Physik : Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler 9783834802514, 7299792458, 9192631770

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Peter Kurzweil (Hrsg.) Bernhard Frenzei Florian Gebhard Physik

Formelsammlung

Aus dem Programm______________________

Naturwissenschaftliche Grundlagen

Vieweg Handbuch Maschinenbau herausgegeben von A. Böge

Formeln und Tabellen Maschinenbau herausgegeben von A. Böge

Physik von A. Böge und J. Eichler

Physik von J. Eichler Technische Berichte

von H. und L. Elering Wutz Handbuch Vakuumtechnik

herausgegeben von K. Jousten Physik Aufgabensammlung i. Vorb.

von P. Kurzweil (Hrsg.), J. Eichler, B. Frenzei und B. Schiewe

Lehrsystem Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler in sechs Bänden

von L. Papula

vieweg_______________________________________________________________ y

Peter Kurzweil (Hrsg.)

Bernhard Frenzei

Florian Gebhard

Physik

Formelsammlung

Für Ingenieure und

Naturwissenschaftler

Studium Technik

vieweg

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden, 2008

Lektorat: Thomas Zipsner

Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0251-4

V

Vorwort

Z^ie Anforderungen an eine Physik Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler sind hoch: die Grundlagen der Physik und ihre wichtigsten Anwendungen in Naturwissenschaft und Technik sollen knapp und klar dargestellt und in nutzbare Formeln gegossen werden, von der Mechanik über die Strömungslehre zu Thermodynamik, Stofftransport und Elektrochemie, von der Elektrodynamik und -technik über die Optik bis hin zur Atom- und Kernphysik.

Mit dem vorliegenden Buch konnten wir nicht alle diese Anforderungen gleichermaßen gut erfüllen. Für Physiker so interessante Themen wie der Formalismus der Quantenmechanik, die Quantentheorie der Festkörper und viele Facetten der Streutheorie mussten wir leider weglas­ sen. Der Schwerpunkt liegt auf der Darstellung und den Anwendungen der klassischen Gebiete der Physik, mit denen sich die Studierenden der Natur- und Ingenieurwissenschaften in den er­ sten zwei bis drei Jahren ihres Studiums an Universitäten und Fachhochschulen beschäftigen. Anfänger in den ersten Semestern mögen manches Axiom zunächst überblättern und sich auf die Beispiele und Spezialfälle konzentrieren. In höheren Semestern wird das theoretische Fundament willkommen sein, um den inneren Zusammenhang der Physik zu erkennen.

In diesem beschränkten Rahmen präsentieren wir die für Naturwissenschaftler und Ingenieu­ re wichtigen Gleichungen und erläutern die grundlegenden Konzepte, damit die Formeln ihren Sinn behalten und nicht zu einem „Buchstabensalat“ verkommen. Dennoch kann unsere For­ melsammlung kein Lehrbuch der Physik oder die zugehörigen Vorlesungen ersetzen. Unsere Formelsammlung Physik macht kompaktes Physik-Wissen zugänglich und führt zielsicher durch die Grundlagen und Anwendungen der Physik und physikalischen Chemie und der angrenzen­ den Ingenieurdisziplinen. Auf rund 400 Seiten konnten wir den vielen Anwendungen der Physik in den Ingenieurwissenschaften selbstverständlich nicht vollständig gerecht werden. Vermissen Sie, liebe Leserin und lieber Leser, eine Formel, die für Ihr Studium, Ihre Prüfungen oder Ihre berufliche Praxis wichtig ist, dann schreiben Sie uns bitte. Wir danken Prof. Dr. Peter Lenz, Marburg, für die Durchsicht des Kapitels Strömungslehre, Prof. Dr. Harald Ries, Marburg, für seine Anmerkungen zum Kapitel Optik und Dipl.-Phys. Da­ vid KÖHLER für seine Unterstützung bei der Anfertigung vieler Bilder.

Dem Verlag Vieweg, voran unserem Lektor Herrn Thomas ZlPSNER, danken wir für die hoch­ wertige Ausstattung des Buches zu einem für Studierende erschwinglichen Preis. Im September 2007

Prof. Dr. Peter Kurzweil Fachhochschule Amberg-Weiden [email protected] Prof. Dr.-Ing. Bernhard Frenzel Fachhochschule Amberg-Weiden [email protected] Prof. Dr. Florian Gebhard Universität Marburg [email protected]

VI

Vorwort

Inhaltsverzeichnis

A Internationales Einheitensystem (SI)

1

1 Basisgrößen und -einheiten........................... 2 2 Inkohärente Einheiten.................................... 3 3 Wichtige Formelzeichen und Einheiten........ 5 B Mechanik........................................................... 7 1 2 3 4 5 6 7 8

Axiome der Mechanik....................................7 NEWTON-Mechanik.....................................13 Aspekte der technischen Mechanik............. 19 LAGRANGE-Mechanik................................ 25 Erhaltungssätze............................................. 32 Zweiteilchenproblem.................................... 35 Mechanik des starren Körpers..................... 40 Spezielle Relativitätstheorie........................ 49

C Strömungslehre

56

1 Ideale und reale Fluide................................ 56 2 Hydro- und Aerostatik.................................65 3 EULER-Fluide: Reibungsfreie ideale Strömung................... 73 4 Umströmung von Körpern........................... 80 5 Rohrströmungen........................................... 89 6 Ausströmende Fluide................................... 95 7 Impuls- und Drehimpulsübertragung.......... 99

E Schwingungen und Wellen

F Akustik

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

103

Temperatur und thermische Ausdehnung. 103 Wärmeenergie und Kalorimetrie............... 104 Ideales Gas................................................. 109 Mengenbegriffe in Fluiden und Mischungen..........................................111 Hauptsätze der Thermodynamik................ 113 Zustandsänderungen des idealen Gases .. 120 Kreisprozesse..............................................122 Reale Gase.................................................. 126 Luftfeuchtigkeit .......................................... 128 Flüssigkeiten und Lösungen...................... 130 Phasenübergänge und latenteWärme .... 135 Wärmetransport.......................................... 136 Stofftransport..............................................146 Thermodynamik und Kinetik chemischer Reaktionen...............................150

190

1 Schallquellen und Schallausbreitung....... 190 2 Physiologische Akustik............................. 200

G Elektrotechnik

202

1 Strom, Spannung, Widerstand und Leistung............................................... 202 2 Spannungs-Strom-Beziehungen an Zweipolen............................................. 207

3 KiRCHHOFF-Gesetze und Widerstandsnetze....................................... 211 4 Wechselstromlehre linearer Netzwerke.. .217 5 Schaltvorgänge........................................... 231 6 Elektromagnetische Felder....................... 233 7 Ladungstransport....................................... 258 8 Elektronische Bauteile...............................272

9 Drehstromsystem....................................... 279 10 Elektrische Maschinen............................. 281

H Optik D Thermodynamik, Wärme- und Stofftransport

155

1 Harmonische Schwingungen...................... 155 2 Überlagerung von Schwingungen........... 175 3 Gekoppelte Schwingungen linearer Oszillatoren................................... 181 4 Wellen......................................................... 182

1 2 3 4

288

Wellenoptik................................................ 288

Geometrische Optik (Strahlenoptik)....... 306 Optische Instrumente.................................313 Strahlung und Lichtempfindung................ 317

K Atom- und Kernphysik

321

Quanten und Materiewellen....................... 321 Elektronenhülle und Atomspektroskopie . 324 Molekülspektroskopie................................ 335 Massenspektrometrie................................ 341 Kemspin und NMR-Spektroskopie......... 343 Radioaktivität............................................. 345 Röntgenspektroskopie, ionisierende Strahlung, Dosimetrie......... 350 8 Elementarteilchen...................................... 356 9 Atomares Einheitensystem........................ 358

1 2 3 4 5 6 7

Quellen und weiterführende Literatur Stichwortverzeichnis

359 360

1 A

Internationales Einheitensystem (SI)

Einheiten sind Vergleichsgrößen, die einen festen, durch ein Mess- und Eich verfahren reprodu­ zierbaren Betrag haben.

In einem kohärenten Einheitensystem wie dem SI sind die Basisgrößen und -einheiten un­ abhängig voneinander festgelegt und nicht durch Zahlenfaktoren miteinander verknüpft.

■ Für jede Größenart gibt es genau eine Einheit. Beispiel: Das Meter als SI-Einheit der Länge. ■ Abgeleitete Größen und Einheiten sind einfache Potenzprodukte der Basisgrößen und -einheiten. Beispiel: 1 N = 1 kg m s-2 ■ Die Dimension einer physikalischen Größe ist das Potenzprodukt aus den SI-Basisdimensionen. Achtung: Dimension und Einheit sind zweierlei! Beispiel: dim F = dim (ma) = dim(m//Z2) = MLT"2 ■ In physikalische Größengleichungen dürfen an Stel­ le der Formelzeichen die Zahlenwerte und Einheiten eingesetzt werden. Je größer die Einheit, umso klei­ ner ist der Zahlenwert.

Basisgröße Länge Masse Zeit Stromstärke Temperatur Stoffmenge Lichtstärke

/ m t I T n ¡N

Dimension Einheit L = dim / m M = dim m kg T = dim t s 1 = dim I A 0 = dim T K N = dim n mol J = dim Zv cd

Größe = Zahlenwert • Einheit F = [F] • [F] = 220 N = 0,22 kN

Formelzeichen werden kursiv, Einheiten aufrecht ge­ druckt. Zwischen Zahlenwert und Einheit steht ein Leerzeichen.

Dezimale Vorsatzzeichen erlauben die handliche Dar­ stellung der rund 25 Größenordnungen vom Atomkern bis zur kosmischen Galaxie. Vorsatz und Einheitensym­ bol bilden ein eigenständiges Symbol, d. h. Exponenten gelten auch für den Vorsatz.

Zehner­ Vor­ Sym­ Zehner­ Vor­ Sym­ potenz silbe bol potenz silbe bol IO"1 dezid 10 dekada IO-2 102 centic hektoh 10"3 103 millim kilok IO-6 106 mikroMegaM IO“9 109 nanon GigaG 10 12 IO"12 T picoTeraP IO-'5 1015 femtof PetaP 10-'8 IO18 attoa ExaE IO’21 IO 21 zeptoz ZettaZ IO“24 1024 yoktoYottaY y Statt zepto, yokto, Zetta und Yotta besser die Exponentialschreibweise.

Beispiele: //m2 = (IO-6 m)2 = 10"12 m2 cm“1 = (IO-2 m)“1 = 100 m“1

Deutsche Umschreibung

USUmschreibung

Zehn(tel) Hundert(stel) Tausend(stel) Million(stel) Milliarde(stel) Billion(stel) Billiarde(stel) Trillion(stel) Trilliard(stel) Quadrillion(stel)

ten(th) hundred(th) thousand(th) million(th) billion(th) trillion(th) quadrillion(th) quintillion(th)

2

A Internationales Einheitensystem (SI)

1 Basisgrößen und -einheiten

Basisgröße

Länge

Symbol Einheit Festlegung 1

m

Ein Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum inner­ halb 7299792458 Sekunde (Kehrwert der Lichtgeschwindigkeit) durchläuft. Definitionen vor 1983: a) 40-millionster Teil des Erdumfangs (1790) b) Platin-Iridium-Normalstab („Urmetef ‘) in Sèvres bei Paris (Internationales Büro für Maße und Gewichte, 1875) c) 1 650763,73-fach die Wellenlänge der orangeroten Spektrallinie beim 505 2pio~Übergang des 86 Kr-Atoms im Vakuum (1960)

Masse

m

kg

Ein Kilogramm ist die Masse des Platin-Iridium-Zylinders („Urkilogramm“) des Internationalen Büros für Maße und Ge­ wichte in Sèvres bei Paris (1964, 1901). Ursprünglich der Masse von 1 Liter Wasser bei 4 °C gleichgesetzt. Seit 1964 gilt: 1 kg Wasser = 1000,028 cm3 und 1 Liter = 1 dm3.

Zeit

t

s

Eine Sekunde ist das 9192631770-fache der Perioden­ dauer der Strahlung beim Übergang zwischen den bei­ den Hyperfeinstruktur-Niveaus des Grundzustandes des ,33CsAtoms („Atomsekunde“, 1967). Ursprünglich: 786400 des mittleren Sonnentages („Weltzeitsekunde“); der 31 556 925,9 747te Teil des tropischen Sonnenjahres (1956).

Stromstärke

I

A

Ein Ampere ist die Stärke des zeitlich konstanten Stromes, der zwischen zwei parallelen, geradlinigen, unendlich langen Lei­ tern von vernachlässigbarem Kreisquerschnitt im Abstand 1 Me­ ter im Vakuum pro Meter Leiterlänge die Kraft 2-10“7 N hervor­ ruft (1948). Ursprünglich: Der Strom, um pro Sekunde 1,118 mg Silber durch Elek­ trolyse aus einer definierten Silbemitratlösung abzuscheiden (1 C/s).

Temperatur

T

K

Ein Kelvin ist 7273,16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes von reinem Wasser (1967).

Stoffmenge

n

mol

Ein Mol ist die Stoffmenge eines Systems mit ebenso vielen Teilchen (z. B. Atome, Ionen, Moleküle, Elektronen, Protonen, Neutronen, Photonen), wie Atome in 0,012 kg des Kohlenstoff­ isotops ,2C enthalten sind (1971). Ursprünglich: die in Gramm ausgedrückte relative Molekülmasse.

Lichtstärke

Iv

cd

Ein Candela ist die Lichtstärke einer monochromatischen Strah­ lungsquelle (540 GHz) in eine vorgegebene Richtung mit einer Strahlstärke von 7683 Watt pro Steradiant (1979). Lichtstärke, mit der 7600000 m2 der Oberfläche eines Schwarzen Strahlers bei der Temperatur des unter Normaldruck (101 325 Pa) erstarrenden Platins senkrecht zu seiner Oberfläche leuchtet.

2 Inkohärente Einheiten

3

2 Inkohärente Einheiten

Inkohärente Einheiten werden durch Zahlenfaktoren in SI-Einheiten umgerechnet.

Beispiel: 51b- 32,17 ft/s2 = (5 - 0,4536) kg ■ (32,17 - 0,3040) m/s2 = 0>2865 N = 0,2865 N = 2865 pa 12 in2 12-(2,54 cm)2 cm2 (0,01m)2

1. Gesetzliche Einheiten ■ Gebrauchseinheiten neben dem SI: Liter, Gramm, Tonne, Bar, Hertz, Grad Celsius

■ Außerhalb des SI zulässig: > Zeiteinheiten: Minute, Stunde, Tag und Jahr

> Winkeleinheit: Grad > Energieeinheit: Kilowattstunde Terawattjahr ■ Eingeschränkt zulässig: > Landwirtschaft: Ar, Hektar > Kernreaktoren: Barn > Edelsteine: metrisches Karat > Atomphysik: Elektronvolt, atomare Masseneinheit > Elektrotechnik: Voltampere, Var > Textilfasern: Tex > Medizin: Millimeter Quecksilbersäule > Brillengläser: Dioptrie ■ International verwendete Enheiten: > Seefahrt: Seemeile, Knoten > Astronomische Einheit, Lichtjahr, Parsec

11 1g 11 1 bar 1 Hz T 1h 1a 1 km/h 1° 1 kWh 1 TWa

1 1 1 1 1 1 1 1 1

ha b Kt eV u var lex mmHg dpt

1 sm 1 kn 1 AE

ny 1 pc

2. Angloamerikanische Einheiten In Deutschland im geschäftlichen und amtlichen Verkehr, in Forschung und Lehre nicht zulässig: > Länge: inch, foot, yard, mile > Geschwindigkeit: mile per hour > Fläche: acre > Volumen: gallon, barrel, register ton > Masse: pound, ounce

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

= 10"3 m3 = 1 dm3 = 10~3 kg = 1000 kg = 105Pa = 0,l MPa = 1 s—1 = ($/°C + 273.15) K

= 60 min = 3600 s = 365 d = 8760 h = 3i5m/s = 0r/180)rad = 3,6 MJ = 3,6-106J = 8,76-1012 kWh = 3,15-1019 J

= 100 ar = 10000 m2 = 10~28 m2 = 100 fm2 = 2-IO-4 kg = 200 mg « l,602-10-|9J « 1,66054-IO"27 kg = 1 VAr = 1 W = 10-6 kg/m = 1 g/km = 133,322 Pa« 1,3 mbar = 1 m“1

= 1852 m = 1 sm/h = 1852 m/h = 1,49 597 870-10“ m = 9,6405-10l5m = 3.0857-1016 m

= 25,4 mm = 30,40 cm = 12 in = 0,9144m = 3ft = 1609,344 m = 1760 yd 1,609 km/h 0,447 m/s = 25,4 mm = 3,785412 dm3 (US) gal = 158,9873 dm3 =42 gal bbl reg ton = 2,8317 m3 = 100 ft3 lb = 0,453 592 37 kg = 0,028 349 523 kg = ± lb oz in ft yd mi mph in

A Internationales Einheitensystem (SI)

4

> Kraft: pound-force, poundal > Druck: psi = lbf/in2 > Energie: British Thermal Unit > Leistung: horsepower > Temperatur: Degree Fahrenheit, Rankine > Lichttechnik: Lambert, footcandle

3. Umrechnung veralteter Einheiten > Länge: Ängström, X-Einheit

> Winkel: Gon, Neugrad > Beschleunigung: Gal > Kraft: Kilopond, Dyn > Energie: Erg Steinkohleeinheit > Leistung: Pferdestärke > Druck: physikalische und technische Atmosphäre, Meter Wassersäule, Torr, Millimeter Quecksilbersäule > Viskosität: Poise, Stokes > Wärmemenge: Kalorie > Elektromagnetismus: Oersted, Maxwell, Gauß

> Leuchtdichte: Stilb, Apostilb > Strahlenschutz: Curie, Röntgen, Rem, Rad

1 Ibf 1 pdl 1 psi 1 Btu 1 hp t?°F 1 R 1 la 1 fc

= 4,44 822 N = 0,138 255 N = 68,9476 mbar Rs 6,89 kPa = 1,05506 kJ = 0,745 700 kW = — 32) °C = |k

1Ä

= 10-10 m = 0,1 nm = 1,00 202-10-13 m Rs 0,1 pm

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

XU gon gal kp dyn erg tSKE PS atm at mWS mmHg P St cal Oe M G sb asb Ci R rem rd

= 3183,1 (^)cd/m2 = 10,76391 lx

= 18 = (tt/200) rad = 0,9° = IO"2 m/s2 = 1 cm/s2 = 9,80665 N = 10"5N= lOmN = IO“7 J = 0,1 /zJ = 9,310_l° TWa = 29,3 109 J = 735,498 75 W = 1,01325 bar = 101325 Pa = 1 kp/cm2 = 98066,5 Pa = 0,1 at = 98,0665 mbar = 1 Torr = 133,3224 Pa = 0,1 Pas = 10-4 m2/s = 1 cm2/s = 4,1868 J = 79,57747 (^) A/m = IO"8 Wb= 10nVs = 10~4T = 0,l mT = 1 cd/cm2 =104 cd/m2 = 0,31831 (1) cd/m2 = 3,7-1010 Bq = 37 GBq = 258 //C/kg = 1 mSv = 0,01 J/kg = 10 mGy = 0,01 J/kg

3 Wichtige Formelzeichen und Einheiten

5

3 Wichtige Formelzeichen und Einheiten

Basiseinheiten

Physikalische Größe

Symbol Einheit

(Radio-)Aktivilät Beschleunigung(svektor) magnetische Flussdichte, Induktion Elektrische Kapazität Licht-, Schallgeschwindigkeit spez. Wärmekapazität (Stoffmengen-)Konzentration elektr. Flussdichte, Verschiebungsdichte Energiedosis Energiedosisleistung Energie elektrische Feldstärke Beleuchtungsstärke(vektor) Kraft(vektor) Elektrischer Leitwert M agnetfeld stärke Enthalpie Äquivalentdosis elektrische Stromstärke Lichtstärke, -intensität Strahlstärke Trägheitsmoment, Massen~ 2. Grades Ionendosis Ionendosisleistung Elektrische (Leitungs-)Stromdichte Feder-, Kraftkonstante, Dämpfungsgrad Drehimpuls(vektor) (Selbst-)Induktivität Leuchtdichte Strahldichte (charakteristische) Länge molare Masse Drehmoment(vektor) Magnetisierung magnetisches Moment spektrale spezif. Ausstrahlung Masse Massenstrom, -durchsatz Teilchenzahl, Ensemblezahl Stoffmenge Brechungsindex, Brechzahl Leistung, elektrische Wirkleistung (Di)elektrische Polarisation Impuls(vektor) Druck, Schalldruck Elektr. Ladung, Elektrizitätsmenge Wärmemenge, Wärmeenergie Wärmestrom

A = s-* activity of a radioactive substance Bq -• acceleration (vector) m/s2 = ms-2 a B magnetic flux density, induction T= Xf = ^=kgs-2A-> m2 F = C/V = m-2kg-1s4A2 capacitance C m/s c = ms-' light~, sound velocity Jkg-'K“1 = m2kgs-2K_I specific heat capacity cp c mol/£ = m-3mol concentration b C/m2 = m-2s A electric flux density, displacement D absorbed dose (of radiation) Gy = J/kg = m2s-2 b Gy/s = W/kg = m2s 3 absorbed dose rate J = Nm = Ws = m2kgs-2 energy E E V/m = mkgs_3A_l electric field strength (vector) EtEv lx = lm/m2 = m-2cd sr illuminance (vector) F N = m kg s“2 force S = Q-‘ == A =m-2kg- 1s3A2 conductance G H A/m = m-1A magnetic field strength H enthalpy = m2kgs-2 J H Sv = J/kg = m2s-2 dose equivalent A Basiseinheit electric current I cd Basiseinheit luminous intensity Uv W/sr = m 2 kgs -3 sr -1 radiant intensity /c kgm 2 moment of inertia J C/kg = kg'sA ion dose, exposure J A/kg ion dose power j = m-2A (conduction) current density A/m2 spring force constant k N/m = J/m2 = kgs-2 L angular momentum, action Nms = m2kgs-1 L H = ßs= Wb/A = m2kg s_2A“ 2(self-)inductance L cd/m2 = m-2cd luminance W m-2sr“ 1=kgs-3sr-' radiance ¿c m Basiseinheit (characteristic) length 1 M kg/mol = kg mol-1 molar mass M Nm = m2kgs-2 torque, moment of a force M A/m = Am-1 magnetization Am2 = J/T magnetic (area) momentum Wm -3 = m -1 kgs -3 spectral radiant exitance Mx m mass kg m kg/s mass flow (rate) = kgs-> N number of particles, ~ entities =1 n mol Basiseinheit amount of substance n =1 refractive index W = J/s = m2kg s-3 power, active power P = m -2 s A dielectric polarization P, P C/m2 Ns = mkgs-1 momentum (vector) P Pa = N/m 2 = m-'kgs-2 pressure, sonic pressure P c = As electric charge, quantity of electricity Q = m2kg s-2 quantity of heat, heat energy J Q w = m2kg s-3 heat flow Q

Englische Bezeichnung

A Internationales Einheitensystem (SI)

6

Lichtmenge elektrischer (Wirk-)Widerstand magnetischer Widerstand, Reluktanz Ortsvektor (Komplexe) Scheinleistung Entropie Weg, Bogenlänge, freie Weglänge Periodendauer Temperatur Zeit elektrische Spannung Innere Energie Beweglichkeit e. Ladungsträgers Volumen magnetische Spannung Geschwindigkeit(svektor) Arbeit; Energie Blindwiderstand Komplexer Widerstand, Impedanz

Ö R Rm r S S s T T t U U u V V -♦ V W X z

lm s = s cd sr Q = V/A = m2kgs-3A“2 H“1 = A/Wb = m“2kg-1 s2A2 m W = VA = J/s = m2kg s-3 J/K =m2kgs-2K-1 m s“1 K Basiseinheit s Basiseinheit V = J/As = m2kgs“3A“1 J = m2kgs“2 kg"’s2A m3 A Basiseinheit m/s =ms_1 J =m2kgs-2 Q = V/A = m2kgs“3A“2 Q = V/A = m2kgs-3A“2

Winkelbeschleunigung therm. Längenausdehnungskoeff. Wärmeübergangszahl Polarisierbarkeit Massenkonzentration Kompressibilität Magnetische Suszeptibilität Verlustwinkel Permittivität, Dielelektrizitätskonstante Wirkungsgrad, Leistungsverhältnis dynamische Viskosität Schiebung, Scherung elektrische Leitfähigkeit Wellenlänge Wärmeleitfähigkeit Zerfallskonstante reduzierte Masse Permeabilität

a a a a ß X Zm, * 6 e

rad/s2 = s“2 angular acceleration K_1 linear expansion coefficient Wm_2K_,= kgs_3K_l heat transmission coefficient Cm2V-1 =kg-1s4A2 electric polarizability g/f = kgm“3 mass concentration Pa“1 =ms2/kg compressibility =1 magnetic susceptibility rad =1 loss angle F/m =m_3kg_1s4A2 permittivity =1 efficiency Pas =m-1kgs-1 dynamic viscosity =1 shear strain S/m = (Qm) * = m 3 kg *s3A2 conductivity m wavelength WK_1m_I= mkgs-3K-1 thermal conductivity decay constant, rate ~ s-' reduced mass kg H/m = N/A2= = permeability

Frequenz kinematische Viskosität Raumwinkel Winkelgeschwindigkeit Kreisfrequenz, Pulsatanz Lichtstrom Strahlungsleistung, -fluss magnetischer Fluss elektrisches Potential Phasenverschiebung(swinkel) Dichte Spezifischer Widerstand Normal-, Zug-, Druckspannung Flächenladungsdichte Schubspannung

v,/ V Q co co d>, S. 9) beschrieben: r = r(s(t)). Die Basis­ vektoren werden damit definiert über

Basisvektoren des Dreibeins Ortsvektor des Ereignisses P Geschwindigkeit Betrag der Geschwindigkeit Krümmung

— m m/s m/s 1/m

Die Frenet-Serret -Gleichungen geben die Änderung der Basis bezüglich 5 an: deT(s) di

= k(s) eN(s)

= r(i)eB0) -k(í)?t(í)

deß(s) / X- / X —— = -r(»)w) ds

Sie definieren die Krümmung k und Torsion (Windung) t:

der(s) II

*

di

;

*(«) =

d?ß(s)

di

K l/K T l/r

Krümmung Krümmungsradius Torsion (Windung) Torsionsradius

1/m m 1/m m

Mit den Dreibeinvektoren lauten Geschwindigkeit v und Beschleunigung a des Punktteilchens: m Bogenlänge Tangentialbeschleunigung m/s2 «T -» n.v -» i —• i ~* -* ü = »er m/s2 «N Normalbeschleunigung Tangenten-Einheitsvektor a = o/S)y 1 + ^/"O

Zeiten, Winkel

gh = uosina;

gtf = vq sina. 4- y/(vQsina)2 4- 2gZQ

sinamax = 1/^2 4-2gzo/üo

B Mechanik

12 1.3 Dynamik der Punktteilchen

1.3.1 Determinismus der Mechanik Die Angabe des Ortes r(t) und der Geschwindigkeit v (r) eines Punktteilchens zur Zeit t genügt zur Angabe der Raumkurve für alle Zeiten t' > t. Aufgabe der Dynamik ist die Bestimmung und Lösung der Bewegungsgleichungen für die Orte und Geschwindigkeiten von Punktteilchen.

Die Beschleunigung a(z) zur Zeit t kann daher nur von r(z), v(t) und t abhängen: r Ort V Geschwindigkeit 5(0 = = /(r(r),5(r),r) a Beschleunigung Vektorfunktion f Die zunächst unbekannte Vektorfunktion f (r(z),u(z),z) wird experimentell bestimmt.

m m/s m/s2 m/s2

Beispiel: GALILEI-Fallgesetz. In der Nähe der Erdoberfläche gilt für alle Punktteilchen f = —gez, wobei ez der Normalenvektor senkrecht zur Erdoberfläche ist. Mit Angabe von r(t = 0) und v(t = 0) ist damit die Raumkurve der Wurfparabel (>S. 11) für t > 0 eindeutig bestimmt.

1.3.2 Masse — Impuls — Kraft Newton ordnet einem Punktteilchen eine träge Masse m zu (Massenpunkt). Der kinematische Impuls p(t) hängt von der Zeit Z, Geschwindigkeit v(t) und Masse m ab. Das 2. NEWTON-Gesetz (Aktionsprinzip) formuliert den Determinismus der Mechanik:

p(t) = F (r(t),p(t),t)

p F

Impuls Kraft

kgm/s N

■ Das Aktionsprinzip definiert die Kraft: 1. Um den Impuls eines Teilchens zu ändern, bedarf es einer Kraft. 2. Ändert sich der Impuls eines Teilchens, so kann man auf das Wirken einer Kraft schließen. ■ Diese Form des Aktionsprinzips gilt auch in der Speziellen Relativitätstheorie, >S. 55. ■ Für N Punktmassen m, hängt die Kraft auf das i -te Teilchen von den Orlen und Impulsen aller Teilchen ab. Gesamtimpuls und Gesamtkraft sind Summen der Einzelimpulse und -kräfte: N _ N _ Pges = Pi\ Pges = ^ges = X t=l i=l

1.4 Inertialsysteme — GALILEI-Relativitätsprinzip — ElNSTElN-Postulat

■ Inertialsysteme: Alle Bezugssysteme (>S. 7), die sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit geradlinig (also nicht beschleunigt) zueinander bewegen. ■ Abgeschlossene Inertialsysteme: Inertialsysteme, bei denen Teilchen außerhalb keinen Ein­ fluss auf die Teilchenbewegung innerhalb des Systems haben. ■ GALILEI-Relativitätsprinzip: Die Naturgesetze haben unabhängig von der Wahl des Inerti­ alsystems in allen dieselbe Form, d. h. die Naturgesetze sind universell. ■ ElNSTElN-Postulat der speziellen Relativitätstheorie: Die Transformation der Koordinaten zwischen zwei Inertialsystemen S und S' erfolgt mit der LORENTZ-Trani/omk/Zzon (>S. 49).

2 NEWTON-Mechanik

13

2 NEWTON-Mechanik

Die NEWTON-Mechanik betrachtet abgeschlossene Inertialsysteme. Die Geschwindigkeit der Teilchen in den InterialsySternen muss klein gegen die Lichtgeschwindigkeit cq sein.

2.1

NEWTON’sche Gesetze

2.1.1 GALILEI-Transformation — NEWTON-Pos/wZtz/ ■ Allgemeine GALILEI-Transformation: Erhalt des euklidischen Abstands zweier Ereignisse:

di' = di

,

(dr')2 = (dr)2

t,t' Zeit in System S und S' r, r' Ort in S und S'

s m

- Die GALILEI-Transformation definiert eine absolute Zeit, t' = t. - Drehungen gehören zu den GALILEI-Transformationen.

■ Spezielle GALILEI-Transformation. Bewegt sich S' mit gleichförmiger Geschwindigkeit ü relativ zum Inertialsystem 5 und fallen deren Ursprünge zur Zeit t = 0 zusammen, so gilt: u Konstante Relativgeschwindigm/s »'(/') = 5(r) - Ü keit zwischen 5 und S' v, v' Geschwindigkeit in 5 und S' m/s = a(f) a, a' Beschleunigung in S und S' m/s2

Beispiel: - Die Beschleunigung ist GALiLEi-invariant; sie ändert sich nicht unter einer speziellen GALILEI-Transformation. - Die Geschwindigkeiten addieren sich vektoriell (vektorielles Superpositionsprinzip). - Überholt ein Auto (v = 100 km/h • ex) einen Lastwagen (v' = 80 km/h • ex), so beträgt die Relativgeschwindigkeit S = 5 — Ö' = 20 km/h • ex. ■ NEWTON-Postulat

Die Naturgesetze ändern ihre Form nicht, wenn man die Koordinaten vom Inertialsystem 5 in das Inertialsystem S' mit Hilfe einer GALILEI-Transformation überführt.

2.1.2 Aktionsprinzip (2. NEWTON-Gesefc)

Die auf das Teilchen wirkende Kraft leitet sich aus derselben Raumkurve ab. Daher gilt F(r(t),v(t),t) = F'(r'(t'),v'(/'),/')• Aus dem NEWTON-Postulat und der Invarianz der Be­ schleunigung unter speziellen GALILEI-Transformationen folgt, dass Kraft und Beschleunigung proportional sein müssen. Für Geschwindigkeiten, die klein gegen die Lichtgeschwindigkeit cq sind, lautet das 2. NEWTON-Gesetz (Aktionsprinzip): F = ma F' = ma'

; ;

p = mv p' = mv'

F, F' Kraft in System S und S' p, p' Impuls in S und S' v, v' Geschwindigkeit in 5 und S'

N kgm/s m/s

Beispiel: Um ein Teilchen der Masse m und der Winkelgeschwindigkeit coq =

S. 17. ■ „Kraft = Masse Beschleunigung“ gilt nur für Geschwindigkeiten, die klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit co sind.

2.1.3 Schwerpunkt — Erhaltung des Gesamtimpulses Der Schwerpunkt rs ist der Massenmittelpunkt eines Systems aus N Teilchen (Massen m/):

1 N rs = — V miri msti

mit

N ms = V mt zr

nm,"’S

Ort des Schwerpunkts Ort des Teilchens i Masse des Teilchens i Gesamtmasse

m m kg kg

Die Gesamtkraft auf ein abgeschlossenes Inertialsystem (>S. 12) verschwindet, Fges = 0. Daher bleibt der Gesamtimpuls erhalten, pges = 0. Das Aktionsprinzip (>S. 13) resultiert in der Impulserhaltung für den Schwerpunktsimpuls: ps = msrs = Pges ist in einem abgeschlossenen Inertialsystem mit N Teilchen konstant.

N pi(f) = const mit pi = miSi = mtri

ps = i=l

PS Pi »i N

Impuls des Schwerpunkts Impuls des Teilchens i Geschwindigkeit des Teilchens / Teilchenzahl

kgm/s kgm/s m/s

Beispiel: Zentraler Stoß zweier Punktmassen. Eine Punktmasse (mj =20 kg) trifft mit v\ = »\ex = 10 m/s • ex auf eine mit t>2 = ü2^x = —5 m/s • ?x bewegte Punktmasse (n?2 = 10 kg). Die Impulserhaltung liefert nach einem vollplastischen Stoß (gleiche Geschwindigkeiten uj = = v' nach Stoß) die gesuchte Geschwindigkeit v' beider Massen: An 1 r>i 4- ni2V2 = m\v\ 4- m2V? = const => v = vex =----------------- ex = 4-5 m/s • ex. 1 z m\ 4- m2 Der Schwerpunkt rg(0 bewegt sich geradlinig gleichförmig: Ort des Teilchens i m 7 Ort und Anfangsort des m 1 N ?s(0 = —Vm/rf(0 = —r + ro Schwerpunkts kg "'S Gesamtmasse kgm/s PS Impuls des Schwerpunkts

Beispiel: Ist im obigen Beispiel der Schwerpunkt für t = 0 im Ursprung des Inertialsystems, folgt ro = 0. Die Schwerpunktsbewegung wird dann durch r§(/) = pst/m$ = v't = 5 m/s-f-ex beschrieben.

2.1.4 Trägheitsprinzip (1. NBMTOW-Gesetz)

Aus der Erhaltung des Gesamtimpulses folgt für den Spezialfall eines einzelnen Massenpunktes:

1. NEWTON-Gesetz oder Trägheitsprinzip: Ein einzelner Massenpunkt im abgeschlossenen Inertialsystem bewegt sich geradlinig gleichförmig (also nicht beschleunigt).

?(/) = So/ + ro

r "0 t

Ort des Teilchens, r(t = 0) = rg Geschwindigkeit des Teilchens Zeit

m m/s s

Beispiel: Der Schwerpunkt der Sonne bewegt sich geradlinig gleichförmig durch das Weltall. Erst auf kosmologische Distanzen zeigt sich, dass die Sonne das Zentrum ihrer Galaxie (Milchstraße) umkreist.

2 NEWTON-Mechanik

15

2.1.5 Reaktionsprinzip (3. NEWTON-GeseZz)

Aus der Erhaltung des Gesamtimpulses folgt für den Spezialfall zweier Massenpunkte das dritte NEWTON-Gesetz oder Reaktionsprinzip (actio = reactio): Die Kraft des ersten Teil­ chens auf das zweite ist umgekehrt zur Kraft des zweiten auf das erste. Fges Gesamtkrafl N Fges = F] + A = 0 oder F\ — -F2 F\ Kraft auf das Teilchen 1 N ¿2 Kraft auf das Teilchen 2 N

Beispiel: Zieht man auf einem zugefrorenen See mit ideal glatter Eisfläche eine Person an einem Seil zu sich heran, übt man die Kraft F\ auf die Person aus. Aufgrund von ‘actio=reactio’ wird man selbst ebenfalls mit der Kraft F2 = —F\ in Richtung der Person beschleunigt.

2.2 Energie, Leistung und Arbeit, Drehimpuls und Drehmoment

2.2.1 Kinetische Energie — Leistung — Arbeit

■ Bewegt sich ein Teilchen der Masse m mit der Geschwindigkeit v, ist die kinetische Energie: J kg m/s

Ey, T Kinetische Energie m Masse r,t> Geschwindigkeit des Teilchens

Beispiel: - Beim zentralen, voll plastischen Stoß zweier Punktmassen, >S. 14, ist die Summe der kine­ tischen Energien vor dem Stoß größer als die kinetische Energie nach dem Stoß: Ekj = ¿miVj = 1 kJ, = ^2^2 = J und 2= +m2)5'2 = 375 J. - Kinetische Energie in verschiedenen Koordinatensystemen (Tabelle). Kartesische Koordinaten

Zylinderkoordinaten

Kugelkoordinaten

= y (e2 + e V + z2) Ek=-£ (/,2+ r2^2 + (r sin 0)2 P(t) = 0. ■ Die Änderung der kinetischen Energie im Zeitraum t\ bis t2 ist die an m verrichtete Arbeit: t2 ¡2 W = f P(f)dt = fF-vdt ti ti = f F • dr C

= f Ft ds' 0

p F Ft V s C

Leistung Kraftfeld auf der Raumkurve C Tangentialkraft zur Raumkurve Geschwindigkeit des Teilchens Bogenlänge der Raumkurve C Raumkurve zwischen n und t2

W N N m/s m —

Beispiel: - W < 0 bedeutet, dass das Teilchen auf seiner Bahn die Arbeit | W| verrichtet hat. - Für eine konstante Tangentialkraft gilt W = Fy 5: „Arbeit ist gleich Kraft mal Weg!“.

B Mechanik

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2.2.2 Potential—potentielle Energie — Energiesatz der Mechanik

■ Ein Potential oder die potentielle Energie tp(r) existiert am Ort r für ein Teilchen, wenn für alle geschlossenen Raumkurven C die verrichtete Arbeit W = 0 ist. Die zugehörige Kraft F ist die räumliche Änderung der potentiellen Energie:

0. Im Einzelnen bedeuten sie Forderungen nach:

■ Homogenität der Zeit: die Wahl des Zeitnullpunkts ist frei (Forderung nach Invarianz der Bewegungsgleichungen unter Translation derZeit, t(i) = t); ■ Homogenität des Raumes: die Wahl des Koordinatenursprungs ist frei (Forderung nach In­ varianz der Bewegungsgleichungen unter Translation des Ortes, rjj = 2); ■ Isotropie des Raumes: die Wahl der Richtungen der Koordinatenachsen ist frei (Forderung nach Invarianz der Bewegungsgleichungen unter Rotationen, rjj = -Q x r7); ■ Gleichwertigkeit der Inertialsysteme: die Geschwindigkeit kann nicht absolut gemessen werden (Forderung nach Invarianz der Bewegungsgleichungen unter speziellen GALILEITransformationen, rjj = üt).

5.3.2 Erhaltungssätze

Nach TAYLOR-Entwicklung im infinitesimalen Parameter 6 folgt das NOETHER-Theorem:

J=E=T+V

N WS = S mj J=i

1 »

ms

N

Pj VJ L J E ü ms 'S

J=1

PS

kg m/s m J J J m/s kg m kg m/s

Kinematischer Impuls Transformationsvektor LAGRANGE-Funktion JACOBI-Integral Mechanische Energie Relativgeschwindigkeit Gesamtmasse Ort des Schwerpunkts Gesamtimpuls

Im Rahmen der LAGRANGE-Mechanik folgen die Konzepte „Energie“, „Impuls“ und „Drehim­ puls“ zwanglos aus der Anwendung des Relativitätsprinzips.

■ Aus der Homogenität der Zeit folgt die Erhaltung der mechanischen Energie, ■ Aus der Homogenität des Raums folgt die Impulserhaltung,

E = 0. N PS = 0, ps = Pj J=1

■ Aus der Isotropie des Raums folgt die Drehimpulserhaltung,

N L = 0, L = £ rjx pj. >1

■ Aus der Gleichwertigkeit der Inertialsysteme folgt das 1. NEWTON-Gesetz: der Schwerpunkt bewegt sich geradlinig gleichförmig,

rs = PS/ms-

6 Zweiteilchenproblem

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6 Zweiteilchenproblem Die LAGRANGE-Funktion Lz = T — V für zwei Teilchen bestehe aus ihrer kinetischen Energie T = n2 4- ^W2?22 und dem Potential V = V(|n — F2I), das nur von ihrem Abstand

abhängt. Die Erhaltungssätze erlauben eine formale Lösung des Problems für integrables V (#).

6.1 Formale Lösung des Zweiteilchenproblems 6.1.1 Schwerpunktkoordinaten — Relativkoordinaten — Erhaltung des Gesamtimpulses ?s(0 = ^(«»iri(í) + m2r2(í))

ws = »ii+w2

m, "'S £

, = ^r2

r

r(i) = n(i)-r2(0

n(0 = ^s(í) + ?2(0 = FsW -

;

n

Die LAGRANGE-Funktion vereinfacht sich zu Lz =

Ort des Teilchens i Masse des Teilchens 1 Gesamtmasse Reduzierte Masse Ort des Schwerpunkts Relativvektor

m kg kg kg m m

rs2 +j/ir2-V(|r|).

Der Schwerpunktsvektor rs ist eine zyklische Variable; d. h. der Gesamtimpuls ist erhalten. Die Impulserhaltung resultiert in der geradlinig gleichförmigen Bewegung des Schwerpunkts.

6.1.2 Erhaltung des Drehimpulses — 2. KEPLER-Gesetz

Die Erhaltung des Drehimpulses bedeutet im Bezugssystem, das sich mit dem Schwerpunkt bewegt, für die verbleibende effektive LAGRANGE-Funktion L\ = Ipr2 — V(|r|), dass die Bewegung in der Ebene senkrecht zum Drehimpuls L = r x (mr) verläuft (L ± r, L ± r). Mit der Wahl L = Lez vereinfacht sich die LAGRANGE-Funktion in Zylinderkoordinaten zu L = (¿2 4- e2^2) — V'(e). V ist eine zyklische Variable; somit ist = |L| = pp2(p zeitlich konstant. Zweites KEPLER-Gesetz. Der,JFahrstrahl“ des Planeten r(z) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Die in der Zeit d/ überstrichene Fläche ist dA = ^gdg = \(>2&p.

Mit dem Drehimpulsbetrag |L| = pp2(j) folgt dA = |£| dr/(2/z). Die „Flächen­ geschwindigkeit“ ist zeitlich konstant, dA/dr = |L|/(2/z).

6.1.3 Erhaltung des Energie — Zentrifugalpotential — Bahnkurve

Die Erhaltung von E = \p (¿2 4- #2^2) 4- V(#) erlaubt die Einführung des effektiven Potentials für die eindimensionale Bewegung entlang von ee mit dem Zentrifugalpotential Vzf(ß)V Zweiteilchen-Potentialin ZylinderJ koordinaten Veff Effektives Potential Vzf Zentrifugalpotential L Drehimpuls ß Abstand vom Potentialzentrum H Effektive Masse

J J J kgm2/s

m kg

B Mechanik

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Für eindimensionale Bewegungen eines Teilchens in einem Potential kann die Bewegungsglei­ chung durch „Trennung der Variablen“ explizit gelöst werden. t Q

T1

e(0

t — io = ± y T— (E — Veff(u))

du

eo