Mechanika [IV ed.] 9788301146139, 8301146133

Citation preview

RANSZENISZZ

IWEJOSRAERWNZIĘZZANNA

Lew D.

AO EAU ifSZyĆ MECHANIKA

MECHANIKA

FISZKA

EGO

RAETT

WIE

andau

ZNŁA

ifSZYĆ

MECHANIKA Z języka rosyjskiego tłumaczył Stanisław Bażański

wydanie czwarte

Q: WYDAWNICTWO NAUKOWE PWN WARSZAWA 2006

Dane oryginału Opurumax M3JAH HA PYCCKOM A2LIKC MOJA HAJBAMNCM NN. Jasnay « E.M. Jlnfumn: Teopermsecaa nanka, T. 1 Mexanuka, 5-0 u31. BU3MATJIUT 2002 © BUZMATJIUT © Mropr Jlanney © 3mnaiina Uranosa Topoóec Junnan

Projekt okładki i stron tytułowych Przemysław Spiechowski Redaktor Anna Bogdanienko

Copyright © for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN SA Warszawa 2006 ISBN-13: 978-83-01-14613-9 ISBN-10: 83-01-14613-3

Wydawnictwo Naukowe PWN SA 00-251 Warszawa, ul. Miodowa 10 tel. 022 69 54 321 faks 022 69 54 031 e-mail: pwnGpwn.com.pl www.pwn.pl 4274

Spis treści

Słowo wstępne redaktora czwartego wydania w języku rosyjskim Przedmowa |.

Il.

Równania ruchu

$ 1. $. 2. $ 3. $_4, $_ 5.

Prawa zachowania

Seovu

.........-......

16. 17. 18. 19. 20.

par

rece

10

13 15

16 22 22

24

Środek masy ...

Moment pędu A Podobieństwo mechaniczne . . ......----.--2222202.

Ruch jednowymiarowy . Określenie energii potencjalnej na podstawie okresu drgań Masa zredukowana .....----.-1111111-Ruch w polu centralnym Zagadnienie Keplera ......

IV. Zderzenia cząstek .............. $ $ $ $ $

w...

r

Całkowanie równań ruchu

$ 11. $/12. $13. $ 14. $ 15.

ATE

Współrzędne uogólnione ............-. Zasada najmniejszego działania Zasada względności Galileusza p Funkcja Lagrange'a swobodnego punktu materialnego Funkcja Lagrange'a układu punktów materialnych .. .. --- 222-222-222

S_ 6. Energia Pęd .....

Il.

...........-...

Rozpad cząstek Sprężyste zderzeniaszk. Rozpraszanie cząstek. Wzór Rutherforda 8 Rozpraszanie pod małymi kątami

26 28

31

35 35 38

39 41 47 53

53 57 66 69

[2 5. $pis treści V.

Małe

72

$21. Jednowymiarowe drgania swobodne ś 22. Drgania wymuszone ...... 3.23. Drgania układów o wielu stopniach swobody.

12

$ 25.

92

$ 24.

8 26. 8 27 $ 28. $ 29.

$ 30. VI.

drgania

Drgania cząsteczek ....-.--........ Drgania tłumione Drgania wymuszone w obecności tarcia Rezonans parametryczny Drgania anharmoniczne Rezonans w przypadku drgań nieliniowych Ruch w szybkozmiennym polu . .

Ruch ciała sztywnego

$31.

Prędkość kątowa

................

a 8.32. Tensor bezwładności . . $ 33. Moment pędu ciała sztywnego 8 34. Równania ruchu ciała sztywnego

$ 35. Kąty Eulera

............

$ 36. Równania Eulera

. $.37. Bąk niesymetryczny S 38. Stykanie się ciał sztywnych. S 39. Ruch w nienercjalnym układzie odniesienia VII. Równania kanoniczne

3 40.

841.

3 42.

3.43. 8.44, $ 45. $ 46.

$ 47. 3 48. $ 49.

...............

Równania Hamiltona ....-.-.1...-. Funkcja Routha Nawiasy Poissona . . . e Działanie jako funkcjawopólzęnych Zasada Maupertuisa Przekształcenia kanoniczne . Twierdzenie Liowille'a Równanie Hamiltona-Jacobiego Rozdzielenie zmiennych ....... Niezmienniki adiabatyczne Zmienne kanoniczne

8 50. SSL. Dokładność zachowania niezmiennika adiabatycznego $ 52. Ruch wielokrotnie okresowy

Dodatek. Przedmowa L.D. Landaua do pierwszego wydania Skorowidz

76 81

87 95 98 103 106 12

115 115 117 125

127 130 135

137 144

149

154 154

157 159 163 165

168 172 173 176 182

185

187 190 196

|

Słowo wstępne redaktora czwartego wydania w języku rosyjskim

——

Bieżącym tomem Wydawnictwo NAUKA wznawia 10-tomowy podręcznik „Fizyki Teoretycznej” L.D. Landaua i J.M. Lifszyca. Po raz pierwszy dzieło to ukazuje się po śmierci J.M. Lifszyca. Żadnego z jego autorów nie ma więc już wśród nas i teraz to mnie przypada smutna i odpowiedzialna powinność przygotowania tego wykładu do druku. Do bieżącego wydania Mechaniki wprowadzone zostały poprawki zauważone już po ukazaniu się jego poprzedniego wydania, a także wniesione zostały niewielkie zmiany uściślające tok wykładu. Poprawki te zostały przygotowane przez J.M. Lifszyca oraz przeze mnie, a częściowo zostały już uwzględnione w ostatnim wydaniu angielskim. L.P. Pitajewski Maj 1987 r.

|

|m

o

=

—--

Przedmowa

SE

|]

—————

Książka ta rozpoczyna drugie wydanie wszystkich tomów naszej „Fizyki teoretycz-

oPdJAWNAWEH

nej”. Ostateczny plan naszego wykładu przestawia się teraz następująco: Mechanika „ Teoria pola . Mechanika kwantowa (teoria nierelatywistyczna)

. Relatywistyczna teoria kwantów

. Fizyka statystyczna

. Hydromechanika . Teoria sprężystości

. Elektromechanika ośrodków ciągłych |. Kinetyka fizyczna

Pierwsze wydanie pierwszego tomu zostało opublikowane w 1940 r. przez L. Lan-

daua i L. Piatigorskiego. Mimo że został niezmieniony pierwotny plan wykładu, książka ta została w całości opracowana i napisana od nowa.

Dziękujemy 1.L. Działosznickiemu i L.P. Pitajewskiemu za pomoc przy korekcie

książki.

LD. Landau, J.M. Lifszyc Moskwa, li

1957 r.

||

| |

_---.

Równania ruchu

——————

$ 1. Współrzędne uogólnione Jednym z podstawowych pojęć mechaniki jest pojęcie punktu materialnego*. Nazwą tą oznaczamy takie ciało, którego rozmiary można zaniedbać przy opisie jego ruchu. Możliwość nieuwzględniania rozmiarów ciała jest oczywiście związana z konkretnymi

warunkami danego zagadnienia. Tak więc, badając na przykład ruch planet wokół Słońca, można uważać, że planety są punktami materialnymi, natomiast nie można tak oczywi-

ście postępować przy opisie dobowych obrotów planet.

Położenie punktu materialnego w przestrzeni jest określone przez jego wektor wodzący r, którego składowe są współrzędnymi kartezjańskimi x, y, z punktu materialnego. Pochodna wektora r względem czasu t dr

.

"

-

dt

dr

PR

-

nazywa się prędkością, natomiast druga pochodna aiz + przyspieszeniem punktu mate-

rialnego. Różniczkowanie względem czasu będziemy często oznaczać za pomocą kropki nad danym symbolem: v = i. . Położenie układu N punktów materialnych w przestrzeni określa się za pomocą N wektorów wodzących, tzn. za pomocą 3N współrzędnych.-

W ogólnym przypadku liczbę niezależnych wielkości, których znajomość jest ko-

nieczna do jednoznacznego określenia położenia układu, nazywa się liczbą stopni swo-

body układu; w rozważanym przypadku liczba stopni swobody równa się 3N. Wielkości te niekoniecznie muszą być współrzędnymi kartezjańskimi punktów i w zależności od warunków danego zagadnienia może się okazać, że istnieje wygodniejszy wybór jakichś innych współrzędnych. Liczbę s dowolnych wielkości qi, q2, . .. ,q, charakteryzujących całkowicie położenie układu (o s stopniach swobody) nazywa się współrzędnymi uogólnionymi układu, a pochodne 4, — prędkościami uogólnionymi układu. *Punkty materialne będziemy również często nazywać „cząstkami”.

|

[19.1 Równania ruchu Znajomość wartości współrzędnych uogólnionych w danej chwili nie określa jeszcze

„Stanu mechanicznego” układu, gdyż nie pozwala przewidzieć położenia układu w prz:

szłości. Przy ustalonych wartościach współrzędnych układ może mieć dowolne prędkości

i położenia układu w przyszłości (tj. w nieskończenie małym przedziale czasu At) będą zależne od wartości tych prędkości. Z doświadczenia wynika, że jednoczesna znajomość wszystkich współrzędnych i prędkości

całkowicie określa stan układu

i w zasadzie pozwala przewidzieć dalszy

jego ruch. Matematycznie oznacza to, że znajomość wszystkich współrzędnych q i prędkości q w pewnej chwili jednoznacznie określa wartość przyspieszenia g w tej chwili*.

Związki łączące przyspieszenie ze współrzędnymi i prędkościami nazywają się rów-

naniami ruchu. Są to równania różniczkowe drugiego rzędu dla funkcji q(r); funkcje

te można znaleźć w wyniku całkowania tych równań, a tym samym można określić ruch układu mechanicznego. S 2. Zasada najmniejszego działania Najbardziej ogólnym sformułowaniem praw ruchu układów mechanicznych jest tzw.

zasada

najmniejszego

działania

(zwana

też zasadą

Hamiltona).

W

myśl

każdy układ mechaniczny jest scharakteryzowany przez określoną funkcję

tej zasady

L(q1, 92; ---+ 98 dn da: +++ > ds> 1), którą będziemy krótko oznaczać przez L(q, 4, t), przy czym ruch układu spełnia nastę-

pujący warunek.

Niech w chwilach £ = 4 i t = tą układ ma określone położenia scharakteryzowane

przez dwa zbiory wartości współrzędnych q') i q©). Wtedy między tymi położeniami układ porusza się tak, że całka

S= J L(q,4,1)dt

(2.1)

przyjmuje najmniejszą możliwą wartość**. Funkcja L nazywa się funkcją Lagrange'”a*** danego układu, a całka (2.1) — działaniem tego układu. Funkcja Lagrange'a zależy tylko od q i 4, nie zależy natomiast od wyższych pochod-

nych j,ó,... Jest to formalny odpowiednik stwierdzenia, że stan mechaniczny układu jest określony całkowicie przez współrzędne i prędkości. *Zbiór wszystkich współrzędnych q/, q», ....„q, będziemy często oznaczać symbolem q (podobnie zbiór wszystkich prędkości symbolem q). **Należy zwrócić uwagę, że takie sformułowanie zasady najmniejszego działania nie zawsze jest słuszne dla ruchu układu w skończonym przedziale czasu (ft, 1), natomiast zawsze jest słuszne dla ruchu w każdej dostatecznie małej części tego przedziału czasu; może się okazać, że dla całego przedziału czasu (f,, t) całka przyjmuje tylko wartość ekstremalną [lub tylko stacjonarną — przyp. tłum.], a niekoniecznie minimalną. Jednak nie jest to istotne, gdyż przy wyprowadzaniu równań ruchu wykorzystujemy tylko warunek ekstremalności. ***Qbecnie często używana jest nazwa lagranżjan (przyp. red.).

$2. Zasada najmniejszego działania

ll —

Wyprowadzimy teraz równania różniczkowe, których rozwiązania będą minimalizować całkę (2.1). W celu uproszczenia zapisu wzorów załóżmy na razie, że układ ma jeden stopień swobody, należy więc wyznaczyć jedną tylko funkcję q(t). Niech q = q(t) będzie właśnie tą funkcją, dla której S ma minimum. Oznacza to, że S będzie wzrastało, jeżeli zastąpimy q(f) dowolną funkcją postaci (2.2)

q(6) + 8ą(1),

gdzie 8q(1) jest funkcją małą w całym przedziale czasu od 4, do 4 (funkcję tę nazywa

się wariacją funkcji q(t)); ponieważ dla t = 4 i t = ty wszystkie funkcje porównawcze

(2.2) winny przyjmować wartości q() i q), zatem wariacja 6q(t) powinna spełniać

warunki

5q(1) = 8q(2) = 0.

(2.3)

Zastąpienie q przez q + 5q powoduje zmianę działania S określoną przez różnicę 1

h

fra +ó8.4 +ó8,0a— | Ka.ó.ddt.

i 5 Rozwinięcie wyrażenia podcałkowego w powyższej różnicy w szereg potęgowy względem 8q i 84 zaczyna się od wyrazów pierwszego rzędu względem wariacji. Znikanie tych wyrazów jest warunkiem koniecznym, ażeby $ przyjmowało minimum”; całka z tych wyrazów nazywa się pierwszą wariacją lub po prostu wariacją całki S. Zasadę najmnicjszego działania można więc zapisać w postaci g

s5=5 | Lq.i,Ddr=0 u

(2.4)

lub, korzystając z definicji wariacji całki, w postaci 1

AL —

GL —d4

JE 1054 ) u

|dt=0.

d „ Zauważmy, że 54 = -jybq, całkując więc drugi wyraz przez części, otrzymujemy 4

8L. [2 9L 85= m uj, +[ (6

dóL dr ać )saar =0.

(2.5)

n

W powyższym wyrażeniu na mocy warunku (2.3) znika pierwszy wyraz. Pozostały

wyraz jest całką, która powinna znikać przy dowolnych wartościach wariacji 8. Jest to

możliwe tylko wtedy, gdy wyrażenie podcałkowe jest tożsamościowo równe zeru. Tak więc otrzymujemy równanie

46L

dra4

0L_5 dq

*Ogólnie ekstremum [lub wartość stacjonarną — przyp. tłum.]

12.1. Równania ruchu

Jeżeli wystąpi więcej stopni swobody, to w zasadzie najmniejszego działania należy przeprowadzić niezależne wariacje s różnych funkcji ; (1). Otrzyma się wtedy s równań

postaci

ddL dąAL 0 ddd

(= hh9).

;

(2.6)

Równania te są szukanymi równaniami różniczkowymi; w mechanice nazywa się je równaniami Lagrange'a". Jeżeli znana jest funkcja Lagrange'a danego układu mechanicznego, to równania (2.6) są związkami między przyspieszeniami, prędkościami i współrzędnymi, czyli są równaniami ruchu układu. Z matematycznego punktu widzenia równania (2.6) są układem s równań różniczkowych drugiego rzędu dla s niewiadomych funkcji q;(1). Ogólne rozwiązanie takiego układu zależy od 2s dowolnych stałych. Do określenia tych stałych, a więc do całkowitego określenia ruchu układu mechanicznego, konieczna jest znajomość warunków początkowych charakteryzujących stan układu w pewnej ustalonej chwili, może to być na przykład znajomość początkowych wartości wszystkich współrzędnych i prędkości. Niech układ mechaniczny składa się z dwóch części A i B, z których każda, w przypadku odosobnienia jej od pozostałej, byłaby scharakteryzowana odpowiednio przez funkcję Lagrange'a LĄ lub Lg. Wtedy w granicy, odsuwając'od siebie obie części tak daleko, żeby można było zaniedbać ich wzajemne oddziaływanie, funkcja Lagrange'a

całego układu będzie dążyć do

lim L = Lą + Lp.

(2.7)

Powyższa własność addytywności funkcji Lagrange'a stwierdza, że równania ruchu każdej części układu nieoddziałującej z pozostałymi nie mogą zawierać wielkości odnoszących się do części pozostałych.

Pomnożenie funkcji Lagrange'a układu mechanicznego przez dowolną stałą nie ma oczywiście wpływu na równania ruchu. Wydawałoby się więc, że stąd może wynikać własność nieokreśloności polegająca na tym, że funkcje Lagrange'a różnych odosobnionych układów mechanicznych można by mnożyć przez dowolne różne stałe. Własność

addytywności usuwa tę nieokreśloność, pozostaje więc tylko dowolność pomnożenia

funkcji Lagrange'a wszystkich części układu przez jednakową stałą; sprowadza się to do

naturalnej dowolności wyboru jednostek wymiarów wielkości fizycznych. Do sprawy tej powrócimy jeszcze w $ 4.

Należy jeszcze zwrócić uwagę na następującą ogólną własność funkcji Lagrange'a.

Weźmy pod uwagę dwie funkcje Ł'(q, 4, 1) i L(q, 4, t) różniące się o zupełną pochodną

czasową dowolnej funkcji współrzędnych i czasu f(q, t):

CR:

m

d

L(q.4,1) = Llq,4,1) + 47,1).

Całki działania (2.1) odpowiadające tym funkcjom Lagrange'a spełniają związek ą

s =

ń

th

raavna=|aioa+ h

(2.8)

4

| Ta=s+ ń

fa8.0-

ra".

*W rachunku wariacyjnym, zajmującym się zagadnieniem znajdowania ekstremów całek postaci (2.1), równania te nazywają się równaniami Eulera.

$3. Zasada względności Galileusza czyli różnią się od siebie o wyraz

znikający

przy wariowaniu

13 —

Gosci Warunek

58!+ 0 jest więc identyczny z warunkiem 55= 0 i prowadzi do tych samych równań

ruchu.

Zatem funkcja Lagrange'a jest określona tylko z dokładnością do addytywnej funkcji

będącej zupełną pochodną dowolnej funkcji współrzędnych i czasu.

$3. Zasada względności Galileusza Chcąc opisywać zjawiska mechaniczne, należy przede wszystkim ustalić układ od-

niesienia. W różnych układach odniesienia prawa ruchu będą miały na ogół różną postać.

Jeżeli wybralibyśmy układ odniesienia w sposób przypadkowy, to mogłoby się okazać,

że nawet bardzo proste prawidłowości byłyby opisane w sposób bardzo złożony. Po-

wstaje więc zagadnienie, jak znaleźć taki układ odniesienia, w którym prawa mechaniki przybierają możliwie najprostszą postać. W dowolnym układzie odniesienia przestrzeń jest na ogół niejednorodna i nieizotro-

powa”. Oznacza to, że własności mechaniczne dowolnego ciała nieoddziałującego z innymi ciałami będą na ogół zależne od różnych położeń i różnych orientacji tego ciała w przestrzeni. Podobnie czas nie będzie w ogólnym przypadku jednorodny, czyli różne chwile nie będą równoważne.

Takie własności przestrzeni i czasu wniosłyby

do opisu

zjawisk mechanicznych oczywiste komplikacje. Na przykład ciało swobodne, tzn. niepodlegające działaniu z zewnątrz, nie mogłoby spoczywać: jeżeli prędkość ciała w pew-

nej chwili byłaby nawet równa zeru, to już w następnych chwilach ciało poruszałoby się w pewnym kierunku.

Okazuje się jednak, że zawsze można znaleźć taki układ odniesienia, w którym

przestrzeń jest jednorodna i izotropowa, a czas jest jednorodny. Taki układ odniesienia nazywa się inercjalnym układem odniesienia. W układzie inercjalnym ciało swobodne,

spoczywając w pewnej chwili, będzie stale pozostawać w spoczynku. Możemy już teraz wyciągnąć pewne wnioski o postaci funkcji Lagrange'a swobodnego punktu materialnego w inercjalnym układzie odniesienia. Z powodu jednorodności

przestrzeni i czasu funkcja ta nie może zależeć w sposób jawny ani od wektora wodzą-

cego r, ani od czasu 7, czyli funkcja L może zależeć jedynie od v. Natomiast z powodu

izotropowości przestrzeni funkcja Lagrange'a nie może zależeć również od kierunku wektora v, może więc zależeć jedynie od jego bezwzględnej wartości, czyli od kwadratu =;

L=L(>).

(3.1)

*Izotropowość i jednorodność przestrzeni w znaczeniu czysto geometrycznym są własnościami niezmienniczymi, a więc nie zależą od wyboru układu współrzędnych. Autorzy mają tu na myśli swoistą utratę jednorodności i izotropowości w sensie dynamicznym. Jeżeli w ruchu względnym dwóch układów odniesienia nie znika przyspieszenie, to co najmniej w jednym z tych układów wystąpią oddziaływania zwane siłami bezwładności spowodowane kinematyką ruchu przyspieszonego i zależne od położenia i prędkości rozpatrywanego punktu materialnego (przyp. tłum.).

[14

1: Równania ruchu

AL Ponieważ funkcja Lagrange'a nie zależy również od r, więc -— = 0 i równania Lagrange'a mają postać* d3L dróy | AL L skąd -—ę = const. Ponieważ =. jest funkcją jedynie kwadratu prędkości, zatem rów; v

nk

const.

(3.2)

"Tak więc doszliśmy do wniosku, że w inercjalnym układzie odniesienia każdy ruch

swobodny odbywa się z prędkością stałą co do modułu i co do kierunku. Stwierdzenie

to zawiera treść

tzw. prawa bezwładności.

Jeżeli łącznie z wprowadzonym poprzednio inercjalnym układem odniesienia wpro-

wadzimy inny układ poruszający się względem niego ruchem jednostajnym i prostoliniowym, to prawa ruchu swobodnego w nowym układzie odniesienia będą takie same jak w układzie wyjściowym: ruch swobodny będzie znowu odbywać się ze stałą prędkością. Na podstawie doświadczenia można stwierdzić, że nie tylko prawa ruchu swobodnego będą takie same w tych układach, lecz układy te będą równoważne również ze względu na inne własności mechaniczne. Wobec tego istnieje nie tylko jeden, lecz nieskończenie wiele inercjalnych układów odniesienia poruszających się względem siebie

ruchem prostoliniowym i jednostajnym. We wszystkich tych układach przestrzeń i czas

mają jednakowe własności i jednakowe są również wszystkie prawa mechaniki. Stwierdzenie to stanowi treść tzw. zasady względności Galileusza, jednej z ważniejszych zasad

mechaniki.

To, co zostało powyżej powiedziane, świadczy jasno o wyróżnionej roli inercjalnych układów odniesienia i powoduje, że z reguły tymi układami posługujemy się przy badaniu zjawisk mechanicznych. W dalszych rozdziałach tej książki, z wyjątkiem przypadków, gdzie to wyraźnie zaznaczymy, będziemy się posługiwać tylko inercjalnymi

układami odniesienia. Całkowita równoważność ze względu na własności mechaniczne nieskończonej licz-

by układów inercjalnych wskazuje, że nie może istnieć jakiś „bezwzględny” układ odniesienia, który byłby uprzywilejowany w stosunku do innych układów. Niech K i K” będą dwoma układami inercjalnymi i niech K” porusza się względem K z prędkością** V. Współrzędne r i r' tego samego punktu materialnego w tych układach będą spełniać związek a 85

Przy tym rozumie się, że czas płynie jednakowo w obu układach odniesienia, czyli że 1=

Założenie o czasie bezwzględnym jest podstawowym założeniem mechaniki klasycznej***. * *Pochodna wielkości skalarnej względem wektora jest wektorem, którego składowe są pochodnymi danej wielkości skałarnej względem odpowiednich składowych wektora. **Ponieważ K i K' są inercjalne, więc V = const. (przyp: iłum.). *Założenie to nie jest słuszne w teorii względności.

$4. Funkcja Lagrange'a swobodnego punktu materialnego

15 —

Wzory (3.3) i (3.4) nazywają się transformacją Galileusza. Zasadę względności

Galileusza można sformułować jaką żądanie niezmienniczości równań ruchu mechaniki

względem tej transformacji.

$ 4. Funkcja Lagrange'a swobodnego punktu materialnego

Określimy obecnie postać funkcji Lagrange'a w najprostszym przypadku — w przypadku ruchu swobodnego punktu materialnego względem inercjalnego układu odniesienia. Jak już widzieliśmy, funkcja Lagrange'a może w tym przypadku zależeć jedynie od kwadratu wektora prędkości. Posługując się zasadą względności Galileusza, otrzymamy postać tej zależności. Jeżeli inercjalny układ odniesienia K porusza się względem inercjalnego układu odniesienia K” z nieskończenie małą prędkością e, to V = v + e. Ponieważ równania ruchu powinny mieć tę samą postać we wszystkich układach odniesienia, funkcja Lagrange'a L(v?) powinna przy takiej transformacji przejść w funkcję L! różniącą się od L(v?) co najwyżej o zupełną pochodną czasową dowolnej funkcji współrzędnych i czasu (patrz koniec $ 2). Mamy L'=L(v) = L(v +2v-e+e7).

Rozwijając to wyrażenie w szereg potęgowy względem e i odrzucając wyrazy nieskończenie małe wyższych rzędów, otrzymujemy AL duż

LQ?) = LG)+ —2v:e.

Drugi wyraz po prawej stronie tej równości będzie zupełną pochodną względem czasu L tylko wtedy, gdy będzie on zależał liniowo od prędkości v. Dlatego „>u nie zależy od prędkości, czyli funkcja Lagrange'a jest w tym przypadku po prostu proporcjonalna do kwadratu prędkości: (4.1)

L=imv,

gdzie m jest stałą.

Ponieważ funkcja Lagrange'a powyższej postaci spełnia zasadę względności Galileusza w przypadku nieskończenie małej transformacji prędkości, więc funkcja ta będzie również niezmiennicza w przypadku skończonych prędkości V układu odniesienia K względem K”. Rzeczywiście L lub

im = my +V)? = jm +2: zmv-V-+zmV* d

1

1

+ zm) +4 ( ZP L =L+—(|(2->mr-V+=mV*t).

Drugi wyraz jest zupełną pochodną i można go odrzucić.

[[ '5_ 1 Równania ruchu

Wielkość m nazywa się masą punktu materialnego. Wobec własności addytywności funkcji Lagrange'a, dla układu punktów nieoddziałujących mamy* L=

7, Imatż.

(4.2)

Należy podkreślić, że tylko przy uwzględnieniu własności addytywności podana definicja masy ma realny sens. Jak już wspomnieliśmy w $ 2, funkcję Lagrange'a można zawsze pomnożyć przez dowolną stałą; nie ma to wpływu na równania ruchu. Dla funkcji (4.2) takie pomnożenie sprowadza się do zmiany jednostki wymiaru masy; natomiast stosunki mas różnych cząstek, które jedynie mają realny sens fizyczny, nie zmieniają się

przy takim przekształceniu.

Łatwo można stwierdzić, że masa nie może być ujemna. Zgodnie bowiem z zasadą najmniejszego działania dla ruchu rzeczywistego takiego punktu materialnego, którego tor przechodzi przez punkty 1 i 2 w przestrzeni, całka

2

s= | ima 1

ma minimum. Jeżeli masa byłaby ujemna, to dla torów, po których cząstka w otoczeniu

punktów 1 i 2 poruszałaby się bardzo prędko, całka działania przyjmowałaby dowolnie dużą co do modułu ujemną wartość, czyli nie miałaby minimum**.

Warto zauważyć, że

dl? _ dl2 v 2-(5) dz"

(4.3)

Dlatego, aby podać funkcję Lagrange'a, wystarczy znaleźć kwadrat elementu długości łuku w odpowiednim układzie współrzędnych. We współrzędnych kartezjańskich dl? = dx? + dy? + dz?, dlatego

b

G? +)? +ż

(4.4)

We współrzędnych cylindrycznych dl? = dr? + r” dp? + dz?, a stąd

L = im + ró? + 20).

(4.5)

We współrzędnych sferycznych dl? = dr? + r2d6? + r? sin? 6 dg? i m(? + r26? + r? sin? 062).

(4.6)

*Za pomocą pierwszych liter alfabetu łacińskiego będziemy oznaczać indeksy numerujące cząstki, a dla indeksów numerujących współrzędne rezerwujemy litery i, k, 1. . **Uwaga poczyniona na s. 10 nie zmienia tego rozumowania, gdyż dla m < 0 całka nie mogłaby też mieć minimum wzdłuż dowolnie małych części toru.

$5. Funkcja Lagrange'a układu punktów materialnych

17 -

$ 5. Funkcja Lagrange'a układu punktów materialnych

Rozpatrzmy teraz układ punktów materialnych oddziałujących ze sobą i nieoddziałujących z jakimiś zewnętrznymi ciałami; taki układ będziemy nazywać układem odosobnionym. Okazuje się, że oddziaływanie między punktami materialnymi można opisać, dodając do funkcji Lagrange'a punktów nieoddziałujących (4.2) określoną funkcję współrzędnych” zależną od charakteru oddziaływania. Oznaczając tę funkcję przez — U, mamy L= )) imavż — U(ri, ra, ...)

a

(5.1)

(ra jest tu wektorem wodzącym a-tego punktu). Powyższe równanie przedstawia ogólną postać funkcji Lagrange'a układu odosobnionego. Suma

ESY Hmavą T=)) a

nazywa się energią kinetyczną, a funkcja U — energią potencjalną układu; znaczenie

tych pojęć zostanie wyjaśnione w $ 6. Ponieważ energia potencjalna zależy tylko od położeń wszystkich punktów mate-

rialnych w danej chwili, zmiana położenia jednego z nich natychmiast więc wpływa na

wszystkie pozostałe — można zatem powiedzieć, że oddziaływanie rozprzestrzenia się w sposób natychmiastowy. Konieczność występowania oddziaływania o takim charakterze jest ściśle związana z podstawowymi założeniami mechaniki klasycznej, mianowicie z bezwzględnością czasu i zasadą względności Galileusza. Jeżeli oddziaływanie nie rozchodziłoby się w sposób natychmiastowy, a więc rozchodziłoby się ze skończoną prędkością, to prędkość ta byłaby różna w różnych poruszających się względem siebie układach odniesienia, gdyż bezwzględność czasu automatycznie oznacza stosowalność zwykłej reguły dodawania prędkości. Wtedy jednak prawa ruchu ciał oddziałujących byłyby różne w różnych inercjalnych układach odniesienia, co przeczyłoby zasadzie względności. W $ 3 mówiliśmy tylko o jednorodności czasu. Postać funkcji Lagrange'a (5.1) wskazuje, że czas nie tylko jest jednorodny, lecz również izotropowy, czyli własności mechaniczne nie zależą od zwrotu czasu. Rzeczywiście, zamiana £ na —r nie zmienia

funkcji Lagrange'a, a zatem nie wpływa też na równania ruchu. Innymi słowy, jeżeli w układzie jest możliwy pewien ruch, to zawsze możliwy jest także ruch odwrotny, tzn.

taki ruch, w którym układ będzie przechodził przez te same stany co poprzednio, tylko w odwrotnej kolejności. W tym znaczeniu wszystkie ruchy odbywające się według praw mechaniki klasycznej są odwracalne. Znając funkcję Lagrange'a, możemy podać równania ruchu

AL =—. dr.

Podstawiając tu (5.1), otrzymujemy

mać dvdr _m.AU dra

*Stwierdzenie to jest słuszne tylko w przypadku mechaniki klasycznej — nii zajmujemy się w tej książce.

5.2) (5.2)

[!8_'- Równania ruchu

Równania ruchu w tej postaci nazywają się równaniami Newtona, równania te są podstawą mechaniki układu cząstek oddziałujących. Wektor dU F,=

dr;

(5.4)

znajdujący się po prawej stronie (5.3) nazywa się siłą działającą na a-ty punkt. Siła, podobnie jak U, zależy tylko od współrzędnych wszystkich cząstek, nie zależy natomiast od ich prędkości. Równania (5.3) stwierdzają więc, że również wektory przyspieszeń cząstek są funkcjami jedynie współrzędnych. Energia potencjalna jest wielkością określoną tylko z dokładnością do dowolnej stałej addytywnej; dodanie do energii stałej nie zmienia równań ruchu. Własność ta jest szczególnym przypadkiem omówionej pod koniec $ 2 niejednoznaczności funkcji Lagrange'a. Najbardziej naturalny i ogólnie przyjęty jest taki sposób wyboru tej stałej, przy którym energia potencjalna dąży do zera, gdy zwiększają się odległości między cząstkami. Jeżeli przy opisie ruchu nie posługujemy się współrzędnymi kartezjańskimi, lecz dowolnymi współrzędnymi uogólnionymi q,, funkcję Lagrange'a otrzymuje się w wyniku transformacji wyrażającej współrzędne kartezjańskie przez dane współrzędne uogólnione Xa = Ja(q1+ 92: +++ +45) A BÓR

dfa. |. aa dy itd.

Podstawiając te wyrażenia do funkcji

L=I)

| ma(żż + ją +2) — U,

otrzymamy szukaną funkcję Lagrange'a, która będzie miała postać

L=35 ax(qdidx — U(9),

(5.5) ik gdzie ax są funkcjami tylko współrzędnych. Energia kinetyczna we współrzędnych uogólnionych jest, tak jak poprzednio, formą kwadratową prędkości, lecz teraz jej współczynniki mogą zależeć od współrzędnych. Dotychczas mówiliśmy tylko o układach odosobnionych. Rozpatrzmy teraz układ nieodosobniony A, oddziałujący z innym układem B wykonującym dany z góry ruch. W takim przypadku mówi się, że układ A porusza się w zadanym polu zewnętrznym (wytworzonym przez układ B). Ponieważ równania ruchu otrzymuje się z zasady najmniejszego działania, wariując każdą ze współrzędnych niezależnie (to znaczy tak, jakby pozostałe były znane), możemy w celu znalezienia funkcji Lagrange'a Z 4 układu A posłużyć się funkcją Lagrange'a L całego układu A + B, podstawiając w niej zamiast współrzędnych qp dane funkcje czasu. Zakładając, że układ A + B jest odosobniony, mamy L = Ta(qa, 4a) + Ts(qs, dB) — U(qa. 98).

$5. Funkcja Lagrange'a układu punktów materialnych

_19 -j

gdzie pierwsze dwa wyrazy są energiami kinetycznymi układów A i B, a trzeci wyraz — ich wspólną energią potencjalną. Podstawiając zamiast gp dane funkcje czasu i odrzucając wyraz T((qB(0),

ds(0)) zależny tylko od czasu (i dlatego będący zupełną

pochodną pewnej funkcji czasu), otrzymujemy

La = Ta(qa, da) — U(qa. 980). Tak więc ruch układu w polu zewnętrznym jest opisany przez funkcję Lagrange'a tego samego typu co poprzednio, z tą tylko różnicą, że teraz energia potencjalna zależy

od czasu w sposób jawny.

W przypadku ruchu jednej cząstki w zewnętrznym polu ogólna postać funkcji Lagrange'a jest dana wzorem

L = zmu” — U(r, 1),

a równania ruchu mają postać

du

mt=-——, ar

(5.6) (5.7)

Pole, w którego wszystkich punktach na cząstkę działa ta sama siła, nazywamy

polem jednorodnym. Energia potencjalna w polu jednorodnym jest równa

WUEJ-E.r>

(5.8)

Na zakończenie tego paragrafu podamy jeszcze następującą wskazówkę, ważną przy

stosowaniu równań Lagrange'a do rozwiązywania różnych zadań. Często spotyka się

takie układy mechaniczne, w których oddziaływanie między ciałami (punktami materialnymi) ma charakter więzów, tzn. warunków ograniczających wzajemne położenie ciał. W praktyce takie więzy są realizowane poprzez rozmaite powiązanie ciał różnymi

prętami, nićmi, przegubami itp. Wnosi to do ruchu nowy czynnik. Mianowicie, w czasie ruchu ciał pojawia się tarcie w miejscach ich styku, w rezultacie zagadnienie ruchu wy-

kracza na ogół poza ramy czystej mechaniki (patrz $ 25). Jednak w wielu przypadkach

tarcie w układzie jest tak słabe, że można nie uwzględniać jego wpływu na ruch. Je-

żeli przy tym można również zaniedbać masy elementów wiążących układ, to rolę tych ostatnich sprowadzi się po prostu do zmniejszenia liczby stopni swobody (w porównaniu z 3N). Ruch układu mechanicznego określamy wtedy za pomocą funkcji Lagrange'a

postaci (5.5), przyjmując tyle niezależnych współrzędnych uogólnionych, ile faktycznie występuje stopni swobody.

Zadania

Podać funkcję Lagrange'a następujących układów znajdujących się w jednorodnym polu siły ciężkości (wartość przyspieszenia spadku swobodnego oznaczamy przez. g):

1. Podwójne wahadło płaskie (rys. 1).

Rozwiązanie. Jako współrzędne wybieramy kąty 9, i ga utworzone z kierunkiem pionu przez nici I, i p. Dla punktu m, mamy wtedy T =imli$y,

U =—migli cosp,.

[29

!- Równania ruchu

my

Rys. I

Aby podać energię kinetyczną drugiego punktu, wyrażamy jego współrzędne kartezjańskie x, y» (początek układu współrzędnych znajduje się w punkcie zawieszenia, oś y skierowana jest

w dół w kierunku pionu) przez kąty gy, 9a:

% =lisinp, +bsing>,

Stąd otrzymujemy

T = Hm

y = liC0S9, + b Cosgy.

+ $) = mój + Eóż + 2 cos(g, — 0239,62].

W rezultacie

L =

(m +m)RG + tmalz63 + malo CoS(91 — 2) + (mi + ma)gl, cos p, + magl COS >.

2. Płaskie wahadło o masie m zawieszone na punkcie materialnym o masie m, mogącym poruszać się po prostej poziomej (rys. 2).

Rozwiązanie. Wprowadzając współrzędne x punktu m, i kąt p między nicią wahadła a pio-

nem, otrzymujemy

L=

tm + m)ż? + zm(-ó? + 2lib cos 9) + magl cos.

3. Płaskie wahadło, którego punkt zawieszenia:

a) porusza się jednostajnie po okręgu leżącym w płaszczyźnie pionowej, ze stałą częstością

y (rys. 3);

b) wykonuje poziome drgania opisane przez funkcję a cosyt; ©) wykonuje pionowe drgania w myśl prawa a cosy

$5. Funkcja Lagrange'a układu punktów materialnych

21

Rozwiązanie. a) Współrzędne punktu m są równe: x=acosyt+lsinp, y = —asinyt +lcosp. Funkcja Lagrange'a mó + mlay” L == zml*$*

2 sin(o gi

— yt) + mgl cos;

h

opuściliśmy tutaj wyrazy zależące tylko od czasu oraz zupełną pochodną czasową wyrażenia maly cos(ę — 71). b) Współrzędne punktu m: x =acosyt +lsing,

=lCos9.

Funkcja Lagrange'a (po odrzuceniu zupełnych pochodnych) L = ;ml6? + mlay” cosyt sing + mgl cos.

c) W podobny sposób L = imP$? + mlay? cos yt cosę + mgl cosy.

4. Układ przedstawiony na rysunku 4. Punkt m; porusza się po osi pionowej, wokół której cały układ obraca się z prędkością kątową ©.

Rozwiązanie. Wprowadzamy kąt © między odcinkiem a a pionem oraz kąt p opisujący obrót układu wokół osi; b = ©. Dla każdego z punktów m, element długości wektora przesunięcia dany jest wyarażeniem dl? = a* d0* + a” sin* 6 dg”.

Dla punktu m; odległość od punktu zawieszenia A wynosi 2ac0s8 i dlatego dl, = —2a sin6 do. Funkcja Lagrange'a jest równa

L =m,a'(6* + Q*sin*9) + 2ma" sin” 6 6* + 2ga(m, + m) cos0.

-—---—-—-——-

Prawa zachowania

—

$ 6. Energia

Podczas ruchu stan układu mechanicznego jest określony przez 25 wielkości q; id; (i = 1,2,...,s) zmieniających się w czasie. Istnieją jednak funkcje tych wielkości zachowujące podczas ruchu stałą wartość zależną tylko od warunków początkowych. Funkcje te nazywają się całkami ruchu. Liczba niezależnych całek ruchu dla odosobnionego układu mechanicznego o s stopniach swobody jest równa 2 — 1. Wynika to z następującego prostego rozumowan Ogólne rozwiązanie równań ruchu zawiera 2s dowolnych stafyeiw (patrz s. 12). Ponieważ równania ruchu układu odosobnionego nie zależą jawnie od czasu, można więc w sposób dowolny wybrać początek odniesienia czasu, czyli jedna ze stałych dowolnych w rozwiązaniu równań może być zawsze wybrana jako stała ty addytywna do czasu Eliminując £ + t z 2 funkcji + to, Cy, Cz ++, C2s—1)» qi = qi(t

di = dilt + to, Cq, Ca, -.., Cas—1),

możemy 25 — 1 dowolnych stałych Cy, C», ..., C;_1 wyrazić jako funkcje q i 4 będące właśnie całkami ruchu.

Jednak nie wszystkie całki ruchu spełniają w mechanice jednakowo ważną rolę. Występują wśród nich takie, których stałość jest związana z podstawowymi własnościami

przestrzeni i czasu — z jednorodnością i z izotropowością. Odpowiadające tym całkom wielkości zachowujące stałą wartość podczas ruchu mają wspólną ważną własno: dytywności — ich wartość dla układu składającego się z nieoddziałujących część

równa sumie odpowiednich wartości dla każdej takiej części. Właśnie własność addytywności nadaje odpowiednim wielkościom szczególnie ważne znaczenie w mechanice. Załóżmy na przykład, że w ciągu pewnego czasu dwa

ciała oddziałują ze sobą. Ponieważ przed włączeniem się oddziaływania oraz po jego wygaśnięciu każda addytywna całka ruchu całego układu jest równa sumie odpowiednich

całek dla obydwu ciał z osobna, na podstawie praw zachowania można więc wyciągnąć

S6. Energia

23 —

wiele wniosków o stanach ciał po wygaśnięciu oddziaływania, jeżeli były znane ich stany przed włączeniem się oddziaływania. Przedyskutujemy najpierw zasadę zachowania związaną z jednorodnością czasu.

Wskutek tej jednorodności funkcja Lagrange'a układu odosobnionego nie zależy w sposób jawny od czasu. Dlatego zupełną pochodną czasową funkcji Lagrange'a można

zapisać następująco:

(jeże L zależałaby w sposób jawny od czasu, to do prawej strony powyższej równości

doszedlby wyraz z): Zamieniając pochodną -3L zgodhie z równaniami Lagrange'a d 0L A " na ——, otrzymujemy t ddj

lub

Widać stąd, że wielkość

(6.1)

nie zmienia się podczas ruchu układu odosobnionego, czyli jest jedną z całek ruchu tego układu. Wielkość ta nazywa się energią układu. Addytywność energii wynika bezpośrednio z addytywności funkcji Lagrange'a, gdyż energia zgodnie z (6.1) wyrażona jest przez funkcję Lagrange'a za pośrednictwem operacji liniowych. Zasada zachowania energii jest spełniona nie tylko dla układu odosobnionego, lecz również dla układów znajdujących się w stałym (tzn. niezależnym od czasu) polu zewnętrznym. W tym bowiem przypadku, tak jak i poprzednio, funkcja Lagrange'a nie zależy w sposób jawny od czasu; a to był jedyny warunek, z którego korzystaliśmy przy wyprowadzaniu zasady zachowania energii. Układy mechaniczne, których energia jest zachowana, nazywa się czasami układami zachowawczymi. W $5 zostało już pokazane, że funkcja Lagrange'a układu odosobnionego (lub znajdującego się w stałym polu) ma postać L = T(q,4) — U(9), gdzie T jest formą kwadratową prędkości. o funkcjach jednorodnych, otrzymamy

Stosując do T' znane

twierdzenie

Eulera

Podstawiając tę wartość do (6.1), znajdujemy

E = T(q,4) + U(9);

(6.2)

c 24

II. Prawa zachowania

tak więc w kartezjańskim układzie współrzędnych

E= Jy Hmadż + U(Fy, Fa, -.).

a

(6.3)

Energię układu można zatem przedstawić w postaci sumy dwóch różnych wyrazów: energii kinetycznej zależnej od prędkości i energii potencjalnej zależnej tylko od współrzędnych cząstek.

S$ 7. Pęd Inne prawo zachowania jest konsekwencją jednorodności przestrzeni. Wobec jednorodności przestrzeni własności mechaniczne układu odosobnionego nie

zmieniają się przy dowolnym równoległym przesunięciu całego układu w przestrzeni. Rozpatrzmy więc nieskończenie małe przesunięcie o odcinek e i zażądajmy, żeby funkcja Lagrange'a nie zmieniała się przy takim przesunięciu. Równoległe przesunięcie jest przekształceniem, przy którym wszystkie punkty układu są przesuwane 0 ten sam odcinek, czyli wszystkie promienie wodzące ra — r, + e. Pod wpływem takiego nieskończenie małego przesunięcia współrzędnych, niezmieniającego prędkości cząstek, funkcja Lagrange'a zmienia się o wielkość L

yte?

Say

9L

b ny”

gdzie sumowanie obejmuje wszystkie punkty materialne układu. Wobec dowolności e warunek 5L = 0 jes równoważny warunkowi

AL

Dare

0.

a

(0.1)

Stąd na podstawie równań Lagrange'a (5.2) otrzymujemy d

dL

d

0L

I ariówstojda 22 ayzj 0

Doszliśmy zatem do wniosku, że w odosobnionym układzie mechanicznym wielkość wektorowa 3L

P

(7.2) — dwa nie zmienia się w czasie ruchu. Wektor P nazywa się pędem* układu. Różniczkując funkcję Lagrange'a (5.1), stwierdzamy, że pęd zależy od prędkości punktów w sposób następujący:

P= V | maXa.

«

(7.3)

Addytywność pędu jest oczywista. Co więcej, w odróżnieniu od energii, pęd układu jest równy sumie pędów R miś

poszczególnych cząstek niezależnie od oddziaływania zachodzącego między nimi. istoryczną nazwą pędu jest ilość ruchu.

S1.Rd 25 Zasada zachowania wszystkich składowych

wektora pędu jest słuszna tylko przy

niewystępowaniu poła zewnętrznego. Jednak poszczególne składowe pędu mogą być zachowane również w obecności pola, jeżeli energia potencjalna w tym polu nie zależy od którejś ze współrzędnych kartezjańskich. Przy przesunięciu wzdłuż tej osi układu współrzędnych, od której energia nie zależy, własności mechaniczne układu punktów oczywiście nie zmieniają się, a tym samym rzut pędu na tę oś pozostaje zachowany. Na przykład w jednorodnym polu skierowanym wzdłuż osi z składowe pędu w kierunku x i y są zachowane. Równość (7.1) będąca punktem wyjścia w powyższych rozważaniach ma proste znaczenie fizyczne. Pochodna —— = —— jest równa sile F, działającej na a-tą cząstkę. dra

dr,

Równość (7.1) stwierdza więć, że suma sił działających między wszystkimi cząstkami tworzącymi układ odosobniony jest równa zeru:

(1.4)

W szczególnym przypadku, dla układu składającego się z dwóch punktów materialnych, F|+F; = 0; czyli pierwsza cząstka działa na drugą siłą, równą co do wielkości sile, jaką druga działa na pierwszą, lecz przeciwnie do tej drugiej siły skierowaną. Stwierdzenie to znane jest jako zasada równego działania i oddziaływania, czyli akcji i reakcji. Jeżeli ruch opisuje się za pomocą współrzędnych uogólnionych q;, to pochodne funkcji Lagrange'a względem prędkości uogólnionych 0L

P=z>

Odi

(7.5)

nazywają się pędami uogólnionymi, a pochodne względem współrzędnych uogólnionych

i=zęqiJĄ

(1.6)

Di = Fi.

(7.7)

siłami uogólnionymi. Posługując się tymi oznaczeniami, równania Lagrange'a można zapisać w postaci

W kartezjańskim układzie współrzędnych pędy uogólnione są równe składowym wektorów p,. Natomiast w przypadku ogólnym wielkości p; są liniowymi jednorodnymi funkcjami prędkości uogólnionych 4; i nie sprowadzają się do iloczynów masy i prędkości.

Zadanie

Cząstka o masie m poruszająca się z prędkością v, przechodzi z półprzestrzeni, w której jej energia potencjalna była stała i równa U,, do półprzestrzeni, gdzie energia jest w dalszym ciągu stała, lecz równa U,. Określić zmianę kierunku ruchu cząstki.

Rozwiązanie. Energia potencjalna nie zależy od współrzędnych skierowanych wzdłuż osi równoległych do płaszczyzny dzielącej wspomniane półprzestrzenie, dlatego rzut pędu cząstki na tę płaszczyznę pozostaje zachowany. Oznaczając przez 9, i 6, kąty między normalną do

[ 26.

Il Prawa zachowania

płaszczyzny podziału a wektorami prędkości v, i v» cząstki przed i po przejściu przez tę płaszczyznę, otrzymujemy: v, sin6, = v:sinó;. Ponieważ związek między w, i v jest dany przez zasadę zachowania energii, znajdujemy

$ 8. Środek masy

Pęd odosobnionego układu mechanicznego ma różne wartości w różnych (inercjalnych) układach odniesienia. Jeżeli układ odniesienia K” porusza się względem układu K z prędkością V, to prędkości cząstek V, i va względem tych układów odniesienia spełniają związek Va = v, + V. Dlatego pędy P i P' w tych układach są z sobą związane Ównością

ECK

lub

P =)" mava = ) mV, +V) ma a a a

P=P+V)/m,.

(8.1)

Istnieje więc zawsze taki układ odniesienia K”, w którym całkowity pęd jest równy

zeru. Podstawiając do (8.1) P' = 0, otrzymujemy prędkość tego układu odniesienia V=

e

Za

X MaVa

D0ma

(8.2)

Jeżeli całkowity pęd układu mechanicznego jest równy zeru, to mówimy, że układ punktów spoczywa względem odpowiedniego układu odniesienia. Jest to naturalne

uogólnienie pojęcia spoczynku pojedynczego punktu materialnego. Podobnie, prędkość V daną wzorem (8.2) uważa się za prędkość ruchu jako „całości” układu mechanicznego

0 pędzie różnym od zera. Widzimy więc, że zasada zachowania pędu pozwala w spo-

sób naturalny sformułować pojęcie spoczynku i prędkości układu mechanicznego jako całości.

Wzór (8.2) wskazuje, że między pędem P i prędkością V układu jako całości za-

chodzi taki sam związek, jaki zachodziłby między pędem i prędkością pojedynczego punktu materialnego o masie j1 = ) m, równej sumie mas wszystkich cząstek układu. Powyższy wniosek można interpretować jako stwierdzenie, że masa ma własność ad-

dytywności.

Prawą stronę wzoru (8.2) można przedstawić w postaci zupełnej pochodnej czasowej wyrażenia R=

A Mata

X ma

(8.3)

Można uważać, że prędkość układu jako całości jest prędkością przemieszczania się w przestrzeni punktu, którego wektor wodzący jest dany wzorem (8.3). Punkt taki nazywa

się środkiem masy układu.

$$. Środek masy

27 -]

Zasadę zachowania pędu układu odosobnionego można sformułować w sposób rów-

noważny: środek masy układu odosobnionego porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Powyższa postać zasady zachowania pędu jest uogólnieniem zasady bezwładności wprowadzonej w $ 3 dla pojedynczego punktu materialnego, który pokrywa się ze swoim „środkiem masy”.

Własności mechaniczne układu odosobnionego najwygodniej bada się w tym układzie odniesienia, w którym jego środek masy spoczywa. Tym samym eliminuje się z rozważań nieinteresujący jednostajny i prostoliniowy ruch układu jako całości.

Energię układu mechanicznego spoczywającego jako całość nazywa się zazwyczaj energią wewnętrzną ZE, układu. Na tę energię składa się energia kinetyczna ruchu względnego cząstek układu oraz energia potencjalna charakteryzująca ich wzajemne od-

działywanie. Natomiast całkowita energia układu poruszającego się jako całość z pręd-

kością V jest równa

E=!IuV*+Ey.

(8.4)

Mimo iż wzór ten jest zupełnie oczywisty, podamy jego proste wyprowadzenie. Energie E i E' układu mechanicznego w dwóch układach odniesienia K i K' speł-

niają związek

E

1Y) maż

+U = 3) maly, + W) +U

= LV? +V) |mav, + D ) żmavę +U

«

czyli

a

E=E+V-P+żuVv".

(8.5)

Wzór ten określa sposób transformacji energii przy zmianie układu odniesienia, podobnie jak wzór (8.1) określał sposób transformacji pędu. Jeżeli w układzie K' środek masy spoczywa, to P' = 0, E' = E, i wżór (8.5) sprowadza się do wzoru (8.4). Zadanie

Znaleźć prawo transformacyjne wiążące wartości działania w dwóch różnych układach inercjalnych K i K'. Rozwiązanie. Funkcja Lagrange'a, równa różnicy energii kinetycznej i potencjalnej, przekształca się oczywiście zgodnie ze wzorem analogicznym do (8.5): L=L+V-P +żpV?.

Całkując powyższą równość względem czasu, znajdujemy szukane prawo transformacyjne całki działania:

S=S+uV-R'+inV?t,

gdzie R' jest wektorem wodzącym środka masy względem układu K".

[ 28.

II. Prawa zachowania

$ 9. Moment pędu Zajmiemy się teraz wyprowadzeniem zasady zachowania związanej z izotropowo-

ścią przestrzeni.

Izotropowość ta oznacza, że własności mechaniczne układu odosobnionego nie zmie-

niają się przy dowolnym obrocie układu jako całości. W związku z powyższym rozpa-

trzymy nieskończenie mały obrót układu i zażądamy, żeby funkcja Lagrange'a tego

układu przy tym obrocie nie zmieniała się. Nieskończenie mały obrót charakteryzujemy przez wektor 8 równoległy do osi obrotu, którego wartość bezwzględna jest równa kątowi obrotu 60 (zwrot tego wektora

jest związany ze zwrotem obrotu regułą śruby).

Zastanowimy się najpierw, jak zmieni się pod wpływem takiego

obrotu długość wektora wodzącego dowolnego punktu materialnego rozważanego układu mechanicznego, wyprowadzonego z początku

układu odniesienia leżącego na osi obrotu. Liniowa część przyrostu wektora wodzącego wyrażona jest przez kąt obrotu następująco:

|ór| = r sin689

(rys. 5). Wektor ór jest prostopadły do płaszczyzny przechodzącej przez wektory r i 89. Dlatego 5r = 89 x r. (9.1) Rysz5

Podczas obrotu układu zmieniają kierunek nie tylko wektory wo-

dzące, lecz również wektory prędkości wszystkich cząstek; przy czym wszystkie wektory transformują się jednakowo. Dlatego pod wpływem obrotu wektor prędkości przyrasta o wektor

8Y=B9xV.

(9.2)

Powyższe wyrażenie podstawiamy do warunku niezmienniczości funkcji Lagrange'a

przy obrocie

pochodne

8L A

8L zamieniamy zgodnie z definicją na p,, a pochodne ar. zgodnie z rów-

naniami Lagrange'a na p,. W rezultacie otrzymujemy

) (6a: 69 x ra) + Pa - (89 x va) = 0

lub, przeprowadzając przed znak sumy

cykliczną

zmianę

kolejności

czynników,

d

R możemy

89: ) (ra x Ba + Va X Pa) = 89: qq ) (ra * pa) =0.

6

Stąd, wobec dowolności 69, wynika, że d

i Z

x pa) = 0,

©

wynieść

89

$9. Moment pędu

29

czyli doszliśmy do wniosku, że w czasie ruchu układu odosobnionego pozostaje zachowana wielkość wektorowa

M=) (r, x pa),

(9.3)

zwana momentem pędu układu. Addytywność tej wielkości jest oczywista, przy czym, podobnie jak w przypadku pędu, nie zależy ona od oddziaływania między cząstkami.

Przeprowadzone tu rozważania wyczerpują addytywne całki ruchu. Każdy układ odosobniony ma zatem siedem takich całek: całkę energii, sześć całek pędu i momentu pędu.

Ponieważ moment pędu jest określony za pomocą wektorów wodzących cząstek, jego

wartość zależy na ogół od wyboru początku układu współrzędnych. Wektory wodzące

r, i r, tego samego punktu materialnego wyprowadzone z różnych początków, między którymi odległość wynosi a, spełniają związek: r, = r' + a. Dlatego

M=)fr, x pa) = D(e, x pa) +a x )(pa lub

M=M +axP.

(9.4)

Z powyższego wzoru wynika, że tylko w przypadku układów, które spoczywają jako całości (tzn. P = 0), moment pędu nie zależy od wyboru początku układu współrzęd-

nych. Powyższa nieokreśloność wartości momentu pędu nie ma oczywiście wpływu na jego zasadę zachowania, gdyż w przypadku układu odosobnionego również pęd zostaje zachowany.

Wyprowadzimy także związek między wartościami momentu pędu w dwóch różnych inercjalnych układach odniesienia K i K', z których drugi porusza się względem pierwszego z prędkością V. Zakładamy przy tym, że w danej chwili początki ukła-

dów współrzędnych w układach K i K' pokrywają się. Wtedy w obu tych układach cząstki mają te same wektory wodzące, natomiast wektory prędkości spełniają związki

Va =V, + V. Dlatego

M=) malta x v.) = V | malta xw) + X ma(ra x V).

Pierwsza suma po prawej stronie powyższej równości jest momentem M” w układzie K'; drugą sumę możemy przekształcić, korzystając z definicji (8.3) wektora wodzącego Środka masy; w rezultacie otrzymujemy M=M +uRxV. (9.5) Wzór ten określa sposób transformacji momentu pędu przy zmianie układu odniesienia;

jest on analogiczny do wzorów (8.1) i (8.5) dla energii i pędu. Jeżeli w układzie odniesienia K” dany układ mechaniczny spoczywa jako całość, to

V jest prędkością środka masy układu, a eV jego pędem całkowitym P (względem K). Wtedy

M=M

+RxP.

(9.6)

(EE 30

II. Prawa zachowania

Innymi słowy, moment pędu M układu mechanicznego jest sumą „własnego” momentu

pędu względem układu odniesienia, w którym dany układ spoczywa oraz momentu pędu R xP związanego z jego ruchem jako całością. Zasada zachowania wszystkich składowych momentu pędu (względem dowolnego punktu obranego za początek układu współrzędnych) jest słuszna tylko w przypadku

układów odosobnionych, jednak w postaci ograniczonej zasada ta może być spełniona również w przypadku układów znajdujących się w polu zewnętrznym. Z przytoczonego powyżej rozumowania natychmiast wynika, że zawsze jest zachowany rzut momentu pędu na oś będącą osią symetrii danego pola, gdyż wtedy własności mechaniczne układu nie będą zmieniać się przy obrotach wokół tej osi; moment pędu musi być oczywiście określony względem dowolnego punktu leżącego na tej osi.

Bardzo ważnym tego rodzaju przypadkiem jest pole o centralnej symetrii, tj. pole,

w którym energia potencjalna zależy tylko od odległości od pewnego określonego punktu (centrum pola) przestrzeni. Podczas ruchu w takim polu rzuty momentu pędu na do-

wolną oś przechodzącą przez centrum pola oczywiście są zachowane. Innymi słowy, pozostaje zachowany wektor M momentu

pędu określonego względem centrum pola,

a'nie względem dowolnego punktu, tak jak w przypadku układu odosobnionego.

Innym przykładem tego typu będzie pole jednorodne skierowane na przykład wzdłuż

osi z. W takim polu są zachowane składowe M, momentu pędu względem dowolnego

punktu.

Zauważmy, że rzut momentu pędu na dowolną oś (nazwijmy ją osią z) jest równy sumie pochodnych funkcji Lagrange'a 9L M.= > 9.7,

ś Du Sia

0.7)

gdzie p jest kątem obrotu wokół osi z. Wynika to od razu z przytoczonego powyżej dowodu zasady zachowania momentu pędu. Można się również o tym przekonać za

pomocą bezpośrednich obliczeń. W cylindrycznym układzie współrzędnych r, g, z, po

podstawieniu xa = ra COS 9a, Ja = ra SIN ga, mamy

X) ma(taja — ata) = )| marąda-

(9.8)

Z drugiej strony, powyższe wyrażenie można otrzymać, podstawiając funkcję Lagrange'a w cylindrycznym układzie współrzędnych 1X mal + radą + żę) — U do wzoru (9.7).

Zadania

1. Znaleźć składowe kartezjańskie oraz moduł momentu pędu cząstki w cylindrycznym układzie współrzędnych r, , z. Odpowiedź: M, = msinp(rż — zi) — mrzó cosg,

$ 10. Podobieństwo mechaniczne

31 —

M, = mcosy(zi — rż) — mrzósino, M. = mr*ó, M? =mr$(" + 27) + m (rż — z6).

2. To samo w sferyczńym układzie współrzędnych 7, 6, p. Odpowiedź: M, = —mr"(6 sing + bsin6 cos6 cosy), M, = mr*(6 cosy — $sinf cos6 sing),

M, = mr*ósin'0, = m*r*(6* + 6? sin” 6).

3. Jakie składowe pędu P i momentu pędu M pozostają zachowane w przypadku ruchu w następujących polach: a) W polu pochodzącym od nieskończonej jednorodnej płaszczyzny. Odpowiedź: P,, P,, M. (za nieskończoną płaszczyznę przyjmujemy płaszczyznę xy). b) W polu pochodzącym od nieskończonego jednorodnego walca. Odpowiedź: M., P. (za oś walca przyjmujemy oś z). ©) W polu nieskończonego jednorodnego granistosłupa. Odpowiedź: P. (krawędzie boczne graniastosłupa są równoległe do osi z). d) W polu pochodzącym od dwóch punktów. Odpowiedź: M. (punkty znajdują się na osi z). e) W polu nieskończonej jednorodnej półpłaszczyzny. Odpowiedź: P, (za nieskończoną półpłaszczyznę przyjmujemy część płaszczyzny xy ograniczonej osią y). f) W polu jednorodnego stożka. Odpowiedź: M. (oś stożka jest osią z). g) W polu jednorodnego kołowego torusa. Odpowiedź: M. (oś z jest osią torusa). h) W polu nieskończonej jednorodnej linii śrubowej. Rozwiązanie. Funkcja Lagrange'a nie zmienia się przy obrocie wokół osi śruby (oś z) o kąt h (h jest skokiem 50 oraz przy jednoczesnej translacji w kierunku osi z o odcinek równy dy x śruby). Dlatego

a stąd

S$ 10. Podobieństwo mechaniczne Pomnożenie funkcji Lagrange'a przez dowolny stały czynnik nie zmienia oczywiście równań ruchu. Własność ta (wspomniana już w $ 2) pozwala w wielu przypadkach

otrzymywać pewne ważne informacje o własnościach ruchu, unikając całkowania równań ruchu.

[32_

II. Prawa zachowania

Z przypadkiem takim spotykamy się, gdy energia potencjalna jest jednorodną funkcją współrzędnych, tzn. funkcją spełniającą warunek

U(ar, ar», ..., ar,) = a*U(,r2,-..,Tn),

(10.1)

gdzie a jest dowolną stałą, a liczba k stopniem jednorodności funkcji. Wykonamy przekształcenie polegające na pomnożeniu wszystkich współrzędnych przestrzennych przez stały czynnik © oraz zmiennej czasowej przez stały czynnik B Bt.

t—

Ara,

Ta

dra » A Wszystkie prędkości v, = ha zostaną więc pomnożone przez czynnik- a /8, a energiah kinetyczna przez a? /8?. Natomiast energia potencjalna zostaje pomnożona przez a*.

Jeżeli a i

zostaną związane ze sobą warunkiem aż

,

ge

tn.

P=a

"2,

to w wyniku takiego przekształcenia funkcja Lagrange'a zostanie pomnożona przez stały

współczynnik a*, czyli równania ruchu nie zmienią się. Pomnożenie wszystkich współrzędnych cząstek przez jednakowy czynnik jest przejściem do nowych torów, które są geometrycznie podobne do torów wyjściowych, a więc

różnią się od nich jedynie rozmiarami liniowymi. Doszliśmy zatem do wniosku, że jeżeli energia potencjalna jest jednorodną funkcją stopnia k współrzędnych kartezjańskich, to równania ruchu dopuszczają tory geometrycznie podobne, przy czym czasy ruchu (między odpowiadającymi sobie punktami torów) mają się do siebie tak, jak pNIK/2 7

75 (7)

.

(10.2)

gdzie /'// jest stosunkiem liniowych rozmiarów dwóch torów. Stosunek /'// wyznacza nie tylko stosunek czasów, lecz również stosunki wartości dowolnych wielkości mechanicznych w odpowiadających sobie punktach torów i odpowiadających sobie chwilach. Tak więc dla prędkości, energii i momentu pędu mamy y

INK

7 = (7)

pr

INE

, 5-01):

M

m=(7)

pNHK/2

.

(10.3)

Powyższe rozważania zilustrujemy kilkowa przykładami.

W dalszych rozdziałach książki będzie pokazane, że w przypadku tzw. małych drgań

energia potencjalna jest formą kwadratową współrzędnych (k = 2). Na podstawie (10.2) wnioskujemy więc, że okres takich drgań nie zależy od ich amplitudy. W jednorodnym polu sił energia potencjalna jest liniową funkcją współrzędnych (patrz (5.8)), tzn. k = 1. Z (10.2) otrzymujemy więc

th

9

je

WK

Stąd zaś wynika, że na przykład przy spadku swobodnym w polu ciężkości kwadraty

czasów

spadku ciał są proporcjonalne do wysokości, na których ciała początkowo

znajdowały.

się

Ś 10. Podobieństwo mechaniczne

33 —

W przypadku newtonowskiego przyciągania się dwóch mas lub w przypadku kulombowskiego oddziaływania dwóch ładunków energia potencjalna jest odwrotnie proporcjonalna do odległości między cząstkami, czyli jest jednorodną funkcją stopnia k = —1. W przypadkach tych

p

3/2

r

e" (7)

i możemy twierdzić, że na przykład kwadraty czasów obiegu po orbitach są proporcjonalne do sześcianów rozmiarów orbit (jest to tzw. trzecie prawo Keplera).

Jeżeli układ mechaniczny, którego energia jest funkcją jednorodną współrzędnych,

porusza się w ograniczonym obszarze przestrzeni, to spełniony jest prosty związek mię-

dzy czasowymi średnimi wartościami energii kinetycznej i potencjalnej — twierdzenie to znane jest pod nazwą twierdzenia o wiriale.

Ponieważ energia kinetyczna T' jest formą kwadratową prędkości, więc na mocy

twierdzenia Eulera o funkcjach jednorodnych mamy 7

va | =2T

z (5

OT lub, wprowadzając pędy 3 y

+.)

Pa, otrzymujemy

2T = 3 (pa - va) = (w. -r0) - JUG Bo).

(10.4)

Równość tę uśrednimy względem czasu. Wielkość f=lim-|

1

1% T

f(0) dt, o

gdzie f(1) jest dowolną funkcją czasu, nazywa się wartością średnią tej funkcji. Łatwo można się przekonać, że jeżeli f(t) jest pochodną czasową, tzn. f(t) =

dF(t)

„ pewnej

ograniczonej (tzn. nieprzyjmującej nieskończonych wartości) funkcji F'(£), to jej wartość

Średnia jest równa zeru. Rzeczywiście z

f

=

lim

|

1 (dE — | —dt=

a T

o

dt

Załóżmy, że układ mechaniczny

lim

„_

b

F(z) — F(0) ———— = T

porusza się w skończonym obszarze przestrzeni

i jego prędkości nie przyjmują wartości nieskończonych. Wtedy wiełkość )|„(ra * Pa)

jest ograniczona i średnia wartość pierwszego wyrazu po prawej stronie równości (10.4) jest równa zeru. W drugim wyrazie, na mocy równań Newtona, p, zastępujemy przez 3U . —— i otrzymujemy*

a

R |

U

21 -P(r-zz).

(10.5)

*Wyrażenie występujące po prawej stronie równości (10.5) nazywa się niekiedy wiriałem układu mechanicznego.

[EE 34

II. Prawa zachowania

Jeżeli energia potencjalna jest funkcją jednorodną stopnia k wszystkich wektorów wodzących r,, to na mocy twierdzenia Eulera równość (10.5) przechodzi w szukany związek 2T =kU. nych

(10.6)

Ponieważ T + U = E = E, związek (10.6) można zapisać w postaciach równoważ=

2

(10.7)

k+2

wyrażających U i T' za pomocą całkowitej energii układu.

W przypadkach małych drgań (k = 2) mamy T=U,

czyli średnie wartości energii kinetycznej

i energii potencjalnej

są sobie równe.

Dla

oddziaływania newtonowskiego (k = —1) zachodzi

27 =—U.

Na mocy (10.7) otrzymujemy zaś E —T, co jest zgodne z tym, że przy tego rodzaju oddziaływaniu układ porusza się w ończonych przedziałach przestrzeni tylko przy ujemnej energii całkowitej (patrz $ 15). Zadania 1. W jakim stosunku pozostają do siebie czasy ruchu punktów o różnych masach poruszających się po jednakowych torach i mających tę samą energię potencjalną? Odpowiedź: e_ [m 1 Vm

2. Jak zmienia się czas ruchu po jednakowych torach przy zmianie energii potencjalnej o stały czynnik? Odpowiedź:

| | ———

Całkowanie równań ruchu

—

$ II. Ruch jednowymiarowy Ruchem jednowymiarowym nazywamy ruch układu o jednym stopniu swobody. Najbardziej ogólną postacią funkcji Lagrange'a takiego układu, podlegającego działaniu sił zewnętrznych niezależnych od czasu, jest

L = ta(q)ś? — U(9),

(11.1)

L = imi? — U(x).

(1.2)

gdzie a(q) jest pewną funkcją współrzędnej uogólnionej q. Jeżeli q jest współrzędną kartezjańską (nazwijmy ją x), to

Równania ruchu odpowiadające powyższym funkcjom Lagrange'a można scałkować w przypadku ogólnym. W tym celu nie potrzeba nawet wypisywać samego równania ruchu, a wystarczy wyjść z jego całki pierwszej wyrażającej prawo zachowania energii. W przypadku funkcji Lagrange'a (11.2) mamy więc

zmi? + U(%) = E.

Powyższe równanie różniczkowe pierwszego rzędu całkuje się przez rozdzielenie zmiennych. Mamy

dx 2 R WEJE

dt

ml

UG).

stąd zaś

t= fg "V2]J

gpg

JE-UG0)

ts

a

(11.3) "

Dowolnymi stałymi całkowania w rozwiązaniu równania ruchu są tu całkowita ener-

gia E i stała całkowania const.

Ponieważ energia kinetyczna jest wielkością określoną dodatnio, podczas ruchu ener-

gia całkowita zawsze jest więc większa od energii potencjalnej, czyli ruch może odbywać się tylko w tych przedziałach przestrzeni, gdzie U(x) < E.

[36

Ill Całkowanie równań ruchu

Niech na przykład wykres funkcji U (x) ma kształt przedstawiony na rysunku 6. Pro-

wadząc na tym wykresie prostą poziomą odpowiadającą danej wartości energii całkowi-

tej, od razu otrzymujemy obszary, w których ruch jest możliwy. Tak więc w przypadku

zilustrowanym na rysunku 6 ruch może zachodzić tylko w obszarze AB lub w obszarze

na prawo od punktu C.

x

3

x

Rys. 6 Punkty, w których energia potencjalna jest równa energii całkowitej

(11.4)

U(x)=E,

są punktami ograniczającymi obszary, w których ruch może zachodzić*. Punkty te są chwilowymi punktami spoczynku, gdyż prędkość w tych punktach jest równa zeru. Jeżeli obszar, w którym zachodzi ruch jest ograniczony dwoma takimi punktami, a więc

jest obszarem skończonym,

to ruch nazywamy

ruchem skończonym. Jeżeli natomiast

obszar, w którym odbywa się ruch, jest obszarem nieskończonym, ruch nazywamy ru-

chem nieskończonym. W czasie takiego ruchu cząstka oddala się nieograniczenie lub

przybywa z nieskończoności. Jednowymiarowy ruch skończony jest ruchem drgającym — cząstka wykonuje okre-

sowo powtarzający się ruch między dwoma punktami zwrotu (na rys. 6 będzie to ruch w

jamie potencjału AB między punktami x, i x»). Przy tym, zgodnie z ogólną własnością odwracalności ruchu (patrz s. 17), czas ruchu od x; do x jest równy czasowi ruchu

odwrotnego od x» do x,. Dlatego okres drgań 7, tzn. czas, w którym punkt przechodzi od x, do x i z powrotem, jest równy podwójnemu

odcinka xx», czyli zgodnie z (11.3)

r3=m

xz(E)

|

x(E)

czasowi potrzebnemu na przebycie

SAI

(11.5)

przy czym granice całkowania x; i x są pierwiastkami równania (11.4) dla ustalonej wartości E. Wzór ten określa okres ruchu w zależności od całkowitej energii cząstki. *Są to tzw. punkty zwrotu (przyp. iłum.).

S II. Ruch jednowymiarowy

_37 -

Zadania 1. Określić okres drgań płaskiego wahadła matematycznego (utworzonego przez punkt o masie m umieszczony na końcu nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości / w polu ciężkości) w zależności od amplitudy.

Rozwiązanie. Energia wahadła wynosi 3

— Mglcosg = —mglcosg,

gdzie g jest kątem wychylenia nici od pionu, a gy maksymalną jego wartością. Okres wahadła jest równy czterokrotnemu czasowi potrzebnemu na przebycie przedziału kątowego od O do p. tak więc

d r=tfx PA,| myte” 2gJ ń /COSP=COS%

W wyniku podstawienia sin 5 jAsin + = sinę całka ta sprowadza się do postaci T=

gdzie

jpe(n%).

K(k) = pz ; v/l-ksin*$

jest tzw. całką eliptyczną pierwszego rodzaju w postaci Legendre'a. Przy założeniu, że sin 5 bz= 5 < | (małe drgania) rozwijamy funkcję K(k) w szereg potęgowy:

zę '(1+ TęLę+©

pP=

)-

Pierwszy wyraz tego rozwinięcia jest zgodny ze znanym wzorem elementarnym.

2. Określić okres drgań w zależności od energii dla ruchu cząstki o masie m w polach o energii potencjalnej: aU=Alx|". Odpowiedź:

T=2/2m

2/2mE'"Iń AŻMEAA

dx J0d (GL

| TE

Am

a

Po podstawieniu y” = u całka powyższa sprowadza się do tzw. całki B Eulera, którą można wyrazić przez funkcję /' Eulera

zZmmr (7)n

=

E

FUCRO 1

1

G 3:)

gin=ia

Zależność T od E jest zgodna z zasadą podobieństwa mechanicznego (10.2) i (10.3).

c 38

III. Całkowanie równań ruchu

U bDU=-——, cosh” ax Odpowiedź:

-U

Podstawiając te wyrażenia do (13.1), dostajemy

mt+mą

L = imi? — U(r).

Wprowadzona tu wielkość

mi

maja

my + mą

p,

13.2

GD

(13.3)

(13.4)

nazywa się masą zredukowaną. Funkcja (13.3) jest formalnie funkcją Lagrange'a jednego punktu materialnego o masie m, poruszającego się w zewnętrznym polu U(r) symetrycznym względem nieruchomego początku układu współrzędnych.

Zagadnienie ruchu dwóch oddziałujących punktów materialnych sprowadza się więc

do rozwiązania zagadnienia ruchu jednego punktu materialnego w danym z góry polu zewnętrznym U (r). Znając rozwiązanie r = r(r) zagadnienia ruchu jednego ciała i korzystając ze wzorów (13.2), można znaleźć tory r; = r;(() i r» = rz(t) każdego z punktów

m, i mą w układzie ich środka masy.

Zadanie Układ składa się z jednej cząstki o masie M i z n cząstek o jednakowych masach m. Oddzielić ruch środka masy i zagadnienie to sprowadzić do rozwiązania zagadnienia ruchu n cząstek.

Rozwiązanie. Niech R będzie wektorem wodzącym cząstki o masie M, a R, (a = 1,2,..., n) niech będą wektorami wodzącymi cząstek o masach m. Ruchy cząstek m względem cząstki M są opisane wektorami r, =R,-R. Umieszczając zaś początek układu współrzędnych w środku masy, mamy MR+m)R,=0.

$ 14. Ruch w polu centralnym

41

J

Z. powyższych równości znajdujemy R=Z)r,

ug

R.=R+r.,

gdzie . = M--nm jest masą całkowitą układu. Podstawiając te wyrażenia do funkcji Lagrange'a L=!MR*+1m$R;-U,

dostajemy gdzie v, Energia potencjalna zależy tylko od odległości między cząstkami i dlatego można ją przedstawić jako funkcję wektorów r,. $ 14. Ruch w polu centralnym Zagadnienie ruchu dwóch ciał sprowadziliśmy do zagadnienia ruchu jednego ciała

w polu zewnętrznym, w którym energia potencjalna ciała zależy tylko od jego odległoŚci r od określonego nieruchomego punktu; pole takie nazywa się polem centralnym.

Bezwzględna wartość wektora siły

F=—

AUG) __dUr

dr działającej na cząstkę zależy również tylko od r.

drr

Jak już wspominaliśmy w $ 9, podczas ruchu w polu centralnym jest zachowany moment pędu układu względem środka pola. W przypadku jednej cząstki jej moment

pędu jest równy

Ponieważ wektory M

M=rxp. i r są wzajemnie prostopadłe, stałość M

oznacza, że przy

ruchu cząstki jej wektor wodzący porusza się w płaszczyźnie prostopadłej do M. Tor ruchu cząstki w polu centralnym jest zatem krzywą płaską. Wprowadzając w płaszczyźnie tej krzywej współrzędne biegunowe r, p, możemy

napisać w postaci (por. (4.5))

L = Im( + r*67) 4 U(r).

funkcję Lagrange'a

(14.1)

Funkcja ta nie zależy od współrzędnej p. Każdą współrzędną uogólnioną q;, nie

wchodzącą w sposób jawny do funkcji Lagrange'a, nazywa się współrzędną cykliczną.

Na mocy równań Lagrange'a dla takiej współrzędnej mamy

dL odpowiadający współrzędnej cyklicznej jest całką ruczyli pęd uogólniony pi = z, chu. W związku z powyższymw przypadku występowania współrzędnych cyklicznych upraszcza się znacznie całkowanie równań ruchu.

[42

ll. Całkowanie równań ruchu

W naszym przypadku pęd uogólniony pę = mr jest składową M, = M momentu pędu (patrz (9.8)), a więc otrzymujemy znaną nam już zasadę zachowania momentu pędu

M = mr”$ = const.

(14.2)

Zauważmy, że w przypadku płaskiego ruchu jednej

cząstki w polu centralnym zasada ta ma prostą interpre-

tację geometryczną. Wyrażenie 3r -r dy jest powierzch

4

nią wycinka utworzonego przez dwa nieskończenie bli-

ra

skie wektory wodzące i przez element łuku toru (rys. 8). Oznaczając tę powierzchnię przez df/, możemy moment

o

pędu cząstki zapisać w postaci

M =2mj;

(14.3)

pochodną f nazywa się prędkością polową. Z zasady

zachowania momentu pędu wynika więc stałość prędkości polowej — w jednakowych odstępach czasu wektor wodzący punktu poruszającego się zakreśla jednakowe pola (jest to drugie prawo Keplera)". Rozwiązanie zagadnienia ruchu cząstki poruszającej się w polu centralnym uzyskuje

się najprościej, wychodząc z zasady zachowania energii i momentu pędu, nie wypisując

przy tym równań ruchu. Korzystając ze wzoru (14.2), wyrażamy $ przez M i podstawiamy to do wyrażenia na energię; otrzymujemy

sz

EG)

a

+")

m M2 U) ŁU) =—+— =—- + 2,5 UO) 8

14.4 (14.4)

Stąd

dr_ = |-[E-U(7][2 M2 jz— Mjąt Vim me lub, rozdzielając zmienne i całkując, otrzymujemy d | NR SZRECZE + const. —IE 55 m -U()]- mer

14.5 GZ

(14.6)

Wzór (14.2) możemy również zapisać w postaci

do = mr 5 dr; *Prawo zachowania momentu pędu cząstki poruszającej się w polu centralnym nazywa się niekiedy całką pól.

$ 14. Ruch w polu centralnym

43 -

eliminując stąd dt na mocy wzoru (14.5) i całkując, dostajemy

af

z dr + 2m[E

zt const.

(14.7)

— U(r)] — 2,

Wzory (14.6) i (14.7) przedstawiają ogólne a.

rozważanego zagadnienia.

Drugi z tych wzorów określa związek między r i p, czyli określa tor punktu materialnego.

Natomiast wzór (14.6) określa w sposób uwikłany odległość r między punktem mate-

rialnym i środkiem pola jako funkcję czasu. Zauważmy, że kąt p zmienia się w czasie zawsze monotonicznie, ze wzoru (14.2) widać bowiem, że $ nie zmienia nigdy znaku.

Wyrażenie (14.4) wskazuje na to, że część radialną ruchu można traktować jako

ruch jednowymiarowy w polu o „efektywnej” energii potencjalnej

2

Ue = U() + onzżł

(14.8)

Wielkość M?/2mr? nazywa się energią odśrodkową. Wartości r spełniające równanie 2

M UD +ząz=E

(14.9)

określają punkty ograniczające obszary, w których jedynie może odbywać się ruch. Dla

wartości r spełniających równość (14.9) prędkość radialna $ jest równa zeru. Nie oznacza

to jednak, że w punktach tych cząstka chwilowo spoczywa (tak jak w prawdziwym ruchu jednowymiarowym), gdyż prędkość kątowa $ nie musi być w nich równa zeru. Równość = 0 charakteryzuje więc punkty zwrotu toru, w których funkcja r(t) przyjmuje wartości ekstremalne.

Jeżeli obszar dopuszczalnych zmian r ograniczony jest tylko przez jeden warunek

TF > Tin, to ruch cząstki jest nieskończony; jej tor zaczyna się i kończy w nieskończo-

ności.

Jeżeli obszar zmian r ma dwa ograniczenia Fin I Fax, tO ruch jest ruchem skończo-

nym, a tor całkowicie leży wewnątrz pierścienia ograniczonego przez okręgi r = ryax

i r = rqin. Nie znaczy to jednak, że tor jest krzywą zamkniętą. W czasie gdy r zmienia swą wartoŚć Od Tmax dO rmin, A następnie z powrotem przemieszcza się o kąt Ag, równy zgodnie z (14.7)

do Tmax, Wektor wodzący

—M dr Koy) EF =. M? tam Jam(E — U) — Ty Ta

(14.10)

Tor będzie krzywą zamkniętą wtedy, gdy kąt powyższy będzie wymierną częścią kąta 2n, czyli gdy Ap = 2nm/n, gdzie m i n są liczbami całkowitymi. Wtedy po n okresach zmian r Od Fax dO Fynin i Z powrotem do ra, wektor wodzący punktu wykona m pełnych obrotów

zamknie.

i pokryje się z początkowym

wektorem

wodzącym,

czyli tor się

[4

Ill Całkowanie równań ruchu

Przypadki takie są jednak wyjątkami i dla dowolnej postaci U (r) kąt Ag nie będzie

wymierną częścią 27r. Dlatego na ogół tor ruchu skończonego nie jest krzywą zamkniętą.

Krzywa ta w nieskończenie wielu punktach będzie styczna do okręgów F = Fax i

F = Tmin (jak np. na rys. 9) i po czasie nieskończonym wypełni pierścień między tymi

okręgami.

Istnieją tylko dwa typy pól centralnych, w których wszystkie ruchy skończone mają

tory zamknięte. Są to pola, w których energia potencjalna cząstki jest proporcjonalna do 1/r lub do r”. Pierwszy z tych przypadków rozpatrzymy w następnym paragrafie,

a drugiemu odpowiada ruch tzw. oscylatora przestrzennego (patrz zad. 3 do $ 23). W punkcie zwrotu toru zmienia znak pierwiastek kwadratowy (14.5) (a wraz z nim wyrażenia podcałkowe w (14.6) i (14.7)). Jeżeli kąt p będziemy mierzyć względem

kierunku wektora wodzącego przechodzącego przez punkt zwrotu, to dowolne odcinki toru znajdujące się po dwóch stronach punktu zwrotu, których punkty końcowe mają tę

samą wartość współrzędnej r, będą się różnić tylko znakiem kąta p; oznacza to, że tor

jest symetryczny względem wspomnianego kierunku. Jeżeli więc prześledzimy odcinek

toru, zaczynając od dowolnego z punktów r = rmsx aż do najbliższego punktu, dla

którego F = Fmin, to przez sąsiedni punkt o Tmax musi przechodzić symetryczny do poprzedniego odcinek toru itd; oznacza to, że cały tor będzie się składał z odcinków powtarzających się w obu kierunkach zmian kąta p. Tę samą własność mają ruchy

nieskończone, których tory składają się z dwóch symetrycznych gałęzi wychodzących z punktu Zwrotu Fin do nieskończoności.

Występowanie energii odśrodkowej (w przypadku ruchów z M 4 0), dążącej do 00 dla r > 0 jak 1/r?, powoduje na ogół niemożliwość przechodzenia poruszających się cząstek przez centrum pola, nawet wtedy, gdy pole jest przyciągające. „Spadek” cząstki

do centrum jest możliwy tylko wtedy, gdy energia potencjalna dąży dostatecznie szybko

do —oo dla r + 0. Z nierówności

mi?

M?

27507 zn?

>0

S 14. Ruch w polu centralnym lub

PU

+ M

2

2m

45 —

Er

wynika, że r może przyjmować wartości dążące do zera jedynie wtedy, gdy jest spełniony

warunek

UG)

M?

r>0

eyn/0x jest siłą zewnętrzną działającą na układ w położeniu równowagi i jest daną funkcją czasu; funkcję tę oznaczamy przez F(t). Wobec tego do energii potencjalnej dochodzi

teraz wyraz —x F(t), a funkcja Lagrange'a układu przybiera postać L = zmś? — tka? + xF(0). Funkcji tej odpowiada równanie ruchu mi + kx = F(t) lub i+ox=

mLF(): wprowadziliśmy tu znowu częstość w drgań swobodnych.

(22.1)

(22.2)

Jak wiadomo, ogólne rozwiązanie niejednorodnego liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach jest sumą dwóch wyrażeń: x = Xg + x;, gdzie x9

$22. Drgania wymuszone

77

jest ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego, a x, całką szczególną równania niejednorodnego. W naszym przypadku x0 jest rozwiązaniem reprezentującym przedys-

kutowane w poprzednim paragrafie drgania swobodne.

Zajmiemy się teraz szczególnym, ważnym przypadkiem, kiedy siła zewnętrzna jest okresową funkcją czasu o częstości y:

F(t) = f cos(yt + B).

(22.3)

Poszukujemy szczególnego rozwiązania równania (22.2) w postaci x = b cos(yt + 8).

Podstawiając powyższą postać do równania (22.3), otrzymujemy b = f/[m(o? — y?)];

dodając rozwiązanie równiania jednorodnego, dostajemy całkę ogólną w postaci

x =acos(ot + a) +

i

m(o? — 72)

cos(yt + B).

(22.4)

Stałe dowolne a i « należy określić za pomocą warunków początkowych.

"Wobec tego, pod wpływem okresowej siły wymuszającej, układ wykonuje ruch będący złożeniem dwóch drgań — z częstością własną w i z częstością siły wymuszają-

cej y.

Rozwiązanie (22.4) nie jest słuszne w przypadku tzw. rezonansu, kiedy to częstość

siły wymuszającej jest równa częstości własnej układu. W celu znalezienia ogólnego rozwiązania równania ruchu w tym przypadku, przepisujemy wyrażenie (22.4), zmieniając

odpowiednio nazwy stałych *

x =acos(ot +0) +moż Dla y +

zs!

+ B) — cos(ot + B)].

o drugi wyraz jest wyrazem nieoznaczonym typu zero dzielone przez zero.

Stosując do niego regułę de L'Hospitala, otrzymujemy

OO

EL) Zńo

(22.5)

Tak więc w przypadku rezonansu amplituda drgań rośnie liniowo z czasem (dopóty, dopóki drgania nie przestaną być małe i można stosować wyłożoną tu teorię).

Zastanowimy się jeszcze, jak wyglądają małe drgania w pobliżu rezonansu, kiedy

to y = we, zespolonej

gdzie e jest wielkością małą. Ogólne rozwiązanie przestawimy w postaci

x = ei! 4 BeilO+O' — (Ą 4 Beiet)eiot,

(22.6)

*Równanie (22.2) dla y = w nie może być spełnione przez założoną w tekście postać x. Dlay = w trzeba by więc poszukiwać x, w innej postaci i na przykład zastąpić stałą b funkcją g(/), a B dowolną fazą 8. Po podstawieniu tak zmienionego x; do (22.2) należałoby dobrać możliwie prostą postać funkcji g(1) i wartość 6 tak, żeby spełnić równanie. Byłaby to standardowa metoda otrzymania rozwiązania (22.5). W metodzie natomiast przyjętej przez autorów korzysta się z dowolności stałych a i «, wydziela się z a część, która dąży do 00 dla y — w. a fazę tej części dobiera się tak, żeby całość miała granicę skończoną. Podobne metody są stosowane bardzo często w fizyce teoretycznej, zwłaszcza gdy nie istnieje bezpośrednia metoda prowadząca do wyniku. Chociaż tego rodzaju postępowanie może nieraz budzić sprzeciw matematyków, rozumowanie przyjęte w tej książce jest jak najbardziej matematycznie poprawne (przyp. tłum).

[78

V. Małe drgania

Ponieważ wielkość A + Be*' w czasie równym okresowi 2r/o (funkcji ei*') zmienia się

mało, ruch w pobliżu rezonansu można zatem uważać za małe drgania charaktery zujące się zmienną amplitudą*. Oznaczając amplitudę przez C, mamy

=|A+ Be'"'|. Przedstawiając A i B odpowiednio w postaci aei* i be'ś, otrzymamy

C? =a* +b? + 2abcos(et + B — a).

(22.7)

Amplituda zmienia się więc w sposób okresowy z częstością e w przedziale określonym nierównością

la —b| Mikż,

—=

dx;

Dlatego równania Lagrange'a są postaci

> Kiktk.

6

D miały + ) | kietę = 0. k

k

(23.5)

Równania te stanowią układ s (i = 1, 2, .... , s) liniowych jednorodnych równań różniczkowych o stałych współczynnikach.

Jak zwykle przy rozwiązywaniu takich równań, szukamy s niezależnych funkcji

xx(t) w postaci

xk = AĄE",

(23.6)

gdzie Ax są pewnymi, na razie nieokreślonymi stałymi. Podstawiając (23.6) do równań (23.5), otrzymamy po podzieleniu przez ei** układ liniowych jednorodnych równań algebraicznych, który powinien być spełniony przez stałe Ax:

20m k

+ ki) Ax = 0.

(23.7)

$23. Drgania układów o wielu stopniach swobody

83 —

Układ ten będzie miał rozwiązania różne od zera tylko wtedy, gdy jego wyznacznik będzie równy zeru ki — ©*mię| = 0.

Równanie

(23.8) —

(23.8)

tzw. równanie charakterystyczne — jest równaniem stopnia

s względem w?. Ma ono w ogólnym przypadku s różnych rzeczywistych, dodatnich pierwiastków oż, © = 1,2,...,s (w szczególnym przypadku niektóre z pierwiastków

mogą być pierwiastkami wielokrotnymi). Określone w ten sposób wielkości nazywają

się częstościami własnymi układu.

To, że pierwiastki równania (23.8) są rzeczywiste i dodatnie, jest już widoczne na

podstawie ich fizycznego znaczenia. Gdyby bowiem w miało część urojoną, to współrzędne x; (23.6) (oraz prędkości +) malałyby lub wzrastały wykładniczo z czasem.

Jednak występowanie takiego czynnika wykładniczego jest w naszym przypadku niemożliwe, gdyż spowodowałoby to zmianę w czasie całkowitej energii E = U+-T układu,

co z kolei przeczyłoby zasadzie zachowania energii. Można to również uzasadnić

le matematycznie. Mnożąc równanie (23.7) przez

A; i sumując następnie względem i, otrzymamy

Semi + ku) AŻ Ax = 0, ik

a stąd

_ ZkuAj Ak - MmiuAj Ak Formy kwadratowe występujące w liczniku i mianowniku powyższego wyrażenia są rzeczywiste. Wynika to stąd, że współczynniki k;ę i m;ę są symetryczne i rzeczywiste, zachodzi bowiem

(7 kaaza) =) kę AjAj = ) ku ArAj = ) ) kwAkA;. i,k

i,k

i,k

i,k

Formy te są również określone dodatnio, co powoduje, że w? jest liczbą dodatnią*. Podstawiając każdą ze znalezionych częstości w, do równania (23.7), można znaleźć odpowiadającą jej wartość współczynnika Ax. Jeżeli wszystkie pierwiastki w, równania charakterystycznego są różne, to, jak wiadomo, współczynniki Az są proporcjonalne do

minorów wyznacznika (23.8), w którym zamiast w podstawiamy odpowiadającą jej war-

*To, że forma kwadratowa o współczynnikach k,, jest w dziedzinie liczb rzeczywistych określona dodatnio, wynika z określenia tych współczynników (23.2). Jeżeli natomiast będzie rozważało się formę kwadratową w dziedzinie liczb zespolonych A, = a, + ib;, to otrzyma się (uwzględniając znowu symetrię współczynników kx)

DO kaAjA, = ) |

kula; — ibi)(ax + ibx) = ) | kacu + ) | kubibi

czyli sumę dwóch form dodatnio określonych.

[34

V. Male drgania

tość w; minory* te oznaczamy przez A;ą. Rozwiązaniem szczególnym układu równań

różniczkowych (23.5) jest więc

Xk = Aka Cze"

gdzie C, jest dowolną stałą zespoloną.

Natomiast ogólne rozwiązanie jest równe sumie wszystkich s rozwiązań szczegól-

nych. Ponieważ interesuje nas tylko część rzeczywista, rozwiązanie to zapisujemy w po-

staci

m =Re| M AieCe""'| = 3) 46, ai a

(23.9)

©, = RefC,e'"**'].

(23.10)

Wprowadziliśmy tu oznaczenie

Widzimy więc, że podczas ruchu każda ze współrzędnych układu jest superpozycją

s drgań harmonicznych ©, ©, ... , ©, o ściśle określonych częstościach oraz o dowol-

nych amplitudach i fazach.

Nasuwa się więc oczywiste pytanie, czy nie lepiej wybrać współrzędne uogólnione tak, żeby każa z nich reprezentowała jedno drganie harmoniczne? Sama już postać całki ogólnej (23.9) wskazuje sposób rozwiązania tego zadania.

Rzeczywiście, traktując s związków (23.9) jako układ równań dla s niezależnych wielkości ©,, można rozwiązać ten układ i wyrazić wielkości ©, ©»...., ©, przez współrzędne x, x2. ...,x,. Wielkości ©, można zatem uważać za nowe współrzędne

uogólnione. Współrzędne te nazywają się współrzędnymi normalnymi

lub głównymi,

a odpowiadające im drgania harmoniczne są drganiami normalnymi układu. Współrzędne normalne spełniają, jak to wynika z ich definicji, równania O, + 0jO, =0.

(23.11)

Oznacza to, że równania ruchu we współrzędnych normalnych rozpadają się na s niezależnych równań, z których każde z osobna wyznacza jedną niewiadomą. Przyspieszenie każdej współrzędnej normalnej zależy tylko od wartości tej współrzędnej, można więc

określić zależność czasową tej współrzędnej, znając tylko jej wartość początkową oraz

wartość początkową opowiadającej jej prędkości. Innymi słowy, drgania normalne układu są od siebie zupełnie niezależne.

Z powyższego wynika, że funkcja Lagrange'a we współrzędnych normalnych rozpada się na sumę wyrażeń, z których każde odpowiada jednowymiarowemu drganiu

z jedną z częstości wą, czyli

L=) zma(63 — 0zOż), «a

(23.12)

gdzie ma są dodatnimi stałymi. Matematycznie oznacza to, że przekształcenie (23.9)

sprowadza jednocześnie obie formy kwadratowe: formę energii kinetycznej (23.3) i formę

energii potencjalnej (23.2) do postaci kanonicznej. Współrzędne

normalne wybiera się zazwyczaj tak, żeby współczynniki przy kwa-

dratach prędkości w funkcji Lagrange'a były równe

7. W

tym celu należy określić

*Gwoli ścisłości Ax, nie są minorami, lecz dopełnieniami algebraicznymi elementów A; (przyp. tłum.)

$23. Drgania układów o wielu stopniach swobody

85 —

współrzędne normalne (oznaczmy je teraz przez Q„) za pomocą równości (23.13)

Qa = VIMaBa. Wtedy

;

L=L5 (03 — oz 02).

Powyższe rozważania prawie nie ulegają zmianie w przypadku, gdy równanie cha-

rakterystyczne ma pierwiastki wielokrotne. Ogólna postać (23.9), (23.10) całki równań

ruchu nie zmienia się (składa się ona nadal z s wyrazów), jednak teraz współczynniki

Aka, Odpowiadające częstościom wielokrotnym, nie są już minorami wyznacznika, gdyż te, jak wiadomo, są w tym przypadku równe zeru”. Każdej częstości wielokrotnej (zwanej też częstością zdegenerowaną) odpowiada kilka różnych współrzędnych normalnych, a ich liczba jest równa stopniowi wielokrot-

ności danej częstości, przy czym wybór tych współrzędnych normalnych nie jest jedno-

znaczny. Współrzędne normalne (odpowiadające jednakowym w„) wchodzą bowiem do

wyrażeń na energię potencjalną i kinetyczną za pośrednictwem sum | Qż i X" Qż, ma-

jących te same własności transformacyjne; można więc te współrzędne poddać dowolnej

transformacji liniowej niezmieniającej sumy kwadratów. Bardzo prosto można znaleźć współrzędne normalne w przypadku trójwymiaro-

wych drgań jednego punktu materialnego znajdującego się w stałym polu zewnętrznym. Umieszczając początek kartezjańskiego układu współrzędnych w punkcie będącym minimum energii potencjalnej U (x, y, z), otrzymujemy energię potencjalną w postaci formy kwadratowej względem zmiennych x, y, z. Energia kinetyczna

T=lm(G

+)? +2)

(m jest masą cząstki) nie zależy od kierunku osi współrzędnych. Dlatego, wykonując od-

powiedni obrót układu współrzędnych, energię potencjalną można sprowadzić do postaci kanonicznej, niezmieniając przy tym energii kinetycznej. Wtedy L = zm + 3? +2) — plk? + kay? + kac”), (23.14) a drgania w kierunkach osi x, y, z są drganiami głównymi o częstościach

fk 0=jj>, m

ką 02=)>, m

k; 03=J—. m

W szczególnym przypadku pola o centralnej symetrii (k, = ką = ką = k, U = kr?/2) wszystkie trzy częstości są sobie równe (patrz zadanie 3).

Posługując się współrzędnymi normalnymi, można zadanie o drganich wymuszo-

nych układu o wielu stopniach swobody

sprowadzić do zadania o jednowymiarowych

drganiach wymuszonych. Funkcja Lagrange'a układu, na który działają siły zewnętrzne, ma postać

L=lLo+) FO, k

(23.15)

*Całka ogólna nie może zawierać wyrazów, w których by występowały nieokresowe funkcje czasu;

wynika to z rozważań fizycznych podobnych do tych, które wykluczały istnienie „częstości” zespolonych, obecność takich wyrazów przeczyłaby zasadzie zachowania energii.

[86

V. Małe drgania

gdzie Ly jest funkcją Lagrange'a drgań swobodnych. Wprowadzając zamiast współrzędnych x; współrzędne normalne, otrzymujemy

02 — 0505) + ) | fa(Qa.

L=3) gdzie

(23.16)

Aka

fa) "DU FO 7

/Ma_

W rezultacie w każdym z równań ruchu

Żu + 0zQa = falt) będzie występować tylko jedna funkcja niewiadoma

(23.17)

Qz(t).

Zadania

1. Wyznaczyć drgania układu o dwóch stopniach swobody, którego funkcja Lagrange'a jest równa L=

+3) — jog + y') +axy

(układ ten składa się z dwóch jednowymiarowych układów o tej samej częstości własnej wy, sprzężonych ze sobą oddziaływaniem opisanym funkcją —a.x). Rozwiązanie. Równania ruchu są postaci i + ojx =avy,

5+oży=ax.

W wyniku podstawienia do nich funkcji (23.6) otrzymuje się A;(oż — 0?) =0A,, A.(0j — 0?) aA,

a stąd równanie charakterystyczne (cj — w?)? = a?, którego rozwiązaniami są

)

EL dj=oj-a0, 0 =cj+a. Dla o = w, równania (1) dają A, = A,, a dla © = 0, A, = —A,. Dlatego x =

1

2

(U + 00),

y

1

42

(Q — Q1)

(współczynniki 1//2 odpowiadają wspomnianemu w tekście unormowaniu współrzędnych normalnych).

Dla a < cj (słabe sprzężenie) mamy

a RWY——, baw

0% Z

+Ś —

Zależność czasowa współrzędnych x i y jest w tym przypadku superpozycją dwóch drgań harmonicznych o bliskich częstościach © — ©; = «/«% (występują tu dudnienia, patrz $ 22). Przy czym, gdy amplituda współrzędnej x przyjmuje wartość maksymalną, amplituda współrzędnej y ma minimum i odwrotnie.

$ 24. Drgania cząsteczek

87

2. Określić małe drgania podwójnego wahadła płaskiego (rys. 1).

Rozwiązanie. Funkcja Lagrange'a małych drgań (pi < 1, 0. < 1) została znaleziona w zadaniu | do $ 5

L=!(m, + m)t$i + Hmażóż + mlilogyb: — złm + m)glp! — zmagloę7.

Odpowiadają jej następujące równania ruchu:

(m + m2lb, + mshó + (m + m)gpi = 0, LÓ, + bó + 89 = 0.

Po podstawieniu do nich funkcji (23.6): A;(m, + m)(g

— 107) — Azow” ml

Alo? + A(g

Pierwiastki równania charakterystycznego są postaci

c,=>mili (m +m)l +b)

= 0,

bo?) =0.

m F mlm Fm) FB) =amiht]].

Dla m, — 00 częstości dążą do granic: +/g/[; i /g75 odpowiadających niezależnym drganiom dwóch wahadeł.

3. Znaleźć tor ruchu cząstki w polu centralnym U = kr*/2 (jest to tzw. oscylator przestrzenny).

Rozwiązanie. Tak jak w każdym polu centralnym ruch będzie się odbywał w jednej płaszczyźnie, którą wybieramy za płaszczyznę xy. Stwierdzamy, że każda ze współrzędnych x, y przedstawia drganie harmoniczne o częstości w = /K/m, x =acos(or +0), y = beos(ot +8) lub

x=acosg,

gdzie p = wt+a, 6 = Ba.

otrzymujemy równanie toru

y=bcos(p +8) =bcosócosy — bsinósiny, Wyznaczając stąd cos i sing oraz tworząc sumę ich kwadratów,

22

0%,

+7 » — ŻEab cos8 = sin?8. a* Jest to równanie elipsy o środku w początku układu współrzędnych”. Dla 8 = 0 lub m tor degeneruje się do odcinka. $ 24. Drgania cząsteczek Nie wszystkie stopnie swobody układu cząstek oddziałujących ze sobą i nie znaj-

dujących się w polu zewnętrznym mają charakter drgań. Typowym

przykładem takich

układów są cząsteczki. Oprócz ruchów reprezentujących drgania atomów wewnątrz cząsteczki wokół położenia równowagi, cząsteczka jako całość może wykonywać ruch postępowy i ruch obrotowy.

*O tym, że w polu energii potencjalnej U = kr?/2 torem ruchu jest krzywa zamknięta, wspominaliśmy już w $ 14.

[E $8_ V. Małe drgania kg Ruchowi

postępowemu odpowiadają trzy stopnie swobody. Tę samą liczbę stopni

swobody ma na ogół ruch obrotowy, dlatego więc spośród 3n stopni swobody natomowej cząsteczki tylko 3n — 6 stopni odpowiada ruchowi drgającemu. Wyjątkiem

będą tu cząsteczki, w których wszystkie atomy są rozmieszczone wzdłuż jednej prostej. Ponieważ w tym przypadku układ ma tylko dwa obrotowe stopnie swobody (nie ma bowiem sensu mówić o obrocie wokół wyróżnionej prostej), występuje tu 3n — 5 stopni

swobody odpowiadających ruchowi drgającemu. Podczas rozwiązywania zadań mechanicznych o drganiach cząsteczki celowe jest od razu na początku wykluczyć z rozważań stopnie swobody związane z ruchem postępo-

wym

i obrotowym.

Aby wykluczyć ruch postępowy, należy założyć, że całkowity pęd cząsteczki jest

równy zeru. Ponieważ warunek ten oznacza, że środek masy cząsteczki spoczywa, będzie

on więc równoważny warunkowi stałości trzech współrzędnych środka masy. Kładąc

Ta = ro + u. (gdzie ra jest wektorem wodzącym nieruchomego położenia równowagi

a-tego atomu, a u, jest wychyleniem atomu od tego położenia), warunek

)U maa = const =) marzę

można przedstawić w postaci

) mau, = 0.

(24.1)

Aby wykluczyć obrót cząsteczki, należy przyjąć, że jej całkowity moment pędu jest równy zeru. Ponieważ moment pędu nie jest zupełną pochodną czasową funkcji współrzędnych, nie można na ogół warunku jego znikania przedstawić jako warunku znikania pewnej funkcji współrzędnych. Wyjątkiem jest tu właśnie przypadek układu wykonującego małe drgania. Rzeczywiście, kładąc znowu r, = ray + uż i zaniedbując wielkości małe drugiego rzędu względem przesunięć u,, możemy moment pędu cząsteczki przedstawić w postaci „gy sd M= )mara x va) % ) | me(tao X tia) m X) ma(rao X ua). Warunkiem znikania momentu pędu w tym przybliżeniu będzie więc równanie | ma(rao x ua) =0 (początek układu współrzędnych można przy tym wybrać w sposób dowolny).

(24.2)

Drgania normalne cząsteczek można klasyfikować ze względu na charakter ruchu atomów w cząsteczce, a podstawą tej klasyfikacji jest symetria rozmieszczenia atomów

w położeniach równowagi w cząsteczce. Istnieje ogólna metoda takiej klasyfikacji posłu-

gująca się teorią grup. Metodę tę wyłożymy w innym tomie tego kursu”, tu rozpatrzymy tylko pewne elementarne przykłady.

Jeżeli położenia równowagi wszystkich n atomów cząsteczki leżą w jednej płasz-

czyźnie, to wystąpią tu drgania normalne pozostawiające atomy w tej płaszczyźnie oraz

drgania normalne, przy których atomy będą wychodzić z płaszczyzny. Łatwo można

określić liczbę obu rodzajów drgań. Ponieważ ruch płaski charakteryzuje się 2n stop-

niami swobody, wśród których dwa związane są z ruchem postępowym, a jeden z ruchem *Patrz t. III, Mechanika kwantowa, PWN,

1958, $ 100.

$24. Drgania cząsteczek

89 -

obrotowym, więc liczba drgań normalnych niewyprowadzających atomów z płaszczyzny

jest równa 2n —3. Pozostała liczba (3n —6) — (2n—3) = n—3 stopni swobody odpowiada drganiom wyprowadzającym atomy z płaszczyzny.

W cząsteczce liniowej występują drgania podłużne zachowujące prostoliniowy

kształt cząsteczki i drgania wyprowadzające atomy z prostej. Ponieważ ruchowi n cząstek po linii prostej odpowiada n stopni swobody, z których jeden związany z ruchem postę-

powym, więc liczba drgań niewyprowadzających atomów z prostej jest równa n — 1. Ponieważ zaś całkowita liczba stopni swobody związanych z ruchem drgającym cząsteczki

liniowej jest równa 3n — 5, istnieje 2n — 4 drgań wyprowadzających atomy z prostej.

Drganiom tym odpowiada jednak n — 2 różnych częstości, gdyż każde z tych drgań można realizować na dwa niezależne sposoby, w dwóch wzajemnie prostopadłych płasz-

czyznach przechodzących przez oś cząsteczki; z własności symetrii cząsteczki wynika bowiem, że każda taka para drgań normalnych ma jednakowe częstości.

Zadania* 1. Wyznaczyć częstość drgań liniowej trójatomowej cząsteczki symetrycznej ABA (rys. 28),

zakładając, że energia potencjalna cząsteczki zależy tylko od odległości AB i BA, a nie od kąta ABA.

Rozwiązanie. Podłużne przemieszczenia atomów x, x>,x; spełniają na mocy równania

(24.1) związek:

Mą(21 +3) F Mg

= 0.

Za pomocą tego związku eliminujemy współrzędną x, z funkcji Lagrange'a podłużnych drgań cząsteczki,

L = zmy( +33) + zmażą — zka — 23)? + (3 — 23)7],

i wprowadzamy nowy współrzędne

W rezultacie otrzymujemy

Q.=x tx,

— mak

Q:=x — 1.

mą gp ża __ M każe żę MA 4 *

+

da

a

sę

(u = Zm, + mp jest masą EŃ, Stąd Ka że Qi i 4 są (z dokładnością do unormowania) współrzędnymi normalnymi. Współrzędnej ©, odpowiada drganie antysymetryczne względem Środka cząsteczki (x, = +3; rys. 28a), charakteryzujące się częstością og

ku

: matms Współrzędna Q, odpowiada symetrycznemu (x, = —+;, rys. 28b) drganiu o częstości ki 0 =„|Ę-. mą

*Obliczenia dotyczące drgań bardziej złożonych cząsteczek można znaleźć w książkach: M.B. Boavkenmreiin, M.A. Emamepuu, B.H. Cxenason, Koacóanui Moneryn, Tocrexusiax, Mo-

ckBa 1949; T. Tepnóepr, Kone6ameatkne u epawamentnne cnekmpu MNO?0aMOMNUI MOAEwya, JI, Mocksa, 1949.

[[90_ V. Małe drgania

Poprzeczne przemieszczenia atomów y,, y>, y: spełniają, na mocy wzorów (24.1) i (24.2), związki m(t»)

+ma»=0Q,

y=

(drganie symetryczne zginania, rys. 28c). Energię potencjalną zginania cząsteczki zapisujemy w postaci k,l?6*/2, gdzie 8 jest odchyleniem kąta ABA od wartości r. Odchylenie to można wyrazić w zależności od przemieszczeń 1

Rys. 28

5 = ql0: — 2) + 0: — 0].

Wyrażając wszystkie przemieszczenia y,, y, y; jako funkcje 8, otrzymamy funkcję Lagrange'a

drgania poprzecznego

maa =—z 0

zx j Mr. kal jg 22-72

+33)2) ++

m

Mamaj 4 Ep

każ, 2 0,

stąd zaś znajdujemy częstość

2. Poprzednie zadanie rozwiązać w przypadku cząsteczki ABA o kształcie trójkątnym (rys. 29). Rozwiązanie. Na mocy (24.1) i (24.2) składowe w ki runkach X i Y przemieszczeń u atomów (rys. 29) spełniają związki

mal +23) + mpaą = 0, ma(Y + 53) + maya = 0.

0 — ») sina — (x, + x3) cosa = 0.

Rzutując wektory u, — u; i u; — u na kierunki prostych AB i BA, otrzymujemy zmiany 81, i 8l, odległości AB i BA: ŚL = (4 — w) sina + (y; — Y») cos a,

Śl = —(23 — 23) sina + (9: — )») Cosa.

Natomiast zmiany kąta ABA otrzymuje się, rzutując te same wektory na kierunki prostopadłe do odcinków

8

AB

Rys. 29

i BA:

piw — 2) Cosa — (yi — y») sina] + -G

— 2) COSA — (); — )») sina].

Funkcja Lagrange'a cząsteczki L = tmądiż + Ż) + Hmpiż — tk, (BB; + 62) — IKą8?.

Wprowadzamy nowe współrzędne

Q=1u+X,

q4=0u—%,

i za ich pomocą wyrażamy składowe wektorów u: 1

Xx=>(Q:tqu), |= z(0. +41).

%Ws=

1

a— du), Qi-qu)

gazy): Ma

%5——Q. % m$

S24. Drgania cząsteczek y== z(0+Q.ga), FQa+Q.cga),

y= W=zldaz(qa—

Podstawiając je do funkcji Lagrange'a, otrzymujemy (zu 1 Ja+" mp

z zi

ki(2 44

O.ciga), Q.ctga),

RAsin mp

I

»= »=—nmęe

Ak

du +

s

91 —

Amp

2

(+ ms*e)

a

mp

(k, sin? © ++ Zk; cos? 0 - dz

(ki cos” a + kę sin” 0)

+qada> 2m;—(2kę — ki) sina cosa..

Widać stąd, że współrzędna Q, przedstawia drganie normalne o częstości o?= z( | a sęża), antysymetryczne względem osi Y (x, = x;, )) = —), rys. 29a).

Natomiast obie współrzędne q,, i q» przedstawiają drgania symetryczne względem osi

Y: x, = —%, yi = )s, rys. 29b, c, których częstości wy, i wą Są pierwiastkami równania

charakterystycznego (kwadratowego względem w)

«0 -s|

k,

| EAZA cc te) +

ik,

2

(14 7 sna)]+

2uk,ką

ana ; Ma Ma mą mg mpmą Dla 20 = x wszystkie te częstości są równe częstości znalezionej w zadaniu 1. 3. To samo w przypadku liniowej, niesymetrycznej cząsteczki ABC (rys. 30). Rozwiązanie. Podłużne x i poprzeczne y przemieszczenia atomów spełniają związki maxi + maa + mc23 = 0, 8)

may + Me) + Mcys = 0,

hb

2

c

mąliyi = mchys.

Energię potencjalną rozciągania i zginania zapisujemy

B

1

4

_-——0—

A

Rys. 30

w postaci

zki(80)? + zk, (6)? + zkal”

(2 =1, +b). W wyniku obliczeń analogicznych do przeprowadzonych w zadaniu 1 dostajemy częstość drgań poprzecznych

_hP(R 7 RR me oraz równanie kwadratowe (względem c?) FA ma

OCZ

i me

R ab ma ms

Mii ms me

ICZZ

wyznaczające częstości wy i w» dwóch drgań podłużnych.

kiki = =0, m,mgmę

[E 92_ V. Małe eg drgania

$ 25. Drgania tłumione Dotychczas milcząco zakładaliśmy, że ruch ciał odbywa się w próżni

lub że można

zaniedbać wpływ ośrodka na ruch. W rzeczywistości podczas ruchu ciała w ośrodku

pojawia się opór ośrodka przeciwdziałający ruchowi.

Energia poruszającego się ciała

w wyniku występowania oporu zamienia się na ciepło; proces ten nazywa się procesem

dyssypacji energii. Ruch nie jest już w tych warunkach procesem czysto mechanicznym i rozpatrując go, należy uwzględnić ruch ośrodka oraz wewnętrzny stan termodynamiczny zarówno ośrodka, jak i ciała. Nie można też na ogół twierdzić, że przyspieszenie poruszającego

się ciała jest funkcją tylko jego współrzędnych i prędkości w danej chwili; nie istnieją więc teraz równania ruchu

w tym sensie, jaki one miały w mechanice.

ruchu ciała w ośrodku nie jest już zatem tylko zadaniem mechaniki.

Zagadnienie

Istnieje jednak określona kategoria przypadków, kiedy ruch w ośrodku może być w przybliżeniu opisany za pomocą równań ruchu mechaniki, po wprowadzeniu do nich określonych wyrazów dodatkowych. Do przypadków tych należą drgania o częstościach małych w porównaniu z częstościami charakteryzującymi wewnętrzne procesy dyssypacji

w ośrodku. Jeżeli jest spełniony taki warunek, to można uważać, że na ciało działa siła tarcia, która zależy (dla danego ośrodka jednorodnego) tylko od jego prędkości.

Jeżeli dodatkowo prędkość ta jest dostatecznie mała, to siłę tarcia można rozwinąć

w szereg potęgowy względem prędkości. Zerowy wyraz. tego rozwinięcia jest równy

zeru, gdyż na ciało nieruchome nie działa siła tarcia, pierwszy więc nieznikający wyraz rozwinięcia jest proporcjonalny do prędkości. Wobec tego uogólnioną siłę tarcia fr

działającą na układ wykonujący małe drgania, opisywane przez współrzędną uogólnioną x, można zapisać w postaci

fr=-ażi,

gdzie a jest współczynnikiem dodatnim, a znak minus oznacza, że siła działa w kierunku

przeciwnym

kierunkowi prędkości.

otrzymujemy (por. (21.4))

Dodając tę siłę do prawej

mi = —kx— aż. Dzielimy to równanie przez m i wprowadzamy oznaczenia: a ma) -=2, a =, m m

strony równania ruchu,

(25.1) (25.2)

gdzie wy jest częstością drgań swobodnych układu w przypadku niewystępowania tarcia. Wielkość A nazywa się dekrementem tłumienia*.

Mamy więc równanie

£+ Ai + ojx =0.

(25.3)

Postępując zgodnie z ogólną metodą rozwiązywania liniowych równań o stałych współczynnikach, podstawiamy x = e'' i otrzymujemy równanie charakterystyczne dla r

r +2r + oj =0. *Bezwymiarowy iloczyn AT, gdzie 7 = 2/0 jest okresem, nazywa się logarytmicznym dekrementem tłumienia.

$25. Drgania tłumione

93 —

Rozwiązanie ogólne równania (25.3) jest postaci x = cje" + cze”;

ra =—Ak

oj.

Należy tu rozróżnić dwa przypadki. Jeżeli A < wy, to otrzymujemy dwie zespolone wartości r sprzężone ze sobą. Ogólne

rozwiązanie równania ruchu można wówczas przedstawić w postaci RefA exp(-At +

ity/oż — A2)),

gdzie A jest dowolną stałą zespoloną. Rozwiązanie to można zapisać też jako

x =ae"! cos(ot +0),

0=Joż-

1h,

(25.4)

gdzie a i a są stałymi rzeczywistymi. Wzory te opisują ruch zwany drganiami tłumio-

nymi. Ruch ten można uważać za drgania harmoniczne z amplitudą malejącą wykładniczo. Prędkość malenia amplitudy jest określona przez wykładnik A, a „częstość” drgań

« jest mniejsza od częstości drgań swobodnych w przypadku niewystępowania tarcia; gdy A < wy, różnica między w i wy jest wielkością małą drugiego rzędu. Zmniejszanie się częstości pod wpływem tarcia można było przewidzieć wcześniej, tarcie bowiem

przeciwdziała ruchowi.

Jeżeli 3 < wp, to w czasie jednego okresu 21/0 amplituda drgań tłumionych prawie się nie zmienia. W przypadku tym można obliczać wartości średnie (po jednym okresie)

kwadratów współrzędnej i prędkości, nieuwzględniając przy uśrednianiu zmian czynnika

e M. Takie wartości średnie kwadratów są oczywiście proporcjonalne do e”?*. Dlatego

również średnia energia układu maleje w myśl prawa E=Eve",

(25.5)

gdzie Ev jest wartością początkową energii.

Niech teraz A > cy. Wtedy Rozwiązaniem ogólnym jest tu

obie wartości r są rzeczywiste oraz obie są ujemne.

x = cje PY

4

cze A+

DJ

(25.6)

Widzimy, że w tym przypadku, zachodzącym dla dostatecznie dużego tarcia, ruch polega

na monotonicznym maleniu |x|, tzn. na asymptotycznym (dla 1 > oo) zbliżaniu się bez drgań do położenia równowagi. Ten typ tłumienia nazywamy tłumieniem aperiodycznym, a sam ruch ruchem

pełzającym.

Na koniec rozważmy tzw. przypadek graniczny, w którym A = wy; równanie cha-

rakterystyczne ma wówczas jeden (podwójny) pierwiastek r = —A. Jak wiadomo, w tym przypadku ogólne rozwiązanie równania różniczkowego ma postać x = (ci + car)e"". (25.7)

Jest to przypadek graniczny tłumienia aperiodycznego. Ruch ten również nie ma charakteru drgającego, jednak współrzędna x nie musi się teraz zmieniać monotonicznie.

W przypadku układów o wielu stopniach swobody uogólnione siły tarcia, odpowia-

dające współrzędnym x;, są liniowymi funkcjami prędkości

fa = —) ay. r

(25.8)

E 94. V. Małe drgania Ig;

Korzystając tylko z rozumowań opartych na mechanice,

nie można nic powiedzieć o sy-

metrii współczynników ©;4 ze względu na wskaźn: i k. Posługując się natomiast metodami fizyki statystycznej, można pokazać*, że zawsze

Ok = Oki.

(25.9)

Dlatego wyrażenie (25.8) można zapisać w postaci pochodnych

0F

M=R ax

(25.10)

7

formy kwadratowej

(25.11) zwanej funkcją dyssypacji.

Siły (25.10) należy dodać do prawej strony równania Lagrange'a ddL

9L

OC

F

(25.12)

Funkcja dyssypacji ma bardzo ważne znaczenie fizyczne. Określa ona stopień dyssy-

pacji energii w układzie. Można się o tym łatwo przekonać, obliczając pochodną czasową

energii

= arch układu. Mamy

.(ddL

« = (37

e) = Pa(iza

JL

w) Fi

3F

Ponieważ F' jest formą kwadratową prędkości, więc wobec twierdzenia Eulera o funk-

cjach jednorodnych suma występująca po prawej stronie równości jest równa 2F. Dlatego

dE

z —2F,

(25.13)

czyli prędkość zmian energii jest określona przez podwojoną funkcję dyssypacji. Ponie-

waż procesy dyssypacyjne powodują malenie energii, zatem zawsze F > 0, tzn. forma kwadratowa (25.11) jest określona dodatnio. Równanie

małych drgań w obecności tarcia otrzymuje się, dodając siły (25.8) do

prawej strony równań (23.5)

DO) miu + ) | kuti =

p

Podstawiając do tych równań

x

= Aęe"',

V | akę.

(25.14)

i dzieląc przez e”', otrzymujemy układ liniowych równań algebraicznych dla stałych A; 27 miar? + aar + ku)Ax = 0. (25.15) k

*Patrz t. V, Fizyka statystyczna, PWN, 1959, $ 121

$ 26. Drgania wymuszone w obecności tarcia

95 —

Przyrównując do zera wyznacznik tego układu, znajdujemy równanie charakterystyczne

określające r:

Imikr? + azer + kik| = 0.

(25.16)

Jest to równanie stopnia 25 względem r. Ponieważ ma ono wszystkie współczyn-

niki rzeczywiste, jego pierwiastki będą zatem albo rzeczywiste, albo zespolone parami

sprzężone. Przy tym pierwiastki rzeczywiste muszą być ujemne, a pierwiastki zespolone muszą mieć ujemną część rzeczywistą. W

przeciwnym

razie współrzędne

i prędkości,

a wraz z nimi również energia układu, wzrastałyby wykładniczo z czasem, co przeczyłoby temu, że w przypadku sił dyssypatywnych energia powinna maleć.

S$ 26. Drgania wymuszone w obecności tarcia Badanie drgań wymuszonych w obecności tarcia jest analogiczne do przeprowadzonej w $ 22 dyskusji drgań bez tarcia. Przedyskutujemy tu dokładniej interesujący sam w sobie przypadek okresowej siły wymuszającej. Dodając do prawej strony równań (25.1) zewnętrzną siłę f cosyt i dzieląc przez m, otrzymujemy równanie ruchu w postaci

Ż+ Ai + ożx =

cost.

(26.1)

Aby ułatwić sobie rozwiązanie tego równania, przechodzimy do postaci zespolonej. W tym celu po prawej stronie (26.1) piszemy e'”* zamiast cos yt:

Ż+ Ai + ożx = Żem,

m

Poszukujemy całki szczególnej w postaci x = Be'”' i znajdujemy, że f karm

26.2

m(oż — y? + 2iAy)

Przedstawiając B w postaci bei*, dostajemy b=

my/toż

—=

f

ynapażył 7272 + ży

ig8 = 5

cż

24.

pickń

(26.3)

Obliczając wreszcie część rzeczywistą wyrażenia Be”! = bei('*6), otrzymujemy całkę

szczególną równania (26.1), a dodając do niej ogólne rozwiązanie równania jednorodnego (które dla ustalenia uwagi napiszemy w przypadku wy > A), ostatecznie otrzymu-

jemy

x = ae"! cos(ot + 0) + b cos(yt + 8).

(26.4)

Pierwszy składnik maleje wykładniczo z czasem, tak że po dostatecznie długim

czasie pozostaje tylko drugi wyraz

x =bcos(yt +6).

(26.5)

c 96 V. Małe drgania

Chociaż wyrażenie (26.3) na amplitudę b drgań wymuszonych wzrasta, gdy częstość

y przybliża się do wg, nie dąży jednak do nieskończoności, tak jak przy rezonansie bez

tarcia. W przypadku gdy amplituda siły f jest dana, amplituda drgań jest maksymalna dla częstości y = „/oż — 2 dla A < cy wartość ta różni się od wy tylko o wielkość

małą drugiego rzędu. Rozpatrzmy obszar w pobliżu rezonansu. Przyjmujemy, że y = 09 +8, gdzie e jest

wielkością małą, i zakładamy także, że A < wy. Wówczas do (26.2) można w przybliżeniu podstawić Y? - oj =(y + og)(y — cw) © Zwye,

Ziky R ZiAoy,

tak że

A 2m(e — iX)0y

B=—

g KŻ

lub 7

b=—— ZmaoyezĘić

ad

tg6=—-. 5 6

(26.7)

Zwróćmy uwagę na charakterystyczną cechę zmian różnicy faz 6 między drganiem a siłą wymuszającą, gdy zmienia się częstość siły. Różnica ta jest zawsze ujemna, czyli drganie „opóźnia się” względem siły zewnętrznej. Daleko od rezonansu, od strony y
wy — do wartości —n. Zmiana 8 od O do —n odbywa się w wąskim (o szerokości + A) przedziale częstości otaczającym wg;

różnica faz przechodzi przez wartość —n/2 dla y = wy. W związku z tym zauważmy,

że jeżeli tarcie nie występuje, to dla y = cy zachodzi nieciągła zmiana fazy drgania wymuszonego o wielkość r (drugi wyraz w (22.4) zmienia znak); natomiast obecność tarcia „rozmazuje” tę nieciągłość.

Po ustaleniu się ruchu, kiedy to układ wykonuje drgania wymuszone (26.5), jego

energia się nie zmienia. Układ jednocześnie otrzymuje ciągle energię (od źródła siły zewnętrznej), która ulega dyssypacji z powodu obecności tarcia. Oznaczamy przez 1(y)

średnią ilość energii, pochłanianą przez układ w jednostce czasu, jako funkcję częstości siły zewnętrznej. Zgodnie z (25.13) mamy

1(7) =2F,

gdzie F jest wartością średnią (po okresie drgań) funkcji dyssypacji. W przypadku ruchu jednowymiarowego wyrażenie (25.11) na funkcję dyssypacji sprowadza się do F=ai*/2 =hmi". Podstawiając tu (26.5), otrzymujemy

F = amb?y? sin?(yt + 6).

Średnia czasowa wartość kwadratu funkcji sinus jest równa 1, dlatego 1(y) = Amby?.

(26.8)

S27. Rezonans parametryczny

97 -]

W pobliżu rezonansu, podstawiając wyrażenie

żę

(26.7) na amplitudę drgań, mamy

1

fe

(26.9)

10 = pni

Pochłanianie związane w ten sposób z częstością nazywa się pochłanianiem dyspersyjnym. Połówkową szerokością krzywej rezonansowej (rys. 31) nazywa się wartość modułu |e|, dla której wielkość I (e) jest dwukrotnie mniejsza od swojej war-

Rys. 31

tości maksymalnej dla e = 0. Ze wzoru (26.9) wi-

dać, że w rozważanym przypadku szerokość ta jest równa dekrementowi tłumienia 4. Natomiast wysokość maksimum

2

10) = zx

jest odwrotnie proporcjonalna do 4. Wobec

tego zmniejszenie dekrementu

tłumienia

powoduje, że krzywa rezonansowa staje się węższa i wyższa, tzn. jej maksimum staje

się bardziej ostre. Natomiast nie zmienia się przy tym pole pod krzywą rezonansową. Pole to dane jest przez całkę

00

00

ICC

jj 1(e) de.

o

—00

Ponieważ 7(e) szybko maleje przy zwiększaniu |e|, więc przy obliczaniu całki jest nieistotny obszar dużych |e| i można pod całką funkcję /(e) zastąpić przez (26.9), a dolną granicę zamienić na —00. Wtedy +90

I 00

pak

1(e)de

SE

== ——

—

e

kam

r

p

=—

-00

4m

(

(26.10;

Zadanie

Wyznaczyć drganie wymuszone przez siłę zewnętrzną f = fie" cos pr w przypadku występowania tarcia. Rozwiązanie. Rozwiązujemy równanie ruchu w postaci zespolonej z+i+oży = Few, m

a następnie obliczamy część rzeczywistą rozwiązania. W wyniku otrzymujemy drgania wymuszone x = be” cos(yt +6), gdzie

b=

gó

h

+ a? — y? + Żak)? + 4y?(a my(aż

WEW

o -y te +2ak'

+ A)?"

)

c 98 V. Male drgania

$ 27. Rezonans parametryczny Istnieją takie układy drgające nieodosobnione, w których siła zewnętrzna powoduje

zmianę ich parametrów* w czasie. Parametrami

układu jednowymiarowego

są współczynniki

m

i k w funkcji

grange'a (21.3); jeżeli zależą one od czasu, to równanie ruchu przybierze postać d gó

+ kx =0.

La-

(27.1)

Po wprowadzeniu zamiast czasu £ nowej zmiennej niezależnej r, określonej równością

dz = dt/m(t), równanie to sprowadza się do postaci

Dlatego nie ograniczymy ogólności rozważań, sprowadzając rozpatrywany przypadek do dyskusji równania

dx

dt?

+0 (0x =0,

(27.2)

które otrzymalibyśmy z (27.1), kładąc m = constans.

Postać funkcji w (r) jest dana przez konkretne warunki zadania; założymy, że funkcja ta jest funkcją okresową o częstości y (i okresie T = 2x/y). Oznacza to, że

o(t +T)=o(t), a więc że równanie (27.2) jest niezmiennicze względem przekształcenia t >

t +T.

Zatem, jeżeli x(1) jest rozwiązaniem równania, to jest nim również funkcja x(t + T).

Innymi słowy, jeżeli x; (t) i x(t) są dwiema niezależnymi całkami równania (27.2), to w wyniku przekształcenia £ + t+- T' przechodzą one w funkcje, które są ich liniowymi

kombinacjami. Rozwiązania x; i x» można** przy tym wybrać tak, żeby ich zmiana

spowodowana zmianą t na £ + 7' sprowadzała się po prostu do pomnożenia przez stały czynnik

u(+T)

m(t),

x(t +T) = Maxa(t).

Najbardziej ogólnymi funkcjami mającymi taką własność są

nu) =n/"IM,

2) = u; TLG),

(27.3)

gdzie 77, (1) i II>(t) są funkcjami okresowymi czasu (o okresie T').

Stałe pq i Ją występujące w tych funkcjach nie mogą być niezależne. Rzeczywiście, mnożąc równania

u+ó(l0xu=0,

b+oly=0

*Prostym przykładem takiego układu będzie wahadło, którego punkt zawieszenia wykonuje dany

z góry ruch okresowy w kierunku pionowym (patrz zadanie 3 do $ 27).

**Wspomniany wybór jest równoważny sprowadzeniu do postaci diagonalnej macierzy przekształcenia liniowego obu rozwiązań x(t) i x»(1). Z przekształceniem tym związana jest konieczność roz-

wiązania odpowiadającego mu równania charakterystycznego. Zakładamy tu, że oba pierwiastki tego równania, p i 12, są różne.

$27. Rezonans parametryczny

99 —

odpowiednio przez x> i x, oraz odejmując je od siebie stronami, otrzymujemy iu — ox, = j, Gaz

— 14) =0

lub

Xix2 — xy = constans.

(27.4)

Jeżeli funkcje x (1) i x>(1) występujące w powyższym równaniu są dowolnymi funkcjami

postaci (27.3), to w wyniku zmiany argumentu r na 7 wyrażenie występujące po lewej

stronie równości zostaje pomnożone przez. /11/>. Dlatego równanie (27.4) będzie zawsze

spełnione, jeżeli zachodzić będzie warunek

Mio =1.

(27.5)

Uwzględniając, że równanie (27.2) ma współczynniki rzeczywiste, można otrzymać dalsze związki dotyczące stałych pi i Mą. Jeżeli bowiem x(t) jest dowolną zespoloną

całką takiego równania, to również funkcja sprzężona x*(t) powinna spełniać to rów-

nanie. Stąd wynika, że para stałych ju, i ao powinna być identyczna z parą pj i pż, tzn. albo powinna być spełniona równość 1, = uż, albo p i ia powinny być liczbami

rzeczywistymi. W pierwszym przypadku, uwzględniając (27.5), mamy i = 1/4, tzn. |?

= |a|? = 1; stałe p, i l

są więc co do modułu równe jedności.

W drugim natomiast przypadku obie niezależne całki równania (27.2) są postaci

xl) =u"TINQ),

220) = W" "IB(t),

(27.6)

gdzie współczynnik p jest dodatnią lub ujemną liczbą rzeczywistą różną od jedności. Jedna z tych funkcji (pierwsza lub druga w zależności czy |4| > I, czy |u| < 1) rośnie

wykładniczo z czasem. Oznacza to, że stan spoczynku układu (w położeniu równowagi x = 0) będzie stanem nietrwałym: wystarczy bowiem nadać układowi dostatecznie małe odchylenie od tego stanu, żeby odchylenie to zaczęło szybko rosnąć z czasem. Zjawisko to nazywa się rezonansem parametrycznym. Zwróćmy uwagę na to, że zmienne x i * mające wartości początkowe ściśle równe

zeru, stale będą równe zeru, w przeciwieństwie do rezonansu zwykłego ($ 22), w którym

przesunięcie wzrastało z czasem (proporcjonalnie do £) również w przypadku zerowych wartości początkowych. 'Wyjaśnimy warunki powstawania rezonansu parametrycznego w ważnym przypadku,

kiedy to funkcja o (t) różni się mało od pewnej stałej wielkości wy i jest funkcją okresową 0?(1) = o$(1 + hcosyt), gdzie stała h
0) w kierunku

dodatnich e. Przy tym tylko jeden z trzech pier-

wiastków równania (29.4) jest rzeczywisty. Począwszy jednak od określonej wartości f = fx (którą za chwilę określimy) charakter krzywej się

5

f fm istnieje określony obszar częstości, w którym równanie (29.4) ma trzy pierwiastki rzeczywiste; obszarowi temu

odpowiada część BCDE krzywej na rysunku 32c.

Granice tego obszaru są określone przez wa-

db runek — = 00 w punktach D i C. Różniczkując e

równanie (29.4) względem e, otrzymujemy

db de

+k

b + kb> Axeb? ++ 3?b*"

Dlatego położenia punktów D i C określone są przez układ równań

8? — 4kb?e + 3476" +47 =0

(29.5)

i (29.4); obie wartości e opowiadające tym punktom są dodatnie. Amplituda przyjmuje największą wartość w punkcie, gdzie u”

0. Wtedy e = kb? i z (29.4) otrzymujemy

bnas = zgi” ag

wartość ta pokrywa się z maksimum danym zależnością (29.2).

(29.6)

[ 198.

V. Małe drgania

Można pokazać (nie będziemy się tym zajmować*), że środkowemu z trzech rzeczywistych pierwiastków równania (29.4) (tzn. części krzywej CD przedstawionej na

rysunku 32c linią przerywaną) odpowiadają nietrwałe drgania układu: jeżeli układ znajduje się w takim stanie, to każde dowolnie słabe zaburzenie może spowodować przejście

do stanu drgań odpowiadającemu mniejszemu lub większemu pierwiastkowi (tzn. odcinkom BC lub DE).

Dlatego rzeczywistym drganiom układu odpowiadają tylko gałęzie ABC i DEF. Charakterystyczną cechą jest tu występowanie obszaru częstości dopuszczających dwie różne amplitudy drgań. Tak więc przy stopniowym wzroście częstości siły wymuszającej amplituda drgań wymuszonych będzie wzrastać wzdłuż krzywej ABC. W punkcie € występuje nieciągłość amplitudy, która maleje skokowo do wartości odpowiadającej

punktowi E, a następnie przy dalszym wzroście częstości będzie zmniejszać się wzdłuż krzywej EF. Jeżeli teraz zaczniemy zmniejszać częstość, to amplituda drgań wymuszo-

nych będzie zmieniać się wzdłuż krzywej FD i w punkcie D wzrośnie skokowo do B, a następnie będzie zmniejszać się wzdłuż BA.

Aby obliczyć wartość f,, zauważmy, że jest to ta wartość f, dla której równanie

kwadratowe (względem b?) (29.5) ma pierwiastek podwójny; dla f = f, odcinek CD

sprowadza się więc do jednego punktu przegięcia**. Przyrównując do zera wyróżnik rów-

nania kwadratowego (29.5), otrzymujemy 2 = 342, a więc kb? = 2e/3 jest podwójnym.

pierwiastkiem równania.

Podstawiając znalezione wartości b i e do (29.4), znajdujemy

e 32mżo$A: 343Ik|

(29.7)

Wraz ze zmianą charakteru zjawisk rezonansowych przy częstościach y % wy nieliniowość drgań powoduje również powstawanie nowych rezonansów, w których siła

zewnętrzna o częstości różniącej się znacznie od wy wzbudza drgania z częstością bliską c. Niech częstość siły zewnętrznej y = 30, tzn.

y=

09 + £.

W pierwszym, liniowym przybliżeniu siła ta wzbudza w układzie drgania o tej samej

częstości i o amplitudzie proporcjonalnej do amplitudy siły: 4f 09— +ejt) x) (0) —= ——cos|

moż

( 2

(zgodnie ze wzorem (22.4)). W drugim przybliżeniu, gdy występują wyrazy nieliniowe,

drgania te powodują pojawienie się po prawej stronie równania ruchu (29.1) wyrazu o częstości 2y % wy. Podstawiając mianowicie x(V) do równania

20

2450) + ox) + qx 02 4 px03 = —gz(02

*Dowód można znaleźć np. w książce H.H. Boromo60s, IO.A. Murponoubckuii, Acuxnmomuveckue xemodu a meopuu neaunciinuc xoncóanui, duzuarrna, Mockna 1958. *Jest to punkt przegięcia funkcji uwikłanej e : b +> e(b), jedynej, którą w otoczeniu punktu granicznego można określić, rozwiązując tam równanie (29.4). Obliczając odpowiednie pochodne cząstkowe lewej strony (29.4), łatwo można stwierdzić, że w punkcie granicznym e' = e” = 0, a e” + 0, jeśli tylko cA 5 0 (przyp. tłum.).

S29. Rezonans w przypadku drgań nieliniowych i wprowadzając cosinus kąta podwójnego, tylko wyraz rezonansowy, otrzymujemy

_109 —

a następnie pozostawiając po prawej stronie

50 4240 4 uż) 4 gz 07 4 py — _Omżcoż SAF 2

cos(0y + ŻE).

(29.8)

Równanie to różni się od równania (29.1) tylko tym, że zamiast amplitudy siły f występuje w nim wyrażenie proporcjonalne do f?. Oznacza to, że powstaje tu rezonans

o takim samym charakterze jak poprzednio w przypadku częstości y % wg, tylko ma-

jący mniejszą intensywność. Zależność b(e) otrzymuje się, podstawiając zamiast f do równiania (29.4) wyrażenie —80f?/9mo3 (i za e kładąc 2e) 1602 f*

BCE [(2e —— kb)? kb') +] ] = rg. Simo

29.9) (29.9)

Niech teraz częstość siły zewnętrznej W pierwszym przybliżeniu mamy x0=—

Y =209 e.

10

3Moj Z

cos(2w9 + £)L.

Podstawiając x = x W + x) do równania (29.1), nie otrzymamy teraz, tak jak poprzed-

nio, wyrazów mających charakter zewnętrznej siły rezonansowej. Powstaje tu jednak rezonans typu parametrycznego pochodzący od wyrazu trzeciego rzędu, proporcjonal-

nego do iloczynu x(>x0), Jeżeli odrzucimy wszystkie wyrazy nieliniowe z wyjątkiem

tego jednego, to otrzymamy następujące równanie na x): ) +20 lub

+ ożx?) = —2ax x)

30 240 4 ofi - ga2

ń

eos + r]:

=0,

(29.10)

tzn. równanie typu (27.8) (z uwzględnieniem tarcia), prowadzące, jak już wiemy, do nietrwałych drgań w określonym przedziale częstości. Jednak równanie to nie wystarcza do określenia wypadkowej amplitudy drgań. Wyznaczenie końcowej amplitudy jest związane z efektami nieliniowymi; aby je uwzględnić,

należy w równaniach ruchu pozostawić również wyrazy nieliniowe względem x), 20 +20 + ogr? + ax 02 4 pr? = ; 2 z cos(209 +E)t-x©. moż

(29.11)

Dyskusję tego zadania można znacznie uprościć, korzystając z następującej uwagi.

Podstawiając mianowicie po prawej stronie równania (29.11)

x9 =bcos[(00 + że) r +8]

[!10_

V. Male drgania

(gdzie b jest szukaną amplitudą drgań rezonansowych, a 8 stałym przesunięciem fazy,

nieistotnym w naszych rozważaniach) i przedstawiając otrzymany iloczyn dwóch funkcji trygonometrycznych jako sumę dwóch cosinusów, otrzymujemy wyraz

afb

6

Imo Cos[(

+ z): - ;]

mający zwykły charakter rezonansowy (ze względu na częstość własną układu cx). Dlatego rozpatrywane

zadanie sprowadziło się znowu

do zadania dyskutowanego

na

początku tego paragrafu o rezonansie w układzie nieliniowym, z tą tylko różnicą, że rolę amplitudy siły zewnętrznej spełnia teraz wielkość «fb/30$ (a zamiast e występuje £/2). Uwzględniając tę zmianę w równaniu (29.4), otrzymujemy bł

2

e

[6

ż-«2)

+3

f252 a” 2 fb:

|=

36m20$

ą

Rozwiązując to równanie względem b, znajdujemy następujące możliwe wartości amplitudy:

(ED -1- (ED b=0,

b

Fz

zt

B=>|5

GR

dnoj

(29.12) 5

(29.13)

x]. | (29.14)

Na rysunku 33 przestawiona jest otrzymana stąd zależność b od e (dla k > 0; dla

k < O krzywe byłyby skierowane w przeciwną stronę [i ich dyskusja odpowiednio by

się zmieniła — przyp. tłum.]). Punkty B i C odpowiadają wartościom Sm

5

2

(zm

3)

42.

Na lewo od punktu B jest możliwa tylko wartość b = 0; czyli rezonans nie występuje

i nie zostaną wzbudzone drgania o częstości rzędu wy. W przedziale między B i C mamy

dwa pierwiastki: b = () (odcinek BC na rys. 33) i wyrażenie (29.13) (gałąź BE). Wresz-

cie na prawo od punktu C istnieją wszystkie trzy pierwiastki (29.12)-(29.14). Jednak nie wszystkie te wartości odpowiadają trwałemu stanowi drgań. Wartości b = 0 odpo-

wiada stan nietrwały na odcinku* BC, można również pokazać, że stan odpowiadający

pierwiastkowi (29.14) (zawartemu między pozostałymi) jest zawsze stanem nietrwałym.

*Przedział ten odpowiada właśnie obszarowi rezonansu parametrycznego (27.12), przy czym, po-

równując (29.10) z (27.8), mamy [h| = 2af/3mo4. Natomiast warunek

2afz || > 4, Bma

przy którym możliwe jest istnienie rozpatrywanego zjawiska, odpowiada nierówności h > hę.

$29. Rezonans w przypadku drgań nieliniowych

III —

Na rysunku 33 wartości b, odpowiadające stanom nietrwałym, zaznaczone są linią prze-

rywaną.

Prześledźmy na przykład, jak zachowuje się „spoczywający”* początkowo układ

przy stopniowym zmniejszaniu częstości siły zewnętrznej. Przed osiągnięciem punktu C

mamy b = 0, następnie zaś pojawi się „nieciągłość” tego stanu związana z przejściem na gałąź EB. Przy dalszym zmniejszaniu e amplituda drgań zmniejsza się i od punktu B

jest stale równa zeru. Natomiast przy powiększaniu częstości amplituda rośnie wzdłuż

krzywej BE**. Przedyskutowane przypadki rezonansów są najbardziej podstawowymi z rezonan-

sów pojawiających się w nieliniowym układzie drgającym. W wyższych przybliżeniach pojawiają się rezonanse odpowiadające innym częstościom. Ściśle mówiąc, rezonans

powinien pojawić się przy każdej częstości y, dla której ny + mog = wy (n i m są liczbami całkowitymi), tzn. dla każdego y = poy/q, gdzie p i q są znowu

liczbami

całkowitymi. Jednak wraz ze wzrostem stopnia przybliżenia intensywność zjawisk rezonansowych (oraz szerokości obszarów częstości, w których te zjawiska mogą zachodzić) bardzo szybko maleje, tak że w rzeczywistości można obserwować tylko rezonanse od-

powiadające częstościom y * poy/q z niezbyt dużymi wartościami p i q.

Zadanie

Określić zależność b(e) dla rezonansu przy częstościach % 30%. Rozwiązanie. W pierwszym przybliżeniu f

x0 = —

Bmoż

cos(3 (30

+ £)ieJt.

Dla drugiego przybliżenia (x*) otrzymujemy na podstawie (29.1) równanie

30 2A50 + ażx) + 0x0 4 x” = —3By0 ye, po którego prawej stronie został napisany tylko wyraz prowadzący do rezonansu. Podstawiając do tego równania x) = bcos[(cy + 1e)t +6] i uwzględniając spośród wyrazów występujących w iloczynie trzech cosinusów tylko wyraz rezonansowy, otrzymamy po prawej stronie równania wyrażenie

3BBf

Smug "5

e

do + 3

1-2].

Widać stąd, że zamieniając w (29.4) f na 38b* f/32c$ oraz e na e/3, otrzyma się równanie wyznaczające zależność b od e: >

e|(-) 3

2

j2

2

+]- 2Emżoż EB

Ab.

*Przypominamy, że dyskutujemy tu tylko drgania rezonansowe. Ich występowanie nie oznacza więc, że układ spoczywa, gdyż będą tu odbywać się słabe drgania wymuszone o częstości . **Należy pamiętać, że wszystkie wyprowadzone wzory są dopóty słuszne, dopóki amplituda b

(a więc również e) pozostaje dostatecznie mała. W rzeczywistości krzywe BE i CF kończą swój

dalszy przebieg, łącząc się w pewnym punkcie; po dojściu do tego punktu stan drgań ma nieciągłość i następnie ustala się stan, w którym b = 0.

[12

V- Male drgania

Pierwiastkami tego równania są b=0,

e

b

A kk

2k2

Na rysunku 34 przedstawiony jest wykres zależności b(e)

Rys. 34

(dla x > 0). Stanom trwałym odpowiadają tylko wartości b =0 (oś odciętych) oraz gałąź AB. Punktowi A odpowiadają wartości

Ę

3(4x7X7 — A?)

sgz———,

4A

4

E

44227 +

g=—_—AŻ

42A

Stan drgający istnieje tylko dla e > e,, przy czym amplituda b > b,. Ponieważ stan b = 0 jest zawsze stanem trwałym, więc aby powstały drgania, konieczny jest pewien początkowy „bodziec”. Otrzymane wzory są słuszne tylko dla małych s. Małość e jest zaś zagwarantowana przez małość A, jeżeli tylko amplituda siły spełnia warunek A: /wy < A/k < cy. $ 30. Ruch w szybkozmiennym polu siła

Rozpatrzmy ruch cząstki poruszającej się w stałym polu U, na którą ponadto działa f=fecosot

+ fasinot,

(30.1)

zmieniająca się w czasie z dużą częstością w (fi i fa są funkcjami tylko współrzędnych). Przez „dużą” częstość rozumiemy przy tym częstość spełniającą warunek o % 1/T,

gdzie T' jest wielkością rzędu okresu ruchu, który cząstka wykonywałaby, znajdując się tylko w polu U. Nie zakłada się, że siła f jest słaba w porównaniu z siłami działającymi

w polu U. Zakładamy natomiast, że przesunięcie cząstki w ruchu drgającym wywołane przez tę siłę jest małe (oznaczmy je przez 6).

Aby uniknąć skomplikowanych obliczeń, rozpatrzmy najpierw jednowymiarowy ruch

w polu zależnym od jednej współrzędnej przestrzennej x. Wtedy równanie ruchu cząstki*

przybiera postać

+f.

(30.2)

Z postaci siły działającej na cząstkę można przewidzieć, że jej ruch będzie składał się z przesunięcia wzdłuż pewnego ciągłego toru i z jednocześnie odbywających się małych oscylacji (z częstością w) wokół tego toru. Dlatego funkcję x(t) przedstawimy w postaci sumy

x() =X(t) +5(1),

gdzie £(1) opisuje wspomniane małe oscylacje.

(30.3)

Średnia wartość funkcji $(r), obliczona dla przedziału czasu równego jej okresowi 2n/o, jest równa zeru, natomiast w tym przedziale czasu funkcja X(t) zmienia się

*Współrzędna x niekoniecznie musi być współrzędną kartezjańską, a współczynnik m — masą cząstki i nie musi być stały, jak to się zakłada w (30.2). Założenie takie nie wpływa jednak na wynik końcowy.

$30. Ruch w szybkozmiennym polu bardzo

mało. Oznaczając

113 —

taki proces uśredniania przez kreskę nad daną wielkością,

mamy £ = X(f); tzn. funkcja X (1) opisuje „gładki” ruch cząstki, uśredniony ze względu na szybkie oscylacje. Wyprowadzimy równanie określające tę funkcję*.

Podstawiając (30.3) do równania (30.2) i rozwijając je w szereg potęgowy względem

$ z dokładnością do wyrazu pierwszego rzędu, otrzymujemy +

;

dU

du

af

mk +nf = gg - bag +/X,0)+5 ze”

(30.4)

W równaniu tym występują wyrazy o różnym charakterze — wyrazy oscylacyjne i „gład-

kie”; wyrazy każdego typu z osobna powinny oczywiście upraszczać się niezależnie od siebie. Dla wyrazów oscylacyjnych wystarczy napisać równanie

mę = f(X,t),

(30.5)

gdyż pozostałe wyrazy zawierają mały czynnik 6 i dlatego są małe w porównaniu z wyrazami napisanymi (natomiast pochodna $ jest proporcjonalna do dużej wielkości «?,

a zatem nie jest mała). Całkując równanie (30.5) z funkcją f daną przez (30.1), przy czym wielkość X uważa się za małą, otrzymujemy

Ę Mi

(30.6)

mo?!

Uśrednimy teraz, we wspomnianym poprzednio sensie, równanie (30.4) względem czasu. Ponieważ wartości Średnie pierwszych potęg f i ś są równe zeru, otrzymujemy

równanie

=

+ =dU p Me

18f =

dU

dx **9x

1

78/

zawierające już tylko funkcję X (r). Równanie to zapisujemy ostatecznie w postaci

m

8_

X

dUg 4

>

gdzie efektywna energia potencjalna określona jest wzorem** 1 — 1 U =U 2=U0+——,(f + f2). SU zmoż) * moż H+ A)

30.7 (30.7)

30.8,

c

Porównując to wyrażenie z (30.6), łatwo można sprawdzić, że dodatkowy wyraz do pola U jest równy Średniej energii kinetycznej ruchu oscylującego Ug = U + Imó?.

(30.9)

Dlatego uśredniony ze względu na oscylacje ruch cząstki odbywa się tak, jakby obok

stałego pola U działało na niego jeszcze dodatkowe stałe pole zależące od kwadratu

amplitudy pola zmiennego.

*Pomyst wyłożonej tu metody pochodzi od P. L. Kapicy (1951).

**Przeprowadzając trochę dłuższe obliczenia w przypadku, gdy wartość m zależy od x, łatwo możemy się przekonać, że wzory (30.7) i (30.8) pozostają nadal słuszne.

[E

114

V. Małe drgania

Otrzymany rezultat można łatwo uogólnić na przypadek układu o wielu stopniach swobody, opisywanego przez współrzędne uogólnione q,. Dla efektywnej energii potencjalnej otrzymuje się (zamiast (30.8)) wyrażenie

(30.10)

gdzie wielkości a;! (będące na ogół funkcjami współrzędnych) są elementami macierzy odwrotnej do macierzy współczynników a; występujących w wyrażeniu na energię kinetyczną (patrz (5.5)).

Zadania

1. Określić położenie równowagi trwałej wahadła, którego punkt zawieszenia wykonuje pionowe drgania z dużą częstością y (7 > /8/0). Rozwiązanie. Na podstawie funkcji Lagrange'a otrzymanej w zadaniu 3c do $ 5 widać, że w rozważanym przypadku zmienna siła wynosi f = -mlaycosytsinp

(rolę wielkości x spełnia kąt o). Dlatego „efektywna energia potencjalna” ay U i == mg mgl| ( — cos p z sin? pO ). Położeniu równowagi trwałej odpowiada minimum tej funkcji. Położenie wahadła zgodne z kierunkiem pionowym skierowanym w dół (p = 0) jest zawsze położeniem równowagi trwałej. Jeżeli spełniony jest warunek ay? > 2gl, to położeniem równowagi trwałej będzie również jego najwyższe położenie w kierunku pionowym u góry nad punktem zawieszenia (p = n).

2. To samo zadanie w przypadku wahadła, którego punkt zawieszenia wykonuje drgania poziome. Rozwiązanie. Na podstawie funkcji Lagrange'a znalezionej w zadaniu 3b do $ 5 dostajemy

f =mlay*cosytcosg, a zatem

—cosp p +og —— u, | A = mgl|8! Ewy 4gl

p

A

Jeżeli ażyż < 2gl, to położenie y = 0 jest położeniem równowagi trwałej. Jeżeli natomiast aży? > 2gl, to równowadze trwałej odpowiada wartość

CN

2gl

yt”

> ——-

yY——

Ruch ciała sztywnego

—————

$31. Prędkość kątowa

Ciało sztywne można określić w mechanice jako układ punktów materialnych, których wzajemne odległości się nie zmieniają. Układy istniejące rzeczywiście w przyrodzie mogą naturalnie warunek ten spełniać tylko w przybliżeniu. Jednak w zwykłych warunkach większość ciał stałych zmienia swój kształt i rozmiary tak mało, że przy badaniu

ruchów tych ciał rozpatrywanych jako całość możemy zupełnie nie uwzględniać zmian

ich kształtów i rozmiarów. W dalszej części wykładu ciało sztywne będziemy często uważać za nieciągły zbiór punktów materialnych — daje to pewne uproszczenie w przeprowadzanych rozumowa-

niach. Jednak nie przeczy to wcale temu, że realnie istniejące ciała stałe można w me-

chanice uważać za ciała ciągłe, nie interesując się ich wewnętrzną strukturą. Przejście

od wzorów zawierających sumowanie po punktach nieciągłych do wzorów dla ciała cią-

głego otrzymuje się, zastępując masę cząstek masą elementów objętości gdV

gęstością masy) i całkując po całej objętości ciała.

(o jest

Aby opisać ruch ciała sztywnego, wprowadzamy dwa układy odniesienia: układ

„nieruchomy”, tzn. inercjalny układ odniesienia XYZ, i układ ruchomy x, = x, + = y, X3 = z, o którym zakłada się, że jest w sposób trwały związany z ciałem sztywnym i bierze udział we wszystkich jego ruchach. Wygodnie jest umieścić początek ruchomego

układu współrzędnych w środku masy ciała. Położenie ciała sztywnego względem nieruchomego układu odniesienia jest całkowicie określone przez podanie wielkości, które jednoznacznie określają położenie ruchomego układu odniesienia. Niech R będzie wektorem wodzącym początku O ruchomego

układu (rys. 35). Ponieważ orientacja osi tego układu względem układu nieruchomego

jest określona przez trzy niezależne kąty, więc położenie ciała sztywnego jest ustalone

przez sześć współrzędnych (trzy składowe wektora R i trzy kąty). Wobec tego każde ciało sztywne jest układem mechanicznym o sześciu stopniach swobody.

Rozpatrzmy dowolne nieskończenie małe przemieszczenie ciała sztywnego. Można

je przedstawić w postaci sumy dwóch przemieszczeń. Jednym z nich jest nieskończenie małe równoległe przesunięcie ciała, w wyniku którego środek masy przejdzie z poło-

c 116. VI. Ruch ciała sztywnego

żenia początkowego do końcowego przy niezmienionej orientacji osi ruchomego układu

współrzędnych. Drugim — nieskończenie

mały obrót dookoła środka masy, w wyniku

którego ciało sztywne przejdzie w położenie

końcowe.

Oznaczmy wektor wodzący dowolnego punktu P ciała sztywnego w ruchomym układzie odniesienia przez r, a wektor wo-

dzący tego samego punktu w nieruchomym

układzie odniesienia przez r. Wówczas nie-

skończenie małe przemieszczenie dr punktu

P będzie się składało z przemieszczenia dR

wykonanego wraz ze środkiem masy i prze-

mieszczenia dę x r względem środka masy

przy obrocie o nieskończenie mały kąt do (patrz (9.1)):

Rys. 35

dr = dR + do x r.

Dzieląc tę równość przez czas dz, w którym zaszło rozpatrywane przemieszczenie, i wprowadzając prędkości dr o

otrzymamy związek

dR ży

dt

dr

dę HQ

M

31.1

dt

GLI)

v=V+0Qxr.

(31.2)

Wektor V jest prędkością środka masy ciała sztywnego; prędkość

tę nazywa

się

również prędkością jego ruchu postępowego. Wektor Q. nazywa się prędkością kątową

obrotu ciała sztywnego; jego kierunek (wraz z kierunkiem dy) pokrywa się z kierunkiem osi obrotu. Dlatego prędkość v dowolnego punktu ciała względem nieruchomego układu współrzędnych można wyrazić przez prędkość postępowego ruchu ciała i przez prędkość

kątową jego obrotu. Należy podkreślić, że przy wyprowadzeniu wzoru (31.2) nie zostały wykorzystane

swoiste własności początku układu współrzędnych jako środka masy ciała. Zalety tego

wyboru będą widoczne później przy obliczaniu energii poruszającego się ciała. Załóżmy

teraz, że początku

układu

współrzędnych

związanego

trwale

z ciałem

sztywnym nie umieściliśmy w środku masy O, lecz w pewnym punkcie O” w odle-

głości a od punktu O. Prędkość przemieszczenia początku układu O” oznaczymy przez. V'/, a prędkość kątową jego obrotu przez Q”. Rozpatrzmy znowu dowolny punkt P ciała sztywnego i oznaczmy jego wektor wo-

dzący względem początku O” przez r'. Wtedy r = r” + a, a podstawiając to do (31.2), otrzymujemy YV=V+Qxa+Qxr.

Z drugiej strony, na podstawie definicji V' i Q' mamy v = wnioskujemy, że

V=V+Qxa

O0=Q.

+0' x r. Dlatego (31.3)

$ 32. Tensor bezwładności

117

—

Drugie z tych równań jest bardzo ważne. Widzimy, że prędkość kątowa, z jaką obraca się w każdej chwili układ współrzędnych trwale związany z ciałem sztywnym, nie zależy zupełnie od tego układu. Wszystkie takie układy obracają się w danej chwili

wokół osi równoległych do siebie z jednakową co do wartości bezwzględnej prędkością Q. Własność ta pozwala nam nazywać prędkość Q. prędkością kątową ciała sztywnego.

Prędkość ruchu postępowego natomiast nie ma już takiego charakteru „bezwzględnego”. Z pierwszego ze wzorów (31.3) widać, że jeżeli V i Q (w danej chwili) są wzajemnie

prostopadłe w układzie odniesienia o dowolnie wybranym początku O, to są one (tzn. V”

i Q') wzajemnie prostopadłe w układzie odniesienia o inaczej wybranym początku O”.

Ze wzoru (31.2) wynika, że w tym przypadku prędkości v wszystkich punktów ciała leżą w jednej płaszczyźnie — w płaszczyźnie prostopadłej do (2. Można przy tym zawsze tak wybrać początek* O”, dla którego V” będzie równe zeru, żeby ruch ciała sztywnego

(w danej chwili) był czystym obrotem wokół osi przechodzącej przez O”. OŚ ta nazywa się chwilową osią obrotu ciała**. W dalszej części wykładu będziemy zawsze zakładać, że początek ruchomego układu

odniesienia jest wybrany w środku masy ciała, przez który będzie przechodzić również

oś obrotu ciała. Podczas ruchu ciała zmienia się na ogół zarówno wartość bezwzględna

Q, jak i kierunek osi obrotu.

$ 32. Tensor bezwładności Przy obliczaniu energii kinetycznej ciała sztywnego traktujemy je jako nieciągły układ punktów materialnych i piszemy T=))imv, gdzie sumowanie obejmuje wszystkie punkty składające się na ciało. W celu uproszczenia zapisu wzorów będziemy opuszczać wskaźniki numerujące te punkty. Podstawiając tu (31.2), otrzymujemy T=)imV+Qxrn?=)imV*+))mV-(0xn)+ | im(Qx ) r). Prędkości V i Q są jednakowe dla wszystkich punktów ciała sztywnego. Dlatego w pierw-

szym wyrazie można wynieść przed znak sumy V?/2, a suma )| m jest masą ciała, którą

oznaczymy przez p. Wyraz drugi przekształcamy następująco:

)mV-(Qxn =) /mr-(Vx0)=(QxV)) mr.

ąd, że jeżeli początek ruchomego układu odniesienia wybierzemy tak, jak się my, w środku masy, to wyraz ten jest równy zeru, gdyż wtedy 5)mr = 0.

Wreszcie w trzecim wyrazie obliczamy kwadrat iloczynu wektorowego i znajdujemy T =JuV" +4 )mle"

— (0:1).

(32.1)

*Może on naturalnie leżeć również na zewnątrz ciała. *W ogólnym przypadku, gdy kierunki V i (2 nie są wzajemnie prostopadłe, można wybrać początek układu współrzędnych tak, żeby V i O) stały się równoległe i wtedy ruch (w danej chwili) będzie składał się z obrotu wokół pewnej osi i postępowego przemieszczenia w kierunku tej osi.

[!!8_

VI. Ruch ciała sztywnego

Energię kinetyczną ciała sztywnego można zatem przedstawić w postaci sumy dwóch

wyrażeń. Pierwszy wyraz (32.1) jest energią kinetyczną ruchu postępowego — ma ona

taką postać, jakby cała masa była skupiona w środku masy. Drugi wyraz jest energią kinetyczną ruchu obrotowego z prędkością kątową 0) wokół osi przechodzącej przez śro-

dek masy. Podkreślamy, że możliwość takiego podziału energii kinetycznej na dwie czę-

Ści jest uwarunkowana wyborem początku ruchomego układu współrzędnych w środku masy.

Energię kinetyczną ruchu obrotowego 7%»; napiszemy w postaci tensorowej, tzn. za

pomocą składowych x;, £2; wektorów r i Q..* Mamy: Tobr = 12

mix? — Qin DX)

= 12 meRędwa? — DiD) = 10,0, )modów — xx). Skorzystaliśmy tu z tożsamości Q, = 848%, gdzie 8 jest tensorem jednostkowym (którego składowe są równe jedności dla i = k i zeru dla i z* k). Wprowadzając tensor lu = ) | m(afów — xi%%),

(32.2)

dostajemy ostateczne wyrażenie na energię kinetyczną ciała sztywnego w postaci

T = IV? + ŻTy Ri Dy. Odejmując

sztywnego

od (32.3) energię potencjalną,

(32.3)

otrzymujemy

funkcję Lagrange'a ciała

L= żpV? + ZIuQiQ4 — U.

(32.4)

Energia potencjalna jest na ogół funkcją sześciu zmiennych określających położenie ciała sztywnego, na przykład trzech współrzędnych X, Y, Z środka masy i trzech kątów,

określających orientację osi ruchomego układu współrzędnych względem nieruchomego układu.

Tensor I;4 nazywa się tensorem momentu bezwładności lub po prostu tensorem

bezwładności ciała. Jak to wynika z definicji (32.2), tensor ten jest symetryczny, tzn.

ik = Ki.

(32.5)

Wypiszemy dla przykładu jego składowe w jawnej postaci: Ik =

X mo? +2)

-Ymyx

—Y)mzx

-Ymxy

Z mó? + 2?) — 7 mzy

-Y mxz

X myz

Z mo? + y2)

.

(32.6)

*W rozdziale tym za pomocą liter i, k,I będziemy oznaczać wskaźniki tensorowe, przebiegające wartości I, 2, 3. Poza tym przyjmujemy tu wszędzie znaną regułę sumowania, zgodnie z którą opuszcza się znak sumy, a po wszystkich powtarzających się dwukrotnie, tzn. „niemych” wskaźnikach przeprowadza się sumowanie po wartościach 1, 2, 3; np. A,B, = A-B, AŻ = AGA, = A? itd. Oznaczenia wskaźników niemych można oczywiście dowolnie zmieniać (pod warunkiem, żeby nie pokrywały się one z oznaczeniami innych wskaźników tensorowych występujących w danym wyrażeniu).

$ 32. Tensor bezwładności

119 —

Składowe 7,,, Iy,, /,, nazywamy niekiedy momentami bezwładności względem odpo-

wiednich osi.

Tensor bezwładności jest oczywiście wielkością addytywną — moment bezwładnoŚci ciała jest równy sumie momentów bezwładności jego części.

Jeżeli traktujemy ciało sztywne jako ciało rozciągłe, to w definicji (32.2) suma

przechodzi w całkę po objętości ciała

(32.7)

lk = | eożaa — xx) AV.

Tensor bezwładności, tak jak każdy tensor symetryczny drugiego rzędu, można spro-

wadzić do postaci diagonalnej, wybierając w odpowiedni sposób kierunki xq, x, x3.

Kierunki te nazywają się osiami głównymi tensora bezwładności, a odpowiadające im wartości składowych tensora — głównymi momentami bezwładności; oznaczamy je

przez. 14, /, 3. Przy takim wyborze osi x,, x, x3 energia kinetyczna ruchu obrotowego

przedstawia się szczególnie prosto

Tyr = 1127 + LQ? + BRZ).

(32.8)

Zauważmy, że każdy z trzech głównych momentów bezwładności nie może być

większy od sumy dwóch pozostałych. Mamy bowiem

f 2 ) mtj +23) = h. +xż +23) h+b=))mo

(32.9)

Ciało, w którym wszystkie trzy główne momenty bezwładności są różne, nazywa

się bąkiem niesymetrycznym.

Jeżeli dwa główne momenty bezwładności są sobie równe /, = l ź IB, to ciało sztywne nazywa się bąkiem symetrycznym. W takim przypadku dowolne dwa prosto-

padłe kierunki w płaszczyźnie xx będą osiami głównymi.

Jeżeli natomiast wszystkie trzy główne momenty bezwładności są sobie równe, to

ciało nazywa się bąkiem kulistym. Pozostaje wtedy dowolny wybór wszystkich trzech

osi głównych: można przyjąć za nie dowolne trzy osie wzajemnie prostopadłe. Zagadnienie znalezienia głównych osi tensora bezwładności upraszcza się znacznie, jeżeli ciało sztywne charakteryzuje się jakąś symetrią; oczywiście położenie środka

masy i kierunki osi głównych tensora bezwładności powinny charakteryzować się tą samą symetrią.

Tak więc, jeżeli ciało ma płaszczyznę symetrii, to środek masy powinien leżeć w tej płaszczyźnie. W płaszczyźnie tej będą leżeć również dwie osie główne, a trzecia oś będzie do niej prostopadła. Prostym takim przykładem będzie układ cząstek rozmieszczonych w jednej płaszczyźnie. W przypadku tym istnieje prosty związek między trzema

głównymi momentami bezwładności. Jeżeli płaszczyznę symetrii układu wybierzemy za .

płaszczyznę xx, to, ponieważ dla wszystkich cząstek x3 = 0, mamy

a więc

h=))mxż.

h=))m4,

B=h+b.

ls=) mf

+aż),

(32.10)

['20_

VL. Ruch ciała sztywnego

Jeżeli ciało ma oś symetrii dowolnego rzędu, to środek masy leży na tej osi. OŚ ta będzie również jedną z głównych osi tensora bezwładności, a dwie pozostałe osie

będą do niej prostopadłe. Jeżeli przy tym rząd osi symetrii będzie wyższy niż dwa, to ciało będzie bąkiem symetrycznym. Rzeczywiście, każdą oś główną prostopadłą do osi

symetrii można obrócić wówczas o kąt różny od 1807, czyli wybór tych osi nie jest

jednoznaczny, a tak jest tylko w przypadku bąka symetrycznego.

Wyróżnionym przypadkiem jest układ cząstek rozmieszczonych wzdłuż jednej pro-

stej. Jeżeli tę prostą przyjmie się za oś x3, to dla wszystkich cząstek x + =+

=0

i dlatego dwa główne momenty bezwładności są sobie równe, a trzeci równa się zeru:

h=h=))mx,

l5=0.

(32.11)

Taki układ mechaniczny nazywa się rotatorem. Charakterystyczną cechą rotatora, odróżniającą go od dowolnego ciała, jest to, że ma on dwa, a nie trzy obrotowe stopnie swobody odpowiadające obrotom wokół osi x, i x2; nie ma bowiem sensu pojęcie obrotu

prostej wokół siebie jako osi obrotu.

Na zakończenie poczynimy jeszcze jedną uwagę dotyczącą obliczania tensora bez-

władności. Pomimo że określiliśmy ten tensor w układzie współrzędnych o początku

w środku masy (tylko przy takiej definicji jest słuszny podstawowy wzór (32.3)), niekiedy jednak wygodniejsze jest obliczenie tensora

p — x),, i„ = > m(zf8ik

określonego względem jakiegokolwiek innego początku O” układu współrzędnych. Jeżeli

odległość OO" jest dana przez wektor a, to r = r' + a, x; = x, + a,; uwzględniając

również, że zgodnie z definicją punktu O 7 mr = 0, znajdujemy

x + a(a?6x — ajax).

(32.12)

Za pomocą tego wzoru, znając /;,, łatwo możemy obliczyć tensor l. Zadania 1. Wyznaczyć w następujących przypadkach główne momenty bezwładności dla cząsteczek

traktowanych jako układy cząstek rozmieszczonych w stałych odległościach: a) Cząsteczka składa się ż atomów położonych na jednej prostej.

Odpowiedź:

1

— 1 mamyl,,

H

gdzie m, są to masy atomów, a /,, — odległości między atomami a i b; sumowanie obejmuje wszystkie pary atomów w cząsteczce (przy czym każda para a, b występuje w sumie tylko jeden raz). Dla cząsteczki dwuatomowej suma sprowadza się do jednego wyrazu, który wyznacza, łatwy do przewidzenia, wynik równy iloczynowi masy zredukowanej obu atomów przez kwadrat

5 32. Tensor bezwładności

odległości między nimi:

121

mima 10 " m + mą b) Trójatomowa cząsteczka o kształcie równoramiennego trójkąta (rys. 36). Odpowiedź: Środek masy leży na wysokości trójkąta w odległości X, = mzh//i od jego podstawy. Momenty bezwładności są równe L=h=

2

|_Bę 5 1+ b. u z ©) Czteroatomowa cząsteczka, której atomy są rozmieszczone w wierzchołkach ostrosłupa prawidłowego o podstawie trójkątnej (rys. 37).

"2 mą

ia

mi

Rys. 36 Rys. 37 Odpowiedź: Środek masy leży na wysokości ostrosłupa w odległości X, = m;h/p od jego podstawy. Momenty bezwładności są równe: Lh=h=

3m,mą

h +

mia?

,

b=ma.

2 u Dla m, = m;, h = ax/273 otrzymujemy cząsteczkę o kształcie czworościanu z momentami bezwładności: L=h=k=ma.

2. Wyznaczyć główne momenty bezwładności rozciągłych ciał jednorodnych. a) Cienki pręt o długości I. Odpowiedź:

(grubość pręta zaniedbujemy). b) Kula o promieniu R. Odpowiedź: (należy obliczyć sumę /, +

h=0

L=k=guf, L=h=

= tnie.

+ b = 2o [ r*dV).

e) Walec kołowy o promieniu R i wysokości h. Odpowiedź: h= Iu(R*+3h), (xa jest osią walca).

lL=!uR*

[122

VI. Ruch ciała sztywnego

d) Prostopadłościan o krawędziach a, b, c. Odpowiedź: 1,= zu(B+C), h=gu(e+a),

h= gula” +b)

(osie x,, 1,, x» są równoległe do krawędzi a, b, c). e) Stożek kołowy o wysokości h i promieniu podstawy R. Rozwiązanie. Obliczamy najpierw tensor Z,, względem układu współrzędnych o początku leżącym w wierzchołku stożka (rys. 38). Obliczanie przeprowadza się łatwo w cylindrycznym układzie współrzędnych; w wyniku otrzymujemy I=K=ŻuGR" +),

|

żuk”.

Środek masy znajduje się, jak wynika to z prostych obliczeń, na

osi stożka w odległości a = 3h/4 od wierzchołka. Korzystając z (32.12), ostatecznie znajdujemy: |-ua =żŻu(R*+h8), h=K4=żuR. f) Trójosiowa elipsoida o półosiach a, b, c. Rozwiązanie.

Rys. 38

Środek masy pokrywa

się z geometrycznym

środkiem elipsoidy, a osie główne — z jej osiami. Całkowanie po elipsoidzie można sprowadzić do całkowania po kuli, przeprowadzając zmianę zmiennych x = aś, y = bq, z = ct, która przeprowadza równanie powierzchni elipsoidy

w równanie sfery jednostkowej

P+nr +6

Moment bezwładności względem osi x jest zatem równy 1, =e[[

0? + 2?)dxdydz = eabe [| (br? + c”) d$ dy dt = żabci'(b* + c”),

gdzie 7' jest momentem bezwładności kuli o promieniu r = 1. Uwzględniając wreszcie, że objętość elipsoidy jest równa 4mabc/3, otrzymujemy momenty bezwładności L=jub+C),

h=tula+C),

1 =tula +b).

3. Wyznaczyć częstość małych drgań wahadła fizycznego (ciało sztywne obracające się w polu ciężkości wokół nieruchomej osi poziomej). Rozwiązanie. Niech I będzie odległością środka masy wahadła od osi obrotu, a a, B, y kątami między kierunkami jego głównych osi bezwładności i osią obrotu. Za współrzędną opisującą ruch przyjmujemy kąt p między pionem i prostą prostopadłą do osi obrotu wyprowadzoną ze środka masy. Prędkość środka masy V = /$, a rzuty prędkości kątowej na główne osie bezwładności są odpowiednio równe bcosa, $cos8, bcosy. Zakładając, że kąt

mały, możemy energię potencjalną zapisać w postaci

U = ngi(l — cos p) tuglę?. Funkcja Lagrange'a jest więc równa

L = IuG? + II, cos”a +

cos B +

cos: y)$ — tuglg*.

jest

$ 32. Tensor bezwładności

123 —

Stąd zaś częstość drgań wynosi RZ s asia wma

ul?+ I, cos? a + l cos? B + Izcosży”

4. Znaleźć energię kinetyczną układu przedstawionego

na rysunku 39; OA i AB są cienkimi jednorodnymi prętami o długości I i o jednakowych masach, połączonymi przegubowo w punkcie A. Pręt OA obraca się w płaszczyźnie rysunku wokół punktu O, a koniec B pręta AB Ślizga się wzdłuż osi Ox. Rozwiązanie. Prędkość środka masy pręta OA (znajdu-

jącego się w jego środku geometrycznym) jest równa /$/2, gdzie p jest kątem AOB. Zatem energia kinetyczna pręta OA wynosi T, = zgubę? + 216%,

Rys. 39

gdzie ji jest masą jednego pręta.

Współrzędne kartezjańskie środka masy pręta AB: X = Żlcosy, Y =

ilsing. Ponieważ

prędkość kątowa obrotu tego pręta jest równa 6, to jego energia kinetyczna ma postać

+7) + 16? = tuP( +8sin* p)$? + 316”.

T = lu

Całkowita energia kinetyczna układu

T=IuP(1 +3sin* p)$”

(zgodnie z zadaniem 2a podstawiono tu 7 = Lu).

5. Znaleźć energię kinetyczną walca o promieniu R, toczącego się po płaszczyźnie. Rozkład gęstości walca jest taki, że jedna z osi głównych tensora bezwładności jest równoległa do osi walca i oddalona od niej o a; główny moment bezwładności tej osi jest równy 7. Rozwiązanie. Wprowadzamy kąt e między pionem i prostą prostopadłą wyprowadzoną ze Środka masy do osi walca (rys. 40). Ruch walca można w każdej chwili uważać za czysty obrót wokół osi chwilowej, którą jest prosta styczności walca z płaszczyzną; prędkość kątowa tego obrotu jest równa $ (prędkość kątowa obrotu wokół wszystkich osi równoległych jest jednakowa). Środek masy znajduje się w odległości /a7F R” — ZaR osp od chwilowej osi obrotu i dlatego jego prędkość jest równa V = pa? F R”=ŻaRcosy. Całkowita energia kinetyczna jest równa T = tnla* + R* — ZaRcosp)ó” + JIÓ?.

6. Znaleźć energię kinetyczną jednorodnego walca o promieniu a toczącego się wewnątrz

walca o promieniu R (rys. 41).

w SD Rys. 40

Rys. 41

[E 124: VI. Ruch ciała sztywnegoe

Rozwiązanie. Wprowadzamy kąt

między pionem i prostą łączącą środki obu walców.

Środek masy toczącego się walca znajduje się na jego osi i ma prędkość V = $(R — a). Prędkość kątowa jest równa prędkości czystego obrotu wokół osi chwilowej, którą jest prosta styczności obu walców: wynosi ona V_.R-

Jeżeli I, jest momentem bezwładności względem osi wałca, to

r=ka-oyp+ po -

żul RO

(I, zostało już obliczone w zadaniu 2c). 7. Znaleźć energię kinetyczną jednorodnego stożka toczącego się po płaszczyźnie.

Rozwiązanie. Oznaczamy przez 6 kąt między prostą styczności OA stożka z płaszczyzną i dowolnym nieruchomym kierunkiem w tej płaszczyźnie (rys. 42). Środek masy znajduje się na osi stożka, a jego prędkość V = ad cosa, gdzie 2a jest kątem wierzchołkowym stożka, a a odległością środka masy od wierzchołka. Prędkość kątową obliczamy jako prędkość chwilowego obrotu wokół osi OA: s

ctga. asina Jedna z osi głównych tensora bezwładności (oś 13) pokrywa się z osią stożka, a inną (oś 13) wybieramy w kierunku prostopadłym do osi stożka i prostej OA. Wtedy rzuty wektora ©) (równoległego do osi 0A) na osie główne są równe £ sin a, 0, 2 cosa.. W rezultacie otrzymujemy szukaną energię kinetyczną 2=

T = na?Loos ab +

=

6*(1 + 5cos* a)

(h jest wysokością stożka, 7,, /,, a zostały znalezione w zadaniu 5

8. Znaleźć energię kinetyczną jednorodnego stożka, którego podstawa toczy się po płaszczyźnie, a wierzchołek znajduje się stale w jednym punkcie nad płaszczyzną na wysokości równej promieniowi podstawy (tak że oś stożka jest równoległa do płaszczyzny).

Rys. 42

Rys. 43

Rozwiązanie. Wprowadzamy kąt 6 między ustalonym kierunkiem na płaszczyźniei rzutem na nią osi stożka (rys. 43). Wtedy prędkość środka masy V = aó (przyjmujemy te same oznaczenia co w zadaniu 7). Chwilową osią obrotu jest tworząca stożka OA przechodząca

przez punkt jego styczności z płaszczyzną. Środek masy znajduje się w odległości a sina od

$33. Moment pędu ciała sztywnego

tej osi i dlatego

.

v

Q=

125

0

asina sina” Rzuty wektora Q) na osie główne tensora bezwładności (oś x; wybieramy w kierunku prostopadłym do osi stożka i prostej 04) są równe: © sina = 0, 0, cosa = O ctga.. Dlatego energia kinetyczna na., hy, Bza a, _ 3uh? 6 | —1 T=—6 +20 +20 aga= 2 bia” tg ASY m0) |eozath +5). 9. Znaleźć energię kinetyczną jednorodnej trójosiowej elipsoidy obracającej się wókół jednej ze swoich osi (AB na rys. 44), która z kolei obraca się wokół kierunku CD do niej prostopadłego i przechodzącego przez środek elipsy. Rozwiązanie. Kąt obrotu wokół osi CD oznaczamy przez 0, a kąt obrotu wokół osi AB (kąt pomiędzy CD i główną osią bezwładności x; prostopadłą do A B) — przez p. Wiedy rzuty Q na osie główne są równe: Ócosy,

Ósiny,

©

(przy czym oś x; pokrywa się z AB). Ponieważ środek masy, będący jednocześnie środkiem geometrycznym elipsoidy, jest nieruchomy, energia kinetyczna jest równa T = Mlicos*9 + ksin? g)ó? + |1:6*.

10. Przedyskutować poprzednie zadanie dla przypadku, gdy oś AB jest nachylona, a elipsoida względem niej jest symetryczna (rys. 45). $ B

Rys. 44

Rozwiązanie. Rzuty Q. na osie AB ina prostopadłe do niej dwie pozostałe główne osie tensora bezwładności (które można wybrać dowolnie) wynoszą: Energia kinetyczna

bcosacosp,

Ócosasinp,

$+ósina.

1icos*a +67 + 4(6b +9 sina)”.

$ 33. Moment pędu ciała sztywnego

Wartość momentu pędu układu mechanicznego zależy, jak wiadomo, od wyboru punktu, względem którego się go określa. W mechanice ciała sztywnego najwygodniej za punkt ten przyjąć początek ruchomego układu współrzędnych, tzn. środek masy ciała.

[E 126. VI. Ruch ciała sztywnegoe

W dalszej części symbolem M będziemy oznaczać tak właśnie zdefiniowany moment pędu.

Zgodnie ze wzorem (9.6), w przypadku wyboru początku układu współrzędnych w środku masy ciała jego moment pędu M jest równy „własnemu momentowi pędu”

związanemu tylko z ruchem punktów ciała względem środka masy. Innymi słowy, w de-

finicji M = X” m(r x v) należy zamiast v podstawić Q x r:

M=)/mfrx (© x9) =)|mrQ- rfr- 0)) lub, jeśli posłużymy się oznaczeniami tensorowymi,

M; = )mt

Q; — xjxySy) = Oh 2) młofóia — xa].

Uwzględniając wreszcie definicję (32.2) tensora bezwładności, otrzymujemy M; = lx Ry.

(33.1)

Jeżeli osie x, x>, x3 są skierowane równolegle do głównych osi tensora bezwładności

ciała, to wzór ten daje

M =ho,

M=ho,

Ms;=lsQ23.

(33.2)

W szczególnym przypadku dla bąka kulistego, kiedy wszystkie trzy główne momenty bezwładności są sobie równe, po prostu mamy M = 70,

(83.3)

tzn. wektor momentu pędu jest proporcjonalny do wektora prędkości kątowej i zgodnie z nim skierowany.

Natomiast w ogólnym przypadku dla dowolnego ciała wektor M nie będzie na ogół zgodnie skierowany z wektorem Q i tylko przy obrocie ciała wokół dowolnej z głównych osi jego tensora bezwładności wektory M i Q. będą miały ten sam kierunek.

Rozpatrzmy swobodny ruch ciała sztywnego niepodlegającego działaniu sił zewnętrznych. Załóżmy, że został wyeliminowany nieinteresujący nas jednostajny ruch postępowy, a więc zajmijmy się tylko swobodnym obrotem ciała.

Moment pędu swobodnie obracającego się ciała, tak jak każdego układu odosobnionego, jest stały. Dla bąka kulistego warunek M = constans prowadzi po prostu do

wniosku, że 4) = constans. Oznacza to, że ogólnym przypadkiem swobodnego obrotu

bąka kulistego jest po prostu jednostajny obrót wokół stałej osi. Prosty jest również przypadek rotatora. Tu także M = 70, przy czym wektor Q jest prostopadły do osi rotatora. Dlatego swobodny obrót rotatora jest jednostajnym obrotem

w jednej płaszczyźnie wokół osi prostopadłej do tej płaszczyzny. Zasada zachowania momentu pędu wystarcza również do wyznaczenia bardziej złożonego ruchu swobodnego bąka symetrycznego. Korzystając z dowolności wyboru kierunków osi głównych x;, x tensora bezwład-

ności prostopadłych do osi symetrii bąka x3, wybieramy OŚ x w kierunku prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez stały wektor M i przez chwilowe położenie osi x3. Wtedy M, = 0, a ze wzorów (33.2) widać, że również Q, = 0. Oznacza to, że w każdej

chwili kierunki wektorów M, 4) i oś bąka leżą w jednej płaszczyźnie (rys. 46). Stąd

$34. Równania ruchu ciała sztywnego

127 —j

z kolei wynika, że prędkości v = Q) x r wszystkich punktów na osi bąka są w każdej chwili prostopadłe do wspomnianej płaszczyzny; innymi słowy, oś bąka obraca się jednostajnie (patrz niżej) wokół kierunku M, opisując stożek kołowy (zjawisko to nazywa się precesją regularną bąka). Jednocześnie z precesją bąk obraca się jednostajnie wokół osi własnej.

Prędkości kątowe obu tych obrotów

można łatwo wyrazić przez daną wartość

momentu pędu M i przez kąt nachylenia 0 osi bąka do kierunku wektora M. Prędkość

kątowa obrotu bąka wokół jego osi jest po prostu rzutem (23 wektora Q na tę oś

QD =

Ma

B

= M cos9.

(33.4)

=b

Aby znaleźć prędkość precesji £2,,, należy

rozłożyć wektor Q) na składowe w kie-

runku x3 i w kierunku M. Pierwsza z tych składowych nie powoduje żadnego prze-

mieszczenia osi bąka i dlatego druga z nich daje szukaną prędkość kątową pre-

cesji. Z konstrukcji przestawionej na rysunku

46

a ponieważ

wynika,

otrzymujemy

(2,

że

=

Q,sinó

M;/l,

=

=

O,

Msin0/14,

(33.5)

Rys. 46

$ 34. Równania ruchu ciała sztywnego Ponieważ ciało sztywne ma na ogół sześć stopni swobody, układ jego równań ruchu powinien składać się z sześciu niezależnych równań. Można je przedstawić w postaci określającej pochodne czasowe dwóch wektorów: wektora pędu i wektora momentu pędu

ciała.

8

Pierwsze z tych równań otrzymuje się, sumując po prostu równania b = f dla każdej

z cząstek składających się na ciało, gdzie p jest pędem cząstki, a f siłą na nią działającą.

Wprowadzając całkowity pęd ciała

P=)/p=nv

i całkowitą siłę 7 f = F działającą na ciało, otrzymujemy dP

—=F. G

34.1 (34.1)

Mimo że siłę F określiliśmy jako sumę wszystkich sił f działających na każdą

z cząstek, a więc uwzględniliśmy

również siły pochodzące

od innych cząstek ciała,

c

128

VI. Ruch ciała sztywnego

faktycznie na siłę F składają się tylko siły działające z zewnątrz na ciało. Wszystkie

siły wzajemnego oddziaływania między cząstkami ciała upraszczają się; rzeczywiście

przy braku zewnętrznych sił pęd ciała, tak jak każdego układu odosobnionego, powinien

zostać zachowany, czyli powinniśmy mieć F = 0. Jeżeli U jest energią potencjalną ciała sztywnego w polu zewnętrznym, to jej po-

chodne względem współrzędnych środka masy ciała są składowymi siły F: au

F =——. 3R

34. (34.2)

Rzeczywiście, przy postępowym przemieszczeniu ciała o wektor 6R wektory wo-

dzące t wszystkich punktów ciała podlegają jednakowym przemieszczeniom 5x = 8R, wobec tego zmiana energii

SE

m równa

8U = 3 ęó6=BRY" eO

RO

t="i

R.

W związku z tym zauważmy, że równanie (34.1) można otrzymać również jako równanie Lagrange'a względem współrzędnych środka masy

dAL _0L

dróV

z funkcją Lagrange'a (32.4), dla której ia9L (WB O AL aw R"

GR

dU AE. "RV

Przejdziemy teraz do wyprowadzenia drugiego równania ruchu, określającego po-

chodną czasową momentu pędu M. Celem uproszczenia rozumowań wygodnie jest wy-

brać za „nieruchomy” (inercjalny) układ odniesienia taki układ, w którym w danej chwili

Środek masy ciała będzie spoczywał. Mamy

M=L)6xD=XEF, x3 są równe: Ó,=ócosy,

6, =—ósiny,

6:=0.

Prędkość kątowa $ jest skierowana wzdłuż osi Z; jej rzut na oś x3 wynosi $3 = $cos6,

a rzut na płaszczyznę xjx2 jest równy $sin6. Rozkładając ten drugi rzut na składowe

w kierunku osi x, i x», otrzymamy

(4 = psino siny,

(» = QsinG cosy.

Wreszcie prędkość kątowa 1h jest skierowana równolegle do osi x3.

Dodając do siebie składowe w kierunku tych samych osi, otrzymujemy Q, =$sino siny + 0 cos,

Q, =$sinó cosy — Ósin W,

(35.1)

M; =$cos8 + dh.

Jeżeli osie xy, x, x3 wybrane są w kierunku głównych osi tensora bezwładności ciała sztywnego, to podstawiając (35.1) do (32.8), otrzymamy energię kinetyczną ruchu obrotowego wyrażoną przez kąty Eulera.

Dla bąka symetrycznego, dla którego 1, = l, 4 I3, po prostych przekształceniach znajdujemy

Tor = HL (6? sin?6 + 69) + 4b;(bcos0 + b)?

(35.2)

Zauważmy, że wyrażenie to można znaleźć również w prostszy sposób — korzystając

z dowolności

wyboru

kierunków

osi głównych

x, xą tensora bezwładności

bąka sy-

metrycznego. Zakładając, że oś x; pokrywa się z osią węzłów ON, tzn, że W = 0,

otrzymamy dla składowych prędkości kątowej wyrażenia prostsze niż (35.1):

Di=6,

Q=$sinb,

Q;=$cos6 +q.

(35.3)

Aby zilustrować sposób posługiwania się kątami Eulera, określimy za ich pomocą

znany nam już swobodny ruch bąka symetrycznego.

Oś Z nieruchomego układu współrzędnych wybierzemy w kierunku stałego momentu pędu bąka M. Niech oś x; nieruchomego układu będzie skierowana wzdłuż osi

*Kąty 6 i p — x/2 są odpowiednio kątem biegunowym i azymutem kierunku x; względem osi X, Y, Z. Jednocześnie 6 i x/2— W są odpowiednio kątem biegunowym i azymutem kierunku Z względem osi X, X, X3.

[132_

VI. Ruch ciała sztywnego

bąka, a oś x; niech pokrywa się w danej chwili z osią węzłów. Wtedy za pomocą wzorów (35.3) dla składowych wektora M znajdujemy M =LOM,=Ló, M = L= h$sin0, Mą = lsQą = Is(bcos0 + do). Z drugiej strony, ponieważ oś x, (linia węzłów) jest prostopadła do osi Z, mamy M;=0, M,=Msin6, M3 =Mcos0. Porównując te wyrażenia, otrzymamy następujące równania:

0=0, Lh$=M, ls(ócos6 + qr) = M cos. (35.4) Pierwsze z tych równań daje 6 = constans, czyli stałość nachylenia osi bąka względem kierunku M. Drugie z nich określa (zgodnie z (33.5)) prędkość kątową precesji p

M/ lh. Wreszcie trzecie wyznacza prędkość kątową obrotu bąka wokół osi własnej (23 M cos6/13.

Zadania

1. Sprowadzić do całkowań zadanie o ruchu ciężkiego bąka symetrycznego, którego najniższy punkt jest nieruchomy (rys. 48). Rozwiązanie. Wspólny początek ruchomego i nieruchomego układu odniesienia wybieramy w nieruchomym punkcie bąka O, a oś Z skierowujemy w kierunku pionu (rys. 48). Funkcja Lagrange'a bąka w polu ciężkości jest równa L= U.;(6). Funkcja U.(6) (dla M; = M.) dąży do +-00 dla wartości 6 = 0 i 6 = m, a w przedziale między nimi przechodzi przez minimum. Dlatego równanie E' = U.;(6) ma dwa pierwiastki określające kąty graniczne 0, i 0, nachylenia osi bąka względem pionu. a)

b)

b

©)

4

04

8

8 61

Rys. 49

Przy zmianie kąta 6 od 8, do 6, znak pochodnej 6 nie zmienia się lub zmienia w zależności od takich samych zmian znaku różnicy M, — M; cos w całce (7). W pierwszym przypadku oś bąka obraca się stale w jednym kierunku wokół pionu, wykonując jednocześnie drgania (zwane nutacjami) w górę i w dół (rys. 49a; krzywa na rysunku przedstawia ślad nakreślony przez oś bąka na powierzchni kuli o środku znajdującym się w nieruchomym punkcie bąka). W drugim przypadku oś będzie się poruszać na okręgach granicznych w przeciwnych kierunkach; w rezul-

tacie oś bąka będzie się przemieszczać wokół pionu, opisując pętle (rys. 49b). Jeżeli wreszcie jedna z wartości 6, lub 6; jest miejscem zerowym różnicy M, — M; cos6, to na odpowiednim

okręgu 6 i 6 są równocześnie równe zeru, a oś bąka opisuje tor przedstawiony na rysunku 49c.

[134

VI. Ruch ciała sztywnego

2. Znaleźć warunek, przy którym obrót bąka wokół osi pionowej będzie ruchem trwałym. Rozwiązanie. Dla 6 = 0 osie x, i Z pokrywają się tak, że M, = M,, E' = 0. Obrót wokół tej osi będzie trwały, jeżeli funkcja U,/(6) ma minimum dla wartości 6 = 0. Dla małych 6 mamy

MŻ l Ua © (© Ł"oe. i

stąd znajdujemy warunek M? > 47,ugl lub

ATugl £; 1>—5 > —E

3. Wyznaczyć ruch bąka w przypadku, kiedy energia kinetyczna jego obrotu własnego jest duża w porównaniu z jego energią w polu ciężkości (tak zwany „szybki” bąk).

Rozwiązanie. W pierwszym przybliżeniu, jeżeli zaniedba się pole ciężkości, zachodzi swobodna precesja osi bąka wokół kierunku momentu pędu M (odpowiadająca w tym przypadku nutacji bąka); prędkość kątowa tej precesji, zgodnie z (33.5), jest równa

M

Du = u

(2

W następnym przybliżeniu pojawia się powolna precesja momentu pędu M wokół kierunku pionu (rys. 50). Aby określić prędkość tej precesji, uśredniamy ścisłe równanie ruchu (34.3) dM

dro

ze względu na okres nutacji. Moment siły ciężkości dzia-

łającej na bąk jest równy K = mln; x g, gdzie n, jest

jednostkowym wektorem w kierunku osi bąka. Z własno-

Rys. 50

Ści symetrii bąka jest oczywiste, że wynik uśredniania wektora K ze względu na „stożek nutacji” sprowadza się do zastąpienia wektora ns jego rzutem cosaM/M na kierunek M (a jest kątem między M i osią bąka). Wobec tego otrzymujemy równanie

M

dt

_cosal lg xM. M

Wynika z niego, że wektor M wykonuje precesję wokół kierunku g (pionu) ze średnią prędkością kątową nlcosa M * (2) małą w porównaniu Z Gy. W rozpatrywanym przybliżeniu wielkości M i cosa wchodzące do wzorów (1) i (2) są stałymi (pomimo że nie są całkami ruchu). W tym przybliżeniu są one związane z wielkościami M; = Mcosa,

Ex —M fcosa sin”a R 2 ( zyska )

spełniającymi ściśle zasadę zachowania.

$ 36. Równania Eulera

135 —

$ 36. Równania Eulera

Napisane w $ 34 równania ruchu odnoszą się do nieruchomego układu współrzęd-

nych: pochodne dP/ dt i dM/dt w równaniach (34.1) i (34.3) opisują zmiany wektorów

P i M względem tego układu. Tymczasem związek między składowymi momentu pędu M ciała sztywnego i składowymi prędkości kątowej przybiera najprostszą postać w ru-

chomym układzie współrzędnych, którego osie są skierowane zgodnie z głównymi osiami

tensora bezwładności. Dlatego, aby łatwiej było posługiwać się tym związkiem, należy

równania ruchu przetransformować do ruchomego układu współrzędnych x, x2, X3. Niech dA/ dr będzie prędkością zmian dowolnego wektora A względem nierucho-

mego układu współrzędnych. Jeżeli wektor A nie zmienia się względem obracającego się układu współrzędnych, to jego zmiana względem nieruchomego układu jest wywołana tylko przez obrót, tak więc

JALĄxA dt

(patrz $ 9, gdzie wspominaliśmy, że takie wzory jak (9.1) i (9.2) są słuszne dla dowolnego wektora). W ogólnym przypadku do prawej części poprzedniej równości należy dodać

prędkość zmian wektora A względem ruchomego układu; oznaczając tę prędkość przez d'A/ dt, otrzymamy

dA

+0xA.

dro

(36.1)

Posługując się tym ogólnym wzorem, możemy od razu równania (34.1) i (34.3)

zapisać w postaci

d'P

0xP= F, ab +Qx

dM

+Q0xM=K.

ać

(36.2)

Ponieważ różniczkowanie względem czasu przeprowadza się tu w ruchomym układzie

współrzędnych, więc równania można rzutować bezpośrednio na osie tego układu, zapisując przy tym dP)

dr),

_ dp,

dM)

dr

dr),

_ dMi

odr"

gdzie wskaźniki 1,2,3 oznaczają składowe względem osi x;, x2, x3. Zamieniając poza tym w pierwszym równaniu P na 4V, otrzymujemy:

IL

dY,

gt

22

dV2 ula + QV u

dV3

gy

— DsVż

=F,

— QV; | = Fo,

7 SIY2 — SAM

(36.3)

= FR.

Zakładamy, że osie x;, x», x3 są wybrane w kierunkach osi głównych, podstawiamy do drugiego z równań (36.2) M,

= /,Q

itd., i dostajemy

[ 136. VI. Ruch ciała sztywnego dQ; + (B — h)Q92 = Ki, dt

1

dO;

bra

+ (1, — B)QzQ, = Ką,

d£23

ko

+ (2-192

(36.4)

=K.

Równania (36.4) nazywają się równaniami Eulera. Dla obrotu swobodnego K = 0 i równania Eulera przybierają postać dQ, B-h

= di

n

RQ —w

hb po

dQ3

h-L

—

dt

lz

5

=0,

©20; M

=0,

0,2

=0.

=

36.5 (36.5)

Jako przykład zastosujemy te równania do przedyskutowanego już przez nas przy-

padku obrotu swobodnego bąka symetrycznego. Kładąc I; = / z trzeciego równania,

otrzymujemy 42 = 0, tzn. Q3 = constans. Uwzględniając to, dwa pierwsze równania

zapisujemy w postaci

M =-vRh,

M = «o,

gdzie wprowadziliśmy stałą wielkość

0 = M3

l np

(36.6)

Mnożąc drugie równanie przez i oraz dodając do pierwszego, otrzymujemy d z

+10) = io(Q, + iQ),

stąd zaś Q

+10, = Ae'",

gdzie A jest liczbą stałą, można przyjąć, że stała ta jest liczbą rzeczywistą,

można

bowiem to osiągnąć, wybierając w odpowiedni sposób początek odniesienia czasu; wtedy

Qi=Acosot, Wynik

MQ = Asinot.

(36.7)

ten oznacza, że rzut prędkości kątowej na płaszczyznę prostopadłą do osi

bąka obraca się w tej płaszczyźnie z prędkością kątową w i nie zmienia swojej wartości

bezwzględnej (,/2? + Q2 = A). Ponieważ rzut Q3 na oś bąka jest również stały, wnioskujemy, że cały wektor Q) obraca się jednostajnie z prędkością kątową o wokół

osi bąka, nie zmieniając swego

modułu.

Wobec

związków:

M,

=

1,0,

M

=

ho,

M3 = IsQ3 między składowymi wektorów QQ i M, również wektor momentu pędu M

wykonuje taki sam ruch (względem osi bąka).

$37. Bąk niesymetryczny

137 —

Otrzymany powyżej wynik jest oczywiście tylko innym aspektem ruchu bąka prze-

dyskutowanego przez nas w $$ 33 i 35 względem nieruchomego układu odniesienia. Prędkość kątowa obrotu wektora M (oś Z na rys. 48) wokół kierunku x; jest przy tym równa prędkości kątowej — qr wyrażonej za pomocą kątów Eulera. Korzystajac z równań

(35.4), mamy

M cos6

— $cos6 $cos =M

lz lub

-1-a W

coso(

1

1

—-= 7)

B-H "1

co zgadza się z (36.6).

$ 37. Bąk niesymetryczny Zastosujemy równania Eulera do rozwiązania bardziej skomplikowanego zadania o swobodnym obrocie bąka niesymetrycznego, którego wszystkie trzy główne momenty

bezwładności są różne. Będziemy zakładać, że B>b>

Nh,

(37.1)

co nie ogranicza oczywiście ogólności rozważań.

Dwie całki równań Eulera są z góry znane. Są one dane przez zasady zachowania energii i momentu pędu

LR? + LO + BQZ =2E,

2 1202 r202 4. RR=M, R88+

202 Re?+

61.2)

gdzie energia E i bezwzględna wartość momentu pędu M są danymi stałymi. Wyrażając te dwie równości za pomocą składowych wektora M, mamy: Mż Mż. „4Ż3 M; (IE 4 Ez =2E,

(37.3)

M; + MŻ + MZ =M.

(37.4)

l

n

Iz

Już na podstawie tych równości można otrzymać kilka wniosków dotyczących charakteru ruchu bąka. Zauważmy w tym celu, że w układzie współrzędnych o osiach M, Ma, M3 równania (37.3) i (37.4) są odpowiednio równaniem powierzchni elipsoidy

o półosiach

/2Eh,

2Eb,

42E

i równaniem sfery o promieniu M. Podczas przemieszczania się wektora M (względem

osi głównych tensora bezwładności bąka) jego koniec porusza się wzdłuż linii przecięcia wspomnianych powierzchni (na rys. 51 przedstawiono szereg takich linii przecięcia

elipsoidy ze sferami o różnych promieniach). Istnienie takich linii przecięcia jest zagwarantowane przez oczywiste nierówności

2E1, < M? . Z dalszym wzrostem M? powstają na nowo dwie nieprzecinające się, zamknięte krzywe otaczające teraz bieguny na osi »3; dla

M? — 2Elz ściągają się one do tych biegunów. Zauważmy

przede wszystkim, że ponieważ krzywe te są zamknięte, więc wektor

M przemieszcza się okresowo względem osi bąka; w czasie jednego okresu wektor M opisuje pewną powierzchnię stożkową, powracając do pierwotnego położenia. Zwróćmy dalej uwagę na istotnie różny charakter torów przebiegających w sąsiedztwie różnych biegunów

elipsoidy. W

pobliżu osi xy i xa tory leżą stale w otoczeniu

biegunów, natomiast tory przechodzące w pobliżu biegunów na osi x w dalszym swym przebiegu oddalają się od nich znacznie. Różnice te są związane z różnym charakterem trwałości obrotów bąka wokół jego różnych osi głównych. Obroty bąka wokół osi x i x3 odpowiadające największej i najmniejszej wartości jego momentów bezwładności

są trwałe w tym znaczeniu, że po nadaniu bąkowi małego odchylenia od tych stanów będzie on odbywał ruch mało różniący się od ruchu pierwotnego. Natomiast obrót wo-

kół osi x> jest nietrwały; wystarczy spowodować małe odchylenie, żeby powstał ruch wprowadzający bąk w położenia dalekie od pierwotnego. Aby wyznaczyć zależność składowych Q) (lub proporcjonalnych do nich składowych M) od czasu, należy powrócić do równań Eulera (36.5). Na podstawie równań (37.2) *Analogiczne krzywe opisywane przez koniec wektora Q. nazywają się polhodiami.

$37. Bąk niesymetryczny

139 —

i (37.3) wyrazimy Q, i M przez Q> 1 Q?=———QEB

N(Il3 — 7,) 1

- M) — b(b — L)QZ),

(37.6)

Qi=———_ L)QZ 3 53-17!(M? -2EN)5 —— b(bb(h —— 14)927)

i po podstawieniu do drugiego z równań (36.5) znajdujemy dQ>> ać wasi

B-H

1%

=

1

kz

7.7 (37.7)

EB -M)- b(B — L)QZJ(M? — 2EL) — k(h — L)DŻIY'?.

Rozdzielając zmienne w tym równaniu i całkując, otrzymamy funkcję £(422) w postaci

całki eliptycznej. Sprowadzając ją do postaci standardowej, założymy, że M? > 2Eh

(w przeciwnym razie we wszystkich wzorach poniżej należy zamienić rolami wskaźniki

1 i 3). Zamiast £ i 22 wprowadzamy nowe zmienne =

ÓW

(3 — h)(M? — 2E1) |]——--..,

bb

"=

Sz

b(B — hz) |>——

2 2EG= M2

37. KŻ

oraz dodatni parametr k? < I = (hb—

I)ZEB z

= M2 )

- (3 — b)(M? — 2E1)'

(37.9)

Wtedy otrzymamy T

|

— 0, a funkcje eliptyczne przechodzą w funkcje trygonometryczne: snT = sinz,

i powracamy do wzorów (36.7). Dla M?

= 2EBk mamy:

Q,

cnr > cosz,

= Q

dnr > l

= 0, Q; = const, tzn. wektor Q) jest stale

skierowany wzdłuż osi głównej x3; przypadek ten odpowiada jednostajnemu obrotowi

bąka wokół osi x3. Podobnie dla M? = ŻE, (wtedy r = 0) mamy jednostajny obrót wokół osi x.

Przystąpimy do wyznaczenia bezwzględnego (względem nieruchomego układu współrzędnych X, Y, Z) ruchu bąka w zależności od czasu. W tym celu wprowadzimy kąty Eulera Y/, p, 8 między osiami bąka x), x, x3 i osiami X, Y, Z, wybierając przy

tym nieruchomą oś Z w kierunku stałego wektora M. Ponieważ kąt biegunowy i azymut kierunku Z względem układu x;, x2, x3 równają się odpowiednio 6 i x/2 — W (patrz odsyłacz na s. 131), więc rzutując wektor M na osie x;, x», x3, otrzymujemy:

M sino siny = M, = 1 Q;, M sin6 cos

= M; = b,

M cos6 = M3 = bQ3,

(37.13)

$37. Bąk niesymeiryczny a stąd cos 6=

1303

HQ; z

tgy = 1%

M”

141 —

( 37.14 )

korzystając zaś ze wzoru (37.10), dostajemy 2

B(M

cos8 =

En) dayc;

M*(3 — 1)

gy =

14(3

"|

(7.15)

— h)enz

bs = 7,) snz

Wzory te określają zależności kątów 0 i w od czasu; kąty te wraz ze składowymi wektora Q są okresowymi funkcjami czasu z okresem (37.12). Kąt g nie wchodzi do wzorów (37.13); aby go obliczyć, należy skorzystać ze wzorów (35.1) wyrażających składowe Q przez pochodne czasowe kątów Eulera. Eliminując Ó z równości Q, =$sinó siny +Ócosy,

Q = $psin6 cosy — Śsiny, otrzymujemy

-_

Qysiny + a cosy sin8

p=————,

korzystając następnie ze wzorów (37.13), znajdujemy

dE _ dt

12? + bRZ IŻ; + IŻR3

(37.16)

Stąd funkcję p(t) można wyznaczyć w postaci całki, jednak w jej wyrażeniu podcałkowym będą występować w sposób złożony funkcje eliptyczne. Po przeprowadzeniu bardzo złożonych przekształceń można by całkę tę wyrazić przez tak zwane funkcje 3; obliczeń tych nie przeprowadzimy*, zwróćmy tylko uwagę na ich wynik końcowy.

Funkcję (r) można przedstawić (z dokładnością do dowolnej stałej addytywnej) w postaci sumy dwóch wyrazów

z których jeden dany jest wzorem

Pl) = gilt) + alt),

e)

=

u(Ę->) |

z

R

"1a

ZORY

(37.17)

(37.18)

da( 7 +12)

*Znaleźć je można w książce E. T. Whittakera, A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies; istnieje też tłumaczenie na język polski: E. T. Whittaker, Dynamika analityczna, PWN, 1960.

[142

VI. Ruch ciała sztywnego

gdzie dyr jest funkcją ©, a a jest stałą rzeczywistą, określoną przez równość sn(iżaK) = (K i T

(37.19)

są dane wzorami (37.11) i (37.12)). Funkcja występująca po prawej stronie wzoru

(37.18) jest funkcją okresową z okresem T'/2, tak że w czasie T funkcja gy (t) zmienia

się o 2n. Drugi natomiast składnik (37.17) jest dany wzorem Pp(t) =2n

FN,

A

o Ma Eni da), 2nhh xT Ba(ia)

TT T' Funkcja ta w czasie 7” przyrasta o 2n.

(37.20)

Wobec tego ruch ze względu na kąt g jest złożeniem dwóch ruchów okresowych,

przy czym jeden z okresów (7) jest równy okresowi zmian kątów 4 i 0, a drugi (T') jest z nim niewspółmierny. Ta ostatnia własność powoduje, że podczas ruchu bąk nigdy nie powróci do swego położenia pierwotnego.

Zadania 1. Wyznaczyć swobodny ruch bąka wokół osi o kierunku bliskim kierunku osi głównej x (lub 1).

Rozwiązanie. Niech kierunek osi x, mało się różni od kierunku M. Wtedy składowe M, i M, będą wielkościami małymi, a składowa M; * M (z dokładnością do wielkości małych pierwszego rzędu), W tym samym przybliżeniu zapisujemy pierwsze dwa równania Eulera (36.5) w postaci: JĄ m a =|1-2 = (1-7).

dM, A

dM»

lz -=|-—-1)QoM,,

di (; ) s gdzie wprowadziliśmy stałą 12 = M//,. Układ równań dla M, i M; rozwiązujemy, szukając rozwiązań proporcjonalnych do e'"; w rezultacie otrzymujemy częstość 0

Natomiast wielkości M, i M, są równe Mi = Ma,

1co5wr,

l;

M; = Ma,|Ż

(2) h gdzie a jest dowolną małą stałą, Wzory te określają ruch wektora M względem bąka; w konstrukcji na rysunku 51 koniec wektora M opisuje (z częstością w) małą elipsę wokół bieguna na osi 25. Aby określić bezwzględny ruch bąka w przestrzeni, znajdziemy jego kąty Eulera. W roz-

ważanym przypadku kąt nachylenia 6 osi x, do osi Z (poprowadzonej w kierunku M) jest mały,

zgodnie ze wzorami (37.14) mamy więc

gy = M

ŚM pg)

$37. Bąk niesymetryczny

143 —

8? azm 2(1 -0058) e= 2(1 = z) x MiEMż, WŚ podstawiając tu (2), otrzymujemy

gy = 6: = e|(2

cig wt,

Jester + (7 - : sin” a].

z

'

G)

Aby obliczyć kąt p, zauważmy, że zgodnie z trzecim ze wzorów (35.1) dla 6 < I CEZSZZT Dlatego

p=Bi-v

(4)

(opuściliśmy tutaj dowolną stałą całkowania). Bardziej poglądowy obraz ruchu bąka otrzymamy, śledząc zmiany kierunków jego osi głównych (wektory jednostkowe wzdłuż tych osi oznaczamy przez n,, nz, ms). Wektory m, i n; obracają się jednostajnie z częstością £%, w.płaszczyźnie XY i wykonują jednocześnie w kierunku poprzecznym małe drgania z częstością w; drgania te są określone przez składowe w kierunku osi Z wspomnianych wektorów, dla których mamy: niz też £ MA =a|>BLIĘ — 1eosot,t Ma

Nąz 3 —

M

Bi — Isinot.

=a|-

'

W tym samym przybliżeniu dla wektora n; mamy na, *ósing,

ns, % 000859,

n.%1

(kąt biegunowy i azymut kierunku n, względem osi X, Y, Z są równe 0 i p — x/2; por. uwaga na s. 131). Następnie wykonujemy przekształcenia, wykorzystując przy tym wzory (37.13): n., =6sin(Ret — W) = 8 sin Qyt cosy — 0 cos Rat siny M. M, Sin $2yt — —— cos S2yt ot —

w

in yt sinor — a,

ż — 1 c0s Ryt COS OE

Va

lub ostatecznie a

l;

w=-S(]-1+

LI,

ng" cos(0% + w)t

[['4_

VI. Ruch ciała sztywnego

Analogicznie

I,

e

ny=- =(/5 a -1+

)sincz, + ojt

[b ) 8

gOcosa

(ujemne wartości y odpowiadają odchyleniu w.kierunku wschodnim).

2. Znaleźć odchylenie od płaszczyzny dla ciała wyrzuconego z powierzchni Ziemi z pręd-

kością początkową va.

Rozwiązanie. Płaszczyznę xz wybieramy tak, żeby leżała na niej prędkość v,. Wysokość początkowa h = 0. Dla bocznego odchylenia na podstawie wzoru (2) (zad. 1) otrzymamy y =-IPgQ, +0 (evo: — zur)

$39. Ruch w nieinercjalnym układzie odniesienia

153 —

lub, podstawiając czas trwania rzutu t = 2%./g, mamy 4uż

(1

- nt.) gm (zee. M3

3. Określić wpływ obrotu Ziemi na małe drgania znajdującego się na niej wahadła (tzw. wahadło Foucaulta).

Rozwiązanie. Z. dokładnością do wyrazów drugiego rzędu można zaniedbać przesunięcie wahadła w kierunku pionowym, można więc uważać, że ruch ciała odbywa się w płaszczyźnie

poziomej xy. Opuszczając wyrazy zawierające £2?, równania ruchu zapisujemy w postaci

i+ox=20),

j+oy=-20k,

gdzie jest częstością drgań wahadła w układzie inercjalnym. Mnożąc drugie równanie przez i oraz dodając do pierwszego, otrzymamy jedno równanie $ +06 +o6=0 dla wielkości zespolonej = x + iy. Dla ©, < w rozwiązanie tego równania ma postać g = eOS(A e 4 A) lub

x +iy=e"*'(% +10),

gdzie funkcje xy(f) i yo(f) opisują tor wahadła w układzie inercjalnym. Wpływ obrotu Ziemi sprowadza się zatem do obrotu toru wahadła wokół pionu z prędkością kątową £2,.

-------

Równania kanoniczne

——

$ 40. Równania Hamiltona Formułowanie praw mechaniki za pomocą funkcji Lagrange'a i wynikających z niej równań Lagrange'a wymaga, żeby stan układu mechanicznego opisywany był współrzędnymi i prędkościami uogólnionymi. Taki opis nie jest jednak jedyny możliwy. Wiele zalet, szczególnie przy badaniu ogólnych praw mechaniki, ma również opis korzystający ze współrzędnych i pędów uogólnionych. W związku z tym powstaje zagadnienie znalezienia równań ruchu odpowiadających takiemu sformułowaniu mechaniki. Przejście od jednego zbioru zmiennych niezależnych do innego można przeprowadzić, posługując się przekształceniem znanym w matematyce pod nazwą przekształce-

nia Legendre'a. W naszym przypadku przekształcenie to sprowadza się do następującego postępowania.

Różniczka zupełna funkcji Lagrange'a jako funkcji współrzędnych i prędkości jest

równa

dL = > ada + >; padła

Wyrażenie to można zapisać w postaci

dL = ) | pydąi + ) | piddy,

(40.1)

gdyż pochodne 4Ł/84, są z definicji pędami uogólnionymi, a 8L/8q, = p; na mocy

równań Lagrange'a

Przepisujemy teraz drugi wyraz w (40.1) w postaci

))pidd; =d (w piór) - )ddpi. Przenosząc poszczególne wyrazy na odpowiednie strony, przekształcamy powyższą tożsamość do nowej postaci, w której po lewej stronie występuje tylko różniczka zupełna dQ" pid;). Korzystając następnie z tak przekształconej tożsamości i równania (40.1), otrzymujemy

a(77pidi — L) = - X" bi daj + ) 4 dpi.

$ 40. Równania Hamiltona

155 —

Wielkość znajdująca się pod znakiem różniczki jest energią układu (patrz $ 6) przedstawioną w postaci funkcji współrzędnych i pędów; funkcję tę nazywamy funkcją Hamiltona* układu mechanicznego

HQp.q,0 =) pili — L.

(40.2)

dH = —X)b, dqi + ) | didpi,

(40.3)

Z równości różniczkowej w której zmiennymi niezależnymi są współrzędne i pędy, wynikają równania 9H

9H

(40.4)

b=—g—dqi

j=2—, p. 47

Są to szukane równania ruchu w zmiennych p i q, zwane równaniami Hamiltona. Stanowią one układ 25 równań różniczkowych pierwszego rzędu dla 25 niewiado-

mych funkcji p(f) i q(1); układ ten zastępuje s równań drugiego rzędu w formalizmie

Lagrange'a. Z powodu

symetrii i formalnej prostoty równania te nazywa się również

równaniami kanonicznymi. Pochodna zupełna funkcji Hamiltona względem czasu > dH

tan =>

08H

D2E H

gg

równa

L$Gpybr

Podstawiając tu p; i d; z równań (40.4), widzimy, że dwa ostatnie wyrazy upraszczają

się i

dH _3H dr

(40.5)

dr

W szczególnym przypadku, jeżeli funkcja Hamiltona nie zależy jawnie od czasu, dH//dt

= 0, znowu więc doszliśmy do zasady zachowania energii. Obok zmiennych dynamicznych q, 4 lub q, p funkcje Lagrange'a i Hamiltona za-

wierają różne parametry — wielkości charakteryzujące własności układu mechanicznego lub działającego na niego pola zewnętrznego. Niech A będzie takim właśnie parametrem.

Zakładając, że parametr ten jest wielkością zmienną, zamiast równości (40.1) mamy

AL = U iydg + 7) pidd, + gr dh.

z powyższego zaś zamiast (40.3) otrzymamy

AH = — X) bidąi + SO drdpi — zd. Stąd znajdujemy związek

w) A=

( 9A

pa

(2) "EE

"Niekiedy nazywana hamiltonianem (przyp. tłum.).

A

da

(40.6)

[ 156. VII. Równania kanoniczne

między pochodnymi cząstkowymi funkcji Lagrange'a i Hamiltona względem parametru A; wskaźniki przy pochodnych oznaczają, że różniczkowanie należy przeprowadzać w pierwszym przypadku przy stałych p i q, a w drugim przy stałych 4 i q.

Rezultat ten można ująć również inaczej. Niech funkcja Lagrange'a ma postać

L = Lo + L', gdzie L' jest pewną mała poprawką do podstawowej funkcji Lg. Wtedy

odpowiednia poprawka do funkcji Hamiltona H = Hy, + H' wyraża się poprzez L'

równością

(H')pq Z Lg.

(40.7)

Zauważmy, że przy przejściu od (40.1) do (40.3) nie pisaliśmy wyrazu zawierającego

dt, uwzględniającego możliwą jawną zależność funkcji Lagrange'a od czasu, gdyż czas spełniałby w tym przypadku tylko rolę parametru niezwiązanego z przeprowadzonym

przekształceniem. Analogicznie do związku (40.6) pochodne cząstkowe Ł i H względem czasu spełniają związek

()..--) 39H 2

CJĄ 01)

ą

w»

Zadania

1. Znaleźć funkcję Hamiltona dla jednego punktu materialnego w układach współrzędnych: kartezjańskim, cylindrycznym i sferycznym. Odpowiedź: We współrzędnych kartezjańskich x, y, z |

AL

2

H = (PS + P; + pż) +U(x, y, 2).

m

We współrzędnych cylindrycznych r, g, z 2 H=—2mWAKE (++ r p) +UG, 9, 2).

We współrzędnych sferycznych r, 6, p 1 2 ACH

2. Znaleźć funkcję Hamiltona cząstki w jednostajnie obracającym się układzie odniesienia.

Rozwiązanie. Przedstawiając w wyrażeniu na energię (39.11) prędkość v przez pęd p. zgodnie z (39.10) otrzymujemy -0-(r

xp) +U.

3. Znaleźć funkcję Hamiltona układu składającego się z jednej cząstki o masie M i n cząstek o masach m w przypadku, gdy ruch układu jest opisany w układzie środka masy (por. zadanie do $ 13).

Rozwiązanie. Funkcję Lagrange'a L' w układzie środka masy znajdziemy, odejmując od funkcji Ł, znalezionej w zadaniu do $ 13, energię kinetyczną środka masy. Zmieniając w L'

$ 41. Funkcja Routha

157 —

znak przed energią potencjalną U, otrzymamy energię całkowitą E(q. v). Obliczamy pędy uogólnione:

Stąd zaś

$41. Funkcja Routha

W niektórych przypadkach przy przejściu do nowych zmiennych może się okazać celowe niezamienianie wszystkich prędkości uogólnionych na pędy, lecz tylko niektórych z nich. Odpowiednie przekształcenie jest analogiczne do przekształcenia przeprowadzonego w poprzednim paragrafie. Aby uprościć zapis wzorów, założymy początkowo, że mamy tylko dwie współrzędne, które oznaczamy jako q i 6, i że przeprowadzamy przekształcenie od zmiennych q. 6, 4, 6 do zmiennych q, $, p, 6, gdzie p jest pędem uogólnionym odpowiadającym współrzędnej q. Różniczka funkcji Lagrange'a L(q.$, 4,6) jest równa

Oby; JĄ AL AL zd + dó p + dd 5 = —dą dqEJ + dL 17 35 a: AL© dę + —AL dź,; + dd =bd zę E+ ag 5 + bdą + pda

stąd zaś otrzymujemy OL

,.

AL + — dó. dp ++ pzę> dó 645 pdq — —4d d(L(L —— pó) pd) == bdą

Wprowadzamy funkcję zwaną funkcją Routha (41.1) RQ. p.$,$) = pd — L. w której prędkość j wyrażono przez pęd p za pomocą równości p = 0L/04. Różniczka 9L | 8L (41.2) dR= —bdq+ddp—

p dĘ — — dć.

06

05

[158

VII. Równania kanoniczne

Stąd wynika, że

AR Ż5 (41.3) p 8L_ = 0R 0L_ 8R (41.4) 06 86) 06 db Podstawiając ostatnie dwie równości do równania Lagrange'a dla współrzędnej £, otrzymujemy R 6: (41.5) Wobec tego funkcja Routha jest funkcją Hamiltona względem współrzędnej q (równania (41.3)) i funkcją Lagrange'a względem współrzędnej $ (równanie (41.5)). Zgodnie z ogólną definicją energia układu 8L ;0L . ÓL E ag tg t=pitiggL. Energię można wyrazić za pośrednictwem funkcji Routha, podstawiając do powyższego wyrażenia (41.1) i (41.4): ep

E=R-$

3R

(41.6)

6" Uogólnienie otrzymanych wzorów na przypadek większej liczby współrzędnych q

i £ jest oczywiste. Zastosowanie funkcji Routha może być celowe na przykład w przypadku występo-

wania współrzędnych cyklicznych. Jeżeli współrzędne q są współrzędnymi cyklicznymi, to nie wchodzą one w sposób jawny do funkcji Lagrange'a, a zatem również do funkcji Routha, funkcja ta będzie więc tylko funkcją p, $, ć. Pędy p odpowiadające współrzędnym cyklicznym są stałe (wynika to z drugiego ze wzorów (41.3), który w tym

przypadku nie wnosi niczego nowego). Po podstawieniu zamiast pędów p ich danych z góry stałych wartości, równania (41.5)

Ś 9RQP,$,6) _ 0R(p. 6,6) d6

dr

06

przechodzą w równania zawierające tylko współrzędne £; tak więc współrzędne cy-

kliczne zostały całkowicie wyeliminowane. Jeżeli rozwiąże się te równania i znajdzie się funkcje $(t), to, podstawiając je do prawej strony równań 4

— OR(pp.6,6)

otrzyma się, po wykonaniu bezpośredniego całkowania, funkcje q(t).

Zadanie

Znaleźć funkcję Routha dla bąka symetrycznego w polu zewnętrznym U (p, 0), eliminując współrzędną cykliczną V (Y/, 9, 0 są kątami Eulera).

$ 42. Nawiasy Poissona

159 —

Rozwiązanie. Funkcja Lagrange'a

L= 1167 +6? sin”6) + ILO" + bcos8)* — U(0,6)

(por. zadanie 1 do $ 35). Funkcja Routha +

R=prh-L=RE

a

5

KĘ. hau - pybcost- 26 +68 20) +U(9.0):

pierwszy wyraz w tym wyrażeniu jest stałą, którą można opuścić. $ 42. Nawiasy Poissona

Niech f(p, q, t) będzie pewną funkcją współrzędnych, pędów i czasu. Utworzymy zupełną pochodną czasową tej funkcji _=—of + —daf mPGRŁŁ.

PhĄbk |

sir dt

ag”: * agz”*

Podstawiając tu zamiast 44 i bk prawe strony równań Hamiltona (40.4), otrzymamy

af _= 3af

gdzie wprowadzono

oznaczenie

(42.1)

Hb

Gh

_—(0H0f

(Ru

_OHOf

$G7

Waga):

Wyrażenie (42.2) nazywa się nawiasami Poissona wielkości H i f. Takie funkcje zmiennych dynamicznych, które pozostają stałe podczas ruchu układu, nazywają się, jak wiemy, całkami ruchu. Widzimy, że na podstawie (42.1) warunek na to, żeby funkcja f była całką ruchu (d/f/dt = 0), można zapisać w postaci 9 S+tHf)=0.

(42.3)

(Hf) =0,

(42.4)

Jeżeli natomiast całka ruchu nie zależy w sposób jawny od czasu, to

tzn. jej nawiasy Poissona z funkcją Hamiltona powinny być równe zeru. Nawiasy Poissona dla dowolnej pary wielkości / i g definiuje się analogicznie do (42.2):

CB

=p(2f 88 _ > i

dqk

R)

dqx0px)

|

42.5

>

Nawiasy Poissona mają następujące własności, które łatwo można wyprowadzić z ich definicji

Jeżeli zmieni się kolejność występowania funkcji, to nawiasy zmieniają znak; jeżeli jedna z funkcji jest stałą (równą c), to nawias jest równy zeru t/gł = — t8f) fc) =0.

(42.6)

(42.7)

[[_!60_

VII. Równania kanoniczne

Następnie 1h + 2,8) = (58) + 1/28); 5f,8) = Alfa) + Plf8].

(42.9)

Afg) [779g + (r]. 88 zętta == |gpe)

(42.10)

Biorąc pochodną cząstkową wyrażenia (42.5) względem czasu, otrzymamy

(42.8)

Jeżeli jedna z funkcji f lub g jest jednym z pędów lub współrzędną, to nawiasy Poissona sprowadzają się do pochodnej cząstkowej a

Ual= 2,

|pk

(42.11)

a

1fpxł = — Ea gk

(42.12)

Wzór (42.11) otrzymamy na przykład, kładąc w (42.5) g = qi; wtedy bowiem a a suma w tym wzorze sprowadza się do jednego wyrazu, gdyż 2% — $y, zę a =0. qi pr Podstawiając do (42.11) i (42.12) zamiast funkcji f wielkości q; lub p;, otrzymamy taqxl=0

(pik1=0,

(piqk) = Gw.

Nawiasy Poissona składające się z trzech funkcji spełniają związek

(Ash) + (slh/)) + (kl/s) =0,

zwany tożsamością Jacobiego.

(42.13)

(42.14)

Aby przeprowadzić dowód tej tożsamości, zauważmy co następuje. Zgodnie z definicją (42.5) nawiasy Poissona | fg) są jednorodną formą dwuliniową pochodnych pierw-

szego rzędu funkcji / i g. Dlatego na przykład (h(fg)) jest liniową jednorodną funkcją

pochodnych drugiego rzędu f i g. Cała zatem lewa strona równania (42.14) jest jednorodną liniową funkcją drugich pochodnych wszystkich trzech funkcji f, g, h. Zgrupujmy

razem wyrazy zawierające drugie pochodne funkcji f. Pierwszy nawias nie zawiera takich wyrazów, występują w nim tylko pierwsze pochodne f. Natomiast sumę nawiasów

stojących na drugim i trzecim miejscu zapiszemy w postaci symbolicznej, wprowadzając liniowe operatory różniczkowe D, i D», zgodnie ze wzorami Di(o) = (89). Wtedy

Da(p) = tho).

tslhf)] + (hl/s)) = (sthf)) — (ts)

=D;(Da(f)) — D>(Di(f)) = (D;D — DD).

Łatwo jednak można stwierdzić, że taka kombinacja liniowych operatorów różniczko-

wych nie może zawierać drugich pochodnych f. Rzeczywiście, ogólna postać liniowych operatorów różniczkowych jest dana wzorem a

D,= Mk”

a

D> DBZ

$ 42. Nawiasy Poissona

161 —

gdzie 4, i nę są dowolnymi funkcjami zmiennych 11, xa, ... Wtedy c an A ora D,D = Mówi Gradi* 4ę xy Bi >

2 ag 0 Dz * yk p PO nóg

DD;6Di ==

a różnica tych wyrażeń

dm _ 0%y 8 D4D> — DD; = > (e. zę ng) W

jest znowu operatorem zawierającym tylko różniczkowania jednokrotne. Wobec tego po lewej stronie równości (42.14) upraszczają się wyrazy zawierające drugie pochodne f. Ponieważ to samo można oczywiście stwierdzić odnośnie do funkcji g i h, całe zatem

wyrażenie jest tożsamościowo równe zeru.

Nawiasy Poissona charakteryzują się ważną własnością polegającą na tym, że jeżeli f i g są dwiema całkami ruchu, to ich nawiasy Poissona są również całką ruchu (/g] = const

(42.15)

(jest to twierdzenie Poissona).

Jeżeli f i g nie zależą jawnie od czasu, to dowód tego twierdzenia jest bardzo prosty. Podstawiając do tożsamości Jacobiego h = H, otrzymamy

(Htf9)) + LflgH)) + (e(47)) =0.

Widać stąd, że jeżeli (Hg) =0i

(Hf) = 0, to również [H(fg)) = 0, czego należało

dowieść. Jeżeli całki ruchu f i g zależą od czasu w sposób jawny, to na podstawie (42.1)

mamy

d a ORZNORALEI

Korzystając ze wzoru (42.10) i wyrażając nawias |H(.fg)) za pomocą tożsamości Ja-

cobiego przez dwa pozostałe otrzymamy

3 f8)= (że: d

0

0, +|r5]-

= (runa): | a

lub

5

A

- [af

gr1/8) = | ar :| + |

em) - leten]

ea]

a,

h

d84

|

(42.16)

skąd natychmiast wynika twierdzenie Poissona w przypadku ogólnym. Stosując twierdzenie Poissona, nie zawsze będziemy oczywiście otrzymywać nowe całki ruchu, gdyż ich liczba jest ograniczona (jest ich 25 — I, gdzie s jest liczbą stopni

[!52_

VI. Równania kanoniczne

swobody). W niektórych przypadkach możemy otrzymać wynik banalny — nawiasy Poissona są równe stałej. W innych znowu przypadkach otrzymana całka może okazać się po prostu funkcją wyjściowych całek f i g. Jeżeli natomiast nie wydarzy się żaden z tych faktów, nawiasy Poissona dają nową całkę ruchu. Zadania 1. Wyznaczyć nawiasy Poissona kartezjańskich składowych pędu p i momentu pędu x p punktu materialnego Rozwiązanie. Za pomocą wzoru (42.12) znajdujemy AM, a (M,p,] = dy — 2p,) = -p:; y w podobny sposób otrzymujemy jeszcze dwa wzory M =r

1M.p.) =0,

(M,p) = py.

Pozostałe nawiasy otrzyma się stąd przez cykliczne przestawienie wskaźników x. y, z. 2. Wyznaczyć nawiasy Poissona utworzone ze składowych M. Rozwiązanie. Proste obliczenia przeprowadzone na podstawie wzoru (42.5) dają: (M.M,) =

+

IM,M.]=-M,,

(M.M,)=

Ponieważ pędy i współrzędne różnych cząstek są zmiennymi niezależnymi od siebie, łatwo można sprawdzić, że wzory otrzymane w zadaniach 1 i 2 są również słuszne dla całkowitego pędu i momentu pędu dowolnego układu cząstek. 3. Pokazać, że

(PM.) =0, gdzie g jest dowolną funkcją skalarną współrzędnych i pędu cząstki.

Rozwiązanie. Funkcja skalarna może zależeć od składowych wektorów r i p tylko za

pośrednictwem wyrażeń r”. p”, r - p. Dlatego a a =P or

ur

4

analogiczny wzór jest słuszny dla 40/4p. Szukany związek można sprawdzić za pomocą bezpośrednich obliczeń, korzystając ze wzoru (42.5) i uwzględniając wskazane tu reguły różniczkowania.

4. Pokazać, że

(M) =f xn, gdzie f jest wektorową funkcją współrzędnych i pędu cząstki, a n jest jednostkowym wektorem w kierunku osi z.

Rozwiązanie. gdzie ,, 2, p; są średnich obliczeń, uwagę w zadaniu

Dowolny wektor f(r, p) można zapisać w postaci f = rę, + pg» + r x pg, funkcjami skalarnymi. Szukany związek można sprawdzić za pomocą bezpokorzystając ze wzorów (42.9) (42.11), (42.12) i wzoru, na który zwróciliśmy 3.

$.43. Dzialanie jako funkcja współrzędnych

163 —

$ 43. Działanie jako funkcja współrzędnych

Przy formułowaniu zasady najmniejszego działania rozpatrywaliśmy całkę s=|

ra

(43.1)

n

wzdłuż toru między dwoma ustalonymi położeniami q 9 i q0), w których układ znajduj się w danych chwilach r, i ty. Przy wariowaniu zaś działania porównywaliśmy wartości tej całki dla wszystkich torów bliskich o końcach leżących w tych samych punktach q(t1) i q(t). Tylko jeden z tych torów odpowiadał ruchowi rzeczywistemu — mianowicie ten,

dla którego całka S przyjmowała minimum.

Rozpatrzmy teraz inny aspekt działania. Będziemy mianowicie teraz interpretować

$ jako wielkość charakteryzującą ruch po torach rzeczywistych i będziemy porównywać

wartości, które ona przyjmuje wzdłuż torów rzeczywistych mających wspólny początek

q(1,) = q"0, lecz przechodzących w chwili 4 przez różne położenia. Innymi słowy całkę działania dla torów rzeczywistych będziemy teraz traktować jako funkcję współrzędnych odpowiadających górnej granicy całkowania.

Zmiana działania przy przejściu od jednego toru do innego toru bliskiego jemu jest

dana (w przypadku jednego stopnia swobody) wyrażeniem (2.5) 4

A 47

685 =—%8

Ę l

8L

ddL

+ | (574%) dq dt dd i

Ponieważ tory ruchu rzeczywistego spełniają równanie Lagrange'a, występująca tu całka

jest równa zeru. Natomiast w pierwszym wyrazie zamiast dolnej granicy podstawiamy

5q(t,) = 0, a wartość 8q(t2) oznaczamy po prostu przez 8q. Zamieniając również 37/34

na p, otrzymujemy: 68 = póq lub w ogólnym przypadku dla dowolnej liczby stopni

swobody

58 =) | piógi.

(43.2)

Ze związku tego wynika, że pochodne cząstkowe działania względem współrzędnych są równe odpowiednim pędom 38

3a = Pi.

0qi

(43.3)

Podobnie można działanie uważać za funkcję zależną od czasu w sposób jawny, rozpatrując tory zaczynające się w danej chwili ź, w ustalonym położeniu q() i kończące się w ustalonym położeniu q) w różnych chwilach t = r. Pochodną cząstkową 35/81 tak określonej funkcji S(t) można znaleźć, przeprowadzając odpowiednią wariację całki. Prościej jednak będzie przeprowadzić następujące postępowanie, korzystając w nim ze znanego nam już wzoru (43.3). Zgodnie z definicją działania jego zupełna pochodna czasowa wzdłuż toru jest równa dS gz (43.4)

g!54_

MII. Równania kanoniczne

Z drugiej strony, uważając S za funkcję współrzędnych i czasu we wspomnianym wyżej sensie i wykorzystując wzór (43.3), mamy

15de _ 38dt gm— 0qi8

Porównując oba poprzednie wzory, znajdujemy 98

A

miuce 2) pidi lub ostatecznie

38 tj =

(43.5)

Wzory (43.3) i (43.5) można łącznie zapisać w postaci dS= D> pi dq; — H dt

(43.6)

określającej różniczkę zupełną działania uważanego za funkcję współrzędnych i czasu, stanowiących górną granicę całkowania w (43.1). Załóżmy teraz, że współrzędnei czas zmieniają się nie tylko w chwili końcowej, lecz również na początku ruchu. Odpowiednia zmiana S będzie dana oczywiście przez różnicę wyrażeń (43.6) odpowiadających obu końcom, tzn. dS = ))p;? dą; — HO dr) — Y | pf? dą? + HO dr,

(43.7)

Związek powyższy rozpatrywany nawet samodzielnie wskazuje, że, niezależnie od tego, jakiekolwiek podczas ruchu by było oddziaływanie zewnętrzne na układ, stan końcowy układu nie może być dowolną funkcją stanu początkowego; możliwe są tylko takie ruchy, podczas których wyrażenie występujące po prawej stronie równości (43.7) będzie różniczką zupełną. Widzimy więc, że już z samego faktu istnienia zasady najmniejszego działania, niezależnie od konkretnej postaci funkcji Lagrange'a, wynikają warunki ograniczające zbiór możliwych ruchów. Między innymi możliwe jest ustalenie wielu ogólnych prawidłowości (niezależnych od postaci występujących pól zewnętrznych) dla wiązek cząstek rozbiegających się z ustalonych punktów przestrzeni. Badanie tych prawidłowości jest przedmiotem optyki geometrycznej*. Warto zauważyć, że równania Hamiltona można wyprowadzić w sposób formalny z zasady najmniejszego działania, jeżeli całkę działania zapisze się zgodnie z (43.6) w postaci

S=Ji (7 pi dą, — H u)

1

(43.8)

oraz będzie się uważać współrzędne i pędy za zmienne podlegające niezależnemu wariowaniu. Zakładając znowu dla wygody, że występuje tylko jedna współrzędna (i jeden

*Patrz tom II Teoria pola, PWN, 1980, rozdz. VII.

$44. Zasada Maupertuisa

165 —

pęd), wariację działania zapisujemy w postaci 85= | [ |prda+ jópdi d(6q) paca

9H 98H — ——0q — zyópai| —ópdt |. dą 09 dt

Przekształcając drugi wyraz za pomocą całkowania przez części, otrzymujemy

ss= [sp

0H dq — — dr | + póq - [ea p

98H dp+ zdr). dą

Na końcach przedziału całkowania mamy 5q = 0, znika więc wyraz niewystępujący pod całką. Natomiast pozostałe wyrażenie będzie równe zeru dla dowolnych niezależnych 8p i 5q tylko wtedy, gdy wyrażenia podcałkowe obu całek będą równe zeru: stąd zaś po podzieleniu przez dt otrzymujemy równania Hamiltona.

S$ 44. Zasada Maupertuisa Zasada najmniejszego działania określa w zupełności ruch układu mechanicznego:

po rozwiązaniu równań ruchu wynikających z tej zasady można znaleźć zarówno kształt toru, jak i położenie punktu na torze w zależności od czasu.

Jeżeli ograniczymy się do węższego zagadnienia — wyznaczenia tylko samego toru (nie biorąc pod uwagę przebiegu ruchu w czasie), to okaże się, że zasadę najmniejszego działania można sformułować w postaci uproszczonej.

Założymy, że funkcja Lagrange'a, a wraz z nią funkcja Hamiltona, nie zależy w spo-

sób jawny od czasu, czyli że energia układu jest zachowana H(p,q) = E = const. Zgodnie z zasadą najmniejszego działania wariacja funkcjonału działania 85 jest równa zeru w dwóch położeniach układu — z góry ustalonych jako początkowe i końcowe — i w odpowiadających im chwilach, powiedzmy /9 i r. Jeżeli natomiast przyj-

miemy, iż wariacja 6 w końcowej chwili t jest dowolna, a podobnie jak poprzednio ustalone są położenia początkowe i końcowe (i wartości ich współrzędnych), to na podstawie (43.7) otrzymamy

58 =—Hót.

(44.1)

Przyjmujemy teraz, że w procedurze wariacji porównujemy ze sobą nie wszystkie ruchy wirtualne układu, lecz tylko te, dla których spełniona jest zasada zachowania energii. Dla wszystkich takich ruchów można w (44.1) zastąpić funkcję H stałą E, co

prowadzi do związku

85+E8t=0.

(44.2)

Zapisując działanie w postaci (43.8) i podstawiając w nim znowu zamiast funkcji H(p,q) stałą energii E, otrzymamy

S= [ 2. pidqi — E(t — 10).

(44.3)

[ '66_ VII. Równania kanoniczne

Pierwszy wyraz tego wyrażenia

5= | pda

(44.4)

nazywa się niekiedy działaniem uproszczonym. Wstawiając (44.3) do (44.2), znajdu-

(44.5)

850=0.

a

Działanie uproszczone przyjmuje więc minimum ze względu na wszystkie tory ruchów spełniających zasadę zachowania energii i przechodzących przez końcowy punkt swego toru w dowolnym czasie. Aby posługiwać się taką zasadą wariacyjną, należy przedtem wyrazić pędy, a wraz z nimi całe wyrażenie podcałkowe (44.4) przez współrzędne q i ich różniczki dą. W tym celu należy posłużyć się równościami a

dą

= —L|(q,7). 4=a (a w) będącymi definicją pędów oraz posłużyć się zasadą zachowania energii

(ae)

dą E(q,7)=E.

44.6 (44.6)

an44.7

Wyrażając za pomocą ostatniego równania różniczkę dr przez współrzędne q i ich róż-

niczki dq oraz podstawiając następnie otrzymane wyrażenia do wzoru (44.6), przedstawimy pędy poprzez q i dq, przy czym energia E będzie spełniać rolę parametru.

Otrzymana w ten sposób zasada wariacyjna określa tor układu; zasadę tę nazywa się

zwykle zasadą Maupertuisa" (jej ścisłe sformułowanie było jednak już dane przez Eulera i Lagrange'a).

Wspomniane działanie podajemy w jawnej postaci dla funkcji Lagrange'a (5.5) okreŚlonej jako różnica energii kinetycznej i potencjalnej

didu — U(9). =) an(D i,k

Wtedy pędy

5 Pi

oraz energia

=Od; =Q2

—

,ak(q)d uk(q)dk

E=3Y am(q)didx + U(9). ik

*Ściśle rzecz ujmując, prawdziwą zasadę Maupertuisa można znaleźć w podręczniku: W. Rubinowicz i W. Królikowski, Mechanika Teoretyczna, PWN, Warszawa 1998, s. 214. Zasadę tę sformułował także L. Euler w 1746 r. Nazwał ją zasadą Maupertuisa, aby uczcić prezesa Pruskiej Akademii Nauk, który go w tej akademii zatrudnił i który w tym samym roku opublikował swe bardzo niejasne poglądy na identyczny temat. Natomiast zasadę (44.5), w której przed obliczeniem wariacji należy wykonać przekształcenia opisane w (44.6)-(44.7), sformułował J. L. Lagrange (1761). Zasadę (44.5) zaś stosowaną do funkcjonału (44,9) udowodnił G. Jacobi (1886). W bardziej obszernych podręcznikach mechaniki odróżnia się te dwie zasady, nazywając je odpowiednio zasadą Lagrange'a bądź Jacobiego. W licznych podręcznikach, które nie traktują mechaniki analitycznej zbyt dokładnie, obie ostatnie zasady, dotyczące dość specjalnej sytuacji, określa się wspólną nazwą zasady Maupertuisa, nie formułując prawdziwej zasady Maupertuisa, która jest jedną z najogólniejszych zasad wariacyjnych mechaniki (przyp. tłum.).

$44. Zasada Maupertuisa

167 —

Z ostatniej równości mamy dt

X aux dqi dqe = | z. 24E-U)

44.8: (44.8)

*

podstawiając to wyrażenie do Dz

idą =);

w dą,

znajdujemy działanie uproszczone w postaci S= [

2(E — U) ) | a dqi dqy.

(44.9)

i,k

W szczególnym przypadku dla jednego punktu materialnego energia kinetyczna

r=" (dy "2 ldr (gdzie m jest masą cząstki, a d/ elementem długości jej toru), wtedy zasada wariacyjna określająca kształt toru jest dana równaniem s |/amE=Da

= 0;

(44.10)

całkuje się tu między dwoma danymi punktami przestrzeni. Ta postać zasady najmniej szego działania była podana przez Jacobiego.

Dla ruchu swobodnego cząstki U = 0 i (44.10) prowadzi do prostego wyniku

sfad=o czyli cząstka porusza się po najkrótszej drodze — po prostej. Powrócimy znowu do wyrażenia na działanie (44.3) i przeprowadzimy teraz jego wariację uwzględniając również parametr E

J80 85 = —8E — (t(t —— t9)8E 3E to): — Eót.

Podstawiając otrzymany powyżej wynik do (44.2), mamy A50 = t-t. 3E o.

( (44.11 )

Dla działania uproszczonego (44.9) równość ta przechodzi w związek X 4E-U) ak dqi dqi z

tb,to.

( (44.12 )

który jest całką równania (44.8). Związek ten wraz z równaniem toru całkowicie określa ruch.

[ '68_ VII. Równania kanoniczne

Zadanie

Wychodząc z zasady najmniejszego działania (44.10), otrzymać równania różniczkowe toru. Rozwiązanie. Przeprowadzając wariację, mamy

U ór dr 5|VE-Udl=— | |—- ——d-VE-U— dórj. dl : I | ór 2/E-U M W drugim wyrazie uwzględniono, że dl? = dr”, a więc że dl dól = dr- dór; przeprowadzając w tym wyrazie całkowanie przez części i następnie w wyrażeniu podcałkowym przyrównując do zera współczynnik przy ór, otrzymamy równanie różniczkowe toru

d dr dU EU, (VE-U— | =——. E cz 53) ór Obliczając pochodną po lewej stronie równości i wprowadzając siłę F = —4U/0r, równanie to można przedstawić w postaci dr_F-(F-t)t

dż

2(E-U)'

gdzie t = dr/dl jest jednostkowym wektorem stycznym do toru. Różnica F — (F - )t jest składową siły F, normalną do toru. Jak wiadomo z geometrii różniczkowej, pochodna d*r/ dl? = dt/dl jest równa n/R, gdzie R jest promieniem krzywizny toru, a n jednostkowym wektorem normalnym do toru. Zamieniając również E — U na mu” /2, otrzymamy mu 2

n--=E; R

wynik ten jest zgodny ze znanym wyrażeniem na przyspieszenie normalne w ruchu po torze zakrzywionym. $ 45. Przekształcenia kanoniczne

Wybór współrzędnych uogólnionych q nie jest ograniczony przez jakiekolwiek warunki; może być nimi s dowolnych wielkości określających jednoznacznie położenie układu w przestrzeni. Od ich wyboru nie zależy formalna postać równań Lagrange'a i w tym znaczeniu można twierdzić, że równania Lagrange'a są niezmiennicze wobec przekształceń prowadzących od współrzędnych q4, q>.... do dowolnych niezależnych wielkości Q1, Q»,... Nowe współrzędne Q są funkcjami starych q, przy czym możliwe są również przekształcenia współrzędnych zależące w sposób jawny od czasu, czyli przekształcenia typu

Qi = Qi(q, 1):

(45.1)

przekształcenia te nazywa się niekiedy przekształceniami punktowymi. Przekształcenia (45.1) zachowują oczywiście wraz z równaniami Lagrange'a również postać (40.4) równań Hamiltona. Jednak równania Hamiltona są niezmiennicze względem znacznie szerszej klasy przekształceń niż (45.1). Wynika to naturalnie stąd, że w metodzie Hamiltona pędy p są wraz ze współrzędnymi q równouprawnionymi, niezależnymi zmiennymi. Dlatego można rozszerzyć pojęcie przekształcenia tak, żeby

$ 45. Przekształcenia kanoniczne

169 —

było ono przekształceniem wszystkich 25 zmiennych niezależnych p i q, prowadzącym

do nowych zmiennych P i Q

Qi: = Qi(p.q,0),

Pi = Pi(p,q,0).

(45.2)

Takie rozszerzenie klasy dopuszczalnych przekształceń jest jedną z istotniejszych zalet formalizmu hamiltonowskiego w mechanice.

Jednak równania ruchu nie zachowują wcale swej postaci kanonicznej dla wszystkich

przekształceń postaci (45.2). Wyprowadzimy obecnie warunki, które winno spełniać

przekształcenie sprowadzające równania ruchu w nowych zmiennych P, Q do postaci

di

CZAEZCE AP,

90;

(45.3)

z pewną nową funkcją Hamiltona H'(P, Q). Wśród przekształceń spełniających te warunki szczególnie ważne są tzw. przekształcenia kanoniczne. Wzory określające przekształcenia kanoniczne można otrzymać następująco. W koń-

cu $ 43 zostało pokazane, że równania Hamiltona można otrzymać z zasady najmniej-

szego działania w postaci

sf (Zp dą; — Har) =0,

(45.4)

przy czym w zasadzie tej należy przeprowadzić niezależne wariacje wszystkich współrzędnych i pędów. Ponieważ również zmienne P i Q spełniają równania Hamiltona, powinna także być słuszna zasada najmniejszego działania

s[ (Z Pd; — H'dr) = 0.

(45.5)

Zasady wariacyjne (45.4) i (45.5) będą równoważne tylko wtedy, gdy ich wyrażenia

podcałkowe będą się różnić co najwyżej o różniczkę zupełną dowolnej funkcji F wspó

rzędnych, pędów i czasu; wtedy różnica obu całek będzie równa stałej (różnicy wartości

F_w obu końcach przedziału całkowania) nie dającej przyczynku do wariacji. Wobec

tego powinna zachodzić równość

) | pi dqi — H dr = ) | P,dQ; — H' dt + dF. Przekształcenia spełniające właśnie powyższy warunek nazywa się kanonicznymi*. Każde przekształcenie kanoniczne jest scharakteryzowane przez pewną funkcję zwaną jego funkcją tworzącą.

Ostatni związek można przepisać jako dF =)

|

pidqi — ) | P;dQ; + (H' — H)dt,

(45.6)

*Zauważmy, że poza przekształceniami kanonicznymi postać równań ruchu zachowują także przekształcenia, dla których wyrażenia podcałkowe w (45.4) i (45.5) różnią się od siebie stałym czynnikiem. Ich przykładem są przekształcenia: P = ap,, Q; = qi, H' = aH, gdzie a jest dowolną stałą.

[[ 170. VII. Równania kanoniczne

widzimy więc, że

Pi

8F

= ga

P,=

9F

A

30;

(EO

9F

ao

(45.7)

przy czym zakłada się, że funkcja tworząca jest dana jako funkcja starych i nowych współrzędnych (oraz czasu): F = F(q. Q,t). Wzory (45.7) ustalają dla danej z góry funkcji F związek między starymi (p, q) i nowymi (P, Q) zmiennymi oraz wyznaczają

nową funkcję Hamiltona.

Niekiedy bardziej potrzebna jest znajomość funkcji tworzącej jako funkcji starych

współrzędnych q i nowych pędów P niż jako funkcji zmiennych q i Q. W tym przy-

padku wzory na przekształcenia kanoniczne otrzymujemy, przeprowadzając w związku

(45.6) odpowiednie przekształcenie Legendre'a. Związek (45.6) przepisujemy mianowicie w postaci

d(F +37 P,Q;) = X" pidą; + ) | QidPi + (H' — Hydr.

Jeżeli wyrażenie stojące pod znakiem różniczki po lewej stronie tej równości przedstawimy jako funkcję zmiennych 4 i P, to będzie ono nową funkcją tworzącą. Oznaczając

je przez ©(q, P,t), mamy*: Pi

0dq

0 0B9P,

mą ihdt

(45.8)

W podobny sposób można otrzymać wzory określające przekształcenia kanoniczne za pomocą funkcji tworzącej zależnej od zmiennych p i Q lub pi P. Zauważmy, że niezależnie od wyboru zmiennych w funkcji tworzącej zawsze otrzy-

muje się ten sam związek między nową i starą funkcją Hamiltona:

różnica H' — H

jest równa pochodnej cząstkowej funkcji tworzącej względem czasu. Jeżeli zaś funkcja tworząca nie zależy od czasu, to H' = H. Innymi słowy, w przypadku tym otrzymuje się nową funkcję Hamiltona, podstawiając do H zmienne p i q wyrażone jako funkcje

nowych zmiennych P i Q.

Przekształcenia kanoniczne stanowią, jak zauważyliśmy, znacznie szerszą klasę przekształceń niż przekształcenia punktowe, z tego też powodu w metodzie Hamiltona pojęcia

współrzędnych i pędów uogólnionych tracą w znacznej mierze swoje poprzednie znacze-

nie. Ponieważ przekształcenia (45.2) wyrażają każdą ze zmiennych P i Q zarówno przez współrzędne q, jak i pędy p, więc zmienne Q nie mogą już być interpretowane po prostu

jako współrzędne przestrzenne. Rozróżnianie między obiema grupami zmiennych staje się w zasadzie tylko zagadnieniem terminologii. Jest to szczególnie wyraźnie widoczne w przypadku przekształcenia** ©; = p;, P; = —q;, które nie zmienia postaci kanonicznej

równań ruchu i sprowadza się do zwykłej zmiany nazw współrzędnych i pędów. *Zauważmy, że biorąc funkcję tworzącą w postaci

B=). filq,OP,

(gdzie f; są dowolnymi funkcjami), otrzymujemy przekształcenie postaci Q; = f:(q,1), czyli nowe współrzędne wyrażają się tylko przez stare współrzędne (a nie pędy). Jest to przekształcenie punktowe, które jak widać jest szczególnym przypadkiem przekształcenia kanonicznego. *Odpowiada jemu funkcja tworząca F = X

q;Q;.

$45. Przekształcenia kanoniczne

171

—

W związku z niejednoznacznością terminologii, zmienne p i q w metodzie Hamil-

tona nazywa się często wielkościami kanonicznie sprzężonymi.

Warunki spełnione przez zmienne kanoniczne przedstawiają się szczególnie prosto za pomocą nawiasów Poissona. W związku z tym udowodnimy najpierw, że nawiasy

Poissona są niezmiennikami przekształceń kanonicznych. Niech (f8]p.ą będą nawiasami Poissona wielkości f i g, w których różniczkowanie przeprowadza się względem zmiennych p i q , a (fg]p,g — nawiasami Poissona tych

samych wielkości różniczkowanych względem zmiennych kanonicznych P i Q. Wtedy

(45.9)

(Fa)pa = /8)P.e-

Związek ten można udowodnić, posługując się bezpośrednimi obliczeniami, wyko-

rzystując wzory na przekształcenie kanoniczne. Można jednak uniknąć takich obliczeń,

korzystając z następujących rozważań. Zauważmy przede wszystkim, że czas w przekształceniach kanonicznych w (45.7) i (45.8) występuje w roli parametru. Dlatego jeżeli

uda się nam dowieść twierdzenia (45.9) dla wielkości niezależnych jawnie od czasu,

to będzie ono ogólnie spełnione. Niech wielkość g (z czysto formalnego punktu widzenia) będzie funkcją Hamiltona jakiegoś fikcyjnego układu mechanicznego. Wtedy

zgodnie z (42.1) (fg)p.q = —df/dt. Pochodna d/f/dt jest jednak wielkością, która

może zależeć tylko od własności ruchu (wprowadzonego układu fikcyjnego), a nie od szczególnego wyboru

zmiennych. Dlatego (./g) nie może zmieniać się przy przejściu

od jednych zmiennych kanonicznych do jakichkolwiek innych.

Ze wzorów (42.13) i twierdzenia (45.9) otrzymujemy

tQiQklpa =0,_

(PiPk)pq =0,

(PiQklp.g = Smi-

(45.10)

Spełnienie powyższych równań, zapisanych za pomocą nawiasów Poissona, przez nowe zmienne P i Q jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, żeby przekształcenie P,q = P, Q było przekształceniem kanonicznym.

Zwróćmy uwagę na interesujący szczegół, że zmianę zmiennych p i q podczas ruchu

można uważać za przekształcenie kanoniczne, które należy rozumieć następująco. Niech

qr, pr będą wartościami zmiennych kanonicznych w chwili /, a ,;+, p,,x — wartościami tych zmiennych w późniejszej chwili £ + z. Wielkości q;4, Pr4+ Są Oczywiście pewnymi

funkcjami wartości tych zmiennych w chwili 1 oraz funkcjami długości przedziału z

uważanego za parametr:

qrer = (qr, Pot, T),

Prix = P(gr, Prut. T).

Jeżeli będzie się traktować wzory te jako przekształcenie od zmiennych q,, p, do zmien-

nych qi--r» Pr+x, tO przekształcenie to będzie kanoniczne. Jest to oczywistą konsekwencją wyrażenia

45 = )(Prz dip: — Prdq,) — (H4; — H)dt

przedstawiającego różniczkę działania S(q,..;, q,, ), wziętego wzdłuż prawdziwego ruchu, przechodzącego przez punkty q, i qr;r

w góry określonych chwilach £ i r + z

(por. (43.7)). Porównanie powyższego wyrażenia z (45.6) pokazuje, że —S jest funkcją tworzącą rozważanego teraz przekształcenia.

[172

Mil. Równania kanoniczne

$ 46. Twierdzenie Liouville'a Do geometrycznej interpretacji zjawisk mechanicznych posługujemy się często po-

jęciem przestrzeni fazowej. Jest to przestrzeń 2s-wymiarowa —

na osiach układów

współrzędnych tej przestrzeni odkłada się wartości s współrzędnych uogólnionych i s

pędów danego układu mechanicznego. Każdy punkt tej przestrzeni reprezentuje okreŚlony stan układu mechanicznego. Podczas ruchu układu reprezentujący go punkt opisuje w przestrzeni fazowej krzywą zwaną torem fazowym układu.

Iloczyn różniczek

dl” = dqy... dqs dpi... d

jest „elementem objętości” w przestrzeni fazowej. Weźmy teraz pod uwagę całkę / dT", określoną na pewnym obszarze przestrzeni fazowej, przedstawiającą objętość tego ob-

szaru. Wykażemy, że całka ta jest niezmiennikiem przekształceń kanonicznych: jeżeli przeprowadzi się przekształcenie kanoniczne od zmiennych p, q do zmiennych P, Q, to objętości odpowiadających sobie obszarów przestrzeni p, q i P, Q będą jednakowe:

[>| 8a: da:dp1--dp.= [ ...| 401... 40:0P....aP..

(46.1)

Jak wiadomo, przekształcenie zmiennych w całce wielokrotnej dane jest wzorem [ gdzie

„|

de.

„AQsP,...dP, = |... | Dagr... dra...

Dz AO

Qu, Pit

Ps)

dps

(46.2)

8(91, +++ qs> Ps +++ Ps) jest jakobianem przekształcenia. Dlatego dowód twierdzenia (46.1) sprowadza się do wykazania, że jakobian każdego przekształcenia kanonicznego jest równy jedności:

D=l. (46.3) W dowodzie wykorzystamy znaną własność jakobianów pozwalającą w symbolicznym znaczeniu operować nimi tak jak ułamkami. „Dziełąc licznik i mianownik” przez 8(q1,---,qsPi, +», P;), otrzymamy _ a 0800r: Qs Pn»

0(91:--+q5, Pi.

O(q1, ---+95, Ps --»

Korzystając zaś z innej znanej własności r

-

(46.4)

w których „liczniku” i „mianow-

niku” pojawiają się te same zmienne, sprowadzamy rozważany jakobian do jakobianu o mniejszej liczbie zmiennych, przy czym we wszystkich występujących w nim różnicz-

kowaniach można traktować zmienne, które zostały wyeliminowane, jako stałe. Dlatego

9001.—SL D=|—

|

fi"

Ezd

| 0(01:--195) | pecona/

, | g=const L0(Pn---Ps)

.

.

(46.5

(22)

Weźmy pod uwagę jakobian stojący w liczniku tego wyrażenia. Zgodnie z definicją

jest on wyznacznikiem rzędu s, składającym się z wyrazów 8Q;/q4 (występujących na

$47. Równanie Hamiltona-Jacobiego

173 —

przecięciu się i-tego wiersza z k-tą kolumną). Przedstawiając przekształcenie kanoniczne

za pomocą funkcji tworzącej ©(q, P) w postaci (45.8), otrzymamy

39,_ dg

36

dqx0P;"

Podobnie możemy stwierdzić, że wyraz wyznacznika znajdującego się w mianowniku wyrażenia (46.5), scharakteryzowany przez wskaźniki i i k, jest równy

830

dq;0P, . Oznacza to, że oba wyznaczniki różnią się tylko zamianą wierszy z KSlmnamiejSĘAWIĘE BOLI równe, czyli stosunek (46.5) jest równy jedności, czego należało dowieść. Wyobraźmy sobie teraz, że każdy punkt danego obszaru przestrzeni fazowej zmienia się w czasie zgodnie z równaniami ruchu rozpatrywanego układu mechanicznego. Tym samym zmienia się cały obszar. Nie będzie się jednak przy tym zmieniać jego objętość

j dT = const.

(46.6)

Twierdzenie to (zwane twierdzeniem Liouville'a) wynika bezpośrednio z niezmienni-

czości objętości fazowej względem przekształceń kanonicznych oraz z tego, że zmianę p i q podczas ruchu można uważać (jak to zostało pokazane na końcu poprzedniego paragrafu) za przekształcenie kanoniczne. Analogicznie można pokazać, że niezmiennikami są całki

Jaan.

I

da: dpi dą dpi. 2. iężk

w których obszarami całkowania są dane dwu-, cztero- itd. -wymiarowe

przestrzeni fazowej.

rozmaitości

$ 47. Równanie Hamiltona-Jacobiego

W $ 43 zostało wprowadzone pojęcie działania jako funkcji współrzędnych i czasu.

Pokazano, że pochodna cząstkowa funkcji działania S(q, t) względem czasu związana jest z funkcją Hamiltona zależnością aS

—% + Hg, (q, p.t) p,t) =0, a jej pochodne cząstkowe względem współrzędnych są równe pędom. Podstawiając zgodnie z tym w funkcji Hamiltona zamiast pędów p pochodne 35/8q, otrzymujemy rów-

nanie

„08

88,

3:

(47.1)

[174

VII. Równania kanoniczne

które powinna spełniać funkcja S(q, r). Jest to równanie o pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu; nazywa się ono równaniem Hamiltona Jacobiego. Równanie Hamiltona-Jacobiego jest obok równań Lagrange'a i równań kanonicznych podstawą pewnej ogólnej metody całkowania równań ruchu.

Przystępując do wyłożenia tej metody, przypominamy, że każde równanie różnicz-

kowe o pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu ma rozwiązanie zależne od dowolnej funkcji; rozwiązanie takie nazywa się całką ogólną równania. W zastosowaniach mechanicznych podstawową rolę odgrywa jednak nie całka ogólna równania HamiltonaJacobiego, lecz tzw. całka zupełna; tak nazywa się rozwiązanie równania różniczko-

wego o pochodnych cząstkowych, zawierające tyle niezależnych stałych dowolnych, ile występuje w równaniu niezależnych zmiennych.

W równaniu Hamiltona-Jacobiego zmiennymi niezależnymi są czas i współrzędne. Dlatego dla układu o s stopniach swobody całka zupełna tego równania powinna zawierać s + 1 dowolnych stałych. Przy tym, ponieważ funkcja S występuje w równaniu tylko za pośrednictwem pochodnych, jedna z dowolnych stałych musi wchodzić do całki zupełnej w sposób addytywny, tzn. całka zupełna równania Hamiltona-Jacobiego ma postać S=f(,91,---+4s 01, s) +4, (47.2)

gdzie ay, ...,a, i A są dowolnymi stałymi”. Zajmiemy się teraz związkiem między całką zupełną równania Hamiltona-Jacobiego i interesującym nas rozwiązaniem równań ruchu. W tym celu przeprowadzimy przekształcenie kanoniczne od wielkości q, p do nowych zmiennych, przy czym funkcję f(t,q,a) wybierzemy za funkcję tworzącą, a wielkości ay, an, ...,0; za nowe pędy. Nowe współrzędne oznaczymy przez Bi, a, ..., f,. Ponieważ funkcja tworząca zależy od starych współrzędnych i nowych pędów, powinniśmy posługiwać się wzorami (45.8):

af

Bi

Pi - dqi"

_ af , H=H+ af da; dr"

*Chociaż całka ogólna równania Hamiltona-Jacobiego nie będzie nam potrzebna, wykażemy, że można ją znaleźć, jeżeli dana jest całka zupełna. W tym celu będziemy zakładać, że wielkość A jest dowolną funkcją pozostałych stałych:

S = [(0914-1-+4504,---,0) + Aa, ---,). Jeśli zastąpimy wielkości a; przez funkcje współrzędnych i czasu, które znajdujemy z s warunków 45 _ dm

to otrzymamy całkę ogólną zależną od dowolnej funkcji A(a;. ...., a.). Rzeczywiście, dla otrzymanej tak funkcji $ mamy

58. (Ę

.

d0x (2) LA90 (5) (EŻIEPEEJE >

8a,

), 8qi

CZA

Wielkości (35/3q;). spełniają równanie Hamiltona-Jacobiego, gdyż funkcja S(t, q; a) jest z założenia całką zupełną tego równania. Dlatego również pochodne 45/34, spełniają to równanie.

$41. Równanie Hamiltona-Jacobiego

175 —

Ponieważ zaś funkcja f spełnia równanie HamiltonaJacobiego, widzimy, że nowa

funkcja Hamiltona powinna być tożsamościowo równa zeru: a

nudny

En

dt

aS

dr

>

Dlatego równania kanoniczne dla nowych zmiennych mają postać 6; = 0, B, = 0, stąd

zaś wynika, że

©; =const,

Z drugiej strony, s równań

_$; = const.

(47.3)

af

dm |.

pozwala wyrazić s współrzędnych q przez czas i 2s stałych w i f. Tym samym otrzymujemy całkę ogólną równań ruchu. Wobec tego rozwiązanie zagadnienia o ruchu układu mechanicznego metodą Ha-

miltona-Jacobiego sprowadza się do następujących operacji. Mając funkcję Hamiltona, formułuje się równanie Hamiltona-Jacobiego i znajduje się jego całkę zupełną (47.2). Różniczkując tę całkę zupełną względem dowolnych stałych a i przyrównując pochodne do nowych stałych 8, otrzymujemy s równań algebraicznych = da; =B,

(47.4)

po których rozwiązaniu znajdziemy współrzędne q jako funkcje czasu i 2s dowolnych

stałych. Zależność pędów od czasu można natomiast znaleźć na podstawie równań p; = 98/0qi.

Jeżeli mamy niezupełną całkę równania Hamiltona-Jacobiego, zależną od mniejszej

niż s liczby stałych dowolnych, to chociaż nie pozwala ona znaleźć całki ogólnej równań

ruchu, można jednak za jej pomocą uprościć trochę zagadnienie znalezienia tej całki.

Na przykład, jeżeli znana funkcja $ zawiera jedną stałą dowolną a, to związek — = const da jest równaniem wiążącym q;,...,q;it

Równanie HamiltonaJacobiego przybiera trochę prostszą postać wtedy, gdy funkcja Hamiltona nie zależy w sposób jawny od czasu, tzn. kiedy układ jest zachowawczy. Działanie zależy wtedy od czasu przez składnik — Et: $ = $o(q) — Et

(47.5)

(patrz $ 44); podstawiając to do (47.1), otrzymamy równanie Hamiltona-Jacobiego dła

działanie uproszczonego Sp(4)

d50 s) |=E. H|qu,--+95 0,27 (i

43

qi

0q:

(41.6)

E

176

VII. Równania kanoniczne

$ 48. Rozdzielenie zmiennych W wielu ważnych przypadkach całkę zupełną równania Hamiltona-Jacobiego można znaleźć za pomocą tak zwanego rozdzielenia zmiennych, którego zasadę wyłożymy

w tym paragrafie.

Załóżmy, że dowolna współrzędna — nazwijmy ją qi — i odpowiadająca jej pochodna 95/3q występują w równaniu Hamiltona-Jacobiego tylko za pośrednictwem A

"=,

OS)

Fra

a

2%.

;

"

pewnej kombinacji p (a1» 3): niezawierającej innych współrzędnych (ani czasu) i ich oq1 pochodnych, czyli że równanie ma postać

08

08

oai da

38

ro(azz)|

0,

(48.1)

gdzie q; stanowią zespół wszystkich współrzędnych z wyjątkiem q,. W tym przypadku będziemy szukać rozwiązania w postaci sumy S = S'(qi,1) + 51(q1).

(48.2)

Podstawiając to wyrażenie do równania (48.1), otrzymamy as!

08!

Bigi, t, +»

[a

Ś dqi

0t e(a

dSi

—

zl

||=0.

(48.3

SE

Załóżmy, że zostało znalezione rozwiązanie (48.2). Wtedy po podstawieniu tego

rozwiązania do równania (48.3) równanie to powinno przechodzić w tożsamość słuszną

między innymi dla dowolnej wartości współrzędnej q,. Jednak zmiana q, powoduje

tylko zmianę funkcji 0; dlatego równanie (48.3) będzie tożsamością tylko wtedy, gdy funkcja p będzie stała dla wszystkich wartości jej zmiennych. Równanie (48.3) rozpada

się więc na dwa równania

dS;

(a. e) =,

(48.4)

|

aS; oaz

(387 pra]

=;

(48.5)

gdzie o jest stałą dowolną. Pierwsze z tych równań jest zwyczajnym równaniem różniczkowym pozwalającym wyznaczyć funkcję S1(q1) za pomocą prostego całkowania.

Pozostaje więc równanie różniczkowe o pochodnych cząstkowych (48.5) zawierające już

mniejszą liczbę zmiennych niezależnych.

Jeżeli w ten sposób można oddzielić kolejno wszystkie s współrzędnych i czas,

to znalezienie całki zupełnej równania Hamiltona-Jacobiego sprowadza się jedynie do całkowań. W przypadku układu zachowawczego faktycznie należy w równaniu (47.6) rozdzielić tylko s zmiennych (współrzędnych), jeżeli zmienne rozdzielają się przy tym całkowicie, szukana całka równania Hamiltona Jacobiego ma postać S= VO St(gh; 1, 11,04) — E(oy,...,Qs)t, k

(48.6)

$ 48. Rozdzielenie zmiennych

gdzie każda z funkcji $, zależy tylko od jednej otrzymać jako funkcję dowolnych stałych 04, .... nania (47.6). Szczególnym przypadkiem rozdzielania się cyklicznych. Zmienna cykliczna qj nie występuje

177 —

ze współrzędnych, a energię E można ,,, podstawiając Sp = X, Sk do rówzmiennych jest przypadek zmiennych w jawnej postaci w funkcji Hamiltona,

S a zatem również w równaniu Hamiltona-Jacobiego. Funkcja p (a zu) sprowadza się qi = 04g;, tak więc Sj prostu po otrzymujemy (48.4) przy tym do 95/8q4, a z równania S =S'(qi, 1) + 0191.

(48.7)

Stała ay jest tu stałą wartością pędu p; = 45/0q; odpowiadającego współrzędnej cyklicznej, Zauważmy, że w przypadku układu zachowawczego oddzielenie czasu w postaci

wyrażenia — Et podpada również pod metodę rozdzielania zmiennych dla „zmiennej cyklicznej” t.

Wobec tego wszystkie rozpatrywane poprzednio przypadki upraszczania całkowań

równań ruchu, wykorzystujące zmienne cykliczne, można objąć metodą rozdzielania

zmiennych w równaniu Hamiltona-Jacobiego. Dochodzi do nich jeszcze szereg przy-

padków, kiedy rozdzielenie zmiennych jest możliwe, pomimo że współrzędne nie są współrzędnymi cyklicznymi. Jak widać stąd, metoda Hamiltona-Jacobiego jest najbardziej doskonałą metodą znajdowania całki ogólnej równań ruchu. Przy rozdzielaniu zmiennych w równaniu Hamiltona-Jacobiego bardzo ważną rzeczą jest odpowiedni wybór układu współrzędnych. Rozpatrzmy kilka przykładów rozdzielenia zmiennych

w różnych układach współrzędnych, mających zastosowanie przy

rozwiązywaniu zadań o ruchu punktu materialnego w różnych polach zewnętrznych.

1. Współrzędne sferyczne. We współrzędnych tych (r, 6, o) funkcja Hamiltona jest

równa

H

2 14/4. JBa p =—| p> + 3 + —> |

2m (z rak

pagina)

rozdzielenie zmiennych będzie więc tu możliwe, jeżeli b(6) U =a(r) +—* +

©+a

+UG6,0),

GO)

c(9)

* an

i

gdzie a(r), b(6), e(y) są dowolnymi funkcjami. Ostatni wyraz w tym wyrażeniu ma wątpliwe zastosowania fizyczne i dlatego rozpatrzymy tylko pole postaci U =a(r) + r,

(48.8)

Wtedy równaniem Hamiltona-Jacobiego dla funkcji Sp będzie równanie

1

(85)?

(2)

1

[/a50)

+00 + zrz|(7%

+2mb(o)|+ —zoczy(

50)

39)

E

Uwzględniając, że współrzędna © jest współrzędną cykliczną, szukamy rozwiązania w postaci

5 = Pęb + SI(0) + 5206)

[178_

VII. Równania kanoniczne

i dla funkcji $,(r) i 5>(6) otrzymujemy równania dS-

2

(=) de 1

a

+ 2mb(0) + sin”i

fds;y?

(z)

B,

8

FOOT zz)

Całkując te równania, otrzymujemy ostatecznie 2

5=-Er+ pp+ | |B-2mb0) — PE 40 sin”

+

(48.9)

ante a= Żar r

Stałymi dowolnymi są tu py, B, E; różniczkując względem tych stałych i przyrównując wynik różniczkowania do nowych stałych, znajdujemy ogólne rozwiązanie równań ruchu.

2. Współrzędne paraboliczne. Do współrzędnych parabolicznych $, 1, przechodzi się, wychodząc ze współrzędnych cylindrycznych (które w tym paragrafie będziemy

oznaczać przez 0, , z), korzystając ze wzorów

2z=46-m),

0=Vón.

(48.10)

Współrzędne£ i 7 przyjmują wartości z przedziału od zera do oo; powierzchnie o stałych

5 iq tworzą, jak można się łatwo przekonać, dwie rodziny paraboloid obrotowych

(o osi z jako osi symetrii). Związek (48.10) można zapisać również w innej postaci,

wprowadzając promień

r=/2+2

=76+m.

(48.11)

Wtedy $=r+z,

qn=r-z.

(48.12)

Napiszemy funkcję Lagrange'a punktu materialnego w układzie współrzędnych £, r, w. Różniczkując wyrażenia (48.10) wględem czasu i wynik podstawiając następnie do wyrażenia

L = zm(6” + o*$* + 2?) — U(e. 9,2) (jest to funkcja Lagrange'a w układzie współrzędnych cylindrycznych), otrzymamy

L=ZE+0(> +7) +Zene -UG.1,0). 8 6 q 3 m

£2

42

m

a

Pędy są wtedy równe Dę = gć +0,

p= zĆ +Mh,

Pe = mónó,

(48.13)

$ 48. Rozdzielenie zmiennych

179 —

a funkcja Hamiltona — 25PNP m 6+n

PY +U(,n,9). 2m$n

(48.14)

Fizycznie interesujące przypadki rozdzielania zmiennych w tych współrzędnych odpowiadają energii potencjalnej postaci

a(6) + bln) _ a(r + 2) +b(r — z) 2r

$+n

Otrzymujemy więc równanie 2

ole

ij

+1

()]

"an

+

1

(2)

+

Zmón (69

(48.15)

o

a(6) + b(q) =E.

6+n

Współrzędna cykliczna p występuje w działaniu Sp w składniku postaci py. Mnożąc

następnie równanie przez m(ć + 1) i przestawiając kolejność poszczególnych wyrazów, otrzymamy

pż

(w) + ma(6) — mE$ + z« + 21 (e0) + mb) - mEp+ 2 06 Si

Kładąc

z

So = Poe + S1($) + 5207),

otrzymamy dwa równania x (z)

27

ds.

z)

dy

2 2

PĘ

GE =$, + ma($)— mEŚ 47a 2

+ mb() - mEq +32 =—B 27

i po ich scałkowaniu ostatecznie dostajemy =

po+

| |

+2

26

4ę5 5

ARE mE. Bomba Pó tn m dł gdzie py, B, E są dowolnymi stałymi.

3. Współrzędne eliptyczne. Współrzędne

wzorów

(48.16)

te ($, 7, Q) wprowadza się za pomocą

og=oy(62--DU-1"), z=o$q; (48.17) stała o jest parametrem przekształcenia. Współrzędna £ zmienia swą wartość od jedności do oo, a współrzędna 7 od —1 do +1. Jeżeli wprowadzi się odległości ry i rz punktu materialnego od punktów A; i A> leżących na osi z o współrzędnych z =o

iz =—o:

[180

VII. Równania kanoniczne

n=yGc-o0)ż+e, m = 4(z+0)2 +07 to otrzyma się związki geometrycznie

bardziej poglądowe." Podstawiając do wzorów na te odległości wyrażenia (48.17), otrzymujemy rn=o($-n),

m=o(ć +n),

M+r

(48.18)

T, wykładnik ten jest wielkością dużą. Różnica 7, — /_ maleje więc wykładniczo przy zmniejszaniu się prędkości zmian parametrów układu**

Aby określić wy w pierwszym przybliżeniu względem 7/r (a więc zachowując tylko

wyrazy rzędu (T/r)! w wykładniku), w równaniu (50.11) można zaniedbać mały wyraz zawierający X, czyli można napisać dw

z

o(1,2()),

(51.8)

przy czym za argument / funkcji w(/,A) przyjmuje się wartość stałą, powiedzmy, równą I_. Wtedy

p) wo = |o(x0)

dr

(51.9)

(za dolną granicę całkowania można tu przyjąć dowolną wartość rzeczywistą £; intere-

sująca nas jedynie część urojona wy od wartości tej nie zależy)***.

Całka (51.5), w której w zostało przyjęte w postaci (51.8), a 3A/dw

zastąpione

jednym tylko wyrazem najniższego rzędu występującym w szeregu (51.4), przybiera postać

NE: Re | ie" hh.

(51.10)

Z powyższego wynika, że wzajemnie konkurującymi (o wybór punktu najbliższego osi rzeczywistej) punktami osobliwymi

są osobliwości (tzn. bieguny lub punkty

rozgałę-

zienia) funkcji ż(t) lub 1/6(t), gdzie G(t) = o(/, A(1)). Przypominamy, iż wniosek o wykładniczej małości A7 związany jest z założeniem, że na osi rzeczywistej wskazane funkcje nie mają osobliwości.

Zadania

1. Podać oszacowanie A/ w przypadku oscylatora harmonicznego o powoli zmieniającej

się częstości drgań, zgodnie z prawem

*Jeżeli powolność zmian parametru A polega głównie na tym, że zależy on od t tylko poprzez

zmienną$ = t/r, z dużą wartością T, to ty = r$p, gdzie śp jest niezależnym od r punktem osobliwym. funkcji A(5).

**Zauważmy, że jeżeli początkowe i końcowe wartości funkcji A() są takie same (A., = A_), to wykładniczo małą będzie nie tylko różnica A/, ale wraz z nią także różnica AE = E, — E_ energii

końcowej i początkowej; zgodnie z (49.9) mamy bowiem AE = wAl.

**Bardziej szczegółowy dowód poczynionych tu stwierdzeń, a także obliczenie niepodanego tu

mnożnika przed funkcją wykładniczą we wzorze (51.6), można znaleźć w publikacji: A.A. Czym, 3KOTO 45, 978 (1963).

(E

190

VII. Równania kanoniczne

w przedziale wartości od o_ = cy, dla t = —0, do w, = Ja, dla t = +0 (a > 0, a K w).

Rozwiązanie. Przyjmując, że parametrem A jest teraz częstość w, mamy i_a a___ 1 o 2lewęa e"+1)

Funkcja ta ma bieguny dla e-* = —1 i dla e" = —a. Obliczając całkę / w dr, można stwierdzić, że najmniejsza wartość Im w» pochodzi jedynie od bieguna odpowiadającego wartości aty = — In(—a) i jest równa _ dlaa> l, Im w, = wn/a wyny/a/a dlaa < 1.

Dla oscylatora harmonicznego A + sin 2w (por. zadanie do $ 50), tak więc szereg (51.3) redukuje się do dwóch tylko wyrazów z I = +2. Dlatego w przypadku oscylatora harmonicznego

AI « exp(-21m wy). 2. Cząstka wykonuje ruch drgający w jamie potencjału. Podać prawo zmian jej energii pod wpływem siły tarcia f, = —a.t o małym współczynniku a (x jest tu współrzędną kartezjańską).

Rozwiązanie. Uśrednimy równanie (25.13) ze względu na okres drgań, zaniedbując w pierwszym przybliżeniu ich iłamienie. Mamy

2 on=-POxB za

dx=

mr

©»

gdzie 7(E) jest niezmiennikiem adiabatycznym, a m masą cząstki. Mnożąc powyższą relację obustronnie przez d7/dE oraz korzystając z (49.8), eliminujemy z niej okres drgań 7 i znajdujemy, że z

w d] dE

ZWT dE dt

m

Całkując wynikające stąd równanie różniczkowe, otrzymujemy

ME) = IE) exp (-r).

©

Powyższy wzór pozwala określić w sposób uwikłany zależność E(t). W przypadku granicznym oscylatora harmonicznego wzór (1) przechodzi w (25.5). Otrzymane rozwiązanie jest słuszne pod warunkiem, że ćT/m < 1.

$ 52. Ruch wielokrotnie okresowy

Rozpatrzmy układ o wielu stopniach swobody wykonujący ruch skończony (względem wszystkich współrzędnych). Załóżmy przy tym, że w metodzie Hamiltona-Jacobie-

go zadanie to dopuszcza całkowite rozdzielenie zmiennych. Innymi słowy, przy odpowiednim wyborze współrzędnych działanie uproszczone jest równe sumie

50 =), Sila)

funkcji, z których każda zależy tylko od jednej ze współrzędnych.

(52.1)

*Własność harmoniczności oscylatora przejawia się m.in. niezałeżnością częstości jego drgań od energii.

$ 52. Ruch wielokrotnie okresowy Ponieważ pędy uogólnione

191 —

059 _ dS;

Pan

dqi"

każdą z funkcji 5; można przedstawić w postaci

GE J pi dą.

(52.2)

Funkcje te są niejednoznaczne. Wobec tego, że ruch jest skończony, każda ze współ-

rzędnych może przyjmować wartości tylko z określonego skończonego przedziału. Przy

zmianie q; w tym przedziale „tam” i „z powrotem” działanie przyrasta o wielkość AS = AS; =Żul, gdzie 7; jest całką

1 li= z

(52.3)

Pi dq;

n

(52.4)

wziętą po wspomnianym przedziale zmian* q;. Przeprowadzimy teraz przekształcenie kanoniczne analogiczne do przekształcenia

wykonanego w paragrafie poprzednim w przypadku jednego stopnia swobody. Nowymi zmiennymi będą „zmienne działania” 7; i „zmienne kątowe”

— 35o(a, D) 91;

3 3Sx(qx, 1) * 3 k

(52.5)

gdzie funkcją tworzącą jest znowu działanie przedstawione jako funkcja współrzędnych i wielkości 7;; z równań ruchu w tych zmiennych

0E(I) I;

wynika

I, = const, i= ko

(52.6)

+ const.

(52.7)

Również analogicznie do (50.7) możemy stwierdzić, że z całkowitą zmianą współrzędnej q; („tam” i „z powrotem”) związana jest zmiana odpowiedniego w; o 2x:

Aw; = 2n. Innymi

słowy,

w;(q, 7) są niejednoznacznymi

(52.8) funkcjami

współrzędnych,

przy czym

funkcje te przy powrocie współrzędnych do wartości początkowych zmieniają się o dowolne całkowite wielokrotności 2x. Własność tę można sformułować także jako wła-

sność funkcji w;(p,q) (wyrażonej przez współrzędne i pędy) w przestrzeni fazowej

*Podkreślamy jednak, że chodzi tu o formalną zmianę współrzędnej g, w całym przedziale jej dopuszczalnych wartości, a nie o zmianę w czasie jednego tylko okresu realnego ruchu (tak jak w przypadku ruchu jednowymiarowego). Realny ruch skończony układu o wielu stopniach swobody nie tylko że nie jest w ogólnym przypadku ruchem okresowym, lecz nawet zmiana w czasie każdej z jego współrzędnych oddzielnie nie jest opisywana przez funkcję okresową (patrz niżej).

[[!92_

VII. Równania kanoniczne

układu. Ponieważ same wielkości /,, po wyrażeniu ich przez p i q, są jednoznacznymi funkcjami tych zmiennych, podstawiając więc /;(p,q) do w;(q, 1), otrzymamy funk-

cje w;(p, ), które przy poruszaniu się po dowolnej krzywej zamkniętej w przestrzeni fazowej mogą zmienić się o całkowite wielokrotności 2n (lub o zero).

Wynika stąd, że każda jednoznaczna funkcja stanu układu* F (p, q), przedstawiona

jako funkcja zmiennych kanonicznych /; i w;, jest funkcją okresową zmiennych kątowych o jednakowym okresie 2x względem każdej z tych zmiennych. Dlatego można ją rozwinąć w wielokrotny szereg Fouriera postaci

©

F=

3). 00

w

JO Aj... ExPli(iwi +... +15w,)],

1,=—00

gdzie Ii, lp,..., I, są liczbami całkowitymi. Podstawiając zaś do tego szeregu zmienne kątowe wyrażone jako funkcje czasu, znajdujemy, że zależność czasowa F jest określona przez sumę postaci F=

00.

27: i$

c 2. Ali...

1,

„ (, 8E 9E XP [u (ah ++LG7)|.

(52.9)

Każdy z wyrazów tej sumy jest okresową funkcją czasu o częstości ho +--- +10,

(52.10)

będącej sumą całkowitych wielokrotności częstości podstawowych 9E

© ==—. 51,

( SZA )

Ponieważ jednak wszystkie częstości nie są na ogół całkowitymi wielokrotnościami (lub częściami wymiernymi) którejkolwiek spośród nich, cała suma nie jest zatem funkcją

ściśle okresową. To samo dotyczy między innymi również współrzędnych q i pędów p układu. Ruch

układu nie jest więc na ogół ruchem

ściśle okresowym

ani w całości, ani

ze względu na którąkolwiek ze współrzędnych. Oznacza to, że jeżeli układ przeszedł przez jakiś stan, to po czasie

skończonym już nie przejdzie on powtórnie przez ten

stan. Można jednak pokazać, że po upływie dostatecznie długiego odstępu czasu układ

przejdzie dowolnie blisko tego stanu. Taki ruch układu nazywa się ruchem wielokrotnie okresowym [lub niemal okresowym — przyp. tłum.].

W rozmaitych, poszczególnych, przypadkach może się okazać, że dwie (lub więcej)

spośród częstości podstawowych w; układu mogą być współmierne (przy dowolnych

wartościach wielkości /;). W takich przypadkach mówi się, że wystąpiło zwyrodnienie,

a jeżeli wszystkie s częstości są współmierne, to ruch układu nazywa się całkowicie *„Współrzędne obrotowe” — kąty (por. przypis na s. 183) — są związane ze stanem układu w sposób niejednoznaczny, gdyż wartości (różniące się o 2x) odpowiadają temu samemu położeniu układu. Dlatego, jeżeli wśród współrzędnych q występują również kąty, to mogą one wchodzić do funkcji F(q, p) tylko za pośrednictwem takich wyrażeń jako cos p lub sin, które są jednoznacznymi funkcjami stanu układu.

$ 52. Ruch wielokrotnie okresowy

193 —

zwyrodniałym. W takim przypadku ruch jest oczywiście ściśle okresowy, a tym samym tory wszystkich cząstek są zamknięte.

Obecność zwyrodnienia powoduje przede wszystkim zmniejszanie się liczby nieza-

leżnych wielkości /,, od których zależy energia układu. Niech dwie częstości oj i 0 spełniają warunek

3E

9E

n—==n—,

"an

"b

52.12

EŻ

gdzie ny i ną są liczbami całkowitymi. Stąd wynika, że wielkości /, i 7; wchodzą do energii tylko w postaci sumy na/y + ny >.

Bardzo ważną cechą ruchów zwyrodniałych jest zwiększenie się liczby jednoznacz-

nych całek ruchu w porównaniu z liczbą tych całek w ogólnym przypadku układu niezwyrodniałego (o tej samej liczbie stopni swobody). W przypadku układu niezwyrodniałego

spośród wszystkich (25 — 1) całek ruchu tylko s jest jednoznacznymi funkcjami stanu

układu; ich zespół zupełny jest dany na przykład przez s wielkości 7,. Pozostałe s — 1 całek można przedstawić w postaci różnic 0E

9E

WEZ — WZ.

"BR

"05

(52.13)

Stałość tych wielkości wynika bezpośrednio ze wzoru (52.7), jednak z powodu niejednoznaczności zmiennych kątowych nie są one jednoznacznymi funkcjami stanu układu.

Natomiast w przypadku istnienia zwyrodnienia sytuacja się zmienia. Z powodu bowiem związków typu (52.12) niejednoznaczność całki ©iNK — ONE

(52.14)

sprowadza się do możliwości dodania do niej dowolnej całkowitej wielokrotności 21m.

Wystarczy zatem wziąć funkcję trygonometryczną tej wielkości, aby otrzymać nową jednoznaczną całkę ruchu. Przykładem ruchu zwyrodniałego jest ruch w polu U = —a/r (patrz zadanie do tego

paragrafu). Zwyrodnienie tego ruchu powoduje, że obok dwóch (na razie rozpatrujemy ruch jako płaski) zwyczajnych jednoznacznych całek — całki momentu pędu M i całki energii E — występujących w każdym ruchu w dowolnym polu centralnym, występuje

nowa, specyficzna, jednoznaczna całka ruchu (15.17).

Zauważmy także, że pojawienie się dodatkowych jednoznacznych całek ruchu jest

z kolei przyczyną jeszcze jednej własności ruchów zwyrodniałych — ruchy te dopusz-

czają całkowite rozdzielenie zmiennych przy różnych wyborach współrzędnych, a nie tylko dla jednego określonego* ich wyboru. Rzeczywiście, wielkości /, są jednoznacz-

nymi całkami ruchu w tych układach współrzędnych, w których zmienne się rozdzielają.

Jednak w przypadku istnienia zwyrodnienia liczba jednoznacznych całek jest większa

niż s i dlatego wybór tych spośród nich, które przyjmujemy za wielkości 1,, staje się

niejednoznaczny.

Przykładem tego jest ruch keplerowski, dopuszczający rozdzielenie zmiennych za-

równo we współrzędnych sferycznych, jak i parabolicznych.

*Abstrahujemy tu od tak oczywistych zmian współrzędnych jak przekształcenia -postaci q; =

4i(0), 43 = q:(0)).

[!94_

VII. Równania kanoniczne

W poprzednim paragrafie zostało pokazane, że podczas jednowymiarowego skoń-

czonego ruchu zmienna działania jest niezmiennikiem adiabatycznym. Twierdzenie to pozostaje spełnione również dla układów o wielu stopniach swobody. W przypadku

ogólnym jego dowód jest prostym uogólnieniem argumentu, który stosowaliśmy na początku $ 5Ł.

W przypadku wielowymiarowego układu mechanicznego ze zmiennym parametrem

A(1) równania ruchu w zmiennych kanonicznych prowadzą do analogicznych do (50.10)

wyrażeń na prędkości zmian każdej ze zmiennych działania: DA. L=-—i,

dw;

(52.15)

gdzie, tak jak poprzednio, A = (859/8%),. Przy uśrednieniu równości (52.15) należy wybrać odstęp czasu duży w porównaniu z okresami podstawowymi układu, a mały ze względu na zmiany czasowe parametru /(£). ParametrA znowu wynosimy przed operację

uśredniania i uśrednianie pochodnych 4.A /4w; przeprowadzamy tak, jakby ruch odbywał się przy stałej wartości A, a więc jakby był ruchem wielokrotnie okresowym. Wtedy A

będzie jednoznaczną funkcją okresową zmiennych kątowych w;, a wartości średnie jej

pochodnych 9.4 /0w; będą znikać.

Na zakończenie podamy kilka uwag dotyczących własności ruchu skończonego układów odosobnionych o wielu (s) stopniach swobody w najbardziej ogólnym przypadku,

gdy w odpowiadającemu temu ruchowi równaniu Hamiltona-Jacobiego zmienne się nie rozdzielają.

Podstawową własnością układu o rozdzielających się zmiennych jest jednoznaczność

całek ruchu Z/,, których liczba jest równa liczbie stopni swobody. W ogólnym natomiast

przypadku układów ze zmiennymi nierozdzielającymi się zespół jednoznacznych całek ruchu ogranicza się tylko do tych całek, których stałość jest związana z jednorodnością

i izotropią przestrzeni i czasu, czyli do zasad zachowania energii, pędu i momentu pędu.

Tor fazowy układu przebiega po tych obszarach przestrzeni fazowej, które są okre-

ślone przez dane, stałe wartości jednoznacznych całek ruchu. W przypadku układu © zmiennych rozdzielających się, mającego s jednoznacznych całek, warunki te określają s-wymiarową rozmaitość (hiperpowierzchnię) w przestrzeni fazowej. Po upływie wystarczająco długiego czasu tor układu wypełni tę hiperpowierzchnię dostatecznie gę-

Sto.

Natomiast w przypadku układu o zmiennych nierozdzielających się, mającego mniej-

szą liczbę (dla tej samej liczby stopni swobody s) jednoznacznych całek, tor fazowy wy-

pełnia w przestrzeni fazowej (w całości lub częściowo) obszary (rozmaitości) o większej liczbie wymiarów.

Kończąc, podamy informację, że jeżeli funkcja Hamiltona układu różni się od funkcji

dopuszczającej rozdzielenie zmiennych zaledwie o wielkości małe, to również własno-

ści ruchu są bliskie własnościom ruchów wielokrotnie okresowych, przy czym różnice

między tymi ruchami są wielkościami małymi, stopnia znacznie wyższego niż stopień

małości dodatkowych wyrazów w funkcji Hamiltona.

$ 52. Ruch wielokrotnie okresowy

195 —

Zadanie

Obliczyć zmienne działania dla ruchu eliptycznego w polu U = —a/r. Rozwiązanie. We współrzędnych biegunowych r, p w płaszczyźnie ruchu mamy

zy ezz [pedp=M, ł 1

1,

Agi 2n(E+ PWZ ak = 2)=) zz dr gr=M+ta +a|3IEI |.m

Stąd otrzymujemy energię wyrażoną przez zmienne działania ma?

20, + l,"

Zależy ona tylko od sumy I, + 1,, co oznacza, że ruch jest zwyrodniały — obie częstości

podstawowe (względem g i względem r) są sobie równe.

Parametry orbity p i e (patrz (15.4) wyrażają się przez /, i /, wzorami P=

de

ma”

2

4

le

1,+1,)

2

|

Wobec adiabatycznej niezmienniczości wielkości /, i /,, podczas powolnych zmian współczyn-

nika « lub masy m, mimośród orbity się nie zmienia, a jej rozmiary zmieniają się odwrotnie

proporcjonalnie do m i a.

|

Dodatek. Przedmowa L.D. Landaua

-——

do pierwszego wydania*

———

1

Kurs fizyki teoretycznej. Mechanika Fizyka, jak wiadomo, to w zasadzie nie jedna, lecz dwie nauki: fizyka doświadczalna i fizyka teoretyczna. Przeważającą część znanych nam praw fizyki można wywnioskować

ze stosunkowo niewielkiej liczby faktów o podstawowym znaczeniu; taki jednak proces dedukcji, a także sformułowanie poszczególnych podstawowych praw, wymaga stosowa-

nia swoistych metod i dlatego jest zadaniem oddzielnej nauki — fizyki teoretycznej. W celu konstrukcji swych argumentów i wniosków fizyka teoretyczna posługuje się zarówno ogólnym sposobem podejścia, jak i szczegółowymi metodami matematyki. Od tej ostatniej ostro się jednak odróżnia bespośrednim związkiem z wynikami doświadcze-

nia. Chociaż sformułowanie ogólnych praw możliwe jest jedynie na podstawie danych

uzyskanych z doświadczenia, jednak przy wyciąganiu wniosków z takich praw ogólnych ważniejsze jest przedwstępne rozeznanie zjawisk metodami fizyki doświadczalnej. Bez rozeznania tego rodzaju często nie można bowiem w ogóle ustalić, które z ogromnej liczby występujących w zjawisku faktów są istotne, a które można pominąć. Z chwilą

gdy zostały sformułowane równania uwzględniające tylko czynniki istotne, zadanie fizyki

teoretycznej w zasadzie zostało w swej głównej części zakończone. Późniejsze zastosowanie otrzymanych równań do mniej lub bardziej złożonych konkretnych przypadków jest już raczej przedmiotem matematyki, a dokładniej jednej z jej dziedzin — fizyki matematycznej. Celem, jaki stawia sobie fizyka teoretyczna, jest znajdowanie praw fizyki, czyli ustala-

nie zależności między wielkościami fizycznymi. Określenie natomiast wartości liczbowych

wielkości fizycznych nie jest na ogół jej zadaniem. Doświadczenie radzi sobie z tym kręgiem zagadnień na tyle stosunkowo łatwo, żeby w ogromnej większości przypadków nie

występowała nawet konieczność przeprowadzenia podobnych obliczeń, których wykonanie

wymagałoby ogromnej pracy i straty czasu. Wyjątek stanowią najprostsze tylko przypadki, kiedy to wartości liczbowe wielkości fizycznych są bezpośrednim wnioskiem z teorii.

*Tak naprawdę to nie było to pierwsze wydanie tej książki, lecz książki poprzedniej, napisanej w 1940 roku, autorstwa Landauai Piatigorskiego. Podobnie jak redaktor ostatniego wydania rosyjskiego, uważam, iż przedmowa ta jak najbardziej zasługuje, by przedstawić ją także Czytelnikowi polskiemu. Zawiera ona bowiem swoiste credo jednego z największych fizyków ubiegłego stulecia. Credo to można dziś uznać za dyskusyjne, ale nie sposób ignorować faktu jego istnienia (przyp. tłum.).

Dodatek. Przedmowa L.D. Landaua do pierwszego wydania

197 —

Należy zauważyć, że o ile zagadnienie teorii polega zawsze na sformułowaniu zależności między rozmaitymi wielkościami fizycznymi charakteryzującymi rozpatrywane zjawisko, o tyle teoria zjawiska może zostać skonstruowana tylko wtedy, kiedy zwią-

zek sformułowanego typu rzeczywiście

istnieje w przyrodzie. W miarę często jednak

między godnymi uwagi wielkościami fizycznymi żaden w ogóle związek nie zachodzi

i wielkości takie można spotkać w przyrodzie w najrozmaitszych zestawieniach. Brak teorii jakiegokolwiek bądź zjawiska nie zawsze musi oznaczać, iż jego objaśnienie nie

jest możliwe. Brak tu jakichkolwiek prawidłowości też może być konsekwencją ogólnych praw, podobnie jak w innych przypadkach konieczność ich występowania. W fizyce teoretycznej ogromną rolę spełnia przybliżony sposób podejścia do wielu

zagadnień. Najściślejsze prawa są przede wszystkim przybliżeniem, chociaż w ogrom-

nej większości przypadków dokładność uzyskiwana za ich pomocą okazuje się bardzo

duża. Co więcej, żądanie bezwzględnej dokładności praw fizyki również się nie sprawdza. Wystarcza bowiem, że istnieje jakikolwiek bądź zawczasu ustalony obszar zjawisk, w którym to dokładność rozpatrywanego prawa spełnia oczekiwane

wymogi.

Dlatego

spokojnie przyjmujemy mechanikę newtonowską do opisu ruchu pocisku, chociaż wia-

domo nie tylko, iż nie jest ona bezwzględnie Ścisła, ałe że do dyspozycji mamy też ściślejszą teorię, jaką jest mechanika relatywistyczna. Dzięki temu w fizyce teoretycznej, obok w pełni ścisłych teorii, swój piękny żywot

wiodą też teorie, których brak ścisłości od dawna jest znany, gdyż pozostały one cał-

kiem cenne w określonych obszarach zjawisk (w tym również takie, które noszą nazwę teorii klasycznych). Każda logicznie zwarta teoria, której słuszność została na znanym poziomie dokładności potwierdzona doświadczalnie, nigdy nie traci swojego znacze-

nia, a każda następna, ściślejsza teoria obejmuje ją jako przypadek w pewnym sensie przybliżony, zachowujący słuszność w niektórych szczególnych sytuacjach. Pogląd taki

nie odnosi się, oczywiście, do teorii nękanych wewnętrznymi sprzecznościami. Teorie te zawsze są tylko jednym z etapów ewolucji fizyki teoretycznej. W ogólnych teoriach fizycznych bardzo ważną rolę odgrywają więc podejścia przy-

bliżone. Podejściom takim przysługuje niemniej ważna funkcja w wywodzie konkret-

nych, szczegółowych praw fizyki. Nadmiernie ścisłe obliczenia, uwzględniające czynniki nieistotne, nie tylko są bezpłodne i niepotrzebnie komplikują otrzymywane wyniki, ałe *

wręcz mogą doprowadzić do utraty z pola badań niektórych prawidłowości istotnych dla badanego zjawiska. Rzecz w tym, że przybliżeniem może być nie tylko dana, konkretna postać prawa fizyki, lecz także sam fakt istnienia funkcjonalnego związku między wiel-

kościami fizycznymi charakteryzującymi dane zjawisko w ustalonej skali dokładności,

podczas gdy w innej skali może się okazać, że wielkości te nie są skorelowane.

Określenie stopnia przybliżenia, z jakim dane zjawisko winno być rozpatrywane, jest nadzwyczaj istotnym czynnikiem w teoretycznym jego badaniu. Szczególnie poważnym błędem jest tu, na przykład, przeprowadzanie zbyt dokładnych obliczeń, uwzględniają-

cych wszelkie najdrobniejsze nawet poprawki, i posługiwanie się zbyt dokładnymi teo-

riami ogólnymi w sytuacji, kiedy to jednocześnie pomija się nieraz wielkości fizyczne znacznie większego rzędu 1940 r.

L.D. Landau

p

ama

Skorowidz

Addytywność całek ruchu 22 - energii 23 — funkcji Langrange'a 12 — masy 26 — momentu pędu 29 - pędu 24 adiabatyczny niezmiennik 182 - — oscylatora harmonicznego 184 amplituda 73 — drgań tumionych 93

- — wymuszonych 80, 96

— zespolona 74

anharmoniczne drgania 103 — — o jednym stopniu swobody 105 aperiodyczne tłumienie 93 Bąk kulisty 119 — niesymetryczny 119, 137 -, mtacja 133 —, precesja regularna 127 -, ruch swobodny 126 — symetryczny 119 - „Szybki” 134 Całka eliptyczna pierwszego rodzaju 37 — pól 42 - ruchu 22, 159 — zupełna 174

chwilowa oś obrotu 117 ciało sztywne 115

nieskończenie małe przemieszczenie 115 — mały obrót 116 „ ruch postępowy 116 cykloida 76 częstości kombinacyjne 104

częstość 73 - kołowa 73 — własna 83

— zdegenerowana 85

Degeneracja ruchu 51 dekrement tłumienia 92 — — logarytmiczny 92 doskonale chropowata powierzchnia 145 — gładka powierzchnia 145 drgania anharmoniczne 103 — — o jednym stopniu swobody 105 — liniowe 103 — małe 72 — nieliniowe 103 — — obszar nietrwałości 110 — normalne 84 — po cykloidzie w polu ciężkości 76 — swobodne 72 — tłumione 93 „ amplituda 93 „ częstość 93 —-, energia 93 — trójatomowej liniowej cząsteczki niesymetrycznej 91 - - — — symetrycznej 89 układów o wielu stopniach swobody 81 wymuszone 76

„ energia 78 — — w obecności tarcia 95 dudnienia 78 dyspersyjne pochłanianie 97 dyssypacja energii 92 dyssypacji funkcja 94

| |

Skorowidz

199 —

dyssypacji funkcja dla jednowymiarowych drgań wymuszonych 97 działanie 10 -, cząstkowa pochodna względem czasu 164 -, cząstkowe pochodne względem współrzędnych 163 — uproszczone 166 —, zupełna pochodna czasowa 163

punktów nieoddziałujących 16 w układzie nieinercjalnym 150 — Routha 157 bąka symetrycznego 158 — tworząca 169

Energia 23 — dzgań tłumionych 93 — wymuszonych 78 - kinetyczna 17 — ciała sztywnego 118 — elipsoidy 125 — ruchu obrotowego ciała sztywnego 118 — postępowego ciała sztywnego 118 — stożka 124 — walca 123 — odśrodkowa 43, 151

Hamiltona funkcja (patrz funkcja Hamiltona) hamiltonian 155

— oscylatora 74

- potencjalna 17 — dla małych drgań 81 - — dla pola newtonowskiego 33 — efektywna 43, 113 -, jama 36 — w polu jednorodnym 19 — rozpadu cząstki 53 — wewnętrzna 27 Faza 73 fazowa przestrzeń 172 fizyczne wahadło 122 funkcja dyssypacji 94 — — dla jednowymiarowych drgań wymuszonych 96 — Hamiltona 155 — — punktu materialnego 156 —-—=w jednostajnie obracającym się układzie współrzędnych 156 — Lagrange'a 10 — ciała sztywnego 118

— dla małych drgań układu 82 we współrzędnych normalnych 84 — swobodnego punktu materialnego 15 - — — we współrzędnych cylindrycznych 16 we współrzędnych kartezjańskich 16 we współrzędnych sferycznych 16 — układu nieodosobnionego 18

—- — - odosobnionego 17

Główne momenty bezwładności 119 — osie tensora bezwładności 119

Inercjałny układ odniesienia 13 izotropowość przestrzeni 13, 28 izotropowy rozkład cząstek 55 Jama potencjału 36 jednorodność czasu 13, 23 — funkcji energii potencjalnej 32 - przestrzeni 13, 24 Kanoniczne przekształcenie 169 — -, funkcja tworząca 169 — równania 155 — zmienne 171, 185 kąty Eulera 130 Keplera prawo, drugie 42 - », trzecie 33 — zagadnienie 47 — -, tor ruchu 47 kinetyczna energia (patrz energia kinetyczna) Laboratoryjny układ odniesienia 54 Lagrange'a funkcja (patrz funkcja Lagrange'a) Lagranżjan 10

linia węzłów 130 Małe drgania 72 masa punktu materialnego 16 -—-, jej nieujemność 16 — zredukowana 40 mimośród 48 moment bezwładności 119 - pędu 29 - — ciała sztywnego 125 „ składowe 30, 31 własny 30 - siły 129 - — całkowity 130 Nawiasy Poissona 159

[[ 200.

Skorowidz

nawiasy Poissona utworzone ze składowych pędu i momentu pędu 162 - -, własności 159 nieliniowe drgania 103 — -, obszar nietrwałości 110 niezmiennik adiabatyczny 182 — oscylatora harmonicznego 184 normalne drgania 84 — współrzędne 84 nutacja 133 Obrót trwały 134, 138 odosobniony układ mechaniczny 18 odśrodkowa energia 151 - siła 151 okres drgań 36, 37 -, określenie energii potencjalnej 38 wahadła płaskiego 37 —-, zależność od energii 36, 38 optyka geometryczna 164 oscylator 73 —, energia 74

— przestrzenny 87 osie główne tensora bezwładności 119

0$ obrotu chwilowa 117

Para sił 129 parametr orbity 48 — zderzenia 6] parametry układu mechanicznego 98, 155 peryhelium 48

—, przesunięcie 52

pęd 24 -, składowe 31 — uogólniony 25 pochłanianie dyspersyjne 97 podobieństwo mechaniczne 31 przy małych drganiach 34 w polu jednorodnym 33 newtonowskim

33

podwójne wahadło płaskie 19 „ funkcja Lagrange'a 20 „ małe drgania 87 pole centralne 41 - jednorodne 19 — 0 centralnej symetrii 30 — szybkozmienne 112 polhodia 138 poślizg 145 potencjalna energia (patrz energia potencjalna)

powierzchnia doskonale chropowata 145 — — gładka 145 prawo bezwładności 14 — Keplera, drugie 42 - -, trzecie 33 — równej akcji i reakcji 25 — transformacji energii 27, 152 — — momentu pędu 29 - - pędu 27 precesja regularna 127 prędkość kątowa 116 — — obrotu ciała sztywnego 116 — polowa 42 — punktu 9 — radialna 43 - uogólniona 9

przekrój czynny na rozpraszanie 62 - — — jako funkcja energii 63 - - — ma idealnie sztywnej kulce 62 — — — na sferycznej jamie potencjału 68 - - — pod małymi katami 69 - — >, pole rozpraszające 72 - — na „spadanie” cząstek na centrum pola 64 - — —— ma powierzchnię ciała kulistego 64 przekształcenie kanoniczne 169

— Legrendre'a 154

— punktowe 168 przestrzeń fazowa 172 punkt materialny 9 — „spoczynku” 36 - zwrotu 36 Rezonans 77

— parametryczny 98 — -, warunki powstawania 99 — przy słabym tłumieniu 97 — w przypadku drgań nieliniowych 106 rotator 120

„ obrót swobodny 126 rozkład energetyczny produktów rozpadu 55 - kierunkowy produktów rozpadu 61, 62, 63 rozpad cząstki 53 - — ma więcej niż dwie cząstki 55 rozpraszanie cząstek 60 równania Eulera 135 — Hamiltona 154, 164 — kanoniczne 155 — Lagrange'a 12 — — dla małych drgań układu 82

Skorowidz

równania Lagrange'a w przypadku więzów nieholonomicznych 147 — — w układzie nieinercjalnym 150 — Newtona 18 — ruchu 10 — ciała sztywnego 127 — w polu centralnym 42 równanie charakterystyczne 83 — Hamiltona-Jacobiego 173 równowaga ciała sztywnego 144 - trwała 72 - - wahadła 114 ruch całkowicie zwyrodniały 192 jednowymiarowy 35 -, funkcja Lagrange'a 35 — nieskończony 36 — obrotowy cząsteczki 88

— pełzający 93 - postępowy ciała sztywnego 116 — — cząsteczki 88 skończony 36 —, warunek zamknięcia się toru 43 — wielokrotnie okresowy 192 — w polu centralnym 41 — w szybkozmiennym polu 112 — zwyrodniały 192 Siła 18

— bezwładności

13, 151

- Coriolisa 151 — odśrodkowa 151 — reakcji 145 — tarcia 92, 145 - — uogólniona 93 — uogólniona 25 spadek swobodny 152 stan układu mechanicznego 10, 11 stopień swobody 9 stopnie swobody ciała sztywnego 115 — drgań cząsteczki liniowej 89 płaskiej 88

— w ruchu drgającym 87 — obrotowym 88 — postępowym 88 swobodny ruch bąka 126 szerokość połówkowa krzywej rezonansowej 97 Środek masy 26 Tensor bezwładności 118

201 r]

— momentu bezwładności 118 tłumienie aperiodyczne 93 - -, przypadek graniczny 93 — drgań 92 toczenie 145 — kuli

146

— walca 146 tor fazowy 172 — ruchu 43, 47 tożsamość Jacobiego 160 transformacja energii 27 - Galileusza 15 — momentu pędu 29 — pędu 27 twierdzenie Liowville'a 173 - o wiriale 33 — — dla oddziaływania newtonowskiego 34 — — w przypadku małych drgań 34 — Poissona 161 Układ mechaniczny odosobniony 18 --, stan 10, 1 zachowawczy 23 — odniesienia 13 inercjalny 13

laboratoryjny 54 - — środka masy 54 uogólniona siła 25 - — tarcia 93 uogólnione prędkości 9 — współrzędne 9 uogólniony pęd 25 uproszczone działanie 166 Wahadło

19, 20

— fizyczne 122 — Foucaulta 153

— matematyczne 37

— na obracającej się Ziemi 152 — płaskie 19, 20, 46 — podwójne płaskie 19 — sferyczne 45 wariacja całki 11 - funkcji 11 warunek „spadania” cząsteczki na centrum 44 warunki równowagi ciała sztywnego 144 wewnętrzna energia układu mechanicznego 27 wielkości kanonicznie sprzężone 171 więzy 19, 145 — holonomiczne 146

(e

202

Skorowidz

więzy nieholonomiczne 146 wiriał 33 współrzędna cykliczna 41, 177 współrzędne eliptyczne 179 — normalne (główne) 84 — paraboliczne 178 — uogólnione 9 wzór Rutherforda 67 Zachowawczy układ mechaniczny 23 zagadnienie dwóch ciał 39 -—, funkcja Lagrange'a 39 — Keplera 47 „ tor ruchu 47 zasada d'Alemberta 147 — Hamiltona 10 — Maupertuisa 166 —— dła punktu materialnego 167 „ równanie toru 168 — najmniejszego działania 10 — względności Galileusza 14

- zachowania momentu pędu 28 — w polu centralnym 30 - jednorodnym 30 ---0 symetrii osiowej 30 — pędu 24 zderzenie cząsteczek o jednakowych masach 60 — czołowe 59 — sprężyste 57 — dwóch cząstek 57 —, maksymalna energia przekazana cząstce pierwotnie spoczywającej 59 --- >, maksymalny kąt odchylenia cząstki padającej 59 zmienna działania 185 - kątowa 185 zmienne dynamiczne 155 — działania dla ruchu eliptycznego w polu newtonowskim 195 — kanoniczne 171, 185 Zwrot toru 43

Wydawnictwo Naukowe PWN SA Wydanie czwarte

Arkuszy drukarskich 12,75 Skład i łamanie: ArtGraph, Warszawa Druk ukończono w lutym 2006 r. Druk i oprawa: Pabianickie Zakłady Graficzne SA 95-200 Pabianice, ul. Piotra Skargi 40/42

egendarny podręcznik — nowa edycja! Seria FIZYK» TEORETYCZNA, autrrstwa L. . Landaua i. M. Lifszycz, to klasyczne podręczniki znane i cenio'ie ; rzez śroclowiska fizyków na całym świecie. RPEOZTOWN ANETA ONZE ONCE karze klarownej i legicznej prezentacji materiału, tak kardze charakterystycznej dla Landaua i Lifszyca PESO

— pierwszy pie dręcznik z tej serii

PETZ CACY

Autorzy rezpnczęli wykład ul przedstawienia peslstawowych pejęć mechaniki.

Prezentacja ta jest bardzo oryginalna, punieważ zestała dukunana na kazie formalizmu lagranżewskieg: W książce «mówieno SOTWESJEA wścią i je ISSN

Eski

DZEWZZEWZWE uraz

izotron

DRESIE

dra

AIA

E teorię rozpraszania,

I teorię małych dryań, m ruch bryły sztywnej, EOKA Na uwagę zasługują zadania związane Lezpuśrednie z głównym nurtem wykładu. Są one podane wraz z rozwiązaniami i komentarzami, cu z pew. neścią ułatwi stucdentem zrozumienie materiału

www.pwn.pl

DJ

fi