a .:i:;; x ~ a. la I + lb I, a, b reale sau complexe. 57

-l-

la1 ± a2 ± ... ± a„I ~ !ai!+ la 2 1+ ... + la„I, 18. Ila I - lb li ~ la - b I în R sau C. 17.

1

I

n•

n ·n

,.,. ·1

I

in R sau C.

1

19. - = - - ~ - - - = - - - ....!...


jma2 n

nb2 I

-

21. Numerele pozitive a, b, c pot fi lungimile laturilor unui triunghi numai dacă 3x, y, z e R:'ţ. a.î. a = y + z, b = x + z, c = x + y.

dacă şi

f(x) = ax2 + bx + c, ot, ~ e R f(x) =fi O (V) x e R - Â = b2 - 4ac < O, f(oc) • /(~) < O => Â > O. * atunci. a+b b+c c+a 23• a, b, c e R + - +-+- ; ;,: 6.

22. a, b,

C

n,

e

a

C

b

24. Dacă x 1, x2, ••• , Xn ;;;,, O şi x1 + x2 + atunci produsul x1 • x2 • • • x„ este maxim cînd

=

Xi

25. Dacă suma Xi + x2

x2,

Xi,

X2

= ... =


.iX1

!( "

x2 ,

e

+ ... + •••

continuă

I, i

=

(V) x 1 , x2

e

I,

f(x,) - -+-vf(x2) - ' -+- ·-· ·-+-f(.:rn) --

n

Âif(xi)

(>)

Â, ;;,:

O, i

pe I, proprietatea ;.. e

f(x,): /{x2 )

1, n sau mai general

ÂnXn) ~

x„ e I,

~

l>l

R, i

58

=

+ Â2/(x 2) + ... +

;..,J(xn)

E" Âi =

Q.

1, n,

anterioară

=

1,

Âi e

1..... 1

1, n

este

valabilă şi

pentru

28. Inegalitatea mediilor

a +a.+n ... +a„ > 'Vnj 1

a1 a2 • • •

>

a,.

unde a, > O, i = ·(n . (pentru ultima a, (V) i,j e {l, 2, ... , n}. O consecinţă imediată este: 29. (a1

n

1

1

I '

-+-+ ... +a1 a1 a„

>

O) cu egalitate -

a,

= •,

+ a 2 + ... + a,.)(.!..+ 2- + ... + .!..) a, a a„ > n 2 • 1

30. Inegalitatea lui Cauchy - Buniakowsky-Schwartz

(aî

+ al + ... + a!)(bf + b: + ... + b!) > (a1b1 + a 2b2 + ... + a,1,,.)2

unde a,, bi

R, i

e

=

1, n. Egalitate

dacă şi

dacă

numai

~=~(V) i, j = 1, n (sau b, = O - ai= O). b,

bj

31. Inegalitatea mediilor generalizate 1

1

+...-+a~ J"j , unde a;, b; eR+ (a~ + a; +n ... + a:)~ > I!ar-+-a~ n Un caz particular se

obţine făcînd ex

= 2,

;;i:: ~.

«, ~ eR.

aritmetică, adevărată

de data

~

=

0t

1.

1

32.

(a~+ a~ +n ... + a;r > a1 +a.:· .. +a„

inegalitatea dintre media pătratică şi cea aceasta pentru ( V} a, e R, i = 1;,i 33. Inegalitatea lui M inkovski

.J(x1 + Y1) + (x2 + Y2) 2 + ... + (x,. + y,.) 2 ~ .J~ + xi + . . . + X: + 2

+ .Jyî + yi + ... + y! 34. Inegalitatea

unde x,, y,

e

R, i =

1, n

Cebîşev

Dacă a1 ~ a2 ~ • · · ~ a,. } atunci b1 ~ b2 ~ • • • ~ b„

(7)

b + a 2b2 + ... + a„b,. > -n1 (a1 + a 2 + ... + a,.)(b 1 +b2 + ... +b,.)

a1 1

unde a,, b, e R. 35. Inegalitatea lui Bernoulli (8) (1 -+ a)' > 1 + ra, a > -1, r > 1, (1 -+ a)' ~ 1 + ra, a > -1, O ~ r ~ 1. 59

De asemenea, am presupus în repetate rînduri că se poate. lua suma ~ argumentelor 1. Acest lucru se poate face datorită omogeni!ăţii. De exemplu„ :e , y z 3 ---ţ---+--~-. y+z x+z x+y 2

(*) Fie x

+y + z =

S

,f=

1. în cazul acesta, (*) se mai scrie

--+.. . . ~ -32 y z

S pumn d . --+ x , etc.

•

$

I

A

ş1

·:e

-+-s $

obţ..mem: x'+ y '+, z

= x+y+z _....;...._ = -s = l . s

s

36. Am mai folosit metoda lui Sturm, care în rezolvarea unei inegalităţi de genul : F(a 1, a 2, ••• , a,.) ~ k, în condiţia (K) se studiază F(a}, al, a1• • . . , a,.) cu al, al „apropiate" prin diverse moduri de conservare a condiţiei. De exemplu, dacă (K) : a1 + a 2 + ... + a,. = 1, o conservăm cu e > O: al = a 1 + e:, ai = a 2 - c (p.p. a 1 < a 2), apoi verificînd dacă F(a1,_a2, ••• , a,.) ~ F(a}, al, al, ... , a,.). Dacă a 1a 2 larizează

•••

,.

a,.= 1, al = ~, al = a 2 ), cu ).

e

(O, 1). Apoi se particu-

e: (sau ).) ajungîndu-se la inegalităţi mai simple (vezi exemplele)

1. a) Dacă O < a ~ b < 1

+ .!..a

=> a

·

~ b + .!.. , b

1

1

a

b

b ~ a> 1 =>a+-~ b+-.

b) c)

Dacă Dacă

a2 + b2 ~ 4 =>a+ b a+ b = .2, atunci a4

d) Dacă a+ b ~ 1, atunci a 4 e)

Dacă

a + b = 1, a, b 1 ( a+;

2. a) Să se arate că b)

I

x(l - x•) (1

+ ....)

1

c) Dacă x y

I

E;;:

""

e

4, (a, b e R). + b4 ~ 2, (a, b

+ b4 ~ .!..8 ,

e Rţ

(a, b

e

e

R). R).

atunci :

J2 + (b+,;J I 2 25 ~~-

la+ bi 1 + la+ bi

.!.. (V)

lal lbl ~---+-~1 + laf I+ lbl

unde a, b

R.

X e

4 '

R atunci

'

3. a) Dacă

~

a, b ~ O atunci

I 1) 2)

(x 1

+ y)(l - xy) I ~ + x&)(t + y•> I

~. 2

.Ja + b ~ .Ja + .Jri zya + b ~ zya + zyb, n e 60

N*.

e

R

b)

Să

.se arate

că dacă

O< y


O=> 3 (2... + 2... + i_) ;;i: 4 ( -1ab

1- + _ 1_) +a+c: b+c

a+b

bc

a&

1

•

Olimpiada Egipt, 1986

d) a• +

+ c;I

b1

+ bi + c• + rJ.I + c• + rJ.I + a• + rJ.I + a• + bi b+c+ă

a+b+c:

c+ă+a

a, b, c, d e e)

+ b+ 1

1

c+ă

a+b+c

+

1

a+c:+ă

e Rţ

a, b, c, d Dacă

11.

a, b

Z

c

la I

şi

+

< 100,

;;;i,

a

+b+

ă+a+b

Rţ

.

1

a+b+ă

< .!.(.!. + .!. + .!. + .!.) , 3 a

b

c

tl

.

!b I< 100, atunci

+ b.J31 > _!._ ,

la,J2

.J.>)

Marius Cauachi Dacă

12.

a, b, c, d > O şi c + d

< a, c + d < b,

< ab.

ad+ bc Ştiind că

13.

x, y, z e adevărate

pot fi simultan

>

2z

X -

R.

Să

se arate

1; y~-

Z

atunci

< 1;

că următoarele inegalităţi

2y -

X

nu

> 1. L. Panaitopol

14.

x, y, z > O, atunci

Dacă

+

~

(.s

+ y)(.s + .r)

~

c,, + .s)C,, + .r)

+

.,.

(.r + .s)(.r + y)

;;i:!. 4

Constantin Ca„agea

15.

,Dacă

x, y, z > O, atunci

.s

,./(~ + ~)(~ + .r

1)

18.

Dacă

+ ,Jc,,

1

x, y, z

> O,

~

,./(~ + y 1)(.s1 + .r1)

y

+ .r1 )C,,1 + ~)

4.

R, k

1

a 1 +a1

1, n

şi

E

a.+a, a,+ai a1 + a2 + ... + a,. = _O, atunci a. a1

l•i O, n

e

N•.

"

că

se demonstreze a"+l _ I

a" - I

n+I

n

1) - - - > - - , u n d e a > 1, ne N*. a"'-I a"-ld 2) -> - aca... a> l . ş1 m > n, m, n m

e

n

ar-I as-Id... 3) - aca a > 1, r, s „- > - s

e

N*.

Q+ r > s.

23. Se dau 100 de numere reale a1 , a 2, ••• , a 100 care verifică inegalia 1 - 3a1 + 2a3 > O, a 2 - 3a3 + 2a4 > O ... a99 - 3a100 + 2a1 > O, 4 100 - 3a1 + 2a1 > O. Demonstraţi că 4 1 = a2 = ... = a100 •

tlţile I

24.

Dacă

= 1, n, atunci . a„ :,i;;;------:,i;;; a + a + . . . + a,. a,. mmmax-. 4•0 a2 > . . . > an atunci + a + ... + a,. ..,._ a + a + ... + a,. 1

k

p.

1

1

n

..,. 'flii'

a11 +1 + a1 +2 + ... + an > --'------'------;

n-k

27. Dacă a, b, c e R a.î. a+ b + c > O, ab at unei a > O, b > O, c > O.

+ ac + bc >

28. Dacă a, b, c e R satisface condiţiile a atunci a" + b" + c" > O ( V) n e N.

+b+c> O

64

O, abc > O, şi

abc

> O,

. x, y numere re ale pozitive, . . ~. Fie s găsească

. ( x, y + ;1 , Y 1) . = mm

cea mai mare valoare a lui s şi pentru ce valori x, y se

realizează.

U.R.s.s.

OlimJ,la4,J

30. Fie m

Sl· se arate

> 1 întregi

1, n

;;i,

fj

m

că ~ 7

- -

n

S"a se

.J7 > ~. n

astfel încît

1 > -mn .

Radu Gologa•

31. Se consideră 11 numere reale a1, a 2, ••• , a 11 care satisfac condiţiile 1 a) a1 ~ a2 ~ • • • ~ a11, b) t4 + 1 = 1. Sl se determine aceste numere astfel încit a 3 să fie cit mai mare posibil.

a: + + ... a:

:nan Rad•

32. Se dau 12 numere reale a11 a 2 (a1

-

a2

a3 (a 2

-

a3

Demonstraţi ~ă

3 negative.

+a +a

4)

33. Dacă a6 ,

< O; < O; ... ; a11 (a10 -

~esţe

printre ·

şi raţie pozitivă,

3)

iz1, a 2,

a21l+t este

, , .,

••• ,

a2n-1 --< • • • a2„

· · · + a„

ne N*.

;;i, -

2. , (V)

se arate

n

condiţiile

... , ·e

1a~I :-

: ja,..,.1

. .

+ 11.

N*.

:i , =.. a,."'_. 1 +· ~ ,.ii

~

Să

--a2,,+i • ·

2

91!!!'. F"1e "a1 ..·1_, a.2 = a1 + -,1 , _. . . a,. .....

>

şi

a~> O

va;-

a,., . • . îndeplinesc ·(v)

n

a 100

3 pozitive

progresie aritmetică cu

Q

+ l_l,. la.a I = Ja2 + 11,

O, la2 I = la1

Să se arate că ai + a. +

38.

găsi ~ puţi_n

atun~i

34. Numerele a1 , a 2,

Arătaţi că

+ a12) < O. ·

1

=

a 11

numere s~ pot

as -a2n < -al · V ""ă;'" a a,

a1

a2, ••• , a 12 care verifică inegalităţile

(V)#-.-~ 2.

14.

că

:

,Ja1a2 + .Ja1a3 + ... .Ja1a,. + ,Ja2a3 + ... . n- 1. ·

~- - 2 -

(a1 + a2 +

l~ ~

·

._ .·. + an). Olimpiada U.R.S.S., 19SI

37. Dacă a 1, a 2, este 1, atunci

••• ,

a„ sînt n numere reale„pozitive -al· ~

LI a;a1 ·~i

căror

produs

n(n + 1) >-2

Ion CU&Uru,_

65

38. Să se arate că pentru orice numere reale x1 , x2 , x3 , x 4 are loc inegalitatea: I I ( - Xi+2 4

X2

+-61 X3 + -121 X 4)2 ~ -21 X 12+-41 Xz2 + -61 Xa2+ -121 .

.!I

Xj

•

I. Cucu,-ezeanu

39. Dacă x, y, z e [l, 2] atunci 9· ~ (x

a




n, k, n

V) k

1

X;

M. Să se arate că f/(a 1 + b.,)(a2 + b2) ••• (a,.+ b,.) > :/a1a 2 ••• a,. + f/b 1b2 ••• b,., ( V) a,, b• e R+.

O, i e

=

1, n.

N*.

>

Olimpiadă

U.R.S.S. 1961

45. Inegalitatea lui Bernoulli. Dacă

a

> -1

1) (1 2) (1 3) (1

48. 1)

+ a)" > 1 + na + a)' ;;i: 1 + ra + a)' ~ 1 + ra

Să

se demonstreze

(V) ne N, r e Q, r > 1, ( V) r e Q, r e [O, 1).

(V) că

Ni+~+ ... + + ...ja,.b,. ~ ,Ja + a + ... + a,. · ,,/b + b + ... + b,. 1

pentru ( V) a,, b,

2} (a m+p 1

2

e

1

2

R+ .

+ am+p + . . . + a„m+I>) ( a m-p + a2m-p + 2

1

>(ai'+~+ ... + a::') (V) a,> O, m,p 2

•••

e

+ a"m-1>)

::i, p

R. C. I.

47. Fie n

streze că:

> 2,

Ţitl

(x,. + y,.) 2 ~

3) ,,/ (.~1 + Y1) 2 + (x2 + Y2) 2 + ~ ,,/x~ + xi + ... + x! +

· ·· + ,Jy~ + yl + ... + y! (V) x,, Y• e B. ••• , a„ e B+ S = E a,.. Să se demon"=' lf

n e N, a 1, a2 ,

" a n E--">-. S- a„ n- l 1'=l

O.M. R.D.G. 1961

66

48. Dacă cr: {l, 2, . ., n}- {l, 2, ... n} este o funcţie bijectivă atunci a(l)

+

11

49. a)

Dacă

a 1 , a2,

_a(2) 21

+ ... +

••• ,

a„ e R, atunci

1 + ~ + ... + ~.

a(n): ;;;i,

n•

n

2

(a 1 + a 2 + ... + a,.) 2 :s;; k(a~ +a:+ ... + al)

b) Folosind punctul a) să se arate că dacă numerele reale a 1 , a 2, ••• , an satisfac inegalitatea a 1 + a2 + ... + an ;;;i, ..,.(n--_.,,1.,...)(,....a""":-+-a-=-:-+-.-.-.-+-a-=:""),

.J.

atunci toate numerele a11 a2,

••• ,

a„ sînt nenegative. Olimpiada Cehoslovacia, 1971

50.

Să

se arate

că

:

a; b C 3 --+--+--;;;i:-,unde b

51.

Să

+cI

[a + c

b

+a

2

a, b,c> o.

se demonstreze:

(1 + a 1)(1 + a 2)

•••

(1 + a,.) ;;;i, (1 + ~a1 a 2

unde a,

O, i

;;;i,

=

52. Să se arate că (1 + a 1 )(1 + a 2)

53.

(n;

54.

Să

1)

•••

a,.)• ;;;i: 2• ..ja1a2

•••

a,.,

1, n. •••

{1 + an)

;;;i,

2 cu 11

•

Il a, = 1 i=l

> n !, n > 2. că,

se demonstreze

oricare ar fi numerele reale pozitive a, b. ;;;i, (a + b + c) 2 x2 •

c, x are loc ineg. (ax2 + bx + c)(cx2 + bx + a)

Titu And,-eescte

55.

Arătaţi:

a

I 'V (a

+ c)(a + b) +

56.

Demonstraţi

I 'V (b

b +a)(b + c) +

C

I 'V (c

+ a)(c + b)

:s;;

3 -2 '

a, b,

C

>

0.

inegalitatea:

1 a•+b3+abc

+

1 b3+c•+abc

+ - - -1- : s ; ; -1 , c•+a•+abc

abc

unde a, b, c > O. Matematica

57.

Dacă

a, b, c > O, 9abc

arătaţi că

:

bc1

ab1

v'şcol•

ca•

a•

+ b1 + c•

----:s;;--+--+--:s;;---2(a

+ b + c)

a+b

b

+c

c

+a

2

Moldovan, elev, Satu Mar•

61

x > O,

58. Fie

1

î = 1, n, cu

n

Ex,= 1 i=l

Să

se afle cea mai mare valoare a sttmei S

=

X1X2

+ X2X3 + ...• + Xn-1Xn. Kvanţ,

1987

59. Fie k,, k2, k-a, ... , krn · numere naturale şi a1, a2, ••• , an. numere reale pozitive. Să se demonstreze că produsul a:•a:• . . . a!n, unde suma

•, + a + . . . + an 2

411 ,

a2,

..• ,

60.

an sînt

Să

este

se arate

că,

+ 2y +

este maxim atunci, cînd numerele respectiv, cu k 1, k 2, ••• , kn.

oricare ar fi x, y, z > O, are loc inegalitatea:

+

X

X

constantă,

proporţionale,

J

2z

2:,r

+ ---->-. 3 Z

+J+

2z

2:r

+ 2y + Z

5

Gh. Mol«I

61. Fie «1,

• 1

+

«2

at 2, ••• ,

«n numere reale

+ . . . + «n = 1.

Să

pozitive (n se demonstreze că :

~

2), astfel încît

____ ex.._ _ _ _ 1 + oti

+

BalcaniaătJ,

62. Fie x, > O, i = 1, n, astfe] încît x 1x2 ••• x., > 1 Sl se arate că ~+i + ~+i + ... + _x!+l > ~ + ~ + ...

>

+ ... + «xn-1

ata

şi

k

Atena 1984

> O.

+x!.

63. Fie x1, x2, ••• , x„ n numere reale strict pozitive astfel încît x1 x2 •• .- x,. > 1. Să se arate că : X~

+ X: + , .. + x!

+ X: + . , . + _x!,

~ ~

GMB 6/1918

64. Fie

a,> O, i =

l,n,

ne

Să

N*.

se arate

că,

n

„

Ea, ,-1

Ea.n+1

~

_,-_1_.. -II

a;

i=l

65.

Să

se demonstreze inegalitatea:

(S + Y + Z) [ (2:r + 'Y + z)(y + z) + (2y + x +'Y z)(z + 11) + (2z + x + y)(x + .Y) ;;ii!, 8 !I

li

unde x, y, z

>

]

O. Vasil11 M irc11a Popa

68

66. a) Să se arate că: am(b + c -_2a) + bm(a + c - 2b) + cm(a + b - 2c) :;;; O, unde a, b, c ;;,,, O, m e N*. b) Să se demonstreze că oricare ar fi numerele a, b, c e R are loc inegalitatea : a('a + b)3 + b(b + c) 3 + c(c + a) 3 ;;,; O. Vasile Cîrtoaje

67. Fie a> O, b > O, c > O. 1

- (-a+ b -:- c) 3 a

+ -b1

(a - b

Să

se demonstreze inegalitatea:

+ c) 3 + -1

(a+ b - c) 3

a2

;;;i,,

C

+b + c

2•

2

.

Gh. M arghescu

68.

Dacă ;;:,, a 2 ?- a 3 • • • ;;;i,, a„ ;;;i,, O şi b1 ;;;i:: O, b1 + b2 ;;;i,: O, b1 + b2 + b3 ;;;i:: O, ... , b1 + b2 + ... + b„ ;;;i,, O, atunci a1 b1 + a2b2 + ... + a„b„ ;;;i,, O .

a1

Inegalitatea lui Abel

69.

Arătaţi că dacă

O < m :;;; a 1 , a2,

ta; .t ~ :; ; n2 + i=l

70.

Să

i=l

a,

•••

am :;;; M atunci

n(n - 1) ( ' / M 2 m

'

V

/ m

VM

)2. C. Caragea

se demonstreze inegalitatea :

n)i+ab ; a, b~ (Ex.)(t ~)u ~ (a+ I+ab b

•=1

e

N*

i=l"•

x,

=

[a, b ], i

e

1, n. Gh. Szăllosy, G.M.B. 10/1981

71. Fie x,

e

[l, 2], i

=

Să

1, n.

se arate

că:

L. Panaitopo

72.

Dacă

oe, ~. y, x, y, z

>

O, cu

+ ~+y =

ix

1, atunci

~+-':+.! ~---y + (3y + X

Z

'(Z

CU

(Convexitatea foncţiei f(xJ = ~ )· 73. Fie oe, ~' y Să

e

(O, oo) numere fixate, astfel încît oe. ~

+2 Y •

(3

se demonstreze inegalitatea : X

cxx

+ (3y + yz

+

y

cxy

+ (3z + y:,;

+

Vx,y, z

Z

cxz

>

+ (3x + yz

;;;i,,

3

ex

+ (3 + y

'

O. Gh. Szollosy

69

74.

Să

+

:,i

•+2y+.r

x, y, z > O, atunci

că dacă

se demonstreze

+ ---->-. z 3

y

y+2.r+•

4

z+2x+y

Gh. Eckstei•

75.

Să

că dacă

se demonstreze

E=

+

X1

X1

+

+

X1

+

Ila

#a

x 1 , x 2 , x3 , x 4 X1

.t't

+ X1

Zt

> O,

+

atunci :

> 2.

Zt

X1

+

X1

N. Hadjiinanov, Matematika, Sofia,

.

1978

E X; = 1

78. Să se arate că, dacă

i=l

E„

n- 1

x,x; ~ - - , unde x,

R, i

e

2n

i=l ji=l

=

1, n.

77. Să se demonstreze că dacă x1 , x2 , x3 , x 4, x5 sînt numere reale strict pozitive, atunci are loc inegalitatea : 5 >-. 2

78. Fie

0ti

;;;i,

O, i

=

1, n cu

Matematika,

. E

0t,

=

1;

X;

> O, i =

Sofia, 1978

1, n.

i=l

Să

se arate

că

t

0ti

Să

se arate

că dacă

>

a, b, c, d

a + b + c ~ 14, a

/â + .Jb + ,.fc + Jd ~

atunci ..

80. Să se . arate atunci 2" + 2" ;;;i, 3.

0t;X,,

= J°x).

(,,concavitatea" funcţiei f(x) 79.

V'ft

Ş. ~

că, dacă

O

+b+

1, a + b c + d ~ 30,

şi

a

~

~

5,

10.

x, y

e

R+ astfel încît ~1

+ y2 =

1,

81. Fie a > 1. Să se arate că : c1a" + c2a" ;;,, a'1 "+'1" , unde c1c2 ;;,: O, c1 + c2 = 1 (,,convexitatea" funcţiei exponenţiale cu a> 1). 82. Fie x

e

[o, i]. Să se arate că: {1

+ ,/J)sln.s + {1 + ~2)cos"

;;;i, ~

+ 2. D. A rventiev

83.

Să

se arate

că dacă

O< a

~

b ~ c, atunci

a•-aba-bcb- C Alexandt'U 0/et, Concursul

~

1.

interjudeţean

70

de

matematică

„Spiru Hal'et", 1986

Să

84.

că

se arate 1

1

1

-+---;y-=-+ ... + 2 3 V2 ( V) n, m

N*, n ;;;,, 2, m

e

~

(n

+ I) !v,-)~i+l:";

·..• :·.

!

:·· i

~

108,; Fie·a 1 ·>a~ > ... > a,.,• 1 şi: bi> i~ j;..,L. > b-,;' numere,·'reale. Să se arate că: .,:.t : .i. ., :.i i ,.: ~ i). a1b1 y1 a„b,. > a1b,. ,aa"f1,.~~ +. ;. : . a„b 1 • ·2)' Dacă. al {l, 2~ .•. ;, 'n}';;..,; {l, 2, ... tt} ~"e o, flirl4it/bijecti\i"ă,'" atuti:cl

+

a 1b'i. +··a2 b2

+ .... +

+

+

+ .. , + a„b,. > a, b 111 + a b 121 + ... + a„b + "3biJ.:--i.·+''... , +a,.~,:.-··,:, .,i;.1 .,·,;:.", 2

0

0

0 (n)

>

'. ,,..,

a1b,.

+

, ;.

OlimpiadiJ U.R.S.S., 1959

t«r.t.

D~că ·a1,_ ~

• ··~ :''•

:m.in {a; - a;) 2 l.1b1+ >..t,1 + ... + >.,.b,. ~ >.1a 1b1 + >.1a1b1+ . , . + >.,.a„b,. •

>.,+>.,+ ... +>.,.

1,+i.+ ... +>.,.

>.1+>...+ ... +>.,.

< x1 < . . . < x„ să se arate că : ts, + Xz + ... + x,.) (.!... + .!... + ... + ~) ~ n (.!!. + _:!_ + ... :", J . 115.

Dacă

O < x1

-"1

"•

""

""

:tt lf - l

~

Gh. Bortl8a

116. Fie

funcţia crescătoare/: X; ~

Mf/(:tt1)

O, i

R-+ [O, oo).

=

1, n, n

e

Să

se arate:

că dacă

N*.

+ "f/(:tt1) + · · • + :tt(f(:tto)

"

('v') p

e

N. Gh. B0rdt1t1

74

117. Dacă a;> O pentru i

=

1 ~n

N*, să se arate că

e

•,+ ...+ ......

a~ · a:• . . . a:" ;;i: (a1 • a2 Să

118.

se arate

că dacă X;

Xţ + xţ +n •' • +

;;i: O, i

=

"

1, n, n e N*,

;;i: ('*'1 +

X~

a,.)

• • •

Xa :

r,

+ x„

' ' '

119. Dacă/: R--+ [O, oo) o funcţie crescătoare, P(x) e R[X] un polinom cu coeficienţi nenegativi şi x1 ;;i, O, i = 1, n, n e N*, să se arate că: ~ f:r P(x;) f(x,)

;;i: P

lXl + X9 +n •• , + Xn) •

~

~

f(x;). Gh. Bo,-dea

Dacă

120. arate că

f

e

R[X] este un polinom cu

coeficienţi

nenegativi

să

se

f(x1)+f(x1~+ ... f(x,.) ;;i:J(x1+x1: ... +x,.) (V) x;;;i:O, i=l,n,

n

e

121. Dacă funcţia/: R--+ [O, oo) este descrescătoare şi xi> o; i = 1, n, N*, atunci J(x1) + f(x 2) + ... + f(x~) ~ (x1 + x1 + , . , + x,.)P[f(x1 ) + /(x1) + xf

n

+ ., , + .f(x,.) J, (V) ~

Dacă X;

122.

(X1

>

O, i

=

1, n, n

xt

p

e

N. Gh. Bo,-dea

e

să

N*

se arate

că

:

+ X2 + ,. , x,.)P(_!_ +-; + .. , + -;) ;,i: nt>+ xf

(V) p

e

1,

*'n

X2

R+.

123. Dacă f: R--+ [O, oo) este o funcţie descresciitoare, ·P(X), edl[X~ un polinom cu coeficienţi nenegatiJi şi ~. :> p, J .. l,, n, . !f-. e N~., · Să se arate că : ··· · · · ' · ·· m.. . =

+ %1 + " ' + x,. ~-"----n ~1

Gh.

Dacă

124.

f

arate că dacă x, .

e

>

R [X~ O, i

=

e$ţe '.

un_ polinom

: '.

;

l; n şi

.

(CU coţficienţi

.

.

!)x. =n i-1

{·1 +fr·1- + ... +f-(.l ;;i:

f -

Xi

~n

X:

n.

75

/(1), .

Bol'dea

nenegativi să se

125. Dacă x. e [a, b], O< a< b, t, e R+, atunci

y· 128. Dacă O ~ m ~ 2 ~ M,

"

.

i=l

•=1

Xi

t,

R+, atunci

e

E t,i + mM E t,x~ 127.·

~

x,

R+ Yi

e [a, A] c

.

+ M) i=l E t,x;y;.

~ (m

[b, B] c R+

e

Kantorouid

.

~(t x;)(,ţ y;) ~

¾Jy ~: + v:: Y(t. x.yJ. 128. a, b e-R+ a< b

şi

Polya - SzeglJ

şi

ab e N

x; e [a, b]

(t. t,x.)(E;:rb ~ (;: :y+ab (t: t.f +a•. 129. Să se demonstreze că dacă a

~ + ~ +~ a.•

+b

b3

8

130• .Daca ix, V

atunci ix~y (ix .

•

(.I.

I"•

+~

c3

+a

;;ii

b

;;ii

c > O are loc inegalitatea 1

~ + ~ + _!.!!.'_.

;;ii

a3

3

+ b3

b3

+ c•

c3

+a

3

Gh. Antlrri

R ş1. -1- + -1- + -1- = 2,

y e

I

+ ~ +y -

ix~y)

+

~

131.

Dacă

a, b, c > O atunci

132.

Dacă

a, > O, i

= 1, n

> (°' + Ga +n .... + a,, )-.+-.+ ... +an•

1+

,x1

~

I

2

+y

1

~. 8

va: v c vc: b

+

atunci, a~ , a:"

+

b:

. . . a"~

C. Carapt,

a ;;ii

3 ,li.•

~

133. Inegalitatea lui Jensen

Dacă x,

e.(O, ¼.}

i

= 1, n,

atunci:

• f1 x,

•

f1 (1 -

x,) _,-_1__ _,-_1___ _ ~

(t x,)• (t •=1

134.

Să

se arate

că

. , ... r

1 - •;))•

pentru orice x1, x1,

••• ,

x~ pozitive are loc inega-

litatea: ~

..-:

+ X1X1 + xi

+

xi .q + .s'1Xa + x:

+ ••• +

I

Xn

.S~

+' .s'11X1 + xf

;;ii

X1

+ Xa + ••• + ..-. • 3

Gheorghe A.ntlrei, Concurs NiSvodan, 11181

76

Capitolul IV RADICALI 1.

Să

se arate:

-v'sn + 7 $ -v'7n + 5 $

a) b)

ne

N, r/

N, r/ n

N. N.

e

2. Dovediţi că {/4 nu poate fi scris sub forma {1/4 =a+ a, b, c sînt numere

raţionale.

b./c, unde

Vasile Tomit4

3.

Să

se

raţionalizeze

fracţiei:

numitorul .

F

1

= {/4+ a{/2 -

· 4. Fie /: [a, b]-+R, f(x)

=

1 •

.jx - a+ .jb - x, a< b.

a)

Să se arate că feste crescătoare pe [ a,

b)_

Să

se

găsească

extremele

5. Să se demonstreze că

funcţiei

a! b] şi descresc pe r:b, b].

f.

V3 + {/3 + {./3 _

{/3 < 2{/3.

G. a) Demonstraţi tă •.js + '\16 + ,?J e R - 'Q. b) Să se arate că, oricare ar fi n e N*, numărul

.Jn - .1 + ,/n + ,vn + 1

este iraţional. Liviu· Yllllic#

1. Fie a, b Dacă Ni, N2

E

Q.f: şi

E

Nl. = a'\la

Q, atunci '\ a şi

+ .,jab,

,vîi

E

N2

=

b.jb +

Jab.

Q. E.O~

·s.

Dacă a, b e O+ şi

· 9. Dacă {la

+ {/b

10. Dacă a, b

e

e

Q şi

11. a) Să se arate că

.J"ii. + .Jb e

Q, atunci Jă e Q şi

Q, a, b e Q, atunci·

Va+ ţ/b e

{lâ

e

Jb e

Q.

Q şi {/b. e Q.

Q, atunci {/a e Q şi

Vli

e

Q.

V9 + 4..jS + V9 _4.jS = 3,

V.41 + 29..p +:v,41 _ 29.j'i o. că numărul ex.= 'V54 + 30,ţl + V54 .,;_ 30'.Ja E

b) Arătaţi raţional.

este·

12.

Să

se determine a

e

N, astfel încît

a < {la2 13. Pentru ce valori n

e

să

avem

+ {la < a + 1.

Liviu

Pîrşan

N avem egalitatea

V17.../5 + 'J8 + V17.../5 -

'J8 = ,v20? Matematica 11' şcoZ.

consideră

U. Se

numerele :

x=v1+4,Ja +v1-4,Ja· 1

= {12 (v14 + 2..ffi + f./14- 2,J41). x = y.

Y Să

se arate 15.

Să

că

se determine prima A

zecimală

= ,Jn2 + n, n

Dan

Seclăman

numărului

a

N*.

e

Iacob Didragt1

16.

Să

se calculeze partea

întreagă

a numerelor reale:

A= {/n(n + l)(n + 2) şi B = {/n(n + l)(n + 2)(n + 3), n

e

Liviu

17.

Calculaţi

a

partea

întreagă

numărului

a

real:

Matematica

18.

Să

se determine cel mai mic

existe inegalitatea :

3

-

6-

Va + ,J

Ptrşan

Va+ ... +·v~31-6 ·

la + J I ... +,v6 va+ radicalilor este n)

= ,v6+v6+ I , I

(Numărul

N.

număr

G.M.nr. 5/1988

natural a, astfel încît

+ ·· · + ,Ja > 2. , Va + ,Ja + ... + ,Js " 3

11'şcole,

tinde la

numărător

să

sînt

n radicali, iar la numitor n - 1 radicali. Gli. Tutulan

,1_9. Care din, numerele A

= {/5 +

~. B

=

ţ/6 +

{/7. este mai mare? Liviu

20. Să se·ara.te că~+

:/7 > ~ +

21. Să se demonstreze că dacă

,Ja + ,Jb ·+ {la 11,1, ce caz avem egalitate?

a; b e

Pîrşan

~-

[O, oo), at.unci

+ {/b < ,J2(a +

b) + ~ 4(a + b) • Ilie DiaconN.

78

22. Fie a, b pentru orice x, y

R+ cu proprietatea

e

Rţ. avem x"yb

e

că

+ 3b =

2a

D. M.

2-

2şi

că

Să

se arate

24.

Să

se demonstreze inegalitatea :

v + v + ,./2 + ... + 2

< -41

..;2

v + v + ..J2 ~ :..·. + 2

Bdtineţu

V1 + V2 + . . . + .Jn < 3,

23.

2

1. Să se arate că l

.Jx + {ly.


-

2

+ -3 = y

X

·v

notam -

+ -3 -= -52

3

-

= ~10 y

.X

ş1

-

2

X

X

=>

+ .:r-9 = y

.:r1

=> -

10y2

4

-

1

13y - 30

+ -3 = - -65 .

3

2 -

= O;

=

rezolvă

Analog se

X

y1

b), c), d).

7. 1

X+ -

Indicaţie:

Ecuaţia reciprocă,

a)

şi

se

notează

+ 2 = O şi

se

notează

se împarte cu x 2

=y.

X

b) Se împarte cu x 2 şi se notează x - ~

= y.

X

c)

Ecuaţia

se scrie (x2

-

2x) 2

2(x2

-

-

2x)

x2 -2x =y.

d) x 4 + 2x3 + x2 + x2 + lOx + 25 = (x2 + x) 2 + (x + 5) 2 = O care nu are rădăcini reale. În mulţimea C se descompune:

+ x + i(x + 5)] [x2 + x - i(x + 5)] = O. e) (x + 2x) (x + 2x) - 2 = O şi se not_ează x + 2x = y. f) Ecuaţia se scrie: (x2 + 3x) 2 - 4x2 - 12x + 3 -..:. (x2 + 3x) 2 4(x2 + 3x) + 3 = O şi se notează: x~ + 3x = y. 8. Indicaţie: a) Se notează f + ~ = y; analog b) şi c). [x2

2

-

9. 2ax2

Â; =

Soluţie

2

2 -

2

: Ordonînd în raport cu -x,

+ 2x(2ay -

(2ay - y -

y - 1)

1) 2 -

+ 2ay

2a(2ay2 -

y

2 -

2

+

obţinem:

+1

;;:: O, ( \:/) x e R =>a> O şi 1) :i:;;; O => Â; = (1 - 2a)(y + 1) 2 :i:;;; O =>

y2

¾sau expresia iniţială se mai scrie (x + y) (2a -

=> a ;;:,

2

( \:/) x, y e

1)

+ (x -

1)2 ;;::O;

R => 2a - 1 ;;:: O => a ;;,: -1 . 2

10. Soluţie : Ordonînd după x, obţinem : x2 - 6x + my2 - 4my + 6y + 2m + 8;;:: O=> Â = -my2 + 2y(2m - 3) - 2m + 1 :i:;;; O, (\:/) y e R => Â 1 :i:;;; O şi m > O, adică Â 1 = 2m2 - llm + 9 :;;;; O=> => m E {1, 2, 3, 4}. 11. m2

-

Soluţie

: Ordonînd

3mx - (x 4

+ x3 -

-

după m şi

descompunînd în factori

2x2) = O => m1

= x2 +

x

şi m 2 .=

+

obţinem

:

2x - x 2 •

se mai scrie: (m - x2 - x)(m - 2x + x2) = O şi se reduce la rezolvarea a două ecuaţii de gradul al doilea x2 x - m = O şi x2 -2x+ m =0.

Ecuaţia

+

99

12.

Indicaţie:

Se

~+x X

Deci : (a - x - l)(ax - x2 Soluţie: Ecuaţia

Evident j (1

în a :

(2x2

-

a1 = - - = x

13.

ecuaţie

ca

+ 2)a + x3 + x + 2 = O 4(x2 + 1) 2 - 4(x4 + x2 + 2.x) = 4(.x xa 2

 =

consideră

+

+

x - 2)

1)2

~-x+2

1; a 2 = - - - . X

=

O, de unde x1

se mai scrie f(x)

= 3x2 -

=

a - 1, etc.

2(a - b)x - ab

= O.

!(f I< !(î) >O::;. x (f, î) Q,

!!_) < 0' 3

14. Soluţie: Evident

j (~) 3

1 e

>

0 ::;.

X2 E ( -

~

3 '

-

!!__) . 3

= 9 - (a+ b + c) (2-a + 2.b + 2-) < O, deoa-

Â1

C

rece (a

+ b + c) (2-a + 2-b + 2-) > 9,

egalitate pentru a

C

= b=

c.

15. Soluţie: Ecuaţia se scrie: 3x2 + 2(a + b + c)x + ab + bc + ac=O. Discriminantul ecuaţiei este Â' = (a + b + c) 2 - 3(ab + bc + ac) = a2 + + 1J?- + c2 - ab - bc - ac = -1 [(a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a)2 ~ ;;;,: O. 2

18. Soluţie: Ecuaţia se mai poate scrie: (a+ b + c)x2 - 2(ab +ac+ bc)x + 3abc =O.Discriminantul acestei ecuaţii este 4(ab + ac + bc) 2 - 12abc (a + b + c) = 2 [(ab - ac) 2 + (ab - bc) 2 + + (ac - bc)2 ] > O. Soluţie: Ecuaţia se mai scrie: 3.x2 + 2(a + b + c)x + ab + bc + O. Discriminatul acestei ecuaţii este: 4(a + b + c)2 - 12(ab + + bc + ac) = 2[(a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 ~ ;;;,: O. Altă soluţie ; Fără a restrînge generalitatea putem presupune a ,i;;; b ,i;;; c. Ecuaţia se mai scrie : /(.x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - a)(x-c) = O, x«jt{a,b,c} şi avem /(b) < O, j(a) > O, J(c) > O, deci are rădăcini reale cuprinse între a, b, c.

17.

+ ac =

: Discriminantul ecuaţiei este : Â = .x' + 2x3 + 2x2 + 2x+ (V) n e N*. Observăm că (n2 + n) 2 < Â' < (n2 + n + 1)1 ( V) n e N*, deci x1, x2 e R - Q. 18.

Soluţie

19.

Soluţie

+ 1 > O.

[a2

-

: Calculînd discriminantul ultimei 2(b - 1)~2

-

4(a2

+ (b -

1)2 J = a 2 [a2

ecuaţii obţinem -

4b~

> O.

20. Soluţie: Într-adevăr, inegalitatea se mai scrie i -- -~ (a« +bat+ c)(aat2 - bat+ c) ,i;;; (a«2 - c) 2 . - (a«2 + c)2 - b2«2 ,i;;; (a«2 -c)2• de unde rezultă după calcule că at2(b2 - 4ac) > O, deci ecuaţia are rădăcini reale. 2

100

21. Soluţie: Ecuaţia se mai scrie (x2 - 3x)(x2 - 3x + 2) = m. Notînd x2 - 3x = y => y 2 + 2y - m = O. Impunînd să aibă rădăcini reale rezultă 1 + m ;;,, O => m ;;,, -1. Fie y 1 , y 2 e R rădăcinile ecuaţiei /(y) = = y 2 + 2y - m = O, atunci şi ecuaţiile x 2 - 3x - y 1 = O şi x2 - 3x - y 2 = = O trebnie să aibă !"ădăcini reale, adică Â 1 = 9 + 4y 1 ;;,, O, Â 2 = 9 + y2 = Impunînd condiţiile cunoscute => + 4y 2 ;;,, O -= Y1 ;;,, -

¾,

¾.

=>/(-~} ;;,,O=>m"'~~=>m e(-t,~]4 • 16 16 22. Soluţie : Din relaţia dată rezultă b2 + ac = O => ac = -b2 => ac O şi rădăcinile sînt de semne contrare, C

X1 X2

= -a o.

-

2(b - c) 2

+ 1>

a4

-

2a2

+ 1 = (a2 -

1)2 ~

b) Evident (a + b + c) 2 > 4a(b + c) şi a(b + c) ~ b2 + c2, deci (a + b + c) 2 > 4a(b + c) ;;,, 4(b2 + c2) => Â = (a + b + c) 2 - 4(b2 + c2) > O.

+

+ c a + 2bc) = [(b + c) + + c)(b + c - a)(b - c + a)(b -

c) Â = (b2 c2 - a 2 ) 2 - 4b2c2 = (b2 2 - a ] • [(b - c) 2 - a 2 ] = (a b -

C -

a)< 0.

d) â' = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 · (a - b + c)(a - b - c) < O.

2 -

-

2

2 -

2a2c2 = (a+ b + c)(a + b - c) •

suma determinanţilor : Â 1 + Â 2 + Â 3 = a2 - 2bc + b2 - 2ac + c2 - 2ab = a(a - b - c) + b(b - a - c) + c(c - a - b) < < O, deci cel puţin un discriminant este negativ. Calculăm

e)

2S.

Soluţie:

+ ... + (anx -

1) Membrul stîng se mai scrie: (a 1 x - b1 ) 2 + (a 2 x - b2) 2 + bn) 2 ;;,, O, ( 'v) X e R.

2) Deoarece trinomul este pozitiv pentru orice x real şi coeficientul lui x2 este strict pozitiv, rezultă că discriminantul ecuaţiei sub forma red,1să este negativ, adică (a 1b1 + ... + anb,J 2 - (aî + a: + ... + a!) · (b~ + + . . . + b!) ~ O de unde rezultă 2). 3) În inegalitatea din (2) se înlocuieşte a„ cu -.Jak şi b,. obţine

inegalitatea din (3).

101

= / , şi '1/ak

se

27. Soluţie : Din inegalităţile date pentru orice x e R, rezultă b2 - ac ~ O şi b'2 - a'c' ~ O precum şi a> O, a'> O, iar din b2 ~ ac, b'2 ~ a' c' => c ~ O şi c' ~ O. Rezultă apoi aa' > O, cc' ;;i, O şi d = b2b' 2 - aa' cc' ~ O, deci :

aa'x2

;;i,

O, ('r/) x

e

R.

Soluţie:

28.

Fie d 1 = A2 - bc, d 2 = B 2 - ac, d 3 = C2 - ab. = A 2 + B 2 + C2 - ab - bc - ab = a2 + b~ + c2 - ab -

+ Â2 + Â3

d1

+ 2bb'x + cc'

- bc - ac

= 2-2

+ (a -

[(a - b) 2

+ (b -

c) 2

c2) J ;;i, O.

29. Soluţie: În caz contrar, am avea a2 < bc, b2 < ac, c~ < ab şi prin

înmulţirea

.

lor

obţinem

Soluţie,: Dacă

30.

o

contradicţie.

ecuaţiile

toate

ar avea rădăcini reale, atunci cum a, b, c sînt pozitive, prin înmulţirea

~ 2bc, b2 ;;i, 2ac, c2 ;;i, 2ab şi lor obţinem o contradicţie.

a2

+ ax + %) + %x + ecuaţiile x2 + ax + ~ = O, 2

31. Soluţie : Membrul stîng se mai scrie x2 ( x 2 -I· ax

1. Din a2 ~ 2b rezultă b

+

+ ax + 1 = O au

~ x2 2

x2 +ax+~

+ bx

2

2

=

2

+ax+ 1

;;i,

Soluţie:

32.

Â1

+ Â2 =

(a - c) 2

a2 ;;i,

acelaşi discriminant !J.

O şi ~ x2

;;i,

O,

O.

+ ax+

( 'r/)x

Fie dv 4b + c2

-

O şi cum

;;i,

e

Â2

I

;;i,

O, ('r/)x

e

a2

2b ~ O, rezultă că

-

R de unge

x4

+ ax3 +

R. discriminanţii = a2 c2 -

celor două ecuaţii. Avem 4(b + d) ;;i, a2 + c·~ - 2ac =

+

4d

-

=

2

33. Soluţie : Pentru condiţia ca ecuaţiile să aibă răd;icini reale : b2 ;;i, a2, c2 ~ b2 , a2 ;;i, c2, de unde a2 = b2 = c2 (abc =fa O) şi deci ecuaţiile

au ca rădăcini pe J_ 1. Rezultă a2 putînd fi simultan egale.

=

b2

=

c2

=

1

şi

a, b, c

e

{-1, 1} ne-

34. Soluţie: Fiindcă ac> O putem scrie b = ~ k. Tn::buie ca  ;;i:O. a+c

Avem :

ack 2 k2

-

;;i,

=

Â

4(a 16,

b2

4ac

-

4ac

a+ c

+ c) .- k

lk I

= (~k

2 '1·

2

;;i,

;;i, 4 (a

+ c)

ac

2

•

=

(ack)

Deoarece (a

2

-

4ac(a

+ c)

2

;;i,

O, de unde

(a+ c) 2

+ c)

2

~ 4ac rezultă

4.

35. Soluţie: Din ax2 + bx + C e Q, ( 'r/)x, luînd x = O rezultă c e Q problema revine la a arăta că dacă ax2 + bx e Q, ( 'r/)x e R, atunci a = O, b = O. Pentru x = 1 şi x = -1 avem a + b e Q şi a - b e Q de unde rezultă că a, b e Q. Fie x = '1/'2 şi atunci 2a + b ,.j2 e Q de unde b ./i, e Q şi cum b e Q rezultă b = O şi relaţia din ipoteză devine ax2 e Q, ( V)x e R. Luăm x = ,{1/2 şi atunci a,

2 -

2

r;,:.

¾= (q + ¾ o.

= q:: - p > q~ + q +

b) Dacă x', x" sînt rădăcinile lui / şi x 1 , x 2 sînt rădăcinile lui g, atunci: g(x') g(x") = (P - q) 2 (4p + 4q + 1) < O şi f(x 1) f(x 2 ) = (q - P) 2 (4P + 4q + 1) < O. Notînd x1 < x 2 şi x' < x" şi presupunînd x' < x, din cele de mai sus rezultă x' < x1, < x" < x2 • Aş«.dar, ( V) x e (x, x") avem f(x) < O şi g(x) < O. 39. Soinfie : Să presupunem prin absurd, că cel puţin unul din numerele a, b, c ar ÎÎ nul, de exemplu c = O, condiţia din enunţ devine a6 + b6 < < :: (r,3 -+- b3)2 (1) Pe de altă parte avem inegalitatea a6 +b6 ;;;i. { (a3 +b3 ) 2 (2)

şi cu!n ~ > 2

31 , 63

relaţiile (1) şi (2) sînt contradictorii. Presupuri~m prin

abs:.1rd, că toate ecuaţiile au rădăcini reale, a~ ;;,,, 4h:. Rididnd la cub aceste inegalităţi a6 -/- b'; + l 6 ?- 64 (a 3 b3 + c~b3 + a~cs) = 64 (aa +

adică b2 ;;,:,. 4ac, şi adunîndu-le,

ba+ c3) 2

-

c2

;;,:,.

4ab,

obţinem

(a'+ b' + c')

de

2

und'2 rC'zultă a6

32 + b + c 33 · o s B! ( 3 u 3)2 • b -l-+- c < -63 a + u- + c s1' ' 6

6 ;;,:,.

(a3

+b +c 3

cum -31

63

3) 2

32 < -33

ori din enunţ avem a6

. 1e doua r ela ţ·.. t u1tlme 11 sm V

'

+ A

contn,di.dorii.

;;,:,. O, ( V) x e R (deoarece a > O) O, atunci dacă c ; ,:,. O rezultă ,-b -",/.1. • -b + ..,/b2 - 4ac 1 > O) şi ca X 1 = < O ş1 x2 = :( O (deoarece b ;;,:,. Ba 2a 2a  fiind strict pozitiv se află în afara intervalului rădăcinilor [xi, x 2 ] deci /(Â) ;;,,: O. Dacă c < O, atunci x2 = -b +$>O şi -b +../K ~ O într-ad0văr 40.

deci

şi

Soluţie: Dacă Â :( O, atunci /(x) = Â => /(Â) ;;,:,. O. Fie Â

.

pentru x


2

Împărţind cu

+ V- +-=0; c2

b

a•

a

.ai-) ( v.aiXi - v x: == O => axi

v.s;-ca2

b

a,

obţinem:

2

+ b = O.

+ {l'ac +!!___=O=>.;/.:.._ +

{l'a 2c a

2

a

Va

a

x~ sau x1 = x2 ş1 deoarece ax~ + bx2 + c O sau relaţia echivalentă ax2 + bx 1 + c = O.

=O=> x 2 =

+ bx + c =

+

v.a;c2a

9

•

=

G.M. 2/1978

54. Soluţie : Folosind formulele lui Viete, relaţia de mai sus devine (xix; x 2 x~)(x1 x~ x 2 x~) = O care indică faptul că ecuaţia (*) are rădă­ cinile x; şi x;. Reciproc condiţia ca x;x; = q + q' conduce la x 1 x~ + + x~x2 = O în care înlocuind rădăcinile ecuaţiilor date şi făcînd calculele se obţine relaţia din enunţ.

+

+

55. Indicaţie: Se elimină x 1 şi x 2 coeficienţi şi relaţia dată şi se obţine:

între

relaţiile

+ nb)(ap + mb) + ac (m - n) = O. 2(cm + ap) - nb = O, Relaţia aceasta

(ap

56. ca

diţia

+

=

+

Răspuns: rădăcinile

rădăcini şi

2

celor

două ecuaţii să

formeze o diviziune

exprimă armonică.

+

con-

57. Soluţie: Avem : aSn+i + bS,. + cS,._ 1 = a(x1+ 1 -:- xt· 1 ) b(x; x~) + c(:c~- 1 + x;-· 1 ) = ax~+i + bx~ + cx~- 1 + ax~+i -i- bx~ + cx;-i xn- 1 (axi + bx1 + c) + x;~ 1 (ax~ + bx2 + c) = O Altfel: Din id::mtitatea: x~+i + x;+i = (x 1 + x 2 )(x~ +- x~) - x 1 x 2 (x~- 1 x2- 1) ţinînd seama că x 1 + x 2 = -b/a; x 1 x 2 = c,a.

. . 58. Solu11e.

=

dintre

( a2

n·1n

x 1x 2 -_ -

1 2-a2

•

ş1

x12

+ x2 -

.2 _

a2

•

1 1 1 / • 1 + -, = 2 + a + - ; ;: 2 + 2 Va~ · a 2a' 2a 2a' 2

4

4

2

1

-ţ---:;,

_ _ _ a-

• • x4 avcLn 1 .

1 --,-

+

=

+

x,o12 -_

·-

= 2 -;- \; 2.

+ pq (m + n)y + mnp2 + q(m - nf = O 60. Soluţie: Avem a+ d = x 1 + x 2, ad - bc = x,xJ şi a 3 + d3 + + 3abc + 3bcd = a3 + d3 + 3(a + d)bc = (a + d)3 - 3(a i- d)(ad - bc) = = (Xi + X 2)3 - 3(Xi + X 2) X1 X2 = X~ + xr Avem şi (ad - bc)3 = X~ x:, aşa 59.

Răspuns:

q2y 2

că ecuaţia

a doua se scrie: x:i - (x~ + x:) x + ~x: maţia din enunţ.

= O sau

(x - xf)(x - x:) = O, de unde afir-

61. Soluţie: Scriind relaţiile lui Viete obţinem: xi-J- X.i = a; x 1 x 2 = 1, x~ + x; = - b, x~x~ = 1. Fie E = [x? - x~{x1 x 2 ) + x,x2 ] (x~ 2 + x~ · · (xi + x 2 ) + x 1 x2 ] = (x? ax~ l)(x~ 2 - ax~ + 1) dar din: x? + bx~ + 1 = O, x? + bx; + 1 = O=> x? = -bx~ - 1; x~ 2 = = -bxi - 1 şi înlocuind în E => E = x~(a - b) · x~(-a - b) = b2 - a2 •

+

+

106

G2. Solutie : Din ipoteză rezultă: oc 1

+ oc =

+ oc

oc 2

4

.!!..

:/= -

3

a

/(oc 1 ) - 3/(oc 2} + 3/(oc3} - /(oc,} = a [(ocf - oc:} - 3(oc~ - oe~}] + b [( tX1 - OC4} - 3( OC2 - oc3)] = a [( ilt1 + OC4}( OC1 - 0t4} - 3( Ot2 + 0t3}(0t2 - cr. 3 )] + b [ ( or.1 - oc4 } - 3( oc 2 - or. 3}] = a( oc 2 + or. 3}( or. 1 - 3oc2 + 3cx3 - oc4 } + + b("1 - 3oc2 + 3cx3 - or.4} = (or.1 - 3oc2 + 3oc3 - oc4} (a(or.2 + or.3} + b] şi deoarEce oc 2 + oc3 :/= - .!!.. , rezultă echivalenţa din enunţ. Observăm că:

a

R.M.T. 2/1980

63. Indicaţie : Dacă x şi. kx sînt rădăcinile ecuaţiei, în formulele lui Viete se elimină x şi se obţine condiţia din enunţ. Reciproc, din condiţia din enunţ se obţine : ~ = k sau ~ = ~ . X1

64. => ~

=

~

~

y 2 = -x,

k

X1

Se observă că x, :/= O, deci din x 1 x 4 = x 2 x3 => :! . Formăm ecuaţiile de gradul al doilea cu rădăcinile : y 1 = ~ , Soluţia

I -

~

= -x, . n·1n y 1 = z1 => y 2 = z2 a dica ce1e d oua ecuaţ·1 X4 2x1x1 = P rădăcini. y + y 2 = ~ + :! = xf + x: = (xi + xa) 2q, = -xa ,

. z 1

ş1

X1

z2

V

X3

au aceleaşi

1

X1

X1Xa

+ z = P' 2

punînd

q'

condiţia

proporţionalitate

de

=

1 Soluţia

{

+x

X3

+ X4 =

+ a)

= x 2 (1 X4(1

z2

-q-

ap•

1

XX

a

•

v

b) Notam

___!!t'_ + 1)2

,(b

(1

-

=>

' I

+ a)•

ap'B

a

.2. ":--

x.

• x ·

ş1 ....!

x,

=

z+1=0

coeficienţilor,

p_ )2 =

P'

avem J.... • q'

deci:

X2

= -

_P_.

X1

= - ...!!P._

l

X4

= -

...L_,

X3

=-

1+a

1+a

l+a

din

l+a

-

,2

egalînd rezultă·(ţJ '

p

'

şi

_!!!!__,

·=-~·. q

· · _.. .

··

b. -La fel_ ca mai sus aveIJ?,: .

ap~ · · ··

..

(a+

n

2

=-q

.

•

ş1

= q~, de unde prin împărţire membru cu membru şi .ţ·inînd cD~t d~ .

p

-J

2

q

.

.

a

.

b

·

·

= -q' , găsim - = - - =>(a+ b)(l - ab) p' (a+ 1)2 (b + 1)2 .. D acav a=· b => -X1 = X3 - => x 1 x 4 .= x2x3 •

relaţa (

;

rJ

-q -----'--4 (l+ a)•

x

q' .

2q' => (

t

.

-

= ax2 = ax4 ,

-p'

1 2 -

-

2q'

x1 deducem { x3

+ a) =

f XX

.

p'!

q'

-:- -p

+1= o

y

q

a

= p'• -

pi - 2q q

ipoteză

II. Din

x1

2

l

deci ecuaţiile sînt

'l.q' ,

-

2q

-

q

X1X1

y2 - p• -

2

1

-

1

Xa

z1

V

X9

D aca ab V

=

1

.

=>

X4

a

1

=-

b

x, => -'~

x,

=-

~

=>

107

x3 x 1

=

•

x 2 x 4 ., .

.

.

=

O. I,

63. Soluţie : Scriind teorema împărţirii pentru polinoamele : f = 2x3 - 7x2 + llx + 1, g = 3x3 - 2x2 - 1 şi h = x 2 - 3x + 1, obţinem /(x) = (x2 - 3x + 1)(2x - 1) + 3x + 2 şi q(x) = = (x2 - 3x + 1)(3x - 2) + 1, d~ci /(x 1) = 3x1 + 2 şi g(x;) = 1. Expresia se mai scrie : E = /(xi) + J(x2 l = ax1 + 2 + ax. + 2 3(xi g(x1)

+ X2) + 4 = 13.

1

g(x2)

+

Avem b2 - 4ac < O şi (a+ b + c)(a - b + c) = (a+ c) 2 - b > (a + 4ac = (a - c) 2 ;;i,: O de unde a - b + c > O. Altă soluţie: Fie /(x) = ax2 + bx + c. Deoarece 6. < O, rezultă că f(x) are semn constant pentru orice x. Dwarece /(1) = a + b + c > O rezultă şi /(-1) = a - b + c > O. Soluţie:

66.

c) 2 -

2

67. Soluţie: Fie f(x) = ax2 + bx + c, atunci a + b + c = /(1) < O şi deoarece 6. = b2 - 4ac < O, f(x) are semnul lui a, oricare ar fi x e R, deci a < O. Din b2 ::;;; 4ac => ac > O => c < O => a + c < O. 68. Soluţie: -Din b2 < 4ac => 6. < O şi /( -1) < O => a < O, deci ac> O =>c 2P = S2 - 10S + 45 => 2

=> (x 1 + x 2 ) 2 - 2x1 x 2 - lO(xi + x 2) + 45 = O => (x 1 - 5) 2 + (x2 - 5)2 = = 5(*). Impunînd ca rădăcinile să fie reale, din 6.' ;;i,: O => m e [10 - '\J 10, 10 + "'IO]. Din(*) rezultă (x2 - 5) 2 = 5-(xi - 5) 2 ;;i,: O=> -xî + 10xi -20 ;;i,: ;;i::O=>x1e [5-\fS, 5 + '\'s], deci pentru m e [10 - '\110, 10 + '\/10] rezultă Xi, X2 E [5 - '\ 5, 5 + ,J5]. . ··-· m• 2) Evident suma S = m e [10 - ,.J 10, 10 + , .; 10 ], produsul P = 2 -

- 5m

=

+~

x, e

e

r- t •

max/(5 - ~5), /(5

R, evident x 1 , x 2

.,,,

O => x2

+ ,Js)

= txi

l= r

10, ~] ·

Notăm t =

şi introducînd în (*) rezultă

X1 2

.%W + 1)

- l0x2(t + 1) + 45 = o, impunînd ca ecuaţia să aibe rădăcini reale, rezultă 6. ;;i,: O => 2t2 - St + 2 ::;;; O => t e [_I_ , 2] => _I_ :E;; x, :E;; 2. 2

2

X2

+

70. Soluţie: Deoarece f(x) = ax2 bx + c = O (a> O) are două rădă­ cini distincte O < Xi < x 2 < 1, atunci b2 > 4ac şi din formulele lui Viete, avem O < c/a < 1, b/a < O, adică a> c > O, b < O. Apoi /(1) = a b + c > O, de unde a c > -b. De aici a2 2ac c2 > b2 sau (a - c) 2 > > b2 - 4ac > O şi cum a, b, c întregi, rezultă a - c ;;i:, 2. Presupunînd că a ::;;; 4 sînt posibile pentru a şi c valorile a 1 = 4, c1 = 2 ; a2 = 3, c2 = 1 ; a3 = 4, c3 = 1, iar b trebuie să satisfacă condiţiile: 4 > b~ - 32 > O, 4 > bi - 12 > O, 9 > bl - 16 > O care nu sînt posibile în numere întregi.

+

+

+

+ +

71. Solnfie: Soluţie: Din condiţiile problemei rezultă că: J(n)

>

O,

+ I) > O, dar /{n), f(n + 1) sînt num.ere întregi, deci /(n) ;;i,: I, /(n + + 1) ;;i:: 1. Dacă x x sînt rădăcinile ecuaţiei, atunci /(n) = a(n - X1)(n - x 2) şi deci 1 ::;;; f(n) f(n + 1)' = a2 (n - x 1 )(n - xa) (n + 1 - x1) (n + + 1 - xJ = a 2(x1 - n)(n + 1 - Xi){X2 - n) . (n + 1 - x2). Folosind ine-

J(n

1,

2

108

galitatea mediilor obţinem (xi - n)(n - x2)

< .!..4 şi

=>

=

a

= !....a >

> 5.

Deoarece

n 2, deci c > an2

Xi,

x 2 e (n, n

> 5n2 şi cum c

e

Z => c

+ 1) => > 5n2 +

1.

cu a2 ambii membri ai egalităţii, obţinem 1 - :....)(!!_ +.:. + = ~=>(-Xi - Xz - X1Xz)(- X1 - X2 + X1X2 + ( !!._ a a a a a1 + 2) = 2 - xf xt => (xi + X2) 2 - 2(X1 + X2) - 2X1X2 - 2 = o => (X1 - 1)2 + + (X2 - 1)2 = 4 => (x1 - 1)2 = 4 - (X1 - 1)2 > o => (X1 - 1)2 < 4 => lx1 - 1 I < 2 => -2 < x 2 - 1 < 2 => -1 < x1 < 3 şi în mod analog, din cauza simetriei relaţiei din enunţ, rezultă x 2 e [ -1, 3]. Valoarea minimă a unei rădăcini poate fi -1 şi maximă 3.

72.

Soluţie: Împărţind

2) 2-

G.M. 8/1984

73. Soluţie: Evident a =I= O, c =I= O. Fie x 0 o rădăcină a primei ecuevident x 0 =I= O şi ax~ + b x 0 + 1 = O => împărţind cu ~. rezultă rc ( -1 )2 + b · -1 + a = O, d ec1. -1 verif'1ca ecuaţ·1a a d oua. Deci• d aca x , X 1 2 aţii,

v

Xo

Xo

v

Xo

sînt rădăcinile primei ecuaţii, atunci

.!.. , .!.. X1

sînt rădăcinile ecuaţiei a doua.

X1

Rezultatul obţinut se păstrează şi pentru ecuaţiile de grad superior de forma acx" a„x"

+ a 1 x"- 1 + ... + a,._ 1 X + a,. = O şi

+ a,,_ x"- + ... + a x + a = O. 1

+

1

1

0

+

ax2 bx + c = O, cx2 + bx + a = O avind inverse una alteia, dacă x1 > O este o rădăcină a ecuaţiei bx + c = O, atunci .!.. este o rădăcină a ecuaţiei cx2 + bx + a = O Soluţie: Ecuaţiile

74.

rădăcinile

ax2

I

X1

. ş1

x1

+1 X1

> 2Lv . uam d. ec1 x 2

= -I . X1

75. Soluţie: Discriminantul ecuaţiei a doua va fi: d = (a - c) 2 (b2 - 4ac) > O, Fie /(x) = x2 [b2 + (a-c)2 ] + 2b(a + c)x + + 4ac, atunci /(1) =(a+ b + c) 2 > O, şi/(-1) =(a+ c - b) 2 > O, deci numerele -1 şi 1. Se află în afara intervalului rădăcinilor, vom arăta că abscisa vîrfurilor parabolelor din familia definită de / se află în intervalul [-1,l]. Într-adevăr -1 < x, < I -b2 - (a - c) 2 < b(a + c) < b2 + (a 2 - c) -o M = b2 + (a - c) 2 - b(a + c) > O şi N = b2 + (a - c) 2 + b(a + + c) > O. Observăm că M + N =b 2 + (a-c) 2 > O şi M. N=b2[b2 +2{a-c)2 -

+

- (a c) 2 ] + (a - c) 4 > b2 [4ac + 2(a - c) 2 - (a+ c)2] + (a - c) 4 = = b2 (a - c) 2 + (a - c) 4 > O, de unde rezultă că M > O şi N > O, deci ambele rădăcini se află în intervalul [ -1, 1].

109

78. Soluţie: Din relaţiile lui Viete avem p + q = -r, r + s ,- -p, de unde q = s şi E = p + q + r + s = S. Din q = s şi pq = s rs = q rezultă ps = s, rs = s. Dacă s =/: O, atunci p = 1, r = 1 ~i din p + r + s = = O, avem s = -2. Deci valori posibile O şi -2. • 77. Soluţie: Avem x

Fie x 0 o

rădăcină

rădăcină

a

ecuaţiei

a

ecuaţiei

= - -p2 +

x2

V- pa 4

de mai sus

şi

+ pocx + qoc = O (1) 2

q

l v-1-- 1

.i;;; 2

+

,Js -4 + 1 = -+2-

oc e [ -1, 1]. Atunci ocx0 este care satisface condiţia proble-

mei, de unde

rezultă că mulţimea căutată

este de forma : oc

cu oc e [ -1, 1],

adică

1\

1\

segmentul [-

,Js ,

,Js] .

căruia

ataşa

i se poate

o

1

cinilor reale este [-

ecuaţie

de forma (1),

,Js] .

2

Reciproc, deoarece

număr din segmentul de mai sus este de forma oc= 1 +2,Js ,

orice

1 + ,Js =--

mulţimea

cu

Ioc I :i;;; 1, rădă-

valorilor

+/s , 1 +2

78. Soluţie: Fie f(x) = ax2 + bx + c, g(x) = cx2 + bx + a. Observăm /(-1) = g(-1) = a - b + c < O, deci graficele funcţiilor y = f(x) şi y = g(x) se intersectează într-un punct de sub axa Ox şi cum parabolele respective sînt cu ramurile în sus rădăcinile ecuaţiilor se separă. Altfel: Evident ecuaţiile au acelaşi discriminant ll. = b2 - 4ac. că

o < a < c => --b- -- ' .[A -b - .[A -b + ,JK -b + .[A - - < ---'-- < ---'-- < ---'-~ ~ ~ ~ Dacă O < c < a, atunci x~ < x 1 < x 2 , de unde x 1, x 2 sînt

D aca V

primei

ecuaţii,

iar

79.

Răspuns

80.

Soluţie:

x~, x; rădăcinile ecuaţiei a doua.

: a

(-2, O).

e

Fie f(x) = a2 x 2 + bx + c, f are o singură rădăcină între x1 şi x3 . - f(x 1 ) f(x 3 ) < O. Obţinem (a 1 - a~)(a 2 - a3 ) < O.

cuprinsă

81. Soluţie: Fie f(x) f (~)

rădăcinile

= ~ ~2 care sînt

=

~ x~ 2

+ bx + c.

Avem f(a.) = ~ ~ oc2 şi 2

de semne contrare. Deci există y_ între oc şi ~. aşa că

f(y) =0.

L..

82. Soluţie : Condiţia ca rădăcinile trinoamelor J(x) _= x2 + mx + n şi g(x) = x2 + pţ q să fie reale :Şi să se separe este ca graficele funcţiilor y = f(x) şi y = g(x) să se iµtersecte?:e ·tu punctul (xr, y 0 ) de sub ·abscisă= Yo < O). Rezolvînd ecuaţia f(x) = g(x), găsim x 0 = (q - n)/(m - P) şi y 0 = (m - p2) [(n - q) 2 + (m - p)(mq - np)] < O. Avem şi reciproc!

+

e R - Q· şi astfel încît x~ + ax 0 + b = O, x~ + membru cu membru obţinem: x 0 (a - c) = d - b. Da~ă a =/: c, atunci x 0 = d - b e Q absurd, deci . a = c, de unde rezultă

83.

Soluţie : Fie x 0

+- cx0 + d = O. b = d.

Scăzînd

a-c

no

84. Soluţie: Dacă oe este o soluţie a ecuaţiei, atunci şi -oe este soluţie. Pentru a avea soluţie unică trebuie ca oe= O, deci a 2 - b2 =O= b =±a; b = -a nu convine, iar pentru b = a se obţine: Ix I (a Ix I + a) =O= ::;.. X= 0. 85. Soluţie: Fie oe rădăcina comună. Avem aot2 + bot + c = O, bot 2 + coc + a = O, cCJ. 2 +· aa. + b = O. de unde (a + b + c)(oc2 + 0t + 1) = = O, şfcum a+ b + c =f, O, rezultă oc 2 + oe.+ 1 = O, deci oe rădăcină complexă a unităţii. Din aoc2 + boc + c = O, a, b, c e Il şi oc e C rezultă a= b = c, deci ab + bc +ac= 3a2 > O. 86. Soluţie: Fie x rădăcina comună reală, adunînd relaţiile ·obţi­ nem: (a+ b + c)x2 + (a+ b + c)x +a+ b + c =O= (a+ b + c)(x2 + + x + 1) = O, dar x2 + x + l > O, ( V) x e n, aşa că a + b + c = O. Reciproc, dacă a+ b + c = O, rezultă că x = 1 este rădăcină comună. 87.

a

=f,

c,

au o rădăcină comună oe, atunci aa.2 + ca. 2 + bi:t. + a = O, de unde (a - c)a.2 = a - c şi cum a.2 = 1, CY. = ± 1, deci a± b + c ~ O, de unde (a + c) 2 = b2 • (a + c) 2 = b2 , atunci ecuaţiile au rădăcina comună I sau -1.

Soluţie

+ bot + c =

O

rezultă dacă

Reciproc

:

Dacă ecuaţiile

şi

88. Solufie : Dacă x 1 este rădăcină comună şi x2, x3 celelalte atunci X1 + X2 = -a, X1X2 = bc, Xi + X3 = -b, X1X3 = ac. X1X2 E v1"dent x x x =f, o Şl, dec1, - = bc - = X2 - = -b . 1 2 3

x1 x 3

ac

x3

rădăcini,

a

Din .~ 1 + x 2 = -a1 x 1 + x 3 = -b rezultă x 2 - x3 = b - a şi deci x 2 = b, x 3 = a iar x 1 = -a - b = c, deci coeficienţii verifică relaţia a+ b + c =O.Ecuaţia cu rădăcinile x 2 = b1 x3 = a este x2 - (a+ b)x + + ab = O adică x2 +ex+ ab = O.

89. Soluţie : Fie  1 ,  2,  3 , discriminanţii celor trei ecuaţii : Rezultă =  3 = b2 + 4ac şi  2 = b2 - 4ac. Distingem cazurile: I. b2 + 4ac < < O =  1 < O,  3 < O :::,. A = C = 0 => A U B U C are cel mult două. elemente. II. b2 + 4ac = O =  1 = /l 01 = O => A şi C au cîte un element. Dacă acest elem b = O absurd, deci A u C - are donă elemente. Presupunînd ca A u B U C are 3 eiemente, rezultă că n are un singur element, deci şi  2 = O => b2 + 4ac = O şi b2 - 4ac = O => b = O, absurd. III. b2 + 4ac >O=>  1 > O,  2 > O, .A şi C au cîte două elemente distincte întrucît A şi C nu pot avea un element -comun (astfel b = O), rezultă că A u C are patru elemente, deci A U B u C, are cel puţin patru. elemente. · ~ 1

90. a

Indicaţie

: Se

elimină rădăcina comună

între cele

două ecuaţii.

91. Soluţie : Fie E 1, E 2, E 3 , E 4 cele patru ecuaţii, oc 1 rădăcina comună ecuaţiilor E 2 , E 3, E 4, ot 2 a ecuaţiilor E 1 , Ea, E„ şi a.4 a ecuaţiilor Ev E 2, E 3 •

Rădăcinile a.1 , a. 2 , a. 1 nu pot fi toate diferite două cîte două, fiindcă ecuaţia. E, ar avea trei rădăcini diferite, deci cel puţin două coincid. Dacă de exemplu a. 1 = u.2 , atunci cele patru ecuaţii au ca rădăcină comună pe oc 1 = oc2 •

lll

92. SoluJie : A U B u C = 0 => A = 0, B = 0, C = 0 => a2 - 4b. < o. b2 - 4c < O, c2 - 4a < O => a2 < 4b (1} ; b2 < 4c (2} ; c2 < 4a (3), Avem a, b, c > O, deci a, b, c e N* şi (1} =>a'< 42b2 ~ a' < 42,4c => a 8 < 4s. c2~ a8 < 48 • 4a => a 7 < 47 => a < 4. a e {1, 2, 3}. Analog b, c e {l, 2, 3}. Fie a= 1. Din (3} rezultă c = 1 şi din (2) avem b = 1. Deci a= b = c. Fie a= 2. Din (1) avem b > 1 deci b e {2, 3}. Pentru b = 2 din (2} şi (3) rezultă c = 2. Nu putem avea b = 3, fiindcă din (2) rezultă c > 2, deci c = 3, contradicţie cu (3). Deci a= b = c. Fie a= 3. Din (1) avem b > 2, deci b = 3 => c = 3. Deci a = b = c. 93. Rezolvare: Fie/(t) = at2 + (b - l)t + c, D = (b - 1)2 - 4ac. Adunînd cele trei ecuaţii, avem /(x) + /(y) + /(z) = O. Dacă D < O, sistemul nu are soluţii reale. Într-adevăr, fie, de exemplu, a> O. Atunci /(t) > O, pentru orice t real, de unde /(x) + /(y) + f(z) > O. Dacă D > O, ecuaţia f(t) =Oare două rădăcini reale distincte t 1 şi t2 şi atunci x 1 = y 1 = z1 = t 1 şi X2 = Y2 = z2 = t2 sînt două soluţii reale diferite ale sistemului. Rezultă necesar ca D = O. Reciproc fie D = O şi t 0 rădăcina reală unică a ecuaţiei J(t) = O. Atunci x 0 = Yo = z0 = t 0 este soluţie reală a sistemului. Să ară­ tăm că sistemul nu mai are altă soluţie reală. Presupunem a > O. Atunci f(t) > O pentru t #: t~. Dacă unul din numerele x, y, z (de ex. x) este#: t0 , atunci /(x) > O, /(y) > O, /(z) > O, de unde /(x) + /(y) + /(z) > O, ceea ce încheie demonstraţia. M. SoluJie: Evident, dacă a+ b + c + d = O, atunci x 0 = 1 este soluţie comună. Reciproc, fie x 0 rădăcina comună a celor trei ecuaţii. Înmulţind ecuaţiile cu b - c, c - a şi respectiv a - b şi adunîndu-le obţinem: ~+b2+&-d-u-~~=~+b2+&-d-u-~~ ~ [(a - b) 2 + (b - c) 2 + (a - c) 2]x0 = (a - b) 2 + (b - c) 2 + (a - c) 2 şi cum a, b, c nu sînt toate egale, rezultă (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 > O => => x 0 = 1. Înlocuind 1ntr-una din ecuaţii obţinem a+ b + c + d = O. ~

.

95. Soluţie : Fie A = {x e R Ix2 + 2ax + b

+ 2bx +a= O}.

= O}

şi

B

= {x

e

R Ix 2 +

Avem cazurile: 1) A= 0, pentru a2 < b şi atunci A" B = 0. 2) A are un singur element, deci ÂA = O => x 1 = x2 = -a şi pentru ca A"B = 0 trebuie să avem şi -a e B şi deci a2 - 2ab +a= O, a 2 - b = O, de unde pentru a, b perechile (O, O), (1, 1), (-1/2, 1/4). 3) A are două elemente, deci B trebuie să aibe aceleaşi elemente, rezultă b = a şi a2 - a> O.

96. Soluţie: Inegalitatea din enunţ este echivalentă cu (aoc - c) 2 < oc(b2 - 4ac) de unde rezultă b2 - 4ac > O, deci ecuaţia are rădăcini reale şi distincte. Observăm că/(.J;.)/(-,.,j';.) = (aoc + c) 2 - ocb 2 < O, deci ecuaţia are o singură rădăcină x1 în intervalul (- ~/«, ,v '«) => Ix 1 I < ,v;. şi lx2 I > ..;;,. 97. Soluţie: Inegalitatea se scrie :/(x) = (b + c -2a)x2 +(a-2b+c)x+ a b - 2c > O, pentru orice x e R. Avem /(1) = O. Deoarece / are rădăcina 1 şi /(x} > O pentru orice x. Trebuie ca 1 să fie rădăcină dublă şi deci x2 = a+ b - 2.c = 1, de unde c = d. Avem f(x) = (b - a)x2


O. Deci/(x) >O~ a= c ~ b. 112

98. Soluţie : Fie x 0 rădăcină a ecuaţiei : ax2 + bx + c = x cu O < x 0 < 1. Avem ax: + bx0 + c = x 0 => ax: + bx0 + c = (a + b + c)x0 care se mai scrie (1 - x 0 )(c - ax0 ) = O, de unde X 0 = .!:. • Deci O < .:.... < 1 => c < a a

1 = a + b + c < 2a + b. Reciproc dacă 2a x 0 =.:.... este rădăcină a ecuaţiei cu O

1 rezultă c


O.

+ ac < O. Deci ecuaţia f(x)

cină reală

b2

-

/(x) = cx2 + bx + a pentru care /(O) /(1) = = O, cu coeficienţi reali, are o rădă­ 1, deci are ambele rădăcini reale şi distincte, de unde

consideră funcţia

Altfel: Se = a2 + ab

între O şi 4ac > O. Altfel: Fie f(x)

=

ax2

+ bx + c şi

condiţia

devine a/(1)

< O.

+ (a+ b)m + !:...3 + !!._2 + ax + (a + b)x + !:... + !!._ + 3 2

100. Soluţie: Egalitatea dată se scrie am2

+ c = O, + c=

deci 3x

e

R care verifică ecuaţia

O. Punînd condiţia /l. ~O=> b2

-

2

4ac ~

a•> 3

O => b2

-

4ac

> O.

+ 1), / (m + {) şi ţinînd seama de egalitatea dată rezultă: J(m) + J(m + 1) + 4/(m + ½ )=0, rădăcină în (m, m + 1) calculăm f(m), f(m

Pentru o

deci una sau cel mult două valori sînt negative, de unde rezultă că cel puţin o rădăcină e [m, m + 1]. Observaţie. Aplicînd teorema de medie pentru integrale pe intervalul [m, m + 1] =>

=

aor.2

astfel

m+l

S (ax + bx + c) dx = 2

"'

+ bor. + c = am + (a + b)m + !:...3 + ~2 + c încît : arx. + ba. + c = O. 2

=> 3or.

e

{m, m

+

1),

2

Cazul ac = O este banal. Fie ac ::fi O, şi /(x) = ax2 + bx + c. Vom arăta că ecuaţia f(x) = O are rădăcini reale, de unde va rezulta inegalitatea din enunţ. Într-adevăr, avem /(O)= c. Apoi!(~)=

+

101.

Soluţie:

)I + b - - + c =m+l - - --+m+l m

m=a ( m+l

m1

m m+l

egalitatea din

enunţ,

(

a

b )

m+l

+c

ş1•

ţ·mm d seama de A

avem:

f(_!!__)=~ •_2-.+ =m ~ • m+l m+l m-1 -l Din /(O) · !(__!!!__) = ~ < O rezultă că ecuaţia are o rădăcină reală în m+l m -l C

1

1

intervalul

fo, \

__!!!__) şi m+l

reale, ceea ce încheie

cum este cu coeficienţi reali are ambele rădăcini demonstraţia.

113

102. Soluţie: Fie f(x) = ax2 + bx + c. Căutăm oc, ~. y > O aşa· ca «f(O) + ~f(l) + yf(2) = O, deci cxc + ~(a + b + c) + y(4a + 2b + c) = O. Sistemul °' + ~ + y = 6; ~ + 4y = 5, ~ + 2y = 4 are soluţia : °' = :!.. , 2

~=

= ~. 2

3, y

Deci :!__ f(O) 2

+ 3/(1) + ~2 /(2) = O.

De aici rezultă că /(O), /(1), /(2) nu pot fi toţi pozitivi sau toţi negativi. Dacă unul din /(O), /(1), /(2) este zero, problema este rezolvată. Dacă nu, unul din ei are semn contrar celorlalţi doi, deci ecuaţia are cel puţin o rădăcină în intervalul (O, 2).

103. Soluţie: x + y = 6 - z şi xy = 9 - z(6 - z) şi cuiu (x + y) 2 > ;;;,. 4xy rezultă că (6 - z) 2 ~ 4(9 - 6z + z2) echivalentă cu 3z2 - 12z ~ O => z e [O, 4]. Analog x, y e [O, 4]. Observaţie: Punînd în locul lui 6 şi 9 respectiv a şi b cu acelaşi raţio­ nament rezultă că : a - 2.ja• -- 3b

a+ 2,./a2

-

3b ]

x,y,z e r - - - ' - - - - , - - - ' - - - 3 3 -

.

.

~ y ~ z. Atunci 3(z - x) ~ 4[(x + y + + xz + yz)] =-3(z - x) ~ 2[(y - x) + (.:- -y) + (z - x)2]-. ~ 2 [(y - x)~ + (z - y)~] [(y - x) + (z - y) ] ~ 2 [(y - x) +

101. Solutie: Presupunem x

+ z)2 - (z + (z -

xf

Ei

l

Soluţie:

a - J' ,

2 a --3

Y=

!

2

2

adevărată!

+ (a -

-x2

2

2

2

y)2],

105.

=

2

3(xy

y)x

= - ~ v2

, Emax

4a2 = -3

+ y(a - y) care pentru + .:!_2 y + ~4 care la rîndul a2

•

. Din

11

•

X= - - - S1 \ 1

,_

x

=

+ yz =

xz

are un

a~ Y

maxim

lui admite un maxim .pentru

a

= -3 ave111

a . Şl 3

X= -

Deci maximul expresiei este ~ obţinut pentru x = y = z 3

=

+ x~ + y 2 + 2xy + 2xz + 2yz = a2 3xy + 3xz + 3yz ~ a2, adică x·~ + y 2 + z2 ;;;,. xy + xz + yz (x - y) + (x - z) 2 + (y - z) ~ O. Altă soluţie:

+

a) Eliminînd pe z avem: E(x) = xy

Din z2

.

apol

Z -

a 3

-

!!_ . 3

să arătăm că echivalentă cu

2

b) Analog cu a), iar c) rezultă din b). 106. Soluţie: Avem a+ c = -b şi ac=~ [(a+ c) 2

=

¾[b

2 -

(1 - b2 ) 1 = b2

-

2

f.

Deci trinomul /(t)

= t2

2 -

(a2 + c2 )]

+ bt + b2 -

=

½are

Deoarece a ~ b ~ c rezultă că f(b) ~ O, adică b + b2 + ~ ~ O, de unde b2 ~ _!_. Fie c - a= u. Exprimăm pe b şi c în

rădăcinile a şi c.

+b

-

2

2

6

-(2a + u) şi din a2 + b2 + c2 = 1 rezultă 6a2 + 6au + 2u2 - 1 = O, şi cum a este real discriminantul acestei ecuaţii trebuie să fie pozitiv, de unde u 2 ~ 2. 2 + 1 eZ . ·1 e smt 1ncreg1, • 10-,. so l u1·1e: D aca ra dvac1111_ a t unei. X 1 + X2 = mm + 1

funcţie de a şi u. Avem c = a

V

. Şl

X1X2

-2m =-e m+I

+ u, b =

V

J

A

2m + I Z, dar --

=2

m+l

•

_ _I _ m+l

114

,·

-2m

m+l

= _2 +

_2_ . 1

m+

w 1 D ec1. d aca--e

m

+

z

2 Z, =>--e

m

l

+

{m + 1 = 1 = m = m

l

+1=

-1 => m

O,

=

-2.

Pentru m =O=> x2 - 2x =O=> x1 = O, x2 = 2 .. Pentru m = -2 => x2 - 3x - 4 =O=> x1 = -1 x2 = 4. 1m+l

2) Trebuie ca -

A = 12m2 + 12m + 1 =

= k e Z => m = ~ ; k =I: O, deci discriminantul k

12(1 - k) 2+ 12(1 -

k1 (k -

6)1 kl

-

24

•

= - - - - . Trebuie ca (k - 6) 2

k)k

2

-

+ k' =

k + p - 6 = 12 k-P-6=2

1k {

{ k+P-6= 2 k -p - 6 = 12

+ p -6 =

lk -p -6 = {

k

+ p -6 = =

k-p-6 k k

+ p -6 =

+

12

=

k1

4 = p 2 => (k - 6) 2 -p2 = 24 =>

=> (k - 6 + p)(k - 6 - P) = 24. Deoarece k + p paritate, rezultă că se consideră situaţiile : {

k• - 12k

şi

k - p sînt de

aceeaşi

-12 -2 -6 -4

{ k+P-6=6 k+P-6=4

-2 -12

Jk+p-6=4 lk-P-6=6

-p -6 = k + p -6 = -4 {

= -6.

k-p-6

J)in, care rezultă perechile de soluţii (k, p) : (13, 5) ; (13, -5) ; (-1, 5) ; ·. (-c.1, -5); (1, lJ; (1, --,-l); (11, 1); (11, -1) => m e {O, -2, - -10 ; --12} . 11

108.

Răspuns:

109.

Soluţie:

13

a2y + 5aby + 6b + ac = O. 2

2

f(x) = nx2 -2(a1 + a 2 + ... + a,.)x + a~+ al+ ... +a!;

a1+a1+ ... +a..

'"'()

Xmin = - - - - - - = > J , X

n

""()

~J'Xmin;

110. Soluţie: Scriind că f(g(x)) = g(f(x)) pentru orice x e R rezultă A = a2, ab = -2, B = -3, şi cum a, b întregi => a e {± 1, ±2}. Avem soluţiile întregi nenule {a, b, A, B) = (1, -2; 1, -3), (-1, 2; 1, -3), (2, -1, 4, __:3); (-2, 1; 4, -3). Soluţie: Se verifică uşor că f(x) ~ x (\f) x e R şi x ~ g(x) R => (fofof)(x) ~ (fof)(x) ~!(~),~ x ~ g(x) ~ (gog)(x) ~ ' 1 ;ai: (.gog o g)(x). Egalitate pentru x = - .

· 111.

(\fl x

e

8

rn:

1 Soluţie:· Se verifică uşor că: f(x) ~ 1 ( \f) x e R => f(g(x)) ;;;i. 1 ( 'v) x EU şi g(x) :E:; 1, ( \f) x e R => g(f(x)) :E:;,l ( \f) x e R 7 f(g(x)) ;;;i. ;;;i. g(f(x)) {\f) x e R. Dar egalitatea nu poate avea loc pentru că f(g(x)) = 1 şi g(f(x)):= 1. Dacă·g{x) = -1 şi/(x) = 1, care nu au loc simultan . . i:L 113. Soluţie: Fie P(x) = ax2 + bx c şi Q(i) = mx2· + nx + p. Din condiţia dată, P{Q{x)') :__ Q(P{x)), prin identificarea coeficienţilor lui x4, x3 , x şi ţinînd seamă că am =I: O, deducem că m = a, n = b, .p = c şi deci P=Q ..

+

115

114. Şoluiie: Funcţia/(x) = ,v2x2 + x + 1, verifică cerinţa problemei. Într-adevăr, din:x, y e Q şi /(x) = J(y), rezultă ~(x2 - y 2) + x - y = O dar ,J'i f/:. Q, aşa că (x + y) ,J2 + 1 .;, O şi deci x = y. 115. Soluţie: Punînd x = 1 în relaţia dată :::;,. /(1) = O şi scriind sub formă echivalentă inegalitatea, obţinem: -(x - 1)2 ~ ax2 bx c~ ~ (x - 1) 2, ( \f) x e R :::;,. (a - l)x2 (b 2}x c - 1 ~ O, ( \f) x e R şi (a+ l)x2 (b - 2)x c 1 ;;;i, O, (\f) x e R. Impunînd condiţiile cunoscute rezultă: a e (-1, 1) şi /l 4/(1) ~ O /l - 4/(1) ~ O (/l = b2 - 4ac) şi cum /(1) O :::;,. /l O, deci J(x)

+

+ +

+ +

+

+

=

+

+

=

=

= a(x - 1) 2 cu a e (-1, 1). Dacă a= 1:::;,. b = -2 şi c = 1, iar dacă a = -1 :::;,. b = 2 şi c = -1, deci J(x) = a(x - 1)2 cu a e [ -1, 1].

116. =>

k(l)

=

Pentru x = 1 :::;,. g(l) ~ h(l) ~ f(l) :::;,. 4 ~ h(l) ~ 4 :::;,. 4. Graficele funcţiilor J, g, h arată ca în figură. Se observă că parabolele corespunzătoare sînt tangente două cîte două în punctul de y coordonate (1, 4). Atunci ecuaţia de gradul al doilea h(x) = g(x) are pe x = 1 rădăcină dublă. Dacă ( 3} >.. e R, astfel încît h(x) - g(x) = >..(x - 1)2, ( \f} x e R (1). Dar J(x) - g(x) = (x - 1)2 şi relaţia (1) devine k(x) - g(x) = = >.. [J(x) - g(x)] sau h(x) = >..f(~} + (1 - >..)g(x), ( \f) x e R. Evident >.. e [O, 1 ]. într-adevăr din g(x) ~ ~ h(x) ~ J(x), deducem ~ 5 h(x) o - g(x) ~ J(x) - g(x) sau ţmmd sealD:a X de (1) şi de definiţiile lui J şi g obţi­ nem O ~ >.. (x - 1) 2 ~ (x - 1)2, ( \f) Fig. 2 x e R, adică O ~ >.. ~ 1.

Soluţie:

+

117. Soluţie: Notăm

+ cy = O. Punem und e y

e

118.

b - 2,,/ac [ ----''--, lr - 4ac;

Soluţie

"e R""{{a

x

+ +

=y

ax1 bx c condiţia /l ;;;i, O şi avem

+

b - '2,,/ac; -b1 - 4ac;

: Conform

1

şi avem ayx2

+

(b2

2by

-

4ac)y2

-

+

+ 1 ;;;i: O,

de

.

enunţului,

pentru orice

y

+ b)/2}, astfel încîtf(x) = y, adicăy = 2x-a-b x• - ab

+(a+ b)y -

l)x

(by -

Imf există ~ x2 - 2yx + e

= O.

Pentru ca x să fie real, trebuie ca /l(y) > O, adică y (a + b)y + ab ;;;i, O ~ (y - a)(y - b) ;;;i, O. Dacă a < b, atunci Im/= (-oo, a] u [b, +oo), iar dacă a= b, atunci Im/= R""-{a}. ab

2 -

119. Soluţie: Dacă x1 şi x 2 sînt rădăcinile lui/, atunci /(x) = (x - x1)(x - x 2), deci f(/(x)) = (f(x) - x1)(f(x) - x 2). Rădăcinile ecuaţiei /(f(x)) = O se obţin prin rezolvarea ecuaţiilor :/(x) - x 1 = O şi/(x) - X2=0. Dacă/{f(x)) are trei rădăcini egale, există x 0 e R cu/(x0 ) = .%1 şi /(xo) = = x2, deci x1 = x 2 • Prin urmare ecuaţia f(f(XJ) = O are fie patru rădăcini egale, fie rădăcinile ei sînt de forma ac., ac., ~. ~ cu ac. #: ~R.M.T. 1/1986

116

120. Soluţie : Dacă ecuaţia /(x) = x nu are rădăcini reale atunci ori x pentru orice x (dacă a > O), ori J(x) < x pentru orice x (dacă a< O) şi atunci orif(/(x)) > f(x) > X pentru orice x, orif(f(x))

121. Soluţie: f are o singură rădăcină în (O, 1) f(O) /(1) < O c(l + b + c) < O c + bc + c2 < O J(c) < O f(f(O)) < O. Atunci /of are rădăcini reale. Fie/(x) (x - x 1 )(x -x2}=>/(f(x))=(/(x)-x1)(!(x)-x2). j(f(x)) = O J(x) = x 1 sau /(x) = x 2 • Fie y 1, y 2 rădăcinile lui J(x) = x 1 şi y 3 , y 4 rădăcinile lui f(x) = x 2 • Este suficient să arătăm că YtY 2 < O şi y~y 4 > O (sau inYers). Avem Y1Y 2 = c - x 1 = J(O) - x1 şi y 3)'.1 = f(O) - x 2 • Dar (/(O) - X1)(f(O) - X2) =c f(f(O)) < O.

=

este una din mulţimile căutate. Observăm (lxl - 1) 2 +Ix!> O, (V} x e R. În particular rezultă că A conţine şi elemente pozitive. Dar singurul element pozitiv al lui A este 1, fiindcă în caz contrar din ot e A, ix > O şi ot .;. 1 rezultăf(ot) > ot (ot - 1) 2 > O, evident. Decif(ot) e A şif(ot) > ot. Similar J(/(ix)) > f(ot) şi J(/(ix}) e A. Din aproape în aproape putem construi o infinitate de elemente distincte ale mulţimii A, dar A este finită. Fie ~ e A şi ~ ~ O. Deoarece f(~) > O rezultă că f(~) = 1, adică ~2 + ~ + 1 = 1 ~ e {-1, O}. în concluzie mulţimile căutate sînt: A = 0, A = {1}, A= {O, 1}, A= {-1, 1}, A= {-1, O, I}. 122.

căf(x) =

Soluţie: Mulţimea vidă

x2

-

lxl + 1 > O,

fiindcă

G.M. 11-12/1986

123. Rezolvare: Punctul A verifică ecuaţia parabolelor. Pentru ca vîrful unei parabole să fie în A trebuie ca m + 1 = -3/2. Ecuaţia parabolei corespunzătoare este y = -x2 - 3x - 17/2. Coordonatele vîrfurilor parabolelor respective sînt x = m + 1, y = m(m + 5) şi ele verifică ecuaţia

respectivă.

124. Soluţie: Să arătăm că oricare ar fi a, b, c e R găsim oe, ~ e R"'Q,

0t.;. ~ şi aşa că f(x) = /(~) => dar aşa ca ~ = (m - n) [a(m

-IX -

IX

+~=

!!.. să fie iraţional. a

+ n) + b] =

-

!!.. . Luăm

oe iraţional arbitrar

4

Din g(m) = g(n) cu m, n

Q sau

e

O implică m = n dacă şi numai dacă - ~ este a

iraţional.

125. Soluţie : Mulţimea punctelor prin care trec toate parabolele, adică mulţi­ mea punctelor fixe, ale fasciculului de parabole se obţine din relaţia: m(x - 1)2 (x - 1)2 - O 6x + 6 - y = O => { => -6x+6-y = O => x = 1 şi y =O=> M(l, O) => A = {(1, O)}. Fie punctul (x 0 , yc) prin care trece o singură parabolă din familie, deci, m = Yo + Szo - 6 , (zo -

l)a

de unde rezultă x 0 .;. 1, deci mulţimea B este formată din toate punctele planului,

.117

Fig. 3

mai puţin mulţimea punctelor de pe dreapta (d), paralelă cu axa Oy si de ecuaţie x = 1. Evident, mulţimea C este vidă. Mulţimea D este for~ată din mulţimea punctelor dreptei d, şi a dreptei de ecuaţie 6x + y - 6 = O, (d1) mai puţin punctul M(l, O), deci (D = d U d1) - {M}. Evident A u B U C U D = R xR (vezi figura). B = R X R - d U d 1 • -1 şi

=

=> Xi

Din la + c I = Jb J => a + c = ±b. Dacă a + c = b => = - .!:.. • Dacă a + C = -b => Xi = 1 şi X2 = .!:.. •

Indicaţie:

126.

X2

a

a

I I I~ I

Soluţie: Din egalitatea dată şi a '# Orezultă 1 + ~ = oc => => 1 + Jxv x2 J . oclx1 + x2 J ~ ocJx1 J + o:Jx 2 J; de unde (Jx 1 J - oc)(Jx2 J- oc) = o: 2 - 1 ş1 cum oc < 1 avem Jx1 J < ex şi Jx2 J > oc. 128, Soluţie: Din IP I + Jq I < 1 rezultă Jx1 + x 2 J + Jx1 x2 J < 1, dar cum Jx 1 I - Jx 2 J < Jx 1 + x 2 Jputem scrie Jx 1 I - Jx 2 J + Jx 1 I · Jx2 J - 1 ~ 11 + x1 x2 - x1 - x2 J < 1 => Jx 1 - 11 Jx2 - 1 J < 1, deci cel puţin un factor este mai mic decît 1. Dacă Jx1 - 11 < 1 - -1 < x1 - 1 < 1 => => 0 < X 1 < 2. 2) în mod analog rezultă Jx1 + 11 Jx 2 + l J < 1 => -2 < x1 < O. 130. Soluţie : Împărţind inegalitatea dată cu Ja J, obţinem : 127.

Iex

2

+ ~ « + ~ / < 1 => Jex2 - ex(x1 +

x 2)

+ x1x2 J < 1- => Jx1

-

o:

J·

oc I

< 1, deci cel puţin un factor trebuie să fie mai mic decît 1. Fie Ix1 - oc I < 1 - -1 < x1 - ex < 1 - ex - 1 < x1 < oc + 1. 131. Soluţie: Fie f(x) = ax 2 + bx + c şi fie u = /(1), v = /(-1) atunci a + b -j- c = u şi a - b -j- c = v => 2b = u - v şi 2a = u -+ v - 2c. Deoarece Ju I= 1/(1) I ~ h, Jv I= 1/(-1) I ~ h, Ic I== 1/(0) I ~ h şi 2 Ja I = = Ju + v - 2c I ~ Ju I + Jv I + 2 Ic I ~ 4h, 2 Jb I = Ju - v I ~ Ju I + Jv i ~ ~ 2h, atunci Ja I + Jb I + Jc I ~ 2h + h + h = 4h. 132. Soluţie: Vom demonstra că pentru k = 3, afirmaţia este adevărată. Fie / (x) = ax2 + bx + c şi h = max lf(x) I, atunci 1/(1) I ~ h_ lf{-1) I ~ h şi 1/(0) I = Jc I ~ h, din care rezultă a + b + c ~ h, -a - b ....:.. Jx2

-

+

- c ~ h, a - b c ~ h, -a+ b ·- c ~ h, c .::;;; h, -c .::;;; h(l). Din a+ -j- b c ~ h şi -2c ~ 2h =:>-a+ Z, - c ~ 3h (2). Din a - b c··~ h şi -2c ~ 2h => a - b - c ~ 3h (3). Din -a - b - c :.; h şi 2c ~ 2h => => - a - b + c :.; 3h (4). Din -a b - c :.; h şi 2c ~ 2h => -a + b, c ~ 3h (5). Prin unrni.re, din toate situaţiile (1), (2), (3), (4), (5) rezultă Ja I Jb l Jc J ~ 3h. Pe de altă parte dacă k

O şi x2 +ex+ + d > O (indiferent dacă ecuaţiile au rădăcini reale sau nu), deci pentru Jx I ~ 1 şi_suma 2x2 x(a c) b + d < O·=> x2 c Jx + b a > O,

133,

Soluţie:

+ ++

+la;

118

!

deci dac:ă. ecuaţia x2

+ a +2 c x + b +2 d

=

O ( 1) arc rădăcini reale, atunci

află

în inte:rvalul (-1, 1), deci modulul lor este m.ai mic decît 1. Dacă ecuaţia (1) nu are rădăcini reale, atunci ele se află în intervalul (-1, 1) ,deci modalul lor este mai mic decît 1. Dacă ecuaţia (1) nu are rădăcini

de se

x1,

reale,

x 2 e C - R atunci

= /x

~ lbl!ldl < 1

1 /

x2 = x1 şi /x 1 x2 I= /x 1 x1I= /x11 2 =

t!

d 1

~

1 (deoarece din ipoteză /bi< 1 şi /dl< 1).


±b ~ a + c J ş1 cum a > O, rezulta ca a -t- b -j- C ;;i, 0 ::;,. /(1) ;;i: 0 numerele -1 şi 1 se află în afara intervalului determinat de rădăcinile ecuaţiei. Din a ~ x 1 x 2 ~ 1 (*), de unde rezultă că nume-

134.

Soluţie

=

,

=a

rele -1 şi 1 se află de o parte şi de alta a intervalului rădăcinilor (altfel ar rezulta o contradicţie cu(*), adică x 1 ,x2 e [-1, 1] Jx1 / ~ 1 şi IX2 I ~ 1.

=

=

13:,, Solufir: Fie /{x) = ax~ + bx -+- c. Evident, din /a + c I < Jb I Jb I < a+ c < /b I, de und~ d::i.că b > O =a+ c -- b > O şi a+ + + b >O= f(l) > O şi /(-1) Jx 1 J < 1 şi /x2 / > 1. (Condiţia că in intervalul {oc, ~) să se afle o singură rădăcină este /(a.)/(~) < O). Reciproc: Formăm ecuaţia care are rădăcinile /x1 I şi Jx2 /. ' .1 + X 2)2 - 2 X 1X.2 1' 2 / X1X.2 I -- -; b2 - . 2c . S -- I X1. I -ţ-. I X 2 I => 52 -- lX F le - ,, => c

a

b' - '2ac + 2 !ac! + 2 1 _ac , ---_________ a

=>

S __

2ac

+ '2 :ac I

../b'2- -----

. p -_

Şl

lal .Jb"" -

2

J

X• 1 X 2

J

a I -c I a

-_

aşadar ecuaţia va fi q(x) = I a /x2 2ac + 2 Jac I x + : c I = O deo.-.rece Ix! I < 1 < I x2 I = q(l) < O, adică q(l) = I a I + Ic I - \·b~ - 2ac + 2/ac/ Ia -/- c I < Ib I.

şi

136.

Soluţie: Notăm

ax2 + bx + c. /x 2 j. atunci evident x1 , x2

f(x)

=

1) Dacă Jx 1 I < a. < e ll, p~:ntrn că dacă .xi, x2 e C - R, atunci x2 = x 1 => J.x2 I = lx1 I, contradicţie; deci P 1 P 3• .Ridicînd la pătrat relaţia dată rezultă : (aoc2 + c) 2 ~ r;.~b 2 ==> (a~ 2 + c? - 4ixYac ~ oc. 2 (b2 - 4ac) (a:x 2 - c) 2 ~ oc. 2Â => Â ;;i: O deci P 2 => Pa. 2) Arătăm că P 2 1\. Inegalitatea se mai scrie: -oc !bi 1I x .~ 1I < şi ~ J>~c1·,··1·oc l.> l P 2· J,., c·;' ' ·"'2 J .,,.,,> -..,.,.. \.t... .i-"

=

=

=

'\ -

""1

..,.,,

'

.,,.

'-

N -.1..

.,\,

Formăm ec~ia"ţia care s = I X1 I + I X2 I :.=> S2 = _ 2 X1X2 -_ -b' a2

,q(x)

=

laJx2

1

1

"

-

I I c a

-

-

•

•

=

..1..

:

\~I ·

Ix 1 i, 1X:i : , P = i x 1 I Ix 2 I = xr + x: + 2 I X1;'\;2 I = (xi + X2)2-f-- 2 I X1X2 I c __ b + 2 Jac I - 2ac d·, . " _ ,Jb• + 2 Jac. I - 2ac 2 - ---- , 'CCl ;:, ----- , are rJdickile 2

a

a2

-(\b:: -ţ- 2Jacj - 2ac)x-/- jcJ

119

1a.:

=

O, dar cumjx1

/
q(or.) JaJor. 2 + Jcl y < -1 şi cum din a treia y ;;;, -1, rezultă y = -1. Apoi tot din primele două pentru a= 8, y = -1, avem ! : : ; O şi - ! < O, deci ~=O şi corespunzător b = -8, c = l. 2 2 142. Soluţie: Din 11(-1) I < 1, 1/(1) I < 1 rezultă a+ lb I + c < 1 şi lb I < 1. Avem 1/(x) + g(x) I = J(a + c)x2 + 2bx + a + c I, Datorită

t

1 2

a -1 =e;; 4

13

120

ntodulului putem presupune a + c ~ O. Fie x e [ -1, 1], fixat. Dacă: (a + c)x2 + 2bx + a + c ~ O, atunci 1/(x) + g(x) I = (a + c)x2 + 2bx + a + c ~ 2 (a + I b I + c) ~ 2. Dacă (a + c)x2 + 2bx + a c ~ O, atunci 1/(x) + g(x) I = -(a+ c)x2 - 2bx - (a+ c) ~ -2bx ~ 2 lb I ~ 2, ceea ce încheie demonstraţia. Inegalitatea 1/(x) + g(x) I ~ 2 nu poate fi întărită, fiindcă pentru /(x) = 2x2 - 1 => g(x) = -x2 + 2 avem /(1) + + g(l) = 2. 143. Solutie : Fie f(x) = ax2 + bx + c, g(x) = cx2 + bx + a. Deoarece /(1) = g(l) şi i(-1) = g(-1), atunci lg(l) I ~ 1 şi lg(-1) I ~ 1. Presupunem că există x e [-1, 1] pentru care lg(x) I< 2. Vîrful parabolei y = = g(x) este punctul (x 0 , g(x0 )) cu g(x0 ) I > 2 şi x 0 e [ -1, 1] (rezultînd din cele de mai sus) şi avem g(x) = c(x - x 0 ) 2 + g(x 0 ). Punem aici în locul lui x cel mai apropiat de x 0 dintre numerele -1 şi 1. Fie el 1. Atunci 11 - x 0 I ~ 1 şi lg(x0 ) I = lg(l) - c(l - x 0 )2 I ~ lg(l) I + Ic I ~ 2. (fiindcă Ic I = 1/(0) I ~ 1), contrar cu lg(x0 ) I > 2. Exemplul /(x) = 2x2 - 1 arată că inegalitatea lg(x) I ~ 2 nu poate fi întărită. 144. Soluţie: Din 1/(1) I = la + b + c I ~ 1, 1/(-1) I = la - b + c I ~ ~ 1, şi 1/(0) I = Ic I ~ 1, avem la + b I = la + b + c - cI ~ 2 şi la - b I = la - b + c - c I ~. 2. Rezultă 4a2 + 3b2 = 2(a + b) 2 + 2(a - b) 2 - b2 ~ 16 cu egalitate pentru b = O, şi la + b I = la - b I = I a I = 2, lf(O) I = Ic I = 1. Rezultă 1/(x) I = 12x2 - 11 ~ 1.

+

+

R.M.T. 1/1985

Din IJ(x) I ~ 1 pentru Ix I ~ 1, luînd x = -1, O, 1 b + c I ~ 1, Ic I ~ 1, la + b + c I ~ 1. (1) a - b + c, q = a + b + c, de unde a = ~ (p + q) - c; b = Soluţie:

145.

obţinem la -

Fie p

=

= 2.2 (q

- P) cu IP I

2

~

1, lq I

(3, y este o permutare a

~

1 (2) Fie g(x)

coeficienţilor

rînd se reduce fie jc I

~

1

ixx2

+ ~x + y

a, b, c. Pentru Ix I

~

unde ix, 1, avem

+ I ~ I + I y I = I a I + I b I + I c I = / ¾(P + q) - c I+ P) I+ Ic 1- Prin explicitarea primelor două module din ultimul

I g( -~) I ~ I ix I

+I¾ (q -

=

obţinem

p_2 fie !2 . De aici şi ţinînd seama că IP I ~ 1, lq I ~ 1, lg(x) I ~ 3.

Inegalitatea aceasta nu poate fi întărită. Trinomul f(x) = 2x2 - 1 satisface condiţia din enunţ, iar pentru g(x) = 2.x2 - x avem g(-1) = 3. 147. Răspuns: Avem a2 + b2 = (x1 + x 2)2 + (x1 x 2 - 1)2 = (x~ +

=

Observaţie:

+ l)(x: + 1).

148. Soluţie: Presupunem că există un triplet (a 0 , b0 , c0 ) de numere întregi, astfel încît / să satisfacă condiţia problemei. Fie x 1 = 2k - 1 şi x 2 = 2k + 1 două numere consecutive impare, atunci/(x1 ) - /(x2) = ± 1 - [a: 0 (2k + 1) 2 + b0 (2k + 1) + c0 ] - [a 0 (2k - 1) 2 + b0 (2k - 1) + c0 ] = = ± 1 => 4a 0 k + 2b 0 = ± 1, absurd. 149. Soluţie : Fie x

=~ 2

cu (P, q)

=

1 o rădăcină a ecuaţiei date.

Avem ap + bpq + cq 2 = O, de unde p/c şi q/a. Dacă unul din numerele p, q este par atunci c sau a este par. în caz contrar rezultă b par. 121

150. Soluţie: În baza exerciţiului 149, dacă ecuaţia ar admite o rădă­ cină raţională x 1 = P.... cu p e N, q E Z*, atunci p/c şi q/a, deci şi p şi q 'l

sînt impari, dar din contradicţie,

151.

api q=

+ l:.f:.q + c = O ap + bpq + cq2 = O

membrul stîng

Soluţie: Să

esţe

un

număr

rezultă o

impar.

presupunem prin absurd că ecuaţia:

a0x2" + a 1x 2"- 1 +

... + a2,._1x + a2,. = O cu

ac, a1, ...

a2„

numere întregi impare are rădăcina raţională p_ , fracţie ireductibilă. Atunci q

p/a2„ şi q/a 0, deci p şi q impare. Scriind că

P.... este q

rădăcină şi eliminînd

numitort1l, avem

+ a1p211-1q + ... + a2,.-1pq211-1 + a2„q2" = O,

aoP2"

care nu este posibilă, membrul stîng fiind impar (fiind suma unui număr impar de numere impare), iar membrul drept par. Cazul n = 1 (ecuaţie de gradul doi) a constituii subiectul unei probleme date la O~impiada pe ţară 1980, cls. a IX-a).

152. Soluţia 1. Observăm că /(O) = -b < O şi/(1) = 1 + a - b care 11 u este întreagă. Soluţia

2, Deoarece x 1

+x

2

f(x) = x 2 + ax - b = O, atnnci O, deci ecuaţia are o rădăcină x 1 e (O, 1}

dacă

>

= -a< O

şi

x 1x2

= -b < O, dEd::iccrn.

că ecuaţia are o rădăcină 1)ozitivă şi una neg::>.~ivă. Să pr,:;snpL111u11 că. a1-:1.bele rădăcini sînt întregi, atunci x 1 ~ 1 şi x 2 :( -1. Prin urmare·

O=> 1 - (x 1 +- xr) + X;X 2 ~ O, dar 1 - (.-i;: + xJ + b > O, contradicţie. Rezultă că .::cuaţia dată r:.n poate· a,·ea ambele rădăcini întregi. 153. Soluţie: Fie x 0 e Z, rădăciEi a ecuaţid. Dacă :,:c cs'::e: impar, atunci x~ + 2px0 + 2q este impar, deci nu poate fi 7ero. Dacă Xc este par, atunci din x~ + 2px0 = -2q rczn1tă că ~:~ + 2Pxr : 4, dar 2q nu poatefi divizibil la 4. Dacă x 0 e Q - Z, atunci din (x 0 -:- P) 2 + 27 - Pl = O => => (x 0 + p) 2 = 2q - p2 , unde 2q - p 2 e Z şi (x 0 -+ Pf 2b =a+ 1.

+

Fie x 1 , x 2 rădăcinile ecuaţiei date. Avem: x 1 + x 2 = ( *-). Deoarece x1 şi x2 trebuie să fie î11t 1-:.:g;., i.ar a :) b sînt naturale rezultă Xi şi x 2 naturale. Scăzînd membru cu membru egz.lităţile din ( avem: (xi - l)(x2 -- 1) + (a - 1)(b - l) = 2 ( *) Pentru a ;;,:, 1 şi b ;;,:, 1, egalitatea precedentă este de forma O + 2 = 2, 1 + 1 = 2, 2 + O = 2 de unde deducem valorile lui a şi b şi anume : 160.

=

Soluţie:

ab; x 1 x 2 = a

+b

* ),

;a=2 b =--= 3 I

+

*

Ja=~ ;b = 2

(a=2 \b = 2

{a=~ b = ;')

{a=S b = 1

ja=O O,

1b =

Hil. Solu!ie: Fie x 11 x 2 r8.dldni1e raţionale ale ecuaţiei: ax2 + bx c = O. Atunci 2- , 2- sînt rădăcinile ecuaţiei: cx 2 + bx + a = O x1

-+

Xs

( ·>t-) .

x1

r

X2

,,. S

Fie - = - cu r, s întregi (r, s)

- 2 => -

li

+s=

,,2

r(n - 2) => -

s

r

= 1. Egalitatea ( *·) devine -

S

întreg => s/r2 ,

123

+ -s

= n -

1'

dar (r, s) = 1 =>

~

±

1.

= ± 1.

Analog r

Pentru .!:.. = 1 => n s

= 4.

Pentru .!:.. = - 1 => x 1 s

+x = 2

=0=>b=0, dar b eR*. G.M. 2/1983

+

+

+ +

Soluţie: Ecuaţia se mai scrie (a2 b2}x2 - (4ab l)x a2 Dacă a = b = O, ecuaţia are soluţia x = O. Dacă a 2 b2 =I= O, atunci /l. (4ab 1)2 - 4(a2 b2}2 ~ O, de unde 2(a - b) 2 ~ 1 a b, şi ecuaţia devine: 2a2 x 2 - (4a2 l)x 2a2 O 2a2 (x - 1) 2 - x O, de unde x 2 şi a 2 = 1 şi deci a = b = O sau a = b = 1.

162.

+ b = O. 2

+

+

=

+

=

+

=

+

±

= =

183. Solutie: Presupunem mai întîi că pentru orice x întreg / (x} = ax2 + bx c este întreg. Cum /(O} = c, rezultă c întreg. Apoi, din /(1) =a+ b + c rezultă a+ b întreg, iar de aici şi din /(.!...1) = a - b + c

+

=

rezultă

2a întreg. Reciproc, presupunem 2a, a+ b şi c numere întregi. bx c = 2a · x(x - I) (a+ b)x c este întreg pentru x Atunci ax2

+

+

+

2

+

întreg.

164. Solufie: a} Ecuaţia în necunoscuta a este a 2 - xa + x 2 - bx + 1J2 - ~ = O care pentru -3x2 + 4bx - 4b2 + 2 ~ O are soluţiile : 2

a1,2

b) Fie x 0

(a-

~

=> x0

X0

Z

i

r

o

X~

=

se mai scrie:

¾,

J2 + (b - { }2 = O => a =

b=

2

=>

0

2

2.J2 2 + (b + 2.)2 2 =O=> a= b =

- .: 2

+ b = .:2 este necesară 2

şi

0

deci a 2

+ b2 =.:. 2

ca ecuatia să aibă cel ,

rădăcină întreagă. Condiţia

+ = .:2

x: ~ 1

rezultă că

de unde

+ b = -'Z1 . Pentru x = 1 => i şi deci ai + b = i .Pentru x =

{O, ±1}. Pentru x 0 =O=> a 2

e

Prin urmare condiţia a 2 b2

± "1-3x2 + 4bx --:- 4b2 + 2) .

rădăcină. Ecuaţia X0

-1 =>(a+

puţin

(x

J2 + (b - ¼ + ¼

=> ( a - :

=

e

=

+

este şi suficientă deoarece ecuaţia admite rădăcina x 0 = O.

dacă

a2

+

c) Conform cu cele demonstrate se analizează trei cazuri : • • smt O ş1' 1 => a = b = -] ; 1"} cele d ouav ravdvacm1 A

2

""} cele d ouav ravdvacm1 • • smt O ş1' - 1 => a 11 A

iii) cele

b

= = - -2} ;

două rădăcini sînt O şi O => ab < O şi Ja I = Jb I = .:2 •

165. Soluţie: Fie P.. rădăcină a ecuaţiei (p, q) q

=

+ c = O => ap2 + bpq + cq2 = O de unde rezultă : 1) p(ap + bq} = -cq2 => pfcq2 , dar (P, q = 1, 2) q(cq

2) deci PI c ; -ap2 => qjap2 , dar (q, p2) = 1, deci q/a (P, q} = 1 => (P", qm) = 1, unde m, n e N*).

+ bp) =

(atenţie, dacă

1, atunci ap•

124

q•

+ b p_q +

Soluţie:

Vom demonstra 2) deoarece pentru m =±I rezultă l 1) Rezultatul este adevărat pentru orice ecuaţie cu coeficienţi întregi care admite o rădăcină raţională. Fie /(x) = ax2 + bx + c şi

166.

(P, q) = 1, atunci / (m) = f (m) - J (

mq) fa(p + mq) 1 => p - mq/J(m).

= -(P -

=

+ bq] => p -

!(-;)=O,

f J = a (m

2 -

+ b (m

:: )

f) =

-

mq/q3/(m), dar cum (p - mq, q2 )

=

Soluţie: Să

167. raţională

P.. q

presupunem prin absurd că ecuaţia are o rădăcină , p e N*, q e Z*, (P, q) = 1, atunci conform exerciţiului pre-

cedent avem pjc şi q/a deci: p e {1, 2 ... 9} şi q e { -I, -2, ... -9}, ecuaţia nu poate avea rădăcini pozitive (coeficienţii sînt pozitivi) şi p - mq/am2 + bm + c. În cazul nostru pentru m = IO => p - I0q/a10 2 + + bIO + c, absurd, deoarece al02 + bIO + c este număr prim (cu trei cifre), iar p - IOq este un număr de două cifre.

168. Soluţie: 1) Dacă

Xv x 2 e

Z

=> x 1

+ x2 =

2m

= k e Z*. Dacă m + I = 1 => m+ 1 x2 - x = O cu rădăcini întregi. Dacă m + I = -1 ecuaţia x 2 - 3x - 4 = O cu rădăcini întregi. e

Z

=> - 1 -

2) Fie m e Q, astfel încît _!__ = k e Z* => m m

tul

(k - 6) 2

+1

=>

=

1

=2---

m+l

e

obţine ecuaţia

m = -2, se 1- k •

obţine

Discriminan-

k

trebuie să fie pătratul unui număr raţional, deci /J,. = 12m2 + k' - l2k + 12 _ (k - 6)1 - 24 _ p• p Z* , d e un de rez ultwa _ 1 -------....;._--'----e

ecuaţiei

+ 12m +

+1

m+ l m = O, se

p2 =

k1

k1

/1 1

24 (k - 6 - p)(k - 6

+ p) = 24.

Cum numerele k - 6 - p şi k - 6 + p sînt de aceeaşi paritate, iar în cazul nostru chiar pare, avem sistemele: - 6 - p = ±2 { k - 6 - p = ±12 { kk _ + p = ± sau k _ 6 + p = ± 2 din care rezultă 12 6 -

= - ~ şi k = -1 => m = -2. 13 { k - 6 - p = ±6 k - 6 - p = ±4 În mod analog din { k _ 6 + p = ±G sau k _ 6 + P-= ± 4 rezultă : k = 11 => m = - ~ şi k = 1 => m = O' deci 11 k

=

13

=>

m

m

169.

Soluţie:

ax:+ bx0 aţiei

e{o

,

1) Fie x0 o

a primei

dacă

~

(x1, x2) sînt

(2- , 2-) sînt rădăcinile ecuaţiei a %1

pentru

rădăcină

2

a doua. Prin urmare

atunci

-2' - ~ -~}11 ' 13

+ c =O c (2-) + b , ( 2-) + a = O, ~

din care

ecuaţii

(evident x 0 =/: O)

deci 2- este rădăcina ecu~

rădăcinile

primei

ecuaţii,

doua. (Rezultatul se păstrează

%1

ecuaţiile

de grad superior care au

1l5

coeficienţi dispuşi asemănător).

ştie că dacă x

2) Se

rădăcinile

Deoarece ac> O,

Dacă

Xi

>

O, x 2


..!_ > O, ....!.. X1

>

x

O

Xa

şi

;;i,.

acelaşi

I Xi + ....!... + x + . . !. I = 2

X1

V

2

X2

~

170.

X1 •

~

Soluţie

Avem:

f

-

2

.Xa

+

: Fie x 1, x2 ; x3 , x 4 ; x5 , x 6

=

Xi X2 XiX 2 b

=

2 -

~

a ;

+

= b;

{ X3 x, X3X4 C

=

x1

Xa

+ -1 + x + -1 ;;i,. 4. Daca Xi < O, x < O => - 1 < O, +....!..I= ( - x 1 - ....!...J + (-x ....!..) ;;i,. 4. ] Xi+....!...+ X1

semn. 1


c şi ecuaţia are rădăcini întregi, atunci {a+ 1)2 - 4(b - c) este pătrat perfect < (a + 1) 2 şi de aceeaşi paritate cu a + 1. Rezultă că (a + 1)2 - 4(b - c) ~ (a - 1)2, de unde a + c ~ b, contradicţie. Analog, dacă b < c, atunci (a + 1) 2 - 4(b - c) este pătrat perfect > (a + 1)2 şi de aceeaşi paritate cu a + 1. Deci: (a + 1) 2 - 4(b - c) ;;i,. (a + 3) 2, de unde a + b + 2 ~ c, contradicţie. Deci b = c. a 2 + b2 > c2 , iar ecuaţia avînd rădăcini întregi 4(a2 + b2 - c~) este pătratul unui număr impar < 2ab + 1. Deci: (2ab + 1)2 - 4(a2 + b2 - c2) ~ (2ab - 1) 2 de unde c2 ~ ~ (a - b) 2 sau c ~ /a - b /,contradicţie.Analog, dacă a 2 + b2 < c2 , rezultă atunci că (2ab + 1) 2 - 4(a2 + b2 -- c2 ) este pătratul unui număr impar > 2ab + 1. Deci: (2ab + 1)2 - 4(a2 + b2 - c2 ) ;;i,. (2ab + 3) 2 de unde c2 ~ (a + b) 2 + 2 sau c > a -t b, contradicţie. Deci a2 + b2 = c2 şi triunghiul este dreptunghic.

173. Soluţie: Dacă rezultă că (2ab 1) 2 -

+

174. Soluţie : Din enunţ rezultă că pentru ( 'v) n, există Kn e Z, astfel încît ac! + bcn + c - Knn = O, iar de aici rezultă că :  1 = b2 - 4a(c - Knn) trebuie să fie pătrat perfect pentru ( 'v) n. Fie  = b2 - 4ac şi deci Â' =  + 4aK,. . Luînd n = Â2 avem  1 = Â(l + 4aKnÂ) şi cum (Â, 1 + 4aK„Â) = 1, iar Â' pătrat perfect, rezultă  pătrat perfect, -ceea ce încheie demonstraţia. G.M. 1/1988

126

u,. = xt + x!. Deoarece x1x2 =1 şi u,.=x;:" + x;-" = = _l_ + ~ = u~ + u: = u,., putem presupune k natural. Din : x; + 175. Soluţie: Fie

~

+ x1,, =

x,.·

+ x2}(xt- 1 + x;- 1) - x1 x2 {xf- 2 + x!- 2) şi cum x1 + x2 = _:a, rezultă u,. = -au,._ 1 - Ur.-2 { iar de aici, 1. Deoarece numerele u 0 ::::f: 2, u 1 = -a~ u 2 = a 2 - 2 sînt prime cu a 2 - 1, rezultă s ~ 3. Din {*)rezultă u,. = (a2 - l)u,._ 2 + au,._ 3, { v')k şi în particula: u,. = (a2 - l)us-2 + au,-s. ( ~ *:) Din dfu,, d/a 2 - 1, (a, a 2 - 1) = 1, ş1 dm ( *) => d/us-3, co11trad1cţ1e cu definiţia lui s1 fiindcă şi s - 3 este natural. =

(x1

* ),

*

G.M. 3/1987

,. l 176. Din a doua egantate rezu ta. z = v.

prima egalitate

dă

l'x -

2_)·· 2 + 12Y 3

\

2-) 12

2

-m - -x - 2y - care

3 3 3

= ~ + E_ 3

144

, . tnp . l et treb uie . ca -m Pentru a obţ me un muc 3

•

mtrod;_,s în

.

+ 144 -17 =

O => m

= -

17

-8 • 4

177. Considerăm ca o ecuaţie în z şi scriind că discriminantul ecuaţiei este pozitiv rezultă 7y2 + 2xy + 3x2 - 4 ~ O, de unde punînd din nou condiţia că discriminantul este pozitiv rezultă -20x2 + 28 ~ O => x e

e[-yf, yf ], deci X=-Vf· 178. Notăm t în y :

ecuaţia

=

4y2

Deci Â. 1 inecuaţie

=>t 2 ~

Â.

2x

+y

+ 2(2x -

- z şi exprimăm z în funcţie de x, y, t obţinem

t)y

+ 5x + t 2

2 -

4xt - 2

= O.

O => 16x2 - 12xt + 3t2 - 8 ~ O. Pentru ca această ultimă să aib~ saluţi~ trebuie ca discriminantul ecuaţiei în x să fie pozitiv

~

323 , t

E

l

-

V'332 , Vj32J a , decl. tmax=\;a23 ,

179. Discriminantul ecuaţiei trebuie să fie pătrat pei-fect. = (a 2 + b~)2 - 4ab = k2, k e N. Dacă ab >O=> k ~ a2 + b2 - 1 => (d' + b2) 3 - 4ab ~ (a2 + b2 - 1) 2 => a(a - b) 2 ..;; 1 => a = b.

=>

În acest caz Â. = 4a2 (a2 - 1) => a 2 - 1 = h2 , li e N, relaţie care are loc numai dacă a = ± 1. Aşadar a = b = 1 sau a = b = -1, cazuri în care ecuaţia are rădăcini întregi. Dacă ab < O atunci k ~ a 2 + b2 + 1 => => (a2 + b2 ) 2 - 4ab ~ (a 2 + b + 1)2 => 2(a + b) 2 + 1 ..;; O, imposibil. Deci ecuaţia are rădăcini reale dacă a = b = 1 sau a = b = - l.

180. 1) Presupunînd că a, b, c au acelaşi semn, din faptul că ecuaţiile rădăcini reale, obţinem: b2 ~ 4ac O, c2 ~ 4 lb O, a 2 ~ 4bc O => => (abcF ~ 64 (abc) 2 => 1 ~ 64 - absurd. Deci a, b, c nu pot avea acelaşi

au

>

semn.

127

>

>

2) Dacă a, b e R* şi a+ b ,:fi O, atunci tripletul (a, b, c), cuc= -(a+b)., satisface condiţiile problemei.

181. a) Din lx1 I < 1 şi lx2 I < 1 => lx1 x2 I = Ic I < 1 şi din x1 , x2 e (-1, 1) => /(1) = 1 + b + c > O şi /(-1) = 1 - b + c > O. Reciproc : } - b + C > 0 (1 + X1)(l + X2) > 0 (1) Şi 1 + b + C > 0 (1 - X1}(l- x2) > O (2) şi din lx1 x2 1=Ici< 1 => lx1 1< 1, lx2 I < 1. b) Din I.xii < 1 < lx2 I < 1 => Ic I < 1 şi Ic I = I x1 llx2 I = lx1 12 < 1 .,. I.xi I < 1; (x2 = X1). e

128

Capitolul li FUNCTU § 1.

FUNCŢII

1. a) Se dau lui x valorile O şi 1 => /(O) + /(1) = O şi /(1) + /(O) = I · b) Pentru x = 1 => /(O) - /(O) = 1 - contradicţie. c) Se dau lui x valorile 1 şi -1 => /(1) - /(-1) = 1 şi /(-1) - f (1) = 1 - contradicţie. d} Se dau lui x valorile a şi -a => f(2a) + /(O) = a şi /(O) + /(2a) = = -a=> a= O - contradicţie. e) Se dau lui x valorile O şi a => /(O) +/(a) = O şi /(a) +/(O) = -

contradicţie.

=

a -

=

f) Pentru x = 2 => /2(4}.+ /(4) + 1 = O, dar /2(4) + /(4) [/(4) + J2 +I> O - absurd sau se observă că /(4) ~ R.

=

g) Pentru x = 2 => /2(2) - 4/ (2) [/(2) - 2] 2 + 2 > O - absurd.

contradicţie.

+1=

¾

+ 6 = O,

dar /2(2) - 4/ (2)

+ 6 ==

h) Dind lui x valorile 2 şi ..: se obţine o contradicţie. 2

i) Făcînd substituţia

·

= +

1 Y 1-y

.1 -

"

l+"

şi înlocuind y cu x

=>

f{. 1+"

.

(se poate iace direct substituţia x şi

-3 în

relaţia

=

..:

=>

1

l+y

-

--

(l). Adunînd relaţia ·

O => x ~ R

+ x2 =

1- "

+"

se

obţine

+ f(l)

o

contradicţie.

- O şif(l)

+ J(O)

= ~-

contradicţie.

k) Dînd lui x valorile 0,1 2/(1) = f(3) + 1 şi 2f(3) = f (1)

U Notăm

a= f2(x3) şi

şi

+

-1 => f(2) + f(l) = /(2) => f(l) = O, 1 => /(3) = ~ şif (3) = -1 - absurd. 2

b = f(3,.)

+

1, atunci egalitatea devine 1 + •'+b"

+ 2b' = 2 -® 2 -® = 2•' + 2b' ;;;i: 2,y2•"+b' = 2 => a +b ab ;;;i: 1 +-2- =>(a+ b) "O=> a+ b = O, adică f2(x + /(3,.) + O ( 'r/)x e R, dar pentru x = 3 => J2(27) + f(27) + 1=0 => f(27) 1=

2•'

=> 1 -

+1= ~

J(y) =

şi obţine (1). Altfel, se dau lui

enunţ şi

din

}---':;ţ

+ 1+"

" 1- " 1

j) Dînd lui x valorile O şi ~ => f(O)

-

J { 1- Y)

=> x = Y => -i+y 1 +" 1 - " ) - f(x)

obţinută cu relaţia dată, rezultă O = x valorile -2

1-

=y

1

1

2

1

1

3}

2

R - absurd. 129

.=

m) Evident /(O) = a #: O şi g(O) = b #: O, deoarece pentru x = y c:: O => /(O)g(O) = 1. Pentru y = O => f(x) = :, + 1 • Pentru x = O => g(y) == b

-= " +a 1 , care nu verifică relaţia din enunţ pentru orice x, y n) Se dau lui x valorile 1 şi -1. o) Pentru x = 1 şi x = -1 ·rezultă /(1) = a

absurd.

+b=

-a

e

R.

+ b => a =

O

p) Pentru x = -1 => /(-1)/{;J = -1 x = 2 =>/(2)/(-1)'= 2 =>/2(-1)/2(2)/2(¾) = -1 absurd

X=!._=> /(2)/(!...) 2

2

= :_. 2

r} Pentru x = -1 => a/(-1} + b/(2) = = 2 => a/(2) + b/(-1) = 5 => 3a + 2b = 5, b = -5. Relaţia se scrie : %

5/· (x} - Sf (1 - x)

=

{

2x - 3,

x

+ 3,

-5 => 2a + 3b = -5, de unde rezultă a= 5 şi

dacă x ~ 1, dacav x> 1.

Dind lui x valorile -2 şi 3 (sau O şi 1) se obţine o contradicţie. s} Pentru x =a=> f(O) + f(b - a} = a• x = b => f(b - a) + f (O} = b8 => an = b•, absurd.

2. Se pune succesiv x

=

2 şi x

= .!.2 de unde rezultă uşor f (2) = - 1!. ~

3. Făcînd substituţia x - -x în relaţia dată obţinem 3/ ( - x} - 5/(x) = 2x2 - 24x + 4. Eliminînd /(-x) rezultă /(x} = -x2 + 3x - 2. 4. Făcînd substituţia x - x - a în / (x + a) E;; x => f (x} ori din x ~ f(x) + a => f(x) ~ x - a, deci /(x} = x - a.

~ x -

a,

5. Dacă în prima inegalitate se face substituţia ax- ax - b, obţinem f(ax} ~ ax - b, iar a doua inegalitate se mai scrie f (ax) ~ ax - b, deci /(ax)= ax - b =>J(x) = x - b, (\f)x e R. R.M.T. 1/1981

y => 2/(x) + /(1 - x) = 3(x2 + 1), unde x avem 2/(1 - x) + /(x) = 3(x2 - 2x nînd /(1 - x) din ultimele relaţii ooţinem /(x) = x2 + 2x. ţia dată se face x = O, rezultă:

6. Făcînd x = substituţia x - 1 -

dacă

+ 2).

Dacă

facem Elitniîn rela-

2/(x) + /(1) + g(x) - g(O) = 3(x + 1)2, dar cum g(O) = O şi /(1) = 3 => g(x) = x2 + 2x, deci f(x) = g(x), (V) x e R.

7. În relaţia dată se face substituţia x - 1 - x şi obţinem: 1) a/(1 - x) + bf(x) = 1 - x, care adunată cu relaţia din enunţ dă 1 - , {V) x e R. /(x) +/(1- x) = a+b 2) Dacă b = O, din relaţia dată se obţine uşor 2) Fie b #: O şi a#: b, atunci din relaţia dată şi din 1) rezultă uşor /(x) = _x_ - _ b _ . -

l.30

a- b

a• - b1

. . 8. Evident, rţ şi b. nu pot fi ~imţl}.ţan nule. ))a~~ x = O.:l:> f(a) f(b} == = O sau /(b) = o.. Observăm că a şi b nu pot fi simultan nenule. înt_r-adevăr, dacă a =f, O şi b =f, o; atunci dacă /(a) = O, din relaţia a-b dată pe:µtru . x = - - avem i

· ·o·~ /(a)

.. ·

..

'

.

a.

~

a-b

/(a)f 1b-a-

. + -~_---;;-;~:.a-,- b =?·~a =-b. a-b--

}

,

,

La fel dacă /(b) = O => a ~- 1b. Prin urmare,' relaţia din .'.enunţ capătă forma j2(ax + a) = x, ( 'v') x e R,,. care··nu poate av (2b -

devine

3 - b sau

3) (b2

gl¾)=%· 132

=

+ 2) = O => b = ţ , deci

x

a:>

16. Fie g(x) = ax + b, atunci condiţia din ·problemă devine ax + b = 2x - ax + b, ( V)x e R; deci a = 1. Relaţia (g o f)(x) = x2, devine af(x) + b = x2 => .x2

=>

+1+ b= x b

=

2,

(V} x

R, de unde

e

-1 şi deci /(x)

=

rezultă

x - 1.

17. Calculînd, obţinem j(x) = 3.x2 - 2.x (a 1 + a 2 + a 3) + a 1a 2 + a 2a 3 + a 1a 3 > O, (V) x e B o ll. ~ O o (a1 + a 2 a 3 ) 2 - 3(a1a 2 + a 2a 3 a 3a 1 ) ~ O o

+

1 2

f(a 1

a 2) 2

-

+ (a2 -

18. Se arată că /(x)

+

a 3}2

> (n -

+ (a3 -

l)n(n 12

a 1 ) 2 ~O=> a 1

+ l) , ( V)

= a2 =

a3•

x e R.

obţinem

~fectuînd calculele,

+ 1)]2 > O. = (x2 + ax + b)

n[2x - (n

19. Considerăm funcţia g(x) - (x2 + bx + a) == == (a - b)(x - 1). Fără a restrînge generalitatea, putem presupune a > b. Atunci g(x) > O, dacă x e [l, +oo) şi g(x)

2a+b=5

. /() dev1ne x

=

20. Fie f(x)

şi

= 3, b =

x

B,

(-oo, 1).

e

obţinem

sistemul 1

funcţia /

-1, deci

= lx2 -x+3,dacăxe(-oo,l)

o:r - b c:r + d

x2 + 3x - 1,

•

dacă

x e [l, oo].

Condiţia din enunţ este echivalentă cu

E /l ;} = O. Deci cel puţin o ~himbare de semn va avea loc în sumă, aşadar există x e {2-, 1] astfel încît f(x = O, dar x = ~ , deci 2-
{

enunţ

4m - 2n

-2m

=

+ 4n =

6 => m = 2, O n = 1,

devine:

2/(x) + f(-x)

= {-(x +

3), dacă x ~ 1, > 1.

x + 3, dacă x

133

(1)

Înlocuind· ·x cu -·x în (1) .obţinem

2/(-x)

+3 +.· /(x) = {-x,,.,"'_ 3

dacă x



la n

+a

=>

"i) ~

f(x)/ a= f(2kx)

+ _f(2x) + ... + f(x"x)

f(x)

2

obţinem

;

k

_N*

e

=>

de la O '.

·. -

:

+ ... + /(2"x) + f(2"t-1x) + 1

~ /(2x) 2

2n

J(2"+1

+ _a_ 'Dînd lui· k valori 21f+1 • '

f(2kx) ~ f( 2"+1x) 2k "" 2k+1

însumînd în ambii membri,

;> + a

~

2•

2"+

+ a (!..2 + !_21 + ... + _1_} . 2"+1 Reducînd termenii asemenea şi scriind sum~_progresiei geometrice din ultima

n.

a[1 - (¼

paranteză, obţinem J(x) ~ f + f(2"+tx) rezultă că

f(x) ~ ~ 211-tl Dacă

această

în

~

+ a[1 ~

e

R

- (!..)"]. ('v) 2

inegalitate n - oo,

f(x)

M, ('v)x

Cum din a) avem

X E

R.

rezultă

a, ('v)x

e

R.

26. 1) Dreapta x =. a este axă de simetrie pentru graficul funcţiei, numai dacă f(a + x) = f(a - x), ( 'v) x e R. Efectuînd substix - a în ultima relaţie, obţinem/(x) _f(2a - x).

dacă şi tuţia x -

2) Dacă dreptele x = a şi x = b sînt axe de simetrie, atunci din f(x) = f(2a - x) şi /(x) = f(2b - x), obţinem /(2a - x) = /(2b - x) şi efectuînd substituţia x - 2a - x, obţinem f(x) = f(2b - 2a + x), deci f este perioadă cu perioada T = 2(b - a). Dacă A(a, b)

3)

este centrul de simetrie al grafi~ulqi

funcţiei,

atunci

+---'-------'J(a + x) . . x - a --- x, ob ţmem . -1".( ) --= b, ş1. efectum d sub stltuţia 1 ,x 2 + f(2a - x) = 2b.

/(a - x)

27.

A

Efectuăm substituţia

x- 1- x

şi obţinem

+ 1) + bf(-x + 2) = mlx + 11 + 3(1 bf(x + 1) + af(-x + 2) = mlx - 21 + 3x.

af(x Adunînd

şi scăzînd

membru cu membru

relaţiile

(1)

şi

(2)

x)

135

(1) (2)

obţinem_

+ 1) + J(-x + 2) J (a + bf = m( Ix + 11 + jx, - 21) + 3, [f(x + 1) - f(-x + 2)] (a - b) = m (Ix+ 1 I - jx - 2 I) + 3 - '6x. [f(x

+

Dînd lui x valorile x = 2 {

-2a

şi

x = -1

sistemul : 18m

+ 3b =

3a - 2b

obţinem

a= 3m - 3 => b = 6

=

12m

+6

10

'

+ 24

•

10

Se =>

observă

ca a+ b =f:. O

'J/(x + 1) = m( Ix+

11

+

3(m

şi

Ix -

a - b;,,, O, deoarece m 21

+ 1)

+3

+ m( Ix + 11 -

Ix -

U - {-1,3} =>

e

+3 -

21)

Gx •

3(m - 3)

5

Făcînd substituţia x - x - 1 => J(x)

=

m( Ix I + Ix - 3 ll

_J 5m( Ix I - Ix_- __;,,;__;__ 31) + 15 ,_...;.;_..;..__;_ _-_30x _ ; pent ru m

6(m-3)

+3

6(m+ 1)

= O, /

+

b"lJec · t"1va. w

28. Pentru x < -1 => -x > 1 şi ţinînd seama de relaţia dată, ob(1) 2/(-x) + f(x) = -x + 3 pentru x < -1. Pentru x > -1 => -x ..;; 1 şi ţinînd seama de relaţia dată, obţinem (2) 2/(-x) + f(x) = x - 3 pentru x ;;i,, -1. Din (1) şi (2) deducem 2/(-x) + f(x) = {-x + 3 pentru x < - 1 (3) x - 3 pentru x > -1 Eliminînd pe/(-x) din (3) şi din relaţia din ipoteză, deducem, prin înmulţirea relaţiei date cu -2 ţinem

_ 4/(x) _ 2/(-x)

={

2x + 6. pentru x ..;; 1 -2x - 6 pentru x > 1.

(4)

Adunînd (4) cu (3) membru cu membru deducem:

- !:.. - 3 dacă x

+ 9 pentru x < --,- l -3/(x) = { 3(x + 1) pentru -1 ..;; x ..;; 1 => f(x) = x

3

!:.. 3

~ se obţine g2( - ~) = 3

3

unde g nu are coeficienţi raţionali. Căutăm / gradul 1 care satisface relaţia din enunţ. Fie f(x) = ax + b şi g(x) = ex + d; deci Dacă

+3

dacă x

1~, deci g 1 3

şi g

+ 1 + {3x + 1)(ax + b) =(ex+ d)2, x = O => 1 + b = d 2x

1

-x - 1 dacă - 1 ..;; x ..;; 1

-x - 9 pentru x > 1 29. Pentru x = -

~I=± ~, 3 \13

coeficienţi

('v') x

e

1.

reali de

R.

2•

Dacă x = - 2. => (- ..':. + 3 3

d)

2

= ~. 3

Luînd d =O=> b = -1 şi e = ± ,./3, deci g(x) = ± "iax. Pentru b = -1 şi a= 1 => f(x) = x - 1 şi g(x) = ,v3x. Aşadar, există funcţii polinomiale cu coeficienţi reali care ţia din enunţ. 136

yerifică

rela-

• : /("") 30. -ob sc:rvam ca J,( x ) se mai• scne .... __ V

,

1 '1/-"I

/(x)

e

1

;;i.

+I

V

+ 1 > O ( V) x folosit ineg. a + ~

2 unde x2

[2, oo). (s-a

1 .i-

+ 1+

= ..JN2 .,. + 1 +

1

e

.j:i• + l R egalitate dacă x

;;i.

2 (V) a

=O

şi deci

>o). Se arată uşor că

orice element din intervalul [2, +oo) este imagine a cel din R. Deci Im/= [2, oo).

puţin

unui element

31. Se verifică uşor că f(x) =O x = O şi că f(-x) = -J(x) ( V) x e R, deci funcţia f este impară ; prin urmare, este suficient să determinăm mulţimea valorilor funcţiei pentru x e (O, +oo). Fie deci (xi+ :i + 1) - (.i-1 - :i + 1) 2.~ e (O oo) => f(x) - --;::==::;---.===:::;:::- - --;=:==:;:----.===::;-

- .jx• + :i + 1 + .j:i• - x +

,

1 -

.Jx• + "+ l + .,/x• -

M

+

1

de unde rezultă evident că/(x) > O pentru orice x e (O, +oo). Arătăm că j(x) < 1. într-adevăr, J(x) < 1 2x < ,..jx2 + x + 1 + ,Jx2 - x + 1 => => x2 - 1 < ...; (,c2 - 1)2 + 3x2 care este evidentă. Reciproc: oricare ar fi y e (O, 1) rezultă că există x e (O, +oo) astfel încît /(x) = y. Într-adevăr, fie y e (O, 1); egalitatea f(x) = y este echivalentă cu

..jx2 + x + 1- ..jx2 - x + 1 =y 2(x2 +

= e

y•) =>

1-y•

x = y" / 4 - y• V1-y•

> O. Prin urmare, ij(x) I x > O} =

(O, 1). Ţinînd seama că /(O) = O şi/ este R} = (-1, 1) deci Im/= (-1, 1). Făcînd

· 32. a) f(x)

=

na2 x 2

-2,./x' + x2 + 1 =y2-

4(x' + x + )) 4x2 (1 - y 2) = 4y2 -

y' - 4y2 (x2 + 1) - 4(x2 + 1) 2

_ y' xz = Y2 ( 4 -

1) 2

impară, rezultă că

calculele în expresia lui /(x) se

obţine:

2ax(a 1 + a 2 + ... + a,.) + a~ + a:

-

Observăm că funcţia

{/(x) Ix e

+ ...

+ a!.

f are minim pentru :

a1 +a1 + ... +a„ J, -11 X = - - - - - - = > mi:i = - = na

=-

(a,

+

a1

+ ... +

b) Deoarece f(x)

a 11) 2

;;;i,

-·

n

n [~

O ( V) x

4a

+

ai

e

R => /miu (x)

a~ + a: + ... + a! = 1 n -- - (a +-a-2 -+~... ' -1 " - -+ - -a,,) ' - ;;;i,

n

= f(x) dică, adică g(x + a) = g(x) 33. Punînd g(x)

mare, din (1) avem /(x) ('v') X e R.

=

1,

+ .. · +

relaţia

a~]

care nu ;;;i,

d · d d epm e e a. dacă

O (1) deci

(1) se mai scrie:

O => Ia 1 + a 2 +

• • •

+ a,. I

~

'\Jr:; n.

mx - n (1) şi impunînd ca g să fie perio( V) x e R => ma = b => m = !!_ şi prin ura

g(x)

+ mx + n => f(x) = 137

g(x)

+ !!..a x + b

34.. Vom arăta echivali~nJa f(a) =a a= O şi atunci va rezulta unicul punct· fix· al funcţiei f este a . . :. . O ( =>) Fie a e R. astfel încît f(a) = a => J(f(a)) .= J(a), şi. deci f(J(O)) = a · a• -- =

că

(a1 + l)(a•

· ··

+ a• +

2a1 + l)

a q.e unde rezuJtă după. calcule a(2a8 + 3a' + 3a2 + 1) =O=> a= O, (ultima patai:l.teză este strict pozitivă). 1·Presupunem a = O şi s~ arătăm că f(O) = O. Notăm y = j(O). Aplicînd funcţia J obţinem f(y) = f(/(0)), dar din ..enunţ /(j(O)) = O, deci /(y) = O şi aplicînd din nou funcţia/ obţinem: ··

=

t='}

= i(O)

. · J(!(y))

= Y j(O)

1

de mai

+1

1 sau /(O) __: -1. ·

= O în relaţia dată, rezultă = 1, ( 'v')x e R - contradicţie.

ln-mod analog, dacă /(O)= -1 => /(x) = -1 (V} x e R - contradicţie. Prin urmare, /(O) = O; făcînd y = -x în relaţia dată, se obţine /(O)=

=

=>/(-x)

f(x)+/{-x) 1 /8(:r)/{-:r)

+

-J(x), {V) x e

R.J

Făcînd substituţiile x - !.. şi y - !.. în relaţia dată, rezultă 2

2

2f (

J(x)

=

2

1

Făcînd substituţiile x -

J(-x)

21 (-

= 1

f)

+r(- i)

+ 1•( i)

- !.. şi y 2

~1

!_)

=> J(-x)

~ 1.

- !.. în relaţia dată, rezultă 2

~1

=>

-J(x)

~1

=> /(x) ;;i,

1

=>

=> -1 ~ f(x) ~ 1. Vom arăta că funcţia/ nu poate lua valorile ± 1 Întrx 0 e R, a.î., f(x 0 ) = 1, atunci făcînd y = x 0 în relaţia dată, rezultă: f(x + x0 ) =· /{x) + /{:rol == /{x) + 1 = 1, deci f(x + x0 ) = adevăr, dacă există

=

I

+ /{:r)/(,:

0)

/{,:)

+I

1, şi făcînd din nou substituţia x - x - x 0 , obţinem /( x) = 1' ( 'v') x eR, absurd. La fel se arată că nu există x 0 e R, a.î. J(x 0 ) = ---: 1, deci -1 /(R) c (-1, 1 ). 138

36. Făcînd substituţia x-+ -x în nf(x) + rrif(-x) = m + n. obţinem 1,j(-x) + mf(x) = m + n .. Adunînd şi scăzînd membru cu · membru în ipoteza m :/: n obţinem f(x) + f(-x) = 2 şi f(x) - J(-x) = O => f(x) = 1. Dacă m = n atunci relaţia din enunţ devine J(x) + j(.;._x) = 2 ~ 2 =i(x) + /(.~'%) ;;i. ;;i. 2-,.jf(x)f(-x) ;;i.2. Dacă f(x) #: f(-x) în ccl puţin un punct, atunci :;e obţine o contradicţie, deci f(-x) = f(x) => J(x) = 1. · 37. Dînd lui x valorile O şi 1 obţinem/(1) f(l) Făcînd substituţia

x

1- x

. 1 => f{O). = L

obţinem

+/(x) = 2(1 -

(1 - x)3/{l - x) din cele

-+

+ f(O)

= Oşi respectiv-·

:

·,

'·

I

~

'

\ ·.

x) - (I"....:. x)( Eliminînd /(1 ~ :.t) ·.

.

j:

două relaţii, rezultă.

(l - x) 2 [2x - x4 - x3/(x)] + f(x)= 2(1_; x) 4 .;_ "{1 ~ x) 4 ',..' => j(x) (1 - x + x2)(1 + x - x2) = (1 - x) [2 - (1 - x)a _,:-, :· ·,,,, - (1 - x..)..(2x - x4 )] => f(x) {x2 - x +l)(x2: - x 7 .J) = ; . ("•"' = (1 - x2)(x2;_ % + l)(X2 - X -·1). I ; . .

.

·•

•

J-1

~

1

Pentru x

e

R ~ {«, ~}, unde « şi ~,sînt rădăcinile ecuaţi~

1 \·.

f(x) = 1 - x2 ( 'v') x e R - f «, ~}. Să determinăm valorile funcţiei. pentru X = 0t şi' X . ~- . Ob~~i~ « + ~ = 1 şi ex~= -1 (1) şi. ex2 - ot - 1 = O, ~i1 - ~ - 1 = O (2). DîD.d lui x valorile ex şi ~ obţinem x2

-

= O obţinem

x -:-- 1

-~i

+

rr.3/{ot) /(1 - ot) ~3/(~) + f(l - ~) dar din (1) => 1 -' rr. · ~ şi 1 - ~ = r,. şi din (2) => « 2 = oe+ 1 => ex4 =.3ot 2 (3)

{

= 2ot = 2~ -

r,.4 ~4

+

~2

~

=

sistemul (3) devine

+ 1 => ~· = 3~ + 2 ·r· ot3/(rx) + /{~r...:... _;_ot - 2 ~·-î~mulţind ecuaţi~· ~ f(ex) + ~3/rn) .= -[> - 2

cu ex 2 obţinem ţinînd seama _de: (1) şi (2) 0t3/(0t)

şi

+ /{~) =

sistemul devine

ot

2(-~ - 2) =

r% -

' ·

2oc2 =.JX ,- 2(1~;" + })

=

-,.r,. ·-'-: ·2

·:.

f ot3/(rx) rr.3/(ot) + /(~) = -«.- 2 sistemul este compatibi/~~~~+ J(~) = -ot - 2 '· l

terminat. Notînd cu f{ot) :-- a

f(~)

'd~u~

= -rx._2 a -

ot - 2

=

:-a(«+ 1) - ot - 2 şi de~i

1 - x 2 dacă x ,/, rx, ~ f(x) .= a x = oe -a(rr. 1) - oe - 2 dată x.=

f l

+

139

~

38. / = / 1 + / 2, unde

+ f(-x) I 1 (X ) -_f(x) --------,

1 ( ) _f(x) - f(-x) J'I. X - - - - - .

2

39. Efectuînd

substituţiile

{ soluţiile

studiind

a-b

x

+ 1 şi

x- x

x- 1- x

af(x)

+ bf(-x) =

bf(x)

+ af(-x) = c(l -

obţinem

+ x)

c(l

x)

obţinem

sistemului,

= _c-

1) /(x)

2

+ _c - , a+b

dacă a2 =f=. b2,

2) / nu există dacă a2 = b2 şi c =f=. O, 3) / este orice funcţie impară dacă a= b =f=. O şi c = O, 4) / este orice funcţie pară dacă a = -b şi c = O. y;..ţ d sub stl"tuţ"iL X - 1 40• .a:,,.i.ectum 1e x- A

"

obţinem

af( 11 : 1 )

+ bf( 1 ~ x) + cf(x) = g(": 1 ),

af(-1- ) 1-x

1-,r

{'v')

eR -

X

1- ) {V) X + bf(x) + cf(x -" 1 ) = g(1-x

Rezolvînd sistemul în necunoscutele f(x), (a• - bc)g(,r)

f(x)

1 • x - - - •m re1aţ1a

ş1•

+ (c1 -

=

ab)g("

a•+ b3

!(

~

1

1}

+ c' -

~ "),

+ (bi -

e

{0,1}

d ata, w

şi ·respectiv

R - {0,1}.

!(" ~

1J

obţinem

iu)g( 1 ~;;)

Sabc

•

41. Efectuînd în relaţia dată substituţia x - "

+ se obtine '

1 1-Sx

/(~) = .=..±..2._ _ !(~). 1 + 3,r 1 - 3x 1 - Sx

(1)

Efectuînd din nou în (1) substituţia x - ~ , obţinem 1

/(x) Relaţia

din

=~ 1 + Sx

enunţ împreună

+ 3,r

!(~}. 1 + 3,r

cu cele din (1)

şi

(2) (2) dă un sistem de unde

rezultă

j(X)

=

9,r&

+ 6,r1 - X+ 9,r2

42. Din

relaţia dată rezultă

/(x)

-

= (1 -

f(x) =f=. 1 şi /(x) =f=. ~ (V) x 2

J(~ -

1)

=

/(,r) şi/(x 1-/(x)

- 2)

=

2 •

1

/(x)) /(1 - x), deci e

/(,r - I) 1-/(x- 1)

140

R, deci

=

/(x) 1- 2/(x)

(V)

X e

B

arată /(x)

Analog se

/(x)

,:f,

şi f(x -

,:f, {

~ şi /(x - n) n

=

f(x)

,

1 - nf(x)

3) = 1

(V) x

!c:;(~) (V)

e

x 0 e R cu /(x0) > O, atunci alegem n,0 deci f(x 0 - n) < O, absurd deci / = O.

constată uşor că /(0,~oo) = [

43. Se

J(a),f(b),f(c) deci /(a}

+ /(b} > /(c)

Dacă x

44.

e [

f, 1)

=> /(a)

şi inegalităţile

e

B şi în general

R.

Dacă ( 3) şi

x

> 1 cu


: + f >

1

analoage.

= O => /(O} = O.

+ /(m} + /(O} = m => f(m) = ~2 + /(O) + f(x) = x => f(x) = ~. Fie x e 2

Dacă x = m e Z, atunci /(m)

V m e Z.

Dacă x e [O, 1) => /(x)

[n, n + 1),.

relaţia

atunci

f(x)

din

enunţ

+ f(n) + f(x -

dar x - n

e

şi

[O, 1)

devine

n) = x,

unde

x= n

+ {x} => {x} =

x - n,

deci

/(x)

+ ~2 + ~ = x => f(x) = :...2 , 2 = ~, (V) 2

prin urmare /(x)

x e R.

45. Evident funcţia / 1 (x) = x2 verifică relaţia. Fie /(x) o funcţie oarecare care verifică ecuaţia şi fie g(x) = f(x) - x2, atunci g(a + x) - g(a - x) = /(a + x) - (a + x) 2 - /(a - x) + (a - x) 2 = O => => g(a + x) = g(a - x), rezultă că graficul funcţiei g are dreapta x = a, axă de simetrie, adică funcţia g(x + a) este pară, deci /(x) = x2 + g(x) sau /(x) = x2 + h(x - a), unde h este o funcţie pară, k(x) = g(x + a). 46. /(x)

=

(i:, a„ cos b,.) sin x + (t a„ sin b,.) cos x. •=• l,=l N

Din /(O) =O=>

E a„ sin b,. =

ff

O şi din /(x0 ) =O=>

i-l

E a„ cos b,. =

O,

A-l

deci/= O. că

47. Se· arată că /(x) + / (x + ~} + / {x - ~) = 3, de unde rezultă dacă /(x) > O, atunci /(x) < 3, ( V) x e R. 48. Fie A

gog Dacă

=R-

{O,± 1} şi g: A - A; g(x)

=

=

1 - ". l+x

Se constată că

IA. Relaţia din enunţ se mai scrie j2(x) (/ o g)(x) = 64x, ( V) x în ultima relaţie efectuăm substituţia x .- g(x) deducem (/(g(x))) 2 • J(x)

=

64g(x), (V)x e A.

141

e

A.

Notînd /(xJ = u~şi_ (f o g)(x):= v rezultă u 2v = 64 x şi v2u . 64 g(.~) de unde deducem uv · 16,{1/ xg(x) şi deci · ·

V 3

- l( ) _ 64x 1 _ U-J'X ---,-,-==-• - - 4 . ~xg(x) 16

~----

x 1 (1

+ x)

---• I - :,

49. Fie A= {x e [a, b] Ix ~ f(x}}, f(a) > a=> a e A, adică A#= 0. Cum A c: [a, b], A este mărginită, există deci (superior) sup A= x 0 e R. Deoarece a e A => a ~ x 0 şi b este un majorant pentru A, deci

i x0

~

b => x 0

e

[a, b].· Vom arăta că /(x0 ) = x 0 •

Într-adevăr, fie x e A => x ~ x 0 şi / fiind crescătoare => J(x) ~ f(x 0 }, dar x e A x ~ f(x), de unde rezultă x ~ f(x 0 ), cu x e A, arbitrar. Prin urmare/(x0 ) este un majorant pentru mulţimea A, deci x 0 ~J(x0 ) (1). Dar cum/ este crescătoare rezultă din (1) că/(x0 ) ~ /(/(x 0 )), adică /(x 0 ) eA. Cum x 0 = sup A=> /(x0) · ~ x 0 (2). Din (1) şi (2) rezultă J(x 0 ) = x 0 •

50. ·Efectuîn:d f

pe rînd substituţia x - - 1 - obţinem 1-

(-1-} + !( l-x

x -

:tt

/(x: I) +

I)= /(x)

X

_1_ (1) l-:tt

=

:tt:

Din relaţia dată şi din (1) şi!(2) rezultă J(x)

şi apoi

l (2). =· xi -

+

1 • x ' 2:tt(X - 1)

51. Fie/ şi g care satisfac relaţi( din enunţ. Atunci 1/(x) - g(x) I = 1/(x) - fn(x) + /n(x) - g(x) I ~ 1/(x) ...;_ /n(x) I +

+f 1/n(x) -;· R(x) I ~ ~- ;,. ( V) :[n e N => /(xt= g(x), adică dacă ·există. o i 2-vn ~ .. :f~ncţie /~rea'feste _tunic~~ .Considerăm I ,Jx - f,.(x) I =

. . _•.• . , . 'I

v~:~~->v; )(Jf_ V;)(Vk: 1-= ,Jx) ~

=:n (

~ ~ (Vk: l ~

V;)(vk:

-

l -

Vi r= ~ (V -V; r~ k: l

1 d ec1. /,(. x ) = \'.• f unc . ţ·1e (s-au ut'l" . -n ,-1 . = --=x este unica 1 1zat mega4 -vn3

4.,/n

lităţile ab·-~

_

C° 1b

r

şi

...;a -

-yb ~

,Ja - b"; a

> b ;;.i: o).

52. Evident pentru x e {O, 1, -1} obţinem /(O) +/,.(O)= 2,/(1) + 2şi/(-1) + .f*(-1) = 2, (1). Observămcă-ecuaţiayn + y - 2=0 are o singură soluţie reală~= 1, (deoarece funcţia g(y) = yn -t- y ..:__ 2 este strict crescătoare pe R). Fie ecuaţia/(x) + Jn(x.) = 2 (2) care este satisfăcută numai pentru acele valori ale lui x, pentru care f(x) = 1, ori din egalităţile de mai sus, rezultă că/(0),f(l) şi/(-l)satisfac relaţia (2), deci /(O) = /(1) = = /(-1) = _1, prin urmare ecuaJia J(x) = 1 are cel puţin trei rădădrµ distincte.

+ Jn(l) =

R.M.T. 1-2/198!>

142

+ f(x) > O·=> x > o- şi x - ,vx + f(x) = j8(x)"-~ x - P(x) = ,Jx + f(x):,

53. Din condiţia x - ,J x 1Udicînd la pătrat obţinem

x - f2_(xY >O=> /(x) -~

Ridicînd

relaţia

(1) la

f(x)

> ();

1

. (1)

Ji. -

(2)

pătrat, rezultă

f'(x) - 2xf2(x) - j(x) + x2 - .x = O, care se mai scrie (/2{x) - /(x) - x)(f2(x) + f(x) + 1 ~ x) = O, de unde deducem !( ) _ -1 ± ,J4x-' s _ 1 ± .,/1 + 4.r }( x ) - - - - sau x - - - - - . .

'I.'

'dent ,.ţ,(, x )

i:tVl

vin iar /(x) pentru f(x)

2

- ,J1 + 4.r = 1---'--2

= 1+ ~ 2

= ..;:.r;-:::::a 2

f(x)

1

2

• /( x )

ş1

-1 - ,J4x - 3 = ------2

nu satisface

şi

,./4.r - 3 - 1 =~ -2 - -

/{x)

condiţia

(2). I~punînd

> O => x > 1,

care satisface

fi'm d negative , . nu con:-

deci I

relaţia

din

=

condiţia'.-(~

[l, oo)

şi

enunţ.

§ 2. DETERMINAREA UNOR FUNqll

1. înlocuind în relaţia dată y = x şi y = x, obţinem /(2x) + 2/(0) = 3/(x) - x şi respectiv /(O) + 2/{2x) = 3/(x) + x, de unde eliminînd /(2x) rezultă f(x) = x + /(O) => /(x) = x + a, a e R. Se observă că funcţiile obţi­ nute verifică relaţia dată. 2. Pentru y = 1, rezultă x/(1) + f(x) = 2/(x) => f(x) = xf(l) = a:J& .care evident verifică relaţia pentru orice a e B. 3. Pentru y =O=> f(x~) - /{O)+ /(O)= 2x2 + 5, deci pentru x >O~ =>J(x) = 2x + 5. Dacă y = - ~ , atunci din relaţia dată rezultă _ /(x2) +

!(~)- f(-x

2)

= 2x2

+ 2x2 +

i + 5 => /{-x

2)

= -2x2 + 5.

Deci pentru X< O rezultă/(x) = 2x + 5, aşadar f(x) = 2x + 5 {V) x 4. Fie X e [O, 1] => 1 - x e [O, 1] şi x + 1 - X= 1; deci f(x) + /(1 - x) ~ f(l) = 1 => f(x) ...; 1, (V) x e [O, l], deci /{x) ~ 1, (V) x

Dacă x

e [

e

[o, ½].

½, 1] => 1 ~ 2x => Ux) 143

~ 1 ~ 2x.

e

R.

+ /(1).

{I)

= 1 => f(y + 1) = a".f(l) + f(y)~

(2)

5. Pentru y = 1 Pentru x

relaţia

Schimbînd în

af(x)

=> f(x

+

1) = af(x)

(2) y în x

+ /(1) =

şi ţinînd

+ f(x)

a1(1)

seama de (1), avem

=> f(x)

G. f(x,y) '= (x - a)(y - a)+ a, ori -1 deci f(x, y) Echivalenţa

7. f(:x) g(:x)

=

f(y) g(y)

~ f(x) h(.i-)

=

e


/(O) = = O => f(x + a) = f(x) + f(a), deci

+ y + a) =

deci are loc

şi

a

O.

+ y) + f(a) => J(x + y) = f(x) + f(y). = f(x) + f(-x) + J (a) => J(-x) = -f(x), de f(x

-x => f(a) / este impară.

9. Pentru x = O, din (1) => /(O) ~ O. Pentru x = y = O, din (2) => /(O) ~ 2/(0)

unde

=> /(O) ;.i.

O, deci /(O) = O. Pentruy = -x din (2) => /{x) + /(-x) > /(O) => f(x) > -f(-x), dar din (1) avem f(-x) ~ -x deci f(x) > -f(-x) > x => f(x) > x, care împreună CU (1) dă /(.x) = X, ('v') X E R.

10. Din relaţia dată pentru y = O, obţinem/(x) ~ /(O), ('v') x e R. (1) Dacă în relaţia dată se fac substituţiile y - -,Jx şi x cu x e [O; + oo) => => /(O) = f (-ix - ,Ix) ~ f(-x) ( 'v') x e [O, +oo) (2) şi ţinînd seama de (1) =>J(-x) =J(O) ('v') x e [O, +oo). Dacă în relaţia dată se fac substituţiile y = - ,,jx şi X - - ••Jx obţinem /{O) = / (-2 ../x) ~ f(x) şi ţinînd seama de (1) => f(x) = f(O) ( 'v') x e [O, +oo) de unde avem /(x) = /(O) = a {'v') x e R, prin urmare numai funcţiile constante verifică. relaţia dată.

-Jx

G.M. 12/1981

11. În

relaţia dată

se fac

substituţiile k

+1

/(x2) =--/(x). 2

Făcînd din nou substituţiile x

->

/(x3)

x -:· x 2 , y - x

şi obţinem

(1).

x3, y - x şi ţinînd seama de (1), obţinem

=~ J(x). k 144

Prin inducţie după n, obţinem /(X*) Dacă

n

e Z - N,

=

atunci notînd m

/(x") = /(x-"') =

= k + kn -

1

-n

obţinem

r,

!(:.) = t((:

k+m-1 .ţ,(}

e

N, = -

î

,,.

-=----J'X =---J,X,

f(x")

=

I

+ :- 1 /(x), dacă n

e

N*

n

+1-

f(x}, dacă n

e

Z - N.

b) Pentru n par, / este 12.

Dacă

y

k

funcţie pară,

= 1 => /(x)/(1)

= /(1)

neinJectivă.

deci

=> f(x) =

+

1, ( 'v') x

R.

e

+

13. Pentru x = O => .f2(y) /2(-y) 2yf (-y) - 2yf(y) (/(-y) y)2 = 0 => /(y) = y, ('v') J E R, Funcţia astfel obţinută verifică evident relaţia din enunţ. => (/(y) - y)2

+

+

N*.

dec1•

.k

k•

e

/(X"') =

n+I-k .ţ,(}

,,.

(V) n

/(x),

+ 2y = O => 2

U. Făcînd în b) substituţiile x ....... f(x) şi y - f(y), obţinem: J(f(x)) + J(f(y)) ::!5; J(x) + /(y) => x + y ::!5; f(x) + f(y) şi ţinînd seama de a) => /(x) + /(y) = x + y, ('v') x, y e R. Pentru y = x => 2/(x) = 2x => => f(x) = x, ( 'v') x e R. 15. Soluţia I. Pentru y = x => P(x) = f(O), ( 'v') x e R. Dacă x = O => /2(0) = /(O) ; deci /(O) = O sau /(O) = 1. Dacă /(O) = O => /(x) = O, ( 'v') x e R. Dacă /(O)= 1, atunci făcînd x = O în relaţia dată => /(-y) = /(y}, ( 'v') y e R şi putem scrie:

J(x

+ y) = f(x -

(-y)).

+ y) =/(x -y),

deci f(x

= /(x)

('v') x,y

e

· f(-y)

= /(x)

· /(y)

= f(x -

y),

R.

Făcînd substituţiile x - .=.. şi y - .=.. în ultima relaţie, obţinem 2

2

/(x) = /(O) = 1 => /(x)

Evident,

=

funcţiile obţinute verifică relaţia

Soluţia

1, ( 'v') x e R.

din

enunţ.

fi.

Evident funcţia nulă verifică relaţia dată. Fie / o funcţie nenulă deci 3x0 e R astfel încît f(x 0 ) o/= O. x = x0 din relaţia dată rezultă :

Dacă

y

= O şi

=> /(O) = 1. Dacă y = x =>/(O) =.f2(x) =>P(x) = 1. Vom arăta :ă/(x) = 1, ('v') xeR. Presupunem că ( 3) x 0 e R, a.î. f(x 0 ) = -1. Făch d substituţiile x _,. X 0 ~i y _.., lxo în relaţia dată => / ( = f(x 0 ) • x,) => = O. f(xo)

.............

2

= J(x0 ) /(O)

!( 2 !( x,) 2

x•) 2

145

Făcîn(din nou substitu+•ile ·x ~.:!,a, • · ,.. - • 2 J

::-...,.

- ~.2 în rela+.a dată => 1-~(O) r~ ·

=

·= f2 ( ~0 ) : , 1 = O absmd: Deci"/(x) :·· · -1~ ( vj\ ·;;-R~ .

.

.

.

18. Pentru x = y = O => }(O) = 2/2 (0)

Dacă /(O) = O, atunci pentru l = -x => f (O) +/2(-x) =O=> /(x) = O, (V) 'x e R. Dacă / (O) = pentru y . .O, : obţinem: /(x)

¾,

- J(x)

+ -41 = O=> ( f (x)

- -1 2

)2 = O => f(x)

1

= O sau /(O) = - . . 2 ~ ft·(x) + / 2(-x) => f2(x) +

=> /(O)

= f2(x) + /2(0)

=> f2(x) -

= -21 .

Rezultă că singurele funcţii care verifică relaţia funcţională sînt f(x) 1 ( V) X e R şi f(x) = - , ('v') x e R

= O,

2

G.M.

17. Pentru x

/(O)

=

=

O

şi

-yg(O)

y

e;:

6/1984

R~ egalitatea se mai scrie

+ f(y).

Notăm

g(O) .-: a

şi

f(O)

= b.

Atunci /(y) = ay + b. Pentru y = O şi x e R, egalitatea se mai scrie : .· f(x) Dacă

('v')

=

xg(x)

x -:fi O

X e

+ f(O)

obţinem

=>ax+ b = xg(x) a= g(x), ('v') x

e

R.

+ b =>ax= xg(x),

( 'v')x

R.

e

R*, dar g(O) = a, deci g(x)

=

a,

18. Pentru x = y = 1 => /2(1) = 2/(1) => /(1) (/(1) - 2) = O => /(1) =0 sau f(l) = 2. Dacă /(1) = O atunci pentru y = 1 si x e R, din relaţia dată rezultă /(x) = 1 - x. Dacă /(1) = 2, atunci pentru y = 1 şi x e R, din relaţia dată rezultă /(x) = x + 1. Evident, funcţiile obţinute verific~ relaţia din enunţ.

O a.î. f(x 0 ) = O, atunci făcînd în relaţia dat~ x = x 0 => xof(y) = O, ( 'v') y e R => f = O, absurd. Aşadar, f(x) -:fi O, ('v') x e R*. Dacă y = x -:fi O, atunci relaţia devine 2x/(x) = 2xf2(x) => f(x) = 1, ( 'v') x e R*. În zero, funcţia poate fi definită arbitrar, deci

19.

Dacă există x 0 -:fi

substituţia

f(x)

={ a,1, daca dac~ x -:fi O x = O,

a

e

R.

20. În relaţia dată considerăm y = O => f(x) ·f(O) = xf(x) Dacă în (1) considerăm x = 1 şi x = -1, obţinem:

f(l) · /(O)

= /(1)

J(-l)j(O)·= -/(-1)

(2) (3)

şi

+ 1-

respectiv

Dacă x =O=> /2(0) = 1 (4). Dacă în relaţia dată considerăm x

y

=

-1 => /(1)/(-1)

+2

. f(l) - /(-1) .. (5)

146

x2 (1).

=1

şi

Din (4) rezultă /(O)"= 1 sau /(O):- -1. Dacă/(0) = 1; din (3) =>/(:--1)=0 şi din. (5) rezultă /(1} = 2, iar din (1) avem· f(x) (x - 1) = x2 - 1 şi pentrtţ x ,:fi l => /(x) = x + l ori /(1) = 2, deci .J(x) = x-'4 1 ·( V) x e R. · · :· Dacă /(O)= -1, din (2) => /(1} = O şi din (5) => /(-.1) :- -2, iar .din ll). avem f(x)(x + 1) = x2 - 1 şi pentru x ',:fi -1 => f(x) = x - 1, ori pentru x = -1 avem dat /(-1)-:-- -2, deci /(x) ·= x - 1 (V) x e R. Observaţie:

; : Dacă y = x, din relaţia dată avem : p(x) - 2xf(x). + x 2 = 1 => (/(x) - x) 2 = 1, de unde (V) x e R sau /(x)

=

x - 1, (V) x

unde A u B = R, ori din poate să apară. 21. Dac~ în

=

R sau f(x)

demonstraţia

relaţia dată

1/(x) - /(O) I

e

punem y

1 /(x) - /(O)

rezultă

_ /(x) :- x + 1„

= { x+l '

xeA

x-1, x

e

B

situaţie

de mai sus, ultima

nu

= a şi X e R*, obţinem = ± 1 /(x) = /(O) ± 1.

/(x) = /(O) + 1 şi /(y) = /(O) - 1 pentru două valori x ,:fi y, atunci 1/(x) - J(y) I = 2 ,:fi 1 - absurd. Aşadar, f(x) = f(O) + 1, ( V) x e R sau /(x) .= /(O) - 1, ( 'v') x e R, adică / este funcţia constantă ; dar în ambele situaţii Dacă

1/(x) . - f(y) I = O ,:fi 1 pentru orice x, y e R, x ,:fi .y ;

în concluzie nu

există funcţii/:

R -R cu proprietatea din

enunţ.

22. Pentru x = y = O => /(O) = 1. Pentru x = y = 1 => /(2) = 2/(1) + l.'. Pentru x = 1 şi y = 2 => /(3) = 3/(1) + 4. Pentru x = y = 2 => /(4) = 4/(1) + 9. Se demonstrează prin i:µducţie căf(n) ----: na+ (n - 1)2, (V) n e N, unde am· notat a == /(1), într-adţvăr, ţinînd seama de ;relaţia din enunţ avem

+ 1) ::;::: f(n) + /(1) +

2n - 1 = (n + l)a + n 2 • Ţinînd seama de aceasta, .rezultă că polinomul g(x) ='J(x) - ax - (x - 1) 2 i .:

f(n

are ;o infinitate de rădăcini distincte, d~ci este identic nul. Prin_ urmare, j(x) = ax + (x ,- 1)2 => f(x) = x2 + (a - ?)x + 1, a 23. Punînd x

=

y

dacă

= l

R.

O în relaţia dată obţinem :

f(y) - f(O) unde

e

=

2y2 => f(y)

=

2y2

+ flO),

facem

=> /(1) =

2

+ /(O)

=> /(O) =

3; deci /(y)

= 2y2 + 3,

('v') y

e

R.·

Pentru determinarea constantei „a" folosim funcţia obţinută în relaţia dată, de unde rezultă: 2(x + y) 2 + 3 - 2x2 - 3 = axy + 2y2, ( 'v') x, y e ~ => 4xy = axy, ( 'v') x, y e R => a = 4;

147

24. Funcţia fiind pară,!avem J(-x):=J(x), (V) ,e e R. Pentru x = y =O• /(O)= 2/(0) • /3(0) =/(Or• /(0) e {O, 1, -1}. Oonsiderînd y

=

1+

=

/(O)

rco)

.

relaţia dată, obţinem:

-x în

/(z) -.f(-z) • 1 /(z)/(-z)

+

=

/(O)

(l).

2/(z)

+/ 1 (z)

1

Considerăm

cazurile: 1) /(O) = O, atunci din (1) • /(x) = O, ( V) x e R, 2) /(O) = 1, atunci din (1) • (/(x) - 1)2 = O :::- J(x) = 1, ( V) x e R, 3) /(O) = -1, atunci din (1) :::- (/(x) + 1)2 =O• /(x) = -1, (V) eR.

X

25. Prelucrînd inegalitatea y2(f2(x) - 2x/(x)

+x

dată, obţinem

~ 1-

2)

1

~ 1•

y 2(/(x) - x) 2

(f(x) - x) 2

1

< y•- ,

(V) xeR„şi (V)yeR*==-1/(x)-xl ~~. {V) xeR şi yeR*, de • y unde rezultă /(x) = x. Într-adevăr, dacă ar exista x0 e R, astfel încît 2 f(x 0 ) :/: x 0 , atunci _înlocuind în ultima inegalitate y cu şi x cu x0 .f(z 0 )

obţinem:

l/(x

Deci singura

0) -

funcţie

¾jJ(x

~

X0 ,

(-1-)2 f (1 1- z

Dar

x)

1

< {,

absurd.

= la. = Oşi pentruy = -x ==- f(O) = f(x) + J(-x) • e

= /(1) -

/(z) (1 - z)1

R - {O, 1} :::-

=

1(1--

este f

1 -) = !(1-z

(1).

/(z) z)1

•

1 )=f{l +-z)=/(1) + f(-z )= 1+(-z} !(~)= f{1-z 1-z 1-z 1-z x. 2

r . + (-z-,2r/(z) = 1 + (1 ~ z

=

I: :-

x0

verifică condiţia dată

care

28. Dacă x = O ==- /(O) -J(-x) =J(x), (V) x e R. Din ultima condiţie, pentru x

=

0) -

z,

-

l

1- x

1 (; - 1J= 1 + -1] = l + /(z)

f. ~ _

(1 - x) 1

x1

X

rzi ·( l -

•

1 ,-; /(l)) = = 1- 2x+f(x)

(1 -

Din (1) şi (2) ==- /(x) = x, ( V) x e R - {O, 1} dar /(O) = O şi /(1) - f(x) = X, ( V) X e R. Dacă

27. _

Sin

X+ COS X

x

= y,

egalitatea devine 2/(x)

(2).

(1 - z)1

x)1

= sin x + cos x

=

1•

==- f(x)

=

(l) •

2

· d (1) mrel aţ1a , d ata, ob ţmemg . (x ) 1n1ocum A

{V) x,y v .D acay

e

=

v

R. O ==-g () sinz-cosz x - --2

=

sin x - cos z 2

c =:-g () x

= 11inx-coi1x - -2- - +

-constantă. Funcţiile obţinute verifică relaţia

148

=g (y) -

din

enunţ.

siny - cosy , 2

c, c eR _

= y = z = O,

28. Pentru x

2/(0l - /2(0)

obţinem :

1 o (/(O) - 1)2

;;i:

=

O=> /(O)

:i;;;

1.

Pentru x = y = z = 1, obţinem: 2/(1) - /2(1) ;;;,: 1 o (/(1) - 1)2 => /(1) = 1. Pentru y = z = O şi x e R arbitrar, relaţia devine

> 1 => /(x)

2 - f(x) Pentru y

= z=

f(x)

+ f(x)

1

şi

x

- f(x)

e

:i;;;

relaţia

R arbitrar,

> 1 => /(x) > 1, ('v')

1, ( \t') x

X e

:i;;;

O~

R.

e

devine:

('v') x

R, deci f(x)

e

=

1

R.

29. Fie x, y e (a., oo) fixaţi, atunci!din ipoteza (/:) descrescătoare} f(x

+ y) = J(x + y)

(x

+ y) = J(x + }') . X + J(x + y)

x+y

x+y

:i;;; f(x) • X

•

Y ~

x+y

+ l! /(O) > O. Deoarece O :i;;; /(O)= f(x- ;ţ) :i;;; f(x) + f(-x) = 2/(x) => f(x) ;;i, O, ( 'v') x Atunci /(x) =/(x -y + y) :i;;; f(x -y) + f(y), ('v') x,y e R => f(x) - f(y) Analog se

obţine

deci

f(y) - f(x)

:i;;;

:i;;;

f(x - y), ( 'v') x, y

f(x - y) ( 'v') x, y

1/(x) -· f(y) I

~

e

e

e

R.

R.

R,

f(x - y), ( \t') x, y

e

R.

32. În relaţia dată considerăm x = -y şi obţinem

/(O) = -y

Fie a e Q

şi

În relaţia f(x f(a)

+ f(y)

=> f(y) = y

+ a.,

( 'v') y

e

R - Q.

b e R - Q, atunci a - b e R - Q.

+ y) = x + y + a., punem x = b şi y = a - b şi = a + a., a e Q, deci /(x) = x + a., ( 'v') x e R. 149

obţinem

,.... 33. Pentru x =O=> f(y) - f(-y) ...:.. 2/(y) => f(-y) ~ -f(y), deci f este impară . Efectuînd substituţia x """"y şi y - x obţinem:

....

~

(1)

f(y

Relaţia

t2}

din

.

f(y --- x)

= 2/(x) + 6y2x

( V) x, y

e

R.

(1) se mai scrie:

f(x

+ y) + f(x - y} = 2/(x} + 6xy (2) care împreună f(x + y) =f(x) + f(y} + 3xy (x + y} => => f(x + y) - (x + y) 3 = f(x) - x3 + f(y) - y3. 2,

enunţ dă :

(3)

Dacă notăm

cu g(x}

(4)

Se

+ x) -

cu relaţia

= f(x)

- x3 relaţia (3) devine: g(x + y) = g(x) + g(y).

ştie că ecuaţia funcţională

g(x)

Cauchy (4) are

= ax, deci f(x) =

x3

soluţia

+ ax.

Da~ă x

= y = O => /(O) = O => O e F. Arătam că O este singurul element al lui F. Într-adevăr dacă există x1 =I= O, x1 ~ F, adică /(x1 ) = x1, atunci făcînd în relaţia dată x = y = x1 => /(2x1 ) ~ 2/{x1 ) = 2x1 => 2x1 e F şi din aproape în aproape rezultă /(nx1 ) = nx, ( V) n e N, cum x1 =I= O rezultă că numerele x1, 2x1, 3x1 ••• , nx1 • • • sînt distincte două cîte. două şi aparţin lui F, care este infinită, absurd. 35. Din relaţia dată deducem lf(a) - f(b} I ~ b - a (1) . { a ~ f(a) ş1 deoarece f(x) e [a, b], (V) x e [a, b] => . ~ b => a - b ~ , -b ~ -f(b) ~ -a ~ f(a} - J(b} ~ b - a ~. lf(a) - f(b) I ~. b - a (2). Din (1) şi. (2) rezultă lf(a) - f(b} I = b-a. Egalitatea are loc doar dacă /(a) = a şi /{b} = b sau /(a) = b şi /(b):= a. · · 34.

Cazul I. Dacă /(a) = a şi /(b) = b, punînd în inegalitatea dată y = a şi x e. [a, b] arbitrar => 1/(x) - f(a) I ~ jx - a I = x - a => f(x) -:- a ~ x - a => f(x) ~ ~ x, (V) x e [a, b]. · . Punînd y = b şi x e [a, b] arbitrar => 1/(x) - /(b) I ~ Ix - b I => => b - f(x) ~ b - X=> J(x) ~ X, deci /(x) = X (V) X E [a, b].

Cazul II. Dacă /(a) = b şi /(b) = a, punînd în inegalitatea dată y = a şi x e [a, bJ arbitrar => 1/(xJ - f(a) I ~ Ix - a I => 1/(x) - b I ~ Ix - a I => b - f(x) ;;;,, ;;,, x - a => f(x) ~ a + b - x. . Punînd y = b şi x e [a, b] arbitrar => 1/(x) - f(b) I ;;;,, Ix - b I => => 1/(x) - a I· ~ Ix - b I => f(x) - a ;;,, b - x => f(x) ;;;,, a + b - x => f(x) = = a + b - x ( V) x e [ a, b]. 36. !n relaţia din enunţ considerăm x = y = O => (ho g o f)(z) + + (g of)(z) + f(z) = 3z, (V) z e R sau (ho g of)(z) = -(g of)(z) - f(z) + + 3z, ( V) z e R (1).

150

+ z obţinem (ho g of)(x + y + z) = -(g of)(x +.Y +. z) + 3(x + y + z), ·

Făcînd în (1) _~ubstituţia

z- x +y

- f(x

+ y + .z) +

care înlocilită în relaţia din enunţ dă -(g of)(x Dacă

+ y + z) -

f(x

+ y + z) + 2x + y + (g o/):(y + z) +J(z) = O, (V) x,y, z

rezultă

în (2) se face x = O (V) y, z:e R

~ f(y

R. ·

e

-f(y

+ z) = f(z)

· ·

·

(2)

·

+ z) + f(z) + y

= O,

+y, ·-(V) y, z e R.

y

Dacă

în (3) facem z = O ~ f(y) =/(O)+ y, ( V) (V} x e R, (a =J(O)). înlocuind în (2) .expre·sia lui J, obţinem

e

R

(3).

~ f(x)

= x+ a

-g(x + y + z + a) - x - y - z - a + 2x + y + g(y + z + a) + + z + a = O ==- ~g(x + y + z + a) + g(y + z + a) + x ::!:::: O,

(V} x,y,z eR,

unde

dacă luăm

= O şi z =

y

g(x) = x

+ g(O) =

-a, x

rezultă

+ a',

{V} x

(4)

: e

R, (a'= g(O)).

înlocuind expresiile lui f şi g în (1) obţinem după o prelucrare ·h(z +a+ + a') = z - 2a - a', ( V} z e R, unde dacă facem substituţia z - x - a - a'~ h(x) = x - 3a - 2a' (V} x e R. · · Deci funcţiile f, g, h sînt J(x) = x + a, g(~) = x + a' şi h(x) = x - 3a - 2a', care evident verifică relaţia din enunţ. ·

37. Pentru x Pentru y sau f(O)

·

=O

şi

=y

=O~ f(O)

x =a~ f(a)

G.M. 5/1983

=2/(0)f(a) ~ f(a) =..:. 2

=

j2(a)

+ j 2 (0)

~

f2(0)

·1

= -4

~ f(O)

1

= -2

= - -21 .

Dacă f(OJ = ~ , atunci pentru y = O relaţia din anunţ devine 2

=Jţa

f(x)

- x), (V) x

e

R

(1).

Înlocuind în (l) relaţia iniţială obţinem (2). J(x + y) = 2f(x)f(y) (V} x,y e R Dacă în (2) facem substituţiile x - a - x obţinem, ţinînd seama de (2) f(a + y - x) =J(x + y), (V} x,y e R. Efectuînd substituţiile x _,, !.... , y 2

= !... 2

f(a) = f(x) ~ f(x) =

Pentru /{O)

= - ..:2 ,

obţinem

¼(V)

x

e

R.

procedînd în mod analog, se obţine o contradicţie.

Deci singura funcţie este f(x)· =· .! .

2

. .151

+ f(y) + f(z) + f(t) = 2/(,.,;xy) + 2J(.,_·zt) = = 4/(V Jiy · '\J·zt) = 4/(o/ xyzt). Dacă punem t = ~ xyz atunci, / (x) + f (y) + f (z) + f(t) = 4/(t) 38. Calculăm /(x)

=> J(x)

Prin

+ f(y) + f(z) = 3/(t) = 3/ ( ~ xyz).

inducţie

se

demonstrează că

-'-/_(x-')_+-'/'--(--"x +_._.._+-'/'-'('-x,.-'-) -_ / (!.li V XiX:11 1

-

1'--)

n

Presupunem că P(n) adevărat => P(2n) Fie x 1, x2, ••• , x,., x,.+ 1, ... , x 2„ e (O, oo)

y,,

= . . ; X211-1 X2A:, +f(Y2)

k

Particularizînd a

•.• XN ) .

adevărat =>

P(n

+ 1)

adevărat.

şi notăm

= 1, 2, ... n => /(xi) + f(x 2) + ... + f(x2,.) = 2(/(.)'1)

+ ... f(y,.))

obţinem:

=>

=

= 2nJ(flYiY2 ... y,.) =2n/(2~X1X2

X,.+2 =

Xn+3

= ...

=

X2n

+

X2,.).

•••

= n+l .J XiX2 ..• x„x..+1,

+ J(x 2) + ... + f(x,.) + f(x,.+ 1) + (n - 1)/(a) = 2nf(2".Jan+lan-t) = = 2nf(a) /(xi)+ J(x2) + ... + f(x,.+1) = (n + 1)/(a) = (n + 1)/("+1.Jxix2 ••• x„+1). f(xi)

39. J(x)

Calculăm

+ J(y) + f(z) + f(t) = ·

2/{

2 xy ) x+y

+

2/(~) = 4/( ¾,. -;J:-;) = 2

z+t

2xy

.

_ 4/(

-

2xyz

+ 2xyt8xyzt + 2ztx + 2zty )--

4/(

1

1

4

1

3

=

1

1

1

,

obţinem j(x)

1

)

·

-+-+-+y t X

Dacă punem t

2zt

-+x+y z+t

Z

+ f(y) + f(z) + J(t)

=

-+-+y z .t'

= 4/(~+l+_!_) =>/(x) +f(y) +f(z) =3/(~+l+ _!_) · X

y

Generalizare. În mod analog ca în

40. a) Fie y = O

Z

X

exerciţiul şi

x

e

z.

precedent. relaţia

R arbitrar, atunci

f(x) - f(O) = -xf(x) · f(O)

y

(1) => /(x)(l

devine

+ xf(O)J = J(O).

(2)

Presupunînd /(O) .;, O şi dînd lui x valoarea - - 1- în (2), obţinem o contra/CO)

dicţie, -

-

deci /(O) = O şi prin urmare, din (1) rezultă f(x) = O, ( V) x e R. b) Dacă A= R - {l}, atunci dacă/(0) fi= {O, -1}, x poate lua valoarea 1- e R - {1} şi din (1) =>/(O)= O, contradicţie.

/(O)

152

Prin urmare, sau /(O) = O şi din (1) rezultă /(x) = O, ( 'v') x e R - {1} sau /(O)= -1 şi din (1) rezultă /(Ţ) = - 1 - ('v') x e R- {l}. 1

% -

G.M. 9/1981

+

41. Punînd în (1) y = 2 şi folosind (2) obţinem f(x 2) = O ( 'v') x ;;;i, O din condiţia (3) => /(x) = O ( 'v') x e f2, oo). Fie x e [O, 2), atunci făcînd în (1) substituţiile x - 2 - x şi y - x

şi

obţinem:

/((2 - x)f(x))f(x) =>

Fie O ~ x

(y - x)f(x) pentru orice O ~ x

de unde

rezultă

f(x)

2-:r

-42.

- - ( V) y

=

pară.

r

l

2

/(:r)

=> Y - :r 2

< - 1- ~ /(:r)

-

x

pentru x

e

e

[O, 2),

aşadar

[O, 2),

O , pentru x e [2, oo).

=

/(:r) - f(y)

f(:r - y) :r-y

:r+y

Făcînd substituţia y -

+ y) +y

-y

=

+

f(:r Y) => /(:r) - f(y) :r+y :r-y

=

(2).

f(:r - y)

=

funcţie

(1).

=> f(:rj - f(-y) :r-y

:Eliminînd f(x) - f(y) din (1)

Dacă y

2

2-:r

,

< - 1-

(x, 2)

= - - (V)

~ :r

:r

I. Pentru x = y -:;: O => 2xf(O) = O => /(O) = O. O şi y-:;: O => yf(y) = yf(-y) => f(-y) = f(y), deci/ este

Pentru y -:;: ±x =>

%

2

Soluţia

Pentru x

f(:r

e

2

/(x)

=

< 2 => Y -

2 şi ţinînd seama de (4)

x

x) f(x) ~ 2, adică -

= O => (2 -

/((2 - x)f(x))

= /(2 -

x- l

=

f(:r

şi

+ Y) + y)•

(:r - y)•

(:r

=> /(l)

= /( 2:r -

1

(2:r -

(egalitate adevărată şi pentru x

=

(2)

.Aşadar f(x) x3/(l), deci f(x) funcţia obţinută verifică relaţia

I) 1)2

= =

(

rezultă:

V)

x,

y

e

(V) x-:;:..: 2

R, y-:;:

±x.

=> f(2x

- 1)

=

(2x - 1)2/ (1)

¾) .

ax2, (V) x e R. Se constată din enunţ pentru ( V) a e R.

153

uşor

că

Soluţia

II'. ~e deduce, la fel: /{O)= O şi /{-x) =/(x)-, ('v')'x erJt Făcînd substituţia y :.._ I şi x e R rezultă (x - 1)(/(x) - /(1))

=

+ 1)/(x -

(x

(1)

1).

din nou în (1) substit1~.ţia x - 1 - x => (-x) f/(1 ~ x) - J(l)] = (2- x)/(-x},cum/estepaţ"ă => -xf(x-1) + x/(1) = (2- x)J(x) (2)~ de unde pentru X of, 0 => j(x - 1) = /(1) ~ /(x) care i~trodusă În (1) Făcînd

=

dă

+

care este, evident,

verificată şi

J(x) 43.

x=O

Să

şi

presupunem

pentru x

= ax2,

că există

=

O, deci

e

R.

(V) x

/, g cu proprietatea din

enunţ.

Luînd

y = z e R* avem

= g(z)

f(z) - f(O) z

Se

X

/(x) =/(1) x2 {V) x e R*

constată că

=> f(z)

= /(O) + zg(z)

ultima egalitate are loc

J(z)

= f(O)

+ zg(z),

Fie x, .Y e R, x of, y. Luînd în (2) z din enunţ obţinem :

+ yg(y)] -

[f(O)

[f(O) y-x

şi

pentru z

( V) z

= x

=

e

R*.

O, deci

R (2).

e

şi z

=y

şi

înlocuind în

relaţia

+ y) => x)g(x + y) -

+ xg(x)] =

- xg(x) = (y X g(x) 'l y g(y) 1 X+ y g(x + y) 1

=> yg(y)

-

( 'v') z

g(x

=

O (3).

Notînd cu Mx punctul din plan de coordonate (x, g(xJ), din egalitatea (3) deducem că punctele M", M,,, Mx+:Y sînt colineare, ( V) x, y e R, x of, y. Luînd pentru x fixat, y = 2x, y = 3x, ... y = nx, . . . se obţine că punctele M:r, M2x, ... M,m ... sîilt coliniare situate pe o dreaptă d~. Pentru X1, x 2 e R, x 1 of, x 2, să notăm cu dx" dreapta care conţine punctele M .... şi M .... •

l

I

Ob~ervăm că Mx., Mx, E dx•..-, => M..-,+..-, E dx.x, şi cum M-"1 E dx.x,, deducem ma1 departe că M2..- +..-, e d„ Dar cum M2..-,, Mx,, M2..-,+z, sînt şi ele puncte colineare, rezultă că M2..- ee dx1 x,· Din faptul că M_..1 , M2x, e d„1_..1 şi M_..1 , M2_..1 e d_..1 rezultă că d..-1 = d„1_..,. Analog d_.., = d..şi de aici obţinem d_.. = d_..,, ( 'v') x1 , x 2 e R, x 1 of, "2· Prin urmare rezultă că graficul funcţiei g este o dreaptă, adică există a, b e R astfel încît g(x) = ax + b. Din (2) rezultă f(x) = f(O) + xg(x) = = ax2 + bx + f(O) şi notînd /(O) = c => f(x) = ax2 + bx + c se observă că funcţiile obţinute verifică relaţia din enunţ. 1

1 _..1 •

1..-1

1

154

44. Pentru ,x...:.... y = z = 1 => (/(1) - 3) 2 ..;; O=> /(1) = .>, X = y = z = o => (/(O) -c: 3) 2 ..;; o => /{O) .= 3, z = O şi y = 1 => f(x) + 5/(0) ;;i. /(x)/(0) + 9 => /(x) ~ ~. z = y = 1 => 6/(xr:;,; 3/(xJ 9 ~ /(x} ;;i. a,· .· deci /(x) = ,3,. (V) x e R.

+

45. a) În relaţia dată facem yx .

ş1.

. f (2x - x2 ) ob ţinem

;;i.

x-1

2x - x2

=

- - =~ x-1

Funcţia

f(x)

=

x

+y

=> y

= -"-, (V) x e R x-1

{1}

O•

Observăm că funcţia g(x)

b)

=

t"

t

x•,

2" -

x-1

E

+ 4,

g: R - {1} ~ R este surjectivă, deci

R => /(t) .

;;i.

o, (V)

verifică relaţia

t

din

E

R. enunţ.

46. Fie X =·{ a 1 ,·2, ••• an}, unde a 1 < a 2 < . . . < an. Dacă y = a 1 din ega.litatea dată rezultă f(x) _;, ±(x - a 1) Dacă /(x) = x - a 1 + /(a 1 ) şi dacă /(a1 ) = a,. > a 1 , atunci f(a,.) = a,. - a 1 + a,, ..;; an => a,, ..;; a 1 , absurd. _Deci /(a1) = a 1 Dacă f(x) = -x + a 1 + /(a 1) şi /(a 1) =a,,< an, atunci

+ f(a 1). şi

/(x) = x.

,,

+ a„ ;;i. 1 => a„ ;;i. a,.; absurd. I. eci /(a = an şi f(x) = -x + a + an. 47. Evident J(x) + f(y) + /(z) + f(t) = 2/ { Y J + 2/ ( /(a,~) = -a,.+ a 1

1)

x:

1

·:=

Dacă

în ultima t

relaţie

41 ( X+

y: + Z

z:

tJ

=

t ) •

facem

+ 3Y + z => f(x) + f(y) + /(z) + f(t) = 4/(t) => . R, => /(x)+. f(y) + f(z) = J(" + y + z ) , (u) v X, y, Z E =

x

1

-

=>

3

3

48. Pentru x = y => f2(x) - 2xf (x) f(x) = X, ('v') X E ll.

+x

49. Facem x = y = O => /(O) = O. Pentru x = O obţinem f(y) [J(y) - y] = O f (y) =_{O, dac~ y y, daca y

e e

şi

2

= O => (f (x)' -

x) 2 = O

deci

E, unde E c· R. R - E.

Să determinăm mulţimea E. Pentru y = x => x/(2x) = 2f2(x), ( 'v') x e R, iar pentru x = -y => yf(2y) = /2(-y) f2(y) => x/(2x) = f2(x) ( V) x e R, de unde deducem f2(x) + /2(-x), ( V) x e R.

+

T55

. ,

+ /2(-x),

=>

ln relaţia dată efectuăm substituţia x - -x şi obţinem:

-xf(y - x) împreună

care

(x2

+y

2)

cu

relaţia

f(x

+ y) =

+ yf(y + x) enunţ

din

=.12(-x} dă

ne

+ y) [j2(x) + f2(y) ],

(x

+ J2(y) ( V) x, y

e

R (1).

Cum O e E avem situaţiile : a) E = {O} şi deci j(x) = x, (V) x e R, b) E :#a {O} şi deci ( 3) a :#a O, astfel încît J(a) = O.

=

În (1) facem y

j2(x)

a - x şi avem a[f(x)

+ J2(a -

x) = O, ( V) x

funcţiile căutate

Deci

sînt f(x)

50. Pentru x = y =O=> f(O) Dacă

y

= O,

şi

=

j(x)

=

=

x)]

R => f(x) = O

e

x

=

+ f2(a -

( V) x

O, ( V) x

2f(O) J(a) => J(a) =

O, (V) x e

R.

e

R.

e

R

R.

e

2-2 .

obţinem

atunci

= j(x) J(a) + f(O) J(-x) + 21 J(a - x) => f(x) = j(a

J(x) 1

J(x) = 2 J(x)

sau

- x) V x

Efectuînd substituţia x-+ -x => j(-x) = J(a + x) ( V) x e R. Efectuînd în relaţia iniţială substituţiile x _,., a şi y-+ -x, obţinem:

= -21

J(a - x)

f(a

+ x) + -21 f(a

=> f(-x)

Pentru y - -x din

2_ 2

= f(x),

- x) => f(a - x) = f(a adică

f este

+ x)

=>

pară.

relaţia iniţială rezultă:

= f(O) = J(x) f(a + x) + f(-x) j(a

Cum însă J(x) = J(-x) = f(a

+ x)

obţinem j2(x) = !_4 => f(x) = ± 2-2

= J(a -

x) şi cum /(O) =

- x).

* 2-2 => J(x)

=

2-2 (V)

x

e

R.

Observaţie.

2_

Cazul f(x)

=

{

~'

x eA

unde O, a e A se elimină, deoarece o

-2 , xeR-A astfel de funcţie nu verifică pentru ( V) x, y e R relaţia din enunţ~ Ţinînd seama de relaţia din enunţ se scrie f(x + y) = 2/(x)j(y).

*

+

51. Fie x e R => x = [x] [x] = [x].

+ {x}

=> f(x)

=

f(rx]

+

{x})

=

52. Pentru y = O => f(O) = O. y = -x => f(-x) = -j(x), deci f(x - y) = f(x) - f(y). 156

J({x})

+

Pentru x

e

R - {O, 1} din 3) avem 1 /(1 - x) ;_' /(1) - /(:r) (4) (_1-) = / 1 - :r (1 - .s)I ~ . , . ~' I (1 - :r)I

Pe de altă parte

1- ) = f (1 + _.s_) = !(1-:r 1-x

1+

!(-"-} = 1-:r

= 1+( 1 ~:rr 1r:x)= 1+f 1 ~:rr[1f~J-1J= 1+ + (-:r-\2 (!... J(x) _ l) = ] _ I :r1 X 1 / xi : (1 - :r)1

+

/(:r) = 1 - 2:r + /(:r) (1 - :r)I (1 - :r)1

(5).

Din (4) şi (5) rezultă f(x) = x, (V) x e R - fO, 1}; dar f(O) = O, f(l) = 1 deci /(x) = x, (V} x e R şi /(~1990) = ,J1990.

53. Se

observă că

Observam ca w

w

/

(

f(x, y)

-1 , -2 ) = -1 5

5

2

7x2

şt.

> O y >

O. Deci putem presupune y

>

O.

ca pereeh ea ( -1 , -2 ) sat"1sf ace ecuaţ"ta w

5

+ 3xy + 3y2 = 1

5

(1).

Este suficient să arătăm că pentru perechile (x, y) date avem: /(x, y)

> !...2 •

Ţinînd seama de (1) condiţiaf(x, y) > !...2 ~e echivalentă cu 2(1 - 2x)(l

+

+ 2x) > 3y(l + 2x), (2). Din (1):_şi cu y > O, rezultă y = (-3x + + ,J12 - 75x2) /6 (3). Din condiţia 12 - 75x2 ;;;i,: O => x e [ şi

f ,{]

deoarece - .: 2

cu 2(1 - 2x) lentă cu {2').

< - ..:.5 şi x > - ..:.5 => 1 + 2x > O, deci (2) este echivalentă > 3y; (2'). Din (3) se deduce (5x - 1)2 ~ O este echiva-

54. Pentru x = y =O=> f2{0) = /(O):=> f(O) = O sau f(O) = 1,

y = O => 2J(x):= 2f(x) f(O) (1). Dacă /(O) = O => J(x) = O, ( V) x e R, care satisface a) şi b). Dacă f(O) = 1, atunci pentru y = O rezultă f(y) + f(-y) = 2J(O) f(y)

=>

=>J(y) =J(-y), (V) y e R. Deoarece (3) x0 e R*, a.î./(x0 ) = -1 rezultă din (1) căf(2x 0 ) =J(4x0 )=1 J(2x 0 ) = /(4x0 ) = 1. Efectuînd substituţiile x - x + 2x0 şi y - x - 2x0 în relaţia din enunţ, obţinem:

J(2x) + /(4x 0 } = 2/(x + 2x0 ) j(x - 2x0 )

(2)

dar /(2x) = 2f2(x) - 1 (3), din (2)

şi

(3)

rezultă

J(x + 2x0 ) J(x - 2x0 ) = f2(x)

(4). P unînd y = 2x0 în relaţia dată, avem f(x + 2x0 ) + J(x - 2x0) = 2J(x) J(2x 0) => J(x + 2x0) + j(x - 2x0) = 2J(x) (5) 157

=

Din relaţiile periodică cu

(4) şi (5) rezultă f(x) perioada 2x0 •

= f(x +

2x0 )

b) Din relaţia (3') avem .f2(x) =J(2x) +. 1

·_

adică/

f(x - 2x0);

este

(6)

2

.12( X~~)= f(2x - 2x +l

(7),

0)

;

Efectuînd în relaţia iniţială substituţiile x - 2x - x 0 şi y - x 0 obţinem /(2x) + f(2x - 2x11)

=

-2/{2x - x 0 )

(8)

(f(x 0 )

=

-1),

dar cum f(2x - 2x0) = f(2x), din (8) avem (9) /(2x -- x 0 J = - f(2x). Prin adunarea relaţiilor (6) şi (7) şi. ţinînd seama de (9) rezultă .f2(x)!+ + f2(x - x;)= 1 (10). Din (10) rezult~ f(x) e (-1, 1), · (\f) x e R, dar

f(xo) = -1, f(2x 0 ) = 1, .12(~)=/(xo~+ deci/(x) e [-1, 1], (\f) x eR. ·

1 = O =>/(~}=0,

55. 1) Conform lui b) ecuaţia/(x) =Oare cel puţin o soluţie u, u =fa O, /(O) = 1. Arătam că u < O. · Dacă u > O, conform: cu a) şi c} există O < z < u astfel încît f(z) = z. Confo1m cu d), O = f(z) f(u) = f(zj(u) + uf (z) -. uz) = f(O) = 1. Aşadar u < O. Conform b) printre soluţiile ecuaţiei f(x) = O există un X 0 mai mare sau egală cu celelalte; bineînţeles x 0 < O. Conform d), f(x)J(x 0 ) == f(xf(x 0 ) + xo.f(x) - xx0 ), decif(x 0(f(x) - x)) = O pb. (V) x eR. Pe:qtru (\f) x e R, rezultă x~ ;;i, x 0 (f(x) . . :. . x) şi cum x0 < O.J(x) - :X ;;i: 1. În concluzie /(19Ş7) ~ 1988 ~/(1987) => /(1987) = 1988. căci

56. a) Pentru x ~ y ~ 1 rezultă f(y) ;;i, f(x) + f(y - x) f este monotonă. Atunci pentru x e ( 1] avem

i,

f(x) ~ f(l) Pentru x e

= 1 ·< 2x,

(o, 2-]2 , există· n e

adică f(x)

N* astfel încît ·

1 => f(nx)

;;i,

.!. < 2.

nx ~ 1 şi prin urmare

b)

e ( O,

nf(x). Atunci ~

nf(x)

Funcţia f(x) =

0 { '

1,

½\ şi nx ~

· ~

f(nx) ·

f(x), adică -

< 2x.

J(nx) ~- 2nx. Prin inducţie se _demonstrează că pe1ltru_ x ~

;;i,

[o

X E" X e (

1.

2,

2nx

=>

~

f(x)

1}

2 _s~tisface

1}

2x.

condiţia

-

din

enunţ,

dar

!(~)=1>19~. 100 ' 100 57. l/(x1) -/(x2) I = 1/(x1) -/(O) + /(1) - f(x2) I ~ l/{x1) - f (O) I + 1/(1) -/(x2)l ~ lx1I + 11- X2I = 1 + X1 - X.a, (1) La fel obţinem l/(x1) -J(x2) I < 1 - X1 + X2, (2)

+

158

IJ(x1) - J(x2) I < mhr(l + %1 + 1-:- X1 + X1 - 11 + X1 - Xa - 1 + X1 - xii =

Din (1) şi (2) obţinem

= 1+

X1 -

X1

:t.2,

1-

1-

X1

lx1 -

+ :X2) = X21.

(3)

2

Pe de altă parte avem IJ(x1) - J(x2) I < IX1 - 'x~ I, (4). Din (3) şi (4) prin însumare rezultă IJ(x1.) - /(x2) I < .!. 2

.

§ 3, PERIODICITATE

1.

Funcţia lui Dirichlet

= {1 dacă

x e Q O dacă x eR-Q

/(x)

sau în general

= {a

J(x)

dacă x

e

Q

b dacă x eR-Q

care admite drept

perioadă

orice

număr raţional

T.

2. Fie x 0 e R - Q fixat şi a = J(x 0 ). Pentru orice x e R - Q, avem f(x x 0 ) = J(x 0 ), iar pe de altă parte f(x x 0 ) = f(x), deoarece x şi x 0 sînt perioadele pentru /. Deci /(x) = f(x 0) = a. Dacă x e Q, atunci~x + ,Jae R - Q şi ·deci J(x):=J(x't ,J2) = a, deci /(x) = a, (V) x e R. ··

+

+

3. Evident /(x) #: O, ( V) x e R, pentru că dacă ar exista x 0 e R a.î. /(x0 } = O, atunci f(x 0 a} = 1, absurd. · · => j(x + 4a} = Utilizînd egalitatea din enunţ obţinem J(x + 2a) =

+

=-

1

f(x

+ /(x),

(V) x

e

periodică

cu T

= 4a.

+ 2a)

deci / este

;;x;

Observăm că

R,

/(x) r:/: -.1

şi

/(x) r:/: O, (V) x e R. într-adevăr, dacă există x 0 e R astfel încît /(x0 ) = -1, atunci punînd în relaţia dată x = x 0 , obţinem : ,.

J(x 0 + 1) · J(x 0 ) + J(x 0 + 1) + 1 = /(x0} => /(x0 ) = 1, contradicţie. La fel, dacă există x 1 e R astfel încît /(x1) = O, atunci pentru x = x 1, relaţia devine

+ 1) J(x + J(x + lJ + 1 = J(x J => f(x + 1) = -1, absurd. relaţia dată rezultă J(x + 1) = /(x) - 1 => J(x + 2) = f(x + l) - 1 /(x) + 1 /(x + 1) + 1

J(x1 Din

1)

1

1

/(x) - 1 '-'-'---1

/(x+'l 1 - = , f(x) - 1 J(x) /(x)

deci f(x

+ 4) = -

1

1 J(x

+ 2)

=J(x),

+1+1

de unde

rezultă că funcţia

este

periodică,

.159

de

perioadă

4.

5. Din

relaţia dată rezultă

=

~(x+2)

J'

J(x

+ 3) =

1 l - f(x

+ 1)

: - -1- 1 1--1-/(x)

-

1

1 1-

1 - -1(-x+-I) = 1 - -

= j(x)

= 1- -f(x)1-

=> j(x

'

deci

+ 3) = j(x)

( 'v') x eR,

1 - f(x) rezultă că

de unde

f este

G. Evident, j(x

+ a)

periodică, ;i, _: =>

2

j(x)

1, deci _: j(x

=

+ 2a} = f(x), T = 2a.

( V} x

R, de unde

e

O =>

+a,=_:+ 2

2

v

;;:i:

R.

e

Calculăm j(x + 2a) = _: + ,..jf(x + a) - fl(x

+

3.

rezultă că

feste

=

j(x =>

periodică,

de

perioadă

7. Observăm că f(x)

Notînd cu g(x)

= j(x}

+ T) = \/1i- -

= "\V/ ps4

- p• 4

P.. 2

( 'v') x

e

;i,

O (V) x

e

R, rezultă

R.

relaţia din enunţ devine :

+ 2T) =

g2 (x) , deci g(x

V~· -

g2 (x

+ T} =

+ g (x) = g(x), de unde rezultă că g este periodică de 2

2T, deci ~i feste •

-

şi din pj(x) - j2(x)

P..2

P..2 O, astfel încît g(x + t) == g(x), ( V) x ·e R. Atunci f(x + t) + f(x6 + t6) = f(x) + f(x6), {V) x e R. În particular pentru .x = O, obţinem f(t) + f(t6) = 2/(0) = 2M. Folosind b) rezultl f(t) = f(t6) = M. Deci există ki, k 2 e Z* cu t = k 1T şi fJt = k 2T, de unde rezultă fJ = ka , în contradicţie cu fJ e R - Q. Deci g nu este periodică. k1

10. Notăm cu g(x) = f2(x) + f2(x atunci relaţia din enunţ devine g(x)

care se mai scrie g(x) - ~ 2

Notînd din nou h(x)

=

+ 2a) (1) + g(x + 3a) =

+ g(x + 3a) - 2.2 = O

1

(2)

(3).

g(x) - ~, relaţia (3) se mai scrie 2

+ h(x + 3a) = O - h(x + 3a) = ~h(x) şi deci h(x + 6a) = -h(x + 3a) = h(x) adică h este periodică cu perioadă de unde rezultă uşor că g este periodică, sau făcînd în (2) substitux - x + 3a obţinem g(x + 3a) + g(x + 6a) = 1, de unde rezultă că h(x)

6a, ţia

g(x

+ 6a) = g(x)

11. Presupunem prin absurd

Fie T =

P.., p, q q

că

(V) x

T este

e

R.

raţional

N*, (p, q) = 1.

e

Deoarece

f(x + kT) = f(x), ( V) x e R şi ( V) k e N => f(x + qT) = f(x) => j(x + P) = f(x), ( V) x e R, adică p este perioadă a funcţiei => =>J(x + kp) =J(x), (V} x e R şi (V) k e N.

=>

există

Cum pentru orice n e N, n

=

kp

k e N

şi

r e {O, 1, ...

p ··- l} astfel incît

+ r =>J(n) =J(kp + r) =J(r),

deci J(n) e f/(0),/(1), ... f(P - 1)} ( V) n e N, ceea ce este absurd deoarece mulţimea {f(n), n e N} este infinită. R.M.T. 2/1982

12. Deoarece f este

periodică,

j(x

{ 3) T

+ T) = J(x), 161

>

O astfel incit

( V)x

e

R.

Să presupunem f crescătoare, atunci /(O) =s;; /(x) dar cum /(O) = /(T) ./(x) = /(O), (V) x e [O, T],

= /(0),

deci f(x)

(V) x

e

=s;;

f(TJ, ( V) x e [O, T~.

B.

13. Cum f nu este injectivă, există a, b e B, a o/: b şi /(a) = f(b). Fie a< b, arătăm că T = b - a este periodică pentru funcţia /. Din f(x + y) = f(y + x) => g(f(x), y) = g(f(y), x), ( V) x, y e B (1). 1n relaţia iniţială facem p(rînd x = a şi x = b şi obţinem /(a + y) = g(f(a), y) respectiv f(b + y) = g(f(b), y) (V) y e B. Cum /(a) = /(b), deducem că f(a + y) = f(b + y), ( V)y e B (2), Făcînd în (2) substituţia y - y - a => f(y) = f(y + b - a), ( V) y De 11nde rezultă că / este periodică cu T = b - a.

e

B.

u.

Se ştie că x - rx] e [0,1), {V) x e B. Presupunem că/ este periodică, adică ( 3) T o/: O, astfel încît,

g(x+ T)

+

f(x + T) = /(x) sau x + T - [x + T] = g(x) {V)x e B (1).

+x-

[..:]

Pentru x = O avem g(T) + T - [T] = O (2) Cum g este impară rezultă g(O) = O. - Pentru x = -T din (1) obţinem g(-T) - T - [ -T] = O sau -g(T) + (-T) - [-T] = O (3). Adunînd (2) cu (3) obţinem : -

(T- [T])

Dar T - [T~

;;i,

O şi -T T -

+ (-T-

[-T])

=O

(4)

[ -T] ;;i, O şi deci din (4)

[T]

= O şi

-T - [ -T]

=

rezultă

O,

iar din (2) rezultă g(T) = O => T e B - Q*. Cum însă T o/: O rezultă T e B - Q. Din T - [T~ = O => T e Z* contradicţie cu T e B - Q, deci / nu este

periodică.

15. Efectuînd în

f(x Deci f(x Ţinînd

relaţia dată substituţia

+ 2) + f(x) = . /i f (x +

+ 2) = f(x)

=

+ 1,

2/(x) - •.j2J(x - 1).

J(x + 4) = f(x + 2) - ,,/2J(x + 1), seama de (1), relaţia (2), devine j(x

j(x

+ 4) = f(x)

+ 8) =

/ este

obţinem

- ~f(x - 1), (1), de unde avem

deci Aşa dar

1)

x- x

-J(x

periodică

- ~rJ(x

+ 4) = j(x) cu T

+ 1) + f(x -

=>

f(x

= 8. 162

1)]

+ 8) = f(x),

(2).

= -j(x), {V) x

e

B.

18. Din relaţia dată deducem f(x + P) - f(x) deci J(x + kp) - f[x + (k - l)p] = g(x). 1nsumînd după k, de la 1 la n, obţinem :

= g(x),

= f(x)

- J(x - P) ==

+ np) - ff.:x) = ng(x) => n lg(x) I = 1/(x + np) - J(x) I ~ lf(x + np) I + 1/(x) I ~ 2M => I g(x) I ~ 2M, (V) x e R şi n

J(x

~

(V) ne N* Deci pentru n suficient de mare avem g(x) = O. De unde rezult.ă f(x + PJ - j(x) = O => f(x + P) = f(x) odică cu perioada p. enunţ

17. Din

+ f2(x + 7a) = f2(x)

+

f _este peri-

f2(x + 2aj + f2(x· + 4a) + J2(x R. Folosind aceasta şi (*) deducem:

obţinem

1, ( V) x

f2(x

adică

e

+ 3a) = f2(x + 4a) + f2(x + 7a),

Analog cu x - x + 3a în (*) => f2(x + 3a) + f2(x + Sa)

Mai departe din (*) cu f2(x) + f2(x + 2a)

(V) x e R.

+ f2(x + 6a) + f2(x + Ba) =

+ Sa) + (1)

1.

relaţia precedentă rezultă

= f2(x + 6a) + f2(x + Ba),

( V) x

e

R.

(2)

Putem scrie

f2(x + Sa) - .f2(x + 9a) 11 > f2(x + 6a) - f2(x + 2a) / 2 (:x) - f2(x + Ba) => f2(x) + P(x + 9a) = f2(x + Sa) +P(x + B~) (3) Dar din (1) J2(x + Sa) + J2(x + Ba) = J2(x + 9a) + f2(x + 12a), ( V) x eR. => f2(x) + / 2 (:x + 9a) = J2(x + 9a) + f2(x + 12a), ( V) x e R. => f2(x) = = f2(x + 12a}, ( V} x e; R => f(x) = f(x + 12a) (4) => f este periodică. § 4, BIJEqll

1. Dacă f(x) = f(y) => O > ~ Ix - y I => x = y => f injectivă. 2. a) Pentru x = 1, obţinem f(/(1)) = 1 (1) iar pentru x = /(1),

nem /(/(/(1))) = ./2(1) - /(1) + 1 (2). Din (1) => /(/(/(1))) = /(1), deci /(1) = /2(1) - /(1)

= O => /(1) = b) g(l)

=

+ 1 => (/(1)

obţi­

- 1) 2 =

1.

1 - /(1) /(/(0))

+ 1 .:..... 1 şi g(O) = =

1

şi

1! deci g nu este

f{/(1)) = 1 => /

injectivă.

neinjectivă.

3. Evident/ este surjectivă, deoarece pentru orice y e R, ecuaţia ~ x3 + ax - y = O are cel puţin o soluţie reală (orice ecuaţie de grad impar cu coeficienţi reali are cel puţin o soluţie reală). Din f(x) = f(y) => (x - y) (x2 + xy + y 2 + a) = O => x = y ~ a > O.

f(x)

=y

4. a) Deoarece funcţia g(x) = x este bijectivă => / este bijectivă. b) f nu este monotonă, deoarece f of este strict descrescătoare. c) Pentru x = O => /(/(0)) = O, dar /(/(/(x))) = -j(x) şi pentru x ~ O => f(f(/(0))) = -f(O) => f(O) = -j(O) => f(O) = O.

163

d eci. 5. 1) Cum/: [-1,1] -

[-1,1] deducem /(1), /(-1), /(O)

e

[-1,1~

-1 < a - b + C < 1, -1 /(4"•) + /(3) = 1 (2). Din (lJ şi (2) rezultăf(4) = /(4.s•) => 4"• = 4 x 0 = 1, absurd. 8. Dacă funcţiile far fi injective atunci/ o/ ar fi injectivă, dar funcţiile din dreapta nu sînt injective (afiFmaţiile sînt adevărate şi pentru funcţiile surjective).

=>

164

/(2)

c} Punînd x . O şi x = 1, absurd. 9. În

relaţiile

a)

.şi

= 2 în relaţia

·

b) se fac ţinînd

x - g(x) ;

= 1 şi respecţiv

daţă obţinem /(O)

substituţiile

seama de a}

şi

şi

x - f(x) b)

obţinem

/(g(f(x))) = f2(x) => /(2x} = f2(x)

respectiv :

(1)

g(f(g(x))) = 2g(x} => g(x2} = 2g(x}

(2).

=

Punînd în (2) x = O şi x = 1 rezultă g(O) = g(l) O. Punînd în relaţia a} x = 1 şi x = O obţinem /(g(l)) = .1 => /(O) = l şi respectiv /(g(O)) =O=> /(O} .. = O, absurd. 10. Pentru y = -x => f(f(x) - x) = 2/(0} => /(x) - x = c => => f(x} = x c= x {Dacă /(x) = x are două valori diferite => /nu este injectivă.)

+

11. Pentru x = O,

obţinem

+ /(O).

/"(0) - 3/2(0) + /2(0) + 4 => O

(j(O) - 2)?·(!2(0) +/(O)+ 1)

< O=> /(O)

(deoarece /2(0) +/(O)+ 1 =(!(O)+

- 2 =O=> /(O}= 2,

¼}2 + : >o).

În mod analog, pentru x = 1, obţinem /'(1) - 3/3(1) + /2(1) + 4 < O => (/(1) - 2) 2 (/2(1} + /(1) + 1) < O => /(1) - 2 ~ O => /(1) = 2. Deci/(0) = /(1), de unde rezultă că/nu.este injectivă. Prin urmare nu există funcţii injective carţ verifică inegalitatea din enunţ. G.M. 2-3/1982

12. Presupunem prin reducere la absurd

că există

o

bijecţie!

Soluţia I. /: (O, oo) - (O, oo), astfel incit /(x) + f(x + y) = y, ( 'v') x, y e (O, oo). Fie y 0 e (O, oo) => ( 3) x 0 e (O, oo) astfel încît /(x 0 ) = ~ şi relaţia pentru perechea (x 0 , y 0 ) devine : /(x 0 ) + /(x 0 + y 0 ) = 2

= Yo

=> f(x 0

+ Yo) = ~, 2 X0

cum/ este injectivă 'rezultă + Yo =

Solufia II. pţntru x X

X0

=> y 0

= O absurd.

= y = 1 => /(1) + /(2} = 1 = 2

şi

deci/ nu este injectivă, de unde

=> /(3} = /(l)

y = 1 => j (2) + /(3) = 1 rezultă că/nu

poate fi

bijectivă.

13. Dacă a = O sau b = O, funcţia/ este constantă pe un interval, deci nu poate fi injectivă. Presupunem că a, b #: O. Dacă a şi b au semne contrare atunci - ~ > O şi a

!{-~)=/(O) = lb I => f D aca a w

ş1•

('v')

X E

R.

nu este

injectivă.

b au acel aşi. semn, / nu este surJecbva, . . d eoarece /( x } #: lbl 2 w

165

,

Într-adevăr, pentru x x e [O, oq), /(x)

=

e

lax

= - lbx + c I ~

(-oo, O), f(x)

O
(2/(0) - 1)2

O=> 2/(0) - 1 =O=> /(O)=

enunţ

1, atunci inegalitatea din

I

2 .

devine

¼,

/(1) - /2(1) - { ~ O => (2/(1) - 1)2 ~ O => 2/(1) - 1 = O => /(1) = deci/ nu este

injectivă.

g(x)

=

funcţie

= x,

(V) x e R şi x + f(x) injectivă. Făcînd substituţia x - f(x) în g => g(f(x)) = f(x) + f(f(x)) = J(x) + x = g(x) => f (x) = x.

15. Fie/: R -Ro

cuf(f(x)J

=

16. Pentru x = y => .f2(x) - f(x) [x + (-l)"P - 2] - 2 [x + (-l)"P] =O=> f(x) = -2 sau /(x) = x + (-l)""P-1; ultima funcţie este evident bijectivă şi/(x) = x - (- l)"P ( V) x e Z.

+

există

17. Evident

o

funcţie g :

surjectivă

R+ - R

şi

astfel încît

g "F'/B+• Notăm

/ 1

/ 2

(x) =

Jg(x), dac~ x > O (x) = (/(O), daca x = O f(x) - g(-x), dacă x

·(f(x) - g(x), dacă x > O O , dacă x = O g(-x), dacă x < O

atunci R


/ 2 (R) => / 2 (B_) = g(R+) = R, deci / 1 {R) = B şi / 2 (B) = B ; / =

18. 1) Din relaţia dată rezultă g(x) ,Jx• + 4x - x = -'-----2x

•

Şl

g

verifică uşor că bijectivă.

Se

( ) X

=

f(x)

+1=

- 1xf(x)

/1 + /2· => /(x) =

.,/xi+ 4x + x . = -'-----2x

f este

bijectivă,

de unde

166

rezultă

imediat

că şi g

este

2) Se

calculează J-1 (t)

= -

t(I

uşor că

g-1 (t 1n+l

3) Evident -

Deoarece ..Jn2

1-

+ 1)

g-1 (t) = - 1- , de tinde t(t- 1)

rezultă

+ 1) = 1-1(t).

< f(n) < ~ şi n

+ 4n

şi

/(n) este iraţional.

R - Q, ('v')n e N* (verificaţi!).

e

19. a) => b). Procedăm prin reducere la absurd. Presupunem că ( 3) E 1 şi E 2 cu E, 1 n E 2 = 0 şi astfel încît

/(E1) n /(E2) ::/: 0, fie b e /(E1) n /(E2) => 3) x1 e E 1 şi x2 e E 2 astfel încît /(x1) = /(x2) = b (evident x1 #: x2) deci / neinjectivă, absurd. => (

b) => a) Fie x1 #: x2 şi E 1 = {x1}, E2 = {x,.} => E1 n E2 = 0 şi /(E 1) n /(E 2) = 0 {/(x1)} n {/(x2)} = 0;=> /(x1) ::/: f(x 2 ) => f injectivă. 20. a) În relaţia dată făcînd substituţia x -

= r (f) ~ o,

=-2

şi y - !_ 2

=>

/(x)

=

deci / nu este surjectivă.

b) ( =>) Pentru x = y = O, obţinem /2(0) = /(O) => /(O) = O sau /(O) = 1. /(0) = O, atunci pentru y = O şi x e R => /(O) /(x) = f(x) => f(x) = O, ('v')x e R => / neinjectivă, absurd. Dacă /(O) = 1, cum/ este injectivă rezultă J(x) ::f: 1, ('v') x e R*. Dacă

( «>) În relaţia dată facem substituţia y - -y => f(x)f(-y) Dacă

y

=

(1).

x => J(x)J(-x) =J(O) =), de unde avem

J(-x) f(x) f(y)

= f(x-y)

= f(x

= -f(x)1- şi relaţia = f(y)

- y). Fie f(x) => x

= y,

(1) se mai scrie

=> J(x - y)

deci/ este

= 1 => x

- y =O=>

injectivă.

21. Procedăm prin reducere la absurd, presupunem că există x1 ::/: x1 a.î. /(x 1) = /(x2), dar /(x1 ) - /(x2) = 0t e R - Q - contradicţie. Funcţia fi} are aceeaşi proprietate că şi /, deci este injectivă.

/(O) /(1) = f(b) şi respectiv f(O) /(1) = f(a + b) => => f(b) = J(a + b) dar/ este injectivă, deci a + b = b => a = O. b) Condiţia dată devine f(x)/(1 - x) = f(b), ( 'v') x e R. Arătăm că f(b) ::/: O. Să presupunem că f(b) = O => f(x) /(1 - x) = O, unde rezultă că există cel puţin două puncte distincte în care / se anulează, contradicţie cu faptul că/ este injectivă, deci f(b) ::f: O. Pentru x = b obţinem f(b)/(1 - b) = f(b) => /(1 - b) = 1. 22. a) Pentru x = O

şi

x= 1

obţinem

167

c)

Să

presupunem

că

( 3) x 0

f(x 0 ) /(1 - x 0 )

..:...

R a.î. /(x0)

e

= O,

atunci

=> f(b) = O, contradicţie.

J(b)

Deci zero nu este imaginea nici unui element din R, asadar f nu este '

surjectivă.

23. Este

inegalitatea !sin

cunoscută

Fie deci

=>'

dacă

(X = O).

x~y l=I sin x;y I·I cos x;y I~ I sin x;y I~ I x;y I=> =>Ix; I= Isin x; I=> = y => f injectivă. Y

Y

x

În mod analog g este injectivă. / este surjectivă, într-adevăr fie y e R, arbitrar. Ecuaţia x + sin x = y - sin x = -x + y are cel puţin o soluţie reală, deoarece graficele celor două funcţii sin x şi -x + y au cel puţin un punct comun pentru orice y e R. Funcţia

G.1'r1. 4/1983

24. 1) Evident, din relaţia a) dacă /(x):= f(y) => x = y. Fie J(x) + Ix - y I < lf(x) - J(y) I = ! x = y => injecţie. 2) Din b) obţinem lg(x) - g(x 0 ) I ~ Ix - x 0 I şi dacă x _,,. x 0 => => g(x) - g(x0 ), deci g este continuă în x 0 , deci pe R.

J=> +

1 (y2) I, bijectivă relaţia a) se scrie IY1 - Y 2 I ~ IJ-1 (y 1) 1 este continuă, deci f este continuă. rezultă la fel că J a.g continuă. Funcţiile (Xg fiind continue şi injective, rezultă că sînt

Funcţia

/ fiind

de unde

monotone. 3) Poate

J-

J,J +

să

nu fie.

25. Deoarece funcţia g(x) = x + 1 este bijectivă, din relaţia dată f este bijectivă. înlocuind x cu f(x) în relaţia dată obţinem f(f(f(x))) = /(x) + 1, ( 'v')x e R (1) şi aplicînd funcţia f egalităţii din enunţ obţinem /(/(/(x))) =f(x + 1), ('v') x e R (2). Din (1) şi (2) rezultă J(x + 1) =/(x) + 1, ('v') x e R. În ultima relaţie pentru x = O, obţinem /( 1) = J(O J + 1 => /( 1) - 1 =/(O). Observăm că h(O) = /(O) şi h(l) = /(1) - 1 = f(O), deci h{O) = h(l) de rezultă că

unde

rezultă că funcţia

h nu este injectivă.

G.M. 5/1983

26. În relaţia f(x + y) = /(x) + f(y), ('v') x, y e R. Pentru x = y = O => /(O) = /(O) + J(O) => f(O) = O, deci / are un punct fix. Dacă y = -x =>J(O) =J(x) +J(-x) =>J(-x) = -f(x). Dacă/ are un singur punct fix,· atunci din f(x) = x => x = O. Arătăm că g este injectivă; Într-adevăr, g(a) = g(b) => J(a) - a = f(b) - b => J(a) - f(b) = a - b => J(a) + J(-b) = a - b şi ~olosind relaţia ~in enunţ, obţinem f(a - b) = a - b; cum zero este singurul punct ftx, rezultă a - b = O =>a= b, deci g este injectivă. 168

Reciproc, presupunem că funcţia g(x) = f(x) - x este injectivă. Dacă / nu ar avea un singur punct fix, ci mai multe, atunci fie x 0 :/= O, astfel încît /(xr) = x0 ::;. f(xc) - x 0 = O g(x0 ) = O = g(O), ceea ce contrazice injectivitatea lui g. R.M.T. 1-/1981

27. Cum /

neinjectivă, există

ot,

~ e

R,

0t

:/= ~. astfel încît /(ot) = periodică pentru/. ( V) x, y e R. ln rela-

< ~. vom arăta că T = ~ - 0t este Din f(x + y) = f(y + x) ::;. g(f(x), y) = g(J(y), x) ţia dată facem pe x = at, x = ~ şi obţinem : · f(r,. + y) = g(f(0t), y) = /(~). Fie «

f(~ + y) = g(f(~), y) ( V) y e R dar cum f(r,.) = !(~) ::;. /(ot + y) = !(~ + y), ( V) y

R.

E

Dacă

în ultima relaţie facem substituţia y - x - «, rezultă f(x) = f(x + ~ - ot), {V) x e R, deci / este periodică T = ~ - ot.

ctţ

28. a) Necesitatea ,,::;." A= finită şi/: A - A injectivă.

va-

~ 2! . ; • '. an}, ~acă a~ :/= a; ::;. /(a,) .:/= f.(a;), deci oricare două lon ale funcţ1e1 smt d1stmcte ş1 cum A are n·eJ.em~nte rezultă /(A) are n elemente, prin urmare /(1:1) = A ::;. / surjectivă: Suficienţa ,,·O,

dacă

Alx -y I, {V) x,y ·e R.

J-1 (y) I :i;; 2.A Ix -

y

I, ( V) x, y

e

R.

Dacă în ultima relaţie facem substituţiile x - f(x)' şi y - f(y) obţinem

IJ-1/(x) -J-1 (/(y) I

:i;;

2.A

IJ(x) - J(y)I ::;. 1/(x) - f(y) I ; ;, A Ix - y 1.

De unde rezultă egalitatea 1/(x) - f(y) I = Â Ix - y I, ( V) x, y e R. Pentru y = O, obţinem 1/(x) - /(O) I = AIx I = ]Ax j. Dacă presupunem că există ot, ~ e R* astfel încît /(«) = Aoc f(O) si/(~) = -A~+ /(O), atunci calculînd 1/(ot) -/(~) l:=,Alot +~I.dar- 1/(otJ -'/(~)I= Alat - ~I. deci 0t + ~ = ±(oc :_ ~). de„unde rezultă ix= n sau ·13 = O,· absurd. Aşadar sau f(x) = AX+ /(O) (\l)x e R* sau f(x) = -Ax+ f(O), ( V) x e R*.

+

169

verifică uşor că

Se

aceste funcţii .;înt bijective şi/ şiJ-1 sînt lipschitziene sînt f(x) = ).x + c1 şi /(x) = AX + c2 ( V) ·x e R.

de rang A

=-

şi A- 1 •. Aşadar funcţiile căutate

30. a) Se

f este

ştie că dacă

injectivă şi g

este

A!... B .!. C şi g of: A -

surjectivă.

C este bijectivă, atunci

ln cazul nostru funcţia h: (O, oo) - (O, oo), h(x) = x2 este bijectivă, deci f of este bijectivă, de unde rezultă că / este bijectivă. b) Funcţia go J fiind inversabilă se ştie că (g o f)-1 = J-1 o g-1 deci dacă/o/=h=>(/oJ)-1 =h-1 =>J-1 oJ-1 =h-1 pentru (V)x e (O, oo) adică J-1(J-1 ((x) = h-1 (x) (1) de unde rezultă, aplicînd funcţia/ /(J-1 ( / -1 (x))) = J(h-l(x)) => J-1 (x) = /(h-1 (x)) (2). Deoarece f(J- 1 (t)) = t ( V} t e (O, oo). Făcînd substituţia x - f(x) în (1) obţinem J-1 (/-1 (/(x))) = h-1(/(x)) => => J-1(x) = h-1 (J(x1) (3). Din (2J şi (3) rezultă că f(h- 1 (x)) = h-1(/(x)) (4) şi cum h-1 (x) =

~x

egalitatea (4) se mai scrie /(,Ji) = ,JJ(x) (V) x e (O, oo). 31. Dacă a== -1, să arătăm că există/: R-R, bijectivă, astfel încît J2(2x) + 2/(x2 + 1) + 1 ~ O, (V)x e R. Este suficient să luăm /(x) = - :... . 2

Dacă

a= 1,

să arătăm că există/:

/2(2x) - 2f(x2

R - R, bijectivă, astfel încît 1) + 1 ~ O, (V) x e R.

+

Este suficient să luăm f(x) = ~ . 2

±

Să arătăm că dacă· luăm a #: 1, nu există funcţii bijective cu proprietatea enunţ. Fie deci a #: 1 şi / o funcţie care satisface inegalitatea din enunţ, atunci se verifică uşor că ecuaţia

±

din

-

-· (a2 + l)x = x2 + a are soluţii distincte şi reale x 1 , x2 • N otînd cu b1 = (a2 + 1) A1 = x~ + a2 ; b2 = (a2 + l)x2 = xi + a2, condiţia din enunţul problemei devine pentru x = x 1 a2f2 (b1) şi

pentru x

=

-

2a/(b1 )

+1

~

I

-

1)2 ~ O => /(b1)

= -a

2) -

1)2 ~ O=> /(b 2 )

= -a ,

O => (a/(b 1 )

x2

a2f2 (b 2) -,2a/(b 2)

32. Soluţia I. a) Fie M = max A

+ 1 ~ O => (af(b şi

m

=

min A, atunci M - m

=

l

max Ix - y 1:r,YeA

Presupunem că / ar :Ei surjecţie şi atunci rezultă că (3) x,y e A, a.î. M =/(x), m =/(y), deci M - m = IM - ml= = 1/(x),-/(y) I< Ix -yl ~ M - m = M - m, absurd. Deci / nu este surjecţie.

-

170

b) Deoarece / nu este surjecţie => /(A) c A; J(A) = /(/{A)) c/(A) dacă /(A) are cel puţin două elemente. în acest mod se obţine şirul de incluziuni: A ::, /(A) ::, f2(A) ::, ... care de la un anumit rang nu mai poate fi constituit din incluziuni stricte datorită faptului că A este finită. Fie n e N* numărul cu proprietatea că /"(A)

c

Jn- 1(A) dar Jn(A)

= Jn+l(A).

Este evident că /•(A) are un singur element, deoarece în caz contrar f"+ 1 (A) c /•(A), ceea ce contrazice alegerea lui n e N•. Fie deci Jn(A) = Soluţia

{x0 }. Din J•(A)

= Jn+ 1 (A) => /(x 0 ) =

X0•

II.

se poate ordona : fie A = {X1 < x2 < . . . < Xn-1 < x.} cu proprietatea din enunţ. Să presupunem că f(x) #: x, (V) x e A. Atunci vom partiţiona mulţimea A în două submulţimi astfel :

Dacă şi

A este

f: A -+ A

finită,

B = {x e Al/(x)

>

x}

şi

C = {x e Alf(x)

< x}.

Dacă x e B şi y e C => x < y. Într-adevăr, dacă presupunem că x > y, atunci rezultă f(x) > x > y > f(y) şi deci lf(x) - /(y) I > Ix - y I absurd. În concluzie ( 'v') x e B şi y e C avem x < y. Conform celor de mai sus avem A = B u C şi B n C = 0. Fie Xp ultimul element al lui B şi xP+ 1 primul element al lui C şi deci

X

~

Xp


Xp şi deci f(xp) deducem f(xp+i) ~ Xp. În consecinţă 1/(xl'>) - f(xP+ 1) I ~ lxP+ 1 Deci ( 3) x 0 e A a.î. /(xc) = X 0 •

~ -

e

B

şi

y

e

C.

xP+ 1 iar /(xP+ 1) < XP+i, de unde · Xp I contradicţie.

33. Dacă în relaţia (1) se face x = y rezultă j(xf(x)) = xf(x)) (3), deci există numere reale z pozitive pentru care f(z) = z. Fie a e R+ un astfel de număr, deci f(a) = a. Vom arăta că singurul punct fix al funcţiei f este a = 1. într-adevăr dacă a > 1 atunci din /(a2) = f(a · a) = j(af(a)) = af(a) = a2 şi prin metoda inducţiei · se d~du~e căj(a•) = an ( V) n e N* şi deci a•-+ oo => f(a•) -+ oo ceea ce contrazice ipoteza (2). Folosind (1) se mai obţine a = f(a) = f(lf(a)) = af (1) => =>J(l) = 1, deci numărul I este un punct fix al funcţiei. J?acă a e (0,1), atunnci din aj(a-1) = J(a-1/(a)) = /(1) = 1 => /(a- 1)=a-1 şi prin inducţie, se deduce că f(a-n) = a-n şi deci a-n _., oo => f(a-") ->