Pictures and Standardtableaux - Grundlagen und Algorithmen

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Bayreuther Math.

Schr. 12 (1984),

1—122

PICTURES AND STANDARDTABLEAUX * GRUNDLAGEN UND ALGORITHMEN

Dr. Michael Clausen

Institut für Angewandte Mathematik

Universität Zürich Rämistraße 74

CH-8001

Schweiz

Zürich

und Friedrich Stötzer

Lehrstuhl II für Mathematik Universität Bayreuth

Postfach 3008

8580 Bayreuth

0. Einleitung und Übersicht

Gegenstand dieser Arbeit sind grundlegende Untersuchungen und Konstruktionen im Zusammenhang mit. dem Picturebegriff .

Bei den Pictures handelt es sich um Bijektionen T zwischen Teil-

mengen A und B von NXJN

mit der Eigenschaft, daß T und T_1

wisse Ordnungsstrukturen von ]lN hen der "natürlichen"

transportieren. Hierbei ste—

(Halb—) Ordnung

(a,b) % (c,d) von ]NXN , die sog.

ge—

«=> a < c und b *A VB€E_$°‘

(bzw. PC(A,B)) zu erhalten, setzen

‘ .: E PJ(A l ‚B) _PJ(AIB)OL

,

In Satz 1.15 zeigen wir, daß

’ ‚ --. 1 PC(A‚B)Of E PL(A ,B))

(g‚%) — P

und

('_I';°‚%) —

?

Halbordnungen

sind. Die maximalen und minimalen Elemente in diesen Halbcrdnun— gen beschreiben wir in Satz 1.19.

Die Diedergruppe der Ordnung 8 operiert in naheliegender Weise

auf denjenigen Elementen von 2°, die von endlicher Mächtigkeit sind.

Auf diesem Wege erhalten wir in Satz 1.24 weitere Verbindungen zwischen Mengen von PC—Pictures. Satz 1.24 steht in enger Bezie—

hung zu Resultaten von Zelevinsky [16], Schützenberger [9]‘_'.„

und Knuth [6 ]; vgl. auch Stanley l11]..

Im zweiten und dritten Abschnitt beschreiben wir zwei Algorith-

men. Algorithmus I (bzw. II) berechnet zu vorgegebenem Schief-

diagramm S alle PC—Pictures‚ die von beliebiger Diagrammgestalt

(bzw. beliebiger Schiefdiagrammgestalt) sind. Beide Algorithmen

erzeugen rekursiv mit Hilfe von geeigneten Hakendeformationen

Baumstrukturen, wobei die maximalen Elemente in den Bäumen je—

weils die gesuchten Pictures sind.

Bei diesen Hakendeformationen klingen schon Zusammenhänge mit der

bekannten Hakenformel von Frame/Robinson/Thrall für die Grade_v der gewöhnlichen irreduziblen Darstellungen der symmetrischen

Gruppen,

sowie Zusammenhänge mit der Hillman—Grassl—Korrespondenz

[2‚3‚ 4] an. Darauf wollen wir hier aber nicht eingehen. Ebenso

ausgeklammert wurde die Robinson—Schensted—Knuth—Korrespondenz

[ 6.10„14] sowie Schützenbergers "Jen de Taquin“. [

7

], das

man auch für Pictures erklären und durchspielen kann. Darauf soll möglicherweise an anderer Stelle eingegangen werden.‘

Verzichtet haben wir auch im vierten Abschnitt auf eine nähere Beschreibung und auf den Beweis von Algorithmus III, der zu vor— gegebenem,

endlichem Beg° alle PC—Pictures T:A+B von beliebiger

Gestalt Aeg° konstruiert.

Die Motivation, uns mit Pictures zu beschäftigen, kommt aus der Darstellungsthéorie. Pictures lassen sich nämlich als kombina— torische Skelette in gewissen zyklischen Darstellungsmoduln symmetrischer Gruppen sowie in deren Verkettungsräumen ansehen.

Darauf gehen wir in [1} ein. Zu Anwendungen von Pictures in der

Darstellungs— und Charaktertheorie vergleiche man auch mit [5,15,16].

1.

Grundlegende Definitionen, Diskussion der Picturebegriffe

Es sei 11

:= {1,2,3,...} die Menge der natürlichen Zahlen. End—

liche Teilmengen A von N XI\I = {(i,j)

| 1,3"; € JN} veranschau—

lichen wir gern wie in nachstehendem

Beisgiel.

A := {(1,4)‚(2,3)‚(2‚4)‚(2‚6)‚(4,2)1 =

Zur besonderen Hervorhebung oder,

[]

El

falls

Mißverständnisse zu befürchten sind, wie

etwa im Fall A‘ := {(1,3)‚(2‚2).(2,4)‚(3‚3)}‚ schraffieren wir zusätzlich die

|

(relevanten)

A' =

Kästchen ;

Die folgende "geographische" Bezeichnungsweise übernehmen wir

von A. Zelevinsky [15‚ S. 157]. Jeder Punkt (c‚d) & IINXN N XJN

zerlegt

in folgende _disjunkte Bereiche:

Wir schreiben und

(a,b)

(a,b)

(X,Y‚...)

(c,d)‚ wenn

(a,b)

4. ,

in einem der Bereiche X,Y,... bezüglich

(c,d)

liegt.

Mit Hilfe der gewöhnlichen Totalordnung von El definieren wir folgende Ordnungsstrukturen auf m XII :

i

(a,b) ; (c‚ä)

.H.

(a,b) % (c‚d)

i

(a,b) % (c‚d)

(a,b) ? (c‚d)

(a < c und b < &) (a < c und b > d)

(entweder: a < c

oder:

.4=9

(entweder: oder:

= c und b < d)

< c

= c und b > d)

Wir werden diese Ordnungen auch als P—, C—‚ L- bzw.

J—Relation

bezeichnen.

Geographisch ausgedrückt lesen sich diese Relationen so:‘

(a,b) % (c‚d)

(a,b)

(a,b)

(0,6)

(a,b)

Hßfifl

(a,b) 5 (c‚ä) (a,b) ; (c‚ä) (a,b)

5

(a,b)

(N:NWIW)

(NINOrO)

(c‚d) (c‚d)

(NW,N,NO,W)

(NW.N‚NC:O)

(Cyd)

(c‚d)

Die L- und J—Relation stellen T6talordnungen bzw. C—Relation ordnungstreu linearisieren.

dar, die die P—

Wenn wir die Elemente der im ersten Beispiel betrachteten Menge A bezüglich der J-Relation ordnen, erhalten wir

(1,4) 5 (2,6) 5 (2,4) 5 (2.3) 5 (4,2). Wir schreiben eine solche Kette manchmal auch in der Form {(1,4),(2,6)‚(2,4)‚(2‚3)‚(4‚2)}5

-

Nun kommen wir zu den in dieser Arbeit zentralen Standardbegriffen. Es seien A und B Teilmengen von lixli. Eine Bijektion T:A+B heißt

PJ-standard, wenn für alle

(a‚b) % (c‚d)

=

(a‚b),(c,d)

& A gilt:

T(a,b) 5 T(c,d)

.

Eine Bijektion T:A+B ist also genau dann PJ—standard, wenn T ein Ordnungsmorphismus ist von

(A‚ä9

nach

(3,33. Entsprechend nennen

wir einen Ordnungsmorphismus T:(A,%)+(B,ä) PC—standard. Eine Bijektion T:A+B heißt ein PJ—Picture

(bzw. PC—Picture)} wenn

T und T_1 PJ—standard (bzw. Bcfstandard) sind.

Diese Picturebegriffevgehenmiiwl auf James/Peel [ 5, S. 351] und Zelevinsky [15‚ S.

Mit PJ(A,B)

156, S.

bzw. PC(A,B)

PC—Pictures von A nach B.

159; 16, S.

84] zurück.

bezeichnen wir die Menge aller PJ- bzw.

_10_

Ist T ein PC— oder PJ—Picture von A nach B, so nennen wir

IT} := A auch die Gestalt und B den Inhalt von T.

Offenbar gilt:

T & PC(A‚B) T e PJ(A‚B)

‚=

..=.

T"

1

& PC(B‚A)

T_1 e PJ(B,A).

Da ? eine Linearisierung von % darstellt, erhalten wir die folgende Inklusion:

PC(A‚B) 5 PJ(A‚B) .] Im allgemeinen wird PC(A,B)

# PJ(A,B)

sein, wie das nächste

Beispiel zeigt.

Wir veranschaulichen eine Bijektion T=A+B‚

indem wir in das zu

(a‚b) E A gehörige Kästchen das Zahlenpaar T{a,b) eintragen. In

diesem Zusammenhang sprechen wir auch vom Eintrag T(a‚b) am g3333

{a,b).

Da wir uns bei Beispielen auf Zahlen unter 10 beschränken, sind keine Mißverständnisse zu befürchten, wenn wir bei Einträgen Klammern und Kommata weglassen.

_11_

Beisgiel.

LJ_EEI

“@ ,

l

|“? E]

@

(1.3)

13

veranschaulicht die Bijektion T mit Definitionsbereich (E Gestalt)

A

3

{(1‚4),(2,3)‚(2,4)‚(2‚6),(4‚2)} und Bildbereich (5 Inhalt) {(1‚3).(1,4)‚(2,1)‚(2,2)‚(2‚3)l, wobei im einzelnen

T(1l4)

(1I3)l

=

T(2r3)

und T(4‚2) = (2,3) ist.

=

(1:4);

T ist PC-standard. Auch

T..1 =

Also ist T ein PC-Picture.

U =

11

2%]

T(214)

=

14 23 26 24 42

(212);

T(216)

:

'(211)

ist PC-standard.

‘ ist ein PJ— aber kein PC—Picture.

In den Anwendungen (vgl.

[1 ]) interessiert man sich besonders

für die Gesamtheit aller Pictures von A nach B, also für

!PJ(A‚B)I bzw. [PC(A‚B)I sowie die explizite Angabe aller Elemente

aus PJ(A,B)

bzw. PC(A‚B).

Um dieses Problem angehen zu können, befassen wir uns zunächst mit geographischen Charakterisierungen der Picturebegriffe. Wir führen dazu noch einige Sprechweisen ein. Eine Teilmenge A von IGXIJ

heißt P—konvex, wenn aus x 5 y 5 z und x‚z € A stets

1

[oder leer [oderleer / sind] sind]

y & A folgt. P—konvexe Mengen, die den Punkt (1,1) enthalten,

nennen wir Diagramme. Es gibt Diagramme von endlicher und un— endlicher Mächtigkeit. Von besonderem Interesse werden im fol—

genden endliche Diagramme sein.

Ist D ein endliches Diagramm‘

und bezeichnen wir mit Zi(D) := {flirj)}j€N M(i‚j)ED} die i-te

Zeile von D, so wirä D vollständig beschrieben durch die Folge

(|Z1(D)i,IZZ(D)],...) der Zeilenlängen. Eine Partition A von

n E li

ist eine Zahlenfolge

ten:xi € % ,

(11‚l2,...) mit folgenden Eigenschaf—

A1 > A2 > ... > 0 und 2 hi = n. Also sind fast alle

wird oft Folgenglieder =D: x = (x1‚...,xh,o,o‚...), und A wird oft ideniden—

tifiziert mit dem h—Tupel

(x1‚...,xh), wobei Äh > 0 ist.

Zwischen;

den Diagrammen der Mächtigkeit n und den Partitionen von n wird durch

D»—+ (1z1(D)!‚lzz(n)i,...) eine Bijektion hergestellt.

Im folgenden unterscheiden "ir oft

nicht zwischen D und der zugehörigen Partition.

.-_‚— l.l„m;‚lm_üwmm.„

Eine endliche P—konvexe Menge heißt ein gehiefdiagramm. Man kann

Schiefdiagramme auch definieren als mengentheoretische Differenz zweier endlicher Diagramme.

Eine Teilmenge X von A 5 EIxE€

wenn es es ein ein Die— Diaheißt A-regulär, wenn

genau dann dann A—regulär, A-regulär, gramm D gibt mit X = A\D. Offenbar ist X 5 A genau r

wenn für P-vergleichbare Elemente a E A\X und x 6 x stets a < x

3

)

_ 13 _

gilt.

(Auf diese Charakterisierung der A—Regularität werden wir

im folgenden wiederholt zurückgreifen.)

Beisgiel für ein Schiefdiagramm

eine A—reguläre Teilmenge (Grohskizze)

lein endliches Diagramm

/

In dieser Arbeit treten oft Bijektionen T:A+B

/

‘A—regulär

(A‚B 5 IJXIJ)

auf,

die für alle x,y & A einigen der folgenden geographischen Be—

dingungen genügen.

Name

(0)

(3,30) (s)

_(SO)

(SW)

geographische Bedingung

x (0) y

=»

T(X)

(W‚SW) T(y)

x -(s) yi

=>

T(x)

(SW‚S) T(y)

x (SW) y

»

T(x)

(SW‚S‚S0,0‚NO) T(y)

7x (3,30) y => T(x) (sw‚s‚so) T(y) x (30) y

»

T(x)

(SW) T(y)

Nun kommen wir zur Charakterisierung von PJ-Pictures.

_14_

1.1 Satz.

Für eine Bijektion T:A+B

(A,B 5 11 XIN)

sind die fol—

genden Aussagen äquivalent:

(1)

(2)

(3)

T:A+B ist ein PJ-Picture.

Für alle X E A ist T[{y € A / x ? y}] B—regulär, und für alle 2 E B ist T_1[{y E B / z ? y)] A-regulär.

T erfüllt für alle x,y E A die geographischen Bedingungen (0),

(3,50) und (SW).

(Die Äquivalenz von [15‚ S.

(1)

und

(3)

geht auf Zelevinskyif

157] zurück.)

Beweis.

Für x e A und z 5 B sei Ax := {y 5 A / x 5 y} und 132 :={yeB/Zfiy}. "(1) = (Z)"

Angenommen, für ein x 6 A ist B'

:= T[Ax] nicht B—regulär. Dann

existieren Elemente b € B\B' und b' EIB' mit b % b‘. Da T—1

PJ—standard ist, ergibt dies T_1(b) % T—1(b') % x. Also ist T_1(b) € AX im Widerspruch zu b & B'. Folglich ist T{Ax] doch B—regulär.

Entsprechend zeigt man, daß alle T_1[Bz],

"(Z) = (3)"

z €.B, A—regulär sind.

sind x,x' € A mit 333 x', so ist x‘ $ Ax und somit T(x') $ T{Ax]f

Da nach Voraussetzung T[Ax] B—regulär ist, gilt entweder T(x') ; T(x)

_15_

oder T(x')

und T(x)

sind P-unvergleichbar. Entsprechendes gilt

für T_1. Aufgrund der Voraussetzungen erfüllen T und T“1 also

die folgende Bedingung

(J).

Für alle x‚x' € A gilt:

x 3-x' = T(x)

(SW,S‚S0,0,NO) T(x')

Für alle y,y‘ @ B gilt:

y 3-y' » T" 1 (y) (sw,s‚so,o‚uo) T'1(y').

Zusammen mit (x (SW) x' » x 3-x') ergibt sich aus (J) für T und

T_1 die Eigenschaft (SW).

Wir zeigen nun, daß T die Eigenschaft

(0)

'

besitzt. Gilt für

x‚x' E A: x(0) x', so ist x' 5-x, und wir erhalten mit (J): T(x)

(NO‚N,NW‚W,SW) T(x').

Wir haben T(x)

(NO,N‚NW)

Angenommen, T(x)

T(x)

T(x')

auszuschließen.

(NO,N‚NW) T(x'). Dann ist T(x') ? T(x), woraus

& BT(x') folgt. Wegen x (0) x' und x $ T_1[BT(X.)] kann

T_1 [BT(X.)] nicht Aeregu1är sein. Also besitzt T die;Eigenschaft (O). Entsprechend genügt 'r_1 der Bedingung (0).

Es bleibt zu zeigen, daß T die Eigenschaft

Seien x,x'

E A mit x

Eigenschaft

Im Fall T(x)

(J)

(0)

(5,50)

haben wir

T(x')

(5,30) besitzt.

x‘. Dann ist x 3 x'. Aufgrund von

(x)

(O‚NO) T(x')

auszuschließen.

erhalten wir mit Eigenschaft

(O)

bzgl.

T_1 : x (W,SW) x'; das steht im Widerspruch zu x (8,30) x'.

Im Fall T(x) (mo) T(x‘) liefert Eigenschaft (SW) bzgl. T‘1:

x

(NO,N,NW‚W‚SW)

x'. Widerspruch!

-

_ 15

"(3) => (1)“

Mit T erfüllt auch T"1 die geographischen Eigenschaften (0),

(5,50) und (sw). Dies kann man leicht aus der Tabelle vor

Satz'1.1

ablesen.Die PJ—Standardität von T und T_

aus den Eigenschaften

(0)

und

1

folgt direkt

(5,39). Damit ist Satz 1.1 bewiesen.

a Eine ähnliche Charakterisierung lassen die PC—Pictures zu„

1.2 Satz.

Für eine Bijektion T:A+B

(A‚B 5 llxlfl

sind die folgen—

den Aussagen äquivalent:

(1)

T:A+B ist ein PC—Picture.

(2)

Für alle x 6 A ist T[{y E A.] x 5 y)] B—regulär, und für

(3)

T erfüllt für alle x‚y E A die geographischen Bedingungen

alle z E B ist T_1[{y € B / z % y}] A—regulär. (0),

(S),

(so) und (SW).

Beweis. Für x E A und z e B sei A? := {y E A / x 5 y} und

BZ

:= (y E B / 2 5 y}.

Die Beweise von “(1) » (2)" und "(B) = (1)“ laufen völlig analog

zu den entsprechenden Beweisteilen von Satz 1.1. "(2) = (3)“

Hier zeigt man zunächst wieder ganz analog zum Beweis von Satz 1.L

daß aufgrund der Voraussetzungen T und T"1 die folgende Bedingung (C)

erfüllen:

_ 17 _

x

Für alle x,x' € A gilt: Für alle z,z'

€

(SW,S,S0,0,NO) T(x‘).

x' » T(x)

(SW‚S,S0,0‚NO)

z % z' » T_1(z)

€ B gilt:

T_

1

(z').

Zusammen mit (x(SW)x' » x 5 x') ergibt sich aus (C) für T und -

T"1 die Eigenschaft (SW).

Wir zeigen nun, daß T die Eigenschaft

Gilt für x,x' (C)

:

T(x)

€ A: x

x',

(NO,N,NW‚W,SW)

Wir haben T(x)

Fall 1.

(0)

(NO,N,NW)

T(x)

(N‚NO)

zu x

(0)

x'

Fall 2.

so ist x' 8 x, und wir erhalten mit

T(x')

auszuschließen.

T(x').

(C)

(NO,N‚NW,W‚SW)

ergibt das

T_1(T(x'))

= x', was im Widerspruch

steht.

T(x)

(NW) T(X‘)

Dann gilt: T(x') € B T_1[BT(X)]

besitzt.

T(x').

Dann ist T(x) & T(x'). Mit x = T_1(T(x))

(0)

T(x)

. Folglich ist x' $ T_1LBT(X)]. Da x in

liegt, erhalten wir mit x' 3 x einen Widerspruch zur

A—Regularität von T_1[BT(X)].

Also besitzt T die Eigenschaft

(O). Entsprechendes gilt für T_1.

Wir zeigen, daß T die Eigenschaft

(S)

besitzt.

Gilt für x,x' E A: mit

(C)

: T(x)

Wir haben T(x)

Fall 1.

T(x)

Dann ist T(x')

erhalten wir x'

x (S) x'. Fall 2.

T(x)

-

_ 18

x (S) x', so ist x 5 x', und wir erhalten

(SW,S,S0,0‚NO) (30,0,N0)

T(x').

T(x')

auszuschließen.

(No) T(x')

(SW) T(x), und aus Eigenschaft (SW) bzgl. T—1

(SW‚S,SO‚O‚NO) x. Dies steht im Widerspruch zu

(0,50)

T(x')

Dann ist T(x) ? T(x'), aber wegen x (S) x' ist T(x) $ T[Axlj.

Dies liefert einen Widerspruch zur B—Regularität von T[Ax

Also besitzt T die Eigenschaft

!

].

(S). Dasselbe gilt für T—1.

Schließlich zeigen wir, daß T die Eigenschaft

(so)

besitzt.

Da T und T"1 die Eigenschaften (SW), (0) und (S) besitzen, gilt notwendigerweise für alle x,x' € A:

x

Wir haben T(x)

(SO)

(SO,NW)

x' » T(x)

T(x')

(SW‚SO‚NW)

auszuschließen.

T(x').

...19-

Fall 1.

T(x)

Wegen x €; AX

'

(SO) T(x')

ist T(x)

kein Element der B—regulären Menge

T[Ax ]. Mit T(x) 3 T(x') erhalten wir einen Widerspruch. '

Fall 2.

T(x)

(NW)

T(x')

Wegen x' $ AX ist T(x‘) (E T[Ax]. Ferner ist T(x') ; T(x). Wider spruch!

Damit ist Satz 1.2 bewiesen.

Im nächsten Lemma beantworten wir die Frage, welche Teilmengen

von N XIN

als Gestalt oder Inhalt'von Pictures auftreten können.

Für k € 11

sei _15 := {1,2,...,k}.

1.3 Lemma.

Es sei A eine nichtleere Teilmenge von N _> ... gelten. Wegen bi & N geht dies aber nicht.

Zu

(2):

Angenommen, es gibt kein derartiges k. Aufgrund von

gibt es dann eine unendliche Folge A mit xi

(NW) Xi

Zu

“»“ folgt direkt aus

T(x1)

(NO) T(x2)

(3):

enälich, mus NA :

+1’

von Elementen aus

für alle 1. Dann gilt aber

(NO) T(x3)

..., was in 16X13 unmöglich ist. (1) und Satz 1.1.

"=" Ist A zeilen-j

so gibt es einen eindeutig bestimmten OrdnungsisomorphisOrdnungsisomorphis— ;. (A‚f$ + (3,39. Mit Hilfe von Satz 1.1(3) sieht man sofort, sofort,

daß NA € PJ(A,A) gilt.

bzgl. A.]

Zu (4):

(x1‚x„...)

(1)

[Wir nennen NA das natürliche PJ—Picture

)

"=" folgt aus (2) und Satz 1.2. “©“ Sei A 5 K = l{1‚..l,k}. ...,k}.

Mit Hilfe von Satz 1.2

(3)

.usieht man, daß das natürliche PJ-Picture PJ—Picture

NK sogar ein PC—Picture ist. Die Einschränkung von NK auf A 5 K

liefert dann ein PC—Picture T:A+T[A].

□ Unter zusätzlichen Voraussetzungen an A und B können die obigen Sätze verschärftwerden.

Dies geschieht im folgenden

_ 21 _

1.4 Satz.

A und B seien P—konvexe Teilmengen von IJXEJ. Für

(4)

H

(3)

H

(2)

ist ein PC—Picture.

ist ein PJ—Picture.

P-]

H)

erfüllt die geographischen Eigenschaften

1—3

eine Bijektion T:A+B sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

und T“1

(S).

(O)‚(S)

erfüllen die geographischen Eigenschaften

und

(SW).

(0) und

(Die Äquivalenz von (2) und (3) geht auf Zelevinsky h5 , S. 157]

W+N

+r

.I=(-—A

Der Beweis verläuft nach folgendem Schema:

+

zurück.)

"(1) = (2)“ und "(1) 9 (4)" sind trivial.

"(2) a (3)? Aufgrund von Satz 1.1 haben wir noch zu zeigen,

daß niemals_

(*)

x

gelten kann. Angenommen,

O.B.d.A. x:

(S)

(*)

x' und T(x)

(SO)

T(x')

gilt.

können wir annehmen, daß x und x' benachbart sind:

(i+1,j), x' = (i,j).

Sei T(x)

=

T(i+1‚j) =:

(a‚b) unö T(X') = T(i‚j) =:

(a'‚b').

_22_

Wir veranschaulichen die vorliegende Situation:

a'

a

Da B P—konvex

zu B.

Ist

ist,

(ii,j')

gehört mit

(a‚b)

:= T-1(a,b'),

und

(a'‚b')

so sind für

auch

(a‚b')

(i'‚j') wegen

(L)“) } (i'‚j') ; (i+1‚j) zwei Fälle möglich:

Fall 1:

Fall 2: Im Fall 1

i' = i und j' < j.

i' = i+1 und j' > j.

stehen in der b'—ten Spalte von T—

1

zwei Einträge

mit Erstinäex i. Das verletzt aber die Eigenschaft

T“1 .

(5,80)

Im Fall 2 betrachten wir wieder T und setzen T(i,j') (Beachte,

(i‚j')

€ A, da A P—konvex.)

=:

bzgl.

(c‚d).

Wir untersuchen jetzt die mögliche Lage von

(i+1‚j')

(S)

(i,j'),

-..-..----....-.-

.....-.-.--u-..

..--.--

.----

-

23 _

folgt aus Eigenschaft

(c‚d)

in B. Da

(S‚SO) bzgl. T:

(c,d) = T(i,j') (NO‚N,NW) T(i+1‚j') = (a‚b'). Also ist c < a.

Weiterhin folgt aus (i,j') (c,ä) = T(i‚j')

(O)

(i,j) und Eigenschaft (0) bzgl. T:

(W.SW) T(iuj) = (a'‚b').

Zusammen mit c < a erhalten wir:

a' < c < a

und

& < b'.

Damit kann der Platz (c,d) in B nur im_schraffierten Bereich liegen:

.-....-.-— _

...-

..

.

-1

.-|--—-..-.--.

.-........‚- “..-„------

-

_ 24

Insbesondere ist

(a,b')

Wir haben also zum Paar

(so)

...-.

--....-

1‘1 ‚}

(c‚d).

(i,j),(i+1,j) mit T(i,j)

(so) T(i+1,j)

ein neues Paar (i‚j')‚(i+1‚j‘) gefunden mit j' > j und T(i‚j')

(SO)

Tki+1‚j').

Durch Iteration;erhalten wir eine un—

endliche Folge von solchen Paaren; A kann also nicht zeilen—

endlich sein. Dies aber steht im Widerspruch zu Lemma 1.3-

Also besitzt T die Eigenschaft

(S).

..25_

"(3) = (1)"

Aufgrund von Satz 1.2 haben wir für T die geographische Eigen— schaft

(so)

nachzuweisen. Diese ergibt sich aber sofort aus der

P—Konvexität von A undden Eigenschaften (S) und (O). “(4) ' (3)" Seien x‚x'

& A, x

Wir haben T(x)

schaft

(N)

(S)

x'.

(SW,S‚SO‚O‚NO)

die Annahme T(x) Aus T(x)

(SW)

(N,NW‚W)

T(x')

T(x') bzw. T(x)

bzw.

(0)

T(x')

bzgl. T— 1

zu zeigen, Wir führen dazu

zum Widerspruch.'

(W) T(x')

folgt aufgrund der Eigen-

sofort:

x = T"(T(x)) (N.NO) T"(T(x‘)) = x'

bzw.

x

(O,NO) x‘.

Beide Aussagen stehen im Widerspruch zu x

Ist T(x)

(NW)

(SW)

x'.

T(x'), so existiert aufgrund der P—Konvexität

von B ein y € B mit T(x)

(W) y und y (N) T(x'). Die Eigen—

schaften (O) und (s) bzgl. T_ 1 liefern:

x (o,mo> T'1 (y) und. 'r' 1 (y) (N,NO) x'. Also ist x (NO) x'.

Widerspruch!

T besitzt demnach die Eigenschaft wiesen.

(SW), und Satz 1.4 ist be—

sind A und B P-konvex,

-

_ 25

so fallen die Begriffe PO-und PJ—Picture'

zusammen; wir sprechen dann auch einfach von Pictures zwischen A und B und schreiben P(A,B)

statt PJ(A‚B)

Die Bijektion T:A+B‚ A und B P—konvex,

in jeder Zeile und Spalte von T und '.l'_1

b1 >

> bp

und

Betrachten wir in T und T_

1

d1

€;

_

'

A

v

folgende Begriffe.

dq

entweder nur die ersten oder

nur die zweiten Komponenten der Einträge,

‘i

Einträge

gilt:

'

°q

i;

⩽

A

'

⩽

a1 < ". < &?

ist aufgrund von

°1

.

oder PC(A‚B).

{

so stoßen wir auf

_27_

Eine Abbildung t:A->IN , A 5 N >*=

Sei x (0) x'.

Das natürliche PJ—Picture N

zu A liefert, mit f verknüpft, nach

A

(1) wieder ein PJ—Picture: NAof € PJ(A',A). Nach Satz 1.1

dann NA(f(x))

(W,SW) NA(f(x')).

Daraus folgt:

f(x)

(O‚SW‚S,SO)

Wir führen f(x)

(SW‚S,SO)

gilt

f(x').

f(x') mit untenstehender Notiz 1.8

zum Widerspruch.

Verschieben wir die Einträge in den Zeilen von NA, ohne daß

es dabei zu Überschiebungen kommt, so ist die resultierende

Bijektion nach Satz 1.1 immer ein PJ—Picture von Inhalt A. Geschickte Defermation von N

A

liefert also folgende

1.8 Notiz. Zu Elementen y,y' aus einer zeilenendlichen Menge A 5 11X11 mit y

(SW‚S,SO)

y' existiert eine zeilenendliche Menge B und

ein PJ-Picture T:A+B mit T(y)

(SO) T(y').

_ 33 _

Setzen wir y := f(x), y'

:= f(x'), und konstruieren wir B und

T & PJ(A‚B) gemäß obiger Notiz, so ist nach Voraussetzung auch Tof ein PJ—Picture: Tof € PJ (A' ‚B) . Für Tof gilt insbesondere: x (0) x'

und.

T(f(x))

(SO) T(f(x')).

Dies steht im Widerspruch zu Satz 1.1. Damit ist gezeigt, daß

x (0) x' = f(x)

(0) f(x')-

Wegen PJ(A‚—) = PJ(A‘,—)of_ 1 und dem bereits Gezeigten gilt auch

für alle y‚y‘ e A': y(o)y' » f_1 (y) (o)f'1 (y'). Setzen wir y = f(x) und y' = f(i'), so folgt

f('£) (o) f(32') »? (o) ?.

Damit besitzt f die Eigenschaft (0)*.

Zu (s,so)*:

Sei x (8,50) x'.

Wie oben bemerkt,

ist NAof E PJ(A',A).

Also gilt nach Satz 1.1: NA(f(x))

(S‚SO,SW) NA(f(x')). Folglich ist f(x)

wir haben f(x)

(S‚SO‚SW) f(x‘).

(SW) f(x') auszuschließen. Wir zeigen dazu allgemein:

_34..

1.9 Notiz. Zu Elementen y,y' aus einer beliebigen zeilenendlichen Menge

A 5 IJXII mit y (SW) y' existiert eine zeilenendliche Menge B und ein PJ—Picture T=A+B mit T(y)

(O) T(y').

Wir demonstrieren die Beweisidee an einem Beisgiel.

1.

!

?; 2

%

2

123456789

3”?!

4

5

A :=

D

II

l:_J

SÜDSL_:|:I 7 8

9 %‘I

%

y"=(4'5) Y‘=(6'3)

*)

Zur Konstruktion von T zerlegen wir A in fünf disjunkte Bereichez*) A = A1

U ...

@ A5. Dabei ist

A = A1(y') := {xéA | .'aié}

A3 := {y,y‘}

U

{x e A | x (0) y' oder x (W) y}_

{(6‚3)‚(4‚6)}

U

{(4‚8)‚(4‚9)‚(6‚1)}.

A4 := {x e A i x (w,sw) y' und ); (NW‚N‚NO) y} = {(4‚2).(4‚3)(4‚4)‚(5‚5)}

A, := {X E A l x (3,80) y' und x (NO) y}

-II

U{x€A|x (o)y)

*)

{(5‚5)‚(5‚8)}

U

{(6‚4).(6‚6)‚(6(9)}.

U bedeutet hier und ih folgenden immer die _disjunkte Vereinigung von Mengen

-

35 _

Wir veranschaulichen diese Zerlegung durch verschiedene

Schraffierungen (A1: E ; A2: 0 ; A3: * ; A4: % ; A5: 5 )

2__

;

56789

[:]

@

[55

1

2Els

f.|:[. T „1

«

33f'15 511 E 5

s 5

B

u

9%EE

123

m

123

i

m

1

@ B5 an:

&

U ...

und geben B = B1

5'

5

„

;

[]

é '

.cvlclo

8

10

n n

56789l011121314

n 5

5

5

5

.*

\

”il

Bei dem zu konstruierenden PJ—Picture T:A+B werden die gleich—

schraffierten Bereiche bijektiv aufeinander abgebildet:

T[Ai] = B.1.

Dabei stimmt die Einschränkung von T auf A1 bzw.

A 2 i.w. mit N bzw. N überein. Wir denken uns A1 A2

(A4,%) und

siert.

(A5,g) mit Hilfe der lexikographischen Ordnung lineari—

Dann ist T‘A

4

bzw. TIA

+

5

der eindeutig bestimmte Ordnungs—

isomorphismus (A4,f}*(34‚$) bzw.

(A5,fra(35,fj.

Damit ist T bereits eindeutig bestimmt, denn PJ(A3‚B3)

man leicht zeigen kann, einelementig.

ist, wie

1

2

’

3.1

3

; 4 T =

4

s

1.9

|

Konkret erhalten wir:

3

6

1,14 [5.146,12

;

,

£

2

i

3

‘f

x

7,11 9,5

» @ [EE—] ‚ m — . 1.9

5

5

a

7

[El

9

h4

m

u

x:

!

15

15

a,;

u

i

«. *1

m

s.s

3

4,3

5 ‚

4,4

}

@

. L".J __ .

.."...4

m

_

n

5,9

6.6

b

.\“ .... „.

0

|

-—\

»—3

u

5,8

"

i

13

i

‚

10

:

!

4

4,3

9

13

\;

3.3

7

i

10,4

5

"

= 3i

14,7

[2.6 2,4

6

j

8,7 8,6]

4

°

;

3

3

9 1,1

3,5

7

.

e

@

[2:6 2:4

5

7

3

;

5,6

3 i

6,4

9,3

;_

' 11,5 [8,2

7.7

.

.

-

Q

v !

:!

_

;

‚

-

37 _

Die PJ-Standardität einer derartig konstruierten Bijektion T ist leicht einzusehen. Die PJ—Standardität von T_1 ergibt sich

mit einer ähnlichen Begründung wie zur Notiz 1.8 und der Unter— suchung möglicher P—Relationen auf B3 U B4 u 35.

Die Konstruktion gewährleistet auch, daß

y (SW) y'

und

T(y)

(O) T(y')

ist.

Damit haben wir den Beweis zu Notiz 1.9 skizziert.

Nun sei x

(3,30) x' und f(x)

s und T & PJ(A,B) mit T(f(x))

Nach

(1)

(SW)

f(x'). Nach Notiz 1.9 existieren

(O) T(f(x')).

ist Tof ein PJ—Picture, und es gilt:

x (8,30) x' und (Tof)(x)

(o)

(Tof)(X').

Das steht in Widerspruch zu Satz 1.1. Wir haben damit von

(8,30). die nichtung "»" gezeigt.

Der Beweis der umgekehrten Richtung verläuft analog zu

((0)*‚"°2-"). Zu (SW) :

Aufgrund von (0)* und (s,so)* gilt: x (SW) x‘ » f(x)

(SW‚NO) f(x').

..38—

Wir haben f(x)

(NO)

f(x')

auszuschließen.

Angenommen, x (SW)_x' und f(x) Setzen wir y := f(x‘) und y' (so)

:= f(x), so existieren aufgrund sowie ein T € PJ(A,B) mit

von Notiz 1.8 eine Menge B, T(y)

(NO) f(x').

T(y'). Da Tof nach

(1)

ein PJ-Picture ist, erhalten

wir daraus:

x (SW) x' und ('i‘of)(x) (NW) (Tof)(x'). Das widerspricht Satz 1.1. Damit ist gezeigt, daß

x

Der Beweis von

von ((o)*f'«") .

((SW

(SW) x' » f(x) )*

,"=")

(SW)

£(x').

verläuft wieder analog zum Beweis

Damit

ist der Satz bewiesen.

Setzen wir im letzten Satz zusätzlich voraus, daß A und A' sind,

so können wir die Bedingungen unter

(2)

fassen. Wir führen dazu folgenden Begriff ein.

P—konvex P-konvex

im obigen Satz enger enger

-

_ 39

Eine Bijektion £:A'+A heißt ein Geographismus, wenn f genau alle Himmelsrichtungen respektiert, d.h.

für alle Himmelsrichtungen

R und für alle x,x' E A' gilt die Eigenschaft

(R)* :

x (R) x' «» f(x) (R) f(x').

Offenbar ist eine Bijektion f:A'+A genau dann ein Geographismus, wenn f die Bedingungen

(R)* erfüllt, für alle R E {O‚S‚SO‚SW}.

1.10 Korallar. Seien A‚A‘

P—konvexe,

zeilenendliche Teilmengen von li“li.

f:A'*A sei eine Bijektion. Dann sind äquivalent: (1)

PJ(A‚-)of = PJ(A'‚—)

(insbesondere ist A 53 A').

(2)

f ist ein Geographismus.

Beweis.

Der Beweis "(2) = (1)“ folgt aus dem letzten Satz.

“(1) = (Z)"

Nach Satz 1.7 bleibt zu zeigen, das f den Bedingungen (SO)* und (S)* genügt. Da f schon die Eigenschaft (s‚so)* besitzt, genügt

der Nachweis, das E die Eigenschaft (S)* erfüllt. Zu (S)*:

Angenommen, x (S) x' und f(x)

(SO) f(x'). Aufgrund der

P-Konvexität von A gibt es ein y & A' mit f(y) f(x)

(8) f(x‘) und

(0) f(y). Daraus folgt x (0) y; das führt zu:

y (SW) x' und f(y)

(S) f(x'), was im Widerspruch zur Eigenschaft

(SW)* in Satz 1.7 steht.

Damit ist das Korollar bewiesen.

u

_ 40 _

Da die J—Relation eine Totalordnung ist, kann es aufgrund von Satz 1.7 zwischen zwei zeilenendlichen Teilmengen A‚Ai von N´N NXN

höchstens eine Bijektion f:A‘+A geben, die die in Satz 1.7 angegeangege— benen Eigenschaften besitzt. Im Fall A

PJ

A' ist f der eindeutig eindeutig

bestimmte Isomorphismus zwischen den Totalordnungen

(A,?).

(A',?)

und

Insbesondere existiert zwischen A und A' höchstens ein

Geographismus. Wir beschreiben jetzt die PC—Äquivalenz genauer.

1.11 Satz.

Für A‚A'

E 3° sind folgende Aussagen gleichwertig:

(1)

N A| A PC

(3)

Ordnungs— Es gibt eine Bijektion f:A'+A‚ die zugleich einen Ordnungs-

(2)

Es gibt einen Geographismus f:A'+A:

isomorphismus zwischen (A',%Q und (A,ä) als auch einen

Ordnungsisomorphismus zwischen (A',ä9 und (A,?) darstellt. Beweis.

"(1) » (2)"

Nach Veraussetzung existiert eine Bijektion f:A'+A,

so daß

_

PC(A,—)of = PC(A',—) gilt. Sei A ; lixä =: K. Die Einschränkung?

des natürlichen PC—Pictures NK auf A liefert ein PC-Pictu_e T:A+T[A].

ist

’

Dieses T hat folgende Eigenschaften. Für alle x‚y & A—

x (0) y

=»

T(X) (W) T(Y)

x (30) y

«:

T(x)

X (5) Y

=*

T(X)

(S) T(Y)

(SW) T(y)-

_41_

Nach Voraussetzung ist Tof ein PC—Picture öer Gestalt A'. Nun seien x',y' E A'.

(30) y', so gilt nach Satz 1.2 (Tof)(x')

Ist x'

Folglich ist f(x')

erhalten wir: f(x')

die Eigenschaft

(so) f(y‘) » x'

(SO)*.

f(x')

(S,SO)

f(x')

(S) f(y') — x‘

ten wir f(x‘)

f(Y').

(so) y', d.h. f besitzt

(S‚SW)

(Tof)(y‘). Also ist

Da f die Eigenschaft

(SO)* besitzt, erhal—

(S) f(y'). Ähnlich zeigt man:

(S)*. Im Fall x'

ist f(x')

(Tof)(y').

(so) f(y'). Zusammen mit PC(A'‚—)of_ 1=PC(A.—)

(S) y' folgt (Tof)(x')

Aus x'

(SW)

(S) y', d.h. f genügt auch der Eigenschaft

(0) y' ist (Tof)(x')

(W,SW)

(Tof)(y'). Demnach

(0,50) f(y'). Da f die Eigenschaft (so)* besitzt, er-

halten wir jetzt für f die Eigenschaft (O)*. Schließlich sei x'

(SW)

die Eigenschaften

(SO)*,

weise f(x')

Satz 1.2 f(x')

(S)* und

(0)* erfüllt, muß notwendiger—

(SW‚NÖ) f(y') gelten. Nun folgt aus x'

(Tof)(x')

(sw‚s‚so,o‚um

(SO‚S,SW,W,NW)

daß f die Eigenschaft

(SW)

(SW) y‘ nach

(Tof)(y'). Also ist

f(y'). Da gleichzeitig f(x')

ist, erhalten wir f(x‘)

wiesen.

y'. Da wir schon gesehen haben, daß f

(SW,NO)

f(y')

f(y'), fioraus man leicht schließt,

(SW)* besitzt. Damit ist "(1) »

Die Beweise von “(Z) — (B)“ und "(B) »

(2)" be-

(1)" sind leicht.

Zur Zur vollständigen Charakterisierung von Geographismen führen

wir folgende Sprechweisen ein, die sich im weiteren Verlauf der Arbeit als sehr hilfreich erweisen werden.

-

_ 42

Wir erläutern zunächst den Begriff der Leerzeile bzw. an einem

Leerspalte Leerspalte

Beisniel. Ist

so bezeichnen wir die erste und vierte Zeile von lixli

als die

Leerzeilen von A und die erste, vierte und siebte Spalte von IWXIJ

als die Leersgalten von A:

/ Wf’é /7///7Ä

Aus A kann man durch Einschieben und/oder Weglassen von Leer— zeilen und/oder Leerspalten neue Teilmengen A' bilden wie etwa:.

Befreien wir A von allen Leerzeilen und Leerspalten, so entsteht entsteht

eine Menge Kpr(A), die wir die Komgression von A nennen wollen.l

_ 43 _

Im obigen Beispiel erhalten wir:ä

Kpr(A)

=

1.12 Lemma.

Für zeilenendliche Teilmengen A und A' von IIXIJ

sind folgende

Aussagen äquivalent:

(1)

Es existiert ein Geographismus zwischen A' und A.

(2)

A entsteht aus A' durch Einschieben und/oder Weglassen

(3)

von Leerzeilen und/oder Leerspalten.

Kpr(A) = Kpr(A‘).

Den einfachen Beweis dieses Lemmas übergehen wir.

Zusammen mit Satz 1.11

g° := {A €

bzgl. PC—Äquivalenz.

° / A = Kpr(A)} ist eine Transversale

IIPU

1.13 Folgerung.

erhalten wir die

Aufgrund von Lemma 1.12 enthält die Menge aller komprimierten zeilenendlichen Teilmengen von lixlü 53.

eine Transversale bzgl.

In einer PJ—Äquivalenzklasse können jedoch verschiedene kompri—

mierte Mengen liegen, wie schon am Beispiel

_44_

=

,

A,._‚A'

PJ

:

deutlich wird. Dies liegt daran, daß die im Satz 1.7 vorkommende Bijektion f:A'+A kein Geographismus sein muß.

Die Angabe einer PJ—Transversale, die aus "möglichst weit ver—

dichteten" Mengen besteht, bereiten wir vor durch ein Beisgiel. Wir betrachten

__] A=

P

Ü

undA'=

‚

L„

P_E]

Die PJ—Äquivalenz von A und A' ist letztlich darauf zurückzuführen, daß die zu

(i,j)

Ni]. := {(k‚j) & i\1

:

(3,3) € A gehörige Menge

[ki}

_45_

Auch A'

läßt sich weiter verdichten,

da A' n N44 =(ö: da

A'' kann nicht weiter verdichtet werden und gehört somit zur A" Menge

1 := {X 5 lixli

| X zeilendlich, X = Kpr(X),

für alle (i,j) EX mit j>2 gilt: Nij n X # (D}.

1.14 Satz. ; ist eine Transversale bzgl. 53 .

Beweis. Wir zeigen zunächst, daß verschiedene Elemente X‚Y & 2 nicht PJ-äquivalent sein können.

Angenommen, X‚Y 5 3, X * Y und x 53 Y.

Sei j die kleinste Zahl

mit

Xn[(p‚j)lpell}#Yn{(p.j)

und und

iPEIN}

i die kleinste Zahl mit

(i,j) € (X UY) \

(X n Y).

_45..

O.B.d.A. sei (i,j) & x \ Y. Ferner sei f:X+Y die Bijektion aus Satz 1.7. Dann ist nach {O)*;

und der Konstruktion von (i‚j)=

f(i‚j) =:

(i,k)

(O)

(i‚j).

Wir veranschaulichen fliese Situation:

?

\\»

!

3

i

?

fx = ;

>-

\ . \”

1

.f

; 1

\\x

Qä„3 \ää

-y =

\.Wr=

&

\

(a‚k)

a

323

{(

Nik n Y = $. & Y, a < 1.

Dann muß (i‚j) = f—1(i,k)

(5,30) f_1(a,k) gelten. Das wider-

spricht der Konstruktion von

Die Annahme

1

g.g‚_ Eä

ä

Wir zeigen nun: Angenommen,

5

x

(a‚k-1)

(i,j).

€ Y, a = i bzw. a > 1 führt man auf ähnliche ähnliche

Weise zum Widerspruch.

Also liegt Y nicht in g.

_4'7—

Wir konstruieren jetzt zu jeder zeilenendlichen Teilmenge X von N xIN

ein zu X PJ—äquivalentes Element x* aus ;,

indem wir die

Spalten von X rekursiv nach folgender Vorschrift verdichten.

Sei x*(1> := Kpr(X).

Wir beschreiben die Konstruktion von X*(j)

Ist

(i,j)

aus X

(j—1), j > 2.

das nördlichste Element in der j—ten Spalte von

X'(j-1), so setzen wir:

x*(j) == x*(j—1)

x*(j) := {(a‚b) e x*(j—1) [ b < j}

, falls Ni].nx*(j—1) * @.

u {(a‚b-1) [ (a‚b) & x*(j-1)‚b > j}, sonst.

Da x‘(j) mit X*(j+k) stimmt,

mindestens in den ersten j—1

ist die Definition X* := lim X*(j) j->co

Die Konstruktion stellt folgendes sicher:

sinnvoll.

(a)

x,x*(j) und x*sind PJ—äquivalent (j > 1).

(c)

x* e 3.

(b)

Kpr (X*(j)) = x*(j), für alle j > 1.

Damit ist der Satz bewiesen.

Spalten überein—

..4g-

turen, die Abschätzungen über PJ(A‚B)

«- A, C e 3 Fur

o

(bzw. A‚C & g )

.

bzw. PC(A‚B)

.

'

schreiben Wir A 55 C

genau dann, wenn es eine Bijektion f:C+A gibt,

B e ; (bzw. B 6 5°) gilt:

Ordnungsstrukerlauben.

_

V

(bzw. A 55 c%

so daß für alle:

(bzw. PC(A‚B)C£ 5 PC(C‚B)).

PJ(A,B)OI° 5 PJ(C‚B)

Unser nächstes Ziel ist der Beweis zu folgendem 1.15 Satz.

(2,5%)

und

o

(; ,5ä)

.

Sind Halbordnungen.

Beweis.

transitiv. Offenbar sind beide Relationen sowohl reflexiv als auch transitiv.

Die Antisymmetxie von 55 beweisen wir mi€ folgendem

1.16 Lemma.

Für eine Bijektion f:C+A zwischen zwei zeilenendlichen zeilenendlichen

Teilmengen A,C von lixli

sind äquivalent:

(1)

PJ(A‚-)of 5 PJ(C,—)

(2)

f besitzt für alle x‚x' E C die Eigenschaften:

(insbesondere ist A 55 C,

(o)“

=_

(sw;**

: -x (sm x'

(s,so;**=

>; (0) x*

x (3,50) x’

falls A‚C E g).

%

f(x) (0) f(X‘)

..

f(x) (s,so,sw‚m f(x')

„

(x) (5,80) f(x')

_ 49 _

Beweis.

'(1) — (Z)"

Die Eigenschaften

(S‚SO)*

(0)** bzw.

*

ergeben sich aus dem

Beweis der entsprechenden Eigenschaften in Satz 1.7.

Zu (SW)**:

Sei x (SW) x'.

Da NA°f nach Voraussetzung ein PJ—Picturé ist,

NA(f(x))

(SW‚S‚SO‚O,NO) NA(f(x')).

Demnach ist f(x) f(x)

1.1:

(SW‚S,SO,W,NW‚N,NO) f(x'). Wir haben

(NW,N‚NO) f(x') auszuschließen.

Angenommen, x und y'

:= f(x)

(SW) x'

und f(x)

(SW)

x‘ und

(NW,N,NO)

f(x'). Mit y := f(x')

existieren nach Notiz 1.8 eine Menge B sowie ein

PJ-Picture T:A+B mit T(y) x

folgt mit Satz

(Tof)(x)

(so)

(NW)

Da Tof ein PJ—Picture ist,

T(y'). Also ist

(Tof)(x').

erhalten wir einen Widerspruch zu

Satz 1.1.

Der Beweis von “(Z) =

(1)“ ergibt sich sofort aus Satz 1.1.

Damit ist das Lemma bewiesen.

Beachte, daß im Fall A 5% C genau eine Bijektion f:C+A existiert, die die Eigenschaften aus Lemma 1.16 besitzt:

f ist der eindeutig

bestimmte Isomorphismus zwischen den Totalordnungen

(C,?)

und (A,?).

_50_

beweisen. Nun sind wir in der Lage, die Antisymmetrie von 55 zu beweisen. Für A,C & ; sei A 5% C und C 55 A. Wir haben zu zeigen, das sich sich

daraus A = C ergibt.

Aufgrund der Voraussetzung existieren Bijektionen f:C+A und g:A+C mit PJ(A,—)of 5 PJ(C,—)

-).

und PJ(C,—)og 5

Durch Einsetzen erhalten wir: PJ(A‚—)ofog 5 PJ(A‚—).

I 2

Insbesondere ist NAofog € PJ(A,A). Wir zeigen: NAofog

Mit f und 9 erfüllt auch fog die Eigenschaften

** (0) ** , (3,50)** und (W)“. Die Bijektion fog bildet wegen (o)"

ganze Zeilen von A in Zeilen von A ab. Die beiden anderen EigenEigeni schaften sowie die Gleichheit von Gestalt und Inhalt gewährleigewährlei— sten zusammen mit der Zeilenendlichkeit von A, daß fog die die i-te i—te

Zeile von A aus die i—te Zeile von A abbildet.

Insbesondere ist fog = idA' Da f bijektiv ist, ist g = f_ . Also besitzt £_1 die Eigenschaften

(O)**,

(8,80)

**

und

(SW)**f ;

Folglich besitzt f die Eigenschaften (O)* und (S,SO)*. Zusammen Zusammen

mit

(SW)** erhalten wir daraus auch die Gültigkeit von

Transversalen @ liegen,

(SW)* für für

folgt A = C.

Damit haben wir gezeigt, daß

(3,5%)

eine Halbordnung ist.

Den Beweis der Antisymmetrie von 5% beginnen wir mit folgendem folgendem

1.17 Lemma.

Für eine Bijektion f:C+A zwischen zwei Elementen

A,C A,C

& g° sind äquivalent:

(1)

PC(A‚-)of 5 PC(C‚—)

(2)

f besitzt für alle x,x‘ e c die Eigenschaften: '

(insbesondere ist A 5% C, falls A,C E 3°).

(0)*** :

x (0) x'

=.

x (30) x'

=

(S)*** =

x (S) x'

(SW)***:

x (SW) x'

(so)***:

Beweis.

f(x) (0,30) f(x')

»

f(x) (3,50) f(x')

=

f(x) (s‚so‚sw,vz,rm) f(x').

f(x) (so) f(x')

Nach Voraussetzung existiert ein k 6 11 mit A 5 IQXE =: K.

Sei NK das natürliche PC—Picture bzgl. K und T die Einschränkung

von NK auf A. Dann ist T & PC(A,T[A]) und für alle y‚y' € A gilt:

„)

y (0) y'

Y (S) y'

==

(so) T(y')

'(1) — (Z)" ergibt sich leicht aus Satz 1.2‚(*) und der Eigenschaft

daß Tof ein PC—Picture ist.

'(2) * (1)" folgt sofort aus Satz 1.2.

Nun seien A‚C E 2° mit A 5% C und C 5% A. Wir haben A = C zu zeigen.

Aufgrund der Voraussetzungen existieren Bijektionen f:C+A und g:A+C

die die in Lemma 1.17 angegebenen ***—Eigenschaften erfüllen, und

-

52 _

für die gilt: PC(A‚—)of 5 PC(C‚—) und PC(C‚—)og 5 PC(A,—). Das. liefert:

PC(A‚—)ofog 5 PC(A‚-) .

1.18 Lemma. Beweis.

fog = idA .

Für x E A sei AP(X)

:= {y € A / x % y} der zü X E A

gehörige P—Hauptfilter.

Ist x1‚...,xr die lexikographisch kleinste maximale P—Antikette in A,

(SW)xr so können wir o.B.d.A. voraussetzen, daß x1(sw)x2(sw)...(3W)xr

gilt. Dann ist

(a)

A =

U

Ap(xi)

Jede weitere Darstellung von A als Vereinigung von P-Hauptfiltern P—Hauptfiltern zu R verschiedenen Elementen y1,...‚yR € A:

AP(yj) hat folgende Eigenschaften: (b)

(C)

R > r

und

aus R = r folgt {Y1""'Yr} = {x1‚...‚xr}.

Nun erfüllt mit £ und g auch die Bijektion fog =: h die ***—Eigen— -Eigen-

schaften aus Lemma 1.17.

'

Insbesondere ist h ein

mus (A, 1, folgt mit (sw>*** :

h(x1) (sw,s‚so,w,nw> h(xi), für alle i > 1. Daraus ergibt sich sofort h(x1) = x1; jetzt erhält man leicht h(xi)

= xi,

für alle i E 5. Also ist h auf {x1,...,xr} die

Identität.

Nun bilde man A‘

:= A\{x1‚...,xr}

und die Einschränkung h‘ von A

auf A'.Jetztpétrachte manwieder die lexikographisch kleinste,

maximale P—Antikette in A‘... Per Induktion erhalten wir h = id . Damit ist Lemma 1.18 bewiesen.

Da f bijektiv ist, erhalten wir f_1 und f"1

= 9.

Insbesondere erfüllen f

gleichzeitig die ***—Eigenschaften.

Das geht aber nur,

wie man leicht zeigen kann, wenn E ein Geographismus ist.

lich ist A = C und Satz 1.15 ist bewiesen.

Folg-

Aus A 53 B

(bzw. A 5% 3)

„‚ -‚ _vy'_;x£

_.54-

folgt notwendigerweise die Gleichmäch-5

tigkeit von A und B: [A| = IB]. Es ist also naheliegend, @ bzw.

g° wie folgt disjunkt zu zerlegen:

13_ =!_.w wu ar...n ) bzw. zc° =1° .. _m u(u 2°) _n n

11

wobei

3„ :=—{A «; g | |Al=w} ; g° := {A E 3° | 1Al=m}

;

:= {A e g [ |A|=n} ;

;; := (A & 2° | }Al=n} .

Im folgenden Satz beschreiben wir die maximalen und minimalen Elemente in den betrachteten Halbordnungen. Zuneli

I

sei

:= {(i‚n+1-i) / i E 2} = ;

-

Offenbar liegt IP sowohl in an als auch in 22.

Anders ist es mit den Diagonalen

An == {(i.i) / i 53}. " Zwar liegen alle Diagonalen in T°‚ aber nur A1

liegt auch in g.

_55_

1.19 Satz.

(1)

{In / n e IN} ist die Menge aller maximalen Elemente sowohl in

(2)

(3,55)

.

als auch in

o

(; ,;é).

A E g ist genau dann minimal in

(2,53), wenn

(A,?)

linear

ist.

{An / n e IN} ist die Menge aller minimalen Elemente in (2°,é) .

(3)

Beweis.

Zu (1):

Sei A E gn(bzw. A E gä)und f:In—>A der eindeutig bestimmte

Isomorphismus zwischen den Totalordnungen

(In’f)

und

(A,?). Dann

besitzt f die **—Eigenschaften aus Lemma 1.16(bzw. die ***-Eigen—

schaften aus Lemma 1.17). Folglich ist A 9% In bzw. A & In.

Damit ist bereits gezeigt, daß In das größte Element in und in

o (gn'Pä)

. ist.

Wir fahren im Beweis von

1.20 Lemma. Beweis.

(1)

fort,

(gn,ä)

indem wir zeigen:

(gg),é) besitzt keine maximalen Elemente.

Sei A e g». Wir konstruieren ein C & gm, das echt oberhalb -

von A liegt. Zunächst; zeigen wir; daß A zwei Elemente x,y enthält

mit

x

(S)

y.

Angenommen, es gibt solche Elemente nicht.pann liegt in jeder Spalte von N xN äus A.

höchstens, und wegen A = Kpr(A)

& T

sogar genau ein Element

. Mit xj bezeichnen wir das Element aus A, das in der j-ten

Spalte JN x{j} von IN> i', d.hi

Wir zerlegen A disjunkt in Teilmengen A1 und A2. A1 bzw. A2 be— besteht gerade aus allen Elementen von A, die links bzw. rechts“

der gestrichelten Linie liegen:

1

. 3

| I l

i' A

\ 1

@

=

*

2l !

:

*

1

|

i

%

l

l l

l

| I l

.

| !

A1

:

| l |

.

A2-

Die Zuordnung g:(ä‚b)€A2. »(a,b+1) bildet A2 bijektiv auf eine eine MQn— Men-

. ge 32 ab:

die auf A

‘ -9:A2->82. Es sei C' bzw. B

a.:= A, U B2 und f:c'+A die Bijektion, Bijektion, _1 >

eingeschränkt mit id

übereinstimmt. übereinstimmt.

bzw. 9

' 1 2 A1 in. Dieses f besitzt die **-Eigenschaften aus Lemma 1.16. Also gilt: gilt:

P(A‚-)of 5 P(C'.-). Nun ist (i,j)

(SW)

(i',j+1) und f(i,j) = (i,j)

(*) (S)

(i',j) £

rt"

f(i'‚j+1). Also genügt € nicht den *—Eigehséhafiten in Sa 1.7, d.h. A und C' können nicht PJ—äquivalent sein‘

so gilt mit (*):A 53 C.

Ist C'

Damit sind Lemma 1.20 und ein weiterer Teil von Aussage letzten Satzes 1.19 bewiesen.

(1)

, des?

□

1.21 Lemma.

Beweis.

(22,5%)

-

_ 57

besitzt keine maximalen Elemente.

Sei A € 22. Da A eine unendliche Teilmenge von einem ge—

eigneten IIX{1‚...‚k} ist, gibt es in A Elemente mit

(i‚j)

(S)

(i,j)

und

(i',j)

(i',j). Konstruieren wir C' und f:C'+Ä genau wie im

Beweis von Lemma 1.20,

so sehen wir sofort, daß diese Bijektion

f die ***-Eigenschaften in Lemma 1.17 erfüllt. Folglich ist

⩽ C5 denn C' liegt in T2 . A 55 PC f(i‚j) = (1.3)

(S)

Wegen (i,j)

(i'‚j+1) und

(i',j) = f(i',j+1) ist f kein Geographismus.

Mit Satz 1.11 erhalten wir A 55 CC Damit sind Lemma 1.21 und Aussage

Bevor wir Aussage

(SW)

(2)

(1) von Satz 1.19 bewiesen.

von Satz 1.19 beweisen, wollen wir die

P-linearen Elemente A aus ; anschaulicher beschreiben.

A 5 lixlü

(a)

ist genau dann ein P—lineares Element aus ;, wenn gilt

A ist zeilenendlich

(b)

A ist eine P—Ketteé

(c)

x1 =

A = {x1,x2‚...}5

(1,1), und für alle xk =

(ak,bk), k >‘2,—giltz

entweder ist xk direkter südlicher Nachbar von xk_1:

xk = (ak'bk) = (ak—1+1’bk-1) oder xk ist direkter östlicher Nachbar von xk_1:

xk = (ak'bk) = (ak—1'bk—1+1)'

-

_ 58

P—lineare Elemente aus ; wollen wir im folgenden auch als Anti—Schiefhaken bezeichnen.

Beisgiele für Anti—Schiefhaken.

'

'

/%

/VAf/

I

&

/%

0%?

'//'f

?

Mit dieser Sprechweise haben wir in (2) behauptet: Die_Anti—Schiefhaken sind gerade die minimalen Elemente in

(3,53).

Beweis.,

der in5 in Zu jedem C E 3 gibt es genau einen Anti-Schiefhaken AC, der

&

|...

H

“! fl) |.u

B

jeder Zeile genau so viele Elemente wie C hat.

C =

/ 15 2ä

9%

/9

VA

’

ist

/;;/ /

AC =

Wir behaupten, daß für beliebiges C E 3 gilt:

A

€

C.

Dazu betrachten wir wieder den eindeutig bestimmten Isomorphismus Isomorphismus

.

f:C+AC zwischen den Totalordnungen

(C,?) und

I.

(Ac,ä9. Diese BijekBijek—

tion f besitzt trivialerweise die Eigenschaften

(0)** und

** (SW)**

_

_ 59 _

aus aus Lemma 1.16. Die Gültigkeit von (5,30) ** erhält man leicht aus aus

der Tatsache, daß AC keine Elemente y,y' besitzt mit

y (SW) y'. Nach Lemma 1.16 ist dann AC P

c.

Demnach ist die Menge aller minimalen Elemente bzgl.

(2,5%)

enthalten in der Menge aller Anti—Schiefhaken.

Es bleibt zu zeigen, daß zwei verschiedene Anti-Schiefhaken

⩽ 55-unvergleichbar sind. Angenommen,

PJ

für zwei Anti—Schiefhaken

A und C gilt: A 55 C. Nach Lemma 1.16 existiert eine Bijektion f:C+A mit den Eigenschaften

(O)**,

(S‚SO)** und

(SW)**.

Aufgrund dieser Eigenschaften bildet f die erste Zeile von C

in die erste Zeile von A ab. Weitere Elemente kann f nicht in die erste Zeile von A abbilden, da sonst Elemente x,x' € C existieren würden mit

x (5,50) x'

und

f(x)

(0) f(x').

Also stimmt die erste Zeile von C mit der ersten Zeile von A über-

ein. Per Induktion erhalten wir A = C. Damit ist die Aussage

(2)

von Satz 1.19 bewiesen.

Wir kommen nun zum Beweis von

(3).

Sei A g ;; und f:A+An der eindeutig bestimmte Isomorphismus zwi— schen den Totalordnungen

(A,f9

und

(An‚ä). Man zeigt leicht, daß

5 die ***-Eigenschaftenaus Lemma 1.17 erfüllt.

Folglich ist An 5% A.

-60—

(3)

Um den Beweis von zu zeigen

1.22 Lemma. Beweis."

noch zum Abschluß zu bringen, haben wir noch

(22,5%) besitzt keine minimalen Elemente.

Zu A € 22 konstruieren wir ein C E 32 mit C 5% A.

Wegen A 5 ]YXE‚ für hinreichend großes k € 11, und [A| = w gibt gibt es Elemente (i,j),(i'‚j) € A mit (i,j)-(S)

(i'‚j).

>

Wie im Beweis von Lemma 1.20 zerlegen wir A wieder disjunkt in in I‘ll.

Teilmengen A1 und A2. A1 bzw. A2 besteht gerade aus allen ElemenElemen—

' - %II ten von A; die links bzw. rechts der gestrichelten Linie liegen: liegen:

.3‘

...,

p.

?é„__ 4%—

r

Die Zuordnung gz(a,b)€A2

auf ein€ eine +(a‚b+1) bildet A2 bijektiv auf

Menge 32 ab; Es sei C := A] u 32 und f:A+C die Bijektion, die die auf auf A? bzw. A2 eingeschränkt mit idA

.

1

bzw. 9 übereinstimmt. Dieses Dieses

.

';

aber kein, kein £ besitzt die ***—Eigenschaften aus Lemma 1.17, ist aber

Geographismus. Da weiterhin C in giliegt, erhalten wir insgesamt: insgesamt:

C 5% A.

‘

Damit sind Aussage

3..

(3)

bewiesen. und somit Satz 1.19 vollständig bewiesen.

[] □

-

Aufgrund dieses Satzes ist

51 _

(23,5%)

eine Halbordnung mit O— und

1—Element.

Beispiel. (gg, @)

(33,5%)

'

AP

ist wedet ein Verband, noch besitzt diese Halbordnung'

eine Rangfunktion. Entsprechendes gilt für alle (22,5%), n > 3. Dieses Beispiel deutet auch auf einige "geographische" Dualismen und Automorphismen-von schreiben wollen.

(T2‚5%)

hin,

die wir jetzt näher be-

_ 52 _

Die Diedergruppe D8 = = = {1‚a‚02‚03‚r‚01,021‚031}

“folgende naheliegende Weise:

operiert auf jeder Menge 23 auf

seiv Zu A E 23 sei aA E mi die Drehung von A um 90°, und rA E 23 sei

die zu A transponierte Menge.

TA

oA

l

A =

....

Beisgiel.

Ist 6 & D8 und A E 23, so bezeichnen wir mit BA die Bijektion ;

beschreibt. SA:A+6A, die punktweise die euklidische Bewegung A+GA beschreibt.

Im obigen Beispiel ist

31

£L ”A

=

22

44

3323

und

TA =

32

41

2333

—63-

Man zeigt Man zeigt

n ⩾ > 3 ist.

leicht, daß D8 genau dann treu auf in operiert, wenn

1.23 Lemma.

Die Kleinsche Vierergruppe V4 = {1,02‚1,521} operiert als Gruppe von Automorphismen auf

(33,5%), d.h.

für A‚C &

l-5

(1)

Sei n > 3.

und 6 E V4 gilt:

.A 5% C

(2)

«=

6A 5% GC.

Die Elemente aus D8\V4 = {o,ar,a3‚o3r} wirken als Anti-

. o ‚ .. o Automorph15men auf (gn‚5%), d.h. fur A‚C & 2n und 6 E D8\V4

gilt:

A 5% C

Beweis.

(1).

TA 53 TC.

SA EE 6C.

Da D8 von r und c erzeugt wird, genügt es, Aussage (1)

für 6 = 1 und Aussage

Zu

«#

(2)

für 6 = a zu zeigen.

Sei 6 = r und seien A‚C e 23 mit A 5% C. Wir behaupten:

Aufgrund der Voraussetzungen existiert eine Bijektion f:C+A‚

die ***-Eigenschaften aus Lemma 1.17 besitzt.

A

Sei 1f:=1 ofo(T

Wir zeigen:

c)

1; Dann ist tf:TC+TA bijektiv.

rf besitzt die ***—Eigenschaften.

die

_64_

'

Richtungsände— Wegen 12 = 1 bewirken 1:A und (1:A)_1 die gleichen Richtungsänderungen , nämlich :

k//,N

Ijljj

NO

SW

8

SO

Damit erhalten wir :

—1

TC

25

TA

...-‚.

O

—-—P 0,30

—-—--——P

5530

-—P

SO

—> SO

"__—"

50

-—9-

NO

—bN‚NW,NO‚O,SD

—*

W„NW,SW‚S‚SO

Also erfüllt r£:rC—>TA die ***—Eigenschaften, d.h.

Zu (2).

.

rA & TC.

Sei 5 = a und seien A‚C e 32 mit A 5% c.

Wir behaupten:

GC & aA.

Sei wieder f:C->A wie in (T}; ferner sei of:=ccof—1o(cA)_1. Dann Dann i st af:oA-mC bijektiv.

Wir zeigen:

cf besitzt die ***—Eigenschaften.

Au 5 den *-H.—E'igenschaften

für 5—1:

(„*)—1

:

;.

für..f ergebenjsich folgende AEigjenéehaf— Eigenschaf-

»

S + so » L sw +

o‚uo

S'SW O‚S‚SO‚SW,NO sw

-

55 _

Zusammen mit einer übersicht über die voh “A und „Ä1 bewirkten Richtungsänderungen NW}

‚NO

erhalten wir:

°A

f—1

GA

0

——v

S

—————P

S,SW

————>-

0,30

S

——-»

W

————r-

W,SW

———-——-—>

5,30

——-——>

SO

SO —-——‚

SW ——-——r

SW

SW —>

NW —>

W,N‚NW,NO‚SW ———>

S‚W,SW‚NW‚SO

Also erfüllt of:cA+cC die ***——Eigenschaften, d.h. OC 5% aA. Damit ist Lemma 1.23 bewiesen.

Mit Hilfe einer bereits konstruierten Menge PC(A‚B)

kann man

weitere Mengen von PC—Pictures angeben. Dies geschieht in folgendem

1.24 Satz.

(1)

(2)

Für A,.B e g: gilt:

PC(GZA‚OZB)

PC(TA,UZTB)

(a2)Bopc(A‚ß)o(azA) ']

(52T)BOPC(A‚B)O(TA)'1 .

Der Beweis verläuft ähnlich wie der von Lemma 1.23.

_ 66 _

Beachte, äaß 02 Punktspiegelungen und 021 Spiegelungen an geeiggeeig—

neten Parallelen zur Geraden {(i,—i)

/ i E E } bewirken. Die

Formeln in Satz 1.24 stehen in enge: Beziehung zu Resultaten Resultaten von von

Knuth; Schützenberger'und Zelevinsky (vgl.

[6‚9‚11,161).

_ 57 _

2. Pictures von Diagrammgestalt In diesem Abschnitt bedeutet "Picture" immer “PC—Picture".

schreiben wir P(A‚B)

statt PC(A‚B)

und T statt U

n€N„

TO

Ferner

=n'

Wir beschreiben im folgenden einen Algorithmus, der zu vorgegebenem Schiefdiagramm S E T“ alle Pictures konstruiert, die von Diagramm-

gestalt sind und den Inhalt S besitzen.

Ausgehend von einem Schiefdiagramm S € T” konstruieren wir mit

Hilfe eines Spiegelungsprozesses eine Menge 5, sowie ein Ausgangs— picture T :g + S. S

Dieses Ausgangspicture Ts defermieren wir dann nach bestimmten Regeln und erhalten sg alle Pictures von Diagrammgestalt. Wir beschreiben zunächst das Ausgangspicture TS.

Zu einem vorgegebenem Schiefdiagramm S G_T

tität ids.

Im Fall

ist

id

=

bilden wir die Iden—

..68—

erhalten Wir kehren in 1155 die Reihenfolge der Spalten um und erhalten ;-

eine Bijektion TS der Gestalt ITS! =: g. Im obigen Beispiel ist !

‘

15 14

}

;TS= ?

%

Ist

24 23

333231

43 42 41

und-g=

53 52 51

(1,k)

(TS) 1

ist das (‚I-kleinste Element von S und ist K := IN xl_S_ gerade die Einschränkung des natürlichen PC-Pictures

zu K. Also ist TS ein PC—Picture.

‚

a

Bei der Formulierung der Regeln, nach denen wir dieses Ausgangs— Ausgangs-

_ als picture TS deformieren werden, hat sich folgende Sprachweise als nützlich erwiesen .

T' :A'+B'

:'$3_" x %k—ua—«mWÜZ

B' := T[A']‚ so ist auch die “Einschränkung“ T' von T auf A'

4»

\?

-1' '.’€ :

lik‘ü£.;f

Ist T:A+B ein Picture und A' eine nichtleere Teilmenge von A,

_ 59 _

ein Picture und wir sagen: T'

ist-in T enthalten und schreiben

kurz:

Da die endgültige Formulierung des angekündigten Algorithmus' in Form eines Flußdiagramms auf den ersten Blick relativ un-

übersichtlich ist, wollen wir zunächst eine grobe Beschreibung von Algorithmusl vorausschicken und diese anl

einem Beispiel

erläutern.

Unser Ziel ist es, ausgehend von Ts‚endliche Folgen TS =:

T1,T2,...,Tk

von Pictures zu konstruieren, die folgende Eigenschaft be— sitzen:

Ist Dn

(n=1‚...,k)

das größte Diagramm, das in der Gestalt

von Tn enthalten ist,

so liefern die "Einschränkungen“

11 ‚4

T '

T

132'

'

T

k|

nk

eine Folge von ineinandergeschachtelten Pictures mit T

'c...ckl

2"

“

Dk

1

=T

k

_ 70 _

l-]

77'

Nr

In

?

”%

M

In

...a

In

6

N

HF

1-3

JG

'-3

l-J

m

H

Ist k > 1, so erhalten wir folgendes Schaubild:

Beispiel.

Wir greifen noch einmal zurück auf das eben betrachtete Schiefdiagramm S.

15 14 T1 := TS =

24 23

33 32 31

43 42 41

ist das Ausgangspicture.

53 52 51

Wie hier werden wir im folgenden die Einschränkung von Tn

auf T

'

D

' n

durch fette Umrandung kennzeichnen.

Als nächstes konstruieren wir T,.

Dazu verschieben wir in T1 das Kästchen mit dem J—kleinsten Eintrag“ “außerhalb von D'.'

— hier ist das

- mit dem Ziel,

D‘ als Diagramm zu erweitern. Wie wir später sehen werden, wird die Picture—Eigenschaft höchstens dann nicht verletzt, wenn sich die Gesamtverschiebung aus einer beliebigen Folge von reinen Nord— und/oder Westverschiebungen zusammensetzt. In unserem Beispiel können wir

nur um einen Schritt

nach Westen verschieben und erhalten

23

33 32 31

43

41

53 52 51

Im nächsten Schritt ist

(2,3)

der_J—kleinste Eintrag außer—

halb von D2' Für dieses Kästchen sind

(1,3) und

(2,2)

durch

Nord— bzw. Westverschiebungen als Endplätze erreichbar. Beide Möglichkeiten führen zu Pictures. Um nicht alle Pictures simultan aufbauen zu müssen, einigen wir uns darauf, als

erstes immer den J—kleinsten Platz zu besetzen. Dies ist der Platz

(1,3).

Wir erhalten also_als

_72_

T3 =

Für

15 14323]

24

_

33 32 31 43 42 41 53 52 %1

sind die Plätze

laubt.

(2,2)

und

Zum J-kleinsten, nämlich

jeweils einen Sébritt

(3,1)

(2,2)

als Endplätze er;

gelangt

durch

nach Norden und Westen. Doch damit

ist: diese Verschiebung noch nicht beendet,

denn führt ein

Schritt eines Kästchens mit J—kleinstem Eintrag nach Norden, so müssen} wieder zur Erhaltung der Picture-Eigenschaft dieEinträge in T3, die östlich von

(3,3)

genauso weit nach Norden bewegt werden wie gilt für die Bewegung nach Westen: von

(3,3)

stehen,

(3,3) . Analoges

hier müssen alle südlich

stehenden Einträge ebenso weit nach Westen bewegt

werden. Damit haben wir '1’4 erhalten:

15 14 23

T4 =

Nun ist

ebenfalls

24 33

___ 43 53

32}311

42 41 52 51

das nächst anzubauende Kästchen.

...73-

Der J-kleinste, mit erlaubten Nord/West—Bewegungen für @

erreichbare Platz ist

(1,4). Mit Folgebewegungen

ergibt dies :

15 14 23132}31| 24 33

T5=

3 53

Fiir den Anbau von

42 41 52 51

gibt es wiederum nur eine Möglich-

keit, und wir erhalten:

Für

51 3

.>

II

'-3

6

15 14 23j32j31] 24 33 [42141 '

ist pnter den möglichen Endplätzen (2,3) und (3,2),

(2 , 3) der J—kleinste:

24 33 42

41

an

_74_

Daraus ergibt sich zwingend der restliche Anbau:

15 14 23 32 31] 24 33 42 41 T8 = __J 43

531-

T1o —

T1j

15 14 23 32 31] 24 33 42 41 43 52 EU.

53

Inhalt 3.

T9 =

15 14 23 32 31] 24 33 42 41 43 ___ 53 52 51

_ 15 14 23 32 31 24 33 42 41 T11 — 43 52 51

&

ist ein gesuchtes Picture von Diagrammgestalt mit

'

Damit haben wir im folgenden Baum den am weitesten rechts stehenden Ast konstruiert. mehrere derartige

Pictures

Dort sehen wir auch, daß es noch gibt. Um diese alle

zu er-

halten, gehen wir zurück zum letzten Schritt bei dem wir

_ 75 _

mehrere mehrere

Plätze durch erlaubte Bewegungen hätten besetzen

können. können. In diesem Fall zu T6“ In T6 Waren mögliche End-

plätze für

um das das um

die Plätze

(2,3) und (3,2). Während wir,

erste Picture zu erhalten, von den möglichen End—

plätzen den J—kleinsten besetzt hatten,

Fall

ist in diesem

auf den nächst größeren, genauer: den J—nächst

größeren Platz, aiso

(3,2)

zu verschieben.

Nun können wir wieder nach der beschriebenen Methode vor— gehen und erhalten ein weiteres Picture von_Diagrammge—

stalt (

C:)

i Von hier aus geht es wieder zurück zu T4 u.s.f.

bis der ganze Baum konstruiert ist. Der untenstehende Baum

wird also in nachstehender Reihenfolge konstruiert:

®*OW _—‘——_"_

[Alternative Scans dieser Seite sind am Ende dieser PDF-Datei zu finden.]

—76-

[die unlesbaren Pictures unten werden auf auf der nächsten Seite wiederholt]

_:

5—2 Nu 3 ua ...- .u = mu w m.

nu „: u.. . 5 » mu m m.

Upmm „amd ßmw. 405 . vpaouwflras‚m. H ‘mnumconm .mmE: mE: ‚mnrwmmmwmaflmäa

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—L

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„TNT;

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_

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®...„3

®

15 14 23 24

/\

25

WE

T 32 31 42 41 52 51

‚

=

„5

w»

3 u.

.u .. „. .;

3

®...:.

„.

.

.

=


T

53 - 52 51 _

_

während sich bei der reinen Westbewegung

43

42 41

__

53 ——J

(in=2)

52 51

folgender

Ubergang ergibt:

15 14 23

Tn =

24 33

___

43

53

32 33 42 41 52 51

_

in:-2

___—>Tn+1 =

15 14 23

24 33 32

|31!

43 42

ET}

53 52

-

_ 84

Den Fall einer Nordwestbewegung illustriert folgender

Ubergang:

15 14]23|

24

_

15 14 23

.

33 32 31

43 42 41 53 52 51

24 33

-—>

-3 " 3

2131]

' 42 41 52 51

An diesen Beispielen sehen wir auch, daß der Algorithmus die "Geometrie" der Einträge nur langsam verändert.

Im folgenden Beispiel stehen in der ersten Zeile drei aufeinanderfolgende Ti. In diesen Ti haben wir jeweils 932 Teilbereich fett umrandet, dessen Einträge gerade aus allen Zahlenpaaren bestehen, die J-größer oder gleich dem zuletzt angebautem Eckeintrag sind. Komprimieren wir diese Teil-

bereiche,

so entstehen i.w.

die wir in T1

zugehörige Teilpictures’vofi;i1l

jeweils durch fette Umrandung hervorheben

(zweite Zeile):

.

_85_

31

43 42

41

33

53 52

15 14 23l31| 24 32

1514 23'

—————E>

51

24 32 33 43 42

53 52

sz|

33 42

43

!!

Hi

(»

15 14 23

24 32

Kpr

2% 15 14

24 23

23

33 32

33 32 31 42 41

43 42 41

52 51

T

53 52 51

Hinter diesem Beispiel verbirgt sich ein allgemeingültiger

Sachverhalt. Um diesen im folgenden Lemma präzisieren zu

können, benennen wir die durch fette Umrandung gekennzeich— neten Bereiche. Bzgl. Tn, n > 1, sei

Rn := {(i‚j) e |Tnl | Tn(i.j) ?Tn—1‘rn-1'sn-1’} Un

==

{(irj)

E

|T1I

|

Tn(ilj)

? Tn_1(rn_1lsn_1)}'

Wir setzen noch U1 := lT1l =: R1. Offenbar lst Rn 3'gn.

_86...

Aufgrund der Konstruktion von T3 = T1 hat Un folgende Ge-

stalt (schraffierter Bereich):

Hier steht in T1.

der Eintrag

Tn-1(rn—1'sn—1)'

Trivialerweise ist Tn{Rn] = T1[Un]. Dies wird in folgendem

Lemma erheblich verschärft. Wir führen vorab noch den Begrifi Begriff der Kompressionsäquivalenz von Pictures ein.

allen Befreien wir ein vorgegebenes Picture T : A ——> B von allen

Leerzeilen und

--spalten‚ so entsteht ein neues Picture

Kpr(T) : Kpr(A) F-—>B‚ das wir die Komgression von T nennen wollen. Pictures T und.

Kpr(T) = Kpr(T') T' heißen"komgressionsäggivalent, T — T', wenn Kpr(T)=Kpr(Tfi gilt.

.

ä

-

37 _

2.2 Lemma.

Der Algorithmus habe bereits die Bijektion

Vor.:

Tn : |Tn| ——> S konstruiert. |Tnl sei kein Diagramm, und es gelte folgende Eigenschaft:

(E )

T

n

Beh.:

n R n

ist kompressionsäquivalent zu T

1 U

.'

n

.

Der Algorithmus konstruiert zu jedem in' 1 € in € mn, eine eindeutig bestimmte‚von in abhängige Bijektion T

(i )

n n+1

mit Inhalt S, die die Eigenschaft (i )

Insbesondere ist T n+1 "

Bemerkung.

R

n+1

ein Picture.

(E

n+1

)

besitzt.

Da wir im folgenden hauptsächlich an gemeinsamen

(1 )

Eigenschaften der Tn +1n ,

1 € in € mn‚ interessiert sind,

schreiben wir kurz Tn+1‚ meinen aber immer ein beliebiges aber

(i n ) festes Tn+1

Beweis.

Wegen

(En)

und der speziellen Natur von T1

Liest man die Einträge vön Tn

|än

n

zeilenweise

bzgl. der lexikographischen Anordnung von En)

. ‚

!.„

gilt:

(das soll heißen: ein,

so erhält

man eine man eine J—wachsende Folge. Daraus ergibt sich u.a.: Der J—kleinste Eintrag in T

Zeile Zeile von gp.

n.

steht links in der obersten

_88_

Folglich gilt: T“ ist in den‚Bereichen.ßl und 3% ohne Eintrag. Da Tn(rn'sn)

nicht der J—kleinste Eintrag in T1

aus der speziellen Form von Un zusammen mit

(En)

U

n

ist,

folgt folgt

auch:

. B3 „ist in Tn eintragsfrei. Aufgrund der Eintragsfreiheit der Bereiche BA, Bi und Ei in T Tn

n

A

oder kann es beim Übergang von Tn nach Tn+1 keine Kollisionen oder Überschreibungen geben, d.h. Tn

jektion von [Tn+‘lI auf S.

+1

Biist eine wohldefinierte Bi-

Wir zeigen jetzt, daß Tn+1 die Eigenschaft

(En+1)

be51tzt.

Wir betrachten in T“ die Menge an aller Plätze, die die gleichen Einträge wie T

| besitzen, d.h.: n+1lR n+1

&n := {(i‚j) e ;T „ll

Tn(i’j) ? Tn(rn'sn)}

Wegen m 'n(rn'sn) ? Tn—1(rn-1'Sn-1) 1 st A Rn $ Rn. Ferner bildet

(rn‚sn)

A von Rn' In Tn A R eintragsfrei:

und der zugehörige Arm die erste Zeile

. ist also der folgende schraffierte Bereich.

\\

_ 89 _

T n+1

R n+1

entsteht jetzt aus TnlA .

R n

durch

||

Expan51on '

ll

des

'Hakens" in diesen eintra 9 sfreien Bereich, das bedeutet:

Folglich ist T Folglich n+1i

Rn+1

kompressionsäquivalent zu einem Teil-

picture picture von T1. Ein Vergleich der Einträge liefert sofort:

T

Also besitzt Tn+

bewiesen ist.

1

n+1'R

n+1

-—-T

1|

die Eigenschaft

; f:„,4;q

“9°-

-

U

(En+1)' womit das Lemma

Da T1 die Voraussetzungen des Lemmas erfüllt, Induktion die

per erhalten wir per

2.3 Folgerung. Jedes vom Algorithmus konstruierte Tn stellt eine Bijektion

dar, die die Eigenschaft (En) besitzt.

Damit ist auch A)

gezeigt.

Aus der Konstruktion ergibt sich auch sofort:

2.4“Folgeruhg. Hat der Algorithmus die Bijektion Tn

gilt:

+1

aus Tn konstruiert,

so so

(1)

Dn $ Dn+1;

(iii)

gehört; Es gibt in lTn+1l einen Platz, der nicht zu [Tu] gehört;

(ii)

Tn+1

stimmt mit Th auf Dn überein;

genauer:

.

1:\n__„—1 \ |Tnl=k$

«

. □

2.5 Folgerung.

Der Algorithmus konstruiert zu vorgegebenem Schiefdiagramm

5 eine Baumstruktur.

Beweis.

Der Algorithmus konstruiert aus der Bijektion Tn : !Tn|F+-s

sukzessiv sukze551v

sind, sind,

(1)

(mn)

Bijektlonen Tn+1""'Tn+1

, die alle verschieden

denn der Eintrag Tn(rn,sn) wird an mn verschiedenen

Plätzen Plätzen

an Dn angebaut. Wegen Folgerung 2.4 wird der Eintrag

Tn(rn,sn)

bei den folgenden Manipulationen nicht mehr bewegt.

Es kann demnach keine Zyklen geben.

Insbesondere ist die durch den Algorithmus ausgedruckte Liste frei von Wiederholungen, womit C)_bewiesen ist.

Wir wissen bereits, daß T1 ein Picture ist. Im folgenden Satz werden wir zeigen, daß durch das sukzessive Beformieren von

"Haken“ die Picture—Eigenschaft nicht verloren geht.

2„6 Satz Es sei S E T ein Schiefdiagramm.

Dann Dann ist ist

jedes T, das in dem vom Algorithmus bzgl.

ierten Baum Baum ierten

vorkommt, ein

PC—Picture.

S konstru—

_92_

Beweis.

Die Bijektion T : IT| Q—+ é sei vom Algorithmus konstruiert{ Wir zeigen:

T_‘1' "ist“ ein Picture. zu Nach Satz 1.2 und aufgrund der P—Konvexität von S genügt es zu

zeigen, daß 'J:'_1 die Eigenschaften (0), (S) und (SW) besitzt.

(S) nach.

Wir weisen zunächst für T_1 die Eigenschaft

Sei y

(S)

y'. O.B.d.A.

können wir aufgrund der P—Konvexität

von S und der Transitivität der Relation x

voraus(S‚SW) ; voraus-

setzen, daß y und y' direkt benachbart sind.

Nach Nach Konstruktion Konstruktion

von T5 = T.' befindet sich in T1 der Eintrag y direkt südlich südlich unter dem Eintrag y‘; insbesondere ist

fr;1 (y) (S) T;‘ (y‘) . Wir betrachten in dem vom Algorithmus konstruierten Baum die Kette, die T

1

mit T verbindet.

T1 ——9-T2 ——a-‚.. ——a-Tn = T.

_93_

Ist Ist

y bei keinem der Übergänge Ti FF* Ti+1 Eckeintrag in dem

zu deformierenden Haken, d.h. y # Ti(ri‚si)

für alle T < 1 < n,

so steht der Eintrag y aufgrund der Hakenbewegung in allen Ti'

1 ⩽ < 1 < n, südlich vom Eintrag y'; d.h. ..1‚ Ti (Y)

.. (S) Ti 1(y')

T_1 (y)

(S) '1"1 (y‘).

Folglich ist auch

(1 1, b > 1 und (a—1,b—1)EU.

[Beachte, daß aufgrund von ]U| > 2 stets (a,b) # (1,1) ist.] Nun sei ein Schiefdiagramm

S

=

{(a1lb1)l-f'l(aklbk)}ä € £k

vorgegeben. Den von Algorithmus II bzgl. s konstruierten Baum ;

können wir auch als Halborénung B(S) mit O—Element TS und RangRang; funktion auffassen.

Die Elemente vom Rang n—1

sind gerade alle?

Pictures, die im Laufe des Programms den Namen Tn tragen.

[Da [Bali

verAlgorithmus II möglicherweise beim Übergang Tn+'l‘n+1 nichts ver% änéert,

sollten wir die Elemente.voä E(S)

ansehen.]

(Tk,k)+\gi‘

(T3r3)+

(T2.2)+ (T1I1)+

'

‘;1

“;

ffff.

geneuer.als

Paare (T (Té,n) Paare n ,n)

‚;.e ausgedruckte Liste Liste

— 105 —

Alle Pictures Tn vom Rang n—1 in B(S) haben zwei wichtige Gemeinsam— keiten: keiten:

3.1

(i)

Die n J—kleinsten Einträge in Tn befinden sich in einem (von Tn abhängigen) Bereich gn, der ein Schiefdiagramm

darstellt,

—1 {Tn (ai‚bi)

(ii)

genauer:

. __ . . . . _ o / l€£} —. En ist ein Sch1efd139ramm aus an“

Die Einschränkung Tn

En

Übergängen

von Tn auf En bleibt bei den

Tn + Tn+1 + Tn+2 + "“ + Tk

im wesentlichen unverändert,

genauer:

ist die Kompression der entsprechenden Teilpictures von T

n+r'

für alle rEk—n.

Wir erläutern dies an einem

3.2 Beisgiel.

T

4

=

L615

25 _

Q4| 333231

43241 535251

ist ein PC—Picture, dessen Inhalt ein .

-

:_--u.

(T (T4,4) 4 ,4) kommt im Baum B(S) vor. Die 4

j-kleinsten Einträge in T4 stehen im j—kleinsten Einträge

Schiefdiagramm Schiefdiagramm g4.

0

Scn1e-c1agramm S € 313 ist.

U4

=

.

- 106 —

Es sei n = 4. Um alle oberen Nachbarn

(T5‚5) von

bestimmen, zu bestimmen,

in B(S)

(T4,4)

haben wir folgendermaßen vorzugehen.

außerhalb Zunächst suchen wir den J—kleinsten Eintrag in Tfl, der außerhalb '

von En steht. Dies ist in Tn stets der am westlichsten ‘

Eintrag in der obersten Zeile von ITnl\gn.

(Vgl.

von BA und Bi im Beweis von Lemma 2.2.)

Hier ist dies der Eintrag

Jetzt ist

von 3.1

(3,3)

(3,3)

am Platz

(4,4).

"auf alle möglichen Arten" unter

_

stehende stehende

3-

Bereichsfreiheit Bereichsfreiheit

Berücksichtigung Berücksichtigung

und entsprechender Hakendeformation an T4 U

—4

anzubauen. anzubauenf

Um alle Anbaumöglichkeiten zu bekommen hat man die Diagrammhülle 24 von 24 zu bilden:

2.

den Platz

(r4‚s4)

zu suchen, an dem sich

(r4ts4)

in T4 befindet: befindet:

(4:4)!

die Menge M4 aller Punkte

(r‚s) % (r4,s4)

24 Q {(r‚s)} ein Diagramm ist:

M4 = {(1'‚4)‚(2.3)‚