Mathematik-Praktikum: Manuelle Bearbeitung und Einsatz des EDV-Tools Mathematica [Reprint 2018 ed.] 9783486786309, 9783486229363

Citation preview

MathematikPraktikum Manuelle Bearbeitung und Einsatz des EDV-Tools Mathematica

Von

Prof. A. Nieswandt

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Die Deutsche Bibliothek — CIP-Einheitsaufnahme Nieswandt, Aribert: Mathematik-Praktikum : manuelle Bearbeitung und Einsatz des EDV-Tools Mathematica / von A. Nieswandt. - München : Oldenbourg, 1994 ISBN 3-486-22936-2

© 1994 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München Das Werk außerhalb lässig und filmungen

einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzustrafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverund die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen.

Gesamtherstellung: WB-Druck, Rieden

ISBN 3-486-22936-2

Vorwort Die rasante Entwicklung neuer Technologien, welche unsere High-Tech Welt gestalten, fußt in weiten Bereichen auf Mathematk. Durch die präzise Formulierung von Problemen, die logisch durchdachte Gedankenwelt mathematischer Objekte, den unbefangenen Umgang mit zunächst unbekannten Größen und durch klare, erfolgssichere Rechenverfahren zur Lösung von Gleichungen und vielen weiteren mathematischen Fragestellungen hat die Mathematik sich zu einem unentbehrlichen Begleiter der Technik, Wirtschaft, Naturwissenschaften und fast aller weiteren wissenschaftlichen und angewandten Disziplinen entwickelt. Die durch sie ermöglichten Entwicklungsschübe, man denke nur an die Auswirkungen des Differential- und Integralkalküls auf die Physik, Chemie, Technik, Statistik, haben sie zu einer der zentralen Wissenschaften gemacht, die immerwieder neue Verfahren generiert bis hin zu den verschlungenen Fraktalen, mit welchen man Küstenlinien beschreiben oder auch nur die Ästhetik einer fremdartigen Farben- und Formenwelt betrachten oder in verblüffende andere neue Bereiche vordringen kann. Dabei basieren diese interessanten Gebilde auf einer äußerst einfachen Gleichung im komplexen Zahlenraum. Allerdings hat es Tausende von Jahren an Mathematikgeschichte und des Einsatzes moderner Computertechnolgien benötigt, um diese mathematischen Entdeckungen tätigen zu können. Weit verfehlt ist es daher, zu glauben, daß die anwendungsorientierte oder reine Mathematik zum Stillstand gekommen sei. Gerade heute ist durch die Welt der mathematischen Computer Tools, wie Axiom, Mathcad, Mathematica, um nur einige zu nennen, ein neuer Entwicklungsschub passiert. Er wird die Einsatzbreite mathematischer Verfahren vergrößern und dem darin frühzeitig Bewanderten Know How Vorteile sichern. Sich mit Mathematik zu beschäftigen, ist daher heute noch wichtiger als früher. Beschäftigen bedeutet aber nicht, sich ein diffuses Wissen über mathematische Verfahren anzueignen, sondern den sicheren Umgang mit den heute benötigten Rechenverfahren und chentechniken

durch konsequentes Training zu erlernen. Daher

Re-

enthalten die vorliegenden Mathematipraktika einen ausführlichen manuellen Übungsteil, in welchem die Fertigkeit zur Lösung von mathematischen Aufgaben trainiert werden kann. Ergänzend und begleitend sollen dann die Lösungen mit einem Mathematik Tool durch Interaktion mit dem Computer ermittelt werden. Dabei ermöglichen die zwei- und dreidimensionalen Graphikeigenschaften der Mathematik Tools eine hervorragende Visualisierung bis hin zum Einsatz der Computer Animation zur Darstellung von Bewegungsabläufen. Eine Sorge kann dem interessierten Übenden gleich am Anfang genommen werden. Die Bedienung der Tools steht nicht im Vordergrund. Sie ist außerdem ganz einfach. Es werden keine Programmierkenntnisse vorausgesetzt, sondern nur der Umgang mit Formeln und wenigen Befehlen und Windows Arbeitsabläufen. Die Schreibarbeiten des vorliegenden Werkes wurden mit großer Sorgfalt von Gerd Richter ausgeführt. Die Lösungen der Aufgaben wurden von Gerd Richter und Pia Müller besorgt. Dabei wurde, auch zur Erstellung der Graphiken, das Mathematik Tool Mathematica der Wolfram Research, Inc., Champaign, USA verwendet. Die gewählten Inhalte decken den für Praktiker benötigten mathematischen Bereich ab. Nach Durchführung des Praktikums sollen die wichtigsten mathematischen Begriffe und Arbeitstechniken beherrscht werden. Das Praktikum vermittelt die Fähigkeit, grundlegende Rechnungen selber auszuführen und bei Erhöhung des Schwierigkeitsgrades, sei es wegen unhandlichen Parameterwerten , komplizierten Funktionen oder hochdimensionierten Gleichungssystemen, ein Mathematik Computer Tool einzusetzen.

Aribert Nieswandt

Inhaltsverzeichnis

Praktikum 0, Mathematica

Seite

1 -10

Praktikum 1, Komplexe Zahlen

Seite

1 -6

Praktikum 2, Vektorrechnung

Seite

1 -8

Praktikum 3, Vektoralgebra

Seite

1-8

Praktikum 4, Matrix-Algebra

Seite

1 - 14

Praktikum 5, Lineare Gleichungssysteme und Matrix-Algebra Seite

1 - 18

Praktikum 6, Funktionen

Seite

1 -8

Praktikum 7, Differentialrechnung

Seite

1 - 12

Praktikum 8, Integralrechnung

Seite

1 - 10

Praktikum 9, Kurvendiskussion

Seite

1 - 12

Praktikum 10, Rauminhalte von Rotationskörpern

Seite

1 - 12

Praktikum 11, Drehmomente, Schwerpunkt

Seite

1 - 10

Praktikum 12, Funktionen in zwei Veränderlichen

Seite

1-10

Praktikum 13, Funktionen in zwei Veränderlichen

Seite

1-8

Praktikum 14, Elemente der Differentialgeometrie

Seite

1 -8

Praktikum 15, Elemente der Differentialgeometrie

Seite

1 - 10

Praktikum 16, Differentialgleichungen

Seite

1 - 12

Praktikum 17, Differentialgleichungen

Seite

1- 8

Praktikum 0

Seite 1

1. Grundelemente 1.1 Numerisches Rechnen 22

210

250

2100

Vergleichen Sie die Ergebnisdarstellung In[l]:= 2A2 2A10 2A50 2A100 7A234 N[2A100] N[2A100,50] N[7A234] N[7A234,50] N[Pi,70]

Out[l]:=

Einige besondere Zahlen In[2]:=Pi E Infinity Degree

Out[2]:=

Einige Rechnungen In[3]:= 2+3*5 2.1+3*5.2A2 N[2.1+3*5.2A2,6] N[2.1+3*5.2A2,15]

Out[3]:=

2

7234

1.2 Algebraisches Rechnen (x+y)2

,(x+y)7

,(x+y)2°

,(x+y)100

In[ 1 ] :=Expand[(x+y)A2] Out[ 1 ] := Expand[(a + 2 b) * 4c] Expand[(a + 2 b)A12 * (a + 4c)] Expand[(x+y)A4] Factor[l- 7u + 21uA2- 35uA3 + 35uA4- 21uA5 + 7uA6- uA7] Lösen Sie : (x+2)A3, (x+2)A7, (a+b+c)A3, (a+b+c)A7, (a+b+c)A16 ((x+2)A3 +1 A)A4, (x - 2) (x + 2) (a + x) Simplify[Ausdruck] = Vereinfache den Ausdruck Expand[Ausdruck] = Entwickle den Ausdruck Factor[Ausdruck] = Faktorisiere den Ausdruck

1.3 Variablen,Wertzuweisungen Definition von Variablen Variablenname = Ausdruck x = 2.1 , x = 3 + 7A4 Variablenname = . x = . (Lösche Wert) In[l]:= x = 7 4 + 3xA2 (6 + x) / (4 - 3x) x=a+b In[2]:= 4 + 3xA2 4x -3x A 2 Factor[%]

Out[l]:=

Out[2]:=

1.4 Transformationsregeln Ausdruck zu x /. x -> Ausdruck

2 - 4x /. x -> 5 2 - 4x /. x -> a + b Ersetze in einem Ausdruck eine Variable durch einen weiteren Ausdruck. Ersetzen Sie im Ausdruck

1) x durch u +

v

2) x durch u + v , y durch u 3) x durch 3 , y durch

In[l]:= (x - y) (x (x - y) (x

A

(x - y) (x

A

A

12 + y

A

1 2 ) /. x - > u +

v

2

v

12 + y

A

1 2 ) /. { x - > u + v , y - > u -

12 + y

A

1 2 ) /. { x - > 3 , y - >

v}

2}

1.5 Summen und Produkte Sum[Ausdruck,

In[l]:=Sum[i

A

2,

Product[a +

{ Laufbereich }], Product[Ausdruck,

{ Laufbereich }]

{i,l,5}] i,{i,l,5}]

Expand[%]

10 Berechnen Sie

£

5

7

, Ei3 , IL

i

i= 1

i= 1

4

i = l

|

1.6 Gleichungen x* - lx ó + 3x2 = 0 , 6x - 5x2 - 3x3 + 2x4 = 0 Solve[ Ausdruck = = Wert, gesuchte Variable] Symbolische Lösung In[l]:= Solve[ xA4 - 7xA3 + 3xA2 = = 0, x] N[Solve[ xA4 - 7xA3 + 3xA2 = = 0, x]] Solve[ {xA3 yA3 = =1 , x + y = =2},{ x,y }] N[Solve[ {xA3 yA3 = =1 , x + y = =2},{ x,y }]] oder N[%] Numerische Lösung In[l]:=NSolve[ {xA3 yA3 = =1 , x + y = =2},{ x,y }]

2.

Funktion (in einer Veränderlichen) Sin x mit 0 < x < 2 II

In[l]:= Table[ Sin[ x ] , {x,0,2 Pi,0.1}] ListPlot[Table[ Sin[ x ] , {x,0, 2 Pi,0.1}]] oder 4 Pi oder 12 Pi Plot[Sin[ x ] , {x,0,2 Pi}] Funktionen definieren: z.B:

f[x_J:= Ausdruck f[x_]:=x A 2 - 3 u[x_]:= 1/x-x Funktionsformeln anzeigen: f[x]

5

I

Beispiel 1: Berechnen Sie eine Wertetabelle der Funktion f(x) = (x2 - 1 )/(x2 - 4x + 3) für -4 < x < 4 mit Ax = 0.1 und erstellen Sie einen ListPlot und Plot der Funktion. In[l]:= Table[(xA2 - l)/(x A 2 - 4x + 3), {x,-4,4,0.1}] ListPlot[Table[(xA2 - 1 )/(xA2 - 4x + 3),{x,-4,4,0.1}]] oder ListPlot[%] Plot[ (xA2 - l)/(x A 2 - 4x + 3),{x,-4,4}] f!xJ:=(x A 2 - 1 )/(xA2 - 4x + 3) Plot[ f[x],{x,-4,4}]

3. Kurven in Parameterform Kl = {(x,y) | x = sin t, y = sin 2t, 0 < t < 2 I I } In[l]:= ParametricPlot[{Sin[t], Sin[2t]}, {t,0,2 Pi}] Archimedische Spirale r = t : K2 = {(x,y) | x = t cos t, y = t sin t, 0 < t < (2, 6, 20) I I } In[l]:= r[t_J:=t ParametricPlot[{r[t] Cos[t], r[t] Sin[t]}, {t,0,2 Pi}] oder 6 Pi oder 20 Pi Epizykloide a = 7; b = 1.5; c = 3 E = {(x,y) | x = (a+b) cos( b/a t) - b cos((a+b)/a t), y = (a+b) sin( b/a t) - b sin((a+b)/a t)} In[l]:= a := 7 b := 1.5 c := 3 ParametricPlotf {(a+b) Cos[b t /a] - b Cos[(a+b) t/a], (a+b) Sin[b t/a] - b Sin[(a+b) t/a]}, {t,0,10 Pi}] oder 30 Pi

6

4. Differentiation 1

f [x], f [X] . . . oder D[f[x],x], D[f[x],{x,2}],...

Definieren Sie die Funktionen und berechnen Sie die 1., 2., 3. Ableitung. f(x) = x4 - 3x2 + 4

f!xJ:=x A 4 - 3xA2 + 4

g(x) = (x - 3)/(x2 + 3)

g[xJ:=(x-3)/(x A 2 + 3)

h(x) = f( sin(x))

h[xj:=f[ Sin[x]]

5. Integration Unbestimmtes Integral

f

f(x) dx : Integrate[ f [x],x ] a

Bestimmtes Integral

f(x) dx : Integrata f [x], {x, a, b}]

/ b

1

Numerische Integration / f ( x ) d x

: Integrate[ f [x], {x, 1, 2}]

oder NIntegrate[ f [x], {x, 1, 2}]

Symbolische Integration In[l]:=Integrate[Sin[x], x] Out[l]:= Integrate[Sin[x], {x, 0, Pi}] Plot[Tan[Cot[x]/3],{x, 0.4, 2.6}] Integrate[Tan[Cot[x]/3],{x, 0.4, 2.6}] (Wird symbolisch nicht gelößt!)

7

|

Numerische Integration In[ 1 ]:=NIntegrate[Sin[x], {x, 0, Pi}] NIntegrate[Tan[Cot[x]/3],{x, 0.4, 2.6}] (Wird nur numerisch gelößt !) i 0.8 0.6

Fläche A, Drehmomente Mx, My, Schwerpunkt S o.« 0.2 0.5 1 l.S

In[l]:= a:=NIntegrate[Sin[x], {x, 0, Pi}] a Mx:= 0.5 NIntegrate[Sin[x]A2, {x, 0, Pi}] Mx My:= NIntegrate[x Sin[x], {x, 0, Pi}] My S:= {My/a, Mx/a} S

Out[l]:=

6. Funktionen in 2 Veränderlichen Fl = {(x, y, z) | z = sin(x) cos(3y), -2 30] DensityPlot[flx,y], {x,-2,2}, {y,-3,3}, PlotPoints -> 50]

8

2 2.S

3

fxyx= D[f[x,y], x, y, x] 5/6 n

/

x

f [f(x,y) dy] dx = Integrate[fIx,y],{x,Pi/2,5/6 Pi},{y, Pi/2, x}]

n/2 n/2

7. Mathematica Graphikanwendungen Darstellung des Apfelmännchens In[l]:= iter=Compile[ {{x,_Real}, {y,_Real}, {lim,_Real}} ,Block[ {c,z,ct}, c= x+1 y; z = c; ct = 0; While[(Abs[z] < 2.0) && (et < lim), ++ et; z = z*z +c;]; Return[ct]; ]] In[2]:= DensityPlot[iter[x,y,90], {x,-2,-1 },{y,-.5,.5}, PlotPoints->500,Mesh->False,ColorFunction->Hue] -DensityGraphics-

Darstellung von Rotationsoberflächen In[3]:= f [ x j : = Sin[x] + x In [4]:= ParametricPlot3D[{x Sin[r],f[x],x Cos[r]}, (•Mathematica Vereinbarung für die Y-Achsen Rotation*) {r,0.5Pi,2 Pi},(*RotationsWinkel*) {x,0,20},(*Defmitionsbereich für f(x)*) (•Mathematica Vereinbarungen für die Darstellung der Graphik*) AspectRatio-> 1, Vie wPoint-> {0,0,2}, AxesLabel->{nx",,,y"5"z"}, FaceGrids->{{0,0,-1},{0,-1,0}}]

9

In[5]:= ParametricPlot3D[{x, Sin[r] f[x],f[x] Cos[r]}, (•Mathematica Vereinbarung für die X-Achsen Rotation*) {r,0,1.5 Pi},(*RotationsWinkel*) {x,0,20},(*Definitionsbereich für f(x)*) (•Mathematica Vereinbarungen für die Darstellung der Graphik*) AspectRatio->l ,ViewPoint->{0,0,2}, AxesLabel-> {"x'W V'z"}, FaceGrids->{ {0,0,-1},{0,-1,0},{-1,0,0}}] -Graphics3D-

parametrische Darstellung eines Schneckengehäuses In[6] := r [ x J :=Sqrt[(Sin[x]A2+Cos[x]A2)xA2]/2 In[7]:= ParametricPlot3D[{(Sin[t] r[x]+r[x])Sin[x], (Sin[t] r[x]+r[x])Cos[x], Cos[t] r[x]}, {t,0.5 Pi,1.5 Pi},{x,0,5 Pi,Pi/7}] -Graphics3D-

Darstellung eines schwingenden Trommelfells In[8]:= ParametricPlot3D[{r Cos[t],r Sin[t], BesselJ[2,k r/. k->l 1.619] Cos[21]}, {r,0,l},{t,0,2 Pi}, Axes->False,Boxed->False, PlotPoints->35] -Graphics3D-

10

Praktikum 1

Seite 1

Name:

Sem:

Datum:

Aufgabe 1 : 1.1 Gegeben sind die komplexen Zahlen : z = 2 + 3/,

u

= 4 + 8/,

v= i

Berechnen Sie:

u-z,

—, U

u-v-z,

2z + 3w, (u +

v,

vf

( Der Nenner soll rational sein )

1.2 Gegeben sind die komklexen Zahlen : u = 4 - i ,

Berechnen Sie :

v = 16 + 4/,

Tt + v,

w = - 6 i

u • v,

—,

2u + 3v + w,

V

w2+v2, -2 u

,

(1 - i ) \

Re(w 2 ), -p» / 2 2^ R e ( « + v J, (1 - u ) \

Im (w 2 ), —

u - w ,

u

w•v v + w

VW-2/,

(4-2I)*

Praktikum 1

Seite 2

Manuelle Lösung :

1.1 z = 2 + 3/,

u = 4 + 8/,

u-z

v= -

i_

z

u

2z + 3w V

U'V'Z

(w + v)2 1.2 w = 4 - / , u ÏÏ + V U'V u V 2u + 3v + w 2 . 2

W + V

v = 16 + 4/,

w=

-6i

Praktikum 1 Re(w 2 ) Im(w 2 )

u

ü2 Re(« 2 + v 2 )

u-w ü•V v+ w 1

(1 -i)

nach binomischen Lehrsatz :

goniometrische Formel:

r = \l-i\ =

}} 7 Solve[un.x==5,x[[2]]]//N {{x2 -> -0.25 (-5. + 7. xl + 5. x3)}}

Gleichungen x = {xl,x2,x3} Solve[un.x==5,x[[l]]]

Funktion (Vektor) wird komponentenweise ausgeführt Metrik: Länge eines Vektors

Sqrtfus] Sqrt[un]//N

{Sqrt[ul], Sqrt[u2], Sqrt[u3]} {2.64575, 2., 2.23607}

2

Sqrt[us.us]

phin=ArcCos[un.vn]/(Sqrt[un.un] Sqrt[vn.vn])//N N[% 180/Pi] oder N[%/Degree]

2

Sqrt[ul + u 2 + u3 ] 3 Sqrt[10] 9.48683

Sqrt[un.un] Sqrt[un.un]//N phis=ArcCos[us.vs]/(Sqrt[us.us] Sqrt[vs.vs])

2

ArcCos[u\v\ + u2v2 + M3V3] 2

Sqrt[u\ + ul2 + u32] Sqrt[vl2 + v22 + v32] 0.5131... 29.4..°

Seite 3

Praktikum 2 Aufgabe 1 : Gegeben sind die Vektoren : ä = {4.1,2,0},

b={-

1.1 Geben Sie a,b,c

ein .

2 , 7 . 3 , - 1.2}

c={-

4 . 2 , - 3.1,0.7}

b, \c\, q>{a,b), (p(a,c), cp(ö,c) in Grad , e -a-b + 3 c , \d\, \e\, cp(d,e).

1.2 Berechnen Sie a

d = 2a-3b\

1.3 Stellen Sie die Vektoren a,b,C,d,e

in Spaltenform am Bildschirm dar

Definieren Sie für die Vektoren die Betrags- und Winkelfunktion . Lösen Sie mit diesen Funktionen Aufgabe 1: Aufgabe:

\ä\ (p{ä,b) ä h c a b c cp(ä,c) cp(5,c)

d = e= d e\ {d,e)

Eingabe : l[aj:= phi[a_,b_]:=

Ergebnis:

Praktikum 2

Seite 4

Vektor - Graphik: Graphik - Elemente : G Vektoren :

x,y : Ortsvektoren z.B.: x = {4,7,-2}

G:

Point[x] PointSize[0.02],Point [x]

stellt einen Punkt dar stellt einen Punkt mit der Dicke 0.02 dar

G:

Line[{x,y}] stellt eine Linie zwischen x und y dar Thickness[0.01],Line[{x,y}] stellt eine Linie zw. x und y dar mit der Strichstärke 0.01

G:

Text["Vektor x",x]

stellt den Text "Vektor x" an der Stelle x also neben dem Vektor x dar

Optionen: O Axes->True stellt alle Achsen dar AxesLabel->{ "x","y","z"} stellt die Achsenbeschriftung dar FaceGrids->All alle Flächen werden mit einem Gitter belegt FaceGrids->{ {-1,0,0}, {0,1,0}, {0,0,-1}} nur die angegeben Flächen, hier die -x, +y, -z Seiten werden mit Gitter belegt ViewPoint->{ 0,0,2}

stellt den Betrachtungspunkt dar

Graphik erstellen: zuerst das Menü «Graphics" Graphics" aufrufen, durch Eingabe dann den eigentlichen Grafikbefehl: Show[Graphics3D[{Gl,G2,....}, 01,02,...]] z.B.: x = {3,6,9}, y = {6,9,3}, z = {9,6,3}, u = {3,3,3} Show[Graphics3D[ { Line[ {u+x,u+y} ] ,Line[ {u+x,u+z} ] ,Line[ {u+y ,u+z} ]}, Axes->True,AxesLabel->{"x","y","z"}, FaceGrids->{ {0,0,1},{0,-1,0},{0,0,1}}]] zeigt dann diese Darstellung :

Praktikum 2

Aufgabe 2

:

In[ ]:= u n = {7,4,5} v n = {6,8,15} un + {0.2,0.2,0.2} un + 0.2 o = {0,0,0}

Seite 5

Vektor - Graphik Out[ ]:= {7,4,5} {6,8,15} {7.2,4.2,5.2} {7.2,4.2,5.2} {0,0,0}

Probieren Sie nun die folgenden Graphiken herzustellen : Show[Graphics3D[Line[{ {0,0,0},un}]]] Show[Graphics3D[Line[{o,un}l]] Show[Graphics3D[{Line[{o,un}],Point[un]}]]

Darstellung eines Vektors Darstellung von Vektor u. Punkt

Sho w[Graphics3D [ {Line[ {o,un} ] ,Point[un] ,Text[ "u" ,un]} ] ] Darstellung eines Vektors mit Punkt und Text "u" an der Vektorspitze Show[Graphics3D[{Line[{o,un}],Point[un],Text["u",un+0.2]}]] Darstellung eines Vektors mit Punkt und etwas abgesetztem Text "u" an der Vektorspitze Show[Graphics3D[ {Line[ {o,un} ],Point[un],Text["u" ,un+0.2], Line[ {o, vn} ] ,Point[vn] ,Text[" v" ,vn+0.2]} ], Axes->True] Fügen Sie weitere Attribute an .

Praktikum 2

Seite 6

Aufgabenstellung : 2.1 An einem Körper greifen 4 Kräfte Fl,F2,F3,F4 an 2 3 1 > f 2 )

fl 1

.

=

- 2

1

i2 l

, 3 , 2.1.1 Berechnen Sie F = • 2.2.2 Berechnen Sie den Betrag von F]yF2,F3,F4,F . Fx

1

2

F Der Körper hat den Ortsvektor kT = {2,— 1,3}

2.2.3 Stellen Sie den Körper k durch einen dicken Punkt graphisch dar. Lassen Sie dann die Vektoren Fi in der Graphik als Strecken mit einem Punkt an der Vektorspitze erscheinen und stellen Sie F durch eine dicke Strecke dar. Plotten Sie die Graphik . 2.2.4 Berechnen Sie den Winkel, den Fl + F3,F2 + F4 miteinander einschließen, sowie die Länge derVektoren . Länge:

Winkel: a

=

Seite 7

Praktikum 2 Lösung mit Mathematica : Geben Sie F^k^Ö ein und berechnen Sie die Beträge, den Winkel der Vektoren und den Vektor F .

Vervollständigen Sie die folgende Mathematica-Anweisung, um Fi und F graphisch darzustellen. Show[Graphics3D[ { PointSize[0.03],Point[k], Line[ {k,k+f 1} ] ,PointSize[0.02] ,Point[k+f 1 ], Line[{...

}],Axes->True,...

Erweitern Sie die Eingabe, um die Vektorspitzen zu beschriften ( Text[....] ) und um den Ergebnisvektor F etwas stärker darzustellen . Show[Graphics3D[ {

}],Axes->True,...

]

Praktikum 2

Seite 8

Vektor - Funktionen : x,y :

reele Variable

z=(z1,z2)

ff = (1,2)

Vektoren

n(v) = (/i 1 (v),/i 2 (v))

Vektor, deren Komponenten Funktionen eines Vektors sind.

Funktion von :

In[ ]:=

Out[ ]:=

einer Veränderlichen

f[x ]:=xA2 f[2]

4

g[x_,y_] :=xA2+yA2 g[2,2]

8

zweier Veränderlicher

einem Vektor

Dimension des Vektors ist beliebig

Funktionsvektor Normalenvektor eines Vektors

z = {zl,z2}; u = {1,2} h[ v_]: =v [ [ 1 ] ]A2+v [ [2] ]A2 h[z] zl A 2+z2 A 2 h[u] 5 h[2,2] 8 l[v ]:=Sqrt[v.v]//N Sqrt[zlA2+z2A2] l[z] 2.23607 l[u] 5.38516 1[{ 2,4,-3}] n[v_]:={v[[2]],-v[[l]]} n[{2,3}] n[u] u.n[u] n[z]

{3,-2} {2,-1} 0 {z2,-zl}

Seite 1

Praktikum 3

Name:

Datum:

Sem:

Vektoralgebra Aufgabe 1 : Gegeben sind die Vektoren :

V a

a2

,

b = b2 ,

A/

1 f 1 u= - 2 , v4y

6

f 31 f l v= 8 , w = 0 V-

2,

Berechnen Sie: 1.1 Produkte mit Skalar :

3a,

2u

1.2 Addition, Linearkombination : Ü + b,

2a - 3b,

1.3 Lösungen von Vektorgleichungen : 2a + X = 3b

2u-3v+2y=5w

Ü + v , 2u - 3v + 5 w

x

=> y

1.4 Skalarprodukte : a • b , ü • v, U • w, v • w 1.5 Länge der Vektoren : ä , w|, |v|, |w| 1.6 Winkel zwischen den Vektoren : (Degree, Rad)

Cp(ä,b), cp(w,v), (p(w,M>), cp(v,w)

Aufgabe 2 : Gegeben sind die Vektoren :

a =

2

,

b =

f ~2) 7.3

f- 4.2^| , c = -3.1 , 0.7 ,

Praktikum 3

Seite 2

2.1 Berechnen Sie ä b, \c\, (p{a,b), (p(a,c), (p(/?,c) in Grad und Radialmaß. 2.2 Berechnen Sie die Vektoren d = 2ä — 3b, e = ä — b + 3c sowie die Längen und Winkel

d,

e\, cp{d,e).

2.3 Stellen Sie a, b, C, d, e perspektivisch in einem Koordinatenquader dar, den Sie geeignet dimensionieren .

Manuelle Lösung : V

1. ä = a2 \ai)

f M , b = b , u= 2

1

1

6

2 , v =

fl

8 , u> =

,15,

A y

1.1 Skalarmultiplikation : 2u=

3a = 1.2 Addition, Linearkombination :

ä +b =

2ä-3b

ü+v -

2ü - 3v + 5w =

^ösungen von Vektorgleichun,een :

2a 4- x = 3b =>

2w + 3v

+ 2y = 5w =>

=

f

3

0

1

Praktikum 3

Seite 3

1.4 Skalarprodukte :

ab

=

ü-v =

u-w =

v•w =

v =

w =

1.5 ^änge von Vektoren:

a = u =

1.6 Winkel zwischen Vektoren

cp (a,b) = cp(w,v) =

(p(w,w) =

(p(v,w) =

Grad: Rad:

(4.1) 2. a =

2 , b= 0

L J

f - 2 )

f-

7.3

, c = - 3.1

l-

1.2J

l °- 7 J

2.1 Längen und Winkel:

a =

b =

c =

(?{ä,b) =