Osnove robotike 953-6647-29-X

Citation preview

UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

l·

Urednik Prof.

r.

se. Zvonko Benčić

Tehnički urednik Žarko Pavunić

Recenzenti Pro. r. se. Mladen Cmeković Doc.

r.

se. Joško Peić

r. se. Željko Ban Letorica Brana Romer, prof.

Naslovna sraica Željko Kozarić

Objavljivanje ovog sveučilišnog užbenika odobrio je Senat Sveučilišta u Zarebu, odlukom br. 02-850/4-2000. od 11. 7. 2000.

ISBN 953-6647-29-X

CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna njižnica - Zagreb UDK 62-5:004.896>(075.8) KOVAČIĆ, Zdenko Osnove robotike I Zdenko Kovačić, Stjepan Bogdan, Vesna Krajči. - Zagreb : Graphis, 2002. (Udžbenici Sveučilišta u Zagrebu Manualia Universitatis studioum Zagrabiensis) -

=

Bibliograija. - Kazalo. ISBN 953-6647-29-X I. Bogdan, Stjepan 2. Krajči, Vesna

I. Robotika -- Udžbenik

420312016

Tisak: M&D, Zagreb

ZDENKO KOVAČIĆ STJEPAN BOGDAN VESNA KRAJČI

OSNOVE ROBOTIKE

SADŽAJ

PREDGOVOR 1.

2.

I

OPĆENITO O ROBOTIMA 1.1. Deinicije robota 1.2. Podjela robota 1.2.1. Vrste pogona 1.2.2. Geomerija radnog prostora 1.2.3. Načini upravljnja retanjem 1.3. Karakteristike robota 1.3 .1. Broj osi 1.3.2. Nosivost i brzina 1.3.3. Dohvat i hod 1.3.4. Orijentacij a alata 1.3.5. Ponovljivost, precinost i točnost 1.3.6. Radna okolina 1.3.7. Primjer: Školski robot RHNO R-3 1.4. Primjena robota Pitanja za provjeru nanja

2 3 3 3 7 7 7 7 8 8 9 10 10 12 14

DIREKTNA NEMATIKA 2.1. Skali i vektorski prodti 2.2. Koordinani sustavi 2.3. Rotacije 2.3.1. Osnovne rotacje 2.3.2. Složene rotacij e 2.4. Homogene koordinate 2.4.1. Sustavi homogenih koordinata

15 16 17 18 18 19 20 20

1

I

SD:J

2.4.2. Translacije i rotacije 2.4.3. Složene homogene transomacije 2.4.4. Složene homogene rotacije i orij entacij a alata

a) Orijentacija alata pomoću skretanja, poniranja i valjanja b) Orij entacja alata pomoću zavrtanja, nagibanja i zakretanja (Eulerovi kutovi) 2.4.5. Transomacije koordinata kod spiralnog gibanja 2.5. Kinematički prameri 2.5.1. nematički pmeri zgloba 2.5.2. nematički parameri članka

24 25 25 25 26

2.6. Denavit-Hartenbergova metoda

26

2.7. Jednadžba manipulatora (ruke) 2.7.1. Primjer: Troosni planai rotacijski robot (direkna kinematika) 2.7.2. Primjer: Peteroosni rotacijsi robot NO R-3 (direkna

27 30

kinematika)

2.7.3. Primjer: Četveroosni robot tipa SCARA-RRT (direna kinematika) 2.7.4. Primjer: Četveroosni robot tipa SCARA-RTR (direkna kinematika)

3.

22 22 23 23

31 33 34

Pitanja za povjeru nanja

36

INVERNA KINEMATIKA: RJEŠAVANJE JEDNADŽBE MNIPULATOA

37

3 .1. Vektor koniguracije alata

37

3.2. Problem inverzne kinematike 3.2.1. Primjer: Troosni plani rotacijski robot (inverna kinemaika) 3.2.2. Prjer: Peteroosni rotacjski robot NO R-3 (invezna

39 40

kinematika) 42 3.2.3 Primjer: Četveroosni robot tipa SCRA-RTR (inverna kinematika) 44 Pitnja za provjeru nnja 46

4.

DNAMIKA MANIPULATORA 4.1. Larangeova jednadžba 4.2. Kinetička energija 4.2.1. Tenzor inercije članka 4.2.2. Jacobijeva marica članka 4.2.3. Tenzor inercije manipulatora 4.3. Potencijalna energija (ravitacija) 4.4. Poopćena sila 4.4.1. Aktuatori 4.4.2. Treje 4.5. Larange-Eulerov dinamički model 4.5.1. Primjer: Troosni plai rotacijski robot (dinamika) 4.5.2. Primjer: Peteroosni rotacijsi robot RHINO R-3 (dka) 4.6. Direkna i inverzna da

47 47 48 49 50 52 52 53 53 53 55 57 61 64

SDŽJ

4.7. Newton-Eulerov ički model 4.7.1. Newton-Eulerove jnadžbe s račnjem »prema naprijed« 4.7.2. Newton-Eulerove jednadžbe s račnjem Unatrag« 4.7.3. Rekurzivne Newton-Eulerove jednadžbe 4.7.4. Primjer: Troosni plai rotacijsi robot Pitnja za projeru nnja

5.

PLNIRANJE TRAJEKTORIJE

5.1. Putanja i rajektorija

64 64 65 67 67 70 71

Pitanja za provjeru nanja

71 72 73 74 75 76 77 77 78 81 82 82 83 92 101

POGONI U ROBOTICI

102

5.2. Gibnje maniplatora od točke do točke 5.2.1. Planiranje rajektorije za gibanje od točke do točke 5.2.2. Primjer plniranja rajektorije gibanja robota od točke do točke 5.3. Gibanje manipulatora kontinuirano po putanji 5.3.1. Primjer planirnja rajektorije za gibanje koninuirano po putanji 5.4. Interpolirna retanje 5.4.1. Intepolacija kubnim polinomima 5.5. Pravocrno gibanje 5.5.1. Pimjer: Troosni plani rotacijski robot (rajektorija) 5.5.2. Primjer: Peteroosni rotacijski robot NO R-3 (rajektorija) 5.6. Intepolacija polinomima rećeg i četvrtog stupnja 5.6.1. Ho-Cookova metoda 5.6.2. Primjer: Troosni plani rotacijski robot (Ho-Cookova metoda)

6.

VII

6.1. Vrste i karakteristike elekričh srojeva i elektromotoh pogona u robotici

6.1.1. Istosmjeni motori za primjenu u slijednim sustavima robota 6.1.2. Elekronički komutirani istosmjei motori za primjenu u

103 105

slijednim sustavima robota - sironi motori s permanennim magnetima

6.1.3. Prijenos pomoću reduktora 6.2. Načini upravljanja slijedim sustavima robotskih mehanizma 6.2.1. Sustavi upravljanja zglobom robota z upravljje momentom 6.2.2. Upravljačka petlja po momentu s kompezacijskim proširenjem 6.2.3. Robusno i adaptivno upravljanje položajem z upravjnje po momentu

6.2.4. Hsiaova metoda 6.2.5. Prikaz sheme robusnog upravljnja u obliku sheme adaptivnog upravljnja

6.2.6. Praktična realizacija Hsiaova regulatora 6.2.7. Sustavi upravljanja zglobom robota z upravljanje brzinom vrtnje 6.2.8. Regulacijske petje robotskih sustava CNC tipa Pitnja za provjeru nanja

109 113 114 116 119 123 123 125 127 128 131 133

Il 7.

SDŽJ

UPRAVLJANJE SILOM DODIRA MANIPULATORA

135

7.1. Upravjanje silom dodira robotskog mehanima s jeim stupnjem slobode gibnja

Pitanja za provjeru nanja

137 140 145

FLEKSIBILNI PROIZVODNI SUSTAVI

146

8.1. Osnovne sre leksibinih proizvoih sustava 8.1.1. Tekuće poizvone linije 8.1.2. Višeulazne proizvodne linije 8.1.3. Proizvodne linije koje sadrže operacju sklapanja 8.1.4. Proizvone linije sa slobonim odabirnjem operacja 8.2. Sustavi s disrenim događajima 8.3. Elementi leksibilnog proizvodnog sustava 8.4. Perijeve mreže 8.4.1. Primjer: Perijeva mreža i njezin raf 8.4.2. Pravilo okidanja Pejeve mreže 8.4.3. Primjer: romjena vektora stanja izazvana okidanjem prijelaza

147 147 147 148 148 148 151

7 .2. Sinteza regulatora brzine vrnje i sile dodira

8.

8.5. Jednadžba pijelaza stnja Pertijeve mreže 8.5.1. Primjer: Jedndžba prijelaza stanja Perijeve mreže 8.6. Osnovna svojstva Perijevih mreža 8.6.l. Dohvatljivost 8.6.2. Oraničenost 8.6.3. Živost 8.6.4. Revezibilnost 8.6.5. Jednonačnost 8.7. Sna svojstva Pejevih mreža 8.7.1. Sion 8.7.2. Zamka 8.7.3. p-invarijnta 8.8. Modeliranje FPS-a Perijevim mrežma 8.8.1. imjer: Modeliranje FPS-a Perijevim mrežma 8.9. Analiza FPS-a primjenom Peijevih mreža 8.9.1. Konlit 8.9.2. Zaglavljenje 8.10. Upravljanje FPS-om z pomoć Perijevih mreža 8.10.1. Onemogućavnje koa 8.10.2. Onemogućavnje zaglavljenja 8.10.3. Određivanje riičnog sifona u Fl 8.10.4. Uvjet stabilnosi Fl sustava 8.10.5. Primjer: Određivanje itičnog siona u Fl 8.10.6. Primjer: FBFS i LBFS algorimi upravljnja Pitanja za provjeru nja

152 154 154 155 156 156 158 158 158 158 158 159 159 159 159 160 160 161 162 162 163 164 165 166 169 170 171 172 173

SDJ

9. MATRIČNI MODEL FLEKSIBILNOG PROIZVODNOG SUSTAVA 9.1. Marice leksibilnog proizvodnog sustava 9.2. Marične jednadžbe leksibilnog proizvodnog sustava 9.2.1. Primjer: Logičko množenje 9.3. Studijski primjer određivanja maričnih jednadžbi FPS-a

X

175 175 177 177 178

9.4. Upravljanje leksibilnim proizvodnim sustavom zasnovano na maričnim jednadžbama

182

9.4.1. Primjer: Određivanje upravljačke matrice i sre upravljačkog vektora

9.5. Određivanje snih svojstava MRFl sustava pomoću marica 9.5.1. Određivanje h čeknja 9.5.2. Primjer: Određivnje nh čeknja pomoću sng-algebre 9.5.3. Određivnje ritičih siona 9.6. Veza imeđu maričnog modela i modela s Perijevom mrežom Pitanja za provjeru znanja

184 185 185 186 187 188 189

LITERATUA

191

KAZALO POJMOVA

193

POPIS PRIMIJENJENIH OZNAKA

198

PREDGOVOR

Robotika je višedisciplinama znnstvena grana koja objedinjuje mnoga sustav­ ska znnja z područja mehanike, elekronike, računrstva i automatike, a zbog svog velikog načeja u postindusrijskom šu, zadire i u područja medicine, ekono­ mije, sociologje i ilozoije. Robotika je istodobno vrlo privlačna, izazovna i maštovita disciplina. Ona naj­ češće kao svoj zadatak ima plemenit cilj - na primjer, zamijeniti čovjeka pri obav­ ljanju zamoh i jenoličnih, odnosno opasnih i po zdravlje štenih poslova. Robotika je ramjeno mlada tehnička grna, li koja već ima svoju bogatu tra­ dicju. Pokazalo se da su roboti, baš kao i ljudi, prolazili generacijske cikluse. Svaka nova generacija obota dobivala je naprednija obilježja u odnosu na prethodnu, što se prije svega odnosilo na ostvareni stupanj inteligencije, prateću račnalsku moć, poboljšane dinamičke pokazatelje i naprednije algorime upravljnja. U ovisnosti o konsukciji robota i njegovoj rajnjoj njeni, robotika se obič­ no djeli na indusrijsku i mobilnu robotiku, ali pritom ne treba zaboraviti rastući načaj mirorobotike i osobito robotike u medicini. U ovoj njizi najviše će biti riječi o indusrijskoj robotici, čije osnove mogu poslužiti kao polana točka za izučavanje i ješavanje tehničkih problema z svih ostalih područja robotike. U sadržaju je tkođer posvećena posebna pažnja modeli­ ranju i upravljanju leksibilnih proizvodnih sustava, čiji značaj sve više raste. Ova njiga nastala je kao rezultat dugogodišnjeg rada u ovom području u uvje­ tima koji su bili sve samo ne stimulativni. Dok su samo vrlo rijeki pojedinci sporili značj robotike kao pouzdanog pokazatelja tehnološke rzvjenosti neke sredine, ipak je prema robotici usrajno njegovan speciičn odnos kao prema elinoj, ali za Hrvatsku nepotrebnoj tehničkoj disciplini. Tome je u mnogo čemu kumovao izosta­ nak razvoja hrvatske automobilske industrije te već ronične poteškoće u radu vat­ skih brodoradilišta.

XII

PREDGOVOR

Proces globalizacje, usprkos rastućem broju njegovih protivnika, donio je mo­ gućnost da se i u manjim zemljama robotika razvija istim tempom kao i u razvije­ nim zemljma. Nove inonnacijske tehnologje ijenjaju u popunosti način lokal­ nog djelovanja, jer omogućavaju brz prijenos nnja i tehnologija. Radeći tijekom vremena na sve većim i načajnijim robotičkim projetima,

pokazalo se da je i u hrvatskom društvu poreba i želja za nanjima z područja robo­ tike velika. Osnovana su ranska društva kao što je npr. vatsko društvo za robo­

tiku, organiziraju se škole robotike za učenike osnovnih i srednjih škola, sve je više sudenata koji robotiku doživljavaju kao priliku za dokazivanje svojih sposobnosti. Ova je njiga namijenjena pije svega studentima svih tehničkih fakulteta koji u svojim prormima imaju zastupljenu robotiku. Ovu njigu mogu također koristiti

inženjeri projektanti, nastavnici na školama i svi potencjlni i svi zljubljenici u robotiku. Želimo istanuti da se tijekom pisanja rukopisa njige, pazilo da svaka obrađena nastavna cjelina završi s jasno deiniranim izrađenim primjerima i algorit­

mima pripremljenim za moguću prtičnu izvedbu.

Da bi to bilo moguće, mnogo je suradnika i studenata Fakulteta elekrotehnike

i računrstva u Zarebu, smjera Automatika, u tome svojim radom na seminarskim i diplomskim zadacima pripomoglo pa im zbog toga od srca zahvaljujemo. Želimo istanuti posebnu zahvalnost recenzentima koji su svojim prijedlozia

i korenom pripomoći omogućili da ovaj rukopis bude što iji i kvalitetniji. Posebno priznanje odajemo ljudima iz nakladne kuće Graphis, koji su svojim rudom i znanjem učinili da ovaj rkopis bude ispravan i oku privlačan. Posebnu zahvalu upućujemo ma koje su novčano poduprle ovo izdaje i

omogućile da cijena svakog primjerka knjige bude pristupačna svim čitateljima.

I na raju zhvala našim najdražima, članovima naših obitelji bez čije usrajne porške ništa ne bi bilo niti tako lako, niti tako jednostavno. Ugodno čitanje! Zagreb, listopada

2001.

Autoi

1. OPĆENITO O ROBOTIMA

Najčešće se pod pojmom robota razumije industrjski robot, koji se još naziva robot­ ski manipulator ili robotsa ruka. Primjer indusrijskog robota prikazan je na slici 1.1. Robot, odnosno robotska ruka može se modelirati u obliku lanca utih članaka, koji su međusobno povezani poretljivim zglobovima. Tako se kod robota s rotacijskim zglobovi­ ma može uočiti naglašena sličnost s građom ljudske ruke, pa se takvi roboti nazivaju arti­ kulirane robotske ruke. Pojedini članci takvih robota odgovaraju ljudskim grudima, nad­ laktici i podlaktici, a zglobovi ramenu, laktu i ručnom zglobu.

Sl. 1.1.

Industrijski robot re Mate (Fanuc Ltd.)

2

1. OPĆEITO O ROBOTA

Sl. 1.2.Različiti oblici završnili mehanizama za poslove paleti­ zacije (Euroinpianti s.p.a.)

završni mehanizam, slika 1.2., koji se još naziva alat, prihvatnica ili šaka. Prihvanica najčešće ima dva prsta ili više prstiju, koji se otvaraju i za­ Na kraju robotske ruke nalazi se

tvaraju.

1.1.

DEFINICIJE ROBOTA Riječ robot (češki

robota

-

rad) prvi je uveo pisac K. Čapek te je pomoću nje opisao

sljedeći stroj: »Stroj vješt u radu, a ponaša se slično čovjeku te ponekad ispunjava nkcije čovjeka.«

Manipulator (lat. manpulus

-

šaka; lat.

manus

-

ruka) najčešće je stroj za obavljanje

pomoćnih operacija, koje se odnose na promjenu položaja materijala pri obradi i montaži. Općenito je prihvaćena da suvremeni manipulatori u poijeklo od ia G.

C. Devola iz 1954. godine, koji je prmijenio nov koncept upravljanja strojem za manipulaciju materi­

jalima, zasnovn na učenju manipulacijskog zadatka u početnoj azi te uzastopnom ponav­ ljanju naučenog zadatka u fazi eksploatacije.

U automatiziranim proizvodnim sustavima

pod manipulatorom se razumije industrijski robot. Osim najčešće korištenih industijskih robota često se uporebljavaju i

medicinski ro­

botski uređaji, hodajući strojevi te roboti za podmorska, svemirska i ostala istraživanja.

1.2.

PODELA ROBOTA

3

Postoji mnogo različitih definicija robota, ovisno o mjestu i načinu primjene. U Sjedi­ njenim Američkim Državama robot se najčešće definira kao automat prilagođen složenoj okolini koji obavlja ili dopunjava jednu radnju ili više radnji čovjeka, dok se u Japanu pod robotom razumije automat s promjenjivim programom koji se koristi za automatizaciju ručnih operacija. Robot se u općem slučaju može definirati kao tehnički uređaj sa svrhom obavjanja nekih kretanja i funkcija koje obavja čovjek, pri čemu se odlikuje određenom samostal­ nošću, j. autonomnošću u radu. U tom smislu može se koristiti i ova, nešto konkretnija definicija robota [1]: Robot je programski upravjan mehanički uređaj koji se koristi sen­ zorima za vođenje jednog završnog mehanizma ili više njih po unaprjed određenoj puta­ nji u radnoj okolini s cijem manipuliranja fizičkim objektima. 1.2. PODJELA ROBOTA

Manipulatori se mogu podijeliti s obzirom na vrstu pogona, geomeriju radnog pro­ stora i načine upravljanja kretanjem. 1.2.1. Vrste pogona

Za pogon većine današnjih robotskih manipulatora koriste se električni motori isto­ smjeni, izmjenični i koračni, jer su relativno jetini, s velikom brzinom i točnosti, i u njih je moguća primjena složenih algoritama upravljanja. -

Kod specifičnih primjena (npr. rukovanje užarenim čelikom ili sastavljanje dijelova automobila), kada se zahtijeva manipulacija velikim teretima, češće se koriste roboti s hidrauličkim pogonima. Takvi pogoni imaju zadovoljavajuću brzinu rada, a zbog nestlači­ vosti ulja moguće je mimo održavanje položaja. Glavni nedostatci tih motora njihove su visoke cijene i onečišćavanje okoline zbog buke i mogućeg istjecanja ulja. Treća vrsta pogona jesu pneumatski pogoni koji imaju relativno nisku cijenu i veliku brzinu rada a ne onečišćuju okolinu pa su pogodni za laboratorijski rad. Takvi pogoni nisu pogodni za rad s velikim teretima, jer je zbog stlačivosti zraka nemoguće mimo održavati željeni položaj. Uz to su bučni a potrebno je i dodatno filtriranje i sušenje zraka zbog nepo­ željne prašine i vlage. Ako se zahtijeva samo otvaranje i zatvaranje prihvatnice, tada se u završnom meha­ nizmu koristi pneumatski motor da se grubim stiskom ne bi oštetio lomljiv premet. U najnovije vrijeme javljaju se rješenja koja se koriste pneumatskim pogonima za realizaciju pneumatskih mišića pogodnih za operacije savijanja. 1.2.2. Geometrija radnog prostora

Radni prostor robota jest skup točaka u trodimenzionalnom prostom koje se mogu dohvatiti ručnim zglobom robota na koji je pričvršćen završni mehanizam. Veličina radnog prostora robota ovisi o broju i tipu zglobova robota, duljinama članaka te o postojećim fizičkim ograničenjima, koja su neposredno povezana s konkretnom građom i izgledom robota. Na slici 1.3. prikazan je primjer radnog prostora industrijskog robota Euroimpianti Skilled 504.

4

I. OPĆNITO O ROBOTIA

Osi prvih triju zglobova robota određuju položaj ručnog zgloba, a osi preostalih riju zglobova utvrđuju orijentacju alata. Tako tipovi zglobova upotrijebljenih za prve ri osi određuju geometriju ranog prostora robota. Kod industrijskih robota koriste se dva osnov­ na tipa zglobova: rotacjski i translacjski. Rotacijski zglob rotira oko osi, a ranslacijski se linijski giba po osi.

(f " r

// .

//

.._ .„ __

.

I \ I, XXESSPEED AS{A)l-r1ll:l·UO�/.

f ,.

· -- ·

4XSC8,{HcllJ„l,%m/„ .

:,\

\I,__

1·

WI • . . -. \\ I f j \. . //�--.��! � :. / n,,, ;,/' . 1�7JS \_/ '/ .·

_ - -, - -

"-...

....

I

I

-

··

·

što je 2.8. Iz te slike može se vi­

prikazano na slici

)k predstavlja rotaci­ 1 ju oko osi zk- , koja os xk-1 postavlja u para­ djeti da kut k-tog zgloba

lelan položaj s osi c. Udalj enost k-tog zgloba

dk predstavlja ranslaciju po osi zk-1

porebnu

xk-1 i c. Dakle, )k predstavja rotaciju oko osi zgloba k, dok dk a dobivanj e presjeka osi

yk-I

određuje ranslaciju duž iste osi.

Sl. 2.8. Kut zgloba Ok i udajenost zgloba dk

Za rotacij ski zglob kut zgloba j e promjenljiv, a udalj enost zgloba je konstanna, dok

za ranslacjski zglob vrijedi obnuto.

26

2. DIEKNA NEATIA

2.5.2.

inematički parametri članka

Osim zgloba koji povezuje dva su­ zglob k+l sjedna članka može se promatrati članak između dvaju susjednih zglobova. Relati­ van položj i orijentacja osi zglobova k i k + 1 defmirnaje pomoću dvaju parame­ tara članka k, j. dujinom člana ak i za­ retom članka ak> što je prikazno na slici 2.9. Iz te slike može se vidjeti da su para­ meri pridruženi članku k derani u od­ nosu prema osi x k, tj. prema zajedničkoj zglob k okomici između osi zglobova k i k + l . Duljina k-tog članka ak predstavlja rans­ Sl. 2.9. Duljna člaka ak i zaret člka ak laciju po osi xk potrebnu za dobivanje presjeka osi zk- l i zk, a zret k-tog članka ak određuje rotacju oko osi xk, kojom se postiže paralelnost osi zk-l i z k. Ti su para­ meri članka uvijek konstanni i određeni mehaničkom konskcijom robota. Kinematičd koniuracja n-osnog manipulatora može se opisati s najmanje 4n kine­ matičkih parametara, a za svaku os robota i parametra su konstantna i ovise o mehanič­ wj konstrukcji robota, dokje četvrti parametar varijabla zgloba.

2.6. DENAVIT-HARTENBERGOVA METODA Denavit i Hartenberg predložili su 1955. godine jedan način sustavnog pridruživnja desno orij enh ortonomirnih koordinanih sustava svakom člnku otvorenog kinema­ tičkog lanca. Ta se metoda, prikazana na slici 2. 10., sastoji od sljedećih koraka [ l , 3]: 1. Pridružiti zglobovima brojeve od 1 do n, pri čemu je počeni zglob 1 vezan z bazu, a rajnji zglobovi n 2, n - 1 i n vezani su z orijentacij u alata (npr. sretaje, ponirnje i valjanje alata). 2. Bazi robota prižiti desno orijentirani ortonomirani koordinani sustav L0 tako da se os zO podudara s osi zgloba 1 te povećai vrijednost k za 1 za sljedeći koordinatni susav Lk (j. L 1 )· 3. Os z k postaviti u smjeru osi zgloba k + 1 . 4. Ishodište koordinanog sustava Lk postaviti u presjek osi zk i zk-I , a ako se one ne sije­ l u, tada se reba koristiti presjekom osi zk i zajedničke okomice za osi zk i zk- . 5. Postaviti os xk tako da bude okomita na osi z k i zk-I, a ko su te dvje osi paralelne, tada postaviti os xk tako da pokazuje od osi zk- l prema zk (j. prema van). 6. Preostalu os yk postaviti da se dobije desno orijentirani ortonorrni koordinani su­ stav Lk. 7. Vrijednost k povećati za 1 te ko je tada k < n, vratiti se na 3. korak i ponoviti postu­ pak, u supronom prijeći na 8. korak. 8. Postaviti ishodište koordinanog sustava Ln u vrh alata, zatim vektoru priblžavnja alata pridružiti os zn, vektoru pomicanja os yn, okomitom vektoru os xn te postaviti ri­ jednost k = 1 radi određivja kinematičih pmetara. -

2.7. JEDNADBA PLATORA RE)

27

zglob k+ I ' zglob k-1 članak k-2

prema bazi robota

Sl. 2.10.

Način pridrživanja desno orij entiranih ortononih koordinatnih sustava svakom članku otvorenog kinematičkog lanca prema Denavit-Hartenbergovoj metodi

9. Na mjesto presjeka osi xk i zk- 1 postaviti točku bk, a ako se te dvije osi ne sijeku, tada

se koristiti presjekom osi � i okomice koja je zajednička osima xk i zk-1 . 1 0. Odrediti parametar Ok kao kut rotacije oko osi zk-1 koji je mjeren od osi xk-1 prema osi

xk.

1 1 . Odrediti prametr dk kao udaljenost od ishodišta koordinanog sustava Lk-l do točke k, pri čemu se mjeri po osi

zk-1 .

12 . Odrediti prametar ak kao udaljenost od točke bk do ishodišta koordinanog sustava Lk

mjereno po osi xk. 1 3 . Odrediti parametar ak kao kut rotacije od osi zk-I prema osi zk mjeren oko osi xk. 14. Povećati vrij enost k za 1 i ako tada vrijedi k , n, vratiti se na 9. korak i ponoviti postu­ pak, u supronom postupak j e gotov.

2.7. JEDNADŽBA ANIPLATORA (RUE) Nkon što su pomoću Denavit-Hartenbergove metode svim člancima robota pridruženi oordinani sustavi, kod jednostavnijih inematičih sra moguće je riješiti problem direne kinematike iravnim nalaženjem geomeijsog ješenja. Takav pristup međutim postaje nepogodan pri analizi složenijih kinematičih sra s više stupnjeva slobode, gdje je problem direkne inematike pogodnije ješavati pomoću relativnih ransormacija koordinata sustava Lk u koordinate sustava Lk-l korištenjem marice homogene ransormac1Je T kk-l· „

28

2. DKNA NEMAKA

T _ 1 potrebno je izvršiti četiri rad­ nje, koje osiguravaju podudaranje koordanih sustava L k- l i Lk, koji se nalaze na početku i raju člnka k-1 , pri čemu je svka od tih radnji povezana s jednim od četiriju kinema­ Za određivanje maice homogene ransomacje

tičih parametara:

rotacja Lk-l oko osi zk- l za ut Ok; 2. translacja Lk-l po osi zk-l za udajenost dk; 3. translacja Lk- l po osi xk za dujinu ak; 4. rotacja Lk-l oko osi xk za ut ak. 1.

Rezultati tih radnji mogu se objasniti pomoću slika 2.8. i 2.9. Iz slike 2.8. može se vi­

xk- l i � pralelne, a nakon druge radnje e su osi kolinene. Treća radnja osigurava podudaranje ishodišta koordinanih sustava Lk i Lk-l• a izvršejem četvte radnje podudaraju se osi zk- 1 i zk, što slijedi iz slike 2.9. djei da su nkon izvršene prve radnje osi

Prva i druga radnja zajedno predstavljaju ransormaciju koordinata kod spiralnog gi­

banja oko osi zk-1 , a reća i četta radnja rnsormaciju koordinata kod spiralnog gibanja oko osi x k (upućuje na množenj e marica s desna). Kompozicijom tih dviju ransormacja spiranog gibja dobije se marica homogene ransomacje, koja opisuje relativnu rns­

omaciju koordinata sustava Lk u koordinate sustava

Lk- l

(reerenni koordinani sustav):

(2. 1 8) Takva ransormacij a koordiata članka može se izračunati korištenjem pouča 2. 7 . 1 ,

z sljedeći sraćeni zapis: sin x = S x i cos x = Cx.

Poučak 2. 7 . 1 . (transformacja koordinata člana): Neka je

{ L0, . . . , Ln } skup. ortonor­

mh koordinaih sustava člnaka određenih Denavit-Hartenbergovom metodom te neka

[q]k i [q]k- 1 homogene koordinate točke q u odnosu prema koordinanim sustavma L k i Lk-l · Tada, za 1 . k . n, vrijedi [q]k-1 = T L1 [q]k, pri čemu je zadana marica T L1 : su

k

Tk-1

=

COk sok o o

-Ca kS)k Sa kSOk ak COk Ca k CO k -Sa kC)k akS) k ak dk Sa k o 1 o

(2. 19)

Tri kinematička pramera koja se pojavjuju u marici homogene ransormacije

T L1

su konstanni, a četvrti pmetar predstavlja varij ablu zgloba. Za rotacijski zglob ta je va­

rjabla 0v a za ranslacij ski zglob

dk. Kako i se varij abla zgloba mogla prazati jednim tpa zgloba �k: gk = 1 ako je k-ti zglob rotacijski i

irazom, porebno je uvesti parametar

�k = O ako je k-ti zglob translacijski.

Uz aj parametar varij abla k-tog zgloba qk može se deinirati na sljedeći način:

(2.20) z toga slijedi da je marica homogene ransormacij e T _1 unkcija vij able k-tog qk. Sve vrijable zglobova qk> 1 S k . n , čine vektor varijabli zglobova

zgloba

TJ

TJp1),

2.7. JEDNADŽBA MANIPULATOA (RUKE)

29

Budući da marica preslikava pokretni sustav L1 u neporeni sustav baze L0 (npr. a sve ostale matrice ransormacije preslikavaju pri�adajuće porene sustave Po = u koordinate prethodnih pokrenih sustava kko slijedi pi p3 = Ti p3 itd.), mno­ = ženjem marica homogene ransormacije za 1 � k � n dobiva se marica složene homogene trnsormacije, koja koordinate ortonormirnog koordinatnog sustava alata ransora u koordinate ortonoranog koordinanog sustava baze. Tkva marica slože­ ne homogene ransormacije naziva se matricom manipulatora ili ruke, a uz uporebu vari­ jabli zglobova može se prikazati u sljedećem obliku:

TL1 (p1 T1

.

(2.21) U slučaju neredundannih robota do šest stupnjeva slobode gibanja s prve ri osi odre­ đen je položaj vrha podltice i iksna orij entacija alata:

Uzevši u obzir da je u skladu s Denavit-Hartenbergovom metodom namj ena četvrtog zgloba sretanje, petog poniranje, a šestog valjanje alata, konačna orijentacija alata ore­ đena je maricom transormacij e koordinata

TJ q).

Treba uočiti da je ta denicija orij entacije različita od deinicje orij entacije (2. 1 5) deinirane putem sretanja, poniran a i valjanja u odnosu prema vektorima neporetnog koordinanog sustava opisanog sa 0( Zgodno je uočiti da u tom slučaju treći stupac ma­ rice ne sadrži infomaciju o kutu valjanja p.

Tg(q)

Prehodno opisanim postupkom može se dobiti marična jednadžba manipulatora ili ruke:

R(q)

ala Tbat

(q) [R(Tq) p(q)] 1T q), =

VI

1

•

V = [O

O o)

•

(2.22)

Marica ima dimenzije 3 x 3 i određuje orijentacju alata, tj. deinira ri jedinična vektora koordinanog sustava alata. Vektor p( čije su dimenzije 3 x 1 , deinira položaj vrha alata, tj. koordinate vrha alata u odnosu prema koordinanom sustavu baze, kako je prikazno a slici 2.6. Pristup na osnovi ransormacij e homogenih koordinata ne omogućava smo iravno ješavanje problema direkne inematike u odnosu prema koordinanom sustavu baze ro­ bota već i u odnosu prema drugim koordinanim sustavima, kao što su npr. koordinani su­ stavi senzora (kmere, sonara i sl.), koji mogu zazeti proizvoljan položaj u radnoj okolici robota. Kao primjeri računanja marice mnipulatora mogu se koristiti roosni planani rotacj­ ski robot i peteroosni rotacjski robot HJNO R-3. Znimljivo je vidjeti sličnosti i razlike pri iračunavanju marice manipulatora SCAA robota sa RT i RTR koniguracjom.

30

2. DIKNA NEATA

Geomeijsko rješenje problema Porebno je odrediti položaj vrha alata roosnog plannog ro­ tacij skog robota prikazanog na slici 2. 1 1 . uz prepostavku da je kinematički parametar d3 = O , tj. da se koordinani sustavi kori­ jena šake (vrha podlaktice) L2 i vrha alata L3 poklapaju. Na temeju slike 2 . 1 1 . može se usta­ noviti da je članak l zarenut za kut 01 u odnosu prema reerent­ SI. 2.11. Koorinatni sustavi troosnog planamog rota­ nom koordinanom sustavu baze, cijskog robota a članak 2 za 02 u odnosu prema koordinatnom sustavu L 1 . Vrh alata te koordinatni sustav L 2 smješteni su na raju članka 2. Kod svih su koordinanih sustava z-osi usmjerene tako da zatvaraju desno orij entirane koordinatne sustave (u smjeru izvan papira). Položaj vrha alata dobiva se iravno iz geomerijske relacije: [P] 0 = a1 cos 01 + a2 cos(01 + 02 ),

�

]�0 = a1 sn 01 + a2 sin( 01 + 02 ) ,

[P

(2.23)

�

(p) 0 = O . Derivirnjem jednadžbe (2.23) dolazi se do iraza za linijske brzine u odnosu prema sustavu L0: vx = [v] 0 = - a1 sin 01 + a2 sin (01 + 02 ) 01 - a2 sin (01 + 02 ) 02 ,

�

]

[

]

[

vy = [vJ 0 = a1 cos 01 + a2 cos(01 + 02 ) 01 + a2 sin( 01 + 02 ) 02 ,

i

Jio

Vz = [V

[

=

]

[

]

(2.24)

0.

Dodatnim deriviranjem jednadžbe brzina (2.24) dolazi se do ubrznja vrha alata, čme je stvorena podloga za analizu dinamičkog ponašja ramaranog robotskog mehma. Što je rađa robotskog meha složenija, to je geomerijsko ješavanje problema direkne kinematike neprikladnij e. U tom slučaju redovito se koriste metode zasnovane na rnsormaciji homogenih koordinata, koje kao rezultat daju maičnu jednadžbu robotskog mehnima.

2.7.

JEDNADŽBA MANIPULATOA RUKE)

31

Rješenje problema direktne kinematike određivanjem matrične jednadžbe manipulatora Porebno je odredii maričnu jenadžbu troosnog plannog rotacijskog robota koji obavlja radnje u jednoj ravi te ima smo sljedeća ri stupnja slobode gibanja alata: dvije rotacije u rani određenoj osima x i y te rotaciju oko osi koja je okomita na tu ravninu. Za roosni plani rotacij ski robot mogu se, primjenom Denavit-Htenbergove metode, zadati koordinani sustavi na način prikazan na slici 2. 1 1 . Kinematički parameri tog robota su sljedeći: 1 . os: 0 1 q 1 , d1 = O , a 1 = O, a1 = a1 ;

=

2. os: 02 = q2 , d2 = O, a2 = O, a2 = a2 ; 3. os: 03 = q3 , d3 = O, a3 = O , a3 = O .

Na temelju tih kinematičkih parametara te z korištenje poučka 2.7. 1 . i sraćenog oblika pisanja: sin qk Sk i cos qk = C' mogu se dobiti sljedeće marice homogene ransormacije:

I

To =

C1 S1

o o

- Si

o o

o 1 o o

C1

=

·

a1 C1 a1 S1

o

-S2

le,

2 2 o ' T1 = o 1 lo

o 1 o o o

C2

S

a2 C2 a2 S2

o

3

' Tz

1

=

C3

- S3

S3

C3

o o

o o o o

o 1 o o

d3

1 (2.25)

Marična jenadžba roosnog plnanog rotacij skog robota može se dobiti na sljedeći način:

(2.26) Tb:� (q) = TJ (q1 } Tl (qz } Ti (q3 ) . Iz tog izraza, z sraćeni način zapisa: sin(qi + qj + qk) = Sjk i cos(qi + qj + qk) = Cjk•

o o

slijedi konačni oblik matrične jednadžbe manipulatora:

Ialat

_

ba -

C123 S123

o o

- S123

o o

C123

o 1

a1 C1 + a2 C12 a1S1 + a2 S12 d3

(2.27)

1

Treba odrediti maričnu jednadžbu peteroosnog rotacijskog robota RHINO R-3, čij i su koordinani sustavi dobiveni primjenom Denavit-Hartenbergove metode prikazani na slici 2. 1 2. Kod tog robota neporeni je motor baze pričvršćen okomito prema podlozi. Motori ramena, lkta i ponirnja alata pričvršćeni su vodoravno na ijelo robota te rotiraju oko osi baze. Motori za valjanje alata te otvranje i zatvaranje prstiju hvataljke nalaze se u šaci robota.

32

2. DIREKlNA KINEMAIKA

poniranje alata a4

x4 valjanje ds alata

Sl. 2.12. Koordinai sustavi peteroosnog rotacijskog robota HNO XR-3 Taj manipulator ima sljedeće inematičke paramere: 1 . os : 8i = q1, di = di , ai = -t/2, a1 = O; 2 . os : 82 = q2, d2 = O, a2 = O, i = a2; 3. os : 83 = q3, d3 = O, a3 = O, a3 = a3 ; 4. os: 84 = q4, d4 = O, a4 = -t/2, a4 = a4; 5. os : 8s = qs, ds = ds, as = O, as = O. Za dobivnje matrične jednadžbe tavog robota porebne su sljedeće marice homoge­ ne ransomacje, dobivene z ponate kinematičke p mere (način zapisa je sraćen pa vrijedi: sin qk = Sk i cos qk = Ck):

l

To =

Ci

o

-S i

S1

o

Ci

o

-1

o

o

o

o

4 T3

=

Cz

-S z

o

az Cz

C3

-S3

o

a3 C3

Sz 2 T = 1 ' o di o 1

Cz

o

az Sz

C3

o

a3 C3

o

1

o

S3 3 ' Tz = o

o

1

o

o

o

1

o

o

o

1

o o

C4

o

-S4

a4C4

S4

o

C4

a4S4

o

-1

o

o

o

o

o

1

5

' T4 =

Cs

-S s

o

o

Ss

Cs

o

o

o

o

1

d5

o

o

o

1

(2.28)

Marična jednadžba tavog peteroosnog rotacijskog manipulatora može se dobiti mno­ ženjem marica homogene rnsormacije na sljedeći način:

(2.29)

2.7. EDNADŽBA MANIPULAORA RUE)

[

Ako se koristi sraćeni način zapisa: sin(q; + qj + qk) = dobiva se slj edeća marična j ednadžba peteroosnog robota:

Sjk i cos(qi + qj + q0 = Cjk•

C1C23. S1S5 -C1C234S5 + S1C5 -C1S234 C1 (a2C2 + a3C23 + a4C234 - d5S234 ) 5 S1C234C5 - C1S5 -S1C234S5 - C1C5 -S1S234 S1 (a2C2 + a3C23 + a4C234 - d5S234 ) To = -S234 C5 Sz34S5 - Cz34 di - azS2 - a3S23 - a4S234 - dsCz34 o

o

33

o

1

1

(2.3 0)

Treba odrediti maričnu jednadžbu četveroosnog rotacjskog robota tipa SCA s RT koiguracijom, slika

1 .9. Karakteristika je vh robota da su sve osi gibanja zglo­

bova postavjene okomito prema podlozi, a prvi člnk koji rotira savij en je u L profil, pri

,

čemu kut savijanja od 90° odgovara ksiranom zaretu nepomičnog zgloba rmena. Motor

lakta u popunosti defmira p 1 (q) i pz (q) j . vodoravne komponente vektora položaja vrha alata

p(q), dok os ranslacije zgloba zapešća određuje p3 (q), tj . vertikalnu komponentu vek­

tora položaja ra alata. Motor za valjanje alata te motor za otvaranje i zatvaranje prstiju hvataljke nalaze se u šaci robota.

Koordinatni sustavi četveroosnog rotacij skog robota, dobiveni primjenom Denavit­

-Hrtenbergove metode, mogu se vidj eti na slici

paramere:

2. 1 3 . Taj robot ima slj edeće inematičke

1 . os: 91 = q 1 , d1 = d1, a1 = t, a 1 = a 1 ; 2. os : 92 = q2, d2 = O, a2 = O, a2 = a2; d3 q3 , a3 = , a3 = ; 3. os: 93 9 4. os: 4 q4, d4 = d4, a4 = O, a4 = . =

O

,

O O

O

=

=

a1

fe,

1

a2

�

x•

�

d1

01

yl

z•

ikllpomok

y2

d3

y3

d4

Sl. 2.13. Koordinani sustavi četveroosnog robota tipa SCA-RT

34

2. DIREKTNA KJNEMATIKA

Za dobivanje marične jednadžbe takvog robota porebne su sljedeće matrice homo­ gene ransomacij e, dobivene z ponate kinematičke parametre (način zapisa sraćen je pa vrijedi: sin qk = Sk i cos qk = Ck):

1 To =

C1 S1 S1 - Ci

o o

o

o

-1

o

o

o

3

T1 =

C2 -S2 a1 C1 a, sl 2 = Sz C2 ' T1 o o di

1

o

o

o

o

1

o

o

o

o

1

q3

o

o

o

1

o

o

1

' T34

=

C4 -S4 S4 C4

o

a1 C2 a1S2

1

o

o

1

o

o

o

o

o

o

o

1

d4

o

o

o

1

(2.3 1 )

Marična jednadžba takvog četveroosnog SCA manipulatora može se dobiti mno­ ženjem marica homogene ransormacje na sljedeći način: (2.32)

=

Ako se koristi sraćeni načn zapisa: sin(qi - qj - qk) = Si-jk i cos(qi - qj - qJ Ci-j-h dobiva se sljedeća marična jednadžba četveroosnog roboa:

4 To =

o

o

-1

a1 C1 + a2 C1_2 a1 S1 + a2 S1-2 d1 - q3 - d4

o

o

o

1

C1-2-4 S1-2-4 S1-2-4 - Ci-2-4

o o

=

(2.33)

z matrične jednadžbe (2.33) vidi se a reći supac marice rotacije sadrži komponente vektora približavanja, koje pokazuju da je taj vektor čvrsto vezan z : r3 = -i3 . Taj rezul­ tat se očeivao jer je robot tipa SCA projektn za pristup i obradu predmetima odozgo.

3

Treba odrediti matričnu jednadžbu četveoosnog rotacijskog robota tipa SCA s RTR koniguracjom, slika 1 .3. Kod ovakvih robota su također sve osi gibanja zglobova postavljene okomito u odnosu na podlogu, s tom razlikom da je drugi zglob ranslacijski, a reći rotacijski. Motor za valjaje alata te motor za otvaranje i zatvaranje prstij u hvataljke nalaze se u šaci robota. Koordinani sustavi četveroosnog rotacjskog robota, dobiveni primjenom Denavit­ -Hartenbergove metode, mogu se vidjeti na slici 2. 14.

2.7. EDNADŽBA MANPULAORA RUE)

valjanje

d4

35

duljina alata

vetikalni dz pomak

Sl. 2.14. Koorinatni sustavi četveroosnog robota tipa SCARA-RTR Taj mnipulator ima ove kinematičke paramere:

1 . os:

2. 3. 4.

01 = q1, d1 = 0, a1 = 0, a1 = O; os: 02 = O, d2 = q2 , a2 = n, a2 = i; os: 03 q3, d3 = O, a3 = O, a3 = a3 ; os: 04 = q4, d4 = d4, a4 = O, a4 = O. =

Za dobivanje marične jednadžbe takvog robota potrebne su sljedeće marice homoge­

ne ransormacije, dobivene z ponate kinematičke parmere (način zapisa je sraćen pa

vrij edi: sin qk = Sk i cos qk =

Tol =

3 T2 =

Ck):

C1 -Si S1 C1

o

o

o

o

o

o

1

o

o

o

o

1

C3 -S3 S3 C3

o o

T12 =

'

a3 C3 a3 S3

o

o

1

o

o

o

o

1

'

4 T3 =

1

o

o

a2

o

-1

o

o

o

o

-1

q2

o

o

o

1

C4 - S4 S4 C4

o

o

o

o

o

o

1

d4

o

o

o

1

(2.34)

Marična j enadžba tkvog četveroosnog SCA manipulatora može se dobiti mno­

ženjem marica homogene ransormacij e a sljedeći način :

(2.35)

36

2. DIREKTNA KINEMATIKA

Ako se koristi sraćeni načn zapisa:

sin(qi - qj - qJ = Si-j-k i cos(qi - qj - qk) = Ci-j>

dobiva se ova marična jednadžba četveroosnog robota:

4 To =

o

o

-1

a2 C1 + a3 C1_3 a2 S1 + a3 S1 _3 q2 - d4

o

o

o

1

Ci -3-4 s,_3_4 Si-3-4 - Ci-3-4

o o

(2. 3 6)

Iz marične jednadžbe (2.36) vidi se da je reći stupac marice rotacij e, kao i u prethod­ nom primjeru

SCA robota s RT koniguracijom, čvrsto vezn z i3 : r3 = - 3 , i obradu predmeima odozgo.

odnos­

no da j e i taj robot projektiran za pristup

PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA 1. 2. 3.

Kako j e deiniran problem direkne kinematike? Kako su deinirani ortonormirani koordinani sustavi i ortonomirane koordinate? Kako se određuje veza između koordinaa odabranog vektora u odnosu prema dvama različitim koordinanim sustavima?

4.

Kako su deirane osnovne rotacije, a kako se opisuju složene rotacije?

5.

Što su homogene koordinate i kako je određena maica homogene ransormacij e?

6. Koje su složene homogene ransomacije osobito česte u robotici?

7.

8.

Na koje se načine može osvriti proizvoljna orijentacija alata? Š to su to kinematički parametri i kako su deiani kod rotacjskih, a kako kod transla­ cijsih zglobova robota?

9. Kvo je načenje okomitog vektora, vektoa klizanja i vektora približavanja? 10. Kakav su postup: pridruživanja desno orijentnih ortonormiranih koordinanih sustava svkom člnku robota kao otvorenom kinematičkom lancu predložili Denavit i Haten­ berg?

11.

Koje su prednosi i nedostaci ješavnja problema direkne kinemaike putem raženja geomerijskog ješenja?

12.

Š to je marica manipulatora i kva je uloga ransomacije koordinata članka pri raču­ navanju matice manipulatora?

13.

Primjenom geometrij skog pristupa porebno je odrediti položaj završnog mehanima za robot s i stupnja slobode gibaja koji ima: a) pravokunu, b) cilindričnu, c) semu,

d) roacijsku, e) SCA koniguraciju.

14.

Primjenom Denavit-Hartenbergove metode porebno je odrediti položaj i orijentaciju završnog meha za robot s četiri stupnja slobode gibanja koji ima: a) pravokunu, b) cilindričnu, c) semu, d) rotacij sku koniguraciju. Učiniti isto za robot tipa

SCA s

pet stupnjeva slobode gibanja.

15.

Kako se ješenje problema direkne kinematike može iskorisiti pri analii dinamičkog po­ našja robotskog mema?

3 . INVEZNA KINEMATIKA:

RJEŠAVANJE JEDNADŽBE MANIPULATORA

U prehodnom poglavlju pkazan je postupak

t položaj p i oijentaciju alata R prema koordinanom

�· oređivanja matrične jednadžbe manipulatora, koja � sustavu baze

L0 predstavlja kao jednonačne k­

l zadatak koji robot mora obaviti, porebno je zadati

; : cij e varij abli zglobova, slika 3.1. Da bi se deirao

l znači da valja zadati položaj

� očke u prostoru z koje alat mora proći, a to

t tim točkama prema koornom sustavu baze L0. i orij entaciju alata u

t Položaj alata p i orijentacija alata R zajedno nazi­ �! vaju se koniuracja alata.

:' 3.1. VEKTOR KONFIGURACIJE ' ALATA

Sl. 3.1.

Koniguacija alata ko fnk­ cija vrij abli zglobova

Proivojna koiguracij a alata može se u popunosti opisati sa šest elemenata, koji

. obuhvaćaju i kartezijske koordinate položaja (p 1 , p2, p3) i ri komponente orijentacije (npr. kutovi sretanja, ponirnja, vajanj a ili pk Eulerovi utovi). Iz toga slij edi da se kod

marice rotacje

R dimenzije 3

x

3 ponavlj a čak dvije rećine podataka. Zbog toga se uvodi

kompakniji način zadavanja koniguracij e alata pomoću se nalazi u prostoru koniuracje alata

vektora koniuracje alata, koji

R6, slika 3.2. Budući da se orijentacija može zadati

a različite načine, oblik vektora konigracije alata iravno će ovisiti o odabrnom načinu

zadavnj a orijentacije.

38

3.

lNVERNA KJNEMATIKA: RJEŠAVANJE JEDNADBE MANIPULATOA

Imajući u vidu karakteristike De­ jednadžbe q {p,R} navit-Hartenbergovog postupka, u slu­ direne postor inematike čaju zadavanja orijentacije alata po­ prostor koniguracje moću kutova skretanja, poniranja i va­ zglobova lata Rn R6 ljanja posjednji stupac marice rotaci­ jednadžbe je R, tj. vektor približavanja, sadrži in­ mverzne q kinmaike omacje o kutovima sretanja i poni­ {p,R} ranja lata, ali ne i o valjanju alata, jer Sl. 3.2. rektna i invena kinematika ono predstavlja rotacju oko vektora približavanja. Zbog toga se ta nedostajuća infomacija o kutu valjanja alata mora dodati na neki ugi način. Kako je veor približavnja r3 jedinični vetor, koji određuje samo smjer alata, njego­ va se duljina može množiti nekim pozitivnim brojem, a da se pri tome smjer na promijeni. Ako se prepostavi da je kut valjanja alata qn neoraničen, tada se može uvesti ova eksponencjalna, invertibilna i pozitivna nkcija skaliranja vektora r3 [1]: (3. 1 )

Korištenjem te nkcje skaliranja konigracja alata može se prikazati u kompakt­ nom obliku, kako je navedeno u deiniciji 3. I . I . Deinicja 3 . 1 . 1 . (vektor koniguracije alata): Neka p označava položaj, a R orijen­ taciju vrha alata (deiniranu pomoću rotacija sretanja, poniranja i vajnja) u onosu pre­ ma koordinanom sustavu baze robota, pri čemu je qn kut rotacje alata. Tada je vektor kon­ iguracije alata u R6 oblika: w=

[ ] [ q� l· wl

w2

=

en

(3.2)

r3

Na takav način postiže se minimalni prikaz koniguracije alata, jer vektor w a samo šest komponenata. Prve ri komponente predstavljaju položaj vrha alata wl = p, a preostale qn ti komponente određuju orijentacju alata w 2 =et -r 3 .

slučaju zadavanja oijentacije alata pomoću Eulerovih kuova, j. zavrtanja, nagiba­ nja i zretanja, ijednosti kutova zadaju se iravno jr je rječ o vizualno jasnim zrei­ a oko osi porenog koordinanog sustava alata robota. Koniracija alata može se prikazati u kompaknom oblu, kako je navedeno u deiniciji 3 . 1 .2. U

Deinicja 3 . 1 .2. (vektor konigracij e alata): Neka p onačava položaj, a R orij en­ taciju vrha alata (deinirnu pomoću roacja zavrtanja, nagibanja i zaretanja) prema koor­ dinanom sustavu baze robota. Tada je vetor koniguracije alata u R 6 ovog oblika: (3.3)

3.2. PROBLEM VERNE KINEMATIKE

39

3.2. PROBLEM INVERZNE KINEMATKE Da bi se robotom moglo upravlj ati, za zadane točke u prostoru defmirane pripadajućim : vektorima konigracij e alata porebno je pronaći pripadajuće vrijednosti vrijabli zglobo­ va, koje se nalaze u prostou zglobova

Rn , sla 3 .2.

Denicja problema inverne kinemaike: Ao su zadane rjednosti položaja p i orijentacje alata , tada je potrebno pronaći vrijednosti vajabli u prostoru zglobova Rn (qi, 1 � i � n) oje zadovojavaju jednadžbu manipulatora (2.22). Treba istaknuti da je ješenje direknog kinematičkog problema polazna osnova za ješavanje inverznog inematičkog problema, j er ono sadrži iravan opis veza između pro­ stora koiguracije alata i prostora zglobova. Do ješeja inverznog kinematičkog problema moguće je doći iterativnim numeričkim postupcima ili pak analitički. Prednosi numeričkh postupaka sadržane su u mogućnosti izrade univerzalnog programa za različite koigracij e robota, ali se pri izvođenju tkvih prorama j avljaju problemi nepreponavnj a singulnih stnj a robota i moguće divergen­ cije postupka računanja. Analitičko ješenje omogućava iravan proračun vrijednosti vari­ jabli zglobova, ali j e dolazak do ješenja složeniji nego kod direknog kinematičkog proble­ ma, jer ne postoji sustavan posupak ješavanja za sve koiguracije robota sličan Denavit­ -Hrtenbergovoj metodi. Sada j e porebno deirati karakteristike ješenja invernog inematičkog problema. Kada postoji ješenje inverznog kinematičkog problema, tj . kada je željeni položaj vrha alata unutar radnog prostora, a orijentacija alata je ostvariva, to ješenje često nije jedinstveno. Tva višenačna j ešenj a javljaj u se kod kinematički redundannih robota s više od šest osi, kod kojih se višak stupnjeva slobode gibanja koristi za izbjegavanj e pre­ preka nutar radne okolice. Čak i d robot nij e kinematički redundantn,

gonji položaj lakta

postoji mogućnost pojavljivanja više j ešenja inverz­

nog kinematičkog problema. Jedan je takav prijer rotacij ski robot prkazan na slici

3.3. Iz te slike može

se vidjeti da postoje, z odgovrajuća ograničenj a

gibnja rmena, lakta i poniranja alata, dva različita

ješenja koja se nazivaju gonjim i donjim položajem lkta robota. Tkva redundnnost često se naziva i nkcionalnom redundannošću. Sada se može pokazati postupak j ešavanja pro­ blema inverne kinematike u slučaju zadavanja polo-

zO

donji položaj lakta

baza

Sl. 3.3. Višeznčno ješenje kod neredunannog roboa

.aja i orijentacije alata preko vektora koiguracij e alata

(3.2) na i odabrana primjera: roosnom plannom rotacijskom robou, peteroosnom HNO R-3 i četveroosnom robotu tipa SCA s RTR kon.gura-

rotacijskom robotu cijom.

40

3. INVERNA lNEMAKA: RJEŠAVANJE JEDNADBE MNIPULAORA

Vektor koniguracije alata

+

S

qj) = j i cos(qi + qj) = dobiti sljedeći vektor konigu­

Korištenjem denicije 3 . 1 . 1 . e sraćenog načina zapisa: sin(q1

Cj može se iz marične jednadžbe manipulatora (2.27) racije alata w(q) roosnog plnnog rotacijskog robota: =

a1 C1 + a2 C12 a 1 S1 + a2 S12 w(q)

d3 O o

=

e Iz konstantnih komponenti

(3.4)

ql t

w3(q), w4(q) i w5(q) slijedi planna koniguracija roos­

nog manipulatora. Kod og obota vrh alata giba se u ravnini koja j e paralelna x o0 ravni­

ni na udaljenosti

d3 od je. Ako je duljina alata d3 = O, vrh alata reće se u xOyO ravnini.

Sada je za svaki zglob robota porebno iz nelinenih unkcija, koje čine vetor kon­

igracije alata

w(q), iraziti zarete zglobova q> 1 ; k ; 3.

Rame

q2• Kako se z iraza (3.4) može vidjei, w1 i w2 : wf + wi af + 2a1 a2 C2 + ai . Iz dobivene jednakosti slijedi raz za varijablu q2 : 2 2 2 2 (3.5) q2 = ± arccos w1 + w22a-aa1 - a2 12

Najprije se određuje iraz za zret rmena

vrijabla q2 može se dobiti zbrajanjem kvadrata komponenata =

Rješenje invernog kinematičkog problema a roosni plani rotacijsi robot nij e

jednozačno, što se može vidjeti iz iza (3.5).

Baza Uz ponati vektor konigracij e alata dan irazom (3.4) i zret ramena određen ira­

zom (3.5) moguće je odrediti zret baze

q1 . Najprij e se komponente w1 i w2, z uporebu

rigonomerijskih nkcja zbroja dvaju kuova, napišu na sljedeći način:

w1 = (a1 + a2 C2 )C1 - a2 S2 S1 , w2 (a1 + a2C2 )S1 + a2S2 C1 . =

3.2. PROBLEM NVENE IEATE

U m rzima postoje

41

C1, koje se mogu izraziti ovako: C - a2S2 w1 S1 (a1 + a2 2)w2 2 2 (a1 + a2 C2) + (a2S2 )

dvije neponice S1 i =

Dijeljenjem dobiveh iraza te primjenom nkcje at2(y, x), kako bi se obuhvatio čitav interval [-n, n], može se dobiti iraz za zret baze q1:

q1 = atan2[(a1 + a2 C2 )w2 - a2S2 w1 ' (a1 + a2 C2 )w1 + a2i w2 ] .

(3.6)

Fnkcija atan2(y,x) deira se ovako: l . ako je x > O, tada je atan2(y, x) = rctan..;

i

X

2. ako j e x = O, tada je atan2(y, x) = sn(y) ;

3. ako je x < O, tada je atn2(y, x) = rctn.. + [sn(y)] t. X

Prilkom implementacij e algoritma za ješavnje problema inverzne kinemaike reba voditi računa da se zbog svojstava nkcje atn2 može u blizini rubne vrijednosti t dogodi­ ti da male promjene orijentacije (npr. sa 1 78° na 1 82°) prjeđu u nežejeno velike promjene (sa 1 78° na - 1 78°). Do porešnog rezultata može doći i pri irazito malim vrijednostima x i y, koje se unatoč malim vrijednosta, mogu razlikovati za jedan red i za više redova veličine. Valjanje alata

Kut vajnja alata q3 može se dobiti iravno z posljednje komponente vektora kon­ iguracije alata w6, što se vidi z iaza (3.4) : (3.7) Ukupno rješenje

Prehodno opisim postupkom dobiva se ukupno ješenje problema inverne kine­ matike za roosni plani rotacij ski robot (irazi (3.5 ) - (3.7)):

2 2 a12 a22 - q2 = ±rccos W1 + W22a1a2

42

3. INVERNA KINEMATIKA: RJEŠAVANJE JEDNADBE MANIPULATORA

Vektor koniguracije alata

Korištenjem deinicij e 3 . 1 . 1 . i marične jednadžbe robota (2.30), z sraćeni način može se dobii sljedeći vektor kon­ zapisa sin(qi + qj + qJ = i cos(qi + + qk) iguracije alata peteroosnog rotacijskog robota NO R-3:

Sjk

qj

=

w(q) =

Cjb

(3. 9)

..

-e t

CiS234

-e

S1S234

& t

q5

-e n

234

Sada se može pristupiti ješavanju invernog kinematičkog problema peteroosnog rotacijskog robota. Pritom ne reba zboraviti da j e ješenje problema direktne kinematike osnovni preduvjet za uspješno ješavanje invernog kinemaičkog problema i da je vektor koniguracij e alaa neposredan proizvod ješenja diretnog kinematičkog problema. Baza

w1

Iz iraza (3.9) može se vidjeti a se najednostavnij e, tj. dijeljenjem komponenti e primjnom unkcije atan2(y, x), može dobiti iraz za zret baze q1 :

w2 i

(3. 1 0) Lakat

Zaret lata q3 najteže je odredii, jer je povezan sa zretom ramena q2 i kutom po­ niranja alata Zbroj th rij u kutova + + q4 naziva se ukupnim kutom ponira­ = ja alata te predstavja kut poanja alata jeren prema radnoj površini, j. ravnini x O. Na takav način zaret lakta može se iračunati pomoću ukupnog kuta poniranja alata q234.

q4 .

q234 q2 q3

q3

Iz izraza (3.9) može se dobii sljedeća veza imeđu posljednjih iju komponenata w4, w5 i w6: S234/C234 -(C1 w4 + S1w5)1-w6. Primjenom nkcje atan2(y,x), z ponati zret baze q1, slijedi irz za ukupni kut poranja alata q234: =

(3. 1 1)

3.2. PROBLEM VERZNE KINEMATIKE

Sa je porebno,

43

za odredivanje zareta lakta q3, uvesti ove dvije varij able:

P1 = C1 w1 + S1 wz - a4 Cz34 + d5 Sz34 , Pz = d1 - a4 S234 - d5 C234 - w3 ·

(3. 1 2)

Kako su komponente w1 i w2 ponate iz iraza (3.9), njihovim se uvrštavanjem u prethodne iraze dobiva:

P1 = az Cz + aJ C23 '

(3. 1 3)

P2 = az Sz + a3S23 ·

z čega slijedi:

z te se jednkosti može dobiti iraz za zaret lakta:

(3. 1 4) Na takav način dobivaju se dva ješenja za kut zakreta lata q3, pri čemu se pozitivno ješenj e naziva gonjim položajem lakta (veća udaljenost lakta od radne površine i moguć­ nost izbjegavanja prepreka unutar radne okolice), a negativno donjim položajem lakta. Rame

Za dobivanje zareta ramena q2 porebno je z pomoć rigonomerijskih nkcija za zbroj dvaju kutova napisati iraze (3. 1 3) na sljedeći način:

P1 = ( az + a3C3 ) C2 - a3S3S2 '

p2 = ( a2 + a3C3 ) S2 + a3S3C2 . z tih se iraza S2 i

(3. 1 3 .a)

C2, z ponati zret lakta q3, mogu napisati u ovom obliku: S2 = Cz =

( a2 + a3 C3 )P2 - aJS3p1 2 2 P1 + P2

( a2 + a3C3 )P1 + a3S3pz 2 2 P1 + P2

•

.

(3. 1 5)

·

Dijejenjem posljednjih dvaju iraza te primjenom unkcije atan2(y,x) dobiva se za­ ret ramena: (3. 1 6)

44

3. INVERZNA KINEMATIKA: RJEŠAVANJE JEDNADBE MANIPULATORA

Poniranj e alata

q234 oduzmu zret rmena q2 i zret lakta

Ako se od upnog kuta poniranja alata q3, rezultat je kut poniranja alata q4 :

(3 . 1 7) Valjanje alata

Na raju je porebno odrediti ut vajanja alata q5• Taj se ut određuje pomoću po­ sjednjih trij u komponenata w4, w5 i w6 u ru (3.9) na sljedeći način: (3. 1 8) Ukupno rješenje

Na temelju iraza (3 .9)-(3 . 1 8) dobiva se ovo ješenje invernog inematičkog pro­ blema peteroosnog rotacijskog robota HNO R-3:

q1 = ata2(w2 , w1 ) ,

q234 = a2[-( C1 w4 + S1 ws ) - w6 ] ' ,

P1 = C, w, + S1 w2 - a4C234 + d5 S234 , P2 = d1 - a4S234 - d5 C234 - w3 , 2 + 2 - a2 a 2 p p2 2 - 3 I q3 = ± arccos 2 a2 a3 '

q4 = q234 - q2 - q3 ,

q5 = tn �w� + w; + w� .

Sada se može pokazati postupak ješavanja problema inverne kinematike u slučaju zadavanja položaja i orij entacije alata preko vektora koniguracij e alata (3.3) na primjeru četveroosnog robota tipa SCA-RTR. Vektor koniguracije alata

Korištenjem deinicje 3 . 1 .2. i marične jenadžbe robota (2.36), z sraćeni nčin zapisa sin(qi + qj + qJ = Sfk i cos(qi + qj + qJ = Cj> može se dobii sljedeći vekor koni­ guracije alata četveroosnog robota tipa SCA-RTR, pzanog na slici 2. 1 4.:

3.2. PROBLEM NVENE INEMATKE

w (q) =

W1

X

a1C1 + a3 Cl-3

W2

y

a1S1 + a3Sl-3

W3

z

W4

J

o

W5

}

t

w6

J

-ql + q3 + q4 + p

q2

=

- d4

45

(3. 1 9)

gdje su p , } i J Eulerovi kutovi, tj . kutovi zavrnja, nagibanja i zretanja alata. Treba uočiti da kod četveroosnog robota tipa

SCAA nij e moguće postići punu ori­

j entaciju, što se vidi z sh vrijednosti kutova P i O. Također je j asno da kod robota čije su sve z osi pralelne rotacije prvog, rećeg i četvrtog zgloba utječu na kut zakretaja (va­

ljanja) alata.

Postupak rješavanja z vektora koniguracij e alata (3. 1 9) može se vidjeti da je najjednostavnij e odrediti

vrijablu drugog (ranslacij skog) zgloba:

(3.20) Zaret lakta

q3 može se izvesti z zadanh komponenti položaja alata w1 i w2 : 2 2 2 2 W1 + W2 - a2 - a3 -" -"" 3 = ± rccos (3.21) q 2a2 a3

Na takav način dobivaju s e dva ješenja z a kut zareta lakta ješenje odnosi na desni položaj lkta, a negativno na lijevi.

q3 , pri čemu s e pozitivno

Do zareta baze može se doći preko raza:

( a2 + a3 C3 )w1 - a3S3 w2 C1 = 2 2 W1 + W2 odkle slij edi da se zaret baze dobije dijeljenjem

i l

(3.22) '

te primjenom nkcije at2(y, x):

Valj anje alata q4 određuj e se pomoću komponenti vektora koniguracij e alata

(3.23)

w4 i w6 : (3.24)

46

3. INVERZNA KINEMATIKA: RJEŠAVANJE JEDNADBE MANIPULATORA

Ukupno rješenje Na temelju iraza (3.20)-(3 .24) dobiva se ukupno ješenje inverznog kinematičkog problema za četveroosni robot tipa SCA-RTR:

q2 = W3 + d4 ,

2 2 2 2 W1 + W2 - a2 - a3 + q3 = _ rccos 2 a2 a3

q1 = atn2[a3S3 w 1 + ( a 2 + a3C3 )w2 , ( a2 + a3C3 )w1 - a3S3 w2 ] ,

q4 = W6 + q1 - q3 - W4 .

PITANJA ZA PROVJERU ZNANJA l . Kako je den inveni kinematiči problem?

2.

Čime je i a koje načine deinirana koniguracija alata?

3. Kakve su karakteistike ješenja invenog kinemaičkog problema? 4. Što je vektor koniguracje alata i kako je dean?

5. Porebno je riješiti inverzni kinematički problem za robot s četiri stupnja slobode, koji

uključuju valjanje alata, a aj robot ima: a) pravokunu, b) cilindričnu, c) semu, d) rotacj­ sku, e) SCA-RT konigraciju.

6.

Kod kojh je primjena višenačnost ješenja invenog inematičkog problema korisna?

4 . DINAMIKA MNIPULATORA

Za postiznje željenog gibanja vrha alata robota, z kvaliteno upravljaje, poreban je realni dinamički model robotske ruke. Postoje dva osnovna dinmička modela robota: La­ grange-Eulerov i Newton-Eulerov model. Osnovni pojmovi rabljeni za dobivanje Lange-Eulerovog dinamičkog modela ro­ bota jesu:

poopćene koordinate, inetiča i potencjalna energija

te poopćena

sila.

Jed­

nadžbe koje se dobivaju kao rezultat pimjene te metode mogu se izikalno objasniti pomoću sljedećih pojmova:

inercje manipulatora, gravitacje, renja, Coriolisove i cenrfugalne

sile. Drugi postupak dobivanja dinamičkog modela robota, tj . rekzivni Newton-Eulerov postupak, vrlo je pogodan za proračun dinamičkog modela na računalu, posebno kod ro­ bota s većim brojem osi.

4.1. LAGNGEOVA JEDNADŽBA Opis robotske rke pomoću Larange-Eulerovog dinamičkog modela temelji se na pojmovima poopćenih koordinata (vektora

n

varij abli zglobova za n-osni mnipulator),

energije i poopćene sile F. Poopćena sila Fi predstavlja vanjske i nekonzervirane sile koje

djeluju a

i-i zglob manipulatora, a koje preostaju nakon uklanjnja inercijalnih sila i sile

teže.

Neka T predstavja kinetičku energiju, koja ovisi o položaju i brzini manipulatora, a

U

potencijalnu energiju, koja ovisi samo o položaju robotske rke. Tada se Larangeova unkcij a L(q, i) može deinirati kao razlika imeđu kinetičke i potencijalne enrgije:

L(q, q) , T(q, q) - U(q), gdje je q

=

d q/d t vektor brzina zglobova.

(4. 1)

48

4. DINAMIKA MANIPULAORA

Korištejem Larangeove nkcije jednadžba gibnja manipulatora poprima sljedeći oblik:

(4.2) 4.2. KINETIČKA ENERGIJA Za određivanje ukupne kinetičke ener­ gije robotske ruke najprij e je porebno odre­ diti kinetičku energij u k-tog članka, koji se giba u trodimenzionalnom prostoru, kao što je prikazano na slici 4. 1 . Neka je ' u R3 k linijska brzina, a ) u 3 kuna brzina cen­ ra mase članka k u odnosu prema koordinanom sustavu baze robota L0. Neka se sa mk onači masa članka k, a s Dk marica dimenzije 3 x 3, koja se naziva tenzor inercije članka k oko njegova cenra mase u onosu prema koordinatnom sustavu baze L0 [1]. Neka koordinatni sustav Lk = {xf, yf,zt} ima ishodište u cenru mase k.

člnk k

Sl. 4.1. Gibnje članka k

Tada se ukupna kinetička energija mipulatora, koja obuhvaća i ranslacijska i rota­ cijska gibanja, može prikazati kao zbroj kinetičih energija svih njegovih članaka:

(4.3) Smarajući da je masa članaka ponata, porebno je u jednadžbi za računanje kinetičke energije manipulatora odrediti tenzor inercje Dk.

U au za kinetičku energiju (4.3) tenzor inercije k-tog člnka Dk određenje u odno­ su prema koordinanom sustavu baze robota L 0 . Do tenzora inercije Dk može se doći tako da se kinetička energja irazi u odnosu prema koordinanom sustavu na raju člnka L -

U tom slučaju ishodište L0 ranslatira se u ishodište Lck (centar mase k) e se zatim iz­ računa tenzor inercje Dck oko tog cenra mase. Tenzor inercije člnka k oko svoga cenra mase iračunan u odnosu prema koordinanom sustavu Lk onačava se sa Dt, a dobiva se ranslacijom Lk u Lck te iračunavnjem Dck· Taj je tenzor inercije konstantan, jer koordi­ nani sustav Lk rotira zajedno sa člnkom k (Lk i Lck jesu jednko orijentirani). Kko je u irazu (4.3) kinetička energija ražena u odnosu prema koordinatnom su­ stavu L0, potrebno je sada linijsku i kunu brzinu člnka k iti u odnosu prema koordi­ nanom sustavu Lk. Koordinani sustavi Lk i L0 povezni su maricom homogene ransor­ macije:

4.2. KINETIČKA ENERGIJA

Pk l · vf =[O

Tt(q) =[R � �q)

1

VI

O

o] , I � k � n .

49

(4.4)

Obnuta veza imeđu koordinanih sustava i određena je inverznom matricom t, koja je opisana irazom (2. 14). z toga slijedi da se pri račnanju tenzora inercije deiniranu porebno koristiti invenom matricom rotacije koja kutnu bzinu j. u odnosu prema ransormira u kunu brzinu izraženu u odnosu prema Sada se kinetička energij a članka k u odnosu prema koordinanom sustavu može prikazati na sljedeći način:

Lk L0 [i(q)]T,

L0

= (Ri)T [w k]k. Lk

(w k ( Dkal 2

=

D w k k]O k Lb [' =

[(wk ( R� Jnk[(R � ( wk J 2

z iraza (4.5) sljedi iraz za račnje tenzora inercije

(4.5)

Diq):

(4.6) 4.2.1. Tenzor inercije članka

Pk

Najprij e se tenzor inercij e, koji određuje raspodjelu mase utog članka, deinira s ob­ zirom na koordinani sustav, čije je ishodište u centru mase člana. .ko je gustoća, a V volumen člnka, tenzor inercje tog članka oko njegova centra mase, s obzirom na { s ishodištem u cenu mase, može se izračunati na koordinani sustav sljedeći način

Dc Lck = ck,ck, :kk} [I]:

Dck

f (y2 + z2 )pđV

k =

- f ypđV - J xzpđV k

V:

Dck

- f ypdV

f (x 2 + z2 )pđV

- J xzpđV

- f yzpđV k

k

k

- f zpđV V:

k

J(x 2 + y2 )pđV

(4.7)

V:

k

Tezor inercije simerična je ma­ rica, koja se sastoji od šest različitih volum­ h interala, pri čemu se izrazi na dijago­ nali te marice nazivaju momenti inercje, a preostali su razi produkti inercje.

Lck

Ako se osi koordinanog sustava podudaraju s osima člnka, ada će produk­ Sl. 4.2. ui člnk u oblu pizme ti inercij e biti jednaki nuli, što je pokazano na primjeru utog članka u obliku prime a slici 4.2. Ako se masa takvog prizmatičnog homogenog članka označi sa mv tada mu se gustoća može izračunati na ovaj način:

50

4. DINA MANPULAORA

mk . Pk = abc

(4.8)

Tkav članak u oblu prizme ima tenzor inercij e:

2 2 b +c 12

Dck = mk

a +c

o

o

o 2

2

o

12

o

(4. 9)

2 2 a +b

o

12

4.2.2. Jacobijeva matrica članaka Linijska

vk i kuna brzina )k članka k mogu se napisati kao nkcije vektora brzina i

varijabli zglobova pomoću Jacobjeve marice članaa. Jacobijeva marica manipulatora J

(q) j est veza imeđu ininitezimalnih promjena vri­

jabli zglobova (pomaka ili zreta) te ininitezimalnih linijskih i kunih pomaka alata. Ako se te promjene podijele sa dt, tada se dobiva iraz koji povezuje i kunim brzinama alata:

dw = dt

r� ] l J = J(q) dq =

dp

dt

dt

Iz jednadžbe

brzine zglobova s linijskim

A(q) dq . B(q) dt

(4. 10)

(4. 1 0) mogu se dobiti izrazi za računanje dijelova Jacobijeve marice

n-osnog mipulatora koji predstavljaju linijske i kune pomake alata izazvane pomacima zglobova:

A

j

Ako

(q) - a Pa kqj(q)

'

B

j

(q) - a ia kqj(q)

'

I (i,j) = 1

-f

mjesto prij elaz (operacija1) (pravilo i)

Sv => (i,j) = 1

0

mjesto prijelaz (pavilo]) (operacija i)

Fr => (i,j) = 1

� �

mjesto (resurs])

prijelaz (pravilo i)

Sr => (i,j) = 1

(iµ

F i S na način kako je

Fu => .,j) = 1

-f

mjesto (ulazi)

prij elaz (pravilo i)

Sy => (i,j) = 1

-0

prij elaz pravilo1)

mjesto (izlz i)

prijelaz pravilo1)

Sl. 9.2. Veza imeđu graa Perijeve reže i marica maičnog modela FPS-a

PTANJA ZA PROVJERU ZNANJA

„.

, .„••, .

-

1

189

I

PITANJA ZA PROVERU ZNANJA 1 . Za FPS iz primjera 8.8 . 1 . reba odrediti matrični model.

2. Za marični model dan jednadžbama (9. 13) -(9. 1 6) reba nacrtai raf Peijeve mreže i od­ redii maicu događaja W.

3. Treba odrediti na čekanja i iične sione za sustav dobiven u zadaku 2.

4. Za zadanu maricu w odredii a čekanja korištenjem sing-algebre.

Gw =

o

1

o

o

o

o

o

o

1

1

1

o

1

o

o

o

o

o

o

o

1

o

o

o

o

o

o

o

o

1

o

o

o

o

o

o

5. Odredite vektor x ako je: x=A ® v v B ® r

[i :} B=[� �} v=[�J r=[H 1

A=

o

o

LITEATUA

[ l J R. J. Schilling, Fundamentals o/Roboics - Analyss and Control, Prenice Hall, 1 990.

[2] R. P. Paul, Robot Manipulators: Mathematics, Programming and Control, The Compuer Conol of Robot Manipulators, he T Press, Cambridge, Massachusetts, 1982. [3] Y. Koren, Robotisfor Engineers, McGraw-Hill, 1985. [4] P. G. Ranky, C. Y. Ho, Robot Modelling - Control and Applications with Sotware, IFS (Publica­ tions) Ltd., , 1985. [5] T. C. S. Hsia, A Nw Techniquefor Robust Control ofServo ystes, IEEE Transactions on Indu­ srial Elecronics, Vol. 36, No. 1, Februay 1989. [6] M. C. Zhou, F. Di Cesare, Peri Net Snthesisfor Dscrete Event Control o/Mnfacturing ystems, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1993. [7] R. David, H. Alla, Peri Nes and Grafcet, Prentice Hall, New York, 1 992. [8] R. W. Bnng, D. . King, Curent Research in Decsion Support Technoloy, EEE Computer Sociey Press, Washington, 1992. [9] T. Murata, Pei Nets: Propertis, Analyss and Applications, Proc. ofhe IEE, Vol. 77, No. 4, pp. 541-580, 1989. [10] F. L. Lewis, A. Gurel, S. Bogdan, A. Dognalp, O. Pasravanu, Analyss ofDeadlock and ircular Waits Using a Max Modelfor Discrete Event Manufacturing ystems , Automaica, Vol. 34, No. 9, pp. 1083-1100, 1998. [ 1 1 ] H. Asada, J.-J. E. Slotine, Robot Analysis and Conrol, he MIT Pess, Cambridge, Massachusetts, 1986. [12] Z. u, D. M. Dawson, Robst Tracking Conirol o/Robot Manipulatos, IEEE Press, 1 996. [13] Y. Koren, Computer Control ofManufacturing ystems, McGraw-Hill, 1983. [ 14] E. fisen, M. Stephns, Indstrial Robots and Robotics, Reston Publishing Company Ine. (Prenie Hall), 1 984. [15] P. Cmošija, Elementi sljednih sistema, Sveučilište u Zarebu, Liber, 1984. [16] I. Alexnder, Computer techniquefor robots, Anchor Press d., 1985.

[17] H. Asada, K. Youcef-Toumi, Direct-Drive Robos, ieory and Practice, The MIT Press, Cam­ bridge, Massachusetts, 1987. [ 1 8] P. Coifet, Robot Technooy, Volume l, Modelling and Conrol, Kogan Page, London, 1983. [19] P. Coifet, Robot Technoloy, Volume 2, Interaction with the environments, Kogan Page, London, 1983.

192

LITATA

[20] J. Htley, Robos at Work, A Pracical Guide or Engineers nd Managrs, FS (Publicaions) Ld., K, 1983. (2 1] P. Lmmineur, O. Coillie, Indstrial robots, Pergamon Press, Oxord, New York, 1 984. [22] W. E. Snyder, Indstrial Robos, Computer Intefacing and Control, Prentice Hall Ine., 1985. (23] K. S. Fu, R. C. Gonales, C. S. G. Lee, Robotis: Conrol, Sensing, ision, and Intelligence, Mc­ Graw-Hill Book Compny, Singapore, 1 987. [24] R. M. Mray, Z. Li, S. S. Sasry, A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation , CRC Press, Boca Raton, 1994. . [25] T. Šuina, M. Cmeković, Indstrijski roboti, Školska njiga, Zareb, 1990.

ZALO POJMOVA

Aktivna podanost 136 tuatori 53 -, elekrički 102

-, hidraulički 102 -, pneumatsi 1 02

alat 2 apsoluni davač impulsa l 02 armana vremenska konstanta 1 07 rtikulirana robotska ruka 1 asinroni motori 104 automatizirani proizvodni procesi 146 Baza robota 1 5 C . A . Peri 1 52 centr mase članka 49 cenriugalna sila 47, 56 cenripetalni momenti l 06 Coriolisova sila 47, 56 Coriolisovi momenti 106 Člnci robota 1 -, udi l -, nadlaktica 1 -, podlaktica 1 -, šaka 1 Denavit-Hartenbergova metoda 26 dimenzij a prostora 1 6 dinmički model robota 47, 56 -, Larange-Eulerov 47, 55 -, Newton-Eulerov 47, 64

dinamički momenti 106

dinamika manipulatora 47 direkna dinamika 64 direkna :inematika 1 5 direktni nematički problem 1 5 -, geomerijsko ješenje 27 dohvat 8 -, horizontalni 8 -, vertikalni 8 duljina člnka 26

Elekromehanička vremenska konstanta 1 08 elekroniči komutirni motori 1 04, 109 Eulerovi kutovi 9, 24 -, naginjanje 9, 24 -, zaretanje 9, 24 -, zavranje 9, 24

Faktor skaliranja 20 FBFS postupak 172

iksna automatizacija 1 0 leksibilna automatizacija 1 0

leksibilni proizvodni sustavi 146 FPS, v. leksibilni proizvoni sustavi 146 unkcija raspodjele bzine 72 G. C. Devol 2

geomerij a radnog prostora 3 ravitacija (v. sila teže) 47 Hibridno upravljanje položajem i silom 136

Ho-Cookova metoda interpolacije 83

194

LO POJMOVA

hod 8 - horizontalni - vertikalni

8

-, desno orijentirni -, ortogonani 1 5

8

homogene koordinate Hsiaova metoda hvataljka

2

123

-, ortonorani koračni motori 1 03 kretanje robota 7

20

1 70, 1 87 187 kružno blokiranje 1 69 kut zgloba 25

56

inercijalni momenti

1 05

inrementalni davač impulsa

1 02

inerpolacija kubnim polinomima

77

interpolacija polinomima rećeg i četvrtog

82

interpolirano retanje 77 inverzna dinamika 4

inverzna homogena nsformacija

23

invezna ransormacija koordinata

18

invena kinematika

37

istosmjeni motori

1 05

Jacobijeva marica

50

Krakteristike robota 7 -, broj osi

7 7, 8 -, hod 7, 8 -, dohvat

-, maksimalna brzina

-, nosivost

7

7

-, ponovljivost 7,

9 9 -, radna okolina 7, 1 0 -, točnost 7 , 9

-, precinost 7,

-, vrijeme radnog ciklusa 7

Kare! Čapek 2

kinematički parameri kinetička energija 47,

25 48

koeicijent mehaničkog prij enosa koniguracja alata

1 13

37 koniguracija robota 4 -, cilindrična (RTT) 4, 5 -, pravokuna TT) 4, 5

-, roacijska, laktasta, anropomorua, zglobna

(RR) 4, 6 (RTR, TRR, RRT) 4 -, sema (RRT) 4, 5 konlikt 1 62, 1 65, 1 82 koordinate, homogene 20 , ortonoirne 1 7 koordinani sustav 1 5 -, SCA

-

151

ritični podsustav kritični sion 1 69,

indusrijski robot I

inercija manipulatora 47

stupnja

7

kriterij i za projektiranje FPS-a kriična zamka 1 70

1 77 137

inercijalne sile

16

-, kontinuirano po putanji -, od točke do točke 7

ILI-algebra impedancij a

16

Lagrngeova unkcija 47 Larangeova jednadžba 47 lanac uh tijela 1 5 LBFS postupak 173 Manipulator 1 marica homogne rnsfomacij e 2 1 - manipulatora (ruke) 2 1 , 29

- osnovne homogene rotacije 22 - osnovne homogene ranslacije 22 - osnovne rotacije 1 8, 19 - povezivanja bzina 55 - pretvorbe homogenih koordinata 20 - rotacije 2 1 - složene homogene nsormacije 23 - složenih rotacija 20 - ansomacije kordinata 1 8 marice FPS-a, izlazna marica 177 -, marica čeknja 185 - , marica opuštanja resursa 177

-, marica poretanja operacija 176 -, marica slijeda operacija 1 76 -, matrica zahtjeva za resursima 1 76 -, ulana marica 1 76 marična jednadžba stanja FPS-a 1 77 marični model FPS-a 1 75 -, izlani vektor sustava 176 -, jednadžba izlaza predmeta 1 78 -, jednadžba otpuštanja resursa 178 -, jednadžba poretanja operacija 178 -, ulni vektor sustava 1 76 -, upavljačka maica 1 83 -, upravjači vektor 183 -, vektor operacija 176

-, vektor resursa 1 76 medicinsi robotsi uređaji 2 mehanički pijenos 1 13 model dodira robota i okolice momenti inercije 49 Nainjanje

9, 24

137

LO POJMOVA

Oaničeno retanje 135 orij entacija alata 4, 8, 23, 24 -, naginjanje 9, 24 -, poniranje 9, 23 -, sretanje 9, 23 -, valjnje 9, 23 -, zaretanje 9, 24 -, zavrtanje 9, 24 osnovna homogena ranslacija 22 osnovne rotacje 1 8 otvoreni inematički lnac 26 Parametar tipa zgloba 28 parmeričko vrijeme 85 Parkova ransormacija 1 09 pasivna podanost 1 3 5 Pejeve mreže 1 52 -, dohvatljivost 1 58 -, raf 152 -, izlana matrica događaja 1 52 -, izvor 1 53 -, jednadžba prijelaza stanja 1 56 -, jednonačnost (detenost) 1 59 -, marica događaja 1 56 -, matrica svih težinsih koeicijenata 1 52 -, MRF l 1 66 -, obična PM 1 53 -, ograničenost 158 -, označeni graf 1 53 -, oznka 1 53 -, počeno stanje 1 52 -, ponor l 53 -, pravilo prijelaza ili pravilo okidanja 1 55 -, prikaz stanja 1 53 -, reverzibilnost 1 58 -, skup svih mjesta 1 52 -, skup svih prijelza 1 52 -, ulazna marica događaja 1 52 -, usmjerene veze 1 52 -, živost 1 58 p-invarijanta 1 60 planiraje trajektorij e 7 1 pneumatski moor 3 podanost manipulatora 136 podanost, akivna 1 36 podanost, pasivna 136 pogoni 1 02 -, eleriči 1 02 -, elekrički, istosmjeni 1 03 -, elekriči, izmjenični 1 04 -, elekrički, koračni 105 -, hidrauliči 1 02 -, pneumatski 1 02 položaj ručnog zgloba 4

195

poniranje 9, 23 ponovjivost 7, 9 poopćena sila 47, 53 poopćene koordinate 47 potncijalna energij a 47, 52 potenciometr 102 pozicioniranje 7 -, ponovljivost 7, 9 -, precinost 7, 1 O -, točnost 7, 1 0 pravocrno gibanje 78 preciznost 7, 9 pridjeljivanje resursa 147, 160 prihvatnica 2 prjelana pojava SDD-a 1 50 prijenosna unkcija, elekronički komuiranog istosmjenog motora 1 13, 1 14 -, istosmjenog motora 1 09, 1 10 primjena robota 7, 1 2 - , bojenje 7 -, hodajući srojevi 1 1 -, konrola i testiranje 1 1 -, lijepljeje 7 -, medicinski roboti 1 1 -, pakiranje i paletizacja 1 1 -, podizanje i spuštnje predmeta 7 -, :ovaje materijalom 1 1 -, sastavljanje dijelova 1 1 -, sortirnje i označavanje 1 1 -, srojna obrada 1 1 -, šavno zavarivanje 7 -, točkasto zavarivanje 7 -, ansport 1 1 primjeri robota, Euroimpianti Skilled 504 3 -, Fanuc A-520i 6 -, Fanuc re Mate 1 -, Fanuc C-1 00 5 -, Fanuc L-1000 5 -, HNO R-3 1 2 -, NO XR-3, glavne krakterisike 12 -, roosni planai rotacijsi robot 30 problem direktne kinematike 1 5 problem inverzne kinematike 39 produkti inercije 49 proil brzine 72 prostor koniguracije alata 37 prsi 2 putnja 7, 7 1 putanja alata 7 1 Radna okolina 7 , 1 0 redktor 1 1 3 redndanne osi 7 relacija čekaja 167

196

O POMOVA sustavi s disrenim događajima 147, sustavi vođni događjima 147, 148 sustavi vođni vremenom 148

relacija nog čekanja 1 67 resursi 1 46, 1 5 1 -, jednoradni 1 5 1, 1 60 -, višeradni

1 5 1 , 160

svojstva rada resursa, žanje

NO R-3 robot

-, dinamika (Larange-Eulrov model) -, direkna kinematika 3 1

61

-, inverzna kinemaika 42 -, planiranje rajektorij e 82

robot 1 -, cilindrični

-, otacijsi 4 -, SCA 4

-, sei 4 robotska ruka

1

točnost 7, 9 rajja 7, 7 1 rajektorij a vektora stanja SDD-a

4

transomacija spiralnog gibanja translacje 1 5 renje 47, 53, 56, 1 06 -, dinamičko 54

1

1O

-, staičko

33 SCA RTR, direktna inematika 34

SCA RRT; direkna inematika -, inva kinematika 4

SDD, v. susavi s diskrenim događajima

148

147,

senzor sile 1 37 sion 1 59 sila dodira 135 sila teže 56 sila renja 53 sinroni motori 1 10 sironi motori s pemanennim manetima

109

skalni produkt sretanje 9, 23

16

skup neuralnih poslova 170 skup poslova siona 1 70 sup poslova zmke 1 70

slijedni regulaor 102 složena homogena ransomacija 22 složne roacije 1 9 spiralno gibanje 25 spline-unkcije 83 stabilnost SDD-a 1 50, 164, 1 68, 1 70

satički momenti 106 Sibeckova bzina 54 sring-algebra 1 85 sa FPS-a 147 -, linij e s opercijaa sklapnja 148 -, linij e sa slobodnim odabiranjem operacja

Tahogenerator 1 02 Taylorov postupak oraničenih odstupnja

78

150

transomacja koordinata 1 8 ransormacija koordinata članka 28

robosi manipulator rotacije 1 5, 1 8 učna proizvodnja

1 66 1 66

-, međusobno isključivanj e -, predpražnjenje 166

tenzor inercje članka 48, 49 tenzor inercje manipulatora 52

4

-, deinicija 3 -, pravokuni (tezijski)

148

1 48

-, tekuće proizvodne linje 147 -, višeulne provodne linij e 147

25

54

-, viskono 54 roosni plni rotacijski robot -, dinamika (Lange-Elerov model) -, dmika (Newton-Eulerov model) -, direkna kinematika 30 -, inverzna kinematika 40

57 67

-, planirnje trajektorij e 8 1 -, plnje rajektorij e (Ho-Cookova

metoda) 92 Tustinov model renja

54

Udaljenost zgloba 25 umrtvljeni resurs 1 68 upravjačka mjesta 1 64 upravljanje impedancijom 136 upravljanje položajem 1 14 -, direkno 1 14 -, kaskadno l l 5 robusno i adpivno upravljanje momentom motora 123 -, z upravljanje brzinom motora 128 -, z upravjnje CNC tipa 1 3 1 -, z upravljanje momnom motora 1 16 -, z

-, z

upravljanje momentom motora i

kompenzacijsim proširenjem upravljanje silom dodira 135, 137 Valjanje 9, 23 vnjsi momni 106 vaijable zglobova 1 5 -, brzine SO -, položaj 28 -, ubzanja 56

1 19

O POJMOVA vektor 1 5 - brzina zglobova 47 - ravitacijskog djelovanja 55 - konigacije alata 37 - momenata zglobova 53 - perspektive 21 - pravila 175 - stanja sustava s diskrenim događajima 148, 1 49, 1 53, 160, 176 - rnslacje 2 1 - brzanja sile teže 52 - upravljanja 168 - varijabli zglobova 28 -, kliznja (pomicanja) 23 -, norma 1 6 -, okomit 23 -, ortogonalni 1 6 -, oronormirani 1 6 -, položaja alata 2 1 -, približavanja 23

vektorski produkt 1 6 vektorsko upravljanje 1 09 vrste pogona, 3 -, elekični motoi 3 -, hiraulički pogoni 3 -, pneumatski pogoni 3 Zaglavljenje FPS-a 163, 166, 1 68 zaret članka 26 zaretanje 9, 24 zaka 1 59 završni mehanizam 2 zavrnje 9, 24 zglob, rotacijski 4 -, seni 9 -, ranslacijski 4 zglobovi robota l -, lakat 1, 13 -, rame 1, 13 -, ručni (zapešće) l, 13

197

POPIS PRIMIJENJENIH OZNA

U njizi je proveden sljedeći način onačavanja: Svi vektori onačeni su lm masnim slovima, npr.

u, v, w, x,

fl, ml itd.

Sve marice onačene su veliim masnim slovima, npr. A, B, M itd. Svi skalari označeni su normalnim slovima. Sve promjenljive veličine (vri­ jable) onačene su kzivom, npr. uu, m1, Kra• U8 id.

p]X

koordinate vektora p u odnosu prema skupu X p] 1 k-ta koordinata vektora p u odno­ su prema skupu X A marica ransomacije koordinata skup usmjerenih veza Perijeve A mreže a(p, t) usmjerena veza Petrij eve mreže A() dio Jacobijeve marice manipulatora a(t,p) usmjerena veza Perij eve mreže A, � marica koja sadrži položaj zglo­ bova i vremena prelaska segmena­ ta rajektorij e ograničenje ubrzanja zglobova duljina članka (inematički parametar) dio Jacobijeve marice člnka k element matrice A maksimalno ubrzanje reerenna vrijednost ubznja zgloba

B

koeicijent viskonosi b(dq/dt) vekor sila renja B() dio Jacobijeve marice manipula­ tora marica koeicijenata spline-nk­ Bk cija b..q/t) sila renja zgloba k bk(q) k-ti stupac dij ela Jacobijeve marice manipulatora B() Bk() dio Jacobijeve marice članka k bf ičko renje statičko renje bf bf koeicijent viskonog renja Bn nominalna ijednost koeicijena viskonosi

Bob B ih B.b B3k bs C

C

koeicijenti spline-unkcij a a sement k koeicijent viskonosi senzora sile marica povezivanja brina no čekanje

POPIS PMIJENJENIH OZNA c

C;

c� J

ck D(q) q qu

Dck dk Dk Di Dq

q

�u

s yk

,k E e, E Ee EQ F

f

F Fo fi F; fk

Fr

Fr Fs Fu Fv

vektor žnog čekanja C vektor povezivanja brzina zgloba i j-. koordinal cenra mase članka k cenir mase člnka k tenzor inercije manipulatora vektor ubzanja zglobova ubrzanje zgloba k tenzor inercje članka k oko svog cenra mase udajenost zgloba inematički p meir) tenzor inercije članka k prema L0 tenzor inercije člaka k prema Lk marica brzina zglobova u točkama trajektorij e vektor brzina zglobova brzina zgloba k proil brzine linijsko ubrzanje cenra mase članka k kuno ubrznje cenra mase članka k sinal razlike protuelekromooa sila sinal razlike položaja signal razlike brzine vrnje neporetni koorinani suslv upni izlaz iz slijednog regulatora (nakon adaplcije) sila kojom se djeluje na manipulator upavljača maica ortonoi vektor neporenog koordinanog sustava poopćena sila na i-ti zglob manipulatora sila koja djeluje na članak k reerenna vrijednost sile dodira marica zhjeva za resursima izlaz iz senzora sile dodira ulana marica marica slijeda operacij a

Gzi

h

199

prijenosna nkcija zatvorenog regulacij skog kruga armane suje vremenski promjenljiva veličina koja označava sve nepoznate proojene u sustavu

h

vektor ravitacijskog djelovnja marica pretvorbe homogenih koordinal

I I

jedinična marica

Ha

ulazna marica događaja suja ature

ia lam

maksimalna vijednost suje rmature

id

d-komponenl suje sltora sinronog motora

ip iq

koeicijent mebaničkog prijenosa

ik

ortonomirani vektor q-komponenl suje sltora sinronog motora

iR, is, iT suje faza smtora R, S, T vektor suje statora sironog is motora

J J(C)

J(q) J(r)

Jo Je

Jk(q)

Jmks Jn JN J Q

Jr

Js

Jsr J,

skup zadalka zadaci resursa u ružnom čekanju

c

Jacobijeva marica manipulatora zadaci resursa r ritični podsuslv međuzglobni moment inercije Jacobijeva marica članka k maksimalna vrjednost momenl inercije minimalna vrijednost momenl inercije skup neutralnih poslova skup poslova zamke moment inercje rotora skup poslova siona srednja vrijednost momenl inercje moment inercje terem

Ju

uupni moment inercij e motora i manipulatora

Jue

estna vrijednost momenta inercje

g

vektor ubznja zbog sile teže

G Goa

raf Peijeve mreže prijenosna nkcija ovorenog regulacjskog ruga brzine vrnje

Jn

Gb

pijenosna unkcija regulatora brzine vrnje

Gw

marica čekanja

K K1

nominalna vrjednost momenta inercije konsnl motora koeicijent pojačanja istosmjemog motora

200

K2 Ka

Kb

Ka

Ke

Ke KF KM

K0

�

Kp

Kq

POPIS PRIMIJENJENIH OZNA koeicijent pojačanja istosmjemog ' motora koeicjent pojačanja anog uga

koeicijent pojačanja člana po­ vrane veze brzine vrnje koeicijent pojačanja deivativnog dijela slijednog regulatora koeicijent utosti objekta s ko­ jim je prihvatnica u kontaku konskcijska konstanta motora koeicijent pojačnja regulatora sile dodira koeicijent pojačaja motora

koeicijent pojačanja otvorenog regulacijskog uga položaja

koeicijent pojačnja proporcio­ nalnog dijela sljednog regulatora koeicijent pojačaja sujnog i naponskog pojačala koeicijent pojačanja anog ruga (q - komponenta armane sruje)

KR koeicjent pojačanja regulatora K�, KJ, K; adaptirani koeicijenti poja­

čanja slijednog regulatora koeicijent rutosti senzora sile koeicijent pojačanja zatvorenog regulacijskog uga ane sruje Ko koeicijent pojačanja KP koeicijent pojačanja duljina rajektorij e l L(q, dq/dt) Larangeova nkcija ukupni indivitet anog La uga koordinani sustav s ishodištem u Lk cenru mase člnka k indivitet d-faze dvofnog d-q Ld sustava

K8 Kzi

Lk

Lq

M

M

k-ti desno orijentrni ortonori­ rani koordinani sustav

indukivitet q-faze dvofnog d-q sustava poreni koordinani sustav moment poreban za stvaranje sile

F

vektor sanja SSD-a m(C) broj oaka skupa C m

m(p)

broj onka mjesta p

M, �

maica koja sarži vremena prelaska semenata rajektorij e

počeno stanje vektora stanja masa manipulatora bez pihvanice masa prihvanice (i predmeta koji drži) Mg, mg moment sile teže Mge esna vijednost statičkog momenta (momenta sile teže) mk ortonoi vektor porenog koordanog sustava moment motora mm nadomjesni moment u zglobu ro­ m8 bota M1s moment tereta u zglobu robota broj stupnjeva slobode gibanja n (broj osi) moment koji djeluje na članak k nk O izlana marica događaja P skup mjesta Peijeve mreže vektor mjesta Perijeve mreže p maica p-invijanti P mjesto Perijeve mreže p p, p (q) vetor položaja vrha alata toplinska snaga (gubici) u motoru Pg Pi izla snaga motora broj pi polova Pm Ppr prijelana snaga u motoru upna snaga motoa Pu točka u prostom q vektor vijabli zglobova q zamka Q Qc itična zamka varijabla i-tog zgloba u točki rak jektorije k m0

m1 m2

Qk qk qm

,,

R r

r

r R R() rl r2 R3 r3

marica položaja i brzina zglobova varijabla zgloba k medutočka u prostoru varijabli zglobova ut valjnja alata marica složenih roacija radijus zupčika redktora resurs vektor resursa skup resursa maica orij entacije alaa okomit vektor vektor nja i pomicanja tezij si prostor

vektor priblžavanja

Tranp) marica osnovne homogene POPIS PMIJENJENIH OZNA

Ra �.

ukupni radni opor amanog uga

skup jednoradnih resursa Rt(i) marica k-te osnovne rotacije Rn n-dimenzionalni prostor Rot(i, k) k-ta marica osnovne homogene rotacije rv vektor višeradnih resursa

r S S

s(t)

Sa

skup višeradnih resursa ukupni ftor nomiranja parameričkog vremna sion nkcij a raspodjele brzine (put)

aktor normirnja parameričkog vremena po ubzanju Se riični sion i-ti segment rajektorije S; Spir(., i, k) marica ansormacije spi­ ralnog gibanja oko ort-vek­ tora k S, marica opušanja resursa fator nomirnja parameričkog Sv vremena po bzini Sv marica poretanja operacija Sy izlana marica marica homogene ransormacije vrijeme prelaska putanje T kinetička energija T t prijelaz Perijeve reže, vrijme T skup prijelaza Peijeve mreže t1 vremenski renutak vremenska konstanta amanog Ta uga vremenska konstanta člana po­ Tb vrane veze brzine vrnje interval uzorkovanja (disreizaTd cije) interalna vremenska konstanta T1 T; točka na rajektorij i marica koja sadrži vremena pre­ laska semenaa rjektorij e tk +I pameričko vijeme prelaska k-tog semena ajektorij e marica ransomacija koordinata članka k vremenska konstanta motora elekromehnička vremenska konstanta vremenska konstanta armanog ruga (q-komponenta amane struje)

T

Tk

TL

201

ranslacije vrijeme prelaska rajektorij e

u

u

Upv

U,

uq

interval upravljnja vremenska konstanta zatvorenog regulacijskog uga armane suje potencijalna energija ulani vektor SSD-a napon nul-točke napon amatre d-komponenta napona satora sironog motora upravljačko mjesto Perijeve mreže upravljački vektor vektor upravljačkih mjesta Peri­ jeve mreže sinal povrane veze q-komponenta napona statora sironog motora

reerenna vrijenost uR, us, uT naponi faza statoa , S,

T

Us

izlaz iz regulatora brzine vrnj e uu, Uu izlaz i z slijednog regulatora volumen proizvodnje (broj proizv voda) v(t) dodani (adaptacijski) upravlj ački sinal V skup čvorova Perijeve mreže vektor opeacija V brzina manipulatora bzina pihvanice oraničenje brzina zglobova linijska bzina cenra mase člnka k vk volumen članka vm, vms mksimalna linij ska bzina linijska bzina po x-osi vx zadana linij ska brzina po x-osi vxr

vy

vyr Vz vzr

W

w() wm wM

linijska bzina po y-osi

zadana linij ska brzina po y-osi linijska bzina po z-osi zadana linij ska brzina po z-osi marica događaja vektor konigracije alaa meduočka u prosoru konigura­ cije alata medutočka u prostoru konigura­ cije alata

202

BECEDNO O

X

ortonoi sup vektor pravila položaj manipulatora

X

Xi X2 X3

xd xk

xk y

y

Yk zk

z

ak r .ck

' rk ,sk oW

E

\

}

položaj prihvanice položaj objekta s kojim je prihvatnica u kontu vetor konlh pravila x-koorinata vektora u ezijskom prostoru ortogonalni (otonormirani) vekor lz z zgloba robota izlani vektor y-koordinaa vektoa u ezjskom prostoru z-koordinata vektora u ezijskom prostoru maica singova zaret članka (kinemaiči parametr) ivulja u prostoru koniguracije alata homogene koordinate cenra mase člnka k razlka broja impulsa vetor položaja cenra mase članka prema Lt vektor položaja Lk prema Lk-I viualni rad Sribeckova brzina vektor perspekive zaret, kut između dva vektoa

Oo

}e

Jk

9M er

}s

. .

� �k �sr Pk r

"m f t

rk p

� �n

pm )

)k

)e

)m )n

počeni položaj elekrički zaret rotoa kut zgloba (inematički parametar) izlaz z bloka željene dinamike položaja reerenna vrijednost položaja ciljni položaj pomak duž osi nomirni parametar duljine puanje koeicijent pr.gušenja pmetar ipa zgloba k srednji koecijent pr.gušenja gustoća članka k faktor skaliranja nadvišenje u odzivu vektor momenata zgloba vektor prijelaza moment zgloba k dio vektora koniguracje alata ven z orijentaciju alata teinska nkcija Perij eve mreže nazivna vrijednost glavnog magnetskog toka vektor manetskog toka kuna brzina motora elekrična bzina vrnje kuna bzina cenra mase članka k mehnička brzina vrnje prirodna revencija neprigušenih oscilacja

Naklaik

GPHIS Jujevska 20, Maksimirska

88, Zareb

Tel./faks: 01/2322-975

Za nakladnika Elizabeta Šunde

rij elom GPHIS Tisknje dovršeno u ožujku 2002.