Mathematics 05 [5]

Citation preview

‫وزارت معارف‬

‫رياضی‬ ‫صنف پنجم‬

‫=‬ ‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫=‬

‫=‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫سال چاپ‪ 1398 :‬هـ ‪ .‬ش‪.‬‬

‫سرود ملی‬ ‫دا وطــن افغانستـــــان دى‬

‫دا عـــزت د هـــر افـغـان دى‬

‫دا وطــن د ټولو کـــور دى‬

‫د بـــــلـوڅــــــو د ازبـکـــــــو‬

‫کور د ســولې کور د تورې‬ ‫د پښتــــون او هــــزاره وو‬

‫ورسره عرب‪ ،‬گوجــــر دي‬

‫براهوي دي‪ ،‬قزلباش دي‬ ‫دا هېـــــواد بــه تل ځليږي‬ ‫په سينــــه کــې د آسيـــــا به‬ ‫نــوم د حق مو دى رهبـــــر‬

‫هر بچی يې قهرمـــــــان دى‬ ‫د تـــرکـمنــــــو د تـــاجـکـــــو‬

‫پــاميــــريان‪ ،‬نـورستانيــــــان‬ ‫هـــــم ايمـــاق‪ ،‬هم پشـه ېان‬

‫لـکـــه لـمــــر پـر شنـــه آسمـان‬

‫لـکـــه زړه وي جـــاويـــــدان‬ ‫وايــو اهلل اکبر وايو اهلل اکبر‬

‫وزارت معارف‬

‫ریاضی‬ ‫صنف پنجم‬

‫سال چاپ‪ 1398 :‬هـ‪.‬ش‪.‬‬

‫أ‬ ‫الف‬

‫مشخصات‌کتاب‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫مضمون‪ :‬ریاضی‬

‫مؤلفان‪ :‬گروه مؤلفان کتاب‌های درسی دیپارتمنت ریاضی نصاب تعلیمی‬ ‫ویراستاران‪ :‬اعضای دیپارتمنت ویراستاری و ایدیت زبان دری‬

‫صنف‪ :‬پنجم‬

‫زبان متن‪ :‬دری‬

‫انکشاف‌دهنده‪ :‬ریاست عمومی انکشاف نصاب تعلیمی و تألیف کتب درسی‬

‫ناشر‪ :‬ریاست ارتباط و آگاهی عامۀ وزارت معارف‬ ‫سال چاپ‪ 1398 :‬هجری شمسی‬

‫ایمیل آدرس‪[email protected] :‬‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫حق طبع‪ ،‬توزیع و فروش کتاب‌های درسی برای وزارت معارف جمهوری اسالمی‬ ‫افغانستان محفوظ است‪ .‬خرید و فروش آن در بازار ممنوع بوده و با متخلفان برخورد‬ ‫قانونی صورت می‌گیرد‪.‬‬ ‫ب‬

‫پیام وزیر معارف‬ ‫اقرأ باسم ربک‬ ‫سپاس و حمد بیکران آفریدگار یکتایی را که بر ما هستی بخشید و ما را از نعمت بزرگ خواندن و‬ ‫نوشتن برخوردار ساخت‪ ،‬و درود بی‌پایان بر رسول خاتم‪ -‬حضرت محمد مصطفی‪ ‬که نخستین‬ ‫پیام الهی بر ایشان «خواندن» است‪.‬‬ ‫چنانچه بر همه‌گان هویداست‪ ،‬سال ‪ 1397‬خورشیدی‪ ،‬به نام سال معارف مسمی گردید‪ .‬بدین ملحوظ‬ ‫نظام تعلیم و تربیت در کشور عزیز ما شاهد تحوالت و تغییرات بنیادینی در عرصه‌های مختلف‬ ‫خواهد بود؛ معلم‪ ،‬متعلم‪ ،‬کتاب‪ ،‬مکتب‪ ،‬اداره و شوراهای والدین‪ ،‬از عناصر شش‌گانه و اساسی نظام‬ ‫معارف افغانستان به شمار می‌روند که در توسعه و انکشاف آموزش و پرورش کشور نقش مهمی را‬ ‫ایفا می‌نمایند‪ .‬در چنین برهه سرنوشت‌ساز‪ ،‬رهبری و خانوادۀ بزرگ معارف افغانستان‪ ،‬متعهد به ایجاد‬ ‫تحول بنیادی در روند رشد و توسعه نظام معاصر تعلیم و تربیت کشور می‌باشد‪.‬‬ ‫از همین‌رو‪ ،‬اصالح و انکشاف نصاب تعلیمی از اولویت‌های مهم وزارت معارف پنداشته می‌شود‪.‬‬ ‫در همین راستا‪ ،‬توجه به کیفیت‪ ،‬محتوا و فرایند توزیع کتاب‌های درسی در مکاتب‪ ،‬مدارس و سایر‬ ‫نهادهای تعلیمی دولتی و خصوصی در صدر برنامه‌های وزارت معارف قرار دارد‪ .‬ما باور داریم‪،‬‬ ‫بدون داشتن کتاب درسی باکیفیت‪ ،‬به اهداف پایدار تعلیمی در کشور دست نخواهیم یافت‪.‬‬ ‫برای دستیابی به اهداف ذکرشده و نیل به یک نظام آموزشی کارآمد‪ ،‬از آموزگاران و مدرسان‬ ‫دلسوز و مدیران فرهیخته به‌عنوان تربیت کننده‌گان نسل آینده‪ ،‬در سراسر کشور احترامانه تقاضا‬ ‫می‌گردد تا در روند آموزش این کتاب درسی و انتقال محتوای آن به فرزندان عزیز ما‪ ،‬از هر نوع‬ ‫تالشی دریغ نورزیده و در تربیت و پرورش نسل فعال و آگاه با ارزش‌های دینی‪ ،‬ملی و تفکر‬ ‫انتقادی بکوشند‪ .‬هر روز عالوه بر تجدید تعهد و حس مسؤولیت پذیری‪ ،‬با این نیت تدریس راآغاز‬ ‫کنند‪ ،‬که در آیندۀ نزدیک شاگردان عزیز‪ ،‬شهروندان مؤثر‪ ،‬متمدن و معماران افغانستان توسعه یافته‬ ‫و شکوفا خواهند شد‪.‬‬ ‫همچنین از دانش آموزان خوب و دوست داشتنی به مثابه ارزشمندترین سرمایه‌های فردای کشور‬ ‫می‌خواهم تا از فرصت‌ها غافل نبوده و در کمال ادب‪ ،‬احترام و البته کنجکاوی علمی از درس‬ ‫معلمان گرامی استفادۀ بهتر کنند و خوشه چین دانش و علم استادان گرامی خود باشند‪.‬‬ ‫‪ ‬در پایان‪ ،‬از تمام کارشناسان آموزشی‪ ،‬دانشمندان تعلیم و تربیت و همکاران فنی بخش نصاب‬ ‫تعلیمی کشور که در تهیه و تدوین این کتاب درسی مجدانه شبانه روز تالش نمودند‪ ،‬ابراز قدردانی‬ ‫کرده و از بارگاه الهی برای آن‌ها در این راه مقدس و انسان‌ساز موفقیت استدعا دارم‪.‬‬ ‫با آرزوی دستیابی به یک نظام معارف معیاری و توسعه یافته‪ ،‬و نیل به یک افغانستان آباد و مترقی‬ ‫دارای شهروندان آزاد‪ ،‬آگاه و مرفه‪.‬‬ ‫دکتور محمد میرویس بلخی‬ ‫وزیر معارف‬

‫ج‬

‫فهرست‬ ‫صفحه‬ ‫ ‬ ‫شماره عنوان‬ ‫فصل اول‪ :‬عملیه‌های جمع و تفریق اعداد چند رقمی‬ ‫‪ ۱‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ جمع ‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪۲‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪۳‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‌های عبارتی ‬ ‫سؤال ‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪۴‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تفریق ‬ ‫‪4‬‬ ‫ ‬ ‫‪۶‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‌های عبارتی ‬ ‫سؤال ‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪۷‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫امتحان عملیۀ جمع ‬ ‫‪6‬‬ ‫ ‬ ‫‪۸‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تفریق‬ ‫ ‬ ‫امتحان عملیۀ‬ ‫‪ 7‬‬ ‫‪۱۰‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪8‬‬ ‫ ‬ ‫‪۱۱‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‌های عبارتی ‬ ‫سؤال ‬ ‫‪ 9‬‬ ‫‪۱۲‬‬ ‫ ‬ ‫عملیة جمع ‬ ‫خاصیت تبدیلی‪ ،‬اتحادی و صفر در ‬ ‫‪ 10‬‬ ‫‪۱۷‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‬ ‫فصل دوم‪ :‬عملیه‌های ضرب‪ ،‬تقسیم و خواص عملیۀ ضرب‬ ‫‪۱۸‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ضرب ‬ ‫‪ 12‬‬ ‫‪۲۱‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫صفردار‬ ‫ ‬ ‫ضرب اعداد‬ ‫‪ 13‬‬ ‫‪۲۳‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تقسیم ‬ ‫‪14‬‬ ‫ ‬ ‫‪۲۶‬‬ ‫ ‬ ‫رقمی‬ ‫تقسیم اعداد چند رقمی به اعداد باالتر از سه ‬ ‫‪ 15‬‬ ‫‪۲۸‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫عملیة ضرب‬ ‫ ‬ ‫امتحان‬ ‫‪16‬‬ ‫ ‬ ‫‪۲۹‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫عملیة تقسیم‬ ‫ ‬ ‫امتحان‬ ‫‪17‬‬ ‫ ‬ ‫‪۳۱‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪18‬‬ ‫ ‬ ‫‪۳۲‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫عملیة ضرب ‬ ‫خاصیت یک و صفر در ‬ ‫‪ 19‬‬ ‫‪۳۳‬‬ ‫خاصیت تبدیلی و اتحادی در عملیة ضرب و خاصیت توزیعی ‬ ‫‪ 20‬‬ ‫‪۳۹‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪21‬‬ ‫ ‬ ‫فصل سوم‪ :‬مبحث هندسه‬ ‫‪۴۲‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫خط و انواع آن ‬ ‫‪ 22‬‬ ‫‪۴۴‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مستقیم‬ ‫ ‬ ‫وضعیت خط‬ ‫‪23‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 46‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫یکدیگر‬ ‫ ‬ ‫وضعیت دو خط مستقیم نظر به‬ ‫‪ 24‬‬ ‫‪48‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫خط‬ ‫اقسام ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪51‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫زاویه ‬ ‫ ‬ ‫‪ 26‬‬ ‫‪53‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫واحد اندازه‌گیری زاویه ‬ ‫‪ 27‬‬ ‫‪ 28‬اقسام زاویه ‪55‬‬ ‫‪57‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪ 29‬‬ ‫‪59‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫زاویه‌های مجاوره ‬ ‫‪ 30‬‬ ‫‪60‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫زاویه‌های مکمله و مجاورة مکمله ‬ ‫‪ 31‬‬ ‫‪62‬‬ ‫ ‬ ‫زاویه‌های متممه و مجاروة متممه ‬ ‫‪ 32‬‬ ‫‪63‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫زاویه‌های متقابل به رأس ‬ ‫‪ 33‬‬ ‫‪64‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫زاویة مستقیمه ‬ ‫ ‬ ‫‪ 34‬‬ ‫‪65‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ مثلث ‬ ‫‪ 35‬‬ ‫‪67‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫لحاظ زاویه ‬ ‫اقسام مثلث از ‬ ‫‪36‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 70‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫لحاظ اضالع ‬ ‫اقسام مثلث از ‬ ‫‪ 37‬‬ ‫‪74‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ مضلع ‬ ‫‪38‬‬ ‫ ‬ ‫‪۷۶‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ مستطیل ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 9‬‬ ‫‪77‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ مربع ‬ ‫‪40‬‬ ‫ ‬ ‫‪79‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ دایره ‬ ‫‪41‬‬ ‫ ‬ ‫‪83‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪42‬‬ ‫ ‬ ‫فصل چهارم‪ :‬بزرگترین قاسم مشترک و کوچکترین مضرب مشترک‬

‫د‬

‫‪ 43‬‬ ‫‪44‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 45‬‬ ‫‪46‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 47‬‬ ‫‪48‬‬ ‫ ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 9‬‬ ‫‪ 50‬‬ ‫‪ 51‬‬ ‫‪ 52‬‬ ‫‪ 53‬‬ ‫‪ 54‬‬ ‫‪ 55‬‬ ‫‪ 56‬‬ ‫‪ 57‬‬ ‫‪ 8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 59‬‬ ‫‪60‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 61‬‬ ‫‪ 62‬‬ ‫‪63‬‬ ‫ ‬ ‫‪64‬‬ ‫ ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 66‬‬ ‫‪67‬‬ ‫ ‬ ‫‪68‬‬ ‫ ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ 9‬‬ ‫‪70‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 71‬‬ ‫‪72‬‬ ‫ ‬ ‫‪73‬‬ ‫ ‬ ‫‪74‬‬ ‫ ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 5‬‬ ‫‪ 76‬‬ ‫‪77‬‬ ‫ ‬ ‫‪78‬‬ ‫ ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 9‬‬ ‫‪80‬‬ ‫ ‬ ‫‪81‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 82‬‬ ‫‪ 83‬‬ ‫‪84‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 85‬‬ ‫‪ 86‬‬ ‫‪ 87‬‬ ‫‪88‬‬ ‫ ‬ ‫‪ 89‬‬

‫‪85‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪ 92‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪96‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪101‬‬ ‫‪102‬‬ ‫‪102‬‬ ‫‪104‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫به ‪ 3 ،2‬و ‪ 6‬‬ ‫قابلیت تقسیم ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪ 5‬و ‪ 10‬‬ ‫قابلیت تقسیم به ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مضرب‬ ‫مفاهیم قاسم و ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مرکب ) ‬ ‫اعداد اولیه و غیر اولیه ( ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫ ‬ ‫بزرگترین قاسم‪ ...‬‬ ‫ ‬ ‫قاسم‌های مشترک و تعیین‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫ ‬ ‫مضرب‪...‬‬ ‫ ‬ ‫مضرب‌های مشترک و تعیین کوچکترین‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫دریافت کوچکترین مضرب مشترک به واسطۀ تجزیه ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫فصل پنجم‪ :‬کسر ها و عملیه‌های چهار گانه آن‬ ‫ ‪105‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ کسرها ‬ ‫‪107‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫کسرهای مساوی به صفر ‬ ‫‪110‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫کسرهای بزرگتر از واحد ‬ ‫‪112‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫واقعی‬ ‫ ‬ ‫کسرهای واقعی و غیر‬ ‫‪116‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪118‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫کسرهای معادل ‬ ‫‪123‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪124‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫کسرها‬ ‫اختصار ( ساده ساختن ) ‬ ‫‪130‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪132‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مقایسة کسرها ‬ ‫‪138‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪140‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تصحیح کسرعام ‬ ‫‪142‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫غیرواجب کسرها ‬ ‫ ‬ ‫‪144‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪145‬‬ ‫ ‬ ‫باشند‬ ‫جمع کسرهایی که مخرج‌های مختلف داشته ‬ ‫‪147‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫ ‪148‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫جمع کسرها به کمک کوچک‌ترین مضرب مشترک‬ ‫‪151‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مخلوط ‬ ‫ ‬ ‫جمع کسرهایی‬ ‫‪154‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪157‬‬ ‫تفریق کسرهایی که مخرج‌های مختلف داشته باشند ‬ ‫‪160‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪161‬‬ ‫ ‬ ‫مخلوط ‬ ‫ ‬ ‫تفریق کسرهای‬ ‫‪164‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪167‬‬ ‫ضرب عدد صحیح در کسر و ضرب کسر در عدد صحیح ‬ ‫‪171‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪172‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫کسر ‬ ‫ ‬ ‫ضرب کسر در‬ ‫‪177‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مخلوط ‬ ‫ ‬ ‫ضرب کسرهایی‬ ‫‪179‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪182‬‬ ‫تقسیم کسر به عدد صحیح و تقسیم عدد ‪ ...‬‬ ‫‪187‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫کسر ‬ ‫ ‬ ‫تقسیم کسر بر‬ ‫‪190‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬ ‫‪192‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫کسرالکسر‬ ‫ ‬ ‫‪195‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ تمرین ‬

‫ه‬

‫فصل اول‬ ‫عمليه‌هاي جمع و تفريق اعداد چند رقمي‬ ‫جمع‬

‫• اگر در عملیة جمع‪ ،‬ارقام در مرتبه‌ها زیر هم نوشته نشوند‪ ،‬چی مشکالتی‬ ‫را بار خواهد آورد ؟‬ ‫جمع اعداد را در صنف‌هاي قبلی آموخته‌ايد و هميشه ديده ايد که در عمليۀ‬ ‫جمع رقم يک‌ها زير يک‌ها‪ ،‬ده‌ها زير ده‌ها‪ ... ،‬وملياردها زير ملياردها نوشته‬ ‫شده و با هم جمع می‌گردید‪.‬‬ ‫مانند مثال‌های زیر‪:‬‬ ‫‪1 1 1 1‬‬ ‫مثال اول‬ ‫جزءاول جمع‬ ‫‪867542‬‬ ‫ ‬ ‫جزءدوم جمع‬ ‫‪+2 4 9 7 6 3‬‬ ‫‪1117305‬‬ ‫حاصل جمع‬ ‫مثال دوم‬

‫فعاليت ‬

‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1 2 1 1‬‬

‫‪42389‬‬ ‫‪18932‬‬ ‫‪+ 841‬‬ ‫‪62162‬‬

‫ارقام اعداد ‪ 8764231‬و ‪ 1070642‬را در جدول زير به مرتبه‌ها و طبقه‌هاي‬ ‫مربوطه آن بنويسيد‪.‬‬ ‫‪1‬‬

‫طبقۀ هزارها‬

‫طبقۀ يک‌ها‬ ‫یک‌ها ده‌ها صد‌ها‬

‫طبقۀ مليون‌ها‬

‫طبقۀ ملياردها‬

‫صد‬ ‫ده‬ ‫یک ده هزار صد‬ ‫ملیون‌ها‬ ‫ملیون‌ها ملیون‌ها‬ ‫هزار‌ها‬ ‫ها‬ ‫هزار‌ها‬

‫صد‬ ‫ده‬ ‫ملیارد‌ها‬ ‫ملیارد‌ها ملیارد‌ها‬

‫تمرين‬ ‫ ‬ ‫‪ -1‬اعداد زير را جمع‌کنيد‪:‬‬ ‫‪4003005‬‬ ‫‪250680‬‬ ‫‪+ 1764‬‬

‫‪760093‬‬ ‫‪909908‬‬ ‫‪32542‬‬ ‫‪1170‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪12764‬‬ ‫‪90865‬‬ ‫‪+ 1326‬‬

‫‪ -2‬خانه‌هاي خالي زیر را با ارقام مناسب پر کنيد‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4 37‬‬ ‫‪+8 9 6 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0105‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪7 2‬‬ ‫‪+1 5 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8 4 5 0‬‬

‫‪ -3‬اعداد زير را با درنظر داشت مرتبه‌ها وطبقه‌ها با هم جمع کنيد‪.‬‬ ‫‪28062‬‬ ‫و‬ ‫‪329601‬‬ ‫الف)‬ ‫ ‪1 3 2 5 1‬‬ ‫‪50089‬‬ ‫و ‬ ‫ ‬ ‫ب)‬ ‫‪9 0 0 0 6 4‬‬ ‫‪87642‬‬ ‫و ‍ ‬ ‫ ‬ ‫ج)‬ ‫و ‬ ‫د) ‍ ‬ ‫‪6 4 2 5 3 7‬‬ ‫‪68753‬‬ ‫‪2‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫اعداد زير را جمع و خانه‌هاي خالي را با ارقام مناسب پر کنيد‪.‬‬ ‫‪76 0 5‬‬ ‫‪+908476‬‬ ‫‪6 048‬‬

‫‪15 3 0‬‬ ‫‪+ 8 081 8‬‬ ‫‪0 321 4‬‬

‫سؤال‌های عبارتي‬ ‫‪ -1‬فرهاد يک پایه تلویزیون را به ‪ 807070‬افغاني و يک پايه‬ ‫کمپيوتر را به ‪ 7560‬افغاني و يک عراده موتر سايکل را به‬ ‫‪ 12300‬افغاني خريد‪ ،‬معلوم کنيد که فرهاد در مجموع چند‬ ‫افغاني را خريد نموده است‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر طول سرک کندهار الي هرات ‪ 588‬کيلومتر و طول‬ ‫سرک کابل الي کندهار ‪ 550‬کيلومتر باشد‪ ،‬طول سرک‬ ‫کابل الي هرات را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫‪ -3‬اگر نفوس واليت بلخ ‪ 2345130‬نفر‌‪ ،‬نفوس واليت هرات ‪1407302‬‬ ‫نفر و نفوس کابل ‪ 3400800‬نفر باشد‪ ،‬مجموع نفوس هر سه واليت را پيدا‬ ‫کنيد‪.‬‬ ‫‪ -4‬اگر مصرف ساالنة تيل ديزل در واليت ننگرهار ‪ 8764300‬ليتر‪ ،‬در‬ ‫واليت بغالن ‪ 6864235‬ليتر و در واليت کابل ‪ 64302000‬ليتر باشد‪،‬‬ ‫مجموع مصرف تيل ساالنۀ هر سه واليت را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫فعاليت‬ ‫پلخمری‬

‫بلخ‬

‫‪ 229‬کیلو متر‬

‫کابل‬

‫‪ 226‬کیلو متر‬

‫شکل فوق را در نظر بگیرید؛ سپس براي آن یک عبارت بسازيد و فاصله‬ ‫بين‌کابل و بلخ را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫کارخانه‌گی‬ ‫ ‬ ‫‪ 4‬عدد مسلسل ‪ 4‬رقمي را نوشته‪ ،‬بعد از آن حاصل جمع هر ‪ 4‬عدد را معلوم‬ ‫کنيد‪.‬‬ ‫ ‬

‫تفريق‬ ‫• اگر در عملیة تفریق‪ ،‬ارقام در مرتبه‌ها زیر یکدیگر جا به جا نشوند‪ ،‬نتیجة‬ ‫عملیة تفریق چی خواهد بود ؟‬

‫در عملية تفريق ارزش مقامي اعداد بايد در نظر گرفته شود‪ .‬اعدادي که‬ ‫داراي عين مرتبه‌ها اند زير يکديگر قرار گيرند و بعد از آن عمليۀ تفريق‬ ‫انجام داده شود‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫طور زير‪:‬‬ ‫‪486764‬‬ ‫‪-389857‬‬ ‫‪96907‬‬

‫‪7008‬‬ ‫‪-6852‬‬ ‫‪156‬‬

‫‪846‬‬ ‫‪-353‬‬ ‫‪493‬‬

‫مفروق منه‬ ‫مفروق‬

‫حاصل تفریق‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬عدد ‪ 7864‬را با عدد ‪ 96432‬طوري بنويسید که عملية تفريق انجام شده‬ ‫بتواند؛ سپس مفروق منه‪ ،‬مفروق و حاصل تفريق را نشان دهید‪.‬‬ ‫‪ -2‬سؤال‌های زير را درکتابچه‌هاي خود حل کنید بعد از آن به سه گروه‬ ‫تقسيم شده حاصل تفريق به دست آمده را در گروه‌ها مقايسه نمايید‪ ،‬ببينید‪،‬‬ ‫کساني که اشتباه نموده اند‪ ،‬اشتباه خود را با همکاری اعضاي گروه رفع‬ ‫کنند‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪864291‬‬ ‫‪- 317628‬‬

‫‪964322‬‬ ‫‪- 14808‬‬

‫‪6010234‬‬ ‫‪- 1879321‬‬

‫‪17649762‬‬ ‫‪- 8642531‬‬

‫‪ -3‬در خانه‌هاي خالي زير‪ ،‬يکي از عالمت‌های ،‬ويا = را مطابق نمونه‬ ‫بنويسيد‪.‬‬ ‫‪76 - 27‬‬ ‫‪778 - 64‬‬ ‫ ‬

‫‪89 - 36‬‬ ‫‪ 3721 - 864‬‬

‫‪167 - 68 < 304 - 25‬‬ ‫‪279‬‬

‫‪196 - 20‬‬

‫‪99‬‬

‫‪6743 - 1567‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫‪ -1‬اگرمفروق ‪ 8674146‬و مفروق‌منه ‪ 91111111‬باشد‪ ،‬حاصل تفريق را به‬ ‫دست آوريد‪.‬‬

‫‪ -2‬آيا از عدد کوچک عدد بزرگ را تفريق کرده مي‌توانيم؟ اگر نمي توانيد‬ ‫چرا؟‬

‫سؤال‌هاي عبارتي‬ ‫‪ -1‬مزمل ‪ 2763‬افغاني داشت‪ .‬مي‌خواست يک عراده‬ ‫بايسکل بخرد‪ ،‬درصورتي که قيمت يک عراده‬ ‫بايسکل مبلغ (‪ )3720‬افغاني باشد‪ ،‬مزمل چند افغاني‬ ‫ديگر ضرورت دارد تا بايسکل را خريده بتواند؟‬ ‫‪ -2‬باغباني از فروش حاصالت باغ خود مبلغ (‪)174420‬‬ ‫افغاني به دست آورد‪ .‬اگر مبلغ (‪ )97641‬افغاني را‬ ‫مصرف‌کود‪ ،‬ادويه و بيل نموده باشد‪ ،‬مفاد باغبان‬ ‫مذکور را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫‪ -3‬سرمايۀ دو نفر تاجر مبلغ ‪ 89764237‬افغاني است‪ .‬اگر سرمايۀ يک‌نفر‬ ‫‪6‬‬

‫آن مبلغ ‪ 8763257‬افغاني باشد‪ ،‬سرمايۀ نفر دومي را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫‪ -4‬مليحه مبلغ ( ‪ )37896‬افغاني بیشتر از کریمه دارد‪ ،‬اگر کريمه مبلغ‬ ‫(‪ )13246‬افغاني داشته باشد‪ ،‬پول مليحه را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫‪ -5‬فاروق در اعمار تعمير خود مبلغ ‪ 3476120‬افغاني مصرف نموده است‪،‬‬ ‫اگر تعمير مذکور را به مبلغ ‪ 2384650‬افغاني بفروشد‪ ،‬معلوم کنيد که‬ ‫فاروق چند افغاني نقص کرده است؟‬ ‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫کدام عدد از عدد ‪ 68976‬کم شود تا عدد ‪ 17841‬باقي بماند؟‬ ‫امتحان عمليۀ جمع‬ ‫• چرا عملیة جمع را امتحان می‌کنیم؟‬ ‫• آیا تنها اجرای عملیة جمع‪ ،‬ما را از حل درست سؤال اطمینان می‌دهد؟‬ ‫به مثال زير توجه کنيد‪:‬‬

‫ ‪20‬‬ ‫ ‪16‬‬ ‫ ‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫ =‬

‫ ‪+‬‬

‫ =‬

‫ ‬

‫=‬

‫ ‪20 - 4‬‬

‫ =‬

‫ ‬

‫=‬

‫=‬

‫ ‪16 + 4‬‬

‫ ‪20 - 16‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫از حل مثال فوق چنين نتيجه حاصل مي‌شود که‪:‬‬ ‫براي اين‌که بدانيم‪ ،‬عمليۀ جمع را درست انجام داده ايم يا خير؟‬ ‫از حاصل جمع يک جزء جمع را تفريق مي‌کنيم‪ ،‬اگر حاصل تفريق‬ ‫مساوي به جزء ديگر جمع باشد‪ ،‬عمليه صحيح است‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫سؤال‌های زير را جمع نموده بعد از آن امتحان کنید‪.‬‬ ‫‪9764002‬‬ ‫‪+ 10875‬‬ ‫ ‬

‫‪3456‬‬ ‫‪+1675‬‬

‫‪126‬‬ ‫‪+210‬‬

‫‪45‬‬ ‫‪+65‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫بزرگترين عدد دو رقمي را با کوچکترين عدد دو رقمي جمع نماييد و بعد‬ ‫از آن امتحان کنيد‪.‬‬ ‫‪789102‬‬ ‫اعداد مقابل را جمع و امتحان کنيد‪.‬‬ ‫‪+164005‬‬ ‫امتحان عمليۀ تفريق‬ ‫• چطور عملیة اجرا شدة تفریق را امتحان می‌کنید؟‬ ‫• با اجرای کدام عملیه می‌توان از حل درست سؤال تفریق مطمین گردید؟‬

‫‪8‬‬

‫مثال‬ ‫امتحان‪:‬‬

‫‪6‬‬

‫=‬

‫ ‬

‫ =‬

‫ ‬

‫ ‪13‬‬

‫ ‪-‬‬

‫‪19‬‬

‫= ‪+‬‬

‫ ‬ ‫ویا‪:‬‬

‫مفروق‌منه‬ ‫‪19‬‬ ‫مفروق‬ ‫‪13‬‬

‫ ‬

‫حاصل تفریق‬ ‫مفروق‬ ‫ ‬ ‫‪6‬‬ ‫ ‪+‬‬ ‫ ‪13‬‬ ‫ =‬ ‫مفروق منه ‬ ‫حاصل تفریق‬ ‫ ‬ ‫ = ‪19 - 6‬‬

‫از مثال‌هاي فوق چنين نتيجه حاصل مي‌گردد که‪:‬‬ ‫براي اين‌که بدانيم عمليۀ تفريق را صحيح انجام داده ايم يا خير به دو شکل‬ ‫زیر آن را امتحان می‌کنيم‪:‬‬ ‫‪ -1‬حاصل تفريق را با مفروق جمع مي‌کنيم‪ ،‬اگر حاصل‌جمع مساوي به‬ ‫مفروق‌منه بود عمليۀ تفريق صحيح انجام يافته است‪.‬‬ ‫‪ -2‬از مفروق‌منه حاصل تفريق را تفريق مي‌کنيم‪ ،‬اگر حاصل تفريق مساوي‬ ‫به مفروق بود عمليۀ تفريق صحيح انجام یافته است‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫سؤال‌های زير را در گروه‌ها حل و بعد امتحان نمايید‪:‬‬ ‫‪1 000000‬‬

‫‪674‬‬

‫‪35‬‬

‫‪- 212 3 4 9‬‬

‫‪-1 8 5‬‬

‫‪-1 8‬‬

‫ ‪7 6 5 4 3‬‬ ‫‪21 3‬‬

‫ ‪- 1 2 3 4 5 6 7‬‬

‫‪9‬‬

‫‪7 6 4 3 010 5‬‬ ‫‪- 9 8 7 0 7 06‬‬

‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫سؤال زیر را در کتابچه‌های خود حل و امتحان کنید‪.‬‬ ‫‪7 642‬‬ ‫ ‬ ‫‪- 6 805‬‬ ‫ ‬ ‫تمرین‬

‫ ‬ ‫‪ -1‬سؤال‌های زير را حل و امتحان کنيد‪:‬‬ ‫‪9764321‬‬ ‫‪+1050208‬‬ ‫‪1 0 0 0 0 0 00 0 0‬‬ ‫‬‫‪9876421‬‬

‫‪674302‬‬ ‫‪+178600‬‬ ‫‪151617180‬‬ ‫‪- 98764293‬‬

‫‪ -2‬خانه‌هاي خالي را توسط يکي از عالمت‌هاي >‌‪ < ،‬ويا = خانه پري کنيد‪.‬‬ ‫‪ 989 + 876‬‬

‫‪1916 - 120‬‬

‫‪ 9999 - 684‬‬

‫‪764 + 325‬‬

‫‪ 48423 + 20000‬‬

‫‪68423 - 0‬‬

‫‪ -3‬به هر سؤال چهار جواب داده شده است‪ ،‬جواب صحيح آن را در‬ ‫کتابچه‌های خود بنويسيد‪.‬‬ ‫اگرمفروق را با حاصل تفريق جمع نماييد چي حاصل مي‌شود؟‬ ‫ب) مفروق‬ ‫ ‬ ‫الف) حاصل جمع‬ ‫ ‬ ‫د) هيچ‌کدام‬ ‫ج) مفروق‌منه ‬ ‫ ‬ ‫‪10‬‬

‫اگر از حاصل جمع‪ ،‬يک جزء جمع تفريق گردد چی حاصل می‌شود؟‬ ‫الف) مفروق حاصل مي‌شود ‪.‬‬ ‫ج) حاصل تفريق حاصل مي‌شود ‬

‫ ‬

‫ب) مفروق‌منه حاصل مي‌شود‪.‬‬ ‫د) جزء دیگر عملیۀ جمع حاصل می‌شود‪.‬‬

‫کار خانه‌گي‬ ‫سؤال زير را حل و امتحان کنيد‪.‬‬ ‫‪87642301‬‬ ‫‪- 9878992‬‬

‫سؤال‌های عبارتي‬ ‫‪ -1‬در يک باغ ‪ 18674‬اصله نهال سيب غرس‌گرديده است‪.‬‬ ‫نسبت بي پروايي باغبان يک‌تعداد نهال‌ها خشک گرديد‪.‬‬ ‫اکنون در باغ مذکور ‪ 9672‬اصله نهال باقي مانده است‪ ،‬معلوم‬ ‫کنيد که چند اصله نهال خشک گرديده است؟‬ ‫‪ -2‬کوچکترين عددي را که از ارقام ‪ 3 ،‌5 ،‌6‬و ‪ 7‬به وجود‬ ‫مي‌آيد‪ ،‬از بزرگترين عددي که از رقم‌هاي مذکور حاصل‬ ‫مي‌شود‪ ،‬تفريق کنيد‪.‬‬ ‫‪ - 3‬کدام عدد از عدد ‪ 7896‬تفريق شود تا عدد ‪ 3864‬باقي بماند؟‬ ‫‪ -4‬از چهار رقم ‪ 6 ،‌4 ،‌3‬و ‪ 5‬بزرگترين و کوچکترين عدد چهار رقمي‬ ‫بسازید و يکي را از ديگري تفريق نموده‪ ،‬حاصل تفريق را معلوم کنيد‪.‬‬

‫‪11‬‬

‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫اعداد داخل چوکات را پيدا نماييد‪.‬‬ ‫‪= 97423‬‬ ‫‪ = 89010105‬‬

‫‪167423 -‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫‪99687001-‬‬

‫خاصيت تبديلي‪ ،‬اتحادي و صفر در عمليۀ جمع‬ ‫• آیا در عمليۀ جمع‪ ،‬جاهای اجزای آن را تبدیل کرده می‌توانیم؟‬ ‫• چطور می‌توانیم که بیشتر از دو عدد را با هم جمع کنیم؟‬ ‫الف) خاصيت تبديلي در عمليۀ جمع‬ ‫به مثال‌هاي زير متوجه شويد‪:‬‬ ‫اول‪:‬‬ ‫‪12+9 =21‬‬ ‫يا‪:‬‬ ‫‪9+12 =21‬‬ ‫بنابرآن مي‌توانيم بنويسيم که‪:‬‬ ‫‪12+9 =9 +12 =21‬‬ ‫دوم‪:‬‬ ‫يا‪:‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬

‫‪327 + 85 = 412‬‬ ‫‪85 + 327 = 412‬‬ ‫ = ‪327 + ۸۵ = 85 + 327‬‬ ‫‪412‬‬

‫از حل مثال‌هاي فوق مي‌توانيم بنويسيم که‪:‬‬ ‫اگر در يک عمليۀ جمع جاهاي اجزاي جمع با يكدیگر تبديل شود‪ .‬در‬ ‫‪12‬‬

‫حاصل جمع‌کدام تغييري به ميان نمي‌آيد‪ ،‬اين خاصيت به نام خاصيت‬ ‫تبديلي در عمليۀ جمع ناميده مي‌شود‪.‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬به رویت شکل زیر افادة جمع را بنویسید و خاصیت تبدیلی را در آن‬ ‫تطبیق‌کنید‪.‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫=‬

‫‪ -2‬با استفاده از خاصيت تبديلي در عمليۀ جمع‪ ،‬در جاهاي خالي اعداد‬ ‫مناسب را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪ + 315‬‬ ‫ ‬

‫=‪ + 763‬‬

‫‪ = 215 +‬‬

‫ ‬

‫‪659 + 68 = 68 +‬‬

‫‪ ،‬‬

‫= ‪+ 328‬‬

‫‪ + 98 ،‌898 +‬‬

‫کار خانه‌گي‬ ‫سؤال‌های زیر را در کتابچه‌های خود نقل و با در نظر داشت خاصیت تبدیلی‬ ‫جمع‪ ،‬خانه‌های خالی را با اعداد مناسب پرکنید‪.‬‬ ‫ ‬

‫‪ = 312 +‬‬ ‫‪ + 136‬‬

‫‪13‬‬

‫‪627 +‬‬

‫= ‪+ 327‬‬

‫ب) خاصيت اتحادي در عمليۀ جمع‬ ‫‪ -1‬به شکل زيرمتوجه شويد‪:‬‬ ‫ ‬

‫=‬

‫(‪ )۴+۶( + ۳ = ۴ + )6+3‬‬ ‫ ‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪۱۰+ ۳ = ۴ + ۹‬‬ ‫ ‬ ‫‪13 = 13‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مثال حل شدۀ باال را چنين نيز نوشته مي‌توانيم‪:‬‬ ‫ ‬

‫‪)4+3( + 6 = 7 + 6 = 13‬‬

‫‪ -2‬مي‌خواهيم اعداد ‪ 6 ،‌5‬و ‪ 14‬را با هم جمع‌کنيم‪.‬‬ ‫)‪= 5 + ( 14 + 6‬‬ ‫‪= 5 + 20‬‬ ‫‪= 25‬‬

‫ ‬

‫)‪14 + ( 6 + 5) = 6+ ( 14 + 5‬‬ ‫‪14 + 11 = 6 + 19‬‬ ‫ ‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫‪25‬‬

‫ ‬

‫‪ -3‬می‌خواهیم اعداد ‪ 85 ،67‬و ‪ 102‬را با هم جمع‌کنیم‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫)‪( 67 + 85) + 102 = 67 + ( 85 + 102) = 85 + ( 67 + 102‬‬ ‫‪152 + 102 = 67 + 187 = 85 + 169‬‬ ‫= ‪254‬‬ ‫‪254‬‬ ‫= ‬ ‫‪ 254‬‬

‫‪14‬‬

‫از حل مثال‌هاي فوق نتيجۀ زير را بيان کرده مي‌توانيم‪:‬‬ ‫اگر در عمليۀ جمع‪ ،‬اجزاي جمع زيادتر از دو جزء باشند‪ ،‬مي‌توانيم طور دلخواه‬ ‫هر دو عدد را با هم جمع کرده‪ ،‬بعد حاصل جمع را با جزء ديگر جمع‪ ،‬جمع‬ ‫نماييم‪ ،‬اين خاصيت را در عملیه جمع خاصيت اتحادي جمع مي‌گويند‪.‬‬

‫فعاليت‬

‫‪ -1‬افادۀ شکل‌های زیر را نوشته و خاصیت اتحادی را درآن تطبیق نمایید‪.‬‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬ــ با در نظرداشت خاصيت اتحادي در عمليۀ جمع و استفاده از اشکال‬ ‫زير‪ ،‬افادۀ آن‌ها را ترتيب داده‪ ،‬ساده بسازيد‪.‬‬

‫ ‬

‫‪3‬ـ افادة اتحادی زير را در شکل نشان دهيد‪.‬‬ ‫) ‪( 4 + 5) + 6 = 4 + (5 + 6‬‬ ‫کار خانه‌گي‬

‫با درنظرداشت خاصيت اتحادي در عمليۀ جمع‪ ،‬در جاهاي خالي اعداد‬ ‫مناسب را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪) + 353‬‬ ‫)‬ ‫‪15‬‬

‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫(=)‬

‫‪524 + ( 127 +‬‬

‫( ‪+ 4372 ) + 6721 = 243 +‬‬

‫(‬

‫ج) خاصيت صفر در عمليۀ جمع‬ ‫به مثال‌هاي زير توجه کنید‪:‬‬ ‫‪327 + 0 = 327‬‬ ‫‪0 + 624 = 624‬‬

‫‪0 + 17 = 17‬‬ ‫‪95 + 0 = 95‬‬

‫‪‌،‬‬ ‫‪‌،‬‬

‫با توجه به مثال‌های فوق مي‌توانيم بنويسيم که‪:‬‬ ‫هرگاه صفر را با يک عدد و يا يک عدد را با صفر جمع کنيم‪ ،‬حاصل‬ ‫جمع خود همان عدد است و اين خاصيت را‪ ،‬خاصيت صفر در عمليۀ جمع‬ ‫مي‌گويند‪.‬‬

‫فعاليت‬

‫شکل‌های زیر را به دقت ببینید و افادۀ آن را بنویسید‪.‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫‪+‬‬

‫‪+‬‬

‫ ‬ ‫=‬

‫کار خانه‌گي‬

‫سؤال‌های زیر را در کتابچه‌های خود حل کنید‪.‬‬ ‫(‪1‬‬ ‫‪+ 215 = 215‬‬ ‫‪2( 587 +‬‬ ‫‪= 587‬‬ ‫= ‪3( 328 + 0‬‬ ‫‪16‬‬

‫تمرين‬ ‫‪ -1‬درجاهاي خالي سؤال‌های زير‪ ،‬اعداد مناسب را بنويسيد‪.‬‬ ‫) ‪+ ( 38 + 62‬‬ ‫‪35 + ( 43 +‬‬ ‫)‬ ‫‪28 + ( 53 +‬‬ ‫)‬ ‫( ‪88 +‬‬ ‫) ‪+ 68‬‬ ‫‪325 + ( 43 +‬‬ ‫)‬

‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬

‫‪( 20 +‬‬ ‫‪) + 62‬‬ ‫(‬ ‫‪+ 43 ) + 17‬‬ ‫(‬ ‫‪+ 53 ) + 91‬‬ ‫‪( 88 + 93 ) +‬‬ ‫‪( 325 +‬‬ ‫‪) + 215‬‬

‫‪ -2‬با در نظرداشت خاصيت اتحادي در عمليۀ جمع‪ ،‬از روي اشکال زير‪،‬‬ ‫افادۀ آن را ترتيب و حل کنيد‪.‬‬

‫‪ -3‬با در نظرداشت خاصيت اتحادي در عمليۀ جمع‪ ،‬افاده‌هاي داده شدۀ زير‬ ‫را در شکل نشان دهيد‪.‬‬ ‫) ‪( 6 + 7) + 4 = 6 + ( 7 + 4‬‬ ‫‪3+(7+2)=(3+7)+2‬‬

‫‪17‬‬

‫فصل دوم‬

‫عمليه‌هاي ضرب‪ ،‬تقسيم و خواص عمليۀ‌ ضرب‬ ‫‪ -1‬ضرب‬ ‫• چه وقت عملیه ضرب را به کار می‌بریم؟‬ ‫• ضرب اعداد چند رقمی به اعداد چند رقمی را چگونه به دست می‌آورید؟‬ ‫به مثال‌هاي زير توجه کنيد‪:‬‬

‫مثال اول‪ :‬مرحلۀ (‪ ،)1‬رقم يک‌هاي‬

‫‪63‬‬ ‫جزء دوم ضرب را ضرب تمام ارقام ‪× 4 2‬‬

‫جزء اول ضرب مي‌نماييم و حاصل ‪1 2 6‬‬ ‫آن را زیر خط می‌نویسیم‪.‬‬ ‫‪+252‬‬ ‫مرحلۀ (‪ ،)2‬رقم ده‌هاي جزء دوم ‪2 6 4 6‬‬

‫جزء اول ضرب‬ ‫جزء دوم ضرب‬

‫‪– 2 × 63‬مرحلۀ)‪(1‬‬ ‫‪ – 4 × 63‬مرحلۀ)‪(2‬‬ ‫حاصل ضرب‬

‫ضرب را ضرب تمام ارقام جزء اول‬

‫ضرب نموده‌‪ ،‬به زير مرتبۀ‬

‫ده‌ها بـــه ترتيب نوشته بعد از آن حاصل ضرب‌ها را با هم جمع مي‌کنيم‪،‬‬ ‫حاصل ضرب اعداد دو رقمي به دو رقمي حاصل مي‌شود‪.‬‬

‫‪18‬‬

‫مثال دوم‬ ‫مطابق مثال اول عمل کرده تمام رقم‌هاي مرتبه‌هاي جزء دوم ضرب را به‬ ‫جزء اول ضرب‪ ،‬ضرب نموده‪ ،‬حاصل ضرب هر مرتبه را به زير همان مرتبۀ‬ ‫ضــرب شـده به ترتيب نوشته بعد ازآن حاصل ضرب‌ها را با هم جمع مي‌کنيم‪.‬‬ ‫‪364‬‬

‫جزء اول ضرب‬

‫‪×622‬‬

‫جزء دوم ضرب‬

‫‪728‬‬ ‫‪728‬‬

‫‪2× 364‬‬

‫–‬

‫مرحلۀ ‬

‫ (‪)۲‬‬ ‫‪ – 2× 364‬مرحلۀ‬

‫ ‪ + 2 1 8 4‬‬

‫‪ – 6 × 364‬مرحلۀ‬ ‫ ‬

‫فعاليت‬ ‫با استفاده از مثال‌هاي فوق سؤال‌های زير را حل کنید‪.‬‬ ‫‪312‬‬ ‫‪× 213‬‬

‫‪× 102‬‬

‫‪973‬‬ ‫‪× 100‬‬

‫‪900‬‬ ‫‪× 70‬‬

‫‪19‬‬

‫ (‪)۳‬‬

‫ضرب‬ ‫‪ 364 × 622‬حاصل‬ ‫ ‬

‫ ‪2 2 6 4 0 8‬‬

‫‪464‬‬

‫(‪)۱‬‬

‫‪98‬‬ ‫‪× 65‬‬ ‫‪106‬‬ ‫‪× 709‬‬

‫‪64‬‬ ‫‪×23‬‬ ‫‪762‬‬ ‫‪× 105‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫سؤال‌های زير را حل کنيد‪.‬‬ ‫‪432‬‬ ‫‪× 123‬‬

‫‪123‬‬ ‫‪× 15‬‬

‫ضرب اعداد چند رقمي به اعداد چند رقمي‬ ‫مثال‬

‫)‪)1‬‬ ‫)‪)2‬‬ ‫)‪)3‬‬

‫)‪)4‬‬

‫‪5 × 4023‬‬ ‫‪0 × 4023‬‬ ‫‪1 × 4023‬‬ ‫‪7 × 4023‬‬

‫حاصل ضرب‬

‫ ‬

‫‪4023‬‬ ‫‪× 7105‬‬ ‫‪20115‬‬ ‫‪0000‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬ ‫‪4023‬‬ ‫‪+ 2 8 1 61‬‬ ‫‪2 8 583415‬‬

‫‪20‬‬

‫از حل مثال‌ فوق چنين نتيجه حاصل مي‌شود که‪:‬‬ ‫در ضرب اعداد چند رقمي به چند رقمي‪ ،‬هر رقم جزء دوم ضرب را در‬ ‫تمام ارقام جزء اول ضرب‪ ،‬ضرب مي‌کنيم بعد از آن حاصل ضرب‌ها را با‬ ‫هم جمع مي‌نماييم‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫حاصل ضرب اعداد زير را دریافت کنيد‪:‬‬ ‫‪7106‬‬ ‫‪× 957‬‬ ‫ ‬

‫‪3050 6‬‬ ‫‪× 271 3‬‬

‫‪7642‬‬ ‫‪× 1074‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫حاصل ضرب اعداد داده شده را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫‪7432‬‬ ‫‪×1705‬‬

‫‪30706‬‬ ‫‪× 4123‬‬

‫ضرب اعداد صفردار‬ ‫• به نظر شما‪ ،‬ضرب اعداد صفر دار‌‪ ،‬آسانتر است یا ضرب اعداد غیر صفر‬ ‫دار ؟ چگونه ؟‬ ‫‪70‬‬ ‫مثال اول‬ ‫‪× 60‬‬ ‫‪00‬‬ ‫مرحلة اول ‪70 × 0‬‬ ‫‪+420‬‬ ‫درمرحلۀ دوم چون ‪ 6‬در مرتبه ده‌ها قرار دارد ‪ 6‬را ضرب‬ ‫‪ 70‬نمــوده بــه زيــر مرتـبـه ده‌ها مي‌نــويســيم‪70 × 6 :‬‬ ‫‪4200‬‬ ‫حاصل ضرب‬

‫‪21‬‬

‫اگر به حاصل ضرب دقت کنيم‪ ،‬ديده مي‌شود که ( ‪ ) 7 × 6‬شده و به طرف‬ ‫راست حاصل ضرب( ‪ ) 7 × 6‬به تعداد صفرهاي جزء اول و دوم ضرب‬ ‫صفر نوشته شده است که می‌توان مثال باال را اين طور نیز خالصه کرد‪.‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪× 60‬‬ ‫‪4200‬‬ ‫در اين مثال در مرحلۀ اول ‪ 7‬و ‪ 6‬با هم ضرب شده که حاصل ضرب آن ‪٤٢‬‬ ‫مي‌شود‪ ،‬سپس دو صفر جزء اول و دوم ضرب به طرف راست ‪ ٤٢‬نوشته‬ ‫شده است‪ ،‬که در حقيقت ‪ 4200‬حاصل ضرب ‪ 70‬و ‪ 60‬مي‌باشد‪.‬‬ ‫از حل مثال فوق می‌توانیم بنویسیم که‪:‬‬ ‫اگر به طرف راست جزء اول ضرب و جزء دوم ضرب و يا يکي از آن‌ها به‬ ‫تعداد يک يا چند صفر وجود داشته باشد‪ ،‬بايد ابتدا اعداد غير صفري را با‬ ‫هم ضرب نموده و به طرف راست حاصل ضرب اعداد غیر صفری‪ ،‬به تعداد‬ ‫صفرهاي جزء اول و جزء دوم ضرب صفرگذاشته می‌شود‪.‬‬ ‫ ‬ ‫مثال دوم‬

‫‪130‬‬ ‫‪×400‬‬ ‫‪52000‬‬

‫کار خانه‌گي‬ ‫ ‬ ‫حاصل ضرب اعداد زير را به دست آوريد‪.‬‬ ‫‪3500‬‬ ‫‪× 4000‬‬

‫‪4000‬‬ ‫‪× 5000‬‬

‫‪84000‬‬ ‫‪× 9000‬‬ ‫‪22‬‬

‫‪ -2‬تقسیم‬ ‫تقسیم اعداد چند رقمی به اعداد سه رقمی‬ ‫• آیا می‌توانید یک عدد را که تعداد ارقام آن بیشتر از سه رقم باشد به یک‬ ‫عدد سه رقمی تقسیم کنید؟‬ ‫مثال اول‪ :‬عدد ‪ 47623‬را به عدد ‪ 235‬چنین تقسیم می‌کنیم‪.‬‬

‫مقسوم علیه‬

‫خارج مقسوم‬

‫‪ ٢٣٥‬‬

‫‪ ٤٧٦٢٣‬مقسوم‬

‫در مرحلۀ اول سه رقم طرف چپ مقسوم را با مقسوم علیه مقایسه می‌کنیم‪.‬‬ ‫دیده می‌شود که سه رقم طرف چپ مقسوم نسبت به مقسوم علیه بزرگتر‬ ‫بوده وتخمین می‌کنیم که عدد ‪ 235‬چند مرتبه در عدد ‪ 476‬شامل است‪.‬‬ ‫به طور فرضي تخمین کردیم که ‪ 2‬مرتبه شامل است‪ .‬عدد ‪ 2‬را در خارج‬ ‫قسمت می‌نویسیم و به عدد ‪ 235‬ضرب می‌نماییم و حاصل آن را به زير عدد‬ ‫‪ 476‬نوشته و از ‪ 476‬تفریق می‌کنیم‪.‬‬ ‫ ‬

‫‪47623 235‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ‬

‫‪23‬‬

‫‪-470‬‬ ‫‪0062‬‬

‫دیده می‌شود که حاصل تفریق عدد‪ 6‬است‪ .‬عدد قبل از ‪ 6‬یعنی ‪ 2‬را پایین‬ ‫می‌کنیم عدد ‪ 62‬به دست می‌آید که کمتر از مقسوم علیه می‌باشد‪ .‬بعد يک‬ ‫صفر به خارج قسمت گذاشته عدد بعدي(‪ )3‬را پايين مي‌کنيم‪ .‬عدد ‪623‬‬ ‫حاصل مي‌شود‪.‬‬ ‫‪47623 235‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ ‬

‫‪-470‬‬ ‫‪00623‬‬

‫حال تخمين مي‌کنيم که عدد ‪ 235‬چند مرتبه در ‪ 623‬شامل است‪ .‬به طور‬ ‫فرضي عدد ‪ 3‬را تخمين‌کرديم وقتي عمليۀ ضرب را انجام دهيم ‪ 705‬به‬ ‫دست مي‌آيد که از مقسوم بزرگتر است‪ ،‬پس بهتر است آن را با عدد (‪)2‬‬ ‫ضرب کنیم و عمليۀ تفريق را انجام دهيم که در نتیجه حاصل تفريق ‪153‬‬ ‫مي‌شود‪ ،‬چون از مقسوم عليه کوچکتر است‪ ،‬پس ‪ 153‬باقيمانده مي‌باشد‪.‬‬ ‫به شکل زیر‪:‬‬ ‫‪47623 235‬‬

‫‪-470 2 0 2‬‬ ‫‪623‬‬ ‫ ‬ ‫‪-470‬‬ ‫ ‬ ‫‪153‬‬ ‫ ‬

‫باقيمانده‬

‫مثال دوم‬ ‫مقسوم علیه‬

‫خارج مقسوم‬

‫‪ 305‬‬

‫‪ 176432‬مقسوم‬

‫‪24‬‬

‫اگر به مثال دوم دقت کنید دیده می‌شود که سه رقم طرف چپ مقسوم‬ ‫نسبت به مقسوم علیه کوچکتر است‪ ،‬در این صورت باید چهار رقم طرف‬ ‫چپ مقسوم را در نظر گرفته عمليۀ تقسيم را مانند مثال اول ادامه دهيم‪.‬‬ ‫‪176432 305‬‬

‫‪-1525‬‬ ‫‪578‬‬ ‫‪2393‬‬ ‫ ‬ ‫‪-2135‬‬ ‫ ‬ ‫‪2582‬‬ ‫‪-2440‬‬ ‫‪142‬‬

‫باقیمانده‬

‫فعاليت‬ ‫با استفاده از مثال‌هاي فوق عمليۀ تقسيم را در گروه‌ها انجام داده‪ ،‬خارج‬ ‫قسمت و باقيمانده را معلوم کنید‪.‬‬ ‫‪8 6 4 7 5 1 1 1 1‬‬

‫‪7 6 4 2 3 5 0 1 0 2‬‬

‫‪7 8 6 4 2 3 1 2 4 6 8 7‬‬

‫‪1 2 0 7 6 4 2 0 0 7 0 0‬‬

‫‪25‬‬

‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬ ‫عمليۀ تقسيم را انجام دهيد‪.‬‬ ‫? = ‪1) 6 4 2 3 ÷ 1 2 2‬‬

‫? = ‪2) 7 6 4 2 5 ÷ 2 0 0‬‬

‫تقسيم اعداد چند رقمي به اعداد باال تر از اعداد سه رقمي‬ ‫• کی اجزای عملية تقسیم را نام گرفته می‌تواند؟‬ ‫• از عملیة تقسیم در حیات روزمره چی استفاده می‌شود؟‬ ‫به مثال زير توجه کنيد‪:‬‬ ‫‪2041‬‬

‫‪43250‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪2430‬‬ ‫‪-2041‬‬ ‫‪ 3 8 9‬‬

‫‪4082‬‬

‫‪21‬‬

‫فعاليت‬ ‫در گروه‌های کوچک تقسیم شوید و با استفاده از مثال فوق‪ ،‬سوال‌های زیر‬ ‫را حل کنید‪.‬‬ ‫‪4 2 1 3 5 2 0 5‬‬ ‫‪2 9 8 8 6 1 4 3 0 1 2‬‬

‫‪9417 7008‬‬ ‫‪8 9 1 0 5 2 2 2 2 2‬‬

‫‪26‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫عدد ‪ 384‬را با عدد ‪ 89‬ضرب کنيد‪ ،‬حاصل ضرب را تقسيم ‪ 384‬نماييد؛‬ ‫سپس خارج قسمت را با ‪ 89‬مقايسه کنيد و نتیجه حاصل تقسیم را در‬ ‫کتابچه‌های خود بنویسید‪.‬‬ ‫سؤال‌های زير را حل کنيد‪.‬‬ ‫‪1 8 2 5 7 0 5 8 0 1 0‬‬

‫‪27‬‬

‫‪7 2 5 6 2 2 5‬‬

‫امتحان عمليۀ ضرب‬ ‫• برای مطمین شدن از درست بودن اجرای عملیة ضرب چی باید کرد ؟‬ ‫براي اين‌که بدانيم عمليۀ ضرب را درست انجام داده ايم يا خير حاصل‬ ‫ضرب را باالي يکي از اجزاي ضرب تقسيم مي‌کنيم‪ ،‬در اين صورت جزء‬ ‫ديگر ضرب حاصل مي‌شود‪ .‬مانند مثال زير‪:‬‬ ‫‪324‬‬ ‫‪× 45‬‬ ‫‪1620‬‬ ‫‪+ 12 9 6‬‬ ‫‪1 4 5 80‬‬

‫اﻣﺘﺤﺎﻥ‬

‫‪ 3 2 4‬‬

‫‪ 45‬‬

‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫‪14580‬‬

‫‪-1296‬‬

‫‪1620‬‬ ‫‪-1620‬‬ ‫‪0000‬‬

‫درمثال فوق حاصل ضرب (‪ )14580‬بوده باالي جزء اول ضرب (‪)324‬‬ ‫تقسيم گرديده خارج قسمت حاصل شده‪ ،‬جزء دوم ضرب مي‌باشد‪ ،‬به‬ ‫صورت عموم چنين نوشته مي‌توانيم‪:‬‬ ‫حاصل ضرب = جزء دوم ضرب × جزء اول ضرب‬ ‫جزء دوم ضرب = جزءاول ضرب ÷ حاصل ضرب‬ ‫جزء اول ضرب = جزء دوم ضرب ÷ حاصل ضرب‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬اگر حاصل ضرب ‪ 128750‬و يک جزء ضرب آن ‪ 125‬باشد‪ ،‬جزء ديگر‬ ‫ضرب را معلوم کنید‪.‬‬ ‫‪ -2‬اگر جزء او ل ضرب ‪ 265‬و جزء دوم ضرب ‪ 175‬باشد‪ ،‬حاصل ضرب‬ ‫را معلوم کرده‪ ،‬امتحان کنید‪.‬‬ ‫‪28‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫اگر جزء دوم ضرب ‪ 96‬و حاصل ضرب ‪ 12672‬باشد‪ ،‬جزء اول ضرب را‬ ‫معلوم کنيد‪.‬‬ ‫امتحان عمليۀ تقسيم‬ ‫• برای مطمین شدن از درست بودن اجرای عملیة تقسیم چی باید کرد ؟‬ ‫براي اين‌که بدانيم عمليۀ تقسيم را درست انجام داده ايم يا خير مقسوم عليه‬ ‫را ضرب خارج قسمت کرده و بعد از آن باقيمانده را با آن جمع مي‌کنيم‪،‬‬ ‫اگر عدد حاصله مساوي به مقسوم بود‪ ،‬عمليه صحيح است‪.‬‬

‫ﻣﺜﺎﻝ‪:‬‬

‫‪762‬‬

‫‪310896‬‬

‫‪- 3048‬‬ ‫‪ 408‬‬ ‫‪006096‬‬ ‫ ‬ ‫‪- 6096‬‬ ‫ ‬ ‫‪0000‬‬ ‫ ‬

‫‪29‬‬

‫اﻣﺘﺤﺎﻥ‪:‬‬

‫‪762‬‬ ‫‪×408‬‬ ‫‪6096‬‬ ‫‪000‬‬ ‫‪+3 0 4 8‬‬ ‫‪3 1 0 896‬‬

‫در مثال فوق مقسوم عليه ‪ ،762‬خارج قسمت ‪ ،408‬حاصل ضرب آن‌ها‬ ‫مساوی به ‪ 310896‬و عدد حاصله مساوی به مقسوم است؛ بنابر آن عملیۀ‬ ‫تقسیم صحیح اجرا گردیده است‪.‬‬ ‫خارج قسمت = مقسوم عليه ÷ مقسوم‬ ‫مقسوم = باقيمانده ‪ +‬خارج قسمت × مقسوم عليه‬

‫فعالیت‬ ‫اگر مقسوم ( ‪ ،) 67421‬مقسوم عليه ( ‪ ) 103‬باشد‪ ،‬خارج قسمت را معلوم‬ ‫نموده امتحان کنيد‪.‬‬ ‫اگر مقسوم عليه ( ‪ ،) 645‬خارج قسمت ( ‪ ) 198‬و باقیمانده (‪ )203‬باشد‪،‬‬ ‫مقسوم را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫‪ -1‬براي امتحان عملية تقسيم چی بايد کرد؟‬ ‫‪ -2‬اگر در یک عملية تقسیم باقی‌مانده ‪ ،31‬مقسوم عليه ‪ 126‬و خارج قسمت‬ ‫‪ 58‬باشد‪ ،‬مقسوم را معلوم کنید؟‬

‫‪30‬‬

‫تمرین‬

‫ ‬

‫سؤال‌های زير را حل و امتحان کنيد‪.‬‬ ‫ ? = ‪210‬‬ ‫? = ‪2450‬‬ ‫ ‬ ‫‪= 56088‬‬ ‫ ‬ ‫? = ‪135‬‬ ‫ ‬ ‫? = ‪204‬‬ ‫ ‬ ‫? = ‪4140‬‬ ‫ ‬ ‫‪258 = 95202‬‬ ‫ ‬ ‫? = ‪479‬‬ ‫ ‬ ‫‪225 = 674‬‬ ‫ ‬ ‫‪= 705‬‬ ‫ ‬

‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪-9‬‬ ‫‪-10‬‬

‫× ‪9138‬‬ ‫× ‪730‬‬ ‫× ‪456‬‬ ‫÷ ‪89762‬‬ ‫÷ ‪970432‬‬ ‫÷ ‪730041‬‬ ‫ ‬ ‫×‬ ‫× ‪8425‬‬ ‫ ‬ ‫÷‬ ‫÷ ‪241110‬‬

‫فعاليت‪:‬‬ ‫‪ -11‬اگر قيمت ‪ 12‬دانه قلم ‪ 120‬افغاني باشد‪ ،‬قيمت ‪ 15‬دانه قلم چند افغاني‬ ‫است؟‬ ‫‪ -12‬اگر قيمت يک جريب زمين ‪ 350000‬افغاني باشد‪ ،‬قيمت ‪ 106‬جريب‬ ‫زمين را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫‪ -13‬اگر يک موتر فاصلة ‪ 23714‬کيلومتر راه را در ‪ 167‬ساعت پيموده‬ ‫باشد‪ ،‬موتر مذکور در يک ساعت چند کيلومتر راه را پيموده است؟‬ ‫‪ -14‬اگر براي يک شاگرد ‪ 13‬جلد کتاب ضرورت باشد‪ ،‬براي ‪1345100‬‬ ‫شاگرد چند جلد کتاب ضرورت است؟‬ ‫‪ - 15‬اگر مصرف برق يک شهر در يک شبانه روز ‪ 5030‬کيلو وات باشد‪،‬‬ ‫مصرف برق يک ماهه شهر مذکور چند کيلووات خواهد بود؟‬ ‫‪31‬‬

‫خاصيت يک و صفر در عمليۀ ضرب‬ ‫• اگر (‪ )1‬در یک عدد و یا یک عدد در (‪ )1‬ضرب شود‪ ،‬حاصل ضرب‬ ‫مساوی به چی می‌شود؟‬ ‫• اگر(‪ )0‬در یک عدد و یا یک عدد در(‪ )0‬ضرب شود‪ ،‬حاصل ضرب آن‬ ‫مساوی به چی می‌شود؟‬ ‫الف) خاصيت عدد ( ‪ ) 1‬در ضرب‬

‫ ‬

‫‪1+1+1+1+1+1=6‬‬ ‫ ‬ ‫‪6× 1=6‬‬ ‫ ‬ ‫‪1× 6=6‬‬

‫ ‬

‫ب) خاصيت صفر در ضرب‬ ‫‪0+0+0+0+0+0=0‬‬ ‫ ‬ ‫‪6× 0=0‬‬ ‫ ‬ ‫‪0× 6=0‬‬

‫ ‬

‫فعاليت‪:‬‬ ‫فعالیت‬ ‫‪ -1‬خانه‌هاي خالي را با اعداد مناسب پر کنيد‪.‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪11‬‬

‫‪10‬‬

‫‪1‬‬

‫×‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪32‬‬

‫‪ -2‬در جاهاي خالي اعداد مناسب را بنويسيد‪.‬‬ ‫= ‪1 × 73415‬‬ ‫‪× 7621 = 7621‬‬ ‫‪=0‬‬

‫× ‪6754‬‬

‫‪× 17642 = 0‬‬

‫ ‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫= ‪1‬‬ ‫‪= 9400‬‬

‫× ‪3764‬‬ ‫× ‪9400‬‬

‫‪× 9321 = 0‬‬ ‫=‬

‫‪94761 × 0‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫افاده‌هاي جمع را به ضرب تبديل و حاصل آن را به دست آوريد‪.‬‬ ‫‪2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = --- × --- = --‬‬‫‪0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = --- × --- = --‬‬‫خاصيت تبديلي و اتحادي در عمليۀ ضرب و خاصيت توزيعي‬ ‫ضرب در عمليۀ جمع‬ ‫الف) خاصيت تبديلي درضرب ‬ ‫• آیا در عملیة ضرب جا‌های اجزای ضرب را تبدیل کرده می‌توانیم؟‬ ‫به مثال‌هاي زير توجه کنيد‪:‬‬ ‫‪-1‬‬

‫بنابرآن‪:‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬ ‫‪33‬‬

‫‪12 × 5 = 60‬‬ ‫ ‬ ‫‪5 × 12 = 60‬‬ ‫‪12 × 5 = 5 × 12 = 60‬‬ ‫‪105 × 6 = 630‬‬ ‫‪6 × 105 = 630‬‬ ‫‪105 × 6 = 6 × 105 = 630‬‬

‫با توجه به مثال‌هاي فوق مي‌توانيم بنويسيم که‪ :‬هرگاه در یک عملیة ضرب‪،‬‬ ‫جاهاي اجزاي ضربي تبديل شود در حاصل ضرب کدام تغييري نمي‌آيد و‬ ‫اين خاصيت را به نام خاصيت تبديلي در عمليۀ ضرب ياد مي‌کنند‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫با استفاده از خاصيت تبديلي در ضرب‪ ،‬خانه‌هاي خالي زیر را با اعداد‬ ‫مناسب پر کنید‪.‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫ ‬

‫ ‪= 384‬‬ ‫‪= 648‬‬ ‫‪= 5648‬‬

‫× ‪=6‬‬ ‫× ‪9 = 72‬‬ ‫× ‪706 = 8‬‬

‫× ‪64‬‬ ‫× ‬ ‫ ‬ ‫×‬

‫کار خانه‌گي‬ ‫خانه‌هاي خالي را با اعداد مناسب پر‌کنيد‪.‬‬ ‫= ‪7 × 23‬‬

‫ ‬

‫یا‬

‫‪= 161‬‬

‫×‪=7‬‬

‫= ‪23 × 7‬‬ ‫× ‪23‬‬

‫ ‬ ‫ ‬

‫ب) خاصيت اتحادي در عمليۀ ضرب‬ ‫• اگر در عملية ضرب اجزای ضربی بیشتر از دو جز باشد‪ ،‬عملیة ضرب را‬ ‫چطور انجام می‌دهید؟‬

‫‪34‬‬

‫مثال اول‪ :‬به اشکال زيرتوجه کنید‪:‬‬

‫طوري که در شکل ديده مي‌شود‪:‬‬ ‫= )‪2×(4×3‬‬ ‫‪2 × 12 = 24‬‬ ‫بنابرآن مي‌توانيم بنويسيم که‪:‬‬

‫‪‌،‬‬ ‫‪‌،‬‬

‫‪(3×2)×4‬‬ ‫‪6 × 4 = 24‬‬

‫‪( 2 × 3 ) × 4 = 2 × ( 4 × 3 ) = 24‬‬

‫مثال دوم‪ :‬اعداد ‪ 6 ،‌8‬و ‪ 9‬را چنين ضرب مي‌کنيم‪:‬‬ ‫‪( 8 × 6 ) × 9 = 48 × 9 = 432‬‬ ‫‪8 × ( 6 × 9 ) = 8 × 54 = 432‬‬ ‫‪6 × ( 8 × 9 ) = 6 × 72 = 432‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬

‫‪( 8 × 6 )× 9 = 8 × ( 6 × 9 ) = 6 × ( 8 × 9 ) = 432‬‬

‫از حل مثال‌هاي فوق مي‌توانيم بنويسيم که‪:‬‬ ‫در ضرب سه عدد‪ ،‬نخست عدد اول و دوم را با هم ضرب نموده و بعد‬ ‫حاصل ضرب را با عدد سوم ضرب مي‌نماييم يا در اول عدد دوم و سوم‬ ‫را با هم ضرب نموده و بعد حاصل ضرب را با عدد اول ضرب مي‌نماييم‪،‬‬ ‫‪35‬‬

‫همچنان می‌توانیم ابتدا عدد اول و سوم را با هم ضرب نموده و بعد حاصل‬ ‫ضرب را با عـــدد دوم ضرب‌نماييم‪ .‬در هر سه صورت حاصل ضرب آن‌ها‬ ‫عين عدد است‪ .‬اين خاصيت را به نام خاصيت اتحادي در عمليۀ ضرب ياد‬ ‫مي‌کنند‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫با استفاده از خاصيت اتحادي در عمليۀ ضرب‪ ،‬در جاهاي خالي اعداد‬ ‫مناسب را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪× 5) × 3‬‬

‫( = )‪× (5 × 3‬‬ ‫)‪× 9‬‬

‫ ‬

‫= )‪× (4 ×3‬‬

‫(×‪)= 7‬‬

‫=‪5×4×3‬‬

‫× ‪(6 × 7) × 9 = 6 × (7‬‬

‫کار خانه‌گي‬ ‫در جاهاي خالي اعداد مناسب را بنويسيد‪.‬‬ ‫)‪× (10× 8‬‬

‫=‬

‫( ×‪1) 8× 9× 10= 10‬‬ ‫×)‪× 8)=(10× 9‬‬ ‫) × ‪2( )6 × 8 ( × 10 = 6‬‬ ‫(‪× 10‬‬ ‫) (‪۳‬‬ ‫=‪× 17 ( × 9‬‬ ‫(‪× )17 × 5‬‬

‫‪36‬‬

‫ج) خاصيت توزيعي عمليۀ ضرب باالي عمليۀ جمع‬ ‫• آیا حاصل ضرب یک عدد را با مجموع دو یا چند عدد به دست آورده‬ ‫می‌توانید؟‬ ‫به اشکال زير متوجه شويد‪:‬‬ ‫ ‬

‫=‬

‫ ‬ ‫‪+‬‬

‫=)‪2×(3+4‬‬

‫=)‪(2×3)+(2×4‬‬ ‫‪= 14‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬

‫‪8‬‬

‫‪+‬‬

‫‪= 14‬‬

‫‪6‬‬

‫‪7‬‬

‫×‪2‬‬

‫‪2 × ( 3 + 4 ) = ( 2 × 3 ) + ( 2 × 4 ) = 14‬‬

‫مثال اول‪ :‬حاصل جمع ( ‪ ) 7 + 4‬را طور زير ضرب عدد ‪ 5‬مي‌نماييم‪:‬‬ ‫ ‬ ‫حل‪:‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫یا‪:‬‬ ‫بنابر آن‪ :‬‬

‫‪۵×)۷+4(=5×11= 55‬‬ ‫ ‬ ‫‪۵×۷+۵×۴=35+ 20=55‬‬ ‫‪۵×)۷+۴( =۵×۷+۵×۴=55‬‬

‫مثال دوم‪ :‬حاصل جمع (‪ )150 + 60‬را طور زير ضرب عدد ‪ 20‬مي‌نماييم‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫یا‬ ‫بنابر آن‬

‫‪37‬‬

‫‪20 × ( 150 + 60 ) = 20 × 210 = 4200‬‬ ‫‪20 × 150 + 20 × 60 = 3000 + 1200 = 4200‬‬ ‫‪20 × ( 150 + 60) = 20 × 150 + 20 × 60 = 4200‬‬

‫مثال سوم‪ :‬حاصل جمع (‪ )15 + 12‬را طور زير ضرب عدد ‪ 22‬مي‌نماييم‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫یا‬ ‫بنابر آن‬

‫‪22 × ( 15 + 12 ) = 22 × 27 = 594‬‬ ‫‪22 × 15 + 22 × 12 = 330 + 264 = 594‬‬ ‫‪22 × ( 15 + 12 ) = 22 × 15 + 22 × 12 = 594‬‬

‫از مثال‌هاي فوق مي‌توانيم بنويسيم که‪ :‬هرگاه يک مجموع را ضرب عدد‬ ‫سومي نماييم اجزاي جمع مذکور را با هم جمع و حاصل جمع را ضرب‬ ‫عدد سومي مي‌نماييم‪.‬‬ ‫و يا اين‌که هر يک از اجزاي جمع را ضرب عدد سومي مي‌کنيم و حاصل‬ ‫ضرب‌ها را با هم جمع مي‌نماييم‪ .‬در هر دو صورت عين عدد حاصل مي‌شود‪.‬‬ ‫اين خاصيت را به نام خاصيت توزيعي ضرب‪ ،‬باالي عملية جمع یاد می‌کند‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫با استفاده از خاصيت توزيعي ضرب باالي عمليۀ جمع‪ ،‬در جاهاي خالي‬ ‫اعداد مناسب را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪× 20‬‬

‫‪+‬‬ ‫×‪× 3+5‬‬

‫× ‪3 × ( 4 + 20 ) = 3‬‬ ‫= )‪5× (3+4‬‬

‫‪38‬‬

‫با استفاده از خاصيت توزيعي ضرب باالي عمليۀ جمع و شکل زیر‪ ،‬افاده شکل‬ ‫زیر را بنويسيد‪.‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫‪+‬‬

‫=‬

‫کار خانه‌گي‬ ‫با استفاده از خاصيت توزيعي ضرب باالي عمليۀ جمع درجاهاي خالي‬ ‫اعداد مناسب را بنويسيد‪.‬‬ ‫)‬

‫ ‬

‫)‬

‫× ‪30 × ( 5 + 4 ) = ( 30 × 5 ) + ( 30‬‬ ‫× ‪8 × ( 50 + 9 ) = ( 8‬‬ ‫×‪)+(8‬‬

‫تمرين‬

‫‪ -1‬با استفاده از خاصيت تبديلي در ضرب‪ ،‬اعداد مناسب را در خانه‌هاي‬ ‫خالي بنويسيد‪.‬‬ ‫× ‪= 63‬‬

‫× ‪25 = 25‬‬

‫× ‪104‬‬

‫×‬

‫‪ -2‬با استفاده از خاصيت اتحادي ضرب‪ ،‬در جاهاي خالي اعداد مناسب را‬ ‫بنويسيد‪.‬‬ ‫‪39‬‬

‫) ‪× ( 12 × 14‬‬ ‫)‪×6‬‬ ‫)‬

‫)‬

‫× ‪) × 14 = 12 × ( 8‬‬ ‫×‪×(5‬‬

‫( × ‪) = 14‬‬

‫× ‪× ( 17 × 10 ) = 17 × ( 6‬‬ ‫)‪×(7×9‬‬

‫×‬

‫=)‬

‫(×‬

‫= ) ‪× 15‬‬ ‫= )‪× 6‬‬

‫(×‬

‫× ‪( 12‬‬

‫= ‪( 6 × 5 ) × 14‬‬ ‫= ‪× 17 ) × 10‬‬

‫(×‪)×9=7‬‬ ‫=‪)×6‬‬

‫(‬ ‫×‪(7‬‬ ‫(‬

‫×‬

‫‪ -3‬سؤال‌های زیر را با استفاده از خاصيت توزيعي ضرب باالی عمليۀ جمع‪،‬‬ ‫حل کنيد‪.‬‬ ‫? = ‪( 100 + 20 ) × 5‬‬ ‫? = ‪( 10 + 6 ) × 3‬‬ ‫? = ‪( 10 + 8 ) × 2‬‬ ‫? = ‪( 500 + 50 ) × 10‬‬ ‫? = ‪( 200 + 5 ) × 5‬‬ ‫? = ) ‪1 ×( 1000 + 10‬‬ ‫? = ) ‪0 × ( 1000 + 5‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪ -4‬با استفاده از خاصيت توزيعي ضرب درعمليۀ جمع‪ ،‬در خانه‌هاي خالي‬ ‫اعداد مناسب را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪× 10‬‬

‫‪× 10 +‬‬ ‫× ‪+ 20‬‬ ‫× ‪× 60 + 9‬‬

‫‪41‬‬

‫=‬

‫× ) ‪( 20 + 4‬‬

‫× ‪) × 50 = 30‬‬ ‫= ) ‪+ 70‬‬

‫‪( 30 +‬‬ ‫(×‪9‬‬

‫فصل سوم‬

‫مبحث هندسه‬ ‫خط و انواع آن‬ ‫• اگر نوک قلم را روی کاغذ بگذاریم چه نوع شکل به وجود می‌آید؟‬ ‫• کوتاه‌ترین فاصله بین دو نقطه به نام چی یاد می‌شود ؟‬ ‫نقطه‪ :‬نشانۀ است که از گذاشتن نوک باريک پنسل به روي صفحۀ کاغذ‬ ‫به ميان مي‌آيد و توسط يک حرف نشان داده مي‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬نقطة « الف»‬ ‫خط‪ :‬خط عبارت از آن طول است که از حرکت نقطه‌ها به روی کاغذ به‬ ‫وجود می‌آید و به دو حرف نشان داده می‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬خط‌های (الف ب)‪،‬‬ ‫(دج)‪( ،‬ت هـ ) و غیره‪.‬‬ ‫هـ‬

‫ب‬ ‫ت‬

‫ج‬

‫الف‬

‫د‬

‫خط مستقيم‪ :‬کوتاه‌ترین فاصله بین دو نقطه را خط مستقیم گوید که به‬ ‫دو سمت امتداد يافته مي‌تواند و طول آن قابل اندازه‌گیری نباشد‪ ،‬مانند‪:‬‬ ‫خط مستقیم زير که توسط(ب الف) نشان داده مي‌شود‪.‬‬ ‫ب‬

‫الف‬ ‫‪42‬‬

‫قطعه خط‪:‬خط مستقیم که از هر دو جهت محدود باشد‪ ،‬به نام قطعه خط‬ ‫ياد می‌شود‪ .‬به طور مثال‪ :‬قطعه خط (الف ب) که در آن نقطۀ (الف) را مبدا‬ ‫و نقطۀ (ب) را انجام مي‌گويند‪.‬‬ ‫ب‬

‫الف‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬دو نقطه را طور دلخواه به روي کاغذ بگذارید‪ ،‬این دو نقطه را با استفاده‬ ‫از خط‌کش و قلم پنسل با هم وصل کنيد و به سؤال‌هاي زير جواب دهيد‪:‬‬ ‫الف) شکلي که حاصل مي‌شود‪ ،‬چه نام دارد؟‬ ‫ب) آیا مبدا و انجام دارد؟‬ ‫ج) چطور نمايش داده مي‌شود؟‬ ‫د) آيا قطعه خط حاصل شده قابل اندازه‌گیری است؟‬ ‫نيم خط ( شعاع )‪ :‬خط مستقيمي که از يک‌طرف محدود (بسته) و‬ ‫از طرف ديگر غيرمحدود (باز) باشد و به هر اندازۀ که بخواهيم به‬ ‫استقامت باز آن را امتداد داده بتوانيم‪ ،‬نيم خط (شعاع) ناميده مي‌شود و‬ ‫به شکل (ب الف) نمايش داده مي‌شود‪ ،‬مانند شکل زیر‪:‬‬ ‫ب‬

‫‪43‬‬

‫الف‬

‫فعاليت‬ ‫خط‌های زير را مشاهده نموده و در کتابچه خود مقابل شماره هر خط نام‬ ‫آن را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫ ‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫يک خط مستقيم رسم کنید و در روي آن قطعه خط‪ ،‬نيم خط و خط‬ ‫مستقيم را توسط دو حرف نشان دهید‪.‬‬ ‫وضعيت خط مستقيم‬ ‫• خط مستقیم را در محیط و ماحول خویش به چند وضعیت دیده می‌توانید؟‬ ‫نام بگیرید‪.‬‬ ‫خط مستقيم داراي سه وضعيت مي‌باشد‪:‬‬ ‫‪ -1‬خط افقي ‬

‫‪ -2‬خط عمود یا قايم‬

‫‪-3‬خط مايل‬

‫‪44‬‬

‫خط افقي‬ ‫خط افقي‪ ،‬خطي را گويند که به امتداد سطح آب ایستاده باشد‪ ،‬مانند‪ :‬کنار‬ ‫سقف خانه‪ ،‬کنار فرش‪ ،‬کنار زير دروازه و خط( ج ب ) به روي کاغذ‪.‬‬ ‫ب‬

‫ج‬

‫خط عمود و يا قايم‬ ‫خطي که باالي خط افقي دو زاويه قايمه را بسازد‪ ،‬خط عمود گفته مي‌شود‪.‬‬ ‫مانند‪ :‬خط ( هـ د ) باالي خط ( ج ب )‪ ،‬هم‌چنان بازوها و یا پایه‌های دروازه‪،‬‬ ‫میز و چوکی هر یک خط عمودی را نشان می‌دهد‪.‬‬ ‫د‬

‫ج‬

‫ب‬

‫هـ‬

‫خط مايل‬ ‫خطي که نه عمودي باشد و نه افقي‪ ،‬به نام خط مايل ياد مي‌شود‪.‬‬ ‫مانند‪ :‬خط‌های (د هـ‌‪( )،‬ن م) وغيره‪.‬‬ ‫د‬

‫ج‬

‫‪45‬‬

‫ب‬ ‫هـ‬

‫ج‬

‫ن‬

‫م‬

‫ب‬

‫فعاليت‬ ‫در گروه‌ها‪ ،‬انواع خطوطي را که در صنف و يا در اشيا مي‌بينید‪ ،‬نشان دهید‪.‬‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫نام اشکال و اشيايي را که خط افقي‪ ،‬عمودي و مايل را نشان داده بتوانند‪،‬‬ ‫در کتابچه‌های تان بنویسید‪.‬‬ ‫وضعیت دو خط مستقیم نظر به یکدیگر‬ ‫• در محیط اطراف خود‪ ،‬خطوطی را نشان دهید که فقط یک نقطة مشترک‬ ‫داشته باشند‪.‬‬ ‫• در محیط اطراف خود‪ ،‬خطوطی را نشان دهید که هیچ نقطة مشترک‬ ‫نداشته باشند‪.‬‬ ‫‪ -1‬خطوط متقاطع‬ ‫اگر دو خط مستقيم يک نقطۀ مشترک داشته باشند‪ ،‬خطوط متقاطع گفته‬ ‫مي‌شوند‪ ،‬مانند‪ :‬خطوط متقاطع (الف ب) و ( د ج ) که نقطۀ (هـ) نقطۀ‬ ‫مشترک آن‌ها است‪.‬‬ ‫ج‬

‫ب‬

‫هـ‬ ‫د‬

‫الف‬ ‫‪46‬‬

‫‪ -2‬خطوط موازي‬ ‫خطوط مستقیمی که هيچ نقطۀ مشترک نداشته باشند و امتداد آن‌ها یک‬ ‫دیگر را قطع نکند‪ ،‬خطوط موازي گفته مي‌شوند‪ ،‬مانند‪ :‬خطوط مستقیم‬ ‫(الف ب) و (ج د)‪.‬‬ ‫الف‬

‫ب‬

‫ج‬

‫د‬

‫‪ -3‬خطوط منطبق‬ ‫اگر دو خط مستقيم دو نقطۀ مشترک داشته باشند‪ ،‬خطوط منطبق گفته‬ ‫مي شوند‪ ،‬مانند‪ :‬قطعه خط‌هاي ( ج الف ) و ( د ب )‪.‬‬ ‫ج‬

‫د‬

‫ب‬

‫الف‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬اشیا و وسایل صنف تان را به دقت ببینید و خط‌های موازي‪ ،‬متقاطع و‬ ‫منطبق را در آن نشان دهید‪.‬‬ ‫‪ -2‬توسط دو دانه چوبک حالت‌های موازي‪ ،‬متقاطع و منطبق بودن دو خط‬ ‫را نشان دهید‪.‬‬ ‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫‪ -1‬دو خط نظر به يکديگر چند حالت دارند؟‬ ‫‪ -2‬خطوط موازي چگونه خطوطی اند؟‬ ‫‪47‬‬

‫‪ -3‬خطوط متقاطع چند نقطۀ مشترک دارند؟‬ ‫‪ -4‬اگر دو خط دو نقطۀ مشترک داشته باشند‪ ،‬آيا اين خطوط مي‌توانند که‬ ‫سه نقطۀ مشترک داشته باشند؟‬ ‫‪ -5‬دو خطي که هيچ نقطۀ مشترک نداشته باشند‪ ،‬به نام چي ياد مي‌شوند؟‬ ‫اقسام خط‬ ‫• دندانة اره چی نوع خط است؟‬ ‫• ماه نو چی نوع خط است؟‬ ‫خط به سه قسم است‪ :‬خط مستقيم‪ ،‬خط منکسر و خط منحني‪.‬‬ ‫خط مستقيم‬ ‫خط مستقیم خطی است که به دو سمت امتداد یافته و طول آن قابل اندازه‬ ‫گیری نمی‌باشد‪.‬‬ ‫خط منکسر‬ ‫قطعه خط‌هايي که به استقامت يک خط مستقيم نبوده؛ اما يکي با ديگر نقطۀ‬ ‫مشترک داشته باشند‪ ،‬خط منکسر ناميده مي‌شوند‪ ،‬مانند‪ :‬دندانۀ اره‪ ،‬کنار‬ ‫برگ بعضي از درختان و غيره‪.‬‬ ‫ج‬

‫هـ‬

‫د‬

‫الف‬

‫ب‬

‫‪48‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬به اشکال زير توجه کرده‪ ،‬خطوط منکسر را نشان بدهيد‪.‬‬ ‫ب‬

‫د‬ ‫ج‬

‫هـ‬ ‫الف‬

‫ب‬ ‫الف‬

‫د‬

‫ج‬

‫ج‬

‫الف‬

‫ج‬

‫ب‬

‫د‬

‫ب‬ ‫ب‬

‫د‬

‫الف‬

‫الف‬

‫‪ -2‬يک شاخۀ باریک درخت را طوري بشکنانید که خط منکسر را نشان‬ ‫دهد‪.‬‬ ‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫در اشکال زیر خط مستقیم و منکسر را نشان دهید و آن را در کتابچه‌های‬ ‫خویش رسم و نام آن‌ها را مقابل آن بنویسید‪.‬‬ ‫الف‬

‫ب‬

‫‪49‬‬

‫ج‬

‫د‬

‫هـ‬

‫د‬

‫ن‬ ‫م‬

‫و‬

‫ن‬

‫خط منحني‬ ‫خط منحني‪ ،‬خطي را گويند که نه مستقيم باشد و نه منکسر‪ ،‬مانند‪ :‬ماه نو‪،‬‬ ‫کمان ابرو و غيره‪ .‬به خطوط منحني‌ زير توجه کنيد‪.‬‬ ‫ب‬

‫منحنی باز‬

‫منحنی باز‬

‫منحنی باز‬

‫الف‬

‫منحنی باز‬ ‫منحنی بسته‬

‫منحنی بسته‬

‫خطوط منحني توسط دو حرف به شکل ( الف ب) نمايش داده مي‌شود‪.‬‬ ‫فعالیت‬ ‫‪ -1‬يک اندازه تار را به دو دست خود طوري بگيريد که اول خط مستقيم و‬ ‫بعد از آن خط منحني را نمايش بدهد‪.‬‬ ‫‪ -2‬دو نقطه را به روي صفحة کاغذ طوري با هم وصل کنيد که‪ :‬قطعه خط‪،‬‬ ‫خط منکسر و خط منحني را نمایش دهد‪.‬‬

‫‪50‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫در شکل زير‪ ،‬انواع خطوط را نشان دهید و هر نوع خط را با نام آن در‬ ‫کتابچۀ خود رسم کنید‪.‬‬ ‫ج‬

‫د‬

‫زاويه‬ ‫• در بین هر دو قطعه خط (شعاع) یک خط منکسر چی شکل را می‌بینید؟‬ ‫وسعتي که توسط دو شعاع که مبدای مشترک داشته باشند به وجود بيايد‪،‬‬ ‫زاويه گفته مي‌شود‪ .‬مبدای مشترک هر دو شعاع را رأس زاويه و هر يک‬ ‫از شعاع‌ها را ضلع زاويه مي‌نامند‪ ،‬مانند‪ :‬زاويه (د ب ج) که در اشکال زير‬ ‫نشان داده شده است‪.‬‬ ‫د‬

‫ضلع زاویه‬ ‫ج‬

‫رأس زاویه‬

‫‪51‬‬

‫ضلع زاویه‬

‫ب‬

‫ج‬

‫د‬

‫ب‬ ‫رأس زاویه‬

‫نمايش زاويه‬ ‫زاويه را توسط سه حرف نمايش مي‌دهند؛ طوري که حرف رأس آن‬ ‫در ترتيب نوشتن و خواندن در بين دو حرف ديگر قرار گيرد‪ ،‬مانند‪:‬‬ ‫زاويۀ ( الف ب ج ) یا ( الف ب ج )‪.‬‬ ‫الف‬

‫‪1‬‬

‫ج‬

‫ب‬

‫یادداشت‪ :‬زاویه (الف ب ج) را به شکل زاویه(‪ )1‬یا زاویه (ب) نیز نمایش‬ ‫می‌دهند‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫اشکال زير را در گروه‌ها به دقت مشاهده و به سؤال‌های زیر جواب دهید‪.‬‬ ‫‪ -1‬زاویه‌های هر شکل را بشماريد‪.‬‬ ‫‪ -2‬تمام زاويه‌هاي هر دو شکل را توسط حرف‌ها نشان دهید‪.‬‬ ‫د‬

‫و‬

‫د‬

‫ت‬ ‫هـ‬

‫ ‬

‫ﺷﻜﻞ ) الف )‬

‫و‬

‫ت‬ ‫ج‬

‫هـ‬

‫ﺷﻜﻞ ) ﺏ )‬

‫ج‬

‫کار خانه‌گي‬

‫د‬

‫شکل مقابل را در نظر بگيريد‪.‬‬ ‫الف) خطوط را به کدام نام ياد مي‌کنند؟‬ ‫هـ‬ ‫ب) چند زاويۀ را مي‌بينيد؟‬ ‫ذ‬ ‫ج) تمام زاویه‌های این شکل را توسط حرف‌ها نشان دهید‪.‬‬ ‫ز‬

‫ر‬

‫‪52‬‬

‫واحد اندازه گيري زاويه‬ ‫• زاویه‌ها توسط چی اندازه می‌شوند؟‬ ‫• واحد اندازه‌گیری وسعت زاویه چیست؟‬ ‫‪1‬‬ ‫واحد اندازه‌گيري زاويه درجه قبول شده است‪ .‬درجه عبارت از ( ـــــ )‬ ‫‪90‬‬ ‫حصۀ زاويۀ قايمه مي‌باشد و يا به عبارت ديگر‪ ،‬اگر زاويۀ قايمه را به ‪ 90‬حصۀ‬ ‫مساوي جدا کنیم هر حصۀ آن را درجه مي‌نامند‪ .‬عالمت درجه (‪ )o‬بوده و‬ ‫اين‌گونه نشان داده مي‌شود‪( 20o:‬بیست درجه)‪ ( 45o ،‬چهل و پنج درجه)‬ ‫‪( 90o‬نود درجه)‬ ‫الف‬

‫الف‬

‫ج‬

‫‪20o‬‬

‫و‬

‫ج‬

‫‪45o‬‬

‫الف‬

‫ب‬

‫‪90o‬‬

‫ج‬

‫براي اندازه گيري زاويه‪ ،‬وسیلۀ به نام نقاله به کار می‌رود‪.‬‬

‫ب‬

‫نقاله‪ :‬نقاله نيم دايره یی است که محيط آن به ‪ 180‬قسمت مساوي تقسيم‬ ‫شده استکه هر قسمت آن یک درجه (‪ )1o‬را نشان می‌دهد‪ .‬در شکل زیر‬ ‫عدد ‪ 50‬نقاله به ضلع دومي زاويۀ (الف ب ج ) تصادف مي‌کند‪ ،‬پس‬ ‫مي‌گوييم اندازۀ زاويۀ (الف ب ج ) ‪ 50o‬درجه است‪.‬‬ ‫حال اگر بخواهيم زاويه یی را به اندازۀ ‪ 50‬درجه رسم کنيم‪ .‬اول يک قطعه‬ ‫خط رسم مي‌کنيم‪ ،‬مانند قطعه خط (ن م)‪.‬‬ ‫بعد از آن نقاله را طوري باالي‬ ‫اين قطعه خط قرار مي‌دهيم که‬ ‫ج‬ ‫مرکز آن به نــقــطة (م) قطعه‬ ‫خط (م ن) منطبق شود‪ .‬حال‬ ‫درجة ‪ 50‬نقاله را با یک نقطه‬ ‫الف‬ ‫ب‬

‫‪53‬‬

‫نشاني نموده و نقطه مذکور را (ر) می‌نامیم‪ .‬نقطۀ (ر) را به نقطۀ (م) وصل‬ ‫مي‌کنيم‪ ،‬زاويۀ رسم شده ( ن م ر) عبارت از زاويۀ مطلوب (‪ )50o‬است‪.‬‬ ‫م‬

‫ن‬

‫ر‬

‫ر‬ ‫ن‬

‫‪50o‬‬

‫م‬

‫ن‬

‫م‬

‫فعاليت‬

‫د‬

‫به شکل مقابل توجه کنيد‪.‬‬ ‫س‬ ‫اگر اندازۀ زاويۀ (د س م) ‪ 38‬درجه باشد‪،‬‬ ‫الف) اندازۀ زاويه‌هاي ديگر را توسط نقاله معلوم کنيد‪.‬‬ ‫ر‬ ‫ب) مجموعۀ زاويه‌هاي (د س م) و (د س ن) چند درجه است؟‬ ‫ج) مجموعۀ زاويه‌هاي (د س م) و (ر س م) چند درجه است؟‬ ‫د) اندازۀ زاويۀ (د س م) را با اندازۀ زاويۀ (ر س ن) مقايسه کنيد‪.‬‬ ‫هـ ) در اندازۀ زاويه‌هاي (د س ن) و (ر س م) چي ارتباط وجود دارد؟‬ ‫م‬

‫‪38‬‬

‫‪54‬‬

‫ن‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫در کتابچه‌های خویش یک زاویة اختیاری رسم و توسط نقاله اندازة آن‬ ‫را معلوم کنید‪.‬‬ ‫د‬ ‫اندازة هر یک از زاویه‌های زیر را توسط نقاله پیدا کنید‪.‬‬ ‫ج‬

‫ب‬

‫‪ -‬با استفاده از نقاله زاویه یی که وسعت آن (‪ )40o‬باشد‪ ،‬رسم کنید‪.‬‬

‫الف‬

‫اقسام زاويه‬ ‫زاويه به سه قسم است‪.‬‬ ‫‪ -۲‬زاويۀ حاده ‬

‫‪ -۱‬زاويۀ قايمه ‬

‫‪ -۳‬زاويۀ منفرجه‬

‫‪ -1‬زاويۀ قايمه‬ ‫سال گذشته در مورد زاویه قایمه آشنایی حاصل نمودید و توسط پارچۀ از‬ ‫کاغذ زاویه قایمه را به شکل عملی تهیه نمودید؛ حال زاویه قایمه را چنین‬ ‫تعریف می‌کنیم‪.‬‬ ‫زاويۀ قايمه‪ :‬زاويه یی است که وسعت آن ‪ 90‬درجه‌باشد‪ ،‬مانند‪ :‬زاویه‌های زير‪:‬‬

‫‪90o‬‬

‫‪55‬‬

‫‪90o‬‬

‫‪90o‬‬

‫ج‬

‫‪90o‬‬

‫‪90o‬‬

‫د‬

‫ب‬

‫‪ -٢‬زاويۀ حاده‬ ‫زاويه يي که وسعت آن از زاويۀ قايمه خوردتر یا از‪ 90‬درجه کمتر باشد‪،‬‬ ‫زاويۀ حاده گفته مي‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬زاويه‌هاي شماره ‪.2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ -3‬زاويۀ منفرجه‬ ‫زاويه یی که وسعت آن از زاويۀ قايمه بزرگتر یا از ‪ 90‬درجه زیادتر باشد‪،‬‬ ‫زاويه یی منفرجه گفته مي‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬زاويه‌هاي شماره ‪.1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪56‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫به کمک نقاله زاویه‌های زیر را در کتابچه‌های خود رسم و در کنار هر زاویه نام آن‬ ‫را بنویسید‪.‬‬ ‫ج‬

‫الف‬

‫ ‬

‫ج‬

‫ب‬

‫ب‬

‫ج‬

‫الف‬

‫ب‬

‫الف‬

‫تمرين‬

‫‪ -1‬اندازۀ هر يک از زاويه‌هاي زير را توسط نقاله پيدا کنيد‪.‬‬ ‫ج‬

‫الف‬

‫ب‬

‫ج‬

‫ب‬

‫ب‬ ‫ج‬

‫الف‬

‫‪ -2‬زاويۀ ( الف د ج ) را در نظر بگيريد‪.‬‬ ‫به کمک خط‌کش ضلع (د الف) را به طرف چپ‬ ‫تا نقطۀ (هـ) امتداد دهيد‪ ،‬به شکلي که رسم کرده‌ايد‬ ‫توجه نموده به سؤال‌هاي زير جواب دهيد‪.‬‬ ‫الف) زاويه‌هاي (الف د ج) و (هـ د ج ) را توسط‬ ‫نقاله اندازه کنيد‪.‬‬ ‫‪57‬‬

‫الف‬

‫ج‬

‫الف‬

‫د‬

‫هـ‬

‫ب) مجموعۀ زاويه‌هاي (الف د ج) و (هـ د ج) چند درجه است؟‬ ‫‪ -3‬زاويۀ که از ‪ 90o‬بزرگتر باشد‪ ،‬چي ناميده مي‌شود؟‬ ‫‪ -4‬زاويۀ که از ‪ 90o‬کوچکتر باشد‪ ،‬چي ناميده مي‌شود؟‬ ‫‪ -5‬زاوية ‪ 90o‬را به نام چي ياد مي‌کنند؟‬ ‫‪ -6‬در شکل مقابل چند زاويه را مي‌بينيد‪ ،‬هر کدام‬ ‫ج‬ ‫را توسط نقاله اندازه نموده و مجموع آن‌ها را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫ب‬

‫د‬

‫‪ -7‬اندازۀ زاويه‌ها را توسط نقاله معلوم کنيد‪.‬‬

‫د‬

‫‪130o‬‬

‫هـ‬

‫ب‬

‫الف‬

‫الف‬ ‫ج‬

‫‪58‬‬

‫زاويه‌هاي مجاوره‪ ،‬مکمله‪ ،‬مجاورۀ مکمله‪ ،‬متممه‪ ،‬مجاورۀ‬ ‫متممه و متقابل به رأس‬ ‫زاويه‌هاي مجاوره‬ ‫• دو زاویۀ که دارای رأس مشترک و یک ضلع مشترک باشند‪ ،‬به نام چی‬ ‫یاد می‌شود؟‬ ‫دو زاويۀ که داراي رأس مشترک‪ ،‬ضلع مشترک بوده و به دو طرف ضلع‬ ‫مشترک واقع باشند‪ ،‬به نام زاويه‌هاي مجاوره ياد مي‌شوند‪ ،‬مانند‪ :‬زاويه‌هاي‬ ‫(‪ )1‬و(‪)2‬که داراي رأس مشترک (ب) و ضلع مشترک (ب ج) مي‌باشند‪.‬‬ ‫الف‬ ‫ج‬ ‫‪2‬‬

‫د‬

‫‪1‬‬

‫ب‬

‫فعاليت‬ ‫به اشکال زير توجه کنيد و به سؤال‌ها جواب دهيد‪‌.‬‬

‫د‬

‫الف‬

‫ج‬

‫ﺏ‬

‫ج‬

‫ﻫـ‬ ‫د‬

‫ﻫـ‬

‫د‬ ‫ﻡ‬

‫‪59‬‬

‫الف‬

‫ج‬ ‫ﻫـ‬

‫ﺏ‬

‫ﻡ‬

‫الف‬ ‫ﺏ‬

‫ﺱ‬

‫ج‬

‫الف‬ ‫ﻫـ‬

‫د‬

‫ﺏ‬

‫‪ -1‬کدام زاويه‌ها داراي رأس مشترک و ضلع مشترک نيستند؟‬ ‫‪ -2‬کدام زاويه‌ها داراي رأس مشترک و ضلع مشترک هستند و به نام چي‬ ‫ياد مي‌شوند؟‬ ‫‪ -3‬کدام زاويه‌ها داراي ضلع مشترک هستند و دارای رأس مشترک نيستند؟‬ ‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫به کمک نقاله سه زاویۀ مجاورۀ زیر را در کتابچه‌های خود رسم و نام‌های‬ ‫اضالع مشترک و رأس‌های مشترک آن‌ها را بنویسید‪.‬‬ ‫ج‬ ‫ا‬

‫د‬

‫ا‬ ‫ﺏ‬

‫د‬

‫ﻭ‬ ‫ﻫـ‬

‫ﻙ‬ ‫ﻡ‬

‫ﻝ‬ ‫ﻥ‬

‫زاويه‌هاي مکمله و مجاورة مکمله‬ ‫• دو زاویة غیر مجاور که مجموعۀ وسعت آن‌ها یک قایمه یا ‪ 90o‬باشد‪ ،‬به‬ ‫نام چی یاد می‌شود؟‬ ‫‪o‬‬ ‫• دو زاویة مجاور که مجموعۀ وسعت آن‌ها یک قایمه یا ‪ 90‬باشد‪ ،‬به نام‬ ‫چی یاد می‌شود؟‬ ‫دو زاويۀ غیر مجاوره که مجموع وسعت آن‌ها ‪ 90‬درجه باشد‪ ،‬به نام زاوي ه‌هاي‬ ‫مکمله ياد م ي‌ش وند‪.‬‬ ‫دو زاويۀ مجاوره که مجموع وسعت آن‌ها ‪ 90‬درجه باشد‪ ،‬به نام زاوي ه‌هاي‬ ‫مجاورۀ مکمله ياد م ي‌ش وند‪ ،‬مانند‪ :‬زاوي ه‌هاي مکمله و مجاورۀ مکمله که در‬ ‫اشکال زیر نشان داده شده است‪.‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪50o‬‬

‫‪40o‬‬

‫‪40o‬‬

‫زاویۀ مجاورۀ مکمله‬

‫‪50o‬‬

‫زاویۀ مکمله‬

‫فعاليت‬ ‫يک زاويۀ قايمه رسم کنيد‪ ،‬توسط نقاله آن را به ‪ 20‬درجه و ‪ 70‬درجه‬ ‫تقسيم کنيد و نام آن را (الف) بگذاريد‪.‬‬ ‫همچنان دو زاويۀ ‪ 20‬درجه و ‪ 70‬درجه را جدا جدا رسم کنيد و نام آن‌ها را‬ ‫(ب) بگذاريد و به سؤال‌هاي زير جواب دهيد‪.‬‬ ‫‪ -1‬مجموعۀ زاويه‌هاي (الف) و (ب) را به طور جداگانه معلوم کنيد‪.‬‬ ‫‪ -2‬زاویه‌های (الف) و (ب) به کدام نام ياد مي‌شوند؟‬ ‫‪ -3‬آيا زاويه‌هاي (الف) را زاويه‌هاي مجاورۀ مکمله گفته مي‌توانيد؟ چرا؟‬ ‫‪ -4‬آيا زاويه‌هاي (ب) مجاورۀ مکمله هستند و يا مکمله؟‬ ‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫زاويه‌هاي شکل زير را اندازه نموده‪ ،‬جوره‌هاي زاويه‌هاي مکمله را بنويسيد‪.‬‬

‫‪4‬‬

‫‪61‬‬

‫‪23‬‬

‫‪1‬‬

‫زاويه‌هاي متممه و مجاورۀ متممه‬ ‫• دو زاویه غیر مجاور که مجموعۀ وسعت آن‌ها دو قایمه یا ‪ 180‬درجه‬ ‫باشد‪ ،‬به نام چی یاد می‌شود؟‬ ‫• دو زاویة مجاور که مجموعۀ وسعت آن‌ها دو قایمه یا ‪ 180‬درجه باشد‪،‬‬ ‫به نام چی یاد می‌شود؟‬

‫دو زاويۀ که مجاوره نباشند‪ ،‬اما مجموع وسعت آن‌ها ‪ 180‬درجه باشد‪ ،‬به‬ ‫نام زاويه‌هاي متممه ياد مي‌شوند‪.‬‬ ‫دو زاويۀ مجاوره که مجموع وسعت آن‌ها ‪ 180‬درجه باشند‪ ،‬به نام زاويه‌هاي‬ ‫مجاورۀ متممه یاد می‌شوند‪ ،‬مانند‪ :‬زاویه‌های زير‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫زاويه‌هاي ‪ 1‬و ‪ 2‬مجاورۀ متممه‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫زاويه‌هاي ‪ 3‬و ‪ 4‬متممه‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬شکل مقابل را در نظربگيريد‪ ،‬با استفاده‬ ‫از نقاله و مطابق نمونۀ وسعت آن جوره‬ ‫زاويه هایي که اندازۀ شان ‪ 180‬درجه بوده‬ ‫و هم مجاوره باشند را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪1 + 2 = 180o‬‬

‫‪2 1‬‬ ‫‪4 3‬‬

‫‪62‬‬

‫‪ -2‬به شکل مقابل توجه کنيد‪ ،‬با استفاده از‬ ‫نقاله وسعت زاويه‌هاي داده شده را مــعلــوم‬ ‫کنيـد‪ ،‬و آن هاييکه مجاوره نبوده اما متممه‬ ‫باشند‪ ،‬نام بگيريد‪.‬‬

‫ ‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫کار خانه‌گي‬ ‫در شکل زیر زاويه‌هاي ‪ 2 ،‌1‬و ‪ 3‬را اندازه کنيد و بگوييد که کدام جورۀ‬ ‫آن‌ها متممه اند‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫زاويه‌هاي متقابل به رأس‬ ‫• در نتیجة تقاطع دو خط مستقیم‪ ،‬چند زاویه تشکیل می‌شود ؟‬ ‫• دو زاویۀ که از تقاطع دو خط مستقیم در مقابل همدیگر حاصل م ی‌ش وند‪،‬‬ ‫به نام چی یاد م ی‌ش وند؟‬ ‫دو زاويۀ که داراي رأس مشترک بوده و اضالع‌شان به امتداد يکديگر‬ ‫واقع باشند‪ ،‬زاويه‌هاي متقابل به رأس گفته مي‌شوند‪ ،‬زاويه‌هاي متقابل‬ ‫به رأس با هم مساوي اند‪ ،‬مانند‪ :‬زاويه‌هاي ( ‪ ) 2 ،‌1‬و ( ‪ ) 3 ،‌4‬در شکل زیر ‪:‬‬

‫‪63‬‬

‫فعاليت‬ ‫به شکل زير توجه کنيد و سؤال‌هاي زير را جواب بدهيد‪.‬‬ ‫‪ -1‬اندازۀ زاويه‌هاي ‪ ‌3 ،‌2 ،‌1‬و ‪ 4‬را توسط نقاله‬ ‫ﺏ‬ ‫ج‬ ‫‪1‬‬ ‫معلوم کنید‪.‬‬ ‫‪ 3‬ﻡ ‪4‬‬ ‫‪ -2‬زاويه‌هاي (‪ 1‬و ‪ 3( ،)2‬و ‪)4‬را به نام کدام‬ ‫‪2‬‬ ‫د‬ ‫الف‬ ‫زاويه‌ها ياد مي‌کنند؟‬ ‫‪ -3‬بين زاويه‌های (‪ 1‬و ‪ )2‬و همچنان زاویه‌های‬ ‫(‪ 3‬و ‪ )4‬از نقطه نظر اندازه چی ارتباط وجود دارد؟‬ ‫‪ -4‬مجموعة اندازۀ هر چهار زاويه را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫‪ -5‬نقطۀ تقاطع خطوط (ب الف ) و ( د ج ) کدام نقطه است؟‬ ‫زاويۀ مستقيمه‬ ‫زاويۀ است که به يک طرف خط مستقيم قرار داشته و اندازۀ آن ‪ 180‬درجه‬ ‫باشد‪ ،‬مانند‪ :‬زاویه (الف ب ج)‪.‬‬ ‫ج‬

‫ ‬

‫الف‬

‫ب‬

‫کار خانه‌گي‬

‫‪ -1‬دو خط متقاطع را طوری رسم کنید که تمام زاويه‌هاي آن قايمه باشند‪.‬‬ ‫‪ -2‬توسط نقاله وسعت تمام زاویه‌های شکل زیر را معلوم کنید و به کمک‬ ‫وسعت زاویه‌ها به سوال‌های زیر جواب دهید‪.‬‬ ‫الف) نام تمام زاویه‌های مجاوره مکمله را بنویسید‪.‬‬ ‫ب) نام تمام زاویه‌های مجاوره متممه را بنویسید‪.‬‬ ‫ﺏ‬

‫د‬

‫ﻫـ‬

‫الف‬

‫ج‬

‫‪64‬‬

‫تمرين‬

‫ ‬

‫‪ -1‬در شکل زير اندازۀ زاويه‌هاي مجاورۀ متممة‪ ،‬زاويۀ ‪ 30‬درجه را پيدا‬ ‫کنيد‪.‬‬ ‫ﺏ‬ ‫د‬

‫‪30‬‬

‫ج‬

‫ﻫـ‬ ‫الف‬

‫‪ -2‬در شکل باال اندازۀ زاويۀ متقابل به رأس زاویه‪ 30‬درجه‪ ،‬چند درجه است؟‬ ‫‪ -3‬زاويۀ مکملۀ هر يک از زاويه‌هاي زير را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪30o ‌، 64 o ‌، 23 o ‌، 6 o‬‬ ‫‪ -4‬زاویۀ متممۀ هر يک از زاويه‌هاي زير را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪130o ‌، 110o ‌، 33 o ‌، 17 o‬‬ ‫‪-5‬در شکل زير زاويه‌هاي مکمله و زاويه‌هاي مجاورۀ متممه را نشان دهيد‪.‬‬

‫مثلث‬ ‫• شکل بستۀ که توسط سه خط مستقیم به وجود می‌آید‪ ،‬به نام چی یاد‬ ‫می‌شود؟‬ ‫مثلث شکل بستۀ است که ذريعۀ سه قطعه خط به وجود می‌آید‪ .‬هر يک از‬ ‫قطعه خط‌هاي مثلث را ضلع مثلث و نقطۀ اتصال هر دو ضلع را رأس مثلث‬ ‫‪65‬‬

‫گويند‪ .‬هر مثلث داراي سه ضلع‪ ،‬سه زاويه و سه رأس مي‌باشد‪.‬‬ ‫ﺿﻠﻊ‬ ‫ج‬

‫الف‬ ‫ﺯاﻭﻳﻪ‬

‫ﺭﺃﺱ‬ ‫ﺏ‬

‫نمايش مثلث‪ :‬مثلث را توسط سه حرف رأس آن نمایش می‌دهند‪ ،‬مانند‪:‬‬ ‫الف‬ ‫مثلث (الف ب ج) و یا (الف ب ج)‬ ‫ج‬

‫فعاليت‬

‫ب‬

‫با استفاده از خط‌کش و نقاله يک زاويۀ قايمه را به رأس (ب) رسم کنيد‪،‬‬ ‫روی اضالع قايم زاویه نقاط (ج) و (د) را به طول‌هاي ‪ ٣‬سانتي‌متر و ‪٤‬‬ ‫سانتي‌متر جدا کرده و با هم وصل کنيد‪ ،‬به سؤال‌هاي زير جواب دهيد‪.‬‬ ‫‪ -1‬شکل ترسيم شده‪ ،‬چند رأس دارد؟‬ ‫‪ -2‬شکل ترسيم شده چي نام دارد؟‬ ‫‪ -٣‬زاويه‌هاي مثلث ترسيم شده را توسط نقاله اندازه نموده و مجموعۀ‬ ‫آن‌ها را پيدا کنيد‪.‬‬ ‫‪ -٤‬هر سه ضلع مثلث را توسط حرف‌ها نشان دهید و طول ضلع (د ج) را‬ ‫اندازه کنيد‪.‬‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫يک زاويۀ منفرجه را به رأس (م) رسم کنید و روی اضالع آن طور دلخواه دو‬ ‫نقطۀ (د) و (ج) را تعيين نموده با هم وصل کنید‪ ،‬وسعت هر يک از زاويه‌هاي‬ ‫مثلث را طور جداگانه اندازه نموده و مجموعۀ هر سه زاويه را معلوم کنید‪.‬‬

‫‪66‬‬

‫اقسام مثلث از لحاظ زاويه‬ ‫• تا حال چند قسم زاویه را می‌شناسید؟‬ ‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬زاویة قایمه (الف ب ج) را رسم کنید و نقاط ( الف) و (ج) را‬ ‫با هم وصل کنید‪.‬‬ ‫‪ -2‬زاویة منفرجه (د س ر) را رسم کنید و نقاط (د) و (ر) را با هم وصل‬ ‫کنید‪.‬‬ ‫‪ -3‬زاویة حادۀ (ذ ش ز) را رسم کنید و نقاط (ذ) و (ز) را‬ ‫با هم وصل کنید‪.‬‬ ‫‪ -4‬مثلث‌های رسم شده از همدیگر چه تفاوت دارند؟‬ ‫ ‬ ‫مثلث از نگاه زاويه به سه قسم است‪.‬‬ ‫‪ -1‬مثلث قايم الزاويه‬

‫‪ -2‬مثلث حاده الزاويه‬

‫‪ -3‬مثلث منفرج الزاويه‬

‫‪ -1‬مثلث قايم الزاويه‬ ‫هر مثلثي که يک زاويۀ آن قايمه باشد‪ ،‬آن را مثلث قايم الزاويه مي‌گويد‪،‬‬ ‫مانند‪ :‬مثلث (الف ب ج) که در آن زاويۀ (ب) قايمه بوده و دو زاويۀ ديگر‬ ‫آن ( الف) و( ج) حاده مي‌باشند‪.‬‬ ‫الف‬ ‫‪60‬‬

‫جﺏ‬

‫‪67‬‬

‫‪30‬‬

‫‪90‬‬

‫جب‬

‫‪ -٢‬مثلث منفرج الزاويه‬ ‫هر مثلثي که يک زاويۀ آن منفرجه باشد‪ ،‬آن را مثلث منفرج الزاويه می‌گوید‪،‬‬ ‫مانند‪ :‬مثلث (د س ر) که زاويۀ (س) آن منفرجه بوده و دو زاوية ديگر آن‬ ‫(د) و( ج) حاده مي‌باشند‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪130‬‬

‫‪20‬‬

‫ر‬

‫د‬

‫س‬

‫‪ -3‬مثلث حاده الزاويه‬ ‫مثلثي که هر سه زاويۀ آن حاده باشد‌‪ ،‬به نام مثلث حاده الزاويه یاد می‌شود‪،‬‬ ‫مانند‪ :‬مثلث (ذ ش ز) که هر سه زاويۀ آن ( ذ)‪( ،‬ش)و (ز) حاده مي‌باشند‪.‬‬ ‫ش‬ ‫الف‬ ‫‪60‬‬

‫ذج‬

‫‪60‬‬

‫‪60‬‬

‫زﺏ‬

‫فعاليت‬ ‫• در گروه‌ها کار کنید‪.‬‬ ‫‪ -1‬با استفاده از خط‌کش و نقاله مثلث‌های قایم الزاویه‪ ،‬منفرج الزاویه و‬ ‫حاده الزاویه رسم کنید‪.‬‬ ‫‪ -2‬با استفاده از نقاله وسعت تمام زاویه‌های هر مثلث را معلوم کنید‪.‬‬ ‫‪68‬‬

‫‪ -3‬نام تمام زاویه‌های هر مثلث را نظر به وسعت آن بنویسید‪.‬‬ ‫‪ -4‬مجموعۀ تمام زاویه‌های هر مثلث را حساب و با هم مقایسۀ کنید‪.‬‬ ‫‪ -5‬آیا دو زاويۀ یک مثلث قایمه یا منفرجه شده می‌تواند؟‬ ‫‪ -6‬آیا در هر نوع مثلث باید دو زاویه حاده موجود باشند؟‬ ‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫فرق بين مثلث‌هاي قايم الزاويه‪ ،‬حاده الزاويه و منفرج الزاويه را بنويسيد و‬ ‫در اشکال نشان دهيد‪.‬‬

‫‪69‬‬

‫اقسام مثلث از لحاظ اضالع‬ ‫• اگر تمام اضالع مثلث طول‌های مختلف داشته باشند‪ ،‬مثلث به نام چی یاد‬ ‫می‌شود؟‬ ‫• اگر طول تنها دو ضلع مثلث با هم مساوی باشند‪ ،‬مثلث به نام چی یاد می‌شود؟‬ ‫• اگر طول تمام اضالع مثلث با هم مساوی باشند‪ ،‬مثلث به نام چی یاد می‌شود؟‬ ‫مثلث از لحا‌ظ اضالع به سه قسم است‪.‬‬ ‫‪ -٢‬مثلث متساوي الساقين ‬

‫ ‬ ‫‪ -1‬مثلث متساوي االضالع‬ ‫‪ -٣‬مثلث مختلف االضالع‬ ‫‪ -1‬مثلث متساوي االضالع‬

‫مثلثي را گويند که طول هر سه ضلع آن با هم مساوي باشند‪ ،‬مانند‪ :‬مثلث‬ ‫(الف ب ج) که طول هر سه ضلع آن ‪ 4‬سانتی متر است‪.‬‬ ‫‪ 4‬سانتی متر = الف ج = ب ج = الف ب‬

‫الف‬ ‫‪4‬‬ ‫سان‬

‫‪4‬‬

‫مرت‬

‫سانت‬

‫تی‬

‫ی‬ ‫مرت‬

‫ج‬

‫‪ 4‬سانتی مرت‬

‫ﺏ‬ ‫‪70‬‬

‫‪ -2‬مثلث متساوي الساقين‬ ‫مثلثي را مي‌گويند که طول دو ضلع آن با هم مساوي باشند‪ ،‬مانند‪ :‬مثلث‬ ‫( د س ر) که طول تنها دو ضلع آن با هم مساوی است ‪.‬‬ ‫س‬ ‫الف‬

‫‪3‬‬ ‫سانت‬

‫دج‬

‫‪2‬سانتی مرت‬

‫ی مرت‬

‫‪3‬‬

‫سانت‬

‫ی مرت‬

‫‪ 3‬سانتی مرت= رس= دس‬ ‫‪ 2‬سانتی مرت= در‬

‫ر‬ ‫ﺏ‬

‫‪ -3‬مثلث مختلف االضالع‬ ‫مثلثي را گويند که طول هر سه ضلع آن مختلف باشند‪ ،‬مانند‪ :‬مثلث (ذ ش ز)‬ ‫که در شکل زير با طول اضالع مختلف نشان داده شده است‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫ذج‬

‫‪6‬‬

‫سانتی مرت‬

‫سانت‬

‫‪5‬‬

‫سانت‬

‫مرت‬ ‫ی‬

‫‪ 5‬سانتی مرت= ذش‬ ‫‪ 2‬سانتی مرت= زش‬ ‫‪6‬سانتی مرت= ذز‬

‫ی مرت‬

‫ش‬ ‫الف‬

‫زﺏ‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬در گروه‌ها با هم کار کنید و به سؤال‌هاي زير جواب دهید‪.‬‬ ‫الف) با استفاده از خط‌کش طول اضالع مثلث‌های زیر را اندازه کنید‪.‬‬ ‫ب) با در نظر داشت طول اضالع هر مثلث‪ ،‬نام آن‌ها را مقابل شماره آن‪ ،‬در‬ ‫کتابچه‌های خود بنویسید‪.‬‬ ‫‪71‬‬

‫الف‬ ‫الف‬ ‫ج‬

‫ج‬

‫الف‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬ ‫ﺏ‬

‫الف‬ ‫‪4‬‬

‫ج‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫ب‬

‫ج‬

‫ﺏ‬

‫الف‬

‫الف‬

‫ج‬

‫‪1‬‬

‫ج‬

‫ب‬

‫ﺏ‬

‫ج‬

‫الف‬

‫ج‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺏ‬

‫‪3‬‬

‫ج‬

‫ﺏ‬

‫‪1‬‬ ‫ب‬ ‫الف‬

‫الف‬

‫ب‬

‫‪ -2‬آيا هر مثلث متساوي االضالع‪ ،‬متساوي الساقين هم مي‌باشد؟‬ ‫‪ -3‬اضالع و زاويه‌هاي شکل زیر را اندازه نموده به سؤال‌های زیر جواب‬ ‫دهيد‪.‬‬ ‫الف‬ ‫الف) کدام اضالع آن با هم مساوي است؟‬ ‫ب) کدام زاويه‌هاي آن با هم مساوي است؟‬ ‫ج) مثلث مذکور از لحاظ اضالع به نام چی ياد مي‌شود؟‬ ‫د) مثلث مذکور از لحاظ زاويه چي نام دارد؟‬ ‫ج‬ ‫ﺏ‬ ‫‪ -4‬يک قطعه خط (ب الف) به طول ‪ ٤‬سانتي‌متر رسم کنيد‪ ،‬به نقطۀ (ب)‬ ‫آن يک زاويۀ قايمه رسم کنيد‪ ،‬از ضلع دومي آن يک نقطۀ (ج) را به طول‬ ‫‪ ٤‬سانتي‌متر جدا کنيد‪ ،‬بعد از آن نقطۀ (ج) را به (الف) وصل نموده و به‬ ‫سؤال‌هاي زير جواب دهيد‪.‬‬ ‫الف) هر یک از زاويه‌هاي مثلث ترسيم شده را اندازه کنید‪.‬‬ ‫ب) طول ضلع (ج الف) مثلث را اندازه نموده‪ ،‬بنويسيد که چند سانتي‌متر و چند‬ ‫ملی متر است؟‬

‫‪72‬‬

‫ج) مثلث ترسيم شده از لحاظ زاويه و اضالع به نام چي ياد مي‌شود؟‬ ‫‪ -5‬يک زاويۀ قايمه به رأس (ب) رسم کنيد؛ سپس روی هر دو ضلع قايم‬ ‫آن ‪ ٣‬سانتي‌متر و ‪ ٤‬سانتي‌متر دو نقطۀ (د) و (ج) را جدا و با هم وصل نماييد‪،‬‬ ‫طول ضلع سومي آن را اندازه کنيد‪.‬‬ ‫‪ -6‬آيا يک مثلث قايم الزاويۀ متساوي االضالع بوده مي‌تواند؟ اگر نمي‬ ‫تواند‪ ،‬چرا؟‬ ‫‪ -7‬يک زاويه به رأس (الف) به اندازۀ (‪ )٦٠‬درجه رسم کنيد‪ ،‬روی اضالع‬ ‫زاویه نقاط (ب) و (ج) را به اندازۀ ‪ ٥ ،‌٥‬سانتي‌متر جدا نموده‪ ،‬نقاط (ب)‬ ‫و (ج) را با هم وصل کنيد و با استفاده از خط‌کش و نقاله به سؤال‌هاي زير‬ ‫جواب دهيد‪.‬‬ ‫الف) هر یک از زاويه‌هاي مثلث و مجموعه هر سه زاویۀ آن چند درجه‬ ‫است؟‬ ‫ب) طول هر یک از اضالع مثلث را اندازه گيري نموده‪ ،‬بنويسيد‪.‬‬ ‫ج) مثلث مذکور از لحاظ زاویه و اضالع به نام چي ياد مي‌شود؟‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫یک مثلث مختلف االضالع و یک مثلث متساوی‌الساقین که یک یک‬ ‫زاویة آن ‪ ۹۰o‬باشند را رسم کنید؛ سپس اضالع و زوایای آن را اندازه کنید‪.‬‬

‫‪73‬‬

‫مضلع‬ ‫• شکل بستۀ که از سه و یا اضافه از سه قطعه خط ساخته شده باشد‪ ،‬به نام‬ ‫چی یاد می‌شود؟‬ ‫شکل بستۀ که توسط سه قطعه خط و يا اضافه از سه قطعه خط ساخته شده‬ ‫باشد‪ ،‬مضلع ناميده مي‌شود‪ ،‬هر يک از قطعه خط‌های مضلع را ضلع مضلع و‬ ‫نقطۀ يکجا شدن دو قطعه خط را رأس مضلع مي‌گويند‪ ،‬مانند‪ :‬اشکال زير‪.‬‬

‫قطر مضلع‬ ‫قطعه خطي که دو رأس غيرمجاور يک مضلع را با هم وصل مي‌کند‪ ،‬قطر‬ ‫مضلع ناميده مي‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬قطرهاي (ج الف) و (د ب)‪.‬‬

‫د‬

‫الف‬

‫ج‬

‫ﺏ‬

‫‪74‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪-1‬يک زاويۀ ‪ ٣٠‬درجه را به رأس (ب) رسم کنيد‪ ،‬روی اضالع آن به‬ ‫ترتيب دو نــقطۀ (ج) و (د) را به طول ‪ ٣‬سانتي‌متر مشخص کنيد‪ ،‬بعد از آن‬ ‫يک نقطۀ کيفي (هـ) را به فاصلۀ ‪ 4‬سانتي‌متر از رأس (ب) در وسط زاويه‬ ‫مشخص نموده به نقاط (ج) و (د) وصل کنيد و به سؤال‌هاي زير جواب‬ ‫بدهيد‪.‬‬ ‫الف) شکل ترسيم شده به نام چي ياد مي‌شود؟‬ ‫ب) هر يک از زاويه‌هاي مضلع رسم شده را اندازه نموده‪ ،‬بنويسيد‪.‬‬ ‫ج) مجموعۀ زاويه‌هاي مضلع رسم شده را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫د) اگر نقطۀ (هـ) را با نقطۀ (ب) وصل کنيد‪ ،‬قطعه خط (ب هـ) را به نام چي‬ ‫مضلع ياد مي‌کنند؟‬ ‫‪ -2‬در اشکال زير بعضي قطرهاي مضلع‌ها ترسيم شده اند‪ ،‬قطرهاي اشکال‬ ‫داده شده را تکميل نموده‪ ،‬خانه‌هاي خالي جدول را پر کنيد‪.‬‬

‫‪75‬‬

‫نام چند ضلعي‬

‫سه ضلعي يا مثلث‬

‫تعداد ضلع ها‬

‫‪3‬‬

‫تعداد قطرها‬

‫‪0‬‬

‫چهارضلعي‬

‫پنج ضلعي‬

‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ج‬

‫قطر‌هاي شکل مقابل را رسم کنيد‪.‬‬ ‫بگوييد که چند ضلع‪ ،‬چند رأس‪ ،‬چند زاویه‬ ‫و چند قطر دارد؟‬

‫ﺏ‬

‫د‬

‫الف‬ ‫ﻫـ‬

‫ﻭ‬

‫مستطيل‬ ‫• چهار ضلعی را می‌شناسید که هر چهار زاویۀ آن قایمه باشد؟‬ ‫چهار ضلعي یی که هر چهار زاويۀ آن قايمه و اضالع مقابل آن دو به دو‬ ‫مساوي و موازي باشند‪ ،‬مستطيل ناميده ج‬ ‫د‬ ‫مي‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬مستطيل (الف ب ج د) که‪:‬‬ ‫‪ = 90o‬د = ج = ب = الف‬

‫ب ج = الف د ‪ ،‬الف ب = د ج‬ ‫ب ج الف د ‪ ،‬الف ب د ج‬

‫ﺏ‬

‫الف‬

‫فعاليت‬ ‫در گروه‌های کوچک تقسیم شوید و با استفاده از خط‌کش و نقاله فعاليت‬ ‫زير را انجام دهید‪.‬‬ ‫يک قطعه خط (الف ب) را به طول ‪ ٦‬سانتي‌متر رسم کنید و در دو‬ ‫انجام آن دو زاويۀ قايمه رسم کنید‪ ،‬روی ضلع دومي زاويه‌هاي قایم‪،‬‬ ‫قطعه خط‌ها را به طول ‪ ٢ ،‌٢‬سانتي‌متر در نقاط (ج) و (د) جدا کنید‪ ،‬نقاط‬ ‫(ج) و (د) را با هم وصل نموده‪ ،‬به سؤال‌هاي زير جواب دهید‪.‬‬ ‫‪ -1‬طول قطعه خط (ج د) چند سانتي‌متر است؟‬ ‫‪ -2‬هر يک از زاويه‌هاي شکل رسم شده‪ ،‬چند درجه است؟‬ ‫‪ -3‬شکل رسم شده چند رأس‪ ،‬چند زاويه و چند ضلع دارد‪ ،‬کــدام اضالع‬ ‫آن با هم مساوي اند؟‬ ‫‪76‬‬

‫‪ -4‬اگر اضالع (الف ب) و (د ج) به دو طرف امتداد داده شوند‪ ،‬يکديگر‬ ‫را قطع مي‌کنند‪ ،‬يا خير؟‬ ‫‪ -5‬اضالع (الف ج) و (ب د) موازي هستند يا متقاطع؟‬ ‫‪ -6‬شکل حاصله چي نام دارد؟‬ ‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫يک مستطيل رسم کنيد که طول آن ‪ ٤‬سانتي‌متر و عرض آن ‪ ٢‬سانتي‌متر‬ ‫باشد‪.‬‬ ‫مربع‬ ‫• شما شکل مربع را می‌شناسید‪ ،‬کی فرق مربع و مستطیل را گفته می‌تواند؟‬ ‫چهار ضلعي یی که هر چهار زاويۀ آن قايمه و هر چهار ضلـع آن با هم‬ ‫مسـاوي باشد مربع ناميده مي‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬مربع (الف ب ج د)‪.‬‬ ‫‪ =۹۰o‬د = ج = ب = الف‬

‫د‬

‫الف‬

‫الف د = ج د = ب ج = الف ب‬

‫الف د ج د ‪ ،‬ب ج الف ب‬

‫فعاليت‬

‫ج‬

‫ﺏ‬

‫يک قطعه خط (الف ب) به طول ‪ 5‬سانتي‌متر رسم کنيد‪ ،‬در انجام‌هاي‬ ‫قطعه خط مذکور دو زاويۀ قايمه رسم کنيد‪ .‬روی اضالع دومي زاويه‌هاي‬ ‫مذکور به طول ‪ 5‬سانتي‌متر نقاط (ج) و (د) را نشاني کرده با هم وصل‬ ‫کنيد‪ .‬به شکل ترسيم شده دقت کنيد‪ ،‬حدس بزنيد که چي نام دارد؛ سپس‬ ‫به سؤال‌های زير جواب دهيد‪.‬‬ ‫‪77‬‬

‫‪ -1‬طول قطعه خط (ج د) چند سانتي‌متر است؟‬ ‫‪ -2‬طول قطعه خط‌هاي شکل ترسيم شده با هم چی ارتباط دارند؟‬ ‫‪ -3‬دو زاويۀ رسم شدۀ ديگر چند درجه اند و هر چهار زاويه با هم چی‬ ‫ارتباط دارند؟‬ ‫‪ -4‬شکل ترسيم شده نظر به خصوصيات اضالع و زاويه‌ها به نام چي ياد‬ ‫مي‌شود؟‬ ‫‪ -5‬بين اضالع و زاویه‌های يک مربع چي ارتباط وجود دارد؟‬ ‫‪ -6‬اگر نقطۀ (الف) را به (د) و (ج) را به (ب) وصل کنيم‌‪ ،‬قطعه خط‌هاي‬ ‫(د الف) و (ب ج) را به نام چي ياد مي‌کنند؟‬ ‫‪ -7‬قطرهاي مذکور را اندازه نموده‪ ،‬مقايسه کنيد و بگوييد که با هم چي‬ ‫ارتباط دارند‪.‬‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫يک مربع را با قطرهای آن رسم کنيد که طول يک ضلع آن ‪ 4‬سانتي‌متر‬ ‫باشد‪ .‬طول قطرهاي مربع را توسط خط‌کش‪ ،‬اندازه کنيد و بگوييد این‬ ‫قطرها از لحاظ طول با هم چي ارتباط دارند؟‬

‫‪78‬‬

‫دايره‬ ‫• آيا مي‌دانيد شکل ذیل چي نام دارد؟‬ ‫• براي اين‌که شما يک دايره را رسم نمایید‪ ،‬چي مي‌کنيد؟‬

‫‪0‬م‬

‫فعاليت‬ ‫يک سر تار را به قلم پنسل بسته کنيد و سر ديگر آن را به شکل يک حلقه‬ ‫گره بزنيد بعد يک سنجاق را داخل حلقه نموده‪ ،‬سنجاق را روي کاغذ‬ ‫نصب کنید و دور آن‪ ،‬قلم پنسل را يک دور مکمل بدهيد‪ .‬منحني بسته که‬ ‫از اثر نوک پنسل به روي صفحۀکاغذ رسم مي‌شود دايره مي‌باشد؛ پس‬ ‫گفته مي‌توانيم که ‪ :‬دايره منحني بستۀ است که تمام نقاط آن از يک نقطۀ‬ ‫ثابت فاصلۀ مساوي داشته باشد‪ .‬منحني بسته را محيط دايره‪ ،‬نقطۀ ثابت را به‬ ‫نام مرکز دايره و قطعه خطي که محيط دايره را به مرکز آن وصل مي‌نمايد‪،‬‬ ‫شعاع دايره ناميده مي‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬دایره زیر که در آن محیط‪ ،‬مرکز و شعاع‬ ‫آن نشان داده شده است ‪.‬‬ ‫شعاع‬

‫ن‬

‫‪.‬‬

‫محیط‬

‫م‬

‫مرکز دایره‬

‫وتر دايره‬ ‫قطعه خطي که دو نقطۀ محيط دايره را با هم وصل مي‌کند‪ ،‬وتر دايره گفته‬ ‫مي‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬وتر (د ب) در دایره زیر‪.‬‬ ‫د‬

‫ب‬

‫م‬

‫‪79‬‬

‫قطر دايره‬ ‫قطعه خطي که از مرکز دايره گذشته و دو نقطۀ محيط را با هم وصل مي‌کند‪،‬‬ ‫قطر دايره ناميده مي‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬قطر (ب الف) ‪.‬‬ ‫ب‬ ‫م‬ ‫الف‬

‫قطر دايره مساوی به دو چند شعاع آن است‪ ،‬يعني‪ :‬شعاع × ‪ = 2‬قطر ‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫با استفاده از پرکار و خط‌کش يک دايره و سه وتر آن را طوري رسم کنيد‬ ‫که يک وتر آن از مرکز دایره بگذرد‪ .‬هر وتر را توسط دو حرف نشان دهيد‬ ‫و به سؤال‌هاي زير جواب دهيد‪.‬‬ ‫‪ -1‬طول هر وتر را اندازه کنيد‪ ،‬طويلترين وتر آن کدام است‪ .‬و بگوييد که‬ ‫به چي نام ياد مي‌شود؟‬ ‫‪-2‬طول وتر طويل (قطر) را با شعاع همان دايره مقايسه کنيد‪.‬‬ ‫‪ -3‬به کمک خط‌کش ‪ 3‬قطر و ‪ 3‬وتر دیگر دایره را رسم کنید‪.‬‬ ‫‪-4‬در يک دايره چند وتر و چند قطر رسم کرده مي‌توانيد؟‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬ ‫يک دايره رسم کنيد و در آن مرکز‪ ،‬محيط‪ ،‬شعاع‪ ،‬قطر و وتر دايره را نشان‬ ‫دهيد‪.‬‬

‫‪80‬‬

‫قوس دايره‬ ‫• قسمتی از محیط دایره‪ ،‬چه نوع خط را می‌سازد؟‬ ‫• آن قسمت دایره که توسط وتر جدا می‌شود‪ ،‬به نام چی یاد می‌شود؟‬ ‫• آن یک قسمت از دایره که توسط دو شعاع دایره جدا می‌شود‪ ،‬به نام چی‬ ‫یاد می‌شود؟‬ ‫يک حصۀ از محيط دايره را قوس دايره مي‌نامند‪ ،‬مانند‪ :‬قوس (د ج ب) و‬ ‫اين طور نشان داده مي‌شود‪ ،‬قوس (د ج ب) یا (د ج ب)‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫د‬ ‫م‬

‫ج‬

‫ب‬ ‫قطعۀ دايره‬ ‫يک حصۀ از سطح دايره که توسط قوس دايره و وتر مربوط آن احاطه شده‬ ‫باشد‪ ،‬قطعۀ دايره ناميده مي‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬ساحۀ که توسط قوس (ج ن د) و‬ ‫وتر (ج د) احاطه شده است‪.‬‬

‫ج‬

‫ن‬

‫د‬ ‫م‬

‫‪81‬‬

‫قطعۀ دایره‬

‫قطاع دايره‬ ‫يک حصۀ از سطح دايره که توسط دو شعاع و قوس مربوط آن احاطه شده‬ ‫باشد‪ ،‬قطاع دايره گفته مي‌شود‪ ،‬مانند‪ :‬ساحۀ پرداز شده که توسط شعاع‌های‬ ‫(الف م) و (ب م) و قوس (ب ج الف) احاطه شده است‪.‬‬

‫‪0‬م‬ ‫ب‬ ‫ج‬

‫الف‬

‫قطاع دایره‬

‫فعاليت‬ ‫يک دايره رسم کنيد‪ ،‬يک حصة محيط (قوس) آن را توسط (ق ج س)‬ ‫مشخص نموده و به سؤال‌های زیر جواب دهيد‪.‬‬ ‫الف) اگر نقطۀ (ق) را به نقطۀ (س) وصل کنيد‪ ،‬قطعه خط (س ق) به چي‬ ‫نام ياد مي‌شود؟‬ ‫ب) ساحۀ که توسط قوس (س ج ق) و وتر (س ق) احاطه شده‪ ،‬به نام چی‬ ‫ياد مي‌شود؟‬ ‫ج) اگر نقاط (ق) و (س) را به مرکز دايره وصل کنيد‪ ،‬قسمتي که توسط‬ ‫اين دو شعاع و قوس مربوط آن جدا مي‌گردد‪ ،‬به نام چي ياد مي‌شود؟‬

‫‪82‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫يک دايره رسم کنيد و در آن مرکز‪ ،‬محيط‪ ،‬شعاع‪ ،‬وتر‪ ،‬قوس‪ ،‬قطر‪ ،‬قطعه‬ ‫و قطاع دايره را نشان دهيد‪.‬‬ ‫تمرين‬

‫ ‬

‫با استفاده از پرکار یک دایرۀ به شعاع ‪ 5‬سانتی‌متر رسم کنید و جواب سؤال‬ ‫های زیر را در آن نشان دهید‪.‬‬ ‫الف) در يک دايره چند مرکز را ديده مي‌توانيد؟‬ ‫ب) در يک دايره چند شعاع و چند وتر رسم کرده مي‌توانيد؟‬ ‫ج) در يک دايره چند قطر رسم کرده مي‌توانيد؟‬ ‫د) اگر بگوييم شعاع دايره نصف قطر آن است‪ ،‬آيا صحيح گفته ايم يا نه؟‬ ‫هـ) اگر بگوييم در يک دايره بزرگترين وتر‪ ،‬قطر آن است‪ ،‬آيا صحيح گفته‬ ‫ايم يا نه؟‬ ‫و) دايره منحني باز است يا بسته؟‬ ‫ز) اگر بگوييم در مقابل عين قوس‪ ،‬قطعه دايره کوچکتر از قطاع آن است‪،‬‬ ‫آیا صحيح گفته ايم يا نه؟‬ ‫‪ -2‬يک قطعه خط (د م) رسم کنيد‪ ،‬به نقطۀ (م) آن يک زاويۀ ‪ 60‬درجه‬ ‫رسم نماييد‪ ،‬نقطۀ (م) را مرکز گرفته به شعاع (د م) يک دايره رسم کنيد‪،‬‬ ‫نقطۀ تقاطع محيط وضلع دومي زاويۀ را (ج) بگوید و آن را به نقطۀ (د)‬ ‫وصل نموده و به سؤال‌های زیر جواب دهيد‪.‬‬ ‫الف) هر يک از زاويه‌هاي مثلث ترسيم شده را اندازه نماييد‪ ،‬بگوييد مثلث‬ ‫از لحاظ زاويه به نام چي ياد مي‌شود؟‬ ‫ب) هر يک از اضالع مثلث را اندازه نموده‪ ،‬بگویید مثلث از لحاظ اضالع‬ ‫‪83‬‬

‫به چی نام یاد می‌شود‪.‬‬ ‫ج) شعاع (د م) را با وتر (د ج) مقايسه نموده‪ ،‬به خانۀ خالي زیر يکي از‬ ‫دم‬ ‫دج‬ ‫عالمه‌هاي( =‪ < ،‬ويا >) را بنويسيد‪.‬‬ ‫د‪ :‬رأس زاويۀ (د م ج) به کدام حصۀ دايره قرار دارد؟‬

‫‪84‬‬

‫فصل چهارم‬ ‫بزرگترین قاسم مشترک و کوچکترین مضرب مشترک‬ ‫بــرای ایــن کــه بزرگتریــن قاســم مشــترک و کوچکتریــن مضرب مشــترک‬ ‫دو و یــا چنــد عــدد را دریافــت کــرده بتوانیــم‪ ،‬الزم اســت کــه نخســت‬ ‫قابلیت‌هــای تقســیم بــر اعــداد‪ ،‬مفاهیــم قاســم و مضــرب یــک عــدد و‬ ‫اعــداد اولیــه و غیــر اولیــه را بدانیــم‪.‬‬

‫قابليت تقسيم بر ‪5 ،‌6 ،‌3 ،‌2‬‬

‫و ‪10‬‬

‫• آیا عدد ‪ 210‬به اعداد ‪ 2‬و ‪ 3‬پوره قابل تقسیم است یا خیر؟‬ ‫• آیا مجموعۀ ارقام عدد ‪ 2451‬را پيدا کرده می‌توانید؟‬ ‫قابلیــت تقســیم بــر ‪ :2‬هــر عــددی کــه رقــم یک‌هــای آن جفــت و یــا‬ ‫صفــر باشــد‪ ،‬بــر عــدد ‪ 2‬پــوره قابــل تقســیم می‌باشــد‪ ،‬ماننــد‪ :‬اعــداد ‪634 ،‌342‬‬ ‫‪ 3272 ،‌598 ،‌790‬بــر عــدد ‪ 2‬پــوره قابــل تقســیم انــد؛ زیــرا رقــم یک‌هــای آن‌‬ ‫جفــت یــا صفــر اســت‪.‬‬ ‫برای امتحان ‪:‬‬ ‫‪634 ÷ 2 =317 ، 342 ÷ 2 =171‬‬ ‫‪3272 ÷ 2 =1636 ،‌ 598 ÷ 2 =299 ،‌790 ÷ 2 = 395‬‬ ‫قابلیــت تقســیم بــر ‪ :3‬هــر عــددی کــه مجمــوع ارقــام آن‌ بــر ‪ 3‬پــوره‬ ‫تقســیم شــود‪ ،‬آن عــدد بــر ‪ 3‬پــوره تقســیم می‌گــردد‪ ،‬ماننــد‪ :‬اعــداد ‪573‬‬ ‫‪ 3246 ،‌426 ،‌843‬بــر عــدد ‪ 3‬پــوره قابــل تقســیم انــد؛ زیــرا حاصــل جمــع‬ ‫ارقــام آن‌هــا کــه بــر عــدد ‪ 3‬پــوره تقســیم می‌شــود‪ ،‬یعنــی‪:‬‬ ‫‪4 + 2 + 6 = 12‬‬ ‫‪،‌ 8 + 4 + 3 =15‬‬ ‫‌‪،‬‬ ‫‪5 + 7 + 3 =15‬‬ ‫‪3 + 2 + 4 + 6 = 15‬‬ ‫برای امتحان‪:‬‬ ‫‪426 ÷ 3 = 142 ،‌ 843 ÷ 3 = 281 ،‌ 573 ÷ 3 = 191‬‬ ‫‪3246 ÷ 3 = 1082‬‬ ‫‪85‬‬

‫قابلیــت تقســیم بــر‪ : 6‬عــددی کــه همزمــان بــر اعــداد ‪ 2‬و ‪ 3‬پــوره‬ ‫قابــل تقســیم باشــد‪ ،‬بــر عــدد ‪ 6‬نیــز پــوره قابــل تقســیم اســت‪ ،‬ماننــد‪ :‬اعــداد‬ ‫‪ 228 ،‌18 ،‌3246 ،‌2310‬کــه بــر عــدد ‪ 6‬پــوره قابــل تقســیم انــد؛ زیــرا هــر‬ ‫یــک آن‌هــا بــر عــدد ‪ 2‬و هــم بــر عــدد ‪ 3‬پــوره تقســیم می‌شــوند‪ ،‬یعنــی ‪:‬‬ ‫بنابرآن‬ ‫بنابرآن‬ ‫بنابرآن‬ ‫بنابرآن‬

‫‪2310 ÷ 2 = 1155‬‬ ‫‪2310 ÷ 6 = 385‬‬ ‫‪3246 ÷ 2 = 1623‬‬ ‫‪3246 ÷ 6 = 541‬‬ ‫وهم‬ ‫‪18 ÷ 2 =9‬‬ ‫‪18 ÷ 6 = 3‬‬ ‫‪ 228 ÷ 2 = 114‬وهم‬ ‫‪228 ÷ 6 = 38‬‬

‫وهــم‬

‫‪2310 ÷ 3 = 770‬‬

‫وهــم‬

‫‪3246 ÷ 3 = 1082‬‬

‫‪18 ÷ 3 = 6‬‬ ‫‪228÷ 3 = 76‬‬

‫فعاليت‬ ‫در جاهای خالی اعداد مناسب را بنویسید‪.‬‬ ‫‪82 ،‌ 304 ،‌ 693 ،‌ 396 ،‌542 ،‌483 ،‌48 ،‌300 ،‌129‬‬ ‫اعــدادی کــه بــر ‪ 2‬پــوره قابــل تقســیم انــد‪ ،‬عبــارت انــد از‪:‬‬ ‫ـــــــــــ ‪ ،‬ـــــــــــ ‪ ،‬ـــــــــــ ‪ ،‬ـــــــــــ ‪،‬ـــــــــــ ‪‌،‬ـــــــــــ ‪،‬‬ ‫اعــدادی کــه بــر ‪ 3‬پــوره قابــل تقســیم انــد‪ ،‬عبــارت انــد از‪:‬‬ ‫ــــــــــ ‪،‬ـــــــــــ ‪،‬ـــــــــــ ‪،‬ـــــــــــ ‪،‬ـــــــــــ ‪،‬ـــــــــــ ‪،‬‬ ‫اعــدادی کــه بــر ‪ 6‬پــوره قابــل تقســیم انــد‪ ،‬عبــارت انــد از‪:‬‬ ‫ــــــــــ ‪ ،‬ـــــــــــ ‌‪ ،‬ــــــــــ ‪،‬‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ســه عــدد را بنویســید کــه همزمــان بــر ( ‪ 3 , 2‬و ‪ ) 6‬پــوره قابــل تقســیم‬ ‫باشــند‪.‬‬ ‫‪86‬‬

‫تمرین‬

‫ ‬

‫اعــداد زیــر را بــه دقــت بخوانیــد و بگوییــد کــه کــدام یــک آن بــر عــدد ‪2‬‬ ‫‪ ،‬کــدام یــک بــر عــدد ‪ 3‬و کــدام یــک آن بــر عــدد ‪ 6‬پــوره قابــل تقســیم‬ ‫اســت ‪7320،1522 ،‌622 ،‌321 ،‌4326 ،‌258 ،‌850 ،‌792‬‬ ‫‪ - 2‬زیر اعدادی که بر‪ 2‬پوره قابل تقسیم اند‪ ،‬خط بکشید‪.‬‬ ‫‪724 ،‌ 2016 ،‌ 1000 ،‌ 6135 ،‌ 72020 ،‌5697 ،‌1005 .‬‬ ‫‪ - 3‬دور اعدادی را که بر ‪ 3‬پوره قابل تقسیم اند‪ ،‬حلقه نمایید‪.‬‬ ‫‪355 ،‌2761 ،‌ 1002 ،‌5136 ،‌ 62313 ، 17112 ،‌ 5632‬‬ ‫‪ -4‬بــا اســتفاده از رقم‌هــای ‪ 4 ،‌3‬و ‪ ،5‬شــش عــدد ســه رقمی‌یــی بنویســیدکه‬ ‫بــاالی عــدد ‪ 3‬پوره قابل تقســیم باشــند‪.‬‬ ‫‪ -5‬دور اعدادی را که بر ‪ 6‬پوره قابل تقسیم اند‪ ،‬حلقه نمایید‪.‬‬ ‫‪396 ،‌ 300 ،‌ 4325 ،‌7620 ،‌ 9484 ،‌ 549 ،‌ 7368‬‬ ‫‪ -6‬تمــام اعــداد ســه رقمــی را بنوســید کــه فقــط متشــکل از ارقــام ‪ 2 ،0‬و‬ ‫‪ 7‬بــوده بــر و ‪ 2‬و ‪ 3‬پــوره قابــل تقســیم باشــند‪.‬‬ ‫‪ -7‬عــوض هــر یــک از ســتاره‌های کــه در وســط یــا اخیــر اعــداد قــرار‬ ‫دارد کــدام رقــم نوشــته شــود‪ ،‬تــا اعــداد حاصلــه بــر ‪ 3‬پــوره تقســیم شــود‪.‬‬ ‫‪ 64* ،‌2* 5‬و *‪14‬‬ ‫‪ -8‬ســه عــددی را پیــدا کنیــد کــه فقــط متشــکل از رقــم ‪ 1‬بــوده و بــر ‪3‬‬ ‫پــوره قابــل تقســیم باشــد‪.‬‬ ‫‪-9‬عــوض هــر یــک از ســتاره‌های کــه در وســط‪ ،‬اول و ختــم اعــداد آمــده‬ ‫اســت کــدام رقــم نوشــته شــود‪ ،‬تــا اعــداد حاصلــه بــر ‪ 6‬پــوره تقســیم‬ ‫شــوند‪ 42* ،‌ 2*6 .‬و ‪*60‬‬ ‫‪87‬‬

‫قابلیــت تقســیم بــر ‪ :5‬اعــدادی کــه رقــم یک‌هــای آن‌ صفــر یــا ‪5‬‬ ‫باشــد‪ ،‬بــر عــدد ‪ 5‬پــوره تقســیم می‌گــردد‪ ،‬طورمثــال ‪ :‬اعــداد ‪،‌9005‬‬ ‫‪ 3105 ،‌1000 ،‌1245 ،‌8170‬بــر عــدد ‪ 5‬پــوره تقســیم می‌گــردد؛‬ ‫زیرا رقم یک‌های آن‌ها صفر یا ‪ 5‬است‪.‬‬ ‫برای امتحان‪8170 ÷ 5 = 1634 , 9005 ÷ 5 = 1801 :‬‬ ‫‪3105 ÷ 5 = 621 , 1000 ÷ 5 = 200 , 1245 ÷ 5 = 249‬‬ ‫قابلیــت تقســیم بــر ‪ :10‬عــددی کــه رقــم یک‌هــای آن صفــر باشــد‪،‬‬ ‫بــر عــدد ‪ 10‬پــوره تقســیم می‌گــردد‪ ،‬طــور مثــال‪ :‬اعــداد ‪،‌270 ،‌1890‬‬ ‫‪ 1000 ،‌3560‬بــر عــدد‪ 10‬پــوره تقســیم می‌شــوند؛ زیــرا رقــم یک‌هــای‬ ‫آن‌هــا صفــر اســت‪.‬‬ ‫‪3560 ÷ 10 = 356 ،‌ 270 ÷ 10 = 27‬‬ ‫‪1890 ÷ 10 = 189 ، 1000 ÷ 10 = 100‬‬ ‫فعاليت‬ ‫تمــام اعــداد را از ‪ 1‬الــی ‪ 30‬بــه ترتیــب بنویســید‪ .‬بــا اســتفاده از قابليــت‬ ‫تقســيم بــر ‪ 5‬و ‪ ،10‬در جاهــای خالــی اعــداد مناســب آن را بنویســید‪.‬‬ ‫اعــدادی کــه بــر‪ 5‬پــوره قابــل تقســيم مي‌باشــند‪ ،‬عبــارت انــداز‪:‬‬ ‫ــــــــــ‌‪ ،‬ــــــــــ‌‪ ،‬ــــــــــ‌‪ ،‬ــــــــــ‌ ‪ ،‬ــــــــــ‌‪ ،‬ــــــــــ‌‪،‬‬ ‫اعــدادی کــه بــر‪ 10‬پــوره قابــل تقســيم مي‌باشــند‪ ،‬عبــارت انــداز‪:‬‬ ‫ــــــــــ‪،‬ــــــــــ‌‪ ،‬ــــــــــ‌‪‌،‬‬ ‫اعــدادی کــه بــر‪ 5‬و‪ 10‬پــوره قابــل تقســيم مي‌باشــند‪ ،‬عبــارت انــداز‪:‬‬ ‫ــــــــــ‌ ‪ ،‬ــــــــــ‌ ‪ ،‬ــــــــــ‌‪ ،‬‬

‫‪88‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫کــدام یــک از اعــداد ذیــل بــر ‪ 5‬و کــدام یــک آن‌هــا بــر ‪ 10‬پــوره تقســیم‬ ‫می‌شــود بــه طــور جداگانــه بنویســید‪.‬‬ ‫‪8325 ،‌1000 ،9545 ،6370 ،‌8320 ‌6455 ، ‌900‬‬ ‫تمرین‬

‫ ‬

‫‪ -1‬عدد‌هــای زیــر را بــه دقــت بخوانیــد؛ ســپس دور اعــدادي کــه بــر ‪5‬‬ ‫پــوره قابــل تقســیم انــد‪ ،‬حلقــه کنیــد‪.‬‬ ‫‪20115 ،‌9005 ،‌41000 ،‌2119 ،‌74325 ،‌630 ،‌10017 ،‌9071 ،‌4650‬‬ ‫‪ -2‬اعــداد ‪ ،‌6002 ،‌7653 ،8035 ،‌1000 ،‌515 ،‌7100 ،‌6000 ،‌9001‬را در‬ ‫نظــر بگیریــد و بــه ســؤال‌های زیــر جــواب دهیــد‪.‬‬ ‫الف) کدام اعداد بر ‪ 5‬و ‪ 10‬پوره قابل تقسیم اند؟ چرا؟‬ ‫ب) کدام اعداد بر ‪ 5‬و ‪ 10‬پوره قابل تقسیم نیستند؟ چرا؟‬ ‫‪ -3‬پنج عددی بنویسید‪ ،‬که بر ‪ 5‬پوره تقسیم شود‪.‬‬ ‫‪ -4‬پنج عدد بنویسید که بر ‪ 10‬پوره تقسیم شود‪.‬‬ ‫‪ -5‬پنج عددی را بنویسید‪ ،‬که بر ‪ 5‬و ‪ 10‬پوره تقسیم شود‪.‬‬ ‫‪ -6‬اعــداد ســه رقمــی را بنویســید‪ ،‬کــه فقــط متشــکل از ارقــام ‪ 1 ،‌0‬و ‪5‬‬ ‫بــوده و بــر ‪ 5‬و ‪ 10‬پــوره قابــل تقســیم باشــد‪.‬‬ ‫‪ -7‬دو عــدد را بنویســید‪ ،‬کــه هم‌زمــان بــر ‪ ،‌5 ،‌6 ،‌3 ،‌2‬و ‪ 10‬قابلیــت تقســیم‬ ‫را داشــته باشــند‪.‬‬

‫‪89‬‬

‫مفاهیم قاسم و مضرب‬ ‫اگــر در یــک عملیــة تقســیم باقی‌مانــده صفــر شــود‪ ،‬یعنــی‪ :‬مقســوم بــر‬ ‫مقســوم علیــه پــوره تقســیم شــود‪ ،‬در ایــن صــورت مقســوم و مقســوم علیــه‬ ‫را بــه کــدام نــام یــاد می‌کننــد؟‬ ‫بــراي شــناختن مفهــوم قاســم یــک عــدد‪ ،‬طــور مثــال عــدد ‪ 4‬را در نظــر‬ ‫می‌گیریــم‪ ،‬عــدد ‪ 4‬بــر عــدد (‪ )2‬پــوره تقســیم می‌شــود‪ .‬در ایــن جــا عــدد‬ ‫(‪)2‬را قاســم عــدد (‪ )4‬مي‌گوينــد و از طــرف دیگــر عــدد (‪ )4‬بــر عــدد (‪)1‬‬ ‫پــوره تقســیم می‌شــود کــه عــدد( ‪ ) 1‬را نیــز قاســم عــدد (‪ )4‬می‌گوینــد‬ ‫و همچنــان عــدد (‪ )4‬بــر عــدد (‪ )4‬نیــز پــوره تقســیم می‌شــود؛ پــس عــدد‬ ‫(‪ )4‬را هــم قاســم عــدد (‪ )4‬می‌نامنــد‪.‬‬ ‫بنابــر ایــن می‌توانیــم‪ ،‬بنویســیم کــه قاســم‌های عــدد (‪ )4‬عبــارت انــد از‬ ‫‪4، 2 ،1‬؛ امــا عــدد ‪ 3‬قاســم عــدد (‪ )4‬نمــی باشــد؛ زیــرا عــدد (‪ )4‬بــاالی‬ ‫عــدد (‪ )3‬پــوره تقســیم نمی‌شــود؛ لیکــن اگــر عــدد (‪ )6‬را بــر عــدد ‪3‬‬ ‫تقســیم کنیــم‪ ،‬پــوره تقســیم می‌شــود؛ پــس عــدد ‪ 3‬یــک قاســم عــدد ‪6‬‬ ‫می‌باشــد؛ امــا عــدد ‪ 5‬قاســم ‪ 6‬نیســت؛ زیــرا عــدد ‪ 6‬بــر عــدد ‪ 5‬پــوره‬ ‫تقســیم نمــی شــود؛‬ ‫‪ =1 ،‌2 ،‌3 ،‌6‬قاسم‌های عدد ‪6‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬ ‫حاال اگر عدد ‪ 8‬را در نظر بگیریم‪ ،‬قاسم‌های عدد ‪ 8‬عبارت اند از‪:‬‬ ‫‪ = 1 ،‌2 ،‌4 ،‌8‬قاسم‌های عدد ‪8‬‬ ‫اما هیچ کدام از اعداد ‪ 5 ،‌3‬و ‪ 7‬قاسم عدد ‪ 8‬نیست‪.‬‬ ‫بــرای شــناختن مفهــوم مضــرب يــک عــدد‪ ،‬اگــر یــک عــدد را بــه ترتیــب‬ ‫در اعــداد ‪ ...،4 ،‌3 ،‌2 . 1‬ضــرب نماییــم یــک چنــد‪ ،‬دو چنــد‪ ،‬ســه چنــد‪،‬‬ ‫‪90‬‬

‫چهــار چنــد‪ ... ،‬آن عــدد بــه دســت می‌آیــد‪ ،‬همیــن یــک چنــد‪ ،‬دو چنــد‪،‬‬ ‫ســه چنــد‪ ،‬چهارچنــد‪ ... ،‬آن عــدد را مضرب‌هــای همــان عــدد گوینــد‪،‬‬ ‫طورمثــال‪ :‬اگرعــدد ‪ 2‬را بــه ترتیــب در اعــداد ‪ .... ،‌4 ،‌3 ،‌2 ،‌1‬ضــرب‬ ‫نماییــم‪ ،‬یــک چنــد عــدد ‪ ،)1×2=2( 2‬دو چنــد عــدد ‪ )2×2=4( ،‌2‬ســه‬ ‫چنــد عــدد ‪ ،‌)3×2=6( ،2‬چهــار چنــد عــدد ‪ )4×2=8( ،‌2‬بــه دســت‬ ‫می‌آیــد کــه همیــن اعــداد ‪ ...،8 ،‌6 ،‌4 ،‌2‬را مضرب‌هــای عــدد‪ 2‬می‌گوینــد‪،‬‬ ‫پــس می‌توانیــم بنويســیم کــه‪:‬‬ ‫‪ =2 ،‌4 ،‌6 ،‌8 ،‌...‬مضرب‌های عدد ‪2‬‬ ‫ ‬ ‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬قاسم‌های هر عدد زیر را در جاهای خالی آن بنویسید‪.‬‬ ‫ــــــ‌‪ ،‬ــــــ‌‪،‬ــــــ‌‪ = ،‬قاسم‌هاي عدد ‪9‬‬ ‫ــــــ‌‪،‬ــــــ‌‪ ،‬ـــــ ‌ـ ‪ ،‬ــــــ‌‪ = ،‬قاسم‌هاي عدد ‪10‬‬ ‫‪ -2‬آیا عدد ‪ 5‬قاسم عدد ‪ 45‬است؟چرا؟ ‪...........................‬‬ ‫‪ -3‬آیا ‪ 16‬قاسم عدد ‪ 8‬است؟چرا؟ ‪....................................‬‬ ‫‪ -4‬در جاهای خالی سه مضرب دیگر عدد‌های ‪ 7 ،‌4‬و ‪ 9‬را بنويسید‪.‬‬ ‫ــــــ‌‪ ،‬ــــــ‌ ‪‌،‬ــــــ‌‪ = 4 ،‌8 ،‬مضرب‌ها ي عدد ‪4‬‬ ‫ــــــ‌‪‌،‬ــــــ‌‪،‬ــــــ‌‪ = 7 ،‌14 ،‬مضرب‌هاي عدد ‪7‬‬ ‫ـــــ ‌ـ ‪ ،‬ــــــ‌‪،‬ــــــ‌‪ = 9 ،‌18 ،‬مضرب‌هاي عدد ‪9‬‬ ‫‪ -5‬بــا در نظــر داشــت فعالیــت بــاال کــدام عدد هــم مضرب ‪ 4‬و هــم مضرب‬ ‫عدد ‪ 7‬است؟‬ ‫‪ -6‬آیا عدد ‪ 44‬مضرب عدد ‪ 11‬است؟‬ ‫‪ -7‬سه مضرب عدد ‪ 11‬را بنويسید‪.‬‬

‫‪91‬‬

‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫‪ -1‬تمام قاسم‌های عدد ‪ 30‬را به ترتیب زیاد شدن بنويسید‪.‬‬ ‫‪ -2‬از اعداد ‪ 14 ،16، 24 ،21 ،‌34 ،‌42 ،‌51 ،‌63 ،‌68 ،‌75‬اعدادی را‬ ‫انتخاب کیند که‪:‬‬ ‫الف) مضرب عدد ‪ 2‬باشد‪.‬‬ ‫ب) مضرب عدد ‪ 7‬باشد‬ ‫ج) مضرب عدد ‪ 8‬باشد‪.‬‬ ‫د) مضرب عدد ‪ 17‬باشد‪.‬‬ ‫تمرین‬

‫ ‬

‫‪ -1‬آيا عدد ‪ 7‬قاسم عدد ‪ 28‬است؟ چرا؟‬ ‫‪ -2‬آيا عدد ‪ 5‬قاسم عدد ‪ 16‬است؟ چرا؟‬ ‫‪ -3‬قاسم‌هاي عدد ‪ 12‬را بنويسيد‪.‬‬ ‫‪ -4‬آيا عدد ‪ 3‬قاسم عدد ‪ 5‬است؟ چرا؟‬ ‫‪ -5‬آیا عدد ‪ 45‬مضرب عدد ‪ 9‬است؟چرا؟‬ ‫‪ -6‬آیا عدد ‪ 25‬مضرب عدد ‪ 7‬است؟چرا؟‬ ‫‪ -7‬آیا عدد ‪ 56‬مضرب عدد ‪ 8‬است؟چرا؟‬ ‫‪ -8‬آیا عدد ‪ 100‬مضرب عدد ‪ 9‬است؟چرا؟‬ ‫‪-9‬آیــا عــدد ‪ 35‬بــر عــدد ‪ 5‬پــوره تقســیم مي‌شــود؟ عــدد ‪ 5‬بــه کــدام نــام‬ ‫و عــدد ‪ 35‬بــه کــدام نــام یــاد می‌شــود؟‬ ‫‪ -10‬از اعــداد زیــر‪ ،‬اول قاســم‌های اعــداد ‪ 20‬و ‪ 16‬را و ســپس‬ ‫مضرب‌های اعداد ‪ 4‬و ‪ 3‬را بنويسید‪.‬‬ ‫‪2 , 4 , 6 , 8 , 10 ,12 ,14 , 16 ,18 ,20‬‬ ‫‪ -11‬قاسم‌های عدد ‪ 25 ،‌12 ،‌9‬و ‪ 11‬را بنويسید‪.‬‬ ‫‪ -12‬مضرب‌های دو رقمی اعداد ‪ 8‬و ‪ 11‬را طور جداگانه بنويسید‪.‬‬

‫‪92‬‬

‫‪ -13‬اعداد دو رقمی را بنویسید که‪:‬‬ ‫الف) قاسم‌های ‪ 100‬باشند‪.‬‬ ‫ب) مضرب‌های ‪ 25‬باشند‪.‬‬ ‫‪ -14‬از جملــۀ اعــداد ‪ 475 ،‌425 ،‌346 ،‌320 ،‌315 ،‌191 ،‌178 ،‌174‬اعدادي‬ ‫را دریابیــد که‪:‬‬ ‫الف) مضرب ‪ 2‬باشند‪.‬‬ ‫ب) مضرب ‪ 5‬باشند‪.‬‬ ‫‪ -15‬از اعداد ‪ ،‌4 ،‌6 ،‌2 ،‌36 ،‌24 ،‌50‬و ‪ 12‬قاسم‌های عدد ‪ 12‬را دریافت‬ ‫نموده و بنویسید؛ سپس مضرب‌های عدد ‪ 12‬را نشانی نموده و بنویسید‪.‬‬

‫‪93‬‬

‫اعداد اولیه و غیر اولیه (مرکب)‬ ‫• اعدادی که تنها دو قاسم دارند‪ ،‬به نام چی یاد می‌شوند؟‬ ‫• اعدادی که بیشتر از دو قاسم دارند‪ ،‬به نام چی یاد می‌شوند؟‬ ‫به اعداد زیر توجه کنید‪:‬‬ ‫‪2 ،‌3 ،‌4 ،‌6 ،‌7 ،‌8‬‬ ‫بنابر معلومات قبلی می‌توانیم بنویسیم که‪:‬‬ ‫‪ = 1 ،‌2‬قاسم‌های عدد ‪2‬‬ ‫‪ = 1 ،3‬قاسم‌های عدد ‪3‬‬ ‫‪ =1 ،‌2 ،‌4‬قاسم‌های عدد ‪4‬‬ ‫‪ =1 ،‌2 ،‌3 ،‌6‬قاسم‌های عدد ‪6‬‬ ‫‪ = 1 ،‌7‬قاسم‌های عدد ‪7‬‬ ‫‪ = 1 ،‌2 ،‌4 ،‌8‬قاسم‌های عدد ‪8‬‬ ‫هــرگاه بــه قاسـم‌های اعــداد فــوق دقــت شــود‪ ،‬ديــده مي‌شــود کــه اعــداد ‪،2‬‬ ‫‪ 3‬و ‪ 7‬هــر يــک دارای ‪ 2‬قاســم‪ ،‬یعنــی‪ :‬خــود عــدد و عــدد يــک و در اعــداد ‪،4‬‬ ‫‪ 6‬و ‪ 8‬هــر یــک عــاوه از دو قاســم‪ ،‬دارای قاسـم‌های دیگــر نیــز می‌باشــند‪.‬‬ ‫بنابــر آن اعــداد‪ ،‬ماننــد‪ 3 ،‌2 :‬و ‪ 7‬را بــه نــام اعــداد اولیــه و اعــداد‪ ،‬ماننــد‪،‌4 :‬‬ ‫‪ 6‬و ‪ 8‬را بــه نــام اعــداد غیــر اولیــه (مرکــب) یــاد می‌کننــد‪.‬‬ ‫بنابر آن می‌توانیم بنویسیم که‪:‬‬ ‫اعــداد اولیــه‪ :‬اعــدادي را گوینــد کــه فقــط دارای دو قاســم کــه عبارت‬ ‫از خــود عــدد و عــدد (‪ )1‬اســت‪ ،‬می‌باشــند‪.‬‬ ‫اعــداد غیــر اولیــه‪( :‬مرکــب)‪ :‬اعــدادي را گوینــد کــه بيــش از ‪2‬‬ ‫قاســم داشــته باشــند‪ ،‬يعنــي‪ :‬غيــر از يــک و خــودش بــه اعــداد ديگــر نيــز‬ ‫پــوره قابــل تقســيم باشــند‪.‬‬ ‫خوردتريــن عــدد اوليــه عبــارت از ‪ 2‬اســت و ايــن يگانــه عــدد اوليــه اســت‬ ‫کــه جفــت مي‌باشــد؛ امــا تمــام اعــداد اوليــة ديگــر‪ ،‬طــاق مي‌باشــند‪.‬‬ ‫در بیــن اعــداد‪ ،‬عــددی هــم وجــود دارد کــه نــه بــه اعــداد اولیــه و نــه بــه‬ ‫اعــداد غیــر اولیــه (مرکــب) مربــوط می‌شــود‪ ،‬ایــن عــدد عبــارت از عــدد‬ ‫(‪ )1‬می‌باشــد‪ ،‬زیــرا عــدد(‪ )1‬فقــط دارای یــک قاســم اســت و بــس‪.‬‬ ‫‪94‬‬

‫در جــدول زيــر دیــده می‌شــود کــه اعــداد از ‪ 1‬الــي ‪ 100‬بــه ترتيــب نوشــته‬ ‫شــده انــد‪ ،‬تمــام اعــدادي کــه بــه دورآن حلقــه کشــيده شــده اســت‪ ،‬بــه نــام‬ ‫اعــداد اوليــه يــاد مي‌شــوند؛ زيــرا اين‌هــا اعــدادي انــد کــه فقــط بــه عــدد‬ ‫(‪ )1‬و خــود شــان پــوره قابــل تقســيم مي‌باشــند‪.‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪20‬‬

‫‪19‬‬

‫‪18‬‬

‫‪17‬‬

‫‪16‬‬

‫‪15‬‬

‫‪14‬‬

‫‪13‬‬

‫‪12‬‬

‫‪11‬‬

‫‪30‬‬

‫‪29‬‬

‫‪28‬‬

‫‪27‬‬

‫‪26‬‬

‫‪25‬‬

‫‪24‬‬

‫‪23‬‬

‫‪22‬‬

‫‪21‬‬

‫‪40‬‬

‫‪39‬‬

‫‪38‬‬

‫‪37‬‬

‫‪36‬‬

‫‪35‬‬

‫‪34‬‬

‫‪33‬‬

‫‪32‬‬

‫‪31‬‬

‫‪50‬‬

‫‪49‬‬

‫‪48‬‬

‫‪47‬‬

‫‪46‬‬

‫‪45‬‬

‫‪44‬‬

‫‪43‬‬

‫‪42‬‬

‫‪41‬‬

‫‪60‬‬

‫‪59‬‬

‫‪58‬‬

‫‪57‬‬

‫‪56‬‬

‫‪55‬‬

‫‪54‬‬

‫‪53‬‬

‫‪52‬‬

‫‪51‬‬

‫‪70‬‬

‫‪69‬‬

‫‪68‬‬

‫‪67‬‬

‫‪66‬‬

‫‪65‬‬

‫‪64‬‬

‫‪63‬‬

‫‪62‬‬

‫‪61‬‬

‫‪80‬‬

‫‪79‬‬

‫‪78‬‬

‫‪77‬‬

‫‪76‬‬

‫‪75‬‬

‫‪74‬‬

‫‪73‬‬

‫‪72‬‬

‫‪71‬‬

‫‪90‬‬

‫‪89‬‬

‫‪88‬‬

‫‪87‬‬

‫‪86‬‬

‫‪85‬‬

‫‪84‬‬

‫‪83‬‬

‫‪82‬‬

‫‪81‬‬

‫‪100‬‬

‫‪99‬‬

‫‪98‬‬

‫‪97‬‬

‫‪96‬‬

‫‪95‬‬

‫‪94‬‬

‫‪93‬‬

‫‪92‬‬

‫‪91‬‬

‫‪95‬‬

‫فعاليت‬ ‫به مثال‌های زیر توجه کنید‪:‬‬ ‫‪2 × 2 × 3 = 12‬‬ ‫‪2 × 2 × 3 × 3 = 36‬‬

‫‌‪،‬‬ ‫‌‪،‬‬

‫‪2×3= 6‬‬ ‫‪ 2× 3 × 3 = 18‬‬

‫دیــده می‌شــود کــه چگونــه بــا اســتفاده از ضــرب اعــداد ‪ 2‬و ‪ ،3‬اعــداد‬ ‫زیــادی ســاخته می‌شــوند‪.‬‬ ‫بــه همیــن ترتیــب ‪ 4‬عــدد دیگــر بنویســید کــه فقــط از ضــرب اعــداد ‪2‬و‪3‬‬ ‫حاصــل شــده باشــند؛ همچنــان‪ 4‬عــددي را بنويســید کــه فقــط از ضــرب‬ ‫اعــداد ‪ 2‬و ‪ 5‬ســاخته شــوند‪.‬‬ ‫عدد‪ ،12‬عدد اولیه نیست؛ زیرا قاسم‌های عدد ‪ 12‬عبارت اند از‪:‬‬ ‫‪12 ،‌6 ،‌4 ،‌3 ،2 ،1‬‬ ‫در بیــن ایــن اعــداد ‪ 2‬و ‪ ،3‬اعــداد اولیــه انــد کــه قاسـم‌های اولیــة عــدد ‪12‬‬ ‫نیــز می‌باشــند‪.‬‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫از جملــۀ اعــداد زیرکــدام آن‌هــا اولیــه و کــدام آن‌هــا غیــر اولیــه انــد؟ بــه‬ ‫طــور جداگانــه بنويســيد ‪.‬‬ ‫‪216 , 101 , 121 , 253 , 409 , 563 , 863 , 977 100 , 55‬‬

‫‪96‬‬

‫تمرین‬

‫ ‬

‫‪ -1‬آیا حاصل ضرب دو عدد اولیه‪:‬‬ ‫ ‬ ‫الف) یک عدد اولیه است؟‬ ‫ب) یک عدد غیر اولیه است؟‬ ‫ی اولیــه و کــدام‬ ‫‪ -2‬از جملــه عدد‌هــای زیــر کــدام آن‌هــا عددهــا ‌‬ ‫آن‌ها عدد‌های غيراوليه اند؟‬ ‫‪511 ،‌940 ،‌132 ،‌335 ،‌499 ، 621 ،881‬‬ ‫‪ -3‬نشان دهید‪ ،‬که عددهای ‪ 3600 ،‌2968‬و ‪ ، 888‬غيراوليه اند‪.‬‬ ‫‪ -4‬قاسـم‌های عــدد ‪ 50‬را پیــدا کنيــد و از جملــة آن‌هــا عددهــای اولیــه را‬ ‫بنو یسید ‪.‬‬ ‫‪ -5‬ماننــد مثــال زیــر عمــل کنیــد و قاس ـم‌های اولیــة اعــداد ‪ 42،21‬و‪ 90‬را‬ ‫پیــدا کنیــد‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫مثال‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ -6‬در اعــداد زيــر‪ ،‬دور عدد‌هــای اولیــه یــک خــط و دور عددهــای‬ ‫غيراوليــه دو خــط بکشــید؛ ســپس در دایره‌هــای مربــوط هــر عــدد‪ ،‬یــک‬ ‫قاســم آن را کــه عــدد اولیــه باشــد‪ ،‬بنويســيد‪.‬‬ ‫‪97‬‬

‫‪29‬‬

‫‪9‬‬

‫‪16‬‬

‫‪13‬‬

‫‪12‬‬

‫‪14‬‬

‫‪17‬‬

‫‪13‬‬

‫‪15‬‬

‫‪ -7‬بــا در نظــر داشــت ســؤال فــوق‪ ،‬کــدام یــک از جمله‌هــای زیــر صحیــح‬ ‫و کــدام یــک آن غلــط اســت؟ جملــه صحیــح را بــه عالمــت ( √ ) و جملــۀ‬ ‫غلــط را بــه عالمــت ( × ) مشــخص نمــوده علــت صحیــح بــودن و غلــط‬ ‫بــودن آن را توضیــح دهیــد‪.‬‬ ‫الف) عدد ‪ 129‬اولیه است‪.‬‬ ‫ب) عدد (ا)‌‪ ،‬عدد اولیه نیست‪.‬‬ ‫ج) قاسم‌های عدد ‪ ،21‬اعداد اولیه می‌باشند‪.‬‬ ‫د) هر عدد کم از کم یک قاسم از اعداد اولیه دارد‪.‬‬ ‫هـ) اگر عدد جفت باشد‪ ،‬اولیه نیست‪.‬‬ ‫و) عدد ‪ 30‬دارای سه قاسم اولیه است‪.‬‬

‫‪98‬‬

‫قاســم‌های مشــترک و تعییــن بزرگتریــن قاســم مشــترک دو‬ ‫و یــا چنــد عــدد‬ ‫• مفهوم قاسم یک عدد را بیان‌کنید؟‬ ‫بــرای دریافــت قاســم‌های مشــترک و بزرگتریــن قاســم مشــترک‪،‬‬ ‫مثال‌هــای زیــر را در نظــر می‌گیریــم‪.‬‬ ‫مثــال اول‪ :‬بــرای دریافــت قاســم‌های مشــترک و بزرگتریــن قاســم‬ ‫مشــترک اعــداد ‪ 6‬و ‪ 18‬چنیــن عمــل می‌کنیــم‪.‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪ =1 ،2 ،3 ،6‬قاسم‌های عدد ‪6‬‬

‫‪ =1 ،‌2 ،‌3 ،6 ،‌9 ،18‬قاسم‌های عدد ‪18‬‬ ‫‪ = 1‌، 2‌، 3‌، 6‬قاسم‌های مشترک اعداد ‪ 6‬و ‪18‬‬

‫از جملــه قاســم‌های مشــترک ( ‪ ) 1‌، 2‌، 3‌، 6‬بزرگتریــن آن‌هــا‪ ،‬عــدد‬ ‫‪ 6‬می‌باشــد‪ .‬اگــر عــدد ‪ 6‬و ‪ 18‬را بــر آن تقســیم کنیــم‪ ،‬پــوره تقســیم‬ ‫می‌شــود‪ ،‬پــس می‌توانیــم بنویســیم کــه‪:‬‬ ‫‪ = 6‬بزرگترین قاسم مشترک عددهای‪ 6‬و ‪18‬‬ ‫بنابــرآن از جملــه قاســم‌های مشــترک دو یــا زیــاده از دو عــدد همــان‬ ‫قاســمی کــه از همــه بزرگتــر اســت‪ ،‬بزرگتریــن قاســم مشــترک آن‌هــا‬ ‫می‌باشــد‪.‬‬ ‫مثــال دوم‪ :‬بــرای دریافــت قاســم‌های مشــترک و بزرگتریــن قاســم‬ ‫مشــترک اعــداد ‪ 12‬و ‪ 28‬چنیــن عمــل می‌کنیــم‪:‬‬ ‫ ‬ ‫حل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪99‬‬

‫‪ =1 ،2 ،3 ،4 ،6 ،12‬قاسم‌های عدد ‪12‬‬ ‫‪ =1 ،2 ،4 ،7 ،14 ،28‬قاسم‌های عدد ‪28‬‬ ‫‪ = 1 ،2 ،4‬قاسم‌های مشترک اعداد ‪ 12‬و ‪28‬‬ ‫‪ =4‬بزرگترین قاسم مشترک اعداد ‪ 12‬و ‪28‬‬

‫فعاليت‬ ‫قاســم‌های مشــترک و بزرگتریــن قاســم مشــترک اعــداد ‪ 36‬و ‪ 54‬را‬ ‫دریابیــد‪.‬‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫قاســم‌هاي مشــترك و بزرگتریــن قاســم مشــترک عددهــای ‪ 14‬و ‪ 20‬را‬ ‫دریابیــد‪.‬‬ ‫تمرین‬

‫ ‬

‫قاسم‌های مشترک و بزرگترین قاسم مشترک اعداد زیر را دریابید‪.‬‬ ‫)‪1- (30‌، 40‬‬ ‫)‪2- (40‌، 60‬‬ ‫)‪3- (24‌، 36‬‬ ‫)‪4- (56‌، 28‬‬ ‫)‪5- (56‌، 24‬‬ ‫)‪6- ( 44‌، 22‌، 34‬‬ ‫‪ -7‬نشــان دهیــد کــه عــدد ‪ 4‬بزرگتریــن قاســم مشــترک اعــداد ‪ 16‬و ‪20‬‬ ‫می‌باشــد‪.‬‬ ‫‪ -8‬نشــان دهیــد کــه عــدد ‪ 3‬بزرگتریــن قاســم مشــترک اعــداد ‪ 14‬و ‪26‬‬ ‫نمی‌باشــد‪.‬‬ ‫‪100‬‬

‫مضرب‌هــای مشــترک و تعییــن کوچکتریــن مضــرب مشــترک‬ ‫دو و یــا چنــد عــدد‬ ‫• مفهوم مضرب‌ یک عدد را بیان‌کنید‪.‬‬ ‫بــرای دریافــت مضــرب مشــترک و کوچکتریــن مضــرب مشــترک‪،‬‬ ‫مثال‌هــای زیــر را در نظــر می‌گیریــم‪:‬‬ ‫مثــال اول‪ :‬بــرای دریافــت مضــرب مشــترک و کوچکتریــن مضــرب‬ ‫مشــترک اعــداد ‪ 2‬و ‪ 3‬چنیــن عمــل می‌کنیــم‪:‬‬ ‫حل‪ :‬نظر به معلومات قبلی می‌توانیم بنویسیم که‪:‬‬ ‫‪ = 2‌، 4‌، 6‌، 8‌، 10‌، 12‌، 14‌، 16‌، 18‌، 20 ،...‬مضرب‌های عدد ‪2‬‬ ‫ ‬ ‫‪ = 3‌، 6‌، 9‌، 12‌، 15‌، 18‌، 21‌، 24‌، 27 ،...‬مضرب‌های عدد ‪3‬‬ ‫ ‬

‫طــوری کــه دیــده می‌شــود‪ ،‬مضرب‌هــای مشــترک اعــداد ‪ 2‬و ‪ 3‬عبــارت‬ ‫انــد از‪ :‬اعــداد (‪.)6 ،12 ،18 ،000‬‬ ‫از جملــۀ ایــن اعــداد کــه هــم بــر عــدد ‪ 2‬و هــم بــر عــدد ‪ 3‬پــوره قابــل‬ ‫تقســیم انــد کوچکتریــن آن‌هــا عــدد ( ‪ ) 6‬اســت کــه همیــن عــدد ‪ 6‬را‬ ‫کوچکتریــن مضــرب مشــترک اعــداد ‪ 2‬و ‪ 3‬گوینــد‪.‬‬ ‫مثــال دوم‪ :‬مضــرب مشــترک و کوچکتریــن مضــرب مشــترک اعــداد ‪4‬‬ ‫و ‪ 6‬چنیــن دریافــت می‌گــردد‪:‬‬ ‫حل‪ :‬نظر به معلومات قبلی می‌توانیم بنویسیم که‪:‬‬ ‫‪ = 4‌، 8‌، 12‌، 16‌، 20‌، 24‌، 28‌، 32‌، 36‌، ...‬مضرب‌های عدد ‪ 4‬‬ ‫‪ = 6‌، 12‌، 18‌، 24‌، 30‌، 36‌، 42‌، 48‌، ...‬مضرب‌های عدد ‪6‬‬ ‫ ‬ ‫‪ = 12‌، 24‌، 36‌، ...‬مضرب‌های مشترک اعداد ‪ 4‬و ‪6‬‬ ‫ ‬ ‫طــوری کــه دیــده می‌شــود مضرب‌هــای مشــترک اعــداد ‪ 4‬و ‪ 6‬بســیار‬ ‫زیــاد اســت‪ ،‬امــا عــدد ‪ 12‬کوچکتریــن مضــرب مشــترک ایــن دو عــدد‬ ‫اســت؛ یعنــی‪ :‬کوچکتریــن عــددی اســت کــه اگــر بــه دو عــدد ‪ 4‬و ‪6‬‬ ‫تقســیم شــود‪ ،‬باقیمانــده نــدارد‪.‬‬ ‫لذا می‌توانیم‪ ،‬بنویسیم که‪:‬‬ ‫‪ = 12‬کوچکترین مضرب مشترک اعداد ‪ 4‬و ‪6‬‬ ‫ ‬ ‫‪101‬‬

‫فعاليت‬ ‫مضرب‌هــای مشــترک و کوچکتریــن مضــرب مشــترک اعــداد ‪ 6‬و ‪ 9‬را‬ ‫دریابیــد‪.‬‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫مضرب‌های مشترک و کوچکترین مضرب مشترک اعداد ‪ 8‬و ‪ 12‬را دریابید‪.‬‬ ‫تمرین‬

‫ ‬

‫کوچکترین مضرب مشترک اعداد زیر را دریافت کنید‪.‬‬ ‫)‪( 4 , 8‬‬ ‫)‪( 5 , 10‬‬ ‫)‪( 4 , 6‬‬ ‫)‪( 10 , 15‬‬ ‫)‪(6,9‬‬ ‫)‪(3,5,7‬‬ ‫)‪( 2 , 6 , 8‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬‫‪4‬‬‫‪5‬‬‫‪6‬‬‫‪7-‬‬

‫‪ -8‬آیا عدد ‪ 30‬کوچکترین مضرب مشترک عددهای (‪ )5‬و (‪ )6‬است یا خیر؟‬ ‫‪ -9‬آیا عدد ‪ 24‬کوچکترین مضرب مشترک عددهای ‪ 2‬و ‪ 8‬است یا خیر؟‬ ‫دریافت کوچکترین مضرب مشترک به واسطۀ تجزیه‬ ‫• آیــا کوچکتریــن مضــرب مشــترک دو یــا چنــد عــدد را دریافــت نمــوده‬ ‫می‌توانیــد؟‬ ‫در ایــن طریقــه اعــدادی را کــه می‌خواهیــم کوچکتریــن مضــرب مشــترک‬ ‫آن‌هــا را معلــوم کنیــم‪ ،‬آن‌هــا را در یــک ســطر جــدا جــدا می‌نویســیم؛‬ ‫‪102‬‬

‫بعــد از آن بــه طــرف چــپ اعــداد داده شــده یــک خــط عمــودی را رســم‬ ‫مــی نماییــم‪ ،‬به طرف چپ خــط عمودی‪ ،‬از جملــۀ عددهای اولیــه‪ ،‬همان عدد‬ ‫را مقســوم علیــه قــرار می‌دهیــم کــه حــد اقــل در قاسـم‌های دو عــدد داده شــده‬ ‫(مقســوم‌های داده شــده) مشــترک باشــد؛ عمــل تقســیم را انجــام داده‪ ،‬هــر‬ ‫خــارج قســمت را پاییــن مقســوم‌های آن می‌نویســیم‪.‬‬ ‫اعــدادی را کــه پــوره تقســیم نمی‌شــوند در پاییــن بــه حالــت خــود شــان‬ ‫می‌نویســیم؛ بــه همیــن ترتیــب عمــل تقســیم را تــا وقتــی ادامــه می‌دهیــم‬ ‫کــه در هیــچ دو عــدد از خــارج قســمت‌های اخیــر یــا مقســوم‌های جدیــد‪،‬‬ ‫کــدام قاســم مشــترک پیــدا شــده نتوانــد‪.‬‬ ‫در اخیــر تمــام اعــداد خــارج قســمت و تمــام اعداد مقســوم علیــه را بــا هم ضرب‬ ‫نمــوده کوچکتریــن مضرب مشــترک حاصــل می‌گردد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬کوچکترین مضرب مشترک‬ ‫اعداد (‪ )5( ،)8‬و (‪ )4‬را چنین دریافت‬ ‫می‌کنیم‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫در نتیجــه ‪ 2 × 5 × 1 × 2 × 2 = 40‬کوچکتریــن مضــرب مشــترک‬ ‫اعــداد داده شــده می‌باشــد‪.‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬کوچکترین مضرب مشترک اعداد ‪ 12 ،‌10 ،‌5‬و ‪ 15‬را چنین‬ ‫دریافت می‌کنیم‪:‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪103‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫‪10‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3 5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫پس کوچکترین مضرب مشترک ‪ 2 × 3 × 5 × 2 = 60‬می‌باشد‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫طور گروهی کار کنید و کوچکترین مضرب مشترک اعداد ‪ 90 ،‌60‬و‬ ‫‪ 150‬را به واسطۀ تجزیه به دست آورید‪.‬‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫کوچکترین مضرب مشترک اعداد ‪ 180 ،‌120‬و ‪ 300‬را پیدا کنید‪.‬‬ ‫تمرین‬

‫ ‬

‫کوچکترین مضرب مشترک اعداد زیر را به واسطۀ تجزیه پیدا کنید‪.‬‬ ‫)‪(9‌، 15‌، 27‬‬ ‫)‪(12‌، 36‌، 42‬‬ ‫)‪(25‌، 50‌، 75‬‬ ‫)‪(56‌، 64‌، 72‬‬ ‫)‪(12‌، 30‌، 42‬‬ ‫)‪(32‌، 96‌، 100‌، 144‬‬ ‫)‪(16‌، 24‌، 32‌، 38‬‬ ‫)‪(25‌، 30‌، 35‌، 40‬‬ ‫)‪(22‌، 33‌، 55‌، 110‬‬

‫‪104‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3‬‬‫‪4‬‬‫‪5‬‬‫‪6‬‬‫‪7‬‬‫‪8‬‬‫‪9-‬‬

‫فصل پنجم‬ ‫کسرها و عملیه‌های چهارگانۀ آن‬ ‫کسرها‬ ‫• چهارم حصة یک شی را توسط عدد نشان دهید؟‬ ‫در شــکل زيــر يــک خربــوزه بــه چهــار حصــة مســاوي تقســيم شــده اســت‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫يــک حصــۀ ايــن خربــوزه در يــک بشــقاب و ـــــ حصــۀ آن در بشــقاب‬ ‫‪4‬‬ ‫ديگرگذاشــته شــده اســت‪ .‬گفتــه مي‌شــود کــه در بشــقاب اول‪ ،‬يــک‬ ‫چهــارم و در بشــقاب دوم‪ ،‬ســه چهــارم حصــۀ خربــوزه گذاشــته شــده‬ ‫‪1‬‬ ‫اســت‪ .‬مقدارخربــوزۀ بشــقاب اول را بــه ( ـــــ ) و از بشــقاب دوم را بــه‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ـــــ‬ ‫) نشان مي‌دهيم‪.‬‬ ‫(‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اعداد ـــــ و ـــــ و مانند اين‌ها را کسر عام مي‌نامند ‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫در کســر ـــــ عــدد ‪ 3‬را صــورت کســر و عــدد ‪ 4‬را مخرج کســر مي‌نامند‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مخــرج کســر نشــان مي‌دهــد کــه خربــوزه بــه چنــد حصــة مســاوي تقســيم‬ ‫شــده و صــورت آن نشــان مي‌دهــد کــه چنــد حصــة آن گرفتــه شــده اســت‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪105‬‬

‫‪3‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪4‬‬

‫مثال‌ها‬ ‫در اشکال زير‪ ،‬قسمت‌هاي رنگ‌شده به کسر نشان داده شده است‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫ـــــ حصۀ شکل رنگ‌شده است‪.‬‬

‫فعاليت‬

‫‪2‬‬ ‫ـــــ حصۀ دايره رنگ‌شده است‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــ حصۀ مربع رنگ‌شده است‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ -1‬در هريک از شکل‌هاي زير‪،‬کسر حصه‌هاي رنگ‌شده را بنويسيد‪.‬‬

‫‪۱‬‬ ‫‪۵‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ - 2‬در شــکل‌هاي زير ـــــ حصــۀ دايــره ‪ ،‬ـــــ حصــۀ قطعه خط‪ ،‬ـــــ‬ ‫‪۵‬‬ ‫‪۶‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪۲‬‬ ‫حصۀ مستطيل و ـــــ حصۀ مربع را رنگ کنيد‪.‬‬ ‫‪۳‬‬

‫‪106‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫جاهاي خالي را مانند مثال در کتابچه‌های خود تکميل کنيد‪.‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪ =1‬ـــــــ‬ ‫‪5‬‬

‫کسرهاي مساوي به صفر‬ ‫• چه وقت یک کسر مساوی به صفر شده می‌تواند؟‬ ‫به اشکال زير متوجه شويد‪ :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪0 =0‬‬ ‫ـــــ‬ ‫ـــــ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫کسر ــــ نشان مي‌دهد که همه يا تمام شکل سياه شده است‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫کسر ــــ نشان مي‌دهد که دو حصه از شکل سياه شده است‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫کسر ــــ نشان مي‌دهد که يک حصه از شکل سياه شده است‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪107‬‬

‫‪0‬‬ ‫کســر ــــ نشــان مي‌دهــد کــه هيــچ حصــه از شــکل ســياه نشــده اســت‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫در کســرهای مســاوی بــه صفــر هیــچ حصــه از شــکل رنگ‌شــده نمی‌باشــد‪.‬‬ ‫صــورت ایــن نوع کســرها بــرای همیشــه صفــر اســت؛ مانند‪:‬‬ ‫‪0 0 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ــــ‬ ‫ــــ‬ ‫ــــ‬ ‫ــــ‬ ‫‪... ،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4 3 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬از هر شکل به اندازۀ کسر مربوط آن را رنگ کنيد‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ - 2‬به مستطيل زير ببينيد و در مقابل جمله‌هاي صحيح عالمت √ را بگذاريد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ــــ مستطيل آبي است‪.‬‬

‫ ‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ــــ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ــــ‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫ــــ مستطيل رنگه است‪.‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫مستطيل سبز است‪ .‬ــــ مستطيل رنگه است‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫مستطيل نارنجي است‪0 .‬‬ ‫ــــ مستطيل زرد است‪.‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪108‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫بــه تصاويــر متوجــه شــويد و کســر مربــوط حصه‌هــاي رنــگ شــده‬ ‫را بنويسيد‪ .‬‬

‫فعاليت‬

‫‪ -1‬به شکل زير متوجه شويد‪.‬‬ ‫چي کسري از شکل سبز‌رنگ است؟‬ ‫چي کسري از شکل به رنگ سرخ است؟‬

‫‪1‬‬ ‫چند تا ــــ شکل باال رنگ شده است؟‬ ‫‪5‬‬

‫چي کسري از شکل‌‪ ،‬رنگ شده است؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ــــ مي‌شود؟‬ ‫ــــ ‪،‬‬ ‫چند تا‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ - 2‬بــا اســتفاده از فعالیــت فــوق در جاهــاي خالــي عــدد مناســب‬ ‫را بنويســيد‪.‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪ 2‬تا ــــ ‪ ،‬ــــ مي‌شود‪.‬‬ ‫ ‪3 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3‬تا ــــ ‪ ...... ،‬مي‌شود‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪109‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ــــ يعني‪ 4‬تا ــــ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫ـــــ يعني ‪ ......‬تا‪......‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4 1‬‬ ‫‪ 4‬تا ــــ ‪ ،‬ــــ مي‌شود‪.‬‬ ‫‪6 6‬‬

‫‪3 1‬‬ ‫‪.....‬تا ــــ ‪ ،‬ــــ مي‌شود‪.‬‬ ‫‪7 7‬‬

‫‪ - 3‬در اشــکال زيــر بــا اســتفاده از مثــال حل‌شــده‪ ،‬کســر مربــوط‬ ‫هــر يــک‌را بنويســيد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ 3‬تا ـــــ ‪ ،‬ـــــ می‌شود‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫ ‬

‫‪4‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫بــا اســتفاده از مثــال حل‌شــدۀ بــاال‪ ،‬در اشــکال زیــر کســر مربــوط‬ ‫هــر يــک را بنويســيد‪.‬‬

‫کسرهاي بزرگتر از واحد‬ ‫• بــا اســتفاده از دو ورق کاغــذ یــک واحــد و چهــارم حصــۀ آن را نشــان‬ ‫‌دهیــد‪.‬‬ ‫در ســتون طــرف چــپ‪ ،‬اشــکال بــه عنــوان واحــد انتخــاب شــده اســت‪ .‬بــه‬ ‫اشــکال مربوطــی کــه در مقابــل هــر واحــد رســم شــده اســت بــا اســتفاده از‬ ‫مثــال حــل شــده‪ ،‬کسـر‌های مناســب آن را بنويســيد‪.‬‬ ‫‪110‬‬

‫‪ 5‬ﺗﺎ‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻳﻌﻨﻲ ‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ 3‬ﺗﺎ‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫ﻳﻌﻨﻲ ‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬ﺗﺎ‬ ‫‪4‬‬

‫ﻳﻌﻨﻲ ‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬با استفاده از ستون طرف چپ‪ ،‬کسر‌های مربوط هر شکل را بنويسيد‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ -2‬بــا اســتفاده از ســتون طــرف چــپ‪ ،‬شــکل‌های مربــوط هــر کســر را‬ ‫رســم کنيــد و بگویــد کــه بــه چــه انــدازه از یــک واحــد کوچکتــر یــا‬ ‫بزرگتــر انــد‪.‬‬ ‫‪76‬‬ ‫ ‬ ‫ــــ‬ ‫‪44‬‬ ‫‪111‬‬

‫‪62 ،‬‬ ‫‪44‬‬

‫‪،‬‬

‫‪21‬‬ ‫‪44‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫کســر‌های بزرگتــر از واحــد‪ ،‬کســرهای انــد کــه قیمــت بیشــتر از واحــد‬ ‫(یــک شــی) را نشــان می‌دهنــد و همیشــه عــدد صــورت آن‌هــا نظــر بــه‬ ‫عــدد مخــرج آن‌هــا بزرگتــر می‌باشــد‪ ،‬ماننــد‪ :‬کســرهای‬ ‫‪21 13 7 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ـــــ‪ ،‬ـــــ ‪ ،‬ـــــ ‪،‬ـــــ ‪ ،‬ـــــ وغیره‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 5 3‬‬ ‫کار خانه‌گي‬ ‫ ‬ ‫بــا اســتفاده از ســتون طــرف چــپ‪ ،‬کســر مربــوط هــر شــکل را بنويســيد و‬ ‫بگویــد کــه کــدام کســر از واحــد بزرگتــر اســت‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫کسرهای واقعي و غير واقعي‬ ‫• کســر عامــی کــه صــورت آن بزرگتــر از مخرجــش باشــد‪ ،‬بــه نــام چــی‬ ‫یــاد می‌شــود؟‬ ‫• کســر عامــی کــه صــورت آن کوچکتــر از مخرجــش باشــد‪ ،‬بــه نــام چــی‬ ‫یــاد می‌شــود؟‬ ‫يــک کيــک را بــه ‪ 8‬حصــۀ مســاوي تقســيم کــرده و ســه حصــۀ آن را‬ ‫‪112‬‬

‫‪3‬‬ ‫در بشــقاب مي‌گذاريــم؛ بنابــرآن در بشــقاب ـــــ حصــۀ کيــک قــرار‬ ‫‪8‬‬

‫دارد؛ هــرگاه هــر هشــت حصــۀ آن را در بشــقاب بگذاريــم در اين صورت‬ ‫‪8‬‬ ‫ـــــ حصــۀ کيــک در بشــقاب مي‌باشــد‪ .‬حــال اگــر يــک دانــه کيــک‬ ‫‪8‬‬

‫ديگــر مشــابه بــه کيــک اولــي را گرفتــه و آن را نيــز بــه ‪ 8‬حصــۀ مســاوي‬ ‫تقســيم کنيــم‪ ،‬بــا گذاشــتن ‪ 3‬حصــۀ آن مــا مي‌توانيــم ‪ 11‬حصــۀ کيــک‬ ‫‪11‬‬ ‫را در بشــقاب داشــته باشــیم؛ بنابــرآن در بشــقاب ـــــ حصۀ کيــک قــرار‬ ‫‪8‬‬ ‫خواهــد داشــت‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫درکســر ـــــ‌‪ ،‬صــورت کوچکتــر از مخــرج اســت؛ چنيــن يــک کســر را‬ ‫‪8‬‬ ‫به نام کسر واقعي ياد مي‌نمايند‪.‬‬ ‫‪8 11‬‬ ‫در کسرهاي ـــــ و ـــــ صورت بزرگتر از مخرج و يا مساوي با مخرج‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫است؛ چنين کسر‌ها را به نام کسرهاي غير واقعي ياد مي‌کنند‪.‬‬ ‫از توضيحات فوق مي‌توانيم بنويسيم که‪:‬‬

‫کســري کــه در آن‪ ،‬صــورت کوچکتــر از مخــرج باشــد‪ ،‬بــه نــام کســر‬

‫واقعــي يــاد مي‌شــود و کســري کــه در آن‪ ،‬صــورت بزرگتــر از مخــرج و‬ ‫يــا مســاوي بــا آن باشــد‪ ،‬بــه نــام کســر غيــر واقعــي يــاد مي‌شــود‪.‬‬

‫کســر واقعــي کوچکتــر از (‪ )1‬و کســر غيــر واقعــي بزرگتــر يــا مســاوي بــا‬ ‫(‪ )1‬مي‌باشــد‪.‬‬

‫مثال اول‬ ‫اشــکال زيــر کســرهايي را نشــان مي‌دهنــد کــه صــورت آن‌هــا از مخــرج‬ ‫‪113‬‬

‫شــان کوچکتــر (مخــرج > صــورت) اســت؛ ايــن نــوع کســرها کوچکتــر‬ ‫از واحــد (‪ )1‬بــوده و آن‌هــا را کســرهاي واقعــي مي‌گوينــد‪.‬‬

‫ ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ = 1‬ـــــ‬ ‫‪3‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫>‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪3‬‬

‫ ‬

‫ ‬ ‫>‬

‫>‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ =1‬ــــ‬ ‫‪4‬‬

‫>‬

‫‪2‬‬ ‫ــــ‬ ‫‪4‬‬

‫مثــال دوم‪ :‬اشــکال زيــر کســرهايی را نشــان مي‌دهنــد کــه صــورت و‬ ‫مخــرج آن‌هــا بــا هــم مســاوي (مخــرج = صــورت) انــد؛ ايــن نــوع کســرها‬ ‫مســاوي بــه واحــد (‪ )1‬بــوده و آن‌هــا را کســرهای غیــر واقعــی می‌گوینــد‪.‬‬

‫ ‬ ‫و هم‬ ‫= ‬

‫=‬

‫‪2‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪4‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪4‬‬

‫مثــال ســوم‪ :‬اشــکال زيــر کســرهايي را نشــان مي‌دهنــد کــه صــورت‬ ‫آن‌هــا از مخــرج شــان بزرگتــر (مخــرج < صــورت) اســت‪ ،‬ایــن نــوع‬ ‫کســرهای بزرگتــر از واحــد (‪ )1‬را کســرهای غيرواقعــي مي‌گوينــد‪.‬‬

‫‪114‬‬

‫‪،‬‬

‫>‬

‫‪5‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ =1‬ـــــ >‬

‫>‬

‫‪11‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪8‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ = 1‬ـــــ >‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬سه کسر بعدي کسرهاي واقعي زير را دريافت کنید‪.‬‬ ‫ــــــــ‌‪ ،‬ــــــــ‌‪ ،‬ــــــــ‌‪4 ،‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪ -2‬چهــار کســر مسلســل بعــدي کســرهاي غيــر واقعــي زيــر را دریافــت‬ ‫کنیــد‪.‬‬

‫ــــــــ‌‪ ،‬ــــــــ‌‪ ،‬ــــــــ‌‪ ،‬ــــــــ‌‪11 ،‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪10 ،‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪9 ،‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪ -3‬بــا درنظرداشــت کســرهاي زيــر‪ ،‬کســرهاي واقعــي و غيــر واقعــي را در‬ ‫جاهــاي خالــي آن‌هــا بنويســيد‪.‬‬ ‫‪1861‬‬ ‫‪1741‬‬ ‫‪245‬‬ ‫‪، 12 ، 19 ، 42 ، 98 ، 172 ،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1861‬‬

‫‪1982‬‬

‫‪372‬‬

‫‪99‬‬

‫‪47‬‬

‫‪18‬‬

‫‪20‬‬

‫‪16‬‬

‫ــــــــ‌‪ ،‬ــــــــ‌‪‌،‬ــــــــ‌‪ ،‬ــــــــ‌‪ ،‬ــــــــ‌‪: ،‬کسرهاي واقعي‬ ‫ــــــــ‌‪ ،‬ــــــــ‌‪،‬ــــــــ‌‪ ،‬ــــــــ‌‪ ،‬ــــــــ‌‪: ،‬کسرهاي غير واقعي‬ ‫‪115‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪8‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫‪ -1‬پنــج کســری را بنويســيد کــه صورت‌هــاي آن‌ از مخرج‌هــای آن‌ ‪3‬‬ ‫واحــد کوچکتــر باشــد‪.‬‬ ‫‪ -2‬چهــار کســری را بنويســيد کــه مخرج‌هــاي آن‌هــا از صورت‌هــای‬ ‫آن‌هــا ‪ 2‬واحــد کوچکتــر باشــد‪.‬‬ ‫ ‬

‫تمرین‬

‫‪ -1‬حصه‌هــاي سياه‌شــدۀ کــدام يــک از اشــکال زيــر‪ ،‬کســر واقعــي و‬ ‫کــدام يــک کســر غيــر واقعــي را نشــان مي‌دهنــد؟‬

‫‪ -2‬کســرهاي زيــر را توســط عالمت‌هــای ( ،‬و = ) نشــان دهيــد کــه‬ ‫کــدام هــا از واحــد بزرگتــر‪ ،‬کــدام هــا از واحــد کوچکتــر وکدام‌هــا‬ ‫مســاوي بــه واحــد انــد؟‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6 5 8 9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪، 2 ، 5، ، 2 ، ، ، ، ، ، ، ، ،‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪9‬‬

‫‪6‬‬

‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -3‬از کســرهاي زيـر‌‪ ،‬کســرهاي واقعــي و غيــر واقعــي را جــدا جــدا نوشــته‬ ‫کنيد ‪.‬‬

‫‪116‬‬

‫‪118‬‬ ‫‪140‬‬

‫‪215‬‬ ‫‪401‬‬

‫‪،‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪19‬‬

‫‪،‬‬

‫‪300‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪37‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪318‬‬ ‫‪215‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪214‬‬ ‫‪251‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪120‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪65‬‬ ‫‪70‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪46‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪39‬‬ ‫‪56‬‬

‫‪42‬‬ ‫‪46‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪67‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪76‬‬ ‫‪86‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪91‬‬ ‫‪100‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪28‬‬ ‫‪29‬‬

‫‪99‬‬ ‫‪99‬‬

‫‪-4‬‬ ‫الــف) يــک دايــره رســم کنيــد؛ آن را بــه دو حصــۀ مســاوي تقســيم نماييــد‬ ‫‪2‬‬ ‫و توســط قســمت‌هاي سياه‌شــده‪ ،‬کســر غيــر واقعــي ـــــ را نشــان دهيــد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب) يــک دايــره رســم نماييــد؛ آن را بــه هشــت حصــۀ مســاوي تقســيم‬ ‫‪7‬‬ ‫کنيــد و توســط قســمت‌هاي سياه‌شــده‪ ،‬کســر واقعــي ـــــ را نشــان دهيــد‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ج) ســه دايــره رســم نماييــد؛ هــر يــک را بــه چهــار قســمت مســاوي تقســيم‬ ‫کنيــد و توســط قســمت‌هاي سياه‌شــده‪ ،‬کســر غيــر واقعــي ‪11‬‬ ‫ـــــ را نشــان‬ ‫‪4‬‬ ‫دهيــد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ -5‬هــر يــک از کســرهاي ـــــ ‪ ،‬ـــــ ‪ ،‬ـــــ ‪ ،‬ـــــ را توســط‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قسمت‌هاي سياه‌شده در دايره‌ها نشان دهيد‪.‬‬ ‫‪ -6‬کسرهاي واقعي‌یی را بنويسيد که مخرج‌هاي آن‌ها عدد ‪ 6‬باشد‪.‬‬

‫‪ -7‬کســرهاي غيــر واقعي‌یــی را بنويســيد کــه صورت‌هــاي آن‌هــا عــدد ‪5‬‬

‫باشــد‪.‬‬

‫‪117‬‬

‫کسرهاي معادل‬ ‫• صورت و مخرج کسر ‪3‬‬ ‫ـــــ را به عدد ‪ 2‬ضرب‌کنید‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫• کسرهای ـــــ و ـــــ را در شکل نمایش دهید‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫• آیا این دو شکل حاصله با هم عین مقدار را نشان می‌دهند؟‬ ‫به مثال‌های زير توجه کنيد‪.‬‬

‫مثــال اول‪ :‬طــوري کــه در شــکل زيــر ديــده مي‌شــود‪ ،‬ســطح دايــره بــه‬

‫چهــار حصــۀ مســاوي تقســيم گرديــده و دو حصــۀ آن ســياه‬ ‫‪2‬‬ ‫شــده اســت‪ ،‬ايــن دو حصــۀ ســياه شــده‪ ،‬عبــارت از‪ :‬ـــــ حصــۀ ســطح‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫دايــره اســت‪ ،‬چنانچــه ديــده مي‌شــود در حقيقــت نصــف يا ـــــ حصــۀ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫دایــره ســياه شــده اســت؛ بنابرآن ـــــ حصــۀ ســطح دايــره مســاوي بــه‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــ حصۀ سطح دايره مي‌باشد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫ـــــــ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قیمــت کســرهاي ـــــ و ـــــ بــا هــم مســاوی انــد و بــه آن‌هــا کســرهای‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫معــادل نیــز گفتــه می‌شــود‪.‬‬ ‫بــه هميــن ترتيــب اگــر هــر چهــارم حصــۀ ســطح دايــره را بــه ســه حصــۀ‬ ‫مســاوي‪ ،‬طــوري کــه در شــکل ديــده مي‌شــود‪ ،‬تقســيم کنيــم‪ ،‬در آن‬ ‫صــورت تمــام ســطح دايــره بــه ‪ 12‬حصــۀ مســاوي تقســيم گرديــده کــه ‪6‬‬ ‫حصــۀ آن ســياه شــده اســت‪ .‬نظــر بــه شــکل مي‌تــوان نوشــت‪:‬‬ ‫‪118‬‬

‫‪6‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫‪12‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫قیمــت کســرهای ـــــ و ـــــ بــا هــم مســاوی اند و بــه آ‌ن‌ها کســرهای‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫معــادل نیــز گفتــه می‌شــود‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫همچنــان مي‌تــوان از ضــرب کــردن صــورت و مخــرج کســر ـــــ در‬ ‫عــدد ‪ ،3‬کســرمعادل کســر مذکــور را بــه دســت آورد‪ ،‬يعنــي‪4 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2×3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4× 3‬‬ ‫مثــال دوم‪ :‬بــه کســرهاي زيــر کــه قســمت‌های آبــی شــده را در اشــکال‬ ‫نشــان مي‌دهنــد متوجــه شــويد‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪119‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫طــوري کــه در کســرهاي ـــــ ‪ ،‬ـــــ ‪ ،‬ــــــ و ـــــ ديده مي‌شــود‪،‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫صورت‌هــا و مخرج‌هــاي آن‌هــا بــا هــم مختلــف انــد؛ امــا هــر کــدام آن‌هــا‬ ‫اندازه‌هــاي آبــی شــدۀ مســاوي را نشــان مي‌دهنــد؛ ســپس قیمــت تمــام‬ ‫کســرهای ذکــر شــده بــا هــم مســاوی انــد و بــه آن‌هــا کســرهای معــادل‬ ‫نیــز گفتــه می‌شــود‬ ‫کســرهایی کــه اعــداد صــورت و مخــرج آن‌هــا بــا هــم مختلــف؛ ولــی‬ ‫قیمــت آن‌هــا بــا هــم مســاوی باشــند‪ ،‬بــه نــام کســرهای معــادل یــاد‬ ‫می‌شــوند؛ ماننــد‪ :‬کســرهای مثــال اول و دوم‪.‬‬ ‫‪= 2 = 6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪1 = 2 = 4 = 5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪12 15‬‬ ‫‪3‬‬

‫بــرای بــه دســت آوردن کســرهای معــادل یــک کســر‪ ،‬صــورت و مخــرج‬ ‫همــان کســر را ضــرب یــا تقســیم عیــن عــدد (خــاف صفــر) می‌کنیــم‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال سوم‪ :‬چهار کسر معادل کسر ـــــ را به دست آورید‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫بــراي بــه دســت آوردن کســرهاي معــادل ـــــ اعــداد ‪،‌6 ،5 ،‌4 ،‌3 ،‌2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ ... ،‌8 ،‌7‬را در صــورت و مخــرج کســر ـــــ ضرب مي‌نماييــم کــه در‬ ‫‪5‬‬ ‫نتيجــۀ ضــرب کــردن هــر يــک از اعــداد فــوق در صــورت و مخــرج کســر‬ ‫‪3‬‬ ‫ـــــ ‪ ،‬يــک کســر معــادل آن بــه دســت مي‌آيــد‪ ،‬يعنــي‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪120‬‬

‫‪3×3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5×3‬‬

‫‪3×2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5×2‬‬

‫‪3×5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5×5‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪3×4‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪5×4‬‬

‫بنابرآن مي‌توانيم بنويسيم که‪:‬‬

‫‪12 15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15 20 25‬‬

‫‪3‬‬ ‫مثال چهارم ‪ :‬دو کسر معادل کسر ـــــ را دريافت کنید‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3×2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪7×2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3×3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪7×3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫پس کسر ـــــ با کسرهاي ـــــ و ـــــ معادل است‪.‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪7‬‬ ‫زيرا‪:‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6÷2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪14‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14 ÷ 2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9÷3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪21‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21 ÷ 3‬‬

‫‪121‬‬

‫فعاليت‬ ‫ــ کسرهاي مربوط به هر شکل را بنويسيد‪.‬‬

‫‪3‬‬ ‫ـــــ‬ ‫در یــک عــدد‪ ،‬دوکســر‬ ‫بــا ضــرب نمــودن صــورت و مخــرج کســر‬ ‫‪4‬‬ ‫معــادل آن را دريافــت نماييــد‪.‬‬ ‫بــا تقســيم نمــودن صــورت و مخــرج کســر ‪8‬‬ ‫ـــــ بر يک عــدد‪ ،‬دو کســــر‬ ‫‪12‬‬ ‫معــادل آن را دریافــت کنيد‪.‬‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫بــا ضــرب نمــودن صــورت و مخــرج کســر در يــک عــدد‪ ،‬ســه کســر‬ ‫‪5‬‬ ‫معــادل ـــــ را دريابيــد‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫بــا تقســيم نمــودن صــورت و مخــرج کســر بــر يــک عــدد‪ ،‬دو کســر معادل‬ ‫‪45‬‬ ‫ـــــ را دريافــت نماييد‪.‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪122‬‬

‫تمرین‬

‫ ‬

‫‪38 25‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -1‬صــورت و مخــرج هر يــک از کســرهاي ــــ ‪ ،‬ــــ ‪ ،‬ـــــ ‪ ،‬ـــــ را‬ ‫‪40 8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ضــرب عــدد ‪ 5‬نمــوده و کســرهاي معادلــی را کــه حاصل مي‌شــوند‪ ،‬بنويســيد‪.‬‬ ‫‪24 15 9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ -2‬صــورت و مخــرج هــر يــک از کســرهاي ــــ ‪ ،‬ــــ ‪ ،‬ـــــ ‪ ،‬ـــــ‬ ‫‪21‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫را تقســيم ‪ 3‬نمــوده و کســرهاي معادلــی را کــه حاصــل مي‌شــوند‪ ،‬بنويســيد‪.‬‬ ‫‪ -3‬بگوييد‪ ،‬هريک از تساوي‌هاي زير چرا درست است؟‬ ‫‪44‬‬ ‫‪11‬‬ ‫=‬ ‫‪100 25‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪= 8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪ -4‬کسر معادل ـــــ را بنويسيد که مخرج آن ‪ 297‬باشد‪.‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ -5‬کسر معادل ـــــ را بنويسيد که مخرج آن ‪ 65‬باشد‪.‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ -6‬کسر معادل ـــــ را به مخرج ‪ 24‬بنویسید‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪123‬‬

‫اختصار (ساده ساختن) کسرها‬ ‫‪2‬‬ ‫• صورت و مخرج کسر ـــــ را تقسیم عدد ‪ 2‬نمایید‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ـــــ‬ ‫ـر‬ ‫ـ‬ ‫کس‬ ‫ـکل‬ ‫ـ‬ ‫ش‬ ‫ـا‬ ‫ـ‬ ‫ب‬ ‫را‬ ‫آن‬ ‫و‬ ‫ـد‬ ‫ـ‬ ‫دهی‬ ‫ـش‬ ‫ـ‬ ‫نمای‬ ‫ـکل‬ ‫ـ‬ ‫ش‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫• کســر‬ ‫ـــــ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مقایســه کنیــد؟‬ ‫‪15‬‬ ‫به کسر ـــــ توجه کنيد‬ ‫‪20‬‬ ‫چــون عــدد ‪ 5‬قاســم مشــترک عدد‌هــاي ‪ 15‬و ‪ 20‬اســت؛ بنابــر آن صــورت‬ ‫‪15‬‬ ‫و مخــرج کســر ـــــ را مي‌توانيــم بــر قاســم مشــترک آن‌هــا کــه ‪ 5‬اســت‪،‬‬ ‫‪20‬‬ ‫تقســيم کنيم‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15 ÷ 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20 ÷ 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫در نتيجــه کســر ـــــ ‪ ،‬معــادل کســر ـــــ حاصــل مي‌شــود و يــا ـــــ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ســاده‌ترين شــکل کسر ـــــ مي‌باشــد؛ بنابــرآن گفتــه می‌توانیــم کــه‬ ‫‪20‬‬ ‫صــورت و مخــرج یــک کســر ســاده بــدون عــدد (‪ ،)1‬قاســم مشــترک‬ ‫نــدارد‪.‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ــــــ = ــــــ‬ ‫‪20‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪124‬‬

‫عمليــة تقســيم صــورت و مخــرج يــک کســر بــر قاســم مشــترک آن‌هــا‬ ‫(کــه خــاف يــک باشــد) بــه نــام اختصــار کســر يــاد مي‌شــود‪.‬‬ ‫بزرگتريــن عــددي کــه توســط آن مي‌توانيــم يــک کســر را اختصــار‬ ‫کنيــم‪ ،‬بــه نــام بزرگتريــن قاســم مشــترک صــورت و مخــرج يــاد مي‌شــود‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫طــور مثــال‪ :‬ــــــ را مي‌توانيــم بــا عددهــاي ‪ 5 ،‌3‬و ‪ 15‬اختصــار کنيــم؛ امــا‬ ‫‪45‬‬ ‫بزرگتريــن آن‌هــا عــدد ‪ 15‬اســت؛ بنابــر آن بزرگتريــن قاســم مشــترک ‪30‬‬ ‫و ‪ 45‬مســاوي بــه ‪ 15‬مي‌باشــد؛ هــرگاه صــورت و مخــرج يــک کســر را‬ ‫بــر يــک عــدد تقســيم کنيـم‌‪ ،‬مي‌گوييــم کــه آن کســر را اختصــار (ســاده)‬ ‫کــرده ايــم؛ پــس بــراي اختصــار کســر‪ ،‬عــددي را پيــدا مي‌کنيــم کــه‬ ‫صــورت و مخــرج آن کســر بــاالي عــدد مذکــور پــوره تقســيم شــوند؛‬ ‫بنــا بــرآن در هنــگام اختصــار کســر‪ ،‬از قابليــت تقســيم اعــداد اســتفاده‬ ‫مي‌کنیــم‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مثال اول‪ :‬کسر ــــ را چنين اختصار مي‌کنيم‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حــل ‪ :‬عــددي کــه صــورت و مخــرج کســر ــــ باالي آن پــوره تقســيم‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مي‌گــردد‌‪ ،‬عــدد ( ‪ ) 3‬مي‌باشــد؛ پــس صــورت و مخــرج کســر ــــ را‬ ‫‪6‬‬ ‫بــاالي عــدد (‪ )3‬تقســيم مي‌کنيــم‪.‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3÷3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6÷3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫کسر ـــــ شکل اختصار شدۀ کسر ـــــ مي‌باشد‪ ،‬یعنی‪ :‬ــــ = ــــ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪125‬‬

‫‪10‬‬ ‫مثال دوم‪ :‬کسر ـــــ را چنين اختصار مي‌نماييم‪:‬‬ ‫‪30‬‬ ‫حــل‪ :‬درکســر فــوق ديــده مي‌شــود کــه صــورت و مخــرج آن بــر اعــداد‬ ‫‪ 5 ،2‬و ‪ 10‬پــوره قابــل تقســيم اســت؛ بنابــرآن مي‌توانيــم آن را بــه چنــد‬ ‫طريــق ســاده ســازيم‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫طريــق اول‪ :‬صــورت و مخــرج کســر ـــــ را بــاالی عــدد (‪ )10‬تقســيم‬ ‫‪30‬‬ ‫مي‌نماييــم‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10 ÷ 10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪30‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪30 ÷10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫کسر ــــ ســاده‌ترين شــکل کسر ـــــ مي‌باشــد؛ زیــرا صــورت و‬ ‫‪30‬‬ ‫مخــرج‪3‬کســر ‪1‬‬ ‫ــــ بــدون یــک بــه عــدد دیگــری پــوره قابــل تقســیم‬ ‫‪3‬‬ ‫نیســت‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫همچنــان می‌توانیــم کــه صــورت و مخــرج کســر ــــــ را بــاالی عــدد (‬ ‫‪30‬‬ ‫‪ ) 5‬تقســيم‌کنيــم‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10 ÷ 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ـــــ = ـــــــــــ = ــــــ‬ ‫‪30‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪30 ÷5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫کسر ـــــ ســاده‌ترين شــکل کسر ــــــ نيســت؛ زيرا صــورت و مخرج آن‬ ‫‪30‬‬ ‫‪6‬‬ ‫باز هم باالی عدد (‪ )2‬پوره قابل تقسيم است‪.‬‬ ‫‪126‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2÷2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6÷2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫کسر ـــــ ساده ترين شکل کسر ـــــ است‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫همچنان کسر ـــــ را به شکل‌های زیر نیز می‌توانیم اختصارکنیم‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪10‬‬ ‫صورت و مخرج کسر ـــــ را باالی عدد ( ‪ ) ٢‬تقسيم مي‌نماييم‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10 ÷ 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪30‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪30 ÷ 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫اکنون صورت و مخرج کسر ـــــ را باالی عدد (‪ )5‬تقسيم مي‌نماييم‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5÷5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15 ÷ 5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫کسر ـــــ ساده‌ترين شکل کسر ـــــ است‪.‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪3‬‬ ‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫‪27‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬ ‫کســرهای ـــــ ‪ ،‬ـــــ ‪ ،‬ـــــ و ـــــ را در کتابچه‌هــای خویــش‬ ‫‪81‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪25‬‬ ‫اختصار نموده‪ ،‬با خود بیاورید‪.‬‬ ‫‪127‬‬

‫طریقــۀ دوم‪ :‬در ايــن طريقــه مي‌توانيــم يــک و يــا چنــد صفــر صــورت‬ ‫را بــا يــک و يــا چنــد صفــر مخــرج طــوري اختصــار نماييــم کــه تعــداد‬ ‫صفرهــاي اختصــار شــدۀ صــورت بــا تعــداد صفرهــاي اختصــار شــدۀ‬ ‫مخــرج مســاوي باشــند‌؛ ماننــد‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪10‬‬ ‫در مثــال فــوق از راه‌هــاي مختلــف ســاده‌ترين شــکل کســر ــــ ‪ ،‬یعنی‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ــــ را بــه دســت آورديــم‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫در حســاب بــه شــکل عمــوم عمليــۀ اختصــار را طــوري نشــان مي‌دهنــد کــه‪:‬‬ ‫از عمليــۀ تقســيم صــورت و مخــرج بــه شــکل نوشــتاری صــرف نظــر مي‌کنند‬ ‫و در عــوض‪ ،‬تنهــا خــارج قســمت صــورت و مخــرج را بــاال و پايين آن نوشــته‬ ‫و بــاالي صــورت و مخــرج کســر‪ ،‬يــک خــط باريــک مي‌کشــند‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫طورمثال ‪ :‬کسر ـــــ را چنين اختصار مي‌نماييم‪.‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ـــــ = ـــــ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫در اول ديديم که صورت و مخرج کســر ـــــ ‪ ،‬هر کدام بر (‪ )5‬پوره تقســيم‬ ‫‪15‬‬ ‫مي‌شــود؛ پــس در صــورت بــاالي (‪ )١٠‬يــک خــط باريــک کشــيدیم وخــارج‬ ‫قسمت (‪ )10÷5‬را که عدد (‪ )٢‬است‪ ،‬باالي عدد (‪ )١٠‬نوشتيم و به همين ترتيب‬ ‫در مخــرج بــاالي عــدد (‪ )15‬نيــز يــک خط باريک کشــيدیم و خارج قســمت‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪ )15 ÷ 5‬را کــه ( ‪ ) 3‬اســت‪ ،‬پايــين عــدد (‪ )15‬نوشــتيم و کســر ـــــ بــه‬ ‫‪3‬‬ ‫دســت آمــد‪.‬‬ ‫‪128‬‬

‫در اختصــار‪ ،‬بعضــي اوقــات ســاده‌ترين شــکل يــک کســر بعــد از چنــد‬ ‫‪3‬‬ ‫مرحلــۀ تقســيم بــه دســت مي‌آيــد؛ طــور مثــال‪ :‬کســرـــــــ که ســاده‌ترين‬ ‫‪5‬‬ ‫‪180‬‬ ‫شــکل کسرـــــــ اســت بعــد از چنــد مرحلــۀ تقســيم کــه در زيــر نشــان‬ ‫‪300‬‬ ‫داده شده است‪ ،‬به دست مي‌آيد‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪180‬‬ ‫ـــــ = ــــــ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫بــه صــورت عمــوم ســاده‌ترين شــکل يــک کســر‪ ،‬کســري اســت کــه‬ ‫صــورت و مخــرج آن بــه جــز عــدد ( ‪ ) 1‬بــر کــدام عــدد ديگــر پــوره قابــل‬ ‫تقســيم نباشــد‪.‬‬ ‫فعاليت‬ ‫بــا در نظرداشــت اختصــار کســر‪ ،‬در جاهــاي خالــي اعــداد مناســب را‬ ‫بنويســيد‪.‬‬ ‫=‬

‫‪30‬‬ ‫=‬ ‫‪50‬‬

‫=‬

‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪20‬‬

‫‪40‬‬ ‫=‬ ‫‪70‬‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪60‬‬

‫‪129‬‬

‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬

‫=‬

‫‪18‬‬ ‫=‬ ‫‪24‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫آيــا کســرهاي زيــر در ســاده‌ترين شــکل خــود قــرار دارنــد؟ اگــر ندارنــد‬ ‫آن‌هــا را اختصــار کنيــد‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪، 100 ،‬‬ ‫‪200‬‬

‫تمرین‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪45‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪63‬‬

‫ ‬

‫‪ -1‬ساده‌ترين شکل کسرهاي زير را دریافت کنید‪.‬‬ ‫‪1000‬‬ ‫‪200‬‬

‫‪180‬‬ ‫‪39‬‬

‫‪32‬‬ ‫‪81‬‬

‫‪ -2‬در جاهاي خالي (‬

‫‪54‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪28‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪25‬‬

‫) کسرهای زیر‪ ،‬اعداد مناسب را بنويسيد‪.‬‬

‫÷ ‪20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ـــــــ = ــــــــــــــــــ‬ ‫‪3‬‬ ‫÷‪30‬‬

‫÷‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ـــــــ = ــــــــــــــــــ‬ ‫‪5‬‬ ‫÷‪10‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ـــــــــ = ـــــــــ‬ ‫‪20‬‬

‫÷ ‪24‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ـــــــ = ــــــــــــــــــ‬ ‫‪8‬‬ ‫÷‪32‬‬

‫‪8‬‬ ‫ـــــــــ = ـــــــــ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪32‬‬

‫÷ ‪35‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ـــــــــ = ــــــــــــــــــ‬ ‫÷‪42‬‬

‫‪130‬‬

‫‪ -3‬در جاهــاي خالــي صــورت يــا مخــرج کســرها زیــر‪ ،‬اعــداد مناســب را‬ ‫بنويســيد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= 8‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪،‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪= 3‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪20‬‬

‫‪،‬‬

‫‪27‬‬ ‫=‬ ‫‪45‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪،‬‬

‫‪42‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪24‬‬

‫=‬

‫‪12‬‬

‫‪10‬‬ ‫‪= 5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬

‫= ‪5‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪4‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬

‫= ‪7‬‬

‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬

‫‪،‬‬

‫‪36‬‬ ‫‪= 6‬‬ ‫‪42‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪36‬‬ ‫‪= 4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪،‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬

‫‪3‬‬

‫‪131‬‬

‫‪1‬‬

‫‪7‬‬

‫مقايسۀ کسرها‬ ‫• بــرای ایــن کــه دانســت در بیــن دو کســر کــدام یکــی بزرگتــر اســت‪،‬‬ ‫چــه بایــد کــرد؟‬ ‫• کســرهایی کــه مخرج‌هــای مســاوی داشــته باشــند را چطــور مقایســه‬ ‫می‌کنیــم؟‬ ‫کسرها را در سه حالت زیر مقایسه می‌کنیم‪.‬‬ ‫الف) مقايسۀ کسرها با مخرج‌هاي مساوي‬ ‫به اشکال زير متوجه شويد‪.‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪55‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪7‬‬

‫‪= 1‬‬ ‫‪=1 7‬‬

‫‪67‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪45 5 6‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪33‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪2 2 33 4‬‬ ‫‪7 7 7‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪11‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4 4‬‬ ‫‪7 7‬‬

‫از مشاهدۀ اشکال باال نتیجۀ زیر را مي‌توانيم بنويسيم‪:‬‬ ‫‪132‬‬

‫نتيجــه‪ :‬کســرهايي کــه داراي مخرج‌هــاي مســاوي و صورت‌هــاي‬ ‫مختلــف انــد‪ ،‬بزرگتریــن آن‌هــا همــان کســری‌ اســت کــه داراي بزرگتريــن‬ ‫صــورت باشــد‪.‬‬ ‫ب ‪ :‬مقايسۀ کسرها با صورت‌هاي مساوي‬

‫•کســرهایی کــه صورت‌هــای مســاوی داشــته باشــند را چطــور مقایســه‬ ‫می‌کنیــم؟‬ ‫به اشکال زير توجه کنيد‪:‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‌توانيم بنويسيم‪3 :‬‬ ‫از مشاهدۀ اشکال فوق نتيجۀ زير را مي ‪5‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪133‬‬

‫‪1‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪4‬‬

‫نتيجــه‪ :‬کســرهايي کــه داراي صورت‌هــاي مســاوي و مخرج‌هــاي‬ ‫مختلــف انــد‪ ،‬بزرگتریــن آن‌هــا کســری اســت کــه داراي کوچکتريــن‬ ‫مخــرج باشــد‪.‬‬ ‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫‪120‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪14 13‬‬ ‫کسر های( ـــــ وـــــ ( و ( ــــــ و ــــــــ ( را در کتابچه‌های خویش‬ ‫‪11000 1000‬‬ ‫‪21 21‬‬ ‫بنویسید و مقایسه کنید‪.‬‬ ‫ج‪ :‬مقايسۀ کسرها با صورت‌ها و مخرج‌هاي مختلف‬

‫• کســرهایی کــه صورت‌هــا و مخرج‌هــای آن‌هــا مختلــف باشــند را‬ ‫چطــور مقایســه می‌کنیــم؟‬ ‫کســرهايي کــه صورت‌هــا و مخرج‌هــاي شــان مختلــف انــد را بــه دو‬ ‫طريــق زيــر مقايســه مي‌کنيــم‪:‬‬ ‫طریقۀ اول‬ ‫در ابتــدا کســرهاي مذکــور را هم‌مخــرج ســاخته‪ ،‬بعــد آن‌هــا را ماننــد‬ ‫کســرهای هم‌مخــرج مقايســه مي‌نماييــم‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬کسرهای ‪ 3‬و ‪ 2‬را چنين مقايسه مي‌کنيم‪:‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪5‬‬

‫حــل‪ :‬کســرهاي مذکــور را هم‌مخــرج مي‌ســازيم‪ ،‬يعنــي صــورت و‬ ‫مخــرج کســر اولــي را ضــرب ‪ ( 5‬مخــرج کســر دومــي ) و صــورت و‬ ‫مخــرج کســر دومــي را ضــرب ‪( 7‬مخــرج کســر اولــي) مي‌کنيــم‪.‬‬ ‫‪134‬‬

‫در اين صورت هر دو کسر داراي مخرج ‪ ٣٥‬مي‌شوند‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3×5‬‬ ‫‪15‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪7×5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2×7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫ ‪5‬‬ ‫‪3515‬‬ ‫‪5×7‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪353‬‬ ‫‪15‬‬ ‫از طرف ديگر چون‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35 37‬‬ ‫‪1535‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪37 15‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪35‬‬ ‫=‬ ‫‪2 = 14‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪72 35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪25 14‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫در نتيجه‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪35 2‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪37‬‬ ‫در صورتــي کــه مخــرج يــک کســر بــر مخــرج کســر ديگــر قابــل تقســيم‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫باشــد‪ ،‬مقايســۀ چنيــن کســرها آســانتر اســت؛ زيــرا در ايــن صــورت بــه‬ ‫آســاني کســر دومــي را بــه کســر معــادل آن تبديــل کــرده می‌توانیــم‪.‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫مثــال‪ :‬دوکســر ــــ و ــــ را بــا هــم مقايســه مي‌کنيــم؛ چــون مخــرج کســر‬ ‫‪4 8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ــــ يعنــي ‪ ٨‬بــر مخــرج کســر ــــ يعنــي ‪ 4‬قابــل تقســيم اســت؛ پــس داريم‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫که ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪135‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫اکنون مي‌توانيم دو کسر ـــــ و ـــــ را با هم مقايسه کنيم‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫پس‪:‬‬ ‫طریقۀ دوم‬ ‫بــرای مقایســۀ کســرها بــا صورت‌هــا و مخرج‌هــای مختلــف‪ ،‬کســرهاي‬ ‫مذکــور را بــه کســرهايي کــه داراي صورت‌هــاي مســاوي باشــند‪ ،‬تبديــل‬ ‫نمــوده‪ ،‬بعــد آن‌هــا را ماننــد کســرهاي کــه صورت‌هــاي آن‌هــا بــا هــم‬ ‫مســاوي مي‌باشــند‪ ،‬مقايســه مي‌نماييــم‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال‪ :‬دو کسر ـــــ و ـــــ را چنين مقايسه مي‌کنيم‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫حــل‪ :‬در ابتــدا کســرهاي مذکــور را بــه کســرهایي کــه دارای‬ ‫صورت‌هــاي مســاوي باشــند تبديــل مي‌کنيــم‪ ،‬يعنــي صــورت و مخــرج‬ ‫کســر اولــي را ضــرب ‪( ٤‬صــورت کســر دومــي) و صــورت و مخــرج کســر‬ ‫دومــي را ضــرب ‪( 2‬صــورت کســر اولــي) مي‌کنيــم‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4×2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5×2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2×4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــ = ـــــــ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3×4‬‬ ‫‪136‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫چون صورت‌هاي کسرهاي ـــــ و ـــــ با هم مساوي مي‌باشند؛‬ ‫‪10 12‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫از طرف ديگر چون ـــــ = ـــــ و ـــــ = ـــــ است؛ در نتيجه‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪-1‬کســرهاي زيــر را بــا گذاشــتن يکــي از عالمت‌هــاي( ،‬و = ) مقايســه‬ ‫کنيد ‪.‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪25‬‬

‫‪6‬‬

‫‪،‬‬

‫‪18‬‬

‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪12‬‬

‫‪،‬‬

‫‪12‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪-2‬کسرهاي زير را با مساوي ساختن مخرج‌ها‪ ،‬مقايسه کنيد‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫ ‬

‫‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬

‫‪6‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3‬‬

‫‪9‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫کســرهاي زيــر را بــا گذاشــتن عالمت‌هــاي ( ،‬و =) درجاهــاي خالــي‬ ‫مقايســه کنيــد‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪137‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪16‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪9‬‬

‫‪15‬‬

‫‪12‬‬

‫ ‬ ‫تمرین‬ ‫‪ -1‬هــر جــوره از کســرهاي زيــر را مقايســه کنيــد و نتيجــه را توســط عالمت‬ ‫(> يــا يــا ‌‪ < ،‬و يــا =)‪ ،‬کســرهاي زيــر را‬ ‫مقايســه کنيــد‪.‬‬

‫‪139‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪32‬‬ ‫‪40‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪15‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪11‬‬

‫‪10‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪12‬‬

‫‪12‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪15‬‬

‫تصحيح و غيرواجب کردن کسرها‬ ‫الف) تصحيح کسرها‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫• کسرهای ـــــ و ــــــ ‪ 3‬را در شکل نشان‌دهید؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫• آیا کسر ـــــ را به کسر ــــــ ‪ 3‬تبدیل کرده‌توانید؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫يــک کســر بزرگتــر از واحــد (کســرغیر واقعــی) داراي دو شــکل مي‌باشــد‪.‬‬ ‫شــکل کســري و شــکل کســر مخلــوط‪ ،‬طــور مثــال‪ :‬کســر غیــر واقعــی‬ ‫‪7‬‬ ‫ـــــ داراي دو شــکل زيــر مي‌باشــد‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــ‬ ‫ــــــ‬ ‫و‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ـــــ را شــکل کســري و ــــ ‪ 3‬را شــکل کســر مخلــوط مي‌گوينــد و‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫آن را چنيــن مي‌خواننــد‪ :‬ســه صحيــح يــک بــر دو‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫بعضــي ايــن نــوع کســرها را ( ـــــ ‪ ) 3‬بــه نــام کســرهایي کــه داراي عــدد‬ ‫صحيــح انــد‪ ،‬نيــز یــاد مي‌کننــد‪ 2.‬‬

‫‪140‬‬

‫بــرای تبديــل کــردن شــکل کســري‪ ،‬يــک کســر بــه شــکل کســر مخلــوط‬ ‫بــه مثال‌هــاي زيــر متوجــه شــويد‪.‬‬ ‫‪ -1‬شــکل کســری‪ ،‬کســر ‪ 12‬را بــه شــکل کســر مخلــوط چنيــن تبديــل‬ ‫‪7‬‬ ‫مي‌کنيــم‪.‬‬ ‫در نتیجه‪:‬‬

‫‪7‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ -2‬شکل کسری‪ ،‬کسر ‪ 29‬را به شکل کسر مخلوط چنین تبديل مي‌کنيم‪:‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪29‬‬ ‫‪-26‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪13‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫در نتیجه‪:‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تبديــل کــردن شــکل کســري يــک کســر را بــه شــکل کســر مخلــوط‬ ‫تصحيــح کســر عــام مي‌گوينــد‪ .‬در تبديــل کــردن شــکل کســري يــک‬ ‫کســر بــه شــکل کســر مخلــوط‪ ،‬صــورت کســر را تقســيم مخــرج آن‬ ‫نمــوده‪ ،‬خــارج قســمت را عــدد صحيــح و باقيمانــده را در صــورت بــر‬ ‫همــان مخــرج اولــي مي‌نويســيم‪.‬‬ ‫‪2‬‬

‫مثال‪ :‬کسر ‪ 31‬را اين طور تصحيح مي‌نماييم‪:‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪14‬‬

‫در نتیجه‬ ‫‪141‬‬

‫‪31 = 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪31‬‬ ‫‪-28‬‬ ‫‪3‬‬

‫فعاليت‬ ‫ کسرهاي ‪ 45 ، 32‬و ‪ 52‬را تصحيح نماييد‪.‬‬‫‪5‬‬

‫ ‬

‫ ‬

‫‪4‬‬

‫‪9‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫کسرهای ‪ 73‬و ‪82‬‬ ‫ـــــ را تصحیح کنید‪.‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪23‬‬

‫‪18‬‬

‫ب) غيرواجب کسرها‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫• آیا کسر ـــــ ‪ 3‬را به شکل کسر ــــ تبدیل کرده می‌توانید؟‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫چنانکــه يــک کســر غیــر واقعــی را از شــکل کســري بــه شــکل کســر‬ ‫مخلــوط تبديــل کرديــم‪ ،‬مي‌توانيــم شــکل کســر مخلــوط يــک کســر را‬ ‫بــه شــکل کســری آن نيــز تبديــل نماييــم‪.‬‬ ‫مثال‌ها‬

‫‪3‬‬ ‫‪ -1‬کسر مخلوط ــــــ ‪ 2‬را به شکل کسری چنين تبديل مي‌نماييم‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2×5+3‬‬ ‫‪10+ 3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ــــــ ‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫پس‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫ــــــ = ــــــ ‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪142‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬کسرمخلوط ــــــ ‪ 6‬به شکل کسري آن چنين تبديل مي‌گردد‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6×7+2‬‬ ‫‪42+ 2‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ــــــ ‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪44‬‬ ‫ــــــ = ــــــ ‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫پس‪:‬‬

‫تبديــل کــردن یــک کســر مخلــوط بــه شــکل کســری بــه نــام غيرواجــب‬ ‫کــردن کســر یــاد می‌شــود‪ .‬در تبديــل کــردن شــکل کســر مخلــوط بــه‬ ‫شــکل کســري‪ ،‬عــدد صحيــح را در مخــرج کســر ضــرب نمــوده‪ ،‬حاصــل‬ ‫ضــرب را بــا صــورت جمــع می‌کنیــم و در صــورت مي‌نويســيم و در‬ ‫مخــرج‪ ،‬همــان مخــرج قبلــي را مي‌نويســيم‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬کسر ‪6‬‬ ‫ــــــ ‪ 8‬را طور زير غيرواجب مي‌کنيم‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8×7+6‬‬ ‫‪56+ 6‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ـــــــ = ـــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ــــــ ‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪62‬‬ ‫ــــــ = ــــــ ‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫پس‪:‬‬ ‫فعاليت‬

‫ کسرهاي مخلوط ( ‪ 8 3 ، 4 2‬و ‪ ) 15 6‬را غير واجب نماييد‪.‬‬‫‪3‬‬

‫‪143‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪7‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫ــ کسرهاي مخلوط ( ‪ 14 5‬و ‪ ) 18 15‬را غيرواجب کنيد‪.‬‬ ‫‪14‬‬

‫تمرین‬

‫‪14‬‬

‫‪23‬‬

‫ ‬

‫‪ -1‬کسرهاي زير را تصحيح نماييد‪.‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪6927‬‬ ‫‪27 ،‬‬ ‫‪83‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪62‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪،،‬‬ ‫‪69‬‬ ‫‪78 ،‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪41‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪62 ،‬‬ ‫‪97 ،‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪314‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪29‬‬ ‫‪41‬‬ ‫‪41 ،‬‬ ‫‪69 ،‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪314‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪314 ،‬‬ ‫‪87‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪1829‬‬ ‫‪29 ، ،‬‬ ‫‪46 ،‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪،،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪31‬‬ ‫‪، ، 4531‬‬ ‫‪،،‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪27‬‬ ‫‪27 ،‬‬ ‫‪5 ،‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪24 ،‬‬ ‫‪37 ،‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪ -2‬کســرهاي زيــر را کــه بــه شــکل کســر مخلــوط نوشــته شــده انــد‪،‬‬ ‫غيرواجــب نماييــد‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪32‬‬

‫‪35‬‬ ‫‪7 35‬‬ ‫‪747‬‬ ‫‪47‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪25‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪، 115 28 ،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11 ،115 30 ،‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪30‬‬

‫‪8‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪19 7 ، 98 5 ، 99 8 ، 905‬‬ ‫‪19 8 ، 98 6 ، 99 9 ، 905‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪144‬‬

‫‪69‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪،‬‬

‫جمع کسرها‬ ‫جمع کسرهايي که مخرج‌هاي مختلف داشته باشند‬ ‫• آيــا کســرهایی را کــه مخرج‌هــای مســاوی داشــته باشــند‪ ،‬بــا هــم جمــع‬

‫نمــوده می‌توانیــد؟‬

‫• آیا کسرهایی را که در مخرج‌های آن‌ها‪ ،‬مضرب تمام مخرج‌ها موجود‬ ‫باشد‪ ،‬با هم جمع نموده می‌توانید؟‬

‫• آیــا کســرهایی را کــه مخرج‌هــای مختلــف داشــته باشــند‪ ،‬بــا هــم جمــع‬

‫نمــوده می‌توانیــد؟‬

‫کســرهايي را کــه مي‌خواهيــم بــا هــم جمــع نماييــم‪ ،‬در اول مي‌بينيــم‬ ‫کــه هم‌مخــرج انــد يــا خيــر؛ در صورتــي کــه هم‌مخــرج باشــند؛ چنانچــه‬ ‫مي‌دانيــد از جملــۀ مخرج‌هــاي مســاوي يــک مخــرج را بــه حيــث مخــرج‬ ‫مشــترک کســرها در نظــر مي‌گیريــم و بعــد صورت‌هــاي کســرهاي‬

‫مذکــور را بــا هــم جمــع نمــوده‪ ،‬و در صــورت کســر حاصلــه مي‌نويســيم؛‬

‫طــور زیــر‪:‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪=1‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪3+4‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫= ‪+ = 1+3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪4 9‬‬ ‫= ‪+ = 4+9‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪15 15‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪145‬‬

‫‪1‬‬‫‪2‬‬‫‪3-‬‬

‫در صورتــي کــه کســرها هم‌مخــرج نباشــند‪ ،‬اول آن‌هــا را هم‌مخــرج‬ ‫نمــوده؛ ســپس آن‌هــا را بــا هــم جمــع مي‌کنيــم؛ چنانچــه قبــ ً‬ ‫ا مطالعــه‬

‫نموديــم کــه اگــر صــورت و مخــرج يــک کســر در عيــن عــدد غيــر از‬ ‫صفــر ضــرب شــود‪ ،‬کســر معــادل آن بــه دســت مي‌آيــد‪.‬‬ ‫بنابرايــن بــراي هم‌مخــرج ســاختن کســرهایي کــه داراي عيــن مخــرج‬ ‫نباشــند‪ ،‬صــورت و مخــرج کســر اولــي را در مخرج کســر دومـي‌ و صورت‬ ‫و مخــرج کســر دومــي را در مخــرج کســر اولــي ضــرب مي‌نماييــم و‬ ‫کســرهاي معــادل آن‌هــا را کــه هم‌مخــرج انــد‪ ،‬حاصــل مي‌نماييــم‪.‬‬ ‫مثال‌ها‪:‬‬

‫‪1 × 3 8 83 483 45‬‬ ‫‪2×4‬‬ ‫‪3+ +3 11‬‬ ‫‪45 11 93‬‬ ‫ـــــــــــ = ‪2 24 1+ 15‬‬ ‫‪ = =+ += 8 =+848‬ـــــــــــ‪+ +‬‬ ‫= =‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪3×4‬‬ ‫‪4 × 3 12 12‬‬ ‫‪12108‬‬ ‫‪12 108 12 1210812 12108‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 39 4 12‬‬

‫‪15 12 + 15 27‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪+‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪18‬‬

‫ـــــــــــ ‪2× 6 +‬‬ ‫= ‪5×3‬‬ ‫ـــــــــــ ‪2 5‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪3× 6‬‬ ‫‪6× 3‬‬ ‫‪3 6‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪48 45 48 + 45 93‬‬ ‫‪5×9‬‬ ‫‪4 × 12‬‬ ‫ــــــــــــ ‪4 5‬‬ ‫= ـــــــــــ ‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪12‬‬ ‫×‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫×‬ ‫‪12‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪108‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪1- 3-‬‬

‫در صورتــي کــه یکــی از مخرج‌هــا‪ ،‬مضــرب تمــام مخرج‌هــا باشــد‪ ،‬مضــرب‬ ‫تمامــی مخرج‌هــا را بــه حیــث مخــرج مشــترک انتخــاب نمــود‪ ،‬بعــد از آن‬

‫عمليــة جمــع را چنيــن انجــام مي‌دهيــم‪:‬‬ ‫‪6+5‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪(8÷ 4)×3+(8÷ 8)×5‬‬ ‫‪2×3+1×5‬‬ ‫= ـــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ =‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ ‬ ‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4-‬‬

‫‪4‬‬

‫‪= 11 =1 3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪146‬‬

‫فعاليت‬ ‫کســرهاي زيــر را بــا در نظــر داشــت مثال‌هــاي حل‌شــدۀ فــوق‪ ،‬جمــع‬ ‫نماييــد‪.‬‬ ‫= ‪7 + 4‬‬ ‫‪12 6‬‬

‫ ‬

‫= ‪4 + 5‬‬ ‫‪14 9‬‬

‫‪،‬‬

‫= ‪3 +2‬‬ ‫‪5 6‬‬

‫‪،‬‬

‫کار خانه‌گي‬ ‫کسرهاي زير را جمع کنيد‪.‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪3 6‬‬

‫‪9 5‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪12 11‬‬

‫‪،‬‬

‫تمرین‬

‫‪،‬‬

‫= ‪3 +2‬‬ ‫‪7 5‬‬

‫ ‬

‫‪ -1‬کسرهاي زير را جمع کنيد‪.‬‬

‫‪5‬‬

‫‪7‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪4 11‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪11 5‬‬

‫‪،‬‬

‫‪6 14‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪32 32‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2 1‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪5 5‬‬

‫‪،‬‬

‫= ‪6 +7‬‬ ‫‪8 8‬‬

‫‪ -2‬مجمــوع طــول دو درازچوکــي را معلــوم کنيــد کــه طــول يکــي آن ‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬

‫متــر و طــول ديگــر آن‬ ‫‪147‬‬

‫‪8‬‬

‫متــر اســت‪.‬‬

‫‪ -3‬داوود ‪ 1‬حصــۀ نــان و فهيمه ‪ 3‬حصــۀ نــان را خــورده اســت‪ ،‬معلــوم‬ ‫‪5‬‬

‫‪5‬‬

‫کنيــد کــه هــر دوي شــان در مجمــوع چقــدر نــان را خــورده انــد؟‬

‫‪ -4‬يــک شــاگرد ‪ 1‬حصۀ کتــاب رياضــي خــود را در يــک روز و ‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫حصــۀ آن را روز بعــد تکــرار نمــوده اســت‪ ،‬معلــوم کنيــد کــه شــاگرد‬ ‫موصــوف چنــدم حصــۀ کتــاب خــود را در دو روز تکــرار کــرده اســت؟‬

‫‪ -5‬يــک دهقان ‪ 1‬حصــۀ زميــن خــود را ديــروز و ‪ 1‬حصــۀ آن را امــروز‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫قلبــه نمــوده اســت‪ ،‬معلــوم کنيــد کــه وی در دو روز چقــدر زميــن را قلبــه‬ ‫نمــوده اســت؟‬ ‫جمع کسرها به کمک کوچکترین مضرب مشترک‬ ‫• آیــا در جمــع کســر‌ها بــا مخرج‌هــای مختلــف می‌تــوان مخــرج‬ ‫مشــترک را کوچکتریــن مضــرب مشــترک مخرج‌هــا تعییــن نمــود ؟‬ ‫به مثال‌هاي زير توجه کنيد‪.‬‬ ‫‪ -1‬کسرهای ‪ 5‬و ‪ 7‬را طور زير جمع مي‌نماييم‪:‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪12‬‬

‫‪148‬‬

‫حــل‪ :‬اول کوچکتريــن مضــرب مشــترک مخــرج هــا (‪ 8‬و‪ )12‬را دريافــت‬ ‫مي‌کنيــم‪.‬‬ ‫کوچکترین مضرب مشترک مخرج‌ها ‪3 × 2 × 2 × 2 = 24‬‬

‫‪12‬‬

‫‪2 8‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2 4‬‬ ‫‪2‬‬

‫حــاال عــدد ‪ 24‬را مخــرج مشــترک کســرهاي ‪ 5‬و ‪ 7‬قرار می‌دهیــم‬ ‫‪8‬‬

‫‪12‬‬

‫مخــرج مشــترک (‪ )24‬را بــر هــر یــک از مخرج‌هــا‪ ،‬تقســيم و حاصــل‬ ‫تقســيم را در صــورت هــر یــک از کســرها ضــرب نمــوده‪ ،‬حاصــل آن‌هــا‬ ‫را بــا هــم جمــع می‌کنیــم و در صــورت می‌نویســیم‬ ‫‪( 24 ÷ 8 ) × 5 + (24 ÷ 12) × 7‬‬ ‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ‪5 7‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪8 12‬‬

‫‪15 + 14 29 5‬‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬

‫) ‪(3 × 5)+( 2 × 7‬‬

‫‪15 14‬‬ ‫= ــــــــــــــــــــــــ =‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪ -2‬کسرهاي ‪ 7‬و ‪ 4‬را طور زير جمع مي‌نماييم‪:‬‬ ‫‪27 18‬‬ ‫ ‬ ‫حل‪ :‬کوچکترين مضرب مشترک مخرج‌ها‬ ‫‪27‬‬ ‫(‪ 18‬و ‪ ) 27‬را چنين دريافت مي‌داريم‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫بنابــرآن کوچکتريــن مضــرب مشــترک مخرج‌هــا‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪ 27‬و ‪ )18‬عبــارت اســت از‪3 × 2 × 3× 3 = 54 :‬‬ ‫‪149‬‬

‫‪3 18‬‬ ‫‪3 6‬‬ ‫‪2‬‬

‫پس‪:‬‬ ‫‪7 4 ( 54 ÷ 18) × 7 + ( 54 ÷ 27) × 4 (3 × 7)+(2 × 4 ) 21+ 8 29‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪54‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪54 54‬‬ ‫‪18 27‬‬

‫فعاليت‬ ‫کســرهاي زيــر را بــه واســطۀ کوچکتریــن مضــرب مشــترک‪ ،‬هم‌مخــرج‬ ‫نمــوده و بــا هــم جمــع نماييــد‪.‬‬ ‫?=‬ ‫?=‬

‫ ‬

‫‪5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪+‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪1‬‬‫‪2-‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫کســرهاي زيــر را بــه واســطۀ کوچکتریــن مضــرب مشــترک‪ ،‬هم‌مخــرج‬ ‫نمــوده و بــا هــم جمــع کنيــد‪.‬‬ ‫‪11 9‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪18 16‬‬

‫‪3 2‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪10 7‬‬

‫‪4 7‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪6 12‬‬

‫‪150‬‬

‫جمع کسرهای مخلوط‬ ‫• جمــع کس ـر‌های دارای عــدد صحیــح بــا جمــع کســرهای بــدون عــدد‬ ‫صحیــح چــی تفــاوت دارد؟‬ ‫‪5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫کسرهاي مخلوط با مخرج‌هاي مساوی طور زير جمع مي‌گردند‪.‬‬

‫کسرهای‪ 3 1 ( 2‬و ‪ ) 2 3‬را چنین جمع می‌کنیم‪:‬‬ ‫‪-13‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫طريقۀ اول‬

‫‪8‬‬

‫‪11‬‬

‫‪1 19 25 19 + 25 44 11 5 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪= +‬‬ ‫=‬ ‫= =‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫طريقۀ دوم‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3+1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫(‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+ 3 = )2 + 3( + ( + ) = +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬

‫کسرهاي مخلوط با مخرج‌هاي مختلف طور زير جمع مي‌شوند‪.‬‬ ‫‪ -2‬کسرهای ( ‪ 4 1‬و ‪ ) 1 2‬را چنين جمع مي‌کنيم‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪151‬‬

‫‪3‬‬

‫طريقۀ اول‬ ‫‪2 17 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+1 = +‬‬ ‫‪3 4 3‬‬ ‫‪4‬‬

‫ ‬

‫‪4‬‬

‫‪ =12‬کوچکترين مضرب مشترک مخرج‌ها (‪ 4‬و ‪)3‬‬ ‫‪1 2 17 5 (12 ÷ 4) ×17 + (12 ÷ 3) × 5‬‬ ‫= ‪4 +1 = +‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4 3 4 3‬‬ ‫‪( 3 ×17)+ (4 × 5 ) 51 + 20 71‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪= =5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪12 12 12‬‬ ‫‪12‬‬

‫طریقۀ دوم‬ ‫‪(12 ÷ 4) ×1 + (12 ÷ 3) × 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 17 5‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫‪+‬‬ ‫ـــــــ‬ ‫‪+‬‬ ‫( )‪+ 1 = (4 + 1‬‬ ‫)‬ ‫(‪) = 5 +‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3 4 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪11‬‬

‫ـــــــ‬

‫‪12‬‬

‫‪=5‬‬

‫‪11‬‬

‫ـــــــ‬

‫‪12‬‬

‫‪3+8‬‬

‫‪×11)+‬‬ ‫× ‪+(44‬‬ ‫)‪× 22‬‬ ‫× ‪( 33‬‬

‫‪ ) = 5 +‬ـــــــــــ‬ ‫( ‪)) = 5 +‬‬

‫‪12‬‬

‫(( ‪+‬‬ ‫‪55 +‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪ -3‬زلمــي توســط موترســايکل از خانــه بــه طــرف بــاغ خــود حرکــت‬

‫کــرد‪ .‬در ســاعت اول ‪ 4 3‬کيلومتــر‪ ،‬در ســاعت دوم ‪ 3 4‬کيلومتــر‬ ‫‪5‬‬ ‫و در ســاعت ســوم ‪ 3 1‬کيلومتر راه را طــي نمــوده و بــه بــاغ رســيد؛‬ ‫‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫معلــوم کنيــد کــه وی در مجمــوع چنــد کيلومتــر مســافت را پيمــوده اســت؟‬

‫‪152‬‬

‫حل‬ ‫‪16‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪25‬‬

‫‪+‬‬

‫‪7‬‬

‫‪+‬‬

‫‪23‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪+3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ = 35‬کوچکترين مضرب مشترک مخرج‌ها (‪ 5‬و ‪)7‬‬ ‫‪23 25 16 ( 35 ÷ 5) × 23 + ( 35 ÷ 7) × 25 + ( 35 ÷ 5) ×16‬‬ ‫= ‪+ +‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪5 7 5‬‬ ‫)‪( 7 × 23) + ( 5 × 25) + ( 7 ×16‬‬ ‫‪35‬‬

‫=‬

‫‪13‬‬ ‫‪161+ 125 + 112 398‬‬ ‫‪= 11‬‬ ‫=‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬

‫=‬

‫فعاليت‬ ‫‪-1‬کسرهاي زير را غیرواجب نموده؛ سپس با هم جمع کنيد‪.‬‬ ‫‪ -2‬در کســرهای زیــر‪ ،‬اعــداد صحیــح و کســرها را‬ ‫جــدا جــدا جمــع کنیــد‪.‬‬ ‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪9‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪+6‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪28‬‬

‫‪2‬‬

‫کسرهاي زير را با هم جمع کنيد‪.‬‬

‫‪153‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+3‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪36‬‬

‫‪4‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪+ 15 + 42‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪7‬‬

‫ ‬ ‫تمرین‬

‫ ‬

‫‪ -1‬کسرهاي زير را با هم جمع کنيد‪.‬‬ ‫‪11 4411 44‬‬ ‫‪11 44‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫ ‬ ‫‪544‬‬ ‫‪511 11‬‬ ‫‪44511 11‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪11 11‬‬ ‫‪178‬‬ ‫‪178‬‬ ‫‪11178‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪5 112‬‬ ‫‪5 112‬‬ ‫‪5 112‬‬ ‫‪6 8 112‬‬ ‫‪68 112‬‬ ‫‪8 112‬‬ ‫‪178‬‬ ‫‪178‬‬ ‫‪178 6‬‬ ‫‪6‬‬

‫= ‪+‬‬ ‫ ‬

‫‪68‬‬

‫‪68‬‬

‫‪8‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪6 14 6 14‬‬ ‫ ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪،‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪316 32‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪6 14 6 14‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪3225‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪31 125‬‬ ‫‪31 125‬‬ ‫‪31 125‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪25 100‬‬ ‫‪25 100‬‬ ‫‪25 100‬‬ ‫‪6‬‬

‫ ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪،‬‬

‫‪100 100 100‬‬ ‫‪100 100‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪76 7‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪878 87‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪18 788 18 788‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪78171 12‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪1 12‬‬ ‫= ‪+ 78‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪17 1217 12‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪876‬‬

‫‪ -2‬کســرهاي زيــر را توســط دریافــت کوچکتریــن مضــرب مشــترک‬ ‫مخرج‌هــا‪ ،‬هم‌مخــرج ســازيد و بــا هــم جمــع نماييــد‪.‬‬ ‫‪6 12‬‬ ‫ ‪1‬‬ ‫= ‪+ +‬‬ ‫‪3 7 21‬‬

‫‪6 7‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪9 18‬‬

‫‪50‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪6 13‬‬ ‫‪1 17‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪7 20‬‬ ‫‪3 24‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪6 98‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪9 108‬‬

‫‪80 24 20‬‬

‫‪17 + 98‬‬ ‫ ‬ ‫‪،‬‬ ‫=‬ ‫‪36 108‬‬

‫ ‬ ‫= ‪13‬‬ ‫ ‪50 + 17 +‬‬

‫‪،‬‬

‫‪5 3‬‬ ‫= ‪+‬‬ ‫‪36 48‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪58 25‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪36 48‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪،‬‬

‫= ‪8 + 25‬‬ ‫‪13 11‬‬

‫‪154‬‬

‫‪6‬‬

‫‪86‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪171‬‬

‫‪17‬‬

‫‪ -3‬کسرهاي زير را با هم جمع کنيد‪.‬‬ ‫‪6 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪+ 61 1 = 6‬‬ ‫ ‪،3 3 + 13‬‬ ‫ = ‪+ 39‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12 5‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪75‬‬ ‫‪147‬‬

‫‪9‬‬

‫‪14‬‬ ‫‪+2 1 = ،‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪99‬‬

‫‪21‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪1‬‬

‫ ‪12‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ ‪+ 258 612= 25، 6 8 + 9‬‬ ‫‪+ 7 9 3= 7 3‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪5150‬‬ ‫‪49‬‬ ‫‪104‬‬ ‫‪51 9‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪8‬‬

‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+5 = ،‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪57‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪7‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪ -4‬قيمــت يــک دانــه قلــم ـــ ‪ 8‬افغانــي و قيمــت يــک جلــد کتابچــه‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫ـــ ‪ 17‬افغاني است‪ ،‬مجموع قيمت قلم و کتابچه را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -5‬عارف ـــ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ـــــــ حصــۀ پــول خــود را يــک قلــم خودرنــگ خريــده اســت‪،‬‬ ‫نمــوده و‬ ‫‪7‬‬

‫حصــۀ پــول خــود را بــراي خريــد کتابچــه مصــرف‬

‫معلوم کنيد که چندم حصۀ پول خود را مصرف کرده است‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ -6‬جميلــه ـــــــ حصــۀ کيــک را روز دوشــنبه و ـــــــ حصــۀ آن را‬ ‫‪3‬‬

‫روز ســه شــنبه خــورده اســت‪ ،‬معلــوم کنيــد در مجمــوع چندم حصــۀ کيک‬ ‫را در دو روز خورده اســت‪.‬‬ ‫‪ -7‬در يــک مســابقۀ دوش ســلما ‪ 4 1‬دور و شايســته ‪ 3 2‬دور‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫دويده است‪ ،‬معلوم کنيد که آن‌ها در مجموع چند دور دويده اند‪.‬‬ ‫‪155‬‬

‫‪ -8‬گاللــي بــراي ســاختن کيک‪ 5 2 ،‬پيالــه آرد و بــراي پختــن نــان‬ ‫‪7‬‬

‫‪ 4 1‬پيالــه آرد را مصــرف کــرده اسـت‌‪ ،‬معلوم کنيد کــه وی در مجموع‬

‫‪14‬‬

‫چند پياله آرد مصرف نموده است‪.‬‬ ‫‪ -9‬خُ ــرم بــه مدت ‪ 1 1‬ســاعت از یــک قريــه ســفر کــرده بعــد از یــک‬ ‫‪2‬‬

‫توقــف‪ ،‬مدت ‪ 2 1‬ســاعت دیگــر ســفر می‌کند تا بــه کابل می‌رســد؛ معلوم‬ ‫‪4‬‬

‫کنيد که وی در مجموع چند ساعت سفر نموده است‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -10‬احمــد ـــــ حصــۀ پــول جيــب خــود را بــراي خريــد کيــک و ـــــ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬

‫حصــۀ آن را بــراي خریــد شــيريني مصــرف کــرده اســت؛ معلــوم کنيــد کــه‬ ‫وی کــدام کســر پــول خــود را مصــرف کــرده اســت‪.‬‬

‫‪156‬‬

‫تفريق کسرها‬ ‫تفريق کسرهايي که مخرج‌هاي مختلف داشته باشند‬ ‫• تفریق کسر‌ها با جمع کسر‌ها چی تفاوت دارد؟‬ ‫• آیــا در عملیــۀ تفریــق کســر‌ها بــرای دریافــت مخــرج مشــترک از‬ ‫کوچکتریــن مضــرب مشــترک مخرج‌هــا اســتفاده می‌شــود؟ چطــور؟‬ ‫کســرهايي را کــه مي‌خواهيــم تفريــق نماييــم‪ ،‬ماننــد جمــع اول مي‌بينيــم کــه‬ ‫هم‌مخــرج انــد و يــا خيــر؛ چنانچــه می‌دانیــد‪ ،‬در صورتــي کــه هم‌مخــرج‬ ‫باشــند يکــي از مخرج‌هــاي مســاوي را در مخــرج کســر قــرار داده‪،‬‬ ‫صورت‌هــا را از یکديگــر تفريــق مي‌کنيــم و در صــورت کســر مي‌نويســيم‪.‬‬ ‫مثال‌ها‬ ‫‪5 3 5-3 2 1‬‬ ‫= ‪-‬‬ ‫= =‬ ‫‪6 6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6 3‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪5 3 5-3 2 1‬‬ ‫= ‪-‬‬ ‫= =‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8 4‬‬

‫‪2-‬‬

‫در صورتــي کــه کســرها هم‌مخــرج نباشــند اول ماننــد جمــع آن‌هــا را‬ ‫هم‌مخــرج نمــوده‪ ،‬بعــد از همديگــر تفريــق مي‌کنيــم‪.‬‬ ‫مثال‌ها‬ ‫‪4×7‬‬ ‫‪2×5‬‬ ‫ــــــــــ ‪4 2‬‬ ‫‬‫ــــــــــ‬ ‫‪= 28 - 10 = 28 - 10 = 18‬‬ ‫= ‪-‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪7×5‬‬ ‫‪5 7 5×7‬‬ ‫‪35 35‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪3-‬‬

‫‪3×9‬‬ ‫‪1×7‬‬ ‫‪27 7 27 - 7 20‬‬ ‫‪3 1‬‬ ‫= ــــــــــ ‪ -‬ــــــــــ = ‪-‬‬ ‫= ‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪63‬‬ ‫‪63 63‬‬ ‫‪7 9‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪7×9‬‬ ‫‪9×7‬‬

‫‪4-‬‬

‫‪157‬‬

‫تفریق کسرها به کمک کوچکترین مضرب مشترک‬ ‫بــراي تفريــق کســرهايي کــه هم‌مخــرج نباشــند عــاوه بــر طريقــۀ قبلــی‬ ‫مي‌توانيــم ماننــد جمــع بــه کمــک دریافــت کوچکتريــن مضــرب مشــترک‬ ‫مخرج‌هــا نیــز آن‌هــا را هم‌مخــرج ســاخته و از هــم تفريــق نماييــم‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬کسر ‪ 5‬از کسر ‪ 11‬چنين تفريق مي‌گردد‪.‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪15‬‬

‫حــل‪ :‬اول کوچکتريــن مضــرب مشــترک مخرج‌هــا را دريافــت‬ ‫می‌کنیــم؛ بعــد از آن ماننــد جمــع‪ ،‬کوچکتريــن مضــرب مشــترک را بــه‬ ‫مخــرج هــر کســر تقســيم می‌کنیــم و حاصــل تقســيم را در صــورت همــان‬ ‫کســر ضــرب کــرده‪ ،‬از هــم تفريــق مي‌نماييــم‪.‬‬

‫‪15‬‬

‫‪5 × 4 × 3 = 60‬‬

‫‪5‬‬

‫‪12‬‬

‫ ‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫چــون کوچکتريــن مضــرب مشــترک مخرج‌هــا (‪ 12‬و ‪ )15‬عــدد ‪60‬‬ ‫می‌باشــد؛ پــس‪:‬‬

‫‪11 5 (60÷ 15) ×11 − (60÷12) × 5 4 ×11 − 5 × 5‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪15 12‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪44 − 25 19‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪60‬‬ ‫‪60‬‬

‫‪158‬‬

‫مثال دوم‪ :‬کسر ‪ 4‬از کسر ‪ 13‬چنين تفريق مي‌گردد‪:‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪5 × 6 ×3 = 90‬‬

‫‪18‬‬

‫‪15‬‬

‫‪18‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫چــون کوچکتريــن مضــرب مشــترک مخرج‌هــا (‪ 15‬و ‪ )18‬عــدد ‪90‬‬ ‫می‌باشــد؛ پــس‪:‬‬ ‫) ‪13 4 (90÷ 18) ×13 − (90÷ 15) × 4 (5 ×13 )− (6 × 4‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪18 15‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪65 − 24 41‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪90‬‬ ‫‪90‬‬

‫فعاليت‬ ‫با مساوي ساختن مخرج‌ها‪ ،‬کسرهاي داده شدۀ زير را از هم تفريق کنيد‪.‬‬ ‫‪5 3‬‬ ‫= ‪-‬‬ ‫‪6 4‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫= ‪-‬‬ ‫‪2 8‬‬

‫‪5‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫مخــرج مشــترک کســرهاي زيــر را بــه کمــک کوچکتریــن مضــرب‬ ‫‪25 87‬‬ ‫مشــترک ‪126 94‬‬ ‫دهیــد‪.‬‬ ‫دريافــت نمــوده‪ ،‬عملیــۀ تفريــق را انجــام‬

‫‪159‬‬

‫‪18 27‬‬

‫‪16 28‬‬

‫‪12 9‬‬ ‫= ‪-‬‬ ‫‪18 27‬‬

‫‪5 7‬‬ ‫= ‪-‬‬ ‫‪16 28‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫‪ -1‬با مساوي ساختن مخرج ها‪ ،‬کسر ‪ 2‬را ازکسر ‪ 10‬تفريق کنيد‪.‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ - 2‬مخــرج مشــترک کســرهاي زيــر را بــه کمــک کوچکتریــن مضــرب‬ ‫مشــترک دريافــت کــرده‪ ،‬عملیــۀ تفريــق را انجــام دهیــد‪.‬‬ ‫‪9 7‬‬ ‫= ‪-‬‬ ‫‪14 18‬‬ ‫تمرین‬

‫ ‬

‫‪ -1‬کسرهاي زير را از هم تفريق نماييد‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ ‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬‫‪9 8‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪،‬‬

‫‪8 4‬‬ ‫‬‫‪10 6‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫ ‪-‬‬ ‫‪2 12‬‬

‫‪،‬‬

‫‪69 12‬‬ ‫‬‫‪12‬‬ ‫‪10 43‬‬

‫ ‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪ -2‬کســرهاي زيــر را بــه کمــک دریافــت کوچکتریــن مضــرب مشــترک ‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫مخرج‌هــا‪ ،‬هم‌مخــرج ســاخته‪ ،‬از هــم تفريــق نماييــد‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪24 12‬‬ ‫ ‬ ‫‬‫‪30 18‬‬

‫‪18 6‬‬ ‫‬‫ ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪24 18‬‬

‫‪،‬‬

‫‪9 8‬‬ ‫‬‫‪16 24‬‬

‫‪160‬‬

‫تفريق کسرهاي مخلوط‬ ‫• تفریــق کســرهایی کــه عــدد صحیــح دارنــد بــا تفریــق کســرهایی کــه‬ ‫عــدد صحیــح ندارنــد‪ ،‬چــی تفــاوت دارد؟‬ ‫به مثال‌هاي زير توجه کنيد‪.‬‬ ‫مثال اول‪ :‬کسر ‪ 5 2‬را از کسر ‪ 6 3‬چنين تفريق مي‌نماييم‪:‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪7‬‬

‫حــل‪ :‬اول کســر‌ها را غيرواجــب نمــوده‪ ،‬بعــد از آن عمليــۀ تفريــق را‬ ‫اجــرا مي‌نماييــم‪.‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪7‬‬

‫ـــــــــــــــــ ‪2‬‬ ‫ـــــــــــــــــ ‪(7 × 6)+ 3 -‬‬ ‫‪(7 × 5)+ 2 = 42 + 342 +353 + 23545‬‬ ‫‪+ 2 37‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‬‫ =‬‫‪65 -5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7 7‬‬ ‫‪77 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪45 - 37 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬

‫=‬

‫مثال دوم‪ :‬کسر ‪ 6 4‬از کسر ‪ 8 5‬طور زير تفريق مي‌گردد‪:‬‬ ‫‪9‬‬

‫حل‪:‬‬ ‫ ‬ ‫پس‪:‬‬

‫‪161‬‬

‫‪12‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪4 101 58‬‬ ‫= ‪−6‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪12 9 12 9‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ = 36‬کوچکترين مضرب مشترک مخرج‌ها (‪ 9‬و ‪)12‬‬

‫‪5‬‬ ‫( ‪4 101 58 ) 3 ×101(−)4 × 58‬‬ ‫= ‪−6‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫‪12 9 12 9‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪303 − 232 71 35‬‬ ‫=‬ ‫‪= =1‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪36 36‬‬

‫‪8‬‬

‫‪6‬‬

‫مثــال ســوم‪ :‬فاصلــه بيــن دو قريه ‪ 12 6‬کيلومتــر اســت‪ .‬يــک نفر توســط‬ ‫‪7‬‬

‫اسپ از يک قــــريه به سوی قریۀ دیگر حرکت کرده است‪ ،‬در صورتي که‬

‫نفــر مذکور ‪ 6 4‬کيلومتــر فاصلــه را طــي کرده باشــد‪ ،‬معلــوم کنيدکه چند‬ ‫‪5‬‬

‫کيلومتر راه باقي مانده است تا به قریۀ دیگر برسد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪(5 × 6)+ 4‬‬ ‫ـــــــــــــــــــ ‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ـــــــــــــــــــ ‪= (7 × 12)+ 6 -‬‬ ‫‪12 - 6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ ‬ ‫ ‪5‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪84 + 6 30 + 4 90 34‬‬ ‫‬‫ =‬‫‪7 5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫‪ 35‬کوچکترين مضرب مشترک مخرج‌ها (‪ 5‬و ‪ )7‬است‪.‬‬ ‫پس‪:‬‬

‫‪90 34 )5 × 90(−)7 × 34( 450− 238 212‬‬ ‫= ‪−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪7 5‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪35‬‬

‫بنابر آن‪:‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪4 212‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪12 − 6‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪7 5 35‬‬ ‫‪35‬‬

‫و يــا در تفريــق کســرهايي کــه داراي عــدد صحيــح انــد‪ ،‬اول مخــرج‬ ‫مشــترک را پيــدا مي‌نماييــم؛ اگــر کســر مفــروق منــه از کســر مفــروق‬

‫کوچکتــر باشــد‪ ،‬از عــدد صحيــح کســر مفــروق منــه يــک واحــد گرفتــه و‬ ‫آن را بــه کســر تبديــل می‌نماییــم؛ بعــد آن را بــا کســر مفــروق منــه جمــع‬

‫مي‌کنيــم و ســپس عــدد صحیــح را از عــدد صحیــح و قســمت کســری را از‬

‫قســمت کســری تفريــق می‌نماییــم‪.‬‬

‫‪162‬‬

‫‪1 3‬‬ ‫مثال چهارم‪:‬‬ ‫‪3 −1‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫طــوری کــه دیــده می‌شــود قســمت کســری مفروق ‪1‬‬ ‫‌منــه(‪)3 −‬کوچکتــر‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪1 3‬‬ ‫اســت؛ پــس نخســت از عــدد صحيــح‬ ‫از قســمت کســری مفــروق( ‪3 −)1‬‬ ‫‪3 4‬‬

‫مفروق‌منــه (‪ )3‬يــک واحــد را بــا قســمت کســری آن جمــع نمــوده‪ ،‬بعــد‬ ‫عملیــۀ تفریــق را انجــام می‌دهیــم‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ( 1+‬‬ ‫کسر ـــــ ‪ 3‬را می‌توان به این طریق نیز نوشت‪) :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‬ ‫=‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪= 2 ( 1+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪=2‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫)‬

‫=)‬

‫‪) 1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪12‬‬

‫‪3‬‬

‫( ‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‬

‫‪163‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫=‬ ‫کوچکترین مضرب مشترک مخرج‌ها‬ ‫(‪ )4 ، 3‬عدد ‪ 12‬است؛ پس‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2 ( 1+‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫( ‪( 2-1) +‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪=1‬‬

‫‪1+‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪1+‬‬

‫فعاليت‬ ‫کسرهاي زير را از هم تفريق نماييد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪-3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬

‫ ‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪5‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫تفريق کنيد‪.‬‬ ‫کسرهاي زير را‪ 5‬از هم ‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫‪9 - 3‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫تمرین‬

‫‪2‬‬

‫ ‬

‫‪ -1‬کسرهاي زير را از هم تفريق کنيد‪.‬‬ ‫ ‪11‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‬‫‪15 18‬‬

‫ ‪28‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‬‫‪45 45‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3 - 2‬‬ ‫‪7 7‬‬

‫ ‪125‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‬‫‪36‬‬ ‫‪12 36‬‬ ‫‪24‬‬

‫ ‪7‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪9 12‬‬

‫‪،‬‬

‫ ‪30‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‬‫‪8 20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪65‬‬

‫‪9 6‬‬ ‫‬‫‪15 15‬‬

‫ ‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‬‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪15 17‬‬

‫‪،‬‬

‫‪13 6‬‬ ‫‬‫‪21 21‬‬ ‫‪164‬‬

‫‪ -2‬کســرهاي زيــر را بــه کمــک دریافــت کوچکتریــن مضــرب مشــترک‬ ‫مخرج‌هــا‪ ،‬هم‌مخــرج ســاخته و از هــم تفريــق نماييــد‪.‬‬ ‫‪19 11‬‬ ‫ ‬ ‫‬‫‪35 40‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ ‬ ‫‪،‬‬ ‫‬‫‪18 27‬‬

‫‪5 2‬‬ ‫‬‫‪6 9‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ -3‬کسرهاي زير را از هم تفريق نماييد‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ ‬ ‫‬‫‪18‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ ‬

‫‪،‬‬

‫‪11‬‬ ‫‪21‬‬ ‫ ‬ ‫‪- 111‬‬ ‫‪128‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪48‬‬

‫‪،‬‬

‫ ‬

‫‪7‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪24 - 21‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪ -4‬معلــم دری از ‪2‬‬ ‫‪ 100‬صفحــۀ کتــاب دری بــه تعــداد ـــــ ‪18‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫صفحــۀ آن را بــه شــاگردان تدريــس نمــوده اســت‪ ،‬معلــوم کنيــد کــه چنــد‬ ‫صفحــۀ کتــاب باقــي مانــده اســت‪.‬‬ ‫‪ -5‬يــک مســلمان در يــک شــبانه‌روز مــدت ‪ 31 2‬ســاعت را صــرف‬ ‫‪3‬‬

‫اداي نمــاز و تــاوت قرآن‌کريــم مي‌نمايــد؛ معلــوم کنيــد چنــد ســاعت‬

‫ديگــرآن بــراي تهيــۀ نفقـه‌‪ ،‬خدمــت بــه مــردم و اســتراحت باقــي مي‌مانــد‪.‬‬ ‫‪ -6‬دو قاليــن کــه يکــي آن ‪ 2‬متر‌مربــع اتــاق را و ديگــر آن ‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫متر‌مربــع اتــاق را مي‌پوشــاند‪ ،‬معلــوم کنيــد کــه قاليــن اول نســبت بــه قاليــن‬ ‫دوم چند متر مربع بزرگتر است‪.‬‬

‫‪165‬‬

‫‪ -7‬یــک دهقــان از جملۀ ‪ 125 1‬ســيرگندم کــه آن را بــراي کشــت آماده‬ ‫‪2‬‬

‫کرده بود‪ ،‬مقدار ‪ 65 3‬ســير آن را کشــت نموده اســت؛ معلوم نمایيد که‬ ‫‪4‬‬

‫چند سير آن باقي مانده است‪.‬‬

‫‪ -8‬يــک ادويه‌فــروش از جملــة ‪ 625 3‬افغاني‪ 412 1 ،‬افغانــي را‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ادويــه و پــول متباقــي را ســيروم خريــداري نمــوده اســت؛ معلــوم کنيــد کــه‬

‫چنــد افغانــي را در خريــد ســيروم بــه مصــرف رســانيده اســت‪.‬‬

‫‪166‬‬

‫ضرب کسرها‬ ‫ضرب عدد صحيح در کسر و ضرب کسر در عدد صحيح‬ ‫• حاصــل جمــع )‪ ( 1 + 1 + 1‬را بــه شــکل حاصــل ضــرب تبدیــل نمــوده‬ ‫‪7 7 7‬‬ ‫می‌توانیــد؟‬ ‫الف‪ :‬ضرب عدد صحيح در کسر‬ ‫به اشکال زير متوجه شويد‪.‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫در شکل طرف چپ ديده مي‌شود که ‪ 3‬حصۀ شکل رنگ‌شده است‪،‬‬

‫‪8‬‬ ‫اگر ‪ 2‬تا ‪ 3‬حصه از اين شکل رنگ شود‪ 6 ،‬حصۀ آن رنگ مي‌شود‪.‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪8‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫‪+ = 3+3 = 6‬‬ ‫‪8 8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪= 2× 3 = 6‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪167‬‬

‫‪8‬‬

‫دفعه‬ ‫‪2 ، 3‬ﺩﺍﻧﻪ‬

‫‪8‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪16‬‬ ‫‪18‬‬

‫در شــکل طــرف چــپ ديــده مي‌شــود که ‪ 4‬حصــۀ شــکل رنگ‌شــده‬ ‫‪18‬‬ ‫اســت‪ ،‬اگــر ‪ 4‬تا ‪ 4‬حصــۀ ايــن شــــکل رنــگ شــود‪ 16 ،‬حصۀ‬ ‫‪18‬‬

‫آن شکل رنگ مي‌شود؛ پس مي‌توانيم بنويسيم‪:‬‬ ‫‪-3‬‬

‫‪18‬‬

‫‪4 16‬‬ ‫=‬ ‫‪18 18‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬

‫×‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫در شــکل طــرف چــپ ديده مي‌شــود که ‪ 2‬حصۀ دايره رنگ‌شــده اســت‪،‬‬ ‫‪8‬‬

‫اگــر ‪ 3‬تا ‪ 2‬حصــۀ ايــن دايــره رنــگ شــود‪ 6 ،‬حصۀ آن رنــگ‬ ‫‪8‬‬

‫مي‌شــود؛ پــس می‌توانیــم بنویســیم‪:‬‬

‫‪8‬‬

‫‪2 6‬‬ ‫=‬ ‫‪8 8‬‬

‫×‪3‬‬

‫‪168‬‬

‫ب‪ :‬ضرب کسر در عدد صحيح‬ ‫به مثال‌هاي زير متوجه شويد‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫يا‬ ‫‌شود؟‬ ‫ي‬ ‫م‬ ‫چند‬ ‫دفعه‬ ‫‪4‬‬ ‫‌‪،‬‬ ‫‪ -1‬کسر‬ ‫= ? ?= ‪× 4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫کســر ‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تقسيم نموده‪ ،‬بعد دو حصۀ هر واحد را رنگ مي‌کنيم‪ ،‬يعني‪:‬‬

‫‪ 4،‬دفعــه‪ ،‬يعنــي ابتــدا هر يک از ‪ 4‬واحد را به ســه حصۀ مســاوي‬

‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬

‫طوري که در شکل‌های باال ديده مي‌شود‪ 2 ،‬چهار تا ‪ 8 ،‬مي‌شود‪.‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ‪×4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫بنابر آن‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪ -2‬کسر‬ ‫‪4‬‬ ‫‪169‬‬

‫‪3‬‬

‫‌‪ 5 ،‬دفعه چند مي‌شود؟‬

‫يا ?=‬

‫‪3‬‬ ‫‪ × 5‬ــــ‬ ‫‪4‬‬

‫کسر ‪ 5 ، 3‬دفعه‪ ،‬يعني اول هر يک از ‪ 5‬واحد را به چهارحصۀ مساوي‬ ‫‪4‬‬ ‫تقسيم نموده‪ ،‬بعد سه حصۀ هر واحد را رنگ مي‌کنيم‪ ،‬يعني‪:‬‬

‫در شکل‌های باال ديده مي‌شود که ‪ 3‬پنج تا‪ 15 ،‬مي‌شود‪.‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬ ‫ ‬

‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪15 3‬‬ ‫‪×5 = = 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫از حــل مثال‌هــاي فــوق مي‌توانيــم بنويســيم کــه‪ :‬هــرگاه يــک عــدد صحيــح‬ ‫در کســر و يــا کســر در عــدد صحيــح ضــرب شــود‪ ،‬عــدد صحيــح تنهــا در‬ ‫صورت کسر ضرب گرديده و بر مخرج اولي نوشته مي‌شود‪ .‬‬ ‫ ‬

‫فعاليت‬ ‫در مورد هريک از شکل‌هاي زير‪ ،‬مانند مثال حل شده عمل کنيد‪.‬‬

‫ ‬

‫‪ 4‬تا ‪ 12 ، 3‬می‌شود‪.‬‬

‫ ‬

‫پس‪3 12 :‬‬ ‫=‬ ‫‪15 15‬‬

‫‪15‬‬

‫‪15‬‬

‫×‪4‬‬

‫‪170‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫سؤال‌های زیر را ضرب نمایید ‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫= ‪×8‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪3−‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3‬‬ ‫= ×‪5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1−‬‬

‫‪4‬‬ ‫= ‪×4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4−‬‬

‫‪،‬‬

‫‪6‬‬ ‫= ×‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪2−‬‬

‫ ‬

‫تمرین‬

‫مانند مثال حل شده‪ ،‬سؤال‌های زیر را ضرب نمایید‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪11‬‬

‫×‪3‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪×3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪×7‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪171‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪15‬‬

‫×‪4‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪×4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪×2‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪12‬‬

‫×‪2‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪×7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪×8‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪3 15‬‬ ‫=‬ ‫‪16 16‬‬

‫×‪5‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪×5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪×4‬‬ ‫‪3‬‬

‫ضرب کسر درکسر‬ ‫• دو کسر دلخواه خود را بنویسید‪.‬‬ ‫• آیا می‌توانید این دو کسر را با هم ضرب کنید؟‬ ‫به اشکال زير متوجه شويد‪.‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫طــوري کــه در شــکل طــرف چــپ ديــده مي‌شــود‪ 1 ،‬حصۀ شــکل‬ ‫‪2‬‬ ‫رنگ‌شــده اســت‪ ،‬اگــر یــک ســوم حصــۀ ایــن ‪ 1‬را در شــکل مقابــل‬

‫‪2‬‬ ‫آن در نظــر بگیریــم‪ 1 ،‬حصــۀ تمــام شــکل می‌شــود؛ بنابــر آن می‌توانیــم‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1 11 1 1111 111 1‬‬ ‫بنویســیم کــه‪:‬‬ ‫= =×= ××=‬ ‫‪23 3 6232 626 6‬‬

‫‪-2‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪2 ×4‬‬ ‫=‬ ‫‪3 5‬‬

‫‪ 2‬شــکل طــرف چــپ رنــگ گردیــده اســت و در شــکل مقابــل آن ‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫از این‬

‫‪3‬‬

‫مشــخص گردیــده اســت‪.‬‬

‫‪172‬‬

‫×‬

‫‪3‬‬

‫طوری که دیده می‌شود‪ 4 ،‬این ‪ 2‬مساوی با ‪ 8‬است؛ و یا‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪15‬‬

‫‪3‬‬

‫‪4 2 8‬‬ ‫= ×‬ ‫‪5 3 15‬‬

‫مثال اول‪ :‬کسر ‪ 3‬در کسر ‪ 2‬چنين ضرب مي‌گردد‪:‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪5‬‬

‫‪6‬‬ ‫‪3×2‬‬ ‫ـــــــــــ ‪3 × 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪4 × 5 20‬‬

‫مثال دوم‪ :‬کسر ‪ 2‬درکسر ‪ 4‬چنين ضرب مي‌گردد‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪9‬‬

‫‪2×4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ـــــــــــ ‪2 × 4‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5 9 5 × 9 45‬‬

‫از مثال‌هاي حل‌شدۀ باال مي‌توانيم بنويسيم که‪:‬‬ ‫صورت کرس دوم × صورت کرس اول‬ ‫مخرج کرس دوم × مخرج کرس اول‬

‫= کرس × کرس‬

‫فعاليت ها‬

‫‪ -1‬در شــکل زير ‪ 3‬حصــۀ آن رنــگ گرديــده اســت‪ 1 ،‬اين ‪ 3‬را‬ ‫‪5‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫مشــخص کنيــد و بگوييــد که ‪ 1‬حصــۀ شــکل ‪ ، 3‬کــدام کســري از‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫شــکل اســت‪.‬‬ ‫‪173‬‬

‫‪1 ×3‬‬ ‫=‬ ‫‪2 5‬‬

‫‪ -2‬در شــکل زير ‪ 2‬حصــۀ آن رنــگ گرديــده اســت‪ 1 ،‬حصۀ ايــن‬

‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 2‬را مشــخص کــرده و بگوييــد که ‪ 1‬حصــۀ شــکل ‪ 2‬کدام‬ ‫‪7‬‬

‫کســري از شــکل اســت‪.‬‬

‫‪7‬‬

‫‪3‬‬

‫‪1 ×2‬‬ ‫=‬ ‫‪3 7‬‬

‫ ‬

‫کار خانه‌گي‬

‫کسرهاي زير را ضرب کنيد‪.‬‬ ‫ ‪7 × 4‬‬ ‫ × ‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪8 6‬‬ ‫‪9 8‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3 ×5‬‬ ‫=‬ ‫‪4 6‬‬

‫‪174‬‬

‫يادداشت‬ ‫‪ -1‬هــر عــدد صحيــح داراي مخــرج (‪ )1‬اســت؛ طورمثــال‪،4 ،3 ،2 ،1( :‬‬ ‫‪ )...‬داراي مخــرج (‪ )1‬می‌باشــند و بــه شــکل زيــر آن‌هــا را مي‌توانيــم‬ ‫بنويســيم‪:‬‬ ‫‪...‬‬

‫‪،‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ -2‬معکــوس ( ســرچپه)کردن‪ :‬نوشــتن صــورت بــه جــاي مخــرج و مخــرج‬ ‫بــه جــاي صــورت کســر را معکــوس ( ســرچپه) مي‌گوينــد‪.‬‬ ‫طورمثال‪ :‬معکوس‬ ‫عبارت است از‪:‬‬

‫‪، 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪9‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪2 ،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪7 ، 4 ،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪7 4‬‬

‫‪ -3‬اگر حاصل ضرب دو کسر (‪ )1‬باشد‌‪ ،‬مي‌گوييم هر يک از کسرها‬

‫‪1‬‬ ‫و ــــــ معکوس‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫معکوس ـــــ‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫معکوس يكديگر اند‪ ،‬طور مثال‪ :‬عدد ‪ 6‬معکوس ــــــ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫عدد ‪ 6‬است؛ همچنان ــــــ معکوس ــــــ و ــــــ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫است‪ ،‬زيرا‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ـــــ × ‪3‬‬ ‫ـــــ‪41 12‬‬ ‫‪612‬‬ ‫ـــــ ‪31 × 4‬‬ ‫‪= = = 1= ۶‬‬ ‫‪۶‬‬ ‫ـــــ‬ ‫‪==۱1‬‬ ‫=‬ ‫‪۶‬‬ ‫=‬ ‫‪4 36 12 6‬‬ ‫‪۶‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4 3 12‬‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺙ‬ ‫‪3 × 4 12‬‬ ‫‪4 43 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪= =1۱‬ـــــ ==ـــــ × ـــــ‬ ‫‪4 3 12‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪43 34 12‬‬ ‫ﺙ‬ ‫ﺙ‬ ‫‪ -4‬در ضــرب کــردن کســرها‪ ،‬مي‌تــوان اول کســرها را توســط اختصــار‪،‬‬ ‫ســاده نمــود و بعــد از آن عمليــۀ ضــرب را انجــام داد‪.‬‬ ‫‪175‬‬

‫مثال‌ها‪:‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪3 4 3 4 1 1 1×1 1‬‬ ‫= × = × = ×‬ ‫=‬ ‫‪9 16 9 16 3 4 3 × 4 12‬‬ ‫‪3 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5 7 5 7 1 7 1× 7 7‬‬ ‫=‬ ‫= × = × = ×‬ ‫‪25 9 25 9 5 9 5 × 9 45‬‬ ‫‪5‬‬

‫همچنيــن در ضــرب کســرها‪ ،‬مي‌توانيــم صــورت يــک کســر را بــا مخــرج‬ ‫هرکســر ديگــر اختصــار نماييــم و بعــد آن‌هــا را بــا هــم ضــرب کنیــم‪.‬‬ ‫مثال‌ها‪:‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪8 9 8 9 1 1 1× 1 1‬‬ ‫=‬ ‫= × = × = ×‬ ‫‪27 40 27 40 3 5 3 × 5 15‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12 7 12 7 1 7 1× 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫= × = × = ×‬ ‫=‬ ‫‪45 72 45 72 45 6 45 × 6 270‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪ -5‬در ضــرب کســرها‌‪ ،‬اگــر جاهــاي کســرها تبديــل شــود درحاصــل‬ ‫ضــرب کســر‪ ،‬تغييــر رخ نمي‌دهــد‪ ،‬ايــن خاصيــت را بــه نــام خاصيــت‬ ‫تبديلــي عمليــة ضــرب کســرها مي‌نامنــد‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬

‫‪7 8 7 × 8 56‬‬ ‫= ×‬ ‫=‬ ‫‪9 11 9 ×11 99‬‬

‫يا‪:‬‬

‫‪8 7 8 × 7 56‬‬ ‫=‬ ‫= ×‬ ‫‪11 9 11× 9 99‬‬

‫‪176‬‬

‫‪ -6‬خاصيــت اتحــادي نیــز در عمليــة ضــرب کســرها ماننــد ديگــر اعــداد‬ ‫صــدق مي‌کنــد‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬

‫‪3 1 7 3 1 7 3 7 21‬‬ ‫= × = ) × (× = × ×‬ ‫‪4 5 8 4 5 8 4 40 160‬‬

‫يا‪:‬‬

‫‪3 1 7 3 1 7 3 7 21‬‬ ‫= × = ×) × (= × ×‬ ‫‪4 5 8 4 5 8 20 8 160‬‬

‫يا‪:‬‬

‫‪3 1 7 3 7 1 21 1 21‬‬ ‫= × = ×) × (= × ×‬ ‫‪4 5 8 4 8 5 32 5 160‬‬

‫‪7 1 3‬‬ ‫ديــده مي‌شــود کــه کســرهاي ــــ ‪ ،‬ــــ و ــــ به ســه شــکل بــا هــم‬ ‫‪8 5 4‬‬ ‫ضــرب شــده و حاصــل ضــرب آن‌هــا بــا هــم مســاوي اســت؛ پــس می‌تــوان‬ ‫گفــت کــه عملیــۀ ضــرب کســرها خاصيــت اتحــادي را صــدق می‌کنــد‪.‬‬ ‫ضرب کسرهاي مخلوط‬ ‫• ضــرب کســرهای دارای عــدد صحیــح بــا ضــرب کسـر‌های بــدون عــدد‬ ‫صحیــح چــی تفــاوت دارد؟‬ ‫• آیــا در ضــرب کســر‌های دارای عــدد صحیــح‪ ،‬اعــداد را بــا هــم و‬ ‫کســرها را بــا هــم بــه صــورت جداگانــه ضــرب نمــوده می‌توانیــم؟‬ ‫در ضــرب کســرهاي مخلــوط‪ ،‬ابتــدا شــکل کســر مخلــوط را بــه شــکل‬ ‫کســری تبديــل نمــوده‪ ،‬بعــد از آن عمليــۀ ضــرب را انجــام مي‌دهيــم‪.‬‬ ‫‪177‬‬

‫به مثال‌هاي زير توجه کنيد‪.‬‬

‫‪3 2 11 7 11× 7 77 17‬‬ ‫= × = ‪2 ×1‬‬ ‫‪= =3‬‬ ‫‪4 5 4 5 4 × 5 20 20‬‬

‫‪1-‬‬

‫‪5 7 5 31 5 × 31 155 11‬‬ ‫= × = ‪×3‬‬ ‫=‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪6 8 6 8 6 × 8 48‬‬ ‫‪48‬‬

‫‪2-‬‬

‫‪12 × 6‬‬

‫‪3-‬‬

‫‪11 12 11 12 89 12 × 89 1068‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪= 82‬‬ ‫= × = ‪= ×6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13 1 13 1 13 1×13 13‬‬

‫‪ -4‬اگــر يــک نفــر بــه طور اوســط در يــک ســاعت ‪ 3 3‬کيلومتر مســافت‬ ‫‪4‬‬

‫را طــي کنــد‪ ،‬معلــوم کنيــد در ‪ 1‬ســاعت چنــد کيلومتــر مســافت را طــي‬ ‫‪2‬‬ ‫مي‌کنــد‪.‬‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪3 1 15 1 15 ×1 15 7‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫= × = × ‪3‬‬ ‫‪4 2 4 2 4 ×2 8 8‬‬

‫پس در ‪ 1‬ساعت‪ 1 7 ،‬کيلومتر مسافت را طي مي‌کند‪ .‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪8‬‬

‫‪ 2 -5‬حصــۀ وزن بــدن انســان را آب تشــکيل داده اسـت‌‪ ،‬در صورتـــی‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫کــه وزن بــــدن يـ ـک‌نفر ‪ 64‬کيلوگرام باشــد‪ ،‬وزن آب در بــدن او چنــد‬ ‫‪7‬‬

‫کيلوگــرام خواهــد بــود؟‬

‫حل‪:‬‬

‫‪300‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2 450 2 × 450 900 300‬‬ ‫‪6‬‬ ‫× = ‪× 64‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 42‬‬ ‫‪7 3 7‬‬ ‫‪3 × 7 21 7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪178‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪ -1‬کسرهاي زير را با هم ضرب نمایيد‪.‬‬ ‫ ‪1‬‬ ‫= ‪4 ×2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2 3‬‬ ‫= ‪3 ×1‬‬ ‫‪4 5‬‬

‫‪ -2‬اگــر قيمــت يــک عــدد پنســل ‪ 3 1‬افغاني باشــد‪ ،‬قيمــت ‪ 8‬عــدد‬ ‫‪2‬‬ ‫پنســل چنــد افغانــي مي‌شــود؟‬ ‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫‪2 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪ 4) ×30‬ســال اسـ ‪،‬‬ ‫عمــر فاطمـ=ـه ‪2‬‬ ‫ـت و تــا حــال= ‪×1‬حص‪3‬ــۀ عمــر خــود را صــرف‬ ‫‪4 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫تحصيــل نمــوده اســت‌‪ ،‬معلــوم کنيــد کــه چنــد ســال از عمــر خــود را‬ ‫صــرف تحصيــل نمــوده اســت‪.‬‬

‫تمرین‬

‫ ‬

‫‪ -1‬کسرهاي زير را اول اختصار کرده‪ ،‬بعد با هم ضرب نماييد‪.‬‬ ‫‪2 2 8‬‬ ‫× ×‬ ‫‪3 3 14‬‬ ‫‪7 5 3‬‬ ‫× ×‬ ‫‪3 6 8‬‬ ‫‪179‬‬

‫‪3 5‬‬ ‫×‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪7 5‬‬ ‫×‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪،‬‬

‫‪4 7‬‬ ‫×‬ ‫‪5 3‬‬

‫‪14 34‬‬ ‫×‬ ‫‪،‬‬ ‫‪17 30‬‬

‫‪8 10‬‬ ‫×‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4 12‬‬

‫‪،‬‬

‫‪5 4‬‬ ‫×‬ ‫‪4 5‬‬

‫‪ -2‬حاصل ضرب کسرهاي زير را معلوم کنيد‪.‬‬ ‫‪6 7‬‬ ‫?= ‪×3‬‬ ‫‪7 8‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3 7‬‬ ‫?= ×‬ ‫‪4 8‬‬

‫‪،‬‬

‫‪7 3‬‬ ‫?= ×‬ ‫‪8 4‬‬

‫‪،‬‬

‫‪7 6‬‬ ‫?= × ‪3‬‬ ‫‪8 7‬‬

‫‪17 9‬‬ ‫?= ×‬ ‫‪18 11‬‬

‫‪،‬‬

‫‪4‬‬ ‫? = ‪×2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪،‬‬

‫‪4‬‬ ‫? = ×‪2‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪،‬‬

‫‪9 17‬‬ ‫?= ×‬ ‫‪11 18‬‬

‫‪3 1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫= ×‬ ‫‪ -3‬در خاليگاه‌هاي زير عدد مناسب آن را بنويسيد‪× × .‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪4 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫== ‪3 ××1‬‬ ‫‪11 ××11 × 1‬‬ ‫×‬ ‫×‬ ‫= ×‬ ‫‪× 4× 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪464 323‬‬ ‫‪46 3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪831 ××315 == 1 × ×1 ××11 ×11‬‬ ‫= ×‬ ‫×‪× 6‬‬ ‫‪× 2‬‬ ‫‪6486 2342 8‬‬ ‫‪64 34‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪18 ××53 ==1 × ×1 ××1 ×1 1‬‬ ‫× ‪× 4= 8× × × 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6898 4213‬‬ ‫‪619 4‬‬ ‫‪213‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪41 ×57 =1‬‬ ‫‪1 ×1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫×‬ ‫×‬ ‫××‪× 13== × × 19‬‬ ‫‪× 13‬‬ ‫‪989 13‬‬ ‫‪19 4‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪4 8‬‬ ‫را حل کنيد‪4 7 .‬‬ ‫‪ -4‬نظر به خاصيت اتحادي عمليۀ ضرب‪ ،‬سؤا ‪1‬ل‌های زير ‪1‬‬ ‫= ×‬ ‫× ×‬ ‫×‬ ‫‪9 13‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1 3 7‬‬ ‫‪2 4 2‬‬ ‫?= × ×‬ ‫?= × ×‬ ‫‪،‬‬ ‫‪8 4 13‬‬ ‫‪5 7 12‬‬

‫? ‪4 1 7‬‬ ‫×‬ ‫= ×‬ ‫ ‬ ‫‪5 6 8‬‬

‫‪،‬‬

‫? ‪3 5 3‬‬ ‫×‬ ‫= ×‬ ‫‪8 7 13‬‬

‫‪12‬‬ ‫? ‪1 2‬‬ ‫ ‬

‫‪،‬‬

‫? ‪3 6 4‬‬ ‫= × ×‬ ‫‪7 7 11‬‬

‫=‬

‫‪4‬‬

‫×‬

‫‪3‬‬

‫×‬

‫‪15‬‬

‫‪180‬‬

‫‪ -5‬کسرهاي زير را با هم ضرب نماييد‪.‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫? = ‪7 ×2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪4 7‬‬ ‫? = ‪3 ×1 × 50‬‬ ‫‪5 8‬‬

‫‪1 6‬‬ ‫?= × ‪4‬‬ ‫‪6 20‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3 3‬‬ ‫? = ‪5 ×2‬‬ ‫‪4 10‬‬

‫‪1 1 1‬‬ ‫‪4 ×2 × = ? ،‬‬ ‫‪2 3 2‬‬

‫‪،‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫? = ‪20 ×11‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪،‬‬

‫‪ -6‬يــک تاجــر‪ 100‬قوطي روغــن خریده و ‪ 4‬حصۀ آن را فروخته اســت‪،‬‬ ‫‪5‬‬

‫معلوم کنيد که چند قوطي روغن را فروخته است‪.‬‬

‫‪ -7‬فاصلــه بيــن خانــۀ توريالــي و مکتب ‪ 6 4‬کيلومتــر اســت‪ ،‬اگــر‬ ‫‪5‬‬ ‫توريالــي بعــد از (‪ )20‬دقيقه ‪ 5‬حصــۀ ايــن فاصلــه را طــي نمــوده باشــد‪،‬‬ ‫‪17‬‬

‫معلــوم کنيــد کــه چنــد کيلومتــر راه را طــي کــرده اســت‪.‬‬ ‫‪ -8‬يــک نجــار از تختــه چوبــي کــه مســاحت آن ‪ 9000‬متــر مربــع بــود‪،‬‬ ‫‪ 13‬ميــز ســاخت؛ بعــد از ســاختن میزها ‪ 1‬حصــۀ تختــه باقــي مانـد‌‪ ،‬معلــوم‬ ‫‪9‬‬

‫کنيــد کــه چنــد متــر مربــع تختــه چــوب باقــي مانــده اســت‪.‬‬

‫‪ -9‬شــخصي ‪ 720‬کيلوگــرام گنــدم داشــت‪ 5 ،‬حصۀ آن را بــه شــريف‬ ‫‪9‬‬

‫داد و شــريف ‪ 3‬حصۀ گنــدم خــود را بــه نذيــر داد‪ ،‬معلــوم کنيدکــه‬ ‫‪4‬‬

‫به نذير چند کيلوگرام گندم رسيده است‪.‬‬

‫‪181‬‬

‫تقسيم کسرها‬ ‫تقســيم کســر بــر عــدد صحيــح و تقســيم عــدد صحيــح بــر‬ ‫کســر‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫• حاصل ضرب( × ‪ ) 4‬را با کسر مقایسه کنید‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫• حاصل‌های )‪ ( 4 ÷ 2‬و ‪ 4 × 1‬را با هم مقایسه کنید‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الف‪ :‬تقسيم کسر بر عدد صحيح‬ ‫به اشکال زير متوجه شويد‪.‬‬ ‫‪-1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬

‫ديــده مي‌شــود که ‪ 1‬حصــۀ شــکل بــه دو حصــۀ مســاوي تقســيم گرديــده‬

‫‪4‬‬ ‫اســت و يــک حصــۀ آن خط‌خــط شــده اســت‪ ،‬يعني ‪ 1‬حصــۀ تمــام‬ ‫‪8‬‬ ‫شــکل خط‌خــط شــده اســت‪.‬‬ ‫ ‪1‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫يا‪:‬‬ ‫= ÷‬ ‫‪4 1 8‬‬

‫از طرف ديگر مي‌دانيم که‪:‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬

‫یا‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪÷2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫= ×‬ ‫‪4 2 8‬‬

‫‪11 ÷ 2 =11 ×1 1 =1 1‬‬ ‫‪× 2 = 4× 2= 8‬‬ ‫‪4 2 8‬‬ ‫‪44‬‬

‫‪182‬‬

‫‪ -2‬در شــکل زير ‪ 1‬حصــۀ شــکل بــه ســه حصــۀ مســاوي تقســيم و يــک‬

‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫حصــۀ آن خــط زده شــده اســت‪ ،‬يعني‬ ‫‪9‬‬ ‫شــده اســت‪.‬‬

‫حصــۀ تمــام شــکل خــط زده‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬

‫يا‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‪÷3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫= ×‬ ‫‪3 3 9‬‬ ‫‪1 1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= × =‪÷3‬‬ ‫‪3 3 9‬‬ ‫‪3‬‬

‫از طرف ديگر مي‌دانيم که‪:‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬ ‫مثال‌ها‪:‬‬

‫معکوس یکدیگر‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 2 1 1 1× 1 1‬‬ ‫=‬ ‫= × = ÷ =‪÷2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5 1 5 2 5 × 2 10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 4 1 1 1× 1 1‬‬ ‫= × = ÷ =‪÷4‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 1 3 4 3 × 4 12‬‬ ‫معکوس یکدیگر‬

‫از حل مثال‌هاي باال می‌توان نتيجۀ زير را نوشت‪:‬‬ ‫معکوس عدد صحیح × کسر = عدد صحیح ÷ کسر‬

‫‪183‬‬

‫ب‪ :‬تقسيم عدد صحيح بر کسر‬ ‫به اشکال زير متوجه شويد‪.‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫در اشــکال بــاال ديــده مي‌شــود کــه در ‪ 2‬شــکل کســر ‪ 6 ، 1‬بــار شــامل‬ ‫‪3‬‬ ‫اســت‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2÷ = 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2× = 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 ÷ = 2× = 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬

‫سپس مي‌توانيم بنويسيم که‪:‬‬ ‫از طرف ديگر مي‌دانيم که‪:‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬ ‫‪-2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫طــوري کــه در شــکال بــاال ديــده مي‌شــود کســر ‪ 1‬در ‌‪ 3‬شــکل‪ 12 ،‬بــار‬ ‫‪4‬‬ ‫شــامل اســت‪.‬‬ ‫‪184‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫يا ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3 ÷ = 12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3 × = 12‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3 ÷ = 3 × = 12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫از طرف ديگر‪:‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬ ‫مثال‌ها‬ ‫ ‬

‫‪ -1‬چند مرتبه ‪ 2‬در ‪ 5‬شامل است؟‬ ‫‪3‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪2 5 2 5 3 5 × 3 15 1‬‬ ‫= × = ÷ = ÷‪5‬‬ ‫‪= =7‬‬ ‫‪3 1 3 1 2 1× 2 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -2‬چند مرتبه ‪ 4‬در ‪ 9‬شامل است ؟‬ ‫‪5‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4 9 4 9 5 9 × 5 45‬‬ ‫= × = ÷ = ÷‪9‬‬ ‫‪= = 11‬‬ ‫‪5 1 5 1 4 1× 4 4‬‬ ‫‪4‬‬

‫از حل مثال‌هاي باال می‌توان نتيجۀ زير را نوشت‪:‬‬ ‫معکوس کسر × عدد صحیح = کسر ÷ عدد صحیح‬

‫‪185‬‬

‫فعاليت‬ ‫تقسيم‌هاي زير را انجام دهيد‪.‬‬

‫ ‬

‫‪5‬‬ ‫=‪÷3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3‬‬ ‫=‪÷5‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‪÷2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ÷‪4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪،‬‬

‫‪5‬‬ ‫= ÷‪8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2‬‬ ‫= ÷‪6‬‬ ‫‪3‬‬

‫کار خانه‌گي‬ ‫تقسيم‌هاي زير را انجام دهيد‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫? = ÷ ‪22‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪،‬‬

‫تمرین‬

‫‪1‬‬ ‫?=‪÷8‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3‬‬ ‫?= ÷ ‪9‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬ ‫?=‪÷7‬‬ ‫‪2‬‬

‫ ‬

‫تقسيم‌هاي زير را انجام دهيد‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪÷ 11‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ÷ ‪12‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ÷ ‪18‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪5‬‬ ‫=‪÷3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ÷‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪÷3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪4‬‬ ‫= ‪÷6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ÷‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ÷ ‪15‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪186‬‬

‫تقسيم کسر بر کسر‬ ‫• تقسیم کسرها با ضرب کسرها چی تفاوت دارد؟‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ -1‬به شکل مقابل متوجه شويد‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫طوري که در شکل ديده مي‌شود درکسر ‪ ، 1‬کسر ‪ 1‬دو بار شامل‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫است‪.‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪÷ =2‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫يا‪:‬‬ ‫از طرف ديگر مي‌دانيم که‪:‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬ ‫‪ -2‬به محور اعداد توجه کنید‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1 4 1× 4 4‬‬ ‫= ×‬ ‫‪= =2‬‬ ‫‪2 1 2 ×1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1 1 4 1× 4 4‬‬ ‫= × = ÷‬ ‫‪= =2‬‬ ‫‪2 4 2 1 2 ×1 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫طوري که در محور اعداد ديده مي‌شود در کسر ‪ ، 1‬کسر ‪ 1‬سه بار‬ ‫‪2‬‬ ‫شامل است‪ ،‬يعني‪:‬‬ ‫‪1 61‬‬ ‫÷‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 ÷1‬‬ ‫‪2 6= 3‬‬ ‫‪2 6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1 × 6 36‬‬ ‫ـــــــــــ ‪1 × 6‬‬ ‫از طرف ديگر‪:‬‬ ‫‪=6 = 3‬‬ ‫= ‪1 ×6‬‬ ‫‪2 1= 2 × 1 = 2= 3‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1 ÷1 1 × 6 6‬‬ ‫بنابرآن‪:‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2 6 2 1 2‬‬ ‫‪187‬‬

‫‪1‬‬

‫مثال‌ها‬

‫‪ -1‬چند مرتبه ‪ 1‬در ‪ 3‬شامل است؟‬

‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 1 3 4 3 × 4 12‬‬ ‫= × = ÷‬ ‫‪= =3‬‬ ‫حل‪:‬‬ ‫‪4 4 4 1 4 ×1 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 1 27 17 27 8 27 × 2 54‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 16 43÷ 248 = 34× 4÷ 812= 4 × 17 = 1×17 = 317 = 3 17 1‬‬ ‫‪ -2‬چند مرتبه ــــ ‪ 2‬در ــــ ‪ 6‬شامل است؟‪= = 3‬‬ ‫= × = ÷‬ ‫‪4 4 4 1 4 ×1 4 1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪3 1 27 17 27 8 27 × 2 54‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= × = ÷ = ‪6 ÷2‬‬ ‫‪= =3‬‬ ‫‪4 8 4 8 4 17 1×17 17 17‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -3‬يــک شــخص ‪ 6 1‬کيلومتر مســافت را در ‪ 2 1‬ســاعت طــي کــرده‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬

‫اســت‪ ،‬معلــوم کنيــد کــه در يــک ســاعت چنــد کيلومتــر را طــي کــرده‬ ‫اســت‪.‬‬

‫حل‪:‬‬

‫‪5 1‬‬ ‫‪1 1 25 5 25 2 5 ×1 5 1‬‬ ‫‪= =2‬‬ ‫= × = ÷ = ‪6 ÷2‬‬ ‫‪4 2 4 2 4 5 2 ×1 2 2‬‬ ‫‪2 1‬‬

‫از حل مثال‌هاي باال می‌توان نتيجۀ زير را نوشت‪:‬‬ ‫معکوس کرس دوم × کرس اول = کرس دوم ÷ کرس اول‬

‫یا‪:‬‬ ‫معکوس کرس مقسوم علیه × کرس مقسوم = کرس مقسوم عليه ÷ کرس مقسوم‬

‫‪188‬‬

‫يادداشت‪ :‬مثال زير را در نظر مي‌گيريم‪.‬‬ ‫‪1 24 1 24‬‬ ‫‪= × = =2‬‬ ‫‪12 1 12 12‬‬

‫× ‪24 ÷ 12 = 24‬‬

‫در اين مثال ديده مي‌شود که هرکسر‪ ،‬نشان دهندۀ تقسيم صورت بر مخرج‬

‫آن نيز است‪ ،‬یعنی‪ :‬کسر ‪ 7‬معنای ‪ 7 ÷ 4‬و کسر ‪ 3‬معناي ‪ 3 ÷ 8‬را دارد‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪8‬‬

‫فعاليت‬ ‫‪1‬ــ با استفاده از مثال‌هاي حل‌شدۀ باال تقسيم‌هاي زير را انجام دهيد‪.‬‬ ‫ ‪8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫ ‪16‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫= ÷‬ ‫= ÷‬ ‫‪9 ÷ 19‬‬ ‫‪24÷ 5‬‬

‫‪3 5‬‬ ‫÷‬ ‫=‬ ‫‪4÷ 6‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2‬ــ حاصل ضرب دو کسر ‪ 1‬است‪ ،‬اگر يک کسر آن ‪ 3‬باشد‬ ‫‪4‬‬

‫کسر دومي آن کدام است؟‬ ‫ ‬

‫‪8‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫کسرهاي زير را تقسيم کنيد‪.‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫?= ÷ ‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬

‫‪3 5‬‬ ‫?= ÷‬ ‫‪4 6‬‬

‫ يــک قوطي ‪ 1‬کيلوگــرام بــوره مي‌گيــرد‪ ،‬بــراي ‪1‬‬‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫کيلوگرام بوره چند قوطي ضرورت است؟‬

‫‪189‬‬

‫‪v‬‬

‫‪13‬‬

‫ ‬

‫تمرین‬

‫‪ -1‬در سؤال‌هاي زير عدد صحيح را تقسيم کسر نماييد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪8‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪،‬‬

‫÷ ‪58‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪18‬‬

‫‪،‬‬

‫÷ ‪16‬‬

‫‪،‬‬

‫÷‪9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬

‫÷‪5‬‬

‫‪ -2‬در سؤال‌هاي زير کسر را تقسيم عدد صحيح نماييد‪.‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪÷ 62‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪÷ 56‬‬ ‫‪45‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪24‬‬ ‫‪÷ 12‬‬ ‫‪36‬‬ ‫‪248‬‬ ‫‪÷ 124‬‬ ‫‪124‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪÷9‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪44‬‬ ‫‪÷ 44‬‬ ‫‪9‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪12‬‬ ‫‪÷8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪÷7‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪ -3‬کسرهاي زير را تقسيم نماييد‪.‬‬ ‫‪5 ÷ 7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7 ÷ 49‬‬ ‫‪16 8‬‬

‫‪1‬‬

‫‪،‬‬

‫‪20 ÷ 40‬‬ ‫‪19 19‬‬

‫‪،‬‬

‫‪5 ÷ 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪1‬‬

‫‪،‬‬

‫‪13 ÷ 3‬‬ ‫‪9 36‬‬

‫‪،‬‬

‫‪7 ÷ 49‬‬ ‫‪16 8‬‬

‫‪ -4‬سؤال‌های زیر را به کمک اشکال حل کنید‪.‬‬ ‫ــ چند مرتبه کسر ‪ 1‬در عدد ‪ 3‬شامل است؟‬

‫‪2‬‬ ‫ــ چند مرتبه کسر ‪ 1‬در عدد ‪ 2‬شامل است؟‬ ‫‪9‬‬ ‫ــ چند مرتبه کسر ‪ 1‬در کسر ‪ 1‬شامل است؟‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪190‬‬

‫ــ چند مرتبه کسر ‪ 1‬در کسر ‪ 3 1‬شامل است؟‬

‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ــ چند مرتبه کسر ‪ 1‬در کسر ‪ 2 2‬شامل است؟‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -5‬از ‪ 6‬قرص نان چند پارچۀ ‪ 1‬ساخته مي‌شود؟‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -6‬عارفــه نيــم دانــه کيــک داشــت و آن را بــراي ‪ 4‬بــرادر خــود تقســيم‬ ‫نمــود‪ ،‬معلــوم کنيــد کــه هــر کــدام چقــدر کيــک گرفتــه انــد‪.‬‬ ‫‪ -7‬طــول يــک ريســمان ‪ 6 4‬متر اســت‌‪ ،‬اگــر آن را بــه ‪ 6‬حصــۀ‬ ‫‪75‬‬ ‫مساوي تقسيم کنيم‌‪ ،‬طول هر حصه چقدر خواهد بود؟‬ ‫‪ -8‬اگــر قيمت ‪ 4 1‬ســير گنــدم ‪ 900‬افغانــي باشــد‪ ،‬قيمــت يــک ســير‬ ‫‪2‬‬

‫آن چند افغاني مي‌شود؟‬

‫‪ -9‬قيمــت يــک کيلو‌گــرام انگور ‪ 10 1‬افغانــي اســت؛ بــا ‪1‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫افغاني چند کيلوگرام انگور مي‌توان خريد؟‬

‫‪ -10‬حبيبه ‪ 7 1‬متــر تکــه دارد؛ او بــراي ســاختن يــک جــوره لبــاس‬

‫‪2‬‬ ‫‪ 2 1‬متــر تکــه ضــرورت دارد؛ معلــوم کنيــد کــه حبيبــه از تکــۀ‬ ‫‪2‬‬

‫مذکور چند جوره لباس ساخته مي‌تواند‪.‬‬

‫‪191‬‬

‫کسرالکسر‬ ‫• اگــر صــورت یــا مخــرج کســر و یــا هــر دوی آن‌هــا خــود کســر‌ها‬ ‫باشــند‪ ،‬ایــن نــوع کســر‌ها بــه کــدام نــام یــاد می‌شــوند؟‬ ‫به اشکال مثال‌هاي زير متوجه شويد‪.‬‬ ‫مثال اول‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫مثال دوم‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫ــــ در مثــال اول ديــده مي‌شــود کــه يــک مســتطيل بــه ســه حصــۀ مســاوي‬ ‫تقســيم گرديــده؛ بعــد نصــف يــک حصــۀ آن رنــگ شــده و حصــۀ‬ ‫رنگ‌شــده بــه کســر چنيــن نشــان داده شــده اســت‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫ــــ در مثــال دوم ديــده مي‌شــود کــه يــک مربــع بــه چهــار حصــۀ مســاوي‬ ‫تقســيم گردیــده؛ بعد ‪ 1‬حصــۀ آن بــه دو حصــۀ مســاوي تقســيم و يــک‬ ‫‪4‬‬

‫‪192‬‬

‫حصــۀ آن رنگ‌شــده اســت کــه حصــۀ رنگ‌شــده بــه کســر چنيــن نشــان‬ ‫داده مي‌شــود‪1 :‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫در کســر ‪ ، 4‬صــورت ( )‌‪ ،‬يــک کســر اســت و مخــرج آن (‪)2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫که آن را به شکل( ‪ ) 2‬نوشته مي‌توانيم که يک کسرالکسر را تشکيل‬ ‫‪1‬‬

‫مي‌دهد‪ ،‬مانندکسرالکسرهاي زير‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪8‬‬

‫‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪،‬‬

‫‪،‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪،‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪v‬‬

‫تبديل کسرالکسر به کسر ساده‬ ‫به مثال زير توجه کنيد‪.‬‬ ‫‪ -1‬کسرالکسر‬ ‫حل‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫به کسر ساده طور زير تبديل مي‌گردد‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 = 1 ÷ 3 = 1 × 4 = 1× 4 = 4 = 2‬‬ ‫‪3 2 4 2 3 2× 3 6 3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪v‬‬

‫بــراي ســاده ســاختن کسرالکســر‪ ،‬کســر صــورت را بــه کســر مخــرج‬ ‫تقســيم مي‌نماييــم و بــا اســتفاده از عمليــۀ تقســيم يــک کســر بــه کســر‬ ‫ديگــر‪ ،‬مقســوم عليــه را معکــوس و عالمــت تقســيم را بــه ضــرب تبديــل و‬ ‫بعــد از اختصــار‪ ،‬صــورت ضــرب در صــورت و مخــرج ضــرب در مخــرج‬ ‫شــده‪ ،‬در نتيجــه کسرالکســر بــه شــکل ســاده حاصــل مي‌شــود‪.‬‬ ‫‪193‬‬

‫فعاليت‬

‫‪ -1‬مستطيل زیر به ‪ 6‬حصۀ مساوي تقسيم شده و‬ ‫است؛ بعد همان‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫حصۀ آن سياه گرديده‬

‫حصه به دو قسمت مساوي تقسيم گرديده است‪ .‬با در‬

‫نظرداشت این تقسیمات در جاهاي خالي زیر اعداد مناسب را بنویسید‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪1‬‬ ‫= ×‪6 = 1÷2= 1‬‬ ‫‪2 6 1 6 2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ - 2‬با در نظرداشت تبدیل کسرالکسر به کسر ساده‪ ،‬در جاهاي خالي‬ ‫کسرهای زیر اعداد مناسب را بنويسيد‪.‬‬

‫=‬

‫‪=2‬‬

‫‪140‬‬

‫=‬

‫×‪14 10‬‬ ‫=‬ ‫× ‪12‬‬

‫×‬

‫×‬

‫=‬

‫=‬

‫‪7‬‬ ‫÷‪8 =7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫÷ ‪12 = 10‬‬ ‫‪4 12‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪194‬‬

‫کار خانه‌گي‬

‫ ‬

‫کسرالکسرهاي زير را ساده سازید‪.‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬ ‫ ‬ ‫= ‪6‬‬ ‫‪18‬‬

‫تمرین‬

‫‪25‬‬ ‫‪30‬‬ ‫ ‬ ‫‪،‬‬ ‫= ‪5‬‬ ‫‪15‬‬

‫‪،‬‬

‫‪v‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫= ‪2‬‬ ‫‪5‬‬

‫ ‬

‫کسرالکسرهاي زير را ساده سازید‪:‬‬

‫‪195‬‬

‫‪8‬‬ ‫=‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪،‬‬

‫‪900‬‬ ‫= ‪1000‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪500‬‬

‫‪،‬‬

‫‪4‬‬ ‫= ‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪،‬‬

‫‪20‬‬ ‫= ‪22‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪،‬‬

‫‪115‬‬ ‫= ‪120‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2‬‬ ‫=‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪،‬‬

‫‪12‬‬ ‫= ‪13‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪13‬‬

‫‪48‬‬ ‫= ‪50‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪7‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪14‬‬

‫‪v‬‬