Mecánica para ingeniería : estática [5a. edición.] 9786074428766, 607442876X

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Bedford.stat.cvr.SE.mech

4/3/08

00:22

Página 1

MECÁNICA PARA INGENIERÍA ESTÁTICA Quinta edición

Bedford | Fowler

2A Y 3A FORROS

11/3/08

12:54

Página 1

y

Factores de conversión de unidades

TIEMPO

ACELERACIÓN

1 min = 60 s 1 h = 60 min = 3600 s 1 día = 24 h = 86,400 s

1 m/s2 = 3.281 pies/s2 = 39.37 pulg/s2 1 pulg/s2 = 0.08333 pie/s2 = 0.02540 m/s2 1 pie/s2 = 0.3048 m/s2 1 g = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s2

LONGITUD 1 m = 3.281 pies = 39.37 pulg 1 km = 0.6214 mi 1 pulg = 0.08333 pie = 0.02540 m 1 pie = 12 pulg = 0.3048 m 1 mi = 5280 pies = 1.609 km 1 milla náutica = 1852 m = 6080 pies

ÁNGULO 1 rad = 180/p grad = 57.30 grad 1 grad = p/180 rad = 0.01745 rad 1 revolución = 2p rad = 360 grad 1 rev/min (rpm) = 0.1047 rad/s

ÁREA 1 mm2 = 1.550 ⫻ 10⫺3 pulg2 = 1.076 ⫻ 10⫺5 pies2 1 m2 = 10.76 pies2 1 pulg2 = 645.2 mm2 1 pie2 = 144 pulg2 = 0.0929 m2

VOLUMEN 1 mm3 = 6.102 ⫻ 10⫺5 pulg3 = 3.531 ⫻ 10⫺8 pies3 1 m3 = 6.102 ⫻ 104 pulg3 = 35.31 pies3 1 pulg3 1.639 ⫻ 104 mm3 = 1.639 ⫻ 10⫺5 m3 1 pie3 = 0.02832 m3

VELOCIDAD

y

b

R

Área =

1 ␲R 2 4

Ix = Iy =

1 ␲R 4 , 16

I xy =

1 ␲ab 4 1 I x = ␲ab 3 , 16

1 4 R 8

Área =

y

α (n ⫹ 4n ⫹ 2

x

(n ⫹ 1)b n⫹2 b

Sector circular

Enjuta

POTENCIA 1 W = 1 N-m/s = 0.7376 pie-lb/s = 1.340 ⫻ 10 1 pie-lb/s = 1.356 W 1 hp = 550 pies-lb/s = 746 W

y ⫽ cxn

α

1 J = 1 N-m = 0.7376 pie-lb 1 pie-lb 1.356 J

1 2 2 ab 8

1)cbn

2R sen α 3α

TRABAJO Y ENERGÍA

I xy =

y

R

O

1 ␲a 3b, 16

Iy =

FUERZA 1 N = 0.2248 lb 1 lb = 16 oz = 4.448 N 1 kip = 1000 lb = 4448 N 1 ton = 2000 lb = 8896 N

a

Área de un cuarto de elipse

Área de un cuarto de círculo

1 kg = 0.0685 slug 1 slug = 14.59 kg 1 t (tonelada métrica) = 103 kg = 68.5 slug

y2 1 ⫽ b2

x

4a 3π

4R 3π

⫹

4b 3π O

x

O

MASA

x2 a2

Área = ␣R 2 ⫺3

hp

R 4 ⎛⎜ ␣ − ⎝

Ix =

sen 2␣ ⎞⎟ ⎠

Iy =

R 4 ⎛⎜ ␣ + sen 2␣⎞⎟ , ⎝ ⎠ 2

I xy = 0

PRESIÓN

cb n+1 n+ c3b 3n+1 Ix = n+

Área =

Iy =

cb n+3 n+

I xy =

1 Pa = 1 N/m2 = 0.0209 lb/pie2 = 1.451 ⫻ 10⫺4 lb/pulg2 1 bar = 105 Pa 1 lb/pulg2 (psi) = 144 lb/pie2 = 6891 Pa 1 lb/pie2 = 6.944 ⫻ 10⫺3 lb/pulg2 = 47.85 Pa y

1 m/s = 3.281 pies/s = 39.37 pulg/s 1 km/h = 0.2778 m/s = 0.6214 mi/h = 0.9113 pie/s 1 mi/h = (88/60) pies/s = 1.609 km/h = 0.4470 m/s 1 nudo = 1 milla náutica/h = 0.5144 m/s = 1.689 pies/s

L

x=

x

L

y=

L

y z

∫ x dL , ∫ dL

z

x

∫ y dL , ∫ dL

z=

L

L

∫ z dL . ∫ dL L

L

y

y R

R

y α

x 2R π 2R π Arco semicircular

α

R x

2R π Arco de un cuarto de círculo

2R sen α α

Arco circular

x

c 2 b 2 n+ 2 4n + 4

2A Y 3A FORROS

11/3/08

12:54

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y

y

b

R

Ix = Iy =

1 ␲R 4 , 16

I xy =

1 ␲ab 4 1 I x = ␲ab 3 , 16

1 4 R 8

Área =

y

1 ␲a 3b, 16

Iy =

I xy =

1 2 2 ab 8

y

R α

y ⫽ cxn

x

α

O

a

Área de un cuarto de elipse

Área de un cuarto de círculo

1 ␲R 2 4

y2 1 ⫽ b2

x

4a 3π

4R 3π

⫹

4b 3π O

x

O

Área =

x2 a2

(n ⫹ 4n ⫹ 2

1)cbn

2R sen α 3α

x

(n ⫹ 1)b n⫹2 b

Sector circular

Enjuta

Área = ␣R 2 1 4⎛ 1 1 1 R ⎜ ␣ − sen 2␣ ⎞⎟ , I y = R 4 ⎛⎜ ␣ + sen 2␣⎞⎟ , ⎠ ⎠ 4 ⎝ 2 4 ⎝ 2 I xy = 0 Ix =

cb n+1 n +1 c3b 3n+1 Ix = , 9n + 3

Área =

Iy =

cb n+3 , n+3

I xy =

Líneas Las coordenadas del centroide de la línea L son

y L

x=

x

L

y=

L

y z

∫ x dL , ∫ dL

z

x

∫ y dL , ∫ dL

z=

L

L

∫ z dL . ∫ dL L

L

y

y R

R

y α

x 2R π 2R π Arco semicircular

α

R x

2R π Arco de un cuarto de círculo

2R sen α α

Arco circular

x

c 2 b 2 n+ 2 4n + 4

Mecánica para ingeniería ESTÁTICA

Mecánica para ingeniería ESTÁTICA QUINTA EDICIÓN

Anthony Bedford • Wallace Fowler University of Texas at Austin

TRADUCCIÓN

Jesús Elmer Murrieta Murrieta Maestro en Investigación de Operaciones Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Morelos

REVISIÓN TÉCNICA

Miguel Ángel Ríos Sánchez Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México

Alex Elías Zúñiga Departamento de Ingeniería Mecánica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Monterrey

Datos de catalogación bibliográfica BEDFORD, ANTHONY; FOWLER, WALLACE T. Mecánica para ingeniería. Estática Quinta edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008 ISBN: 978-970-26-1215-5 Área: Ingeniería Formato: 20 ⫻ 25.5 cm

Páginas: 656

Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering mechanics: Statics 5th edition by Anthony M. Bedford and Wallace T. Fowler, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright © 2008. All rights reserved. ISBN 0136129153 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés titulada Engineering mechanics: Statics 5th edition por Anthony M. Bedford y Wallace T. Fowler, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright © 2008. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Bernardino Gutiérrez Hernández Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos Edición en inglés Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia J. Horton Acquisitions Editor: Tacy Quinn Associate Editor: Dee Bernhard Managing Editor: Scott Disanno Media Editor: David Alick Marketing Manager: Tim Galligan Production Editor: Craig Little Director of Creative Services: Paul Belfanti

Creative Director: Juan Lopez Art Director: Jonathan Boylan Interior Designer: Kenny Beck Cover Designer: Jonathan Boylan Art Editor: Xiaohong Zhu Manufacturing Manager: Alexis Heydt-Long Manufacturing Buyer: Lisa McDowell

QUINTA EDICIÓN, 2008 D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN 10: 970-26-1215-2 ISBN 13: 978-970-26-1215-5

Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08

Contenido Prefacio

xiii

Acerca de los autores

xix

1 Introducción 3 1.1

Ingeniería y mecánica

4

Resolución de problemas 4 Números 5 Espacio y tiempo 5 Leyes de Newton 6 Sistema internacional de unidades 7 Unidades de uso común en Estados Unidos Unidades angulares 8 Conversión de unidades 8

1.2

Gravitación de Newton

8

15

v

vi

Contenido

2 Vectores 2.1

21

Escalares y vectores

22

Suma vectorial 22 Producto de un escalar y un vector Resta vectorial 24 Vectores unitarios 24

2.2

24

Componentes en dos dimensiones

30

Manipulación de vectores en términos de sus componentes Vectores de posición en términos de sus componentes 31 Manipulación de vectores en términos de sus componentes Vectores de posición en términos de sus componentes 32

2.3

Componentes en tres dimensiones

43

Magnitud de un vector en términos de sus componentes 44 Cosenos directores 45 Vectores de posición en términos de sus componentes 46 Componentes de un vector paralelo a una línea dada 46 Cosenos directores 47 Vectores de posición en términos de sus componentes 48 Componentes de un vector paralelo a una línea dada 48

2.4

Productos punto

60

Definición 60 Productos punto en términos de sus componentes 60 Componentes vectoriales paralela y normal a una línea

2.5

Productos cruz

68

Definición 68 Productos cruz en términos de sus componentes 69 Evaluación de un determinante de 3 * 3 Productos triples mixtos 70 Problemas de repaso 77

3 Fuerzas 3.1

70

81

Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre Terminología 82 Fuerzas gravitatorias 82 Fuerzas de contacto 83 Equilibrio 86 Diagramas de cuerpo libre

82

87

3.2

Sistemas bidimensionales de fuerzas

91

3.3

Sistemas tridimensionales de fuerzas

108

Problemas de repaso

116

61

30 32

Contenido

4 Sistemas de fuerzas y momentos 4.1 4.2

Descripción bidimensional del momento 122 Vector de momento

134

Magnitud del momento 134 Dirección del momento 134 Relación con la descripción bidimensional Teorema de Varignon 137

4.3

121

136

Momento de una fuerza respecto a una línea

147

Definición 148 Aplicaciones 148 Determinación del momento de una fuerza F respecto a una línea L 151 Casos especiales 151

4.4

Pares

162

4.5

Sistemas equivalentes

171

Condiciones de equivalencia 171 Representación de sistemas mediante sistemas equivalentes 172 Representación de un sistema mediante una llave de torsión 173 Sistemas equivalentes de fuerzas y momentos 175 Representación de sistemas de fuerzas y momentos mediante sistemas equivalentes 176 Problemas de repaso 189

5 Objetos en equilibrio 5.1

Aplicaciones bidimensionales Ecuaciones de equilibrio escalares Soportes 196 Diagramas de cuerpo libre 200 Ecuaciones de equilibrio 201 Soportes 201

5.2

195 196

196

Cuerpos estáticamente indeterminados

217

Soportes redundantes 217 Soportes impropios 219

5.3

Aplicaciones tridimensionales Ecuaciones de equilibrio escalares Soportes 223 Ecuaciones de equilibrio 229 Soportes 229

5.4

223

223

Elementos sometidos a dos y tres fuerzas Elementos de dos fuerzas 242 Elementos de tres fuerzas 244 Problemas de repaso 249

242

vii

viii

Contenido

6 Estructuras en equilibrio 6.1 6.2

Armaduras

255

256

Método de las juntas

258

Método de las juntas 261 Juntas especiales 261

6.3

Método de secciones Método de secciones

6.4 6.5

268

269

Armaduras espaciales

275

Bastidores y máquinas

282

Análisis de la estructura completa Análisis de los elementos 283 Problemas de repaso 306

283

7 Centroides y centros de masa 7.1

Centroides de áreas

7.2

Áreas compuestas

7.3

Cargas distribuidas

311

312 320 327

Descripción de una carga distribuida 328 Determinación de la fuerza y el momento 328 Analogía del área 329

7.4

Centroides de volúmenes y líneas

7.5

Volúmenes y líneas compuestos

7.6

Teoremas de Pappus-Guldinus

335 343

350

Primer teorema 350 Segundo teorema 351 Primer teorema de Pappus-Guldinus 352 Segundo teorema de Pappus-Guldinus 352

7.7 7.8

Centros de masa de objetos

355

Centros de masa de objetos compuestos Problemas de repaso

369

362

Contenido

8 Momentos de inercia Áreas

375

376

8.1

Definiciones

8.2

Teorema de los ejes paralelos

383

8.3

Ejes girados y ejes principales

396

Ejes girados 396 Momento de inercia respecto al eje x⬘ Momento de inercia respecto al eje y⬘ Ejes principales 397

397 397

8.4

376

Círculo de Mohr

405

Sistema coordenado x y y sistema coordenado girado x'y'. Determinación de ejes principales y de momentos de inercia principales 406

Masas 8.5

409 Objetos simples Barras delgadas Placas delgadas

8.6

Teorema de los ejes paralelos Problemas de repaso

9 Fricción 9.1

409

409 410

415

425

429

Teoría de la fricción seca

430

Coeficientes de fricción 432 Ángulos de fricción 433

9.2

Cuñas

448

9.3

Roscas

452

9.4

Cojinetes

9.5

Cojinetes de empuje axial y embragues

9.6

Fricción en bandas

459

Problemas de repaso

471 479

464

405

ix

x

Contenido

10 Fuerzas y momentos internos Vigas

485

486

10.1 Fuerza axial, fuerza cortante y momento flector 486 10.2 Diagramas de fuerza cortante y de momento flector 493 10.3 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector 498 Construcción del diagrama de fuerza cortante 500 Construcción del diagrama de momento flector 501

Cables

511

10.4 Cargas uniformemente distribuidas a lo largo de líneas rectas 512 Forma del cable 512 Tensión en el cable 513 Longitud del cable 513

10.5 Cargas distribuidas uniformemente a lo largo de cables 518 Forma del cable 519 Tensión en el cable 520 Longitud del cable 520

10.6 Cargas discretas en cables

523

Determinación de la configuración y las tensiones Comentarios sobre modelos continuos y discretos

Líquidos y gases

529

10.7 Presión y centros de presión Centro de presión 529 Presión en un líquido en reposo Problemas de repaso 541

531

529

523 524

Contenido

11 Trabajo virtual y energía potencial 11.1 Trabajo virtual

545

546

Trabajo 546 Principio del trabajo virtual 547 Aplicación a estructuras 548 Trabajo 549 Principio del trabajo virtual 550

11.2 Energía potencial

558

Ejemplos de fuerzas conservativas 558 Principio del trabajo virtual para fuerzas conservativas Estabilidad del equilibrio 560 Energía potencial 561 Problemas de repaso 569

559

APÉNDICES

A

Repaso de matemáticas

A.1

Álgebra

573

573

Ecuaciones cuadráticas Logaritmos naturales

573 573

A.2

Trigonometría

574

A.3

Derivadas

574

A.4

Integrales

575

A.5

Series de Taylor

B

Propiedades de áreas y líneas

B.1

Áreas

B.2

Líneas

C

Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos 580

576

577

577 579

Soluciones a los problemas de práctica Respuestas a los problemas con número par 613 Índice

623

583

xi

Prefacio El desarrollo de la quinta edición de Mecánica para Ingeniería: Estática y Dinámica comenzó al preguntarnos de qué manera podrían reestructurarse nuestros libros de texto para ayudar a los estudiantes a aprender mecánica de manera más eficaz y eficiente. Desde las primeras ediciones, nuestro objetivo ha sido presentar el material de una forma que emule el desarrollo de los conceptos por parte del profesor en el salón de clases y enfatice el análisis visual para mejorar la comprensión del estudiante. Ahora, con base en nuestras experiencias a través de muchos años en el salón de clases y los comentarios de colegas y estudiantes, hemos diseñado la quinta edición para apegarnos a la manera en que los estudiantes actualmente usan los libros de texto para aprender mecánica. Durante el desarrollo de los nuevos elementos descritos anteriormente seguimos apegados a nuestros objetivos originales de enseñar procedimientos eficaces para la resolución de problemas y la importancia central de los diagramas de cuerpo libre.

Novedades en esta edición Ejemplos activos Un nuevo formato de ejemplo diseñado para ayudar a los estudiantes a aprender conceptos y métodos, y a probar la comprensión de los mismos. Los análisis se relacionan de manera visual con figuras y ecuaciones en un diseño con ilustraciones y texto integrados para una lectura eficiente. Al final del ejemplo activo se proporciona un “problema de práctica” de manera que los estudiantes se vean motivados a verificar si comprendieron el material; y pueden evaluar fácilmente sus conocimientos al consultar la respuesta, que se proporciona en la misma página, o estudiando la solución completa que se presenta en el apéndice, con el mismo formato de ilustraciones y texto integrados.

Problemas con enfoque en ejemplos Se incluyen nuevos problemas de tarea diseñados para incentivar a los alumnos a estudiar los ejemplos dados y expandir su comprensión de los conceptos. Los números de estos problemas se mencionan al inicio de cada ejemplo, de manera que los profesores puedan usarlos con facilidad para estimular el estudio de ciertos temas seleccionados.

Resultados La mayoría de las secciones del libro ahora concluye con una nueva subsección de resultados, una descripción completa y su-

ficiente de los resultados necesarios para entender los ejemplos y problemas siguientes. Para una comprensión más fácil, se presentan en el mismo formato de ilustraciones y texto integrados que se usa en los ejemplos activos y se puede consultar de manera eficiente estas subsecciones mientras se estudia el ejemplo y trabaja con los problemas.

Conjunto de problemas En este texto de estática, treinta por ciento de los problemas son nuevos. Se han marcado con un asterisco los que son relativamente más largos o difíciles. También es posible generar problemas adicionales usando el sistema de tareas en línea con sus capacidades algorítmicas (vea el sitio Web de este libro).

Elementos especiales de este texto Ejemplos Además de los nuevos ejemplos activos, mantenemos los que siguen una estructura con tres partes —Estrategia/Solución/Razonamiento crítico— diseñados para ayudar a los estudiantes a desarrollar sus habilidades en la resolución de problemas de ingeniería. En las secciones de estrategia, demostramos cómo planear la solución de un problema, la cual presenta los pasos detallados necesarios para llegar a los resultados requeridos. Algunos de los ejemplos se concentran en el diseño y proporcionan análisis detallados de aplicaciones de la estática al diseño de ingeniería.

Mecánica en computadoras Algunos profesores prefieren enseñar estática sin dar énfasis al uso de la computadora. Otros usan la estática como una oportunidad de introducir a los estudiantes al uso de las computadoras en ingeniería, y piden a los alumnos que escriban sus propios programas en un lenguaje de nivel básico o que utilicen software de nivel superior para la resolución de problemas. Nuestro libro es compatible con ambos enfoques. Existe material opcional de mecánica en computadoras en el sitio Web Companion, donde se incluyen tutoriales en MathCad y MATLAB. Para mayor información, vea la sección de suplementos.

Programa de ilustraciones Reconocemos la importancia de ayudar a los estudiantes a visualizar los problemas de mecánica. Los alumnos prefieren y se sienten más motivados con situaciones reales. Nuestros textos incluyen muchas fotografías y figuras realistas que ayudan

xiii

xiv

Prefacio

a visualizar las aplicaciones y proporcionar una conexión más fuerte con la práctica de la ingeniería.

Uso del segundo color Para ayudar a reconocer e interpretar los elementos de las figuras, hemos usado ciertos valores de identificación:

Estos participantes también revisaron el texto, los ejemplos y los problemas para asegurar su exactitud. Cualquier error sigue siendo responsabilidad de nosotros, los autores, y agradeceremos la comunicación de estudiantes y profesores en relación con yerros o áreas de mejoramiento. Nuestra dirección de correo es Department of Aerospace Engineering and Engineering Mechanics, University of Texas at Austin, Texas 78712. Nuestra dirección de correo electrónico es: [email protected].

Vectores unitarios

Recursos adicionales Recursos para el estudiante Fuerzas

Posiciones

Pares

El paquete de estudio Statics está diseñado para proporcionar a los estudiantes herramientas que mejoren sus habilidades al dibujar diagramas de cuerpo libre, y para repasar los temas antes de los exámenes. Contiene una ayuda para los diagramas de cuerpo libre con cincuenta problemas de práctica de dificultad ascendente, los cuales incluyen soluciones completas. Las estrategias y recomendaciones adicionales ayudan a los estudiantes a comprender cómo utilizar los diagramas en la resolución de problemas relacionados. Este suplemento y material de repaso adicional para cada capítulo fue preparado por Peter Schiavone de la University of Alberta.

Evaluación en la red y tutoriales: Los estudiantes pueden acceder a los recursos de ayuda, como los problemas de práctica complementarios, en el sitio Web de este libro. www.pearsoneducacion.net/bedford

Triple verificación de la exactitud: Compromiso con los estudiantes y profesores Nuestro compromiso con los estudiantes y profesores es tomar precauciones para asegurar la exactitud del texto hasta donde nuestra capacidad lo permita. Usamos un sistema de triple verificación de la exactitud en el cual tres participantes, además de los autores, resuelven los problemas en un esfuerzo por asegurar que las respuestas son correctas y que tienen un nivel de dificultad apropiado. Nuestro equipo de exactitud se compone de:

• Scott Hendricks, de la Virginia Polythecnic University • Karim Nohra de la University of South Florida • Kurt Norlin del Laurel Technical Services

Adicionalmente, los profesores pueden asignar tareas en línea a los estudiantes usando PH GradeAssist. Las respuestas y los resultados se califican y registran de manera electrónica. En cada tutorial se analiza un concepto básico de mecánica, y después se muestra cómo resolver un problema relacionado con este concepto usando MATLAB y MathCad. Estos archivos están disponibles en formato PDF para que los profesores las distribuyan entre los estudiantes. Las hojas de trabajo fueron desarrolladas por Ronald Larsen y Stephen Hunt de la Montana State University-Bozeman.

Recursos para el profesor Manual de soluciones para el profesor: Este suplemento, disponible para los profesores en la página Web, contiene soluciones completas. Cada solución viene con el enunciado del problema e ilustraciones asociadas. Cabe aclarar que todos estos complementos están en idioma inglés.

Prefacio

Centro de recursos para el profesor: Contiene diapositivas en PowerPoint y archivos JPEG de todas las ilustraciones del texto. También contiene series de diapositivas en PowerPoint que muestran cada ejemplo.

Glenn Beltz

University of California–Santa Barbara Mary Bergs

Marquette University Don L. Boyer

Evaluación en la red y recursos adicionales: A través de PH GradeAssist, el profesor puede crear tareas en línea para los estudiantes usando problemas del texto, los cuales están en un formato algorítmico, de manera que cada alumno trabaje con problemas un poco diferentes. Las respuestas a los problemas se registran en un libro de calificaciones en línea que puede bajarse en Excel. Para recursos adicionales, acceda al sitio Web del libro, donde encontrará series de problemas complementarios y demás información. Para mayores detalles contacte a su representante de Pearson Educación.

Arizona State University Spencer Brinkerhoff

Northern Arizona University L. M. Brock

University of Kentucky William (Randy) Burkett

Texas Tech University Donald Carlson

University of Illinois Major Robert M. Carpenter

Reconocimientos Los siguientes colegas realizaron revisiones con base en su conocimiento y experiencia en la enseñanza, las cuales fueron de gran ayuda al preparar tanto esta edición como las anteriores. Shaaban Abdallah

University of Cincinnati

U.S. Military Academy Douglas Carroll

University of Missouri, Rolla Paul C. Chan

New Jersey Institute of Technology Namas Chandra

Florida State University James Cheney

Edward E. Adams

Michigan Technological University George G. Adams

Northeastern University Raid S. Al-Akkad

University of Dayton Jerry L. Anderson

Memphis State University James G. Andrews

University of Iowa Robert J. Asaro

University of California, San Diego

University of California, Davis Ravinder Chona

Texas A & M University Daniel C. Deckler

The University of Akron Wayne College Anthony DeLuzio

Merrimack College Mitsunori Denda

Rutgers University James F. Devine

University of South Florida Craig Douglas

University of Massachusetts, Lowell Marijan Dravinski

Leonard B. Baldwin

University of Wyoming Haim Baruh

Rutgers University

University of Southern California S. Olani Durrant

Brigham Young University Estelle Eke

California State University, Sacramento Gautam Batra

University of Nebraska David M. Bayer

University of North Carolina

Bogdan I. Epureanu

University of Michigan William Ferrante

University of Rhode Island

xv

xvi

Prefacio

Robert W. Fitzgerald

Worcester Polytechnic Institute George T. Flowers

Auburn University Mark Frisina

Wentworth Institute Robert W. Fuessle

Bradley University Walter Gerstle

University of New Mexico William Gurley

University of Tennessee, Chattanooga John Hansberry

University of Massachusetts, Dartmouth Mark J. Harper

United States Naval Academy W. C. Hauser

California Polytechnic University, Pomona Linda Hayes

University of Texas–Austin R. Craig Henderson

Tennessee Technological University Paul R. Heyliger

Colorado State University James Hill

University of Alabama Robert W. Hinks

Arizona State University Allen Hoffman

Worcester Polytechnic Institute Edward E. Hornsey

University of Missouri, Rolla Robert A. Howland

University of Notre Dame Joe Ianelli

University of Tennessee, Knoxville Ali Iranmanesh

Gadsden State Community College David B. Johnson

Southern Methodist University E. O. Jones, Jr.

Auburn University Serope Kalpakjian

Illinois Institute of Technology Kathleen A. Keil

California Polytechnic University, San Luis Obispo

Yohannes Ketema

University of Minnesota Seyyed M. H. Khandani

Diablo Valley College Charles M. Krousgrill

Purdue University B. Kent Lall

Portland State University Chad M. Landis

Rice Unversity Kenneth W. Lau

University of Massachusetts, Lowell Norman Laws

University of Pittsburgh William M. Lee

U.S. Naval Academy Donald G. Lemke

University of Illinois, Chicago Richard J. Leuba

North Carolina State University Richard Lewis

Louisiana Technological University John B. Ligon

Michigan Tech University Bertram Long

Northeastern University V. J. Lopardo

U.S. Naval Academy Frank K. Lu

University of Texas, Arlington Mark T. Lusk

Colorado School of Mines K. Madhaven

Christian Brothers College Nels Madsen

Auburn University James R. Matthews

University of New Mexico Gary H. McDonald

University of Tennessee James McDonald

Texas Technical University Jim Meagher

California Polytechnic State University, San Luis Obispo Lee Minardi

Tufts University

Prefacio Norman Munroe

Florida International University Shanti Nair

University of Massachusetts, Amherst Saeed Niku

California Polytechnic State University, San Luis Obispo Mohammad Noori

North Carolina State University Harinder Singh Oberoi

Western Washington University James O’Connor

University of Texas, Austin Samuel P. Owusu-Ofori

North Carolina A & T State University Venkata Panchakarla

Florida State University Assimina A. Pelegri

Rutgers University Noel C. Perkins

University of Michigan Corrado Poli

University of Massachusetts–Amherst David J. Purdy

Rose-Hulman Institute of Technology Yitshak Ram

Louisiana State University Colin E. Ratcliffe

U.S. Naval Academy Daniel Riahi

University of Illinois Charles Ritz

California Polytechnic State University, Pomona George Rosborough

University of Colorado, Boulder Edwin C. Rossow

Northwestern University Kenneth Sawyers

Lehigh University Robert Schmidt

University of Detroit Robert J. Schultz

Oregon State University Richard A. Scott

University of Michigan

Brian Self

U.S. Air Force Academy William Semke

University of North Dakota Patricia M. Shamamy

Lawrence Technological University Sorin Siegler

Drexel University Peng Song

Rutgers State University Candace S. Sulzbach

Colorado School of Mines L. N. Tao

Illinois Institute of Technology Craig Thompson

Western Wyoming Community College John Tomko

Cleveland State University Kevin Z. Truman

Washington University John Valasek

Texas A & M University Christine Valle

Georgia Institute of Technology Dennis VandenBrink

Western Michigan University Thomas J. Vasko

University of Hartford Mark R. Virkler

University of Missouri, Columbia William H. Walston, Jr.

University of Maryland Andrew J. Walters

Mississippi University Reynolds Watkins

Utah State University Charles White

Northeastern University Norman Wittels

Worcester Polytechnic Institute Julius P. Wong

University of Louisville T. W. Wu

University of Kentucky Constance Ziemian

Bucknell University

xvii

xviii

Prefacio

Los elementos nuevos que diferencian esta edición de las anteriores, particularmente la integración de texto e ilustraciones, fueron desarrollados con ayuda de estudiantes, colegas y editores. Los revisores de las primeras pruebas nos motivaron y sugirieron refinamientos útiles. Después de haber establecido el nuevo formato, el apoyo que recibimos de Prentice Hall en el desarrollo de los libros fue estupendo. Nuestra editora Tacy Quinn organizó el gran esfuerzo en equipo que requieren los libros de este tipo y nos ofreció una ayuda entusiasta y consejos valiosos. Marcia Horton y Tim Galligan hicieron la revisión más importante desde las conversaciones iniciales acerca de nuestras ideas hasta la publicación del libro. Craig Little continuó enseñándonos los detalles de la producción del libro y fue el instrumento para mantener el proyecto dentro del calendario establecido. De nuevo, Xiaohong Zhu nos proporcionó un apoyo consumado en los aspectos relativos a ilustraciones y fotografías. Dee Bernhard y Mack Patterson administraron nuestra comunicación con los revisores y usuarios de los libros. Jennifer Lons-

chein proporcionó apoyo editorial y de producción. David Alick, Ben Paris y Kristin Mayo coordinaron el desarrollo de los recursos en línea que se han convertido en herramientas tan esenciales para los usuarios. Jonathan Boylan diseñó las portadas. Agradecemos a Peter Schiavone por desarrollar los paquetes de estudio que acompañan a los libros, y a Stephen Hunt y Ronald Larsen por escribir los apoyos en MATLAB y MathCad. Scout Hendricks, Karim Nohra y Kart Norlin, valiosos colegas de nuestras campañas anteriores, nos dieron consejos con respecto al estilo y la claridad, corrigieron muchos de nuestros errores y revisaron los manuales de solución. Somos responsables por los errores que aún quedan. Nancy Bedford nos ofreció consejo editorial y nos ayudó con la revisión. Muchas otras personas talentosas y profesionales tanto de Prentice Hall como de otras partes también contribuyeron en la revisión de este texto, por lo que les estamos agradecidos. Y una vez más agradecemos a nuestras familias, especialmente a Nancy y Marsha, por su paciencia y comprensión en la realización de las nuevas ediciones.

Anthony Bedford and Wallace Fowler Austin, Texas

Acerca de los autores

Anthony Bedford (l ) y Wallace T. Fowler

Anthony Bedford es profesor emérito de Ingeniería Aeroespacial e Ingeniería Mecánica en la University of Texas at Austin, y ha ejercido la docencia desde 1968. Es miembro de la Academia de Maestros Distinguidos de la University of Texas. Su actividad profesional principal ha sido la educación y la investigación en la mecánica para ingeniería. Ha escrito artículos sobre teoría mixta, propagación de ondas y la mecánica de impactos a alta velocidad, y es autor de los libros Principio de Hamilton en Mecánica Continua, Introducción a la Propagación Elástica de Ondas (con D. S. Drumheller) y Mecánica de Materiales (con K. M. Liechti). Tiene experiencia industrial en Douglas Aircraft Company, TRW, y Sandia National Laboratories.

Wallace T. Fowler es Profesor Centenario Paul D. & Betty Robertson de ingeniería en la University of Texas y es director del Consorcio de Apoyo Espacial de Texas. Pertenece al American Institute of Aeronautics and Astronautic (AIAAs) y a la American Society for Engineering Education (ASEE). El Dr. Fowler recibió el premio de excelencia en la enseñanza de dinámica general en 1976, el premio John Leland Atwood de AIAAA y ASEE en 1985 (para el mejor profesor en ingeniería aeroespacial), el premio a la enseñanza del consejo de maestros de la University of Texas en 1990-1991, además del premio a la enseñanza en diseño Fred Merryfield de ASEE en 1994. En 1997 fue seleccionado para pertenecer a la academia de profesores distinguidos de la University of Texas. El Dr. Fowler también se desempeñó como presidente de la American Society for Engineering Education (ASEE) de 2000 a 2001. Los intereses del Dr. Fowler relativos a la investigación y la enseñanza en la UT, en Austin, se enfocan en la ingeniería y el diseño de sistemas espaciales.

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Mecánica para ingeniería ESTÁTICA

CAPÍTULO

1 Introducción ¿Cómo diseñan y construyen los ingenieros los dispositivos que se usan en la vida diaria, desde objetos simples como sillas y sacapuntas hasta estructuras complicadas como presas, automóviles, aviones y naves espaciales? Ellos deben tener un conocimiento profundo de la física subyacente al diseño de tales dispositivos y ser capaces de usar modelos matemáticos para predecir su comportamiento. Al estudiar mecánica, los estudiantes de ingeniería comienzan a aprender cómo analizar y predecir los comportamientos de los sistemas físicos.

 Los ingenieros utilizan los principios de la estática en cada paso del diseño y ensamble de una estructura. La estática es una de las ciencias sobre las que se basa el arte del diseño estructural.

4

Capítulo 1 Introducción

1.1 Ingeniería y mecánica ANTECEDENTES ¿Cómo pueden los ingenieros diseñar sistemas complejos y predecir sus características antes de construirlos? Los ingenieros siempre han confiado en su conocimiento de diseños anteriores, en experimentos y en su ingenio y creatividad para producir nuevos diseños. Los ingenieros modernos tienen además una poderosa técnica: desarrollan ecuaciones matemáticas basadas en las características físicas de los objetos que diseñan. Con estos modelos matemáticos predicen el comportamiento de sus diseños, los modifican y los prueban antes de su construcción real: los ingenieros aeroespaciales usan modelos matemáticos para predecir las rutas que seguirá un trasbordador espacial durante su vuelo; los ingenieros civiles usan modelos matemáticos para analizar los efectos de las cargas sobre edificios y sus cimientos. En su nivel más básico, la mecánica es el estudio de las fuerzas y sus efectos. La mecánica elemental se divide en estática, que es el estudio de los objetos en equilibrio, y dinámica, que es el estudio de los objetos en movimiento. Los resultados obtenidos en la mecánica elemental se aplican directamente a muchos campos de la ingeniería. Los ingenieros civiles y mecánicos que diseñan estructuras usan ecuaciones de equilibrio obtenidas por medio de la estática. Tanto los ingenieros civiles que analizan las respuestas de edificios frente a terremotos, como los ingenieros aeroespaciales que determinan las trayectorias de satélites, usan las ecuaciones de movimiento obtenidas de la dinámica. La mecánica fue la primera ciencia analítica, por eso los conceptos fundamentales, los métodos analíticos y las analogías de la mecánica se encuentran casi en todas las ramas de la ingeniería. Los estudiantes de ingeniería química y eléctrica aprecian de una manera más profunda conceptos básicos de sus campos, como el equilibrio, la energía y la estabilidad al aprenderlos en sus contextos mecánicos originales. Cuando estudian mecánica vuelven a trazar el desarrollo histórico de esas ideas. La mecánica consiste en principios generales que rigen el comportamiento de los objetos. En este libro se describen esos principios y se proporcionan ejemplos que muestran algunas de sus aplicaciones. Aunque es esencial que el estudiante resuelva problemas similares a esos ejemplos, y se incluyen muchos problemas de este tipo, el objetivo del texto es ayudar a entender los principios suficientemente bien para aplicarlos a las nuevas situaciones que se presenten. Cada generación de ingenieros se enfrenta a problemas nuevos.

Resolución de problemas En el estudio de la mecánica usted aprenderá procedimientos para resolver problemas que usará en cursos posteriores y a lo largo de su carrera. Aunque los diferentes tipos de problemas requieren distintos métodos, los siguientes pasos se aplican a muchos de ellos: • Identifique la información dada y la información, o respuesta, que debe determinarse. Con frecuencia resulta útil reformular el problema en sus propias palabras. Cuando sea apropiado, asegúrese de que entiende el sistema físico o el modelo involucrado. • Desarrolle una estrategia para el problema. Esto es, identifique los principios y ecuaciones aplicables, y plantéese cómo los usará. Cuando sea posible, dibuje diagramas para visualizar y resolver el problema. • Siempre que pueda, trate de predecir la respuesta. Esto desarrollará su intuición y lo ayudará a reconocer una respuesta incorrecta. • Resuelva las ecuaciones y, cuando sea posible, interprete sus resultados y compárelos con su predicción. El último paso se llama verificación en la realidad. ¿Es razonable su respuesta?

1.1 Ingeniería y mecánica

Números Las mediciones, los cálculos y los resultados de ingeniería se expresan en números. Usted necesita saber cómo se expresan los números en los ejemplos y problemas de este libro, y cómo deberá expresar los resultados de sus propios cálculos. Dígitos significativos Este término se refiere al número de dígitos significativos (o sea, exactos) en un número, contando hacia la derecha a partir del primer dígito distinto de cero. Los números 7.630 y 0.007630 están expresados con cuatro dígitos significativos. Si se sabe que sólo los primeros cuatro dígitos del número 7,630,000 son exactos, esto se puede indicar escribiendo el número en notación científica como 7.630  106. Si un número es el resultado de una medición, los dígitos significativos que contiene están limitados por la exactitud de la medición. Si el resultado de una medición es 2.43, esto significa que el valor real estará más cercano a 2.43 que a 2.42 o a 2.44. Los números pueden redondearse a cierta cantidad de dígitos significativos. Por ejemplo, el valor de p puede expresarse con tres dígitos significativos, 3.14, o con seis dígitos significativos, 3.14159. Cuando se usa una calculadora o una computadora, el número de dígitos significativos está limitado por la cantidad de cifras significativas que la máquina puede manejar según su diseño. Uso de números en este libro Los números dados en los problemas deben tratarse como valores exactos sin importar cuántos dígitos significativos contienen. Si un problema establece que una cantidad es igual a 32.2, se puede suponer que su valor es 32.200... Por lo general se utilizarán al menos tres dígitos significativos para expresar los resultados intermedios y las respuestas en los ejemplos, así como las respuestas a los problemas. Si usa calculadora, sus resultados deben tener esa exactitud. Asegúrese de evitar los errores que ocurren al redondear resultados intermedios cuando realice una sucesión de cálculos. En vez de esto, efectúe sus cálculos con la exactitud disponible al retener los valores en su calculadora.

Espacio y tiempo El espacio se refiere simplemente al universo tridimensional en que vivimos. Las experiencias diarias proporcionan una noción intuitiva del espacio y de las ubicaciones, o posiciones, de los puntos en éste. La distancia entre dos puntos en el espacio es la longitud de la línea recta que los une. Para medir la distancia entre puntos en el espacio se requiere una unidad de longitud. Se usarán tanto las unidades del Sistema Internacional, o unidades SI, como las unidades de uso común en Estados Unidos. En unidades SI, la unidad de longitud es el metro (m). En unidades de uso común en Estados Unidos la unidad de longitud es el pie (ft). Por supuesto, el tiempo resulta familiar; la vida se mide por medio de él. Los ciclos diarios de luz y oscuridad y las horas, minutos y segundos medidos por un reloj proporcionan una noción intuitiva del tiempo. Éste se mide mediante los intervalos entre eventos repetidos, como las oscilaciones del péndulo de un reloj o las vibraciones en un reloj de cristal de cuarzo. Tanto en las unidades SI como en las de uso común en Estados Unidos, la unidad de tiempo es el segundo (s); también se utilizan los minutos (min), las horas (h) y los días. Si la posición de un punto en el espacio en relación con algún punto de referencia cambia con el tiempo, la razón del cambio de su posición se llama velocidad, y la razón del cambio de su velocidad se denomina aceleración. En unidades SI, la velocidad se expresa en metros por segundo (m/s) y la aceleración en metros por segundo cuadrado (m/s2). En las unidades de uso común en Estados Unidos, la

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Capítulo 1 Introducción

velocidad se expresa en pies por segundo (pie/s) y la aceleración en pies sobre segundo cuadrado (pie/s2).

Leyes de Newton La mecánica elemental se estableció sobre una base sólida con la publicación en 1687 de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Isaac Newton. Aunque sumamente original, este trabajo se basó en conceptos fundamentales desarrollados durante una lucha larga y difícil hacia el conocimiento (figura 1.1).

Guerra del Peloponeso Invasión de Roma a Bretaña

400 a. C. 0

Aristóteles: Estática de palancas, especulaciones sobre dinámica Arquímedes: Estática de palancas, centros de masa, flotación Hero de Alejandría: Estática de palancas y poleas Papo: Definición precisa del centro de masa

d. C. 400 Juan Filopono: Concepto de inercia Coronación de Carlomagno

800

Conquista normanda de Bretaña Firma de la Carta Magna

1200 Jordano de Nemora: Estabilidad del equilibrio

Peste bubónica en Europa 1400

Alberto de Sajonia: Velocidad angular Nicola d’Oresme: Cinemática gráfica, coordenadas William Heytesbury: Concepto de aceleración

Impresión de la Biblia de Gutenberg Nicolás Copérnico: Concepto del sistema solar Dominic de Soto: Cinemática de objetos que caen Tycho Brahe: Observaciones de movimientos planetarios

Viaje de Colón

Fundación de la colonia de Jamestown

1600

Guerra de los treinta años Llegada de los peregrinos a Massachussets Fundación de la Universidad de Harvard 1650

Simon Stevin: Principio del trabajo virtual Johannes Kepler: Geometría y cinemática de movimientos planetarios Galileo Galilei: Experimentos y análisis en estática y dinámica, movimiento de un proyectil René Descartes: Coordenadas cartesianas Evangelista Torricelli: Experimentos sobre hidrodinámica Blaise Pascal: Análisis en hidrostática

Establecimiento en Carolina John Wallis, Christopher Wren, Christian Huyghens: Impactos entre objetos Cesión de Pennsylvania a William Penn

Juicios por brujería en Salem 1700

Isaac Newton: Concepto de masa, leyes de movimiento, postulado de la gravitación universal, análisis de movimientos planetarios

Figura 1.1 Cronología de sucesos fundamentales en el desarrollo de la mecánica hasta la publicación de Principios de Newton, en relación con otros eventos en la historia.

1.1 Ingeniería y mecánica

Newton estableció tres “leyes” del movimiento que, expresadas en términos modernos, son: 1. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero, su velocidad es constante. En particular, si inicialmente la partícula se encuentra en reposo, permanecerá en reposo. 2. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula no es igual a cero, la suma de las fuerzas es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal de la partícula. Si la masa es constante, la suma de las fuerzas es igual al producto de la masa de la partícula y su aceleración. 3. Las fuerzas ejercidas por dos partículas entre si son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Observe que no se definió fuerza ni masa antes de enunciar las leyes de Newton. La visión moderna es que estos términos se definen mediante la segunda ley. Para demostrarlo, suponga que se elige un cuerpo arbitrario y se especifica que tiene masa unitaria. Luego se define una unidad de fuerza como la fuerza que imparte a esta masa unitaria una aceleración de magnitud unitaria. En principio, es posible determinar la masa de cualquier cuerpo: se le aplica una fuerza unitaria, se mide la aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la masa. También se puede determinar la magnitud de cualquier fuerza: se le aplica a la masa unitaria, se mide la aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la fuerza. De esta manera, la segunda ley de Newton proporciona significados precisos a los términos masa y fuerza. En unidades SI, la unidad de masa es el kilogramo (kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para impartir a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro por segundo al cuadrado (m/s2). En las unidades del uso común en Estados Unidos, la unidad de fuerza es la libra (lb). La unidad de masa es el slug, que es la cantidad de masa acelerada a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra. Aunque los resultados que se analizan en este libro son aplicables a muchos de los problemas que surgen en la práctica de la ingeniería, hay límites para la validez de las leyes de Newton. Por ejemplo, éstas no dan resultados precisos si un problema implica velocidades que no son pequeñas comparadas con la velocidad de la luz (3  108 m/s). La teoría de la relatividad especial de Einstein se aplica a tales problemas. La mecánica elemental también falla en problemas que implican dimensiones que no son grandes comparadas con las dimensiones atómicas. Para describir los fenómenos en la escala atómica se debe usar la mecánica cuántica.

Sistema internacional de unidades En unidades SI, la longitud se mide en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). El tiempo se mide en segundos (s), aunque cuando es conveniente también se usan los minutos (min), las horas (h) y los días. A los metros, kilogramos y segundos se les llama unidades básicas del SI. La fuerza se mide en newtons (N). Recuerde que esas unidades están relacionadas por la segunda ley de Newton: un newton es la fuerza requerida para imprimir a un objeto de un kilogramo de masa una aceleración de un metro por segundo cuadrado:

1 N = 11 kg211 m/s22 = 1 kg-m/s2. Como el newton se puede expresar en función de las unidades básicas, se le llama unidad derivada. Para expresar cantidades por medio de números de tamaño conveniente, los múltiplos de unidades se indican por medio de prefijos. En la tabla 1.1 se muestran los prefijos más comunes, sus abreviaturas y los múltiplos que representan. Por ejemplo, 1 km es 1 kilómetro, o sea 1000 m, y 1 Mg es 1 megagramo, que son 106 g o 1000 kg. Con frecuencia se usan los kilonewtons (kN).

Tabla 1.1 Prefijos comunes usados en las unidades SI y los múltiplos que representan. Prefijo

Abreviatura

nanomicromilikilomegagiga-

n m m k M G

Múltiplo 10-9 10-6 10-3 103 106 109

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Capítulo 1 Introducción

Unidades de uso común en Estados Unidos En las unidades de uso común en Estados Unidos, la longitud se mide en pies (pie) y la fuerza se mide en libras (lb). El tiempo se mide en segundos (s). Éstas son las unidades básicas de uso común en Estados Unidos. En este sistema de unidades la masa es una unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa de material acelerado a un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra. La segunda ley de Newton establece que 1 lb = (1 slug)(1 pie/s2). A partir de esta expresión se obtiene 1 slug = 1 lb-s2/pie. En este sistema se usan otras unidades como la milla (1 mi = 5280 pies) y la pulgada (1 pie = 12 pulg). También se utiliza la kilolibra (kip), que es igual a 1000 lb.

Unidades angulares s u s u R

R

Figura 1.2 Definición de un ángulo en radianes.

En ambos sistemas de unidades los ángulos se expresan normalmente en radianes (rad). En la figura 1.2 se muestra el valor de un ángulo u en radianes. Se define como la razón de la parte de la circunferencia subtendida por u y el radio del círculo. Los ángulos también se expresan en grados. Como hay 360 grados (360°) en un círculo completo y la totalidad de la circunferencia del círculo es 2pR, 360° son iguales a 2p rad. Las ecuaciones que contienen ángulos casi siempre se obtienen suponiendo que los ángulos se expresan en radianes. Por consiguiente, cuando en una ecuación se desee sustituir el valor de un ángulo expresado en grados, primero deberá convertirse a radianes. Una excepción notable a esta regla es que muchas calculadoras están diseñadas para aceptar ángulos expresados ya sea en grados o en radianes cuando se utilizan para evaluar funciones como sen u.

Conversión de unidades

Tabla 1.2

Conversión de unidades.

Tiempo 1 minuto 1 hora 1 día

= = =

60 segundos 60 minutos 24 horas

Long.

= = = =

12 pulg 5280 pies 25.4 milímetros 0.3048 metros

1 pie 1 milla 1 pulg 1 pie

Ángulo 2p radianes =

360 grados

Masa

1 slug

=

14.59 kilogramos

Fuerza 1 libra

=

4.448 newtons

En la práctica de ingeniería surgen muchas situaciones que requieren convertir valores expresados en unidades de una clase a valores en otras unidades. Por ejemplo, si algunos de los datos que deben usarse en una ecuación están dados en unidades SI y otros en unidades de uso común en Estados Unidos, todos se deben expresar en términos de un solo sistema de unidades antes de ser sustituidos en la ecuación. La conversión de unidades es sencilla pero debe hacerse con cuidado. Suponga que se desea expresar 1 milla por hora (mi/h) en términos de pie por segundo (pie/s). Como 1 milla es igual a 5280 pies y 1 hora equivale a 3600 segundos, se pueden emplear las expresiones

⎛ 5280 pies ⎞ y ⎛ 1 h ⎞ ⎝ 1 mi ⎠ ⎝ 3600 s ⎠ como razones cuyos valores son iguales a 1. De esta forma se obtiene

m/h = (1 mi/h) ⎛ 11mi/h ⎝

5280 pies ⎞ ⎛ 1 h ⎞ = 1.47 pies/s . 1 mi ⎠ ⎝ 3600 s ⎠

En la tabla 1.2 se proporcionan algunas conversiones útiles entre unidades.

1.1 Ingeniería y mecánica

RESULTADOS

Identifique la información dada y la información que debe determinarse. Desarrolle una estrategia; identifique los principios y ecuaciones aplicables y plantéese cómo los usará. Siempre que sea posible, trate de predecir la respuesta. Obtenga la respuesta y, cuando sea posible, interprétela y compárela con su predicción.

Resolución de problemas: Estos pasos se aplican a muchos tipos de problemas.

Unidades SI: Las unidades básicas son el tiempo en segundos (s), la longitud en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para acelerar una masa de un kilogramo a un metro por segundo cuadrado. Sistemas de unidades. Unidades de uso común en Estados Unidos: Las unidades básicas son el tiempo en segundos (s), la longitud en pies y la fuerza en libras (lb). La unidad de masa el slug, que es la masa acelerada a un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra.

s u R

Las cantidades equivalentes, como 1 hora = 60 minutos, pueden escribirse como razones cuyos valores son 1: 1h  1, 60 min y usarse para realizar la conversión de unidades. Por ejemplo, 15 min  15 min

Definición de un ángulo en radianes.

s u R

Conversión de unidades.

1 h  0.25 h. 60 min

Existe un documento muy completo sobre unidades recopilado por Russ Rowlett de la University of North Carolina en Chapel Hill, el cual está disponible en línea en www.unc.edu/~rowlett/units.

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Capítulo 1 Introducción

Ejemplo activo 1.1

Conversión de unidades ( Relacionado con el problema 1.11) Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 6 metros por segundo (m/s). ¿Qué tan rápido se desplaza en kilómetros por hora (km/h)?

Estrategia

Un kilómetro equivale a 1000 metros y una hora a 60 minutos  60 segundos = 3600 segundos. Estas unidades de conversión pueden utilizarse para determinar su velocidad en km/h.

Solución Convierta de metros a kilómetros. Convierta de segundos a horas. 6 m/s  6 m/s

 1000 m   1 km

3600 s 1h



 21.6 km/h. Problema de práctica Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 10 pies por segundo (pie/s). ¿Qué tan rápido se desplaza en millas por hora (mi/h)? Respuesta: 6.82 mi/h.

Ejemplo 1.2

Conversión de unidades de presión ( Relacionado con el problema 1.16) La presión ejercida en un punto del casco del vehículo de sumersión profunda es de 3.00  106 Pa (pascales). Un pascal es 1 newton por metro cuadrado. Determine la presión en libras por pie cuadrado.

Estrategia A partir de la tabla 1.2, 1 libra = 4.448 newtons y 1 pie = 0.3048 metros. Con estas conversiones de unidades es posible calcular la presión en libras por pie cuadrado.

Solución La presión (con tres dígitos significativos) es

3.00 * 106 N/m2 = 13.00 * 106 N/m22a

1 lb 0.3048 m 2 ba b 4.448 N ft 11pie

 62,700 lb/pie2

Vehículo de sumersión profunda

Razonamiento crítico ¿Cómo podría haberse obtenido este resultado de una manera más directa? Observe en la tabla para conversión de unidades de la contraportada de este libro que 1 Pa = 0.0209 lb/pie2. Por lo tanto,

⎛ 0.0209 lb/pie 2 ⎞ 3.00 × 10 6 N/m 2 = (3.00 × 10 6 N/m 2 ) ⎜ ⎟⎠ 1 N/m 2 ⎝ = 62,7 700 lb/pie 2 .

1.1 Ingeniería y mecánica

Ejemplo 1.3

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Determinación de unidades a partir de una ecuación ( Relacionado con el problema 1.20)

Suponga que en la ecuación de Einstein

E = mc2, la masa m está en kilogramos y la velocidad de la luz c en metros por segundo. a) ¿Cuáles son las unidades SI de E? b) Si el valor de E en unidades SI es igual a 20, ¿cuál es su valor en las unidades básicas de uso común en Estados Unidos?

Estrategia a) Como se conocen las unidades de los términos m y c, es posible deducir las unidades de E a partir de la ecuación dada. b) Pueden usarse las conversiones de unidades para la masa y la longitud dadas en la tabla 1.2 para convertir E de unidades SI a unidades de uso común en Estados Unidos.

Solución a) De la ecuación para E,

E = 1m kg21c m/s22, las unidades SI de E son kg-m2/s2. b) De la tabla 1.2, 1 slug  14.59 kg y 1 pie  0.3048 metros. Por lo tanto,

⎛ 1 slug ⎞ ⎛ 1 pie ⎞ 2 1 kg-m 2/s 2 = (1 kg-m 2/s 2 ) ⎜ ⎝ 14.59 kg ⎟⎠ ⎝ 0.3048 m ⎠ = 0.738 slug-pie 2/s2.

El valor de E en unidades de uso común en Estados Unidos es E = (20)(0.738) = 14.8 slug-pie2/s2.

Razonamiento crítico En el inciso a), ¿cómo se supo que era posible determinar las unidades de E al determinar las unidades de mc2? Las dimensiones, o unidades, de cada término en una ecuación deben ser las mismas. Por ejemplo, en la ecuación a  b  c, las dimensiones de cada uno de los términos a, b y c deben ser las mismas. Se dice que la ecuación es dimensionalmente homogénea. Este requisito se expresa mediante la frase coloquial. “No se pueden comparar peras con manzanas”.

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Capítulo 1 Introducción

Problemas 1.1 El valor p es 3.14159265… C es la circunferencia de un círculo y r su radio. Determine el valor de r/C con cuatro dígitos significativos.

1.4 Una portería de fútbol tiene 24 pies de ancho y 8 de alto, por lo que el área es 24  8 pies  192 pies2. ¿Cuál es el área en m2 con tres dígitos significativos?

r

C

Problema 1.1

1.2 La base de los logaritmos naturales es e = 2.718281828.... a) Exprese e con cinco dígitos significativos. b) Determine el valor de e2 con cinco dígitos significativos. c) Use el valor de e obtenido en el inciso a) para determinar el valor de e2 con cinco dígitos significativos. [El inciso c) demuestra el peligro de usar valores redondeados durante los cálculos].

Problema 1.4

1.5 El Burj Dubai, que debe estar terminado en 2008, será el edificio más alto del mundo con una altura de 705 m. El área de su base será de 8000 m2. Convierta su altura y su área de base en unidades de uso común en Estados Unidos con tres dígitos significativos.

1.3 Un técnico perfora un agujero circular en un panel con un radio nominal r = 5 mm. El radio real del agujero está en el rango r = 5 ± 0.01 mm. a) ¿Hasta cuál número de dígitos significativos puede expresar el radio? b) ¿Hasta cuál número de dígitos significativos puede expresar el área del agujero?

5 mm

Problema 1.3

Problema 1.5

Problemas 1.6 Suponga que acaba de comprar un Ferrari F355 Coupé y desea saber si puede usar su juego de llaves SAE (unidades de uso común en Estados Unidos) para trabajar en él. Usted tiene llaves con anchos v = 1/4 pulg, 1/2 pulg, 3/4 pulg y 1 pulg y el automóvil tiene tuercas con dimensiones n = 5 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mm y 25 mm. Si se establece que una llave ajusta si v no es 2% mayor que n, ¿cuál de sus llaves puede usar?

w

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1.10 El motor del Porsche ejerce un par de torsión de 229 pies-lb (pies-libra) a 4600 rpm. Determine el valor del par de torsión en N-m (newton-metros).

n

Problema 1.6

Problema 1.10 1.7 Suponga que se sabe que la altura del Monte Everest está entre 29,032 pies y 29,034 pies. Con base en esta información, ¿a cuántos dígitos significativos puede expresarse la altura a) en pies y b) en metros? 1.8 El tren maglev (levitación magnética) que viaja de Shangai al aeropuerto en Pundong alcanza una velocidad de 430 km/h. Determine su velocidad a) en mi/h y b) en pie/s.

 1.11 La energía cinética del hombre del ejemplo activo 1.1 se define mediante 21 mv2, donde m es su masa y v es su velocidad. La masa del hombre es 68 kg y se mueve a 6 m/s, de forma que su energía cinética es 21 (68 kg)(6 m/s)2 = 1224 kg-m2/s2. ¿Cuál es su energía cinética en unidades de uso común en Estados Unidos? 1.12 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar en unidades SI es g = 9.81 m/s2. Mediante la conversión de unidades, use este valor para determinar la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar en unidades de uso común en Estados Unidos. 1.13 Un estadio por quincena es una unidad de velocidad en broma, inventada tal vez por un estudiante como comentario satírico sobre la gran variedad de unidades con la que deben tratar los ingenieros. Un estadio equivale a 660 pies (1/8 milla). Una quincena consta de 2 semanas (14 noches). Si usted camina rumbo a su clase a 2 m/s, ¿cuál es su velocidad en estadios por quincena con tres dígitos significativos? 1.14 Determine el área de la sección transversal de la viga a) en m2 y b) en pulg2. y

Problema 1.8

40 mm

1.9 En los Juegos Olímpicos de Invierno de 2006, la carrera de ski a campo traviesa de 15 km fue ganada por Andrus Veerpalu de Estonia en un tiempo de 38 minutos 1.3 segundos. Determine su velocidad promedio (la distancia viajada entre el tiempo utilizado) con tres dígitos significativos a) en km/h y b) en mi/h.

120 mm

x

40 mm 40 mm 200 mm

Problema 1.14

14

Capítulo 1 Introducción

1.15 El área de la sección transversal de la viga de acero Canal Estándar Americano C12 * 30 es A = 8.81 pulg2. ¿Cuál es el área de su sección transversal en mm2?

y

1.18 En el capítulo 7 se analizan las cargas distribuidas, que se expresan en unidades de fuerza por unidad de longitud. Si el valor de una carga distribuida es de 400 N/m, ¿cuál es su valor en lb/pie? 1.19 El momento de inercia del área rectangular con respecto al eje x está dado por la ecuación

A

I = 13 bh3.

x

Las dimensiones del área son b = 200 mm y h = 100 mm. Determine el valor de I con cuatro dígitos significativos en términos de a) mm4, b) m4 y c) pulg4.

y

Problema 1.15

h

x

 1.16 Un transductor de presión mide un valor de 300 lb/pulg2. Determine el valor de la presión en pascales. Un pascal (Pa) es igual a un newton por metro cuadrado.

1.17 Un caballo de fuerza equivale a 550 pies-lb/s. Un watt es igual a 1 N-m/s. Determine cuántos watts son generados por los motores de un jet comercial, si éstos producen 7000 caballos de fuerza.

b

Problema 1.19  1.20 En el ejemplo 1.3, en vez de la ecuación de Einsten considere la ecuación L = mc, donde la masa m está en kilogramos y la velocidad de la luz c está en metros por segundo. a) ¿Cuáles son las unidades SI de L? b) Si el valor de L en unidades SI es 12, ¿cuál es el valor en unidades básicas de uso común en Estados Unidos? 1.21 La ecuación s =

Problema 1.17

My I

se usa en la mecánica de materiales para determinar esfuerzos normales en vigas. a) Cuando esta ecuación se expresa en términos de unidades básicas SI, M está en newton-metros (N-m), y está en metros (m) e I está en metros a la cuarta potencia (m4). ¿Cuáles son las unidades SI de s? b) Si M  2000 N-m, y  0.1 m e I  7  105 m4, ¿cuál es el valor de s en unidades básicas de uso común en Estados Unidos?

1.2 Gravitación de Newton

15

1.2 Gravitación de Newton ANTECEDENTES Newton postuló que la fuerza gravitatoria entre dos de masas m1 y m2 que están separadas por la distancia r (figura 1.3) es

F =

Gm1 m 2 r2

,

(1.1)

donde G se denomina constante de gravitación universal. El valor de G en unidades SI es 6.67  10–11 N-m2/kg2. Con base en su postulado, Newton calculó la fuerza gravitatoria entre una partícula de masa m1 y una esfera homogénea de masa m2, y encontró que también está dada por la ecuación (1.1), donde r expresa la distancia de la partícula al centro de la esfera. Aunque la Tierra no es una esfera homogénea, es posible usar este resultado para obtener el peso aproximado de un cuerpo de masa m debido a la atracción gravitatoria de la Tierra. Se tiene

W =

GmmE r2

,

(1.2)

donde mE es la masa de la Tierra y r es la distancia del centro de la Tierra al objeto. Observe que el peso de un cuerpo depende de su posición con respecto al centro de la Tierra, mientras que la masa del cuerpo es una medida de la cantidad de materia que contiene y que no depende de su posición. Cuando el peso de un objeto es la única fuerza que actúa sobre él, la aceleración resultante se denomina aceleración debida a la gravedad. En este caso la segunda ley de Newton establece que W  ma, y de la ecuación (1.2) se observa que la aceleración debida a la gravedad es

a =

GmE r2

.

(1.3)

La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar se expresa con g. Si el radio de la Tierra se representa mediante RE, se observa a partir de la ecuación (1.3) que GmE = gR2E. Sustituyendo este resultado en la ecuación (1.3), se obtiene una expresión para la aceleración debida a la gravedad a una distancia r del centro de la Tierra en función de la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar:

a = g

R2E r2

.

(1.4)

Como el peso del cuerpo es W  ma, el peso de un cuerpo a una distancia r del centro de la Tierra es

W = mg

R2E r2

.

(1.5)

Al nivel del mar (r  RE), el peso de un cuerpo está dado en función de su masa mediante la simple relación

W = mg.

(1.6)

El valor de g varía de lugar a lugar sobre la superficie de la Tierra. Los valores que se usarán en los ejemplos y problemas son g  9.81 m/s2 en unidades SI y g  32.2 pies/s2 en unidades de uso común en Estados Unidos.

m1

F

r

F

m2

Figura 1.3 Las fuerzas gravitatorias entre dos partículas son iguales en magnitud y están dirigidas a lo largo de la línea que las une.

16

Capítulo 1 Introducción

RESULTADOS La fuerza gravitatoria entre dos partículas de masas m1 y m2 que están separadas por la distancia r es Gm1m2 , (1.1) F r2 donde G es la constante de gravitación universal. El valor de G en unidades SI es

Gravitación de Newton.

6.67  10 11 N-m2/kg2. Cuando la Tierra se modela como una esfera homogénea de radio RE, la aceleración debida a la gravedad a una distancia r desde el centro es R2E , r2 donde g es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. ag

(1.4)

W  mg, (1.6) donde m es la masa del objeto y g es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar.

Ejemplo activo 1.4

Aceleración debida a la gravedad de la tierra.

Peso de un objeto al nivel del mar.

Peso y masa ( Relacionado con el problema 1.22) La prensa C que se muestra en la figura pesa 14 oz al nivel del mar [16 oz (onzas) 1 lb]. La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es g  32.2 pies/s2. ¿Cuál es la masa de la prensa C en slugs?

Estrategia Primero debe determinarse el peso de la prensa C en libras. Después puede usarse la ecuación (1.6) para determinar la masa en slugs.

Solución 14 oz  14 oz

m

 16 oz  0.875 lb. 1 lb

W 0.875 lb   0.0272 slug. g 32.2 pies/s2

Convierta el peso de onzas a libras. Use la ecuación (1.6) para calcular la masa en slugs.

Problema de práctica La masa de la prensa C es 0.397 kg. La aceleración debi-

da a la gravedad al nivel del mar es g  9.81 m/s2. ¿Cuál es el peso de la prensa C al nivel del mar en newtons? Respuesta: 3.89 N.

1.2 Gravitación de Newton

Ejemplo 1.5

Determinación del peso de un objeto (䉴 Relacionado con el problema 1.27)

Cuando el vehículo exploratorio de Marte (Rover) se ensambló por completo, su masa fue de 180 kg. La aceleración debida a la gravedad en la superficie de Marte es 3.68 m/s2 y el radio de Marte es 3390 km. a) ¿Cuál era el peso del Rover cuando estaba al nivel del mar en la Tierra? b) ¿Cuál es el peso del Rover sobre la superficie de Marte? c) La fase de ingreso comenzó cuando la nave espacial alcanzó el punto de interfaz con la atmósfera de Marte a 3522 km desde el centro de Marte. ¿Cuál era el peso del Rover en ese punto?

Operación de ensamble del vehículo exploratorio de Marte (Rover)

17

18

Capítulo 1 Introducción

Estrategia El peso del Rover al nivel del mar en la Tierra está dado por la ecuación (1.6) con g  9.81 m/s2. El peso sobre la superficie de Marte puede determinarse mediante el uso de la ecuación (1.6), con la aceleración debida a la gravedad igual a 3.68 m/s2. Para determinar el peso del Rover al inicio de la fase de introducción, se puede escribir una ecuación para Marte equivalente a la ecuación (1.5).

Solución a) El peso al nivel del mar en la Tierra es

W = mg

= 1180 kg219.81 m/s22 = 1770 N 1397 lb2.

b) Sea gM  3.68 m/s2 la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Marte. Entonces el peso del Rover sobre la superficie de Marte es

W = mgM

= 1180 kg213.68 m/s22 = 662 N 1149 lb2.

c) Sea RM  3390 km el radio de Marte. A partir de la ecuación (1.5), el peso del Rover cuando éste se encuentra a 3522 km por encima del centro de Marte es

W = mgM

R2M r2

= 1180 kg213.68 m/s 2 2

= 614 N 1138 lb2.

13,390,000 m22 13,522,000 m22

Razonamiento crítico En el inciso c), ¿cómo supo que la ecuación 1.5 podía aplicarse a Marte? La ecuación 1.5 se aplica a la Tierra con base en su modelación como una esfera homogénea. La ecuación puede ser aplicada a otros cuerpos celestes bajo el mismo supuesto. La exactitud de los resultados depende de qué tan poco esférico y no homogéneo sea el objeto.

Problemas

19

Problemas  1.22 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Luna es 1.62 m/s2. a) ¿Cuál sería la masa de la prensa C del ejemplo activo 1.4 sobre la superficie de la Luna? b) ¿Cuál sería el peso de la prensa C en newtons sobre la superficie de la Luna? 1.23 El cubo de hierro de 1 pie  1 pie  1 pie pesa 490 lb al nivel del mar. Determine el peso en newtons de un cubo de 1 m  1 m  1 m del mismo material al nivel del mar.

1 pie

1 pie

1.28 Si un objeto está cerca de la superficie de la Tierra, la variación de su peso debida a su distancia desde el centro de la Tierra frecuentemente se omite. La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es g  9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km. El peso de un objeto al nivel del mar es mg, donde m es su masa. ¿A que altura sobre la superficie terrestre el peso del objeto se reduce a 0.99mg? 1.29 El planeta Neptuno tiene un diámetro ecuatorial de 49,532 km y su masa es 1.0247  1026 kg. Si el planeta se modela como una esfera homogénea, ¿cuál es la aceleración debida a la gravedad en su superficie? (La constante gravitatoria universal es G  6.67  10–11 N-m2/kg2).

1 pie

Problema 1.23

1.24 El área del Océano Pacífico es 64,186,000 millas cuadradas y tiene una profundidad promedio de 12,925 pies. Suponga que el peso por unidad de volumen del agua del océano es 64 lb/pie3. Determine la masa del Océano Pacífico a) en slugs y b) en kilogramos. 1.25 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es g  9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km. La constante gravitatoria universal es G  6.67  10–11 N-m2/kg2. Use esta información para determinar la masa de la Tierra. 1.26 Una persona pesa 180 lb al nivel del mar. El radio de la Tierra es de 3960 millas. ¿Qué fuerza ejerce la atracción gravitatoria de la Tierra sobre la persona si ésta se encuentra en una estación espacial en órbita a 200 millas sobre la superficie de la Tierra?  1.27 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Luna es 1.62 m/s2. El radio de la Luna es RM  1738 km (consulte el ejemplo 1.5). a) ¿Cuál es el peso en Newtons en la superficie de la Luna de un objeto que tiene una masa de 10 kg? b) Usando el método descrito en el ejemplo 1.5, determine la fuerza ejercida sobre el objeto por la gravedad de la Luna si éste se encuentra a 1738 km por encima de la superficie lunar.

Problema 1.29

1.30 En un punto entre la Tierra y la Luna, la magnitud de la fuerza ejercida sobre un objeto por la gravedad de la Tierra es igual a la magnitud de la fuerza ejercida sobre el objeto por la gravedad de la Luna. ¿Cuál es la distancia desde el centro de la Tierra hasta ese punto, con tres dígitos significativos? La distancia desde el centro de la Tierra hasta el centro de la Luna es 383,000 km, y el radio de la Tierra es 6370 km. El radio de la Luna es 1738 km, y la aceleración debida a la gravedad en su superficie es 1.62 m/s2.

CAPÍTULO

2 Vectores Si un objeto está sometido a varias fuerzas que tienen diferentes magnitudes y actúan en distintas direcciones, ¿cómo pueden determinarse la magnitud y la dirección de la fuerza total resultante sobre el objeto? Las fuerzas son vectores y deben sumarse de acuerdo con la definición de la suma de vectores. En ingeniería se trata con muchas cantidades que tienen tanto magnitud como dirección y que pueden expresarse y analizarse como vectores. En este capítulo se revisan las operaciones con vectores, se expresan los vectores en términos de sus componentes y se presentan ejemplos de aplicaciones de los vectores a la ingeniería.

 Los campos de vectores muestran las velocidades y direcciones de un flujo de gas en tres posiciones verticales. Los vectores se utilizan para describir y analizar cantidades que tienen magnitud y dirección, incluyendo posiciones, fuerzas, momentos, velocidades y aceleraciones.

V

22

Capítulo 2 Vectores

2.1 Escalares y vectores ANTECEDENTES

B A (a)

B B A A

rAB

(b)

Figura 2.1 (a) Dos puntos, A y B, de un mecanismo. (b) Vector rAB de A hacia B.

A

Una cantidad física que puede describirse mediante un número real se denomina escalar. El tiempo es una cantidad escalar; la masa también lo es. Por ejemplo, se puede describir la masa de un automóvil al decir que su valor es 1200 kg. Por otro lado, para describir una cantidad vectorial se debe especificar tanto un número real no negativo, o magnitud, como una dirección. Dos cantidades vectoriales son iguales sólo si sus magnitudes y direcciones son iguales. La posición de un punto en el espacio en relación con otro es una cantidad vectorial. Para describir la localización de una ciudad con respecto a su casa, no es suficiente decir que está a 100 millas; debe decir que está 100 millas al oeste de su casa. La fuerza también es una cantidad vectorial: cuando usted empuja un mueble sobre el piso, aplica una fuerza de magnitud suficiente para moverlo en la dirección deseada. Los vectores se representarán mediante letras en negritas, U, V, W, ..., y la magnitud de un vector U se denotará por medio de U. Un vector se representa gráficamente por medio de una flecha: su dirección indica el sentido del vector y su longitud se define como proporcional a la magnitud. Por ejemplo, considere los puntos A y B del mecanismo de la figura 2.1a. La posición del punto B respecto al punto A puede especificarse mediante el vector rAB de la figura 2.1b. La dirección de rAB indica la dirección del punto A hacia el punto B. Si la distancia entre los dos puntos es 200 mm, la magnitud rAB  200 mm. En la figura 2.2, el cable AB ayuda a soportar la torre de transmisión de televisión. La fuerza que ejerce el cable sobre la torre se puede representar por medio de un vector F, como se muestra en la figura. Si el cable ejerce una fuerza de 800 N sobre la torre, F  800 N (un cable tal mostraría algún pandeo, o curvatura, y la tensión variaría junto con su longitud; por ahora, supondremos que la curvatura en los cables y cuerdas suspendidas y las variaciones en sus tensiones pueden ignorarse, supuesto más o menos válido si el peso de la cuerda o el cable es pequeño en comparación con la tensión. En el capítulo 10 se estudiarán y analizarán los cables y las cuerdas suspendidas con mayor detalle). Los vectores son un medio conveniente para representar cantidades físicas que tienen magnitud y dirección, aunque eso es sólo el principio de su utilidad. Así como los números reales se manipulan con las reglas conocidas para la suma, la resta, la multiplicación, etcétera, existen reglas para operar con vectores. Esas reglas proporcionan herramientas poderosas para el análisis en ingeniería.

Suma vectorial

F

B

Figura 2.2 Representación de la fuerza que ejerce el cable AB sobre la torre, por medio de un vector F.

Cuando un objeto se mueve de un lugar a otro en el espacio, se dice que experimenta un desplazamiento. Si se mueve un libro (o, hablando de manera más precisa, algún punto de un libro) de un lugar de la mesa a otro, como muestra la figura 2.3a, es posible representar el desplazamiento mediante el vector U. La dirección de U indica la dirección del desplazamiento y |U| es la distancia recorrida por el libro. Suponga que al libro se le da un segundo desplazamiento V, como se muestra en la figura 2.3b. Los desplazamientos U y V equivalen a un solo desplazamiento del libro de su posición inicial a su posición final, que se representa mediante el vector W en la figura 2.3c. Observe que la posición final del libro es la misma si primero ocurre el desplazamiento U y después el desplazamiento V que si primero ocurre el desplazamiento V y luego el desplazamiento U (figura 2.3d). El desplazamiento W se define como la suma de los desplazamientos U y V: U  V  W.

2.1 Escalares y vectores

V

U

U

(a)

(b)

U

V

U W

Figura 2.3 (a) Desplazamiento representado por el vector U. (b) El desplazamiento U seguido por el desplazamiento V. (c) Los desplazamientos U y V son equivalentes al desplazamiento W. (d) La posición final del libro no depende del orden de los desplazamientos.

V W

V

U

(d)

(c)

V

V U

U

U

UV

V (a)

(b) V

U

UV V

U

U

UV V

(d)

23

(e)

(c)

Figura 2.4 (a) Dos vectores, U y V. (b) La cabeza de U colocada en la cola de V. (c) Regla del triángulo para obtener la suma de U y V. (d) La suma es independiente del orden en que se sumen los vectores. (e) Regla del paralelogramo para obtener la suma de U y V. W

La definición de suma vectorial está basada en la suma de desplazamientos. Considere los vectores U y V de la figura 2.4a. Si se colocan cabeza con cola (figura 2.4b), su suma se define como el vector que va de la cola de U a la cabeza de V (figura 2.4c). Esto se llama regla del triángulo para la suma vectorial. La figura 2.4d demuestra que la suma es independiente del orden en que los vectores se colocan cabeza con cola. De esta figura se obtiene la regla del paralelogramo para la suma vectorial (figura 2.4e). La definición de la suma vectorial implica que U  V  V  U La suma vectorial es conmutativa.

(2.1)

(U  V)  W  U  (V  W) La suma vectorial es

(2.2)

V UVW

U

Figura 2.5 Suma de tres vectores U, V y W.

y

V asociativa.

para cualesquiera vectores U, V y W. Estos resultados indican que al sumar dos o más vectores, el orden en que se sumen no importa. La suma puede obtenerse colocando los vectores cabeza con cola en cualquier orden. El vector que va de la cola del primer vector a la cabeza del último es la suma (figura 2.5a). Si la suma de dos o más vectores es igual a cero, los vectores forman un polígono cerrado cuando se colocan cabeza con cola (figura 2.6).

U

W

Figura 2.6 Tres vectores U, V y W cuya suma es igual a cero.

24

Capítulo 2 Vectores

Una cantidad física se denomina vector si tiene magnitud y dirección y obedece la definición de la suma vectorial. Se sabe que un desplazamiento es un vector. La posición de un punto en el espacio respecto a otro punto también es una cantidad vectorial. En la figura 2.7, el vector rAC de A a C es la suma de rAB y rBC. Una fuerza tiene dirección y magnitud pero, ¿obedecen las fuerzas la definición de la suma vectorial? Por ahora se asumirá que sí. Cuando se estudie la dinámica, se mostrará que la segunda ley de Newton implica que la fuerza es un vector.

C rBC B rAB

Producto de un escalar y un vector

rAC

A

Figura 2.7 Las flechas que denotan las posiciones relativas de los puntos son vectores.

El producto de un escalar (número real) a por un vector U es un vector que se escribe como aU. Su magnitud es aU, donde a es el valor absoluto del escalar a. La dirección de aU es igual que la de U cuando a es positivo y es opuesta a la dirección de U cuando a es negativo. El producto (–1)U se escribe –U y se llama “negativo del vector U”. Tiene la misma magnitud que U pero dirección opuesta. La división de un vector U entre un escalar a se define como el producto

U 1 = a bU. a a

U

2U

U  (1)U

U 1  U 2 2

Figura 2.8 Un vector U y algunos de sus múltiplos escalares.

En la figura 2.8 se muestran un vector U y los productos de U con los escalares 2, –1 y 1/2. Las definiciones de la suma vectorial y del producto de un escalar y un vector implican que

a1bU2 = 1ab2U,

El producto es asociativo con respecto a la multiplicación escalar.

1a + b2U = aU + bU,

U

V

Los productos son distributivos con respecto a la suma escalar.

(2.4)

Los productos son distributivos con respecto a la suma vectorial.

(2.5)

y

a1U + V2 = aU + aV, (a)

para cualesquiera escalares a y b y vectores U y V. Estos resultados serán necesarios cuando se estudien las componentes de los vectores.

V (1)V

Resta vectorial La diferencia de dos vectores U y V se obtiene sumando U al vector (–1)V:

(b)

U - V = U + 1- 12V.

(1)V

UV

(2.3)

U

(2.6)

Considere los dos vectores U y V que se muestran en la figura 2.9a. El vector (–1)V tiene la misma magnitud que el vector V pero dirección opuesta (figura 2.9b). En la figura 2.9c se suma el vector U al vector (–1)V para obtener U – V.

Vectores unitarios (c)

Figura 2.9 (a) Dos vectores U y V. (b) Vectores V y (–1)V. (c) La suma de U y (–1)V es la diferencia vectorial U – V.

Un vector unitario es simplemente un vector cuya magnitud es igual a la unidad. Un vector unitario especifica una dirección y permite expresar en forma conveniente un vector que tiene una dirección particular. Si un vector unitario e y un vector U tienen la misma dirección, se puede escribir U como el producto de su magnitud U y el vector unitario e (figura 2.10),

U = ƒ U ƒ e.

2.1 Escalares y vectores

Cualquier vector U puede verse como el producto de su magnitud y un vector unitario que tiene la misma dirección de U. Dividiendo ambos lados de esta ecuación entre U se obtiene

U

ƒUƒ

U U

= e,

e

1 Ue  U

Figura 2.10 Como U y e tienen la misma dirección, el vector U es igual al producto de su magnitud y e.

entonces, al dividir cualquier vector entre su magnitud se obtiene un vector unitario que tiene la misma dirección.

RESULTADOS Una cantidad física que está completamente descrita por un número real se llama escalar. Un vector tiene tanto magnitud como dirección y satisface una regla definida para la suma. Un vector se representa gráficamente mediante una flecha cuya longitud se define como proporcional a la magnitud. V

U

Suma vectorial La suma de dos vectores U y V se define mediante la regla del triángulo o su equivalente, la regla del paralelogramo.

UV

Regla del triángulo

U

UV V Regla del paralelogramo

Producto de un escalar y un vector El producto de un escalar a y un vector U se define como un vector aU con magnitud aU. Su dirección es la misma que la de U cuando a es positiva y opuesta a la de U cuando a es negativa. La división de U entre a se define como el producto (1/a)U.

U

U

Resta vectorial La diferencia de dos vectores U y V se define por medio de U  V  U  (1)V.

U  (1)U

2U

V

(1)V

UV

25

U

U 1  U 2 2

26

Capítulo 2 Vectores

Vectores unitarios Un vector unitario es aquel que tiene una magnitud de 1. Cualquier vector U puede expresarse como |U|e, donde e es un vector unitario con la misma dirección que U. Al dividir un vector U entre su magnitud se obtiene un vector unitario con la misma dirección de U.

Ejemplo activo 2.1

U U

e

1 Ue  U

Operaciones vectoriales ( Relacionado con el problema 2.1) Las magnitudes de los vectores que se muestran son U  8 y V  3. El vector V es vertical. Determine gráficamente la magnitud del vector U  2V.

U

V

45

Estrategia Al dibujar los vectores a escala y aplicar la regla del triángulo para la suma, es posible medir la magnitud del vector U  2V. Solución

Dibuje los vectores U y 2V a escala, colóquelos cabeza con cola.

6

2V

8 U 45

El valor medido de U  2V es 13.0.

2V 13.0

U 45

U

V

Problema de práctica Las magnitudes de los vectores que se muestran son U  8 y V  3. El vector V es vertical. Determine gráficamente la magnitud del vector U – 2V.

45 Respuesta: |U - 2V| = 5.7.

Problemas

27

Suma de Vectores ( Relacionado con el problema 2.2)

Ejemplo 2.2

Una parte del techo en voladizo de un estadio deportivo debe estar soportada por los cables AB y AC. Las fuerzas que ejercen los cables sobre la pila a la que están unidos se representan con los vectores FAB y FAC. Las magnitudes de las fuerzas son FAB  100 kN y FAC  60 kN. Determine la magnitud y la dirección de la suma de las fuerzas ejercidas sobre la pila por los cables.

B FAB

A

30

30 

FAC

C

Estrategia Al dibujar el paralelogramo, con los vectores a escala, para sumar las dos fuerzas se puede medir la magnitud y dirección de su suma.

FAB  FAC

FAB 100 kN

Solución Se construye gráficamente el paralelogramo para obtener la suma de las dos fuerzas con las longitudes de FAB y FAC proporcionales a sus magnitudes (figura a). Midiendo la figura, se estima que la magnitud del vector FAB  FAC es de 155 kN y su dirección es de 19° sobre la horizontal.

19 60 kN

FAC

(a) Solución gráfica.

Razonamiento crítico En las aplicaciones de ingeniería, las operaciones con vectores casi siempre se hacen de manera analítica. Entonces, ¿por qué es importante adquirir experiencia con los métodos gráficos? Al hacerlo se mejora la intuición acerca de los vectores y ayuda a entender las operaciones vectoriales. Asimismo, el bosquejo de una solución gráfica puede ayudar frecuentemente a formular una solución analítica.

Problemas  2.1 En el ejemplo activo 2.1, suponga que los vectores U y V se reorientan como lo muestra la figura. El vector V es vertical. Las magnitudes son U  8 y V  3. Determine en forma gráfica la magnitud del vector U  2V. 45 U

Problema 2.1

V

 2.2 Suponga que la pila del ejemplo 2.2 se coloca más cerca del estadio de manera que el ángulo entre las fuerzas FAB y FAC es de 50°. Dibuje un bosquejo de la nueva situación. Las magnitudes de las fuerzas son FAB  100 kN y FAC  60 kN. Determine gráficamente la magnitud y la dirección de la suma de las fuerzas ejercidas por los cables sobre la pila.

28

Capítulo 2 Vectores

Al resolver los problemas 2.3 a 2.5 consulte el siguiente diagrama. Los vectores de fuerza FA, FB y FC pertenecen al mismo plano.

2.7 Los vectores FA y FB representan las fuerzas ejercidas por la banda sobre la polea. Sus magnitudes son FA  80 N y FB  60 N. Determine gráficamente la magnitud de la fuerza total que ejerce la banda sobre la polea.

FB

FC

FB



a

45 FA

FA 10

Problema 2.7

Problemas 2.3–2.5 2.3 La magnitud FA  80 lb y el ángulo a  65°. La magnitud FA  FB  120 lb. Determine gráficamente la magnitud de FB.

2.4 Las magnitudes FA  40 N, FB  50 N y FC  40 N. Los ángulos a  50° y b  80°. Determine gráficamente la magnitud de FA  FB  FC.

2.5 Las magnitudes FA  FB  FC  100 lb, y el ángulo a  30°. Determine gráficamente el valor del ángulo b para el cual la magnitud FA  FB  FC es mínima y el valor mínimo de FA  FB  FC.

2.8 La suma de las fuerzas FA  FB  FC  0. La magnitud FA  100 N y el ángulo a  60°. Determine gráficamente las magnitudes FB y FC. 2.9 La suma de las fuerzas FA  FB  FC  0. Las magnitudes FA  100 N y FB  80 N. Determine gráficamente la magnitud FC y el ángulo a. FB

30

2.6 El ángulo u  50°. Determine gráficamente la magnitud del vector rAC.

FC

150 mm

60 mm

FA

a

Problemas 2.8/2.9 B rAB A



rBC rAC

C

Problema 2.6

29

Problemas 2.10 Las fuerzas que actúan sobre el planeador están representadas por tres vectores. El empuje L y el arrastre D son perpendiculares. La magnitud del peso W es de 500 lb. La suma de las fuerzas W  L  D  0. Determine gráficamente las magnitudes del empuje y el arrastre.

2.12 La cuerda ABC ejerce fuerzas FBA y FBC de igual magnitud sobre la polea en B. La magnitud de la fuerza total ejercida sobre la polea por las dos fuerzas es de 200 lb. Determine gráficamente FBA. FBC

C

B

B

FBA A

L

Problema 2.12

25

2.13 Dos tractores para nieve remolcan un refugio de emergencia hacia una nueva ubicación en la base McMurdo de la Antártica (se muestra una vista aérea; los cables son horizontales). La fuerza total FA  FB ejercida sobre la unidad tiene una dirección paralela a la línea L, y su magnitud es de 400 lb. Determine gráficamente las magnitudes de FA y FB.

D

W

L

Problema 2.10 FB FA

2.11 Un tanque de almacenamiento esférico está soportado por cables. El tanque está sometido a tres fuerzas: las fuerzas FA y FB ejercidas por los cables y el peso W. El peso del tanque es W  600 lb. La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el tanque es igual a cero. Determine gráficamente las magnitudes de FA y FB.

FA

FB

20

40

20

Vista Superior

Problema 2.13 2.14 Un topógrafo determina que la distancia horizontal del punto A al punto B de la figura es de 400 m y que la distancia horizontal de A a C es de 600 m. Determine gráficamente la magnitud del vector rBC y el ángulo a. Norte B a rBC

OXÍGE

ID QU NO LÍ

C

O

W 60 20 Este

A

Problema 2.11

Problema 2.14

30

Capítulo 2 Vectores

2.15 El vector r se extiende desde el punto A de la figura hasta el punto medio entre los puntos B y C. Demuestre que 1 2 1rAB

r =

2.16 Por medio de un bosquejo de los vectores, explique por qué

+ rAC2.

U + 1V + W2 = 1U + V2 + W.

C

rAC r

rAB

B

A

Problema 2.15

2.2 Componentes en dos dimensiones ANTECEDENTES Es más fácil trabajar con vectores cuando se pueden expresar en términos de componentes vectoriales perpendiculares. Aquí se explicará cómo descomponer vectores en componentes cartesianas y se darán ejemplos de manipulaciones de vectores usando componentes. Considere el vector U de la figura 2.11a. Al colocar un sistema coordenado cartesiano de modo que el vector U sea paralelo al plano x-y, es posible escribirlo como la suma de los componentes vectoriales perpendiculares Ux y Uy que son paralelas a los ejes x e y (figura 2.11b):

U

(a) y

U = Ux + Uy. U

Uy

Ux (b)

x

U = Ux i + U y j.

y U

U y  Uy j

Ux Uxi

j i

Luego, si se introduce un vector unitario i que señale en la dirección positiva del eje x y un vector unitario j que señale en la dirección positiva del eje y (figura 2.11c), se puede expresar el vector U en la forma

x (c)

Figura 2.11 (a) Vector U. (b) Componentes vectoriales Ux y Uy. (c) Las componentes vectoriales se pueden expresar en función de i y j.

(2.7)

Los escalares Ux y Uy se llaman componentes escalares de U. Cuando se nombran simplemente las componentes de un vector, se hace referencia a las componentes escalares. Se llamará a Ux y Uy las componentes x e y de U. Las componentes de un vector especifican tanto sus direcciones relativas al sistema coordenado cartesiano como sus magnitudes. En el triángulo rectángulo formado por el vector U y sus componentes vectoriales (figura 2.11c), se observa que la magnitud de U está dada en términos de sus componentes por el teorema de Pitágoras:

ƒ U ƒ = 2U2x + U2y .

(2.8)

Con esta ecuación se podrá determinar la magnitud de un vector cuando se conozcan sus componentes.

Manipulación de vectores en términos de sus componentes La suma de dos vectores U y V en términos de sus componentes es

U + V = 1Ux i + Uy j2 + 1Vx i + Vy j2 = 1Ux + Vx2i + 1Uy + Vy2j.

(2.9)

2.2 Componentes en dos dimensiones y

UV

31

y

Vy j

UV

V

Uy j

U

(Uy  Vy)j

Vx i

Ux i (a)

UV

x

(Ux  Vx)i

(b)

x

(c)

Figura 2.12 (a) Suma de U y V. (b) Componentes vectoriales de U y V. (c) La suma de las componentes en cada dirección coordenada es igual a la componente de U  V en esa dirección.

Las componentes de U  V son las sumas de las componentes de los vectores U y V. Observe que para obtener este resultado se usaron las ecuaciones (2.2), (2.4) y (2.5). Es instructivo derivar gráficamente la ecuación (2.9). La suma de U y V se muestra en la figura 2.12a. En la figura 2.12b se introduce un sistema coordenado y se muestran las componentes de U y V. En la figura 2.12c se suman las componentes x e y y se obtuvo la ecuación (2.9). El producto de un número a y un vector U en términos de las componentes de U es

y B (xB, yB) rAB A

(xA, yA) x

aU  a(Uxi  Uy j)  aUxi  aUy j.

(a)

La componente de aU en cada dirección coordenada es igual al producto de a y la componente de U en esa dirección. Se usaron las ecuaciones (2.3) y (2.5) para obtener este resultado.

y B

yB

Vectores de posición en términos de sus componentes El vector de posición de un punto relativo a otro punto se puede expresar en términos de las coordenadas cartesianas de ambos puntos. Considere el punto A con coordenadas (xA, yA) y el punto B con coordenadas (xB, yB). Sea rAB el vector que especifica la posición de B en relación con A (figura 2.13a). Esto es, mediante rAB se denota el vector que va de un punto A a otro punto B. Se observa en la figura 2.13b que rAB está dado en términos de las coordenadas de los puntos A y B por rAB  (xB – xA)i  (yB – yA)j.

(2.10)

Observe que la componente x del vector de posición que va del punto A al punto B se obtiene restando la coordenada x de A de la coordenada x de B, y la componente y se obtiene restando la coordenada y de A de la coordenada y de B.

rAB yA

(yB  yA)j

A (xB  xA)i xA

(b)

xB

x

Figura 2.13 (a) Puntos A y B, y el vector posición rAB de A a B. (b) Las componentes de rAB se pueden determinar a partir de las coordenadas de los puntos A y B.

RESULTADOS Un vector U que es paralelo al plano x–y puede expresarse como U  Uxi  Uy j, (2.7) y

donde i es un vector unitario que apunta en la dirección positiva del eje x y j es un vector unitario que apunta en la dirección positiva del eje y.

U

La magnitud de U está dada por x

U  U2x  U2y.

(2.8)

32

Capítulo 2 Vectores

Manipulación de vectores en términos de sus componentes U  V  (Uxi  Uy j)  (Vxi  Vyj)

La suma (o resta) vectorial y la multiplicación de un vector por un número puede realizarse en términos de sus componentes.

 (Ux  Vx)i  (Uy  Vy)j,

(2.9)

aU  a(Uxi  Uy j)  aUxi  aUy j.

Vectores de posición en términos de sus componentes y

rAB

B (xB, yB)

El vector de posición de A a B está dado por rAB  (xB  xA)i  (yB  yA)j. (2.10)

A (xA, yA) x

Determinación de componentes ( Relacionado con el problema 2.31)

Ejemplo activo 2.3

El cable entre los puntos A y B ejerce una fuerza de 900 N sobre la parte superior de la torre de televisión que se muestra en la figura, la fuerza está representada por el vector F. Exprese F en términos de sus componentes usando el sistema coordenado que se indica.

A

Estrategia Se determinarán las componentes del vector F de dos maneras distintas. En el primer método se encontrará el ángulo entre F y el eje y, y después se usará trigonometría para determinar las componentes. En el segundo método se usará la pendiente dada para el cable AB y se aplicarán triángulos semejantes para determinar las componentes de F.

80 m

40 m

B

Solución

y

Primer método A

80 m

Fuerza ejecida sobre la torre por el cable AB F

y A

Determine el ángulo entre F y el eje y: 40 a  arctan  26.6. 80

 

B

a 80 m

F

x

40 m B 40 m

x

2.2 Componentes en dos dimensiones

y A

Use trigonometría para determinar F en términos de sus componentes:

a

F  Fsen ai  Fcos aj  900 sen 26.6 i  900 cos 26.6 j (N)

F

 402i  805j (N). B

x

Segundo método y A

Usando las dimensiones dadas calcule la distancia desde A hasta B:

80 m

(40 m)  (80 m)  89.4 m. 2

2

B

x

40 m y

Use triángulos semejantes para determinar las componentes de F: Fy Fx 80 m 40 m y ,   F F 89.4 m 89.4 m entonces 80 40 (900 N)i  (900 N)j F 89.4 89.4  402i  805j (N).

F

Fy

89.4 m

80 m

Fx x 40 m

Problema de práctica El cable que va del punto A al punto B ejerce una fuerza de 900 N sobre la parte superior de una torre de televisión; la fuerza se representa mediante el vector F. Suponga que se puede cambiar la colocación del punto B de manera que la magnitud de la componente y de F sea tres veces la magnitud de la componente x de F. Exprese F en términos de sus componentes. ¿Qué tan lejos del origen del sistema coordenado debería colocarse B a lo largo del eje x? Respuesta: F = 285i - 854j (N). Coloque el punto B a 26.7 m del origen.

33

34

Capítulo 2 Vectores

Ejemplo 2.4

Determinación de componentes en términos del ángulo ( Problema relacionado 2.33) Muchos dispositivos mecánicos utilizan cilindros hidráulicos para ejercer fuerzas. La fuerza se ejerce mediante un líquido a presión (fluido hidráulico) que empuja un émbolo contra un pistón dentro del cilindro. El cilindro hidráulico AB de la figura ejerce una fuerza F de 4000 lb sobre la caja del camión de volteo en B. Exprese F en términos de componentes usando el sistema coordenado que se muestra. y

B

B 30

F A

30

A x

Estrategia Cuando la dirección de un vector se especifica por medio de un ángulo, como en este ejemplo, es posible determinar los valores de las componentes con ayuda del triángulo rectángulo formado por el vector y sus componentes.

Solución La figura a muestra el vector F y sus componentes vectoriales. En el triángulo rectángulo resultante se observa que la magnitud de Fx es

y

ƒ Fx ƒ = ƒ F ƒ cos 30° = 14000 lb2cos 30° = 3460 lb.

Fx Fy

30

Fx apunta en la dirección x negativa, por lo que

Fx = - 3460i 1lb2.

F x

(a) La fuerza F y sus componentes forman un triángulo rectángulo.

La magnitud de Fy es

Fy  F sen 30°  (4000 lb) sen 30°  2000 lb. La componente vectorial Fy apunta en la dirección y positiva, por lo que

Fy = 2000j 1lb2. El vector F, en términos de sus componentes, es

F = Fx + Fy = - 3460i + 2000j 1lb2. La componente x de F es –3460 lb y la componente y es 2000 lb. Razonamiento crítico Cuando se han determinado las componentes de un vector dado se debe verificar que los resultados sean razonables. En este ejemplo se puede observar, a partir de la dirección del vector, que la componente x debería ser negativa y la componente y positiva. También se puede verificar que las componentes tengan la magnitud correcta. En este ejemplo,

ƒ F ƒ = 21 -3460 lb22 + 12000 lb22 = 4000 lb.

2.2 Componentes en dos dimensiones

Ejemplo 2.5

Determinación de una magnitud vectorial desconocida ( Relacionado con el problema 2.47)

Los cables A y B de la figura ejercen fuerzas FA y FB sobre el gancho. La magnitud de FA es de 100 lb. La tensión en el cable B se ha ajustado para que la fuerza total FA  FB sea perpendicular a la pared a la que está unido el gancho. a) ¿Cuál es la magnitud de FB? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre el gancho?

A 40

Estrategia La suma vectorial de las dos fuerzas es perpendicular a la pared, por lo que la suma de las componentes paralelas a la pared es igual a cero. A partir de esta condición puede obtenerse una ecuación para la magnitud de FB. 20

Solución

B

a) En términos del sistema coordenado de la figura a, las componentes de FA y FB son

FA = ƒ FA ƒ sen sin 40°i + ƒ FA ƒ cos 40°j, FB = ƒ FB ƒ sen sin 20°i - ƒ FB ƒ cos 20°j.

FA

40

La fuerza total es

FA + FB = 1 ƒ FA ƒ sen sin 40° + ƒ FB ƒ sen sin 20°2i

+ 1 ƒ FA ƒ cos 40° - ƒ FB ƒ cos 20°2j.

Ahora, la componente de la fuerza total paralela a la pared (la componente y), se iguala a cero

20 FB

ƒ FA ƒ cos 40° - ƒ FB ƒ cos 20° = 0, así se obtiene una ecuación para la magnitud de FB:

ƒ FB ƒ =

ƒ FA ƒ cos 40° cos 20°

=

1100 lb2cos 40° cos 20°

= 81.5 lb.

b) Como ahora se conoce la magnitud de FB, es posible determinar la fuerza total que actúa sobre el gancho:

FA + FB = 1 ƒ FA ƒ sen sin 40° + ƒ FB ƒ sen sin 20°2i

sen 40° + 181.5 lb2sin sen 20°]i = 92.2i 1lb2. = [1100 lb2sin

y

La magnitud de la fuerza total es de 92.2 lb.

FA 40

Pensamiento crítico La solución del inciso a) se puede obtener de una manera menos formal. En la figura a se observa que, si la componente de la fuerza total paralela a la pared es cero, la magnitud de la componente vertical de FA debe ser igual a la magnitud de la componente vertical de FB:

ƒ FA ƒ cos 40° = ƒ FB ƒ cos 20°. Por lo tanto, la magnitud de FB es

ƒ FB ƒ =

ƒ FA ƒ cos 40° cos 20°

=

1100 lb2 cos 40° cos 20°

x

20

= 81.5 lb.

FB

a) Resolución de FA y FB en componentes paralelas y perpendiculares a la pared.

35

36

Capítulo 2 Vectores

Problemas 2.17 Una fuerza F  40i – 20j (N). ¿Cuál es la magnitud F? Estrategia: La magnitud de un vector en términos de sus componentes está dada por la ecuación (2.8). 2.18 En la estimación de las componentes de una fuerza F  Fx i  Fy j que actúa sobre el empotramiento de un puente, un ingeniero ha determinado que Fx  130 MN, F  165 MN, y Fy es negativa. ¿Cuál es el valor de Fy? 2.19 Un soporte está sometido a una fuerza F  Fxi  80j (N). Si el soporte resiste con seguridad una fuerza de 100 N, ¿cuál es el intervalo permisible para la componente Fx?

2.24 Un hombre ejerce una fuerza F de 60 lb para meter un cajón en un camión. a) Exprese F en términos de sus componentes usando el sistema coordenado que se muestra en la figura. b) El peso del cajón es de 100 lb. Determine la magnitud de la suma de las fuerzas ejercidas por el hombre y el peso del cajón.

y

F

20

2.20 Si FA  600i  800j (kip) y FB  200i – 200j (kip), ¿cuál es la magnitud de la fuerza F  FA – 2FB? x

2.21 Las fuerzas que actúan sobre el planeador de la figura son su peso W  –500j (lb), el arrastre D  –200i  100j (lb), y el empuje L. La suma de las fuerzas W  L  D  0. Determine las componentes y la magnitud de L. y

Problema 2.24

2.25 El motor de un misil ejerce una fuerza F de 260 kN. a) Exprese F en términos de sus componentes usando el sistema coordenado que se muestra en la figura. b) La masa del misil es de 8800 kg. Determine la magnitud de la suma de las fuerzas ejercidas por el motor y el peso del misil.

L y

F

D 3 4

W

x x

Problema 2.21 Problema 2.25 2.22 Dos vectores perpendiculares U y V se encuentran en el plano x-y. El vector U  6i  8j y V  20. ¿Cuáles son las componentes escalares de V? 2.23 Un pez ejerce una fuerza de 10 lb sobre la línea representada por el vector F. Exprese F en términos de sus componentes usando el sistema coordenado que se muestra en la figura.

2.26 Para la armadura que se muestra en la figura, exprese el vector de posición rAD, del punto A al punto D, en términos de sus componentes. Use su resultado para determinar la distancia que hay desde el punto A hasta el punto D. y

B

y

A

0.6 m 7 11 F

D

0.7 m

0.4 m C

x

Problema 2.23

0.6 m

x 1.2 m

Problema 2.26

Problemas 2.27 Los puntos A, B, ..., son las juntas del elemento estructural hexagonal. Sea rAB el vector de posición de la junta A a la junta B, rAC el vector de posición de la junta A a la junta C, etcétera. Determine las componentes de los vectores rAC y rAF. 2.28 Determine las componentes del vector rAB – rBC. y

E

D

37

 2.31 En el ejemplo activo 2.3, el cable AB ejerce una fuerza de 900 N sobre la parte superior de la torre. Suponga que la unión en el punto B se mueve alejándolo más de la torre en dirección horizontal, y suponga que la magnitud de la fuerza F que el cable ejerce sobre la parte superior de la torre es proporcional a la longitud del cable. a) ¿Cuál es la distancia desde la torre hasta el punto B si la magnitud de la fuerza es 1000 N? b) Exprese la fuerza F de 1000 N en términos de sus componentes usando el sistema coordenado que se muestra. 2.32 Determine el vector de posición rAB en términos de sus componentes si a) u  30° y b) u  225°.

2m

y

F

C 150 mm

60 mm x

B

A

rAB B

Problemas 2.27/2.28



2.29 Las coordenadas del punto A son (1.8, 3.0) pie. La coordenada y del punto B es 0.6 pie. El vector rAB tiene la misma dirección que el vector unitario eAB  0.616i – 0.788j. ¿Cuáles son las componentes de rAB?

rBC

A

x

C

y

Problema 2.32

A

 2.33 En el ejemplo 2.4, las coordenadas del punto fijo A son (17, 1) pie. El conductor baja la caja del camión a una nueva posición en la que las coordenadas del punto B son (9, 3) pies. La magnitud de la fuerza F ejercida sobre la caja por el cilindro hidráulico cuando la caja está en la nueva posición es de 4800 lb. Haga un bosquejo de la nueva situación. Exprese F en términos de sus componentes.

rAB

B x

Problema 2.29 2.30 Exprese el vector de posición del punto A al punto B de la máquina que se muestra en la figura en términos de sus componentes. b) Exprese el vector de posición del punto B al punto C en términos de sus componentes. c) Use los resultados de los incisos a) y b) para determinar la distancia del punto A al punto C.

2.34 Un topógrafo mide la posición del punto A y determina que rOA  400i  800j (m). El topógrafo desea determinar la posición de un punto B de manera que 兩rAB兩  400 m y 兩rOA  rAB兩  1200 m. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas del punto B? y B A

N

rAB

y 98 pulg 45 pulg

rOA Camino propuesto

C A 55 pulg 35 pulg

B 50 pulg x

50 pulg

Problema 2.30

x

O

Problema 2.34

38

Capítulo 2 Vectores

2.35 La magnitud del vector de posición rBA del punto B al punto A es de 6 m y la magnitud del vector de posición rCA del punto C al punto A es de 4 m. ¿Cuáles son las componentes de rBA?

2.38 La longitud de la barra AB es 0.6 m. Determine las componentes de un vector unitario eAB que apunte desde el punto A hacia el punto B. y

2.36 En el problema 2.35 determine las componentes de un vector unitario eCA que apunta desde el punto C hacia el punto A. Estrategia: Determine las componentes de rCA y después divida el vector rCA entre su magnitud. y

0.4 m

A 3m

B

B

0.3 m x

C

x

Problema 2.38 A

Problemas 2.35/2.36

2.37 Se muestran las coordenadas x e y de los puntos A, B y C del velero. a) Determine las componentes de un vector unitario que sea paralelo al cable AB y que apunte de A a B. b) Determine las componentes de un vector unitario que sea paralelo al cable BC y que apunte de C a B.

2.39 Determine las componentes de un vector unitario que sea paralelo al actuador hidráulico BC y que apunte desde B hacia C. 2.40 El actuador hidráulico BC ejerce una fuerza F de 1.2 kN sobre la junta en C, la fuerza es paralela al actuador y apunta desde B hacia C. Determine las componentes de F. y 1m D

y C

B (4, 13) m

1m 0.6 m B

A

0.15 m

x 0.6 m

Pala

Problemas 2.39/2.40

C (9, 1) m

A (0, 1.2) m

Problema 2.37

x

Problemas

39

2.41 Un topógrafo determina que la longitud de la línea OA es de 1500 m y que la longitud de la línea OB es de 2000 m.

a) Determine las componentes del vector de posición desde el punto A hasta el punto B. b) Determine las componentes del vector unitario que apunta desde A hacia B.

y

N

A Puente propuesto B

60 30

Río x

O

Problema 2.41

2.42 Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son 兩T1兩  2800 lb, 兩T2兩  3200 lb, 兩T3兩  4000 lb y 兩T4兩  5000 lb. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los cuatro cables? 2.43 Las tensiones en los cuatro cables son iguales: 兩T1兩  兩T2兩  兩T3兩  兩T4兩  T. Determine el valor de T tal que los cuatro cables ejerzan una fuerza total de 12,500 lb de magnitud sobre el soporte. y T4

51

T3

40

T2 29

T1

9

x

Problemas 2.42/2.43

40

Capítulo 2 Vectores

2.44 La cuerda ABC ejerce las fuerzas FBA y FBC sobre la polea en B que se muestra en la figura. Sus magnitudes son iguales: FBA  FBC. La magnitud de la fuerza total ejercida sobre la polea en B por la cuerda es FBA  FBC  920 N. Determine FBA expresando las fuerzas FBA y FBC en términos de sus componentes.

2.46 Cuatro grupos se enfrentan en una competencia de jalar la cuerda. Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los grupos B, C y D son FB  800 lb, FC  1000 lb, y FD  900 lb. Si la suma vectorial de las cuatro fuerzas es igual a cero, ¿cuál es la magnitud de FA y el ángulo a? y FB FC

FBC C

20 70 30

B B

20

a

FD FBA

FA

A

x

Problema 2.46

Problema 2.44

2.45 La magnitud de la fuerza horizontal F1 es de 5 kN y F1  F2  F3  0. ¿Cuáles son las magnitudes de F2 y F3?

y

 2.47 En el ejemplo 2.5, suponga que el punto de unión del cable A se mueve de tal forma que el ángulo entre el cable y la pared se incrementa de 40° a 55°. Haga un bosquejo que muestre las fuerzas ejercidas por los dos cables sobre el gancho. Si se desea que la fuerza total FA  FB tenga una magnitud de 200 lb y que su dirección sea perpendicular a la pared, ¿cuáles son las magnitudes necesarias de FA y FB? 2.48 La ménsula de la figura debe soportar las dos fuerzas que se muestran, donde F1  F2  2 kN. Un ingeniero determina que la ménsula soportará de manera segura una fuerza total con una magnitud de 3.5 kN en cualquier dirección. Suponga que 0  a 90°. ¿Cuál es el intervalo seguro del ángulo ?

F3 30 F1

F2 a

45

F1

F2

x

Problema 2.45 Problema 2.48

Problemas 2.49 En la figura se muestran tres fuerzas que actúan sobre una junta de una estructura. La magnitud de FC es de 60 kN, y FA  FB  FC  0. ¿Cuáles son las magnitudes de FA y FB?

41

2.52 El peso total de un hombre y su paracaídas es W  230 lb. La fuerza D de arrastre es perpendicular a la fuerza L de elevación. Si la suma vectorial de las tres fuerzas es igual a cero, ¿cuáles son las magnitudes de L y D?

y

y L

FC FB

5

15

2

x

40

D

FA

Problema 2.49

2.50 Cuatro fuerzas coplanares actúan sobre una viga. Las fuerzas FB y FC son verticales. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero. Las magnitudes FB  10 kN y FC  5 kN. Determine las magnitudes de FA y FD.

x

W

FD

30°

Problema 2.52

FA FB

FC

Problema 2.50

2.53 En la figura se muestran las tres fuerzas que actúan sobre el automóvil. La fuerza T es paralela al eje x y la magnitud de la fuerza W es 14 kN. Si T  W  N  0, ¿cuáles son las magnitudes de las fuerzas T y N?

2.51 Seis fuerzas actúan sobre una viga que forma parte de la estructura de un edificio. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero. Las magnitudes FB  FE  20 kN, FC  16 kN y FD  9 kN. Determine las magnitudes de FA y FG.

20

y

FA 70

FC

FD 40

T

FG 50

40

W FB

Problema 2.51

FE

20 N

Problema 2.53

x

42

Capítulo 2 Vectores

2.54 Los cables A, B y C ayudan a soportar una columna de una estructura. Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son iguales: 兩FA兩  兩FB兩  兩FC兩. La magnitud de la suma vectorial de las tres fuerzas es de 200 kN. ¿Qué valor tiene 兩FA兩?

2.56 La estructura que se muestra en la figura forma parte de una armadura que soporta el techo de una sala de conciertos. Los elementos AB, AC y AD ejercen fuerzas FAB, FAC y FAD sobre la junta A. La magnitud 兩FAB兩  4 kN. Si la suma vectorial de las tres fuerzas es igual a cero, ¿cuáles son las magnitudes de FAC y FAD?

y FC FA

FB

B

(4, 1) m

FAB

FAC

6m A

B

C

C

FAD

(4, 2) m x

A

D 4m

4m

(2, 3) m

4m

Problema 2.56

Problema 2.54

2.55 La fuerza total ejercida en el punto superior B del mástil por los cables AB y BC del velero es 180i – 820j (N). ¿Cuáles son las magnitudes de las fuerzas ejercidas en B por los cables AB y BC?

2.57 La distancia s  45 pulg. a) Determine el vector unitario eBA que apunta desde B hacia A. b) Use el vector unitario que obtuvo en a) para determinar las coordenadas del collarín C. 2.58 Determine las coordenadas x e y del collarín C como funciones de la distancia s.

y B (4, 13) m

y

A (14, 45) pulg

C

s B (75, 12) pulg x

C (9, 1) m

A (0, 1.2) m

Problema 2.55

x

Problemas 2.57/2.58

2.3 Componentes en tres dimensiones

2.60 Sea r el vector de posición que va del punto C de la figura al punto localizado a una distancia de s metros del punto A, sobre la línea recta que conecta A con B. Exprese r en términos de sus componentes (su solución estará en términos de s).

2.59 El vector de posición r va del punto A a un punto sobre la línea recta entre B y C, como se muestra en la figura. Su magnitud es r  6 pies. Exprese r en términos de sus componentes.

y y

B

B

(7, 9) pies

(10, 9) m

r s r

A (3, 5) pies C

A (3, 4) m

(12, 3) pies

C (9, 3) m x

x

Problema 2.59

Problema 2.60

2.3 Componentes en tres dimensiones ANTECEDENTES En ingeniería muchas aplicaciones requieren que los vectores se expresen en términos de sus componentes en un sistema coordenado tridimensional. En esta sección se explicará la técnica para hacer esto y se mostrará cómo realizar operaciones con vectores en tres dimensiones. Primero se repasará cómo dibujar objetos en tres dimensiones. Considere un cuerpo tridimensional, por ejemplo un cubo. Si se dibuja el cubo como se ve cuando el punto de vista es perpendicular a una de sus caras, se obtiene la figura 2.14a. En esta vista el cubo parece bidimensional. No puede verse la dimensión perpendicular a la página. Para remediar esto, es posible mover el punto de vista hacia arriba y a la derecha, de donde se obtiene la figura 2.14b. En esta vista oblicua la tercera dimensión ya es visible. Los bordes ocultos del cubo se muestran como líneas discontinuas. y

y

x

z (a)

(b)

Figura 2.14 (a) Cubo visto con la línea visual perpendicular a una cara. (b) Vista oblicua del cubo. (c) Sistema coordenado cartesiano alineado con los bordes del cubo. (d) Representación tridimensional del sistema coordenado.

43

x

z (c)

(d)

44

Capítulo 2 Vectores y

Este método puede usarse para dibujar los sistemas coordenados tridimensionales. En la figura 2.14c se alinearon los ejes x, y y z de un sistema coordenado cartesiano tridimensional con los bordes del cubo. La representación tridimensional del sistema coordenado se muestra en la figura 2.14d. Se dice que este sistema coordenado es derecho. Si se dirigen los dedos de la mano derecha en la dirección positiva del eje x y se doblan (como preparándose para cerrar el puño) hacia el eje y positivo, el pulgar apuntará en la dirección positiva del eje z (figura 2.15). En caso contrario, el sistema coordenado será izquierdo. Debido a que algunas ecuaciones usadas en matemáticas e ingeniería no producen resultados correctos con un sistema coordenado izquierdo, se usarán sólo sistemas coordenados derechos. Un vector U puede expresarse en términos de sus componentes vectoriales Ux, Uy y Uz paralelas a los ejes x, y y z, respectivamente (figura 2.16):

z

x

Figura 2.15 Identificación de un sistema coordenado derecho.

U = Ux + Uy + Uz.

(2.11)

y

(Se ha dibujado una caja alrededor del vector como ayuda para visualizar las direcciones de las componentes vectoriales). Si se introducen los vectores unitarios i, j y k que apuntan hacia las direcciones positivas x, y y z, es posible expresar U en términos de sus componentes escalares como:

Uz Uy

U

j

Ux x z

U = Ux i + Uy j + Uz k.

i k

(2.12)

Los escalares Ux, Uy y Uz se denominarán las componentes x, y y z de U.

Figura 2.16 Un vector U y sus componentes vectoriales.

Magnitud de un vector en términos de sus componentes Considere un vector U y sus componentes vectoriales (figura 2.17a). En el triángulo rectángulo formado por los vectores Uy, Uz y su suma Uy  Uz (figura 2.17b), se puede ver que

ƒ Uy + Uz ƒ 2 = ƒ Uy ƒ 2 + ƒ Uz ƒ 2.

(2.13)

El vector U es la suma de los vectores Ux y Uy  Uz. Estos tres vectores forman un triángulo rectángulo (figura 2.17c), a partir del cual se obtiene

ƒ U ƒ 2 = ƒ Ux ƒ 2 + ƒ Uy + Uz ƒ 2. Sustituyendo la ecuación (2.13) en este resultado se obtiene la ecuación

ƒ U ƒ 2 = ƒ Ux ƒ 2 + ƒ Uy ƒ 2 + ƒ Uz ƒ 2 = U2x + U2y + U2z .

y

y

y Uz

Uz Uy

U

Uy  Uz

U

Uy

Ux x z

Ux

x z

(a)

x z

(b)

Figura 2.17 (a) Vector U y sus componentes vectoriales. (b) Triángulo rectángulo formado por los vectores Uy, Uz y Uy  Uz. (c) Triángulo rectángulo formado por los vectores U, Ux, y Uy  Uz.

Uy  Uz

(c)

45

2.3 Componentes en tres dimensiones y

y

y

U

U

uy

Uy j uz

ux

ux x

Uxi

x

z

z (c)

Así, la magnitud de un vector U está dada, en términos de sus componentes, en tres dimensiones, mediante la expresión

ƒ U ƒ = 2U2x + U2y + U2z .

(2.14)

Cosenos directores Anteriormente se describió la dirección de un vector relativa a un sistema coordenado cartesiano bidimensional especificando el ángulo entre el vector y uno de los ejes coordenados. Una manera de describir la dirección de un vector en tres dimensiones es especificar los ángulos ux, uy y uz entre el vector y los ejes coordenados positivos (figura 2.18a). En las figuras 2.18(b)-(d) se demuestra que las componentes del vector U están dadas, respectivamente, en términos de los ángulos ux, uy y uz, por

Ux = ƒ U ƒ cos ux, Uy = ƒ U ƒ cos uy, Uz = ƒ U ƒ cos uz.

(2.15)

Las cantidades cos ux, cos uy y cos uz se llaman cosenos directores de U. Los cosenos directores de un vector no son independientes: si se sustituyen las ecuaciones (2.15) en la ecuación (2.14), se encuentra que los cosenos directores satisfacen la relación

cos2 ux + cos2 uy + cos2 uz = 1.

(2.16)

Suponga que e es un vector unitario con la misma dirección de U, de forma que

U = ƒ U ƒ e. En términos de las componentes, esta ecuación es

Ux i + Uy j + Uz k = ƒ U ƒ 1ex i + ey j + ez k2. Así, las relaciones entre las componentes de U y e son

Ux = ƒ U ƒ ex, Uy = ƒ U ƒ ey, Uz = ƒ U ƒ ez. Al comparar estas ecuaciones con las ecuaciones (2.15), se observa que

cos uy = ey,

uz U zk

Figura 2.18 (a) Un vector U y los ángulos ux, uy y uz. (b)–(d) Los ángulos ux, uy y uz y las componentes vectoriales de U.

cos ux = ex,

U

U x

(b)

(a)

uy

x

z

z

y

cos uz = ez.

Los cosenos directores de cualquier vector U son las componentes de un vector unitario que tiene la misma dirección que U.

(d)

46

Capítulo 2 Vectores y

y

Figura 2.19 (a) Vector de posición del punto A al punto B. (b) Las componentes de rAB se pueden determinar a partir de las coordenadas de los puntos A y B.

rAB

(zB  zA)k

B (xB, yB, zB)

B

rAB

A

(yB  yA)j

A (xB  xA)i

(xA, yA, zA) x

z

x

z (b)

(a)

Vectores de posición en términos de sus componentes A partir de una generalización del caso bidimensional, podemos considerar un punto A con coordenadas (xA, yA, zA) y un punto B con coordenadas (xB, yB, zB). El vector de posición rAB que va de A a B, que se muestra en la figura 2.19a, está dado en función de las coordenadas de A y B por

rAB = 1xB - xA2i + 1yB - yA2j + 1zB - zA2k.

(2.17)

Las componentes se obtienen restando las coordenadas del punto A de las coordenadas del punto B (figura 2.19b).

Componentes de un vector paralelo a una línea dada En aplicaciones tridimensionales, la dirección de un vector suele definirse especificando las coordenadas de dos puntos sobre una línea paralela al vector. Esta información puede usarse para determinar las componentes del vector. Suponga que se conocen las coordenadas de dos puntos A y B sobre una línea paralela al vector U (figura 2.20a). Se puede usar la ecuación (2.17) para determi-

y B

y B

(xB, yB, zB)

rAB

U

A

U

A

(xA, yA, zA)

x

x z

z (a)

(b) y B

A

Figura 2.20 (a) Dos puntos A y B sobre una línea paralela a U. (b) Vector de posición de A a B. (c) Vector unitario eAB que apunta desde A hacia B.

eAB 

rAB rAB

U  UeAB

x z (c)

2.3 Componentes en tres dimensiones

nar el vector de posición rAB que va de A a B (figura 2.20b). Se divide rAB entre su magnitud para obtener un vector unitario eAB que apunta de A a B (figura 2.20c). Como eAB tiene la misma dirección que U, se puede determinar U en términos de sus componentes escalares expresándolo como el producto de su magnitud y eAB. En forma más general, suponga que se conoce la magnitud de un vector U y las componentes de cualquier vector V que tiene la misma dirección que U. Entonces V/V es un vector unitario con la misma dirección que U, y las componentes de U pueden determinarse mediante la expresión U  U(V/[V).

RESULTADOS Cualquier vector U puede expresarse como U  Ux i  Uy j  Uz k,

(2.12) donde i es un vector unitario que apunta en la dirección del eje x, j es un vector unitario que apunta en la dirección positiva del eje y, y k es un vector unitario que apunta en la dirección positiva del eje z.

y

U

La magnitud de U está dada por

x

U  U2x  U2y  U2z.

(2.14)

z

Cosenos directores La dirección de un vector U en relación con un sistema coordenado dado puede especificarse mediante los ángulos ux, uy, y uz entre el vector y los ejes coordenados positivos.

y U

uy

Las componentes de U están dadas por

uz

Ux  Ucos ux, Uy  Ucos uy,

(2.15)

Uz  Ucos uz. Los términos cos ux, cos uy, y cos uz se denominan los cosenos directores de U. Los cosenos directores son las componentes de un vector unitario con la misma dirección que U.

z

ux x

47

48

Capítulo 2 Vectores

Vectores de posición en términos de sus componentes y

B (xB, yB, zB)

rAB

El vector de posición de A a B está dado por rAB  (xB  xA)i  (yB  yA)j  (zB  zA)k.

(2.17)

A (xA, yA, zA) x

z

Componentes de un vector paralelo a una línea dada U y B

El vector U es paralelo a la línea que pasa a través de los puntos A y B.Obtenga el vector de posición rAB de A a B en términos de sus componentes. Divida rAB entre su magnitud para obtener un vector unitario eAB que es paralelo a la línea. Entonces, el vector U en términos de sus componentes está dado por

(xB, yB, zB)

U

A (xA, yA, zA)

x

U  兩U兩eAB.

z

Ejemplo activo 2.6

Cosenos directores (䉴 Relacionado con el problema 2.67) Las coordenadas del punto C de la armadura que se muestra en la figura son xC  4 m, yC  0, zC  0, y las coordenadas del punto D son xD  2 m, yD  3 m, zD  1 m. ¿Cuáles son los cosenos directores del vector de posición rCD desde el punto C hasta el punto D? y

D

A

C z

B

x

2.3 Componentes en tres dimensiones

Estrategia Si se conocen las coordenadas de los puntos C y D, es posible determinar rCD en términos de sus componentes. Después se puede calcular la magnitud de rCD (la distancia de C a D) y usar las ecuaciones (2.15) para obtener los cosenos directores. Solución y

D (2, 3, 1) m

rCD

(4, 0, 0) m C

z

rCD  (xD  xC)i  (yD  yC)j  (zD  zC)k.  (2  4)i  (3  0)j  (1  0)k (m)  2i  3j  k (m).

Determine el vector de posición rCD en términos de sus componentes.

rCD  r2CDx  r2CDy  r2CDz  (2 m)2  (3 m)2  (1 m)2

Calcule la magnitud de rCD.

 3.74 m.

cos ux  cos uy  cos uz 

rCDx rCD rCDy rCD rCDz rCD



2 m  0.535, 3.74 m



3m  0.802, 3.74 m



1m  0.267, 3.74 m

Determine los cosenos directores.

Problema de práctica Las coordenadas del punto B de la armadura son xB  2.4 m, yB  0, zB  3 m. Determine las componentes de un vector unitario eBD que apunta desde B hacia D. Respuesta: eBD  0.110i  0.827j  0.551k.

x

49

50

Capítulo 2 Vectores

Ejemplo 2.7

Determinación de componentes en tres dimensiones ( Relacionado con el problema 2.76) La grúa que se muestra en la figura ejerce una fuerza F de 600 lb sobre el cajón hidráulico. El ángulo entre F y el eje x es de 54° y el ángulo entre F y el eje y es de 40°. La componente z de F es positiva. Exprese F en términos de sus componentes.

y

40

F 54

x z

Estrategia Se dan sólo dos de los ángulos entre el vector y los ejes coordenados positivos, pero se puede usar la ecuación (2.16) para determinar el tercer ángulo. Luego es posible determinar las componentes de F usando las ecuaciones (2.15).

Solución Los ángulos entre F y los ejes coordenados positivos están relacionados por

cos2 ux + cos2 uy + cos2 uz = 1cos 54°22 + 1cos 40°22 + cos2 uz = 1.

Al despejar cos uz de esta ecuación se obtienen las dos soluciones, cos uz  0.260 y cos uz  0.260, que implican que uz  74.9° o uz  105.1°. La componente z del vector F es positiva, por lo que el ángulo entre F y el eje z positivo es menor que 90°. Por lo tanto, uz  74.9°. Las componentes de F son

Fx = ƒ F ƒ cos ux = 600 cos 54° = 353 lb, Fy = ƒ F ƒ cos uy = 600 cos 40° = 460 lb, Fz = ƒ F ƒ cos uz = 600 cos 74.9° = 156 lb. Razonamiento crítico Debe hacerse notar que cuando se conoce el cuadrado de un número no se sabe el valor del número de manera única. Si a2  4, el número a puede ser 2 o bien 2. En este ejemplo, el conocimiento de los ángulos ux y uy permitió despejar el valor de cos2 uz de la ecuación (2.16), lo cual resultó en dos posibles valores del ángulo uz. Existe una explicación geométrica simple para esto: los dos ángulos ux y uy son suficientes para definir una línea paralela al vector F, pero no la dirección de F sobre esa línea. Los dos valores de uz que se obtuvieron corresponden a las dos posibles direcciones de F a lo largo de la línea. Se requiere información adicional para indicar la dirección. En este ejemplo, la información adicional fue proporcionada estableciendo que la componente z de F es positiva.

51

2.3 Componentes en tres dimensiones

Ejemplo 2.8

Determinación de componentes en tres dimensiones ( Relacionado con el problema 2.86)

El cable del globo que se muestra en la figura ejerce una fuerza F de 800 N sobre el gancho en O. La línea vertical AB interseca el plano x–z en el punto A. El ángulo entre el eje z y la línea OA es de 60° y el ángulo entre la línea OA y F es de 45°. Exprese F en términos de sus componentes.

y

Estrategia

B

Pueden determinarse las componentes de F en dos etapas usando la información geométrica dada. Primero se expresa F como la suma de dos componentes vectoriales paralelas a las líneas OA y AB. La componente paralela a AB es la componente vectorial Fy. Luego puede usarse la componente paralela a OA para determinar las componentes vectoriales Fx y Fz.

F O

O

x A

z

Solución En la figura a se expresa F como la suma de su componente en y, Fy, y la componente Fh paralela a OA. La magnitud de Fy es

y

Fy   F  sen 45°  (800 N) sen 45°  566 N, B

y la magnitud de Fh es

ƒ Fh ƒ = ƒ F ƒ cos 45° = 1800 N2 cos 45° = 566 N. En la figura b se expresa Fh en términos de las componentes vectoriales Fx y Fz. La magnitud de Fx es

F

Fy

45 O

x

Fh

A

z

(a) Descomposición de F en Fx   Fh  sen 60°  (566 N) sen 60°  490 N,

componentes vectoriales paralelas a OA y OB.

y la magnitud de Fz es y

ƒ Fz ƒ = ƒ Fh ƒ cos 60° = 1566 N2 cos 60° = 283 N. B

Las componentes vectoriales Fx, Fy y Fz apuntan en las direcciones positivas de los ejes, por lo que las componentes escalares de F son positivas:

F = 490i + 566j + 283k 1N2.

Fx

O

Fz

Razonamiento crítico Como este ejemplo lo demuestra, se requieren dos ángulos para especificar la dirección de un vector en relación con un sistema coordenado tridimensional. Los dos ángulos usados podrían no estar definidos del mismo modo que en el ejemplo, pero sin importar cómo estén definidos, pueden determinarse las componentes del vector en términos de la magnitud y los dos ángulos especificados mediante un procedimiento similar al que se empleó aquí.

F

Fy

60

x

Fh A

z

(b) Descomposición de Fh en componentes vectoriales paralelas a los ejes x y z.

52

Capítulo 2 Vectores

Ejemplo 2.9

Determinación de componentes en tres dimensiones ( Relacionado con el problema 2.90) Una cuerda se extiende del punto B al punto C pasando por una argolla metálica unida a la pared en el punto A. La cuerda ejerce fuerzas FAB y FAC sobre la argolla cuyas magnitudes son FAB  FAC  200 lb. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total F  FAB  FAC ejercida por la cuerda sobre la argolla? y

6 pies

6 pies A

A FAB

7 pies 4 pies

x

4 pies

6 pies

B

B

C 2 pies 2 pies

FAC

7 pies

10 pies

6 pies C

10 pies

z

Estrategia La fuerza FAB es paralela a la línea que va de A a B y la fuerza FAC es paralela a la línea que va de A a C. Debido a que es posible determinar las coordenadas de los puntos A, B y C a partir de las dimensiones dadas, también se pueden determinar las componentes de los vectores unitarios que tienen las mismas direcciones que las dos fuerzas y usarlos para expresar las fuerzas en términos de componentes escalares.

Solución Sean rAB el vector de posición de A a B y rAC el vector de posición de A a C (figura a). A partir de las dimensiones dadas, las coordenadas de los puntos A, B y C son A: (6, 7, 0) pies,

B: (2, 0, 4) pies,

C: (12, 0, 6) pies.

y A rAB rAC B

x

C

z

(a) Vectores de posición rAB y rAC. Por lo tanto, las componentes de rAB y rAC, con las coordenadas en pies, están dadas por

rAB = 1xB - xA2i + 1yB - yA2j + 1zB - zA2k = 12 - 62i + 10 - 72j + 14 - 02k

 4i  7j  4k (pies)

2.3 Componentes en tres dimensiones

y

rAC = 1xC - xA2i + 1yC - yA2j + 1zC - zA2k = 112 - 62i + 10 - 72j + 16 - 02k

 6i  7j  6k (pies)

Sus magnitudes son rAB  9 pies y rAC  11 pies. Al dividir rAB y rAC entre sus magnitudes se obtienen los vectores unitarios eAB y eAC que apuntan en las direcciones de FAB y FAC (figura b):

eAB = eAC =

rAB

ƒ rAB ƒ rAC

ƒ rAC ƒ

= - 0.444i - 0.778j + 0.444k, = 0.545i - 0.636j + 0.545k.

y

eAB

A eAC x

B

C

z

(b)

Vectores unitarios eAB y eAC.

Las fuerzas FAB y FAC son

FAB = 1200 lb2eAB = - 88.9i - 155.6j + 88.9k 1lb2,

FAC = 1200 lb2eAC = 109.1i - 127.3j + 109.1k 1lb2.

La fuerza total ejercida sobre la argolla por la cuerda es

F = FAB + FAC = 20.2i - 282.8j + 198.0k 1lb2, y su magnitud es

ƒ F ƒ = 2120.222 + 1-282.822 + 1198.022 = 346 lb. Razonamiento crítico ¿Cómo se puede saber que la magnitud y la dirección de la fuerza total ejercida por la cuerda sobre la argolla de metal en A está dada por la magnitud y la dirección del vector F  FAB  FAC? Hasta este punto del desarrollo de la mecánica, se supone que la fuerza es un vector, pero no se ha hecho una demostración de ello. En el estudio de la dinámica se demuestra que la segunda ley de Newton implica que la fuerza es un vector.

53

54

Capítulo 2 Vectores

Ejemplo 2.10

Determinación de las componentes de una fuerza ( Relacionado con el problema 2.95) El cable AB ejerce una fuerza T de 50 N sobre el collar en A. Exprese T en términos de las componentes. y 0.15 m 0.4 m B

C T 0.2 m

A

0.3 m

0.5 m O

x D

0.25 m

0.2 m z

Estrategia Sea rAB el vector de posición desde A hasta B. Se dividirá rAB entre su magnitud para obtener un vector unitario eAB que tiene la misma dirección de la fuerza T. Después se puede obtener T en términos de sus componentes escalares al expresarlo como el producto de su magnitud y eAB. Para iniciar este procedimiento, primero se deben determinar las coordenadas del collarín A. Esto se hará obteniendo un vector unitario eCD que apunte desde C hacia D, para después multiplicarlo por 0.2 m y así determinar la posición del collarín A en relación con C.

Solución Determinación de las coordenadas del punto A El vector de posición de C a D, con las coordenadas en metros, es

0.15 m

rCD = 10.2 - 0.42i + 10 - 0.32j + 10.25 - 02k = - 0.2i - 0.3j + 0.25k 1m2.

y

Al dividir este vector entre su magnitud se obtiene el vector unitario eCD (figura a):

eCD =

0.4 m B

C

rCD

ƒ rCD ƒ

-0.2i - 0.3j + 0.25k

=

21- 0.222 + 1- 0.322 + 10.2522

= - 0.456i - 0.684j + 0.570k. eCD

eAB 0.5 m O

x D

z

Usando este vector se obtiene el vector de posición de C a A: 0.3 m

A

0.25 m

0.2 m

(a) Vectores unitarios eAB y eCD.

rCA = 10.2 m2eCD = - 0.091i - 0.137j + 0.114k 1m2. El vector de posición desde el origen del sistema coordenado hasta C es rOC  0.4i  0.3j (m), por lo que el vector de posición desde el origen hasta A es

rOA = rOC + rCA = 10.4i + 0.3j2 + 1- 0.091i - 0.137j + 0.114k2 = 0.309i + 0.163j + 0.114k 1m2.

Las coordenadas de A son (0.309, 0.163, 0.114) m.

Problemas

55

Determinación de las componentes de T Usando las coordenadas del punto A, se encuentra que el vector de posición de A a B es

rAB = 10 - 0.3092i + 10.5 - 0.1632j + 10.15 - 0.1142k = - 0.309i + 0.337j + 0.036k 1m2.

Al dividir este vector entre su magnitud, se obtiene el vector unitario eAB (figura a).

eAB =

rAB

ƒ rAB ƒ

=

-0.309i + 0.337j + 0.036k 1m2

21-0.309 m22 + 10.337 m22 + 10.036 m22

= - 0.674i + 0.735j + 0.079k. La fuerza T es

T = ƒ T ƒ eAB = 150 N21 -0.674i + 0.735j + 0.079k2 = - 33.7i + 36.7j + 3.9k 1N2.

Razonamiento crítico Observe las dos formas en que se usaron los vectores unitarios en este ejemplo. El vector unitario eCD se empleó para obtener las componentes del vector de posición rCA, que hizo posible determinar las coordenadas del punto A. Las coordenadas del punto A se usaron después para determinar el vector unitario eAB, el cual se empleó para expresar la fuerza T en términos de sus componentes.

Problemas 2.61 ¿Cuál es la magnitud de un vector U  3i  4j  12k? Estrategia: La magnitud de un vector está dada, en términos de sus componentes, por la ecuación (2.14).

2.64 Un vector U  Uxi  Uy j  Uzk. Su magnitud U  30. Sus componentes están relacionadas con las ecuaciones Uy  2Ux y Uz  4Uy. Determine las componentes.

2.62 El vector e = 13 i + 23 j + ez k es un vector unitario. Determine la componente ez.

2.65 Un objeto está sometido a dos fuerzas F1  20i  30j  24k (kN) y F2  60i  20j  40k (kN). ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total que actúa sobre el objeto?

2.63 Un ingeniero determina que el punto de unión en la figura estará sujeto a una fuerza F  20i  Fy j  45k (kN). Si el punto de unión deberá soportar de manera segura una fuerza con magnitud de 80 kN en cualquier dirección, ¿cuál es el intervalo aceptable de valores para Fy?

2.66 Se tienen dos vectores U  3i  2j  6k y V  4i  12j  3k. a) Determine las magnitudes de U y V. b) Determine la magnitud del vector 3U  2V.  2.67 En el ejemplo activo 2.6, suponga que se desea rediseñar la armadura, cambiando la posición del punto D de tal forma que la magnitud del vector rCD del punto C al punto D sea 3 m. Para lograr esto, considere que las coordenadas del punto D son (2, yD, 1) m, y determine el valor de yD tal que rCD  3 m. Haga un bosquejo de la armadura con el punto D en su nueva posición. ¿Cuáles son los nuevos cosenos directores de rCD?

y

F

z

x

Problema 2.63

2.68 Un vector de fuerza está dado en términos de sus componentes por F  10i  20j  20k (N). a) ¿Cuáles son los cosenos directores de F? b) Determine las componentes de un vector unitario e que tiene la misma dirección que F.

56

Capítulo 2 Vectores

2.69 El cable ejerce una fuerza F sobre el gancho en O cuya magnitud es 200 N. El ángulo entre F y el eje x es de 40° y el ángulo entre F y el eje y es de 70°. a) ¿Cuál es el ángulo entre el vector F y el eje z? b) Exprese F en términos de sus componentes. Estrategia: a) Dado que se conocen los ángulos entre el vector F y los ejes x e y, puede usarse la ecuación (2.16) para determinar el ángulo entre F y el eje z (observe en la figura que el ángulo entre F y el eje z está claramente dentro del intervalo 0  uz  180°.) b) Las componentes de F pueden obtenerse con las ecuaciones (2.15).

Para resolver los problemas 2.72 a 2.75 consulte el siguiente diagrama: y D (4, 3, 1) m

A C (6, 0, 0) m x z

B (5, 0, 3) m

Problemas 2.72–2.75 2.72 Determine las componentes del vector de posición rBD del punto B al punto D. Use su resultado para determinar la distancia desde B hasta D.

y

70

2.73 ¿Cuáles son los cosenos directores del vector de posición rBD del punto B al punto D?

F 40

2.74 Determine las componentes del vector unitario eCD que apunta desde el punto C hacia el punto D.

x

O

2.75 ¿Cuáles son los cosenos directores del vector unitario eCD que apunta desde el punto C hacia el punto D? z

Problema 2.69

2.70 Un vector unitario tiene los cosenos directores cos ux  0.5 y cos uy  0.2. Su componente z es positiva. Exprese este vector en términos de sus componentes. 2.71 Los motores de un avión ejercen una fuerza de empuje total T con magnitud de 200 kN. El ángulo entre T y el eje x es de 120°, y el ángulo entre T y el eje y es de 130°. La componente z de T es positiva. a) ¿Cuál es el ángulo entre T y el eje z? b) Exprese T en términos de sus componentes.

 2.76 En el ejemplo 2.7, suponga que se cambia el cajón a una nueva posición sobre el suelo. La magnitud de la fuerza F permanece en 600 lb. En la nueva posición, el ángulo entre la fuerza F y el eje x es de 60° y el ángulo entre F y el eje z es de 70°. Exprese F en términos de sus componentes. 2.77 En el trasbordador espacial, los astronautas usan radar para determinar las magnitudes y los cosenos directores de los vectores de posición de dos satélites, A y B. El vector rA del trasbordador al satélite A tiene una magnitud de 2 km y cosenos directores cos ux  0.768, cos uy  0.384, cos uz  0.512. El vector rB del trasbordador al satélite B tiene una magnitud de 4 km y cosenos directores cos ux  0.743, cos uy  0.557, cos uz  0.371. ¿Cuál es la distancia entre los satélites?

B y

y

rB x

130 x

x 120

A

T z

z

Problema 2.71

y

rA z

Problema 2.77

Problemas 2.78 Unos arqueólogos midieron una estructura ceremonial precolombina y obtuvieron las dimensiones mostradas. Determine a) la magnitud y b) los cosenos directores del vector de posición del punto A al punto B. y 4m

10 m

4m

10 m

A

8m B

b

57

2.82* Un topógrafo midió originalmente la altura del Monte Everest con el siguiente procedimiento. Primero midió la altitud de dos puntos y la distancia horizontal entre ellos. Por ejemplo, suponga que los puntos A y B de la figura están a 3000 m sobre el nivel del mar y que entre ellos hay una distancia de 10,000 m. Luego usó un teodolito para medir los cosenos directores del vector rAP del punto A a la cima P de la montaña y del vector rBP del punto B a P. Suponga que para rAP se obtuvieron los cosenos directores cos ux  0.5179, cos uy  0.6906, cos uz  0.5048 y que para rBP los cosenos directores obtenidos fueron cos ux  –0.3743, cos uy  0.7486, y cos uz  0.5472. Usando estos datos, determine la altura del Monte Everest sobre el nivel del mar.

8m

z

z C

P

x

Problema 2.78 2.79 Considere la estructura descrita en el problema 2.78. Al regresar a Estados Unidos, un arqueólogo se da cuenta de que un estudiante de posgrado ha borrado el único archivo que contiene la dimensión b. Pero con los datos guardados en el GPS es posible calcular que la distancia del punto B al punto C es de 16.61 m. a) ¿Cuál es la distancia b? b) Determine los cosenos directores del vector que va de B a C. 2.80 Los observadores A y B usan teodolitos para medir la dirección de sus posiciones al cohete en vuelo que se muestra en la figura. Si las coordenadas de la posición del cohete en un instante dado son (4, 4, 2) km, determine los cosenos directores de los vectores rAR y rBR que los observadores medirían en ese instante.

y

x

B A

Problema 2.82 2.83 La distancia del punto O al punto A es de 20 pies. La línea recta AB es paralela al eje y, y el punto B está en el plano x–z. Exprese el vector de rOA en términos de sus componentes. Estrategia: Se puede expresar rOA como la suma de un vector de O a B y un vector de B a A. Luego se puede expresar el vector de O a B como la suma de componentes vectoriales paralelas a los ejes x y z. Vea el ejemplo 2.8.

2.81* Suponga que las coordenadas de la posición del cohete de la figura no se conocen. En un instante dado, la persona A determina que los cosenos directores de rAR son cos ux  0.535, cos uy  0.802 y cos uz  0.267, y la persona en B determina que los cosenos directores de rBR son cos ux  0.576, cos uy  0.798 y cos uz  0.177. ¿Cuáles son las coordenadas de la posición del cohete en ese instante?

y

A rOA

O

y

x

30 60 B

z

Problema 2.83

rAR rBR A x z

B (5, 0, 2) km

Problemas 2.80/2.81

58

Capítulo 2 Vectores

2.84 Las magnitudes de los dos vectores de fuerza son FA  140 lb y FB  100 lb. Determine la magnitud de la suma de las fuerzas FA  FB. 2.85 Determine los cosenos directores de los vectores FA y FB.

2.88 El cable BC de la figura ejerce una fuerza F de 8 kN sobre la barra AB en B. a) Determine las componentes de un vector unitario que apunta desde el punto B hacia el punto C. b) Exprese la fuerza F en términos de sus componentes.

y

y B (5, 6, 1) m

FB FA 60 30

40

F x

A

50

x

z C (3, 0, 4) m

Problemas 2.84/2.85

z

Problema 2.88 2.86 En el ejemplo 2.8, suponga que un cambio en el viento ocasiona un cambio en la posición del globo e incrementa a 900 N la magnitud de la fuerza F ejercida sobre el gancho en O. En la nueva posición, el ángulo entre las componentes vectoriales Fh y F es de 35° y el ángulo entre las componentes vectoriales Fh y Fz es de 40°. Haga un bosquejo que muestre la relación de estos ángulos con las componentes de F. Exprese F en términos de sus componentes. 2.87 Un ingeniero calcula que la magnitud de la fuerza axial en una de las vigas de un domo geodésico es P  7.65 kN. Las coordenadas cartesianas de los extremos A y B de la viga recta que se muestra en la figura son (–12.4, 22.0, –18.4) m y (–9.2, 24.4, –15.6) m, respectivamente. Exprese la fuerza P en términos de sus componentes.

2.89 Un cable se extiende desde el punto C hasta el punto E, como se muestra en la figura. Ejerce una fuerza T de 50 lb sobre la placa en C dirigida a lo largo de la línea que va de C a E. Exprese T en términos de sus componentes. y 6 pies

E

A

20

B

x

4 pies

T

2 pies z

D

C 4 pies

B

Problema 2.89 P A

Problema 2.87

 2.90 En el ejemplo 2.9, suponga que la argolla de metal en A se mueve hacia arriba de manera que la distancia vertical hasta A se incrementa de 7 a 8 pies. Como resultado, las magnitudes de las fuerzas FAB y FAC aumentan a FAB  FAC  240 lb. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total F  FAB  FAC ejercida por la cuerda sobre la argolla?

Problemas 2.91 El cable AB mostrado ejerce una fuerza FAB de 200 lb en el punto A dirigida a lo largo de la línea que va de A a B. Exprese FAB en términos de sus componentes. 2.92 El cable AB ejerce una fuerza FAB de 200 lb en el punto A que está dirigida a lo largo de la línea de A a B. El cable AC ejerce una fuerza FAC de 100 lb en A que está dirigida a lo largo de la línea que va de A a C. Determine la magnitud de la fuerza total ejercida en A por los dos cables.

59

 2.95 En el ejemplo 2.10, suponga que la distancia del punto C al collarín A se incrementa de 0.2 m a 0.3 m, y que la magnitud de la fuerza T aumenta a 60 N. Exprese T en términos de sus componentes. 2.96 El cable AB mostrado ejerce una fuerza T de 32 lb sobre el collarín en A. Exprese T en términos de sus componentes. y

y

4 pies

8 pies

C

T

B

A

6 pies

8 pies 6 pies 7 pies

B

A

4 pies

z

FAC

FAB z

x 4 pies

x

Problema 2.96

A (6, 0, 10) pies

2.97 La barra circular que se muestra en la figura tiene 4 m de radio y pertenece al plano x–y. Exprese el vector de posición del punto B al collarín en A en términos de sus componentes.

Problemas 2.91/2.92 2.93 La torre de 70 m de altura que se muestra está soportada por tres cables que ejercen sobre ella las fuerzas FAB, FAC y FAD. La magnitud de cada fuerza es de 2 kN. Exprese la fuerza total ejercida sobre la torre por los tres cables en términos de sus componentes.

2.98 El cable AB que se muestra en la figura ejerce una fuerza T de 60 N sobre el collarín en A, que está dirigida a lo largo de la línea que va de A a B. Exprese T en términos de sus componentes. y

2.94 La magnitud de la fuerza FAB es de 2 kN. Las componentes x y z de la suma vectorial de las fuerzas ejercidas sobre la torre por los tres cables son iguales a cero. ¿Cuáles son las magnitudes de FAC y FAD?

3m

B

A

y

FAD

A A

4m

FAB

FAC

20

D 4m

60 m 60 m

z

B 40 m C 40 m

40 m z

Problemas 2.93/2.94

x

Problemas 2.97/2.98

x

60

Capítulo 2 Vectores

2.4 Productos punto ANTECEDENTES U

V

(a)

V

Se ha encontrado que dos clases de productos vectoriales, el producto punto y el producto cruz, tienen aplicaciones en casi todas las áreas científicas y de ingeniería, especialmente en mecánica y en la teoría del campo electromagnético. En el capítulo 4 se usarán ambos productos para evaluar momentos de fuerzas respecto a puntos y líneas. El producto punto de dos vectores tiene muchos usos, incluida la determinación de las componentes paralela y perpendicular a una línea dada para un vector, así como la determinación del ángulo entre dos líneas en el espacio.

Definición

u U (b)

Figura 2.21 (a) Vectores U y V. (b) El ángulo u entre U y V cuando los dos vectores se colocan cola con cola.

Considere los vectores U y V (figura 2.21a). El producto punto de U y V, denotado por U V (de ahí el nombre de “producto punto”), se define como el producto formado por la magnitud de U, la magnitud de V y el coseno del ángulo u entre U y V cuando éstos se colocan cola con cola (figura 2.21b):

U # V = ƒ U ƒ ƒ V ƒ cos u.

(2.18)

Como el resultado del producto punto es un escalar, se denomina también producto escalar. Las unidades del producto punto son el producto de las unidades de los dos vectores. Observe que el producto punto de dos vectores distintos de cero es igual a cero si y sólo si los dos vectores son perpendiculares. El producto punto tiene las siguientes propiedades:

U # V = V # U,

El producto punto es conmutativo.

a 1U # V2 = 1aU2 # V = U # 1aV2,

El producto punto es asociativo con respecto a la multiplicación escalar.

(2.19) (2.20)

y

U # 1V + W2 = U # V + U # W,

El producto punto es asociativo con respecto a la suma vectorial.

(2.21)

para todo escalar a y vectores U, V y W cualesquiera.

Productos punto en términos de sus componentes En esta sección se obtendrá una ecuación que permitirá determinar el producto punto de dos vectores si se conocen sus componentes escalares. Esta deducción también resultará en una ecuación para calcular el ángulo entre los vectores. El primer paso es determinar los productos punto formados con los vectores unitarios i, j y k. A continuación se evaluará el producto punto i i. La magnitud i  1 y el ángulo entre dos vectores idénticos colocados cola con cola es igual a cero, por lo que se obtiene

i # i = ƒ i ƒ ƒ i ƒ cos 102 = 112112112 = 1. El producto punto de i y j es

i # j = ƒ i ƒ ƒ j ƒ # cos 190°2 = 112112102 = 0. Continuando de la misma manera, se obtiene

i # i = 1, j # i = 0, k # i = 0,

i # j = 0, j # j = 1, k # j = 0,

i # k = 0, j # k = 0, k # k = 1.

(2.22)

2.4 Productos punto

61

El producto punto de dos vectores U y V expresado en términos de sus componentes es

U # V = 1Ux i + Uy j + Uz k2 # 1Vx i + Vy j + Vz k2 = UxVx1i # i2 + UxVy1i # j2 + UxVz1i # k2 + UyVx1j # i2 + UyVy1j # j2 + UyVz1j # k2 + UzVx1k # i2 + UzVy1k # j2 + UzVz1k # k2.

L

Para obtener este resultado se usan las ecuaciones (2.20) y (2.21). Sustituyendo las ecuaciones (2.22) en esta expresión, se tiene una ecuación para el producto punto en términos de las componentes escalares de los dos vectores:

U # V = UxVx + UyVy + UzVz.

(2.23)

Para obtener una ecuación para el ángulo u en términos de las componentes de los vectores, se iguala la expresión para el producto punto dada por la ecuación (2.23) con la definición del producto punto, ecuación (2.18), y se despeja cos u:

cos u =

UxVx + UyVy + UzVz

U#V =

.

U (a)

(2.24)

L

ƒUƒ ƒVƒ ƒUƒ ƒVƒ Componentes vectoriales paralela y normal a una línea

En algunas aplicaciones de ingeniería es necesario expresar un vector en términos de las componentes vectoriales paralela y normal (perpendicular) a una línea dada. La componente de un vector paralela a una línea se denomina proyección del vector sobre la línea. Por ejemplo, cuando el vector representa una fuerza, la proyección de ésta sobre una línea es la componente de la fuerza en la dirección de la línea. Las componentes de un vector paralela y normal a una línea pueden determinarse usando el producto punto. Considere un vector U y una línea recta L (figura 2.22a). Es posible expresar U como la suma de las componentes vectoriales Up y Un paralela y normal a L (figura 2.22b).

Up Un u U (b)

Figura 2.22 (a) Vector U y línea L. (b) Descomposición de U en sus componentes paralela y normal a L.

Componente paralela En términos del ángulo u entre U y la componente vectorial Up, la magnitud de Up es

ƒ Up ƒ = ƒ U ƒ cos u.

(2.25)

Sea e un vector unitario paralelo a L (figura 2.23). El producto punto de e y U es

L

e # U = ƒ e ƒ ƒ U ƒ cos u = ƒ U ƒ cos u. Comparando este resultado con la ecuación (2.25) se observa que la magnitud de Up es

ƒ Up ƒ =

e # U.

u U

Por lo tanto la componente paralela, o proyección de U en L es

Up = 1e # U2e.

(2.26)

(Esta ecuación se cumple aun si e no apunta en la dirección de Up. En este caso, el ángulo u 90° y e U es negativo.) Cuando se conocen las componentes de un vector y las componentes de un vector unitario e paralelo a una línea L, se puede usar la ecuación (2.26) para determinar la componente del vector paralela a L. Componente normal Una vez que se ha determinado la componente paralela, se puede obtener la componente vectorial normal mediante la relación U  Up  Un:

Un = U - Up.

e

(2.27)

Figura 2.23 El vector unitario e es paralelo a L.

62

Capítulo 2 Vectores

RESULTADOS Producto punto El producto punto de dos vectores U y V está definido por UⴢV  UVcos u,

(2.18)

donde u es el ángulo entre los vectores cuando éstos se colocan cola con cola. Observe que UⴢU  U2. Si U  0 y V  0, UⴢV  0 si y sólo si U y V son perpendiculares.

V u U

Producto punto en términos de componentes El producto punto de U y V está dado en términos de las componentes de los vectores por UⴢV  UxVx  UyVy  UzVz.

(2.23)

Componentes vectoriales paralela y normal a una línea Un vector U puede descomponerse en una componente vectorial Up que sea paralela a una línea dada L y una componente vectorial Un que sea normal a L. Si e es un vector unitario que es paralelo a L, la componente paralela de U está dada por (2.26) Up  (eⴢU) e. La componente normal puede obtenerse de la relación Un  U  Up.

Ejemplo activo 2.11

L

Up Un

u U

(2.27)

Productos punto ( Relacionado con el problema 2.99) Las componentes de dos vectores U y V son U  6i – 5j – 3k y V  4i  2j  2k. a) ¿Cuál es el valor de U V b) ¿Cuál es el ángulo entre U y V cuando se colocan cola con cola?

Estrategia Como se conocen las componentes de U y V, puede usarse la ecuación (2.23) para determinar el valor de U V. Después se puede emplear la definición del producto punto, ecuación (2.18), para calcular el ángulo entre los vectores.

2.4 Productos punto

Solución UⴢV  UxVx  UyVy  UzVz  (6)(4)  (5)(2)  (3)(2)  8.

63

Use las componentes de los vectores para determinar el valor de UⴢV.

UⴢV  UVcos u, entonces UⴢV cos u UV

Use la definición de UⴢV para determinar u.

8



(6)2  (5)2  (3)2

(4)2  (2)2  (2)2

 0.195. Por lo tanto u  78.7. Problema de práctica Las componentes de dos vectores U y V son U  6i – 5j – 3k y V  Vxi  2j  2k. Determine el valor de la componente Vx tal que los vectores U y V sean perpendiculares. Respuesta: Vx = 2.67.

Ejemplo 2.12

Uso del producto punto para determinar un ángulo ( Relacionado con el problema 2.100)

¿Cuál es el ángulo u entre las líneas AB y AC de la figura?

y C (8, 8, 4) m

Estrategia Se conocen las coordenadas de los puntos A, B y C, por lo que es posible determinar las componentes del vector rAB de A a B y del vector rAC de A a C (figura a). Después puede usarse la ecuación (2.24) para determinar u.

u A (4, 3, 2) m

Solución Los vectores rAB y rAC, con las coordenadas en metros son

B (6, 1, 2) m x

z

rAB = 16 - 42i + 11 - 32j + 1-2 - 22k = 2i - 2j - 4k 1m2, rAC = 18 - 42i + 18 - 32j + 14 - 22k = 4i + 5j + 2k 1m2.

y C (8, 8, 4) m

rAC

Sus magnitudes son

ƒ rAB ƒ = 212 m22 + 1-2 m22 + 1- 4 m22 = 4.90 m, ƒ rAC ƒ = 214 m22 + 15 m22 + 12 m22 = 6.71 m.

A (4, 3, 2) m

u rAB

B (6, 1, 2) m x

El producto punto de rAB y rAC es

rAB # rAC = 12 m214 m2 + 1 -2 m215 m2 + 1- 4 m212 m2 = - 10 m2.

Por lo tanto,

cos u =

rAB # rAC

ƒ rAB ƒ ƒ rAC ƒ

=

-10 m2 = - 0.304. 14.90 m216.71 m2

El ángulo u  arccos (–0.304)  107.7°. Razonamiento crítico ¿Cuál es el significado de que el producto punto de dos vectores sea negativo? De la ecuación (2.18) y la gráfica del coseno (figura b), puede observarse que el producto punto es negativo, como en este ejemplo, sólo si el ángulo incluido entre los dos vectores es mayor de 90°.

z

(a) Vectores de posición rAB y rAC. cos u 1 0 1 0

(b) Gráfica de cos u.

90 u

180

64

Capítulo 2 Vectores

Componentes vectoriales paralela y normal a una línea ( Relacionado con el

Ejemplo 2.13

problema 2.111) Suponga que usted jala el cable OA que se muestra en la figura ejerciendo una fuerza F de 50 N en O. ¿Cuáles son las componentes vectoriales de F paralela y normal al cable OB?

y

A

(6, 6, –3) m

Estrategia

F x (10, 2, 3) m

O z

B

Al expresar F como la suma de sus componentes vectoriales paralela y normal a OB (figura a), es posible determinar éstas usando las ecuaciones (2.26) y (2.27). Sin embargo, para aplicar tales ecuaciones primero debe expresarse F en términos de sus componentes escalares y luego determinar las componentes de un vector unitario paralelo a OB. Es posible obtener las componentes de F determinando las componentes del vector unitario que va de O a A y multiplicándolas por F.

Solución

y

Los vectores de posición de O a A y de O a B son (figura b)

rOA = 6i + 6j - 3k 1m2,

A

rOB = 10i - 2j + 3k 1m2.

F Fn

O

x

Fp z

Sus magnitudes son rOA  9 m y rOB  10.6 m. Dividiendo estos vectores entre sus magnitudes se obtienen vectores unitarios que van del origen hacia A y hacia B (figura c):

B

(a) Componentes de F paralela y normal a OB.

eOA = eOB =

y

rOA

=

6i + 6j - 3k 1m2

=

10i - 2j + 3k 1m2

ƒ rOA ƒ rOB

ƒ rOB ƒ

9m

10.6 m

= 0.667i + 0.667j - 0.333k, = 0.941i - 0.188j + 0.282k.

La fuerza F en términos de sus componentes escalares es A (6, 6, 3) m rOA

F = ƒ F ƒ eOA = 150 N210.667i + 0.667j - 0.333k2 = 33.3i + 33.3j - 16.7k 1N2.

Tomando el producto punto de eOB y F se obtiene O

x rOB

(10, 2, 3) m B

z

(b) Vectores de posición rOA y rOB.

= 20.4 N.

La componente paralela de F es

Fp = 1eOB # F2eOB = 120.4 N210.941i - 0.188j + 0.282k2 = 19.2i - 3.83j + 5.75k 1N2,

y

y la componente normal es

A

Fn = F - Fp = 14.2i + 37.2j - 22.4k 1N2.

eOA O

x eOB

z

eOB # F = 10.9412133.3 N2 + 1-0.1882133.3 N2 + 10.28221-16.7 N2

B

(c) Vectores unitarios eOA y eOB.

Razonamiento crítico ¿Cómo se puede confirmar que los dos vectores son perpendiculares? Resulta claro, de la ecuación (2.18), que el producto punto de dos vectores diferentes de cero es cero si y sólo si el ángulo incluido entre ellos es 90°. Este diagnóstico puede usarse para confirmar que las componentes de F determinadas en este ejemplo son perpendiculares. Evaluando el producto punto de Fp y Fn en términos de sus componentes en newtons, se obtiene

Fp # Fn = 119.22114.22 + 1-3.832137.22 + 15.7521-22.42 = 0.

Problemas

65

Problemas  2.99 En el ejemplo activo 2.11, suponga que el vector V se cambia a V  4i – 6j – 10k. a) ¿Cuál es el valor de U V? b) ¿Cuál es el ángulo entre U y V cuando éstos se colocan cola con cola?

2.106 Evaluando el producto punto U V, demuestre la identidad cos(u1 – u2)  cos u1 cos u2  sen u1 sen u2. Estrategia: Evalúe el producto punto usando las ecuaciones (2.18) y (2.23). y

 2.100 En el ejemplo 2.12, suponga que las coordenadas del punto B se cambian a (6, 4, 4) m. ¿Cuál es el ángulo u entre las líneas AB y AC?

U

V

u1

2.101 ¿Cuál es el producto punto del vector de posición r  –10i  25j (m) y la fuerza F  300i  250j  300k (N)?

u2

x

Problema 2.106 2.102 Suponga que el producto punto de dos vectores U y V es U V  0. Si U ≠ 0, ¿qué se sabe acerca del vector V?

2.107 Use el producto punto para determinar el ángulo entre el cable AB y el cable BC del velero que se muestra en la figura.

2.103 Dos vectores perpendiculares están dados en términos de sus componentes por U  Uxi 4j  6k y V  3i  2j – 3k. Use el producto punto para determinar la componente Ux.

y B (4, 13) m

2.104 Los tres vectores U = Ux i + 3 j + 2k, V = - 3 i + Vy j + 3k, W = - 2 i + 4 j + Wz k son mutuamente perpendiculares. Use el producto punto para determinar las componentes Ux, Vy y Wz. 2.105 Se tienen las magnitudes U  10 y V  20. a) Use la ecuación (2.18) para determinar U V. b) Use la ecuación (2.23) para determinar U V.

C (9, 1) m

A (0, 1.2) m

x

Problema 2.107 2.108 Determine el ángulo u entre las líneas AB y AC a) usando la ley de los cosenos (vea el apéndice A); b) usando el producto punto.

y V

y U B (4, 3, 1) m 45

30 x A

Problema 2.105

x u

z

(5, 1, 3) m C

Problema 2.108

66

Capítulo 2 Vectores

2.109 El barco O mide las posiciones del barco A y del avión B y obtiene las coordenadas que se muestran. ¿Qué valor tiene el ángulo u entre las líneas de vista OA y OB?

y

2.112 Una persona ejerce una fuerza F  60i – 40j (N) sobre la manivela de la máquina para hacer ejercicio que se muestra en la figura. Use la ecuación (2.26) para determinar la componente de F que es paralela a la línea que va desde el origen O hasta donde la persona empuña la manivela.

B (4, 4, 4) km

150 mm

y

u x O F

O A 200 mm

z

(6, 0, 3) km

z

250 mm

Problema 2.109 x

2.110 En el trasbordador espacial, los astronautas usan radar para determinar las magnitudes y los cosenos directores de los vectores de posición de dos satélites A y B. El vector rA del trasbordador al satélite A tiene una magnitud de 2 km y cosenos directores cos ux  0.768, cos uy  0.384, cos uz  0.512. El vector rB del trasbordador al satélite B tiene una magnitud de 4 km y cosenos directores cos ux  0.743, cos uy  0.557, cos uz  –0.371. ¿Cuál es el ángulo u entre los vectores rA y rB?

Problema 2.112

2.113 En el instante mostrado, el vector de empuje del Harrier es T  17,000i  68,000j – 8,000k (N) y su vector de velocidad es ␷  7.3i  1.8j – 0.6k (m/s). La cantidad P  兩Tp兩兩␷兩, donde Tp es la componente vectorial de T paralela a v, es la potencia que en este instante transfiere el motor al avión. Determine el valor de P.

B y rB x

v

u

A

y

rA z

T

Problema 2.110

x

Problema 2.113  2.111 En el ejemplo 2.13, si usted cambia su posición y las coordenadas del punto A donde aplica la fuerza de 50 N se convierten en (8, 3, –3) m, ¿cuál es la componente vectorial de F paralela al cable OB?

Problemas 2.114 Dos cables se extienden de A a B y de A a C. El cable AC ejerce una fuerza F de 1000 lb en A. a) ¿Qué valor tiene el ángulo entre los cables AB y AC? b) Determine la componente vectorial de F paralela al cable AB. 2.115 Sea rAB el vector de posición que va del punto A al punto B. Determine la componente vectorial de rAB paralela al cable AC.

67

2.117 La cuerda AB ejerce una fuerza T de 50 N sobre el collarín A. Determine la componente vectorial de T que es paralela a la barra CD. 2.118 En el problema 2.117, determine la componente vectorial de T que es normal a la barra CD. y 0.15 m

y 0.4 m B

(0, 7, 0) pies

A

C T

F A

0.2 m 0.3 m

0.5 m

x

O B

x 0.25 m

D 0.2 m

(0, 0, 10) pies

z

z

C (14, 0, 14) pies

Problemas 2.117/2.118

Problemas 2.114/2.115

2.116 Se tiene la fuerza F  10i  12j – 6k (N). Determine las componentes vectoriales de F paralela y normal a la línea OA.

2.119 El disco A está en el punto medio de la superficie inclinada que se muestra en la figura. La cuerda que va de A a B ejerce una fuerza F de 0.2 lb sobre el disco. Si F se expresa en términos de las componentes vectoriales paralela y normal a la superficie inclinada, ¿cuál es la componente normal a la superficie?

y

2.120 En el problema 2.119, ¿cuál es la componente vectorial de F paralela a la superficie? A (0, 6, 4) m

y F O

x

B

(0, 6, 0) pies F

z

Problema 2.116

A

2 pies x 8 pies

10 pies z

Problemas 2.119/2.120

68

Capítulo 2 Vectores

2.121 Un astronauta se aproxima a una estación espacial en una unidad de maniobras. En el instante presente, la estación informa que la posición relativa del astronauta al origen del sistema coordenado de la estación es rG  50i  80j  180k (m) y su velocidad es v  –2.2j – 36k (m/s). La posición de la entrada a un compartimiento es rA  –12i  20k (m). Determine el ángulo entre el vector de velocidad del astronauta y la línea que va de su posición a la ubicación de la entrada del compartimiento. 2.122 En el problema 2.121, determine la componente vectorial de la velocidad del astronauta paralela a la línea desde su posición hasta la ubicación del compartimiento.

2.123 El punto P se encuentra a 30°W de longitud y a 45°N de latitud sobre el Océano Atlántico, entre Nueva Escocia y Francia. El punto Q se encuentra a 60°E de longitud y a 20°N de latitud en el mar de Arabia. Use el producto punto para determinar la distancia más corta sobre la superficie de la Tierra entre P y Q en términos del radio terrestre RE. Estrategia: Use el producto punto para determinar el ángulo entre las líneas OP y OQ; después use la definición de un ángulo en radianes para determinar la distancia sobre la superficie de la tierra desde P hasta Q. y N

P Q 45

z

20

O 30

60

G Ecuador x

Problemas 2.121/2.122

Problema 2.123

2.5 Productos cruz ANTECEDENTES Igual que el producto punto, el producto cruz de dos vectores tiene muchas aplicaciones, entre otras la determinación de la velocidad de rotación de una partícula de fluido y el cálculo de la fuerza ejercida sobre una partícula cargada por un campo magnético. Debido a su utilidad en el cálculo de momentos de fuerzas, el producto cruz es una herramienta indispensable en la mecánica. En esta sección se mostrará cómo evaluar los productos cruz y se darán ejemplos de aplicaciones sencillas.

Definición Considere dos vectores U y V (figura 2.24a). El producto cruz de U y V, denotado por U  V, se define como U  V  UV sen u e.

(2.28)

El ángulo u es el ángulo entre U y V cuando los vectores se colocan cola con cola (figura 2.24b). El vector e es un vector unitario definido como perpendicular a U y a V. Como esto implica dos posibles sentidos para e, los vectores U, V y e se definen como un sistema derecho. En la figura 2.24c se muestra la regla de la mano derecha para determinar la dirección de e. El pulgar de la mano derecha apunta hacia e cuando los cuatro dedos restantes, que apuntan hacia el vector U (el primer vector en el producto cruz), se doblan hacia el vector V (el segundo vector en el producto cruz). Debido a que el resultado del producto cruz es un vector, se le suele llamar también producto vectorial. Las unidades del producto cruz son el producto de las

2.5 Productos cruz

unidades de los dos vectores. Note que el producto cruz de dos vectores diferentes de cero es igual a cero si y sólo si los dos vectores son paralelos. Una propiedad interesante del producto cruz consiste en que no es conmutativo. La ecuación (2.28) implica que la magnitud del vector U  V es igual a la magnitud del vector V  U, pero la regla de la mano derecha indica que estos vectores son opuestos en dirección (figura 2.25). Esto es,

U * V = - V * U.

El producto cruz no es conmutativo.

y

U

(a)

(2.29) V

El producto cruz también satisface las relaciones

a 1U * V2 = 1aU2 * V = U * 1aV2

V

El producto cruz es asociativo con respecto a la multiplicación escalar.

U * 1V + W2 = 1U * V2 + 1U * W2

El producto cruz es distributivo con respecto a la suma vectorial.

U

u

(2.30) (b)

V

(2.31) U

para todo escalar a y vectores U, V y W cualesquiera. e

Productos cruz en términos de sus componentes Para obtener una ecuación para el producto cruz de dos vectores en términos de sus componentes, se deben determinar los productos cruz formados con los vectores unitarios i, j y k. Como el ángulo entre dos vectores idénticos colocados cola con cola es igual a cero, se deduce que i  i  ii sen (0) e  0. El producto cruz i  j es

(c)

Figura 2.24 (a) Vectores U y V. (b) Ángulo u entre los vectores cuando se colocan cola con cola. (c) Determinación de la dirección de e mediante la regla de la mano derecha.

i  j  ij sen 90° e  e, donde e es un vector unitario perpendicular a i y j. e  k o bien e  –k. Aplicando la regla de la mano derecha, e  k (figura 2.26). Por lo tanto,

i * j = k.

UV V

Continuando de la misma manera se obtiene

i * i = 0, i * j = k, i * k = - j, j * i = - k, j * j = 0, j * k = i, k * i = j, k * j = - i, k * k = 0.

U

(2.32)

Para recordar estos resultados con facilidad, se disponen los vectores en círculo como se muestra en la figura 2.27a. El producto cruz de vectores adyacentes es igual al tercer vector con un signo positivo si el orden de los vectores en el producto cruz es el orden indicado por las flechas, y con un signo negativo en caso contrario. Por ejemplo, en la figura 2.27b se ve que i  j  k, pero i  k  j. El producto cruz de dos vectores U y V expresado en función de sus componentes es

U * V = 1Ux i + Uy j + Uz k2 * 1Vx i + Vy j + Vz k2 = UxVx1i * i2 + UxVy1i * j2 + UxVz1i * k2 + UyVx1j * i2 + UyVy1j * j2 + UyVz1j * k2 + UzVx1k * i2 + UzVy1k * j2 + UzVz1k * k2.

V U

VU

Figura 2.25 Direcciones de U  V y V  U.

69

70

Capítulo 2 Vectores

Al sustituir la ecuación (2.32) en esta expresión se obtiene la ecuación

y

U * V = 1UyVz - UzVy2i - 1UxVz - UzVx2j + 1UxVy - UyVx2k.

j

(2.33)

Este resultado se puede escribir en forma compacta como el determinante z

k

i 3 U * V = Ux Vx

i

x

Figura 2.26 La regla de la mano derecha indica que i  j  k.

(2.34)

Evaluación de un determinante de 3 ⴛ 3 Un determinante de 3  3 se puede evaluar repitiendo sus dos primeras columnas y evaluando los productos de los términos en las seis diagonales:

i 3 Ux Vx

j Uy Vy

1 -2 1-2 1-2

k i 3 Uz Ux Vz Vx

j Uy Vy

1+2 1+2 1+2

Sumando los términos obtenidos con las diagonales que van de arriba hacia abajo a la derecha (flechas azules), y restando los términos obtenidos con las diagonales que van de arriba hacia abajo a la izquierda (flechas negras), se obtiene el valor del determinante:

k (a)

i 3 Ux

i ijk

k Uz 3 . Vz

Esta ecuación se basa en las ecuaciones (2.32) que se obtuvo usando un sistema coordenado derecho. Da el resultado correcto para el producto cruz sólo si se usa un sistema coordenado derecho para determinar las componentes de U y V.

i

j

j Uy Vy

i  k  j

Vx

j Uy Vy

k Uy Vz i + Uz Vx j + UxVy k Uz 3 = -UyVx k - UzVy i - UxVz j. Vz

Un determinante de 3  3, también puede evaluarse expresándolo como j

k

i 3 Ux

(b)

Figura 2.27 (a) Disponga los vectores unitarios en un círculo con flechas que indiquen su orden. (b) El círculo se puede usar para determinar sus productos cruz.

Vx

j Uy Vy

k U Uz 3 = i ` y Vy Vz

Uz U ` - j` x Vz Vx

Uz U ` + k` x Vz Vx

Uy `. Vy

Los términos de la derecha se obtienen multiplicando cada elemento de la primera fila del determinante de 3  3 por el determinante de 2  2 que se obtiene tachando la columna y la fila en que se encuentra ese elemento. Por ejemplo, el primer elemento de la primera fila, i, se multiplica por el determinante de 2  2

i 3 Ux Vx

j Uy Vy

k Uz 3 . Vz

Recuerde que el segundo término se resta. Desarrollando los determinantes de 2  2 se obtiene el valor del determinante:

i 3 Ux Vx

j Uy Vy

k Uz 3 = 1UyVz - UzVy2i - 1UxVz - UzVx2j + 1UxVy - UyVx2k. Vz

Productos triples mixtos En el capítulo 4, cuando se analice el momento de una fuerza respecto a una línea, se usará una operación denominada producto triple mixto definido por

U # 1V * W2.

(2.35)

2.5 Productos cruz

71

En términos de las componentes escalares de los vectores,

U # 1V

* W2 = 1Ux i + Uy j

i + Uz k2 # 3 Vx Wx

j Vy Wy

k Vz 3 Wz

= 1Ux i + Uy j + Uz k2 # [1VyWz - VzWy2i

- 1VxWz - VzWx2j + 1VxWy - VyWx2k]

= Ux1VyWz - VzWy2 - Uy1VxWz - VzWx2 + Uz1VxWy - VyWx2.

Este resultado se puede expresar como el determinante

U # 1V

Ux 3 * W2 = Vx Wx

Uy Vy Wy

Uz Vz 3 . Wz

(2.36)

V

Si se intercambian dos vectores cualesquiera en el producto triple mixto, se cambia el signo pero no el valor absoluto del resultado. Por ejemplo,

U # 1V

* W2 =

- W # 1V

U W

* U2.

Si los vectores U, V y W en la figura 2.28 forman un sistema derecho, puede demostrarse que el volumen del paralelepípedo es igual a U  (V  W).

Figura 2.28 Paralelepípedo definido por los vectores U, V y W.

RESULTADOS Producto Cruz El producto cruz de dos vectores U y V está definido por U  V  兩U兩兩V兩sen u e.

Producto cruz en términos de sus componentes El producto cruz de U y V está dado en términos de las componentes de los vectores como U  V  (UyVz  UzVy)i  (UxVz  UzVx)j i  Ux

j

k

Uy

Uz

Vx

Vy

Vz

u

U

(2.28)

Como en el producto punto, u es el ángulo entre los vectores cuando éstos se colocan cola con cola. El vector unitario e se define perpendicular a U, perpendicular a V, y dirigido de tal manera que U, V, e forman un sistema derecho. Si 兩U兩  0 y 兩V兩  0, U  V  0 si y sólo si U y V son paralelos.

 (UxVy  UyVx)k

V

(2.33) (2.34)

V U

e

72

Capítulo 2 Vectores

Producto triple mixto La operación Uⴢ(V  W) se llama el producto triple mixto de los vectores U, V y W. Puede expresarse en términos de las componentes de los vectores mediante el determinante Ux Uⴢ(V  W)  Vx

Uy

Uz

Vy

Vz .

(2.36)

Wx Wy Wz

V

Cuando U, V, W forman un sistema derecho, el volumen del paralelepípedo mostrado es igual a Uⴢ(V  W).

U W

Ejemplo activo 2.14

Productos cruz ( Relacionado con el problema 2.124) Las componentes de dos vectores U y V son U  6i  5j  k y V  4i  2j  2k. a) Determine el producto cruz U  V. b) Use el producto punto para probar que U  V es perpendicular a U.

Estrategia a) Como se conocen las componentes de U y V, se puede usar la ecuación (2.33) para determinar U  V. b) Una vez determinadas las componentes del vector U  V, puede probarse que éste es perpendicular a U al demostrar que (U  V) U  0.

Solución U  V  (UyVz  UzVy)i  (UxVz  UzVx)j  (UxVy  UyVx)k  [(5)(2)  (1)(2)]i  [(6)(2)  (1)(4)]j  [(6)(2)  (5)(4)]k  8i 16j  32k.

(a) Use las componentes de los vectores para determinar U  V.

(U  V)ⴢU  (U  V)x Ux  (U  V)y Uy  (U  V)z Uz  (8)(6)  (16)(5)  (32)(1)  0.

(b) Demuestre que (U  V)ⴢU  0.

Problema de práctica Las componentes de dos vectores U y V son U  3i  2j  k y V  5i  3j  4k. Determine las componentes de un vector unitario que sea perpendicular a U y perpendicular a V. Respuesta: e  0.477i  0.304j  0.825k o bien e  0.477i  0.304j  0.825k.

2.5 Productos cruz

Ejemplo 2.15

Distancia mínima de un punto a una línea ( Relacionado con el problema 2.133)

Considere las líneas rectas OA y OB de la figura. a) Determine las componentes de un vector unitario que sea perpendicular a OA y OB. b) ¿Cuál es la distancia mínima del punto A a la línea OB?

y B (6, 6, 3) m

Estrategia a) Sean rOA y rOB los vectores de posición de O a A y de O a B (figura a). Como el producto cruz rOA  rOB es perpendicular a rOA y a rOB, dicho producto será determinado para después dividirlo entre su magnitud para obtener un vector unitario perpendicular a las líneas OA y OB. b) La distancia mínima de A a la línea OB es la longitud d de la línea recta que va desde A hasta OB que es perpendicular a OB (figura b). Se puede ver que d  rOA sen u, donde u es el ángulo entre rOA y rOB. De la definición del producto cruz, la magnitud de rOA  rOB, es rOArOB sen u, por lo que es posible determinar d dividiendo la magnitud rOA  rOB entre la magnitud de rOB.

O

x A (10, 2, 3) m

z

y B rOB

Solución a) Las componentes de rOA y rOB son

rOA = 10i - 2j + 3k 1m2, rOB = 6i + 6j - 3k 1m2.

O rOA

Usando la ecuación (2.34) se obtiene rOA  rOB:

rOA * rOB

i 3 = 10 6

j -2 6

x

A

z

k 3 3 = - 12i + 48j + 72k 1m22. -3

(a) Vectores rOA y rOB. y B

Este vector es perpendicular a rOA y a rOB. Al dividirlo entre su magnitud se obtiene un vector unitario e que es perpendicular a las líneas OA y OB:

e =

rOA * rOB

ƒ rOA * rOB ƒ

=

rOB

-12i + 48j + 72k 1m22

21-12 m222 + 148 m222 + 172 m222

u

= - 0.137i + 0.549j + 0.824k.

rOA

b) De la figura (b) se sabe que la distancia mínima d es

z

d  rOA sen u. rOA  rOB  rOArOB sen u. Despejando sen u de esta ecuación se obtiene que la distancia d es

=

ƒ rOA * rOB ƒ ƒ rOA * rOB ƒ b = ƒ rOA ƒ ƒ rOB ƒ ƒ rOB ƒ

21-12 m222 + 148 m222 + 172 m222 216 m22 + 16 m22 + 1-3 m22

A

(b) Distancia mínima d de A a la línea OB.

La magnitud de rOA  rOB es

d = ƒ rOA ƒ a

d

O

= 9.71 m.

Razonamiento crítico Este ejemplo es una ilustración del poder de los métodos vectoriales. La determinación de la distancia mínima del punto A a la línea OB puede formularse como un problema de minimización en cálculo diferencial, pero la solución vectorial que se presenta aquí es mucho más simple.

x

73

74

Capítulo 2 Vectores

Componente de un vector perpendicular a un plano ( Relacionado con el problema 2.139)

Ejemplo 2.16

E y

(0.2, 0.4, 0.1) m

La cuerda CE que se muestra en la figura ejerce una fuerza T de 500 N sobre la puerta ABCD. ¿Cuál es la magnitud de la componente de T perpendicular a la puerta?

Estrategia T

D

C (0, 0.2, 0) m

(0.5, 0, 0) m A x B (0.35, 0, 0.2) m

z

Se dan las coordenadas de las esquinas A, B, y C de la puerta. Si se toma el producto cruz del vector de posición rCB de C a B y el vector de posición rCA desde C hasta A, se obtendrá un vector que es perpendicular a la puerta. Se puede dividir el vector resultante entre su magnitud para obtener un vector unitario perpendicular a la puerta y después aplicar la ecuación (2.26) para determinar la componente de T perpendicular a la puerta.

Solución Las componentes de rCB y rCA son

rCB = 0.35i - 0.2j + 0.2k 1m2, rCA = 0.5i - 0.2j 1m2.

Su producto cruz es y e

rCB * rCA

D C

rCA rCB

A

x

(a) Determinación de un vector unitario perpendicular a la puerta

j - 0.2 - 0.2

k 0.2 3 = 0.04i + 0.1j + 0.03k 1m22. 0

Al dividir este vector entre su magnitud, se obtiene un vector e unitario que es perpendicular a la puerta (figura a):

B z

i 3 = 0.35 0.5

e =

rCB * rCA

=

ƒ rCB * rCA ƒ

0.04i + 0.1j + 0.03k 1m22

210.04 m222 + 10.1 m222 + 10.03 m222

= 0.358i + 0.894j + 0.268k.

Para usar la ecuación (2.26) es necesario expresar T en términos de sus componentes escalares. El vector de posición de C a E es

rCE = 0.2i + 0.2j - 0.1k 1m2,

entonces, la fuerza T puede expresarse como

T = ƒTƒ

rCE

ƒ rCE ƒ

= 1500 N2

0.2i + 0.2j - 0.1k 1m2

210.2 m22 + 10.2 m22 + 1- 0.1 m22

= 333i + 333j - 167k 1N2.

La componente de T paralela al vector unitario e, que es la componente de T perpendicular a la puerta, es

1e # T2e = [10.35821333 N2 + 10.89421333 N2 + 10.26821- 167 N2]e = 373e 1N2.

La magnitud de la componente de T perpendicular a la puerta es 373 N. Razonamiento crítico ¿Por qué resulta útil determinar la componente de la fuerza T perpendicular a la puerta? Si el eje y es vertical y la cuerda CE es lo único que evita que la puerta caiga, puede verse de manera intuitiva que es la componente de la fuerza perpendicular a la puerta la que la mantiene en su lugar. En el capítulo 5 se analizan problemas de este tipo.

Problemas

75

Problemas  2.124 En el ejemplo activo 2.14, suponga que el vector V se cambia a V  4i  6j  10k. a) Determine el producto cruz U  V. b) Use el producto punto para probar que U  V es perpendicular a V. 2.125 Se tienen los vectores U  3i  2j y V  2i  4j. a) ¿Qué valor tiene el producto cruz U  V? b) ¿Qué valor tiene el producto cruz V  U?

2.130 Se tienen las magnitudes U  10 y V  20. a) Use la definición del producto cruz para determinar U  V. b) Use la definición del producto cruz para determinar V  U. c) Use la ecuación (2.34) para determinar U  V. d) Use la ecuación (2.34) para determinar V  U. y V U

2.126 Los dos segmentos de la barra en forma de L que se muestra en la figura son paralelos a los ejes x y z. La cuerda AB ejerce una fuerza de magnitud F  500 lb sobre la barra en A. Determine el producto cruz rCA  F, donde rCA es el vector de posición del punto C al punto A.

30 45 x

2.127 Los dos segmentos de la barra en forma de L que se muestra en la figura son paralelos a los ejes x y z. La cuerda AB ejerce una fuerza de magnitud F  500 lb sobre la barra en A. Determine el producto cruz rCB  F, donde rCB es el vector de posición del punto C al punto B. Compare su respuesta con la que obtuvo para el problema 2.126.

Problema 2.130 2.131 Se tiene la fuerza F  10i  4j (N). Determine el producto cruz rAB  F. y (6, 3, 0) m

y

A 4 pies

rAB

C

x

z

(6, 0, 4) m B

5 pies

F 4 pies

A x

Problema 2.131

F B z

(6, 0, 4) pies

Problemas 2.126/2.127

2.128 Suponga que el producto cruz de dos vectores U y V es U  V  0. Si U  0, ¿qué se sabe acerca del vector V? 2.129 El producto cruz de dos vectores U y V es U  V  30i  40k. El vector V  4i  2j  3k. El vector U  4i  Uy j  Uz k. Determine Uy y Uz.

2.132 Demuestre la identidad sen (u1  u2)  sen u1 cos u2  cos u1 sen u2, evaluando el producto cruz U  V. y

U

V

u1 u2

x

Problema 2.132  2.133 En el ejemplo 2.15, ¿cuál es la distancia mínima del punto B a la línea OA?

76

Capítulo 2 Vectores

2.134 a) ¿Cuál es el producto cruz rOA  rOB? b) Determine un vector unitario e que sea perpendicular a rOA y rOB.

2.138 La cuerda AB ejerce una fuerza T de 50 N sobre el collarín en A. Sea rCA el vector de posición del punto C al punto A. Determine el producto cruz rCA  T.

2.135 Use el producto cruz para determinar la longitud de la línea recta más corta del punto B a la línea recta que pasa a través de los puntos O y A.

y 0.15 m

y B (4, 4, 4) m

0.4 m B

C T

rOB

0.2 m

A O

0.5 m

x

O

rOA

x D

A (6, 2, 3) m

z

0.3 m

0.25 m

0.2 m z

Problemas 2.134/2.135

Problema 2.138

2.136 El cable BC ejerce una fuerza F de 1000 lb sobre el gancho en B. Determine rAB  F. y

 2.139 En el ejemplo 2.16, suponga que el punto de unión E se mueve a la ubicación (0.3, 0.3, 0) m y la magnitud de T se incrementa a 600 N. ¿Cuál es la magnitud de la componente de T perpendicular a la puerta?

B F 6 pies

rAB x

8 pies

C

2.140 La barra AB tiene 6 metros de largo y es perpendicular a las barras AC y AD. Use el producto cruz para determinar las coordenadas xB, yB y zB del punto B.

rAC

4 pies 4 pies

12 pies

A

y B

z

(xB, yB, zB)

Problema 2.136 2.137 El vector de fuerza F apunta a lo largo de una línea recta desde el punto A hasta el punto B. Su magnitud es 兩F兩  20 N. Las coordenadas de los puntos A y B son xA  6 m, yA  8 m, zA  4 m y xB  8 m, yB  1 m, zB  2 m. a) Exprese el vector F en términos de sus componentes. b) Use la ecuación (2.34) para determinar los productos cruz rA  F y rB  F.

(0, 3, 0) m

A

y

A

D

F

C (0, 0, 3) m

z

Problema 2.140

B

rA rB

x

z

Problema 2.137

(4, 0, 0) m

x

Problemas de repaso 2.141* Determine la distancia mínima del punto P al plano definido por los tres puntos A, B y C. y B (0, 5, 0) m P (9, 6, 5) m A (3, 0, 0) m C

77

2.143 Para los vectores u  6i  2j  4k, V  2i  7j y W  3i  2k, evalúe los siguientes productos triples mixtos: a) U # 1V * W2; b) W # 1V * U2; c) V # 1W * U2. 2.144 Use el producto triple mixto para calcular el volumen del paralelepípedo.

x

y (0, 0, 4) m

z

Problema 2.141

(140, 90, 30) mm

2.142* El vector de fuerza F apunta en dirección de la línea recta que va del punto A al punto B. Use las ecuaciones (2.28)(2.31) para demostrar que

(200, 0, 0) mm x

rB * F = rA * F. Estrategia: Sea rAB el vector de posición del punto A al punto B. Exprese rB en términos de rA y rAB. Observe que los vectores rAB y F son paralelos. y

(160, 0, 100) mm

z

Problema 2.144 2.145 Usando las ecuaciones (2.23) y (2.24) demuestre que

A F rA

Ux U # 1V * W2 = 3 Vx Wx

B

Uy Vy Wy

Uz Vz 3 . Wz

rB x

z

2.146 Los vectores U  i  Uy j  4k, V  2i  j  2k, y W  –3i  j  2k son coplanares (se encuentran en el mismo plano). ¿Qué valor tiene la componente Uy?

Problema 2.142

Problemas de repaso 2.147 En la figura, la magnitud de F es de 8 kN. Exprese F en términos de sus componentes escalares. y

2.148 La magnitud de la fuerza vertical W que se muestra es de 600 lb y la magnitud de la fuerza B es de 1500 lb. Si A  B  W  0, determine la magnitud de la fuerza A y el ángulo a.

(3, 7) m

F

W

(7, 2) m B x

Problema 2.147

50

a A

Problema 2.148

78

Capítulo 2 Vectores

2.149 La magnitud del vector de fuerza vertical A es de 200 lb. Si A  B  C  0, ¿qué valor tienen las magnitudes de los vectores fuerza B y C? 2.150 La magnitud del vector de fuerza horizontal D es de 280 lb. Si D  E  F  0, ¿qué valor tienen las magnitudes de los vectores fuerza E y F? 70 pulg

2.157 a) Escriba el vector de posición rAB del punto A al punto B en términos de sus componentes. b) El vector R tiene magnitud R200 lb y es paralela a la línea que va de A a B. Determine el vector R en términos de sus componentes. 2.158 La cuerda que se muestra en la figura ejerce una fuerza de magnitud F  200 lb sobre la parte superior del poste en B. a) Determine el vector rAB  F, donde rAB es el vector de posición de A a B.

100 pulg

b) Determine el vector rAC  F, donde rAC es el vector de posición de A a C. 50 pulg

E

C

y

B (5, 6, 1) pies

D B

F

A

F

Problemas 2.149/2.150 Para resolver los problemas 2.151 a 2.157 consulte el siguiente diagrama.

A

x C (3, 0, 4) pies

y

z

A (4, 4, 2) pies u

F  20i  10j  10k (lb)

B (8, 1, 2) pies x z

Problema 2.158

2.159 El poste que soporta el letrero es paralelo al eje x y tiene 6 pies de longitud. El punto A está contenido en el plano y–z. a) Exprese el vector r en términos de sus componentes. b) ¿Cuál es el valor de los cosenos directores de r?

Problemas 2.151–2.157 y

2.151 ¿Qué valor tienen los cosenos directores de F? A

2.152 Determine las componentes de un vector unitario paralelo a la línea AB que apunta desde A hacia B.

Cataratas Bedford r

2.153 ¿Qué valor tiene el ángulo u entre AB y la fuerza F. 45 60

2.154 Determine la componente vectorial de F paralela a la línea AB.

O

2.155 Determine la componente vectorial de F que es normal a la línea AB. 2.156 Determine el vector rBA  F, donde rBA es el vector de posición de B a A.

z

Problema 2.159

x

Problemas de repaso 2.160 La componente z del vector de fuerza F es de 80 lb. a) Exprese F en términos de sus componentes. b) ¿Cuáles son los ángulos ux, uy y uz entre F y los ejes coordenados positivos? y

79

2.164 La magnitud de la fuerza vertical W es de 160 N. Los cosenos directores del vector de posición de A a B son cos ux  0.500, cos uy  0.866 y cos uz  0, y los cosenos directores del vector de posición de B a C son cos ux  0.707, cos uy  0.619 y cos uz  0.342. El punto G es el punto medio de la línea de B a C. Determine el vector rAG  W, donde rAG es el vector de posición de A a G.

F x

m

y

20

O

0m

C

60

60 G

A B

W

z 600 mm

Problema 2.160 2.161 La magnitud del vector de fuerza FB es de 2 kN. Expréselo en función de sus componentes escalares.

A

2.162 La magnitud del vector de fuerza vertical F es de 6 kN. Determine las componentes vectoriales de F paralela y normal a la línea que va de B a D.

z

x

2.163 La magnitud del vector de fuerza vertical F es de 6 kN. Dado que F  FA  FB  FC  0, ¿cuáles son las magnitudes de FA, FB y FC?

2.165 La cuerda CE ejerce una fuerza T de 500 N sobre la puerta con bisagras que se muestra en la figura.

y F D

a) Exprese T en términos de sus componentes. (4, 3, 1) m

b) Determine la componente vectorial de T que es paralela a la línea que va del punto A al punto B.

FC

FA

Problema 2.164

FB

A C

z

2.166 En el problema 2.165, sea rBC el vector de posición del punto B al punto C. Determine el producto cruz rBC  T.

x (6, 0, 0) m B

E (0.2, 0.4, 0.1) m

(5, 0, 3) m y

Problemas 2.161–2.163

T

D

C (0, 0.2, 0) m A (0.5, 0, 0) m B (0.35, 0, 0.2) m z

Problemas 2.165/2.166

x

CAPÍTULO

3 Fuerzas En el capítulo 2 se representaron fuerzas con vectores y se usó la adición vectorial para sumarlas. En este capítulo se analizarán con mayor detalle las fuerzas y se presentarán dos de los conceptos más importantes de la mecánica: el equilibrio y el diagrama de cuerpo libre. Se usarán los diagramas de cuerpo libre para identificar las fuerzas sobre cuerpos y se empleará el equilibrio para determinar fuerzas desconocidas.

 Las fuerzas debidas al peso del puente se transfieren a las torres verticales de soporte mediante cables. En este capítulo se usan diagramas de cuerpo libre para analizar las fuerzas que actúan sobre objetos en equilibrio.

82

Capítulo 3 Fuerzas

3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre ANTECEDENTES El concepto de fuerza resulta muy familiar, como se evidencia con palabras del tipo de empujar, jalar y elevar que se usan en las conversaciones diarias. En ingeniería se trata con muchos tipos de fuerzas en un gran intervalo de magnitudes. En esta sección se definen algunos términos usados para describir fuerzas, se analizan fuerzas particulares que ocurren con frecuencia en aplicaciones de ingeniería y se introducen los conceptos de equilibrio y diagrama de cuerpo libre.

Línea de acción de F

F

Terminología Línea de acción Cuando una fuerza se representa mediante un vector, la línea recta colineal al vector se denomina línea de acción de la fuerza (figura 3.1).

Figura 3.1 Una fuerza F y su línea de acción.

Sistemas de fuerzas Un sistema de fuerzas es simplemente un conjunto particular de fuerzas. Un sistema de fuerzas es coplanar o bidimensional si las líneas de acción de las fuerzas residen en un plano; de otra manera, se trata de un sistema tridimensional. Un sistema de fuerzas es concurrente si las líneas de acción de las fuerzas se encuentran en un punto (figura 3.2a) y es paralelo si las líneas de acción son paralelas (figura 3.2b). Fuerzas externas e internas Se dice que un objeto dado está sometido a una fuerza externa si ésta es ejercida por otro objeto. Cuando una parte de un objeto está sometida a una fuerza por otra parte del mismo cuerpo, se dice que está sujeta a una fuerza interna. Estas definiciones requieren que se precise con claridad el cuerpo que se está considerando. Por ejemplo, si supone que usted es el cuerpo, cuando está de pie, el piso —que es un cuerpo diferente— ejerce una fuerza externa sobre sus pies, y si aprieta sus manos, su mano izquierda ejerce una fuerza interna sobre su mano derecha. Sin embargo, si su mano derecha es el cuerpo en consideración, la fuerza ejercida por su mano izquierda es una fuerza externa. Fuerzas de cuerpo y de superficie Una fuerza ejercida sobre un cuerpo se denomina fuerza de cuerpo si actúa sobre el volumen del cuerpo y fuerza de superficie si actúa sobre su superficie. La fuerza gravitatoria sobre un cuerpo es una fuerza de cuerpo; una fuerza de superficie se puede ejercer sobre un cuerpo mediante su contacto con otro cuerpo. Las fuerzas de cuerpo y de superficie pueden ser resultado de efectos electromagnéticos.

Fuerzas gravitatorias Cuando se levanta algo pesado se percibe la fuerza ejercida sobre un objeto por la gravedad de la Tierra. La fuerza gravitatoria o peso de un objeto puede representarse mediante un vector (figura 3.3).

FA

FB

FC

Figura 3.2 (a) Fuerzas concurrentes. (b) Fuerzas paralelas.

(a)

FA FB

FC

(b)

FD

W

Figura 3.3 Representación del peso de un objeto mediante un vector.

3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre

Figura 3.4 (a) Al empujar una pared, se ejerce una fuerza de contacto sobre ella. (b) El vector F representa la fuerza que se ejerce sobre la pared. (c) La pared ejerce una fuerza F sobre la mano.

F

F

(a)

(b)

83

(c)

La magnitud del peso de un objeto se relaciona con su masa m por la fórmula

(3.1)

ƒ W ƒ = mg,

donde g es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Se usarán los valores g  9.81 m/s2 en unidades SI y g  32.2 pies/s2 en unidades de uso común en Estados Unidos. Las fuerzas gravitatorias, y también las electromagnéticas, actúan a distancia. Los objetos sobre los que actúan no necesitan estar en contacto con los objetos que ejercen las fuerzas. En la sección siguiente se analizarán fuerzas que resultan del contacto entre objetos.

Fuerzas de contacto Las fuerzas de contacto son las que resultan del contacto entre objetos, por ejemplo, al empujar una pared (figura 3.4a). La superficie de la mano ejerce una fuerza sobre la superficie de la pared que se puede representar con un vector F (figura 3.4b). La pared ejerce una fuerza igual y opuesta F sobre la mano (figura 3.4c) (recuerde la tercera ley de Newton: las fuerzas ejercidas entre sí por dos partículas cualesquiera son iguales en magnitud y opuestas en dirección; si le queda duda de que la pared ejerce una fuerza sobre la mano, intente empujar la pared usando patines). Se tratará con fuerzas de contacto ejercidas sobre objetos mediante el contacto con las superficies de otros cuerpos y por medio de cuerdas, cables y resortes. Superficies Considere dos superficies planas en contacto (figura 3.5a). La fuerza ejercida sobre la superficie derecha por la superficie izquierda se representa con el vector F en la figura 3.5b. Es posible separar F en una componente N normal a la superficie y una componente f paralela a ésta (figura 3.5c). La componente N se denomina fuerza normal y la componente f se denomina fuerza de fricción. En ocasiones se supone que la fuerza de fricción entre dos superficies es insignificante respecto a la fuerza normal; dicha condición se describe al decir que las superficies son lisas. En este caso se muestra sólo la fuerza normal (figura 3.5d). Cuando la fuerza de fricción no se puede despreciar, se dice que las superficies son rugosas.

N

N f

F (a)

(b)

(c)

(d)

Figura 3.5 (a) Dos superficies planas en contacto. (b) La fuerza F ejercida sobre la superficie derecha. (c) La fuerza F se separa en sus componentes normal y paralela a la superficie. (d) Sólo se muestra la fuerza normal cuando la fricción es insignificante.

84

Capítulo 3 Fuerzas

N

Figura 3.6 (a) Superficies curvas en contacto. La línea discontinua indica el plano tangente a las superficies en su punto de contacto. (b) Fuerza normal y fuerza de fricción sobre la superficie derecha.

f

(a)

(b)

Si las superficies en contacto son curvas (figura 3.6a), la fuerza normal y la fuerza de fricción son, respectivamente, perpendicular y paralela al plano tangente a las superficies en su punto común de contacto (figura 3.6b). Cuerdas y cables Una fuerza de contacto puede ejercerse sobre un objeto uniendo una cuerda o un cable al cuerpo y tirando de él. En la figura 3.7a, el cable de la grúa está unido a un contenedor de materiales de construcción. La fuerza que el cable ejerce sobre el contenedor se puede representar mediante un vector T (figura 3.7b). La magnitud de T se denomina tensión en el cable y la línea de acción de T es colineal al cable. El cable ejerce una fuerza igual y opuesta T sobre la grúa (figura 3.7c). Observe que se ha supuesto que el cable es recto y que la tensión donde el cable se conecta al contenedor es igual a la tensión cerca de la grúa. Esto es aproximadamente cierto si el peso del cable es pequeño en comparación con la tensión. En caso contrario, el cable se pandeará en forma considerable y la tensión variará a través de su longitud. En el capítulo 9 se analizarán cuerdas y cables cuyos pesos no son pequeños en comparación con sus tensiones. Por ahora se supondrá que las cuerdas y los cables son rectos y que sus tensiones son constantes a través de sus longitudes. Una polea es una rueda con un borde ranurado que puede usarse para cambiar la dirección de una cuerda o un cable (figura 3.8a). Por ahora se supondrá

T

(b)

T (a)

(c)

Figura 3.7 (a) Grúa con su cable unido a un contenedor. (b) Fuerza T ejercida por el cable sobre el contenedor. (c) Fuerza T ejercida por el cable sobre la grúa.

3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre

85

|T1|  |T2| T1

Figura 3.8 (a) Una polea cambia la dirección de una cuerda o un cable. (b) Por ahora, se debe suponer que las tensiones a cada lado de la polea son iguales.

T2 (a)

(b)

Resorte Amortiguador Resorte

Figura 3.9 Resortes en la suspensión de un auto. El dispositivo de la derecha se llama soporte MacPherson.

Amortiguador

que la tensión es la misma en ambos lados de una polea (figura 3.8b). Esto es cierto, o al menos aproximadamente cierto, cuando la polea puede girar libremente y la cuerda o el cable es estacionario, o cuando se hace girar la polea a una velocidad constante. Resortes Los resortes se usan para ejercer fuerzas de contacto en dispositivos mecánicos, por ejemplo en la suspensión de vehículos (figura 3.9). Considere un resorte cuya longitud no elongada 6, es decir la longitud del resorte cuando sus extremos están sueltos, es L0 (figura 3.10a). Cuando el resorte se elonga, una longitud L mayor que L0 (figura 3.10b) tirará del objeto al que está unido con una fuerza F (figura 3.10c). El objeto ejerce una fuerza igual y opuesta F sobre el resorte (figura 3.10d). Cuando el resorte se comprime una longitud L menor que L0 (figuras 3.1la, b), empuja al objeto con una fuerza F y el objeto ejerce una fuerza igual y opuesta F sobre el resorte (figuras 3.1lc, d). Si el resorte se comprime demasiado, puede pandearse (figura 3.11e). Un resorte diseñado para ejercer una fuerza al comprimirse suele tener un soporte lateral para evitar el pandeo; por ejemplo, se puede encerrar en un cilindro. En las suspensiones de automóviles mostradas en la figura 3.9, los amortiguadores dentro del resorte impiden que éste se pandee. La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte depende del material con el que fue hecho, su diseño y de cuánto varía con respecto a su longitud original. Cuando el cambio de longitud no es muy grande en comparación con la longitud no elongada, los resortes que suelen usarse en dispositivos mecánicos ejercen una fuerza aproximadamente proporcional al cambio de longitud:

ƒ F ƒ = k ƒ L - L0 ƒ .

(3.2)

L0 (a)

L (b) F

(c)

F (d)

Figura 3.10 (a) Resorte de longitud no elongada L 0. (b) El resorte elongado a una longitud L  L 0. (c, d) Fuerza F ejercida por el resorte y fuerza F ejercida sobre el resorte.

86

Capítulo 3 Fuerzas

Como la fuerza es una función lineal del cambio de longitud (figura 3.12), un resorte que cumple con esta relación se denomina resorte lineal. El valor de la constante del resorte k depende de su material y diseño. Sus dimensiones son (fuerza)/(longitud). Observe en la ecuación (3.2) que k es igual a la magnitud de la fuerza requerida para estirar o comprimir el resorte una unidad de longitud. Suponga que la longitud sin elongar de un resorte es L0  1 m y k  3000 N/m. Si el resorte se elonga hasta alcanzar una longitud L  1.2 m, la magnitud de la fuerza de tensión que ejerce es

L0

(a)

L

(b)

k ƒ L - L0 ƒ = 300011.2 - 12 = 600 N. Aunque es cierto que los resortes se utilizan comúnmente en dispositivos mecánicos, también despiertan el interés por una razón diferente: pueden usarse para modelar situaciones en que las fuerzas dependen de los desplazamientos. Por ejemplo, la fuerza necesaria para flexionar la viga de acero de la figura 3.13(a) es una función lineal del desplazamiento d, o bien

F (c)

ƒ F ƒ = kd, F

si d no es muy grande. Por consiguiente, es posible modelar el comportamiento fuerza-deflexión de la viga como un resorte lineal (figura 3.13b).

(d)

Equilibrio (e)

Figura 3.11 (a) Resorte de longitud L0. (b) El resorte comprimido a una longitud L  L 0. (c, d) El resorte empuja a un objeto con una fuerza F y el objeto ejerce una fuerza F sobre el resorte. (e) Un resorte se pandeará si se comprime demasiado.

En la conversación diaria, equilibrio significa un estado invariable, una estabilización. Antes de establecer con precisión qué significa este término en mecánica, se considerarán algunos ejemplos familiares. Si usted se encuentra dentro de una construcción mientras lee esto, los objetos que observa a su alrededor y que están en reposo (estacionario) en relación con la construcción, como adornos o muebles, están en equilibrio. Una persona sentada o parada en reposo en relación con la construcción también está en equilibrio. Si un tren viaja a velocidad constante en una trayectoria recta, los objetos que están en reposo con respecto al tren, como un pasajero sentado o una persona de pie en el pasillo (figura 3.14a), se encuentran en equilibrio. La persona en reposo relativo a la construcción y el pasajero de pie en el pasillo del tren no experimentan aceleración. Sin embargo, si el tren aumenta o

d

d

F k (b)

兩F兩 k 1 兩L  L0兩

Figura 3.12 La gráfica de la fuerza ejercida por un resorte lineal en función de su elongación o contracción es una línea recta con pendiente k.

(a)

Figura 3.13 (a) Viga de acero flexionada por una fuerza. (b) Modelado del comportamiento de la viga mediante un resorte lineal.

F

3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre

disminuye su velocidad, la persona de pie en el pasillo ya no estará en equilibrio y podría perder su estabilidad (figura 3.14b). Se define que un objeto está en equilibrio sólo si cada punto del objeto tiene la misma velocidad constante, lo cual se denomina traslación uniforme. La velocidad debe medirse con respecto a un marco de referencia en el que sean válidas las leyes de Newton. Tal marco se llama marco de referencia newtoniano o inercial. En muchas aplicaciones de ingeniería, un marco de referencia que esté fijo con respecto a la Tierra puede verse como inercial. Por lo tanto, puede suponerse que los objetos en traslación uniforme con respecto a la Tierra están en equilibrio. A lo largo del presente libro se parte de este supuesto. En los ejemplos que se citaron en el párrafo anterior, los muebles y la persona en reposo dentro de una construcción, así como el pasajero sentado y la persona de pie dentro del tren que se mueve a velocidad constante, están en translación uniforme con respecto a la Tierra y por ende están en equilibrio. La suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre un objeto en equilibrio es igual a cero. Se usará el símbolo 兺F para denotar la suma de las fuerzas externas. Así, cuando un objeto está en equilibrio,

©F = 0.

87

(a)

(3.3)

En algunas situaciones, esta ecuación de equilibrio puede usarse para determinar fuerzas desconocidas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio. El primer paso consiste en dibujar un diagrama de cuerpo libre del objeto para identificar las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo.

Diagramas de cuerpo libre

(b)

Figura 3.14 (a) Mientras el tren se mueve a velocidad constante, una persona de pie en el pasillo está en equilibrio. (b) Si el tren acelera, la persona lo pierde.

Un diagrama de cuerpo libre sirve para enfocar la atención en el cuerpo de interés y ayuda a identificar las fuerzas externas que actúan sobre él. Aunque en estática interesarán sólo cuerpos en equilibrio, los diagramas de cuerpo libre se usan en dinámica para analizar los movimientos de los objetos. Aunque es una de las herramientas más importantes en mecánica, el diagrama de cuerpo libre es un concepto sencillo. Es el dibujo de un objeto y de las fuerzas externas que actúan sobre él, sin incluir nada además del cuerpo de interés. El dibujo muestra el cuerpo aislado o liberado de su entorno. El trazado de un diagrama de cuerpo libre implica tres pasos: 1. Identificar el cuerpo a aislar. Como lo muestran los ejemplos siguientes, la elección suele estar dictada por las fuerzas particulares que se desean determinar. 2. Dibujar un bosquejo del objeto aislado de su entorno y mostrar las dimensiones y ángulos relevantes. El dibujo debe ser razonablemente preciso, pero pueden omitirse detalles irrelevantes. 3. Dibujar los vectores que representen todas las fuerzas externas que actúen sobre el cuerpo aislado y marcarlos. No se debe olvidar la inclusión de la fuerza gravitatoria, a menos que se ignore de manera intencional. Se necesita un sistema coordenado para expresar las fuerzas sobre el objeto aislado, en términos de sus componentes. A menudo es conveniente elegir el sistema de coordenadas antes de dibujar el diagrama de cuerpo libre, pero en ciertos casos la mejor elección de un sistema coordenado no será evidente hasta después de dibujar el diagrama. Un ejemplo sencillo demostrará cómo elegir los diagramas de cuerpo libre para determinar fuerzas particulares y también que se debe distinguir con cuidado entre fuerzas externas e internas. En la figura 3.15, dos bloques estacionarios de igual peso W están suspendidos por medio de cables. El sistema está en equilibrio. Suponga que se desea determinar las tensiones en los dos cables.

D C

B

A

Figura 3.15 Bloques estacionarios suspendidos mediante cables.

88

Capítulo 3 Fuerzas

D C

y

B TAB

Figura 3.16 (a) Aislamiento del bloque inferior y parte del cable AB. (b) La indicación de las fuerzas exteriores completa el diagrama de cuerpo libre. (c) Introducción de un sistema de coordenadas.

A

TAB A

A

W

W x

(a)

(b)

(c)

Para determinar la tensión en el cable AB, primero se aísla un “objeto” que consista en el bloque inferior y parte del cable AB (figura 3.16a). Después, se determinan las fuerzas que pueden ejercerse sobre este objeto aislado mediante objetos que no se incluyen en el diagrama. La Tierra ejerce una fuerza gravitatoria de magnitud W sobre el bloque, y en el sitio donde se “corta” el cable AB, éste se encuentra sometido a una fuerza de contacto igual a la tensión en el cable (figura 3.16b). Las flechas en esta figura indican las direcciones de las fuerzas. El escalar W es el peso del bloque y TAB es la tensión en el cable AB. El peso de la parte del cable incluido en el diagrama de cuerpo libre puede ignorarse si se compara con el peso del bloque. Como el diagrama de cuerpo libre está en equilibrio, la suma de las fuerzas externas es cero. La ecuación de equilibrio se obtiene en términos de un sistema coordenado con el eje y dirigido hacia arriba (figura 3.16c),

©F = TAB j - Wj = 1TAB - W2j = 0. Así, la tensión en el cable AB es TAB  W. Ahora se puede determinar la tensión en el cable CD aislando el bloque superior (figura 3.17a). Las fuerzas externas son el peso del bloque superior y las tensiones en los dos cables (figura 3.17b). En este caso se obtiene la ecuación de equilibrio

©F = TCD j - TAB j - W j = 1TCD - TAB - W2j = 0. Como TAB  W, se encuentra que TCD  2W. y TCD

D C

C

B

B

W

A

Figura 3.17 (a) Aislamiento del bloque superior para determinar la tensión en el cable CD. (b) Diagrama de cuerpo libre del bloque superior.

TAB x

(a)

(b)

3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre y TCD

D C

C

B

B

A

A

W

Figura 3.18 (a) Elección alternativa para determinar la tensión en el cable CD. (b) Diagrama de cuerpo libre que incluye ambos bloques y el cable AB.

W x (a)

(b)

También se podría haber determinado la tensión en el cable CD tratando los dos bloques y el cable AB como un solo objeto (figura 3.18a, b). La ecuación de equilibrio es

©F = TCD j - Wj - Wj = 1TCD - 2W2j = 0,

y se obtiene de nuevo TCD  2W. ¿Por qué la tensión en el cable AB no aparece en el diagrama de cuerpo libre de la figura 3.18(b)? Recuerde que en los diagramas de cuerpo libre se muestran sólo fuerzas externas. Como en este caso el cable AB es parte del diagrama de cuerpo libre, las fuerzas que ejerce sobre los bloques superiores e inferiores son fuerzas internas.

RESULTADOS Linea de acción La línea recta colineal a un vector que representa una fuerza es la línea de acción de la fuerza.

Sistemas de fuerzas Un sistema de fuerzas es bidimensional si las líneas de acción de las fuerzas se encuentran en un plano. En caso contrario el sistema es tridimensional. Un sistema de fuerzas es concurrente si las líneas de acción de las fuerzas se cortan en un punto y paralelo si las líneas de acción son paralelas.

F

FA

FB

FC

Fuerzas concurrentes

Fuerzas externas e internas Un objeto está sometido a una fuerza externa si la fuerza es ejercida por un objeto diferente. Una fuerza ejercida sobre una parte de un objeto por otra parte del mismo objeto es una fuerza interna.

Línea de acción F

FA FB

FC

Fuerzas paralelas

FD

89

90

Capítulo 3 Fuerzas

Fuerzas gravitatorias El peso de un objeto puede representarse mediante un vector. Su magnitud al nivel del mar está relacionada con la masa m del objeto mediante la ecuación 兩W兩  mg, (3.1) donde g es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar.

W

A B

Objetos A y B con superficies planas en contacto. F

A

B

F

Fuerzas de contacto Los objetos en contacto ejercen entre sí fuerzas que son iguales y opuestas.

Fuerzas de contacto que A y B ejercen entre sí. B N f Descomposición de la fuerza sobre B en las fuerzas normal y de fricción. N

B

Cuando la fuerza de fricción puede ignorarse sólo existe una fuerza normal.

A

Cuerdas y cables Si el peso de una cuerda o cable que conecta a dos objetos es insignificante en comparación con su tensión, éste ejerce fuerzas iguales y opuestas sobre los objetos, las cuales son paralelas a la cuerda o el cable.

B Objetos A y B conectados por un cable. F A

F B

Fuerzas ejercidas sobre A y B.

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas

Resortes lineales La magnitud de las fuerzas iguales y opuestas ejercidas sobre dos objetos conectados por un resorte lineal es 兩F兩  k兩L  L0兩,

A

B Objectos A y B conectados por un resorte.

(3.2)

F

donde k es la constante del resorte, L es la longitud del resorte y L0 su longitud sin elongar.

A

F B

Fuerzas ejercidas sobre A y B.

Equilibrio Un objeto está en equilibrio si está en translación uniforme (cada punto del objeto tiene la misma velocidad constante) en relación con un marco de referencia inercial. La suma de las fuerzas externas que actúan sobre un objeto en equilibrio es igual a cero: F  0.

(3.3)

Diagramas de cuerpo libre Un diagrama de cuerpo libre es el dibujo de un objeto, aislado de su entorno, que muestra las fuerzas exteriores que actúan sobre el objeto. Dibujar un diagrama de cuerpo libre implica tres pasos.

1. Identificar al objeto que se desea aislar. 2. Dibujar un bosquejo del objeto aislado de su entorno. 3. Dibujar vectores representando las fuerzas externas que actúan sobre el objeto.

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas Suponga que el sistema de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio es bidimensional (coplanar). Al orientar un sistema coordenado de manera que las fuerzas queden en el plano x–y, es posible expresar la suma de las fuerzas externas como

©F = 1©Fx2i + 1©Fy2j = 0, donde 兺Fx y 兺Fy son las sumas de las componentes x e y de las fuerzas. Como un vector es cero sólo si cada uno de sus componentes es cero, se obtienen dos ecuaciones de equilibrio escalar:

©Fx = 0,

©Fy = 0.

(3.4)

Las sumas de las componentes x e y de las fuerzas externas que actúan sobre un objeto en equilibrio debe ser igual a cero.

91

92

Capítulo 3 Fuerzas

Ejemplo activo 3.1

Uso del equilibrio para determinar fuerzas ( Relacionado con el problema 3.1) El automóvil de 1440 kg se mantiene en su lugar sobre la rampa inclinada mediante el cable horizontal desde A hasta B. Los frenos del automóvil no están activados, por lo que las llantas ejercen sólo fuerzas normales sobre la rampa. Determine la magnitud de la fuerza ejercida por el cable sobre el automóvil.

A

B

20

Estrategia Como el automóvil está en equilibrio, es posible dibujar su diagrama de cuerpo libre y usar las ecuaciones (3.4) para determinar la fuerza ejercida por el cable. Solución Dibuje el diagrama de cuerpo libre del automóvil

Dibuje un bosquejo del automóvil aislado.

Complete el diagrama de cuerpo libre mostrando las fuerzas ejercidas sobre el automóvil por su peso, el cable y la rampa.

T

mg N

Aplique las ecuaciones de equilibrio

Fx  T  N sen 20  0, Fy  N cos 20  mg  0.

y T

Al eliminar N se obtiene mg sen 20 cos 20 (1440 kg)(9.81 m/s2)sen 20  cos 20  5140 N. T

N

mg 20

x

Problema de práctica Suponga que el punto de unión del cable en B se mueve hacia arriba de manera que el cable sea paralelo a la rampa. Determine la magnitud de la fuerza ejercida por el cable sobre el automóvil. Respuesta: 4830 N.

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas

Ejemplo 3.2

Elección de un diagrama de cuerpo libre ( Relacionado con el problema 3.3)

El motor de automóvil que se muestra en la figura está suspendido mediante un sistema de cables. La masa del motor es de 200 kg. El sistema es estacionario. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AB y AC?

B

Estrategia Se necesita un diagrama de cuerpo libre en el que se muestren las fuerzas que se desean determinar. Aislando parte del sistema de cables cerca del punto A, donde se unen los cables, se puede obtener un diagrama de cuerpo libre que está sometido al peso del motor y a las tensiones desconocidas en los cables AB y AC.

A

Solución Dibujo del diagrama de cuerpo libre Aislando parte del sistema de cables cerca del punto A (figura a), se obtiene un diagrama de cuerpo libre sometido al peso del motor W  mg  (200 kg)(9.81 m/s2)  1962 N y a las tensiones en los cables AB y AC (figura b). y TAB

TAB

TAC

C

B

60 A

TAB sen 60 TAC sen 45 TAC

60

45

TAB cos 60

45 TAC cos 45

A

W

W (a)

(b)

(a) Aislamiento de parte del sistema de cables. (b) Diagrama de cuerpo libre completo.

x

(c) Selección de un sistema coordenado y descomposición de las fuerzas en sus componentes.

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Se selecciona el sistema coordenado que se muestra en la figura c y se descomponen las tensiones de los cables en sus componentes x y y. Las ecuaciones de equilibrio resultantes son 兺Fx  TAC cos 45°  TAB cos 60°  0, 兺Fy  TAC sen 45°  TAB sen 60°  1962 N  0. Al resolver estas ecuaciones, se encuentra que las tensiones en los cables son TAB  1436 N y TAC  1016 N. Razonamiento crítico ¿Cómo puede escogerse un diagrama de cuerpo libre que permita determinar las tensiones desconocidas en los cables? No existen reglas específicas para elegir diagramas de cuerpo libre. Usted aprenderá a hacerlo con los ejemplos que se presentarán, pero siempre encontrará situaciones nuevas. Quizá sea necesario ensayar varios diagramas de cuerpo libre antes de encontrar el que proporcione la información requerida. Recuerde que las fuerzas que se desean determinar deben aparecer como fuerzas externas en el diagrama de cuerpo libre, y que el objetivo es obtener un número de ecuaciones de equilibrio igual al número de fuerzas desconocidas.

60

45

C

93

94

Capítulo 3 Fuerzas

Ejemplo 3.3

Aplicación del equilibrio a un sistema de poleas ( Relacionado con el problema 3.54) La masa de cada polea del sistema es m, y la masa del objeto suspendido A es mA. Determine la fuerza T necesaria para que el sistema esté en equilibrio.

D

C

B T A

Estrategia Al dibujar diagramas de cuerpo libre de las poleas individuales y al aplicar el equilibrio, es posible relacionar la fuerza T con los pesos de las poleas y el objeto A. Solución Primero se dibuja un diagrama de cuerpo libre de la polea C, a la cual se le aplica la fuerza T (figura a). Observe que se supone que la tensión en el cable soportada por la polea es igual a T en ambos lados (vea la figura 3.8). A partir de la ecuación de equilibrio

TD

D

C

TD - T - T - mg = 0, mg

T

se determina que la tensión en el cable soportada por la polea D es T

(a)

C

TD ⫽ 2T ⫹ mg

B T

T

T

TD = 2T + mg. Ahora se conocen las tensiones en los cables que se extienden desde las poleas C y D hasta la polea B en términos de T. Al dibujar el diagrama de cuerpo libre de la polea B (figura b), se obtiene la ecuación de equilibrio

T + T + 2T + mg - mg - mAg = 0. Resolviendo, se obtiene T ⫽ mA g/4.

A B

mg

mAg (b)

(a) Diagrama de cuerpo libre de la polea C. (b) Diagrama de cuerpo libre de la polea B.

Razonamiento crítico Observe que los objetos que se aislaron en las figuras a y b incluyen partes de los cables. Los pesos de esas partes del cable son fuerzas que actúan en los diagramas de cuerpo libre. ¿Por qué no fueron incluidas? Se supuso de manera tácita que los pesos de esas partes podrían ignorarse en comparación con los pesos de las poleas y el objeto suspendido A. A través del libro, usted se dará cuenta que a menudo los pesos de los objetos son ignorados al analizar las fuerzas que actúan sobre ellos. Ésta es una aproximación válida para un objeto dado si su peso es pequeño en comparación con las otras fuerzas que actúan sobre él; sin embargo, en cualquier aplicación real de ingeniería, este supuesto debe evaluarse con cuidado. En el capítulo 7 se analizan los pesos de los objetos a mayor detalle.

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas

Fuerzas sobre un avión en equilibrio ( Relacionado con los problemas 3.60–3.62)

Ejemplo 3.4

En la figura se muestra un avión que vuela en el plano vertical y su diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas que actúan sobre el avión son su peso W, el empuje T ejercido por sus motores, y las fuerzas aerodinámicas que resultan de la distribución de presión sobre la superficie del avión. La línea discontinua indica la trayectoria que sigue el avión. Las fuerzas aerodinámicas se descomponen en una componente perpendicular a la trayectoria, la fuerza de elevación L, y una componente paralela a la trayectoria, la fuerza de arrastre D. El ángulo g entre la horizontal y la trayectoria se denomina ángulo de la trayectoria de vuelo, y a es el ángulo de ataque. Si el avión permanece en equilibrio durante un intervalo de tiempo, se dice que se encuentra en vuelo uniforme. Si g ⫽ 6°, D ⫽ 125 kN, L ⫽ 680 kN y la masa del avión es de 72,000 kg, ¿qué valores de T y de a son necesarios para mantener un vuelo uniforme? y Trayectoria T x a g

L

D

Horizontal W

Estrategia Se supone que el avión está en equilibrio. Aplicando las ecuaciones (3.4) al diagrama de cuerpo libre dado, se obtendrán dos ecuaciones con las cuales podrá determinarse T y a. Solución En términos del sistema coordenado de la figura, las ecuaciones de equilibrio son 兺Fx ⫽ T cos a ⫺ D ⫺ W sen g ⫽ 0,

(1)

兺Fy ⫽ T sen a ⫹ L ⫺ W cos g ⫽ 0,

(2)

donde el peso del avión es W ⫽ (72,000 kg)(9.81 m/s ) ⫽ 706,000 N. De la ecuación (2) se despeja sen a, de la ecuación (1) se despeja cos a y se dividen para obtener una ecuación para tan a: 2

tan a =

=

W cos g - L W sen sin g + D

1706,000 N2 cos 6° - 680,000 N 1706,000 N2 sen sin 6° + 125,000 N

= 0.113.

El ángulo de ataque a ⫽ arctan(0.113) ⫽ 6.44°. Ahora se usa la ecuación (1) para determinar el empuje:

T = =

W sen sin g + D cos a 1706,000 N2 sen sin 6° + 125,000 N cos 6.44°

= 200,000 N.

Observe que el empuje necesario para un vuelo uniforme es de 28% del peso del avión.

95

96

Capítulo 3 Fuerzas

Problemas  3.1 En el ejemplo activo 3.1, suponga que el ángulo de la rampa que soporta el automóvil se aumenta de 20° a 30°. Dibuje el diagrama de cuerpo libre del automóvil que muestre la nueva geometría. Suponga que el cable de A a B debe ejercer una fuerza horizontal de 1900 lb sobre el auto para mantenerlo en su lugar. Determine el peso del automóvil en libras.

3.5 Una pesada cuerda que se usa como amarradero para un barco crucero se cuelga en la forma mostrada. Si la masa de la cuerda es 90 kg, ¿cuáles son las tensiones en la cuerda en A y B?

55⬚

A B

3.2 El anillo de la figura pesa 5 lb y está en equilibrio. La fuerza F1 ⫽ 4.5 lb. Determine la fuerza F2 y el ángulo a. Problema 3.5

y

F2

40⬚

a

3.6 Un fisiólogo estima que el músculo masetero de un depredador es capaz de ejercer una fuerza M de hasta 900 N. Suponga que la quijada está en equilibrio y determine la fuerza necesaria T que ejerce el músculo temporal y la fuerza P ejercida sobre un objeto mordido por el depredador.

F1 30⬚ x

22⬚ T

Problema 3.2

P

 3.3 En el ejemplo 3.2, suponga que el punto de unión C se mueve a la derecha y el cable AC se extiende de manera que el ángulo entre el cable AC y el techo disminuye de 45° a 35°. El ángulo entre el cable AB y el techo permanece en 60°. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AB y AC? 3.4 Un motor de 200 kg está suspendido por los cables AB y AC. El ángulo a ⫽ 40°. En la figura se muestra el diagrama de cuerpo libre obtenido al aislar la parte del sistema dentro de la línea discontinua. Determine las fuerzas TAB y TAC.

y

TAB

B

TAC

C

a A

a A

(200 kg) (9.81 m/s2)

Problema 3.4

x

M

36⬚

Problema 3.6

Problemas 3.7 Los dos resortes de la figura son idénticos, con longitudes sin elongar de 250 mm y constantes k  1200 N/m. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del bloque A. b) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del bloque B. c) ¿Cuáles son las masas de los dos bloques? 3.8 Los dos resortes de la figura son idénticos, con longitudes sin elongar de 250 mm. Suponga que la constante k es desconocida y que la suma de las masas de los bloques A y B es 10 kg. Determine el valor de k y las masas de los dos bloques.

97

3.10 La masa de una grúa es de 20,000 kg. El cable de la grúa está unido a un bloque cuya masa es de 400 kg. La tensión en su cable es de 1 kN. a) Determine las magnitudes de las fuerzas normal y de fricción ejercidas sobre la grúa por el terreno a nivel del suelo. b) Determine las magnitudes de las fuerzas normal y de fricción ejercidas sobre el cajón por el suelo a nivel del suelo. Estrategia: Para resolver el inciso a), dibuje el diagrama de cuerpo libre de la grúa y la parte de su cable dentro de la línea discontinua.

300 mm 45

A

Problema 3.10 280 mm

3.11 La superficie inclinada es lisa. La caja de 100 kg se mantiene estacionaria mediante la fuerza T aplicada al cable. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la caja. b) Determine la fuerza T.

B

Problemas 3.7/3.8 T

3.9 La superficie inclinada es lisa (recuerde que “lisa” significa que se puede ignorar la fricción). Los dos resortes son idénticos. Con longitudes sin elongar de 250 mm y constantes de resorte k  1200 N/m, ¿cuáles son las masas de los bloques A y B?

60

300 mm A

Problema 3.11

280 mm B

30

Problema 3.9

98

Capítulo 3 Fuerzas

3.12 El automóvil de 1200 kg que se muestra en la figura se estaciona en una calle inclinada. a) Si a ⫽ 20°, ¿cuáles son las magnitudes de las fuerzas totales normal y de fricción ejercidas sobre las llantas del auto por el pavimento? b) El automóvil permanecerá estacionado sólo si la fuerza de fricción total necesaria para el equilibrio no es mayor que 0.6 veces la fuerza normal total. ¿Cuál es el máximo ángulo a para el cual el automóvil permanecerá estacionado?

3.15 Una caja de 80 lb se mantiene en su lugar sobre una superficie lisa inclinada mediante la cuerda AB que se muestra en la figura. Determine la tensión en la cuerda y la fuerza normal ejercida sobre la caja por la superficie inclinada. A B

30⬚

50⬚

Problema 3.15 a

Problema 3.12 3.13 Una caja de 100 lb está en equilibrio sobre la superficie lisa que se muestra en la figura. La constante del resorte es k ⫽ 400 lb/pie. Sea S la elongación del resorte. Obtenga una ecuación para S (en pies) como una función del ángulo a.

3.16 El automóvil de 1360 kg y el camión de remolque de 2100 kg que se muestran en la figura están estacionados. La superficie fangosa sobre la que descansan las llantas del automóvil ejerce fuerzas de fricción despreciables sobre éstas. ¿Cuál es la tensión en el cable del remolque?

18⬚

10⬚

26⬚ a

Problema 3.16

Problema 3.13 3.14 Una caja de 600 lb se mantiene en equilibrio sobre la plataforma lisa de un camión de volteo por medio de la cuerda AB. a) Si a ⫽ 25°, ¿cuál es la tensión en la cuerda? b) Si la cuerda resiste con seguridad una tensión de 400 lb, ¿cuál es el valor máximo permisible para a?

3.17 Cada caja pesa 40 lb. Los ángulos se miden en relación con la horizontal. Las superficies son lisas. Determine la tensión en la cuerda A y la fuerza normal ejercida sobre la caja B por la superficie inclinada.

A B

B A

C a 70⬚

45⬚

D

20⬚

Problema 3.17 Problema 3.14

Problemas 3.18 Un cuadro de 10 kg está colgado con un alambre, soportado por un clavo. La longitud del alambre es 1.3 m. a) ¿Cuál es la tensión en el alambre? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre el clavo por el alambre?

99

3.22 Una trabajadora ejerce una fuerza de 20 lb sobre la cuerda que se muestra en la figura para mantener la caja en equilibrio y en su posición. ¿Cuál es el peso de la caja?

5

1.2 m 30

Problema 3.18 3.19 Un cuadro de 10 kg está colgado con un alambre, soportado por dos clavos. La longitud del alambre es 1.3 m. a) ¿Cuál es la tensión en el alambre? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre cada clavo por el alambre? (Suponga que la tensión es la misma en cada parte del alambre). Compare sus respuestas con los resultados del problema 3.18. Problema 3.22

0.4 m

0.4 m

0.4 m

Problema 3.19

3.23 Un trabajador en la Luna, donde la aceleración debida a la gravedad es de 1.62 m/s2, mantiene en equilibrio la misma caja descrita en el problema 3.22 en la posición mostrada. ¿Qué fuerza debe ejercer sobre el cable para mantener la caja en equilibrio a) en newtons y b) en libras?

5

3.20 Suponga que el alpinista de 150 lb que se muestra en la figura está en equilibrio. ¿Cuáles son las tensiones en la cuerda al lado izquierdo y al lado derecho del alpinista? 3.21 Si la masa del alpinista del problema 3.20 es de 80 kg, ¿cuáles son las tensiones en la cuerda al lado izquierdo y al lado derecho del alpinista?

24

30

15

Problema 3.23

Problemas 3.20/3.21

100

Capítulo 3 Fuerzas

3.24 La persona que se muestra en la figura quiere hacer que la caja de 200 lb comience a deslizarse hacia la derecha. Para lograr esto, la componente horizontal de la fuerza ejercida por la cuerda sobre la caja debe ser igual a 0.35 veces la fuerza normal ejercida por el piso sobre la caja. En la figura (a), la persona jala la cuerda en la dirección mostrada. En la figura (b), la persona une la cuerda a un soporte como se muestra en la figura y la jala hacia arriba. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que la persona debe ejercer sobre la cuerda en cada caso?

3.26 Las longitudes de los cables AB y BC que se muestran en la figura tienen 3 m y 4 m de longitud, respectivamente. Los puntos A y C están a la misma altura. La masa del objeto suspendido es 350 kg. Determine las tensiones en los cables AB y BC. 3.27 La longitud del cable AB es ajustable. El cable BC tiene 4 m de largo. Si usted no desea que la tensión en el cable AB o en el cable BC exceda 3 kN, ¿cuál es la longitud mínima aceptable del cable AB? 5m A

C

20 B (a)

Problemas 3.26/3.27 3.28 ¿Cuáles son las tensiones en los cables superior e inferior? (Deberá dar sus respuestas en términos de W; ignore el peso de la polea).

10

(b)

Problema 3.24 45

3.25 Un ingeniero de tráfico desea suspender un semáforo de 200 lb encima del centro de los dos carriles derechos de una avenida de cuatro carriles, como se muestra en la figura. Los puntos A y C están a la misma altura. Determine las tensiones en los cables AB y BC.

20 pies

W

Problema 3.28 3.29 Después de un accidente, dos camiones de remolque elevan una motocicleta de 600 lb para sacarla de la barranca que se muestra en la figura. Si la motocicleta se encuentra en equilibrio en la posición mostrada, ¿cuáles son las tensiones en los cables AB y AC?

80 pies A

30

C

10 pies B

30 pies

(36, 36) pies

y (12, 32) pies

C

B

(26, 16) pies A

Problema 3.25 x

Problema 3.29

Problemas 3.30 Una aspirante a astronauta realiza experimentos sobre una plataforma neumática. Mientras efectúa calibraciones, la plataforma se mantiene en equilibrio mediante los tirantes AB, AC y AD. Las fuerzas ejercidas por los tirantes son las únicas fuerzas horizontales que actúan sobre la plataforma. Si la tensión en el tirante AC es de 2 N, ¿cuáles son las tensiones en los otros dos tirantes?

101

3.32 El collarín A está en equilibrio y la barra es lisa. ¿Cuál es la masa del collarín?

20

200 N

A

VISTA SUPERIOR D

45 4.0 m

Problema 3.32 A

3.5 m B

C 3.0 m

3.33 La masa de 20 kg que se muestra en la figura está suspendida de tres cables. El cable AC está equipado con un torniquete, de manera que su tensión puede ajustarse, y un calibrador, que permite medir su tensión. Si la tensión en el cable AC es de 40 N, ¿cuáles son las tensiones en los cables AB y AD?

1.5 m 0.4 m

0.4 m

0.48 m

Problema 3.30 B

3.31 La cubeta de la figura contiene concreto y pesa 5800 lb. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AB y AC?

C

0.64 m A

(5, 34) pies y

B

C

(20, 34) pies

Problema 3.33

(12, 16) pies A

x

Problema 3.31

D

102

Capítulo 3 Fuerzas

3.34 La junta estructural se encuentra en equilibrio. Si FA  1000 lb y FD  5000 lb, ¿cuáles son los valores de FB y FC? FC 80 FB 65

35

FA

FD

Problema 3.34

3.35 El collarín A se desliza sobre la barra vertical lisa que se muestra en la figura. Las masas mA  20 kg y mB  10 kg. Cuando h  0.1 m, el resorte está sin elongar. Cuando el sistema está en equilibro, h  0.3 m. Determine la constante k del resorte. 0.25 m

3.36* Suponga que se desea diseñar un sistema de cables para suspender del techo un objeto con peso W. Los dos cables deben ser idénticos, y la dimensión b es constante. La razón de la tensión T en cada cable sobre su área de sección transversal A debe ser igual a un valor específico T兾A  s. El “costo” de su diseño es el b2 苶 苶 h2. volumen total de material en los dos cables, V  2A兹苶 Determine el valor de h que minimiza el costo.

h

b

b

A B

k

h

h

W

Problema 3.36 Problema 3.35

Problemas 3.37 Un sistema de cables sostiene un banco de luces de 1000 lb sobre un estudio cinematográfico. Determine las tensiones en los cables AB, CD y CE que se muestran en la figura.

103

3.39 Mientras trabaja en otra muestra, un curador del Instituto Smithsonian jala hacia un lado el avión Voyager suspendido de la figura, uniendo los tres cables horizontales mostrados. La masa del avión es de 1250 kg. Determine las tensiones en los segmentos de cable AB, BC y CD.

3.38 Un técnico cambia la posición del banco de luces de 1000 lb retirando el cable CE. ¿Cuál es la tensión en el cable AB después del cambio?

D 20 pies

C

18 pies

50

B B

30

D C

A

70

E

45

30 A

Problema 3.39

Problemas 3.37/3.38

3.40 Un vendedor de camiones quiere suspender un vehículo de 4000 kg como se muestra en la figura, con fines publicitarios. La distancia b  15 m y la suma de las longitudes de los cables AB y BC es de 42 m. Los puntos A y C tienen la misma altura. ¿Cuáles son las tensiones en los cables? 40 m A

b C

B

Problema 3.40

104

Capítulo 3 Fuerzas

3.41 La distancia h  12 pulg y la tensión en el cable AD es de 200 lb. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AB y AC? B

3.44 Las masas m1  12 kg y m2  6 kg se suspenden mediante el sistema de cables mostrado en la figura. El cable BC es horizontal. Determine el ángulo a y la tensión en los cables AB, BC y CD.

A

12 pulg

A D

D C

α 12 pulg

B

h

8 pulg

70

C m1

12 pulg

m2

8 pulg

Problema 3.41

Problema 3.44

3.42 Suponga que usted está diseñando un sistema de cables para soportar un objeto suspendido con peso W. Como su diseño requiere que los puntos A y B se coloquen como lo muestra la figura, no tiene control sobre el ángulo a, pero puede elegir el ángulo b colocando el punto C donde desee. Demuestre que para minimizar las tensiones en los cables AB y BC, se debe elegir b  a si el ángulo a 45°. Estrategia: Dibuje un diagrama de la suma de fuerzas ejercidas por los tres cables en A.

3.45 Los pesos W1  50 lb y W2 se suspenden mediante el sistema de cables que se muestra en la figura. Determine el peso W2 y las tensiones en los cables AB, BC, CD. 3.46 Suponga que W2  W1/2. Si no se desea que la tensión supere 200 lb en ningún punto del cable, ¿Cuál es el mayor valor aceptable para W1? 30 pulg

30 pulg

30 pulg

A

D 16 pulg

20 pulg

B a

b

C

B

C

W2

W1

Problemas 3.45/3.46

A

W

Problema 3.42 3.43* La longitud del cable ABC que se muestra en la figura es 1.4 m. La fuerza de 2 kN se aplica sobre una pequeña polea. El sistema es estacionario. ¿Cuál es la tensión en el cable?

3.47 El cilindro hidráulico está sujeto a tres fuerzas. Se ejerce una fuerza de 8 kN sobre el cilindro en B, la cual es paralela al cilindro y apunta desde B hacia C. El eslabón AC ejerce una fuerza en C que es paralela a la línea que va de A a C. El eslabón CD ejerce una fuerza en C que es paralela a la línea que va de C a D. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del cilindro (el peso del cilindro es insignificante). b) Determine las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los eslabones AC y CD. 1m

A

D

1m C

C

Cilindro hidráulico

1m 0.6 m B

A

0.75 m

B 15

Problema 3.43

2 kN

0.15 m

0.6 m

Problema 3.47

Pala

Problemas 3.48 Un cilindro de 50 lb descansa sobre dos superficies lisas. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del cilindro. b) Si a  30°, ¿cuáles son las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre el cilindro por las superficies izquierda y derecha? 3.49 Obtenga una ecuación para la fuerza ejercida por la superficie izquierda sobre el cilindro de 50 lb en términos del ángulo a de dos maneras: a) usando un sistema coordenado con el eje y vertical, y b) usando un sistema de coordenadas con el eje y paralelo a la superficie derecha.

105

3.51 El cable AB tiene 0.5 m de longitud. La longitud sin elongar del resorte es de 0.4 m. Cuando la masa de 50 kg se suspende en B, la longitud del resorte se incrementa a 0.45 m. ¿Cuál es la constante k del resorte?

0.7 m A C

k

B 45

a

Problema 3.51 Problemas 3.48/3.49

3.50 Los dos resortes son idénticos; cada uno tiene una longitud sin elongar de 0.4 m. Cuando la masa de 50 kg se suspende en B, la longitud de cada resorte se incrementa a 0.6 m. ¿Cuál es la constante k del resorte?

3.52* La esfera pequeña que se muestra en la figura tiene una masa m, está unida a un cordón de longitud L y descansa sobre la superficie lisa de una esfera fija de radio R. El centro de la esfera está directamente por debajo del punto donde está unido el cordón. Obtenga una ecuación para determinar la tensión en el cordón, en términos de m, L, h y R.

0.6 m A C

h

L m

k k R B

Problema 3.50

Problema 3.52

106

Capítulo 3 Fuerzas

3.53 La superficie inclinada es lisa. Determine la fuerza T que debe ejercerse sobre el cable para mantener en equilibrio la caja de 100 kg que se muestra en la figura y compare su respuesta con el resultado del problema 3.11.

3.56 La masa suspendida m1  50 kg. Si se ignoran las masas de las poleas, determine el valor de la masa m2 necesaria para que el sistema esté en equilibrio.

A

T

B 60

C m2

Problema 3.53 m1

 3.54 En el ejemplo 3.3, suponga que la masa del objeto suspendido es mA y las masas de las poleas son mB  0.3mA, mC  0.2mA y mD  0.2mA. Muestre que la fuerza T necesaria para que el sistema esté en equilibrio es de 0.275 mAg. 3.55 La masa de cada polea del sistema que se muestra en la figura es m y la masa del objeto A suspendido es mA. Determine la fuerza T necesaria para que el sistema esté en equilibrio.

T A

Problema 3.55

Problema 3.56

Problemas

107

3.57 El niño que se muestra en la figura se está elevando a sí mismo usando la polea y el polipasto mostrados. Si el peso de la polea y el polipasto son insignificantes, y el peso combinado del niño y la viga sobre la que está sentado es de 120 lb, ¿qué fuerza debe ejercer sobre la cuerda para elevarse a una velocidad constante? (Desprecie la desviación de las cuerdas con respecto a la vertical).

Problema 3.57 3.58 En la figura se muestran sistemas que contienen una, dos y tres poleas. Sin considerar los pesos de las poleas, determine la fuerza T requerida para soportar el peso W en cada caso. 3.59 El número de poleas en el tipo de sistema mostrado en la figura podría extenderse de manera obvia a un número arbitrario N. a) Si se desprecian los pesos de las poleas, determine la fuerza T requerida para soportar el peso W como una función del número N de poleas en el sistema. b) Usando los resultados del inciso (a), determine la fuerza T requerida para soportar el peso W para un sistema con 10 poleas. T

T

T

W (a) Una polea W (b) Dos poleas

W (c) Tres poleas

Problemas 3.58/3.59

 3.60 Un avión de 14,000 kg se encuentra en vuelo uniforme en el plano vertical. La trayectoria de vuelo es g ⫽ 10°, el ángulo de ataque es a a ⫽ 4° y la fuerza de empuje ejercida por el motor es T ⫽ 60 kN. ¿Cuáles son las magnitudes de las fuerzas de elevación y arrastre que actúan sobre el avión? (Vea el ejemplo 3.4).  3.61 Un avión se encuentra en vuelo uniforme, el ángulo de ataque a ⫽ 0, la razón del empuje sobre el arrastre T兾D ⫽ 2 y la razón de la elevación sobre el arrastre L兾D ⫽ 4. ¿Cuál es el ángulo g de la trayectoria del vuelo? (Vea el ejemplo 3.4).  3.62 Un avión planea en vuelo uniforme (T ⫽ 0) y su razón de elevación sobre arrastre L兾D ⫽ 4. a) ¿Cuál es el ángulo g de la trayectoria del vuelo? b) Si el avión planea desde una altura de 1000 m hasta una altura de 0 m, ¿qué distancia horizontal viajará? (Vea el ejemplo 3.4).

108

Capítulo 3 Fuerzas

3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzas Las situaciones de equilibrio que se han considerado hasta ahora implicaron sólo fuerzas coplanares. Cuando el sistema de fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio es tridimensional, es posible expresar la suma de las fuerzas externas como

©F = 1©Fx2i + 1©Fy2j + 1©Fz2k = 0. Cada componente de esta ecuación debe ser igual a cero, lo que resulta en tres ecuaciones de equilibrio escalares

©Fx = 0,

©Fy = 0,

©Fz = 0.

(3.5)

Las sumas de las componentes x, y y z de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio deben ser iguales a cero.

Ejemplo activo 3.5

( Relacionado con el problema 3.63) El cilindro de 1000 kg que se muestra en la figura pende del techo por un sistema de cables sostenidos en los puntos B, C y D. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AB, AC y AD? C (2, 0, 2) m

y x B (4, 0, 2) m

(3, 0, 3) m D A (0, 4, 0) m

z

100 kg

Estrategia Si se aísla parte del sistema de cables cerca del punto A, se obtendrá un diagrama de cuerpo libre sometido a las fuerzas causadas por las tensiones en los cables. Como cada suma de las componentes x, y y z de las fuerzas externas debe ser igual a cero, se pueden obtener tres ecuaciones para las tres tensiones desconocidas. Para hacer esto, es necesario expresar las fuerzas ejercidas por las tensiones en términos de sus componentes. Solución Dibuje el diagrama de cuerpo libre y aplique el equilibrio y C x

Aísle parte del sistema de cables cerca del punto A y muestre las fuerzas ejercidas por las tensiones en los cables. La suma de las fuerzas debe ser igual a cero: F  TAB  TAC  TAD  (981 N)j  0.

B

TAC

D TAB

TAD

z

A

A (100 kg)(9.81 m/s2)j

3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzas

Escriba los vectores en términos de sus componentes y C

rAB

x B (4, 0, 2) m

D z

Obtenga un vector unitario que tenga la misma dirección de la fuerza TAB dividiendo el vector de posición rAB del punto A al punto B entre su magnitud.

rAB  (xB  xA)i  (yB  yA)j  (zB  zA)k.  4i  4j  2k (m). r eAB  AB  0.667i  0.667j  0.333k. 兩rAB兩

TAB  TAB eAB  TAB(0.667i  0.667j  0.333k), TAC  TAC (0.408i  0.816j  0.408k), TAD  TAD(0.514i  0.686j  0.514k).

A (0, 4, 0) m

Exprese la fuerza TAB en términos de sus componentes escribiéndola como el producto de la tensión TAB en el cable AB por el vector unitario eAB. Exprese las fuerzas TAC y TAD en términos de sus componentes usando el mismo procedimiento.

Sustituya estas expresiones en la ecuación de equilibrio TAB  TAC  TAD  (981 N)j  0. Como las componentes i, j y k deben ser iguales a cero, esto resulta en tres ecuaciones:

0.667TAB  0.408TAC  0.514TAD  0, 0.667TAB  0.816TAC  0.686TAD  981 N  0, 0.333TAB  0.408TAC  0.514TAD  0. Resolviendo estas tres ecuaciones, se obtiene TAB  519 N, TAC  636 N y TAC  168 N. Problema de práctica Suponga que los cables AB, AC y AD se alargan de manera que el punto de unión A se ubica en el punto (0, 6, 0) m. ¿Cuáles son las tensiones en los cables? Respuesta: TAB = 432 N, TAC = 574 N, TAD = 141 N.

109

110

Capítulo 3 Fuerzas

Ejemplo 3.6

Aplicación del producto punto ( Relacionado con el problema 3.79) El collarín C de 100 lb que se muestra en la figura se mantiene en su lugar sobre la barra lisa mediante el cable AC. Determine la tensión en el cable y la fuerza ejercida sobre el collarín por la barra. y B 4 pies A 6 pies

7 pies

C O x 4 pies

z

D

4 pies

Estrategia Como se desea determinar las fuerzas que actúan sobre el collarín, es necesario dibujar su diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas externas que actúan sobre el collarín son su peso y las fuerzas ejercidas sobre él por el cable y la barra. Si este ejemplo se resuelve como el anterior, el siguiente paso consiste en expresar las fuerzas en función de sus componentes. Sin embargo, no se conoce la dirección de la fuerza ejercida por la barra sobre el collarín. Como la barra lisa ejerce una fuerza de fricción insignificante, se sabe que la fuerza es normal al eje de la barra. Por lo tanto, es posible eliminar esta fuerza de la ecuación 兺F  0 tomando el producto punto de la ecuación con un vector unitario que sea paralelo a la barra. Solución Dibuje el diagrama de cuerpo libre Se aísla el collarín (figura a) y se completa el diagrama de cuerpo libre mostrando el peso del collarín, la fuerza T ejercida por la tensión en el cable y la fuerza normal N ejercida por la barra (figura b). Aplique las ecuaciones de equilibrio La suma de las fuerzas externas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre es

©F = T + N - 1100 lb2j = 0.

(1)

Sea eBD el vector unitario que apunta desde el punto B hacia el punto D. Como N es perpendicular a la barra, eBD ⴢ N  0. Por lo tanto,

eBD # 1©F2 = eBD # [T - 1100 lb2j] = 0. Determinación de eBD: Se determina el vector que va del punto B al punto D, rBD  (4  0)i  (0  7)j  (4  0)k  4i  7j  4k (pie), y se divide entre su magnitud para obtener el vector unitario eBD:

eBD =

rBD

ƒ rBD ƒ

=

4 7 4 i - j + k. 9 9 9

(2)

3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzas

111

Expresión de T en términos de componentes: Es necesario determinar las coordenadas del collarín C. El vector que va de B a C puede escribirse en términos del vector unitario eBD, rBC  6eBD  2.67i  4.67j  2.67k (pie), y luego puede sumarse al vector que va del origen O a B para obtener el vector de O a C:

rOC = rOB + rBC = 7j + 12.67i - 4.67j + 2.67k2  2.67i  2.33j  2.67k (pie),

Las componentes de este vector son las coordenadas del punto C. Ahora se puede determinar un vector unitario con la misma dirección que T. El vector de C a A es

rCA = 10 - 2.672i + 17 - 2.332j + 14 - 2.672k

(a)

  2.67i  4.67j  1.33k (pie),

y el vector unitario que apunta desde el punto C hacia el punto A es

eCA =

rCA

ƒ rCA ƒ

T N

= - 0.482i + 0.843j + 0.241k.

Sea T la tensión en el cable AC. Entonces se puede escribir el vector T como

T = TeCA = T1-0.482i + 0.843j + 0.241k2. Determinación de T y N: Si se sustituye en la ecuación (2) las expresiones para eBD y T en términos de sus componentes, resulta

0 = eBD # 3T - 1100 lb2j4 4 7 4 = a i - j + kb # [-0.482T i + 10.843T - 100 lb2j + 0.241T k] 9 9 9 = - 0.762T + 77.8 lb, y se obtiene la tensión T  102 lb. Usando la ecuación (1) ahora es posible determinar la fuerza ejercida por la barra sobre el collarín:

N = - T + 1100 lb2j

= - 1102 lb21- 0.482i + 0.843j + 0.241k2 + 1100 lb2j = 49.1i + 14.0j - 24.6k 1lb2.

Razonamiento crítico Al obtener el producto punto de la ecuación de equilibrio para el collarín con un vector unitario eBD que es paralelo a la barra lisa BD, se obtuvo la ecuación (2), la cual no contiene la fuerza normal N. ¿Por qué pasa esto? La respuesta formal es que eBD es perpendicular a N, y entonces eBD ⴢ N  0. Pero la interpretación física de la ecuación (2) proporciona una explicación más convincente: Ésta establece que la componente del peso del collarín paralela a la barra está balanceada por la componente de T paralela a la barra. La fuerza normal ejercida sobre el collarín por la barra lisa no tiene componente paralela a la barra. Entonces se tuvo la posibilidad de resolver para la tensión en el cable sin conocer la fuerza normal N.

100 j (lb)

(b)

(a) Aislamiento del collarín. (b) Diagrama de cuerpo libre del collarín donde se muestran las fuerzas ejercidas por su peso, el cable y la barra.

112

Capítulo 3 Fuerzas

Problemas  3.63 En el ejemplo activo 3.5, suponga que el punto de unión B se mueve al punto (5, 0, 0) m. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AB, AC y AD?

3.67 El tractor de la figura ejerce una fuerza F  2i (kip) en A. ¿Cuáles son las tensiones en las cables AB, AC y AD? y

3.64 La fuerza F  800i  200j (lb) actúa en el punto A donde se unen los cables AB, AC y AD. ¿Cuáles son las tensiones en los tres cables?

6 pies C 8 pies 2 pies

3.65* Suponga que usted desea aplicar una fuerza F de 1000 lb en el punto A con una dirección tal que las tensiones resultantes en los cables AB, AC y AD sean iguales. Determine las componentes de F.

B

A

3 pies D

z 4 pies

y

8 pies

F

x

D (0, 6, 0) pies A (12, 4, 2) pies

C B

(6, 0, 0) pies

(0, 4, 6) pies

x

Problema 3.67

z

Problemas 3.64/3.65

3.66 El disco A de 10 lb de metal está soportado por la superficie lisa inclinada y los cordones AB y AC. El disco se localiza en las coordenadas (5, 1, 4) pies. ¿Cuáles son las tensiones en los cordones? y B

3.68 Antes de su despegue, un globo que lleva un conjunto de experimentos a gran altura se sostiene en su lugar por grupos de estudiantes voluntarios que sostienen los tirantes en B, C y D. La masa del globo, el paquete de experimentos y el gas que contiene es de 90 kg, y la fuerza de flotación del globo es 1000 N. El profesor supervisor estima de manera conservadora que cada estudiante puede ejercer al menos una tensión de 40 N sobre el tirante durante el intervalo de tiempo necesario. Con base en esta estimación, ¿cuál es el número mínimo de estudiantes necesarios en B, C y D?

(0, 6, 0) pies C

y (8, 4, 0) pies

2 pies x A z

8 pies

10 pies

Problema 3.66 A (0, 8,0) m C (10,0,12) m D (16,0,4) m z

x B (16,0,16) m

Problema 3.68

113

Problemas 3.69 La masa de 20 kg se suspende mediante cables unidos a tres postes verticales de 2 m. El punto A está en (0, 12, 0) m. Determine las tensiones en los cables AB, AC y AD. y

3.71 El automóvil de la figura a y la plataforma que lo sostiene pesan 3000 lb. Están soportados por cuatro cables AB, AC, AD y AE. Las ubicaciones de los puntos de unión sobre la plataforma se muestran en la figura b. Las tensiones en los cables AB y AE son iguales. Determine las tensiones en los cables.

C y

B D A A

(0, 10, 0) pies

1m 1m 2m

0.3 m

x

z

Problema 3.69 E C

3.70 El peso de la sección de pared horizontal es W  20,000 lb. Determine las tensiones en los cables AB, AC y AD.

z B x (a) 8 pies

C

D

A

5 pies

4 pies

D

10 pies

6 pies

7 pies x

6 pies

C

B

4 pies

14 pies 5 pies

8 pies W

Problema 3.70

E

B 6 pies

5 pies z (b)

Problema 3.71

114

Capítulo 3 Fuerzas

3.72 La carga de 680 kg suspendida desde el helicóptero está en equilibrio. La fuerza de arrastre aerodinámica sobre la carga es horizontal. El eje y es vertical, y el cable OA pertenece al plano x–y. Determine la magnitud de la fuerza de arrastre y las tensiones en el cable OA.

3.75* El automóvil de 3400 lb que se muestra en la figura se encuentra en reposo sobre la superficie plana. El vector unitario en ⫽ 0.456i ⫹ 0.570j ⫹ 0.684k es perpendicular a la superficie. Determine las magnitudes de la fuerza normal total N y la fuerza de fricción total f ejercida sobre la superficie por las llantas del auto.

3.73 Las coordenadas de los tres puntos de unión de los cables B, C y D son (⫺3.3, ⫺4.5, 0) m, (1.1, ⫺5.3, 1) m y (1.6, ⫺5.4, ⫺1) m, respectivamente. ¿Cuáles son las tensiones en los cables OB, OC y OD?

y en

x y

A

z

10⬚

Problema 3.75

O

x

3.76 El sistema que se muestra en la figura ancla un puntal de un techo suspendido por cables. Si la tensión en el cable AB es de 900 kN, ¿cuáles son las tensiones en los cables EF y EG?

B C

3.77* Cada uno de los cables del sistema que se muestra en la figura puede soportar de manera segura una tensión de 1500 kN. Con base en este criterio, ¿cuál es el valor seguro máximo de la tensión en el cable AB?

D

Problemas 3.72/3.73

3.74 Si la masa de la barra AB es despreciable en comparación con la masa del objeto E suspendido, la barra ejerce una fuerza sobre la “bola” en B que apunta desde A hacia B. La masa del objeto E es de 200 kg. El eje y apunta hacia arriba. Determine las tensiones en los cables BC y BD. Estrategia: Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la bola en B. (El peso de la bola es despreciable).

y G (0, 1.4, ⫺1.2) m F

E

(2, 1, 0) m

(1, 1.2, 0) m

B

(0, 1.4, 1.2) m

y

D B (4, 3, 1) m

(0, 5, 5) m

A (2.2, 0, ⫺1) m

(0, 4, ⫺3) m C D

z

C

(2.2, 0, 1) m

Problemas 3.76/3.77 x A E z

Problema 3.74

(3.4, 1, 0) m

x

Problemas 3.78 El collarín de 200 kg en A es mantenido en su lugar sobre la barra vertical lisa mediante el cable AB. a) Determine la tensión en el cable. b) Determine la fuerza ejercida por la barra sobre el collarín.

3.82* El collarín A de 10 kg y el collarín B de 20 kg se mantienen en su lugar sobre las barras lisas mediante el cable de 3 m que va de A a B y la fuerza F que actúa sobre A. La fuerza F es paralela a la barra. Determine F.

y

y

2m

(0, 5, 0) m

B

(0, 3, 0) m

F

A

3m

B A

5m

(4, 0, 0) m 2m

z

z

Problema 3.78  3.79 En el ejemplo 3.6, suponga que el cable AC se reemplaza por uno más largo, de manera que la distancia desde el punto B hasta el collarín C aumenta de 6 a 8 pies. Determine la tensión en el cable. 3.80 El cable AB mantiene en su lugar al collar A de 8 kg sobre la barra lisa CD. El eje y apunta hacia arriba. ¿Cuál es la tensión en el cable? 3.81* Determine la magnitud de la fuerza normal ejercida por la barra lisa sobre el collarín A. y 0.15 m

0.4 m

B

C

0.2 m 0.3 m

A 0.5 m O D

x 0.25 m

0.2 m z

Problemas 3.80/3.81

(0, 0, 4) m

Problema 3.82

x

2m

115

x

116

Capítulo 3 Fuerzas

Problemas de repaso 3.83 La caja de 100 lb que se muestra en la figura es mantenida en equilibrio sobre la superficie lisa por la cuerda AB. Determine la tensión en la cuerda y la magnitud de la fuerza normal ejercida por la superficie sobre la caja.

3.85 El motor de 400 lb que se muestra en la figura está suspendido por los cables AB y AC. Si usted no desea que TAB ni TAC sean mayores a 400 lb, ¿cuál es el valor mínimo aceptable del ángulo a? y

TAB

B

TAC

C

a A

a

A

45⬚

A

x

B

400 lb

30⬚

Problema 3.85 Problema 3.83

3.86 El cable AB mostrado es horizontal y la caja de la derecha pesa 100 lb. Las superficies son lisas.

3.84 El sistema mostrado se llama tracción de Russell. Si la suma de las fuerzas hacia abajo ejercidas en A y B por las piernas del paciente es de 32.2 lb, ¿cuál es el peso W?

a) ¿Cuál es la tensión en el cable? b) ¿Cuál es el peso de la caja de la izquierda? A

y

B

20⬚ 40⬚

25⬚

Problema 3.86

60⬚

20⬚

3.87 Suponga que las fuerzas ejercidas sobre el alpinista de 170 lb que se muestra en la figura, por las paredes inclinadas de la “chimenea”, son perpendiculares a las paredes. Si él está en equilibrio y ejerce una fuerza de 160 lb sobre la cuerda, ¿cuáles son las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre el alpinista por las paredes izquierda y derecha?

B A

W

10⬚

x

Problema 3.84

3⬚

4⬚

Problema 3.87

Problemas de repaso 3.88 La masa del objeto suspendido A es mA y las masas de las poleas son insignificantes. Determine la fuerza T necesaria para que el sistema esté en equilibrio.

117

3.90 La masa del bloque A que se muestra en la figura es de 42 kg, y la masa del bloque B es de 50 kg. Las superficies son lisas. Si los bloques están en equilibrio, ¿qué valor tiene la fuerza F?

B F

45 A

20

Problema 3.90 T

A

Problema 3.88

3.89 El ensamble A mostrado, que incluye la polea, pesa 60 lb. ¿Qué fuerza F se necesita para que el sistema esté en equilibrio?

3.91 El alpinista A está recibiendo ayuda de dos compañeros para subir la pendiente de hielo. Su masa es de 80 kg y los cosenos directores de la fuerza ejercida sobre él por la pendiente son cos ux  0.286, cos uy  0.429 y cos uz  0.857. El eje y es vertical. Si el alpinista está en equilibrio en la posición mostrada, ¿cuáles son las tensiones en las cuerdas AB y AC, y cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por la pendiente sobre el alpinista?

3.92 Considere al alpinista A que está siendo ayudado por sus compañeros en el problema 3.91. Para tratar de que las tensiones en las cuerdas sean menos desiguales, el alpinista B se mueve a la posición (4, 2, 0) m. ¿Cuáles son las nuevas tensiones en las cuerdas AB y AC, y cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por la pendiente sobre el alpinista? y

F

B (2, 2, 0) m

C (5, 2, 1) m

A

z

Problema 3.89

A (3, 0, 4) m

Problemas 3.91/3.92

x

118

Capítulo 3 Fuerzas

3.93 Un alpinista ayuda a subir a su amigo, quien jala una caja de suministros por una pendiente con hielo. Si la masa del amigo es de 90 kg y la masa de los suministros es de 22 kg, ¿cuáles son las tensiones en las cuerdas AB y CD? Suponga que la pendiente es lisa, es decir, que sólo la pendiente ejerce fuerzas normales sobre el hombre y la caja.

3.96 Para soportar la tienda de campaña mostrada, la tensión en la cuerda AB debe ser de 35 lb. ¿Cuáles son las tensiones en las cuerdas AC, AD y AE? y

A 20⬚

B

(0, 5, 0) pies C

C

(0, 6, 6) pies

40⬚

(6, 4, 3) pies A B (8, 4, 3) pies

D

75°

x E (3, 0, 3) pies

D 60⬚

z

Problema 3.93 3.94 El automóvil de 2800 lb se mueve a velocidad constante sobre un camino con la pendiente que se muestra en la figura. Las fuerzas aerodinámicas sobre el auto son el arrastre D ⫽ 270 lb, el cual es paralelo al camino y la elevación L ⫽ 120 lb, que es perpendicular al camino. Determine las magnitudes de las fuerzas totales normal y de fricción ejercidas por el camino sobre el automóvil.

Problema 3.96

3.97 El cable AB de la figura está unido a la parte superior del poste vertical de 3 m de altura y su tensión es de 50 kN. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AO, AC y AD? y 5m

L

D

5m C

D

15⬚

4m

Problema 3.94

8m

3.95 Un ingeniero que realiza estudios preliminares para el diseño de un nuevo radiotelescopio proyectó una plataforma triangular suspendida por cables apoyados en tres torres de 40 m de altura igualmente espaciadas. La plataforma tiene una masa de 20 Mg (megagramos) y está 10 m abajo del punto más alto de las torres. ¿A qué tensión están sometidos los cables?

(6, 2, 0) m B O

A

z 12 m

x

Problema 3.97 VISTA SUPERIOR

20 m 65 m

Problema 3.95

3m

Problemas de repaso 3.98* El automóvil de 1350 kg que se muestra en la figura está en reposo sobre una superficie plana con los frenos activados. El vector unitario en ⫽ 0.231i ⫹ 0.923j ⫹ 0.308k es perpendicular a la superficie. El eje y apunta hacia arriba. Los cosenos directores del cable que va de A a B son cos ux ⫽ ⫺0.816, cos uy ⫽ 0.408, cos uz ⫽ ⫺0.408, y la tensión en el cable es de 1.2 kN. Determine las magnitudes de las fuerzas normal y de fricción que ejercen las llantas del automóvil sobre la superficie. 3.99* Los frenos del automóvil del problema 3.98 se sueltan, y el auto se mantiene en equilibrio sobre la superficie plana mediante el cable AB. Las ruedas frontales se alinean de manera que las llantas no ejercen fuerzas de fricción paralelas al eje longitudinal del automóvil. El vector unitario ep ⫽ ⫺0.941i ⫹ 0.131j ⫹ 0.314k es paralelo a la superficie plana y está alineado con el eje longitudinal del auto. ¿Cuál es la tensión en el cable?

Proyecto de diseño 1 En la figura se muestra un posible diseño para una báscula simple con la que se desea pesar objetos. La longitud del resorte AB es 0.5 m. Cuando un objeto se coloca en el plato, el resorte se elonga y el cordón AB gira. El peso del objeto puede determinarse mediante la observación del cambio en el ángulo a.

119

y en B ep

A

x z

Problemas 3.98/3.99

b) Suponga que puede usar los mismos componentes —el plato, el transportador, un resorte, un cordón— así como una o más poleas. Sugiera otra posible configuración para la báscula. Use la estática para analizar su configuración propuesta y compare su exactitud con la de la configuración mostrada en la figura para objetos con masas en el rango de 0.2 a 2 kg.

Proyecto de diseño 2 Suponga que las posiciones de los 1m

B

C

a

A

puntos A, C y D del sistema de cables, de donde pende la masa de 100 kg, están fijos. Sin embargo, usted tiene la libertad de elegir las coordenadas x y z del punto B. Investigue los efectos sobre las tensiones en los cables de diferentes opciones para la ubicación del punto B. Si el costo del cable AB es proporcional al producto de la tensión en el cable y su longitud, investigue el efecto sobre el costo del cable de las diferentes opciones para la ubicación del punto B. Escriba un reporte breve donde describa los resultados de sus investigaciones y recomiende una ubicación para el punto B. y C (⫺2, 0, ⫺2) m

x B

(⫺3, 0, 3) m D

a) Suponga que se pesarán objetos con masas en el rango de 0.2 a 2 kg. Elija la longitud sin elongar y la constante del resorte con el propósito de obtener lecturas exactas de los pesos en el rango deseado (ignore los pesos del plato y el resorte; observe que, para determinar el peso de manera exacta, es necesario un cambio significativo en el ángulo a).

(x, 0, z) m z

A

(0, ⫺4, 0) m

100 kg

CAPÍTULO

4 Sistemas de fuerzas y momentos Los efectos de las fuerzas dependen no sólo de sus magnitudes y direcciones, sino también de los momentos o pares de torsión que ejercen. Los giros de objetos como las ruedas de un vehículo, el cigüeñal de un motor y el rotor de un generador eléctrico resultan de los momentos de las fuerzas ejercidas sobre ellos. Si un objeto está en equilibrio, el momento con respecto a cualquier punto debido a las fuerzas actuantes sobre el cuerpo es igual a cero. Antes de continuar con el estudio del diagrama de cuerpo libre y del equilibrio, es necesario entender cómo calcular los momentos e introducir el concepto de sistemas equivalentes de fuerzas y momentos.

 El contrapeso de la grúa de construcción ejerce un gran momento que la estructura de la grúa debe soportar durante el ensamble. En este capítulo se calculan momentos de fuerzas y se analizan sistemas de fuerzas y momentos.

122

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.1 Descripción bidimensional del momento ANTECEDENTES Considere una fuerza de magnitud F y un punto P, y una vista en la dirección perpendicular al plano que los contiene (figura 4.1a). La magnitud del momento de la fuerza respecto a P es el producto DF, donde D es la distancia perpendicular de P a la línea de acción de la fuerza (figura 4.1b). En este ejemplo, la fuerza tendería a causar un giro en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alrededor del punto P. Es decir, si se imagina que la fuerza actúa sobre un objeto que puede girar alrededor del punto P, la fuerza generará un giro en sentido contrario al

F

Figura 4.1 (a) La fuerza y el punto P. (b) Distancia perpendicular D del punto P a la línea de acción de F. (c) La dirección del momento es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

P

F

P

F

P D

(a)

(b)

(c)

movimiento de las manecillas del reloj (figura 4.1c). Se dice que la dirección del momento es contraria al sentido de las manecillas del reloj. Se definen los momentos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj como positivos y los momentos en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj como negativos. (Ésta es la convención usual, aunque se encontrarán situaciones en las que será más conveniente definir los momentos en sentido del movimiento de las manecillas del reloj como positivos.) Así, el momento de la fuerza respecto a P es

MP = DF. P W

D1

(a)

P W D2

(b)

Figura 4.2 (a) La colocación del televisor cerca de la pared minimiza el momento ejercido sobre el soporte de la repisa en P. (b) La colocación del televisor lejos de la pared ejerce un gran momento sobre el soporte en P y podría ocasionar que éste fallase.

(4.1)

Observe que si la línea de acción de F pasa por P, la distancia perpendicular D  0 y el momento de F respecto a P también es igual a cero. Las dimensiones del momento son (distancia)  (fuerza). Por ejemplo, los momentos pueden expresarse en newton-metro en unidades SI y en lb-pie en las unidades de uso común en Estados Unidos. Suponga que se desea colocar un televisor en una repisa, pero no se tiene la seguridad de que la unión de la repisa a la pared sea suficientemente fuerte para resistir la carga. De manera intuitiva, se colocará el aparato cerca de la pared (figura 4.2a), sabiendo que es más probable que la conexión falle si se coloca lejos de ella (figura 4.2b). ¿Cuál es la diferencia en los dos casos? La magnitud y la dirección de la fuerza ejercida sobre la repisa por el peso del televisor son las mismas en ambos casos, pero los momentos ejercidos sobre la unión son diferentes. El momento ejercido respecto a P por el peso, cuando éste se halla cerca de la pared, MP  D1W, es de menor magnitud que el momento respecto a P cuando el peso está lejos de la pared, MP  D2W. El método descrito en esta sección puede usarse para determinar la suma de los momentos de un sistema de fuerzas respecto a un punto si éstas son bidimensionales (coplanares) y el punto se encuentra en el mismo plano. Por ejemplo, considere la grúa para construcción que se muestra en la figura 4.3. La suma de los momentos ejercidos respecto al punto P por la carga W1 y el contrapeso W2 es

©MP = D1W1 - D2W2. Este momento tiende a ocasionar que la parte superior de la torre vertical gire, lo cual podría ocasionar su colapso. Si la distancia D2 se ajusta de modo que D1W1  D2W2, el momento respecto al punto P debido a la carga y al contrapeso será igual a cero.

4.1 Descripción bidimensional del momento

123

PP

W2 W1

D1

Figura 4.3 Grúa de torre usada en la construcción de edificios altos.

D2

Si una fuerza se expresa en términos de sus componentes, el momento de la fuerza respecto a un punto P es igual a la suma de los momentos de sus componentes respecto a P. En la próxima sección se demostrará este resultado que es de gran utilidad.

RESULTADOS F

Tanto el vector fuerza de magnitud F como el punto P , están contenidos en el plano de la página. P

F

Magnitud del momento La magnitud del momento de F respecto a P es el producto DF, donde D es la distancia perpendicular desde P hasta la línea de acción de F.

P D

Dirección y signo del momento Se dice que la dirección del momento es contraria al sentido de las manecillas del reloj si F tendiera a rotar un objeto clavado en P en dirección contraria a las manecillas del reloj con respecto a P. Excepto donde se establezca lo contrario, se define a los momentos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj como positivos y a los momentos en sentido del movimiento de las manecillas del reloj como negativos. Así, el momento de la fuerza mostrada respecto a P es MP  DF. (4.1)

F

P

y F

Si F se expresa en términos de sus componentes, el momento de F respecto a P es igual a la suma de los momentos de las componentes de F respecto a P.

P x

124

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo activo 4.1

Determinación de un momento ( Relacionado con el problema 4.1) ¿Cuál es el momento de la fuerza de 40 kN que se muestra en la figura respecto al punto A? 40 kN 30°

A 6m

Estrategia La magnitud del momento puede calcularse determinando la distancia perpendicular del punto A a la línea de acción de la fuerza. Solución

40 kN 6m 30

A

D

La distancia perpendicular de A a la línea de acción de la fuerza es D  (6 m)sen30  3m. Por lo tanto la magnitud del momento es (3 m)(40 kN)  120 kN-m. La dirección del momento es en sentido contrario a las manecillas del reloj, por lo tanto, MA  120 kN-m.

Problema de práctica Descomponga la fuerza de 40 kN en sus componentes horizontal y vertical, y calcule la suma de los momentos de las componentes respecto a A. Respuesta: 120 kN-m.

Ejemplo 4.2

Momento de un sistema de fuerzas ( Relacionado con el problema 4.12) 4 kN

Cuatro fuerzas actúan sobre la parte de máquina que se muestra en la figura. ¿Qué valor tiene la suma de los momentos de las fuerzas respecto al origen O?

30 2 kN 300 mm O 3 kN 300 mm

5 kN

Estrategia Se pueden determinar los momentos de las fuerzas respecto al punto O directamente de la información dada excepto para la fuerza de 4 kN. Se determinará su momento expresándolas en términos de sus componentes y sumando los momentos de las componentes.

400 mm

Solución Momento de la fuerza de 3 kN La línea de acción de la fuerza de 3 kN pasa por O. No ejerce momento respecto a O.

4.1 Descripción bidimensional del momento

Momento de la fuerza de 5 kN La línea de acción de la fuerza de 5 kN también pasa por O. Tampoco ejerce momento respecto a O. Momento de la fuerza de 2 kN La distancia perpendicular de O a la línea de acción de la fuerza de 2 kN es 0.3 m, y el sentido del momento respecto a O es en sentido del movimiento de las manecillas del reloj. El momento de la fuerza de 2 kN respecto a O es

-10.3 m212 kN2 = - 0.600 kN-m. (Observe que la distancia perpendicular se convirtió de milímetros a metros, con lo que se obtuvo el resultado en términos de kilonewton-metros.) Momento de la fuerza de 4 kN En la figura a se introduce un sistema coordenado y la fuerza de 4 kN se expresa en términos de sus componentes x e y. La distancia perpendicular de O a la línea de acción de la componente x es de 0.3 m, y la dirección del momento respecto a O es en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj. El momento de la componente x respecto a O es

-10.3 m214 cos 30° kN2 = - 1.039 kN-m. y 4 sen 30 kN

300 mm

2 kN O 3 kN

300 mm

4 kN 4 cos 30 kN x 5 kN

400 mm

(a) Descomposición de la fuerza de 4 kN en sus componentes.

La distancia perpendicular del punto O a la línea de acción de la componente y es de 0.7 m, y el sentido del momento respecto a O es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. El momento de la componente y respecto a O es (0.7 m)(4 sen 30° kN)  1.400 kN-m. La suma de los momentos de las cuatro fuerzas respecto a O es

©M0 = - 0.600 - 1.039 + 1.400 = - 0.239 kN-m. Las cuatro fuerzas ejercen un momento en sentido del movimiento de las manecillas del reloj de 0.239 kN-m respecto al punto O. Razonamiento crítico Si un objeto está sometido a un sistema de fuerzas conocidas, ¿por qué es útil determinar la suma de los momentos de las fuerzas respecto a un punto dado? Como se analizará en el capítulo 5, el objeto está en equilibrio sólo si la suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero, entonces el cálculo de la suma de los momentos proporciona una prueba para el equilibrio (observe que el objeto de este ejemplo no está en equilibrio). Es más: en dinámica puede determinarse la suma de los momentos de las fuerzas que actúan sobre los objetos para analizar sus movimientos angulares.

125

126

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Suma de momentos para determinar una fuerza desconocida ( Relacionado con el

Ejemplo 4.3

problema 4.23) B

El peso W  300 lb. La suma de los momentos respecto a C debido al peso W y de la fuerza ejercida sobre la barra CA por el cable AB es igual a cero. ¿Cuál es la tensión en el cable? A

7 pies

Estrategia Sea T la tensión en el cable AB. Usando las dimensiones dadas es posible expresar las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida sobre la barra por el cable en términos de T. Después, igualando a cero la suma de los momentos respecto a C debidos al peso de la barra y la fuerza ejercida por el cable, puede obtenerse una ecuación para T.

4 pies

W C 2 pies

2 pies

Solución Usando triángulos semejantes, se expresa la fuerza ejercida sobre la barra por el cable en términos de sus componentes horizontal y vertical (figura a). La suma de los momentos respecto a C debidos al peso de la barra y a la fuerza ejercida por el cable AB es

B 3 T 5 A

T

3 pies

4 3 ©MC = 4 a Tb + 4a Tb - 2W = 0. 5 5

4 T 5

Despejando T se obtiene

4 pies

T = 0.357W = 107.1 lb.

W

C 2 pies

Razonamiento crítico Este ejemplo es un precedente de las aplicaciones que se considerarán en el capítulo 5 y demuestra por qué es necesario saber cómo calcular momentos de fuerzas. Si la barra está en equilibrio, la suma de los momentos respecto a C es cero. La aplicación de esta condición permite determinar la tensión en el cable. ¿Por qué es necesario considerar la fuerza ejercida sobre la barra por su soporte en C? Porque se sabe que el momento de esa fuerza respecto a C es igual a cero.

2 pies

(a) Descomposición de la fuerza ejercida por el cable en sus componentes horizontal y vertical.

Problemas  4.1 En el ejemplo activo 4.1, la fuerza de 40 N apunta 30° por encima de la horizontal. Ahora suponga que la fuerza apunta 30° por debajo de la horizontal. Trace un bosquejo de la viga con la nueva orientación de la fuerza. ¿Cuál es el momento de la fuerza respecto al punto A?

4.3 Las ruedas de la grúa aérea ejercen fuerzas descendentes sobre la viga horizontal I en B y C. La fuerza en B es de 40 kip y la fuerza en C es de 44 kip; determine la suma de los momentos de las fuerzas sobre la viga respecto a) al punto A y b) al punto D.

4.2 La masa m1  20 kg. La magnitud del momento total respecto a B debido a las fuerzas ejercidas sobre la barra AB por los pesos de las dos masas suspendidas es 170 N-m. ¿Cuál es la magnitud del momento total debido a las fuerzas respecto al punto A? 0.35 m

0.35 m

10 pies

15 pies

25 pies

0.35 m

A

A

B

C

B

m1

m2

Problema 4.2

Problema 4.3

D

127

Problemas 4.4 ¿Cuál es la fuerza F aplicada a las pinzas que se requiere para ejercer un momento de 4 N-m respecto al centro del perno en P?

4.6 La fuerza F = 8 kN. ¿Cuál es el momento de la fuerza respecto al punto P? 4.7 Si la magnitud del momento debido a la fuerza F respecto a Q es 30 kN-m, ¿cuál es el valor de F? y (3, 7) m

F

Q (8, 5) m

P (3, 2) m

(7, 2) m x

Problemas 4.6/4.7 P

4.8 El soporte en el extremo izquierdo de la viga fallará si el momento respecto a A de la fuerza de 15 kN es mayor a 18 kN-m. Con base en este criterio, ¿cuál la longitud máxima permisible de la viga? F

F

165 mm

30

B

A

42

25

Problema 4.4 Problema 4.8 4.5 Dos fuerzas de igual magnitud F se aplican sobre la llave según se muestra en la figura. Si se requiere un momento de 50 N-m para aflojar la tuerca, ¿cuál es el valor necesario de F?

4.9 La barra AP tiene una longitud de 650 mm. El radio de la polea mide 120 mm. Se aplican fuerzas iguales T  50 kN en los extremos del cable. ¿Cuál es el valor de la suma de los momentos de las fuerzas a) respecto a A; b) respecto a P?

45

A

30 T

T F F

F

300 mm 380 mm

30 20 F

Problema 4.5

P

45

Problema 4.9

128

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.10 La fuerza F = 12 kN. Un ingeniero estructural determina que la magnitud del momento debido a F respecto a P no debe exceder 5 kN-m. ¿Cuál es el rango aceptable del ángulo a? Suponga que 0  a  90°.

4.14 El momento ejercido respecto al punto E por el peso es de 299 pulg-lb. ¿Cuál es el momento que ejerce el peso respecto al punto S?

F a

lg

S

13

30 1m 12

P

E

pu

pu

40

lg

2m

Problema 4.10 Problema 4.14 4.11 La longitud de la barra AB es 350 mm. Los momentos ejercidos respecto a los puntos B y C por la fuerza vertical F son MB  1.75 kN-m y MC  4.20 kN-m. Determine la fuerza F y la longitud de la barra AC.

4.15 Las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre el pilar D mediante los cables A, B y C son iguales: FA  FB  FC. La magnitud del momento total respecto a E debido a las fuerzas ejercidas mediante los tres cables en D es 1350 kN-m. ¿Cuál es el valor de FA?

B D

30°

FC

D

C 20°

FA

A

FB

6m A F

B

C

E

Problema 4.11

4m

4m 4m

 4.12 En el ejemplo 4.2, suponga que la fuerza de 2 kN apunta hacia arriba en vez de hacia abajo. Trace un bosquejo de la parte de máquina donde se muestren las orientaciones de las fuerzas. ¿Cuál es la suma de los momentos de las fuerzas respecto al origen O?

Problema 4.15 4.16 Tres fuerzas actúan sobre la tubería. Determine la suma de los momentos de las tres fuerzas respecto al punto P.

4.13 Dos fuerzas iguales y opuestas actúan sobre la viga. Determine la suma de los momentos de las dos fuerzas a) respecto al punto P; b) respecto al punto Q, y c) respecto al punto coordenado x  7 m, y  5 m.

2 kN

2 kN

4 kN

y 40 N P

30 2m

30

40 N

P Q

x

0.2 m 0.2 m

2m

Problema 4.13

20

Problema 4.16

0.2 m

0.2 m

129

Problemas 4.17 Las fuerzas F1 = 30 N, F2 = 80 N y F3 = 40 N. ¿Cuál es la suma de los momentos de las fuerzas respecto al punto A? 4.18 La fuerza F1 = 30 N. La suma vectorial de las tres fuerzas es igual a cero. ¿Cuál es la suma de los momentos de las fuerzas respecto al punto A? y

4.22 Cinco fuerzas actúan sobre la tubería que se muestra en la figura. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero y la suma de los momentos de las fuerzas respecto a P también es cero. (a) Determine las fuerzas A, B y C. (b) Determine la suma de los momentos de las fuerzas respecto al punto Q.

F3 A

80 lb

C

30

45

F1 2m

y 2 pies

B

20 lb

45

Q

F2

x A

8m

P C

x

Problemas 4.17/4.18 B

4.19 Las fuerzas FA  30 lb, FB  40 lb, FC  20 lb y FD  30 lb. ¿Cuál es la suma de los momentos de las fuerzas respecto al origen del sistema coordenado?

2 pies

2 pies 2 pies

Problema 4.22

4.20 La fuerza FA  30 lb. La suma vectorial de las fuerzas sobre la viga es igual a cero, y la suma de los momentos de las fuerzas respecto al origen del sistema de coordenadas es cero. a) Determine las fuerzas FB, FC y FD. b) Determine la suma de los momentos de las fuerzas respecto al extremo derecho de la viga.

 4.23 En el ejemplo 4.3, suponga que la unión en el punto B se mueve hacia arriba y el cable se alarga de tal manera que la distancia de C a B es de 9 pies. (Las posiciones de los puntos C y A no cambin.) Trace un bosquejo del sistema con el cable en su nueva posición. ¿Cuál es la tensión en el cable?

y

FD

30

x

FA FB

6 pies

FC

A

4 pies

Problemas 4.19/4.20 4.21 Tres fuerzas actúan sobre el automóvil que se muestra en la figura. La suma de las fuerzas es igual a cero y la suma de los momentos de las fuerzas respecto al punto P también es cero. a) Determine los valores de las fuerzas A y B. b) Determine la suma de los momentos de las fuerzas respecto al punto Q. y 6 pies

3 pies

x B

P

4.24 La tensión en el cable es la misma en ambos lados de la polea. La suma de los momentos respecto al punto A debidos a la fuerza de 800 lb y a las fuerzas ejercidas sobre la barra por el cable en B y C es igual a cero. ¿Cuál es la tensión en el cable?

2800 lb

Problema 4.21

Q

A

B

30°

30 pulg 30 pulg

800 lb 30 pulg

Problema 4.24

C

130

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.25 Los pesos de 160 N de los brazos AB y BC del manipulador robótico mostrado actúan en sus puntos medios. Determine la suma de los momentos de los tres pesos respecto a A. 150 mm 600

mm 20

40 N

C

4.28 Cinco fuerzas actúan sobre un eslabón en el mecanismo de cambio de velocidad de una podadora de césped. La suma vectorial de las cinco fuerzas sobre la barra es igual a cero. La suma de sus momentos respecto al punto en que actúan las fuerzas Ax y Ay también es cero. a) Determine las fuerzas Ax, Ay y B. b) Determine la suma de los momentos de las fuerzas respecto al punto en que actúa la fuerza B.

B

Ay

m

0m

40

60

Ax

160 N

25 kN 20

650 mm 30 kN

160 N

A

450 mm

45 B

Problema 4.25

650 mm

4.26 Los impulsores de posición del trasbordador espacial mostrado en la figura ejercen dos fuerzas de magnitud F  7.70 kN. ¿Qué momento ejercen los impulsores respecto al centro de masa G? 2.2 m 2.2 m F

F G

5

Problema 4.28 4.29 Cinco fuerzas actúan sobre el modelo de una armadura construida por un estudiante de ingeniería civil. Las dimensiones son b  300 mm y h  400 mm; F  100 N. La suma de los momentos de las fuerzas respecto al punto en que actúan Ax y Ay es igual a cero. Si el peso de la armadura es insignificante, ¿qué valor tiene la fuerza B?

6

18 m

12 m

Problema 4.26 4.27 La fuerza F ejerce un momento en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj de 200 pies-lb respecto a A y un momento en sentido del movimiento de las manecillas del reloj de 100 pie-lb respecto a B. ¿Qué valor tienen F y u?

A (5, 5) pies

350 mm

4.30 Las dimensiones en la figura son b  3 pies y h  4 pies; F  300 lb. La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre la armadura es igual a cero, y la suma de los momentos de las fuerzas respecto al punto en que actúan Ax y Ay también es cero. a) Determine las fuerzas Ax, Ay y B. b) Determine la suma de los momentos de las fuerzas respecto al punto en que actúa la fuerza B. F

y

F

60

60

F u h

(4, 3) pies Ax x

Ay

b

b

b

b

b

Problemas 4.29/4.30 B (3, 4) pies

Problema 4.27

b

B

Problemas 4.31 La masa m = 70 kg. ¿Qué valor tiene el momento respecto a A debido a la fuerza ejercida por el cable sobre la viga en B?

B

A

131

4.34 A un participante en una competencia de lanzamiento de cebos artificiales se le engancha en el césped el hilo de la caña de pescar. Si la tensión en el hilo es de 5 lb, ¿qué momento ejerce la fuerza del hilo sobre la vara respecto al punto H, donde el participante sostiene la vara?

45

30 3m

H m 4 pies

6 pies

Problema 4.31 7 pies

4.32 Los pesos W1 y W2 están suspendidos por el sistema de cables que se muestra en la figura. El peso W1  12 lb. El cable BC es horizontal. Determine el momento respecto al punto P debido a la fuerza ejercida sobre el poste vertical en D mediante el cable CD. A

D

15 pies

Problema 4.34 4.35 Los cables AB y AC ayudan a sostener la torre mostrada. La tensión en el cable AB es de 5 kN. Los puntos A, B, C y O están contenidos en el mismo plano vertical. a) ¿Cuál es el momento respecto a O debido a la fuerza ejercida sobre la torre por el cable AB? b) Si la suma de los momentos respecto a O debidos a fuerzas ejercidas sobre la torre por los dos cables es igual a cero, ¿cuál es la tensión en el cable AC? A

B

50

6 pies

C

20 m

W2

W1

P 60

45

Problema 4.32

C

4.33 La barra AB que se muestra en la figura ejerce una fuerza en B que ayuda a soportar el muro vertical de retención. La fuerza es paralela a la barra. El ingeniero civil quiere que la barra ejerza un momento de 38 kN-m respecto a O. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que debe ejercer la barra?

O

B

Problema 4.35 4.36 El cable que va desde B hasta A en el velero mostrado en la figura ejerce una fuerza de 230 N en B. El cable de B a C ejerce una fuerza de 660 N en B. La parte inferior del mástil del velero está ubicado en x  4 m, y  0. ¿Cuál es la suma de los momentos respecto a la parte inferior del mástil debido a las fuerzas ejercidas en B por los dos cables? y B (4, 13) m

B

4m A 1m O 1m

3m

Problema 4.33

C (9, 1) m

A (0, 1.2) m

Problema 4.36

x

132

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.37 El cable AB de la figura ejerce una fuerza de 290 kN sobre el larguero de la grúa en B. El cable AC ejerce una fuerza de 148 kN sobre el larguero en C. Determine la suma de los momentos respecto a P debidos a las fuerzas que ejercen los cables AB y AC sobre el larguero.

4.39 La masa combinada del carrito para equipaje y la maleta que se muestran en la figura es de 12 kg. Su peso actúa en A. La suma de los momentos respecto al origen del sistema coordenado debidos al peso que actúa en A y la fuerza vertical F aplicada en el asa del cargador es igual a cero. Determine la fuerza F (a) si a  30°; (b) si a  50°.

4.38 La masa del larguero de la grúa que se muestra en la figura es de 9000 kg. Su peso actúa en G. La suma de los momentos respecto a P debidos al peso del larguero, a la fuerza ejercida en B por el cable AB y a la fuerza ejercida en C por el cable AC es igual a cero. Suponga que las tensiones en los cables AB y AC son iguales. Determine la tensión en los cables.

F

x

A B Larguero

8m

C G

16 m

y

0.28 m

0.14 m 1.2 m

A

P

38 m

a

56 m

C

Problema 4.39 4.40 El cilindro hidráulico BC que se muestra en la figura ejerce una fuerza de 300 kN sobre el larguero de la grúa en C. La fuerza es paralela al cilindro. ¿Cuál es el momento de la fuerza respecto a A?

C 2.4 m

Problemas 4.37/4.38

1m

A B

1.8 m

1.2 m 7m

Problema 4.40

Problemas 4.41 El pistón hidráulico AB que se muestra en la figura ejerce una fuerza de 400 lb sobre la escalera en B en la dirección paralela al pistón. La suma de los momentos respecto a C debidos a la fuerza ejercida sobre la escalera por el pistón y el peso W de la escalera es igual a cero. ¿Cuál es el peso de la escalera?

133

4.42 El cilindro hidráulico que se muestra en la figura ejerce una fuerza de 8 kN en B que es paralela al cilindro y apunta desde C hacia B. Determine los momentos de la fuerza respecto a los puntos A y D.

1m D C

Cilindro hidráulico

6 pies

1m 0.6 m

W

3 pies

B

A A

B C 0.6 m 6 pies

Pala

0.15 m

3 pies

Problema 4.42

Problema 4.41

4.43 La estructura mostrada en el diagrama es una de dos estructuras idénticas que soportan la pala de una excavadora. La barra BC ejerce una fuerza de 700 N en C que apunta desde C hacia B. ¿Qué valor tiene el momento de esta fuerza respecto a K? 4.44 La barra BC de la figura ejerce una fuerza en C que apunta desde C hasta B. El cilindro hidráulico DH ejerce una fuerza de 1550 N en D que apunta desde D hacia H. La suma de los momentos de estas dos fuerzas respecto a K es igual a cero. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que ejerce la barra BC en C?

320 mm Eje 100 mm

C

Pala

260 mm

H

B 180 260 mm mm J

D 160 mm

L

K 1040 mm 1120 mm

Problemas 4.43/4.44

380 mm

134

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.2 Vector de momento ANTECEDENTES F

P (a)

El momento de una fuerza respecto a un punto es un vector. En esta sección se define dicho vector y se explica la forma de evaluarlo. Después se demuestra que al usar la descripción bidimensional del momento según la sección 4.1, se especifican la magnitud y la dirección del vector de momento. Considere un vector de fuerza F y un punto P (figura 4.4a). El momento de F respecto a P es el vector

MP = r * F, F

P

r

(4.2)

donde r es un vector de posición de P a cualquier punto sobre la línea de acción de F (figura 4.4b).

Magnitud del momento A partir de la definición del producto cruz, la magnitud de MP es (b)

MP   rF sen u,

F u

r

P

donde u es el ángulo entre los vectores r y F cuando se colocan cola con cola. La distancia perpendicular de P a la línea de acción de F es D  r sen u (figura 4.4c). Por consiguiente, la magnitud del momento MP es igual al producto de la distancia perpendicular de P a la línea de acción de F y la magnitud de F:

ƒ MP ƒ = D ƒ F ƒ .

u D (c)

Figura 4.4 (a) La fuerza F y un punto P. (b) Vector r de P a un punto sobre la línea de acción de F. (c) El ángulo u y la distancia perpendicular D.

(4.3)

Observe que si se conocen los vectores MP y F, con esta ecuación se puede encontrar la distancia perpendicular D.

Dirección del momento Se sabe, por la definición del producto cruz, que MP es perpendicular a r y a F. Esto significa que MP es perpendicular al plano que contiene a P y a F (figura 4.5a). Observe en esta figura que un momento se denota con una flecha circular alrededor del vector.

MP

F

F

MP

r

r P

Figura 4.5 (a) MP es perpendicular al plano que contiene a P y a F. (b) La dirección de MP indica la dirección del momento.

P

Plano que contiene a ryaF

(a)

(b)

4.2 Vector de momento

F

P

r

F

P

F

r

P r

(a)

u

r (b)

(c)

La dirección de MP también indica el sentido del momento: si el pulgar de su mano derecha apunta hacia MP, el “arco” de sus dedos indica el sentido del giro que F tiende a generar alrededor de P (figura 4.5b). El resultado que se obtiene con la ecuación (4.2) no depende de dónde interseca el vector r a la línea de acción de F. En vez del vector r de la figura 4.6a, podría usarse el vector r de la figura 4.6b. Se tiene el vector r  r  u, donde u es paralelo a F (figura 4.6c). Por lo tanto,

r * F = 1r¿ + u2 * F = r¿ * F porque el producto cruz de los vectores paralelos u y F es igual a cero. En resumen, el momento de una fuerza F respecto a un punto P tiene tres propiedades: 1. La magnitud de MP es igual al producto de la magnitud de F y la distancia perpendicular de P a la línea de acción de F. Si la línea de acción de F pasa por P, MP  0. 2. MP es perpendicular al plano que contiene a P y a F. 3. La dirección de MP indica el sentido del momento dado por la regla de la mano derecha (figura 4.5b). Como el producto cruz no es conmutativo, se debe tener cuidado con la secuencia correcta de los vectores en la ecuación MP  r  F. A continuación se determinará el momento de la fuerza F en la figura 4.7a respecto al punto P. Como el vector r de la ecuación (4.2) puede ser un vector de posición de cualquier punto sobre la línea de acción de F, se puede utilizar un vector de P al punto de aplicación de F (figura 4.7b): r  (12  3)i  (6  4)j  (5  1)k  9i  2j  6k (pie), El momento es

i MP = r * F = 3 9 4

j 2 4

135

k -6 3 = 38i - 87j + 28k (pie-lb). 1ft-lb2. 7

La magnitud de MP,

ft-lb, ƒ MP ƒ = 213822 + 1-8722 + 12822 = 99.0 pies-lb,

Figura 4.6 (a) Vector r de P a la línea de acción de F. (b) Vector r diferente. (c) r  r  u.

136

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos y

y

y

F  4i  4j  7k (lb)

F F (12, 6, 5) pies

P

P

(3, 4, 1) pies

(12, 6, 5) pies

r

Plano que contiene a PyaF

P

(3, 4, 1) pies x

z

x

x z

z

(a)

MP

(b)

(c)

Figura 4.7 (a) Una fuerza F y un punto P. (b) Vector r de P al punto de aplicación de F. (c) MP es perpendicular al plano que contiene a P y a F. La regla de la mano derecha indica la dirección del momento.

es igual al producto de la magnitud de F y la distancia perpendicular D del punto P a la línea de acción de F. Por lo tanto,

D=

ƒ MP ƒ 99.0 pies-lb = = 11.0 pies. 9 lb ƒFƒ

La dirección de MP indica la orientación del plano que contiene a P y a F, así como la dirección del momento (figura 4.7c).

Relación con la descripción bidimensional Si se observa en dirección perpendicular al plano que contiene al punto P y a la fuerza F, la descripción bidimensional del momento que se usó en la sección 4.1 especifica tanto la magnitud como la dirección de MP. En esta situación, MP es perpendicular a la página, y la regla de la mano derecha indica si apunta hacia afuera o hacia adentro de la página. Por ejemplo, en la figura 4.8a el punto de vista es perpendicular al plano x–y y la fuerza de 10 N está contenida en el plano x–y. Suponga que se desea y

y

y

10j (N)

10j (N)

(4, 2, 0) m

(4, 2, 0) m x

O

O

10j (N)

r x

(4, 2, 0) m x

O (c)

(a)

(b)

Figura 4.8 (a) La fuerza está contenida en el plano x–y. (b) La dirección antihoraria del momento indica que MO apunta hacia el afuera de la página. (c) Vector r desde O hasta el punto de aplicación de F.

4.2 Vector de momento

determinar el momento de la fuerza respecto al origen O. La distancia perpendicular de O a la línea de acción de la fuerza es de 4 m. La descripción bidimensional del momento de la fuerza respecto a O establece que su magnitud es (4 m) (10 N)  40 N-m y su dirección es contraria al sentido del movimiento de las manecillas del reloj, o

MO = 40 N-m. Lo que indica que la magnitud del vector MO es de 40 N-m, y por la regla de la mano derecha (figura 4.8b), éste apunta hacia afuera de la página. Por lo tanto,

MO = 40k 1N-m2. Es posible confirmar este resultado usando la ecuación (4.2). Si r es el vector de O al punto de aplicación de la fuerza (figura 4.8c),

MO = r * F = 14i + 2j2 * 10j = 40k 1N-m2. Como lo ilustra este ejemplo, la descripción bidimensional del momento determina el momento vectorial. El enunciado opuesto también es verdadero. La magnitud de MO es igual al producto de la magnitud de la fuerza y la distancia perpendicular de O a la línea de acción de la fuerza, 40 N-m, y la dirección del vector MO indica que el sentido del momento es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (figura 4.8b).

Teorema de Varignon Sea F1, F2, . . . , FN un sistema concurrente de fuerzas cuyas líneas de acción se intersecan en el punto Q. El momento del sistema respecto al punto P es

1rPQ * F12 + 1rPQ * F22 + Á + 1rPQ * FN2 = rPQ * 1F1 + F2 + Á + FN2,

donde rPQ es el vector de P a Q (figura 4.9). Este resultado, conocido como el teorema de Varignon, se deriva de la propiedad distributiva del producto cruz, ecuación (2.31), y confirma que el momento de una fuerza respecto a un punto P es igual a la suma de los momentos de sus componentes respecto a P.

F1

P

F2

rPQ

FN

Q

Figura 4.9 Un sistema de fuerzas concurrentes y un punto P.

137

138

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

RESULTADOS

Momento El momento de una fuerza F respecto a un punto P se define mediante MP  r  F, (4.2)

F

r

P

donde r es un vector de posición desde P hasta cualquier punto sobre la línea de acción de F.

Magnitud del momento La magnitud del vector MP es MP  DF,

(4.3)

donde D es la distancia perpendicular desde P hasta la línea de acción de F.

Dirección del momento El vector MP es perpendicular al plano que contiene el punto P y el vector F. Apuntando el dedo pulgar hacia la derecha en la dirección de MP, los dedos apuntan en la dirección de la rotación que F tiende a causar alrededor de P.

Ejemplo activo 4.4

F

MP

r P

Determinación de un momento ( Relacionado con el problema 4.45) Determine el momento de la fuerza F de 90 lb que se muestra en la figura respecto al punto A. y C (7, 7, 0) pies A (0, 6, 5) pies F

x

B (11, 0, 4) pies z

Estrategia Para aplicar la ecuación (4.2), se debe expresar la fuerza F en términos de sus componentes. El vector r es un vector desde el punto A hasta cualquier punto sobre la línea de acción de F, entonces se puede usar el vector desde el punto A hasta el punto B.

4.2 Vector de momento

Solución y (7, 7, 0) pies

C A (0, 6, 5) pies

x

eBC

(11, 0, 4) pies

B z

rBC  (xC  xB)i  (yC  yB)j  (zC  zB)k

Obtenga un vector unitario que tenga la misma dirección que la fuerza F al dividir entre su magnitud el vector de posición desde el punto B hasta el punto C.

 4i  7j  4k (pies). eBC 

rBC 7 4 4   i  j  k. rBC 9 9 9

F  (90 lb)eBC



4 7 4  (90 lb)  i  j  k 9 9 9  40i  70j  40k (lb).

Exprese la fuerza F en términos de sus componentes al escribirla como el producto de su magnitud y el vector unitario eBC.



y C (7, 7, 0) pies A (0, 6, 5) pies F

x

rAB

z

B (11, 0, 4) pies

rAB  (xB  xA)i  (yB  yA)j  (zB  zA)k  11i  6j  k (pies). MA  rAB  F 

i j k 11 6 1 40

Aplique la ecuación (4.2) para determinar el momento de F respecto al punto A.

70 40

 310i  480j  530k (pies-lb). Problema de práctica a) Use la ecuación (4.2) para determinar el momento de F respecto al punto A, donde r es el vector de posición del punto A al punto C. b) Determine la distancia perpendicular desde el punto A hasta la línea de acción de F. Respuesta: a) MA  310i  480j  530k (pie-lb). b) 8.66 pies.

139

140

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Aplicación del vector de momento ( Relacionado con el problema 4.57)

Ejemplo 4.5

Los cables AB y AC se extienden del punto de unión A sobre el piso a los puntos de unión B y C en las paredes. La tensión en el cable AB es de 10 kN y la del cable AC es de 20 kN. ¿Qué valor tiene la suma de los momentos respecto a O debidos a las fuerzas ejercidas sobre A por los dos cables?

y C (6, 3, 0) m B (0, 4, 8) m

O

x

A (4, 0, 6) m

Solución Sean FAB y FAC las fuerzas ejercidas por los dos cables sobre el punto A de conexión (figura a). Para expresar FAB en términos de sus componentes, se determina el vector de posición de A a B,

z

y C (6, 3, 0) m B (0, 4, 8) m

O r FAB

z

x

FAC

y

y se divide entre su magnitud para obtener un vector unitario eAB con la misma dirección que FAB (figura b):

(6, 3, 0) m O

x A (4, 0, 6) m

z

(b) El vector unitario eAB tiene la misma dirección que FAB.

- 4i + 4j + 2k 1m2

2 2 1 = - i + j + k. 3 3 3 21- 4 m2 + 14 m2 + 12 m2 2

2

2

Ahora se escribe FAB como

FAB = 10eAB = - 6.67i + 6.67j + 3.33k 1kN2. Se expresa de la misma manera la fuerza FAC en términos de sus componentes:

C

eAB

10 - 42i + 14 - 02j + 18 - 62k = - 4i + 4j + 2k 1m2,

eAB =

A (4, 0, 6) m

(a) Las fuerzas FAB y FAC ejercidas en A por los cables.

B (0, 4, 8) m

Estrategia Las fuerzas ejercidas sobre el punto de unión A por los dos cables deben expresarse en términos de sus componentes. Después se puede usar la ecuación (4.2) para determinar los momentos que ejercen las fuerzas respecto a O.

FAC = 5.71i + 8.57j - 17.14k 1kN2. Selección del vector r Como las líneas de acción de ambas fuerzas pasan por el punto A, se puede usar el vector desde O hasta A para determinar los momentos de ambas fuerzas respecto al punto O (figura a):

r = 4i + 6k 1m2. Evaluación de r  F

La suma de los momentos es

©MO = 1r * FAB2 + 1r * FAC2 = 3

i 4 -6.67

j 0 6.67

k i 63 + 3 4 3.33 5.71

j 0 8.57

k 63 - 17.14

= - 91.4i + 49.5j + 61.0k 1kN-m2. Razonamiento crítico Las líneas de acción de las fuerzas FAB y FAC se intersecan en A. Observe que, de acuerdo con el teorema de Varignon, se podrían haber sumado primero las fuerzas, para obtener

FAB + FAC = - 0.952i + 15.24j - 13.81k 1kN2,

141

Problemas

y después haber determinado la suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a O calculando el momento de la suma de las dos fuerzas respecto a O.

©MO = r * 1FAB + FAC2 = 3

i 4 -0.952

j 0 15.24

k 63 -13.81

= - 91.4i + 49.5j + 61.0k 1kN-m2.

Problemas  4.45 En el ejemplo activo 4.4, ¿Cuál es el momento de F respecto al origen de sistema coordenado?

4.48 Use la ecuación (4.2) para determinar el momento de la fuerza de 100 kN que se muestra en la figura a) respecto a A y b) respecto a B.

4.46 Use la ecuación (4.2) para determinar el momento de la fuerza de 80 N respecto al origen O. Considere que r es el vector a) de O a A; b) de O a B.

y A

y 80j (N) 100j (kN)

6m (6, 4, 0) m

B

B

O

x

8m

x

12 m

A (6, 0, 0) m

Problema 4.48 Problema 4.46 4.47 Un ingeniero biomédico que estudia una lesión producida al lanzar la jabalina estima que la magnitud de la fuerza máxima ejercida fue de F   360 N y que la distancia perpendicular de O a la línea de acción de F fue de 550 mm. El vector F y el punto O están contenidos en el plano x–y. Exprese el momento de F respecto a la articulación del hombro en O como un vector.

4.49 El cable AB ejerce una fuerza de 200 N sobre el soporte en A que apunta desde A hacia B. Use la ecuación (4.2) para determinar el momento de esta fuerza respecto al punto P, a) considere que r es el vector de P a A y b) considere que r es el vector de P a B. y P (0.9, 0.8) m

y (0.3, 0.5) m A

F

B (1, 0.2) m O

x x

Problema 4.49 Problema 4.47

142

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.50 La línea de acción de F que se muestra en la figura está contenida en el plano x–y. El momento de F respecto a O es de 140k (N-m), y el momento de F respecto a A es de 280k (N-m). ¿Cuáles son las componentes de F?

4.53 Las tres fuerzas mostradas se aplican a la placa. Use la ecuación (4.2) para determinar la suma de los momentos de las tres fuerzas respecto al punto P. y 4 kN

y

45

A (0, 7, 0) m

F 3 kN 30 0.18 m

(5, 3, 0) m

P 0.10 m

x O

20

0.12 m

Problema 4.50

x

12 kN

0.28 m

Problema 4.53 4.51 Use la ecuación (4.2) para determinar la suma de los momentos de las tres fuerzas mostradas, a) respecto a A y (b) respecto a B. 4.54 a) Determine la magnitud del momento de la fuerza de 150 N que se muestra en la figura respecto a A calculando la distancia perpendicular de A a la línea de acción de la fuerza. b) Use la ecuación (4.2) para determinar el momento de la fuerza de 150 N respecto a A.

y 6 kN 3 kN

3 kN B

A

x y

0.2 m

0.2 m

0.2 m

0.2 m (0, 6, 0) m

Problema 4.51

150k (N)

4.52 Las tres fuerzas mostradas se aplican a la placa. Use la ecuación (4.2) para determinar la suma de los momentos de las tres fuerzas respecto al origen O.

A (6, 0, 0) m

y z

Problema 4.54

200 lb 3 pies 200 lb 3 pies x

O 6 pies

4 pies 500 lb

Problema 4.52

x

Problemas 4.55 a) Determine la magnitud del momento de la fuerza de 600 N que se muestra en la figura respecto a A, calculando la distancia perpendicular desde A hasta la línea de acción de la fuerza. b) Use la ecuación (4.2) para determinar la magnitud del momento de la fuerza de 600 N respecto a A. y

143

4.59 Se tiene la fuerza F  30i  20j  10k (N). a) Determine la magnitud del momento de F respecto a A. b) Suponga que se puede cambiar la dirección de F manteniendo su magnitud constante, y se desea elegir una dirección que maximice el momento de F respecto a A. ¿Cuál es la magnitud del momento máximo resultante? y

A

F

(0.6, 0.5, 0.4) m

A (4, 3, 3) m

x

(8, 2, 4) m x

0.8 m 600i (N) z

z

Problema 4.59

Problema 4.55 4.56 ¿Cuál es la magnitud del momento de F respecto al punto B? y A (4, 4, 2) pies

F  20i  10j  10k (lb)

4.60 Los cosenos directores de la fuerza F que se muestra en la figura son cos ux  0.818, cos uy  0.182 y cos uz  0.545. El soporte de la barra en O fallará si la magnitud del momento de F respecto a O excede de 100 kN-m. Determine la magnitud de la máxima fuerza F que puede aplicarse con seguridad a la barra. y

B (8, 1, 2) pies x z

Problema 4.56 z

 4.57 En el ejemplo 4.5 suponga que el punto de unión C se mueve a la ubicación (8, 2, 0) m y la tensión en el cable AC cambia a 25 kN. ¿Cuál es la suma de los momentos respecto a O debidos a las fuerzas ejercidas por los dos cables sobre el punto de unión A? 4.58 La cuerda que se muestra en la figura ejerce una fuerza de magnitud F   200 lb sobre la parte superior del poste en B. Determine la magnitud del momento de F respecto a A. y

B (5, 6, 1) pies

F A

x C (3, 0, 4) pies

z

Problema 4.58

O

F 3m

Problema 4.60

x

144

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.61 La fuerza F ejercida sobre el mango de un aparato para hacer ejercicio apunta hacia el vector unitario e = 23 i - 23 j + 13 k, y su magnitud es de 120 N. Determine la magnitud del momento de F respecto al origen O. 4.62 La fuerza F que se muestra en la figura apunta hacia el vector unitario e = 23 i - 23 j + 13 k. El soporte en O resistirá con seguridad un momento de 560 N-m de magnitud. a) Con base en este criterio, ¿cuál es la máxima magnitud segura de F? b) Si la fuerza F puede ejercerse en cualquier dirección, ¿cuál es su máxima magnitud segura?

4.64 Los pesos de los brazos OA y AB del manipulador robótico que se muestra en la figura actúan en sus puntos medios. Los cosenos directores de la línea central del brazo OA son cos ux  0.500, cos uy  0.866 y cos uz  0, mientras que los del brazo AB son cos ux  0.707, cos uy  0.619 y cos uz  0.342. ¿Qué valor tiene la suma de los momentos respecto a O debidos a las dos fuerzas?

m

y

0m

150 mm

y

B

60

160 N

O

600 mm

A

F

200 N

200 mm

z 250 mm

O x z

x

Problemas 4.61/4.62 4.63 Un ingeniero civil en Boulder, Colorado, estima que bajo los vientos Chinook más severos esperados, la fuerza total sobre la señal de tránsito para carretera que se muestra en la figura, será de F  2.8i  1.8j (kN). Sea MO es el momento debido a F respecto a la base O de la columna cilíndrica que soporta la señal. La componente y de MO se llama torsión ejercida sobre la columna cilíndrica en la base, y la componente de MO paralela al plano x–z se llama momento flexionante. Determine las magnitudes de la torsión y el momento flexionante.

Problema 4.64 4.65 La tensión en el cable AB que se muestra en la figura es de 100 lb. Si se desea que la magnitud del momento respecto a la base O del árbol, debido a las fuerzas ejercidas sobre éste por los dos cables, sea de 1500 pie-lb, ¿cuál es la tensión necesaria en la cuerda AC? y

y F

8m

(0, 8, 0) pies

A

O

8m

x

x O B

z

(0, 0, 10) pies

z

Problema 4.63

Problema 4.65

(14, 0, 14) pies C

Problemas 4.66* Una fuerza F actúa en el extremo superior A del poste que se muestra en la figura. Su magnitud es F   6 kN y su componente x es Fx  4 kN. Se muestran las coordenadas del punto A. Determine las componentes de F de tal manera que la magnitud del momento debido a F respecto a la base P del poste sea la máxima posible.

145

4.69 La torre que se muestra en la figura tiene 70 m de altura. Las tensiones en los cables AB, AC y AD son de 4 kN, 2 kN y 2 kN respectivamente. Determine la suma de los momentos respecto al origen O debidos a las fuerzas ejercidas por los cables en el punto A. 4.70 Suponga que la tensión en el cable AB de la figura es de 4 kN, y que las tensiones en los cables AC y AD se deben ajustar para que la suma de los momentos respecto al origen O debidos a las fuerzas ejercidas por los cables en el punto A sea igual a cero. Determine las tensiones.

y F A (4, 3, 2) m

y A

P

x D 35 m

z

B 35 m

40 m C 40 m

Problema 4.66

x

O 40 m

z

4.67 La fuerza F  5i (kN) actúa sobre el anillo A donde se unen los cables AB, AC y AD. ¿Cuál es el valor de la suma de los momentos respecto al punto D debidos a la fuerza F y a las tres fuerzas ejercidas por los cables sobre el anillo? Estrategia: El anillo está en equilibrio. Use su conocimiento acerca de las cuatro fuerzas que actúan sobre él. 4.68 En el problema 4.67, determine el momento respecto al punto D debido a la fuerza ejercida sobre el anillo A por el cable AB. y

Problemas 4.69/4.70 4.71 La tensión en el cable AB es de 150 N, y en el cable AC es de 100 N. Determine la suma de los momentos respecto a D debidos a las fuerzas ejercidas sobre la pared por los cables. 4.72 La fuerza ejercida por los dos cables en la dirección perpendicular a la pared es de 2 kN. La magnitud de la suma de los momentos respecto a D debidos a las fuerzas ejercidas por los cables sobre la pared es de 18 kN-m. ¿Cuáles son las tensiones en los cables?

D (0, 6, 0) m y A

5m

F

(12, 4, 2) m C

B

(6, 0, 0) m

5m B x

C

(0, 4, 6) m

4m

z

Problemas 4.67/4.68

8m

D

8m

z

A x

Problemas 4.71/4.72

146

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.73 La tensión en el cable BD es 1 kN. Como resultado, el cable BD ejerce una fuerza de 1 kN sobre la rótula en B que apunta de B hacia D. Determine el momento de esta fuerza respecto al punto A. 4.74* Suponga que la masa del objeto E suspendido es de 100 kg y que la masa de la barra AB es de 20 kg. Considere que el peso de la barra actúa en su punto medio. Si la suma de los momentos respecto al punto A debidos al peso de la barra y a las fuerzas ejercidas por los tres cables BC, BD y BE sobre la rótula en B es igual a cero, determine las tensiones en los cables BC y BD.

4.76 Para evaluar qué tan bueno es el diseño del poste de acero vertical que se muestra en la figura, usted debe determinar el momento respecto a la base del poste debido a la fuerza ejercida sobre el punto B por el cable AB. Una celda de carga montada sobre el cable AC indica que la tensión en dicho cable es de 22 kN. ¿Cuál es el valor del momento? y 5m 5m

y

C C

D (0, 4, 3) m 4m

B (4, 3, 1) m

D (0, 5, 5) m

8m (6, 2, 0) m O

x A

z E

B

A 3m 12 m x

z

Problemas 4.73/4.74 Problema 4.76 4.75 El collarín de 200 kg en A se mantiene en su lugar sobre la barra vertical lisa por medio del cable AB. Determine el momento respecto a la base de la barra (punto C con coordenadas x  2 m, y  z  0) debido a la fuerza ejercida por el cable sobre el collarín. y

2m B

5m

A

2m

2m z

Problema 4.75

C

x

4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea

147

4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea ANTECEDENTES El dispositivo de la figura 4.10, llamado cabrestante, se usó en los barcos de vela. Lo hacían girar empujando las manijas como se muestra en la figura 4.10a para generar energía en tareas como elevar las anclas e izar las velas. Una fuerza vertical F aplicada a una de las manijas como en la figura 4.10b, no hace girar al cabrestante, aun cuando la magnitud del momento respecto al punto P sea dF en ambos casos. La medida de la tendencia de una fuerza a causar un giro alrededor de una línea o eje se denomina momento de la fuerza respecto a la línea. Suponga que una fuerza F actúa sobre un objeto como una turbina que gira alrededor de un eje L, y que se descompone F en componentes con base en el sistema coordenado de la figura 4.11. Las componentes Fx y Fz no hacen girar la turbina, así como tampoco la fuerza paralela al eje del cabrestante la hacía girar. Es la componente Fy la que tiende a causar giros al ejercer un momento de magnitud aFy respecto al eje de la turbina. En este ejemplo se puede determinar con facilidad el momento de F respecto a L porque el sistema coordenado está convenientemente situado. A continuación se introducirá una expresión que sirve para determinar el momento de una fuerza respecto a cualquier línea.

d

d P

P

F

F

(a)

(b)

Figura 4.10 (a) Giro de un cabrestante. (b) Una fuerza vertical no hace girar el cabrestante.

y

Fy

F

a P L

z

Fz

Fx

x

Figura 4.11 Aplicación de una fuerza a una turbina con eje de giro L.

148

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos F

Considere una línea L y una fuerza F (figura 4.12a). Sea MP el momento de F respecto a un punto arbitrario O sobre L (figura 4.12b). El momento de F respecto a L es la componente de MP paralela a L, que se denota con ML (figura 4.12c). La magnitud del momento de F respecto a L es  ML , y cuando el pulgar de la mano derecha apunta en la dirección de ML, el arco de los dedos indica el sentido del momento respecto a L. En términos de un vector unitario e a lo largo de L (figura 4.12d), ML está dado por

L (a) MP  r  F F P

L

(4.4)

ML = [e # 1r * F2]e.

(b)

(4.5)

El triple producto escalar mixto en esta expresión está dado en términos de las componentes de los tres vectores por

MP

e # 1r

P

ML

MP P

ex 3 * F2 = rx Fx

ey ry Fy

ez rz 3 . Fz

(4.6)

Observe que el valor del escalar e ⴢ MP  e ⴢ (r  F) determina tanto la magnitud como la dirección de ML. El valor absoluto de e ⴢ MP es la magnitud de ML. Si e ⴢ MP es positivo, ML apunta hacia e, y si e ⴢ MP es negativo, ML apunta en la dirección opuesta a e. El resultado obtenido con la ecuación (4.4) o la ecuación (4.5) no depende del punto sobre L elegido para determinar MP  r  F. Si se usa el punto P de la figura 4.13 para determinar el momento de F respecto a L, se obtiene el resultado mediante la ecuación (4.5). Y usando el punto P se obtiene el mismo resultado,

(c)

L

ML = 1e # MP2e.

(El vector unitario e puede apuntar en cualquier dirección. Vea el análisis de las componentes vectoriales en la sección 2.5). El momento MP  r  F, por lo que también se puede expresar ML como

r

L

Definición

e

ML

[e # 1r¿ * F2]e = 5e # [1r + u2 * F]6e

(d)

Figura 4.12 (a) La línea L y la fuerza F. (b) MP es el momento de F respecto a cualquier punto O sobre L. (c) La componente ML es el momento de F respecto a L. (d) Vector unitario e a lo largo de L.

= [e # 1r * F2 + e # 1u * F2]e

= [e # 1r * F2]e, porque u  F es perpendicular a e.

Aplicaciones Para demostrar que ML es la medida de la tendencia de F a ocasionar giros alrededor de L, se considerará de nuevo la turbina de la figura 4.11. Sea Q un punto sobre L a una distancia arbitraria b del origen (figura 4.14a). El vector r de Q a P es r  ai  bk, por lo que el momento de F respecto a Q es

P

u P L

e

F

r r

Figura 4.13 Uso de diferentes puntos P y P para determinar el momento de F respecto a L.

i MQ = r * F = 3 a Fx

j 0 Fy

k -b 3 = bFy i - 1aFz + bFx2j + aFy k. Fz

Como el eje z coincide con L, el vector unitario k está dirigido a lo largo de L. Por lo tanto, el momento de F respecto a L es

ML = 1k # MQ2k = aFy k.

4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea y

149

y Fy F

a

b Q

r

L

P Fx

Fz

x

x ML  a Fy k z

z (a)

Figura 4.14 (a) Un punto Q arbitrario sobre L y el vector r de Q a P. (b) ML y la dirección del momento respecto a L.

(b)

Las componentes Fx y Fz no ejercen momento respecto a L. Si se supone que Fy es positiva, ésta ejerce un momento de magnitud aFy respecto al eje de la turbina en la dirección mostrada en la figura 4.14b. Ahora se determinará el momento de una fuerza respecto a una línea arbitraria L (figura 4.15a). El primer paso es elegir un punto sobre la línea. Si se escoge el punto A (figura 4.15b), el vector r de A al punto de aplicación de F es

r = 18 - 22i + 16 - 02j + 14 - 42k = 6i + 6j 1m2. El momento de F respecto a A es

i 3 MA = r * F = 6 10

j k 6 03 60 -20

= - 120i + 120j + 300k 1N-m2. El siguiente paso es determinar un vector unitario a lo largo de L. El vector de A a B es

1-7 - 22i + 16 - 02j + 12 - 42k = - 9i + 6j - 2k 1m2. y

y

F  10i  60j  20k (N)

B (7, 6, 2) m

B (7, 6, 2) m

F (8, 6, 4) m

(8, 6, 4) m L

r

L

x

x A (2, 0, 4) m

A (2, 0, 4) m z

z (a)

(b) y

y B (7, 6, 2) m

F

F

B eBA x

eAB

x A

A (2, 0, 4) m z

z (c)

(d)

Figura 4.15 (a) Una fuerza F y una línea L. (b) Vector r de A al punto de aplicación de F. (c) eAB apunta de A a B. (d) La regla de la mano derecha indica la dirección del momento.

150

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Al dividir este vector entre su magnitud, se obtiene un vector unitario eAB que apunta desde A hacia B (figura 4.15c):

eAB = -

9 6 2 i + j k. 11 11 11

El momento de F respecto a L es

ML = 1eAB # MA2eAB = ca-

9 6 2 b1- 120 N-m2 + a b1120 N-m2 + a - b1300 N-m2 deAB 11 11 11

= 109eAB 1N-m2. La magnitud de ML es 109 N-m; la dirección se indica apuntando el pulgar de la mano derecha hacia eAB. Si se calcula ML usando el vector unitario eBA, que apunta desde B hacia A, se obtiene

ML = - 109eBA 1N-m2. Se obtiene la misma magnitud, y el signo menos indica que ML apunta en la dirección opuesta a eBA, por lo que la dirección de ML es la misma. Por consiguiente, la regla de la mano derecha indica la misma dirección (figura 4.15d). En los ejemplos precedentes se demostraron tres resultados útiles que pueden establecerse en términos más generales: • Cuando la línea de acción de F es perpendicular a un plano que contenga a L (figura 4.16a), la magnitud del momento de F respecto a L es igual al producto de la magnitud de F y la distancia D perpendicular desde L hasta el punto donde la línea de acción interseca al plano:  ML   FD. • Cuando la línea de acción de F es paralela a L (figura 4.16b), el momento de F respecto a L es igual a cero: ML  0. Como MP  r  F es perpendicular a F, MP es perpendicular a L y la componente vectorial de MP paralela a L es igual a cero. • Cuando la línea de acción de F interseca a L (figura 4.16c), el momento de F respecto a L es igual a cero. Como es posible elegir cualquier punto sobre L para evaluar MP, se puede usar el punto donde la línea de acción de F interseca a L. El momento MP respecto a ese punto es igual a cero, por lo que su componente vectorial paralela a L también es cero.

F P

r

P

F L D (a)

Figura 4.16 (a) F es perpendicular a un plano que contiene a L. (b) F es paralela a L. (c) La línea de acción de F interseca a L en P.

F

L

(b)

L

(c)

4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea

RESULTADOS Determinación del momento de una fuerza F respecto a una línea L MP  r  F F

Elija cualquier punto P sobre la línea y determine el momento MP de F respecto a P.

P r L

La componente de MP paralela a L, denotada por ML, es el momento de F respecto a la línea. (Si se apunta el pulgar de la mano derecha en la dirección de ML, los otros dedos apuntarán en la dirección del momento respecto a la línea).

MP P

L

ML

Si e es un vector unitario paralelo a L, ML  (eⴢMP) e.

(4.4)

Casos especiales

Cuando la línea de acción de F es perpendicular al plano que contiene a L, ML  FD, donde D es la distancia perpendicular desde L hasta el punto en que la línea de acción interseca al plano.

F

L D

Cuando la línea de acción de F es paralela a L, ML  0. F

L

Cuando la línea de acción de F interseca a L, ML  0.

P F L

151

152

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo activo 4.6

Momento de una fuerza respecto a una línea ( Relacionado con el problema 4.87) ¿Cuál es el valor del momento de la fuerza F respecto al eje de la barra BC? y

C

(0, 4, 0) m F  2i  6j  3k (kN)

A (4, 2, 2) m x

B z

(0, 0, 3) m

Estrategia Como se conocen las coordenadas de los puntos A, B y C, es posible determinar el momento debido a F respecto a un punto sobre el eje de la barra. Se determinará el momento respecto al punto B. La componente de ese momento paralelo al eje BC es el momento de F respecto al eje. Mediante la obtención de un vector unitario paralelo al eje, se puede usar la ecuación (4.4) para determinar la componente paralela. Solución

y

C F

r

A x

z

r  (xA  xB)i  (yA  yB)j  (zA  zB)k  4i  2j  k (m).

B

Determinación de las componentes del vector desde el punto B hasta el punto de aplicación de F.

MB  r  F 

i

j

k

4

2

1

2

6

3

 12i  10j  28k (kN-m).

Cálculo del momento de F respecto al punto B.

4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea

rBC  (xC  xB)i  (yC  yB)j  (zC  zB)k  4j  3k (m). r eBC  BC  0.8j  0.6k. rBC

La obtención de un vector unitario paralelo al eje BC se logra dividiendo el vector de posición del punto B al punto C entre su magnitud.

y

C

eBC x z

MBC  (eBCⴢMB) eBC  [(0)(12)  (0.8)(10)  (0.6)(28)]eBC  24.8eBC (kN-m).

B

Aplicación de la ecuación (4.4) para determinar el momento de F respecto al eje BC. Observe el resultado negativo. Si se apunta el pulgar de la mano derecha en la dirección opuesta a la del vector unitario eBC, los otros dedos apuntan en la dirección del momento de F respecto al eje BC.

y

C F

A eBC x B z

Problema de práctica Determine el momento MC de la fuerza F respecto al punto C. Úselo para calcular el momento de F respecto al eje BC determinando la componente de MC paralela al eje. Respuesta: MBC  24.8eBC (kN-m).

153

154

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Momento de una fuerza respecto al eje x (䉴 Relacionado con el problema 4.77 )

Ejemplo 4.7

¿Qué valor tiene el momento de la fuerza de 50 lb respecto al eje x?

y

Estrategia El momento puede determinarse en dos formas:

50j (lb) O

Primer método Se pueden usar las ecuaciones (4.5) y (4.6). Como r se puede extender desde cualquier punto sobre el eje x a la línea de acción de la fuerza, puede usarse el vector de O al punto de aplicación de la fuerza. El vector e debe ser un vector unitario a lo largo del eje x; entonces es posible utilizar i o ⫺i.

x (4, 0, 3) pies

z

Segundo método Este ejemplo es el primer caso especial que se estudió, pues la fuerza de 50 lb es perpendicular al plano x–z. La magnitud y la dirección del momento se pueden determinar directamente de la información dada. Solución Primer método Determinar un vector r. El vector de O al punto de aplicación de la fuerza es (figura a)

y

r ⫽ 4i ⫹ 3k (pie).

50j (lb) O

Determinar un vector e. Se puede utilizar el vector unitario i. Evaluar ML. De acuerdo con la ecuación (4.6), el triple producto escalar es

x r (4, 0, 3) pies

z

i # 1r

(a) Vector r de O al punto de aplicación de la fuerza.

1 3 * F2 = 4 0

0 0 50

0 3 3 = ⫺150 - 150 pies-lb. ft-lb. 0

De la ecuación (4.5), el momento de la fuerza respecto al eje x es y

M eje x ⫽ [i ⴢ (r ⫻ F)]i ⫽ ⫺150i (pies-lb). La magnitud del momento es de 150 pies-lb y su dirección es como se muestra en la figura b. Segundo método Como la fuerza de 50 lb es perpendicular a un plano (el plano x–z) que contiene al eje x, la magnitud del momento respecto al eje x es igual a la distancia perpendicular del eje x al punto en que la línea de acción de la fuerza interseca al plano x–z (figura c):

x ⫺150i (pies-lb) z

(b) Dirección del momento.

兩Meje x 兩 ⫽ (3 pies)(50 lb) ⫽ 150 pies-lb. Apuntando con el arco de los dedos en la dirección del momento respecto al eje x (figura c), la regla de la mano derecha indica que Meje x apunta en la dirección negativa del eje x. Por lo tanto,

y 50j (lb)

M eje x ⫽ ⫺150i (pies-lb). x

3 pies z

(c) La distancia del eje x al punto donde la línea de acción de la fuerza interseca al plano x–z es igual a 3 pies. La flecha indica la dirección del momento respecto al eje x.

Razonamiento crítico La puerta con bisagras de este ejemplo está diseñada para girar respecto al eje x. Si no actúan otras fuerzas sobre la puerta, puede verse que la fuerza ascendente de 50 lb tendería a causar que la puerta girase hacia arriba. Es el momento de la fuerza respecto al eje x, y no el momento de la fuerza respecto a algún punto, el que mide la tendencia de la fuerza a ocasionar que la puerta gire sobre sus bisagras. Aún más, la dirección del momento de la fuerza respecto al eje x indica la dirección en la que la fuerza tiende a causar que la puerta gire (vea la figura b).

4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea

Ejemplo 4.8

155

Máquinas giratorias ( Relacionado con el problema 4.100)

El tripulante que se muestra en la figura ejerce las fuerzas indicadas sobre las manijas de un cabrestante, donde F  4j  32k N. Determine el momento total que ejerce a) respecto al punto O y b) respecto al eje del cabrestante, el cual coincide con el eje x.

y

(0.18, 0.28, 0.1) m

F O z

x ⴚF (0.18, 0.28, 0.1) m

y

Estrategia a) Para obtener el momento total respecto al punto O, se deben sumar los momentos de las dos fuerzas respecto a O. Denote la suma mediante MO. b) Como el punto O está sobre el eje x, el momento total respecto al eje x es la componente de MO paralela al eje x, que es la componente x de MO.

O

Solución a) El momento total respecto al punto O es

i ©MO = 3 -0.18 0

j 0.28 4

k i 0.1 3 + 3 0.18 32 0

= 17.1i + 11.5j - 1.4k 1N-m2.

Eje ©M

x

z

j -0.28 -4

k - 0.1 3 - 32

b) El momento total respecto al eje x es la componente x de MO (figura a):

Meje x  17.1 (N-m). Observe que éste es el resultado dado por la ecuación (4.4): Como i es un vector unitario paralelo al eje x, Meje x  (i ⴢ MO)i  17.1 (N-m).

©MO

(a) Momento total respecto al eje x.

x

156

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Problemas  4.77 La fuerza F  20i  40j  10k (N). Use los dos procedimientos descritos en el ejemplo 4.7 para determinar el momento debido a F respecto al eje z. y

4.81 La persona de la figura ejerce una fuerza F  0.2i  0.4j  1.2k (lb) sobre la puerta en el punto C. El punto C pertenece al plano x–y. ¿Qué momento ejerce la fuerza respecto al eje AB de las bisagras, que coincide con el eje y? y

A

F

C

x (8, 0, 0) m 3.5 pies

z

B

Problema 4.77

x 2 pies

Problema 4.81 4.78 Use las ecuaciones (4.5) y (4.6) para determinar el momento de la fuerza de 20 N mostrada respecto a a) al eje x, b) al eje y y c) al eje z. (Primero determine si puede escribir los resultados sin usar las ecuaciones.)

4.82 Cuatro fuerzas actúan sobre la placa mostrada en la figura. Sus componentes son

FA = - 2i + 4j + 2k 1kN2,

y

FB = 3j - 3k 1kN2,

FC = 2j + 3k 1kN2,

(7, 4, 0) m

FD = 2i + 6j + 4k 1kN2.

20k (N) x

Determine la suma de los momentos de las fuerzas a) respecto al eje x y b) respecto al eje z. y

z

Problema 4.78

FB

4.79 Tres fuerzas paralelas al eje y de la figura actúan sobre la placa rectangular. Use las ecuaciones (4.5) y (4.6) para determinar la suma de los momentos de las fuerzas respecto al eje x. (Primero determine si puede escribir los resultados sin usar las ecuaciones). 4.80 Las tres fuerzas de la figura son paralelas al eje y. Determine la suma de los momentos de las fuerzas a) respecto al eje y y b) respecto al eje z.

x

FD

z

FC

3m

Problema 4.82

y 3 kN x 2 kN

z

FA

6 kN

900 mm

Problemas 4.79/4.80

600 mm

2m

Problemas 4.83 Se tiene una fuerza F  30i  20j  10k (lb). a) ¿Qué valor tiene el momento de F respecto al eje y de la figura? b) Suponga que la magnitud de F se mantiene fija, pero cambia su dirección de manera que el momento de F respecto al eje y sea lo más grande posible. ¿Cuál es la magnitud del momento resultante? 4.84 El momento de la fuerza F respecto al eje x de la figura es 80i (pie-lb), el momento respecto al eje y es igual a cero, y el momento respecto al eje z es 160k (pie-lb). Si Fy  80 lb, ¿cuáles son los valores de Fx y Fz?

157

 4.87 En el ejemplo activo 4.6, suponga que la fuerza cambia a F  2i  3j  6k (kN). Determine la magnitud del momento de la fuerza respecto al eje de la barra BC. 4.88 Determine el momento de la fuerza de 20 N mostrada respecto a la línea AB. Use las ecuaciones (4.5) y (4.6) y considere que el vector unitario e apunta a) desde A hacia B y b) desde B hacia A. y A (0, 5, 0) m

y

(7, 4, 0) m

20k (N) B (4, 0, 0) m

x

F z (4, 2, 2) pies

Problema 4.88 x

z

Problemas 4.83/4.84 4.85 El manipulador robótico que se muestra en la figura es estacionario. Los pesos de los brazos AB y BC actúan en sus puntos medios. Los cosenos directores de la línea central del brazo AB son cos ux  0.500, cos uy  0.866 y cos uz  0, mientras que los del brazo BC son cos ux  0.707, cos uy  0.619 y cos uz  0.342. ¿Qué valor tiene el momento total respecto al eje z debido a los pesos de los brazos?

4.89 Se tiene la fuerza F  10i  5j  5k (kip). Determine el momento de F respecto a la línea AB mostrada. Trace un bosquejo para indicar la dirección del momento. y

B (6, 6, 0) pies

F

4.86 En el problema 4.85, ¿cuál es el valor del momento total respecto al eje x debido al peso de los brazos?

A

x

(6, 0, 0) pies

m

y

0m

B

600 mm

C

60

z

Problema 4.89

160 N

4.90 Se tiene la fuerza F  10i  12j  6k (N). ¿Cuál es el momento de F respecto a la línea AO de la figura? Trace un bosquejo para indicar la dirección del momento. y

200 N

(0, 6, 4) m

A

A F O

z

x

x z

Problemas 4.85/4.86

(8, 0, 6) m

Problema 4.90

158

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.91 La tensión en el cable AB mostrado es de 1 kN. Determine el momento respecto al eje x debido a la fuerza ejercida sobre la compuerta por el cable en el punto B. Trace un bosquejo para indicar la dirección del momento.

4.94 Las coordenadas de A son (– 2.4, 0, – 0.6) m y las de B son (2.2, 0.7, 1.2) m. La fuerza ejercida en B por la escota principal AB del bote de vela es de 130 N. Determine el momento de la fuerza respecto a la línea central del mástil (el eje y). Trace un bosquejo para indicar la dirección del momento.

y y A

(400, 300, 0) mm

x 600 mm B 1000 mm z

x

Problema 4.91

B

4.92 Determine el momento de la fuerza aplicada en D respecto a la línea recta que pasa a través de las bisagras A y B de la figura. (La línea que pasa por A y B pertenece al plano y–z).

A

z

4.93 La tensión en el cable CE que se muestra en la figura es de 160 lb. Determine el momento de la fuerza ejercida por el cable sobre la cubierta en C respecto a la línea recta que pasa por las bisagras A y B.

4.95 La tensión en el cable AB mostrado es de 200 lb. Determine los momentos respecto a cada uno de los ejes coordenados debidos a la fuerza ejercida en B por el cable. Trace bosquejos para indicar las direcciones de los momentos.

y

6 pies

E

20i  60j (lb) A

D

B 20

y A (2, 5, 2) pies x

4 pies

2 pies z

Problema 4.94

x

C 4 pies

Problemas 4.92/4.93

z

B (10, 2, 3) pies

Problema 4.95

Problemas 4.96 La fuerza total ejercida por la manguera de vapor sobre las hojas de la turbina es F  20i  120j  100k (N), y actúa efectivamente en el punto (100, 80, 300) mm. ¿Qué momento se ejerce respecto al eje de la turbina (el eje x)?

159

4.98 La tensión en el cable AB mostrado es de 80 lb. ¿Cuál es el momento respecto a la línea CD debido a la fuerza ejercida por el cable sobre la pared en B? y

y Fijo Giratorio

8 pies 3 pies

B

C

6 pies

x

x

D

z

Problema 4.96

4.97 El soporte neumático AB sostiene la tapa de un portaequipaje en su lugar. Ejerce una fuerza de 35 N sobre el montaje en B que apunta en la dirección desde A hacia B. Determine la magnitud del momento de la fuerza respecto al eje de la bisagra de la tapa, que es el eje z.

A (6, 0, 10) pies

z

Problema 4.98

4.99 La magnitud de la fuerza F es de 0.2 N y sus cosenos directores son cos ux  0.727, cos uy  0.364 y cos uz  0.582. Determine la magnitud del momento de F respecto al eje AB de la bobina. y

B (200, 400, 0) mm (160, 475, 290) mm P

A

F

(100, 500, 400) mm y

x

B (60, 100, 30) mm

z

Problema 4.99 O

z

x

Problema 4.97

A (480, 40, 40) mm

160

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

 4.100 Un conductor aplica las dos fuerzas mostradas para aflojar una tuerca. Los cosenos directores de F son 4 3 cos ux = 13 , cos uy = 12 13 , y cos uz = 13 . Si la magnitud del momento respecto al eje x debe ser de 32 pie-lb para que se afloje la tuerca, ¿cuál es la magnitud de las fuerzas que se deben aplicar? (Vea el ejemplo 4.8).

4.102 El eje de una rueda de un automóvil pasa a través del sistema coordenado que se muestra en la figura y sus cosenos directores son cos ux  0.940, cos uy  0, cos uz  0.342. La fuerza ejercida sobre la llanta por el camino actúa de manera efectiva en el punto x  0, y  0.36 m, z  0 y tiene componentes F  720i  3660j  1240k (N). ¿Cuál es el momento de F respecto al eje de la rueda?

y

ⴚF

F

z

y

16 pulg

x

16 pulg

x

Problema 4.100 4.101 La tensión en el cable AB mostrada es de 2 kN. ¿Cuál es la magnitud del momento respecto al eje CD debido a la fuerza ejercida por el cable en A? Trace un bosquejo para indicar el sentido del momento respecto al eje. 2m

C

A

z

Problema 4.102 4.103 Los cosenos directores de la línea central OA son cos ux  0.500, cos uy  0.866 y cos uz  0, y los de la línea AG son cos ux  0.707, cos uy  0.619 y cos uz  0.342. ¿Cuál es el momento respecto a OA debido al peso de 250 N? Trace un bosquejo para indicar el sentido del momento respecto al eje.

2m

m

D

B

G

m 50

y

7

1m

250 N

3m

Problema 4.101

600 mm

A

O

z

x

Problema 4.103

161

Problemas 4.104 El radio del volante mide 200 mm. La distancia de O a C es de 1 m. El centro C del volante se encuentra en el plano x–y. El conductor ejerce una fuerza F  10i  10j  5k (N) sobre el volante en A. Si el ángulo a  0, ¿cuál es la magnitud del momento respecto al eje OC? Dibuje un bosquejo para indicar la dirección del momento respecto al eje.

4.106 En la figura, el peso W causa una tensión de 100 lb en el cable CD. Si d  2 pies, ¿cuál es el momento respecto al eje z debido a la fuerza ejercida por el cable CD en el punto C? y

(12, 10, 0) pies

y (0, 3, 0) pies W

F

C

D

C

A 20

O

d a

z

x

z (3, 0, 10) pies

Problema 4.106

x

Problema 4.104

4.105* La magnitud de la fuerza F es 10 N. Suponga que desea elegir la dirección de la fuerza F de manera que la magnitud de su momento respecto a la línea L sea máxima. Determine las componentes de F y la magnitud de su momento respecto a L. (Existen dos soluciones para F).

4.107* El eje y apunta hacia arriba. El peso de la placa rectangular de 4 kg que se muestra en la figura actúa en el punto medio G de la placa. La suma de los momentos respecto a la línea recta que pasa por los soportes A y B debidos al peso de la placa y la fuerza ejercida sobre la placa por el cable CD es igual a cero. ¿Cuál es la tensión en el cable? y

y A

(100, 500, 700) mm

A (3, 8, 0) m

(100, 250, 0) mm

D L F

G

B (0, 2, 6) m

x

B P

(12, 4, 4) m (0, 180, 360) mm x

C

z

Problema 4.105

(200, 55, 390) mm

z

Problema 4.107

162

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.4 Pares ANTECEDENTES Ahora que se ha descrito cómo calcular el momento debido a una fuerza, considere esta pregunta: ¿es posible ejercer un momento sobre un cuerpo sin someterlo a una fuerza neta? La respuesta es sí, y sucede siempre que se toca un disco compacto, se pone en marcha el rotor de un motor eléctrico o se aprieta un tornillo con un desarmador. Sobre esos cuerpos se ejercen fuerzas, pero en una forma tal que la fuerza neta es nula mientras que el momento neto no lo es. Dos fuerzas que tienen igual magnitud, direcciones opuestas y líneas de acción diferentes se denominan par (figura 4.17a). Un par tiende a generar rotaciones aún cuando la suma vectorial de las fuerzas sea nula, y tiene la notable propiedad de que el momento que ejerce es el mismo respecto a cualquier punto. El momento de un par es simplemente la suma de los momentos de las fuerzas respecto a un punto P (figura 4.17b):

M = [r1 * F] + [r2 * 1- F2] = 1r1 - r22 * F. El vector r1  r2 es igual al vector r mostrado en la figura 4.17c, por lo que es posible expresar el momento como

M = r * F. Como r no depende de la posición de P, el momento M es el mismo para cualquier punto P. Debido a que un par ejerce un momento pero la suma de las fuerzas es nula, se suele representar en los diagramas simplemente el momento (figura 4.17d). Como el gato Cheshire en Alicia en el país de las maravillas, que desaparece excepto su sonrisa, las fuerzas no aparecen; sólo se ve el momento que ejercen. Sin embargo, se reconoce el origen del momento al hacer referencia a él como momento de un par o simplemente par.

F

ⴚF

F

F

r1

r1 ⴚF

r2

P

(a)

r ⴚF

r2

P

(b)

(c)

F

F M

D M ⴚF

ⴚF (d)

(e)

Figura 4.17 (a) Un par. (b) Determinación del momento respecto a P. (c) Vector r  r1  r2. (d) Representación del momento del par. (e) La distancia D entre las líneas de acción. (f) M es perpendicular al plano que contiene F y F.

(f)

4.4 Pares y

163

y y (3, 7, 0) m

(3, 7, 0) m 2j (kN)

2j (kN)

2j (kN)

8 kN-m

2j (kN)

r2 (7, 2, 0) m

(7, 2, 0) m x

r1

x

x

O

(a)

(b)

(c)

Figura 4.18 (a) Par consistente en fuerzas de 2 kN. (b) Determinación de la suma de los momentos de las fuerzas respecto a O. (c) Representación de un par en dos dimensiones.

Observe en la figura 4.17c que M  r  F es el momento de F respecto a un punto sobre la línea de acción de la fuerza F. La magnitud del momento de una fuerza respecto a un punto es igual al producto de la magnitud de la fuerza y la distancia perpendicular del punto a la línea de acción de la fuerza, es decir,  M   DF , donde D es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las dos fuerzas (figura 4.17e). El producto cruz r  F es perpendicular a r y a F, lo cual significa que M es perpendicular al plano que contiene a F y a F (figura. 4.17f). Si el pulgar de la mano derecha apunta hacia M, los arcos de los otros dedos indican el sentido del momento. En la figura 4.18a, el punto de vista es perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas. La distancia entre las líneas de acción de las fuerzas es de 4 m, por lo que la magnitud del momento del par es  M  (4 m)(2 kN)  8 kN-m. El momento M es perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas. Con el arco de los dedos de la mano derecha indicando el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, se encuentra que la regla de la mano derecha señala que M apunta hacia afuera de la página. Por lo tanto, el momento del par es

M = 8k 1kN-m2. También es posible determinar el momento del par calculando la suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a cualquier punto. La suma de los momentos de las fuerzas respecto al origen O es (figura 4.18b)

M = [r1 * 12j2] + [r2 * 1-2j2]

= [17i + 2j2 * 12j2] + [13i + 7j2 * 1- 2j2]

(a)

= 8k 1kN-m2.

En una situación bidimensional como la de este ejemplo, no es conveniente representar un par mostrando el vector de momento, puesto que el vector es perpendicular a la página. En vez de esto, se representa el par mostrando su magnitud y una flecha circular que indica su sentido (figura 4.18c). Si se sujeta una barra y se tuerce (figura 4.19a), se ejercerá un momento respecto a su eje (figura 4.19b). Aunque el sistema de fuerzas sobre la barra está distribuido de manera complicada sobre la superficie, el efecto es el mismo que si se ejercieran dos fuerzas iguales y opuestas (figura 4.19c). Al representar un par como en la figura 4.19b, o mostrar el vector de momento M, se implica que algún sistema de fuerzas ejerce ese momento. El sistema de fuerzas (como las que se ejercen al torcer la barra, o las fuerzas sobre un cigüeñal que ejerce un momento

F M

F (b)

(c)

Figura 4.19 (a) Torcimiento de una barra. (b) El momento respecto al eje de la barra. (c) Se obtiene el mismo efecto aplicando dos fuerzas iguales y opuestas.

164

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

sobre el eje de transmisión de un automóvil) casi siempre es más complicado que dos fuerzas iguales y opuestas, aunque el efecto es el mismo. Por ello, es posible modelar el sistema real como un sistema simple de dos fuerzas.

RESULTADOS F

Dos fuerzas con magnitudes iguales, direcciones opuestas y líneas de acción diferentes se llama un par. ⴚF

El momento respecto a un punto debido a un par es la suma de los momentos de sus dos fuerzas respecto a ese punto. El momento M debido a un par es el mismo respecto a cualquier punto. Su magnitud es DF, donde D es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las fuerzas. El vector M es perpendicular al plano que contiene las líneas de acción.

F D ⴚF

Debido a que la fuerza total ejercida por un par es igual a cero, a menudo un par se representa mediante el momento que ejerce.

M

y

Cuando las líneas de acción de las fuerzas de un par se encuentran en el plano x–y, el par puede representarse mediante su magnitud y una flecha circular que indica su dirección.

M

x

Ejemplo activo 4.9

Momento de un par ( Relacionado con el problema 4.108) La fuerza F  10i  4j (N). Determine el momento debido al par y represéntelo mediante su magnitud y una flecha circular que indique su dirección. y ⴚF

(6, 6, 0) m (8, 3, 0) m F x

Estrategia Se usarán dos métodos para determinar el momento. En el primer método, se elegirá un punto y se calculará la suma de los momentos de las fuerzas respecto a ese punto. Como el momento debido a un par es el mismo respecto a cualquier punto, se puede elegir cualquier punto conveniente. En el segundo método, se sumarán los momentos de los dos pares formados por las componentes x e y de las fuerzas.

4.4 Pares

Solución Primer método y (6, 6, 0) m

ⴚF

r (8, 3, 0) m F x

M  r  (F)  (2i  3j)  (10i  4j)  22k (N-m).

Cálculo de la suma de los momentos de las dos fuerzas respecto al punto de aplicación de la fuerza F. y

La magnitud del momento es 22 N-m. Si se apunta el pulgar de la mano derecha en la dirección del vector unitario k, se deduce que la dirección del momento en el plano x–y es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

22 N-m

x

Segundo método y

Las componentes de las dos fuerzas forman dos pares.

y 10 N

4N

(6, 6, 0) m

(6, 6, 0) m

ⴙ

(8, 3, 0) m

(8, 3, 0) m

10 N

4N x

La magnitud del momento debido al par de 10 N es (3 m)(10 N)  30 N-m, y su sentido es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. La magnitud del momento debido al par de 4 N es (2 m)(4 N)  8 N-m, y su sentido en dirección del movimiento de las manecillas del reloj. Por lo tanto, el momento en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj total es 30  8  22 N-m. Problema de práctica Use el producto cruz para calcular la suma de los momentos F y F respecto al punto P con coordenadas (10, 7, 3) m. Represente el momento mediante su magnitud y una flecha circular que indique su dirección. Respuesta: 22k (N-m), o 22 N-m en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

x

165

166

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo 4.10

Determinación de fuerzas desconocidas ( Relacionado con el problema 4.113) Dos fuerzas, A y B, y un par de 200 pies-lb actúan sobre la viga mostrada. La suma de las fuerzas es igual a cero, y los momentos respecto al extremo izquierdo de la viga también suman cero. ¿Qué valor tienen las fuerzas A y B?

y 200 pies-lb A

B

4 pies

4 pies x

Estrategia Al sumar las dos fuerzas (el par no ejerce fuerza neta sobre la viga) y al sumar los momentos debidos a las fuerzas y el par respecto al extremo izquierdo de la viga, se obtendrán dos ecuaciones en términos de las fuerzas desconocidas. Solución La suma de las fuerzas es Fy  A  B  0. El momento del par (200 pies-lb, en sentido del movimiento de las manecillas del reloj) es el mismo respecto a cualquier punto, por lo que la suma de los momentos respecto al extremo izquierdo es Mextremo izquierdo  (4 pies) B  200 pies-lb  0. Las fuerzas son B  50 lb y A  50 lb. y 200 pies-lb 50 lb 50 lb 4 pies

4 pies

x

Las fuerzas sobre la viga forman un par.

Razonamiento crítico Observe que el momento total respecto al extremo izquierdo de la viga es la suma del momento debido a la fuerza B y el momento debido al par de 200 pies-lb. Como se observará en el capítulo 5, si un objeto sometido a fuerzas y pares está en equilibrio, la suma de las fuerzas es igual a cero y la suma de los momentos respecto a cualquier punto, incluyendo los momentos debidos a pares, también es igual a cero. En este ejemplo se necesitaron ambas condiciones para determinar las fuerzas desconocidas A y B.

4.4 Pares

167

Suma de los momentos debidos a dos pares ( Relacionado con el problema 4.119)

Ejemplo 4.11

Determine la suma de los momentos ejercidos por los dos pares sobre el tubo que se muestra en la figura. y

20 N

30 N

30 N

2m 4m

4m x 60

60

20 N z

Estrategia Se expresará el momento ejercido por cada par como un vector. Para expresar el par de 30 N en términos de un vector, se expresarán las fuerzas en términos de sus componentes. Después se pueden sumar los vectores de momento para determinar la suma de los momentos ejercidos por los pares. Solución Considere el par de 20 N. La magnitud del momento del par es (2 m)(20 N)  40 N-m. La dirección del vector de momento es perpendicular al plano y–z, y la regla de la mano derecha indica que el vector apunta en la dirección positiva del eje x. El momento del par de las fuerzas de 20 N es 40i (N-m). Descomponiendo las fuerzas de 30 N en sus componentes y y z, se obtienen los dos pares mostrados en la figura a. El momento del par formado por las componentes y es (30 sen 60°)(4)k (N-m), y el momento del par formado por las componentes z es (30 cos 60°)(4)j (N-m). Por lo tanto, la suma de los momentos es M  40i  (30 cos 60°)(4)j  (30 sen 60°)(4)k (N-m)  40i  60j  104k (N-m). y

30 sen 60 N

30 sen 60 N 4m x

30 cos 60 N

30 cos 60 N

z

Razonamiento crítico Aunque el método usado en este ejemplo ayuda a reconocer las contribuciones de los pares individuales en la suma de los momentos, sólo es conveniente cuando las orientaciones de las fuerzas y sus puntos de aplicación relativos al sistema coordenado son suficientemente simples. Cuando no es éste el caso, la suma de los momentos se puede determinar escogiendo cualquier punto y calculando la suma de los momentos de las fuerzas respecto a ese punto.

(a) Descomposición de las fuerzas de 30 N en componentes y y z.

168

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Problemas  4.108 En el ejemplo activo 4.9, suponga que el punto de aplicación de la fuerza F se mueve de (8, 3, 0) m a (8, 8, 0) m. Trace un bosquejo que muestre la nueva posición de la fuerza. Con base en su bosquejo, ¿el momento debido al par será en dirección del movimiento de las manecillas del reloj o en sentido contrario? Calcule el momento debido al par. Represente el momento mediante su magnitud y una flecha circular que indique la dirección.

4.112 Se aplican tres fuerzas de igual magnitud paralelas a los lados de un triángulo equilátero. a) Demuestre que la suma de los momentos de las fuerzas es el mismo respecto a cualquier punto. b) Determine la magnitud de la suma de los momentos.

4.109 Las fuerzas están contenidas en el plano x–y. a) Determine el momento del par mostrado en la figura y represéntelo como en la figura 4.18c. b) ¿Qué valor tiene la suma de los momentos de las dos fuerzas respecto al punto (10, 40, 20) pies?

F

L F

F

y

Problema 4.112

1000 lb

1000 lb

60

 4.113 En el ejemplo 4.10, suponga que el par de 200 pies-lb es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Trace un bosquejo de la viga que muestre las fuerzas y el par que actúan sobre ésta. ¿Cuál es el valor de las fuerzas A y B?

60 x 20 pies

20 pies

4.114 En la figura se muestran los momentos de dos pares. ¿Cuál es el valor de la suma de los momentos respecto al punto P? Problema 4.109 4.110 El momento del par es 600k (N-m). ¿Cuál es el valor del ángulo a?

y 50 pies-lb

y

a

P

(0, 4) m

100 N

x

(4, 0, 0) pies

100 N

10 pies-lb

a x

(5, 0) m

Problema 4.114

Problema 4.110 4.111 El punto P está contenido en el plano x–y, F   100 N, y el momento del par es 500k (N-m). ¿Cuáles son las coordenadas de P? y

4.115 Determine la suma de los momentos ejercidos por los dos pares sobre la placa que se muestra en la figura. y 30 lb

P 30 3 pies

F

30 lb ⴚF

2 pies

70 x

x 20 lb 20 lb 5 pies

Problema 4.111

4 pies

Problema 4.115

Problemas 4.116 Determine la suma de los momentos ejercidos respecto a A por el par y las dos fuerzas. 100 lb

400 lb

169

4.120 a) En la figura, ¿cuál es el momento del par? b) Determine la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las dos fuerzas.

900 pies-lb

y

A

B (0, 4, 0) m

3 pies

4 pies

3 pies

4 pies

Problema 4.116

2i  2j  k (kN)

2i  2j  k (kN)

x

4.117 Determine la suma de los momentos ejercidos respecto a A por el par y las dos fuerzas. 100 N

(0, 0, 5) m 30

z

Problema 4.120

200 N

0.2 m

A 300 N-m 0.2 m

0.2 m

0.2 m

4.121 Determine la suma de los momentos ejercidos por los tres pares sobre la placa que se muestra. (Las fuerzas de 80 lb están contenidas en el plano x–z). y

Problema 4.117

3 pies 20 lb

4.118 La suma de los momentos respecto al punto A debidos a las fuerzas y pares que actúan sobre la barra es igual a cero. a) ¿Cuál es la magnitud del par C? b) Determine la suma de los momentos respecto al punto B debidos a las fuerzas y pares que actúan sobre la barra.

3 pies 20 lb 40 lb

x

8 pies 40 lb

B

60

z 4 kN

60

80 lb

80 lb

Problema 4.121

3m

20 kN-m

4.122 ¿Cuál es la magnitud de la suma de los momentos ejercidos por los dos pares sobre el dispositivo en forma de T que se muestra en la figura?

C

A 4 kN 2 kN

5 kN 5m

3 kN y

3m

3 pies 3 pies

50i  20j  10k (lb)

50j (lb)

Problema 4.118

3 pies

 4.119 En el ejemplo 4.11, suponga que en vez de actuar en la dirección positiva del eje z, la fuerza superior de 20 N actúa en la dirección positiva del eje x. En lugar de actuar en la dirección negativa del eje z, considere que la fuerza inferior de 20 N actúa en la dirección negativa del eje x. Trace un bosquejo del tubo donde se muestren las fuerzas que actúan sobre él. Determine la suma de los momentos ejercidos por los dos pares sobre el tubo.

z 50j (lb) 3 pies 50i 20j  10k (lb)

Problema 4.122

x

170

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.123 La tensión en los cables AB y CD es de 500 N. a) Demuestre que las dos fuerzas ejercidas por los cables sobre la compuerta rectangular en B y en C forman un par. b) ¿Cuál es el momento ejercido por los cables sobre la placa? y A

4.125 La barra que se muestra está cargada por las fuerzas

FB = 2i + 6j + 3k 1kN2, FC = i - 2j + 2k 1kN2,

y el par

MC = 2i + j - 2k 1kN-m2.

Determine la suma de los momentos de las dos fuerzas y el par respecto a A.

(0, 2, 0) m

4.126 Se tienen las fuerzas

FB = 2i + 6j + 3k 1kN2, FC = i - 2j + 2k 1kN2,

3m B z

x

3m

y el par

MC = MCy j + MC z k 1kN-m2.

C

Determine los valores de MCy y MCz tales que la suma de los momentos de las dos fuerzas y el par respecto a A sea igual a cero. y D

(6, –2, 3) m

FB

Problema 4.123

MC

A

4.124 Los cables AB y CD ejercen un par sobre el tubo vertical. La tensión en cada cable es 8 kN. Determine la magnitud del momento que ejercen los cables sobre el tubo. (1.6, 2.2, 1.2) m

B

1m

z

C x

1m

FC

Problemas 4.125/4.126

y

4.127 Se usan dos llaves para apretar un codo hidráulico. La fuerza F  10k (lb) se aplica en (6, 5, 3)pulg sobre la llave de la derecha, y la fuerza F se aplica en (4, 5, 3) pulg sobre la llave de la izquierda. a) Determine el momento respecto al eje x de la fuerza ejercida sobre la llave derecha. b) Determine el momento del par formado por las fuerzas que se ejercen sobre las dos llaves. c) Con base en esos resultados, explique por qué se usan dos llaves.

D

C (0.2, 1.6, 0.2) m

y A

(0.2, 0.6, 0.2) m

x z B

z

x

(1.6, 0, 1.2) m

Problema 4.124

F

ⴚF

Problema 4.127

4.5 Sistemas equivalentes

171

4.5 Sistemas equivalentes ANTECEDENTES Un sistema de fuerzas y momentos es simplemente un conjunto particular de fuerzas y momentos de pares. Los sistemas de fuerzas y momentos que se estudian en ingeniería pueden ser complicados. En especial, esto es cierto cuando se tienen fuerzas distribuidas, como las fuerzas de presión ejercidas por el agua sobre una presa. Pero si sólo interesan la fuerza total y el momento total ejercidos, un sistema complicado de fuerzas y momentos se puede representar mediante un sistema mucho más sencillo.

Condiciones de equivalencia Se definen los dos sistemas, 1 y 2, como equivalentes si las sumas de las fuerzas son iguales, o

1©F21 = 1©F22,

(4.7)

y si las sumas de los momentos respecto a un punto P son también iguales, o

1©MP21 = 1©MP22.

(4.8)

Para ver qué significan las condiciones de equivalencia, considere los sistemas de fuerzas y momentos de la figura 4.20a. En el sistema 1, un cuerpo está sometido a las fuerzas FA y FB y a un par MC. En el sistema 2, el objeto está sometido a la fuerza FD, y a dos pares ME y MF. La primera condición para la equivalencia es

1©F21 = 1©F22: FA + FB = FD.

(4.9) Sistema 2

Sistema 1

ME FB MC FD FA MF (a) Sistema 2

Sistema 1

ME FB MC FD rD

rB FA

rA P

P (b)

MF

Figura 4.20 (a) Diferentes sistemas de fuerzas y momentos aplicados a un objeto. (b) Determinación de la suma de los momentos respecto a un punto P en cada sistema.

172

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Si se determinan las sumas de los momentos respecto al punto P de la figura 4.20b, la segunda condición para la equivalencia es

1©MP21 = 1©MP22:

1rA * FA2 + 1rB * FB2 + MC = 1rD * FD2 + ME + MF.

Sistema 1

Si estas condiciones se satisfacen, los sistemas 1 y 2 son equivalentes. Se usará este ejemplo para demostrar que si las sumas de las fuerzas son iguales para dos sistemas de fuerzas y momentos y las sumas de los momentos respecto a un punto P son iguales, entonces las sumas de los momentos respecto a cualquier punto son iguales. Suponga que se satisface la ecuación (4.9) y que la ecuación (4.10) se satisface para el punto P en la figura 4.20b. Para un punto diferente P (figura 4.21), se demostrará que

FB MC rB rA

FA

1©MP¿21 = 1©MP¿22 :

P

P

(4.10)

œ 1rAœ * FA2 + 1rBœ * FB2 + MC = 1rD * FD2 + ME + MF.

r

Sistema 2

(4.11)

En términos del vector r de P a P, las relaciones entre los vectores rA, rB y rD de la figura 4.21 y los vectores rA, rB y rD de la figura 4.20b son

ME

rAœ = r + rA,

rBœ = r + rB,

œ rD = r + rD.

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (4.11), se obtiene FD

[1r + rA2 * FA] + [1r + rB2 * FB] + MC

rD

= [1r + rD2 * FD] + ME + MF.

MF P

P

r

Reordenando los términos, esta ecuación puede escribirse como

Figura 4.21 Determinación de la suma de los momentos respecto a un punto diferente P.

M1

F2

M2 MK

FN

que se cumple en vista de las ecuaciones (4.9) y (4.10). Las sumas de los momentos de los dos sistemas respecto a cualquier punto son iguales.

Representación de sistemas mediante sistemas equivalentes

Sistema 1 F1

[r * 1©F21] + 1©MP21 = [r * 1©F22] + 1©MP22,

P Sistema 2

M

Si sólo interesan la fuerza y el momento totales ejercidos sobre un cuerpo por un sistema dado de fuerzas y momentos, este sistema se puede representar con uno equivalente. Esto significa que en vez de mostrar las fuerzas y los momentos reales que actúan sobre un cuerpo, se puede mostrar un sistema diferente que ejerza la misma fuerza y el mismo momento totales. De esta manera, un sistema dado se reemplazaría por otro menos complicado para simplificar el análisis de las fuerzas y momentos que actúan sobre el cuerpo, así como para comprender mejor sus efectos sobre el objeto. Representación de un sistema mediante una fuerza y un par Considere un sistema arbitrario de fuerzas y momentos y un punto P (sistema 1 de la figura 4.22). Este sistema se puede representar con otro sistema que consista en una sola fuerza actuando en P y un solo par (sistema 2). Las condiciones de equivalencia son

1©F22 = 1©F21: F = 1©F21

F P

Figura 4.22 (a) Un sistema arbitrario de fuerzas y momentos. (b) Una fuerza que actúa en P y un par.

y

1©MP22 = 1©MP21: M = 1©MP21.

4.5 Sistemas equivalentes

Estas condiciones se satisfacen si F es igual a la suma de las fuerzas del sistema 1 y M es igual a la suma de los momentos respecto a P en el sistema 1. Por consiguiente, no importa la complejidad de un sistema de fuerzas y momentos, siempre se podrá representar con una sola fuerza actuando en cierto punto y un solo par.

Sistema 1

Sistema 2

FP

F

P

P

Representación de una fuerza mediante una fuerza y un par Una fuerza FP que actúa en un punto P (sistema 1 en la figura 4.23a), puede representarse por medio de una fuerza F actuando en un punto Q diferente y un par M (sistema 2). El momento del sistema 1 respecto al punto Q es r  FP, donde r es el vector de Q a P (figura 4.23b). Las condiciones de equivalencia son

M Q

Q (a) Sistema 1

1©F22 = 1©F21:

FP

F = FP y

P

1©MQ22 = 1©MQ21:

r Q

M = r * FP.

(b)

Los sistemas son equivalentes si la fuerza F es igual a la fuerza FP y el par M es igual al momento de FP respecto a Q. Fuerzas concurrentes representadas por una fuerza Un sistema de fuerzas concurrentes cuyas líneas de acción se corten en un punto P (sistema 1 en la figura 4.24) se puede representar con una sola fuerza cuya línea de acción interseque a P (sistema 2). Las dos sumas de las fuerzas en los dos sistemas son iguales si

Figura 4.23 (a) El sistema 1 es una fuerza FP que actúa en el punto P. El sistema 2 consiste en una fuerza F que actúa en el punto Q y un par M. (b) Determinación del momento del sistema 1 respecto al punto Q.

F = F1 + F2 + Á + FN. La suma de los momentos respecto a P es igual a cero en cada sistema, por lo tanto los sistemas son equivalentes si la fuerza F es igual a la suma de las fuerzas en el sistema 1. Fuerzas paralelas representadas por una fuerza Un sistema de fuerzas paralelas cuya suma no sea cero puede representarse mediante una sola fuerza F (figura 4.25). En el ejemplo 4.14 se demostrará este resultado.

Representación de un sistema mediante una llave de torsión Se demostró que cualquier sistema de fuerzas y momentos se puede representar con una fuerza actuando en un punto y un par. Lo anterior hace surgir una pregunta interesante: ¿Cuál es el sistema más simple equivalente a cualquier sistema de fuerzas y momentos? Sistema 1 F1

173

Sistema 2 F3

F

F2

Figura 4.25 Un sistema de fuerzas paralelas y un sistema que consiste en una sola fuerza F.

Sistema 1 FN

F2

Sistema 2 F

F1 P

P

Figura 4.24 Un sistema de fuerzas concurrentes y un sistema que consiste en una sola fuerza F.

174

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos Sistema 1 F

F

F

M Q P

Q

P (a)

r

P (b)

(c) Sistema 2

Sistema 1 y

F  Fj

y F  Fj

My j My j

M Q D P

Mx i

x

P

x

z

z (d)

(e)

Figura 4.26 (a) El sistema 1 es una sola fuerza y un solo par. (b) ¿Puede representarse el sistema 1 con una sola fuerza y ningún par? (c) El momento de F respecto a P es r  F. (d) F actúa a lo largo del eje y y M está contenido en el plano x–y. (e) El sistema 2 es la fuerza F y la componente de M paralela a F.

Para considerar esta pregunta, se comenzará con una fuerza arbitraria F que actúa en un punto P y un par arbitrario M (sistema 1 en la figura 4.26a) y se verá si es posible representar este sistema con otro más simple. Por ejemplo, ¿podría representarse con la fuerza F actuando en un punto Q diferente y ningún par (figura 4.26b)? La suma de las fuerzas es igual que en el sistema 1. Si se elige un punto Q tal que r  F  M, donde r es el vector de P a Q (figura 4.26c), la suma de los momentos respecto a P será igual que en el sistema 1 y los sistemas serán equivalentes. Pero el vector r  F es perpendicular a F, por lo que puede ser igual a M sólo si M es perpendicular a F. Esto significa que, en general, no es posible representar el sistema 1 sólo con la fuerza F. Sin embargo, el sistema 1 puede representarse por medio de la fuerza F actuando en un punto Q y la componente de M que es paralela a F. En la figura 4.26d se muestra el sistema 1 con un sistema de coordenadas ubicado de modo que F está sobre el eje y y M está contenido en el plano x–y. En términos de este sistema coordenado, es posible expresar la fuerza y el par como F  Fj y M  Mx i  My j. El sistema 2 de la figura 4.26e consiste en la fuerza F actuando en un punto sobre el eje z y la componente de M paralela a F. Si se elige la distancia D tal que D  MxF, el sistema 2 es equivalente al sistema 1. La suma de las fuerzas en cada sistema es F. La suma de los momentos respecto a P en el sistema 1 es M, mientras que en el sistema 2 es

1©MP22 = [1- Dk2 * 1Fj2] + My j = Mx i + My j = M. Una fuerza F y un par Mp paralelo a F se denominan llave de torsión. Es el sistema más simple que puede ser equivalente a un sistema arbitrario de fuerzas y momentos.

4.5 Sistemas equivalentes F

175

F

Mp

M M P

P

Mn (a)

(b)

F

F

Mp

Mp

P

P Q (c)

rPQ

Q (d)

¿Cómo se puede representar un sistema dado de fuerzas y momentos por medio de una llave de torsión? Si el sistema consta de una sola fuerza o un solo par, o si consta de una fuerza F y un par que es paralelo a F, se tendrá una llave de torsión y no podrá simplificarse más. Si el sistema es más complicado que una sola fuerza y un solo par, se comienza escogiendo un punto P conveniente y representando el sistema mediante una fuerza F actuando en P y un par M (figura 4.27a). Luego, la representación de este sistema mediante una llave de torsión requiere de dos pasos: 1. Se determinan las componentes paralela y normal a F de M (figura 4.27b). 2. La llave de torsión consiste en la fuerza F actuando en un punto Q y la componente paralela MP (figura 4.27c). Para lograr la equivalencia, se debe escoger el punto Q de manera que el momento de F respecto a P sea igual a la componente normal Mn (figura 4.27d); es decir, tal que rPQ  F  Mn.

RESULTADOS Sistemas equivalentes de fuerzas y momentos Un sistema de fuerzas y momentos es simplemente un conjunto particular de fuerzas y momentos debidos a pares. Se define que dos sistemas de fuerzas y momentos, designados como sistema 1 y sistema 2, son equivalentes si se satisfacen dos condiciones: 1. La suma de las fuerzas en el sistema 1 es igual a la suma de las fuerzas en el sistema 2. 2. La suma de los momentos respecto a cualquier punto P debidos a las fuerzas y a los momentos en el sistema 1 es igual a la suma de los momentos respecto al mismo punto P debidos a las fuerzas y momentos en el sistema 2.

Figura 4.27 (a) Si es necesario, represente primero el sistema con una sola fuerza y un solo par. (b) Componentes de M paralela y normal a F. (c) Llave de torsión. (d) Escoja Q tal que el momento de F respecto a P sea igual a la componente normal de M.

176

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Representación de sistemas de fuerzas y momentos mediante sistemas equivalentes

Sistema 1 F1

M1

F2

Representación de un sistema arbitrario mediante una fuerza y un par Cualquier sistema de fuerzas y momentos (sistema 1) puede representarse mediante un sistema equivalente, el cual consiste en una fuerza F que actúa en cualquier punto P y un par M (sistema 2). Los sistemas son equivalentes si F es igual a la suma de las fuerzas en el sistema 1 y M es igual a la suma de los momentos respecto a P debidos a las fuerzas y momentos en el sistema 1.

M2 MK

FN

P Sistema 2

M

F P

Sistema 1

Representación de una fuerza mediante una fuerza y un par Una fuerza F que actúa en un punto P (sistema 1) puede representarse mediante un sistema equivalente que consiste en la fuerza F que actúa en un punto diferente Q y un par M (sistema 2). Los sistemas son equivalentes si M es igual al momento respecto al punto Q debido al sistema 1.

F

P

P

M Q

Representación de fuerzas concurrentes mediante una fuerza Un sistema de fuerzas concurrentes cuyas líneas de acción se intersecan en un punto P (sistema 1) puede representarse mediante un sistema equivalente que consiste en una fuerza F cuya línea de acción pasa a través de P (sistema 2). Los sistemas son equivalentes si F es igual a la suma de las fuerzas en el sistema 1.

Representación de fuerzas paralelas mediante una fuerza Un sistema de fuerzas paralelas cuya suma no es cero (sistema 1) puede representarse mediante un sistema equivalente que consiste de una fuerza F que actúa en un punto (sistema 2). Los sistemas son equivalentes si F es igual a la suma de las fuerzas en el sistema 1 y la suma de los momentos respecto a cualquier punto debidos a las fuerzas en el sistema 1 es igual a la suma de los momentos respecto al mismo punto debido a las fuerzas en el sistema 2.

Sistema 2

F

Q

Sistema 1

Sistema 2

FN

F2

F

F1 P

P

Sistema 1 F1

Sistema 2 F

F3 F2

P

4.5 Sistemas equivalentes

( Relacionado con el problema 4.151)

Ejemplo activo 4.12

El sistema 1 consiste en las siguientes fuerzas y pares:

FA = - 10i + 10j - 15k 1kN2, FB = 30i + 5j + 10k 1kN2,

MC = - 90i + 150j + 60k 1kN-m2. Suponga que se desea representar el sistema 1 mediante un sistema equivalente, el cual consiste en una fuerza F que actúa en el punto P con coordenadas (4, 3, 2) m y un par M (sistema 2). Determine F y M Sistema 2 y

Sistema 1 y

F M

(4, 3, 2) m

P

P

(4, 3, 2) m

FB

FA

x

x (6, 0, 0) m z

z

MC

Estrategia Las condiciones para la equivalencia se satisfacen si F es igual a la suma de las fuerzas en el sistema 1 y M es igual a la suma de los momentos respecto al punto P debidos a las fuerzas y momentos en el sistema 1. Estas condiciones pueden usarse para determinar F y M. Solución

F  FA  FB  20i  15j  5k (kN).

i

j

M  4

3

10

k

La fuerza F debe ser igual a la suma de las fuerzas en el sistema 1.

i

j

k

2  2

3

2

5

10

10 15

30

 (90i  150j  60k)

El par M debe ser igual a la suma de los momentos respecto al punto P debidos a las fuerzas y momentos en el sistema 1.

 105i  110j  90k (kN-m). Problema de práctica Suponga que se desea representar el sistema 2 mediante un sistema equivalente, el cual consiste en una fuerza F que actúa en el origen del sistema de coordenadas y un par M (sistema 3). Determine F y M. Respuesta: F  20i  15j  5k (kN), M  90i  90j  90k (kN-m).

177

178

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo 4.13

Representación de un sistema mediante un sistema equivalente más simple ( Relacionado con el problema 4.137) Sistema 1

El sistema 1 de la figura consiste en dos fuerzas y un par que actúan sobre un tubo. Represente el sistema 1 mediante a) una sola fuerza que actúe en el origen O del sistema coordenado y un solo par, y b) una sola fuerza.

y 30j (kN)

20i  20j (kN)

x

O 3m

2m

210 kN-m

Estrategia a) El sistema 1 puede representarse por medio de una fuerza F que actúe en el origen y un par M (sistema 2 de la figura a), y utilizar las condiciones de equivalencia para determinar F y M. b) Suponga que la fuerza F se coloca con su punto de aplicación a una distancia D del origen a lo largo del eje x (sistema 3 de la figura b). Las sumas de las fuerzas en los sistemas 2 y 3 son iguales. Si es posible escoger la distancia D de manera que el momento respecto a O en el sistema 3 sea igual a M, el sistema 3 será equivalente al sistema 2 y, por lo tanto, equivalente al sistema 1. Sistema 3

Sistema 2

y

y

F

F M x

O

x

O D

(a) Una fuerza F que actúa en O y un par M.

(b) Un sistema consistente en la fuerza F que actúa en un punto del eje x.

Solución a) Las condiciones de equivalencia son

1©F22 = 1©F21:

F = 30j + 120i + 20j2 1kN2 = 20i + 50j 1kN2,

y

1©MO22 = 1©MO21:

M = 130 kN213 m2 + 120 kN215 m2 + 210 kN-m = 400 kN-m.

b) Las sumas de las fuerzas de los sistemas 2 y 3 son iguales. Igualando las sumas

de los momentos respecto a O, se obtiene

1©MO23 = 1©MO22:

150 kN2D = 400 kN-m,

y se encuentra que el sistema 3 equivale al sistema 2 si D  8 m. Razonamiento crítico En el inciso b), ¿por qué se supuso que el punto de aplicación de la fuerza está sobre el eje x? Para representar el sistema en la figura a mediante una sola fuerza, es necesario colocar la línea de acción de la fuerza de manera que ésta ejerza un momento en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj de 400 kN-m respecto a O. La colocación del punto de aplicación de la fuerza a una distancia D a lo largo del eje x fue sólo una manera conveniente de lograr esto.

4.5 Sistemas equivalentes

Ejemplo 4.14

179

Representación de fuerzas paralelas mediante una sola fuerza ( Relacionado con el problema 4.154)

El sistema 1 que se muestra en la figura consiste en fuerzas paralelas. Suponga que se desea representar este sistema mediante una fuerza F (sistema 2). ¿Qué valor tiene F y dónde interseca su línea de acción al plano x–z? Estrategia Es posible determinar F a partir de la condición de que las sumas de las fuerzas en los dos sistemas deben ser iguales. Para que los dos sistemas sean equivalentes es necesario escoger el punto de aplicación P de manera que las sumas de los momentos respecto a un punto sean iguales. Esta condición indicará dónde interseca la línea de acción al plano x–z. Solución Las sumas de las fuerzas deben ser iguales

Sistema 1 y

20j (lb)

x (6, 0, 2) pies (2, 0, 4) pies O

z

1©F22 = 1©F21: F = 30j + 20j - 10j 1lb2 = 40j 1lb2.

30j (lb)

(3, 0, –2) pies

10j (lb) Sistema 2 y

Las sumas de los momentos respecto a un punto arbitrario deben ser iguales: Sean (x, y, z) las coordenadas del punto P. Las sumas de los momentos respecto al origen O deben ser iguales.

1©MO22 = 1©MO21: i 3x 0

j y 40

k i z3 = 36 0 0

j 0 30

F

k i 23 + 32 0 0

j 0 -10

k i 4 3 + 3 -3 0 0

j 0 20

k -2 3 0

Desarrollando los determinantes, se obtiene [20 pies-lb  (40 lb)z]i  [100 pies-lb  (40 lb)x]k  0. Las sumas de los momentos respecto al origen son iguales si x  2.5 pies, z  0.5 pies. Estos sistemas son equivalentes si F  40j (lb) y su línea de acción interseca al plano x–z en x  2.5 pies y z  0.5 pies. Observe que no se obtuvo una ecuación para la coordenada y de P. Los sistemas son equivalentes si F se aplica en cualquier punto a lo largo de su línea de acción. Razonamiento crítico En este ejemplo, se podría haber determinado de una manera más sencilla las coordenadas x y z del punto P. Como las sumas de los momentos respecto a cualquier punto deben ser iguales para que los sistemas sean equivalentes, las sumas de los momentos respecto a cualquier línea también deben ser iguales. Igualando las sumas de los momentos respecto al eje x, se obtiene (Meje x)2  (Meje x)1: (40 lb)z  (30 lb)(2 pies)  (10 lb)(4 pies)  (20 lb)(2 pies), y entonces z  0.5 pie. Asimismo, igualando las sumas de los momentos respecto al eje z, resulta (Meje z)2  (Meje z)1: (40 lb)x  (30 lb)(6 pies)  (10 lb)(2 pies)  (20 lb)(3 pies), y se obtiene x  2.5 pies.

x

O P z

180

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo 4.15

Representación de una fuerza y un par mediante una llave de torsión ( Relacionado con los problemas 4.170, 4.171) El sistema que se muestra en la figura consiste en la fuerza y el par

y

F = 3i + 6j + 2k 1N2, M = 12i + 4j + 6k 1N-m2.

F

Represéntelo mediante una llave de torsión, y determine el punto en que la línea de acción de la fuerza de la llave interseca al plano x–z.

M O

x

z

Estrategia La llave es la fuerza F y la componente de M paralela a F (figuras a, b). Se debe elegir el punto de aplicación P de modo que el momento de F respecto a O sea igual a la componente normal Mn. Si P es un punto arbitrario del plano x–z, es posible determinar dónde interseca la línea de acción de F a ese plano. Solución Al dividir F entre su magnitud, se obtiene un vector unitario e con la misma dirección que F:

y F

e =

Mp

M O

x

Mn

z

F =

ƒFƒ

3i + 6j + 2k 1N2

213 N22 + 16 N22 + 12 N22

= 0.429i + 0.857j + 0.286k.

Se puede usar e para calcular la componente de M paralela a F:

Mp = 1e # M2e = [10.4292112 N-m2+10.857214 N-m2+ 10.286216 N-m2]e = 4.408i + 8.816j + 2.939k 1N-m2.

La componente de M normal a F es

Mn = M - Mp = 7.592i - 4.816j + 3.061k 1N-m2.

(a) Descomposición de M en sus componentes paralela y normal a F.

La llave se muestra en la figura b. Sean (x, 0, z) las coordenadas de P. El momento de F respecto a O es y

rOP F

Mp

i 3 * F = x 3

j 0 6

k z 3 = - 6zi - 12x - 3z2j + 6xk 1N-m2. 2

Al igualar este momento a Mn, o bien O

x P (x, 0, z)

z

(b) Llave de torsión que actúa en un punto del plano x–z.

-6zi - 12x - 3z2j + 6xk 1N-m2 = 7.592i - 4.816j + 3.061k 1N-m2,

se obtienen las ecuaciones

-6z = 7.592, -2x + 3z = - 4.816, 6x = 3.061. Resolviendo estas ecuaciones se encuentran que las coordenadas del punto P son x  0.510 m, z  1.265 m. Razonamiento crítico ¿Por qué se colocó el punto P en un punto arbitrario (x, 0, z) en el plano x–z? El objetivo era colocar la línea de acción de la fuerza F de la llave de torsión de manera que cumpliera con la condición de que el momento de F respecto a O fuese igual a Mn. Al colocar el punto de aplicación de F en ese punto (x, 0, z) y luego usar esta condición para determinar x y z, se tuvo una forma conveniente de determinar la ubicación necesaria de la línea de acción. El punto (x, 0, z)  (0.510, 0, 1.265) m es la intersección de la línea de acción con el plano x–z.

Problemas

181

Problemas 4.128 Dos sistemas de fuerzas actúan sobre la viga mostrada en la figura. ¿Estos sistemas son equivalentes? Estrategia: Verifique las dos condiciones para la equivalencia. Tanto las sumas de las fuerzas como las sumas de los momentos respecto a un punto arbitrario deben ser iguales.

4.130 Cuatro sistemas de fuerzas y momentos actúan sobre una viga de 8 m de longitud. ¿Cuáles sistemas son equivalentes? 4.131 Los cuatro sistemas mostrados en la figura pueden hacerse equivalentes agregando un solo par a uno de los sistemas. ¿De qué sistema se trata y qué par se debe añadir?

Sistema 1 Sistema 1

y

Sistema 2 10 kN

10 kN

100 N

80 kN-m 8m

8m

Sistema 3

Sistema 4

x 50 N 1m

1m

20 kN

20 kN

10 kN

Sistema 2 y 50 N

80 kN-m

8m x

4m

10 kN 4m

2m

Problemas 4.130/4.131

Problema 4.128

4.129 Dos sistemas de fuerzas y momentos actúan sobre la viga mostrada en la figura. ¿Estos sistemas son equivalentes? Sistema 1

4.132 El sistema 1 es una fuerza F que actúa en un punto O. El sistema 2 es la fuerza F actuando en un punto O diferente a lo largo de la misma línea de acción. Explique por qué esos sistemas son equivalentes. (Este resultado sencillo se denomina, principio de transmisibilidad).

y Sistema 1

20 lb

50 pies-lb

Sistema 2

10 lb

F x 2 pies

F

2 pies

O

Sistema 2

O

y

O

Problema 4.132

20 lb

30 pies-lb 10 lb x 2 pies

2 pies

Problema 4.129

182

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.133 La suma vectorial de las fuerzas ejercidas por los cables sobre el tronco que se muestra en la figura es la misma en los dos casos. Demuestre que los sistemas de fuerzas ejercidos sobre el tronco son equivalentes.

4.136 Dos sistemas equivalentes de fuerzas y momentos actúan sobre la placa mostrada. Determine la fuerza F y el par M. Sistema 1 30 lb

A

Sistema 2 30 lb

10 lb

5 pulg

5 pulg 12 m

100 pulg-lb

8 pulg

8 pulg

30 lb

M B

50 lb

F

16 m

Problema 4.136

C

12 m E

D 6m

20 m

Problema 4.133

4.134 Cada uno de los sistemas 1 y 2 mostrados consiste en un par. Si éstos son equivalentes, ¿qué valor tiene F? Sistema 1 y

4.138 Tres fuerzas y un par se aplican a una viga (sistema 1). a) Si el sistema 1 se representa mediante una fuerza aplicada en A y un par (sistema 2), ¿qué valores tienen F y M? b) Si el sistema 1 se representa por medio de la fuerza F (sistema 3), ¿qué valor tiene la distancia D? Sistema 1

Sistema 2

y

y

200 N

F

30

200 N 30

30 lb

40 lb

20 lb

20

5m

 4.137 En el ejemplo 4.13, suponga que la fuerza vertical de 30 kN en el sistema 1 debe remplazarse por una fuerza vertical de 230 kN. Trace un bosquejo del nuevo sistema 1. Si el sistema 1 se representa mediante una sola fuerza F como en el sistema 3, ¿en qué nueva posición D sobre el eje x debe colocarse la fuerza?

30 pies-lb x

A

(5, 4, 0) m

2m x

20

4m

2 pies

x

F

2 pies

Sistema 2 y

Problema 4.134

F

M

4.135 Dos sistemas equivalentes de fuerzas y momentos actúan sobre la barra en forma de L que se muestra en la figura. Determine las fuerzas FA y FB y el par M.

x

A

Sistema 3

Sistema 1 120 N-m

60 N

3m

FA

y

Sistema 2

F

FB

x

A

40 N M

50 N

3m

D

Problema 4.138 3m

3m

Problema 4.135

6m

Problemas 4.139 Represente, mediante una fuerza F, las dos fuerzas y el par que actúan sobre la viga mostrada. Determine F y el punto en el cual su línea de acción interseca el eje x. y 60i  60j (N)

280 N-m

x 40j (N) 3m

3m

183

4.142 La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre la armadura mostrada y la suma de los momentos respecto al origen O son iguales a cero. a) Determine Ax, Ay y B. b) Si las fuerzas de 2 kip, 4 kip y 6 kip se representan mediante una fuerza F, ¿qué valor tiene F y dónde interseca su línea de acción al eje y? c) Si las fuerzas de 2 kip, 4 kip y 6 kip se reemplazan con la fuerza determinada en b), ¿qué valor tienen la suma vectorial de las fuerzas y la suma de los momentos respecto a O? 2 kip

Problema 4.139

y 3 pies

4.140 La ménsula que se muestra en la figura está sometida a tres fuerzas y un par. Si este sistema se representa mediante una fuerza F, ¿cuál es el valor de F y dónde interseca su línea de acción al eje x?

4 kip

3 pies 6 kip

y

3 pies Ax

O x

400 N

Ay

180 N

0.4 m

B 6 pies

140 N-m

200 N

Problema 4.142

0.2 m x

0.65 m

4.143 La fuerza distribuida que ejerce el suelo sobre una parte de la cimentación de un edificio está representada por cinco fuerzas. Si éstas se representan por medio de una fuerza F, ¿qué valor tiene F y en qué punto interseca su línea de acción el eje x?

Problema 4.140

4.141 Tanto la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre la viga mostrada, como la suma de los momentos respecto al extremo izquierdo de la viga, son iguales a cero. a) Determine las fuerzas Ax y Ay y el par MA. b) Determine la suma de los momentos respecto al extremo derecho de la viga. c) Si la fuerza de 600 N, la fuerza de 200 N y el par de 30 N-m se representan con una fuerza F que actúa en el extremo izquierdo de la viga y un par M, ¿qué valores tienen F y M?

y

x 80 kN 3m

35 kN

30 kN

40 kN

3m

3m

3m

85 kN

Problema 4.143

y 600 N MA

x

Ax

30 N-m 200 N

Ay 380 mm

Problema 4.141

180 mm

184

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.144 En un instante particular, las fuerzas aerodinámicas distribuidas sobre un avión ejercen las fuerzas verticales de 88 kN y 16 kN y el par en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj de 22 kN-m que se muestran en la figura. Si las fuerzas y el par se representan mediante un sistema consistente en una fuerza F que actúe en el centro de masa G y un par M, ¿cuáles son los valores de F y M? 4.145 Si las dos fuerzas y el par que actúan sobre el avión de la figura se representan mediante una fuerza F, ¿cuál es el valor de F, y dónde interseca su línea de acción al eje x? y 88 kN

4.148 La tensión en el cable AB que se muestra en la figura es de 400 N y la tensión en el cable CD es de 600 N. a) Si las fuerzas ejercidas por los cables sobre el poste izquierdo se representan mediante una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? b) Si las fuerzas ejercidas por los cables sobre el poste izquierdo se representan con una sola fuerza F, ¿dónde interseca su línea de acción al eje y? 4.149 La tensión en cada uno de los cables AB y CD mostrados es de 400 N. Si las fuerzas ejercidas por ellos sobre el poste derecho se representan con una fuerza F, ¿cuál es el valor de F y dónde interseca su línea de acción al eje y? y

16 kN x

G

A

5m 22 kN-m

5.7 m

400 mm

9m

4.146 El sistema mostrado se encuentra en equilibrio. Si las fuerzas FAB y FAC se representan mediante una fuerza F que actúa en A y un par M, ¿qué valor tienen F y M?

60 40

FAB

C

100 lb

D O

300 mm x

800 mm

FAC

4.150 Si las tres fuerzas que actúan sobre la sección transversal de la viga mostrada se representan con una fuerza F, ¿cuál es el valor de F y dónde interseca su línea de acción al eje x?

A

A

300 mm

Problemas 4.148/4.149

y B

B

C

Problemas 4.144/4.145

100 lb

y x

500 lb

Problema 4.146 4.147 Tres fuerzas actúan sobre la viga que se muestra en la figura. a) Represente el sistema mediante una fuerza F que actúe en el origen O y un par M. b) Represente el sistema mediante una sola fuerza. ¿Dónde interseca la línea de acción de la fuerza al eje x?

800 lb 6 pulg x 6 pulg

z

y 500 lb 30 N

Problema 4.150 5m x

O 30 N

6m

4m

Problema 4.147

50 N

 4.151 En el ejemplo activo 4.12, suponga que la fuerza FB se cambia a FB  20i  15j  30k (kN), y se desea representar el sistema 1 mediante un sistema equivalente que consista en una fuerza F actuando en el punto P con coordenadas (4, 3, 2) m y un par M (sistema 2). Determine F y M.

Problemas 4.152 Una ménsula de pared está sometida a la fuerza mostrada. a) Determine el momento ejercido por la fuerza respecto al eje z. b) Determine el momento ejercido por la fuerza respecto al eje y. c) Si la fuerza se representa mediante una fuerza F que actúa en O y un par M, ¿qué valores tienen F y M?

185

 4.154 En el ejemplo 4.14, suponga que la fuerza ascendente de 30 lb en el sistema 1 se cambia a una fuerza ascendente de 25 lb. Si se desea representar el sistema 1 mediante una sola fuerza F (sistema 2), ¿dónde interseca la línea de acción de F al plano x–z? 4.155 Las fuerzas normales ejercidas por el camino sobre las llantas del automóvil mostrado son NA = 5104j 1N2,

y

NB = 5027j 1N2,

10i  30j  3k (lb)

O

NC = 3613j 1N2,

12 pulg

z

ND = 3559j 1N2.

Si estas fuerzas se representan mediante una sola fuerza equivalente N, ¿cuál es el valor de N y dónde interseca su línea de acción al plano x–z?

x

C

A 0.8 m

Problema 4.152

x 0.8 m

4.153 Un jugador de baloncesto realiza una “clavada” y luego se cuelga momentáneamente del aro, ejerciendo las dos fuerzas de 100 lb que se muestran en la figura. Las dimensiones son h  14.5 pulg y r  9.5 pulg, y el ángulo a  120°. a) Si las fuerzas que el jugador ejerce se representan mediante una fuerza F que actúa en O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? b) El tablero de vidrio se romperá si M  4000 lb-pulg. ¿Se rompe?

D

1.4 m

1.4 m

B

z y

x y

100j (lb)

Problema 4.155 4.156 Dos fuerzas actúan sobre la viga que se muestra en la figura. Si se representan mediante una fuerza F que actúa en C y un par M, ¿qué valores tienen F y M?

O a r

y 100j (lb) 100 N

h

x

z

80 N

Problema 4.153

z

C 3m

Problema 4.156

x

186

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.157 Una fuerza axial de magnitud P actúa sobre la viga mostrada. Si se representa mediante una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? b

4.160 Dos ejes están sujetos a los pares de torsión mostrados. a) Si los dos pares se representan mediante una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? b) ¿Cuál es la magnitud del momento total ejercido por los dos pares? y

Pi z 6 kN-m

h O 4 kN-m

x

40 y

30 x

Problema 4.157 z

4.158 El berbiquí de la figura se está usando para quitar un tornillo. a) Si las fuerzas que actúan sobre el berbiquí se representan mediante una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? b) si las fuerzas que actúan sobre el berbiquí se representan mediante una fuerza F que actúa en un punto P con coordenadas (xP, yP, zP) y un par M, ¿qué valores tienen F y M?

Problema 4.160 4.161 Los dos sistemas de fuerzas y momentos que actúan sobre la barra son equivalentes. Si FA = 30i + 30j - 20k 1kN2,

FB = 40i - 20j + 25k 1kN2,

MB = 10i + 40j - 10k 1kN-m2,

y

¿qué valores tienen F y M?

h r

h

y

B z

O

FA

1 A 2

A

B

x

z

2m

y

F

y P

z

FB  2i  j (kN) x

1m

x

Sistema 1

4.159 Dos fuerzas y un par actúan sobre el cubo de la figura. Si se representan mediante una fuerza F que actúa en el punto P y un par M, ¿qué valores tienen F y M?

z

B

FB

Problema 4.158

FA  i  j  k (kN)

A

2m

1 A 2

MB

MC  4i  4j  4k (kN-m)

Problema 4.159

x

M Sistema 2

Problema 4.161

Problemas 4.162 El punto G se encuentra en el centro del bloque mostrado. Las fuerzas son FA = - 20i + 10j + 20k 1lb2,

FB = 10j - 10k 1lb2.

Si las dos fuerzas se representan mediante una fuerza F que actúa en G y un par M, ¿qué valores tienen F y M?

187

4.165 La tensión en el cable AB de la figura es de 100 lb, la tensión en el cable CD es de 60 lb. Suponga que se desea reemplazar esos dos cables con un solo cable EF tal que la fuerza ejercida sobre la pared en E sea equivalente a las dos fuerzas ejercidas por los cables AB y CD sobre las paredes en A y C. ¿Cuál es la tensión en el cable EF y cuáles son las coordenadas de los puntos E y F? y

y

y

FB FA

C

(4, 6, 0) pies

(0, 6, 6) pies

10 pulg x

E

G

x

A 20 pulg

z

x

D (7, 0, 2) pies

30 pulg

B

F

(3, 0, 8) pies

Problema 4.162 z

4.163 El motor sobre el fuselaje del avión mostrado en la figura ejerce un empuje T0 de 16 kip, y cada motor bajo las alas ejerce un empuje TU de 12 kip. Las dimensiones son h  8 pies, c  12 pies y b  16 pies. Si las tres fuerzas se representan mediante una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M?

z

Problema 4.165

4.166 La distancia s  4 m en la figura. Si la fuerza y el par de 200 N-m se representan mediante una fuerza que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? y

4.164 Considere el avión descrito en el problema 4.163 y suponga que el motor bajo el ala a la derecha del piloto pierde la fuerza de empuje. a) Si las dos fuerzas de empuje restantes se representan mediante una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? b) Si las dos fuerzas de empuje restantes se representan sólo mediante la fuerza F, ¿dónde interseca su línea de acción al plano x–y?

(2, 6, 0) m

s

100i  20j  20k (N)

O 200 N-m y

T0 c

O

z

h

Problema 4.166

2 TU y

x

O

b

b

Problemas 4.163/4.164

(4, 0, 3) m z

x

188

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos 4.173 El sistema 1 consiste en dos fuerzas y un par. Suponga que se desea representar mediante una llave de torsión (sistema 2). Determine la fuerza F, el par Mp y las coordenadas x y z donde la línea de acción de la fuerza interseca el plano x–z.

4.167 La fuerza F y el par M del sistema 1 mostrado son F = 12i + 4j - 3k 1lb2, M  4i  7j  4k (pies-lb). Suponga que se desea representar el sistema 1 mediante una llave de torsión (sistema 2). Determine el par Mp y las coordenadas x y z donde la línea de acción de la fuerza interseca al plano x–z. Sistema 1

Sistema 2

Sistema 1 y 1000i  600j (kN-m)

600k (kN)

y

y

Sistema 2 y

300j (kN)

3m

Mp x

M

x

4m z

F

O

O

x z

z

Problema 4.173

x (x, 0, z)

Problema 4.167 4.168 Un sistema consiste en una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, donde F  10i (lb),

M  20j (pies-lb).

4.174 Un plomero ejerce las dos fuerzas mostradas para aflojar un tubo. a) ¿Qué momento total ejerce el plomero respecto al eje del tubo? b) Si las dos fuerzas se representan mediante una fuerza F que actúa en O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? c) Si las dos fuerzas se representan mediante una llave de torsión que consiste en la fuerza F y un par paralelo Mp, ¿qué valor tiene Mp y dónde interseca la línea de acción de F al plano x–y?

Si el sistema se representa mediante una llave de torsión que consiste en la fuerza F y un par paralelo Mp, ¿qué valor tiene Mp y dónde interseca la línea de acción de F al plano y–z?

y 12 pulg 6 pulg

O

4.169 Un sistema consiste en una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, donde F = i + 2j + 5k 1N2,

(x, 0, z)

z

F

Mp

F

M = 10i + 8j - 4k 1N-m2.

Si el sistema se representa mediante una llave de torsión que consiste en la fuerza F y un par paralelo Mp, a) determine Mp, y encuentre el punto donde la línea de acción de F interseca b) al plano x–z y c) al plano y–z.  4.170 Considere la fuerza F que actúa en el origen O y el par M dados en el ejemplo 4.15. Si este sistema se representa mediante una llave de torsión, ¿en qué punto interseca la línea de acción de la fuerza al plano x–y?  4.171 Considere la fuerza F que actúa en el origen O y el par M dados en el ejemplo 4.15. Si este sistema se representa mediante una llave de torsión, ¿dónde interseca la línea de acción de la fuerza al plano y  3 m? 4.172 Una llave de torsión consiste en una fuerza de magnitud 100 N que actúa en el origen O y un par de magnitud 60 N-m. La fuerza y el par señalan en la dirección de O al punto (1, 1, 2) m. Si la llave de torsión se representa mediante una fuerza F que actúa en el punto (5, 3, 1) m y un par M, ¿qué valores tienen F y M?

z x 16 pulg 16 pulg

50k (lb) 70k (lb)

Problema 4.174

189

Problemas de repaso

Problemas de repaso 4.175 La torre inclinada de Pisa tiene alrededor de 55 m de altura y 7 m de diámetro. El desplazamiento horizontal de la parte superior de la torre desde la vertical es de aproximadamente 5 m. Su masa aproximada es de 3.2  106 kg. Si la torre se modela como un cilindro y se supone que su peso actúa en el centro, ¿cuál es la magnitud del momento ejercido por el peso respecto al punto en el centro de la base de la torre?

4.177 Tres fuerzas actúan sobre la estructura mostrada. La suma de los momentos debidos a las fuerzas respecto a A es igual a cero. Determine la magnitud de la fuerza F. 30

45

2 kN

4 kN

b

5m

A F

2b

b

b

Problema 4.177 4.178 Determine el momento de la fuerza de 400 N (a) respecto a A y (b) respecto a B.

Problema 4.175

30

4.176 El cable AB ejerce una fuerza de 300 N sobre el soporte A, la cual apunta desde A hacia B. Determine la magnitud del momento que ejerce la fuerza respecto al punto P. y

400 N

220 mm A

260 mm

B

B (0.3, 0.6) m 500 mm

Problema 4.178

A

(0.4, 0.3) m x P (0.5, 0.2) m

4.179 Determine la suma de los momentos ejercidos respecto a A por las tres fuerzas y el par que se muestran en la figura. 4.180 Si las tres fuerzas y el par mostrados en la figura se representan mediante un sistema equivalente que consiste en una fuerza F actuando en A y en un par M, ¿qué valor tienen las magnitudes de F y M?

Problema 4.176 A 5 pies

300 lb 800 pies-lb

200 lb 200 lb 6 pies

3 pies

Problemas 4.179/4.180

190

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.181 Tanto la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre la viga mostrada, como la suma de los momentos respecto a A, son iguales a cero. a) ¿Qué valor tienen las fuerzas Ax, Ay y B? b) ¿Qué valor tiene la suma de los momentos respecto a B?

4.183 La fuerza F  60i  60j (lb). a) Determine el momento de F respecto al punto A. b) ¿Cuál es la distancia perpendicular del punto A a la línea de acción de F? y F

30 220 mm

Ay

(4, 4, 2) pies x

400 N

Ax

A (8, 2, 12) pies

260 mm z

Problema 4.183 500 mm

B

Problema 4.181 4.182 El pistón hidráulico BC que se muestra en la figura ejerce una fuerza de 970 lb sobre el larguero en C en la dirección paralela al pistón. El ángulo a  40°. La suma de los momentos respecto a A debidos a la fuerza ejercida por el pistón sobre el larguero y al peso de la carga suspendida es igual a cero. ¿Cuál es el peso de la carga suspendida?

4.184 Una masa de 20 kg está suspendida mediante cables unidos a tres postes verticales de 2 metros de altura como se muestra en la figura. El punto A está en (0, 1.2, 0) m. Determine el momento respecto a la base E debido a la fuerza ejercida por el cable AB sobre el poste BE. y C B D A

ies

1m

6p

1m

E

9

s pie

C

2m

0.3 m z

x

Problema 4.184 a A

B 6 pies

4.185 ¿Cuál es el valor del momento total debido a los dos pares mostrados en la figura? a) Exprese la respuesta proporcionando la magnitud y estableciendo si el momento está en dirección al movimiento de las manecillas del reloj o es contrario a éste. b) Exprese la respuesta como un vector y 100 N

Problema 4.182 4m

100 N 2m x 2m

100 N

4m

100 N

Problema 4.185

Problemas de repaso 4.186 La barra AB que soporta la tapa del piano ejerce una fuerza F  6i  35j  12k (lb) en B. Las coordenadas de B son (3, 4, 3) pies. ¿Qué valor tiene el momento de la fuerza respecto a la línea de bisagras de la tapa (eje x)? y B

4.189 El sistema de cables y poleas mostrado en la figura soporta el peso de 300 lb de la plataforma de trabajo. Si la fuerza ejercida hacia arriba en E por el cable EF y la fuerza ascendente ejercida en G por el cable GH se representan mediante una sola fuerza equivalente F, ¿cuál es el valor de F y en dónde interseca su línea de acción al eje x?

4.190 El sistema de cables y poleas mostrado en la figura soporta el peso de 300 lb de la plataforma de trabajo. x

a) ¿Qué valor tienen las tensiones en los cables AB y CD? b) Si las fuerzas ejercidas por los cables en A y C se representan mediante una sola fuerza equivalente F, ¿qué valor tiene F y dónde interseca su línea de acción el eje x?

A z

H F

Problema 4.186

E B

4.187 Determine el momento de la fuerza vertical de 800 lb que se muestra en la figura respecto al punto C.

4.188 Determine el momento de la fuerza vertical de 800 lb que se muestra en la figura respecto a la línea recta que pasa por los puntos C y D.

G D

y

A

60

60

y

Problemas 4.189/4.190

800 lb A (4, 3, 4) pies

B D (6, 0, 0) pies x

C (5, 0, 6) pies

Problemas 4.187/4.188

C x

8 pies

z

191

192

Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.191 Los dos sistemas mostrados en la figura son equivalentes. Determine las fuerzas Ax y Ay y el par MA. 4.192 Si los sistemas equivalentes del problema 4.191 se representan mediante una fuerza F que actúa en el origen y un par M, ¿qué valores tienen F y M? 4.193 Si los sistemas equivalentes del problema 4.191 se representan mediante una fuerza F, ¿qué valor tiene F y dónde interseca su línea de acción al eje x?

4.195 Los remolcadores A y B de la figura ejercen fuerzas FA  1 kN y FB  1.2 kN sobre el barco. El ángulo u  30°. Si las dos fuerzas se representan mediante una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? 4.196 Los remolcadores A y B de la figura ejercen fuerzas FA  600 N y FB  800 N sobre el barco. El ángulo u  45°. Si las dos fuerzas se representan mediante una fuerza F, ¿qué valor tiene F y dónde interseca su línea de acción al eje y?

Sistema 1 y

4.197 Los remolcadores A y B de la figura desean ejercer dos fuerzas sobre el barco que sean equivalentes a una fuerza F de 2 kN de magnitud actuando en el origen O. Si FA  800 N, determine los valores necesarios de FB y u.

20 N

400 mm Ax

x y

Ay

30 N 600 mm

400 mm

Sistema 2 y

A FA

8 N-m 60 m 400 mm MA

O

10 N

20 N

x

60 m

x

FB

80 N 600 mm

400 mm

u

B

Problemas 4.191–4.193 4.194 Los dos sistemas mostrados son equivalentes. Si

25 m

F = - 100i + 40j + 30k 1lb2,

M  80i  120j  40k (pulg-lb).

Problemas 4.195–4.197

determine F y M. Sistema 1 y

Sistema 2 y

4 pulg

4 pulg

M F

Fⴕ Mⴕ 6 pulg

6 pulg x

x 6 pulg

6 pulg z

z

Problema 4.194

Problemas de repaso 4.198 Si las fuerzas ejercidas por el piso sobre las patas de la mesa mostrada en la figura se representan mediante una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? 4.199 Si las fuerzas ejercidas por el piso sobre las patas de la mesa mostrada en la figura se representan mediante una fuerza F, ¿qué valor tiene F y dónde interseca su línea de acción al plano x–z? y 2m

1m

Proyecto de diseño En la figura se muestra un dispositivo relativamente primitivo para ejercitar los bíceps. Sugiera una configuración mejorada para el dispositivo. Pueden usarse cuerdas elásticas (que se comportan como resortes lineales), pesos y poleas. Busque un diseño tal que la variación del momento respecto al codo cuando se use el dispositivo sea pequeño en comparación con el diseño mostrado. Tenga en consideración la seguridad de su dispositivo, su confiabilidad y el requisito de permitir a los usuarios tener un rango de dimensiones y resistencias. Al elegir dimensiones específicas, determine el rango de la magnitud del momento ejercido respecto al codo cuando se utiliza su dispositivo.

50 N B

x 42 N

48 N

pu

lg

z

15

50 N

Problemas 4.198/4.199 4.200 Las bielas ejercen dos fuerzas sobre el cigüeñal de la figura. Los cosenos directores de FA son cos ux  0.182, cos uy  0.818 y cos uz  0.545, y su magnitud es de 4 kN. Los cosenos directores de FB son cos ux  0.182, cos uy  0.818 y cos uz  0.545, y su magnitud es de 2 kN. Si las dos fuerzas se representan mediante una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? 4.201 Si las dos fuerzas ejercidas sobre el cigüeñal del problema 4.200 se representan mediante una llave de torsión que consiste en una fuerza F y un par paralelo Mp, ¿qué valores tienen F y MP y en qué punto interseca la línea de acción de F al plano x–z? y

FB

FA 360 mm

O

z

160 mm

80 mm 80 mm x

Problemas 4.200/4.201

193

E

a

10 pulg A 5 pulg

CAPÍTULO

5 Objetos en equilibrio Con base en los conceptos desarrollados en los capítulos 3 y 4, primero se establecen las ecuaciones generales de equilibrio y se describen las diferentes formas en que los elementos estructurales pueden apoyarse o mantenerse en su lugar. Después, mediante el uso de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio, se muestra cómo determinar las fuerzas y pares desconocidos que ejercen los soportes sobre los elementos estructurales. La motivación principal para este procedimiento es que representa el paso inicial para responder una pregunta esencial en el análisis estructural: ¿Cómo diseñan los ingenieros elementos estructurales capaces de soportar las cargas a las cuales están sometidos?

 La viga está en equilibrio bajo las acciones de su peso y las fuerzas ejercidas por las cadenas. En este capítulo se aplican ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas y pares desconocidos que actúan sobre los objetos.

196

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.1 Aplicaciones bidimensionales ANTECEDENTES Cuando un objeto sobre el cual actúa un sistema de fuerzas y momentos está en equilibrio, se satisfacen las siguientes condiciones: 1. La suma de las fuerzas es igual a cero:

©F = 0.

(5.1)

2. La suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero: Mcualquier punto  0.

(5.2)

A partir del análisis realizado para los sistemas equivalentes de fuerzas y momentos en el capítulo 4, las ecuaciones (5.1) y (5.2) implican que el sistema de fuerzas y momentos que actúan sobre un objeto en equilibrio es equivalente a un sistema en el que no se incluyen fuerzas ni pares. Esto ayuda a comprender la naturaleza del equilibrio. Desde el punto de vista de la fuerza total y el momento total ejercidos sobre un objeto en equilibrio, los efectos son iguales que si no se aplicara ninguna fuerza y ningún par sobre dicho cuerpo. Esta observación también aclara que si la suma de las fuerzas sobre un objeto es igual a cero y la suma de los momentos respecto a un punto también es nula, entonces la suma de los momentos respecto a cualquier punto será igual a cero.

Ecuaciones de equilibrio escalares Cuando las cargas y reacciones sobre un objeto en equilibrio forman un sistema bidimensional de fuerzas y momentos, éstos se relacionan mediante tres ecuaciones de equilibrio escalares: Fx  0,

(5.3)

Fy  0,

(5.4)

Mcualquier punto  0.

(5.5)

Una pregunta natural es: ¿Se puede obtener más de una relación a partir de la ecuación (5.5) evaluando la suma de los momentos respecto a más de un punto? La respuesta es sí, y en muchos casos resulta conveniente hacerlo de esta manera. Pero debe considerarse lo siguiente: las ecuaciones adicionales no serán independientes de las ecuaciones (5.3)-(5.5). En otras palabras, no se pueden obtener más de tres ecuaciones de equilibrio independientes a partir de un diagrama de cuerpo libre bidimensional. Lo anterior implica que, cuando mucho, es posible resolver un sistema de tres fuerzas o pares desconocidos. Este punto se analiza a mayor profundidad en la sección 5.2.

Soportes Cuando una persona está de pie, el piso la soporta. Cuando alguien está sentado en una silla con los pies en el piso, la silla y el piso lo soportan. En esta sección se estudiará cómo los objetos pueden soportarse o mantenerse en su lugar. Las fuerzas y pares ejercidos sobre un objeto por sus soportes se denominan reacciones, lo que expresa el hecho de que los soportes “reaccionan” a las otras fuerzas y pares, o cargas, que actúan sobre el objeto. Por ejemplo, un puente se sostiene gracias a las reacciones ejercidas por sus soportes, y las cargas son las fuerzas ejercidas por el peso del mismo puente, el tráfico que lo cruza y el viento. Algunos tipos muy comunes de soportes se representan con modelos estilizados llamados convenciones de soporte. Los soportes reales a menudo se parecen a

5.1 Aplicaciones bidimensionales

Ménsula

Pasador Cuerpo soportado

(b)

(a) y

x Ax Ay (c)

(d)

Figura 5.1 (a) Soporte de pasador. (b) Vista lateral que muestra el pasador que atraviesa la viga. (c) Sujeción de una barra soportada. (d) El soporte de pasador es capaz de ejercer dos componentes de fuerza.

los modelos estilizados, pero aunque no se parecieran, se representan por medio de estos modelos si los soportes reales ejercen las mismas (o aproximadamente las mismas) reacciones que los modelos. Soporte de pasador En la figura 5.1a se muestra un soporte de pasador. En el diagrama se representa una ménsula a la cual está unido un objeto (una viga, por ejemplo) con un pasador liso que pasa por la ménsula y el objeto. La vista lateral se muestra en la figura 5.1b. Para entender las reacciones que puede generar un soporte de pasador resulta útil imaginar la sujeción de una barra unida a un soporte de pasador (figura 5.1c). Si se trata de mover la barra sin hacerla girar (es decir, trasladar la barra), el soporte ejerce una fuerza reactiva que lo impide. Sin embargo, se puede hacer girar la barra alrededor del eje del pasador. El soporte no puede generar un par respecto al eje del pasador para impedir el giro. Así, un soporte de pasador no puede generar un par respecto al eje del pasador, pero sí puede ejercer una fuerza sobre un cuerpo en cualquier dirección, lo que comúnmente se expresa representando la fuerza en términos de sus componentes (figura 5.1d). Las flechas indican las direcciones de las reacciones si Ax y Ay son positivas. Si se determina que Ax o Ay son negativas, la reacción tendrá la dirección opuesta a la de la flecha. El soporte de pasador se usa para representar cualquier soporte real capaz de ejercer una fuerza en cualquier dirección sin generar un par. Hay soportes de pasador en muchos dispositivos comunes, particularmente los diseñados para permitir que partes conectadas giren una respecto a la otra (figura 5.2). Soporte de rodillo La convención llamada soporte de rodillo (figura 5.3a) es un soporte de pasador montado sobre ruedas. Como el soporte de pasador, éste no puede generar un par respecto al eje del pasador. Dado que puede moverse libremente en la dirección paralela a la superficie sobre la que rueda, no puede generar una fuerza paralela a la superficie, sino sólo una fuerza normal (perpendicular) a ella (figura 5.3b). En las figuras 5.3c-e se muestran otras convenciones usadas comúnmente como equivalentes al soporte de rodillo. Las ruedas de vehículos y que soportan partes de máquinas son soportes de rodillo si las fuerzas de fricción ejercidas sobre ellas son insignificantes en comparación con las fuerzas normales. Una superficie plana y lisa también se puede representar por medio de un soporte

Soportes de pasador

Figura 5.2 Soportes de pasador en una tijera y una engrapadora.

197

198

Capítulo 5 Objetos en equilibrio Cuerpo soportado Pasador Ménsula A

Figura 5.3 (a) Soporte de rodillos. (b) La reacción consiste en una fuerza normal a la superficie. (c)–(e) Soportes equivalentes al soporte de rodillos.

(a)

(b)

Soportes equivalentes (c)

Figura 5.4 Soporte de un objeto por medio de una superficie plana y lisa.

(d)

(e)

de rodillo (figura 5.4). Las vigas y los puentes a veces están soportados de esta manera, para que absorban dilataciones y contracciones térmicas. Los soportes de la figura 5.5 son similares al soporte de rodillo en que no pueden generar un par sino sólo una fuerza normal a una dirección particular (la fricción se ignora). El cuerpo soportado está unido a un pasador o collarín que se mueve libremente en una dirección pero no en la perpendicular (la fricción es insignificante.) En estos soportes, el objeto soportado está unido a un pasador o collarín que puede moverse libremente en una dirección pero está restringido en la dirección perpendicular. A diferencia de los soportes de rodillo, estos soportes pueden ejercer una fuerza normal en cualquier sentido. Soporte fijo El soporte fijo presenta el objeto soportado literalmente empotrado en la pared (figura 5.6a). Esta convención también se denomina soporte empotrado. Para entender sus reacciones, imagínese sujetando una barra unida a un soporte fijo (figura 5.6b). Si intenta trasladar la barra, el soporte genera una

Figura 5.5 Soportes similares al soporte de rodillo excepto que la fuerza normal se puede ejercer en cualquier dirección.

(a)

(a) Pasador en una ranura.

(b)

(c)

(b) Pistón en una ranura.

A

(c) Collarín sobre un eje.

Cuerpo soportado (b)

(a) y MA

Figura 5.6 (a) Soporte fijo. (b) Sujeción de una barra empotrada. (c) Reacciones que es capaz de ejercer un soporte fijo.

x

Ax

Ay (c)

5.1 Aplicaciones bidimensionales

fuerza reactiva que lo impide; si trata de hacerla girar, el soporte genera un par reactivo que lo impide. Un soporte fijo puede generar dos componentes de fuerza y un par (figura 5.6c). El término MA es el par generado por el soporte y la flecha curva indica su dirección. Los postes de bardas y los del alumbrado público tienen soportes fijos. Las uniones de partes conectadas que no pueden moverse una con respecto a la otra, como la cabeza y el mango de un martillo, pueden modelarse como soportes fijos. En la tabla 5.1 se resumen las convenciones de soportes usadas comúnmente en aplicaciones bidimensionales, incluidas las del capítulo 3. Aunque el número de Tabla 5.1

Soportes usados en aplicaciones bidimensionales. Reacciones

Soportes

T

Cuerda o cable

Resorte

Una fuerza colineal

A Una fuerza normal a la superficie de soporte

Contacto con una superficie lisa

y

Ax

x

Ay Dos componentes de fuerza

Contacto con una superficie rugosa

y x

Ax

Ay Dos componentes de fuerza

Soporte de pasador

Soporte de rodillo A Una fuerza normal a la superficie de soporte Equivalentes

A Una fuerza normal y

Pasador guiado o collarín

MA Ax

Soporte fijo (empotrado)

x

Ay Dos componentes de fuerza y un par

199

200

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

convenciones puede parecer muy grande, los ejemplos y problemas ayudarán a familiarizarse con ellas. También se recomienda observar cómo están soportados algunos de los objetos que se ven en la vida diaria e intentar representar sus soportes con algunas de las convenciones.

Diagramas de cuerpo libre En el capítulo 3 se presentaron los diagramas de cuerpo libre y se usaron para determinar las fuerzas que actúan sobre cuerpos simples en equilibrio. Mediante las convenciones de soportes es posible representar cuerpos más elaborados y construir en forma sistemática sus diagramas de cuerpo libre. Por ejemplo, la viga de la figura 5.7a tiene un soporte de pasador en su extremo izquierdo y uno de rodillo en el derecho, y está cargada con una fuerza F. El soporte de rodillo descansa sobre una superficie inclinada 30° respecto a la horizontal. Para obtener el diagrama de cuerpo libre de la viga se aísla de sus soportes (figura 5.7b), dado que el diagrama no debe contener más cuerpos que la viga. Se completa el diagrama con las reacciones que pueden generar los soportes sobre la viga (figura 5.7c). Observe que la reacción B generada por el soporte de rodillo es normal a la superficie sobre la que descansa. El objeto de la figura 5.8a tiene un soporte fijo en su extremo izquierdo. El cable que pasa por una polea está unido al cuerpo en dos puntos. Se aísla el cuerpo de sus soportes (figura 5.8b) y se completa el diagrama de cuerpo libre con las reacciones en el soporte fijo y las fuerzas ejercidas por el cable (figura 5.8c). No olvide el par en el soporte fijo. Como se supuso que la tensión en el cable es la misma en ambos lados de la polea, las dos fuerzas ejercidas por el cable tienen la misma magnitud T. Después de haber obtenido el diagrama de cuerpo libre de un objeto en equilibrio mostrando las cargas y reacciones que actúan sobre él, se pueden aplicar las ecuaciones de equilibrio.

F

F A

A

B

B

30 (b)

(a)

y

F

A

B x

Ax

B

Ay

30 Reacciones debidas al soporte de pasador

Reacciones debidas al soporte de rodillo (c)

Figura 5.7 (a) Viga con soportes de pasador y de rodillo. (b) La viga se aísla de sus soportes. (c) Diagrama de cuerpo libre completo.

5.1 Aplicaciones bidimensionales

201

Reacciones debidas al cable T y MA A

A

A

T x

Ax Ay Reacciones debidas al soporte fijo (a)

(b)

(c)

Figura 5.8 (a) Objeto con un soporte fijo. (b) Aislamiento del objeto. (c) Diagrama de cuerpo libre completo.

RESULTADOS

Ecuaciones de equilibrio La suma de fuerzas es igual a cero: Cuando un objeto está en equilibrio, el sistema de fuerzas y momentos que actúa sobre él satisface dos condiciones.

Cuando el sistema de fuerzas y momentos que actúa sobre un objeto en equilibrio es bidimensional, satisface tres ecuaciones de equilibrio escalar.

F  0.

(5.1)

La suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero: Mcualquier punto  0.

(5.2)

Fx  0,

(5.3)

Fy  0,

(5.4)

Mcualquier punto  0.

(5.5)

Soportes y x

Ax Soporte de pasador

Para dibujar el diagrama de cuerpo libre de un objeto, éste se aísla de sus soportes y se muestran las reacciones, las fuerzas y los momentos que pueden ejercer los soportes (tabla 5.1).

Soporte de rodillo

Ay Componentes de dos fuerzas

A Una fuerza normal a la superficie de soporte y

MA Ax Soporte fijo (empotrado)

x

Ay Componentes de dos fuerzas y un par

202

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo activo 5.1

Reacciones en un soporte fijo ( Relacionado con el problema 5.1) La viga que se muestra en la figura tiene un soporte fijo en A y está sujeta a una fuerza de 4 kN. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga y b) determine las reacciones en el soporte fijo. 4 kN A

2m

Estrategia Para dibujar el diagrama de cuerpo libre de la viga, éste debe aislarse del soporte empotrado y mostrar las reacciones que puede ejercer el soporte. Después pueden aplicarse las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones desconocidas. Solución

(a) Dibuje un diagrama de la viga aislada de su soporte fijo y muestre las reacciones debidas al soporte. y

4 kN

Ax

x

(b) Escriba las ecuaciones de equilibrio

MA A y

Fx  Ax  0,

2m

Fy  Ay  4 kN  0, Mextremo izquierdo  MA (2 m) (4 kN)  0, y resuélvalas, para obtener Ax  0, Ay  4 kN, MA  8 kN-m.

Problema de práctica La viga que se muestra en la figura tiene soportes de pasador y rodillo y está sujeta a una fuerza de 4 kN. (a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga. (b) Determine las reacciones en los soportes. 4 kN A

B

2m 3m

Respuesta: Ax  0, Ay  1.33 kN, B  2.67 kN.

5.1 Aplicaciones bidimensionales

Reacciones en un soporte fijo ( Relacionado con el problema 5.9)

Ejemplo 5.2

El objeto de la figura tiene un soporte fijo en A y está sometido a dos fuerzas y un par. ¿Qué valor tienen las reacciones en el soporte? 100 lb 30°

2 pies 200 lb A

300 pies-lb 2 pies 2 pies 2 pies

Estrategia Se obtendrá un diagrama de cuerpo libre aislando el objeto del soporte fijo en A y mostrando las reacciones ejercidas en dicho punto, se incluirá el par que puede ser ejercido por un soporte fijo. Luego pueden determinarse las reacciones desconocidas al aplicar las ecuaciones de equilibrio. Solución Dibujo del diagrama de cuerpo libre. Se aísla el cuerpo de su soporte y se muestran las reacciones en el soporte fijo (figura a). Hay tres reacciones desconocidas: dos componentes de fuerza Ax y Ay y un par MA (recuerde que las direcciones de esas flechas pueden escogerse de manera arbitraria). También se puede descomponer la fuerza de 100 lb en sus componentes.

200 lb

100 lb

100 lb 30

y 100 sen 30 lb 200 lb MA

A

A 300 pies-lb

Ax

Aplicación de ecuaciones de equilibrio punto A, las ecuaciones de equilibrio son

x 300 pies-lb

Ay 2 pies

100 cos 30 lb 2 pies

2 pies

2 pies

Si se suman los momentos respecto al

Fx  Ax  100 cos 30° lb  0, Fy  Ay  200 lb  100 sen 30° lb  0, Mpunto A  MA  300 pies-lb  (2 pies)(200 lb)  (2 pies)(100 cos 30° lb)  (4 pies)(100 sen 30° lb)  0. Al resolver esas ecuaciones se obtienen las reacciones Ax  86.6 lb, Ay  150 lb y MA  73.2 pies-lb. Razonamiento crítico ¿Por qué el par de 300 pies-lb y el par MA, generados por el soporte fijo, no aparecen en las dos primeras ecuaciones de equilibrio? Recuerde que un par no ejerce una fuerza neta. Asimismo, como el momento debido a un par es el mismo respecto a cualquier punto, el momento respecto al punto A debido al par en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj de 300 pies-lb es de 300 pies-lb en este mismo sentido.

(a) Dibujo del diagrama de cuerpo libre.

203

204

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Elección del punto respecto al cual evaluar los momentos ( Problema

Ejemplo 5.3

relacionado 5.15) 2m

2m

La estructura AB que se muestra en la figura soporta una masa suspendida de 2 Mg (megagramos). La estructura está unida a un pistón en una ranura vertical en A y tiene un soporte de pasador en B. ¿Qué valor tienen las reacciones en A y B?

B

3m

Estrategia Se dibujará el diagrama de cuerpo libre de la estructura y la masa suspendida removiendo los soportes en A y B. Observe que el soporte en A puede ejercer sólo una reacción horizontal. Después pueden usarse las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en A y B.

A

Solución Dibujo del diagrama de cuerpo libre Se aísla la estructura y la masa de los soportes y se muestran las reacciones en éstos y la fuerza ejercida por el peso de la masa de 2000 kg (figura a). La ranura en A puede ejercer sólo una fuerza horizontal sobre el pistón.

B

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Si se suman los momentos respecto al punto B, se encuentra que las ecuaciones de equilibrio son

A y

Fx  A  Bx  0,

By 2m

Fy  By  (2000)(9.81) N  0,

2m B

Bx

3m

Mpunto B  (3 m)A  (2 m)[(2000)(9.81) N]  0. Las reacciones son A  13.1 kN, Bx  13.1 kN y By  19.6 kN.

A

x A (2000)(9.81) N

(a) Dibujo del diagrama de cuerpo libre.

Ejemplo 5.4

Razonamiento crítico Aunque el punto respecto al cual se evalúan los momentos para escribir las ecuaciones de equilibrio se puede elegir de manera arbitraria, a menudo una elección cuidadosa puede simplificar la solución. En este ejemplo, el punto B está sobre las líneas de acción de las dos reacciones desconocidas Bx y By. Al evaluar los momentos respecto a B, se obtuvo una ecuación que contiene sólo una incógnita, la reacción en A.

Análisis de un portaequipaje ( Relacionado con los problemas 5.65–5.68) En la figura se muestran un portaequipaje mantenido en equilibrio en posición inclinada y su diagrama de cuerpo libre. Si el portaequipaje soporta un peso W  50 lb, a  30°, a  8 pulg, b  16 pulg y d  48 pulg, ¿qué fuerza F debe ejercer el usuario? Estrategia Las reacciones desconocidas en el diagrama de cuerpo libre son la fuerza F y la fuerza normal N ejercida por el piso. Sumando momentos respecto al centro de la rueda C, se obtiene una ecuación donde F es la única reacción desconocida.

Problemas

205

F d

A

W

b

h

a a

R C N

Solución Sumando momentos respecto a C, M(punto C)  d(F cos a)  a(W sen a)  b(W cos a)  0, y despejando F, se obtiene

F =

1b - a tan a2W d

.

Sustituyendo los valores de W, a, a, b y d, la solución es F  11.9 lb.

Problemas Suponga que los objetos están en equilibrio. En los enunciados de las respuestas, las componentes x son positivas hacia la derecha y las componentes y son positivas hacia arriba.  5.1 En el ejemplo activo 5.1, suponga que la viga está sometida a un par en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj de 6 kN en el extremo derecho, además de la fuerza descendente de 4 kN. Dibuje los diagramas de cuerpo libre de la viga y aplique las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en A. 5.2 La viga de la figura tiene un soporte fijo en A y está cargada por dos fuerzas y un par. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga y aplique las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en A.

5.3 La viga que se muestra en la figura está sujeta a la carga F  400 N y se encuentra soportada por la cuerda y las superficies lisas en A y B. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga. b) ¿Cuáles son las magnitudes de las reacciones en A y B? F A

B 30

45

1.2 m 4 kN A

6 kN-m 60

1m

1.5 m

1.5 m

Problema 5.2

1.5 m

2 kN

Problema 5.3

1m

206

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.4 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga de la figura. b) Determine la tensión en la cuerda y las reacciones en B.

30

5.7 La mesa de planchar mostrada tiene soportes en A y B que pueden modelarse como soportes de rodillo. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la mesa. b) Determine las reacciones en A y B. y

30 600 lb B

A

A

B x

9 pies

5 pies

3 lb

10 lb 12 pulg

Problema 5.4 5.5 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la prensa perforadora de 60 lb de peso mostrada, suponiendo que las superficies de A y B son lisas. b) Determine las reacciones en A y B.

10 pulg

20 pulg

Problema 5.7

5.8 La distancia x en la figura es de 9 m. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga. b) Determine las reacciones en los soportes. 10 kN A

B 6m

60 lb

x

Problema 5.8

A

B 10 pulg

14 pulg

Problema 5.5 5.6 Las masas del clavadista y del trampolín son de 54 kg y 36 kg, respectivamente. Suponga que están en equilibrio. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del trampolín. b) Determine las reacciones en los soportes A y B.

 5.9 En el ejemplo 5.2, suponga que la fuerza descendente de 200 lb y el par en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj de 300 pies-lb cambian lugares; la fuerza descendente de 200 lb actúa en el extremo derecho de la barra horizontal, y el par en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj de 300 pies-lb actúa sobre la barra horizontal de 2 pies a la derecha del soporte A. Haga un bosquejo del objeto donde muestre la nuevas cargas. Dibuje el diagrama de cuerpo libre del objeto y aplique las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en A. 5.10 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga que se muestra en la figura. b) Determine las reacciones en los soportes. 100 lb

A

400 lb

B

900 pies-lb WP

B

WD

A

1.2 m

3 pies

4 pies

3 pies

2.4 m

Problema 5.10 4.6 m

Problema 5.6

4 pies

207

Problemas 5.11 Una persona ejerce fuerzas de 20 N sobre las pinzas que se muestran en la figura. Se presenta el diagrama de cuerpo libre de una parte de ellas. Observe que el pasador en C que conecta las dos partes de las pinzas se comporta como un soporte de pasador. Determine las reacciones en C y la fuerza B ejercidas por el perno sobre las pinzas.

5.13 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga. b) Determine las reacciones en los soportes. y A

6m 40 kN B

x

8m 12 m

Problema 5.13

25 mm

5.14 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga. b) Si F  4 kN, ¿cuáles son las reacciones en A y en B?

80 mm

B

2 kN-m

A C

F 0.2 m

0.3 m

Cx

Cy

0.2 m

50 mm 45 20 N

C

0.3 m

0.4 m

B

Problema 5.14 20 N

 5.15 En el ejemplo 5.3, suponga que el punto de unión para la masa suspendida se mueve hacia el punto B de forma que la distancia horizontal de A al punto de unión aumenta de 2 a 3 m. Trace un bosquejo de la viga AB mostrando la nueva geometría. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga y aplique las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en A y en B.

20 N

Problema 5.11 5.16 Un hombre que hace ejercicio se detiene en la posición mostrada. Su peso W es de 180 lb y actúa en el punto que se muestra en la figura. Las dimensiones son a  15 pulg, b  42 pulg y c  16 pulg. Determine la fuerza normal ejercida por el piso sobre cada una de sus manos y sobre cada uno de sus pies.

5.12 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga. b) Determine las reacciones en el soporte del pasador A. 8 kN

8 kN 2 kN-m

A 600 mm

500 mm

600 mm

30

B

600 mm

c W

Problema 5.12

a

b

Problema 5.16

208

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.17 El pistón hidráulico AB que se muestra en la figura ejerce una fuerza de 400 lb sobre la escalera en B, en la dirección paralela al pistón. Determine el peso de la escalera y las reacciones en C.

5.20 La longitud sin elongar del resorte CD que se muestra en la figura es de 350 mm. Suponga que se desea que la palanca ABC ejerza una fuerza normal de 120 N sobre la superficie lisa en A. Determine el valor necesario de la constante k del resorte y las reacciones resultantes en B. C

6 pies

k

230 mm

W

D

3 pies A

450 mm

B C 6 pies

20

3 pies

A

Problema 5.17

330 mm

5.18 Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la estructura mostrada aislándola de sus soportes en A y E. Determine las reacciones en A y E. D

300 mm

Problema 5.20 5.21 En la figura se muestra un móvil que está en equilibrio. El pez B pesa 27 onzas. Determine los pesos de los peces A, C y D. (Los pesos de las barras son insignificantes).

400 lb

2 pies

12 pulg

200 pies-lb 1 pie

180 mm

B

A

B

C

A

6 pulg

100 lb

1 pie

7 pulg

2 pulg C

D

2 pies

2 pulg B

E

2 pies

3 pulg

2 pies

Problema 5.18 Problema 5.21 5.19 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga. b) Determine la tensión en el cable y las reacciones en A.

5.22 La base de las ruedas del automóvil que se muestra en la figura (la distancia entre las ruedas) es de 2.82 m. La masa del automóvil es de 1760 kg y su peso actúa en el punto x  2.00 m, y  0.68 m. Si el ángulo a  15°, ¿qué valor tiene la fuerza normal total ejercida por la rampa inclinada sobre las dos llantas traseras? y

A

B

30°

30 pulg 30 pulg

C x

800 lb 30 pulg

Problema 5.19 a

Problema 5.22

Problemas 5.23 El eslabón AB mostrado ejerce una fuerza paralela al eslabón sobre la cubeta de la excavadora en A. El peso W  1500 lb. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la cubeta y determine las reacciones en C (la conexión en C es equivalente a un soporte de pasador para la cubeta). 14 pulg

16 pulg

B

209

5.25 La masa del remolque mostrado es de 2.2 Mg (megagramos). Las distancias son a  2.5 m y b  5.5 m. La camioneta está en reposo y las ruedas del remolque pueden girar libremente, lo cual significa que el camino no ejerce ninguna fuerza horizontal sobre ellas. El enganche en B puede modelarse como un soporte de pasador. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del remolque. b) Determine la fuerza normal total ejercida sobre las llantas traseras en A y las reacciones ejercidas sobre el remolque en el soporte de pasador B.

A B

4 pulg

C

W A a

b

Problema 5.25 W

8 pulg

5.26 El peso total de la carretilla que se muestra en la figura y su carga es W  100 lb. (a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ascendente F necesaria para levantar del suelo el soporte en A? (b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza descendente necesaria para levantar la rueda del suelo?

8 pulg

Problema 5.23 5.24 La sierra de cadena que se muestra en la figura pesa 14.5 lb y está sometida a las cargas en A ejercida por el tronco que está cortando. Determine las reacciones R, Bx y By que debe aplicar un operador para mantener la sierra en equilibrio.

F W

y R 60 B

A

By 7 pulg

1.5 pulg

40 pulg 12 pulg

x

A

Problema 5.26

Bx

5 lb

14.5 lb

10 lb 13 pulg

2 pulg

6 pulg

14 pulg

5.27 El peso del avión que se muestra en la figura es W  2400 lb. Sus frenos mantienen bloqueadas las ruedas traseras. La rueda frontal (nariz) puede girar libremente, es decir, el suelo no ejerce ninguna fuerza horizontal sobre ella. La fuerza T ejercida por la hélice del aeroplano es horizontal. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del avión. Determine la reacción ejercida sobre la rueda frontal y la reacción normal total ejercida sobre las ruedas traseras. b) cuando T  0; c) cuando T  250 lb.

Problema 5.24

T 4 pies W A

5 pies

B 2 pies

Problema 5.27

210

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.28 Un ingeniero de seguridad trata de establecer límites sobre las cargas que pueden ser manejadas por un montacargas y para ello analiza la situación mostrada. Las dimensiones son a  32 pulg, b  30 pulg y c  26 pulg. El peso combinado del montacargas y el operador es WF  1200 lb. Conforme el peso WL soportado por el montacargas aumenta, la fuerza normal ejercida sobre el piso por las llantas traseras en B disminuye. El montacargas está a punto de voltearse hacia delante cuando la fuerza normal en B es igual a cero. Determine el valor de WL que causará esta condición.

WL

WF A a

B b

c

Problema 5.28

5.29 Los paleontólogos especulan que el estegosaurio podía apoyarse sobre sus patas traseras por cortos periodos de tiempo para alimentarse. Con base en el diagrama de cuerpo libre mostrado y suponiendo que m  2000 kg, determine las magnitudes de las fuerzas B y C ejercidas por el ligamento del músculo y por la columna vertebral; también calcule el ángulo a.

580 mm 160 mm

B 22

C a 415 mm

Problema 5.29

790 mm

mg

Problemas 5.30 El peso del ventilador mostrado es W  20 lb. Su base tiene cuatro patas igualmente espaciadas de longitud b  12 pulg. Cada pata tiene una almohadilla cerca del extremo, la cual hace contacto con el piso y soporta al ventilador. La altura h  32 pulg. Si las aspas del ventilador ejercen un empuje T  2 lb, ¿qué valor tiene la fuerza normal total ejercida sobre las dos patas en A?

5.33 Una fuerza F  400 N actúa sobre la ménsula mostrada. ¿Qué valor tienen las reacciones en A y B? F A

5.31 El peso del ventilador mostrado es W  20 lb. Su base tiene cuatro patas igualmente espaciadas de longitud b  12 pulg. Cada pata tiene una almohadilla cerca del extremo, la cual hace contacto con el piso y soporta al ventilador. La altura h  32 pulg. Conforme el empuje T del ventilador aumenta, la fuerza normal en A disminuye. Cuando la fuerza normal en A es igual a cero, el ventilador está a punto de voltearse. Determine el valor de T que causará esta condición.

80 mm B

320 mm

Problema 5.33

5.34 El peso del letrero es Ws  32 lb y actúa en el punto mostrado en la figura. El peso de 10 lb de la barra AD actúa en el punto medio de la barra. Determine la tensión en el cable AE y las reacciones en D.

T b

W

11 pulg

30 pulg

11 pulg E

h T A

211

B

30°

Vista lateral

Vista superior

Problemas 5.30/5.31

20°

A B

5.32 Como una medida para disminuir costos, el fabricante del ventilador descrito en el problema 5.31 propone soportar un ventilador con tres patas igualmente espaciadas en vez de usar el sistema de cuatro patas. Se le asigna a un ingeniero de seguridad el análisis de las implicaciones del cambio propuesto. El peso del ventilador disminuye a W  19.6 lb. Las dimensiones b y h no cambian. ¿Cuál valor del empuje T causará que el ventilador esté a punto de voltearse en este caso? Compare su respuesta con la solución al problema 5.31.

b

C D

Ws 33 pulg T

Problema 5.34

Problema 5.32

212

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.35 El dispositivo mostrado ayuda a una persona a levantar cargas pesadas (dispositivos de este tipo se usaron en Egipto alrededor del año 1550 a.C. y aún se usan en varias partes del mundo). Las dimensiones son a  3.6 m y b  1.2 m. La masa de la barra y el contrapeso es de 90 kg, y su peso W actúa en el punto mostrado. La masa de la carga que se está levantando es de 45 kg. Determine la fuerza vertical que la persona debe ejercer para soportar la carga en reposo a) cuando la carga está justo sobre el suelo (la posición mostrada); b) cuando la carga está a 1 m sobre el suelo (suponga que la cuerda permanece vertical).

5.37 Un gimnasta olímpico está en reposo en la posición “cruz de hierro”. En la figura se muestra el peso de su brazo izquierdo y el peso de su cuerpo, sin incluir los brazos. Las distancias son a  b  9 pulg y c  13 pulg Considere el hombro S como un soporte fijo y determine las magnitudes de las reacciones en éste, es decir, determine la fuerza y el par que el hombro debe soportar.

a

S

b

25

8 lb

144 lb

W a

5.36 La estructura mostrada, llamada armadura, tiene un soporte de pasador en A y un soporte de rodillo en B, y está cargada por dos fuerzas. Determine las reacciones en los apoyos. Estrategia: Dibuje un diagrama de cuerpo libre, tratando la armadura entera como un solo objeto.

5.38 Determine las reacciones en A de la figura.

A 5 pies 800 pies-lb

300 lb

200 lb

30° 2 kN

45°

200 lb b B

A b

b

b

Problema 5.36

c

Problema 5.37

Problema 5.35

4 kN

b

b

3 pies

6 pies

Problema 5.38

213

Problemas 5.39 Los frenos del auto inmovilizan las ruedas traseras, pero las ruedas frontales pueden girar. Determine las fuerzas ejercidas por el suelo sobre las ruedas frontales y traseras cuando el auto está estacionado a) sobre una pendiente de subida con a  15° y b) sobre una pendiente de bajada con a  15°.

5.43 Determine las reacciones en el soporte fijo A. y 30 lb

40 lb 150 pies-lb 45

A

x

ulg

70 p

36 pulg

ulg x

20 p

3 pies

3 pies

y

6 pies

Problema 5.43

3300 lb a

Problema 5.39 5.40 La longitud de la barra mostrada es L  4 pies. Su peso W  6 lb actúa en el punto medio de la barra. El piso y la pared son lisos. El resorte está sin elongar cuando el ángulo a  0. Si la barra está en equilibrio cuando a  40°, ¿qué valor tiene la constante k del resorte?

5.44 Suponga que se desea representar las dos fuerzas y el par que actúan sobre la viga en el problema 5.43 por una fuerza equivalente F como lo muestra la figura. a) Determine F y la distancia D a la que su línea de acción cruza el eje x. b) Suponga que F es la única carga que actúa sobre la viga y determine las reacciones en el soporte fijo en A. Compare sus respuestas con la solución al problema 5.43. y F A

5.41 El peso W de la barra mostrada actúa en su punto medio. El piso y la pared son lisos. El resorte está sin elongar cuando el ángulo a  0. Determine el ángulo a en el que la barra está en equilibrio en términos de W, k y L.

x

D

Problema 5.44 5.45 El freno de bicicleta que se muestra en la figura está unido al bastidor mediante un pasador en A. Determine la fuerza ejercida por la almohadilla del freno sobre el borde de la rueda en B, en términos de la tensión T en el cable.

k

α

T

L

35°

Problemas 5.40/5.41 5.42 La placa de la figura está soportada por un pasador en una ranura lisa en B. ¿Qué valor tienen las reacciones en los soportes?

40 mm B

2 kN-m

6 kN-m

A

B

Almohadilla del freno Borde de la rueda

A

60

40 mm

2m

Problema 5.42

45 mm

Problema 5.45

214

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.46 La masa de cada uno de los pesos suspendidos es de 80 kg. Determine las reacciones en los soportes en A y en E. 5.47 Los pesos suspendidos tienen cada uno una masa m. Los apoyos en A y en E soportarán cada uno una fuerza con magnitud de 6 kN. Con base en este criterio, ¿cuál es el valor máximo seguro de m? A

B

5.50 Determine las reacciones en los soportes mostrados. 6 pulg

5 pulg 50 lb

A 3 pulg

100 pulg-lb

3 pulg B

C

30

Problema 5.50

300 mm D

5.51 En la figura, el peso W  2 kN. Determine la tensión en el cable y las reacciones en A.

E

200 mm

5.52 El cable mostrado en la figura soportará con seguridad una tensión de 6 kN. Con base en este criterio, ¿cuál es el valor máximo del peso W que puede soportarse con seguridad?

200 mm

Problemas 5.46/5.47 30°

A

5.48 La tensión en el cable BC mostrado es de 100 lb. Determine las reacciones en el soporte fijo.

W

C

0.6 m

0.6 m

Problemas 5.51/5.52 6 pies A

B

300 pies-lb

200 lb 3 pies

3 pies

6 pies

Problema 5.48 5.49 La tensión en el cable AB mostrado es de 2 kN. ¿Qué valor tienen las reacciones en C en cada caso?

A

60

B C

A

60

5.53 Los bloques que están siendo comprimidos por la mordaza de la figura ejercen una fuerza de 200 N sobre el pasador en D, la cual apunta desde A hacia D. El eje roscado BE ejerce una fuerza sobre el pasador en E que apunta desde B hacia E. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del brazo DCE de la mordaza, suponiendo que el pasador en C se comporta como un soporte de pasador. b) Determine las reacciones en C. 5.54 Los bloques que están siendo comprimidos por la mordaza de la figura ejercen una fuerza de 200 N sobre el pasador en A, la cual apunta desde D hacia A. El eje roscado BE ejerce una fuerza sobre el pasador en B que apunta desde E hacia B. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del brazo ABC de la mordaza, suponiendo que el pasador en C se comporta como un soporte de pasador. b) Determine las reacciones en C.

B C

125 mm

125 mm

125 mm

B

2m

1m

(a)

2m

1m (b)

Problema 5.49

50 mm

E

A

50 mm

C

50 mm D

Problemas 5.53/5.54

Problemas 5.55 Suponga que se quiere diseñar una válvula de seguridad de manera que ésta se abra cuando la diferencia entre la presión p en el tubo circular (diámetro  150 mm) y la presión atmosférica sea de 10 MPa (megapascales: un pascal es 1 N/m2). El resorte está comprimido 20 mm cuando la válvula se encuentra cerrada. ¿Qué valor debe tener la constante del resorte?

150 mm

215

5.57 El brazo de la grúa tiene un soporte de pasador en A. El cilindro hidráulico BC ejerce una fuerza sobre el brazo en C con una dirección paralela a BC. El brazo de la grúa tiene una masa de 200 kg, y puede suponerse que su peso actúa en un punto 2 m a la derecha de A. Si la masa de la caja suspendida es de 800 kg y el sistema está en equilibrio, ¿cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por el cilindro hidráulico? 5.58 En el problema 5.57, ¿cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre el brazo de la grúa por el soporte de pasador en A?

250 mm k

A p C 150 mm A

2.4 m

Problema 5.55

1m

5.56 El peso de 10 lb de la barra AB mostrada actúa en el punto medio de la barra. La longitud de la barra es 3 pies. Determine la tensión en la cuerda BC y las reacciones en A.

B

1.8 m

1.2 m 7m

Problemas 5.57/5.58 C

5.59 Un sistema de bocinas está suspendido mediante cables unidos en D y E. La masa del sistema de bocinas es 130 kg y su peso actúa en G. Determine las tensiones en los cables y las reacciones en A y C.

0.5 m 0.5 m 0.5 m

B

3 pies

0.5 m

1m

E

C A A

30

1m

B

D

1 pie

Problema 5.56 G

Problema 5.59

216

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.60 En la figura, el peso W1  1000 lb. Ignore el peso de la barra AB. El cable pasa sobre una polea en C. Determine el peso W2 y las reacciones en el soporte de pasador en A. B

5.63 El pescante de la grúa soporta una carga suspendida de 15 kip. Cada una de los largueros BC y DE tiene 20 pies de longitud. Las distancias son a  15 pies y b  2 pies, y el ángulo u  30°. Determine la tensión en el cable AB y las reacciones en los soportes de pasador C y D. B

E

50°

35°

W1

A C

u

W2

A

Problema 5.60

C a

5.61 Las dimensiones en la figura son a  2 m y b  1 m. El par M  2400 N-m. La constante del resorte k  6000 N/m y el resorte no se encontraría elongado si h  0. El sistema está en equilibrio cuando h  2 m y la viga está en posición horizontal. Determine la fuerza F y las reacciones en A.

k h A

D b

Problema 5.63 5.64 El dispositivo mostrado controla los elevadores de un avión (los elevadores son las superficies de control horizontal en la cola del avión). Los elevadores están unidos al elemento EDG. Las presiones aerodinámicas sobre los elevadores ejercen un par horario de 120 pulg-lb. El cable BG está flojo y su tensión se puede ignorar. Determine la fuerza F y las reacciones en el soporte de pasador en A.

M B

6 pulg F

a

b

Problema 5.61

k a

b

Problema 5.62

W

D

2.5 pulg 3.5 pulg

5.62 La barra tiene una longitud de 1 m y su peso W actúa en su punto medio. La distancia b  0.75 m y el ángulo a  30°. La constante del resorte es k  100 N/m, y el resorte no está elongado cuando la barra se encuentra en posición vertical. Determine W y las reacciones en A.

A

A C F 2 pulg

Elevador

E

2.5 pulg 2.5 pulg

120 pulg-lb

G 1.5 pulg

120 pulg (No está a escala)

Problema 5.64  5.65 En el ejemplo 5.4, suponga que a  40°, d  1 m, a  200 mm, b  500 mm, R  75 mm, y la masa del equipaje es 40 kg. Determine F y N.  5.66 En el ejemplo 5.4, suponga que a  35°, d  46 pulg, a  10 pulg, b  14 pulg, R  3 pulg, y no se desea que el usuario tenga que ejercer una fuerza F mayor a 20 lb. ¿Cuál es el peso máximo del equipaje que puede colocarse sobre el carrito?

5.2 Cuerpos estáticamente indeterminados  5.67 Una de las dificultades al tomar decisiones de diseño es que no se sabe cómo el usuario colocará el equipaje sobre el carrito del ejemplo 5.4. Si usted supone que el punto donde el peso actúa puede estar dentro de la “envoltura” R  a  0.75c y 0  b  0.75d. Si a  30°, c  14 pulg, d  48 pulg, R  3 pulg y W  80 lb, ¿cuál es la fuerza máxima F que el usuario tendrá que ejercer para cualquier colocación del equipaje?

 5.68 En el ejemplo 5.4, suponga un usuario que sujetaría la manija del portaequipajes en h  36 pulg por encima del piso. Asuma que R  3 pulg, a  6 pulg, b  12 pulg y d  4 pies. La razón resultante de la fuerza que el usuario debe ejercer contra el peso del equipaje es FW  0.132. Suponga que este portaequipaje lo usan personas con una variedad de alturas. Obtenga una gráfica de FW como una función de h para 24  h  36 pulg.

5.2 Cuerpos estáticamente indeterminados ANTECEDENTES En la sección 5.1 se analizaron ejemplos en los que se pueden usar las ecuaciones de equilibrio para determinar fuerzas y pares desconocidos actuando sobre objetos en equilibrio. Es necesario que se conozcan dos situaciones comunes en las que este procedimiento no conduce a la solución. Primero, el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo puede tener más fuerzas o pares desconocidos que el número de ecuaciones independientes de equilibrio que se pueden obtener. Por ejemplo, como no se pueden escribir más de tres de tales ecuaciones para un diagrama de cuerpo libre en un problema bidimensional, si hay más de tres incógnitas, éstas no se pueden determinar sólo con ecuaciones de equilibrio. Esto ocurre, por ejemplo, si un cuerpo tiene más soportes que el mínimo necesario para mantenerlo en equilibrio. Se dice que tal cuerpo tiene soportes redundantes. La segunda situación es cuando los soportes de un cuerpo están diseñados en forma impropia, de modo que no pueden mantener el equilibrio bajo las cargas actuantes. Se dice entonces que el objeto tiene soportes impropios. En cualquiera de estas situaciones se dice que el cuerpo es estáticamente indeterminado. Los ingenieros usan soportes redundantes para aumentar la resistencia y la seguridad siempre que es posible. Sin embargo, algunos diseños requieren que el objeto se soporte en forma incompleta de manera que pueden realizar con libertad ciertos movimientos. Estas dos situaciones —más soportes de los necesarios para el equilibrio o soportes insuficientes— son tan comunes que se analizarán en detalle.

Soportes redundantes Considere una viga con un soporte fijo (figura 5.9a). De su diagrama de cuerpo libre (figura 5.9b), se obtienen las ecuaciones de equilibrio

©Fx = A x = 0, ©Fy = A y - F = 0, L ©Mpoint punto A = MA - a bF = 0. 2 Suponiendo que se conoce la carga F, se tienen tres ecuaciones y tres reacciones desconocidas, para las cuales se obtienen las soluciones Ax  0, Ay  F y MA  FL2. y F

F MA

A

A x

Ax Ay L 2

L 2 (a)

L 2

L 2 (b)

217

Figura 5.9 (a) Viga con un soporte fijo. (b) El diagrama de cuerpo libre tiene tres reacciones desconocidas.

218

Capítulo 5 Objetos en equilibrio y F MA F

Figura 5.10 (a) Viga con un soporte fijo y un soporte de rodillo. (b) El diagrama de cuerpo libre tiene cuatro reacciones desconocidas.

A

B L 2

(a)

A

B x

Ax Ay

B L 2

L 2

L 2 (b)

Ahora suponga que se añade un soporte de rodillo en el extremo derecho de la viga (figura 5.10a). Del nuevo diagrama de cuerpo libre (figura 5.10b) se obtienen las ecuaciones de equilibrio

©Fx = A x = 0, ©Fy = A y - F + B = 0, L ©Mpoint punto A = MA - a bF + LB = 0. 2

(5.6) (5.7) (5.8)

Ahora se tienen tres ecuaciones y cuatro reacciones desconocidas. Aunque la primera ecuación indica que Ax  0, no es posible resolver las ecuaciones (5.7) y (5.8) para las reacciones Ay, B y MA. Cuando enfrentan esta situación, algunos estudiantes intentan sumar momentos respecto a otro punto, como el B, para obtener una ecuación adicional:

L ©Mpoint punto B = MA + a bF - L A y = 0. 2 Por desgracia esto no ayuda. No se trata de una ecuación independiente sino de una combinación lineal de las ecuaciones (5.7) y (5.8):

L ©Mpoint punto B = MA + a bF - L A y 2 L = MA - a bF + L B - L1A y - F + B2. 2 (''')'''* (''')'''* Eq. (5.8) 15.82 Ecuación

Eq. (5.7) 15.72 Ecuación

Como lo demuestra este ejemplo, cada soporte adicional en un objeto cualquiera conlleva reacciones adicionales. La diferencia entre el número de reacciones y el número de ecuaciones independientes de equilibrio se denomina grado de redundancia. Aun si un cuerpo es estáticamente indeterminado debido a sus soportes redundantes, quizá sea posible determinar algunas de las reacciones con las ecuaciones de equilibrio. Observe que en los ejemplos anteriores fue posible determinar la reacción Ax aunque no se pudo determinar las otras reacciones. Como los soportes redundantes son tan ubicuos, podría surgir la pregunta de por qué se invierte tanto esfuerzo en enseñar a analizar cuerpos cuyas reacciones se pueden determinar con las ecuaciones de equilibrio. Se desea desarrollar una comprensión del concepto de equilibrio y se quiere que el estudiante practique la formulación de las ecuaciones correspondientes. Las reacciones sobre un cuerpo con soportes redundantes se pueden determinar complementando las ecuaciones de equilibrio con ecuaciones adicionales que relacionen las fuerzas y pares actuantes sobre el objeto con su deformación o cambio de forma. Por ello, la obtención de las ecuaciones de equilibrio es el primer paso para su solución.

5.2 Cuerpos estáticamente indeterminados

219

Soportes impropios Se dice que un objeto tiene soportes impropios si no permanece en equilibrio bajo la acción de las cargas ejercidas sobre él. Así, un cuerpo con soportes impropios se moverá al aplicarle cargas. En problemas bidimensionales, esto puede ocurrir de dos maneras: 1. Los soportes sólo pueden ejercer fuerzas paralelas. Esto deja al cuerpo con libertad para moverse en la dirección perpendicular a las fuerzas de soporte. Si las cargas ejercen una componente de fuerza en esa dirección, el objeto no estará en equilibrio. En la figura 5.11a se muestra un ejemplo de esta situación. Los dos soportes de rodillo pueden ejercer sólo fuerzas verticales, mientras que la fuerza F tiene una componente horizontal. La viga se moverá horizontalmente cuando se aplique F. Esto se resulta evidente en el diagrama de cuerpo libre (figura 5.11b). La suma de las fuerzas en la dirección horizontal no puede ser igual a cero porque los soportes de rodillo sólo pueden ejercer reacciones verticales. 2. Los soportes sólo pueden ejercer fuerzas concurrentes. Si las cargas ejercen un momento respecto al punto en que las líneas de acción de las fuerzas de soporte se intersecan, el cuerpo no estará en equilibrio. Por ejemplo, considere la viga de la figura 5.12a. De su diagrama de cuerpo libre (figura 5.12b) se observa que las reacciones A y B no ejercen momento respecto al punto P, que es donde sus líneas de acción se cortan, pero esto sí ocurre en el caso de la carga F. La suma de los momentos respecto a P no es igual a cero y la viga girará cuando se aplique la carga.

F B

A

(a) F A

B

A

B (b)

Figura 5.11 (a) Una viga con dos soportes de rodillo no está en equilibrio cuando se somete a la carga mostrada. (b) La suma de las fuerzas en la dirección horizontal no es igual a cero.

Excepto cuando se abordan de manera explícita soportes impropios, en estos ejemplos los objetos tienen soportes adecuados. Debe desarrollarse el hábito de examinar cuerpos en equilibrio y reflexionar si están adecuadamente soportados según las cargas que actúan sobre ellos. Las líneas de acción de las reacciones se intersecan.

P F

A

F B A 45

45 (a)

A

B 45

45

B

(b)

RESULTADOS Se dice que un objeto apoyado es estáticamente indeterminado en dos circunstancias:

Soportes redundantes El objeto tiene más soportes que el número mínimo necesario para mantener el equilibrio. La diferencia entre el número de reacciones debidas a los soportes y el número de ecuaciones de equilibrio independientes se denomina grado de redundancia. Soportes impropios Los soportes no pueden mantener al objeto en equilibrio bajo las cargas que actúan sobre él.

Figura 5.12 (a) Una viga con soportes de rodillo sobre superficies inclinadas. (b) La suma de los momentos respecto al punto P no es igual a cero.

220

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo activo 5.5

Reconocimiento de un objeto estáticamente indeterminado ( Relacionado con el problema 5.69) La viga tiene dos soportes de pasador y está cargada con una fuerza de 2 kN. a) Demuestre que la viga es estáticamente indeterminada y encuentre el grado de redundancia. b) Determine tantas reacciones como le sea posible. 2 kN B

A

3m

2m

Estrategia La viga es estáticamente indeterminada si su diagrama de cuerpo libre tiene más reacciones desconocidas que el número de ecuaciones independientes de equilibrio que se pueden obtener. La diferencia entre el número de reacciones y el número de ecuaciones de equilibrio es el grado de redundancia. Aun si la viga es estáticamente indeterminada, es posible resolver las ecuaciones de equilibrio para algunas de las reacciones. Solución y

2 kN A

B x

Ax

Bx Ay

By

Dibuje el diagrama de cuerpo libre. Hay cuatro reacciones desconocidas.

Fx  Ax  Bx  0, Fy  Ay  By  2 kN  0,

Escriba las ecuaciones de equilibrio.

Mpunto A  (5 m)By  (3 m)(2 kN)  0. Hay tres ecuaciones de equilibrio independientes, consecuentemente, la viga es estáticamente indeterminada y el grado de redundancia es 4  3  1. No es posible determinar Ax o Bx a partir de las ecuaciones de equilibrio, pero se puede determinar Ay y By. (3 m)(2 kN)  1.2 kN, (5 m) Ay  2 kN  By  0.8 kN. By 

Determine las reacciones Ay y By.

Problema de práctica Suponga que el soporte de pasador en el punto A de la viga se reemplaza con un soporte fijo. (a) Demuestre que la viga es estáticamente indeterminada y encuentre el grado de redundancia. (b) Determine tantas reacciones como sea posible. Respuesta: (a) El grado de redundancia es 2. (b) No puede determinarse ninguna reacción.

5.2 Cuerpos estáticamente indeterminados

Soportes adecuados e impropios ( Relacionado con los problemas 5.75, 5.76)

Ejemplo 5.6

Indique si las barras en L están adecuadamente soportadas. Si una barra está adecuadamente soportada, determine las reacciones en sus soportes. Estrategia Al dibujar el diagrama de cuerpo libre de cada barra es posible determinar si las reacciones de los soportes pueden ejercer sólo fuerzas paralelas o concurrentes sobre ésta. En caso de ser así, se puede reconocer si la carga aplicada resulta en que la barra no esté en equilibrio. B

B

F

L

L

L

A

A

A

B F

F L

L (a)

L (b)

(c)

Solución Considere los diagramas de cuerpo libre de las barras (que se muestran abajo): Barra (a) Las líneas de acción de las reacciones en los dos soportes de rodillo se intersecan en P, y la fuerza F ejerce un momento respecto a P. Esta barra está impropiamente soportada. Barra (b) Las líneas de acción de las reacciones se intersecan en A y la fuerza F ejerce un momento respecto a A. Esta barra también está impropiamente soportada. Barra (c) Las tres fuerzas de soporte no son ni paralelas ni concurrentes. Esta barra está soportada en forma adecuada. Las ecuaciones de equilibrio son Fx  Ax  B  0, Fy  Ay  F  0, Mpunto A  BL  FL  0. Al resolver estas ecuaciones, las reacciones son Ax  F, Ay  F y B  F. B

P

B Las líneas de acción de las reacciones se intersecan.

Las líneas de acción de las reacciones se intersecan. y

B y

A

A F

(a)

A

B B

Ax

A

B

F

x

x

Ax

Ay

Ay (b)

Razonamiento crítico Una parte esencial del aprendizaje de la mecánica es desarrollar su intuición acerca del comportamiento de los sistemas físicos que se estudian. En este ejemplo, piense en los efectos de las cargas sobre los tres sistemas y vea si puede predecir si están soportados en forma adecuada. ¿Las cargas causarán que las barras se mueven o no? Luego vea si su juicio se confirma por el análisis dado en el ejemplo.

F (c)

221

222

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Problemas  5.69 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga de la figura y demuestre que ésta es estáticamente indeterminada (vea el ejemplo activo 5.5). b) Determine tantas reacciones como le sea posible.

 5.75 Indique si cada una de las barras en L mostradas está soportada en forma adecuada o impropia. Si una barra está adecuadamente soportada, determine las reacciones en sus soportes (vea el ejemplo activo 5.6).

5.70 Escoja soportes en A y B tales que la viga no sea estáticamente indeterminada. Determine las reacciones en los soportes. 20 N-m

A

F

300 mm

Problemas 5.69/5.70

B

A

B

L

L

(1)

(2)

5.71 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga y demuestre que es estáticamente indeterminada (el par externo M0 se conoce). b) Mediante un análisis de la deflexión de la viga, se determina que la reacción vertical B ejercida por el soporte de rodillos se relaciona con el par M0 por B  2M0L. ¿Cuáles son las reacciones en A?

1 L 2 1 L 2

F

A B

L

45°

45

C

45°

5.72 Elija soportes en A y B de manera que la viga no sea estáticamente indeterminada. Encuentre las reacciones en los soportes.

1 L 2 1 L 2

F

L

B

A

800 mm

C

(3)

Problema 5.75

M0 A

B L

Problemas 5.71/5.72

 5.76 Indique si cada una de las barras en L mostradas está soportada de manera adecuada o impropia. Si cualquiera de las barras está adecuadamente soportada, determine las reacciones en sus soportes (vea el ejemplo activo 5.6).

5.73 Dibuje el diagrama de cuerpo libre del tubo en forma de L de la figura y demuestre que es estáticamente indeterminado. Determine tantas reacciones como le sea posible. Estrategia: Coloque el sistema coordenado de modo que el eje x pase por los puntos A y B. 5.74 Elija los soportes en A y B de la figura de modo que el tubo no sea estáticamente indeterminado. Determine las reacciones en los soportes.

C

1 L 2 1 L 2

F

A

B

A

B L

L

45

(1)

(2) C 1 L 2 1 L 2

B 80 N

F A

100 N-m

300 mm A

B L

300 mm

700 mm

Problemas 5.73/5.74

1 L 2 1 L 2

F

(3)

Problema 5.76

5.3 Aplicaciones tridimensionales

5.3 Aplicaciones tridimensionales ANTECEDENTES Se ha visto que cuando un cuerpo en equilibrio está sometido a un sistema bidimensional de fuerzas y momentos, no se pueden obtener más de tres ecuaciones independientes de equilibrio. En el caso de un sistema tridimensional de fuerzas y momentos, se pueden obtener hasta seis ecuaciones independientes de equilibrio. Las tres componentes de la suma de las fuerzas deben ser iguales a cero y las tres componentes de la suma de los momentos respecto a cualquier punto deben también ser iguales a cero. El procedimiento para determinar las reacciones sobre cuerpos sometidos a sistemas tridimensionales de fuerzas y momentos —dibujar el diagrama de cuerpo libre y aplicar las ecuaciones de equilibrio— es el mismo que para el de dos dimensiones.

Ecuaciones de equilibrio escalares Cuando un objeto está en equilibrio, el sistema de fuerzas y pares que actúa sobre dicho objeto satisface las ecuaciones (5.1) y (5.2). La suma de las fuerzas es cero y la suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero. Al expresar estas ecuaciones en términos de componentes cartesianas en tres dimensiones produce las seis ecuaciones de equilibrio escalares.

©Fx ©Fy ©Fz ©Mx ©My ©Mz

= = = = = =

0, 0, 0, 0, 0, 0.

(5.9) (5.10) (5.11) (5.12) (5.13) (5.14)

Las sumas de los momentos pueden evaluarse respecto a cualquier punto. Aunque se pueden obtener más ecuaciones sumando momentos respecto a otros puntos, éstas no serían independientes de las seis ecuaciones iniciales. No se pueden obtener más de seis ecuaciones de equilibrio independientes a partir de un diagrama de cuerpo libre dado; entonces, pueden determinarse cuando mucho seis fuerzas o pares desconocidos. Los pasos requeridos para determinar reacciones en tres dimensiones resultan familiares por las aplicaciones bidimensionales que se han analizado. Primero obtenga un diagrama de cuerpo libre aislando un objeto y mostrando las cargas y reacciones que actúan sobre éste, después use las ecuaciones (5.9)-(5.14) para determinar las reacciones.

Soportes Se presentan cinco convenciones que suelen utilizarse en problemas tridimensionales. De nuevo, aun cuando los soportes reales no se parezcan físicamente a esos modelos, se representarán mediante los modelos si éstos ejercen las mismas (o aproximadamente las mismas) reacciones. Soporte de bola y cuenca En el soporte de bola y cuenca, el cuerpo soportado está unido a una bola encerrada dentro de una cuenca esférica (figura 5.13a). La cuenca permite que la bola gire libremente (se ignora la fricción) pero impide que se traslade en cualquier dirección. Imagine que usted sostiene una barra unida a un soporte de bola y cuenca (figura 5.13b). Si trata de trasladar la barra (moverla sin girarla) en cualquier dirección, el soporte ejercerá una fuerza reactiva que impedirá el movimiento. Sin embargo,

223

224

Capítulo 5 Objetos en equilibrio y

Ay

(a)

x

Ax

Az

z

(c)

(b)

Figura 5.13 (a) Soporte de bola y cuenca. (b) Sujeción de una barra soportada. (c) El soporte de bola y cuenca puede generar tres componentes de fuerza.

Cuenca Bola

Fémur

Pelvis

Figura 5.14 El fémur humano está unido a la pelvis por medio de un soporte de bola y cuenca.

usted puede girar la barra respecto al soporte. El soporte no puede generar un par para evitar la rotación. El soporte de bola y cuenca no puede entonces ejercer un par pero sí tres componentes de fuerza (figura 5.13c). Es el modelo tridimensional análogo al soporte de pasador bidimensional. La rótula de la cadera humana es un ejemplo de soporte de bola y cuenca (figura 5.14). El soporte de la palanca de velocidades de un auto se puede modelar como soporte de bola y cuenca en el intervalo de su movimiento. Soporte de rodillo El soporte de rodillo (figura 5.15a) es un soporte de bola y cuenca que puede rodar sobre una superficie de apoyo. Un soporte de rodillo puede ejercer sólo una fuerza normal a la superficie de apoyo (figura 5.15b). Las ruedas que se usan en ocasiones para soportar las patas de los muebles son soportes de este tipo. Articulación El soporte de articulación (bisagra) es el que se utiliza comúnmente para soportar puertas. Permite que el cuerpo soportado gire respecto a una línea o eje de la articulación. Un cuerpo unido a una articulación se muestra en la figura 5.16a. El eje z del sistema coordenado está alineado con el eje de la articulación. Si se imagina sujetando una barra unida a una articulación (figura 5.16b), observe que se puede hacer girar la barra alrededor del eje de la articulación. Ésta no puede generar un par respecto a su eje (el eje z) para impedir la rotación.

y

A

x z (a)

Figura 5.15 (a) Soporte de rodillo. (b) La reacción es normal a la superficie de soporte.

(b)

5.3 Aplicaciones tridimensionales y

y

Articulación A

A

Cuerpo soportado

x x

z

z (b)

(a) y

y

y

Ay

Ay

Ay

MAy MAx

Ax

Ax x

Az z

z (c)

Ax x

Az

x z

(d)

Figura 5.16 (a) Articulación. El eje z está alineado con el eje de la articulación. (b) Sujeción de una barra soportada. (c) En general, una articulación puede generar cinco reacciones: tres componentes de fuerza y dos pares. (d) Las reacciones cuando la articulación no genera pares. (e) Las reacciones cuando la articulación no genera pares ni una fuerza paralela al eje de ésta.

Sin embargo, no se puede hacer girar la barra respecto a los ejes x o y porque la articulación puede generar pares respecto a esos ejes para impedir el movimiento. Además, no se puede trasladar la barra en ninguna dirección. En la figura 5.16c se muestran las reacciones que una articulación puede generar sobre un objeto. Hay tres componentes de fuerza, Ax , Ay y Az , y pares respecto a los ejes x e y, MAx y MAy . En algunas situaciones una articulación no genera pares sobre el objeto que soporta o éstos son suficientemente pequeños para ignorarse. Un ejemplo del último caso es cuando las articulaciones que soportan una puerta están apropiadamente alineadas. Aquí la articulación genera sólo fuerzas sobre el cuerpo (figura 5.16d). Se presentan también casos en que una articulación no genera pares sobre el cuerpo ni fuerza en la dirección de su eje (la articulación puede de hecho estar diseñada para que no soporte una fuerza paralela a su eje). La articulación genera entonces reacciones sólo en las direcciones perpendiculares a su eje (figura 5.16e). En los ejemplos y en los problemas se indicará cuándo una articulación no genere las cinco reacciones mostradas en la figura 5.16c. Cojinete El tipo de cojinete mostrado en la figura 5.17a soporta una flecha circular que puede girar alrededor de su eje. Las reacciones son idénticas a las generadas por una articulación. En el caso más general (figura 5.17b), el cojinete puede generar tanto una fuerza sobre la flecha soportada en cada dirección coordenada, como pares respecto a ejes perpendiculares a la flecha, pero no un par respecto al eje de la flecha. Como en el caso de la articulación, puede haber casos en que el cojinete no genere pares (figura 5.17c) o no genere ni pares ni fuerza paralela al eje de la flecha (figura 5.17d). Algunos cojinetes están diseñados así para aplicaciones

(e)

225

226

Capítulo 5 Objetos en equilibrio y

y

Ay MAy

Cojinete Flecha

MAx Ax x

x

Az z

z (a)

(b)

y

y

Ay

Ay

Ax

Ax x

x

Az

z

z (d)

(c)

Figura 5.17 (a) Cojinete. El eje z está alineado con el eje de la flecha. (b) En general, un cojinete puede generar cinco reacciones: tres componentes de fuerza y dos componentes de par. (c) Reacciones cuando el cojinete no genera pares. (d) Reacciones cuando el cojinete no genera pares ni una fuerza paralela al eje de la flecha.

específicas. En los ejemplos y problemas se indicará cuándo un cojinete no ejerce todas las reacciones mostradas en la figura 5.17b. Soporte fijo Ya se ha estudiado el soporte fijo, o empotrado, (figura 5.18a). Imagine que sujeta una barra con un soporte fijo (figura 5.18b); no puede trasladarla en ninguna dirección ni hacerla girar respecto a algún eje. El soporte es capaz Cuerpo soportado y

y

y

Ay MAy

x

Ax

x

MAx

z

z

(a)

z

Az

MAz

(b)

Figura 5.18 (a) Soporte fijo. (b) Sujeción de una barra soportada. (c) Un soporte fijo puede ejercer seis reacciones: tres componentes de fuerza y tres componentes de par.

(c)

x

5.3 Aplicaciones tridimensionales

de ejercer fuerzas Ax , A y y A z en cada dirección coordenada, así como pares MAx, MAy y MAz respecto a cada eje coordenado (figura 5.18c). En la tabla 5.2 se resumen las convenciones de soportes usados comúnmente en las aplicaciones tridimensionales.

Tabla 5.2

Soportes usados en aplicaciones tridimensionales. Soportes

Reacciones

T

Cuerda o cable

Una fuerza colineal

y

y A x

z

x z

Contacto con una superficie lisa

Una fuerza normal

y

y Ay x

x

Az

Ax

z

z Contacto con una superficie rugosa

Tres componentes de fuerza y

y Ay x z

x

Az

Ax

z

Soporte de bola y cuenca

Tres componentes de fuerza

y

y A x

z Soporte de rodillos

x z Una fuerza normal

227

228

Capítulo 5 Objetos en equilibrio Tabla 5.2

continuación Soportes

Reacciones y

y Ay MAy x

x Ax

MAx

Az

z Tres componentes de fuerza, Dos componentes de par

z Articulación (El eje z es paralelo al eje de la articulación)

y Ay x

Az

y

Ax

z (Cuando no se ejercen pares) y

x Ay z

x

Cojinete (El eje z es paralelo al eje de la flecha soportada)

Ax z (Cuando no se generan pares ni fuerza axial) y

y

Ay MAy

x z Soporte fijo (empotrado)

x

MAz

Az

MAx

Ax

z Tres componentes de fuerza, tres componentes de par

5.3 Aplicaciones tridimensionales

RESULTADOS Ecuaciones de equilibrio Si un objeto está en equilibrio, la suma de las fuerzas externas que actúan sobre él es igual a cero.

F  0

Fx  0,

(5.9)

Fy  0,

(5.10)

Fz  0,

(5.11)

y la suma de los momentos respecto a cualquier punto debidos a las fuerzas y pares que actúan sobre éste es igual a cero.

Mcualquier punto  0

Mx  0,

(5.12)

My  0,

(5.13)

Mz  0.

(5.14)

Soportes y

y Ay x

x

Az

Ax

z

z Soporte de bola y cuenca

Tres componentes de fuerza

y

y A

Ejemplos de soportes usados en aplicaciones tridimensionales (vea la tabla 5.2).

x

x z

z Soporte de rodillo

Una fuerza normal y

y

Ay MAy x

z Soporte fijo (empotrado)

x

MAz Az

MAx

Ax

z Tres componentes de fuerza, tres componentes de par

229

230

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo activo 5.7

Determinación de las reacciones en tres dimensiones ( Relacionado con el problema 5.86) La barra AB de la figura está soportada por los cables BC y BD y por un soporte de bola y cuenca en A. El cable BC es paralelo al eje z y el cable BD es paralelo al eje x. La fuerza de 200 N actúa en el punto medio de la barra. Determine el valor de las tensiones en los cables y las reacciones en A.

y 400 mm

1000 mm C B

D

600 mm 600 mm

A x 200j (N)

z

Estrategia Se debe obtener el diagrama de cuerpo libre de la barra aislándola y mostrando las reacciones ejercidas por los cables y el soporte de bola y cuenca. Luego pueden aplicarse las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones.

Solución Dibujo del diagrama de cuerpo libre de la barra

Fuerzas ejercidas por los cables

y

TBD

TBC B

Aísle la barra y muestre las reacciones ejercidas por los cables y el soporte de bola y cuenca.

Ay A

Az z

Ax

x 200j (N)

Reacciones debidas al soporte de bola y cuenca

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio

Fx  Ax  TBD  0, Fy  Ay  200 N  0, Fz  Az  TBC  0.

Las sumas de las fuerzas en cada dirección coordenada son iguales a cero.

5.3 Aplicaciones tridimensionales

Mpunto A  [rAB  (TBCk)]  [rAB  (TBDi)]  i  1

j

k

0.6

0.4

0 TBC

0



 12 r

AB

i

j

k

1

0.6

0.4  0.5

TBD 0

i



 (200j) j

k

0.3

0.2

0 200

0

0

 (0.6TBC  40)i  (TBC  0.4TBD)j  (0.6TBD  100)k.

Las componentes de este vector (las sumas de los momentos respecto a los tres ejes coordenados) deben ser iguales a cero.

Mx  (0.6 m)TBC  40 N-m  0, My  (1 m)TBC  (0.4 m)TBD  0, Mz  (0.6 m)TBD  100 N-m  0.

Al resolver las seis ecuaciones de equilibrio escalares se obtiene Ax  166.7 N, Ay  200 N, Az  66.7 N, TBC  66.7 N, y TBD  166.7 N.

Problema de práctica Suponga que los cables BC y BD se remueven y que la unión de bola y cuenca en A se remplaza por un soporte fijo. Determine las reacciones en A.

y

B (1000, 600, 400) mm A x 200j (N)

z

Respuesta: Ax  0, Ay  200 N, Az  0, MAx  40 N-m, MAy  0, MAz  100 N-m.

La suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero.

231

232

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo 5.8

Reacciones en un soporte de articulación ( Relacionado con el problema 5.104)

y D

(2, 2, 1) pies x

A

30 B

z

C 100j (lb)

La barra AC tiene 4 pies de largo y la soportan una articulación en A y el cable BD. El eje de la articulación corre a lo largo del eje z. La línea central de la barra está en el plano x–y, y el punto B de conexión del cable es el punto medio de la barra. Determine la tensión en el cable y las reacciones generadas en la barra por la articulación. Estrategia Se obtendrá un diagrama de cuerpo libre de la barra AC aislándola del cable y la articulación (las reacciones que la articulación puede ejercer sobre la barra se muestran en la tabla 5.2). Después se pueden determinar las reacciones aplicando las ecuaciones de equilibrio. Solución Dibujo del diagrama de cuerpo libre Se aísla la barra del soporte de articulación y del cable y se muestran las reacciones que ejercen (figura a). Los términos Ax, Ay y Az son las componentes de fuerza generadas por la articulación y los términos MAx y MAy son los pares ejercidos por la articulación respecto a los ejes x e y (recuerde que la articulación no puede generar un par sobre la barra respecto al eje de la articulación). El término T es la tensión en el cable. Reacciones debidas a la articulación

y Ay Fuerza ejercida por el cable BD

MAy MAx

Ax

T x A

Az

B

z C 100j (lb)

(a) Diagrama de cuerpo libre de la barra.

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Para escribir las ecuaciones de equilibrio, primero se debe expresar la fuerza en el cable en términos de sus componentes. Las coordenadas del punto B son (2 cos 30°, 2 sen 30°, 0) pie, de manera que el vector de posición de B a D es rBD  (2  2 cos 30°)i  [2  (2 sen 30°)]j  (1  0)k  0.268i  3j  k (pie). Este vector se divide entre su magnitud para obtener un vector unitario eBD que apunta del punto B al punto D:

eBD =

rBD

ƒ rBD ƒ

= 0.084i + 0.945j - 0.315k.

Ahora es posible escribir la fuerza del cable como el producto de su magnitud y eBD:

TeBD = T10.084i + 0.945j - 0.315k2. Las sumas de las fuerzas en cada dirección coordenada deben ser iguales a cero:

©Fx = A x + 0.084T = 0, ©Fy = A y + 0.945T - 100 lb = 0, ©Fz = A z - 0.315T = 0.

(1)

5.3 Aplicaciones tridimensionales

Si se suman momentos respecto a A, las ecuaciones resultantes no contienen las reacciones desconocidas Ax, Ay y Az. Los vectores de posición de A a B y de A a C son rAB  2 cos 30°i  2 sen 30°j (pie), rAC  4 cos 30°i  4 sen 30°j (pie). La suma de los momentos respecto a A, con fuerzas en lb y distancias en pie, es Mpunto A  MAx i  MAy j  [rAB  (TeBD)]  [rAC  (100j)]

i = MAx i + MAy j + 3 1.732 0.084T i 3 + 3.464 0

j -2 -100

j -1 0.945T

k 3 0 - 0.315T

k 03 0

= 1MAx + 0.315T2i + 1MAy + 0.546T2j + 11.72T - 3462k = 0.

A partir de esta ecuación vectorial se obtienen las ecuaciones escalares Mx  MAx  (0.315 pie)T  0, My  MAy  (0.546 pie)T  0, Mz  (1.72 pie)TBD  346 pies-lb  0. Al resolver estas ecuaciones se obtienen las reacciones T  201 lb,

MAx  63.4 pies-lb,

MAy  109.8 pies-lb.

Después, de las ecuaciones (1) se obtienen las fuerzas ejercidas por la articulación sobre la barra: Ax  17.0 lb,

Ay  90.2 lb,

Az  63.4 lb.

Razonamiento crítico Observe en la tabla 5.2 que existen tres posibilidades para las reacciones ejercidas por una articulación o cojinete. ¿Cómo se sabe cuál elegir? Bajo ciertas circunstancias, una articulación puede no ejercer pares significativos sobre el objeto con el que está conectado, y también puede no ejercer una fuerza significativa en la dirección del eje de la articulación. Por ejemplo, cuando un objeto tiene dos soportes de articulación y sus ejes están alineados (vea el ejemplo 5.9), con frecuencia puede suponerse que cada articulación individual no ejerce pares sobre el objeto. Pero en general, se requiere experiencia para hacer ese tipo de juicios. En los ejemplos y problemas siguientes se indicarán las reacciones que pueden suponerse son ejercidas por una articulación. Siempre que tenga duda, debe suponer que una articulación puede ejercer el conjunto de reacciones más general que se muestra en la tabla 5.2 (tres componentes de fuerza y dos componentes de par).

233

234

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo 5.9

Reacciones en articulaciones alineadas en forma apropiada ( Relacionado con el problema 5.112)

y

La placa de la figura está soportada por bisagras en A y B y por el cable CE. Las bisagras, alineadas en forma apropiada, no generan pares sobre la placa, y la bisagra en A no genera una fuerza sobre la placa en la dirección del eje de la bisagra. Determine las reacciones en las bisagras y la tensión en el cable.

100 mm E B

80 mm A

Estrategia Se dibujará el diagrama de cuerpo libre de la placa usando la información dada respecto a las reacciones ejercidas por las bisagras en A y B. Antes de poder aplicar las ecuaciones de equilibrio, es necesario expresar la fuerza ejercida sobre la placa por el cable en términos de sus componentes.

z C

200 mm 200 mm

D

x

400j (N)

Solución Dibujo del diagrama de cuerpo libre Se aísla la placa y se muestran las reacciones en las bisagras y la fuerza ejercida por el cable (figura a). El término T es la fuerza ejercida sobre la placa por el cable CE. Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Como se conocen las coordenadas de los puntos C y E, se puede expresar la fuerza en el cable como el producto de su magnitud T y un vector unitario dirigido desde C hacia E. El resultado es T(0.842i  0.337j  0.421k). Las sumas de las fuerzas en cada dirección coordenada deben ser iguales a cero:

y

©Fx = Ax + Bx - 0.842T = 0, ©Fy = Ay + By + 0.337T - 400 = 0, ©Fz = Bz + 0.421T = 0.

Reacciones debidas a la bisagra B

Racciones debidas a la bisagra A. No ejerce Ay fuerza axial. A Ax z

By Bz

B Bx T

(1)

Fuerza Si se suman los momentos respecto a B, las ecuaciones resultantes no contendrán ejercida las tres reacciones desconocidas en B. La suma de los momentos respecto a B, con por el fuerzas en N y distancias en m, es cable CE C

©M punto point B D 400j (N)

(a) Diagrama de cuerpo libre de la placa.

x

= 3

i 0.2 -0.842T

i 3 + 0.2 0

j 0 0.337T j 0 -400

k i 3 3 0 + 0 0.421T Ax

j 0 Ay

k 0.2 3 0

k 0.2 3 0

= 1- 0.2Ay + 802i + 1- 0.0842T + 0.2Ax2j + 10.0674T - 802k = 0.

Las ecuaciones escalares son

©Mx = - 10.2 m2Ay + 80 N-m = 0,

©My = - 10.0842 m2T + 10.2 m2Ax = 0, ©Mz = 10.0674 m2T - 80 N-m = 0.

Al resolver estas ecuaciones se obtienen las reacciones

T = 1187 N,

Ax = 500 N,

Ay = 400 N.

Luego, a partir de las ecuaciones (1), las reacciones en B son

Bx = 500 N,

By = - 400 N,

Bz = - 500 N.

Problemas

235

Razonamiento crítico “Articulaciones alineadas en forma apropiada” significa articulaciones montadas sobre un objeto de manera que sus ejes queden alineados. En casos tales, como el de este ejemplo, generalmente puede suponerse que ninguna articulación individual ejerce pares sobre el objeto. Observe que también se supone en este ejemplo que la articulación en A no ejerce reacción paralela al eje de la articulación, pero la bisagra en B sí lo hace. Las articulaciones pueden diseñarse intencionalmente para que se dé este caso, o puede resultar de la forma en que están instaladas. Si el único objetivo hubiese sido determinar la tensión T, se podría haber logrado con facilidad evaluando la suma de los momentos respecto a la línea AB (el eje z). Como las reacciones en las articulaciones no ejercen momento respecto al eje z, se obtendría la ecuación (0.2 m)(0.337T) ⫺ (0.2 m)(400 N) ⫽ 0, que da como resultado T ⫽ 1187 N.

Problemas 5.77 La barra AB tiene un soporte fijo en A cargada por las fuerzas

5.78 La barra AB de la figura tiene un soporte fijo en A. La tensión en el cable BC es de 8 kN. Determine las reacciones en A. y

FB = 2i + 6j + 3k 1kN2,

FC = i - 2j + 2k 1kN2.

A

a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra. b) Determine las reacciones en A. Estrategia: a) Dibuje un diagrama de la barra aislada de su soporte. Complete el diagrama de cuerpo libre de la barra agregando las dos fuerzas externas y las reacciones debidas al soporte fijo (vea la tabla 5.2). Use las ecuaciones de equilibrio escalares (5.9)-(5.14) para determinar las reacciones.

z

C

2m

(3, 0.5, ⫺0.5) m

B

x

Problema 5.78 5.79 La barra AB de la figura tiene un soporte empotrado en A. El collar en B está fijo a la barra. La tensión en la cuerda BC es de 300 lb. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra y b) determine las reacciones en A.

y

A

5.80 La barra AB de la figura tiene un soporte empotrado en A. El collar en B está fijo a la barra. Suponga que no se desea que el soporte en A esté sujeto a un par de magnitud mayor a 3000 pies-lb. ¿Cuál es la tensión máxima permisible en la cuerda BC?

FB

z B

1m 1m

y

C

B (6, 6, 2) pies

FC

x

Problema 5.77 A x C (8, 0, 3) pies z

Problemas 5.79/5.80

236

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.81 La fuerza total sobre el señalamiento de carretera que se muestra en la figura, ejercida por su peso y los vientos más severos que se anticipan es F  2.8i  1.8j (kN). Determine las reacciones en el soporte fijo.

5.83 La tensión en el cable AB que se muestra en la figura es de 24 kN. Determine las reacciones en el soporte fijo D. y 2m

C

y

A

F 2m

8m

x

D

1m

B 3m

z

O

8m

x

z

Problema 5.81

5.82 La tensión en el cable AB que se muestra en la figura es de 800 lb. Determine las reacciones en el soporte fijo C.

y

Problema 5.83

5.84 El operador robótico mostrado está en reposo y el eje y es vertical. Los pesos de los brazos AB y BC actúan en sus puntos medios. Los cosenos directores de la línea central del brazo AB son: cos ux  0.174, cos uy  0.985, cos uz  0, y los cosenos directores de la línea central del brazo BC son: cos ux  0.743, cos uy  0.557, cos uz  0.371. El soporte en A se comporta como un soporte fijo. a) ¿Qué valor tiene la suma de los momentos respecto a A debido a los pesos de los dos brazos? b) ¿Qué valor tienen las reacciones en A?

4 pies C

m

y

0m

5 pies 4 pies

C

60

A

B

160 N

600 mm

x F B z

(6, 0, 4) pies 200 N

Problema 5.82

A z

x

Problema 5.84

237

Problemas 5.85 La fuerza ejercida sobre la manija del aparato para hacer ejercicio que se muestra en la figura es F  260i  130j (N). ¿Qué valor tienen las reacciones en el soporte fijo en O?

5.90 La carga suspendida que se muestra en la figura ejerce una fuerza F  600 lb en A y la barra OA pesa 200 lb. Suponga que el peso de la barra actúa en su punto medio. Determine las tensiones en los cables y las reacciones en el soporte de bola y cuenca en O.

150 mm

y

5.89 La carga suspendida que se muestra en la figura ejerce una fuerza F  600 lb en A, y el peso de la barra OA es insignificante. Determine las tensiones en los cables y las reacciones en el soporte de bola y cuenca O.

y

C

(0, 6, 10) pies

F

O 200 mm

z

A (8, 6, 0) pies

B

250 mm

(0, 10, 4) pies x

F j

Problema 5.85  5.86 En el ejemplo activo 5.7, suponga que el cable BD se alarga y que el punto de unión D se mueve de (0, 600, 400) mm a (0, 600, 600) mm (el extremo B de la barra AB permanece donde estaba). Trace un bosquejo de la barra y sus soportes mostrando el cable BD en su nueva posición. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra y aplique el equilibrio para determinar las tensiones en los cables y las reacciones en A. 5.87 La fuerza F, que actúa en C sobre el aguilón ABC mostrado en la figura, apunta en la dirección del vector unitario 0.512i  0.384j  0.768k y su magnitud es de 8 kN. El aguilón tiene un soporte de bola y cuenca en A y también está soportado por los cables BD y BE. El collar B está fijo al aguilón. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del aguilón. b) Determine las tensiones en los cables y las reacciones en A. 5.88 Cada uno de los cables BD y BE en el problema 5.87 soportará con seguridad una tensión de 25 kN. Con base en este criterio, ¿cuál es la magnitud máxima aceptable de la fuerza F?

x O

z

Problemas 5.89/5.90 5.91 El avión de 158,000 kg que se muestra en la figura está en reposo sobre el piso (z  0 es el nivel del piso). Su tren de aterrizaje está apoyado en los puntos A, B y C. Las coordenadas del punto G donde actúa el peso son (3, 0.5, 5) m. ¿Qué valor tienen las reacciones normales ejercidas por el piso sobre el tren de aterrizaje del avión?

y

21 m 1.5 m

2m

6m B

D E

G 1m 2m

C 6m

A B

z

2m

y

C 2m x F

Problemas 5.87/5.88

Problema 5.91

A

x

238

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.92 La placa triangular horizontal que se muestra en la figura está suspendida por los tres cables verticales A, B y C. La tensión en cada cable es de 80 N. Determine las coordenadas x y z del punto donde el peso de la placa actúa de manera efectiva.

5.96 En la figura se muestra la fuerza vertical F  4 kN y la distancia b  0.15 m. Si las reacciones ejercidas en A y B se representan con una sola fuerza equivalente, ¿qué valor tiene la fuerza y en qué punto interseca su línea de acción el plano x–z?

y

A B C

0.3 m

0.4 m

5.95 La barra en L de la figura está soportada por un cojinete en A y descansa sobre una superficie horizontal en B. La fuerza vertical F  4 kN y la distancia b  0.15 m. Determine las reacciones en A y B.

(x, 0, z) x

5.97 En la figura se muestra la fuerza vertical F  4 kN. El cojinete en A soportará con seguridad una fuerza de 2.5 kN y un par de 0.5 kN-m de magnitud. Con base en esos criterios, ¿cuál es el intervalo permisible para la distancia b?

z y

Problema 5.92 5.93 La sección de pared horizontal de 800 kg que se muestra en la figura está soportada por los tres cables verticales A, B y C. ¿Qué valores tienen las tensiones en los cables?

F

b A x

B

0.2 m

B

0.3 m

z 7m C

A

7m

Problemas 5.95–5.97

7m

6m 4m

5.98 La barra de 1.1 m de longitud que se muestra en la figura está soportada en A por un soporte de bola y cuenca y las dos paredes son lisas. La tensión en el cable vertical CD es de 1 kN. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra. b) Determine las reacciones en A y B.

8m

mg

Problema 5.93 5.94 La barra AC que se muestra en la figura está soportada por el cable BD y un cojinete en A que puede girar respecto al eje z. La persona ejerce una fuerza F  10j (lb) en C. Determine la tensión en el cable y las reacciones en A.

y

B

400 mm

y D C

x A

A x B 8 pulg

C 14 pulg

z D

(18, 8, 7) pulg

Problema 5.94

z

700 mm

Problema 5.98

600 mm

Problemas 5.99 La barra de 8 pies de longitud que se muestra está sostenida por un soporte de bola y cuenca en A, por el cable BD y por un soporte de rodillo en C. El collar en B es el punto medio de la barra. La fuerza F  50k (lb). Determine la tensión en el cable BD y las reacciones en A y C.

239

5.103 La armadura espacial que se muestra en la figura tiene soportes de rodillo en B, C y D y está sujeto a una fuerza vertical F  20 kN en A. ¿Qué valor tienen las reacciones en los soportes de rodillo? y

5.100 La barra que se muestra tiene 8 pies de longitud. La fuerza F  Fy j  50k (lb). ¿Cuál es el valor máximo de Fy para el cual el soporte de rodillo en C permanecerá en el suelo?

F A (4, 3, 4) m

B D (6, 0, 0) m y

x A

z

C (5, 0, 6) m

3 pies B

z

Problema 5.103

F

 5.104 En el ejemplo 5.8, suponga que el cable BD se alarga y el punto de unión B se mueve al extremo de la barra en C. Las posiciones del punto de unión D y de la barra no cambian. Trace un bosquejo de la barra mostrando el cable BD en su nueva posición. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra y aplique el equilibrio para determinar la tensión en el cable y las reacciones en A.

D

4 pies

2 pies

C x

Problemas 5.99/5.100 5.101 La torre de la figura tiene 70 m de altura. La tensión en cada cable es de 2 kN. Considere la base de la torre A como un soporte fijo. ¿Qué valores tienen las reacciones en A?

5.105 La puerta de 40 lb está soportada por bisagras en A y B. El eje y es vertical. Las bisagras no generan pares sobre la puerta y la bisagra en B no genera una fuerza paralela al eje de la bisagra. El peso de la puerta actúa en su punto medio. ¿Qué valor tienen las reacciones en A y B?

5.102 La torre de la figura tiene 70 m de altura. Si la tensión en el cable BC es de 2 kN, ¿cuáles deben ser las tensiones en BD y BE para que el par generado sobre la torre por el soporte fijo en A sea igual a cero? ¿Qué valor tienen las reacciones resultantes en A?

y

4 pies 1 pie

y

B

B 5 pies

C 1 pie

A

40 m

x 40

50 m

E

A

z 40 m

Problema 5.105

D z

20 m

50 m

Problemas 5.101/5.102

x

240

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.106 El cable vertical que se muestra en la figura está conectado en A. Determine la tensión en el cable y las reacciones en el cojinete B debido a la fuerza F  10i  30j  10k (N). 5.107 Suponga que la componente z de la fuerza F es igual a cero, pero en otro caso F es desconocida. Si el par ejercido sobre el eje por el cojinete en B es MB  6j  6k N-m, ¿Qué valores tienen la fuerza F y la tensión en el cable?

5.110 Considere el lanzador de cohetes descrito en el problema 5.109. Los cojinetes en A y B no ejercen pares, y el cojinete B no ejerce ninguna fuerza en la dirección x. Determine las reacciones en A y B. y

y W 200 mm

A

E

B

D

x 100 mm 3 pies 3 pies 100 mm B

200 mm

Problemas 5.109/5.110 F

z

5.111 El cable CD de la grúa de la figura está unido a un objeto en reposo en D. La grúa está soportada por los cojinetes E y F y el cable horizontal AB. La tensión en el cable AB es de 8 kN. Determine la tensión en el cable CD.

x A

Problemas 5.106/5.107 5.108 El dispositivo del problema 5.106 está mal diseñado porque los pares que deben ser soportados por el cojinete en B ocasionan que éste se “amarre” (imagine que trata de abrir una puerta soportada por una sola bisagra). En el diseño mejorado que se muestra enseguida, los cojinetes en B y C no soportan pares y el cojinete en C no genera una fuerza en la dirección x. Si la fuerza F  10i  30j  10k (N), ¿qué valor tienen la tensión en el cable vertical y las reacciones en los cojinetes B y C?

Estrategia: Como las reacciones ejercidas sobre la grúa por los cojinetes no generan momentos respecto al eje z, la suma de los momentos respecto a este eje, debidos a las fuerzas ejercidas sobre la grúa por los cables AB y CD, es igual a cero. y C A B

y 200 mm

z 2m

50 mm

200 mm B

F

E

50 mm 100 mm

2m

D 3m

y

C

x

C F

z x

A

A

B 6m

Problema 5.108 4m

5.109 El lanzador de cohetes está soportado por el gato hidráulico DE y los cojinetes A y B. Dichos cojinetes están sobre el eje x y soportan árboles paralelos a él. El cilindro hidráulico DE ejerce una fuerza sobre el lanzador que apunta a lo largo de la línea de D a E. Las coordenadas de D son (7, 0, 7) pies y las de E son (9, 6, 4) pies. El peso W  30 kip actúa en el punto (4.5, 5, 2) pies. ¿Cuál es la magnitud de la reacción sobre el lanzador en E?

D 3m

3m

Problema 5.111

x

241

Problemas  5.112 En el ejemplo 5.9, suponga que el cable CE se acorta y su punto de unión E se mueve al punto (0, 80, 0) mm. La placa permanece en la misma posición. Trace un bosquejo de la placa y sus soportes donde muestre la nueva posición del cable CE. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la placa y aplique el equilibrio para determinar las reacciones en las bisagras y la tensión en el cable.

5.117 Los cojinetes en A, B y C no ejercen pares sobre la barra que se muestra en la figura, ni fuerzas en la dirección del eje de dicha barra. Determine las reacciones en los cojinetes debido a las dos fuerzas que actúan sobre la barra. y 200i (N)

5.113 La placa de la figura está soportada por bisagras en A y B y por el cable CE, y está cargada por una fuerza en D. El borde de la placa al cual están unidas las bisagras se encuentra en el plano y–z, y los ejes de las bisagras son paralelos a la línea que pasa por los puntos A y B. Las bisagras no ejercen pares sobre la placa. ¿Qué valor tiene la tensión en el cable CE?

300 mm x C

180 mm

B z

5.114 En el problema 5.113, la bisagra en B no ejerce una fuerza sobre la placa en la dirección del eje de la bisagra. ¿Qué valores tienen las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre la placa por las bisagras en A y B?

150 mm

A 100k (N) 150 mm

Problema 5.117 y

3m

E

2i  6j (kN)

A

D 2m

1m B

z

x

C

20

2m

5.118 El soporte que conecta el mástil del bote de vela de la figura a la cubierta se comporta como un soporte de bola y cuenca. La cuerda que une la pértiga (la vela) a la parte superior del mástil ejerce una fuerza de 200 lb sobre éste. La fuerza está en un plano horizontal a 15° del eje central del bote (vista superior). La pértiga de la vela ejerce una fuerza de 50 lb sobre el mástil en P. Esta fuerza se ubica en un plano horizontal a 45° del eje del bote (observe la vista superior). El mástil está soportado por los cables AB y ACD (los cables AE y AFG están flojos y sus tensiones se pueden ignorar). Determine las tensiones en los cables AB y CD y las reacciones en la base del mástil. y A

A

Problemas 5.113/5.114

Vela 50 pies

5.115 La barra ABC de la figura está sostenida por soportes de bola y cuenca en A y C y por el cable BD. La masa suspendida es de 1800 kg. Determine la tensión en el cable. C

C

F

5.116* En el problema 5.115, suponga que el soporte de bola y cuenca en A está diseñado para que no ejerza fuerza paralela a la línea recta de A a C. Determine las reacciones en A y C. P

P 6 pies

(2, 2, 1) m

x

y

E

B

D

G

D

D 2m

Vista lateral

Vista posterior

B A

C

x 4m

z

x

Problemas 5.115/5.116

15 pies

21 pies

4m

Vista superior 200 lb 15 E 45

z (La vela no se muestra) F G A B P C 50 lb D

Problema 5.118

242

Capítulo 5 Objetos en equilibrio y

5.119* La barra AC está soportada por el cable BD y un cojinete en A que puede girar respecto al eje AE. La persona ejerce una fuerza F  50j (N) en C. Determine la tensión en el cable.

(0.3, 0.5, 0) m

Estrategia: Use el hecho de que la suma de los momentos respecto al eje AE debidos a las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre de la barra debe ser igual a cero.

E

C (0.82, 0.60, 0.40) m

5.120* En el problema 5.119, determine las reacciones en el cojinete A.

A

(0.3, 0.4, 0.3) m

B (0.46, 0.46, 0.33) m x

Estrategia: Escriba el par ejercido sobre el diagrama de cuerpo libre de la barra por el cojinete como MA  MAxi  MAy j  MAzk. Entonces, además de las ecuaciones de equilibrio, obtenga una ecuación estableciendo que la componente de MA paralela al eje AE sea igual a cero.

z D (0.7, 0, 0.5) m

Problemas 5.119/5.120

5.4 Elementos sometidos a dos y tres fuerzas ANTECEDENTES Se ha mostrado cómo se usan las ecuaciones de equilibrio para analizar objetos soportados y cargados de diferentes maneras. Aquí se analizarán dos casos particulares que ocurren con tanta frecuencia que es necesario prestarles una atención especial. El primer tipo, el elemento sometido a dos fuerzas, es especialmente importante, y en el capítulo 6 tiene un papel central en el análisis de estructuras.

Elementos de dos fuerzas Si el sistema de fuerzas y momentos que actúa sobre un objeto equivale a dos fuerzas actuando en puntos diferentes, el cuerpo es un elemento de dos fuerzas. Por ejemplo, el objeto de la figura 5.19a está sometido a dos conjuntos de fuerzas concurrentes cuyas líneas de acción se intersecan en A y B. Como es posible representarlas con fuerzas únicas que actúan en A y B (figura 5.19b), donde F  F1  F2  ⴢ ⴢ ⴢ  FN y F  F 1  F 2  ⴢ ⴢ ⴢ  F N, este objeto es un elemento de dos fuerzas. F1 F 1 F2

B A

F3

B F

A

F M

FN

Figura 5.19 (a) Objeto sometido a dos conjuntos de fuerzas concurrentes. (b) Representación de las fuerzas concurrentes mediante dos fuerzas F y F . (c) Si el cuerpo está en equilibrio, las fuerzas deben ser iguales y opuestas. (d) Las fuerzas forman un par a menos que tengan la misma línea de acción.

F

F 2

(a)

(b) ⴚF B ⴚF

F

B

A

A F (c)

(d)

5.4 Elementos sometidos a dos y tres fuerzas

B

B

243

B

T T

A

Figura 5.20 (a) Cable unido en A y en B. (b) El cable es un elemento de dos fuerzas. (c) Fuerzas ejercidas por el cable.

T

A

A T (a)

(b)

(c)

Si el cuerpo está en equilibrio, ¿qué puede inferirse acerca de las fuerzas F y F ? La suma de las fuerzas es igual a cero sólo si F  F (figura 5.19c). Además, las fuerzas F y F forman un par, por lo que la suma de los momentos no es cero a menos que las líneas de acción de las fuerzas se encuentren a lo largo de la línea que pasa por los puntos A y B (figura 5.19d). Por lo tanto, la condición de equilibrio indica que las dos fuerzas son iguales en magnitud y opuestas en dirección, y que tienen la misma línea de acción. No obstante, sin información adicional no es posible determinar su magnitud. Un cable unido en dos puntos (figura 5.20a) es un ejemplo común de un elemento de dos fuerzas (figura 5.20b). El cable ejerce fuerzas sobre los puntos de conexión, las cuales están dirigidas a lo largo de la línea entre ellos (figura 5.20c). Una barra que tiene dos soportes que ejercen sólo fuerzas sobre ella (ningún momento), y que no está sometida a ninguna carga intermedia, es un elemento de dos fuerzas (figura 5.21a). Tales barras suelen usarse como soportes para otros objetos. Como la barra es un elemento de dos fuerzas, las líneas de acción de las fuerzas ejercidas sobre la barra deben coincidir con la línea entre los soportes (figura 5.21b). Observe que, a diferencia de un cable, la barra puede ejercer fuerzas en A y B en las direcciones mostradas en la figura 5.21c o en las direcciones opuestas (en otras palabras, el cable sólo puede jalar sus soportes, mientras que la barra puede jalarlos o empujarlos). En estos ejemplos se ha supuesto que los pesos del cable y de la barra se pueden ignorar en comparación con las fuerzas ejercidas sobre ellos por sus soportes. Cuando no se da este caso, resulta claro que no son elementos de dos fuerzas.

B

B

B

T

T

A

A

A

T

T (a)

(b)

Figura 5.21 (a) La barra AB conecta el objeto al soporte de pasador. (b) La barra AB es un elemento de dos fuerzas. (c) Fuerza ejercida sobre el objeto soportado por la barra AB.

(c)

244

Capítulo 5 Objetos en equilibrio F3

Elementos de tres fuerzas Si el sistema de fuerzas y momentos que actúan sobre un objeto equivale a tres fuerzas actuando en puntos diferentes es un elemento de tres fuerzas. Es posible demostrar que si un elemento de tres fuerzas está en equilibrio, las fuerzas son coplanares y además paralelas o concurrentes. Se demostrará primero que las fuerzas son coplanares. Considere que éstas son F1, F2 y F3; sea P el plano que contiene los tres puntos de aplicación (figura 5.22a). Sea L la línea que pasa por los puntos de aplicación de F1 y F2. Como los momentos debidos a F1 y F2 respecto a L son iguales a cero, el momento debido a F3 respecto a L debe también ser igual a cero (figura 5.22b):

F2 F1

P (a)

F3

[e ⴢ (r  F3)]e  [F3 ⴢ (e  r)]e  0. F2

F1

r L

e

P (b)

F3

F1

F2 Q

(c)

Figura 5.22 (a) Las tres fuerzas y el plano P. (b) Determinación del momento debido a F3 respecto a L. (c) Si las fuerzas no son paralelas, éstas deben ser concurrentes.

Esta ecuación requiere que F3 sea perpendicular a e  r, de modo que F3 está contenida en P. El mismo procedimiento puede usarse para mostrar que F1 y F2 están contenidas en P, así que las fuerzas son coplanares (la demostración es diferente si los puntos de aplicación están sobre una línea recta, pero el resultado es el mismo). Si las tres fuerzas coplanares no son paralelas, habrá puntos en que sus líneas de acción se intersequen. Suponga que las líneas de acción de dos de las fuerzas se intersecan en un punto Q. Entonces los momentos de esas dos fuerzas respecto a Q son iguales a cero y la suma de los momentos respecto a Q también es cero sólo si la línea de acción de la tercera fuerza pasa por Q. Por lo tanto, las fuerzas son paralelas o bien son concurrentes (figura 5.22c). Con frecuencia, el análisis de un objeto en equilibrio puede simplificarse reconociendo si es un elemento de dos o tres fuerzas. Sin embargo, al hacer esto no se obtiene algo a cambio de nada. Una vez que se ha dibujado el diagrama de cuerpo libre de un elemento de dos fuerzas, como se muestra en las figuras 5.20b y 5.21b, no puede obtenerse más información a partir de las ecuaciones de equilibrio. Y cuando se requiere que las líneas de acción de fuerzas no paralelas que actúan sobre un elemento de tres fuerzas sean coincidentes, se ha usado el hecho de que la suma de los momentos respecto a un punto debe ser cero y no puede obtenerse más información a partir de esta condición.

RESULTADOS

Elemento de dos fuerzas Si un objeto en equilibrio está sometido a dos fuerzas que actúan en puntos diferentes y ninguna otra fuerza o par, se denomina elemento de dos fuerzas. El equilibrio requiere que las dos fuerzas sean iguales y opuestas entre sí, y paralelas a la línea entre los dos puntos. Elemento de tres fuerzas Si un objeto en equilibrio está sometido a tres fuerzas que actúan en puntos diferentes y ninguna otra fuerza o par, se denomina elemento de tres fuerzas. El equilibrio requiere que las tres fuerzas sean coplanares y ya sea paralelas o concurrentes.

ⴚF B A F

5.4 Elementos sometidos a dos y tres fuerzas

Ejemplo activo 5.10

Elementos de dos y tres fuerzas ( Relacionado con el problema 5.121)

El peso de 100 lb de la placa rectangular que se muestra en la figura actúa en su punto medio. Ignore el peso del eslabón AB. Determine las reacciones ejercidas sobre la placa en B y en C.

45° A

C

B 4 pies

Estrategia La placa está sometida a su peso y a las reacciones ejercidas por los soportes de pasador en B y en C, por lo que es un elemento de tres fuerzas. El pasador BC es un elemento de dos fuerzas, por lo que la línea de acción de la reacción que ejerce sobre la placa en B está dirigida a lo largo de la línea de A a B. Se puede usar esta información para simplificar el diagrama de cuerpo libre de la placa. La reacción ejercida sobre la placa mediante el elemento de dos fuerzas AB debe dirigirse a lo largo de la línea entre A y B. Solución y

La fuerza ejercida sobre la placa por la barra AB debe estar dirigida a lo largo de la línea entre A y B, y la línea de acción del peso de la placa es vertical, por lo que las tres fuerzas que actúan sobre la placa no son paralelas. Por lo tanto deben ser concurrentes.

P

x

45 B

100 lb

C

Fx  B sen45  C sen45 0, Fy  B cos45  C cos45 100 lb  0.

Aplique las ecuaciones de equilibrio

Se obtienen las reacciones B  C  70.7 lb.

Problema de práctica Suponga que la placa se reemplaza con una placa de 100 lb cuyo espesor (la dimensión perpendicular a la página) no es uniforme. La línea de acción del peso de la placa no uniforme es 3 pies a la derecha del punto B. Determine las reacciones ejercidas sobre la placa en B y C. Respuesta: B  35.4 lb, C  79.1 lb.

245

246

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Un elemento de dos fuerzas ( Relacionado con el problema 5.122)

Ejemplo 5.11

6 kN

a

B

400 mm A 700 mm

La barra en L de la figura tiene un soporte de pasador en A y una carga de 6 kN en B. El peso de la barra se puede ignorar. Determine el ángulo a y las reacciones en A. Estrategia La barra es un elemento de dos fuerzas, ya que está sometida sólo a la fuerza de 6 kN en B y a la fuerza ejercida por el soporte de pasador (si no se pudiera ignorar el peso de la barra, ésta no sería un elemento de dos fuerzas). Se determinará de dos maneras el ángulo a y las reacciones en A, primero aplicando las ecuaciones de equilibrio y luego aprovechando el hecho de que la barra es un elemento de dos fuerzas. Solución Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la barra de la figura a, mostrando las reacciones en el soporte de pasador. Sumando momentos respecto al punto A, las ecuaciones de equilibrio son

y B

6 kN

Fx  Ax  6 cos a kN  0,

a

Fy  Ay  6 sen a kN  0, Mpunto A  (0.7 m)(6 sen a kN)  (0.4 m)(6 cos a kN)  0.

A x Ax Ay

A partir de la tercera ecuación se ve que a  arctan(0.40.7). En el intervalo 0  a  360°, esta ecuación tiene dos soluciones a  29.7° y a  209.7°. Conociendo a, se puede determinar Ax y Ay de las dos primeras ecuaciones de equilibrio. Las soluciones para los dos valores de a son

(a) Diagrama de cuerpo libre de la barra.

a  29.7°,

Ax  5.21 kN,

a  209.7°,

Ax  5.21 kN,

Ay  2.98 kN,

y y

6 kN

A x

6 kN (b)

a

y 6 kN

Ay  2.98 kN.

a

B

Tratamiento de la barra como elemento de dos fuerzas Se sabe que la fuerza de 6 kN en B y la fuerza ejercida por el soporte de pasador deben ser iguales en magnitud, opuestas en dirección y dirigidas a lo largo de la línea que pasa por A y B. En las figuras b y c se muestran las dos posibilidades. Reconociendo entonces que la barra es un elemento de dos fuerzas, se conocen de inmediato las posibles direcciones de las fuerzas y la magnitud de la reacción en A. En la figura b se puede ver que tan a  0.4/0.7, por lo que a  29.7° y las componentes de la reacción en A son Ax  6 cos 29.7° kN  5.21 kN,

B

Ay  6 sen 29.7° kN  2.98 kN.

6 kN A x (c)

(b), (c) Posibles direcciones de las fuerzas.

En la figura c, a  180°  29.7°  209.7°, y las componentes de la reacción en A son Ax  6 cos 29.7° kN  5.21 kN Ay  6 sen 29.7° kN  2.98 kN. Razonamiento crítico ¿Por qué resulta valioso reconocer que un objeto es un elemento de dos fuerzas? Al hacerlo se conocen las direcciones de las fuerzas que actúan sobre el objeto y también se sabe que las fuerzas son iguales y opuestas. Como lo demuestra este objeto, dicha información frecuentemente simplifica la solución de un problema.

Problemas

247

Problemas  5.121 En el ejemplo activo 5.10, suponga que el soporte en A se mueve de manera que el ángulo entre la barra AB y la vertical decrece de 45° a 30°. La posición de la placa rectangular no cambia. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la placa donde muestre el punto P en que las líneas de acción de las tres fuerzas que actúan sobre la placa se intersecan. Determine las magnitudes de las reacciones sobre la placa en B y C.

5.124 En la figura, el peso W  50 lb actúa en el centro del disco. Use el hecho de que el disco es un elemento de tres fuerzas para determinar la tensión en el cable y la magnitud de la reacción en el soporte de pasador.

60

 5.122 La magnitud de la reacción ejercida sobre el punto B de la barra en L es de 60 lb (consulte el ejemplo 5.11). a) ¿Cuál es la magnitud de la reacción ejercida sobre la barra por el soporte en A? b) ¿Qué valores tienen las componentes x y y de la reacción ejercida sobre la barra por el soporte en A?

W

Problema 5.124 y 14 pulg B

5.125 El peso W  40 N actúa en el centro del disco mostrado. Las superficies son rugosas. ¿Qué fuerza F es necesaria para levantar el disco del suelo?

17 pulg

F A

150 mm

x W

Problema 5.122 5.123 En la figura, la carga suspendida es de 1000 lb. Si se desprecia su peso, la estructura es un elemento de tres fuerzas. Use este hecho para determinar las magnitudes de las reacciones en A y B.

50 mm

Problema 5.125 5.126 Use el hecho de que la barra horizontal mostrada es un elemento de tres fuerzas para determinar el ángulo a y las magnitudes de las reacciones en A y B. Suponga que 0  a  90°.

A

5 pies 2m a B

3 kN

60 B A

1m

10 pies

Problema 5.126 Problema 5.123

30

248

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.127 La carga suspendida pesa 600 lb. Use el hecho de que el elemento ABC es de tres fuerzas para determinar las magnitudes de las reacciones en A y B.

3 pies B

4.5 pies

5.129 El pistón hidráulico que se muestra en la figura ejerce una fuerza horizontal en B para soportar el peso W ⫽ 1500 lb de la cubeta de la excavadora. Determine la magnitud de la fuerza que debe ejercer el pistón hidráulico (la suma vectorial de las fuerzas ejercidas en B por el pistón hidráulico, el elemento de dos fuerzas AB y el elemento de dos fuerzas BD, debe ser igual a cero).

30⬚ Pistón hidráulico 14 pulg

C 45⬚

12 pulg

B

A 16 pulg

A

4 pulg

C

D

Problema 5.127 Cubeta

5.128 a) ¿Es la barra en L mostrada un elemento de tres fuerzas? b) Determine las magnitudes de las reacciones en A y B. c) ¿Son concurrentes las tres fuerzas que actúan sobre la barra en L?

W

8 pulg 2 kN

3 kN-m B

Problema 5.129

300 mm

150 mm

700 mm

5.130 El elemento ACG de la cargadora frontal que se muestra en la figura está sujeto a una carga W ⫽ 2 kN y está sostenido mediante un soporte de pasador en A y el cilindro hidráulico BC. Trate al cilindro hidráulico como un elemento de dos fuerzas. a) Dibuje los diagramas de cuerpo libre del cilindro hidráulico y el elemento ACG. b) Determine las reacciones sobre el elemento ACG. 5.131 En el problema 5.130, determine las reacciones sobre el elemento ACG usando el hecho de que es un elemento de tres fuerzas.

A 250 mm

8 pulg

500 mm A

Problema 5.128 0.75 m

B

C

1m G 0.5 m W 1.5 m

1.5 m

Problemas 5.130/5.131

Problemas de repaso 5.132 Una placa rectangular está sometida a dos fuerzas, A y B (figura a). En la figura b, las dos fuerzas están separadas en sus componentes. Escribiendo las ecuaciones de equilibrio en función de las componentes Ax, Ay, Bx y By, demuestre que las dos fuerzas A y B son iguales en magnitud y opuestas en dirección, y están dirigidas a lo largo de la línea que pasa por sus puntos de aplicación.

249

5.133 Un objeto en equilibrio está sometido a tres fuerzas cuyos puntos de aplicación se encuentran sobre una línea recta. Demuestre que las fuerzas son coplanares. F2

B F3

B A

F1

h

Problema 5.133 A b (a) y By Bx

B h

Ay A

Ax

x b (b)

Problema 5.132

Problemas de repaso 5.134 El cable suspendido que se muestra en la figura pesa 12 lb. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del cable (las tensiones en el cable en A y B no son iguales).

5.135 Determine las reacciones en el soporte fijo que se muestra en la figura.

b) Determine las tensiones en el cable en A y B.

4 kN

c) ¿Cuál es la tensión en el cable en su punto más bajo?

3m A 20 kN-m

B 2 kN 50 5m

A

3m

Problema 5.135

32

Problema 5.134

3 kN

250

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.136 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la placa de 50 lb y explique por qué es estáticamente indeterminada. b) Determine tantas reacciones en A y B como sea posible. y

5.140 El ingeniero que diseña el mecanismo de liberación mostrado desea que la fuerza normal ejercida en C sea de 120 N. Si la longitud sin elongar del resorte es de 30 mm, ¿cuál es el valor necesario de la constante k del resorte?

A 12 pulg

8 pulg

5.139 La constante del resorte mostrado es k  9600 N/m y la longitud sin elongar del resorte es 30 mm. Trate al perno en A como un soporte de pasador y suponga que la superficie en C es lisa. Determine las reacciones en A y la fuerza normal en C.

B

x 20 pulg

A

50 lb 24 mm

Problema 5.136

B

5.137 La masa del camión mostrado es de 4000 kg. Sus ruedas están bloqueadas y la tensión en su cable es T  10 kN. 30 mm

a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del camión.

15 mm

k

C

30

b) Determine las fuerzas normales ejercidas por el camino sobre las ruedas del camión en A y B. 30 mm 30 T

50 mm

Problemas 5.139/5.140

3m

B

A 2m

2.5 m

2.2 m

5.141 La armadura mostrada soporta un objeto suspendido de 90 kg. ¿Qué valor tienen las reacciones en los soportes A y B?

mg

Problema 5.137 5.138 En la figura, suponga que la fuerza ejercida por el martillo sobre la cabeza del clavo es vertical e ignore el peso del martillo.

400 mm

700 mm

a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del martillo. b) Si F  10 lb, ¿qué valor tienen la fuerza ejercida por el martillo sobre el clavo y las fuerzas normal y de fricción ejercidas por el martillo sobre el piso?

F 11 pulg

65

2 pulg

Problema 5.138

300 mm B A

Problema 5.141

Problemas de repaso

251

5.142 El remolque de la figura está en una pendiente de 15°. Sus ruedas pueden girar. La conexión en H se comporta como un soporte de pasador. Determine las reacciones en A y H.

y

1.4 pies

x

H 870 lb 1.6 pies 8 pies

A

2.8 pies

15°

Problema 5.142

5.143 Para determinar la posición del punto en que actúa el peso del automóvil mostrado (el centro de masa o centro de gravedad), un ingeniero coloca el automóvil sobre básculas y mide las reacciones normales en las ruedas para dos valores de a, obteniendo los siguientes resultados. a

Ay (kN)

B (kN)

10° 20°

10.134 10.150

4.357 3.677

5.144 La barra de la figura está conectada mediante soportes de pasador a los collarines que se deslizan sobre las dos barras fijas. Su masa es de 10 kg, tiene 1 m de longitud y su peso actúa en su punto medio. Ignore la fricción y las masas de los collarines. El resorte está sin elongar cuando la barra es vertical (a  0), y la constante del resorte es k  100 N/m. Determine los valores de a en el rango 0  a  60° para los cuales la barra se encuentra en equilibrio.

¿Qué valor tienen las distancias b y h? k y

h

B W

Ax a

Ay

x

a

b 2.7 m

Problema 5.144 Problema 5.143

252

Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.145 Con cada uno de los dispositivos mostrados se puede soportar una carga R aplicando una fuerza F. Estos dispositivos se denominan palancas de primera, segunda y tercera clases. a) La razón RF se llama ventaja mecánica. Determine la ventaja mecánica de cada palanca. b) Determine la magnitud de la reacción en A para cada palanca (exprese sus respuestas en términos de F.) R

F

5.147 La masa de 20 kg que se muestra en la figura está suspendida por los cables unidos a tres postes verticales de 2 m. El punto A está en (0, 1.2, 0) m. Determine las reacciones en el soporte fijo en E. 5.148 En el problema 5.147, el soporte fijo de cada poste vertical soportará con seguridad un par con magnitud de 800 N-m. Con base en este criterio, ¿cuál es máximo valor seguro de la masa suspendida?

F

R

y C

A

A

B D A

L

L

L

Palanca de primera clase

L

Palanca de segunda clase 1m

F

R

1m

E

A

2m

0.3 m z

L

x

Problemas 5.147/148

L

Palanca de tercera clase

Problema 5.145 5.146 La fuerza ejercida por el peso de la placa rectangular mostrada es de 800 N. El peso de la placa actúa en su punto medio. Si las reacciones ejercidas sobre la placa por los tres cables se representan con una sola fuerza equivalente, ¿qué valor tiene la fuerza y en qué punto interseca su línea de acción a la placa?

5.149 La barra de 80 lb está sostenida por un soporte de bola y cuenca en A, por la pared lisa sobre la que se apoya y por el cable BC. El peso de la barra actúa en su punto medio. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra. b) Determine la tensión en el cable BC y las reacciones en A. y 5 pies

3 pies

B

A

C 4 pies

C B 3 pies 3 pies

2m 0.5 m

z

Problema 5.149

1m

Problema 5.146

x

A

5.150 La barra horizontal de peso W está sostenida por un soporte de rodillos en A y por el cable BC. Use el hecho de que la barra es un elemento de tres fuerzas para determinar el ángulo a, la tensión en el cable y la magnitud de la reacción en A. C A

B W L/2

L/2

Problema 5.150

a

Problemas de repaso

253

Proyecto de diseño 1 La carretilla tradicional mostrada está

Proyecto de diseño 3 La plataforma de un camión de volteo

diseñada para transportar una carga W mientras está soportada por una fuerza ascendente F aplicada por el usuario sobre las manijas. a) Use la estática para analizar los efectos del rango de elecciones de las dimensiones a y b sobre el tamaño de la carga que podría acarrearse. Asimismo considere las implicaciones de estas dimensiones sobre la facilidad y practicidad de uso de la carretilla. b) Sugiera un diseño diferente para este diseño clásico que logre realizar la misma función. Use la estática para comparar su diseño de carretilla respecto a su capacidad de carga y facilidad de uso.

(figura a) se eleva mediante dos cilindros hidráulicos de tándem AB (figura b). La masa de la plataforma del camión y su carga es de 16,000 kg y su peso actúa en el punto G (suponga que la posición del punto G relativo a la plataforma no cambia cuando se levanta la plataforma).

F

W

a

a) Dibuje una gráfica de la magnitud de la fuerza total que los

cilindros hidráulicos deben ejercer para soportar la plataforma en reposo para valores del ángulo a desde cero hasta 30°. b) Considere otras opciones para las ubicaciones de los puntos de unión A y B que parezcan ser factibles e investigue cómo afectan sus elecciones a la magnitud de la fuerza total que los cilindros hidráulicos deben ejercer cuando a varía desde cero hasta 30°. Asimismo compare los costos de sus elecciones de los puntos de unión con las opciones mostradas en la figura a, suponiendo que el costo de los cilindros hidráulicos es proporcional al producto de la fuerza máxima que deben ejercer cuando a varía de cero a 30° y su longitud cuando a  30°. c) Escriba un reporte breve donde presente sus investigaciones y haga una recomendación para la ubicación de los puntos A y B.

b G

Proyecto de diseño 2 En la figura se muestra un ejemplo de los populares dispositivos llamados “móviles”, los cuales fueron introducidos como una forma de arte por el artista estadounidense Alexander Calder (1898-1976). Suponga que usted desea diseñar un móvil que represente el sistema solar y ha elegido esferas de colores para representar los planetas. Las masas de las esferas que representan a Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno y Plutón son de 10 g, 25 g, 25 g, 10 g, 50 g, 40 g, 40 g, 40 g, 10 g. Suponga que las barras y cuerdas que utiliza son de masa insignificante. Diseñe el móvil de manera que los planetas estén en su orden correcto en relación con el Sol. Escriba un reporte breve que incluya un dibujo de su diseño y el análisis que demuestre que su móvil está balanceado.

B

A

0.5 m C

0.3 m 0.9 m

1.2 m

1.8 m 2.4 m

(a)

G

A

a

B

C

(b)

CAPÍTULO

6 Estructuras en equilibrio En ingeniería, el término estructura se puede referir a cualquier objeto que tenga la capacidad de soportar y ejercer cargas. En este capítulo se considerarán estructuras compuestas de partes interconectadas o elementos. Para diseñar una estructura de este tipo, o para determinar si una existente es adecuada, se deben determinar las fuerzas y los pares que actúan sobre ella en su totalidad así como en sus elementos individuales. Se demostrará primero cómo llevar a cabo este análisis en las estructuras llamadas armaduras, las cuales están compuestas enteramente de elementos de dos fuerzas. Las estructuras comunes fabricadas con elementos de acero que soportan algunos puentes en carreteras son armaduras. Luego se considerarán otras estructuras, llamadas bastidores si están diseñadas para permanecer estacionarias y soportar cargas, y máquinas si están diseñadas para moverse y ejercer cargas.

 Los ingenieros neolíticos que construyeron Stonehenge establecieron un ejemplo para el diseño de estructuras resistentes. En este capítulo se describen técnicas para determinar las fuerzas y pares que actúan sobre los elementos individuales de las estructuras.

256

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.1 Armaduras ANTECEDENTES

Figura 6.1 Una casa típica está soportada por armaduras hechas de madera.

F

La naturaleza de las armaduras, como las vigas que soportan una casa de madera (figura 6.1), puede explicarse iniciando con ejemplos muy sencillos. Suponga que los extremos de tres barras se conectan con pasadores para formar un triángulo. Si se agregan soportes, como se muestra en la figura 6.2a, se obtiene una estructura que soportará una carga F. Es posible construir estructuras más elaboradas agregando más triángulos (figuras 6.2b y c). Las barras son los elementos de esas estructuras y los lugares en que las barras se unen entre sí son las juntas de la armadura. Aunque estos ejemplos son muy sencillos, en la figura 6.2c se puede ver que la llamada armadura Warren comienza a parecerse a las estructuras usadas para soportar puentes y techos de casas (figura 6.3). Si las estructuras están soportadas y cargadas en sus juntas y los pesos de las barras se ignoran, cada una de éstas es un elemento de dos fuerzas. Tales estructuras se denominan armaduras. En la figura 6.4a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de un elemento de una armadura. Como es un elemento de dos fuerzas, las fuerzas en los extremos, que son las sumas de las fuerzas ejercidas sobre el elemento en sus juntas, deben ser iguales en magnitud, opuestas en dirección y dirigidas a lo largo de la línea entre las juntas. Se llama T a la fuerza axial en el elemento. Cuando T es positiva en la dirección mostrada (es decir, cuando las fuerzas se alejan una de otra), el elemento está trabajando a tensión. Cuando las fuerzas se acercan entre sí, el elemento está a compresión. En la figura 6.4b se “corta” el elemento con un plano y se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la parte ubicada a un lado del plano. El sistema de fuerzas y momentos internos ejercidos por la parte no incluida en el diagrama se representa mediante una fuerza F que actúa en el punto P donde el plano interseca al eje del

F

F

F

(a)

(b)

(c)

Figura 6.2 Fabricación de estructuras al unir barras mediante pasadores para formar triángulos.

Armadura de puente Howe

Armadura de puente Pratt

Armadura de techo Howe

Armadura de techo Pratt

Figura 6.3 Ejemplos sencillos de estructuras para puentes y techos (las líneas representan elementos y los círculos representan juntas).

6.1 Armaduras T

T F P

T

T

T (a)

(b)

T M

T (c)

Figura 6.4 (a) Cada elemento de una armadura es un miembro de dos fuerzas. (b) Obtención del diagrama de cuerpo libre de una parte del elemento. (c) La fuerza interna es igual y opuesta a la fuerza que actúa en la junta, y el par interno es igual a cero.

elemento y un par M. La suma de los momentos respecto a P debe ser igual a cero, de modo que M  0. Por lo tanto se tiene un elemento de dos fuerzas, lo cual significa que F debe ser igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza T que actúa en la junta (figura 6.4c). La fuerza interna es una tensión o compresión igual a la ejercida en la junta. Observe el parecido con una cuerda o un cable, en el cual la fuerza interna es una tensión igual a la tensión aplicada en los extremos. Aunque muchas estructuras reales, incluidas las “armaduras de techo” y las “armaduras de puente”, consisten en barras conectadas en los extremos, muy pocas de ellas tienen juntas articuladas con pasadores. Por ejemplo, en la figura 6.5 se muestra la junta de una armadura de puente. Los extremos de los elementos están soldados en la junta y no tienen la capacidad de girar. Resulta claro que una junta como ésta puede ejercer pares sobre los elementos. ¿Por qué las estructuras de este tipo se llaman armaduras? La razón es que están diseñadas para funcionar como tales, lo que implica soportar cargas sometiendo sus elementos a cargas axiales. Por lo general se pueden modelar como armaduras tratando sus juntas como conexiones articuladas bajo el supuesto de que los pares ejercidos por las juntas sobre los elementos son pequeños en comparación con las fuerzas axiales. Cuando en los problemas se hace referencia a las estructuras con juntas remachadas como armaduras, se pretende decir que éstas pueden representarse como armaduras.

Figura 6.5 Junta de la armadura de un puente.

257

258

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

RESULTADOS F

Armaduras Las estructuras que consisten en barras rectas articuladas con pasadores en los extremos y están soportadas y cargadas sólo en las juntas donde están conectados los elementos se llaman armaduras. Se supone que los pesos de los elementos son insignificantes en comparación con las cargas aplicadas.

F

F

F

Diagrama de cuerpo libre de un elemento individual Como cada elemento de una armadura es un miembro de dos fuerzas, éste se encuentra sometido sólo a cargas axiales iguales y opuestas. La fuerza T se denomina fuerza axial en un elemento. Cuando T es positiva en la dirección mostrada (es decir, cuando las fuerzas están dirigidas alejándose una de la otra), el elemento está en tensión (T). Cuando las fuerzas están dirigidas apuntándose entre sí, el elemento está en compresión (C).

T

T

F

6.2 Método de las juntas ANTECEDENTES El método de las juntas implica dibujar diagramas de cuerpo libre de las juntas de una armadura, una por una, y usar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas axiales en las barras. Por lo general, antes de comenzar se debe dibujar un diagrama de toda la armadura (es decir, tratar a la armadura como un solo objeto) y calcular las reacciones en sus soportes. Por ejemplo, considere la armadura Warren de la figura 6.6a; ésta tiene elementos de 2 m de longitud y soporta cargas

6.2 Método de las juntas 400 N 400 N

800 N D

B

y

800 N D

B

A Ax E

A

259

C 2m

x Ay

C

400 N

E

800 N D

B 1m

(a)

2m

1m

(b)

Figura 6.6 (a) Armadura Warren que soporta dos cargas. (b) Diagrama de cuerpo libre de la armadura.

A

E C 500 N

700 N

en B y D. En la figura 6.6b se dibuja su diagrama de cuerpo libre. A partir de las ecuaciones de equilibrio, 兺Fx  Ax  0,

y

兺Fy  Ay  E  400 N  800 N  0, 兺Mpunto A  (1 m)(400 N)  (3 m)(800 N)  (4 m)E  0,

TAB

ese obtienen las reacciones Ax  0, Ay  500 N y E  700 N. El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre. En la figura 6.7a se aísla la junta A cortando los elementos AB y AC. Los términos TAB y TAC son las fuerzas axiales en los elementos AB y AC, respectivamente. Aunque las direcciones de las flechas que representan las fuerzas axiales desconocidas se pueden escoger de manera arbitraria, observe que se han elegido de manera que un elemento estará a tensión si se obtiene un valor positivo para la fuerza axial. Al escoger consistentemente las direcciones de esta manera ayudará a evitar errores. Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son

60 A

TAC

x

500 N (a)

577 N B

兺Fx  TAC  TAB cos 60°  0, 兺Fy  TAB sen 60°  500 N  0. Resolviendo estas ecuaciones se obtienen las fuerzas axiales TAB  577 N y TAC  289 N. El elemento AB está a compresión y la barra AC a tensión (figura 6.7b). Aunque, para la junta de la figura 6.7a, se usó una figura realista a fin de visualizar mejor el diagrama de cuerpo libre, es posible usar una figura sencilla con sólo las fuerzas que actúan sobre la junta (figura 6.7c). Enseguida se obtiene un diagrama de la junta B cortando los elementos AB, BC y BD (figura 6.8a). A partir de las ecuaciones de equilibrio para la junta B,

Ese obtiene TBC  115 N y TBD  346 N. El elemento BC está a tensión y el elemento BD a compresión (figura 6.8b). Si se continúa con el dibujo de diagramas de cuerpo libre de las juntas, es posible determinar las fuerzas axiales en todos los elementos. En dos dimensiones sólo pueden obtenerse dos ecuaciones de equilibrio independientes de los diagramas de cuerpo libre de una junta. Al sumar los momentos respecto a un punto no se obtiene una ecuación independiente adicional porque las fuerzas son concurrentes. Por lo tanto, al aplicar el método de las juntas se deben escoger juntas sometidas a fuerzas conocidas y con no más de dos fuerzas desconocidas. En el presente ejemplo se analizará primero la

A

577 N

C (b)

TAB

兺Fx  TBD  TBC cos 60°  577 cos 60° N  0, 兺Fy  400 N  577 sen 60° N  TBC sen 60°  0,

289 N

289 N

A

TAB

60

60 A

A

TAC

TAC 500 N

500 N (c)

Figura 6.7 (a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta A. (b) Fuerzas axiales sobre los elementos AB y AC. (c) Diagramas de cuerpo libre realista y sencillo de la junta A.

260

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio y 400 N B 60

60

TBD

x

TBC

577 N

346 N

346 N B

400 N B

Figura 6.8 (a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta B. (b) Fuerzas axiales en las barras BD y BC.

800 N

115 N

D

A

B

E

C 500 N

D

C

700 N (a)

T2

T1 (b)

(a)

Figura 6.9 (a) Junta con dos elementos colineales y sin carga. (b) Diagrama de cuerpo libre de la junta.

(a)

115 N

(b)

junta A porque está sometida a la reacción conocida, ejercida por el apoyo, y a dos fuerzas desconocidas, TAB y TAC (figura 6.7a). Después se podría analizar la junta B porque está sometida a dos fuerzas conocidas y a dos desconocidas, TBC y TBD (figura 6.8a). Si se hubiera intentado analizar primero la junta B, se habrían tenido tres fuerzas desconocidas. Al determinar las fuerzas axiales en los elementos de una armadura, con frecuencia la tarea se simplifica al estar familiarizado con tres tipos particulares de juntas. • Juntas de armaduras con dos elementos colineales y sin carga (figura 6.9). La suma de las fuerzas debe ser igual a cero, T1  T2. Las fuerzas axiales son iguales. • Juntas de armaduras con dos elementos no colineales y sin carga (figura 6.10). Como la suma de las fuerzas en la dirección x debe ser igual a cero, T2  0. Por lo tanto, T1 también debe ser cero. Las fuerzas axiales son iguales a cero. • Juntas de armaduras con tres elementos, dos de ellos colineales, y sin carga (figura 6.11). Como la suma de las fuerzas en la dirección x debe ser igual a cero, T3  0. La suma en la dirección y debe ser cero, por lo que T1  T2. Las fuerzas axiales en los elementos colineales son iguales y la fuerza axial en el tercer elemento es igual a cero. y

y T2 T2 T3 T1

x

x

T1 (b)

Figura 6.10 (a) Junta con dos elementos no colineales y sin carga. (b) Diagrama de cuerpo libre de la junta.

(a)

Figura 6.11 (a) Junta con tres elementos, dos de ellos colineales y sin carga. (b) Diagrama de cuerpo libre de la junta.

(b)

6.2 Método de las juntas

261

RESULTADOS

Método de las juntas y

Antes de comenzar, por lo general es necesario dibujar el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura considerada como un solo objeto y aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en los soportes.

B

A

Aísle una junta individual pasando planos a través de los elementos conectados. Complete el diagrama de cuerpo libre mostrando las fuerzas axiales en los elementos. Aplique las ecuaciones de equilibrio Fx  0 y Fy  0 al diagrama de cuerpo libre de la junta. Repita este proceso para otras juntas hasta que se hayan determinado todas las cargas axiales deseadas.

E C

D

E

A Ax

C F

Ay

F

B

E

D

TAB

A

Si una junta consiste en dos elementos colineales y no se aplican cargas externas a la junta, las fuerzas axiales en los elementos son iguales.

Si una junta consiste en dos elementos no colineales y no se aplican cargas externas a la junta, no existe fuerza axial en ninguno de los elementos.

E

A

Ax

Juntas especiales

Si una junta consiste en tres elementos, dos de los cuales son colineales, y no se aplican cargas externas a la junta, las fuerzas axiales en los elementos colineales son iguales y la fuerza axial en el tercer elemento es cero.

B

D

TAC Ay

Ax Ay

C F

E

x

262

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

El método de las juntas ( Problema relacionado 6.1)

Ejemplo activo 6.1

Determine las fuerzas axiales en los elementos AB y AC de la armadura que se presenta en la figura.

A 3m C 3m B

D 5m

5m 2 kN

Estrategia Primero se dibujará un diagrama de cuerpo libre de toda la armadura, tratándola como un solo objeto, y se determinarán las reacciones en los soportes. Luego se pueden determinar las fuerzas axiales en los elementos AB y AC dibujando el diagrama de cuerpo libre de la junta A. Solución

y

Ay A Ax C

6m

D B B

10 m

x

2 kN

Fx  Ax  B  0, Fy  Ay  2 kN  0, Mpunto B  (6m)Ax  (10 m)(2 kN)  0.

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y aplique las ecuaciones de equilibrio.

Resolviendo se obtiene Ax  3.33 kN, Ay  2 kN, y B  3.33 kN.

y

2 kN A

x

3.33 kN TAB

TAC a 2 kN A 3.33 kN C D 3.33 kN B 2 kN

El ángulo a  arctan(5/3)  59.0. Fx  TAC sen a  3.33 kN  0, Fy  2 kN  TAB  TAC cos a  0. Resolviendo se obtiene TAB  0 y TAC  3.89 kN. La fuerza axial en el elemento AB es igual a cero y la fuerza axial en el elemento AC es 3.89 kN en tensión, lo cual se escribe AB: cero, AC: 3.89 kN (T).

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la junta A y aplique las ecuaciones de equilibrio.

6.2 Método de las juntas

Problema de práctica Determine las fuerzas axiales en los elementos BC y BD de la armadura que se muestra en la figura. Para hacer esto, use el hecho de que ya se sabe a partir del análisis de la junta A que la fuerza axial en el elemento AB es igual a cero. Respuesta: BC: cero, BD: 3.33 kN (C).

Armadura de un puente ( Relacionado con el problema 6.31)

Ejemplo 6.2

En la figura 1 se muestran las cargas que la estructura de un puente debe soportar, así como los soportes de pasador en los cuales se va a apoyar. Un estudiante de ingeniería civil encargado del diseño de la estructura propone la estructura mostrada en la figura 2. ¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en los elementos? Estrategia Los elementos verticales, AG, BH, CI, DJ y EK están sujetos a fuerzas de compresión de magnitud F. Debido a la simetría de la estructura, es posible determinar las cargas axiales en los elementos restantes analizando las juntas C y B.

F

F

G

H b

F

F b

F b

F b

2b

a

F

I

J

b 15

F b

F

b 15

2b D

A

K b

C B

F

a E

(1)

(2)

Solución Se deja como un ejercicio demostrar, mediante el dibujo del diagrama de cuerpo libre de la junta C, que los elementos BC y CD están sometidos a cargas de compresión iguales con magnitud 1.93F. En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la junta B, donde TBC  1.93F.

y F TBC 15

A partir de las ecuaciones de equilibrio 兺Fx  TAB cos a  TBC cos 15°  0, 兺Fy  TAB sen a  TBC sen 15°  F  0, se obtiene TAB  2.39F y a  38.8°. Por simetría, TDE  TAB. Las fuerzas axiales en los elementos se presentan en la siguiente tabla. Fuerzas axiales en los elementos de la estructura del puente Elementos AG, BH, CI, DJ, EK AB, DE BC, CD

Fuerza axial F (C) 2.39F (C) 1.93F (C)

B

a TAB

(a) Diagrama de cuerpo libre de la junta B.

x

263

264

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Problemas  6.1 En el ejemplo activo 6.1, suponga que además de la fuerza descendente de 2 kN que actúa en el punto D, se tiene una fuerza descendente de 2 kN actuando en el punto C. Trace un bosquejo de la armadura donde muestre las nuevas cargas. Determine las fuerzas axiales en los elementos AB y AC de la armadura.

6.5 Cada uno de los pesos suspendidos que se muestran en la figura tiene una masa m  20 kg. Determine las fuerzas axiales en los elementos de la armadura e indique si están en tensión (T) o en compresión (C). A

6.2 Determine las fuerzas axiales en los elementos de la armadura mostrada e indique si están en tensión (T) o en compresión (C). 0.4 m

20

800 N

A

C

B

D

0.4 m m

m

C B 0.7 m

0.7 m

0.32 m

0.16 m 0.16 m

Problema 6.5

Problema 6.2 6.3 El elemento AB de la armadura que se muestra en la figura está sometida a una fuerza a tensión de 1000 lb. Determine el peso W y la fuerza axial en el elemento AC. A

6.6 Determine las máximas fuerzas a tensión y compresión que se presentan en los elementos de la armadura mostrada, e indique los elementos donde ocurren si a) la dimensión h  0.1 m; b) la dimensión h  0.5 m. Observe cómo un cambio sencillo en el diseño afecta las cargas axiales máximas.

60 pulg W B

B

C 60 pulg

60 pulg

A h

Problema 6.3

D

6.4 Determine las fuerzas axiales en los elementos BC y CD de la armadura mostrada.

1 kN 0.4 m C

600 lb

E 0.6 m 3 pies

C

D

3 pies

A

B 3 pies

3 pies

Problema 6.4

1.2 m

Problema 6.6

0.7 m

265

Problemas 6.7 La armadura de acero mostrada está en el Parque Nacional Gallatin al sur de Bozeman, Montana, Estados Unidos. Suponga que una de las armaduras tándem que soportan al puente está cargada según se muestra en la figura. Determine las fuerzas axiales en los elementos AB, BC, BD y BE.

6.11 Las cargas F1 = F2 = 8 kN. Determine las fuerzas axiales en los elementos BD, BE y BG. F1

D

6.8 Determine las fuerzas máximas a tensión y compresión que se presentan en los elementos de la armadura de puente mostrada, también indique los elementos donde ocurren dichas fuerzas.

3m F2

B E

3m G

A C 4m

4m

Problema 6.11

B

D

F

A

H C

E 10 kip 17 pies

17 pies

8 pies

G 10 kip 10 kip 17 pies 17 pies

a) la dimensión h  5 pulg; b) la dimensión h  10 pulg.

Problemas 6.7/6.8 6.9 Las armaduras que soportan el puente en los problemas 6.7 y 6.8 se denominan armaduras Pratt. Suponga que los diseñadores del puente han decidido usar en su lugar la armadura que se muestra en la siguiente figura, que se llama armadura Howe. Determine las fuerzas máximas a tensión y compresión que se presentan en los elementos, también indique los elementos donde ocurren dichas fuerzas. Compare sus respuestas con las del problema 6.8. B

D

6.12 Determine las fuerzas máximas a tensión y compresión que se presentan en los elementos de la armadura mostrada, también indique los elementos donde ocurren dichas fuerzas si

Observe cómo un cambio sencillo en el diseño afecta las cargas axiales máximas.

B

D h

C

E 20 pulg

E 10 kip 17 pies

20 pulg 30

H 8 pies

17 pies

20 pulg

F

A C

A

800 lb

Problema 6.12

G 10 kip 17 pies

10 kip 17 pies

Problema 6.9

6.13 La armadura mostrada recibe cargas en C y E. Si F  3 kN, ¿cuáles son las fuerzas axiales en las barras BC y BE?

6.10 Determine las fuerzas axiales en los elementos BD, CD y CE de la armadura mostrada.

1m

1m

A

1m

B

D

G 300 mm E

C

1m

F

G

300 mm C

A B 400 mm

D 400 mm

6 kN

E F

400 mm

Problema 6.10

2F

Problema 6.13

266

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.14 Si no se desea que los elementos de la armadura mostrada estén sometidos a una carga axial (a tensión o compresión) mayor a 20 kN, ¿cuál es la magnitud máxima aceptable de la fuerza descendente F?

6.17 Determine las fuerzas axiales en los elementos de la armadura mostrada en términos del peso W. E

B

1m

A 12 m

A

D

F

W 1m

B C

4m 0.8 m

C

D

0.8 m

0.8 m

3m

Problema 6.17

Problema 6.14 6.15 La armadura que se muestra en la figura es un diseño preliminar de una estructura que conectará un extremo de la camilla a un helicóptero de salvamento. Con base en simulaciones dinámicas, el ingeniero de diseño estima que las fuerzas descendentes que ejercerá la camilla no serán mayores a 1.6 kN en A y en B. ¿Qué valor tienen las fuerzas axiales resultantes en los elementos CF, DF y FG?

6.18 Considere las longitudes de los elementos de la armadura que se muestra en la figura. La masa de la caja suspendida es de 900 kg. Determine las fuerzas axiales en los elementos. A

12 m

6.16 Después de saber de un ajuste en el motor del helicóptero, el ingeniero que está diseñando la armadura realiza nuevas simulaciones y concluye que las fuerzas descendentes que ejercerá la camilla en A y B, serán hasta de 1.8 kN. ¿Qué valor tienen las fuerzas axiales resultantes en los elementos DE, DF y DG?

B 13 m

5m C 13 m

G

300 mm

290 mm

390 mm

12 m 150 mm

F

D

40

480 mm C E

Problema 6.18

D 200 mm B

Problemas 6.15/6.16

A

Problemas 6.19 En la figura se tienen las cargas F1  600 lb y F2  300 lb. Determine las fuerzas axiales en los elementos AE, BD y CD.

267

6.24 La armadura Pratt para puentes que se muestra en la figura soporta cinco fuerzas (F  300 kN). La dimensión L  8 m. Determine las fuerzas axiales en los elementos BC, BI y BJ.

6.20 En la figura se tienen las cargas F1  450 lb y F2  150 lb. Determine las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y BC. L

L

F1 D

G

L

L

L

L

B

C

D

E

G

I

J

K

L

M

L H

A F2 F

B

6 pies

F

C

F

F

F

Problema 6.24

3 pies E

6.25 Para la armadura de techo mostrada, determine las fuerzas axiales en los elementos AD, BD, DE y DG. Modele los soportes en A e I como soportes de rodillo.

A 4 pies

4 pies

Problemas 6.19/6.20 10 kN

6.21 Determine las fuerzas axiales en los elementos BC, CD y CE de la armadura mostrada.

6 kN C

8 kN E

8 kN 6 kN H

F

B C

D 3m

3m

4 pies

D

3m

Problema 6.25

4 pies H

A 4 pies

6.26 La armadura Howe que se muestra en la figura soporta un techo. Modele los soportes en A y G como soportes de rodillos. Determine las fuerzas axiales en las barras AB, BC y CD.

4 pies

800 lb

Problema 6.21 600 lb

6.22 La armadura Warren que soporta el puente peatonal de la figura está diseñada para soportar cargas verticales de 50 kN en B, D, F y H. Si la armadura está sometida a dichas cargas, ¿cuáles son las fuerzas axiales resultantes en los elementos BC, CD y CE? 6.23 Para la armadura Warren del problema 6.22, determine las fuerzas axiales en los elementos DF, EF y FG.

600 lb D

400 lb

400 lb C

E

8 pies B

F

A

G H 4 pies

I 4 pies

J 4 pies

K 4 pies

Problema 6.26 B

D

F

H 2m

A

C 6m

E 6m

3m

3m

F

12 kip

4 pies

G 3m

G

B

3.6 m I

A

E

G 6m

Problemas 6.22/6.23

I 6m

L 4 pies

4 pies

268

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio 6.29 a) Diseñe una armadura unida a los soportes A y B que vaya sobre el obstáculo y resista la carga aplicada en el punto C de la figura. b) Determine las fuerzas axiales en los elementos de la armadura que diseñó en el inciso a).

6.27 La armadura plana mostrada forma parte de los soportes de una grúa sobre una plataforma petrolera lejos de la costa. La grúa ejerce fuerzas verticales de 75 kN sobre la armadura en B, C y D. El soporte en A se puede representar como un soporte de pasador y el soporte en E como un soporte de rodillos que puede ejercer una fuerza normal a la línea discontinua, pero que no puede ejercer una fuerza paralela a ella. El ángulo a  45°. Determine las fuerzas axiales en los elementos de la armadura.

Obstáculo

C

4m B

A

C

B

6m

D

3.5 m

10 kN

4.5 m 1m

1.8 m 2.2 m

2m

Problema 6.29 F

A

3.4 m

G

3.4 m

H

E

3.4 m

a

6.30 Suponga que se desea diseñar una armadura soportada en A y B (figura a) capaz de resistir una carga descendente de 3 kN en el punto C. Si se usa el diseño más sencillo (figura b), el elemento AC está sometido a una fuerza de tensión de 5 kN. Rediseñe la armadura de manera que la máxima fuerza de tensión sea menor a 3 kN.

3.4 m

Problema 6.27 6.28 a) Diseñe una armadura unida a los soportes A y B que resista las cargas aplicadas en los puntos C y D de la figura. b) Determine las fuerzas axiales en los elementos de la armadura que diseñó en el inciso a).

A

A

1.2 m C

C

1000 lb C

B

B

2000 lb

3 kN

3 kN

1.6 m 4 pies

D

(a)

2 pies

B

A

(b)

Problema 6.30 5 pies

5 pies

 6.31 La estructura de puente que se muestra en el ejemplo 6.2 puede tener un arco más grande aumentando los ángulos de 15° a 20°. Si se hace esto, cuáles son las fuerzas axiales en los elementos AB, BC, CD y DE?

5 pies

Problema 6.28

6.3 Método de secciones ANTECEDENTES Cuando sólo se requiere conocer las fuerzas axiales en ciertos elementos de una armadura, es más rápido determinarlas con el método de secciones que con el de juntas. Por ejemplo, considere de nuevo la armadura Warren que se usó para presentar el método de las juntas (figura 6.12a). La armadura soporta cargas en B y D y cada elemento tiene 2 m de longitud. Suponga que se desea determinar sólo la fuerza axial en el elemento BC.

Figura 6.12 (a) Armadura Warren que soporta dos cargas. (b) Diagrama de cuerpo libre de la armadura que muestra las reacciones en los soportes.

400 N

800 N

400 N B

D

B

E

A 2m

C (a)

800 N D

E

A 500 N

C (b)

700 N

6.3 Método de secciones

Como en el método de las juntas, se comienza por dibujar el diagrama de cuerpo libre de la armadura entera y se determinan las reacciones en los soportes. Los resultados de este paso se muestran en la figura 6.12b. El siguiente paso es cortar las barras AC, BC y BD para obtener un diagrama de cuerpo libre de una parte, o sección, de la armadura (figura 6.13). Sumando momentos respecto al punto B, las ecuaciones de equilibrio para la sección izquierda son

400 N

800 N

B

兺Fx  TAC  TBD  TBC cos 60°  0,

269

D

A

兺Fy  500 N  400 N  TBC sen 60°  0,

C

500 N

兺Mpunto B  (2 sen 60° m)TAC  (2 cos 60° m)(500 N)  0. Al resolverlas se obtiene TAC  289 N, TBC  115 N y TBD  346 N. Observe qué tan similar es este método al método de las juntas. Ambos implican cortar elementos para obtener diagramas de cuerpo libre de las partes de una armadura. En el método de las juntas se avanza de junta en junta, dibujando diagramas de cuerpo libre y determinando las fuerzas axiales en los elementos. En el método de las secciones se trata de obtener un solo diagrama de cuerpo libre que permita determinar las fuerzas axiales en ciertos elementos específicos. En el ejemplo presentado se obtuvo un diagrama de cuerpo libre cortando tres elementos, incluido aquél (elemento BC) cuya fuerza axial se deseaba determinar. En contraste con los diagramas de cuerpo libre de juntas, las fuerzas sobre los diagramas de cuerpo libre usados en el método de las secciones no suelen ser concurrentes y, como en el ejemplo presentado, se pueden obtener tres ecuaciones de equilibrio independientes. Aunque existen excepciones, por lo general se deben escoger secciones que no requieran cortar más de tres elementos, porque de lo contrario se tendrían más fuerzas axiales desconocidas que ecuaciones de equilibrio.

RESULTADOS Método de secciones

E 700 N

y

400 N TBD

B 60

60

TBC A

x TAC 500 N

Figura 6.13 Obtención del diagrama de cuerpo libre de una sección de la armadura.

Cuando se deben determinar las fuerzas axiales en elementos particulares de una armadura, a menudo el método de secciones puede proporcionar los resultados necesarios de una manera más eficiente que el método de las juntas. y

Antes de comenzar, por lo general resulta ventajoso dibujar el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura como un solo objeto y aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en los soportes.

D

B

A

E C

D

B

E

A Ax

C F

Ay

F

x

E

y

Pase planos a través de un número suficiente de elementos para aislar una parte, o sección, de la armadura. Al hacer esto, procure pasar planos a través de los elementos cuyas fuerzas axiales se deseen determinar. Complete el diagrama de cuerpo libre de la sección mostrando las fuerzas axiales en los elementos. Aplique las ecuaciones de equilibrio al diagrama de cuerpo libre de la sección.

B

TBD y TBC

B

A Ax

D

TAC Ay E

A Ax Ay

C F

E

x

270

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Ejemplo activo 6.3

Método de secciones ( Relacionado con el problema 6.32) Los elementos horizontales de la armadura mostrada tienen 1 m de longitud. Determine la fuerza axial en los elementos CD, CJ e IJ.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

1m M 100 kN

Estrategia Al pasar planos a través de los elementos CD, CJ e IJ, se obtendrá una sección de la cual se pueden obtener las fuerzas axiales deseadas. Solución A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M 100 kN y

Pase planos a través de los elementos CD, CJ, e IJ y dibuje el diagrama de cuerpo libre de la sección.

TCD D

E

F

K

L

TCJ 45 M TIJ

J

x

100 kN

Fx  TCD  TCJ cos 45  TIJ  0, Fy  TCJ sen 45  100 kN  0, Mpunto J  (1 m)TCD  (3 m)(100 kN)  0. Al resolver se obtiene TCD  300 kN, TCJ  141 kN, y TIJ  400 kN. Las cargas axiales son CD: 300 kN (T), CJ: 141 kN (T), IJ: 400 kN (C).

Aplique las ecuaciones de equilibrio.

Problema de práctica Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos DE, DK y JK de la armadura. Respuesta: DE: 200 kN (T), DK: 141 kN (T), JK: 300 kN (C).

6.3 Método de secciones

Ejemplo 6.4

Elección de una sección apropiada ( Relacionado con el problema 6.33)

Determine las fuerzas axiales en los elementos DG y BE de la armadura mostrada. G

D

J

L C

I L

A

B

E F

L

H 2F

L

K F

L

L G

D

Estrategia No es posible obtener una sección que corte los elementos DG y BE sin cortar más de tres elementos. Sin embargo, al cortar los elementos DG, BE, CD y BC se obtiene una sección con la que se puede determinar las fuerzas axiales en DG y BE.

C

Ax

I

A B

Ay

Solución Determinación de las reacciones en los soportes En la figura a se presenta el diagrama de cuerpo libre de toda la estructura. A partir de las ecuaciones de equilibrio,

J

F

E

2F

H

K K

F

(a) Diagrama de cuerpo libre de toda la armadura.

兺Fx  Ax  0, 兺Fy  Ay  K  F  2F  F  0,

G

D

J

兺Mpunto A  LF  (2L)(2F)  (3L)F  (4L)K  0, se obtienen las reacciones Ax  0, Ay  2F y K  2F. Elección de una sección En la figura b se obtiene una sección cortando los elementos DG, CD, BC y BE. Como las líneas de acción de TBE, TBC y TCD pasan por el punto B, es posible determinar TDG sumando momentos respecto a B:

C

A

I

B 2F

E F

K

H 2F

F

2F

兺Mpunto B  L(2F)  (2L)TDG  0. La fuerza axial TDG  F. Entonces, a partir de la ecuación de equilibrio TDG

D

兺Fx  TDG  TBE  0, se observa que TBE  TDG  F. El elemento DG está a compresión y el miembro BE está a tensión.

TCD TBC

Razonamiento crítico Este es un ejemplo interesante, pero no es del tipo común que puede encontrarse en la práctica. La sección usada para resolverlo podría no ser obvia aun para una persona con experiencia en el análisis de estructuras. Observe que el diagrama de cuerpo libre de la figura b es estáticamente indeterminado, aunque puede usarse para determinar las fuerzas axiales en los elementos DG y BE.

A

B 2F

F

TBE

(b) Sección de la armadura obtenida al pasar planos por los elementos DG, CD, BC y BE.

271

272

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Problemas  6.32 En el ejemplo activo 6.3, use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos BC, BI y HI.  6.33 En el ejemplo 6.4, obtenga una sección de la armadura pasando planos a través de los elementos BE, CE, CG y DG. Considere el hecho de que las fuerzas axiales en los elementos DG y BE ya han sido determinadas y use su sección para determinar las fuerzas axiales en los elementos CE y CG.

6.37 Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos DF, EF y EG de la armadura mostrada.

18 kN

24 kN C

E

G

300 mm B

400 mm

a) Use el método de las juntas para determinar la fuerza axial en el elemento DG. b) Use el método de secciones para determinar la fuerza axial en el elemento DG.

400 mm

B

C

400 mm

6.38 Una armadura Pratt para puentes está cargada en la forma que se muestra en la figura. Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos BD, BE y CE.

D

F H 8 pies

A

D

C 1m 17 pies

E

G

10 kip

30 kip

20 kip

17 pies

17 pies

17 pies

J E

F

G

Problema 6.38

H 100 kN

Problemas 6.34/6.35 6.36 Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos AB, BC y CE de la armadura mostrada.

1m

1m

A

B

1m D

1m G C

E F 2F

Problema 6.36

400 mm

Problema 6.37

B A

F

D

6.34 La armadura mostrada soporta una carga de 100 kN en J. Los elementos horizontales tienen 1 m de longitud cada uno.

6.35 Los elementos horizontales de la armadura mostrada tienen 1 m de longitud cada uno. Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos BC, CF y FG.

H

A

Problemas

6.39 Una armadura Howe para puentes está cargada en la forma que se muestra en la figura. Use el método de las secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos BD, CD y CE.

273

6.43 El puente peatonal mostrado ejerce cargas verticales de 50 kN sobre la armadura Warren en B, D, F y H. Use el método de secciones para determinar la fuerza axial en el elemento CE.

6.40 Para la armadura Howe para puentes que se muestra en la figura, use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos DF, DG y EG. B B

D

H E 10 kip 17 pies

17 pies

F

H 2m

A C

D

F 8 pies

G 30 kip 17 pies

A

6m

20 kip 17 pies

C

6m

E

6m

G

6m

I

Problema 6.43

Problemas 6.39/6.40 6.44 Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos AC, BC y BD de la armadura mostrada. 6.41 La armadura Pratt para puentes que se muestra en la figura soporta cinco fuerzas F  340 kN. La dimensión L  8 m. Use el método de secciones para determinar la fuerza axial en el elemento JK.

600 lb

6.42 Para la armadura de puente del problema 6.41, use el método de secciones para determinar la fuerza axial en el elemento EK.

4 pies C

L

L

L

B L

L

C

L

D

D

L

E

4 pies

G A

A

B

H I F

J F

K F

L F

Problemas 6.41/6.42

M F

E

3 pies

3 pies

Problema 6.44

274

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.45 Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos FH, GH y GI de la armadura mostrada. 6.46 Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos DF, DG y EG de la armadura mostrada. I

300 mm C

E

G H 300 mm

A B

D

F 6 kN

400 mm

400 mm

4 kN

400 mm

400 mm

Problemas 6.45/6.46 6.47 La armadura Howe mostrada ayuda a soportar un techo. Modele los soportes en A y G como soportes de rodillos. a) Use el método de las juntas para determinar la fuerza axial en el elemento BI. b) Use el método de secciones para determinar la fuerza axial en el elemento BI.

6.50 Para la armadura de puente que se muestra en la figura, use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos CE, CF y DF. 200 kN

200 kN

200 kN

D

B

6.48 Use el método de secciones para determinar la fuerza axial en el elemento EJ de la armadura mostrada.

200 kN

200 kN

F

H

J

E G

C 3m

2 kN

7m

4m I

A

2 kN

2 kN D

2 kN

5m

2 kN

C B

F

A

G

2m

I 2m

J 2m

K 2m

L 2m

5m

2m

Problemas 6.47/6.48

6.51 La carga F  20 kN y la dimensión L  2 m. Use el método de secciones para determinar la fuerza axial en el elemento HK. Estrategia: Obtenga una sección cortando los elementos HK, HI, IJ y JM. Se pueden determinar las fuerzas axiales en los elementos HK y JM, aunque el diagrama de cuerpo libre resultante sea estáticamente indeterminado. L

L

6.49 Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos CE, DE y DF de la armadura mostrada. C

5m

Problema 6.50

E 4m

H

5m

A

B

F

C L

E F

D

E G

4 pies L

G

B D

F

I J

H

12 kip

4 pies L

H

A

K

4 pies

4 pies

M

4 pies

Problema 6.49

Problema 6.51

6.4 Armaduras espaciales 6.52 El peso de la cubeta mostrada es W  1000 lb. El cable pasa sobre poleas en A y D.

275

6.54 La armadura mostrada soporta cargas en N, P y R. Determine las fuerzas axiales en los elementos IL y KM.

a) Determine las fuerzas axiales en las barras FG y HI. 6.55 Determine las fuerzas axiales en las barras HJ y GI de la armadura mostrada.

b) Dibuje diagramas de cuerpo libre de las secciones para explicar por qué las fuerzas axiales en las barras FG y HI son iguales.

6.56 Dibuje diagramas de cuerpo libre de las secciones para explicar por qué las fuerzas axiales en las barras DE, FG y HI son iguales a cero.

6.53 El peso de la cubeta mostrada es W  1000 lb. El cable pasa sobre poleas en A y D. Determine las fuerzas axiales en las barras IK y JL.

2m D

A C

1m

F H

3 pies 3 pulg

3 pies L

B

J

E

3 pies 6 pulg

I 35

W

D

2m

K

A

Problemas 6.52/6.53

2m

2m

M

O

Q

I

L

N

P

R

1 kN 2 kN 1 kN

E

F

2m

2m

K

G

H

2m

G

3 pies

J

2m

2m

C B

6m

Problemas 6.54–6.56

6.4 Armaduras espaciales ANTECEDENTES Una estructura tridimensional sencilla se puede construir conectando seis barras en sus extremos para obtener un tetraedro, como se muestra en la figura 6.14a. Agregando elementos es posible obtener estructuras más elaboradas (figuras 6.14b y c). Las estructuras tridimensionales como éstas se denominan armaduras espaciales si tienen juntas que no ejercen pares sobre los elementos (es decir, las juntas se comportan como soportes de bola y cuenca) y si están cargadas y soportadas sólo en sus juntas. Las armaduras espaciales se analizan con los mismos métodos descritos para las armaduras bidimensionales. La única diferencia es la necesidad de tratar con relaciones geométricas más complicadas. Considere la armadura espacial de la figura 6.15a. Suponga que la carga F  2i  6j  k (kN). Las juntas A, B y C descansan sobre un piso liso. La junta A está soportada por la esquina donde se unen las paredes lisas y la junta

(a)

(b)

(c)

Figura 6.14 Armaduras espaciales con 6, 9 y 12 elementos.

276

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

C descansa contra la pared posterior. A esta armadura se le puede aplicar el método de las juntas. Primero es necesario determinar las reacciones ejercidas por los soportes (el piso y las paredes). En la figura 6.15b se dibuja el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura. La esquina puede ejercer tres componentes de fuerza en A, el piso y la pared dos componentes en C, y el piso una fuerza normal en B. Sumando momentos respecto a A, se encuentra que las ecuaciones de equilibrio, con las fuerzas en kN y las distancias en m, son

y F D (2, 3, 1) m

A C (4, 0, 0) m x

©Fy = A y + B y + C y - 6 = 0,

B (2, 0, 3) m (a)

z

©Fx = A x - 2 = 0,

©Fz = A z + C z - 1 = 0, 兺Mpunto A  (rAB  By j)  [rAC  (Cy j  Cz k)]  (rAD  F)

y

i = 32 0

F D (2, 3, 1) m

Ay A

Cy C (4, 0, 0) m x Cz

Ax Az z

By

B (2, 0, 3) m (b)

F D 4 kN A 2 kN 1 kN

1 kN C B

j 0 By

k i 33 + 34 0 0

j 0 Cy

k i 0 3+ 3 2 Cz -2

j 3 -6

k 1 3 -1

= (- 3B y + 32i + 1-4C z2j

+ 12B y + 4Cy - 62k = 0.

Resolviendo estas ecuaciones se obtienen las reacciones Ax  2 kN, Ay  4 kN, Az  1 kN, By  1 kN, Cy  1 kN y Cz  0. En este ejemplo, las fuerzas axiales en los elementos AC, BC y CD pueden determinarse a partir del diagrama de cuerpo libre de la junta C (figura 6.15c). Para escribir las ecuaciones de equilibrio de la junta se deben expresar las tres fuerzas axiales en términos de sus componentes. Como el elemento AC se encuentra sobre el eje x, la fuerza ejercida sobre la junta C por la fuerza axial TAC se expresa como el vector TACi. Sea rCB el vector de posición de C a B:

rCB = 12 - 42i + 10 - 02j + 13 - 02k = - 2i + 3k 1m2. Al dividir este vector entre su magnitud se obtiene el siguiente vector unitario que apunta desde C hacia B,

1 kN

eCB = TCD TAC

Cy  1 kN C

TBC (c)

Figura 6.15 (a) Armadura espacial que soporta una carga F. (b) Diagrama de cuerpo libre de toda la armadura. (c) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta C.

rCB

ƒ rCB ƒ

= - 0.555i + 0.832k,

y se expresa la fuerza ejercida sobre la junta C por la fuerza axial TBC como el vector

TBC eCB = TBC1-0.555i + 0.832k2. De la misma manera, se expresa la fuerza ejercida sobre la junta C por la fuerza axial TCD como el vector

TCD1-0.535i + 0.802j + 0.267k2.

6.4 Armaduras espaciales

Si la suma de las fuerzas sobre la junta se iguala a cero, resulta

-TAC i + TBC1-0.555i + 0.832k2

+TCD1-0.535i + 0.802j + 0.267k2 + 11 kN2j = 0, y se obtienen las tres ecuaciones de equilibrio

©Fx = - TAC - 0.555TBC - 0.535TCD = 0, ©Fy = 0.802TCD + 1 kN = 0, ©Fz = 0.832TBC + 0.267TCD = 0. Resolviendo estas ecuaciones, las fuerzas axiales son TAC  0.444 kN, TBC  0.401 kN y TCD  1.247 kN. Los elementos AC y BC están a tensión y la barra CD a compresión. Continuando con el dibujo de los diagramas de cuerpo libre de las juntas restantes, es posible determinar las fuerzas axiales en todos los elementos. Como lo demuestra este ejemplo, se pueden obtener tres ecuaciones de equilibrio a partir del diagrama de cuerpo libre de una junta en tres dimensiones, por lo que deben elegirse juntas que estén sometidas a fuerzas conocidas con no más de tres fuerzas desconocidas.

RESULTADOS Una armadura espacial es aquella cuyos elementos no son coplanares. Las fuerzas axiales en los elementos de una armadura espacial estáticamente determinada pueden obtenerse mediante la aplicación del método de las juntas.

Antes de comenzar, usualmente es necesario dibujar el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura considerada como un solo objeto y aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en los soportes. D

Aísle una junta individual pasando planos a través de los elementos conectados. Complete el diagrama de cuerpo libre mostrando las fuerzas axiales en los elementos. Aplique la ecuación de equilibrio F  0 al diagrama de cuerpo libre de la junta. Repita este proceso para otras juntas hasta que hayan sido determiadas las cargas axiales deseadas.

A C B

TCD TAC TBC

C

277

278

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Ejemplo activo 6.5

Armadura espacial ( Relacionado con el problema 6.57) La armadura espacial tiene soportes de rodillo en B, C y D y soporta una carga vertical de 1200 lb en A. Determine las fuerzas axiales en los elementos AD, BD y CD.

y

1200 lb A (5, 3, 2) pies

B D (10, 0, 0) pies x z

C (6, 0, 6) pies

Estrategia Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura, tratándola como un solo objeto, y se determinan las reacciones en los soportes. Después se pueden determinar las fuerzas axiales en los elementos AD, BD y CD dibujando el diagrama de cuerpo libre de la junta D.

Solución y

y

1200 lb

1200 lb A (5, 3, 2) pies

A B

B

D (10, 0, 0) pies

D

x

x B z

D C (6, 0, 6) pies

z

C

C

Fy  B  C  D  1200 lb  0, Mpunto B  rBA  [1200j (lb)]  rBC  Cj  rBD  Dj i

j

k

i

j

k

 5

3

2  6

0 C

0 1200 0

0

i

j

k

6  10

0

0

0

D

0

 (2400  6C)i  (6000  6C  10D )k  0. Resolviendo se obtiene B  440 lb, C  400 lb y D  360 lb.

0

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y aplique las ecuaciones de equilibrio.

6.4 Armaduras espaciales

y 1200 lb A (5, 3, 2) pies

TAD D (10, 0, 0) pies x

440 lb z

TBD

360 lb C (6, 0, 6) pies

D

Dibuje los diagramas de cuerpo libre de la junta D.

360 lb TCD

400 lb

rDA  5i  3j  2k (pies). rDA eDA   0.811i  0.487j  0.324k. 兩rDA兩 TADeDA  TAD (0.811i  0.487j  0.324k), TBDeDB  TBDi, TCDeDC  TCD (0.555i  0.832k).

Divida el vector de posición desde D hasta A entre su magnitud para obtener un vector unitario eDA que apunte desde D hacia A. Exprese la fuerza axial en el elemento AD en términos de sus componentes, escribiéndola como TADeDA. Exprese las fuerzas axiales en los elementos BD y CD en términos de sus componentes de la misma manera.

TADeDA  TBDeDB  TCDeDC  (360 lb)j  0. Cada una de las componentes i, j, y k de esta ecuación deben ser iguales a cero, lo que resulta en las sigs. tres ecuaciones 0.811TAD  TBD  0.555TCD  0, 0.487TAD  360 lb  0, 0.324TAD  0.832TCD  0. Al resolver se obtiene TAD  740 lb, TBD  440 lb, y TCD  288 lb. Las fuerzas axiales son AD: 740 lb (C), BD: 440 lb (T), CD: 288 lb (T).

Aplique el equilibrio.

Problema de práctica Determine las fuerzas axiales en los elementos AB y AC de la armadura mostrada. Respuesta: AB: 904 lb (C), AC: 680 lb (C).

279

280

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Problemas  6.57 En el ejemplo activo 6.5, dibuje el diagrama de cuerpo libre de la junta B de la armadura espacial mostrada y utilícelo para determinar las fuerzas axiales en los elementos AB, BC y BD. 6.58 La armadura espacial mostrada soporta una carga vertical de 10 kN en D. Se muestran las reacciones en las juntas A, B y C. ¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en los elementos AD, BD y CD? 6.59 Las reacciones en las juntas A, B y C se muestran en la figura. ¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y AD?

6.63 La armadura espacial mostrada representa el tren de aterrizaje de un avión. Tiene soportes de bola y cuenca en C, D y E. Si la fuerza ejercida en A por la rueda es F  40j (kN), ¿qué valor tienen las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y AD? 6.64 Si la fuerza ejercida en el punto A de la armadura del problema 6.63 es F  10i  60j  20k (kN), ¿qué valor tienen las fuerzas axiales en los elementos BC, BD y BE?

y

y 10 kN

E (0, 0.8, 0) m

D (4, 3, 1) m

Ax A

Ay

D

Cy

0.4 m

C (6, 0, 0) m

Az

By

z

Cz B (5, 0, 3) m

B x (1, 0, 0) m

x

0.6 m A (1.1, 0.4, 0) m

C z

Problemas 6.58/6.59 6.60 La armadura espacial mostrada soporta una carga vertical F en A. Cada elemento tiene una longitud L, y la armadura tiene soportes de rodillo en B, C y D. Determine las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y AD. 6.61 Para la armadura del problema 6.60, determine las fuerzas axiales en los elementos AB, BC y BD. F A

F

Problemas 6.63/6.64 6.65 La armadura espacial mostrada se sostiene mediante soportes de rodillo sobre la superficie horizontal en C y D, y por medio de un soporte de bola y cuenca en E. El eje y apunta hacia arriba. La masa del objeto suspendido es 120 kg. Las coordenadas de las juntas de la armadura son A: (1.6, 0.4, 0) m, B: (1.0, 1.0, 0.2) m, C: (0.9, 0, 0.9) m, D: (0.9, 0, 0.6) m, y E: (0, 0.8, 0) m. Determine las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y AD.

B y

D

B

E

C

Problemas 6.60/6.61

D

6.62 La armadura espacial mostrada tiene soportes de rodillo en B, C y D y sostiene una carga vertical en A de 800 lb. ¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y AD?

A C z

y 800 lb A (4, 3, 4) pies

Problema 6.65

B D (6, 0, 0) pies x z

C (5, 0, 6) pies

Problema 6.62

x

Problemas 6.66 En la figura se muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte de una grúa para construcción que se encuentra a la izquierda del plano. Las coordenadas (en metros) de las juntas A, B y C son (1.5, 1.5, 0), (0, 0, 1) y (0, 0, 1) respectivamente. Las fuerzas axiales P1, P2 y P3 son paralelas al eje x. Las fuerzas axiales P4, P5 y P6 apuntan en la dirección de los siguientes vectores unitarios e4 = 0.640i - 0.640j - 0.426k,

281

6.68 La caja del espejo de telescopio que se muestra en la figura está soportada por una armadura espacial de seis barras. La masa de la caja es de 3 Mg (megagramos), y su peso actúa en G. La distancia del eje del telescopio a los puntos A, B y C es de 1 m, y a los puntos D, E y F es de 2.5 m. Si el eje del telescopio es vertical (a  90°), ¿qué valor tienen las fuerzas axiales en los elementos de la armadura?

e5 = 0.640i - 0.640j + 0.426k, e6 = 0.832i - 0.555k. La fuerza total ejercida en el diagrama de cuerpo libre por el peso de la grúa y la carga que ésta soporta es Fj  44j (kN) y actúa en el punto (20, 0, 0) m. ¿Cuál es el valor de la fuerza axial P3? Estrategia: Use el hecho de que el momento respecto a la línea que pasa por las juntas A y B es igual a cero.

6.69 Considere el telescopio descrito en el problema 6.68. Determine las fuerzas axiales en los elementos cuando el ángulo a entre la horizontal y el eje del telescopio es de 20°.

VISTA DEL EXTREMO y 60

6.67 En el problema 6.66, ¿qué valor tienen las fuerzas P1, P4 y P5? Estrategia: Escriba las ecuaciones de equilibrio para todo el diagrama de cuerpo libre.

60

D 60

A

B 60

Caja del espejo

F G

60

C E

x

60

y

z

A G

F

C B

D a

1m 4m

E

x

Problemas 6.68/6.69

y A F z

B

C P6 P2

P1 P5 P4 P3

Problemas 6.66/6.67

x

282

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.5 Bastidores y máquinas ANTECEDENTES Muchas estructuras, como el bastidor de un automóvil y la estructura humana de huesos, tendones y músculos (figura 6.16), no están compuestas completamente de elementos de dos fuerzas y no pueden modelarse como armaduras. En esta sección se considerarán estructuras de elementos interconectados que no satisfacen la definición de una armadura. Estas estructuras se denominan bastidores si están diseñados para permanecer en reposo al soportar cargas, y máquinas si están diseñadas para moverse y aplicar cargas. Cuando se analizan armaduras cortando barras para obtener diagramas de cuerpo libre de juntas o secciones, las fuerzas internas que actúan en los “cortes” son simples fuerzas axiales (vea la figura 6.4). Esto no es generalmente cierto para bastidores o máquinas, y se requiere un método diferente para su análisis. En lugar de cortar elementos, se aíslan de la estructura elementos completos o en algunos casos combinaciones de elementos. Para analizar un bastidor o una máquina, se dibuja un diagrama de cuerpo libre de toda la estructura (es decir, tratándola como un solo objeto) y se determinan la reacciones en sus soportes. En algunos casos, la estructura entera será estáticamente indeterminada, pero se debe determinar tantas reacciones como sea posible. Luego se dibujan diagramas de cuerpo libre de elementos individuales, o de combinaciones de elementos seleccionados, y se aplican las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas y los pares que actúan sobre ellos. Por ejemplo, considere la estructura en

Figura 6.16 La estructura interna de una persona y el bastidor de un automóvil no son armaduras.

6.5 Bastidores y máquinas

reposo de la figura 6.17. El elemento BE es un elemento de dos fuerzas, pero los otros tres miembros, ABC, CD y DEG, no lo son. Esta estructura es un bastidor. El objetivo consiste en determinar las fuerzas en sus elementos.

1m

1m

1m

6 kN A

B

C

Análisis de la estructura completa En la figura 6.18 se presenta el diagrama de cuerpo libre del bastidor completo. Es estáticamente indeterminado: tiene cuatro reacciones desconocidas, Ax, Ay, Gx y Gy, mientras que sólo se puede escribir tres ecuaciones independientes de equilibrio. Sin embargo, observe que las líneas de acción de tres de las reacciones desconocidas se intersecan en A. Al sumar momentos respecto a A se obtiene Mpunto A  (2 m)Gx  (1 m)(8 kN)  (3 m)(6 kN)  0, y se obtiene la reacción Gx  5 kN. Después, a partir de la ecuación de equilibrio 兺Fx  Ax  Gx  8 kN  0, se obtiene la reacción Ax  13 kN. Aunque no es posible determinar Ay o Gy con base en el diagrama de cuerpo libre de la estructura, sí puede lograrse analizando los elementos individuales.

Análisis de los elementos El siguiente paso consiste en dibujar los diagramas de cuerpo libre de los elementos. Para ello, se considera la unión de un elemento con otro como si fuera un soporte. Visto de esta manera, cada elemento puede considerarse como un objeto soportado del tipo analizado en el capítulo 5. Además, las fuerzas y los pares que los elementos ejercen entre sí son iguales en magnitud y opuestos en dirección. Una simple

1m

1m

1m 6 kN

A

B

C 1m 8 kN

G

E

1m

D

3m A

Ay

6 kN B

C

Ax

1m

2m

8 kN

Gy Gx G

E

D

Figura 6.18 Obtención del diagrama de cuerpo libre del bastidor completo.

283

1m 8 kN 1m G

E

D

Figura 6.17 Bastidor que soporta dos cargas.

284

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio F

F (a)

(b)

Figura 6.19 Demostración de la tercera ley de Newton: (a) Sujete sus manos y jale su mano izquierda. (b) Sus manos ejercen fuerzas iguales y opuestas.

demostración resulta ilustrativa. Si usted sujeta sus manos como se muestra en la figura 6.19a y ejerce una fuerza sobre su mano izquierda, su mano izquierda ejerce una fuerza igual y opuesta sobre su mano derecha (figura 6.19b). De manera similar, si usted ejerce un par sobre su mano izquierda, su mano izquierda ejerce un par igual y opuesto sobre su mano derecha. En la figura 6.20 se “desarma” el bastidor y se dibujan los diagramas de cuerpo libre de sus elementos. Observe que las fuerzas ejercidas entre sí por los elementos son iguales y opuestas. Por ejemplo, en el punto C del diagrama de cuerpo libre del elemento ABC, la fuerza ejercida por CD se denota mediante las componentes Cx y Cy. Las fuerzas ejercidas por el elemento ABC sobre CD en C deben ser iguales y opuestas, como se muestra en la figura. 6k N Ay B

A

C

Ax

Cx T

Cy 6 kN

Ay

T

B

A B

Cx

C

C

Ax Cy 8 kN

Gy E

Gx

G

E

8 kN

Dx

D

T

D Dy

Gx

G

Dy

T

Gy

E

D

Dx

Figura 6.20 Obtención de los diagramas de cuerpo libre de los elementos.

285

6.5 Bastidores y máquinas

Antes de completar el análisis es necesario analizar dos aspectos importantes de esos diagramas de cuerpo libre. Elementos de dos fuerzas BE es un elemento de dos fuerzas, y se ha tomado en cuenta esto al dibujar su diagrama de cuerpo libre en la figura 6.20. La fuerza T es la fuerza axial en el elemento BE, y una fuerza igual y opuesta está actuando sobre ABC en B y sobre GED en E. Si se reconocen los elementos de dos fuerzas en los bastidores y máquinas y se dibujan sus diagramas de cuerpo libre como ha ocurrido aquí, se reduce el número de incógnitas por determinar y el análisis se simplifica en gran medida. En este ejemplo no se trata al miembro BE como un elemento de dos fuerzas; su diagrama de cuerpo libre tendrá cuatro fuerzas desconocidas (figura 6.21a). Tratándolo como un elemento de dos fuerzas (figura 6.21b), el número de fuerzas desconocidas se reduce en tres. Cargas aplicadas en las juntas Cuando una carga se aplica en una junta surge la siguiente pregunta: ¿Dónde aparece la carga en los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales? La respuesta es: la carga puede colocarse en cualquiera de los elementos unidos en la junta. Por ejemplo, en la figura 6.17, la carga de 6 kN actúa en la junta donde se conectan los elementos ABC y CD. Al dibujar los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales (figura 6.20), se supuso que la carga de 6 kN actúa sobre el elemento ABC. Las componentes de fuerza Cx y Cy sobre el diagrama de cuerpo libre del elemento ABC son las fuerzas ejercidas por el elemento CD. Para explicar por qué los diagramas de cuerpo libre pueden dibujarse de esta manera, suponga que la fuerza de 6 kN actúa sobre el pasador que conecta los elementos ABC y CD, y dibuje diagramas de cuerpo libre separados para el pasador y los dos elementos (figura 6.22a). Las componentes de fuerza Cx y Cy son las fuerzas ejercidas por el pasador sobre el elemento ABC, y Cx y Cy son las fuerzas ejercidas por el pasador sobre el elemento CD. Si se superponen los diagramas de cuerpo libre del pasador y del elemento ABC, se obtienen los dos diagramas de cuerpo libre de la figura 6.22b, que tienen la forma del diagrama de la figura 6.20. De manera alternativa, si se superponen los diagramas de cuerpo libre del pasador y el elemento CD, se obtienen los dos diagramas de cuerpo libre de la figura 6.22c. Entonces, si en una carga actúa una junta, ésta se puede colocar sobre cualquiera de los elementos unidos en la junta cuando se dibujen los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales. Sólo asegúrese de no colocarla en más de un elemento.

By Bx

T

B

B

E

E

Ex

Ey (a)

T (b)

Figura 6.21 Diagrama de cuerpo libre del elemento BE: (a) Sin tratarlo como elemento de dos fuerzas. (b) Tratándolo como elemento de dos fuerzas.

Cx 6 kN Cx

6 kN

Cy

Cx

Cx Cx 6 kN

Cy

Cy

Cy (b)

Cy

6 kN Cx

Cx

Cy (a)

Cx

Cy

Cy (c)

Figura 6.22 (a) Dibujo de los diagramas de cuerpo libre del pasador y de los dos elementos. (b) Superposición del pasador sobre el elemento ABC. (c) Superposición del pasador sobre el elemento CD.

286

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio 6 kN Ay A

B

C

Ax

Cx T

Cy 6 kN

T B

T B

Ay

A Ax

E

Gx

T

G

T

E T

Gy Gx

G

Dy Dx

D Dy

Cy

Cy

8 kN

8 kN

Dx

Dx

D Dy

Dy

T E

C

Cx

Cx Cy

T

Gy

Cx

C

D

Dx

(a) 6 kN

Ay A

B

C

Ax

8 kN

Gy Gx G

E

D

(b)

Figura 6.23 (a) “Reensamble” de los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales. (b) Se ha recuperado el diagrama de cuerpo libre del bastidor completo.

Para detectar errores en los diagramas de cuerpo libre de los elementos, resulta útil “reensamblarlos” (figura 6.23a). Las fuerzas en las conexiones entre elementos se cancelan (son fuerzas internas una vez que los elementos se reensamblan) y se recupera el diagrama de cuerpo libre de la estructura completa (figura 6.23b). El paso final consiste en aplicar las ecuaciones de equilibrio a los diagramas de cuerpo libre de los elementos (figura 6.24). En dos dimensiones, es posible obtener tres ecuaciones de equilibrio independientes del diagrama de cuerpo libre de cada elemento de una estructura que no se trate como un elemento de dos fuerzas (al suponer que las fuerzas sobre un elemento de dos fuerzas son fuerzas axiales iguales y opuestas, ya se han usado las tres ecuaciones de equilibrio para ese elemento). En este ejemplo, hay tres elementos además del elemento de dos fuerzas, por lo que se tienen 3  3  9 ecuaciones de equilibrio independientes y hay nueve fuerzas desconocidas: Ax, Ay, Cx, Cy, Dx, Dy, Gx, Gy y T. Recuerde que se determinó que Ax  13 kN y Gx  5 kN a partir del análisis de la estructura completa. Las ecuaciones de equilibrio obtenidas del diagrama de cuerpo libre de la estructura no son independientes de las ecuaciones de equilibrio

6.5 Bastidores y máquinas 6 kN

Ay B

A

Gy

T

G

E

Dy

C

Ax

Gx

Cx T 1m

D

Dx

Cy 2m

1m

(a)

1m (b)

Cx

C

Cy

1m

8 kN 1m

Dx D Dy 1m

Figura 6.24 Diagramas de cuerpo libre de los elementos.

(c)

obtenidas a partir de los diagramas de cuerpo libre de los elementos, pero al usarlas para determinar Ax y Gx, se adelanta en la solución de las ecuaciones para los elementos. Considere el diagrama de cuerpo libre del elemento ABC (figura 6.24a). Como ya se conoce Ax, es posible determinar Cx a partir de la ecuación 兺Fx  Ax  Cx  0, y se obtiene Cx  Ax  13 kN. Ahora considere el diagrama de cuerpo libre de GED (figura 6.24b). Es posible determinar Dx a partir de la ecuación 兺Fx  Gx  Dx  0, de donde se obtiene Dx  Gx  5 kN. Ahora considere el diagrama de cuerpo libre del elemento CD (figura 6.24c). Como ya se conoce Cx, es posible determinar Cy sumando momentos respecto a D: 兺Mpunto D  (2 m)Cx  (1 m)Cy  (1 m)(8 kN)  0. Se obtiene Cy  18 kN. Entonces, a partir de la ecuación 兺Fy  Cy  Dy  0, se encuentra que Dy  Cy  18 kN. Ahora es posible regresar a los diagramas de cuerpo libre de los elementos ABC y GED para determinar Ay y Gy. Sumando momentos respecto al punto B del elemento ABC, resulta 兺Mpunto B  (1 m)Ay  (2 m)Cy  (2 m)(6 kN)  0,

287

288

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio 36 kN 13 kN B

6 kN

C

24 kN

36 kN A

B

18 kN

C

13 kN 36 kN

13 kN 18 kN

8 kN

18 kN

G

E

D 5 kN

5 kN 18 kN

18 kN

E D

5 kN

36 kN

Figura 6.25 Fuerzas sobre los elementos del bastidor.

y se obtiene Ay  2Cy  12 kN  24 kN. Después, sumando momentos respecto al punto E del elemento GED, se tiene 兺Mpunto E  (1 m)Dy  (1 m)Gy  0, de donde se obtiene Gy  Dy  18 kN. Por último, a partir del diagrama de cuerpo libre del elemento GED se usa la ecuación de equilibrio 兺Fy  Dy  Gy  T  0, lo que da como resultado T   Dy  Gy  36 kN. Las fuerzas sobre los elementos se muestran en la figura 6.25. Como lo demuestra este ejemplo, con frecuencia la determinación de las fuerzas en los elementos se puede simplificar si se escoge con cuidado el orden en que se resolverán las ecuaciones de equilibrio. Se ha visto que la determinación de las fuerzas y los pares que actúan sobre los elementos de bastidores y máquinas implica dos pasos: 1. Determinar las reacciones en los soportes. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la estructura completa y determine las reacciones en los soportes. Aunque este paso no es esencial, puede simplificar en forma considerable el análisis de los elementos. Si el diagrama de cuerpo libre es estáticamente indeterminado, determine tantas reacciones como sea posible. 2. Analizar los elementos. Dibuje los diagramas de cuerpo libre de los elementos y aplique las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas que actúan sobre ellos. Este paso se puede simplificar identificando los elementos de dos fuerzas. Si una carga actúa sobre una junta de la estructura, la carga se puede colocar en el diagrama de cuerpo libre de cualquiera de los elementos unidos a esa junta.

RESULTADOS Una estructura de elementos interconectados que no puede modelarse como una armadura se denomina bastidor si está diseñada para permanecer estacionaria y soportar cargas, y se llama máquina si está diseñada para moverse y aplicar cargas. Las fuerzas y pares que actúan sobre los elementos individuales de un bastidor o máquina en equilibrio puede determinarse frecuentemente aplicando las ecuaciones de equilibrio a los elementos individuales.

6.5 Bastidores y máquinas

A menudo resulta ventajoso comenzar dibujando el diagrama de cuerpo libre de toda la estructura considerada como un solo objeto y aplicando las ecuaciones de equilibrio. Aunque el diagrama de cuerpo libre de toda la estructura sea estáticamente indeterminado, es posible determinar las reacciones a partir del subsecuente análisis de los elementos individuales.

A

A

F

F B

B

D

E

C

Cx

D

E

C Cy

E

Dibuje los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales y aplique en ellos las ecuaciones de equilibrio. Observe que en los puntos donde están conectados dos elementos, las fuerzas que éstos ejercen entre sí son iguales y opuestas. Observe que el elemento BD es un elemento de dos fuerzas. El reconocimiento de los elementos de dos fuerzas simplificará el análisis de una estructura.

A Ax Ay

Ay A

A D Ax

F

T E

F B

D

E

T C

Cx

E

C

Cx

Cy

Cy

E

B T

D T

289

290

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Ejemplo activo 6.6

Análisis de un bastidor ( Relacionado con el problema 6.70) Determine las fuerzas y los pares que actúan sobre los elementos del bastidor mostrado.

A

B 200 N-m

400 mm C 600 mm

400 mm

Estrategia Primero se dibujará un diagrama de cuerpo libre de todo el bastidor, tratándolo como un solo objeto, y se intentará determinar las reacciones en los soportes. Después se dibujarán diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales y se aplicarán las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas y los pares que actúan sobre ellos. Solución

MA

A

B

Ax 400 mm

200 N-m

Ay

C 1000 mm

Fx  Ax  0, Fy  Ay  C  0, Mpunto A  MA  200 N-m  (1.0 m)C  0. La reacción Ax  0, pero Ay, C, y MA no pueden determinarse a partir de estas ecuaciones. El diagrama de cuerpo libre del bastidor completo es estáticamente indeterminado.

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de todo el bastidor y aplique las ecuaciones de equilibrio.

C

6.5 Bastidores y máquinas

MA

B

A

By

Ax Ay

MA

Bx

600 mm

B

A

B

Ax

Bx By 400 mm

200 N-m Ay

200 N-m

C

C

C

C

Dibuje los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales.

400 mm

Fx  Bx  0, Fy  By  C  0, Aplique el equilibrio al elemento BC.

Mpunto B  200 N-m  (0.4 m)C  0. Resolviendo se obtiene Bx  0, By  500 N, y C  500 N. Fx  Ax  Bx  0, Fy  Ay  By  0, Mpunto A  MA  (0.6 m)By  0. Como Ax, Bx, y By ya se han determinado, es posible despejar Ay y MA de estas ecuaciones. Los resultados son Ay  500 N y MA  300 N-m, lo cual completa la solución.

Aplique el equilibrio al elemento AB.

Problema de práctica El bastidor mostrado tiene soportes de pasador en A y C. Determine las fuerzas y pares sobre el elemento BC en B y C. A

B 200 N-m

400 mm

C 600 mm

400 mm

Respuesta: Bx  500 N, By  0, Cx  500 N, Cy  0. (En las respuestas, las componentes x son positivas hacia la derecha y las componentes y son positivas hacia arriba).

291

292

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Determinación de fuerzas sobre elementos de un bastidor ( Relacionado con el

Ejemplo 6.7

problema 6.74) El bastidor de la figura soporta un peso suspendido W  40 lb. Determine las fuerzas en los elementos ABCD y CEG. D

3 pulg

6 pulg G E

C 6 pulg B

W

6 pulg A

8 pulg

8 pulg

Estrategia Se dibujará un diagrama de cuerpo libre de todo el bastidor y se intentará determinar las reacciones en los soportes. Después se dibujarán los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales y se usarán las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas y los pares que actúan sobre ellos. Para hacer esto, se tomará ventaja del hecho de que la barra BE es un elemento de dos fuerzas. Solución Determinación de las reacciones en los soportes En la figura (a) se presenta el diagrama de cuerpo libre de todo el bastidor. A partir de las ecuaciones de equilibrio 兺Fx  Ax  D  0, 兺Fy  Ay  40 lb  0, 兺Mpunto A  (18 pulg)D  (19 pulg)(40 lb)  0, se obtienen las reacciones Ax  42.2 lb, Ay  40 lb y D  42.2 lb.

D

Análisis de los elementos En la figura (b) se obtienen los diagramas de cuerpo libre de los elementos. Observe que BE es un elemento de dos fuerzas. El ángulo a  arctan(6兾8)  36.9°. El diagrama de cuerpo libre de la polea tiene sólo dos fuerzas desconocidas. De las ecuaciones de equilibrio

D

G

C

兺Fx  Gx  40 lb  0, 兺Fy  Gy  40 lb  0,

E

18 pulg B Ax

40 lb

A Ay 19 pulg

(a) Diagrama de cuerpo libre del bastidor completo.

se obtiene Gx  40 lb y Gy  40 lb. Hay ahora sólo tres fuerzas desconocidas en el diagrama de cuerpo libre del elemento CEG. A partir de las ecuaciones de equilibrio 兺Fx  Cx  R cos a  40 lb  0, 兺Fy  Cy  R sen a  40 lb  0, 兺Mpunto C  (8 pulg)R sen a  (16 pulg)(40 lb)  0, se obtiene Cx  66.7 lb, Cy  40 lb y R  133.3 lb, lo que completa la solución (figura c).

6.5 Bastidores y máquinas

8 pulg C

Cx

42.2 lb

D

G Gx

a R

Cy D

8 pulg E

Gy

42.2 lb

40 lb 6 pulg

Cx

40 lb

3 pulg

G C

C

Gx

E

R a B

6 pulg Cy

Gy

B

40 lb

6 pulg 42.2 lb A

A

42.2 lb

40 lb

40 lb

40 lb E a

B R

R 6 pulg (b) Obtención de los diagramas de cuerpo libre de los elementos.

8 pulg

Razonamiento crítico En los problemas de este tipo, las reacciones sobre los elementos individuales del bastidor pueden determinarse a partir de los diagramas de cuerpo libre de los elementos. ¿Por qué se dibujó el diagrama de cuerpo libre del bastidor completo y se resolvieron las ecuaciones de equilibrio asociadas? La razón es que esto proporciona el inicio de la solución de las ecuaciones de equilibrio para los elementos. En este ejemplo, cuando se dibujaron los diagramas de cuerpo libre de los elementos ya se conocían las reacciones en A y en D, lo que simplificó el análisis restante. El análisis de todo el bastidor también puede proporcionar una forma de verificar el trabajo realizado. Observe que en este caso no se usaron las ecuaciones de equilibrio para el elemento ABCD. El análisis realizado puede verificarse al confirmar que este elemento está en equilibrio (figura c): 兺Fx  42.2 lb  133.3 cos 36.9° lb  66.7 lb  40 lb  42.2 lb  0, 兺Fy  40 lb  133.3 sen 36.9° lb  40 lb  0, 兺Mpunto A  (6 pulg)(133.3 cos 36.9° lb)  (12 pulg)(66.7 lb) (15 pulg)(40 lb)  (18 pulg)(42.2 lb)  0. D

42.2 lb 40 lb

66.7 lb

C 133.3 lb

40 lb

36.9 B 42.2 lb

66.7 lb C

E 36.9

40 lb

G 40 lb

133.3 lb

40 lb

A 40 lb

(c) Fuerzas sobre los elementos ABCD y CEG.

293

294

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Ejemplo 6.8

Análisis de una máquina ( Relacionado con el problema 6.103) ¿Qué fuerzas se ejercen sobre la bola en E como resultado de las fuerzas de 150 N que se aplican sobre las tenazas mostradas?

150 N A C E B

150 N

30 mm

70 mm

30 mm

D

30 mm

30 mm

Estrategia Un par de pinzas es un ejemplo de una máquina simple, una estructura diseñada para moverse y ejercer fuerzas. Las interconexiones de los elementos están diseñadas para obtener una ventaja mecánica, sometiendo un objeto a fuerzas mayores que las ejercidas por el usuario. En este caso no se puede obtener información del diagrama de cuerpo libre de la estructura entera. Se deben determinar las fuerzas ejercidas sobre la bola dibujando diagramas de cuerpo libre de los elementos. Solución En la figura a se “desarman” las pinzas para obtener los diagramas de cuerpo libre de los elementos marcados como (1), (2) y (3). En los diagramas de cuerpo libre (1) y (3), la fuerza R es ejercida por el elemento de dos fuerzas AB. El ángulo a  arctan(30兾70)  23.2°. El objetivo aquí es determinar la fuerza E ejercida por la bola. El diagrama de cuerpo libre del elemento (3) tiene sólo tres fuerzas desconocidas y la carga de 150 N, por lo que es posible determinar R, Dx y Dy a partir sólo de este diagrama de cuerpo libre. Las ecuaciones de equilibrio son 兺Fx  Dx  R cos a  0, 兺Fy  Dy  R sen a  150 N  0, 兺Mpunto B  (30 mm)Dy  (100 mm)(150 N)  0. Resolviendo estas ecuaciones se obtiene Dx  1517 N, Dy  500 N y R  1650 N. Conociendo Dx se puede determinar E a partir del diagrama de cuerpo libre del elemento (2) sumando momentos respecto a C, 兺Mpunto C  (30 mm)E  (30 mm)Dx  0. La fuerza ejercida por las pinzas sobre la bola es E  Dx  1517 N. La ventaja mecánica de las pinzas es (1517 N)兾(150 N)  10.1.

Problemas

30 mm

295

30 mm

100 mm

150 N

Cy Cx

A C



R

E

150 N

(1)

Cy C

A

Cx



C

(2)

E D

B

Dx

D

Dy 30 mm

(3) 150 N

Dy

R

D

B

100 mm 150 N

30 mm

Dx

30 mm

(a) Obtención de los diagramas de cuerpo libre de los elementos.

Razonamiento crítico ¿Cuál es la motivación para determinar las reacciones sobre los elementos de las pinzas? Este proceso resulta esencial para el diseño de herramientas y máquinas. Para diseñar la configuración de las pinzas y elegir los materiales y dimensiones de sus elementos, es necesario determinar todas las fuerzas que actúan sobre éstos, como se hizo en este ejemplo. Una vez que se conocen las fuerzas, pueden usarse los métodos de mecánica de materiales para evaluar qué tan adecuados son los elementos para soportar dichas fuerzas.

Problemas Suponga que los objetos están en equilibrio. Al escribir las respuestas, considere que las componentes x son positivas hacia la derecha y que las componentes y son positivas hacia arriba.  6.70 En el ejemplo activo 6.6, suponga que además de estar cargado con el par de 200 N-m, el bastidor está sometido en C a una fuerza de 400 N, la cual es horizontal y apunta hacia la izquierda. Trace un bosquejo del bastidor mostrando las nuevas cargas. Determine las fuerzas y los pares que actúan sobre el elemento AB del bastidor.

6.71 En la figura, el objeto suspendido en E pesa 200 lb. Determine las reacciones sobre el elemento ACD en A y C. D 3 pies B

E

C

5 pies A 4 pies

6 pies

Problema 6.71

296

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.72 En la figura, la masa del objeto suspendido en G es de 100 kg. Determine las reacciones sobre el elemento CDE en C y E. E

B

F

G

800 mm D 200 mm A

C

400 mm

400 mm

800 mm

400 mm

Problema 6.72

6.73 Se tiene la fuerza F  10 kN. Determine las fuerzas sobre el elemento ABC mostrado, presentando las respuestas como se ilustra en la figura 6.25.

6.75 La tensión en el cable BD mostrado es de 500 lb. Determine las reacciones en A para los casos (1) y (2).

G E F G

E

D

6 pulg D A

C B

A 1m

1m

2m

6 pulg

B

C

1m

300 lb

8 pulg

Problema 6.73

8 pulg (1)

G E

 6.74 En el ejemplo 6.7, suponga que el bastidor se rediseñó de manera que la distancia desde el punto C hasta el punto de unión E del elemento de dos fuerzas BE se incrementó de 8 pulg a 10 pulg. Determine las fuerzas que actúan en C sobre el elemento ABCD.

6 pulg D A

6 pulg

B

C 8 pulg

300 lb 8 pulg (2)

Problema 6.75

Problemas 6.76 Determine las reacciones del elemento ABCD mostrado en A, C y D. B

A

6.79 El bastidor mostrado soporta una carga vertical de 6 kN en C. Las barras ABC y DEF son horizontales. Determine las reacciones sobre el bastidor en A y D.

0.4 m

0.4 m E

C

297

6 kN

1.0 m

C

B

A 0.5 m

600 N

0.4 m

D

E F

D

0.8 m

0.4 m

Problema 6.79 0.4 m

0.6 m

0.4 m

Problema 6.76 6.77 Determine las fuerzas ejercidas sobre el elemento ABC mostrado en A y C.

6.80 Se tiene la masa m  120 kg. Determine las fuerzas sobre el elemento ABC mostrado, presentando sus respuestas como se ilustra en la figura 6.25.

D

A

B

C

400 lb

2 pies

A

1 pie

B

300 mm

C

D

m

100 lb

1 pie

E

E 2 pies

2 pies

m

2 pies

200 mm

Problema 6.77 6.78 Una atleta se ejercita con el aparato de gimnasio que se muestra en la figura. Para girar la barra ABD debe ejercer una fuerza vertical en A tal que la fuerza axial en el elemento BC sea de 1800 N. Cuando la barra ABD está a punto de girar, ¿cuáles son las reacciones sobre la barra vertical CDE en D y E?

200 mm

Problema 6.80 6.81 Determine las reacciones sobre el elemento BCD que se muestra en la figura. 30 lb

0.6 m

0.6 m

A

G 8 pulg

0.42 m

B

F

D

C

E 40 lb

D

8 pulg

C 8 pulg B

A 1.65 m

18 pulg

12 pulg

8 pulg

Problema 6.81

E

Problema 6.78

298

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.82 El peso del objeto suspendido que se muestra en la figura es W  50 lb. Determine la tensión en el resorte y la reacción en F (el elemento ranurado DE es vertical).

6.85 Determine las fuerzas sobre el elemento ABC que se muestra en la figura. E 6 kN

A

B

1m

D

C

4 pulg E

1m 6 pulg

W

A C

B 2m

1m

2m

10 pulg

Problema 6.85

F

D

6.86 Determine las fuerzas sobre el elemento ABD mostrado. 8 pulg 8 pulg

10 pulg

10 pulg

8 pulg

Problema 6.82

8 pulg

A

60 lb

8 pulg

6.83 Se tiene la masa m  50 kg. La barra DE es horizontal. Determine las fuerzas sobre el elemento ABCD mostrado, presentando sus respuestas como se ilustra en la figura 6.25.

D

60 lb

B E 8 pulg C

1m

8 pulg

D

1m

Problema 6.86

E

1m

6.87 La masa m que se muestra en la figura es de 12 kg. Determine las fuerzas sobre el elemento CDE.

C m

1m B

200 mm

1m A

A B

F

Problema 6.83

C

6.84 Determine las fuerzas sobre el elemento BCD mostrado.

D 200 mm

m

400 mm 6 pies

100 mm

E

200 mm

400 lb

A

Problema 6.87 B 4 pies

6.88 Se tiene el peso W  80 lb. Determine las fuerzas sobre el elemento ABCD mostrado.

C

11 pulg

5 pulg

12 pulg 3 pulg

4 pies E

D

B

A

C

D

8 pulg 8 pies

Problema 6.84

W E

F

Problema 6.88

299

Problemas 6.89 En la figura, la mujer que está utilizando el aparato para hacer ejercicio sostiene en reposo el peso de 80 lb en la posición mostrada. ¿Qué valor tienen las reacciones en el soporte fijo E y en el soporte de pasador F? (A y C son conexiones de pasador.) 2 pies 2 pulg 9 pulg

A

1 pie 6 pulg

2 pies B

D

C

6.91 La masa del objeto suspendido que se muestra en la figura es m  50 kg. Determine las reacciones sobre el elemento ABC. 0.2 m A

B

0.6 m 60

E

D

C 0.2 m

0.8 m

0.6 m m

6 pies

Problema 6.91

80 lb

6.92 La longitud del resorte sin estirar es L0. Demuestre que cuando el sistema está en equilibrio, el ángulo a satisface la relación: sen a  2(L0  2F兾k)兾L. E

F F 1 L 4

Problema 6.89 1 L 4

6.90 Determine las reacciones sobre el elemento ABC mostrado en A y en B. 1 L 2

k

80 lb E

a

9 pulg B

a

Problema 6.92 6.93 En la figura, el soporte de pasador en B resistirá con seguridad una fuerza de 24 kN. Con base en este criterio, ¿cuál es la masa m máxima que el bastidor puede soportar de manera segura?

C

C

8 pulg D

A

500 mm

100 mm 13 pulg

4 pulg

Problema 6.90

E

D

B

300 mm m

A

300 mm

400 mm

Problema 6.93

F

400 mm

300

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.94 Determine las reacciones en los puntos A y C mostrados. C

A

6.97 Determine la fuerza ejercida sobre la bola por las tijeras y encuentre la magnitud de la fuerza axial en el elemento de dos fuerzas AB. 20 lb

3 pies

72 pies-lb 36 lb

3 pies

A

B

20 pulg B

18 lb 4 pies

3 6 pulg pulg

8 pies

4 pulg 20 lb

Problema 6.94

Problema 6.97

6.95 Determine las fuerzas sobre el elemento AD mostrado.

200 N

130 mm D

400 mm 400 N

C

A

6.98 La mujer ejerce fuerzas de 20 N sobre las pinzas según se muestra en la figura. a) ¿Cuál es la magnitud de las fuerzas que ejercen las pinzas sobre el perno en B? b) Determine la magnitud de las fuerzas que los elementos de las pinzas ejercen entre sí en la conexión de pasador del punto C.

B 400 mm

400 mm

Problema 6.95 6.96 El bastidor mostrado se usa para soportar cables de alta tensión. Si b  3 pies, a  30° y W  200 lb, ¿qué valor tiene la fuerza axial en el elemento HJ?

A

25 mm

80 mm

B a

C

B

D

a

C E

G

F

W

50 mm H a

I

a

45

J

20 N

W

W b

b

b

Problema 6.96

b

20 N

Problema 6.98

Problemas 6.99 La figura a es un diagrama de los huesos y el músculo bíceps del brazo de una persona que soporta una masa. La tensión en el bíceps mantiene el antebrazo en posición horizontal, como se ilustra en el sencillo modelo mecánico de la figura b. El peso del antebrazo es de 9 N y la masa m  2 kg. a) Determine la tensión en el músculo bíceps AB. b) Determine la magnitud de la fuerza ejercida sobre la parte superior del brazo por el antebrazo en la junta C del codo.

301

6.100 En la figura a se muestran los huesos y los tendones de la pata de un caballo. En la figura b se muestra un modelo biomecánico de la misma pata. Si el caballo está en reposo y la fuerza normal ejercida por el suelo sobre su pata es N  1200 N, determine las tensiones en el músculo flexor digital superficial BC y en el ligamento patelar DF.

6 cm 6 cm 6 cm

C

D

E

F 40 cm

A

B

3 cm 72 cm

B

N

290 mm

(a)

8 10 8 cm cm cm (b)

(a)

A

Problema 6.100 50 mm

9N

m 200 mm

150 mm (b)

C

6.101 La fuerza de presión ejercida sobre el pistón mostrado es de 2 kN hacia la izquierda. Determine el par M necesario para mantener el sistema en equilibrio. 6.102 En el problema 6.101, determine las fuerzas sobre el elemento AB en A y en B.

Problema 6.99 B 300 mm

350 mm 45

A

M

C 400 mm

Problemas 6.101/6.102  6.103 En el ejemplo 6.8, suponga que el objeto que está sostenido por las pinzas se mueve hacia la izquierda de manera que la distancia horizontal desde D hasta el objeto en E disminuye de 30 mm a 20 mm. Trace un bosquejo de las pinzas donde muestre la nueva posición del objeto. ¿Qué valor tienen las fuerzas que se ejercen sobre el objeto en E como resultado de las fuerzas de 150 N sobre las pinzas?

302

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.104 La pala de la excavadora que se muestra en la figura está sostenida mediante un soporte de pasador en E y el elemento de dos fuerzas BC. El peso W de 300 lb de la pala actúa en el punto mostrado. Determine las reacciones sobre la pala en E y la magnitud de la fuerza axial en el elemento de dos fuerzas BC. 6.105 La pala de la excavadora que se muestra en la figura tiene un soporte de pasador en E. La posición de la pala se controla mediante el pistón hidráulico horizontal AB, que está unido a la pala a través de un eslabón de los elementos de dos fuerzas BC y BD. El peso W  300 lb de la pala actúa en el punto mostrado. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que debe ejercer el pistón hidráulico para mantener la pala en equilibrio?

Cilindro hidráulico Pala

15 pulg

A

B

3 pulg

E

C 12 pulg

D 12 7 20 pulg pulg pulg

W

Problemas 6.104/6.105 6.106 La mujer de la figura ejerce fuerzas de 20 N sobre los mangos de las tijeras. Determine la magnitud de las fuerzas ejercidas sobre la rama en A.

20 N

D A

B

C E

65 mm

Problema 6.106

20 N

303

Problemas 6.107 La persona de la figura ejerce fuerzas de 40 N sobre los mangos de las pinzas de presión. Determine la magnitud de las fuerzas que ejercen las pinzas sobre el perno en A. 6.108 Determine la magnitud de la fuerza que los elementos de las pinzas de presión mostradas ejercen entre sí en el punto B y encuentre la fuerza axial en el elemento de dos fuerzas DE.

6.110 El mecanismo que se muestra en la figura levanta una carga W al extenderse el actuador hidráulico DE. Las barras AD y BC tienen 4 pies de longitud y las distancias son b  2.5 pies y h  1.5 pies. Si W  300 lb, ¿qué fuerza debe ejercer el actuador DE para mantener la carga en equilibrio?

b W B

A

h D

C

E

Problema 6.110 A

B

40 N 8 mm 40 mm E

C D

50 mm

30 mm

6.111 En mecanismo de cuatro barras que se muestra en la figura opera la horquilla de un montacargas. La fuerza soportada por la horquilla es W  8 kN. Determine las reacciones sobre el elemento CDE.

0.7 m 0.15 m

75 mm

40 N 0.2 m

Problemas 6.107/6.108

W

6.109 El mecanismo que se muestra en la figura está diseñado para ejercer una gran fuerza sobre la barra horizontal en A para una operación de estampado. Si el cilindro hidráulico DE ejerce una fuerza axial de 800 N y a  80°, ¿qué fuerza horizontal se ejerce sobre la barra horizontal en A?

C 0.15 m

B

D E

Horquilla

0.2 m 0.3 m

A F

90

D

A

m

a

0m

0.2 m

Problema 6.111

25

0

25

mm

B 25

0m

m

E

C 400 mm

Problema 6.109

304

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.112 Si la fuerza horizontal sobre la cuchara mostrada es F  2000 lb, ¿cuál la magnitud de la fuerza axial en el actuador hidráulico AC?

C

38 pulg B

28 pulg

Cuchara

D

10 pulg

A F

10 pulg 20 pulg 12 pulg

Problema 6.112

Problemas

305

6.113 Una fuerza horizontal de 10 kip actúa sobre la cubeta de la excavadora que se muestra en la figura. Determine las reacciones sobre el elemento ACF en A y en F.

9 pies 2 pies

E D

1 pie 4 pulg

2 pies

F

C

4 pies 4 pulg A 1 pie 8 pulg B 5 pies 6 pulg Cubeta 2 pies

3 pies 10 kip

Problema 6.113 6.114 La estructura mostrada en el diagrama (una de las dos estructuras idénticas que sostienen la cuchara de la excavadora) soporta una fuerza descendente F  1800 N en G. Los elementos BC y DH pueden tratarse como elementos de dos fuerzas. Determine las reacciones sobre el elemento CDK en K. 320 mm Eje 100 mm

C

Pala

260 mm

H

260 mm

D

B 180 mm J

160 mm

L

K 1040 mm

Problema 6.114

1120 mm

380 mm

200 mm

G F

306

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Problemas de repaso 6.115 En la figura, las cargas F1  440 N y F2  160 N. Determine las fuerzas axiales en los elementos. Indique si están en tensión (T) o en compresión (C). F1 A

6.118 La armadura de puente Pratt que se muestra en la figura soporta cargas en F, G y H. Determine las fuerzas axiales en los elementos BC, BG y FG. 6.119 Para la armadura mostrada, determine las fuerzas axiales en los elementos CD, GD y GH.

F2

B

C

D

400 mm C

4m E

A 200 mm

F

B 4m

G

H

60 kN

80 kN

20 kN

4m

4m

4m

700 mm

Problemas 6.118/6.119

Problema 6.115 6.116 La armadura mostrada soporta una carga F  10 kN. Determine las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y BC. 6.117 Cada elemento de la armadura soportará con seguridad una fuerza de tensión de 40 kN y una fuerza de compresión de 32 kN. Con base en este criterio, ¿cuál es la máxima carga descendente F que puede aplicarse con seguridad en C?

6.120 La armadura mostrada soporta cargas en F y H. Determine las fuerzas axiales en los elementos AB, AC, BC, BD, CD y CE. 6.121 Para la armadura mostrada, determine las fuerzas axiales en los elementos EH y FH. 200 lb F 100 lb

B

4 pulg

D

H

4 pulg B 3m

E C

4 pulg

J

G

A C

A

I

D

6 pulg 4m

3m F

Problemas 6.116/6.117

6 pulg

6 pulg

Problemas 6.120/6.121

6 pulg

307

Problemas de repaso

6.122 Determine las fuerzas axiales en los elementos BD, CD y CE mostrados. 6.123 Determine las fuerzas axiales en los elementos DF, EF y EG mostrados. 10 kN

6.127 La armadura Howe que se muestra en la figura ayuda a soportar un techo. Modele los soportes en A y G como soportes de rodillo. Use el método de las juntas para determinar las fuerzas axiales en los elementos BC, CD, CI y CJ. 6.128 Considere la armadura Howe que se muestra en la figura. Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos CD, CJ e IJ.

A 2m

14 kN

6 kN

C B

D

E

D

2 kN 2m

F

A

G H

I 2m

I 2m

J 2m

K 2m

L 2m

Problemas 6.122/6.123 6.124 La armadura mostrada soporta una carga de 400 N en G. Determine las fuerzas axiales en los elementos AC, CD y CF.

6.129 Un sistema de bocinas está suspendido de la armadura mostrada mediante cables conectados en D y E. La masa del sistema de bocinas es de 130 kg y su peso actúa en G. Determine las fuerzas axiales en los miembros BC y CD.

6.125 Determine las fuerzas axiales en los elementos CE, EF y EH de la armadura mostrada. 6.126 ¿Cuáles de los elementos mostrados soportan las mayores fuerzas de tensión y de compresión, y cuáles son sus valores? 400 N E

0.5 m 0.5 m 0.5 m

0.5 m

1m

C

E

A 1m

G B

D

300 mm 600 mm

H G

F D B 300 mm 300 mm

2m

Problemas 6.127/6.128

6m

C

4m

F

B 2m

H

2 kN E

C

G

A

4 kN

4 kN

2m

Problema 6.129 300 mm

Problemas 6.124–6.126

308

Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.130 La masa del objeto suspendido que se muestra en la figura es de 900 kg. Determine las fuerzas axiales en las barras AB y AC. Estrategia: Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la junta A.

6.132 En la figura, la masa m  120 kg. Determine las fuerzas sobre el elemento ABC. A

B

C

y D (0, 4, 0) m 300 mm D

A (3, 4, 4) m

m

E

B (0, 0, 3) m

C (4, 0, 0) m x 200 mm

200 mm

z

Problema 6.132

Problema 6.130 6.131 Determine las fuerzas sobre el elemento ABC mostrado y presente sus respuestas como lo hizo en la figura 6.25. Obtenga los resultados de dos maneras: a) Cuando dibuje los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales, coloque la carga de 400 lb en el diagrama de cuerpo libre del elemento ABC. b) Cuando dibuje los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales, coloque la carga de 400 lb en el diagrama de cuerpo libre del elemento CD.

6.133 Determine las reacciones sobre el elemento ABC mostrado en B y en C. A

4 kN 0.2 m

2 kN-m

D

B

0.2 m C

1 pie

1 pie

E 0.2 m

0.2 m

200 lb

Problema 6.133

D

C 400 lb

1 pie B 1 pie E 1 pie F

A

6.134 Una camioneta y un remolque están estacionados sobre una pendiente de 10°. El peso de 14,000 lb de la camioneta y el peso de 8000 lb del remolque actúan en los puntos mostrados. Los frenos de la camioneta evitan el giro de sus ruedas traseras en B. Las ruedas frontales de la camioneta en C y las ruedas del remolque en A pueden girar libremente, lo que significa que éstas no ejercen fuerzas de fricción sobre el camino. El enganche del remolque en D se comporta como un soporte de pasador. Determine las fuerzas ejercidas sobre la camioneta en B, C y D. 2 pies

y

9 pies

14 pies

Problema 6.131 4 pies

3 pies pulg 5 pies 6 s ie p x 3

D 8 kip

6 pies

10

B

A

Problema 6.134

14 kip

C

Problemas de repaso 6.135 El peso de 600 lb de la cuchara mostrada actúa en un punto que se encuentra 1 pie 6 pulg a la derecha de la línea vertical CE. La línea ADE es horizontal. El actuador hidráulico AB puede tratarse como un elemento de dos fuerzas. Determine la fuerza axial en el actuador hidráulico AB y las fuerzas ejercidas sobre la cuchara en C y en E.

309

6.136 Determine la fuerza ejercida por las pinzas cortadoras mostradas en la figura sobre el perno. 6.137 Determine la magnitud de la fuerza que los elementos de las pinzas cortadoras mostradas en la figura ejercen entre sí en la conexión de pasador B y la fuerza axial en el elemento de dos fuerzas CD. 100 N

B C 2 pies A

E

D 5 pies

1 pie 6 pulg

A

40 mm C 55 mm

75 mm B D

1 pie 2 pies 6 pulg

Pala

Problema 6.135 90 mm 60 mm 65 mm

300 mm

100 N

Problemas 6.136/6.137

Proyecto de diseño 1 Diseñe una armadura para soportar la base de un puente con un claro no soportado (ancho) de 8 m. Haga estimaciones conservadoras de las cargas que la estructura necesitará soportar si el camino sostenido por la armadura está hecho de madera. Considere dos opciones: 1) Su cliente quiere que el puente esté soportado por una armadura por debajo del puente, de manera que la estructura no estorbe a la superficie superior. 2) El cliente quiere que la armadura esté por encima del puente y que esté diseñada de manera que sirva como pasamanos. Para cada opción use la estática para estimar las fuerzas axiales máximas a las que estarán sometidos los elementos de la estructura. Investigue diseños alternativos y compare las cargas axiales resultantes.

G

300 mm

290 mm

390 mm 150 mm

F

480 mm C E

D 200 mm B

A

8m

Proyecto de diseño 3 Vaya a un gimnasio y escoja un aparato Zapatas de concreto

Proyecto de diseño 2 La armadura mostrada conecta un extremo de una camilla a un helicóptero de rescate. Considere diseños alternativos para la armadura que sostiene la camilla en A y B y que está soportada en E y G. Compare las cargas máximas en tensión y compresión en los elementos de su diseño con las correspondientes de la armadura mostrada. Suponiendo que el costo de una armadura es proporcional a la suma de las longitudes de sus elementos, compare los costos de sus diseños con los de la armadura que se muestra en la figura. Escriba un reporte breve donde describa su análisis y recomiende el diseño que escogería.

para hacer ejercicio que parezca mecánicamente interesante (por ejemplo, que emplee pesos, poleas y palancas). Mida dimensiones (mientras el aparato no esté en uso), haga bosquejos e incluso tome fotografías para recopilar la información necesaria y analizar el aparato. Use la estática para determinar el rango de fuerzas que debe ejercer una persona al usar el aparato. Sugiera cambios al diseño del aparato (diferentes a simplemente incrementar los pesos) que aumenten la fuerza máxima que debe ejercer el usuario. Prepare un reporte breve en el que 1) describa el aparato original; 2) presente su modelo y análisis del aparato; 3) describa sus propuestas de cambio y cualquier análisis que las soporten, y 4) recomiende el cambio de diseño que escogería para incrementar la fuerza máxima que debe emplear el usuario.

CAPÍTULO

7 Centroides y centros de masa El peso de un objeto no actúa en un solo punto; se encuentra distribuido sobre el volumen total del cuerpo. En cualquier caso, el peso puede representarse mediante una sola fuerza equivalente que actúa en un punto llamado centro de masa. Cuando se usan las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones ejercidas sobre un objeto por sus soportes, la ubicación del centro de masa debe conocerse si se desea incluir el peso del objeto en el análisis. Los comportamientos dinámicos de los objetos también dependen de las ubicaciones de sus centros de masa. En este capítulo se define el centro de masa y se muestra cómo determinarlo para varios tipos de objetos. También se presentan definiciones que pueden interpretarse como las posiciones medias de áreas, volúmenes y líneas. Esas posiciones medias se llaman centroides. Los centroides coinciden con los centros de masa en clases particulares de objetos, pero también surgen en muchas otras aplicaciones de la ingeniería.

 Para estar en equilibrio, el centro de masa de la mujer —el punto en que su peso actúa de manera efectiva— debe estar directamente por encima de sus manos. En este capítulo se presenta el concepto de una posición media, o centroide, y se muestra cómo localizar los centros de masa de los objetos.

312

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.1 Centroides de áreas ANTECEDENTES Suponga que desea determinar la posición media de un grupo de estudiantes en un aula. Primero se introduce un sistema coordenado para poder expresar la posición de cada estudiante. Por ejemplo, los ejes pueden alinearse con las paredes (figura 7.1a). Se numera a los estudiantes del 1 al N y se denota la posición del estudiante 1 con (x1, y1), la posición del estudiante 2 con (x2, y2), etcétera. La coordenada x media, que se denotará por –x es la suma de sus coordenadas x dividida entre N; esto es

y

x

a xi x1 + x2 + Á + xN i x = = , N N

(a)

(7.1)

y

donde el símbolo a significa “suma en el rango de i”. La coordenada y media es i

a yi y =

y

i

N

(7.2)

.

x x (b)

Figura 7.1 (a) Grupo de estudiantes en un aula. (b) Su posición media.

La posición media se indica mediante el símbolo mostrado en la figura 7.1b. Ahora suponga que se reparten entre los estudiantes algunas monedas. Sea c1 el número de monedas entregadas al estudiante 1, c2 el número de monedas dadas al estudiante 2, y así sucesivamente. ¿Cuál es la posición media de las monedas en el aula? Resulta claro que no puede ser igual que la posición media de los estudiantes. Por ejemplo, si los estudiantes ubicados al frente del aula tienen más monedas, la posición media de las monedas estará más cerca del frente del aula que la posición media de los estudiantes. Para determinar la coordenada x de la posición media de las monedas, es necesario sumar las coordenadas x de las monedas y dividirlas entre el número de monedas. La suma de las coordenadas x de las monedas puede obtenerse al multiplicar el número de monedas que tiene cada estudiante por la coordenada x del estudiante y luego sumar los productos parciales. El número de monedas se puede obtener sumando los números c1, c2, . . . . Por lo tanto, la coordenada x media de las monedas es

a xi ci x =

i

.

(7.3)

a ci i

La coordenada y media de las monedas puede determinarse de la misma manera:

a yi ci y =

i

.

(7.4)

a ci i

Si se asignan otros significados a c1, c2, . . . , es posible determinar las posiciones medias de otras medidas asociadas con los estudiantes. Por ejemplo, podría determinarse la posición media de sus edades o sus estaturas.

7.1 Centroides de áreas y

y

AN A

A2

A1

x

x

(a)

(b)

y

y

A

A dA _ y

y x

x _ x

x

(d)

(c)

De manera más general, las ecuaciones (7.3) y (7.4) pueden usarse para determinar la posición media de cualquier conjunto de cantidades a las que se puedan asociar posiciones. Una posición media obtenida a partir de esas ecuaciones se denomina posición media de peso ponderado o centroide. El “peso” asociado con la posición (x1, y1) es c1, el peso asociado con la posición (x2, y2) es c2, y así sucesivamente. En las ecuaciones (7.1) y (7.2), el peso asociado con la posición de cada estudiante es 1. Al realizar censos nacionales, el centroide de la población de un país —la posición promedio de la población— se determina de esta manera. Considere ahora un área A arbitraria en el plano x–y (figura 7.2a). Divida el área en las partes A1, A2, . . . , AN (figura 7.2b) y denote las posiciones de las partes mediante sus coordenadas (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xN, yN). El centroide o posición media del área puede obtenerse usando las ecuaciones (7.3) y (7.4) con las áreas de las partes como los pesos:

a xi Ai x =

i

a yi Ai ,

a Ai

y =

i

.

(7.5)

a Ai

i

i

Al llevar a cabo este procedimiento, surge la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las posiciones exactas de las áreas A1, A2, . . . , AN?. La incertidumbre en sus posiciones podría reducirse al dividir A en partes más pequeñas, pero aun así se obtendrían sólo valores aproximados para –x y –y . Para determinar la ubicación exacta del centroide se debe tomar el límite cuando los tamaños de las partes tiendan a cero. Este límite se obtiene reemplazando las ecuaciones (7.5) con las integrales

x =

LA

x dA

LA

, dA

(7.6)

Figura 7.2 (a) Área A. (b) División de A en N partes. (c) Elemento diferencial de área dA con coordenadas (x, y). (d) Centroide del área.

313

314

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

y =

LA

y dA

LA

,

(7.7)

dA

donde x e y son las coordenadas del elemento diferencial de área dA (figura 7.2c). El subíndice A en el signo de integral significa que la integración se efectúa sobre toda el área. En la figura 7.2d se muestra el centroide del área.

RESULTADOS y

A

_ y x

x

LA LA

y

LA LA

_ x

xdA ,

(7.6)

dA Coordenadas del centroide, o posición media de un área A en el plano x–y. ydA ,

(7.7)

dA

Si se mantiene en mente que el centroide de un área es su posición media, a menudo se facilita su localización. Si un área tiene simetría ìde espejo ” respecto a un eje, su centroide se encuentra sobre el eje. Si un área es simétrica respecto a dos ejes, el centroide se encuentra en la intersección de éstos.

7.1 Centroides de áreas

Ejemplo activo 7.1

Centroide de un área por integración ( Relacionado con el problema 7.1)

Determine la coordenada x del centroide del área triangular que se muestra en la figura. y

h

x b

Estrategia Se evaluará la ecuación (7.6) usando un elemento de área dA en la forma de una “tira” vertical de ancho dx. Solución

y

dA h –x b x

b

x

LA

xdA

LA

 dA

L0

x

 b

h xdx b

h xdx L0 b





x3 3

h b

 

h b

2 x

1 h. 3

x

b

0 2 b



2 b. 3

La altura de una tira con ancho dx en la posición x es (h/b)x, por lo que su área es dA  (h/b)xdx. Use esta expresión para evaluar la ecuación (7.6).

0

Problema de práctica Determine la coordenada y del centroide del área triangular mostrada. Evalúe la ecuación (7.7) usando un elemento de área dA en la forma de una “tira” vertical de ancho dx, y sea y la altura del punto medio de la tira.

Respuesta: y =

dx

315

316

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.2

Área definida por dos ecuaciones ( Relacionado con los problemas 7.2, 7.3)

y

Determine el centroide del área mostrada

(1, 1)

yx y  x2

x

Estrategia Las coordenadas del centroide pueden determinarse usando un elemento de área en la forma de una tira vertical, como se hizo en el ejemplo activo 7.1. En este caso la tira debe definirse de manera que se extienda desde la curva inferior (y  x2) hasta la curva superior (y  x). Solución Sea dA el área de la tira vertical de la figura a. La altura de la tira es x  x2, por lo que dA  (x  x2) dx. La coordenada x del centroide es 1

x =

LA

x dA

LA

= dA

x1x - x 22 dx

L0

=

1

1x - x 22 dx

L0

c

y

c

x4 1 x3 d 3 4 0 2

3 1

x x d 2 3 0

=

1 . 2

y (1, 1)

(1, 1)

x  x2

x

1 (x  x2) 2

x

dx

x

x

(a) Tira vertical de ancho dx. La altura de la tira es igual a la diferencia de las dos funciones.

(b) Coordenada y del punto medio de la tira.

La coordenada y del punto medio de la tira es x 2 + 21x - x 22 = 21x + x 22 (figura b). Al sustituir esta expresión por y en la ecuación (7.7) se obtiene la coordenada y del centroide: 1

1

y =

LA

y dA

LA

= dA

1 c 1x + x 22 d1x - x 22 dx 2 L0 1

L0

1x - x 22 dx

=

1

1 x3 x5 1 c d 2 3 5 0 c

2

3 1

x x d 2 3 0

=

2 . 5

Razonamiento crítico Observe la generalidad del enfoque usado en este ejemplo. El procedimiento mostrado puede usarse para determinar las coordenadas x e y del centroide de cualquier área cuyas fronteras superior e inferior estén definidas por dos funciones.

Problemas

317

Problemas  7.1 En el ejemplo activo 7.1, suponga que el área triangular está orientada de la manera que se muestra en la figura. Use integración para determinar las coordenadas x e y de su centroide (observe que ya se conocen las respuestas con base en el resultado del ejemplo activo 7.1).

7.5 Determine las coordenadas del centroide del área mostrada. y

y 6 2 3

h

x

9

Problema 7.5 x

b

Problema 7.1  7.2 En el ejemplo 7.2, suponga que el área se redefine como lo muestra la figura. Determine la coordenada x del centroide.

7.6 Determine la coordenada x del centroide del área mostrada y compare su respuesta con el valor dado en el apéndice B. 7.7 Determine la coordenada y del centroide del área mostrada y compare su respuesta con el valor dado en el apéndice B. y

 7.3 En el ejemplo 7.2, suponga que el área se redefine como lo muestra la figura. Determine la coordenada y del centroide.

y  cxn

y y1

0

(1, 1)

b

x

Problemas 7.6/7.7

y  x2

7.8 Suponga que un estudiante de arte quiere pintar un panel de madera como se muestra en la figura, con las líneas horizontales y verticales pasando por el centroide del área pintada y le pide que determine las coordenadas del centroide. ¿Cuáles son éstas? y

x

Problemas 7.2/7.3 7.4 Determine el centroide del área mostrada

y  x  x3

y

y  x2  x  1

0

1 pie

Problema 7.8

2

Problema 7.4

x

x

318

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.9 Determine el valor de la constante c de manera que la coordenada y del centroide del área sea –y  2. ¿Cuál es la coordenada x del centroide?

7.13 Determine las coordenadas del centroide del área mostrada. y y

y

1 2 x  4x  7 4 y5

y  cx2

x 2

0

x

4

Problema 7.13

Problema 7.9

7.14 Determine la coordenada x del centroide del área mostrada.

7.10 Determine las coordenadas del centroide del área transversal de la placa de metal que se muestra en la figura.

7.15 Determine la coordenada y del centroide del área mostrada. y

y

1 y  4  x2 pies 4

y  x3 yx

x

Problema 7.10 7.11 Un arquitecto desea construir una pared con el perfil mostrado. Para estimar los efectos de las cargas del viento, debe determinar el área de la pared y las coordenadas de su centroide. ¿Cuáles son estas coordenadas?

x

Problemas 7.14/7.15

4

7.16 Determine la componente x del centroide del área mostrada. y (m)

3

y  2  0.02x

2

y

2 1 0

0

2

4

6

8

10

x (m)

Problema 7.11 7.12 Determine las coordenadas del centroide del área mostrada. y 1 y   x2  4x  7 4

y  x2  x  1 2

Problema 7.16

x

Problema 7.12

x

Problemas 7.17 Determine la coordenada x del centroide del área mostrada. 7.18 Determine la coordenada y del centroide del área mostrada.

319

7.21 Un ingeniero agrónomo quiere medir la precipitación pluvial en el centroide de un campo arado entre dos caminos. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde se debe colocar el medidor? y

y

y  x2  20

0.5 mi yx x

0.3 mi

0.3 mi x 0.6 mi

0.5 mi

0.2 mi

Problema 7.21

7.22 En la figura se muestra la sección transversal de un relleno de tierra. Determine los coeficientes a y b para que la coordenada y del centroide de la sección transversal sea de 10 m.

Problemas 7.17/7.18

7.19 ¿Cuál es la coordenada x del centroide del área mostrada?

y y  ax  bx3

7.20 ¿Cuál es la coordenada y del centroide del área mostrada? y y

1 2 x  2x 6

x 100 m

Problema 7.22 2 x 6

2

Problemas 7.19/7.20

7.23 El avión Supermarine Spitfire usado por la Gran Bretaña en la Segunda Guerra Mundial tenía un ala con un perfil elíptico. Determine las coordenadas de su centroide. y x2 y2  2 1 2 a b

x

2b

a

Problema 7.23

320

Capítulo 7 Centroides y centros de masa 7.25* Si R  6 y b  3, ¿cuál es la coordenada y del centroide del área mostrada?

7.24 Determine las coordenadas del centroide del área mostrada. Estrategia: Escriba la ecuación para el borde circular en la forma y  (R2  x2)12 y use una “tira” vertical con un ancho dx como el elemento de área dA.

7.26* ¿Cuál es la coordenada x del centroide del área mostrada en el problema 7.25? y

y

R R

x

x

Problema 7.24

b

Problemas 7.25/7.26

7.2 Áreas compuestas ANTECEDENTES Aunque los centroides de las áreas pueden determinarse por integración, el proceso se vuelve difícil y tedioso para áreas complicadas. En esta sección se describe un enfoque más sencillo que puede usarse si un área consiste en una combinación de áreas simples, la cual puede denominarse área compuesta. El centroide de un área compuesta puede determinarse sin integración si se conocen los centroides de sus partes. El área compuesta de la figura 7.3a consiste en un triángulo, un rectángulo y un semicírculo, que se llamarán partes 1, 2 y 3. La coordenada x del centroide del área compuesta es

LA

x = y

LA 1

2

3

x dA + x dA + x dA LA1 LA2 LA3

x dA = dA

LA1

dA +

LA2

dA +

LA3

.

(7.8)

dA

En la figura 7.3b se muestran las coordenadas x de los centroides de las partes. A partir de la ecuación para la coordenada x del centroide de la parte 1, x

(a)

x1 =

y 1

2

LA1

x dA

LA1

3

, dA

se obtiene x

_ x1 _ x2 _ x3

x dA = x1 A1.

LA1 (b)

Figura 7.3 (a) Área compuesta por tres áreas simples. (b) Centroides de las partes

Usando esta ecuación y expresiones equivalentes para las partes 2 y 3, se puede escribir la ecuación (7.8) como

x =

x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 . A1 + A2 + A3

7.2 Áreas compuestas y

y y 1

2

x

_ x1

x

(c)

(b)

(a)

Figura 7.4 (a) Área con un recorte. (b) Área triangular (c) Área del recorte.

Se ha obtenido una ecuación para la coordenada x del área compuesta en términos de las áreas de sus partes. Las coordenadas del centroide de un área compuesta con un número arbitrario de partes son

a xi Ai x =

i

a yi Ai ,

y =

a Ai

i

.

(7.9)

a Ai

i

i

Cuando un área se puede dividir en partes cuyos centroides son conocidos, es posible usar esas expresiones para determinar su centroide. En el apéndice B se tabulan los centroides de algunas áreas simples. El análisis del centroide de un área se inició dividiéndola en partes finitas y planteando ecuaciones para su posición de pesos ponderados. Los resultados, ecuaciones (7.5), son aproximados debido a la incertidumbre en las posiciones de las partes del área. Las ecuaciones (7.9) exactas son idénticas excepto porque las posiciones de las partes son sus centroides. El área de la figura 7.4a consiste en un área triangular con un agujero o recorte circular. Si se designa el área triangular (sin el corte) como parte 1 del área compuesta (figura 7.4b) y el área del recorte como parte 2 (figura 7.4c), se obtiene la coordenada x del centroide del área compuesta:

x =

x dA x dA LA1 LA2 LA1

dA -

LA2

dA

=

x

_ x2

x1 A1 - x2 A2 . A1 - A2

Esta ecuación es idéntica en forma a la primera de las ecuaciones (7.9) excepto porque los términos correspondientes al recorte son negativos. Como lo demuestra este ejemplo, se pueden usar las ecuaciones (7.9) para determinar los centroides de áreas compuestas que contengan recortes, tratando éstos como áreas negativas. Se observa que la determinación del centroide de un área compuesta requiere de tres pasos: 1. Escoger las partes. Trate de dividir el área compuesta en partes cuyos centroides se conozcan o puedan determinarse con facilidad. 2. Determinar los valores para las partes. Determine el centroide y el área de cada parte. Vea si hay relaciones de simetría que puedan simplificar la tarea. 3. Calcular el centroide. Use las ecuaciones (7.9) para determinar el centroide del área compuesta.

321

322

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

RESULTADOS

x

iAi x1A1  x2A2   x i  A1  A2   Ai i

(7.9) y

yiAi

y1A1  y2A2   i A1  A2    Ai

Las coordenadas del centroide de un área compuesta consistente en las partes 1, 2, .... El término Ai es el área de la i-ésima parte y xi, yi son las coordenadas del centroide de Ai.

i

Si un área contiene un agujero o recorte, el centroide del área puede determinarse a partir de las ecuaciones (7.9) tratando al recorte como un área negativa.

y

Área triangular con un recorte circular.

x

y

El área triangular sin el recorte. Sea A1 su área y x1 la coordenada x de su centroide.

1

x

_ x1

y

El área del recorte circular. Sea A2 su área y x2 la coordenada x de su centroide.

2

x

_ x2

La coordenada x del centroide del área triangular con el recorte es x1A1  x2A2 . x A1  A2

7.2 Áreas compuestas

Centroide de un área compuesta ( Relacionado con el problema 7.27)

Ejemplo activo 7.3

Determine la coordenada x del centroide del área compuesta que se muestra en la figura.

y

R

Estrategia El área debe dividirse en partes sencillas (en este ejemplo las partes resultan obvias), después se determinarán las áreas y las ubicaciones de los centroides de las partes y se aplicará la ecuación (7.9)1.

x b

c

Solución y 1

Selección de las partes Dividida el área en partes sencillas. Se muestran las coordenadas x de los centroides de las partes.

2

2 b 3 1 b c 2 4R bc 3p

3 x

Determinación de los valores de las partes Tabule los términos necesarios para aplicar la ecuación (7.9)1. Vea el apéndice B.

Parte 1 (triángulo)

xi

Ai

2 b 3

1 b(2R) 2

b

Parte 2 (rectánuglo)

1 c 2

Parte 3 (semicírculo) b  c 

x

4R 3p

xi Ai

c(2R) 1 pR2 2

 23 b  12 b(2R)  b  12 c [c(2R)] 1 4R b  c  3p   2 pR  2

x1A1  x2A2  x3A3 A1  A2  A3 1 1 4R   2 pR   23 b  12 b(2R)    b  2 c  [c(2R)]  b  c  3p 2



1 1 b(2R)  c(2R)  pR2 2 2

Problema de práctica Determine la coordenada y del centroide del área compuesta.

Respuesta: y =

323

C 13(2R) D C 21 b(2R) D + R C c(2R) D + R A 21 pR2 B 1 2 b(2R)

+ c(2R) + 21 pR2

.

Cálculo del centroide Use la ecuación (7.9)1 para determinar la componente x del centroide.

324

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.4

Centroide de un área con un recorte ( Relacionado con el problema 7.28) Determine el centroide del área mostrada.

y

100 mm

Estrategia En vez de intentar la división del área en partes, un método más simple es considerarla como compuesta por un área rectangular con un recorte semicircular. Luego puede aplicarse la ecuación (7.9) tratando el recorte como un área negativa.

140 mm x 140 mm

Solución Selección de las partes El rectángulo sin el recorte semicircular y el área del recorte se llamarán parte 1 y parte 2, respectivamente (figura a). y

200 mm

y 200 mm

1

100 mm

2 x

_ x1

(a) Rectángulo y recorte semicircular

Determinación de los valores de las partes x del centroide del recorte es

x2 =

x

_ x2

Según el apéndice B, la coordenada

411002 4R = mm. 3p 3p

En la tabla siguiente se resume la información para determinar la coordenada x del centroide. Observe que el recorte se trata como un área negativa. Información para determinar –x

Parte 1 (rectángulo) Parte 2 (recorte)

Cálculo del centroide

x1 A1 + x2 A2 x = = A1 + A2

x–i (mm)

Ai (mm2)

x–i Ai (mm3)

100

(200)(280)

411002

- 21 p110022

(100)[(200)(280)] 411002 1 C p110022 D 3p 2

3p

La coordenada x del centroide es

11002[1200212802] -

411002 3p

C 21 p110022 D

1200212802 - 21 p110022

= 122 mm

Debido a la simetría del área, –y  0. Razonamiento crítico Si se tratara de dividir el área en partes sencillas, se tendría un mayor aprecio por el método que acaba de emplearse. El centroide se pudo determinar tratando con dos áreas sencillas, el área rectangular sin el recorte y el área del recorte semicircular. A menudo, la determinación de centroides de áreas puede simplificarse de esta manera.

Problemas

Problemas y

 7.27 En el ejemplo activo 7.3, suponga que el área se coloca en la forma mostrada. Sean las dimensiones R  6 pulg, c  14 pulg y b  18 pulg. Use la ecuación (7.9)1 para determinar la coordenada x del centroide.

10 pulg y x R x b

c

20 pulg

Problema 7.27  7.28 En el ejemplo 7.4, suponga que al área se le hace un segundo recorte semicircular como se muestra en la figura. Determine la coordenada x del centroide.

Problema 7.30 y

y

100 mm

0.8 m

140 mm x

50 mm

140 mm

x 0.6 m

200 mm 1.0 m

Problema 7.28

Problema 7.31 En los problemas 7.29 a 7.36, determine las coordenadas de los centroides

y

y

30 pulg 2 pulg

8 pulg

40 pulg 3 pulg x

x 20 pulg

4 pulg

6 pulg 10 pulg

Problema 7.29

Problema 7.32

325

326

Capítulo 7 Centroides y centros de masa y

7.37 En la figura se tienen las dimensiones b  42 mm y h  22 mm. Determine la coordenada y del centroide de la sección transversal de la viga mostrada. 7.38 Si el área de la sección transversal de la viga mostrada es de 8400 mm2 y la coordenada y del centroide del área es –y  90 mm, ¿qué valores tienen las dimensiones b y h?

400 mm

y

300 mm x 300 mm

Problema 7.33

300 mm

200 mm h

y

120 mm

x

2 pies

b

Problemas 7.37/7.38

3 pies x 4 pies

Problema 7.34

7.39 Determine la coordenada y del centroide de la sección transversal de la viga mostrada. y

y

20 mm 5 pulg

2 pulg

30 mm 20 mm

10 mm

8 pulg

30 mm x

x

90 mm

Problema 7.35

3 pulg

5 pulg

5 pulg

3 pulg

Problema 7.39

y

7.40 Determine las coordenadas del centroide del estabilizador vertical del avión que se muestra en la figura.

5 mm

y

15 mm 50 mm 11 m

5 mm

5 mm

x

x

70 12.5 m

15 mm

Problema 7.36

48

15 mm 10 15 15 10 mm mm mm mm

Problema 7.40

7.3 Cargas distribuidas 7.41 El área mostrada tiene bordes elípticos. Si a  30 mm, b  15 mm y e  6 mm, ¿cuál es la coordenada x del centroide del área?

327

7.43 Se muestran las tres velas de un velero New York. Las coordenadas de los puntos est·n en pies. Determine el centroide de la vela 1. 7.44 Determine el centroide de la vela 2.

7.42 Determine la coordenada x del centroide del área mostrada en el problema 7.41 en términos de a, b y e, y evalúe su límite cuando e S 0; con esto demuestre que la coordenada x del centroide de un cuarto de elipse es x =

4a1a + 2b2 3p1a + b2

7.45 Determine el centroide de la vela 3.

.

y

1

2

3

(a)

´ y

y

b

y (14, 29)

(12.5, 23) (20, 21) (3, 20)

(3.5, 21)

x a

´

1

2

(16, 0)

Problemas 7.41/7.42

x

3

(10, 0)

x

(23, 0)

x

(b)

Problemas 7.43–7.45

7.3 Cargas distribuidas ANTECEDENTES La carga ejercida sobre una viga (larguero) que soporta el piso de un edificio está distribuida sobre la longitud de la viga (figura 7.5a). La carga ejercida por el viento sobre una torre de televisión está distribuida a lo largo de la altura de la torre (figura 7.5b). En muchas aplicaciones de ingeniería, las cargas están distribuidas en forma continua a lo largo de líneas. En esta sección se mostrará que el concepto del centroide de un área puede ser útil en el análisis de objetos sometidos a dichas cargas.

(a)

(b)

Figura 7.5 Ejemplos de fuerzas distribuidas: (a) Carga uniformemente distribuida, ejercida por el piso sobre una viga de la estructura de un edificio. (b) Carga del viento distribuida a lo largo de la altura de una torre.

328

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Descripción de una carga distribuida

y

x

(a) y w x

(b)

Figura 7.6 (a) Carga de una viga con sacos de arena. (b) La carga distribuida w representa la carga ejercida por los sacos.

Se puede usar un ejemplo sencillo para demostrar cómo se expresan de manera analítica este tipo de cargas. Suponga que se apilan sacos de arena sobre una viga, como se muestra en la figura 7.6a. Resulta claro que la carga ejercida por los sacos se distribuye sobre la longitud de la viga, y su magnitud en una posición x dada depende de qué tan alto estén apilados los sacos en esa posición. Para describir la carga, se define una función w tal que la fuerza descendente sobre un elemento infinitesimal dx de la viga es w dx. Con esta función es posible representar la magnitud variable de la carga ejercida por los sacos de arena (figura 7.6b). Las flechas indican que la carga actúa hacia abajo. Las cargas distribuidas en líneas, desde los casos más simples como el del propio peso de una viga, hasta los más complicados como la carga de sustentación distribuida a lo largo del ala de un avión, se modelan mediante la función w. Como el producto de w y dx es una fuerza, las dimensiones de w son (fuerza)(longitud), y w se puede expresar en newtons por metros en unidades del SI y en libras por pie en unidades de uso común en Estados Unidos.

Determinación de la fuerza y el momento Suponga que se conoce la función w que describe una carga distribuida particular (figura 7.7a). La gráfica de w se llama curva de carga. Como la fuerza actúa sobre un elemento dx de la línea es w dx, es posible determinar la fuerza F ejercida por la carga distribuida integrando la curva de carga con respecto a x:

F =

LL

w dx.

(7.10)

También es posible integrar para determinar el momento respecto a un punto ejercido por la carga distribuida. Por ejemplo, el momento respecto al origen debido a la fuerza ejercida sobre el elemento dx es xw dx, por lo que el momento total respecto al origen debido a la carga distribuida es

M =

LL

xw dx.

(7.11)

y w

x

x

dx w dx

Cuando sólo se tiene interés en la fuerza total y el momento total ejercidos por una carga distribuida, ésta se puede representar con una sola fuerza equivalente F (figura 7.7b). Para que sea equivalente, la fuerza debe actuar en una posición –x sobre el eje x tal que el momento de F respecto al origen sea igual al momento de la carga distribuida respecto al origen:

(a)

xF =

y F

_ x

x

LL

xw dx.

Por consiguiente, la fuerza F es equivalente a la carga distribuida si ésta se coloca en la posición

(b)

Figura 7.7 (a) Una carga distribuida y la fuerza ejercida sobre un elemento diferencial dx. (b) La fuerza equivalente.

x =

LL

xw dx

LL

. w dx

(7.12)

7.3 Cargas distribuidas

329

Analogía del área Observe que el término w dx es igual a un elemento de “área” dA entre la curva de carga y el eje x (figura 7.8a) (se utilizan comillas porque w dx es en realidad una fuerza y no un área). Interpretada de esta manera, la ecuación (7.10) establece que la fuerza total ejercida por la carga distribuida es igual al “área” A entre la curva de carga y el eje x:

y w dA  w dx x

x

dx (a)

F =

LL

w dx =

LA

dA = A.

(7.13)

y

FA A

Sustituyendo w dx  dA en la ecuación (7.12), se obtiene

x

x =

LL

xw dx

LL

= w dx

LA

(b)

x dA

LA

.

(7.14)

dA

La fuerza F es equivalente a la carga distribuida si actúa en el centroide del “área” entre la curva de carga y el eje x (figura 7.8b). El uso de esta analogía para representar una carga distribuida mediante una fuerza equivalente puede ser muy útil cuando la curva de carga es relativamente simple.

Figura 7.8 (a) Determinación del “área” entre la función w y el eje x. (b) La fuerza equivalente es igual al “área”, y la línea de acción pasa por su centroide.

RESULTADOS y w

x

x

dx

Para representar una carga que se distribuye a lo largo del eje x, se define una función w tal que la fuerza descendente sobre un elemento dx del eje x sea w dx. La gráfica de w se llama curva de carga.

w dx

F M

w dx,

(7.10)

xw dx,

(7.11)

LL

L L

y

La fuerza total descendente y el momento horario total respecto al origen debido a la carga distribuida w que actúa sobre un intervalo L del eje x pueden determinarse por integración.

FA A x

La fuerza total descendente F debida a una carga distribuida es igual al “área” A entre la curva de carga y el eje x. Cuando dicha fuerza se representa mediante un vector, éste es equivalente a la carga distribuida si se coloca en el centroide del “área”. (Es decir, el momento horario respecto al origen debido al vector de fuerza es igual a M.) Lo anterior se denomina analogía del área.

330

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo activo 7.5

Viga con una carga distribuida ( Relacionado con el problema 7.46) La viga de la figura está sometida a una carga distribuida “triangular” cuyo valor en B es de 100 N/m (es decir, la función w se incrementa linealmente de w  0 en A hasta w  100 N/m en B). Determine las reacciones de la viga en A y B.

100 N/m A

B 12 m

Estrategia Es posible usar la analogía del área para representar la carga distribuida mediante una fuerza equivalente. Luego se pueden aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en A y B. Solución y

El “área” de la carga distribuida triangular es igual a un medio de su base por su altura, o 1 (12 2

2 (12 m) 3 8 m

m)  (100 N/m)  600 N.

El centroide del “área” triangular está en 2 2 x  (12 m)  8 m. 3 3

1 (12 m)(100 N/m) 2  600 N

x

Ax Ay

B 12 m

Fx  Ax  0, Fy  Ay  B  600 N  0, Mpunto A  (12 m)B  (8 m)(600 N)  0.

Aplique el equilibrio.

Resolviendo se obtiene Ax  0, Ay  200 N, y B  400 N.

Problema de práctica a) Determine w como una función de x para la carga triangular distribuida en este ejemplo. b) Use las ecuaciones (7.10) y (7.11) para determinar la fuerza descendente total y el momento horario total respecto al extremo izquierdo de la viga debido a la carga triangular distribuida. Respuesta: a) w =

100 x N/m. b) F  600 N, M  4800 N-m. 12

331

7.3 Cargas distribuidas

Ejemplo 7.6

Viga sometida a cargas distribuidas ( Relacionado con el problema 7.48)

La viga que se muestra en la figura está sometida a dos cargas distribuidas. Determine las reacciones en A y B.

400 N/m

6m

800 N/m

A 6m

400 N/m B 6m

Estrategia En este caso puede aplicarse con facilidad la analogía del área a la carga uniformemente distribuida entre A y B. Se tratará a la carga distribuida sobre la sección vertical de la viga como la suma de cargas uniforme y triangular, y se usará la analogía del área para representar cada carga distribuida mediante una fuerza equivalente.

y



6m 400 N/m

x

Solución En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga, expresando la carga distribuida a la izquierda como la suma de cargas uniforme y triangular. En la figura b se representan las tres cargas mediante fuerzas equivalentes. El “área” de la carga distribuida uniforme a la derecha es (6 m)  (400 N/m)  2400 N, y su centroide está a 3 m de B. El área de la carga distribuida uniforme sobre la parte vertical de la viga es (6 m)  (400 N/m)  2400 N y su centroide está en y  3 m. El área de la carga distribuida triangular es –12 (6 m)  (400 N/m)  1200 N y su centroide se ubica en y  –12 (6 m)  2 m. A partir de las ecuaciones de equilibrio Fx  Ax  1200 N  2400 N  0, Fy  Ay  B  2400 N  0, Mpunto A  (6 m)B  (3 m)(2400 N)  (2 m)(1200 N)  (3 m)(2400 N)  0, se obtiene Ax  3600 N, Ay  400 N y B  2800 N.

Razonamiento crítico Cuando se analiza un problema que implica cargas distribuidas, ¿debería usarse siempre la analogía del área para representar las cargas como se hizo en este ejemplo? La analogía del área es útil cuando una curva de carga es suficientemente simple para que su área y la ubicación de su centroide sean fáciles de determinar. Cuando no se da este caso, pueden usarse las ecuaciones (7.10) y (7.11) para determinar la fuerza y el momento ejercidos por una carga distribuida. Este enfoque se ilustra en el ejemplo 7.7.

400 N/m

Ax

400 N/m

Ay

6m

B 6m

(a) Diagrama de cuerpo libre de la viga. y

2400 N 1200 N 2m

2400 N 3m

3m Ax 6m

x Ay

B 6m

(b) Representación de las cargas distribuidas mediante fuerzas equivalentes.

332

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.7

Viga con una carga distribuida ( Relacionado con el problema 7.49) La viga que se muestra en la figura está sometida a una carga distribuida, a una fuerza y a un par. La carga distribuida es w  300x  50x2  0.3x4 lb/pie. Determine las reacciones en el soporte fijo A. y 2000 lb w 10,000 pies-lb x

A 10 pies

10 pies

Estrategia Como se conoce la función w, pueden usarse las ecuaciones (7.10) y (7.11) para determinar la fuerza y el momento ejercidos sobre la viga por la carga distribuida. Después pueden emplearse las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en A. Solución En la figura a se aísla la viga y se muestran las reacciones en el soporte fijo. La fuerza descendente ejercida por la carga distribuida es 10

3

w dx =

L

L0

1300x - 50x 2 + 0.3x 42 dx = 4330 lb.

El momento horario respecto al punto A ejercido por la carga distribuida es 10

3

xw dx =

L

x1300x - 50x 2 + 0.3x 42 dx = 25,000 ft-lb. pies-lb.

L0

A partir de las ecuaciones de equilibrio Fx  Ax  0, Fy  Ay  4330 lb  2000 lb  0, Mpunto A  MA  25,000 pies-lb  (20 pies)(2000 lb)  10,000 pies-lb  0, se obtiene Ax  0, Ay  2330 lb y MA  25,000 pies-lb. y 2000 lb w

MA Ax

10,000 pies-lb x

A Ay

10 pies

10 pies

(a) Diagrama de cuerpo libre de la viga.

Razonamiento crítico Cuando se utiliza la ecuación (7.11), es importante tener en cuenta que se está calculando el momento horario debido a la carga distribuida w respecto al origen x  0.

333

Problemas

Problemas  7.46 En el ejemplo activo 7.5 suponga que la carga distribuida se modifica como se indica en la figura. Determine las reacciones sobre la viga en A y en B.

7.50 Determine las reacciones en el soporte fijo A que se muestra en la figura. y

60 N/m A

w  3(1  x2/25) kN/m

B 8m

4m

Problema 7.46

A

5m

Problema 7.50

7.47 Determine las reacciones en los puntos A y B de la figura.

6 pies

200 lb/pie

B

A

6 pies

4 pies

x

7.51 Un ingeniero mide las fuerzas ejercidas por el suelo sobre una sección de 10 m de la cimentación de un edificio y encuentra que dichas fuerzas están descritas por la carga distribuida w  10x  x2  0.2x3 kN/m. a) Determine la magnitud de la fuerza total ejercida sobre la cimentación por la carga distribuida. b) Determine la magnitud del momento respecto a A debido a la carga distribuida. y

200 lb/pie

Problema 7.47

2m

10 m

A x

 7.48 En el ejemplo 7.6, suponga que las cargas distribuidas se modifican como se indica en la figura. Determine las reacciones sobre la viga en A y en B.

400 N/m

Problema 7.51 6m 600 N/m A 6m

400 N/m B

7.52 Determine las reacciones sobre la viga mostrada en A y en B.

6m

Problema 7.48

3 kN/m

2 kN/m A

 7.49 En el ejemplo 7.7, suponga que la carga distribuida que actúa sobre la viga desde x  0 hasta x  10 pies está dada por w  350  0.3x3 lb/pie. a) Determine la fuerza descendente y el momento horario respecto a A ejercido por la carga distribuida. b) Determine las reacciones en el soporte fijo.

B 4m

Problema 7.52

2m

334

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.53 La fuerza de sustentación aerodinámica del ala que se muestra en la figura está descrita por la carga distribuida w = - 300 21 - 0.04x2 N/m. La masa del ala es de 27 kg y su centro de masa está ubicado a 2 m del punto R en la raíz del ala. a) Determine las magnitudes de la fuerza y el momento respecto a R ejercidos por la fuerza de sustentación del ala. b) Determine las reacciones sobre el ala en R.

7.54 Determine las reacciones sobre la barra AB mostrada en A y en B. 400 lb/pie B y 2 pies

y 600 lb/pie

400 lb/pie

2 pies x

R

4 pies

x 2m

A

4 pies

Problema 7.54 5m

Problema 7.53

7.55 Determine las reacciones sobre el elemento AB en A y en B. 300 lb/pie A

B

6 pies

6 pies

6 pies

C

300 lb/pie

Problema 7.55

7.56 Determine las fuerzas axiales en los elementos BD, CD y CE de la armadura mostrada e indique si están en tensión (T) o en compresión (C). 2m

2m B

A

2m D

2m H

F

2m C

E

G

4 kN/m 8 kN/m

Problema 7.56

7.4 Centroides de volúmenes y líneas 7.57 Determine las reacciones sobre el elemento ABC mostrado en A y en B.

7.58 Determine las fuerzas sobre el elemento ABC del bastidor que se muestra en la figura. A

400 N/m 200 N/m

1m

160 mm

1m

3 kN/m

C

B C

B 2m D

240 mm

400 N/m 160 mm

160 mm

160 mm

Problema 7.57

7.4 Centroides de volúmenes y líneas ANTECEDENTES En esta sección se definen los centroides, o posiciones promedio, de volúmenes y líneas, y se muestra cómo determinar los centroides de volúmenes y líneas compuestos. En la sección 7.7 se demostrará que si se conocen los centroides de volúmenes y líneas es posible determinar los centros de masa de ciertos tipos de objetos, mediante los cuales se sabe dónde actúan de manera efectiva sus pesos. Volúmenes Considere un volumen V, y sea dV un elemento diferencial de V con coordenadas x, y y z (figura 7.9). Por analogía con las ecuaciones (7.6) y (7.7), las coordenadas del centroide de V son

LV

x dV

LV

,

y =

dV

LV

y dV

LV

,

z =

dV

LV

z dV

LV

.

(7.15)

dV

El subíndice V en la integral significa que la integración se lleva a cabo sobre todo el volumen. y

dV

y

x z

z

x

Figura 7.9 Volumen V y elemento diferencial dV.

2m

Problema 7.58

E

A

x =

335

1m

336

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

A

Vista frontal

Vista lateral

(a) y

y

dV

dA

T

y x z

x (b)

Figura 7.10 (a) Volumen de espesor uniforme. (b) Obtención de dV proyectando dA a través del volumen.

Si un volumen tiene la forma de una placa con espesor uniforme y área A de sección transversal (figura 7.10a), su centroide coincide con el de A y se encuentra en el punto medio entre las dos caras. Para demostrar que esto es cierto, se obtiene un elemento de volumen dV proyectando un elemento dA del área de la sección transversal a través del espesor T del volumen, de manera que dV  T dA (figura 7.10b). Entonces, las coordenadas x e y del centroide del volumen son

x =

LV

x dV =

y =

xT dA =

dV

LA

y dV

LA

LV LV

LA

LV

= dV

LA

x dA ,

T dA

LA

yT dA

LA

LA

= T dA

dA

y dA

LA

. dA

Por simetría, la coordenada –z  0. Por lo tanto, el centroide de este tipo de volumen se conoce si se sabe cuál es (o es posible determinar) el centroide del área de su sección transversal.

y L

Líneas Las coordenadas del centroide de una línea L son

dL

y x z x

x =

LL

x dL

LL

, dL

y =

LL

y dL

LL

, dL

z =

LL

z dL

LL

,

(7.16)

dL

z

Figura 7.11 Línea L y elemento diferencial dL.

donde dL es una longitud diferencial de la línea con coordenadas x, y y z. (Figura 7.11).

7.4 Centroides de volúmenes y líneas

RESULTADOS y

dV

x

LV

,

LV y

LV

z

dV

x

z

,

x z

y dV

LV LV

y

x dV

Coordenadas del centroide de un volumen V.

(7.15)

dV

z dV .

LV

dV

Si un volumen tiene la forma de una placa con espesor uniforme y área A de sección transversal, su centroide coincide con el centroide de A y está en el punto medio entre las dos caras.

A

Vista frontal

Vista lateral

y L dL

y

x

LL

x dL

LL y

LL

z

x

dL

z

y dL ,

LL LL

x z

,

dL

z dL

LL

. dL

(7.16)

Coordenadas del centroide de una línea L.

337

338

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Centroide de un cono por integración ( Relacionado con el problema 7.59)

Ejemplo activo 7.8

Determine el centroide del cono que se muestra en la figura. y

z

R x h

Estrategia Debido a la simetría axial del cono, el centroide debe encontrarse sobre el eje x. Se determinará la coordenada x del centroide mediante la aplicación de la ecuación (7.15)1, usando un elemento de volumen dV en forma de un disco con espesor dx. Solución y

dV

Elemento de volumen en la forma de un disco.

z x

x dx

y R x h

R x

h

x

dV  p

dx

x

LV

x dV

LV

 dV

L0

xp h

L0

p

El radio del disco en la posición x es (R/h)x y su volumen es el producto del área del disco y su espesor:

R x h

  

2

2

2 R x dx h

  

R

  h  x dx.

3  h. 4

Aplique la ecuación (7.15)1.

7.4 Centroides de volúmenes y líneas

Problema de práctica El radio en pies de la sección transversal circular del cono 1 trunco, que se muestra en la figura, está dado como una función de x por r  1  –4 x. Determine la coordenada x de su centroide. y

z x 4 pies

Respuesta: 2.43 pies.

Centroide de una línea por integración ( Relacionado con el problema 7.66)

Ejemplo 7.9

La línea L que se muestra en la figura está definida por la función y  x2. Determine la coordenada x de su centroide.

y

(1, 1)

Estrategia Un elemento diferencial dL de una línea (figura a) puede expresarse en términos de dx y dy:

dL = 2dx 2 + dy 2 =

1 + a

B

dy 2 b dx. dx

y  x2 L x

A partir de la ecuación que describe la línea, la derivada dydx  2x, por lo que se tiene una expresión para dL en términos de x:

dL = 21 + 4x 2 dx. Solución Para integrar sobre toda la línea, es necesario integrar desde x  0 hasta x  1. La coordenada x del centroide es

y (1, 1) dL

1

x =

LL

x dL

LL

= dL

L0

x21 + 4x 2 dx = 0.574.

1

L0

dy

21 + 4x dx 2

Razonamiento crítico El procedimiento usado en este ejemplo resulta apropiado para determinar el centroide de una línea que se describe mediante una función de la forma y  f(x). En el ejemplo 7.10 se muestra cómo determinar el centroide de una línea que está descrita en términos de coordenadas polares.

x x

dx

(a) Elemento diferencial de línea dL.

339

340

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.10

Centroide de una línea semicircular por integración ( Relacionado con el problema 7.70) Determine el centroide de la línea semicircular que se muestra en la figura. y

R x

Estrategia Debido a la simetría de la línea, el centroide se encuentra sobre el eje x. Para determinar –x se integrará en términos de coordenadas polares. Si se le da a u un incremento du, se obtiene un elemento diferencial de línea de longitud dL  R du (figura a). La coordenada x de dL es x  R cos u. Solución Para integrar sobre toda la línea, es necesario integrar con respecto a u desde u  p2 hasta u  p2: p>2

x =

LL

x dL

LL

L-p>2 =

1R cos u2R du

p>2

=

p>2

dL

L-p>2

sen u4-p>2 R23sin p>2 R3u4-p>2

R du

=

2R . p

y du

dL  Rdu

u x x  R cos u

(a) Elemento diferencial de línea dL  R du.

Razonamiento crítico Observe que este procedimiento de integración proporciona la longitud correcta de la línea: p>2

LL

dL =

L-p>2

R du = R C u D -p>2 = pR. p>2

Problemas

341

Problemas  7.59 Use el método descrito en el ejemplo activo 7.8 para determinar el centroide del cono trunco que se muestra en la figura.

7.61 El objeto que se muestra en la figura, diseñado como pedestal para un orador, tiene un perfil obtenido al poner en revolución la curva y  0.167x2 alrededor del eje x. ¿Cuál es la coordenada x del centroide del objeto?

y y

z

R x h 2

z

h 2

x 0.75 m 0.75 m

Problema 7.59 Problema 7.61 7.60 Un silo para el almacenamiento de granos tiene la forma de una superficie de revolución con el perfil mostrado en la figura. La altura del tanque es de 7 m y su diámetro al nivel del suelo es de 10 m. Determine el volumen del tanque y la altura por encima del nivel del suelo del centroide de su volumen.

7.62 El volumen de un cono nariz se genera al rotar la función y  x  0.2x2 alrededor del eje x. a) ¿Cuál es el volumen del cono nariz? b) ¿Cuál es la coordenada x del centroide del volumen?

y y

y  ax1/2 7m

z 10 m x

x 2m

Problema 7.60 Problema 7.62

342

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.63 Determine el centroide del volumen semiesférico mostrado. y

 7.66 En el ejemplo 7.9, determine la coordenada y del centroide de la línea mostrada.

7.67 Determine las coordenadas del centroide de la línea mostrada. y

y x2 R

z

x

Problema 7.63 7.64 El volumen mostrado consiste en un segmento de esfera de radio R. Determine su centroide. y

1

2

x

Problema 7.67 x

R

7.68 Determine la coordenada x del centroide de la línea mostrada. R 2

y

z

y

Problema 7.64

2 (x  1)3/2 3

7.65 El volumen de revolución que se muestra en la figura se obtiene al girar la curva x2a2  y2b2  1 alrededor del eje x. Determine su centroide. y

0

1

5

Problema 7.68 x2 y2  2 1 a2 b

z x

Problema 7.65

x

7.5 Volúmenes y líneas compuestos

 7.70 Use el método descrito en el ejemplo 7.10 para determinar el centroide del arco circular mostrado.

7.69 Determine la coordenada x del centroide de la línea mostrada. y

y

2 y  x3/2 3

a x R 0

x

2

Problema 7.70

Problema 7.69

7.5 Volúmenes y líneas compuestos ANTECEDENTES Los centroides de volúmenes y líneas compuestos se pueden obtener usando el mismo método que para las áreas. Las coordenadas del centroide de un volumen compuesto son

a xiVi x =

i

a yiVi ,

y =

a Vi

i

a ziVi ,

z =

a Vi

i

i

,

(7.17)

a Vi

i

i

y las coordenadas del centroide de una línea compuesta son

a xi Li x =

i

a yi Li ,

a Li i

y =

i

a zi Li ,

a Li i

z =

i

343

.

(7.18)

a Li i

Los centroides de algunas líneas y volúmenes simples están tabulados en los apéndices B y C. La determinación del centroide de un volumen o línea compuestos requiere de tres pasos: 1. Escoger las partes. Trate de dividir el elemento compuesto en partes cuyos centroides se conozcan o puedan determinarse con facilidad. 2. Determinar los valores para las partes. Determine el centroide y el volumen o longitud de cada parte. Vea si hay relaciones de simetría que puedan simplificar la tarea. 3. Calcular el centroide. Use las ecuaciones (7.17) o (7.18) para determinar el centroide del volumen o la línea compuestos.

344

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Centroide de un volumen compuesto ( Relacionado con el problema 7.71)

Ejemplo activo 7.11

Determine la coordenada x del centroide del volumen compuesto que se muestra en la figura.

y

Estrategia El volumen debe dividirse en partes sencillas (en este ejemplo las partes resultan obvias), después se determinan los volúmenes y las ubicaciones de los centroides de las partes, y se aplica la ecuación (7.17).

z h b

R x

Solución y

Selección de las partes Divida el volumen en partes sencillas. Se muestran las coordenadas x de los centroides de las partes. Vea el apéndice C.

1

2 x

3 h 4 1 h b 2

Determinación de los valores de las partes Tabule los términos necesarios para aplicar la ecuación (7.17)1.

Parte 1 (cono)



Vi

xiVi

3 h 4

1 pR2h 3

 34 h  13 pR h  h  12 b  (pR b)

h

Parte 2 (cilindro)

x

xi

1 b 2

pR2b

2

2

x1V1  x2V2 . V1  V2

  3 h 4

 

1 1 pR2h  h  b 2 3 1 pR2h  pR2b 3

 pR b 

Cálculo del centroide Use la ecuación (7.17)1 para determinar la componente x del centroide.

2

.

y

Problema de práctica El volumen compuesto consiste en un cilindro circular y una semiesfera. Determine la coordenada x de su centroide. R z

b x

Respuesta: x =

A 21 b B A pR2b B + A b + 83R B A 23pR3 B pR2b + 23pR3

.

7.5 Volúmenes y líneas compuestos

345

Centroide de un volumen que contiene un recorte ( Relacionado con el problema 7.72)

Ejemplo 7.12

Determine el centroide del volumen que se muestra en la figura.

y

Estrategia Este volumen puede dividirse en las cinco partes mostradas en la figura a. Observe que las partes 2 y 3 no tienen el recorte. Se supone que está “rellenado”, lo que simplifica las geometrías de dichas partes. La parte 5, que es el volumen del agujero de 20 mm de diámetro, se tratará como un volumen negativo en las ecuaciones (7.17).

z

x y

Solución Selección de las partes El volumen puede dividirse en las cinco partes mostradas en la figura a. La parte 5 es el volumen del agujero de 20 mm de diámetro.

25 mm

20 mm x 200 mm

Determinación de los valores de las partes Los centroides de las partes 1 y 3 se localizan en los centroides de sus secciones transversales semicirculares (figura b). En la tabla siguiente se resume la información para determinar la coordenada x del centroide. La parte 5 es un volumen negativo.

Vista lateral y z 40 mm

Información para determinar x– x–i (mm) Parte 1

41252

p12522

3p

2

-

Parte 2

100

Parte 3 200 +

1202

(200)(50)(20)

41252

p1252

3p

2

2

1202

Vista posterior

x–i Vi (mm4)

Vi (mm3) c-

41252 3p

dc

p12522 2

1202 d

(100)[(200)(50)(20)] c 200 +

41252 3p

dc

p12522 2

0

p(25) (40)

0

Parte 5

200

p(10)2(20)

(200[p(10)2(20)]

Cálculo del centroide

x =

c-

3p

dc

p12522 2

1202 d + 11002[1200215021202]

41252 p12522 dc 1202 d + 0 - 12002[p110221202] 3p 2 = p12522 p12522 1202 + 1200215021202 + 1202 + p125221402 - p110221202 2 2 + c200 +

 72.77 mm.

4 2 3

5

(a) División del volumen en cinco partes. y

La coordenada x del centroide del volumen compuesto es

x 1V1 + x 2V2 + x 3V3 + x 4V4 + x 5V5 V1 + V2 + V3 + V4 + V5 41252

1

1202 d

Parte 4

2

20 mm

3

1

x 4(25) mm 3p

200 mm

4(25) mm 3p

(b) Posiciones de los centroides de las partes 1 y 3.

346

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Las coordenadas z de los centroides de las partes son iguales a cero, excepto –z  30 mm. Por consiguiente, la coordenada z del centroide del volumen com4 puesto es

z =

=

z 4V4 V1 + V2 + V3 + V4 + V5

30[p125221402]

p12522 p12522 1202 + 1200215021202 + 1202 + p125221402 - p110221202 2 2

 7.56 mm. Debido a la simetría, –y  0. Razonamiento crítico Se puede ver que el volumen de este ejemplo podría ser parte de un dispositivo mecánico. Muchas partes manufacturadas tienen volúmenes que están compuestos por volúmenes sencillos y el método usado en este ejemplo puede emplearse para determinar sus centroides; si éstos son homogéneos, también es posible calcular sus centros de masa.

Centroide de una línea compuesta ( Relacionado con el problema 7.81)

Ejemplo 7.13

Determine el centroide de la línea mostrada. El arco de un cuarto de círculo pertenece al plano y–z. y

2m

z

x (4, 0, 2) m

Estrategia La línea debe dividirse en partes (en este caso el arco de un cuarto de círculo y los dos segmentos de recta), luego se determinarán los centroides de las partes y se aplicarán las ecuaciones (7.18)

y 2(2) m p

Solución Selección de las partes La línea consiste en un arco de un cuarto de círculo y en dos segmentos de recta, que se llamarán partes 1, 2 y 3 (figura a).

(0, 2, 0) m 3 2(2) m p z (0, 0, 2) m

(2, 1, 1) m

1 2

x (2, 0, 2) m (4, 0, 2) m

(a) División de la línea en tres partes.

Determinación de los valores para las partes A partir del apéndice B, las coordenadas del centroide de arco de un cuarto de círculo son –x1  0, –y1  –z1  2(2)p m. Los centroides de los segmentos rectos están en sus puntos medios. Para el segmento 2, –x2  2 m, –y2  0 y –z2  2 m, y para el segmento 3, –x3  2 m, –y3  1 m y –z3  1 m.

La longitud del segmento 3 es L 3 = 21422 + 1222 + 1222 = 4.90 m. Esta información se resume en la tabla.

Problemas

Información para determinar el centroide. –y (m) –z (m) x– (m) i

Parte 1 Parte 2 Parte 3

i

0 2 2

i

2(2)p 0 1

2(2)p 2 1

347

Li (m) p(2)2 4 4.90

Cálculo del centroide Las coordenadas del centroide de la línea compuesta son

x =

0 + 122142 + 12214.902 x 1L 1 + x 2L 2 + x 3L 3 = = 1.478 m, L1 + L2 + L3 p + 4 + 4.90

y =

[2122>p][p122>2] + 0 + 11214.902 y1L 1 + y2L 2 + y3L 3 = = 0.739 m, L1 + L2 + L3 p + 4 + 4.90

z =

[2122>p][p122>2] + 122142 + 11214.902 z 1L 1 + z 2L 2 + z 3L 3 = = 1.404 m. L1 + L2 + L3 p + 4 + 4.90

Razonamiento crítico ¿Qué posibles razones podrían tenerse para querer conocer el centroide (posición media) de una línea? En la sección 7.7 se demuestra que el centro de masa de una barra homogénea delgada, que es el punto donde el peso de la barra puede representarse mediante una fuerza equivalente, se encuentra aproximadamente en el centroide del eje de la barra.

Problemas  7.71 En el ejemplo activo 7.11, suponga que el cilindro es hueco con un radio interno de R2 como se muestra en la figura. Si las dimensiones R  6 pulg, h  12 pulg y b  10 pulg, ¿cuál es la coordenada x del centroide del volumen?

 7.72 Use el procedimiento descrito en el ejemplo 7.12 para determinar la componente x del centroide del volumen mostrado.

y

y

y 25 mm

x z

z

R

h

10 mm

b R 2

Problema 7.71

x

20 mm

60 mm

Problema 7.72

348

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

En los problemas 7.73 a 7.78 determine los centroides de los volúmenes.

y

y 20 mm 25 mm 75 mm x z

R 120 mm

25 mm 100 mm

x

z

4R

Problema 7.76

y

Problema 7.73 1.75 pulg

y

200 mm

1 pulg

5 pulg

z

300 mm

4 pulg

1 pulg x

z

x

Problema 7.77

Problema 7.74 y

y 30 mm 60 mm

z z

x 60 mm 90 mm 360 mm 460 mm

Problema 7.75

x

180 mm

180 mm

Problema 7.78

Problemas 7.79 Las dimensiones (en metros) del vehículo espacial Gemini que se muestra en la figura son: a  0.70, b  0.88, c  0.74, d  0.98, e  1.82, f  2.20, g  2.24 y h  2.98. Determine el centroide de su volumen.

349

En los problemas 7.82 y 7.83, determine los centroides de las líneas. y

3m

x 6m y

Problema 7.82

g y

e b a

c f

d

h

x

2m

2m

Problema 7.79

x

7.80 En la figura se presentan dos vistas de un elemento de máquina. Determine el centroide de su volumen.

2m

2m

Problema 7.83 y

y 24 mm

7.84 La parte semicircular de la línea mostrada pertenece al plano x–z. Determine el centroide de la línea. y

8 mm 18 mm

60 mm

8 mm x z 20 mm 50 mm

100 mm 16 mm

160 mm

x

120 mm

Problema 7.80 z

Problema 7.84  7.81 En el ejemplo 7.13, suponga que el arco circular se remplaza por una línea recta como se muestra en la figura. Determine el centroide de la línea de tres segmentos.

7.85 Determine el centroide de la línea mostrada. y

y (0, 2, 0) m

(0, 0, 2) m z

200 mm x

60 x

(4, 0, 2) m

Problema 7.81

Problema 7.85

350

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.6 Teoremas de Pappus-Guldinus ANTECEDENTES En esta sección se analizan dos teoremas de gran utilidad que relacionan las superficies y los volúmenes de revolución con los centroides de las líneas y áreas que los generan.

Primer teorema Considere una línea L en el plano x–y que no interseca al eje x (figura 7.12a). Sean (x–, –y ) las coordenadas del centroide de la línea. Se puede generar una superficie haciendo girar la línea alrededor del eje x (figura 7.12b). Como la línea gira alrededor del eje x, su centroide se mueve en una trayectoria circular de radio –y . El primer teorema de Pappus-Guldinus establece que el área de la superficie de revolución es igual al producto de la distancia que el centroide de la línea recorre y la longitud de la línea: A  2p –y L. (7.19) Para demostrar este resultado, se observa que conforme la línea gira alrededor del eje x, el área dA generada por un elemento dL de la línea es dA  2py dL, donde y es la coordenada y del elemento dL (figura 7.12c). Por lo tanto, el área total de la superficie de revolución es

A = 2p

LL

y dL.

(7.20)

A partir de la definición de la coordenada y del centroide de la línea,

LL

y =

y dL

LL

, dL

se obtiene

LL

y dL = yL.

Sustituyendo este resultado en la ecuación (7.20), se obtiene la ecuación (7.19). y y

y _ y

dL y

L

x

_ y

x

z z

x (a)

(b)

Figura 7.12 (a) Una línea L y la coordenada y de su centroide. (b) Superficie generada al hacer girar la línea L alrededor del eje x, y trayectoria seguida por el centroide de la línea. (c) Elemento dL de la línea y el elemento de área dA que genera.

dA (c)

7.6 Teoremas de Pappus–Guldinus

Segundo teorema Considere un área A en el plano x–y que no interseca al plano x (figura 7.13a). Sean (x–, –y ) las coordenadas del centroide del área. Se puede generar un volumen haciendo girar el área alrededor del eje x (figura 7.13b). Conforme el área gira alrededor del eje x, su centroide recorre la trayectoria circular de longitud 2py–. El segundo teorema de Pappus-Guldinus establece que la magnitud del volumen de revolución generado es igual al producto de la distancia que recorre el centroide del área por la magnitud del área:

V = 2pyA.

(7.21)

Al girar el área alrededor del eje x, el volumen dV generado por un elemento dA del área es dV  2py dA, donde y es la coordenada y del elemento dA (figura 7.13c). Por lo tanto, el volumen total es

V = 2p

LA

y dA.

(7.22)

A partir de la definición de la coordenada y del centroide del área,

y =

LA

y dA

LA

, dA

se obtiene

LA

y dA = yA.

Sustituyendo este resultado en la ecuación (7.22), resulta la ecuación (7.21).

y

y

dA

y

x z

_ y

A

_ y

x z

x (a)

y

(b)

Figura 7.13 (a) Área A y la coordenada y de su centroide. (b) Volumen generado al girar el área A alrededor del eje x y la trayectoria seguida por el centroide del área. (c) Elemento dA del área y el elemento de volumen dV que genera.

dV (c)

351

352

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

RESULTADOS

Primer teorema de Pappus-Guldinus y

La línea L está en el plano x–y. La coordenada y del centroide de L es y.

L _ y x

Si la línea L se gira alrededor del eje x, su centroide se mueve en una trayectoria circular de radio y. El área de la superficie de revolución generada por L al girar es igual al producto de la distancia que recorre el centroide por la longitud de L: (7.19) A  2pyL.

y

_ y

x z

Segundo teorema de Pappus-Guldinus y

El área A se encuentra en el plano x–y. La coordenada y del centroide de A es y. _ y

A

x y

Si el área A se gira alrededor del eje x, su centroide se mueve en una trayectoria circular de radio y. El volumen de revolución generado por A al girar es igual al producto de la distancia que recorre el centroide por el área A: (7.21) V  2pyA.

x z

_ y

353

7.6 Teoremas de Pappus–Guldinus

Ejemplo activo 7.14

Teoremas de Pappus-Guldinus ( Relacionado con el problema 7.86)

Utilice el primer teorema de Pappus-Guldinus para determinar el área superficial del cono que se muestra en la figura.

R

Estrategia La superficie curva del cono puede generarse haciendo girar una línea recta alrededor de un eje. Como se conoce la ubicación del centroide de la línea recta, se puede usar el primer teorema de Pappus-Guldinus para determinar el área de la superficie curva.

h

Solución

Al girar la línea recta alrededor del eje x se genera la superficie curva del cono. Se muestra la coordenada y del centroide de la línea. La longitud de la línea es L  h2  R2. El área de la superficie curva es

y

R

_ 1 yL  R 2

x

A  2pyLL  pR h  R . 2

2

Al añadir el área de la base, el área total de la superficie del cono es pR h2  R2  pR2.

h

Problema de práctica Use el segundo teorema de Pappus-Guldinus para determinar el volumen del cono. Respuesta: V =

1 phR2. 3

Ejemplo 7.15

Determinación de un centroide con el teorema de Pappus-Guldinus

La circunferencia de una esfera de radio R es 2pR y su área superficial es 4pR2. Use esta información para determinar el centroide de una línea semicircular.

( Relacionado con el problema 7.88)

Estrategia Al girar una línea semicircular alrededor de un eje se genera un área esférica. Conociendo el área generada, se puede usar el primer teorema de Pappus-Guldinus para determinar el centroide de la línea generatriz. Solución La longitud de la línea semicircular es L  pR, y –y L es la coordenada y de su centroide. Al girar la línea alrededor del eje x se genera la superficie de una esfera. El primer teorema de Pappus-Guldinus establece que el área de la esfera es (2p –y )L  2p2Ry– . L

y

L

_ yL

Igualando esta expresión al área superficial dada 4pR2, se obtiene –y L:

yL =

2R . p

Razonamiento crítico Si se puede obtener un resultado usando los teoremas de Pappus-Guldinus, se ahorrará tiempo y esfuerzo en comparación con otros métodos. Compare este ejemplo con el ejemplo 7.10, en el que se usó integración para determinar el centroide de una línea semicircular.

x R

Giro de una línea semicircular alrededor del eje x.

354

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Problemas  7.86 Use el método descrito en el ejemplo activo 7.14 para determinar el área de la parte curva de la superficie del cono trunco que se muestra en la figura. 7.87 Use el segundo teorema de Pappus-Guldinus para determinar el volumen del cono trunco que se muestra en la figura.

7.92 Una tobera para el motor de un gran cohete se diseña giran2 (x  1)32 alrededor del eje y. Use el primer do la función y  – 3 teorema de Pappus-Guldinus para determinar el área de la superficie lateral de la tobera. y

y

y z

2 (x  1)3/2 3

R

x x

h 2

5 pies

h 2

Problema 7.92

Problemas 7.86/7.87  7.88 El área del semicírculo sombreado que se muestra en la 4 pR3. Extienda el figura es –12 pR2. El volumen de una esfera es – 3 método descrito en el ejemplo 7.15 para el segundo teorema de Pappus-Guldinus y determine el centroide –y S del área semicircular. y

_ yS

7.93 Las coordenadas del centroide de la línea mostrada son x–  332 mm y y–  118 mm. Use el primer teorema de PappusGuldinus para determinar el área de la superficie de revolución obtenida al girar la línea alrededor del eje x. 7.94 Las coordenadas del centroide del área entre el eje x y la línea mostrada son x–  355 mm y y–  78.4 mm. Use el segundo teorema de Pappus-Guldinus para determinar el volumen obtenido al girar el área alrededor del eje x. y

x

R

Problema 7.88 200 mm

7.89 Use el segundo teorema de Pappus-Guldinus para determinar el volumen generado al girar la curva mostrada alrededor del eje y. 7.90 La longitud de la curva mostrada es L  1.479, y el área generada cuando gira alrededor del eje x es A  3.810. Use el primer teorema de Pappus-Guldinus para determinar la coordenada y del centroide de la curva. 7.91 Use el primer teorema de Pappus-Guldinus para determinar el área de la superficie generada al girar la curva mostrada alrededor del eje y. y

60 x

Problemas 7.93/7.94 7.95 El volumen de revolución mostrado contiene un orificio de radio R. a) Use integración para determinar su volumen. b) Use el segundo teorema de Pappus-Guldinus para determinar su volumen.

Ra

(1, 1)

R

y  x2

h

Problemas 7.89–7.91

x

Problema 7.95

7.7 Centros de masa de objetos 7.96 Determine la magnitud del volumen de revolución mostrado. 7.97 Determine el área de la superficie del volumen de revolución mostrado.

355

7.98 El volumen de revolución mostrado tiene una sección transversal elíptica. Determine su volumen. 230 mm

130 mm

140 mm

180 mm

80 mm

Problema 7.98

Problemas 7.96/7.97

7.7 Centros de masa de objetos ANTECEDENTES El centro de masa de un objeto es el centroide, o posición media, de su masa. A continuación se proporciona la definición analítica del centro de masa y se demuestra una de sus propiedades más importantes: el peso de un objeto puede representarse mediante una sola fuerza equivalente que actúa en su centro de masa. Después se analiza cómo localizar centros de masa y se muestra que, en los casos de ciertas clases particulares de objetos, el centro de masa coincide con el centroide de un volumen, un área o una línea. El centro de masa de un objeto está definido por

x =

Lm

x dm

Lm

, dm

y =

Lm

y dm

Lm

, dm

z =

Lm

y

Lm

,

(7.23)

x

dm

- gj dm = - mg j = - Wj.

El momento del peso del elemento dm respecto al origen es (xi  yj  zk)  (dmg j)  gzi dm  gxk dm. Al integrar esta expresión sobre m, se obtiene el momento total respecto al origen debido al peso del objeto:

Lm

dm

z dm

donde x, y y z son las coordenadas del elemento diferencial de masa dm (figura 7.14). Los subíndices m indican que la integración se debe llevar a cabo sobre la toda la masa del objeto. Antes de considerar cómo se determina el centro de masa de un objeto, se demostrará que el peso de un objeto puede representarse mediante una sola fuerza equivalente que actúa en su centro de masa. Sea dm un elemento de masa de un objeto (figura 7.15a). Si el eje y del sistema coordenado apunta hacia arriba, el peso de dm es dmg j. Integrando esta expresión sobre la masa m, se obtiene el peso total del objeto,

Lm

y

1gz i dm - gxk dm2 = mgz i - mgx k = W z i - W x k.

z z

x

Figura 7.14 Un objeto y un elemento diferencial de masa dm.

356

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Si el peso del objeto se representa mediante la fuerza –Wj que actúa en el centro de masa (figura 7.15b), el momento de esta fuerza respecto al origen es igual al momento total debido al peso: (x– i  –y j  –z k)  (W j)  W –z i  W –x k.

y

dm

(x, y, z) dmgj

x z (a)

Este resultado muestra que, cuando se tiene interés sólo en la fuerza total y el momento total ejercidos por el peso de un objeto, se puede suponer que su peso actúa en el centro de masa. Para aplicar las ecuaciones (7.23) a objetos específicos, se cambiará la variable de integración de masa a volumen introduciendo el concepto de densidad. La densidad r de un objeto se define de tal forma que la masa de un elemento diferencial dV de su volumen es dm  r dV. Por lo tanto, las dimensiones de r son (masa/volumen). Por ejemplo, puede expresarse en kg/m3 en unidades SI o en slug/pie3 en unidades de uso común en Estados Unidos. La masa total de un objeto es

y

m =

Lm

dm =

LV

r dV.

(7.24)

Un objeto cuya densidad es uniforme en todo su volumen se conoce como homogéneo. En este caso, la masa total es igual al producto de la densidad y el volumen:

(x, y, z)

m = r

Wj x z (b)

Figura 7.15 (a) Peso del elemento dm. (b) Representación del peso mediante una sola fuerza en el centro de masa.

LV

dV = rV.

(7.25)

Objeto homogéneo

El peso específico se define como g  gr. Puede expresarse en N/m3 en unidades SI, o en lb/pie3 en unidades de uso común en Estados Unidos. El peso de un elemento de volumen dV de un objeto es dW  g dV, y el peso total de un cuerpo homogéneo es igual a gV. Al sustituir dm  r dV en la ecuación (7.23), es posible expresar las coordenadas del centro de masa en función de integrales de volumen:

x =

LV

rx dV ,

LV

y =

r dV

LV

ry dV

LV

,

LV

z =

r dV

rz dV

LV

.

(7.26)

r dV

Si r se conoce como una función de posición en un objeto, estas expresiones determinan su centro de masa. Además, se pueden usar para demostrar que los centros de masa de ciertas clases de objetos coinciden con los centroides de volúmenes, áreas y líneas: • El centro de masa de un cuerpo homogéneo coincide con el centroide de su volumen. Si un objeto es homogéneo, r  constante y las ecuaciones (7.26) se convierten en las ecuaciones para el centroide del volumen,

x =

LV

x dV

LV A

Vista frontal

Figura 7.16 Placa de espesor uniforme.

Vista lateral

, dV

y =

LV

ydV

LV

, dV

z =

LV

z dV

LV

. dV

• El centro de masa de una placa homogénea de espesor uniforme coincide con el centroide del área de su sección transversal (figura 7.16). El centro de masa de la placa coincide con el centroide de su volumen, y ya se demostró en la sección 7.4 que el centroide del volumen de una placa de espesor uniforme coincide con el centroide del área de su sección transversal. • El centro de masa de una barra delgada homogénea con área uniforme en su sección transversal coincide aproximadamente con el centroide del

7.7 Centros de masa de objetos y

y

dm

dL

x

x

Figura 7.17 (a) Barra delgada y el centroide de su eje. (b) Elemento dm.

z

z

(b)

(a)

eje de la barra (figura 7.17a). El eje de la barra se define como la línea que pasa por el centroide de su sección transversal. Sea dm  rA dL, donde A es el área de la sección transversal de la barra y dL es un elemento diferencial de la longitud de su eje (figura 7.17b). Si se sustituye esta expresión en las ecuaciones (7.26), éstas se convierten en las ecuaciones para el centroide del eje:

x =

LL

x dL

LL

,

y =

dL

LL

y dL

LL

, dL

z =

LL

z dL

LL

. dL

Este resultado es aproximado porque el centro de masa del elemento dm no coincide con el centroide de la sección transversal donde la barra es curva.

RESULTADOS y dm y

x

Lm

x dm 

Lm

y

Lm

z

 dm

 dm

LV

LV

x

,

z

r dV

z

ry dV , (7.23), (7.26).

LV

z dm

Lm

rx dV

i L

y dm

Lm Lm

dm

LV

r dV

Coordenadas del centro de masa de un objeto, donde dm es un elemento infinitesimal de su masa y r es su densidad.

rz dV

LV

. r dV

x

Un objeto es homogéneo si su densidad r es constante, o uniforme. El centro de masa de un objeto homogéneo coincide con el centroide de su volumen.

357

358

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

El centro de masa de una placa homogénea con espesor uniforme coincide con el centroide del área de su sección transversal.

A

Visra frontal

Vista lateral

y

El centro de masa de una barra delgada homogénea con un área de sección transversal uniforme, coincide aproximadamente con el centroide del eje de la barra. x

z

Ejemplo activo 7.16

Representación del peso de una barra en forma de L ( Relacionado con el problema 7.99) La masa de la barra delgada homogénea que se muestra en la figura es de 80 kg. ¿Qué valor tienen las reacciones en A y B?

B

1m

A 1m

Estrategia Las reacciones pueden determinarse de dos maneras: Primer método Se representa el peso de cada segmento recto de la barra mediante una fuerza que actúa en el centro de masa del segmento. Segundo método Se determina el centro de masa de toda la barra, el cual se encuentra en el centroide de su eje y se representa el peso de la barra mediante una sola fuerza que actúa en el centro de masa. Solución Primer método

y B

1m

(40)(9.81) N x

Ax

(40)(9.81) N

Ay 0.5 m

Fx  Ax  B  0, Fy  Ay  (40)(9.81) N  (40)(9.81) N  0, Mpunto A  (1 m)B  (1 m)[(40)(9.81) N]  (0.5 m)[(40)(9.81) N]  0. Resolviendo se obtiene Ax  589 N, Ay  785 N y B  589 N.

0.5 m

Represente el peso de cada segmento recto mediante una fuerza que actúa en el centro de masa del segmento y aplique el equilibrio.

7.7 Centros de masa de objetos

Segundo método y 2

0.5 m 1

x

0.5 m

x

x1L1  x2L2 (0.5)(1)  (1)(1)   0.75 m, L1  L2 11

y

(0)(1)  (0.5)(1) y1L1  y2L2   0.25 m, 11 L1  L2

Trate al eje de la barra como una línea compuesta por las partes 1 y 2 y calcule las coordenadas de su centroide.

y B

1m

x (80)(9.81) N

Ax Ay 0.75 m

Fx  Ax  B  0, Fy  Ay  (80)(9.81) N  0, Mpunto A  (1 m)B  (0.75 m) [(80)(9.81) N]  0. Resolviendo se obtiene de nuevo Ax  589 N, Ay  785 N, y B  589 N.

Coloque el peso de toda la barra en su centro de masa y aplique el equilibrio.

Problema de práctica La masa de la barra circular homogénea que se muestra en la figura es de 80 kg. ¿Qué valores tienen las reacciones en A y B? B

1m

A

Respuesta: Ax  500 N, Ay  785 N, B  500 N.

359

360

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Cilindro con densidad no uniforme ( Relacionado con el problema 7.105)

Ejemplo 7.17

Determine la masa del cilindro que se muestra en la figura y la posición de su centro de masa si a) es homogéneo con densidad r0 y b) si su densidad está dada por la ecuación r  r0(1  xL).

y

z A

Estrategia En (a), la masa del cilindro es simplemente el producto de su densidad por su volumen, y el centro de masa se encuentra en el centroide de su volumen. En la parte (b), el cilindro no es homogéneo y se deben usar las ecuaciones (7.24) y (7.26) para determinar su masa y su centro de masa.

L x

Solución (a) El volumen del cilindro es LA, por lo que su masa es r0LA. Como el centro de masa coincide con el centroide del volumen del cilindro, las coordenadas del centro de masa son x–  –12 L, y–  0, –z  0. (b) La masa del cilindro puede determinarse usando un elemento de volumen dV en la forma de un disco de espesor dx (figura a). El volumen dV  A dx. La masa del cilindro es

y

L

dV

z

m =

x

Lv

r dV =

L0

r0 a1 +

x 3 bA dx = r0 AL. L 2

La coordenada x del centro de masa es dx

x L

(a) Elemento de volumen dV en la forma de un disco.

x =

Lv

xr dV

Lv

= r dV

L0

r0 ax +

x2 bA dx L

3 r AL 2 0

=

5 L. 9

Como la densidad no depende de y o z, se sabe por simetría que –y  0 y –z  0.

Razonamiento crítico Observe que el centro de masa de un cilindro no homogéneo no se localiza en el centroide de su volumen. Su densidad aumenta de izquierda a derecha, por lo que el centro de masa se ubica a la derecha del punto medio del cilindro. Muchos de los objetos que se estudian en ingeniería no son homogéneos, pero no es común que la densidad del objeto varíe en forma continua a través de su volumen, como en este ejemplo. Con mayor frecuencia, los objetos consisten en ensambles de partes (compuestos) que tienen diferentes densidades porque están hechas de materiales distintos. A menudo, las partes individuales son aproximadamente homogéneas. En la siguiente sección se analiza la determinación de los centros de masa de este tipo de objetos compuestos.

361

Problemas

Problemas  7.99 Suponga que la barra del ejemplo activo 7.16 se remplaza con esta barra homogénea de 100 kg. a) ¿Cuál es la coordenada x del centro de masa de la barra? b) Determine las reacciones en A y B. y

0.5 m

7.102 La barra mostrada tiene una masa de 80 kg. ¿Qué valor tienen las reacciones en A y B?

A

B

2m 2m 1m

B

A

Problema 7.102

x 1m

Problema 7.99

7.100 La masa de la placa plana homogénea es de 50 kg. Determine las reacciones en los soportes en A y B.

7.103 La masa por unidad de longitud de la barra mostrada es de 2 kg/m. Elija la dimensión b para que la parte BC de la barra suspendida sea horizontal. ¿Qué valor tiene la dimensión b y cuáles son las reacciones resultantes sobre la barra en A?

100 mm

400 mm

A 1m

200 mm B

A

B 600 mm 800 mm

30

600 mm b

Problema 7.100

7.101 El letrero suspendido que se muestra en la figura consiste en una placa plana homogénea con masa de 130 kg. Determine las fuerzas axiales en las barras AD y CE (note que el eje y es positivo hacia abajo).

C

Problema 7.103

7.104 La parte semicircular de la barra delgada homogénea pertenece al plano x–z. Determine el centro de masa de la barra. A

2m

4m

C

y 1m

E B

x

D 10 pulg 16 pulg y

y  1  0.0625x2

Problema 7.101

12 pulg z

x

Problema 7.104

362

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

 7.105 La densidad del cono está dada por la ecuación r  r0(1  xh), donde r0 es una constante. Use el procedimiento descrito en el ejemplo 7.17 para demostrar que la masa del cono está dada por m  (74)r0V, donde V es el volumen del cono, y que la coordenada x del centro de masa del cono es x–  (2735)h.

7.106 Un cono horizontal con 800 mm de longitud y 200 mm de radio tiene un soporte fijo en el punto A de la figura. Su densidad es r  6000(1  0.4x2) kg/m3, con x en metros. ¿Qué valor tienen las reacciones en A? y

y 200 mm x

A

z

800 mm

R

Problema 7.106

x h

Problema 7.105

7.8 Centros de masa de objetos compuestos ANTECEDENTES Las coordenadas del centro de masa de un objeto que consiste en una combinación de partes pueden determinarse si los centros de masa de sus partes son conocidos. Las coordenadas del centro de masa de un objeto compuesto por partes con masas m1, m2, . . . , son

a xi mi x =

i

a yi mi ,

y =

a mi

i

a zi mi ,

z =

a mi

i

i

,

(7.27)

a mi

i

i

donde –x i, –y i, –z i son las coordenadas de los centros de masa de las partes. Como los pesos de las partes están relacionados con sus masas por Wi  gmi, las ecuaciones (7.27) también se pueden expresar como

a xi Wi x =

i

a yi Wi ,

a Wi i

y =

i

a zi Wi ,

a Wi i

z =

i

.

(7.28)

a Wi i

Cuando se conocen las masas o los pesos y los centros de masa de las partes de un objeto compuesto, se pueden usar esas ecuaciones para determinar su centro de masa. La determinación del centro de masa de un objeto compuesto requiere de tres pasos: 1. Escoger las partes. Trate de dividir el objeto en partes cuyos centros de masa se conozcan o puedan determinarse con facilidad. 2. Determinar los valores para las partes. Determine el centro de masa y la masa o peso de cada parte. Vea si hay relaciones de simetría que puedan simplificar la tarea. 3. Calcular el centro de masa. Use las ecuaciones (7.27) o (7.28) para determinar el centro de masa del objeto compuesto.

7.8 Centros de masa de objetos compuestos

Ejemplo activo 7.18

363

Centro de masa de un objeto compuesto ( Relacionado con el problema 7.107) y

La pieza de máquina en forma de L que se muestra en la figura está compuesta por dos barras homogéneas. La barra 1 es de una aleación de tungsteno con densidad de 14,000 kg/m3. La barra 2 es de acero con densidad de 7800 kg/m3. Determine la coordenada x del centro de masa de esta pieza. 240 mm

1

Estrategia Se puede determinar la masa y la coordenada x del centro de masa de cada barra homogénea y aplicar la ecuación (7.27)1.

40 mm 2 80 mm

Solución

80 mm

z

El volumen de la barra 1 es V1  (80 mm)(240 mm)(40 mm)

240 mm x

 7.68  105 mm3  7.68  104 m3, por lo que su masa es m1  r1V1

Masa de barra 1.

 (14,000 kg/m3)(7.68  104 m3)  10.8 kg. El centro de masa coincide con el centroide del volumen de la barra, entonces 1 x1  (80 mm)  40 mm. 2 La barra 2 tiene el mismo volumen que la barra 1, por lo que la masa de la barra 2 es m2  r2V2

Centro de masa de la barra 1.

Masa de la barra 2.

 (7800 kg/m3)(7.68  104 m3)  5.99 kg. La coordenada x del centroide del volumen de la barra es 1 x2  80 mm  (240 mm)  200 mm. 2 x

Centro de masa de la barra 2.

x1m1  x2m2 m1  m2

(40 mm)(10.8 kg)  (200 mm)(5.99 kg) 10.8 kg  5.99 kg  97.2 mm. 

Aplique la ecuación (7.27)1.

Problema de práctica Determine la coordenada y del centro de masa de la pieza de máquina en forma de L. Respuesta: –y  91.4 mm.

364

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.19

Centro de masa de un objeto compuesto ( Relacionado con el problema 7.109) El objeto compuesto de la figura consiste en una barra soldada a un cilindro. La barra homogénea es de aluminio (peso específico de 168 lb/pie3), y el cilindro homogéneo es de bronce (peso específico de 530 lb/pie3). Determine el centro de masa del objeto.

Vista frontal

Vista lateral

y

y

2 pulg x

z

4 pulg 5 5 pulg pulg 12 pulg

10 pulg

Estrategia Se puede determinar el peso de cada una de las partes homogéneas multiplicando su volumen por su peso específico. También se sabe que el centro de masa de cada parte coincide con el centroide de su volumen. El centroide del cilindro se localiza en su centro, pero es necesario determinar la localización del centroide de la barra tratándola como un volumen compuesto. Solución El volumen del cilindro es Vcilindro  (12 pulg)[p(4 pulg)2  p(2 pulg)2]  452 pulg3  0.262 pie3, por lo que su peso es Wcilindro  (0.262 pie3)(530 lb/pie3)  138.8 lb. La coordenada x de su centro de masa es –x cilindro  10 pulg. El volumen de la barra es Vbarra  (10 pulg)(8 pulg)(2 pulg)  –21 p(4 pulg)2(2 pulg)  –21 p(4 pulg)2(2 pulg)  160 pulg3  0.0926 pie3, y su peso es Wbarra  (0.0926 pie3)(168 lb/pie3)  15.6 lb. El centroide del volumen de la barra puede determinarse tratando ésta como un volumen compuesto que consta de tres partes (figura a). La parte 3 es un “recorte” semicircular. Los centroides de la parte 1 y del recorte semicircular 3 se localizan

7.8 Centros de masa de objetos compuestos

1 y 2 1

3 x

3

4(4) pulg 3p

10 pulg

4(4) pulg 3p

(b) Centroides de las dos partes semicirculares.

(a) División de la barra en tres partes.

en los centroides de sus secciones transversales semicirculares (figura b). Usando la información resumida en la tabla, se tiene

x 1V1 + x 2V2 + x 3V3 –xx bar = barra V1 + V2 + V3 4142 -

3p

[21 p1422122] + 5[1102182122] - c10 1 2 2 p142 122

=  1.86 pulg.

4142 3p

d[21 p1422122]

+ 1102182122 - 21 p1422122

Información para determinar la coordenada x del centroide de la barra x– (pulg) V (pulg3) x– V (pulg4) i

Parte 1

4142 3p

1 2 2 p142 122

5

(10)(8)(2)

-

Parte 2 Parte 3

i

10 -

4142 3p

- 21 p1422122

i

i

4142 -

3p

C 21 p1422122 D

5[(10)(8)(2)] - c10 -

4142 3p

d C 21 p1422122 D

Por lo tanto, la coordenada x del centro de masa del objeto compuesto es x = =

x barraWbarra + x cilindroWcilindro Wbarra + Wcilindro 11.86 pulg2115.6 lb2 + 110 pulg21138.8 lb2 15.6 lb + 138.8 lb

= 9.18 pulg. Debido a la simetría de la barra, las coordenadas y y z de su centro de masa son y–  0 y –z  0. Razonamiento crítico El objeto compuesto de este ejemplo no es homogéneo, lo que significa que no se podría suponer que su centro de masa coincide con el centroide de su volumen. Pero la barra y el cilindro son homogéneos de manera independiente, entonces podrían determinarse sus centros de masa individuales encontrando los centroides de sus volúmenes. El reto principal en este ejemplo fue determinar el centroide del volumen de la barra con su extremo semicircular y su recorte semicircular.

365

366

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Centros de masa de vehículos ( Relacionado con los problemas 7.115, 7.116)

Ejemplo 7.20

Un automóvil se coloca sobre una plataforma que mide la fuerza normal ejercida por cada llanta en forma independiente. En la tabla siguiente se muestran los pesos registrados con la plataforma horizontal y con la plataforma inclinada a a  15°. Determine la posición del centro de masa del automóvil. Mediciones de las fuerzas normales ejercidas por las llantas

Distancia entre ejes = 2.82 m Ancho entre ruedas = 1.55 m

Cargas medidas (N)

Rueda frontal izquierda, NLF Rueda frontal derecha, NRF Rueda trasera izquierda, NLR Rueda trasera derecha, NRR

a0

a  15°

5104 5027 3613 3559

4463 4396 3956 3898

Ancho entre ruedas

Distancia entre ejes

a

Estrategia Las mediciones dadas indican las reacciones normales ejercidas por la plataforma sobre las llantas del automóvil. Al dibujar diagramas de cuerpo libre del vehículo en las dos posiciones y aplicar las ecuaciones de equilibrio, se obtendrán ecuaciones de las cuales se pueden despejar las coordenadas desconocidas del centro de masa del automóvil. y

Solución En las figuras a y b se dibuja el diagrama de cuerpo libre del automóvil con la plataforma en posición horizontal. El peso del vehículo es

x

W  NLF  NRF  NLR  NRR NLR  NRR

W

x NLF  NRF

Distancia entre ejes

(a) Vista lateral del diagrama de cuerpo libre con la plataforma horizontal.

 5104  5027  3613  3559  17,303 N. A partir de la figura a, se obtiene la ecuación de equilibrio Meje z  (distancia entre ejes)(NLF  NRF)  –x W  0,

7.8 Centros de masa de objetos compuestos

367

de la cual es posible despejar –x : x = =

1distancia entre ejes21NLF + NRF2 W 12.82 m215104 N + 5027 N2 17,303 N

= 1.651 m. De la figura b, z

Meje x  –z W  (ancho entre ruedas)(NRF  NRR)  0, de donde puede despejarse –z : z = =

1ancho entre ruedas21NRF + NRR2 z

W

NRF  NRR

11.55 m215027 N + 3559 N2

del automóvil cuando la plataforma está inclinada (figura c). De la ecuación de equilibrio M  (distancia entre ejes)(N  N )  –y W sen 15°  –x W cos 15° eje z

LF

RF

 0, se obtiene

=

xW cos15° - 1distancia entre ejes21NLF + NRF2 W sen 15° 11.651 m2117,303 N2 cos 15° - 12.82 m214463 N + 4396 N2 117,303 N2 sen 15°

= 0.584 m. Observe que –y no podría haberse determinado sin las mediciones hechas con el automóvil en la posición inclinada. y

x

x N LF

 N RF

W

y

15

W

NLF  NLR

Track

17,303 N

= 0.769 m. Ahora que se conoce –x , se puede determinar –y a partir del diagrama de cuerpo libre

y =

y

ejes  N RR entre N LR a i c n Dista

(c) Vista lateral del diagrama de cuerpo libre con la plataforma inclinada.

(b) Vista frontal del diagrama de cuerpo libre con la plataforma horizontal.

368

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Problemas  7.107 En el ejemplo activo 7.18, suponga que la barra 1 se remplaza por una barra con las mismas dimensiones, la cual está hecha de una aleación de aluminio con una densidad de 2600 kg/m3. Determine la coordenada x del centro de masa de la pieza de máquina.

7.111 En la figura se muestran dos vistas de un elemento de máquina. La parte 1 es de una aleación de aluminio con densidad de 2800 kg/m3, y la parte 2 es de acero con densidad de 7800 kg/m3. Determine las coordenadas de su centro de masa. y

y 1

24 mm

7.108 El tubo cilíndrico mostrado está hecho de aluminio con densidad de 2700 kg/m3; el tapón cilíndrico está hecho de acero con densidad de 7800 kg/m3. Determine las coordenadas del centro de masa del objeto compuesto.

2

8 mm

18 mm

y x

8 mm z

20 mm

z

60 mm

16 mm

50 mm

Problema 7.111 7.112 Se tienen las cargas F1  F2  25 kN. La masa de la armadura es de 900 kg. Los elementos de la armadura son barras homogéneas con la misma sección transversal uniforme. a) ¿Cuál es la coordenada x del centro de masa de la armadura? b) Determine las reacciones en A y en G. F1 y

x y

y

Tubo

D

A

Tapón

20 mm x

3m

z

100 mm

100 mm

F2

B

35 mm

E

A

3m

Sección A-A

G

A

Problema 7.108

x

C 4m

4m

 7.109 En el ejemplo 7.19, suponga que el objeto se rediseña de manera que el radio del cilindro hueco se incrementa de 2 pulg a 3 pulg. ¿Cuál es la coordenada x del centro de masa del objeto? 7.110 Una máquina consta de tres partes. Las masas y las posiciones de los centros de masa de dos de las partes son

Parte

Masa (kg)

x– (mm)

–y (mm)

–z (mm)

1

2.0

100

50

20

2

4.5

150

70

0

La masa de la parte 3 es de 2.5 kg. El ingeniero encargado del diseño quiere colocar la parte 3 de modo que la ubicación del centro de masa de la máquina sea x–  120 mm, y–  80 mm, –z  0. Determine la posición requerida para el centro de masa de la parte 3.

Problema 7.112 7.113 Con el motor retirado, la masa del automóvil mostrado es de 1100 kg y su centro de masa está en C. La masa del motor es de 220 kg. a) Suponga que se desea situar el centro de masa E del motor de manera que el centro de masa del automóvil quede a la mitad de la distancia entre las ruedas frontales A y las traseras B. ¿Qué valor debe tener la distancia b? b) Si el automóvil se estaciona sobre una pendiente de 15° y de frente a ésta, ¿qué valor tiene la fuerza normal ejercida por el suelo sobre las ruedas traseras B?

E C 0.6 m

0.45 m A

B

1.14 m b 2.60 m

Problema 7.113

369

Problemas de repaso 7.114 El avión que se muestra en la figura se encuentra estacionado con su tren de aterrizaje descansando sobre balanzas. Los pesos registrados en A, B y C son 30 kN, 140 kN y 146 kN respectivamente. Después de que una caja se carga en el avión, los pesos registrados en A, B y C son 31 kN, 142 kN y 147 kN, respectivamente. Determine la masa y las coordenadas x e y del centro de masa de la caja.

 7.116 Un grupo de estudiantes de ingeniería construye un dispositivo en miniatura del tipo descrito en el ejemplo 7.20 y lo usa para determinar el centro de masa de un vehículo. Los datos que obtienen se muestran en la siguiente tabla: Distancia entre ejes = 36 pulg Ancho entre ruedas = 30 pulg

B

6m

 7.115 Una maleta de 90 kg se coloca en la cajuela del automóvil descrito en el ejemplo 7.20. La posición del centro de masa de la maleta es –x s  0.533 m, –y s  0.762 m, –z s  0.305 m. Si se considera a la maleta como parte del automóvil, ¿cuál es la nueva posición del centro de masa del automóvil?

A

a0

a  10°

Rueda frontal izquierda, NLF

35

32

Rueda frontal derecha, NRF

36

33

Rueda trasera izquierda, NLR

27

34

Rueda trasera derecha, NRR

29

30

x

C

6m

10 m

Cargas medidas (lb)

y

Determine el centro de masa del vehículo. Use el mismo sistema coordenado que en el ejemplo 7.20.

Problema 7.114

Problemas de repaso 7.117 Determine el centroide del área mostrada considerando que dA es una tira vertical con un ancho dx.

7.120 Determine el centroide del área mostrada. y

7.118 Determine el centroide del área mostrada considerando que dA es una tira horizontal con una altura dy. 40 mm

y

20 mm (1, 1)

40 mm

y  x2

80 mm

Problemas 7.117/7.118

x

x

7.119 Determine el centroide del área mostrada.,

120 mm

y

160 mm

Problema 7.120

60 cm

x 80 cm

Problema 7.119

60 cm

370

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.121 La viga en voladizo que se muestra en la figura está sujeta a una carga triangular distribuida. ¿Qué valor tienen las reacciones en A?

7.124 Determine las reacciones sobre el elemento ABCD mostrado en A y D. 2 kN/m

2 kN/m

y

D

E

1m

1m

200 N/m

C 1m

A

x

B

10 m 1m

Problema 7.121

A

7.122 ¿Qué valor tiene la carga axial en el elemento BD del bastidor mostrado?

F 1m

C

100 N/m

Problema 7.124 7.125 Estime el centroide del volumen de la configuración de retorno del módulo lunar Apolo (sin incluir la tobera de su cohete) considerándolo como un cono y un cilindro.

5m

B

D y

5m E

A

12.8 pies

x

10 m Tobera

Problema 7.122

10 pies

7.123 Un ingeniero estima que la carga máxima del viento sobre la torre de 40 m que se muestra en la figura a puede describirse mediante la carga distribuida de la figura b. La torre está soportada por tres cables, A, B y C, desde la punta de la torre hasta puntos igualmente espaciados a 15 m de la base de la torre (figura c). Si el viento sopla desde el oeste y los cables B y C están flojos, ¿cuál es la tensión en el cable A? (Modele la base de la torre como un soporte de cuenca y bola.)

14 pies

Problema 7.125 7.126 La forma de la tobera de la configuración de retorno lunar del cohete Apolo se obtiene en forma aproximada haciendo girar la curva mostrada alrededor del eje x. En términos de las coordenadas indicadas, determine el centroide del volumen de la tobera. y y  0.350  0.435x  0.035x2

200 N/m B

N

A

40 m

x

15 m C A

B, C (a)

400 N/m (b)

Problema 7.123

(c)

2.83 m

Problema 7.126

Problemas de repaso 7.127 Determine las coordenadas del centroide del volumen.

371

7.130 Determine la coordenada x del centro de masa de la placa homogénea de acero mostrada.

y y

120 mm

220 mm 100 mm

40 mm

150 mm

z 30 mm

20 mm

x 50 mm

x

Problema 7.130

Problema 7.127

7.128 Determine el área superficial del volumen de revolución que se muestra en la figura.

7.131 El área de la placa homogénea mostrada es de 10 pies2. Las reacciones verticales sobre la placa en A y B son de 80 lb y 84 lb respectivamente. Suponga que desea igualar las reacciones en A y B taladrando un agujero de 1 pie de diámetro en la placa. ¿A qué distancia horizontal de A debe estar el agujero? ¿Qué valor tienen las reacciones resultantes en A y B?

5 pulg A

9 pulg

B

5 pies

6 pulg

Problema 7.131

Problema 7.128

7.129 Determine la coordenada y del centro de masa de la placa homogénea de acero mostrada. y

7.132 La placa mostrada es de espesor uniforme y está hecha de un material homogéneo cuya masa por unidad de área de la placa es de 2 kg/m2. Las reacciones verticales en A y B son de 6 N y 10 N respectivamente. ¿Cuál es la coordenada x del centroide del agujero?

20 mm 10 mm 1m

20 mm

x

80 mm

Problema 7.129

B

A

20 mm

2m

Problema 7.132

372

Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.133 Determine el centro de masa de la lámina de metal homogénea que se muestra en la figura. y

7.136 El esquema mostrado sirve para determinar la posición del centro de masa de una persona. Un tablón horizontal tiene un soporte de pasador en A y descansa sobre una balanza que registra pesos en B. La distancia entre A y B es de 2.3 m. Cuando la persona no está sobre el tablón, la escala en B registra 90 N. a) Cuando una persona de 63 kg está en la posición (1), la balanza en B registra 496 N. ¿Cuál es la coordenada x del centro de masa de la persona?

x

b) Cuando la misma persona está en la posición (2), la balanza registra 523 N. ¿Cuál es la coordenada x del centro de masa de la persona?

4 pulg

8 pulg y z 12 pulg 9 pulg

Problema 7.133 7.134 Determine el centro de masa del objeto homogéneo mostrado.

B x

A

60 mm z

(1)

10 mm

y

y B

60 mm 20 mm 30 mm

z x

x

A (2)

x

Problema 7.136

y

30 mm

7.137 Si se amarra una cuerda a la barra en A y se permite que la barra mostrada cuelgue libremente, ¿cuál será el ángulo entre AB y la vertical?

10 mm

z

B

Problema 7.134 7.135 Determine el centro de masa del objeto homogéneo mostrado. y

5 pulg

1.5 pulg

4 pulg x A z Vista superior

z

8 pulg

Problema 7.137 x

y 1 pulg

3 pulg

x 2 pulg Vista lateral

Problema 7.135

Problemas de repaso 7.138 Si el camión que se muestra en la figura está descargado, las reacciones totales en las ruedas delanteras y traseras son A  54 kN y B  36 kN. La densidad de la carga de grava es r  1600 kg/m3. La dimensión de la carga en la dirección z es de 3 m y el perfil de su superficie, dado por la función mostrada, no depende de z. ¿Qué valor tienen las reacciones totales en las ruedas del camión cuando éste se encuentra cargado? y y  1.5  0.45x  0.062x 2

x

B

A 2.8 m

3.6 m 5.2 m

Problema 7.138

7.139 La masa de la Luna es 0.0123 veces la masa de la Tierra. Si el centro de masa de la Luna está a 383,000 km del centro de masa de la Tierra, ¿qué distancia hay del centro de masa de la Tierra al centro de masa del sistema Tierra-Luna?

373

Proyecto de diseño 7.140 Construya una placa delgada homogénea con la forma mostrada en la figura a (use el cartón de una libreta para construir la placa; elija sus dimensiones de manera que la placa resulte lo más grande posible). Calcule la posición del centro de masa de la placa. Midiendo con el mayor cuidado posible, marque con claridad el centro de masa en ambos lados de la placa. Luego realice los siguientes experimentos. a) Equilibre la placa sobre un dedo (figura b) y observe que lo hace sobre su centro de masa. Explique el resultado de este experimento dibujando un diagrama de cuerpo libre de la placa. b) Este experimento requiere una aguja o un clavo delgado, un tramo de cordel y un pequeño peso. Ate el peso a un extremo del cordel y haga un lazo pequeño en el otro extremo. Inserte la aguja en la placa en cualquier punto que no sea el centro de masa. Sostenga horizontalmente la aguja de modo que la placa cuelgue libremente (figura c). Use el lazo para colgar el peso de la aguja y deje que cuelgue libremente de modo que la cuerda se encuentre a lo largo de la cara de la placa. Observe que la cuerda pasa por el centro de masa de la placa. Repita este experimento varias veces, insertando la aguja en varios puntos de la placa. Explique los resultados de este experimento dibujando un diagrama de cuerpo libre de la placa. c) Sostenga la placa de modo que el plano de ésta sea vertical, y láncela hacia arriba haciéndola girar como un frisbee. Observe que la placa gira alrededor de su centro de masa.

1

1

1

1 (a)

(b)

(c)

CAPÍTULO

8 Momentos de inercia Las cantidades llamadas momentos de inercia surgen frecuentemente en los análisis de problemas de ingeniería. Los momentos de inercia de áreas se utilizan en el estudio de fuerzas distribuidas y en el cálculo de deflexiones de vigas. El momento ejercido por la presión sobre una placa plana sumergida se puede expresar en términos del momento de inercia del área de la placa. En dinámica, los momentos de inercia de masa se usan para calcular los movimientos giratorios de objetos. En este capítulo se muestra cómo calcular los momentos de inercia de áreas y objetos sencillos, y luego se emplean los resultados llamados teoremas de los ejes paralelos para calcular momentos de inercia de áreas y objetos más complejos.

 La resistencia a la flexión de una viga y su capacidad para soportar cargas dependen de una propiedad de su sección transversal llamada momento de inercia. En este capítulo se define y se muestra cómo calcular momentos de inercia de áreas.

376

Capítulo 8 Momentos de inercia

ÁREAS 8.1 Definiciones Considere un área A en el plano x-y (figura 8.1a). Se definen cuatro momentos de inercia de A: 1. Momento de inercia respecto al eje x:

Ix =

LA

y 2 dA,

(8.1)

donde y es la coordenada y del elemento diferencial de área dA (figura 8.1b). En ocasiones, este momento de inercia se expresa en términos del radio de giro respecto al eje x, kx, el cual se define mediante

Ix = kx2 A.

(8.2)

2. Momento de inercia respecto al eje y:

Iy =

LA

x 2 dA,

(8.3)

donde x es la coordenada x del elemento dA (figura 8.1b). El radio de giro respecto al eje y, ky, está definido por

Iy = k y2 A.

(8.4)

y

A

x (a) y

dA y r x

x (b)

Figura 8.1 (a) Área A en el plano x-y. (b) Elemento diferencial de A.

8.1 Definiciones

3. Producto de inercia:

Ix y =

LA

xy dA.

(8.5)

4. Momento polar de inercia:

JO =

LA

r 2 dA,

(8.6)

donde r es la distancia radial desde el origen del sistema coordenado hasta dA (figura 8.1b). El radio de giro respecto al origen, kO, se define como

JO = kO2 A.

(8.7)

El momento polar de inercia es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a los ejes x e y:

JO =

LA

r 2 dA =

LA

1y 2 + x 22 dA = Ix + Iy.

Al sustituir en esta ecuación las expresiones para los momentos de inercia en términos de los radios de giro se obtiene

kO2 = kx2 + k y2. Las dimensiones de los momentos de inercia de un área son (longitud)4, y los radios de giro tienen dimensiones de longitud. Observe que las definiciones de los momentos de inercia Ix, Iy y JO y las de los radios de giro implican que éstos tienen valores positivos para cualquier área. No pueden ser negativos ni iguales a cero. Si un área A es simétrica respecto al eje x, para cada elemento dA con coordenadas (x, y), existe un elemento dA correspondiente con coordenadas (x, y), como se muestra en la figura 8.2. Las contribuciones de estos dos elementos al producto de inercia Ixy del área se cancelan: xy dA  (xy) dA  0. Esto significa que el producto de inercia del área es igual a cero. Se puede usar el mismo tipo de argumento para un área que es simétrica respecto al eje y. Si un área es simétrica respecto al eje x o al eje y, su producto de inercia es igual a cero.

y

A

dA

(x, y)

dA

(x, y)

x

Figura 8.2

377

378

Capítulo 8 Momentos de inercia

Momentos de inercia de un área triangular ( Relacionado con los

Ejemplo activo 8.1

problemas 8.1–8.3) Determine Ix e Iy para el área triangular mostrada.

y

Estrategia La ecuación (8.3) para el momento de inercia respecto al eje y es muy parecida en su forma a la ecuación para la coordenada x del centroide de un área, y es posible evaluarla exactamente del mismo modo, usando un elemento diferencial de área dA en forma de una tira vertical de ancho dx. Después se demostrará que Ix puede evaluarse utilizando el mismo elemento de área.

h

Solución

x

y

b

dA

h

f(x)  –h x b x

x dx

b

Iy 

x2dA

LA

b



x2f(x)dx

L0

b



x2

 b  xdx h

La altura de una tira de ancho dx en la posición x es f(x)  (h/b)x, por lo que su área es dA  f(x) dx. Use esta expresión para evaluar la ecuación (8.3).

L0 1  hb3. 4

Para evaluar Ix, primero se determina el momento de inercia de la tira vertical dA respecto al eje x. y

dAs dy

f(x)

y x

x dx

(Ix)tira 

Ltira

y2dAs

f(x)



(y2dx)dy

L0 1 3  [f(x)] dx. 3

Sea dAs un elemento de la tira vertical dA; aplique la ecuación 8.1.

8.1 Definiciones

379

b

Ix 

1 [f(x)]3dx L0 3 b

Integre la expresión para (Ix)tira con respecto a x desde x  0 hasta x  b para determinar el Ix del triángulo.

3

  dx

1 h  x L0 3 b 1  bh3. 12

Problema de práctica Determine Ixy para el área triangular mostrada. Hágalo determinando el producto de inercia de la tira vertical dA para después integrar la expresión resultante con respecto a x desde x  0 hasta x  b. Respuesta: Ixy 

1 2 2 bh. 8

Momentos de inercia de un área circular ( Relacionado con el problema 8.21)

Ejemplo 8.2

Determine los momentos de inercia y los radios de giro del área circular mostrada.

y

Estrategia Primero se determinará el momento polar de inercia JO integrando en términos de coordenadas polares. Por la simetría del área, se sabe que Ix  Iy y como Ix Iy  JO, 1 cada uno de los momentos de inercia Ix e Iy es igual a 2 JO. También se sabe, por la simetría del área, que Ixy  0.

x

Solución R

Si se deja que r cambie una cantidad dr, se obtiene un elemento anular de área dA  2p r dr (figura a). El momento polar de inercia es R

JO =

LA

r 2 dA =

L0

2pr 3 dr = 2pc

r4 R 1 d = pR 4, 4 0 2

y el radio de giro respecto a O es

kO =

JO 11>22pR 4 1 = = R. 2 CA C pR 22

y dA

Los momentos de inercia respecto a los ejes x e y son

1 1 Ix = Iy = JO = pR 4, 2 4

dr r x

y los radios de giro respecto a los ejes x e y son

kx = ky =

Ix 11>42pR 4 1 = = R. 2 CA C pR 2

El producto de inercia es igual a cero:

Ixy = 0. Razonamiento crítico Por la simetría de este ejemplo, no hubo necesidad de integrar para determinar Ix, Iy e Ixy. Se recomienda estar alerta respecto a simetrías que puedan reducir el trabajo. En particular, recuerde que Ixy  0 si el área es simétrica respecto a alguno de los ejes, x o y.

(a) Elemento anular dA.

380

Capítulo 8 Momentos de inercia

Problemas  8.1 Use el método descrito en el ejemplo activo 8.1 para determinar Iy y ky del área rectangular mostrada.  8.2 Use el método descrito en el ejemplo activo 8.1 para determinar Ix y kx del área rectangular mostrada.

8.4 a) Determine el momento de inercia Iy de la sección transversal de la viga rectangular mostrada con respecto al eje y. b) Determine el momento de inercia Iy de la sección transversal de la viga respecto al eje y. Use sus valores numéricos para demostrar que Iy  Iy  d 2x A, donde A es el área de la sección transversal.

y

8.5 a) Determine el momento polar de inercia JO de la sección transversal de la viga rectangular mostrada con respecto al origen O. b) Determine el momento polar de inercia JO de la sección transversal de la viga respecto al origen O. Use sus valores numéricos para demostrar que JO  JO  (d 2x  d 2y)A, donde A es el área de la sección transversal.

0.6 m

y x

0.2 m

y dx

0.4 m

Problemas 8.1/8.2 60 mm

 8.3 En el ejemplo activo 8.1, suponga que el área triangular se reorienta en la forma mostrada en la figura. Use integración para determinar Iy y ky.

x O dy

y

x

O 40 mm

Problemas 8.4/8.5 8.6 Determine Iy y ky.

h

8.7 Determine JO y kO. x b

8.8 Determine Ixy. y

Problema 8.3

0.6 m 0.3 m x 1m

Problemas 8.6–8.8

Problemas 8.9 Determine Iy.

8.17 Determine Iy y ky.

8.10 Determine Ix.

8.18 Determine Ix y kx.

381

y

8.11 Determine JO.

y

8.12 Determine Ixy.

1 2 x  4x  7 4 y5

y y  2  x2 x

Problemas 8.17/8.18 8.19 a) Determine Iy y ky de la figura, considerando a dA como una tira vertical de ancho dx. b) El momento polar de inercia de un área circular con su centro en el origen es JO = 21 pR 4. Explique cómo se puede usar esta información para verificar su respuesta al inciso a).

1

8.20 a) Determine Ix y kx de la figura considerando a dA como una tira horizontal de altura dy. b) El momento polar de inercia de un área circular con su centro en el origen es JO = 21 pR 4. Explique cómo se puede usar esta información para verificar su respuesta al inciso a).

x

Problemas 8.9–8.12

y

8.13 Determine Iy y ky. 8.14 Determine Ix y kx. x

8.15 Determine JO y kO.

R

8.16 Determine Ixy. y 1 y   x2  4x  7 4

Problemas 8.19/8.20  8.21 Use el procedimiento descrito en el ejemplo 8.2 para determinar los momentos de inercia Ix e Iy para el anillo que se muestra en la figura. y

x Ro

Problemas 8.13–8.16

x Ri

Problema 8.21

382

Capítulo 8 Momentos de inercia

8.22 ¿Qué valores tienen Iy y ky para el área elíptica del ala de avión que se muestra en la figura? 8.23 ¿Qué valores tienen Ix y kx para el área elíptica del ala de avión que se muestra en la figura?

8.26 La placa vertical de área A que se muestra en la figura se encuentra bajo la superficie de un cuerpo de agua en reposo. La presión del agua somete a cada elemento dA de la superficie de la placa a una fuerza ( pO  gy)dA, donde pO es la presión en la superficie del agua y g es la densidad del agua. Demuestre que la magnitud del momento respecto al eje x debido a la presión sobre la cara frontal de la placa es

y

Meje x = pOyA + gIx,

y2 x2  21 2 b a

donde y es la coordenada y del centroide de A e Ix es el momento de inercia de A respecto al eje x. x

2m

x 5m

A

Problemas 8.22/8.23 y

8.24 Determine Iy y ky.

Problema 8.26

8.25 Determine Ix y kx. y

y  x2  20

yx x

Problemas 8.24/8.25

383

8.2 Teorema de los ejes paralelos

8.2 Teorema de los ejes paralelos ANTECEDENTES Los valores de los momentos de inercia de un área dependen de la posición del sistema coordenado en relación con el área. En algunas situaciones, los momentos de inercia de un área se conocen en términos de un sistema coordenado particular pero se requieren sus valores en términos de un sistema coordenado diferente. Cuando los sistemas coordenados son paralelos, los momentos de inercia deseados pueden obtenerse mediante los teoremas que se describen en esta sección. Además, estos teoremas hacen posible determinar los momentos de inercia de un área compuesta cuando se conocen los momentos de inercia de sus partes. Suponga que se conocen los momentos de inercia de un área A en términos de un sistema coordenado xy con su origen en el centroide del área, y se desea determinar los momentos de inercia con respecto a un sistema coordenado paralelo xy (figura 8.3a). Las coordenadas del centroide de A en el sistema coordenado xy se denotan con (dx, dy) y d = 2d 2x + d 2y es la distancia desde el origen del sistema xy hasta el centroide (figura 8.3b). Es necesario obtener dos resultados preliminares antes de deducir los teoremas de los ejes paralelos. En términos del sistema coordenado xy, las coordenadas del centroide de A son

y

y

A x x

(a) y

y

x dx

dA

x

y x

x¿ =

LA

x¿dA ,

LA

y¿ =

dA

LA

d

y¿dA

LA

x¿dA = 0,

LA

dA (b)

y¿dA = 0.

(8.8)

Momento de inercia respecto al eje x En términos del sistema coordenado xy, el momento de inercia de A respecto al eje x es

Ix =

LA

y 2 dA,

(8.9)

donde y es la coordenada del elemento de área dA relativa al sistema coordenado xy. En la figura 8.3b se observa que y  y  dy, donde y es la coordenada de dA relativa al sistema coordenado xy. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (8.9), se obtiene

Ix =

LA

1y¿ + dy22 dA =

LA

1y¿22 dA + 2dy

LA

y¿dA + d y2

LA

dA.

La primera integral a la derecha es el momento de inercia de A respecto al eje x. A partir de la ecuación (8.8), la segunda integral a la derecha es igual a cero. Por lo tanto, se obtiene

Ix = Ix¿ + d y2 A.

y x

.

Pero el origen del sistema coordenado xy está localizado en el centroide de A, por lo que x¿ = 0 y y¿ = 0. Por lo tanto,

LA

dy

(8.10)

Figura 8.3 (a) Área A y sistemas coordenados xy y xy. (b) Elemento diferencial dA.

384

Capítulo 8 Momentos de inercia y

y

y

y

A x

x

dy

Figura 8.4 Teorema de los ejes paralelos para el momento de inercia respecto al eje x.

x



Ix

x



dy2A

Ix

Éste es un teorema de los ejes paralelos. Relaciona el momento de inercia de A respecto al eje x que pasa por el centroide con el momento de inercia respecto al eje x paralelo (figura 8.4). Momento de inercia respecto al eje y En términos del sistema coordenado xy, el momento de inercia de A respecto al eje y es

Iy =

=

LA LA

x 2 dA =

LA

1x¿ + dx22 dA

1x¿22 dA + 2dx

LA

x¿dA + d x2

LA

dA.

A partir de la ecuación (8.8), la segunda integral a la derecha es igual a cero. Por consiguiente, el teorema de los ejes paralelos que relaciona el momento de inercia de A respecto al eje y que pasa por el centroide con el momento de inercia respecto al eje y paralelo es

Iy = Iy¿ + d 2x A. Producto de inercia inercia es

(8.11)

En términos del sistema coordenado xy, el producto de

Ixy =

LA

xy dA =

=

LA

x¿y¿dA + dy

LA

1x¿ + dx21y¿ + dy2 dA LA

x¿dA + dx

LA

y¿dA + dx dy

LA

dA.

La segunda y tercera integrales son iguales a cero por la ecuación (8.8). Se observa que el teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia es

Ixy = Ix¿y¿ + dx dy A.

(8.12)

Momento polar de inercia El momento polar de inercia JO  Ix  Iy. Por lo tanto, al sumar las ecuaciones (8.10) y (8.11), se obtiene el teorema de los ejes paralelos para el momento polar de inercia,

JO = J¿O + 1d x2 + d y22A = J¿O + d 2A,

(8.13)

donde d es la distancia desde el origen del sistema coordenado xy hasta el origen del sistema coordenado xy.

8.2 Teorema de los ejes paralelos

¿Cómo pueden usarse los teoremas de los ejes paralelos para determinar los momentos de inercia de un área compuesta? Suponga que se desea determinar el momento de inercia del área que se muestra en la figura 8.5a respecto al eje y. Ésta puede dividirse en un triángulo, un semicírculo y un recorte circular, que se llamarán partes 1, 2 y 3 respectivamente (figura 8.5b). Usando el teorema de los ejes paralelos para Iy, es posible determinar el momento de inercia de cada parte respecto al eje y. Por ejemplo, el momento de inercia de la parte 2 (el semicírculo) respecto al eje y es (figura 8.5c)

1Iy22 = 1Iy¿22 + 1dx22 A2. 2

Se deben determinar los valores de (Iy)2 y (dx)2. En el apéndice B se presentan tablas con los momentos de inercia y las posiciones de los centroides de algunas áreas simples. Una vez que se ha llevado a cabo este procedimiento para cada parte, el momento de inercia del área compuesta es

Iy = 1Iy21 + 1Iy22 - 1Iy23. Observe que el momento de inercia del recorte circular se resta. Puede observarse que la determinación del momento de inercia de un área compuesta en términos de un sistema coordenado específico implica la ejecución de tres pasos: 1. Seleccionar las partes. Trate de dividir el área compuesta en partes cuyos momentos de inercia se conozcan o puedan determinarse con facilidad. 2. Determinar los momentos de inercia de las partes. Determine el momento de inercia de cada parte en términos de un sistema coordinado paralelo con su origen en el centroide de la parte, y después use el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia en términos del sistema coordenado dado. 3. Sumar los resultados. Sume los momentos de inercia de las partes (o reste en caso de un recorte) para obtener el momento de inercia del área compuesta. y

x (a) y

y

y 2

1

3 x

x (b) y

y

x x (dx)2 (c)

Figura 8.5 (a) Área compuesta. (b) Las tres partes del área. (c) Determinación de (Iy)2

x

385

386

Capítulo 8 Momentos de inercia

RESULTADOS y

y

dx

A x

d

dy x

Ix  Ix  dy2A,

(8.10)

Iy  Iy  dx A,

(8.11)

2

Ixy  Ixy  dx dy A,

(8.12)

JO  JO  d2A.

(8.13)

Los teoremas de los ejes paralelos son relaciones entre los momentos y el producto de inercia de un área, expresadas en términos de un sistema coordenado xyz—con su origen en el centroide del área—y un sistema coordenado xyz paralelo.

Los teoremas de los ejes paralelos hacen posible determinar los momentos y el producto de inercia de un área compuesta en términos de un sistema coordenado específico, xyz, cuando se conocen los momentos y los productos de inercia de cada parte del área compuesta en términos de un sistema coordenado paralelo, con su origen en el centroide de la parte. Los valores de los momentos y el producto de inercia de las partes en términos del sistema coordenado xyz pueden sumarse (o restarse en el caso de un recorte) para obtener los valores del área compuesta.

Momentos de inercia de un área compuesta ( Relacionado con el problema 8.27)

Ejemplo activo 8.3 y

Determine Ix para el área compuesta que se muestra en la figura. 1m

Estrategia Esta área puede dividirse en dos rectángulos. Deben usarse los teoremas de los ejes paralelos para determinar Ix de cada rectángulo en términos del sistema coordenado xy. Los valores pueden sumarse para determinar Ix del área compuesta.

4m

Solución 1m x

y

3m

Divida el área compuesta en dos rectángulos.

1 2 x

8.2 Teorema de los ejes paralelos

y

y

0.5 m 1 x 2m

Del apéndice B, el momento de inercia del área 1 respecto al eje x es 1 (Ix)1  (1 m)(4 m)3  5.33 m4. 12 Aplicando el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia del área 1 respecto al eje x es (Ix)1  5.33 m4  (2 m)2 (1 m)(4 m)  21.3 m4.

x

Aplique la ecuación (8.10) al área 1.

y

y 2m 2

0.5 m

El momento de inercia del área 2 respecto al eje x es 1 (Ix)2  (2 m)(1 m)3  0.167 m4. 12 Aplicando el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia del área 2 respecto al eje x es (Ix)2  0.167 m4  (0.5 m)2 (2 m)(1 m)  0.667 m4.

El momento de inercia del área compuesta respecto al eje x es Ix  (Ix)1  (Ix)2  21.3 m  0.667 m  22.0 m4. 4

4

Problema de práctica Determine Ixy para el área compuesta. Respuesta: Ixy  6 m4.

x x

Aplique la ecuación (8.10) al área 2.

Sume los valores para las partes.

387

388

Capítulo 8 Momentos de inercia

Ejemplo 8.4

Momentos de inercia de un área compuesta ( Relacionado con el problema 8.30)

y

Determine Iy y ky para el área compuesta.

20 mm

40 mm 120 mm

Estrategia Esta área puede dividirse en un rectángulo sin el recorte semicircular, un semicírculo sin el recorte semicircular y un recorte circular. Puede usarse un teorema de los ejes x paralelos para determinar I de cada parte en términos del sistema coordenado xy. y Después, sumando los valores para el rectángulo y el semicírculo y restando el valor para el recorte circular, se puede determinar Iy para el área compuesta. Luego puede usarse la ecuación (8.4) para determinar el radio de giro ky del área compuesta. Solución Selección de las partes Se divide el área en un rectángulo, un semicírculo y un recorte circular, que se llamarán partes 1, 2 y 3 respectivamente (figura a). Determinación de los momentos de inercia de las partes En el apéndice B, se presentan los momentos de inercia de las partes con respecto a los sistemas coordenados xy y la localización del centroide de la parte semicircular. En la tabla siguiente se usa el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia de cada parte respecto al eje y. Determinación de los momentos de inercia de las partes dx 1mm2

A 1mm22

60

(120)(80)

Parte 1

Parte 2 120 +

y

41402

y (dx)1

Parte 3

1

x, x

1 2 2 p1402

3p

Iyœ 1mm42

1 3 12 180211202

a

Suma de los resultados eje y es

4.608 * 107

p 8 b14024 8 9p 1 4 4 p1202

p12022

120

Iy = Iyœ + d x2 A 1mm42

4.744 * 107 1.822 * 107

El momento de inercia del área compuesta respecto al

Iy = 1Iy21 + 1Iy22 - 1Iy23 = 14.608 + 4.744 - 1.8222 * 107 mm4 = 7.530 * 107 mm4.

El área total es y

A = A1 + A2 - A3 = 1120 mm2180 mm2 +

y (dx)2

= 1.086 * 104 mm2,

2 x, x

por lo que el radio de giro respecto al eje y es

ky = y

y (dx)3 3 x, x

(a) Partes 1, 2, y 3.

1 p140 mm22 - p120 mm22 2

Iy

BA

=

7.530 * 107 mm4 = 83.3 mm. B 1.086 * 104 mm2

Razonamiento crítico La integración es un proceso aditivo, y ésta es la razón por la que los momentos de inercia de las áreas compuestas pueden determinarse sumando (o restando en el caso de un recorte) los momentos de inercia de las partes. Pero los radios de giro de áreas compuestas no pueden determinarse sumando o restando los radios de giro de las partes. Esto puede verse en las ecuaciones que relacionan los momentos de inercia, los radios de giro y el área. Para este ejemplo, lo anterior se puede demostrar en forma numérica. La operación

1ky21 + 1ky22 - 1ky23 =

1Iy21

B A1

+

1Iy22

B A2

-

1Iy23

B A3

no produce el radio de giro correcto del área compuesta.

= 86.3 mm

8.2 Teorema de los ejes paralelos

Secciones transversales de una viga ( Relacionado con los problemas 8.81–8.84)

Ejemplo 8.5

y

Las áreas iguales que se muestran en la figura son opciones para la sección transversal de una viga (una viga con la segunda sección transversal se denomina viga I). Compare sus momentos de inercia respecto al eje x.

144.2 mm

Estrategia El momento de inercia de la sección transversal cuadrada puede obtenerse del apéndice B. La sección transversal de la viga I se dividirá en tres rectángulos y se usará el teorema de los ejes paralelos para determinar su momento de inercia.

144.2 mm y

Solución Sección transversal cuadrada De acuerdo con el apéndice B, el momento de inercia de la sección cuadrada respecto al eje x es

40 mm

1 1144.2 mm21144.2 mm23 = 3.60 * 107 mm4. 12

Ix =

x

x

120 mm 40 mm

Sección transversal de la viga I El área puede dividirse en las partes rectangulares que se muestran en la figura a. Introduciendo sistemas coordenados xy con sus orígenes en los centroides de las partes (figura b), se usa el teorema de los ejes paralelos para determinar los momentos de inercia respecto al eje x (vea la tabla). Su suma es

40 mm 200 mm

Ix = 1Ix21 + 1Ix22 + 1Ix23 = 15.23 + 0.58 + 5.232 * 107 mm4 = 11.03 * 107 mm4. y

y, y 1

y, y

y, y

1 x

2 x

80 mm

2 x

x, x

x 80 mm

3

3 x

(a) División en tres partes de la sección transversal de la viga I.

(b) Sistemas coordenados paralelos xy con orígenes en los centroides de las partes.

Determinación de los momentos de inercia de las partes respecto al eje x. dy 1mm2

A 1mm22

Parte 1

80

(200)(40)

Parte 2

0

(40)(120)

Parte 3

- 80

(200)(40)

Ixœ 1mm42 1 3 12 120021402 1 3 12 140211202 1 3 12 120021402

Ix = Ixœ + d2y A 1mm42 5.23 * 107 0.58 * 107 5.23 * 107

Razonamiento crítico El momento de inercia de la viga I respecto al eje x es 3.06 veces el de la sección transversal cuadrada de igual área. Por lo general, una viga con un momento de inercia más grande tiene mayor resistencia a la flexibilidad y mayor capacidad para soportar cargas laterales. La sección transversal de las vigas I está diseñada para obtener momentos de inercia más grandes.

389

390

Capítulo 8 Momentos de inercia

Problemas  8.27 Use el procedimiento descrito en el ejemplo activo 8.3 para determinar Ix y kx del área compuesta que se muestra en la figura; para ello divida el área en los rectángulos 1 y 2 mostrados.

8.34 Si usted diseña la sección transversal de la viga mostrada de manera que Ix  6.4  105 mm4, ¿cuáles son los valores resultantes de Iy y JO? y

8.28 Determine Iy y ky del área compuesta que se muestra en la figura, para ello divida el área en los rectángulos 1 y 2 mostrados. y 1m

h x

1 4m h

2 1m x

3m

30 mm

Problemas 8.27/8.28 8.29 Determine Ix y kx.

30 mm

Problema 8.34

y

8.35 Determine Iy y ky. 8.36 Determine Ix y kx.

0.8 m

8.37 Determine Ixy.

0.2 m

y 160 mm

0.6 m

40 mm 0.2 m x

200 mm

0.2 m

40 mm 40 mm

0.6 m

x

120 mm

Problema 8.29  8.30 En el ejemplo 8.4, determine Ix y kx para el área compuesta. 8.31 Determine Ix y kx.

Problemas 8.35–8.37 8.38 Determine Ix y kx.

8.32 Determine Iy y ky.

y

8.39 Determine Iy y ky.

8.33 Determine JO y kO.

8.40 Determine Ixy.

0.8 m

y

0.2 m

160 mm x

0.6 m

40 mm 200 mm

0.2 m

x 40 mm 40 mm

0.2 m 0.6 m

Problemas 8.31–8.33

120 mm

Problemas 8.38–8.40

Problemas 8.41 Determine Ix y kx.

8.50 Determine Ix y kx.

8.42 Determine JO y kO.

8.51 Determine Iy y ky.

8.43 Determine Ixy.

8.52 Determine JO y kO. y

y 20 mm

3 pies

4 pies

120 mm 80 mm

3 pies x

x

Problemas 8.41–8.43 40 mm

8.44 Determine Ix y kx.

80 mm

8.45 Determine JO y kO.

Problemas 8.50–8.52

8.46 Determine Ixy.

8.53 Determine Iy y ky. 8.54 Determine JO y kO.

y

y 4 pies

3 pies 3 pies

x 12 pulg

Problemas 8.44–8.46

x 20 pulg

8.47 Determine Ix y kx. 8.48 Determine JO y kO. 8.49 Determine Ixy.

Problemas 8.53/8.54 8.55 Determine Iy y ky si h  3 m.

y

8.56 Determine Ix y kx si h  3 m. 8.57 Si Iy  5 m4, ¿qué valor tiene la dimensión h? y 120 mm 80 mm

20 mm

1.2 m x

40 mm 80 mm h

Problemas 8.47–8.49 x

Problemas 8.55–8.57

391

392

Capítulo 8 Momentos de inercia

8.58 Determine Iy y ky.

8.64 Determine Iy y ky.

8.59 Determine Ix y kx.

8.65 Determine Ix y kx.

8.60 Determine Ixy.

8.66 Determine Ixy. y

y

30 pulg

40 pulg

18 pulg

x x 20 pulg 6 pulg 6 pulg 6 pulg

Problemas 8.58–8.60

Problemas 8.64–8.66 8.61 Determine Iy y ky. 8.67 Determine Iy y ky. 8.62 Determine Ix y kx. 8.68 Determine JO y kO. 8.63 Determine Ixy. y y 6 pulg 2 pulg

30 pulg

x x

40 pulg

8 pulg

8 pulg

Problemas 8.67/8.68

20 pulg

Problemas 8.61–8.63

Problemas 8.69 Determine Iy y ky.

8.75 Determine Iy y ky.

8.70 Determine Ix y kx.

8.76 Determine JO y kO.

393

y

8.71 Determine Ixy.

5 mm

y 4 pulg

15 mm

2 pulg

50 mm 4 pulg 5 mm

5 mm 8 pulg

x

15 mm

15 mm 10 15 15 10 mm mm mm mm

x 12 pulg

Problemas 8.75/8.76

16 pulg

Problemas 8.69–8.71 8.77 Determine Ix e Iy para la sección transversal de la viga mostrada. 8.72 Determine Iy y ky.

y

8.73 Determine Ix y kx. 8.74 Determine Ixy.

2 pulg

5 pulg

y 4 pulg 8 pulg 4 pulg

2 pulg x

x 3 pulg

8 pulg

5 pulg

5 pulg

Problema 8.77 12 pulg 16 pulg

Problemas 8.72–8.74

3 pulg

394

Capítulo 8 Momentos de inercia

8.78 Determine Ix e Iy para la sección transversal de la viga mostrada. y

 8.81 Determine el momento de inercia respecto al eje x de la sección transversal de la viga mostrada. Compare su resultado con el momento de inercia de una sección cuadrada sólida de igual área (vea el ejemplo 8.5).

y

5 pulg

2 pulg

x

20 mm x

8 pulg 160 mm

3 pulg

5 pulg

5 pulg

3 pulg 20 mm

Problema 8.78

100 mm

8.79 El área mostrada A  2  104 mm2. Su momento de inercia respecto al eje y es Iy  3.2  108 mm4. Determine su momento de inercia respecto al eje yˆ. yˆ

Problema 8.81

 8.82 El área de la sección transversal de la viga mostrada es de 5200 mm2. Determine el momento de inercia de la sección transversal de la viga respecto al eje x. Compare su resultado con el momento de inercia de una sección transversal cuadrada sólida de igual área (consulte el ejemplo 8.5).

y

A

y

x x, xˆ 100 mm

120 mm

Problema 8.79

20 mm

8.80 El área mostrada A  100 pulg2 y es simétrica respecto al eje x. Los momentos de inercia Ix  420 pulg4, Iy 580 pulg4, JO  11,000 pulg4 e Ixy  4800 pulg4. ¿Qué valor tienen Ix e Iy? y

y

A x O x

O

Problema 8.80

Problema 8.82

Problemas  8.83 Si la viga de la figura a se somete a pares de magnitud M respecto al eje x (figura b), el eje longitudinal de la viga se dobla en un arco circular cuyo radio R está dado por R =

EIx , M

donde Ix es el momento de inercia de la sección transversal de la viga respecto al eje x. El valor del término E, que se denomina módulo de elasticidad, depende del material del que esté hecha la viga. Suponga que la viga con la sección transversal mostrada en la figura c, está sometida a pares de magnitud M  180 N-m. Como resultado, el eje de la viga se dobla en la forma de un arco circular con radio R  3 m. ¿Qué valor tiene el módulo de elasticidad del material de la viga? (Consulte el ejemplo 8.5).

8.85 El área de la figura a es la sección transversal de una viga de canal estándar americano C230  30. El área de su sección transversal es A  3790 mm2 y sus momentos de inercia respecto a los ejes x e y son Ix  25.3  106 mm4 e Iy  1  106 mm4. Suponga que dos vigas con secciones transversales C230  30 se remachan entre sí para obtener una viga compuesta con la sección transversal mostrada en la figura b. ¿Qué valores tienen los momentos de inercia respecto a los ejes x e y de la viga compuesta? y

y

x y

395

x

y 14.8 mm z

x

(a) Sin carga. (a) M

R

(b)

Problema 8.85

M

(b) Sometida a pares en los extremos. y 3 mm

8.86 El área de la figura a es la sección transversal de una viga de ángulo L152  102  12.7. El área de su sección transversal es A  3060 mm2 y sus momentos de inercia respecto a los ejes x e y son Ix  7.24  106 mm4 e Iy 2.61  106 mm4. Suponga que cuatro vigas con secciones transversales L152  102  12.7 se remachan entre sí para obtener una viga compuesta con la sección transversal mostrada en la figura b. ¿Qué valores tienen los momentos de inercia respecto a los ejes x e y de la viga compuesta? y

x

9 mm

y 3 mm 3 mm 9 mm

24.9 mm

x

x

(c) Sección transversal de la viga.

Problema 8.83  8.84 Suponga que desea diseñar una viga hecha de material cuya densidad es de 8000 kg/m3. La viga tendrá 4 m de longitud y una masa de 320 kg. Diseñe una sección transversal para la viga tal que Ix  3  105 m4 (consulte el ejemplo 8.5).

50.2 mm (a)

(b)

Problema 8.86

396

Capítulo 8 Momentos de inercia

8.3 Ejes girados y ejes principales ANTECEDENTES Suponga que la figura 8.6a es la sección transversal de una viga en voladizo. Si se aplica una fuerza vertical al extremo de la viga, se obtendrá una deflexión mayor si la sección transversal está orientada como en la figura 8.6b que si lo está como en la figura 8.6c. La deflexión vertical mínima resulta cuando la sección transversal de la viga está orientada de manera que el momento de inercia Ix sea máximo (figura 8.6d). En muchas aplicaciones de ingeniería se deben determinar los momentos de inercia de áreas con diversas orientaciones angulares relativas a un sistema coordenado, y la orientación para la cual el valor de un momento de inercia es máximo o mínimo. En esta sección se analizarán estos procedimientos.

Ejes girados Considere un área A, un sistema coordenado xy y un segundo sistema coordenado xy que está girado un ángulo u con respecto al sistema coordenado xy (figura 8.7a). Suponga que se conocen los momentos de inercia de A en términos del sistema coordenado xy. El objetivo consiste en determinar los momentos de inercia en términos del sistema coordenado xy. En términos de la distancia radial r a un elemento diferencial de área dA y al ángulo a de la figura 8.7b, las coordenadas de dA en el sistema coordenado xy son x  r cos a,

(8.14)

y  r sen a.

(8.15)

y

Figura 8.6 (a) Sección transversal de una viga. (b)–(d) Aplicación de una carga lateral con diferentes orientaciones de la sección transversal.

y

y F

F x

x

x

F

y

y

y

x

(a)

x

(b)

y

x

(c)

y

y

A

(d)

y dA

x

Figura 8.7 (a) El sistema coordenado xy girado un ángulo u respecto al sistema coordenado xy. (b) Elemento diferencial de área dA.

x r

u

a u

x

(a)

x

(b)

8.3 Ejes girados y ejes principales

Las coordenadas de dA en el sistema coordenado xy son x  r cos(a  u)  r(cos a cos u  sen a sen u),

(8.16)

y  r sen(a  u)  r(sen a cos u  cos a sen u),

(8.17)

En las ecuaciones (8.16) y (8.17) se usan identidades trigonométricas para el coseno y el seno de la diferencia de dos ángulos (apéndice A). Sustituyendo las ecuaciones (8.14) y (8.15) en las ecuaciones (8.16) y (8.17), se obtienen otras ecuaciones que relacionan las coordenadas de dA en los dos sistemas coordenados: x  cos u  y sen u,

(8.18)

y  x sen u  y cos u.

(8.19)

Estas expresiones pueden emplearse para derivar relaciones entre los momentos de inercia de A en términos de los sistemas coordenados xy y xy.

Momento de inercia respecto al eje x Ixœ =

LA

1y¿22 d A =

= cos2u

LA

LA

1-x sen u + y cos u22 d A

y 2 d A - 2 sen u cos u

LA

xy dA + sen2 u

LA

x 2 d A.

De esta ecuación se obtiene Ix  Ix cos2 u  2Ixy sen u cos u  Iy sen2 u.

(8.20)

Momento de inercia respecto al eje y Iyœ =

LA

1x¿22 d A =

= sen2 u

LA

LA

1x cos u + y sen u22 d A

y 2 d A + 2 sen u cos u

LA

xy d A + cos2 u

LA

x 2 d A.

Esta ecuación proporciona el resultado Iy  Ix sen2 u  2Ixy sen u cos u  Iy cos2 u. Producto de inercia inercia de A es

(8.21)

En términos del sistema coordenado xy, el producto de

Ixy  (Ix  Iy)sen u cos u  (cos2 u  sen2 u)Ixy.

(8.22)

Momento polar de inercia Por las ecuaciones (8.20) y (8.21), el momento polar de inercia en términos del sistema coordenado xy es

JOœ = Ixœ + Iyœ = Ix + Iy = JO. Así, el valor del momento polar de inercia no cambia por una rotación del sistema coordenado.

Ejes principales Se ha visto que los momentos de inercia de A en términos del sistema coordenado xy dependen del ángulo u mostrado en la figura 8.7a. Plantéese la siguiente pregunta: ¿Para qué valores de u el momento de inercia Ix, es máximo o mínimo?

397

398

Capítulo 8 Momentos de inercia

Para contestar esta pregunta, resulta conveniente usar las identidades sen 2u  2 sen u cos u, cos 2u  cos2 u  sen2 u  1  2 sen2 u  2 cos2 u  1. Con estas expresiones, se pueden escribir las ecuaciones (8.20)-(8.22) en las formas

Ixœ = Iyœ = Ixœyœ =

Ix + Iy 2 Ix + Iy 2 Ix - Iy 2

+ -

Ix - Iy 2 Ix - Iy 2

cos 2u - Ixy sen 2u,

(8.23)

cos 2u + Ixy sen 2u,

(8.24)

sen 2u + Ixy cos 2u.

(8.25)

El valor de u para el cual Ix es máximo o mínimo se denotará con up. Para determinar up se evalúa la derivada de la ecuación (8.23) con respecto a 2u y se iguala a cero, de donde se obtiene

tan 2up =

2Ixy Iy - Ix

.

(8.26)

Si la derivada de la ecuación (8.24) con respecto a 2u se iguala a cero para determinar un valor de u para el cual Iy es máximo o mínimo, se obtiene de nuevo la ecuación (8.26). Las segundas derivadas de Ix e Iy con respecto a 2u son opuestas en signo; es decir

d 2Iyœ

d 2Ixœ d12u22

= -

d12u22

,

lo que significa que para un ángulo up para el cual Ix es máximo, Iy es un mínimo, y que para un ángulo up para el cual Ix es mínimo, Iy es máximo. Un sistema coordenado girado xy orientado de manera que Ix e Iy tengan valores máximo o mínimo se denomina conjunto de ejes principales del área A. Los correspondientes momentos de inercia Ix e Iy se llaman momentos de inercia principales. En la siguiente sección se demostrará que el producto de inercia Ixy correspondiente a un conjunto de ejes principales es igual a cero. Como la tangente es una función periódica, la ecuación (8.26) no produce una solución única para el ángulo up. Sin embargo, se puede mostrar que determina la orientación de los ejes principales dentro de un múltiplo arbitrario de 90°. Observe en la figura 8.8 que si 2u0 es una solución de la ecuación (8.26), entonces 2u0  n(180°) es también una solución para cualquier entero n. Las orientaciones resultantes del sistema coordenado xy se muestran en la figura 8.9. tan 2u

tan 2u 0 2u 0  180

Figura 8.8 Para un valor dado de tan 2u0, existen múltiples raíces 2u0  n(180°).

2u 0

2u 0  180

2u 0 + 2(180)

2u

8.3 Ejes girados y ejes principales y

y x

y

y u 0  90

x

y

u 0  180

y

u0 x

x

x

x x

y

y

u 0  270

x

Figura 8.9 La orientación del sistema coordenado xy se determina en función de un múltiplo de 90°.

RESULTADOS y

y A x u x

Ix  Ixcos2u  2Ixy sen u cos u  Iy sen 2u,

(8.20)

Iy  Ix sen u  2Ixy sen u cos u  Iycos u,

(8.21)

2

2

Ixy  (Ix  Iy) sen u cos u  (cos2u  sen2u)Ixy.

(8.22)

Las ecuaciones (8.20) a (8.22) pueden expresarse en formas alternativas útiles:

Ix  Iy Ix  Iy cos 2u  Ixy sen 2u,  2 2 Ix  Iy Ix  Iy cos 2u  Ixy sen 2u,  Iy  2 2 Ix  Iy sen 2u  Ixycos 2u, Ixy  2 Ix 

(8.23) (8.24) (8.24)

Los momentos y el producto de inercia de un área en términos de un sistema de coordenadas girado xy puede expresarse en términos de los momentos y los productos de inercia respecto al sistema coordenado xy y el ángulo u.

399

400

Capítulo 8 Momentos de inercia

Un valor de u para el cual el momento de inercia Ix obtenido de la ecuación (8.23) es un máximo o un mínimo, se denota por up. Si Ix es un máximo en u  up, Iy' es un mínimo en u  up, y si Ix es un mínimo, Iy es un máximo. El sistema coordenado girado xy correspondiente a u  up define los ejes principales del área A, y los momentos de inercia respecto a los ejes principales son los momentos de inercia principales. El producto de inercia Ixy correspondiente a u  up es igual a cero. Para valores dados de Ix, Iy, y Ixy, el ángulo up puede determinarse mediante la ecuación 2Ixy (8.26) tan 2up  IyIx . Esta ecuación define de manera única los ejes principales, y determina la orientación del sistema coordenado xy sólo en función de un múltiplo de 90°. Por ejemplo, si u0 es una solución de la ecuación (8.26), entonces u0  90, u0  180, y u0  270 también son soluciones, lo que resulta en cuatro orientaciones válidas del sistema coordenado.

y

y x

y

y u0  90

x

y

u0  180

y

u0 x

x y

x

x x y

u0  270

x

La determinación de los ejes principales y los momentos principales de inercia para un área A y un sistema coordenado xy dados implica la realización de tres pasos: 1. Determine Ix, Iy, y Ixy. 2. Use la ecuación (8.26) para determinar up en función de un múltiplo de 90°. 3. Elija la orientación del sistema coordenado xy use las ecuaciones (8.23) y (8.24) para determinar los momentos de inercia principales.

Ejes principales y momentos de inercia ( Relacionado con el problema 8.87)

Ejemplo activo 8.6

Determine un conjunto de ejes principales y los correspondientes momentos de inercia principales del área triangular que se muestra en la figura.

y

3m

x 4m

Estrategia Los momentos de inercia y el producto de inercia del área triangular en términos del sistema coordenado xy pueden obtenerse del apéndice B. Después puede usarse la ecuación (8.26) para determinar la orientación de los ejes principales y evaluar los momentos de inercia principales con las ecuaciones (8.23) y (8.24).

8.3 Ejes girados y ejes principales

Solución

Ix 

1 (4 m)(3 m)3  9 m4, 12

Iy 

1 (4 m)3(3 m)  48 m4, 4

Ixy 

1 (4 m)2(3 m)2  18 m4. 8

tan 2up 

Determine los momentos y los productos de inercia a partir del apéndice B.

2Ixy 2(18)   0.923. IyIx 48  9

Determine up de la ecuación (8.26).

Lo anterior resulta en up  21.4.

y

y

x 21.4 x

Ix  Iy Ix  Iy cos 2u  Ixysen 2u,  2 2 9  48 9  48 cos[2(21.4)]  (18) sen [2(21.4)]   2 2

Ix 



 



 1.96 m4, Ix  Iy Ix  Iy cos 2u  Ixy sen 2u,  2 2 9  48 9  48 cos[2(21.4)]  (18)sen[2(21.4)]   2 2

Iy 



 

Calcule los momentos de inercia principales a partir de las ecuaciones (8.23) y (8.24).



 55.0 m4, Problema de práctica Los momentos y el producto de inercia del área triangular mostrada son Ix  9 m4, Iy  16 m4, e Ixy  6 m4. Determine un conjunto de ejes principales y los momentos de inercia principales correspondientes. y

3m

x 4m Respuesta: up  29.9°, Ix  5.55 m4, Iy  19.4 m4.

401

402

Capítulo 8 Momentos de inercia

Ejemplo 8.7

Ejes principales y girados ( Relacionado con los problemas 8.88, 8.89) Los momentos de inercia del área mostrada, en términos del sistema coordenado xy que se muestra en la figura, son Ix  22 pies4, Iy  10 pies4 e Ixy  6 pies4. a) Determine Ix, Iy e Ixy para u  30°. b) Determine un conjunto de ejes principales y los correspondientes momentos de inercia principales.

y

y 1 pie

x 4 pies u 1 pie x 3 pies

Estrategia a) Los momentos de inercia en términos del sistema coordenado xy se pueden determinar sustituyendo u 30° en las ecuaciones (8-23) a (8.25). b) La orientación de los ejes principales se determina al despejar up de la ecuación (8.26). Después de haber determinado up, los momentos de inercia respecto a los ejes principales pueden determinarse a partir de las ecuaciones (8.23) y (8.24). Solución a) Determinación de Ix, Iy e Ixy Haciendo u  30° en las ecuaciones (8.23)a (8.25) se obtienen los momentos de inercia en pie4:

Ix¿ =

Ix + Iy 2

= a

Iy¿ =

Ix¿y¿ =

2

2

cos 2u - Ixy sen 2u

-

Ix - Iy 2

cos 2u + Ixy sen 2u

22 + 10 22 - 10 b - a b cos[2130°2] + 162 sen[2130°2] = 18.2 pies4, 2 2

Ix - Iy

= a

Ix - Iy

22 + 10 22 - 10 b + a b cos32130°24 - 162 sen32130°24 = 13.8 pies4, 2 2

Ix + Iy

= a

+

2

sen 2u + Ixy cos 2u

22 - 10 b sen32130°24 + 162 cos32130°24 = 8.2 pies4. 2

8.3 Ejes girados y ejes principales

b) Determinación de up Se sustituyen los momentos de inercia en términos del sistema coordenado xy en la ecuación (8.26), para obtener

tan 2up =

2Ixy

2162

Iy - Ix

=

10 - 22

= - 1.

Así, up  22.5°. Los ejes principales correspondientes a este valor de up se muestran en la figura a. Cálculo de Ix e Iy  Se sustituye up  22.5° en las ecuaciones (8.23) y (8.24) para obtener los momentos de inercia principales:

Ix¿ = 24.5 pies4, Iy¿ = 7.5 pies4. y

y

x 22.5 x

(a) Conjunto de ejes principales correspondiente a up = - 22.5°.

Razonamiento crítico Recuerde que la orientación de los ejes principales se determina sólo en función de un múltiplo arbitrario de 90°. En este ejemplo se elige designar los ejes de la figura a como los ejes positivos x e y, pero cualquiera de estas elecciones es igualmente válida.

y

y

y y 22.5

x

y

y

x x 22.5

x

22.5

x

22.5

x y

x

y

x

403

404

Capítulo 8 Momentos de inercia

Problemas  8.87 En el ejemplo activo 8.6, suponga que la dimensión vertical de 3 m en el área triangular se incrementa a 4 m. Determine un conjunto de ejes principales y los momentos de inercia principales correspondientes.

 8.88 En el ejemplo 8.7, suponga que el área se reorienta como lo muestra la figura. Si u  30°, determine los momentos de inercia Ix, Iy e Ixy

8.90 Los momentos de inercia del área mostrada son Ix  1.26  106 pulg4, Iy  6.55  105 pulg4, e Ixy 1.02  105 pulg4. Determine los momentos de inercia del área Ix, Ixy si u  30°. 8.91 Los momentos de inercia del área mostrada son Ix  1.26  106 pulg4, Iy  6.55  105 pulg4, e Ixy 1.02  105 pulg4. Determine un conjunto de ejes principales y los momentos de inercia principales correspondientes. y

y

 8.89 En el ejemplo 8.7, suponga que el área se reorienta como lo muestra la figura. Determine un conjunto de ejes principales y los momentos de inercia principales correspondientes. Con base en los resultados del ejemplo 8.7, ¿es posible predecir un valor de up sin usar la ecuación (8.26)?

x u x

y 1 pie

Problemas 8.90/8.91 8.92* Para el área mostrada, determine un conjunto de ejes principales y los momentos de inercia principales correspondientes.

3 pies

y

1 pie x

160 mm

4 pies

Problemas 8.88/8.89

40 mm

x

200 mm

40 mm 40 mm 120 mm

Problema 8.92

405

8.4 Círculo de Mohr

8.4 Círculo de Mohr y

ANTECEDENTES

y A

Dados los momentos de inercia de un área en términos de un sistema coordenado particular, se han presentado ecuaciones para determinar los momentos de inercia con respecto a un sistema coordenado girado, la orientación de los ejes principales y los momentos de inercia principales. También es posible usar un método gráfico llamado círculo de Mohr, que es muy útil para visualizar las soluciones de las ecuaciones (8.23) a (8.25).

Sistema coordenado xy y sistema coordenado girado xy . Primero se describirá cómo construir el círculo de Mohr y después se explicará cómo funciona. Suponga que se conocen los momentos de inercia Ix, Iy e Ixy de un área en términos de un sistema coordenado xy, y que se desean determinar los momentos de inercia para un sistema coordenado girado xy (figura 8.10). La construcción del círculo de Mohr implica la realización de tres pasos: 1. Establecer un conjunto de ejes horizontal y vertical, y graficar dos puntos: el punto 1 con coordenadas (Ix, Ixy) y el punto 2 con coordenadas (Iy, Ixy), como se muestra en la figura 8.11a. 2. Dibujar una línea recta que conecte los puntos 1 y 2. Usando la intersección de esta línea recta con el eje horizontal como centro, se dibuja un círculo que pase por los dos puntos (figura 8.11b). 3. Dibujar una línea recta que pase por el centro del círculo en un ángulo 2u medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el punto 1. Esta línea interseca al círculo en el punto 1 con coordenadas (Ix, Ixy) y en el punto 2 con coordenadas (Iy, Ixy), como se muestra en la figura 8.11c. Así, para un ángulo u dado, las coordenadas de los puntos 1 y 2 determinan los momentos de inercia en términos del sistema coordenado girado. ¿Por qué funciona esta construcción gráfica? En la figura 8.12 se muestran los puntos 1 y 2 y el círculo de Mohr. Observe que la coordenada horizontal del centro del círculo es (Ix Iy)/2. El seno y el coseno del ángulo b son

sen b =

Ixy R

,

cos b =

Ix - Iy 2R

C

a

Ix 2

u x

Figura 8.10 Sistema coordenado xy y sistema coordenado girado x¿y¿ .

() 1 (Ix, Ixy) () 2 (Iy, Ixy) (a) () 1 () 2

,

donde R, que es el radio del círculo, está dado por

R =

x

(b) ()

1 (I , I ) x xy

Iy 2

b + 1Ixy22.

2u

1 ()

En la figura 8.13 se muestra la construcción de los puntos 1 y 2. La coordenada horizontal del punto 1 es

Ix + Iy 2

2 (Iy, –Ixy)

+ R cos1b + 2u2 = =

Ix + Iy 2 Ix + Iy 2

(c)

+ R1cos b cos 2u - sen b sen 2u2 +

Ix - Iy 2

2

cos 2u - Ixy sen 2u = Ix¿,

Figura 8.11 (a) Graficación de los puntos 1 y 2. (b) Dibujo del círculo de Mohr. El centro del círculo está en la intersección de la línea que va de 1 a 2 con el eje horizontal. (c) Localización de los puntos 1 y 2.

406

Capítulo 8 Momentos de inercia

()

y la coordenada horizontal del punto 2 es Ix  Iy 2

1

R

(Ix, Ixy)

b

()

Ix  Iy 2

2

Ix + Iy 2

- R cos1b + 2u2 =

(Iy, Ixy)

Figura 8.12 Puntos 1 y 2 y círculo de Mohr.

=

Ix + Iy 2 Ix + Iy 2

- R1cos b cos 2u - sen b sen 2u2 -

Ix - Iy 2

cos 2u + Ixy sen 2u = Iy¿.

La coordenada vertical del punto 1 es R sen (b  2u)  R(sen b cos 2u  cos b sen 2u) ()

= Ixy cos 2u +

1 Ix  Iy 2

R

Ix - Iy

1

2u b

()

2

2

sen 2u = Ix¿y¿,

y la coordenada vertical del punto 2 es R sen (b  2u) Ixy.

2

Figura 8.13 Puntos 1 y 2.

Se ha mostrado que las coordenadas del punto 1 son (Ix, Ixy) y las del punto 2 son (Iy, Ixy).

Determinación de ejes principales y de momentos de inercia principales

() 2up (Ix, Ixy) 1 2 (Iy, Ixy)

1

(Ix, Ixy) () 2 (Iy, Ixy)

Figura 8.14 Para determinar la orientación de un conjunto de ejes principales, sean 1 y 2 los puntos en que el círculo interseca al eje horizontal.

Como los momentos de inercia Ix e Iy son las coordenadas horizontales de los puntos 1 y 2 del círculo de Mohr, sus valores máximo y mínimo se presentan cuando los puntos 1 y 2 coinciden con las intersecciones del círculo con el eje horizontal (figura 8.14) (la intersección que se designa como 1 es arbitraria; en la figura 8.14 se ha designado el momento de inercia mínimo como punto 1). La orientación de los ejes principales puede determinarse midiendo el ángulo 2up del punto 1 al punto 1, y las coordenadas de los puntos 1 y 2 como los momentos de inercia principales. Observe que el círculo de Mohr demuestra que el producto de inercia Ixy correspondiente a un conjunto de ejes principales (la coordenada vertical del punto 1 en la figura 8.14) siempre es igual a cero. Además, es posible utilizar la figura 8.12 para obtener una expresión analítica para las coordenadas horizontales de los puntos en que el círculo interseca al eje horizontal, que son los momentos de inercia principales:

Momentos de inercia principales =

Ix + Iy 2

; R

Ix + Iy =

2

;

C

a

Ix - Iy 2

2

b + 1Ixy22.

8.4 Círculo de Mohr

RESULTADOS y y A

Cuando se conocen los valores Ix, Iy, e Ixy para un área A, el círculo de Mohr puede usarse para determinar los valores de Ix, Iy, e Ixy para un ángulo u dado:

x u x

() 1 (Ix, Ixy)

Establezca un conjunto de ejes horizontal y vertical y grafique dos puntos: el punto 1 con coordenadas (Ix, Ixy) y el punto 2 con coordenadas (Iy, Ixy).

() 2 (Iy, Ixy)

()

Dibuje una línea recta que conecte los puntos 1 y 2. Usando la intersección de esta línea recta con el eje horizontal como centro, dibuje un círculo que pase por los dos puntos.

1 () 2

()

Dibuje una línea recta que pase por el centro del círculo en un ángulo 2u medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el punto 1. Esta línea interseca al círculo en el punto 1 con coordenadas (Ix, Ixy) y en el punto 2 con coordenadas (Iy, Ixy).

1 (I , I ) x xy 2u

1 ()

2 2 (Iy, –Ixy)

El círculo de Mohr también puede usarse para determinar la orientación de los ejes principales y los momentos de inercia principales. ()

Coloque el punto 1 en uno de los puntos donde el círculo de Mohr interseca al eje horizontal. Entonces los valores de Ix e Iy obtenidos de los puntos 1 y 2 son los momentos de inercia principales. El ángulo medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el punto 1 hasta el punto 1 es 2up, por lo que es posible determinar la orientación de los ejes principales.

2up (Ix, Ixy) 1 2 (Iy, Ixy)

1

(Ix, Ixy) () 2 (Iy, Ixy)

407

408

Capítulo 8 Momentos de inercia

Ejemplo activo 8.8

Círculo de Mohr ( Relacionado con los problemas 8.94, 8.95) Los momentos y el producto de inercia del área mostrada en términos del sistema coordenado xy son Ix  22 pies4, Iy  10 pies4 e Ixy  6 pies4. Utilice el círculo de Mohr para determinar los momentos de inercia Ix, Iy e Ixy para u  30°.

y

y 1 pie

x 4 pies u 1 pie

x

3 pies

Estrategia Usando los valores dados de Ix, Iy e Ixy para construir el círculo de Mohr, es posible determinar Ix, Iy e Ixy para u  30°. Solución 10 1

Grafique el punto 1 con coordenadas (Ix, Ixy)  (22, 6) pies4 y el punto 2 con coordenadas (Iy, Ixy)  (10, 6) pies4.

(22, 6) pies4 0 2 10

(10, 6) pies4 0 10

20

30

10

Dibuje una línea recta que conecte los puntos 1 y 2. Utilizando como centro la intersección de la línea con el eje horizontal, dibuje un círculo que pase por los dos puntos.

1 (22, 6) pies4 0

10

2 (10, 6) pies4 0 10

10

Dibuje una línea recta a través del centro del círculo en un ángulo 2u  60, medido desde el punto 1 en sentido opuesto al de las manecillas del reloj. De las coordenadas de los puntos 1 y 2, Ix  14 pies4, Iy  18 pies4, y Ixy  8 pies4.

(Ix, Ixy)

20

30

1 1 60

0

2 10

0

10

2 (Iy, Ixy) 20 30

Problema de práctica Use el círculo de Mohr para determinar la orientación de los ejes principales del área mostrada y los momentos de inercia principales correspondientes. Respuesta: up  67.5°, Ix  7.5 pies4, Iy  24.5 pies4.

8.5 Objetos simples

409

Problemas 8.93 Resuelva el problema 8.87 usando el círculo de Mohr.

8.97 Resuelva el problema 8.91 usando el círculo de Mohr.

 8.94 Resuelva el problema 8.88 usando el círculo de Mohr.

8.98* Resuelva el problema 8.92 usando el círculo de Mohr.

 8.95 Resuelva el problema 8.89 usando el círculo de Mohr.

8.99 Obtenga la ecuación (8.22) para el producto de inercia usando el mismo procedimiento que se empleó para obtener las ecuaciones (8.20) y (8.21).

8.96 Resuelva el problema 8.90 usando el círculo de Mohr.

MASAS 8.5 Objetos simples ANTECEDENTES La aceleración de un objeto, que resulta de las fuerzas que actúan sobre él, depende de su masa. La aceleración angular, o aceleración rotatoria, provocada por las fuerzas y pares que actúan sobre un objeto, depende de cantidades llamadas momentos de inercia de masa del objeto. En esta sección se analizarán métodos para determinar momentos de inercia de masa de objetos particulares. Se mostrará que para clases especiales de cuerpos, sus momentos de inercia de masa pueden expresarse en términos de momentos de inercia de áreas, lo que explica cómo se originaron los nombres de esas integrales de área. En la figura 8.15a se muestran un cuerpo y una línea o “eje” LO. El momento de inercia de masa del objeto respecto al eje LO se define como

LO

(a)

dm

IO =

Lm

r 2 dm,

(8.27)

donde r es la distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento diferencial de masa dm (figura 8.15b). A menudo, LO es un eje alrededor del cual gira el objeto, y se requiere el valor de IO para determinar la aceleración angular, es decir, la razón de cambio de la velocidad angular causada por un par respecto a LO. Las dimensiones del momento de inercia de un objeto son (masa)  (longitud)2. Observe que la definición implica que su valor debe ser positivo.

Barras delgadas A continuación se determinará el momento de inercia de masa de una barra recta y delgada respecto a un eje perpendicular L que pase por el centro de masa de la barra (figura 8.16a). “Delgada” implica el supuesto de que la longitud de la barra es mucho mayor que su ancho. Sea l la longitud de la barra, A el área de su sección transversal y m su masa. Se supone que A es uniforme a lo largo de la longitud de la barra y que el material es homogéneo. Considere un elemento diferencial de la barra de longitud dr a una distancia r del centro de masa (figura 8.16b). La masa del elemento es igual al producto de su volumen y su densidad: dm  rA dr. Sustituyendo esto en la ecuación (8.27), se obtiene el momento de inercia de masa de la barra respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masa:

r

LO

(b)

Figura 8.15 (a) Un objeto y el eje LO. (b) Elemento diferencial de masa dm.

L

l (a) dm

r (b)

l>2

I =

Lm

r 2 dm =

L-l>2

rAr 2 dr =

1 rAl 3. 12

Figura 8.16 (a) Barra delgada. (b) Elemento diferencial de longitud dr.

dr

410

Capítulo 8 Momentos de inercia

y

La masa de la barra es igual al producto de la densidad y el volumen de ésta, m  rAl, por lo que el momento de inercia de masa es

y

T x (a)

y dm

dA r x

x

1 ml 2. 12

(8.28)

z

y

y

I =

z

Para obtener este resultado se han ignorado las dimensiones laterales de la barra. Es decir, el elemento diferencial de masa dm fue tratado como si estuviera concentrado sobre el eje de la barra. En consecuencia, la ecuación (8.28) es sólo una aproximación para el momento de inercia de una barra. En la siguiente sección se determinarán los momentos de inercia de masa para una barra con dimensiones laterales finitas, y se demostrará que la ecuación (8.28) permite una buena aproximación cuando el ancho de la barra es pequeño en comparación con su longitud.

(b)

Figura 8.17 (a) Placa de forma arbitraria y espesor uniforme T. (b) Elemento de volumen obtenido al proyectar un elemento de área dA a través de la placa.

Placas delgadas Considere una placa plana homogénea con masa m y espesor uniforme T. No se especifica la forma del área de la sección transversal de la placa. Sea el sistema coordenado cartesiano orientado de modo que la placa quede sobre el plano x–y (figura 8.17a). El objetivo es determinar los momentos de inercia de masa de la placa respecto a los ejes x, y y z. Es posible obtener un elemento diferencial de volumen de la placa proyectando un elemento de área dA a través del espesor T de la placa (figura 8.17b). El volumen resultante es T dA. La masa de este elemento de volumen es igual al producto de la densidad y el volumen: dm  rT dA. Al sustituir esta expresión en la ecuación (8.27), se obtiene el momento de inercia de masa de la placa respecto al eje z en la forma

Ieje z =

r 2 dm = rT

Lm

LA

r 2 d A,

donde r es la distancia desde el eje z hasta dA. Como la masa de la placa es m  rT A, donde A es el área de la sección transversal de la placa, rT  m/A. La integral a la derecha es el momento polar de inercia JO del área de la sección transversal de la placa. Por lo tanto, el momento de inercia de masa de la placa respecto al eje z puede escribirse como

Ieje z =

m J . A O

(8.29)

En la figura 8.17b se observa que la distancia perpendicular desde el eje x hasta el elemento de área dA es la coordenada y de dA. Por lo tanto, el momento de inercia de masa de la placa respecto al eje x es

Ieje x =

Lm

y 2 dm = rT

LA

y 2 dA =

m I, A x

(8.30)

donde Ix es el momento de inercia del área de la sección transversal de la placa respecto al eje x. El momento de inercia de masa de la placa respecto al eje y es

Ieje y =

Lm

x 2 dm = rT

LA

x 2 dA =

m I, A y

(8.31)

donde Iy es el momento de inercia del área de la sección transversal de la placa respecto al eje y. Como la suma de los momentos de inercia de área Ix e Iy es igual al momento polar de inercia JO, el momento de inercia de masa de la placa delgada respecto al eje z es igual a la suma de sus momentos de inercia respecto a los ejes x e y: Ieje z  Ieje x  Ieje y

Placa delgada

(8.32)

8.5 Objetos simples

Se han expresado los momentos de inercia de masa de una placa delgada homogénea de espesor uniforme en términos de los momentos de inercia del área de la sección transversal de la placa. De hecho, estos resultados explican por qué las integrales de área Ix, Iy y JO se llaman momentos de inercia. El uso de la misma terminología y símbolos similares para los momentos de inercia de áreas y los momentos de inercia de objetos puede resultar confuso, pero está muy arraigado en la práctica de la ingeniería. El tipo de momento de inercia al que se hace referencia puede determinarse a partir del contexto o con base en las unidades: (longitud)4 para los momentos de inercia de áreas y (masa)  (longitud)2 para los momentos de inercia de masas.

RESULTADOS

Momento de inercia de un objeto El momento de inercia de un objeto respecto a un eje LO está definido por

dm

IO 

(8.27) r2dm, Lm donde r es la distancia perpendicular desde LO hasta el elemento diferencial de masa dm.

r

LO dm

Barras delgadas El elemento diferencial de masa dm  rAdr, donde r es la densidad de la barra homogénea y A es el área de su sección transversal uniforme. El momento de inercia de la barra de longitud l respecto al eje perpendicular L a través de su centro de masa es l/2

I

r2dm 

rAr2dr 

r

L

1 rAl3. 12

Lm L l/2 En términos de la masa de la barra m  rAl, 1 I  ml2. 12

dr

l

(8.28)

Placas delgadas Los momentos de inercia de una placa homogénea delgada de grosor uniforme y masa m que se encuentra en el plano x–y puede expresarse en términos de los momentos de inercia del área A de la sección transversal de la placa: m (8.30) I , Ieje x  A x m (8.31) I , Ieje y  A y m (8.29) J  Ieje x  Ieje y. Ieje z  A O Aquí Ix es el momento de inercia de A respecto al eje x, Iy es el momento de inercia de A respecto al eje y y JO es el momento polar de inercia de A respecto al origen.

y

y A x

z

411

412

Capítulo 8 Momentos de inercia

Ejemplo activo 8.9

Momento de inercia de una placa triangular ( Relacionado con el problema 8.104) La placa homogénea delgada que se muestra en la figura tiene espesor uniforme y masa m. Determine sus momentos de inercia de masa respecto al eje x. y

h

x b

Estrategia El momento de inercia de la placa respecto al eje x está dado por la ecuación (8.30) en términos del momento de inercia del área de la placa respecto al eje x. El momento de inercia del área puede obtenerse a partir del apéndice B.

Solución

Del apéndice B, 1 bh3. Ix  12

Determine el momento de inercia del área de la placa respecto al eje x.

El momento de inercia de la placa respecto al eje x es

Ieje x  



m Ix A m 1 2

 bh  bh 12 1

3

Aplique la ecuación (8.30).

1 mh2. 6

Problema de práctica Determine el momento de inercia de la placa respecto al eje y. Respuesta: Ieje y =

1 mb2. 2

413

8.5 Objetos simples

Ejemplo 8.10

Momentos de inercia de una barra delgada ( Relacionado con el problema 8.100)

Dos barras homogéneas esbeltas, cada una con longitud l, masa m y área de sección transversal A, están soldadas entre sí para formar el objeto en forma de L que se muestra en la figura. Determine el momento de inercia de masa del objeto respecto al eje LO que pasa por el punto O (el eje LO es perpendicular a las dos barras). l

Estrategia Usando el mismo procedimiento de integración empleado para una sola barra, se determinará el momento de inercia de masa de cada barra respecto a LO y se sumarán los resultados. O

Solución El primer paso consiste en introducir un sistema coordenado con el eje z a lo largo de LO y el eje x colineal con la barra 1 (figura a). La masa del elemento diferencial de la barra 1 de longitud dx es dm  rA dx. El momento de inercia de la barra 1 respecto a LO es l

LO

y

1 1IO21 = r dm = rAx dx = rAl 3. 3 Lm L0 2

l

2

En términos de la masa de la barra, m  rAl, este resultado puede escribirse como

1IO21 =

2

1 2 ml . 3

dm 1 x

O

La masa de un elemento de la barra 2 con longitud dy, que se muestra en la figura b, es dm  rA dy. En la figura se observa que la distancia perpendicular de LO al elemento es r = 2l2 + y2. Por lo tanto, el momento de inercia de la barra 2 respecto a LO es

1IO22 =

Lm

r 2 dm =

l

L0

rA1l 2

x

dx

(a) Elemento diferencial de la barra 1. y dy

4 + y 22 dy = rAl 3. 3

dm

En términos de la masa de la barra, se obtiene

1IO22 =

r

4 2 ml . 3

El momento de inercia del objeto en forma de L respecto a LO es

IO = 1IO21 + 1IO22 =

y 2

1 2 4 5 ml + ml 2 = ml 2. 3 3 3

Razonamiento crítico En este ejemplo se usó la integración para determinar un momento de inercia de un objeto consistente en dos barras rectas. El mismo procedimiento puede aplicarse para objetos más complicados hechos con barras de este tipo, pero obviamente lo anterior sería tedioso. Una vez que se ha usado la integración para determinar un momento de inercia de una sola barra, como en la ecuación (8.28), sería conveniente usar ese resultado para determinar momentos de inercia de objetos compuestos hechos de barras sin tener que realizar de nuevo la integración. En la siguiente sección se mostrará cómo hacer esto.

x

O 1

(b) Elemento diferencial de la barra 2.

414

Capítulo 8 Momentos de inercia

Problemas  8.100 El eje LO es perpendicular a los dos segmentos de la barra en forma de L que se muestra en la figura. La masa de la barra es de 6 kg y el material es homogéneo. Use el método descrito en el ejemplo 8.10 para determinar el momento de inercia de la barra respecto a LO.

 8.104 La placa homogénea delgada que se muestra en la figura tiene una masa m  12 kg y dimensiones b  2 m y h  1 m. Use el procedimiento descrito en el ejemplo activo 8.9 para determinar los momentos de inercia de la placa respecto a los ejes x e y. y

1m h x LO

2m

b

Problema 8.104

Problema 8.100 8.101 Dos barras homogéneas esbeltas, cada una con masa m y longitud l, están soldadas entre sí para formar un cuerpo en forma de T. Use integración para determinar el momento de inercia de masa del cuerpo mostrado respecto al eje que pasa por el punto O y que es perpendicular a las barras.

8.105 La placa homogénea delgada que se muestra en la figura tiene espesor uniforme y masa m. (a) Determine su momento de inercia de masa respecto a los ejes x y z. (b) Considere que Ri  0 y compare sus resultados con los valores dados en el apéndice C para una placa circular delgada. y Ro

l

O

Ri

l

x

Problema 8.101 8.102 La barra delgada que se muestra en la figura se encuentra en el plano x-y. Su masa es de 6 kg y el material es homogéneo. Use integración para determinar su momento de inercia respecto al eje z. 8.103 Use integración para determinar el momento de inercia respecto al eje y de la barra delgada de 6 kg que se muestra en la figura. y

Problema 8.105 8.106 La placa homogénea delgada que se muestra en la figura tiene espesor uniforme y pesa 20 lb. Determine su momento de inercia respecto al eje y. 8.107 Determine el momento de inercia de la placa mostrada respecto al eje x. y

2m

y4

1 2 x pies 4

50 x 1m

Problemas 8.102/8.103

x

Problemas 8.106/8.107

8.6 Teorema de los ejes paralelos

415

8.6 Teorema de los ejes paralelos ANTECEDENTES El teorema de los ejes paralelos permite determinar el momento de inercia de un objeto respecto a cualquier eje si se conoce el momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de masa. Este teorema puede usarse para calcular el momento de inercia de un objeto compuesto respecto a un eje, dados los momentos de inercia de cada una de sus partes respecto a ejes paralelos. Suponga que se conoce el momento de inercia I respecto a un eje L que pasa por el centro de masa de un objeto, y que se desea determinar su momento de inercia de masa IO respecto a un eje paralelo LO (figura 8.18a). Para determinar IO se introducen sistemas coordenados paralelos xyz y xyz con el eje z a lo largo de LO y el eje z a lo largo de L, como se muestra en la figura 8.18b (en esta figura los ejes LO y L son perpendiculares a la página). El origen O del sistema coordenado xyz está contenido en el plano x y. Los términos dx y dy son las coordenadas del centro de masa relativas al sistema coordenado xyz. El momento de inercia del objeto respecto a LO es

IO =

Lm

r 2 dm =

Lm

1x 2 + y 22 dm,

(8.33)

L LO (a) y y

donde r es la distancia perpendicular de LO al elemento diferencial de masa dm, mientras que x, y son las coordenadas de dm en el plano x-y. Las coordenadas de dm en los dos sistemas coordenados se relacionan mediante las siguientes expresiones: x  x  d x,

Lm

+

1d x2 + d y22 dm.

Lm

x¿dm + 2dy

Lm

x¿ =

x¿dm

Lm

, dm

y¿ =

(b)

. dm

Como el centro de masa del cuerpo está en el origen del sistema xyz, x¿ = 0 y y¿ = 0. Por lo tanto, las integrales en el segundo y el tercer términos del lado derecho de la ecuación (8.34) son iguales a cero. En la figura 8.18b se observa que d x2  d y2  d 2, donde d es la distancia perpendicular entre los ejes L y LO. Por lo tanto, se obtiene IO  I  d 2m.

x

y¿dm

y¿dm

Lm

x

O

(8.34)

Lm

dy

d

Como (x)2  (y)2  (r)2, donde r es la distancia perpendicular de L a dm, la primera integral en el lado derecho de esta ecuación es el momento de inercia I del objeto respecto a L. Recuerde que las coordenadas x y y del centro de masa del objeto relativas al sistema coordenado xyz están definidas por

Lm

r

r

31x¿22 + 1y¿224dm + 2dx

Lm

dm

y  y  d y.

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (8.33), es posible escribir

IO =

dx

(8.35)

Éste es el teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia de objetos. La ecuación (8.35) relaciona el momento de inercia I de un objeto respecto a un eje que pasa por el centro de masa con su momento de inercia IO respecto a cualquier eje paralelo, donde d es la distancia perpendicular entre los dos ejes y m es la masa del objeto.

Figura 8.18 (a) Eje L a través del centro de masa de un objeto y eje paralelo LO. (b) Sistemas coordenados xyz y xyz.

416

Capítulo 8 Momentos de inercia

Por lo general, la determinación del momento de inercia de un objeto respecto a un eje dado LO requiere de tres pasos: 1. Seleccionar las partes. Trate de dividir el objeto en partes cuyos momentos de inercia de masa se conozcan o puedan determinarse con facilidad. 2. Determinar los momentos de inercia de las partes. Primero debe determinar el momento de inercia de cada parte respecto al eje que pasa por su centro de masa y es paralelo a LO. Luego se puede usar el teorema de los ejes paralelos para determinar su momento de inercia respecto a LO. 3. Sumar los resultados. Sume los momentos de inercia de las partes (o reste en el caso de un agujero o recorte) para obtener el momento de inercia del objeto compuesto.

RESULTADOS Teorema de los ejes paralelos El momento de inercia de un objeto con masa m respecto a un eje LO está dado por IO  I  d2m,

d

(8.35)

donde I es el momento de inercia del objeto respecto a un eje paralelo que pasa por su centro de masa y d es la distancia perpendicular entre los dos ejes.

_ x1

L LO

Objetos compuestos El teorema de los ejes paralelos permite determinar el momento de inercia de un objeto compuesto respecto a un eje dado LO. El momento de inercia de cada parte puede determinarse respecto a un eje que pasa por el centro de masa de la parte y que es paralelo a LO. Entonces el teorema de los ejes paralelos puede aplicarse a cada parte para determinar su momento de inercia respecto a LO. Al sumar los resultados se obtiene el momento de inercia del objeto compuesto respecto a LO.

Ejemplo activo 8.11

Teorema de los ejes paralelos ( Relacionado con el problema 8.111) La barra homogénea delgada que se muestra en la figura tiene masa m y longitud l. El eje LO es perpendicular a la barra. (a) Use integración para determinar el momento de inercia de la barra respecto a LO. (b) El momento de inercia de la barra respecto a un eje que pasa por su centro de masa y que es perpendicular a dicha barra es I  (1/12)ml2. Use este resultado y el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia de la barra respecto a LO.

O

l LO

8.6 Teorema de los ejes paralelos

Solución l dm

O r

El elemento diferencial de masa dm  rA dr, donde r es la densidad de la barra homogénea y A es el área de su sección transversal. El momento de inercia es

(a) Integre para determinar el momento de inercia respecto a LO.

l

1 IO  r dm  rAr dr  rAl3. 3 Lm LO En términos de la masa de la barra m  rAl, 1 2 IO  ml . 3 2

dr

2

l 2

O LO

L

IO  I  d2m 1 2 1 2 l m ml  12 2 1  ml2. 3



 

(b) Aplique el teorema de los ejes paralelos.

Problema de práctica Dos barras homogéneas delgadas, cada una de longitud l y masa m, se sueldan entre sí para formar el objeto en forma de L que se muestra en la figura. Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia del objeto respecto al eje LO (el eje LO es perpendicular a las dos barras).

l

O

l LO

Respuesta: IO =

5 2 ml . 3

417

418

Capítulo 8 Momentos de inercia

Ejemplo 8.12

Momento de inercia de un objeto compuesto ( Relacionado con el problema 8.127) El objeto que se muestra en la figura consiste en una barra de 3 kg soldada a un disco delgado circular de 2 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje L que pasa por su centro de masa (el eje L es perpendicular a la barra y al disco).

0.2 m

0.6 m L

Estrategia Primero se debe localizar el centro de masa del objeto compuesto, y luego aplicar el teorema de los ejes paralelos a las partes por separado y sumar los resultados. Solución Selección de las partes Las partes son la barra y el disco. Introduciendo el sistema coordenado de la figura a, la coordenada x del centro de masa del objeto compuesto es

x =

=

xbarra mbarra + xdisco mdisco mbarra + mdisco 10.3 m213 kg2 + 10.6 m + 0.2 m212 kg2 13 kg2 + 12 kg2

= 0.5 m.

y

x 0.3 m _ x 0.8 m

(a) Coordenada x del centro de masa del objeto.

Determinación de los momentos de inercia de masa de las partes La distancia desde el centro de masa de la barra al centro de masa del objeto compuesto es 0.2 m (figura b). Por lo tanto, el momento de inercia de masa de la barra respecto a L es

Ibarra =

1 13 kg210.6 m22 + 13 kg210.2 m22 = 0.210 kg-m2. 12

8.6 Teorema de los ejes paralelos

y

x 0.2 m

(b) Distancia de L al centro de masa de la barra.

La distancia desde el centro de masa del disco al centro de masa del objeto compuesto es 0.3 m (figura c). El momento de inercia del disco respecto a L es

Idisco =

1 12 kg210.2 m22 + 12 kg210.3 m22 = 0.220 kg-m2. 2

y

x

0.3 m

(c) Distancia desde L hasta el centro de masa del disco.

Suma de los resultados El momento de inercia del objeto compuesto respecto a L es

I = Ibarra + Idisco = 0.430 kg-m2.

Razonamiento crítico En este ejemplo se muestra el procedimiento más común para determinar momentos de inercia de objetos en aplicaciones de ingeniería. Por lo general, los objetos consisten en ensambles de partes. Se debe determinar el centro de masa de cada parte y su momento de inercia respecto al eje que pasa por dicho centro de masa (puede ser necesario determinar esta información de manera experimental, o en ocasiones los datos son proporcionados por los fabricantes de subensambles). Después se determina el centro de masa del objeto compuesto y se usa el teorema de los ejes paralelos para encontrar el momento de inercia de cada parte respecto al eje que pasa por el centro de masa del objeto compuesto. Por último, los momentos de inercia individuales se suman para obtener el momento de inercia del objeto compuesto.

419

420

Capítulo 8 Momentos de inercia

Ejemplo 8.13

Momentos de inercia de un cilindro ( Relacionado con los problemas 8.122, 8.123, 8.125, 8.126) El cilindro homogéneo que se muestra en la figura tiene masa m, longitud l y radio R. Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z. y

x

R l z

Estrategia Primero se determinan los momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z de un elemento infinitesimal del cilindro, que consiste en un disco de espesor dz. Después se integran los resultados con respecto a z para obtener los momentos de inercia del cilindro. Se debe aplicar el teorema de los ejes paralelos para determinar los momentos de inercia del disco respecto a los ejes x e y. Solución Considere un elemento del cilindro de espesor dz a una distancia z del centro del cilindro (figura a) (es posible imaginar que este elemento se obtiene al “rebanar” el cilindro perpendicularmente a su eje). La masa del elemento es igual al producto de la densidad de masa y el volumen del elemento, dm  r(pR2dz). Se obtienen los momentos de inercia del elemento usando los valores para una placa circular delgada dados en el apéndice C. El momento de inercia respecto al eje z es

dIeje z =

1 1 dmR 2 = 1rpR 2 dz2R 2. 2 2

y x x

z

z dz

(a) Elemento diferencial del cilindro en la forma de un disco.

8.6 Teorema de los ejes paralelos

Al integrar este resultado con respecto a z de l/2 a 1/2, se suman los momentos de inercia de los elementos infinitesimales de disco que forman el cilindro. El resultado es el momento de inercia del cilindro respecto al eje z: l>2

1 1 rpR 4 dz = rp R 4l. 2 2 L-l>2

Ieje z =

Este resultado puede escribirse en términos de la masa del cilindro, m  r(pR2l), como

Ieje z =

1 mR 2. 2

El momento de inercia de masa del elemento de disco respecto al eje x es

dIeje x¿ =

1 1 dm R 2 = 1rpR 2 dz2R 2. 4 4

Puede usarse este resultado y el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia de masa del elemento respecto al eje x:

dIeje x = dIeje x¿ + z 2 dm =

1 1rpR 2 dz2R 2 + z 21rpR 2 dz2. 4

Integrando esta expresión con respecto a z desde l/2 a l/2, se obtiene el momento de inercia de masa del cilindro respecto al eje x: l>2

Ieje x =

1 1 1 a rpR 4 + rpR 2z 2 b dz = rpR 4l + rpR 2l 3. 4 12 L-l>2 4

En términos de la masa del cilindro,

Ieje x =

1 1 mR 2 + ml 2. 4 12

Debido a la simetría del cilindro, Ieje y  Ieje x.

Razonamiento crítico Cuando el cilindro es muy largo en comparación con su ancho, l  R, el primer término en la ecuación para Ieje x se puede ignorar y se obtiene el momento de inercia de una barra delgada respecto a un eje perpendicular, ecuación (8.28). Por otro lado, cuando el radio del cilindro es mucho mayor que su longitud, R  I, el segundo término de la ecuación para Ieje x se puede ignorar y se obtiene el momento de inercia de masa para un disco circular delgado respecto a un eje paralelo al disco. Esto indica los tamaños de los términos que se desprecian cuando se usan las expresiones aproximadas para los momentos de inercia de una barra “delgada” y de un disco “delgado”.

421

422

Capítulo 8 Momentos de inercia

Problemas 8.108 La masa del objeto mostrado es de 10 kg. Su momento de inercia respecto a L1 es de 10 kg-m2. ¿Qué valor tiene su momento de inercia respecto a L2? (Los tres ejes se encuentran en el mismo plano).

8.112 La masa de la barra delgada homogénea que se muestra en la figura es de 20 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje z. 8.113 Determine el momento de inercia de la barra de 20 kg que se muestra en la figura, respecto al eje z que pasa por su centro de masa. y

0.6 m

y

x

0.6 m

L

L1

L2

1m

Problema 8.108 x

8.109 Un ingeniero recaba datos para el diseño de una unidad de maniobras y determina que el centro de masa del astronauta que aparece en la figura está en x  1.01 m, y  0.16 m, y que su momento de inercia respecto al eje z es de 105.6 kg-m2. Su masa es de 81.6 kg. ¿Qué valor tiene su momento de inercia respecto al eje z que pasa a través de su centro de masa? y

y

x x

1.5 m

1m

Problemas 8.112/8.113

8.114 La barra delgada homogénea que se muestra en la figura pesa 5 lb. Determine su momento de inercia respecto al eje z. 8.115 Determine el momento de inercia de la barra de 5 lb que se muestra en la figura, respecto al eje z que pasa por su centro de masa. y

y

Problema 8.109 8.110 Dos barras delgadas homogéneas, cada una con masa m y longitud l, se sueldan entre sí para formar el objeto en forma de T que se muestra en la figura. Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia del objeto respecto al eje que pasa por el punto O y es perpendicular a las barras.  8.111 Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia del cuerpo en forma de T que se muestra en la figura, respecto al eje que pasa por el centro de masa del objeto y que es perpendicular a las dos barras (vea el ejemplo activo 8.11).

4 pulg

x

x 8 pulg

Problemas 8.114/8.115

l

O l

Problemas 8.110/8.111

423

Problemas 8.116 El cohete mostrado sirve para investigaciones atmosféricas. Su peso y su momento de inercia de masa respecto al eje z que pasa a través de su centro de masa (incluido el combustible) son 10 kip y 10,200 slug-pie2, respectivamente. El combustible pesa 6000 lb, su centro de masa está en x  3 pies, y  0, z  0, y el momento de inercia del combustible respecto al eje que pasa por el centro de masa y que es paralelo al eje z es de 2200 slug-pie2. Si el combustible se agota, ¿qué valor tiene el momento de inercia del cohete respecto al eje que pasa por el nuevo centro de masa paralelo a z?

8.121 El radiador térmico de la figura (usado para eliminar el exceso de calor en un satélite) puede modelarse como una placa homogénea rectangular delgada. Su masa es de 5 slugs. Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z. y 3 pies

6 pies

y

3 pies

x

2 pies x

Problema 8.116 Problema 8.121

8.117 La masa de la placa delgada homogénea de la figura es de 36 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje x. 8.118 Determine el momento de inercia de masa de la placa de 36 kg mostrada, respecto al eje z. y 0.4 m

 8.122 El cilindro homogéneo que se muestra en la figura tiene masa m, longitud l y radio R. Use la integración como se describió en el ejemplo 8.13 para determinar su momento de inercia respecto al eje x.

0.4 m y 0.3 m x 0.3 m x

Problemas 8.117/8.118 8.119 La placa delgada homogénea que se muestra en la figura pesa 10 lb. Determine su momento de inercia respecto al eje x.

R l

8.120 Determine el momento de inercia de la placa de 10 lb mostrada, respecto al eje y.

z

y 5 pulg

Problema 8.122

5 pulg

10 pulg 5 pulg x

Problemas 8.119/8.120

424

Capítulo 8 Momentos de inercia

 8.123 El cono homogéneo mostrado tiene masa m. Determine su momento de inercia respecto al eje z y compare su resultado con el valor dado en el apéndice C (vea el ejemplo 8.13). 8.124 Determine el momento de inercia del cono homogéneo de masa m mostrado, respecto a los ejes x e y, y compare su resultado con el valor dado en el apéndice C.

8.128 La parte de máquina en forma de L que se muestra en la figura está compuesta por dos barras homogéneas. La barra 1 es de una aleación de tungsteno con densidad de 14,000 kg/m3, y la barra 2 es de acero con densidad de 7800 kg/m3. Determine su momento de inercia respecto al eje x. y

240 mm

y

1 40 mm 2

80 mm

x

80 mm

z

R

240 mm x

z

h

Problema 8.128 8.129 El objeto homogéneo que se muestra en la figura es un cono con un agujero cónico. Sus dimensiones son R1  2 pulg, R2  1 pulg, h1  6 pulg y h2  3 pulg. Está hecho de una aleación de aluminio con densidad de 5 slug/pie3. Determine su momento de inercia respecto al eje x.

Problemas 8.123/8.124

y

 8.125 La masa de la cuña homogénea que se muestra en la figura es m. Use la integración como se describió en el ejemplo 8.13 para determinar su momento de inercia respecto al eje z (su respuesta debe estar en términos de m, a, b y h).

x

 8.126 La masa de la cuña homogénea que se muestra en la figura es m. Use la integración como se describió en el ejemplo 8.13 para determinar su momento de inercia respecto al eje x (su respuesta debe estar en términos de m, a, b y h).

R1

R2

y

h1

z

h2

Problema 8.129 x h a

z

8.130 El cilindro circular mostrado está hecho de aluminio (Al) con densidad de 2700 kg/m3 y hierro (Fe) con densidad de 7860 kg/m3. Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x e y.

b

y

Problemas 8.125/8.126

y Al

 8.127 En el ejemplo 8.12, suponga que una parte de la barra de 3 kg se corta, de manera que ahora su longitud es de 0.4 m y su masa es de 2 kg. Determine el momento de inercia del objeto compuesto respecto al eje perpendicular L que pasa por el centro de masa del objeto modificado.

z

Fe 600 mm 200 mm z

600 mm x, x

Problema 8.130

Problemas de repaso 8.131 La mitad de cilindro homogéneo mostrado tiene masa m. Determine su momento de inercia de masa respecto al eje L que pasa por su centro de masa.

R

L

425

8.134 El objeto mostrado está hecho de acero con densidad r  7800 kg/m3. Determine su momento de inercia respecto al eje LO. 8.135 Determine el momento de inercia de masa del objeto del problema 8.134 respecto al eje que pasa por su centro de masa y es paralelo al eje LO. 20 mm

T O

Problema 8.131 8.132 La parte de máquina homogénea que se muestra en la figura está hecha de aleación de aluminio con densidad r  2800 kg/m3. Determine su momento de inercia respecto al eje z.

100 mm

10 mm

8.133 Determine el momento de inercia de la parte de máquina descrita en el problema 8.132 respecto al eje x. y

y 20 mm x

z

30 mm LO

Problemas 8.134/8.135 8.136 La placa gruesa que se muestra en la figura está hecha de acero con densidad r  15 slug/pie3. Determine su momento de inercia respecto al eje z. 8.137 Determine el momento de inercia de la placa del problema 8.136 respecto al eje x.

40 mm 120 mm

40 mm

Problemas 8.132/8.133

y

y

4 pulg

2 pulg

2 pulg x

z

4 pulg 4 pulg

8 pulg

4 pulg

4 pulg

Problemas 8.136/8.137

Problemas de repaso 8.138 Determine Iy y ky.

8.142 Determine Iy y ky.

8.139 Determine Ix y kx.

8.143 Determine Ix y kx.

8.140 Determine JO y kO.

8.144 Determine Ixy. y

8.141 Determine Ixy. y

1 y  x  x2 4

(1, 1) y  x2

x

Problemas 8.142–8.144 x

Problemas 8.138–8.141

426

Capítulo 8 Momentos de inercia

8.145 Determine Iy y ky.

8.152 Determine Iy y ky.

8.146 Determine Ix y kx.

8.153 Determine JO y kO.

8.147 Determine Ixy.

y

y 2 pies

y

yx 

x

1 2 x 4 4 pies

x

Problemas 8.152/8.153

x

Problemas 8.145–8.147 8.154 Determine Ix y kx. 8.155 Determine Iy y ky.

8.148 Determine Iy y ky. 8.149 Determine Ix y kx.

y y 3 pies

3 pies

40 mm 6 pies 160 mm

x 2 pies 2 pies x 80 mm

40 mm

Problemas 8.154/8.155

80 mm

Problemas 8.148/8.149

8.156 Los momentos de inercia del área mostrada son Ix  36 m4, Iy  145 m4 e Ixy  44.25 m4. Determine un conjunto de ejes principales y los momentos de inercia principales.

8.150 Determine Ix y kx. 8.151 Determine JO y kO.

y y 3m

4m

40 mm

3m x x

160 mm

Problema 8.156

80 mm

40 mm

80 mm

Problemas 8.150/8.151

427

Problemas de repaso 8.157 El momento de inercia del bate de 31 onzas mostrado respecto a un eje perpendicular que pasa por el punto B es de 0.093 slug-pie2. ¿Qué valor tiene el momento de inercia del bate respecto a un eje perpendicular que pasa por el punto A? (El punto A es el “centro instantáneo” del bate, o centro de rotación, en el instante mostrado).

8.160 La pirámide homogénea mostrada tiene masa m. Determine su momento de inercia respecto al eje z. 8.161 Determine el momento de inercia de la pirámide homogénea de masa m que se muestra en la figura, respecto a los ejes x e y. y

x

h

C

z

12 pulg

B

Problemas 8.160/8.161 8.162 El objeto homogéneo mostrado pesa 400 lb. Determine su momento de inercia respecto al eje x.

14 pulg

8.163 Determine el momento de inercia de masa del objeto de 400 lb que se muestra en la figura, respecto a los ejes y y z.

A

y

Problema 8.157

y

8.158 La masa de la placa delgada homogénea que se muestra en la figura es de 4 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje y.

z

6 pulg 9 pulg

8.159 Determine el momento de inercia de la placa de 4 kg mostrada respecto al eje z.

36 pulg

x

x 36 pulg 46 pulg Vista lateral

46 pulg y

Problemas 8.162/8.163 100 mm

8.164 Determine el momento de inercia de masa del volante de 14 kg mostrado respecto al eje L.

140 mm x 140 mm

50 mm 200 mm

70 mm

120 mm

L 100 mm

Problemas 8.158/8.159

440 mm 500 mm

150 mm

Problema 8.164

CAPÍTULO

9 Fricción Las fuerzas de fricción tienen muchos efectos importantes, tanto deseables como indeseables, en las aplicaciones de ingeniería. La teoría de la fricción de Coulomb permite estimar las fuerzas de fricción máxima que pueden ejercerse entre superficies en contacto y las fuerzas de fricción ejercidas por superficies deslizantes. Esto abre el camino para el análisis de nuevos e importantes tipos de soportes y máquinas, incluidas cuñas (calzas), conexiones roscadas, cojinetes y bandas.

䉳 La pieza de trabajo ejerce fuerzas normales y de fricción sobre el disco del esmeril. En este capítulo se analizan las fuerzas de fricción entre superficies en contacto.

430

Capítulo 9 Fricción

9.1 Teoría de la fricción seca ANTECEDENTES Suponga que una persona sube por una escalera que se encuentra recargada contra una pared lisa. En la figura 9.1a se muestra el diagrama de cuerpo libre de la persona y la escalera. Si la persona permanece quieta sobre la escalera, pueden usarse las ecuaciones de equilibrio para determinar la fuerza de fricción. Pero hay una pregunta importante que no puede responderse sólo con las ecuaciones de equilibrio: ¿Permanecerá la escalera en reposo o resbalará sobre el piso? Si un camión se estaciona sobre un terreno inclinado, la fuerza de fricción ejercida sobre sus llantas por el camino impide que se deslice cuesta abajo (figura 9.1b). Se pueden usar las ecuaciones de equilibrio para determinar la fuerza de fricción total. Sin embargo, surge otra pregunta que no puede contestarse: ¿Cuál es la pendiente que puede tener el terreno sin que el camión estacionado se deslice? Para responder estas preguntas es necesario examinar con mayor detalle la naturaleza de las fuerzas de fricción. Coloque un libro sobre una mesa y empújelo con una pequeña fuerza horizontal, como muestra la figura 9.2a. Si la fuerza que usted ejerce es suficientemente pequeña, el libro no se moverá. En la figura 9.2b se muestra el diagrama de cuerpo libre del libro. La fuerza W es el peso del libro y N es la fuerza normal ejercida por la mesa sobre la superficie del libro que está en contacto con la mesa. La fuerza F es la fuerza horizontal que usted aplica y f es la fuerza de fricción ejercida por la mesa. Como el libro está en equilibrio, f  F Ahora incremente lentamente la fuerza aplicada sobre el libro. Mientras éste permanezca en equilibrio, la fuerza de fricción debe aumentar de manera correspondiente puesto que es igual a la fuerza que se aplica. Cuando la fuerza aplicada llega a ser muy grande, el libro se deslizará sobre la mesa. Después de alcanzar cierto valor máximo, la fuerza de fricción ya no puede mantener el libro en equilibrio. Observe también que la fuerza que usted debe aplicar para mantener al libro en movimiento es menor que la requerida para ocasionar el deslizamiento (usted está familiarizado con este fenómeno si alguna vez ha empujado un mueble sobre el piso).

Fuerza de fricción

Fuerza de fricción (a)

(b)

Figura 9.1 Objetos soportados mediante fuerzas de fricción. W F

f

Figura 9.2 (a) Se ejerce una fuerza horizontal sobre un libro. (b) Diagrama de cuerpo libre del libro.

N

(a)

(b)

9.1 Teoría de la fricción seca

¿Cómo ejerce la mesa una fuerza de fricción sobre el libro? ¿Por qué éste se desliza? ¿Por qué para mantenerlo en movimiento se requiere una fuerza menor que para empezar a moverlo? Si las superficies de la mesa y del libro se amplifican suficientemente, adquieren un aspecto rugoso (figura 9.3). Las fuerzas de fricción surgen en parte debido a las interacciones de las rugosidades o asperezas de las superficies en contacto. Se puede obtener mayor conocimiento de este mecanismo de fricción considerando un modelo simple bidimensional de las superficies rugosas del libro y la mesa. Considere una idealización de las asperezas del libro y de la tabla, con los perfiles bidimensionales en forma de “dientes de sierra” que se muestran en la figura 9.4a. Cuando la fuerza horizontal F se incrementa, el libro permanecerá estático hasta que la fuerza sea suficientemente grande para causar que el libro se deslice hacia arriba, como muestra la figura 9.4 b. ¿Qué valor tiene la fuerza horizontal necesaria para que ocurra esto? Para saberlo, se debe determinar el valor de F necesario para que el libro esté en equilibrio en la posición “deslizada” de la figura 9.4b. La fuerza normal Ci ejercida sobre la i-ésima aspereza con forma de diente de sierra del libro se presenta en la figura 9.4c (observe que en este modelo sencillo se supone que las superficies en contacto de las asperezas son lisas). Denotando la suma de las fuerzas normales ejercidas por la mesa sobre las asperezas del libro mediante C  a Ci, se obtienen las ecuaciones de equilibrio

431

Figura 9.3 Las rugosidades de las superficies pueden verse en una vista ampliada.

i

Fx  F  C sen a  0, Fy  C cos a  W  0. Al eliminar C de estas ecuaciones se obtiene la fuerza necesaria para ocasionar que el libro se deslice sobre la tabla: F  (tan a)W. Se observa que la fuerza necesaria para ocasionar que el libro se deslice es proporcional a la fuerza que presiona entre sí a las superficies en forma de diente de sierra (el peso del libro). Considere una situación en la que apila un número creciente de libros y aplica sobre ellos una fuerza horizontal. A medida que el número de libros aumenta, se requiere una fuerza progresivamente más grande para ocasionar que los libros se deslicen. Asimismo, en el experimento imaginario bidimensional, el ángulo a es una medida de la rugosidad de las superficies con forma de diente de sierra. Cuando a S 0, las superficies se vuelven lisas y la fuerza necesaria para ocasionar que el libro se deslice tiende a cero. Cuando a aumenta, la rugosidad se incrementa y la fuerza necesaria para causar el deslizamiento del libro se vuelve más grande. y

Figura 9.4 (a) Modelo bidimensional de superficies rugosas en contacto. (b) Deslizamiento del libro respecto a la mesa. (c) Fuerza normal sobre una de las asperezas del libro.

W F x

a

a

a

a (a)

(b)

Ci (c)

432

Capítulo 9 Fricción

Las siguientes secciones presentan una teoría que incorpora los fenómenos básicos que se acaban de describir y que resulta útil para determinar las fuerzas de fricción entre superficies secas (la fricción entre superficies lubricadas es un fenómeno hidrodinámico y debe analizarse en el contexto de la mecánica de fluidos).

Coeficientes de fricción

TABLA 9.1 Valores típicos del coeficiente de fricción estática. Coeficiente de fricción estática ms

Materiales

Metal sobre metal Mampostería sobre mampostería Madera sobre madera Metal sobre mampostería Metal sobre madera Hule sobre concreto

0.15–0.20 0.60–0.70 0.25–0.50 0.30–0.70 0.20–0.60 0.50–0.90

(a)

Dirección del deslizamiento inminente

f  msN N N

f  msN

La teoría de la fricción seca, o fricción de Coulomb, predice las fuerzas de fricción máximas que pueden ser ejercidas por superficies secas en contacto, y que se encuentran en reposo entre sí. También predice las fuerzas de fricción ejercidas por las superficies cuando éstas se encuentran en movimiento, o deslizamiento, relativo. Primero se considerarán las superficies que no están en movimiento relativo. Coeficiente estático La magnitud de la fuerza de fricción máxima que se puede ejercer entre dos superficies planas, secas, en contacto, que no están en movimiento relativo entre sí, es f  m s N,

(9.1)

donde N es la componente normal de la fuerza de contacto entre las superficies y ms es una constante llamada coeficiente de fricción estática. Se supone que el valor de ms depende sólo de los materiales de las superficies en contacto y de sus condiciones (lisura y grado de contaminación por otros materiales). En la tabla 9.1 se muestran valores típicos de ms para distintos materiales. El intervalo relativamente grande de valores para cada par de materiales refleja la sensibilidad de ms respecto a las condiciones de las superficies. En las aplicaciones de ingeniería suele ser necesario medir el valor de ms para cada una de las superficies reales usadas. De regreso al ejemplo del libro sobre la mesa (figura 9.2), si se aplica una fuerza horizontal específica F sobre el libro y éste permanece en equilibrio, ¿qué valor tiene la fuerza de fricción ejercida por la mesa sobre el libro? En el diagrama de cuerpo libre de la figura 9.2b puede verse que f  F. Observe que no se usó la ecuación (9.1) para responder la pregunta. Pero suponga que se desea conocer la fuerza máxima F que puede aplicarse al libro sin ocasionar su deslizamiento. Si se conoce el coeficiente de fricción estática ms entre el libro y la mesa, la ecuación (9.1) indica la fricción máxima que puede ejercer la tabla sobre el libro. Por lo tanto, la fuerza máxima F que puede aplicarse sin causar que el libro se deslice es F  f  msN. Asimismo, a partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 9.2b, se sabe que N  W, por lo que la fuerza máxima que no ocasionará que el libro se deslice es F  msW. La ecuación (9.1) determina la magnitud de la fuerza de fricción máxima pero no su dirección. La fuerza de fricción es un máximo, y la ecuación (9.1) es aplicable si las dos superficies están a punto de deslizarse una con respecto a la otra. Se dice que el deslizamiento es inminente y que las fuerzas de fricción resisten el movimiento inminente. Suponga que en la figura 9.5a la superficie inferior está fija y el deslizamiento de la superficie superior hacia la derecha es inminente. La fuerza de fricción sobre la superficie superior resistirá este movimiento inminente (figura 9.5b). La fuerza de fricción sobre la superficie inferior tendrá la dirección opuesta. El coeficiente cinético De acuerdo con la teoría de la fricción seca, la magnitud de la fuerza de fricción entre dos superficies planas y secas en contacto, que están en movimiento (deslizamiento) relativo entre sí, es

(b)

Figura 9.5 (a) La superficie superior está a punto de deslizarse hacia la derecha. (b) Direcciones de las fuerzas de fricción.

f  mkN,

(9.2)

donde N es la fuerza normal entre las superficies y mk es el coeficiente fricción cinética. Se supone que el valor de mk depende sólo de las composiciones de las

9.1 Teoría de la fricción seca

433

Figura 9.6 (a) La superficie superior se mueve hacia la derecha respecto a la superficie inferior. (b) Direcciones de las fuerzas de fricción.

Dirección del movimiento relativo

f  mk N

N N (a)

f  m kN

(b)

superficies y de sus condiciones. Para un par de superficies dado, su valor es generalmente menor que el de ms. Una vez que el libro de la figura 9.2 ha comenzado a deslizarse sobre la mesa, la fuerza de fricción f  mkN  mkW. Por lo tanto, la fuerza que debe ejercerse para mantener el libro en movimiento uniforme es F  f  mkW. Cuando dos superficies están deslizándose entre sí, las fuerzas de fricción resisten el movimiento relativo. Suponga que en la figura 9.6a la superficie inferior se encuentra fija y que la superficie superior está moviéndose hacia la derecha. La fuerza de fricción sobre la superficie superior actúa en dirección opuesta a la de su movimiento (figura 9.6b). La fuerza de fricción sobre la superficie inferior actúa en la dirección opuesta.

Ángulos de fricción

f

N

(a)

La reacción ejercida sobre una superficie debido a su contacto con otra se ha expresado en términos de sus componentes paralela y perpendicular a la superficie, la fuerza de fricción f y la fuerza normal N (figura 9.7a). En algunas situaciones es más conveniente expresar la reacción en términos de su magnitud R y del ángulo de fricción u entre la reacción y la normal a la superficie (figura 9.7b). Las fuerzas f y N están relacionadas con R y u por f  F sen u,

(9.3)

N  R cos u,

(9.4)

El valor de u cuando el deslizamiento es inminente se llama ángulo de fricción estática us, y su valor cuando las dos superficies están en movimiento relativo se llama ángulo de fricción cinética uk. Usando las ecuaciones (9.1) a (9.4), los ángulos de fricción estática y cinética pueden expresarse en términos de los coeficientes de fricción: tan us  ms,

(9.5)

tan uk  mk.

(9.6)

RESULTADOS Las fuerzas resultantes del contacto entre superficies planas pueden expresarse en dos formas alternativas:

En términos de la fuerza normal N y la fuerza de fricción f.

f N N

f

R

u

(b)

Figura 9.7 (a) Fuerza de fricción f y fuerza normal N. (b) Magnitud R y ángulo de fricción u.

434

Capítulo 9 Fricción

u

En términos de la magnitud R y el ángulo de fricción u.

R

R

u

Coeficientes de fricción La magnitud de la fuerza de fricción máxima que puede ser ejercida por superficies secas que están en reposo con respecto a la otra (es decir, cuando hay deslizamiento inminente) es (9.1) f ⫽ msN, donde ms el el coeficiente de fricción estática. El ángulo de fricción cuando el deslizamiento es inminente se relaciona con el coeficiente de fricción estática por (9.5) tan us ⫽ ms. La magnitud de la fuerza de fricción ejercida por superficies secas que están en movimiento (deslizamiento) con respecto a la otra es f ⫽ mkN, (9.2) donde mk es el coeficiente de fricción cinética. El ángulo de fricción cuando las superficies están deslizándose se relaciona con el coeficiente de fricción cinética por tan uk ⫽ mk

(9.6)

Para evaluar la fuerza y el ángulo de fricción se requiere tomar una serie de decisiones que se resumen en el siguiente diagrama:

Sí

¿Están las superficies en movimiento relativo (deslizándose) entre sí?

f ⫽ mkN y tan uk ⫽ mk. La fuerza de fricción se opone al movimiento relativo.

¿Se sabe si el deslizamiento es inminente? Sí

f ⫽ msN y tan us ⫽ ms. La fuerza de fricción se opone al movimiento inminente.

No

No

Se deben determinar la magnitud y la dirección de la fuerza de fricción a partir de las ecuaciones de equilibrio. si f ⬎ msN o tan us ⬎ ms, el sistema no puede estar en equilibrio.

9.1 Teoría de la fricción seca

Ejemplo activo 9.1

Determinación de una fuerza de fricción (䉴 Relacionado con el problema 9.1)

La cuerda mostrada en la figura ejerce una fuerza horizontal sobre la caja en reposo de 180 lb. El coeficiente de fricción estática entre la caja y la rampa es ms  0.4. Si la cuerda ejerce una fuerza de 90 lb sobre la caja, ¿qué valor tiene la fuerza de fricción ejercida por la rampa sobre la caja?

20

Estrategia La caja no se está deslizando sobre la rampa y no se sabe si el deslizamiento es inminente, por lo que se debe determinar la fuerza de fricción aplicando las ecuaciones de equilibrio. Solución y x

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la caja. La dirección de la fuerza de fricción f no se conoce, por lo que debe escogerse de manera arbitraria. El signo de la respuesta para f indicará su dirección.

T 20 f

W N

Aplique el equilibrio. El valor negativo de la fuerza de fricción indica que su dirección es hacia abajo de la rampa.

Calcule la fuerza de fricción máxima que soportará la superficie para confirmar que no es superada por la magnitud de la fuerza de fricción necesaria para el equilibrio.

Fx  f  T cos 20  W sen 20  0, Fy  N  T sen 20  W cos 20  0. Estableciendo W  180 lb y T  90 lb resolviendo las ecuaciones se obtiene N  200 lb y f  23.0 lb

msN  (0.4)(200 lb)  80 lb.

Problema de práctica ¿Qué valor tiene la fuerza horizontal máxima que puede ejercer la cuerda sobre la caja sin ocasionar que ésta empiece a deslizarse hacia arriba sobre la rampa? Respuesta: 161 lb.

435

436

Capítulo 9 Fricción

Análisis de un freno de fricción (䉴 Relacionado con el problema 9.22)

Ejemplo 9.2

El movimiento del disco que se muestra en la figura está controlado por la fuerza de fricción ejercida en C por el freno ABC. El actuador hidráulico BE ejerce una fuerza horizontal F sobre el freno en B. Los coeficientes de fricción entre el disco y el freno son ms y mk. ¿Qué par M es necesario para que el disco gire con velocidad constante en dirección inversa a la de las manecillas del reloj?

M

C 1 h 2 1 h 2

E

r

D

B A b

Estrategia Puede usarse el diagrama de cuerpo libre del disco para obtener una relación entre M y la reacción ejercida por el freno sobre el disco, y luego usar el diagrama de cuerpo libre del freno para determinar la reacción en términos de F.

M uk

Dx

R

Solución En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco, representando con una sola fuerza R la fuerza ejercida por el freno. La fuerza R se opone al giro del disco en contra de las manecillas del reloj, y el ángulo de fricción es el ángulo de fricción cinética uk  arctan mk. Sumando momentos respecto a D, se obtiene

Dy

(a) Diagrama de cuerpo libre del disco.

Mpunto D  M  (R sen uk)r  0. Luego, del diagrama de cuerpo libre del freno (figura b), se obtiene

F

1 h 2 1 h 2

1 ©Mpunto A = - Fa hb + 1R cos uk2h - 1R sen uk2b = 0. 2

R

b

uk

De estas dos ecuaciones se pueden despejar M y R. La solución para el par M es A

Ax

M =

Ay

11>22hr F sen uk h cos uk - b sen uk

=

11>22hr Fmk h - bmk

.

(b) Diagrama de cuerpo libre del freno.

b

R

k

h F A

Ax

Ay

(c) Línea de acción de R pasando por el punto A.

Razonamiento crítico Si el coeficiente de fricción mk es suficientemente pequeño, el denominador de la solución para el par M, el término h cos uk  b sen uk, es positivo. Al crecer mk, el denominador se vuelve más pequeño porque cos uk se reduce y sen uk aumenta. Cuando el denominador se acerca a cero, el par requerido para que el disco gire tiende a infinito. Para entender este resultado, observe que el denominador es igual a cero cuando tan uk  hb, lo que significa que la línea de acción de la fuerza R pasa por el punto A (figura c). Cuando mk crece y la línea de acción de R se acerca al punto A, la magnitud de R necesaria para equilibrar el momento de F respecto a A tiende a infinito. Como resultado, la predicción analítica para M tiende también a infinito. Por supuesto, en algún valor de M, las fuerzas F y R excederían los valores que el freno podría soportar.

437

9.1 Teoría de la fricción seca

Determinación del vuelco de un objeto (䉴 Relacionado con el problema 9.45)

Ejemplo 9.3

Suponga que se desea empujar la caja de herramientas mostrada en la figura sobre el piso aplicando la fuerza horizontal F. Si se aplica la fuerza a una altura h muy grande, la caja se volcará antes de deslizarse. Si el coeficiente de fricción estática entre el piso y la caja es ms, ¿cuál es el máximo valor de h para que la caja se deslice antes de volcarse?

F

h

Estrategia Cuando la caja está a punto de volcarse, se encuentra en equilibrio sin ninguna reacción en B. Se puede usar esta condición para determinar F en términos de h. Luego, determinando el valor de F que hará que la caja se deslice, se obtendrá el valor de h que ocasionará que la caja esté a punto de volcarse y a punto de deslizarse. Solution En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la caja cuando está a punto de volcarse. Sumando momentos respecto a A, se obtiene

W A

B b 2

b 2

y

1 ©Mpunto A = Fh - Wa bb = 0. 2

F

El equilibrio también requiere que f  F y N  W. Cuando la caja está a punto de deslizarse, h

f  msN,

W

por lo que A

F  f  msN  msW. Sustituyendo esta expresión en la ecuación de momentos, se obtiene

1 msWh - Wa bb = 0. 2 Despejando h de esta ecuación se encuentra que cuando la caja está a punto de deslizarse, también se encuentra a punto de voltearse si ésta se empuja a la altura

h =

b . 2ms

Si h es menor que este valor, la caja empezará a deslizarse antes de volcarse. Razonamiento crítico Observe que el máximo valor de h para que la caja se deslice antes de volcarse es independiente de F. Si la caja se vuelca o no depende sólo de dónde se aplica la carga y no de la magnitud de ésta. ¿Cuál es la motivación para la solución en este ejemplo? La posibilidad de caída de objetos pesados es un riesgo obvio a la seguridad, y los análisis de este tipo pueden influenciar su diseño. Una vez que dichos objetos estén en uso, los ingenieros de seguridad pueden establecer directrices para evitar un vuelco (por ejemplo, marcando una línea horizontal sobre un gabinete vertical o una máquina arriba de la cual no debe empujarse).

B f

N

x

b 2

(a) Diagrama de cuerpo libre cuando la caja está a punto de volcarse.

438

Capítulo 9 Fricción

Problemas 䉴 9.1 En el ejemplo activo 9.1, suponga que el coeficiente de fricción estática entre la caja de 180 lb y la rampa es ms  0.3. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza horizontal mínima que debe ejercer la cuerda sobre la caja para evitar que ésta se deslice hacia abajo por la rampa? 9.2 Una persona coloca un libro de 2 lb sobre una mesa que está inclinada 15° respecto a la horizontal. La persona encuentra que si ejerce una fuerza muy pequeña sobre el libro, como muestra la figura, el libro permanece en equilibrio, pero si retira la fuerza el libro se desliza hacia abajo sobre la mesa. ¿Qué fuerza debe ejercer esta persona sobre el libro (en la dirección paralela a la mesa) para causar que éste se deslice hacia arriba sobre la mesa?

9.4 El automóvil de 2975 lb que se muestra en la figura está estacionado sobre una calle inclinada. Los frenos están aplicados tanto en sus ruedas delanteras como traseras. a) Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas del automóvil y el camino es ms  0.8, ¿cuál es la pendiente más inclinada (en grados respecto a la horizontal) sobre la cual el automóvil podría permanecer en equilibrio? b) Si la calle estuviera cubierta de hielo y el coeficiente de fricción estática entre las llantas del automóvil y el camino fuera ms  0.2, ¿cuál es la pendiente más inclinada sobre la cual el automóvil podría permanecer en equilibrio?

15

Problema 9.4 Problema 9.2 9.3 Un estudiante empuja una caja de libros de 200 lb sobre el piso. El coeficiente de fricción cinética entre la alfombra y la caja mostradas es mk  0.15. a) Si él ejerce la fuerza F en un ángulo a  25°, ¿cuál es la magnitud de la fuerza que debe ejercer para deslizar la caja sobre el piso? b) Si él dobla más sus rodillas y ejerce la fuerza F en un ángulo a  10°, ¿cuál es la magnitud de la fuerza que debe ejercer para deslizar la caja?

9.5 El cabrestante del camión mostrado ejerce una fuerza horizontal sobre la caja de 200 kg en un esfuerzo por jalarla hacia abajo sobre la rampa. El coeficiente de fricción estática entre la caja y la rampa es ms  0.6. a) Si el cabrestante ejerce una fuerza horizontal de 200 N sobre la caja, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida por la rampa sobre la caja? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza horizontal que debe ejercer el cabrestante sobre la caja para ocasionar que ésta empiece a moverse hacia abajo sobre la rampa?

Problema 9.5

a F

20

9.6 El dispositivo de la figura está diseñado para colocar maletas sobre una rampa y ejerce una fuerza paralela a ésta. La maleta mostrada pesa 40 lb. Los coeficientes de fricción entre la maleta y la rampa son ms  0.20 y mk  0.18. a) ¿La maleta permanecerá en reposo sobre la rampa cuando el dispositivo no ejerza fuerza sobre ella? b) ¿Qué fuerza debe ejercer el mecanismo sobre la maleta para empujarla hacia arriba sobre la rampa a una velocidad constante?

Problema 9.3

20

Problema 9.6

Problemas 9.7 El coeficiente de fricción estática entre la caja de 50 kg que se muestra en la figura y la rampa es ms  0.35. La longitud sin estirar del resorte es de 800 mm, y la constante del resorte es k  660 N/m. ¿Cuál es el valor mínimo de x con el que la caja puede permanecer en reposo sobre la rampa?

439

9.12 La masa de la caja que se muestra a la izquierda es de 30 kg y la masa de la caja a la derecha es de 40 kg. El coeficiente de fricción estática entre cada caja y la superficie inclinada es ms  0.2. Determine el ángulo mínimo a para el cual las cajas permanecerán en reposo.

x

Problema 9.12

a

30

k

9.13 El coeficiente de fricción cinética entre la caja de 100 kg que se muestra en la figura y la superficie inclinada es 0.35. Determine la tensión T necesaria para jalar la caja hacia arriba de la superficie a una velocidad constante.

50

Problema 9.7 9.8 El coeficiente de fricción cinética entre la caja de 40 kg que se muestra en la figura y el piso inclinado es mk  0.3. Si el ángulo a  20°, ¿qué tensión debe ejercer la persona sobre la cuerda para mover la caja a velocidad constante?

T

9.9 En el problema 9.8, ¿para qué ángulo a la tensión necesaria para mover la caja a velocidad constante es mínima? ¿Qué valor tiene la tensión necesaria? 60

Problema 9.13

a

10

Problemas 9.8/9.9 9.10 La caja A de la figura pesa 100 lb y la caja B 30 lb. Los coeficientes de fricción entre la caja A y la rampa son ms  0.30 y mk  0.28. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre la caja A por la rampa? 9.11 La caja A de la figura pesa 100 lb y los coeficientes de fricción entre la caja A y la rampa son ms  0.30 y mk  0.28. ¿Para qué intervalo de pesos de la caja B el sistema permanece en reposo?

9.14 La caja mostrada está en reposo sobre la superficie inclinada. El coeficiente de fricción estática es ms. a) Si la masa de la caja es 10 kg, a  20°, b  30° y ms  0.24, ¿cuál es la fuerza T necesaria para que la caja empiece a deslizarse hacia arriba sobre la superficie? b) Demuestre que la fuerza T necesaria para que la caja empiece a deslizarse hacia arriba por la superficie es el valor mínimo cuando tan b  ms. 9.15 Para explicar las observaciones hechas durante la botadura de barcos en el puerto de Rochefort en 1779, Coulomb analizó el sistema mostrado a fin de determinar la fuerza T mínima necesaria para mantener la caja en reposo sobre la superficie inclinada. Demuestre que el resultado es 1sen a - ms cos a2mg T = . cos b - ms sen b T

b

A B 30 a

Problemas 9.10/9.11

Problemas 9.14/9.15

440

Capítulo 9 Fricción

9.16 Dos hojas de madera terciada A y B yacen sobre la plataforma del camión mostrado. Ambas tienen el mismo peso W, y el coeficiente de fricción estática entre las dos hojas de madera y entre la hoja B y la plataforma del camión es ms. a) Si usted aplica una fuerza horizontal a la hoja A y ninguna fuerza a la hoja B, ¿puede deslizar la hoja A hacia afuera del camión sin hacer que se mueva la hoja B? ¿Qué fuerza es necesaria para que la hoja A empiece a deslizarse? b) Si usted impide que la hoja A se mueva ejerciendo una fuerza horizontal sobre ella, ¿qué fuerza horizontal sobre la hoja B se necesita para que ésta empiece a deslizarse?

9.19 Cada una de las cajas mostradas pesa 10 lb. El coeficiente de fricción estática entre la caja A y la caja B es 0.24 y el coeficiente de fricción estática entre la caja B y la superficie inclinada es 0.3 ¿Cuál es el máximo ángulo a para el cual la caja B no se deslizará? Estrategia: Dibuje diagramas de cuerpo libre individuales de las dos cajas y escriba sus ecuaciones de equilibrio suponiendo que el deslizamiento de la caja B es inminente.

A B a

Problema 9.19

A B

9.20 Las masas de las cajas mostradas son mA  15 kg y mB  60 kg. El coeficiente de fricción estática entre las cajas A y B y entre la caja B y la superficie inclinada es 0.12. ¿Qué valor tiene la máxima fuerza F que no ocasionará que las cajas se deslicen? 9.21 En el problema 9.20, ¿cuál es la fuerza F mínima para la cual las cajas no se deslizarán?

Problema 9.16 9.17 Los pesos de las dos cajas mostradas son W1  100 lb y W2  50 lb. Los coeficientes de fricción entre la caja de la izquierda y la superficie inclinada son ms  0.12 y mk  0.10. Determine la tensión que debe ejercer el hombre sobre la cuerda para jalar las cajas hacia arriba a una velocidad constante.

F

A B

9.18 En el problema 9.17, ¿para qué intervalo de tensiones ejercidas por el hombre sobre la cuerda las cajas permanecerán en reposo?

20

Problemas 9.20/9.21 30

W1

䉴 9.22 En el ejemplo 9.2, ¿qué par M en el sentido de las manecillas del reloj necesitaría aplicarse al disco para causar que éste gire a una velocidad constante en la misma dirección?

30

W2

Problemas 9.17/9.18

Problemas

441

9.23 La barra homogénea horizontal AB que se muestra en la figura pesa 20 lb. El disco homogéneo pesa 30 lb. El coeficiente de fricción cinética entre el disco y la superficie inclinada es mk  0.24. ¿Cuál es la magnitud del par que necesitaría aplicarse al disco para ocasionar que éste gire a una velocidad constante en el sentido de las manecillas del reloj? 9.24 La barra homogénea horizontal AB que se muestra en la figura pesa 20 lb. El disco homogéneo pesa 30 lb. El coeficiente de fricción cinética entre el disco y la superficie inclinada es mk  0.24. ¿Cuál es la magnitud del par que necesitaría aplicarse al disco para ocasionar que este gire a una velocidad constante en sentido inverso al de las manecillas del reloj? 5 pies 1 pie A

B

20

Problemas 9.23/9.24 9.25 La masa de la barra mostrada es 4 kg. El coeficiente de fricción estática entre la barra y el piso es 0.3. Ignore la fricción entre la barra y la pared. a) Si a  20°, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida por el piso sobre la barra? b) ¿Cuál es el valor máximo de a para el cual la barra no se deslizará? 9.26 El coeficiente de fricción estática entre la barra de 4 kg y el piso, y entre la barra y la pared es 0.3 que se muestra en la figura (9.25/9.26). ¿Cuál es el ángulo máximo a para el cual la barra no se deslizará?

9.28 La escalera y la persona mostradas pesan 30 lb y 180 lb, respectivamente. El centro de masa de la escalera de 12 pies de longitud está en su punto medio. El coeficiente de fricción estática entre la escalera y el piso es ms  0.5. ¿Cuál es el valor máximo de a para el que la persona puede alcanzar la parte superior de la escalera sin que ésta se deslice? 9.29 La escalera y la persona mostradas pesan 30 lb y 180 lb, respectivamente. El centro de masa de la escalera de 12 pies de longitud está en su punto medio. El coeficiente de fricción estática entre la escalera y el piso es 0.5 y el coeficiente de fricción entre la escalera y la pared es 0.3. ¿Cuál es el valor máximo del ángulo a para el que la persona puede alcanzar la parte superior de la escalera sin que ésta se deslice? Compare su respuesta con la del problema 9.28.

1m a a

Problemas 9.25/9.26 9.27 La escalera y la persona mostradas pesan 30 lb y 180 lb, respectivamente. El centro de masa de la escalera de 12 pies de longitud está en su punto medio. El ángulo a  30°. Suponga que la pared ejerce una fricción insignificante sobre la escalera. a) Si x  4 pies, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida por el piso sobre la escalera? b) ¿Cuál es el coeficiente mínimo de fricción estática entre la escalera y el piso, necesario para que la persona sea capaz de llegar a la parte superior de la escalera sin que ésta se deslice?

x

Problemas 9.27–9.29

442

Capítulo 9 Fricción

9.30 El disco de la figura pesa 50 lb y la barra pesa 25 lb. Los coeficientes de fricción entre el disco y la superficie inclinada son ms  0.6 y mk  0.5. a) ¿Cuál es el par máximo M que puede aplicarse al disco en reposo sin ocasionar que éste empiece a girar? b) ¿Cuál es el par M necesario para girar al disco a una velocidad constante?

9.34 El coeficiente de fricción estática entre las hojas de las pinzas la figura y el objeto sujetado es 0.36. ¿Cuál es el valor máximo del ángulo a para el que el objeto sujetado no se desliza? Ignore el peso del objeto. Estrategia: Dibuje el diagrama de cuerpo libre del objeto y suponga que el deslizamiento es inminente.

5 pulg

20 pulg

a

M

Problema 9.34

30

Problema 9.30 9.31 El radio del cilindro homogéneo de 40 kg que se muestra en la figura es R  0.15 m. La pared inclinada es lisa y el ángulo a  30°. El coeficiente de fricción estática entre el cilindro y el piso es ms  0.2. ¿Cuál es el par máximo M que puede aplicarse al cilindro sin causar que éste deslice? 9.32 El cilindro homogéneo que se muestra en la figura tiene un peso W. El coeficiente de fricción estática entre el cilindro y ambas superficies es ms. ¿Cuál es el par máximo M que puede aplicarse al cilindro sin causar que éste deslice? (Suponga que el cilindro se desliza antes de rodar hacia arriba sobre la superficie inclinada.) 9.33 El cilindro homogéneo que se muestra en la figura tiene un peso W. El coeficiente de fricción estática entre el cilindro y ambas superficies es ms. ¿Cuál es el valor mínimo de ms con el que el par M causará que el cilindro ruede hacia arriba sobre la superficie inclinada sin deslizarse? R

M a

Problemas 9.31–9.33

9.35 Un disco en reposo de 300 mm de radio está unido a un soporte de pasador en D como muestra la figura. El disco es mantenido en posición por el freno ABC en contacto con el disco en C. El actuador hidráulico BE ejerce una fuerza horizontal de 400 N sobre el freno en B. Los coeficientes de fricción entre el disco y el freno son ms  0.6 y mk  0.5. ¿Qué par debe aplicarse al disco en reposo para que se deslice en dirección opuesta a la de las manecillas del reloj?

C 200 mm

E

B

200 mm A

200 mm

Problema 9.35

300 mm

D

Problemas 9.36 En la figura se muestra una idea conceptual preliminar de un dispositivo que ejerce una fuerza de frenado sobre una cuerda cuando la cuerda es jalada hacia abajo por la fuerza T. El coeficiente de fricción cinética entre la cuerda y las dos barras es mk  0.28. Determine la fuerza T necesaria para jalar la cuerda hacia abajo a una velocidad constante si F  10 lb y a) a  30°; b) a  20°.

6 pulg

F F

lg

u 3p

F

F

443

9.39 La barra horizontal mostrada en la figura está unida a un collarín que se desliza sobre la barra vertical. El collarín en P se desliza sobre la barra horizontal lisa. La masa total de la barra horizontal y los dos collarines es de 12 kg. El sistema se mantiene en posición mediante el pasador y la ranura circular. El pasador hace contacto sólo con la superficie inferior de la ranura, y el coeficiente de fricción estática entre el pasador y la ranura es 0.8. Si el sistema se encuentra en equilibrio y y  260 mm, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida por la ranura sobre el pasador? 9.40 En el problema 9.39, ¿cuál es la altura y mínima a la que el sistema puede estar en equilibrio?

a

a

T T

P

Problema 9.36

9.37 La masa del bloque B mostrado es 8 kg. El coeficiente de fricción estática entre las superficies de la abrazadera y el bloque es ms  0.2. Cuando la abrazadera está alineada como se muestra, ¿qué fuerza mínima debe ejercer el resorte para impedir que el bloque se deslice? 9.38 Modificando sus dimensiones, rediseñe la abrazadera del problema 9.37 de manera que la fuerza mínima que el resorte deba ejercer para impedir el deslizamiento del bloque sea de 180 N. Haga un bosquejo de su nuevo diseño.

45 160 mm

y 300 mm

Problemas 9.39/9.40 9.41 La placa rectangular de 100 lb que se muestra en la figura está soportada por los pasadores A y B. Si se puede ignorar la fricción en A y el coeficiente de fricción estática entre el pasador en B y la ranura es ms  0.4, ¿cuál es el máximo ángulo a con el que la placa no se deslizará? 9.42 Si se puede ignorar la fricción en el punto B de la figura y el coeficiente de fricción estática entre el pasador en A y la ranura es ms  0.4, ¿cuál es el máximo ángulo a con el que la placa de 100 lb no se deslizará?

200 mm a 2 pies 3 pulg B B A 100 mm

Problemas 9.37/9.38 2 pies

2 pies

Problemas 9.41/9.42

444

Capítulo 9 Fricción

9.43 El peso del avión mostrado es W  2400 lb. Sus frenos mantienen bloqueadas las ruedas traseras y el coeficiente de fricción estática entre las ruedas y la pista es ms  0.6. La rueda frontal (nariz) puede girar libremente y también ejerce una fuerza de fricción insignificante sobre la pista. Determine la fuerza de empuje horizontal máxima T que puede generar la hélice sin ocasionar que las ruedas traseras se deslicen.

9.46 Para obtener una evaluación preliminar de la estabilidad de un automóvil nuevo, imagine que se somete el automóvil en reposo a una fuerza lateral creciente F a la altura de su centro de masa, y determine si el carro se deslizará lateralmente antes de volcarse. Muestre que éste será el caso si bh  2ms (observe la importancia de la altura del centro de masa respecto al ancho del automóvil: lo anterior refleja análisis recientes sobre la estabilidad de vehículos utilitarios deportivos y camionetas que tienen centros de masa relativamente altos).

T F

4 pies W A

h B

5 pies

2 pies

b 2

Problema 9.43

b 2

Problema 9.46 9.44 El refrigerador de la figura pesa 220 lb. Se encuentra soportado en A y B. El coeficiente de fricción estática entre los soportes y el piso es ms  0.2. Asumiendo que el refrigerador no se volteará antes de deslizarse, ¿cuál es la fuerza F necesaria para que el deslizamiento sea inminente? 䉴 9.45 El refrigerador de la figura pesa 220 lb. Se encuentra soportado en A y B. El coeficiente de fricción estática entre los soportes y el piso es ms  0.2. La distancia h  60 pulg y la dimensión b  30 pulg. Cuando se aplica la fuerza F para empujar al refrigerador sobre el piso, ¿se volcará antes de deslizarse? (Vea el ejemplo 9.3).

9.47 El hombre que se muestra en la figura ejerce una fuerza P sobre el automóvil en un ángulo a  20°. El automóvil de 1760 kg tiene tracción delantera. El conductor gira las ruedas frontales, y el coeficiente de fricción cinética es mk  0.02. La nieve detrás de las llantas traseras ejerce una fuerza de resistencia S. Para comenzar a mover el automóvil se requiere superar una fuerza S  420 N ejercida por la nieve sobre las llantas traseras. ¿Qué fuerza debe ejercer el hombre? 9.48 En el problema 9.47, ¿qué valor del ángulo a minimiza la magnitud de la fuerza P que debe ejercer el hombre para superar la fuerza de resistencia S  420 N ejercida por la nieve sobre las llantas traseras? ¿Cuál es la fuerza que debe ejercer el hombre?

F

h

A

B b 2

b 2

P a

Problemas 9.44/9.45 0.90 m S

1.62 m 2.55 m 3.40 m

Problemas 9.47/9.48

Problemas 9.49 El coeficiente de fricción estática entre las llantas del automóvil de 3000 lb y la calle es ms  0.5. Determine la pendiente máxima (valor máximo del ángulo a) que el automóvil puede subir a velocidad constante si tiene a) tracción en las ruedas traseras, b) tracción en las ruedas delanteras o c) tracción en las cuatro ruedas.

ulg

19 p

9.51 La mesa mostrada pesa 50 lb y el coeficiente de fricción estática entre sus patas y la superficie inclinada es 0.7. a) Si se aplica una fuerza en A, paralela a la superficie inclinada para empujar la mesa hacia arriba sobre dicho plano inclinado, ¿la mesa se volcará antes de deslizarse? Si no es así, ¿qué fuerza se requiere para que la mesa empiece a moverse sobre la superficie? b) Si se aplica una fuerza en B, paralela a la superficie inclinada para empujar la mesa hacia abajo sobre dicho plano inclinado, ¿la mesa se volcará antes de deslizarse? Si no es así, ¿qué fuerza se requiere para que la mesa empiece a moverse sobre la superficie?

B

ulg

35 p

32 pulg

ulg

72 p

a

445

28 pulg A

Problema 9.49 23 pulg 23 pulg

9.50 El armario en reposo que se muestra tiene un peso W. Determine la fuerza F que se debe ejercer para que se mueva si a) el coeficiente de fricción estática en A y en B es ms; b) el coeficiente de fricción estática en A es msA y el coeficiente de fricción estática en B es msB.

F

h

H

A

B

Problema 9.50

Problema 9.51

9.52 El coeficiente de fricción estática entre la barra de la derecha y la superficie en A es ms  0.6. Ignore los pesos de las barras. Si a  20°, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida en A?

G

b 2

20

9.53 El coeficiente de fricción estática entre la barra de la derecha y la superficie en A es ms  0.6. Ignore los pesos de las barras. ¿Cuál es el ángulo máximo a para el que la armadura permanecerá en reposo sin resbalar?

b 2 F

a

a A

Problemas 9.52/9.53

446

Capítulo 9 Fricción

9.54 La barra BC está soportada por un piso rugoso en C. Si F  2 kN y la barra BC no se desliza en C, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre la barra en C? 9.55 La barra BC está soportada por un piso rugoso en C. Si F  2 kN, ¿cuál es el valor mínimo del coeficiente de fricción estática para que la barra BC no se deslice en C?

F B

A

600 mm

500 mm

9.58 Suponga que las longitudes de las barras del problema 9.57 son LAB  1.2 m y LAC  1.0 m y sus masas son mAB  3.6 kg y mAC  3.0 kg. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre la placa en B? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo necesario para que la estructura permanezca en equilibrio?

C 500 mm

9.57 La masa del objeto suspendido que se muestra en la figura es de 6 kg. La estructura está soportada en B por las fuerzas normal y de fricción ejercidas por la pared sobre la placa. Ignore los pesos de las barras. a) ¿Qué magnitud tiene la fuerza de fricción ejercida sobre la placa en B? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo necesario para que la estructura permanezca en equilibrio?

200 mm

C

Problemas 9.54/9.55 30

9.56 El peso de la caja mostrada es 20 lb y el coeficiente de fricción estática entre la caja y el piso es ms  0.65. Ignore los pesos de las barras. ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza F que no ocasionará que la caja se deslice? 4 pulg

4 pulg

Placa A 8

B

8 pulg

Problemas 9.57/9.58 F

8 pulg

9.59 El bastidor de la figura está soportado por la fuerza normal y de fricción ejercidas por las superficies fijas sobre las placas en A y G. El coeficiente de fricción estática en A es ms  0.6. ¿Se deslizará el bastidor en A cuando se someta a las cargas mostradas?

1m

1m

1m 6 kN

A

B

C

Problema 9.56

1m

8 kN 1m

G

E

D

Problema 9.59

Problemas 9.60 El bastidor de la figura está soportado mediante la fuerza normal y de fricción ejercidas por la pared sobre la placa en A. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre la placa en A? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo en A necesario para que la estructura permanezca en equilibrio?

447

9.62* El disco de metal A de 10 lb que se muestra en la figura está en el centro de la superficie inclinada. La tensión en el cordón AB es de 5 lb. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente de fricción estática entre el disco y la superficie, necesario para que el disco no se deslice? y

E

B

(0, 6, 0) pies

6 kN 1m

D

C 2 pies x

1m

A

A B 2m

8 pies

10 pies 2m

z

1m

Problema 9.62

Problema 9.60

9.61 Los cosenos directores del cable de la grúa son cos ux  0.588, cos uy  0.766, cos uz  0.260. El eje y es vertical. El cajón en reposo al cual está unido el cable pesa 2000 lb y yace sobre el suelo horizontal. Si el coeficiente de fricción estática entre el cajón y el suelo es ms  0.4, ¿qué tensión es necesaria en el cable para ocasionar que el cajón se deslice? y

9.63* La caja de 5 kg que se muestra en la figura está en reposo sobre la superficie inclinada. El eje y apunta hacia arriba. El vector unitario 0.557i  0.743j  0.371k es perpendicular al plano inclinado. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida por la superficie sobre la caja? 9.64* En el problema 9.63, ¿cuál es el valor mínimo del coeficiente de fricción estática para que la caja permanezca en reposo sobre la superficie inclinada? y

x z

Problema 9.61 x

z

Problemas 9.63/9.64

448

Capítulo 9 Fricción

9.2 Cuñas Una cuña es una herramienta bifacial cuyas caras forman un pequeño ángulo agudo (figuras 9.8a y b). Cuando una cuña se empuja hacia adelante, sus caras ejercen grandes fuerzas laterales como resultado del pequeño ángulo entre ellas (figura 9.8c). Las cuñas se usan de varias maneras en muchas aplicaciones de ingeniería. Las grandes fuerzas laterales generadas por una cuña se pueden usar para levantar una carga (figura 9.9a). Sea WL el peso de la carga y WW, el peso de la cuña. Para determinar la fuerza F necesaria para empezar a elevar la carga, se supone que el deslizamiento de la carga y de la cuña es inminente (figura 9.9b). A partir del diagrama de cuerpo libre de la carga se obtienen las ecuaciones de equilibrio Fx  Q  N sen a  msN cos a  0 y Fy  N cos a  msN sen a  msQ  WL  0.

(a)

(b)

Figura 9.8 (a) Cuña primitiva: un “hacha manual” de Olduvai Gorge, África Oriental. (b) Hoja de cincel moderno. (c) Las caras de una cuña pueden ejercer grandes fuerzas laterales.

(c)

y

y

Carga Q Cuña

N

m sQ

F a

W WLL a m sN

N

F

WWW W

a

x

x P

(a)

msN

(b)

Figura 9.9 (a) Elevación de una carga por medio de una cuña. (b) Diagramas de cuerpo libre de la carga y de la cuña cuando el deslizamiento es inminente.

msP

9.2 Cuñas

449

Del diagrama de cuerpo libre de la cuña se obtienen las ecuaciones Fx  N sen a  msN cos a  msP  F  0 y Fy  P  N cos a  msN sen a  WW  0. Estas cuatro ecuaciones determinan las fuerzas normales Q, N y P y la fuerza F. La solución para F es

F = msWW + c

11 - m2s 2 tan a + 2ms 11 - m2s 2 - 2ms tan a

dWL.

Suponga que WW  0.2WL y a  10°. Si ms  0, la fuerza necesaria para elevar la carga es sólo 0.176WL. Pero si ms  0.2, la fuerza resulta de 0.680WL y si ms  0.4, la fuerza requerida es de 1.44WL. Desde este punto de vista, la fricción es indeseable. Pero si no hubiera fricción, la cuña no podría permanecer en su posición cuando se retirara la fuerza F.

Ejemplo activo 9.4

Fuerzas sobre una cuña (䉴 Relacionado con los problemas 9.65, 9.66, 9.67)

Se usa una cuña para partir un tronco. El ángulo a  10° y los coeficientes de fricción entre la cuña y el tronco son ms  0.22 y mk  0.20. Si la cuña se introduce en el tronco con velocidad constante mediante una fuerza vertical F, ¿qué magnitud tienen las fuerzas normales ejercidas por la cuña sobre el tronco (es decir, cuáles son las magnitudes de las fuerzas que causan que el tronco se parta)?

a

Estrategia Las fuerzas de fricción ejercidas por el tronco se oponen a la penetración de la cuña y tienen una magnitud mkN. Se pueden aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar N en términos de F. Solución F

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la cuña.

mkN

a

N

La suma de las fuerzas en la dirección vertical es a a 2N sen  2mkN cos  F  0. 2 2 Al resolver para N se obtiene F N 2[sen(a/2)  mk cos(a/2)] F  2[sen(10/2)  (0.20) cos(10/2)]

 

N

 

Aplique el equilibrio.

 1.75F. Problema de práctica Si se retira la fuerza F, ¿la cuña permanecerá en su lugar en el tronco? Respuesta: Sí.

mkN

450

Capítulo 9 Fricción

Problemas 䉴 9.65 En el ejemplo activo 9.4, los coeficientes de fricción entre la cuña y el tronco son ms  0.22 y mk  0.20. ¿Cuál es el máximo valor del ángulo a para el cual la cuña permanecería en el tronco al retirar la fuerza F?

9.69 Las masas de los bloques mostrados son mA  30 kg y mB  70 kg. Entre todas las superficies en contacto, ms  0.1. ¿Cuál es la fuerza F máxima que puede aplicarse sin ocasionar que los bloques se deslicen?

䉴 9.66 La cuña mostrada se usa para partir un tronco. La cuña pesa 20 lb y el ángulo a es igual a 30°. El coeficiente de fricción cinética entre las caras de la cuña y el tronco es 0.28. Si la fuerza normal ejercida por cada cara de la cuña debe ser igual a 150 lb para partir el tronco, ¿Cuál es la fuerza F necesaria para introducir la cuña en el tronco a una velocidad constante? (Vea el ejemplo activo 9.4).

30 F

A

䉴 9.67 El coeficiente de fricción estática entre las caras de la cuña y el tronco del problema 9.66 es 0.30. ¿Permanecerá la cuña en su lugar cuando la fuerza F sea retirada? (Vea el ejemplo activo 9.4).

20

B F

a F

Problema 9.69

Problemas 9.66/9.67 9.68 Los pesos de los bloques mostrados son WA  100 lb y WB  25 lb. Entre todas las superficies en contacto, ms  0.32 y mk  0.30. ¿Qué fuerza F se requiere para mover B hacia la izquierda a una velocidad constante?

9.70 Cada uno de los bloques mostrados pesa 200 lb. Entre todas las superficies en contacto, ms  0.1. ¿Cuál es la fuerza F máxima que puede aplicarse sin ocasionar que el bloque B se deslice hacia arriba?

B A A

C

F 10

B

Problema 9.68

80

80

Problema 9.70

F

Problemas 9.71 Las pequeñas cuñas llamadas calzas pueden usarse para mantener un objeto en su lugar, como muestra la figura. El coeficiente de fricción cinética entre las superficies en contacto es 0.4. ¿Cuál es la fuerza F necesaria para empujar la calza hacia abajo hasta que la fuerza horizontal ejercida sobre el objeto A sea de 200 N? 9.72 El coeficiente de fricción cinética entre las superficies en contacto de la figura es 0.44. Si las calzas están en reposo y ejercen una fuerza horizontal de 200 N sobre el objeto A, ¿cuál es la fuerza ascendente que debe ejercerse sobre la calza izquierda para aflojarla?

9.75 La caja A de la figura tiene una masa de 80 kg y la cuña B tiene una masa de 40 kg. Entre todas las superficies en contacto, ms  0.15 y mk  0.12. ¿Qué fuerza F se requiere para elevar A con velocidad constante? 9.76 Suponga que la caja A de la figura pesa 800 lb y B pesa 400 lb. Los coeficientes de fricción entre todas las superficies en contacto son ms  0.15 y mk  0.12. ¿Permanecerá B en posición si se retira la fuerza F?

F

A Calzas 5

10 B 10

A

5

Problemas 9.75/9.76

Problemas 9.71/9.72 9.73 La caja A mostrada pesa 600 lb. Entre todas las superficies en contacto, ms  0.32 y mk  0.30. Ignore los pesos de las cuñas. ¿Qué fuerza F se requiere para mover A hacia la derecha con velocidad constante? 9.74 Suponga que entre todas las superficies en contacto que se muestran en la figura, ms  0.32 y mk  0.30. Ignore los pesos de las cuñas de 5°. Si se requiere una fuerza F  800 N para mover A hacia la derecha con velocidad constante, ¿cual es la masa de A?

F

5

A

5

Problemas 9.73/9.74

451

F

452

Capítulo 9 Fricción

9.77 Entre los objetos A y B de la figura, ms  0.20, y entre B y C, ms  0.18. Entre C y la pared, ms  0.30. Los pesos WB  20 lb y WC  80 lb. ¿Qué fuerza F se requiere para que C empiece a moverse hacia arriba?

9.78 En la figura, las masas de A, B y C son de 8 kg, 12 kg y 80 kg respectivamente. Entre todas las superficies en contacto, ms  0.4. ¿Qué fuerza F se requiere para que C empiece a moverse hacia arriba?

F C C A 10

B F

B 12

15 A

Problema 9.78

Problema 9.77

9.3 Roscas ANTECEDENTES Las roscas resultan familiares debido a que se usan en tornillos para madera, en tornillos de máquinas y en otros elementos de máquinas. En la figura 9.10a se muestra un eje con roscas cuadradas. La distancia axial p de una rosca a la siguiente se llama paso de la rosca, y el ángulo a es su pendiente. Se considerará sólo el caso en que el eje tiene una sola rosca continua, donde la relación entre el paso y la pendiente es

tan a =

p , 2pr

(9.7)

donde r es el radio medio de la rosca. F a

M

p (b)

Figura 9.10 (a) Eje con rosca cuadrada. (b) El eje dentro de un manguito con ranura correspondiente. La dirección de M puede ocasionar que el eje comience a moverse en la dirección axial opuesta a F. (c) Elemento diferencial de la rosca cuando el deslizamiento es inminente.

dL

dR

r (a)

a

a

us

(c)

9.3 Roscas

453

Suponga que el eje roscado está dentro de un manguito fijo con una ranura correspondiente y se somete a una fuerza axial F (figura 9.10b). La aplicación de un par M en la dirección mostrada ocasionará que el eje empiece a girar y se mueva en la dirección axial opuesta a F. El objetivo aquí consiste en determinar el par M necesario para que el eje empiece a girar. En la figura 9.10c se dibujó el diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial de la rosca de longitud dL, representando con la fuerza dR la reacción ejercida por la ranura correspondiente. Si el eje está a punto de girar, dR resiste el movimiento inminente y el ángulo de fricción es el ángulo de fricción estática us. La componente vertical de la reacción sobre el elemento es dR cos (us  a). Para determinar la fuerza vertical total sobre la rosca, se debe integrar esta expresión sobre la longitud L de la rosca. Por equilibrio, el resultado debe ser igual a la fuerza axial F que actúa sobre el eje.

cos1us + a2

LL

dR = F.

(9.8)

El momento respecto al centro del eje debido a la reacción sobre el elemento es r dR sen(us  a). El momento total debe ser igual al par M ejercido sobre el eje:

r sen1us + a2

LL

dR = M.

Dividiendo esta ecuación entre la ecuación (9.8), se obtiene el par M necesario para que el eje esté a punto de girar y moverse en la dirección axial opuesta a F: M  rF tan(us  a).

(9.9)

Sustituyendo el ángulo de fricción estática us en esta expresión por el ángulo de fricción cinética uk, se obtiene el par requerido para que el eje gire con velocidad constante. Si el par M se aplica al eje en la dirección opuesta (figura 9.11a), el eje tiende a girar y moverse en la dirección axial de la carga F. En la figura 9.11b se muestra la reacción sobre un elemento diferencial de la rosca de longitud dL cuando el deslizamiento es inminente. La dirección de la reacción se opone al giro del eje. Aquí, la componente vertical de la reacción sobre el elemento es dR cos(us  a). Por equilibrio se requiere que

cos1us - a2

LL

dR = F.

F M

(9.10) (a)

El momento respecto al centro del eje debido a la reacción es r dR sen(us  a), por lo que

r sen1us - a2

LL

dR = M. dL

Dividiendo esta ecuación entre la ecuación (9.10) se obtiene el par M necesario para que el eje esté a punto de girar y moverse en la dirección de la fuerza F: M  rF tan(us  a).

(9.11)

Sustituyendo us por uk en esta expresión, se obtiene el par necesario para que el eje gire con velocidad constante. Observe en la ecuación (9.11) que el par requerido para un movimiento inminente es igual a cero cuando us  a. Cuando el ángulo de fricción es menor que este valor, el eje girará y se moverá en la dirección de la fuerza F sin la aplicación de ningún par.

a (b)

dR

a us

Figura 9.11 (a) Dirección de M que puede causar que el eje se mueva en la dirección axial de F. (b) Elemento diferencial de la rosca cuando el deslizamiento es inminente.

454

Capítulo 9 Fricción

RESULTADOS F

M

La pendiente a de la rosca se relaciona con su paso p y el radio r por p . tan a  (9.7) 2pr

a p

r

M  rF tan(us  a).

(9.9)

Par M requerido para que la rotación y el movimiento axial del eje opuesto a la dirección F sean inminentes, donde us  arctan ms.

M  rF tan(us  a).

Ejemplo activo 9.5 20 pulg

(9.11)

Par M (opuesto a la dirección mostrada) requerido para que la rotación y el movimiento axial del eje en la dirección de F sean inminentes. Si us a, el eje girará y se moverá en la dirección de F sin la aplicación de ningún par.

Rotación de un collarín roscado (䉴 Relacionado con el problema 9.79)

20 pulg

A B

C

El extremo derecho de la barra AB de la figura está conectado al collarín B sin rosca que descansa sobre el collarín roscado C. El radio medio del eje vertical roscado es r  1.6 pulg y su paso es p  0.2 pulg. Los coeficientes de fricción entre las roscas del collarín C y el eje vertical son ms  0.25 y mk  0.22. El objeto suspendido de 400 lb puede subirse o bajarse haciendo girar el collarín C. Cuando el sistema está en la posición mostrada, con la barra AB horizontal, ¿cuál es la magnitud del par que debe aplicarse al collarín C para que empiece a girar a una velocidad constante y el objeto suspendido se mueva hacia arriba? Estrategia Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la barra AB y el collarín B, es posible determinar la fuerza axial ejercida sobre el collarín C. Luego se puede usar la ecuación (9.9), remplazando us con uk, para determinar el par requerido.

9.3 Roscas

Solución B

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra y el collarín B.

De la suma de momentos respecto al punto A, Mpunto A  (40 pulg)F  (20 pulg)(400 lb)  0, la fuerza F  200 lb. Ésta es la fuerza axial ejercida sobre el collarín C.

Ax

Ay 400 lb

Aplique el equilibrio.

F

C

De la ecuación (9.7) p 0.2 pulg  0.0199, tan a   2pr 2p(1.6 pulg) la pendiente de la rosca es a  1.14. El ángulo de fricción cinética es uk  arctan mk  arctan(0.22)  12.4.

Aplique la ecuación (9.9).

Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.9), M  rF tan(uk  a)  (1.6 pulg)(200 lb) tan(12.4  1.14)  77.1 pulg-lb.

Problema de práctica Cuando el sistema se encuentra en la posición mostrada, con la barra AB horizontal, ¿cuál es la magnitud del par que debe aplicarse sobre el collarín C para que éste empiece a girar con una velocidad constante y mueva el objeto suspendido hacia abajo? Respuesta: 63.8 pulg-lb.

F

455

456

Capítulo 9 Fricción

Problemas 䉴 9.79 En el ejemplo activo 9.5, suponga que el paso de la rosca se cambia de p  0.2 pulg a p  0.24 pulg. ¿Cuál es la pendiente de la rosca? ¿Cuál es la magnitud del par que debe aplicarse al collarín C para ocasionar que éste gire a una velocidad constante y mueva el objeto suspendido hacia arriba? 9.80 El paso de la rosca es p  2 mm y el radio medio de la rosca es r  20 mm. Los coeficientes de fricción entre la rosca y la ranura correspondiente son ms  0.22 y mk  0.20. El peso W  500 N. Ignore el peso del eje roscado. ¿Qué par debe aplicarse al eje para bajar el peso a velocidad constante?

9.82 El paso del eje roscado de la abrazadera en C mostrada es p  0.05 pulg, y el radio medio de la rosca es r  0.15 pulg. Los coeficientes de fricción entre el eje roscado y el collarín correspondiente son ms  0.18 y mk  0.16. a) ¿Cuál es el par máximo que debe aplicarse sobre el eje para ejercer una fuerza de 30 lb sobre el objeto sujeto? b) Si se ejerce una fuerza de 30 lb sobre el objeto sujeto, ¿cuál es el par que debe aplicarse sobre el eje para empezar a aflojar la abrazadera?

W

Problema 9.82 C

Problema 9.80

9.81 La posición de la viga horizontal se puede ajustar haciendo girar el tornillo A. Ignore el peso de la viga. El paso del tornillo es p  1 mm y el radio medio de la rosca es r  4 mm. Los coeficientes de fricción entre la rosca y la ranura correspondiente son ms  0.20 y mk  0.18. Si el sistema está inicialmente en reposo, determine el par que se debe aplicar al tornillo para que la viga empiece a moverse a) hacia arriba o b) hacia abajo.

9.83 La masa del bloque A es de 60 kg. Ignore el peso de la cuña de 5°. El coeficiente de fricción cinética entre las superficies en contacto del bloque A, la cuña, la mesa y la pared es mk  0.4. El paso del eje roscado es de 5 mm, el radio medio de la rosca es de 15 mm y el coeficiente de fricción cinética entre la rosca y la ranura correspondiente es de 0.2. ¿Qué par debe ejercerse sobre el eje roscado para elevar el bloque A con velocidad constante?

A

400 N 5

A

100 mm

300 mm

Problema 9.81

Problema 9.83

Problemas 9.84 La prensa de tornillo mostrada ejerce fuerzas de 80 lb sobre A. Los ejes roscados están sometidos sólo a cargas axiales por las mordazas de la prensa. El paso de sus roscas es p  18 pulg, el radio medio de las roscas es r  1 pulg y el coeficiente de fricción estática entre las roscas y las ranuras correspondientes es 0.2. Suponga que se quiere aflojar la prensa haciendo girar uno de los ejes. Determine el par que se debe aplicar (a) al eje B; (b) al eje C. 9.85 Suponga que se quiere apretar la prensa del problema 9.84 haciendo girar uno de los ejes. Determine el par que se debe aplicar a) al tornillo B; b) al tornillo C. A

4 pulg

B 4 pulg

9.88 El gato de automóvil mostrado en la figura funciona haciendo girar el eje horizontal roscado en A. El eje embona dentro de un collarín correspondiente en B. Conforme el eje gira, los puntos A y B se acercan o se alejan, causando que el gato se mueva hacia arriba o hacia abajo. El paso del eje roscado es p  0.1 pulg, el radio medio de la rosca es r  0.2 pulg y el coeficiente de fricción cinética entre la rosca y el collarín correspondiente en B es 0.15. ¿Qué par debe aplicarse en A para que el eje gire a velocidad constante y eleve el gato cuando éste se halla en la posición mostrada y la carga L  1400 lb? 9.89 El gato de automóvil mostrado en la figura funciona haciendo girar el eje horizontal roscado en A. El eje embona dentro de un collarín correspondiente en B. Conforme el eje gira, los puntos A y B se acercan o se alejan, causando que el gato se mueva hacia arriba o hacia abajo. El paso del eje roscado es p  0.1 pulg, el radio medio de la rosca es r  0.2 pulg y el coeficiente de fricción cinética entre la rosca y el collarín correspondiente en B es 0.15. ¿Qué par debe aplicarse en A para que el eje gire a velocidad constante y baje el gato cuando éste se halla en la posición mostrada y la carga L  1400 lb?

C

Problemas 9.84/9.85 9.86 El eje roscado de la figura tiene un soporte de bola y cuenca en B. La carga A de 400 lb puede subirse o bajarse haciendo girar el eje, lo cual ocasiona que el collarín roscado en C se mueva con respecto al eje. Ignore los pesos de los elementos. El paso del eje 1 es p  –4 pulg, el radio medio de la rosca es r  1 pulg y el coeficiente de fricción estática entre la rosca y la ranura correspondiente es 0.24. Si el sistema está en reposo en la posición mostrada, ¿qué par se requiere para que el tornillo gire y eleve la carga? 9.87 En el problema 9.86, si el sistema está en reposo en la posición mostrada, ¿qué par se necesita para que el tornillo empiece a girar y baje la carga?

9 pulg

L

3 pulg

B

A

C 3 pulg A

12 pulg B

5 pulg

Problemas 9.88/9.89 9 pulg

9 pulg

18 pulg

Problemas 9.86/9.87

457

458

Capítulo 9 Fricción

9.90 Un templador como el mostrado en la figura se usa para ajustar la tensión en una barra o cable y está roscado en ambos extremos. Al hacer girar el templador los extremos roscados se acercan o se alejan uno del otro. Suponga que el paso de las roscas es p  0.05 pulg, su radio medio es r  0.25 pulg y el coeficiente de fricción estática entre las roscas y las ranuras correspondientes es 0.24. Si T  200 lb, ¿qué par debe ejercerse sobre el templador para que éste empiece a apretar?

9.94 Los elementos CD y DG de la armadura mostrada tienen templadores. (Vea el problema 9.90). El paso de las roscas es p  4 mm, su radio medio es r  10 mm y el coeficiente de fricción estática entre las roscas y las ranuras correspondientes es 0.18. ¿Qué par debe aplicarse al templador del elemento CD para que empiece a aflojar? 9.95 En el problema 9.94, ¿qué par debe aplicarse sobre el templador del elemento DG para que empiece a aflojar?

9.91 Suponga que el paso de las roscas del templador mostrado es p  0.05 pulg, su radio medio es r  0.25 pulg y el coeficiente de fricción estática entre las roscas y las ranuras correspondientes es 0.24. Si T  200 lb, ¿qué par debe ejercerse sobre el templador para que éste empiece a aflojar?

C

2m H

A

T

G

E

B

D

F

2 kN 4 kN

T 2m

Problemas 9.90/9.91

2m

2m

2m

Problemas 9.94/9.95 9.92 El elemento BE del bastidor mostrado tiene un templador. (Vea el Problema 9.90). Las roscas tienen un paso p  1 mm, el radio medio de las roscas es r  6 mm y el coeficiente de fricción estática entre las roscas y las ranuras correspondientes es 0.2. ¿Qué par debe aplicarse al templador para que empiece a aflojar? 9.93 En el problema 9.92, ¿qué par debe ejercerse sobre el templador para que empiece a apretar?

0.4 m A

9.96* La carga W  800 N puede subirse o bajarse haciendo girar el eje roscado que se muestra en la figura. Las distancias son b  75 mm y h  200 mm. Las barras de pasador tienen cada una 300 mm de longitud. El paso del eje roscado es p  5 mm, el radio medio de la rosca es r  15 mm y el coeficiente de fricción cinética entre la rosca y la ranura correspondiente es 0.2. Cuando el sistema está en la posición mostrada, ¿qué par debe aplicarse para que el tornillo gire a velocidad constante y la carga se eleve?

600 N

1.0 m

b

B C

0.5 m D

W

E F 0.8 m

0.4 m

Problemas 9.92/9.93 h

Problema 9.96

9.4 Cojinetes

M

M r

F

F

M r

F

a (b)

(c)

(d)

F us

F

R us

a (a)

459

(e)

r senus (f)

Figura 9.12 (a) Flecha soportada por chumaceras. (b) Polea soportada por la flecha. (c) La flecha y la chumacera cuando no se aplica ningún par sobre la flecha. (d) Un par ocasiona que la flecha ruede dentro de la chumacera. (e) Diagrama de cuerpo libre de la flecha. (f) Las dos fuerzas sobre la flecha deben ser iguales y opuestas.

9.4 Cojinetes ANTECEDENTES Un cojinete es un soporte. Este término se refiere generalmente a soportes diseñados para permitir que el objeto soportado se mueva. Por ejemplo, en la figura 9.12a una flecha horizontal está soportada por dos cojinetes especiales llamados chumaceras que permiten que la flecha gire. La flecha puede entonces soportar una carga perpendicular a su eje, como en el caso de una carga sujeta por una polea (figura 9.12b). Aquí se analizarán chumaceras que consisten en ménsulas con agujeros a través de los cuales pasa la flecha. El radio de la flecha es ligeramente menor que el de los agujeros de las chumaceras. El objetivo es determinar el par que se debe aplicar a la flecha para que gire en las chumaceras. Sea F la carga total soportada por la flecha, incluido el peso de ésta. Cuando no se aplica ningún par sobre la flecha, la fuerza F presiona las chumaceras como muestra la figura 9.12c. Cuando se ejerce un par M sobre la flecha, ésta rueda sobre las superficies de las chumaceras (figura 9.12d). El término a es el ángulo entre el punto original de contacto de la flecha y su punto de contacto cuando se aplica M. En la figura 9.12e se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la flecha cuando M es lo bastante grande para que el deslizamiento sea inminente. La fuerza R es la reacción total ejercida por las dos chumaceras. Como R y F son las únicas fuerzas que actúan sobre la flecha, el equilibrio requiere que a  us y R  F (figura 9.12f). La reacción ejercida sobre la flecha por las chumaceras se desplaza una distancia r sen us, desde la línea vertical que pasa por el centro de la flecha. Al sumar momentos respecto al centro de la flecha, se obtiene el par M que hace que la flecha esté a punto de deslizarse: M  rF sen us.

(a)

Rueda

(9.12)

Éste es el máximo par que puede ejercerse sobre la flecha sin que ésta empiece a girar. Al reemplazar us en esta expresión por el ángulo de fricción cinética uk, se obtiene el par necesario para que la flecha gire con velocidad constante. El tipo de chumacera que se ha descrito es muy primitiva para la mayoría de las aplicaciones. Las superficies donde la flecha y la chumacera están en contacto se desgastarían rápidamente. Por lo general, los diseñadores incorporan “baleros” o “rodillos” en las chumaceras para minimizar la fricción (figura 9.13).

(b)

Figura 9.13 (a) Chumacera con una hilera de baleros. (b) Ensamble de la chumacera de la rueda de un automóvil. Hay dos hileras de baleros entre la rueda giratoria y el cilindro interior fijo.

460

Capítulo 9 Fricción

RESULTADOS

Una chumacera tiene un orificio circular un poco más grande que la flecha circular que soporta.

El par M que debe aplicarse para que el deslizamiento sea inminente respecto a la chumacera es M  rF senus,

M

(9.12)

donde r es el radio del eje, F es la carga lateral soportada por la flecha, y us  arctan ms.

Ejemplo activo 9.6

F

Polea soportada por chumaceras (䉴 Relacionado con el problema 9.97) El peso de la carga mostrada en la figura es W  1000 lb. La polea P tiene un radio de 6 pulg y está rígidamente unida a un eje horizontal circular soportado por chumaceras. El radio del eje es de 0.5 pulg y el coeficiente de fricción cinética entre el eje y la chumacera es mk  0.2. Los pesos de la polea y el eje son insignificantes. ¿Qué tensión debe ejercer el cabrestante A sobre el cable para elevar la carga a velocidad constante?

P

45 W

A

Estrategia La ecuación (9.12) con us reemplazada por uk relaciona el par M requerido para que la polea gire a velocidad constante con la fuerza lateral F soportada por el eje. Expresando M y F en términos de las fuerzas ejercidas sobre la polea por el cable y aplicando la ecuación (9.12), es posible obtener una ecuación para la tensión que debe ejercer el cabrestante.

9.4 Cojinetes

Solución 6 pulg

Fuerzas ejercidas por el cable sobre la polea. La fuerza T es la tensión ejercida por el cabrestante. 45 W

T

45 T W

F

F  (W  T sen 45)2  (T cos 45)2.

M  (6 pulg)(T  W).

La suma vectorial de las fuerzas ejercidas por el cable sobre la polea es la fuerza lateral F que debe soportar el eje de la polea. La magnitud de F puede expresarse en términos de W y T.

La polea se mueve en dirección a la de las manecillas del reloj. Exprese el par en el sentido de las manecillas del reloj sobre la polea en términos de T y W.

El ángulo de fricción cinética es uk  arctan mk  arctan(0.2)  11.3. La ecuación (9.12) es M  rF sen uk: (6 pulg)(T  W)  (0.5 pulg) (W  T sen 45)2  (T cos 45)2 sen11.3. Estableciendo W  1000 lb y resolviendo se obtiene T  1030 lb.

Problema de práctica ¿Cuál es la tensión que debe ejercer el cabrestante A sobre el cable para bajar la carga a velocidad constante? Respuesta: T  970 lb.

Aplique la ecuación (9.12).

461

462

Capítulo 9 Fricción

Problemas 䉴 9.97 En el ejemplo activo 9.6, suponga que la colocación del cabrestante en A se cambia de manera que el ángulo entre el cable que va de A a P y la horizontal aumenta de 45° a 60°. Si la carga suspendida pesa 1500 lb, ¿qué tensión debe ejercer el cabrestante sobre el cable para elevar la carga a una velocidad constante? 9.98 El radio de la polea mostrada es 4 pulg. La polea está unida rígidamente a un eje horizontal, el cual está soportado por dos chumaceras. El radio del eje es 1 pulg, y el peso combinado de la polea y el eje es de 20 lb. Los coeficientes de fricción entre el eje y las chumaceras son ms  0.30 y mk  0.28. Determine el peso máximo W que puede suspenderse como se muestra, sin causar que el eje en reposo se deslice en las chumaceras.

9.102 La polea de 8 pulg de radio está montada sobre un eje de 1 pulg de radio. El eje está soportado por dos chumaceras. El coeficiente de fricción estática entre las chumaceras y el eje es ms  0.15. Ignore los pesos de la polea y del eje. El bloque A de 50 lb de peso descansa sobre el piso. Si se agrega lentamente arena a la cubeta B, ¿qué peso tiene la cubeta junto con la arena cuando el eje se desliza en las chumaceras?

8 pulg

9.99 En el problema 9.98, suponga que el peso W  4 lb. ¿Qué par debería aplicarse al eje horizontal para elevar el peso a una velocidad constante? B

A

W

Problemas 9.98/9.99

Problema 9.102

9.100 La polea que se muestra en la figura está montada sobre un eje horizontal soportado por chumaceras. El coeficiente de fricción cinética entre el eje y las chumaceras es mk  0.3. El radio del eje es de 20 mm y el radio de la polea es de 150 mm. La masa m  10 kg. Ignore las masas de la polea y del eje. ¿Qué fuerza T debe aplicarse al cable para mover la masa hacia arriba a velocidad constante?

9.103 La polea de 50 mm de radio está montada sobre un eje de 10 mm de radio. El eje está soportado por dos chumaceras. La masa del bloque A es de 8 kg. Ignore los pesos de la polea y del eje. Si se necesita una fuerza T  84 N para levantar el bloque A a velocidad constante, ¿cuál es el coeficiente de fricción cinética entre el eje y las chumaceras?

9.101 En el problema 9.100, ¿qué fuerza T debe aplicarse al cable para que la masa descienda a velocidad constante?

50 mm

20 10 mm

A

Problema 9.103 m T

Problemas 9.100/9.101

T

Problemas 9.104 La masa del objeto suspendido que se muestra en la figura es de 4 kg. La polea tiene un radio de 100 mm y se encuentra rígidamente unido a un eje horizontal soportado por chumaceras. El radio del eje horizontal es 10 mm y el coeficiente de fricción cinética entre el eje y las chumaceras es 0.26. ¿Qué tensión debe ejercer la persona sobre la cuerda para elevar la carga a una velocidad constante?

463

9.108 Las dos poleas tienen radios de 4 pulg y están montadas sobre ejes de 1 pulg de radio soportados por chumaceras. Ignore los pesos de las poleas y los ejes. La tensión en el resorte es de 40 lb. El coeficiente de fricción cinética entre los ejes y las chumaceras es mk  0.3. ¿Qué par M se requiere para hacer girar la polea izquierda a velocidad constante?

9.105 En el problema 9.104, ¿qué tensión debe ejercer la persona sobre la cuerda para bajar la carga a una velocidad constante? M 4 pulg

25

Problema 9.108 100 mm

9.109 Los pesos de las cajas mostradas son wA  65 lb y WB  130 lb. El coeficiente de fricción estática entre las cajas A y B y entre la caja B y el piso es 0.12. La polea tiene un radio de 4 pulg y está montada sobre un eje con radio de 0.8 pulg. El coeficiente de fricción estática entre la polea y el eje es 0.16. ¿Cuál es la máxima fuerza F con la que las cajas no se deslizarán?

Problemas 9.104/9.105 9.106 La polea mostrada tiene un radio de 200 mm, y está montada sobre un eje con radio de 20 mm. El coeficiente de fricción estática entre la polea y el eje es ms  0.18. Si FA  200 N, ¿cuál es la fuerza máxima FB que puede aplicarse sin ocasionar que la polea gire? Ignore el peso de la polea. y

F A

20

B

FB 40

Problema 9.109 FA

x

Problema 9.106 9.107 Las masas de las cajas mostradas son mA  15 kg y mB  60 kg. El coeficiente de fricción estática entre las cajas A y B y entre la caja B y la superficie inclinada es 0.12. La polea tiene un radio de 60 mm y está montado sobre un eje con radio de 10 mm. El coeficiente de fricción estática entre la polea y el eje es 0.16. ¿Cuál es la máxima fuerza F con la que las cajas no se deslizarán?

F

9.110 El coeficiente de fricción estática entre la caja de 100 kg y la superficie inclinada es 0.35. Cada polea tiene un radio de 100 mm y está montada sobre un eje de 5 mm soportado por chumaceras. El coeficiente de fricción cinética entre los ejes y las chumaceras es 0.18. Determine la tensión T necesaria para jalar la caja hacia arriba sobre la superficie a velocidad constante.

T

A B

60 20

Problema 9.110 Problema 9.107

464

Capítulo 9 Fricción

9.5 Cojinetes de empuje axial y embragues ANTECEDENTES Un cojinete de empuje axial soporta un eje giratorio sometido a una carga axial. En el tipo mostrado en las figuras 9.14a y b, el extremo cónico de la flecha es presionado contra la cavidad cónica correspondiente por una carga axial F. A continuación se determinará el par M necesario para hacer girar la flecha. El elemento diferencial de área dA de la figura 9.14c es

dA = 2pr ds = 2pra

dr b. cos a

Integrando esta expresión de r  ri a r  r0 se obtiene el área de contacto:

A =

p1r o2 - r i22 cos a

.

Si se supone que la superficie correspondiente ejerce una presión p uniforme, la componente axial de la fuerza total debida a p debe ser igual a F: pA cos a  F. Por lo tanto, la presión es

p =

F F = . 2 A cos a p1r o - r 2i 2

Conforme el eje gira alrededor de su eje, el momento respecto al eje debido a la fuerza de fricción sobre el elemento dA es rmk(p dA). El momento total es ro

M =

LA

mkrp dA =

Lri

mkrc

F 2pr dr da b. cos a p1r o2 - r 2i 2

Integrando, se obtiene el par M necesario para hacer girar la flecha a velocidad constante:

M =

2mkF r o3 - r 3i a b. 3 cos a r o2 - r 2i

M

ro

a

ri

(9.13)

F

(b)

(a)

ds

dr a

ro

r

ri

F dA

Figura 9.14 (a), (b) Un cojinete de empuje axial soporta a un eje sometido a una carga axial. (c) El elemento diferencial dA y la presión uniforme p ejercida por la cavidad.

M

p

(c)

9.5 Cojinetes de empuje axial y embragues

465

F F r

M

M

(a)

(b)

Figura 9.15 Cojinete de empuje axial que soporta un eje de extremos planos.

En las figuras 9.15a y b se muestra un cojinete de empuje más sencillo. La ménsula soporta el extremo plano de un eje de radio r que está sometido a una carga axial F. El par necesario para hacer girar la flecha a velocidad constante se puede obtener con la ecuación (9.13) haciendo a  0, ri  0 y ro  r:

M =

2 m Fr. 3 k

F

(9.14) Rodillos

Aunque estos cojinetes de empuje son buenos ejemplos del análisis de las fuerzas de fricción, se desgastarían muy rápidamente usándolos en la mayoría de las aplicaciones. El diseñador del cojinete de empuje axial de la figura 9.16 minimiza la fricción incorporando “rodillos” al diseño. Un embrague es un dispositivo usado para conectar y desconectar dos ejes coaxiales en rotación. El tipo mostrado en las figuras 9.17a y b consiste en discos de radio r unidos a los extremos de flechas. Cuando los discos se separan (figura 9.17a), el embrague está desacoplado y las flechas pueden girar libremente una respecto a la otra. Cuando el embrague está acoplado, oprimiéndose los discos uno contra el otro con fuerzas F (figura 9.17b), los ejes pueden soportar un par M debido a las fuerzas de fricción entre los discos. Si el par M es muy grande, el embrague se desliza. Las fuerzas de fricción ejercidas sobre una cara del embrague por la otra cara son idénticas a las fuerzas de fricción ejercidas por el la ménsula de la figura 9.15 sobre el extremo plano de un eje. Por lo tanto, es posible determinar el máximo par que el embrague puede soportar sin deslizamiento, al reemplazar mk por ms en la ecuación (9.14):

M =

2 m Fr. 3 s

(9.15)

r

F

M

M

F (a)

Figura 9.16 Cojinete de empuje axial con dos hileras de rodillos cilíndricos entre el eje y el soporte fijo.

(b)

Figura 9.17 Embrague. (a) Posición desacoplada. (b) Posición acoplada.

466

Capítulo 9 Fricción

RESULTADOS

a

ro

M

ri

M

2mkF ro3  r3i 3 cos a ro2  r 2i .





(9.13)

F

Par requerido para hacer girar un eje soportado por un cojinete de empuje axial, en términos de la fuerza axial aplicada al eje.

F F r

M

M

2 m Fr. k 3

(9.14)

M

Par requerido para hacer girar un eje de extremos planos soportado por un cojinete de empuje axial, en términos de la fuerza axial aplicada al eje.

r

F M

M F

2 M  msFr. 3

(9.15)

Par requerido para que el deslizamiento de un embrague sea inminente, en términos de la fuerza axial aplicada al embrague.

9.5 Cojinetes de empuje axial y embragues

Cojinete de empuje axial (䉴 Relacionado con el problema 9.111)

Ejemplo activo 9.7

La fuerza axial sobre el cojinete de empuje mostrado es F  200 lb. Los diámetros Do  3 –12 pulg y Di  1 pulg, y el ángulo a  72°. El coeficiente de fricción cinética es mk  0.18. ¿Qué par se requiere para hacer girar el eje a una velocidad constante? Di

Do

a

F

Estrategia El par está dado por la ecuación (9.13). Solución

Los radios ro  1.75 pulg y ri  0.5 pulg. M 



2mkF r3o  r3i 3 cos a r2o  r2i





Aplique la ecuación (9.13).



2(0.18)(200 lb) (1.75 pulg)  (0.5 pulg) 3 cos 72 (1.75 pulg)2  (0.5 pulg)2 3

3

 145 pulg-lb. Problema de práctica La fuerza axial sobre el cojinete de empuje mostrado es 1 F  200 lb. Los diámetros Do  3 –2 pulg y Di  1 pulg, y la dimensión b  5 pulg. El coeficiente de fricción cinética es mk  0.18. ¿Qué par se requiere para hacer girar el eje a una velocidad constante? Di

Do

a

b

Respuesta: M  184 pulg-lb.

F

467

468

Capítulo 9 Fricción

Ejemplo 9.8

Fricción en una lijadora de disco (䉴 Relacionado con el problema 9.118) La lijadora manual de la figura tiene un disco giratorio D de 4 pulg de radio, con papel de lija unido a ella. La fuerza total hacia abajo ejercida por el operador y el peso de la lijadora suman 15 lb. El coeficiente de fricción cinética entre la lija y la superficie es mk  0.6. ¿Qué par (de torsión) M debe ejercer el motor para hacer girar la lijadora a velocidad constante? D

Estrategia Cuando el disco D gira, se somete a fuerzas de fricción análogas a las fuerzas de fricción ejercidas por un cojinete de empuje sobre un eje de extremos planos. El par requerido para hacer girar el disco D a velocidad constante puede determinarse mediante la ecuación (9.14). Solución El par requerido para hacer girar el disco a velocidad constante es

M =

2 2 mkrF = 10.6214 pulg2115 lb2 = 24 pulg-lb. 3 3

Razonamiento crítico Las ecuaciones (9.13) a (9.15) se obtuvieron bajo el supuesto de que la fuerza normal (y en consecuencia la fuerza de fricción) está distribuida de manera uniforme sobre las superficies en contacto. La evaluación y la mejora sobre este supuesto requerirían análisis de las deformaciones de las superficies en contacto en aplicaciones específicas como la lijadora de disco de este ejemplo.

Problemas 䉴 9.111 En el ejemplo activo 9.7, suponga que los diámetros 1 1 Do  3 –2 pulg y Di  1 –2 pulg y el ángulo a  72°. ¿Qué par se requiere para hacer girar al eje a una velocidad constante?

9.112 El eje circular de extremos planos que se muestra en la figura se presiona dentro del cojinete de empuje mediante una carga axial de 600 lb. El peso del eje es insignificante. Los coeficientes de fricción entre el extremo del eje y el cojinete son ms  0.20 y mk  0.15. ¿Cuál es el máximo par M que se puede aplicar al eje en reposo sin ocasionar que el cojinete gire?

9.113 El eje circular de extremos planos que se muestra en la figura se presiona dentro del cojinete de empuje mediante una carga axial de 600 lb. El peso del eje es insignificante. Los coeficientes de fricción entre el extremo del eje y el cojinete son ms  0.20 y mk  0.15. ¿Qué par M se requiere para hacer girar el eje a velocidad constante? 600 lb 2 pulg

M

Problemas 9.112/9.113

Problemas 9.114 El disco D mostrado está rígidamente unido al eje vertical. El eje tiene extremos planos soportados por cojinetes de empuje. El disco y el eje pesan juntos 220 kg y el eje tiene 50 mm de diámetro. La fuerza vertical del cojinete superior en el extremo del eje es de 440 N. El coeficiente de fricción cinética entre los extremos del eje y los cojinetes es de 0.25. ¿Qué par M se requiere para hacer girar el eje a velocidad constante?

9.117 Un motor hace girar un tornillo revolvedor que mezcla productos químicos. El eje del motor está acoplado al tornillo por medio de un embrague de fricción del tipo mostrado de la figura 9.17. El radio de los discos del embrague es de 120 mm y el coeficiente de fricción estática entre ellos es de 0.6. Si el motor transmite un par máximo de 15 N-m al tornillo, ¿qué fuerza normal mínima entre las placas del embrague se necesita para impedir el deslizamiento?

9.115 Suponga que los extremos del eje del problema 9.114 están soportados por cojinetes de empuje como los de la figura 9.14, donde ro  25 mm, ri  6 mm, a  45° y mk  0.25. ¿Qué par M se requiere para hacer girar el eje a velocidad constante?

Embrague Tornillo

Problema 9.117

M

M

D

D

䉴 9.118 El cojinete de empuje axial de la figura está soportado por el contacto del collarín C con una placa fija. El área de contacto es un anillo con diámetro interior D1  40 mm y diámetro exterior D2  120 mm. El coeficiente de fricción cinética entre el collarín y la placa es mk  0.3. La fuerza F  400 N. ¿Qué par M se requiere para hacer girar el eje a velocidad constante? (Vea el ejemplo 9.8).

Problemas 9.114/9.115 F

F

9.116 El eje de la figura está soportado por cojinetes de empuje axial que lo someten a una carga axial de 800 N. Los coeficientes de fricción cinética entre el eje y los cojinetes izquierdo y derecho son 0.20 y 0.26, respectivamente. ¿Qué par se requiere para hacer girar el eje a velocidad constante?

M M C

C D1 D2

Problema 9.118 15 mm 38 mm

38 mm

Problema 9.116

469

470

Capítulo 9 Fricción

9.119 Un diseño experimental de freno de automóvil funciona oprimiendo la placa anular fija (en azul) que se muestra en la figura contra la rueda giratoria. Si mk  0.6, ¿qué fuerza F debe presionar la placa contra la rueda para ejercer sobre ésta un par de 200 N-m?

9.120 Un diseño experimental de freno de automóvil funciona oprimiendo la placa anular fija (en azul) que se muestra en la figura contra la rueda giratoria. Suponga que mk  0.65 y que la fuerza que oprime la placa contra la rueda es F  2 kN. a) ¿Qué par se ejerce sobre la rueda? b) ¿Qué porcentaje de incremento se obtiene en el par ejercido sobre la rueda si el radio exterior del freno se incrementa de 90 mm a 100 mm?

9.121 El coeficiente de fricción estática entre los discos del embrague de un automóvil es 0.8. Si los discos se oprimen con una fuerza F  2.60 kN, ¿cuál es el par de torsión máximo que el embrague puede soportar sin deslizarse?

75 mm

150 mm

F

Problema 9.121

F

50 mm

90 mm

9.122* El “cono Morse” mostrado se usa para sostener la pieza de trabajo sobre el cabezal del torno. El cono se empuja dentro del husillo y se mantiene en su posición debido a la fricción. Si el husillo ejerce una presión uniforme p  15 psi sobre el cono y ms  0.2, ¿qué par se debe ejercer respecto al eje del cono para aflojarlo?

Husillo

Problemas 9.119/9.120

1.25 pulg

2 pulg 9 pulg

Problema 9.122

Cono

9.6 Fricción en bandas

471

9.6 Fricción en bandas ANTECEDENTES Si una cuerda se enrolla alrededor de un poste fijo como muestra la figura 9.18, una gran fuerza T2 ejercida en un extremo de la cuerda puede ser soportada por una fuerza T1 relativamente pequeña en el otro extremo. En esta sección se analiza este fenómeno común, conocido como fricción en bandas porque se puede usar un procedimiento similar para analizar las bandas utilizadas en maquinarias, como las que impulsan los alternadores y otros dispositivos de un automóvil. Considere una cuerda enrollada alrededor de un cilindro fijo en un ángulo b (figura 9.19a). Se supondrá que la tensión T1 se conoce. El objetivo aquí es determinar la máxima fuerza T2 que se puede aplicar al otro extremo de la cuerda sin que ésta se deslice. Se inicia dibujando el diagrama de cuerpo libre de un elemento de la cuerda cuyos límites son los ángulos a y a  ¢a, desde el punto en que la cuerda entra en contacto con el cilindro (figuras 9.19b y c). La fuerza T es la tensión en la cuerda en la posición definida por el ángulo a. Se sabe que la tensión en la cuerda varía con la posición, porque crece de T1 en a  0 a T2 en a  b. Por lo tanto, se escribe la tensión en la cuerda en la posición a  ¢a como T  ¢T. La fuerza ¢N es la fuerza normal ejercida por el cilindro sobre el elemento. Como se desea determinar el valor máximo de T2 que no ocasionará que la cuerda se deslice, se supone que la fuerza de fricción es igual a su valor máximo posible ms¢N, donde ms es el coeficiente de fricción estática entre la cuerda y el cilindro. Las ecuaciones de equilibrio en las direcciones tangencial y normal a la línea central de la cuerda son

©Ftangencial = ms ¢N + T cosa

T1

T2

Figura 9.18 Cuerda enrollada alrededor de un poste.

¢a ¢a b - 1T + ¢T2 cosa b = 0, 2 2 (9.16)

©Fnormal

¢a ¢a = ¢N - 1T + ¢T2 sena b - T sena b = 0. 2 2

Al eliminar ¢N, es posible escribir la ecuación resultante como

ccosa

sen1¢a>22 ¢a ¢a ¢T b - ms sena bd - msT = 0. 2 2 ¢a ¢a>2

a a b

T  T

T ms N

N

T2

T1 (a)

Figura 9.19 (a) Cuerda enrollada alrededor de un cilindro fijo. (b) Elemento diferencial con límites en los ángulos a y a  ¢a. (c) Diagrama de cuerpo libre del elemento.

a

T1

T2 (b)

(c)

472

Capítulo 9 Fricción

Al evaluar el límite de esta ecuación cuando ¢a S 0, y observando que

sen1¢a>22 ¢a>2

: 1,

se obtiene

dT - msT = 0. da Esta ecuación diferencial rige la variación de la tensión en la cuerda. Separando variables,

dT = ms da. T Ahora se puede integrar para determinar la tensión T2 en función de la tensión T1 y el ángulo b: T2

b

dT = ms da. LT1 T L0 Así, se obtiene la máxima fuerza T2 que puede aplicarse sin que la cuerda se deslice cuando la fuerza en el otro extremo es T1: T2  T1e m s b.

(9.17)

El ángulo b en esta ecuación debe expresarse en radianes. Al reemplazar ms por el coeficiente de fricción cinética mk se obtiene la fuerza T2 requerida para ocasionar que la cuerda se deslice a velocidad constante. La ecuación (9.17) explica por qué una gran fuerza puede ser soportada por una fuerza relativamente pequeña cuando se enrolla una cuerda alrededor de un soporte fijo. La fuerza requerida para que la cuerda se deslice crece exponencialmente en función del ángulo a través del cual la cuerda está enrollada. Suponga que ms  0.3. Cuando la cuerda está enrollada una vuelta completa alrededor del poste (b  2p), la razón T2 >T1  6.59. Cuando la cuerda está enrollada cuatro vueltas completas alrededor del poste (b  8p), la razón T2>T1  1880.

RESULTADOS

b

T2

T2  T1emsb.

(9.17)

T1

Fuerza T2 necesaria para que el deslizamiento de la cuerda respecto al soporte fijo en la dirección de T2 sea inminente, donde el ángulo b está en radianes y ms es el coeficiente de fricción estática entre la cuerda y el soporte.

9.6 Fricción en bandas

Ejemplo activo 9.9

Cuerda enrollada alrededor de cilindros fijos (䉴 Relacionado con el problema 9.123)

La caja de 100 lb que se muestra en la figura está suspendida de una cuerda que pasa sobre dos cilindros fijos. El coeficiente de fricción estática es de 0.2 entre la cuerda y el cilindro izquierdo y de 0.4 entre la cuerda y el cilindro derecho. ¿Cuál es la fuerza mínima que la mujer puede ejercer sobre la cuerda para soportar la caja en equilibrio?

Estrategia La mujer ejerce la mínima fuerza necesaria cuando el deslizamiento de la cuerda sobre ambos cilindros es inminente. Si se supone que el deslizamiento es inminente y se aplica la ecuación (9.17) a cada cilindro, se puede determinar la fuerza que ella debe aplicar. Solución

Sea T la tensión en la cuerda entre los dos cilindros. El peso W  100 lb y F es la fuerza que ejerce la mujer. La cuerda está enrollada alrededor de cada cilindro en un ángulo b  p/2 (en radianes). W  Temsb  Te(0.2)(p/2). Despejando T se obtiene T  We(0.2)(p/2)  (100 lb)e(0.2)(p/2)  73.0 lb. T  Femsb  Fe(0.4)(p/2). Despejando F se obtiene F  Te(0.4)(p/2)  (73.0 lb)e(0.4)(p/2)  39.0 lb.

b

T

p 2

T b

W

p 2

F

Aplique la ecuación (9.17) al cilindro izquierdo. Suponga que el deslizamiento de la cuerda en la dirección de la fuerza W es inminente.

Aplique la ecuación (9.17) al cilindro derecho. Suponga que el deslizamiento de la cuerda en la dirección de la fuerza T es inminente.

Problema de práctica ¿Qué fuerza tendría que ejercer la mujer sobre la cuerda para que el deslizamiento fuera inminente en la dirección en la que está jalando? Esto es, ¿qué tan fuerte tendría que jalar para que la caja estuviera a punto de moverse hacia arriba? ¿Necesitaría ayuda? Respuesta: 257 lb. Sí.

473

474

Capítulo 9 Fricción

Ejemplo 9.10

Bandas y poleas (䉴 Relacionado con el problema 9.134) Las poleas mostradas giran a velocidad constante. La grande está unida a un soporte fijo, y la otra está soportada por una ranura horizontal lisa y es jalada hacia la derecha por la fuerza F  200 N. El coeficiente de fricción estática entre las poleas y la banda es ms  0.8, la dimensión b  500 mm y los radios de las poleas RA  200 mm y RB  100 mm. ¿Cuáles son los valores máximos de los pares MA y MB para los cuales la banda no se deslizará?

MA MB

F

RB RA b

a T2 T 2

MAA M

(a) Diagrama de cuerpo libre de la polea grande

a

MB

Ax Ax RA

F B

Ay Ay

a a T1

(b) Diagrama de cuerpo libre de la polea chica.

RB

T1

Estrategia Al dibujar los diagramas de cuerpo libre de las poleas, se pueden usar las ecuaciones de equilibrio para relacionar las tensiones en la banda con MA, y MB y obtener una relación entre las tensiones en la banda y la fuerza F. Cuando el deslizamiento es inminente, las tensiones también están relacionadas por la ecuación (9.17). A partir de estas ecuaciones es posible determinar MA y MB. Solución Del diagrama de cuerpo libre de la polea grande (figura a) se obtiene la ecuación de equilibrio MA  RA(T2  T1)

(1)

y del diagrama de cuerpo libre de la polea pequeña (figura b), se obtiene F  (T1  T2) cos a, MB  RB(T2  T1).

(2) (3)

Problemas

a a

RA  RB

a

b

(c) Determinación del ángulo a.

La banda está en contacto con la polea pequeña sobre el ángulo p  2a (figura c). Con la línea discontinua puede observarse que el ángulo a satisface la relación

sin a = sen

RA - RB 200 mm - 100 mm = = 0.2. b 500 mm

Por lo tanto, a  11.5°  0.201 radianes. Si se supone que el deslizamiento es inminente entre la polea pequeña y la banda, la ecuación (9.17) establece que T2  T1e m s b  T1e0.8(p2a)  8.95T1. Se resuelve esta ecuación junto con la ecuación (2) para las dos tensiones y se obtiene T1  20.5 N y T2  183.6 N. Luego, de las ecuaciones (1) y (3), los pares son MA  32.6 N-m y MB  16.3 N-m. Si se supone que el deslizamiento es inminente entre la polea grande y la banda, se obtiene MA  36.3 N-m y MB  18.1 N-m, por lo que la banda se desliza sobre la polea pequeña para valores menores de los pares.

Problemas 䉴 9.123 En el ejemplo activo 9.9, suponga que el cilindro fijo de la izquierda se remplaza por una polea. Asuma que las tensiones en la cuerda a cada lado de la polea son aproximadamente iguales. ¿Cuál es la fuerza mínima que la mujer debe ejercer sobre la cuerda para mantener la caja en equilibrio?

9.124 Suponga que se desea levantar del suelo una caja de 50 lb pasando una cuerda sobre la rama de un árbol, como muestra la figura. El coeficiente de fricción estática entre la cuerda y la rama es 0.2 y la cuerda está enrollada 135° alrededor de la rama. ¿Qué fuerza se debe ejercer para levantar la caja?

Problema 9.124

475

476

Capítulo 9 Fricción

9.125 Los cabrestantes se usan en los veleros para ayudar a soportar las cuerdas que mantienen en posición a las velas. El cabrestante mostrado es un poste que gira en sentido de las manecillas del reloj (visto desde arriba) pero no en sentido contrario. La vela ejerce una tensión TS  800 N sobre la cuerda, que está enrollada tres vueltas completas alrededor del cabrestante. El coeficiente de fricción estática entre la cuerda y el cabrestante es ms  0.2. Determine la tensión TC que el tripulante debe ejercer sobre el extremo de la cuerda para impedir que ésta se deslice sobre el cabrestante.

9.127 La caja A mostrada pesa 20 lb. La cuerda está enrollada un cuarto de vuelta alrededor del poste fijo. Los coeficientes de fricción entre el poste fijo y la cuerda son ms  0.15 y mk  0.12. a) ¿Cuál es la fuerza mínima que el hombre debe ejercer para soportar la caja en reposo? b) ¿Qué fuerza debe ejercer el hombre para levantar la caja a velocidad constante?

9.126 El coeficiente de fricción cinética entre la cuerda y el cabrestante del problema 9.125 es mk  0.16. Si el tripulante desea que la cuerda se deslice a una velocidad constante, liberando la vela, ¿cuál es la tensión inicial TC que debe ejercer sobre la cuerda para que empiece a deslizarse?

A

TC

Problema 9.127 TS

9.128 El peso del bloque A mostrado es W. El disco está soportado por una chumacera lisa. El coeficiente de fricción cinética entre el disco y la banda es mk. ¿Qué par M es necesario para hacer girar el disco a velocidad constante?

r

M

Problemas 9.125/9.126

A

Problema 9.128

Problemas 9.129 El par requerido para que la rueda de la bicicleta de ejercicio mostrada gire se ajusta cambiando el peso W. El coeficiente de fricción cinética entre la rueda y la banda es mk. Suponga que la rueda gira en el sentido de las manecillas del reloj. a) Demuestre que el par M requerido para que la rueda gire es M  WR (1  e3.4mk). b) Si W  40 lb y mk  0.2, ¿qué fuerza indicará la báscula S cuando la bicicleta esté en uso?

9.131 El coeficiente de fricción estática entre la caja de 50 lb y la superficie inclinada es de 0.10. El coeficiente de fricción estática entre la cuerda y el cilindro fijo es 0.05. Determine la fuerza que debe ejercer la mujer sobre la cuerda para ocasionar que la caja empiece a moverse hacia arriba sobre la superficie inclinada.

9.132 En el problema 9.131, ¿cuál es la fuerza mínima que debe ejercer la mujer sobre la cuerda para mantener la caja en equilibrio sobre la superficie inclinada?

S

15

45 A

R

20 30

30

W

Problema 9.129

9.130 La caja B mostrada pesa 50 lb. Los coeficientes de fricción entre el cable y los soportes redondos fijos son ms  0.4 y mk  0.3. a) ¿Cuál es la fuerza mínima F requerida para soportar la caja? b) ¿Qué fuerza F se requiere para mover la caja hacia arriba a velocidad constante?

B

F

Problema 9.130

477

Problemas 9.131/9.132

478

Capítulo 9 Fricción

9.133 Los bloques B y C tienen una masa de 20 kg cada uno. El coeficiente de fricción estática entre las superficies en contacto es 0.2. El bloque A está suspendido por una cuerda que pasa sobre un cilindro fijo y está unido al bloque B. El coeficiente de fricción estática entre la cuerda y el cilindro es 0.3. ¿Cuál es la masa máxima que puede tener el bloque A sin ocasionar que el boque B se deslice hacia la izquierda?

C

20 B

A

Problema 9.133

䉴 9.134 Si la fuerza F del ejemplo 9.10 se incrementa hasta 400 N, ¿cuáles son los valores máximos de los pares MA y MB para los cuales la banda no se deslizará?

9.135 El resorte de la figura ejerce una fuerza de 320 N sobre la polea izquierda. El coeficiente de fricción estática entre la banda plana y las poleas es ms  0.5. La polea derecha no puede girar. ¿Cuál es el par máximo M que se puede ejercer sobre la polea izquierda sin que la banda se deslice?

100 mm M

40 mm

260 mm

Problema 9.135

Problemas de repaso

479

Problemas de repaso 9.136 El peso de la caja es W  30 lb y la fuerza F es perpendicular a la superficie inclinada. El coeficiente de fricción estática entre la caja y la superficie inclinada es ms  0.2. a) Si F  30 lb, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre la caja en reposo? b) Si F  10 lb, demuestre que la caja no puede permanecer en equilibrio sobre la superficie inclinada.

9.137 En el problema 9.136, ¿qué valor tiene la fuerza mínima F necesaria para mantener la caja en reposo sobre la superficie inclinada?

9.140 Las masas de las cajas A y B mostradas son de 25 kg y 30 kg, respectivamente. El coeficiente de fricción estática entre las superficies de contacto es ms  0.34. ¿Cuál es el valor máximo de a para el cual las cajas permanecerán en equilibrio?

A

B a

F

Problema 9.140 W 20

Problemas 9.136/9.137

9.138 Los bloques A y B de la figura están conectados por una barra horizontal. El coeficiente de fricción estática entre la superficie inclinada y el bloque A de 400 lb es de 0.3. El coeficiente de fricción estática entre la superficie y el bloque B de 300 lb es de 0.5. ¿Cuál es la fuerza F mínima que impedirá que los bloques se deslicen hacia abajo sobre la superficie?

9.141 La ladera de un terraplén tiene una pendiente de 45° (figura a). Si el coeficiente de fricción estática de suelo sobre suelo es ms  0.6, ¿será estable el terraplén o se desplomará? Si se desploma, ¿cuál es la pendiente mínima para la que es estable? Estrategia: Dibuje un diagrama de cuerpo libre aislando parte del terraplén como se muestra de la figura b.

45

9.139 ¿Qué fuerza F es necesaria para que los bloques del problema 9.138 empiecen a deslizarse hacia arriba por la superficie inclinada?

(a)

B A

F 45

Problemas 9.138/9.139

u

(b)

Problema 9.141

480

Capítulo 9 Fricción

9.142 La masa de la camioneta es de 2250 kg y el coeficiente de fricción estática entre sus ruedas y el camino es de 0.6. Si sus ruedas frontales están bloqueadas pero las traseras no, ¿cuál es el máximo valor de a para el cual puede permanecer en equilibrio?

9.143 En el problema 9.142, ¿cuál es el valor máximo de a en el cual la camioneta puede permanecer en equilibrio si su frente apunta hacia arriba de la pendiente?

9.145 El objeto homogéneo de 20 lb que se muestra en la figura está soportado en A y B. La distancia h  4 pulg, la fricción puede despreciarse en B y el coeficiente de fricción estática en A es 0.4. Determine la fuerza máxima F que se puede ejercer sin que el cuerpo se deslice.

9.146 En el problema 9.145, suponga que el coeficiente de fricción estática en B es 0.36. ¿Cuál es el valor máximo de h para el cual el cuerpo se deslizará antes de volcarse?

2 pulg F 1m

6 pulg

h 1.2 m

a

3m A

B

Problemas 9.142/9.143

4 pulg

Problemas 9.145/9.146 9.144 La ménsula de la figura está diseñada de manera que se puede colocar a cualquier altura sobre la barra vertical. La ménsula está soportada por fricción entre los dos cilindros horizontales y la viga vertical. El peso combinado de la ménsula y la cámara es W. Si el coeficiente de fricción estática entre la viga y los cilindros horizontales es ms, ¿cuál es la distancia mínima b necesaria para que la ménsula permanezca en reposo?

9.147 El alpinista de 180 lb que se muestra en la figura está soportado en la “chimenea” por las fuerzas normal y de fricción sobre sus zapatos y su espalda. Los coeficientes de fricción estática entre sus zapatos y la pared, y entre su espalda y la pared son 0.8 y 0.6, respectivamente. ¿Cuál es la fuerza normal mínima que sus zapatos deben ejercer?

W h

b

t

Problema 9.144 4

3

Problema 9.147

Problemas de repaso 9.148 Los lados de la compuerta de 200 lb que se muestra en la figura entran de manera holgada en las ranuras de las paredes. Los cables en A y B elevan la compuerta a velocidad constante. El coeficiente de fricción cinética entre la compuerta y las ranuras es mk  0.3. ¿Qué fuerza debe ejercerse en A para mantener la elevación a velocidad constante si el cable en B se rompe?

3 pies

481

9.151 La masa del vehículo mostrado es de 900 kg, tiene tracción en sus ruedas traseras y el coeficiente de fricción estática entre sus neumáticos y la superficie es de 0.65. El coeficiente de fricción estática entre la caja y la superficie es 0.4. Si el vehículo intenta jalar la caja a lo largo de la superficie inclinada, ¿cuál es la máxima masa que la caja puede tener para deslizarse hacia arriba sobre la superficie inclinada antes de que las llantas del vehículo resbalen?

3 pies

A

B

3 pies 0.8 m 20 3 pies 1.2 m

20 5 pies

5 pies

1.5 m 2.5 m

Problema 9.151

Problema 9.148

9.149 Los coeficientes de fricción estática entre los neumáticos del tractor de 1000 kg y el suelo y entre la caja de 450 kg y el suelo son 0.8, 0.3, respectivamente. Partiendo del reposo, ¿qué par debe ejercer el motor del tractor sobre las ruedas traseras para mover la caja? (Las ruedas delanteras pueden girar libremente).

9.150 En el problema 9.149, ¿cuál es la caja de mayor masa que el tractor puede mover partiendo del reposo si su motor puede ejercer un par de torsión suficientemente grande? ¿Qué par de torsión es necesario?

9.152 Cada una de las barras de 1 m mostradas tiene una masa de 4 kg. El coeficiente de fricción estática entre la barra y la superficie en B es 0.2. Si el sistema está en equilibrio, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre la barra en B?

9.153 Cada una de las barras de 1 m mostradas tiene una masa de 4 kg. ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo, entre la barra y la superficie en B, necesario para que el sistema esté en equilibrio?

A

0.8 m O

45

B

0.4 m

Problemas 9.152/9.153 1.4 m

Problemas 9.149/9.150

0.8 m

30

482

Capítulo 9 Fricción

9.154 Los collarines A y B mostrados tienen una masa de 2 kg cada uno. Si la fricción entre el collarín B y la barra se puede ignorar, ¿cuál es el coeficiente mínimo de fricción estática entre el collarín A y la barra, necesario para que los collarines permanezcan en equilibrio en la posición mostrada?

9.155 Si el coeficiente de fricción estática tiene el mismo valor ms entre los collarines de 2 kg A y B y las barras, ¿qué valor mínimo de ms es necesario para que los collarines permanezcan en equilibrio en la posición mostrada? (Suponga que el deslizamiento es inminente en A y B).

9.158 Los ejes del remolque de la figura están soportados por chumaceras. El radio de las ruedas es de 75 mm, el radio de los ejes es de 15 mm y el coeficiente de fricción cinética entre los ejes y las chumaceras es mk  0.14. La masa del remolque y su carga es de 160 kg. Si el peso del remolque y su carga está igualmente repartido entre los ejes, ¿qué fuerza P se necesita para empujar el remolque a velocidad constante?

P

Problema 9.158

9.159 Las dos poleas mostradas tienen radios de 6 pulg y están montadas sobre ejes de 1 pulg de radio soportados por chumaceras. Ignore los pesos de las poleas y de los ejes. El coeficiente de fricción cinética entre los ejes y las chumaceras es mk  0.2. Si se requiere una fuerza T  200 lb para elevar al hombre a velocidad constante, ¿cuál es su peso?

B

45 20 A

9.160 Si el hombre del problema 9.159 pesa 160 lb, ¿qué fuerza T se necesita para bajarlo a velocidad constante? Problemas 9.154/9.155 9.156 La abrazadera mostrada comprime entres sí dos piezas de madera. El paso de las roscas es p  2 mm, el radio medio de la rosca es r  8 mm y el coeficiente de fricción cinética entre la rosca y la ranura correspondiente es 0.24. ¿Qué par debe aplicarse al eje roscado para que comprima las piezas de madera con una fuerza de 200 N?

9.157 En el problema 9.156, el coeficiente de fricción estática entre la rosca y la ranura correspondiente es 0.28. Después de girar el eje roscado lo suficiente para comprimir las piezas de madera con una fuerza de 200 N, ¿qué par debe aplicarse sobre el eje para que la abrazadera empiece a aflojarse? 125 mm

125 mm

125 mm

B 50 mm

T

E

A

50 mm

C

50 mm

Problemas 9.159/9.160

D

Problemas 9.156/9.157

Problemas de repaso 9.161 Si los dos cilindros de la figura se mantienen fijos, ¿en qué intervalo de valores de W los dos pesos permanecerán en reposo?

9.162 Si el sistema mostrado está inicialmente en reposo y el cilindro izquierdo se hace girar con lentitud, determine el máximo peso que puede a) subirse; b) bajarse. ms  0.30 mk  0.28

ms  0.34 mk  0.32

100 lb

W

483

Proyecto de diseño 1 La cuña mostrada se usa para partir madera al introducirla en un tronco como muestra la figura (vea el ejemplo activo 9.4). Suponga que se desea diseñar una cuña de este tipo para su uso comercial. Los experimentos indican que el coeficiente de fricción estática entre la cuña de acero y diferentes tipos de madera varía de 0.2 a 0.4. a) Con base en el intervalo dado para los coeficientes de fricción estática, determine el ángulo a máximo para el cual la cuña permanecerá en su sitio en un tronco sobre el cual no se ejerce ninguna fuerza externa. b) Usando el ángulo de la cuña determinado en el inciso (a), y suponiendo que el coeficiente de fricción cinética es 0.9 veces el coeficiente de fricción estática, determine el intervalo de fuerzas verticales necesarias para introducir la cuña dentro de un tronco a velocidad constante. c) Escriba un breve reporte donde describa su análisis y recomiende un ángulo de cuña para el producto terminado. Considere si sería apropiado tener un margen de seguridad para el ángulo de cuña elegido.

Problemas 9.161/9.162 a

Proyecto de diseño 2 Diseñe y construya un dispositivo para medir el coeficiente de fricción estática ms entre dos materiales. Utilícelo para medir ms para varios de los materiales listados en la tabla 9.1 y compare sus resultados con los valores de la tabla. Analice las posibles fuentes de error en su dispositivo y determine cuán cercanos son sus valores al realizar experimentos repetidos con los mismos dos materiales.

CAPÍTULO

10 Fuerzas y momentos internos El estudio del equilibrio se inició dibujando diagramas de cuerpo libre de objetos individuales para determinar las fuerzas y los momentos desconocidos que actúan sobre ellos. En este capítulo se lleva a cabo este proceso un paso adelante y se dibujan diagramas de cuerpo libre de partes de objetos para determinar las fuerzas y los momentos internos. Al hacerlo se llega al punto de interés principal para el ingeniero de diseño: las fuerzas dentro de un objeto que determinan si éste soportará las cargas externas a las que se encuentra sometido.

 La fuerza ejercida por el agua sobre la ventana de vidrio se distribuye sobre toda el área de la ventana. En este capítulo se analizan las cargas distribuidas en vigas, en cables suspendidos y en líquidos en reposo.

p

486

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

VIGAS 10.1 Fuerza axial, fuerza cortante y momento flector ANTECEDENTES Para asegurar que un elemento estructural no falle (se rompa o colapse) debido a las fuerzas y los momentos que actúan sobre él, el ingeniero de diseño debe conocer no sólo las cargas y reacciones externas, sino también las fuerzas y los momentos que actúan dentro del elemento. Considere una viga sometida a una carga y reacciones externas (figura 10.1a). ¿Cómo se pueden determinar las fuerzas y los momentos dentro de la viga? En la figura 10.1b se “corta” la viga con un plano en una sección transversal arbitraria y se aísla la parte de la viga que se encuentra a la izquierda del plano. Resulta claro que la parte aislada no puede estar en equilibrio a menos que esté sometida a cierto sistema de fuerzas y momentos en el plano en que se une a la otra parte de la viga. Éstas son las fuerzas y momentos internos que se buscan. En el capítulo 4 se demostró que cualquier sistema de fuerzas y momentos puede representarse mediante un sistema equivalente que consiste en una fuerza y un par. Como el sistema de cargas externas y reacciones sobre la viga es bidimensional, se pueden representar las fuerzas y los momentos internos por medio de un sistema equivalente que consiste en dos componentes de fuerza y un par (figura 10.1c). La componente P paralela al eje de la viga se llama fuerza axial. La componente V normal al eje de la viga se llama fuerza cortante, y el par M se llama momento flector. En la figura 10.1d se muestran la fuerza axial, la fuerza cortante

y

F

y B

A

F

x B Ay

y

F

y B

A

x

B Ay

Ay

(a)

(b)

y M x

P V

Ay

(c)

y M

F

V

x

P B (d)

Figura 10.1 (a) Viga sometida a una carga y reacciones. (b) Aislamiento de una parte de la viga. (c), (d) Fuerza axial, fuerza cortante y momento flector.

10.1 Fuerza axial, fuerza cortante y momento flector y

y M

V

V M x

x

(a)

(b)

Figura 10.2 (a) Las fuerzas cortantes positivas tienden a hacer girar el eje de la viga en el sentido de las manecillas del reloj. (b) Los momentos flectores positivos tienden a flexionar el eje de la viga hacia arriba.

y el momento flector en el diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga que se encuentra a la derecha del plano. Observe que son iguales en magnitud pero opuestas en dirección a las fuerzas y el momento internos del diagrama de cuerpo libre de la figura 10.1c. En las figuras 10.1c y 10.1d las direcciones de la fuerza axial, de la fuerza cortante y del momento flector son las definiciones establecidas de las direcciones positivas de esas cantidades. Una fuerza axial positiva P somete la viga a tensión. Una fuerza cortante positiva V tiende a hacer girar el eje de la viga en el sentido de las manecillas del reloj (figura 10.2a). Un momento flector positivo M tiende a ocasionar una curvatura del eje de la viga hacia arriba (figura 10.2b). Observe que un momento flector positivo somete a la parte superior de la viga a compresión, acortando la viga en la dirección paralela a su eje, y somete a la parte inferior de la viga a tensión, alargando la viga en la dirección paralela a su eje.

RESULTADOS y

La fuerza axial P, la fuerza cortante V y el momento flector M constituyen un sistema equivalente que representa las fuerzas y el momento internos en una sección transversal de una viga. Éstas son sus direcciones positivas definidas.

M P

x

V

y V P

x M

Por lo general, la determinación de los valores de P, V y M en una sección transversal particular de una viga implica llevar a cabo tres pasos: 1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la viga y determinar las reacciones en sus soportes. 2. Pasar un plano a través de la viga en la sección transversal donde se desee determinar las fuerzas internas y el momento. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de una de las partes resultantes, mostrando P, V y M en sus direcciones positivas definidas. 3. Aplicar las ecuaciones de equilibrio para determinar P, V y M.

487

488

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Determinación de las fuerzas y el momento internos

Ejemplo activo 10.1

( Relacionado con el problema 10.1) Determine las fuerzas y el momento internos en el punto C de la viga mostrada.

y

A

1 L 4

F B

C 3 L 4

1 L 4

Estrategia Primero se debe dibujar el diagrama de cuerpo libre de toda la viga y determinar las reacciones en A y B. Después se cortará la viga mediante un plano en C y se dibujará el diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga a la izquierda del plano. Mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio, se obtendrán los valores de las fuerzas internas y el momento en C. Solución y

F

A Ax

B Ay

x B

3 L 4

1 L 4

Fx  Ax  0, Fy  Ay  B  F  0, MpuntoA  LB 

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la viga y aplique el equilibrio para determinar las reacciones en sus soportes.

 4 L F  0. 3

Resolviendo se obtiene Ax  0, Ay 

3 1 F, y B  F. 4 4 y

F x 3 F 4

C

1 F 4

y MC PC 1 F 4

Fx  PC  0, 1 Fy  F VC  0, 4 1 1 F  0. MpuntoC  MC  L 4 4 1 1 Resolviendo se obtienePC  0, VC  F, y MC  LF. 4 16

  

1 L 4

x

VC

Pase un plano por la viga en el punto C. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga a la izquierda de C. Aplique el equilibrio para determinar las fuerzas y el momento internos.

Problema de práctica Determine las fuerzas y el momento internos en C pasando un plano a través de la viga en C y dibujando el diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga a la derecha de C. Respuesta: PC = 0, VC = 41 F, MC =

1 16 LF.

10.1 Fuerza axial, fuerza cortante y momento flector

489

Determinación de las fuerzas y el momento interno ( Relacionado con el problema 10.8)

Ejemplo 10.2

En la viga mostrada, determine las fuerzas y el momento interno en B. Estrategia Para determinar las reacciones en los soportes, se representará la carga distribuida triangular mediante una fuerza equivalente. Después se determinarán las fuerzas y el momento interno en B cortando la viga con un plano en ese punto y dibujando el diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga que se encuentra a la izquierda del plano, incluyendo la parte de la carga distribuida a la izquierda del plano. y 60 N/m A

C

B 3m

x 3m

6m

Solución Determinación de las fuerzas y los momentos externos Se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga y se representa la carga distribuida con una fuerza equivalente en la figura a. Las ecuaciones de equilibrio son

y 2 (6 m) 3

©Fx = Ax = 0, ©Fy = Ay + C - 180 N = 0

A

Ax

B

Ay

Mpunto A  (12 m)C  (4 m)(180 N)  0 Resolviéndolas, se obtiene Ax = 0, Ay = 120 N, y C = 60 N. Dibujo del diagrama de cuerpo libre de una parte de la viga Se corta la viga en B y se obtiene el diagrama de cuerpo libre de la figura b. Como B se encuentra en el punto medio de la carga triangular distribuida, el valor de la carga distribuida en B es de 30 N/m. Representando la carga distribuida de la figura b mediante una fuerza equivalente, se obtiene el diagrama de cuerpo libre de la figura c. De las ecuaciones de equilibrio

(a) Diagrama de cuerpo libre de toda la viga con la carga distribuida representada por una fuerza equivalente.

60 N/m

y B

120 N

120 N

C 60 N

30 N/m

y

Mpunto B  MB  (1 m)(45 N)  (3 m)(120 N)  0, se obtiene PB  0, VB  75 N y MB  315 N-m.

C

12 m

©Fx = PB = 0, ©Fy = 120 N - 45 N - VB = 0,

1 (6 m)(60 N/m)  180 N 2 C x

3m

B

MB PB

x

VB

(b)

Razonamiento crítico y Si se intenta determinar las fuerzas y el momento internos en B cortando el dia1 2 (3 m)(30 N/m)  45 N grama de cuerpo libre de la figura a en B, no se obtendrán resultados correctos  3 m 2 M 3 B (puede confirmarse que el diagrama de cuerpo libre resultante de la parte de la x PB B viga a la izquierda de B da PB  0, VB  120 N y MB  360 N-m). La razón es 3m VB 120 N que no se está considerando en forma correcta el efecto de la carga distribuida en (c) el diagrama de cuerpo libre. Se debe esperar hasta después de haber obtenido el diagrama de cuerpo libre de una parte de la viga para representar las cargas dis- (b), (c) Diagrama de cuerpo libre de la parte tribuidas con fuerzas equivalentes. de la viga a la izquierda de B.

x

490

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Problemas  10.1 En el ejemplo activo 10.1, suponga que la distancia a 1 L. desde el punto A hasta el punto C se incrementa de 41 L to 2 Trace un bosquejo de la viga con C en su nueva posición. Determine las fuerzas internas y el momento interno en C.

10.4 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto A de la figura. y

400 lb

100 lb

10.2 La magnitud de la carga distribuida triangular mostrada es w0 = 2 kN/m. Determine las fuerzas y el momento interno en A.

x 3 pies

y

900 pies-lb

A

4 pies

w0

3 pies

4 pies

Problema 10.4

A x

10.5 El tubo mostrado tiene un soporte fijo en el extremo izquierdo. Determine las fuerzas y el momento interno en el punto A.

0.4 m 0.6 m

0.6 m

Problema 10.2

2 kN

20

y

10.3 La abrazadera C mostrada ejerce fuerzas de 30 lb sobre el objeto que sostiene. Determine las fuerzas y el momento interno en el punto A de la abrazadera.

2 kN

x

A 0.2 m

0.2 m

0.2 m

0.2 m

Problema 10.5 10.6 Determine las fuerzas y el momento interno del punto A mostrado para cada carga. y 2m

8 kN x

A

2 pulg

1m

y

4m

A

x

(a) y

Problema 10.3

2 kN/m x A 1m 4m (b)

Problema 10.6

Problemas 10.7 Modele el peldaño de escalera mostrado como una viga apoyada simplemente (soporte de pasador), y suponga que la carga de 750 N ejercida por el pie de la persona está uniformemente distribuida. Determine las fuerzas y el momento interno en A. y

491

10.11 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto A mostrado para las cargas de a) y de b). 10.12 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto B mostrado para las cargas de a) y de b). 60 lb/pie (a)

250 mm 200 mm

A

A

B

3 pies 4 pies

x

100 mm 375 mm

5 pies 6 pies

240 lb A

(b)

Problema 10.7

3 pies 2 pies

 10.8 En el ejemplo 10.2 suponga que la distancia desde el punto A hasta el punto B aumenta de 3 m a 4 m. Trace un bosquejo de la viga con B en su nueva posición. Determine las fuerzas y el momento interno en B.

180 lb B 5 pies 4 pies

4 pies

Problemas 10.11/10.12 10.13 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto A mostrado.

10.9 Si x  3 pies en la figura, ¿qué valor tienen las fuerzas y el momento interno en A?

300 lb/pie

200 lb/pie

10.10 Si x  4 pies en la figura, ¿qué valor tienen las fuerzas y el momento interno en A?

A 6 pies

4 pies

8 pies

y

Problema 10.13

600 lb/pie x x

A 600 lb/pie

3 pies

10.14 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto A mostrado. 3 pies

Problemas 10.9/10.10

10.15 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto B mostrado. y 10 kN

A

x

B 1m

1m

1m

1m

1m

Problemas 10.14/10.15

492

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

10.16 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto A mostrado. 10.17 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto B mostrado.

10.19 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto A del bastidor mostrado. y 0.2 m 3 kN A 0.2 m

x

0.4 m 0.2 m

y

600 N 0.4 m A

B x

0.2 m

0.2 m

0.8 m

Problema 10.19

0.6 m

10.20 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto A mostrado. 0.4 m

0.4 m

10.21 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto B mostrado.

Problemas 10.16/10.17 10.18 La tensión en la cuerda mostrada es de 10 kN. Determine las fuerzas y el momento interno en el punto A.

y

4 kN/m

y B A x 0.8 m

0.6 m

2m

0.6 m x

A 3 kN 0.8 m

1m

1m

1m

0.8 m

Problemas 10.20/10.21 Problema 10.18

10.2 Diagramas de fuerza cortante y de momento flector y

F

y

2 L 3

1 F 3

1 L 3 F

1 F 3

y

F 2 F 3

x y

x

1 F 3

M 2 F 3

x

1 F 3

P x

V

x

F

2 L 3

F

x

M P

1 F 3

x

V

x

(b)

(a)

2 F 3

x y

493

(c)

Figura 10.3 (a) Viga cargada con una fuerza F y su diagrama de cuerpo libre. (b) Corte de la viga en una posición x arbitraria a la izquierda de F. (c) Corte de la viga en una posición x arbitraria a la derecha de F.

10.2 Diagramas de fuerza cortante y de momento flector ANTECEDENTES Para diseñar una viga, un ingeniero debe conocer las fuerzas y los momentos a través de toda su longitud. Son muy importantes los valores máximo y mínimo de la fuerza cortante y del momento flector, y los puntos en que ocurren. En esta sección se muestra cómo determinar los valores de P, V y M como funciones de x y se presentan los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. Considere una viga simplemente apoyada y cargada con una fuerza (figura 10.3a). En vez de cortar la viga en una sección específica para determinar las fuerzas y el momento interno, se corta en una posición arbitraria x entre el extremo izquierdo y la carga F (figura 10.3b). Aplicando las ecuaciones de equilibrio a este diagrama de cuerpo libre, se obtiene

P = 0 1 V = F u 3 1 M = Fx 3

y

2 0 6 x 6 L. 3

F x 1 F 3

Para determinar las fuerzas y el momento interno para valores de x mayores que se obtiene un diagrama de cuerpo libre cortando la viga en una posición arbitraria x entre la carga F y el extremo derecho de la viga (figura 10.3c). Los resultados son 2 3 L,

P = 0 2 V = - F u 3 2 M = F1L - x2 3

2 L 6 x 6 L. 3

Los diagramas de fuerza cortante y de momento flector son simplemente las gráficas de V y M, respectivamente, como funciones de x (figura 10.4). Estos diagramas permiten ver los cambios en la fuerza cortante y en el momento flector a lo largo de la viga, así como sus valores máximo y mínimo (máximo significa la menor cota superior de la fuerza cortante o el momento flector y mínimo significa la mayor cota inferior).

2 L 3

1 L 3

2 F 3

V 1 F 3

x

2  F 3 M 2 FL 9 x

Figura 10.4 Los diagramas de fuerza cortante y de momento flector indican los valores máximo y mínimo de V y M.

494

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Así, se pueden determinar las distribuciones de las fuerzas y del momento interno en una viga considerando un plano a una distancia arbitraria x del extremo y estableciendo P, V y M como funciones de x. Según la complejidad de la carga, deberán dibujarse varios diagramas de cuerpo libre para determinar las distribuciones sobre la longitud total de la viga. Las ecuaciones resultantes para V y M permiten dibujar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.

RESULTADOS Los valores de P, V y M pueden determinarse como funciones de x al pasar un plano a través de una viga en una posición arbitraria x. Según las cargas y los soportes, puede ser necesario dibujar varios diagramas de cuerpo libre para determinar las distribuciones en toda la viga.

y M

V

x

Los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para una viga son simplemente las gráficas de V y M en función de x.

Ejemplo activo 10.3

x

P

Diagramas de fuerza cortante y de momento flector ( Relacionado con el problema 10.27) Determine la fuerza cortante V y el momento flector M para la viga mostrada como funciones de x en 0  x  2 m. y

A

40 kN/m

60 kN

B

C

x

2m

2m

Estrategia Primero se debe dibujar el diagrama de cuerpo libre de toda la viga y determinar las reacciones en A y B. Después se cortará la viga mediante un plano en una posición arbitraria x entre A y B para obtener funciones para V y M que sean válidas en el intervalo 0  x  2 m. Solución y

(2 m)(40 kN/m)  80 kN

60 kN

A

x B

A

C

Bx By

1m 2m

2m

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la viga. La carga distribuida se representa mediante una fuerza equivalente.

10.2 Diagramas de fuerza cortante y de momento flector

Fx  Bx  0, Fy  A  By  80 kN  60 kN  0,

Aplique el equilibrio para determinar las reacciones en A y B.

Mpunto A  (2 m)By  (1 m)(80 kN)  (4 m)(60 kN)  0. Resolviendo se obtiene A  100 kN, Bx  0, y By  80 kN.

Pase un plano a través de la viga en una posición arbitraria x entre A y B. La carga distribuida no debe representarse mediante una fuerza equivalente antes de aislar una parte de la viga.

y 60 kN

40 kN/m

x

A

B

100 kN

C 80 kN

x y

40 kN/m

M P

A 100 kN

V y 1 x 2

40x

M P

A 100 kN

V

Fx  P  0, Fy  100  40x  V  0, Mextremo derecho M  100x 

 2 x  (40x)  0. 1

Resolviendo se obtiene V  100  40x kN M  100x  20x2 kN-m

Aplique el equilibrio para determinar V y M.

0  x  2 m.

Problema de práctica a) Determine la fuerza cortante V y el momento flector M para la viga mostrada como funciones de x en 2  x  4 m. b) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para toda la viga. Respuesta: V  60 kN, M  60(4  x) kN-m.

495

496

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Problemas 10.22 En la figura, a) determine la fuerza cortante y el momento flector como funciones de x. Estrategia: Corte la viga en una posición x arbitraria y dibuje el diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga que se encuentra a la izquierda del plano.

10.26 Determine la fuerza cortante y el momento flector como funciones de x para 0  x  2 m. y

3600 N-m y

x 400 lb 2m

4m

x

Problema 10.26 3 pies

Problema 10.22 10.23 En la figura, a) determine la fuerza cortante y el momento flector como funciones de x. b) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. y

48 kN/ m x

 10.27 En el ejemplo activo 10.3, suponga que la carga distribuida de 40 kN/m se extiende a través de la viga desde A hasta C. Trace un bosquejo de la viga con su carga nueva. Determine la fuerza cortante V y el momento flector M en la viga como funciones de x para 2  x  4 m. 10.28 En la figura, a) determine las fuerzas y el momento interno como funciones de x. b) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. y 100 lb/pies

6m

Problema 10.23

x

10.24 En la figura, a) determine la fuerza cortante y el momento flector como funciones de x. b) Demuestre que las ecuaciones para V y M en función de x satisfacen la ecuación V  dM/dx. Estrategia: Para el inciso a), corte la viga en una posición x arbitraria y dibuje el diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga que se encuentra a la derecha del plano. 10.25 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.

6 pies

6 pies

Problema 10.28 10.29 En la figura, se tienen las cargas F  200 N y C  800 N-m. a) Determine las fuerzas y el momento interno como funciones de x. b) Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. 10.30 La viga que se muestra en la figura soportará de manera segura fuerza cortante y momentos flectores de 2 kN y de 6.5 kN-m, respectivamente. Con base en este criterio, ¿es seguro que quede sometida a las cargas F  1 kN y C  1.6 kN-m?

y 60 lb/pie x

F

y 12 pies C

x

Problemas 10.24/10.25 4m

4m

8m

Problemas 10.29/10.30

497

Problemas

10.31 Modele el peldaño de la escalera mostrada como una viga simplemente apoyada (soporte de pasador), y suponga que la carga de 750 N ejercida por el pie de la persona está uniformemente distribuida. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. 10.32 ¿Qué valor tiene el máximo momento flector en el travesaño de la escalera del problema 10.31 y dónde ocurre?

10.34 Las vigas homogéneas AB y CD mostradas pesan 600 lb y 500 lb respectivamente. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga AB. 10.35 Las vigas homogéneas AB y CD mostradas pesan 600 lb y 500 lb respectivamente. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga CD.

6 pies

y

B

A C 200 lb

D

2 pies 5 pies

Problemas 10.34/10.35

x 200 mm

100 mm 375 mm

10.36 Para la viga mostrada, determine la fuerza cortante V y el momento flector M como funciones de x para 0  x  3 pies.

Problemas 10.31/10.32

10.37 Para la viga mostrada, dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.

10.33 Suponga que la superficie sobre la que descansa la viga mostrada ejerce una carga uniformemente distribuida. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.

y 600 lb/pie x

y 4 kN

2 kN

600 lb/pie

x 2m

1m 6m

Problema 10.33

3 pies

3 pies

Problemas 10.36/10.37

498

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

10.38 En estudios preliminares de diseño, las fuerzas verticales sobre el ala de un avión se modelan como se muestra en la figura. La carga distribuida representa las fuerzas aerodinámicas y la fuerza ejercida por el peso del ala. La fuerza de 80 kN en x  4.4 m representa la fuerza ejercida por el peso del motor. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento cortante para el ala en el intervalo 0  x  4.4 m. 10.39 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para toda el ala del problema 10.38.

y

50 kN/m x 80 kN 4.4 m

13.0 m

Problemas 10.38/10.39 10.40* Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga mostrada. y 20 kN-m

4 kN/m

x

6 kN

6m

6m

6m

Problema 10.40

10.3 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector ANTECEDENTES La fuerza cortante y el momento flector en una viga sometida a una carga distribuida se rigen por ecuaciones diferenciales simples. En esta ecuación se deducirán esas ecuaciones y se mostrará que son una manera interesante e instructiva de obtener los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. Estas ecuaciones también son útiles para determinar deformaciones de las vigas. Suponga que una parte de una viga está sometida a una carga distribuida w (figura 10.5a). En la figura 10.5b se obtiene un diagrama de cuerpo libre cortando la viga en x y en x  x. Los términos P, V y M son los cambios en la fuerza

10.3 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector

axial, en la fuerza cortante y en el momento flector, respectivamente, de x a x  x. La suma de las fuerzas en la dirección x es

499

w

y

Fx  P  P  P  0. x

Al dividir esta ecuación entre x y al tomar el límite cuando x → 0, se obtiene

dP = 0, dx

(a) w

y

que simplemente establece que la fuerza axial no depende de x en una parte de la viga sujeta sólo a una carga distribuida lateral. Para sumar las fuerzas del diagrama de cuerpo libre en la dirección y, es necesario determinar la fuerza ejercida por la carga distribuida. En la figura 10.5b se presenta una coordenada xN que mide la distancia desde el borde izquierdo del diagrama de cuerpo libre. En términos de esta coordenada, la fuerza hacia abajo ejercida sobre el diagrama de cuerpo libre por la carga distribuida es

x x

x

¢x

w1x + xN 2 dxN , L0 donde w1x + xN 2 denota el valor de w en x + xN . Para evaluar esta integral, se expresa w1x + xN 2 como una serie de Taylor en términos de xN : w1x + xN 2 = w1x2 +

d w1x2 dx

xN +

2 1 d w1x2 2 xN + Á . 2 dx2

(10.1)

Sustituyendo esta ecuación en la expresión integral para la fuerza hacia abajo e integrando término por término, se obtiene ¢x

L0

w1x + xN 2 d xN = w1x2¢x +

1 d w1x2 1¢x22 + Á = 0. 2 dx

Al dividir entre x y tomar el límite cuando x → 0, se obtiene

dV = - w, dx

(10.2)

donde w = w1x2. Ahora se quiere sumar los momentos respecto al punto Q en el diagrama de cuerpo libre de la figura 10.5b. El momento contrario al sentido de las manecillas del reloj respecto a Q debido a la carga distribuida es ¢x

L0

xN w1x + xN 2 d xN .

Sustituyendo la ecuación (10.1) e integrando término por término, el momento en el sentido de las manecillas del reloj respecto a Q es ¢x

L0

xN w1x + xN 2 d xN =

1 1 d w1x2 w1x21¢x22 + 1¢x23 + Á . 2 3 dx

Por lo tanto, la suma de los momentos respecto a Q es Mpunto Q  M  M  M  (V  V) x

-

1 1 d w1x2 w1x21¢x22 1¢x23 + Á = 0. 2 3 dx

M P

M  M

V

P P

Q x x^

V  V

(b)

1 d w1x2 1¢x22 + Á . 2 dx

Por lo tanto, la suma de las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre en la dirección y es

©Fy = V - V - ¢V - w1x2¢x -

w

y

Figura 10.5 (a) Porción de una viga sometida a una fuerza distribuida w. (b) Obtención del diagrama de cuerpo libre de un elemento de la viga.

x

500

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Dividiendo entre x y tomando el límite cuando x → 0 se obtiene

y F

x (a)

y F

x

y

(10.3)

En principio, se pueden usar las ecuaciones (10.2) y (10.3) para determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flector de una viga. La ecuación (10.2) se puede integrar para determinar V en función de x, luego puede integrarse la ecuación (10.3) para determinar M en función de x. Sin embargo, estas ecuaciones se dedujeron para un segmento de viga sometido sólo a una carga distribuida. Para aplicarlas a cargas más generales, deben tomarse en cuenta los efectos de cualesquiera fuerzas puntuales y pares que actúen sobre la viga. Ahora se verá qué le sucede a dichos diagramas cuando una viga se somete a una fuerza F que actúa en la dirección y positiva (figura 10.6a). Cortando la viga justo a la izquierda y a la derecha de la fuerza, se obtiene el diagrama de cuerpo libre de la figura 10.6b, donde los subíndices  y  denotan valores a la izquierda y a la derecha de la fuerza, respectivamente. Para el equilibrio se requiere que V  V  F,

F M

dM = V. dx

M  M  0. M

P

P

x

V V (b) V

El diagrama de fuerza cortante presenta una discontinuidad de magnitud F (figura 10.6c), pero el diagrama de momento flector es continuo (figura 10.6d). El salto en la fuerza cortante es positivo si la fuerza actúa en la dirección y positiva. Ahora se verá qué sucede en los diagramas de fuerza cortante y de momento flector cuando una viga está sometida a un par con sentido contrario al de las manecillas del reloj C (figura 10.7a). Cortando la viga justo a la izquierda y a la derecha del par (figura 10.7b), se determina que V  V  0,

F

M  M  C. x

(c)

M

El diagrama de fuerza cortante es continuo (figura 10.7c), pero el diagrama de momento flector presenta una discontinuidad de magnitud C (figura 10.7d) en el punto donde la viga está sometida al par. El salto en el momento flector es negativo si el par actúa en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Ahora se tienen los resultados necesarios para construir los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.

Construcción del diagrama de fuerza cortante x (d)

Figura 10.6 (a) Porción de una viga sometida a una fuerza F en la dirección y positiva. (b) Obtención de un diagrama de cuerpo libre cortando la viga a la izquierda y a la derecha de F. (c) El diagrama de fuerza cortante sufre un salto positivo de magnitud F. (d) El diagrama de momento flector es continuo.

En un segmento de una viga que está sometido sólo a una carga distribuida, se ha mostrado que la fuerza cortante se relaciona con la carga distribuida por

dV = - w. dx

(10.4)

Esta ecuación establece que la derivada, o pendiente, de la fuerza cortante con respecto a x es igual al negativo de la carga distribuida. Observe que si no hay carga distribuida (w  0) a lo largo del segmento, la pendiente es cero y la fuerza cortante es constante. Si w es una constante a lo largo del segmento, la pendiente de la fuerza cortante es constante, lo que significa que el diagrama de fuerza cortante para el segmento es una línea recta. Al integrar la ecuación (10.4) con respecto a x desde una posición xA hasta una posición xB, xB

x

B dV dx = w dx, LxA dx LxA

10.3 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector

501

y

se obtiene xB

VB - VA = -

LxA

w dx.

C x

El cambio en la fuerza cortante entre las dos posiciones es igual al negativo del área definida por la curva de carga entre esas posiciones (figura 10.8): VB  VA  (área definida por la carga distribuida desde xA hasta xB). (10.5) Donde una viga está sometida a una fuerza puntual de magnitud F en la dirección positiva de y, se ha demostrado que el diagrama de fuerza cortante experimenta un aumento de magnitud F. Donde una viga está sujeta a un par, el diagrama de fuerza cortante no sufre ningún cambio (es continuo). Ahora se demostrarán estos resultados determinando el diagrama de fuerza cortante para la viga de la figura 10.9. La viga está sometida a una fuerza F hacia abajo que resulta en reacciones hacia arriba en A y C. Observe que no existe carga distribuida. El procedimiento aquí consiste en comenzar a la izquierda de la viga y construir el diagrama de izquierda a derecha. En la figura 10.10a se muestra el incremento en el valor de V debido a la reacción hacia arriba en A. Como no hay carga distribuida, el valor de V permanece constante entre A y B (figura 10.10b). En B, el valor de V disminuye debido a la fuerza hacia abajo (figura 10.10c). El valor de V permanece constante entre B y C, con lo que se completa el diagrama de fuerza cortante (figura 10.10d). Compare la figura 10.10d con el diagrama de fuerza cortante obtenido en la figura 10.4 donde se dibujaron diagramas de cuerpo libre y se aplicaron las ecuaciones de equilibrio.

(a) y C x

y M

C

P 

M P

x

V V (b) V

Construcción del diagrama de momento flector En un segmento de una viga sometida sólo a una carga distribuida, el momento flector se relaciona con la fuerza cortante por x

dM = V, dx

(10.6)

w

(c) M

C

x (d)

xA V

xB El negativo de esta área es  VB  VA

x

VA VB xA

xB

x

Figura 10.8 El cambio en la fuerza cortante es igual al negativo del área definida por la curva de carga.

Figura 10.7 (a) Porción de una viga sometida a un par C con sentido inverso al de las manecillas del reloj. (b) Obtención de un diagrama de cuerpo libre cortando la viga a la izquierda y a la derecha de C. (c) El diagrama de fuerza cortante es continuo. (d) El diagrama de momento flector experimenta un salto negativo de magnitud C.

502

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

la cual establece que la pendiente del momento flector con respecto a x es igual a la fuerza cortante. Si V es constante a lo largo del segmento, el diagrama de momento flector para el segmento es una línea recta. Integrando la ecuación (10.6) con respecto a x desde una posición xA hasta una posición xB se obtiene

F B

A

C 1 L 3

2 L 3

y

F B

A 1 F 3

xB

C

x

2 F 3

Figura 10.9 Viga cargada con una fuerza F y su diagrama de cuerpo libre.

MB - MA =

LxA

V dx.

El cambio en el momento flector entre dos posiciones es igual al área definida por el diagrama de fuerza cortante entre esas posiciones (figura 10.11): MB  MA  área definida por la fuerza cortante desde xA hasta xB.

(10.7)

Donde una viga está sometida a un par con sentido contrario al de las manecillas del reloj de magnitud C, el diagrama de momento flector experimenta una disminución de magnitud C. Donde una viga está sujeta a una fuerza puntual, el diagrama de momento flector no sufre ningún cambio. Como un ejemplo, se determinará el diagrama de momento flector para la viga de la figura 10.9. Se comienza con el diagrama de fuerza cortante que ya se determinó (figura 10.12a) y se procede a construir el diagrama de momento flector de izquierda a derecha. La viga no está sometida a un par en A, por lo que MA  0. Entre A y B, la pendiente del momento flector es constante (dMdx  V  F3), lo y F B

A

x

1 F 3 V

(a) 1 F 3

(b)

V 1 F 3

2 L 3 Aumento en V debido a la reacción en A

1 L 3

2 F 3

x

Entre A y B, dV 0 dx x

Disminución en V debido a la fuerza en B x

V (c)

C

1 F 3 F

V

(d)

Figura 10.10 Construcción del diagrama de fuerza cortante para la viga de la figura 10.9.

1 F 3 2  F 3

x

Entre B y C, dV 0 dx

10.3 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector

503

V

xA

x

xB

Esta área es  MB  MA

M

MB MA xA

x

xB

Figura 10.11 El cambio en el momento flector es igual al área definida por el diagrama de fuerza cortante.

V

(a)

1 F 3 A 2  F 3

M (b)

2 LF 9 0

C

B

2 L 3

Entre A y B, dM  const. dx

1 L 3

área definida por el diagraMB  ma de fuerza cortante entre A y B. x

M (c)

x

2 LF 9 0

Entre B y C, dM  const. dx x

que indica que el diagrama de momento flector entre A y B es una línea recta (10.12b). El cambio en el momento flector desde A hasta B es igual al área definida por la fuerza cortante desde A hasta B.

MB - MA = 123 L2113 F2 = 29 LF.

Por lo tanto, MB  2LF9. La pendiente del momento flector también es constante entre B y C (dMdx  V  2F3), por lo que el diagrama de momento flector entre B y C es una línea recta. El cambio en el momento flector de B a C es igual al área definida por la fuerza cortante entre B y C, o

MC - MB = 113 L21 - 23 F2 = - 29 LF,

Figura 10.12 Construcción del diagrama de momento flector para la viga de la figura 10.9.

504

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

de donde se obtiene MC  MB  2LF9  0 (observe que en realidad no se necesitaba este cálculo para concluir que MC  0, porque la viga no está sometida a un par en C). El diagrama de momento flector completo se presenta en la figura 10.12c; compárelo con el diagrama de momento flector obtenido en la figura 10.4 donde se dibujaron diagramas de cuerpo libre y se aplicaron las ecuaciones de equilibrio.

RESULTADOS w

En un segmento de una viga que está sometida sólo a una carga distribuida, la fuerza cortante se relaciona con la carga distribuida por dV (10.4)  w. dx El cambio en la fuerza cortante entre dos posiciones es igual al negativo del área definida por la curva de carga entre esas posiciones. área definida por w VB  VA   desde xA hasta xB





xA V

xB El negativo de esta área es  VB  VA

x

(10.5) VA VB xA

xB

xA

xB

x

V

En un segmento de una viga que está sometido sólo a una carga distribuida, el momento flector se relaciona con la fuerza cortante por dM  V. (10.6) dx El cambio en el momento flector entre dos posiciones es igual al área definida por la fuerza cortante entre esas posiciones.



área definida por V MB  MA  desde xA hasta xB



x

Esta área es  MB  MA

M

(10.7) MB MA xA

xB

x

10.3 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector y F

x

Donde una viga está sometida a una fuerza F en la dirección positiva de y, el diagrama de fuerza cortante experimenta un aumento de magnitud F . El diagrama de momento flector es continuo.

V F

x

M

x

y C x

V

Donde una viga está sometida a un par en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el diagrama de momento flector experimenta una disminución de magnitud C. El diagrama de fuerza cortante es continuo.

x

M

C

x

505

506

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Ejemplo activo 10.4

Diagramas de fuerza cortante y momento flector usando las ecuaciones (10.4) a (10.7) ( Relacionado con el problema 10.45) Use las ecuaciones (10.4) y (10.5) para determinar el diagrama de fuerza cortante para la viga mostrada. y

A

40 kN/m

60 kN

B

C

x

2m

2m

Estrategia El primer paso consiste en dibujar el diagrama de cuerpo libre de la viga y determinar las reacciones en A y B. Esto se hizo en el ejemplo activo 10.3. Se comenzará en el extremo izquierdo de la viga y se avanzará hacia la derecha en la construcción del diagrama de fuerza cortante. Solución y

Resulta útil pensar en comenzar justo a la izquierda del extremo izquierdo de la viga, con el valor inicial de la fuerza cortante igual a cero. La reacción hacia arriba de 100 kN en A ocasiona un aumento en la fuerza cortante de 100 kN de magnitud.

60 kN

40 kN/m

x

A

B

100 kN

C

80 kN

2m

2m

V Aumento de V debido a la fuerza hacia arriba en A

100 kN

x

Entre A y B, la carga distribuida sobre la viga es constante. Según la ecuación (10.4), que implica que la pendiente del diagrama de fuerza cortante entre A y B es constante, el diagrama es una línea recta. El cambio en V entre A y B puede determinarse a partir de la ecuación (10.5). VB  VA  (2 m)(40 kN/m)  80 kN. Por lo tanto V disminuye linealmente desde 100 kN en A hasta 100 kN – 80 kN  20 kN en B. Este resultado también se puede obtener integrando la ecuación (10.4): V

L100

y

40 dx L0 V  100  40x kN.

x

A

B

100 kN

V 100 kN 20 kN

C

80 kN

2m

x

dV 

60 kN

40 kN/m

2m

Entre A y B, dV  const. dx x

10.3 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector

507

y

60 kN

40 kN/m

x

A

La reacción hacia abajo de 80 kN en B ocasiona una disminución en la fuerza cortante de 80 kN de magnitud.

B

100 kN

C

80 kN

2m

2m

V Disminución en V debida a la fuerza B hacia abajo.

100 kN 20 kN

x 80 kN

y

60 kN

40 kN/m

x

A

Entre B y C no hay carga distribuida sobre la viga. Según la ecuación (10.4), esto implica que V es constante entre B y C, con lo cual se completa el diagrama de fuerza cortante.

B

100 kN 2m

C

80 kN 2m

V 100 kN 20 kN 60 kN

Problema de práctica Use las ecuaciones (10.6) y (10.7) para determinar el diagrama de momento flector para la viga mostrada.

Entre B y C, dV 0 dx x

508

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Ejemplo 10.5

Diagramas de fuerza cortante y momento flector usando las ecuaciones (10.4) a (10.7 ( Relacionado con el problema 10.44) Determine los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga mostrada. Estrategia Se puede comenzar con el diagrama de cuerpo libre de la viga y usar las ecuaciones (10.4) y (10.5) para construir el diagrama de fuerza cortante. Luego puede usarse el diagrama de fuerza cortante y las ecuaciones (10.6) y (10.7) para construir el diagrama de momento flector. Al determinar tanto el diagrama de fuerza cortante como el de momento flector, se deben tomar en cuenta los efectos de las fuerzas puntuales y los pares que actúan sobre la viga. y 300 N/m A B

6m

x

Solución Diagrama de fuerza cortante El primer paso es dibujar el diagrama de cuerpo libre de la viga y determinar las reacciones en el soporte empotrado A. Usando los resultados de este paso, que se muestran en la figura a, se procede a construir el diagrama de fuerza cortante de izquierda a derecha. En la figura b se muestra el aumento en el valor de V debido a la fuerza hacia arriba en A. Entre A y B, la carga distribuida sobre la viga se incrementa linealmente de 0 a 300 N/m. Por lo tanto, la pendiente del diagrama de fuerza cortante disminuye en forma lineal de 0 a 300 Nm. En B, la fuerza cortante debe ser 0, porque no hay fuerza que actúe ahí. Con esta información, se puede bosquejar el diagrama de fuerza cortante de manera cualitativa (figura c). También se puede obtener una ecuación explícita para la fuerza cortante entre A y B al integrar la ecuación (10.4). La carga distribuida como una función de x es w  (x6)300  50x Nm. Se escribe la ecuación (10.4) como

d V = - w d x = - 50 x d x V

y

Aumento en V debido a la fuerza en A

900 N 3600 N-m

A

6m

300 N/m x B

(b) 900 N x

(a)

V 900 N

Entre A y B, dV  w dx

(c) 6m

VB  0 x

10.3 Relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector

509

e integre para determinar V en una posición arbitraria x: V

LVA

x

dV =

- 50x dx

L0

V - VA = - 25x2. Debido a la reacción hacia arriba de 900 N en A, VA  900 N, entonces se obtiene V  900  25x2 N.

(1)

Diagrama de momento flector Se construye el diagrama de momento flector de izquierda a derecha. En la figura d se muestra la disminución inicial en el valor de M debido al par en sentido contrario al de las manecillas del reloj en A. Entre A y B, la pendiente del diagrama de momento flector es igual a la fuerza cortante V. En el diagrama de fuerza cortante (figura c), se observa que en A la pendiente del diagrama de momento flector tiene un valor positivo (900 N). Cuando x se incrementa, la pendiente comienza a decrecer, y su razón de disminución crece hasta que el valor de la pendiente llega a cero en B. En el punto B, se sabe que el valor del momento flector es igual a cero, por que no existe un par que actúe sobre la viga en B. Usando esta información, se puede bosquejar el diagrama de momento flector en forma cualitativa (figura e). Observe que su pendiente disminuye desde un valor positivo en A hasta cero en B, y la razón a la que decrece aumenta conforme x crece. Se puede obtener una ecuación para el momento flector entre A y B integrando la ecuación (10.6). La fuerza cortante como una función de x está dada por la ecuación (1). La ecuación (10.6) se escribe como M

dM  V dx  (900  25x2) dx

x

y se integra:

(d) 3600 N-m M

LMA

Disminución en M debida al par en A

x

dM =

L0

1900 - 25x22 dx

M - MA = 900x -

25 3 3 x .

Como resultado del par de 3600 N-m con sentido contrario al de las manecillas del reloj en A, MA  3600 N-m, de donde se obtiene la distribución del momento flector

M = - 3600 + 900x -

25 3 3 x

MB  0

M A (e) 3600 N-m

N-m.

Razonamiento crítico Como se demostró en este ejemplo, las ecuaciones (10.4) a (10.7) pueden aplicarse de dos maneras. Proporcionan una base para obtener rápidamente bosquejos cualitativos de los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. Además, pueden obtenerse ecuaciones explícitas para los diagramas al integrar las ecuaciones (10.4) y (10.6).

6m Entre A y B, dM V dx

x

510

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Problemas Los siguientes problemas deben resolverse usando las ecuaciones (10.4) a (10.7). 10.41 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga mostrada en la figura.

 10.44 Use el procedimiento descrito en el ejemplo 10.5 para dibujar los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga mostrada en la figura. y

y 4 kN/m 50 lb

x

50 lb x 4 pies

6m

Problema 10.44

4 pies

Problema 10.41 10.42 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga mostrada en la figura. y

 10.45 En el ejemplo activo 10.4, suponga que la carga distribuida de 40 kN/m se extiende a lo largo de la viga desde A hasta C. Trace un bosquejo de la viga con su nueva carga. Dibuje el diagrama de fuerza cortante para la viga. 10.46 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga mostrada en la figura.

3600 N-m x

2m

y 100 lb/pie

4m

x

Problema 10.42 6 pies

10.43 El arreglo mostrado en la figura se usa para someter un segmento de una viga a un momento flector uniforme. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. y

6 pies

Problema 10.46

10.47 Determine la fuerza cortante V y el momento flector M en función de x, para la viga que se muestra en la figura. y

x 600 lb/pie x

50 lb

50 lb 600 lb/pie

6 pulg

12 pulg

Problema 10.43

6 pulg

3 pies

3 pies

Problema 10.47

Cables 10.48* Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga mostrada en la figura.

511

10.49 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga AB mostrada en la figura. y

y 20 kN-m

6 kN

4 kN/m x 6m

6m

6m

400 N/m B

A

x

Problema 10.48 2m

1m

1m

1m

Problema 10.49

CABLES Por su combinación única de resistencia, poco peso y flexibilidad, las cuerdas y cables se utilizan a menudo para soportar cargas y transmitir fuerzas en estructuras, máquinas y vehículos. Los grandes puentes colgantes están soportados por enormes cables de acero. Los ingenieros utilizan cables para crear estructuras estéticas con espacios interiores abiertos (figura 10.13). En las siguientes secciones se determinarán las tensiones en cuerdas y cables sometidos a cargas distribuidas y discretas.

Figura 10.13 El uso de cables para suspender el techo de este estadio deportivo permite a los espectadores una visión no obstruida por columnas.

512

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

10.4 Cargas uniformemente distribuidas a lo largo de líneas rectas ANTECEDENTES El cable principal de un puente colgante es el ejemplo clásico de un cable sometido a una carga uniformemente distribuida a lo largo de una línea recta (figura 10.14). El peso del puente está (de manera aproximada) uniformemente distribuido en la horizontal. La carga transmitida al cable principal por el gran número de cables verticales se puede representar como una carga distribuida. En esta sección se determinará la forma y la variación de la tensión en un cable cargado de esta forma. Considere un cable suspendido sometido a una carga uniformemente distribuida a lo largo de una línea horizontal (figura 10.15a). Se ignora el peso del cable. El origen del sistema coordenado está en el punto más bajo del cable. Sea la función y(x) la curva descrita por el cable en el plano x-y. El objetivo consiste en determinar la curva y(x) y la tensión en el cable.

Forma del cable Se obtiene un diagrama de cuerpo libre cortando el cable en su punto más bajo y en una posición arbitraria x (figura 10.15b). El término T0 es la tensión en el punto más bajo del cable, y T es la tensión en x. La fuerza hacia abajo ejercida por la carga distribuida es wx. De este diagrama de cuerpo libre se obtienen las ecuaciones de equilibrio T cos u  T0, T sen u  wx.

(10.8)

Cable principal

Figura 10.14 (a) Cable principal de un puente colgante. (b) La carga se distribuye horizontalmente.

(a)

(b)

y

(a) x w

T

Figura 10.15 (a) Cable sometido a una carga uniformemente distribuida a lo largo de una línea horizontal. (b) Diagrama de cuerpo libre del cable entre x  0 y una posición x arbitraria.

u (b)

T0 w x

10.4 Cargas uniformemente distribuidas a lo largo de líneas rectas

513

Se elimina la tensión T dividiendo la segunda ecuación entre la primera, para obtener

tan u =

w x = a x, T0

donde

a =

w . T0

La pendiente del cable en x es dydx  tan , por lo que se obtiene una ecuación diferencial que define la curva descrita por el cable:

dy = ax. dx

(10.9)

Se ha escogido el sistema coordenado de manera que y  0 en x  0. Integrando la ecuación (10.9), y

L0

x

dy =

L0

ax dx,

se encuentra que la curva descrita por el cable es la parábola

y =

1 2 ax . 2

(10.10)

Tensión en el cable Para determinar la distribución de la tensión en el cable, se elevan al cuadrado ambos lados de las ecuaciones (10.8) y se suman para obtener

T = T0 21 + a 2x 2.

(10.11)

La tensión es mínima en el punto más bajo del cable y crece en forma monótona con su distancia al punto más bajo.

Longitud del cable En algunas aplicaciones es útil tener una expresión para la longitud del cable en función de x. Se puede escribir la relación ds2  dx2  dy2, donde ds es un elemento de longitud del cable (figura 10.16), en la forma y

dy 2 ds = 1 + a b dx. dx B

s ds dy

Sustituyendo la ecuación (10.9) en esta expresión e integrando, se obtiene una ecuación para la longitud s del cable en el intervalo horizontal de 0 a x:

dx

x

x

s =

1 1 e x21 + a 2x 2 + ln cax + 21 + a 2x 2 d f . a 2

(10.12)

Figura 10.16 Longitud s del cable en el intervalo horizontal de 0 a x.

514

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

RESULTADOS Un cable suspendido está sujeto a una carga vertical uniformemente distribuida a lo largo de una línea horizontal. El origen del sistema coordenada está en el punto más bajo del cable. La curva descrita por el cable es la parábola 1 (10.10) y  ax2. 2 El parámetro a  w/T0, donde w es la magnitud de la carga distribuida y T0 es la tensión en el cable en su punto más bajo.

T  T0 1  a2x2.

y

x w

Tensión Tensión en el cable en términos de la tensión en el punto más bajo y la coordenada horizontal x respecto al punto más bajo del cable.

(10.11)

y T T0

x w x

1 1 s x 1  a2x2  a ln  ax  1  a2x2  . 2

(10.12)

Longitud Longitud del cable medida desde el punto más bajo, x  0 hasta el punto con coordenada horizontal x.

y s x x

10.4 Cargas uniformemente distribuidas a lo largo de líneas rectas

Ejemplo activo 10.6

515

Cable con una carga distribuida horizontalmente ( Relacionado con el problema 10.50)

El cable de la figura soporta una carga distribuida de 100 lb/pie. ¿Cuál es la tensión en su punto más bajo? Estrategia La posición horizontal del punto más bajo del cable no está dada. Sin embargo, las coordenadas de cada punto de conexión respecto a un sistema coordenado con su origen en el punto más bajo del cable deben satisfacer la ecuación (10.10). Con estas condiciones se pueden determinar las coordenadas horizontales de los puntos de conexión. La ecuación (10.10) puede utilizarse para determinar a  wT0, lo que proporciona la tensión en el punto más bajo.

40 pies 20 pies

100 lb/pie

Solución 40 pies y xL , yL

xR , yR

La ecuación (10.10) debe satisfacerse para ambos puntos de conexión:

x

1 1 2 ax , yR  20 pies  axR2 . 2 2 L Dividiendo la primera ecuación entre la segunda, se obtiene yL  40 pies

Use la ecuación (10.10) para determinar las coordenadas horizontales de los puntos de conexión.

xL2  2. xR2 El claro horizontal del cable es xR  xL  40 pies. Al resolver estas dos ecuaciones se obtiene xL  23.4 pies y xR  16.6 pies. Sustituyendo las coordenadas del punto de conexión derecho en la ecuación (10.10), 1 yR  axR2: 2 1 20 pies a(16.6 pies)2, 2 y resolviendo se obtiene a  0.146 pies1. Por lo tanto, la tensión en el punto más bajo es w T0  a 100 lb/pie  0.146 pies1  686 lb.

Use la ecuación (10.10) para determinar la tensión en el punto más bajo.

Problema de práctica Determine la tensión máxima en el cable. Respuesta: 2440 lb.

516

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Ejemplo 10.7

Cable con una carga distribuida horizontalmente ( Relacionado con el problema 10.51) La distancia horizontal entre las torres de soporte del puente Manhattan en Nueva York es de 1470 pies. Las cúspides de las torres están a 145 pies sobre el punto más bajo de los cables de soporte principales. Obtenga la ecuación de la curva descrita por los cables.

Estrategia Se conocen las coordenadas de los puntos de conexión de los cables respecto a sus puntos más bajos. Sustituyendo las coordenadas en la ecuación (10.10) se puede determinar el parámetro a. Conocido a, la ecuación (10.10) describe la forma de los cables. Solución Las coordenadas de la cúspide de la torre derecha de soporte respecto al punto más bajo de los cables de soporte son xR  735 pies, yR  145 pies (figura a). Sustituyendo estos valores en la ecuación (10.10),

y = 145 ft = 145 pies

1 2 ax : 2 1 a(735 pies) ft) 2, 2, 2

y

y 5 (2.68 3 10 –4 ) x2

xR, yR x

(a) La curva teórica superpuesta en una fotografía del cable de

soporte.

Problemas

517

se obtiene a  5.37  104 pie1. La curva descrita por los cables de soporte es

y =

1 2 a x = 12.68 * 10- 42x 2. 2

En la figura a se compara esta parábola con la foto de los cables de soporte. Razonamiento crítico Al conocer las ubicaciones relativas de los puntos más alto y más bajo del cable fue posible determinar el valor de a. Este parámetro no sólo determina la ecuación que describe la forma del cable, como se demostró en este ejemplo, sino también la razón de la carga distribuida w que actúa en el cable sobre la tensión en el cable en su punto más bajo. Si también se conociera el valor de w, podría determinarse la tensión a lo largo del cable mediante la ecuación (10.11).

Problemas  10.50 El cable mostrado soporta una carga uniformemente distribuida w  12,000 lb/pie. Usando el método descrito en el ejemplo activo 10.6, determine la tensión máxima en el cable.

10.53 En el problema 10.52, considere que el punto más bajo del cable se encuentra a una distancia h debajo de las cúspides de las torres que soportan el cable. a) Si el cable soportará de manera segura una tensión de 70 kN, ¿cuál es el mínimo valor seguro de h? b) Si h tiene el valor determinado en el inciso (a), ¿cuál es la longitud del cable suspendido?

90 pies 40 pies

w

Problemas 10.52/10.53

100 pies

Problema 10.50

 10.51 En el ejemplo 10.7, suponga que la tensión en el punto más bajo de uno de los cables de soporte principales del puente es de dos millones de libras. ¿Cuál es la tensión máxima en el cable? 10.52 Un cable se utiliza para suspender una tubería sobre un río. La distancia entre las torres es de 36 m y el punto más bajo del cable se encuentra 1.4 m abajo de las cúspides de las torres. La masa total de la tubería suspendida es de 2700 kg. a) ¿Cuál es la tensión máxima en el cable? b) ¿Cuál es la longitud del cable suspendido?

10.54 El cable mostrado soporta una carga uniformemente distribuida w  750 N/m. El punto más bajo del cable se encuentra 0.18 m abajo de los puntos de conexión C y D. Determine las cargas axiales en los elementos AC y BC de la armadura. D

C 0.4 m

0.4 m B

A

E F

w 0.4 m

1.2 m

Problema 10.54

0.4 m

518

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

10.55 El cable de la figura soporta un puente de ferrocarril entre dos túneles. La carga distribuida es w  1 MN/m y h  40 m. a) ¿Cuál es la tensión máxima en el cable? b) ¿Cuál es la longitud del cable?

10.57 Un barco de investigaciones oceanográficas remolca un instrumento con un cable. La fuerza hidrodinámica de arrastre somete al cable a una fuerza uniformemente distribuida w  2 lb/pie. Las tensiones en el cable en 1 y 2 son de 800 lb y 1300 lb, respectivamente. Determine la distancia h.

10.56 El cable del problema 10.55 soportará de manera segura una tensión de 40 MN. ¿Cuál es el cable más corto que se puede utilizar y cuál es el valor correspondiente de h?

10.58 Dibuje una gráfica de la forma del cable en el problema 10.57. h 2

36 m

36 m 300 pies

h

1

w

Problemas 10.57/10.58

Problemas 10.55/10.56

10.5 Cargas distribuidas uniformemente a lo largo de cables ANTECEDENTES El peso de un cable lo somete a una carga uniformemente distribuida en toda su longitud. Si un cable se somete a fuerzas iguales y paralelas espaciadas uniformemente, la carga sobre el cable suele representarse uniformemente distribuida en toda su longitud. En esta sección se muestra cómo determinar la forma resultante del cable y la variación de su tensión. Suponga que sobre un cable actúa una carga distribuida que somete cada elemento ds de su longitud a una fuerza w ds, donde w es constante. En la figura 10.17 se muestra el diagrama de cuerpo libre obtenido al cortar el cable en su punto más bajo y en un punto a una distancia s. Los términos T0 y T son las tensiones en el punto más bajo y en s, respectivamente. La carga distribuida ejerce una fuerza ws hacia abajo. El origen del sistema coordenada se encuentra en el punto más bajo del cable. Sea la función y(x) la curva descrita por el cable en el plano x-y. El objetivo es determinar y(x) y T.

10.5 Cargas distribuidas uniformemente a lo largo de cables

Forma del cable

519

y

A partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 10.17, se obtienen las ecuaciones de equilibrio T sen u  ws,

(10.13)

T cos u  T0.

(10.14)

T u

Dividiendo la ecuación (10.13) entre la ecuación (10.14), se obtiene s

w tan u = s = as, T0

(10.15)

y(x) T0 x

donde

a =

w . T0

(10.16)

La pendiente del cable dydx  tan , por lo que la ecuación (10.15) puede escribirse como

dy = as. dx La derivada de esta ecuación con respecto a x es

d dy ds a b = a . dx dx dx

(10.17)

Usando la relación

ds2 = dx2 + dy2, se puede escribir la derivada de s con respecto a x como

dy 2 ds = 1 + a b = 21 + s2, dx dx B

(10.18)

donde

s =

dy = tan u dx

es la pendiente. Ahora, con la ecuación (10.18) se escribe la ecuación (10.17) como

ds 21 + s2

= a dx.

La pendiente es s  0 en x  0. Integrando esta ecuación, se obtiene s

x

ds

L0 21 + s2

=

L0

a dx,

se determina la pendiente en función de x:

s =

dy 1 = 1eax - e-ax2 = sinh senh ax. dx 2

(10.19)

Luego, integrando esta ecuación con respecto a x, se obtiene la curva descrita por el cable, que se denomina catenaria:

y =

1 ax 1 1e + e-ax - 22 = 1cosh ax - 12. a 2a

(10.20)

ws

Figura 10.17 Un cable sometido a una carga uniformemente distribuida en toda su longitud.

520

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Tensión en el cable Usando la ecuación (10.14) y la relación dx  cos ds, se obtiene

T =

T0 ds = T0 . cos u dx

Sustituyendo la ecuación (10.18) en esta expresión y utilizando la ecuación (10.19) se obtiene la tensión en el cable en función de x:

T = T0

A

1 +

1 ax 1e - e-ax22 = T0 cosh ax. 4

(10.21)

Longitud del cable De la ecuación (10.15), la longitud s del cable, desde el origen hasta el punto donde el ángulo entre el cable y el eje x es igual a , se determina mediante

s =

1 s tan u = . a a

Sustituyendo la ecuación (10.19) en esta ecuación, se obtiene una expresión para la longitud s del cable en el intervalo horizontal desde su punto más bajo hasta x:

s =

1 ax senh ax 1e - e-ax2 = . a 2a

(10.22)

RESULTADOS y

Un cable suspendido está sometido a una carga vertical distribuida uniformemente en toda su longitud. El origen del sistema coordenado se encuentra en el punto más bajo del cable. La curva descrita por el cable es la catenaria. 1 1 (10.20) y  (eax  eax  2)  (cosh ax  1). a 2a El parámetro a  w/T0, donde w es la magnitud de la carga distribuida y T0 es la tensión en el cable en su punto más bajo.

T  T0 1 

1 s5 2a

1 ax (e  eax)2  T0 cosh ax. 4

senh ax (eax 2 e2ax) .5 a

(10.21)

(10.22)

T

s T0

y(x) x

Tensión Tensión en el cable en términos de la tensión en el punto más bajo y de la coordenada x respecto al punto más bajo del cable.

Longitud Longitud del cable medida desde el punto más bajo x 5 0 hasta el punto con coordenada horizontal x.

10.5 Cargas distribuidas uniformemente a lo largo de cables

Ejemplo activo 10.8

Cable cargado con su propio peso ( Relacionado con el problema 10.59)

La masa por unidad de longitud del cable mostrado es 1 kgm. La tensión en su punto más bajo es de 50 N. Determine la altura h de sus puntos de conexión respecto al punto más bajo.

20 m

h

Estrategia El cable está sometido a una carga w  (9.81 ms2)(1 kgm)  9.81 Nm uniformemente distribuida en toda su longitud. Como se conocen w y T0, se puede determinar a  wT0. Luego puede emplearse la ecuación (10.20) para determinar h.

Solución

a

9.81 N/m w   0.196 m1. 50 N T0

Determine el parámetro a.

y

(10, h) m

x

1 (cosh ax  1): a 1 cosh[(0.196m1)(10 m)]  1 h 0.196 m1  13.4 m. y

Aplique la ecuación (10.20).

Problema de práctica Determine la tensión máxima en el cable. Respuesta: 181 N.

521

522

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Problemas  10.59 La masa de la cuerda mostrada por unidad de longitud es 0.1 kg/m. La tensión en su punto más bajo es de 4.6 N. Usando el método descrito en el ejemplo activo 10.8, determine a) la tensión máxima en la cuerda y b) la longitud de la cuerda. y

10.62 La masa por unidad de longitud de las líneas AB y BC mostradas en la figura es de 2 kg/m. La tensión en el punto más bajo de AB es 1.8 kN. Ambas líneas ejercen fuerzas horizontales iguales en B. a) Determine las magnitudes de h1 y h2. b) Determine las tensiones máximas en las dos líneas.

A

B

h1

h2

C

x 12 m

Problema 10.59

60 m

40 m

Problema 10.62 10.60 La atadura en reposo del globo aerostático mostrado en la figura es horizontal en el punto O donde ésta se encuentra conectada a la camioneta. La masa por unidad de longitud de la atadura es 0.45 kg/m. La atadura ejerce una fuerza horizontal de 50 N sobre la camioneta. La distancia horizontal desde el punto O hasta el punto A donde la atadura se encuentra unida al globo es de 20 m. ¿Cuál es la altura del punto A respecto al punto O? 10.61 En el problema 10.60 determine las magnitudes de las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida en A por la atadura sobre el globo.

10.63 La cuerda de la figura está cargada con masas de 2 kg suspendidas a intervalos de 1 m en toda su longitud. Ignore la masa de la cuerda. La tensión en el punto más bajo de la cuerda es de 100 N. Determine h y la tensión máxima en la cuerda. Estrategia: Obtenga una respuesta aproximada modelando las cargas discretas sobre la cuerda como una carga uniformemente distribuida en toda su longitud.

10 m

h

A

O

Problemas 10.60/10.61

Problema 10.63

10.6 Cargas discretas en cables

10.6 Cargas discretas en cables ANTECEDENTES Las primeras aplicaciones del concepto de equilibrio en el capítulo 3 implicaron la determinación de tensiones en cables que soportaban cuerpos suspendidos. En esta sección se considera el caso de un número arbitrario N de cuerpos suspendidos de un cable (figura 10.18a). Se supone que el peso del cable puede despreciarse comparado con los pesos suspendidos, y que el cable es lo bastante flexible para aproximar su forma con una serie de segmentos rectos.

Determinación de la configuración y las tensiones Suponga que se conocen las distancias horizontales b1, b2, ..., bN1 y que la distancia vertical hN1 que especifica la posición de la conexión derecha del cable también es conocida. Se tienen dos objetivos: 1) determinar la configuración (forma) del cable calculando las distancias verticales h1, h2, ..., hN que especifican las posiciones de los puntos de unión de los pesos, y 2) determinar las tensiones en los segmentos 1, 2, ..., N  1 del cable. Se comienza por dibujar un diagrama de cuerpo libre, cortando el cable en su punto de conexión izquierdo y justo a la derecha del peso W1(figura 10.18b). Se descompone la tensión del cable en el punto de conexión izquierdo en sus componentes horizontal y vertical, Th y Tv. Sumando momentos respecto al punto de unión A1, se obtiene la ecuación Mpunto A1  h1Th  b1Tv  0.

b1

h1

1

(a)

bN  1

b2 h2

hN  1

hN

N1

2 W1 W2

Tv (b) Th

WN

b1 h1

1

A1 T2 W1

Tv Th

b1

b2 h1

1

(c)

h2

2 W1

A2 W2

T3

Figura 10.18 (a) N pesos suspendidos de un cable. (b) Primer diagrama de cuerpo libre. (c) Segundo diagrama de cuerpo libre.

523

524

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

El siguiente paso es dibujar un diagrama de cuerpo libre cortando el cable en su punto de conexión izquierdo y justo a la derecha del peso W2 (figura 10.18c). Sumando momentos respecto a A2, se obtiene

L y L 2

Mpunto A2  h2Th  (b1  b2)Tv  b2W1  0. x w

(a)

Procediendo de esta manera, cortando el cable justo a la derecha de cada uno de los N pesos, se obtienen N ecuaciones. También se puede dibujar un diagrama de cuerpo libre cortando el cable en sus puntos de conexión izquierdo y derecho, y sumar momentos respecto al punto de conexión derecho. De esta manera se obtienen N  1 ecuaciones en términos de N  2 incógnitas: las dos componentes de la tensión Th y Tv y las posiciones verticales de los puntos de unión h1, h2, ..., hN. Si también se especifica la posición vertical de un solo punto de unión, se puede resolver el sistema de ecuaciones para las posiciones verticales de los otros puntos de unión, y queda determinada la configuración del cable. Una vez conocidas la configuración del cable y la fuerza Th, se puede determinar la tensión en cualquier segmento cortando el cable en su punto de conexión izquierdo dentro del segmento y sumando fuerzas en dirección horizontal.

(b)

Comentarios sobre modelos continuos y discretos

(c)

Figura 10.19 (a) Cable sometido a una carga continua. (b) Cable con tres cargas discretas. (c) Cable con cinco cargas discretas.

Comparando cables sometidos a cargas distribuidas y discretas, se pueden hacer algunas observaciones acerca de cómo se representan en ingeniería los sistemas continuos y discretos. Considere un cable sometido a una carga distribuida horizontal w (figura 10.19a). La fuerza total ejercida sobre éste es wL. Como el cable pasa por el punto x  L2, y  L2, mediante la ecuación (10.10) se encuentra que a  4L, por lo que la ecuación para la curva descrita por el cable es y  (2L)x2. En la figura 10.19b, la forma del cable con la carga distribuida se compara con la de un cable de peso insignificante sometido a tres cargas discretas W  wL3 con el mismo espaciamiento horizontal (se escogieron las dimensiones del cable con las cargas discretas de manera que las alturas de los dos cables fuesen iguales en sus puntos medios). En la figura 10.19c, la forma del cable con la carga distribuida se compara con la de un cable sometido a cinco cargas discretas, W  wL/5, con el mismo espaciamiento horizontal. En las figuras 10.20a y 10.20b, se compara la tensión en el cable sometido a la carga distribuida con la de los cables sometidos a tres y a cinco cargas discretas. La forma y la tensión en el cable con una carga distribuida se infieren de aquéllas en los cables con cargas discretas. Aunque la aproximación de la tensión es menos precisa que la de la forma, es evidente que la primera se puede mejorar incrementando el número de cargas discretas.

Tres cargas discretas

2.2

1.8

1.8

T/T0

Figura 10.20 (a) Tensión en el cable con una carga continua, comparada con la del cable con tres cargas discretas. (b) Tensión en el cable con una carga continua, comparada con la del cable con cinco cargas discretas.

Cinco cargas discretas

2.2

Cargas continuas

1.4

1.0

T/T0

Cargas continuas

1.4

1.0 0

1

2x/L (a)

0

1

2x/L (b)

10.6 Cargas discretas en cables

Este método, en el que se aproxima una distribución continua con un modelo discreto, es muy importante en ingeniería: es el punto de partida de los métodos de diferencias finitas y del elemento finito. El procedimiento opuesto, en el que se representan sistemas discretos con modelos continuos, también es muy utilizado, por ejemplo cuándo las fuerzas ejercidas sobre un puente por el tránsito se representan como una carga distribuida.

RESULTADOS

b1

Se conocen los pesos, las distancias horizontales b1, b2,..., bN1 , y la distancia vertical hN1. El objetivo consiste en determinar las distancias verticales h1, h2,..., hN y las tensiones en los segmentos del cable.

Corte el cable en su punto de conexión izquierdo y justo a la derecha del peso W1. Sume los momentos respecto a A1:

bN  1

b2 h1

1

h2

N1

2 W1 W2

Tv Th

WN

b1 h1

1

A1

Mpunto A1  h1Th  b1Tv  0.

T2 W1

Corte el cable en su punto de conexión izquierdo y justo a la derecha del peso W2. Sume los momentos respecto a A2: Mpunto A2  h2Th  (b1  b2)Tv  b2W1  0.

hN  1

hN

Tv Th

b1

b2 h1

1

h2

2

Continuando de esta manera se obtienen N ecuaciones. Además, corte el cable en sus puntos de conexión izquierdo y derecho y sume momentos respecto al punto de conexión derecho. Esto resulta en N1 ecuaciones con N2 incógnitas: las dos componentes Th y Tv de la tensión en el punto de conexión derecho y las posiciones verticales h1, h2,..., hN. Si se especifica la posición vertical de un peso, esposible determinar la configuración geométrica del cable y las componentes Th y Tv. Una vez que se ha hecho esto, la tensión en cualquier segmento del cable puede obtenerse cortando el cable en el punto de conexión izquierdo, dentro del segmento y sumando fuerzas en la dirección horizontal.

W1

A2 W2

T3

525

526

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Ejemplo activo 10.9

Cable sometido a cargas discretas( Relacionado con el problema 10.64) El cable de la figura soporta dos masas m1  10 kg y m2  20 kg. Determine la distancia vertical h2. 1m

1m

1m

1m

h2

1

3

2 m1 m2

Estrategia Siguiendo el procedimiento descrito en los resultados, se pueden obtener tres ecuaciones en términos de las componentes horizontal y vertical de la tensión en el punto de conexión derecho y la distancia vertical h2. Solución Tv

1m

Th 1m A1

T2

m1g

Corte el cable en su punto de conexión izquierdo y justo a la derecha de la masa m1 y sume momentos respecto a A1.

Mpunto A1  (1m)Th  (1m)Tv  0.

Tv

1m

1m

Th 1m

m1g

Mpunto A2  h2Th  (2m)Tv  (1m)m1g  0.

h2

A2 m 2g

Corte el cable en el punto de conexión izquierdo y justo a la derecha de la masa m2 y sume momentos respecto a A2 .

T3

Problemas

527

T3

Tv 1m

1m

1m A3

Th 1m

h2

m1g m 2g

Corte el cable en los puntos de conexión izquierdo y derecho y sume momentos respecto a A3.

Mpunto A3   (3 m)Tv  (2 m)m1g  (1 m)m2 g  0.

Se tienen tres ecuaciones en términos de las incógnitas Th, Tv y h2. Al resolverlas se obtiene Th  Tv  131 N y h2  1.25 m. Problema de práctica Determine la tensión en el segmento 2 del cable. Respuesta: 135 N.

Problemas  10.64 En el ejemplo activo 10.9, ¿qué valor tienen las tensiones en los segmentos 1 y 3 del cable? 10.65 Cada una de las lámparas mostradas pesa 12 lb. a) ¿Cuál es longitud del cable ABCD necesario para suspender las lámparas como se muestra en la figura? b) ¿Cuál es la tensión máxima en el cable? 12 pulg

18 pulg

18 pulg

10.66 Dos pesos, W1  W2  50 lb, están suspendidos de un cable. La distancia vertical h1  4 pies. a) Determine la distancia vertical h2 de la figura. b) ¿Qué valor tiene la tensión máxima en el cable? 10.67 Los pesos mostrados son W1  50 lb y W2  100 lb, y la distancia vertical h1  4 pies. a) Determine la distancia vertical h2. b) ¿Qué valor tiene la tensión máxima en el cable? 6 pies

A

10 pies

3 pies

12 pulg h1

B

h2

30 pulg W1 W2

C D

Problema 10.65

Problemas 10.66/10.67

2 pies

528

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

10.68 Tres masas idénticas m  10 kg están suspendidas del cable mostrado. Determine las distancias verticales h1 y h3 y trace un bosquejo de la configuración del cable.

10.72 Cada uno de los objetos suspendidos tiene el mismo peso W. Determine las distancias verticales h2 y h3 de la figura.

10.69 En el problema 10.68, ¿qué valor tienen las tensiones en los segmentos 1 y 2 del cable? 4 pies 2m h1

h3

h3

2m

1 2

3

m

h2

1m

3m

1m

14 pies

W

4

m W

m

Problema 10.68/10.69 W

10.70 Tres pesos están suspendidos de un cable, donde m  30 kg y la distancia vertical h1  400 mm. Determine las distancias verticales h2 y h3 de la figura.

2 pies

3 pies

4 pies

5 pies

Problema 10.72 10.71 En el problema 10.70, ¿cuál es la tensión máxima en el cable y en qué punto ocurre? 500 mm

700 mm

300 mm 300 mm 200 mm

h1

1

h3

h2

4 2

3 m

2m m

Problemas 10.70/10.71

10.7 Presión y centros de presión

LÍQUIDOS Y GASES 10.7 Presión y centros de presión ANTECEDENTES Las fuerzas del viento sobre edificios y las fuerzas aerodinámicas sobre autos y aviones son ejemplos de fuerzas distribuidas sobre áreas. La fuerza hacia abajo ejercida sobre la plataforma de un camión de volteo por una carga de grava está distribuida sobre el área de su plataforma. La fuerza hacia arriba que soporta un edificio está distribuida sobre el área de su cimentación. Las cargas distribuidas sobre los techos de edificios por la nieve pueden ser peligrosas. Muchas fuerzas de interés en ingeniería están distribuidas sobre áreas. En esta sección se analizará el ejemplo más común, la fuerza ejercida por la presión de un gas o un líquido. Una superficie inmersa en un gas o líquido está sometida a fuerzas ejercidas por impactos moleculares. Si el gas o líquido está en reposo, la carga se puede describir con una función p, la presión, tal que la fuerza normal ejercida sobre un elemento diferencial dA de la superficie es p dA (figuras 10.21a y b) (observe la analogía con una carga w distribuida a lo largo de una línea, donde la fuerza sobre un diferencial dx de la línea es w dx). Las dimensiones de p son (fuerza)(área). En unidades de uso común en Estados Unidos, la presión se puede expresar en libras por pie cuadrado o libras por pulgada cuadrada (psi). En unidades SI, la presión se expresa en newtons por metro cuadrado, que se denominan pascales (Pa). En algunas aplicaciones es conveniente usar la presión manométrica pg  p  patm,

(10.23)

donde patm es la presión de la atmósfera. La presión atmosférica varía con el lugar y el clima. Al nivel del mar, su valor es aproximadamente 1  105 Pa en unidades SI y 14.7 psi o 2120 lbpie2 en unidades de uso común en Estados Unidos.

Centro de presión Si la fuerza distribuida debida a la presión sobre una superficie se representa con una fuerza equivalente, el punto donde su línea de acción interseca a la superficie

p p dA dA

(a)

Figura 10.21 (a) Presión sobre un área. (b) La fuerza sobre un elemento dA es p dA.

(b)

529

530

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos y

y p

A

dA

p dA

y x

x x (b)

(a) y

F xp, yp x

(c)

Figura 10.22 (a) Un área plana sometida a presión. (b) La fuerza sobre un elemento diferencial dA. (c) La fuerza total actuando en el centro de presión.

se llama centro de presión. Considere un área plana A sometida a una presión p y un sistema coordenado tal que el área esté en el plano x-y (figura 10.22a). La fuerza normal sobre cada elemento diferencial de área dA es p dA (figura 10.22b), y la fuerza normal total sobre A es

F =

LA

p dA.

(10.24)

Ahora se determinarán las coordenadas (xp, yp) del centro de presión (figura 10.22c). Igualando el momento de F respecto al origen con el momento total debido a la presión respecto al origen,

1xp i + yp j2 * 1- F k2 =

LA

1x i + y j2 * 1- p d A k2,

y utilizando la ecuación (10.24) se obtiene

xp =

LA

xp dA

LA

, p dA

yp =

LA

yp dA

LA

.

(10.25)

p dA

Estas ecuaciones determinan la posición del centro de presión cuando se conoce la presión p. Si la presión p es uniforme, la fuerza normal total es F  pA y las ecuaciones (10.25) indican que el centro de presión es el centroide de A.

10.7 Presión y centros de presión y

y

F p

xp , yp x

x

dV

dA (a)

(b)

Figura 10.23 (a) Elemento diferencial dV  p dA. (b) La línea de acción de F pasa por el centroide de V.

En el capítulo 7 se demostró que si se calcula el “área” definida por una carga distribuida a lo largo de una línea y se coloca la fuerza resultante en su centroide, equivale a la carga distribuida. Un resultado similar es válido para una presión distribuida sobre un área plana. El término p dA de la ecuación (10.24) es igual a un elemento diferencial dV del “volumen” entre la superficie definida por la distribución de presión y el área A (figura 10.23a). La fuerza total ejercida por la presión es, por lo tanto, igual a este “volumen”:

F =

LV

dV = V.

Sustituyendo p dA  dV en las ecuaciones (10.25), se obtiene

xp =

LV

x dV

LV

, dV

yp =

LV

y dV

LV

. dV

El centro de presión coincide con las coordenadas x e y del centroide del “volumen” (figura 10.23).

Presión en un líquido en reposo Los diseñadores de recipientes y tuberías a presión, barcos, presas y otras estructuras sumergidas deben manejar fuerzas y momentos ejercidos por presión del agua. La presión en un líquido en reposo crece con la profundidad, lo cual se puede confirmar al nadar hasta el fondo de una alberca y notar el efecto de la presión sobre los oídos. Si se restringe el análisis a los cambios en la profundidad para los cuales los cambios en la densidad del líquido pueden ignorarse, es posible determinar la dependencia de la presión respecto a la profundidad usando sólo un simple diagrama de cuerpo libre.

531

532

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

A p0 y

x

W

p

x (a)

(b)

Figura 10.24 (a) Volumen cilíndrico que se extiende hasta una profundidad x en un cuerpo de líquido en reposo. (b) Diagrama de cuerpo libre del cilindro.

Introduciendo un sistema coordenado con su origen en la superficie del líquido y el eje positivo x hacia abajo (figura 10.24a), se dibuja un diagrama de cuerpo libre de un cilindro de líquido que se extiende desde la superficie libre hasta una profundidad x (figura 10.24b). La parte superior del cilindro está sometida a la presión en la superficie, que se llamará p0. Los lados y el fondo del cilindro están sometidos a presión por el líquido circundante, que crece desde p0 en la superficie hasta un valor p en la profundidad x. El volumen del cilindro es Ax, donde A es el área de su sección transversal. Por lo tanto, su peso es W  gAx, donde g es el peso específico del líquido (recuerde que el peso específico y la densidad están relacionados por g  rg). Como el líquido es estacionario, el cilindro se encuentra en equilibrio. A partir de la ecuación de equilibrio Fx  p0A  pA  gAx  0, se obtiene una expresión sencilla para la presión p del líquido en la profundidad x: p  p0  gx.

(10.26)

Así, la presión crece linealmente con la profundidad, y la derivación que se ha usado ilustra por qué: la presión en la profundidad dada mantiene al líquido literalmente arriba de tal profundidad. Si la superficie del líquido está en contacto con la atmósfera, p0  patm, y se puede escribir la ecuación (10.26) en términos de la presión manométrica pg  p  patm como pg  gx.

(10.27)

En unidades SI, la densidad del agua al nivel del mar es r  1000 kgm3, por lo que su peso específico es aproximadamente g  rg  9.81 kNm3. En unidades de uso común en Estados Unidos, el peso específico del agua es aproximadamente 62.4 lbpie3.

10.7 Presión y centros de presión

533

RESULTADOS Definición de la presión La presión p de un líquido o gas está definida tal que la fuerza ejercida sobre un elemento de área dA de una superficie es p dA. La fuerza y el momento debidos a una distribución de presión pueden determinarse por integración. La presión manométrica se define con pg  p  patm,

p dA dA

(10.23)

donde patm es la presión atmosférica. La presión atmosférica al nivel del mar es aproximadamente 1105 Pa en unidades SI y 14.7 psi o 2120 lb/pie2 en unidades de uso común en Estados Unidos.

Centro de presión Si la fuerza ejercida por una distribución de presión sobre un área A se representa mediante un vector de fuerza equivalente, el punto donde la línea de acción del vector de fuerza interseca A se llama el centro de presión.

Analogía del volumen La fuerza total F ejercida sobre un área plana A por una distribución de presión p es igual al ìvol umen” entre A y la función p. Si F se representa mediante un vector de fuerza que actúa en el centroide del “volumen”, el vector de fuerza es equivalente a la distribución de presión: su línea de acción interseca a A en el centro de presión.

y

F xp , yp x

p0

Presión en un líquido en reposo La presión a una profundidad x en un líquido en reposo es p  p0  gx, (10.26) donde p0 es la presión en la superficie y g  rg es el peso específico del líquido. El peso específico del agua es 9.81 kN/m3 en unidades SI y 62.4 lb/pie3 en unidades de uso común en Estados Unidos. Si p0  patm, la ecuación (10.26) puede expresarse en términos de la presión manométrica como pg  gx. (10.27)

x

x

y

534

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Ejemplo activo 10.10

Compuerta cargada por una distribución de presión ( Relacionado con el problema 10.78) Un cuerpo de agua en reposo ejerce presión en el lado derecho de la compuerta AB que se muestra en la figura. El ancho de la compuerta (su dimensión perpendicular a la página) es de 3 pies y su peso es de 100 lb. El peso específico del agua es 62.4 lbpie3. Determine las reacciones sobre la compuerta en los soportes A y B.

B

3 pies 2 pies

Estrategia Se usará integración para determinar la fuerza y el momento ejercidos sobre la compuerta por la presión del agua. Después se puede aplicar el equilibrio al diagrama de cuerpo libre de la compuerta para determinar las reacciones en A y B.

A

Solución

La cara izquierda de la compuerta y la cara derecha sobre el nivel del agua están expuestas a la presión atmosférica. De las ecuaciones (10.23) y (10.26), la presión en el agua es la suma de la presión atmosférica y la manométrica pg  gx, donde x se mide hacia abajo desde la superficie del agua. Los efectos de la presión atmosférica sobre la compuerta se cancelan, y se debe considerar sólo las fuerzas y momentos ejercidos por la presión manométrica.

z

pg  gx

patm

patm

x

3 pies 1 pie y x 2 pies dA

dx x

El origen del sistema coordenado se encuentra en la superficie del agua. El elemento de área de la compuerta dA  (3 pies)dx. La fuerza total ejercida por la presión manométrica es 2

F 

A L

pg dA 

L0

(gx)(3 pies)dx  374 lb.

Integre para determinar la fuerza total ejercida por la presión manométrica sobre la compuerta.

10.7 Presión y centros de presión

El momento total respecto al eje y ejercido por la presión manométrica es 2

M

L A

xpg dA 

L0

x(gx)(3 pies)dx  499 pies-lb.

M 499 pies-lb   1.33 pies. xp  F 374 lb

Integre para determinar el momento total ejercido sobre la compuerta por la presión manométrica.

Determine la posición del centro de presión a partir de la condición para equivalencia M  xpF.

B 1 pie z 1.33 pies

100 lb 2 pies

374 lb Az Ax x

Fx  Ax  100 lb  0, Fz  Az  B  374 lb  0, Meje y  (1 pie)B  (2 pies)Az  (1.33 pies)(374 lb)  0. Resolviendo se obtiene Ax  100 lb, Az  291 lb, y B  83.2 lb.

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la compuerta, colocando la fuerza total ejercida por la presión manométrica en el centro de presión. Aplique el equilibrio para determinar las reacciones en A y B.

Problema de práctica Determine las reacciones sobre la compuerta en los soportes A y B; para ello use la analogía del volumen para determinar la fuerza total ejercida por la presión manométrica sobre la compuerta y la ubicación del centro de presión. Respuesta: Ax  100 lb, Az  291 lb, B  83.2 lb.

535

536

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Ejemplo 10.11

Fuerza de presión y centro de presión ( Relacionado con los problemas 10.79, 10.80) Un ingeniero que realiza estudios para un diseño preliminar de la esclusa de un canal necesita determinar la fuerza total debida a la presión sobre la placa rectangular sumergida que se muestra en la figura y la posición del centro de presión. La parte superior de la placa está 6 m bajo la superficie. La presión atmosférica es patm  1  105 Pa y el peso específico del agua es g  9.81 kN/m3.

6m

Estrategia Se determinará la fuerza de presión sobre un elemento diferencial de área de la placa representado por una franja horizontal y se integrará para determinar la fuerza total y el momento ejercidos por la presión.

12 m

8m

Solución En términos de un sistema coordenado con su origen en la superficie y del eje x positivo dirigido hacia abajo (figura a), la presión del agua es p  patm  gx. El área de la franja horizontal es dA  (8 m)dx. Por lo tanto, la fuerza total ejercida sobre la cara de la placa por la presión es y 6m

18

F =

x 18 m dx dA 8m x

LA

p dA =

L6

1patm + gx218 m2 dx

18

18

= patm18 m2

L6

= a1 * 105

N N b18 m2112 m2 + a9810 3 b18 m21144 m22 2 m m

dx + g18 m2

L6

x dx

= 20.9 * 106 N.

(a) Elemento de área en forma de franja horizontal.

El momento respecto al eje y debido a la presión sobre la placa es 18

M = y

LA

xp dA =

= patm18 m2

L6

x1patm + gx218 m2 dx

18

L6

18

x dx + g18 m2

L6

x2 dx

= 262 * 106 N-m.

xp

La fuerza F que actúa en el centro de presión (figura b) ejerce un momento respecto al eje y igual a M: xpF  M. Por lo tanto, la posición del centro de presión es x

xp = (b) Centro de presión.

M 262 MN-m = = 12.5 m. F 20.9 MN

Razonamiento crítico Observe que el centro de presión no coincide con el centroide del área. Por lo general, el centro de presión de un área plana coincide con el centroide del área sólo cuando la presión está uniformemente distribuida. En este ejemplo, la presión se incrementa con la profundidad, y como resultado, el centro de presión está debajo del centroide.

10.7 Presión y centros de presión

Ejemplo 10.12

537

Determinación de una fuerza de presión ( Relacionado con el problema 10.91)

El recipiente de la figura está lleno con un líquido con peso específico g. Determine la fuerza ejercida por la presión del líquido sobre la pared cilíndrica AB.

b B R

A

Estrategia La presión del líquido sobre la pared cilíndrica varía con la profundidad (figura a). La fuerza ejercida por esta distribución de presión es lo que se desea determinar. Se podría determinar integrando sobre la superficie cilíndrica pero esto se puede evitar dibujando un diagrama de cuerpo libre del cuarto de cilindro de líquido a la derecha de A. Solución En la figura b se dibuja el diagrama de cuerpo libre del cuarto de cilindro de líquido. La distribución de presión sobre la superficie cilíndrica del líquido es la misma que actúa sobre la pared cilíndrica. Si se denota con Fp la fuerza ejercida sobre el líquido mediante esta distribución de presión, la fuerza ejercida por el líquido sobre la pared cilíndrica es Fp. Las otras fuerzas paralelas al plano x-y que actúan sobre el cuarto de cilindro de líquido son su peso, la presión atmosférica en la superficie y la distribución de 1 presión del líquido sobre el lado izquierdo. El volumen del líquido es 14 pR22b, por lo que la fuerza ejercida sobre el diagrama de cuerpo libre por el peso del líquido 1 es 4 gpR2bi. La fuerza ejercida sobre la superficie superior por la presión atmosférica es Rbpatmi. Se puede integrar para determinar la fuerza ejercida por la presión sobre el lado izquierdo del diagrama de cuerpo libre. Su magnitud es R

LA

p dA =

L0

1patm + gx2b dx = Rb apatm +

B

A

(a) Diagrama de cuerpo libre del líquido a la derecha de A.

patm

1 gRb. 2

y

De la ecuación de equilibrio

©F =

W

1 1 gpR2bi + Rbpatmi + Rb apatm + gRbj + Fp = 0, 4 2

Fp

se obtiene la fuerza ejercida por la presión del líquido sobre la pared AB:

-Fp = Rb a patm +

p 1 gRb i + Rb apatm + gRbj. 4 2

Razonamiento crítico Con frecuencia, la necesidad de integrar sobre una superficie curva para calcular una fuerza de presión puede evitarse al escoger un diagrama de cuerpo libre adecuado, tal como se hizo en este ejemplo.

x

(b) Diagrama de cuerpo libre del líquido a la derecha de A.

538

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

Problemas 10.73 Un ingeniero que planea un sistema de abastecimiento de agua para una comunidad calcula que, considerando el consumo máximo esperado, la caída de presión entre el sistema central y el hidrante más alejado será de 25 psi. La estación de bomberos indica que se requiere una presión manométrica de 40 psi en el hidrante. El peso específico del agua es g  62.4 lb/pie3. ¿Qué altura debe tener una torre de agua en el sistema central para proporcionar la presión necesaria?

10.77 El área mostrada está sometida a una presión uniforme patm  14.7 psi. a) ¿Qué valor tiene la fuerza total ejercida por la presión sobre el área? b) ¿Qué valor tiene el momento respecto al eje y debido a la presión sobre el área? y

10.74 Un cubo de cierto material está suspendido bajo la superficie de un líquido de peso específico g. Calcule las fuerzas ejercidas sobre las caras del cubo por la presión y demuestre que su suma es una fuerza hacia arriba de magnitud gb3.

10 pulg x

20 pulg

d

b

Problema 10.77 Problema 10.74 10.75 El área mostrada está sometida a una presión uniforme patm  1  l05 Pa. a) ¿Qué valor tiene la fuerza total ejercida por la presión sobre el área? b) ¿Qué valor tiene el momento respecto al eje y debido a la presión sobre el área? 10.76 El área mostrada está sometida a una presión uniforme. Determine las coordenadas del centro de presión.

 10.78 En el ejemplo activo 10.10, suponga que la profundidad del agua respecto al punto A se aumenta de 2 pies a 3 pies. Determine las reacciones sobre la compuerta en los soportes A y B.  10.79 La parte superior de la placa rectangular mostrada está a 2 m bajo la superficie de un lago. La presión atmosférica es patm  1  105 Pa y el peso específico del agua es r  1000 kg/m3. a) ¿Qué valor tiene la presión máxima ejercida sobre la placa por el agua? b) Determine la fuerza ejercida sobre una cara de la placa por la presión del agua. (Vea el ejemplo 10.11.)  10.80 En el problema 10.79, ¿a qué distancia de la parte superior de la placa se encuentra el centro de presión? (Vea el ejemplo 10.11.)

y

2m

1m 3m y  x2 2m x

Problemas 10.75/10.76

Problemas 10.79/10.80

Problemas

10.81 El ancho de la presa (la dimensión perpendicular a la página) es de 100 m. La densidad del agua es r  1000 kg/m3. Determine la fuerza ejercida por la presión manométrica del agua sobre la presa a) por integración; b) calculando el “volumen” de la distribución de presión.

539

10.84 La compuerta homogénea mostrada pesa 100 lb y su ancho (la dimensión perpendicular a la página) es de 3 pies. El peso específico del agua es g  62.4 lbpie3 y la presión atmosférica es patm,  2120 lbpie2. Determine las reacciones en A y B. B

10.82 En el problema 10.81, ¿a qué distancia de la superficie libre del agua está el centro de presión debido a la presión manométrica del agua sobre la presa? 3 pies

30

2 pies

A

Problema 10.84 10 m

10.85 El ancho (la dimensión perpendicular a la página) de la compuerta mostrada es de 2 m y tiene agua con profundidad d  1 m en su lado derecho. La presión atmosférica es patm  1  105 Pa y la densidad del agua es r  1000 kg/m3. Determine las fuerzas horizontales sobre la compuerta en A y B. Problemas 10.81/10.82

10.83 El ancho de la compuerta (la dimensión perpendicular a la página) de la figura es de 3 m. La presión atmosférica es patm  1  105 Pa y la densidad del agua es r  1000 kg/m3. Determine la fuerza horizontal y el par ejercidos sobre la compuerta por el soporte empotrado en A.

10.86 La compuerta del problema 10.85 está diseñada para girar y dejar salir el agua cuando la profundidad d excede cierto valor. ¿Cuál es esta profundidad?

A 500 mm

2m

B

Problemas 10.85/10.86 A

Problema 10.83

d

540

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

10.87* La presa mostrada tiene agua con una profundidad de 4 pies en uno de sus lados. El ancho de la presa (la dimensión perpendicular a la página) es de 8 pies. El peso específico del agua es g  62.4 lbpie3, y la presión atmosférica patm  2120 lbpie2. Si se ignora el peso de la presa, ¿cuáles son las reacciones en A y B?

10.89 Considere un área A plana vertical bajo la superficie de un líquido. Sea p0 la presión en la superficie. a) Demuestre que la fuerza ejercida por la presión sobre el área es F = pA, donde p = p0 + gx es la presión del líquido en el centroide del área. b) Demuestre que la coordenada x del centro de presión es

B

xp = x +

gIy¿ pA

,

2 pies

donde Iy es el momento de inercia del área respecto al eje y que pasa por su centroide. y

2 pies –x

A 2 pies

y

Problema 10.87 A

10.88* La compuerta mostrada tiene agua con profundidad de 4 pies en uno de sus lados. El ancho (la dimensión perpendicular a la página) de la compuerta es de 8 pies. El peso específico del agua es g  62.4 lbpie3 y la presión atmosférica es patm  2120 lbpie2. Si se ignora el peso de la compuerta, ¿qué valor tienen las reacciones en A y B?

x

x

Problema 10.89 10.90 Una placa circular de 1 m de radio se encuentra bajo la superficie de un tanque de agua en reposo. La presión atmosférica es patm  1  105 Pa, y la densidad del agua es r  1000 kg/m3. Determine a) la fuerza ejercida por la presión del agua sobre una cara de la placa; y b) la coordenada x del centro de presión. (Vea el problema 10.89).

B

2 pies

y 2 pies 1m A 2 pies

Problema 10.88

1m

x

Problema 10.90

Problemas de repaso  10.91* El tanque mostrado consiste en un cilindro con extremos semiesféricos. Está lleno de agua (r  1000 kgm3). La presión del agua en la parte superior del tanque es de 140 kPa. Determine la magnitud de la fuerza ejercida por la presión del agua sobre uno de los extremos semiesféricos del tanque. (Vea el ejemplo 10.12).

541

10.92 Un objeto de volumen V y peso W está suspendido bajo la superficie de un líquido en reposo de peso específico g (figura a). Demuestre que la tensión en la cuerda es W  Vg. En otras palabras, demuestre que la distribución de presión sobre la superficie del objeto ejerce una fuerza hacia arriba igual al producto del volumen del objeto por el peso específico del agua. Este resultado se debe a Arquímedes (287-212 A.C.). Estrategia: Dibuje el diagrama de cuerpo libre de un volumen de líquido con igual forma y posición (figura b).

18 m 6m

V

Problema 10.91

V

(a)

V

(b)

Problema 10.92

Problemas de repaso 10.93 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto B mostrado a) si x  250 mm; b) si x  750 mm.

10.95 a) Determine el momento flector máximo en la viga y el valor de x donde ocurre. b) Demuestre que las ecuaciones para V y M como funciones de x satisfacen la ecuación V  dMdx.

y x

20 N-m

B

A

C x

10.96 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga del problema 10.95. y

500 mm

360 lb/pie

1000 mm

180 lb/pie x

Problema 10.93 3 pies

10.94 Determine las fuerzas y el momento interno a) en el punto B y b) en el punto C.

10.97 Determine los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga mostrada.

y 80 lb 4 pies A

Problemas 10.95/10.96

B

C

y

D x

6 pies

w  10(12x  x2) lb/pie

3 pies x

12 pies

Problema 10.94 12 pies

Problema 10.97

542

Capítulo 10 Fuerzas y momentos internos

10.98 Determine V y M como funciones de x para la viga ABC.

10.102 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto B mostrado a) si x  250 mm;

y

b) si x  750 mm. C

B

A

x D

x

2m

B

A

4 kN 2m

y

1m 20 N-m x

2m

40 N

500 mm

Problema 10.98

1000 mm

Problema 10.102

10.99 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga ABC mostrada.

10.103 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga mostrada. y D 4 pies

y

20 N-m 2 pies C

B

A 8 pies

A

x

x

40 N

500 mm

600 lb 1000 mm

10 pies

Problema 10.103

Problema 10.99

10.100 Determine las fuerzas y el momento interno en el punto A mostrado. 10.101 Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga BC mostrada.

10.104 La viga homogénea mostrada pesa 1000 lb. ¿Qué valor tienen las fuerzas y el momento flector internos en su punto medio? 10.105 La viga homogénea mostrada pesa 1000 lb. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector

y 1m

1m

3 kN/m y

C

B

2 pies

A 2m

1m

x

x 1m

3 pies 10 pies

1m

Problemas 10.100/10.101

Problemas 10.104/10.105

Problemas de repaso 10.106 En el punto A de la figura, el cable principal del puente colgante es horizontal y su tensión es de 1  108 lb. a) Determine la carga distribuida que actúa sobre el cable. b) ¿Cuál es la tensión en B? y

B

543

10.110* La compuerta mostrada tiene agua con 2 m de profundidad en uno de sus lados. El ancho (la dimensión perpendicular a la página) de la compuerta es de 4 m y su masa es 160 kg. La densidad del agua es r  1000 kgm3 y la presión atmosférica es patm  1  105 Pa. Determine las reacciones sobre la compuerta en A y B (el soporte en B ejerce sólo una reacción horizontal sobre la compuerta).

300 pies B

A

x

900 pies 2m

Problema 10.106 10.107 La línea de transmisión tiene una masa de 1.4 kgm. Si soporta de manera segura una tensión de 5 kN, determine si soportará con seguridad una acumulación de hielo de 0.4 kgm. 12°

A

Problema 10.110 10.111 Un tanque esférico de 400 mm de radio interno está lleno de agua (r  1000 kgm3). La presión del agua en la parte superior del tanque es 4  105 Pa. a) ¿Cuál es la presión del agua en el fondo del tanque? b) ¿Qué valor tiene la fuerza total ejercida por la presión del agua sobre la superficie interior del tanque?

40 m

Estrategia: Para el inciso b), dibuje un diagrama de cuerpo libre de la esfera de agua dentro del tanque.

Problema 10.107 10.108 La profundidad del agua en el centro de la ventana elíptica del acuario mostrado es de 20 pies. Determine la magnitud de la fuerza neta ejercida sobre la ventana por la presión del agua marina (g  64 lbpie3) y la presión atmosférica del aire sobre el lado opuesto. (Vea el problema 10.89). 10.109 La profundidad del agua en el centro de la ventana elíptica del acuario mostrado es de 20 pies. Determine la magnitud del momento neto ejercido sobre la ventana respecto al eje horizontal L por la presión del agua marina (g  64 lbpie3) y la presión atmosférica del aire en el lado opuesto. (Vea el problema 10.89).

3 pies 6 pulg L

6 pies

Problemas 10.108/10.109

400 mm

Problema 10.111

CAPÍTULO

11 Trabajo virtual y energía potencial

Cuando se estira un resorte, el trabajo realizado se almacena en el resorte como energía potencial. Al elevar una carga con una grúa se incrementa su energía potencial gravitatoria. En este capítulo se define el trabajo y la energía potencial y se presenta un método general, poderoso y de gran alcance llamado el principio del trabajo virtual.

 El resorte torsional almacena energía potencial que gobierna el mecanismo de un reloj. En este capítulo se emplean los conceptos de trabajo virtual y energía potencial para analizar objetos en equilibrio.

546

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

11.1 Trabajo virtual ANTECEDENTES F

El principio del trabajo virtual es un enunciado sobre el trabajo realizado por fuerzas y pares cuando un objeto o estructura está sometido a diferentes movimientos hipotéticos. Antes de estudiar este principio, se debe definir el concepto de trabajo.

P

Trabajo Considere una fuerza que actúa sobre un cuerpo en un punto P (figura 11.1a). Suponga que el objeto experimenta un movimiento infinitesimal, de modo que P tiene un desplazamiento diferencial dr (figura 11.1b). El trabajo dU realizado por F como resultado del desplazamiento dr se define como

(a)

F

dU = F # dr. P

dr

(b) F

u dr 兩F兩 cos u (c)

Figura 11.1 (a) Fuerza F que actúa sobre un cuerpo. (b) Desplazamiento dr de P. (c) Trabajo dU = 1 ƒ F ƒ cos u2 ƒ dr ƒ .

(11.1)

De la definición del producto punto, dU  (兩F兩 cos u) 兩dr兩, donde u es el ángulo entre F y dr (figura 11.1c). El trabajo es igual al producto de la componente de F en la dirección de dr y la magnitud de dr. Observe que si la componente de F paralela a dr apunta en la dirección opuesta a dr, el trabajo es negativo. Asimismo, si F es perpendicular a dr, el trabajo es igual a cero. Las dimensiones del trabajo son (fuerza)  (longitud). Considere ahora un par que actúa sobre un cuerpo (figura 11.2a). El momento debido al par es M  Fh en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Si el objeto gira un ángulo infinitesimal da en sentido contrario al de las manecillas del reloj (figura 11.2b), los puntos de aplicación de las fuerzas se des1 plazan distancias diferenciales 2 h da. En consecuencia, el trabajo total realizado 1 1 es dU = F12 h da2 + F12 h da2 = M da. Se observa que cuando un objeto sobre el que actúa un par M gira un ángulo da en el mismo sentido que el par (figura 11.2c), el trabajo resultante es

dU = M da.

(11.2)

Si el sentido del par es opuesto al sentido de da, el trabajo es negativo.

h da 2 F

F

da h F

F h da 2

(a)

(b)

M da

Figura 11.2 (a) Par que actúa sobre un objeto. (b) Giro infinitesimal del objeto. (c) El par M actúa sobre un objeto que gira un ángulo da.

(c)

547

11.1 Trabajo virtual

Principio del trabajo virtual Ahora que se ha definido el trabajo realizado por fuerzas y pares, se puede establecer el principio del trabajo virtual. Antes de hacerlo se analizará un ejemplo para dar un contexto que facilite la comprensión del principio. La barra homogénea de la figura 11.3a está soportada por la pared y el soporte de pasador en A, y está cargada por un par M. El diagrama de cuerpo libre de la barra es la figura 11.3b. Las ecuaciones de equilibrio son

©Fx = Ax - N = 0,

(11.3)

©Fy = Ay - W = 0,

(11.4)

1 ©Mpunto A = NL sen a - W L cos a - M = 0. 2

M

A

(a) y N L a M

Ax

x

Ay (b)

Figura 11.3 (a) Barra sometida a un momento M. (b) Diagrama de cuerpo libre de la barra.

y N

M

Ax Ay

(11.7)

A partir de la ecuación (11.4), el trabajo virtual de nuevo es igual a cero. Por último, se da a la barra un giro virtual manteniendo el punto A fijo (figura 11.6a). Las fuerzas Ax y Ay no trabajan porque sus puntos de aplicación no se desplazan. El trabajo realizado por el par M es M da, porque su sentido es opuesto al del giro. En la figura 11.6b se muestran los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas N y W, y en la figura 11.6c aparecen las componentes de las fuerzas en la dirección de los desplazamientos. El trabajo realizado por N es (N 1 sen a)(L da), y el trabajo realizado por W es 1- W cos a212 L da2. El trabajo total es

W

x

dx

Figura 11.4 Desplazamiento virtual dx.

y

N

1 dU = 1N sen a21Lda2 + 1-W cos a2a Ldab - M da 2 1 = aNL sen a - W L cos a - Mbda. 2

W

(11.6)

Las fuerzas Ay y W no trabajan porque son perpendiculares a los desplazamientos de sus puntos de aplicación. El par M tampoco trabaja porque la barra no gira. Comparando esta ecuación con la ecuación (11.3), se encuentra que el trabajo virtual es igual a cero. Enseguida, se da a la barra una traslación virtual en la dirección y (figura 11.5). El trabajo virtual resultante es

dU = Aydy + 1-W2dy = 1Ay - W2dy.

a

(11.5)

Con estas tres ecuaciones se pueden encontrar las reacciones Ax, Ay y N. Sin embargo, aquí el objetivo es diferente. Considere la siguiente pregunta: si las fuerzas y el par de la figura 11.3b actúan sobre la barra, y ésta se somete a una traslación infinitesimal hipotética en la dirección x, como se muestra en la figura 11.4, ¿qué trabajo se realiza? El desplazamiento hipotético dx se llama desplazamiento virtual de la barra, y el trabajo resultante dU se llama trabajo virtual. El soporte de pasador y la pared impiden que la barra se desplace en la dirección x: el desplazamiento virtual es un artificio teórico. El objetivo es calcular el trabajo virtual resultante:

dU = Axdx + 1-N2dx = 1Ax - N2dx.

L

M W

(11.8)

dy

Ax Ay

x

De la ecuación (11.5), el trabajo virtual debido al giro virtual también es igual a cero.

Figura 11.5 Desplazamiento virtual dy.

548

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial y

y

y Lda

N

N

da

M

Ax

N sen a W cos a

1 Lda 2

da

W

x

x (b)

Ay

a

W

x

(c)

(a)

Figura 11.6 (a) Giro virtual da. (b) Desplazamientos de los puntos de aplicación de N y W. (c) Componentes de N y W en la dirección de los desplazamientos.

Se mostró que para tres desplazamientos virtuales de la barra, el trabajo virtual es igual a cero. Estos resultados son ejemplos de una forma del principio del trabajo virtual: Si un objeto está en equilibrio, el trabajo virtual realizado por las fuerzas y los pares externos que actúan sobre él es cero para cualquier traslación o giro virtual:

dU = 0.

(11.9)

Como lo ilustra el ejemplo presentado, este principio puede usarse para deducir las ecuaciones de equilibrio de un objeto. Sometiendo la barra a traslaciones virtuales dx y dy y a un giro virtual da, se obtienen las ecuaciones (11.6) a (11.8). Como el trabajo virtual debe ser igual a cero en cada caso, se obtienen las ecuaciones (11.3) a (11.5). Sin embargo, no se obtiene ninguna ventaja con este método en comparación con simplemente dibujar el diagrama de cuerpo libre y aplicarle las ecuaciones de equilibrio en la forma usual. Las ventajas del principio del trabajo virtual serán evidentes cuando se consideren estructuras.

Aplicación a estructuras El principio del trabajo virtual enunciado en la sección anterior se aplica a cada elemento de una estructura. Sometiendo ciertos tipos de estructuras en equilibrio a desplazamientos virtuales y calculando el trabajo virtual total, se pueden determinar las reacciones desconocidas en sus soportes, así como las fuerzas internas en sus elementos. El procedimiento implica encontrar un desplazamiento virtual que resulte en trabajo virtual por parte de las cargas conocidas y por parte de fuerzas o pares desconocidos. Suponga que se desea determinar la carga axial en la barra BD de la armadura de la figura 11.7a. Los otros elementos de la armadura están sometidos a la carga de 4 kN y a las fuerzas ejercidas sobre ellos por el elemento BD (figura 11.7b). Si se da a la estructura un giro virtual da como se muestra en la figura 11.7c, el trabajo virtual es realizado por la fuerza TBD que actúa en B y por la carga de 4 kN que actúa en C. Además, el trabajo virtual realizado por esas dos fuerzas es el trabajo virtual total efectuado sobre los elementos de la estructura, porque el trabajo virtual realizado por las fuerzas internas entre sí se cancela. Por ejemplo, considere la junta C (figura 11.7d). La fuerza TBC es la carga axial en el elemento BC. El trabajo virtual realizado en C sobre el elemento BC es TBC (1.4 m) da, y el trabajo efectuado en C sobre el elemento CD es (4 kN - TBC)(1.4 m) da. Cuando se suman el trabajo virtual realizado sobre los elementos para obtener el trabajo virtual total

11.1 Trabajo virtual

549

1m 4 kN C

B

(1.4 m) da

1.4 m

B

(1.4 m) da 4 kN C

u

da TBD

D

A (a)

TBD 4 kN C

B

A

D

TBD

(c) (1.4 m) da

TBD A

C

TBC

(1.4 m) da 4 kN TBC C

Figura 11.7 (a) Armadura con una carga de 4 kN. (b) Fuerzas ejercidas por la barra BD. (c) Desplazamiento virtual de la estructura. (d) Cálculo del trabajo virtual sobre las barras BC y CD en la junta C.

D (b)

(d)

sobre la estructura, el trabajo virtual debido a la fuerza interna TBC se cancela. (Si los elementos ejercen un par interno entre sí en C —por ejemplo, como resultado de la fricción en el soporte de pasador— el trabajo virtual no se cancelaría.). Por lo tanto, se pueden despreciar las fuerzas internas al calcular el trabajo virtual total sobre la estructura:

dU = 1TBD cos u211.4 m2 da + 14 kN211.4 m2 da = 0. El ángulo u = arctan11.4>12 = 54.5°. Resolviendo esta ecuación, se obtiene

TBD = - 6.88 kN.

RESULTADOS

Trabajo F

dr

dU  Fⴢdr.

(11.1)

P

Trabajo realizado por una fuerza F como resultado de un desplazamiento virtual dr de su punto de aplicación.

550

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

M da

dU  M da.

(11.2)

Trabajo hecho por un par M como resultado de una rotación virtual da en el mismo sentido que M.

Principio del trabajo virtual Si un objeto está en equilibrio, el trabajo virtual realizado por las fuerzas externas y pares que actúan sobre él es igual a cero para cualquier traslación o giro virtual: (11.9) dU  0.

Un desplazamiento o giro virtual es un movimiento o giro infinitesimal hipotético.

El principio del trabajo virtual puede aplicarse a estructuras si las fuerzas y pares que los elementos ejercen entre sí no realizan ningún trabajo neto. Este método consta de dos pasos: 1. Escoger un desplazamiento virtual: Identifique un desplazamiento virtual de la estructura que resulte en la realización de trabajo virtual por parte de las cargas conocidas y de una fuerza o par desconocido que se desea determinar. 2. Determinar el trabajo virtual: Calcule el trabajo virtual total que resulta del movimiento virtual, a fin de obtener una ecuación para la fuerza o par desconocido.

Ejemplo activo 11.1

Aplicación del trabajo virtual a una estructura ( Relacionado con los problemas 11.12 a 11.16) Use el principio del trabajo virtual para determinar la reacción horizontal sobre la estructura mostrada en C.

B 1m 2m

400 N 500 N-m 40 A

40

Estrategia Aunque la estructura esté fija en A y C, puede someterse a movimientos virtuales hipotéticos. Se debe elegir un movimiento virtual para el cual la reacción horizontal en C y las cargas externas conocidas sobre la estructura realicen trabajo. Al calcuC lar el trabajo virtual resultante, se puede determinar la reacción horizontal en C. Solución B 400 N

Diagrama de cuerpo libre de la estructura. El objetivo es determinar Cx.

500 N-m

A Ax

Ay

C Cy

Cx

11.1 Trabajo virtual

400 sen 40 N

Escoja un movimiento virtual: Mantenga fijo el punto A mientras el punto C experimenta un desplazamiento virtual horizontal dx. Como resultado, la barra AB sufre un giro virtual da en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

da

400 N A Ax Ay

B

C

500 N-m 1m Cy dx

El trabajo realizado por la fuerza de 400 N es (400 sen 40 N)(1 m)da. La barra BC sufre un giro da en sentido contrario al de las manecillas del reloj, por lo que el trabajo realizado por el par es (500 N-m)da. El trabajo realizado por Cx es Cx dx. El trabajo virtual total es dU  (400 sen 40 N)(1 m)da  (500 N-m)da  Cx dx  0.

Determine el trabajo virtual.

Para obtener Cx a partir de esta ecuación, se debe determinar la relación entre da y dx.

A partir de la geometría de la estructura. x  2 (2cos a). La derivada de esta ecuación con respecto a a es dx  4sen a, da entonces un cambio infinitesimal en x está relacionado con un cambio infinitesimal en a por medio de dx  4sen ada. Como el giro virtual en el sentido de las manecillas del reloj da es una disminución de a, dx está relacionado con da por

Obtenga la relación entre da y dx.

dx  4sen 40 da. Sustituyendo esta expresión en la ecuación para el trabajo virtual total resulta dU  冤(400sen 40 N)(1 m)  (500 N-m)  (4sen 40 m)Cx 冥da  0. Resolviendo se obtiene Cx  294 N.

Problema de práctica Use el principio de trabajo virtual para determinar la reacción vertical en C. Hágalo manteniendo fijo el punto A y sometiendo a toda la estructura a un giro virtual rígido da en el sentido de las manecillas del reloj. Respuesta: Cy = - 79.3 N.

Cx

551

552

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

Ejemplo 11.2

Aplicación del trabajo virtual a una máquina ( Relacionado con el problema 11.21) La plataforma extensible mostrada sube y baja por medio del cilindro hidráulico BC. El peso total de la plataforma y las personas es W. Los pesos de las vigas que soportan la plataforma pueden ignorarse. ¿Qué fuerza axial debe ejercer el cilindro hidráulico para mantener en equilibrio la plataforma en la posición mostrada? Estrategia Se puede usar un desplazamiento virtual que coincida con el desplazamiento real de la plataforma y las vigas cuando cambia la longitud del cilindro hidráulico. Calculando el trabajo virtual, realizado por el cilindro hidráulico y por el peso de las personas y la plataforma, se puede determinar la fuerza ejercida por el cilindro hidráulico. Solución Selección de un desplazamiento virtual En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la plataforma y las vigas. El objetivo es determinar la fuerza F ejercida por el cilindro hidráulico. Si se mantiene fijo el punto A y se somete el punto C a un desplazamiento virtual dx, las únicas fuerzas externas que realizan trabajo virtual son F y el peso W. (La reacción debida al soporte de rodillos en C es perpendicular al desplazamiento virtual).

W

Ax F Ay h

A

C B

b

C

(a) Diagrama de cuerpo libre de la plataforma y las vigas de soporte.

553

Problemas

Determinación del trabajo virtual El trabajo virtual realizado por la fuerza F cuando el punto C experimenta un desplazamiento virtual dx hacia la derecha (figura b) es F dx. Para determinar el trabajo virtual que realiza el peso W, es necesario determinar los desplazamientos verticales del punto D en la figura b cuando el punto C se mueve una distancia dx hacia la derecha. Las dimensiones de b y h están relacionadas por

D

h

b2 + h2 = L2, donde L es la longitud de la viga AD. Derivando esta ecuación con respecto a b, se obtiene

A

C

F b

dh 2b + 2h = 0, db

dx

(b) Desplazamiento virtual en el que A permanece fijo y C se mueve horizontalmente.

que puede resolverse para dh en términos de db:

b dh = - db. h Así, cuando b crece una cantidad dx, la dimensión h decrece una cantidad (b兾h) dx. Como hay tres pares de vigas, la plataforma se desplaza hacia abajo una distancia (3b兾h) dx, y el trabajo virtual realizado por el peso es (3b兾h)W dx. El trabajo virtual total es

dU = c -F + a y se obtiene F = 13b>h2W.

3b bW ddx = 0, h

Razonamiento crítico Se diseñó este ejemplo para demostrar qué tan ventajoso puede ser el método del trabajo virtual para cierto tipo de problemas. Se puede ver que sería muy tedioso dibujar los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales del bastidor que soporta a la plataforma y resolver las ecuaciones de equilibrio para determinar la fuerza ejercida por el cilindro hidráulico. En contraste, fue relativamente simple determinar el trabajo virtual realizado por las fuerzas externas que actúan sobre el bastidor.

Problemas Los siguientes problemas deben resolverse usando el principio del trabajo virtual.

11.2 a) Determine el trabajo virtual realizado por la fuerza de 2 kN y el par de 2.4 kN-m cuando la viga se gira un ángulo du ( respecto al

11.1 Determine las reacciones en A.

punto A en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

Estrategia: Someta la viga a tres movimientos virtuales: 1. un desplazamiento horizontal dx; 2. un desplazamiento vertical dy, y 3. un giro du respecto a A.

b) Use el resultado de a) para determinar la reacción en B. 2 kN

y

2.4 kN-m 300 N

800 N-m

A

A x 2m

2m

400 mm

800 mm

400 mm

Problema 11.2 Problema 11.1

B

30

554

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

11.3 Determine la tensión en el cable mostrado.

11.7 El mecanismo mostrado está en equilibrio. Determine la fuerza R en términos de F. F

F

B 60

D 60

200 N

A

R

0.8 m

60

1.6 m

60

A

C

Problema 11.3

Problema 11.7 11.4 La barra en L mostrada está en equilibrio. Determine F. F

11.8 Determine la reacción en el soporte de rodillos mostrado en la figura. 200 N

600 mm

F

A

60 N

1m 100 N-m

1.5 m E B

500 mm

500 mm

1.5 m

Problema 11.4

1m C

11.5 La dimensión L  4 pies y w0  300 lbⲐpie. Determine las reacciones en A y B. Estrategia: Para determinar el trabajo virtual realizado por la carga distribuida, represéntela mediante una fuerza equivalente. w0

D 1.5 m

Problema 11.8 11.9 Determine el par M necesario para que el mecanismo mostrado esté en equilibrio. 0.5 m

A B L/2

L/2 0.3 m

Problema 11.5 11.6 Determine las reacciones en A y B.

0.4 m 0.9 m y M

300 lb/pie 600 lb

100 lb/pie x B

A 3 pies

3 pies

Problema 11.6

2 pies

600 N/m

Problema 11.9

Problemas 11.10 El sistema mostrado está en equilibrio. La masa total de la carga suspendida y el dispositivo A es de 120 kg. a) Usando la condición de equilibrio, determine la fuerza F. b) Usando el resultado del inciso (a) y el principio del trabajo virtual, determine la distancia que la carga suspendida se eleva si el cable es jalado hacia arriba 300 mm en B.

555

 11.12* En la figura, demuestre que dx está relacionada con d por medio de dx  (L1 tan b) d. (Vea el ejemplo activo 11.1).

L1 b

L2

F B da

A

dx

Problema 11.12

Problema 11.10

11.11 Determine la fuerza P necesaria para que el mecanismo de la figura esté en equilibrio.

 11.13 La superficie horizontal de la figura es lisa. Determine la fuerza horizontal F necesaria para que el sistema esté en equilibrio. (Vea el ejemplo activo 11.1).

9 pulg

P 200 mm

6 pulg 400 mm

400 pulg-lb

50

400 mm F

F

M 600 mm

400 mm

400 mm

400 mm

Problema 11.11

Problema 11.13

556

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

 11.14* En la figura, demuestre que dx está relacionada con d por medio de dx =

L1x sen a da. x - L1 cos a

11.17 La barra AC está conectada a la barra BD mediante un pasador que se ajusta a una ranura vertical lisa como se muestra en la figura. Las masas de las barras son despreciables. Si MA  30 N-m, ¿cuál es el par MB necesario para que el sistema esté en equilibrio?

Estrategia: Escriba la ley de los cosenos en función de a y derive la ecuación resultante con respecto a a. (Vea el ejemplo activo 11.1).

D

C L2

L1 a

0.4 m MB A

x

B

MA

0.7 m da

Problema 11.17

11.18 El ángulo a  20° y la fuerza ejercida sobre el pistón en reposo por la presión es de 4 kN hacia la izquierda. ¿Qué par M es necesario para mantener el sistema en equilibrio?

dx

Problema 11.14 240 mm

130 mm

 11.15 El mecanismo mostrado está en equilibrio. ¿Qué valor tiene la fuerza F? (Vea el ejemplo activo 11.1).

a F

M

Problema 11.18 200 mm 2 kN

200 mm

400 mm

11.19 La estructura de la figura está sometida a una carga de 400 N y se mantiene en posición mediante un cable horizontal. Determine la tensión en el cable. 400 N

Problema 11.15  11.16 El mecanismo mostrado está en equilibrio. ¿Qué valor tiene la fuerza F? (Vea el ejemplo activo 11.1). 400 lb

2m 60

60

F

3 pies

Problema 11.19 4 pies

6 pies

4 pies

Problema 11.16

8 pies

2m

Problemas 11.20 Si la carga sobre el gato de la figura es L  6.5 kN, ¿cuál es la tensión en el tornillo roscado entre A y B?

557

11.23 Determine la fuerza P necesaria para que el mecanismo mostrado esté en equilibrio.

L

P F

65 mm

B

A

600 mm

65 mm

F

120 mm

600 mm

Problema 11.20 800 mm

 11.21 Determine las reacciones en los puntos A y B mostrados. (Use las ecuaciones de equilibrio para determinar las componentes horizontales de las reacciones y utilice el procedimiento descrito en el ejemplo 11.2 para determinar las componentes verticales).

400 mm

400 mm

Problema 11.23 11.24 El collarín A se desliza sobre la barra vertical lisa que se muestra en la figura. Las masas son mA  20 kg y mB  10 kg.

A

a) Si al collarín A se le da un desplazamiento virtual hacia arriba dy, ¿cuál el desplazamiento resultante hacia debajo de la masa B? b) Use el principio del trabajo virtual para determinar la tensión en el resorte.

60

300 lb

0.25 m

60 B

0.2 m 6 pulg

12 pulg

A

Problema 11.21

B

11.22 El mecanismo mostrado eleva una carga W extendiendo el actuador hidráulico DE. Las barras AD y BC tienen cada una 2 m de longitud. Las distancias son b  1.4 m y h  0.8 m. Si W  4 kN, ¿qué fuerza debe ejercer el actuador para mantener la carga en equilibrio? b

Problema 11.24 W

A

B h

C

D

Problema 11.22

E

558

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

11.2 Energía potencial ANTECEDENTES El trabajo de una fuerza F debida a un desplazamiento diferencial de su punto de aplicación es

dU = F # dr. Si existe una función V de posición tal que para cualquier dr,

dU = F # dr = - dV,

(11.10)

la función V se llama energía potencial asociada con la fuerza F, y se dice que F es conservativa. (El signo negativo en esta ecuación es consistente con la interpretación de V como energía “potencial”: Una disminución de V origina un trabajo positivo). Si las fuerzas que trabajan sobre un sistema son conservativas, se puede usar la energía potencial total del sistema para determinar sus posiciones de equilibrio.

Ejemplos de fuerzas conservativas Los pesos de los objetos y las fuerzas ejercidas por resortes lineales son conservativos. En las secciones siguientes se deducen las energías potenciales asociadas con esas fuerzas. Peso En términos de un sistema coordenado con su eje y dirigido hacia arriba, la fuerza ejercida por el peso de un cuerpo es F  Wj (figura 11.8a). Si se le da al cuerpo un desplazamiento arbitrario dr  dxi  dyj  dzk (figura 11.8b), el trabajo realizado por su peso es

dU = F # dr = 1- Wj2 # 1dxi + dyj + dzk2 = - W dy.

y

Se busca una energía potencial V tal que

dU = - W dy = - dV

(11.11)

o bien Wj x

dV = W. dy Si se desprecia la variación que se da en el peso con la altura y se integra, resulta

z (a)

V  Wy  C.

y

La constante C es arbitraria. Como esta función satisface la ecuación (11.11) para cualquier valor de C, se hará C  0. La posición del origen del sistema coordenado también se puede escoger arbitrariamente. Así, la energía potencial asociada con el peso de un cuerpo es

dr

V  Wy,

(11.12)

donde y es la altura del objeto sobre algún nivel de referencia o datum.

Wj x z (b)

Figura 11.8 (a) Fuerza ejercida por el peso de un cuerpo. (b) Desplazamiento diferencial.

Resortes Considere un resorte lineal que conecta un cuerpo a un soporte fijo (figura 11.9a). En términos del alargamiento S  r – r0, donde r es la longitud del resorte y r0 es su longitud sin estirar, la fuerza ejercida sobre el cuerpo es kS (figura 11.9b). Si el punto en el cual el resorte está unido al cuerpo experimenta un desplazamiento diferencial dr (figura 11.9c), el trabajo realizado por la fuerza sobre el objeto es dU  kS dS,

11.2 Energía potencial

k

kS

(a)

(b)

dr

dS dr

(c)

Figura 11.9 (a) Resorte conectado a un objeto. (b) Fuerza ejercida sobre el objeto. (c) Desplazamiento diferencial del objeto. (d) El trabajo realizado por la fuerza es dU  kS dS.

kS

(d)

donde dS es el incremento en el alargamiento del resorte que resulta del desplazamiento (figura 11.9d). Se busca una energía potencial V tal que dU  kS dS  dV.

(11.13)

o bien

dV = kS. dS Integrando esta ecuación e igualando a cero la constante de integración, se obtiene la energía potencial asociada con la fuerza ejercida por un resorte lineal:

V =

559

1 2 kS . 2

(11.14)

Observe que V es positiva si el resorte está estirado (S es positiva) o comprimido (S es negativa). La energía potencial (potencial de realizar trabajo) se almacena en un resorte al estirarlo o comprimirlo.

Principio del trabajo virtual para fuerzas conservativas Como el trabajo realizado por una fuerza conservativa se expresa en términos de su energía potencial a través de la ecuación (11.10), se puede dar un enunciado alternativo del principio del trabajo virtual cuando un objeto se somete a fuerzas conservativas: Suponga que un cuerpo está en equilibrio. Si las fuerzas y pares que realizan trabajo como resultado de una traslación o giro virtual son conservativas, el cambio en la energía potencial total es igual a cero: dV  0.

(11.15)

Es necesario enfatizar que no es necesario que todas las fuerzas actuando sobre el objeto sean conservativas para que este resultado sea válido; sólo deben serlo las fuerzas que realizan trabajo. Este principio también se aplica a un sistema de objetos interconectados si las fuerzas externas que realizan trabajo son conservativas y las fuerzas internas en las conexiones entre los cuerpos no trabajan o bien son conservativas. Tal sistema se denomina sistema conservativo.

560

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

Si la posición de un sistema se puede especificar con una sola coordenada u, se dice que el sistema tiene un grado de libertad. La energía potencial total de un sistema conservativo de un grado de libertad se puede expresar en términos de u, y es posible escribir la ecuación (11.15) como

dV =

dV dq = 0. dq

Así, cuando el cuerpo o sistema está en equilibrio, la derivada de su energía potencial total con respecto a u es igual a cero:

dV = 0. dq

(11.16)

Esta ecuación puede utilizarse para determinar los valores de u para los cuales el sistema está en equilibrio.

Estabilidad del equilibrio Suponga que una barra homogénea de peso W y longitud L está articulada en un extremo. En términos del ángulo a de la figura 11.10a, la altura del centro de masa 1 relativa al extremo articulado es - 2 L cos a. Por lo tanto, escogiendo como referencia el nivel de la articulación, se puede expresar la energía potencial asociada con el peso de la barra como

1 V = - WL cos a. 2 Cuando la barra está en equilibrio,

dV 1 sen aa  = WL sin = 0. 0. da 2 Esta condición se satisface cuando a  0 (figura 11.10b) y también cuando a  180° (figura 11.10c). Hay una diferencia fundamental entre las dos posiciones de equilibrio de la barra. En la posición mostrada en la figura 11.10b, si se desplaza la barra ligeramente de su posición de equilibrio y se suelta, permanecerá cerca de la posición de equilibrio. Se dice entonces que esta posición de equilibrio es estable. Cuando la barra está en la posición mostrada en la figura 11.10c, si se desplaza ligeramente y se suelta, se alejará de la posición de equilibrio. Esta posición de equilibrio es inestable.

a  180

Nivel de referencia

Figura 11.10 (a) Barra suspendida de un extremo. (b) Posición de equilibrio a  0. (c) Posición de equilibrio a  180°.

a0 a (a)

(b)

(c)

561

11.2 Energía potencial

En la figura 11.11a se muestra la gráfica de la energía potencial V de la barra en función de a. La energía potencial es un mínimo en la posición de equilibrio estable, a  0, y un máximo en la posición de equilibrio inestable, a  180°. La derivada de V (figura 11.11b) es igual a cero en ambas posiciones de equilibrio. La segunda derivada de V (figura 11.11c) es positiva en la posición de equilibrio estable, a  0, y negativa en la posición de equilibrio inestable, a  180°. Si un sistema conservativo de un grado de libertad está en equilibrio y la segunda derivada de V evaluada en la posición de equilibrio es positiva, el equilibrio es estable. Si la segunda derivada de V es negativa, el equilibrio es inestable (figura 11.12).

Equilibrio inestable

V (a) Equilibrio estable dV da (b)

dV 7 0: dq2

dV = 0, dq

d2V 6 0: dq2

a

Equilibrio estable d 2V da 2

Equilibrio inestable

La demostración de estos resultados requiere un análisis del movimiento del sistema cerca de una posición de equilibrio. Por lo general, el uso de la energía potencial para analizar el equilibrio de sistemas con un grado de libertad, implica la realización de llevar a cabo tres pasos: 1. Determinar la energía potencial: Exprese la energía potencial total en términos de una sola coordenada que especifique la posición del sistema. 2. Encontrar las posiciones de equilibrio: Calcule la primera derivada de la energía potencial para determinar la posición o las posiciones de equilibrio. 3. Examinar la estabilidad: Use el signo de la segunda derivada de la energía potencial para determinar si las posiciones de equilibrio son estables.

V

Equilibrio estable

Equilibrio p Equilibrio

2

dV = 0, dq

a

p

Equilibrio inestable

q

Figura 11.12 Gráficas de la energía potencial V en función de la coordenada u que muestran posiciones de equilibrio estable e inestable.

RESULTADOS Energía potencial Si existe una función de posición V tal que para cualquier desplazamiento infinitesimal dr el trabajo realizado por una fuerza F es

dU = F # dr = - dV, entonces V se denomina la energía potencial asociada con la fuerza F y se dice que es conservativa.

(c)

Estable a

p Inestable

Figura 11.11 Gráficas de V, dVⲐda, y d2VⲐda2.

562

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial y

Wj x z

V  Wy.

(11.12)

Energía potencial asociada con el peso de un objeto. La coordenada y es la altura del centro de masa sobre un punto de referencia arbitrario o datum.

k

V

1 2 kS . 2

(11.14)

Energía potencial asociada con un resorte, donde S es el alargamiento, la longitud del resorte respecto a su longitud sin carga.

Principio del trabajo virtual para fuerzas conservativas Considere un objeto que está en equilibrio. Si las fuerzas y pares que realizan trabajo sobre el objeto como resultado de una traslación o rotación virtual son conservativos, el cambio en la energía potencial total es igual a cero: dV  0.

(11.15)

Este principio también se aplica a un sistema de objetos interconectados si las fuerzas externas que realizan trabajo son conservativas y las fuerzas internas entre los objetos no efectúan trabajo o son conservativas. Un sistema de este tipo se llama sistema conservativo.

Si la posición de un sistema puede especificarse mediante una sola coordenada q, se dice el sistema tiene un grado de libertad. Cuando un sistema conservativo de un grado de libertad se encuentra en equilibrio, dV  0. dq

(11.16)

Si la segunda derivada de V con respecto a q es positiva, la posición de equilibrio es estable; si es negativa, la posición de equilibrio es inestable.

11.2 Energía potencial

Ejemplo activo 11.3

Estabilidad de un sistema conservativo ( Relacionado con los problemas 11.27 a 11.29)

En la figura se muestra una caja de peso W, la cual está suspendida del techo mediante un resorte. La coordenada x mide la posición del centro de masa de la caja con respecto a la posición en que el resorte no está estirado. Determine la posición de equilibrio de la caja respecto a su posición cuando el resorte está sin estirar.

k

x

Estrategia Las fuerzas que actúan sobre la caja —su peso y la fuerza ejercida por el resorte— son conservativas. Se puede expresar la energía potencial total en términos de la coordenada x y usar la ecuación (11.16) para determinar la posición de equilibrio. Solución

Sea x  0 el nivel de referencia. Como x es positiva hacia abajo, la energía potencial es Wx.

Energía potencial asociada con el peso.

El alargamiento del resorte es igual a x, por lo que la energía potencial es 1 2 kx . 2

Energía potencial asociada con el resorte.

La energía potencial total es 1 2 kx  Wx. 2 Cuando la caja está en equilibrio, dV  kx  W  0. dx La posición de equilibrio es W x . k V

Aplique la ecuación (11.16).

Problema de práctica Determine si la posición de equilibrio de la caja es estable. Respuesta: Sí.

563

564

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

Ejemplo 11.4

Estabilidad de una posición de equilibrio ( Relacionado con los problemas 11.31, 11.32) Una semiesfera homogénea está en reposo sobre una superficie plana. Demuestre que, en la posición mostrada, la semiesfera se encuentra en equilibrio. ¿Es estable la posición de equilibrio?

R

Estrategia Para determinar si la semiesfera está en equilibrio y para ver si este equilibrio es estable, se debe introducir una coordenada que especifique su orientación y exprese su energía potencial en términos de esa coordenada. Se puede usar como coordenada el ángulo de giro de la semiesfera respecto a la posición mostrada. Solución Determinación de la energía potencial Suponga que la semiesfera ha girado un ángulo a con respecto a su posición original (figura a). Así, a partir del nivel de referencia mostrado, la energía potencial asociada con el peso W de la semiesfera es

3 V = - RW cos a. 8 a

Nivel de referencia 3 R 8

(a) Semiesfera girada un ángulo a.

Localización de las posiciones de equilibrio equilibrio,

Cuando la semiesfera está en

dV 3 = RW sen a = 0, da 8 lo cual confirma que a  0 es una posición de equilibrio. Examen de la estabilidad

La segunda derivada de la energía potencial es

d2V 3 = RW cos a. 2 8 da Esta expresión es positiva en a  0, por lo que la posición de equilibrio es estable. Razonamiento crítico Observe que se despreció la fuerza normal ejercida por la superficie plana sobre la semiesfera. Esta fuerza no trabaja y por ello no afecta a la energía potencial.

11.2 Energía potencialy

Ejemplo 11.5

565

Estabilidad de una posición de equilibrio ( Relacionado con los problemas 11.41, 11.42)

Las barras articuladas se mantienen en posición mediante el resorte lineal mostrado. Cada barra tiene peso W y longitud L. El resorte no está estirado cuando a  0, y las barras están en equilibrio cuando a  60°. Determine la constante de resorte k y determine si la posición de equilibrio es estable o inestable.

B

A

k

a a L

Estrategia Las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre las barras son sus pesos y la fuerza ejercida por el resorte. Expresando la energía potencial total en función de a y usando la ecuación (11.16), se obtendrá una ecuación de la que es posible despejar la constante k. Solución Determinación de la energía potencial Si se utiliza el nivel de referencia mostrado en la figura a, la energía potencial asociada con los pesos de las dos barras es

1 1 W a - L sen ab + W a - L sen ab = - WL sen a. 2 2 Nivel de referencia 1 L sen a 2

2L cos a A

B a

k

a

L

El resorte no está estirado cuando a  0 y la distancia entre los puntos A y B es 2L cos a (figura a), por lo que el alargamiento del resorte es 2L  2L cos a. Así, la 1 energía potencial asociada con el resorte es 2 k12L - 2L cos a22, y la energía potencial total es V  WL sen a  2kL2(1 – cos a)2. Cuando el sistema está en equilibrio,

dV = - WL cos a + 4kL2 1sen a211 - cos a2 = 0. da Como el sistema está en equilibrio cuando a  60°, es posible despejar de esta ecuación la constante de resorte en función de W y L:

k =

W cos a W cos 60° 0.289W = = 4L 1sen a211 - cos a2 4L 1sen 60°211 - cos 60°2 L

Análisis de la estabilidad

La segunda derivada de la energía potencial es

d2V = WL sen a + 4kL2 1cos a - cos2 a + sen 2 a2 da2  WL sen 60°  4kL2(cos 60°  cos2 60°  sen2 60°)

= 0.866WL + 4kL2.

Éste es un número positivo, por lo que la posición de equilibrio es estable. Razonamiento crítico ¿Cómo se sabe cuándo aplicar a un sistema el principio de trabajo virtual para fuerzas conservativas? El sistema debe ser conservativo, lo que significa que son conservativos las fuerzas y pares que realizan trabajo cuando el sistema experimenta un movimiento virtual. Las fuerzas conservativas son fuerzas para las cuales existe una energía potencial. En este ejemplo, el trabajo es realizado por los pesos de las barras y la fuerza ejercida por el resorte, que son fuerzas conservativas.

(a) Determinación de la energía potencial total.

566

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

Problemas 11.25 La energía potencial de un sistema conservativo está dada por V  2x3  3x2  l2x. a) ¿Para qué valores de x el sistema está en equilibrio? b) Determine si las posiciones de equilibrio obtenidas en el inciso a) son estables o inestables. 11.26 La energía potencial de un sistema conservativo está dada por V  2q3  21q2  72q. a) ¿Para qué valores de u el sistema está en equilibrio? b) Determine si las posiciones de equilibrio obtenidas en el inciso a) son estables o inestables.

 11.29 La masa de 1 kg de la figura está suspendida del resorte no lineal descrito en el problema 11.28. Las constantes k  10 y e  1, donde x está en metros. a) Demuestre que la masa está en equilibrio cuando x  1.12 m y cuando x  2.45 m. b) Determine si las posiciones de equilibrio son estables o inestables. (Vea el ejemplo 11.3).

 11.27 En la figura, la masa m  2 kg y la constante del resorte k  100 N/m. El resorte no está estirado cuando x  0. a) Determine el valor de x para el cual la masa está en equilibrio. b) Determine si la posición de equilibrio es estable o inestable. (Vea el ejemplo 11.3).

x

Problema 11.29

11.30 Cada uno de los dos segmentos rectos de la barra mostrada tiene peso W y longitud L. Determine si la posición de equilibrio mostrada es estable cuando: a) 0  a0  90°; b) 90°  a0  180°.

k

m x

a0

a0

Problema 11.27 Problema 11.30  11.28 El resorte no lineal mostrado ejerce una fuerza kx  ex3 sobre la masa, donde k y e son constantes. Determine la energía potencial V asociada con la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa. (Vea el ejemplo 11.3).

 11.31 El objeto compuesto homogéneo consiste en una semiesfera y un cilindro, y descansa sobre una superficie plana. Demuestre que esta posición de equilibrio es estable sólo si L 6 R> 22. (Vea el ejemplo 11.4).

x L R

Problema 11.28 Problema 11.31

Problemas

 11.32 El objeto compuesto homogéneo consiste en un medio cilindro y un prisma triangular sobre una superficie plana. Demuestre que esta posición de equilibrio es estable sólo si h 6 22 R. (Vea el ejemplo 11.4).

h

11.35 La barra AB mostrada tiene masa m y longitud L. El resorte no está estirado cuando la barra se encuentra en posición vertical (a  0). El collarín ligero C resbala sobre la barra lisa vertical por lo que el resorte permanece horizontal. Demuestre que la posición de equilibrio a  0 es estable sólo si 2kL mg.

11.36 La barra AB del problema 11.35 tiene una masa m  4 kg, su longitud es de 2 m, y la constante del resorte k  12 NⲐm. a) Determine el valor de a en el intervalo 0  a  90° para el cual la barra está en equilibrio. b) Determine si la posición de equilibrio encontrada en el inciso a) es estable.

R

Problema 11.32

k

C

11.33 La barra homogénea mostrada tiene peso W, y el resorte no está estirado cuando la barra se encuentra en posición vertical (a  0). a) Utilice la energía potencial para demostrar que la barra está en equilibrio cuando a  0. b) Demuestre que el equilibrio a  0 es estable sólo si 2kL W. 11.34 Suponga que la barra del problema 11.33 está en equilibrio cuando a  20°. a) Demuestre que la constante del resorte k  0.490 WⲐL. b) Determine si la posición de equilibrio es estable. k

a

L

Problemas 11.33/11.34

567

B

a A

Problemas 11.35/11.36

568

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

11.37 La barra AB mostrada tiene peso W y longitud L. El resorte no está estirado cuando la barra se encuentra en posición vertical (a  0). El collarín C se desliza sobre la barra lisa horizontal, por lo que el resorte permanece vertical. Demuestre que la posición de equilibrio a  0 es inestable. 11.38 La barra AB descrita en el problema 11.37 tiene una masa de 2 kg y la constante de resorte k  80 NⲐm. a) Determine el valor de a en el intervalo 0  a  90° para el cual la barra está en equilibrio. b) Determine si la posición de equilibrio encontrada en el inciso a) es estable. C

 11.41 Las barras articuladas de la figura se mantienen en posición mediante el resorte lineal. Cada barra tiene peso W y longitud L. El resorte no está estirado cuando a  90°. Determine el valor de a en el intervalo 0  a  90° para el cual el sistema está en equilibrio. (Vea el ejemplo 11.5).

 11.42 Determine si la posición de equilibrio encontrada en el problema 11.41 es estable o inestable. (Vea el ejemplo 11.5).

L k

a a

k

Problemas 11.41/11.42

B

11.43 La barra mostrada pesa 15 lb. El resorte no está estirado cuando a  0. La barra está en equilibrio cuando a  30°. Determine la constante k del resorte.

a 1m

11.44 Determine si las posiciones de equilibrio de la barra del problema 11.43 son estables o inestables.

A

Problemas 11.37/11.38 11.39 Cada una de las barras homogéneas mostradas tienen masa m y longitud L. El resorte no está estirado cuando a  0. Si mg  kL, determine el valor de a en el intervalo 0  a  90° para el cual el sistema está en equilibrio.

k

11.40 Determine si la posición de equilibrio encontrada en el problema 11.39 es estable o inestable.

4 pies a

k 2 pies

a

Problemas 11.43/11.44 a

Problemas 11.39/11.40

Problemas de repaso

569

Problemas de repaso 11.45 a) Determine el par ejercido sobre la viga en A.

11.48 Suponga se debe calcular la fuerza ejercida sobre el perno por las tenazas cuando los mangos de sujeción están sometidos a fuerzas F como se muestra en la figura a, se podrían medir cuidadosamente las dimensiones, dibujar los diagramas de cuerpo libre y usar las ecuaciones de equilibrio. Pero existe otro procedimiento que consiste en medir el cambio en la distancia entre las mordazas cuando la distancia entre los mangos cambia un poco. Si las mediciones indican que la distancia d de la figura b disminuye 1 mm cuando D se reduce 8 mm, ¿cuál es el valor aproximado de la fuerza ejercida sobre el perno por cada mordaza al aplicar las fuerzas F?

b) Determine la fuerza vertical ejercida sobre la viga en A. 100 N

200 N-m A

30

2m

Problema 11.45 11.46 La estructura mostrada está sometida a un par de 20 kN-m. Determine la reacción horizontal en C. y

F

B 20 kN-m

2m F 40

40

A

C

x

(a)

Problema 11.46 11.47 El mecanismo de “engrane y cremallera” de la figura se usa para ejercer una fuerza vertical sobre una muestra en A en una operación de estampado. Si se ejerce una fuerza F  30 lb sobre el mango, use el principio del trabajo virtual para determinar la fuerza ejercida sobre la muestra.

2 pulg

8 pulg A

F

Problema 11.47

d D

(b)

Problema 11.48

570

Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

11.49 El sistema mostrado está en equilibrio. El peso total de la carga suspendida y del dispositivo A es de 300 lb. a) Usando el equilibrio, determine la fuerza F. b) Empleando el resultado del inciso (a) y el principio del trabajo virtual, determine la distancia que se eleva la carga suspendida si el cable se jala en B un pie hacia abajo.

11.52 En una máquina de inyección para fundido, un par M aplicado al brazo AB ejerce una fuerza sobre el pistón de inyección en C. Dado que la componente horizontal de la fuerza en C es de 4kN, use el principio del trabajo virtual para determinar M.

B

350 mm

300 mm 45

A M

C

B

Problema 11.52

F

11.53 Demuestre que si la barra AB está sometida a un giro virtual d en el sentido de las manecillas del reloj, la barra CD experimenta una rotación virtual (bⲐa)d, en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

A

Problema 11.49 11.50 El sistema mostrado está en equilibrio. a) Dibujando diagramas de cuerpo libre y usando las ecuaciones de equilibrio, determine el par M. b) Empleando el resultado del inciso a) y el principio del trabajo virtual, determine el ángulo que gira la polea B si la polea A gira un ángulo a.

11.54 El sistema mostrado está en equilibrio, a  800 mm y b  400 mm. Use el principio del trabajo virtual para determinar la fuerza F. B

F

400 mm 6 kN-m

200 N-m

M

a

100 mm

100 mm A

200 mm

Problema 11.50 11.51 El mecanismo mostrado está en equilibrio. Ignore la fricción entre la barra horizontal y el collarín. Determine M en términos de F, a y L.

M

D

b

Problemas 11.53/11.54 B

2L

L

C

A

200 mm

a F

Problema 11.51

600 mm

Problemas de repaso 11.55 Demuestre que si la barra AB está sometida a un giro virtual d en el sentido de las manecillas del reloj, la barra CD experimenta un giro virtual [adⲐ(ac  bc  bd)]d, en el sentido de las manecillas del reloj. 11.56 El sistema mostrado está en equilibrio, a  300 mm, b  350 mm, c  350 mm y d  200 mm. Utilice el principio del trabajo virtual para determinar el par M.

571

11.59 El resorte no está estirado cuando a = 90°. Determine el valor de a en el intervalo 0  a  90° para el cual el sistema está en equilibrio. 11.60 Determine si la posición de equilibrio obtenida en el problema 11.59 es estable o inestable.

1 L 2

C

m

B

c

1 L 2

1 L 2 24 N-m

d

a

A

M

a

k

D

Problemas 11.59/11.60

b

Problemas 11.55/11.56

11.57 La masa de la barra mostrada es de 10 kg y tiene 1 m de longitud. Ignore las masas de los dos collarines. El resorte no está estirado cuando la barra se encuentra en posición vertical (a  0), y la constante de resorte k  100 N/m. Determine los valores de a para los cuales la barra está en equilibrio.

11.61 El cilindro hidráulico C de la figura ejerce una fuerza horizontal en A, elevando el peso W. Determine la magnitud de la fuerza que el cilindro hidráulico debe ejercer para soportar el peso en términos de W y a.

W

11.58 Determine si la posición de equilibrio obtenida en el problema 11.57 es estable o inestable. a A

C

k a

b

a

Problemas 11.57/11.58

b

1 b 2

Problema 11.61 11.62 El cuerpo compuesto homogéneo consiste en una semiesfera y un cono sobre una superficie plana. Demuestre que esta posición de equilibrio es estable sólo si h 6 23R.

h R

Problema 11.62

APÉNDICE

A Repaso de matemáticas A.1 Álgebra Ecuaciones cuadráticas Las soluciones de la ecuación cuadrática ax2  bx  c  0 son

x =

-b ; 2b2 - 4ac . 2a

Logaritmos naturales El logaritmo natural de un número real positivo x se denota con ln x y se define como un número tal que eln x  x, donde e  2.7182 . . . es la base de los logaritmos naturales. Los logaritmos tienen las siguientes propiedades:

ln1xy2 = ln x + ln y, ln1x>y2 = ln x - ln y, ln yx = x ln y.

573

574

Apéndice A Repaso de matemáticas

A.2 Trigonometría Las funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo son c

a

a

sen a =

1 a 1 b 1 a = , cos a = = , tan a = = . csc a c sec a c cot a b

b

El seno y el coseno satisfacen la relación

sen2 a  cos2 a  1, y el seno y el coseno de la suma y la diferencia de dos ángulos satisfacen

sen1a  b2  sen a cos b  cos a sen b, sen1a  b2  sen a cos b  cos a sen b, cos1a  b2  cos a cos b  sen a sen b, cos1a  b2  cos a cos b  sen a sen b. La ley de los cosenos para un triángulo arbitrario es

c2  a2  b2  2ab cos ac,

ab c

a

y la ley de senos es

ac

sen ab sen aa sen ac = = . a c b

aa b

A.3 Derivadas d n x = nx n - 1 dx

d sen x = cos x dx

d senh x = cosh x dx

d x e = ex dx

d cos x = -sen x dx

d cosh x = senh x dx

d 1 ln x = x dx

d 1 tan x = dx cos2 x

d 1 tanh x = dx cosh2 x

A.4 Integrales

575

A.4 Integrales L

x n dx =

L

L

L

L

xn+1 n + 1

L -

L

2 2 1>2

L 11 - a x 2

x-1 dx = ln x

L

1a + bx21>2 dx =

2 1a + bx23>2 3b

x1a + bx21>2 dx = 11 + a 2x 221>2 dx =

+

L

dx

1n Z - 12

212a - 3bx2 1a + bx23>2 15b2

1 e x11 + a 2x 221>2 2 1>2 1 1 ln cx + a 2 + x 2 b d f a a 3>2 a 1 a 2 + x2b 3 a

x11 + a 2x 221>2 dx = x 211 + a 2x 221>2 dx =

3>2 1 1 ax a 2 + x 2 b 4 a

1>2 1 1 1 x11 + a 2x 221>2 - 3 ln cx + a 2 + x 2 b d 2 8a 8a a

11 - a 2x 221>2 dx =

L

1 1 cx11 - a 2x 221>2 + arcsen ax d a 2

L

L

L

L

L

L L

3>2 a 1 a 2 - x2b 3 a

L

1 x 21a 2 - x 221>2 dx = - x1a 2 - x 223>2 4 L

L

L

x11 - a 2x 221>2 dx = -

1 x + a 2 cx1a 2 - x 221>2 + a 2 arcsen d a 8 dx L 11 + a 2x 221>2

=

1>2 1 1 ln cx + a 2 + x 2 b d a a

L L

=

1 arcsen ax a

o

1 - arccos ax a

sen x dx = -cos x

cos x dx = sen x sen2 x dx = cos2 x dx =

1 1 sen x cos x + x 2 2

1 1 sen x cos x + x 2 2

sen3 x dx = -

1 cos x1sen2 x + 22 3

cos3 x dx =

1 sen x1cos2 x + 22 3

cos4 x dx =

3 1 1 x + sen 2x + sen 4x 8 4 32

senn x cos x dx =

1sen x2n+1 n + 1

senh x dx = cosh x cosh x dx = senh x tanh x dx = ln cosh x eax dx = xeax dx =

eax a eax 1ax - 12 a2

1n Z - 12

576

Apéndice A Repaso de matemáticas

A.5 Series de Taylor La serie de Taylor de una función f1x2 es

f 1a + x2 = f 1a2 + f ¿1a2x +

1 1 f –1a2x 2 + f ‡1a2x 3 + Á , 2! 3!

donde las primas indican derivadas. Algunas series de Taylor útiles son

ex = 1 + x +

x2 x3 + + Á, 2! 3!

sen1a + x2 = sen a + 1cos a2x -

1 1 1sen a2x2 - 1cos a2x 3 + Á , 6 2

cos1a + x2 = cos a - 1sen a2x -

1 1 1cos a2x 2 + 1sen a2x3 + Á , 2 6

tan1a + x2 = tan a + a

+ a

1 sen a bx + a 3 bx 2 2 cos a cos a

1 sen2 a + bx 3 + Á . 4 cos a 3 cos2 a

APÉNDICE

B Propiedades de áreas y líneas B.1 Áreas y

Las coordenadas del centroide del área A son

A

x =

LA

x dA ,

LA

LA

y =

dA

–y

y dA .

LA

O

x

–x

dA

El momento de inercia Ix respecto al eje x, el momento de inercia Iy respecto al eje y, y el producto de inercia Ixy son

Ix =

LA

y 2 dA,

Iy =

LA

x 2 dA,

Ixy =

LA

xy dA.

El momento polar de inercia respecto a O es

JO =

LA

r 2 dA =

LA

1x 2 + y 22 dA = Ix + Iy.

y

Área  bh

y b

1 3 bh , 3 1 3 = bh , 12

1 3 hb , 3 1 3 = hb , 12

Ix =

Iy =

Ix¿

Iy¿

Ixy =

1 2 2 bh 4

Ix¿y¿ = 0

1 h 2

x h O

1 b 2 Área rectangular

x

577

578

Apéndice B Propiedades de áreas y líneas 1 y h 3

y

Area Área = h x x

2 b 3

O

1 bh 2 Ix =

1 3 bh , 12

Iy =

1 3 hb , 4

Ixy =

1 2 2 bh 8

Ix¿ =

1 3 bh , 36

Iy¿ =

1 3 hb , 36

Ix¿y¿ =

1 2 2 bh 72

b Área triangular

y

a

Area Área =

1 bh 2

Ix =

1 3 bh , 12

Ix¿ =

1 3 bh 36

h 1 h 3 1 (a  b) 3 b

O

x x

Área triangular

y

Área  pR2

R

Ix¿ = Iy¿ =

1 pR 4, 4

Ixy  0

x

Área circular

y y

Área = Area

1 pR 2 2

1 pR 4, 8

Ixy  0

8 p bR 4, 8 9p

Ixy  0

Ix = Iy =

R x, x

O

Ix¿ =

4R 3p Área semicircular

y

y

R

Área = Area

x

O

4R 3 Área de un cuarto de círculo

x

Iy¿ = a

1 pR 4, 8

1 2 pR 4

Ix¿ = Iy¿ = a

Ix = Iy =

p 4 bR 4, 16 9p

1 pR4, 16

Ix¿y¿ = a

Ixy =

1 4 R 8

4 1 bR 4 8 9p

579

B.2 Líneas y

Área  aR2 Ix =

1 4 1 R aa - sen 2ab , 4 2

Iy =

1 4 1 R aa + sen 2ab, 4 2

R a

Ix y  0

O

x

a

2R sen a 3a Sector circular

1 pab 4

Área Area =

Ix =

1 pab3, 16

y

1 pa3b, 16

Iy =

Ixy =

1 2 2 ab 8

b

x2 y2 2  2 1 a b

4b 3p O 4a 3p

x a

Área de un cuarto de elipse

cbn + 1 n + 1

Área = Area

y y  cxn (n  1)cb 4n  2

n

c3b3n + 1 Ix = , 9n + 3

cbn + 3 Iy = , n + 3

Ixy

c2b2n + 2 = 4n + 4

x

(n  1)b n2 b Enjuta

B.2 Líneas Las coordenadas del centroide de la línea L son

x =

LL

x dL

LL

,

y =

LL

dL

y

y dL

LL

,

z =

dL

LL

L

z dL

LL

. dL

–y z

y

y R

R

y a x 2R p

2R p Arco semicircular

R

x 2R p Arco de un cuarto de círculo

a

R sen a a Arco circular

x

–x

–z

x

APÉNDICE

C Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos Las coordenadas del centroide del volumen V son

y V

x = –y z

–x

x dV ,

LV

x

–z

LV

y =

dV

LV

y dV ,

z =

dV

LV

LV

r L0

El momento de inercia del objeto respecto al eje L0 es

I0 = y 1 y l 2 O

Lm

r 2 dm.

Ieje x = 0, x, x

Ieje x = 0,

Ieje y = Ieje z

Barra esbelta y

Ieje x = Ieje y = R z

x

Placa circular delgada

580

1 2 ml 3 1 = ml 2 12

Ieje y = Ieje z =

l

z

z dV . dV

El centro de masa de un objeto homogéneo coincide con el centroide de su volumen.

dm

z

LV

1 mR 2, 4

Ieje z =

1 mR 2 2

Apéndice C Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos

Ieje x =

1 2 mh , 3

1 2 mb , 3

Ieje y =

Ieje z =

1 m1b2 + h22 3

y

y 1 b 2

Ieje x¿ =

1 mh2, 12

1 mb2, 12

Ieje y¿ =

Ieje z¿ =

h

1 m1b 2 + h22 12

b 1 h 2 O x

z

z x Placa rectangular delgada

Ieje x =

m I , A x

Ieje y =

m I , A y

Ieje z = Ieje x + Ieje y

y

Los términos Ix e Iy son los momentos de inercia del área de la sección transversal de la placa A respecto a los ejes x e y.

A

z

x Placa delgada

Volumen  abc Ieje x¿

1 = m1a2 + b22, 12

Ieje z¿ =

Ieje y¿

y

1 = m1a2 + c22, 12

1 m1b2 + c22 12

b

x

a

z

c Prisma rectangular

Volumen  pR2l 1 1 Ieje x = Ieje y = ma l 2 + R 2 b, 3 4 Ieje x¿ = Ieje y¿

1 1 = ma l 2 + R 2 b, 12 4

Ieje z =

Ieje z¿

1 mR 2 2 1 = mR 2 2

y

R z, z

y 1 l 2

O

x l Cilindro circular

x

581

582

Apéndice C Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos y

Volumen =

y⬘ O 3 h 4 x⬘

R z, z⬘

x h

Cono circular

1 2 pR h 3

3 3 2 Ieje x = Ieje y = ma h2 + R b, 5 20 Ieje x¿ = Ieje y¿ = ma

y⬘

Volumen =

R

Ieje z =

3 2 3 2 R b, h + 20 80

4 3 pR 3

Ieje x¿ = Ieje y¿ = Ieje z¿ =

2 mR2 5

x⬘ z⬘ Esfera

y⬘

Volumen =

y

2 3 pR 3

Ieje x = Ieje y = Ieje z = 3R 8

R O

x⬘ x

z, z⬘ Semiesfera

Ieje x¿ = Ieje y¿ =

2 mR2 5

83 2 mR2, Ieje z¿ = mR2 320 5

3 mR2 10

Ieje z¿ =

3 mR2 10

Soluciones a los problemas de práctica Ejemplo activo 1.1 Convierta pies a millas. Convierta segundos a horas. 10 pies/s  10 pies/s

5280 pies  1 mi

3600 s 1h



 6.82 mi/h.

Ejemplo activo 1.4 Use la ecuación (1.6) para calcular el peso en newtons.

W  mg  (0.397 kg)(9.81 m/s2)  3.89 N.

Ejemplo activo 2.1 Dibuje los vectores U y 2V a escala y colóquelos cabeza con cola.

8 6

U

45 2V

U

2V

El valor medido de U  2V es 5.7. 5.7

583

584

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 2.3 Fy  3Fx. La magnitud de F es 900 N  F2x  F2y Se requiere que la magnitud de la componente y de F sea tres veces la magnitud de la componente x.

 F2x  (3Fx )2. Resolviendo se obtiene Fx  285 N. El vector F en términos de sus componentes es F  285i  3(285)j (N)  285i  854j (N). y A

Fy

 3Fx

Use triángulos semejantes para determinar la ubicación del punto B:

F

xB Fx :  80 m 3Fx

80 m

xB  26.7 m.

Fx B

x

xB

Ejemplo activo 2.6 y

D (2, 3, 1) m

rBD

x z

rBD  (xD  xB)i  (yD  yB)j  (zD  zB)k  (2  2.4)i  (3  0)j  (1  3)k (m)  0.4i  3j  2k (m).

B (2.4, 0, 3) m

Determine el vector de posición rBD en términos de sus componentes.

Soluciones a los problemas de práctica

rBD  r2BDx  r2BDy  r2BDz Calcule la magnitud de rBD.

 (0.4 m)2  (3 m)2  (2 m)2  3.63 m. eBD 

rBD rBD

Divida rBD entre su magnitud para obtener eBD en términos de sus componentes.

0.4i  3j  2k (m) 3.63 (m)  0.110i  0.827j  0.551k.



Ejemplo activo 2.11 Los vectores U y V son perpendiculares si U ⴢ V = 0. Use esta condición para determinar Vx.

UⴢV  UxVx  UyVy  UzVz

Calcule U·V en términos de las componentes de los vectores.

 (6)Vx  (5)(2)  (3)(2)  6Vx  16. UⴢV  6Vx  16  0, Vx  2.67.

Iguale U·V a cero y despeje Vx.

Ejemplo activo 2.14 El producto cruz U * V es perpendicular a U y perpendicular a V. Al determinar el vector U * V en términos de sus componentes y dividirlo entre su magnitud ƒ U * V ƒ, se pueden obtener las componentes de un vector unitario que es perpendicular a U y perpendicular a V.

U  V  (UyVz  UzVy)i  (UxVz  UzVx)j  (UxVy  UyVx)k  [(2)(4)  (1)(3)]i  [(3)(4)  (1)(5)]j

Calcule U  V en términos de las componentes de los vectores.

 [(3)(3)  (2)(5)]k  11i  7j  19k. 2 2 2 U  V  (11)  (7)  (19)  23.0. 11i  7j  19k UV  23.0 U  V

 0.477i  0.304j  0.825k.

Divida el vector U  V entre su magnitud.

585

586

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 3.1 Dibujo del diagrama de cuerpo libre del automóvil

Trace un bosquejo del automóvil aislado.

Complete el diagrama de cuerpo libre mostrando las fuerzas ejercidas sobre el automóvil por su peso, el cable y la rampa.

T

N mg

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio

Fx  T  mg sen 20  0,

T

y

Fy  N  mg cos 20  0. x

20 mg

Despejando T se obtiene

N

T  mg sen 20  (1440 kg)(9.81 m/s2)sen 20  4830 N.

Ejemplo activo 3.5 Dibujo del diagrama de cuerpo libre y aplicación del equilibrio y C x

Aísle una parte del sistema de cables cerca del punto A y muestre las fuerzas ejercidas debido a las tensiones en los cables. La suma de las fuerzas debe ser igual a cero: F  TAB  TAC  TAD  (981 N)j  0.

B

D

TAC TAB

TAD

z

A

A (100 kg)(9.81m/s2)j

Soluciones a los problemas de práctica

Expresión de las fuerzas en términos de sus componentes y C

rAB

x B (4, 0, 2) m

D A

z

Obtenga un vector unitario que tenga la misma dirección que la fuerza TAB dividiendo el vector de posición rAB del punto A al punto B entre su magnitud.

rAB  (xB  xA)i  (yB  yA)j  (zB  zA)k  4i  6j  2k (m). r eAB  AB  0.535i  0.802j  0.267k. rAB

TAB  TABeAB  TAB(0.535i  0.802j  0.267k), TAC  TAC (0.302i  0.905j  0.302k), TAD  TAD (0.408i  0.817j  0.408k).

(0, 6, 0) m

Exprese la fuerza TAB en términos de sus componentes, escribiéndola como el producto de la tensión TAB en el cable AB y el vector unitario eAB. Exprese las fuerzas TAC y TAD en términos de sus componentes usando el mismo procedimiento.

Sustituya estas expresiones en la ecuación de equilibrio TAB  TAC  TAD (981 N)j  0. Como cada una de las componentes i, j y k debe ser igual a cero, lo anterior resulta en tres ecuaciones:

0.535TAB  0.302TAC  0.408TAD  0, 0.802TAB  0.905TAC  0.817TAD  981 N  0, 0.267TAB  0.302TAC  0.408TAD  0. Al resolver estas tres ecuaciones se obtiene TAB = 432 N, TAC = 574 N y TAD = 141 N.

587

588

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 4.1 y

40 kN

40 sen 30 kN 30

A

Descomponga la fuerza de 40 kN en sus componentes horizontal y vertical.

x

40 cos 30 kN 6m

La magnitud del momento de la componente horizontal respecto a A es igual a cero. La magnitud del momento de la componente vertical es (6 m)(40 sen30 N)  120 kN-m. Su sentido es contrario al de las manecillas del reloj, por lo que la suma de los momentos es MA  120 kN-m.

Calcule la suma de los momentos de las componentes respecto a A.

Ejemplo activo 4.4 y rAC

C (7, 7, 0) pies

A (0, 6, 5) pies F

z

x

B (11, 0, 4) pies

rAC  (xC  xA)i  (yC  yA)j  (zC  zA)k  7i  j  5k (pies). MA  rAC  F i 7



j 1

40

70

a) Aplique la ecuación (4.2) para determinar el momento de F respecto al punto A.

k 5 40

 310i  480j  530k (pies-lb). D

MA F

(310)  (480)  (530) pies-lb 90 lb  8.66 pies. 2



2

2

b) Use la relación MA  DF, donde D es la distancia perpendicular desde A hasta la línea de acción de F.

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 4.6 Determine las componentes del vector desde el punto C hasta el punto de aplicación de F.

r  (xA  xC)i  (yA  yC)j  (zA  zC)k  4i  2j  2k (m). MC  r  F 

i 4

j 2

k 2

2

6

3

Calcule el momento de F respecto al punto C.

 18i  16j  20k (kN-m). Aplique la ecuación (4.4) para determinar el momento de F respecto al eje BC. Aunque el momento de F respecto al punto C no es el mismo que el de F respecto a B, sus componentes paralelas al eje BC son iguales.

MBC  (eBCⴢMC)eBC  [(0)(18)  (0.8)(16)  (0.6)(20)]eBC  24.8eBC (kN-m).

Ejemplo activo 4.9 y P (10, 7, 3) m

r2 ⴚF

(6, 6, 0) m

r1

(8, 3, 0) m F x

M  (r1  F)  [r2  (F)] i  2

j 4

10

4

k i 3  4 0

10

j 1

k 3

4

0

Calcule la suma de los momentos de las dos fuerzas respecto al punto P.

 22k (N-m). y

La magnitud del momento es 22 N-m. Si se apunta el pulgar de la mano derecha en la dirección del vector unitario k, el sentido del momento en el plano x-y es contrario al de las manecillas del reloj.

22 N-m

x

589

590

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 4.12

i

F  F  20i  15j  5k (kN).

La fuerza F debe ser igual a la suma de las fuerzas en el sistema 2.

3 2  (105i  110j  90k) 15 5

El par M debe ser igual a la suma de los momentos respecto al origen debidos a las fuerzas y momentos del sistema 2.

j

M  4 20

k

 90i  90j  90k (kN-m).

Ejemplo activo 5.1 a) Dibuje un diagrama de la viga aislada de sus soportes de pasador y rodillo, y muestre las reacciones debidas al soporte.

y

4 kN

Ax

x

b) Escriba las ecuaciones de equilibrio, B

Ay

Fx  Ax  0, Fy  Ay  B 4 kN  0, Mextremo izquierdo  (3 m)B  (2 m)(4 kN)  0, y resuélvalas para obtener

2m 3m

Ax  0, Ay  1.33 kN, B  2.67 kN.

Ejemplo activo 5.5 y

MA

2 kN A

B x

Ax

Bx By

Ay

Dibuje el diagrama de cuerpo libre. Existen cinco reacciones desconocidas.

3m 5m

Fx  Ax  Bx  0, Fy  Ay  By  2 kN  0,

Escriba las ecuaciones de equilibrio.

Mpunto A  MA  (5 m)By  (3 m)(2 kN)  0. Existen tres ecuaciones de equilibrio independientes, por lo que la viga es estáticamente indeterminada y el grado de redundancia es 5  3  2. No es posible determinar ninguna de las reacciones a partir de las ecuaciones de equilibrio.

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 5.7 Dibujo del diagrama de cuerpo libre de la barra y B

Ay

200j (N)

MAy

Aísle la barra y muestre las reacciones ejercidas por los cables y el soporte de bola y cuenca.

x

MAz Az z

MAx

Ax

Reacciones debidas al soporte fijo

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio

Fx  Ax  0, Las sumas de las fuerzas en cada dirección coordenada deben ser iguales a cero.

Fy  Ay  200 N  0, Fz  Az  0.

Mpunto A  MAxi  MAyj  MAzk 

 MAxi  MAyj  MAzk 

2 r 1

AB



 (200j)

i

j

k

0.5

0.3

0.2

0 200

0

 (MAx  40)i  MAyj  (MAz  100)k.

Cada una de las componentes de este vector (las sumas de los momentos respecto a los tres ejes coordenados) debe ser igual a cero,

Mx  MAx  40 N-m  0, My  MAy  0, Mz  MAz  100 N-m  0. Al resolver las seis ecuaciones de equilibrio se obtiene Ax  0, Ay  200 N, Az 0, MAx  40 N-m, MAy  0, y MAz  100 N-m.

La suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero.

591

592

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 5.10 P a

y

La fuerza ejercida por la barra AB sobre la placa debe estar dirigida a lo largo de la línea entre A y B. La línea de acción del peso de la placa es vertical, de manera que las tres fuerzas sobre la placa no son paralelas. Por lo tanto, éstas deben ser concurrentes.

B

45

x C

100 lb 3 pies

1 pie

El ángulo a  arctan(1/3)  18.4. Fx  B sen45  C sena  0,

Aplique las ecuaciones de equilibrio.

Fy  B cos45  C cosa  100 lb  0. Resolviendo se obtienen las reacciones B  35.4 lb, C  79.1 lb.

Ejemplo activo 6.1 2 kN A 3.33 kN C D 3.33 kN B 2 kN

y a 3.33 kN B

TBC TBD

x

El ángulo a  arctan(5/3)  59.0. Fx  TBC sena  TBD  3.33 kN  0, Fy  TBC cosa  0. Resolviendo se obtiene TBC  0 y TBD  3.33 kN. La fuerza axial en el elemento BC es cero y la fuerza axial en el elemento BD es 3.33 kN en compresión o BC: cero, BD: 3.33 kN (C). (Observe que la junta C es una de las “juntas especiales” que se analizaron. Mediante observación, podría haberse determinado que TBC  0).

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la junta B y aplique las ecuaciones de equilibrio.

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 6.3 A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

1m M 100 kN

Corte los elementos DE, DK y JK mediante planos y dibuje el diagrama de cuerpo libre de la sección.

y

TDE E

F

TDK 45 M TJK

K

L 100 kN

Fx  TDE  TDK cos45  TJK  0, Fy  TDK sen45  100 kN  0, Mpunto K  (1 m)TDE  (2 m)(100 kN)  0. Resolviendo se obtiene TDE  200 kN, TDK  141 kN, y TJK  300 kN. Las cargas axiales son DE: 200 kN (T), DK: 141 kN (T), JK: 300 kN (C).

Aplique las ecuaciones de equilibrio.

x

593

594

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 6.5 Se pueden determinar las fuerzas axiales en los elementos AB y AC analizando la junta A. 1200 lb TAD TAB TAC

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la junta A.

y 1200 lb A (5, 3, 2) pies B D (10, 0, 0) pies x 440 lb

360 lb

z C

(6, 0, 6) pies 400 lb

rAB  5i  3j  2k (pies). rAB  0.811i  0.487j  0.324k. eAB  rAB TAB eAB  TAB (0.811i  0.487j  0.324k), TAC eAC  TAC (0.196i  0.588j  0.784k), TAD eAD  TAD (0.811i  0.487j  0.324k).

TAB eAB  TAC eAC  TAD eAC  (1200 lb)j  0. Cada una de las componentes i, j y k de esta ecuación debe ser igual a cero, de donde resultan las tres ecuaciones 0.811TAB  0.196TAC  0.811TAD  0, 0.487TAB  0.588TAC  0.487TAD  1200 lb  0, 0.324TAB  0.784TAC  0.324TAD  0. Resolviendo se obtiene TAB  904 lb, TAC  680 lb, y TAD  740 lb. Las fuerzas axiales son AB: 904 lb (C), AC: 680 lb (C).

Divida el vector de posición de A a B entre su magnitud para obtener un vector unitario eAB que apunta desde A hacia B. Exprese la fuerza axial en el elemento AB en términos de sus componentes escribiéndola como TAB eAB. De la misma manera, exprese las fuerzas axiales en los elementos AC y AD en términos de sus componentes.

Aplique el equilibrio.

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 6.6 Ay A

Ax

B 200 N-m

400 mm C Cx 1000 mm

Cy

Fx  Ax  Cx  0, Fy  Ay  Cy  0,

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de todo el bastidor y aplique las ecuaciones de equilibrio.

Mpunto A  200 N-m  (0.4 m)Cx  (1 m)Cy  0. A partir de estas ecuaciones no se puede determinar ninguna reacción. El diagrama de cuerpo libre de todo el bastidor es estáticamente indeterminado.

Ax

Ay

By

A

B

Bx

600 mm

Ay

Dibuje los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales.

By Ax

A

B

Bx

B

200 N-m

200 N-m 400 mm

C

C Cx

Cy

Cx 400 mm

Cy

Fx  Ax  Bx  0, Fy  Ay  By  0, Mpunto A  (0.6 m)By  0. Resolviendo se obtiene Ay  0, By  0, y Ax  Bx. (Observe que AB es un elemento de dos fuerzas. Estos resultados podrían haberse obtenido por observación.)

Aplique el equilibrio al elemento AB.

Fx  Bx  Cx  0, Fy  By  Cy  0, Mpunto B  200 N-m  (0.4 m)Cx  (0.4 m)Cy  0. Como ya se había determinado que By  0, estas ecuaciones pueden resolverse para Bx, Cx y Cy. Los resultados son Bx  500 N, Cx  500 N, y Cy  0, con lo que se completa la solución.

Aplique el equilibrio al elemento BC.

595

596

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 7.1 y

dA 1 h x 2 b x

b

LA y LA

ydA 

1 h x L0 2 b

dA

 

h xdx b

b

h xdx L0 b





x3 3

   2

1 h 2 b

h x2 b 2

 

b

b 0

El área de la franja es dA  (h/b)xdx. La altura del punto medio de la tira es y  (1/2)(h/b)x. Use estas expresiones para evaluar la ecuación (7.7).

1  h. 3

0

Ejemplo activo 7.3 y 1

Elección de las partes Divida el área en partes sencillas. Se muestran las coordenadas y de los centroides de las partes.

1 (2R) 3

2

3 R

b

c

Determinación de los valores para las partes Tabule los términos necesarios para aplicar la ecuación (7.9)2.

yi

Ai

yiAi

1 (2R) 3

1 b(2R) 2

 3 (2R)  12 b(2R) 

Parte 2 (rectángulo)

R

c(2R)

R[c(2R)]

Parte 3 (semicírculo)

R

1 pR2 2

Parte 1 (triángulo)

1

 12 pR 

R

x

2

x

Soluciones a los problemas de práctica

y1A1  y2A2  y3A3 A1  A2  A3

y

 3 (2R)  12 b(2R)   R[c(2R)]  R  12 pR  1



2

1 1 b(2R)  c(2R)  pR2 2 2

.

Cálculo del centroide Use la ecuación (7.9)2 para determinar la componente y del centroide.

Ejemplo activo 7.5 (a)

w  ax  b. 0  a(0)  b, 100 N/m  a(12 m)  b. Resolviendo se obtiene a  (100/12) N/m2 y b  0. Por lo tanto 100 w x N/m. 12

Escriba w como una función lineal arbitraria de x.

Use los valores conocidos de w en x  0 y en x  12 m para determinar las constantes a y b.

(b)

F

LL

wdx 12

100 xdx  L0 12  600 N.

M  xw dx LL 12

100 2 x dx L0 12  4800 N-m. 

Aplique la ecuación (7.10) para determinar la fuerza hacia abajo ejercida por la carga distribuida.

Aplique la ecuación (7.11) para determinar el momento alrededor del origen, con sentido contrario al de las manecillas del reloj, ejercido por la carga distribuida.

597

598

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 7.8 y

El volumen de un disco de grosor dx es

r

dV  pr2dx

x

x

2



p 1

dx



1 x dx. 4

4 pies 4

x dV

x

LV

dV LV



2





xp 1  1 x dx 4 L0 4

L0

2





p 1  1 x dx 4

Aplique la ecuación (7.15)1.

 2.43 pies.

Ejemplo activo 7.11 y

Elección de las partes Divida el volumen en partes sencillas. Se muestran las coordenadas x de los centroides de las partes. Vea el apéndice C.

1 2 x

1 b 2 b

Determinación de los valores para las partes Tabule los términos necesarios para aplicar la ecuación (7.17)1.

Parte 1 (cilindro) Parte 2 (semiesfera)

xi

Vi

xiVi

1 b 2

pR2b

 12 b (pR b)  b  38 R  23 pR 

b

3 R 8

2 pR3 3

2

3

3 R 8

Soluciones a los problemas de práctica

x



x1V1  x2V2 V1  V2

  1 b 2

 



3 pR2b  b  R 8 2 pR2b  pR3 3



2 pR3 3 .

Cálculo del centroide Use la ecuación (7.17)1 para determinar la componente x del centroide.

Ejemplo activo 7.14 Haciendo girar esta área triangular alrededor del eje x se genera el volumen del cono. Se muestra la coordenada y del centroide del área. El área del triángulo es 1 A  hR. El volumen del cono es 2 1 V  2pyT A  phR2. 3

y

R

_ 1 yT  R 3

x

h

Ejemplo activo 7.16 B

B

1m A x

Ax

(80)(9.81) N Ay

2(1 m) p

Fx  Ax  B  0, Fy  Ay  (80)(9.81) N  0, 2(1 m) [(80)(9.81) N]  0. p Resolviendo se obtiene Ax  500 N, Ay  785 N, y B  500 N. Mpunto A  (1m)B 

Coloque el peso de la barra en su centro de masa (el centroide de su eje; vea el Apéndice B.2) y aplique el equilibrio.

599

600

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 7.18 El centro de masa coincide con el centroide del volumen de la barra, por lo tanto 1 y1  (240 mm)  120 mm. 2

Centro de masa de la barra 1.

La coordenada y del centroide del volumen es 1 y2  (80 mm)  40 mm. 2

y

Centro de masa de la barra 2.

y1m1  y2m2 m1  m2

(120 mm)(10.8 kg)  (40 mm)(5.99 kg) 10.8 kg  5.99 kg  91.4 mm. 

Aplique la ecuación (7.27)2.

Ejemplo activo 8.1 y

dAs dy

f(x)

y x

x dx

(Ixy)franja

Lfranja

xydAs

f(x)



(xydx)dy

L0 1 2  [f(x)] xdx. 2

Considere que dAs es un elemento de la franja vertical dA y aplique la ecuación (8.5).

b

Ixy 

1 [f(x)]2xdx L0 2 b

1 h 2  x xdx L0 2 b 1  b2h2. 8

 

Integre la expresión para (Ixy)franja con respecto a x desde x  0 hasta x  b a fin de determinar Ix para el triángulo.

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 8.3 y

y

0.5 m 1 x 2m x

A partir del Apéndice B, el producto de inercia del área 1 en términos del sistema coordenado xy es (Ixy)1  0. Por lo tanto, el producto de inercia del área 1 respecto al sistema coordenado xy es (Ixy)1  0  (0.5 m)(2 m)(1 m)(4 m)  4 m4.

Aplique la ecuación (8.12) al área 1.

y

y 2m 2

0.5 m

El producto de inercia del área 2 en términos del sistema coordenado xy es (Ixy)2  0. El producto de inercia del área 2 en términos del sistema coordenado xy es

x x

Aplique la ecuación (8.12) al área 2.

(Ixy)2  0  (2 m)(0.5 m)(2 m)(1 m)  2 m4.

El producto de inercia del área compuesta, en términos del sistema coordenado xy, es Ixy  (Ixy)1  (Ixy)2 4m 2m  6 m4. 4

4

Sume los valores para las partes.

601

602

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 8.6 tan 2up 

2Ixy 2(6)   1.71. Iy  Ix 16  9

Determine up a partir de la ecuación (8.26).

De aquí se obtiene up  29.9.

y

y x

29.9 x

Ix  Iy Ix  Iy cos 2u  Ixysen 2u  2 2 9  16 9  16 cos[2(29.9)]  (6)sen[2(29.9)]   2 2

Ix 



 



Calcule los momentos de inercia principales a partir de las ecuaciones (8.23) y (8.24).

 5.55 m4, Ix  Iy Ix  Iy cos 2u  Ixysen 2u  2 2 9  16 9  16 cos[2(29.9)]  (6)sen[2(29.9)]   2 2

Iy 



 



 19.4 m4.

Ejemplo activo 8.8 10

Coloque el punto 1 en uno de los puntos donde el círculo de Mohr interseca al eje horizontal. Los momentos de inercia principales son Ix  7.5 pies4, Iy  24.5 pies4. El ángulo medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el punto 1 hasta el punto 1 es 2up  135, por lo que up  67.5.

y

x

up  67.5

y x

1

2up

2 (Iy, Ixy)

1

0

(Ix, Ixy) 2 10

0

10

20

30

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 8.9 Con base en el Apéndice B, 1 Iy  hb3. 4

Determine el momento de inercia del área de la placa respecto al eje y.

El momento de inercia de la placa respecto al eje y es m Ieje y  Iy A m 1 3  hb 1 bh 4 2 1  mb2. 2





Aplique la ecuación (8.30).

Ejemplo activo 8.11 2

Trate al objeto como a un cuerpo compuesto por las barras 1 y 2. Se muestra la distancia entre el eje LO y los ejes que pasan por los centros de masa de las dos barras.

l 2

2 1/2

( 12 l )

1 LO O

1 l 2

(IO)1  I  d2m 1 2 1 2 l m ml  12 2 1  ml2. 3



 

Aplique el teorema de los ejes paralelos a la barra 1.

(IO)2  I  d2m 2

   m

1 2 1 ml  l2  l 12 2 4  ml2. 3 

IO  (IO)1  (IO)2 1 4  ml2  ml2 3 3 5 2  ml . 3

Aplique el teorema de los ejes paralelos a la barra 2.

Sume los resultados.

603

604

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 9.1 y

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la caja. Se supone que el deslizamiento de la caja hacia arriba de la rampa es inminente, por lo que la dirección de la fuerza de fricción sobre la caja es hacia abajo de la rampa y su magnitud es msN.

T

W f  m sN

N

Fx  T  N sen 20  msN cos 20  0, Fy  N cos 20  msN sen 20 W  0.

Aplique el equilibrio.

Resolviendo estas ecuaciones se obtiene T  161 lb.

Ejemplo activo 9.4

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la cuña suponiendo que F  0 y que el deslizamiento de la cuña fuera del tronco es inminente.

La suma de las fuerzas en la dirección vertical es a a 2N sen  2msN cos  0. 2 2 La cuña está en equilibrio si

 

 

N msN

 

a 10  tan  0.0875. 2 2 Éste es el coeficiente de fricción estática mínimo necesario para que la cuña permanezca en su lugar en el tronco, por lo que ésta no se deslizará hacia fuera. ms  tan

a

 

Aplique el equilibrio.

Ejemplo activo 9.5 La fuerza F  200 lb, la pendiente de la rosca es a  1.14, y el ángulo de fricción es uk  arctan mk  arctan (0.22)  12.4. Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.11), M  rF tan(uk  a)  (1.6 pulg)(200 lb) tan(12.4  1.14)  63.8 pulg-lb.

Aplique la ecuación (9.11).

N msN

x

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 9.6 La polea se mueve en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Exprese el par que actúa sobre la polea en dirección inversa a la de las manecillas del reloj en términos de T y W.

M  (6 pulg)(W  T).

El ángulo de fricción cinética es uk  arctan mk  arctan(0.2)  11.3. La ecuación (9.12) es M  rF sen uk: (6 pulg)(W  T)  (0.5 pulg) (W  T sen 45)2  (T cos 45)2 sen11.3.

Aplique la ecuación (9.12).

Estableciendo W  1000 lb y resolviendo se obtiene T  970 lb.

Ejemplo activo 9.7 Los radios ro  1.75 pulg y ri  0.5 pulg. a  arctan[b/(ro  ri)]  arctan[5/(1.75  0.5)]  76.0. M

2mkF 3 cos a

Determine el ángulo a.

ro3  r3i ro2  r2i





2(0.18)(200 lb) (1.75 pulg)3  (0.5 pulg)3  3 cos 76.0 (1.75 pulg)2  (0.5 pulg)2

Aplique la ecuación (9.13).

 184 pulg-lb.

Ejemplo activo 9.9 T  Wemsb  (100 lb)e(0.2)(p/2)  137 lb.

Aplique la ecuación (9.17) al cilindro izquierdo. Suponga que el deslizamiento de la cuerda en la dirección de la fuerza T es inminente.

F  Te

Aplique la ecuación (9.17) al cilindro derecho. Suponga que el deslizamiento de la cuerda en la dirección de la fuerza F es inminente.

(0.4)(p/2)

 (137 lb)e

(0.4)(p/2)

 257 lb.

605

606

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 10.1 y F

1 L 2

VC

x

PC MC

C

3 F 4 3 L 4

Fx  PC  0, 3 F  0, 4 3 1 MpuntoC  MC  L F  L 4 2

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la parte de la viga a la derecha de C (observe las direcciones positivas definidas de PC, VC, y MC.) Aplique el equilibrio para determinar las fuerzas y el momento internos.

Fy  VC  F 

 

  4 F  0.

Resolviendo se obtiene PC  0, VC 

3

1 1 LF. F, y MC  16 4

Ejemplo activo 10.3 a) Pase un plano a través de la viga en una posición arbitraria x entre B y C. El diagrama de cuerpo libre más sencillo se obtiene aislando la parte de la viga a la derecha del plano.

y 60 kN

40 kN/m

x

A

B

100 kN

C 80 kN

y 60 kN

V M

x

P C x

4x

Soluciones a los problemas de práctica

Fx  P  0, Fy  V  60  0, Mextremo izquierdo  M  60(4  x)  0.

Aplique el equilibrio para determinar V y M.

Resolviendo se obtiene V  60 kN M  60(4  x) kN-m

2 x 4 m.

y

60 kN

40 kN/m

x

A

C

B 80 kN

100 kN 2m

2m

V 100 kN

20 kN 0

x

 60 kN

M 120 kN-m

0

x

607

608

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 10.4 No se aplica ningún par en A, por lo que el momento flector en A es igual a cero. La fuerza cortante entre A y B es V  100  40x kN. Con esta expresión, la ecuación (10.6) puede integrarse para determinar el momento flector entre A y B: M

L0

V 100 kN 20 kN A

B

C

60 kN 2m

2m

x

dM 

L0

(100  40x)dx :

M  100x  20x2 kN-m. El valor de M en B es

M 120 kN-m

x

100(2)  20(2)2  120 kN-m.

La fuerza cortante entre B y C es V  60 kN. Como V es constante, la ecuación (10.6) indica que la pendiente del momento flector es constante: el diagrama es una línea recta. Debido a que no se aplica ningún par sobre la viga en C, el momento flector en C es igual a cero. Por lo tanto, M disminuye linealmente desde 120 kN-m en B hasta cero en C. Este resultado también puede obtenerse integrando la ecuación (10.6): M

L120

x

V 100 kN 20 kN A

C

60 kN 2m

M 120 kN-m

x

dM 

B 2m

Entre B y C, dM  const. dx

L2 M  240  60x kN-m.

4m

Ejemplo activo 10.6

T  T0 1  a2x2L  (686 lb) 1  (0.146 pies1)2 (23.4 pies)2  2440 lb.

MC  0

60dx :

La tensión está dada por la ecuación (10.11) en términos de la tensión en el punto más bajo y la coordenada horizontal respecto al punto más bajo. A partir de la ecuación (10.11), resulta claro que la tensión máxima ocurre en la distancia horizontal máxima desde el punto más bajo, que en este ejemplo es el punto de unión izquierdo. La tensión máxima es

x

Aplique la ecuación (10.11) para determinar la tensión máxima.

x

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 10.8 La tensión máxima ocurre donde la distancia horizontal desde el punto más bajo hasta el punto más alto, en x  10 m:

Aplique la ecuación (10.21)

T  T0 coshax  (50 N)cosh[(0.196 m1)(10 m)]  181 N.

Ejemplo activo 10.9 Tv

1m

Th 1m

El ángulo a es

a

h2  1 m a  arctan 1m 1.25 m  1 m  arctan 1m  14.0. La suma de las fuerzas horizontales es T2cosa  Th  0, de donde resulta Th T2  cosa 131 N  cos14.0  135 N.

 





T2

m1g

Corte el cable en el punto de unión izquierdo y en un punto perteneciente al segmento 2 y sume las fuerzas en la dirección horizontal.

609

610

Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 10.10

La presión manométrica pg  gx aumenta linealmente desde pg  0 en la superficie del agua pg  (2 pies)g en la parte baja de la compuerta. Se muestra el centroide de la distribución.

z 2 (2 pies)  1.33 pies 3 2 pies

x

F

1 (2 pies)[(2pies)(62.4 lb/pies2)](3 pies) 2

 374 lb.

(2 pies) g

Determine la fuerza total ejercida por la presión manométrica calculando el “volumen” de la distribución de presión. El “volumen” es el producto del “área” del triángulo en la figura anterior por la dimensión de la compuerta que es perpendicular a la página.

B 1 pie z 1.33 pies

100 lb 2 pies

374 lb Az Ax x

Fx  Ax  100 lb  0, Fz  Az  B  374 lb  0, Meje y  (1 pie)B  (2 pies)Az  (1.33 pies)(374 lb)  0. Resolviendo se obtiene Ax  100 lb, Az  291 lb, y B  83.2 lb.

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la compuerta,colocando la fuerza total ejercida por la presión manométrica en el centro de presión. Aplique el equilibrio para determinar las reacciones en A y B.

Soluciones a los problemas de práctica

611

Ejemplo activo 11.1 El trabajo realizado por la fuerza de 400 N es (400 sen 40 N)(1 m)da. La barra BC experimenta una rotación da en el sentido de las manecillas del reloj, por lo que el trabajo realizado por el par es (500 N-m)da. El trabajo efectuado por la reacción Cy es Cy 2(2 cos 40)da. El trabajo virtual total es

Determine el trabajo virtual.

dU  (400 sen 40 N)(1 m)da  (500 N-m)da Cy 2(2 cos 40)da  0. Resolviendo se obtiene Cy  79.3 N.

Ejemplo activo 11.3 La derivada de la energía potencial con respecto a la coordenada x es dV  kx  W. dx La segunda derivada es d2V  k, dx2 que es positiva. La posición de equilibrio es estable.

Determine si la segunda derivada de V es positiva (estable) o negativa (inestable).

Respuestas a los problemas con número par Capítulo 1 1.2 1.4 1.6 1.8 1.10 1.12 1.14 1.16 1.18 1.20 1.22 1.24 1.26 1.28 1.30

2

2

(a) e = 2.7183; (b) e = 7.3891; (c) e = 7.3892. 17.8 m2. La llave de 1 pulg se ajusta a la tuerca de 25 mm. (a) 267 mi/h; (b) 392 pies/s. 310 N-m. g = 32.2 pies/s2. (a) 0.0208 m2; (b) 32.2 pulg2. 2.07 * 106 Pa. 27.4 lb/pie. (a) kg-m/s; (b) 2.70 slug-pie/s. (a) 0.397 kg; (b) 0.643 N. (a) 4.60 * 1019 slugs; (b) 6.71 * 1020 kg. 163 lb. 32.1 km. 345,000 km.

Capítulo 2 2.2 2.4 2.6 2.8 2.10 2.12 2.14 2.18 2.20 2.22 2.24 2.26 2.28 2.30

2.32 2.34 2.36 2.38 2.40 2.42 2.44 2.46 2.48 2.50 2.52

ƒ FAB + FAC ƒ = 146 kN, la dirección es a 32° sobre la horizontal. ƒ FA + FB + FC ƒ = 83 N. ƒ rAC ƒ = 181 mm. ƒ FB ƒ = 86.6 N, ƒ FC ƒ = 50.0 N. ƒ L ƒ = 453 lb, ƒ D ƒ = 211 lb. ƒ FBA ƒ = 174 lb. ƒ rBC ƒ = 390 m, a = 21.2°. Fy = - 102 MN. ƒ F ƒ = 447 kip. Vx = 16, Vy = 12 o bien Vx = -16, Vy = -12. (a) F = 56.4i + 20.5j (lb); (b) 97.4 lb. rAD = - 1.8i - 0.3j 1m2, ƒ rAD ƒ = 1.825 m. rAB - rBC = i - 1.73j 1m2. (a) rAB = 48i + 15j 1pulg2; (b) rBC = -53i + 5j 1pulg2; (c) ƒ rAB + rBC ƒ = 20.6 pulg. (a) rAB = 52.0i + 30j 1mm2; (b) rAB = - 42.4i - 42.4j 1mm2. xB = 785 m, yB = 907 m o bien xB = 225 m, yB = 1173 m. eCA = 0.458i - 0.889j. e = 0.806i + 0.593j. F = - 937i + 750j 1N2. 14,500 lb. ƒ FBA ƒ = 802 N. ƒ FA ƒ = 1720 lb, a = 33.3°. 57.9° … a … 90°. ƒ FA ƒ = 10 kN, ƒ FD ƒ = 8.66 kN. ƒ L ƒ = 214 lb, ƒ D ƒ = 85.4 lb.

2.54 2.56 2.58 2.60 2.62 2.64 2.66 2.68

2.70 2.72 2.74 2.76 2.78

2.80

2.82 2.84 2.86 2.88 2.90 2.92 2.94 2.96 2.98 2.100 2.102 2.104 2.108 2.110 2.112 2.114 2.116 2.118 2.120 2.122 2.124 2.126 2.128 2.130

ƒ FA ƒ = 68.2 kN. ƒ FAC ƒ = 2.11 kN, ƒ FAD ƒ = 2.76 kN. x = 75 - 0.880s, y = 12 + 0.476s. r = (0.814s - 6)i + (0.581s + 1)j (m). 2 2 o bien ez = - . ez = 3 3 Ux = 3.61, Uy = - 7.22, Uz = - 28.89 o bien Ux = -3.61, Uy = 7.22, Uz = 28.89. (a) ƒ U ƒ = 7, ƒ V ƒ = 13; (b) ƒ 3U + 2V ƒ = 27.5. (a) cos ux = 0.333, cos uy = -0.667, cos uz = -0.667; (b) e = 0.333i - 0.667j - 0.667k. F = - 0.5i + 0.2j + 0.843k. rBD = - i + 3j - 2k 1m2, ƒ rBD ƒ = 3.74 m. eCD = - 0.535i + 0.802j + 0.267k. F = 300i + 477j + 205k (lb). (a) ƒ rAB ƒ = 16.2 m; (b) cos ux = 0.615, cos uy = -0.492, cos uz = -0.615. rAR: cos ux = 0.667, cos uy = 0.667, cos uz = 0.333. rBR: cos ux = - 0.242, cos uy = 0.970, cos uz = 0. h = 8848 m 129,030 pies2. ƒ FA + FB ƒ = 217 lb. F = 474i + 516j + 565k (N). (a) eBC = - 0.286i - 0.857j + 0.429k; (b) F = - 2.29i - 6.86j + 3.43k 1kN2. ƒ F ƒ = 424 lb. 259 lb. ƒ FAC ƒ = 1116 N, ƒ FAD ƒ = 910 N. T = - 15.4i + 27.0j + 7.7k 1lb2. T = - 41.1i + 28.8j + 32.8k 1N2. 32.4°. ƒ V ƒ = 0 o bien V es perpendicular a U. Ux = 2.857, Vy = 0.857, Wz = - 3.143. u = 62.3°. u = 53.5°. 14.0 i + 11.2j - 8.40k (N). (a) 42.5°; (b) -423j + 604k 1lb2. Fp = 5.54j + 3.69k 1N2, Fn = 10i + 6.46j - 9.69k 1N2. Tn = - 37.1i + 31.6j + 8.2k 1N2. Fp = - 0.1231i + 0.0304j - 0.1216k 1lb2. vp = - 1.30i - 1.68j - 3.36k 1m/s2. (a) U * V = 44i + 56j - 16k. 2180i + 1530j - 1750k (pie-lb). ƒ V ƒ = 0 o bien V es paralelo a U. (a), (c) U * V = - 51.8k; (b), (d) V * U = 51.8k.

613

614 2.134

2.136 2.138 2.140 2.144 2.146 2.148 2.150 2.152 2.154 2.156 2.158 2.160 2.162 2.164 2.166

Respuestas a los problemas con número par (a) rOA * rOB = - 4i + 36j + 32k 1m22; (b) -0.083i + 0.745j + 0.662k o bien 0.083i - 0.745j - 0.662k. rAB * F = -2400i + 9600j + 7200k 1pie-lb2. rCA * T = - 4.72i - 3.48j - 7.96k 1N-m2. xB = 2.81 m, yB = 6.75 m, zB = 3.75 m. 1.8 * 106 mm2. Uy = - 2. ƒ A ƒ = 1110 lb, a = 29.7°. ƒ E ƒ = 313 lb, ƒ F ƒ = 140 lb. eAB = 0.625i - 0.469j - 0.625k. Fp = 8.78i - 6.59j - 8.78k 1lb2. rBA * F = -70i + 40j - 100k 1pie-lb2. (a), (b) 686i - 486j - 514k 1pie-lb2. (a) F = 139i + 58.2j + 80k (lb); (b) ux = 35.5°, uy = 70°, uz = 62.0°. Fp = 1.29i - 3.86j + 2.57k 1kN2, Fn = - 1.29i - 2.14j - 2.57k 1kN2. rAG * W = - 16.4i - 82.4k 1N-m2. rBC * T = 33.3i - 125j - 183k 1N-m2.

Capítulo 3 3.2 3.4 3.6 3.8 3.10 3.12 3.14 3.16 3.18 3.20 3.22 3.24 3.26 3.28 3.30 3.32 3.34 3.36 3.38 3.40 3.44 3.46 3.48 3.50 3.52 3.56 3.58 3.60 3.62

F2 = 4.77 lb, a = 35.2°. TAB = TAC = 1.53 kN. T = 785 N, P = 823 N. k = 1960 N/m, mA = 4 kg, mB = 6 kg. (a) ƒ Ngrúa ƒ = 197 kN, ƒ fgrúa ƒ = 0.707 kN; (b) ƒ Nbloque ƒ = 3.22 kN, ƒ fbloque ƒ = 0.707 kN; (a) ƒ N ƒ = 11.06 kN, ƒ f ƒ = 4.03 kN; (b) a = 31.0°. (a) 254 lb; (b) 41.8°. 5.91 kN. (a) 128 N; (b) 98.1 N. Tizquierdo = 299 lb, Tderecho = 300 lb. 188 lb. (a) 66.1 lb; (b) 12.3 lb. TAB = 2.75 kN, TBC = 2.06 kN. La tensión en el cable superior es de 0.828W, la tensión en el cable inferior es de 0.132W. TAB = 1.21 N, TAD = 2.76 N. m = 12.2 kg. FB = 3680 lb, FC = 2330 lb. h = b. TAB = 688 lb. TAB = 64.0 kN, TBC = 61.0 kN. a = 79.7°, TAB = 120 N, TBC = 21.4 N, TCD = 62.6 N. W1 = 133 lb. (b) Superficie izquierda: 36.6 lb; superficie derecha: 25.9 lb. k = 1420 N/m. T = mgL>(h + R). m2 = 12.5 kg. (a) T = W>2; (b) T = W>4; (c) T = W>8. L = 131.1 kN, D = 36.0 kN. (a) g = - 14.0°; (b) 4 km.

3.64 3.66 3.68 3.70 3.72 3.74 3.76 3.78 3.80 3.82 3.84 3.86 3.88 3.90 3.92 3.94 3.96 3.98

TAB = 405 lb, TAC = 395 lb, TAD = 103 lb. TAB = 1.54 lb, TAC = 1.85 lb. Dos en B, tres en C, y tres en D. TAB = 9390 lb, TAC = 5390 lb, TAD = 10,980 lb. D = 1176 N, TOA = 6774 N. TBC = 1.61 kN, TBD = 1.01 kN. TEF = TEG = 738 kN. (a) La tensión = 2.70 kN; (b) La fuerza ejercida por la barra = 1.31i - 1.31k (kN). TAB = 357 N. F = 36.6 N. W = 25.0 lb. (a) 83.9 lb; (b) 230.5 lb. T = mg>26. F = 162.0 N. TAB = 420 N, TAC = 533 N, ƒ FS ƒ = 969 N. N = 2580 lb, f = 995 lb. TAC = 16.7 lb, TAD = 17.2 lb, TAE = 9.21 lb. Fuerza normal = 12.15 kN, fuerza de fricción = 4.03 kN.

Capítulo 4 4.2 4.4 4.6 4.8 4.10 4.12 4.14 4.16 4.18 4.20 4.22 4.24 4.26 4.28 4.30 4.32 4.34 4.36 4.38 4.40 4.42 4.44 4.46 4.48 4.50 4.52 4.54 4.56 4.58 4.60

134 N-m. F = 36.2 N. 25.0 kN-m en el sentido de las manecillas del reloj. L = 2.4 m. 15.8° … a … 37.3°. 0.961 kN-m en sentido contrario al de las manecillas del reloj. MS = 611 pulg-lb. MP = 298 N-m. 410 N-m en sentido contrario al de las manecillas del reloj. (a) FB = 37.5 lb, FC = 22.5 lb, FD = 26.0 lb; (b) Cero. (a) A = 56.6 lb, B = 24.4 lb, C = 12.2 lb; (b) Cero. 640 lb. M = 2.39 kN-m. (a) Ax = 18.1 kN, Ay = -29.8 kN, B = -20.4 kN; (b) Cero. (a) Ax = 300 lb, Ay = 240 lb, B = 280 lb; (b) Cero. 60.4 pie-lb. -22.3 pies-lb. M = - 2340 N-m. TAB = TAC = 223 kN. 617 N-m. MA = - 3.00 kN-m, MD = 7.50 kN-m. 796 N. (a), (b) 480k (N-m). (a) 800k (kN-m); (b) -400k (kN-m). F = 20i + 40j 1N2. MO = -5600k 1pie-lb2. (a), (b) 1270 N-m. 128 pies-lb. 985 pies-lb. 58.0 kN.

Respuestas a los problemas con número par 4.62 4.64 4.66 4.68 4.70 4.72 4.74 4.76 4.78

4.80 4.82 4.84 4.86 4.88 4.90 4.92 4.94 4.96 4.98 4.100 4.102 4.104 4.106 4.108 4.110 4.112 4.114 4.116 4.118 4.120 4.122 4.124 4.126 4.128 4.130 4.134 4.136 4.138 4.140 4.142

4.144 4.146 4.148 4.150 4.152

4.154

(a) ƒ F ƒ = 1586 N; (b) ƒ F ƒ = 1584 N. -16.4i - 111.9k 1N-m2. F = 4i - 4j + 2k 1kN2 o bien F = 4i - 3.38j + 2.92k 1kN2. MD = 1.25i + 1.25j - 6.25k 1kN-m2. TAC = 2.23 kN, TAD = 2.43 kN. TAB = 1.60 kN, TAC = 1.17 kN. TBC = 886 N, TBD = 555 N. M = 482k 1kN-m2. (a) Meje x = 80i 1N-m2; (b) Meje y = -140j 1N-m2; (c) Meje z = 0. (a) Cero; (b) 2.7k (kN-m). (a) Meje x = -16i 1kN-m2; (b) Meje z = 15k (kN-m). F = 80i + 80j + 40k 1lb2. -16.4i 1N-m2. (a), (b) MAB = - 76.1i - 95.1j 1N-m2. MAO = 119.1j + 79.4k 1N-m2. MAB = 77.1j - 211.9k 1pie-lb2. Meje y = 215j (N-m). Meje x = 44i (N-m). -338j 1pie-lb2. ƒ F ƒ = 13 lb. Meje = -478i - 174k (N-m). 1 N-m. 124k (pie-lb). 28 N-m en el sentido de las manecillas del reloj. a = 30.9° o bien a = 71.8°. (b) FL cos 30°. 40 pie-lb en el sentido de las manecillas del reloj, o bien -40k (pie-lb). 2200 pie-lb en el sentido de las manecillas del reloj. (a) C = 26 kN-m; (b) Cero. (a) M = - 14i - 10j - 8k 1kN-m2; (b) D = 6.32 m. 356 pies-lb. ƒ M ƒ = 6.13 kN-m. MCy = 7 kN-m, MCz = - 2 kN-m. Sí. Los sistemas 1, 2 y 4 son equivalentes. F = 265 N. F = 70 lb, M = 130 pulg-lb. (a) F = -10j 1lb2, M = -10 pies-lb; (b) D = 1 pie. F = 200i + 180j 1N2, d = 0.317 m. (a) Ax = 12 kip, Ay = 10 kip, B = - 10 kip; (b) F = -12i (kip), interseca en y = 5 pies; (c) Ambos son iguales a cero. F = 104j (kN), M = 13.2 kN-m en sentido contrario al de las manecillas del reloj. F = 100j (lb), M = 0. (a) F = 920i - 390j 1N2, M = - 419 N-m; (b) interseca en y = 456 mm. F = 800j 1lb2, interseca en x = 7.5 pulg. (a) -360k 1pulg-lb2; (b) -36j 1pulg-lb2; (c) F = 10i - 30j + 3k 1lb2, M = -36j - 360k 1pulg-lb2. x = 2.00 pies, z = -0.857 pie.

4.156 4.158 4.160 4.162 4.164 4.166 4.168 4.170 4.172 4.174

4.176 4.178 4.180 4.182 4.184 4.186 4.188 4.190 4.192 4.194 4.196 4.198 4.200

615

F = 100j + 80k 1N2, M = 240j - 300k 1N-m2. (a) F = 0, M = rAi; (b) F¿ = 0, M¿ = rAi. (a) F = 0, M = 4.60i + 1.86j - 3.46k 1kN-m2; (b) 6.05 kN-m. F = -20i + 20j + 10k 1lb2, M = 50i + 250j + 100k 1pulg-lb2. (a) F = 28k 1kip2, M = 96i - 192j 1pie-kip2; (b) x = 6.86 pies, y = 3.43 pies. F = 100i + 20j - 20k 1N2, M = -143i + 406j - 280k 1N-m2. Mp = 0, la línea de acción interseca en y = 0, z = 2 pies. x = 2.41 m, y = 3.80 m. F = 40.8i + 40.8j + 81.6k 1N2, M = - 179.6i + 391.9j - 32.7k 1N-m2. (a) 320i (pulg-lb); (b) F = -20k 1lb2, M = 320i + 660j 1pulg-lb2; (c) Mt = 0, x = 33 pulg, y = -16 pulg. ƒ MP ƒ = 244 N-m. (a) -76.2 N-m; (b) -66.3 N-m. ƒ F ƒ = 224 lb, ƒ M ƒ = 1600 pies-lb. 501 lb. - 228.1i - 68.4k 1N-m2. Meje x = -153i (pie-lb). MCD = -173i + 1038k (pie-lb). (a) TAB = TCD = 173.2 lb; (b) F = 300j (lb) en x = 4 pies. F = - 20i + 70j 1N2, M = 22 N-m. F¿ = -100i + 40j + 30k 1lb2, M = -80i + 200k (pulg-lb). F = 1166i + 566j 1N2, y = 13.9 m. F = 190j 1N2, M = - 98i + 184k 1N-m2. F = - 0.364i + 4.908j + 1.090k 1kN2, M = - 0.131i - 0.044j + 1.112k 1kN-m2.

Capítulo 5 5.2 5.4 5.6 5.8 5.10 5.12 5.14 5.16 5.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.30 5.32 5.34 5.36

Ax = - 1 kN, Ay = - 5.73 kN, MA = - 22.9 kN-m. La tensión es 386 lb, Bx = 493 lb, By = 186 lb. (b) Ax = 0, Ay = - 1.85 kN, By = 2.74 kN. (b) Ax = 0, Ay = - 5 kN, By = 15 kN. (b) A = 100 lb, B = 200 lb. (b) Ax = 502 N, Ay = 870 N. (b) Ax = 4 kN, Ay = - 2.8 kN, By = 2.8 kN. Sobre cada mano, 66.3 lb. Sobre cada pie, 23.7 lb. Ax = - 100 lb, Ay = - 225 lb, E = 625 lb. k = 3380 N/m, Bx = - 188.0 N, By = 98.7 N. 5.93 kN. R = 12.5 lb, Bx = 11.3 lb, By = 15.3 lb. (a) 21.2 lb; (b) 30 lb. WL = 1125 lb. 6.23 lb. T = 3.68 lb. TAE = 31.0 lb, Dx = - 29.9 lb, Dy = 34.0 lb. Ax = - 1.83 kN, Ay = 2.10 kN, By = 2.46 kN.

616

Respuestas a los problemas con número par

5.38 Ax = -200 lb, Ay = -100 lb, MA = 1600 pies-lb. 5.40 k = 3.21 lb/pie. 5.42 Ax = 3.46 kN, Ay = -2 kN, Bx = -3.46 kN, By = 2 kN. 5.44 F = 28.3i + 58.3j (lb), D = 7.03 pies, Ax = -28.3 lb, Ay = -58.3 lb, MA = -410 pies-lb. 5.46 Ax = - 1.57 kN, Ay = 1.57 kN, Ex = 1.57 kN. 5.48 Ax = 0, Ay = 200 lb, MA = 900 pies-lb. 5.50 Ax = 57.7 lb, Ay = - 13.3 lb, B = 15.3 lb. 5.52 W = 15 kN. 5.54 (b) Cx = 500 N, Cy = - 200 N. 5.56 TBC = 5.45 lb, Ax = 5.03 lb, Ay = 7.90 lb. 5.58 20.3 kN. 5.60 W2 = 2484 lb, Ax = - 2034 lb, Ay = 2425 lb. 5.62 W = 46.2 N, Ax = 22.3 N, Ay = 61.7 N. 5.64 F = 44.5 lb, Ax = 25.3 lb, Ay = - 1.9 lb. 5.66 W = 132 lb. 5.68

5.104 5.106 5.108 5.110 5.112 5.114 5.116 5.118 5.120

F/W

5.122 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13

5.124 5.126 5.128 24

26

28

30

32

34

36

h, pulg

5.76 5.78

5.80 5.82

5.84

5.86 5.88 5.90 5.92 5.94

5.96 5.98 5.100 5.102

(1) y (2) están impropiamente apoyados. Para (3), las reacciones son A = F>2, B = F>2, C = F. (b) Ax = - 6.53 kN, Ay = - 3.27 kN, Az = 3.27 kN, MAx = 0, MAy = - 6.53 kN-m, MAz = - 6.53 kN-m. 374 lb. Cx = -349 lb, Cy = 698 lb, Cz = 175 lb, MCx = -3490 pies-lb, MCy = -2440 pie-lb, MCz = 2790 pies-lb. (a) -17.8i - 62.8k 1N-m2; (b) Ax = 0, Ay = 360 N, Az = 0, MAx = 17.8 N-m, MAy = 0, MAz = 62.8 N-m. Ax = 166.7 N, Ay = 200 N, Az = 66.7 N, TBC = 100 N, TBD = 170 N. ƒ F ƒ = 10.9 kN. TAB = 553 lb, TAC = 289 lb, Ox = 632 lb, Oy = 574 lb, Oz = 0. x = 0.1 m, z = 0.133 m. TBD = 50.2 lb, Ax = - 34.4 lb, Ay = 17.5 lb, Az = - 24.1 lb, MAx = 0, MAy = 192.5 pulg-lb. F = 4j (kN) en x = 0, z = 0.15 m. (b) Ax = - 0.74 kN, Ay = 1 kN, Az = - 0.64 kN, Bx = 0.74 kN, Bz = 0.64 kN. Fy = 34.5 lb. TBD = 1.47 kN, TBE = 1.87 kN, Ax = 0, Ay = 4.24 kN, Az = 0.

5.130 5.134 5.136 5.138 5.140 5.142 5.144 5.146 5.148 5.150

T = 139 lb, Ax = 46.4 lb, Ay = -26.8 lb, Az = 31.7 lb, MAx = -63.4 pies-lb, MAy = -110 pies-lb. La tensión es de 60 N, Bx = -10 N, By = 90 N, Bz = 10 N, MBy = 1 N-m, MBz = -3 N-m. La tensión es de 60 N, Bx = -10 N, By = 75 N, Bz = 15 N, Cy = 15 N, Cz = -5 N. Ax = - 2.86 kip, Ay = 17.86 kip, Az = - 8.10 kip, By = 3.57 kip, Bz = 12.38 kip. Ax = 0, Ay = 400 N, Bx = 1000 N, By = - 400 N, Bz = 0, T = 1080 N. ƒ A ƒ = 8.54 kN, ƒ B ƒ = 10.75 kN. Ax = 3.62 kN, Ay = 5.89 kN, Az = 5.43 kN, Cx = 8.15 kN, Cy = 0, Cz = 0.453 kN. TAB = 488 lb, TCD = 373 lb, la reacción es 31i + 823j - 87k (lb). Ax = - 76.7 N, Ay = 97.0 N, Az = - 54.3 N, MAx = - 2.67 N-m, MAy = 6.39 N-m, MAz = 2.13 N-m. (a) 60 lb; (b) Ax = 38.1 lb, Ay = 46.3 lb o bien Ax = -38.1 lb, Ay = -46.3 lb. La tensión es de 33.3 lb; la magnitud de la reacción es de 44.1 lb. a = 10.9°, FA = 1.96 kN, FB = 2.27 kN. (a) No, debido al par de 3 kN-m; (b) La magnitud en A es de 7.88 kN; la magnitud en B es de 6.66 kN; (c) no. (b) Ax = - 8 kN, Ay = 2 kN, Cx = 8 kN. (b) TA = 7.79 lb, TB = 10.28 lb; (c) 6.61 lb. (a) Existen cuatro reacciones desconocidas y tres ecuaciones de equilibrio; (b) Ax = -50 lb, Bx = 50 lb. (b) Fuerza sobre el clavo = 55 lb, fuerza normal = 50.77 lb, fuerza de fricción = 9.06 lb. k = 13,500 N/m. Ay = 727 lb, Hx = 225 lb, Hy = 113 lb. a = 0 y a = 59.4°. La fuerza es de 800 N hacia arriba; su línea de acción pasa por el punto medio de la placa. m = 67.2 kg. a = 90°, TBC = W>2, A = W>2.

Capítulo 6 6.2 6.4 6.6

6.8 6.10 6.12 6.14 6.16 6.18

AB: 915 N (C); AC: 600 N (C); BC: 521 N (T). BC: 800 lb (T); CD: 600 lb (C). (a) Tensión: 2.43 kN en AB y BD. Compresión: 2.88 kN en CD. (b) Tensión: 1.74 kN en BD. Compresión: 1.60 kN en CD. Tensión, 31.9 kip en AC, CE, EG y GH. Compresión, 42.5 kip en BD y DF. BD: cero; CD: 10 kN (T); CE: 16 kN (C). (a) Tensión: 5540 lb en BD. Compresión: 7910 lb en CE. (b) Tensión: 2770 lb en BD. Compresión: 3760 lb en CE. F = 8.33 kN. DE: 3.66 kN (C); DF: 1.45 kN (C); DG: 3.36 kN (T). AB: 10.56 kN (T); AC: 17.58 kN (C); BC: 6.76 kN (T); BD: 1.81 kN (T); CD: 16.23 kN (C).

Respuestas a los problemas con número par 6.20 6.22 6.24 6.26 6.32 6.34 6.36 6.38 6.40 6.42 6.44 6.46 6.48 6.50 6.52 6.54 6.58 6.60 6.62 6.64 6.66 6.68 6.70 6.72 6.74 6.76 6.78 6.80

6.82 6.84 6.86 6.88

6.90 6.94 6.96 6.98 6.100 6.102 6.104 6.106 6.108 6.110 6.112

AB: 375 lb (C); AC: 625 lb (T); BC: 300 lb (T). BC: 90.1 kN (T); CD: 90.1 kN (C); CE: 300 kN (T). BC: 1200 kN (C); BI: 300 kN (T); BJ: 636 kN (T). AB: 2520 lb (C); BC: 2160 lb (C); CD: 1680 lb (C). BC: 400 kN (T), BI: 141 kN (T), HI: 500 kN (C). (a), (b) 141 kN (C). AB: 1.33F (C); BC: 1.33F (C); CE: 1.33F (T). BD: 95.6 kip (C); BE: 41.1 kip (T); CE: 58.4 kip (T). DF: 69.1 kip (C); DG: 29.4 kip (C); EG: 95.6 kip (T). 96.2 kN (T). AC: 2000 lb (C); BC: 800 lb (T); BD: 1000 lb (T). DF: 16 kN (T); DG: 6.67 kN (C); EG: 26.7 kN (C). 2.50 kN (C). CE: 680 kN (T); CF: 374 kN (C); DF: 375 kN (C). (a) 1160 lb (C). IL: 16 kN (C); KM: 24 kN (T). AD: 4.72 kN (C); BD: 4.16 kN CD (C); CD: 4.85 kN (C). AB, AC, AD: 0.408F (C). AB: 379 lb (C); AC: 665 lb (C); AD: 160 lb (C). BC: 32.7 kN (T); BD: 45.2 kN (T); BE: 112.1 kN (C). P3 = -315 kN. 5.59 kN (C) en cada elemento. Ax = 400 N, Ay = - 900 N, Bx = - 400 N, By = 900 N, MA = - 540 N-m. Cx = 736 N, Cy = 2450 N, Ex = 245 N, Ey = - 1720 N. Cx = 66.7 lb, Cy = 24 lb. Ax = 0, Ay = - 400 N, Cx = - 600 N, Cy = - 300 N, Dx = 0, Dy = 1000 N. Dx = - 1475 N, Dy = - 516 N, Ex = 0, Ey = - 516 N, ME = 619 N-m. Ax = - 2.35 kN, Ay = 2.35 kN, Bx = 0, By = - 4.71 kN, Cx = 2.35 kN, Cy = 2.35 kN. Tensión = 62.5 lb, Fx = -75 lb, Fy = 25 lb. Bx = - 400 lb, By = - 300 lb, Cx = 400 lb, Cy = 200 lb, Dx = 0, Dy = 100 lb. Ax = - 150 lb, Ay = 120 lb, Bx = 180 lb, By = - 30 lb, Dx = - 30 lb, Dy = - 90 lb. Ax = - 310 lb, Ay = - 35 lb, Bx = 80 lb, By = - 80 lb, Cx = 310 lb, Cy = 195 lb, Dx = - 80 lb, Dy = - 80 lb. Ax = 170 lb, Ay = 129 lb, Bx = - 170 lb, By = - 209 lb. Ax = - 22 lb, Ay = 15 lb, Cx = - 14 lb, Cy = 3 lb. 300 lb (C). B: 73.5 N; C: 88.8 N. TBC = 1410 N, TDF = 625 N. Ax = 2 kN, Ay = -1.52 kN, Bx = -2 kN, By = 1.52 kN. Ex = 604 lb, Ey = 179 lb, la fuerza axial es de 616 lb. 100 N. En B: 1750 N. DE: 1320 N (C). 742 lb. 1150 lb.

6.114 6.116 6.118 6.120 6.122 6.124 6.126 6.128 6.130 6.132

6.134 6.136 6.138

Kx = 847 N, Ky = 363 N. TAB = 7.14 kN (C), TAC = 5.71 kN (T), TBC = 10 kN (T). BC: 120 kN (C); BG: 42.4 kN (T); FG: 90 kN (T). AB: 125 lb (C); AC: cero; BC: 188 lb (T); BD: 225 lb (C); CD: 125 lb (C); CE: 225 lb (T). TBD = 13.3 kN (T), TCD = 11.7 kN (T), TCE = 28.3 kN (C). AC: 480 N (T); CD: 240 N (C); CF: 300 N (T). Tensión: elemento AC, 480 lb (T); Compresión: elemento BD, 633 lb (C). CD: 11.42 kN (C); CJ: 4.17 kN (C); IJ: 12.00 kN (T). AB: 7.20 kN (C); AC: 4.56 kN (C). Ax = -1.57 kN, Ay = 1.18 kN, Bx = 0, By = - 2.35 kN, Cx = 1.57 kN, Cy = 1.18 kN. Bx = 3820 lb, By = 6690 lb, C = 9020 lb, Dx = - 1390 lb, Dy = - 1930 lb. 973 N. Ax = - 52.33 kN, Ay = - 43.09 kN, Ex = 0.81 kN, Ey = - 14.86 kN.

Capítulo 7 –x = 3>8. x = 1.25, y = 0.825. –x = 0.711 pie, y = 0.584 pie. –x = 0. y = 1.6 pie. x = 8, y = 3.6. –x = 0.533. –x = 1. y = - 7.6. y = 2.53. a = 0.656, b = 6.56 * 10-5 m-2. x = y = 4R>3p. x = 3.31. x = 116 mm. –x = 9.90 pulg, –y = 0. –x = 23.9 pulg, –y = 33.3 pulg. –x = 2.88 pies, –y = 3.20 pies. x = 3.67 mm, y = 21.52 mm. b = 39.6 mm, h = 18.2 mm. x = 9.64 m, y = 4.60 m. –x = 6.47 pies, –y = 10.60 pies. Ax = 0, Ay = 160 N, B = 200 N. Ax = - 1200 N, Ay = 800 N, B = 2200 N. Ax = 0, Ay = 10 kN, MA = - 31.3 kN-m. Ax = 0, Ay = 4.17 kN, By = 8.83 kN. Ay = 3267 lb, Bx = - 800 lb, By = - 1267 lb. BD: 21.3 kN (C); CD: 3.77 kN (C); CE: 24 kN (T). Ax = -18 kN, Ay = 20 kN, Bx = 0, By = -4 kN, Cx = 18 kN, Cy = -16 kN. 7.60 V = 275 m3, altura = 2.33 m. 7.62 V = 4.16 m3, x = 1.41 m. 7.64 x = 0.675R, y = 0, z = 0. 7.2 7.4 7.8 7.10 7.12 7.14 7.16 7.18 7.20 7.22 7.24 7.26 7.28 7.30 7.32 7.34 7.36 7.38 7.40 7.44 7.46 7.48 7.50 7.52 7.54 7.56 7.58

617

618 7.66 7.68 7.70 7.72 7.74 7.76 7.78 7.80 7.82 7.84 7.86 7.88 7.90 7.92 7.94 7.96 7.98 7.100 7.102 7.104 7.106 7.108 7.110 7.112 7.114 7.116 7.118 7.120 7.122 7.124 7.126 7.128 7.130 7.132 7.134 7.136 7.138

Respuestas a los problemas con número par –y = 0.410. –x = 3.24. –x = R sen a>a, –y = R11 - cos a2>a. –x = 38.3 mm. x = - 128 mm, y = z = 0. x = 0, y = 43.7 mm, z = 38.2 mm. x = 229.5 mm, y = z = 0. x = 23.65 mm, y = 36.63 mm, z = 3.52 mm. x = 6 m, y = 1.83 m. x = 65.9 mm, y = 21.7 mm, z = 68.0 mm. A = 43 pR 2h2 + R2. ys = 4R>3p. –y = 0.410. A = 138 pies2. V = 0.0377 m3. V = 2.48 * 106 mm3. Volumen = 0.0266 m3. Ax = 0, Ay = 294 N, By = 196 N. Ax = 0, Ay = 316 N, B = 469 N. –x = 6.59 pulg, –y = 2.17 pulg, –z = 6.80 pulg. Ax = 0, Ay = 3.16 kN, MA = 1.94 kN-m. x = 121 mm, y = 0, z = 0. x3 = 82 mm, y3 = 122 mm, z3 = 16 mm. (a) x = 5.17 m; (b) Ax = - 50 kN, Ay = - 25.0 kN, G = 33.8 kN . Masa = 408 kg, –x = 2.5 m, –y = -1.5 m. –x = 20.10 pulg, –y = 8.03 pulg, –z = 15.35 pulg. x = 3>8, y = 3>5. x = 87.3 mm, y = 55.3 mm. 917 N (T). Ax = 7 kN, Ay = - 6 kN, Dx = 4 kN, Dy = 0. –x = 1.87 m. A = 682 pulg2. –x = 110 mm. –x = 1.70 m. x = 25.24 mm, y = 8.02 mm, z = 27.99 mm. (a) x = 1.511 m; (b) x = 1.611 m. A = 80.7 kN, B = 171.6 kN.

Capítulo 8 8.2 8.4 8.6 8.8 8.10 8.12 8.14 8.16 8.18 8.20 8.22 8.24 8.28

8.30 8.32 8.34 8.36 8.38 8.40 8.42 8.44 8.46 8.48 8.50 8.52 8.54 8.56 8.58 8.60 8.62 8.64 8.66 8.68 8.70 8.72 8.74 8.76 8.78 8.80 8.82 8.86 8.88 8.90 8.92 8.94

4

Ix = 0.0288 m , kx = 0.346 m. (a) Iy = 12.8 * 105 mm4; (b) Iy¿ = 3.2 * 105 mm4. Iy = 0.175 m4, ky = 0.624 m. Ixy = 0.0638 m4. Ix = 1.69. Ixy = 0.583. Ix = 1330, kx = 4.30. Ixy = 2070. Ix = 953, kx = 6.68. (a) Ix = 81 pR4, kx = 21 R. Iy = 49.09 m4, ky = 2.50 m. Iy = 522, ky = 2.07. Iy = 10 m4, ky = 1.29 m.

Ix = 6.00 * 106 mm4, kx = 23.5 mm. Iy = 0.0125 m4, ky = 0.177 m. Iy = 3.6 * 105 mm4, JO = 1 * 106 mm4. Ix = 2.65 * 108 mm4, kx = 129 mm. Ix = 7.79 * 107 mm4, kx = 69.8 mm. Ixy = 1.08 * 107 mm4. JO = 363 pies4, kO = 4.92 pies. Ix = 10.7 pies4, kx = 0.843 pies. Ixy = 7.1 pies4. JO = 5.63 * 107 mm4, kO = 82.1 mm. Ix = 1.08 * 107 mm4, kx = 36.0 mm. JO = 1.58 * 107 mm4, kO = 43.5 mm. JO = 2.35 * 105 pulg4, kO = 15.1 pulg. Ix = 49.7 m4, kx = 2.29 m. Iy = 2.55 * 106 pulg4, ky = 27.8 pulg. Ixy = 2.54 * 106 pulg4. Ix = 1.26 * 106 pulg4, kx = 19.5 pulg. Iy = 4.34 * 104 pulg4, ky = 10.5 pulg. Ixy = 4.83 * 104 pulg4. JO = 4.01 * 104 pulg4, kO = 14.6 pulg. Ix = 8.89 * 103 pulg4, kx = 7.18 pulg. Iy = 3.52 * 103 pulg4, ky = 4.52 pulg. Ixy = 995 pulg4. JO = 5.80 * 106 mm4, kO = 37.5 mm. Ix = 1470 pulg4, Iy = 3120 pulg4. Ix = 4020 pulg4, Iy = 6980 pulg4, o Ix = 6820 pulg4, Iy = 4180 pulg4. Ix = 4.01 * 106 mm4. Ix = 59.8 * 106 mm4, Iy = 18.0 * 106 mm4. Ix¿ = 7.80 pies4, Iy¿ = 24.2 pies4, Ix¿y¿ = -2.20 pies4, Ix¿ = 1.20 * 106 pulg4, Iy¿ = 7.18 * 105 pulg4, Ix¿y¿ = 2.11 * 105 pulg4. up = -12.1°, los momentos de inercia principales son 80.2 * 10-6 m4 y 27.7 * 10-6 m4. Ix¿ = 5.96 * 106 mm4, Iy¿ = 3.89 * 106 mm4,

Ix¿y¿ = 3.27 * 106 mm4. 8.96 Ix¿ = 1.20 * 106 pulg4, Iy¿ = 7.18 * 105 pulg4, Ix¿y¿ = 2.11 * 105 pulg4. 8.98 up = -12.1°, los momentos de inercia principales son 80.2 * 10-6 m4 y 27.7 * 10-6 m4. 8.100 IO = 14 kg-m2. 8.102 Ieje z = 15.1 kg-m2. 8.104 Ieje x = 0.667 kg-m2, Ieje y = 2.67 kg-m2. 8.106 Ieje y = 1.99 slug-pie2. 8.108 20.8 kg-m2. 17 2 12 ml .

8.110

IO =

8.112 8.114

Ieje z = 47.0 kg-m2. Ieje z = 0.0803 slug-pie2.

Respuestas a los problemas con número par 8.116 8.118 8.120 8.122 8.124

3810 slug-pie2. Ieje z = 9.00 kg-m2. Ieje y = 0.0881 slug-pie2. 1 1 Ieje x = m A –3 l2 + –4 R2 B.

3 2 –3 2 Ieje x = Ieje y = m A – 20 R + 5 h B.

8.126

1 1 Ieje x = –6 mh2 + –3 ma2 .

8.128 8.130 8.132 8.134 8.136

Ieje x = 0.0221 kg-m2. Ix¿ = 0.995 kg-m2, Iy¿ = 20.1 kg-m2. Ieje z = 0.00911 kg-m2. IO = 0.00367 kg-m2. Ieje z = 0.714 slug-pie2.

8.138

Iy = 51, ky =

8.140 8.142 8.144 8.146 8.148 8.150 8.152 8.154 8.156 8.158 8.160 8.162 8.164

26 JO = 105 , kO Iy = 12.8, ky = 2.19. Ixy = 2.13. Ix¿ = 0.183, kx¿ = 0.262. Iy = 2.75 * 107 mm4, ky = 43.7 mm. Ix = 5.03 * 107 mm4, kx = 59.1 mm. Iy = 94.2 pie4, ky = 2.24 pies. Ix = 396 pie4, kx = 3.63 pies. up = 19.5°, 20.3 m4, 161 m4. Ieje y = 0.0702 kg-m2. 1 – mw2. Ieje z = 10 Ieje x = 3.83 slug-pie2. 0.537 kg-m2.

3

25. = 226 35 .

Capítulo 9 9.2 9.4 9.6 9.8 9.10 9.12 9.14 9.16 9.18 9.20 9.22 9.24 9.26 9.28 9.30 9.32 9.34 9.36 9.40 9.42 9.44 9.48 9.50

1.04 lb. (a) a = 38.7°; (b) a = 11.3°. (a) No; (b) 20.4 lb. 177 N. 20 lb. a = 14.0°. (a) T = 56.5 N. (a) Sí. La fuerza es msW; (b) 3msW. 89.6 … T … 110.4 lb. F = 267 N. M = hrFmk/32(h + bmk)4. 9.40 pie-lb. a = 33.4°. a = 28.3°. (a) M = 162 pulg-lb; (b) M = 135 pulg-lb. M = msRW3sen a + ms11 - cos a24>311 + m2s2sen a4. a = 39.6°. (a) T = 9.42 lb; (b) T = 33.3 lb. y = 234 mm. a = 9.27°. F = 44 lb. a = 1.54°, P = 202 N. (a) F = msW; (b) F = 1W>221msA + msB2>[1 + 1h>b21msA - msB2].

9.52 9.54 9.56 9.58 9.60 9.62 9.64 9.66 9.68 9.70 9.72 9.74 9.76 9.78 9.80 9.82 9.84 9.86 9.88 9.90 9.92 9.94 9.96 9.98 9.100 9.102 9.104 9.106 9.108 9.110 9.112 9.114 9.116 9.118 9.120 9.122 9.124 9.126 9.128 9.130 9.132 9.134 9.136 9.138 9.140 9.142 9.144 9.146 9.148 9.150 9.152 9.154 9.156 9.158 9.160 9.162

F/2. 333 N. F = 74.3 lb. (a) f = 24.5 N; (b) ms = 0.503. (a) f = 8 kN; (b) ms = 0.533. ms = 0.432. ms = 0.901. F = 139 lb. F = 102 lb. F = 1360 lb. F = 156 N. 343 kg. No. El valor mínimo requerido de ms es 0.176. F = 1160 N. 1.84 N-m. (a) 0.967 pulg-lb; (b) 0.566 pulg-lb. (a) 2.39 pies-lb; (b) 1.20 pies-lb. 11.8 pies-lb. 108 pulg-lb. 27.4 pulg-lb. 4.18 N-m. 4.88 N-m. 17.4 N-m. W = 1.55 lb. 106 N. 51.9 lb. T = 40.9 N. FB = 207 N. M = 1.92 pies-lb. T = 346 N. M = 160 pulg-lb. M = 12.7 N-m. M = 7.81 N-m. M = 5.20 N-m. (a) M = 93.5 N-m; (b) 8.17 por ciento. 9.51 pies-lb. 80.1 lb. TC = 107 N. M = rW1epmk - 12. (a) 14.2 lb; (b) 128.3 lb. 13.1 lb. MA = 65.2 N-m, MB = 32.6 N-m. (a) f = 10.3 lb. F = 290 lb. a = 65.7°. a = 24.2°. b = 1h>ms - t2>2. h = 5.82 pulg. 286 lb. 1130 kg, par de torsión = 2.67 kN-m. f = 2.63 N. ms = 0.272. M = 1.13 N-m. P = 43.5 N. 146 lb. (a) W = 106 lb; (b) W = 273 lb.

619

620

Respuestas a los problemas con número par

Capítulo 10 10.2 PA = 0, VA = 100 N, MA = 40 N-m. 10.4 PA = 0, VA = 400 lb, MA = -1900 pies-lb. 10.6 (a) PA = 0, VA = 4 kN, MA = 4 kN-m; (b) PA = 0, VA = 2 kN, MA = 3 kN-m. 10.8 PB = 0, VB = 40 N, MB = 373 N-m. 10.10 PA = 0, VA = -400 lb, MA = 267 pies-lb. 10.12 (a) PB = 0, VB = -31 lb, MB = 572 pies-lb. (b) PB = 0, VB = 24 lb, MB = 600 pies-lb. 10.14 PA = 0, VA = - 2 kN, MA = 6 kN-m. 10.16 PA = 300 N, VA = - 150 N, MA = 330 N-m. 10.18 PA = 4 kN, VA = 6 kN, MA = 4.8 kN-m. 10.20 PA = 0, VA = - 6 kN, MA = 6 kN-m. 10.22 V = 400 lb, M = 400x pies-lb. 10.24 (a) V = 15>22112 - x22 lb, M = -15>62112 - x23 pies-lb. 10.26 V = - 600 N, M = - 600x N-m. 10.28 (a) 0 6 x 6 6 pies, P = 0, V = 50 lb, M = 50x pies-lb; 6 6 x 6 12 pies, P = 0, V = 50 - 125>321x - 622 lb, M = 50x - 125>921x - 623 pies-lb; (b)

10.36 V = -100x2 lb, 10.38

M = -33.3x3 + 1800 pies-lb.

V 4.4 m

x

⫺245 kN ⫺465 kN M 2970 kN-m

1408 kN-m

x 4.4 m

y 100 lb/pie

10.40

x 250 lb

50 lb

y

V

4kN/m

20 kN-m

50 lb 0

x x

23.3 kN

6kN

18.7 kN

V

⫺250 lb

20 kN

M

10 kN

400 pies-lb

0

x

200 pies-lb

⫺10kN 0

x

M

10.30 10.32 10.34

No. La magnitud del momento flector máximo es de 8 kN-m. M = 54.2 N-m en x = 233 mm.

0 ⫺20 kN-m ⫺40 kN-m ⫺60 kN-m

y 100 lb/pie x 200 lb

1500 lb

700 lb

V 900 lb 700 lb

0

x

⫺200 lb ⫺600 lb

M 0

⫺1600 pies-lb

x

x

Respuestas a los problemas con número par 10.42

621

10.48 y 3600 N-m

y

x 600 N

4 kN/m

20 kN-m

600 N

x 23.3 kN

6 kN

V

18.7 kN

V 20 kN 10 kN

0

x x

0 ⫺10 kN

⫺600 N M x

0

M ⫺20 kN-m

2400 N-m

⫺40 kN-m ⫺60 kN-m

0

x

⫺1200 N-m

10.50 759 kip. 10.52 (a) Tmáx = 86.2 kN; (b) 36.14 m. 10.54 AC: 1061 N (T), BC: 1200 N (C). 10.56 Longitud = 108.3 m, h = 37.2 m. 10.58

10.44 y

4 kN/m x

72 kN-m

x 24 kN

(587.5, 620.5) pies

600

2

V

400 1

24 kN

(287.5, 148.6) pies 200 0

y

x

0 600

400

200

M 0

x

10.60 10.62

⫺72 kN-m

10.46 y 100 lb/pie x 50 lb

250 lb V

50 lb 0

x

⫺250 lb M 400 pies-lb

200 pies-lb

0

x

10.64 10.66 10.68 10.70 10.72 10.76 10.78 10.80 10.82 10.84 10.86 10.88 10.90 10.94

22.8 m. (a) h1 = 4.95 m, h2 = 2.19 m; (b) TAB = 1.90 kN, TBC = 1.84 kN. T1 = 185 N, T3 = 209 N. (a) h2 = 4 pies; (b) 90.1 lb. h1 = 1.739 m, h3 = 0.957 m. h2 = 464 mm, h3 = 385 mm. h2 = 8.38 pies, h3 = 12.08 pies. xp = 3>8 m, yp = 3>5 m. Ax = -100 lb, Az = 562 lb, B = 281 lb. 1.55 m. 6.67 m. A: 257 lb a la derecha, 248 lb hacia arriba; B = 136 lb. d = 1.5 m. Ax = 2160 lb, Ay = 2000 lb, Bx = 1830 lb. (a) 376 kN; (b) xp = 2.02 m. (a) PB = 0, VB = -26.7 lb, MB = 160 pies-lb; (b) PC = 0, VC = -26.7 lb, MC = 80 pies-lb.

622

Respuestas a los problemas con número par

10.96

Capítulo 11 y 360 lb/pie

180 lb/pie x 450 lb

360 lb V 360 lb 0

x

⫺450 lb M 400 pies-lb 200 pies-lb 0

10.98

10.100 10.102 10.104 10.106 10.108 10.110

x

0 6 x 6 2 m, P = 0, V = 1.33 kN, M = 1.33x kN-m; 2 6 x 6 6 m, P = 0, V = -2.67 kN, M = 2.6716 - x2 kN-m. PA = 0, VA = 8 kN, MA = -8 kN-m. (a) PB = 0, VB = -40 N, MB = 10 N-m; (b) PB = 0, VB = -40 N, MB = 10 N-m. P = 0, V = -100 lb, M = -50 pies-lb. (a) w = 74,100 lb/pie; (b) 1.20 * 108 lb. 84.4 kip. A: 44.2 kN a la izquierda, 35.3 kN hacia arriba; B: 34.3 kN.

11.2 11.4 11.6 11.8 11.10 11.16 11.18 11.20 11.22 11.24 11.26 11.28 11.30 11.34 11.36 11.38 11.40 11.42 11.44 11.46 11.48 11.50 11.52 11.54 11.56 11.58 11.60 11.62

(a) Trabajo = -3.20 du kN-m; (b) B = 2.31 kN. F = 217 N. Ax = 0, Ay = -237 lb, By = 937 lb. F = 450 N. (a) F = 392 N; (b) 100 mm. F = 360 lb. M = 270 N-m. 12 kN. 9.17 kN. (a) 0.625 dy; (b) 216 N. (a) q = 3, q = 4; (b) q = 3 es inestable y q = 4 es estable V = 21 kx2 - 41 ex4. (a) Estable; (b) Estable. (b) Es estable. (a) a = 35.2°; (b) No. (a) a = 28.7°; (b) Sí. Estable. Inestable. a = 0 es inestable y a = 30° es estable. Cx = -7.78 kN. 8F. (a) M = 800 N-m; (b) a>4. M = 1.50 kN-m. F = 5 kN. M = 63 N-m. a = 0 es inestable y a = 59.4° es estable. Inestable. a = 30°.

Índice A Aceleración, 5-7 angular, 409 debida a la gravedad, 15-19 giratoria, 409 Álgebra, 573 Análisis de fuerzas, 87-89 Analogía del área, 329 del volumen, y fuerza/momento debido a la presión, 533 Ángulo conversiones de unidades, 9 de fricción, 433 cinética, 433 estática, 433 de trayectoria de vuelo, 95 determinación de componentes en términos de un, 34 expresados en grados, 8 Aplicaciones bidimensionales, 194-215 diagramas de cuerpo libre, 198-199 ecuaciones de equilibrio, 87, 199, 227 escalar, 194 soportes, 194-198 de pasador, 195 de rodillo, 195-196, 197 fijos (empotrados), 196-198 impropios, 215, 217, 219 propios, 219 redundantes, 215-216 Aplicaciones tridimensionales, 221-240 ecuaciones de equilibrio escalar, 221 reacciones, 228-229 soportes, 221-226 articulados, 222-223, 230 de bola y cuenca, 221-222 de cojinete, 223-224 de rodillo, 222 fijos, 224-225 Área circular momento de inercia de un, 379 propiedades de un, 578 de un cuarto de círculo, propiedades de un, 578 de un cuarto de elipse, propiedades de un, 579

semicircular, propiedades de un, 578 triangular momento de inercia de un, 397-398 propiedades del, 578 Áreas centroides de, 312-320 con un recorte, 324 por integración, 315 momentos de inercia de, 376-382 propiedades de, 577-579 Áreas compuestas centroides de, 329-327 determinación de, pasos para la, 321 definición de, 320 momentos de inercia de, 386-388 Armaduras, 210, 256-258 a compresión, 256, 258 a tensión, 223, 256-258 de puente, 257, 263 de techo, 257 definición de, 258 espaciales, 275-279 fuerza axial en, 256, 258, 486-487 Howe, 256, 265, 273 para techo, 257 Pratt, 256, 265, 273 Warren, 256, 258-259, 268 Articulación, 222-223 reacciones en, 230-231 Articulaciones alineadas adecuadamente, reacciones en, 225 apropiadamente alineadas, reacciones en, 232-233 Asperezas o rugosidades, 431 Avión, en equilibrio, fuerzas sobre un, 95

B Bandas y poleas, 84-85 Barra delgada momento de inercia de una, 409-410, 413 propiedades de una, 580 Bastidores, 255, 282-295 análisis de, 282-283, 290-291 cargas aplicadas en juntas, 285-288 definición de, 282, 288

623

624

Índice

determinación de fuerzas que actúan sobre elementos de, 282-283, 292-293 elementos análisis de, 283-288, 294-295 de dos fuerzas en, 285 estructura completa, análisis de la, 283 fuerzas y pares sobre elementos de, 288 reensamblaje de diagramas de cuerpo libre de elementos individuales, 286 Burj Dubai, 12

C Caballos de fuerza (hp), 14 Cables, 84-85, 90, 511-518 cargados por su propio peso, 521 cargas discretas en, 523-528 cargas distribuidas uniformemente a lo largo de líneas rectas, 512-518, 561-562 forma del cable, 512-513 longitud del cable, 513 tensión del cable, 513 con una carga distribuida horizontalmente, 515-517 sometidos a cargas discretas, 526-527 suspendidos carga vertical en, 520 curva en, 22 Cabrestantes, 147, 476 Calder, Alexander, 251 Calzas, 429, 448-452 Cargas, 195-196, 217-219, 255 definición de, 196 discretas, 523-528 cable sometido a, 526-527 configuración/tensiones, determinación de, 523-524 modelos continuos y discretos, 524-525 distribuidas analogía del área, 329 descripción de las, 328 ejemplos de, 327 fuerza y momento, determinación de, 328 relaciones entre fuerza cortante, momento flector y, 498-511 viga con una carga triangular, 330 viga con, 330, 332 viga sometida a, 331 Catenaria, 520 Centro de masa, 249, 311, 355-362, 580 coordenadas del, 357 de objetos, 355-356 homogéneos, 356-358, 580

de un cilindro con densidad no uniforme, 360 de un objeto compuesto, 363-365 de vehículos, 366-367 definición de, 311, 355 que representa el peso de una barra con forma de L, 358-359 y densidad, 356-357 y peso específico, 356 Centro de presión, 529-531, 533 definición de, 529-530, 533 y fuerza de presión, 536 Centroides, 311-373 áreas definidas por dos ecuaciones, 316 cargas distribuidas, 327-335 analogía del área, 329 descripción de, 328 ejemplos de, 327 fuerza y momento, determinación de, 328 viga con una carga triangular, 330 viga con, 330, 332 viga sometida a, 331 de áreas, 312-320, 577 compuestas, 320-327 con un recorte, 324 por integración, 315 de líneas, 336-343, 579 compuestas, 343-347 por integración, 339-340 de un cono por integración, 338-339 de una línea semicircular, por integración, 340 de volúmenes, 335-343, 580 compuestos, 343-347 que contienen un recorte, 345-346 y líneas compuestas, 343-347 definición de, 311, 314 teoremas de Pappus-Guldinus, 350-355 determinación de un centroide con los, 353 primer teorema, 350, 352 segundo teorema, 351-352 Cifras significativas, 5 Cilindro con densidad no uniforme, 360 fijo, cuerda enrollada alrededor de un, 473 momento de inercia de un, 420-421 Círculo de Mohr, 405-409 construcción del, pasos para la, 405 definición del, 405 determinación de ejes principales y momentos de inercia principales, 406 momentos de inercia por el, 407

Índice Claro, en puentes, 39 Coeficiente(s) de fricción, 432-433, 434 cinética, 432-433, 434 estática, 432, 434 Cojinetes, 225-226, 245, 459 chumaceras, 459-463 de empuje, 464-467 Collar roscado, giratorio, 454-455 Componentes cartesianas, 30-45, 223 en dos dimensiones, 30-32 en tres dimensiones, 43-59, 223 determinación de, 50-55 vectores de posición, 233 en términos de sus componentes, 31-32, 46, 48 determinación de, 32-33 en términos de un ángulo, 34 escalares, 30 paralelas a una línea, 46-48 perpendiculares a un plano, 74 vectoriales, 30 Compresión, 86, 256-258 Compuestas (compuestos) áreas, 320-327 líneas, 343-347 objetos, 362-365 volúmenes, 343-347 Conexiones roscadas, 429 Constante de resorte, 86, 91, 565 gravitatoria universal, 15 Convenciones de soporte, 194-195 Coordenadas cartesianas, 31 Cosenos directores, 45, 47-49 ley de los, 574 Cuerdas/cables, 84-85, 90 Cuñas (calzas), 429, 448-452 definición de, 448 fuerzas sobre, 449 Curva de carga, 328-329 Chumaceras, 459-463 definición de chumaceras, 459 poleas soportadas por, 460-461

D Datum, nivel de referencia, punto de referencia, 558, 562

625

Densidad, 356 peso específico, 364, 532-534, 536-537 definición de, 356 Derivadas, 574 Desplazamiento, 22-23 inminente, 432 virtual, 547, 550 Determinación del vuelco potencial, 437 cuerda enrollada alrededor de dos cilindros fijos, 473 en un disco de esmeril, 468 fricción seca. Vea fricción de Coulomb Diagramas de cuerpo libre, 81, 87-89, 91 aplicaciones bidimensionales, 198-199 de fuerza cortante, construcción de un, 500-501 de momento flector, construcción del, 501-504 de objetos libres (aislados), 87-88 elección de, 93 pasos para dibujar, 87 Dinámica, 4 Dirección del momento, 123, 134-136, 138 Disco de esmeril, fricción en un, 468 Diseño e ingeniería, 5 Distribución de presión, compuerta cargada por una, 534-535

E Ecuaciones cuadráticas, 573 determinación de unidades en, 11 dimensionalmente homogénea, definición de, 11 que contienen ángulos, 8 de equilibrio, 87, 227 aplicaciones bidimensionales, 194, 199, 227 aplicaciones tridimensionales, 221, 227 Ejes de articulación, 224-225 girados, 396-397, 402-403 momento de inercia respecto al eje x⬘, 397 momento de inercia respecto al eje y⬘, 397 principales, 397-399, 400, 402-403 definición de, 398 y momentos de inercia, 400-402 Elementos, 255 de dos fuerzas, 24-241, 242 ejemplos, 243-244 en bastidores, 285 de tres fuerzas, 242-244 ejemplo, 243 Embragues, 464-467 acoplados, 465

626

Índice

definición de, 465 desacoplados, 465 Energía cinética, definición de, 13 potencial, 558-568 conservativa, 558 definición de, 558 estabilidad del equilibrio, 560-561 fuerzas conservativas, ejemplos de, 559-560 grado de libertad, 560, 562 peso, 558 resortes, 558-559 Enjuta, propiedades de, 579 Equilibrio, 86-87, 91 aplicación a un sistema de poleas, 94 aplicaciones bidimensionales, 87, 199, 227 tridimensionales, 221, 228-229 elementos de dos fuerzas, 240-244 ejemplos, 243-244 elementos de tres fuerzas, 242-244 estabilidad del, 560-561 estructuras en, 255-309 fuerzas sobre un avión en, 95 objetos en, 193-251 objetos estáticamente indeterminados, 215, 217 uso del, para determinar fuerzas sobre un objeto, 92 Escalares definición de, 22, 25 producto de un vector y un escalar, 25 Espacio, 5-6 Estadio por quincena, definición, 13 Estáticas, 4 Estiramiento, 562 Estrategias para la resolución de problemas, 4 Estructuras de equilibrio, 255-309 para techo, ejemplos de, 256

F Fricción, 429-483 ángulos de, 433-434 evaluación de, 434 aplicaciones de la a cojinetes de empuje, 464-467 a chumaceras, 459-463 a embragues, 464-467 a roscas, 452-455 cuñas (calzas), 429, 448-452

cinética, ángulo de, 433 coeficientes de, 434 coeficiente cinético, 432-433, 434 coeficiente estático, 432, 434 de Coulomb, teoría de la, 430-447 en bandas, 471-472 y poleas, 474-475 en frenos, análisis de, 436 estática ángulo de, 433 coeficiente de, 432 Fuerzas, 7, 9, 81-119 análisis de, 87-89 carrito de equipaje, 202-203 axiales, 256, 258, 486-487 bidimensionales, 82, 89, 122-133 como cantidad vectorial, 22 conservativas ejemplos de, 559-560 en resortes, 558-559 peso, 558 principio del trabajo virtual para, 562 concurrentes, representadas mediante una fuerza, 173, 176 conversión de unidades, 9 contacto, 83-86, 90 en cuerdas y cables, 84-85, 90 en resortes, 85-86 en superficies, 83-84 coplanares, 41, 82, 108, 244 cortante, 485-487 relaciones entre cargas distribuidas, momento flector y, 498-511 y momentos de diagrama flector, 493-498, 508-509 cuerdas/cables, 84-85, 90 cuerpo, 82 de presión determinación de la, 537 y centro de presión, 536 desconocidas, determinación de, 166 determinación de componentes de, 54-55 determinación del momento de, 151 diagramas de cuerpo libre, 87-89, 91 distribuidas, 171, 375, 485 ejemplos de, 327 efectos de, 121 electromagnéticas, 83 en resortes, 85-86 equilibrio de, 82, 86-87 uso del, para determinar, 92 externas, 82, 89

Índice fricción, 83-84, 429, 465 determinación de, 435 evaluación de, 434 gravitatorias, 82-83, 90 internas, 82, 89 línea de acción de, 82, 89 medición de, 7 momento de un sistema de, 124-125 momento flector, 144, 486-487 normales, 83 paralelas, 82, 219 que representan una sola fuerza, 179 representadas mediante una fuerza, 173, 176 representadas mediante una fuerza y un par, 173 sistema concurrente de, 82 sistemas de, 82, 89 superficiales, 82 terminología, 82-83 tipos de, 82-86 tridimensionales, 82, 89. 108-111 y momento internos, 485-543 determinación de, 488-489 fuerza cortante y diagramas de momento flector, 493-498

G Gallatin National Forest (Montana), puente de armadura de acero en, 265 giga-, 7 Grado libertad, 560, 562 redundancia, 216, 217 Gravitación newtoniana, 15-16

H Hora (h), 5

I Ingeniería y mecánica, 4-14 Ingenieros aeroespaciales, 4 civiles, 4 mecánicos, 4 Integrales, 575

J Juntas, 256 cargas aplicadas en, 285-288 especiales, 261 método de las, 258-262

K kilo-, 7 Kilogramo (kg), 7, 9 Kilolibra (kip), 9 Kilómetro (km), 7 Kilonewton-metros, 122 Kilonewtons (kN), 7

L Ley de los cosenos, 574 de los senos, 574 Leyes de Newton, 6-7 del movimiento, 7 Libra (lb), 7-9 Libras por pie, 328 por pie al cuadrado, 10, 529 por pulgada al cuadrado (psi), 529 Línea de acción, 82, 89 determinación del momento y de la distancia perpendicular a la, 124-125 Líneas centroides de, 336-343 compuestas, 343-347 por integración, 339-340 momento de una fuerza respecto a, 147-161 aplicaciones, 148-150 definición de, 148 determinación de, 151 ejemplo de, 152-152 propiedades de las, 579 Líquidos en reposo, 485, 529, 541 presión en, 531-534 Líquidos y gases, 529-543 centro de presión, 529-531 líquido en reposo, presión en un, 531-534 presión, 529 Logaritmos naturales, 573 Longitud, conversiones de unidades, 9 Llave de torsión, 13 bloqueo de una, 303 representación de un sistema mediante una, 173-175 representación de una fuerza y un par mediante una, 180

M Magnitud, 22 de momentos, 122-123, 134, 138

627

628

Índice

de un vector en términos de sus componentes, 44-45 vectorial desconocida, determinación de una, 35 Máquinas, 282-295 análisis de, 282-283, 290-291, 294-295 definición de, 282, 288 fuerzas y pares sobre los elementos de, 288 giratorias, 155 Marco newtoniano, 87 referencia inercial, 87, 91 Masa, 7, 22 centro de, 249, 355-362 como una cantidad escalar, 22 conversión de unidades, 9 de barras esbeltas, 409-410 de objetos sencillos, 409-414 de placas delgadas, 410-411 en unidades de uso común en Estados Unidos, 9 teorema de los ejes paralelos, 375, 384 Mecánica aprendizaje de la, 4-5 como ciencia, 4 conceptos fundamentales, 5-8 cifras significativas, 5 espacio y tiempo, 5-6 leyes de Newton, 6-7 números, 5 cronología de desarrollos en mecánica, hasta el Principio de Newton, 6 cuántica, 7 e ingeniería, 4-14 elemental, 4, 6-7 espacio, 5 gravitación newtoniana, 15-16 principios de la, 4 resolución de problemas, 4-5, 9 tiempo, 5 unidades angulares, 8 conversión de, 8-10 mega-, 7 Megagramo (Mg), 7 Método de las juntas, 258-262 aplicación del, 262-263 de las secciones, 268-271 aplicación del, 271 Metro (m), 5, 7, 9 Metros por segundo (m/h), 5 por segundo al cuadrado (m/s2), 5

micro-, 7 mili-, 7 Milla (mi), 8 Millas por hora (mi/h), 8 Minuto (min), 5 Módulo de elasticidad, 395 Momentos de inercia, 375-427, 577 “Cono de Morse,” 470 círculo de Mohr, 405-409 de barras esbeltas, 409-410, 413 de placas delgadas, 410-411 de un área circular, 379 de un área compuesta, 386-388 de un área triangular, 378-379 de un área, 376-382 de un cilindro, 420-421 de un objeto compuesto, 418-419 momento polar de inercia, 377, 384-385, 577 producto de inercia, 377, 384 respecto al eje x, 376, 383-384 respecto al eje y, 376, 384 secciones transversales de vigas, 389 y ejes principales, 400-403, 406 de un par, 162, Vea también Pares determinación del, 164-165 de una fuerza respecto a un punto, 134-135, 137, 163-164 de una fuerza respecto a una línea, 147-161 aplicaciones del, 148-150 definición del, 148 determinación del, 151 ejemplo de, 152-153 de una fuerza respecto al eje x, 154 de un sistema de fuerzas, 124-125 definición de, 138 descripción bidimensional de, 122-133 determinación de, 124, 138-139 dirección de, 123, 134-136, 138 en sentido contrario al de las manecillas del reloj, 122 flector, 144, 486-487 relaciones entre fuerza cortante, cargas distribuidas y, 498-511 magnitud de, 122-123, 134, 138 máquinas giratorias, 155 momento de una fuerza respecto a una línea, 147-161 momento de una fuerza respecto al eje x, 154 polar de inercia, 377, 384-385, 397, 577 principales de inercia, 398 relación con la descripción bidimensional, 136-137 selección del punto respecto al cual evaluar, 202

Índice signo de, 123 suma de, para determinar una fuerza desconocida, 126 teorema de Varignon, 137

N nano-, 7 Negativo del vector U, 24 Newton, Isaac, 6-7 Newtons -metros, 13, 122 (N), 7, 9 por metro, 328 por metro al cuadrado, 10, 14, 529 Números, 5 dígitos significativos, 5 uso de, en el libro, 5

O Objetos aislados, diagramas de cuerpo libre de, 87-88 compuestos, momentos de inercia, 418-419 en equilibrio, 183-251 aplicaciones bidimensionales, 194-215 aplicaciones tridimensionales, 221-240 estáticamente indeterminados, 215, 217 reconocimiento de, 218 soportes impropios, 215, 217, 219 soportes redundantes, 215-216 homogéneos, 356-358 propiedades de, 580-582

P Pares, 162-170 definición de, 162, 164 fuerza total ejercida por, 164 fuerzas desconocidas, determinación de, 166 momento de, 163-165 suma de los momentos debidos a, 163, 167 Pascales (Pa), 10, 14, 529 Paso, en roscas, 452 Pendiente, de roscas, 452 Peso específico, 356, 364, 532-534, 536-537 determinación de, 17-18 y centro de masa, 355-357 y masa, 16

629

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Newton), 6 Pies (pie), 9 por segundo (pie/s), 6, 8 por segundo al cuadrado (pie/s2), 6 Placa triangular, momento de inercia de una, 412 delgada, 410-411 propiedades de, 580-581 Plano, componente de un vector perpendicular al, 74 Poleas, 84-85 aplicación del equilibrio a un sistema de, 94-95 Posición de equilibrio, estabilidad de la, 564-565 de equilibrio estable, 561 de equilibrio inestable, 560 promedio ponderada. Vea Centroides Prefijos, usados en unidades SI, 7 Presión. Vea también Centro de presión atmosférica, 529 conversión de unidades de, 10 definición de, 529, 533 en un líquido en reposo, 531-532 manométrica, 529, 533 Principio de transmisibilidad, 181 del trabajo virtual, 545, 546-548 aplicación a estructuras, 548 para fuerzas conservativas, 562 Producto cruz, 68-77 de vectores adyacentes, 69 definición de, 68-69 distancia mínima de un punto a una línea, 73 en términos de sus componentes, 69-70 no conmutativo, naturaleza del, 69 para evaluar un determinante 3 ⫻ 3, 70 producto triple mixto, 70-72 unidades del, 68-69 de inercia, 377, 384, 397 punto, 60-68 aplicación del, 110-111 componentes vectoriales paralela y normal a una línea, 61, 62, 64 componente normal, 61-62 componente paralela, 61 proyección de componentes vectoriales, 61 definición del, 60 en términos de sus componentes, 60-62 propiedades del, 60 uso del, para determinar un ángulo, 63

630

Índice

vectorial producto cruz, 68-77 producto punto, 60-68 producto triple mixto, 70-72 Proyección de un vector sobre una línea, 61 Puentes armaduras para, 256-257, 263 de arco, 268 de concreto, 309 ejemplos de, 256 soportes de, 196, 256 Pulgada (pulg), 8 Punto distancia mínima de un, a una línea, 73 momento de una fuerza respecto a un, 134, 137, 163

R Radianes (rad), 8 Radio de giro, 376, 377, Vea también Momentos de inercia Reacciones aplicaciones bidimensionales, 199 aplicaciones tridimensionales, 227-228 definición de, 196 en articulaciones alineadas adecuadamente, 225 en soportes articulados, 232-233 en soportes de pasador, 197 en soportes de rodillo, 197-200, 219, 221, 227, 239 en soportes fijos, 198, 200, 202-203 en vigas, 200 soportes, 200-204 Recorte, 322 centroide de un volumen que contiene un, 345-346 Redondeo de números a cifras significativas, 5 Redundancia, grado de, 216, 217 Regla de la mano derecha, 68-69 del paralelogramo, suma vectorial, 23, 25 del triángulo, para la suma de vectores, 23, 25 Repaso de matemáticas, 573.576 álgebra, 573 derivadas, 574 ecuaciones cuadráticas, 573 integrales, 575 logaritmos naturales, 573 series de Taylor, 576 trigonometría, 574 Resolución de problemas, 4-5 Resortes, 85-86 lineal, 86, 91

no lineal, 566 constante de resorte, 86, 91, 565 lineales, 86, 91 Roscas, 452-455 paso en, 452, 454 pendiente, 452, 454 Rotación virtual, 547, 550 Rowlett, Russ, 9

S Secciones adecuadas, elección de las, 271 método de las, 271 aplicación de, 271 transversales de vigas, 389 Sector circular, propiedades de un, 579 Segunda ley de Newton, 7, 8, 15 Segundo teorema de Pappus-Guldinus, 351-352 Segundo(s), 5, 7, 9 Senos, ley de los, 574 Series de Taylor, 576 Sistema conservativo, 559, 562 estabilidad de un, 563 con un grado de libertad, 560-562 análisis del equilibrio de, pasos en, 561 coordenado derecho, 69-69 coordenados tridimensionales, 43-44, 87 de fuerzas bidimensionales, 91 de fuerzas concurrentes, 82, 89 de fuerzas tridimensionales, 108 de fuerzas y momentos, 82, 89 definición de, 171 fuerzas concurrentes, representadas por una fuerza, 173, 176 fuerzas paralelas que representan una sola fuerza, 179 fuerzas que se representan por una fuerza y un par, 173, 176 representación de un sistema mediante un sistema equivalente más sencillo, 178 representación de un sistema mediante una fuerza y un par, 172-173 representación mediante una llave de torsión, 173-175, 180 sistema arbitrario, que representa una fuerza y un par, 176 sistemas equivalentes, 171-188 equivalentes, 171-188 condiciones para la equivalencia, 171-173 representación de sistemas mediante, 172-173, 175, 178

Índice Internacional de Unidades (Unidades SI), 5, 9 prefijos usados en, 7 Slug, 8, 9 Soportes, 194-198, 199, 221-226 aplicaciones bidimensionales, 194-198 aplicaciones tridimensionales, 221-226, 227 cargas en, 194 convenciones de, 194-195 de articulación, 222-223 de bola y cuenca, 221-222 de cojinete, 223-224 de pasador, 195, 197 reacciones en, 197 de rodillo, 195-196, 197 aplicaciones tridimensionales, 227-228 reacciones en, 197-200, 219, 221, 227, 239 fijos (empotrados), 196-198, 224-225 reacciones en, 200-201 impropios, 215, 217, 219 MacPherson, 85 propios, 219 reacciones en, 194, 199 redundantes, 215-216 Suma de vectores, 22-25, 27 Superficies, 83 lisas, 83 rugosas, 83 Supermain Spitfire, 319 Sustracción de vectores, 24, 25

T Tensión armaduras, 223, 256-258 en un cable, 84 Teorema de los ejes paralelos, 375, 383-389, 415-425 definición de los, 415 momento de inercia de un objeto compuesto, 418-419 momento de inercia respecto al eje x, 383-384 momento de inercia respecto al eje y, 384 momento polar de inercia, 384-385 momentos de inercia de un área compuesta, 386-388 momentos de inercia de un cilindro, 420-421 producto de inercia, 384 secciones transversales de vigas, 389 de Pappus Guldinus, 350-355 determinación de un centroide con los, 353

primer teorema, 350, 352 segundo teorema, 351-352 de Pitágoras, 30 de Varignon, 137 Teoría de la fricción de Coulomb, 429, 430-447 coeficientes de fricción, 432-433 coeficiente cinético, 432-433 coeficiente estático, 432 especial de la relatividad de Einstein, 7 Tercera ley de Newton, 83 demostración de la, 284 Tiempo, 5, 22 conversiones de unidades, 8-9 Torniquete, 458 Torre inclinada de Pisa, 189 Torsión, 144 Trabajo virtual, 545-571 aplicación a estructuras, 548-551 aplicación a una máquina, 552-553 definición de, 547 energía potencial, 558-568 estabilidad del equilibrio, 560-561 fuerzas conservativas, ejemplos de, 558-559 fuerzas conservativas, principio del trabajo para, 559-560 peso, 558 resortes, 558-559 principio del, 545, 546-548 trabajo, 546-547 Trabajo, 546-547, Vea también Trabajo virtual Tracción de Russell, 116 Transmisibilidad, principio de, 181 Traslación estable, 87, 91 virtual, 547 Triángulo rectángulo, funciones trigonométricas para el, 574 Trigonometría, 574

U Unidades angulares, 8 básicas, definición 7, 9 conversión de, 8-10 de uso común en Estados Unidos, 5-9 del Sistema Internacional, 5, 9 derivadas, 7 determinación a partir de una ecuación, 11

631

632

Índice

V Vectores, 21-79 adyacentes, producto cruz de, 69 componentes, 30 cartesianas, 30-45, 223 de una fuerza, determinación de, 54-55 determinación de, 32-34 en dos dimensiones, 30-43 en tres dimensiones, 43-59 paralela y normal a una línea, 61, 64 perpendicular a un plano, 74 uso de, para determinar un ángulo, 63 cosenos directores, 45, 47-49 de momento, 134-146 aplicación de, 140-141 descripción bidimensional y, 136-137 de posición, en términos de sus componentes, 31-32, 46, 48 definición de, 22,25 magnitud de, en términos de sus componentes, 44-45 manipulación de, en términos de sus componentes, 30-32 operaciones, 26 paralelos a una línea dada, componentes de, 46-48 producto cruz, 68-77 definición del, 68-69 distancia mínima de un punto a una línea, 73 en términos de componentes, 69-70 evaluación de un determinante 3 * 3, 70 producto triple mixto, 70-72 producto de un escalar y un vector, 24, 25 producto punto, 60-68 componentes vectoriales paralela y normal a una línea, 61, 62, 64

definición del, 60 en términos de componentes, 60-62 uso de, para determinar un ángulo, 63 producto triple mixto, 70-71 proyección sobre una línea, 61 reglas para manipular, 22 resta de, 24, 25 suma de, 22-25, 27 en términos de sus componentes, 21, 30-31 regla del paralelogramo para la, 23 regla del triángulo para, 23 unitarios, 24-26 Veerpalu, Andrus, 13 Vehículo(s) centros de masa de, 366-367 de exploración de Marte, 17-18 sumersión profunda, 10 Velocidad, 5-6 Ventaja mecánica, 250 Vigas, 256 I, 389 simplemente apoyadas, 493 soporte de, 198 Volúmenes centroides de, 335-343 compuestos, 343-347 que contienen un recorte, 345-346 definición de, 335 propiedades de, 580-582 Vuelo estable, 95

W Watt (W), 14

Propiedades de áreas y líneas Áreas Las coordenadas del centroide del área A son

y A

x=

y

∫ x dA , ∫ dA A

y=

A

∫ y dA , ∫ dA A

A

x

O

x y

El momento de inercia Ix respecto al eje x, el momento de inercia Iy respecto al eje y, y el producto de inercia Ixy son Ix =

∫

A

Iy =

y 2 dA,

∫

I xy =

x 2 dA,

A

∫

A

a

xy dA.

h x⬘

El momento polar de inercia respecto a O es JO =

∫

A

r 2 dA =

∫

A

1h 3 O

( x 2 + y 2 ) dA = I x + I y .

1 (a ⫹ b) 3 b

y⬘

y

x

Área triangular

b

Área =

x⬘

1h 2 O

h

1 bh 2

Ix =

1 3 bh , 12

I x′ =

1 bh 3 36

x

1b 2

y⬘

Área rectangular

R

Área = bh

x⬘

1 3 bh , 3 1 I x′ = bh 3 , 12

1 3 hb , 3 1 I y′ = hb 3 , 12

Ix =

Iy =

y

1 2 2 b h , 4

I x ′y′ = 0

Área circular

Área = ␲R 2

I x ′ = I y′ =

y⬘

1h 3

O

I xy =

1 ␲R 4 4

y y⬘ h x⬘ x

2b 3

R x, x⬘

O

b Área triangular

1 bh 2 1 Ix = bh 3 , 12 1 I x′ = bh 3 , 36

I x ′y′ = 0

4R 3π Área semicircular

Área =

1 3 hb , 4 1 I y′ = hb 3 , 36 Iy =

1 2 2 b h 8 1 2 2 = b h 72

I xy = I x ′y′

1 ␲R 2 2 1 I x ′ = ␲R 4 , 8

Área =

1 ␲R 4 , 8 ␲ 8 ⎞ 4 I y′ = ⎛⎜ − R , ⎝ 8 9␲ ⎟⎠ Ix = Iy =

I xy = 0 I x ′y′ = 0