MODELAGEM DE CONVERSORES CC-CC Empregando Modelo Médio em Espaço de Estados [1 ed.]

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ELETRÔNICA DE POTÊNCIA

MODELAGEM DE

CONVERSORES CC-CC EMPREGANDO MODELO MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS

IVO BARBI EDIÇÃO DO AUTOR

Ivo Barbi

MODELAGEM DE CONVERSORES CC- CC EMPREGANDO MODELO MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS

Florianópolis Edição do Autor 2015

Ivo Barbi Internet: http://www.ivobarbi.com E-mail: [email protected]

II

MODELAGEM DE CONVERSORES CC- CC EMPREGANDO MODELO MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS

III

B236m Barbi, Ivo Modelagem de conversores CC-CC empregando modelo médio em espaço de estados / Ivo Barbi. – Florianópolis : [S. n.], 2014. 206 p. : il. Inclui referência 1. Eletrônica de potência. 2. Circuitos elétricos lineares – Análise. 3. Laplace, Transformadas de. 4. Conversores CC-CC. I. Título.

CDU: 621.314.22 Catalogação na publicação por: Onélia Silva Guimarães CRB14/071 IV

AGRADECIMENTOS Ao Eng. Andreas M. P. Correa, por sua dedicação na preparação desta edição, digitando o texto, editando figuras, formatando e diagramando a edição final.

Ao Bruno Barbi, pela criação da capa. Ao Diogo Duarte Luis, pelo apoio administrativo na preparação desta edição. Ao Prof. Cassiano Rech, da UFSM, pela sugestão do título.

V

VI

BIOGRAFIA DO AUTOR Ivo Barbi nasceu em Gaspar, Santa Catarina, Brasil, em 1949. Formou-se em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Santa Catarina em 1973. Obteve o título de Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Santa Catarina em 1976 e o título de Doutor em Engenharia Elétrica pelo Institut National Polytechnique de Toulouse, França, em 1979. Fundou a Sociedade Brasileira de Eletrônica de Potência(SOBRAEP), o Instituto de Eletrônica de Potência da Universidade Federal de Santa Catarina (INEP-UFSC) e o Congresso Brasileiro de Eletrônica de Potência (COBEP). É Pesquisador 1A do CNPq e Fellow IEEE. Foi Editor Associado na área de Conversores Estáticos de Potência do periódico internacional IEEE Transactions on Industrial Electronics. e Editor Associado Convidado para Edições Especiais do periódico IEEE Transactions on Power Electronics. Desde o mês de março de 2015, é professor visitante do Departamento de Automação e Sistemas (DAS) da Universidade Federal de Santa Catarina.

VII

VIII

Dedico este trabalho pequenino ANTONIO BARBI, nascido em 19/05/2015, à sua mãe ADRIANA S. S. BARBI e aos meus outros filhos Bernardo Barbi Bruno Barbi Beatriz Barbi Isadora Barbi

IX

X

PREFÁCIO Os conversores estáticos de energia elétrica, para serem úteis nas mais diversas aplicações, devem ter suas variáveis elétricas, tais como tensões, correntes e potências, devidamente controladas. Para escolher os controladores adequados e seus parâmetros, o projetista do conversor precisa conhecer os modelos de planta do estágio de potência do conversor, que geralmente apresentam-se sob a forma de funções de transferências. Essas funções de transferência são obtidas a partir de equações diferenciais lineares, que resultam da linearização de equações não lineares, em torno de pontos de operação específicos, nos quais o conversar deverá operar. Geralmente os conversores operam com frequências de comutação elevadas, da ordem de várias dezenas de quilohertz. No entanto, as dinâmicas envolvidas na troca de potência entre as fontes e as cargas, ocorrem em baixas frequências, da ordem de dezenas de hertz. Uma das peculiaridades dos conversores estáticos cc-cc é o fato de que em um período de operação, eles assumem diversos estágios topológicos, cujos circuitos equivalentes são lineares, representados por equações diferenciais de primeira ou segunda ordem. Porém, o comportamento macroscópico, em escala de tempo de suas respostas naturais do ponto de vista de valores médios quase instantâneos, é quase sempre não linear. Das diversas técnicas já propostas para a obtenção dos modelos matemáticos dos conversores estáticos cc-cc, duas se tornaram populares: (a) emprego do conceito de modelo médio em espaço de estado, proposto por Midlebrook e Cuk em 1976 [1], e (b) conceito de chave PWM, proposto por Vorpérian em 1990 [4]. Cada uma das técnicas tem vantagens e desvantagens em relação à outra. Porém, o método que utiliza modelo médio em espaço de estado é atualmente o mais aceito e utilizado pela XI

comunidade internacional de especialistas em eletrônica de potência. O presente texto, despretensioso, incompleto e certamente pleno de imperfeições, é resultado das reflexões do autor sobre problemas de modelagem de conversores estáticos cc-cc, devidamente amparadas por publicações clássicas da área, de grande relevância técnica sobre o tema. O texto pretende introduzir o assunto, de maneira simples e resumida, através de exemplos, aos estudantes de engenharia elétrica, sobretudo aos pós-graduandos da área de eletrônica de potência e suas aplicações. Por isso o autor espera que o material possa ser útil para essa comunidade. Espera também que as imperfeições do texto não diminuam os benefícios que ele possa trazer aos que desejam aprender a modelar e controlar conversores estáticos cc-cc. Todo e qualquer comentário, observação ou crítica que possam contribuir para melhorar a qualidade do texto, serão bem acolhidos pelo autor. Florianópolis, agosto de 2015.

XII

Sumário PREFÁCIO ..................................................................................................... XI SUMÁRIO ..............................................................................................XIII CAPÍTULO 1

ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES .................... 17

1.1

INTRODUÇÃO. .................................................................................. 17

1.2

SOLUÇÃO EMPREGANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE. ........... 20

1.3

EXEMPLO NUMÉRICO. ..................................................................... 25

1.4 ANÁLISE DE UM CIRCUITO COM APENAS RESISTORES E CAPACITORES .............................................................................................. 27 CAPÍTULO 2

CIRCUITO RC CHAVEADO ...................................... 36

CAPÍTULO 3

CIRCUITO RC CHAVEADO ...................................... 41

CAPÍTULO 4 CHAVEADO

COVERSOR CC-CC ABAIXADOR A CAPACITOR 47

CAPÍTULO 5

CIRCUITO RL CHAVEADO ...................................... 58

CAPÍTULO 6

CIRCUITO LLR CHAVEADO.................................... 61

CAPÍTULO 7

CIRCUITO LC CHAVEADO ...................................... 67

CAPÍTULO 8

CIRCUITO VLR CHAVEADO ................................... 74

CAPÍTULO 9

MODELAGEM DO CONVERSOR BUCK ................ 81

9.1

INTRODUÇÃO. .................................................................................. 81

9.2

EQUACIONAMENTO DA PRIMEIRA ETAPA DE OPERAÇÃO. ............. 82

9.3

EQUACIONAMENTO DA SEGUNDA ETAPA DE OPERAÇÃO. ............. 83

9.4

ANALISE EM REGIME PERMANENTE. ............................................... 86

9.5

MODELO DE PLANTA PARA CONTROLE DA CORRENTE. .................. 89

XIII

9.6 OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA TENSÃO DE CARGA. ..................................................................................... 93 9.7

EXERCÍCIO PROPOSTO.................................................................... 102

CAPÍTULO 10 10.1

MODELAGEM DO CONVERSOR BOOST .......... 103

INTRODUÇÃO. ................................................................................ 103

10.2 CIRCUITO EQUIVALENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE. ........................................................................................... 108 10.3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROLE DA CORRENTE............................................................................................ 114 10.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROLE DE TENSÃO. ............................................................................................... 117 10.5 COMENTÁRIOS ADICIONAIS SOBRE A EXISTÊNCIA DE UM ZERO NO SEMIPLANO DIREITO. ................................................................................ 127 10.6

EXERCÍCIO PROPOSTO.................................................................... 128

CAPÍTULO 11 MODELAGEM DO CONVERSOR BUCK – BOOST...................................................................................... 130 11.1

INTRODUÇÃO. ................................................................................ 130

11.2

OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES GENÉRICAS........................................ 132

11.3

ANALISE EM REGIME PERMANENTE. ............................................. 135

11.4

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE. 140

11.5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA TENSÃO DE SAÍDA. 145 CAPÍTULO 12 CIRCUITO EQUIVALENTE DO CONVERSOR CCCC BIDIRECIONAL EM REGIME PERMANENTE .......................................................................................152 12.1

INTRODUÇÃO. ................................................................................ 152 XIV

12.2

OBTENÇÃO DO CIRCUITO EQUIVALENTE. ...................................... 154

CAPÍTULO 13 MODELAGEM DO CONVERSOR BIDIRECIONAL ZETA-SEPIC........................................................... 158 13.1

INTRODUÇÃO. ................................................................................ 158

13.2

EQUAÇÕES GENÉRICAS. ................................................................. 160

13.3 CIRCUITO EQUIVALENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE............................................................................................ 162 13.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE DO CONVERSOR ZETA-SEPIC BIDIRECIONAL. .................................................. 166 CAPÍTULO 14 MODELAGEM DO CONVERSOR BOOST EM CONDUÇÃO DESCONTÍNUA ............................................................. 175 14.1

INTRODUÇÃO. ................................................................................ 175

14.2 EQUACIONAMENTO DO CONVERSOR BOOST OPERANDO EM CONDUÇÃO DESCONTÍNUA. ..................................................................... 176 14.3

ANÁLISE EM REGIME PERMANENTE. ............................................. 183

14.4

MODELO DE PLANTA PARA CONTROLE DA CORRENTE NO INDUTOR. 185

14.5

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA TENSÃO. .... 189

CAPÍTULO 15 CONVERSOR CC-CC MEIA PONTE MODULADO EM FREQUÊNCIA ................................................................................ 194 15.1

INTRODUÇÃO. ................................................................................ 194

15.2

MODELAGEM POR ESPAÇO DE ESTADOS. ..................................... 197

15.3

MODELO PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE. ............... 202

15.4

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE. 205

CAPÍTULO 16 ANÁLISE DO ERRO COMETIDO AO SE EMPREGAR O VALOR MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS ...... 209 XV

16.1

FONTE DE TENSÃO ALIMENTANDO INDUTÂNCIA PURA. ............... 209

16.2

FONTE DE TENSÃO ALIMENTANDO CARGA RL. ............................. 213

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................. 218

XVI

CAPÍTULO 1 ANÁLISE DE CIRCUITOS LINEARES

1.1

INTRODUÇÃO.

Seja o circuito representado na Figura 1-1. Trata-se de um circuito RLC série. No instante t=0, o interruptor S é fechado.

Figura 1-1: Circuito RLC série.

O comportamento do circuito é definido pelas equações diferenciais (1.1) e (1.2). A corrente no indutor iL e a tensão no capacitor vc são as variáveis de estado do circuito. L

diL  R  iL  vC  v dt

(1.1)

dvC  iL dt

(1.2)

C

A partir de (1.1) e (1.2) obtém-se (1.3) e (1.4). 17

v diL R v    iL  C  dt L L L

(1.3)

dvC iL  dt C

(1.4)

As equações (1.3) e (1.4) podem ser representadas na forma matricial, de acordo com a expressão (1.5).  diL  dt   dvC   dt

  R   L    1     C

1   1  0 v  L   iL        L   v  vC     0   0 0 

(1.5)

Sejam as definições descritas a seguir.

i  X  L   vC   diL  dt X   dvC   dt  R  L A  1   C

     

1   L  0  

(1.6)

(1.7)

(1.8)

18

1  0  B L    0 0

(1.9)

v  U  v 

(1.10)

Desse modo, na forma matricial, obtêm-se a equação (1.11). X  AX  BU

(1.11)

Podem ocorrer situações em que as grandezas de saída não sejam os estados, mas sim uma combinação deles. Define-se então a equação (1.12). Y  CX  DU

(1.12)

onde Y é um vetor definido pelas grandezas desejadas. C e D são matrizes com termos constantes. Agrupando as equações (1.11) e (1.12) obtêm-se as equações (1.13) e (1.14), conhecidas como equações de estado do sistema. X  AX  BU

(1.13)

Y  CX  DU

(1.14)

Costuma-se representar em diagrama de blocos as equações de estado, de acordo com a Figura 1-2.

19

Figura 1-2. Representação das equações de estado por diagrama de blocos.

1.2

SOLUÇÃO EMPREGANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE.

Vamos, com o emprego da transformada de Laplace, obter a solução da equação de estados que representa o comportamento do circuito. Vamos ignorar a equação (1.14). Seja a equação (1.15). X  A  X  B U

(1.15)

Aplicando-se a transformada de Laplace, obtêm-se a equação (1.16).

X (s)  A  X (s)  B  U(s)

(1.16)

X (s)  s  I  X (s)  X (0)

(1.17)

Mas,

onde I é a matriz identidade. O vetor X(0) representa o estado inicial das variáveis do circuito. Substituindo-se (1.17) em (1.16) obtém-se (1.18).

20

s  I  X (s)  X (0)  A  X (s)  B  U(s)

(1.18)

s  I  X (s)  A  X (s)  X (0)  B  U(s)

(1.19)

 s  I  A  X(s)  X(0)  B  U(s)

(1.20)

X (s)   s  I  A   X (0)   s  I  A   B  U(s)

(1.21)

Assim:

Portanto: 1

1

Por razões didáticas e para simplificar o problema, vamos considerar nula a tensão de alimentação. Isto significa que o vetor U=0. Portanto,

X (s)   s  I  A   X (0) 1

(1.22)

Resolve-se o sistema de equações representado por (1.22) aplicando-se a transformada inversa de Laplace. Assim:

 X(s)

(1.23)

 s  I  A 1  X (0)  

(1.24)

X (t)  X (t) 

1

1

Como o vetor X(0) é formado por termos constantes, podemos escrever:

21

X (t) 

1

 s  I  A 1   X (0)  

(1.25)

Prosseguimos nossa análise como segue.  R   s 0  L s I  A      0 s  1   C R  s L s I  A    1   C  R s L 1  s  I  A    1   C

1   L  0  

1 L  s   1 L  s  

(1.26)

(1.27)

1

(1.28)

Invertendo-se a matriz definida pela equação (1.28), obtêm-se:

LRs  2  1  s  I  A    LRs  RCs  1 L   2  LRs  RCs  1

C  LRs  RCs  1   C (R  Ls)   LRs2  RCs  1  2

(1.29)

22

Seja



R 2L

(1.30)

02 

1 LC

(1.31)

 2  02   2

(1.32)

Com essas definições, após manipulação algébrica adequada, obtêm-se: s   (s   )2   2 1  s  I  A    1/C   (s   )2   2 

1 / L  2 2  (s   )    (2  s)  (s   )2   2 

(1.33)

Deste modo:

sIL 0   (s   )2   2 1  s  I  A   X (0)    IL 0 / C  (s   )2   2 

VC 0 / L  (s   )2   2   (1.34) (2  s)VC 0  (s   )2   2 

Vamos considerar o caso de um sistema pouco amortecido, de modo que   . Aplicando-se a transformada inversa de Laplace, obtêm-se:

23

  t e  t sen(t )  e cos(  t )   I  L   L0  X(t )    t  e sen(t )  V e  t cos(t )   C 0   C  

(1.35)

A expressão (1.35) pode ser reescrita como a expressão (1.36). X (t)   (t)  X (0)

(1.36)

 IL 0  X (0)     Estado inical  VC 0 

(1.37)

 I (t )  X (t )   L   Vetor de estado  vc (t ) 

(1.38)

onde

  t  e cos(t )  (t )    t  e sen(t )  C 

e  t sen(t )   L    t e cos(t )  

(1.39)

A matriz  (t ) é conhecida como matriz de transição de estados. Trata-se de um conceito muito importante, pois permite conhecer os estados do sistema a qualquer instante, se as condições iniciais forem conhecidas e se o sistema evoluir livremente sem excitações nem perturbações. 24

A partir das expressões deduzidas com o emprego das equações de estado, podemos obter as expressões (1.40) e (1.41).

1.3

V   iL (t )  e  t  IL0 cos(t )  C 0 sen(t )  L  

(1.40)

I  vC (t )  e  t  L0 sen(t )  VC 0 cos(t )   C 

(1.41)

EXEMPLO NUMÉRICO.

Vamos nesta seção apresentar um exemplo numérico e as formas de onda resultantes. Sejam os seguintes parâmetros e condições iniciais: L  50mH;

C  20F ;

IL 0  10 A;

VC 0  200V

R  10

Portanto: R  100  / H 2L 1 0   1000 rad /s LC



  02   2  995 rad /s   L  49,8    C  0,02 Siemens 25

Desse modo, 100 t cos(995t )  4,02e 100t sen(995t )   IL 0   iL (t )   10e       100 t sen(t )  200e 100t cos(t )   VC 0   vC (t )   502,5e

As formas de onda resultantes, da corrente iL(t) e da tensão vC(t), encontram-se representadas na Figura 1-3 e na Figura 1-4 respectivamente. Na Figura 1-5 é mostrado o plano de fase, onde a corrente iL(t) é representada em função da tensão vC(t).

Figura 1-3. Corrente em função do tempo, para o circuito da Figura 1-2.

Figura 1-4. Tensão nos terminais do capacitor, para o circuito da Figura 1.2.

26

Figura 1-5. Plano de fase para as variáveis de estado do circuito representado na Figura 1-2.

1.4

ANÁLISE DE UM CIRCUITO COM APENAS RESISTORES E CAPACITORES

Seja o circuito mostrado na Figura 1-6. Desejamos encontrar as expressões das correntes i1(t) e i2(t). V é uma tensão constante e a chave S é fechada no instante t=0. Todos os resistores, bem como os capacitores, são idênticos entre si. As tensões nos capacitores, vC1(t) e vC2(t), são as variáveis de estado do sistema. Vamos estudar o caso particular em que as condições iniciais sejam nulas. Por inspeção do circuito podemos escrever as equações (1.42) e (1.43).

27

Figura 1-6. Circuito com resistores e capacitores.

iC 1 

V  V1 V1  V2  R R

(1.42)

V1  V2 V2  R R

(1.43)

iC 2 

Mas, iC 1  C

dv1 dt

(1.44)

iC 2  C

dv2 dt

(1.45)

e

Portanto, RC

dv1  2V1  V2  V dt

(1.46)

dv2  V1  2V2 dt

(1.47)

RC

28

Seja   RC

(1.48)

Portanto,

 v   2

  1   v2   1

1   v1   v       2   v2   0 

(1.49)

Ou ainda,

 v1   2 /     v2   1 / 

1 /    v1   v /        2 /    v2   0 

(1.50)

Desse modo, V  A V  B  U

(1.51)

v  V  1  v2 

(1.52)

v  V  1  v2 

(1.53)

onde,

 2 /  A  1 /

1 /   2 /  

(1.54)

29

v /  B U    0 

(1.55)

Também por inspeção pode-se escrever: i1 

V  V1 R

(1.56)

i2 

V1  V2 R

(1.57)

Portanto,

0   v1   V / R   i1   1 / R         i2   1 / R 1 / R   v2   0 

(1.58)

i  i  1  i2 

(1.59)

0   1 / R C    1 / R 1 / R 

(1.60)

V / R  D U    0 

(1.61)

Seja

30

Portanto:

i  C V  D  U

(1.62)

Resumindo-se as expressões (1.51) e (1.61), obtêm-se

V  A V  B  U

(1.63)

i  C V  D  U

(1.64)

que é a forma geral da representação de estado. Verificamos que nosso circuito, que é um sistema de segunda ordem linear e invariante no tempo, está sendo descrito matematicamente por um sistema formado por duas equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos então resolver essas equações. Aplicando-se a transformada de Laplace na equação (1.63) obtém-se a equação (1.65).

sV (s)  V (0)  A  V (s)  B  U(s)

(1.65)

Desse modo:

 s  I  A V (s)  V (0)  B  U(s)

(1.66)

V (s)   s  I  A   V (0)   s  I  A   B  U(s)

(1.67)

Ou ainda: 1

1

31

Seja V (0)  0 , nossa hipótese inicial. Assim: Mas,  2 s 1  s  I  A    1   

1      2 s  

1

(1.68)

Portanto,

   s  2   2 1   s  2   1  s  I  A       s  2 2  1  V B  U(s)   s  0

   2  s  2   1    s  2   2  s  2   1 

1

   

(1.69)

(1.70)

Assim,  V  s  2   2  s  s  2   1 1  s  I  A   B  U(s)   V   s   s  2 2  1     

 0   0  

(1.71)

32

Desse modo,  V  s  2     2    V1 (s)   s  s  2   1     V  V2 (s)     s   s  2 2  1      

(1.72)

Aplicando-se a transformação inversa de Laplace na equação (1.67) obtêm-se a equação (1.73).

V (t) 

1

V (s)

(1.73)

Desse modo,

V1 (t ) 

t 3t  V   4  3 e  e   6 

(1.74)

2

  t  V  t V2 (t )   e   1    e   2  6   

(1.75)

Nosso objetivo é encontrar as correntes I1(t) e I2(t). A partir da expressão (1.64), obtemos:

i  C V  D  U

(1.76)

33

Portanto,

0   v1 (t )   V / R   i1 (t )   1 / R       i2 (t )   1 / R 1 / R   v2 (t)   0 

(1.77)

Assim, V  v1 (t ) R

(1.78)

v1 (t )  V2 (t ) R

(1.79)

i1 (t ) 

i2 (t ) 

Substituindo as expressões (1.74) e (1.75) em (1.78) e (1.79) obtemos:

i1 (t ) 

t 3t  V    2  3 e  e   6R  

t  V  i2 (t )   1  3e   3R  

Observar-se que para t   i1 ()  i2 () 

(1.80)

(1.81)

V , como era 3R

esperado. Sejam os seguintes parâmetros, escolhidos a título de ilustração: 34

V  100V C  1000  F R  10

As correntes i1(t) e i2(t), em função do tempo, encontramse representadas na Figura 1-7, para esses parâmetros.

Figura 1-7. Evolução das correntes do circuito representado na Figura 1-6.

35

CAPÍTULO 2 CIRCUITO RC CHAVEADO

Seja o circuito representado na Figura 2-1.

Figura 2-1- Circuito RC Chaveado.

O interruptor ideal representado na Figura 2-2.

S

é

comandado

pelo

sinal

Figura 2-2. Sinal de comando do interruptor S.

O interruptor S encontra-se fechado quando S  1 e aberto quando S  0 . O período de funcionamento é TS. 36

Desse modo,

S  1 no intervalo  0, DTS  S  0 no intervalo  DT ,TS  A variável D, definida por (2.1), é denominada razão cíclica. D

t1 T

(2.1)

Vamos supor que o capacitor C esteja inicialmente carregado e que sua tensão inicial seja VC0. Se S permanecer fechado continuamente (D=1), a tensão vc(t) e a corrente ic(t) serão representadas pelas expressões (2.2) e (2.3). vc  t   VC 0  e

ic  t  



t



(2.2)

VC 0 t e R

(2.3)

A expressão (2.2) é a solução da equação diferencial linear de primeira ordem representada por (2.4). C

dvc (t ) vc (t )  0 dt R

(2.4)

37

Com essas informações desejamos obter a expressão da tensão do capacitor em função do tempo, para o interruptor S operando com D  1. Durante um ciclo de operação, o circuito assume dois estados topológicos mostrados na Figura 2-3.

Figura 2-3. Estados topologicos do circuito.

Durante o intervalo de tempo Δt1 , S encontra-se fechado e parte da energia armazenada no capacitor é dissipada em R. Os dois estágios topológicos mostrados na Figura 2-2 são representados pelas equações diferenciais lineares de primeira ordem (2.5) e (2.6) respectivamente. C

dvc (t ) vc (t )  0 dt R

(2.5)

dvc (t ) 0 dt

(2.6)

C

Vamos multiplicar todos os termos de (2.5) por D e todos os termos de (2.6) por (1-D). Em seguida vamos somar as duas equações. Assim:

38

D C

dvc (t) v (t ) D c  0 dt R

(2.7)

dvc (t ) 0 dt

(2.8)

dvc (t ) D   vc (t )  0 dt R

(2.9)

1  D   C Portanto: C

A expressão (2.9) representa o circuito mostrado na Figura 2-4

Figura 2-4. Circuito equivalente.

Seja o resistor equivalente definido pela expressão (2.10). Req 

R D

(2.10)

Observe que o valor da resistência equivalente Req é inversamente proporcional à razão cíclica D. Desse modo, o efeito do chaveamento é um aumento da resistência aparente do resistor do circuito. 39

A constante de tempo do circuito com chaveamento é

 eq  Req  C  eq 

R C D

(2.11) (2.12)

Ou ainda,

 eq 

 D

(2.13)

Podemos interpretar o efeito do chaveamento como o aumento da constante de tempo do circuito. Assim, como D  1 ,  eq   . Com o emprego da técnica descrita, obtém-se um único circuito linear, para um valor dado de D , que representa os dois estados topológicos do circuito, associados aos dois estados de condução do interruptor. Dito de outra forma, o circuito original, chaveado, passa a ser representado por um circuito sem interruptor, com variáveis contínuas. Cada estado topológico, para D constante, é representado por um circuito linear, descrito por uma equação diferencial linear. O circuito equivalente é também linear, onde as variáveis (estados) são valores médios quase instantâneos. O método empregado contem aproximações e introduz erro. O erro é tanto menor quanto menor for o período de chaveamento em relação à constante de tempo original do circuito. T Simulações realizadas mostram que para S  0,10 o  erro cometido é menor que 1%. 40

CAPÍTULO 3 CIRCUITO RC CHAVEADO

Seja o circuito representado na Figura 3-1.

Figura 3-1. Circuito RC chaveado.

O capacitor C1 encontra-se inicialmente carregado e sua tensão inicial é VC10. C2 encontra-se descarregado. t S é aberto e fechado com alta frequência de valor constante. A razão cíclica D é considerada constante. Ao longo do tempo, parte da energia inicialmente acumulada em C1 é transferida para C2, e parte dela é transformada em calor no resistor R. Desejamos encontrar as expressões que representem os valores médios quase instantâneos das tensões vC1(t) e vC2(t). Em um período de operação, o circuito possui dois estágios topológicos representados na Figura 3-2.

Figura 3-2. Estados topológicos do conversor: (a) intervalo DT e (b) intervalo ( 1 – D ) T. 41

Vamos equacionar cada um desses estágios topológicos. a) Primeiro Estágio: 0  t  DT dvc1 (t )  i dt

(3.1)

dvc 2 (t ) i dt

(3.2)

vC 1 (t ) vC 2 (t )  R R

(3.3)

dvc1 (t ) v (t ) v (t )   C1  C2 dt R R

(3.4)

dvc 2 (t) vC 1 (t) vC 2 (t)   dt R R

(3.5)

C1

C2

i

Portanto, C1

C2

b) Segundo Estágio: DT  t  T

C1

dvc1 (t ) 0 dt

(3.6)

C2

dvc 2 (t ) 0 dt

(3.7)

Vamos multiplicar (3.4) e (3.5) por D. Assim:

42

DC1

dvc1 (t ) D D   vC 1 (t )  vC 2 (t ) dt R R

(3.8)

dvc 2 (t ) D D  vC 1 (t )  vC 2 (t ) dt R R

(3.9)

DC2

Do mesmo modo, vamos multiplicar (3.6) e (3.7) por (1-D). Assim,

1  D  C1

dvc1 (t ) 0 dt

(3.10)

 1  D  C2

dvc 2 (t ) 0 dt

(3.11)

Adicionando (3.6) com (3.10) obtemos (3.12). C1

dvC 1 (t ) D D   vC 1 (t )  vC 2 (t ) dt R R

(3.12)

Adicionando (3.8) com (3.11) obtemos (3.13). C2

dvC 2 (t ) D D  vC 1 (t )  vC 2 (t ) dt R R

(3.13)

Desse modo (3.12) e (3.13) formam um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, representado pelas equações (3.14).

43

C1

dvC 1 (t ) D D   vC 1 (t )  vC 2 (t ) dt R R (3.14)

C2

dvC 2 (t ) D D  vC 1 (t )  vC 2 (t ) dt R R

Seja o resistor equivalente definido pela expressão (3.15). Req 

R D

(3.15)

Então,

C1

dvC 1 (t ) v (t ) v (t )   C1  C2 dt Req Req (3.16)

C2

dvC 2 (t ) vC 1 (t ) vC 2 (t )   dt Req Req

O sistema de equações (3.16) representa o circuito mostrado na Figura 3-3, contínuo, válido para valores médios quase instantâneos.

Figura 3-3. Circuito equivalente para valores médios quase instantâneos. 44

Verificamos que devido à ação do chaveamento, o valor da resistência aparente é modificado e representado pela expressão (3.17). Req 

R D

(3.17)

A constante de tempo do circuito resultante é representada pela expressão (3.18).

  Req  C

(3.18)

C1  C 2 C1  C 2

(3.19)

onde

C

Seja VC10 a tensão inicial no capacitor C1. O capacitor C2 encontra-se inicialmente descarregado. Então a corrente através do resistor equivalente durante o regime transitório é dada pela equação (3.20).

VC 10 t i(t )  e Req

(3.20)

As tensões sobre os capacitores C1 e C2, em seus valores médios quase instantâneos, são representadas pelas expressões (3.21) e (3.22), respectivamente.

45

vC 1 (t ) 

t   VC 10   C  C  e  1 2  C1  C 2  

(3.21)

t   C1  VC 10   1  e   C1  C 2  

(3.22)

vC 2 (t ) 

O procedimento apresentado nos permitiu, a partir da representação por equações de estado de um circuito chaveado com dois estágios topológicos lineares, encontrar valores médios das variáveis de estado, que por sua vez representam um circuito equivalente não chaveado ou contínuo. Este é o princípio geral que iremos encontrar na modelagem dos diversos circuitos que serão apresentados nos capítulos subsequentes deste texto. A partir das equações (3.21) e (3.22) podemos observar que após o período transitório, quando a corrente do circuito se anula, as tensões 𝑉𝑐1 e 𝑉𝑐2 tornam-se iguais entre si, com o valor dado pela expressão (3.23). VC1  VC 2 

VC10  C1 C1  C2

(3.23)

Portanto, os valores das tensões finais nos capacitores não dependem do valor do resistor R, nem da frequência de comutação ou da razão cíclica. Dependem apenas do valor da tensão inicial no capacitor C1 e das capacitâncias de C1 e C2. Porém a duração do período transitório depende desses parâmetros. 46

CAPÍTULO 4 COVERSOR CC-CC ABAIXADOR A CAPACITOR CHAVEADO

Seja o circuito representado na Figura 4-1. Trata-se de um conversor CC-CC abaixador, empregando apenas capacitores, interruptores e suas resistências parasitas, portanto sem o emprego de dispositivos magnéticos, como indutores ou transformadores. Nosso objetivo é obter suas características fundamentais, como ganho estático e circuito equivalente, empregando a técnica de valores médios em espaço de estado.

Figura 4-1. Conversor CC-CC abaixador a capacitor chaveado.

Os interruptores, considerados ideais, são comandados de acordo com os sinais mostrados na Figura 4-2.

47

Figura 4-2. Sinais de comando dos interruptores do circuito representado na Figura 4-1.

Nosso objetivo é encontrar um circuito linear equivalente, válido para valores médios quase instantâneos, que permita determinar o comportamento do conversor. Num ciclo completo de funcionamento, o conversor assume dois estados topológicos. Durante o intervalo de tempo (0, DT), o circuito equivalente é representado pela Figura 4-3.

Figura 4-3. Circuito equivalente para o primeiro estágio topológico.

Durante o intervalo de tempo (DT,T), o circuito equivalente é representado pela Figura 4-4. 48

Figura 4-4. Circuito equivalente para o segundo estágio topológico.

Vamos primeiramente obter as equações que representam o primeiro estágio de operação (Figura 4-3). iC 1  iC 2  

v1 vC 1 vC 2   R1 R1 R1

vC 2 v1 vC 1 vC 2    Ro R1 R1 R1

(4.1)

(4.2)

C1

dvC 1  iC 1 dt

(4.3)

C2

dvC 2  iC 2 dt

(4.4)

Substituindo a equação (4.1) em (4.3) e a equação (4.2) em (4.4) obtemos (4.5) e (4.6): C1

dvC 1 v v v   C1  C2  1 dt R1 R1 R1

(4.5)

49

C2

1 1 v dvC 2 v   C 1  vC 2     1 dt R1  Ro R1  R1

(4.6)

A seguir, vamos equacionar o circuito representado pela Figura 4-4. vC 1 vC 2  R1 R1

(4.7)

vC 2 vC 1 vC 2   Ro R1 R1

(4.8)

C1

dvC 1  iC 1 dt

(4.9)

C2

dvC 2  iC 2 dt

(4.10)

dvC 1 v v   C1  C2 dt R1 R1

(4.11)

1 1 dvC 2 vC 1   vC 2    dt R1  Ro R1 

(4.12)

iC 1  

iC 2  

Portanto, C1

C2

Vamos representar os modelos obtidos na forma matricial, de acordo com as expressões (4.13) e (4.14) para os intervalos de tempo (0, DT) e (DT,T) respectivamente.

50

 dvC 1    1  C1 dt   R1    1 dv C C2   2    dt   R1 

  v1        vC 1    R1     1 1    vC 2   v1       R   1  Ro R1   

 dvC 1    1  C1 dt   R1    C dvC 2   1  2   dt   R1 

1 R1

     vC 1     1 1    vC 2        Ro R1   1 R1

(4.13)

(4.14)

As expressões (4.13) e (4.14), escritas na forma compacta são representadas pelas expressões (4.15) e (4.16).

K1 X  A1 X  B1U

(4.15)

K2 X  A2 X  B2U

(4.16)

v  X   C1   vC 2 

(4.17)

onde,

é o vetor de estado, sendo VC1 e VC2 os estados do circuito.

51

 1 R 1 A1    1    R1

    R1  Ro       R1  Ro  

(4.18)

 1 R 1 A2    1   R1

    R1  Ro       R1  Ro  

(4.19)



1 R1

1 R1

1 0 B1    0 1

(4.20)

B2  0

(4.21)

 v1  R  U 1   v1  R   1

(4.22)

Vamos multiplicar as expressões (4.15) e (4.16) por D e por (1-D) respectivamente. Assim,

DK1 X  DA1 X  DB1U

(4.23)

(1  D)K2 X  (1  D)A2 X

(4.24)

Vamos analisar a operação em regime permanente. Portanto, X  0. Desse modo, 52

0  DA1 X  DB1U

(4.25)

0  (1  D)A2 X

(4.26)

    R1  Ro       R1Ro   1  1   Dv1  R    R1 1     R1   0 (1  D)  1  R  Ro    Dv1   1       R1Ro    R1   R1

(4.27)

Portanto:  1 R 1 D  1    R1



1 R1

O sistema representado por (4.27) pode ser simplificado, resultando na equação (4.28).

1  1    D   R1  Ro     1   R   o    1  1     D  v1  (1  D)    R1  Ro     0  1   R    D  v1  o   

(4.28)

53

Assim: D  D     D D   R1  Ro        Ro    (1  D)  (1  D)     D  v1    R1  Ro     0 (1  D )  (1  D )  D  v   1      Ro   

(4.29)

Após as devidas manipulações algébricas, obtêm-se as expressões (4.30) e (4.31).

vC 1  (1  2D)  vC 2  D  v1  0  R1  Ro    vC 2  D  v1  0  Ro 

1  2D   vC 1  

(4.30) (4.31)

Manipulações algebricamente se expressões (4.30) e (4.31), obtemos a expressão (4.32). vC 2 2D  (1  D)  v1  R1  Ro  2    1  2D   Ro 

(4.32)

Seja o caso particular em que D  0,5 . Portanto,  Ro vC 2    R1  Ro

 v1   2

(4.33) 54

A expressão (4.33) mostra que o ganho ideal do conversor apresentado é igual a 0,5. O valor real do ganho é ligeiramente menor que 0,5, devido à queda de tensão no resistor série equivalente R1 . A expressão (4.33) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 4-5.

Figura 4-5. Circuito equivalente do conversor CC-CC abaixador a capacitor chaveado.

Para razão cíclica diferente de 0,5 o circuito equivalente encontra-se representado na Figura 4-6.

Figura 4-6. Circuito equivalente para D  0,5.

Desse modo, pode-se escrever a expressão (4.34).

v0 0,5  Ro  v1 Ro  Req

(4.34)

55

Mas, como foi demonstrado anteriormente: vo 2D  (1  D)  v1  R1  Ro  2    1  2D   Ro 

(4.35)

Igualando-se a expressão (4.34) com (4.35) e manipulando-se algebricamente, obtêm-se a expressão (4.36).

Req 

R1 4(D  D2 )

(4.36)

Req

1 4(D  D2 )

(4.37)

Ou ainda,

R1



Na Figura 4-7 é representado o valor de Req / R1 em função da razão cíclica D.

Figura 4-7. Resistência equivalente em função da razão ciclica D. 56

Observa-se que o valor mínimo da resistência equivalente ocorre para D  0,5 . Por isso esses conversores geralmente são projetados para operar com esse valor de D . Pode-se também demonstrar que o valor de Req depende da frequência de chaveamento do circuito, além da razão cíclica D . Para D  0,5 , o modelo obtido é válido se for respeitada a restrição:

TS  R1  C1

(4.38)

1 R1  C1

(4.39)

ou ainda fS 

Na análise apresentada, foi considerada muito grande a capacitância do capacitor C2. Na análise apresentada a título de exemplo, todos os componentes foram considerados ideais, exceto o capacitor C1 cuja resistência é R1. Contudo, o procedimento pode ser facilmente estendido para as situações em que as demais não idealidades sejam incluídas. Essa análise que acabamos de apresentar, serve para mostrar a eficiência do método do valor médio em espaço de estado, na análise dos conversores CC-CC a capacitor chaveado, que de outra forma seria complexa e demorada.

57

CAPÍTULO 5 CIRCUITO RL CHAVEADO

Seja o circuito representado na Figura 5-1.

Figura 5-1. Circuito RL paralelo com interruptor.

O interruptor S é ideal e opera com frequência constante e razão cíclica D. Em um ciclo de operação ocorrem dois estágios topológicos para os intervalos de tempo (0,DT) e (DT,T) respectivamente, mostrados na Figura 5-2.

Figura 5-2. Estagios topológicos para o circuito RL paralelo.

Os dois estágios são representados pelas equações diferenciais (5.1) e (5.2), respectivamente.

58

diL 0 dt

(5.1)

diL  R  iL  0 dt

(5.2)

L

L

Vamos multiplicar (5.1) e (5.2) por D e (1-D) respectivamente, obtendo (5.3) e (5.4). D L (1  D)  L

diL 0 dt

diL  (1  D)  R  iL  0 dt

(5.3)

(5.4)

Somando (5.3) com (5.4) obtemos (5.5). L

diL  (1  D)  R  iL  0 dt

(5.5)

A equação diferencial (5.5) representa o circuito mostrado na Figura 5-3.

Figura 5-3. Circuito equivalente do circuito RL paralelo com interruptor.

59

Seja,

Req  (1  D)

(5.6)

diL  Req  iL  0 dt

(5.7)

Assim: L

Seja ILo o valor da corrente inicial no indutor. Resolvendo-se a equação diferencial (5.7) obtêm-se a expressão (5.8). t

iL (t )  ILoe 

(5.8)

L L  Re q (1  D)  R

(5.9)

Onde,



Verificamos então que o chaveamento modifica e controla o valor da resistência equivalente e consequentemente da constante de tempo do circuito. A hipótese fundamental empregada na modelagem, mais uma vez, é o período de chaveamento ser muito menor que a constante de tempo definida pelos parâmetros do circuito, R e L, como geralmente ocorre nos circuitos reais.

60

CAPÍTULO 6 CIRCUITO LLR CHAVEADO

Seja o circuito representado na Figura 6-1. São adotadas as mesmas condições de operação do circuito estudado no CAPÍTULO 5. Seja IL1o a corrente inicial em L1 , com o sentido indicado na Figura 6-1. Seja nula a corrente inicial em L2 . Deseja-se obter o circuito equivalente que represente a evolução das grandezas médias quase instantâneas do circuito, em função do tempo, em regime permanente.

Figura 6-1. Circuito LLR em paralelo com interruptor.

Os dois estágios topológicos, para os intervalos de tempo (0, DT) e (DT, T) encontram-se representados na Figura 6-2.

61

Figura 6-2. Estágios topologicos do circuito LLR.

As equações para o intervalo (DT, T) são: L1

diL1  V dt

(6.1)

diL2 V dt

(6.2)

L2

V  RiL1  RiL2

(6.3)

Portanto, L1

diL1  R  iL1  R  iL2 dt

(6.4)

diL2  R  iL1  R  iL2 dt

(6.5)

L2

Para o intervalo (0, DT) são obtidas as equações: L1

diL1 0 dt

(6.6)

62

L2

diL1 0 dt

(6.7)

Na forma matricial, para os intervalos de tempo (DT, T) e (0, DT), o circuito é representado pelas equações (6.8) e (6.9), respectivamente.  diL1   L1 dt   R R   iL1       L diL2   R R   iL2   2   dt 

(6.8)

 diL1   L1 dt   0      L diL2   0   2   dt 

(6.9)

e

Multiplicando-se (6.8) por (1-D) e (6.9) por D obtém-se: diL1    (1  D)  L1 dt   (1  D)  R (1  D)  R   iL1        (6.10)  (1  D)  L diL2   (1  D)  R (1  D)  R   iL2    2 dt  

diL1    D  L1 dt   0      D  L diL2   0    2 dt  

(6.11)

63

Somando-se (6.10) com (6.11) obtêm-se (6.12).  diL1   L1 dt   (1  D)  R (1  D)  R   iL1        L diL2   (1  D)  R (1  D)  R   iL2   2   dt 

(6.12)

Ou ainda: L1

diL1  (1  D)  R  iL1  (1  D)  R  iL2 dt

(6.13)

diL2  (1  D)  R  iL1  (1  D)  R  iL2 dt

(6.14)

L2

Seja,

Req  (1  D)  R

(6.15)

Assim: L1

diL1  Req  iL1  Req  iL2 dt

(6.16)

diL2  Req  iL1  Req  iL2 dt

(6.17)

L2

As expressões (6.16) e (6.17) representam o circuito equivalente mostrado na Figura 6-3.

64

Figura 6-3. Circuito equivalente para o circuito original LLR.

Pode-se então concluir que o chaveamento modifica o valor da resistência aparente do circuito, definida pela expressão (6.15). O circuito resultante representa os valores médios quase instantâneos das tensões e correntes do circuito. Resolvendo-se o sistema de equações diferencias (6.16) e (6.17) obtém-se as expressões seguintes. t     L  L  e  1 2    IL1 (t )  IL1o L1  L2 t     1  e   IL2 (t )  IL1o  L1  L1  L2

IR (t )  IL1o  e



t 

(6.18)

(6.19)

(6.20)

onde,



Leq Req

(6.21) 65

Req  (1  D)  R Leq 

L1  L2 L1  L2

(6.22) (6.23)

Verifica-se que o valor final de IR (t ) é igual zero. Contudo, os valores finais de IL1 (t ) e IL2 (t ) são não nulos. A partir da análise das equações (6.24) e (6.25), pode-se concluir que após o transitório, ou seja, para um tempo muito grande, as correntes nos dois indutores tornam-se iguais entre si, com os valores definidos pelas equações (6.26) e (6.27).

𝐼𝐿1 = 𝐼𝐿10 .

𝐼𝐿2 = 𝐼𝐿10 .

𝐿1 𝐿1 +𝐿2

𝐿1 𝐿1 +𝐿2

(6.26)

(6.27)

66

CAPÍTULO 7 CIRCUITO LC CHAVEADO

Seja o circuito representado na Figura 7-1, com todos os seus componentes ideais.

Figura 7-1. Circuito LC chaveado.

A corrente inicial no indutor L é ILo e a tensão inicial no capacitor C é VCo. Os interruptores S1 e S2 são comandados de acordo com os sinais representados na Figura 7-2.

Figura 7-2. Sinais de comando dos interruptores S1 e S2. 67

Os estágios topológicos, para um ciclo de operação, encontram-se representados na Figura 7-3.

Figura 7-3. Estágios toplogicos para um período de operação do circuito.

Durante o intervalo de tempo (0, DT) o circuito é representado pelas equações (7.1) e (7.2). L

diL 0 dt

(7.1)

C

dvC 0 dt

(7.2)

Durante o intervalo de tempo (DT, T) o circuito é representado pelas equações (7.3) e (7.4). L

diL  vC dt

(7.3)

C

dvC  iL dt

(7.4)

Os dois sistemas de equações são representados na forma matricial pelas equações (7.5) e (7.6), respectivamente.

68

 diL  L dt   C dvC   dt

   0 0   iL       0 0   vC   

(7.5)

 diL  L dt   C dvC   dt

   0 1   iL       1 0   vC   

(7.6)

Multiplicando-se (7.5) por D, (7.6) por (1-D) e somandose, obtêm-se as equações (7.7) e (7.8). L

diL  (1  D)  vC dt

(7.7)

C

dvC  (1  D)  iL dt

(7.8)

As equações (7.7) e (7.8) representam o circuito mostrado na Figura 7-4.

Figura 7-4. Circuito equivalente do circuito LC chaveado.

Manipulando-se a equação (7.8) obtêm-se

69

vC 

(1  D)   iLdt C

(7.9)

Substituindo-se (7.9) em (7.7) obtêm-se (7.10).

L

diL (1  D)2    iLdt dt C

(7.10)

Seja,

C eq 

C (1  D)2

(7.11)

Assim,

L

diL 1   iLdt dt C eq 

(7.12)

diL  iLdt dt 

(7.13)

Ou ainda, L  C eq

Portanto:

d 2iL L  C eq 2  iL dt

(7.14)

A expressão (7.14) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 7-5. 70

Figura 7-5. Circuito equivalente final do circuito LLC chaveado.

Desse modo, podemos concluir que o chaveamento produz um capacitor variável, dependente da razão cíclica. Como 0  D  1 , então Ceq  C . Encontramos assim uma maneira de obter um capacitor cuja capacitância é maior que o valor da capacitância do capacitor físico. A partir da equação (7.7) é possível encontrar a equação (7.15). (1  D)  vC dt L

(7.15)

(1  D)   vC dt L

(7.16)

diL 

Portanto, iL 

Substituindo-se (7.16) em (7.8) obtêm-se.

dvC (1  D)2 C    vC dt dt L

(7.17)

71

Portanto:

C  L d 2vC   vC (1  D)2 dt 2

(7.18)

Seja,

Leq 

L (1  D)2

(7.19)

d 2vC  vC dt 2

(7.20)

Portanto:

C  Leq 

O circuito equivalente representado pela equação (7.20) é mostrado na Figura 7-6.

Figura 7-6. Ciruito equivalente alternativo para o circuito LC chaveado.

Neste caso, podemos interpretar o efeito do chaveamento como a modificação da indutância equivalente do circuito original. A pulsação do circuito chaveado é definida pela equação (7.21). 72

1 LC



(7.21)

1  D 

2

Portanto:



1  D  LC

(7.22)

Seja,

o 

1 LC

(7.23)

Portanto,

  1  D   o

(7.24)

A expressão mostra o efeito da razão cíclica sobre a frequência natural do circuito. A análise apresentada, mais uma vez, demonstra a eficácia e a simplicidade que o método de modelo médio em espaço de estado proporciona, na análise de circuitos elétricos chaveados.

73

CAPÍTULO 8 CIRCUITO VLR CHAVEADO

Seja o circuito representado na Figura 8-1. O interruptor é ideal e opera com razão cíclica D.

Figura 8-1. Circuito com resistor chaveado.

Os dois estados topológicos para os intervalos (0, DT) e (DT, T) encontram-se representados na Figura 8-2.

Figura 8-2. Estados topologicos para um período de operação do circuito VLR chaveado.

Os dois estágios são representados pelas equações (8.1) e (8.2) respectivamente.

74

di v dt

(8.1)

di  v  R  i(t ) dt

(8.2)

L

L

Multiplicando-se (8.1) por D e (8.2) por (1-D), e somando-se, obtêm-se as expressões (8.3) e (8.4). D L (1  D)  L

di  D v dt

di  (1  D)  v  (1  D)  R  i dt

(8.3)

(8.4)

Adicionando-se (8.3) e (8.4) obtêm-se (8.5). L

di  v  (1  D)  R  i dt

(8.5)

A equação (8.5) representa o circuito mostrado na Figura 8-3.

Figura 8-3. Circuito equivalente do circuito VLR chaveado.

75

A resposta a um degrau da tensão de entrada é dada pela equação (8.6).  V R i(t )   1  e eq R  t

   

(8.6)

onde:

Req  (1  D)R

(8.7)

Deve-se observar que o circuito mostrado na Figura 8-3 é genérico, sendo valido para tensão V com qualquer forma de onda. É também é valido tanto para operação em regime permanente quanto para transitório. O circuito equivalente em regime permanente para tensão continua de entrada é mostrado na Figura 8-4.

Figura 8-4. Circuito equivalente para tensão continua.

O circuito equivalente para alimentação senoidal encontra-se representado na Figura 8-5.

76

Figura 8-5. Circuito equivalente para tensão alternada senoidal.

A impedância Z é definida pela expressão (8.8).

Z  (1  D)  R  j  L

(8.8)

Para razão cíclica D constante, o circuito resultante da análise, mostrado na Figura 8-3, é invariante no tempo. É possível, a partir de um ponto de operação, introduzir pequena perturbação na razão cíclica D. Seja a equação (8.9), obtida anteriormente. Vamos introduzir uma perturbação muito pequena em D, e obter a resposta no tempo. L

di  v  (1  D)  R  i dt

(8.9)

D  Do  D

(8.10)

i  IO  i

(8.11)

Substituindo as equações (8.10) e (8.11) em (8.9) obtemos a equação (8.12). L

d  IO  i   v  R 1   Do  D   IO  i  dt

(8.12) 77

Desenvolvendo-se (8.12) obtêm-se (8.13). L

dIO d i L  v  R (1  Do )  D   IO  i  dt dt

(8.13)

Assim, dIO d i L  v  R  (1  Do )  IO  R  (1  Do )  i  (8.14) dt dt D  IO  R  D  i  R

L

Seja D  i  0 . Assim: L

d i  R  (1  Do )  i  R  D  IO dt

(8.15)

Aplicando-se a transformada de Laplace, obtêm-se:

L  s  i(s)  R  (1  Do )  i(s)  D(s)  R  IO

(8.16)

Portanto,

L  s  R  (1  Do )  i(s)  D(s)  R  IO

(8.17)

R  IO i(s)  D(s)  s  L  R  (1  Do )

(8.18)

Assim:

78

Desse modo, RIO i(s)  R  (1  Do )  D(s)  s  L  

(8.19)

Seja, D(s) 

D s

(8.20)

Portanto, i(s) 

D  R  IO R  (1  Do )   s  L s   L  

(8.21)

Assim, t    D  i(t )   IO 1  e  (1  Do )  

(8.22)

sendo



L R  (1  Do )

(8.23)

Io 

V R  (1  Do )

(8.24)

Mas

79

Portanto

i(t ) 

t   V  D   1  e   R  (1  Do )2  

(8.25)

A expressão (8.25) representa a resposta do circuito diante de uma pequena perturbação na razão cíclica D , em torno de um ponto de operação inicial, definido pela razão cíclica inicial Do.

80

CAPÍTULO 9 MODELAGEM DO CONVERSOR BUCK

9.1

INTRODUÇÃO.

Neste capítulo, vamos empregar a técnica do modelo médio em espaço de estado, para obter os modelos do conversor CC-CC conhecido como conversor Buck, que incluirão circuito equivalente, análise em regime permanente e funções de transferência para o controle da corrente do indutor e da tensão do capacitor ou da carga. Seja o conversor Buck ideal alimentando carga resistiva, mostrado na Figura 9-1.

Figura 9-1. Conversor Buck ideal.

O mesmo circuito com a introdução de algumas não idealidades encontra-se representado na Figura 9-2.

Figura 9-2. Conversor Buck com componentes não ideais. 81

As não idealidades são as seguintes: RS  Resistência do interruptor S VD  Queda de tensão no diodo RL  Resistência do indutor L

Vamos estudar o caso em que o conversor esteja operando em condução continua e frequência de chaveamento constante. Seja D a razão cíclica. Os dois circuitos equivalentes para os intervalos de tempo (0, DT) e (DT, T) encontram-se representados na Figura 9-3.

Figura 9-3. Estados topológicos do conversor Buck, para os intervalos de tempo (1,DT) e (DT,T), respectivamente.

9.2

EQUACIONAMENTO DA PRIMEIRA ETAPA DE OPERAÇÃO.

O primeiro estágio topológico mostrado na Figura 9-3(a) é representado pelas seguintes equações: 82

L

diL  RS  iL  RL  iL  vC  v1 dt

(9.1)

dvC v  iL  C dt Ro

(9.2)

C

A representação matricial das equações (9.1) e (9.2) é dada pela equação (9.3).  diL  L dt   C dvC   dt

  R  R L   S    1   

1    iL   v1  1         vC   0  Ro 

(9.3)

Multiplicando todos os termos da equação (9.3) por D obtemos: diL   D  L dt 1  dv  D C C  dt 

9.3

  D  R  R D  L    S   iL   D  v1   D     D    vC   0    Ro    

(9.4)

EQUACIONAMENTO DA SEGUNDA ETAPA DE OPERAÇÃO.

A segunda etapa operação, mostrada na Figura 9-3(b), é representada pelas equações (9.5) e (9.6). L

diL  RL  iL  vC  vD dt

(9.5)

83

C

dvC v  iL  C dt Ro

(9.6)

As equações (9.5) e (9.6) representadas na forma matricial são dadas pela equação (9.7)  diL  L dt   C dvC   dt

  R   L    1   

1    iL   vD  1        vC   0  Ro 

(9.7)

Multiplicando-se os termos da equação (9.7) por (1-D) obtemos a equação (9.8). diL   (1  D)L dt   (1  D)C dvC  dt 

  (1  D)R L      (1  D)   

(1  D)    iL  (1  D)      v Ro   C 

(9.8)  (1  D)vD    0  

Vamos então somar a equação (9.7) com a equação (9.8). Como, diL   D  L dt   D  C dvC  dt 

diL     (1  D)  L dt    (1  D)  C dvC   dt  

  diL   L dt    C dvC     dt

     

(9.9)

84

Obtêm-se,

 diL  L dt   C dvC   dt

  D  R  R    S L  D   (1  D)  RL    D  D    (1  D)   Ro     

(1  D)      iL  (1  D)        v Ro    C 

 D  v1   (1  D)  vD       0   0  

(9.10) Manipulando-se a equação (9.10) obtêm-se (9.11).  diL  L dt   C dvC   dt

  D  R  R S L    1     

1    iL  1       vC  Ro 

(9.11)  D  v1  (1  D)  vD    0  

Pode-se ainda representar o modelo por duas equações de primeira ordem, ou seja: L

diL    D  RS  RL   iL  vC  D  v1  (1  D)  vD dt

C

dvC (t ) v  iL  C dt Ro

(9.12)

(9.13) 85

As equações (9.12) e (9.13) representam o circuito mostrado na Figura 9-4,

Figura 9-4. Circuito medio equivalente do conversor buck.

Onde,

V  D  v1  (1  D)  vD

(9.14)

R  D  RS  RL

(9.15)

O circuito representado na Figura 9-4, obtido com o emprego da técnica de modelo médio em espaço de estados, é válido para grandezas médias quase instantâneas, e consequentemente também para operação em regime permanente. 9.4

ANALISE EM REGIME PERMANENTE.

dvC diL 0 e  0 . Desse modo, dt dt o circuito equivalente para operação em regime permanente para valores médios encontra-se representado na Figura 9-5.

Em regime permanente,

86

Figura 9-5. Circuito equivalente para operação em regime permanente.

A corrente Io é definida pela expressão (9.16). Io 

D  v1  (1  D)  vD D  RS  RL  Ro

(9.16)

Desse modo,

Vo  Ro  Io

(9.17)

e Vo 

Ro  D  v1  (1  D)  vD  D  RS  RL  Ro

(9.18)

Interessa-nos obter o ganho estático G, definido pela expressão (9.19). G

Vo V1

(9.19)

Manipulando-se algebricamente a equação (9.18), obtêmse a equação (9.20).

87

v Ro  D  (1  D)  D  v1   G D  RS  RL  Ro

(9.20)

Para o conversor ideal, RS  RL  vD  0. Portando, a partir da equação (9.20) obtêm-se a equação (9.21).

G D

(9.21)

A expressão (9.20) representa o ganho em função da resistência de carga Ro . Muitas vezes é preferível conhecer o ganho estático em função da corrente de carga. Vamos então obter tal expressão, como segue. Sejam as seguintes definições:

Vo Io

(9.22)

RS  Io V1

(9.23)

RL 

RL RS

(9.24)

VD 

VD V1

(9.25)

Ro  Io 

Substituindo-se (9.22), (9.23), (9.24) e (9.25) em (9.20), obtêm-se a expressão (9.26).

88

G  D  (1  D)  vD  D  (1  RL )  Io

(9.26)

A expressão (9.26) representa a característica normalizada do conversor Buck não ideal em regime permanente. Para o conversor ideal VD  0 e Io  0 (pois RS  0 ). Portanto,

G D

(9.27)

A equação (9.26) claramente indica que no conversor real a tensão de saída varia com a corrente de carga, mesmo para tensão de entrada constante. Por isso é necessário o emprego de controle da tensão em malha fechada. 9.5

MODELO DE PLANTA PARA CONTROLE DA CORRENTE.

Seja o sistema representado na Figura 9-6.

Figura 9-6. Controle da corrente do coversor buck.

O capacitor C e a resistência de carga Ro foram substituídos por uma fonte de tensão ideal 𝑉0 . Deseja-se 89

controlar o valor da corrente IL. A variável de entrada é a razão cíclica D. Desejamos então obter a função de transferência.

F (S ) 

IL (s) D(s)

(9.28)

Seja Vo o valor da tensão da fonte utilizada como carga. dVC Portanto VC  Vo e  0 . Com essas restrições, a partir dt das equações (9.12) e (9.13) obtêm-se a equação (9.29). L

diL    D  RS  RL   iL  vC  D  v1  (1  D)  vD dt

(9.29)

Como D é variável no tempo, estamos diante de uma equação diferencial linear com coeficientes variáveis. Para que se possa obter a função de transferência desejada, deve-se obter uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Vamos então introduzir uma pequena perturbação na razão cíclica D, definida pela equação (9.30), e obter a resposta na corrente.

D  Do  D

(9.30)

IL  ILo  iL

(9.31)

Desse modo,

90

Portanto: L

dILo d iL L    D  RS  RL   Io   D  RS  RL   iL  dt dt

D  RL  Io  D  v1  (1  D)  vD 

(9.32)

D  (v1  vD )

admitindo-se que iLo  D  0 . Manipulando-se a equação (9.32) obtêm-se a expressão (9.33). L

diL    D  RS  RL  iL  D  RS  Io  D  (v1  vD ) dt

(9.33)

Aplicando-se a transformada de Laplace em todos os termos, obtêm-se. s  L iL (s)    D  RS  RL  iL (s)  RS  Io D(s)  (v1  vD ) D(s)

(9.34)

Desse modo,  s  L   D  RS  RL  iL (s)  v1  vD   RS  Io  D(s) (9.35)

Portanto: iL (s)  v1  vD   RS  Io  D(s) s  L   D  RS  RL 

(9.36) 91

Mas,

D  v1  vD   D  RS  Io  vo

(9.37)

Portanto: v1  vD  RS  Io 

Vo D

(9.38)

Substituindo (9.37) em (9.36) obtêm-se (9.39). Vo iL (s)  D(s) D   s  L   D  RS  RL  

(9.39)

iL (s)  D(s)

(9.40)

Ou ainda, Vo   D  RS  RL   L  D  s    L   

Seja,



L D  RS  RL

(9.41)

92

Portanto, iL (s)  D(s)

Vo 1  LD  s     

(9.42)

No caso de um conversor ideal a equação se torna

V iL (s)  o D(s) L  D  s Mas

(9.43)

Vo  V1 . Então, D

iL (s) V1  D(s) L  s

(9.44)

que é uma expressão comumente encontrada na literatura. 9.6

OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA TENSÃO DE CARGA.

Foi demonstrado que os dois estágios topológicos para os intervalos  0, DTs  e  DTs , Ts  são representados pelas equações (9.45) e (9.46), respectivamente.

X  A1  X  B1  U

(9.45)

X  A2  X  B2  U

(9.46) 93

Foi também obtida à expressão (9.47). X   A1  D  A2  1  D   X  B1  D  B2  1  D   U

(9.47)

Vamos adotar as seguintes definições: xXx

(9.48)

d Dd

(9.49)

onde X representa o vetor de estados e D representa a razão cíclica, para um ponto de operação. As variáveis x e d representam pequenas alterações alternadas do vetor de estados e da razão cíclica em torno desse ponto de operação. Portanto: xXx

(9.50)

xx

(9.51)

Mas X  0 . Portanto:

Vamos substituir as expressões (9.48), (9.49) e (9.50) na expressão geral (9.47), resultando na expressão (9.52). X  x   A1   D  d   A2  1  D  d     X  x    B1   D  d   B2  1  D  d    U

(9.52)

Vamos desenvolver cada membro separadamente. Assim. 94

 A1   D  d   A2  1  D  d     X  x       A1  D  A2  1  D    X   A1  A2   d  X 

(9.53)

  A1  D  A2  1  D    x   A1  A2   d  x

Mas  A1  A2   d  x  0 Portanto,

X   A1  D  A2  1  D    X   B1  D  B2  1  D    U

(9.54)

Como X  0 , pode-se escrever a expressão (9.55).

 A1  D  A2  1  D    X   B1  D  B2  1  D    U  0

(9.55)

Vamos desenvolver o segundo termo da equação (9.52), definida pela expressão (9.56). P  B1   D  d   B2  1  D  d   U

(9.56)

Desse modo,

P  B1  D  B1  d  B2  1  D   B2  d   U

(9.57)

95

Portanto,

P  B1  D  B2  1  D    U   B1  d  B2  d   U

(9.58)

Combinando-se as expressões (9.52), (9.55) e (9.58) obtêm-se (9.59).

x   A1  D  A2  1  D    x    A1  A2   X  d   B1  B2   U  d

(9.59)

A expressão (9.59) representa um sistema de equações diferenciais, lineares e invariantes no tempo de 1ª ordem e descreve o comportamento do conversor para pequenas componentes alternadas em torno do ponto de operação definido por X e D . Vamos em seguida utilizar essa expressão para a obtenção da função de transferência que estamos procurando. Foram obtidas, no inicio do capitulo, as expressões (9.60) e (9.61).  RS  RL   iL   L   1  vC    C 

1  v  L   iL   1    L 1   vC     0 Ro  C  

(9.60)

96

 RL   iL   L   1  vC    C 

1   (1  D)  vD  L   iL      L 1   vC     0    Ro  C  

(9.61)

Vamos admitir, para simplificar nossa analise, que VD  RS  0 . Desse modo.  RL  L A1  A2    1  C 

1  L   1   Ro  C  

(9.62)

B2  0

(9.63)

 v1  B1   L    0

(9.64)

Portanto, substituindo-se as equações (9.62), (9.63) e (9.64) em (9.59) obtêm-se (9.65).

x  A1  x  B1  U  d

(9.65)

Aplicando-se a transformada de Laplace em (9.65) obtêm-se a expressão (9.66).

97

  s  x (s)  A1  x (s)  B1  U  d (s)

(9.66)

onde  é a matriz identidade. Portanto:

x (s)   s   A1   B1  U  d (s)

(9.67)

x (s)   s   A1   B1  U  d (s)

(9.68)

ou ainda, 1

Mas,  RL s L  s    A1    1    C 

   1  s Ro  C  1 L

(9.69)

Portanto:

 s   A1 

1



C  Ro  1  L  (1  C  Ro  s)   (9.70) L  Ro Ro  C  (RL  L  s)  M(s) 

Sendo, M(s) 

1 Ro  RL  L  s  C  Ro  RL  s  L  C  Ro  s2

(9.71)

98

e  v  d (s)  B  U  d (s)   L    0  

(9.72)

Com as expressões (9.70) e (9.72) obtêm-se (9.73).

 iL (s)  1  V  (1  C  Ro  s)  d (s)      M ( s ) V ( s )  C   V  Ro  d (s) 

(9.73)

Portanto:

VC (s) 

V  Ro  d (s) M(s)

(9.74)

Desse modo,

VC (s) R V  o d (s) M(s) Ro  M(s)

1   1 R  1  Ro  RL   L  C  s2  s   L     C  Ro L  L  C  Ro   

(9.75)

(9.76)

Seja Ro  RL . 99

Portanto: VC (s)  d (s)

V   1 R  1  L  C  s2  s   L    C  Ro L  L  C  

(9.77)

Sejam as seguintes definições:

o 

1 L C

 1 R   L  C  Ro L    2  o

(9.78)

(9.79)

Assim: VC (s) V  o2  2 d (s) s  2    o  s  o2

(9.80)

A função de transferência (9.80) relaciona a resposta na tensão de carga, causada por uma pequena perturbação alternada da razão cíclica em torno de um ponto de operação. Como o conversor Buck com interruptores ideais, do ponto de vista dos valores médios quase instantâneos, comporta-se linearmente, as condições iniciais não aparecem na equação final obtida. O mesmo resultado seria obtido através da análise do circuito equivalente deduzido anteriormente e reproduzido na Figura 9-7. 100

Figura 9-7. Circuito equivalente do conversor Buck.

Se VD  RS  0 , obtêm-se o circuito equivalente mostrado na Figura 9-8. Devido à própria natureza do conversor Buck, nenhum dos parâmetros do circuito equivalente simplificado depende da razão cíclica, o que não acontece com muitos outros conversores.

Figura 9-8. Circuito equivalente do conversor Buck para

VD  RS  0 .

Com o emprego da equação (9.80), pode-se definir a estrutura e os parâmetros do controlador da tensão de saída ou da carga.

101

9.7

EXERCÍCIO PROPOSTO.

O leitor é convidado a obter a função de transferência Vo (s) , para o conversor Buck representado na Figura 9-9, onde d (s) é adicionada a resistência serie equivalente do capacitor de filtragem, além das demais não idealidades já mencionadas.

Figura 9-9. Conversor Buck não ideal com a inclusão da resistência do capacitor.

O leitor deverá concluir que a resistência RC do capacitor introduzirá um zero na função de transferência F(s).

102

CAPÍTULO 10 MODELAGEM DO CONVERSOR BOOST

10.1 INTRODUÇÃO.

Neste capítulo, iremos empregar a técnica do modelo médio em espaço de estados, para obter os circuitos equivalentes, ganho estático e funções de transferência do conversor Boost, representado na Figura 10-1.

Figura 10-1. Conversor Boost.

Na Figura 10-1, RL representa a resistência do indutor L, Rs representa a resistência do interruptor S e VD representa a queda de tensão no diodo D. Vamos analisar o conversor operando em condução contínua (MCC). Durante um ciclo de operação o conversor assume dois estados topológicos, representados na Figura 10-2 para os intervalos de tempo (0, DTS) e (DTS, TS), respectivamente.

103

Figura 10-2. Estados topológicos do conversor Boost.

Durante o primeiro intervalo de tempo, representado na Figura 10-2(a), o comportamento do circuito é descrito pelas equações (10.1) e (10.2). L

diL    RL  Rs   iL  V1 dt

(10.1)

dvC V  C dt Ro

(10.2)

C

As mesmas equações, na representadas pela expressão (10.3).    RL  Rs   iL   L    VC   0  

forma

matricial,

  i  1    L    L   V1 1   VC     0  C  Ro 

são

0

(10.3)

104

O estágio topológico mostrado na Figura 10-2(b) é descrito pelas equações (10.4) e (10.5). L

diL  RL  iL  V1  VD  VC dt

(10.4)

dvC V  iL  C dt Ro

(10.5)

C

Portanto: iL  

RL V V v  iL  1 D  C L L L

(10.6)

v iL  C C C  Ro

(10.7)

vC 

com a representação matricial dada pela expressão (10.8).  RL   iL   L   1  vC    C 

1  1 L   iL         L  V1  VD  1   vC     0  C  Ro  

(10.8)

Sejam as seguintes definições:

i  x  L   vC 

(10.9)

105

i  x  L   vC     RL  Rs   L A1    0  

 RL  L A2    1  C 

Podemos topológicos:

então

(10.10)    1   C  Ro  0

(10.11)

1  L   1   C  Ro  

(10.12)

 1   0  B1  L    0 0

(10.13)

1 1   B2   L L   0 0  

(10.14)

V  U 1   VD 

(10.15)

escrever

para

os

dois

estágios

x  A1  x  B1  U

(10.16)

x  A2  x  B2  U

(10.17) 106

Multiplicando a equação (10.16) por D e (10.17) por (1 -D), obtemos as equações (10.18) e (10.19), respectivamente.

D  x  A1  D  x  B1  D  U

(10.18)

1  D   x  A2  1  D   x  B2  1  D   U

(10.19)

Adicionando-se as duas equações, obtêm-se:

x   A1  D  A2  1  D    x   B1  D  B2  1  D    U

(10.20)

Seja,

A  A1  D  A2  1  D 

(10.21)

B  B1  D  B2  1  D 

(10.22)

x  A  x  B U

(10.23)

Portanto:

A equação na forma matricial (10.23), formada por duas equações diferenciais lineares de primeira ordem, descreve o comportamento do conversor, para grandezas médias quase instantâneas.

107

10.2 CIRCUITO EQUIVALENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE.

Em regime permanente, x  0 . Portanto,

0  A  x  B U

(10.24)

Vamos inicialmente obter a matriz A.

A  A1  D  A2  1  D 

(10.25)

Portanto,  D  RL  Rs   L A  0  

  RL 1  D  0   L  D   1  D    CRo   C



1  D  

 L  1  D     CRo 

(10.26)

Assim,

 D  Rs RL   L L A  1  D   C 



1  D  

L 1  C  Ro

    

(10.27)

Em seguida vamos obter a matriz B.

B  B1  D  B2  1  D 

(10.28)

108

D B L  0

 1D 0     L 0  0



1  D   L 0

  

(10.29)

Desse modo, 1 BL  0



1  D   L 0

  

(10.30)

Substituindo as expressões (10.27) e (10.30) em (10.24), obtemos (10.31).

   D  Rs  RL  0  L   1  D 0     C 



1  D  

L 1  C  Ro

 i   L     vC   

(10.31)

1 1  D    V     1  L L      VD  0 0  Manipulando-se adequadamente a expressão (10.32), obtêm-se as expressões (10.32) e (10.33).

0

1  D   v  V1  1  D   V D  Rs  RL  iL  C D (10.32) L L L L 0

v 1D  iL  C C C  Ro

(10.33)

109

Ou ainda:

V1  1  D   VD   D  Rs  RL   iL  1  D   vC

(10.34)

0  vC  Ro  1  D   iL

(10.35)

As equações (10.34) e (10.35) representam o circuito equivalente mostrado na Figura 10-3.

Figura 10-3. Circuito equivalente do conversor Boost.

Com as expressões (10.34) e (10.35) obtêm-se a expressão (10.36), que representa o conversor boost operando em regime permanente.

V1  1  D   VD   D  Rs  RL   iL  R0  1  D   iL (10.36) 2

A equação (10.36) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 10-4. Pode-se também obter um circuito equivalente referido para o lado da carga. Vamos dividir a equação (10.36) por (1- D), resultando na equação (10.37).

110

Figura 10-4. Circuito equivalente do conversor Boost.

 D  Rs  RL   i  R  1  D  i V1  VD    L 1  D  1  D  L 0

(10.37)

ou ainda,

 DRs  RL  1  D i  R 1  D i (10.38) V1  VD   L 0 L 2  1  D  1  D  A equação (10.38) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 10-5.

Figura 10-5. Circuito equivalente do conversor Boost visto pelo lado da carga. 111

Se considerarmos o conversor ideal,

VD  RS  RL  0 Desse modo,

V1 (1  D)

(10.39)

Vo 1  V1 (1  D)

(10.40)

Vo  ou ainda,

que é a expressão clássica do ganho estático do conversor boost ideal. Vamos em seguida obter a expressão do ganho do conversor a partir da análise do circuito equivalente em regime permanente mostrado na Figura 10-5. Por inspeção, pode-se obter: Ro  V  Vo   1  VD    (1  D)   D  RS  RL   R o (1  D)2

(10.41)

Ou ainda,

 Vo  1 Ro  (1  D)2 V     D   (10.42) V1  (1  D) V1    D  RS  RL   Ro  (1  D)2  112

Na Figura 10-6 são representadas curvas do ganho do conversor boost em função da razão cíclica, tomando Ro como parâmetro. Foram adotados os seguintes parâmetros a título de exemplo: VD  1V ;

RL  1;

RS  0,5;

V1  100V .

Foram traçadas duas curvas, para Ro  100 e 𝑅0 = 50Ω, respectivamente. Verifica-se que a curva do ganho, na presença das não idealidades dos componentes do conversor, afasta-se muito da curva ideal, para D  0,5 .

Figura 10-6. Ganho estático do conversor Boost em função da razão ciclica.

113

10.3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROLE DA CORRENTE

O modelo completo, na forma de equações de estados, obtido anteriormente é: x  A x  Bu

(10.43)

Fazendo as devidas substituições, com o emprego dos resultados anteriormente obtidos, encontramos a expressão (10.44).

  D  RS  RL    iL   L   1D  vC    C   V1  (1  D)  VD  L  0 

(1  D)   L   iL    1   vC   C  Ro 



(10.44)

   

Normalmente a dinâmica da corrente no indutor é muito mais rápida que a dinâmica da tensão no capacitor. Por isso, para a obtenção da função de transferência para o controle da corrente vamos admitir que VC  Vo , portanto com valor constante. dvC Consequentemente, 0. dt Desse modo, a expressão (10.44), adquire a forma da equação (10.45).

114

L

diL    DRS  RL  iL  (1  D)Vo  V1  (1  D)VD (10.45) dt

A equação (10.45) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 10-7.

Figura 10-7. Circuito equivalente do conversor Boost para tensão constante na carga.

Vamos introduzir componentes alternadas de pequenas amplitudes d e iL em torno do ponto de operação definido por Do e IL. Desse modo: iL  IL  iL

(10.46)

D  Do  d

(10.47)

Substituindo as equações (10.46) e (10.47) em (10.45) obtemos as expressão (10.48).

115

diL dI  L L    Do  RS  RL   IL  d  RS  IL  dt dt   Do  RS  RL   iL  d  RS  iL  (1  D)  VC 

L

(10.48)

d  VC  (1  D)  VD  d  VD Mas, d  RS  iL  0

(10.49)

dIL 0 dt

(10.50)

  DoRS  RL  IL  (1  D)Vo  (1  D)VC  V1  0

(10.51)

L

e

Portanto: L

diL    Do  RS  RL   iL  Vo  VD   d  d  RS  IL (10.52) dt

Aplicando a transformada de Laplace obtemos:

 sL   DoRS  RL  iL (s)  Vo  VD  RSIL d (s)

(10.53)

Desse modo:

Vo  VD  RS  IL  iL (s)  d (s)  s  L   Do  RS  RL  

(10.54) 116

Para o caso particular de um conversor ideal, VD  RS  RL  0 . Portanto,

V iL (s)  o d (s) s L

(10.55)

que é uma expressão muito conhecida e normalmente empregada na definição da estrutura e dos parâmetros dos controladores de corrente do conversor Boost. 10.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONVERSOR PARA O CONTROLE DE TENSÃO.

Seja a Figura 10-8, na qual se encontra incluída uma malha de controle da tensão da carga do conversor Boost.

Figura 10-8. Conversor Boost com controle de tensão.

Nosso objetivo é controlar a tensão de saída v o do conversor. Necessitamos, para definir a estrutura e os parâmetros do controlador, uma função de transferência que 117

relacione a razão cíclica, que é variável de entrada, com a tensão de carga. Essa função F (s) é definida pela expressão (10.56).

vo (s)  F (s) d (s)

(10.56)

d (s)  perturbação da razão cíclica, em torno de um ponto de operação. vo  resposta da tensão de carga, na forma de pequena componente alternada em torno de um ponto de operação. Foi obtida anteriormente a equação (10.57). x   A1  D  A2  1  D    x    A1  A2   X   B1  B2   U   d

(10.57)

A  A1  D  A2  1  D 

(10.58)

x  A  x   A1  A2   X   B1  B2   U   d

(10.59)

Seja

Portanto:

Aplicando-se a transformada de Laplace obtêm-se a expressão (10.60).

sIx (s)  Ax (s)   A1  A2  X   B1  B2 U  d (s) (10.60) 118

Portanto,

x (s)   sI  A    A1  A2  X   B1  B2 U  d (s) (10.61) 1

Desse modo,

x (s) 1   s  I  A    A1  A2   X   B1  B2   U  (10.62) d (s)

onde  iL (s)  x (s)  d (s)   d (s)  vc (s)   d (s)   

(10.63)

Definindo:

F1 (s) 

iL (s) d (s)

(10.64)

F2 (s) 

vc (s) d (s)

(10.65)

Obtêm-se

x (s)  F1 (s)    d (s)  F2 (s) 

(10.66) 119

A matriz A , já obtida anteriormente, é representada a seguir, pela expressão (10.67).   D  Rs  RL   L A 1  D   C 



1  D  

L 1  C  Ro

    

(10.67)

Portanto:

 D  Rs  RL s L  s  I  A    1  D    C   Rs  L A1  A2    1   C

1  D 

  L  1  s  C  Ro 

(10.68)

1 L  0  

(10.69)

1  0   V1  B1  U   L     VD   0 0

(10.70)

1 1    V1   B2  U  L L      VD  0 0 

(10.71)

120

Portanto,  VD  B1  B2   U   L  0 

   

(10.72)

A matriz X representa os estados iniciais, e é definida pela expressão (10.73).

I  X   Lo   VCo 

(10.73)

Portando:  Rs  L  A1  A2   X    1   C

1 L    ILo     V 0   Co  

(10.74)

Ou,

 Rs  ILo VCo   L  L    A1  A2   X   ILo      C  

(10.75)

121

Desse modo:  RsILo VCo VD   L  L  L    A1  A2  X   B1  B2 U   ILo      C  

(10.76)

Substituindo as expressões (10.76) e (10.68) na expressão (10.62) , obtemos (10.77).  DR  RL s s   F1 (s)   L   1  D F ( s )   2    C 

1  D  

 L  1  s  CRo 

1

 Rs ILo VCo VD   L  L  L    ILo      C  

(10.77)

Nosso objetivo é encontrar a função F2 (s) . É necessário para isso inverter a primeira matriz e a multiplicarmos pela segunda. Para tornar menos penosa tal manipulação algébrica, vamos admitir que VD  RS  0 , ou seja, estamos considerando os interruptores ideais e concentrando todas as perdas na resistência RL do indutor. Desse modo,

 F1 (s)  1  Vo  ILoRo  DIoRo  CRoVo s  Ro    (10.78)    F2 (s)  M(s)  1  D VCo   RL  sL  Io  Onde:

M(s)  RL  (1  D)2 Ro  (L  CRoRL )s  RoCLs2

(10.79) 122

Portanto: F2 (s) 

1  D VCo   RL  sL  Io RL  (1  D)2 Ro (L  CRoRL )  s  CLs2 Ro Ro

(10.80)

que é a expressão que estávamos procurando. Em muitas aplicações pode-se ignorar o efeito da resistência do indutor e assumir que RL  0 . Sob essa hipótese, a partir da expressão (10.80) encontramos a expressão (10.81).

1  D   VCo  s  L  ILo v o (s)  d(s) C  L  s2  L  s  (1  D)2 Ro

(10.81)

Os valores iniciais VCo , D e ILo não são independentes entre si, ou seja, ILo 

VCo (1  D)  Ro

(10.82)

Substituindo a expressão (10.82) em (10.81) obtemos (10.83).

1  D   VCo 

s  L  VCo (1  D)  Ro

v o (s)  d(s) C  L  s2  L  s  (1  D)2 Ro

(10.83)

123

Portanto,

v o (s)  d(s)

s  L  VCo  (1  D) (1  D)2  Ro L C  L  s2   s  (1  D)2 Ro

1  D   VCo 

(10.84)

Dividindo todos os termos da equação (10.84) por (1  D)2 obtemos (10.85).  VCo  s L 1  2  1  D   Ro  (1  D)  v o (s)  C L L d(s)  s2  s 1 2 (1  D) Ro  (1  D)2

(10.85)

VCo V1  1  D  1  D 2

(10.86)

Mas,

Portanto:

V1 v o (s)  2 d(s) 1  D 

  sL 1  2   Ro (1  D)   CL  L 2  (1  D)2 s  R (1  D)2 s  1 o  

(10.87)

124

Seja

Leq 

L (1  D)2

(10.88)

1 C  Leq

(10.89)

R o  Leq

(10.90)

o2  

Portanto:   s L 1  2  Ro  (1  D)  V1 v o (s)    2  d(s) 1  D   s2 s   2      1 o  o 

(10.91)

Uma importante característica do conversor Boost aparece na equação (10.91), ou seja, a existência de um zero no semiplano direito, característica de sistemas de fase não mínima. De acordo com a expressão (10.91), a pulsação de ocorrência do zero mencionado é representada pela expressão (10.92).

Wz 

Ro (1  D)2 L

(10.92)

125

Portanto,

fz 

Ro (1  D)2 2   L

(10.93)

Ro 2    Leq

(10.94)

Ou ainda, fz 

onde fz representa a frequência de ocorrência do zero. Recomenda-se que o leitor, tendo a compreensão adequada do funcionamento do conversor, interprete fisicamente a origem desse zero no semiplano direito. Para situações em que RL  0 , a função de transferência em questão, tem a forma da expressão (10.95).

 s  1   Z  v o (s) G 2 s  d (s) s   2      1 o  o 

(10.95)

Onde, G

z 

V1

1  D 

2

(1  D)2  Ro  RL L

(10.96)

(10.97) 126

o 

1  D  L C



1

RL

1  D 

2

(1  D)2  Ro  RL o  (C  Ro  RL  L)

 Ro

(10.98)

(10.99)

Desse modo a equação (10.91) torna-se um caso particular da equação (10.95) quando RL  0 . Recomenda-se que o leitor deduza a expressão (10.95) a titulo de exercício. 10.5 COMENTÁRIOS ADICIONAIS SOBRE A EXISTÊNCIA DE UM ZERO NO SEMIPLANO DIREITO.

Os resultados obtidos indicam a existência de um zero no semiplano direito cuja frequência é dada pela expressão (10.100).

fz 

Ro 2    Leq

(10.100)

Esta expressão mostra que para uma resistência de carga dada, a frequência fz diminui com o aumento da indutância equivalente Leq . Então, o impacto desse zero, tanto na dinâmica, quanto na estabilidade, é maior para valores elevados de L . Sejam os seguintes parâmetros a título de exemplo.

127

V 1  100V D  0,5 Ro  50 fS  20kHz L  200mH L Leq   800mH 2 1  D  fz 

Ro  10Hz 2 Leq

Seja d  0,05 (degrau na razão cíclica). O resultado de uma simulação é mostrado na Figura 10-9. No instante t  0,3s , o degrau de razão cíclica é aplicado. Verifica-se que a corrente no indutor L começa a crescer imediatamente. A tensão de saída, porém, primeiramente decresce, antes de iniciar seu crescimento. Esse crescimento, que neste caso particular significativo, é causado pelo zero no semiplano direito, que neste exemplo ocorre na frequência de 10Hz . 10.6 EXERCÍCIO PROPOSTO.

O leitor é convidado a modelar, empregando a técnica de espaço de estados, o conversor boost representado na Figura 10-10, no qual é introduzida a resistência RC , série equivalente do capacitor. Poderá ser constatado através da analise, que RC v (s) introduz um zero na função de transferência , porem no d (s) semiplano esquerdo. Esse zero, porém, normalmente ocorre 128

com frequência alta e tem pouco efeito na estabilidade e na dinâmica do conversor, podendo quase sempre ser ignorado.

Figura 10-9. Resposta transitória de uma perturbação na razão cíclica.

Figura 10-10 Conversor Boost com a inclusão da resistência do capacitor.

129

CAPÍTULO 11 MODELAGEM DO CONVERSOR BUCK – BOOST

11.1 INTRODUÇÃO.

Neste capitulo, iremos empregar a técnica do modelo médio em espaço de estados, para modelar o conversor CC-CC não isolado, abaixador-elevador, conhecido como conversor buck-boost Seu circuito ideal, portanto sem nenhuma perda, encontra-se representado na Figura 11-1.

Figura 11-1. Conversor buck-boost ideal.

O mesmo circuito com a inclusão de algumas não idealidades encontra-se representado na Figura 11-2. 130

Figura 11-2. Conversor buck-boost com não idealidades.

Os dois estados topológicos para os intervalos de tempo (0, DTS ) e (DTS , TS ) , para a operação em condução continua, encontram-se representados na Figura 11-3.

Figura 11-3. Estágios topológicos do conversor Buck-boost operando em condução continua.

131

11.2 OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES GENÉRICAS.

Durante o intervalo de tempo (0, DTS ) o conversor é descrito pelas expressões (11.1) e (11.2). L

diL  (Rs  RL )  iL  V1 dt

(11.1)

dvC V  C dt Ro

(11.2)

C

Durante o intervalo de tempo (DTS , TS ) , o comportamento do circuito é representado pelas expressões (11.3) e (11.4). L

diL  Rs  iL  VC  VD dt

(11.3)

dvC V  iL  C dt Ro

(11.4)

C

Vamos reescrever os dois sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem representando-os na forma matricial, de acordo com as expressões (11.5) e (11.6).  (Rs  RL )  0    iL   i  V  L  L    1    1   VC   0   vC   0   C  Ro  

(11.5)

132

 RL  iL   L   1  vC    C 

1  L   iL   VD    1   VC   0   C  Ro 

(11.6)

Podemos representar estas equações diferenciais da forma compacta, de acordo com as equações (11.7) e (11.8).

x  A1  x  B1  u

(11.7)

x  A2  x  B2  u

(11.8)

 (Rs  RL )  0   L  A1   1   0   C  Ro  

(11.9)

onde

 RL  L A2    1  C 

1  L   1   C  Ro 

(11.10)

 1 0   V1  B1  u      0 0   VD 

(11.11)

 0 1   V1  B2  u     0 0    VD 

(11.12)

133

i  x  L   vC 

(11.13)

i  x  L   vC 

(11.14)

Seja a expressão (11.15), geral, já definida em capítulos anteriores.

x   A1D  A2 1  D  x  B1D  B2 1  D  u

(11.15)

ou ainda x  A x  Bu

(11.16)

A  A1  D  A2  1  D 

(11.17)

B  B1  D  B2  1  D 

(11.18)

onde

Com o emprego da equação (11.17) obtemos a equação (11.19).  (D  Rs  RL ) (1  D)   L L   A 1   (1  D)   C C  Ro  

(11.19)

134

Com o emprego da equação (11.18) obtemos a equação (11.20).

 D (1  D)  B  0  0

(11.20)

Portanto,

 (D  Rs  RL ) (1  D)   iL   L L   iL        (1  D) 1   VC   vC     C C  Ro  

(11.21)

 D (1  D)   V1     0   VD  0 11.3 ANALISE EM REGIME PERMANENTE.

Em regime permanente, iL  vc  0 . Portanto, a partir da expressão (11.21) obtêm-se:

0  (D  Rs  RL )  iL  VC  1  D   V1  D  VD  1  D  0  1  D   iL 

VC Ro

(11.22)

(11.23)

Rearranjando-se as equações (11.22) e (11.23) obtêm-se: 135

V1  D  VD  1  D   (D  Rs  RL )  iL  VC  1  D  (11.24) VC  Ro  1  D   iL

(11.25)

As equações (11.24) e (11.25) representam o circuito equivalente mostrado na Figura 11-4.

Figura 11-4. Circuito equivalente para o conversor buck-boost em regime permanente.

Manipulando-se adequadamente as expressões (11.24) e (11.25) obtêm-se a equação (11.26).

V1D  VD 1  D   (DRs  RL )iL  Ro 1  D  iL 2

(11.26)

Portanto: 2 V1  D  VD  1  D   D  Rs  RL  Ro  1  D    iL (11.27)  

A equação (11.27) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 11-5.

136

Figura 11-5. Circuito equivalente do conversor Buck-boost em regime permanente.

A partir da Figura 11-5 obtêm-se: IL 

D  V1  1  D   VD

D  Rs  RL  Ro  1  D 

2

Io  1  D   IL Io 

(11.28)

(11.29)

1  D   D  V1  1  D   VD  2 D  Rs  RL  Ro  1  D 

(11.30)

Como

Vo  Ro  Io

(11.31)

obtêm-se

Vo 

Ro  1  D   D  V1  1  D   VD  D  Rs  RL  Ro  1  D 

2

(11.32)

137

Portanto:

Vo Ro  1  D   D  1  D   VD   2 V1 D  Rs  RL  Ro  1  D 

(11.33)

onde

VD 

VD V1

(11.34)

Para o conversor ideal RS  RL  VD  0 . Portanto:

Vo D  V1 1  D 

(11.35)

que é a expressão mais difundida para o cálculo do ganho do conversor, válida para o conversor ideal ou sem perdas. O circuito mostrado na Figura 11-5 é referido para o lado da fonte de entrada. É possível, e muitas vezes conveniente, referi-lo circuito para o lado da carga. Vamos retomar a expressão (11.27), reescrita a seguir. 2 V1  D  VD  1  D   D  Rs  RL  Ro  1  D    IL (11.36)  

Com o rearranjo adequado obtemos:  DR  V1D RL s  VD     R o  IL 1  D  2 2 1  D   1  D  1  D  

(11.37) 138

A equação (11.37) representa o circuito mostrado na Figura 11-6.

Figura 11-6. Circuito equivalente do conversor buck-boost em regime permante.

O

circuito VD  RS  RL  0 ,

equivalente

obtido

Vo D  V1 1  D 

evidencia

que

se

(11.38)

Em um conversor ideal, o ganho depende apenas da razão cíclica. Em um conversor real, ele depende da razão cíclica e da resistência de carga. A título de exemplo, na Figura 11-7, são representadas curvas de ganho em função de D, para diferentes valores de resistência de carga. Foram empregados os seguintes paramentos: VD  1V ;

V1  100V

RS  0,5; RL  1

Para o traçado das curvas foi empregada a equação (11.33). 139

Figura 11-7. Ganho estático do conversor buck-boost em função de D.

11.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE.

Vamos admitir que a dinâmica da corrente no indutor L seja muito mais rápida que a dinâmica da tensão de saída, ou do capacitor de filtragem associado em paralelo com a resistência de carga. Podemos então admitir que a tensão VC seja constante, para a obtenção da função de transferência que relaciona a corrente no indutor com a razão cíclica. dVC  0 . Seja VC  Vo . Então, a partir da dt equação (11.21) obtemos:

Portanto,

diL  (DRs  RL )iL  1  D Vo  dt V1D  VD 1  D 

L

(11.39)

140

Portanto: diL  (DRs  RL )iL  1  D Vo  V1D  VD 1  D  (11.40) dt

L

Seja,

d Dd

(11.41)

iL  IL  iL

(11.42)

Substituindo as expressões (11.41) e (11.42) em (11.40) obtemos: dIL di  L  L   D  d   Rs  RL   IL  iL   dt dt  1  D  d   Vo   D  d   V1  1  D  d   VD

L

(11.43)

Assim, dIL di  L  L   D  Rs  RL   IL   D  Rs  RL   iL  dt dt (11.44) d  Rs  IL  d  Rs  iL  1  D   Vo  d  Vo 

L

D  V1  d  V1  1  D   VD  d  VD

Seja d  Rs  iL  0 . Portanto:

L

diL   DRs  RL  iL  dRsIL  dVo  V1  VD  d dt

(11.45) 141

Aplicando a transformada de Laplace obtemos:

sLiL (s)   DRs  RL  iL (s)  Vo  V1  VD  RsIL  d(s) (11.46) Então,

 sL  DRs  RL  iL (s)  Vo  V1  VD  RsIL d(s)

(11.47)

Ou ainda, iL (s) Vo  V1  VD  Rs  IL   d(s)  s  L  D  Rs  RL 

(11.48)

Para o conversor ideal, onde RS  RL  VD  0 , a partir da equação (11.48) obtêm-se:

iS  D  iL  d  IL

(11.49)

Portanto:

iL 

iS d   IL D D

diL 1 diS IL dd    dt D dt D dt

(11.50)

(11.51)

A partir da equação (11.45), para RS  RL  VD  0 obtemos a expressão (11.52). 142

diL  V1  VD   d dt  L 

(11.52)

1 diS IL dd  V1  VD     d D dt D dt  L 

(11.53)

iS (s)  V1  Vo    d(s)  s  L 

(11.54)

Desse modo,

Em muitas aplicações, como em retificadores com correção ativa do fator de potência, deseja-se controlar a corrente de entrada, como mostra Figura 11-8.

Figura 11-8. Controle da corrente de entrada do conversor buck-boost.

Sabemos que

iS  D  iL

(11.55) 143

Portanto,

IS  iS   D  d    IL  iL 

(11.56)

diS  V1  Vo  dd  D d  dt  L  dt

(11.57)

Aplicando-se a transformada de Laplace, obtêm-se:  V V  s.iS (s)   1 o   D  d(s)  s  IL  d(s)  L 

(11.58)

iS (s) D  V1  Vo   s  L  IL  d(s) s L

(11.59)

D  V1  Vo   Vo

(11.60)

iS (s) Vo  s  L  IL  d(s) s L

(11.61)

Assim:

Mas

Desse modo,

144

Observa-se nesta função de transferência a existência de um zero no semiplano esquerdo, cuja frequência de ocorrência depende do valor da corrente IL no indutor. Recomenda-se ao leitor a obtenção da função de i (s) transferência S com a inclusão dos parâmetros RS, RL e VD, a d (s) título de exercício. 11.5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA TENSÃO DE SAÍDA.

Nosso objetivo é obter a função de transferência

F (s) 

vo (s) d (s)

(11.62)

Onde:

d (s)  Pequena perturbação da razão cíclica, em torno de um ponto de operação, e vo  Resposta na tensão de carga. Seja a equação (11.63) obtida anteriormente.

x  A x    A1  A2   X   B1  B2   U   d

(11.63)

onde

A  A1  D  A2  1  D 

(11.64) 145

Aplicando-se a transformada de Laplace na expressão (11.63) obtemos

x (s)   sI  A   A1  A2  X   B1  B2 U  d (s) (11.65) 1

sendo   D  Rs  RL   L A 1D   C 



1  D  

L 1  C  Ro

    

(11.66)

Portanto,

 D  Rs  RL s L  s  I  A    1  D    C   Rs  L  A1  A2   X    1   C

1  D 

  L  1  s  C  Ro  1 L    ILo     V 0   Co  

1 1 V    B1  B2   U   L L    1   VD  0 0

(11.67)

(11.68)

(11.69)

146

Portanto, VCo  Rs    L ILo  L  V1  VD    A1  A2  X   B1  B2 U   ILo      C  

(11.70)

Para reduzir o tamanho das equações, vamos admitir que VD  RS  0 e RL  0 . Invertendo-se a matriz

 s  I  A

e fazendo-se a

substituição na equação (11.64) obtêm-se (11.71).

Vo  V1   (1  D)   RL  s  L   Io v o (s) (11.71)  d(s) C  L  s2  (L  C  Ro  RL )  s  RL  (1  D)2 Ro Ro Para o caso particular em que RL  0 , obtêm-se. v o (s) Vo  V1   (1  D)  s  L  Io  d(s) C  L  s2  L  s  (1  D)2 Ro

(11.72)

2 Dividindo-se o numerador e o denominador por (1  D) encontra - se:

Vo  V1  

s  L  Io v o (s) (1  D) (1  D)2  2 Ls d(s) C  L  s  1 2 (1  D) Ro  (1  D)2

(11.73)

147

Seja N(s) o numerador da equação (11.73). Portanto:

N(s) 

Vo  V1   (1  D)

s  L  Io (1  D)2

(11.74)

Mas,

Vo  V1  1D

D  V1 1D 1  D 

V1 

(11.75)

Vo  V1 V1  1  D 1  D 2

(11.76)

s  L  Io  (1  D)   V V   N(s)   o 1    1  2   1  D   Vo  V1   (1  D) 

(11.77)

Como

Obtemos:

N(s) 

  s  L  Io   1   1  D   Vo  V1   (1  D)  V1

2

(11.78)

Sabemos que Io 

Vo Ro

(11.79)

148

Portanto,

s  L  Io Vo s L   Vo  V1   (1  D) Ro Vo  V1   (1  D)

(11.80)

1D  V1     Vo  D 

(11.81)

s  L  Io s LD  Vo  V1   (1  D) Ro  (1  D)2

(11.82)

Mas,

Desse modo,

Portanto:

N(s) 

 s LD   1   1  D   Ro  (1  D)2  V1

2

(11.83)

Substituindo (11.83) em (11.73), obtemos (11.84).  s LD  1   Ro  (1  D)2  V1 v o (s)  (11.84)   2  d(s) 1  D   C  L Ls 2  (1  D)2  s  R  (1  D)  1 o  

149

Seja

1  D   

2

2 o

(11.85)

C L

Ro  1  D   o  Q L

(11.86)

R  1  D  Z  o LD

(11.87)

2

Pode-se então escrever:

 s  1   z  V1 v o (s)   2 2  d(s) 1  D   s s   2    Q  1 o  o 

(11.88)

A exemplo do que já encontramos no conversor boost, também neste caso temos um zero no semiplano direito, cuja frequência de ocorrência é dada pela expressão (11.89).

z 2

(11.89)

Ro (1  D)2 2   L  D

(11.90)

fz 

Assim:

fz 

150

Seja Go 

V1

(11.91)

1  D 

2

Portanto

 s  1   Z  v o (s)  Go  2  s  d(s) s   2      1 o  o 

(11.92)

que é a função de transferência que necessitamos para o controle da tensão na saída ou na carga do conversor boost. O leitor é convidado a demonstrar que para RL  0 : (1  D)2  Ro   2  D  1 RL z  D L  RL  2  1  D   R  o o2   L C



Go 

(11.93)

2

(11.94)

(1  D)2  Ro  RL o  (C  Ro  RL  L)

(11.95)

V1  (1  D)2  Ro  2  D  1  RL   Ro (1  D)2  Ro  RL 

2

(11.96) 151

CAPÍTULO 12 CIRCUITO EQUIVALENTE DO CONVERSOR CC-CC BIDIRECIONAL EM REGIME PERMANENTE

12.1 INTRODUÇÃO.

Neste capítulo, empregando o modelo médio em espaço de estados, vamos encontrar o circuito equivalente para o conversor CC-CC bidirecional operando em regime permanente. O conversor ideal é mostrado na Figura 12-1(a).

Figura 12-1. Conversor CC-CC bidirecional ideal. 152

Os sinais de comando dos interruptores encontram-se representados na Figura 12-1(b). O mesmo circuito, com a inclusão das resistências responsáveis pelas perdas de condução, encontra-se representado na Figura 12-2.

Figura 12-2. Conversor CC-CC bidirecional com a inclusão das resistências responsáveis pelas perdas de condução.

R1  Resistência interna da fonte V1 RL  Resistência do indutor L mais resistência interna da fonte V2 RS  Resistência dos semicondutores

Vamos considerar o conversor operando em regime permanente. Para iL  0 , a potência é transferida da fonte V1 para a fonte V2 e vice-versa. O valor da tensão V2 é sempre menor, ou no limite teórico igual, a V1 . Para valores constantes de V1 e V2 , é a razão cíclica D quem define o valor e o sentido da corrente iL , portanto também da potência P.

153

12.2 OBTENÇÃO DO CIRCUITO EQUIVALENTE.

Nosso objetivo é encontrar um circuito equivalente do conversor, para operação em regime permanente, que nos permita obter o valor médio da corrente iL em função da razão cíclica D. Os dois estados topológicos, para os intervalos de tempo (0, DT ) e (DT , T ) encontram-se representados na Figura 12-3 (a) e (b), respectivamente.

Figura 12-3. Estágios topológicos para o conversor CC-CC bidirecional.

Esses estágios topológicos são representados pelas equações (12.1) e (12.2) respectivamente.

154

L

diL  (R1  RS  RL )  iL  V1  V2 dt

(12.1)

diL  (RS  RL )  iL  V1  V2 dt

(12.2)

L

Multiplicando-se a equação (12.1) por D e a equação (12.2) por (1-D), obtêm-se as equações (12.3) e (12.4) respectivamente. D L

diL  D  (R1  RS  RL )  iL  D  V1  D  V2 dt

(12.3)

diL   1  D  (RS  RL )iL  dt  1  D V1  1  D V2

(12.4)

1  D  L

Como o circuito opera em regime permanente, diL 0 dt

(12.5)

0  D(R1  RS  RL )iL  DV1  DV2

(12.6)

0   1  D  (RS  RL )iL  1  D V1  1  D V2

(12.7)

L

Portanto:

Somando-se a equação (12.5) com a equação (12.6), obtêm-se a equação (12.8). 155

0  (D  R1  RS  RL )  iL  D  V1  D.V2

(12.8)

A equação (12.8) representa o circuito equivalente representado na Figura 12-4.

Figura 12-4. Circuito equivalente para o conversor CC-CC bidirecional em regime permanente.

Portanto: IL 

D  V1  V2 D  R1  RS  RL

(12.9)

O símbolo IL representa o valor médio da corrente na fonte V2 . Para IL  0 , obtemos: Do 

V2 V1

Portanto, para D  Do , IL  0 e 𝑃 > 0.

(12.10)

Para D  Do ,

IL  0 e 𝑃 < 0. 156

A curva típica que representa a corrente média IL em função de D é mostrada na Figura 12-5, para tensões 𝑉1 e 𝑉2 constantes. Multiplicando-se a corrente IL pela tensão 𝑉2 , podese, com a mesma curva escalonada, representar a potência transferida da fonte 𝑉1 para a fonte 𝑉2 ou vice-versa.

Figura 12-5. Valor médio da corrente na fonte V2 em função da razão cíclica D, para o conversor CC-CC bidirecional.

157

CAPÍTULO 13 MODELAGEM DO CONVERSOR BIDIRECIONAL ZETA-SEPIC

13.1 INTRODUÇÃO.

Seja o conversor representado na Figura 13-1.

Figura 13-1. Conversor bidirecional Zeta-Sepic.

Trata-se do conversor Zeta-Sepic bidirecional, interligando duas fontes de tensão V1 e V2 . O sentido da corrente iL1 , define o sentido do fluxo de potência. Para iL1  0 , a potência P é transferida da fonte V1 para a fonte V2 e vice-versa. A tensão da fonte V2 pode ser menor, igual ou superior à tensão da fonte V1 . Além disso, L2 pode ser substituído por um transformador, o que proporciona isolamento entre as duas fontes. 158

O sentido e o valor da potência trocada entre as duas fontes são controlados pela razão cíclica. Desejamos encontrar um circuito equivalente que nos permita obter uma relação entre o valor médio da corrente iL1 e a razão cíclica. Vamos substituir o circuito representado na Figura 13-1 pelo circuito mostrado na Figura 13-2. S representa um interruptor bidirecional ideal. R representa a resistência de cada um dos indutores. Vamos admitir, para simplificar a análise, que os dois indutores sejam idênticos. As fontes V1 e V2 , e o capacitor C são considerados ideais. Os sinais de comando estão representados na Figura 13-3.

Figura 13-2. Conversor Zeta-Sepic bidirecional com a inclusão das perdas de condução.

Figura 13-3. Sinais de comando dos interruptores do conversor bidirecional Zeta-Sepic. 159

13.2 EQUAÇÕES GENÉRICAS.

Os dois estágios topológicos que ocorrem durante um período de operação encontram-se representados na Figura 13-4.

Figura 13-4. Estágios topológicos do conversor Zeta-Sepic bidirecional: (a) invervalo (0,DT) e (b) invervalo (DT,T).

As variáveis de estado de nosso sistema são as correntes nos indutores i1 e i2 , e a tensão no capacitor VC . O estado topológico para o intervalo de tempo (0, DTS) é descrito pelas equações (13.1), (13.2) e (13.3). L1

di1  R  i1  V1 dt

(13.1)

dvC  i2 dt

(13.2)

di2  R  i2  VC dt

(13.3)

C

L2

160

O estado topológico complementar, para o intervalo (DTS, TS), é descrito pelas equações (13.4), (13.5) e (13.6). L1

di1  R  i1  VC  V1  V2 dt

(13.4)

dvC  i1 dt

(13.5)

di2  R  i2  V2 dt

(13.6)

C

L2

Vamos multiplicar as equações (13.1), (13.2) e (13.3) por D e as equações (13.4), (13.5) e (13.6) por (1  D) . Obtemos então: D  L1

di1  D  R  i1  D  V1 dt

(13.7)

dvC  D  i2 dt

(13.8)

di2  D  R  i2  D  VC dt

(13.9)

D C D  L2

e di1   1  D  Ri1  1  D VC  dt  1  D V1  1  D V2

1  D  L1

(13.10)

161

dvC  1  D   i1 dt

(13.11)

di2   1  D   R  i2  1  D   V2 dt

(13.12)

1  D   C 1  D   L2

13.3 CIRCUITO EQUIVALENTE PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE.

Em regime permanente VL2  VL2  IC  0 . di1 di2 dvC    0 . Desse modo podemos escrever: dt dt dt

Portanto

0  D  R  i1  D  V1

(13.13)

0  D  i2

(13.14)

0  D  R  i2  D  VC

(13.15)

0   1  D  Ri1  1  D VC  1  D V1  1  D V2

(13.16)

0  1  D   i1

(13.17)

0   1  D   R  i2  1  D   V2

(13.18)

e,

Somando (13.13) com (13.16), (13.14) com (13.17) e (13.15) com (13.18) obtemos:

162

V1  R  I1  1  D   VC  1  D   V2

(13.19)

0  D  I2  1  D   I1

(13.20)

D  VC  1  D   V2  R  I2

(13.21)

onde I1 , I2 e VC , são valores médios. A partir da equação (13.20) obtemos:

I2 

1  D   I D

(13.22)

1

Substituindo (13.22) em (13.21) obtemos:

D  VC  1  D   V2  R 

1  D   I D

1

(13.23)

Com as expressões (13.19) e (13.23), após manipulações algébricas apropriadas, obtemos: V1 V  1  D  1   2  I1  R  2    1  D  D  D  1  D 

(13.24)

Multiplicando todos os termos da equação (13.24) por (1  D) obtemos:

 1  D  2  1D  V1 V2     I1  R    1  D   D  

(13.25) 163

A equação (13.25) representa o circuito equivalente mostrado na Figura 13-5,

Figura 13-5. Circuito equivalente do conversor Zeta-Sepic bidirecional em regime permanente.

onde

 1  D 2  Re q  R    1  D  

(13.26)

Para o caso particular em que D  0,5 obtêm-se:

Re q  2  R

(13.27)

A partir da expressão (13.25) obtemos:

1D  V1 V2    D   I1    1  D 2  R    1  D  

(13.28)

164

A equação (13.28) mostra que para valores dados de V1 ,

V2 e R , pode-se controlar o valor e o sentido da corrente I1 , agindo sobre a razão cíclica D. Portando o valor da razão cíclica determina o valor e o sinal da potência processada. Seja o seguinte exemplo numérico: V1  V2  100V R  1

A curva mostrada na Figura 13-6 representa o valor da corrente média I1 , na fonte V1 , em função da razão cíclica D . Pode-se verificar que para D maior que 0,5, a potência é positiva, portanto fluindo da fonte V1 para a fonte V2 . Além disso, verifica-se que nesse caso, há uma relação linear entre a razão cíclica D e a potência processada. Por outro lado, para D menor que 0,5, a potência tornase negativa e flui de V2 para V1 . Observa-se, porém, que nessa região, a relação entre a razão cíclica e a potência processada não é linear. Além disso, há uma razão cíclica onde ocorre um valor máximo para a potência processada. Portanto, esse é o valor mínimo possível para a razão cíclica.

Figura 13-6. Valor médio de

I1 em função da razão cíclica D . 165

13.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE DO CONVERSOR ZETA-SEPIC BIDIRECIONAL.

Nosso objetivo é encontrar a função de transferência (13.29) que relaciona componentes alternadas de pequenas amplitudes. F (s) 

i1 (s) d(s)

(13.29)

A partir da equação obtida no inicio deste capitulo, podemos escrever para o intervalo (0, DTS):

 R   i1   L     i2    0 v    C  0 

0 R L 1  C 

 0  V1  i   1 L 1      i2   0  C      0   vC    0    

(13.30)

Para o intervalo (DTS,TS) podemos escrever:

 R   i1   L     i2    0 v    C  1  C

0 

R L

0

1   C  i  V  V   1 1 2      0   i2    V2     vC   0  0  

(13.31)

166

Podemos ainda escrever, para os dois intervalos de tempo em questão:

X  A1  X  B1  U

(13.32)

X  A2  X  B2  U

(13.33)

Onde:

 R  L  A1   0    0   R  L  A2   0   1   C

0 R L 1  C 

0 

R L

0

 0  1 C  0  

(13.34)

1   C  0    0  

(13.35)

1   L 0 0   B1   0 0 0   0 0 0    

(13.36)

167

1 1   L  L 0   1  B2  0  0   L  0 0 0    

(13.37)

A  A1  D  A2  D

(13.38)

Seja:

Portanto:  R   L   A 0   1  D    L

0 R L D  C 



1  D   L D L 0

       

(13.39)

Seja

B  B1  D  B2  1  D 

(13.40)

168

Assim:

 1 1  D  0     L  L  1  D    B 0  0 L   0 0  0    

(13.41)

Já conhecemos a equação na forma matricial, escrita a seguir:

x  A  x   A1  A2   X   B1  B2   U   d

(13.42)

Onde: d  Perturbação na razão ciclica X  Vetor de estado inicial x  Re sposta do vetor deestadoem torno do estado inicial

Desse modo:  I10    X   I20  V   Co 

(13.43)

Vamos obter A1  A2 e B1  B2 , como segue.

169

  0  A1  A2   0   1    C

0 0 

1 C

1 L  1 L  0  

(13.44)

1   0 L 0   1  B1  B2  0 0   L 0 0 0    

(13.45)

 VCo V2     L   L V V  A1  A2   X   B1  B2   U   Co  2  L L      I10  I20     C    

(13.46)

Portanto:

Aplicando a transformada de Laplace na equação (13.42) obtemos a equação (13.47).

x(s)   sI  A   A1  A2  X   B1  B2 U  d(s) (13.47) 1

170

Mas,  R  s L   s  I  A    0   1  D    L

1  D  

0 s

L D L

R L

D C

s

       

(13.48)

Portanto:  R  s L  i1 (s)      0  i2 (s)     v (s)    C    1  D   L 

0 R s L D C

1  D  

1

 VCo V2   L  L  VCo V2  L  L    IL10  IL20   C  

        

(13.49)

 VCo  V2   L L   D   VCo  V2   L   L     IL10  IL20 s    C   

        

(13.50)

L D L s

       

Assim:  i1 (s)      s  d (s)    i2 (s)   0    d (s)    vC (s)    1  D     L  d (s)  

0 s D C

1  D  

1

Como o conversor é bidirecional, vamos assumir que:

IL10  IL20  0

(13.51) 171

Por outro lado, em regime permanente,

VCo  V1

(13.52)

e

V2 

D V 1  D  1

(13.53)

V1 1D

(13.54)

Desse modo: VCo  V2 

Substituindo-se (13.51) e (13.54) em (13.50) obtêm-se (13.55).

 i1 (s)   V1    1D   d (s)     i2 (s)  1  V1      s  I  A   d ( s ) 1D     0   vC (s)        d ( s )  

(13.55)

Realizando-se as operações matemáticas indicadas, obtém-se a função de transferência representada pela expressão (13.56), válida para perturbações de pequena amplitude, em torno de um ponto de operação. 172

CLs2  CRs  D  i1 (s)  V1    d(s)  1  D   R  sL  CLs2  CRs  1  2D(1  D)

(13.56)

Lembramos que para obter a expressão (13.56), nós admitimos as seguintes hipóteses simplificativas: a) RL  RL1  RL2 b) L  L1  L2 c) IL10  IL20  0

Para 0,4  D  0,7, pode-se admitir que

D  1  2D(1  D)

(13.57)

i1 (s)  V1  1   d(s)  1  D   R  sL 

(13.58)

Portanto:

que é a equação de um sistema linear de primeira ordem. A representação em diagramas de blocos é mostrada na Figura 13-7.

Figura 13-7. Representação por diagrama de blocos da planta de corrente do conversor Zeta-Sepic bidirecional.

173

A equação (13.58) também representa o circuito representado pela Figura 13-8.

Figura 13-8. Circuito equivalente resultante para o conversor Zeta-Sepic bidirecional.

A função de transferência obtida nos permite determinar a estrutura e os parâmetros do controlador de corrente para o conversor Zeta-Sepic interligando duas fontes de tensão contínua ou dois barramentos de tensão contínua. O leitor é convidado, a título de exercício, a obter a função de transferência para o controle da corrente, para o caso em que as resistências dos indutores não sejam iguais.

174

CAPÍTULO 14 MODELAGEM DO CONVERSOR BOOST EM CONDUÇÃO DESCONTÍNUA

14.1 INTRODUÇÃO.

O conversor Boost, a exemplo de outros conversores CCCC, pode operar tanto em condução continua (MCC) quanto em condução descontínua (MCD). Quem determina a escolha do modo de operação é a aplicação do conversor. No Capítulo 11, apresentamos a modelagem do conversor Boost operando em condução contínua. Neste capitulo iremos aplicar a técnica do modelo médio em espaço de estados, para esse conversor operando em condução descontínua. Seja o conversor Boost operando em condução descontínua, representado na Figura 14-1. Na Figura 14-2 são mostradas a corrente e a tensão no indutor.

Figura 14-1. Conversor Boost operando em condução descontinua.

175

Figura 14-2. Formas de onda para o conversor Boost operando em condução descontinua.

Observamos a existência de três estados topológicos, ao invés dos dois que ocorrem em condução contínua. A duração do primeiro estado topológico, igual a d1T , é imposta pelo sinal de controle, que define o valor de d1 . A duração dos demais estados topológicos depende de diversos parâmetros do circuito e de seu ponto de operação. Por isso, para este modo de operação, a abordagem empregada para modelar os conversores operando em condução contínua deve ser devidamente adaptada. 14.2 EQUACIONAMENTO DO CONVERSOR BOOST OPERANDO EM CONDUÇÃO DESCONTÍNUA.

Os três estágios topológicos para condução descontínua encontram-se representados na Figura 14-3.

176

Figura 14-3. Estágios topológicos para o conversor boost operando em condução desconínua.

Os três estágios topológicos são descritos pelos sistemas de equações apresentados a seguir. a) Intervalo  0, d1T  . diL  V1 dt

(14.1)

dvC v  C dt R

(14.2)

L

C

b) Intervalo d1T ,  d1  d2 T 

177

L

diL  V1  VC dt

(14.3)

C

dvC v  iL  C dt R

(14.4)

c) Intervalo  d1  d2 T , T  diL 0 dt

(14.5)

dvC v  C dt R

(14.6)

L

C

Vamos multiplicar as equações de cada intervalo pela sua duração relativa, o que resulta nas equações seguintes. a) Intervalo (0, d1T) diL  d1  V1 dt

(14.7)

dvC d v  1 C dt R

(14.8)

d1  L

d1  C

b) Intervalo (d1T, (d1+ d2)T) d2  L

diL  d2  V1  d2  VC dt

(14.9)

d2  C

dvC d v  d2  iL  2 C dt R

(14.10) 178

c) Intervalo ((d1+ d2)T, T) diL 0 dt

(14.11)

1  d1  d2   vC dvC  dt R

(14.12)

1  d1  d2  

1  d1  d2   C

Somando as equações (14.7), (14.9) e (14.11) obtemos a equação (14.13). diL di di  d2  L L  1  d1  d2   L L  dt dt dt  d1  V1  d2  VC  d2  V1

d1  L

(14.13)

Portanto: L

diL  d2  VC   d1  d2   V1 dt

(14.14)

onde iL e VC são valores médios quase instantâneos. Somando-se as equações (14.8), (14.10) e (14.12) obtemos a equação (14.15). dVC dV dV  d2  C C  1  d1  d2   C C  dt dt dt V V V  d1  C  d2  iL  d2  C  1  d1  d2   C R R R

d1  C

(14.15)

179

Como consequência obtém-se: C

dVC V  d2  iL  C dt R

(14.16)

Portanto as equações de estado para o conversor Boost operando em condução descontínua, em termos de grandezas médias quase instantâneas, são representadas pelas equações (14.17) e (14.18). L

diL  d2  VC   d1  d2   V1 dt

(14.17)

dVC V  d2  iL  C dt R

(14.18)

C

Observamos a presença da variável d2 nas equações, além da variável d1 . Vamos em seguida expressar d2 em função de iL e d1 para eliminá-las das equações. Lembremos que o produto d2  iL , representa o valor médio quase instantâneo da corrente no diodo D . O valor médio da corrente no indutor é definido pela equação (14.19).

iL 

iP   d1  d2  2

(14.19)

Portanto, o valor médio da corrente no diodo é definido pela equação (14.20).

180

iD  iL 

d2 d1  d2

(14.20)

A corrente média quase instantânea no capacitor é definida pela expressão (14.21). iC  iD 

VC R

(14.21)

Portanto: dVC V  iD  C dt R

(14.22)

dVC V d  iL  2  C dt d1  d2 R

(14.23)

C

Ou ainda,

C

A corrente de pico iP é definida pela equação (14.24). iP 

V1  d1  T L

(14.24)

Portanto, substituindo (14.23) em (14.19) obtemos:

d1  d2 

2  iL iP

(14.25)

181

e

d2 

2  L  iL  d1 V1  d1  T

(14.26)

Substituindo a expressão (14.26) em (14.17) obtemos:

L

diL 2  L  iL  VC     1    d1  VC dt V1  d1  T  V1 

(14.27)

Substituindo a equação (14.26) em (14.18) obtemos:

C

dVC d 2  T  V1 VC  iL  1  dt 2L R

(14.28)

A partir das equações (14.27) e (14.28) podemos escrever as equações (14.29) e (14.30) na forma de equações de estado.

diL 2  iL  VC   1  dt d1  T  V1

 d1  VC  L 

dVC iL d12  T  V1 VC    dt C 2  L  C R  C

(14.29)

(14.30)

As expressões (14.29) e (14.30) são o modelo do conversor Boost operando em condução descontínua, onde as variáveis, que no caso são os estados do sistema, são representadas por seus valores médios quase instantâneos.

182

14.3 ANÁLISE EM REGIME PERMANENTE.

diL dVC   0 . Portanto, a partir dt dt das equações gerais (14.17) e (14.18) obtemos as equações (14.31) e (14.32).

Em regime permanente,

0

2  IL  f  VC    1    D  VC D  V1 

0  IL 

D2  V1 VC  2L f R

(14.31)

(14.32)

Foram feitas as seguintes substituições: d1  D iL  IL vC  VC

Nosso objetivo principal é a obtenção de uma expressão para o ganho estático, definido pela equação (14.33).

G

VC V1

(14.33)

Para isso, deve-se resolver o sistema de equações algébricas (14.31) e (14.32). A partir de (14.31) obtemos: 0  2  L  f  IL  D2  V1 

2  LL  f  VC R

(14.34) 183

Portanto: 2  L  f  IL  D2  V1 

2  LL  f  VC R

(14.35)

A partir da equação (14.31) obtemos:

 V  0  2  L  f  IL   1  C   D2  VC  V1 

(14.36)

Substituindo a equação (14.35) em (14.36) obtemos: 2

 VC  2  LL  f  VC  2  LL  f    D2  0    R R  V1   V1  Com G 

(14.37)

VC , obtemos: V1 G2

2  LL  f 2L  f  G L  D2  0 R R

(14.38)

Desse modo, G2  G 

R  D2  0 2  LL  f

(14.39)

Resolvendo a equação (14.39) encontramos a expressão do ganho G , dado pela expressão (14.40). 184

1 1 2  D2  R G  1 2 2 L f

(14.40)

Fazendo a manipulação algébrica adequada encontramos a expressão para a corrente IL , dada pela expressão (14.41).

IL 

D  V1  G 2  L  f  G  1

(14.41)

14.4 MODELO DE PLANTA PARA CONTROLE DA CORRENTE NO INDUTOR.

Seja a Figura 14-4.

Figura 14-4. Controle da corrente no indutor do conversor boost.

O conversor boost opera em condução descontinua e tem como carga uma fonte de tensão VO no lugar do par RC . Para a escolha da estrutura e dos parâmetros do controlador, é necessário obter a função de transferência (14.42) que relaciona a corrente no indutor L com a razão cíclica, para componentes alternadas de pequena amplitude. 185

F (S ) 

iL (s) d(s)

(14.42)

Seja a equação (14.29) reapresentada a seguir.

diL 2  iL  VC   1  dt d1  T  V1

 d1  VC  L 

(14.43)

Como a carga é uma fonte de tensão Vo , vamos fazer:

VC  Vo

(14.44)

diL 2  iL  Vo  d1  Vo   1    dt d1  T  V1  L

(14.45)

Portanto:

Seja G

Vo V1

(14.46)

Desse modo:

diL 2 i d V  G   L  1  G   1 1 dt d1  T L

(14.47)

186

Seja

d1  D1  d1

(14.48)

iL  ILo  iL

(14.49)

Multiplicando todos os termos da equação (14.45) por d1 obtemos a equação (14.50). d1 

diL 2  iL V G   1  G   d12  1 dt T L

(14.50)

Mas, diL dIL diL   dt dt dt

Como

(14.51)

dIL  0 obtemos: dt diL diL  dt dt

(14.52)

Assim,

d1 

diL di   D1  d1   L dt dt

(14.53)

187

Seja d1 

diL  0 . Portanto: dt d1 

diL di  D1  L dt dt

d12   D1  d1 

2

(14.54)

(14.55)

Como d12  0 obtemos: d12  D12  2  d1  D1

(14.56)

Fazendo essas substituições na equação (14.50) obtemos (14.57).

D1 

diL 2  1  G   iL 2  D1  V1  G  d1   dt T L

(14.57)

pois 2  L  IL 1  G   D1  VC  0 D1  T

(14.58)

Portanto, a partir de (14.57) obtemos: diL 2 1  G  iL 2V1Gd1   dt D1T L

(14.59)

Aplicando a transformada de Laplace obtemos: 188

 2  1  G   2  V1  G  d1 (s) s    iL (s)  D1  T  L 

(14.60)

Assim: iL (s) 2  Vo 1   d1 (s) L  2   G  1  s   D1  T  

(14.61)

Pode-se demonstrar que: 2   G  1 D1  Vo  D1  T L  IL

(14.62)

sendo IL o valor médio inicial da corrente no indutor. Portanto: iL (s)  d1 (s)

2  Vo  D V  L  s  1 o  L  IL  

(14.63)

que é a função de transferência procurada. 14.5 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA TENSÃO.

Para se definir a estrutura e os parâmetros do controlador da tensão de saída, é necessário obter a função de transferência 189

que a relacione com a variável de controle, que é a razão cíclica. A partir da linearização das equações (14.17) e (14.18) obtém-se a equação (14.64).  diL   dt  dvC   dt

   i  V    A   L   B 1    vC   d   

(14.64)

Com V1 é constante, V1  0 . As matrizes A e B são definidas pelas equações (14.65) e (14.66).  2   G  1  A   D T 1   C 

 G2  L  G  1 B  D2  T   2L C

2G   D  R T  1    R C 

(14.65)

2  G  V1   L  D  T  V1    L C 

(14.66)



Seja a representação compacta na forma matricial.

X  A  X  B U

(14.67)

Aplicando a transformada de Laplace obtemos a equação (14.68). 190

 s  I  A  X (s)  B  U(s)

(14.68)

X (s)   s  I  A  B  U(s)

(14.69)

 i (s)  x(s)   L   vC (s) 

(14.70)

Portanto: 1

onde

 2G  2  s  DT  sI  A     1  C 

 G2  L  G  1 B  U(s)    D2  T   2 L C

2G  DRT   1  s  RC 

2  G  V1    V (s)  L  1  D  T  V1   d(s)    L C 

(14.71)

(14.72)

Como V1  0 , obtemos:  2  G  V1    L B  U(s)     d(s)   D  T  V1    L C  

(14.73)

191

Desse modo,

 sI  A 

1



 2CGR 1 DR  1  CRTS    (14.74) 2 2 DR T R C  2G  2  DTS   

onde

 2 2G  2  2G  1   1   LC  S 2  s      RC DT DT DTRC    

(14.75)

Com as equações (14.69), (14.74) e (14.75) obtemos a função de transferência desejada, dada pela expressão (14.76).

 2  DTV1   s VC (s)  D T  (14.76)  d(s)  2  1 2(G  1)  2  2G  1  LC  S  s     DT  DTRC   RC 

Normalmente

2   2  G  1 1  T C R C

(14.77)

192

Portanto:  2  K   s VC (s)  D T   d(s) 2   G  1  2   G  1  s2   s  D T  R C  D T 

(14.78)

Sendo K

D  T  V1 L C

(14.79)

Verifica-se a existência de um zero no semiplano direito, que ocorre na frequência definida pela expressão (14.80). fz 

f  D

(14.80)

193

CAPÍTULO 15 CONVERSOR CC-CC MEIA PONTE MODULADO EM FREQUÊNCIA

15.1 INTRODUÇÃO.

Neste capítulo vamos modelar o conversor CC-CC meia ponte, isolado, modulado em frequência(FM), representado na Figura 15-1, portanto uma situação diferente dos casos anteriores, nos quais os conversores eram modulados por largura de pulso (PWM).

Figura 15-1. Conversor CC-CC meia ponte modulado em frequencia.

Vamos assumir que todos os componentes sejam ideais e que a relação de transformação do transformador seja unitária. Vamos também considerar infinitamente grande a indutância de magnetização do transformador, de tal modo que ela possa ser ignorada em nossa análise. Desse modo, o conversor equivalente é o que está representado na Figura 15-2.

194

Figura 15-2. Conversor CC-CC meia ponte ideal referido ao lado primário do transformador de isolamento, com modulação FM.

Este conversor opera com razão cíclica constante e igual 0,5 . A potência transferida da fonte V1 para a carga, representada pelo resistor R , é controlada pela frequência de comutação. Estamos, portanto, diante de modulação em frequência ( FM ). As formas de onda relevantes para operação em regime permanente encontram-se representadas na Figura 15-3. Durante o intervalo de tempo  0, d1T  o conversor é representado pelo circuito equivalente representado pela Figura 15-4(a). Durante o intervalo de tempo  d1T , T  , o seu funcionamento é representado pelo circuito equivalente mostrado na Figura 15-4(b).

195

Figura 15-3. Formas de onda para o conversor CC CC meia ponte modulado em frequencia.

196

Figura 15-4. Circuitos lineares equivalentes para os dois estágios topológicos do conversor.

15.2 MODELAGEM POR ESPAÇO DE ESTADOS.

Durante o intervalo de tempo  0, d1T  o funcionamento do conversor é descrito pelas equações (15.1) e (15.2). L

diL  vC  V1 dt

(15.1)

dvC v  iL  C dt R

(15.2)

C

Durante

o

intervalo

de

tempo

 d1T , T  seu

funcionamento é representado pelas equações (15.3) e (15.4).

197

L

diL  vC  V1 dt

(15.3)

dvC v  iL  C dt R

(15.4)

C

Vamos multiplicar as equações (15.1) e (15.4) por d1 e as equações (15.3) e (15.4) por d2 . Obtemos assim as equações (15.5), (15.6), (15.7) e (15.8). d1  L

diL  d1  vC  d1  V1 dt

(15.5)

d1  C

dvC d v  d1  iL  1 C dt R

(15.6)

d2  L

diL  d2  vC  d2  V1 dt

(15.7)

d2  C

dvC d v  d2  iL  2 C dt R

(15.8)

Somando (15.5) com (15.7) e (15.6) com (15.8) obtemos:

 d1  d2   L

diL    d1  d2   vC   d1  d2   V1 dt

(15.9)

 d1  d2   C

dvC v   d1  d2   iL   d1  d2   C dt R

(15.10)

198

Onde,

d1  d2  1

(15.11)

Vamos substituir iL e vC pelos seus valores médios quase instantâneos, iL e vC , respectivamente. Desse modo, obtemos as equações (15.12) e (15.13). L

diL  vC   d1  d2   V1 dt

(15.12)

dvC v  iL  C dt R

(15.13)

d1  d2  1

(15.14)

d2  1  d1

(15.15)

d1  d2  2  d1  1

(15.16)

C

Como

Concluímos que

Substituindo a expressão (15.16) em (15.12) obtemos L

diL  vc   2  d1  1  V1 dt

(15.17)

199

dvC v  iL  C dt R

(15.18)

v  2  d1  1  diL   c    V1 dt L  L 

(15.19)

dvC iL v   C dt C R  C

(15.20)

C

Portanto:

No sistema de equações obtido, aparece a variável d1 . Contudo, a variável de controle é a frequência de comutação. Vamos então realizar as alterações necessárias para que a frequência apareça nas equações. O valor da corrente iL , a partir da Figura 15-3 é dado por:

iP  d1  d2  2

(15.21)

iP 2

(15.22)

V1  vC  d1  T L

(15.23)

iL  Ou,

iL 

Mas iP 

200

Sendo, TS 2

(15.24)

V1  vC  d1  TS 2L

(15.25)

2L f  iL V1  vC

(15.26)

T

Portanto: iL 

Desse modo, d1 

Substituindo a equação (15.26) na equação (15.19) obtemos:

v  4  f  iL 1  diL  C     V1 dt L  V1  vC L 

(15.27)

dvC iL v   C dt C R  C

(15.28)

v V diL 4  V1   f  iL  C  1 dt V1  vC L L

(15.29)

Ou ainda:

201

dvC iL v   C dt C R  C

(15.30)

O conversor é então representado por um sistema de duas equações diferenciais não lineares de primeira ordem, válido tanto para regime permanente quanto para regime transitório de baixa frequência. 15.3 MODELO PARA OPERAÇÃO EM REGIME PERMANENTE.

Em regime permanente, diL dvC  0 dt dt

(15.31)

Portanto:

0

VC 4V1 fIL V1   L V1  VC L

0

IL VC  C R C

(15.32)

(15.33)

Os símbolos VC e IL representam as variáveis de estado em regime permanente. A partir da equação (15.32) obtemos a equação (15.34). 4V1LfIL  V1  VC  V1  VC

(15.34) 202

Portanto, 4  L  f  IL V1  VC   V1  VC   V1 V1  V1

(15.35)

Seja o ganho estático, definido pela equação (15.36). G

VC V1

(15.36)

Desse modo, 4  L  f  IL  1  G   1  G  V1

(15.37)

Mas IL 

VC R

(15.38)

Portanto, 4  L  f VC   1  G   1  G  R V1

(15.39)

4 L f  G  1  G   1  G  R

(15.40)

Ou ainda:

203

Desse modo, 4 L f  G  1  G2 R

(15.41)

Portanto: G2 

4 L f G 1  0 R

(15.42)

A partir da equação (15.42) obtemos 2

2L f  4 L f  G   1  R  R 

(15.43)

Foi definido que:

f  2 fs

(15.44)

 4  L  fs 2  2  L  fs G     1  R   R 

(15.45)

Desse modo,

Com a expressão (15.45) podemos determinar o ganho estático do conversor, em função dos parâmetros do circuito e da variável de controle, que é a frequência de comutação fs .

204

15.4 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA O CONTROLE DA CORRENTE.

Vamos considerar o caso em que a carga seja uma fonte de tensão ideal, podendo ser um banco de baterias ou um barramento de tensão contínua, com capacidade de absorver energia. No modelo obtido, representado pelas equações (15.29) e (15.30), isto equivale a: dvC 0 dt C  vC  Vo

Desse modo a partir da equação (15.29) obtemos:

V  4  f  iL 1  diL  o     V1 dt L  V1  Vo L 

(15.46)

V  V  diL 4  V1  f  iL   1 o dt V1  Vo L

(15.47)

Ou ainda:

Desse modo:

V  V  diL 4   f  iL   1 o dt 1  G L

(15.48)

205

Como vemos, trata-se de uma equação diferencial não linear. Para obtermos a função de transferência que buscamos, devemos linearizar a equação em torno de um ponto de operação. Seja

f  F  fˆ

(15.49)

iL  IL  iˆL

(15.50)

Portanto:





f  iL  F  fˆ  IL  iˆL



(15.51)

Seja:

fˆ  iˆ  0

(15.52)

f  iL  F  IL  F  iˆL  fˆ  IL

(15.53)

diL dIL diˆL   dt dt dt

(15.54)

Então,

Por outro lado,

Como

dIL  0 , obtemos dt 206

diL diˆL  dt dt

(15.55)

Substituindo (15.51) e (15.55) em (15.48) obtemos:

diˆL  4  ˆ ˆ    IL  f  iL  F  0 dt  1  G 



diˆL dt



 4  ˆ  4  ˆ    F  iL     IL  f 1G  1G 

(15.56)

(15.57)

Aplicando a transformada de Laplace obtemos:  4  IL  ˆ  4  ˆ s  iˆL (s)     F  iL (s)     f (s) 1G  1G 

(15.58)

Assim, 4 F  ˆ  4  IL  ˆ   s  1  G   iL (s)   1  G   f (s)

(15.59)

Desse modo:

4  IL ˆiL (s)  1G fˆ(s) s  4  F 1G

(15.60)

207

Mas,

4  IL 1  G   V1  1G LF

(15.61)

Portanto: ˆiL (s)  fˆ(s)

1  G   V1 4 F   LF  s   1G  

(15.62)

Normalmente, 4 F  2    f 1G

(15.63)

ˆiL (s) 1  G   (1  G)  V1  4 L F2 fˆ(s)

(15.64)

Desse modo:

Podemos então afirmar que há uma relação de proporcionalidade entre ˆiL (s) e fˆ(s) para um ponto de operação dado, não havendo polos nem zeros, portanto não havendo dinâmica representada na função de transferência obtida.

208

CAPÍTULO 16 ANÁLISE DO ERRO COMETIDO AO SE EMPREGAR O VALOR MÉDIO EM ESPAÇO DE ESTADOS

16.1 FONTE DE TENSÃO ALIMENTANDO INDUTÂNCIA PURA.

Seja o circuito representado na Figura 16-1, formado por uma fonte de tensão alimentando uma indutância pura.

Figura 16-1. Circuito tomado como exemplo para análise do erro.

Sejam as formas de onda representadas na Figura 16-2. A tensão V (t ) tem forma de onda retangular, com amplitudes iguais a V1 e V2 e com durações d1T e d2T , respectivamente. Sabemos que:

d1  d2  1

(16.1)

209

Figura 16-2. Tensão e corrente no indutor L do circuito anterior.

Seja I0 o valor inicial da corrente no indutor. Desse modo, I1 

d1  V1  d1  T  I0 L

(16.2)

d2  V2  d2  T L

(16.3)

I2  I1 

Portanto: I2 

d1  V1 d V  d1  T  2 2  d2  T  I0 L L

(16.4)

210

Seja

i  I2  I0

(16.5)

 d V  d V  i   1 1 2 2    d1  d2   T L  

(16.6)

V  d1  V1  d2  V2

(16.7)

Portanto:

Mas,

onde V representa o valor médio da tensão de alimentação. Podemos então escrever: i 

V T L

(16.8)

A Figura 16-3(a) e a Figura 16-3(b) representam as duas etapas de operação para um período de funcionamento. A Figura 16-3(c) representa um único circuito equivalente para o período total, onde a tensão de alimentação é igual ao valor médio da tensão V (t ) . Podemos então concluir que a variação liquida da corrente do circuito equivalente é idêntica à soma das variações das correntes dos intervalos de tempo de  0, d1T  e  d1T , T  . Desse modo, a técnica do valor médio em espaço de estado, para este caso, não introduz nenhum erro. 211

O comportamento das correntes do circuito original e do circuito equivalente, para um intervalo de tempo com vários períodos, encontra-se representado na Figura 16-4.

Figura 16-3. Circuitos equivalentes.

Figura 16-4. Correntes nos circuitos equivalentes.

212

16.2 FONTE DE TENSÃO ALIMENTANDO CARGA RL.

Vejamos o que ocorre em um circuito RL , mostrado na Figura 16-5.

Figura 16-5. Circuito RL.

Vamos analisar o comportamento da corrente i(t ) com condição inicial nula, ou seja, no primeiro período de funcionamento As formas de onda relevantes encontram-se representadas na Figura 16-6.

Figura 16-6. Tensão e corrente do circuito representado na figura 16.5. 213

As correntes instantâneas i1 (t ) e i2 (t ) , para os intervalos de tempo d1  T e (1  d1 )  T são exponenciais. Os valores de I1 e I2 são determinados pelas equações (16.9) e (16.10).

I1  I2  I1  e

 d1 T V1    1  e   R   d2T







 d2T V2 1e  R

(16.9)



(16.10)

Portanto: I2 







 d2T  d2T  d2T V1 V 1 e  e   2 1 e  R R



(16.11)

onde I2 representa o valor final da corrente i(t ) para t  T . Portanto é igual à variação liquida da corrente i(t ) para condição inicial nula. Vamos então analisar o circuito para valores médios quase instantâneos, representado na Figura 16-7, no qual a mesma carga RL é alimentada por uma tensão constante, igual ao valor médio da tensão v(t ) .

Figura 16-7. Circuito RL equivalente para valores médios quase instantâneos.

214

A corrente ix (t ) encontra-se representada na Figura 16-8, juntamente com as correntes i1 (t ) e i2 (t ) . O valor final da corrente ix (t ) é definido pela equação (16.12). IX 



T d1  V1  d2  V2 1e  R



(16.12)

Figura 16-8. Correntes dos circuito anteriores.

Podemos observar que Ix  I2 . De fato, para a situação apresentada, Ix (t )  I2 . Podemos então concluir que ao substituir o circuito original pelo seu equivalente que representa valores médios em espaço de estado, estamos cometendo um erro, definido pela equação (16.13), para a situação estudada, ou seja, o primeiro período de funcionamento do circuito.

 Ix  I2    100%  I2 

%  

(16.13)

Seja o seguinte exemplo numérico. 215

V1  100V V2  100V d1  0,7 L  10mH R  10

Com o emprego da expressão (16.13) foi obtida a curva representada na Figura 16-9, na qual o erro percentual é representado em função da grandeza definida pela equação (16.14), ou seja, o período de funcionamento dividido pela constante de tempo do circuito.



T



(16.14)

onde a constante de tempo é definida pela expressão (15.15).



L R

(16.15)

Verifica-se que o erro é igual a 10% para   0,17 e igual a 1% para   0,02 . Podemos então concluir que quem determina o erro é a relação entre o período de funcionamento ou de comutação, e a constante de tempo do circuito. Quanto menor essa relação, menor será o erro. Se a carga for uma indutância pura, como foi o caso do circuito mostrado na Figura 16-1, a constante de tempo será infinita e o erro será portando nulo, independentemente do valor do período ou da frequência de comutação. È importante observar que as ondulações das tensões e correntes (ou dos estados) não são representadas pelo modelo médio em espaço de estados, como era de se esperar. 216

Figura 16-9. Erro percentual em função de

.

Embora o circuito analisado seja muito simples, ele gera resultados importantes que indicam que o emprego de valores médios em espaço de estado é adequado para modelar um conversor estático real, desde que o período de comutação seja significativamente menor que as constantes de tempo do circuito. O leitor é convidado a verificar, tanto analiticamente quanto por simulação, o efeito da constante de tempo do circuito na evolução da corrente para transitórios de longa duração e de que forma o erro se propaga, e qual sua consequência tanto para os valores da corrente quanto para defasagens.

217

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. R. D. Midlebrook and S. Cuk, Unified Approach to Modelling Switching-Converter Power Stages, IEEE Power Electronics Specialists Conference, June 1976. 2. J. Sun, D. M. Mitchell, M. F. Greuel, P. T. Krein and R. Bass, Averaged Modeling of PWM Converters Operating in Discontinuous Conduction Mode, IEEE Transactions on Power Electronics, Vol. 16, No. 4, July 2001. 3. C. A. Nwosu, State-Space Averaged Modeling of a Nonideal Boost Converter, The Pacific Journal of Science and Technology, Volume 9, Number 2, November 2008. 4. V. Vorpérian, Simplified Analysis of PWM Converters Using Model of PWM Switch Part I: Continuous Conduction Mode, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. 26, No. 3, May 1990. 5. G. W. Wester and R. D. Middlebrook, Low Frequency Characterization of Switched DC-to-DC Converters, IEEE Power Processing and Electronics Specialists Conference, May 1972.

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