Problemas aritméticos escolares 9788477380139

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Preámbulo Luis está ante un Macintosh intentando escribir una parte de las páginas que siguen. Helena (6;2) entra en escena. H — ¿Puedo jugar con el Mac in’? L — No, que estoy trabajando. H — ¡Vengaaa! L — Déjame, que estoy escribiendo un problema. H — ¿Sí? ¿Qué problema? L — Mira: “Una niña se compra unas chucherías en un kiosco. Para pagarlas da 10 pesetas y le devuelven 3 pesetas. ¿Cuántas pesetas se ha gastado?” H — (protestando) ¡Eso no es un problema! L — (en tono didáctico) Sí, mira, el problema es cuánto se ha gastado. H — ¡Uy! Siete pesetas. L — (algo harto por la interrupción) Pues eso es lo que pregunta el problema. H — (insistiendo) Pero, ¿qué problema tiene la niña, si tiene bastante dinero?

Problemas y problemas aritméticos elementales........................................................ 1
 Introducción ........................................................................................................ 1
 Noción de problema aritmético........................................................................... 5
 El proceso de resolución. .................................................................................... 7
 Concepto, perspectiva y niveles de análisis ............................................ 8
 Concepto y perspectiva ............................................................... 8
 Niveles de análisis....................................................................... 9
 La descripción macroscópica por fases........................... 10
 El proceso de resolución de un PAE. .................................................................. 12
 Descripción de las fases. ......................................................................... 13
 Variables de la tarea ............................................................................................ 14
 Idea de variable de una tarea................................................................... 16
 Variables sintácticas................................................................................ 18
 Variables de contenido y de contexto. .................................................... 20
 Variables de la tarea y fases del proceso de resolución ...................................... 21
 Finalidades y reservas ......................................................................................... 23
 Finalidades .............................................................................................. 23
 De la intención a la práctica .................................................................... 24
 “La edad del capitán” .............................................................................. 25
 Los alumnos inventan enunciados .......................................................... 27
 La naturaleza estereotipada de los PAEV ............................................... 28


1. Problemas y problemas aritméticos elementales Se desconoce qué inventó primero el hombre, si la escritura o la aritmética. Hans Freudenthal

INTRODUCCIÓN Aunque se desconozca si la aritmética fue anterior o no a la escritura, lo que sí se sabe es que ya 3000 años antes de Jesucristo, en Babilonia, los “escolares” aprendían a calcular la distancia que mediaba entre el pie de la escalera y la pared en que ésta se apoyaba; a obtener el peso de la piedra que pesaba un kilo más que la mitad de su propio peso; y recibían, también, la instrucción necesaria para saber la parte de herencia que su padre, ya anciano, les había legado tras un peculiar y ecuánime reparto, como atestigua uno de los problemas que se encuentran en las tablillas babilónicas: Un anciano dejó al morir 65 monedas de oro, que debían repartirse entre sus 5 hijos de modo que cada uno recibiera 3 monedas menos que el hermano que le antecede.

En los textos escritos que se conservan, junto a los enunciados de los problemas pueden encontrarse instrucciones precisas y particulares para resolver cada uno de los problemas. Los griegos quizá despreciaron los problemas que hoy llamamos de aplicación, o se preocuparon poco de dar ejemplos que mostrasen la utilidad práctica de los conocimientos aritméticos que poseían, en pocas palabras, descontextualizaron los problemas aritméticos. Sin embargo, mostraron por primera vez una preocupación por tratar de desentrañar la naturaleza de los problemas aritméticos considerados no uno por uno, sino en general. Así, Diofanto en su aritmética se dirige a Dionisos con afán pedagógico del siguiente modo: Como sé, muy honorable Dionisos, que quieres aprender a resolver problemas numéricos, he emprendido la tarea de exponer la naturaleza y el poder de los números, empezando por las bases que sustentan estas cuestiones. […] Es bien sabido que la combinación de muchos problemas aritméticos resulta de la suma, diferencia, producto y cociente de estos números y de las relaciones que tienen con sus propias raíces, los cuales problemas se resolverán si sigues el camino que te indicaré después.

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son:

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Y los primeros problemas que Diofanto trata, y con los que enfrenta a Dionisos, – Descomponer un número en dos partes cuya diferencia sea dada. – Descomponer un número en dos partes cuya razón sea dada.

– Descomponer un número en dos partes que estén en una razón dada con una diferencia dada. Los contextos –reales, verosímiles o fantásticos– reaparecen en algunos problemas que se plantean como acertijos, pasatiempos o divertimentos matemáticos. Así, el genio de Arquímedes promete contar entre los sabios a aquel que sea capaz de conocer a cuánto se eleva la multitud de los bueyes del Sol. Amigo: Si has heredado la sabiduría, calcula cuidadosamente a cuánto se elevaría la multitud de los bueyes del Sol que, en otro tiempo, pacían en las llanuras de la isla Tinacria distribuidos en cuatro rebaños de colores distintos: uno blanco como la leche, otro berrendo en negro, el tercero colorado y el cuarto jabonero. En cada rebaño había un número considerable de bueyes repartidos en las proporciones siguientes: el número de los blancos era igual a la mitad aumentada en el tercio de los negros más todos los colorados, mientras que el de negros era igual a la cuarta y quinta partes de los jaboneros más todos los colorados también, y considera, además, que el número de los jaboneros era igual a la sexta y séptima partes de los blancos, aumentado, igualmente, en los colorados. Las vacas estaban repartidas así: El número de las blancas era, precisamente, igual a la tercera y cuarta partes de todo el rebaño negro, mientras que el de las negras era igual a la cuarta y quinta partes de las jaboneras, todas las cuales habían ido a pacer en compañía de los bueyes, y el número de las jaboneras era igual a la quinta y sexta partes de todo el rebaño colorado, mientras que las coloradas eran en número igual a la mitad de la tercera parte aumentada en la séptima del rebaño blanco. Amigo: Si me dices exactamente cuántos eran los bueyes del Sol y cuál, en particular, el de bueyes y vacas de cada color, no se te calificará de ignorante ni de inhábil, pero no podrás aún contarte entre los sabios. Observa ahora los diversos modos de estar dispuestos los bueyes: cuando los blancos juntaban su multitud a los negros, se mantenían en un grupo compacto que tenía la misma medida en profundidad que en anchura, y este cuadrado llenaba completamente las llanuras de Tinacria. Por otra parte, reunidos los colorados y los jaboneros, sin que estuvieran presentes los bueyes de otros colores o sin que faltasen, quedaban agrupados de tal suerte que, constituida la primera fila por uno solo, formaban gradualmente una figura triangular. Amigo: Si encuentras estas cosas y, en una palabra, si concentrando tu ingenio, expresas todas las medidas de estas multitudes, te glorificarán por haber alcanzado la victoria y se te juzgará como consumado conocedor de esta ciencia. (Vera, ed., 1970, Vol 2, pgs. 218-219)

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Aunque aquí nos estemos limitando voluntariamente, al sobrevolar la historia, a los problemas aritméticos (o a extensiones de ellos que no se alejen demasiado de lo que es práctica usual en la escuela), es preciso hacer mención, al menos de pasada, al papel nada desdeñable que han desempeñado en el progreso de las matemáticas los tres problemas clásicos: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo. La historia concreta de los intentos de solución de estos problemas es harto conocida y puede encontrarse en cualquier buen libro de historia de las matemáticas; lo que nos interesa subrayar aquí es cómo al enfrentarse con estos problemas los matemáticos han aprendido mucho, esto es, al no poder abordarlos con los conocimientos y los procedimientos que tenían a mano, se han visto obligados a introducir nuevos conceptos, mirar los objetos implicados desde nuevos puntos de vista, forjar procedimientos y técnicas capaces de tratar con estos nuevos enfoques, etc. En definitiva, al margen de que los problemas hayan sido finalmente resueltos o hayan sido sancionados como irresolubles, puede decirse que en el trabajo de su resolución ha habido una significativa producción de conocimiento. La historia de las matemáticas señala, pues, que la resolución de problemas de matemáticas es uno de los lugares en que producir matemáticas; la historia nos indica, por tanto, una de las intenciones con que la resolución de problemas ha de ser abordada en la escuela. Por otro lado, también valdría la pena tomar nota de cómo aparecen formulados algunos problemas en la Grecia clásica: como reto, incitación a tomar el problema como problema, promesa de que el que lo haga es un elegido, enigma propio de dioses o semidioses. Así, la presentación del problema de la duplicación del cubo como enunciado por el oráculo de Delos pudo crear el ambiente adecuado para motivar a los “escolares” de la época1. En el siglo XVI, en el que los matemáticos no eran profesores, pero casi, la afición a poner problemas –y a plantearse problemas– era cultivada y fomentada por la necesidad de ganarse el sustento atendiendo las peticiones de los mecenas y por el aumento de prestigio que suponía ser capaz de resolver cualquier problema por enrevesado que fuera. La interpretación de las soluciones y la búsqueda de nuevos métodos para resolver problemas aritméticos como “dividir el número 10 en dos partes cuyo producto sea 40” llevó a Cardano a expresar las cantidades que resuelven este problema mediante el uso de raíces de números negativos. Éste es un ejemplo de nuevo de cómo los problemas producen –al menos de forma operativa– nuevos objetos matemáticos, que, aunque inicialmente sólo posean sentido en ese problema particular como solución “imaginaria” –esto es, que manipulando aritméticamente esos objetos de forma similar a como se manipulan los números corrientes, se verificarían las condiciones del problema–, pueden encontrar después interpretaciones

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Asolado el país por una terrible plaga, el oráculo de Delos, al que se va en petición del origen de tan terrible mal y de la forma de aplacar a los dioses, transmite el deseo de éstos de que se construya un altar de doble volumen que el altar cúbico que existe en el templo. Pese a haberlo construido, la plaga no desaparece; y es el oráculo de nuevo quien ha de demostrar que la construcción es errónea por haber sido realizada con regla y compás.

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en otros problemas o contextos y llegar a ser institucionalizados como objetos legítimos del saber matemático. Volviendo al interés de los matemáticos por enseñar a resolver problemas, vale la pena traer a colación, por ejemplo, a Euler que deja entrever su interés por este asunto en la secuencia de problemas siguientes, en los que se conserva el contexto, y se modifica gradualmente la estructura: Un padre de tres hijos dejó en herencia 1600 coronas. El testamento precisaba que el primogénito debía recibir 200 coronas más que el segundo y el segundo 100 coronas más que el último. ¿Qué cantidad recibió cada uno de los hijos? Un padre murió dejando cuatro hijos. Estos se repartieron sus bienes de la manera siguiente: El primero cogió la mitad de la fortuna, menos 3000 libras. El segundo cogió un tercio de ella, menos 1000 libras. El tercero cogió exactamente un cuarto de los bienes. El cuarto cogió 600 libras, más la quinta parte de los bienes. ¿Cuál era la fortuna total, y qué cantidad recibió cada uno de los hijos? Un padre murió dejando varios hijos. Estos se repartieron sus bienes de la manera siguiente: El primero recibió 100 coronas y la décima parte de lo que quedaba. El segundo recibió 200 coronas y la décima parte de lo que quedaba. El tercero recibió 300 coronas y la décima parte de lo que quedaba. El cuarto recibió 400 coronas y la décima parte de lo que quedaba, etc. Al final del reparto descubrieron que la fortuna había sido dividida en partes iguales entre los hijos. Se pregunta a cuánto ascendía esa fortuna, cuántos hijos tenía y cuánto recibió cada uno de ellos. (citado en Polya, 1966, pg. 53)

Como puede verse en los problemas que siguen, tomados literalmente de libros de texto recientes, los currículos de matemáticas escolares reflejan en su diseño y desarrollo, y obligan a resolver de nuevo a los estudiantes, problemas que han sido resueltos siempre. Si se compara el problema de la herencia encontrado en una tablilla babilónica, los problemas de Euler y el problema 3, se puede decir que poco ha cambiado en el curso de los siglos. Problema 1 En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se pasan 7 monedas de la primera a la segunda caja, quedan en ambas el mismo número de monedas. ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja? Problema 2 Tres ciclistas recorren una pista circular. El primero tarda 32 minutos, el segundo 40 minutos y el tercero 44 minutos. Si salieron juntos a las 7h, ¿a qué hora coincidirán, por primera vez?

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Problema 3 Se quieren repartir 1200 ptas. entre tres personas, de manera que una tenga la mitad de la otra, y la tercera persona tenga igual que las otras dos juntas. Calcula lo que corresponde a cada una.

NOCIÓN DE PROBLEMA ARITMÉTICO En la escuela los problemas aritméticos se proponen, se enuncian o se presentan enunciados, y se resuelven. Así que, situados ahora en el ambiente escolar, si queremos saber qué entenderemos por un problema aritmético, habrá que describir las características de su enunciado y de su resolución. En el enunciado, la información que se proporciona tiene carácter cuantitativo ya que los datos suelen ser cantidades; la condición expresa relaciones de tipo cuantitativo y la pregunta se refiere a la determinación de una o varias cantidades, o relaciones entre cantidades. La resolución del problema, o lo que es preciso hacer para contestar la pregunta del problema, fundamentalmente parece consistir en la realización de una o varias operaciones aritméticas. Además, si estos problemas se consideran inmersos en el currículo escolar, por el momento en que aparecen en éste no cabe el recurso al álgebra para su resolución. Los ejemplos que siguen pretenden que se entienda mejor los matices de lo que entendemos por un problema aritmético. Problema 4 Un día el padre de Raúl se da cuenta de que el cuenta kilómetros marca 4320 km. ¿Cuántos kilómetros le faltan para hacer la revisión del coche que es a los 5000 km? Problema 5 El Sr. Ferrer desea hacer una valla alrededor de su piscina. El metro de valla vale 2000 ptas. Problema 6 En unos grandes almacenes hacen un 20% de descuento, pero hay que pagar el 12% de IVA. Cuando hagas una compra, ¿qué prefieres que te calculen primero el descuento o el IVA? Estos tres problemas son aritméticos, poseen por tanto las características descritas, pero presentan algunas diferencias entre sí. El problema del padre de Raúl es lo que podría llamarse un problema aritmético standard, ya que la información está explícitamente dada en el enunciado y además en forma numérica, y se pregunta por otra cantidad. En el problema del Sr. Ferrer se pregunta también por una cantidad, el valor de la valla, pero la información cuantitativa que es precisa para responder a tal pregunta –a saber, las dimensiones de la piscina y la distancia que media entre la valla

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y el borde de la piscina– no aparece en el enunciado; sin embargo, lo consideraremos un problema aritmético ya que para alcanzar la solución es preciso realizar una serie de operaciones aritméticas. El problema de los grandes almacenes sólo se diferencia del primero en que no se pregunta por una cantidad determinada, pero se puede responder al mismo estableciendo una relación de comparación entre dos cantidades que hay que determinar previamente. Los problemas aritméticos son, en general, problemas de aplicación, lo que hace que aparezcan enunciados en contextos variados. Así puede parecer difícil en ocasiones decidir si un problema puede ser considerado como un problema aritmético, cuando está embebido en un contexto geométrico, físico o biológico. Para nosotros en este libro, un problema será un problema aritmético siempre que los conceptos, conocimientos o recursos no estrictamente aritméticos de los contextos que aparecen en el enunciado no sean decisivos a la hora de resolver el problema. Por otro lado, un problema como el siguiente, que se resuelve haciendo uso de conceptos y relaciones aritméticas, no será considerado aquí como un problema aritmético, ya que la respuesta no se obtiene como consecuencia inmediata de la realización de operaciones aritméticas; siendo además crucial para su resolución el uso de técnicas tales como el examen de posibilidades, el análisis de los supuestos implícitos o la utilización de representaciones adecuadas. Problema 7 Un hombre debe llevar un mensaje a través del desierto. Cruzar el desierto lleva nueve días. Un hombre puede llevar únicamente alimento para 12 días. No hay alimento en el lugar donde debe dejarse el mensaje. Se dispone de dos hombres. ¿Puede llevarse el mensaje y volver sin que falte alimento? Delimitado el campo de los problemas que van a ser objeto de nuestra atención en este libro, hay que señalar también desde qué óptica van a mirarse. La óptica elegida es la que enfoca los problemas desde el estudio y descripción de su proceso de resolución. Como además nos interesa la resolución de problemas que realizan niños que están aprendiendo, veremos, siquiera sea someramente, qué aprenden los niños mientras resuelven problemas, esto es, qué conocimientos construyen o qué significados producen para los conceptos implicados en los problemas que resuelven. Más aún, como nos interesa la resolución de problemas que se hace por alumnos en la escuela, se hace necesario considerar además el contexto escolar y los currículos de matemáticas en los que éstos están inmersos; así como las características que confieren a los problemas el hecho de ser problemas escolares: por ejemplo, que los problemas no se proponen sólo para que sean resueltos, sino con bastantes finalidades más (que se aprenda, evaluar lo aprendido, etc.).

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Por el lado de lo que queda fuera del campo de visión, al no ser los PAE problemas de búsqueda, sino de aplicación, no aparecerán procesos generales – generalización, particularización, analogía, etc.–, ni puede esperarse tampoco que este libro sea un tratado de heurística. También queda excluido de este libro el estudio de la aproximación curricular que intenta organizar las matemáticas escolares a través de la resolución de problemas.

EL PROCESO DE RESOLUCIÓN. El interés por el proceso de resolución de problemas se despierta en los años setenta, algunos años después de la publicación de los libros pioneros de Polya, con el comienzo de la investigación en educación matemática considerada como un campo de estudio específico y la pérdida en el terreno de la educación del predominio de las posiciones traídas del conductismo frente a otras de índole cognitivista. Este interés viene reforzado por la constatación del “fracaso de las matemáticas modernas”2, producto de las reformas de los años sesenta, que lleva, tras el episodio pendular de “vuelta a lo básico”, a una influencia en el diseño del currículo escolar de matemáticas de las teorías de la ciencia que ven al científico normal, fundamentalmente, como un resolutor de problemas3 La conjunción de ambas causas produce que este centrarse en la resolución de problemas no pueda consistir en la mera introducción de problemas en el currículo, al modo “ejercicio y práctica” para consolidar los conocimientos adquiridos, o al modo “aplicación” de conocimientos adquiridos previamente, sino que haya de mostrar una atención especial a aquellos aspectos de la resolución de problemas que tienen que ver con la producción de conocimientos significativos para el que aprende. Esto tiene una implicación curricular clara: el núcleo del currículo no viene determinado por los conocimientos que hay que transmitir, sino por los procesos de producción de conocimiento. La atención es para el proceso, no para los conocimientos. El conocimiento que se valora por su significación no es el conocimiento transmitido, sino el conocimiento producido por el que está en situación de aprender. Así si la resolución de problemas ha de ser el lugar de la producción del conocimiento, o el lugar donde se apliquen los conocimientos adquiridos a situaciones no familiares nuevas, esto es, el lugar donde mostrar y poner de manifiesto la transferencia del mismo, se concluye que la tarea de resolver problemas es una tarea

2Aunque

nos resistimos a usar la palabra ‘fracaso’ por toda la palabrería que se ha producido en torno al denominado ‘fracaso escolar’, la hemos conservado aquí para hacer referencia al título castellano del libro de Morris Kline Why Johnny Can’t Add, que fue una de las primeras llamadas de atención sobre el asunto. 3Nos referimos a la concepción de Khun (1962)

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privilegiada para el aprendizaje. De ahí que si se quiere comprender cómo se produce naturalmente el aprendizaje o cómo se puede facilitar éste en una situación de instrucción, sea preciso analizar con detalle las conductas de los sujetos mientras resuelven problemas.

CONCEPTO, PERSPECTIVA Y NIVELES DE ANÁLISIS Concepto y perspectiva Se entiende por proceso de resolución de un problema la actividad mental desplegada por el resolutor desde el momento en que, siéndole presentado un problema, asume4 que lo que tiene delante es un problema y quiere resolverlo, hasta que da por acabada la tarea5. La actividad del resolutor, a la que hemos llamado proceso de resolución de un problema, puede observarse, describirse y explicarse desde diversos puntos de vista. Así, desde una perspectiva que se podría llamar la implícita tradicionalmente en los libros de texto de matemáticas y la practicada usualmente por los profesores, ante un “problema-tipo”, se puede observar: si el resolutor resuelve el problema según un patrón standard; si da los pasos adecuados y en el orden apropiado; si utiliza los métodos más eficaces o pertinentes, o aquellos métodos en los que ha sido instruido… Sin embargo, aquí no entraremos en general en análisis de este tipo al menos por dos motivos: uno, porque no permite descripciones generales; y dos, porque no se centra en el estudio de los procesos y aspectos cognitivos pertinentes para ser coherentes con el papel de producción de conocimientos, que se ha atribuido a los problemas con anterioridad. Interesa señalar también que en el análisis del proceso de resolución no se adoptará el punto de vista que se podría llamar “exclusivamente” psicológico, ni tampoco el punto de vista de la Inteligencia Artificial. El motivo es obvio, no se trata 4Es

importante que el sujeto perciba que tiene un problema en el sentido usual de lo que se entiende por un problema (datos, incógnita o meta que hay que alcanzar, relaciones significativas entre ellos). La importancia se deriva de que si el sujeto no lo percibe como tal, se desarrollan conductas patológicas y no los mecanismos usuales de resolución para los que el investigador o el profesor dispone de alguna teoría con la que mirar. Aún es más importante cuando se trata con niños pequeños, para los que el concepto de problema se desarrolla gradualmente, porque su actividad no se puede describir como la conducta de quien tiende a resolver el problema, sino que éstos tienden a operar con el texto del problema de otra manera (cf. Menchinskaya, 1969, pgs. 12-22). Por otro lado, la voluntad de resolver el problema es importante que se dé por presente para no mezclar en el análisis del proceso de resolución elementos que no son propios de él, sino que pertenecen al campo de la afectividad o de la motivación. 5 Dar por acabada la tarea no quiere decir que el resolutor haya encontrado la solución del problema, sino que para él la situación ha dejado de ser problemática porque la ha dotado de sentido. En palabras de Lesh (1982, 1985), el modelo conceptual con el que explica la situación, que al comienzo de la tarea era inestable, ha llegado a ser estable.

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de construir aquí teorías generales del aprendizaje, ni sistemas expertos. Los problemas que analizamos son los problemas de matemáticas y no los problemas en general. Además, el resolutor, ahora alumno, se encuentra inmerso en un sistema educativo y el aprendizaje no puede calificarse de “natural”, sino que se intenta provocar mediando una situación de instrucción, en el interior de una institución del estado. Y, finalmente, lo que debe aprenderse viene marcado por la organización social, la propia disciplina y el modo como ésta es vista por la sociedad. Éste es el punto de vista de la “educación matemática”, desde el que se intentará hablar aquí del proceso de resolución.

Niveles de análisis En el análisis del proceso nos podemos situar en dos niveles de descripción: microscópico o macroscópico. En el nivel microscópico, lo que se observaría sería conductas puntuales, esto es, podríamos encontrar al resolutor: buscando una información proporcionada en el texto del problema, utilizando un algoritmo para una operación que considera imprescindible realizar, tratando de recordar un problema parecido que resolvió alguna vez, decidiendo qué alternativa seguir ante dos vías de solución que considera razonables…; o, simplemente, atascado, esto es, no sabiendo qué hacer, pero siendo consciente de ello; o, por acabar esta enumeración, no desplegando actividad mental alguna. Hay, por supuesto, en este nivel de descripción multitud de preguntas que uno puede hacerse y cuyas respuestas incrementan de modo considerable la comprensión del proceso de resolución de problemas. Por ejemplo: ¿Cómo se sabe qué problema parecido utilizar y cómo dar con él? ¿Cómo se entresaca la información deseada del texto del problema? ¿Cómo se decide qué alternativa es la mejor? ¿Qué se hace cuando se está atascado? En el nivel de descripción macroscópico, se observa por el contrario la totalidad del proceso, buscando categorizar conductas puntuales que han tenido lugar en un determinado lapso de tiempo del proceso y atribuirles no un significado aislado, sino el sentido que el bloque de conductas puede tener respecto de la finalidad última que el resolutor ha dado a la tarea que está realizando al resolver el problema.6

6El resolutor siempre pretende obtener la solución. De paso, aprende cosas. La finalidad del profesor o del que ha hecho el desarrollo curricular dentro del que está inmersa la tarea, puede ser otra: no tanto que se encuentre la solución, como que se aprenda. El resolutor sólo se da cuenta de que ha aprendido después de haber realizado la tarea y –usando por un momento la terminología de la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau– a condición de que medien situaciones de institucionalización de aprendizajes.

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Esta descripción macroscópica se ha realizado de dos maneras distintas, una que utiliza la introspección y la otra la observación. La primera se pone en el lugar del resolutor ideal y trata de describir conceptualmente las tareas generales que éste realiza o las fases que atraviesa en el proceso. Resolutor ideal se entiende aquí como aquel que avanza linealmente y sin tropiezos desde el enunciado del problema hasta su solución, aquel que sabe en todo momento qué hacer y por qué lo hace; y aquel que, para acabar, examina la solución, comprueba que es adecuada y ve hacia dónde le conduce. Un ejemplo del comportamiento de tal resolutor ideal puede verse en la solución descrita por Polya del problema “Hallar el volumen de un tronco de pirámide recta de base cuadrada” (Polya, 1966, pgs. 172-179) La segunda se vale de una observación minuciosa del proceso de resolución de problemas por sujetos reales, y, a posteriori, construye bloques de conductas más o menos homogéneas que se dan en un período de tiempo; hecho esto, califica, pone nombre o caracteriza los bloques de modo que especifiquen su función en la globalidad del proceso. Un buen ejemplo de esto puede verse en Schoenfeld (1985).7 La descripción macroscópica por fases Dewey propuso una lista de fases o etapas que se siguen para la solución de problemas, no elaborada para los problemas de matemáticas, sino para cualquier cosa que en la vida cotidiana se llama “problema”: 1.– Identificación de la situación problemática. 2.– Definición precisa del problema. 3.– Análisis medios-fines. Plan de solución. 4.– Ejecución del plan. 5.– Asunción de las consecuencias. 6.– Evaluación de la solución. Supervisión. Generalización. Más que describir cada una de estas fases, quizá el mejor modo de hacerse una idea del modelo propuesto por Dewey sea situarse ante un problema como, por

7Aún hay una tercera forma de describir el proceso de resolución en este nivel macroscópico, que no pretende ser un instrumento de estudio o análisis sino una ayuda para la instrucción. Lo que sirve para caracterizar a las fases no es lo que se hace, sino lo que se siente, los estados afectivos del resolutor. De este estilo es el modelo desarrollado a partir del trabajo de Burton (s.f.), que aparece en Mason, Burton & Stacey (1982): el resolutor aparece en él tomando contacto, enfrascado, rumiando o atascado. La sencillez del esquema y la rapidez con que el resolutor puede juzgar dónde se encuentra (ya que lo siente), lo hace útil para el aprendizaje de la resolución de problemas.

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ejemplo, el problema que supone tener que ir a clase una mañana en la que se descubre al mirar por la ventana que está diluviando. Dewey comienza con una situación que el sujeto siente como problema, ya que pretende construir un modelo de los problemas en la más amplia acepción del término. En el contexto escolar los problemas de matemáticas tradicionalmente aparecen enunciados. La descripción de su proceso de resolución más clásica y ampliamente difundida es la de Polya (1957), que dice lo siguiente: “Para resolver un problema se necesita: 1.– Comprender el problema. 2.– Concebir un plan. 3.– Ejecutar el plan. 4.– Examinar la solución obtenida.” Esta división en fases está hecha desde el primer punto de vista antes mencionado, esto es, el del resolutor ideal, cuyo comportamiento supuesto se determina por introspección. Polya acompaña la descripción de cada una de estas fases con una serie de sugerencias útiles para el resolutor. De esta manera, el modelo de Polya no es estrictamente hablando un modelo descriptivo, porque las sugerencias heurísticas que incluye pretenden a la vez marcar pautas, indicar caminos y hacer posible que el resolutor tome conciencia de lo que necesita hacer y del lugar del proceso en el que se encuentra para actuar en consecuencia. El modelo tiene, por tanto, también un carácter de guía para la acción. Este carácter de guía, de modelo ejemplar y deseable, o de modelo a imitar por el resolutor real, ha hecho que en ocasiones se haya utilizado como punto de partida del que extraer técnicas para elaborar estrategias de instrucción. En definitiva, los que hacen esto entienden –desvirtuando a nuestro entender el carácter del modelo de Polya– que éste nos enseña las fases que el resolutor tiene necesariamente que recorrer para resolver un problema y el orden en que tiene que hacerlo, y se creen en la obligación de prescribir las fases y las sugerencias heurísticas del modelo como lo que hay que aprender para saber resolver problemas8.

8

En efecto, si se analizan con detalle protocolos de resolución de problemas –como hace por ejemplo Schoenfeld–, puede verse que no hay fases perfectas, incluso es casi imposible calificar a cualquier episodio de resolución como comprensión o elaboración del plan y se prefiere utilizar otras etiquetas como exploración, análisis…, que permiten describir con mayor precisión lo que el resolutor real está haciendo. Aún más, los mejores resolutores o los resolutores expertos se caracterizan más que por un recorrido secuencial de las fases del modelo de Polya, por un rápido zigzagueo entre episodios. En cuanto a las heurísticas generales que acompañan a las fases del modelo de Polya, el mismo Schoenfeld ha mostrado que es inútil prescribirlas. La razón de que su prescripción no sea efectiva no es que las heurísticas generales no tengan ningún valor, sino que cada heurística se multiplica en

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EL PROCESO DE RESOLUCIÓN DE UN PAE. En cierto sentido, el modelo de Polya se puede ver como la concreción del de Dewey para los problemas de matemáticas. Si el campo del análisis se restringe aún más, como hay que hacer en este libro, a los problemas aritméticos elementales que aparecen en el contexto escolar, una adaptación de los modelos anteriores lleva a distinguir en el proceso de resolución de un PAE las fases siguientes: 1.– Lectura. 2.– Comprensión. 3.– Traducción. 4.– Cálculo 5.– Solución. 6.– Revisión. Comprobación9. La diferencia entre comenzar por una situación o comenzar por un problema enunciado, que separa el mundo real del contexto escolar, hace que en este modelo – como en el de Polya– no aparezcan las fases 1 y 2 de Dewey. En las visiones del currículo o las estrategias de enseñanza en que se pone el énfasis en acercar las situaciones escolares a las situaciones del mundo real, se comienza por fases similares a las dos primeras del modelo de Dewey. Sin embargo, es difícil que la fase Revisión. Comprobación. se transforme en algo similar a las dos últimas fases de Dewey –en particular, que aparezca la fase Asunción de las consecuencias. Las tendencias pedagógicas que conciben el aprendizaje escolar como un aprendizaje de la vida, hacen lo posible por simular al máximo ésta en el contexto escolar; la resolución de problemas se transforma en el trabajo en situaciones reales representadas en el aula. Por ejemplo, la organización de un mercado en el aula o el colegio hace que todos los problemas aritméticos en el contexto de la compra-venta dejen de aparecer infinidad de ellas más cercanas a los problemas concretos. De ahí que una de las principales tareas de la instrucción en resolución de problemas consista en hacer posible que los alumnos elaboren una versión efectiva de la heurística general apropiada en función del problema con el que estén trabajando. (cf. Schoenfeld, 1987b) 9Esta división en fases es más fina que la que con más frecuencia se encuentra en la literatura, que suele reducirse a distinguir traducción y cálculo. La razón de optar por una subdivisión más menuda es que permite, como más adelante se verá, poner el énfasis en algunos aspectos del proceso, o precisar mejor dónde predomina cada tipo de dificultades, y, por tanto, hace posible organizar sugerencias para la instrucción en función de ello. Naturalmente, éste es un modelo para el estudio del proceso y no tienen por qué darse todas las fases en la resolución particular de cada problema por cada resolutor individual. Así, una solución que use hechos numéricos elude la fase de cálculo, una estrategia del tipo “contar todos” no traduce –estrictamente hablando– el enunciado verbal a una expresión aritmética, y si el problema está presentado mediante un grabado o se presenta oralmente, la fase de lectura sólo puede recibir ese nombre si se amplía correlativamente la noción de texto.

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enunciados, para ser situaciones. Aquí cabe que aparezcan todas las fases del modelo de Dewey, incluida la Asunción de las consecuencias. De hecho, cuando en las recomendaciones que acompañan a los objetivos del currículo oficial se indica que hay que “Utilizar las operaciones aritméticas para resolver situaciones problemáticas del mundo real”, la tarea de formular un problema aritmético que se corresponda con una situación de este tipo suele ser asumida por el autor del libro de texto o por el profesor. Más tarde examinaremos cómo este paso de los problemas cuantitativos reales a los problemas aritméticos escolares, realizado al margen del resolutor, acaba siendo una fuente de dificultad añadida para el resolutor que se enfrenta al problema en la escuela, esto es, el alumno.

DESCRIPCIÓN DE LAS FASES. Las fases lectura y comprensión de un PAE constituyen una subdivisión de la fase comprensión del modelo de Polya. Esta división se ha hecho para acentuar el cuidado que debe ponerse en la lectura del problema en las primeras etapas de instrucción en resolución de problemas en el comienzo del currículo escolar. No se puede olvidar que en este nivel educativo inicial los niños están, a la vez, aprendiendo a leer, y que, por tanto, la complejidad sintáctica del problema y la familiaridad con las palabras que aparecen en los enunciados pueden ser una de las causas que imposibiliten la comprensión y, como consecuencia, la resolución del problema. De la misma manera que los niños están experimentando por primera vez qué es un texto narrativo, descriptivo, etc., también están tomando contacto con la estructura del texto de un problema y aprendiendo a reconocer que un texto presentado de una manera determinada es un problema. Aunque hayamos querido separar lectura y comprensión con la finalidad indicada, la línea divisoria entre ambas no se puede trazar con un cuchillo: son aspectos de una misma operación. Del lado de la comprensión hemos dejado las trasformaciones que el que lee realiza sobre la base del texto usando los esquemas o modelos conceptuales que le parecen pertinentes con el fin de dotarlo de sentido10. La fase “elaboración de un plan” de Polya se ha denominado aquí traducción. Esta etapa crucial en la resolución de cualquier problema consiste en los problemas aritméticos en el paso del enunciado verbal a la expresión aritmética correspondiente: de ahí el nombre adoptado. Usualmente, el término traducción se ha utilizado para los problemas que requieren una única operación aritmética para su solución. De ahí que la fase de traducción superficialmente, mirada desde este punto de vista parcial, parezca consistir sólo en la toma de decisión acerca de la operación que es preciso realizar. Ahora bien, en los problemas que requieren más de una operación, la traducción es un proceso más complejo, que tiene al menos tres componentes: qué

10Estas trasformaciones pueden materializarse en ocasiones mediante el uso de representaciones (ver lo que se dice a propósito de los problemas de árboles y circuitos en el capítulo 2) o de estrategias que son reflejo de acciones (ver el apartado Estrategias de resolución del capítulo 3).

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operaciones hay que realizar, entre qué datos, y en qué orden. En este sentido más global es en el que la emplearemos aquí. Vale la pena señalar, por otro lado, que esta fase de traducción es la única que puede observarse usualmente en los libros de texto, aunque en la mayoría de los casos sólo aparezca de forma implícita. Un buen testimonio de ello es una página de un best seller de hace unos pocos años en la que, bajo el texto del problema 8 y el simpático dibujo del tiburón joven y el viejo desdentado, aparecía la leyenda “VAMOS A SUMAR”. Problema 8 Un tiburón joven tiene 26 dientes. Al viejo le quedan sólo 8 dientes. ¿Cuántos dientes tienen entre los dos? Además, también vale la pena señalar que esta fase es percibida por los alumnos casi de forma explícita cuando éstos identifican los problemas con la decisión que han de tomar para resolverlos y los clasifican en consecuencia: “es de sumar”, “es de restar”, etc. Finalmente, la fase cálculo corresponde a la fase “ejecución del plan” de Polya, y se ha calificado como de cálculo, porque ésa es la naturaleza de la tarea que suele predominar en esta fase. Es importante además señalar que la ejecución del plan consiste en la realización de un cálculo porque en ella no intervienen las destrezas traductoras de los alumnos, sino sus destrezas algorítmicas (o de cálculo mental, si es el caso), y las destrezas traductoras y algorítmicas suelen ser independientes una de otra11. Esta distinción es importante para los profesores que a la hora de planificar la instrucción pueden incidir sobre aquella de las destrezas que un alumno en particular carezca, y no pensar que el alumno que comete constantes errores en los ejercicios rutinarios de sumas o restas, no resuelve los problemas aritméticos que se le presentan simultáneamente por este motivo.

VARIABLES DE LA TAREA La descripción del proceso dividido en fases está hecha desde el punto de vista macroscópico. La actividad concreta, microscópica, es la lucha contra las pequeñas dificultades del terreno y éstas dependen de la naturaleza de la tarea. En este párrafo, pues, vamos a volver a dirigir nuestra mirada al problema, tratando en la medida de lo posible de mantener al resolutor individual ausente. Fijaremos nuestra atención en aquellas características del problema mismo que pueden hacer variar la conducta del resolutor e influir de modo más o menos acusado en el logro de la solución. La importancia de un estudio de esas características del problema y la ayuda que éste puede prestar tanto al investigador como al profesor puede entenderse fácilmente. 11Cf. Nesher (1985) en el que ésta muestra su sorpresa de que, según las investigaciones, esto parezca ser así y describe algunos de los intentos de encontrarle explicación.

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El investigador utiliza problemas como instrumento para el estudio de la resolución de problemas y, por tanto, cualquiera de las variables del problema interaccionará con cualquier otra en la que fije su atención. El profesor, por su parte, instruye a sus alumnos en la resolución de problemas, o propone un problema al que asigna una finalidad específica en una situación de aprendizaje; las características del problema mismo pueden interferir en la instrucción o en el objetivo de aprendizaje perseguido y distorsionarlos Para hacernos una idea de la importancia de este asunto podemos recurrir a unos ejemplos Para empezar, tomemos los problemas 9, 10 y 11, que tienen la misma estructura matemática y cuyo formato de presentación es, sin embargo, totalmente diferente. Problema 9. El hotel de los líos. Un hotel tiene infinitas puertas numeradas así: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… Todas ellas están abiertas. Pero llega alguien y, comenzando desde el principio, las cierra ordenadamente de 2 en 2, la 2, la 4, la 6, etc. Contento de su hazaña se va a dormir. Pero otro viene después que decide cambiar la posición de las puertas de 3 en 3; empieza también por el principio y, yendo de 3 en 3, la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Divertido también por lo que ha hecho se va a dormir. Sin embargo, otro viene después y comenzando también desde el principio, va cambiando la posición de las puertas de 4 en 4; de manera que la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Cuando termina, viene otro que altera la posición de las puertas de 5 en 5; abre las cerradas y cierra las abiertas. Y luego otro que hace lo propio pero de 6 en 6. Y luego otro de 7 en 7. Y así hasta el infinito porque en el hotel había infinitos bromistas. Tú, que eres el conserje del hotel, estás durmiendo tan tranquilo y no te has enterado de todos estos líos. ¿Qué puertas crees que estarán abiertas y qué puertas estarán cerradas cuando te despiertes por la mañana? Problema 10 Sea d(n) el número de divisores de n. Probar que d(n) es impar si y sólo si n es cuadrado. Problema 11 ¿Qué números tienen un número impar de factores? Justifica tu respuesta. El problema 9 está presentado con el estilo narrativo propio de algunos pasatiempos o divertimentos matemáticos. El problema 10 tiene la presentación standard de los problemas que exigen que se pruebe un teorema. El problema 11 tiene también una presentación típica: una pregunta que conduce a la búsqueda de uno o

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más objetos que cumplen una propiedad. No es extraño que si se observa cómo suelen ser resueltos estos problemas, se encuentre que los resolutores tienen dificultades de distinta naturaleza y utilizan recursos y destrezas diferentes. Por citar algunas: el infinito en el problema 9, la capacidad de generar hipótesis y buscar explicaciones en el problema 11, el recurso a teoremas conocidos en el problema 10, etc. Lo que no debe llevar al profesor a pensar que los tres son, en definitiva, un problema de divisores, y el resto de lo que ocurre es cuestión de arte del resolutor; que el problema –o los problemas– sólo se deben plantear en los temas de divisibilidad; ni tampoco debe llevarle a despreciar las destrezas recursos y técnicas propias de la resolución de problemas, frente al contenido o estructura matemática del problema –lo que sería equivalente a dejar de lado el proceso de producción del conocimiento. En resumen, no hay que infravalorar la importancia que el formato de presentación del problema tiene en la puesta en marcha de este proceso. El lector puede juzgar cuál de los dos problemas que siguen resulta más fácil y cuáles son las variables que pueden servir para explicar este hecho. Problema 12 Unos granjeros almacenaron heno para 57 días, pero, como el heno era de mejor calidad de lo que pensaban, ahorraron 113 kg por día, con lo que tuvieron heno para 73 días. ¿Cuántos kilos de heno almacenaron? Problema 13 Unas personas pensaban realizar un viaje de 5000 km. En su presupuesto habían incluido cierta cantidad de dinero para gastarse en gasolina. Sin embargo, una oportuna bajada del precio de la gasolina les permitió ahorrar 0’4 pesetas por kilómetro, con lo cual pudieron recorrer 250 km más. ¿A cuánto ascendía su presupuesto para gasolina?

IDEA DE VARIABLE DE UNA TAREA. Se entiende como variable de la tarea12 cualquier característica del problema que asume un valor particular dentro de un posible conjunto de valores. Las variables pueden ser tanto numéricas (p. e., el número de palabras de un problema) como clasificatorias (p. e., la parte de las matemáticas en que está contenido el problema), o cualitativas (p. e., la posición de la pregunta en el enunciado del problema).

12Se utiliza el término ‘tarea’ porque se plantea para estudiar lo que los sujetos hacen y no con finalidades de enseñanza, y, por tanto, está aislada, sin relación con ninguna situación o secuencia de aprendizaje.

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Kilpatrick (1978), tratando de clarificar las distintas variables que intervienen en la resolución de problemas, presenta la siguiente clasificación, con el fin de organizar todos los elementos que hay que tener presentes si se quiere estudiar de forma sistemática la resolución de problemas con cierto nivel de detalle: 1) Variables independientes: Variables del sujeto. Variables de la tarea. Variables de la situación. 2) Variables dependientes: Variables del resultado. Variables del proceso. Variables de evaluación. Variables concomitantes. Las variables independientes son las que pueden medirse antes de la ejecución de la tarea. En esta clasificación puede verse cómo las variables que reciben el nombre específico de ‘variables de la tarea’ aparecen como variables independientes, siendo dentro de ellas las que tienen que ver exclusivamente con el problema. Les acompañan las variables propias del sujeto que se enfrenta a la tarea (psicológicas, o que describen sus conocimientos matemáticos pertinentes –nivel en el contexto escolar) y las que vienen de la situación didáctica en que ésta se desarrolla (y, por tanto, describen el entorno físico, psicológico o social en que transcurre la tarea). No vamos a entrar en las variables del sujeto –de las que se ocupa fundamentalmente la psicología– y sobre las situaciones didácticas nos limitaremos a hacer sugerencias que pueden favorecer la aparición de procesos y resultados deseables. Las variables dependientes son las que se obtienen de la medida de las respuestas de los sujetos a las tareas que se les plantean. De ellas no trataremos aquí. La división que hizo Kilpatrick distingue lo que tiene que ver con el resultado (correcto/incorrecto, completo o parcial, tiempo empleado, etc.), con el proceso (uso de herramientas heurísticas, algoritmos, etc.) y con cómo el sujeto evalúa lo que ha hecho, e incluye una última categoría –“concomitantes”–, cajón de sastre en que echar todo lo que pueda medirse y no pertenezca a ninguna de las otras tres categorías (por ejemplo, las habilidades del sujeto que puedan variar entre el comienzo y el fin de la tarea). En la descripción que sigue restringiremos las características del problema a aquellas que son de particular interés para la resolución de problemas aritméticos: así,

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las variables de la tarea que consideraremos serán las variables sintácticas, de contexto y de contenido.

VARIABLES SINTÁCTICAS. Se entiende por variable sintáctica a cualquier característica del problema que tiene que ver con el orden y las relaciones de las palabras y símbolos que contiene el enunciado del problema. Desde este punto de vista, palabras, grupos de palabras, símbolos y relaciones entre ellos se consideran al margen de cualquier referencia a su contenido. Pueden darse numerosas listas de variables sintácticas; sin ánimo de ser exhaustivos –y por señalar las que han resultado más interesantes en los estudios realizados para dar cuenta de las variables dependientes– algunos ejemplos de variables sintácticas pueden ser: El tamaño del problema, que se puede medir por el número de caracteres (letras o números), de palabras, o de frases. La complejidad gramatical, que puede referirse al número de sustantivos, calificativos, pronombres, etc.; o al tipo de oraciones que constituyen el texto del problema, esto es, coordinadas o subordinadas. La presentación de los datos, mediante números, símbolos o palabras. La situación de la pregunta en el texto del problema, esto es, si ésta está aislada al final del texto y separada de la parte informativa, o al comienzo del texto; o bien el texto completo es una interrogación en la que se entremezclan la información y la pregunta del problema. La secuencia o el orden de presentación de los datos, fundamentalmente si el orden en que aparecen en el texto del problema se corresponde con el orden en que éstos han de ser considerados al efectuar la o las operaciones necesarias para la solución del problema. El formato de presentación del problema, esto es, si es narrativo, telegráfico o jeroglífico –un combinado de palabras y dibujos–, aunque puede considerarse como una variable sintáctica, lo trataremos dentro de las variables de contexto, ya que la presencia de dibujos sitúa el texto del problema en un mundo de referencia de significados. Cuando estas y otras variables sintácticas se han considerado explícitamente, esto se ha hecho atendiendo sólo al enunciado del problema que se presenta al resolutor. Los datos que hemos incluido en el capítulo tercero resumen estudios de las dificultades que los resolutores tienen en función de las variables sintácticas del enunciado. Ahora bien, la importancia de estas dificultades obliga a considerar las

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transformaciones sintácticas que el texto del problema sufre en el curso del proceso de resolución; este aspecto no ha sido estudiado hasta la fecha, o, al menos, no tenemos noticia de ello, pero ejemplos como los que siguen ponen de manifiesto que el profesor ha de estar atento a ello. Supongamos que se está resolviendo con un material concreto un problema del estilo de “Juan tiene a. Da b. ¿Cuántos le quedan?”. Los alumnos manipulan el material, realizando las acciones concretas correspondientes al problema. Si no dan de inmediato con la solución, o aparecen dificultades, el profesor puede preguntarles, reflexionando sobre las acciones ya realizadas: “Juan tenía a. Dio b. ¿Cuántos le quedaron?”, con lo que ha cambiado los tiempos verbales del enunciado, al ser coherente con el transcurso de la actividad de resolución. Si las dificultades persisten, no es extraño que, con el ánimo de ayudar a comprender el asunto, intente que éstos fijen su atención en cada una de las partes del problema, en las acciones correspondientes, en la secuencia temporal de su realización, en las consecuencias de las acciones… En el diálogo con el o los alumnos, el problema será enunciado oralmente de la forma más adecuada para el énfasis que se persigue, con lo que aparecerán versiones como las siguientes: “Juan tiene a. Si da b, ¿cuántos le quedan?”. “Juan tiene a. Cuando dé b, ¿cuántos tendrá?” “Si Juan tiene a y da b, ¿cuántos le quedarán?” “Antes Juan tenía a, pero dio b. Lo que te preguntan es cuántos tiene ahora.” Conviene tener presente que estas transformaciones del enunciado del problema, que se utilizan como ayuda –y son las ayudas razonables en la instrucción–, conducen, sin embargo, a enunciados distintos desde el punto de vista sintáctico que en los estudios realizados son, de hecho, de niveles de dificultad distintos y, en ocasiones, superiores. En particular, la versión hipotética del enunciado de un problema, que es razonable que aparezca en diálogos de este tipo, es siempre más difícil que la versión de hecho (cf. Caldwell13)

13 En concreto, Caldwell encontró que esto es cierto en general; pero que si se distingue además entre problemas enunciados en contextos concretos y en contextos abstractos, la dificultad de los enunciados hipotéticos es menor en contextos abstractos, aunque parezca sorprendente.

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VARIABLES DE CONTENIDO Y DE CONTEXTO. La resolución de un problema empieza por su lectura. Una vez leído, reconocido como un trozo normal del castellano y como el tipo de texto que es un problema, el resolutor se interesa por su significado. Las variables de contenido y de contexto dan cuenta, pues, del significado del texto. Las variables de contenido se refieren al significado matemático profundo, mientras que las variables de contexto lo hacen a los significados no matemáticos, incidentales en el texto del problema. Aunque esta distinción es operativa, es preciso señalar que no todo el significado matemático queda agotado por las variables de contenido: contextos no matemáticos sitúan a menudo el texto del problema en un campo de las matemáticas. Por ejemplo, la tradición escolar hace que un problema enunciado en el contexto “de grifos” evoque los significados matemáticos correspondientes al campo de la proporcionalidad. Siguiendo las ideas de Webb (1979) las variables de contenido pueden clasificarse utilizando varios criterios: 1.– Tema matemático. Donde además de la distinción entre áreas, materias o disciplinas (álgebra, geometría, etc.), hay que considerar pequeñas parcelas de las matemáticas, que en la tradición educativa han cristalizado como partes de las matemáticas escolares con rasgos peculiares (regla de tres, mezclas, monedas, edades…) 2.– Campo de aplicación. Donde el enunciado del texto del problema y los conceptos que en él aparecen provienen de otras disciplinas como la física, la química, la biología, la economía, etc. ; y los conceptos matemáticos tienen un mero caracter instrumental. 3.– Contenido semántico. Aquí se considera el vocabulario matemático y las palabras-clave. 4.– Variables que describen los elementos del problema. Los tres criterios anteriores pueden aplicarse al contenido de cualquier texto matemático, aunque no sea un problema. Este cuarto criterio pretende tomar en consideración los elementos distintivos del tipo de texto que es un problema de matemáticas y no otro texto matemático cualquiera. El significado del problema puede cambiar en función de la naturaleza de los datos y en función del tipo de meta del problema. De este estilo es la distinción clásica de Polya entre problemas de encontrar y problemas de demostrar, que está hecha en función del tipo de meta; o los análisis de la parte informativa del problema que permiten hablar de datos suficientes, redundantes, relevantes, contradictorios, etc. 5– Equipo matemático utilizable. Finalmente, este último criterio de clasificación pretende no dejar de lado que en una situación didáctica concreta el

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propio material cuya utilización está permitida por el texto del problema es portador de contenido matemático.14 Por lo que se refiere a las variables de contexto, no tiene sentido hacer una relación pormenorizada de los contextos a los que hacen referencia usualmente los problemas escolares. Lo que hace Webb (1979) es dar varios criterios para clasificar los tipos de contextos que suelen aparecer. El formato de presentación o la representación del problema y el escenario-marco o contexto verbal son los dos que vamos a comentar. Con respecto al formato, el problema puede presentarse de modo manipulativo, pictórico, simbólico, verbal, o con una combinación de varios de estos modos. La presentación de problemas mediante dibujos o grabados se hace en los primeros niveles escolares; en esos niveles, el dibujo, el grabado o la historieta contiene todo el texto del problema. Progresivamente van apareciendo problemas con texto escrito, acompañado de dibujos. Los dibujos pueden reflejar la estructura del problema, ser esquemas para la solución o constituir meras ilustraciones del contexto del problema15. En cuanto al escenario-marco uno puede distinguir entre familiar y no familiar, aplicado y teórico, concreto y abstracto, hipotético y de hecho, convencional e imaginativo, etc.

VARIABLES DE LA TAREA Y FASES DEL PROCESO DE RESOLUCIÓN La determinación de las variables de la tarea y la división del proceso de resolución en fases pertenecen a análisis distintos. En el caso de las variables de la tarea lo que se hace es medir el porcentaje de éxito para problemas cuyos enunciados se han variado sistemáticamente y establecer, mediante las técnicas estadísticas usuales, los factores que explican los niveles de dificultad que aparecen, o correlacionar estos niveles de dificultad con variables supuestas previamente. No se mira, por tanto, la conducta del resolutor mientras realiza el problema. Por su parte, la división en fases del proceso está hecha fijándose en la naturaleza de las acciones que desarrolla el resolutor en el curso del proceso, e intentando caracterizar esa conducta con etiquetas que la describen de modo más o menos preciso. A partir de estos dos tipos de estudio es posible construir un esquema que muestre en qué lugares del proceso es más razonable que se presenten las dificultades asociadas a cada una de las variables de la tarea que han sido determinadas. La única 14 Por ejemplo, la calculadora, cuyo uso acarrea nuevos contenidos para los números, como puede verse en Fielker (1986). 15 Desafortunadamente, en la mayoría de los libros de texto los dibujos son meras ilustraciones. Puede que la causa no sea otra que el predominio del diseño.

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evidencia que puede aportarse, y que hace razonable este esquema, viene de observaciones no sistemáticas de los puntos de atasco en el proceso de resolución que parecen provenir de las características del enunciado del problema. En Kulm (1979) se puede encontrar un cuadro que ilustra la relación entre variables y fases, pertinente cuando quiere describirse la resolución de problemas de matemáticas de cualquier tipo. Para el caso particular de los PAEV y la descripción del proceso de resolución que hemos adoptado nosotros, un buen esquema puede ser el siguiente.

Situación

problemática Evaluación Asunción de consecuencias

Variables sintácticas Problema

Variables sintácticas s em á n t i c a s de contexto

enunciado

Revisión Comprobación

Lectura

Solución

Comprensión

Cálculo

Variables sintácticas de contexto s em á n t i c a s

Variables s em á n t i c a s de contexto Traducción

Variables de contexto s em á n t i c a s

Recursos aritméticos

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FINALIDADES Y RESERVAS FINALIDADES Con posterioridad, simultánea o previamente a la instrucción formal en las operaciones de suma y resta se plantean y resuelven en las aulas escolares problemas aritméticos. En el caso de la multiplicación y la división, el planteo y la resolución de problemas se hace generalmente después del inicio de la instrucción formal en las operaciones. De la lectura de las directrices que regulan la enseñanza básica en nuestro país (Niveles Básicos de Referencia) se pueden extraer dos tipos de razones que avalan –y justifican, al menos en la intención del legislador– la presencia de estos y otros problemas en el currículo de matemáticas. En primer lugar, los problemas están situados en la secuencia de objetivos después de los que se refieren a la adquisición de los conceptos relativos a los números y a las operaciones entre ellos. La taxonomía de objetivos utilizada obliga a situarlos en esta posición, ya que la jerarquía que establece los considera de un nivel superior. Además, subyace la concepción clásica de los problemas como refuerzo y consolidación de los conceptos adquiridos16. Por otro lado, objetivos como el 2.2.8. de 3º, “Aplicar los conocimientos del tema a plantear y resolver problemas tomados de la vida real…”, muestran explícitamente la segunda de las razones. Naturalmente –y aunque no pueda desprenderse de ninguna directriz ministerial– la Tradición es quizá la razón de más peso; y la tradición indica que la educación matemática se ha acompañado siempre de problemas que ayudan a resolver pequeños conflictos cotidianos, o que ayudan a resolver conflictos susceptibles de plantearse en un mundo si no real, al menos verosímil. Hay más razones que pueden aducirse en favor de los problemas, pero que no se encuentran usualmente en la práctica cotidiana en las aulas, ni están reflejadas en las orientaciones ministeriales, ni son el legado de la tradición. Las aportaciones hechas en la última década por los educadores matemáticos, los psicólogos cognitivos y los especialistas en inteligencia artificial sugieren la posibilidad de considerar la Resolución de Problemas con entidad dentro –o en los márgenes– del currículo matemático. En efecto, según estas sugerencias la resolución de problemas de matemáticas es una tarea privilegiada para desarrollar métodos y estrategias útiles a la hora de abordar cualquier problema; a su vez, en el transcurso de la tarea se invocan, se ponen de manifiesto y se ejercitan destrezas y procesos cognitivos generales difícilmente requeridos por cualquier otra tarea escolar. En tal dirección, Bell (1976)

16 Concepción que está muy lejos de la idea de estructura conceptual, según la cual números, operaciones y problemas se consideran en el primer nivel del análisis como elementos que la constituyen.

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ensayó un diseño de currículo –desarrollado en el Shell Centre–, que contenía objetivos de proceso embebidos en los problemas, pero considerados explícitamente. Otros proyectos, p. e. Burton (s.f.), han tratado de potenciar la resolución de problemas en el currículo de matemáticas, considerando esta tarea de modo autónomo, y sin hacer más referencia a su integración en el conjunto del currículo de matemáticas que la de los conocimientos mínimos requeridos para abordar los problemas. Sin embargo, en nuestro país, a pesar de algunas propuestas como Grupo Cero (1987), que, junto a una nueva noción del currículo de matemáticas, incluye alguno de los postulados de los puntos de vista recién mencionados, tal visión de la resolución de problemas parece estar lejos de las propuestas de los responsables educativos y, sobre todo, ha encontrado poco eco en las prácticas usuales en el sistema escolar.

DE LA INTENCIÓN A LA PRÁCTICA Descendamos un peldaño y pasemos de lo que es posible manifestar como intenciones en el diseño del currículo al examen de cómo los problemas cumplen –o pueden cumplir– el papel que se les asigna. Tomemos para empezar la función de los problemas como refuerzo y consolidación de conceptos. Carpenter y sus colaboradores, que han estudiado profundamente la adquisición de los conceptos aritméticos (Carpenter & Moser, 1983; Carpenter, Hiebert & Moser, 1981, 1983; Carpenter, Moser & Romberg, eds., 1982), han observado que los niños ya resuelven pequeños problemas de adición y substracción antes de recibir instrucción formal alguna sobre los conceptos aritméticos. Éste es un hecho conocido que no valdría la pena afirmar, si no fuera porque la concepción de la enseñanza como transmisión de conocimientos, considera a los alumnos como recipientes vacíos y, por tanto, lo olvida. Hay, sin embargo, una observación importante en los trabajos citados, que no se refiere a lo que los niños saben hacer, sino a los errores que se observa que cometen: Carpenter y sus colegas constataron que muchos de los errores en la elección de la operación adecuada para resolver un problema, que se observa que los alumnos cometen después de haber recibido instrucción formal en la suma y la resta, no solían observarse en esos niños antes de la instrucción. Éste es el hecho observado, el fenómeno, si se quiere. Carpenter y sus colegas nos proporcionan también algunos consejos prácticos –esto es, un tratamiento que implícitamente supone que han realizado alguna reflexión etiológica sobre el fenómeno observado: […] los problemas verbales también proporcionan interpretaciones diferentes de la adición y la substracción, interpretaciones que son importantes para su comprensión por el niño. Quizás introduciendo las operaciones basadas en los problemas verbales e integrando a éstos en el currículo, mejor que usándolos como aplicación de los algoritmos ya aprendidos, el niño desarrollará su natural habilidad para analizar la estructura de un problema y desarrollará una concepción más amplia de estas operaciones (Carpenter, Hiebert & Moser, 1981, pgs., 38-39)

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En realidad, la explicación de lo que está ocurriendo podría ser ésta: los problemas verbales, planteados, enunciados y resueltos por métodos intuitivos en diferentes contextos, contribuyen a dotar de significado a la adición y la substracción, más allá de los significados –podríamos decir que de índole matemática– que tales operaciones puedan adquirir al presentarse como operaciones entre números naturales. Como veremos más adelante, incluso tal presentación de las operaciones puede adquirir connotaciones distintas en función del estilo o aproximación escolar a N que se realice. Lo que potencia o estimula, por un lado, y restringe o elimina, por otro, interpretaciones de las operaciones que, aunque estén aceptadas intuitivamente y sean operativas en contextos usuales, no son recogidas por la instrucción pensada y planeada desde un punto de vista estrictamente matemático.

“LA EDAD DEL CAPITÁN” Por otro lado, se poseen ejemplos paradójicos acerca del uso de las operaciones en la resolución de problemas verbales en un sentido no coherente, ni extraíble de modo alguno de su significado en un contexto dado. Es más, podríamos decir que el resolutor utiliza operaciones aritméticas para resolver el problema, con la conciencia explícita de estar forzando los límites del sentido en que tales operaciones se utilizan normalmente, hasta situarse fuera de su campo de significación. Uno de tales ejemplos lo constituye la famosa experiencia del IREM de Grenoble con el problema de la edad del capitán17. El problema tiene su origen en el que Flaubert propuso a su hermana Caroline en una carta: Puesto que estudias geometría y trigonometría voy a proponerte un problema: Un barco navega en el océano. Salió de Boston con un cargamento de lana. Desplaza 200 toneladas. Se dirige hacia Le Havre. El palo mayor se quebró; el camarero de las cabinas está en el puente; a bordo hay doce pasajeros. El viento sopla en la dirección ENE. El reloj marca las 3 y cuarto. Es el mes de mayo. ¿Qué edad tiene el capitán?

Los componentes del IREM de Grenoble escogieron para su experiencia un problema menos narrativo, más telegráfico y acorde con el modelo típico de los problemas aritméticos verbales. En un barco hay 26 corderos y 10 cabras. ¿Cuál es la edad del capitán?

De entre los 97 alumnos de 7 a 9 años a los que se les propuso el problema, 76 lograron calcular la edad del capitán partiendo de estos datos. Animados por el éxito de sus alumnos, dispusieron otra batería de problemas entre los que se podían encontrar algunos como el siguiente: Un pastor tiene 360 borregos y 10 perros. ¿Cuál es la edad del pastor?

17Ver

IREM de Grenoble (1980).

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Los resultados no variaron mucho, en cuanto al número de alumnos que consiguieron utilizar los datos para contestar. No es fácil dar una explicación satisfactoria de los resultados de esta experiencia. Freudenthal (1982) da una que nos satisface particularmente por lo que tiene que ver con los significados de las operaciones aritméticas en el contexto en que se utilizan y la supuesta relación entre la realidad y los problemas escolares. Esta explicación en el fondo supone la consideración de algunos contextos como contextos mágicos en los que se puede dotar de sentido a las operaciones fuera de su campo de significación habitual, aunque la atribución de sentido esté lejos de hacerse de forma arbitraria, como muestra el que se use una suma y una división, respectivamente, para calcular las edades del capitán y del pastor. Lo que está claro es que este tipo de contestaciones es el resultado del aprendizaje escolar. En la misma experiencia del IREM de Grenoble uno de los profesores le propuso a un alumno de 7 años el problema siguiente: “Tienes 10 lápices rojos en tu bolsillo izquierdo. ¿Cuántos años tienes?”; y el niño contestó sin pestañear: “20 años”. Al hacerle notar el profesor que sabía perfectamente que no tenía veinte años, el niño le replicó: “¡Claro!, pero es culpa tuya, no me has dado los números buenos.” Otros comentarios de los alumnos ponen también de relieve el papel crucial que desempeña seguramente en la solución del problema el contexto escolar en que se plantea. En efecto, cualquier niño escolarizado sabe que los problemas –como cualquier otra tarea– se ponen en la escuela para que se dé con su respuesta. Podría parecer que los alumnos que encontraron que el problema de la edad del capitán no tenía sentido, serían capaces de comportarse con la misma coherencia en situaciones análogas; lo contrario se muestra en los tres ejemplos siguientes, que comparan los comentarios de tres alumnos al problema de la edad del capitán y al problema de la “edad de la maestra”. En una clase hay 7 filas de 4 mesas. ¿Cuántos años tiene la maestra?

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Anne

el capitán — ¿cómo se puede saber la edad del 7 capitán? x4 — no se puede saber 28

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la maestra la maestra tiene 28 años

Nathalie — no entiendo por qué has hablado— pienso que la maestra tiene 28 años primero de borregos y luego de unporque yo he hecho capitán 4x7=28 — me parece que ese problema es un— pienso que este problema es bastante poco raro fácil Peter

— ¿por qué se habla de borregos y— pienso que la maestra tiene 28 años luego se pide la edad del capitán? porque — pienso que es tonto que se hable de 4x7=28 borregos y después del capitán — pienso que éste es menos tonto que el otro

Cabe sospechar que el contexto escolar del enunciado del problema les hace recaer en el contexto en que se están resolviendo los problemas: la escuela.

LOS ALUMNOS INVENTAN ENUNCIADOS Podría pensarse que los niños responden de esta manera a los problemas aritméticos verbales porque los enunciados que se les presentan están alejados del mundo de significados de su experiencia de la “vida real” y que el remedio a esta situación es construir enunciados de problemas que pertenezcan a su mundo de experiencias. Pero esta visión del asunto es cuanto menos ingenua. Cuando los alumnos se enfrentan con la tarea inversa de inventar problemas que correspondan a una expresión aritmética determinada, producen enunciados que sólo respetan la forma, esto es, cuya estructura es la del texto de un problema. Así, Nesher (1980) cuenta que Johnny (7 años) cuando se le pide que diga una historia que corresponda a la expresión aritmética 1+6=7, produce el enunciado “Mamá compró una plancha y luego compró seis planchas más. Ahora tiene siete planchas”, y que Ruth (6 años), para 3+4, dijo “Me comí tres tazas y cuatro platos…” Este comportamiento persiste en edades algo más avanzadas, incluso entre alumnos de escuelas cuyo proyecto pedagógico pretende organizar las actividades de los alumnos en torno a centros de interés tomados del entorno. Los dos ejemplos siguientes, más elaborados que los que hemos citado de Nesher, fueron producidos por José María (10 años, 4º de EGB), alumno de una escuela valenciana en la que se practica una enseñanza “enraizada en el medio”. La tarea en ambos casos era construir un enunciado correspondiente a una expresión aritmética compleja. He aquí las expresiones y los enunciados correspondientes:

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(548-321):52=42 En un bosque hay 548 animales y se provoca un incendio que causa 321 víctimas los demás se refujian en 52 ríos ¿cuantos animales hay en cada rio? (sic) (452x9):70=58 En el gernica hay 452 pinturas y acen 9 copias del cuadro. Hay 70 sitios en el cuadro ¿cuantas pinturas hay en cada sitio? (sic) Estos enunciados hacen ostentación de realismo –un incendio en el bosque y los animales en busca de refugio, el Guernica– y están marcados además por la ideología que impregna la enseñanza en esa escuela –ecologismo, emblemas de la izquierda. Las operaciones que aparecen en las expresiones tienen su reflejo en palabras clave: ‘los demás’ para la resta, ‘hacer copias’ para la multiplicación, ‘cuántos […] en cada’ para la división. Sin embargo, las historias que narran pertenecen de nuevo a esa realidad aparte de los problemas escolares en la que los animales, aunque estén huyendo despavoridos, han de dirigirse en igual número a cada uno de los 52 ríos (!) que atraviesan el bosque en llamas con el fin de que la distribución sea uniforme; o en la que Picasso tuvo el buen cuidado de poner el mismo número de “pinturas” en cada uno de los “sitios” del Guernica, quizá previendo que algún día un escolar avispado pudiera usar su cuadro para contentar a su maestro al devolverle la tarea encomendada. (“¿Tú no querías un problema de división? Pues ahí lo tienes.”)

LA NATURALEZA ESTEREOTIPADA DE LOS PAEV Las consideraciones anteriores llevan a pensar que es prácticamente imposible que un problema aritmético escolar resulte un reflejo, aunque sea parcial y deformado, de un problema cuantitativo real. Nesher (1980), en un artículo demoledor, mantiene que los problemas aritméticos escolares al ser una versión simplificada de los problemas cuantitativos reales se convierten en un estereotipo, cuya realidad es la del aula y no la del mundo. Lo que sigue intenta mostrar cómo las prácticas escolares producen tal estereotipo. Empecemos por el texto del problema. Ya hemos indicado que una de las cosas que un alumno aprende como parte de su experiencia escolar es a identificar un texto determinado como el texto de un problema. En efecto, aunque los PAE se presenten generalmente como textos que parecen tener las características propias de los textos narrativos, sin embargo, su interpretación semántica está moldeada por el juego de lenguaje de la instrucción aritmética y no por el del mundo de experiencias de los niños. Por ejemplo, Nesher (1980) señala cómo cuando se lee el enunciado del problema 14 uno se fija en rasgos semánticos de los verbos ‘correr’ y ‘andar’

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diferentes si el texto se considera como un texto narrativo –y nos interesa la historia que cuenta– o como el texto de un problema –y queremos resolverlo. Problema 14 2 niños fueron corriendo a clase y 3 niños fueron andando. ¿Cuántos niños llegaron a clase en total? La lectura narrativa enfatiza los rasgos semánticos de ‘correr’ y ‘andar’ que tienen que ver con la velocidad del movimiento, el tiempo empleado para llegar a clase, el carácter inquieto o tranquilo de los personajes de los que se habla, etc., y se puede inferir que unos tienen más ganas que otros de llegar a clase, o que se han levantado a tiempo o no, etc. Sin embargo, la lectura que exige el contexto escolar toma en cuenta los rasgos semánticos que se corresponden con la estructura lógica subyacente del problema: el tipo de movimiento no es pertinente, lo único que importa es que ‘correr’ y ‘andar’ califican a los que llegaron a clase de forma diferente, de manera que los personajes del texto del problema pertenecen a dos conjuntos disjuntos. Lo que hay que inferir ineludiblemente es que hay que sumar las cantidades, ya que la pregunta del problema contiene una propiedad común a ambos conjuntos y éste es el rasgo semántico de ‘llegar a clase’ pertinente. Nótese que éstos son los rasgos que permiten clasificar este problema en la categoría semántica Combinar1 (ver capítulo 3). Por otro lado, a diferencia de los textos narrativos en los que la elipsis está permitida, el texto de un problema no autoriza al lector a suponer que en el transcurso del tiempo narrativo haya ocurrido ningún acontecimiento que no esté explícitamente presentado en el texto del problema. Así, por ejemplo, en el problema 15 Ruth no puede haberse comido ningún caramelo a lo largo de la mañana. Problema 15 Ruth tenía 8 caramelos esta mañana. A mediodía le dio 2 a su hermana Susan. ¿Cuántos caramelos tiene ahora? Se puede concluir pues que, aunque los PAEV parezcan hablar del mundo porque las situaciones que en ellos aparecen corresponden a contextos cotidianos, el lenguaje con que están enunciados no es, estrictamente hablando, el lenguaje vernáculo, sino el lenguaje particular de la instrucción aritmética, y que, por tanto, el mundo de experiencias que expresan no es el mundo de experiencias del niño en general, sino el mundo particular de sus experiencias escolares. Esta pérdida de realidad del enunciado de los problemas –o, su pertenencia a una realidad al margen– es particularmente importante cuando se compara el proceso de resolución de un problema aritmético escolar con el de un problema cuantitativo real. Nesher (1980) presenta dos esquemas con los que pretende comparar ambos procesos de resolución en los que distingue entre la actividad observable y los procesos internos asumidos.

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ACTIVIDAD

PROCESOS INTERNOS

MANIFIESTA

COMIENZO: LA TAREA A Expresión ' verbal que pide una respuesta numérica

FIN: LA RESPUESTA

H'

A

Combinar el número encontrado con la dimensión adecuada

Interpretación linguística (sintáctica y semántica) B Consideración cualitativa de las dimensiones involucradas en la resolución

B' Preguntas cualitativas

F' Comprensión del lenguaje formal (sintaxis y semántica)

F'

C Construcción del dominio de objetos y dimensiones cuantificadas

G' Cálculo de la respuesta numérica

C' Preguntas cuantitativas

D Realización de las transformaciones necesarias en el dominio de objetos y dimensiones cuantificadas

Elección de la operación aritmética y escritura de la frase numérica

E Traslación de las transformaciones de objetos a estructuras y operaciones matemáticas

PROCESO DE RESOLUCION DE UN PROBLEMA CUANTITATIVO REAL

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ACTIVIDAD PROCESOS INTERNOS

MANIFIESTA

COMIENZO: LA TAREA

FIN: LA RESPUESTA

A Expresión ' verbal que pide una respuesta numérica

H' A Interpretación linguística (sintáctica y semántica)

Combinar el número encontrado con la dimensión adecuada G' Cálculo de la respuesta numérica F'

F Comprensión del lenguaje formal (sintaxis y semántica)

Elección de la operación aritmética y escritura de la frase numérica

D Realización de las transformaciones necesarias en el dominio de objetos y dimensiones cuantificadas

E Traslación de las transformaciones de objetos a estructuras y operaciones matemáticas

PROCESO DE RESOLUCION DE UN PROBLEMA ARITMETICO ESCOLAR

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Como puede verse en los esquemas, las diferencias fundamentales son de dos tipos: por un lado, en un problema cuantitativo real el proceso se desarrolla siguiendo los procesos internos, mientras que en un PAE la guía del proceso no es las transformaciones de los objetos y relaciones reales y sus equivalentes objetos y relaciones matemáticas, sino la presencia en el texto del problema de números y palabras claves que se combinan mecánicamente según reglas del juego pertenecientes a la realidad del aula. Además, en el caso de los PAEV han desaparecido dos fases cruciales que sí que están presentes en los problemas cuantitativos reales: las preguntas cualitativas que conducen a la decisión sobre qué dimensiones están implicadas, y las preguntas cuantitativas que construyen el dominio de objetos y dimensiones cuantificadas. Nesher mantiene que el paso de D a E es crucial para la comprensión de la tarea que se está realizando y que en el proceso de resolución de un PAEV es difícil que pueda darse, y concluye que “sin transformaciones reales, en la mente del que resuelve el problema en el dominio pragmático de los objetos pertinentes y sin conciencia explícita de sus dimensiones y relaciones funcionales, es imposible aplicar las matemáticas de forma significativa, incluso en los casos en que se comprende totalmente el lenguaje matemático” (Nesher, 1980). De hecho, en la práctica usual, el profesor, o el autor del libro de texto, es el único que realiza las transformaciones anteriormente mencionadas. Esto puede verse en el siguiente esquema –que también es de Nesher– y que representa la tarea del profesor desde que, partiendo de una operación aritmética, elige un contexto real, hasta que acaba formulando el problema escolar bien definido.

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Se ha constatado pues un hecho: la simplificación que se realiza para enunciar un PAE supone seleccionar los elementos claves que facilitan la comprensión. Creer que no hay posibilidad de superar las consecuencias de esta selección sería caer un un fatalismo que está lejos de nuestra intención. Todas las reservas hechas no deben transmitir la idea de que la única finalidad del análisis inicial es poner de manifiesto la miseria en la que, inevitablemente, se ha de desarrollar la práctica de la enseñanza en las escuelas, miseria de la que nunca se podrá salir. No, afortunadamente se sabe cómo afrontar algunos de estos problemas, y los capítulos que siguen intentan dar armas teóricas y prácticas para ello.

Números, operaciones y problemas ................................................................................ 1
 Introducción ........................................................................................................ 1
 Números y operaciones ....................................................................................... 2
 Números: contenido del concepto versus acceso al concepto................. 2
 Números: usos y contextos...................................................................... 5
 Contextos .................................................................................... 5
 Contextos y desarrollo del currículo. .......................................... 6
 Contextos numéricos y operaciones............................................ 7
 Operaciones: conceptos, algoritmos y álgebra........................................ 8
 Aproximaciones escolares a N. ........................................................................... 9
 Contando ................................................................................................. 10
 Coordinando............................................................................................ 12
 Los problemas ..................................................................................................... 17
 La constitución de las operaciones como objetos mentales ................................ 19
 Suma........................................................................................................ 20
 Resta........................................................................................................ 22
 Multiplicación ......................................................................................... 22
 División ................................................................................................... 25
 La comprensión de las operaciones (un mapa conceptual)................................. 27
 Los modelos implícitos y la resolución de problemas aritméticos. .................... 30


2. Números, operaciones y problemas Dseta: ¿Comenzar? ¿Por qué tendríamos que comenzar? Mi mente no está en blanco cuando descubro (o invento) un problema. Imre Lakatos

INTRODUCCIÓN Como ya se dijo antes, desde los primeros días en que los niños entran en la escuela, por la propia construcción de la secuencia que marca el currículo escolar de matemáticas, ellos se ponen en contacto simultáneamente con tareas aritméticas en las que aparecen entremezclados números, operaciones y problemas. Por lo que respecta a los números y las operaciones, aprenden a contar, recitar la secuencia numérica; a reconocer las cifras y escribirlas; a coordinar y comparar conjuntos de objetos, a decir cuántos objetos hay, dónde hay más o menos; a expresar simbólicamente estas relaciones; a sumar con los dedos, o mediante la recta numérica, o con regletas de colores; a distinguir entre valor absoluto y relativo de las cifras, asociando la posición con el orden de la unidad y adentrándose con ello, por tanto, en la comprensión del sistema de numeración. También dedican su tiempo a escribir sumas de forma standard y realizarlas en el papel; a memorizar las tablas de sumar –o, más adelante, multiplicar–; y aprenden un conjunto de hechos numéricos producto de estas y otras tareas como contar a saltos, componer y descomponer números, etc. Junto a estas tareas, más o menos organizadas por temas o lecciones, hay, con cada tema o lección, problemas que han sido elegidos, fundamentalmente, en función del contenido del tema o lección, de manera que, en principio, no se exige del alumno como resolutor de problemas ninguna destreza o conocimiento que no esté explícitamente tratado en la lección correspondiente, o problemas en los que lo nuevo de ellos corresponde a lo aprendido en esa lección. Este reflejo de los contenidos del tema o lección en los problemas que se plantean a los alumnos trae consigo que los números y las operaciones involucrados en los problemas sólo puedan, en principio, concebirse o interpretarse según la aproximación al concepto de número y de operación, y según el modelo de operación por el que el constructor del currículo haya optado. Por ejemplo, si la presentación de la multiplicación que ha escogido el constructor del currículo –o es la que toca, por imperativos legales, en ese momento– es la de suma de sumandos iguales, el problema 1 –o el problema 1bis– será el que acompañe naturalmente a la lección; y un problema como el 2 lo más probable es que no se plantee, y, si se hiciera, sería resuelto en el mejor de los casos porque al estar en la lección de multiplicación los alumnos multiplicarían las cantidades que aparecen, sin poder tener detrás un modelo de multiplicación que les permita hacer la traducción de forma significativa.

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Problema 1 Una bolsa tiene 24 caramelos. ¿Cuántos caramelos tienen 7 bolsas iguales? Problema 1bis Juan tiene 7 canicas. Pedro tiene 5 veces más canicas que Juan, ¿Cuántas canicas tiene Pedro? Problema

2 Una niña tiene 4 blusas y 3 faldas. Blusas = {azul, rosa, blanca, verde}. Faldas = {azul, roja, marrón} ¿De cuántas formas distintas puede vestirse esa niña?

Cuando se miran los problemas aisladamente, fuera del contexto o secuencia curricular, puede verse detrás de cada problema una interpretación particular del concepto de número y de operación, o un modelo de operación, que permite efectuar la traducción correspondiente y alcanzar la solución. Como no suele ser el caso que el desarrollo del currículo se haga desde la perspectiva de los problemas, sino que se suele hacer desde la perspectiva de los contenidos matemáticos –con apoyo de teorías psicológicas o pedagógicas–, el currículo no ofrece normalmente a los alumnos la variedad de interpretaciones y modelos de números y operaciones que son necesarios para abordar con suficientes garantías de éxito los problemas. Esto es particularmente importante para los problemas aritméticos de una operación, en los que no sólo el punto crucial del proceso es la traducción, sino que, por esto, dejando el cálculo aparte, estos modelos e interpretaciones de números y operaciones y los significados que comportan son casi el único recurso matemático que se requiere. En este capítulo trataremos de estudiar desde su reflejo en los problemas, y la importancia que ello tiene para la resolución de los mismos, las distintas interpretaciones de los números y de los modelos de las operaciones. El reflejo inverso esperamos que quede también de manifiesto.

NÚMEROS Y OPERACIONES NÚMEROS: CONTENIDO DEL CONCEPTO VERSUS ACCESO AL CONCEPTO Freudenthal (1973), al tratar del “concepto de número”, señala que el singular conduce a confusiones dado que el contenido y forma del concepto es múltiple según se mire desde los puntos de vista metodológico, genético o didáctico. Si hacemos referencia al contenido matemático del concepto –tras el esfuerzo sistematizador del siglo pasado–, los sistemas numéricos clásicos, naturales, enteros, racionales, reales y complejos, aparecerán inmediatamente en la mente del lector. Estos sistemas son una herramienta conceptual inmejorable a la hora de organizar nuestro conocimiento matemático de los hechos, relaciones numéricas, propiedades de los números y propiedades de las operaciones que pueden realizarse con ellos. Así, por ejemplo, sabemos qué operaciones pueden realizarse sin restricción alguna en cada uno de esos sistemas, qué tipo de ecuaciones son siempre resolubles en cada uno de ellos, o la estructura algebraica de semianillo, anillo, etc. que les corresponde y que describe las propiedades algebraicas de las operaciones definidas en ellos. También tenemos

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organizados en función de estos sistemas otros conocimientos como, por ejemplo, la no existencia de enteros entre 0 y 1, frente a la existencia de una infinidad de números racionales entre dos cualesquiera de ellos; o la completitud de R, frente a Q; así como las relaciones entre los sistemas descritas por los correspondientes morfismos. Sin embargo, esta organización sistemática del contenido del concepto número, imprescindible para una organización global del conocimiento matemático, pertenece al mundo del saber matemático establecido, a las matemáticas hechas, al saber que puede encontrarse en los manuales o las enciclopedias, y desde el punto de vista de la enseñanza-aprendizaje o del acceso al concepto debe situarse en el último nivel. Desde esta perspectiva de acceso al concepto de número debe atenderse en primer lugar al hecho numérico tanto en función de los fenómenos para los que el número es un instrumento útil de organización y explicación, como en función del uso del número en distintas actividades y situaciones.1 Freudenthal (1973) distinguió cuatro grandes maneras como se produce el acceso al concepto de número: número de contar, número de la numerosidad, número de medir y número de calcular. Una explicación breve, en sus propias palabras, de estos términos es la que citamos a continuación: Número de contar. Para empezar, es el desenvolvimiento en el tiempo de la sucesión de los números naturales, cuyos primeros pasos son tan arduos para los niños como aprender los nombres de los colores y de las letras, hasta que aprehenden de repente la secuencia como totalidad que continúa ilimitadamente –una aprehensión conceptual que no tiene su análogo en el aprendizaje de los nombres de los colores y las letras. El número de contar se convierte en el objeto irreemplazable de la actividad de calcular. Pronto se siente la necesidad de contar hacia atrás, hacia el pasado, esto es, mediante números negativos. El número de contar, llamado matemáticamente el número ordinal, se formaliza en la inducción completa, y ulteriormente en los axiomas de Peano; su apoteosis son los ordinales transfinitos. Número de la numerosidad. Quizá el número de la numerosidad sea anterior genéticamente al número de contar. Hay animales que reconocen numerosidades pequeñas aunque, ciertamente, no pueden contar. El niño, sin embargo, aprende a contar desde tan pronto que inicialmente no se da cuenta de que contar puede servir para determinar la numerosidad de un conjunto. Al mismo tiempo, sin embargo, como cualquiera puede verificar fácilmente, identifica numerosidades pequeñas independientemente del contar, en particular si están dispuestas según ciertos patrones. El número de la numerosidad se formaliza mediante la potencia o cardinalidad de los conjuntos; su apoteosis es los cardinales infinitos.

1Nótese

que se habla de acceso al concepto y no de génesis del concepto como harían los psicólogos piagetianos. Los que están influidos por Piaget sustituyen el término ‘génesis’ por formación del concepto o adquisición del concepto, cuando hablan en el terreno de la enseñanza y no en el del desarrollo; en cambio, desde la perspectiva de Freudenthal se habla de constitución de objetos mentales. Las diferencias que, en la práctica de la enseñanza, suponen estas dos perspectivas son importantes. Además, el contenido del concepto número al que se refieren los influidos por Piaget es más pobre, pues como mucho se agota en N. Mientras que el acceso al concepto, que después describiremos, lleva al menos hasta Q y trata de aspectos como el número de calcular que no parecen estar en la preocupación de la ortodoxia piagetiana. Por otro lado, parece imposible encontrar coherencia o correspondencia entre las vías de acceso al número y las etapas piagetianas

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Número de medir. Si se mide una magnitud, ésta se agota o se intenta agotar mediante copias de una unidad, de la misma manera que una vasija se vacía con una cucharilla. Como se hace al pesar o al manejar dinero, múltiplos de la unidad pueden ayudar en el proceso de medir. Como sucede en una regla graduada, se pueden tener marcadas de antemano copias de la unidad, pero una disposición lineal no es necesaria para medir: un área puede ser agotada en órdenes variados mediante unidades de área. El que el proceso de medida no agote completamente la magnitud conduce a la división con resto, por una parte, y, por otra parte, a las fracciones, si la unidad se divide. El número de medir se formaliza en el cuerpo de los racionales, a partir del cual se obtiene los números reales mediante procesos de carácter infinito. Una contrapartida de las magnitudes que pueden ser medidas una por otra se encuentra en los campos no-arquimedianos. Número de calcular. Éste es el aspecto algorítmico. El número se concibe operacionalmente, gracias a las reglas según las cuales el usuario juega con él. Se formaliza en el enfoque axiomático. Los números aparecen como elementos de anillos y cuerpos que se fijan axiomáticamente. (Freudenthal, 1973, pgs. 170-171.)

Freudenthal señala que esta distinción en cuatro formas de acceso es algo tosca y que, por ejemplo, «formas lingüísticas como “siete veces” o “un séptimo” ocultan aproximaciones más refinadas a los números» (Freudenthal, 1973, pg. 171). Conviene indicar además la relación existente entre estas formas de acceso al concepto de número y algunas de las actividades que Bishop ha encontrado como la base a partir de la cual se han construido las matemáticas tanto en la cultura occidental – que es la que ha dado el estatuto de ciencia a las matemáticas que ella ha producido– como en otras culturas. Para Bishop (1988a, 1988b) a través de todas las culturas pueden encontrarse actividades relacionadas con el entorno, que desarrollan ideas importantes para lo que nosotros consideramos matemáticas, y que pueden clasificarse en actividades de contar, localizar, medir, diseñar, jugar y explicar. Las actividades de contar, localizar y medir son, desde esta perspectiva, las responsables del acceso al número en ausencia de un sistema escolar y unas matemáticas como ciencia establecida. Bishop propone que, pese a la presencia de las matemáticas como ciencia establecida y de los sistemas escolares que, entre otras funciones, asumen el papel de darlas a conocer a las nuevas generaciones, una enseñanza de las matemáticas culturizadora ha de tener en cuenta lo que estas actividades básicas han supuesto históricamente y lo que aún suponen hoy en día para otras culturas, o para la propia cultura. Conviene distinguir, por otro lado, gracias a las precisiones de Freudenthal, el acceso al número como concepto y el contenido matemático del concepto de número y tener en cuenta la relación entre una cosa y otra. Esto es particularmente importante en la escuela, ya que, en ella, si uno mira desde el contenido matemático, se está empezando por N. Ahora bien, la forma como se manejan los números, por las características de las actividades en que se realizan –o el contexto en que aparecen–, hace que éstos representen un papel que en matemáticas ha de considerarse más apropiadamente como el que corresponde a números de otras clases. El papel que desempeñan estas actividades se comprende mejor si en vez de mirarse desde ese punto de vista y empeñarse en dotarlas de contenido matemático, se miran desde el punto de vista de las formas de acceso al número, que tienen en perspectiva los sistemas numéricos.

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Por último, ni en las actividades que ha determinado Bishop, ni en las formas de acceso al número que señala Freudenthal, aparece suficientemente subrayado el uso de los números y de las operaciones para hacer predicciones u obtener información nueva, que es uno de los usos fundamentales de los números en el contexto de los problemas.

NÚMEROS: USOS Y CONTEXTOS. Si convenimos en llamar número a los nudos que hacen en una cuerda las mujeres de Nueva Guinea –uno cada vez que el marido las golpea– con la finalidad de presentarla al funcionario gubernamental como prueba del mal trato recibido2, y a lo que aparece en la matriz ⎡ 125 131 111 97 253 354 ⎤ ⎢ 75 73 58 87 154 199 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 223 175 187 222 453 551⎥⎦

que está inspeccionando el gestor de unos grandes almacenes y que le indica las ventas en miles de pesetas de tres secciones a lo largo de una semana, podremos hacernos una idea de cómo los números han sido utilizados a lo largo de la historia con finalidades y funciones diferentes. Gómez (1988, pgs. 18 y ss.) presenta una lista bastante exhaustiva de usos de los números en la sociedad occidental actual. En ella aparecen cosas tan diferentes como el uso de los números para identificar, diferenciar, localizar, codificar, nombrar, clasificar, valorar, evaluar, puntuar..., o para responder a las preguntas ¿cuántos? o ¿cuál? Gómez clasifica la lista completa de usos en función del significado pragmático de los números en cada uno de ellos, de forma que en cada clase aparecen los usos que conllevan significados análogos para los números, aunque la finalidad sea distinta. Estas clases – contar, numerar, medir, operar– tienen el mismo nombre que las formas de acceso al número3, pero el énfasis no está puesto en el progresivo avance desde los fenómenos a las estructuras matemáticas como en éstos, sino en el contenido cultural del concepto – más allá del contenido estrictamente matemático– con el fin de que este contenido cultural pueda ser incorporado como punto de partida para su presentación en la escuela, llenando así lagunas existentes en la práctica escolar habitual, que suele ir de las matemáticas a sus aplicaciones.

Contextos En el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española la palabra “contexto” aparece con tres acepciones: “Orden de composición o tejido de ciertas obras. 2. Por ext., enredo, maraña o unión de cosas que se enlazan y entretejen. 3. fig. Serie del discurso, tejido de la narración, hilo de la historia.”

2Véase

la descripción de esta costumbre en el libro de C. R. Hallpike Fundamentos del pensamiento primitivo, citado en la bibliografía. 3En algún caso, aunque tengan el mismo nombre, no se está hablando exactamente de los mismo. Así, numerar es, para Gómez, “asignar números a los objetos”.

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Aquí, esto es, en el contexto de este libro, los contextos son los responsables principales de la restricción semántica, esto es, de la fijación del campo semántico a partir del cual el sujeto produce sentido para el número y para las operaciones con ellos. Este campo semántico puede ser el conjunto de significados matemáticos y no matemáticos asociados al texto, enunciado del problema, p. e., o el conjunto de significados pragmáticos que conllevan los objetos y las acciones que son propias de un contexto determinado (y que existen en la historia del sujeto). El conjunto de significados pragmáticos puede venir determinado por el lugar –o sitio– en el que se realiza la tarea. Así, en el contexto escolar, al que hemos hecho referencia en repetidas ocasiones, algunas prácticas usuales, o la forma como éstas son vistas por los alumnos, pueden ampliar el campo semántico que parece natural que determine el contexto de la tarea, incluyendo significados para los números de carácter mágico. No es únicamente en la escuela donde significados de este carácter aparecen asociados a los números y las operaciones con ellos: cualquier persona puede encontrarse una mañana de domingo entretenida en hacer manipulaciones cabalísticas –mediante operaciones aritméticas– con la fecha de su nacimiento para tratar de hacerse una idea de lo que le deparará la semana que se avecina. La importancia que tiene tener presente la existencia de estos significados que hemos calificado como de carácter mágico para comprender lo que en algunas ocasiones hacen los alumnos la hemos discutido brevemente en el párrafo La edad del capitán del capítulo 1.

Contextos y desarrollo del currículo. La utilización de un contexto para la producción de un sentido determinado para los números, operaciones y relaciones entre ellos se utiliza de forma consciente y sistemática en algunos desarrollos curriculares, aunque también tenga otras finalidades que no es pertinente señalar en este momento. Un buen ejemplo es WISKOBAS, el currículo desarrollado por el IOWO, descrito en Treffers (1987). En otros desarrollos curriculares más habituales para la presentación o construcción de conceptos se utilizan distintos contextos que funcionan como modelos. Así, termómetros, o debe y haber, para los números enteros; tartas, pasteles o división del todo en partes iguales para las fracciones. Una distinción entre estas dos formas de considerar los contextos es que en la segunda se está tratando de construir un concepto, el de número entero, p. e., y los contextos tienen la función de proporcionar el modelo sobre el cual se construye el concepto de forma que el modelo representa el significado matemático del concepto. En la primera, sin embargo, se es consciente de la restricción del campo semántico que trae consigo el contexto utilizado y no se pretende construir el concepto. Una y otra aproximación requieren, por tanto, del trabajo en otros contextos o de su uso. En la primera esto se hace para ampliar el campo semántico con la finalidad de que los números se puedan utilizar para dotarse de poder sobre otros fenómenos. Pero se pone el énfasis en la aprehensión de significados del contexto que se está utilizando, conscientes de que los números en abstracto no serán nada si no son utilizados en el sentido apropiado en ese contexto. La organización del material de trabajo para los alumnos –y de los temas o unidades– no se hace desde las matemáticas, sino desde contextos propuestos para la exploración fenomenológica en los que se plantean

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problemas que están al servicio de un esquema de matematización progresiva4. Los contextos se eligen con un criterio de completitud, esto es, de reflejar la variedad de situaciones de la realidad en que están presentes los fenómenos. En la otra aproximación mencionada, hablar de contexto en cualquier sentido no parece apropiado. Cuando se utiliza un modelo para un concepto matemático, los seguidores de Dienes, por ejemplo, no parecen pensar en la restricción semántica. De hecho, no hablan de contexto, sino de embodiment –término que usualmente se ha traducido por el barbarismo concretización, perdiendo además el cuerpo o la carne que contiene la palabra inglesa y que podría conservarse con las castellanas ‘corporeización’ o ‘encarnación’– y su problema es de enseñanza: de cómo hacer para mostrar el significado del concepto, de cómo puede ser construido éste. El principio es harto conocido: basta con presentar al aprendiz múltiples “concretizaciones”, tratando de que éstas reflejen la esencia del concepto. Aplicado a rajatabla, este principio tiene una consecuencia: no importa la artificialidad o inverosimilitud de la susodicha concretización, incluso se prefieren construir “contextos” artificiales. Y, lógicamente, no hay problemas, sino juegos, o, en todo caso, problemas en el mundo artificial creado –aunque, ¡cómo no!, ponen en juego la esencia profunda del concepto–, de modo que los problemas de aplicación que puedan aparecer después han de ser aprendidos de nuevo. Hay una tercera forma de usar los contextos, cuya diferencia fundamental con las anteriores es que no responde a teoría alguna del aprendizaje de las matemáticas, sino, en todo caso, a una concepción de la enseñanza como arte. Nos referimos a la organización del material para los alumnos y de la programación de las actividades alrededor de centros de interés como otoño, mercado, bicicletas, Navidad, etc. El carácter oficialmente globalizado de los primeros ciclos de la enseñanza en España hace que esto sea razonable desde un punto de vista práctico. Pero, como la selección de los contextos –aquí centros de interés– no está hecha basándose en una fenomenología previa de los conceptos, ni en ningún otro principio que no sea el de motivar el interés de los alumnos, se está a merced del buen hacer del profesor, y de su experiencia práctica, y se podrá conseguir despertar el entusiasmo de los alumnos o “activar sus capacidades”, sin que se pueda saber muy bien hacia qué matemáticas se va a dirigir su actividad o sus capacidades.

Contextos numéricos y operaciones Creemos que es en la dirección de restricción del campo semántico en la que Castro, Rico y Castro (1988) hablan de los contextos en los que el número aparece. Secuencia, recuento, cardinal, medida, ordinal, código y tecla, son los nombres con que precisan en qué sentido se usan los números en situaciones cotidianas –o no tan cotidianas– y los que les sirven para clasificarlas desde ese punto de vista. Hecho esto, las cuatro operaciones se asocian con las acciones de agregar, separar, reiterar y repartir. El significado de las operaciones viene dado, entonces, por la interpretación que cada una de estas acciones tiene en cada uno de los contextos que proporcionan significado a los números. De alguna manera se postula que la fase de traducción en el

4Una

descripción detallada puede verse en el capítulo 7 de Treffers (1987)

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proceso de resolución de un PAEV depende de la posibilidad de atisbar coherencia entre el significado que el contexto de la historia del problema da a los números que aparecen en él y el significado de la operación que viene dado por la interpretación de la acción correspondiente en ese contexto. Un modo de atisbar esta coherencia consiste simplemente en sopesar si el número que se obtenga como resultado al aplicar la operación en cuestión puede ser dotado de sentido en ese contexto. Ahora bien, las palabras agregar, separar, reiterar y repartir, que se han tomado para designar las acciones, tienen que ver forzado su campo semántico si se quiere que puedan ser interpretadas en todos los contextos como correlatos de las operaciones aritméticas; o, dicho de otra manera, estas palabras no agotan, al menos si nos atenemos a su significado pragmático habitual, la totalidad de los significados de las operaciones que son precisos para abordar los PAEV. Más adelante trataremos de mostrar cómo el significado de las operaciones puede ser construido progresivamente por el trabajo en los PAEV (y no únicamente en éstos, sino también en otro tipo de tareas).

OPERACIONES: CONCEPTOS, ALGORITMOS Y ÁLGEBRA En el estudio de las operaciones que se hace en la escuela conviene distinguir al menos tres aspectos: conceptual, algorítmico y algebraico. Desde el punto de vista algebraico, la suma y la multiplicación se conciben como leyes de composición, esto es, reglas que asocian a toda pareja de objetos de un conjunto determinado otro objeto. Esta visión se despreocupa de todos los aspectos conceptuales cuyas connotaciones tengan que ver tanto con el modo peculiar en el que cada regla prescribe que se realice tal asociación, como con la naturaleza concreta de los objetos con que ésta se realiza. El álgebra fija su atención en las reglas operativas –propiedades algebraicas– de las que depende la posibilidad de resolver tal o cual ecuación, principal asunto del que se ocupa. El énfasis que pone en los aspectos formales y sintácticos precisa, para hacer posible su estudio, una visión uniformista de las operaciones como tales. Así, desde el punto de vista algebraico suma y multiplicación sólo son distinguibles por sus propiedades algebraicas, y, en puridad, se debería disponer de un nombre distinto para cada operación con propiedades algebraicas distintas; en este sentido, hablar de “suma” para referirse a la “suma de naturales” y también de “suma”, para la “suma de enteros” no deja de ser un abuso de lenguaje. (No obstante, está claro que, en el paso a un nivel superior de estudio, la introducción de la idea de estructura permite, al dar nombre a la estructura, restituir la pureza necesaria.) Este punto de vista algebraico para el estudio de las operaciones no es pertinente para el examen del proceso de resolución de los problemas aritméticos elementales. Unicamente en el caso de los problemas de varias etapas es posible encontrarlo en el trasfondo. Así, la posibilidad de que un problema tenga distintas vías de solución tiene su reflejo en las propiedades algebraicas de la expresión aritmética que traduce el enunciado del problema.5

5Ver

en el apartado El diagrama como traductor del capítulo 5 el problema con doble análisis y doble representación

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Cap. 2, pg. 9

Al aprendizaje y automatización de los algoritmos de las operaciones aritméticas se dedica una parte no desdeñable de la actividad escolar. Aunque la destreza algorítmica es necesaria a veces para poder obtener la respuesta de algunos problemas, ésta sólo interviene en la fase de cálculo y no en la de traducción, por lo que no vamos a entrar en ella. Además, pueden encontrarse en ocasiones problemas aritméticos que están construidos de manera que su enunciado refleje la estructura del algoritmo, con el fin de utilizarlos como tarea de ejercicio y práctica de éste. O, como hace Gómez (1988), pgs. 143 y ss., resolver problemas de dividir con estrategias de reparto distributivo o substractivo –repartir un botín o empaquetar caramelos– que den cuenta de la estructura profunda del algoritmo y que, a la vez que ayudan a la progresiva esquematización de éste, preparan para dividir como procedimiento más económico en situaciones en que los escolares mayoritariamente6 usan las estrategias anteriores. También pueden encontrarse en la escuela o en los libros de texto otros problemas que tienen por finalidad la adquisición de destrezas y hechos numéricos, o relaciones entre números, pautas o patrones numéricos, etc. Una serpiente de números, una tabla puzzle, un cuadrado mágico, una serie para continuar o completar, o una tabla del 1 al 100 para colorear en ella múltiplos, diagonales o cualquier otra cosa, son ejemplos de este tipo de problemas. También aparecen algunos problemas con aspecto de pasatiempo, cuya presencia está justificada igualmente desde el punto de vista de la comprensión de la estructura del algoritmo. Un ejemplo famoso de un problema de este último estilo es el problema 3. Problema 3 Encuentra los dígitos que corresponden a cada una de las letras siguientes, sabiendo que D=5.

DONALD + GERALD ROBERT El proceso de resolución de estos dos últimos tipos de problemas no puede reducirse al esquema expuesto en el capítulo anterior; en efecto, suelen ser problemas de búsqueda y requieren, por tanto, la utilización de técnicas heurísticas, o la elaboración de planes de resolución más sofisticados que los requeridos por los PAEV. Estos problemas, por tanto, tampoco serán estudiados aquí.

APROXIMACIONES ESCOLARES A N. Para lo que vamos a tratar aquí es importante mirar el “concepto de número” desde las dos aproximaciones escolares a N, además de los usos de los números y de los contextos en los que aparecen; ya que aproximaciones, usos y contextos dotan a los números y a las operaciones entre ellos de significados diferentes, ligados a cada uno de ellos, que son los que en definitiva constituyen el objeto mental “número”.

6Ver

en el último apartado de este capítulo los datos del estudio dirigido por Hart.

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CONTANDO A N, en el aspecto ordinal del número según lo concibió axiomatizado Peano, se accede en la escuela por medio de la actividad de contar. Actividad que el niño realiza en la escuela sistemáticamente, bajo la tutela del maestro, pero que también realiza en otros lugares de manera no tan sistemática, sino, según su propio gusto y necesidad, atendiendo a otras finalidades o deseos. Así, el número –usando por una vez el singular incorrecto7– se engendra por la actividad rítmica, temporal y sucesiva de contar, actividad cargada de sensaciones fisiológicas, profundamente ligada al impulso vital, que va espaciando los números a intervalos regulares, y que, incluso, permite gracias a la posibilidad de seguir contando atisbar la infinitud potencial de la serie numérica 1, 2, 3, 4... La creación de los números viene dada por la operación siguiente de y las operaciones con los números heredan de la propia generación de éstos su carácter recursivo y dinámico. La definición de Peano de la suma es una definición inductiva: 1) x+1=sig(x) 2) conocido x+y, x+sig(y)=sig(x+y). Esta definición puede traducirse de forma ejemplificada del siguiente modo: Para sumar 3+2 se debe empezar por reconocer 2 como sig(1), y continuar argumentando que conocido 3+1, sig(3+1) –que se conoce por la propia construcción de la serie numérica– coincide con 3+sig(1), esto es, 3+2. Finalmente, en una definición desencapsulada la suma de cualquier pareja de números quedaría así: x+z=x+1+…(z…+1 O, lo que es lo mismo, en la práctica SUMAR ES SEGUIR CONTANDO. En un modelo apropiado a esta construcción de N, como es la recta numérica, 3+2, o “contar dos veces a partir de tres”, se representa así:

0

7Lo

1

2

3

4

5

6

que se aprehende al contar son los números, en plural, pero este plural se refiere a la pérdida de individualidad de 2, 3, 4 o 27, y no a la pluralidad de aspectos.

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(Vale la pena observar de paso, teniendo en mente las propiedades algebraicas, que 2+3, que consiste en “contar tres veces a partir de dos”, se representa así:

0

1

2

3

4

5

6

De manera que 2+3 no es equivalente a 3+2, al menos desde el punto de vista de las acciones que suponen una y otra suma) Aquí, la suma se realiza con números, con los objetos de contar –una obviedad que es necesario remarcar– y toda ella está cargada del sentido dinámico y de la impresión del cambio progresivo que experimenta el primero de los sumandos. Un análisis similar de la resta se resume en cinco palabras: RESTAR ES CONTAR HACIA ATRAS. O, más brevemente, en tres: restar es descontarse. La multiplicación de números naturales sigue, en esta vía de acceso, las mismas pautas: La definición formal es, también, inductiva: 1) x.1=x, 2) conocido x.y, x.sig(y)=x.y+x. La traducción ejemplificada es: Para multiplicar 3.2 se debe empezar por reconocer 2 como sig(1), y como 3.1 ya se sabe, 3.2 es tres más que 3.1. Y, finalmente, la definición desencapsulada es: x.z=x+…(z…+x lo que conduce a la noción de multiplicación como suma repetida de sumandos iguales. O, lo que es lo mismo, en la práctica: MULTIPLICAR ES CONTAR A SALTOS. Las representaciones en la recta numérica de 3.2 y 2.3 serían:

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0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

Y puede verse que, de nuevo, las acciones correspondientes son distintas. Un análisis similar de la división se resume así: DIVIDIR ES CONTAR A SALTOS HACIA ATRAS.

COORDINANDO A la visión cantoriana de N, en su aspecto cardinal, se accede en la escuela por la actividad de coordinar conjuntos. Esta actividad es la que predomina actualmente entre las utilizadas para introducir el “concepto de número” en la escuela. Las razones para ello están en el desembarco en el currículo de matemáticas escolares de las llamadas “matemáticas modernas”, que se produjo en la década de los sesenta, y el soporte que le ofreció la epistemología genética piagetiana, gracias a su descripción de la génesis del concepto de número en el niño. Lo que nos importa subrayar aquí de esta versión escolar de N es que los números se crean –uno cada vez– independientemente unos de otros por la operación de coordinar conjuntos y el establecimiento de “lo que tienen en común”. Ésta es una operación de carácter lógico y de mayor nivel de abstracción que la forma como la actividad de contar produce los números. El mismo Cantor eligió, para representar el cardinal de un conjunto A, el símbolo A , con el fin de que, gracias a las dos rayas colocadas sobre A, quedara constancia en el propio símbolo de las dos abstracciones que es preciso realizar: una indica que haya que abstraer la naturaleza concreta de los objetos, y la otra, el orden con que se toman en consideración. En esta forma de aproximación escolar a N aparece también la tendencia extensional en la presentación de conceptos, esto es, la que los define, o los construye, como la clase de objetos que abarca –o que caen bajo tal concepto–, o de los que se puede predicar8. Metodología que suele seguirse también después en la presentación de los sistemas numéricos Z y Q. Para un niño –y para cualquier persona– la actividad de coordinar es fundamentalmente una actividad mental y no una actividad corporal. En las actividades concretas de coordinar que se suelen proponer al niño en la escuela el único tipo de 8Es

muy sabio sin duda el comentario de Bertrand Russell a propósito del número 2, la pareja de faisanes y la pareja de hombres, pero es difícil comunicar a alguien –sobre todo a los alumnos para quienes dos son tantas cosas– la idea de que dos no es más que lo único que puede decirse de todos y cada uno de los miembros de la clase llamada 2.

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Cap. 2, pg. 13

sensaciones puestas en juego son las visuales que permiten establecer el apareamiento o juzgar la corrección de un apareamiento ya establecido. [Digamos de paso entre paréntesis que es, por tanto, un accidente que la emisión del juicio correcto dependa de la disposición espacial de los objetos, ya que esta disposición espacial influye en la percepción visual inmediata de la cantidad, pero deja de tener influencia desde el momento en que se realiza efectivamente la actividad de coordinar.] El que cada número haya sido creado independientemente de los demás hace preciso un trabajo posterior que los ordene en la serie numérica, ya que en el procedimiento de creación no está implícita ninguna relación entre los números, ni, por tanto, ningún orden. En la práctica escolar, esta falta inicial de presencia del orden se suple de alguna manera por el hecho de que la construcción de cada número se realiza en el orden de la serie numérica, esto es, primero se presenta el 1, luego el 2, etc., dándose en realidad por supuesta la serie numérica antes de construirla. El trabajo de ordenar formalmente la serie numérica se ocupa de matizar y cuantificar el “hay más que” y el “hay menos que”, que junto a “hay igual que” o “hay tantos como” es lo único que se concluye de las actividades de coordinación. Las operaciones heredan del concepto numérico, así construido, su doble abstracción: paso del número al concepto y olvido del orden. Así, para sumar x+y es preciso realizar lo siguiente: Buscar dos conjuntos A y B, tales que card(A)=x y card(B)=y; cuidando además de que A∩B=∅. Realizar la unión de dichos conjuntos: A∪B Determinar por último el cardinal de A∪B; éste es x+y. Conviene hacer algunas observaciones para lo que aquí nos interesa: la operación no se realiza con números, sino con conjuntos; los números desaparecen sin dejar rastro, y la obtención del cardinal comienza de nuevo, o, si se quiere, no aprovechan para nada ni card(A) ni card(B). Los textos escolares están llenos de diagramas de Venn, que ilustran esta concepción de la suma.

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La multiplicación se introduce, en esta aproximación, a través de los conjuntos. Y, además, independientemente de la suma. Como se sabe, para definir x.y se utiliza card(A).card(A)=card(A×B), donde card(A)=x y card(B)=y, y se identifica x.y con card(A×B). De nuevo los números desaparecen sin dejar rastro9. Pero hay más, en la práctica, card(A×B) no puede determinarse o se determina con gran dificultad. En primer lugar por lo difícil que es concebir en su totalidad el conjunto A×B, cuya formación requiere el uso de una gran habilidad combinatoria. Además, porque aún es más difícil, en la mayor parte de los casos, dotar de sentido a los elementos de ese producto cartesiano. Así, en el problema 2 la elección de A y B, conjuntos con unas pocas blusas y unas pocas faldas, permite que cualquier elemento del producto cartesiano, AxB, pueda verse como una de las maneras como puede vestirse la niña protagonista de la historia; sin embargo, eligiendo arbitrariamente el conjunto A –por ejemplo, un conjunto de valencianos– y el conjunto B –por ejemplo, marcianas–, cualquier elemento del producto cartesiano A×B no puede verse más que como el producto de un encuentro azaroso e improbable.

9Desde

el punto de vista de las matemáticas, sin embargo, lo que se ha estado haciendo aquí está claro: no se ha hablado de la suma y multiplicación de números naturales sino de la suma y multiplicación de cardinales. Ahora bien, como aquellos constituyen una subclase de éstos, la de los cardinales finitos, estas operaciones han sido tratadas con mayor grado de generalidad, lo que siempre es deseable.

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El cuadro siguiente resume, de forma esquemática, lo que hemos expuesto en este apartado. Hemos incluido, además, los modelos de problemas correspondientes y una descripción de sus características. N

Actividad

Definición de suma

Aspecto

Peano

Contar

x+1=sig(x) x+sig(y)=sig(x+y) x+z=x+1+…(z…+1

Dinámico

Modelo de problema: “Tengo a, me dan b. ¿…?” Características: — Cantidades homogéneas en datos e incógnita — El cambio viene expresado por el verbo

N

Actividad

Definición de suma

Aspecto

Cantor

Coordinar

A∩B=∅ Card(A)+Card(B)=Card(A∪B)

Estático

Modelo de problema: ”Hay a niños y b niñas. ¿Cuántos alumnos? Características: — Cantidades heterogéneas en los datos. La incógnita es una cantidad que incluye a las de los datos. — El “cambio” viene expresado por sustantivos, adjetivos, etc.

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N

Actividad

Definición de multiplicación

Aspecto

Peano

Contar a saltos

x.1=x x.sig(y)=x.y+x x.z=x+…(z…+x

(Dinámico) Repetición

Modelos de problemas: “Una bolsa tiene 34 caramelos. ¿Cuántos caramelos tienen 7 bolsas iguales?” “Un libro cuesta 125 ptas. ¿Cuánto cuestan tres libros iguales?”

N

Actividad

Definición de multiplicación

Aspecto

Cantor

Construcción del conjunto de todos los pares ordenados

card(A).card(b)=card(A×B)

(Estático) Combinatorio

Modelos de problemas: “Una niña tiene cuatro blusas y tres faldas. Blusas={azul, rosa, blanca, verde} Faldas={azul, roja, marrón} ¿De cuántas formas distintas puede vestirse esa niña?”

“¿De cuántas maneras puede irse de la casa a la escuela?”10

10Este

problema puede ser utilizado como modelo de la operación a condición de que sólo haya dos conjuntos de caminos parciales y de que se reinterprete previamente el enunciado de forma que corresponda al diagrama cartesiano.

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LOS PROBLEMAS Al comienzo de este capítulo hemos indicado cómo la aproximación a la multiplicación como suma de sumandos iguales, que, como hemos visto, puede hacerse corresponder con la aproximación escolar por la vía de contar, estaba acompañada naturalmente de problemas como el 1. Sin embargo, este mismo problema difícilmente puede tratarse si la aproximación escolar elegida ha sido la cantoriana. En efecto, con el texto del problema delante y la concepción de la multiplicación inherente a la aproximación cantoriana, el modelo de producto cartesiano de conjuntos no permite reconocer la situación presente en el problema como una situación multiplicativa, ya que es difícil imaginar de qué manera podrían hacerse pares con bolsas iguales y caramelos, y, en cualquier caso, si se consiguiera imaginar tales pares, carecerían totalmente de sentido. Inversamente, el problema 2 puede modelarse con facilidad dentro de la aproximación cantoriana, y es más difícil hacerlo desde la concepción de la multiplicación producida por la aproximación basada en la actividad de contar. De estas consideraciones se deduce que para hacer frente a la solución de los problemas aritméticos conviene plantearse una aproximación a N, distinta de las dos – matemáticamente ortodoxas– que hemos expuesto, y que dote a las operaciones de un conjunto de significados que contenga al menos tanto los significados asociados con la aproximación cantoriana, como los asociados con la otra aproximación.11 Afortunadamente, en la práctica escolar, aunque se opte metodológicamente por una u otra de las aproximaciones a N –lo que se refleja en la primera presentación de los números y las operaciones– no se suele ser esclavo de la elección hecha, y, en el desarrollo posterior de las tareas que se proponen a los alumnos, suelen aparecer modelos correspondientes a una aproximación distinta de aquélla por la que se ha optado, o modelos que median entre una y otra, sin que, en la mayor parte de los casos, estos modelos se presenten por razones conceptuales, sino como artefactos ad hoc para resolver las situaciones que la práctica ha mostrado que son difícilmente abordables en su ausencia. Utilizando un ejemplo manido, pero paradigmático, el modelo rectangular de la multiplicación puede servir de mediador entre la interpretación de esta operación como suma de sumandos iguales y como producto cartesiano. En efecto, en la práctica, la construcción de productos cartesianos de conjuntos se realiza en arreglos rectangulares, con el objetivo, en principio, de facilitar las destrezas combinatorias que hacen posible llegar a construir todos los pares sin error. Lo que lleva a asociar el modelo rectangular con la operación de multiplicar. Por otro lado, situándose en el caso más favorable para que esta mediación exista, uno puede haber llegado a la multiplicación vía suma de sumandos iguales, y haber utilizado el modelo rectangular como un artefacto ad hoc para la propiedad conmutativa de la multiplicación. 11Ya

hemos apuntado algunas de las soluciones posibles a este problema: acercarse a N vía usos, contextos, etc. En la práctica, como ya hemos señalado, la dificultad consiste en encontrar coherencia entre estas aproximaciones y las tareas que se presentan como problemas, así como en cubrir con estas aproximaciones el campo de significados presentes en los problemas.

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El punto de vista de la resolución de problemas, por lo que hemos visto, sigue la idea de Freudenthal (1983, pg. 69) de que “el problema de la didáctica de las operaciones –dejando aparte los algoritmos– es un problema de aplicación.” Por ello sería conveniente que algo de lo que ocurre en la práctica escolar por razones pragmáticas se convirtiera en un criterio explícito a la hora del tratamiento de las operaciones aritméticas en el diseño y desarrollo del currículo. La lista de problemas que presentamos a continuación –aunque no está construida de forma sistemática– sí que lo ha sido teniendo en la cabeza las dificultades o deficiencias comentadas. Esta lista y las soluciones de Julia (7;9) a ellos puede servir para reflexionar cómo aproximaciones escolares a N, contextos de la tarea o de los números, su uso, la interpretación de las operaciones como acciones u otras cosas que subyacen en los problemas, o las dificultades inherentes a la propia tarea de resolver un problema pueden ayudar en el estudio del aspecto conceptual de las operaciones aritméticas, y en la selección de los problemas aritméticos que se proponen durante ese mismo período escolar. Dejamos para el lector, como ejercicio, el detalle del análisis de los problemas de la lista y de las soluciones de Julia. El lector puede contrastar su análisis con lo que hemos expuesto en este capítulo, lo que se expone en los capítulos 3 y 4, y las sugerencias para la instrucción que aparecen en el capítulo 6. Problema 4 Un chico y una chica entran en un ascensor. El chico dice que va al 4º piso. La chica dice que va 2 pisos más arriba. ¿A qué piso va la chica? Problema 5 Felipe da 2 pasos hacia adelante y 3 pasos hacia atrás. ¿Cuántos pasos ha dado en total? Problema 6 Juan vive en el número 55 de la calle Erudito Orellana. Felipe vive 6 casas más allá. ¿En qué número vive Felipe? Problema 7 La familia Ulises ha salido de viaje hacia Valencia, que está a 350 km de su ciudad. Después de recorrer 87 km, paran para almorzar. ¿Cuántos km han de recorrer todavía? Problema 8 Helena ha dado 7 vueltas en un tiovivo por la mañana y 16 vueltas por la tarde. ¿Cuántas vueltas en el tiovivo ha dado en ese día? Problema 9 Pedro tiene 14 años. Su abuelo es 5 veces más viejo que él. ¿Qué edad tiene su abuelo? Problema 10 Papy ha pensado en tres conjuntos y Piaget en cuatro conjuntos más que Papy. ¿En cuántos conjuntos ha pensado Piaget?

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Problema 11 Para ir de mi casa a la escuela hay 3 caminos distintos, y para ir de la escuela a los futbolines hay 4 caminos distintos. ¿De cuántas maneras puedo ir desde mi casa a los futbolines, pasando por la escuela? Problema 12 Una pastilla de chocolate tiene 12 porciones. Hay 3 porciones en cada fila. ¿Cuántas filas tiene? Problema 13 En un cine hay 27 filas de butacas. En cada fila hay 30 butacas. ¿Cuántas butacas tiene el cine? Problema 14 Juan tiene 8 canicas. Jugando al guá gana 4 canicas. ¿Cuántas tiene ahora? Problema 15 Juan tiene 7 cromos. Pedro tiene 8 cromos. ¿Cuántos tienen entre los dos? Problema 16. Margarita tiene 6 nardos y Rosa tiene 7 azucenas. ¿Cuántas flores tienen entre las dos? Problema 17 Pedro tiene 18 pesetas. Juan tiene 6 pesetas. ¿Cuántas pesetas le deberá dar a Juan su papá para que tenga tantas como Pedro? Problema 18 Carolina da una fiesta de cumpleaños a la que van 8 niñas. Su mamá ha comprado una bolsa con 72 caramelos. ¿Cuántos caramelos le tocan a cada niña? Problema 19 En una fiesta de cumpleaños se repartieron 72 caramelos. A cada niña le tocaron 8 caramelos. ¿Cuántas niñas había en la fiesta? **insertar aquí las hojas de soluciones de Julia**

LA CONSTITUCIÓN DE LAS OPERACIONES COMO OBJETOS MENTALES Hemos señalado que números, operaciones y problemas están trufados de dificultades cuando se trata de diseñar el currículo. El análisis didáctico que hemos realizado sirve para pensar en ello. En lo que sigue vamos a situarnos en el punto de vista desde el cual números, operaciones y problemas, mediando situaciones de enseñanza-aprendizaje, contribuyen a la constitución de las operaciones como objetos mentales. En este análisis hemos de tener en cuenta lo que constituye el objeto mental en cada momento, las dificultades que se tienen al utilizar ese objeto mental para resolver algunos problemas y cómo éste evoluciona y se amplía para que pueda servir como medio de organización de los fenómenos que conllevan los problemas aritméticos y para que dote de poder sobre ellos.

Cap. 2, pg. 20

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SUMA Anteriormente hemos tratado de hacer ver cómo, partiendo del substrato matemático y pensando en la versión cantoriana, para sumar m y n es preciso proveerse de conjuntos disjuntos, A y B, tales que card(A)=m y card(B)=n; y cómo el cardinal de la unión de dichos conjuntos proporciona m+n. Al nivel más bajo –esto es, cuando el niño comienza a sumar– si se le pide sumar m y n, el niño crea los conjuntos correspondientes, por medio de sus dedos, fichas, palitos..., y suma. En la escuela en particular lo que se suele hacer es proporcionar a los alumnos los “conjuntos” que se desea que sean sumados. Un buen ejemplo, tomado de Dado 1º de la editorial Barcanova, es la lámina de enanitos que sigue en la que el vecino es el resolutor, que traduce el dibujo mediante una cadena de acciones, iconos y símbolos. **insertar aquí la lámina de enanitos** En este caso el niño no tiene que sumar los números m y n, sino el número de objetos que se le presentan. La forma de presentar los objetos puede variar: los objetos pueden ser reales, estar representados en un dibujo, sugeridos por una historia o imaginados –o imaginados y representados por el vecino molesto, como en la figura anterior. Pero, en todos los casos, hay dos cosas que permanecen invariantes: a) los números que se tienen que sumar se pueden reconocer como cardinales de conjuntos, y b) la suma refleja la operación de unión, incluso aunque los conjuntos sean inaccesibles y su unión no pueda realizarse materialmente. De este diagnóstico se desprende que los problemas con la suma comenzarán cuando a) o b) –o ambos– no se verifican. Esto es, cuando los términos que se añaden no se pueden reconocer sin más como cardinales, o cuando la suma no se reconoce sin más como un reflejo de la operación unión. Por ejemplo, en el problema “Juan tiene 5 canicas. Pedro tiene 3 más que Juan. ¿Cuántas tiene Pedro?”, el conjunto que corresponde al número 5 aparece sin más –las canicas de Juan–, pero el 3 no puede reconocerse sin más como el cardinal de conjunto alguno; y, aún más, el otro conjunto que puede reconocerse de inmediato –las canicas de Pedro– no es un dato del problema, sino la incógnita que hay que determinar. Es difícil imaginar aquí la operación suma como la unión de dos conjuntos, cuando los dos que aparecen no son los que hay que unir, y el que habría que unir al de las canicas de Juan tiene que ser previamente construido imaginando que se parte un conjunto –el de las canicas de Pedro– que no puede tener una representación física porque no se sabe cuántos objetos tiene. En el capítulo 3 veremos que la estructura semántica de este problema contiene otras relaciones lógicas y aritméticas además de la unión y la suma. En otros ejemplos puede verse que no sólo los conjuntos no son distinguibles, sino que la construcción de conjuntos correspondientes a los números que aparecen no

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Cap. 2, pg. 21

es deseable. Freudenthal cita “5 escalones y 3 escalones, 5 días y 3 días, 5 km y 3 km, 5 florines y 3 florines, 5 veces y 3 veces”. Aquí, la suma está sugerida sin conjuntos y, por tanto, sin unión y cualquier representación conjuntista que se intente –por ejemplo mediante diagramas de Venn– es un verbalismo carente de significado. Lo que es pertinente preguntarse ahora es cómo los alumnos son capaces a pesar de todo de resolver estos problemas, dando el salto de la resolución de problemas en los que los números se pueden ver como cardinales de conjuntos y la suma como el cardinal de su unión, a otros en los que se ha perdido todo rastro del número como cardinal y de la suma como unión. Freudenthal opina que la transferencia se realiza gracias a la diversidad de las prácticas escolares relativas a la suma. Los niños reciben la idea de que tienen que hacer una suma cuando hay números que pueden verse como cardinales de conjuntos, pero realizan las sumas concretas contando con la ayuda de objetos, dedos, o la propia secuencia numérica. La ejecución reiterada de sumas – correspondientes a problemas verbales o como ejercicios de rutina y práctica– les hace desprenderse de los objetos concretos y trabajar algorítmicamente con números, que ahora se combinan gracias a los hechos numéricos que han memorizado o al recorrido de la secuencia numérica. La imagen mental de la suma se está constituyendo por acumulación de tres de las vías de acceso al número. Ahora bien, como sólo se ha dotado de significado a la suma de 5 canicas y 3 canicas y no a la de 5 días y 3 días, la transición no puede hacerse más que algorítmicamente. En el primer nivel la suma viene acompañada de una serie de restricciones: los conjuntos, la operación unión, el mundo de lo discreto y los números naturales. Para tener una perspectiva más amplia de la suma –lo que parece necesario a la vista de los ejemplos anteriores– hace falta encontrar la vía que permita superar esas restricciones. Una idea sirve de guía para ello: la definición cardinal de la suma frente a su realización ordinal. Los ejemplos a propósito de 5 + 3 difieren de los ejemplos de canicas por su materialización y su estructura, aquí hay objetos que se siguen en el espacio o en el tiempo, lo que sugiere el proceso de contar. Los números naturales se usan en el mundo de las magnitudes antes de que sean constituidos en el mundo de lo discreto: un niño puede decir tres o cuatro, o levantar tres o cuatro dedos, cuando se le pregunta por su edad, aunque sabe perfectamente que no tiene ni tres ni cuatro años y que levantará un dedo más el día de su próximo cumpleaños12. Inversamente, el contar debe transferirse de las cantidades discretas representadas por conjuntos a las magnitudes: la línea numérica es el artefacto inmejorable para ello. Además, en ella la adición de magnitudes y números naturales lleva a una idea más amplia de la adición que la que proporciona la unión de conjuntos; su

12

«Helena (3;7) dice que casi llega al botón del ascensor. Le digo que qué va, que le falta bastante. Ella protesta: “Cuando cumpla cuatro años, llegaré”. Le pregunto que cuánto falta y contesta que cuatro. Le digo: “¡Qué va! Tú tienes tres y cuatro es uno más”. Helena precisa: “No, tengo tres y medio. Mira, así: tres dedos levantados y éste así. Cuando se vaya levantando poco a poco, al final tendré cuatro años.”»

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materialización en ocasiones como yuxtaposición de segmentos tiene en perspectiva incluso la adición geométrica.

RESTA Todo lo apuntado para la suma es pertinente para la resta pues no hay separación didáctica ni sucesión en el proceso didáctico y genético entre una y otra. En todos los contextos –y problemas– donde aparece la adición, la resta está implícitamente presente y sólo a la espera de ser sacada a la luz, ya que la situación puede ser invertida o la pregunta del problema modificada. La insuficiencia de la aproximación conjuntista y la necesidad de superar las restricciones analizadas en el caso de la suma se repite en el caso de la resta. Haremos únicamente dos matizaciones que tienen su origen en la asimetría de la resta frente a la simetría de la suma. 1) En el dominio de los objetos la resta significa quitar, como la suma significa añadir. Sin embargo, a diferencia de lo que ocurre con la suma, en los primeros problemas que aparecen en los libros de texto, sobre todo cuando su presentación está hecha mediante dibujos que representan acciones u objetos en situaciones diferentes (pájaros que se van, o libros de pie y caídos en un estante), hay una cierta ambigüedad en cuál es el conjunto de objetos que se quita, cuál el que queda, cuál el total y cuál la pregunta del problema. 2) En la realización efectiva de sustracciones mediante materiales manipulativos o mentalmente uno puede encontrarse con dos estrategias diferentes que Freudenthal llama quitar desde el principio y quitar desde el final. En ambos casos la diferencia se determina contando lo que queda. En el capítulo 3 encontraremos esas estrategias en el mundo de los problemas.

MULTIPLICACIÓN Freudenthal indica que la multiplicación es la operación que aparece de manera más natural ya que posee un soporte lingüístico en el lenguaje vernáculo gracias a los términos doble, triple, etc., y a las expresiones con veces. Esta experiencia lingüística y la realización material de las acciones que expresan (“tres veces cuatro canicas”) se traduce de forma natural en la multiplicación como suma de sumandos iguales. De ahí que éste sea pues el modo más natural de construir las tablas de multiplicar y el primer modo de aproximarse a la operación de multiplicar en la escuela. Ya hemos descrito cómo las aproximaciones a N por la vía de los conjuntos y por la vía del contar dan origen a dos interpretaciones diferentes de la multiplicación: el producto cartesiano y la suma de sumandos iguales. También hemos indicado, al hablar de los problemas, cómo en la práctica escolar el modelo rectangular puede servir de mediador entre ellas. Este modelo rectangular puede mediar también entre estas aproximaciones y la visión geométrica de la multiplicación como área, y puede ser extendido vía el volumen para dar significado geométrico al producto de tres factores Hay otros problemas, situaciones o fenómenos que también se organizan mediante la operación de multiplicar, pero que el proceso de esquematización que conduce de

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ellos a la operación no utiliza las vías ni los modelos mencionados anteriormente. Nos referimos a los que se representan mediante árboles o circuitos. En ellos la operación de multiplicar no aparece hasta que no se ha hecho la representación geométrica de la estructura del problema. No hay acciones que se correspondan explícitamente con la operación de multiplicar. Para hablar de los árboles, podemos empezar por una generalización del problema de las faldas y las blusas (problema 2) dándole también a la niña protagonista sombreros –por ejemplo, 2 sombreros, S={blanco, rojo}– y preguntándole de nuevo de cuántas maneras distintas puede vestirse. Ahora la visualización de las combinaciones puede realizarse todavía en el espacio. Para ello se necesitan dos cosas simples –la generalización del producto cartesiano y la identificación de tripletas y vestidos– y otra más compleja: la extensión del producto de cardinales que proporciona el cardinal del producto cartesiano de tres conjuntos. Esto no parece difícil si olvidamos las diferencias que existen entre la visualización posible y la visualización comprensiva, o si queremos visualizar tras comprender. Sin embargo, una visualización del problema que simule el hecho de vestirse permite, al desdoblar planos y representar en niveles distintos –y no en dimensiones distintas– las acciones progresivas, una mejor visualización del problema y una comprensión más profunda ya que señala perfectamente qué se repite y cuántas veces.

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Primer paso Ponerse la falda

4

Segundo paso Ponerse la blusa

4×3

Tercer paso Ponerse el sombrero

4×3×2

No parece que haga falta comentar el poder del modelo: la niña sabe que también dispone de algunos pares de zapatos, calcetines, camisetas, enaguas, bragas…, y que ella se vestirá moviéndose por el árbol siguiendo, por ejemplo, la combinación de colores que sea más de su gusto. En otro plano, el modelo puede, bajo los mismos principios, organizar y resolver problemas que se presentan en el currículo más adelante (combinatoria y probabilidad). El problema de los caminos ya ha sido expuesto antes y se ha indicado su relación con el producto cartesiano. El análisis superficial del problema y las claves lingüísticas (y, distintos) llevan a una solución aditiva, como ha hecho Julia. El trabajo previo que hay que realizar para aprehender su estructura multiplicativa requiere de nuevo la simulación de las acciones, que en este caso pueden simularse realmente recorriendo el dibujo con el dedo, y no ser meramente imaginadas. Sin embargo, el proceso de

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simbolización es más complejo si se quiere ir directamente al producto cartesiano: hace falta distinguir los caminos (individualizarlos simbólicamente) que van de la casa a la plaza y de la plaza a la escuela, y conceptualizar cada camino de la casa a la escuela como una posible combinación de caminos casa-plaza, plaza-escuela, esto es, como un par ordenado. Una forma de representar las acciones, que no requiere una simbolización tan compleja, es el paso de los caminos a un árbol13. El modelo puede extenderse naturalmente a caminos compuestos por más de dos trozos y a circuitos, de manera que se vea con claridad que el número total de caminos corresponde al producto del número de caminos distintos que parten de cada uno de los sitios por los que obligatoriamente hay que pasar.

DIVISIÓN La asimetría que está presente en la resta frente a la simetría de la suma es mucho más fuerte cuando se comparan multiplicación y división. En la experiencia lingüística mitad o tercio no son la contrapartida de doble, triple y las expresiones con veces, y las acciones que expresan llevan naturalmente a las fracciones más que a la división con naturales. Además, queda la incertidumbre de si las acciones correspondientes a la operación de división acaban agotando los objetos sobre los que se efectúan o han de suspenderse por la imposibilidad de seguir adelante. Esto, que se da cuando el dominio de objetos es discreto, pero que no se da cuando es continuo, introduce más y más profundas asimetrías: la existencia del resto –que no se da en la resta–, la distinción entre la división entera y la división larga o continuada, y la imbricación en el sustrato fenomenológico de división y fracciones. No es éste el lugar para esbozar una fenomenología de las fracciones; Freudenthal (1983) le dedica uno de los capítulos más brillantes –al que sólo habría que añadir, para uso de castellanoparlantes, el análisis del papel que representan los partitivos (doceavo, treceavo, etc), que no existen en inglés, junto a los ordinales (duodécimo, decimotercero, etc) y los conflictos que produce el uso combinado de unos y otros en el lenguaje cotidiano. Para la división Freudenthal ve, desde el punto de vista fenomenológico, tres fuentes: restar sucesivamente, distribuir –o repartir– en partes iguales e invertir una multiplicación. La resta sucesiva y el reparto en partes iguales proporcionan dos imágenes distintas de la división, que se pueden llamar división razón y división distributiva, respectivamente. En la división como inversa de la multiplicación también se pueden ver esas dos imágenes si uno se fija en que los factores no son intercambiables cuando se les dota de significado: si q×d se lee como ‘q veces d’, preguntar por q lleva a la división como resta sucesiva –cuántas veces14– y preguntar

13En

Cerdán y Granell (1980) puede verse cómo hacer esto en éste y otros tipos de problemas de

caminos. 14En

el cuadro que sigue llamamos ‘cuotición’ a este tipo de división; en él puede verse que la división cuotitiva pregunta por el multiplicador de la multiplicación correspondiente, o, lo que es lo mismo, por el cociente. Hemos forjado este neologismo en castellano a imagen del neologismo ya habitual en inglés ‘quotition’. Vale la pena señalar que la palabra castellana ‘cociente’ viene del adverbio latino ‘quotiens’, que significa precisamente cuántas veces.

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por d al reparto –cuánto cada vez. El cuadro siguiente compara ambas imágenes de la división.15 División

distributiva

División

Repartir (“sharing”) Partición

razón

Agrupar (“grouping”) Cuotición

Tengo 35 manzanas para repartir entre 5 personas. ¿Cuántas para cada uno? (Hart)

Tengo 35 manzanas y quiero dar 5 por persona. ¿Para cuántas personas tengo? (Hart)

¿Cuántos florines recibe cada una de q personas si se distribuyen a florines? (Freudenthal)

¿A cuántas personas se les puede dar d florines si se dispone de a florines? (Freudenthal)

Dar a q personas partes iguales de un número o magnitud a.

Restar reiteradas veces d de un número o magnitud a

Cada uno recibe una q–ésima parte o un q–avo ¿Cuál es la q-ésima parte de a? ¿Cuánto es un q-avo de a?

¿Cuántas veces cabe d en a?

“a divided by q”

“d divided into a”

Preguntar por el tamaño de cada parte

Preguntar por el número de partes

Invertir

una

multiplicación

a = q veces d

q

d a Preguntar por d (el divisor)

15Hemos

Preguntar por q (el cociente)

indicado en él también, adelantando acontecimientos, los nombres de los modelos de las operaciones que aparecen en el apartado siguiente. También hemos añadido algunos nombres y expresiones en inglés para facilitar la consulta de los trabajos originales a los que aquí estamos haciendo referencia

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LA COMPRENSIÓN DE LAS OPERACIONES (UN MAPA CONCEPTUAL) Hasta aquí no hemos tratado lo que los niños acaban sabiendo, en ninguno de los niveles educativos, con respecto a los números y las operaciones aritméticas. En Inglaterra se realizó un estudio a finales de los setenta que pretendía trazar un mapa conceptual de los niveles de comprensión de las matemáticas en los niños de 11 a 16 años, titulado Children Understanding of Mathematics, y más conocido por las siglas CSMS, correspondientes al programa de investigación Concepts in Secondary Mathematics and Sciences en que se englobaba. El estudio fue realizado por un equipo de investigadores del Chelsea College de Londres, bajo la dirección de K. M. Hart, y comprende varios subestudios sobre partes del currículo como “medida”, “fracciones”, “razón y proporción”, “álgebra”, etc. Un resumen de los resultados puede verse en el libro Hart, ed. (1981) Salvando todas las distancias que establecen las diferencias entre los sistemas educativos y los estilos curriculares británico y español, ésta es la única fuente de información que conocemos en la que, después de la formación instrumental, se trata de dar cuenta del área de aplicación de las operaciones aritméticas a situaciones reales y de la capacidad de los niños para construir problemas verbales que se correspondan con un enunciado aritmético determinado.16 Vale la pena resaltar los tres motivos que alegan Hart y sus colaboradores para escoger en particular el estudio de las aplicaciones en los problemas para investigar la comprensión de los alumnos de las operaciones aritméticas: 1) la existencia en el mercado de múltiples instrumentos para medir las destrezas de cálculo; 2) la introducción de las calculadoras en la escuela, que tiende a desplazar el énfasis en el currículo de matemáticas de las tareas de lápiz y papel hacia la selección de la tecla que hay que pulsar para resolver un problema determinado, y 3) que los errores de cálculo no parecen una fuente adecuada para obtener información acerca del estado de la estructura general de comprensión de las operaciones por el niño. Vamos a exponer los resultados obtenidos en este estudio sobre la dificultad relativa de reconocer las cuatro operaciones, y cuáles son los modelos de operación que con más frecuencia aparecen en los problemas verbales que escriben los alumnos. El instrumento que se utilizó en este estudio fue un test de elección múltiple17 en el que los problemas representaban distintos modelos de las operaciones y cuyos

16El

subestudio sobre operaciones con números fue dirigido por M. Brown y está descrito en el capítulo 3 de Hart, ed. (1981). 17Para poder sacar conclusiones a partir de los resultados de este estudio que puedan compararse con lo que exponemos en otras partes de este libro, hay que tener en cuenta que, al ser un test de elección múltiple, a los niños se les pedía elegir la expresión aritmética que correspondiera mejor al enunciado del problema. El proceso de resolución de un PAEV, sin embargo, no consiste en elegir entre varias posibilidades presentadas, sino en decidir qué operación hay que efectuar. Además, hay ocasiones en que

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enunciados, casi telegráficos, habían sido construidos evitando las palabras claves. La muestra fue de alrededor de 900 alumnos y se seleccionó de manera que representara al conjunto de la población escolar de esas edades, medida con varios test standards. Los modelos de las operaciones utilizados fueron los siguientes. Para la suma: 1) Añadir. (P.e.: “Tenía 5 manzanas y compré 7 más. ¿Cuántas tengo ahora?”) 2) Unión. (P.e.: “Tengo 5 manzanas y tú tienes 7 manzanas. ¿Cuántas tenemos entre los dos?”) 3) Comparación. (P.e.: “Tengo 5 más que tú. Si tú tienes 7, ¿cuántos tengo?”) Para la resta: 1) Quitar. (P.e.: “Tenía 12 manzanas y tiré 5. ¿Cuántas quedaron?”) 2) Adición complementaria. (P.e.: “¿Cuántas manzanas tengo que añadir a 5 manzanas para tener 12 manzanas?”) 3) Diferencia. (P.e.: “Tengo 12 manzanas y tú tienes 5 manzanas. ¿Cuántas tengo yo más que tú?”) Para la multiplicación: 1) Factor multiplicativo. (P.e.: “Tengo 7 manzanas y tú tienes 5 veces las que yo tengo. ¿Cuántas tienes?”) 2) Adición repetida. (P.e.: “Compré 7 manzanas cada día durante 5 días. ¿Cuántas tengo en total?”18) 3) Razón. (P.e.: “Había 5 personas y cada una de ellas tenía 7 manzanas. ¿Cuántas manzanas tenían entre todos?”) 4) Producto cartesiano. (P.e.: “Hay 7 variedades de manzanas, y de cada variedad, 5 calibres diferentes. ¿Cuántas clases diferentes de manzanas puedes pedir?”) Para la división: 1) Reparto. (o partición). (P.e.: “Tenía 35 manzanas para repartir entre 5 personas. ¿Cuántas para cada uno?”)

la estrategia utilizada por los niños para resolver un problema no se corresponde con una expresión aritmética como las que aparecen como opciones en los ítems del test. Por ejemplo, un problema correspondiente a la expresión aritmética de una división puede ser resuelto viendo cuántas veces hay que sumar el divisor consigo mismo para obtener el dividendo. Un niño puede por tanto ser capaz de resolver el problema con esa estrategia aditiva y no reconocer la expresión aritmética con el signo ÷ como “lo que hay que hacer para resolver el problema”, ya que, en realidad, no es eso lo que él hace. En casos como éste, no contestar correctamente al ítem del test puede interpretarse como falta de comprensión de la operación de división –lo que hace Brown–, o como refugio en el terreno seguro de la suma ante dificultades con la división, que pueden ser de comprensión o algorítmicas. En resumen, hay que tener en cuenta que no pueden considerarse equivalentes las tareas “contestar al ítem del test” y “resolver el problema que aparece en el ítem del test”. 18Véase el comentario sobre la inexistencia de la elipsis en las historias de los PAEV que se hace en el párrafo del capítulo 1 La naturaleza estereotipada de los PAEV.

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2) Agrupar (o cuotición).(P.e.: “Tengo 35 manzanas y quiero dar 5 por persona. ¿Cuántas personas pueden tener su parte?”)

La dificultad de cada operación queda reflejada en la tabla 1, que da las medias y las desviaciones típicas de las facilidades de los cinco problemas ejemplo de cada operación, y la tabla 2, que da las facilidades de ítems de enunciar problemas: Tabla1 + − ÷ ×

facilidad media 87’6 67’0 62’6 53’4

desviación típica 9’5 15’9 12’7 19’4

Tabla2 facilidad media −(números grandes) ÷(números pequeños) ÷(números grandes) ×(números pequeños) ×(números grandes)

85 69 56 53 41

Respecto a la dificultad relativa vale la pena señalar que la división resulta ser más fácil que la multiplicación, tanto en la tabla que da los porcentajes de éxito, como en la que refleja la facilidad de realizar la tarea inversa de escribir un PAEV. La facilidad media que aparece en la tabla muestra que la multiplicación no sólo es la más difícil de las cuatro operaciones, sino que es muy difícil absolutamente considerada. Los valores, relativamente altos, de las desviaciones típicas ilustran, por su parte, que la facilidad oscila notablemente según el modelo de operación correspondiente a cada uno de los ítems del test. La mayor fuente de dificultad observada en la construcción de enunciados por parte de los niños fue la elección de las unidades para los números que aparecían en la expresión aritmética. Así, Brown señala que cuando elegían ‘perros’ y ‘personas’ les era más difícil escribir el enunciado para una suma que cuando escogían ‘caramelos’ y ‘caramelos’, y que sucedía lo contrario para la multiplicación. Por otro lado, los niños que fueron capaces de inventar historias proporcionaron más de unos modelos que de otros. Así, para la suma, un tercio hizo problemas del modelo “unión”, otro tercio, del modelo “añadir”, y el tercio restante, una variante entre “añadir” y “comparación”. Para la resta, la inmensa mayoría hizo problemas correspondientes al modelo “quitar”, con algunos casos de “adición complementaria”. Para la multiplicación, la mayoría se reparte entre “adición repetida”, “razón” y un modelo entre ambos; muy pocos de “producto cartesiano” y algunos de “factor multiplicativo”. Para la división, finalmente, casi todos los niños construyeron un modelo de “reparto”.

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Finalmente, en el estudio de Hart se elabora una jerarquía mediante procedimientos estadísticos, que establece tres niveles de facilidad para las operaciones aritméticas19: Nivel 1.– Substracción: reconocimiento de la operación y construcción de enunciados. Nivel 2.– Reconocimiento de la división y la multiplicación, excepto cuando corresponde al modelo del producto cartesiano. Nivel 3.– Problemas de multiplicación del modelo producto cartesiano, y construcción de enunciados de multiplicación y división.

LOS MODELOS IMPLÍCITOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS.

Y

LA

RESOLUCIÓN

DE

En este capítulo se asume la existencia de ciertos modelos de las operaciones, modelos que pueden reflejarse en algunos problemas verbales. Además, en el informe de Hart y sus colaboradores, se han podido ver resultados experimentales que, para ciertos modelos de operaciones, tienen que ver con el nivel de dificultad y las estrategias utilizadas por los alumnos. Sin embargo, todos estos modelos o resultados experimentales se refieren o han sido obtenidos sobre la base de las operaciones aritméticas tal y como aparecen en los primeros años de la actividad escolar. Es fundamental señalar que, en ese contexto, las operaciones sólo se realizan con números enteros positivos e, incluso, pequeños. Se sabe, por otro lado, que más adelante, cuando se presentan a los alumnos problemas con el mismo contenido matemático y semántico, los alumnos pueden cambiar de opinión sobre la operación que es preciso realizar para resolver el problema, en función de los datos numéricos específicos que aparecen en él. Así, Bell et al (1981) describen cómo si se presenta un problema que pregunta por el precio de 0'22 galones de gasolina si un galón cuesta 1’20 libras, la respuesta más común es 1’20 dividido por 0’22, cuando la misma pregunta con números tales como 5 galones y 2 libras llevan a la respuesta correcta, 5×2. Y Hart, ed. (1981), en otro capítulo del informe, encuentra que alumnos de 12 a 15 años evitan sistemáticamente el multiplicar por fracciones al resolver problemas en los que éstas aparecen. Estos datos obligan a que, al menos, se tenga cierta cautela cuando se trate de que los alumnos extiendan los modelos de las operaciones y las interpretaciones de ellos, que les permiten resolver problemas aritméticos con números fáciles, a problemas con el mismo contenido, pero en los que aparecen números de otros tipos. Fischbein et al. (1985) aborda estos hechos ofreciendo una explicación de por qué hay que andar con cautela. Según él, los niños desarrollan modelos implícitos de las operaciones que integran conocimientos tácitos como que la multiplicación siempre 19Por

razones de la técnica estadística utilizada, los problemas de adición quedan excluidos de la jerarquía de niveles.

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hace más grande el número sobre el que actúa, que la división lo hace más pequeño, etc. Cuando, para resolver un problema, hay que realizar operaciones con resultados en contradicción con estos conocimientos tácitos y, por tanto, con el modelo implícito adquirido de la operación, los niños pueden cambiar de opinión ante las dificultades y elegir la operación contraria de la que hubieran elegido si los números fueran distintos. Alguna indicación de lo que puede hacerse en el aula para superar las dificultades que pueden encontrarse en los problemas en el caso de que éstos contengan números de tipo distinto a los que contenían esos mismos problemas con anterioridad, puede verse, para el caso de los números negativos, en Bell (1986)

Problemas de una etapa: adición y substracción............................................................. 1
 Introducción ........................................................................................................ 1
 Clasificación de los problemas aritméticos elementales verbales (PAEV)................................................................................................................ 2
 Estructura de un PAEV de una etapa. ................................................................. 3
 Análisis del enunciado verbal de un PAEV. ....................................................... 4
 Análisis global del enunciado de un PAEV. ....................................................... 7
 El componente sintáctico. ....................................................................... 7
 La estructura lógica................................................................................. 7
 EL componente semántico. ..................................................................... 9
 Categorías semánticas. ................................................................ 10
 Cambio ............................................................................ 10
 Combinar......................................................................... 12
 Comparar......................................................................... 12
 Igualación........................................................................ 14
 Otros híbridos.................................................................. 15
 Extensión de las categorías ......................................................... 15
 Estudios de dificultades. ..................................................................................... 17
 Dificultades sintácticas ........................................................................... 18
 Dificultades semánticas........................................................................... 19
 Porcentajes de éxito en la resolución de problemas aditivos ........................................................................................ 20
 Estrategias de resolución..................................................................................... 21
 El proceso de traducción ..................................................................................... 24


3. Problemas de una etapa: adición y substracción. Se acabó la ficción para nosotros; nosotros calculamos; pero para poder calcular algo, primero debemos convertirlo en ficción Friedrich Nietzsche

INTRODUCCIÓN Los problemas aritméticos de los que se va a tratar en este capítulo son los primeros que aparecen en el currículo escolar de matemáticas. Al constituir la primera actividad de resolución de problemas con la que se encuentran los niños en su vida escolar, debe ponerse toda la atención y el cuidado en ella que merece cualquier primer paso en un nuevo campo de actividad. Se sabe, además, que estos problemas presentan usualmente dificultades que a un espectador que sólo haya realizado un examen superficial de ellos le resultan difícilmente comprensibles. Una buena ilustración de este hecho la presenta, por ejemplo, Vergnaud (1982). Para el observador superficial los tres problemas siguientes se resuelven de la misma manera. Problema 1. Hay 4 chicos y 7 chicas alrededor de una mesa. ¿Cuántos niños hay en total? Problema 2. Juan ha gastado 4 francos. Ahora tiene 7 francos en su bolsillo. ¿Cuántos francos tenía antes? Problema 3. Roberto jugó dos partidas a las canicas. En la primera partida perdió 4 canicas. Después jugó la segunda partida. En total, ha ganado 7 canicas. ¿Qué pasó en el segundo juego? Sin embargo –dice Vergnaud– “aunque se necesite una simple suma, 4 + 7, en los tres casos, el problema 2 se resuelve uno o dos años después que el problema 1, y el problema 3 es resuelto erróneamente por el 75% de los alumnos de 11 años. Debe haber pues dificultades lógicas o matemáticas en los dos últimos problemas, que no existen en el primero.” (pág. 39) Este capítulo tratará de poner en evidencia, entre otras cosas, cuáles son esas dificultades. Suydam (1980) utiliza una metáfora que nos puede ser útil. La “resolución de problemas”, como campo de estudio, puede verse como una madeja de lana enredada.

Cap. 3, pg. 2

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Suydam propone tirar de tres cabos para poner algo de orden: los problemas, los alumnos y las estrategias. En este capítulo nos proponemos utilizar esta metáfora con el ánimo de organizar la exposición. Trataremos en primer lugar de la clasificación y estructura de estos problemas; y en segundo lugar, de las dificultades que encuentran los alumnos en su resolución y de las estrategias que utilizan, con el fin de tener una comprensión global del proceso de resolución.

CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS ELEMENTALES VERBALES (PAEV).

ARITMÉTICOS

Cualquier clasificación que se realice de los problemas lleva implícita la finalidad del estudio en el que está inmersa. Así, se han propuesto algunas clasificaciones que aquí no son pertinentes: Polya, en su libro clásico “Cómo plantear y resolver problemas”, distingue entre problemas de encontrar y problemas de probar; Butts (1980), desde el punto de vista del nivel de creatividad necesario para atacarlos, los jerarquiza en ejercicios de reconocimiento, ejercicios algorítmicos, problemas de aplicación, problemas de búsqueda y situaciones problemáticas. Aquí, los problemas aritméticos van a clasificarse en primer lugar en problemas de una etapa y problemas de más de una etapa, dependiendo de que sea necesario, para alcanzar la solución, realizar una o más operaciones aritméticas. Problema 4. En una clase del colegio hay 76 sillas y en otra clase hay 89 sillas. ¿Cuántas sillas hay en total entre las dos clases? Problema 5. Cada conejo tiene 4 patas. ¿Cuántas patas tienen entre 26 conejos? Problema 6. El Ayuntamiento ha arreglado una calle de 157 metros, otra de 39 metros y una tercera de 345 metros. ¿Cuántos metros de calle ha arreglado? Problema 7. Al Sr. Botija le quedan 640 ptas. en el momento de ir a repostar gasolina. El importe de ésta, 813 ptas., se lo reparten entre él y sus dos compañeros de viaje. ¿Cuánto dinero le queda ahora? Así, los problemas 4 y 5 son de una etapa y los problemas 6 y 7 son de varias etapas. Como muestran estos ejemplos, los problemas de varias etapas pueden requerir el uso de una combinación de varias operaciones aritméticas, o el uso de la misma operación varias veces. Para estudiar los problemas de una etapa, consideraremos por separado los problemas aditivos –en este mismo capítulo– y los problemas multiplicativos –en el siguiente, pero en este capítulo trataremos algunas cosas que son comunes a ambos.

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Cap. 3, pg. 3

No es pertinente en un estudio de este tipo distinguir entre problemas de sumar y de restar. No obstante, es posible hablar en algún momento de problemas de sumar o problemas de restar en función de la operación que hay que realizar entre los datos para obtener la incógnita o de la sentencia abierta a que lleva una traducción secuencial del enunciado del problema. También se puede hablar de estrategia aditiva o substractiva, pero la estrategia que los resolutores utilicen para resolver el problema no los caracteriza estructuralmente: en efecto, es corriente que se resuelvan con estrategias aditivas problemas en los que la operación que hay que realizar entre los datos es una resta, o, más aún, hay estrategias aditivas con las que se resuelven problemas que se estaría tentado de llamar de división.

ESTRUCTURA DE UN PAEV DE UNA ETAPA. Un PAEV es un problema de encontrar: se nos pide que, bajo ciertas condiciones, se determine una cantidad a partir de otras que se nos proporcionan y que, por tanto, son conocidas. En un PAEV de una etapa se pueden distinguir claramente dos partes: la parte informativa y la pregunta del problema. Problema 8. Después llegó a casa del detective un niño que estaba preocupado. Le contó que tenía 27 coches de juguete y había perdido 12. Le quedaban muy pocos, pero no sabía cuántos. ¿Cuántos le quedaban? Problema 9. ¿Cuántos coches tendrá Pedro si tenía 27 coches y pierde 12? En el problema 8 la parte informativa la constituye “Después […] perdido 12.”, y la pregunta del problema, “Le quedaban […] le quedaban?”. Estas dos partes, información y pregunta, son distinguibles en cualquier PAEV, independientemente de que, debido a la estructura sintáctica del problema, sean separables con mayor o menor dificultad (ver problema 9). Las cantidades presentes en el problema, o de las cuales se habla en él, son tres: dos de ellas se nos proporcionan como datos, y la otra es la incógnita del problema; esto es, dos están contenidas en la parte informativa y otra en la pregunta del problema. Esto no quiere decir que en un problema de esta clase no pueda haber otras cantidades presentes (véase, por ejemplo, las “dos partidas” del problema 3), sino que éstas son las únicas que es imprescindible considerar para resolver el problema. Cualquier otra cantidad presente desempeña un papel secundario como puede ser el del “dos” del problema 3, que sólo interviene para enumerar las partidas que juega el protagonista del problema.

Cap. 3, pg. 4

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ANÁLISIS DEL ENUNCIADO VERBAL DE UN PAEV. El primer análisis que puede realizarse de un PAEV puede ser un análisis ingenuo que centre su atención en las palabras. Problema 10. Juan tenía 5 canicas. Ganó 3 canicas. ¿Cuántas tiene ahora? Problema 11. Juan tenía 5 canicas. Perdió 3 canicas. ¿Cuántas tiene ahora? Problema 12. Juan tenía 5 canicas. Pedro tiene 3 canicas. ¿Cuántas canicas tienen los dos juntos? Si tal análisis se aplica a los problemas 10, 11 y 12, podemos distinguir inmediatamente dos tipos de palabras: las que desempeñan algún papel en la elección de la operación y las que no desempeñan papel alguno. El papel de estas últimas suele limitarse a conectar el enunciado del problema con la realidad, o a delimitar el contexto del problema. Así, ‘Juan’, ‘Pedro’ y ‘canicas’ son las palabras que no desempeñan ningún papel respecto a la elección de la operación, pero que hacen referencia a un contexto particular en el que se desarrollan las acciones, el juego de las canicas o algún juego con canicas, y los protagonistas de la historia. Cuando alguien se enfrente al problema, la única dificultad que estas palabras pueden causarle tendrá su origen en que su significado le sea desconocido, o que el contexto que delimitan le sea ajeno. Si rehúsa entrar en el problema, quizá se deba a que no encuentra familiar el contexto o los objetos invocados por estas palabras y es incapaz, por tanto, de dotar de sentido a la situación descrita en el enunciado. Esto puede ocurrir con el problema 13 en el que aparece el término ‘palmípedos’, poco usual para alumnos del ciclo inicial y medio. Problema 13. En un estanque hay 7 ocas y 3 patos. ¿Cuántos palmípedos hay? A veces estos términos poco usuales suelen incorporarse con la finalidad expresa por parte de los autores de libros de texto de enriquecer el vocabulario de los alumnos, como hizo el autor del problema “La mixomatosis es una enfermedad que padecen los conejos. En el coto había 3478 conejos y 5987 conejas. La mixomatosis mató a 3578 animales. ¿Cuántos animales quedan?”, incorporando la palabra evidentemente inusual ‘mixomatosis’ y teniendo el buen cuidado de definirla en la primera frase del texto del problema, que está dedicada exclusivamente a dar información sobre su significado y no información sobre el problema. Las otras palabras que aparecen en el problema, tales como ‘ganó’, ‘perdió’, ‘los dos juntos’…, son palabras –o grupos de palabras– que determinan, al menos parcialmente, la elección de la operación o influyen en ella. Estas palabras son cruciales

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Cap. 3, pg. 5

a la hora de establecer la conexión existente entre la incógnita y los datos. Por ello, estas palabras se denominan palabras clave. Las palabras clave constituyen un conjunto heterogéneo de palabras que podemos dividir en tres grupos: 1) Palabras propias de la terminología matemática y, por tanto, con significado preciso en el contexto matemático (añadir, doblar, substraer, dividir, repartir…) 2) Palabras tales como conectivas, verbos, etc. que no son propias de la terminología matemática, pero cuyo significado en el contexto del problema suele ser suficiente para decidir la operación que hay que realizar para resolver el problema. 3) Palabras –o grupos de palabras– que expresan relaciones. Problema 14. Juan divide1 sus 8 canicas entre Pedro y Javier. ¿Cuántas les da a cada uno? Problema 15. Juan tiene un hermano y una hermana. Su hermana tiene 15 años y su hermano es 5 años más joven que ella. ¿Qué edad tiene su hermano? Las palabras ‘ganó’, ‘perdió’ y ‘los dos juntos’ de los problemas 10, 11 y 12 pertenecen al grupo 2; ‘divide’, del problema 14, al grupo 1; y ‘más joven que’, del problema 15, al grupo 3. Una lista de verbos que son palabras clave para la adición y la substracción es la establecida por Grupo de EGB de la APMA (1987):

1Por cierto, ‘divide’ es una palabra con significado matemático preciso, pero que en el lenguaje cotidiano sólo lo tendría si al ecuánime anciano babilónico se le hubiera exigido dividir su herencia equitativamente.

Cap. 3, pg. 6

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Verbos de sumar Juntar-se Unir-se Reunir-se Amontonar Apilar Añadir Agregar-se Adjuntar-se Suscribir-se Sindicar-se Recopilar Ascender

Atar Enlazar Empalmar Capturar Cargar Recolectar Adherir-se Alistar-se Solidarizar-se Compendiar Elevar-se Llenar

Agrupar Yuxtaponer Robar Quitar Coger Tomar Coleccionar Apuntar-se Federar-se Hermanar-se Integrar-se Entrar

Verbos de restar Robar Sisar Rebajar Apartar-se Achicar Recortar Descargar Amenguar Despedir Quitar Disminuir Deducir

Destarar Alejar Dar Reducir Mutilar Acortar Abandonar Perder Coger Tomar Detraer Extraer Excluir Cortar Menoscabar Minorar Aminorar Ir-se

Sacar Diezmar Sustraer Separar-se Exceptuar Descontar Empobrecer Menguar Retirar-se

Incorporar-se Vincular-se Sumar-se Contar Adicionar-se Aliarse Inscribir-se Afiliar-se Confabular-se Importar

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Cap. 3, pg. 7

ANÁLISIS GLOBAL DEL ENUNCIADO DE UN PAEV. Nesher (1982) distingue en su modelo de análisis tres componentes: el componente sintáctico, la estructura lógica y el componente semántico.

EL COMPONENTE SINTÁCTICO. El componente sintáctico forma parte de la estructura superficial del problema y puede ser descrita en función de las variables mencionadas en el capítulo anterior. Los principales estudios sobre los aspectos sintácticos de los problemas verbales han sido realizados por Jerman y sus colaboradores en el marco de un programa de instrucción aritmética asistida por ordenador (Jerman, 1974; Jerman & Rees, 1972; Jerman & Mirman, 1974).

LA ESTRUCTURA LÓGICA. Un problema de una etapa bien formado, de adición o substracción, contiene, implícita o explícitamente, tres proposiciones: dos en la parte informativa y una tercera en la pregunta del problema. En el caso de los problemas de adición, la estructura lógica de estas proposiciones puede ser descrita así2: Hay n x que son A

(∃nx)Ax

Hay m x que son B

(∃mx)Bx

¿Cuántos x hay que son P?

(∃?x)Px

Los predicados A y B determinan clases disjuntas y el predicado P corresponde a la clase que, en el contexto del problema, es la unión de las clases anteriores. Esto es, han de cumplir las siguientes condiciones: No hay x que sean a la vez A y B.

¬(∃x)(Ax∧Bx)

Cualquier x que sea A es P.

(∀x)(Ax→Px)

Cualquier x que sea B es P.

(∀x)(Bx→Px)

Cualquier x que sea P es A o B.

(∀x)(Px→(Ax∨Bx))

2En

Nesher & Katriel(1977) se puede encontrar una discusión detallada de este asunto.

Cap. 3, pg. 8

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Problema 16. En un estanque hay 3 patos y 7 ocas. ¿Cuántos animales hay? Problema 17. Juan tiene 7 canicas. Pedro tiene 3 canicas más que Juan. ¿Cuántas canicas tiene Pedro? En el problema 16 la estructura lógica está presente de forma explícita, ya que su estructura sintáctica se corresponde casi totalmente con ella, y los predicados pueden enunciarse fácilmente (A es ‘patos’, B es ‘ocas’ y P es ‘animales’). En el problema 17, por el contrario, la estructura lógica no aparece de forma explícita ya que las relaciones lógicas no se establecen entre los objetos (canicas), sino entre las cantidades de objetos que pertenecen a Juan y a Pedro. Otra puntualización necesaria sobre la distancia entre el texto del problema y la formalización de su estructura lógica se refiere a que el universo del discurso, que es el universo en el que cobran sentido los cuantificadores, viene determinado por el contexto particular definido por el enunciado del problema. Así, en el problema 16, ‘animales’, en el contexto del problema –el estanque–, se agota con ‘patos’ y ‘ocas’, de manera que la condición de que A y B sean una partición de P se verifica gracias a la limitación del universo que establece el contexto del problema. Problema 18. En un barco hay 32 corderos y 4 perros. ¿Cuántas flores hay en el barco? El problema 18 tiene la estructura lógica de los problemas aditivos, pero no verifica las condiciones arriba expresadas. Ello se debe a que estas condiciones han de ser examinadas desde el punto de vista del contenido semántico de los predicados A, B y P. Ahora bien, en el problema 18 –una variante del problema de la edad del capitán, discutido en el capítulo anterior– el significado de los predicados ‘ser cordero’ y ‘ser flor’ no permite que se verifique, por ejemplo la condición “cualquier x que sea A es P”. Los problemas de substracción tienen la misma estructura lógica que los aditivos, salvo que, en las condiciones, A y P intercambian sus papeles. No hay x que sean a la vez B y P.

¬(∃x)(Bx∧Px)

Cualquier x que sea P es A.

(∀x)(Px→Ax)

Cualquier x que sea B es A.

(∀x)(Bx→Ax)

Cualquier x que sea A es P o B.

(∀x)(Ax→(Px∨Bx))

Es cierto que el estudio de la estructura lógica del problema depende de las posibles caracterizaciones de las clases A, B y P y de las relaciones entre ellas, pero estas caracterizaciones, en cualquier caso, tendrán que ser realizadas en un campo semántico. De ahí que las conexiones entre ellas deben atenerse al análisis que se aborda en el apartado siguiente.

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Cap. 3, pg. 9

EL COMPONENTE SEMÁNTICO. El contenido semántico de un PAEV puede ser analizado a trozos atendiendo a los diversos modos de codificar lingüísticamente las relaciones lógicas entre las tres proposiciones básicas del problema, o bien globalmente atendiendo a la naturaleza y el sentido del texto como un todo. El análisis fragmentado se ha realizado ya parcialmente en el párrafo sobre “análisis verbal del enunciado”, aunque en esa ocasión se prestó atención a las palabras aisladas y no a los diversos modos de poner de manifiesto la dependencia semántica entre las oraciones del texto, dado que no se había hecho el análisis de la estructura lógica. Nesher (1982) resume dónde reside el corazón de la dependencia semántica entre las tres proposiciones del texto, señalando que ésta puede venir dada por siete tipos de palabras: 1.— Argumentos. Dependencia semántica entre los argumentos cuantificados numéricamente que aparecen en las proposiciones que subyacen al texto del problema. Por ejemplo: Tres chicos y dos chicas fueron a la playa. ¿Cuántos niños fueron a la playa? 2.— Adjetivos. Dependencia semántica debida a adjetivos que califican los argumentos cuantificados. Por ejemplo, grande y pequeño califican los argumentos en el problema: Hay tres ventanas grandes y tres ventanas pequeñas en el salón. ¿Cuántas ventanas hay en el salón? 3.— Agentes. Dependencia semántica debida a los agentes a los que se hace referencia en el texto. Por ejemplo, Ruth y Dina son los agentes en: Ruth tenía tres manzanas y Dina tenía dos manzanas. ¿Cuántas manzanas tenían Ruth y Dina juntas? 4.— Localización. Dependencia semántica debida a la relación espacial entre objetos. Por ejemplo, cama, estante y habitación localizan los objetos en: Hay dos libros encima de la cama y ocho libros en la estantería. ¿Cuántos libros hay en total en la habitación? 5.— Tiempo. Dependencia semántica debida a la relación temporal entre los acontecimientos a los que hace referencia el texto. Por ejemplo, ayer y hoy son referencias temporales en: Dan se comió tres caramelos ayer y dos caramelos hoy.¿Cuántos caramelos se ha comido Dan entre los dos días? 6.— Verbos.Dependencia semántica que se expresa mediante los verbos que aparecen en el texto. Por ejemplo, tenía, dio y tiene son los verbos en:

Cap. 3, pg. 10

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Víctor tenía cinco sellos y le dio dos de ellos a Joe. ¿Cuántos sellos tiene Víctor ahora? 7.— Términos relacionales. Dependencia semántica debida a términos relacionales que afectan a dos argumentos cuantificados dados. Por ejemplo, más que son términos relacionales en: Bill tiene 8 canicas. Tom tiene 5 canicas más que Bill. ¿Cuántas canicas tiene Tom? (Nesher, 1982, pp. 31-32)

Categorías semánticas. El análisis global del significado del texto del problema ha demostrado ser mucho más importante que el análisis efectuado a trozos al que se acaba de hacer referencia. Su importancia se ha puesto de manifiesto sobre todo a la hora de comprender los procesos utilizados por los niños para resolver los problemas. De aquí que algunos grupos de investigadores se hayan puesto de acuerdo en clasificar los PAEV desde el punto de vista semántico en cuatro grandes categorías –cambio, combinación, comparación e igualación– que describimos a continuación: Cambio Se incluyen en esta categoría los problemas verbales en los que las relaciones lógicas aditivas están embebidas en una secuencia temporal de sucesos; esto es, en estos problemas se pueden distinguir tres momentos diferentes en los que se describe cómo una cantidad inicial es sometida a una acción, directa o sobreentendida, que la modifica. Las tres cantidades presentes en el problema reciben los nombres de cantidad inicial, final y de cambio o diferencia entre la inicial y la final. Otros autores, como Vergnaud (1982), califican a estos problemas con la etiqueta de ETE: estado-transformaciónestado. En el problema 19 a es la cantidad inicial, b es la cantidad de cambio y la pregunta versa acerca de la cantidad final. Si consideramos que la acción a que se somete la cantidad inicial puede aumentar o disminuir a ésta y que dos de las cantidades deben estar contenidas en la parte informativa del problema –esto es, que son datos–, mientras que la otra cantidad es el objeto de la pregunta del problema –la incógnita–, podemos construir el siguiente cuadro que nos muestra los seis tipos de problemas de cambio posibles. Para cada tipo se incluye en la tabla un modelo en estilo telegráfico.

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Cap. 3, pg. 11

INICIAL

CAMBIO

FINAL

CRECER

CAMBIO1

d

d

i

*

CAMBIO2

d

d

i

CAMBIO3

d

i

d

CAMBIO4

d

i

d

CAMBIO5

i

d

d

CAMBIO6

i

d

d

DECRECER

* * * * *

Problema 19. Cambio1. Juan tenía a. Le dan b. ¿Cuántos tiene ahora? Problema 20. Cambio2. Juan tiene a. Da b. ¿Cuántos le quedan? Problema 21. Cambio3. Juan tenía a. Pedro le dio algunos. Ahora tiene c. ¿Cuántos le dio Pedro? Problema 22. Cambio4. Juan tenía a. Dio algunos a Pedro. Ahora tiene c. ¿Cuántos dio a Pedro? Problema 23. Cambio5. Juan tenía algunos. Pedro le dio b. Ahora tiene c. ¿Cuántos tenía? Problema 24. Cambio6. Juan tenía algunos. Dio b a Pedro. Ahora tiene c. ¿Cuántos tenía? Puede verse que cambio1 y cambio6 se resuelven mediante una suma y los demás, mediante una resta. En estos modelos la acción viene indicada por el verbo dar y los tres momentos de la secuencia temporal vienen dados por la secuencia de los tiempos verbales. En los modelos no se especifica la cantidad concreta (canicas, caramelos…) sobre la que se realiza la acción, pero es preciso señalar que si un dato son canicas, el otro tiene que ser necesariamente canicas y la pregunta del problema ha de versar también sobre canicas, esto es, en los problemas de cambio las tres cantidades son homogéneas (si se nos permite usar este término pasado de moda).

Cap. 3, pg. 12

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Combinar Se incluyen en esta categoría los problemas en los que se describe una relación entre conjuntos que responde al esquema parte-parte-todo. La pregunta del problema puede versar acerca del todo o acerca de una de las partes, con lo que hay dos tipos posibles de problemas de combinar. Combinar1 se resuelve mediante una suma y combinar2, mediante una resta.

PARTE

PARTE

TODO

COMBINAR1

d

d

i

COMBINAR2

d

i

d

No hay un tercer tipo (i, d, d) porque las partes son intercambiables. Problema 25. Combinar1. Hay a hombres. Hay b mujeres. ¿Cuántas personas hay? Problema 26. Combinar2. Hay a hombres. Hay b personas. ¿Cuántas mujeres hay? En estos problemas la relación entre las proposiciones está dada por sustantivos, adjetivos, localizaciones, etc. En los problemas 25 y 26, que sirven de modelo, son los sustantivos ‘hombres’, ‘mujeres’ y ‘personas’, cuyos significados mantienen las relaciones de parte-parte-todo características de este tipo de problemas, los que ponen en relación las proposiciones. Comparar Se incluyen en esta categoría los problemas que presentan una relación estática de comparación entre dos cantidades. Las cantidades presentes en el problema se denominan cantidad de referencia, cantidad comparada y diferencia; la cantidad comparada aparece a la izquierda de la expresión ‘más que’ o ‘menos que’, y la cantidad de referencia a su derecha. Dado que el sentido de la comparación puede establecerse en más o en menos, y dado que se puede preguntar por cualquiera de las tres cantidades, el número de tipos posibles de problemas de comparación es seis. Comparar3 y comparar6 se resuelven con una suma y los demás, con una resta. Para facilitar la lectura de la tabla de modelos la cantidad de referencia es siempre la de Juan y la comparada, la de Pedro; además las letras a, b y c las hemos usado para representar los números correspondientes a las cantidades de referencia, comparada y diferencia, respectivamente.

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Cap. 3, pg. 13

REFERENCIA COMPARADA DIFERENCIA COMPARAR1

d

d

i

COMPARAR2

d

d

i

COMPARAR3

d

i

d

COMPARAR4

d

i

d

COMPARAR5

i

d

d

COMPARAR6

i

d

d

MÁS

MENOS

* * * * * *

Problema 27. Comparar1. Juan tiene a. Pedro tiene b. ¿Cuántos tiene Pedro más que Juan? Problema 28. Comparar2. Juan tiene a. Pedro tiene b. ¿Cuántos tiene Pedro menos que Juan? Problema 29. Comparar3. Juan tiene a. Pedro tiene c más que Juan. ¿Cuántos tiene Pedro? Problema 30. Comparar4. Juan tiene a. Pedro tiene c menos que Juan. ¿Cuántos tiene Pedro? Problema 31. Comparar5. Pedro tiene b. Pedro tiene c más que Juan. ¿Cuántos tiene Juan? Problema 32. Comparar6. Pedro tiene b. Pedro tiene c menos que Juan. ¿Cuántos tiene Juan? Los problemas de este tipo comparten con los de combinar su carácter estático, pero mientras que en los de combinar la relación se establece entre conjuntos, en éstos se establece entre cantidades, de manera que lo que en aquéllos eran relaciones de inclusión entre conjuntos, pasan a ser aquí relaciones de comparación entre cantidades. Las palabras del enunciado encargadas de mostrar la relación de comparación son del estilo de ‘más que’ o ‘menos que’: éstas en particular son las que aparecen en el contexto de ‘tener’ –que es el que hemos utilizado en los modelos porque es el contexto más simple. En otros contextos, por ejemplo los de edades, distancias, precios, etc., la situación se complica porque hay parejas de palabras que expresan las relaciones de comparación en sentidos opuestos, que pueden añadirse al esquema básico ‘más que’ o ‘menos que’. Por ejemplo, las combinaciones posibles en el contexto de las edades ‘más

Cap. 3, pg. 14

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joven que’, ‘menos joven que’, ‘más viejo que’, ‘menos viejo que’ doblan el número de posibilidades en la construcción del enunciado de los modelos, pero estas cuatro posibilidades son iguales dos a dos ya que ‘más joven que’ equivale a ‘menos viejo que’ y ‘menos joven que’ equivale a ‘más viejo que’. Igualación Las tres categorías anteriores son las categorías básicas; algunos autores –p.e., Carpenter & Moser (1983)– distinguen una cuarta categoría: problemas de igualación. Estos problemas se caracterizan porque hay en ellos una comparación entre las cantidades que aparecen, establecida por medio del comparativo de igualdad ‘tantos como’. El problema 33, que es uno de los modelos de problema de igualación, es un híbrido de problema de cambio y problema de comparación: una acción (cambio) se realiza con una de las cantidades con el fin de igualarla a otra con la que ha sido comparada. Como la estructura básica de este tipo de problemas es la de los problemas de comparación, están presentes aquí también los tres tipos de cantidades: de referencia, comparada y diferencia, y la incógnita puede ser cualquiera de ellas; el sentido del cambio, que puede ser en más o en menos dependiendo de la relación entre las cantidades de referencia y comparada, duplica el número de posibilidades, con lo que de nuevo hay seis tipos de problemas de esta clase. En la tabla de modelos hemos utilizado las mismas convenciones que en la correspondiente a los problemas de combinar para facilitar su lectura.

REFERENCIA COMPARADA DIFERENCIA IGUALAR1

d

d

i

IGUALAR2

d

d

i

IGUALAR3

d

i

d

IGUALAR4

d

i

d

IGUALAR5

i

d

d

IGUALAR6

i

d

d

MÁS

MENOS

* * * * *

Problema 33. Igualar1. Juan tiene a. Pedro tiene b. ¿Cuántos tiene que ganar Pedro para tener tantos como Juan?

*

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Cap. 3, pg. 15

Problema 34. Igualar2. Juan tiene a. Pedro tiene b. ¿Cuántos tiene que perder Pedro para tener tantos como Juan? Problema 35. Igualar3. Juan tiene a. Si Pedro gana c, tendrá tantos como Juan. ¿Cuántos tiene Pedro? Problema 36. Igualar4. Juan tiene a. Si Pedro pierde c, tendrá tantos como Juan. ¿Cuántos tiene Pedro? Problema 37. Igualar5. Pedro tiene b. Si Pedro gana c, tendrá tantos como Juan. ¿Cuántos tiene Juan? Problema 38. Igualar6. Pedro tiene b. Si Pedro pierde c, tendrá tantos como Juan. ¿Cuántos tiene Juan? Otros híbridos La clasificación anterior de los PAEV de una etapa no permite a veces asignar un problema determinado a una de las clases, sino que hay veces que un problema tiene características propias de varias de las clases. Problema 39. En un autobús van 20 personas. En una parada bajan 8 personas. ¿Cuántas personas quedan en el autobús? Problema 40. En un autobús van 20 personas. Van 8 mujeres. ¿Cuántos hombres van en el autobús? Problema 41. En un autobús van 20 personas. En una parada bajan las 8 mujeres. ¿Cuántos hombres quedan en el autobús? Los problemas 39 y 40 se clasifican sin dificultad como de cambio y de combinación, respectivamente; sin embargo, el problema 41 es de clasificación dudosa porque en él aparece la acción del problema 39 y la relación entre conjuntos del 40: es un híbrido de cambio y combinación. Problemas como éste se pueden enunciar sin dificultad a partir de un problema de combinación sin más que imaginar que se realiza una acción sobre una de las partes.

Extensión de las categorías Las categorías semánticas han sido establecidas para los problemas de una etapa; ahora bien, el mismo criterio semántico puede extenderse a algunos problemas de más de una etapa. Problema 42. Juan tiene a. Da b a Pedro. Da c a Marta. ¿Cuántos le quedan?

Cap. 3, pg. 16

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Problema 43. Hay a violetas. Hay b rosas. Hay c claveles. ¿Cuántas flores hay? Problema 44. Pedro tiene a más que Juan. Juan tiene b más que Felipe. Felipe tiene c. ¿Cuántas tiene Pedro? Los problemas 42, 43 y 44 son las extensiones naturales a más de una etapa de problemas de cambio, combinación e igualación, respectivamente. Ahora bien, un estudio sistemático desde este punto de vista de los problemas de más de una etapa –que conduciría a calificar estas categorías como de cambio iterado, parte-parte-parte-todo…, y buscar otras– no merece la pena al menos por dos motivos: el número de tipos sería previsiblemente tan grande que de poco serviría tener tal clasificación, y, lo que es más importante, la estructura de los problemas de más de una etapa presenta elementos distintos de los semánticos y que son más pertinentes para comprender el proceso de resolución (Ver capítulo 5) Por otro lado, Vergnaud, al centrar su atención en la transformación sufrida por la cantidad inicial en los problemas de cambio, introduce una categoría de problemas aditivos de más de una etapa, que denomina composición de transformaciones, en la que no se hace referencia a las cantidades inicial y final, sino sólo a los cambios3. Problema 45. Pedro ganó 7 canicas por la mañana, perdió 3 canicas por la tarde y ganó 5 canicas al día siguiente. ¿Cuántas canicas ganó? En realidad, este problema aparece en el currículo escolar como un problema de introducción cuando se tratan los números enteros, más precisamente, cuando se tratan estos números como operadores. De la misma manera, cuando en el transcurso del currículo escolar se introducen otros números (fracciones, decimales), aparecen de nuevo problemas de una etapa que pueden clasificarse en alguna de las categorías semánticas descritas. 5 Problema 46. Un depósito estaba lleno en sus 8 , y durante el día se ha 1 vaciado 8 . ¿Qué parte quedará llena?

3Estos problemas es difícil incluirlos entre las categorías semánticas que han sido elaboradas para dar cuenta de los problemas aditivos que aparecen en los primeros años del currículo escolar. La idea matemática que subyace a ellos es la del número entero como operador. Si Vergnaud los incluye entre los problemas aditivos es porque mira los problemas en el interior de lo que él llama campos conceptuales, y éstos abarcan todos los problemas que lo constituyen, sin limitarse a examinar sólo los que aparecen en un segmento del currículo.

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Cap. 3, pg. 17

Problema 47. Manuel y José colaboran en un trabajo. Manuel ha hecho 2 4 los 9 , y José los 9 . ¿Qué parte han hecho en total? 4 Problema 48. En un terreno se ha destinado 9 partes para edificar una 2 casa y 9 partes menos para jardín. ¿Qué parte del terreno se ha destinado a jardín? Problema 49. Manuel y José están pintando una valla. Manuel ha 2 5 pintado los 9 , y José los 9 . ¿Qué parte tiene que pintar Manuel para que haya pintado tanto como José? Las dificultades nuevas que presentan estos problemas tienen su raíz en los aspectos conceptuales nuevos que traen consigo estos nuevos tipos de números, y no en la estructura semántica del problema; esto es, desde el punto de vista de las cantidades, sin hacer referencia a qué tipo de cantidades se están manejando, la estructura de estos problemas es idéntica a la de los problemas que aparecen en los primeros niveles del currículo.

ESTUDIOS DE DIFICULTADES. Una de las variables de las que se tienen datos contrastados sobre su influencia en la dificultad que los alumnos encuentran para resolver los problemas es el tipo de proposición abierta. Variando la posición de la cantidad desconocida y la colocación del resultado de la operación a uno u otro lado del signo igual, se obtienen seis proposiciones abiertas posibles para la adición, y otras tantas para la substracción: Tipos de proposiciones abiertas a+b=? a+?=c ?+b=c a–b=? a–?=c ?–b=c

?=a+b c=a+? c=?+b ?=a–b c=a–? c=?–b

Carpenter & Moser (1983, pg. 10) aportan los siguientes datos sobre los niveles de dificultad correspondientes a esta tipología de las proposiciones, resumiendo los resultados obtenidos en diversos estudios realizados con niños de 1º a 3º de EGB: 1.– Las proposiciones canónicas de adición y substracción (a + b = ?, a – b = ?) son menos difíciles que las no canónicas (a + ? = c, a – ? = c).

Cap. 3, pg. 18

Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán

2.– Las proposiciones canónicas de substracción son generalmente más difíciles que las proposiciones canónicas de adición. 3.– No hay diferencias claras de dificultad entre las tres proposiciones siguientes: a + ? = c, ? + b = c, a – ? = c. 4.– La proposición de minuendo desconocido (? – b = c) es significativamente más difícil que las otras cinco proposiciones de substracción. 5.– Las proposiciones con la operación en el lado derecho del signo igual (p. e., c = a + ?) son significativamente más difíciles que las paralelas con la operación a la izquierda.

DIFICULTADES SINTÁCTICAS Los estudios que se han realizado sobre dificultades de orden sintáctico pueden clasificarse en dos categorías en función de la finalidad perseguida y la metodología utilizada. Por un lado, ha habido estudios que han tratado de predecir la dificultad del problema en función de un conjunto amplio –y con pretensiones de ser exhaustivo– de variables que tienen que ver con el formato de presentación del problema, la longitud del enunciado, su estructura gramatical, la posición de la pregunta en el enunciado –al principio o al final–, la presencia o no de datos en la pregunta, y el tamaño de los números; además, se ha considerado también el orden de presentación de los datos. Por otro lado, se han realizado estudios que trataban de determinar si una variable en particular estaba relacionada de forma significativa con los porcentajes de éxito, una vez se había controlado el resto de las estructuras del problema. Los resultados detallados de estos estudios pueden verse en Nesher et al. (1982) De ellos, nos parece importante señalar aquí algunos resultados cualitativos y globales: 1.– Cuando los problemas verbales se presentan por medio de grabados, dibujos o material concreto, resultan más sencillos, al menos en los primeros niveles. El asunto no está tan claro, sin embargo, para niveles superiores. 2.– La longitud del enunciado, el número de oraciones que lo forman y la posición de la pregunta son variables que, en los estudios del primer tipo, son útiles para explicar la dificultad del problema. Esto quiere decir que tanto estas variables, como otras de la estructura superficial del problema son fuentes de dificultad añadidas al problema; sin embargo, estudios del segundo tipo muestran que no son significativas frente a la modificación de la estructura semántica. Si se nos permite expresarlo en términos vagos, esto quiere decir que por mucho que se complique –¡dentro de lo razonable en el contexto escolar!– la estructura sintáctica de un problema de cambio,

Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán

Cap. 3, pg. 19

parece poco probable que la dificultad añadida sea tan grande como la que supone pasar de un problema de cambio a uno de comparación.4 3.– El tamaño de los números y la presencia de símbolos en vez de números concretos incrementan la dificultad del problema. Alguna de las estrategias que los niños utilizan usualmente para resolver estos problemas como, p.e., la simulación de las acciones descritas en el problemas o el recurso a los hechos aritméticos básicos (resultados numéricos asociados con el aprendizaje de las tablas de las operaciones o con la práctica de las operaciones en otros contextos) no pueden utilizarse con números grandes. Más en general, los números grandes no pertenecen al campo de experiencia numérica de los niños y –en cierto sentido– no pertenecen al concepto de número que tienen formado; no hay tampoco resultados numéricos conocidos que puedan utilizarse –excepto para casos aislados como el mundo de las docenas o los múltiplos de cinco construidos a partir de los contextos concretos correspondientes. 4.– La relación entre el orden de aparición de los datos en el enunciado y el orden en que deben ser colocados a la hora de realizar con ellos la operación necesaria para resolver el problema es también una de las fuentes de dificultad que han sido identificadas. En particular, esto ocurre en problemas como el siguiente: Problema 50. Juan perdió 27 canicas. Tenía 50. ¿Cuántas canicas le quedan? En ellos, la operación que hay que realizar para resolverlos es una resta; pero al estar presentados los datos en orden inverso, hay alumnos que suman para obtener la solución. Una explicación de este hecho es que los alumnos descontextualicen el problema, esto es, lo consideren como dos números dados en el orden en que aparecen en el enunciado entre los que hay que colocar una operación y, al considerarlos sólo como números dados en un orden determinado, decidan realizar con ellos la operación posible.

DIFICULTADES SEMÁNTICAS Para presentar los estudios sobre las dificultades de orden semántico se pueden considerar divididos en dos categorías: los que tratan sobre las estrategias que realmente utilizan los niños para resolver los problemas, y los que se centran en los porcentajes de éxito; dejaremos para después los primeros y expondremos aquí dos tipos de datos sobre éste último punto de vista.

4Mención aparte es el caso de la transformación sintáctica de un problema que lleva a éste de un enunciado de hecho a uno hipotético, para el que debe consultarse Caldwell & Goldin (1979).

Cap. 3, pg. 20

Problemas aritméticos escolares Luis Puig y Fernando Cerdán

Porcentajes de éxito en la resolución de problemas aditivos Los primeros, véase la tabla 1 (Nesher, 1982, pág. 33), corresponden al porcentaje de soluciones correctas a los problemas clasificados por el modo de establecer la conexión o dependencia semántica entre las tres proposiciones subyacentes. Tabla 1 Dependencia semántica

Problemas de adición

Problemas de substracción

Argumentos

80’03

52’56

Adjetivosa

72’73

59’47

Agentes

80’39

50’48

Tiempo

77’90

38’00

Verbos

77’89

72’11

Términos relacionales 57’32 60’14 aLa categoría Localización se combinó con Adjetivos, ya que ambas eran muestras pequeñas y muy similares respecto a sus medias.

Los segundos, tabla 2, corresponden al porcentaje de soluciones correctas a los problemas de las categorías semánticas. Unos globales, y otros desglosados por niveles. Tabla 2 Porcentaje de éxito de 14 tipos de PAE aditivos en dos estudios empíricos Nesher (1982) Combinar 1 Combinar 2 Cambio 1 Cambio 2 Cambio 3 Cambio 4 Cambio 5 Cambio 6 Comparar 1 Comparar 2 Comparar 3 Comparar 4 Comparar 5 Comparar 6

2º-6º 79 52 82 75 72 77 48 49 76 66 65 66 60 54

Riley et al. (1983) 1º 100 39 100 100 56 78 28 39 28 22 17 28 11 6

2º 100 70 100 100 100 100 80 70 85 75 80 90 65 35

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El orden de dificultad en general es cambio, combinación, comparación, pero en los problemas de resta hay una ligera variación: combinar es más difícil. El asunto no es tan simple cuando la clasificación se hace más fina: en la tabla 2 se puede ver que dentro de una misma categoría semántica los niveles de dificultad varían considerablemente. Cambio 5 y cambio 6, esto es aquellos en los que la incógnita es la cantidad inicial son más difíciles. En efecto, cualquier modelado del problema o cualquier simulación es imposible en la versión directa del problema, luego hay que reformular el problema para poder resolverlo. Cosa que ocurre también con comparar 5 y 6. La diferencia entre combinar 1 y 2 puede explicarse porque unos se resuelven con una suma y otros con una resta. Estas tablas proporcionan pistas al profesor sobre lo que puede esperar que sus alumnos hagan, ayudándole a no pensar que sus alumnos están en un nivel bajo si no resuelven todos los problemas aditivos, ya que algunos de éstos se sabe que son realmente difíciles en determinadas edades. Asimismo, estas tablas pueden servir de guía para la organización de la instrucción por niveles. Finalmente, basta tener en cuenta el tamaño de los números o el tipo de cantidades que empiezan a aparecer a partir de 2º para explicar por qué, frente al 100% de éxito de cambio 1, p. e., en 1º y 2º, el global 2º a 6º es el 82 %.

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN Carpenter ha estudiado con profundidad cómo los niños resuelven problemas de adición y substracción en los que los números son pequeños para que no haya necesidad de acudir a los algoritmos usuales. O, dicho de otra manera, el niño no se ve obligado a tomar la decisión ‘es de sumar’, ‘es de restar’, y después pasar a la fase de realizar los cálculos. No hay por tanto, o al menos no es imprescindible, una traducción formal del lenguaje vernáculo al lenguaje aritmético, esto es, no hace falta escribir la correspondiente sentencia aritmética para obtener la solución del problema. Hay estudios realizados antes y estudios hechos después de que los niños hayan recibido instrucción en estas operaciones. Lo que más nos interesa aquí de estos resultados es 1) qué debe preceder a qué en la instrucción, si los problemas o las operaciones, y 2) cómo el trabajo sobre los problemas y sus procesos de solución contribuye a dotar de significado a las operaciones. El detalle de estos estudios puede verse en Carpenter, Hiebert & Moser (1981), Hiebert, Carpenter & Moser (1982) y Carpenter & Moser (1984) Lo que vamos a exponer aquí va a ser únicamente las estrategias básicas que en estos estudios se han encontrado y la forma como están asociadas con algunas clases de problemas. Fundamentalmente, los niños resuelven los problemas de tres modos diferentes: mediante la elaboración de un modelo con dedos o con objetos físicos, mediante el uso

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de secuencias de recuento, o recurriendo al recuerdo de hechos numéricos básicos, y encuentran el resultado de estos problemas recurriendo a estrategias que se pueden denominar como sigue: — Contar todos. — Contar hacia arriba desde el primero. — Contar hacia arriba desde el mayor. — Quitar de. — Contar hacia abajo desde. — Quitar hasta. — Contar hacia abajo hasta. — Añadir hasta. — Contar hacia arriba hasta. — Emparejar. Las tres primeras suelen utilizarse en los problemas aditivos y las restantes en los problemas de substracción. Contar todos consiste en contar el conjunto resultante comenzando por el uno una vez han sido representadas las cantidades mediante objetos o dedos, o sin necesidad de utilizar ningún modelo físico. Cuando se utilizan modelos físicos, el recuento puede realizarse después de haber unido los conjuntos de objetos correspondientes, o, simplemente, comenzando por uno de los conjuntos y siguiendo por el otro. Contar hacia arriba desde el primero y contar hacia arriba desde el mayor son dos estrategias que se utilizan sin la mediación de modelos físicos y que consisten en comenzar el recuento a partir de uno de los números dados. En el primer caso, se comienza por el número que aparece en el problema en primer lugar; en el segundo caso, se elige comenzar por el número más grande. Esta segunda es más eficiente porque se alcanza antes el resultado, y es más sofisticada ya que supone que antes de iniciar el recuento se han comparado los dos números para ver cuál es el mayor. Quitar de y quitar hasta se realizan con modelos físicos y consisten en separar del total una parte. En quitar de se separa del total la otra cantidad y se obtiene la solución por recuento de lo que queda. En quitar hasta se separa del total lo que hace falta separar para que quede la otra cantidad, y se obtiene la solución por recuento de lo que se ha separado (o, también, de lo que se va separando).

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Contar hacia abajo desde y contar hacia abajo hasta son estrategias correspondientes a las dos anteriores, pero realizadas sin el recurso a modelo físico alguno. Las estrategias añadir hasta y contar hacia arriba hasta son dos estrategias para los problemas de substracción que, a diferencia de las anteriores, invocan acciones aditivas. La primera se realiza en un modelo físico y la segunda directamente sobre las cantidades. Ambas consisten en contar desde la cantidad menor hacia la mayor. Finalmente, emparejar consiste en el apareamiento sobre un modelo físico de las cantidades, y el recuento posterior de la parte que queda sin pareja. En la tabla 3 (Carpenter & Moser, 1983, pág. 24) se puede ver representada la relación entre algunas de las estrategias anteriores y algunas de las categorías semánticas, mostrando la evolución de lo que hacen los alumnos desde 1º a 3º. **INSERTAR AQUÍ LA TABLA 3**

En los problemas de substracción las estrategias que utilizan los niños son más consistentes con las acciones o relaciones descritas en el problema y, sin embargo, la dependencia entre estrategia y estructura del problema está menos clara en los problemas de adición. Respecto a la evolución de 1º a 3º, puede constatarse que las estrategias que se encuentran en primer lugar son aquellas que se realizan con modelos físicos y los procedimientos de recuento que comienzan por el uno; esto es, contar todos, quitar de y quitar hasta, y añadir hasta y emparejar. El uso de estrategias de recuento es posterior dado que requiere el conocimiento de un conocimiento más profundo de los números y propiedades aritméticas, y, además, la posesión de habilidades para contar de diversos modos: a partir de un número, hacia arriba, hacia abajo (Una discusión detallada de la evolución de las habilidades de contar relacionadas con la construcción de la secuencia numérica se puede encontrar en Fuson & Hall, 1982.). Dentro de las estrategias de recuento, en general, contar hacia arriba precede a contar hacia abajo. Finalmente, aunque los datos que hemos presentado corresponden a los niveles 1º a 3º, es preciso señalar que las estrategias de recuento perduran en niveles superiores –con el recurso en éstos a estrategias de recuento más sofisticadas como contar por bloques o contar de tantos en tantos, que evocan estrategias usuales de cálculo mental.

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EL PROCESO DE TRADUCCIÓN Como ya se dijo al describir el proceso de resolución de un problema aritmético elemental, tras las fases de lectura y comprensión del enunciado, se entra en la fase crucial del proceso: la traducción. Esto es, en este punto del proceso es en el que se decide cuál es la operación aritmética que hay que realizar. En los estudios descritos en el párrafo anterior, no se trataba de cómo se toma esta decisión, sino de cuáles son las estrategias que realmente utilizan los niños para obtener la solución. Obviamente, estas estrategias son impracticables en cuanto aumente el tamaño de los números. Conviene por tanto explicar, desde un punto de vista general, cómo se toma esta decisión. La comprensión de este proceso y la posibilidad de que se realice en un sujeto individual depende, de hecho, en primer lugar de la comprensión que el sujeto tenga de los lenguajes entre los que se lleva a cabo la traducción; esto es, el lenguaje vernáculo y el lenguaje aritmético. En segundo lugar, depende de la comprensión de las correspondencias –e isomorfismos– que existen entre ellos. Independientemente de la riqueza lingüística que el sentido común indica que hay que tener, algunos investigadores parecen pensar que las correspondencias entre ambos lenguajes se establecen fundamentalmente por medio de las palabras clave. Imaginan, por tanto, un proceso de traducción secuencial en el que el sujeto decide la operación que tiene que realizar en función del significado que atribuye a la palabra clave con que se encuentra al recorrer el enunciado. Sin embargo, esta concepción tropieza con dificultades. Por un lado, hay palabras clave que pueden indicar distintas operaciones. Por otro lado, los grupos de palabras que expresan relaciones sólo determinan unívocamente la operación en el contexto global del problema y no consideradas aisladamente como muestran los problemas 15 y 51, en los que la ‘palabra clave’ ‘más joven que’ sirve para indicar que hay que restar, en el primer caso, y, sin embargo, sumar, en el segundo. Problema 51. Juan tiene un hermano y una hermana. Su hermana tiene 15 años y es 5 años más joven que el hermano. ¿Qué edad tiene su hermano? Esto indica que las palabras clave pueden desempeñar un papel fundamental en la traducción, pero que ésta sólo puede realizarse correctamente si la comprensión del enunciado del problema se realiza de forma global y no local. Este modo local de comprender el proceso de traducción explica la multitud de ejemplos de estrategias de instrucción basadas en la determinación de las palabras claves, tales como: la lectura del enunciado obligando a una entonación especial de las palabras clave, el subrayado de palabras como tarea previa a la escritura de la expresión aritmética, el uso de la pregunta “¿Dónde dice que hay que sumar?” con posterioridad a que el niño haya tomado la decisión de sumar… Lo que en estas estrategias parece

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faltar es un análisis global del contenido del problema, al que nos referiremos posteriormente. La explicación anterior de la fase crucial del proceso de resolución peca de ingenuidad al hacer referencia a la comprensión de los lenguajes involucrados en el proceso de traducción, sin entrar en un análisis detallado de ellos. Además es incompleta al menos por no ser capaz de dar cuenta de que en distintas edades los mismos problemas presenten niveles de dificultad distintos. Esto es, no disponemos todavía de ninguna explicación para los datos de Vergnaud, que presentamos al principio de este capítulo. Para lo que nos interesa aquí, el lenguaje vernáculo de los enunciados de los problemas sería la expresión de la estructura del mundo de acciones físicas del sujeto sobre los objetos de los que tiene experiencia: canicas, caramelos, flores, pájaros, camisas…; se tienen, se comen, se ganan, vuelan, se compran… Y, además, de las relaciones entre los objetos: se tienen más que, menos que…; o de las relaciones causales o temporales entre las acciones. El lenguaje aritmético, por su parte, corresponde al mundo de los números, las operaciones con ellos y las relaciones entre números, operaciones y hechos numéricos (así, si 6 + 2 = 8, entonces se sabe que 8 − 6 = 2; o que sumar aumenta, mientras que restar disminuye…) La traducción se realiza entre los significados que el sujeto ha construido por su experiencia en los mundos correspondientes a uno y otro lenguaje. Como en cualquier proceso de traducción, los campos semánticos correspondientes no son isomorfos, por lo que el sujeto ha de construir el sentido en el lenguaje al que traduce, a partir del otro campo semántico. Además, en cualquier intento de explicación que tenga en cuenta el aspecto longitudinal, no se puede dejar de lado el desarrollo de las estructuras cognitivas, y, menos aún, cuando se está tratando con tareas como la resolución de problemas aritméticos, que se presentan a niños de edades en las que el desarrollo de las estructuras cognitivas lógico-matemáticas se encuentra en continuo progreso. Las categorías de problemas se pueden examinar desde el punto de vista de las estructuras de los dos lenguajes, incorporar lo que se sabe sobre la manera como se desarrollan las estructuras cognitivas correspondientes a cada uno de ellos, y teniendo en cuenta el desarrollo temporal de estas estructuras, organizar secuencialmente las categorías semánticas de problemas. Nesher, Greeno y Riley (1982) presentan como resumen de sus estudios al respecto el siguiente cuadro:

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ASPECTOS DEL DESARROLLO COGNITIVO NIVEL 1 Contar conjuntos

2 Cambio

3 Parte-ParteTodo

4 Relaciones direccionales

CONOCIMIENTO OPERACIONES EMPÍRICO LÓGICAS Referirse a conjuntos x∈P Añadir y quitar miemx∈R bros de un conjunto. n(P) Comprender ‘poner’, ‘dar’ n(R) ‘quitar’, etc. como indica-T(a,b) (‘Tener’) dores de cambio de lugar o posesión Capacidad para enalzar D(J,o) se convierte sucesos por causa y efecen C(T-(J,o)) to. R(J,o) se convierte Referencia a la cantidad en C(T+(J,o)) de cambio. donde: Comprensión de una se‘D’: ‘dar’, cuencia de sucesos orde‘R’: ‘recibir’, nados en el tiempo de ‘C’: ‘causa’ modo no reversible. Se dispone de un esqueComprensión de la ma parte-parte-todo rerelación aditiva versible y se sabe usarlo entre tres conjunpara encontrar la parte tos (P,Q,R) desconocida en cualquier P∪R=Q hueco en una cadena de P⊂Q sucesos. R⊂Q Comprensión de la incluP∩R=∅ sión de clases. x∈(P∩Q) n(P)+n(R)=n(P∪R)= n(Q) n(Q)-n(P)=n(R) Reversibilidad de las reR(a,b)=R-1(b,a) laciones no simétricas Si mm. las descripciones direcCoordinación entre cionales (más/menos), y n(a), n(b), R(a,b) y cuantificar un conjunto n(a-b).

OPERACIONES MATEMÁTICAS Ser capaz de determinar contando el cardinal de un conjunto. El orden entre números. 2