No Bullshit Guide sur les Mathématiques 9780992001087

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No Bullshit Guide sur les

mathématiqueS

IVAN SAVOV

No Bullshit Guide sur les

M ATHÉMATIQUES Ivan Savov 27 mai 2021

No bullshit guide sur les mathématiques par Ivan Savov c Ivan Savov, 2020. All rights reserved. Copyright Publié par M INIREFERENCE C O . Montréal, Québec, Canada minireference.com | @minireference | fb.me/noBSguide Pour contacter l’auteur : [email protected]

Classification mathématique (MSC 2010) : 00A05, 00A06, 00A09, 97-01, 97H20.

Traduit par Gérard Barbanson Cinquième édition v5.4 beta 5 git commit 471:1ede9ae

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Table des matières Préface

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Introduction

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Nombres, variables et équations 1.1 Résoudre les équations . . . 1.2 Nombres . . . . . . . . . . . 1.3 Représentation des nombres 1.4 Variables . . . . . . . . . . . 1.5 Fonctions et leurs inverses .

2

Algèbre 35 2.1 Règles de base de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Résoudre les équations du second degré . . . . . . . . . 43

3

Exposants et logarithmes 49 3.1 Exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4

Systèmes de coordonnées 61 4.1 Le plan cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5

Fonctions 5.1 Les fonctions . . . . . . . . 5.2 Fonctions de référence . . Droite . . . . . . . . . . . . Valeur absolue . . . . . . . Fonction du second degré Racine carrée . . . . . . . . Polynômes . . . . . . . . . Sinus . . . . . . . . . . . . Cosinus . . . . . . . . . . . Tangente . . . . . . . . . . i

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5 . 6 . 8 . 15 . 27 . 29

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65 65 79 81 82 83 84 85 90 92 93

ii

TABLE DES MATIÈRES

5.3

Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Logarithme naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Transformation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 96

6

Géométrie 6.1 Formules géométriques . . . . . 6.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . 6.3 Identités trigonométriques . . . 6.4 Cercles et coordonnées polaires 6.5 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Parabole . . . . . . . . . . . . . 6.7 Hyperbole . . . . . . . . . . . .

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105 106 111 118 121 129 133 138

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Vecteurs 7.1 Vecteurs et déplacements . 7.2 Vecteurs . . . . . . . . . . 7.3 Bases . . . . . . . . . . . . 7.4 Produits de vecteurs . . . 7.5 Nombres complexes . . .

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145 146 148 164 167 169

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Suppléments 177 8.1 Résolution des systèmes d’équations . . . . . . . . . . . 178 8.2 Intérêt composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.3 Notation ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

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Problèmes

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203

A Réponses et solutions B Notations Notations Mathématiques Ensembles . . . . . . . . . Vecteurs . . . . . . . . . . Nombres Complexes . . .

223 . . . .

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C Petit cours sur SymPy C.1 Introduction . . . . . . . C.2 Utilisation de SymPy . . C.3 Mathématiques de base . C.4 Nombres complexes . . C.5 Vecteurs . . . . . . . . .

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Index

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Cartes conceptuelles Les diagrammes ci-dessous montrent tous les sujets et concepts couverts dans ce livre. Les sujets sont dans des boîtes rectangulaires. Les concepts sont dans des bulles avec des coins arrondis.

F IGURE 1 Le premier chapitre du livre couvre des concepts essentiels comme les nombres, leur représentation, les équations et les fonctions.

F IGURE 2 Dans le chapitre 2 nous étudierons les règles de l’algèbre qui codifient ce que nous pouvons faire avec les expressions mathématiques.

Vous pouvez annoter les cartes pour mesurer votre progrès à travers le matériel. Mettez un point (‚) à coté de tous les concepts dont vous avez entendu parler, deux points (‚‚) à coté de ceux que vous croyez comprendre et trois points (‚‚‚) pour les concepts que vous avez utilisés dans des exercices et des problèmes. Si vous accumulez des points chaque semaine, vous absorberez très vite tout le matériel. Téléchargez une version PDF des cartes ici : bit.ly/lesmaths. iii

F IGURE 3 La visualisation joue un rôle très important en mathématiques. Dans le chapitre 4 nous étudierons le plan cartésien, qui est un système de coordonnées en deux dimensions utilisé pour représenter les points, les vecteurs et les graphes des fonctions. Ensuite au chapitre 6 nous étudierons les formes fondamentales de la géométrie comme les cônes, les pyramides, les cercles et les triangles. Nous consacrerons aussi plusieurs sections à nous familiariser avec la trigonométrie, les fonctions trigonométriques et les identités trigonométriques.

F IGURE 4 Dans le chapitre 7, nous utiliserons ce que nous aurons appris en algèbre et en géométrie pour étudier les vecteurs et les opérations sur les vecteurs. Dans le chapitre 8, nous parlerons des applications mathématiques et des méthodes de formalisation qui sont employées par exemple dans les preuves.

Consultez l’index à la page 253 pour trouver les pages où les concepts apparaissent. iv

Préface Pourquoi étudier les maths ? Les mathématiques ont de nombreuses applications pratiques, mais beaucoup de gens ne se sentent pas à l’aise avec les maths. Quelques-uns vont jusqu’à dire qu’ils « haïssent » les maths et les évitent. De nombreux adultes vivent avec la phobie des maths. Pourquoi des sentiments aussi forts ? Faut-il réellement avoir peur des maths et les éviter ? L’origine de cette phobie des maths se trouve sans doute dans la croyance qu’étudier les maths est difficile et que seuls quelques élus peuvent y réussir. En d’autres termes, seuls ceux dont le cerveau est orienté vers les maths peuvent les étudier avec succès. C’est du moins ce qu’on entend bien souvent. En réalité, même ceux qui ont une forte haine des maths peuvent en apprendre en faisant un petit effort. Cet effort en vaut la peine car étudier les maths ouvre beaucoup de portes et permet de comprendre de nombreux concepts, que ce soit en sciences, en informatique, en musique, dans les affaires et même dans bien des situations de la vie courante.

Comment allons-nous nous y prendre ? Dans ce livre nous donnons la priorité aux explications des relations entre les concepts. Étudier les maths ne consiste pas à mémoriser des formules, mais plutôt à acquérir les connaissances nécessaires pour parcourir les chemins qui relient les différents concepts abstraits. Regardez les figures aux pages iii et iv. Vous y verrez tous les sujets abordés dans ce livre et la façon dont ils sont reliés. Chaque section du livre couvre un sujet en donnant des définitions précises, des exemples et des explications concises. L’ordre des sujets est choisi pour aider les lecteurs à progresser par étapes, chaque nouvelle couche de connaissances s’appuyant sur les couches v

vi

PRÉFACE

précédentes. Nous étudierons les nombres, les ensembles, les variables, les équations, les règles de l’algèbre, les fonctions, les fonctions inverses, la géométrie, la trigonométrie et aussi les applications des mathématiques aux finances personnelles. Bref, nous couvrirons toutes les parties des maths qui peuvent vous être utiles. Pour s’assurer que les lecteurs ont réellement saisi le matériel, de nombreux exercices et problèmes sont proposés (voir Chapitre 9). Vous trouverez les réponses à tous les exercices et problèmes dans l’annexe A (page 223).

Ce livre est-il pour vous ? Ce livre convient à quiconque désire apprendre des maths. Les élèves y trouveront ce qu’ils ont besoin de connaître pour leurs classes. Les étudiants de l’université pourront utiliser ce livre pour revoir leurs bases en maths et se préparer à étudier des sujets plus spécialisés comme le calcul différentiel, l’algèbre linéaire et la statistique. Les parents qui voudraient aider leurs enfants pour leurs devoirs de maths pourront s’appuyer sur ce livre pour rafraîchir leurs connaissances. Les enseignants pourront le consulter pour renforcer leurs bases et y trouver de nouvelles méthodes pour expliquer les concepts mathématiques. En fait ce livre s’adresse particulièrement aux adultes qui pensent qu’ils sont nuls en maths et ne se sentent pas à l’aise dans un environnement de nombres et d’équations. C’est le moment de vous libérer de ces idées préconçues. Si vous avez la phobie des maths, c’est peut être simplement parce que vous êtes mal informés sur ce que sont les mathématiques. Les maths sont un langage universel pour décrire certains phénomènes qu’on rencontre dans le monde. Elles sont partout autour de nous. Si vous étudiez les maths, vous serez capable de voir les équations derrière les phénomènes du monde réel et cela vous permettra d’utiliser ces équations pour prédire le futur. Plutôt pratique, non ? Étudier les maths vous aidera aussi à prendre de meilleures décisions dans la vie de tous les jours. Par exemple vous éviterez de faire des emprunts à des taux usuraires, vous pourrez estimer les temps et les distances quand vous voyagez, vous saurez vérifier les calculs dans les contrats et prévoir les rentrées d’argent dans vos affaires. Les maths ne sont pas seulement pour les scientifiques et les ingénieurs — tout le monde a intérêt à connaître les maths comme tout le monde a intérêt à savoir lire et écrire.

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À propos de l’éditeur Minireference Publishing Co. est une maison d’édition spécialisée dans les maths, les sciences et l’informatique. Nous souhaitons rendre les outils de modélisation mathématique accessibles à tous en publiant des ouvrages qui expliquent les concepts mathématiques de façon claire et sans superflu. Il est temps de rompre avec l’ancien style des livres chers, lourds et ennuyeux à lire. Les livres No Bullshit Guide sont une alternative plus efficace et plus agréable pour apprendre les maths et les sciences. Que vous soyez étudiant, parent ou adulte voulant apprendre, nous avons sûrement un livre pour vous qui vous aidera à vous améliorer en maths.

À propos de l’auteur J’ai été tuteur de maths et de physique pendant plus de 17 ans. Grâce à cette expérience, j’ai appris à décomposer les idées compliquées en petits « morceaux » faciles à comprendre. Je pense que la meilleure façon d’enseigner les maths c’est de bien définir les concepts de base et montrer les chemins qui les relient. Lorsque la personne qui étudie connaît le vocabulaire de base et est capable de s’orienter dans un nouveau domaine mathématique, la partie est déjà à moitié gagnée ! Ivan Savov Montréal, 2020

Introduction Il suffit de regarder attentivement autour de soi pour voir partout des phénomènes que l’on peut décrire par des modèles mathématiques. Certains phénomènes comme le mouvement des vagues à la surface d’un lac sont compliqués et requièrent l’application de mathématiques avancées pour être compris. En revanche dans la vie courante beaucoup de phénomènes sont simples et peuvent être décrits par des équations très simples. Dans ce livre on va s’intéresser aux situations pour lesquelles les modèles mathématiques de base suffisent. Le but est de vous présenter les notions mathématiques essentielles comme les nombres, les expressions algébriques, les fonctions et les figures géométriques. Cela vous fournira une boîte à outils fondamentaux que vous pourrez utiliser dans divers domaines comme la physique, la chimie, la biologie, la médecine, ou pour résoudre les problèmes pratiques qui se posent aux ingénieurs ou aux entrepreneurs. Pour penser comme un mathématicien il faut être capable de remarquer autour de soi toutes les situations qui admettent un modèle mathématique. C’est ce que font les mathématiciens chaque jour. Pour commencer on observe une telle situation ; ensuite on essaye de la décrire (en général c’est là que les équations et les formules entrent en jeu) et enfin on utilise le modèle qu’on a ainsi construit pour obtenir un résultat concret. Me croirez vous si je vous dis que quelques équations griffonnées sur un papier permettent de prédire le résultat d’une expérience de physique quantique, de calculer le rendement d’une réaction chimique, de prédire le taux de croissance d’une bactérie, de sauver la vie d’un malade ou de maximiser le profit d’une startup ? Est-ce que j’ai réussi à capter votre attention ? J’espère que maintenant vous avez envie d’apprendre un peu de maths. Ou peut-être avez-vous encore un sentiment bizarre à l’idée d’ouvrir un livre de maths ? Vous allez lire un livre de maths sans que quelqu’un vous force à le faire ? Dans quels ennuis est-ce que vous vous jetez ? Détendezvous ! Les maths ne sont pas une catastrophe. Étudier les maths n’est 1

2

INTRODUCTION

pas quelque chose dont vous devez avoir peur. Les maths ne sont pas comme un obstacle au-dessus duquel vous devez sauter d’un seul coup. Étudier les maths c’est plutôt comme grimper au sommet d’une montagne. C’est à vous de choisir à quelle vitesse vous allez grimper. En consacrant du temps à lire des maths et à résoudre des exercices, n’importe qui peut arriver au sommet de la montagne, à son rythme. L’astuce pour apprendre des maths, c’est de redéfinir ce que les maths représentent pour vous. Faites moi confiance, chers lecteurs et lectrices, étudier les maths ne vous oblige pas à apprendre par cœur des formules et des règles pour les calculs ! Ça c’est l’arithmétique. Il est très utile d’être capable de faire très rapidement des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions, mais les vraies mathématiques c’est beaucoup plus que ça. Par exemple, apprendre quelques règles d’algèbre de base vous permettra de simplifier des expressions compliquées en les réécrivant sous une forme équivalente mais plus courte et plus facile à calculer. Plus vous apprendrez d’algèbre, moins vous aurez d’opérations mathématiques à faire. Quoi ? Nous apprenons plus de maths pour faire moins de maths ? Eh bien oui ! C’est ça l’essentiel de la pensée mathématique : savoir utiliser les modèles mathématiques et les règles générales pour simplifier les problèmes. En plus de fournir un outil pour apprendre les sciences, l’étude des mathématiques avancées a un intérêt par elle-même. Apprendre les maths de base n’est que la première étape dans toute une chaîne de montagnes de sujets mathématiques de plus en plus spécialisés. Chaque montagne mathématique que vous gravirez vous révélera plus de panoramas superbes, et ce sera à vous de choisir jusqu’où vous voulez aller.

Guide vers les montagnes mathématiques Ce livre est votre guide pour la première partie de votre voyage dans les montagnes mathématiques. Les concepts tels que les nombres, les équations, les fonctions, l’algèbre et la géométrie sont les premiers sommets que vous devrez gravir sur votre route. Dans le chapitre 1, nous commencerons par définir quelques idées fondamentales en maths, qui comprennent les nombres, les variables, les équations et les fonctions. Ce sont les principaux blocs qui servent à notre construction des maths et nous les utiliserons tout au long de ce livre. Le lecteurs qui s’intéressent aux maths pour la première fois devraient lire attentivement le chapitre 1 et y consacrer le temps nécessaire pour résoudre tous les exercices. Dans le chapitre 2 nous apprendrons les règles de l’algèbre qui

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consistent en diverses simplifications, réductions et développements que nous pouvons effectuer sur des expressions mathématiques. Apprendre l’algèbre en mémorisant tout un tas de règles est une tâche très difficile. Au lieu de ça, vous pouvez penser à l’algèbre comme à un langage. Les technique algébriques sont les verbes qui s’appliquent aux expressions mathématiques. Développer l’expression apb ` cq signifie écrire cette expression sous la forme ab ` ac. Mettre en facteurs l’expression ax ` ay ` az, c’est l’écrire sous la forme apx ` y ` zq. Pour apprendre de l’algèbre vous aurez besoin de connaître quelques noms : variable, terme, facteur, expression, équation. Vous devrez aussi vous familiariser avec les verbes utilisés en algèbre : résoudre (une équation), factoriser (une expression), développer (une expression), compléter le carré (dans une expression du second degré), simplifier (une expression), etc. Êtes vous toujours avec moi ? Je comprends que la perspective d’étudier l’algèbre ne semble pas la chose la plus excitante du monde. Je ne vous mentirai pas et ne chercherai pas à vous dire qu’il sera facile de développer votre habileté à simplifier les expressions. Il vous faudra faire beaucoup d’exercices avant d’être à l’aise avec les verbes de l’algèbre, mais l’effort en vaut la peine. Dans le chapitre 3 nous parlerons en détail des fonctions exponentielles et des logarithmes. L’expression an qui se lit « a exposant n » ou « a puissance n » représente le nombre a multiplié n fois par lui-même. La fonction exponentielle a x a des propriétés intéressantes et nous passerons quelques temps à les explorer. Nous discuterons aussi de la fonction logarithme loga pxq qui est l’inverse de la fonction exponentielle a x . Dans le chapitre 4 nous présenterons le plan cartésien. C’est dans le plan cartésien que nous pourrons dessiner des concepts mathématiques abstraits comme les points, les vecteurs et les formes géométriques. C’est aussi dans le plan cartésien que nous pourrons tracer les graphes des fonctions qui montrent leur comportement pour les diverses valeurs de la variable d’entrée. Le chapitre 5 est consacré à l’étude des fonctions. Nous y introduirons un important vocabulaire pour décrire les entrées, les sorties et bien d’autres notions relatives aux fonctions. Nous donnerons un catalogue des 10 fonctions les plus courantes en maths et dans la modélisation des autres sciences. Nous expliquerons aussi comment combiner, modifier et transformer les fonctions de base pour construire des fonction composées ayant diverses propriétés que l’on souhaite. L’objet de la géométrie est de traiter des formes, des transformations, des distances, des aires et des volumes. Dans le chapitre 6 nous étudierons la géométrie et nous présenterons diverses formules au sujet des lignes, des cercles, des cylindres, des sphères et autres

4

INTRODUCTION

formes. Nous parlerons aussi de trigonométrie avec l’étude des relations entre les longueurs des côtés des triangles rectangles. Dans le chapitre 7 nous parlerons des vecteurs. Les vecteurs sont incroyablement utiles dans les calculs scientifiques, en informatique, en statistiques, en apprentissage automatique et dans bien d’autres domaines. Enfin au chapitre 8 nous étudierons quelques sujets mathématiques supplémentaires. Nous verrons comment résoudre les systèmes d’équations linéaires et comment calculer les intérêts composés. Nous parlerons un peu aussi des démonstrations et de la notation ensembliste. Savoir comment utiliser la notation ensembliste (section 8.3) est une clé essentielle pour l’étude de questions mathématiques plus avancées. Le livre s’achève sur un chapitre contenant un grand nombre de problèmes (chapitre 9). Notez bien cela : vous ne pouvez pas apprendre les maths seulement en lisant — vous devez aussi mettre en pratique les techniques mathématiques données dans le livre pour résoudre des problèmes.

Utilisez les cartes conceptuelles Les cartes conceptuelles aux pages iii et iv offrent un survol de tous les concepts et sujets que nous discuterons dans ce livre. Remarquez les nombreuses connections entre les différents concepts. Connaître les connections entre les concepts est essentiel pour savoir trouver son chemin en maths. Chaque lien entre les sujets est comme un chemin qui relie les montagnes mathématiques. Vous êtes prêts pour une randonnée en montagne ? Alors allons-y !

Chapitre 1

Nombres, variables et équations Dans ce chapitre nous allons présenter les éléments fondamentaux des mathématiques : les nombres, les variables et les équations. Ils représentent le minimum de concepts que vous devrez connaître pour commencer à construire des modèles mathématiques. Nous plongerons directement au cœur de la question en introduisant une procédure générale pour résoudre les équations dans la section 1.1. Dans la section 1.2, nous définirons les différents types de nombres qui existent, puis nous parlerons de leurs représentations dans la section 1.3. Dans la section 1.4, nous apprendrons à utiliser des variables comme k et x pour représenter les valeurs inconnues dans les équations. Ensuite nous discuterons des fonctions et des fonctions inverses dans la section 1.5. Une fonction décrit une relation entre une variable d’entrée x et une variable de sortie y. La fonction inverse décrit la même relation dans le sens inverse, en traitant y comme variable d’entrée et x comme variable de sortie. En apprenant à utiliser les fonctions et leurs inverses, vous ferez un grand pas vers l’acquisition de connaissances mathématiques. Les fonctions constituent les pièces maîtresses de la boîte à outils de la modélisation mathématique car elles nous permettent de représenter toutes sortes de transformations d’entrée-sortie. La combinaison de vos connaissances sur les nombres, les variables, les équations et les fonctions vous permettra de résoudre de nombreux types de problèmes.

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NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

1.1

Résoudre les équations

La plupart des techniques mathématiques peuvent être ramenées à la manipulation et à la résolution d’équations. Résoudre une équation c’est trouver la valeur de l’inconnue dans l’équation. Regardez ceci : x2 ´ 4 “ 45.

Résoudre cette équation, c’est répondre à la question « Quelle est la valeur de x ? » De façon plus précise, nous voulons trouver le nombre que l’on peut mettre à la place de x dans l’équation pour que l’égalité soit vraie. En d’autres termes, on demande : « Quel nombre qui multiplié par lui-même moins 4 donne 45 ? » Ça fait un peu lourd, non ? Pour éviter ce verbiage, les mathématiciens emploient souvent des symboles spéciaux pour représenter les opérations mathématiques. Le problème est que ces symboles peuvent être déroutants. Quelquefois, même les concepts mathématiques les plus simples sont inaccessibles si on ne connaît pas la signification des symboles. Chers lecteurs, chères lectrices, quels sont vos sentiments à l’égard des maths ? Est-ce qu’elles vous effraient ? Êtes-vous paniqué parce que vous pensez que ça va être trop difficile pour vous ? Détendezvous. Votre réaction est normale. Personne ne peut, par miracle, deviner immédiatement la solution d’une équation. Pour trouver la solution, vous devez décomposer le problème et procéder étape par étape. Faisons ce chemin ensemble. Pour trouver x, nous pouvons manipuler l’équation initiale pour la transformer en une équation différente qui soit aussi vraie que la première, mais se présente sous la forme : x “ rien que des nombres.

C’est ça qu’on appelle résoudre une équation. L’équation est résolue parce que l’inconnue est isolée d’un seul côté, tandis que les nombres sont regroupés de l’autre côté. Vous pouvez entrer dans votre calculateur les nombres qui apparaissent du côté droit de l’équation et obtenir la valeur numérique de x. Avant de continuer notre discussion, remarquons ceci : le signe d’égalité (“) signifie que tout ce qui est à gauche du signe “ est égal à tout ce qui est à droite. Pour que cette qualité du signe “ reste vraie, pour tout changement que l’on fait du côté gauche de l’équation on doit faire le même changement du côté droit. Gardons présente à l’esprit cette règle fondamentale. Si on suit cette règle, les manipulations que nous faisons transforment une équation vraie en une autre équation vraie.

1.1 RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS

7

Pour trouver x on peut manipuler l’équation originale jusqu’à obtenir la forme finale, en simplifiant pas à pas jusqu’à ce qu’on ne puisse plus simplifier davantage. Dans notre exemple, la première étape de simplification sera d’ajouter le nombre 4 aux deux côtés de l’équation : x2 ´ 4 ` 4 “ 45 ` 4,

qui se simplifie en

x2 “ 49.

Maintenant l’expression paraît plus simple, non ? Pourquoi ai-je fait cette opération ? Je voulais « annuler » les effets de l’opération ´4. Nous annulons une opération en faisant l’opération inverse. Lorsque l’opération est la soustraction d’une certaine quantité, l’opération inverse est l’addition de la même quantité. Nous en apprendrons plus au sujet des fonctions inverses dans la section 1.5. Nous approchons de notre but : isoler x d’un côté de l’équation, ne laissant que des nombres de l’autre côté. Dans l’étape suivante on annule l’opération élever au carré x2 . L’opération inverse ? d’élever un . C’est donc nombre au carré (x2 ) est de prendre sa racine carrée ce que nous faisons maintenant et nous obtenons : a ? x2 “ 49. Observez que nous avons pris la racine carrée des deux côtés de l’équation. Si nous n’avions pas fait la même opération des deux côtés, nous n’aurions l’égalité ! ? plus ? L’équation x2 “ 49 se simplifie en : |x| “ 7. Que représentent ces barres verticales autour de x ? La notation |x| signifie valeur absolue de x, qui est ce que l’on obtient à partir de x lorsqu’on ignore le signe qui indique si x est positif ou négatif. Par exemple |5| “ 5 mais | ´ 5| “ 5 aussi. L’équation |x| “ 7 veut dire que x “ 7 et x “ ´7 satisfont tous deux l’équation x2 “ 49. Sept au carré est 49, 72 “ 49, et ´7 au carré est aussi 49, p´7q2 “ 49, parce que les deux signes moins s’annulent l’un, l’autre dans la multiplication p´7qp´7q “ 49. Les solutions de l’équation x2 ´ 4 “ 45 sont donc x“7

et

x “ ´7.

Eh oui, il y a deux réponses possibles ! Vous pouvez vérifier en faisant le calcul que les deux valeurs de x ci-dessus satisfont l’équation initiale x2 ´ 4 “ 45.

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NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

Si vous vous sentez à l’aise avec toutes les notions de maths utilisées dans cette section et si vous pensez que vous auriez pu résoudre l’équation x2 ´ 4 “ 45 par vous-même, alors vous pouvez vous contenter de regarder rapidement ce chapitre. Si, au contraire, vous ne vous sentez pas bien à l’aise dans les étapes de la résolution ci-dessus alors ce chapitre est pour vous ! Dans les sections suivantes nous allons réviser les concepts essentiels des maths dont vous aurez besoin pour maîtriser le reste de ce livre. Pour commencer laissez moi vous parler des différents types de nombres.

1.2

Nombres

Nous devons tout d’abord définir les nombres qui sont les principaux acteurs du monde mathématique.

Définitions Les nombres servent à compter, mesurer, quantifier et calculer. Les mathématiciens classent les différents types de nombres en catégories appelées ensembles : — L’ensemble des nombres entiers naturels : ( N “ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . .

— L’ensemble des nombres entiers relatifs :

( Z “ . . . , ´3, ´2, ´1, 0, 1, 2, 3, . . . .

— L’ensemble des nombres rationnels : ) ! Q “ ´ 1, 0, 21 , 53 , 22 7 , 0,125 , ´7, . . . .

— L’ensemble des nombres réels :

? ( R “ ´ 1, 0, 12 , 53 , 2, e, π, . . . .

— L’ensemble des nombres complexes : ? ( C “ ´ 1, 0, 12 , 53 , 2, e, π, i, 1 ` i, 2 ` 3i, . . . .

Les noms de quelques-unes de ces catégories devraient vous être quelque peu familiers. Considérez-les comme des étiquettes de classification pour tout ce que vous appelleriez normalement un nombre.

1.2 NOMBRES

9

Chaque groupe de la liste ci-dessus est un ensemble. Un ensemble est une collection d’objets du même type. Chaque collection a un nom et une définition précise des objets qu’elle contient. Remarquez que chaque ensemble de la liste contient tous les ensembles situés au-dessus de lui, comme on peut le voir sur la figure 1.1. Pour le moment nous n’avons pas besoin d’entrer dans le détail des ensembles et de leurs notations, mais nous devons savoir qu’il y a différents ensembles de nombres.

N Z

Q

R

C

F IGURE 1.1 Illustration de la structure emboîtée des différents ensembles de nombres. L’ensemble N des entiers naturels est contenu dans l’ensemble Z des entiers relatifs qui à son tour est contenu dans l’ensemble Q des rationnels. L’ensemble des rationnels est contenu dans l’ensemble R des réels qui est contenu dans l’ensemble C des nombres complexes.

Pourquoi avons nous besoin d’autant d’ensembles de nombres ? Ces ensembles de nombres de plus en plus grands sont associés à des problèmes mathématiques de plus en plus élaborés. Les nombres les plus simples sont les entiers naturels dans N, ils sont suffisants si vous voulez compter. Combien de chèvres ? 5 chèvres ici et 6 chèvres là, ce qui fait un total de 11 chèvres. La somme de deux nombres entiers naturels est aussi un nombre entier naturel. Dès que vous commencez à faire des soustractions (la soustraction est l’opération inverse de l’addition, a ´ b “ c est la même chose que a “ b ` c), vous commencez à voir apparaître des nombres négatifs qui ne sont plus des naturels. Si les seules opérations que vous fassiez jamais sont l’addition et la soustraction, alors l’ensemble des entiers relatifs (par opposition aux entiers naturels) sera suffisant : Z “ t. . . , ´2, ´1, 0, 1, 2, . . .u. En effet, tout nombre entier relatif plus ou moins un autre nombre entier relatif donne encore un nombre entier relatif. On peut déjà faire beaucoup de maths intéressantes avec les entiers relatifs. Il y a tout un domaine des maths dénommé théorie des nombres qui commence par l’étude des entiers. Toutefois se restreindre aux entiers relatifs n’est pas toujours suffisant. Par exemple, le menu d’une rôtisserie ne pourrait pas proposer 21 poulet dans son menu s’il n’y avait que les nombres entiers. Si dans vos calculs vous devez faire des divisions, alors vous aurez besoin de l’ensemble des nombres rationnels Q. Les nombres ra-

10

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

tionnels peuvent être représentés par des fractions du type m n , où m est un entier relatif et n est un nombre entier naturel différent de zéro. Notez que toutes les fractions 23 , 46 , 69 et 2k 3k représentent le même nombre rationnel. La notation décimale est une autre façon de représenter les nombres 235 rationnels : 1,25 “ 125 100 , 0,235 “ 1000 , etc. On entrera dans plus de détails sur la notation décimale dans la section suivante. Pour l’instant contentons-nous de noter que l’ensemble des rationnels contient tous les nombres dont on se sert dans la vie courante. Vous pouvez ajouter, soustraire, multiplier et diviser des nombres rationnels et le résultat sera toujours un nombre rationnel. Pourtant les nombres rationnels ne sont pas suffisants pour toutes les maths ! En géométrie par exemple, on rencontre des quantités ir? rationnelles comme 2 (la longueur de la diagonale du carré de côté 1), et π (le rapport de la longueur de la circonférence d’un ? cercle à son diamètre). Il n’existe pas d’entiers relatifs x et y tels que 2 “ yx . ? ? Par conséquent 2 n’appartient pas à l’ensemble Q. On dit que 2 est irrationnel. Un nombre irrationnel a un développement décimal infiniment long et sans répétitions. Par exemple, π “ 3,141592653589793 . . . où les points indiquent que le développement décimal de π continue jusqu’à l’infini. En prenant les nombres rationnels et les irrationnels on a tous les nombres utiles, qui forment l’ensemble des nombres réels R. L’ensemble R contient les entiers relatifs, ? les rationnels Q, et aussi tous les nombres irrationnels comme 2 “ 1,4142135 . . .. En utilisant les réels vous pouvez calculer à peu près tout ce que vous voulez. À partir de maintenant dans ce livre, quand on parlera de nombres il s’agira de nombres réels de l’ensemble R. La seule chose que vous ne pourrez pas faire avec les réels c’est prendre la racine carrée d’un nombre négatif. Pour cela vous aurez besoin de l’ensemble des nombres complexes C. Nous repoussons la présentation des nombres complexes à la fin du chapitre 7.

Opérations sur les nombres Addition On peut ajouter les nombres. Je vais supposer que vous êtes familiers avec les choses de ce genre : 2 ` 3 “ 5, 45 ` 56 “ 101, 999 ` 1 “ 1000.

1.2 NOMBRES

11

On peut représenter les nombres par des baguettes de différentes longueurs, comme dans la figure 1.2. Ajouter les nombres, c’est comme mettre les baguettes bout à bout. La baguette qui en résulte a pour longueur la somme des longueurs des baguettes qui la constituent. “

`

F IGURE 1.2 L’addition des nombres revient à ajouter des longueurs.

L’addition est commutative ce qui veut dire que l’on a toujours : a ` b “ b ` a. En d’autres termes, l’ordre des nombres dans une somme n’a pas d’importance. Elle est aussi associative, ce qui veut dire que : a ` b ` c “ pa ` bq ` c “ a ` pb ` cq. Autrement dit, pour calculer a ` b ` c, on peut d’abord calculer a ` b puis ajouter c au résultat (ce que l’on note pa ` bq ` c) ou bien ajouter à a la somme b ` c (noté a ` pb ` cq). Peu-importe l’ordre des opérations, on arrive au même résultat. Soustraction La soustraction est l’opération inverse de l’addition : 2 ´ 3 “ ´1, 45 ´ 56 “ ´11, 999 ´ 1 “ 998. Contrairement à l’addition, la soustraction n’est pas une opération commutative. L’expression a ´ b n’est pas égale à l’expression b ´ a, ou écrit de façon mathématique : a ´ b ‰ b ´ a. Au contraire, on a b ´ a “ ´pa ´ bq, ce qui montre que changer l’ordre de a et b dans l’expression revient à changer son signe. La soustraction n’est pas non plus associative : pa ´ bq ´ c ‰ a ´ pb ´ cq. Par exemple p7 ´ 2q ´ 3 “ 2 alors que 7 ´ p2 ´ 3q “ 8. Multiplication La multiplication peut être définie comme une répétition d’additions : ab “ looooooomooooooon a ` a ` ¨ ¨ ¨ ` a “ looooooomooooooon b`b`¨¨¨`b. b fois

a fois

12

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

Visuellement on peut représenter la multiplication comme un calcul d’aire. L’aire d’un rectangle de longueur a et de largeur b est égale à ab. Un rectangle dont la longueur est égale à la largeur s’appelle un carré, c’est pourquoi nous lisons a2 “ aa comme « a au carré » ou « a carré ».

“

F IGURE 1.3 L’aire d’un rectangle de longueur 3 m et largeur 2 m est 6 m2 , soit six carrés de 1 m2 chacun.

La multiplication des nombres est commutative, c’est-à-dire ab “ ba et associative, c’est-à-dire abc “ pabqc “ apbcq. Bien souvent on n’utilise aucun signe pour noter la multiplication. On se contente de placer les deux facteurs l’un à côté de l’autre, ce qui signifie implicitement qu’on les multiplie. On note également la multiplication a ¨ b ou a ˆ b, et on la note a ˚ b dans les systèmes informatiques. Division La division est l’opération inverse de la multiplication : a{b “

a “ a ˜ b “ un bème de a. b

Pour obtenir a{b, vous devez diviser a en b parties égales et prendre une de ces parties. La division n’est pas une opération commutative puisque a{b n’est pas égal à b{a. Elle n’est pas associative non plus : pa ˜ bq ˜ c ‰ a ˜ pb ˜ cq. Par exemple quand a “ 6, b “ 3, c “ 2 on obtient p6{3q{2 “ 1 alors que 6{p3{2q “ 4. Remarquez qu’on ne peut pas diviser par 0. Vous pouvez essayer avec votre calculatrice ou votre ordinateur. Ils vous diront « erreur, division par zéro » parce que cette opération n’a aucun sens. De fait diviser quelque chose en zéro parties égales ne veut rien dire. Exponentiation L’opération consistant à multiplier un nombre plusieurs fois par lui-même est appelée exponentiation ou élévation à la puissance. On définit « a exposant n » ou « a puissance n » comme le produit de

1.2 NOMBRES

13

a par lui-même n fois. On écrit en mettant l’exposant n en indice supérieur : an “ loomoon aa ¨ ¨ ¨ a . n fois

Pour voir comment fonctionnent les exposants, nous pouvons faire un lien entre la valeur de l’exposant et le nombre de dimensions d’un objet géométrique.

21 “ 2

22 “ 4

23 “ 8

F IGURE 1.4 L’exposant correspond au nombre de dimensions d’un objet géométrique : les objets à une dimension sont des longueurs, ceux à deux dimensions sont des surfaces, et ceux à trois dimensions sont des volumes.

La figure 1.4 montre comment la même longueur 2 correspond à différents objets géométriques lorsqu’on l’élève à différentes puissances. Le nombre 2 est représenté par un segment de longueur 2, qui est un objet géométrique de dimension 1. Si nous ajoutons un segment de longueur 2 dans une deuxième dimension, nous obtenons un carré d’aire 22 dans un espace à deux dimensions. En ajoutant une troisième dimension, on obtient un cube de volume 23 dans un espace à trois dimensions. De fait, a à la puissance 2 est communément appelé « a carré » et a à la puissance 3 est appelé « a cube ». L’association des objets géométriques à une dimension avec les longueurs, des objets à deux dimensions avec les aires et les objets à trois dimensions avec les volumes doit être gardée présente à l’esprit. Cette analogie marche très bien jusqu’à la dimension trois, mais nous pouvons utiliser d’autres moyens de visualisation pour les exposants plus élevés comme on le voit dans la figure 1.5.

Ordre pour effectuer les opérations Une convention universelle précise l’ordre dans lequel les opérations mathématiques doivent être effectuées. Les opérations algébriques fondamentales s’effectuent dans l’ordre suivant : 1. Parenthèses 2. Exposants 3. Multiplication et Division 4. Addition et Soustraction

14

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

1

1

1

1

1

2

4

8

16

32

3

9

27

81

243

4

16

64

256

1024

5

25

125

625

3125

F IGURE 1.5 Représentation visuelle des nombres élevés à différentes puissances. Chaque boîte contient an points, le nombre a varie de 1 à 5, et l’exposant n varie de 1 à 5. Dans la première rangée nous voyons que a “ 1 élevé à n’importe quelle puissance, reste égal à lui-même. La deuxième rangée correspond à a “ 2 : le nombre de points double chaque fois que l’exposant croît de une unité. Partant de 21 “ 2 dans la première colonne, on finit avec 25 “ 32 dans la dernière colonne. Les autres rangées montrent les résultats pour 3, 4 et 5.

Par exemple, l’expression 5 ¨ 32 ` 13 s’interprète comme « Prendre d’abord le carré de 3, multiplier le résultat par 5, et enfin ajouter 13 ». En utilisant des parenthèses pour illustrer ces priorités, cela donne 5 ¨ 32 ` 13 “ p5 ¨ p3 ¨ 3qq ` 13. Vous serez d’accord si on dit que la version sans les parenthèses est plus facile à lire et à comprendre. On n’a besoin des parenthèses que si on désire faire les opérations dans un ordre différent de l’ordre normal. Par exemple, si on a besoin de faire le calcul ou on multiplie 5 et 3 d’abord et ensuite on élève le résultat au carré, alors il faut écrire p5 ¨ 3q2 ` 13. La convention sur l’ordre des opérations indique qu’il faut faire 5 ¨ 3 en premier.

1.3 REPRÉSENTATION DES NOMBRES

15

Exercices E1.1 Calculer la valeur de x dans les équations suivantes : ? ? a) 3x ` 2 ´ 5 “ 4 ` 2 b) 21 x ´ 3 “ 3 ` 12 ´ 3 c)

7x´4 2

`1 “ 8´2

d) 5x ´ 2 ` 3 “ 3x ´ 5

E1.2 À quels ensembles de nombres appartiennent les nombres suivants : ? a) ´2 b) ´3 c) 8 ˜ 4 d) 53 e) π2 E1.3 Calculez les valeurs des expressions suivantes : a) 23 3 ´ 3

1.3

b) 23 p3 ´ 3q

c) 43´32 p6 ¨ 7 ´ 41q

Représentation des nombres

Donnons maintenant quelques précisions sur les manières différentes de représenter les nombres : numération, écriture décimale et fractions. Par exemple, le nombre « trois » peut être écrit 3, ou comme le décimal 3,0 ou encore comme la fraction 31 . Ces trois représentations correspondent au même nombre ; on choisit telle ou telle représentation en fonction du type de calculs qui nous intéresse.

Concepts Nous utilisons les lettres « A, B, C, . . . » pour écrire des mots. De manière analogue, nous utilisons les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 pour représenter les nombres. Les chiffres sont les lettres que nous utilisons pour écrire les nombres. — On appelle numération la méthode employée pour écrire les nombres à l’aide de chiffres. Par exemple, le nombre 334 est composé des chiffres 3, 3 et 4. Dans cette écriture le même chiffre 3 représente deux quantités différentes suivant la position qu’il occupe. Le premier chiffre 3 correspond à la valeur « trois cents » alors que le second 3 correspond à la valeur « trente ». — La notation décimale permet d’écrire les nombres entiers, les rationnels et les réels. Elle est constituée d’une partie entière et d’une partie décimale séparées par une virgule décimale. Par exemple le décimal 32,17 est composé de l’entier 32 et de la partie décimale 0,17. — La notation fractionnaire permet d’écrire les nombres entiers et les rationnels. Une fraction se compose d’un numérateur et

16

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

d’un dénominateur. Voici quelques échantillons d’expressions mathématiques écrites avec des fractions : 3 , 4

1 , 2

3 , 2

17 . 100

— La droite numérique est une représentation graphique des nombres qui nous permet de les « voir » comme des points sur une droite. Un même nombre a peut être représenté de plusieurs façons équivalentes et il est indispensable de savoir comment passer d’une forme à une autre suivant les besoins. Le but de cette section est de vous familiariser avec toutes les représentations des nombres.

Numération La méthode la plus largement répandue pour la représentation des nombres entiers naturels est le système décimal de position, appelé numération décimale. Le système est décimal parce qu’il utilise dix chiffres (de 0 à 9). On dit que c’est un système de position parce que la signification de chaque chiffre dépend de sa position dans l’écriture du nombre. Tout nombre naturel a peut être écrit comme une suite de chiffres an ¨ ¨ ¨ a2 a1 a0 , qui correspond au calcul suivant : a “ an ¨ 10n ` ¨ ¨ ¨ ` a2 ¨ 102 ` a1 ¨ 10 ` a0 ¨ 1. Dans l’écriture a3 a2 a1 a0 , le chiffre a3 correspond aux milliers, a2 correspond aux centaines, a1 aux dizaines et a0 aux unités, comme on peut le voir dans la figure 1.6. s es s er tain aine te´ s i n z i e c un m d a3 a2 a1 a0 i ill

a “

103

102

10

1

F IGURE 1.6 La représentation du nombre a “ a3 a2 a1 a0 .

Par exemple, le nombre 4235 correspond au calcul 4235 “ 4 ¨ 103 ` 2 ¨ 102 ` 3 ¨ 10 ` 5 ¨ 1

“ 4 ¨ 1000 ` 2 ¨ 100 ` 3 ¨ 10 ` 5 ¨ 1 “ 4000 ` 200 ` 30 ` 5.

Remarquez que la façon dont on lit le nombre : « quatre mille deux cents trente cinq » est la traduction exacte de ce calcul.

1.3 REPRÉSENTATION DES NOMBRES

17

Représentation décimale Tout nombre a plus petit que un peut être écrit en utilisant une virgule décimale suivie d’une suite de chiffres, comme illustré dans la figure 1.7. a “ 0 , a ´1 a ´2 a ´3 ¨ ¨ ¨ a´2 a´3 a “ 0 ` ´11 ` 2 ` 3 ` ¨ ¨ ¨ . 10 10 10 Les valeurs des chiffres à droite de la virgule décimale correspondent à différentes fractions décimales. Par exemple, le chiffre 7 correspond à trois fractions décimales différentes selon sa position dans le nombre : 0,7 “

7 , 10

0,07 “

a “

7 100

0

et

,

0,007 “

7 . 1000

s s es me me e` m ntie` llie` i x i ce di m a´1 a´2 a´3

¨¨¨

1 10

1 102

1 103

virgule d´ecimale

F IGURE 1.7 La représentation décimale d’un nombre plus petit que 1.

Après la virgule décimale nous trouvons en premier le chiffre a´1 qui représente les dixièmes d’unités, en second le chiffre a´2 qui représente les centièmes d’unités, après ça on a a´3 qui représente les millièmes d’unités, et ainsi de suite. Si le nombre a est plus grand que un, il s’écrit sous forme décimale de la façon suivante : a “ an ¨ ¨ ¨ a2 a1 a0 , a´1 a´2 a´3 ¨ ¨ ¨

“ an 10n ` ¨ ¨ ¨ ` a2 102 ` a1 10 ` a0 `

a ´1 a ´2 a ´3 ` 2 ` 3 `¨¨¨ 10 10 101

Remarquez la présence de la virgule décimale au milieu des chiffres. Son rôle est essentiel : — les chiffres à gauche de la virgule décimale an ¨ ¨ ¨ a2 a1 a0 constituent la partie entière du nombre, alors que — les chiffres à droite de la virgule forment la partie décimale du nombre : 0, a´1 a´2 a´3 ¨ ¨ ¨ .

18

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

a “

es es s es es s m tie` m lie` m er tain aine te´ s ` i e l i i l n n x z il i n i i ce ce u m d d m a3 a2 a1 a0 a´1 a´2 a´3

¨¨¨

,

103

102

10

1

1 10

1 102

1 103

virgule d´ecimale

F IGURE 1.8 Le nombre a consiste en une partie entière a3 a2 a1 a0 et une partie décimale 0,a´1 a´2 a´3 ¨ ¨ ¨ séparées par la virgule décimale.

On peut utiliser la représentation décimale pour décrire des nombres rationnels tels que « un demi » = 0,5, « un quart » = 0,25 et « trois quarts » = 0,75. On peut aussi écrire des approximations de nombres irrationnels?en utilisant la notation décimale. Par exemple le nombre irrationnel 2 (longueur de la diagonale du carré de côté 1) est approximativement égal à 1,414213562. *** Jusqu’à présent nous avons parlé de la représentation décimale des nombres qui nous est très familière. Peut-être commencez-vous à penser qu’après tout les maths ne sont pas si détestables ? Quelquesuns d’entre vous doivent se dire : « C’est étonnant, mais je commence à me sentir à l’aise et même en bons termes avec les nombres, tant que j’évite les sujets déplaisants comme les fractions. » Désolé, mais vous n’allez pas vous en tirer aussi facilement car c’est précisément des fractions que nous allons parler maintenant. Eh oui ! Nous devons aussi apprivoiser les fractions.

Fractions Une fraction m n apparaît quand un tout (une pizza par exemple) est découpé en n parts égales et qu’on nous donne m de ces parts. Par exemple la fraction 83 décrit que l’on a 3 parts d’un tout divisé en 8 parts égales, d’où le nom « trois huitièmes » que porte cette fraction. Définitions La fraction « a sur b » peut s’écrire de trois manières différentes : a{b “ a ˜ b “

a ¨ b

Les deux parties d’une fraction ont des noms spéciaux : — a est le numérateur : il nous indique le nombre de parts que nous avons.

1.3 REPRÉSENTATION DES NOMBRES

19

F IGURE 1.9 La fraction 38 peut être représentée par trois parts d’une pizza qui a été coupée en huit parts égales.

— b est le dénominateur de la fraction : il nous apprend en combien de parts on a divisé le tout. Les fractions sont les représentations les plus naturelles des nombres rationnels. Pourquoi naturelles ? Regardez ces fractions simples : 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7

“ 1,0 “ 0,5 “ 0,33333 . . . “ 0,3 “ 0,25 “ 0,2 “ 0,166666 . . . “ 0,16 “ 0,14285714285714285 . . . “ 0,142857

La notation fractionnaire sur la gauche est préférable parce qu’elle montre la « structure » sous-jacente du nombre et nous évite d’avoir à écrire des décimales compliquées. Quand on les écrit sous forme décimale, certaines fractions ont un développement décimal infiniment long. La ligne au-dessus d’un groupe de chiffres signifie que ce groupe est répété indéfiniment dans le développement décimal, comme c’est le cas de pour 0,3 et 0,142857 ci-dessus. Les fractions nous permettent en outre de faire des calculs mathématiques avec un crayon et du papier, sans avoir besoin d’une calculatrice. Exemple Regardons comment calculer la somme de 17 et 31 . Supposons un instant que nous ne disposions que de la notation décimale.

20

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

Nous pouvons faire les calculs de la façon suivante : somme “ 0,142857 ` 0,3

“ 0,142 857 142 857 . . . ` 0,333 333 333 333 . . .

“ 0,476 190 476 190 476 . . . “ 0,476190.

Wow ! C’était compliqué ça ! Le calcul est beaucoup plus simple en utilisant les fractions : 1 1 1 3 1 7 3 7 3`7 10 ` “ ˆ ` ˆ “ ` “ “ ¨ 7 3 7 3 3 7 21 21 21 21 Comment avons-nous fait ? Nous avons d’abord multiplié la fraction 17 par 33 “ 1 et la fraction 13 par 77 “ 1 de manière à fabriquer deux fractions équivalentes aux premières, mais ayant le même dénominateur. Ajouter deux fractions de même dénominateur est un jeu d’enfant. Cet exemple montre bien la stratégie habituelle pour ajouter des fractions : on les remplace par des fractions équivalentes qui ont le même dénominateur avant de les ajouter. Fractions équivalentes 6 Les fractions 38 , 16 et 12 32 correspondent toutes au même nombre rationnel. Que vous preniez 3 parts d’une pizza découpée en 8 parts égales, ou 6 parts de la même pizza coupée en 16 parts égales, au bout du compte vous obtiendrez la même quantité de pizza. On dit que toutes les fractions de la forme 3k 8k sont équivalentes à la fraction 3 , ce qui signifie qu’elles correspondent au même nombre. 8

Multiplication des fractions Pour multiplier deux fractions, la recette est ultra simple — on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : a c aˆc ac ˆ “ “ ¨ b d bˆd bd Par exemple, la multiplication des fractions 13 et 12 donne 13 ˆ 21 “ 1 1 ˆ1 3ˆ2 “ 6 . Ce calcul montre que prendre « la moitié du tiers de quelque chose » revient à en prendre un sixième.

1.3 REPRÉSENTATION DES NOMBRES

21

Division des fractions Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par la seconde « renversée » : a b c d

“

a{b a d aˆd ad “ ˆ “ “ ¨ c{d b c bˆc bc

Par exemple, si on veut diviser la fraction le calcul suivant : 31 { 12 “ 13 ˆ 21 “ 23 .

1 3

par la fraction 12 , on fait

Inverse d’un nombre Le terme mathématique inverse est utilisé pour décrire la notion de « nombre renversé ». L’inverse de y est y1 , qui se lit « un sur y ». La multiplication par

1 y

équivaut à la division par y. La multiplication y

de n’importe quel nombre par son inverse donne un : y ˆ y1 “ y “ 1. n L’inverse de la fraction m n est la fraction « renversée » m . Le produit m m n mn de n et son inverse est égal à un : n ˆ m “ nm “ 1. Une autre façon de désigner l’inverse est y´1 “ y1 . L’exposant négatif nous dit que y apparaît dans le dénominateur d’une fracm ´1 n tion. L’inverse de la fraction m “ m . En utilisant la noun est p n q velle notation pour l’inverse, nous pouvons décrire la division des ` ˘ ´1 “ ba ˆ dc “ ad fractions comme suit : ba ˜ dc “ ba ˆ dc bc . Nous discuterons plus généralement des exposants négatifs dans la section 3.1. Pour l’instant, pensez à l’exposant ´1 comme une notation commode pour désigner les inverses et écrire les fractions sur une seule ligne : yx “ xy´1 . Addition des fractions Regardons maintenant comment calculer la somme des fractions et dc . Si les dénominateurs sont les mêmes alors il suffit d’ajouter les numérateurs en gardant le dénominateur commun : a b

1 2 1`2 3 ` “ “ . 5 5 5 5 Il est normal d’ajouter les numérateurs puisqu’ils représentent des nombres de parts égales d’un même tout. En revanche si les dénominateurs sont différents, nous ne pouvons pas ajouter les numérateurs directement puisqu’ils représentent des nombres de parts provenant de partages différents du tout. Nous devons d’abord réécrire les fractions pour qu’elles aient le même dénominateur, appelé dénominateur commun.

22

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

Nous pouvons obtenir un dénominateur commun en multipliant la première fraction par dd “ 1 et la deuxième par bb “ 1 ce qui fabrique deux fractions ayant le même dénominateur qu’on peut ajouter sans difficulté : a ´ d ¯ c ´ b ¯ ad bc a c ` “ ` “ ` . b d b d d b bd bd Rappelez vous qu’on a le droit de multiplier le dénominateur d’une fraction par un nombre pourvu que l’on multiplie aussi le numérateur par le même nombre. En effet, multiplier haut et bas d’une fraction par le même nombre est la même chose que la multiplier par 1. Quoique les nombres qui interviennent dans la fraction soient changés, les fraction équivalentes représentent toujours le même nombre. Maintenant que les fractions ont le même dénominateur, nous pouvons ajouter les numérateurs : ad bc ad ` bc ` “ . bd bd bd 1 Exemple Pour ajouter 61 et 15 , nous pouvons utiliser le produit des deux dénominateurs comme dénominateur commun, à savoir 6 ˆ 15 “ 90. La somme est donc

1 1 1 15 1 6 15 6 21 7 ¨ 3
7 ` “ ˆ ` ˆ “ ` “ “ ¨ “ 6 15 6 15 15 6 90 90 90 30 30 ¨
3

Notez comment on a simplifié la fraction en enlevant le facteur 3 commun au numérateur et au dénominateur dans la dernière étape. 7 La réponse finale 30 est la fraction réduite égale à la fraction 21 90 . La soustraction ba ´ dc est équivalente à l’addition ba ` ´dc qui s’obtient par la méthode que nous venons de montrer. Notation par partie entière et partie fractionnaire Une fraction plus grande que 1 comme 35 peut également être no1 tée 1 23 , ce que l’on lit « un et deux tiers ». De même, 22 7 “ 3 7 . On écrit d’abord la partie entière du nombre suivie de la partie fractionnaire. Il n’y a rien de mal à écrire des fractions comme 53 et 22 7 . Toutefois, certains professeurs (surtout en Amérique du Nord) appellent ces fractions impropres et demandent que toutes les fractions soient écrites sous la forme partie entière et partie fractionnaire, comme dans 1 23 et 3 17 . En définitive, les deux notations sont correctes, et nous préférerons la notation purement fractionnaire 35 et 22 7 dans ce livre.

1.3 REPRÉSENTATION DES NOMBRES

23

Exercices E1.4 Calculez les valeurs des expressions suivantes : a)

1 2

`

1 3

b)

1 2

`

1 3

`

1 4

c) 3 21 ` 2 ´

1 3

La droite numérique La droite numérique est une représentation visuelle très commode des nombres. Chaque nombre d’un des ensembles N, Z, Q et R correspond à un point de la droite numérique. Cette représentation visuelle des nombres nous permet de les comparer instantanément, d’après leur position sur la droite. La figure 1.10 montre les entiers naturels N “ t0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . u représentés par des points sur la droite numérique, chacun étant séparé du suivant par une distance constante. Nous pouvons construire l’ensemble des entiers naturels en partant de 0 et en faisant des pas de longueur un sur la droite numérique. C’est comme ça qu’on obtient tous les entiers naturels, juste en continuant à ajouter un. Remarquons que l’ensemble des entiers naturels ne finit jamais. Nous pouvons toujours continuer à ajouter un à n’importe quel nombre si grand soit-il et obtenir ainsi un nombre plus grand. La droite numérique va donc jusqu’à l’infini. 0

1

2

3

4

5

F IGURE 1.10 Les entiers naturels N.

Les entiers relatifs Z “ t . . . , ´5, ´4, ´3, ´2, ´1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . u ressemblent aux entiers naturels, mais ils vont aussi à gauche de zéro. Les nombres à gauche de zéro sont négatifs, alors que les nombres à droite de zéro sont positifs. La droite numérique s’étend indéfiniment des deux côtés, allant vers l’infini négatif à gauche de zéro et vers l’infini positif à droite. ´5

´4

´3

´2

´1

0

1

2

3

4

5

F IGURE 1.11 Les entiers relatifs Z.

L’ensemble des entiers correspond à des points isolés sur la droite numérique avec des espaces vides entre les entiers. Ça nous prend les nombres réels de R pour remplir ces espaces vides.

24

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

L’ensemble des nombres réels R est la représentation complète de tous les points sur la droite numérique. Chaque nombre réel correspond à un certain point sur la droite numérique, et chaque point sur la droite numérique correspond à un certain nombre réel. La représentation visuelle de l’ensemble des nombres réels est de remplir la droite numérique par une ligne épaisse en gras, comme on peut le voir sur la figure 1.12. Il y a des nombres réels partout ! ´ 32 ´5

´4

F IGURE 1.12

´3

´2

?

1 2

´1

0

1

2

9 2

e π 2

3

4

5

Les nombres réels R remplissent toute la droite numérique.

Rappelons que l’ensemble des nombres réels contient tous les nombres rationnels comme ´ 32 , 21 et 92 et aussi des nombres irration? nels comme 2, e et π. Tous les nombres que vous rencontrerez dans les calculs mathématiques peuvent être visualisés comme des point sur la droite numérique. On peut aussi utiliser la droite numérique pour représenter des sous-ensembles de nombres réels. Par exemple, le sous-ensemble de nombres réels supérieurs à 2 et inférieurs à 4 est illustré dans la figure 8.5 (page 192).

Discussion Puisque nous en sommes toujours à la question de la représentation des nombres, je voudrais ajouter quelques notes avec du « matériel en prime » relatif aux idées que nous avons développées dans cette section. Sentez-vous libre de sauter à la section 1.4 si vous êtres pressé parce que ce ne sera certainement pas au programme de l’examen ! Procédures d’arithmétique élémentaire Les quatre opérations arithmétiques de base sont l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Nous pouvons effectuer ces opérations pour deux nombres a et b grands ou petits en utilisant un crayon et du papier. Il suffit de suivre l’une des procédures bien définies (appelées algorithmes) pour manipuler les chiffres qui forment ces nombres. Les articles de Wikipédia sur l’arithmétique élémentaire et la division longue offrent d’excellentes présentations de ces procédures.

1.3 REPRÉSENTATION DES NOMBRES

25

[ Algorithmes pour effectuer l’arithmétique élémentaire ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Arithmétique_élémentaire https://fr.wikipedia.org/wiki/Division_posée#Division_longue Représentation des nombres dans les ordinateurs Chaque fois que vous voulez entrer un nombre dans un ordinateur, vous devez choisir pour ce nombre une représentation appropriée aux ordinateurs. Les deux types de représentations les plus utilisés dans le monde des ordinateurs sont les entiers (int) et les nombres à virgule flottante (float). Par exemple, on peut représenter le nombre 3 comme l’entier 3 (un int) ou comme le nombre à virgule flottante 3.0 (un float). Notez qu’en informatique on utilise le point décimal plutôt que la virgule décimale. Les entiers des ordinateurs correspondent aux entiers relatifs de l’ensemble Z, mais il y a des limites à la taille maximale des nombres que les ordinateurs peuvent stocker. On peut utiliser les nombres à virgule flottante pour représenter les nombres décimaux avec une précision allant jusqu’à 15 chiffres. Les nombres int et float fournis par les ordinateurs sont suffisants pour la plupart des calculs pratiques que vous aurez à faire, donc vous ne devriez pas vous inquiéter trop de la précision limitée de la représentation des nombres dans les ordinateurs. Pourtant, je voudrais que vous soyez conscients de la distinction entre le concept mathématique abstrait d’un?nombre et sa représentation dans un ordinateur. Le nombre réel 2 est irrationnel et a un nombre infini ? de chiffres dans sa représentation décimale. Sur un ordinateur, 2 est représenté par l’approximation numérique 1.41421356237310 (qui est un float). Dans la plupart des cas, cette approximation est acceptable, mais il peut arriver qu’elle ait une répercussion. Par exemple, float(sqrt(2))*float(sqrt(2)) donne 2.0000000000000004 ‰ 2. Le résultat du calcul fait par l’ordinateur n’est correct que jusqu’au 15ème chiffre. À mon avis c’est largement suffisant. Notation scientifique En science nous travaillons souvent avec de très grands nombres comme la vitesse de la lumière (299 792 458) et de très petits nombres comme la perméabilité de l’espace libre (0,000001256637). Il peut être difficile de juger de la magnitude de tels nombres et de faire des calculs avec eux si on utilise la notation décimale habituelle. Lorsqu’on a affaire à de tels nombres il est beaucoup plus commode d’utiliser la notation scientifique. Par exemple, la vitesse de la lumière peut s’écrire 2,99792458 ˆ 108 , et la perméabilité de l’espace libre se note

26

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

1,256637 ˆ 10´6 . Dans les deux cas, on exprime le nombre comme un décimal ente 1,0 et 9,9999 . . . suivi d’une puissance de 10. Dans l’exemple, la multiplication par 108 déplace la virgule de 8 places vers la droite, ce qui nous donne un nombre très grand. En multipliant par 10´6 on obtient l’effet inverse, en déplaçant la virgule de 6 places vers la gauche on obtient nombre très petit. La notation scientifique est utile parce qu’elle permet de voir clairement la taille des nombres : 1,23 ˆ 106 est 1 230 000 alors que 1,23 ˆ 10´10 est 0,000 000 000 123. Avec la notation scientifique, il n’y a pas besoin de compter les zéros ! Le nombre de chiffres après la virgule que l’on donne pour une quantité physique indique en général la précision avec laquelle on est capable de mesurer cette quantité. Prendre en compte la précision avec laquelle nos mesures sont faites est un aspect important de toute recherche quantitative. En dire plus serait une digression et nous ne voulons pas entrer ici dans une discussion plus longue sur la question des chiffres significatifs. Je vous invite à lire l’article de Wikipédia sur ce sujet pour en savoir plus. Les systèmes des ordinateurs représentent aussi les nombres en utilisant la notation scientifique. Quand on entre un nombre en virgule flottante dans l’ordinateur, on sépare la partie décimale de la puissance de 10 par le caractère e, qui signifie « exposant ». Par exemple, la vitesse de la lumière s’écrit comme 2.99792458e8 et la perméabilité de l’espace comme 1.256637e-6.

Liens Je vous encourage à visiter les liens fournis ci-dessous pour en savoir plus sur les nombres et les représentations numériques. [ Le système de numération indo-arabe ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Systèm_de_numération_indo-arabe [ Systèmes de notation positionnelle ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_positionnelle [ Numération décimale ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_décimal [ Histoire des systèmes de numération ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Système_de_numération [ Plus de détails sur la notation scientifique ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_scientifique [ Infos sur l’utilisation des chiffres significatifs dans les calculs ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Chiffre_significatif

1.4 VARIABLES

1.4

27

Variables

En maths nous utilisons beaucoup de variables et de constantes, noms employés pour désigner n’importe quel nombre. Les variables nous permettent de faire des calculs sans rentrer dans les détails. Exemple Aujourd’hui vous avez des tacos pour le repas de midi et vous vous demandez combien vous pouvez en manger sans dépasser votre budget en calories. Vous voulez absorber 800 calories à votre repas de midi. Vous voulez faire les calculs nécessaires avant d’aller au restaurant parce que vous avez peur que votre habileté en maths ne soit affectée par la présence des tacos délicieux. Vous n’êtes pas sûr du nombre de calories contenues dans chaque taco, alors vous créez une constante c qui désigne le nombre inconnu de calories dans un taco. Vous définissez aussi une variable x qui représente le nombre de tacos que vous mangerez. Vous avez alors l’équation 800 “ cx qui représente le nombre total de calories de votre repas de midi. Résolvant en x, vous trouvez que le nombre total de tacos que vous devriez commander est x “ 800 c . Si le restaurant sert des tacos qui font c “ 200 calories chacun, vous devriez en comman800 der x “ 200 “ 4. Si le restaurant ne sert que des tacos géants qui font c “ 400 calories chacun, alors vous ne pouvez en commander que x “ 800 400 “ 2. Remarquez que nous avons pu trouver x avant même de connaître la valeur de c.

Noms des variables Voici quelques conventions générales pour nommer les variables : — x : est le nom que l’on donne le plus souvent à l’inconnue dans les équations. La variable x est aussi employée pour désigner les entrées des fonctions et les positions des objets en physique. — i, j, k, n : sont des noms habituels pour les variables qui prennent leurs valeurs dans l’ensemble Z des nombres entiers. — a, b, c, d : les premières lettres de l’alphabet sont souvent utilisées pour désigner les constantes (quantités fixes dont la valeur ne change pas). — θ, φ : les lettres grecques theta et phi désignent des angles — X (en majuscule) : une variable aléatoire en théorie des probabilités — C : les coûts dans les affaires, avec P pour le profit et R pour le revenu

28

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

Substitution de variables Nous sommes souvent amenés à faire un changement de variable en remplaçant une variable par une autre pour simplifier une équation. Supposons par exemple que vous ne vous sentiez pas à l’aise avec les racines carrées. Chaque fois que vous voyez une racine carrée cela vous fait paniquer. Un jour vous vous trouvez en train de passer un examen où vous devez trouver x dans l’équation suivante : ? 6 ? “ x. 5´ x

Ne paniquez pas ! Dans un moment crucial comme celui-ci, un changement de variable va vous aider contre ? votre phobie des racines carrées. Écrivez simplement « posons u “ x » sur votre feuille d’examen, et voilà ! Avec la variable u, vous pouvez réécrire l’équation sous la forme : 6 “ u, 5´u qui ne contient plus de racine carrée. L’étape suivante consiste à trouver u et pour cela on doit annuler l’opération de division. On multiplie les deux côtés de l’équation par p5 ´ uq et on obtient

qui se simplifie en

6 p5 ´ uq “ up5 ´ uq, 5´u 6 “ 5u ´ u2 .

Ce que l’on peut réécrire u2 ´ 5u ` 6 “ 0, qui s’écrit à son tour : pu ´ 2qpu ´ 3q “ 0 (voir la section 2.2). Les solutions sont u1 “ 2 et u2 “ 3. La dernière étape sera ? de convertir les réponses en u en réponses en x en utilisant u “ x, qui équivaut à x “ u2 . Les réponses finales sont donc x1 “ 22 “ 4 et x2 “ 32 “ 9. Portez ces valeurs de x dans l’équation initiale pour vérifier qu’elle est bien satisfaite par ces deux valeurs.

Notation compacte La manipulation symbolique est un outil puissant qui nous permet de gérer la difficulté. Supposons par exemple que vous soyez en train de résoudre un problème de physique dans lequel vous avez un objet dont la masse est m “ 140 kg. S’il y a plusieurs étapes dans le calcul, préféreriez-vous utiliser à chaque fois 140 kg, ou le symbole m plus court ? En définitive, il sera beaucoup plus commode d’utiliser m pendant tout le calcul et d’attendre la fin pour substituer à m sa valeur numérique de 140 kg pour obtenir la réponse finale.

1.5 FONCTIONS ET LEURS INVERSES

1.5

29

Fonctions et leurs inverses

Comme nous l’avons vu dans la section 1.1, savoir « défaire » l’action d’une fonction en appliquant sa fonction inverse est indispensable pour la résolution des équations. Exemple Supposons que l’on cherche à trouver x dans l’équation f pxq “ c, où f est une fonction quelconque et c une constante connue. Nous cherchons la valeur de x pour laquelle f pxq est égal à c. On veut isoler x d’un côté de l’équation, mais la fonction f nous gêne — elle est dans notre chemin. On peut se débarrasser de f en appliquant la fonction inverse f ´1 aux deux côtés de l’équation pour obtenir f ´1 p f pxqq “ f ´1 pcq . Par définition, l’action de la fonction inverse f ´1 est l’opposée de celle de f , alors leurs deux actions s’annulent et nous avons donc f ´1 p f pxqq “ x pour tout x. Pourvu que tout soit kasher (la fonction f ´1 doit être définie en c), la manipulation que nous venons de faire est légitime et nous avons la réponse x “ f ´1 pcq.

Cet exemple a introduit la notation f ´1 pour désigner la fonction inverse. Cette notation est inspirée par la notion d’inverse d’un nombre : pour les nombres, multiplier par a´1 est l’opération inverse de la multiplication par a. Toutefois dans le cas des fonctions l’exposant ´1 ne signifie pas « 1 sur f pxq » comme dans f p1xq “ p f pxqq´1 , mais plutôt cela désigne la fonction inverse. En d’autres termes, le nombre f ´1 pyq est le nombre x tel que f pxq “ y. Attention ! Il peut arriver qu’une équation ait plusieurs solutions. Par exemple, la fonction f pxq “ x2 envoie les deux valeurs d’entrée x et ´x sur la même valeur de sortie x2 “ f pxq “ f p´xq. ? La fonction ? ? inverse de f pxq “ x2 est f ´1 pyq “ y, mais x “ ` c et x “ ´ c sont toutes deux des solutions de l’équation x2 “ c. Dans ce cas, les solutions de l’équation peuvent être représentées par la notation ? x “? ˘ c qui est?un raccourci pour dire qu’il y a deux solutions : x “ c et x “ ´ c. Nous en dirons plus sur le sujet des solutions multiples pour les équations dans la section 8.3.

30

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

Formules Voici une liste des fonctions utilisées couramment et de leurs inverses : fonction f pxq ô inverse f ´1 pxq x`2 ô x´2 2x ô

1 2x

´1x ô ´1x ? x2 ô ˘ x

2x ô log2 pxq

3x ` 5 ô

1 3 px ´ 5q

a x ô loga pxq

exppxq “ e x ô lnpxq “ loge pxq

sinpxq ô sin´1 pxq “ arcsinpxq

cospxq ô cos´1 pxq “ arccospxq La détermination de la fonction inverse dans cette liste peut se faire dans les deux sens. Si vous trouvez une fonction d’un côté de la liste (choisissez un côté, n’importe lequel), vous trouverez son inverse de l’autre côté. Ne vous étonnez pas de voir ´1x ô ´1x dans la liste des fonctions inverses. En effet, si vous voulez annuler l’opération de « multiplier par ´1 », il faut multiplier par ´1 une fois de plus : ´p´xq “ x. Exemple 1 Si vous voulez résoudre l’équation x ´ 4 “ 5, vous pouvez appliquer la fonction inverse de x ´ 4 qui est x ` 4, pour obtenir l’équation px ´ 4q`4 “ 5`4 et donc x “ 9. Exemple 2 Imaginez que dans votre cours de maths, dès le premier jour de classe, le professeur de maths vous donne à résoudre une équation sérieuse. Il vous demande de trouver x tel que : ˙ ˆ b ? log5 3 ` 6 x ´ 7 “ 34 ` sinp8q ´ Ψp1q.

D’abord, notons que cela n’a pas d’importance de savoir ce que représente Ψ (la lettre grecque capitale psi) puisque x est de l’autre côté

1.5 FONCTIONS ET LEURS INVERSES

31

de l’équation. Vous pouvez recopier Ψp1q d’une ligne à l’autre, jusqu’à la fin lorsque vous renverrez la balle au professeur. « Ma réponse est en termes de vos variables, mec. C’est à vous de dire qui diable est Ψ, puisque c’est vous qui l’avez mis là ! » À propos, il ne serait pas recommandé de me citer verbatim si cette situation se présentait réellement. Il en va de même pour sinp8q. Si vous n’avez pas de calculatrice sous la main, ne vous en faites pas. Gardez l’expression sinp8q sans chercher à trouver sa valeur numérique. En général, essayez de travailler autant que possible avec les variables et gardez les calculs numériques pour la fin. OK, nous avons assez tourné autour du pot — trouvons x et qu’on en finisse. Du côté droit de l’équation, nous avons la somme de quelques termes où x ne figure pas, nous les laissons donc comme ils sont. Du côté gauche, on a des racines carrées, des soustractions, des additions, et un logarithme de base 5. Plutôt sympa ! On commence par le logarithme de base 5 parce que c’est la première fonction que l’on rencontre si on veut « creuser » vers x. Jetant un coup d’œil à la table des fonctions inverses, on voit que la fonction exponentielle est l’inverse du logarithme : a x ô loga pxq. Pour se débarrasser de log5 , nous devons appliquer la fonction exponentielle de base 5 aux deux côtés de l’équation : ¯ ´ ? ? log5 3` 6 x´7 5 “ 534`sinp8q´Ψp1q , qui se simplifie en

3`

b ? 6 x ´ 7 “ 534`sinp8q´Ψp1q ,

puisque le 5x annule le log5 x. À partir d’ici ça va être comme si Bruce Lee entrait dans un endroit plein de méchants. On annule l’addition de 3 en soustrayant 3 des deux côtés : b ? 6 x ´ 7 “ 534`sinp8q´Ψp1q ´ 3. Pour annuler la première racine carrée, on prend le carré : ´ ¯2 ? 6 x ´ 7 “ 534`sinp8q´Ψp1q ´ 3 . Ensuite on ajoute 7 aux deux côtés, ´ ¯2 ? 6 x “ 534`sinp8q´Ψp1q ´ 3 ` 7, on divise par 6,

?

x“

1 6

ˆ´

534`sinp8q´Ψp1q ´ 3

¯2

˙ `7 ,

32

NOMBRES, VARIABLES ET ÉQUATIONS

et on élève encore une fois au carré pour avoir le résultat final : x“

„ ˆ´ ˙2 ¯2 1 534`sinp8q´Ψp1q ´ 3 ` 7 . 6

Avez-vous suivi chaque étape ? La prochaine fois que vous aurez une fonction en travers de votre chemin, annulez-la avec sa fonction inverse et elle ne vous embêtera plus.

Discussion La recette que j’ai mise en œuvre ci-dessus n’est pas toujours applicable. Quelquefois x apparaît en plusieurs endroits dans l’équation. Dans ces cas là, vous ne pouvez pas faire le travail sans effort, à la Bruce Lee en vous débarrassant des méchants et en avançant vers x. Il vous faudra d’autres techniques. La mauvaise nouvelle est qu’il n’y a pas de formule générale pour résoudre les équations compliquées. La bonne nouvelle est que la technique ci-dessus de « creuser en direction de x » en appliquant des fonctions inverses est suffisante pour 80% de ce que vous aurez à faire dans ce livre. Vous pourrez traiter 15% de cas supplémentaires en apprenant à résoudre l’équation du second degré : ax2 ` bx ` c “ 0. Nous parlerons des solutions de ce type d’équations dans la section 2.2, où je vous montrerai une formule qui simplifie pas mal les choses. Résoudre les équations polynomiales du troisième degré de la forme ax3 ` bx2 ` cx ` d “ 0 avec une formule est aussi possible, mais pour les équations aussi compliquées il vaut mieux utiliser un ordinateur pour trouver les solutions. Voir la page 242 dans l’annexe C. Il y a toutes sortes d’équations différentes que vous pouvez apprendre à résoudre : équations à plusieurs variables, équations exponentielles et logarithmiques, et équations trigonométriques. Le principe de « creuser » en direction de l’inconnue en utilisant des fonctions inverses est la clé pour résoudre tous ces types d’équations. Si vous voulez être bons en maths, il faut que vous vous entraîniez à vous en servir.

1.5 FONCTIONS ET LEURS INVERSES

33

Exercices E1.5 Trouvez x dans les équations suivantes : a) 3x “ 6 b) log5 pxq “ 2

? c) log10 p xq “ 1

E1.6 Trouvez la fonction inverse et utilisez-la pour résoudre les problèmes. ? a) Résoudre l’équation f pxq “ 4, où f pxq “ x. b) Résoudre en x l’équation gpxq “ 1, sachant que gpxq “ e´2x .

Chapitre 2

Algèbre Les règles de l’algèbre nous disent comment manipuler les expressions mathématiques. En observant les expressions et en travaillant sur leur structure nous pouvons les simplifier ce qui rend les calculs plus faciles. Dans ce chapitre nous allons apprendre les règles générales qui s’appliquent dans tous les cas. La connaissance de ces règles vous fournira une puissante panoplie d’astuces que vous pourrez employer sur n’importe quel problème mathématique que vous rencontrerez. Dans le chapitre 1, nous avons appris à isoler l’inconnue x dans les équations, ce qui est de loin la technique la plus importante pour résoudre les équations. Dans ce chapitre nous apprendrons quelques techniques de plus, notamment comment simplifier, développer, et factoriser les expressions. Ces techniques sont celles de l’algèbre, nom qui vient de l’arabe al-jabr qui signifie « recoller les morceaux ». Dans la section 2.2, nous emploierons l’algèbre pour trouver une formule générale pour résoudre les équations du second degré de la forme ax2 ` bx ` c “ 0. Savoir résoudre les équations du second degré est vraiment important parce qu’on en rencontre très souvent. Bon ! Êtes-vous prêt pour l’algèbre ? Alors allons-y !

2.1

Règles de base de l’algèbre

Il est important que vous connaissiez les règles générales pour manipuler les nombres et les variables, connues sous le nom d’algèbre. Nous ferons une petite révision des concepts pour être sûrs que vous êtes à l’aise avec l’algèbre. Nous apprendrons aussi quelques astuces importantes comme la mise en facteurs et la complétion du carré, qui sont utiles pour résoudre les équations. 35

36

ALGÈBRE

Quand une expression contient plusieurs composantes que l’on ajoute, ces composantes sont appelées les termes. Les termes sont d’habitude composés de plusieurs parties multipliées entre elles. Quand un nombre x est obtenu comme produit d’autres nombres comme dans x “ abc, nous appelons a, b et c les facteurs de x. On peut aussi dire que « x se factorise en a, b et c ». ur

cte

fa

a

ur cte

ur

cte

fa

fa

b

c

terme

ur

cte

fa

`

ur te

c fa

e

d terme

“ 0

expression e´ quation

F IGURE 2.1 Diagramme montrant les noms qui décrivent les différentes parties de l’équation abc ` de “ 0.

Étant donnés n’importe quels nombres a, b et c, on peut leur appliquer les propriétés algébriques suivantes. 1. Associativité : a ` b ` c “ pa ` bq ` c “ a ` pb ` cq pour l’addition et abc “ pabqc “ apbcq pour la multiplication 2. Commutativité : a ` b “ b ` a et ab “ ba 3. Distributivité : apb ` cq “ ab ` ac Nous utilisons la distributivité chaque fois que nous développons des parenthèses. Par exemple apx ` y ` zq “ ax ` ay ` az. Les parenthèses indiquent que l’expression px ` y ` zq doit être traitée comme un tout : c’est un facteur constitué par la somme de trois termes. Multiplier cette expression par a c’est la même chose que multiplier chaque terme par a avant d’en faire la somme. L’opération inverse du développement est appelée mise en facteurs ou factorisation. Elle consiste à réécrire l’expression avec les parties communes sorties des parenthèses : ab ` ac “ apb ` cq. Dans cette section, nous allons étudier ces deux opérations et apprendre comment les utiliser pour résoudre des équations. Exemple Supposons que l’on veuille trouver t dans l’équation 7p3 ` 4tq

“

11p6t ´ 4q.

Comme l’inconnue t apparaît des deux côtés de l’équation, la façon de procéder n’est pas évidente. Pour trouver t nous devons amener tous les termes en t d’un côté de l’égalité et tous les termes constants de l’autre coté. Commençons

2.1 RÈGLES DE BASE DE L’ALGÈBRE

37

par développer les deux parenthèses pour obtenir 21 ` 28t

“

66t ´ 44.

Puis regroupons tous les termes en t du côté droit de l’équation et tous les termes constants du côté gauche : 21 ` 44

“

66t ´ 28t.

Nous voyons que t apparaît dans les deux termes du côté droit, donc nous pouvons « mettre t en facteur » du coté droit de l’équation pour obtenir 21 ` 44 “ tp66 ´ 28q.

La réponse finale qu’on obtient est t “

21`44 66´28

“

65 38 .

Développement des parenthèses Développer les parenthèses consiste à multiplier chaque terme à l’intérieur des parenthèses par le facteur en dehors des parenthèses. L’essentiel pour développer les parenthèses est d’utiliser la distributivité : apx ` yq “ ax ` ay. Dans les expressions plus longues, nous pouvons être amenés à appliquer plusieurs fois la distributivité : pa ` bqpx ` y ` zq “ apx ` y ` zq ` bpx ` y ` zq

“ ax ` ay ` az ` bx ` by ` bz.

Notez qu’après avoir développé les parenthèses on se retrouve avec six termes — un terme pour chacune des six combinaisons possibles de produits entre les termes de pa ` bq et les termes de px ` y ` zq. La distributivité est utile quand on a affaire à des polynômes, qui sont des expressions contenant différentes puissances de la variable x. Par exemple, px ` 3qpx ` 2q “ xpx ` 2q ` 3px ` 2q “ x2 ` x2 ` 3x ` 6. Nous pouvons utiliser la commutativité sur le second terme x2 “ 2x, puis combiner les deux termes en x soit 2x ` 3x “ 5x, pour obtenir px ` 3qpx ` 2q “ x2 ` 5x ` 6. Les simplifications algébriques que nous avons faites dans l’exemple ci-dessus sont très courantes. La plupart des profs de maths sauteront par-dessus ces étapes de simplification pour passer directement à la réponse, en prenant pour acquis que les apprenants sont familiers avec ce type de simplifications. Il serait trop long (et ennuyeux)

38

ALGÈBRE

de répéter les détails de simplification pour chaque expression algébrique. On dit « Nous réécrivons px ` 3qpx ` 2q comme x2 ` 5x ` 6 » et c’est à vous de savoir que ça veut dire « Nous appliquons deux fois la distributivité sur px ` 3qpx ` 2q, puis combinons les termes avec la même puissance de x pour obtenir x2 ` 5x ` 6. » Il est très facile de faire des erreurs dans les calculs algébriques sur les expressions qui ont beaucoup de termes. Pour ne pas vous tromper dans les calcul plus longs, suivez une approche pas à pas et n’effectuez qu’une seule opération à chaque étape. Comme deuxième exemple, considérons le développement de l’expression algébrique suivante : px ` aqpbx2 ` cx ` dq “ xpbx2 ` cx ` dq ` apbx2 ` cx ` dq “ bx3 ` cx2 ` dx ` abx2 ` acx ` ad

“ bx3 ` pc ` abqx2 ` pd ` acqx ` ad.

Remarquez la façon dont nous avons écrit l’expression en regroupant tous les termes en fonction de la puissance de x qu’ils contiennent. Le premier terme contient le terme en x3 , le deuxième contient tous les termes en x2 , le troisième les termes en x et finalement le quatrième terme les constantes. C’est toujours une bonne idée d’utiliser cette présentation quand on a affaire à des expressions algébriques compliquées. Les expressions longues restent compliquées et intimidantes, mais au moins il y a un peu d’ordre là dedans !

Factorisation La factorisation, aussi appelée mise en facteurs, consiste à écrire une expression comme le produit de deux ou plusieurs facteurs. En d’autre termes, on « fait sortir » les parties communes d’une expression compliquée pour obtenir une expression plus compacte. Supposons qu’on ait l’expression 6x2 y ` 15x. Nous pouvons la simplifier en faisant sortir les facteurs communs et en les écrivant devant une parenthèse. Voyons comment on fait ça, étape par étape. L’expression a deux termes et chacun peut être séparé en ses facteurs constitutifs : 6x2 y ` 15x “ p3qp2qpxqpxqy ` p5qp3qx. Puisque les facteurs x et 3 apparaissent dans les deux termes, nous pouvons les mettre en facteur au début, comme ceci : 6x2 y ` 15x “ 3xp2xy ` 5q. L’expression de droite met en evidence que les facteurs 3x sont communs aux deux termes.

2.1 RÈGLES DE BASE DE L’ALGÈBRE

39

Voici un autre exemple de factorisation : 2x2 y ` 2x ` 4x “ 2xpxy ` 1 ` 2q “ 2xpxy ` 3q. Notez que les facteurs communs 2x ont été mis en evidence devant les parenthèses.

Factorisation d’un trinôme Un trinôme du second degré est une expression de la forme ax2 ` bx ` c. On l’appelle « trinôme » parce qu’il contient trois termes. Les nombres a, b et c sont appelées coefficients : a est le coefficient du terme du second degré ou terme quadratique (c’est celui qui contient x2 ), b est le coefficient du terme linéaire (le terme contenant x1 ) et c est le terme constant. Pour mettre en facteurs ou factoriser le trinôme ax2 ` bx ` c, il faut le réécrire comme produit de deux facteurs de la forme px ` ?q : ax2 ` bx ` c “ apx ` pqpx ` qq. Lorsque c’est possible, il est utile de représenter les trinômes du second degré sous la « forme factorisée » pour mieux comprendre leurs propriétés, comme illustré dans l’exemple ci-dessous. Exemple Supposons que nous voulions étudier les propriétés de la fonction f pxq “ x2 ´ 5x ` 6. Quelles sont les racines de cette fonction ? C’est à dire quelles sont les valeurs de x pour lesquelles f pxq “ 0 ? Mettre en facteurs le trinôme x2 ´ 5x ` 6 nous aidera à voir plus clairement ces propriétés et répondre à la question. Dans ce cas, on peut écrire le trinôme comme produit de deux facteurs : f pxq “ x2 ´ 5x ` 6 “ px ´ 2qpx ´ 3q. Sous cette forme, on voit d’un seul coup d’œil que les racines de f pxq sont x “ 2 et x “ 3. Quand x “ 2 le facteur px ´ 2q est nul et donc f pxq “ 0. De même, si x “ 3 le facteur px ´ 3q est nul et donc f pxq “ 0. Comment avons-nous su que les facteurs de x2 ´ 5x ` 6 sont px ´ 2q et px ´ 3q ? Pour trouver les facteurs d’un trinôme du second degré, nous supposons que les deux facteurs sont px ` pq et px ` qq pour certaines inconnues p et q, et on calcule leur produit : px ` pqpx ` qq “ x2 ` pp ` qqx ` pq. Notez que le coefficient du terme linéaire est la somme des deux inconnues pp ` qq, tandis que le terme constant est leur produit pq.

40

ALGÈBRE

Pour certains trinômes du second degré simples comme celui que nous venons de voir, il vous suffit de « deviner » quelles sont les valeurs de p et q. Dans l’exemple ci-dessus, nous cherchions deux nombres dont la somme est ´5 et dont le produit est 6, et nous avons trouvé p “ ´2 et q “ ´3. L’approche par essais et erreurs est une stratégie efficace pour le type de problèmes que vous rencontrerez dans des devoirs et des examens. Les professeurs de maths choisissent souvent des nombres simples comme ˘1, ˘2, ˘3 ou ˘4 pour les inconnues. Pour des trinômes plus compliqués, vous devrez vous servir de la formule de résolution de l’équation du second degré qui fera l’objet de la section 2.2. Trinômes du second degré particuliers Regardons maintenant quelques cas de trinômes du second degré que l’on obtient par la multiplication de deux facteurs de la forme px ` ?q. On appelle différence de carrés des expressions comme : x2 ´ p2 “ px ` pqpx ´ pq. Il n’y a pas de terme linéaire parce que le terme ´xp s’annule avec le terme px lorsqu’on développe les parenthèses. Chaque fois que vous verrez une expression de la forme a2 ´ b2 , sachez que vous pourriez la réécrire comme le produit pa ` bqpa ´ bq. Un trinôme carré parfait est une expression obtenue lorsque la constante dans les deux facteurs est la même : x2 ` 2px ` p2 “ px ` pqpx ` pq “ px ` pq2 . Notez que x2 ´ 2qx ` q2 “ px ´ qq2 est également un carré parfait. En général on a l’équation a2 ˘ 2ab ` b2 “ pa ˘ bq2 pour tout a et b.

Complétion du carré Nous allons maintenant découvrir une ancienne technique d’algèbre appelée complétion du carré qui nous permet de réécrire tout trinôme du second degré x2 ` Bx ` C comme la somme d’un carré parfait et une constante px ` pq2 ` k. Cette technique d’algèbre a été décrite dans un des premiers livres sur l’algèbre, écrit par AlKhwarizmi vers l’an 800 de notre ère. Le nom « complétion du carré » vient de l’ingénieuse construction géométrique utilisée dans cette procédure algébrique. Le point de départ est un trinôme du second degré dont le coefficient du terme quadratique est un : 1x2 ` Bx ` C. Nous utilisons

2.1 RÈGLES DE BASE DE L’ALGÈBRE

41

les lettres majuscules B et C pour désigner les coefficients des termes linéaires et constants pour faire la distinction avec le trinôme du second degré ax2 ` bx ` c pour lequel a ‰ 1, en général. Notez que nous pouvons toujours réécrire ax2 ` bx ` c comme apx2 ` ba x ` ac q puis appliquer la complétion du carré sur l’expression à l’intérieur des parenthèses, en identifiant ba avec B et ac avec C. Réécrivons d’abord x2 ` Bx ` C en divisant le terme linéaire en deux parties égales : x2 ` B2 x ` B2 x ` C.

Nous pouvons interpréter géométriquement les trois premiers termes comme suit : le terme x2 correspond à un carré de coté x, tandis que les deux termes B2 x correspondent à des rectangles de côtés B2 et x. Voir la partie gauche de la figure 2.2 pour une illustration. B 2

x B 2

`

x x

C

“

x

B 2

´

x x

B 2

B 2 B 2

B 2

`

C

B 2

F IGURE 2.2 Pour compléter le carré dans l’expression x2 ` Bx ` C, nous ajoutons la quantité p B2 q2 , ce qui correspond à l’aire du petit carré de couleur foncée. Nous soustrayons également p B2 q2 pour maintenir l’égalité.

Le carré d’aire x2 et les deux rectangles ` ˘peuvent être placés pour former un carré plus grand de coté x ` B2 . Notez qu’il manque un petit carré de côté B2 dans le coin. Pour compléter le carré, nous pouvons ` ˘2 ajouter un terme B2 à cette expression. Pour préserver l’égalité on ` ˘2 doit aussi soustraire B2 à l’expression. On obtient alors : ` ˘2 ` ˘2 x2 ` B2 x ` B2 x ` C “ loooooooooooomoooooooooooon ` C x2 ` B2 x ` B2 x ` B2 ´ B2 ` ˘2 ` ˘2 “ x ` B2 ´ B2 ` C.

` Le coté droit de l’équation décrit l’aire du grand carré de côté x ` ˘ ` B ˘2 B 2 , moins l’aire du petit carré 2 , plus la constante C, comme illustré dans la figure 2.2. Nous pouvons résumer la complétion du carré comme suit : ` ˘2 ` ˘2 B x2 ` Bx ` C “ x lo` ´ B2 . omo2on ` C loomoon p1q

p2q

42

ALGÈBRE

Il y a deux points à retenir : (1) la constante qui va à l’intérieur des parenthèses est égale à B2 (la moitié du coefficient du terme linéaire) et (2) il faut ajuster l’équation en soustrayant le carré de cette constante. Résoudre les équations du second degré Supposons que nous voulions résoudre l’équation du second degré x2 ` Bx ` C “ 0. Il n’est pas possible de la résoudre en utilisant l’approche « creuser en direction de x » vue à la section 1.1, puisque x apparaît à la fois dans le terme quadratique x2 et dans le terme linéaire Bx. La complétion du carré nous permettra de résoudre cette équation. Exemple Trouvons les solutions de l’équation x2 ` 5x ` 6 “ 0. Le coefficient du terme linéaire dans l’expression est B “ 5, donc le terme constant que nous devons ajouter à l’intérieur des parenthèses est B2 “ 52 . Le « facteur d’ajustement » que nous devons soustraire ` ˘2 ` ˘2 dans les constantes est B2 “ 52 . En suivant la recette pour compléter le carré, on obtient : ` ` ˘2 ˘2 x2 ` 5x ` 6 “ x ` 52 ` 6 ´ 52 “ 0. Ensuite, nous utilisons un peu d’arithmétique pour simplifier les ` ˘2 24´25 “ ´41 “ ´0,25. termes constants : 6 ´ 25 “ 6 ¨ 44 ´ 25 4 “ 4 Après ces étapes, il nous reste l’équation suivante : px ` 2,5q2 ´ 0,25 “ 0,

que nous pouvons maintenant résoudre en utilisant l’approche de « creuser en direction de x ». D’abord, nous déplaçons 0,25 du coté droit de l’équation, puis on prend la racine carrée des deux côtés pour obtenir px ` 2,5q “ ˘0,5. On simplifie pour obtenir x “ ´2,5 ˘ 0,5 et donc les deux solutions sont x “ ´2 et x “ ´3. Vous pouvez vérifier que ce sont les bonnes solutions en substituant ces valeurs dans l’équation originale p´2q2 ` 5p´2q ` 6 “ 0 et p´3q2 ` 5p´3q ` 6 “ 0. Félicitations ! Vous venez de résoudre une équation du second degré en utilisant une technique d’algèbre qui date de plus de 1200 ans ! Dans la section suivante, nous apprendrons comment utiliser la complétion du carré pour obtenir une formule « tout usage » qui nous permettra de résoudre les équations du second degré très rapidement.

Exercices E2.1 Mettez en facteurs les expressions suivantes :

2.2 RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

a) x2 ´ 8x ` 7

b) x2 ` 4x ` 4

43

c) x2 ´ 9

Indice: devinez les valeurs de p et q dans l’expression px ` pqpx ` qq. E2.2 Résoudre les équations en utilisant la complétion de carré. a) x2 ` 2x ´ 15 “ 0

2.2

b) x2 ` 4x ` 1 “ 0

Résoudre les équations du second degré

Que feriez vous si on vous demandait de résoudre l’équation du second degré 2x2 “ 4x ` 6 ? C’est une équation du second degré ou quadratique parce qu’elle contient la variable x au carré. On rencontre souvent des équations du second degré, c’est pourquoi les mathématiciens ont construit une formule générale pour trouver les solutions de ce type d’équation. Dans cette section nous apprendrons cette formule et l’utiliserons pour résoudre toutes sortes de problèmes. Avant que nous puissions appliquer la formule, nous devons réécrire l’équation que nous voulons résoudre, sous la forme suivante : ax2 ` bx ` c “ 0, où a, b et c sont des nombres réels. On appelle ceci la forme standard pour les équations du second degré. On tient pour acquis que a ‰ 0, sinon l’équation ne serait pas du deuxième degré. Pour obtenir la forme standard de l’équation 2x2 “ 4x ` 6 on doit déplacer tous les nombres et les x d’un côté de l’égalité en laissant 0 de l’autre côté. Dans ce cas, on soustrait 4x ` 6 aux deux côtés de l’équation et on obtient 2x2 ´ 4x ´ 6 “ 0. Quelles sont les valeurs de x qui satisfont cette équation ? Formule pour résoudre les équations du second degré Les solutions de l’équation ax2 ` bx ` c “ 0, a ‰ 0 sont ? ? ´b ´ b2 ´ 4ac ´b ` b2 ´ 4ac x1 “ et x2 “ . 2a 2a Cette formule fournit les racines de toute équation du second degré pour laquelle b2 ´ 4ac ě 0. On l’abrège habituellement en écrivant ? 2

x “ ´b˘ 2ab ´4ac , où le signe « ˘ » signifie « ` ou ´ ». La notation « ˘ » nous permet d’exprimer les deux solutions x1 et x2 avec une seule formule, mais il faut toujours garder à l’esprit qu’en réalité il y a deux solutions.

44

ALGÈBRE

Regardons les réponses que donne la formule pour l’équation 2x2 ´ 4x ´ 6 “ 0. Trouver les deux solutions demande un simple travail mécanique pour remplacer les coefficients a, b, c de la formule par leurs valeurs a “ 2, b “ ´4 et c “ ´6 : a ? ? 4 ` 16 ` 48 4 ` 64 4 ` 42 ´ 4p2qp´6q “ “ “ 3, x1 “ 4 4 4 a ? ? 4 ´ 42 ´ 4p2qp´6q 4 ´ 16 ` 48 4 ´ 64 x2 “ “ “ “ ´1. 4 4 4 Vérifiez que ces deux valeurs x1 “ 3 et x2 “ ´1 satisfont bien l’équation originale que nous voulions résoudre 2x2 “ 4x ` 6. Démonstration de la formule Toute formule donnée par un mathématicien vient avec une démonstration, qui est un raisonnement pas à pas montrant que la formule est vraie. Les mathématiques sont le seul domaine du savoir où il est toujours possible de donner les preuves à l’appui de chaque proposition que l’on énonce. Dans les livres de maths il est facile de voir où commence et où finit une démonstration. Chaque démonstration commence par le titre Démonstration ou bien Preuve (habituellement en italique) et sa fin est indiquée par le symbole « ». Le but de ces démarcations est de donner aux lecteurs la possibilité de sauter par dessus les preuves. Il n’est pas nécessaire de connaître les démonstrations de toutes les propositions que vous rencontrerez en maths, mais lire les démonstrations vous mènera souvent à une compréhension plus solide du matériel. Dans cette section nous allons donner la démonstration de la formule de résolution des équations du second degré. C’est un résultat important et facile à démontrer à partir des règles de base de l’algèbre que vous connaissez déjà. La démonstration utilisera la technique de « complétion du carré » que nous avons vue dans la section précédente. Démonstration. Partant de l’équation du second degré en forme standard ax2 ` bx ` c “ 0 avec a ‰ 0, nous voulons trouver les valeurs de x qui satisfont cette équation. La première chose que nous allons faire est de diviser par a pour obtenir l’équation b c x2 ` x ` “ 0. a a Nous avons le droit de diviser par a parce que nous savons que a ‰ 0.

2.2 RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

45

Ensuite nous allons compléter le carré pour obtenir une expression équivalente de la forme px`?q2 `?. Rappelez-vous le truc pour compléter le carré est de choisir le nombre à l’intérieur des parenthèses b dans qui égale la moitié du coefficient du terme linéaire, ce qui est 2a ce cas. Nous devons également soustraire le carré de ce nombre en ` b ˘2 ici. dehors des parenthèses afin de maintenir l’égalité, ce qui est 2a Ayant complété le carré, on obtient l’équation suivante : ˆ

b x` 2a

˙2

`

b2 c ´ 2 “ 0. a 4a

À partir d’ici on utilisera la méthode de « creuser » en direction de x. Déplaçons toutes les constantes du côté droit de l’équation : ˆ

x`

b 2a

˙2

“

c b2 ´ . 2 a 4a

Maintenant nous prenons la racine carrée des deux côtés pour annuler l’élévation au carré : c c b2 b ´ . “ ˘ x` 2a 4a2 a Puisqu’un nombre et son opposé ont le même carré, l’extraction de la racine carrée nous donne deux solutions, d’où le signe « ˘ ». b des deux côtés de l’équation pour Ensuite, nous soustrayons 2a b b b2 c obtenir x “ ´ 2a ˘ 4a2 ´ a . Prenons un instant pour simplifier l’exb b b ? b2 ´4ac b2 c b2 4a ¨ c b2 ´4ac pression ´ “ ´ “ “ , et faire 2 2 2 a 4a ¨ a 2a 4a 4a 4a ?

2

l’addition des fractions pour obtenir le résultat final x “ ´b˘ 2ab ´4ac . Les solutions de l’équation du second degré ax2 ` bx ` c “ 0 sont donc ? ? ´b ` b2 ´ 4ac ´b ´ b2 ´ 4ac x1 “ et x2 “ . 2a 2a Ainsi la démonstration de la formule est achevée.

L’expression b2 ´ 4ac est appelée discriminant de l’équation. Le discriminant nous donne une information importante sur les solutions de l’équation ax2 ` bx ` c “ 0. Les solutions ne sont réelles que si le discriminant est positif ou nul : b2 ´ 4ac ě 0. Lorsque le discriminant est nul (b2 ´ 4ac “ 0), l’équation n’a qu’une seule solution b 2 puisque x1 “ x2 “ ´ 2a . Si le discriminant est négatif, b ´ 4ac ă 0, la formule nous demande de calculer la racine carrée d’un nombre négatif, ce qui n’est pas possible pour les nombres réels.

46

ALGÈBRE

Démonstration alternative Pour avoir une démonstration de la formule de résolution de l’équation du second degré, nous n’avons pas forcément besoin de montrer toutes les étapes de calculs qu’on a suivi pour obtenir la formule, comme nous venons de le faire. On peut prendre une approche plus directe pour démontrer que x1?et x2 sont des solutions. Il suffit ? 2

2

de porter les expressions x1 “ ´b` 2ab ´4ac et x2 “ ´b´ 2ab ´4ac dans l’équation ax2 ` bx ` c “ 0 et de vérifier que l’égalité a lieu. Prenez un instant et essayez ça !

Applications Le nombre d’or Le nombre d’or est la valeur d’une proportion qui joue un rôle très important en géométrie, dans les arts, en esthétique, en biologie et même dans le domaine du mystique. On le note habituellement ?

ϕ “ 1`2 5 “ 1,6180339 . . .. Le nombre d’or est la solution positive de l’équation du second degré x2 ´ x ´ 1 “ 0.

Appliquant la formule qui donne les racines de l’équation du second degré on obtient les deux solutions : ? ? 1` 5 1´ 5 1 x1 “ “ϕ et x2 “ “´ . 2 2 ϕ Vous pourrez en apprendre plus au sujet des contextes dans lesquels le nombre d’or intervient en lisant l’article de Wikipédia sur le sujet.

Explications Solutions multiples Souvent on ne s’intéresse qu’à une seule des deux solutions de l’équation du second degré. Dans ce cas, d’après le contexte du problème il sera habituellement évident de déterminer celle des deux solutions que nous devons garder et celle que nous pouvons ignorer. Par exemple, le temps de vol d’une balle jetée en l’air d’une hauteur de 3 mètres avec une vitesse initiale de 12 mètres par seconde est obtenue en résolvant l’équation p´4,9qt2 ` 12t ` 3 “ 0. Les deux solutions de cette équation du second degré sont t1 “ ´0,229 et t2 “ 2,678. La première réponse t1 correspond à un temps dans le passé, elle n’est pas acceptable et nous la rejetons. La réponse correcte est t2 . La balle touchera le sol au bout de t “ 2,678 secondes.

2.2 RÉSOUDRE LES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

47

Relation avec la mise en facteurs Dans la section précédente nous avons étudié l’opération de mise en facteur qui nous permet d’écrire un trinôme du second degré dont le discriminant est non négatif, comme un produit de deux facteurs f pxq “ ax2 ` bx ` c “ apx ´ x1 qpx ´ x2 q. Les deux nombres x1 et x2 sont les racines du trinôme : ce sont les points où le graphe de la fonction f pxq coupe l’axe des x. En utilisant la formule pour la résolution des équations du second degré, vous savez maintenant factoriser n’importe quel trinôme ax2 ` bx ` c dont le discriminant est non négatif. Il suffit de trouver les solutions x1 et x2 de l’équation ax2 ` bx ` c “ 0, puis de réécrire le trinôme sous la forme apx ´ x1 qpx ´ x2 q. Pourtant il y a des polynômes qui ne peuvent pas être mis en facteurs. Ces expressions qui ne se laissent pas mettre en facteurs correspondent aux fonctions dont le graphe ne rencontre pas l’axe des x. L’équation n’a pas de solution (pas de racine). Il y a un test rapide que vous pouvez employer pour savoir si un trinôme f pxq “ ax2 ` bx ` c a des racines (touche ou traverse l’axe des x) ou n’a pas de racine (ne rencontre jamais l’axe des x). Si b2 ´ 4ac ą 0 alors l’équation a deux racines. Si b2 ´ 4ac “ 0, l’équation n’a qu’une seule racine, c’est le cas particulier où le graphe de la fonction est tangent à l’axe des x qu’il ne rencontre qu’en un seul point. Si b2 ´ 4ac ă 0, l’équation n’a pas de racine. Dans ce cas, la formule donnant les racines ne marche pas parce qu’elle nous amènerait à prendre la racine carrée d’un nombre négatif, ce qui n’est pas permis (pour l’instant). Nous reviendrons à l’idée de prendre des racines carrées de nombres négatifs dans la section 7.5 (voir page 169).

Liens [ Explication visuelle de l’équation du second degré (en anglais) ] https://www.youtube.com/watch?v=EBbtoFMJvFc

Exercices E2.3 Résoudre en x l’équation du second degré 2x2 ´ x “ 3.

E2.4 Résoudre en x l’équation x4 ´ 4x2 ` 4 “ 0. Indice: utilisez la substitution y “ x2 .

Chapitre 3

Exposants et logarithmes Comprendre les fonctions exponentielles f pxq “ b x et logarithmiques f pxq “ logb x est très utile pour la modélisation mathématique dans les sciences. Les fonctions exponentielles décrivent les croissances de population en écologie, le courant dans les circuits électriques, la décroissance radioactive et bien d’autres phénomènes de la nature. La fonction logarithmique est l’inverse de la fonction exponentielle. Nous avons besoin des logarithmes chaque fois que nous voulons résoudre une équation contenant des inconnues en exposants. D’autre part une échelle logarithmique nous permet de comparer commodément des nombres de tailles colossalement différentes. Les échelles logarithmiques sont employées pour décrire des systèmes qui contiennent des différences exponentielles comme l’intensité du son ou l’acidité des solutions chimiques. En tant qu’étudiant en maths, vous devez en arriver à considérer les exposants et les logarithmes comme des opérations élémentaires, au même titre que l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Les six opérations mathématiques de base les plus importantes sont t x ` y, x ´ y, xy, x{y, x y , logx y u.

Vous connaissez déjà assez bien x ` y, x ´ y, xy et x{y, alors dans ce chapitre nous allons nous concentrer sur les règles qu’il faut connaître pour manipuler les exposants x y et les logarithmes logx y. Pour faire des maths, vous devez être aussi à l’aise avec les exposants que vous l’êtes avec l’addition et la multiplication, et aussi à l’aise avec les logarithmes que vous l’êtes avec la soustraction et la division.

49

50

EXPOSANTS ET LOGARITHMES

3.1

Exposants

En maths nous devons souvent multiplier un nombre plusieurs fois par lui-même. Pour exprimer cela, on utilise la notation bn “ loooomoooon bbb ¨ ¨ ¨ bb n fois

qui signifie que le nombre b est multiplié n fois par lui-même. Dans cette section nous allons voir la terminologie de base associée aux exposants et discuter les propriétés de la fonction exponentielle.

Définitions Commençons par le vocabulaire : — bn : le nombre b élevé à la puissance n — b : la base — n : l’exposant (ou la puissance) Par définition, la puissance zéro de n’importe quel nombre non nul est égale à 1, ce qui se traduit par b0 “ 1. Nous parlerons aussi des fonctions exponentielles. En particulier, nous définissons les fonctions exponentielles suivantes : — f pxq “ b x : la fonction exponentielle de base b.

— f pxq “ 10x : la fonction exponentielle de base 10.

— f pxq “ exppxq “ e x : la fonction exponentielle de base e, le nombre d’Euler. — f pxq “ 2x : la fonction exponentielle de base 2, qui est souvent utilisée en informatique. Le nombre d’Euler e “ 2,7182818 . . . est une base spéciale qui intervient dans de très nombreuses applications. On appelle e la base naturelle. Comme nous utilisons un système décimal pour représenter les nombres, 10 est une autre base intéressante. Par exemple mille peut s’écrire 1 000 “ 103 , un million s’écrira 1 000 000 “ 106 et un milliard sera 1 000 000 000 “ 109 . Comme vous pouvez le constater, les exposants en base 10 sont très utiles pour décrire les grands nombres de façon compacte.

Formules Les propriétés suivantes sont des conséquences de la définition de l’exponentiation comme multiplication répétée.

3.1 EXPOSANTS

51

Propriété 1 Multiplier deux puissances d’une même base revient à ajouter les exposants : bm bn “ loooomoooon bbb ¨ ¨ ¨ bb loooomoooon bbb ¨ ¨ ¨ bb “ looooooomooooooon bbbbbbb ¨ ¨ ¨ bb “ bm`n . m fois

m`n fois

n fois

Propriété 2 L’inverse d’un nombre peut s’exprimer comme le nombre élevé à la puissance moins un : b ´1 “

1 . b

Le produit d’un nombre et son inverse donne un : bb´1 “ bb “ 1. Les exposants négatifs correspondent à des puissances de l’inverse : b ´n “

1 . bn

Propriété 3 En combinant les propriétés 1 et 2 nous obtenons la règle suivante : bm “ b m´n . bn En particulier, bn b´n “ bn´n “ b0 “ 1. La multiplication par b´n est l’opération inverse de la multiplication par bn . Si l’on effectue les deux opérations le résultat est le même que si on multiplie par 1. Propriété 4 Quand on élève une expression contenant un exposant à une puissance, les deux exposants se multiplient : pbm qn “ pbbb ¨ ¨ ¨ bbqpbbb ¨ ¨ ¨ bbq ¨ ¨ ¨ pbbb ¨ ¨ ¨ bbq “ bmn . loooomoooon loooomoooon loooomoooon m fois m fois m fois looooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooon n fois

Propriété 5.1 pabqn “ loooooooooooooomoooooooooooooon pabqpabqpabq ¨ ¨ ¨ pabqpabq “ loooomoooon aaa ¨ ¨ ¨ aa loooomoooon bbb ¨ ¨ ¨ bb “ an bn . n fois

n fois

n fois

Propriété 5.2 ´ a ¯n b

n fois hkkkkikkkkj aaa ¨ ¨ ¨ aa an “ ¨¨¨ “ “ n. b b b b b bbb ¨ ¨ ¨ bb b loooooooooooooooomoooooooooooooooon loooomoooon

´a¯´a¯´a¯

n fois

´a¯´a¯

n fois

52

EXPOSANTS ET LOGARITHMES

Propriété 6 Élever un nombre à la puissance trouver la racine nème de ce nombre : ? 1 n b n “ b.

1 n

est équivalent à

En particulier, la racine carrée correspond à l’exposant un demi : ? ? 1 1 b “ b 2 . La racine cubique (l’inverse de x3 ) correspond ? à 3 b “ b3. 3 3 Nous pouvons vérifier que x est l’opération inverse de x en utili? 1 1 1 1 1 1 sant soit la propriété 1 : p 3 xq3 “ px 3 qpx 3 qpx 3 q “ x 3 ` 3 ` 3 “ x1 “ x, ? 1 3 ou en utilisant la propriété 4 : p 3 xq3 “ px 3 q3 “ x 3 “ x1 “ x. Les propriétés 5.1 et 5.2 s’appliquent aussi aux exposants fractionnaires : c´ ¯ ´ ¯ 1 ? 1 n ? ? ? 1 1 1 an a a n a n n n n n n n ? “ 1 “ n . ab “ pabq “ a b “ a b, “ b b b bn

Discussion Exposants négatifs Un signe moins dans l’exposant ne veut pas dire « soustraction » mais plutôt « diviser par » : a ´n “

1 1 “ . an aaa ¨ ¨ ¨ a looomooon n fois

Pour comprendre pourquoi les exposants négatifs correspondent à une division, rappelez vous de la propriété 1 pour les calculs avec des exposants : am an “ looomooon aaa ¨ ¨ ¨ a looomooon aaa ¨ ¨ ¨ a “ loooooooomoooooooon aaaaaa ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ aa “ am`n . m fois

n fois

m`n fois

Si vous préférez le dire avec des mots, « Pour multiplier deux puissances de la même base, on ajoute les exposants. » Définir a´n “ a1n assure que la règle am an “ am`n tient aussi pour les exposants négatifs : m fois hkkkkkikkkkkj 1 aaaaa ¨ ¨ ¨ aa am a´n “ looooomooooon aaaaa ¨ ¨ ¨ aa “ “ loomoon aa ¨ ¨ ¨ a “ am´n . ao¨mo ¨ ¨oan ao¨mo ¨ ¨oan lo lo m fois

n fois

n fois

m´n fois

Par exemple 2´3 signifie 213 “ 18 . Si nous multiplions 25 par 2´3 , on obtient 25 ¨ 2´3 “ 25´3 “ 22 “ 4.

3.1 EXPOSANTS

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Exposants fractionnaires Nous avons parlé des exposants positifs et négatifs mais qu’en est-il des exposants fractionnaires ? Les exposants fractionnaires correspondent à des opérations du même type que l’extraction de la racine carrée : ? ? ? ? 1 1 1 a 3 “ 3 a, a 4 “ 4 a. a 2 “ a “ 2 a, ? , qui est utiRappelons l’opération extraction de la racine carrée lisée pour?« défaire » l’effet de l’opération x2 . Plus généralement la fonction n x, dénommée « racine nème », est la fonction inverse de la fonction x n . Quel ? ? genre d’émotion éveillent en vous des expressions comme 3 27 3 8 ? Si c’est la première fois que vous voyez des racines cubiques, vous pensez peut-être que vous devrez apprendre beaucoup de nouvelles règles pour manipuler ce type d’expression. Que veut ? dire 3 au juste, et comment fait-on pour manipuler ces « gribouillis mathématiques » ? Pas de panique ! Restez calme et tout ira bien. Rassurez-vous, il n’y a pas de nouvelles règles à apprendre parce que toutes les règles pour manipuler les « gribouillis mathématiques » sont des conséquences de la règle générale ab ac “ ab`c appliquée aux expressions où figurent des exposants fractionnaires. Par exemple, une racine cubique satisfait l’équation ? ? ? 1 1 1 1 1 1 3 a 3 a 3 a “ a 3 a 3 a 3 “ a 3 ` 3 ` 3 “ a1 “ a. ? Voyez vous pourquoi 3 x et x3 sont des opérations inverses ? Le nombre ? 3 a est un tiers du?nombre a par rapport à la multiplication (puisqu’en multipliant 3 a trois fois par lui-même on obtient a). Nous disons « un tiers par rapport à la multiplication », parce que la signification habituelle de « un tiers de a » est par rapport à l’addition (en ajoutant 3 fois 3a on obtient a). La racine nème de a est un nombre qui donne a quand on le multiplie n fois par lui-même. On peut la noter de deux façons équivalentes : ? 1 n a “ an. Utilisant cette définition et la règle générale ab ac “ ab`c nous pourrons simplifier toutes sortes d’expressions. Par exemple, nous pou? ? ? ? 1 1 vons simplifier 4 a 4 a en le réécrivant sous la forme 4 a 4 a “ a 4 a 4 “ ? ? ? 1`1 1 a 4 4 “ a 2 “ a. On peut aussi simplifier l’expression 3 27 3 8 en 1 1 la réécrivant 27 3 8 3 , et, en remarquant que 27 et 8 sont des cubes, 1

1

1

1

27 3 8 3 “ p3 ¨ 3 ¨ 3q 3 p2 ¨ 2 ¨ 2q 3 “ 3 ¨ 2 “ 6.

54

EXPOSANTS ET LOGARITHMES

? Vérifions que n a est égal à « un nème de a par rapport à la?multiplication ». Pour obtenir le nombre a nous devons multiplier n a par lui-même n fois : `? ˘n ´ 1 ¯n n 1 1 1 1 1 1 n a “ an “ looooooooooomooooooooooon a n a n a n a n ¨ ¨ ¨ a n a n “ a n “ a1 “ a. n fois

Le produit de n copies de n’importe quel nombre élevé a la puissance ? 1 n x est n est égal à ce nombre à la puissance 1. L’opération inverse de n donc x . Le fait que la multiplication soit commutative ab “ ba implique que nous pouvons écrire toute fraction ba de deux autres façons équivalentes : ba “ a 1b “ 1b a. Nous multiplions par a puis nous divisons le résultat par b ; on peut aussi diviser d’abord par b et ensuite multiplier le résultat par a. De même, quand nous avons une fraction dans un exposant, nous pouvons écrire l’expression de deux façons équivalentes : 2

a3 “

a 3

? a2 “ p 3 aq2 ,

1

a´ 2 “

1 a

1 2

1 “? , a

m

an “

`? ˘m ? n n a “ am .

Assurez vous que vous comprenez bien ces notations. À titre d’exer4 cice, essayez de calculer 5 3 avec votre calculatrice et vérifiez que vous obtenez bien 8,54987973 . . . comme réponse. Exposants pairs et impairs La fonction f pxq “ x n se comporte différemment selon que l’exposant n est pair ou impair. Si n est impair, on a : ´ ? ¯n ? n n b “ bn “ b, quand n est impair. En revanche si n est pair, la fonction x n produit un résultat positif quel que soit le signe du nombre x (par exemple x2 envoie ´x et x sur x2 ). Si on applique successivement l’élévation à la puissance n et l’extraction de la racine nème cela a le même effet que l’application de la fonction valeur absolue : ? n n b “ |b|, quand n est pair.

Rappelons que la fonction valeur absolue |x| retire l’information sur le signe de x. Si n est pair on ne peut pas prendre la racine nème ? n quand b est un nombre négatif. C’est parce que b pour b ă 0 n’est pas un nombre réel puisqu’il n’y a pas de nombre réel qui, multiplié par lui-même un nombre pair de fois, donne un nombre négatif.

3.2 LOGARITHMES

55

Références [ Lectures complémentaires sur les exponentielles ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentiation

Exercices E3.1 Simplifiez les expressions suivantes où figurent des exposants. ? p2αq3 ef b) a2abc d) pa3 q2 p 1b q2 c) a) 23 e f ? b3 c4 p

α

e f q3

E3.2 Simplifiez autant que possible les expressions suivantes : ? ? ? ? ? ? 3 ? a) 3 3 b) 9 16 d) ?aba c) ?8 3 b

4

E3.3 Calculez les valeurs des expressions suivantes : ? ´ ? ¯ 2 2 1 p 3 cq3 77 b) 8 3 ` 8´ 3 a) 2pπq2 2 c) c

d)

´ 2 ? ¯2 4 x

x3

x

E3.4 Trouvez toutes les valeurs de x qui satisfont ces équations : a) x2 “ a

b) x3 “ b

c) x4 “ c

d) x5 “ d

1 E3.5 La constante de Coulomb k e est définie par la formule k e “ 4πε , 0 où ε 0 est la permittivité de l’espace libre. Servez vous d’une calculatrice pour calculer la valeur de k e en partant de ε 0 “ 8,854 ˆ 10´12 et π “ 3,14159265. Donnez votre réponse avec le nombre convenable de chiffres significatifs, même si la calculatrice vous en donne beaucoup plus.

3.2

Logarithmes

Certaines personnes pensent que le mot « logarithme » fait référence à quelque mythique monstre mathématique. D’après certaines légendes les logarithmes auraient plusieurs têtes, souffleraient du feu et seraient extrêmement difficiles à comprendre. Quel non sens ! Les logarithmes sont simples. Au pire, cela vous prendra deux pages pour vous habituer à les manipuler et il est bon de vous y habituer parce que les logarithmes sont utilisés partout. Le niveau du son dans votre système audio est mesuré dans des unités logarithmiques appelées décibels rdBs. La raison en est que nos oreilles ne sont sensibles qu’à des différences exponentielles dans l’intensité du son. Les logarithmes nous permettent de comparer des nombres très grands et des nombres très petits sur la même échelle. Si les sons étaient mesurés avec des unités linéaires au lieu d’unités logarithmiques, le volume de contrôle de votre système sonore devrait aller de 1 à 1 048 576. Ça ferait bizarre non ? C’est pour éviter

56

EXPOSANTS ET LOGARITHMES

cela que l’on utilise une échelle logarithmique pour les volumes de son. En utilisant une échelle logarithmique, on peut aller d’un son d’intensité 1 à un son d’intensité 1 048 576 en 20 étapes « progressives ». Supposons qu’à chaque graduation l’intensité du son double au lieu d’augmenter d’une quantité constante. Si la première graduation correspond à 2, la seconde correspondrait à 4 — probablement encore inaudible, mais on va augmenter le volume ! Lorsque vous atteindrez la sixième graduation vous serez à une intensité sonore de 26 “ 64 qui est le niveau auquel on entend la musique. La dixième graduation correspond à un son d’intensité 210 “ 1024 (son d’intensité moyenne) et finalement la vingtième graduation atteint une puissance maximale de 220 “ 1 048 576, ce qui est le niveau auquel les voisins viennent se plaindre du bruit.

Définitions En vous appuyant sur les sections précédentes, vous devriez être familiers avec les concepts suivants : — exppxq “ e x : la fonction exponentielle de base e, le nombre d’Euler — 2x : fonction exponentielle de base 2 — b x : la fonction exponentielle de base b — f pxq : la notion de fonction

— f ´1 : la fonction inverse de f qui est définie en termes de f par f ´1 p f pxqq “ x. En d’autres mots, si en appliquant f à un nombre x on obtient y et si ensuite on fait passer y par f ´1 , on retrouvera x à la sortie. La fonction f ´1 défait ce que la fonction f avait fait.

Dans cette section nous jouerons avec ces nouveaux concepts : — lnpxq : le logarithme de base e est appelé logarithme naturel ou logarithme népérien. C’est la fonction inverse de e x . — log2 pxq : le logarithme en base 2 est la fonction inverse de 2x .

— logb pxq : le logarithme de x en base b est la fonction inverse de bx .

J’ai dit jouerons parce qu’il n’y a pas grand chose de neuf à apprendre : les logarithmes sont tout simplement une façon de parler de la « taille » des nombres ; essentiellement le logarithme d’un nombre nous dit combien de chiffres ça prend pour écrire le nombre.

3.2 LOGARITHMES

57

Formules Ce qu’il y a de plus important à comprendre c’est que les logarithmes n’existent pas vraiment par eux-mêmes. Ils sont définis comme fonctions inverses des foncions exponentielles correspondantes. Les affirmations suivantes sont équivalentes : logb pxq “ m

ô

bm “ x.

Le logarithme en base e est noté lnpxq pour « logarithme naturel » de x parce que e est la base « naturelle ». Une autre base spéciale est 10 parce que nos nombres sont écrits dans le système de numération décimale. Les logarithmes de base 10, log10 pxq nous disent en gros la taille du nombre x — avec combien de chiffres il s’écrit. Exemple Les gens qui travaillent pour « le système » (disons quelqu’un avec un travail dans le secteur financier) aiment bien se vanter de leur salaire à « six chiffres », ce qui fait référence au log de ce qu’ils gagnent par année. Le « nombre de chiffres » NS d’un salaire se calcule en ajoutant 1 au logarithme en base 10 du salaire S. La formule est NS “ 1 ` log10 pSq.

Un salaire de S “ 100 000 correspond à NS “ 1 ` log10 p100 000q “ 1 ` 5 “ 6 chiffres. Quel est le plus petit salaire à « sept chiffres » ? On doit trouver S sachant que NS “ 7. On a 7 “ 1 ` log10 pSq, ce qui veut dire que 6 “ log10 pSq et — en utilisant la relation inverse entre le logarithme en base 10 et l’exponentielle de base 10 — nous trouvons S “ 106 “ 1 000 000. Un million de dollars par an ! Oui, pour ce genre de revenu, on comprend que quelqu’un veuille travailler pour le système. Mais la plupart des pions dans le système n’atteignent jamais le niveau des sept chiffres : je crois que pour la moyenne des gros salaires, le calcul du nombre de chiffres serait plutôt 1 ` log10 p250 000q “ 1 ` 5,397 “ 6,397. Ces malheureux 0,397 chiffres supplémentaires suffiraient à convaincre quelques-unes des personnes les plus intelligentes de vendre leur cerveau au secteur financier ? Quels branleurs ! De toute façon, qui a besoin d’un salaire à six chiffres ? Pourquoi ne pas se contenter d’un salaire annuel de 1 ` log10 p55 000q “ 5,74 chiffres comme enseignant et faire de sa vie quelque chose qui ait vraiment de la valeur ?

Propriétés Maintenant donnons deux propriétés importantes des logarithmes dont vous aurez besoin quand vous aurez affaire à eux. Faites atten-

58

EXPOSANTS ET LOGARITHMES

tion parce que les règles arithmétiques pour les logarithmes sont très différentes de celles dont vous avez l’habitude pour les nombres. Pour le sens intuitif, vous pouvez penser que le logarithme est un moyen commode de parler des exposants des nombres. Les propriétés suivantes sont les analogues pour les logarithmes de celles que nous avons vues pour les exposants. Propriété 1 La première propriété est que la somme des logarithmes de deux nombres est le logarithme de leur produit : logpxq ` logpyq “ logpxyq.

Démonstration. Nous voulons montrer que l’expression de gauche est égale à l’expression de droite. Il n’y a pas longtemps que les logarithmes nous ont été présentés et nous ne les connaissons pas encore très bien. En fait la seule chose que nous sachions à leur sujet est que ce sont les opérations inverses des exposants. On peut utiliser cette relation entre les exposants et les logarithmes pour démontrer la première propriété. Quelle que soit la base b, le résultat suivant est vrai : b m b n “ b m`n .

C’est la conséquence de la définition des exposants en tant que multiplication répétée. Si vous comptez combien de b sont multipliés du côté gauche, vous verrez qu’il y en a m ` n, ce qui est exactement ce que nous avons aussi sur la droite. Si nous définissons deux nouvelles variables x et y par bm “ x et n b “ y, nous pouvons écrire l’équation bm bn “ bm`n sous la forme xy “ bm`n .

et en prenant les logarithmes des deux côtés, il vient ` ˘ logb pxyq “ logb bm`n “ m ` n “ logb pxq ` logb pyq.

Cette dernière étape utilise à nouveau la définition de la fonction log d’après laquelle bm “ x ô m “ logb pxq

et

bn “ y ô n “ logb pyq.

Ainsi nous avons démontré que logpxq ` logpyq “ logpxyq.

À partir de l’équation logpxq ` logpyq “ logpxyq, on peux obtenir deux conséquences très utiles : et

logpx k q “ k logpxq, logpxq ´ logpyq “ log

ˆ ˙ x . y

3.2 LOGARITHMES

59

Propriété 2 Cette propriété nous aide à passer d’une base à une autre. Nous pouvons exprimer le logarithme dans n’importe quelle base B en termes d’un rapport de logarithmes dans une autre base b. La formule générale est logb pxq . logB pxq “ logb pBq Par exemple le logarithme en base 10 d’un nombre S peut s’écrire comme un logarithme en base 2 ou en base e de la façon suivante : log10 pSq “

log10 pSq log10 pSq log2 pSq lnpSq “ “ “ . 1 log10 p10q log2 p10q lnp10q

Cette propriété vous sera utile si vous devez calculer un logarithme dans une base qui n’est pas disponible sur votre calculatrice. Supposons qu’on vous demande de calculer log7 pSq, mais que votre calculatrice n’ait que la touche log10 . Vous pourrez alors trouver log7 pSq

en calculant log10 pSq et en le divisant par log10 p7q.

Exercices E3.6 Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier les expressions a) logpxq ` logp2yq d) log2 p8q

b) logpzq ´ logpz2 q e)

1 q log3 p 27

c) logpxq ` logpy{xq f) log10 p10000q

Chapitre 4

Systèmes de coordonnées Les nombres ont une double nature : ce sont à la fois des concepts mathématiques abstraits et des quantités concrètes que l’on peut rencontrer dans le monde réel. Par exemple, le nombre quatre correspond au concept abstrait du nombre 4 qu’on utilise dans les équations mathématiques, mais il peut aussi être représenté par une longueur de quatre unités sur la droite numérique.

´5

´4

´3

´2

´1

0

1

2

3

4

5

F IGURE 4.1 Chaque point de la droite numérique correspond à un nombre x.

La droite numérique nous permet de « voir » les concepts abstraits comme les nombres. On peut aussi visualiser les opérations comme l’addition et la soustraction comme des déplacements sur la droite numérique. Il est possible d’ajouter plus de « dimensions » à cette correspondance entre les nombres et les longueurs. Le plan cartésien est un système de coordonnées similaire à la droite numérique, mais en deux dimensions. Chaque point dans le plan cartésien correspond à un couple de nombres px, yq que l’on appelle les coordonnées du point. Beaucoup d’idées mathématiques peuvent être représentées par des coordonnées px, yq. Dans ce chapitre nous parlerons du plan cartésien et montrerons les multiples applications de cet important outil de visualisation. Le plan cartésien nous aidera à comprendre les fonctions (chapitre 5), la géométrie (chapitre 6) et les vecteurs (chapitre 7). Le plan cartésien nous permet de visualiser tous ces concepts mathématiques abstraits. 61

62

4.1

SYSTÈMES DE COORDONNÉES

Le plan cartésien

Le plan cartésien, nommé d’après le fameux philosophe et mathématicien René Descartes, est utilisé pour représenter les paires de nombres px, yq. Le plan cartésien est la généralisation à deux dimensions de la droite numérique (voir section 1.3). L’axe horizontal du plan est nommé « axe des abscisses » ou tout simplement « axe des x ». L’axe vertical est appelé « axe des ordonnées » ou « axe des y ». Sur chaque axe, nous mettons des graduations à intervalles réguliers pour pouvoir mesurer les distances. y 2

1

x ´4

´3

´2

´1

0

1

2

3

4

´1 ´2

F IGURE 4.2 Chaque point du plan cartésien correspond à un couple de nombres réels px, yq. Points P “ pPx , Py q, vecteurs ~v “ pv x , vy q, et graphes des fonctions px, f pxqq vivent ici.

La figure 4.2 est un exemple de plan cartésien vide. Pensez à ce système de coordonnées comme à un tableau vide. Que peut-on tracer sur ce tableau ?

Points et vecteurs Un point P “ pPx , Py q dans le plan cartésien a une abscisse x “ Px et une ordonnée y “ Py . Pour trouver ce point, on part de l’origine — le point p0, 0q — et on se déplace d’une distance Px sur l’axe des x, puis d’une distance Py sur une parallèle à l’axe des y. Comme les points, les vecteurs ~v “ pv x , vy q sont décrits par des couple de coordonnées. Contrairement aux points, quand on représente un vecteur, on ne part pas nécessairement de l’origine du plan. On trace les vecteurs comme des flèches qui marquent explicitement

4.1 LE PLAN CARTÉSIEN

63

y

P “ p´3, 2q

2

~v1 “ p3, 1q

1

x ´4

´3

´2

´1

0

1

2

3

4

´1

~v3 “ p´1, ´2q

~v2 “ p´1, ´2q

´2

F IGURE 4.3 Un plan cartésien qui montre le point P “ p´3, 2q et les vecteurs ~v1 “ p3, 1q et ~v2 “ ~v3 “ p´1, ´2q.

d’où part le vecteur et où il se termine. Notez que les vecteurs ~v2 et ~v3 représentés dans la figure 4.3 sont en réalité le même vecteur — le vecteur « déplace de 1 vers la gauche et de 2 vers le bas ». L’endroit où vous tracez le vecteur n’a pas d’importance, il sera toujours le même qu’il commence à l’origine du plan ou ailleurs. Nous étudierons les vecteurs plus en détail dans le chapitre 7.

Graphes des fonctions Le plan cartésien est très commode pour visualiser les fonctions. On peut penser à une fonction comme à un ensemble de couples entrée-sortie px, f pxqq. On peut tracer le graphe d’une fonction en donnant à la coordonnée y la valeur de sortie lorsque l’entrée est x : px, yq “ px, f pxqq. En d’autre termes, on associe l’abscisse x de chaque point à une valeur d’entrée de la fonction et l’ordonnée y à la valeur de sortie f pxq. Par exemple pour la fonction f pxq “ x2 , nous pouvons tracer une ligne passant par l’ensemble des points px, yq “ px, x2 q, et obtenir le graphe que l’on voit sur la figure 4.4. Quand on représente les fonctions en posant y “ f pxq, on utilise une terminologie spéciale pour les axes. L’axe des x est l’axe de la variable indépendante (celle qui varie librement), et l’axe des y est celui de la variable dépendante f pxq, puisque les valeurs f pxq dépendent de x.

64

SYSTÈMES DE COORDONNÉES

5

y

f pxq “ x2

4

3

2

1

x ´4

´3

´2

´1

0

1

2

3

4

F IGURE 4.4 Le graphe de la fonction f pxq “ x2 est formé de tous les points px, yq du plan cartésien pour lesquels y “ x2 .

Pour tracer le graphe de toute fonction f , on emploie la procédure suivante. Imaginons que l’on balaie toutes les valeurs d’entrée possibles pour la fonction. Pour chaque entrée x, on place un point de coordonnées px, yq “ px, f pxqq dans le plan cartésien. Le graphe d’une fonction nous permet de « voir » ce que fait la fonction : l’ordonnée y indique la valeur de la sortie f pxq de la fonction pour toutes les entrées x possibles.

Dimensions La droite numérique est de dimension un. Tout nombre x peut être représenté par un point sur la droite numérique. Le plan cartésien est de dimension deux : la dimension sur laquelle on porte x et celle où l’on porte y. Si nous avons besoin de visualiser des concepts mathématiques en 3D, nous pouvons utiliser un système de coordonnées à trois dimensions avec l’axe des x, celui des y et celui des z. Voir la figure 7.10 à la page 161.

Chapitre 5

Fonctions Apprendre les maths, c’est comme apprendre une langue étrangère. Si les nombres (section 1.2) et les variables (section 1.4) correspondent aux noms, les fonctions, elles, correspondent aux verbes. On utilise les variables pour décrire les quantités mathématiques et les fonctions pour décrire les actions mathématiques. Les fonctions nous permettent de décrire toutes sortes de situations où une variable dépend d’une autre. Dans ce chapitre, nous ferons connaissance avec quelques « verbes » mathématiques importants. Il faudra enrichir votre vocabulaire en verbes mathématiques pour que vous puissiez vous en servir dans le reste du livre. Nous commencerons par un peu de théorie générale sur les fonctions, puis nous ferons un catalogue des fonctions les plus importantes que l’on rencontre dans la vie de tous les jours et dans la modélisation mathématique. Dans la section 5.1, nous introduirons les principaux concepts utilisés pour définir les fonctions et leur propriétés comme le domaine et l’image de la fonction, son graphe et les relations entre les fonctions. La section 5.2 sera notre manuel de référence pour les 10 fonctions les plus importantes en maths. Dans la section 5.3, nous regarderons comment les translations et les changements d’échelle affectent les graphes des fonctions.

5.1

Les fonctions

Les fonctions sont souvent utilisées pour modéliser la façon dont une variable dépend d’une autre. Exemple Supposons que vous organisiez un concert payant dans le but de collecter des fonds pour une cause qui vous tient à coeur. Le revenu R du concert dépend du nombre n de billets vendus. Si 65

66

FONCTIONS

chaque billet coûte $25, le revenu du concert peut s’écrire comme une fonction de n. Le revenu du concert est donné par la fonction : Rpnq “ 25n. La fonction Rpnq “ 25n est un modèle simple et utile pour décrire la situation. Si votre but est d’obtenir $7000, vous pouvez calculer combien de billets il faut vendre en résolvant en n l’équation Rpnq “ 7000. Si vous obtenez plus d’informations sur la situation, vous pourrez améliorer le modèle mathématique. Par exemple si vous devez tenir compte de 5% de frais de gestion pour l’émission des billets, votre modèle de revenu doit être mis à jour. Il s’écrira : Rpnq “ 0,95 ¨ 25 ¨ n. Si on estime les coûts de l’organisation du concert à C “ $2000, alors le profit P tiré du concert peut être modélisé par Ppnq “ Rpnq ´ C

“ 0,95 ¨ $25 ¨ n ´ $2000.

La fonction Ppnq “ 23,75 ¨ n ´ 2000 donne le profit du concert comme fonction du nombre de billets vendus. Plus vous en saurez sur les fonctions, plus vous aurez d’outils pour construire des modèles mathématiques précis décrivant les situations réelles. Le concept de fonction est l’une des notions les plus utiles que vous puissiez apprendre dans le langage des maths. Pour « connaître » une fonction, vous devez être capable de comprendre et de relier entre eux plusieurs de ses aspects. D’abord vous devez connaître la définition mathématique de la fonction qui décrit exactement comment elle agit. À partir de la définition de la fonction vous pourrez utiliser vos compétences en maths pour trouver les propriétés de la fonction. Vous devez aussi connaître le graphe de la fonction qui vous montrera à quoi « ressemble » la fonction si on porte les points de coordonnées px, f pxqq dans le plan cartésien. C’est aussi une bonne idée de se souvenir des valeurs de la fonction pour quelques entrées importantes. Enfin — et c’est ce qui prendra le plus de temps — vous devez apprendre les relations de la fonction qui vous intéresse avec les autres fonctions.

Définitions On utilise la notation

f: AÑB

pour décrire la fonction f qui prend ses entrées dans l’ensemble A et a ses sorties dans l’ensemble B. On appelle A l’ensemble de départ de la fonction et B l’ensemble d’arrivée. La fonction prend ses entrées x dans A et donne des sorties f pxq dans B. Dans ce livre nous étudierons

5.1 LES FONCTIONS

67

surtout les fonctions du type f : R Ñ R qui prennent des nombres réels comme entrées et donnent des nombres réels comme sorties. A

f x

B

y “ f pxq

F IGURE 5.1 Une représentation abstraite d’une fonction f d’un ensemble A vers un ensemble B. La notation f : A Ñ B se lit « f de A dans B ». La fonction f est la flèche qui envoie les entrées x de A vers les sorties f pxq dans B. La valeur de sortie f pxq de la fonction est parfois notée y.

Une fonction f n’est pas un nombre ; c’est plutôt une « action » qui prend un nombre d’entrée x et donne une valeur de sortie f pxq, qui se lit « f de x ». On dit « f envoie x sur f pxq ». Nous allons maintenant définir quelques termes techniques qui servent à décrire les ensembles d’entrées et de sorties des fonctions. — A : l’ensemble de départ de la fonction décrit le type de nombres que la fonction prend comme entrées. Le mot « source » est parfois utilisé comme synonyme pour l’ensemble de départ. — Domp f q : le domaine de la fonction est l’ensemble des valeurs permises comme entrées de la fonction. Le domaine de la fonction peut aussi être appelé « ensemble de définition » — l’ensemble des nombres pour lesquels la fonction est définie. — B : l’ensemble d’arrivée d’une fonction décrit le type de sorties de la fonction. Le mot « but » est un synonyme pour l’ensemble d’arrivée. — Imp f q : l’image de la fonction f est l’ensemble de toutes les valeurs de sortie effectivement données par la fonction. Regardez la figure 5.2 pour une illustration de ces concepts. Nous introduisons toute cette terminologie mathématique dans le but de distinguer entre le type général d’entrées et de sorties de la fonction (nombres réels, nombres complexes, vecteurs) et les propriétés spécifiques de la fonction comme son domaine et son image.

68

FONCTIONS

B

A Domp f q x

f

Imp f q f pxq

F IGURE 5.2 Illustration des ensembles d’entrée et de sortie de la fonction f : A Ñ B. On note A l’ensemble de départ et Domp f q le domaine de la fonction. Remarquez que le domaine de la fonction est un sous-ensemble de l’ensemble de départ. On note B l’ensemble d’arrivée et Imp f q l’image de la fonction. L’image de la fonction est un sous-ensemble de l’ensemble d’arrivée.

Pour voir la différence entre l’ensemble de départ et le domaine d’une ? fonction, considérons la fonction f : R Ñ R définie par f pxq “ x, telle qu’illustrée dans la figure 5.3. L’ensemble de départ de la fonction est tout l’ensemble des nombres réels, mais seulement les nombres réels non négatifs sont permis comme entrées de la fonction, puisque ? la fonction x n’est pas définie pour les nombres négatifs. Le domaine de la fonction n’est donc formé que des nombres réels non négatifs : Domp f q “ R` “ tx P R | x ě 0u. Connaître le domaine d’une fonction est essentiel pour pouvoir l’utiliser correctement. Chaque fois que vous utiliserez la fonction racine carrée, je veux que vous preniez le temps de vous assurer que la valeur d’entrée de la fonction est bien un nombre non négatif. Ne vous en faites pas trop pour l’expression entre les accolades qui a l’air compliquée et utilise des symboles extraterrestres. Ce n’est qu’une notation mathématique (appelée notation ensembliste) que l’on utilise pour définir de façon précise l’ensemble des nombres non négatifs. Écrite avec des mots, l’expression tx P R | x ě 0u devient « tout les nombres réels x supérieurs ou égaux à zéro » ce qui serait plus long et ennuyeux à écrire. Nous discuterons de la notation ensembliste avec plus de détails dans le chapitre 8 ; l’usage des accolades dans ce chapitre n’est qu’un teaser. Pour comprendre la différence entre l’ensemble d’arrivée et l’image d’une fonction, on peut regarder la fonction f pxq “ x2 qui est montrée dans la figure 5.4. Le domaine de cette fonction est R : les entrées de la fonction sont des nombres réels et tout nombre réel peut être une entrée. L’ensemble d’arrivée de la fonction est R, mais tous les nombres réels ne sont pas des sorties possibles. L’image de la fonc-

5.1 LES FONCTIONS f pxq “

R R`

?

69

x

R R`

f

?

x

x

F IGURE ? 5.3 Illustration des ensembles d’entrée et de sortie de la fonction f pxq “ x. Le domaine de la fonction f est l’ensemble des nombres réels non négatifs R` . Son image est aussi R` .

tion f pxq “ x2 n’est formée que des nombres réels non négatifs R` “ ty P R | y ě 0u, puisque on a f pxq ě 0 pour toutes les entrées x. R R

f pxq “ x2 f

x

´x

f

R R` x2

F IGURE 5.4 La fonction f pxq “ x2 est définie pour tous les nombres réels : Domp f q “ R. L’image de la fonction est l’ensemble de nombres réels non négatifs : Imp f q “ R` . La fonction f n’est pas injective puisqu’elle envoie les entrées x et ´x sur la même sortie f pxq. La fonction f n’est pas surjective puisque l’image de la fonction (Imp f q “ R` ) n’est pas égale à son ensemble d’arrivée (B “ R).

Propriétés des fonctions Donnons trois définitions de propriétés importantes des fonctions : — Une fonction est injective si elle envoie deux entrées différentes sur deux sorties différentes. Si x1 et x2 sont deux valeurs d’entrée différentes, x1 ‰ x2 , alors si la fonction f est injective on a aussi f px1 q ‰ f px2 q.

— Une fonction est surjective si l’image de la fonction est égale à l’ensemble d’arrivée de la fonction. Pour tout y dans l’ensemble

70

FONCTIONS

d’arrivée d’une fonction surjective, il existe au moins un x dans son domaine tel que f pxq “ y. En d’autres termes, une fonction est surjective si elle recouvre tout l’ensemble d’arrivée. — Une fonction est bijective si elle est injective et surjective. Je sais que ça fait beaucoup de définitions et de terminologies, mais il est important de connaître les définitions de ces propriétés des fonctions et leurs noms. Nous en aurons besoin en particulier pour bien comprendre le concept de fonction inverse, qui est l’un des plus fondamentaux en maths. Fonctions injectives On peut penser à une fonction injective comme un transport de fluide qui ne peut pas être comprimé. Un fonction injective prend deux points distincts dans son domaine et les envoie à deux points distincts dans son image. En revanche, si la fonction n’est pas injective elle peut envoyer plusieurs entrées différentes sur la même sortie. La fonction f pxq “ x2 n’est pas injective puisque les entrées x et ´x sont envoyées sur la même valeur de sortie f pxq “ f p´xq “ x2 (voir la figure 5.4). La propriété des fonctions injectives d’envoyer des entrées différentes sur des sorties différentes peut être exprimée d’une autre façon : pour toute sortie y d’une fonction injective, il n’y a qu’une seule entrée x telle que f pxq “ y. S’il existait une deuxième entrée x1 qui donnerait la même sortie f pxq “ f px1 q “ y, alors la fonction f ne serait pas injective. Fonctions surjectives Une fonction est surjective si ses valeurs de sortie « couvrent » tout son ensemble d’arrivée. L’image de la fonction est égale à son ensemble d’arrivée. Par exemple, la fonction f : R Ñ R définie par f pxq “ x3 est surjective, puisque pour chaque nombre y de l’ensemble d’arrivée R, il y a un nombre x tel que f pxq “ y. Spé? cifiquement, le nombre x est la racine cubique x “ 3 y. L’image de la fonction f pxq “ x3 est l’ensemble des nombres réels, Imp f q “ R, tel qu’illustré dans la figure 5.5. En revanche, la fonction f : R Ñ R définie par f pxq “ x2 n’est pas surjective puisque son image n’est formée que des nombres non négatifs R` ce qui ne couvre pas tous les nombres réels. Référez vous à la figure 5.4. Les nombres négatifs de l’ensemble d’arrivée R ne sont pas « atteints » par cette fonction, parce qu’il n’y pas de nombres réel x que l’on puisse utiliser comme entrée pour obtenir une valeur de sortie négative. Fonctions bijectives Les fonctions bijectives sont celles qui sont à la fois injectives et surjectives. Une fonction bijective définit une cor-

5.1 LES FONCTIONS R R

f pxq “ x3

71 R R

f x

x3

F IGURE 5.5 L’image de la fonction f pxq “ x3 est égale à son ensemble d’arrivée, Imp f q “ R, donc la fonction f est surjective. La fonction f envoie deux entrées différentes x1 ‰ x2 sur des sorties différentes f px1 q ‰ f px2 q, donc f est une fonction injective. Puisque f est injective et surjective, elle est bijective.

respondance biunivoque entre les valeurs de l’ensemble de départ A et les valeurs de l’ensemble d’arrivée B : pour chaque valeur d’entrée x, il y a exactement une valeur de sortie correspondante y et pour chaque valeur de sortie y, il y a exactement une valeur d’entrée x telle que f pxq “ y. La fonction f : R Ñ R définie par f pxq “ x3 est un exemple de fonction bijective (voir la figure 5.5). Pour chaque entrée x de l’ensemble de départ R, la sortie correspondante y est donnée par y “ f pxq “ x3 . Chaque valeur y dans l’ensemble d’arrivée R est une valeur de sortie et la valeur d’entrée correspondante x est donnée ? par x “ 3 y. Une fonction n’est pas bijective s’il lui manque une ou deux des propriétés requises. Un?exemple de fonction de R dans R qui n’est pas bijective est f pxq “ x, qui n’est pas surjective. Un autre exemple serait la fonction f pxq “ x2 , qui n’est ni injective ni surjective. Remarquons que les propriétés injectives et surjectives dépendent du choix des ensembles de départ et d’arrivée. Par exemple la fonction f pxq “ x2 est surjective lorsqu’on prend R` comme espace d’arrivée et injective si on prend R` comme espace de départ. Donc la fonction de R` dans R` définie par f pxq “ x2 est bijective. Nous reviendrons sur cette question dans la section suivante. Nombre de solutions Une autre façon de comprendre les propriétés injectives, surjectives et bijectives des fonctions est de penser aux solutions de l’équation f pxq “ b, où b est un nombre de l’ensemble d’arrivée B. La fonction f est injective si l’équation f pxq “ b a au plus une solution pour chaque nombre b. La fonction f est surjective si l’équation f pxq “ b a au moins une solution pour tout nombre b. Pour une fonction f bijective, l’équation f pxq “ b a une solution et une seule .

72

FONCTIONS

Fonction inverse Nous avons utilisé les fonctions inverses à plusieurs reprises dans les chapitres précédents en les décrivant à chaque fois de manière informelle. Maintenant que nous avons vu ce que sont les fonctions bijectives, nous pouvons donner la définition précise d’une fonction inverse et expliquer certains détails que nous avons ignorés plus tôt. Rappelons que les fonctions bijectives établissent des correspondances biunivoques entre leurs domaines et leurs images : pour chaque valeur de sortie y il y a exactement une valeur d’entrée x qui lui correspond. Cela veut dire que nous pouvons partir de n’importe quelle valeur de sortie y et trouver l’unique valeur d’entrée x qui l’a produite, ce qui nous amène au concept de fonction inverse. Pour toute fonction bijective f on peut définir la fonction inverse f ´1 qui agit par : f ´1 pyq “ x pour chaque y “ f pxq. A

B f f pxq

x f ´1

F IGURE 5.6 La fonction inverse f ´1 produit l’action en sens inverse de l’action produite par la fonction f .

Étant donnée une fonction bijective f : A Ñ B, il existe une fonction inverse f ´1 : B Ñ A, qui effectue l’application inverse de f . Si vous partez d’un certain x, vous lui appliquez f et si vous appliquez f ´1 au résultat, vous allez retourner à l’entrée originale x : ` ˘ f ´1 f pxq “ x.

Dans la figure 5.6 la fonction f est représentée par une flèche dans le sens direct et la fonction inverse f ´1 est représentée par une flèche en sens inverse qui renvoie la valeur f pxq vers le x d’où il vient. Nous pouvons aussi partir de n’importe quel y de l’ensemble B et appliquer la fonction f ´1 suivie de la fonction f pour revenir à la valeur y à partir de laquelle nous avons commencé : ` ˘ f f ´1 pyq “ y.

Cette équation nous dit que f est la fonction inverse de f ´1 , de la même manière que f ´1 est la fonction inverse de f . Une fonction n’est pas bijective si elle échoue sur un des deux critères requis (propriétés injective et surjective) et dans ce cas là on

5.1 LES FONCTIONS

73

ne peut pas définir de fonction inverse. Sans la propriété injective, il pourrait y avoir deux entrées x et x1 qui produisent la même sortie f pxq “ f px1 q “ y et, dans ce cas, calculer f ´1 pyq serait impossible puisque nous ne saurons pas si x ou x1 a été utilisée pour produire la sortie y. Sans la propriété surjective, il pourrait y avoir une sortie y1 dans B pour laquelle la fonction inverse f ´1 n’est pas définie, et donc l’équation f p f ´1 pyqq “ y ne serait pas vraie pour tout y dans B. La fonction inverse f ´1 n’existe que lorsque la fonction f est bijective. Là, attendez une minute ! La fonction f pxq “ x2 n’est pas bijective et n’a donc pas d’inverse, mais nous avons utilisé la fonction ? f ´1 pyq “ y à plusieurs reprises comme si elle était la fonction inverse de f pxq “ x2 . Qu’est-ce qui se passe ici ? Est-ce que nous utilisons un double standard comme les politiciens qui adoptent publiquement un ensemble de règles, mais suivent un ensemble de règles différent dans leurs affaires privées. Est-ce qu’il y de la corruptions en maths aussi ? Ne vous inquiétez pas — tout est légitime. Nous pouvons utiliser des inverses pour des fonctions non bijectives en imposant des restrictions sur les ensembles de départ et d’arrivée. La fonction f pxq “ x2 n’est pas bijective quand on la définit comme une fonction du type f : R Ñ R, mais si on la définit comme une fonction du type f : R` Ñ R` alors elle est une fonction bijective. La restriction de l’ensemble de départ aux nombres non négatifs rend la fonction injective, et la restriction sur l’ensemble d’arrivée rend la fonction surjective. La fonction f : R` Ñ R` définie par l’équation f pxq “ x2 est ? bijective et son inverse est f ´1 pyq “ y. Il faut garder en tête les restrictions sur les ensembles d’entrée et de sortie pour les fonctions lors de la résolution d’équations. Par exemple, pour trouver x dans l’équation x2 “ c, nous pouvons nous restreindre aux solutions non négatives et utiliser la fonction inverse ? ? f ´1 pyq “ y pour obtenir la solution x “ c. Ensuite, nous devons ? ajouter manuellement?la solution? négative x “ ´ c afin d’obtenir ? les deux solutions : x “ c et x “ ´ c, ce qui s’écrit aussi x “ ˘ c. La possibilité de solutions multiples est présente chaque fois que nous résolvons des équations impliquant des fonctions non injectives.

Fonctions composées Nous pouvons combiner deux fonctions pour construire une fonction plus compliquée. Appliquer une fonction après une autre s’appelle composer les fonctions. Considérons par exemple la composition de : g : A Ñ B suivi de f : B Ñ C.

74

FONCTIONS

D’abord, la fonction g : A Ñ B agit sur une entrée x pour donner une valeur intermédiaire y “ gpxq dans l’ensemble B. La valeur intermédiaire y sert ensuite d’entrée pour la fonction f : B Ñ C qui donne la sortie finale z “ f pyq “ f pgpxqq dans l’ensemble C. La fonction composée, notée f ˝ g est définie par la formule f ˝ g pxq “ p f ˝ gqpxq “ f pgpxqq. La figure 5.7 illustre ce concept. Notez que la fonction f ˝ g est du type f ˝ g : A Ñ C.

A

f og x

g

z “ f pgpxqq

C

f

y “ gpxq

B

F IGURE 5.7 La fonction composée f ˝g décrit la combinaison lorsqu’on applique d’abord la fonction g puis ensuite la fonction f , f ˝ g pxq “ f pgpxqq.

Ne vous inquiétez pas trop du symbole « ˝ » qui n’est qu’une notation mathématique commode. Écrire f ˝ g pxq est la même chose qu’écrire f pgpxqq. La chose importante qu’il faut retenir de la figure 5.7 est que les fonctions peuvent être combinées en utilisant la sortie d’une fonction comme entrée pour la suivante. C’est une idée très utile pour construire des modèles mathématiques. Vous pouvez comprendre beaucoup de transformations entrée-sortie compliquées en les décrivant comme des compositions de fonctions simples. Exemple 1 Considérons la fonction g : R` Ñ R` définie par gpxq “ ? x et la fonction f : R Ñ R` définie par f pxq “ x2 . La fonction composée f ˝ g est définie pour les réels non négatifs et on a f ˝ g pxq “ ? p xq2 “ x. La fonction ? composée g ˝ f est définie pour tout les réels, et on a g ˝ f pxq “ x2 “ |x|. Exemple 2 En général les fonctions f ˝ g et g ˝ f n’ont rien à voir. Si gpxq “ lnpxq et f pxq “ x2 , la fonction g ˝ f pxq “ lnpx2 q et la fonction f ˝ g pxq “ pln xq2 ont des domaines différents et produisent des valeurs de sortie différentes, comme vous pourrez le vérifier à l’aide d’une calculatrice. En utilisant la notation « ˝ » pour la composition des fonctions, on peut décrire de façon très compacte les propriétés d’une fonction

5.1 LES FONCTIONS

75

bijective f : A Ñ B et de sa fonction inverse f ´1 : B Ñ A : p f ´1 ˝ f qpxq “ x

et

p f ˝ f ´1 qpyq “ y,

pour tout x dans A et tout y dans B.

Noms des fonctions Nous utilisons des signes comme `, ´, ˆ et ˜ pour écrire la plupart des fonctions importantes que l’on emploie ? dans la vie de tous les jours. Nous employons aussi la notation n x pour la racine nème du nombre x et la notation x n pour les exposants. Les autres fonctions sont identifiées par leurs noms. On écrit « cos 60 » pour désigner la valeur de sortie de la fonction cosinus pour l’entrée 60. La fonction cosinus est une fonction qui donne le rapport de la longueur d’un côté d’un triangle rectangle à celle de l’hypoténuse. La fonction cosinus a une valeur de sortie sympathique pour cette valeur spécifique de l’angle en degrés : cos 60˝ “ 12 . Donc si l’on voit cos 60˝ quelque part dans une équation, c’est la même chose que si l’on voyait 12 . Pour trouver d’autres valeurs de la fonction, cos 33˝ par exemple, il vous faudra une calculatrice. Toutes les calculatrices scientifiques ont un bouton cos précisément pour faire ce calcul.

Comprendre les fonctions Pour « connaître » une fonction, il faut apprendre quelles sont les différentes « poignées » par lesquelles on peut la « saisir ». La poignée principale pour saisir une fonction est sa définition qui vous dit de façon précise comment calculer la sortie f pxq quand vous connaissez l’entrée x. Il existe d’autres poignées tout aussi importantes. Discutons maintenant des trois façons les plus utiles de connaître une fonction. Table de valeurs entrée-sortie Une façon simple de comprendre ce que fait une fonction est de construire une liste de valeurs d’entrée-sortie pour la fonction : tentrée “ x1 , sortie “(f px1 qu, tentrée “ x2 , sortie “ f px2 qu, tentrée “ x3 , sortie “ f px3 qu, . . . . Une notation plus compacte pour les paires de valeurs d’entrée-sortie est tpx1 , f px1 qq, px2 , f px2 qq, px3 , f px3 qq, . . . u, ou le premier nombre de chaque couple représente une valeur d’entrée et le second représente la valeur de sortie donnée par la fonction. On peut aussi construire une table de valeurs en écrivant les valeurs d’entrée dans une colonne et en enregistrant dans une seconde

76

FONCTIONS

colonne la sortie correspondante. On peut choisir les nombres d’entrée au hasard ou choisir des valeurs remarquables du domaine de la fonction. entrée “ x

Ñ

f pxq “ sortie

55

Ñ

f p55q

0 1

x4

Ñ Ñ Ñ

f p0q f p1q

f px4 q

TABLE 5.1 Table des valeurs entrée-sortie de la fonction f pxq. Les valeur d’entrée x “ 0, x “ 1 et x “ 55 ont été choisies pour « tester » la fonction et voir ce qu’elle fait.

Vous pouvez créer une table de valeurs pour toute fonction f que vous voulez mieux connaître. Suivez l’exemple montré dans la table 5.1. Utilisez les valeurs d’entrée qui vous intéressent et remplissez le coté droit de la table en calculant la valeur de f pxq pour chaque entrée x. Graphe de la fonction Un des meilleurs moyens pour connaître une fonction est de regarder son graphe. Le graphe d’une fonction est une ligne tracée sur une feuille de papier qui passe par tous les couples entrée-sortie de la fonction. Imaginez que vous ayez une feuille de papier sur laquelle vous avez préparé un plan cartésien comme montré dans la figure 5.8. L’axe horizontal, en général appelé axe des abscisses, est utilisé pour porter x. L’axe vertical généralement appelé axe des ordonnées sert à porter f pxq. Comme il est long et fastidieux d’écrire f pxq à chaque fois pour désigner la valeur de sortie de f , nous utiliserons souvent l’alias y défini par y “ f pxq. Pensez à chaque couple d’entréesortie de la fonction f comme à un point px, yq dans le plan cartésien. Le graphe d’une fonction est un dessin qui représente tout ce que fait la fonction. Si vous savez à quoi ressemble ce dessin, vous savez tout ce qu’il y a à savoir sur la fonction. Propriétés de la fonction Une autre façon de comprendre une fonction est de connaître ses propriétés. Cette approche revient à apprendre comment la fonction est reliée aux autres fonctions. Un exemple de relation mathématique

5.1 LES FONCTIONS

77

y 2

1

x ´4

´3

´2

´1

0

1

2

3

4

´1 ´2

F IGURE 5.8 Un plan cartésien px, yq que vous pouvez utiliser pour tracer le graphe de toute fonction f : R Ñ R. Le graphe de f est formé de tous les points de coordonnés px, yq “ px, f pxqq. Voir la figure 4.4 à la page 64 pour le graphe de la fonction f pxq “ x2 . log pxq

est l’équation logB pxq “ log bpBq , qui indique un lien entre la fonction b logarithmique en base B et la fonction logarithmique en base b. Plus vous en saurez au sujet d’une fonction, plus votre esprit construira de « chemins » reliés à cette fonction. Les vraies connaissances en maths ne s’appuient pas sur la mémorisation de procédures préfabriquées, mais plutôt en établissant un réseau d’associations entre différentes zones de connaissances dans votre cerveau. Voir les cartes conceptuelles sur les pages iii et iv pour une visualisation des multiples chemins entre les concepts mathématiques. La pensée mathématique est l’utilisation de ces chemins pour construire des raisonnements mathématiques. Par exemple, connaître la relation entre les fonctions logarithmiques vous permettra de calculer la valeur de log7 pe3 q, même si votre calculatrice n’a pas de bouton pour les logarithmes en base 7. On obtient log7 pe3 q “

ln e3 ln 7

“

3 ln 7 ,

ce qui

peut être calculé en utilisant le bouton ln de la calculatrice. Pour développer ses aptitudes en maths il est essentiel de s’entraîner à traverser les passages entre les concepts en résolvant des exercices. Avec ce livre, je vous présenterai quelques uns des nombreux chemins reliant les concepts en math, mais il vous revient de renforcer vos connaissances en utilisant ce que vous avez appris en vous entraînant à résoudre des problèmes. Exemple 3 Considérons la fonction f de l’ensemble des nombre réels vers l’ensemble des nombres réels ( f : R Ñ R) définie par l’équation f pxq “ x2 ` 2x ´ 3. La valeur de sortie de f quand x “ 1

78

FONCTIONS

est f p1q “ 12 ` 2p1q ´ 3 “ 0. Quand x “ 2, la sortie est f p2q “ 22 ` 2p2q ´ 3 “ 5. Quelle valeur prend f quand x “ 0 ? Nous pouvons utiliser les techniques de l’algèbre pour réécrire cette fonction comme f pxq “ px ` 3qpx ´ 1q, ce qui nous dit que le graphe de la fonction coupe l’axe des x en x “ ´3 et en x “ 1. Ces informations sont suffisantes pour se faire une idée du graphe de f pxq. Exemple 4 Considérons maintenant la fonction exponentielle de base 2 définie par f pxq “ 2x . La fonction est décrite par les couples d’entrée-sortie suivants : p0, 1q, p1, 2q, p2, 4q, p3, 8q, p4, 16q, p5, 32q, p6, 64q, p7, 128q, p8, 256q, p9, 512q, p10, 1024q, p11, 2048q, p12, 4096q, etc. Cette fonction joue un rôle crucial dans les systèmes informatiques. Lorsqu’on élève un nombre quelconque à la puissance 0 on obtient 1, c’est une condition nécessaire pour que a x`y “ a x ay quand y “ 0. Par conséquent toute fonction exponentielle passe par le point p0, 1q. Rappelons aussi que les exposants négatifs donnent des puissances de l’inverse, on a donc aussi p´1, 12 q, p´2, 41 q, p´3, 18 q, etc. On peut tracer tous ces points px, f pxqq dans le plan cartésien pour obtenir le graphe de la fonction.

Discussion Nous définissons les fonctions en utilisant des équations f pxq “ « expression en x ». Puisque les fonctions sont définies à l’aide d’équations, on pourrait se demander si les fonctions et les équations sont les mêmes choses ? Prenons le temps de regarder d’un peu plus près. En général, toute équation contenant deux variables décrit une relation entre ces variables. Par exemple, l’équation x ´ 3 “ y ´ 4 décrit une relation entre les variables x et y. On peut isoler la variable y dans cette équation pour obtenir y “ x ` 1 et ainsi trouver la valeur de y quand la valeur de x est donnée. On peut aussi isoler x pour obtenir x “ y ´ 1 et utiliser cette équations pour trouver x quand la valeur de y est donnée. Dans le contexte d’une équation, la relation entre les variables x et y est symétrique et on n’attache pas de signification particulière aux deux variables. On peut aussi décrire la relation entre x et y comme une fonction f : R Ñ R. Nous choisissons d’identifier x avec les valeurs d’entrée et y avec les valeurs de sortie d’une fonction f . Ayant identifié y avec la variable de sortie, on peut interpréter l’équation y “ x ` 1 comme la définition de la fonction f pxq “ x ` 1. Notez que l’équation x ´ 3 “ y ´ 4 et la fonction f pxq “ x ` 1 décrivent la même relation entre les variables x et y. Par exemple, si on fixe la valeur x “ 5 on peut trouver la valeur de y en résolvant l’équation 5 ´ 3 “ y ´ 4 pour obtenir y “ 6, ou en calculant la

5.2 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

79

sortie de la fonction f pxq pour l’entrée x “ 5, ce qui nous donne la même réponse f p5q “ 6. Nous arrivons à la même réponse dans les deux cas, mais la modélisation de la relation entre x et y en tant que fonction nous permet d’utiliser tous les concepts de la boîte à outils des fonctions, comme la composition des fonctions, les fonctions inverses et l’analyse du domaine et de l’image des fonctions. *** Dans cette section nous avons parlé des fonctions en général mais nous n’avons pas dit grand chose d’aucune fonction particulière. En maths il y a beaucoup de fonctions utiles et ici nous ne pouvons pas parler de toutes en détail. Dans la section suivante nous présenterons 10 fonctions d’importance stratégique pour comprendre les sciences. Si vous êtes familier avec ces fonctions, vous pourrez aborder avec succès la physique, le calcul différentiel et intégral, la biologie, la chimie et tous les autres domaines des sciences. Connaître les fonctions vous permettra d’aborder n’importe quel problème mathématique que votre professeur pourrait vous poser.

5.2

Fonctions de référence

Votre vocabulaire au sujet des fonctions détermine la qualité de la façon dont vous vous exprimez en maths exactement comme votre vocabulaire en français détermine la qualité de la façon dont vous vous exprimez en français. Les pages qui suivent visent à renforcer votre vocabulaire sur les fonctions, ce qui vous aidera dans toutes les taches de modélisation et de résolution de problèmes que vous rencontrerez dans les examens et dans la vie courante. Si c’est la première fois que vous rencontrez ces fonctions, ne vous embêtez pas à essayer de vous souvenir de tous les résultats et de toutes les propriétés à la première lecture. Nous utiliserons ces fonctions dans toute la suite du livre et vous aurez largement le temps de vous familiariser avec elles. Vous pouvez revenir à cette section si vous êtes bloqué par quelque chose au sujet d’une fonction.

80

FONCTIONS

Pour acquérir une intuition mathématique, il est essentiel de comprendre les graphes des fonctions. Essayer de mémoriser les définitions et les propriétés des fonctions est une tâche ardue, mais se souvenir de ce à quoi le graphe « ressemble » est beaucoup plus facile. La figure 5.9 montre les graphes de neuf des fonctions les plus importantes que nous utiliserons dans ce livre.

3

y

5

2 1 0 ´1

x 2

1

3

4

5 ´3 ´2

f pxq “ 2x ´ 3

5

(d)

(b)

y

3

2

2

0

x 1

2

3

1 0

f pxq “ x2

x 1

y

3

4

2

3

1

2

2

0

1

x 1

2

´3 ´2

3

(e)

f pxq “ |x| y

x 1

2

3

f pxq “ e x

3

0 ´1

(f)

y

1

2

3

´3 ´2

´2

f pxq “ sin x

0 ´1

5

?

6

x

y

x 2

1

3

4

5

f pxq “ lnpxq y

2 1

x 1

2

3

´3 ´2

f pxq “ cos x

0 ´1

x 1

2

3

´2

´2

(h)

4

f pxq “

3

1

x

3

´2

2

1 0 ´1

0

2

(c)

3

2

(g)

4

3

y

4

3

´3 ´2

4

5

1 ´3 ´2

5

1

´2

(a)

y

(i)

f pxq “ tan x

F IGURE 5.9 Exemples de graphes de fonctions que nous allons voir dans les sections suivantes.

5.2 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

81

Droite L’équation d’une droite est : f pxq “ mx ` b.

La constante m donne la pente de la droite. La constante b est l’ordonnée à l’origine : c’est la valeur de la fonction en x “ 0. y 4

2 p 32 , 0q ´10

´8

´6

´4

´2 p0, ´3q

0

2

4

x 6

8

10

´2 ´4

F IGURE 5.10 Le graphe de la fonction f pxq “ 2x ´ 3. La pente de la droite est m “ 2, son ordonnée à l’origine est b “ ´3.

Propriétés — Domaine : R — Image : R si m ‰ 0. Si m “ 0 la fonction est constante f pxq “ b, l’image est réduite au seul nombre tbu. — y “ b : l’ordonnée à l’origine de la droite est l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des y. — x “ ´b{m : le zéro de la droite s’obtient en résolvant f pxq “ 0. C’est l’abscisse du point où la droite coupe l’axe des x. — La fonction inverse de f pxq “ mx ` b est f ´1 pxq “ qui est encore l’équation d’une droite.

1 m px

´ bq,

Équation générale Une droite peut aussi être décrite par une relation symétrique, Ax ` By “ C,

qui est connue comme l’équation générale d’une droite. L’équation générale de la droite représentée à la figure 5.10 est 2x ´ 1y “ 3, c’est à dire 2x ´ y “ 3. Étant donnée l’équation d’une droite sous forme générale Ax ` By “ C, avec B ‰ 0, vous pouvez obtenir l’équation de la forme y “ f pxq “ mx ` b en remarquant que b “ CB et m “ ´BA .

82

FONCTIONS

Valeur absolue La fonction valeur absolue nous dit la grandeur du nombre sans tenir compte du fait qu’il est positif ou négatif. On calcule la valeur absolue d’un nombre en ignorant son signe. La valeur absolue d’un nombre est sa distance à l’origine sur la droite numérique. Une autre façon de penser à la fonction valeur absolue consiste à dire qu’elle multiplie les nombres négatifs par ´1 pour « effacer » leur signe moins : " x si x ě 0, f pxq “ |x| “ ´x si x ă 0. Graphe y 4

f pxq “ |x|

3

2

1

x ´4

´3

´2

´1

0

1

2

3

4

F IGURE 5.11 Le graphe de la fonction valeur absolue f pxq “ |x|.

Propriétés — Domaine : R. — Image : R` “ ty P R | y ě 0u. La sortie |x| est toujours un nombre non négatif. — La composition de l’élévation au carré suivie de l’extraction de ? 2 la racine carrée donne la fonction valeur absolue, x “ |x|, puisque l’élévation au carré détruit le signe. Notez l’expression ty P R | y ě 0u que nous utilisons pour définir les nombres réels non négatifs (R` ) se lit « l’ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à zéro ».

5.2 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

83

Fonction du second degré La fonction x au carré (ou x à la puissance deux) est parfois appelée « fonction quadratique ». La formule est f pxq “ x2 . Le nom de carré vient de ce que x2 est l’expression de la surface d’un carré de côté x. 5

(-2, 4)

y (2, 4)

4

f pxq “ x2

3

2

(-1, 1)

1

(1, 1)

x ´4

´3

´2

´1

0

1

2

3

4

F IGURE 5.12 Graphe de la fonction f pxq “ x2 . Le graphe de la fonction passe par les points de coordonnées px, yq suivants : p´2, 4q, p´1, 1q, p0, 0q, p1, 1q, p2, 4q, p3, 9q, etc.

Propriétés — Domaine : R. La fonction f pxq “ x2 admet comme entrée tout les nombres réels. — Image : R` “ ty P R | y ě 0u. Les sorties ne sont jamais négatives puisque x2 ě 0, pour tout x réel.

— f pxq “ x2 est « deux à un » : elle envoie x et ´x tous les deux sur la même valeur de sortie x2 “ p´xq2 .

— En revanche si on restreint l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée de la fonction aux nombres non négatifs, alors la fonction f : R` Ñ R`?devient bijective et son inverse est la fonction racine carrée x. — La fonction carré est convexe ; son graphe est ouvert vers le haut. — La forme de ce graphe est appelée parabole. Nous discuterons des propriétés géométriques des paraboles dans la section 6.6.

84

FONCTIONS

Racine carrée La fonction racine carrée est notée ? 1 f pxq “ x “ x 2 . ? 2 La racine carrée, x, est la ? fonction inverse de la fonction carré2x de R` sur R` . La notation c représente la solution positive de x “ c. ? Remarquons que ´ c est aussi une solution de x2 “ c. Graphe 5

y

f pxq “

?

x p16, 4q

4

3

p9, 3q

2

p4, 2q

1

0

p1, 1q 1

2

x 3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

?

F IGURE 5.13 Le graphe de la fonction f pxq “ x. Le domaine de la fonction est R` . On ne peut pas prendre la racine carrée d’un nombre négatif.

Propriétés

? — Domaine : R` “ tx P R | x ě 0u. La fonction f pxq “ x n’admet que des entrées non négatives x ě 0. Il n’y a pas de nombre réel? y tel que y2 soit négatif, donc les entrées de la fonction f pxq “ x sont non négatives. — Image : ? R` “ ty P R | y ě 0u. Les ? sorties de la fonction f pxq “ x ne sont jamais négatives : x ě 0, pour tout x de son domaine. ? En plus de la racine carrée, il y a aussi la racine cubique f pxq “ 3 x, qui est la fonction inverse de f pxq “ x3 . Notez que pour la racine cubique, les nombres négatifs sont permis comme entrées et donc le domaine contient tous les nombres réels (voir la figure 5.5 en page 71). ? Plus généralement on peut définir la fonction racine?nème n x comme la fonction inverse de x n . Le domaine de f pxq “ n x est soit R` soit R suivant que n est pair ou impair.

5.2 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

85

Polynômes Les polynômes sont des fonctions très utiles. Par exemple, les polynômes du second degré de la forme f pxq “ ax2 ` bx ` c apparaissent souvent dans la description de phénomènes physiques. L’équation générale d’une fonction polynomiale de degré n s’écrit : f pxq “ a0 ` a1 x ` a2 x2 ` a3 x3 ` ¨ ¨ ¨ ` an x n . Les constantes ai sont appelées les coefficients du polynôme. On utilise souvent des surnoms plus courts pour les polynômes de petit degré : on appelle les expressions du type a0 ` a1 x « binômes du premier degré » et les expressions du type a0 ` a1 x ` a2 x2 « trinômes du second degré » parce que ce sont des expressions à deux et trois termes, respectivement. Paramètres — x : la variable — a0 : le terme constant — a1 : le coefficient du terme du premier degré — a2 : le coefficient du terme carré ou du second degré — a3 : le coefficient du terme cubique ou du troisième degré — an : le coefficient du terme de degré n — n : le degré du polynôme. Le degré est la plus haute puissance de x qui apparaît dans le polynôme. Un polynôme de degré n a n ` 1 coefficients : a0 , a1 , a2 , . . . , an . Propriétés — Domaine : R. — L’image d’une fonction polynomiale dépend des coefficients. — Les racines de f pxq sont les valeurs de x pour lesquelles f pxq “ 0. — La somme de deux polynômes est encore un polynôme. Le polynôme du premier degré le plus général est l’équation de la droite f pxq “ mx ` b, où m et b sont des constantes arbitraires. Le polynôme du second degré le plus général est f pxq “ a2 x2 ` a1 x ` a0 , où de nouveau a0 , a1 , et a2 sont des constantes arbitraires. On appelle ak le coefficient de x k , puisque c’est le nombre par lequel x k est multiplié. D’après ce schéma, un polynôme du troisième degré pourra

86

FONCTIONS

s’écrire comme f pxq “ a3 x3 ` a2 x2 ` a1 x ` a0 . Plus généralement un polynôme de degré n sera de la forme f pxq “ an x n ` an´1 x n´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a2 x2 ` a1 x ` a0 . On peut ajouter deux polynômes en ajoutant entre eux leurs coefficients : f pxq ` gpxq “ pan x n ` ¨ ¨ ¨ ` a1 x ` a0 q ` pbn x n ` ¨ ¨ ¨ ` b1 x ` b0 q “ pan ` bn qx n ` ¨ ¨ ¨ ` pa1 ` b1 qx ` pa0 ` b0 q.

La soustraction de deux polynômes se fait de façon analogue. Nous pouvons aussi multiplier les polynômes entre eux en utilisant les règles générales de l’algèbre pour développer les parenthèses.

Résolution des équations polynomiales En maths, vous aurez très souvent à résoudre des équations polynomiales de la forme Apxq “ Bpxq,

où Apxq et Bpxq sont tous deux des polynômes. Rappelons que d’après ce que nous avons étudié, pour résoudre nous devons trouver les valeurs de x pour lesquelles l’équation est vraie. Supposons que le revenu de votre compagnie soit une fonction du nombre x de produits vendus et puisse s’exprimer par Rpxq “ 2x2 ` 2x. Supposons aussi que le coût qu’on subit pour produire x objets soit Cpxq “ x2 ` 5x ` 10. Vous voulez déterminer la quantité de produits que vous devez fabriquer pour atteindre le seuil de rentabilité, c’est à dire pour que le revenu soit égal au coût : Rpxq “ Cpxq. Pour trouver le nombre x qui correspond au seuil de rentabilité il faut résoudre l’équation 2x2 ` 2x “ x2 ` 5x ` 10. Ceci peut sembler compliqué puisqu’il y a des x partout. Pas de souci ! On peut mettre l’équation sous sa « forme standard » et utiliser la formule quadratique pour la résoudre. D’abord, faisons passer tous les termes d’un même côté jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un zéro de l’autre côté : 2x2 ` 2x ´ x2 “ x2 ` 5x ` 10 ´ x2  ` 10 ´   x2 ` 2x ´ 5x “  5x 5x  x2 ´ 3x ´ 10 “  1 0 ´ 10 x2 ´ 3x ´ 10 “ 0.

5.2 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

87

Rappelez vous que si l’on effectue les mêmes opérations des deux côtés du signe “, l’équation qui en résulte aura les mêmes solutions. Par conséquent les valeurs de x qui satisfont x2 ´ 3x ´ 10 “ 0, à savoir x “ ´2 et x “ 5, satisferont aussi 2x2 ` 2x “ x2 ` 5x ` 10, qui est le problème initial que nous cherchions à résoudre. Cette approche de « réarrangement des termes » marchera pour n’importe quelle équation polynomiale Apxq “ Bpxq. On peut toujours la réécrire sous la forme Cpxq “ 0, où Cpxq est un nouveau polynôme dont les coefficients sont égaux à la différence des coefficients de A et de B. Ne vous inquiétez pas du côté où vous envoyez tous les coefficients puisque Cpxq “ 0 et 0 “ ´Cpxq ont exactement les mêmes solutions. Remarquez que le degré du polynôme C ne peut pas être plus grand que les degrés de A et de B. La forme Cpxq “ 0 est la forme standard d’une équation polynomiale et nous allons donner plusieurs formules que vous pourrez utiliser pour trouver la (ou les) solution(s). Formules La formule pour résoudre l’équation polynomiale Ppxq “ 0 dépend du degré du polynôme en question. Pour une équation du premier degré P1 pxq “ mx ` b “ 0, la solution est x “ ´mb . Pour trouver x, il suffit d’envoyer b de l’autre côté et de diviser par m. Pour une équation polynomiale du second degré P2 pxq “ ax2 ` bx ` c “ 0, les solutions sont x1 “

´b `

?

b2 ´ 4ac 2a

et

x2 “

´b ´

?

b2 ´ 4ac . 2a

Si b2 ´ 4ac ă 0, ces formules nous conduiraient à prendre la racine carrée d’un nombre négatif. Dans ces cas, on dit qu’il n’existe pas de solution réelle. Il y a aussi des formules pour les polynômes de degré 3 et 4, mais elles sont compliquées. Pour les polynômes de degré ě 5, il n’existe pas de formule donnant les solutions.

88

FONCTIONS

Utiliser SymPy pour résoudre les équations Pour résoudre des problèmes posés dans les domaines du monde réel, vous rencontrerez souvent des équations très compliquées. Pour trouver la solution de quoi que ce soit de plus compliqué qu’une équation du second degré, je recommande l’emploi d’un système de calcul formel comme SymPy : http://live.sympy.org. Pour dire à SymPy de résoudre la forme standard de l’équation Cpxq “ 0, on n’a qu’à appeler la fonction solve(expr,var), où l’expression expr correspond à Cpxq, et var est la variable en laquelle on veut résoudre. Par exemple, pour résoudre x2 ´ 3x ` 2 “ 0, tapez ce qui suit : >>> solve(x**2 - 3*x + 2, x) [1, 2]

# usage: solve(expr, var)

La fonction solve trouvera les solutions de toute équation de la forme expr = 0. Dans ce cas, on voit que les solutions sont x “ 1 et x “ 2. Une autre façon de résoudre l’équation serait de factoriser le polynôme Cpxq en utilisant la fonction factor comme ceci : >>> factor(x**2 - 3*x + 2) (x - 1)*(x - 2)

# usage: factor(expr)

On voit que x2 ´ 3x ` 2 “ px ´ 1qpx ´ 2q ce qui confirme que les deux racines sont en effet x “ 1 et x “ 2. Pour en savoir plus sur SymPy, consultez l’annexe C à la page 237, qui parle de toutes les fonctions SymPy qui sont disponibles.

L’astuce de la substitution Quelquefois on peut résoudre une équation polynomiale du quatrième degré en utilisant la formule pour résoudre les équations du second degré. Supposons par exemple qu’on vous demande de trouver x l’équation : x4 ´ 7x2 ` 10 “ 0. Et encore pire que ce soit un des problèmes de votre examen où l’usage d’un ordinateur n’est pas autorisé. Comment le professeur voudrait-il que vous résolviez en x ? L’astuce est de faire la substitution y “ x2 et de réécrire l’équation sous la forme y2 ´ 7y ` 10 “ 0, que vous pouvez résoudre en appliquant la formule de résolution de l’équation du second degré (voir la section 2.2). Si vous obtenez

5.2 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

89

les solutions y “ α et y “ β, alors les solutions de?l’équation polya nomiale originale du quatrième degré sont x “ ˘ α et x “ ˘ β, puisque y “ x2 . Comme nous ne sommes pas en train de passer un examen, nous avons le droit d’utiliser un ordinateur pour trouver les racines : >>> solve(y**2 - 7*y + 10, y) [2, 5] >>> solve(x**4 - 7*x**2 + 10, x) [sqrt(2), -sqrt(2), sqrt(5), -sqrt(5)]

Remarquez que le polynôme du second degré peut avoir deux racines tandis que le polynôme de degré quatre peut en avoir jusqu’à quatre.

Fonctions paires et fonctions impaires Les polynômes forment toute une famille de fonctions. Une fonction polynomiale peut prendre de nombreuses formes différentes, suivant le choix du degré n et des coefficients a0 , a1 , . . ., an . Considérons les observations suivantes à propos des symétries des polynômes : — Si un polynôme ne contient que des puissances paires de x, comme, par exemple, f pxq “ 1 ` x2 ´ x4 , on dit que ce polynôme est pair. Pour les polynômes pairs, on a la propriété f pxq “ f p´xq. Le signe de l’entrée n’a pas d’importance.

— Si un polynôme ne contient que des puissances impaires de x, comme par exemple gpxq “ x ` x3 ´ x9 , on dit que ce polynôme est impair. Pour les polynômes impairs on a la propriété gpxq “ ´gp´xq.

— Si un polynôme a des termes pairs et aussi des termes impairs, alors il n’est ni pair ni impair. Les noms de pair et impair sont employés pour les fonctions en général et pas seulement pour les polynômes. Toutes les fonctions telles que pour tout x on ait f pxq “ f p´xq sont appelées fonctions paires. Toutes celles telles que pour tout x on ait f pxq “ ´ f p´xq sont appelées fonctions impaires.

90

FONCTIONS

Sinus La fonction sinus représente une unité fondamentale de vibration. Le graphe de sin x oscille de part et d’autre de l’axe des x qu’il traverse et ce jusqu’à l’infini. La forme du graphe de sin x correspond à la forme d’une corde vibrante. Voir figure 5.14. Dans la suite du livre, nous rencontrerons plusieurs fois la fonction sin x. Nous définirons la fonction sin x de façon plus formelle comme un rapport trigonométrique dans la section 6.2. Dans le chapitre 7 nous utiliserons sin x et cos x (un autre rapport trigonométrique) pour définir les composantes des vecteurs. Toutefois maintenant nous ne voulons pas entrer dans trop de détails sur toutes ces applications. Laissons à l’écart la discussion sur les vecteurs, les triangles et les rapports des longueurs des côtés et intéressons nous seulement au graphe de la fonction f pxq “ sin x. Graphe y

1

p π2 , 1q

f pxq “ sin x x

´2

0

´1

2

1

3

4

´1

5

p 3π 2 , ´1q

´2

6

7

2π

F IGURE 5.14 Le graphe de la fonction y “ ? sin x passe par les points? de ?

coordonnées px, yq suivants : p0, 0q, p π6 , 21 q, p π4 , ?

3 3 2 π π 2π 2 q, p 3 , 2 q, p 2 , 1q, p 3 , 2 q,

2 5π 1 p 3π 4 , 2 q, p 6 , 2 q et pπ, 0q. Pour x entre π et 2π le graphe de la fonction sin x a la même forme que entre 0 et π, mais avec des valeurs négatives.

1

y

π x

0

2

3

4

´1

F IGURE 5.15

La fonction f pxq “ sin x traverse l’axe des x lorsque x “ π.

Commençons à x “ 0 et suivons le graphe de la fonction sin x. Le graphe part du point p0, 0q et monte régulièrement jusqu’à atteindre

5.2 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

91

sa valeur maximale 1 pour x “ π2 . Ensuite la fonction redescend jusqu’à traverser l’axe des x au point d’abscisse x “ π. Après π, la fonction descend en-dessous de l’axe des x et atteint sa valeur minimale ´1 pour x “ 3π 2 . Ensuite il remonte à nouveau pour aller traverser l’axe des x en x “ 2π. Ce cycle de longueur 2π se répète après x “ 2π. C’est pourquoi on dit que la fonction est périodique — ce qui signifie que la forme du graphe se répète. y

sin x

1

x ´7π ´6π ´5π ´4π ´3π ´2π ´1π 00π

1π

2π

3π

4π

5π

6π

7π

´1

F IGURE 5.16 Le graphe de sin x de x “ 0 à x “ 2π se répète périodiquement tout au long de la droite numérique.

Propriétés — Domaine : R. La fonction f pxq “ sin x est définie pour tous les nombres réels. — Image : ty P R | ´ 1 ď y ď 1u. Les valeurs de sortie de la fonction sinus sont toujours entre ´1 and 1.

— Les zéros sont : t . . . , ´3π, ´2π, ´ π,0,π,2π,3π, . . . u. La fonction sin x s’annule en tous les x multiples de π.

— La fonction est périodique de période 2π : sin x “ sinpx ` 2πq. — La fonction sin est impaire : sin x “ ´ sinp´xq — Relation avec cos : sin2 x ` cos2 x “ 1 — Relation avec csc : csc x “

1 sin x

(csc est la cosécante)

— La fonction inverse de sin x qui s’écrit sin´1 pxq ou arcsin x, ne doit pas être confondue avec psin xq´1 “ sin1 x “ csc x.

— Le nombre sin θ est le rapport de la longueur du côté vertical à celle de l’hypoténuse dans un triangle rectangle qui a l’angle θ à sa base. Liens [ Voir cet article de Wikipédia pour ses belles illustrations ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Sinus_(mathématiques)

92

FONCTIONS

Cosinus La fonction cosinus est la même que la fonction sinus après une translation de π2 vers la gauche : cos x “ sinpx ` π2 q. Tout ce que vous savez sur la fonction sinus pourra s’appliquer à la fonction cosinus. Graphe y

f pxq “ cos x

1

p2π, 1q

x 0

´1

1

2

´1

F IGURE 5.17

3

p 3π 4 ,´

2 2 q,

6

7

8

pπ, ´1q

Le graphe de la fonction y “ cos x passe par les points ayant ? ?

les coordonnées px, yq : p0, 1q, p π6 , ?

5

4

p 5π 6 ,´

?

3 2 q

et pπ, ´1q.

3 2 q,

p π4 ,

2 2 q,

1 p π3 , 21 q, p π2 , 0q, p 2π 3 , ´ 2 q,

Considérant d’abord les valeurs non négatives de x, la fonction cosinus part de cos 0 “ 1, puis descend pour aller traverser l’axe des x au point d’abscisse x “ π2 . Le cosinus continue jusqu’à ce qu’il atteigne son minimum ´1 pour x “ π. Ensuite la fonction remonte, traversant de nouveau l’axe des x au point d’abscisse x “ 3π 2 et elle reprend sa valeur maximale 1 pour x “ 2π. Propriétés — Domaine : R — Image : ty P R | ´ 1 ď y ď 1u

π π 3π 5π — Zéros : t . . . , ´ 3π 2 , ´2, 2, 2 , 2 , ...u

— Relation avec sin : sin2 x ` cos2 x “ 1 — Relation avec sec : sec x “

1 cos x

(sec se lit sécante)

— La fonction inverse de cos x est notée cos´1 pxq ou arccos x

— La fonction cos est paire : cos x “ cosp´xq

— Le nombre cos θ est le rapport de la longueur du côté horizontal à celle de l’hypoténuse dans un triangle rectangle avec un angle θ à la base.

5.2 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

93

Tangente La fonction tangente est le rapport des fonctions sinus et cosinus : f pxq “ tan x “

sin x . cos x

Graphe y

sin x f pxq “ tan x “ cos x

3

p2π4 , 1q π 2

1

x ´3

´4

´2

0

´1

1

2

3

4

´1 ´2 ´3

F IGURE 5.18

Le graphe de la fonction f pxq “ tan x.

Propriétés p2n`1qπ

pour tout n P Zu. La fonction — Domaine : tx P R | x ‰ 2 5π tan x n’est pas définie pour les valeurs x “ π2 , x “ 3π 2 ,x “ 2 , etc., parce que cos x “ 0 pour ces valeurs et on ne peut pas diviser par zéro. — Image : R — La fonction tan est périodique et de période π. — La fonction tan « explose » aux valeurs de x pour lesquelles cos x “ 0. Les parallèles à l’axe des y en ces points sont les asymptotes du graphe. Elles sont situées en ´23π , ´2π , π2 , 3π 2 , . . .. — Valeur en x “ 0 : tan 0 “ — Valeur en x “

π 4

0 1

: tan π4 “

“ 0, parce que sin 0 “ 0.

sin π4 cos π4

“

? 2 ?2 2 2

“ 1.

— Le nombre tan θ est le rapport des longueurs du côté vertical au côté horizontal dans un triangle rectangle ayant l’angle θ à sa base.

94

FONCTIONS

— La fonction inverse de tan x est notée tan´1 pxq ou arctan x. La fonction tan´1 pxq sert à calculer l’angle à la base d’un triangle rectangle de longueur du côté ´ ¯horizontal `h et de longueur du côté vertical `v : θ “ tan´1

`v `h

.

Note aux lecteurs Ne vous en faites pas pour les détails des fonctions sin, cos et tan et leurs fonctions inverses. Le but de ce chapitre est seulement une « exposition initiale » à ces fonctions pour apprendre leur noms et voir leur graphes. Nous passerons plus de temps à les étudier dans la section 6.2.

Fonction exponentielle La fonction exponentielle de base e “ 2.7182818 . . . est notée f pxq “ e x “ exppxq. y

f pxq “ e x

4

3

p1, eq 2

1

x ´4

´3

´2

´1

0

1

2

3

4

F IGURE 5.19 Le graphe de la fonction exponentielle f pxq “ e x passe par les points suivants : p´2, e12 q, p´1, 1e q, p0, 1q, p1, eq, p2, e2 q, p3, e3 q, p4, e4 q, etc.

Propriétés — Domaine : R — Image : ty P R | y ą 0u

— f paq f pbq “ f pa ` bq puisque e a eb “ e a`b

— si a ‰ b alors e a ‰ eb , donc la fonction f pxq “ e x est injective

Une fonction exponentielle plus générale serait f pxq “ Aeγx , où A est la valeur initiale et γ (la lettre grecque gamma) est le taux de l’exponentielle. Pour γ ą 0, la fonction f pxq est croissante, comme sur

5.2 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

95

la figure 5.19. Pour γ ă 0, la fonction est décroissante et tend vers zéro pour les grandes valeurs de x. Le cas γ “ 0 est spécial puisque e0 “ 1, alors f pxq est une constante f pxq “ A. Liens [ Visualisation de la fonction exponentielle 2x (en anglais) ] http://www.youtube.com/watch?v=e4MSN6IImpI

Logarithme naturel La fonction logarithme naturel, notée f pxq “ lnpxq “ loge pxq, est la fonction inverse de l’exponentielle e x . Graphe y 1.5

1

pe, 1q

1

0.5

x 0

0.5

1

1.5

2

2.5

e

3

3.5

4

´0.5 ´1

f pxq “ lnpxq

´1.5

F IGURE 5.20 Le graphe de la fonction lnpxq passe par les points suivants : p e12 , ´2q, p 1e , ´1q, p1, 0q, pe, 1q, pe2 , 2q, pe3 , 3q, pe4 , 4q, etc.

Propriétés — Domaine : tx P R | x ą 0u — Image : R

96

FONCTIONS

Exercices E5.1 Trouvez le domaine, l’image et les zéros de f pxq “ 2 cospxq.

E5.2 Quels sont les degrés des polynômes suivants ? Sont-ils pairs, impairs ou ni l’un ni l’autre ? a) ppxq “ x2 ´ 5x4 ` 1

b) qpxq “ x ´ x3 ` x5 ´ x7

E5.3 Résoudre en x les équations polynomiales suivantes. a) 3x ` x2 “ x ´ 15 ` 2x2

5.3

b) 3x2 ´ 4x ´ 4 ` x3 “ x3 ` 2x ` 2

Transformation des fonctions

On nous demande souvent d’ajuster la forme d’une fonction en la changeant d’échelle ou en la déplaçant de façon à ce que son graphe passe par certains points. Par exemple, pour construire une fonction g ayant la même forme que la fonction valeur absolue définie par f pxq “ |x|, mais déplacée vers le haut de 3 unités de sorte que gp0q “ 3, nous devons utiliser la fonction définie par gpxq “ |x| ` 3. Dans cette section, nous allons décrire les quatre transformations de base que l’on peut faire sur toute fonction f pour obtenir une fonction transformée g : — — — —

Translation verticale : gpxq “ f pxq ` k Translation horizontale : gpxq “ f px ´ hq Changement d’échelle vertical : gpxq “ A f pxq Changement d’échelle horizontal : gpxq “ f paxq

En faisant ces transformations, on peut déplacer et étirer toute fonction pour lui donner la forme désirée. Les pages suivantes illustrent l’effet de ces transformations sur la fonction f pxq “ 6,75px3 ´ 2x2 ` xq.

En observant le graphe de cette fonction (figure 5.21), nous voyons qu’il rencontre l’axe des x en x “ 0 et en x “ 1. Nous pouvons confirmer ceci en factorisant l’expression : f pxq “ 6,75xpx2 ´ 2x ` 1q “ 6,75xpx ´ 1q2 , ce qui nous montre que x “ 0 et x “ 1 sont les racines de f pxq. La fonction f a un maximum local en x “ 13 , où la fonction prend la valeur f p 13 q “ 1.

5.3 TRANSFORMATION DES FONCTIONS

y

3

97

f

2 1

x 0

1

´1 ´2

F IGURE 5.21

Graphe de la fonction f pxq “ 6,75px3 ´ 2x2 ` xq.

Translations verticales Pour déplacer une fonction f vers le haut de k unités, on lui ajoute k : gpxq “ f pxq ` k. Le graphe de la fonction g a exactement la même forme que celui de f , mais il aura subi une translation (mot mathématique pour désigner ce type de déplacement) de k unités vers le haut. y

3

g

2 1

0

k“2 f

x

1

´1 ´2

F IGURE 5.22 Le graphe de la fonction gpxq “ f pxq ` 2 a la même forme que le graphe de f pxq translaté vers le haut de deux unités.

Rappelons que la fonction originale est f pxq “ 6,75px3 ´ 2x2 ` xq. Pour la déplacer de k “ 2 unités, nous pouvons écrire gpxq “ f pxq ` 2 “ 6,75px3 ´ 2x2 ` xq ` 2, et le graphe de g sera celui montré sur la figure 5.22. Rappelons que le graphe de la fonction originale f traverse l’axe des x en x “ 0. Pour la fonction transformée g, on a gp0q “ 2. Le maximum local est toujours en x “ 13 , mais sa valeur a augmenté de f p 13 q “ 1 à gp 13 q “ 3.

98

FONCTIONS

Translations horizontales Nous pouvons déplacer une fonction f de h unités vers la droite en soustrayant h de x et en utilisant px ´ hq comme argument d’entrée de la fonction : gpxq “ f px ´ hq.

Le point p0, f p0qq sur le graphe de la fonction f correspond au point ph, gphqq sur le graphe de la fonction g. y

3

g

f

2

h“2

1

x 0

1

2

3

´1 ´2

F IGURE 5.23 Le graphe de la fonction gpxq “ f px ´ 2q a la même forme que celui de f , mais il est translaté vers la droite de 2 unités.

La figure 5.23 montre le graphe de la fonction f pxq “ 6,75px3 ´ g obtenue par une translation de h “ 2 unités vers la droite : ” ı gpxq “ f px ´ 2q “ 6,75 px ´ 2q3 ´ 2px ´ 2q2 ` px ´ 2q . 2x2 ` xq et celui de la fonction

Sachant que f p0q “ 0 et f p1q “ 0, on voit que la nouvelle fonction g vérifie gp2q “ 0 et gp3q “ 0. Le maximum en x “ 13 est aussi translaté de deux unités vers la droite, gp2 ` 13 q “ 1.

Changement d’échelle vertical Pour étirer ou comprimer verticalement la forme d’une fonction, nous la multiplions par une constante A pour obtenir gpxq “ A f pxq. Si |A| ą 1, le graphe est étiré et si |A| ă 1, il est comprimé. Enfin, si A est négatif, le graphe est renversé, c’est-à-dire qu’on lui a fait subir une réflexion à travers l’axe des x. Il y a une différence importante entre la translation verticale et le changement d’échelle vertical. La translation déplace tous les points du graphe de la même quantité alors que dans le changement d’échelle vertical le déplacement de chaque point est proportionnel à sa distance à l’axe des x.

5.3 TRANSFORMATION DES FONCTIONS

y

99

3 2

g

1 1 2 0

f x

1

´1 ´2

F IGURE 5.24 Le graphe de la fonction gpxq “ 2 f pxq ressemble à celui de f pxq mais il est étiré verticalement par un facteur deux.

Quand la fonction f pxq “ 6,75px3 ´ 2x2 ` xq est étirée verticalement par un facteur A “ 2, elle devient la fonction gpxq “ 2 f pxq “ 13,5px3 ´ 2x2 ` xq. Les points d’intersection du graphe avec l’axe des x qui étaient en x “ 0 et x “ 1 ne sont pas changés et restent en 0 et 1. Toutes les valeurs de f pxq sont étirées vers le haut par un facteur 2, comme nous pouvons le vérifier par exemple avec f p1,5q “ 2,5 qui donne gp1,5q “ 5. Le maximum en x “ 31 double de valeur et devient gp 31 q “ 2.

Changement d’échelle horizontal Pour étirer ou comprimer une fonction horizontalement, on peut multiplier la valeur d’entrée par une constante a pour obtenir : gpxq “ f paxq. Si |a| ą 1, la fonction est comprimée, si |a| ă 1, la fonction est étirée. Remarquez que l’effet du coefficient d’étirement horizontal a est l’opposé de celui que nous avons trouvé pour le changement d’échelle vertical A. Si a est négatif, le graphe est aussi renversé mais horizontalement, ce qui correspond à une réflexion à travers l’axe des y. La figure 5.25 montre le graphe de la fonction f pxq “ 6,75px3 ´ 2 2x ` xq, ainsi que celui de la fonction gpxq, qui est f pxq comprimée horizontalement par un facteur a “ 2 : gpxq “ f p2xq ” ı “ 6,75 p2xq3 ´ 2p2xq2 ` p2xq .

100

FONCTIONS

y

3

g

f

2 1

x 0 ´1

2 1 min a` x “ 12 min a` x “ 1

´2

F IGURE 5.25 Le graphe de la fonction gpxq “ f p2xq ressemble à celui de f pxq comprimé horizontalement par un facteur deux.

Le point d’intersection avec l’axe des x, donné par f p0q “ 0, ne change pas puisqu’il est sur l’axe des y. En revanche le point d’intersection avec l’axe des x donné par f p1q “ 0 change puisqu’il correspond à gp 12 q “ 0. Le maximum en x “ 31 se déplace en x “ 16 avec gp 61 q “ 1. Tout le graphe de f est comprimé vers l’axe des y par un facteur 2.

Fonction du second degré générale Toute fonction du second degré peut être écrite sous la forme f pxq “ apx ´ hq2 ` k, où x est la variable d’entrée et a, h et k sont les paramètres. C’est ce qu’on appelle la forme canonique de la fonction du second degré. On peut obtenir cette équation en partant de la fonction du second degré de base x2 (figure 5.12) et en appliquant les transformations suivantes : une translation horizontale de h unités, un changement d’échelle vertical de facteur a et enfin une translation verticale de k unités. Paramètres — a : le coefficient de pente — Plus la valeur absolue de a est grande, plus forte est la pente. — Si a ă 0 (négatif), la fonction s’ouvre vers le bas.

— h : le déplacement horizontal de la fonction. Remarquons que le nombre soustrait à l’intérieur des parenthèses p q2 déplace la fonction vers la droite (lorsque h est positif).

5.3 TRANSFORMATION DES FONCTIONS

101

— k : le déplacement vertical de la fonction Graphe Dans la figure 5.26 le graphe est celui d’une fonction du second degré avec les paramètres a “ 1, h “ 1 (translation d’une unité vers la droite), et k “ ´2 (translation de deux unités vers le bas).

y 2

f pxq “ px ´ 1q2 ´ 2

1

x ´2

´1

0

1

2

3

4

´1 ´2

p1, ´2q

F IGURE 5.26 Le graphe de la fonction f pxq “ px ´ 1q2 ´ 2 a la même forme que celui de la fonction de base f pxq “ x2 (voir la figure 4.4 en page 64), mais il est translaté d’une unité vers la droite et de deux unités vers le bas.

Une autre façon de représenter une fonction du second degré est de la développer pour obtenir sa forme générale f pxq “ ax2 ` bx ` c. À l’inverse, pour passer de la forme générale à la forme canonique apx ´ hq2 ` k, il faut utiliser la technique de complétion du carré que nous avons vue dans la section 2.1. Si le graphe d’une fonction du second degré f pxq traverse l’axe des x, on peut l’écrire sous la forme factorisée : f pxq “ apx ´ x1 qpx ´ x2 q, où x1 et x2 sont les deux racines. On peut trouver les racines en utilisant la formule de résolution de l’équation du second degré : ? ? x 1 “ ´b`

b2 ´4ac 2a

et x2 “ ´b´

b2 ´4ac 2a

(voir la section 2.2).

Liens [ Exemples des trois formes de l’équation du second degré ] https://www.youtube.com/watch?v=lQxJhGg2GQY

102

FONCTIONS

Fonction sinus générale En introduisant tous les paramètres possibles dans la fonction sinus, on obtient : ˘ ` f pxq “ A sin 2π λ x´φ ,

où A, λ et φ sont les paramètres de la fonction. Paramètres

— A : l’amplitude est la distance que la fonction atteint au-dessus et au-dessous de l’axe des x dans ses oscillations. — λ : la longueur d’onde de la fonction : λ “ t distance horizontale d’un sommet au suivantu. — φ : est un changement de phase, analogue au déplacement horizontal h que nous avons rencontré plus haut. Ce nombre indique où les oscillations commencent. La fonction sinus de base a une phase nulle (φ “ 0), aussi son graphe passe par l’origine où elle a une pente montante. Graphe y

` ˘ π f pxq “ 2 sin 2π 4 x´ 2

2

1

x ´1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

´1 ´2

λ“4

` ˘ π F IGURE 5.27 Le graphe de la fonction f pxq “ 2 sin 2π 4 x ´ 2 , qui a amplitude A “ 2, longueur d’onde λ “ 4, et changement de phase φ “ π2 .

La fonction sinus f pxq “ sin x a pour longueur d’onde 2π et a des sorties qui oscillent entre ´1 et `1. Quand on la multiplie par la constante A, les oscillations se font entre ´A et A. Quand l’argument d’entrée x est multiplié par le facteur 2π λ , la longueur d’onde de la fonction devient λ.

5.3 TRANSFORMATION DES FONCTIONS

103

Exercices E5.4 Étant données les quatre fonctions f pxq “ x ` 5, gpxq “ x ´ 6, hpxq “ 7x et qpxq “ x2 , trouver les formules donnant les fonctions composées suivantes : a) q ˝ f

b) f ˝ q

c) q ˝ g

d) q ˝ h

Dans chaque cas, comment le graphe de la fonction composée est-il relié au graphe de qpxq ? Indice: rappelons que “˝” exprime la composition des fonctions : p f ˝ gqpxq “ f pgpxqq. E5.5 Trouver l’amplitude A, la longueur d’onde λ et le changement de phase φ pour la fonction f pxq “ 5 sinp62,83 x ´ π8 q.

E5.6 Choisir les coefficients a, b et c du trinôme du second degré f pxq “ ax2 ` bx ` c pour qu’il passe par les points p0, 5q, p1, 4q et p2, 5q.

Indice: trouvez d’abord les coefficients h et k pour le trinôme f pxq “ Apx ´ hq2 ` k.

E5.7 ? Trouver les valeurs de α et β pour lesquelles la fonction gpxq “ 2 x ´ α ` β passe par les points p3, ´2q, p4, 0q et p7, 2q.

Chapitre 6

Géométrie La géométrie est l’étude mathématique des formes et des proportions. Cette branche des maths s’intéresse à ce qui peut être dessiné et à ce qui peut être analysé en utilisant des concepts géométriques comme la similitude, la proportionnalité et l’orthogonalité. La géométrie étudie la nature concrète et abstraite de toutes les formes géométriques. Par exemple, au lieu d’étudier et de décrire les propriétés d’un triangle particulier, on étudie les propriétés géométriques communes à tous les triangles. Nous ne nous contenterons pas seulement de regarder les formes ; nous mettrons en place un langage pour les décrire quantitativement en termes de longueurs et d’angles. Nous apprendrons aussi comment décrire les proportions entre les longueurs et les angles en utilisant des équations. Voici le plan du chapitre. Dans la section 6.1, nous allons décrire les propriétés de plusieurs formes géométriques : triangles, cercles, cylindres, sphères, cônes et pyramides. Les sections 6.2 et 6.3 auront pour objet la trigonométrie, qui étudie les proportions des côtés du triangle en utilisant les fonctions sin θ et cos θ. Dans la section 6.4 nous en apprendrons plus au sujet des cercles ce qui nous donnera une occasion d’introduire des concepts comme les radians et les coordonnées polaires. Dans les sections 6.5, 6.6 et 6.7 on parlera de l’ellipse, de la parabole et de l’hyperbole, qui sont trois formes géométriques que l’on rencontre souvent dans la nature.

105

106

6.1

GÉOMÉTRIE

Formules géométriques

Le mot « géométrie » vient du Grec ancien, avec les racines geo, qui signifie « terre », et metron, qui signifie « mesure ». Ce nom est attaché à l’une des premières applications de la géométrie, qui était de mesurer la surface totale des terres contenues dans la zone délimitée par certaines bornes. Au fil des années, l’étude de la géométrie a évolué pour devenir plus abstraite. Au lieu d’établir des formules pour calculer l’aire de terrains spécifiques, les mathématiciens ont développé des formules générales qui s’appliquent à toutes les surfaces ayant une forme particulière. Dans cette section nous allons présenter des formules pour calculer les périmètres, les aires et les volumes pour diverses formes (encore appelées « figures ») que l’on rencontre souvent dans le monde réel. Pour les figures en deux dimensions les quantités qui nous intéressent sont leurs aires et leurs périmètres (c’est à dire la longueur que l’on parcourt en marchant tout le long de la figure). Pour les figures en trois dimensions, les quantités qui nous intéressent sont l’aire de la surface (combien de peinture faudrait-il pour recouvrir la figure de tous côtés) et le volume (combien d’eau faudrait-il pour remplir un contenant ayant cette forme géométrique). Les formules présentées ne donnent absolument pas la liste exhaustive de tout ce qu’il y a à savoir en géométrie, mais elles représentent un ensemble essentiel de connaissances qu’il faudra ajouter à votre boîte à outils.

Triangles L’aire d’un triangle est la moitié du produit de la longueur de sa base par celle de sa hauteur : A “ 12 ah a . Remarquons que h a est la hauteur du triangle relative au côté de longueur a.

c

b

ha a

F IGURE 6.1 Un triangle dont les côtés ont pour longueurs a, b et c. La hauteur du triangle relative au côté de longueur a est notée h a .

6.1 FORMULES GÉOMÉTRIQUES

107

Le périmètre d’un triangle est la somme des longueurs de ses côtés : P “ a ` b ` c. Règle sur la somme des angles d’un triangle. La somme des angles d’un triangle quelconque est égale à 180˝ . Considérons un triangle dont les angles sont α, β et γ comme montré dans la figure 6.2. Nous ne connaissons peut-être pas les valeurs de chacun des angles α, β et γ, mais nous savons que leur somme vaut α ` β ` γ “ 180˝ . Loi des sinus.

Les équations suivantes sont vraies : b c a “ “ , sin α sin β sin γ

où α est l’angle opposé au côté a, β est l’angle opposé au côté b, et γ est l’angle opposé au côté c, comme montré sur la figure 6.2.

b

γ

a

α

β c

F IGURE 6.2 Un triangle ayant les angles α, β et γ et les côtés a, b et c.

Loi des cosinus. Les équations ci-dessous sont vraies : a2 “ b2 ` c2 ´ 2bc cos α,

b2 “ a2 ` c2 ´ 2ac cos β,

c2 “ a2 ` b2 ´ 2ab cos γ.

Ces équations sont utiles quand vous connaissez les longueurs des deux côtés d’un triangle et l’angle qu’ils forment et que vous voulez trouver le troisième côté.

Cercle Le cercle a une belle forme. Si nous prenons l’origine p0, 0q comme centre d’un cercle de rayon r, l’équation de ce cercle sera x 2 ` y2 “ r 2 .

Cette formule caractérise l’ensemble des points px, yq qui sont à la distance r du centre du cercle.

108

GÉOMÉTRIE

Aire L’aire d’un cercle de rayon r est donnée par la formule A “ πr2 . Par exemple, l’aire d’un cercle de rayon 3 m est A “ πp32 q “ 28,27 m2 . Circonférence et longueur d’un arc La longueur de la circonférence d’un cercle de rayon r est C “ 2πr. La circonférence d’un cercle de rayon r “ 1 est 2π. Ceci est la longueur totale que vous pouvez mesurer en suivant la courbe le long du cercle tout entier. Par exemple, la circonférence d’un cercle de rayon 3 m est C “ 2πp3q “ 18,85 m. Quelle est la longueur d’une partie du cercle ? Supposons que l’on s’intéresse à la longueur de l’arc ` qui correspond à l’angle θ. Si la circonférence totale du cercle, C “ 2πr, correspond à un tour complet de 360˝ , alors la longueur ` d’un arc correspondant à l’angle θ est

` “ 2πr

θ . 360

La longueur ` de l’arc dépend de r et de l’angle θ.

` θ “ 57˝

O

r

F IGURE 6.3 La longueur ` de l’arc égale à

57 360

de la circonférence 2πr.

Radians Quoique les degrés soient couramment utilisés comme unité de mesure des angles, en maths il vaut beaucoup mieux mesurer les angles en radians. En effet le radian est l’unité naturelle pour mesurer les angles. Mesurer les angles en radians équivaut à mesurer la longueur d’arc ` sur un cercle de rayon r “ 1, comme le montre la figure 6.4.

6.1 FORMULES GÉOMÉTRIQUES

109

` θ 1

F IGURE 6.4 La mesure en radians de l’angle θ est la longueur de l’arc ` qu’il intercepte sur un cercle de rayon 1. Le cercle complet correspond à 2π rad.

Le taux de conversion des degrés en radians est donné par 2π rad “ 360˝ .

Quand on mesure l’angle θ en radians, la formule pour la longueur de l’arc est donnée par : ` “ rθ.

Pour trouver la longueur de l’arc `, il suffit de multiplier le rayon du cercle r par l’angle θ mesuré en radians. Notez que la formule pour la longueur d’un arc est plus simple quand on utilise les radians. Assurez-vous d’être confortables avec les conversions entre degrés et radians parce que les deux unités sont utilisées souvent. Les cercles sont si importants que nous leur dédierons une section entière (section 6.4). Pour l’instant continuons à parler un peu de quelques autres formes géométriques importantes.

Sphère La sphère de rayon r centrée à l’origine a pour équation x2 ` y2 ` “ r2 . L’aire de la surface d’une sphère de rayon r est A “ 4πr2 , et son volume est V “ 43 πr3 . z2

r

F IGURE 6.5 Une sphère de rayon r a aire 4πr2 et volume 34 πr3 .

Cylindre La surface d’un cylindre est constituée par les surfaces circulaires du haut et du bas, et la paroi verticale du cylindre qui les relie : ´ ¯ A “ 2 πr2 ` p2πrqh.

110

GÉOMÉTRIE

Le volume d’un cylindre est le produit de l’aire de la base du cylindre par sa hauteur : ´ ¯ V “ πr2 h.

F IGURE 6.6

Un cylindre de rayon r et de hauteur h a pour volume πr2 h.

Exemple Vous ouvrez le capot de votre voiture et vous voyez 2 L écrit sur le haut du moteur. Les 2 L se rapportent au volume combiné des quatre pistons de forme cylindrique. Le manuel d’utilisation vous dit que le rayon de chaque piston est de 43,75 mm, et la hauteur de chaque piston est 83,1 mm. Vérifiez que le volume total des cylindres du moteur est de 1998789 mm3 « 2 L.

Cônes et pyramides Le volume d’une pyramide à base carrée dont les côtés sont de longueur a et de hauteur h est donné par la formule V “ 31 a2 h. Le volume d’un cône de rayon r et de hauteur h est donné par la formule V “ 31 πr2 h. Remarquez que le facteur 13 apparaît dans les deux formules. Ces deux formules sont des cas particuliers de la formule générale du volume qui s’applique à toutes les pyramides : V “ 31 Ah,

où A est l’aire de la base de la pyramide et h sa hauteur. Cette formule s’applique aux pyramides dont la base est un triangle (pyramide triangulaire), un carré (pyramide carrée), un rectangle (pyramide rectangulaire), un cercle (cône), ou tout autre forme.

h

h

h

h

h

F IGURE 6.7 Les volumes des pyramides et des cônes sont donnés par la formule V “ 13 Ah, où A est l’aire de la base et h est la hauteur.

6.2 TRIGONOMÉTRIE

111

Exercices E6.1 Trouvez la longueur du côté x dans le triangle ci-dessous. 4

x 60◦

Indice: utilisez la loi des cosinus.

5

E6.2 Trouvez le volume et l’aire de la surface d’une sphère de rayon 2. E6.3 Un jour de pluie, Laura rentre sa bicyclette à l’intérieur et les pneus mouillés de la bicyclette laissent une trace d’eau sur le sol. Quelle est la longueur de la trace d’eau laissée par le pneu arrière du vélo, si la roue (diamètre 73 cm) a fait cinq tours complets ?

6.2

Trigonométrie

Si un des angles d’un triangle vaut 90˝ , ce triangle est appelé triangle rectangle. Dans cette section nous allons faire une étude détaillée des triangles rectangles et de leurs propriétés. Nous apprendrons quelques nouveaux mots bizarres comme hypoténuse, opposé et adjacent, que l’on emploie pour parler des côtés d’un triangle rectangle. Nous utiliserons aussi les fonctions sinus, cosinus et tangente pour calculer le rapport des longueurs dans les triangles rectangles. Comprendre les triangles et les fonctions trigonométriques qui leur sont associées est fondamental : vous aurez besoin de ces connaissances pour comprendre les concepts mathématiques comme les vecteurs et les nombres complexes.

F IGURE 6.8 Un triangle rectangle. L’angle à la base est noté θ et les noms des côtés du triangle sont indiqués.

Concepts — A, B et C : les trois sommets du triangle

112

GÉOMÉTRIE

— θ : l’angle au sommet C. Les angles se mesurent en degrés ou en radians. — opp “ AB : la longueur du côté opposé à l’angle θ

— adj “ AC : la longueur du côté adjacent à l’angle θ

— hyp “ BC : la longueur de l’hypoténuse est celle du plus long côté du triangle — h : la « hauteur » du triangle (ici h “ opp “ AB) opp

— sin θ “ hyp : le sinus de theta est le rapport de la longueur du côté opposé à la longueur de l’hypoténuse adj

— cos θ “ hyp : le cosinus de theta est le rapport de la longueur du côté adjacent à la longueur de l’hypoténuse opp

sin θ — tan θ “ cos θ “ adj : la tangente est le rapport de la longueur du côté opposé à celle du côté adjacent

Théorème de Pythagore Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : adj2 ` opp2 “ hyp2 . En divisant les deux côtés de l’équation ci-dessus par hyp2 , on obtient adj2 opp2 ` “ 1. hyp2 hyp2 Puisque

adj hyp

“ cos θ et

opp hyp

“ sin θ, on peut réécrire l’équation comme

cos2 θ ` sin2 θ “ 1. Cette identité trigonométrique montre une relation importante entre les fonctions sinus et cosinus. Notez que l’expression cos2 θ utilisée ci-dessus est un raccourci pour écrire l’expression pcos θq2 .

Sinus et cosinus Faisons connaissance avec les fonctions trigonométriques. Voici vos nouveaux amis. Ne soyez pas timide, saluez les. « Allô, dites-vous. — Salut. — Aloo...ooors, vous êtes des fonctions, c’est ça ? vous demandez. — Ouais, répondent en chœur sinus et cosinus.

6.2 TRIGONOMÉTRIE

113

— Bon, et alors à quoi servez-vous ? — Qui ? Moi ? demande le cosinus. Hé bien je donne le rapport . . . humm. . . Attendez, vous me demandez ce que je fais en tant que fonction ou plus spécifiquement ce que moi je fais ? — Disons les deux ? — Bon, en tant que fonction je prends les angles comme entrées et je donne des rapports comme sortie. Plus spécifiquement, je vous dis combien un triangle avec cet angle est large, répond le cosinus. — Qu’est-ce que vous entendez par large ? demandez vous. — Ah ouais, j’oubliais de dire qu’il faut que le triangle ait une hypoténuse de longueur 1. Imaginez un point P qui se déplace autour d’un cercle de rayon 1 et qu’on dessine un triangle formé par le point P, l’origine et le point sur l’axe des x situé juste en-dessous du point P. — Je ne suis pas sûr de vous suivre, avouez vous. — Laissez moi essayer d’expliquer, dit sinus. Regardez la partie gauche de la figure 6.9 et vous y verrez un cercle. C’est un cercle unité parce que son rayon est 1. Vous l’avez vu ? — Oui. — Imaginez maintenant un point P qui se déplace le long du cercle de rayon 1 en partant du point Pp0q “ p1, 0q. Les coordonnées x et y du point Ppθq “ pPx pθq, Py pθqq sont des fonctions de l’angle θ Ppθq “ pPx pθq, Py pθqq “ pcos θ, sin θq. Alors, soit vous pensez à nous dans un contexte de triangles, soit dans celui du cercle unité. — Cool. Je crois que je commence à comprendre. Un grand merci, dites vous », mais en réalité vous n’en revenez pas. Des fonctions qui parlent ? « Merci les gars. Ça m’a fait plaisir de vous rencontrer mais il faut que j’y aille et que je finisse le reste du livre. — À plus tard, dit cosinus. — Allez en paix », dit sinus.

Le cercle unité Le cercle unité est l’ensemble des points px, yq satisfaisant l’équation x2 ` y2 “ 1. Un point P “ pPx , Py q du cercle unité a pour coordonnées pPx , Py q “ pcos θ, sin θq, où θ est l’angle que fait le segment ÝÑ OP avec l’axe des x, si on désigne par O le centre du cercle.

114

GÉOMÉTRIE

y

y P “ pcos θ, sin θq 1

O

1

Py

θ Px

1

sin θ

θ O cos θ

x

1

x

x 2 ` y2 “ 1

F IGURE 6.9 Le cercle unité a pour équation x2 ` y2 “ 1. Les coordonnées du point P sur le cercle unité sont Px “ cos θ et Py “ sin θ.

f pθq π 2

π 3

θ x2

` y2

“1

? 3 2

π 6

1

f pθq “ sin θ

1 2

0

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

θ

F IGURE 6.10 La fonction f pθq “ sin θ donne la coordonnée y d’un point qui se déplace le long du cercle unité. La figure montre la moitié du cycle.

La figure 6.10 montre le graphe de la fonction f pθq “ sin θ. Les valeurs de sin θ pour les angles 0, π6 (30˝ ), π3 (60˝ ) et π2 (90˝ ) sont indiquées. Il y a trois valeurs faciles à retenir : sin θ “ 0 lorsque θ “ 0, sin θ “ 12 lorsque θ “ π6 (30˝ ), et sin θ “ 1 lorsque θ “ π2 (90˝ ). Voir la figure 5.14 (page 90) pour un graphe de sin θ qui montre un cycle complet. Voir aussi la figure 5.17 (page 92) pour le graphe de cos θ. Au lieu d’essayer de mémoriser les valeurs des fonctions cos θ et sin θ séparément, il est beaucoup plus facile d’y penser en tant qu’un « paquet combiné » pcos θ, sin θq qui contient les coordonnées x et y du point P pour l’angle θ. La figure 6.11 montre les valeurs de cos θ et sin θ pour les angles 0, π6 (30˝ ), π4 (45˝ ), π3 (60˝ ) et π2 (90˝ ). Pour chaque angle, l’abscisse x (le premier nombre dans les parenthèses) est cos θ, et l’ordonnée y est sin θ.

6.2 TRIGONOMÉTRIE

115

F IGURE 6.11 Les coordonnées combinées pcos θ, sin θq des points sur le cercle unité pour les angles 0, π6 (30˝ ), π4 (45˝ ), π3 (60˝ ) et π2 (90˝ ).

Notez que les valeurs de cos θ et sin θ pour les angles montrés sur ? la figure 6.11 sont toutes des combinaisons des fractions ?

3 2 .

1 2,

2 2

et

L’apparition des racines carrées est une conséquence de l’identité trigonométrique cos2 θ ` sin2 θ “ 1 qui nous dit que la somme des carrés des coordonnées de chaque point du cercle est égale à un. Regardons cette équation pour l’angle θ “ π6 (30˝ ). Souvenez vous que sin 30˝ “ 12 (la longueur de la ligne pointillée dans la figure 6.11). 2 2 ˝ ˝ On peut poser cette valeur dans l’équation b cos 30 b` sin ?30 “ 1 a pour trouver : cos 30˝ “ 1 ´ sin2 30˝ “ 1 ´ 14 “ 34 “ 23 . ´? ? ¯ Les coordonnées 22 , 22 pour l’angle θ “ π4 (45˝ ) proviennent d’un calcul similaire. Pour θ “ 45˝ , les coordonnées horizontale et verticale sont les mêmes. Nous cherchons donc un nombre a qui ? satisfait l’équation a2 ` a2 “ 1. Résolvant en a, on trouve a “ ?1 “ 22 . 2 Les valeurs de cos 60˝ et sin 60˝ peuvent être obtenues à partir d’un argument de symétrie. Mesurer 60˝ à partir de l’axe des x donne le même point P que mesurer 30˝ à partir de l’axe des y, donc cos 60˝ “ sin 30˝ “ 12 , et bien sûr nous aurons aussi sin 60˝ “ ?

cos 30˝ “ 23 . Nous pouvons utiliser le même type de calculs pour tous les angles qui sont des multiples de π6 (30˝ ) ou π4 (45˝ ). Voir la figure 6.12. Ne soyez pas intimidé par toute l’information présentée dans la figure 6.12 ! N’ayez pas peur — vous n’êtes pas censé mémoriser toutes ces valeurs. La raison principale pour inclure cette figure est de vous montrer les symétries qui existent dans les valeurs de sinus et de cosinus quand on fait le tour du cercle unité. Les valeurs de sin θ et cos θ pour les autres angles sont les mêmes que les valeurs pour les angles entre 0˝ et 90˝ , mais une ou deux de leurs coordonnées sont négatives. Par exemple, 150˝ est juste comme 30˝ sauf que son abscisse x est négative, puisque le point se trouve à gauche de l’axe des y. La figure 6.12 peut aussi vous être utile pour convertir

116

GÉOMÉTRIE

F IGURE 6.12 Les coordonnées pcos θ, sin θq des points sur le cercle unité sont indiquées pour plusieurs valeurs importantes de l’angle θ. Notez les symétries horizontales et verticales.

entre les degrés et les radians puisque les deux mesures d’angle sont indiquées.

Cercles non-unité Considérons maintenant un point Qpθq à l’angle θ sur un cercle de rayon r ‰ 1. Comment pouvons nous trouver les coordonnées x et y du point Qpθq ? Nous savons que les coefficients cos θ et sin θ correspondent aux coordonnées x et y d’un point du cercle unité (r “ 1q. Pour obtenir les coordonnées d’un point d’un cercle de rayon r, il suffit de multiplier les coordonnées par le facteur r : Qpθq “ pQ x pθq, Qy pθqq “ pr cos θ, r sin θq. Le message à retenir est que l’on peut utiliser les fonctions cos θ et sin θ pour trouver les composantes « horizontale » et « verticale » de tout segment de longueur r. À partir de ce point du livre, nous appellerons toujours x “ r cos θ la longueur du côté adjacent et y “ r sin θ la longueur du côté opposé. Il est extrêmement important que vous soyez à l’aise avec ces notations.

6.2 TRIGONOMÉTRIE

117

F IGURE 6.13 L’abscisse x et l’ordonnée y d’un point d’angle θ à la distance r de l’origine sont donnés par x “ r cos θ et y “ r sin θ.

Le raisonnement derrière les calculs ci-dessus est le suivant : cos θ “

adj x “ hyp r

ñ

x “ r cos θ,

sin θ “

opp y “ hyp r

ñ

y “ r sin θ.

et

Calculatrices Faites attention aux unités de mesure des angles lorsque vous utilisez les calculatrices et les ordinateurs. Assurez-vous du type d’unité d’angles que les fonctions sin, cos et tan de votre calculatrice prennent pour leurs entrées et du type de sortie que donnent les fonctions sin´1 , cos´1 et tan´1 . Par exemple, que devez-vous taper sur votre calculatrice pour calculer le sinus de 30 degrés ? Si votre calculatrice est réglée en mode degrés, il suffit de taper : 3 , 0 , sin , = , pour obtenir la réponse 0,5. Si votre calculatrice est réglée en mode radians, vous avez deux options : 1. Changer le mode de la calculatrice pour qu’elle soit en degrés. 2. Convertir 30˝ en radians 30˝ ˆ

2π rad π “ rad, 360˝ 6

et taper : π , / , 6 , sin , = sur votre calculatrice. ` ˘ Essayez de calculer cosp60˝ q, cos π3 rad et cos´1 p 21 q en utilisant votre calculatrice pour vous assurer de savoir comment elle fonctionne.

118

GÉOMÉTRIE

Exercices E6.4 Étant donné un cercle de rayon r “ 5, trouvez les coordonnées x et y du point à θ “ 45˝ . Quelle est la circonférence du cercle ? E6.5 Donnez la valeur en radians des angles suivants définis par leur valeur en degrés. a) 30˝

b) 45˝

c) 60˝

d) 270˝

Liens [ Leçons vidéo sur le cercle unité par patrickJMT (en anglais) ] http://bit.ly/1mQg9Cj et http://bit.ly/1hvA702

6.3

Identités trigonométriques

Il y a un nombre important de relations entre les valeurs des fonctions sin et cos. Ces relations sont connues comme identités trigonométriques. Il y a plus de dix identités trigonométriques connues, mais vous devez en mémoriser seulement trois. Les trois identités dont il faut se souvenir sont : 1. Hypoténuse unité sin2 θ ` cos2 θ “ 1.

L’identité de l’hypoténuse unité est vraie par le théorème de Pythagore et les définitions du sinus et du cosinus. 2. Sinus d’une somme sinpa ` bq “ sin a cos b ` sin b cos a.

Une aide mnémonique pour retenir cette identité est « sico + sico ». 3. Cosinus d’une somme cospa ` bq “ cos a cos b ´ sin a sin b.

Pour cette identité-ci l’aide mnémonique est « coco ´ sisi ».

6.3 IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES

119

Formules dérivées Si vous vous souvenez des trois formules ci-dessus, vous pouvez en déduire à peu près toutes les autres identités trigonométriques. Formules de l’angle double Partant de l’identité pour le sinus d’une somme et en posant a “ b “ x, nous pouvons déduire l’identité suivante : sinp2xq “ 2 sin x cos x. Partant de l’identité pour le cosinus d’une somme, on obtient cosp2xq “ cos2 x ´ sin2 x

` ˘ “ 2 cos2 x ´ 1 “ 2 1 ´ sin2 x ´ 1 “ 1 ´ 2 sin2 x.

Les formules qui expriment sinp2xq et cosp2xq en termes de sin x et cos x sont appelées formules de l’angle double. Si nous réécrivons la formule de l’angle double pour cosp2xq en isolant le terme en sin2 ou le terme en cos2 , nous obtenons les formules de réduction du carré : cos2 x “

1 p1 ` cosp2xqq , 2

sin2 x “

1 p1 ´ cosp2xqq . 2

Périodicité Le sinus et le cosinus sont des fonctions périodiques de période 2π. Ajouter un multiple de 2π à l’entrée dans une de ces fonctions ne change pas la valeur de la sortie (puisque ces valeurs sont liées au même point du cercle unité) : sinpx ` 2πq “ sin x,

cospx ` 2πq “ cos x.

De plus sinus et cosinus présentent diverses symétries et antisymétries par rapport à 0, sinp´xq “ ´ sin x,

cosp´xq “ cos x,

à l’intérieur de chaque demi-cycle de π, sinpπ ´ xq “ sin x,

cospπ ´ xq “ ´ cos x,

et à l’intérieur de chaque cycle complet de 2π, sinp2π ´ xq “ ´ sin x,

cosp2π ´ xq “ cos x.

120

GÉOMÉTRIE

Prenez le temps de consulter la figure 5.14 (page 90), la figure 5.17 (page 92) et la figure 6.12 (page 116) pour confirmer visuellement les équations montrées si dessus. Connaître les multiples points ou les fonctions reprennent la même valeur (symétries) ou prennent des valeurs opposées (antisymétries) est très utile pour les calculs. Le sinus est un cosinus, le cosinus est un sinus Vous ne devriez pas être surpris si je vous dis que sin et cos sont des versions l’une de l’autre après translation de π2 : ´ π¯ cos x “ sin x` , 2

´ π¯ sin x “ cos x´ . 2

Formules pour les sommes et les produits Voici quelques formules pour transformer des sommes en produits : ˆ ˙ ˆ ˙ 1 1 sin a ` sin b “ 2 sin pa ` bq cos pa ´ bq , 2 2 ˆ ˙ ˆ ˙ 1 1 sin a ´ sin b “ 2 sin pa ´ bq cos pa ` bq , 2 2 ˆ ˙ ˆ ˙ 1 1 cos a ` cos b “ 2 cos pa ` bq cos pa ´ bq , 2 2 ˙ ˆ ˙ ˆ 1 1 cos a ´ cos b “ ´2 sin pa ` bq sin pa ´ bq . 2 2

Et voici quelques formules pour transformer des produits en sommes : ¯ 1´ sinpa ` bq ` sinpa ´ bq , 2 ¯ 1´ sin a sin b “ cospa ´ bq ´ cospa ` bq , 2 ¯ 1´ cos a cos b “ cospa ´ bq ` cospa ` bq . 2 sin a cos b “

Discussion Les formules ci-dessus seront commodes quand vous voudrez trouver une inconnue dans une équation ou quand vous voudrez simplifier une expression trigonométrique. Je ne suis pas en train de dire que vous devriez absolument les mémoriser, mais que vous devriez être conscient du fait qu’elles existent.

6.4 CERCLES ET COORDONNÉES POLAIRES

121

Exercices E6.6 Étant donné que a “ π et b “ a) sinpa ` bq

π 2,

trouvez

b) cosp2aq

c) cospa ` bq

E6.7 Simplifiez les expressions suivantes et calculez leurs valeurs sans utiliser votre calculatrice. b) 2 sin2 pxq ` cosp2xq

a) cospxq ` cospπ ´ xq

π c) sinp 5π 4 q sinp´ 4 q

6.4

π d) 2 cosp 5π 4 q cosp´ 4 q cospπq

Cercles et coordonnées polaires

Dans cette section, nous réviserons ce que nous avons appris sur les cercles, puis nous définiront le système de coordonnées polaires qui est un système de coordonnées spécialisé pour décrire les cercles et les formes circulaires.

Formules Un cercle est l’ensemble des points situés à une même distance d’un point, appelé centre. Un cercle de rayon r centré à l’origine a pour équation x 2 ` y2 “ r 2 .

Cette équation exprime la relation que satisfont tous les points px, yq du cercle. Notez que le centre du cercle n’est pas nécessairement à l’origine, il peut être en n’importe quel point du plan de coordonnées ph, kq, comme on le voit sur la figure 6.14. y r

k x 0

h

F IGURE 6.14 Un cercle de rayon r centré au point ph, kq est décrit par l’équation px ´ hq2 ` py ´ kq2 “ r2 .

122

GÉOMÉTRIE

Décrire les cercles en utilisant des fonctions L’équation d’un cercle est une relation ou fonction implicite où interviennent à la fois x et y. Si nous voulons décrire le cercle en utilisant une fonction du type y “ f pxq, nous pouvons résoudre l’équation x2 ` y2 “ r2 en y pour obtenir a ´r ď x ď r, y “ f s pxq “ r2 ´ x2 , et

a y “ f i pxq “ ´ r2 ´ x2 ,

´r ď x ď r.

Décrire un cercle nécessite deux fonctions, f s et f i , parce qu’il y a deux valeurs de y qui satisfont l’équation x2 ` y2 “ r2 pour chaque valeur de x. La fonction f s décrit la moitié supérieure du cercle, tandis que la fonction f i décrit la moitié inférieure. Pourquoi une forme géométrique simple comme un cercle nécessite des formules aussi compliquées que f s pxq et f i pxq pour la décrire ? Il existe sûrement une façon plus simple pour décrire les cercles. C’est effectivement le cas ! Si nous utilisons les coordonnées polaires r=θ au lieu d’utiliser les coordonnées cartésiennes px, yq, alors l’équation d’un cercle devient très simple.

Le système de coordonnées polaires La figure 6.15 montre le système de coordonnées polaires, qui est composé de cercles concentriques dessinés à différentes distance de l’origine (aussi appelée pôle) et de lignes radiales dans toutes les directions. Nous pouvons donner la position de n’importe quel point dans le plan en utilisant les coordonnées polaires r=θ, où r mesure la distance du point à l’origine et θ est l’angle mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir du demi axe r. Par exemple, le point Q “ 2=60˝ est situé à une distance de r “ 2 unités du centre, dans la direction de θ “ 60˝ . Comparez le système de coordonnées polaires illustré dans la figure 6.15 au plan cartésien montré dans la figure 4.3 (page 63). Dans le plan cartésien, nous interprétons la paire de coordonnées px, yq comme les instructions : « Marchez sur une distance de x unités dans la direction de l’axe des x, puis marchez une distance de y unités dans la direction de l’axe des y. » Dans un système de coordonnées polaires, nous interprétons les coordonnées polaires r=θ comme les instructions suivantes : « Tournez d’un angle θ et parcourez une distance de r unités dans cette direction. » Les deux types de coordonnées sont deux façons différentes de spécifier les instructions pour se rendre à point particulier du plan cartésien.

6.4 CERCLES ET COORDONNÉES POLAIRES

123

90˝ 120˝

150˝

60˝

30˝

P “ 3,61=146,31˝

Q “ 2=60˝

2 60˝

180˝

1

2

3

210˝

4

5

r

330˝

240˝

300˝ 270˝

F IGURE 6.15 Le système de coordonnées polaires peut être utilisé pour donner la position des points dans le plan à deux dimensions. Les coordonnées polaires r=θ définissent le point situé à la distance r de l’origine dans la direction définie par θ.

La paire de coordonnées cartésiennes px, yq est composée de coordonnées x et y (deux distances), tandis qu’une paire de coordonnées polaires r=θ est composée de coordonnées r et θ (une distance une direction). Dans ce livre, on utilise le symbole d’angle = (qui se lit « à un angle de ») pour séparer les coordonnées polaires r et θ, afin de souligner la différence avec les coordonnées cartésiennes. Notez que certains autres livres utilisent la notation pr, θq pour les coordonnées polaires, donc vous devez faire attention — la paire de coordonnées p20, 30q pourrait représenter soit une paire de coordonnées px, yq soit une paire de coordonnées pr, θq, selon le contexte. Notez que les coordonnées polaires pour décrire les points ne sont pas uniques, ce qui signifie que le même point peut être décrit de plusieurs manières. Le point Q “ 2=60˝ peut aussi être représenté par les coordonnées polaires 2=´300˝ , puisque tourner de 300˝ dans le sens des aiguilles d’une montre est la même chose que tourner de 60˝ dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On peut également décrire le point Q en utilisant les coordonnées polaires ´2=240˝ ou ´2=´120˝ , qui nous indiquent de tourner dans la direction opposée à 60˝ et de mesurer une distance négative r “ ´2, ce qui nous amène encore au point Q. Toutes ces différents choix de

124

GÉOMÉTRIE

coordonnées polaires pour Q sont possibles, mais la façon préférée de spécifier les coordonnées polaires est d’utiliser des valeurs de r positives et des angles θ avec |θ| ď 180˝ . Conversion entre coordonnées cartésiennes et polaires La figure 6.16 montre un point du plan dont la position est décrite à la fois en termes de coordonnées cartésiennes px, yq et en termes de coordonnées polaires r=θ. Notez que le triangle formé par les points de coordonnées p0, 0q, px, 0q et px, yq est un triangle rectangle. Nous pouvons donc appliquer nos connaissances sur les fonctions trigonométriques sin, cos et tan pour passer des coordonnées cartésiennes px, yq aux coordonnées polaires r=θ.

y px, yq r θ x F IGURE 6.16 Les coordonnées polaires r=θ peuvent être utilisées pour donner la position de n’importe quel point px, yq du plan cartésien.

Pour passer des coordonnées polaires r=θ aux coordonnées cartésiennes px, yq, nous pouvons utiliser les définitions des fonctions adj opp y trigonométriques cos θ “ hyp “ xr et sin θ “ hyp “ r pour obtenir les formules : x “ r cos θ et y “ r sin θ.

Par exemple, les coordonnées cartésiennes du point? Q “ 2=60˝ sont données par Q “ px, yq “ p2 cos 60˝ , 2 sin 60˝ q “ p1, 3q. Pour convertir des coordonnées cartésiennes px, yq en coordonnées polaires r=θ, nous utilisons l’équation du cercle x2 ` y2 “ r2 et opp y la définition de la fonction tangente tan θ “ adj “ x pour obtenir les formules suivantes : $ `y˘ tan´1 x ’ ’ ` y ˘ si x ą 0, b & 180˝ ` tan´1 x si x ă 0, 2 2 r “ x ` y et θ “ si x “ 0 et y ą 0, ’ 90˝ ’ % ´90˝ si x “ 0 et y ă 0.

Trouver l’angle θ est un peu compliqué. On doit utiliser une formule différente pour calculer θ selon l’endroit où se trouve le point, et il y a quatre cas particuliers à considérer. L’idée de base est d’utiliser

6.4 CERCLES ET COORDONNÉES POLAIRES

125

la fonction tangente inverse tan´1 , qui est aussi appelé arc tangente et notée arctan, ou atan sur les systèmes informatiques. La fonction tan´1 donne des valeurs entre ´90˝ (´ π2 rad) et 90˝ ( π2 rad), qui correspondent aux points avec une coordonnée x positive. Si la coordonnée x du point est négative, nous devons ajouter 180˝ (π rad) à la sortie de tan´1 pour obtenir l’angle correct. Lorsque x “ 0, nous y ne pouvons pas calculer la fraction x parce que nous ne pouvons pas diviser par zéro, donc il faut traiter le cas x “ 0 séparément comme ci-dessus. Les systèmes informatiques fournissent la fonction arc tangente à deux entrées atan2(y,x) qui peut être utilisée pour calculer l’angle θ pour tous les points px, yq. La fonction atan2 est le meilleur moyen de calculer l’angle θ, parce qu’elle gère automatiquement les quatre cas particuliers de conversion des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires et donne toujours la bonne réponse. Essayez quelques calculs avec la fonction atan2 en visitant https://live.sympy.org. Considérons le point P avec les coordonnées cartésiennes p´3, 2q qui est montré dans la figure 4.3 (page 63). Pour trouver les coordonnées polaires de ce point, a ? nous calculons d’abord sa distance du 2 2 centre, r “ p´3q ` 2 “ 13 « 3,61. Pour trouver l’angle θ, nous notons que la coordonnée x de P est négative, donc ` ˘l’angle θ que nous cherchons est donné par θ “ 180˝ ` tan´1 ´23 “ 146,31˝ . L’angle du point P “ p´3, 2q peut également être obtenu en utilisant atan2(2,-3). Les coordonnées polaires du point P sont donc 3,61=146,31˝ (voir la figure 6.15). Équations en coordonnées polaires Les équations en coordonnées polaires décrivent des relations entre les variables r et θ. Par exemple, l’équation d’un cercle de rayon 2 en a coordonnées polaires est simplement r “ 2. Si nous substituons r “ x2 ` y2 et nous élevons au carré les deux côtés de l’équation, nous obtiendrons l’équation x2 ` y2 “ 22 que nous avons vue au début de la section. On peut utiliser les substitutions x “ r cos θ et y “ r sin θ pour convertir en coordonnées polaires r et θ toute équation donnée en coordonnées cartésiennes x et y. Considérons l’équation 2x ´ y “ 3 de la droite représentée dans la figure 5.10 à la page 81. Nous pouvons réécrire cette équation qui, en coordonnées polaires, devient 2r cos θ ´ r sin θ “ 3. Comme vous pouvez le voir à partir de ces exemples, les coordonnées polaires sont très pratiques lorsqu’on a affaire à des cercles, mais nettement moins lorsqu’on travaille avec des droites. En effet, décrire un cercle en coordonnées polaires est aussi simple que r “ 2,

126

GÉOMÉTRIE

alors qu’en coordonnées cartésiennes nous devons utiliser les fonctions compliquées comme f s et f i (voir page 122). La situation est inverse pour les droites : l’équation d’une droite en coordonnées cartésiennes est simple, 2x ´ y “ 3, tandis qu’en coordonnées polaires la même droite est décrite par une expression compliquée qui contient des sinus et des cosinus. Fonctions en coordonnées polaires Une fonction en coordonnées polaires est notée rpθq et montre comment la distance r varie en fonction de l’angle θ. Comme premier exemple, considérons un cercle de rayon 2, qui est décrit par une fonction constante en coordonnées polaires : rpθq “ 2. En d’autres termes, la distance d’un point du cercle au centre est la même quel que soit l’angle. Voir la figure 6.17 (a). Considérons maintenant l’équation de la droite 2x ´ y “ 3, que nous pouvons transformer pour obtenir 2r cos θ ´ r sin θ “ 3 et ensuite isoler r dans cette équation pour obtenir la fonction rpθq “

3 , 2 cos θ ´ sin θ

qui décrit la distance du point à l’origine pour les différentes directions θ. Par exemple, lorsque θ “ 0, on trouve rp0q “ 2 cos 03´sin 0 “ 1,5. Nous savons donc que le point 1,5=0˝ fait partie de la droite. Le graphe en coordonnées polaires d’une fonction rpθq correspond aux points de coordonnées polaires rpθq=θ pour toutes les valeurs possibles de θ. Ceci est analogue à la façon dont nous obtenons le graphe de la fonction f pxq en coordonnées cartésiennes en traçant les points px, f pxqq pour toutes les valeurs possibles de x. La figure 6.17 montre les graphes des deux fonctions ci-dessus. Pour dessiner le graphe d’une fonction rpθq, vous pouvez calculer les valeur de la fonction pour plusieurs angles comme θ “ ´90˝ , θ “ 0˝ , θ “ 30˝ , θ “ 60˝ , θ “ 90˝ , puis tracer ces points dans le système de coordonnées polaires. Par exemple, pour trouver le graphe de la fonction rpθq “ 2 cos θ3´sin θ , on peut calculer la valeur rp´90˝ q “ 3 “ 3, qui nous indique que le point 3=´90˝ fait 2 cosp´90˝ q´sinp´90˝ q partie du graphe. Nous pouvons de même calculer rp0˝ q “ 1,5 et rp30˝ q “ 2,43, ce qui nous dit que les points 1.5=0˝ et 2,43=30˝ font aussi partie du graphe.

6.4 CERCLES ET COORDONNÉES POLAIRES

127

2,43=30˝

r 1

2

r

1,5=0˝

3

2

1

3

3=´90˝

(a)

(b) rpθq “

rpθq “ 2

3 2 cos θ´sin θ

F IGURE 6.17 Les graphes des fonctions en coordonnées polaires sont obtenus en calculant la distance rpθq pour toutes les directions θ de 0˝ à 360˝ .

La figure 6.18 montre les graphes de trois autres fonctions intéressantes. Notez les points r=θ indiqués dans chaque graphe et vérifiez qu’ils satisfont la fonction correspondante rpθq. 2=120˝ 1=60˝

0,5=90˝ 2=0˝

1

2

2=0˝

r

1

2

r

1=180˝

2=360˝

2

1

r

´1=120˝ ´2=60˝

(a)

rpθq “ 2 cos θ

(b) rpθq “ 2 cosp3θq

1,5=270˝

(c) rpθq “

2 360˝

θ

F IGURE 6.18 Les graphes en coordonnées polaires de trois fonctions spéciales : (a) un cercle, (b) une rosace et (c) une spirale d’Archimède.

Discussion Le système de coordonnées polaires nous permet de décrire la position des points en utilisant les coordonnées polaires r=θ au lieu des coordonnées cartésiennes px, yq. Consultez la carte conceptuelle de la figure 6.19 pour voir un résumé des différents aspects des coordonnées polaires. Vos connaissances des fonctions trigonométriques sin, cos et tan sont essentielles pour pouvoir convertir entre les coordonnées cartésiennes et polaires.

128

GÉOMÉTRIE

F IGURE 6.19 Les coordonnées cartésiennes px, yq et polaires r=θ sont deux façons équivalentes de représenter les points, les équations et les fonctions.

Les formules de conversion entre les coordonnées cartésiennes px, yq et les coordonnées polaires r=θ que nous avons apprises dans cette section sont importantes et vous devez les considérer comme du « matériel requis ». Je m’attends à ce que vous maîtrisiez bien ces formules parce que nous en aurons besoin pour nos études dans le reste du livre, par exemple pour des sujets comme les vecteurs (section 7.2) et les nombres complexes (section 7.5). En revanche, les trois sections suivantes ne sont pas du « matériel requis ». Nous allons maintenant changer de rythme pour discuter de matériel plus léger et découvrir trois autres formes géométriques : l’ellipse, la parabole et l’hyperbole. Je veux que vous connaissiez ces formes, mais je ne m’attends pas à ce que vous maîtrisiez toutes les définitions et équations. Vous pouvez vous détendre pour les trois sections suivantes, parce que ce matériel ne sera pas « à l’examen ». Vous méritez bien une pause après toute les formules que vous venez de voir !

Exercices E6.8 Convertissez les points px, yq en coordonnées polaires : a) p3, 1q

b) p´1, ´2q

c) p0, ´6q

d) 10=30˝

e) 10=´345˝

f) 10=120˝

Convertissez les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes : E6.9 Tracez le graphe de la fonction rpθq “ sin2 θ en coordonnées polaires pour θ variant de 0 à 180˝ . Quelle est la description de cette fonction en coordonnées cartésiennes ?

6.5 ELLIPSE

129

Liens [ La page Wikipédia montre beaucoup d’exemples intéressants ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonnées_polaires [ Introduction visuelle aux coordonnées polaires (en anglais) ] https://www.youtube.com/watch?v=stU63ST6ung [ Explications des équations en coordonnées polaires (en anglais) ] https://www.youtube.com/watch?v=jwLUapqnwkk

6.5

Ellipse

L’ellipse est une courbe importante que l’on rencontre souvent dans la nature. L’orbite que décrit la terre autour du soleil est une ellipse.

Paramètres La figure 6.20 montre une ellipse avec tous ses paramètres annotés : — F1 , F2 : les deux foyers de l’ellipse — r1 : la distance d’un point de l’ellipse au foyer F1 — r2 : la distance d’un point de l’ellipse au foyer F2 — a : le demi-grand axe de l’ellipse est la demi-longueur de l’ellipse sur l’axe des x. La distance entre les sommets S1 et S2 est 2a. — b : le demi-petit axe de l’ellipse est la demi-longueur de l’ellipse sur l’axe des y. La distance entre les sommets S3 et S4 est 2b. — c : la distance des foyers au centre de l’ellipse. La distance de F1 à F2 est égale à 2c. b 2 — ε : l’excentricité de l’ellipse, ε “ 1 ´ ba2 “ ac

Définition L’ellipse est la courbe qui joint les points dont la somme des distances aux deux foyers est une constante donnée : r1 ` r2 “ const. Il y a un moyen commode pour tracer une ellipse en utilisant une ficelle et deux épingles. Prenez un bout de ficelle et fixez en deux points sur une table avec les épingles en laissant du jeu à la ficelle entre les deux points où elle est fixée. Ensuite prenez un crayon et

130

GÉOMÉTRIE S3

px, yq

r1 S1

r2

F1 “ p´c, 0q

F2 “ pc, 0q

S4

S2

b

a

F IGURE 6.20 Une ellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b. Les positions des foyers F1 et F2 sont indiquées.

sans toucher la table, avec le crayon tirez le milieu de la ficelle jusqu’à ce qu’elle soit tendue. Abaissez le crayon et marquez ce point sur la table. De la même manière, avec les deux parties de la ficelle de part et d’autre du crayon complètement à plat et tendues, marquez tous les points possibles. Tous les points px, yq de l’ellipse satisfont l’équation x 2 y2 ` 2 “ 1. a2 b Les paramètres a et b déterminent la forme de l’ellipse. Les foyers F1 et F2 sont les points où vous avez mis les épingles pour fixer les deux extrémités de la ficelle. Les coordonnées des foyers sont F1 “ p´c, 0q et F2 “ pc, 0q, ? où la constante c appelée distance focale est égale à c “ a2 ´ b2 . L’excentricité de l’ellipse est donnée par l’équation : c b2 c ε “ 1´ 2 “ . a a Le paramètre ε (la lettre grecque epsilon) varie entre 0 et 1 et décrit à quel point la forme de l’ellipse diffère de la forme d’un cercle. Lorsque ε “ 0, l’ellipse est un cercle de rayon a et les deux foyers sont situés au centre. Plus ε est grand, plus la différence entre la longueur du demi-grand axe et celle du demi-petit axe augmente et l’ellipse devient plus allongée.

Coordonnées polaires Considérons le système de coordonnée polaires dont le pôle est placé au foyer F2 . On peut décrire l’ellipse en donnant la fonction

6.5 ELLIPSE

131

r2 pθq, qui spécifie la distance du point E à F2 en fonction de l’angle θ, comme indiqué sur la figure 6.21. Rappelons que pour les fonctions en coordonnées polaires l’angle θ est la variable indépendante qui varie entre 0 et 2π (360˝ ) et la variable dépendante décrit la distance au pôle, ici r2 pθq. E r2 pθq

θ F2

F IGURE 6.21 La fonction r2 pθq donne la distance du point E au foyer F2 .

La fonction qui décrit l’ellipse en coordonnées polaires est r2 pθq “

ap1 ´ ε2 q , 1 ` ε cos θ

où l’angle θ est mesuré à partir du demi-grand axe de l’ellipse. La distance est minimale quand θ “ 0, alors r2 p0q “ a ´ c “ ap1 ´ εq. Elle est maximale quand θ “ π et alors r2 pπq “ a ` c “ ap1 ` εq.

Calcul de l’orbite de la terre Le mouvement de la terre autour du soleil se fait le long d’une ellipse dont le soleil est l’un des foyers, ici nous choisissons F2 . Nous pouvons donc utiliser la formule r2 pθq en coordonnées polaires pour déterminer la distance de la terre au soleil. L’excentricité de l’orbite de la terre est ε “ 0,01671123 et la demi-longueur du grand axe est a “ 149 598 261 km. Nous plaçons ces valeurs dans la formule générale r2 pθq et nous obtenons l’équation : r2 pθq “

149 556 484 km. 1 ` 0,01671123 cos θ

Le point où la terre est le plus proche du soleil s’appelle le périhélie. La terre y passe quand θ “ 0, ce qui arrive aux environs du 3 janvier. Le point où la terre est le plus éloignée du soleil s’appelle l’aphélie et correspond à θ “ π. Le passage de la terre à l’aphélie se produit aux environs du 3 juillet.

132

GÉOMÉTRIE

Nous pouvons utiliser la fonction r2 pθq pour prédire les distances de la terre au soleil au périhélie et à l’aphélie : r2,péri “ r2 p0q “ r2,aphe “ r2 pπq “

149556483 “ 147 098 290 km, 1 ` 0,01671123 cos 0

149556483 “ 152 098 232 km. 1 ` 0,01671123 cos π

Cherchez pour « distance périhélie » et « distance aphélie » sur Google et vérifiez que les calculs si dessus sont corrects. C’est quand-même cool quand les équations mathématiques peuvent décrire les mouvements planétaires.

F IGURE 6.22 L’orbite de la terre autour du soleil. Les points remarquables sont signalés ainsi que les saisons dans l’hémisphère nord.

L’angle θ indiqué sur la figure 6.21 est une fonction du temps θptq. La formule exacte de cette fonction θptq est vraiment compliquée et nous n’en donnerons pas le détail. Regardons simplement les valeurs de θptq données dans la table 6.2, avec le temps t compté en jours en commençant le 3 janvier.

Newton et la gravitation Contrairement à ce que l’on croit souvent, Newton n’a pas découvert sa théorie sur la gravitation à cause d’une pomme tombée sur sa tête lorsqu’il était assis sous un arbre. Ce qui est réellement arrivé c’est qu’il est parti des lois de Képler sur le mouvement des planètes, qui décrivent exactement l’orbite elliptique de la terre. Newton se

6.6 PARABOLE

t en jours t date θptq en ˝ θptq en rad

1 3 jan. 0 0

2 4 jan.

. . . .

133

182 3 juillet 180 π

. . . .

365 2 janvier 359.7614 6.2790

365.2422 ? 360 2π

TABLE 6.2 La position angulaire de la terre varie dans le temps. Remarquez que « l’excédent de jours » dans chaque année est à peu près de 14 “ 0.25. On tient compte de cette différence en ajoutant un jour supplémentaire au calendrier tous les quatre ans (année bissextile).

demanda, « Quel genre de force amènerait deux corps à tourner l’un autour de l’autre en suivant une orbite elliptique ? » Il détermina que la force de gravitation entre le soleil de masse M et la terre de masse m devait être de la forme Fg “ GMm . r2 Donnons le crédit à Newton pour avoir relié les points, à Johannes Képler pour avoir étudié les périodes sur les orbites et à Tycho Brahé pour toutes les mesures astronomiques, mais il faut surtout remercier l’ellipse d’avoir une forme aussi significative !

Exercices 2

y2

E6.10 Les foyers de l’ellipse d’équation xa2 ` b2 “ 1 sont F1 “ p´c, 0q et F2 “ pc, 0q comme montré sur la figure 6.20. Utilisez la définition de l’ellipse r1 ` r2 “ const. pour calculer la valeur du paramètre c en termes des paramètres a et b. Indice: calculez la somme des longueurs r1 ` r2 pour l’ellipse aux sommets S2 “ pa, 0q et S3 “ p0, bq et écrivez que les deux résultats sont égaux.

Liens [ Graphe interactif d’une ellipse ] https://www.desmos.com/calculator/kgmh67lroj [ Lectures recommandées sur la géométrie de l’orbite terrestre ] http://www.physicalgeography.net/fundamentals/6h.html

6.6

Parabole

La parabole, comme l’ellipse, est une figure géométrique de grande importance. Dans cette section, nous allons étudier les paraboles en

134

GÉOMÉTRIE

utilisant leurs propriétés géométriques et aussi en utilisant leurs équations algébriques.

Paramètres La figure 6.23 montre une parabole et ses paramètres : — f : la distance focale de la parabole — F “ p0, f q : le foyer de la parabole — tpx, yq P R2 | y “ ´ f u : la directrice de la parabole — r : la distance du point P de la parabole au foyer F — ` : la distance du point P de la parabole à la directrice y y “ 14 x2

2

1

F

r

P

` ´2

´1

directrice

0 ´1

1

x

2

D

F IGURE 6.23 La parabole est définie géométriquement comme l’ensemble des points P pour lesquels la distance r au foyer est égale à la distance ` à la directrice. La figure montre le point P de la parabole qui est à la distance r “ 2 du foyer F et à la distance ` “ 2 du point D de la directrice. Cette parabole peut être décrite algébriquement par l’équation y “ 41 x2 .

Définition géométrique La forme d’une parabole est déterminée par le seul paramètre f , la distance focale. Pour une parabole de distance focale f , le foyer se trouve au point F “ p0, f q et la directrice a pour équation y “ ´ f . La parabole est définie comme l’ensemble des points P pour lesquels la distance au foyer et la distance à la directrice sont égales : r “ `,

où r “ dpP, Fq est la distance du point P au foyer F et ` “ dpP, Dq est la distance de P au point D sur la directrice. La figure 6.23 montre une parabole ouverte vers le haut, de distance focale f “ 1 et dont le sommet est à l’origine. La parabole est l’ensemble des points qui sont à égale distance du foyer F “ p0, 1q et de la directrice qui est ici la droite d’équation y “ ´1.

6.6 PARABOLE

135

Équation de la parabole La forme de la parabole de distance focale f ouverte vers le haut correspond au graphe de la fonction du second degré f pxq “ 41f x2 . C’est un cas particulier de la formule générale des fonctions du second degré f pxq “ apx ´ hq2 ` k, qui vous est déjà familière depuis la section 5.3 (voir page 100). La parabole montrée dans la figure 6.23 a son sommet à l’origine et les paramètres h et k sont tous les deux égaux à 0. Le coefficient a de la formule générale est lié à la distance focale f par la relation a “ 41f , aussi dans le cas où la distance focale

est f “ 1 le coefficient est a “ 14 . Voir la figure 6.23. La formule y “ 41f x2 est caractéristique du cas d’une parabole ouverte vers le haut. Des expressions algébriques analogues existent pour les paraboles s’ouvrant vers le bas ou sur les côtés. La parabole de distance focale f s’ouvrant vers le bas a son foyer en p0, ´ f q et son équation est y “ ´ 41f x2 . Les paraboles s’ouvrant vers la gauche ou vers la droite ont pour équations respectives x “ ´ 41f y2 et x “ 41f y2 . En utilisant vos connaissances sur l’effet des variations des paramètres h et k sur les trinômes du second degré, vous pourrez aussi obtenir les équations de paraboles qui n’ont pas leur foyer à l’origine.

Coordonnées polaires Dans la section précédente nous avons pu relier la définition géométrique de la parabole à des expressions algébriques du second degré. Quand on étudie les maths, il est important de prendre bonne note de toutes les relations de ce type car ce sont des ponts qui relient différents domaines des mathématiques. Si un jour vous aviez à résoudre un problème géométrique faisant intervenir des paraboles, vous saurez que vous pouvez utiliser les équations des paraboles et résoudre votre problème en utilisant l’algèbre. Si une autre fois vous rencontrez un problème d’algèbre sur des fonctions du second degré, vous pourrez représenter ces fonctions par des paraboles et traiter le problème en utilisant des raisonnements géométriques. La véritable maîtrise des maths, c’est quand vous serez capable de voyager librement entre les domaines mathématiques en utilisant les « ponts » qui les relient. En vue de la construction d’autres ponts, je voudrais vous donner l’équation d’une parabole en coordonnées polaires. Nous choisissons un système de coordonnées polaires ayant pour pôle le foyer F. L’équation en coordonnées polaires de la parabole de distance focale

136

GÉOMÉTRIE

f et s’ouvrant vers la gauche est rpθq “

2f . 1 ` cos θ

La figure 6.24 montre un exemple dans le cas particulier où la distance focale est f “ 1. Portez les valeurs θ “ 0 et θ “ 90˝ ( π2 radians) dans l’équation polaire et vérifiez que l’on obtient bien des points de la parabole.

F IGURE 6.24

La parabole d’équation polaire rpθq “

2 1`cos θ .

L’essentiel de ce que je voudrais que vous reteniez de cette section est que les formules algébriques permettent de décrire des formes géométriques. La parabole représentée à la figure 6.24 peut être définie de trois façons équivalentes : géométriquement par son foyer à l’origine, sa distance focale f “ 1 et sa directrice x “ 2, ou bien algébriquement par la relation x “ 1 ´ 41 y2 en coordonnées cartésiennes 2 ou encore par la formule rpθq “ 1`cos θ en coordonnées polaires.

Applications Les formes paraboliques ont une importance particulière dans les domaines de l’optique et des communications. En utilisant des lentilles et des miroirs paraboliques on peut focaliser en un seul point l’énergie venant d’une source lointaine. Ceci est dû aux propriétés de réflexion des paraboles, qui établissent que tous les rayons lumineux venant de très loin sont réfléchis en direction du foyer de la parabole. Cette propriété de la parabole la rend très utile dans de nombreuses applications pratiques où interviennent des phénomènes de réflexion.

6.6 PARABOLE

137

F IGURE 6.25 Grâce à la propriété de réflexion des paraboles, toutes les ondes radio venant de l’infini seront renvoyées vers le foyer de la parabole.

La figure 6.25 illustre la mise en place d’un scénario de communication radio dans lequel une station au sol veut détecter un signal venu d’un satellite en orbite. Le satellite est très loin et son signal reçu sur la terre est très faible. En utilisant une antenne parabolique nous pouvons recevoir le signal sur une grande surface et le concentrer au foyer de la parabole. Si on place un récepteur radio au foyer de la parabole, il recevra un signal très fort puisque toute la puissance reçue par l’antenne est renvoyée sur le foyer par réflexion.

Exercices E6.11 Considérons un point quelconque P “ px, yq de la parabole de distance focale f ayant son sommet à l’origine comme on le voit sur la figure 6.23. Utilisez la définition géométrique de la parabole r “ ` pour obtenir une relation entre les coordonnées x et y du point P. Indice: la distance entre deux points A “ pA x , Ay q et B “ pBx , By q est b donnée par la formule dpA, Bq “ pA x ´ Bx q2 ` pAy ´ By q2 . Indice: rappelons les définitions r “ dpP, Fq et ` “ dpP, Dq.

Liens [ Graphe interactif d’une parabole ] https://www.desmos.com/calculator/4ddfrv7wvx [ Vous trouverez plus d’infos à propos des paraboles sur Wikipédia ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Parabole

138

6.7

GÉOMÉTRIE

Hyperbole

L’hyperbole est une autre courbe géométrique qui apparaît souvent dans la nature.

Paramètres — — — — —

F1 , F2 : les deux foyers de l’hyperbole r1 : la distance d’un point de l’hyperbole au foyer F1 r2 : la distance d’un point de l’hyperbole au foyer F2 a : la distance des sommets S1 et S2 à l’origine b : la distance du foyer à l’asymptote la plus proche. C’est aussi l’ordonnée du point de l’asymptote au-dessus du sommet. — c : la distance focale est la distance des foyers au centre de l’hyperbole. La distance de F1 à F2 est égale à 2c. b 2 — ε : l’excentricité de l’hyperbole, ε “ 1 ` ba2 “ ac

F IGURE 6.26 Le graphe de l’hyperbole unité x2 ´ y2 “ 1. a deux bLe graphe ? branches ouvertes sur les côtés et son excentricité est ε “ 1 ` 11 “ 2.

Le graphe d’une hyperbole est formé de deux branches séparées, comme on le voit sur la figure 6.26. Les lignes en pointillé sont appelées les asymptotes de l’hyperbole. Le graphe de l’hyperbole s’approche de ces lignes mais ne les touche jamais. Les équations des asymptotes sont y “ ba x et y “ ´ ba x.

Définition L’hyperbole est la courbe qui joint les points tels que la valeur absolue de la différence des distances aux deux foyers est une constante donnée : |r1 ´ r2 | “ const.

6.7 HYPERBOLE

139

Tous les points px, yq de l’hyperbole satisfont l’équation x 2 y2 ´ 2 “ 1. a2 b Les coordonnées des deux foyers sont : F1 “ p´c, 0q

et

F2 “ pc, 0q,

? ou c est la distance focale donnée par l’équation c “ a2 ` b2 . Let coordonnées des sommets S1 et S2 de l’hyperbole sont p´a, 0q et pa, 0q. L’excentricité de l’hyperbole est définie par l’équation c b2 c ε “ 1` 2 “ . a a L’excentricité d’une hyperbole est un nombre plus grand que 1 qui détermine sa forme. Rappelons que la forme de l’ellipse aussi était définie par son excentricité quoique la formule soit légèrement différente. Cela pourrait être une coïncidence — ou y a-t-il une connexion ? Nous verrons.

Trigonométrie hyperbolique Les fonctions trigonométriques sin et cos sont attachées à la géométrie du cercle unité. Le point P “ pcos θ, sin θq décrit le cercle unité lorsque l’angle θ varie de 0 à 2π. La fonction cos θ est définie comme l’abscisse du point P et sinpθq est son ordonnée. L’étude de la géométrie des points sur le cercle unité conduit à la trigonométrie circulaire.

F IGURE 6.27 Les fonctions cosh µ et sinh µ sont définies comme abscisse et ordonnée d’un point de l’hyperbole x2 ´ y2 “ 1.

Au lieu d’un point P du cercle unité x2 ` y2 “ 1, considérons un point Q de l’hyperbole unité x2 ´ y2 “ 1. Pour définir les coordonnées du point Q nous allons maintenant définir les équivalents

140

GÉOMÉTRIE

hyperboliques des fonctions sin et cos. C’est ce qu’on appelle la trigonométrie hyperbolique. N’est-ce pas impressionnant ? La prochaine fois que vos amis vous demanderont ce que vous faites, dites leur que vous étudiez la trigonométrie hyperbolique. Les coordonnées du point Q sur la branche de droite de l’hyperbole unité sont Q “ pcosh µ, sinh µq, où µ est l’angle hyperbolique. L’abscisse du point Q est x “ cosh µ et son ordonnée est y “ sinh µ. Le nom d’angle hyperbolique est un peu trompeur, puisqu’en fait µ mesure une aire et non un angle. L’aire de la région colorée de la figure 6.27 correspond à 12 µ. Rappelons l’identité trigonométrique cos2 θ ` sin2 θ “ 1, qui signifie que tous les points px, yq du cercle unité vérifient x2 ` y2 “ 1. Il y a une identité analogue pour la trigonométrie hyperbolique : cosh2 µ ´ sinh2 µ “ 1. Cette identité est vraie parce que nous avons défini x “ cosh µ et y “ sinh µ comme les coordonnées d’un point Q qui se déplace sur l’hyperbole unité x2 ´ y2 “ 1. 3

cosh µ

y

2

1

µ ´3

´2

0

´1

1

2

3

´1

sinh µ

´2 ´3

F IGURE 6.28

Les graphes des fonctions cosh µ et sinh µ.

Les fonctions hyperboliques sont reliées à la fonction exponentielle par les formules suivantes : cosh µ “ et donc

e µ ` e ´µ , 2

sinh µ “

eµ “ cosh µ ` sinh µ.

e µ ´ e ´µ , 2

6.7 HYPERBOLE

141

Rappelons qu’une fonction f est paire si pour tout x on a f p´xq “ f pxq et qu’une fonction g est impaire si pour tout x on a gp´xq “ ´gpxq. La fonction cosh est paire, alors que sinh est impaire. Vous pouvez penser à cosh x comme à la « partie paire » de e x et à sinh x comme à la « partie impaire » de e x . Ne vous inquiétez pas trop au sujet de cosh µ et de sinh µ. Les fonctions trigonométriques hyperboliques sont beaucoup moins utilisées que les fonctions trigonométriques circulaires cos θ and sin θ. Ce qu’il faut surtout retenir c’est la règle générale : dans les deux cas, les fonctions cosinus représentent des coordonnées horizontales et les fonctions sinus représentent des coordonnées verticales.

Les coniques Il y a une relation profonde entre les formes géométriques du cercle, de l’ellipse, de la parabole et de l’hyperbole. Ces formes apparemment très dissemblables peuvent être obtenues, du point de vue de la géométrie, à partir d’un seul objet : le cône. Nous pouvons obtenir ces quatre courbes en coupant le cône par un plan sous différents angles, comme on peut le voir sur la figure 6.29.

cercle

ellipse

parabole

hyperbole

F IGURE 6.29 En prenant les sections planes d’un cône sous différents angles on obtient les formes géométriques des différentes coniques : cercle, ellipse, parabole ou hyperbole.

Coniques en coordonnées polaires En coordonnées polaires, les quatre sections coniques ont des équations de même forme : rpθq “

qp1 ` εq , 1 ` ε cos θ

où q est la distance de la courbe au foyer le plus proche et ε est son excentricité. Pour un cercle q “ R (le rayon) et l’excentricité est ε “ 0. Pour une ellipse q “ ap1 ´ εq et l’excentricité varie entre 0 et 1 (0 ď ε ă 1). Nous incluons la valeur ε “ 0 parce qu’un cercle est

142

GÉOMÉTRIE

un cas particulier d’ellipse. Pour une parabole q “ f (la distance focale) et l’excentricité est ε “ 1. Pour une hyperbole q “ apε ´ 1q et l’excentricité est ε ą 1. Nous pouvons utiliser le paramètre d’excentricité ε pour classifier les quatre courbes. Suivant la valeur de ε, l’équation rpθq définit un cercle, une ellipse, une parabole, ou une hyperbole. La table 6.4 résume toutes nos observations sur les sections coniques.

Section conique Équation x2

Cercle

2

Ellipse

x a2

Parabole

y2

Hyperbole

2

x a2

` y2

“

`

“1

y2 b2

R2

“ 4fx ´

y2 b2

“1

Équation polaire

Excentricité

rpθq “ R

ε“0 b 2 ε “ 1´ ba2 , 0 ď ε ă 1

rpθq “ rpθq “ rpθq “

ap1´ε2 q 1`ε cos θ 2f 1`cos θ apε2 ´1q 1`ε cos θ

ε“1 b 2 ε “ 1` ba2 , 1 ă ε ă 8

TABLE 6.4 Les quatre sections coniques et leurs formules.

F IGURE 6.30 Quatre trajectoires différentes pour un satellite se déplaçant près d’une planète.

Le mouvement des planètes est expliqué par les lois de Newton sur la gravitation. L’interaction entre deux corps due à la gravitation amène toujours un des deux corps à décrire une conique dont l’autre corps est l’un des foyers. La figure 6.30 illustre quatre trajectoires différentes pour un satellite passant près d’une planète F. Le cercle

6.7 HYPERBOLE

143

(ε “ 0) et l’ellipse (0 ď ε ă 1) correspondent aux orbites fermées, dans lesquelles le satellite est capturé dans le champ gravitationnel de la planète F et reste en orbite pour toujours. La parabole (ε “ 1) et l’hyperbole (ε ą 1) sont des orbites ouvertes, dans lesquelles le satellite vient passer près de la planète F et repart à l’infini.

Liens [ Graphe interactif d’une hyperbole ] https://www.desmos.com/calculator/2mnsk5o8vn [ Plus d’informations sur les coniques sur Wikipédia ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperbole_(mathématiques) https://fr.wikipedia.org/wiki/Conique https://fr.wikipedia.org/wiki/Excentricité_(mathématiques) [ Une discussion approfondie sur les sections coniques (en anglais) ] http://astrowww.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs/celm2.pdf *** J’aimerais bien continuer cette digression géométrique et vous en dire plus sur les propriétés des sections coniques, mais nous devons passer à autre chose maintenant. Nous devons discuter d’un sujet mathématique plus important en pratique : les vecteurs.

Chapitre 7

Vecteurs Dans ce chapitre, nous allons apprendre à manipuler des objets appelés vecteurs qui « vivent » dans des espaces multidimensionnels. Les vecteurs sont un moyen précis pour décrire les directions et les déplacements. À l’origine les vecteurs ont été utilisés par les physiciens pour représenter des quantités comme les positions, les vitesses, les accélérations et les forces. Avec le temps on s’est rendu compte de l’utilité générale des vecteurs dans d’autres domaines des sciences, de la technologie et du commerce. De nos jours les vecteurs sont utilisés partout : en informatique, en chimie, en biologie, en statistique, en apprentissage automatique et dans bien d’autres domaines. y

~v

vx

vy

x

F IGURE 7.1 Le vecteur ~v “ p3, 2q est une flèche dans le plan cartésien. Sa composante horizontale est v x “ 3. Sa composante verticale est vy “ 2.

Les vecteurs sont construits à partir de leurs composantes qui sont des nombres ordinaires. Vous pouvez penser à un vecteur comme à une liste de nombres et à l’algèbre vectorielle comme à des opérations que l’on fait sur les nombres de la liste. Les vecteurs peuvent aussi être manipulés comme des objets géométriques représentés par des flèches dans l’espace. Par exemple on peut voir le vecteur ~v “ pv x , vy q comme une flèche qui commence à l’origine p0, 0q et finit au point 145

146

VECTEURS

pv x , vy q. Le mot vecteur vient du Latin vehere, qui signifie transporter. On peut dire que le vecteur ~v prend un point, par exemple ici p0, 0q et le transporte au point pv x , vy q. Ce chapitre présente les vecteurs et les opérations sur les vecteurs. Ce que vous apprendrez ici s’applique aux problèmes en infographie 3D, apprentissage automatique, théorie des probabilités et autres domaines des sciences et des mathématiques. De nos jours les vecteurs sont utilisés partout et vous avez donc intérêt à bien les connaître.

F IGURE 7.2 Cette figure illustre les nouveaux concepts reliés aux vecteurs. Comme vous pouvez le voir, il y a beaucoup de nouveau vocabulaire à apprendre, mais ne vous en faites pas — tous ces termes ne sont là que pour parler des directions dans l’espace.

7.1

Vecteurs et déplacements

Les vecteurs sont des instructions pour aller d’un point à un autre. Ces instructions sont données par rapport à un système de coordonnées. Avant de rentrer dans les détails, commençons par regarder un exemple simple. Pendant que vous êtes en Colombie Britannique vous voulez visiter un certain endroit en plein air dont un ami vous a parlé. Votre ami n’est pas disponible pour vous y emmener lui-même, mais il vous a envoyé les instructions pour y aller à partir de l’arrêt du bus. Sup G. Va à l’arrêt du bus numéro 345. Apporte une boussole. Marche 2 km vers le nord et 3 km vers l’est. Là tu trouveras X.

Ce message texto contient toute l’information dont vous avez besoin pour trouver X.

7.1 VECTEURS ET DÉPLACEMENTS

147

Acte 1 : Suivre les directions Vous arrivez à l’arrêt d’autobus qui est situé au sommet d’une colline. Depuis cette hauteur vous pouvez voir toute la vallée. Le long de la colline en-dessous s’étend un beau champ de grandes cultures. Les cultures sont si hautes qu’elles empêcheraient quiconque qui s’y trouverait de voir au loin ; heureusement que vous avez une boussole. Vous alignez l’aiguille de la boussole pour que la flèche rouge pointe vers le nord, vous marchez pendant 2 km vers le nord, puis vous tournez de 90˝ à droite (vers l’est) et vous marchez encore 3 km pour arriver en X. OK, revenons aux vecteurs. Dans notre cas, les directions peuvent ~ qui s’exprime par : aussi être écrites comme un vecteur d, ˆ ` 3km E. ˆ d~ “ 2km N Cette expression mathématique correspond aux instructions « Marche ˆ est une direction et le 2 km vers le nord puis 3 km vers l’est. » Ici N nombre qui est devant nous dit la distance que nous devons marcher dans cette direction. Acte 2 : Directions équivalentes Plus tard pendant vos vacances, vous décidez de retourner à l’endroit X parce que vous avez bien aimé la végétation à cet endroit. En arrivant à la station de bus, vous apercevez qu’il y a un obstacle sur la route à un kilomètre vers le nord, ce qui vous empêche de suivre les directions comme la dernière fois (2 km vers le nord d’abord puis 3 km vers l’est). Pouvez-vous trouver une autre route pour aller à X ? «Utilise les maths Luke, utilise les maths!»

Rappelons la propriété de commutativité de l’addition des nombres a ` b “ b ` a. Peut-être qu’on a une propriété analogue pour les vecteurs ? En fait, oui on l’a : ˆ ` 3km Eˆ “ 3km Eˆ ` 2km N. ˆ d~ “ 2km N ˆ et Eˆ obéissent à la propriété Les déplacements dans les directions N de commutativité. Puisque les directions peuvent être suivies dans n’importe quel ordre, vous pouvez commencer par marcher les 3 km vers l’est, ensuite marcher les 2 km vers le nord et vous arriverez encore à X.

148

VECTEURS

Acte 3 : Efficacité Il faut 5 km de marche pour aller de l’arrêt de bus au point X et 5 km de plus pour retourner à l’arrêt de bus. Donc au total il faut 10 km de marche chaque fois que vous voulez aller en X. Pouvez-vous trouver un chemin plus court ? Quelle est la façon la plus directe pour aller de l’arrêt de bus à votre destination ? Au lieu de marcher dans les directions est et nord, il serait plus rapide de prendre la diagonale vers la destination. Vous pouvez calculer la longueur de la diagonale par le théorème de Pythagore. Si les ? 2 côtés sont ? de longueur 3 et 2, la diagonale a pour longueur 3 ` 22 “ ? 9 ` 4 “ 13 “ 3,61. La longueur de la route si on prend la diagonale n’est que de 3,6 km, ce qui signifie qu’au total la route diagonale vous fait économiser 1,4 km de marche à l’aller et autant au retour.

Discussion Les vecteurs sont des instructions pour aller d’un point à un autre. Pour indiquer les directions sur une carte nous utilisons les quatre ˆ E, ˆ Toutefois en maths nous n’utiliseˆ S, ˆ O. directions cardinales : N, ˆ “ yˆ — qui rons que deux des directions cardinales — Eˆ “ xˆ et N correspondent à la façon habituelle d’indiquer les directions dans le plan cartésien. Nous n’avons pas besoin de la direction Sˆ parce que nous pouvons représenter les distances dans cette direction comme ˆ De même, Oˆ est la même des distances négatives dans la direction N. ˆ chose que Eˆ négatif, Oˆ “ ´E. À partir de maintenant, quand nous parlerons de vecteurs, nous les donnerons toujours dans le système de coordonnées standard xˆ et yˆ et utiliserons la notation avec des parenthèses : ˆ pv x , vy q “ v x xˆ ` vy y. La notation avec les parenthèses est utilisée souvent parce qu’elle est plus compacte, ce qui est une bonne chose parce que nous allons faire beaucoup de calculs avec les vecteurs. Au lieu d’écrire explicitement toutes les directions, nous supposerons automatiquement que le premier nombre dans les parenthèses est la distance dans la direction xˆ ˆ et le deuxième nombre est la distance dans la direction y.

7.2

Vecteurs

Les vecteurs sont très utiles dans différents domaines de la vie. En physique, par exemple, on se sert d’un vecteur pour représenter la vitesse d’un objet. Il ne suffit pas de dire que la vitesse d’une balle

7.2 VECTEURS

149

de tennis est de 200 kilomètres par heure, nous devons aussi préciser la direction dans laquelle la balle se déplace. Les deux expressions

~v1 “ p200, 0q

et

~v2 “ p0, 200q

décrivent des mouvements à la vitesse de 200 kilomètres par heure, mais ces deux vitesses sont dans des directions complètement différentes puisque l’une est dirigée suivant l’axe des x alors que l’autre est dirigée suivant l’axe des y. Le vecteur vitesse donne des informations sur la grandeur de la vitesse et sur sa direction. La direction fait une grande différence. S’il s’avère que la balle de tennis se dirige vers vous, il vaut mieux vous retirer de son chemin ! L’idée principale qu’il faut comprendre dans ce chapitre est qu’un vecteur n’est pas la même chose qu’un nombre. Un vecteur est un objet mathématique qui est composé de plusieurs nombres. Avant de commencer à calculer avec des vecteurs, nous devrons nous pencher sur les opérations de base que l’on peut faire avec eux. Nous définirons l’addition des vecteurs ~u ` ~v, la soustraction des vecteurs ~u ´ ~v, la multiplication d’un vecteur par un nombre α~v et quelques autres opérations. Nous discuterons aussi des propriétés géométriques des vecteurs et de deux notions différentes de produit de vecteurs.

Définitions Un vecteur ~v dans un espace à deux dimensions est représenté comme une paire de nombres :

~v “ pv x , vy q. Le nombre réel v x est la composante en x du vecteur et vy est sa composante en y. Nous allons noter R2 l’ensemble des vecteurs en dimension deux, puisqu’il faut donner deux nombres réels pour spécifier leurs composantes. Nous utiliserons l’expression mathématique « ~v P R2 » pour indiquer que ~v est un vecteur dans un espace à deux dimensions. Les vecteurs de R2 peuvent être représentés comme des flèches dans le plan cartésien. Voir l’exemple du vecteur ~v “ p3, 2q illustré dans la figure 7.1 à la page 145. Nous pouvons également définir des vecteurs en dimension trois comme le vecteur ~v “ pv x , vy , vz q P R3 qui a trois composantes. En dimension trois, les vecteurs peuvent être représentés par des flèches dans un système de coordonnées à trois axes, comme celui montré dans la figure 7.10 à la page 161. Le système de coordonnées en trois dimensions est similaire au plan cartésien que vous connaissez déjà, mais on y ajoute l’axe des z pour mesurer la « hauteur » au dessus du plan cartésien. Le vecteur ~v “ pv x , vy , vz q correspond aux instructions

150

VECTEURS

de déplacement suivantes : « Allez v x unités dans le sens de l’axe des x, puis déplacez vous vy unités le long de l’axe des y et enfin allez vz unités dans le sens de l’axe des z. » Il n’y a pas de limite au nombre de dimensions pour les vecteurs. On peut parler de vecteurs dans un espace à n dimensions, qui sont de la forme ~v “ pv1 , v2 , . . . , vn q P Rn . Par souci de simplicité nous donnerons toutes les définitions des opérations vectorielles pour les vecteurs en dimensions deux. Cependant, sauf indications contraires dans le texte, toutes les formules données pour les vecteurs en dimension deux comme ~v P R2 , s’appliquent également pour les vecteurs en dimension n, ~v P Rn . Opérations sur les vecteurs Soient deux vecteurs ~u “ pu x , uy q P R2 , ~v “ pv x , vy q P R2 et α P R une constante. On peut définir les opérations suivantes pour ces vecteurs : — Addition : ~u ` ~v “ pu x ` v x , uy ` vy q

— Soustraction : ~u ´ ~v “ pu x ´ v x , uy ´ vy q

— Multiplication par un nombre : α~u “ pαu x , αuy q

— Produit scalaire : ~u ¨ ~v “ u x v x ` uy vy b ? — Longueur : }~u} “ ~u ¨ ~u “ u2x ` u2y . La longueur d’un vec-

teur est aussi appelée la norme du vecteur. On note parfois u la longueur du vecteur ~u.

Remarquez qu’il n’est pas question de division pour les vecteurs. Pour les vecteurs en dimension trois ~u “ pu x , uy , uz q P R3 et ~v “ pv x , vy , vz q P R3 , nous pouvons définir l’opération produit vectoriel : ~u ˆ ~v “ puy vz ´ uz vy , uz v x ´ u x vz , u x vy ´ uy v x q. Le produit scalaire et le produit vectoriel sont des opérations mathématiques que vous n’avez probablement jamais vues auparavant. Bien qu’on les appelle « produits », ces opérations sont très différentes du produit de deux nombres. Nous parlerons davantage des produits scalaires et vectoriels dans la section 7.4. Commençons par les idées de base. Représentation des vecteurs Nous utiliserons trois façons équivalentes de représenter les vecteurs en dimension deux : — ~v “ pv x , vy q : notation avec les composantes. Le vecteur est représenté par deux composantes ou coordonnées, la première suivant l’axe des x et la seconde suivant l’axe des y.

7.2 VECTEURS

151

— ~v “ v x ıˆ ` vy ˆ : notation avec les vecteurs unitaires. Le vecteur est représenté en utilisant une combinaison des vecteurs unitaires ıˆ “ p1, 0q et ˆ “ p0, 1q.

— ~v “ }~v}=θ : notation par longueur et direction (coordonnées polaires). Le vecteur est exprimé par sa longueur notée }~v} et l’angle θ qu’il fait avec l’axe des x. y

~v “ pvx , vy q }~v}

vy ˆ

θ v x ıˆ

ˆ ıˆ

F IGURE 7.3

x

Le vecteur ~v “ pv x ,vy q “ v x ıˆ ` vy ˆ “ }~v}=θ.

La notation avec les composantes est plus compacte et on l’utilise pour faire les calculs d’algèbre vectorielle. La notation avec les vecteurs unitaires montre explicitement que le vecteur ~v est la somme de v x ıˆ (un déplacement de v x unités dans le sens de l’axe des x) et vy ˆ (un déplacement de vy unités dans le sens de l’axe des y). La notation par longueur et direction décrit le vecteur ~v comme un déplacement de longueur }~v} dans la direction de l’angle θ. Nous utiliserons ces trois notations dans le reste du livre et nous apprendrons à passer des unes aux autres.

Algèbre vectorielle Regardons les opérations vectorielles de plus près. Addition et soustraction Comme on le faisait avec les nombres, on peut ajouter les vecteurs

~v ` w ~ “ pv x , vy q ` pwx , wy q “ pv x ` wx , vy ` wy q, les soustraire

~v ´ w ~ “ pv x , vy q ´ pwx , wy q “ pv x ´ wx , vy ´ wy q, et ainsi résoudre toutes sortes d’équations où l’inconnue est un vecteur. Ce n’est pas un nouveau développement mathématique exagérément compliqué. Effectuer ces calculs arithmétiques sur les vec-

152

VECTEURS

teurs ne demande que de faire les opérations arithmétiques habituelles sur leurs composantes. Par exemple la différence des deux ~ “ p3, 7q est ~v ´ w ~ “ p4, 2q ´ p3, 7q “ p1, ´5q. vecteurs, ~v “ p4, 2q et w Multiplication par un nombre Nous pouvons multiplier un vecteur par un nombre α P R : α~v “ pαv x , αvy q,

où chaque composante est multipliée par le nombre α. Si on multiplie un vecteur par un nombre, on change sa longueur. Si α ą 1 le nouveau vecteur est plus long, et si 0 ď α ă 1 le nouveau vecteur est plus court. Si α est négatif, le vecteur α~v sera dirigé dans la direction opposée à celle du vecteur ~v. En particulier on peut remarquer que ~v ´ w ~ “ ~v ` p´1qw ~. Longueur La longueur (ou norme) d’un vecteur s’obtient par le théorème de Pythagore. En dimension deux, il suffit de penser à un triangle rectangle dont un côté est de longueur v x et l’autre de longueur vy ; la longueur du vecteur est la longueur de l’hypoténuse de ce triangle : b }~v}2 “ v2x ` v2y ñ }~v} “ v2x ` v2y . On peut multiplier un vecteur ~v par l’inverse de sa longueur }~v1} pour obtenir un vecteur unitaire qui pointe dans la même direction que ~v : ˆ ˙ ~v v x vy “ , . vˆ “ }~v} }~v} }~v}

Les vecteurs unitaires, vecteurs de longueur 1 (signalés par un chapeau au lieu d’une flèche) sont utiles quand on veut parler d’une direction dans l’espace en évitant de lui attacher une longueur partiˆ “ 1. culière. Vérifiez que }v}

Les vecteurs vus comme des flèches Nous avons montré comment effectuer des opérations algébriques sur les vecteurs à partir de leurs composantes, mais les opérations sur les vecteurs peuvent aussi se faire géométriquement, comme des opérations sur des flèches dans le plan cartésien. Addition des vecteurs La somme de deux vecteurs correspond au déplacement combiné des deux vecteurs. La figure 7.4 montre l’addition de deux vecteurs, ~v1 “ p3, 0q et ~v2 “ p2, 2q. La somme de ces deux vecteurs est le vecteur ~v1 ` ~v2 “ p3, 0q ` p2, 2q “ p5, 2q.

7.2 VECTEURS

~v1 + ~v2 = (5, 2)

153

~v2 = (2, 2)

~v1 = (3, 0) F IGURE 7.4 L’addition des vecteurs ~v1 et ~v2 donne le vecteur p5, 2q.

Soustraction de vecteurs Commençons par remarquer que si on multiplie un vecteur par le facteur α “ ´1, on obtient un vecteur de même longueur mais dirigé en sens inverse. La soustraction d’un vecteur est la même chose que l’addition de son opposé :

~ ´ ~v1 “ w ~ ` p´~v1 q “ ~v2 . w −~v1 = (−3, 0) ~v2 = (2, 2)

w ~ = (5, 2) ~v1 = (3, 0)

~ ´ ~v1 équivaut à l’addition w ~ ` p´~v1 q, où F IGURE 7.5 La soustraction w p´~v1 q est comme ~v1 mais dirigé en sens inverse.

La figure 7.5 montre comment soustraire graphiquement le vec~ “ p5, 2q. La soustraction de ~v1 “ p3, 0q teur ~v1 “ p3, 0q au vecteur w est la même chose que l’addition de ´~v1 “ p´3, 0q. Multiplication par un nombre L’opération de multiplication par un nombre change la longueur du vecteur. Supposons que nous voulions obtenir un vecteur dans la même direction que ~v “ p3, 2q mais deux fois moins long, ce qui correspond à une multiplication par un ~ “ 12 ~v “ p1,5, 1q. Inversement facteur α “ 12 . Le vecteur réduit est w nous pouvons penser au vecteur ~v comme étant deux fois plus long ~. que le vecteur w Le multiplication par un nombre négatif renverse la direction du ~ par α “ ´2 on obtient le vecteur. Par exemple, si on multiplie w

154

VECTEURS

~v = (3, 2)

w ~ = (1,5, 1)

~ sont liés par la relation ~v “ 2w ~. F IGURE 7.6 Les vecteurs ~v et w

vecteur p´3, ´2q de même longueur que ~v, mais dirigé dans le sens opposé.

Vecteurs représentés par leur longueur et leur direction Jusqu’à présent nous avons représenté les vecteurs par leurs composantes. En dimension deux, on peut aussi décrire le vecteur ~v P R2 en spécifiant sa longueur ||~v|| et sa direction — donnée par l’angle qu’il fait?avec l’axe des x. Par exemple, le vecteur p1, 1q peut aussi s’écrire 2=45˝ en coordonnées polaires. Cette représentation par longueur et direction permet de voir plus facilement la « taille » des vecteurs. Toutefois, les opérations arithmétiques sur les vecteurs sont beaucoup plus faciles lorsqu’on se sert des composantes. Il est donc utile de connaître les formules nécessaires pour passer d’une représentation à l’autre. y

~v }~v} sin θ θ }~v} cos θ

x

F IGURE 7.7 Les coordonnées x et y d’un vecteur de longueur }~v} et de direction θ sont données par v x “ }~v} cos θ et vy “ }~v} sin θ.

Pour obtenir les composantes pv x , vy q du vecteur donné par sa longueur et sa direction }~v}=θ on se sert des formules v x “ }~v} cos θ

et

vy “ }~v} sin θ.

7.2 VECTEURS

155

Pour passer de la représentation d’un vecteur par ses composantes pv x , vy q à sa représentation par longueur et direction }~v}=θ, on se sert des formules suivantes : `v ˘ $ tan´1 vyx if v x ą 0, ’ ’ ` ˘ & b ˝ ` tan´1 vy 180 if v x ă 0, vx }~v} “ v2x ` v2y , θ “ ˝ ’ if v x “ 0 and vy ą 0, ’ % 90 ˝ ´90 if v x “ 0 and vy ă 0.

Nous avons déjà vu ces formules dans la section 6.4 (page 124), où nous avons défini les coordonnées polaires pour les points. La procédure de conversion pour les vecteurs est exactement la même, y compris les cas particuliers auxquels il faut penser pour trouver θ lorsque la composante v x est négative ou nulle. Je vous invite à refaire l’exercice E6.8 à la page 128 pour réviser les conversions entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires.

Notation avec les vecteurs unitaires En dimension deux, nous pouvons penser à un vecteur ~v “ pv x , vy q comme à l’ordre de « parcourir une distance v x dans la direction de l’axe des x et une distance vy dans la direction de l’axe des y ». Pour écrire cet ensemble d’ordres plus explicitement nous pouvons utiliser les vecteurs ıˆ et ˆ. Ce sont les vecteurs unitaires pointant respectivement dans la direction des axes x et y : ıˆ “ p1, 0q

et

ˆ “ p0, 1q.

Le vecteur ıˆ multiplié par n’importe quel nombre correspond à un vecteur dans la direction de l’axe des x, ayant ce nombre pour première coordonnée. Par exemple, 3ˆı “ p3, 0q et 4ˆ “ p0, 4q. En physique, on est amené à faire beaucoup de calculs numériques avec les vecteurs. Pour que ce soit plus facile on utilise souvent la notation avec les vecteurs unitaires : v x ıˆ ` vy ˆ

ô

pv x , vy q.

La règle pour l’addition reste la même avec cette nouvelle notation : 2ˆı ` 3ˆ ` loomoon 5ˆı ´ 2ˆ “ 7ˆ ı ` 1ˆ . loomoon loomoon ~v

~ w

~v`w ~

C’est toujours la même histoire qui se répète : nous devons ajouter les ıˆs avec les ıˆs et les ˆs avec les ˆs.

156

VECTEURS

Exemples Un exemple simple Calculez la somme ~s “ 4ˆı ` 5=30˝ . Exprimez le résultat en termes de longueur et direction. Puisque nous voulons effectuer une addition et puisque l’addition s’effectue avec les composantes, notre première étape sera de convertir 5=30˝ dans la?notation avec les composantes : 5=30˝ “ 5 cos 30˝ ıˆ ` 5 sin 30˝ ˆ “ maintenant calculer la somme :

~s “ 4ˆı `

?

5 3 5 2 ıˆ ` 2 ˆ

“ p4 `

5 3 5 2 ıˆ ` 2 ˆ. Nous pouvons

?

5 3 5 2 qˆı ` p 2 qˆ .

?

La composante en x de la somme est s x “ p4 ` 5 2 3 q et sa composante en y est sy “ p 52 q. Pour exprimer le résultat par sa longueur b et sa direction, nous calculons la longueur }~s} “ s2x ` s2y “ 8,697 et la direction tan´1 psy {s x q “ 16,7˝ . La réponse est ~s “ 8,697=16,7˝ . Vérifiez les calculs à l’aide de votre calculatrice. Exemple d’addition de vecteurs Vous arrivez dans votre cours de physique et vous vous retrouvez face à un examen surprise. La première question de l’examen est au sujet d’un bloc qui glisse le long d’un plan incliné. Vous la regardez, vous tracez un petit diagramme et vous vous demandez comment diable vous allez pouvoir trouver quelle est la force nette qui agit sur ~ “ 300= ´ 90˝ , le bloc. Les trois forces qui agissent sur le bloc sont W ~ “ 260=120˝ , et ~Ff “ 50=30˝ . N Il se trouve que vous vous souvenez de la formule qui donne la force nette : ÿ ~F “ ~Fnet “ m~a [ 2ème loi de Newton ]. Vous avez l’impression que la 2ème loi de Newton peut vous aider avec votre problème. Vous pensez que cette formule est certainement la clé parce que vous avez trouvé les mots « force nette » en lisant la question et remarqué que « force nette » apparaît aussi dans l’équation de la 2ème loi de Newton. La force nette est la somme de toutes les forces qui agissent sur le bloc : ÿ ~ `N ~Fnet “ ~F “ W ~ ` ~Ff . Tout ce qui vous sépare de la réponse est l’addition de ces vecteurs. Les vecteurs ont des composantes et il y a toute la procédure des

7.2 VECTEURS

157

sin/cos pour obtenir les composantes des vecteurs donnés par longueur et direction. Si vous avez les composantes des vecteurs vous pourrez les ajouter et trouver la force nette. OK allons-y, faisons ça pas à pas. La force nette doit avoir une composante en x qui, d’après l’équation, doit être égale à la somme des composantes en x de toutes les forces : Fnet,x “ Wx ` Nx ` Ff ,x

“ 300 cosp´90˝ q ` 260 cosp120˝ q ` 50 cosp30˝ q “ ´86,7.

Maintenant trouvons la composante en y de la force nette en utilisant les sinus des angles : Fnet,y “ Wy ` Ny ` Ff ,y

“ 300 sinp´90˝ q ` 260 sinp120˝ q ` 50 sinp30˝ q “ ´49,8.

Avec les deux composantes du vecteur, nous avons la réponse finale :

~Fnet “ pFnet,x , Fnet,y q

“ p´86,7, ´49,8q “ ´86,7ˆı ´ 49,8ˆ “ 100=209,9˝ ,

où vous avez trouvé l’angle 209,9˝ en calculant tan´1 p49,8{86,7q et en ajoutant 180˝ parce que le vecteur à une composante x négative. Et voilà ! Vous avez fini l’examen sans difficulté parce que vous connaissez les vecteurs ! Exemple de mouvement relatif Un bateau peut atteindre la vitesse maximale de 12 nœuds par mer calme. Toutefois au lieu de faire route sur une mer calme, le bateau essaie de remonter le fleuve Saint-Laurent alors que la vitesse du courant est de 5 nœuds. Si le bateau remonte le courant à sa vitesse maximum 12ˆı, la vitesse du bateau par rapport à la côte sera 12ˆı ´ 5ˆı “ 7ˆı, puisque nous devons « retirer » la vitesse du courant de la vitesse du bateau par rapport à l’eau. Regardez le diagramme des vecteurs vitesses sur la figure 7.8. Si au contraire le bateau veut traverser la rivière perpendiculairement au courant une partie de la vitesse du bateau servira à contrebalancer le courant et le reste lui fera traverser la rivière. La situation

158

VECTEURS

F IGURE 7.8

Un bateau fait route à 12 nœuds contre un courant de 5 nœuds.

est illustrée à la figure 7.9. Dans quelle direction le bateau doit-il faire route pour traverser la rivière ? Nous cherchons la direction que le bateau doit prendre pour qu’en tenant compte de la vitesse du courant le bateau se déplace en ligne droite entre les deux berges (dans la direction du vecteur ˆ).

F IGURE 7.9 Une partie de la poussée doit compenser le courant.

Analysons le diagramme du vecteur vitesse. Dans le triangle rectangle le côté opposé est parallèle au flot du courant mais en sens inverse et il a la longueur 5. La composante de la vitesse ~v utilisée pour remonter le courant doit être égale à 5ˆı, pour compenser exactement les ´5ˆı du flot de la rivière. L’hypoténuse a pour longueur 12 puisque c’est la vitesse du bateau par rapport à l’eau. De tout cela nous pouvons déduire la réponse à la question comme opp des professionnels. Nous voulons l’angle ? Bon, nous avons hyp “ 5 12

“ sin θ, où θ est l’angle du bateau et de la ligne perpendiculaire aux deux berges. On obtient cet angle en utilisant l’inverse de la fonction sinus : `5˘ θ “ sin´1 12 “ 24,62˝ .

La vitesse à laquelle on traverse le fleuve (composante de la vitesse perpendiculaire au courant) est donnée par vy “ 12 cos θ “ 10,91, ou a si vous préférez, par le théorème de Pythagore : vy “ }~v}2 ´ v2x “ ? 122 ´ 52 “ 10,91.

7.2 VECTEURS

159

Discussion Dans cette section nous avons montré beaucoup de calculs sur les vecteurs et passé sous silence certains détails théoriques. Maintenant que vous êtes familiers avec le côté pratique des calculs vectoriels, nous pouvons clarifier certains points techniques pour être sûr que tout soit clair. Points et vecteurs Nous avons utilisé la notation R2 pour décrire deux types d’objets mathématiques : l’ensemble des points dans le plan cartésien et les vecteurs dans un espace à deux dimensions. Le point P “ pPx , Py q et le vecteur ~v “ pv x , vy q sont tous deux représentés par des paires de nombres réels, ce qui nous a amenés à utiliser la notation P P R2 et ~v P R2 pour les décrire. En effet, le couple de nombres p3, 2q P R2 pourrait représenter les coordonnées d’un point ou les composantes d’un vecteur, selon le contexte. Prenons un moment pour revoir les définitions des points et des vecteurs et clarifier les types d’opérations que nous pouvons effectuer sur ces deux types d’objets mathématiques : — Espace des points R2 : l’ensemble des points P “ pPx , Py q est l’ensemble des points du plan cartésien. Le point P “ pPx , Py q correspond aux instructions géométriques suivantes : « En partant de l’origine p0, 0q, déplacez-vous Px unités le long de l’axe x et Py unités le long de l’axe y. » La distance entre les points P et Q est notée dpP, Qq. — Espace vectoriel R2 : l’ensemble des vecteurs ~v “ pv x , vy q qui décrivent des déplacements dans le plan cartésien. Le vecteur ~v “ pv x , vy q correspond aux instructions : « En partant de n’importe où, déplacez-vous v x unités le long de l’axe x et vy unités le long de l’axe y. » Les opérations suivantes peuvent être utilisées avec les vecteurs : ~u ` ~v, ~u ´ ~v, α~u, ~u ¨ ~v et }~v}.

Notez que les instructions géométriques pour les points et les vecteurs sont très similaires, la seule différence étant le point de départ. Les coordonnées d’un point pPx , Py q spécifient une position fixe par rapport à l’origine p0,0q, tandis qu’un vecteur pv x , vy q décrit un déplacement relatif qui peut être effectué n’importe où dans le plan cartésien. Regardons quelques exemples de calculs qui combinent les points et les vecteurs. Considérons deux points P et Q dans le plan cartésien et le vecteur de déplacement entre eux ~v PQ , qui donne les « instructions » pour aller du point P au point Q. Le déplacement ~v PQ est

160

VECTEURS

défini par l’équation

~v PQ “ Q ´ P “ pQ x ´ Px , Qy ´ Py q. Notez que dans cette équation on calcule la soustraction entre deux points et on obtient un vecteur comme résultat. Rappelez vous que les vecteurs sont des déplacements, donc c’est logique que la « difference » entre deux points soit un vecteur. Nous pouvons utiliser le vecteur de déplacement ~v PQ dans des calculs comme celui-ci : P ` ~v PQ “ P ` pQ ´ Pq “ Q. Ce calcul nous dit que commencer au point P et effectuer le déplacement ~v PQ nous amènera au point Q. Nous avons effectué des opérations arithmétiques qui combinent des points et des vecteurs dans les équations ci-dessus. C’est du nouveau ça. Normalement, nous avons le droit d’utiliser les opérations « ` » et « ´ » seulement entre objets mathématiques du même type. Dans ce cas, nous sommes autorisés à mélanger des points et des vecteurs car ils décrivent tous deux des « instructions de déplacement » du même type. Quels autres calculs utiles pouvons-nous faire en combinant des points et des vecteurs ? Supposons que nous voulions trouver le point M qui se trouve exactement au milieu entre les points P et Q. Nous pouvons trouver facilement le point M en utilisant le vecteur de déplacement ~v PQ et un peu d’algèbre vectorielle. Le vecteur ~v PQ est le déplacement « complet » de P à Q. Si on veut se rendre au milieu entre P et Q, alors il suffit d’effectuer la moitié du déplacement complet. On a donc M “ P ` 21 ~v PQ . Comme vous pouvez le voir, l’algèbre vectorielle peut parfois être très utile. Apprendre à décrire des objets géométriques comme les points, les lignes et les cercles à l’aide de vecteurs nous permet de faire des calculs géométriques compliqués à l’aide de simples manipulations algébriques comme les opérations vectorielles. On voit ça dans beaucoup de domaines avancés des mathématiques : on utilise souvent les techniques développées dans un domaine pour résoudre des problèmes dans un autre domaine. Exemple Vous arrivez dans le cours de maths et vous vous retrouvez face à un examen surprise. Le professeur vous demande de trouver la formule pour calculer la distance dpP, Qq entre les points P “ pPx , Py q et Q “ pQ x , Qy q. Vous n’avez jamais entendu parler d’une telle formule et vous vous sentez pris au dépourvu. Comment le professeur peut-il vous demander une formule qu’il n’a pas encore montré en classe ? Injustice !

7.2 VECTEURS

161

Après un moment de stress, vous prenez une respiration profonde et vous vous décidez à essayer de résoudre ce problème. Vous commencez par dessiner un système de coordonnées, vous y placez les points P et Q et tracez la ligne qui relie les deux points. Quelle est la formule qui donne la longueur de cette ligne ? La ligne de P à Q ressemble à l’hypoténuse d’un triangle, ce qui vous fait penser que la trigonométrie pourrait être utilisée pour trouver la réponse. Malheureusement, essayer de vous souvenir des formules trigonométriques n’a pour effet que d’augmenter votre niveau de stress. Vous prenez ça comme un signe que vous devriez chercher d’autres options. En maths, c’est important de faire confiance à son instinct. Par une heureuse coïncidence, vous avez récemment lu sur la connexion entre les points et les vecteurs, et plus spécifiquement sur le vecteur de déplacement ~v PQ “ Q ´ P. La ligne entre P et Q représente le vecteur ~v PQ . Vous realisez que la distance entre les points P et Q est égale à la longueur du vecteur ~v PQ . Vous vous souvenez b v2x ` v2y et que la longueur d’un vecteur ~v est donnée par }~v} “ vous savez que le vecteur déplacement est ~v PQ “ pQ x ´ Px , Qy ´ Py q. Vous combinez cesbdeux formules peur obtenir la réponse finale : › › dpP, Qq “ ›~v PQ › “ pQ x ´ Px q2 ` pQy ´ Py q2 .

Une autre victoire pour l’approche « stresser moins et essayer plus » pour résoudre les problèmes mathématiques ! Vecteurs en trois dimensions Un système de coordonnées en trois dimensions se compose de trois axes : l’axe des x, l’axe des y et l’axe des z. Les trois axes pointent dans des directions perpendiculaires les unes aux autres, comme illustré dans la figure 7.10. z

y x

F IGURE 7.10 Système de coordonnées à trois dimensions avec les axes x, y et z qui sont perpendiculaires. Les points et les vecteurs en 3D vivent ici.

162

VECTEURS

Le vecteur ~v “ pv x , vy , vz q P R3 décrit les instructions de déplacement suivantes : « Déplacez-vous de v x unités dans le sens de l’axe des x, puis vy unités le long de l’axe des y, et enfin vz unités dans le sens de l’axe des z. » En dimension trois, il y a trois vecteurs unitaires qui représentent « un pas » le long de chacun des axes : ıˆ “ p1, 0, 0q,

ˆ “ p0, 1, 0q et

kˆ “ p0, 0, 1q.

On peut donc écrire le vecteur ~v “ pv x , vy , vz q en terme des vecteurs ˆ unitaires ainsi ~v “ v x ıˆ ` vy ˆ ` vz k. Vecteurs en dimension n Les vecteurs que vous rencontrerez le plus souvent en mathématiques et en physique sont en dimension deux ou trois. Dans d’autres domaines scientifiques comme la génétique et l’apprentissage automatique, il est courant d’étudier les vecteurs dans des espaces avec beaucoup plus de dimensions. Dans un espace à n dimensions, un vecteur serait de la forme

~v “ pv1 , v2 , . . . , vn q P Rn . Par exemple, dans le domaine de l’apprentissage automatique, les « données riches » comme les images, les vidéos et les textes sont souvent représentées par des vecteurs avec des milliers de dimensions. Les opérations d’algèbre vectorielle que vous avez apprises dans cette section s’appliquent aussi à ces vecteurs multidimensionnels. Vecteurs et leur composantes Un dernier point de clarification que j’aimerais regarder avec vous est la relation entre les quantités vectorielles qui existent dans le vrai monde comme la vitesse d’une balle de tennis ~v et sa représentation mathématique comme un triple de composantes pv x , vy , vz q. Est-ce que la vitesse ~v est la même chose que les composantes v x , vy et vz ? Révisons les concepts sur les vecteurs pour y voir plus clair. Supposons que vous faites un projet de recherche sur le tennis. Vous souhaitiez utiliser un vecteur pour décrire la vitesse de la balle. Ensuite vous choisissez un système de coordonnées x, y, z pour décrire le terrain de tennis. Le fait de définir un système de coordonnées pour l’espace vous permet de représenter le vecteur ~v par un triplet de composantes pv x , vy , vz q, qui est interprété de la façon suivante : « La balle se déplace avec une vitesse v x dans la direction x, une vitesse vy dans la direction y et vz dans la direction z. »

7.2 VECTEURS

163

Supposons que vous vouliez décrire le vecteur de vitesse ~v à un collègue via un message texte. En regardant sur votre feuille de calculs, vous trouvez les données ~v “ p60, 3, ´2q mesurées en mètres par seconde, et vous envoyez ce message à votre collègue : La vitesse est (60,3,-2) mètres par seconde.

Quelques minutes plus tard, la réponse suivante revient : Attends, quel est le système de coordonnées utilisé?

En effet, les informations que vous avez envoyées ne sont pas suffisantes, puisque les composantes du vecteur dépendent du système de coordonnées dans lequel il est représenté. Le triplet de nombres p60, 3, ´2q n’a de sens que si vous connaissez les directions des axes du système de coordonnées x, y, z. Réalisant votre erreur, vous renvoyez un autre message avec toutes les informations requises : En utilisant un système de coordonnées centré sur le poteau sud du filet, avec l’axe des x pointant vers l’est le long du terrain de jeu, l’axe y pointant vers le nord le long du filet et l’axe z mesurant la hauteur au dessus du sol, la vitesse est de (60,3,-2) mètres par seconde.

Quelques secondes plus tard vous obtenez la confirmation : OK maintenant j’ai compris. Merci !

La situation hypothétique ci-dessus illustre l’importance du système de coordonnées utilisé pour décrire les vecteurs. Il faut connaître les directions des vecteurs unitaires ıˆ, ˆ et kˆ pour pouvoir interpréter les ˆ instructions ~v “ v x ıˆ ` vy ˆ ` vz k. En fait, utiliser le système de coordonnées x, y, z et les vecteurs ˆ n’est qu’une des nombreuses façons possibles de représenter tˆı, ˆ, ku les vecteurs. Nous pouvons représenter un vecteur ~v par les composantes pv1 , v2 , v3 q par rapport à n’importe quelle base teˆ1 , eˆ2 , eˆ3 u en utilisant l’expression ~v “ v1 eˆ1 ` v2 eˆ2 ` v3 eˆ3 , qui correspond aux instructions : « Déplacez-vous v1 unités en direction de eˆ1 , v2 unités en direction de eˆ2 , et v3 unités en direction de eˆ3 . » Qu’est-ce que c’est qu’une base, demandez-vous ? Je suis heureux que vous le demandiez, parce que c’est ce que nous allons étudier dans la prochaine section.

164

7.3

VECTEURS

Bases

Un des concepts les plus importants dans l’étude des vecteurs est celui de base. Considérons l’espace vectoriel à trois dimensions R3 . Une base de R3 est un ensembles de vecteurs teˆ1 , eˆ2 , eˆ3 u dont on peut se servir comme système de coordonnées pour R3 . Si l’ensemble des vecteurs teˆ1 , eˆ2 , eˆ3 u est une base, on peut représenter n’importe quel vecteur ~v P R3 par ses coordonées pv1 , v2 , v3 q par rapport à cette base :

~v “ v1 eˆ1 ` v2 eˆ2 ` v3 eˆ3 . Le vecteur ~v s’obtient en portant v1 dans la direction eˆ1 , v2 dans la direction eˆ2 et v3 dans la direction eˆ3 . ˆ qui est assoVous êtes déjà familiers avec la base standard tˆı, ˆ, ku, ciée au système de coordonnées x, y, z, et vous savez que tout vecteur ~v P R3 peut être exprimé par trois nombres pv x , vy , vz q qui sont ses ˆ et vérifient ~v “ v x ıˆ ` vy ˆ ` vz k. ˆ Le coordonnées dans la base tˆı, ˆ, ku but principal dans cette section sera de vous informer qu’il existe d’autres bases (systèmes de coordonnées), et de vous donner l’habitude de demander « Par rapport à quel système de coordonnées ? » chaque fois que vous voyez un triplet de nombres comme pa, b, cq.

Une analogie Commençons par donner un exemple simple de base. Si vous regardez le code source HTML de n’importe quelle page sur le web, vous êtes sûr de trouver au moins une directive pour le choix des couleurs, comme « color:#336699; ». Ces nombres doivent être interprétés comme un groupe de 3 nombres ou triplet p33, 66, 99q, qui donne les quantités de rouge, de vert et de bleu nécessaires pour créer une couleur donnée. Appelons Bleu Sympa la couleur décrite par le triplet p33, 66, 99q. Cette convention pour la représentation des couleurs est appelée le modèle de couleurs RGB et nous pouvons y penser comme à la base RGB. En combinant les éléments d’une base on peut exprimer n’importe quelle couleur si compliquée soit-elle. Dans notre cas, les éléments R (rouge), G (vert) et B (bleu) sont des couleurs pures qui peuvent créer n’importe quelle couleur quand on les mélange comme il faut. De façon schématique, nous pouvons traduire cette idée de mélange de la façon suivante : BleuSympa “ p33, 66, 99qRGB “ 33R ` 66G ` 99B, où les composantes déterminent l’importance de chaque couleur dans le mélange. Pour créer une couleur, nous combinons ses composantes en suivant les règles représentées par l’opération d’addition « ` ».

7.3 BASES

165

Le modèle de couleurs cyan, magenta et jaune (CMY) est une autre base pour la représentation des couleurs. Dans la base CMY, pour obtenir la couleur « Bleu Sympa » vous devrez vous servir de composantes différents : p33, 66, 99qRGB “ BleuSympa “ p222, 189, 156qCMY “ 222C ` 189M ` 156Y.

La même couleur Bleu Sympa est représentée par des composantes différents dans des bases différentes. Remarquons qu’un triplet de composantes ne signifie rien par lui-même si nous ne savons pas à quelle base il correspond. Par exemple, si nous devions interpréter le triplet p33, 66, 99q par rapport à la base CMY, nous obtiendrions une couleur complètement différente, qui ne serait pas du tout sympa ! Une base nous sert à convertir des objets mathématiques comme le triplet pa, b, cq en des idées du monde réel comme les couleurs. Pour éviter toute ambiguïté nous pouvons mettre un indice inférieur pour indiquer la base associée aux composantes, comme dans l’exemple ci-dessus p33, 66, 99qRGB .

Discussion On ne peut guère exagérer l’importance des bases — les systèmes de coordonnées employés pour representer les vecteurs. Le choix du système de coordonnées établit un pont entre les quantités vectorielles du monde réel et leur représentation en termes de composantes. Chaque fois que vous commencez un nouveau problème, la première chose que vous devez faire est de choisir le système de coordonnées que vous souhaitez utiliser, et l’indiquer clairement dans le diagramme. L’utilisation d’un système de coordonnées non standard peut parfois simplifier les équations que vous devez résoudre. Par exemple, disons que nous voulons étudier le mouvement d’un pavé qui glisse sur un plan incliné avec la vitesse ~v, comme illustré dans la figure 7.11. En utilisant la base x, y standard, le vecteur vitesse est représenté par pv cos θ, ´v sin θqxy , qui a des composants dans les directions x et y et nécessite l’utilisation des fonctions trigonométriques. Si vous utilisez plutôt la base non standard x1 , y1 , les composantes de la vitesse sont pv, 0qx1 y1 . Notez que la vitesse n’a désormais qu’une composante le long de la direction x1 , ce qui simplifiera tous les calculs ultérieurs. Rappelez vous du système de coordonnées polaires que nous avons utilisé pour décrire les points r=θ et les vecteurs }~v}=θ en deux dimensions (voir page 154). Les coordonnées polaires son un autre exemple de système de coordonnées alternatif, qui peut être utile pour décrire les rotations et les mouvements circulaires. Certains manuels écriront les coordonnées polaires du vecteur ~v “ }~v}=θ en utilisant la notation p}~v}, θq, ce qui peut facilement être confondu avec

166

VECTEURS

y1

y x

~v

~v

θ

x1

θ

F IGURE 7.11 Le vecteur ~v est décrit par les coordonnées pv cos θ, ´v sin θqxy par rapport à la base « normale » x, y. Le même vecteur ~v est décrit par les coordonnées pv, 0qx1 y1 par rapport à la base « inclinée » avec les axes x1 , y1 .

les coordonnées cartésiennes du vecteur pv x , vy q. L’indication du système de coordonnées en indice est recommandé pour être sur d’éviter toute confusion : ~v “ p}~v}, θqrθ “ pv x , vy qxy .

Links [ Visualisation des vecteurs par 3Blue1Brown (sous-titres français) ] https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs [ Plus d’infos sur les applications des vecteurs sur Wikipédia ] https://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur

Exercices E7.1 Étant donné les vecteurs ~v1 “ p2, 1q, ~v2 “ p2, ´1q et ~v3 “ p3, 3q, calculez les expressions suivantes : a) ~v1 ` ~v2

b) ~v2 ´ 2~v1

c) ~v1 ` ~v2 ` ~v3

a) ~v1 “ 10=30˝

b) ~v2 “ 12=´90˝

c) ~v3 “ 3=170˝

a) ~u1 “ p4, 0q

b) ~u2 “ p1, 1q

c) ~u3 “ p´1, 3q

E7.2 Donnez les composantes des vecteurs suivants :

E7.3 Donnez la notation en longueur et direction des vecteurs :

7.4 PRODUITS DE VECTEURS

7.4

167

Produits de vecteurs

Nous allons maintenant définir le produit scalaire et le produit vectoriel, qui sont des opérations utiles pour les vecteurs en dimension trois.

Produit scalaire Le produit scalaire prend deux vecteurs pour entrées et donne un nombre réel à la sortie. Le produit scalaire de deux vecteurs ~v “ ~ “ pwx , wy , wz q peut se calculer en utilisant une forpv x , vy , vz q et w mule algébrique,

~v ¨ w ~ “ v x w x ` vy wy ` vz wz , ou une formule géométrique,

~v ¨ w ~ “ }~v}}w ~ } cos ϕ, où ϕ est l’angle entre les deux vecteurs. Observez que la valeur du produit scalaire dépend des longueurs des vecteurs et du cosinus de l’angle. Le nom de produit scalaire vient du fait que le résultat de ce produit est un scalaire, c’est à dire un nombre qui ne change pas si on utilise d’autres bases. Le produit scalaire est parfois appelé produit intérieur (inner product en anglais). On peut combiner la formule algébrique et la formule géométrique du produit scalaire pour obtenir cos ϕ “

v x w x ` vy wy ` vz wz ~v ¨ w ~ “ ~} ~} }~v}}w }~v}}w

et

ϕ “ cos´1 pcos ϕq.

Cela permet de trouver l’angle entre deux vecteurs si nous connaissons leurs composantes. Le facteur géométrique cos ϕ dépend de l’orientation relative des deux vecteurs. En particulier : — Si les deux vecteurs pointent dans la même direction, alors ~ “ }~v}}w ~ }. cos ϕ “ cos 0˝ “ 1, et ~v ¨ w

— Si les vecteurs sont perpendiculaires, alors ~ “ 0. cos ϕ “ cos 90˝ “ 0, et ~v ¨ w

— Si les vecteurs pointent dans des directions directement opposées, alors ~ “ ´}~v}}w ~ }. cos ϕ “ cos 180˝ “ ´1, et ~v ¨ w

Le produit scalaire est défini pour des vecteurs dans des espaces de n’importe quelle dimension. Si les deux vecteurs sont exprimés dans la même base, on peut calculer leur produit scalaire.

168

VECTEURS

Produit vectoriel Le produit vectoriel a pour entrées deux vecteurs et donne un autre vecteur à la sortie. Le nom de produit vectoriel vient du fait que le résultat de cette opération est un vecteur. Le produit vectoriel de deux vecteurs est perpendiculaire à ces deux vecteurs :

~v ˆ w ~ est un vecteur perpendiculaire à la fois à ~v et à w ~ . Le produit vectoriel d’un vecteur pointant dans la direction de l’axe des x et d’un autre vecteur pointant, lui, dans la direction de l’axe ˆ des y, sera un vecteur dans la direction de l’axe des z : ıˆ ˆ ˆ “ k. Les produits vectoriels de deux vecteurs de la base standard sont les suivants ˆ ıˆ ˆ ˆ “ k,

ˆ ˆ kˆ “ ıˆ,

kˆ ˆ ıˆ “ ˆ.

Retournez à la figure 7.10 et imaginez les vecteurs ıˆ, ˆ et kˆ pointant le long des axes. Essayez de visualiser les trois équations ci-dessus. Le produit vectoriel est anticommutatif. Si vous changez l’ordre des entrées, vous introduisez un signe moins dans la sortie : ˆ ˆ ˆ ıˆ “ ´k,

kˆ ˆ ˆ “ ´ˆı,

ıˆ ˆ kˆ “ ´ˆ.

Il est probable que tous les produits que vous avez vus en maths jusqu’à présent étaient commutatifs, ce qui signifie que l’ordre des entrées n’a pas d’importance. Le produit de deux nombres est commutatif ab “ ba, le produit scalaire est commutatif ~u ¨ ~v “ ~v ¨ ~u, mais le ~ “ ´w ~ ˆ ~v. produit vectoriel est anticommutatif ~v ˆ w ˆ la Pour les vecteurs ~a “ a x ıˆ ` ay ˆ ` az kˆ et ~b “ bx ıˆ ` by ˆ ` bz k, formule algébrique pour leur produit vectoriel est ˆ ~a ˆ~b “ pay bz ´ az by qˆı ` paz bx ´ a x bz qˆ ` pa x by ´ ay bx qk. Cette combinaison spécifique de produits et différences des composantes des vecteurs ~a et ~b donne un vecteur ~a ˆ~b qui est perpendiculaire à la fois à ~a et à ~b. La longueur du produit vectoriel est proportionnelle au sinus de l’angle entre les deux vecteurs, comme on peut le voir dans la formule géométrique : }~a ˆ~b} “ }~a}}~b} sin ϕ.

7.5 NOMBRES COMPLEXES

169

Règle de la main droite Considérons le plan qui contient les vecteurs ~a et ~b. Il y a deux vecteurs perpendiculaires à ce plan : un au-dessus du plan et l’autre au-dessous du plan. Nous nous servons de la règle de la main droite pour déterminer lequel de ces deux vecteurs correspond au produit vectoriel ~a ˆ~b. Fermez votre poignet droit, puis allongez votre pouce, l’index et le majeur. Quand vous pointez l’index dans la direction du vecteur ~a et votre majeur dans la direction du vecteur ~b, votre pouce va pointer dans la direction de ~a ˆ~b. Cette règle de la main droite satisfait bien ˆ la relation entre les vecteurs de la base standard : ıˆ ˆ ˆ “ k.

F IGURE 7.12 Utilisation de la règle de la main droite pour déterminer la direction du produit vectoriel ~a ˆ~b d’après les directions de ~a et de ~b.

Liens [ Une jolie illustration du produit vectoriel (en anglais) ] http://1ucasvb.tumblr.com/post/76812811092/

Exercices E7.4 Étant donné les vecteurs ~u “ p1,1,0q et ~v “ p0,0,3q, calculez les expressions suivantes : a) ~u ` ~v

b) ~u ´ ~v

c) 3~u ` ~v

d) }~u}

~ “ p0, 1, 1q, calculez E7.5 Étant donné les vecteurs ~v “ p1, 2, 3q et w ~ ; b) ~v ˆ w ~ ; c) w ~ ˆ ~v ; d) w ~ ˆw ~. les produits suivants : a) ~v ¨ w

7.5

Nombres complexes

Vous avez sûrement déjà entendu parler des nombres complexes. Le mot « complexe » fait un peu peur. Ça fait craindre que leur étude soit compliquée. C’est peut-être vrai en général, mais ça ne devrait pas être bien difficile si vous êtes à l’aise avec les vecteurs. En effet les nombres complexes ressemblent à des vecteurs en dimension

170

VECTEURS

deux, ~v P R2 . On ajoute et on soustrait les nombres complexes de la même façon que les vecteurs. Les nombres complexes ont des composantes, une longueur et une « direction ». Si vous comprenez les vecteurs, vous comprendrez les nombres complexes avec très peu d’efforts supplémentaires. Commençons par un problème pratique. Exemple Supposons qu’on vous demande de résoudre l’équation du second degré suivante : x2 ` 1 “ 0.

C’est à dire que vous cherchez un nombre x tel que x2 “ ´1. Si vous n’avez droit qu’à l’ensemble des nombres réels pour répondre, vous savez qu’il n’y a pas de réponse possible à la question. L’équation n’a pas de solution dans R. De fait, si vous regardez le graphe de la fonction du second degré f pxq “ x2 ` 1 vous voyez qu’il ne traverse pas l’axe des x. Toutefois, nous n’accepterons pas cette réponse négative ! Nous voulons trouver x dans l’équation x2 ` 1 “ 0 et pour cela nous allons imaginer un nombre i qui vérifie i2 “ ´1. Ce nombre i est appelé unité imaginaire et souvent on dit même unité imaginaire pure. Les solutions de l’équation sont donc x1 “ i et x2 “ ´i. Il y a deux solutions parce que l’équation est du second degré. On peut vérifier que i2 ` 1 “ ´1 ` 1 “ 0 et aussi p´iq2 ` 1 “ p´1q2 i2 ` 1 “ i2 ` 1 “ 0. Ainsi, bien que l’équation x2 ` 1 “ 0 n’ait pas de solutions réelles, elle a bien des solutions si on accepte des réponses qui soient des nombres imaginaires. Les nombres complexes sont encore souvent appelés nombres imaginaires, ce qui est peut-être plus poétique mais guère plus rassurant.

Définitions Les nombres complexes ont une partie réelle et une partie imaginaire. ? — i : l’unité imaginaire i “ ´1 ou i2 “ ´1 — bi : un nombre imaginaire pur, égal à b fois i — R : l’ensemble des nombres réels — C : l’ensemble des nombres complexes C “ ta ` bi | a, b P Ru — z “ a ` bi : un nombre complexe — Retzu “ a : la partie réelle de z

— Imtzu “ b : la partie imaginaire de z

7.5 NOMBRES COMPLEXES

171

— z : le conjugué de z. Si z “ a ` bi, alors z “ a ´ bi. Représentation polaire des nombres complexes : — z “ |z|=ϕz “ |z| cos ϕz ` i|z| sin ϕz ? — |z| “ a2 ` b2 est le module de z “ a ` bi — ϕz “ tan´1 pb{aq est la phase ou l’argument de z “ a ` bi — Retzu “ |z| cos ϕz — Imtzu “ |z| sin ϕz

Formules Addition et soustraction De même que nous avons effectué l’addition des vecteurs composante par composante, nous ajouterons les nombres complexes en additionnant les parties réelles entre elles et les parties imaginaire entre elles : pa ` biq ` pc ` diq “ pa ` cq ` pb ` dqi. Représentation polaire On peut donner une interprétation géométrique des nombres complexes en prolongeant la droite réelle en un plan à deux dimensions appelé plan complexe ou plan de Cauchy. On porte la partie réelle des nombres complexes sur l’axe horizontal ou axe réel du plan complexe et la partie imaginaire sur l’axe vertical ou axe imaginaire. Im z “ a ` bi

b |z| ϕz 0

a

Re

F IGURE 7.13 Le nombre complexe z “ a ` bi correspond au point de coordonnées pa, bq dans le plan complexe.

On peut représenter n’importe quel nombre complexe z “ a ` bi par son module et sa phase : z “ |z|=ϕz “ looomooon |z| cos ϕz ` looomooon |z| sin ϕz i. a

b

172

VECTEURS

Le module (ou valeur absolue) d’un nombre complexe z “ a ` bi est a |z| “ a2 ` b2 .

La formule s’obtient en utilisant le théorème de Pythagore. Le module est la longueur du vecteur qui représente le nombre complexe dans le plan complexe (voir figure 7.13). La phase, que l’on appelle aussi argument du nombre complexe z “ a ` bi est $ ` ˘ tan´1 ba ` ˘ si a ą 0, ’ ’ & si a ă 0, π ` tan´1 ba ϕz “ arg z “ atan2(b,a) “ π ’ si a “ 0 et b ą 0, ’ %2π ´2 si a “ 0 et b ă 0.

La phase est l’angle entre le « vecteur » z et l’axe réel. Nous avons déjà vu cette formule lorsque nous avons parlé de la conversion des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires pour les points (Section 6.4) et les vecteurs (Section 7.2). Quand une formule revient trois fois dans un livre de maths, cela devrait vous dire que l’auteur veut vraiment que vous la sachiez ! Faites-moi plaisir et allez réviser l’exercice E6.8 (page 128) et l’exercice E7.3 (page 166). La fonction arc tangente à deux entrées atan2(b,a), qui est disponible sur les systèmes informatiques, peut être utilisée pour calculer la phase correcte ϕz de tout nombre complexe z “ a ` bi. ***

En plus des propriétés des nombres complexes qui sont les mêmes que celles des vecteurs, nous pouvons faire avec les nombres complexes des opérations qui ne sont pas définies pour les vecteurs. L’ensemble C des nombres complexes est un corps. Cela veut dire qu’avec les nombres complexes, en plus des opérations d’addition et de soustraction, on peut aussi faire des multiplications et des divisions. Multiplication Le produit de deux nombres complexes se fait en utilisant les règles habituelles de l’algèbre : pa ` biqpc ` diq “ apc ` diq ` bipc ` diq “ ac ` adi ` bci ` bdi2

“ pac ´ bdq ` pad ` bcqi.

Avec la représentation polaire, la formule du produit est pp=φqpq=ψq “ pq=pφ ` ψq.

7.5 NOMBRES COMPLEXES

173

Pour multiplier deux nombres complexes on multiplie leurs modules et on ajoute leurs phases. Exemple Vérifiez que z z “ a2 ` b2 “ |z|2 . Division On divise les nombres complexes comme ceci : c ` di pa ` biq pc ´ diq pc ´ diq pa ` biq “ pa ` biq . “ “ pa ` biq 2 pc ` diq pc ` diq pc ´ diq pc ` d2 q |c ` di|2 En d’autres termes, pour diviser le nombre complexe z par le nombre complexe s, on calcule s et |s|2 “ ss et on applique z{s “ z On peut dire que

s . |s|2

s est en fait s´1 , l’inverse de s. |s|2

Exemple de Cardan Un des premiers exemples de démonstration faisant intervenir les nombres complexes a été donné par Gerolamo Cardan dans son livre de 1545, Ars Magna. Cardan a écrit « Si on cherche à diviser 10 en deux parties, de façon que l’une des deux multipliée par l’autre donne 40, il est évident que c’est impossible. » Nous voulons trouver deux nombres x1 et x2 tels que x1 ` x2 “ 10 et x1 x2 “ 40. Cela paraît impossible, mais est-ce que c’est vraiment impossible ? « Pourtant », continue Cardan, « nous allons résoudre ce problème de la façon suivante : ? ? x1 “ 5 ` i 15 et x2 “ 5 ´ i 15. » Quand on ajoute x1 ` x2 on obtient 10. Quand on les multiplie, on a ´ ? ¯ ? ¯´ x1 x2 “ 5 ` i 15 5 ´ i 15 a ? ? “ 25 ´ 5 15i ` 5 15i ´ 152 i2 “ 25 ` 15 “ 40.

? ? Donc 5 ` i 15 et 5 ´ i 15 sont bien deux nombres dont la somme est 10 et le produit est 40.

174

VECTEURS

Exemple 2 Calculons le produit de ´1 et i. La réponse est évidemment ´i, mais regardons ce calcul simple du point de vue géométrique. La représentation polaire du nombre i est 1= π2 . La multiplication de tout nombre complexe z “ |z|=ϕz par i correspond à l’ajout de π2 à la phase du nombre : zi “ p|z|=ϕz qp1= π2 q “ p|z| ¨ 1q=pϕz ` π2 q “ |z|=pϕz ` π2 q. En d’autres termes, la multiplication par i équivaut à appliquer une rotation antihoraire (en sens inverse des aiguilles d’une montre) de π ˝ 2 (90 ) dans le plan complexe. Faites un dessin pour vous en convaincre. On peut donc interpréter la réponse p´1qpiq “ ´i comme décrivant le nombre complexe ´1 “ 1=π qui subit une rotation de π2 pour finir en 1=pπ ` π2 q “ 1= 3π 2 “ ´i. Exemple 3 Trouvez la représentation polaire du nombre z “ ´3 ´ i et calculez z6 en vous servant du résultat. Notons z “ r=ϕ la représentation ? polaire de?z comme c’est montré sur la figure 7.14. On trouve r “ 32 ` 12 “ 10 et ϕ “ tan´1 p 31 q ` π “ 0,322 ` π. En utilisant la représentation polaire, on peut facilement calculer z6 : ? z6 “ r6 =p6ϕq “ p 10q6 = 6p0,322 ` πq “ 103 =1,932 ` 6π “ 103 =1,932. Remarquez que dans la phase, on peut ignorer les multiples de 2π. On a donc z6 “ 1000 cosp1,932q ` 1000 sinp1,932qi “ ´353,4 ` 935,5i. Im ϕ

3 1

0

Re

r

z “ ´3 ´ i F IGURE 7.14 Le nombre complexe z “ 3 ´ i a pour module r “ pour phase ϕ “ 0,322 ` π “ 3,463 rad.

?

10 et

Théorème fondamental de l’algèbre Le théorème fondamental de l’algèbre nous dit que tout polynôme Ppxq de degré n, Ppxq “ an x n ` ¨ ¨ ¨ ` a2 x2 ` a1 x ` a0 ,

7.5 NOMBRES COMPLEXES

175

peut être mis sous la forme Ppxq “ an px ´ z1 qpx ´ z2 q ¨ ¨ ¨ px ´ zn q, où les zi P C sont les racines complexes du polynôme. En d’autres termes, l’équation polynomiale Ppxq “ 0 a n solutions : les nombres complexes z1 , z2 , . . . , zn . Dans les chapitres précédents nous aurions dit que l’équation x2 ` 1 “ 0 n’a pas de solution. Maintenant nous savons que cette équation a deux solutions : les nombres complexes z1 “ i et z2 “ ´i. Ce théorème est « fondamental » parce qu’il nous dit que nous n’aurons pas à inventer des ensembles de nombres plus compliqués que les nombres complexes pour résoudre les équations polynomiales. Pour comprendre l’importance de ce théorème, rappelons nous que chaque classe de nombres (entiers naturels, entiers relatifs, rationnels, réels, complexes) est associée à une classe différente d’équations. Voir la figure 1.1 en page 9. C’est dans l’ensemble des entiers naturels N que l’on a les solutions des équations de la forme m ` n “ x, où m et n sont des entiers naturels (ce que l’on note m, n P N). Dans l’ensemble Z des entiers relatifs on trouve les solutions des équations de la forme x ` m “ n, où m, n P N. L’ensemble Q des rationnels permet de résoudre les équations mx “ n avec m, n P Z. Pour trouver les solutions d’équations du type x2 “ 2, nous avons besoin de l’ensemble des nombres réels R. Et dans cette section nous venons d’apprendre que les solutions de x2 “ ´1 sont des nombres complexes C. On dirait que nous sommes à une sorte de fête de mathématiciens, où ils et elles s’amusent à inventer de nouveaux ensembles de nombres pour décrire les solutions d’équations de plus en plus compliquées. Est-ce que ce processus peut continuer indéfiniment ? Non. Toute fête à une fin. Le processus qui consiste à considérer de nouveaux types de nombres pour résoudre des équations de types de plus en plus compliqués s’arrête avec l’ensemble C des nombres complexes. Formule d’Euler La fonction exponentielle est liée aux fonctions sin et cos par la formule d’Euler : eiθ “ cos θ ` i sin θ .

Plus généralement, si l’entrée de la fonction exponentielle est le nombre imaginaire iθ, la sortie est un nombre complexe faisant intervenir cos θ et sin θ. La formule d’Euler nous donne une autre notation pour la représentation polaire du nombre complexe : z “ |z|=ϕz “ |z|eiϕz .

176

VECTEURS

Si vous voulez impressionner vos amis avec vos connaissances mathématiques, posez θ “ π dans l’équation ci-dessus pour obtenir eiπ “ cos π ` i sin π “ ´1, ce que vous pouvez réarranger pour obtenir l’équation eπi ` 1 “ 0. Cette dernière équation s’appelle l’identité d’Euler et montre une relation entre les cinq nombres les plus importants en mathématiques. Le nombre d’Euler e “ 2.71828 . . . , π “ 3.14159 . . ., l’unité imaginaire pure i, 1 et zéro. C’est assez cool de voir tous ces nombres importants réunis dans une même équation, vous ne trouvez pas ? Une façon de comprendre l’équation eiπ ` 1 “ 0 est de penser à eiπ comme à la représentation polaire du nombre complexe 1eiπ “ 1=π, qui correspond à 1 avec une rotation de π radians (180˝ ) dans le plan complexe. Nous savons que eiπ “ 1=π “ ´1 et donc eiπ ` 1 “ 0. Formule de Moivre Nous obtenons la formule de Moivre en remplaçant θ par nθ dans la formule d’Euler : pcos θ ` i sin θqn “ cospnθq ` i sinpnθq. La formule de Moivre prend tout son sens si vous pensez au nombre complexe z “ eiθ “ cos θ ` i sin θ, élevé à la puissance nème sous la forme : pcos θ ` i sin θqn “ zn “ peiθ qn “ einθ “ cospnθq ` i sinpnθq. Si on choisit n “ 2 dans la formule de Moivre, on obtient les formules donnant les identités trigonométriques de l’angle double (page 119) en prenant les parties réelles et imaginaires dans l’équation : pcos2 θ ´ sin2 θq ` ip2 sin θ cos θq “ cosp2θq ` i sinp2θq.

Liens [ Explications vidéo sur l’identité d’Euler ] https://www.youtube.com/watch?v=icij8EjisiM [ Explications de l’identité d’Euler par 3Blue1Brown (en anglais) ] https://www.youtube.com/watch?v=mvmuCPvRoWQ

Chapitre 8

Suppléments Pour apprendre « toutes les mathématiques » il faudrait plusieurs vies. Il y a tant de choses à étudier : les mathématiques théoriques et abstraites, les maths appliquées, les méthodes numériques et bien d’autres domaines spécialisés. Il vous appartient de choisir combien vous voulez en apprendre. Pour les étudiants adultes que vous êtes, il n’y aura pas d’examen qui vous force à étudier. Aussi, si vous apprenez quelque chose c’est parce que vous avez envie de savoir ! Parmi les milliers de questions mathématiques que vous pourriez étudier, j’ai choisi trois sujets importants par lesquels vous pourriez commencer. Dans la section 8.1 nous verrons comment résoudre des systèmes d’équations avec plusieurs inconnues. Nous nous attacherons en particulier aux systèmes de k équations linéaires contenant k inconnues. Par exemple, le système d’équations 1s ` 2t “ 5

3s ` 9t “ 21 est formé de deux équations qui contiennent deux inconnues s et t. Nous étudierons quelques méthodes que vous pourrez employer de façon systématique pour combiner les équations et ramener le problème à une seule équation avec une seule inconnue que vous savez résoudre. Dans notre exemple on aurait 3t “ 6, et à la fin, nous trouvons que les inconnues s et t qui satisfont les deux équations sont s “ 1 et t “ 2. Dans la section 8.2, nous étudierons les calculs d’intérêts composés que font les banques pour calculer les intérêts que vous devez payer sur leurs prêts. Il est important de comprendre ces maths pour 177

178

SUPPLÉMENTS

pouvoir calculer vous-mêmes le coût des emprunts suivant le taux d’intérêt et la façon de calculer les intérêts composés. Ce sujet est particulièrement intéressant pour ceux d’entre vous qui envisageraient de prendre un prêt étudiant. Pensez à la connaissance de ces maths comme à un cours d’autodéfense financière. Enfin, dans la section 8.3, nous introduirons les ensembles et la notation ensembliste. Les mathématiciens emploient souvent des symboles comme P (élément de), Ă (sous ensemble de), @ (pour tout) et D (il existe), pour écrire de façon concise des énoncés et des définitions mathématiques. Dans tout le livre nous avons essayé d’éviter l’usage de ces symboles étranges, mais la connaissance des notations ensemblistes est importante pour vos futures études en maths. Les livres de maths d’un niveau plus élevé supposent que ces symboles sont familiers au lecteur. C’est donc une bonne idée d’en apprendre la signification.

8.1

Résolution des systèmes d’équations

Résoudre les équations à une inconnue comme 2x ` 4 “ 7x requiert la manipulation de l’équation jusqu’à ce que l’inconnue soit isolée d’un côté. Dans cet exemple, on peut soustraire 2x des deux côtés de l’équation pour obtenir 4 “ 5x, ce qui donne la solution x “ 45 . Que se passe-t-il quand on vous donne deux équations et qu’il faut résoudre en deux inconnues ? Par exemple, peut-on trouver les valeurs de x et y qui satisfont les deux équations suivantes : x ` 2y “ 5,

3x ` 9y “ 21.

Concepts — x, y : les deux inconnues dans les équations — eq1, eq2 : un système de deux équations qui doivent être résolues simultanément. Ces équations sont de la forme a1 x ` b1 y “ c1 ,

a2 x ` b2 y “ c2 ,

où les as, bs et cs sont des constantes données.

8.1 RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

179

Principes Si vous avez n équations et n inconnues, vous pouvez résoudre les équations simultanément et trouver les valeurs des inconnues. Il y a plusieurs approches différentes pour résoudre des équations simultanément. Nous allons montrer trois façons commodes dans le cas où n “ 2.

Techniques de résolution Quand on résout un système de deux équations à deux inconnues, la meilleure approche est d’éliminer une des deux variables à l’aide de manipulations sur les équations. En combinant les deux équations de façon appropriée, nous pouvons ramener le problème à la résolution d’une équation à une inconnue. Résolution par substitution Nous voulons résoudre le système d’équations suivant : x ` 2y “ 5,

3x ` 9y “ 21. Pour cela nous pouvons isoler x dans la première équation pour obtenir x “ 5 ´ 2y,

3x ` 9y “ 21.

Ensuite on substitue dans la deuxième équation l’expression de x obtenue à partir de la première : 3p5 ´ 2yq ` 9y “ 21. Nous venons d’éliminer une des inconnues par substitution. On continue en développant les parenthèses ce qui donne 15 ´ 6y ` 9y “ 21, ou

3y “ 6.

On trouve y “ 2 mais alors quelle est la valeur de x ? Facile. Pour trouver x on porte la valeur y “ 2 dans n’importe laquelle des deux équations dont on est parti. Si on choisit l’équation x “ 5 ´ 2y, on trouve x “ 5 ´ 2p2q “ 1.

180

SUPPLÉMENTS

Résolution par soustraction Revenons à notre système de deux équations et étudions une autre approche pour résoudre : x ` 2y “ 5,

3x ` 9y “ 21. Observons que les équations gardent les mêmes solutions si on les multiplie par une constante non nulle. Par exemple, on peut multiplier la première équation par 3 pour obtenir un système d’équations équivalent : 3x ` 6y “ 15, 3x ` 9y “ 21. Pourquoi ai-je choisi de multiplier par 3 ? Parce qu’en choisissant 3, les termes en x des deux équations ont le même coefficient. Soustrayons l’équation du haut à celle du bas : ´  ` 9y ´ 6y “ 21 ´ 15 3x 3x 

ñ

3y “ 6.

Les termes en 3x s’en vont. Cette soustraction élimine la variable x à cause de la multiplication par 3 de la première équation. Nous trouvons y “ 2. Pour trouver x, on substitue y “ 2 dans l’une des équations de départ : x ` 2p2q “ 5, d’où on déduit x “ 1.

Résolution par élimination Il y a une troisième façon de résoudre le système d’équations x ` 2y “ 5,

3x ` 9y “ 21. On peut isoler x dans les deux équations en envoyant toutes les autres variables et les constantes du coté droit des équations : x “ 5 ´ 2y, 1 x “ p21 ´ 9yq “ 7 ´ 3y. 3 Quoique la variable x nous soit inconnue, nous savons deux choses à son sujet : x est égal à 5 ´ 2y et x est égal à 7 ´ 3y. Par conséquent, nous pouvons éliminer x en écrivant l’égalité entre ces quantités : 5 ´ 2y “ 7 ´ 3y.

8.1 RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

181

On résout en y en ajoutant 3y et en retranchant 5 des deux côtés. On trouve y “ 2 et on porte cette valeur dans l’équation x “ 5 ´ 2y pour avoir x. La solution est encore x “ 1 et y “ 2.

Discussion L’utilisation répétée des trois techniques présentées ci-dessus vous permettrait de résoudre n’importe quel système de n équations linéaires en n inconnues. En éliminant une des variables en utilisant une substitution, une soustraction ou une élimination par égalités, le problème est réduit à résoudre un système de pn ´ 1q équations en pn ´ 1q inconnues. En fait il y a tout un cours appelé algèbre linéaire, dans lequel est développée une approche systématique pour la résolution des équations linéaires.

Solution géométrique La solution d’un système de deux équations linéaires en deux inconnues peut être interprété géométriquement comme le point d’intersection de deux droites du plan cartésien. Dans cette section, nous allons utiliser les liens entre l’algèbre et la géométrie pour développer une quatrième façon de résoudre les systèmes d’équations linéaires. L’équation algébrique ax ` by “ c qui contient les inconnues x et y peut être interprétée comme une condition imposée aux valeurs possibles des variables x et y. On peut visualiser géométriquement cette condition en considérant les paires de coordonnées px, yq qui la vérifient dans le plan. Rappelons que chaque point du plan cartésien peut être représenté par un couple de coordonnées px, yq où x est l’abscisse du point et y son ordonnée. La figure 8.1 montre la représentation géométrique de trois équations. La droite ` a correspond à l’ensemble des points px, yq qui satisfont l’équation x “ 1, la droite `b est l’ensemble des points px, yq qui satisfont l’équation y “ 2, et la droite `c correspond à l’ensemble des points qui vérifient x ` 2y “ 2. Vous pourrez vous convaincre vous-mêmes de l’équivalence entre les droites géométriques montrées sur la figure 8.1 et les équations algébriques en considérant quelques points du plan cartésien. Par exemple, observons que les points p1, 0q, p1, 1q et p1, 2q alignés sur la droite ` a vérifient tous l’équation x “ 1. Pour la droite `c , vous pouvez vérifier que les points p2, 0q et p0, 1q où la droite intercepte les axes x et y satisfont tous les deux l’équation x ` 2y “ 2. Le plan cartésien est l’ensemble R2 , c’est à dire l’ensemble de tous les couples de coordonnées possibles. Pour comprendre l’équi-

182

SUPPLÉMENTS y

y

2

2

`a

1

y

`b

2 1

1

`c 1

(a)

2

3

x

1

2

3

x

(b) y “ 2

x“1

1

2

3

x

(c) x ` 2y “ 2

F IGURE 8.1 Représentation graphique de trois équations linéaires.

valence de l’équation algébrique ax ` by “ c et la droite ` du plan cartésien, nous pouvons nous servir de la notation mathématique précise que voici :

` “ tpx, yq P R2 | ax ` by “ cu. Cette définition établit que la droite ` est le sous-ensemble des points px, yq de R2 qui vérifient l’équation ax ` by “ c. La figure 8.2 est une illustration de la droite `.

y

c b

` c a

x

F IGURE 8.2 Représentation graphique de l’équation ax ` by “ c.

Ne me croyez pourtant pas sur parole ! Il faut vous convaincre vousmême que tous les points de la droite ` que l’on voit sur la figure 8.2 vérifient l’équation ax ` by “ c. Par exemple. vous pouvez vous assurer que p ac , 0q et p0, bc q vérifient l’équation ax ` by “ c. Résoudre le système de deux équations a1 x ` b1 y “ c1 ,

a2 x ` b2 y “ c2 ,

revient à trouver l’intersection des droites `1 et `2 qui représentent chacune des deux équations. Le couple px, yq qui satisfait les deux

8.1 RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

183

équations est le couple de coordonnées du point d’intersection des droites `1 et `2 , comme on le voit sur la figure 8.3. y

px, yq

`2 `1

x

F IGURE 8.3 Le point px, yq à l’intersection des droites `1 et `2 .

Exemple Regardons comment nous pouvons utiliser l’interprétation géométrique pour résoudre le système d’équations x ` 2y “ 5,

3x ` 9y “ 21. Nous avons déjà vu trois techniques algébriques différentes pour trouver la solution de ce système d’équations. Maintenant nous allons apprendre une quatrième approche pour trouver la solution de ce système d’équations en utilisant une méthode graphique. Traçons d’abord les droites qui correspondent à chacune des deux équations, en utilisant un papier et un crayon ou une calculatrice graphique. La seconde étape sera de trouver les coordonnées du point d’intersection des deux droites comme on peut le voir dans la figure 8.4. Les coordonnées du point p1, 2q qui est sur les deux droites `1 et `2 , sont les valeurs x et y qui vérifient les deux équations. y 3

p1, 2q

2

`2

1

`1 1

2

x 3

4

5

6

7

F IGURE 8.4 La droite `1 d’équation x ` 2y “ 5 coupe la droite `2 d’équation 3x ` 9y “ 21 au point p1, 2q.

Consultez la page http://desmos.com/calculator/exikik615f pour jouer avec une version interactive des graphes qui sont montrés

184

SUPPLÉMENTS

sur la figure 8.4. Essayez de changer les équations des deux droites et observez comment les représentations graphiques changent.

Exercices E8.1 Tracez les droites ` a , `b et `c de la figure 8.1 (page 182) en vous servant du calculateur graphique Desmos. Utilisez la représentation graphique de ces droites pour trouver : a) l’intersection des droites `c et ` a , b) l’intersection des droites ` a et `b , et c) l’intersection des droites `b et `c . E8.2 Résoudre le système d’équations simultanément en x et y : 2x ` 4y “ 16,

5x ´ y “ 7.

E8.3 Résoudre le système d’équations en les inconnues x, y et z : 2x ` y ´ 4z “ 28, x ` y ` z “ 8,

2x ´ y ´ 6z “ 22. E8.4 Résoudre en p et q les équations p ` q “ 10 et p ´ q “ 4.

8.2

Intérêt composé

Peu après que les anciennes civilisations aient inventé la notion de nombre, elles ont commencé à calculer les intérêts sur les prêts. Il est intéressant de chercher à savoir comment les intérêts sont calculés pour pouvoir prendre des décisions informées sur vos finances.

Pourcentages Nous parlons souvent des rapports entre quantités plutôt que des quantités elles-mêmes. Par exemple, pensons à Jean un gentil bonhomme qui investit $1000 dans le marché boursier et en perd $300 parce que les mauvais types de Wall Street n’arrêtent pas de lui jouer des tours. Pour mettre le nombre $300 en perspective, nous pouvons dire que Jean a perdu 0,3 de son investissement, ou si on préfère qu’il a perdu 30% de son investissement. Pour exprimer un rapport sous forme de pourcentage, on le multiplie par 100. Le rapport de la perte de Jean à son investissement est R “ 300{1000 “ 0,3.

8.2 INTÉRÊT COMPOSÉ

185

Le même rapport exprimé en pourcentage devient R “ 300{1000 ˆ 100 “ 30%.

A contrario, pour traduire un pourcentage en rapport, il faut le diviser par 100.

Taux d’intérêt Supposons qu’on obtienne un prêt de $1000 avec un taux d’intérêt annuel de 6%. Combien devez vous payer d’intérêt à la fin de l’année ? Puisque 6% correspond à un rapport de 6{100 et puisque vous avez emprunté $1000, l’intérêt cumulé à la fin de l’année sera I1 “

6 ˆ $1000 “ $60. 100

À la fin de l’année vous devrez à la banque un total de ˙ ˆ 6 1000 “ p1 ` 0,06q1000 “ 1,06 ˆ 1000 “ $1060. L1 “ 1 ` 100 Le montant total que vous devrez au bout de 6 ans sera L6 “ p1,06q6 ˆ 1000 “ $1418,52.

Vous avez emprunté $1000, mais sur six ans vous devrez rembourser $1418,52. C’est une très mauvaise affaire ! Mais il y a pire. Le scénario ci-dessus suppose que la banque ne compose son intérêt qu’une fois par an. En pratique, l’intérêt est composé chaque mois.

Composition mensuelle Un plan de composition annuel est désavantageux pour la banque et puisque la banque fait les règles d’habitude la composition est faite mensuellement. Le taux d’intérêt mensuel peut être utilisé pour trouver le taux annuel. La banque fournit le taux d’intérêt annuel nominal, qui est égal à taux d’intérêt annuel nominal “ 12 ˆ r

où r est le taux d’intérêt mensuel. Supposons que nous ayons un taux d’intérêt annuel nominal de 6%, qui donne un taux d’intérêt mensuel de r “ 0,5%. Si vous empruntez $1000 à ce taux d’intérêt, à la fin de la première année vous devrez ˆ ˙ 0,5 12 L1 “ 1 ` ˆ 1000 “ $1061,68 100

186

SUPPLÉMENTS

et au bout de 6 ans vous devrez ˆ ˙ 0,5 72 L6 “ 1 ` ˆ 1000 “ 1,0616776 ˆ 1000 “ $1432,04. 100 Remarquez comment la banque vous joue un bon tour vite fait : le taux d’intérêt annuel effectif est en fait de 6,16%, et non 6% (le taux nominal). Tous les 12 mois, le montant du prêt sera augmenté par le facteur : ˙ ˆ 0,5 12 taux d’intérêt annuel effectif “ 1 ` “ 1,0616. 100 Du coup le taux annuel correspond à un pourcentage effectif de 6.16%, mais les banques préfèrent annoncer « 6% nominal » qui est le plus petit chiffre. Plutôt sournois non ?

Composition permanente Nous avons vu que des compositions plus fréquentes conduisent à des taux d’intérêt effectifs plus grands. Essayons d’établir une formule pour le taux effectif quand le taux nominal est 6% et que la banque fait la composition n fois par an. La croissance annuelle sera ˆ ˙n 6 1` 100n où le taux d’intérêt à chaque période est n6 % et il y a n périodes par an. Considérons un scénario dans lequel la composition est faite infiniment souvent. Cela correspond au cas où le nombre n dans l’équation tend vers l’infini (ce que l’on note n Ñ 8). Ce scénario nous conduit à la définition de la fonction exponentielle f pxq “ e x . Quand n Ñ 8 dans l’expression ci-dessus, la croissance annuelle du taux est décrite par la fonction exponentielle de base e (le nombre d’Euler) de la façon suivante : ˙n ˆ ˙ ˆ 6 6 lim 1 ` “ exp “ 1,0618365. nÑ8 100n 100 L’expression « limnÑ8 » se lit « limite quand n tend vers l’infini ». Un taux d’intérêt nominal de 6% avec une composition permanente correspond à un taux d’intérêt effectif de 6,183%. Au bout des 6 ans on devrait ˆ ˙ 6 6 L6 “ exp ˆ 1000 “ $1433,33. 100

8.3 NOTATION ENSEMBLISTE

187

Le taux d’intérêt annuel nominal est 6% dans chaque cas et pourtant plus les compositions sont fréquentes, plus vous devrez d’argent à la fin des 6 ans.

Exercices E8.5 Jacques le studieux a emprunté $40 000 pour pouvoir terminer ses études à l’université. Il n’a fait aucun paiement depuis qu’il a obtenu son diplôme. Calculez combien d’argent il doit au bout de 10 ans dans chacun des scénarios suivants. a) Taux d’intérêt annuel nominal de 3% composé mensuellement b) Taux d’intérêt annuel effectif de 4% c) Taux d’intérêt annuel nominal de 5% avec une composition infinie E8.6 Catherine l’entreprenante avait emprunté $20 000 pour démarrer son entreprise. Au départ son emprunt était à un taux effectif annuel de 6%, mais cinq ans après elle a négocié avec la banque pour obtenir un taux plus bas à 4%. Combien d’argent devra-t-elle 10 ans après son emprunt ?

8.3

Notation ensembliste

Un ensemble est le nom donné en mathématiques à un groupe d’objets qui sont ses éléments. Vous n’avez pas besoin d’avoir étudié les ensembles pour faire des mathématiques de base, mais pour les questions plus avancées il faut une certaine connaissance des ensembles et de la notation ensembliste.

Définitions — ensemble : un ensemble est une collection d’objets que l’on appelle éléments de l’ensemble — S, T : sont des noms souvent donnés à des ensembles — s P S : cette relation se lit « s appartient à S » ou « s est dans S » et signifie que s est un élément de l’ensemble S. — N, Z, Q, R : ces ensembles de nombres importants sont respectivement les entiers naturels, les entiers relatifs, les rationnels et les réels. — H : est l’ensemble vide qui ne contient aucun élément. — t ..... u : les accolades entourent la définition d’un ensemble. L’expression à l’intérieur des accolades décrit les éléments de cet ensemble.

188

SUPPLÉMENTS

Opérations sur les ensembles : — S Y T : l’union de deux ensembles. L’union de S et T est l’ensemble dont les éléments appartiennent à S, ou à T, ou aux deux. — S X T : l’intersection de deux ensembles. L’intersection de S et T est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à S et à T. — SzT : différence ensembliste. La différence SzT est l’ensemble des éléments de S qui ne sont pas dans T. Relations entre les ensembles : — Ă : signifie « sous-ensemble strict ».

— Ď : signifie « sous-ensemble au sens large », c’est à dire que ce pourrait être l’ensemble lui-même. Voici une liste de symboles mathématiques spéciaux avec leur signification : — P : élément de ou appartient à

— R : n’est pas élément de ou n’appartient pas à — @ : pour tout — D : il existe

— E : il n’existe pas — | : tel que

Ces symboles sont utilisés dans les démonstrations mathématiques parce qu’ils nous permettent d’exprimer de façon succincte et précise des arguments mathématiques complexes. Un intervalle est un sous-ensemble de la droite réelle. Un intervalle est noté en spécifiant ses extrémités que l’on entoure de crochets « r s » ou de parenthèses « p q » suivant que l’extrémité correspondante appartient ou non à l’intervalle. — ra, bs : l’intervalle fermé de a à b. C’est l’ensemble des nombres réels supérieurs ou égaux à a et inférieurs ou égaux à b, donc a et b appartiennent à l’intervalle. ra, bs “ tx P R | a ď x ď bu.

— pa, bq : l’intervalle ouvert de a à b. C’est l’ensemble des nombres réels entre a et b, en excluant les extrémités a et b. pa, bq “ tx P R | a ă x ă bu.

— ra, bq : l’intervalle semi-ouvert qui inclut l’extrémité gauche a mais pas l’extrémité droite b. ra, bq “ tx P R | a ď x ă bu.

Nous pouvons rencontrer des ensembles formés de deux parties. Nous utilisons la notation ra, bs Y rc, ds pour l’union de deux intervalles qui est l’ensemble des nombres qui sont soit entre a et b (extrémités comprises) soit entre c et d (extrémités comprises).

8.3 NOTATION ENSEMBLISTE

189

Ensembles Une grande partie du pouvoir des mathématiques provient de l’abstraction : la capacité de penser de façon générale pour trouver des relations communes entre les objets mathématiques. Nous pouvons penser à des nombres individuels comme 3, ´5 et π, ou nous pouvons parler de l’ensemble de tous les nombres. Il est souvent utile de porter notre attention sur un sous ensemble spécifique d’un ensemble de nombres, comme on va le voir dans les exemples qui suivent. Exemple 1 : nombres réels non négatifs Définissons R` Ă R (lire « R` est un sous ensemble de R ») comme l’ensemble des réels non négatifs : déf

R` “ ttout x dans R tel que x ě 0u, ou de façon plus compacte, déf

R` “ tx P R | x ě 0u. Si nous voulions traduire cette expression en langage courant, nous dirions : « L’ensemble R` est l’ensemble des nombres x qui sont supérieurs ou égaux à zéro. » déf Remarquez que nous avons utilisé « “ » au lieu du simple « “ » pour donner une indication supplémentaire du fait que nous définissons un nouvel objet mathématique R` , qui est exactement ce qui est décrit à droite. Dans ce livre, nous employons le symbole déf « “ » chaque fois que nous définissons un nouvel objet mathématique. Dans ce cas, d’autres livres utilisent les notations « :“ » ou « ” ». Exemple 2 : Entiers pairs et entiers impairs Définissons l’ensemble des entiers pairs par déf

P “ tm P Z | m “ 2n, n P Zu “ t. . . , ´4, ´2, 0, 2, 4, . . .u et l’ensemble des entiers impairs comme déf

I “ tm P Z | m “ 2n ` 1, n P Zu “ t. . . , ´3, ´1, 1, 3, 5, . . .u. Tout nombre pair étant divisible par deux, on peut l’écrire sous la forme 2n pour un certain entier n. Les nombres impairs, eux, s’écrivent sous la forme 2n ` 1, où n est un entier.

190

SUPPLÉMENTS

Dans les deux exemples ci-dessus, nous avons utilisé la notation mathématique t . . . | . . . u pour donner la définition des ensembles. À l’intérieur des accolades nous plaçons d’abord la nature générale des objets mathématiques dont nous parlons, suivie par le symbole « | » qui se lit « tel que », et ensuite on donne les conditions que doivent satisfaire tous les éléments de l’ensemble.

Ensembles de nombres Rappelons les ensembles fondamentaux de nombres que nous avons définis dans la section 1.2 au début du livre et révisons les rapidement. Les entiers naturels forment l’ensemble que vous obtenez en partant de 0 et en ajoutant 1 autant de fois que vous voulez : déf

N “ t0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .u. Nous utilisons la notation N˚ pour désigner l’ensemble des entiers naturels positifs. L’ensemble N˚ est N d’où on a exclu zéro. Les entiers relatifs sont les nombres que vous obtenez en ajoutant ou en soustrayant 1 autant de fois que vous voulez : déf

Z “ tx | x “ ˘n, n P Nu. Si nous voulons faire des divisions de nombres entiers, nous aurons besoin des nombres rationnels pour représenter les résultats : !m ˇ ) ˇ déf Q“ ˇ m P Z, n P N˚ , n

Chaque nombre rationnel peut être écrit sous la forme d’une fraction m n , où m est un entier relatif (m P Z), n est un entier naturel positif (n P N˚ ). La catégorie plus vaste des nombres réels ? inclut les rationnels mais aussi les nombres irrationnels comme 2 et π : déf

R “ tπ, e, ´1.53929411 . . . , 4.99401940129401 . . . , . . .u. Enfin, nous avons l’ensemble des nombres complexes : déf

C “ t1, i, 1 ` i, 2 ` 3i, . . .u,

déf ? où i “ ´1 est l’unité imaginaire. Notons que ces définitions de R et C ne sont pas très précises. Plutôt que de donner ici une définition précise de chaque ensemble à l’intérieur des accolades comme nous l’avons fait pour Z et Q, nous avons donné plutôt quelques exemples d’éléments de ces ensembles.

8.3 NOTATION ENSEMBLISTE

191

Les mathématiciens font ça quelquefois, en espérant que le lecteur devinera le modèle général pour tous les éléments de l’ensemble. Pour les ensembles de nombres fondamentaux, nous avons les inclusions suivantes : N Ă Z Ă Q Ă R Ă C. Cette relation signifie que tout entier naturel est aussi un entier relatif. Chaque entier relatif est un rationnel. Tout rationnel est un réel. Tout nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle. Voir la figure 1.1 (page 9) pour une image des relations d’inclusion entre ces ensembles.

Nombres rationnels et fractions Jusqu’ici nous avons utilisé les notions de « nombre rationnel » et de « fraction » de manière un peu interchangeable. Maintenant que nous avons appris les notions de base de la notation ensembliste, nous pouvons clarifier les différences et les relations entre les deux concepts. Le même nombre rationnel 23 peut être écrit sous forme de plusieurs fractions équivalentes. Les fractions 23 , 64 , 69 et 2k 3k représentent toutes le même nombre rationnel. Il faut se souvenir de toutes ces représentations possibles d’un nombre rationnel chaque fois que vous vérifiez si deux nombres rationnels sont égaux. Par exemple pour un problème donné une personne peut obtenir la réponse 23 tandis qu’une autre personne obtient la réponse 64 . Puisque les deux fractions ne sont pas les mêmes, on pourrait penser que les réponses obtenues sont différentes, alors qu’en fait les deux réponses correspondent au même nombre rationnel. Une fraction réduite est une fraction m n telle que les nombres m et n soient les plus petits possibles. On peut obtenir la fraction réduite en éliminant tous les facteurs communs qui apparaissent à la fois dans le numérateur et le dénominateur. Par exemple, 4 2¨2 2¨
2 2 “ “ “ , 6 3¨2 3 3¨2


où nous nous sommes débarrassés du facteur commun 2 pour obtenir la fraction réduite équivalente. Les fractions réduites sont une représentation utile pour les nombres rationnels parce que chaque nombre rationnel correspond à une fraction réduite unique. Deux nombres rationnels sont égaux si et seulement si ils ont la même fraction réduite.

192

SUPPLÉMENTS

Sous-ensembles de la droite numérique Rappelons que l’on peut représenter les nombres réels par des points sur la droite numérique. Voir la figure 1.12 à la page 24. La droite numérique permet aussi de représenter divers sous ensembles que nous appelons intervalles. Nous pouvons représenter graphiquement un intervalle en soulignant en gras une section de la droite numérique. Par exemple, l’ensemble des nombres qui sont strictement plus grands que 2 et strictement plus petits que 4 peut être représenté par l’intervalle p2, 4q, l’ensemble tx P R | 2 ă x ă 4u,

ou graphiquement comme dans la figure 8.5.

´5

´4

´3

´2

´1

0

1

2

3

4

5

F IGURE 8.5 L’intervalle ouvert p2, 4q.

Regardons la définition mathématique de cet ensemble et essayons de la rapporter à la représentation graphique. Rappelons que le symbole P signifie « appartient à », la barre verticale veut dire « tel que » et l’expression toute entière « tx P R | 2 ă x ă 4u » se lit « l’ensemble des nombres réels x tels que 2 ă x ă 4 ». Cet ensemble correspond à la partie en gras sur la figure 8.5. Remarquons que cet intervalle est écrit avec des inégalités strictes, ce qui veut dire que le sous ensemble contient 2,000000001 et 3,99999999, mais ne contient pas les extrémités 2 et 4. Les extrémités de l’intervalle ouvert, les nombres 2 et 4, n’appartiennent pas à l’intervalle, donc elles sont notées sur le graphique par des points évidés. Le point évidé signifie que l’extrémité n’est pas inclue dans l’intervalle. Nous employons le symbole union (Y) pour représenter les ensembles formés de plusieurs parties. Par exemple, l’ensemble des nombres qui sont soit entre ´3 et 0 soit entre 1 et 2 s’écrit tx P R | ´ 3 ď x ď 0u Y tx P R | 1 ď x ď 2u.

´5

´4

´3

´2

F IGURE 8.6

´1

0

1

2

3

4

5

La représentation de r´3, 0s Y r1, 2s.

Cet ensemble est défini par des inégalités du type inférieur ou égal et les intervalles contiennent donc leurs extrémités. Les extrémités fermées sont marquées sur la droite numérique par des points gras (voir figure 8.6).

8.3 NOTATION ENSEMBLISTE

193

Relations d’ordre Nous allons maintenant introduire une représentation graphique utile pour présenter les relations d’ordre et les opérations sur les ensembles. Quoique les ensembles soient des constructions purement mathématiques qui n’ont pas de « forme » à proprement parler, nous pouvons dessiner des diagrammes de Venn pour montrer des relations entre les ensembles et différents sous ensembles. Considérons le cas d’un ensemble B strictement contenu dans un ensemble A. Nous écrivons B Ă A si @b P B, on a aussi b P A. Quand on écrit, B Ă A cela signifie que tout élément de B est aussi élément de A.

A

B a

b

BĂA

F IGURE 8.7 Le diagramme de Venn montre un exemple de la relation d’ensembles B Ă A. L’ensemble B est strictement contenu dans l’ensemble A.

La figure 8.7 montre l’image que les mathématiciens ont dans leur tête quand ils disent « L’ensemble B est contenu dans l’ensemble A. » L’inclusion des ensembles est une notion mathématique abstraite, mais l’image nous aide à nous faire une idée de la situation. Comme pour les inégalités, il y a deux symboles différents pour décrire l’inclusion d’ensembles, suivant qu’il s’agit d’une relation d’inclusion stricte ou au contraire d’une relation d’inclusion large. La notation pour ces deux types de relations d’inclusion entre ensembles ressemblent aux relations d’inégalité inférieur (ă) et inférieurou-égal (ď) entre les nombres. Une relation d’inclusion stricte est notée avec le symbole Ă. Nous écrivons B Ă A si et seulement si tout élément de B est aussi élément de A et s’il existe au moins un élément de A qui n’est pas élément de B. En utilisant la notation ensembliste, la phrase ci-dessus s’écrirait BĂA

ô

@b P B, b P A et Da P A tel que a R B.

Par exemple, l’expression P Ă Z exprime que les nombres pairs forment un sous ensemble strict de l’ensemble des entiers relatifs. Tout nombre pair est un entier relatif, mais il existe des entiers relatifs qui ne sont pas pairs (ce sont les nombres impairs). Quelques mathématiciens préfèrent le symbole plus explicite Ĺ pour les relations d’inclusion stricte.

194

SUPPLÉMENTS

La relation d’inclusion large, contenu-ou-égal est notée B Ď A. En écrivant B Ď A, on annonce, « Tout élément de B est aussi un élément de A », mais on ne dit rien à propos de l’existence d’autres éléments qui seraient contenus dans A mais non dans B. L’annonce B Ă A implique B Ď A ; en revanche B Ď A n’implique pas B Ă A. Ceci est analogue à b ă a implique b ď a, mais b ď a n’implique pas b ă a, puisque a et b pourraient être égaux.

Opérations sur les ensembles Les diagrammes de Venn peuvent nous aider à visualiser les ensembles obtenus par les opérations ensemblistes. La figure 8.8 illustre pour deux ensembles A et B, leur union A Y B, leur intersection A X B et leur différence ensembliste AzB. L’union A Y B représente tous les éléments qui sont soit dans A soit dans B, soit dans les deux. Si e P A Y B, alors e P A ou e P B, ou e appartient aux deux. Rappelons l’ensemble des nombres pairs P Ă Z et les nombres impairs I Ă Z. Puisque tout entier relatif est soit pair, soit impair nous savons que Z Ď P Y I. L’union de deux sous ensembles est toujours contenue dans l’ensemble de départ, nous savons donc aussi que P Y I Ď Z. En rapprochant ces deux faits, on voit l’égalité P Y I “ Z, qui signifie « L’union de tous les nombres pairs et de tous les nombres impairs est l’ensemble des entiers relatifs. » AYB

A

AXB

B

A

AzB

B

A

B

F IGURE 8.8 Les diagramme de Venn montrent les différents sous ensembles obtenus en utilisant les opérations ensemblistes : l’union A Y B, l’intersection A X B et la différence ensembliste AzB.

L’intersection A X B et la différence AzB sont aussi montrées sur la figure 8.8. L’intersection de deux ensembles contient les éléments qui sont communs aux deux ensembles. La différence ensembliste AzB contient tous les éléments qui sont dans A mais non dans B. Remarquons que la signification de la conjonction « ou » est ambiguë. L’expression « dans A ou dans B » peut être interprétée comme un « ou inclusif », qui signifie « dans A ou dans B, ou dans les deux ». Au contraire, on pourrait l’interpréter comme un « ou exclusif », qui signifierait « dans A ou dans B, mais pas dans les deux ». Les mathématiciens emploient toujours le « ou » dans le sens inclusif, alors

8.3 NOTATION ENSEMBLISTE

195

A Y B désigne les éléments qui sont dans A ou dans B, ou dans les deux. Pour obtenir une expression qui correspond à un « ou exclusif » des deux ensembles, on peut prendre leur union et en enlever leur intersection : pA Y BqzpA X Bq. Exemple 3 : Opérations sur les ensembles Considérons les trois ensembles A “ ta, b, cu, B “ tb, c, du et C “ tc, d, eu. En utilisant les opérations ensemblistes nous pouvons définir de nouveaux ensembles comme A Y B “ ta, b, c, du,

A X B “ tb, cu

et

AzB “ tau,

qui correspondent le premier aux éléments soit en A soit en B, le second à l’ensemble des éléments dans A et dans B et le dernier à l’ensemble des éléments dans A mais non dans B. Nous pouvons aussi construire des expressions faisant intervenir trois ensembles : A Y B Y C “ ta, b, c, d, eu

et

A X B X C “ tcu.

Nous pouvons aussi écrire des expressions ensemblistes plus élaborées, comme pA Y BqzC “ ta, bu,

qui décrit les éléments qui sont dans A ou dans B mais non dans C. Un autre exemple d’expression ensembliste compliquée est pA X Bq Y pB X Cq “ tb, c, du,

qui désigne l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et B ou à la fois dans B et C. Comme vous pouvez le voir, la notation ensembliste fournit un langage compact et précis pour décrire des ensembles compliqués. Exemple 4 : Problèmes tirés d’un cas concret Une startup cherche à embaucher des étudiants pour des stages d’été. Désignons par C le sous ensemble des étudiants qui se débrouillent bien avec les ordinateurs, par M ceux qui s’y connaissent en maths, par D ceux qui sont bons en design et par L ceux qui ont une bonne connaissance de la langue. En utilisant les notations ensemblistes, nous pouvons préciser différents sous ensembles d’étudiants que la startup pourrait engager. Supposons que la startup soit un éditeur de livres de maths : ils veulent embaucher des étudiants de l’ensemble M X L — qui sont bons en maths et ont aussi une bonne connaissance de la langue. Une startup qui fait des sites web a besoin de designers et de codeurs donc elle choisira les étudiants de l’ensemble D Y C.

196

SUPPLÉMENTS

Nouveau vocabulaire Apprendre les notations mathématiques avancées c’est comme apprendre une nouvelle langue. Ça prend du temps pour se familiariser avec ces écritures spécialisées employées par les mathématiciens. Vous devez apprendre à lire des symboles tels que D, Ă, | , P et être capable d’exprimer leur signification par une phrase. Pour vous aider à pratiquer ce nouveau vocabulaire, nous allons étudier une proposition mathématique qui utilise ces symboles. Exemple de démonstration simple Affirmation : Étant donnée la fonction Jpnq “ 3n ` 2 ´ n, on a Jpnq P P pour tout n P Z. En langage courant, l’affirmation dit que Jpnq est toujours un nombre pair quand n est un entier. Quel que soit l’entier n que l’on choisisse comme entrée de la fonction, la sortie Jpnq “ 3n ` 2 ´ n sera un nombre pair. Démonstration. On doit montrer que Jpnq P P pour tout n P Z. Commençons par rappeler la définition de l’ensemble des nombres pairs : déf P “ tm P Z | m “ 2k, k P Zu. Un nombre est pair s’il est de la forme 2k pour un entier k. Ensuite simplifions l’expression de Jpnq : Jpnq “ 3n ` 2 ´ n “ 2n ` 2 “ 2pn ` 1q. Observons que le nombre pn ` 1q est aussi un entier. Puisque Jpnq “ 2pn ` 1q est de la forme 2k pour l’entier k “ n ` 1, nous avons prouvé que Jpnq P P pour tout n P Z.

Ensembles de solutions d’équations Une autre situation où les ensembles interviennent est la résolution d’équations et d’inégalités. Dans la section 1.1 nous avons appris à résoudre des équations en l’inconnue x. Résoudre l’équation f pxq “ c, c’est trouver toutes les valeurs de x qui satisfont l’équation. Pour des équations simples comme x ´ 3 “ 6, la solution est un seul nombre, x “ 9, mais des équations plus complexes peuvent avoir plusieurs solutions. Par exemple, la solution de l’équation x2 “ 4 est l’ensemble t´2, 2u, puisque x “ ´2 et x “ 2 satisfont l’équation. Reprenez la définition mathématique du verbe « résoudre » (une équation) pour y inclure la nouvelle notion d’ensemble solution — l’ensemble des valeurs qui satisfont l’équation : — L’ensemble solution de l’équation x ´ 3 “ 6 est l’ensemble t9u.

— L’ensemble solution de l’équation x2 “ 4 est l’ensemble t´2, 2u.

8.3 NOTATION ENSEMBLISTE

197

— L’ensemble solution de sin x “ 0 est tx | x “ πn, @n P Zu.

— L’ensemble solution de l’équation sin x “ 2 est H (l’ensemble vide), puisqu’aucun nombre x ne peut satisfaire l’équation. La fonction solve de SymPy donne les solutions des équations sous forme de listes. Pour résoudre l’équation f pxq “ c en utilisant SymPy, nous commençons par la réécrire sous la forme f pxq ´ c “ 0, puis on appelle la fonction solve : >>> solve(x-3-6, x) [9]

# usage: solve(expr, var)

>>> solve(x**2-4, x) [-2, 2] >>> solve(sin(x), x) [0, pi]

# solutions dans l’intervalle [0,2*pi)

>>> solve(sin(x)-2, x) []

# liste vide = ensemble vide

Dans la section suivante nous apprendrons à décrire les solutions d’un système d’équations en utilisant la notion d’ensemble solution. Ensembles solution de systèmes d’équations Revenons sur ce que nous avons étudié à la section 8.1 à propos des solutions de systèmes d’équations linéaires et définissons leurs ensembles de solutions de façon plus précise. L’ensemble solution du système d’équations a1 x ` b1 y “ c1 ,

a2 x ` b2 y “ c2 , est l’intersection des deux ensembles :

tpx, yq P R2 | a1 x ` b1 y “ c1 u X loooooooooooooooooomoooooooooooooooooon tpx, yq P R2 | a2 x ` b2 y “ c2 u . loooooooooooooooooomoooooooooooooooooon `1

`2

Rappelons que les droites `1 et `2 sont les interprétations géométriques de ces ensembles. Chacune de ces droites est l’ensemble des couples de coordonnées px, yq qui vérifient l’équation de la droite. La solution du système d’équations est l’ensemble des points de l’intersection `1 X `2 des deux droites. Remarquez que le mot intersection est employé dans deux contextes différents : la solution est l’intersection ensembliste de deux ensembles

198

SUPPLÉMENTS

et aussi l’intersection géométrique de deux droites. Profitons de cette correspondance entre intersection ensembliste et intersection géométrique de droites pour comprendre un peu mieux ce que sont les solutions d’un système d’équations. Dans les trois sections suivantes nous allons étudier des cas que l’on peut rencontrer quand on cherche à résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Jusqu’à présent nous n’avons parlé que du Cas A, quand les deux droites se coupent en un point, comme dans l’exemple de la figure 8.9. Pour comprendre complètement toutes les solutions possibles il faut aussi penser aux autres cas tels que le Cas B où `1 X `2 “ H comme dans la figure 8.10 et le Cas C où `1 X `2 “ `1 “ `2 comme dans la figure 8.11. Cas A : Une solution. Quand les droites `1 et `2 ne sont pas parallèles, elles se coupent en un point, comme on peut le voir sur la figure 8.9. Dans ce cas, l’ensemble solution du système d’équations ne contient qu’un seul point : tpx, yq P R2 | x ` 2y “ 2u X tpx, yq P R2 | x “ 1u “ tp1, 21 qu.

y

`2

2

1

p1, 12 q 1

x 2

3

`1 F IGURE 8.9 Cas A : L’intersection des droites d’équations x ` 2y “ 2 et x “ 1 est le point p1, 21 q P R2 .

Cas B : Aucune solution. Si les droites `1 et `2 sont parallèles, elles ne se rencontreront jamais. L’intersection de ces deux droites est l’ensemble vide : tpx, yq P R2 | x ` 2y “ 2u X tpx, yq P R2 | x ` 2y “ 4u “ H. Vous voyez qu’il n’y a pas de point px, yq qui soit sur les deux droites `1 et `2 . En utilisant les termes de l’algèbre, nous disons que le système d’équations n’a pas de solution puisqu’il n’y a pas de couple de nombres x et y qui satisfassent les deux équations.

8.3 NOTATION ENSEMBLISTE

199

y 2

`2

1

2

1

3

x

`1 F IGURE 8.10 Cas B : Les droites d’équations x ` 2y “ 2 et x ` 2y “ 4 sont parallèles et ne se coupent pas. Du point de vue ensembliste, on dit que l’ensemble solution est H (l’ensemble vide).

Cas C : Une infinité de solutions. Si les droites `1 et `2 sont parallèles et confondues alors elles ont tous leurs points en commun. Ce cas se produit quand l’une des équations du système est un multiple de l’autre, comme pour les équations x ` 2y “ 2 et 3x ` 6y “ 6. Les droites `1 et `2 qui correspondent à ces équations sont montrées à la figure 8.11. Si les coordonnées d’un point px, yq satisfont x ` 2y “ 2 elles satisfont aussi 3x ` 6y “ 6. Puisque les deux équations sont celles de la même droite géométrique, l’intersection de ces deux droites confondues n’est autre que ces droites elles-mêmes : `1 X `2 “ `1 “ `2 . Dans ce cas, la solution du système d’équations est l’ensemble tpx, yq P R2 | x ` 2y “ 2u.

y 2

1

`2 1

2

3

x

`1 F IGURE 8.11 Cas C : la droite `1 décrite par l’équation x ` 2y “ 2 et la droite `2 décrite par l’équation 3x ` 6y “ 6 correspondent au mêmes points dans le plan cartésien. Leur intersection est l’ensemble tpx, yq P R2 | x ` 2y “ 2u “ `1 “ `2 .

Nous devons considérer les trois cas possibles quand nous pensons aux solutions d’un système d’équations linéaires. L’ensemble so-

200

SUPPLÉMENTS

lution peut être un point (Cas A), l’ensemble vide (Cas B) ou une droite (Cas C). Observons que la même notion mathématique (celle d’ensemble) peut servir à décrire les solutions dans les trois cas. Dans le Cas A la solution est un ensemble qui ne contient qu’un seul point tpx, yqu, dans le Cas B la solution est l’ensemble vide H et dans le Cas C l’ensemble solution est un ensemble infini tpx, yq P R2 | ax ` by “ cu, qui correspond à la droite ` dans le plan cartésien. Je crois que vous serez d’accord avec moi pour dire que la notation ensembliste est vraiment utile pour décrire avec précision les concepts mathématiques et s’occuper de tous les cas avec les mêmes outils. Les ensembles de solutions sont aussi très utiles pour donner les solutions des inégalités, ce que nous allons voir maintenant. Inégalités Dans cette section, nous allons apprendre à résoudre les inégalités. L’ensemble des solutions d’une inégalité est un intervalle — un sous ensemble de la droite numérique. Considérons l’inégalité x2 ď 4, qui équivaut à la question : « Pour quelles valeurs de x, a-t-on x2 inférieur ou égal à 4 ? » La réponse à cette question est l’intervalle r´2, 2s “ tx P R | ´ 2 ď x ď 2 u. Pour travailler avec des inégalités on commence par regarder l’égalité pour déterminer les points limites de l’inégalité. Pour résoudre l’inégalité x2 ď 4, nous résolvons d’abord x2 “ 4 pour trouver les points à la limite puis on fait des essais et on regarde quelle partie de l’espace à gauche et à droite des points limites satisfait l’inégalité. Il est important de distinguer les différents types de conditions d’inégalité. Les quatre types d’inégalités sont — f pxq ă gpxq : une inégalité stricte. La fonction f pxq est toujours strictement inférieure à la fonction gpxq. — f pxq ď gpxq : la fonction f pxq est inférieure ou égale à gpxq. — f pxq ą gpxq : f pxq est strictement supérieure à gpxq. — f pxq ě gpxq : f pxq est supérieure ou égale à gpxq. Suivant le type d’inégalité que l’on cherche à résoudre la réponse sera un intervalle ouvert ou fermé. Les inégalités strictes conduisent à des intervalles ouverts, tandis que les inégalités larges donnent des intervalles fermés. Pour résoudre les inégalités nous employons les techniques que nous avons apprises pour résoudre les équations : nous simplifions par étapes les deux côtés de l’inégalité jusqu’à ce qu’on ait la réponse. La seule chose nouvelle quand on travaille avec les inégalités est la suivante : quand on multiplie les deux cotés d’une inégalité par un nombre négatif, on doit changer le sens de l’inégalité : f pxq ď gpxq ô ´ f pxq ě ´gpxq.

8.3 NOTATION ENSEMBLISTE

201

Exemple 5 Pour résoudre l’inégalité 7 ´ x ď 5 on peut « creuser » en direction de x pour isoler x : 7 ´ x ď 5,

p´xq ` 7 ď 5,

p´xq ` 7 ´7 ď 5 ´7, ´x ď ´2, x ě 2.

Pour obtenir la deuxième ligne il suffit de changer l’ordre des opérations. À la troisième ligne on soustrait 7 des deux côtés pour effacer l’opération d’addition du `7. Dans la dernière étape nous avons multiplié les deux cotés de l’inégalité par ´1, ce qui a pour effet de changer le sens de l’inégalité de ď à ě. L’ensemble solution de l’inégalité 7 ´ x ď 5 est l’intervalle r2, 8q. Exemple 6 Pour résoudre l’inégalité x2 ď 4, nous devons nous débarrasser du carré en prenant la racine carrée des deux cotés de l’inégalité. Remarquons que l’équation x2 “ 4 a deux solutions : x “ ´2 et x “ 2. Ici aussi, nous devrons considérer deux cas différents suivant les conditions de l’inégalité. Lorsqu’on simplifie l’inégalité x2 ď 4 en prenant la racine carrée des deux cotés, il en résulte deux conditions x ě ´2 et x ď 2, que l’on peut exprimer de façon plus concise par ´2 ď x ď 2. Si x est un nombre négatif, il doit être plus grand que ´2 ; mais si x est un nombre positif, il doit être plus petit que 2 pour que x2 ď 4. L’ensemble solution de l’inégalité x2 ď 4 est l’intervalle r´2, 2s “ tx P R | ´ 2 ď x ď 2u. Remarquez que la solution est un intervalle fermé (crochets), ce qui veut dire que les extrémités sont inclues. Le meilleur moyen de vous convaincre que le raisonnement algébrique que nous avons fait est correct est de penser au graphe de la fonction f pxq “ x2 . L’inégalité x2 ď 4 correspond à la condition f pxq ď 4. Pour quelles valeurs de x le graphe de f pxq est-il en-dessous de la droite d’équation y “ 4 ? ***

Comme vous pouvez le voir, résoudre les inégalités n’est pas plus compliqué que résoudre les équations. Lorsque vous pensez à une inégalité vous pouvez penser aux points limites qui correspondent à l’égalité. Quand les choses se compliquent (comme dans l’exemple 6), vous pouvez dessiner le graphe des fonctions pour les différents termes qui interviennent dans l’inégalité et vous en servir pour voir les directions appropriées pour que les inégalités soient vérifiées dans le bon sens.

202

SUPPLÉMENTS

Ensembles reliés aux fonctions Une fonction dont les entrées sont des variables réelles et qui donne des nombres réels comme sorties est notée f : R Ñ R. Le domaine de la fonction est l’ensemble de toutes les entrées possibles pour lesquelles la fonction produit une sortie : déf

Domp f q “ tx P R | f pxq P Ru. Les entrées pour lesquelles la fonction n’est pas définie ? n’appartiennent pas au domaine. Par exemple la fonction f pxq “ x n’est pas définie pour les entrées négatives, donc son domaine est l’ensemble des nombres non négatifs, Domp f q “ R` . L’image d’une fonction est l’ensemble de toutes les sorties possibles de la fonction : déf

Imp f q “ ty P R | Dx P R, y “ f pxqu. Par exemple, la fonction f pxq “ x2 a pour image Imp f q “ R` , puisque les sorties qu’elle produit ne sont jamais négatives.

Discussion La connaissance précise du jargon mathématique introduit dans cette section n’est pas essentiel pour comprendre les mathématiques de base. Je voulais pourtant vous présenter quelques notations techniques parce que c’est le langage dans lequel les mathématiciens s’expriment et communiquent. Les livres de mathématiques plus avancés supposeront que vous connaissez la notation ensembliste, aussi il est bon de vous y préparer.

Exercices E8.7 Étant donnés les ensembles A “ t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7u, B “ t1, 3, 5u et C “ t2, 4, 6u, donnez la composition des ensembles suivants. a) AzB

e) AYBYC

b) B Y C

f) AzpBYCq

c) A X B

g) pAzBqYC

d) B X C

h) AXBXC

E8.8 Trouver les valeurs de x qui satisfont les inégalités suivantes. a) 2x ă 3

d) 3x ` 3 ă 5x ´ 5

b) ´4x ě 20 e)

1 2x ´ 2

ě

1 3

c) |2x ´ 3| ă 5

f) px ` 1q2 ě 9

Donnez votre réponse sous forme d’intervalle en précisant si les extrémités sont comprises ou non.

Chapitre 9

Problèmes Nous avons maintenant atteint le chapitre de ce livre consacré aux problèmes. Le but de ces problèmes est de vous donner une occasion de mettre en pratique tout ce que vous avez appris des fondamentaux en mathématiques. Savoir comment manipuler les expressions mathématiques et résoudre les équations sont des connaissances très utiles qu’il est important de développer et entretenir. Il peut parfois vous sembler que faire l’effort de perfectionner vos compétences en mathématiques est un travail pénible et difficile, mais ce n’est qu’en résolvant des problèmes que vous pouvez gagnerez un point d’appui solide sur tout le matériel que vous avez étudié. Vous éprouverez aussi un petit sentiment d’accomplissement à chaque problème dont vous serez venu à bout. Assoyez vous et essayez de résoudre quelques problèmes aujourd’hui ou un autre jour quand vous aurez bu suffisamment de café. Si vous trouvez le temps de faire des maths, vous développerez une compréhension durable et une véritable aisance dans le domaine. Au contraire sans l’habitude de résoudre des problèmes il y a des chances que vous oubliiez ce que vous avez appris. Vous vous souviendrez des idées générales, mais les détails seront confus et défraîchis. En résolvant quelques problèmes de ce chapitre, vous vous souviendrez de beaucoup plus de choses. Ne cassez pas votre rythme maintenant. Avec les maths, c’est vraiment on s’en sert ou on l’oublie ! Assurez vous de mettre de coté votre téléphone portable pendant que vous travaillez sur ces problèmes. Donnez vous le temps de réfléchir. Vous n’avez pas besoin de technologies modernes pour faire des maths ; prenez un crayon et une feuille de papier et ça suffira. Les grands mathématiciens comme Descartes, Hilbert, Leibniz et Noether ont fait leur travail avec un crayon et du papier et ils l’ont bien fait. Passez un peu de temps à faire des maths à leur façon. 203

204

PROBLÈMES

P9.1 Trouvez x dans l’équation x2 ´ 9 “ 7. ` ˘ P9.2 Trouvez x dans l’équation cos´1 Ax ´ φ “ ωt. P9.3 Trouvez x dans l’équation

1 x

“

1 a

` 1b .

P9.4 En vous servant d’une calculatrice, calculez les expressions suivantes : ? 1 4 a) 33 b) 210 d) 21 lnpe22 q c) 7 4 ´ 10 P9.5 Calculez les expressions suivantes où figurent des fractions : 1 1 4 23 c) 1 34 ` 1 31 a) ` b) ´ 32 2 4 7 5 P9.6 Utilisez les règles de base de l’algèbre pour simplifier les expressions suivantes : 1 abc 27a2 a) ab b2 cb´3 b) c) ? a bca 9abba 4 apb ` cq ´ ca 3 a b f) px ` aqpx ` bq´ xpa ` bq d) e) ? 3 b c b a2 P9.7 Développez les produits suivants : a) px ` aqpx ´ bq

b) p2x ` 3qpx ´ 5q

c) p5x ´ 2qp2x ` 7q

a) x2 ´ 2x ´ 8

b) 3x3 ´ 27x

c) 6x2 ` 11x ´ 21

a) x2 ´ 4x ` 7

b) 2x2 ` 12x ` 22

c) 6x2 ` 11x ´ 21

P9.8 Mettre sous forme d’un produit de facteurs du premier degré les expressions suivantes : P9.9 Compléter le carré dans les trinômes du second degré suivants pour obtenir des expressions de la forme Apx ´ hq2 ` k. P9.10 Un club de golf et une balle de golf coûtent ensemble $1,10. Le club coûte un dollar de plus que la balle. Combien coûte la balle ? P9.11 Un artiste de l’antiquité a dessiné sur les murs d’une caverne des scènes de chasse où figuraient 43 silhouettes d’animaux et de personnes. Il y a 17 silhouettes d’animaux de plus que de silhouettes de personnes. Combien de silhouettes de personne et combien de silhouettes d’animaux l’artiste a-t-il dessiné ? P9.12 Un père a 35 ans et son fils a 5 ans. Dans combien d’années l’âge du père sera-t-il quatre fois celui de son fils ? P9.13 Un garçon et une fille ramassent 120 noix au total. La fille ramasse deux fois plus de noix que le garçon. Combien de noix chacun d’eux a-t-il ramassé ? P9.14 Alice a cinq ans de plus que Bob. La somme de leurs âges est 25. Quel est l’âge d’Alice ?

205

P9.15 Un éditeur doit relier 4500 livres. Une boutique d’imprimerie peut relier ces livres en 30 jours. Une autre boutique peut faire le travail en 45 jours. Combien de jours faudrait-il pour relier tous les livres si les deux boutiques travaillent en parallèle ? Indice: trouver le nombre de livres par jour pour chaque boutique. P9.16 Un avion quitte Vancouver à 600 km/h en direction de Montréal. Une heure plus tard, un deuxième avion quitte Vancouver en direction de Montréal à 900 km/h. Combien de temps faudra-t-il au deuxième avion pour rattraper le premier ? Indice: la distance parcourue est égale au produit de la vitesse par le temps : d “ vt.

P9.17 Il y a 26 moutons et 10 chèvres sur un bateau. Quel est l’âge du commandant du bateau ? P9.18 Le nombre d’or, noté ϕ, est la racine positive de l’équation x2 ´ x ´ 1 “ 0. Quelle est la valeur du nombre d’or ? P9.19 Trouvez x dans l’équation

1 2 4 ` “ 2. x 1´x x

Indice: multipliez les deux cotés de l’équation par x2 p1 ´ xq.

P9.20 Utilisez une substitution pour trouver x dans les équations suivantes : 1 a) x6 ´ 4x3 ` 4 “ 0 “ sin x b) 2 ´ sin x P9.21 Trouver pour quelles valeurs du paramètre m l’équation 2x2 ´ mx ` m “ 0 n’a pas de solution réelle.

Indice: utilisez la formule de résolution de l’équation du second degré.

P9.22 Utilisez les propriétés des exposants et des logarithmes pour simplifier ˆ ´2 ´3 ˙´3 2 a) e x e´x ez c) p8x6 q´ 3 xy z b) x2 y3 z´4 ? d) log4 p 2q e) log10 p0,001q f)lnpx2 ´ 1q ´ lnpx ´ 1q

P9.23 Quand on entre des nombres dans un ordinateur, le nombre n de chiffres exacts en base b et l’erreur e due à l’approximation sont reliés par l’équation n “ ´ logb peq. Un float64 a une précision de 53 bits (chiffres en base 2). Quelle est l’erreur d’approximation e pour un float64 ? Combien de chiffres exacts y a-t-il dans l’écriture décimale (base 10) d’un float64 ? P9.24 Quelles sont les valeurs de x qui satisfont les inégalités : a) 2x ´ 5 ą 3

b) 5 ď 3x ´ 4 ď 14

c) 2x2 ` x ě 1

P9.25 Deux algorithmes, P et Q, peuvent être employés pour résoudre un certain problème. Le temps d’exécution de l’algorithme P est une fonction de la taille du problème n donnée par Ppnq “ 0,002n2 . Le temps d’exécution

206

PROBLÈMES

de l’algorithme Q est donné par Qpnq “ 0,5n. Pour de petits problèmes l’algorithme P est plus rapide. À partir de quel n l’algorithme Q sera-t-il plus rapide ? P9.26 Considérons un triangle rectangle dont les petits côtés ont des longueurs de 8 cm et 6 cm. Quelle est la longueur du côté le plus long ? P9.27 La diagonale d’un écran de télévision mesure 26 pouces. La hauteur de l’écran est de 13 pouces. Quelle est la largeur de l’écran ? P9.28 Une échelle de 3,33 m de long est appuyée contre un mur et ses pieds sont à 1,44 m du mur. Quelle est la hauteur h à laquelle l’échelle touche le mur ?

3.33 m

h

1.44 m

P9.29?Considérons un triangle rectangle dont l’hypoténuse a pour longueur ? (le nombre d’or) et la longueur du côté adjacent est ϕ. Quelle ϕ “ 5`1 2 est la longueur du côté opposé ? P9.30 Trouvez les longueurs x, y et z de la figure ci-dessous.

D

y

B z

x

p3 2

◦

30 A

45◦

E

p3 2

C

207

P9.31 Étant données les mesures des angles et des distances sur la figure 9.1, calculez la distance d et la hauteur h du sommet de la montagne.

h 20◦

25◦

1000 m

800 m

d

F IGURE 9.1 Mesure de la hauteur d’une montagne en utilisant des angles. Indice: utilisez la définition de tan θ pour obtenir deux équations à deux inconnues. P9.32 Vous observez une maison depuis un ballon qui vole à 2000 mètres d’altitude. De votre point de vue, on voit la maison à un angle de 24˝ sous l’horizontale. Quelle est la distance horizontale x du ballon à la maison ? 24◦ 2000 θ x

P9.33 Trouver x. Donnez votre réponse en termes de a, b, c et θ.

x θ b

c a

Indice: utilisez deux fois le théorème de Pythagore, puis la fonction tan. P9.34 Un triangle équilatéral est inscrit dans un cercle de rayon 1. Trouvez la longueur a du côté du triangle inscrit et son aire A4 . 1

a

Indice: divisez le triangle en trois sous-triangles.

208

PROBLÈMES

P9.35 Utilisez les formules trigonométriques de réduction des puissances (page 119) pour exprimer sin2 θ cos2 θ en termes de cos 4θ. P9.36 Un cercle de rayon 1 est inscrit dans un octogone régulier (un polygone avec 8 côtés de même longueur b). Calculez le périmètre et l’aire de l’octogone. b

b

b

b

1

b

b b

b

Indice: partagez l’octogone en huit triangles isocèles. P9.37 Trouver la longueur du côté c dans le triangle : C = 75◦ b

a = 10

c

A = 41◦

B

Indice: utilisez la loi des sinus. P9.38 Considérez le triangle obtusangle montré à la figure 9.2. a) Exprimez h en termes de a et θ. b) Quelle est l’aire de ce triangle ? c) Exprimez c en termes des variables a, b et θ. Indice: vous pouvez vous servir de la loi des cosinus pour la partie c).

C c

a

h

θ A

b

B

F IGURE 9.2 Un triangle de base b et de hauteur h.

209

P9.39 Trouver la mesure de l’angle B et en déduire la mesure de l’angle C. Trouver la longueur du côté c.

C b = 30

a = 18 c

A = 25◦

B

Indice: la somme des mesures des angles d’un triangle est 180˝ . P9.40 Un observateur au sol voit un avion en approche sous un angle d’inclinaison de 30˝ . 10 secondes plus tard l’angle d’inclinaison est de 55˝ . Si l’avion vole à une vitesse constante à une altitude de 2000 m en droite ligne pour aller droit au-dessus de l’observateur, trouver la vitesse de l’avion en kilomètres par heure.

10 secondes s’´ecoulent

(

( 55◦

2000 m 30◦

P9.41 Satoshi aime boire le saké chaud. Il place 1 litre d’eau dans une casserole de diamètre 17 cm. De quelle hauteur va s’élever le niveau de l’eau quand Satoshi plonge une bouteille de saké de 7,5 cm de diamètre ? Indice: vous aurez besoin du taux de conversion du volume, 1 litre = 1000 cm3 . P9.42 Quelle est la longueur x de la diagonale du quadrilatère ci-dessous.

7

8 α1 4

x 12

α2 11

Indice: utiliser d’abord la loi des cosinus pour trouver α1 et α2 et à nouveau pour obtenir x.

210

PROBLÈMES

P9.43 Quelle est l’aire de la région hachurée.

2 cm 2 cm 2 cm Indice: trouver l’aire du cercle extérieur, soustraire l’aire du disque central, puis diviser par deux. P9.44 En préparation du lancement d’un vidéo musicale, on vous demande de suspendre un boulet de démolition accroché à une poulie circulaire. La poulie a un rayon de 50 cm. Les autres longueurs sont indiquées sur la figure. Quelle longueur totale de corde faut-il ?

40◦

4m

2m

Indice: la longueur totale de corde consiste en deux parties rectilignes auxquelles s’ajoute la partie circulaire qui est enroulée autour de la poulie. P9.45 La longueur d’un rectangle est c ` 2 et sa hauteur est 5. Quelle est l’aire du rectangle ? P9.46 Une boîte de serviettes en papier a pour dimensions 10,5 cm par 7 cm par 22,3 cm. Quel est le volume de la boîte en litres ? Indice: 1 L = 1000 cm3 .

211

P9.47 Un grand cercle de rayon R est entouré de 12 petits cercles de rayon r. Trouver le rapport Rr arrondi à quatre chiffres après la virgule.

Indice: tracez un triangle isocèle avec un sommet au centre du grand cercle et les autres sommets aux centres de deux cercles adjacents de rayons r. P9.48 L’aire d’une forme rectangulaire est de 35 cm2 . Si un côté a 5 cm de long, quelle est la longueur de l’autre côté ? P9.49 Une piscine a une longueur de ` “ 20 m, une largeur de w “ 10 m et une profondeur de d “ 1,5 m. Calculez en litres le volume d’eau que peut recevoir la piscine ? Indice: 1 m3 = 1000 L. P9.50 Combien de litres d’eau reste-t-il dans un réservoir qui a 15 m de long, 6 m de large et 5 m de hauteur, si 30% de sa capacité a déjà été utilisée ? P9.51 Un bâtiment a deux réservoirs d’eau ayant chacun une capacité de 4000 L. Un d’eux n’est plein qu’à 41 et l’autre contient trois fois plus d’eau. De combien de litres d’eau au total dispose le bâtiment ? P9.52 Le couvercle rectangulaire d’une boîte a 40 cm de long et 30 cm de large. Un trou rectangulaire d’aire 500 cm2 doit être découpé dans ce couvercle de façon que les côtés du trou soient à égales distances des côtés du couvercle. Quelle sera la distance entre les côtés du trou et les côtés du couvercle ? Indice: vous pourrez définir trois variables pour résoudre ce problème. P9.53 Un commerçant vend du bois de chauffage. Pour que les paquets soient les mêmes, il se sert de cordes de même longueur ` pour entourer chaque paquet de bûches. Un jour un client lui demande de doubler la quantité de bois de chauffage en un seul paquet. Quelle longueur de corde doit-il employer pour préparer cette commande ? On suppose que les paquets de bûches sont de forme circulaire. P9.54 Combien faut-il ajouter d’eau pure à 10 litres d’une solution d’acide à 60% pour en faire une solution à 20% ?

212

PROBLÈMES

P9.55 Un écran de tablette a une résolution de 768 pixels par 1024 pixels et les dimensions physiques de l’écran sont de 6 pouces par 8 pouces. On pourrait conclure que la meilleure taille d’un document .pdf pour cet écran serait 6 pouces par 8 pouces. Au début, moi aussi je croyais ça, mais j’oubliais de compter la barre de statut haute de 20 pixels. La surface réellement utilisable de l’écran n’est que de 768 pixels par 1004 pixels. En supposant que la largeur du document .pdf choisi soit 6 pouces, quelle doit être la hauteur du document .pdf pour qu’il corresponde parfaitement à l’aire disponible sur l’écran de la tablette ? P9.56 Quelle est la somme des entiers naturels de 1 à 100. Indice: ajoutez le plus grand nombre au plus petit, le deuxième plus grand au deuxième plus petit, etc. . . P9.57 Donnez les longueurs et directions des vecteurs suivants : a) ~u1 “ p0, 5q

b) ~u2 “ p1, 2q

c) ~u3 “ p´1, ´2q

P9.58 Donnez les composantes des vecteurs suivants : a) ~v1 “ 20=30˝

b) ~v2 “ 10=´90˝

c) ~v3 “ 5=150˝

~ 1 “ 10=25˝ a) w

~ 2 “ 7=´90˝ b) w

~ 3 “ p3, ´2, 3q c) w

a) ~v1 ` ~v2

b) ~v2 ´ 2~v1

c) ~v1 ` ~v2 ` ~v3

P9.59 et kˆ :

Exprimez les vecteurs suivants en termes des vecteurs unitaires ıˆ, ˆ

P9.60 Étant donnés les vecteurs ~v1 “ p1, 1q, ~v2 “ p2, 3q et ~v3 “ 5=30˝ , calculez les expressions suivantes : P9.61 On part du point P “ p2, 6q et on le déplace en lui appliquant les trois vecteurs montrés sur la figure 9.3 pour arriver au point Q. Quelles sont les coordonnées du point Q ? 30◦

(2, 2) 5 P = (2, 6) 3 60◦

Q

F IGURE 9.3 Un point P déplacé par trois vecteurs pour arriver en Q.

213

~ “ p´1, ´1, 2q, P9.62 Étant donnés les vecteurs ~u “ p1, 1, 1q, ~v “ p2, 3, 1q et w calculez les produits suivants : a) ~u ¨ ~v

d) ~u ˆ ~v

~ b) ~u ¨ w

~ c) ~v ¨ w

~ e) ~u ˆ w

~ f) ~v ˆ w

P9.63 Étant donnés les vecteurs ~p “ p1, 1, 0, 3, 3q et ~q “ p1, 2, 3, 4, 5q, calculez les expressions suivantes : a) ~p ` ~q

b) ~p ´ ~q

c) ~p ¨ ~q

P9.64 Trouvez un vecteur unitaire qui est perpendiculaire aux vecteurs ~u “ p1, 0, 1q et ~v “ p1, 2, 0q. Indice: utilisez le produit vectoriel.

P9.65 Trouvez un vecteur qui est orthogonal aux deux vecteurs ~u1 “ p1, 0, 1q et ~u2 “ p1, 3, 0q et dont le produit scalaire avec le vecteur ~v “ p1, 1, 0q soit égal à 8. P9.66 Calculez les expressions suivantes : ? 2 ` 3i a) ´4 b) 2 ` 2i P9.67 Résoudre en x P C les équations suivantes : ? a) x2 “ ´4 b) x “ 4i c) x2 ` 2x ` 2 “ 0

c) e3i p2 ` iqe´3i

d) x4 ` 4x2 ` 3 “ 0

Indice: pour résoudre d), servez-vous de la substitution u “ x2 .

P9.68 Étant donnés les nombres z1 “ 2 ` i, z2 “ 2 ´ i et z3 “ ´1 ´ i, calculez z a) |z1 | c) z1 z2 z3 b) 1 z3

P9.69 Un vrai business est un business rentable. Un business imaginaire est une idée qui vit seulement dans votre tête. Nous pouvons modéliser l’aspect réel-imaginaire d’une business en représentant l’état du projet par un nombre complexe p P C. Par exemple une idée de business serait décrite par po “ 100i. En d’autres termes l’état initial est 100% imaginaire. Pour faire passer une idée de l’imaginaire au réel vous devez travailler dessus. Nous allons modéliser l’impact sur l’état du projet du travail que nous faisons par la multiplication par le nombre complexe e´iαh , où h est le nombre d’heures de travail et α une constante qui dépend du projet. Après h heures de travail, l’état initial du projet devient ph “ e´iαh po . Travailler une heure sur le projet fait « tourner » son état de ´α rad, le rendant moins imaginaire et plus réel. Si vous partez d’une idée, l’état initial est po “ 100i et si le nombre cumulatif d’heures investi au bout de t semaines de travail sur le projet est hptq “ 0,2t2 , combien de temps faudra-t-il pour que le projet devienne 100% réel ? On suppose que pour ce projet α “ 2,904 ˆ 10´3 . Indice: le projet est 100% réel si Retpu “ p.

214

PROBLÈMES

P9.70 Un fermier passionné par la robotique a construit un prototype de robot-tracteur. Ce tracteur est programmé pour se déplacer à la vitesse de 0,524 km/h en suivant la direction de la petite aiguille d’une montre conventionnelle. Supposons que le tracteur parte à 12 heures (midi) et soit laissé à lui-même dans un champ jusqu’à 6 heures du soir. Quelle est la forme de la trajectoire suivie par le tracteur ? Quelle est la distance totale parcourue par le tracteur au bout de six heures ? P9.71 Trouvez x et y dans le système d’équations suivant : ´x ´ 2y “ ´2 et 3x ` 3y “ 0.

P9.72 Résoudre le système d’équations suivant en trois inconnues : 1x ` 2y ` 3z “ 14,

2x ` 5y ` 6z “ 30,

´1x ` 2y ` 3z “ 12.

P9.73 Un hôtel offre une réduction de 15% sur les chambres. Déterminer le prix original d’une chambre si le prix après réduction est de $95,20. P9.74 Un ensemble d’outils de cuisine est normalement vendu à $450, mais aujourd’hui on l’offre au prix spécial de $360. À quel pourcentage correspond cette réduction ? P9.75 Vous faites un emprunt de $5000 à un taux annuel nominal de 12% avec composition mensuelle. Combien d’argent devrez vous au bout de 10 ans ? P9.76 Tracez les graphes de f pxq “ 100e´x{2 et gpxq “ 100p1 ´ e´x{2 q en cherchant les valeurs de ces fonctions pour différentes valeurs de x de 0 à 11. P9.77 Partant d’une quantité initiale Qo d’Exponentium au temps t “ 0 s, la quantité Q d’Exponentium en fonction du temps est donnée par l’expression Qptq “ Qo e´λt , où λ “ 5,0 et t est mesuré en secondes. Trouver la demivie de l’Exponentium, c’est à dire le temps qu’il faut pour que la quantité d’Exponentium se réduise à la moitié de la quantité initiale Qo . P9.78 Un corps chaud se refroidit de façon qu’à chaque 24 min sa température diminue de moitié. Trouvez la constante de temps et déterminer le temps qu’il faudra au corps pour atteindre 1% de sa température originale. Indice: la température du corps en fonction du temps est donnée par Tptq “ To e´t{τ où τ est la constante de temps. P9.79 Un condensateur de capacité électrique C “ 4,0 ˆ 10´6 farads, initialement chargé au potentiel de Vo “ 20 volts, est déchargé dans une résistance de R “ 10 000 Ω (Ohms). Trouver le potentiel V après 0,01 s et après t 0,1 s, sachant que la décroissance du potentiel suit la loi Vptq “ Vo e´ RC . P9.80 Soit B l’ensemble des banquiers et C l’ensemble des escrocs. Écrire en français la proposition Db P B | b R C.

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P9.81 Soit M l’ensemble des gens qui dirigent Monsanto et E l’ensemble des gens qui doivent brûler en enfer pour toujours. Écrire en français la proposition qui en symboles mathématiques s’écrit @p P M, p P E.

P9.82 Quand on commence une startup, on a quelquefois besoin de trouver des investisseurs. Soit A l’ensemble des investisseurs qui ont de l’argent et C l’ensemble des investisseurs qui ont des connections. Décrire en mots les ensembles suivants : a) AzC, b) CzA et l’ensemble le plus désirable c) A X C.

P9.83 Écrire les formules des fonctions A1 pxq et A2 pxq qui donnent les aires des formes géométriques suivantes.

3

A1 x

x A2 x

Conclusion Pendant cette excursion dans les montagnes mathématiques nous avons couvert beaucoup de concepts fondamentaux. Nous avons commencé avec les notions mathématiques de base comme les variables, les expressions et les équations puis nous avons avancé en algèbre — j’espère que vous m’accorderez que l’algèbre n’est pas aussi horrible que quelques uns le pensent. Nous avons couvert bien d’autres sujets effrayants et vous y avez survécu ! Nous avons même abordé des sujets plus pointus comme les fonctions, les vecteurs, les nombres complexes et les ensembles. Félicitations pour avoir eu la force de tenir le coup dans ce parcours du combattant mathématicien ! La seule façon de vraiment comprendre les maths est de se servir des concepts mathématiques pour résoudre des problèmes. Vous ne marquerez pas de points seulement en mémorisant des règles, des formules et des équations ; ce n’est qu’en apprenant à utiliser les équations que vous vous « approprierez » les maths. Les maths ne sont pas un sport que l’on regarde de son canapé ! Si vous lisez ce livre sans résoudre des problèmes, vous faites une mauvaise affaire. Si vous n’avez pas essayé de résoudre les problèmes du chapitre 9, il faut que vous y retourniez et que vous en essayiez quelques uns. Mon intention avec ce livre était de vous donner une solide compréhension de base des concepts mathématiques en les expliquant assez rapidement et simplement pour ne pas vous ennuyer. Il est pourtant possible que le rythme rapide du livre ait laissé des trous dans la couverture du matériel. Dites moi si vous trouvez que quelque partie du livre manque de clarté ou d’explications. Envoyez moi un email si vous trouvez une erreur, une définition manquante ou qu’il y a une équation qui vous semble fausse. Vous pouvez me joindre à l’adresse [email protected]. C’est grâce aux messages que j’ai reçus de lecteurs comme vous qu’il y a peu d’erreurs dans le livre. Pour en savoir plus sur les autres livres de la collection No Bullshit Guide et savoir comment Minireference Publishing est en train de révolutionner l’industrie du manuel scolaire, visitez notre blog à minireference.com/blog. Vous pouvez aussi nous trouver sur twitter à @minireference et sur facebook à fb.me/noBSguide. 217

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Remerciements Ce livre n’aurait pas été écrit sans le soutien et les encouragements de mon entourage. Mes parents sont les premiers que je dois remercier, ils m’ont soutenu dans tous les choix que j’ai fait dans la vie et ils m’ont appris tant de choses. Ensuite il y a mes professeurs, de qui j’ai appris les maths. Je remercie mes professeurs du CEGEP : Karnig Bedrossian, Paul Kenton, Benoit Larose et ceux de l’université : Kohur Gowrisankaran, Frank Ferrie, Mourad El-Gamal, Ioannis Psaromiligkos, Guy Moore et Zaven Altounian. Parmi tous mes professeurs, celui à qui je dois le plus est Patrick Hayden de qui j’ai appris tout ce que je sais sur les méthodes d’enseignement. C’est de lui que j’ai appris que même les concepts mathématiques les plus compliqués peuvent être abordés si on définit les choses clairement. Je remercie aussi tous mes amis avec qui j’ai collaboré pendant mes travaux de recherche : David Avis, Arlo Breault, Juan Pablo Di Lelle, Omar Fawzi, Adriano Ferrari, Mohamad Nizar Kezzo, Igor Khavkine, Felix Kwok, Doina Precup, Andie Sigler et Mark M. Wilde. Merci à tous, vous m’avez beaucoup appris. Ce livre est le produit des efforts combinés de beaucoup de monde. Je veux remercier Afton Lewis, Oleg Zhoglo, Georger Araujo, To´ ecicki et Samuel Gustave pour leur aide et leur relecture. masz Swi˛ Je veux remercier mon éditeur Sandy Gordon qui m’a appris à écrire en anglais. Par dessus tout, je veux remercier Gérard Barbanson qui a traduit le livre en français et, dans le processus, amené plein d’améliorations au contenu. Un gros merci aussi à Gabriel Poirier qui a passé le texte au peigne fin pendant les révisions finales. Finalement, je tiens à remercier tous mes étudiants pour leurs questions perpétuelles, leurs demandes d’explications et leur curiosité. Si j’ai fini par apprendre comment expliquer les choses, c’est à eux que je le dois.

Lectures pour aller plus loin Vous avez atteint la fin du livre mais vous n’êtes qu’au début de votre voyage de découverte des mathématiques. Il vous reste beaucoup de choses à apprendre. Voici quelques conseils sur les sujets qui pourraient vous intéresser.

Mécanique newtonienne Les lois de Newton en physique sont un bon exemple de l’utilité des modèles mathématiques pour comprendre le monde qui nous

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entoure. En commençant par quelques équations de base, il est possible de construire des modèles mathématiques pour décrire les mouvements des objets. Tous les concepts de la physique (position, vitesse, accélération, quantité de mouvement, énergie) sont représentés par des expressions mathématiques et utilisés dans les calculs. Puisque vous connaissez les mathématiques de base, il vous sera facile de comprendre les lois de la physique. En fait, la plupart des lois de la physique sont exprimées par des équations mathématiques. Si vous savez manipuler les équations et les résoudre, alors vous savez déjà la moitié de ce qu’il faut savoir en physique ! Si jusque là vous avez évité la physique parce que vous aviez peur du sujet, maintenant vous pouvez y retourner parce que vous êtes mieux équipés pour jouer avec les concepts de la physique. En apprenant à résoudre des problèmes de physique compliqués, vous développerez vos capacités d’analyse que vous pourrez appliquer à d’autres problèmes que la vie vous poserait. Même si vous ne pensez pas devenir physicien, les compétences que vous développerez en résolvant des problèmes de physique vous aideront d’une façon générale à aborder toutes sortes de problèmes compliqués.

Calcul différentiel et intégral Comprendre le calcul différentiel et intégral est essentiel pour apprendre les sciences. Un grand nombre des lois fondamentales de la physique, de la chimie, de la biologie et de l’informatique sont exprimées dans le langage du calcul différentiel. La connaissance de ce sujet est essentielle pour toute personne souhaitant poursuivre des études universitaires en sciences, en ingénierie ou en informatique. Si vous avez aimé les maths dans ce livre, je vous encourage à continuer votre apprentissage avec le No Bullshit Guide to Math & Physics (en anglais). Ce livre vous explique tout les concepts de la mécanique newtonienne et du calcul différentiel et intégral en soulignant les liens entre les deux sujets et en discutant de leurs applications. [LIVRE] Ivan Savov. No Bullshit Guide to Math & Physics, Minireference Publishing, Fifth edition, 2014, 978-0-9920010-0-1. Le livre de Silvanus Thompson mérite aussi un coup d’œil. [LIVRE] Silvanus P. Thompson. Calculus Made Easy, Macmillian and Co., Second edition, 1914, http://gutenberg.org/ebooks/33283. Vous pouvez également regarder ces excellentes vidéos. [VIDÉOS] Grant Sanderson (3Blue1Brown), Essence of calculus, 2018, YouTube, online : https://bit.ly/3Blue1BrownCalc.

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[VIDÉOS] Gilbert Strang. Highlights of Calculus, MIT OpenCourseWare, 2010, see https://bit.ly/StrangCalcLectures.

Algèbre linéaire Étudier l’algèbre linéaire vous ouvrira bien des portes. Il vous faudra de l’algèbre linéaire pour comprendre les statistiques, l’apprentissage automatique, la chimie, la mécanique quantique et bien d’autres domaines des sciences et des affaires. Disons un peu de quoi il s’agit. L’algèbre linéaire est l’étude des vecteurs ~v P Rn et des transformations linéaires T : Rn Ñ Rm . Les transformations linéaires sont des fonctions vectorielles. En utilisant la notation habituelle pour les fonctions, on écrit Tp~xq “ ~y pour montrer que la transformation linéaire T agit sur une entrée qui est un vecteur ~x P Rn , pour donner une sortie qui est un vecteur ~y P Rm . Ces fonctions sont linéaires, c’est à dire que Tpα~v1 ` β~v2 q “ αTp~v1 q ` βTp~v2 q. Toute transformation linéaire T peut être représentée par une matrice A T P Rmˆn , qui est un tableau de nombres avec m lignes et n colonnes. Calculer Tp~xq équivaut à calculer le produit A T~x de la matrice A T et du vecteur colonne ~x. À cause de l’équivalence entre les transformations linéaires et les matrices, nous pouvons aussi dire que l’algèbre linéaire est l’étude des vecteurs et des matrices. Les vecteurs sont utilisés partout et les techniques de l’algèbre linéaire sont les outils par excellence pour bâtir des modèles mathématiques utilisant des quantités vectorielles. [VIDÉOS] Gilbert Strang. Linear Algebra, MIT OpenCourseWare, 2010, online : http://bit.ly/StrangLAlectures. [LIVRE] Ivan Savov. No Bullshit Guide to Linear Algebra, Minireference Publishing, Second edition, 2017, ISBN 978-0-9920010-2-5.

Théorie des probabilités Les distributions de probabilité constituent un outil fondamental pour comprendre le comportement non déterministe. Une variable aléatoire discrète X est associée à une fonction de probabilité p X pxq “ PrptX “ xuq, qui assigne une probabilité à chaque valeur que peut prendre la variable aléatoire X. Par exemple, si X représente la valeur que l’on obtient en lançant un dé équilibré, alors les valeurs possibles sont X “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u. On ne peut pas prédire la valeur que l’on obtiendra en lançant le dé, mais on sait la probabilité de chacune des valeurs possibles. La fonction de probabilité est donnée par p X pxq “ 1 6 , @x P X puisque toutes les valeurs ont la même probabilité (parce que le dé est équilibré).

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Les distributions de probabilité nous permettent de modéliser les processus aléatoires comme le résultat du jet d’un dé. On ne peut pas prédire la valeur que l’on obtiendrait en lançant deux dés X1 et X2 , mais nous pouvons calculer les probabilités des différentes issues possibles. Par exemple lancer une « paire de six » correspond à l’événement tX1 ` X2 “ 12u. En supposant que les dés sont équilibrés, 1 . cet événement a la probabilité PrptX1 ` X2 “ 12uq “ 36 Les probabilités sont utilisées dans de nombreux domaines, en statistiques, en apprentissage automatique, en théorie des jeux et en gestion du risque. [SITE WEB] Introduction visuelle aux idées de la théorie des probabilités : https://seeing-theory.brown.edu/basic-probability/.

Mathématiques générales Les mathématiques constituent un très vaste domaine. Il y a toutes sortes de choses à apprendre ; certaines sont amusantes, certaines sont utiles, d’autres servent surtout à enrichir l’esprit. Les livres suivants couvrent des sujets d’intérêt général et servent de présentation à toutes les branches des mathématiques. Je vous recommande de jeter un œil à ces deux livres pour une lecture facile et lumineuse. [LIVRE] Alfred North Whitehead. An Introduction to Mathematics, Williams & Norgate, 1911, www.gutenberg.org/ebooks/41568. [LIVRE] Richard Elwes. Mathematics 1001 : Absolutely Everything, Firefly Books, 2010, ISBN 1554077192. [VIDÉOS] Leçons vidéo par certains des meilleurs professeurs de maths au monde : https://youtube.com/user/numberphile.

Physique avancée Si vous voulez en apprendre plus en physique, je vous recommande vivement les livres de Feynman. Feynman est capable d’expliquer même les sujets les plus difficiles en mots simples. Les trois tomes de cette collection couvrent tout le programme de physique. [LIVRE] Richard P. Feynman. The Feynman Lectures on Physics, The Definitive and Extended Edition, Addison Wesley, 2005, ISBN 0805390456. Lire en ligne à : http://feynmanlectures.caltech.edu

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C ONCLUSION

Le mot de la fin Tout au long de ce livre j’ai essayé de vous munir des outils mathématiques de base dont vous aurez besoin dans vos études futures. Rappelez vous qu’il ne faut pas être stressé par les maths et surtout ne jamais avoir peur. Même l’équation la plus tordue et compliquée peut être comprise, décortiquée, simplifiée et résolue si vous y mettez vingt minutes d’effort. Jouez avec les équations mathématiques et essayez différentes approches — le pire qu’il puisse arriver est que vous ayez besoin d’une autre feuille de papier. Ne prenez pas les examens de maths trop au sérieux. Les bonnes notes n’ont pas d’importance dans le long terme. Oui apprendre les maths c’est très utile (bonnes notes Ñ bonne université Ñ gros salaire Ñ voiture de luxe), mais ce n’est pas ce qu’il y a de plus important. Si vous acceptez les maths dans votre vie vraiment (et non juste pour l’examen), alors vous allez disposer d’une grande richesse d’outils de pensée (numérique, symbolique, algébrique, géométrique) durant toute votre vie. Je veux que vous ayez confiance en votre capacité de traiter n’importe quelle situation compliquée que vous rencontrerez dans la vie. C’est ça les maths — des méthodes universelles pour simplifier ce qui est compliqué.

Annexe A

Réponses et solutions Chapitre 1 Réponses aux exercices E1.1 a) x “ 3 ; b) x “ 30 ; c) x “ 2 ; d) x “ ´3. E1.2 a) Z, Q, R, C ; b) C ; c) N, Z, Q, R, C ; 13 1 1 2 . E1.4 a) 56 ; b) 12 “ 1 12 ; c) 31 d) Q, R, C ; e) R, C. E1.3 a) 21 ; b) 0 ; c) 27 6 “ 5 6 . E1.5 a) x “ 2 ; b) x “ 25 ; c) x “ 100. E1.6 a) f ´1 pxq “ x2 , x “ 16. b) g´1 pxq “ ´ 12 lnpxq, x “ 0.

Solutions E1.4 a) Pour calculer 21 ` 13 , nous réécrivons les deux fractions en utilisant le dénominateur commun 6, puis on calcule la somme : 21 ` 13 “ 36 ` 26 “ 56 . b) Vous pouvez réutiliser la réponse de la partie (a), ou calculer la triple somme directement en don6 4 3 nant aux trois fractions le même dénominateur : 21 ` 13 ` 14 “ 12 ` 12 ` 12 “ 13 12 . 1 7 c) Ici nous commençons par réécrire 3 2 comme 2 , puis nous utilisons le dénomina12 2 31 teur commun 6 pour le calcul : 72 ` 2 ´ 13 “ 21 6 ` 6 ´ 6 “ 6 .

Chapitre 2 Réponses aux exercices E2.1 a) px ´ 1qpx ´ 7q ; b) px ` 2q2 ; c) px ` 3qpx ´ 3q. E2.2 a) x2 ` 2x ´ 15 “ px ` 1q2 ´ 16 “ 0, qui a comme solutions x “ 3 et ? x “ ´5 ; b) x2 ` 4x ` 1 “ px ` 2q2 ´ 3 ? “ 0, ? avec solutions x “ ´2 ` 3 et x “ ´2 ´ 3. E2.3 x1 “ 32 et x2 “ ´1. E2.4 x “ ˘ 2.

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RÉPONSES ET SOLUTIONS

Chapitre 3 Réponses aux exercices

? ; c) 8α2 ; d) a6 b´2 . E3.2 a) 3 ; b) 12 ; c) 3 ; d) |a|. E3.3 ? ? ? ? 3 a) 2π ; b) 4 ` 14 “ 4,25 ; c) 1 ; d) x2 . E3.4 a) x “ a et x “ ´ a ; b) x “ b ; c) x “ 4 c ? ? 5 9 4 et x “ ´ c ; d) x “ d. E3.5 k e “ 8,988 ˆ 10 . E3.6 a) logp2xyq. b) ´ logpzq. c) logpyq. d) 3. e) ´3. f) 4. E3.1 a) 8 ; b) a´1 b´2 c´3 “

1 ab2 c3

Solutions E3.5 Si vous vous servez d’une calculatrice peu performante, vous devrez calculer d’abord l’expression du dénominateur puis inverser la fraction. Les calculatrices qui ont la notation scientifique ont une touche “exp” ou “E”, qui permet d’entrer ε 0 sous la forme 8.854e-12. Si votre calculatrice peut travailler avec des formules, vous pouvez taper l’expression 1/(4*pi*8.854e-12) en entier. On donne la réponse finale avec quatre chiffres significatifs parce qu’on est parti d’une valeur de ε 0 avec une précision de quatre chiffres significatifs.

Chapitre 5 Réponses aux exercices 5π E5.1 Domaine : R. Image : r´2, 2s. Zéros : t. . . , ´ π2 , π2 , 3π 2 , 2 , . . .u. E5.2 a) ppxq est pair? et de degré 4. ? b) qpxq est impair et de degré 7. E5.3 a) x “ 5 et x “ ´3 ; b) x “ 1 ` 3 et x “ 1 ´ 3. E5.4 a) pq ˝ f qpxq “ qp f pxqq “ px ` 5q2 ; qpxq translaté de cinq unités vers la gauche. b) p f ˝ qqpxq “ x2 ` 5 ; qpxq translaté de cinq unités vers le haut. c) pq ˝ gqpxq “ px ´ 6q2 ; qpxq translaté de six unités vers la droite. d) pq ˝ hqpxq “ 49x2 ; qpxq comprimé horizontalement par un facteur sept. E5.5 A “ 5, λ “ 0,1 et φ “ π8 . ? E5.6 f pxq “ x2 ´ 2x ` 5. E5.7 gpxq “ 2 x ´ 3 ´ 2.

Solutions E5.3 a) Réécrire l’équation en faisant passer tous le termes du côté droit : 0 “ x2 ´ 2x ´ 15. On peut mettre ce trinôme du second degré en facteurs juste par inspection. Y a-t-il des nombres a et b tels que a ` b “ ´2 et ab “ ´15 ? Oui, a “ ´5 et b “ 3, on a donc 0 “ px ´ 5qpx ` 3q. b) Réécrivez l’équation en faisant passer tous les termes du coté gauche : 3x2 ´ 6x ´ 6 “ 0. On a de la chance : le terme de degré 3 a disparu ! Nous utiliserons la formule de résolution de l’équation du second degré pour obtenir ? ? ? 6˘ p´6q2 ´4p3qp´6q x“ “ 6˘66 3 “ 1 ˘ 3. 6

Chapitre 6 Réponses aux exercices

? E6.1 x “ 21. E6.2 V “ 33,51 et A “ 50,26. E6.3 Longueur de la trace “ 5C “ 5πd “ 11,47 m. E6.4 x “ 5 cosp45˝ q “ 3,54, y “ 5 sinp45˝ q “ 3,54 ; C “ 10π. E6.5 a) π6 rad ; 1 b) π4 rad ; c) π3 rad ; d) 3π 2 rad. E6.6 a) ´1 ; b) 1 ; c) 0. E6.7 a) 0 ; b) 1 ; c) 2 ; d) 1. E6.8 a) 3,16=18,43˝ ; b) 2,24=243,43˝ “ 2,24=´116,57˝ ;?c) 6=270˝ “ 6=´90˝ ; d) p8,66, 5q ; e) p9,66, 2,59q ; f) p´5, 8,66q. E6.9 y “ 2. E6.10 c “ a2 ´ b2 . E6.11 y “ 41f x2 .

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Solutions E6.1 ?La loi des cosinus nous dit que x2 “ 42 ` 52 ´ 2p4qp5q cosp60˝ q “ 21. Donc x “ 21. E6.2 Le volume de la sphère de rayon r “ 2 est V “ 34 π23 “ 33,51. L’aire de sa surface est A “ 4π22 “ 50,26. E6.5 Pour trouver la valeur en radians d’un angle dont on connaît la mesure en degrés π il faut la multiplier par le facteur de conversion 180 . E6.9 Substituez la formule sin θ “

y r

dans l’équation pour obtenir r “ 2 sin θ

2r y ,

ce qui

se simplifie en y “ 2. La fonction rpθq “ correspond à la ligne avec l’équation y “ 2 en coordonnées cartésiennes. Voir desmos.com/calculator/5n5zzoal2t pour le graphe. E6.10 Les coordonnées du sommet S2 sont pa, 0q. Considérant la définition de l’ellipse au sommet S2 , on trouve r1 ` r2 “ pc ` aq ` pa ´ cq “ 2a. Ensuite, on considère le sommet S3 “ p0, bq en haut de l’ellipse. Les distances r1 et r2 de S3 aux foyers F1 et F2 sont égales ? à la longueur de l’hypoténuse d’un triangle de base c et de hauteur b : r1 “ r2 “ c2 ` b2 . Puisque r1 ` r2 “ const. pour tous les points de l’ellipse, les résultats avons donc l’équation ? obtenus pour les sommets S2 et S3 sont égaux. Nous ? 2a “ 2 c2 ` b2 , que l’on peut résoudre pour obtenir c “ a2 ´ b2 . E6.11 Pour une parabole de distance focale f , le foyer est en F “ p0, f q et la directrice est la droite d’équation y “ ´ f . La distance d’un point de la parabole au foyer est donnée par ´ ¯ b r “ dpP, Fq “ d px, yq, p0, f q “ x2 ` py ´ f q2 . Le point de la directrice le plus proche du point P est le point D “ px, ´ f q, directement en-dessous du point P “ px, yq. La distance de P à D est ´ ¯ b ` “ dpP, Dq “ d px, yq ´ px, ´ f q “ py ` f q2 .

Nous pouvons donc écrire a la définition géométrique de la parabole, r “ `, sous la a forme x2 ` py ´ f q2 “ py ` f q2 . Après avoir élevé les deux cotés de l’équation au carré et isolé y, nous obtenons l’équation y “ 41f x2 .

Chapitre 7 Réponses aux exercices

? E7.1 a) p4, 0q. b) p´2, ´3q. c) p7, 3q. E7.2 a) ~v1 “ p5 3,?5q “ p8,66, 5q. b) ~? v2 “ p0, ´12q. c) ~v3 “ p´2,95, 0,52q. E7.3 a) ~u1 “ 4=0˝? . b) ~u2 “ 2=45˝ . c) ~u3 “ 10=108,43˝ . E7.4 a) p1,1,3q ; b) p1,1, ´ 3q ; c) p3,3,3q ; d) 2. E7.5 a) 5 ; b) p´1, ´1, 1q ; c) p1,1, ´ 1q ; d) p0, 0, 0q.

Chapitre 8 Réponses aux exercices E8.1 a) p1, 12 q. b) p1, 2q. c) p´2, 2q. E8.2 x “ 2, y “ 3. E8.3 x “ 5, y “ 6 et z “ ´3. E8.4 p “ 7 et q “ 3. E8.5 a) $53 974,14 ; b) $59 209,77 ; c) $65 948,79. E8.6 $32 563,11. E8.7 a) t2, 4, 6, 7u ; b) t1, 2, 3, 4, 5, 6u ; c) t1, 3, 5u ; d) H ; e) t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7u ; f) t7u ; g) t2, 4, 6, 7u ; h) H. E8.8 a) p´8, 23 q ; b) p´8, ´5s ; c) p´1, 4q ; d) p4, 8q ; e) r 14 3 , 8q ; f) p´8, ´4s Y r2, 8q.

226

RÉPONSES ET SOLUTIONS

Solutions E8.1 Voir https://www.desmos.com/calculator/ocedywekcl pour les tracés. E8.5 a) Puisque la composition est faite chaque mois, on calcule d’abord le taux d’intérêt mensuel : r “ 3% 12 “ 0,25% “ 0,0025. La somme que Jacques doit au bout des 10 ans est $40 000p1,0025q120 “ $53 974,14. b) Le calcul avec le taux d’intérêt effectif annuel est plus direct : $40 000p1,04q10 “ $59 209,77. c) Quand on fait la composition infiniment à un taux nominal annuel de 5%, la somme due va aug˘ ` 5souvent “ 1,051271 chaque année. Au bout de 10 ans Jacques devra menter de exp 100 $40 000p1,051271q10 “ $65 948,79.

E8.6 Puisqu’il intervient deux taux d’intérêt différents, nous devons faire deux calculs différents. Au bout des cinq premières années, Catherine doit $20 000p1,06q5 “ $26 764,51. Pour les cinq années suivantes, l’intérêt tombe à 4%, et la somme que doit Catherine au bout de 10 ans sera $26 764,51p1,04q5 “ $32 563,11.

E8.8 a) Divisant les deux côtés par deux, on obtient x ă 23 . b) Divisant par moins quatre, on obtient x ď ´5. Remarquez que le « ě » change en « ď » puisqu’on divise par un nombre négatif. c) Si la valeur absolue de p2x ´ 3q est inférieure à 5, alors p2x ´ 3q doit être dans l’intervalle p´5, 5q. Nous pouvons donc réécrire l’inégalité ´5 ă 2x ´ 3 ă 5, ajouter trois partout pour obtenir ´2 ă 2x ă 8 et diviser par deux pour avoir la réponse finale ´1 ă x ă 4. d) Faisons passer tous les termes en x du coté droit et toutes les constantes numériques du coté gauche. Cela donne 8 ă 2x, ce qui amène 4 ă x. e) Pour simplifier on ajoute 2 des deux côtés de l’inégalité ce qui donne 1 1 1 2 x ě 3 ` 2. Vous vous rappelez comment on ajoute les fractions, non ? On a 3 ` 2 “ 1 6 7 1 7 14 3 ` 3 “ 3 , et donc 2 x ě 3 . En multipliant les deux cotés par deux, on obtient x ě 3 . f) La première étape consiste à se débarrasser du carré en prenant la racine des deux ? a ? côtés : px ` 1q2 ě 9. On se rappelle que x2 “ |x|, on a donc |x ` 1| ě 3. Il y a deux façons pour la valeur absolue de px ` 1q d’être plus grande que trois. Ou bien x ` 1 ě 3 ou bien x ` 1 ď ´3. Après quelques simplifications on obtient x ě 2 ou x ď ´4. La solution de l’inégalité est l’union de ces deux intervalles.

Chapitre 9 Réponses aux problèmes P9.1 x “ ˘4. P9.2 x “ A cospωt ` φq. P9.3 x “

d) 11. P9.5 a) x2

3 4.

b)

´141 35 .

c)

2x2

3 23 32 .

ab a`b .

P9.6 a) c. b) 1. c) 10x2

P9.4 a) 2,2795. b) 1024. c) ´8,373. 9|a| |b| .

d) a. e)

b ac .

f) x2 ` ab. P9.7

a) ` pa ´ bqx ´ ab. b) ´ 7x ´ 15. c) ` 31x ´ 14. P9.8 a) px ´ 4qpx ` ` 2q. b) 3xpx ´ 3qpx ` 3q. c) px ` 3qp6x ´ 7q. P9.9 a) px ´ 2q2 ` 3. b) 2px ` 3q2 ` 4. c) 6 x ` ˘ 11 2 ´ 625 12 24 . P9.10 $0,05. P9.11 13 personnes, 30 animaux. P9.12 5 ans plus tard. P9.13 La fille 80 noix?et le garçon 40. P9.14 Alice a 15 ans. P9.15 18 jours. P9.16 2 heures. ? ? P9.18 ϕ “ 1`2 5 . P9.19 x “ ´5˘2 41 . P9.20 a) x “ 3 2. b) x “ p π2 ` 2πnq pour tout n P Z. P9.21 Il n’y a pas de solution réelle si 0 ă m ă 8. P9.22 a) ez . b) c)

1 . 4x4

d)

1 4.

x3 y15 . z3

e) ´3. f) lnpx ` 1q. P9.23 e “ 1,110 ˆ 10´16 ; n “ 15,95 en décimal.

P9.24 a) x P p4, 8q. b) x P r3, 6s. c) x P p´8, ´1s Y r 21 , 8q. P9.25 Pour n ą 250, l’algorithme a Q est plus rapide que l’algorithme P. P9.26 10 cm. P9.27 22,52 pouces. P9.28 h “ 3,332 ´ 1,442 “ 3 m. P9.29 Le côté opposé est de longueur 1. P9.30 x “ ? tan 20˝ ´800 tan 25˝ 2000 3, y “ 1 et z “ 2. P9.31 d “ 1800tan , h “ 1658,46 m. P9.32 x “ tan 25˝ ´tan 20˝ 24˝ . ? ? ? 3 3 2 2 P9.33 x “ tan θ a2 ` b2 ` c2 . P9.34 a “ 3, A4 “ 4 . P9.35 sin θ cos θ “ 1´cos 4θ sin 75˝ . P9.36 P8 “ 16 tanp22,5˝ q, A8 “ 8 tanp22,5˝ q. P9.37 c “ asin 8 41˝ « 14,7.

227 a ˝ a2 ` b2 ´ 2ab cosp180 ´ θq. P9.39 P9.38 a) h “ a sin θ. b) A “ 12 ba sin θ. c) c “ ˝ a sin 110,2 ˝ ˝ B “ 44,8 , C “ 110,2 . c “ sin 25˝ « 39,97. P9.40 v “ 742,92 km/h. P9.41 1,06 cm. P9.42 x “ 9,55. P9.43 21 pπ42 ´ π22 q “ 18,85 cm2 . P9.44 `corde “ 8,42 m. P9.45 15˝ P9.48 7 cm. P9.49 Arect “ 5c ` 10. P9.46 Vbox “ 1,639 L. P9.47 Rr “ 1´sin sin 15˝ “ 2,8637. ? V “ 300 000 L. P9.50 315 000 L. P9.51 4000 L. P9.52 d “ 21 p35 ´ 5 21q. P9.53 Une ? corde de longueur 2`. P9.54 20 L d’eau. P9.55 h “ 7,84 ? pouces. P9.56 1 ` ?2 ` ¨¨¨ ` 100? “ 50 ˆ 101 “ 5050. P9.57 a) ~u1 “ 5=90˝ . b) ~u2 “ 5=63,4˝ . c) ~u3 “ 5=243,4˝ ou 5=´116,6˝ . P9.58 a) ~v1 “ p17,32, 10q. b) ~v2 “ p0, ´10q. c) ~v3 “ p´4,33, 2,5q. ˆ P9.60 a) p3, 4q. b) p0, 1q. ~ 1 “ 9,06ˆı ` 4.23ˆ. b) w ~ 2 “ ´7ˆ. c) w ~ 3 “ 3ˆı ´ 2ˆ ` 3k. P9.59 a) w c) p7,33, 6,5q. P9.61 Q “ p5,73, 4q. P9.62 a) 6. b) 0. c) ´3. d) p´2, 1, 1q. e) p3, ´3, 0q. f) p7, ´5, 1q. P9.63 a) p2, 3, 3, 7, 8q. b) p0, ´1, ´3, ´1, ´2q. c) 30. P9.64 p´ 32 , 13 , 32 q ou p 32 , ´ 13 , ´ 23 q. P9.65 p12, ´4, ´12q. P9.66 a) 2i. b) 41 p5 ` iq. c) 2 ` i. P9.67 a) x “ ˘2i. ? ? b) ? x “ ´16. c) x “ ´1 ´ i et x “ ´1 ` i. d) x “ i, x “ ´i, x “ 3i et x “ ´ 3i. P9.68 1 a) 5. b) 2 p´3 ` iq. c) ´5 ´ 5i. P9.69 t “ 52 semaines. P9.70 La trajectoire du tracteur est un demi-cercle. La distance totale qu’il a parcourue est de 3,14 km. P9.71 x “ ´2 et y “ 2. P9.72 x “ 1, y “ 2 et z “ 3. P9.73 $112. P9.74 20%. P9.75 $16 501,93. P9.77 0,14 s. P9.78 τ “ 34,625 min. Le corps atteindra 1% de sa température originale au bout de 159,45 min. P9.79 Vp0,01q “ 15,58 volts. Vp0,1q “ 1,642 volts. P9.83 A1 pxq “ 3x et A2 pxq “ 21 x2 .

Solutions 7 63 56 63 119 23 P9.5 Dans la partie c) on a 1 34 ` 1 31 32 “ 4 ` 32 “ 32 ` 32 “ 32 “ 3 32 . P9.9 Les solutions de a) et b) ne posent pas de problème. Pour c) commençons par mettre 6 en facteur dans les deux premiers termes. On obtient 6px2 ` 11 6 xq ´ 21. Ensuite on choisit la moitié du coefficient du terme du premier degré pour aller dans le carré et on ajoute la correction appropriée pour conserver l’égalité : 6rx2 ` 11 6 xs ´ 21 “ 11 2 11 2 6rpx ` 12 q ´ p 12 q s ´ 21. Après avoir développé le crochet et simplifié on obtient l’ex11 2 pression cherchée : 6px ` 12 q ´ 625 24 . P9.11 Soient p le nombre de personnes et a le nombre d’animaux. On nous dit que p ` a “ 43 et que a “ p ` 17. Portant dans la première équation la valeur de a donnée par la deuxième, on trouve p ` pp ` 17q “ 43, ce qui équivaut à 2p “ 26 ou p “ 13. Il y a 13 silhouettes de personnes et 30 silhouettes d’animaux. P9.12 Nous devons trouver x dans l’équation 35 ` x “ 4p5 ` xq. On obtient 35 ` x “ 20 ` 4x, puis 15 “ 3x, donc x “ 5. P9.14 Soit A l’âge d’Alice et B celui de Bob. On sait que A “ B ` 5 et A ` B “ 25. En portant la valeur de A donnée par la première équation dans la deuxième on trouve pB ` 5q ` B “ 25, c’est à dire 2B “ 20, donc Bob a 10 ans. Alice en a 5 de plus. Elle a donc 15 ans. P9.15 La première boutique peut relier 4500{30 “ 150 livres par jour. La deuxième boutique peut relier 4500{45 “ 100 livres par jour. Le nombre de reliures combiné pour les deux boutiques travaillant en parallèle est de 150 ` 100 “ 250 livres par jour. Il faudra 4500{250 “ 18 jours pour relier les livres si les deux boutiques travaillent en parallèle. P9.16 Soit tm le temps qu’il faut pour que les deux avions se rejoignent, mesuré à partir du moment où le deuxième avion s’en va. Lorsque les avions se rejoignent l’avion plus lent qui est parti une heure plus tôt aura parcouru la distance 600ptm ` 1q km, alors que l’avion plus rapide lui aura parcouru 900tm km. Ces distances sont les mêmes puisque les avions se rencontrent donc 600ptm ` 1q “ 900tm . Le temps est donc tm “ 2 heures après le départ du deuxième avion. P9.17 C’est un problème qui n’a pas de sens. Je l’ai inclus juste pour rire et savoir si vous étiez toujours là avec moi.

228

RÉPONSES ET SOLUTIONS

P9.21 En utilisant la formule de résolution de l’équation du second degré, on voit ? m˘ m2 ´8m . Si m2 ´ 8m ě 0, les solutions sont réelles. Si m2 ´ 8m ă 0, que x “ 4 les solutions seront des nombres complexes. En mettant l’expression en facteurs et en regardant ce qui se passe pour quelques valeurs numériques, on observe que m2 ´ 8m “ mpm ´ 8q ă 0 pour m P p0, 8q.

P9.23 Voir bit.ly/float64prec pour les calculs.

P9.24 Pour c), complétez le carré du côté gauche : 2x2 ` x “ 2px ` 14 q2 ´ 18 . L’inégalité 2x2 ` x ě 1 peut être réécrite sous la forme 2px ` 41 q2 ě 1 ` 81 “ 98 . En divisant par 2 9 des deux côtés il vient px ` 14 q2 ě 16 . En prenant les racines carrés des deux cotés on obtient l’équation |x ` 14 | ě 34 , qui sera satisfaite si x ě 21 ou si x ď ´1. L’union nous permet d’exprimer la combinaison des deux parties de la solution. P9.25 Le temps d’exécution de l’algorithme Q augmente linéairement avec la taille du problème, alors que le temps d’exécution de l’algorithme P grandit avec n de façon quadratique. Pour trouver la taille n du problème pour laquelle les algorithmes prennent le même temps, on résout Ppnq “ Qpnq, c’est à dire 0,002n2 “ 0,5n. La solution est n “ 250. Pour n ą 250, l’algorithme qui prend un temps proportionnel à la taille du problème (algorithme Q) prendra moins de temps. ? P9.29 Trouvez b dans la formule de Pythagore c2 “ a2 ` b2 où c “ ϕ et a “ ϕ. Le ? triangle de côtés 1, ϕ et ϕ est appelé triangle de Képler. P9.30 Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver x. Puis trouver z à partir de ? cosp30˝ q “

3 2

“ xz . Finalement on trouve y par sinp30˝ q “

1 2

y

“ z.

P9.31 Observez les deux triangles rectangles de la figure 9.1. À partir du triangle qui h . À partir de celui qui a un angle a un angle de 25˝ nous savons que tan 25˝ “ 800`d

h de 20˝ nous voyons que tan 20˝ “ 1800`d . Les deux équations nous permettent de calculer h que l’on élimine ensuite en écrivant que les deux valeurs de h que nous avons calculées sont égales : p1800 ` dq tan 25˝ “ tan 20˝ p800 ` dq. Résolvant en d on tan 20˝ ´800 tan 25˝ trouve d “ 1800tan “ 2756,57 m. Finalement on se sert encore une fois de 25˝ ´tan 20˝

tan 25˝ “

h 800`d

pour avoir h “ tan 25˝ p800 ` dq “ 1658,46 m.

P9.32 Considérez le triangle rectangle de base x et de côté opposé 2000. En regardant le croquis, on voit que θ “ 24˝ et on peut utiliser la relation tan 24˝ “ 2000 x et trouver x. P9.34 Les angles d’un triangle équilatéral sont tous trois de 60˝ . Tracez les trois rayons reliant le centre du cercle à chacun des trois sommets du triangle. Le triangle équilatéral est partagé en trois triangles obtusangles (triangles ayant un angle obtus) dont les angles ont pour mesures 30˝ , 30˝ et 120˝ . Partagez en deux chacun de ces sous triangles obtusangles de façon à obtenir six triangles rectangles d’hypoténuse de longueur 1. Le côté du triangle équilatéral est égal à deux fois la base de ces triangles ? rectangles a “ 2 cosp30˝ q “ 3. Pour trouver l’aire, nous utilisons A4 “ 21 ah, où h “ 1 ` sinp30˝ q.

P9.35 Nous savons que sin2 pθq “ 21 p1 ´ cosp2θqq et cos2 pθq “ 21 p1 ` cosp2θqq, aussi leur produit est 14 p1 ´ cosp2θq cosp2θqq, et cosp2θq cosp2θq “ cos2 p2θq. L’utilisation de 2 2 2 la ´formule de réduction ¯ des puissances sur le terme cos p2θq donne sin θ cos θ “ 1 4

1 ´ 12 p1 ` cosp4θqq .

P9.36 Partagez l’octogone en huit triangles isocèles. La hauteur de chaque triangle ˝ est égale à 1 et la mesure de son angle au centre est 360 “ 45˝ . Partagez chacun de 8 ces triangles en deux moitiés. L’octogone est maintenant partagé en 16 triangles rectangles égaux ayant chacun au centre du cercle un angle de 22,5˝ . Dans un triangle rectangle ayant un angle de 22,5˝ et un côté adjacent de longueur 1, quelle est la longueur du côté opposé ? Le côté opposé de chacun des 16 triangles est 2b “ tanp22,5˝ q

229 et le périmètre de l’octogone est P8 “ 16 tanp22,5˝ q. En général, si un cercle unité est inscrit ´ dans ¯ un polygone régulier à n-côtés, le périmètre du polygone est Pn “ 2n tan

360˝ 2n

. Pour trouver l’aire de l’octogone, on se sert de la formule A4 “

2 tanp22,5˝ q

1 2 bh,

avec b “ et h “ 1 pour trouver l’aire de chaque triangle isocèle. L’aire de l’octogone est A8 “ 8 ¨ 21 p2 tanp22,5˝ qqp1q “ 8 tanp22,5˝ q. Pour un polygone régulier ´ ˝¯ à n côtés, la formule de l’aire est An “ n tan 360 . 2n Vous aurez droit à des points de bonus si vous pouvez me dire ce qui arrive aux formules donnant Pn et An lorsque n tend vers l’infini (voir bit.ly/1jGU1Kz). 2000 P9.40 Au début, la distance horizontale entre l’observateur et l’avion est d1 “ tan 30˝ m, 2000 mais 10 secondes plus tard, la distance est d2 “ tan 55˝ m. La vitesse est la différence ´d2 de distances divisée par le temps v “ d1 10 “ 206,36 m/s. Pour convertir les m/s en km/h, on doit multiplier par le facteur de conversion approprié : 206.36 m/s ˆ 1 km 3600 s 1000 m ˆ 1 h “ 742.92 km/h.

P9.41 Le volume d’eau reste constant et est égal à 1000 cm3 . Au début la hauteur de l’eau h1 peut être obtenue par la formule donnant le volume d’un cylindre : 1000 cm3 “ h1 πp8,5 cmq2 , donc h1 “ 4,41 cm. Après que la bouteille ait été placée dans la casserole, l’eau a la forme d’un ` cylindre où il manque ˘une partie cylindrique. Le volume d’eau est 1000 cm3 “ h2 πp8,5 cmq2 ´ πp3,75 cmq2 . On trouve h2 “ 5,47 cm. Le changement de hauteur est h2 ´ h1 “ 5,47 ´ 4,41 “ 1,06 cm. P9.42 En utilisant la loi des cosinus pour calculer α1 et α2 , on obtient les équations 72 “ 82 ` 122 ´ 2p8qp12q cos α1 et 112 “ 42 ` 122 ´ 2p4qp12q cos α2 à partir desquelles on trouve α1 “ 34,09˝ et α2 “ 66,03˝ . Dans la dernière étape on utilise à nouveau la loi des cosinus pour obtenir x2 “ 82 ` 42 ´ 2p8qp4q cosp34,09˝ ` 66,03˝ q. P9.44 La longueur de la partie horizontale de la corde est `h “ 4 sin 40. La portion circulaire qui entoure la poulie a pour longueur 41 de la circonférence d’un cercle de rayon r “ 50 cm “ 0,5 m. Avec la formule C “ 2πr, on trouve `c “ 41 p2πp0.5qq “ π4 . La partie verticale de la corde a pour longueur `v “ 4 cos 40 ` 2. La longueur totale de la corde est `h ` `c ` `v “ 8,42 m. P9.45 L’aire du rectangle est égale à sa longueur multipliée par sa hauteur Arect “ `h. P9.46 Le volume de la boîte est V “ w ˆ h ˆ ` “ 10,5 ˆ 7 ˆ 22,3 “ 1639 cm3 = 1,639 L. P9.47 La base de ce triangle a pour longueur 2r et chaque côté a pour longueur R ` r. Si vous partagez ce triangle en deux, chaque moitié est un triangle rectangle avec un ˝ ˝ angle au centre de 360 24 “ 15 , une hypoténuse de longueur R ` r, et un côté opposé r r. Nous avons donc sin 15˝ “ R`r . Après avoir réarrangé cette équation, on trouve R r

“

1´sin 15˝ sin 15˝

“ 2,8637.

P9.50 La capacité totale du réservoir est 15 ˆ 6 ˆ 5 “ 450 m3 . Si 30% de sa capacité a été consommée, il en reste 70%, soit : 315 m3 . Sachant que 1 m3 “ 1000 L, on trouve qu’il reste 315 000 L dans le réservoir. P9.51 Le premier réservoir contient 14 ˆ 4000 “ 1000 L. Le second contient trois fois plus d’eau, donc 3000 L. Au total il y a 4000 L d’eau. P9.52 Désignons par w et h la largeur et la hauteur du trou et par d la distance du trou aux côtés du couvercle. Les données du problème nous disent que les trois équations suivantes doivent être satisfaites : w ` 2d “ 40, 30 et wh “ 500. Après ? h ` 2d “ ? quelques manipulations on trouve w “ 5p1 ` 21q, h “ 5p 21 ´ 1q et d “ 12 p35 ´ ? 5 21q. P9.53 La quantité de bois dans un paquet est proportionnelle à l’aire d’un cercle A “ πr2 . La circonférence de ce cercle est égale à la longueur C “ ` de la corde. Remarquons que la circonférence est proportionnelle au ? rayon C “ 2πr. Si nous voulons doubler l’aire, il faut que le cercle ait pour rayon 2r, ce qui veut dire que la ? circonférence doit être 2 fois plus grande. Si nous voulons un paquet qui ait deux ? fois plus de bois nous devons nous servir d’une corde de longueur 2`.

230

RÉPONSES ET SOLUTIONS

P9.54 Dans 10 L de solution à 60% d’acide il y a 6 L d’acide et 4 L d’eau. Une solution à 20% d’acide contiendra quatre fois plus d’eau que d’acide, donc 6 L d’acide et 24 L d’eau. Puisque les 10 L dont on est parti contenaient déjà 4 L d’eau il faut en rajouter 20 L. P9.55 Le document doit avoir un rapport des deux dimensions de 768{1004, donc sa hauteur doit être de 6 ˆ 1004 768 “ 7,84 pouces.

P9.56 Soit S “ 1 ` 2 ` 3 ` ¨ ¨ ¨ ` 98 ` 99 ` 100, on a aussi S “ 100 ` 99 ` 98 ` ¨ ¨ ¨ ` 3 ` 2 ` 1. En ajoutant les nombres comme suggéré, on a 2S “ p1 ` 100q ` p2 ` 99q ` p3 ` 98q ` ¨ ¨ ¨ . La liste a 100 termes et chaque terme est égal à 101. Donc 2S “ 100 ˆ 101 et S “ 50 ˆ 101 “ 5050.

P9.64 Voir bit.ly/1cOa8yo pour les calculs.

P9.65 Tout multiple du vecteur ~u1 ˆ ~u2 “ p´3, 1, 3q est perpendiculaire à la fois à ~u1 et à ~u2 . Nous devons trouver un facteur t P R tel que tp´3, 1, 3q ¨ p1, 1, 0q “ 8. Calculant le produit scalaire on trouve ´3t ` t “ 8, donc t “ ´4. Le vecteur que nous cherchons est p12, ´4, ´12q. Voir bit.ly/1nmYH8T pour les calculs. P9.69 Nous voulons que l’état final du projet soit 100% réel : p f “ 100. Puisqu’on part π

de po “ 100i, il faut tourner de e´iαhptq “ e´i 2 , ce qui signifie αhptq “ π2 . On peut π réécrire ceci sous la forme hptq “ 0,2t2 “ 2α . En résolvant l’équation en t on trouve b π t “ 2p0,002904qp0,2q “ 52 semaines.

P9.70 La direction du tracteur change constamment tout au long de la journée et la trajectoire d’ensemble a la forme d’un demi-cercle (de midi à six heures sur la montre). La distance totale qu’il aura parcourue est égale à la moitié de la circonférence d’un cercle de rayon R. Puisque le tracteur a été en route pendant six heures avec une vitesse de v “ 0,524 km/h pour parcourir la demi circonférence, on a 21 C “ πR “ vpt f ´ ti q “ 0,524p6q, d’où on trouve R “ 1 km. La distance totale parcourue par le tracteur est πR “ 3,14 km. P9.75 Un taux annuel nominal de 12% veut dire que le taux d’intérêt mensuel est 12% 120 “ $16 501,93. 12 “ 1%. Au bout de 10 ans vous devrez $5000p1,01q

P9.76 Les graphes des fonctions sont montrés à la figure ??. Observez que f pxq a décru à 37% de sa valeur initiale quand x “ 2. L’exponentielle croissante gpxq atteint 63% de sa valeur maximale quand x “ 2. De fait e´1 est à peu près 0,37 et 1 ´ e´1 est à peu près 0,63.

(a)

Graphe de f pxq.

(b) Graphe de gpxq.

F IGURE A.1 Les graphes des deux fonctions du problème P9.76.

231 P9.77 On cherche le temps t tel que Qptq{Qo “ 12 , ce qui revient à e´5t “ 0,5. En prenant les logarithmes des deux cotés de l’équation on obtient ´5t “ lnp0,5q et si on résout en t on trouve t “ 0,14 s. P9.78 On nous dit que Tp24q{To “ 21 “ e´24{τ , ce qui peut s’écrire lnp 21 q “ ´24{τ. Résolvant en τ, on trouve τ “ ln242 “ 34,625 min. Pour trouver le temps que met le corps à descendre au 1% de sa température initiale, il faut trouver t dans l’équation Tptq{To “ 0,01 “ e´t{34,625 . On trouve t “ 159,45 min.

P9.80 Il existe au moins un banquier qui n’est pas un escroc. Une autre façon d’interpréter cet énoncé serait de dire que les banquiers ne sont pas tous des escrocs (seulement la plupart d’entre eux). P9.81 Tout les dirigeants de Monsanto doivent brûler en enfer pour toujours.

P9.82 a) Investisseurs avec de l’argent mais sans connections. b) Investisseurs ayant des connections mais pas d’argent. c) Investisseurs qui ont de l’argent et aussi des connections.

Annexe B

Notations Cette annexe est un résumé des notations employées dans le livre.

Notations Mathématiques Expression a, b, x, y “ déf “ a`b a´b aˆb “ ab a2 “ aa a3 “ aaa an ? 1 a “ a2 ? 1 3 a “ a3 a a{b “ b a´1 “

1 a

f pxq f ´1

f ˝g ex lnpxq ax loga pxq θ, φ sin, cos %

Qui se lit

Signification ou emploi

égal est défini par a plus b a moins b b fois a ou ab a carré a au cube a puissance n racine carrée de a racine cubique de a a divisé par b

noms de variables est la même chose que définit une nouvelle expression la somme de a et de b la différence entre a et b l’aire d’un rectangle de côtés a et b l’aire d’un carré de côté a le volume d’un cube de côté a a multiplié n fois par lui-même le côté d’un carré d’aire a le côté d’un cube de volume a a parts d’un tout divisé en b parties

un sur a

inverse de a

f de x

la fonction f appliquée à l’entrée x

réciproque de f f rond g e puissance x logarithme naturel a puissance x logarithme en base a theta, phi sinus, cosinus pourcent

la fonction inverse de f fonction composée ; f ˝ gpxq “ f pgpxqq la fonction exponentielle de base e la fonction logarithme de base e la fonction exponentielle de base a la fonction logarithme de base a en x angles fonctions trigonométriques a proportion d’un total ; a% “ 100

233

234

NOTATIONS

Ensembles Symbole t ... u | N Z Q R C Ă Ď Y X SzT aPS aRS @x Dx Ex

Qui se lit

Signification ou emploi

l’ensemble . . . tel que les entiers naturels les entiers relatifs les rationnels les réels les complexes

définition d’un ensemble restreint les éléments d’un ensemble l’ensemble des entiers naturels l’ensemble des entiers relatifs l’ensemble des fractions réduites l’ensemble des nombres réels l’ensemble des nombres complexes

sous ensemble ensemble strictement contenu dans un autre sous ensemble large contenu ou égal union la réunion des éléments de deux ensembles intersection les éléments communs à deux ensembles S moins T les elements de S qui ne sont pas dans T a appartient à S a non dans S pour tout x il existe x il n’existe pas x

a est un élément de l’ensemble S a n’est pas un élément de l’ensemble S une proposition vraie pour tout x une déclaration d’existence une déclaration de non existence

Vecteurs Expression Rn

~v pv x , vy q v x ıˆ ` vy ˆ }~v}=θ }~v} θ déf vˆ “ }~~vv}

~u ¨ ~v ~u ˆ ~v

Signification ou emploi l’ensemble des vecteurs en dimension n un vecteur vecteur donné par ses composantes vecteur écrit avec les vecteurs unitaires de la base vecteur donné par sa longueur et sa direction longueur du vecteur ~v angle du vecteur ~v avec l’axe des x vecteur unitaire dans la direction de ~v produit scalaire des vecteurs ~u et ~v produit vectoriel des vecteurs ~u et ~v

NOMBRES COMPLEXES

235

Nombres Complexes Expression C i z “ a ` bi Retzu “ a Imtzu “ b a |z|=ϕz |z| “ a2 ` b2 ϕz “ tan´1 pb{aq z “ a ´ bi

Signification ou emploi l’ensemble des nombres complexes ta ` bi | a, b P Ru déf ? l’unité imaginaire pure i “ ´1 un nombre complexe partie réelle de z “ a ` bi partie imaginaire de z “ a ` bi représentation polaire de z “ |z| cos ϕz ` i|z| sin ϕz module de z “ a ` bi phase ou argument de z “ a ` bi conjugué de z “ a ` bi

Annexe C

Petit cours sur SymPy Les ordinateurs peuvent être très utiles lorsqu’on a affaire à des expressions mathématiques compliquées. Dans ce livre nous avons utilisé SymPy à plusieurs reprises pour illustrer certains concepts. Maintenant nous allons revoir tous les outils mathématiques dont on peut disposer grâce aux commandes de SymPy. Ne vous inquiétez pas si vous n’êtes pas à l’aise avec les ordinateurs ; nous ne parlerons que de concepts couverts dans le livre et les commandes sur ordinateur que nous allons apprendre ressemblent beaucoup aux opérations mathématiques avec lesquelles vous êtes déjà familiers. Cette section servira aussi de révision finale du matériel qu’on a couvert dans le livre.

C.1

Introduction

Vous pouvez utiliser un système de calcul formel pour manipuler les expressions mathématiques et résoudre les équations compliquées. Tous les systèmes de calcul formel offrent essentiellement les mêmes fonctionnalités. Il y a des systèmes de calcul gratuits comme SymPy, Magma, Octave et aussi des systèmes que l’on peut acheter comme Maple, MATLAB et Mathematica. Ce petit cours est une introduction à SymPy, qui est un système de calcul formel symbolique basé sur le langage de programmation Python. Dans un système de calcul formel symbolique, les nombres et opérations sont représentés symboliquement ? et les réponses obtenues sont exactes. Par exemple, le nombre 2 est représenté dans SymPy par l’objet Pow(2,1/2), alors que dans les systèmes ? algébriques d’ordinateur numériques comme Octave, le nombre 2 est représenté par l’approximation « float » égale à 1.41421356237310. Souvent l’approximation est suffisante mais quelquefois elle peut conduire à des problèmes de calculs comme 237

238

PETIT COURS SUR SYMPY

float(sqrt(2))*float(sqrt(2)) = 2.00000000000000044 qui n’est pas égal à 2. Le système de calcul SymPy utilise des représentations exactes pour les nombres, Pow(2,1/2)*Pow(2,1/2)“ 2, donc vous ne rencontrerez jamais ce genre de problèmes. Dans les pages qui suivent, nous présenterons beaucoup d’explications comme des extraits de code. Vous pouvez essayer ces exemples de code sur votre propre ordinateur en tapant les commandes dans SymPy. Il est toujours important de vérifier par vous mêmes !

C.2

Utilisation de SymPy

La façon la plus simple d’utiliser SymPy, pourvu que vous ayez accès à l’Internet, est de visiter https://live.sympy.org. On vous présentera une invite interactive dans laquelle vous pourrez entrer vos commandes — directement dans votre navigateur web. Si vous voulez utiliser SymPy sur votre ordinateur personnel, vous devez d’abord installer Python et le paquet Python qui s’appelle sympy. Puis vous pourrez ouvrir une ligne de commande et commencer une session Python en utilisant : you@host> python Python 3.X.Y [GCC a.b.c (Build Info)] on platform Type "help", "copyright", or "license" for more information. >>>

L’invite >>> accepte les commandes Python. Tapez : >>> from sympy import * >>>

La commande « from sympy import * » importe toutes les fonctions SymPy dans l’espace de noms local. Toutes les fonctions SymPy sont maintenant à votre disposition. Pour sortir de l’invite Python, appuyez sur CTRL+D. Pour une expérience encore meilleure, essayez jupyter notebook, qui est une interface web pour Python. Cherchez « jupyter notebook » sur Google et suivez les instructions d’installation spécifiques à votre système. Vous verrez que ça en vaut la peine ! Chaque section de ce tutoriel commence par une série de commandes « import » pour les fonctions utilisées dans cette section. Si vous utilisez la déclaration « from sympy import * » au commencement de votre code, vous n’avez pas besoin de ces déclarations d’importation individuelles, mais je les ai mises pour que vous voyez les noms des fonctions SymPy qui seront utilisées dans chaque section.

C.3 MATHÉMATIQUES DE BASE

C.3

239

Mathématiques de base

Commençons par étudier les objets SymPy et les opérations que nous pouvons effectuer sur eux. Nous allons apprendre les équivalents SymPy des verbes mathématiques que nous avons utilisés dans le livre : « résoudre » (une équation), « simplifier » (une expression), « développer » (une expression) et « factoriser » (un polynôme).

Nombres >>> from sympy import sympify, S, evalf, N

Dans Python, il y a deux types d’objets pour représenter des nombres : les ints et les floats. >>> 3 3 >>> 3.0 3.0

# un entier (int) # une virgule flottante (float)

Notez qu’en informatique on utilise un point décimal plutôt qu’une virgule décimale. La virgule est utilisée pour séparer les éléments d’une liste r1, 3, 9s (liste de trois ints) et pour séparer les arguments d’entrée des fonctions qui prennent deux arguments ou plus en entrée. Donc si vous voulez la quantité « un virgule cinq » il faut entrer « 1.5 » dans l’ordi et non « 1,5 ». Les ints dans Python sont une représentation fidèle de l’ensemble des entiers relatifs de Z “ t. . . , ´2, ´1, 0, 1, 2, . . .u. Les nombres à virgule flottante float sont des approximations des nombres rationnels Q et réels R. Plus spécifiquement, un nombre float a 16 décimales de précision. Pensez un peu à ça — vous avez dans votre poche un ordi qui est capable de faire des milliards de calculs mathématiques par seconde en gardant 16 décimales de précision pour chacune des variable dans les calculs. C’est quand même puissant ça ! En fait les ints et les floats c’est un peu la même chose dans tout les langages de programmation. Peu importe que vous appreniez Python, Java, JavaScript ou n’importe quel autre langage de programmation, vous aurez le plaisir de manier toute cette puissance en écrivant des « programmes » composés de deux ou trois lignes. En plus de calculs mathématique de base offerts par Python, la librairie SymPy nous offre un éventail d’outils pour manipuler des nombres, des fonctions, et des expressions mathématiques de façon symbolique. *** Il faut faire attention lorsque vous écrivez la division de deux nombres si vous souhaitez obtenir les réponses exactes. Python calculera la réponse sous forme de nombre à virgule flottante (float) :

240

>>> 1/7 0.14285714285714285

PETIT COURS SUR SYMPY

# un float

Le nombre 0.14285714285714285 est une approximation du nombre exact 71 P Q. L’approximation float n’a que 16 décimales alors que l’écriture décimale de 71 est infiniment longue. Pour obtenir une représentation exacte de 17 il faut utiliser une expression SymPy. Pour créer une expression SymPy, vous pouvez vous servir de la fonction sympify() ou du raccourci S() qui fait la même chose : >>> S(’1/7’) 1/7

# = sympify(’1/7’) # = Rational(1,7)

Remarquons que l’entrée dans la fonction S() est une chaîne de caractères délimitée par des guillemets. On aurait pu obtenir le même résultat avec S(’1’)/7 puisqu’un objet SymPy divisé par un int donne un objet SymPy. À part l’opération de division de Python qu’il faut surveiller, les autres opérations comme l’addition « + », la soustraction « - » et la multiplication « * » fonctionnent comme on l’espère. On emploie le symbole « ** » pour noter l’exponentiation : >>> 2**10 1024

# ou S(’2^10’)

Quand on résout des problèmes mathématiques, il vaut mieux travailler avec des objets SymPy et attendre la fin pour calculer les valeurs numériques. Pour obtenir l’approximation numérique d’un objet SymPy par un float, on appelle la méthode .evalf() sur l’objet en question : >>> pi pi >>> pi.evalf() 3.14159265358979

# = pi.n() = N(pi)

La méthode .n() équivaut à .evalf(). La fonction SymPy globale N() peut aussi être employée pour calculer des valeurs numériques. On peut facilement changer le nombre de chiffres dans l’approximation. Entrez pi.n(400) pour obtenir une approximation de π avec 400 décimales de précision.

Symboles >>> from sympy import Symbol, symbols

Python est un langage dans lequel il n’est pas nécessaire de définir les variables avant de leur assigner une valeur. Quand vous écrivez a = 3, vous définissez un nouveau nom a et vous lui attribuez la valeur 3. Après ça vous pouvez utiliser le nom a dans les calculs qui suivent.

C.3 MATHÉMATIQUES DE BASE

241

Les symboles sont des objets SymPy qui représentent les variables et les inconnues. Pour votre commodité, quand live.sympy.org commence, il exécute les commandes suivantes : >>> >>> >>> >>>

from sympy import * x, y, z, t = symbols(’x y z t’) k, m, n = symbols(’k m n’, integer=True) f, g, h = symbols(’f g h’, cls=Function)

La première déclaration importe toutes les fonctions SymPy. La deuxième déclaration définit les symboles génériques x, y, z et t qui son souvent utilisés dans les équations. Les deux lignes suivantes définissent d’autres symboles qui ont des propriétés particulières. Remarquez la différence entre les deux expressions suivantes : >>> x + 2 x + 2 # = Add(Symbol(’x’), Integer(2)) >>> p + 2 NameError: le nom ’p’ n’est pas défini.

Le nom x a été défini comme un symbole et ensuite SymPy sait que x + 2 est une expression. La variable p n’a pas été définie et donc SymPy ne sait pas ce qu’il faut faire avec p + 2. Pour pouvoir utiliser p dans des expressions, il faut d’abord le définir comme un symbole : >>> p = Symbol(’p’) >>> p + 2 p + 2

# ou p = symbols(’p’) # = Add(Symbol(’p’), Integer(2))

Vous pouvez définir une suite de variables en utilisant la notation suivante : >>> a0, a1, a2, a3 = symbols(’a0:4’)

Vous pouvez donner n’importe quel nom à une variable, sauf les lettres Q,C,O,S,I,N et E qui ? ont une signification spéciale dans SymPy : I est l’unité imaginaire i “ ´1, E est le nombre d’Euler, S() est un raccourci pour la fonction sympify(), N() sert à obtenir des valeurs numériques et O est utilisé pour les comparaison asymptotiques (Big O notation).

Expressions >>> from sympy import simplify, factor, expand, collect

On définit les expressions SymPy en combinant les symboles avec les opérations mathématiques de base et les autres fonctions : >>> expr = 2*x + 3*x - sin(x) - 3*x + 42 >>> simplify(expr) 2*x - sin(x) + 42

242

PETIT COURS SUR SYMPY

La fonction simplify peut être utilisée pour simplifier n’importe quelle expression. Les exemples ci-dessous illustrent d’autres fonctions SymPy utiles pour faire des opérations mathématiques usuelles sur les expressions : >>> factor( x**2-2*x-8 ) (x - 4)*(x + 2) >>> expand( (x-4)*(x+2) ) x**2 - 2*x - 8 >>> collect(x**2+x*b+a*x+a*b, x) x**2 + (a+b)*x + a*b

# factoriser un polynôme # développer les parenthèses # regrouper les termes

Pour substituer une valeur dans une expression, on utilise la méthode .subs() et le format {symbole:valeur, ...} qui spécifie les remplacements des symboles par des valeurs que vous voulez faire : >>> expr = sin(x) + cos(y) >>> expr sin(x) + cos(y) >>> expr.subs({x:1, y:2}) sin(1) + cos(2) >>> expr.subs({x:1, y:2}).n() 0.425324148260754

# définition d’une expression

# substituer x=1,y=2 dans expr # calculer la valeur numérique

Notez qu’il faut utiliser .n() pour obtenir la valeur numérique de l’expression.

Résolution des équations >>> from sympy import solve

La fonction solve peut être utilisée pour résoudre toutes sortes d’équations. En fait solve peut résoudre à peu près n’importe quelle équation ! Lorsque vous aurez appris à utiliser cette fonction vous allez vous demander pourquoi vous avez dû passer autant d’années de votre vie à apprendre à résoudre toutes sortes d’équations « à la main », alors que pendant tout ce temps il y avait solve qui pouvait faire le travail à votre place ! La fonction solve prend deux arguments : utilisez solve(expr,var) pour résoudre l’équation expr==0 en la variable var. Vous pouvez réécrire n’importe quelle équation sous la forme expr==0 en déplaçant tous les termes du même coté de l’équation. Par exemple, les solutions de Apxq “ Bpxq sont les solutions de Apxq ´ Bpxq “ 0. Pour résoudre l’équation du second degré x2 ` 2x ´ 8 “ 0, utilisez : >>> solve(x**2 + 2*x - 8, x) [2, -4]

Dans ce cas l’équation a deux solutions et solve donne une liste. Vous pouvez vérifier que x “ 2 et x “ ´4 satisfont l’équation x2 ` 2x ´ 8 “ 0.

C.3 MATHÉMATIQUES DE BASE

243

Ce qu’il y a de mieux avec la fonction solve de SymPy c’est que vous pouvez obtenir des réponses symboliques en résolvant les équations. Au lieu de résoudre une équation du second degré particulière, vous pouvez résoudre toutes les équations de la forme ax2 ` bx ` c “ 0 de la façon suivante : >>> a, b, c = symbols(’a b c’) >>> solve(a*x**2 + b*x + c, x) [(-b+sqrt(b**2-4*a*c))/(2*a), (-b-sqrt(b**2-4*a*c))/(2*a)]

Dans ce cas solve calcule la solution en termes des symboles a, b et c. Vous reconnaissez sûrement les expressions de la solution — ce sont les solutions de l’équation du second degré que nous avons déjà ? 2

rencontrées x1,2 “ ´b˘ 2ab ´4ac (voir page 43). Pour résoudre une équation particulière comme x2 ` 2x ´ 8 “ 0, nous pouvons substituer les coefficients a “ 1, b “ 2 et c “ ´8 dans la solution symbolique et nous obtenons le même résultat que plus haut : >>> sol = solve(a*x**2 + b*x + c, x) >>> [ sol[0].subs({’a’:1,’b’:2,’c’:-8}), sol[1].subs({’a’:1,’b’:2,’c’:-8}) ] [2, -4]

Pour résoudre un système d’équations, vous pouvez donner à solve une liste d’équations comme premier argument et la liste des inconnues en lesquelles vous voulez résoudre comme deuxième argument. Par exemple, pour trouver x et y dans le système d’équations x ` y “ 3 et 3x ´ 2y “ 0, on écrit

>>> solve([x + y - 3, 3*x - 2*y], [x, y]) {x: 6/5, y: 9/5}

La fonction solve est comme un couteau suisse qui vous permet de résoudre toutes sortes de problèmes. Supposons que l’on veuille compléter le carré dans l’expression x2 ´ 4x ` 7, c’est à dire que vous voulez trouver les constantes h et k telles que x2 ´ 4x ` 7 “ px ´ hq2 ` k. Dans SymPy il n’y a pas de fonction spéciale « compléter le carré » mais vous pouvez faire appel à solve pour résoudre l’équation px ´ hq2 ` k ´ px2 ´ 4x ` 7q “ 0 et trouver les inconnues h et k :

>>> h, k = symbols(’h k’) >>> solve( (x-h)**2 + k - (x**2-4*x+7), [h,k] ) [(2, 3)] # donc h = 2 k = 3 >>> expand((x-2)**2+3) # vérifions... x**2 - 4*x + 7

Apprenez les commandes de base de SymPy et vous ne souffrirez plus jamais d’avoir à faire de pénibles calculs mathématiques à la main. SymPy peut faire ça pour vous !

244

PETIT COURS SUR SYMPY

Fonctions rationnelles >>> from sympy import together, apart

Par défaut, SymPy ne combinera pas ou ne séparera pas les fractions rationnelles. Il faut se servir de together pour faire les calculs d’addition de fractions avec des symboles : >>> a, b, c, d = symbols(’a b c d’) >>> a/b + c/d a/b + c/d >>> together(a/b + c/d) (a*d + b*c)/(b*d)

Si vous avez une expression rationnelle et si vous voulez diviser le numérateur par le dénominateur, servez vous de la fonction apart : >>> apart( (x**2+x+4)/(x+2) x - 1 + 6/(x + 2)

)

Exponentielles et logarithmes Le nombre d’Euler e “ 2.71828 . . . peut être défini de trois façons, ˆ ˙ 8 ÿ 1 n 1 , e “ lim 1 ` “ lim p1 ` εq1{ε “ nÑ8 n n! ε Ñ0 n “0

et il est noté E dans SymPy. La fonction exp(x) est équivalente à E**x. Les fonctions log et ln calculent toutes deux le logarithme de base e, aussi appelé logarithme naturel ou logarithme népérien : >>> log(E**3) 3

# ou ln(E**3)

Par défaut, SymPy suppose que les entrées des fonction exp et log sont des nombres complexes, aussi il ne développera pas certaines expressions logarithmiques. Toutefois, si on signale à SymPy que les entrées sont des réels positifs le développement se fera : >>> x, y = symbols(’x y’) >>> expand(log(x*y)) log(x*y) >>> a, b = symbols(’a b’, positive=True) >>> expand(log(a*b)) log(a) + log(b)

Polynômes Définissons un polynôme P avec racines x “ 1, x “ 2 et x “ 3 : >>> P = (x-1)*(x-2)*(x-3) >>> P (x - 1)*(x - 2)*(x - 3)

C.3 MATHÉMATIQUES DE BASE

245

Pour avoir la version développée du polynôme, on utilise expand : >>> expand(P) x**3 - 6*x**2 + 11*x - 6

Si le polynôme est donné sous sa forme développée Ppxq “ x3 ´ 62 ` 11x ´ 6, nous ne pouvons pas déterminer immédiatement ses racines. C’est pourquoi la forme Ppxq “ px ´ 1qpx ´ 2qpx ´ 3q est préférable. Pour factoriser un polynôme, on fait appel aux fonctions factor ou simplify : >>> factor(P) (x - 1)*(x - 2)*(x - 3) >>> simplify(P) (x - 1)*(x - 2)*(x - 3)

Rappelons que les racines du polynôme Ppxq sont les solutions de l’équation Ppxq “ 0. On peut donc employer la fonction solve pour trouver les racines du polynôme : >>> roots = solve(P,x) >>> roots [1, 2, 3] # vérifions que P=(x-1)*(x-2)*(x-3) >>> simplify( P - (x-roots[0])*(x-roots[1])*(x-roots[2]) ) 0

Vérifier les égalités Dans le dernier exemple, nous avons employé la fonction simplify sur la différence de deux expressions pour vérifier si elles sont égales. C’est la meilleure façon de vérifier l’égalité entre deux expressions parce que simplify essaiera toutes les simplifications possibles. Cidessous vous trouverez une liste des façons de vérifier si deux quantités sont égales avec des exemples de cas où cela ne marche pas : >>> P = (x-5)*(x+5) >>> Q = x**2 - 25 >>> P == Q False >>> P - Q == 0 False >>> simplify(P - Q) 0 >>> sin(x)**2 + cos(x)**2 == 1 False >>> simplify( sin(x)**2 + cos(x)**2 - 1 ) 0

# ne marche pas # ne marche pas # ça marche!

# ne marche pas # ça marche!

Cette façon de vérifier l’égalité marche parce que P “ Q si et seulement si P ´ Q “ 0. Donc si vous voulez savoir si P “ Q, il suffit de calculer simplify(P-Q) et de vérifier si le résultat est égal à 0.

246

PETIT COURS SUR SYMPY

Trigonométrie from sympy import sin, cos, tan, trigsimp, expand_trig

Les fonctions trigonométriques sin et cos prennent leurs entrées en radians : >>> sin(pi/6) 1/2 >>> cos(pi/6) sqrt(3)/2

Pour calculer en degrés, il faut utiliser le facteur de conversion >>> sin(30*pi/180) 1/2

π 180

:

# 30 degrés = pi/6 radians

La fonction inverse de sin θ est la fonction arc sinus, sin´1 pxq “ arcsin x et l’inverse de cos θ est l’arc cosinus, cos´1 pxq “ arccos x. On les utilise comme ceci : >>> asin(1/2) pi/6 >>> acos(sqrt(3)/2) pi/6 sin θ Rappelons aussi tan θ “ cos θ La fonction inverse de tan θ est l’arc ´ 1 tangente tan pxq “ arctan x “ atan(x).

>>> tan(pi/6) 1/sqrt(3) >>> atan( 1/sqrt(3) ) pi/6

# = ( 1/2 )/( sqrt(3)/2 )

La fonction acos donne des angles dans l’intervalle r0, πs, alors que asin et atan donnent des angles dans l’intervalle r´ π2 , π2 s. Voici quelques identités trigonométriques que SymPy connaît :

>>> sin(x) == cos(x - pi/2) True >>> simplify( sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y) ) sin(x + y) >>> e = 2*sin(x)**2 + 2*cos(x)**2 >>> trigsimp(e) 2 >>> trigsimp(log(e)) # ne marche pas log(2*sin(x)**2 + 2*cos(x)**2) >>> trigsimp(log(e), deep=True) # ça marche en profondeur log(2) >>> simplify(sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 + cos(x)**4) cos(4*x)/2 + 1/2

La fonction trigsimp fait essentiellement la même chose que simplify. Si au lieu de simplifier vous voulez développer une expression trigonométrique, vous devez vous servir de expand_trig, parce que par défaut expand ne touchera pas les fonctions trigonométriques :

C.4 NOMBRES COMPLEXES

>>> expand(sin(2*x)) sin(2*x) >>> expand_trig(sin(2*x)) 2*sin(x)*cos(x)

247

# = expand(sin(2*x), trig=True)

Fonctions hyperboliques Dans SymPy les sinus et cosinus hyperboliques sont notés sinh et cosh respectivement ; SymPy est assez malin pour les reconnaître en simplifiant les expressions : >>> simplify( (exp(x)+exp(-x))/2 ) cosh(x) >>> simplify( (exp(x)-exp(-x))/2 ) sinh(x)

Rappelons que x “ cosh µ et y “ sinh µ sont les coordonnées x et y d’un point de l’hyperbole d’équation x2 ´ y2 “ 1 et par conséquent ils satisfont à l’identité cosh2 x ´ sinh2 x “ 1 : >>> simplify( cosh(x)**2 - sinh(x)**2 ) 1

C.4

Nombres complexes

>>> from sympy import I, re, im, Abs, arg, conjugate

Le mot « nombre » désigne un des types suivants d’objets mathématiques : les entiers naturels de N, les entiers relatifs de Z, les rationnels de Q et les nombres réels dans R. Chacun de ces différents ensembles de nombres est associé à une classe différente d’équations. Les entiers naturels N apparaissent comme solutions d’équations de la forme m ` n “ x, où m et n sont eux-mêmes des entiers naturels, ce que l’on note m, n P N. Les entiers relatifs Z sont les solutions d’équations de la forme x ` m “ n, où m, n P N. Les nombres rationnels Q sont nécessaires pour résoudre l’équation mx “ n, avec m, n P Z. Les solutions de x2 “ 2 sont irrationnelles, donc n’appartiennent pas à Q et il nous faut un ensemble plus grand qui contienne tous les nombres possibles, c’est l’ensemble des nombres réels R. Mais est-ce que ce sont vraiment tous les nombres possibles ? Considérons l’équation du second degré x2 “ ´1. Il n’y a pas de solutions à cette équation dans l’ensemble ? des réels, mais nous pouvons définir un nombre imaginaire i “ ´1 (noté I dans SymPy) qui satisfait l’équation : >>> I*I -1 >>> solve( x**2 + 1 , x) [I, -I]

248

PETIT COURS SUR SYMPY

Les solutions sont x “ i et x “ ´i et nous pouvons vérifier qu’effectivement i2 ` 1 “ 0 et p´iq2 ` 1 “ 0 puisque i2 “ ´1. Les nombres complexes ont une partie réelle et une partie imaginaire, ils sont de la forme ta ` bi | a, b P Ru. L’ensemble des nombres complexes est noté C. >>> >>> 4 + >>> 4 >>> 3

z = 4 + 3*I z 3*I re(z)

# partie réelle de z

im(z)

# partie imaginaire de z

iθ La représentation polaire d’un nombre complexe est z “ ?|z|=θ “ |z|e . Pour le nombre complexe z “ a ` bi, la quantité |z| “ a2 ` b2 est le module de z et θ est son argument. Avec z “ 4 ` 3i, le module et l’argument sont :

>>> Abs(z) 5 >>> arg(z) atan(3/4)

# module de z

# argument de z

Le conjugué de z “ a ` bi est z “ a ´ bi, qui est un nombre complexe avec le même module mais l’argument opposé : >>> conjugate( z ) 4 - 3*I

La conjugaison complexe est importante pour calculer le module de ? z (|z| “ zz) et quand on veut diviser par z ( 1z “ |zz|2 ).

Formule d’Euler >>> from sympy import expand, rewrite

La Formule d’Euler montre une relation importante entre la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques sin x et cos x : eix “ cos x ` i sin x. Pour vérifier ce résultat avec SymPy, vous devez signaler que le nombre x est réel et spécifier que vous êtes intéressé par les développements avec des nombres complexes : >>> x = symbols(’x’, real=True) >>> expand(exp(I*x), complex=True) cos(x) + I*sin(x) >>> re( exp(I*x) ) cos(x) >>> im( exp(I*x) ) sin(x)

C.5 VECTEURS

249

De fait, cos x est la partie réelle de eix et i sin x est sa partie imaginaire. Quoi ? Je sais que c’est bizarre, mais il arrive forcément des choses bizarres quand vous prenez des nombres imaginaires comme entrée des fonctions.

C.5

Vecteurs

Un vecteur ~v P Rn est un n-uplet de nombres réels. Par exemple, considérons un vecteur qui a trois composantes :

~v “ pv1 , v2 , v3 q P R ˆ R ˆ R “ R3 . Le vecteur ~v est défini par les valeurs de ses trois composantes v1 , v2 et v3 . Une matrice A P Rmˆn est un tableau rectangulaire de nombres réels de m lignes et n colonnes. Un vecteur est une matrice d’un type particulier ; nous pouvons penser à un vecteur ~v P Rn comme à une matrice de dimension 1 ˆ n. Puisqu’on peut considérer un vecteur comme une matrice, dans SymPy on utilise les objets Matrix pour représenter les vecteurs. C’est comme cela qu’on définit les vecteurs et qu’on donne leurs propriétés : >>> u = Matrix([4,5,6]) >>> u [4, 5, 6] # un vecteur >>> u[0] # les indices commencent par 0 4 >>> u.norm() # longueur de u sqrt(77) >>> uhat = u/u.norm() # vecteur unité dans la direction de u >>> uhat [4/sqrt(77), 5/sqrt(77), 6/sqrt(77)] >>> uhat.norm() 1

Produit scalaire Le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v est défini de deux façons :

~u ¨ ~v “ looooooooooomooooooooooon u x v x ` uy vy ` uz vz “ loooooomoooooon }~u}}~v} cos ϕ déf. algébrique

déf. géométrique

où ϕ est l’angle entre les vecteurs ~u et ~v. Dans SymPy,

P R,

250

PETIT COURS SUR SYMPY

>>> u = Matrix([4,5,6]) >>> v = Matrix([-1,1,2]) >>> u.dot(v) 13

Nous pouvons combiner les deux définitions du produit scalaire pour obtenir le cosinus de l’angle entre les deux vecteurs cos ϕ “

u x v x ` uy vy ` uz vz ~u ¨ ~v “ . }~u}}~v} }~u}}~v}

Ensuite on peut se servir de la fonction acos pour trouver la mesure de l’angle : >>> acos(u.dot(v)/(u.norm()*v.norm())).evalf() 0.921263115666387 # en radians = 52.76 degrés

Juste en regardant les coordonnées des vecteurs ~u et ~v, il est difficile de comparer leurs directions. Pourtant grâce au produit scalaire nous savons que l’angle entre ces vecteurs est 52,76˝ , ce qui veut dire qu’ils pointent dans des directions vaguement voisines. Si deux vecteurs font un angle ϕ “ 90˝ on dit qu’ils sont orthogonaux, ce qui veut dire qu’ils font un angle droit. Le produit scalaire de vecteurs pour lesquels ϕ ą 90˝ est négatif. La notion d’« angle entre deux vecteurs » s’applique de façon générale à des vecteurs dans des espaces de dimensions quelconques. ř En dimension n, le produit scalaire de vecteurs est ~u ¨ ~v “ in“1 ui vi . On pourrait donc parler de « l’angle » entre deux vecteurs en dimension 1000. Ça paraît fou si vous y pensez — il n’y a aucun moyen de pouvoir « visualiser » des vecteurs en 1000 dimensions. Pourtant, étant donnés deux tels vecteurs nous pouvons dire s’ils pointent dans des directions voisines, s’ils sont perpendiculaires ou dans des directions vaguement opposées. Le produit scalaire est une opération commutative : ~u ¨ ~v “ ~v ¨ ~u : >>> u.dot(v) == v.dot(u) True

Produit vectoriel Le produit vectoriel, noté ˆ, prend deux vecteurs pour entrées et donne un vecteur à la sortie. Les produits vectoriels des vecteurs ıˆ “ p1, 0, 0q, ˆ “ p0, 1, 0q et kˆ “ p0, 0, 1q sont définis comme suit : ˆ ıˆ ˆ ˆ “ k,

ˆ ˆ kˆ “ ıˆ,

kˆ ˆ ıˆ “ ˆ.

Le produit vectoriel est donné par la formule : ` ˘ ~u ˆ ~v “ uy vz ´ uz vy , uz v x ´ u x vz , u x vy ´ uy v x .

Voici comment on calcule le produit vectoriel de deux vecteurs :

C.5 VECTEURS

>>> >>> >>> [4,

251

u = Matrix([ 4,5,6]) v = Matrix([-1,1,2]) u.cross(v) -14, 9]

Le vecteur ~u ˆ ~v est orthogonal (perpendiculaire) aux deux vecteurs ~u et ~v. La norme du produit vectoriel }~u ˆ ~v} est proportionnelle à la longueur des vecteurs et au sinus de l’angle qu’ils font entre eux : (u.cross(v).norm()/(u.norm()*v.norm())).n() 0.796366206088088 # = sin(0.921..)

Le produit vectoriel est anticommutatif, ~u ˆ ~v “ ´~v ˆ ~u :

>>> u.cross(v) [4, -14, 9] >>> v.cross(u) [-4, 14,-9]

Faites attention à ça — c’est du nouveau ! Le produit de deux nombres a et b est commutatif : ab “ ba. Le produit scalaire de deux vecteurs ~u et ~v est commutatif : ~u ¨ ~v “ ~v ¨ ~u. Le produit vectoriel au contraire n’est pas commutatif : ~u ˆ ~v ‰ ~v ˆ ~u, il est anticommutatif : ~u ˆ ~v “ ´~v ˆ ~u.

Conclusion Je conclurai par quelques mots de mise en garde contre la dépendance technologique. L’informatique est une technologie très puissante, mais il ne faut pas oublier que les ordis ne sont que des grosses calculatrices stupides qui dépendent des commandes données par les humains. Ainsi il faut que vous appreniez à faire des calculs mathématiques compliqués à la main pour savoir comment donner aux ordinateurs les instructions nécessaires pour qu’ils fassent les calculs à votre place. Si vous utilisez SymPy « aveuglément » sans comprendre les calculs qui sont effectués alors là il y a un problème. Je ne voudrais pas que vous utilisiez ce que vous avez appris sur SymPy pour échapper aux « souffrances intellectuelles » nécessaires pour apprendre tous les nouveaux concepts mathématiques comme les nombres, les équations, les fonctions, etc. C’est ça les maths — l’essentiel c’est de comprendre les concepts et les relations entre les concepts. La partie « calculs mémorisés que vous auriez dû apprendre à l’école » n’est pas importante du tout. Ce sont précisément les calculs fastidieux et répétitifs dont il faut se débarrasser en utilisant SymPy. Si vous savez comment faire un certain calcul mathématique à la main, mais vous utilisez SymPy pour aller plus vite, alors il n’y a pas de problème. De

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PETIT COURS SUR SYMPY

toute façon les calculs arithmétiques ne sont pas ce qui est le plus important. Pour résoudre des problème en maths ou en physique, chimie, biologie, etc. ce qui est le plus important c’est de A) définir chaque variable, B) dessiner un diagramme et C) poser clairement les équations du problème en terme des variables que vous avez définies. La définition du problème mathématique c’est plus que la moitié du travail ! Les ordinateurs ne peuvent pas vous aider pour ces tâches préliminaires importantes qui sont particulières à votre problème — seuls les êtres humains sont bons à ce genre de choses. Une fois que vous avez mis le problème en place (A, B, C), SymPy peut vous vous aider pour les calculs fastidieux qui seront nécessaires pour obtenir la réponse finale. Historiquement la plupart des découvertes mathématiques et scientifiques ont été faites avec un crayon et du papier, donc déjà ça montre que « gribouiller » sur du papier c’est assez utile comme outil de pensée. Avec ce que vous avez appris sur SymPy, vous avez maintenant accès à la combinaison du crayon et du papier pour penser et de SymPy pour faire les calculs pour vous. C’est une combinaison très puissante ! Quel problème de la vraie vie voulez-vous résoudre ? Essayez de le modéliser de façon mathématique et regardez ce que ça donne. Allez-y, lancez-vous et faites un peu de science !

Liens [ Instructions pour l’installation de jupyter notebook ] https://jupyter.readthedocs.io/en/latest/install.html [ Le manuel d’utilisation officiel de SymPy ] http://docs.sympy.org/latest/tutorial/intro.html [ Une liste de pièges de SymPy ] http://docs.sympy.org/dev/gotchas.html

Index Le numéro de la page où le concept est défini est indiqué en gras. aire, 12, 106, 108 associative, 11, 36 axe, 62, 129, 171

union, 188, 188, 234 ensemble d’arrivée, 67 ensemble de départ, 67 ensemble solution, 7, 29, 43, 87, 101, 175, 196 équation du second degré, 42, 43, 170, 242 équation linéaire, 177, 197 équation quadratique, voir équation du second degré excentricité, 130, 139, 141 exposant, 12, 50, 57, 240 expression quadratique, voir trinôme du second degré

base, 148, 164 bijective, 70 biunivoque, voir bijective cône, 110, 141 cercle, 107, 121, 142 cercle unité, 108, 113 circonférence, 108 commutative, 11, 36, 147, 168, 251 compléter le carré, 40, 45, 243 composantes, 116, 149, 162, 164, voir aussi coordonnées coordonnées, 124, 150, 162, voir aussi composantes coordonnées polaires, 122, 141, 154, 171 cosinus, 30, 92, 112, 246 cylindre, 109

facteur, 12, 36 fonction, 66, 79 cosinus, 30, 92, 112, 246 exponentielle, 30, 50, 57, 94, 186, 244 impaire, 89, 141 inverse, 11, 30, 72 logarithme, 30, 55, 95, 244 paire, 89, 141 polynomiale, 85, 244 racine carrée, 52, 84 second degré, 30, 63, 83, 87 sinus, 30, 90, 112, 246 tangente, 93, 112 fonction du second degré, 30, 63, 83, 87, 100, 135

développer, 37, 242, 245 dimension, 13, 64, 149, 162 distributive, 36, 37 domaine, 67, 202 droite numérique, 23, 61, 192 ellipse, 129, 142 ensemble, 8, 66, 170, 187, 234 différence, 188, 234 intersection, 188, 197, 234 sous-ensemble, 9, 188, 234 253

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fonction quadratique, voir fonction du second degré formule d’Euler, 175, 248 formule de Moivre, 176 formule quadratique, voir équation du second degré fraction, 10, 18, 191, 240, 244 impropre, 22 hyperbole, 138, 142 identité trigonométrique, 118, 246 image, 67, 202 infini, 23 injective, 69 intervalle, 188, 200 inverse, 7, 21 fonction, 11, 30, 72 isoler, 7, 29, 178 limite, 186 logarithme, 30, 55, 95, 244 loi des cosinus, 107 loi des sinus, 107 longueur, 11, 112, 152, 172, 249 longueur d’un arc, 108 mise en facteurs, 47, 242, 245 nombre complexe, 10, 169, 190, 247 nombre d’Euler, 50, 56, 244 nombre d’or, 46 nombre imaginaire, voir nombre complexe nombre rationnel, 9, 191 non négatif, 68, 84, 189, 202

INDEX

origine, 62, 113 parabole, 83, 133, 142 plan cartésien, 62, 66, 152 polynôme, 85, 244 polynôme du second degré, voir trinôme du second degré précision, 26, 240 produit scalaire, 150, 167, 249 produit vectoriel, 150, 168, 250 pyramide, 110 racine carrée, 52, 84 racines, voir ensemble solution radian, 108, 112, 117, 246 relation, 78, 81, 122, voir aussi fonction sinus, 30, 90, 112, 246 sphère, 109 substitution, 28, 88, 179, 242 surjective, 69 système de coordonnées, 61 cartésien, 62, 149, 161 polaires, 122, 154, 171 tangente, 93, 112 taux d’intérêt, 185 taux d’intérêt effectif, 186 terme, 36, 85, 86 trinôme du second degré, 30, 39, 43, 47, 100, 243 valeur absolue, 7, 54, 82, 172 vecteur, 62, 145, 249 vecteur unitaire, 155, 249 volume, 109

No Bullshit Guide sur les Mathématiques Les maths sont un outil puissant pour modéliser le monde qui nous entoure. Les méthodes mathématiques sont essentielles en sciences, en ingénierie, en recherche et dans bien d’autres domaines. Malheureusement beaucoup de gens se sentent mal à l’aise avec les maths et cherchent à les éviter. De nombreux adultes vivent avec la phobie des maths. Ce livre fournit une introduction concise aux idées fondamentales des maths qui met en valeur les relations entre les différents concepts mathématiques. Le ton familier qui est utilisé dans ce livre aidera les lecteurs à surmonter leur phobie des maths. Chaque section de ce livre est une leçon qui donne des dé nitions claires, des explications concises et des exemples pour illustrer. Les exercices et les problèmes permettront aux lecteurs de mettre en pratique ce qu’ils ont appris. Ce livre est un moyen e cace pour les adultes de découvrir ou redécouvrir les mathématiques. La modélisation mathématique est mise à la portée de tous les lecteurs quel que soit leur niveau mathématique au départ.

J’aime le ton conversationnel dans lequel est écrit le livre. C’est presque comme si c’était un ami qui m’enseignait les maths. KEVIN DEL CASTILLO, ÉTUDIANT Je suis heureux que quelqu’un qui connaît les maths ait écrit cet excellent livre qui explique en utilisant des diagrammes et des exemples. WOJCIECH PIETRZAK, PROGRAMMEUR L’auteur a plus de 17 ans d’expérience comme tuteur privé, un bac en génie électrique, une maîtrise de physique, et un doctorat en informatique de l’Université McGill.

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