Matematica în lumea de azi și mîine

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ACADEMIA REPUBLICH SOCIALISTE ROMANIA

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C00RDONAttORUL SERIEl

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C00RDONATORUL LUCR測

CAluS IACOB

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ED]TURA ACADEM:E:REPUBLiC‖ SOC:ALiSTE

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MATEMAttlCA lN LUMEA DE AZl ol DE MlNE,

ACADEM:A REPUBLiCH

SOCIAL:STE ROMAN:A COLECTiVUL DE PROGNOZA

Seria

PROBLEME CLOBALE ALE OMENIRil Coordonatorul seriei

MIHAI DRAGANESCU membru corespondent

al Academiei Republicii Socialiste Romin ia

ED ITURA ACADEMIEI REPUBLICil

SOCIALISTE ROMAN:A

ACADEMIA REPUBL:CH SOCiALISTE ROMANIA COLECTiVUL DE PROGNoZA

MAttEMAttiCA

lN LUMEA DE AZl s:DE M!lNE

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'Coordonatoru

I volumulu i

acad. CAIUS IACOB

.EDtruRA AcADeyrer nEpUBLrcu socrALrsre nomAurR tsucuregti,1985

Mathematics

in the presenr and future wortd

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Maremaruxa B HacroflrrleM

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COLECTIVUL DE COORDONARE aCad,CAIUS IACOB aCad, GHEORGHE MARINESCu

prOi r鷲

:ぶ 誉 1ヽ :熟 a∬

mbru coに sPOndent

Prof.GHEORGHE CALBURA PrOf・ SOLOMON MARCUs PrOf・ OCTAVIAN sTAN八 51LA mat.ALEXANDRU GIUCULEScu

ヨИ!lMヨ ロ le ^

EDITURA ACADEMiEi REPUBLiC‖

SoC:AL!STE ROMANiA

R79717, Bucuresti, Calea Victortei nr 125

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acado CAIUs IACoB MIIIAI DRAGANESCU,nlenlbru corcspOndent al Acadelaliei Repllblicli Socialiste Ptonlう

ni.l

5

CUPRINS

Prefali

nervoase

Geometria algcbrici : model

;i

nretodologie

BEFNARD BEREANLI. Capacitatea de autoactivare a sistemului nrondial

ln

ASUPTA

３ ６

in

modelele neliniare

。 ９ ５ ９ ２ ０   ０ ・

AI-EXANDRIJ GIUCULIISCU, Criza matematicii ansambliste ;i

６ ８

ICOLAE ORISTESCLT, Reologie, plasticitate ION CUCULESCfI, Teoria probabilitirlilor gi celelalte domenii ale matematicii AI-IIXANDRU D IMCA, .leoria singulariti]ilor MIHAI DINU, Teatrologia matematicl - realiziri gi promisiuni LAZAR I)nAGOg, Mecanica analitici GHITORGHIi GALBURA, Impactul geornetriei asupra dezvoltlrii gtiinfei, culturii gi civilizaliei noastre GEOR GE GEORGIiSCU, Iixtensii ale tcoriei modelelor ADRIr\N GI'IEOHGHE. Nlatcmatica gi problema energiei GHEORGHII GIIEORGIIIEV, Perspective de dezvoltare aie geometriei diferen[iale ln conexiune cu mecanica gi fizica continuului N

２ ８

Probleme recente

４ ７

CIiISTIAN CALUDE, Dilen:e ale complexitilii calculului

VIRGIL CnAIU, Stalistica nratematici.

。 ６

ALI'XANDRU BREZULEANT,I, DAN CONSTANTI}J RADULESCU, teoremei fundamentale a geometriei proiective

mate-

 

rnatici

de

３ ５

arme nucleare N ICLI BOBOC, Observalii asupra evoluliei conceptului de potenlial

０   ７

activitS|ii

NiIllCIjA BIICIfII.{NU,

９ ７ ９ ２   ６

CAfUS IACOB, l\Iatematica ln Iumea de azi gi de miine GHEOR GHE MAR INESCU, Impactul calculatoarelor asupra matematicii $ERBAN TITEIG\, Nlatematica ii fizica $IiRBAN BASARAB, Probleme diofantiene ln perspectiva teoriei modelelor CONSTANTIN BALACEiANII-STOLNICI, Tendinfe matematice ln studjut

116

724

7J2

prenrisele

matemal.icii intensionale

AITJSTIDE IJ.ALANAY, Ecuafii difercntiale si sisteme de comandi. Djalectica nurncricului gi calitativului CAIUS IACOB, trIecanica fluidelor STERE IANUS, Geometrie qi relativitate . MARIUS IOSII,.LSCU, Teoria probabilitAlilor I,IARTIN JURCIIESCLI, Analiza cornplexi Cco parantetrizaLd, SOLOIION I,IAIICUS, Lingtistica matcmaticfi, azi . , . I]DI\IOND NICOLAL. lngincrie matematicd GHEOIiGIIE PALN. 'l'coria Iinrbajelor lormale: direclii mai vechi si nrai noi

dc dezvoltare

\',\SILT.] PIi'tilANU, Stilucturi algebricc in teoria re]elelor T IBirR ILI PO STELn\ ICt" L lV tLr DRACOA,IIRE S CU, Biomatematica _ ment de modelare a stiinlelor vielii

754 160 165 169

172 782 167 196

206

Inslrn_ 218

7

economic

２

8

３ ２

coN".E'N7S,,,,

２ ２

VICTOI1 SAHLEANU, Viitorul biomaternaticii. OCTAVIT\N STANA$ILA, lnvildmint-ul de matematici in |ara noastri;obiectir-e qi eficienln . ANTON $TEFANESCLI, Teoria jocuriior. Locul ei fur cunoa;terea umand gi tendintele actuale de dezvoltare P. P, TEODORESCU, Mecanica solidelor deformabile tr lumea de iori, de azi gi de miine IOAN 'IOMESCU, Actualitdli ln teoria $afuriloi qi combinator.icd DRAGO$ \AIDA, Dezvoltiri recente ln informatica matematici EMANTIEL VASILIU, Lingvistica diu perspectiva logicii matematice DAN VUZA, Metode matematice ln muzici

２ ２． ２

ION SACUru, Sarcini ;i perspective ale inatematicii ln invil5mlntul superior

25O '2fr1

268

277 287

RIATEIIATICA lN LUllEA DE AZI SI DE Mi】 NE

acafl.CAIUS nCoB

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よe%t￡:姦織

cgidh Acadenliei RoS.R., stt fie deschise plin cuvintl■ l acれ delnicianului (lheorghc W[ihoc despre matematictt si evolnltia ei prezenttt si v五 tOare.

Un destin ittlacab■

l pro‐ a vrut instt raltfel si l― a rttpit pe distins■ ■

1)abilist romttll dintre ILoi.

1. lILlumea act■ lalう ￨,de o lllare tehnicitate,Ilil■ ic llu poate fi imagi_

l:滞「 鳴 亀 庶 〔胤 紺 1ド ギ [腎 :『 乱 監 ぱ 胤 脚 《 ぷ 喘 器 :」 tr■l stlldiul diverselor fOr]ne de lnis― oonstrl]lrea de lrnodele si'鷲 de teor五 pe■■ caro si de transforIIllalre a matgiei(misCarea mecanicス

bdogctt matemれ ica ette o■ iⅢ 沈

mai abstract. Nef五 nd legattt de stu 品

de面

s血

:r謂

mil叫

富 蹴 霞 五 軋mattmauc:,磁ltti協 盤 譜盟 亀 ]:::盤 胤 "冨 oale,in cadIIm modelelollcare se co■

e n ma樋

cぉlitati■

胤

,fizic沈 ,chimictt

re ,i ca)ntitative si stllllCturile

lstruiesc pentru reprezelltalrea 10r.

l■lⅡ lii l・

a se caracterizeaztt astfel priII aslDeCtlll ei abstIlact esen― rersdor stiltill:llltl::tt[].・ ecanic・ zicЪ ,al difel・ it de acela al di、 lratellllatiё

L・

chiIIlia, biologia si stiilltele de f■

れ五

0■

Fo■ a matematic五 coIIsttt tocIIIItti ln pOsibilitatea ci de a cOIItribui la cercetarea oricttreia dintre formele de evolutie a mλ

teriei illl mttsllr勧

ln cれ re, lII cad調 己 st五 IItelor llatⅧ rii, aceastl(ヽ crcetare, depttsind fazele

mutte de obttrvれ 廿eCe h expぽ iT鶴 tind lllt aspect nll llllmai Calitativ, ￨

11譜

Stte de d∝

",cttp赤

aれ p嵐 1.llt din practich si Se poate afirll■

2. lIれ tcrnatica a ctt cele naれ i multe,dactt n■ ■chiar toate,idcile lllari ale lnatel■laticii IILOda'Ile isi gttSesc

1聯撫鶯岬聯 掛餞i蝋 鶴 ぎ 聰 、 pれ rticulare

ale adevttrurilor matemaltice pc calre le illtuiIIll si pe Care

aceast焼 lncercare,peexernplesallcoII:fi∬ elllplc,le coIIfirlntt sau resplllge, inai■ lte de construirett unei too■ 五 ge] Istoria i■ ceputurilor obscure si indeptttate ale nlatelILatiC五 este des‐

pl芳 咄 IP:ぷ 霜r蹴:S量 ]蹴 飛 網 譜 瑶 珊 ]T器 譜 t胤 Fil:ぷ pttstrat.

Totllsi, diIL eXallnillれ rea evollltiei maltematicii se degajtt net faptul ctt inceputurile acestei st五 Illte COincid cu pril■ ele licttriri ale spiritului tLInarl.

Adevttratれ constituil・ e a matematicii ca stiinttt O datOrttlll ins沈 ate lIL Cet鴻 1■ e de pe coastele bazi―

"Iniracolullli grec",operei forl■ mult inaiIIte de illLCeplltl■ l erci lloastre. oれ IL, Cll scoli10r IILului lnediter&■

formale si れ l10til■ ni10r de baztt ca nl■

Prill creれ re為 logic五

lnttrul

i re狙 ,si,sub o formtt geometric沈 ,a null■ tta■■

nれ tur温 ,IIluIIlttrlll raiion狙

,

Oclel al spatiului fizic, prin follldれ rett geometriei ellclidie■ le ca prill■ l■■ 五――Cal urmare a ll■LmerOttselor ei aplicatii la viatれ , matemaltlictt aIItichit焼 も i de tletintttor五 pllter五 tenl― la tehnicれ epocii― ― a ajuns§ 焼fic apreciat益 §

れibtt

portte.Acestia tineall S流

ifestau

geol‐fLetri la clll'tile lor si isi llllal■

illteresul fattt de descoperirile acestor税

.

軌,ii acel

Este merit■ll deosebit al llli EILClid de a fi lttsat postorit′

mOILl■ ment llepieritor ttl gindir五 ullllaILe pe Care-l co■ Istitllie,,Elementcle'',

opera sa de siIIteztt si de sistelILれ tiZareれ rezultatelor inaintasi10r si cOntoln― por為五lol stti,cit si ale Sale proprii,lll domeniul geolnetriei.Ca priln IIlodel de

:器 盤

i Euttd ette operれ

httttl譜

ca■ c

va do血 na

xiol■ latice torul prezentttrilor れ 艦 care vor llllalrcR constitl■ irea bazelor teoreticeれ le st五 nte10r natllll五 sau chiar atictt epoc五 noastre. れlnRIilor creat五 Care vor reinnOi matel■■ E▽ ul llledi■ a inregistrλ t apoi crearett algebrei ca lLII COrp de doC―

¶ げ ぷ

il■ spi■ 'れ

trin島 , datorittt in blLIItt patё si COlltactllllli diIItre st五 ■ta ttrab沈

CreStln島

,i Cea

.

Prin forLdarea tllterioal'ハ

a geometrieiれ Ilalitice,plllltea de legtttur沈

Tι θ s(■ 596-■ 650)a dintreれ ヒebrtt si geometrie a lost constitllit沈 .Dθ sθ α illlpril■ ■ at prill ace&sttt opertt al sa ceぁ mλ i importa■ lttt cotitllrtt peIItl■ l evo―

誂 :量 況 棚 3淵 棚 乳 淋 器 訛 蹴 l叩 ヽ 1:鳳 腑 蹴 誌 zise ,,g00metrice'' si pe ttcel鋤 al curbelo■ ,,Il■ ecallice''. Problelllele detel'一 aceste curbe, problemelo de deterlnillare れ ariilor l■ iILttrii tangelltelor l勧

r嘲

器踏

通認

胤

電

:品

排

認

普]獄 a蹴

猾 協 滞

糧

lttf::乳

metode lloi de lucm. Se dezVolttt teoria seri■ oll, metodれ indivizibilelor, se co■ sidcrtt lizれ

ILoi functii trttnscelldente c&expoILential&si 10garitⅡ ll■ .Ana―

matemれ tictt ia nastere sub forma calcullllui ,,sublilln"

lull■ i

diferentitt Si mtegrれ

れdictt a calcll‐

1.

Deれ cettsttt epoo焼 de ttlll'din istorial l■ λtelnatic五 se leap llllmele lui Descartes(1596-■ 650), Fermat(■ 601-■ 665), PasCλ l(■ 623-■ 662),

Ⅱ uvg(狙 s(■ 629-■ 695),NewtOn(■ 643-■ 727),Leibniz(■ 646-■ 7■ 6). PrOfuILda reVolutie Care iIItervine lIL stiiIII抗 e、 te des堤 Lr legattt de nivelul tot lllai ridic航 温productiCi,de叫 ,aritiぁ prime10r stii■「lte att natw五 c震 O ofertt u■ Irlateritt de studi■ interesant m&temれ ticii.△ par ide■ e de

CL盤

:躍lllittT乱 肥;詈 a牌 誌蹴血 朧 鳥∬詰1鰤鷺 靱 l れprecieze exact conditille peILtru eValuれ rea cantitativ沈 ,precis沈 ,capabiltt s沈

m carc se IIlanifesttt ull fenomeIL,InOdelele lltユ iZれ te deれ ceste st五 nto ttle nabttrii lII cllrs de dezvoltare utilizeaztt mtttematical si o inlpulsioneれ z沈 。

Newton plecind de la consider¨ 五 de meCanic沈 ,iar Leibniz condus

Sf響

織麓乳創u調鵬 TIF::Ittll昔 電 hflT乳 #ilttl鮒 灘 10

出

l翫

i lntegr温 ,ti■lind 、

Seamtt dc toati bogtttiれ de rezllltate obtiIIIlttt de predecc― sint inctt in vigo鑓 e si astttzi. Opera lui Newtoll si I」 cibniz s‐ a dezvoltat iII Inod vertiginos in cllrsul leal. 1圧 atel■ latica avallsettztt aclllrll ttn secolelor al XVIII― lea si al XⅨ ― pal'alel cu mecaILiCれ , Sub 31 olrei in■ puls ea al lllat o fattt C■ ■ totul nou沈 i nu CStC dC lrnむ れre faptul cL mar五 lnatematicieni ai epocii sint in alcdasi §

sorii 10r.Not¨ iile intllodllse de ei m stiin■

timp si llllla,ri creれ lori i■ l lnecallic嵐

.

3. Dezvoltarea rapidtt a matematicii nII secololo XVIII si XIX, legれ ttt in speciれ l de perspect市ele mirete tte colabor虚 五cll mecallica si cu

￡ 躍or留 s訛胤鵬刷躍iぜ lttlTttT龍 盤sI空 ミ翼 糧 路露 pasionante pc care le fttceau,matematicieniiれ u nedijtt ulleori I`■

COIIS01idMea bazelor im13ortantei lor clttdilli sau nu alu dat s■

lficient沈

aterltie generalittttii pe care o putea con■ portR creatia lor. Spiritul cle rigoれ re m matenlatic嵐 , abseIIt la Newton si Euler,este i■ ltrodus in lnocl sistematic de Callchy,la lllcep■ ltul secolului XIX. Callchy CemOnStreRztt plimele teoreme de existenttt in tCOria ecllati■ Or diferen,ale。 III tilnP cc coIItelnporanii stti llt■ izau seriile, fttrtt a se preocupれ de coIL― vel.gelltれ 10r,care erれ adHlis焼 ,Ca■ lchy stttbileste conditia neces[ぽ 軌ゞ sufi― cielllttt pentl■ oo■vel'gentれ ser五 10r si dtt Criter五 s■lficiellte silnple de co■ ― vorgeILIれ

.

Spiritul de lligoare,nccesitatea ordollI,rii oi inlう lntuirii logice al rezul― tAtelol・ Inれ tcmatice

a colldus sila revederea principiilor de baz焼 ole geome¨ triei. Axiomatica euclidin泊 沈 cste sup■ tsi■■ llei altellte silILdelungate critici inctt ae matematicienii secolelor XVⅡ I si XIX・ θα ss(■ 777-1855), tι

Bθ ι s扇 (1793-1856)れ juIIg lぁ conclllziれ c嵐 υ θ ναj(1802-1860)Oi Zθ bα θ post■ llatl」 paralelelor al lui Euclicl nu estc o conseciILt焼 logiCtt a celolllalte

post粗 ate ale geolnetrici clasice si ci se pot coIIstrlli geometl.ii lleeucli― diene,perfect logicc,fttrれ doれ admite acest postulato Rtθ l12α /1協 (1826-1866),autOr al llnor importante lucrl■ i clc teoria fllIIctiilor de variabil尻 COlylplcxれ , a illtrodus si l10tiunea gellel.altt de spatiu neelldidialll,llllllllit astttzi spa:ill riemれ nni■ n,care este definit priIItr― o llnetrictt datII.RliemanIL

a reluれ t pus

notinea de mtegr温 軌,dindu― i so■ slll precis. D.Itι ♭θ″ι (■ 862-■ 943)れ reanalizat geometria cllclidiaII嵐 .El a IIl evidcllttt f・ 沌 笠L realitate cele u■ lsprezecc・ axlome care stau la bazal

geOⅡ letriei lui Euclid nll sint suficieltte si ch ele trebllie inlocuite prilll

dollttzeci si sapte de ,Xlome. Cllrentul de idoi care cerca axiomatizarea discipliILe101'Inaten■

atice,

adictt cttutarea ade、「Irurilor de baztt din care,o(lath adrniら e stt dccurgtt pe cale logictt toatc celelalte propriethti llllatematice,a fost mdt dezvoltれt inctt cle la sfttsitul secolului al XIX― lea si lllceputul sccolullli al XX― lea. Pθ α%ο (■ 858-■ 932),alutOr al■ lnor inrlpOrtallte tercettti de teoria eCuatii10r diferentitte,a dttt cele trei axiolllle de bazh ale teoriei numere10r

naturale,iar」 Daα θL`%α (1831-■ 9■ 6)clttdeste teoria numerelor reale. Pentrll a cvita unele contradict五

pe Care pttrcau stt le pl.czinte uILele

bpte mratematice,■ elat市 simple,cれ de exenlplu,posibJitatcA stab■ むii llnci cOrespondente biun市 Oce intre totalitatoa numerelor nat■ rale si acec&a lllllnerdor naturale pttre,G. θαttι θγ (1845-1918)例 foILdat teOrin multimilor.Nollれ doctrintt matematic益 ,aceRst洩 ,,aritlnetictt a infiILitului'ラ

,

prilllittt la incopl■ t

cl■

serioase rezervc si― a cistigat lIIstt in curillld drept la

cettttenie in lllatemれ tic沈 ,eal fiind acuIIll asezttttt la bazele tutllrOr discipli― llelor mateⅡ laticc,delヵ algebrtt pmtt la teOriaprObabilitttti10r sii■ lforHlatic沈

.

Descoperirile lui II.五 θらθsク %θ (1875-194■ )§ i re01汎 direa pe l■ oi teme― ι θrγ α (1860-■ 940)si r.Frθ α_ lii a teoriei integrttei,れ celea tte llli 7.T7θ τ 乙θι %(1866-1927)relat市 e la teori&ecuali■ or integrale,ide■ e cu carttcter foalrte general introduse de D.Iり ιbθ ι, ]〃 .F,・ ιθλθι (1878-■ 974),S. B"協 昴 (1892-1945)au collldus ttIL Curmd h fondareal llnei lloi ramuri a ,・

allaliza generaltt sau ttlILaliZa fullctiolllal執 ,caI.cmれ rchettz沈

鋤ILれ liZei,llulnittt

miib¶

° Ю ° itt 器

semtta wh旋

e歯 りmde

mttemttbe mК au

inregistrat rnttri dezvoltttriin secolul■ ostru:topologia generれ 1沈 siれ lgebric嵐 alnalizれ fl■ llctiOnλl沈 , teoria ecutttu10r diferentiale si Cu derivate par↓ iale, toori& axiomれ tictt a probabilittttilor. Metollele maltematice l■ loderne si― all gttsit ill seoollll nostrll ILullne― roase ttplicaぃ i lIL d市 erse domeIL五 de aCtivitれ te ulnan嵐

,

.

Progresele rel■ れTcぁ bile ale IILれ tellnaticii clゐ sice si lrLoder■ te au lners,

de asemeneれ ,

Siぬ imiei

IILin焼

ecれ ■ lic五 , fizic五

缶l llnintt cll descoperillile epocale ale l■

isionate intr o

si au fost desigur si ln ttcensttt perioadtt impl■

j ″jSta%'θ じ,η αι じ θ θ ,,oα ι θ j ,2oθ α jJサ ttα ι づ θ ι θ ,総 サ づ θ s`θ θ オ α θ θ θ,η αι θ γんθ α %ι り %%α β ィ '' , yα

largtt mttsurtt de aceste stiiILte ale naturii.Dar ,,%lι

θ%tθ j ααj“ θ%α ι

`α

(J.P.Serre)

`″

loo■ de frunte 4. Astttzi, lIIL tOate dolllleniile de activitate uman汎 ■ iλ previziulllea st五 ntificス bazattt pe cれ lcul, pe metodele experilnentalo si teoretice ale stiillltelor naturii.PtttruILdereal matematicii in tOれ te accste domenii este inevitalbiltt si illdiscut&bil悦 . Existtt domen五 れle tel■ nicii care nu all tradi,i3,in Caretotul este nou、 i de― a dreptul tle llecollceput fttr悦 m可 10aCele matemλ ticii.Nimeni nu s― ar incumettt astttzi stt cOnstruiasc沈 o uzintt chilnic沈 ,■ln submariIL Cu mOtor atollrlic sau ull avio■ L SupersoILic pe illtlliゥ ie salu pe formulc empirice dateぉ culn do■li sute de ani. Mecal■ icれ al fost prilnal st五 nt焼 れnれ tl■ ri calreれ llILbrttCat hailltt mれ te― lnれtic沈 .IEa si― a collstruit ull aparれ t lnatemれ tic impozant a cれ rlli ignOrれ re

bazindu‐ se

ILu l■ ai este perlllistt de tehniciellli dar tt cttrlli■

strins沈 櫛 iIIginerilor cu mecれ lILiCien五

ltilizal.e impul■

e colaborarea

in orice opertt de &plicare a creれ ,iei

st五IItifice.

Igll19rarea metodelor lllateraaticc ale mecallicii ar fi astttzi pltttite dc

mtreλ gれ SOCietate cll un pret imeIIs, acelれ al cれ tastrofelor, al formelor co■ struct市 e greo離 e si smmpe,cu risiptt de mtteri狙 ,al rellun■ rii la

scheme constrllctive noi. js ,′ 》 ι Cele spuse despre mecれ Ilictt se pot aplica,,o%`α ι α%α ls la orice Qみ

St五 llttt

■LStttZi,linitt priIIcipaltt a luptei dilltre noll si Vechi lII lllptei dilltre teorie si practicれ ,linia ptttrllIIder五 rapide a

a natur五 .

Stiillttt eSte liniれ

metodelor l■ atematice lllL stilntele n・ aturii,ln tehllictt si a atrager五 speci&― listilor lII mtttemλ tictt spre llezolvareal problemelor fundalmenttte teoretice si aplicative tte acestor st五 Ilte. △tit in tehnic沈 olt si ill matemaltic焼 ,vechiul se nlanifesttt cu tttrie re autoIIomtt a1 lor, ,mpotrival collltalCtelor clintre sthnte,pentrll o dezvoltれ

Oxttgttmd rdd bg■ or mterne de di悧

証留%盤:沈 器平盤爺

:I覧 interdepelldenttt st五 IIte10r§ iれ pOら ibil :] este corLsecintれ uILOr COncept五 f■ OZOfice gresite, alteori este semnul trist

狙 ignoralnt7ei si al fricii de viitor.Rezultttul inⅣ itabil este empirismul m stii“ ele nat■lri si mperea de practic焼 ln matematic焼 .

iユ

紺離管 teT鴇 ￡

∬乳∬ 鑑Wia胤 靴 湖靭

鳳威

I:児 i織 ettf甜 : poate oferi tristul spectaool al silului lung de reviste cu lucrttri pe deplin poれ

12

a盟

rs記

器Lぶ I簿鮒総躍認識 鶴 iliM、 電l乳僣 』 配響蹴竜 matematica despril■ stt de llevoile directe ale st五 ntei si tehnicii llu exist鴻 si Orice teorie matematictt demntt de acest II■ lme pttstreaztt cal tint沈 pOsibilitatett cle a lttspllllde lnai cllrind sau lnれ i tirzill cerilltelor practic五 I)irijalrea cercethrii abstI・ acte spre O tinttt COIIcl'ettt nll trebuie desigur

.

hteleastt intr un mod vulgarizat.■ lEai deauna constienttt nici invari&b■ 沈lll

棚

lrlult,aceゐ sttt dillttare lll■ tillllD.1」 n

este intot―

cercettttor sall れltul sau

Ⅷ7網識:誂 淵 lc器 F乱 殺 『 ∬訛ぷ選柵 :『出∬

ittl∫teHLatiCe,o clattt construite,clep流 :L謂 篭 盤課 ″TⅧ ]ri盤 器思T電 竃 譜 『職繁 ILIC沈 ,teoriile

、esc

HLれ

cel lnaiれ desea nece―

manifesttt legile illteme de dezvoltare a,matematicii.

Ic contiILu沈 Po llngtt teILdinta firensctt de generalizare si nbstractizれ ,care duce deseori la collsecil■ te dC ILepreVttzut,Inatematic五 主 ie§ te proprie griia COntin■ltt peIItrl■ analiza criticう a coIIceptelor,pentRlノ tι %α α ,oι αγθα "Zθ st五 n― teoriilor sale.Aceasttt teILdint汎 1lu este dil・ ect legatれ dc problemele ,

te10r natllrii sau tehnicii si Se manifesttt mai ales cind uIL prim impuls ol ce7rcetttrii s― a epllizれ t, cmd o teOrie este collstrllit■ 1■ linii lnttri, chd nevOile practic五 in acest domelliu pot fi soootite satisfttcute. Acettsttt mllnctt de orgallizれ re al■ ollol・ ralnllri de cercetare pe baze θP/tα ι づ θ, e depれ rte coherente, ireprosal)ile dill p■ lILCt de Vederc logic, α,ガ リ r Rcaden■ ic.O arat■ ,de exempl■l,aILttliZれ critic嵐 れ de al aveれ lln inteles p■ ■ raportllllli dintre notiunilC de col■ tintlitate si derivabilitate a tip」 ui de f■ lILCtii Cコ re pot fi dezvoltate lII serii Fourier,a ecllati■ or algebrice ce pot fi rezolvate prin lladicali. Cercetttri cぁ acesten,care pttreal■ de pur interes teoretic,au coIIstituit puncte de plecare ttle llnor cercetttri ilnelllse,care au fttcut ca matelIIatica sl,progreseze. Probleコ n鋤 &seZttrii pe bttze axiolnれ tice a tool.iei ll■ l■ ltiⅡli10r,a axiomatizttrii teorici probabilitttti10r, a mecanic五 , れ legttr五

cttclllului operⅢ ion温

01あ sic

de teoria distrib叫 五10r,arattt m mod

sugestiv ce elell■ eut de lDrogres poate aallce cercetarea naatellllatictt abstract沈 axiol■ lれ tic減 , in chiぁ r

,

dolnenii direct generλ te cle practictt si Care trebuie

stt serveぁ sctt practicii. n ttrglll■ ■ ellt tn fれ voれ rea rllper五 Se intelege c鴻 れceれ stal nu collstituie■ ■

de practic抗 . Orice teorie mntematicl, del■ mtt de acest nulne, lJ16treaz沈 Ca tinttt posibilitatca dc a rttspullde cerilltolor practice. Cercetttrea m orice st五 nttt trebllic totllsi si COrespllndtt carinte10r legilor fundameIItale nle dezvoltttr五

・

oollfi■ ma

stiintei respective si atunci v五 torul vれ aceR cerccttu'c.As pllteal dal aici uII

desigllT justetea1 0rientttrii l■

exemplu foarte eloovent iII Lceasttt privillt嵐 ・ Aclln■ apl'o勧pe 300 de all■ i,cercetarea st五 ntifiCtt ill lnecanic流 れooIIchis la posibilitatea laIIsttr五 ullor corpuri de pe PttIIliIIt,care stt scape atrnctiei

acestuia.AceAsttt cげ cetare,pe ttllILCi,pttreれ stt fie o simpltt speculatie, care stt satisfactt curiozitttti ale spiritului si niCi O aplicatie tt ei llll pttea posibil沈 .Totllsi Ca ne por■ liteA o mai buntt cul■ oa、 tere al UIliverslllui inve― cinれ も.Dactt

astttzi,cosmoILautiCa se dczvolttt λtit de impetuos este tocmai

datorittt faptlllui ctt cercetaredl fulldalllentalL abstract嵐

, teoretic沈 ,cれ re s_al

■ melltul m&tematic, cores― pl]ndea llllor legi tle dezvoltare a mecanicii. Cellcetarea1 lII sille prezeIIta un illtげ es deosebit pentrtl lneca■ lic沈 . Tel■ nica deれ stttzi nu れ fost bcttsit沈 nepregtttittt pentrll necesittttile cOslη onauticii,pellltru ctt eR aveれ la dispO_

fttut in domelliul llnecanic五 ,folosind■ l― sc

illStl■

13

e a pα ms%山

i&T鼎

艦

5。

:ぽ 』 l∫ 雛 ll」 Ⅷ Celc sp■ lse inali slls in legttt■l■ 抗cll

l■ rlatelnatica

iCJtt・ e

同

si cll aplicat五 le ei,

despre felul in calle lllLatematica se dezvolttt intll― un mod specific si adesea dincolo de aplicatiile ill■ ediate,1■ u trebuie、 えcl■lctt iII nici lln calz lれ conclu‐

zia ctt matematica se dezVoltれ indepelldent si inaintea st五 nte10r llatlrii. ‐ TOtuSi,astfel de coll■ lngeli se nlaILifCSttt llllcori,cle cI.eeれ z沈 o impresie de

bunttsttte si acoperれ dcficiente rCale,pe de o lDartc pcntl￢ ■ctt ulleOri con‐ tactul dil■ trc aparatul matematic si apliCatiile posibile se pierde si se irosesc h gol mari posib■ itⅢ i pOtenい ale,pe de alttt parte pentru ctt efor― tllrile cercetttr五

astfel chdtuite sint sustrasc dela aplicarea lor m dillectii

nn care stimtele nat■ ui si tehniCa all avett nevoie de ele.Este mtr_ad釘

嵐r

incolltestabil ctt astttzi cxisttt numeroase probleIIlle fllILdttmentale ale mecanic五 ,fizicii, tehnic五 , pentrll ctte lnOdelul este gata clleat, plloblema este eILuntttttt din punct de vedere lrlatematic,dar solutiile lipsesc sau smt uIL00ri greoaie, nepractice, iILOperabile. IInpresiれ de buIIttsttte iluzorie,

l盟 器肥縦鳳WIWi鳳 ∬ 鷺盤 ￡ ち 堺》 Il珊 T淵『詣ぎ ￨『

tdor llatllrii.

'

in COILditine tlezvolt沈 ii

ぅtiintCi COntel■ pol.ane este in■ 130sibil ca atemtticienii stt stttpilleasctt problematictt coILCret沈 鋤 mecalticii,a fizicii, ]ヽ

ll■

chiIIIliei, biologiei si a tuturor vttrietttt■

Or de st五 nte de legtttllra dilltre

alcestea si tot astfel este ilnposibil ctt mecallicianul,fiziciall■ ll, chillrlistul,

si atit de variat calle specialitateal Si neCOrectattt la

timp, prin lnunca ill(・

olcctil‐

e l)ille inchcgate, face ca l.ezllltatele cele

mai noi si lnai eficielltc ale l■ atenlaticii stt pitrulldtt cu iIItirziere in acele ble st五 Illte10r domeII五 ゼ

llat■ll'ii si tehnicii carc le―

ar lDlltett utiliza.Este de

necontestat ctt nlijloacele ttltalizci lIIRtematice,ale calculului pI.obabilitttti― ini electroIILiCe Sint lleparte de れ fi f010site, atit lor,Ale calc■ lll■ ui cu lnれ 、 de lal・ g cum ar fi poゝ ibil lll domellil■ l tliversclor、 tiinte ale natllr五 si, pe de alttt pa■ te,■ umcl'oas(1(lcrcetユ ri■ natelnぁ tice pal.a fi sortitc stt nll dea e teoretictt sau plact,ich. rezultれ te de o utilitat,o o為 rec■ ■ Stiintれ Sec01ului al XX― lea cste o creatie C01ect市 瓦 siる Cest luclu Oste val・abil,i pentlu l.れ port■ ll dilltl.e matel■ aticれ , st五 Iltele naturii si tehllic沈 daIo coIItactul ce se ltealizeaztt aclllII spolltall sllb pl.esi■ lltoa faptelor illtre ,

Stti%濫 Ъ 出常蹄: ぎ 鼈 払 鳳 鮒 篤 汎 『 d市 ol.se speci31itttti,matenlatica T putea da o :讐

よ ￡ 棚肥

lnchipuit de

oarelor electrOnice a inceput ('arc ■adus― o ln p10ductio

' Este evidellt pe de alttt parte ctt aparitia C2blculatoarelol'electronice este de llaturtt s焼

hCutl鴫

1・

evollltiOllCze lILtreaga lnatelllatic■

IIu lllai putin decit a

lMttl掘 鷺ょ 譜:脊 1柵鑑 I誂 崎 警鵬 1:蹴 留獄皿:7prl塩 ¶■∫盤 :鵡 11脳::ittur路 簾 盟摯 1°

lttf『

:∫

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『霊棚LC:::サ 1:l蝿 ∫ 1静 盤 1盤 ど 思]ll蹴訛亀 留棚器 葛鰭

lal modificalleR raportllrilor stabile necesttre, colltrolabilo, lll dOmenii care

14

耽l 滉霊胤RIvI麗 腑爺 na

‰η tti 硯

slsteョ

calificat il■

il■

e VOr plltea fi preluate l■

tre

electrOnice.

llodele lnateIILtttice llnitttre al COntelnporane, cll legile sale coll■ lDliCれ te,cu lnallifestlrile pline tle ILuante adesea de lleprevttzllt,

sint greu de conceput acllm.Dar este evidellt ctt stiintele SOCiale vor alvea IIllmぁ i de cistigat dactt VOr rellsi Stt utilizeze aparれ tul matematic五 contemporallle. Din cxpllllerea de ll■ ai slls an■ fi tentati Stt Conchidell■

asllpra lltili―

t鵜 u mai mari stt mai mici a metodelor matemλ tice tn diferitele stimte

∫ %腸 瘍 脇 脚硼 〕 勝協脇鴨 湯 i獣肌辮記 篤 l蹴 轟選 霧 portant, in care matelnatica ioaCtt un I.ol tot IIlal in■

:

■ rapottrtelor posibile te, スanalizaoram汎 leluplLne ∬ 鴨 ギ untittt al tutllllor

n:よ liI」 llll盤 0011CllB針 lui d dintre fapte,a caclr■■

澪

iれ

t■ltllΥ

reZ■ lltat e, nlcl o aceea,St la cercet

ite lli superficial■ ,iIIsuficient f este, de pe bancile scol

matemれ tic llll pern■

entei in gtlldire si a spiritllllli e illL fiecare domeniu al st五 ntei

specialitate,o adiniral〕 ■

critic.Efectclc accst ui s Si tehlliC五 ,chiar ilη

care intelege ceea orice sfelltt cle ttctiV

鼈 Ж欄 淵順執 鯖辮 nu°

a cunl m航 atta m嶽 器蹴l普 lducれ dⅢ d fmm∝ ・ 庶離L Chョ柵° :ry%盟 皿 i騰 ∬蹴 寵お 酬RFl慇 机 rr‰出 t器 jぷ ∫ %甜 繋 観 留lTc￡ 郡 挽 撚 群l淋 淵ざ l evide■ ■ llllli,電

f「

:

7. I)in exp■ lneI・ ea l■ oastr沈

ozult嵐 , credeln, c■

lttt faptul c沈

matematicii ni revi.le lII secolul XXI ulll rol cleosebit de impOrtant ca ele― n■ ent de baztt in culturれ lLInaILtt si de limbai tt tl■ tllror stiinte10r nれ turii. f:話 1七

暑 ef紺 L証 譜 硼盟誂 ピ:搬 織 。 :lle″ 寧 鳳 咄‖ 槙 ― de pe actin■ ,itul Secolului al ⅨΞ【 lea lle parlnite 「

:

stt l tutlezttrinl.

sfil・

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bι づοθγα∫ /iθ

｀

ι ff,Bucurestち E ditura politicう ,1959. lα ι F.Er.gels,D:α I`ι ι α′ ι αrε .ln vOlumul:Procese revolu― C.Iacob,■ οαnicα mθ ご[ど οr cο [naθ ∫I Pθ rsρ θC`[υ O10 ι[de dι zυ οι Jι

Z′

llイ

`θ

tiOnare in,tiinti,i tChnici si dezVOltarea societhtil,]E ditura pOlitici,Bucure,ti,

1980,pag. 175- 184.

」.R.Newman,3り θPFOrZd ο′■fα fノlθ ″lα ″cs.Simon and Schuster,N ew Yrork,1956. Jη α ffο s in`力 εルrα ■lflg D oubleday and Company,New York,1960。 λο L. H ogben, ]fα ′

15

onde d'aujourd'hui et celui Les]Ⅲ ath61111atiques dans loコ ■

de demaln RESUMЁ D&ILS Cet article oII oonlIIllerlce par prё

cisel'la positioll des IIInth6m,1‐

tiques par rapport aux alltres scieIIces de lれ Ilatwe.EIIsuite oll trace llIL tlableau gё llё ral de l'6volution des lnath6maltiques dcp■ sl'鋤 IItiquitё 6co‐ ‐ symbiose mthё romaline iuSqu'ハ nos iollrs.On souligne l'importtnce delれ `ダ

rIIe__ XEe siё cles, alinsi que ce■ e dll vaste IIIIcDuvemeILt de rё examen des fondemelllts tles sciences]笠 atl16matiques qui s'est manifestё avec force h mtttiquc― In6cttnique pol■ rl'6volution de ces deux scieILCOS aux Xヽ

cle ct au cours du XXe siё de. Le r61e des mれ th6matiques s'avё re trё s importallt dans le mondo actuel.Le ttpport entlle les l■ ath6matiques, les sciences de la mtllre et

partir de la secolllde lnoiti6 du XIXe siё

la technologie eSt examin6 en dё ta■ ,Inais on sollliglle`golement l'impor‐

tance et les possibilit6s des lnれ th6111&tiqlles lfLOdemes daILS le dOmaine des

scieIIces humanistes et Socialles aillsi que le rOle de plus ell plus importtnt des llath6matiques dans la formation illtellectuelle de l'honllne contelln‐

poram.

Les IIlath6matiqlles devielllllent de pllls en pllls llIL 616meILt de ba se ゝ de h culture et le lallbOttge de tolltes les sciences. ceci est de natllre accdに rer cOILSit濃 掟ablellleIIt le proFё s a0 1'hllIILanitё , dans llll】 呼 tllme ql10 la fin du XXe siё ole nous permet dё jれ d'entrevoir.

16

1lIPACTl〕 』J CALCUIィ ATOARELOII

ASUPItA MllTEMATICII

acad.GHEOFLGⅡ E MARINESCU

一 De ce mtt este ne、 「oie de atita Юaatelllatic益 , dac沈 れveln

naasini

de calcl■ lat?

Am auzit ctt intrebarea a fost pustt de o personIItt cll lrlllILCtt de si aceSta unれ wect tt relttiei dintre mれ tematictt si masi―

r焼 叩 unde/re.Este

nile de cttculato Desi smtelIIl tentati s嵐 o considerttm ca o glum沈 ,mtreba―

rea este de llatllrtt stt ne dea de gttndit.Nu cumvれ

matematica a aillDs

la o forll■ 嵐 de dezvoltare suficieIIttt ca stt poれ ttt rezolval toate problelllele

― se lntelege,de nれ twtt mttematic沈 ― folosind cttc」 atoarele?

Nll lni prop■ lII stt rttspllnd la aceasttt tIItrebare,dar ideile care■ ■ Tmeaz焼 pOt GOlllStitui ull rttspllIIs partial・ ]Ⅶasi■ la de calculれ もIlll este decit un instrurno■ lt calle tt pernnis stt se rezolve, d atollittt vitezei de calcul, pro― bleme inaborclれ bile cl■ ll■ ij10ぉ cele mai、 rechi. IIInpactul la care mtt gttlldesc eu provinc tocl■ ■ai diIL COIIfrllntareal

met°

tn詰 瞥習襲:∬ 翌 繁ふ 鋭翼瀧サ :!織 鶉

::Ftthfmpentm

studiul fllnct五 lor do o variabiltt realtt sall complex沈 , este seria Taylor, sa■ l cmd o dezv01tare lll serie n■ l este posibiltt sれ u IIu este lleces冨 沈 ,

formllla lui Ta171or cu un llllmttr finit de tormeni.E宙 dent,pentru calculul vttor■ or lLIlei fun"五 ,Seriれ Taメ or prezilltt mれ rele inconvenient ctt tre― buie cuIIoscute valorile derivatelor il■ tr― llll plllIIct COnVellabil. 9alCulatoa― renient.In gengal, rele au pus m e■ 7identtt fttptlll ctt nll este sillgu■■ ■ l inco■■ seriぁ Taメ or COnverge prea iIIcet pelltru a putea fi folosittt eficient lR cal― culul valor■ or ullei fu■ lctii・ Se imp・ dll deci cercetttri intr― odむ ectie care in analiza clasictt llu鐘 preocupa prea mult pe matelllaticie■ li.

Folosirea calculatoarelor electroniceれ det∝min航 IIOi deれ lllaliz沈 ,Il■lIILittt analizれ numeric沈 ■OSt■・i一 IIOll沈 .Mai

.I〉 in

叩 が itiれ 1lneiralrLuri pttcate,lIIs沈 ,InatematicierL五

Si vttstnici si tineri一 manifestt reticen■ f吋 嵐 deれ Ceれ sttt disciplin沈 IIlult iIIteres pentru culloastel・ ea si pllnerea ill practic流 れ lneto―

delor matematice n■ enite stt rezolve problenle tehnice cu ajutorul calcula‐

猛 鴛i蹄 鵠ettit鼈 :認6∬e器:』乳:撚,1品 譜 :c駆 rittt tot de ingineri si prelllattt de matemttticielli pentru fllndamentareal t吼

1露 :騒

teoretica. Cu alceast沈 ocazie, alm coILstれ tat ctt exist汎 o mれ re deosebi■・e

Ⅱ 皿」m典 ∝ ∝dea

pmeゞ

Ю 市 a洲 Ю

aceste probleIIIle HlateIILatiCieILii Cu S illgiller五

:

mtre

」 淋∬IP:淵 :路: 胸棚 盟

se bazeaztt pe rezistenta lnaterialelor si, ca OlemeIIt matemれ tic,

folosesc ecuⅢ iile dtterettiale Obisnuite,pe cttd mttematicienii mecaILiCielli

considertt ctt e vorbれ 2-o.116

15

de ecuat五 cu derivate ptttiale Cu cOndit五 la 17

lillnit沈

,tn cadrul teorici elasticitttt五 ,plaStiCitttt五 etc.

p■lILCtde

■[i s― れgaraIItat c汎

de vedere tte celor doutt form¨ ii Sint echivalente,msttlllu att rellsit ,ll■ ai

stt alflu hl ce oollst焼

precis,

鋤ceasttt echivalenttt si,mai ales,Il■ ■am

primit ILiCi O dell■ onstratie.

DalII stt revenilll la metoda el(Inelltelor finite. Ca matematiciaII, aln stt consider rezolvarea ullei ecuれ も五 Ctl derivate partiale de tip e五 ptic pe lln domeILill Clat, cllnosctlld antlllnite date pe frOntieral domelliului. 1■ li este lllai llsor stt inteleg aceasttt prObleml,desi illlgiILer五

depRI.te cu metodele lor? Pclltru llezolvれ

lucreaztt IIlai

rea aproxiIILatiVtt a acestei pro―

bleme se poate folosi o ectlatie c■ L Cliferellte finite,,,discretizlILd''Operatorul

lgebrice, de pre― cu deriVate partiale.Se aill■ ge l&llII siStem de ecuat五 れ

lmttr finit dar destlll de mare sall, poate chiar prea mれ re.Aici intervine,ll■ mod esenti温 ,Cttculatorlll electronic.Dれ ctt sht iILdeplillite allllllnite Colld“ 五 ,Calc■ atorlll lle dtt o sol■ ltie deStul de bllnh.

ferinttt linialre, in n■

S―

a obser■ rat insれ ,ctt se ob,i■ L S0111tii llllai blllle dれ ctt se trれ IIsform沈

mai ttlltii problema dれ

ttt intr―

o problemtt l■ lllnittt v&riationaltt si care . PeIItru

COIISttt irt optilnizarea ullei ll■ ttrilni reprezerLtれ ttt printr― o iILtegral沈

ctt illtegalれ este functie adit市 嵐 de llll■ lltime,se poate idocui problemれ varia1lonaltt prilltr― o problemtt lnai simIDl沈 ,ぉ cttrei solutiC este de form沈 dat沈 , de exelnplll ca u■ l ttcoperis de ctts沈 , forna&t diIIL plttci plane,lipite

intre elc pe much五 care coresplllld llllei diviziulli れ domelllidui dat in

pl沈 , de exemplu triunghiuri sall dl・ eptllILghiuli. dolllenii de formtt sil■ ■ Aceasta este,ln esent沈 ,metOda elementelor finite(m spet焼 ,triunghiurile

Si dreptl■ lllglliur■ e coIIsiderate).Este tot o metodtt de ,,discretizare", bazattt instt pe un priIIcipill mai natll■ al.

Succcslll llnetodei elelne■ ltelor fiILite ILe alllllinteste c沈 , de fapt,forma problema p■■ s軌 , este ceれ variatio■ laltt si ctt ea a fost transtor■ l■ at嵐 llltr― o problemtt de ecuat五 cu derivate partiale, pentm c沈 initial沈 lII careれ pれ re

sub ttceasttt form沈 劉putllt fi rezolvれ t沈 ; cel putiII teOretic, Posibilittttea rezolvttrii pe cnlculれ もor, 1-a deterIIlinat pe matemalticiclli stt revintt l例 puIIctul de plecare.Se plLne prOblemal dactt directiileれ ctllれ le de cercetare a ooualい 1lor Cu derivate palrtiale lnai pot coILtriblli la rezolvれ real probleme―

lor fizicii.Se palre ctt llu. O rcviz■ lire al pllILCte10r de vedere clttsice se Do oxempll■ ,cllrsllrile de analiztt matel■ atic沈 impulle si ttIL 211VtttttmiIIt・ sht incttrcate cu multe elemellte cttre pot fi lttsate la o parte pentrll al se

putea ttunge,pe un drum mれ i simplu,la stttpinirett unor instmmente mai

puterniooo Un elellrLOIIt lal cれ re se poate relllunta cu lnult folos este teorial

integralei Riemanll, cttre trebllie lnlocuittt cu teoritt integrれ lei Lebesglle mλ i supltt si deloc mれ i complicat夙 .

The ilnPact Of COmputers on mathematics ABSTRACT

The use of computo『 s ilnpOsed a new mathematical disciplille, Illllllerical aILれ lSiS,コ

hich vrill seemiILgly have a reλ t importance■ IL the

future.The``finite「 element method'',discov∝ ed by engineers,hれ s obltted fhe malthematiciaILS tO recoIIsider the methods they havo olaborated to tolve the physical alld technical problems.IILInany cttses,the varialtional sorm of the problem is lnuch easier to solve thaII the correspondillg palrtial differeILttし l eqllλ tioIL.

An explanaltioII of this f2ct is thnt the vれ riatiollal forlln is mOre nれ tllral

■8

than tho others.

MATEllATI(1■ SI FIZICi

acad.sERBAN TITEICA

Dintro toate stiintele llaturii,cea care foloseste celコ

aai mult matem&ヽ

tical in sGOplll ttnalizei, sistematizttr五 si CXplicttii fenomenelor de cれ re se Pror'esele remarcabile pe care le― a fttcllt aceasttt stiiILt焼 ocuPtt este fizicれ 。

缶l ultilnele doutt sau trei secole se datoresc,pe de o parte,rafinttI五

ce m ce mai mれ intate

a llllijlo鋤

dillL

celor experimentale de investigatie,pe de

alta folosh'五 intensive a ll■ atematic五 .ITici ull fizician llll se poれ te dispen‐ a de cunOstinte ll■ atematice llltinse.il■ cle ce llrll■ e&z汎 , a゛ dcri Stt sLlbli― § niez faptul ctt fizica nu s― a IIlttrgillit ltulnai la lolul de belleficiar alれ juto― (・

nepretuit pe care i l― れ dれt matematica, ci a colltribuit, la rindul sttu,in mod s■lbstaIItial la crearea si deZV01tarea■lnor capitolo importaILte

rull■ i

ale lrlateコ naticii.

ill expunerea uIIuia sau altuia di■ ltre capitolele disciplinei lor ll■

maticien五 deれ zi folosesc aproape exolusiv IInetoda axiomatic沈

ate―

. I)i■l pllIIc―

tul lor de vedere,ci a;u dreptれ te stt prOcedeze asa, deoarece i■ l acest lnod asis■rtt coerenta logictt si soliditれ tea edificilllui pe care■ constllliesc.Dar, procedinfl astfel,ci lllascheaztt originea intllitivtt a lnultora diILtre COncep‐

tele si axlolnele pe care le pun la baza col■ stluctiei lor。 Dactt arllncttm o privil・ e asupl.a istoliei matematic五 ,volll conStata ■u dezvoltat pe bれ ztt unor impulslllli ctt existtt llllele capitole ale ei care ドー

interne ale disciplinei.As mentiODa aici studiul dist■ ibutiei numerelor prilne in sirul ILumerelor natwale.U■ 圧lt exen■plu este cllealea,lII secolul al■ 9-lea,a geometlli■ or neellclidienc.Dttr cele lnai lnulte diIItre capitolele matematic五 auぁ pttrut pe baza llnor inlpulsⅧ ri venitc din afara ll■ atemれ tic五 l vreall stt afilm ctt toれ te all fi p■ oveILit din Si in Special din fizic沈 . 1ヾ ■

fizictt si,Ctt Stt dovedesc ctt afirmⅢ ia ar fi falsl,voi proceda ca matemati― ciellii,allume printr― un contra(xemplu.Calcul■ ll p■ obabilit4ilor,aceast焼 disciplintt care ocl■ ptt llI1 loc atit dc importaIIt'II matellnatica llloodern嵐

si calle este m contilllltt clezvoltare, s― a nlscut 'Il llr]η

れi■ vestigttii10r

fttcute de Pascttl si Fellnat asupra iocuri10r de noroc. Exemplele cMe Tattt cont■ ibutia fiziciilacreareasi dezvoltttea unor

capitole alle lrlatematicii si, IInai exact, arattt siΠ lbioza reciploc a、 ralntれ ¨ joastt a acestor stiinte Sint numeroaseo Nu voi incerca,iII cele cc ullneaz嵐 , stt dau o listtt cxhallstivtt a acestor exemple, ci mtt voi rllttginila a men―

tiOIta numai citeva,care mise pa■

llnai ill■ portante

鳳憚椰蹴鴇驀I籍

si llllai caracteristice。

椰郁鶴 19

mterestti m cOcenta lo」 Ctt a instrumentului pe care ll f漁 ■ riserぁ si mai mult in utilitatea lui peIIttt rezolvarea problelILelor de Ⅱlecanic沈 .Lれ Ⅵremeれ respect市 軌,propriet¨ ■e cOntinuului numerelor rette un erau clar

cle functie de una sal■ mai l■ulte varihbile realc el'a destul de vag尻 .Totusi,Chiれ r sllb forllna aceasta frust悦 ,lIL tOt CWsul seco― lullli a1 18-leれ nOuれ disciplin沈 ,d&torittt utilizttrii ei, s_a dezvoltat conside― rabil.Lれ gralngeれ mcercat stt sistematizeze metodele,folosind■ Lumai functii calre erall defilite ca ser五 de puteri ale vari・ abilei, dar nici el ILu avea idci intelese si ILOtilllleれ

clare asl■ pra convergentei seriilor.Abial iII secolul al ■ 9-lea Callchy, pe baza■lotiun■ de lilnittt a ajuns l易 o forl■lllllare Cli■ l punct de vedere lnate―

matic a bazelor caloullllui diferential si illtegral. Tot el este cel calre a

demonstrat teorema dc existenttt si unicitate pentru s01utiile ecuat五

10r

diferentiale.

La inceputul secoll■ lui a1 19 1ea,Follrier este primul care a incep■

lt

stt aphce mttelIILatiCal si れltOr probleme fizice decit cele IIlecalllice. El a intemeiat teoriれ pllopttgttrii clldllllii ttn diverse med五 .PcIItru n rezolva ecllatiile Cll derivate partiale pe care le― & stabilit, ol 劉 fost condus s沈

foloseasctt seriile si illtegralele trigollollletrice care li

poarttt nul■ ele.

Este drept ctt ser五 le trigonometrice fllsesertt iIItroduse illL SeCOlul a1 18-loa, 鐘l stlldiul lniscttri10r unei corzi vibrante.Cll alceれ st沈 ocazie s― a nttscut o ｀ polelnictt cll priville ltt posib■ itatea de al re/prezellta o f■■ llctie,,0鋤 recare・ printr‐

O serie trigollometric嵐 , dar notillneal de functie Oarecare nu era

destlll de bille definittt pentrl■ ca polellnicれ stt ductt la o concluzie. Fouriel.

a illlpiILS deStlll tle depれ rte stlldiul selliilor trigorlometrice, care a lost 助poi coIItin■lλ t d0 0 seれ mtt de m2tcmaticieni de valz沈 . Cercetmd allLlllILite pllIIcte silllgulλ rc ale acestor ser五 , CaILtOl. a fost cOndus stt se ocupe intii de lnultimile de pllncte de pe o dreapttt pel■ trll cれ れpOi Stt cOIIstRlia、 c乱 teoria abstracttt λmultimi10r,温 chr■li rol ln matemれ tica lILOderntt este cov2rsitor. in falza naai apropiれ ttt de til■ lpllrilo lloastre,fizica a fost condustt s悦 foloseれ sctt calc■ ll■ll probabilitttti10r pOntrll tt i■ lter13retれ collllpOrt&rea siste― me10r cOrl■ pllse dillltr‐ un nllmttI.enorln dc atol■ ■ i sau moleculeo Rezultatele

激 計 競肥

ir乳

ち憾 騨

,〕漑

￡ :W譜

暁 糧 t場 雰 地 轟 購

ettg盤

]

Care constttde obttctu 1:棚 nぉ1搬 埋 篭lleCa.tte lntoarcenoち l&plloblematica matematic航 獣∬‰管

logれ ttt de acest llou capito1 31 fizic五 ,ん 。lrre&Stt

R侃

Stat胤

Semnalez fapt■ ll ctt studilll

#:胤 Pe凸 』青 認 lttsh∫ 留 肌 量 子Ⅷ 離:電穐 撃 :] :鑑 ￡霊 laILor rnetode noi,cれ re alu fost prelllれ te de lnれ tematicielILi pentruれ constitui murh&Cれ lCuⅢ l■ ⊃rObab■ ■働t■ 0ち numia teona proceselor &:認 tれ ど Otlattt cll fondarea rnecallic五 cllttlttiCC au npttrut in fizictt problelne care numai partial plltenu fi tratate cll aljlltor■ ll lnatel■latic五 existente la vremea

respectiv汎 .Este vorba de teori3 operatorilor ltaittri in spatii infinit‐

dimen―

sioILぉ le.0コ stfel

de teorie fuSese dれ borattt de]Iilbert la nllceputul secolului, dar ea nu erれ aplicabiltt decit ope/ratorilor lnttgin“ i,iar un五 dintre ope‐ rλ torii

cei mai importanti peIItru mecanica cuantictt s力

at nOmttrginiti.

FizicieILii au fost llevoiti Stt Creezo o matemれ tich, ce e drept foarte frust焼

pentru a puteれ

cu astfel de operatorio Cu acest prilei Dirac a intro― 411s ttsa nulnita fuIIctio delta,cu proprietttti atit de neobisnllite, inclも

20

b■ cra

,

a

illdigllarea m&tematicie■ lilor. Totusi f■ lnctiれ delta s― a dovedit extrelln de util汎 lll aplicat五 si l■■ atematicionii atl reusit s悦 o lng10bOze intr‐ O teol'ie logic satisfう ,c沈 loalre,creilldれ stfel teoriれ distribllt五 10r.De altfel,

stir■ lit

sub illllpulsul mecanic五 cuantice, matematicienii s― au ocupat sistellllatic de operatol'五 nelllttrgilliti, st■ldiul lor este asthzi o rれ rnllrtt in plin 2b■ rint

れ

allalizei f■ lIIctiOnale.

As dori sh inchei aceasti sul■ lartt trccerc lll revisttt a relatii10r dmtre plu dc actualitate.III nleca■ lia c■ lれ Iltic沈 se foloseste dcs ca instrull■ ellt de investiga,ic teOria grupluヽ ilol' Lie si in

fizica sl l■ latellllatica prilltr llll exen】

speciれl a algcl)rclor Lic cal.e oollltil■ pl.oprietttlilC gI.Llp■lllli lll vecinIltateal l11litate. O algcl)1'l Lic e§ to un spatiil Vectorial pelltru care,

elelllelllt■ llui

m afar& 。peratii101

Vectoriale obisll■ lite, este definit軌 o proprietate de

compttere a dd耐 o、

Cれ

r_le:棚

「 惚 Inellte;aceaSt汎 operatie se nullleste 織::IPc譜 ふ f乱 乱 1乳 ■ lltiIInele decafle,pentru a l'ozolva probleme legate de proprieth,ile parti― culelor clelnel11,tre,fiziciellii au foヽ

t oolldllsi si ge■ leralizれ ze notillnea de

algebrtt Lie illll'oduclIId, 31lturi de col■ llutatori,っ iれ sa llllnlitii aut0001nll―

tatori,care 、 inl operat五 de cOmpunere silnetrictt fattt de elelnentelc alge―

1盤 認肥鵠樹L精粗就朧 Q盤 澗蹴ど 鵬・ 累 認:∫ 詰ll 器紀樹 ]綿 も

re、 te lleclar沈 . Este probabil octlpa de astiel de probleme ar pllte8 obti■ le l.ezultate illtere、 al■ te llll Lllmai pel■ trl■ fizicieni. ci chiar dill punct de vedere pur lrlatematic.

o astfel de algebl'1 la allalogul gruplllui respecti、 ctt l■ latematiciell五

care s‐ ar

1latllelllatics and pllysics

ABSTRACT

fhe reciproci"i ::elations iretrveen mathematics and physics are illustrated, by sorne exarnples from the history of scietce. Infinitesinral rrnalysis was creal,erl for solving protrtrems of mechanics, while trigonttrnei,ric series were applied to the study of thennic phencmena. There are also instances of phi'sica1 theories u,hich stirnulated. developrnents of mathematical theories, Iike clistribution theory ol f,ie algeirra.

21

PROBLEME D10FANTIENE llRI PEIISPE(〕 TIVA TEORIEl l101)ELELOR

SERBAN A.BASARAB

Inte7resul matematicienttor ptttru st■ ldierea ccu¨

iilo■

pollmmiale

Si a SiStemeloI'de ecuatii polinOIIliale cu coeficienti ILumere mtregi dttteaz沈 dill cele lrnai indepttrtaltc timpllri,iaI.capitole ilnpolltante ale matematicii ca teoriれ algebrictt a llumel.elor si geometria algebrictt se sprilintt ill per― malnenttt pe pl'oblelne provenind diIL aceasttt arie,IILunlite dc obicei problelIL■

e

diOfaILtiette.

Cercetttrile de logic沈 ■latematictt all fost si elo 、て1lnulれ te iII mare mttSuFtt de ullele prObleme diofaIItiellle. Astfel,llrla dill celo 23 probleme

supllse de Da、 rid Hilbert atentici COmultittttii matematice la inceplltul

veacllllli,alnllmc llroblelna a■ 0-al, 、 e rcfel'汎 la I.ezolvfbbilitntea algol'itΠ lic沈 れ ecu&tiilol'Cli(〕 fantienc:,,Given a diophRIItille c(lua,tion、 vith arlv number Of uILkI10ヽ vn quaILtitiCド alld witll rational illtegral llul■ericil coefficients: To devise a process accordi■ ig to wllich it can be detenmined bv λ finite Th(,ther tlle eqllhtion is solvable inratioILal il■ tegers''1) nllml」 er of oI)erationヽ ヽ [7]. Dezvoltarea, :Ilcepill(l oll■ 930,島 teoriei algOritllllilor(nulrlittt si teo― p■lIIs ria recllrsiei Sau teO■ ia ca,lc11labilit沈 ,ii)a sllgerat pOsibi]itatea llnlli r航 ヽ negativ lA probleltta 3■ 0-21, in scIIsul ctt■ ln aselセ 〕 ()llea a,lgoritln ar p■ltea

ヽ 沈IL■l CXisteo Ccrcetttrile ill aceasttt directio, efectuate de

」. Robinson,

M.Davis,H. Put■ lalnl,R. Robinson,etc.au lost lungi si(lificile, tl&r au fOst mcullunate dc succes in■ 970 chd IIIatiaseviこ a fttc/1■ t■lltil■ llll paヽ dind uIIl rttspllns llegれ tiv oollfOrlll asteptttrilor.

Teorema flllldarnelltalれ den■ ()1lstrattt de ■ ratiaseviこ , care inlplic尻 SOlutia lllegativtt a problc3mei lui IIilbert, icle■ ltifictt collooptlll Rlgoritinic

de r.ultime recws市 cnurrlerabin(sa11 11lu“ ilYle listabiL)cu cOnceptul ■ sului cぱ tezialIL aritnletic de mu■ ime(liOfantiぁ n島 。 (O sublnlllt山 etta pЮ d■‐ Nπ eSte diofantiantt dactt existtt un pOlinoll■ ∫cZ[X,y],―■ =(Xl,.… X″ ), y=(yl..… ,y彿 )avind pl.oprietateal ctt peIItru o■ icare"c_V″ ,∬ c五 dactt si numれ i dactt exist沈

″cⅣ 物 astfel incit八 ″,y)=0)・

Ca 0

0011SeCinttt a acestui rczultat fuIIdamental,o serie de coIIjectllri celebre cL

malrea teoremtt a hi Fernlttt,OonieCtllra lui Goldbach,ipotcza lui Riemann privind flllllctia zetal,problollia celor 4 culori etc.,sint ccllivス lente fiecalre lIL parte c■l insolvttbilitatea unei sillgure ecualt五 diOfa■ ltielle specifice[3]. Se ridictt astfel Tlroblenla de a stabili conditii fleCitlabile suficiente cle iIIsol― vttbilitate al ullei ecuatii diOfantiene(1ぉ te、 i deぉ testal, eventllal cu ca1lcula― 1) Dati o ecualie diofantiani cu un numdr arbitrar de necunoscute si cu coelicienli numere lntregi : se se elaboreze o metod{ cu care sd se poati determina printr-un numdr finit de ope-ralii dacd ecuaiia este rezoh,abill ln mrmere lntregi".

22

ι orul,valida■ oa ttcestor collditii peIItru ecllat五 le 00respllnztttoare proble― melor ilnportante nlcntiollate,. S01utia negぁ tiv益 劉problemei a■ 0‐ a a lui IIilbert a dat lln impllls putcrnic RbOrdttrii llnol'plヽ oblelne importallte ale aritmeticii de pe pozit五 le teoriei algol'itmilor.

undef:湯

も lh盆 ■ ∬温l13)職 「 :』 誂 l冊 凛 ¶ ぽり i颯 軋 : a督

1き

OCuatie este pozitiv,ecuatia are ull ll■ lmttr finit de solutii cu C00rdOnatele mz,c。 .Lfom cclebroi te01・ eme a lui Thue si Siegel.Se ridicれ in lllod natu―

rれ l

prOblema de a determ■ lla in lnod efectiv O rnargille superiOal'汎

i憮

.

κ

露

tti響

pentrll

iW霧

elle, illcluzlnd cul'bele .atie cfecti、 rh care permi

A.Bakel.al.eusit s沈 cれ lclllul tlltlll'()】 'Solut rat嵐 . Se ridich alstfol

i■ ltregi ale ecualt五 10r din r.atllri れ lgOritll■ ich: rlat札

o (〕 ouatie C Z[γ = ″]iredllCtibil de gell pOzitiv, cxist五 o functie recllllsivL(lo cotヽ ficie■ltii ecuatiei Cれ re、 ユasigure o ll■ argine superioartt pentru

y(″ ,7)==0。

1'.メ

S01utiile l■ rlulllere intrcgi? Uil l.沈 sp■ 1ls l)artial la ttceれ

fOst dぁ t

sth problemtt a

dc A.Robinsoll[■ 0]. Utilizllld()rを し fillare a llletodei nonstalldard lolosite deご 1、 ide ROq■ ettc[■ ■]peiltrll dPI:lollsll｀ arc]1〔 ゝ Orelnei trlc fillitll― di■ le al■li Thll(ヽ ― Siegel― Mahlor, Robin、 01l a arれ t c焼 oa、 ttel def■ lnctio t:λ

cxist嵐 ぅ i estC recursivi relぞ ttiv la O nuullliti l11■

1'ご

1lle cal'e ap〔 、 1.ein f()1.lll■l―

larea cele13rci too101:lC を 1 1lli ltOtll de al)roxi111れ l.e diOfalltianl.(｀ ll alte cllvinte, mctO(la 1lo■ stallllard utilizatI れ、igul'1 0 0fcctivitattヽ rcl■ ″ tiv前 1れ

teorellla l■ in()111,1.hillinind aヽ tfol(lesclli■ il)1・ 01)10maく ヽ 、 tentci unei lri3r― gini efective,illdepclldolltc dc teort・ ll■ a lui PtOtll_0 ハlth l)■ 0し leilltt flc、 cllis焼 1,、

irlllportanth se refer江 1れ efoctivitatea teorenlei lu i PtOtl〕 : date llr■ ll■linttr attebric o si un lllllnttr re[1l ν>2 stt se detel.IIlille efectiv 10atc nlllncrole

ratiOnale r′ gC・l prol〕 l.ietatc為 10 -PIgl く o eSte llll Senligr■lp、 111)]唖 arkovian do lluclcc pc llII spん tiu mttSural)1l atuIIci pentl'u

m“

姉

,mぶ

赫

流

狙 卜可

fu呵

ム

郷

涎 呻

硫

∽

… … potentiれ ld■ Ch.チ Cヽ 10 Sllficient dc tinit悦 .Este oゐ lttt lnodalitatc tle a fabrica potel■ tiale.ESte dc fapt ull p_rOcedell lYlai gelleral decit c(、 l descris lnai slls, sub foril■ んsa llowto■ ■ ia■ ltt sau、 ■ l13 forlna lnれ i general嵐 助 sociattt u■ llli opera‐ tor(lifel.enti例 1()1lpli(1. I)actt ile referiln la llnれ stfel de operatol' じ pe ull

dolllellill D in R"乳 tullci Pι ′ ′ill易 00St caz estc sollltia CCuatiCi de difllzlo

普につ=力 ′ め (ら

121(7/,J)==O Cilld γvariazユ pc frOntiel.a dolIIlelliului D. ,())=.ノ 、 Dath(″ ,″ )→ θ(.ガ ,ノ )CSte 0 1■ 11lotie mttSlll'abiltt pe E× F unde刀 plも ぃ ll l)1う ,Surabil il11ヽ ul■ 、 e、 tc o mls■ 嵐aStfel:ncit

cu datclc l′ estc

(￨ヽ

11・

￨■

γ

Ｌ︲ 曇

ｙ

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ノ

〓

θ ｒｌｌｌブ

ソ

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ｄ

ノ

〓

Ｖ

Ｐ ∞ｒ ｉ■■ｌυ０

este lur nuclen ririrlginil si r,r€ principiulcornplet aidomini,r'ii atunciexistri un semigmp de nutrit'c \Pi)tro astfel incit

AceilsLI, ilbordrr,r'o a conceptului rle potr:nlial a legat teolir-l poten{ia,o selic tle Ienorneiie ilrrpoltan-te ale structurii lurnii materiale irr special ll t'crlot' rlc difuzie si t1c t voltrliir. fn particulal slnt, stabilite conexiuni

Iului

c1e

57

nu numaicu lnecれ Ilica

sa■l fizica ci si c■ l chilnia,illlai cu se(通

ill special prin ceea ce astttzi se llul■ este genetica populぁ

ntt cu biologia

t五 10r.

Pc de alttt pttrte aceastぶ 1 1loutt deschidere in teoria poteILtialului a pel'mis legttturi l)rOfulldc cu studiul pl.occselor■ NlarkOw cu telmicile speci― fice acestora.In unele situat五 aceSte tehnici se dovedesc llllIL■ 111lai bille― venite dar si cxtl.elll dc eficientc llentl.■ l ヽ ol■ltiOnareal ullor prObleme de

baztt ale te()riei pOtcntialului.si in aCealsttt privint益 , SCOaltt rolllAneasc嵐 (I.C■lCulescu,L.Stoica,C.Tudol.,G.Licea)are O Pl.ezcllli activtt in pas cu

・ 11盤計]:肥 r:瞥 :l熙 蕉鶴措t釜 1蟹 11路hた lteona poten,a― ri ale scolii nlatematice rOlalanesti_ fr°

l』

luluicれ re isi are Originea in esentttin lllcI`焼

Este vorba de a concepe ansall■ blul de potentiale a,le unei a■ llllnitC teOrii, i■ldifcrcnt de lnodalitλ tca缶 ■care potentiall■ l este acceptat ca obiect con― cret,il■ difereIIt de lllalILieral de defillire a potelltiale10r.Mai exalct se pune

problema de R collStitui multimea potcntiallelor ca o structlLrtt matemれ

tic沈

abslra,cttt astfel lIIcll,stt putelll dezvolta in cadml alcestei stl■

Inai

lcturi cea・

lare parte din problcllllatica diferitclol'teorii coll(lrete si cれ rc stt perⅡ lit誌

i■

pe de alttt partc stt rca)lizttl1l o bllllh tcorie a dllalitう

,tiiド i

n 10calizttrii. Astfcl

泊f朧 l響 [:]∬ 鴫11:∬柵 ll%筑 rょ 札wittl:lユ lt咄 舗 胤

satisfacc propriet■ tile attebrice、 i do oldi]lc silllilalく ,(・ u(′ ぜ lc anlinllle mai sus pentru potcntiれ lele llewlollie■ le.Lalalcest nivel de gcncrれ litatO,cOllceptuI llou intrOd■ls subsulllcaztt diferiteれ lte strl■ ctllri curll 、 illt: spaltiile lopo― logice stoniene, lnultilnile evol■ ltiv 01'こ lonalte(ぉ diC航 11l c:11.0 01'icc(lou嵐

elemente sillt comparabilo dac汎

11l tbcola゛

i tilllp alu ulrl lllil10rant si ul■

.llplll・ majoralnt);functiile CXCesive asociate llllol' 卜 cllli鉾 i 、 lll)]faI.koviene patiu al.l1101liC. lct五 le Supel.arl1lonice pozitive pc■ lllヽ de nllclec i fll■ Strllctlll・ れ dc r_0。 ■ pcrmitc(lcgalialrea unO】・ clcnlcnteヽ 1,cciれ le ale

sale care il■ difel.itele teorii pm.ticlllal.e loac沈

Ele se vor nlllni olemcnte ulliversを

1'Ollll(1lcnlcntelol.c()1■ tilllle.

11(」 ol■ 111lue.Se、 :を も1)resupulle

し ea acestor elemcntc este suficiellt de bogati in sensul cう illl■

este supremumul uIIci falll■

ilii filtral■ 11,o(2rcs(■

ctt l■al11-

.oricc Alt elel■

ont

101.fle aistfel(le()lelnente con―

tinue.Accasttt presupunere perl〕 ■itc c(lifical.ea ill strll(`tllr〔 b dalttt a■ lnei sub‐ stmcturitOpologice natul'れ lc.Se aiullge astfellal(o■ lCeptllldeLI cOnド tandal'd. 11(・ ollド iStel■ tユ 、 1(lo ascnlellle〔 〕o teorie S― ap■ltllt dezvolta()teol.lc dllを 、 de reprezentare a oricttrui lr― col.stallda,1・ d cat■ tll

jE―

C011、 1乏 Lndail'tl(lc fllnctii

pe un spatill poloncz;a,('cSte full〔 `tii fOrint,11,z10 parte solidi li(lens tt illl ordille in collul corivex tll fun(`t五

101.ex(・ osive lll r:11)Ort llD〔 blll111le SelnitOilヽ

ド 1lb― }[:),1'1■ ovial■ (le rlll('lcc Pe alccs( ヽ 1)λ ti■l

up

S― a,putut clliar gISi ult sI〕 a,till ll101 rizal)il(.olllllll_l・ (1(:l'ellrezellttte pcntnl Jr― con.ll、 1を lTldaltrl ドi peIItrll(1ll:1,llll、 hllを 1ヽ (fCl irl(it(lc、 tlll(le nlultc

clen■ 431ltc alc■ 「 (lonullli(lolt、 o、 crill、

nla

→ =「 鳳m 中 lll〕

fol・

si dcstul de lγ lllltC Clomelltc dil]17-(.()rllll(lllal卜 t, scli口 ヽ lll〕 fOrl■ la

嗅J=∫ 血0蝋 →

ulldo g cste o fllnctic illfel'ior senlicorltinutt pozitivtt pe iχ × I.Se ajunge astfel dili noll la reprezentarea initiれ 1沈 al potelltia,le101'cu ajutorul unei aial

zise functii Green. 58

雨tuれ t慇 1翻 ｀1誡 tЪ ξHi胤 盤 :r器 盤 柵

1窯 選 孔 ∬ ぎ

:胤

z靭

Se introd■ lce conceptul de energie si se al'ス ttt ctt fllnctiO■leaz沈 principilll elllorgiei.Se creaz汎 &stfel posibilitれ tca utilizttri tchnic五 spat五 101' Ile、toniaIL

亜bethfT糧

:ItttFlmlhor tt cu deosebre m cd tt

■or π (。 n■

stcRIIclardド e introcluce si stucliaztt notiunea de baleiaj.Operatolllll de baloiaj

ぁl tooriei

lli se parc a fi coIIceptlll de baz沈

potential■

l operれ ― li.Cuぁ jlliol■ ■

ll■

tiei dO baleitti se realizeaztt olDeratia de10calizttrea ol'icttlui I‐

Operatie de 10Calizare,ln cazlll ulllui]リ tin‐

ooll. Jttceast沈 0 1nul‐

ーcon sta■ldard de fuIIcっ 五pe

lC」 r se face ln stl・ instt legttturtt cll o lopologio adecvattt pe j【

. Seimp■ lno

fie topologie natural夙 鋤dicれ cea generati de t・ lenlolltele lllliversall colltmlle tele alle H― coIL■llui sau topologia fintt adictt cca gcnerattt de toate eleIIlcl■ 五r_0。 nlllui.Se ob,1■ 10,in urllla localizttI・ li,un pl・ efaScicol de」 ビ‐ oonul'i cores― punztttor fie(,尻 rei topologii. Cind alcest prefaぶ (,ic01 este lLIl faScicol atunci Lr_0。 .llll sc ilumeste local.Interosλ nttt oste inlprejl」 lareれ cmd]り _cOnul este local di■ p■ lnctul de vodere al topologiei fiIIc. Se arattt ctt atunci aceea、 i propl.ietate cste adevttrat流 、 i pentlu dll&l■ ll I‐ con■ llui.Proprietateλ L[co― port cu topologia llattll・ altt nu rttIIline lII gelleral nului(le a ri local in l.と も )o■ llllli. A(`estal estc lnOtivul lllentl'u caI・ e adovttrat汎 、i pontl■ l dllalul II― 〔 teol・ ia dllれ lit,ユ t五 n■l pttI・ c llaturれ 1汎 in cadr■ll spatit101.arl■ onice caro in fapt

CSpund laヽ itllaltiを b

te鳩 い

C01・

u nlli」 7-con

standard al cttrlli、 patill dO reprezelltttrc

制ぶ岬譜tIW'嘲lX乳 器lti甘 計 ぷTttf‖ :)器L:瞥瑞 ll,N.Boboo,

teoria]暉 ― oo■1111.1101.reillal｀ cilll l14crttI'ilc l.ca,lizftt t)dC M.Bttnllles(ち

Gh.1〕 llcull, A.(1()1'Ilca,N. I)0])れ

i C01ltlibutHle lIIれ i recellte ale llnol・ ,cを も、 r. 疑 iclli[:erlnalli￢ヽ 5[1l il.mciol',K. Jセ ヵ ns、 on, II. IIё llein, R. 171ritt―

11lι btClll[bliじ

lllttnll, ヽ V_

IIallson etc.

JLIll pl'ozelltat pe st■ t ctteva a、 1)crtC privilncl dezvoltal.ea a ceea ce astttzi sc n■ l11le、 tC teOritt potclltiallll■ li. Slll.、 ぁ initialtt est e fizica.Oollexiu― ■ LilC dill ce in cc ll■ ai profllndc cll o nl[し ヽ ■lLlel'e■ l illai largtt de ienOIYlello為 li all collぷ titllit I)1.110illl'i cttl・ 〔 lnOllelal.(→ lヵ lll、 eninat prezelltA RccStCi teol・ 1(lc llllbogatil.e a acesteia.]Evoll■ tia descl.iSh suIIlttr lllれ i dc afil.nlれ e tlal■ 、 11｀

)1・

1ヽ

マ キ ∫ 猟‖ 性 [‖

t器

思撃 棚 r‖出 I総囃1111鮒 T鷺 署

Iぶ ilTTi甘 sillgurlll reillcdill金 Ⅱli pal・ e a fi tIItinel'itoalca l'eintoarccre laド llrs沈 :reiniCC― all lllれ i putill(lirect航 . Sillt convins c航 taI.ca cu itloi cIIlpil.it c lYlal lll■lll 、 1.ea pI'osIDelilllil 、 i vitれ ― aceastaれ fo、 t o colldilitl llet.osal.l pelltlu consen'を 、 lit沈 t五 Subicct■ llui si ch arct、 sta r江 11■ ■ i IIlttsllrtt adevttI.attt si tュ o lll acciれ 、 v五 tor''.

Remarks on the evolllti()1l of concopt oi potcntial in mathematicts ABST[ヽ A(I「

llhis ptbpel'is a、 hort revicw ol l)(〕 tOrltial theoTy. Sし artillg fronn tlle classical collccpt Of a lVe、 vtoninl■ potentiれ l antl passing thl・ ough sllcceSSiVe devel()1)lllents l)ased oll、「RI.10uS l'eslllts of the stlldy of solllielliptic difft・ rel■ ― tial operぁ tors or from tllc theorv of ltielnann sltrfacesぁ nd]旺 れrkov processcs vith a ■ 71(10 a consistclllt mathenlλ tical theol'「 of potenti■ 1 1、 reaclled, ■ perspective to diffellelllt applierl tiel(1、

、llcll as: nlochanics,physics,chenlis‐

try為 1la bio10gy. 59

コ ETRIEl

ASUPRA TEOREMEI FUNDAMENTALE A GEO■ FROIECTll「 E

ALEXANDRU BREZULEANU, DAN CONSTANTIN RADULISCU

Tra・ nsformttrile

proiectivo ale unlli spれ tiu prOiectiv a■ l

ctt duc drepte in dl・ epte.Problema iILverstt a caracterizttr五

fll■

pl・ oprietatea

lctii10r(nulnite

lilliatii), dintre spaltii prOiective care clllc pllncte coliniare 'n puILCte coliniore prezinttt pe lil■ gtt interesul rnatclnλ tic si ulllllぁ plicativ,ln f■ ln― dttmellt乏 ピoa

lnecanicii clasice sん u tooriei relativitltii l.Cstrillse._/tmbele aspecte au fost relllateり i cel'COtate intensiv ilt■ lltillla vrel■ le. I)in pllnct de vederc lYla,tCllla,tic tt fost in」 profunda十 五 legitlll'a dilltre noliulli de bttz沈 din algebl.尻 si gooll■ etric(■ 'ez■ ltate cc so incadreaztt in algebra geometric沈 ), iall din pu]lf・ 1; dc veclere fizic lilliat五 lc pOt (lescrie l■ ■ ate■ 1ぁ tic Principiul inertiei.

900 anulnit Prinlul rezultat illlportれ llt, obtillut i]l ju■ lll ,(nul■ 1 ■ llltat RStfel: teorema・ fulld&mcrltaltt a geolnetl.ici proicctive poate fi el■ ■ Fie」 【 ,L corpllri(eVelltllal nec(■ 1lutathre), "0>2 ・W este lilliれ uc,「 Pπ (五 )O fllnCtie Cll propriet沈 ,le: 」

→

、i「

AtllILCi eXisttt un izomorfism L o1 0 apliCatic ψ :I→ ノ:X物 +1→ 五“+1,勧 sa incit F osto l,1.oiOCtivizゐ tl.p(∫ )a,111'ノ

::1:出 I「 紺 畿几∫ 脚 淵F跳 mare lDI.oiectivれ

讐lgrЪ 乳:ボ

i圧

:Pれ (fF)― →

este biieCtiV五

.

‐ ψ S(lnli― liniar腱 (p()!111■ o ale―

lrノ よ 温l :丁 I協 ‖

.

()PIlillltt generalizare(:onゝ ttt ill deJll()]1、 11'al'eれ uFllli cllll]11 を ヽ()lllttll航 ― tor in cazul infinit dilnellsiollal. Altc gcncrそ λ lizttriゝ o obtin sl益 ,billd conditia(le l)ijectivitatc.1)e exein― ph■ )[7],[12],[9]Fie F:P脅 (_7f)→ P怖 (五 )O funCtie aStfCl i1lcit:F este 1ヽ

lil■ ialtie i cNi、 t焼 ;17/― 卜 2 pullctc i]lP″ (」 lf)ale Cユ 1.Or il■ λgini i1l f)2(ん )、 ,IIt in pOZitie genel・ al■ .■ tullci exiヽ t汎 o pozitie中 :」 → 五 a、 ぬ illcil l｀ 三 Pれ (ψ ). (Reamintilll ctt l11l st■ llincl_4 in l se nllmest(ゝ de valun■ で (lacIl pe■ ltrll l‐

orice r illズ atllllci″ sau″ l aptぱ tin lui´ ′ 1l ψ:Й〔→ 五 Se llllineste pozitie dactt exi、 ttt uttl inel de val■ lare_l in r iilln()1■ ()nl(〕 rfisnl dc i]lelc ψ:■ → 工 aSa illCit ψ (21)eSte subcorp in五 .

Pe7111■ 1()a,lCgere

conveILabil嵐 211 coOrdOllaJtelol.onlogellei l｀

=「

I)″ (ψ )

Ne曲 訳

l織

1:1■ ll■

翼

'1・

3L鰍

ぐol卜 ccil■ lI:

話

よ撃 ぜ 鳳

Liniatia I・ CSte injectivれ dactt si

批 ツ ‖ 珊

60

(1,C・

■ lumai dacれ ψcste

lt器

器:辮 鷺:￨:習 鑑潟器 澁 肥 (plallё

α‖ 樺

:ヽ

iniectiV腕

.

∫ 五 瀧 憲雷語∝ ce i∬

Sau spゐ tii Desalrglles― ienc)n fost extilristt si la lnorfis11le.

2)in caZul plall tottte liniatiile lledegeneralte(れ

diCtt llll alu llnalginea

10r m [5]si[6].

inclustt intr― o dI・ eapt沈 )sht descrise cu ajutorul 13ozit五

3)Fie F:P悔 (K)―

Pれ (五 )O fllnctie astfel incit:F este linia↓ ie; F este illieCtiV沈 ;existtt o dreapttt α c P″ (」【)あ Stfel lncit F(α )eSte O dreapt沈 in I)"(五 ).At■ lllci F este bijectiv沈 ([2]).

4)Pel■ tm a Obline reZultate allaloage lII cazul afin o lnetodtt este

alceca de a prelllllgi liniat五 le la allvelopal proiectiv沈 ,adictt tl'cbuie del1loIL―

Strat llm ellunt de fellll wnl嵐 tor: Fie F:五 %(K)→ Pπ (■ )0 1iniatie nedegenerat汎 (adiCtt imttginea ILll este incll■ stt mtr o dreapt流 ).Existtt o prelungire(uniCD F:Pη l(K)→ P'″ (五 ) Pη 7(K)eSte

a llli P?(lLIILde五 物(I)→

m省 が

scufundぁ rea canonic沈

鋤

spatlului

露

孟社 ξ 吼認:糊 磐 TTT淋 淵滞島 投∬腸 舗増 eh

1]七 1瞥 descrise toate liniatiile nedegenerate de la R2 1L R2,prin prelllng士 P2(R)・

4.2)Pentm%ン 3,inむ otezれ suplimentれ rtt ctt exist沈 %+2 puncte (K)ale cttrOr imalgilli prilll」 F slILt in pOzitie general沈 ,cllu■ ltul nleIItiO―

物

illヱ 生

nat este demollstrat in [2].

‖ nattT,° ぷ 城 L∬ 認 Jp五 vmdぷ盤吼lttξ 諸:器晰tr・ ツ 動゛ ) i 4.2)alte rez■ lltate sillt: 4.■

。

■)Fie υ 。 ,υ l,′ υ 2,° 3 peILtru punctc in pozi,ie ge■ lerah lll P2(κ )si σ υ Oυ l,00υ 2,° 1° 2｀ i pe υ Fie り 'Ц り ,ユ リ 戚nt m pめ ,。 '■ llnei restrictia liniれ t五 P2(ψ )defillit前 lly品 。■ ■ 8拠 増lirtFЪ :肌 ]り pe P2(7)(veZi l)peIItHl■ otatii)・ Alte rezllltate privil■ d lnultilllil(〕 σ de 5。

o mllltillle din Pく F)ctte cOntine dreptele

acelasi tip Sint obtinute in [8]si[■ 1]. 5.2)Fie」 【 lln corp ordOIlat si び

3・

o rl■ llltinle

iII P物

(」

【 )Cal'C('()l■ tille

鶴 +-2p■ LnCte t,。 ,..・ ,0“ +1 ln pOzitie gCneraltt si sil■ plex■ll carc鉦 hdepeυ %亀 .Reti品 F(υ O),… .,F(υ ′ ん +1)Sil■ t inpozitie gen

%_ら

ゝ at de 載 智サ没 l麗 盤 1: ■難晶掲 )(lefillittt pe P"'(x).

童 К

il■

ztt ctt existれ ull izolnol'fisLlll

httintiei P″ (ψ ).

ψ: r_)五

２

Ill[3]se delnonstreλ incit 171 este restric,iゐ

０ ・ ・

5.3) Fie 1( ;i tr corpuri ordonatr' qi U un deschis i;t P,,(I(). U --> P*(L) o linialie injectivl asttel irrcit existri un segrnen'{ in c5rui imagine esbe urr ijcgrnent h P-(L).

F:

Ｆｙ

tia unei liniaぃ iP″ (ψ

dcter.1■

astfel

5.4)In [4]ull rOZultat anλ log collli de la 5.3)este probat peIItru i COnexe σ ⊂ [Rれ , Cttre ILu Slllt llettlDttrt■ t cleschise da,1'を lll tttti bine adaptatc れ plicttrii in fizic島 lllultill■

l)1'Opl・ ic―

.

Bづ b7り οg夕 'α ∫りθ l A Brcztllennu,D C RIdulescu,.lbο

uf∠ 力ε ιοι

lι

αιι οns ο″ ορじ

′ lR7・

lα ′ ld P″ 2(■ )_

o.icrliot:

{)asnLguesittn

ルSθ

`2 SLι Preprint scries ill llathematics nr. 71,1981,INCREST,Bucharest `sο `力 ｀frt」 θ 2_A Brezlllcallu,DC.Rttdulescu■ bο こ こ ιο′ ο ι :υ θ!ル 2ο α rfο ″ s(to appear) `ル 3 ヽ Bre21llca1lu, D. C Rttdulescu,■ ι ο口 αfiο ns οn οノ)arl sι l♭ 、θ/s ο/ ′ ,7● た て イjυ C S/,α Cど S Oυ ι′ `[fnι ordered diuision rrrrgs (to allpcar,) 4 A. Ilrczuleanu, D. C. Ridulcscu, About the l'ourulrLiiotts ol clossir:al tnr:cltanics tntrl iltc speciltl Iheorg of relatioily (to appear). lι

5. l). S. Cartcr, A. Vogt, Collincarity-preseraing funttion; planes. Ilemoirs

AllS, 97. sJj, Scpt.

bclLueut

(1980), pp. 7

--

pt

42.

61

6. D. S.

Carter, A. Vogl, Collinearity-prcseruing Iunclions belrDeen. ai'fint Dcsarguesian plctnes. Memoirs AIIS, 97, ?35, Sept. (198u), pp. 47 95.

7. W. Klingenberg. Pro.iekliueGeometrien nil llomomorphismus. Ilath. Ann. 732 (1956). pp.

180- 200. 8. B. Orlrin, Exlension of Collineations Definetl on Ccrloin Scls o/ a

9. F. 10.

F.

Desargttesictn Pro,jecliue

Plane. Aequationcs MaLhematicae, 6,1 (1971), pp. 59 - 69. Raumes tlurdt ueralRado, Darstellung nicht-in.iektiuer Kollinenlionen eines projekliuen lgemeinerle setnilineare AbbiLdungen. Ilatir. Zeit., f I0 (1969), pp. 153 170. Rad6, Non-injcctioe collineations on some sels in Desarguesktn projectioe- plctnes and cJllension of non-comnrululioe uaLualions. .\equatioDes l\{ath., I (1970), pp. ll07

-

32\.

11. F. Ilttdit, I)rlensiort of collinealions defined on subsels of a lnnslotion plarre. Journai of Geo-

12. L,

metry, I (1.577), pp. 7-77. r\ Sliorniakov, Homomorphism.s of projecliuc planes and T- homomorphi.sms of tentaries. Matcrn. Sbornik., 4, (1957), pp. 215 - 294 (in l-iussian).

About the basic theorern of projective geometry ABS・ 「

RACT

Someresults aropreselltedwhichchλ racterizelincationsF:σ → Pル (■ whex'o σ is an"o― dilnensionAl proieCt市 e space P勲 (I)With%ン 2 or some subset y of it arld F,五 田re d市 ision rings(F iS Ciblled a lineatio■

)

if it maps collilloar points h c01hnoar poillts).TheSe results are ilnportant

in geometricれ lgebra,see[7],[9],[10][5],[6],[3].If σ

iヽ

a``thin''set

consistlllg of somo poillts alld straight lines, theII lineations defi■ led on σ ttre characterized in[10],[■ ■],[8].IIl physics,the lil■ eations defined 4, are used to describe on opell(Or ``til■ e― open'', 、eo[1])S■ 11)Set,s of 懸こ mれ thelnaticん 1lv llle prirlciple of irlerti■ . Reslllts oollcerning lineatio■ LS defined on such、 ubsets of R7“ Or On operl s■ lbsets()I P凛 (」【), With ttr ′ .L も

ordercd divisioll ring, wero obtainctt in [1],[3],[4].

62

DILEME

」 牡IJE

COMPLEXlTAT]I CALCUIJIIIJUI

CRISTIAN CALUDE ,,E>:istella problenrelor binc puse gi ncrezoltate cstc o garanlie siguri a

viitorului"

O.

Onicesett

θθη,pι ιfriι αι θα cste unlll clin collccl)telo pe carc le percelDem intuitiv sllficient de bille,dar caro opune o l■ ■ are lezistellttt in Calca cfol.turilor de rariatele stll dii prふ・ind llれ tll■ a acestui concept c■lnoastere si coIIt■ 'ol. ヽ sllgellmztt cれ ,in ciuda uIIor aparentc intllltive,conceptul de col■ lplexitate se rel(】 囁, in prinlul rilld,la procesele de cuILoastere, ace、 tc・ oncel〕 t este fl■ rnai lnare nlLsur沈 た,. 6α 7Fι αtiで , decit `α ,2ti′ αι Stt illl st■ vil■

ttm cu dOuう ,exemple afil.lllatiilC de mai sus.UII sondaj pri´ c■ lvilltelol'bilnre

d comple、 itatea

ソ 生 =000000000011111111111lJ

B==1011011■ 1001010010■ ar indica,f激 航1'czerve,c沈 」 e、 te

ll

0111、 luLi l〕 1ltin

c011lplex decit B.■ cca卜 ttt

colll‐

cluzic este in col■tl'adictieCu Faptlll ctt■ estc nlailllllg decit B.(lu1ll 13oate fi cx131icat accst fellolllen?]Nu oste gl.eu de obド el'vat c沈 l pOa,to

o,,defillitio"relativ scurth(、 i usOr 'Il de tilllP retillUl), ceノ ,,zeCe urillate de cincisprczeco cifre llnll'',(,llVilltlll B、 c Opulle unei alstfol de descrieri.()uv'Illtul.1,(lesi lllai lllllg decit B,poatc fl lllai usor dofil■ it c■lllosCut retillllt decll.cllvint■ ll″ .Prin urr13are, collllDICXitatea stt fie descris printl'―

cifre zer(〕

ハlllfilltelor´ 4、 iIメ

vizcaztt lllRi putill c■ spectlll cantitativ(illヽ

1〕

Ct島 ,lullgilnea),

dar t,rilnitectttre diti(じultatetb pr()ce、 ■lui de cll■ 10a、 tel・ e.0 (・ on(,lllzie silη ilar焼 ― SC Obtil■ e analizllld Pl'opozitiile,,suina nllnllrului o suttti tl.eizcci cll lluln嵐 rlll、 aptc"、 i,,cea ln鋤

1 lrli(・

嵐1■ ullillle

cal.e llll se('olltille ctt elellLlelLt′

''.

]n cele ce urlllealztt vonl fa(.o o ral〕 idtt illlcuI.siunc in cilllpul prol)lelllle― ]or■latell13ticte ridi(Patc de st■ ldiul(ollccptul■ li de ccllllDlcXitate._4ド a cul■ l

va rezulta din a,l■ alizれ (le lll・ meazれ , nlulte dill rezultat01o ol)tinute au o sulllDrinz悦 loを tl.e c、 entI, Ilegativa.θ θ ″ ″ (lα /rtr71ィ 7?ィ :ぎ ι ″jι rrι θ %η θν ″ θ %ρ ι ρ″

` 6ρ 、 c poatc algoritnliza ill foarte lllulte (lalclllul conlplexittttii ,1lι `θ ` situtttii,1五 nd in Rcea、 lIl privi■ lt汎 o aCt,iVitatc(le esenttt Clll'iStiC I′ . I)eaド e― nlellぃ ,rezultatele disclltate, 1)1・ e(,11111 、 i ,,dilelnele'' IDllSC in tlvidel■ ttt VOr

αι ι υ

lfyaす

.J。

sublilliを 、lcgtttural flll■ darl■ erltaltt

dilltre(.oinplo、 itateド

i lill■ itelc

cunoれ stol｀ ii‐

63

1.PROBLEME sI DIRECTII DE DEZl10LTARE O problelntt P cλ re esto slsceptibiltt de a primi o solutic algoritmic焼 poate stt fic rezolvattt prin mai rnlllti(O iIItinitate de)algoritini.Fiecttrui astfel de algoritln i se asooiaztt anlllnite il■ llctii Cle co、 L― 一nttsuri&le coln― plexit飢 ,li algDritll■ llli__cλ re descriu resurscle ILeCeSL■ o de calcul. l■

Relatia prOblelIL沈 ‐ algoritttQ-00111Lplexitれ te dtt llastere llnui lnttre lluttattr

de llltrebttri l prObleme:

一 existtt s01utiiれ lgoritmicc exacte pentru P? ―exisし h solut五 スlgOritrl■ ice a,proxiTnative peIItru P? 一 oxis悦 俎 gOritⅡLi "p01inolniali'' pentrll P? 一 se pot stれ bili lillnite ale,,oolllPlexittttii''algoritmilor carc rezo17沈

problel■la

P?

一 care este,,oomplexitatca''lui P(calolllattt pentru ceれ lnai

nof乏

も 、 Ю‐

」 P)? loAreλ ll■ edie a ,,(:oll■ p10xittttii'' llli P? 一―care cste vて 、 tlldieze ,,eficienta'' algOritl■ lilo■ (paralelil prObabilisti) ――stt sc 、

rabiltt installttt a llli

Pcntrtl rezolず areλ lui P. Lista dc lllai slls collltine anul■ ite cllviIIte‐ cheie cヵ re vor cttpttta o

飢illl tlrmhto■ rele paragrafe。 Preooupttrilo recente atit de intense lll donleni■ ll complexittttii Cal― デ cullllui sint n■ al 、 o9hi(lo〔 )it ne― allll p■ltea astepta. Un cxe■ lpll1 11 0fe島 stuclinl llli II.Lalllё ([33]citれ ttt dup飢 [35])priVind ILLlmttrnl de operatii seinIIlificatie preci、

llecesa,I'o a18oriぃ Ylului l■li」 Euchtl.Este interesallt stt llotttln ctt acest algo―

ritlll l.idi[沈

inctt lYlultc lDl,Oblelllo deschise, a se vedea, de exel■

Colllplexitatc■

calculllllli cste denulllireれ

plll,[30].

generictt pcntm o ario

′ 、 arinttt de preDじ upttri.Deoal'ece tIL aCeaSttt sc■ lrttt prezelltarc■ le voln opri doar 1/■

ul■ elc

diro(`tii,VOnl elllulnera principalele donlcllii de illteros(a Se

vedea 、i[471, p 231): 1)00mplexitateん evaluttrii expresiilor algebrice,

を lllgebrice さ i aritmeticii ca)lculatoarclor, 2)Ool■ lDlexi― tatca a,llalitictt a cttlculului, 3)ColnPlexitatea algoritlllilor probabilisti,

rezolvil'il oollatii10r

4)Oonlplexil][titcal gralnaticilor 、 i lilnbajol〔 r, 5)Oolnplexitatea abstractユ a calclllului(teOria lui 31um),6)ProblCmc intrillsec dificile,7)Oolnple、 11 tatea Koln10gOl'Ov,8)Ierarhii de ftl1lotii(prinlitiV)rccurSiVe,9)OperatOri de colllpleNil■ te, lo)0011■ plexitatca llnllltimi10r rOcuFSiV elll■ llnenbile, 11)('Olllplcxit,tteん

13)Oolnp10Xitateれ

ィ :ん lclllullli relativ, fll■ oliilo■

■2)Oomplexitぉ tOれ gё delizttrilo「

,

01.dinalc,■ 4),I」 uIIgil■ ■ ea algoIoitlnilor,■ 5)Oo■ 1‐

plexitAlef、 l iIIfcl.en,ci inCluctivc,■ plexitat crl 、 istclnclor ll■ ttri.

6)Oomplexitate″

t sellnigrupllrilor,■

7)Oon■ ―

Trcbllie、 L ob、 el.v嵐 〕 ll ctt lista de inai stls nll este■ lici irldepelldel■ t島 ■ti cxlla′ ustiv嵐 .Oele l■ 〔 bi in■llte problelne ― prObabil,cele mai illteresallte nai nlllltor domenii ― se a,th la confluenta lnai lllultα dil.cctii,Cl」 alrれ 〕

,

(Inあ telllatice sa,ll lle rnatcl■

laltice).Ul1 0xeinPlll silllpt∝ ntttic in ac(nst汎

privinttt il COnstituie recentul rezultat obtirlllt de S. Sl■ ■ ale[5■ ]in care se allattt ctt solut五 10 gal'al■ tate de toorerrla fllndalnental鴻

れalgebrei pot fi

Obtinllte efectiv cu un algoritl■ ■pl.ob&bilist cal'e lucr∽ z悦 lll tilllp polino― ■linal 、 i care fllrnizeん ztt rttdttcinile cu o precizie oriclt dc b■ ll】 磁. Pentru

Obtinerea acestui rezultat[blltOrlll fo10seite nletOde din algobr嵐 , an21iz沈 nulnerich. teol.ia cchilibrllllli eoo■ ofllic si complexitatea calcul■ llui(di― rectia 6)).

64

Impactul rezultatelu teOriei complexittttii CttClllului asupra altor rall■ llri

ale IILateIIlaticii este foス Ite lnare. Iattt o listtt de dol■leILii ln Care inflllellta este puterllic汎 :teoria ILuⅡ lere10r(dil・ ectiile■ ),3)― -6),v.[35]);

flllldれ lnentele

teoriei probれ bilitttti19r si teoriei illforlntttiei(directi仇 6);

e゛ htΨ tte ttrec● 為 幼 ;V・ レ9⊃ 聰 rltte∬ れ i胤 置 li乱 覇 財 霧 ),12),v.[16]),algebr焼 (direCt五 le l), 6)),top010gie(directiile 4),6),v.[62]),prO〔 剪alnare lILatelntttic沈 (diI・ ec_

,

鶴 品 ileξ 灘 よti donle711ii citttILd O

(yR 81f,03069) strllctiv尻 (silnilれ rtt demoIIstratiei llli l■liヽ Veier6trass: ,,The revielver lvOuld

like tO sce al conaplexity¨

theoretic

allalysisIOf the twO proofs,colnplexity theory hれ s been so far lllostly ap―

plied to ■lllmber― ― theoretic Oll combilllatorial problel■■s, alld it would be illteresting tO apply it to this ttILttlysis problelll''. Recellte lllcrttri de sintez悦

琶誌 ‖ 棚

yず

plll[3])sa■ l Clllegeri de allticole (de eXel■ ■

憔 ふ ∫:そ猪 ￨]I&」 1:朧

l糊

酬

Fll贅 抽

鴫

ド鴫

∫

in paragrafele llrmtttoare voln discllta clteva dill directiile cle dez― voltare ale teoriei colnplexitttt五 C易 lC■lllll■ li.

2.COMPLEXITATEA EVALUARIII EXPRESIILOR ALGEBRICE,REZ OLVARII ECUATIILOII ALGEBRICE sI ARITMETICII CALCULATOARELOR

Fie ヨ(trl,″ 2,… 。,α π)O oxpresie algebrictt depinzind de variれ bilele ″1, ″2,・ ・・,″ ル ・ Se cere stt se gttseれ sctt valori10 1ui」 E pentru ″1==91, ″2== o Crit∝ iul de mttsurtt a complexitttii este cuplul f∝ lnat =θ 2,・ ° ,=θ π

"″ de adllttri l scttderi si llllmttrul de lIIllllll“ din nllmttrul iri Cれ zuript■ rticlllare

1 llllpttr,iri.

import&nte aleproblemei sint:1)evalllarea polinoalnelor,

2)inlnul,ireR mtttricilo■

五 Cu ,3)rezo市 λreR sistemelor liniare de%ecuれ つ

%necllnosc■ lte,4)sulna(prOdusl11)al dOutt ILulnere reprezelltate pril■ %bi,i. ProblelIIla l)adIIlite o solu,ie optimtt dれ ttt de schem&lui Ⅱ Orner. Dactt p01iILOmul ttre raClul%,atllnci schelnれ llli IIorner necesittt exact% lIL■ llll“ iri si % ad■lIIttri(v.[39]).

neces詰 寡 空 由 L計 埒httF器 :諸 :鳳 酬 琴 .盤繁迅fiTttl:[ ⅡLetOdtt care llecesit焼 易prOximativ 4.7/1272.81 。 p∝ れtii(10g27π 2.8■ ).‐7.Pan al tinburLttttttit de l■ &i ln■■ lte ori algOritllllll llli Stralssen: %2.795 。 peraoii

in[41],(%+2)(1.75(%+2)十 (%2+4%+3)′ 3)oputtii ttn[42].

Aceste rezllltぁ te infl■ ellteaZtt dil・ ect problemele 2)§ i3)。 P″ θ b7θ ,η α9pι j%α Zj― jγ ι sθ λ づ sa. ■づ 混%イ %θ αθ

Ao schё nhage si｀ 7. StrttsSen [49]all dat O s0111tie pentru probl(】 nal 4)c&Te llecesit焼 o(,31og屁 10g10g%)Operれ t五 ′ bit. o llllbllnttttttire れacestei lillllite a fost dλ

ttt de M.PatersOn,M.J.Fischer si A.Ro Meyer in[43].

Pelltrll o prezentalre de ansttmbll■ a directiei Se pot consllltal[7],[63], [52]. 5-c.116 8

65

3。

COMPLEXITATEA ANALITICA A CALCULULUI

O functie contilll■ltt pe un illterva1 lILChiS pOate fi aproxilllattt prinヽ P01il10ame.Dactt in demOILStrれ ti&billecullosc■ ltei teα eme folosilln polinoa― mele de tip Bernstein,&tllnci pentru a realizれ o precizie de 8 zeciIIlale avelll llevoie de p01i■ 10ame cll yれ dlll extreln de lna■ e(れ prOxilnativ 10■ lilioane). Oollcluzia estc ctt utilizarea poliIIo&melor de tip Bernstein nll este eficient■ lllれ proxilnat五

efective. Obse]闊″ at五 de tipul celei forl■ lulate mai sus au deterlminat stud五

privilld complexitatea ll■ lor algoritlni care se refertt la p■ oblelne care depiIIcl

de pttametr五

conti■ lui.J.E.Traub

si ele2V五 Stti au obtillllt rezllltate Foartc

adinci,lII special in alllahza col■ ■ plexit嵐 七五 prOceselor iterative(v.[う 9]). Re7」 l■ ltatele dil■

aceasttt directie sint prezentate nll [6](p. 35_89)

si [60].

4.ALGORITIII IDROBABILIsTI

A)Fic■ i,〃 2,… ￢″ %,%VeCtori diII RI.Se cere stt se gttseasc沈

o peleclle

｀ ),j≠ プ

stt fie minimtt in ll■ ■ ltimea J,astfel incit distatta dintre″・:i″ ′ ∈{■ , 2,… .,η ], lι ≠υ distantelor dintre perechile(″ , α し ), ll, υ B)Stt SC testeze dactt lln null■ ttr nれ tural r>■ eSte prim. (″ t,′

.

,′

Esto clar ctt problemele A)si B)Se pOt rezolva(pI.incipial usor)cI aljut∝ ulれ lgα itlllil∝ detelministi・ TOtusi,tOti algoritmii cunoscuti pent■

■

aceste probleme sillt neeficie■ lti.Recent,れ ceste probleme all fost abOrdate cu iIIstrlll■ lentlll aヒ oritl■ i10r probabilisti si rezultれ tele 211 fost concl■l dcnto:

λ u dovedit mali oficienti deCit Cei deterl■ lillisti (v.[46],[29],[54]§ i[47]). Unれ lgoritm probabilist_■ lDentru o olれ sれ de probleme」 P utilize[し z焼

algoritlllii probabili5ti s‐

o sllrstt de llumere pselldo― aleatoれ re.Pelltll■ R se reZ01v2 o problemtt 13ar‐ γde ll■ lmere pselldo― alleatoare pe care=lo■ltilizeaztt pelltru a da l■li P`o solutic eX2Ct悦 .C■ l exccptia generttI五 lui 7'procedllra se col■ ■ porttt strict deterllllinist. ticulartt P・ de tipul P se gellereaztt o secventtt

Clercetttri priviIId algorilllii probabilisti au intrepriIIs: C. Shallnon

956),lI.RabiIL(1963),E.Santos(■ 969_7■ ),B.A.IIh・ akhteIIbrot(1974), R.V.Fre市 ald(1975),D.G.Ⅵ rillis(■ 970).PteCent,J.Gill[18]a fttCut O (■

prilntt teILtatiVtt de abordare sistematictt a problemei complexitttt五 algOrit―

mi10r probabilisti(a,Se vedeれ 、i[64]).R湧 鶴6%ι θα θθγθθι ttγ ,7θ υ づ Jι θ α,'θ s洸 j Sκ α″υ θ,ι ι Zι β θZι θ αθθst αθ%θ 協,lι θα″θsθ αγαtaル α″ι %α α ι θ θrγ θ tiα ルι “ “ `θ '■ 5。

CO■ IIPLEXITATEA

m毒冊 増程靴濡 肝

GRAMATICILOR SI LIllIBAJELOR

f器

a犠

響 露 島:棘 酬 i cu 1965 au apttrut stlldii pr市 ind cmaplexitateれ ― m沈 馳nttt in tilnpulノ Spれ thl de lllcru al ll■ asini10r Tllring_recuILOastelii lil■ ■ bajelor.Astfelァ 」。Hartmanis si Ro E.Stealns au studiat m沈 阻 ra til■lD in[25],iar J. r∝

期 よ」]棚 :i島 謂

Ⅱ artlnallis,P.M.I」 ewis II si R.E. Stearlls au studiat llltts■ lra menlolie zegorczyk (1953), P. AXt [22]。 CerCetttrile all fost colltillllate de A. Gl・ (1959),RW.Ritchic(1963),M.Rabi■ L(1963),Ⅱ .Yれ 711ada(1962)in variaIIt沈 detび ministtt si de R、 V.Book(■ 972),R.V.B00k(1973),I.J.Seiferas,

M.J.Fischer si A.R.■ [eyer(■ 973),in 66

variaIIte lledetermilliste.

Existt probleme de complexitate specifice gramaticilor si limbajelor. De exemplu,complexitatea sint&ctictt al cttrd studill a fost ina■ lgllrat de A.V.Cladkij[19]si J・ Grllskれ [20].Oomplexitateλ sintactictt λuILei gra‐ lnら tici

este un ILumttr ILat■ lral(llumttrul silnbolurilor auxiliare, ILllmttrlll

Teguliloll de prodllctie,lunglllnett mれ x■ lIItt a membmlui dlleptれ l reglllil∝ ,de productie etc.),iar COmplexitatea sillltactictt λu■ l■lilimbaj e§ te complexi‐ t&tea lllinimaltt a gralnaticilor,dintr‐ o olas沈 ,capabile stt gell∝ eze limbajul.

・ll■ tttoarele problelne slILt studiate lIIれ cest coILteXt:i)Este collnplexi― U■

tatea lillllb&jelo■ o fllllctie CalClllabil沈 ?,五 )Este

oolllploxitatea uILui hmbaj

dat lllLai mare sall egaltt cu llII ILllmttr,o,dλ t?,i五 )Exist焼 o cea mれ i"simpl沈 ''

gralnλ tictt care gellereaztt ull lilllbali dat?,iV)Leぎ ttllra clintre complexi―

tate si&mbigllitれ te, v)OompatibilitateR a do■ ltt mttsuri.

J.Grllska(1973),Eo MOriyれ

‐

(1973),Gh.Pttun(1975),■ .Igarashi

(1977)s― a■ 00upat cu rliverse problelne de colnplexitれ te silltactic沈 .I)illtre mollogrぁ f五 le care contlIL Capitole dedicate acestei dillect五 mention】 m

pe [26]si[44].

6.COIIPLEXITATEA ABSTRACTA A CALCULULUI:TEORIA LUI BLUII UII sistel■■ acceptabil(lllliVersal)de prOgramare (sRll, gё delizare acceptabil■ )este un sistem de prorれ lne in care avem: 1)llll prOram ulliversal care,pentlu cbrice prograln si oriCe illtr[re,cれ lculeaztt realtat■ ll Obtinut de respecti■ rul progrれ ln pe iIItrarea considerぁ t沈 ,2)o transfcprlnare

efectivtt a oricttrei perechi de lDrograme intll―

■ ln prOgram cれ re calculeaz沈

colmpllllerea fllILCtil10r calclllate de programele respective, Conditia 2) poate fi lILlocuit尻 ,cu efect echivalellt in contextul llli l),cll COIIditia 2′

transforlnare efectivtt a llllei perechi arbitrtte forlnatc dilltr―

)o

llll proram

■ ll dat care are il■ cor^ Si O illtrれ re intr― llII prOram Care consttt din progrttl■■ porattt intrarea dat焼 .OoIIditia 2)este fallniliartt lnatellllaticiall■ lllli,ln tilnp ce conditia 2′ )tl・ ilnite la activitnteれ de progTamare. Teorel■lLa f■ llldamelltaltt de invarianttt a SiStemelor accept&bile de ぬ Oricれ re dou流 れstfel de sisteme sillt re‐

progamare(ROgぽ s,1958)afirmれ

cllrsiv izomorfe,adictt exist沈 obilectierecllrsivttintreprogrれ Ine echiv&lellte. Teoria lui Bl■lm [4]pleaCtt de la un sistel■ ■acceptabil de probOramare. Blllln a introdus doutt axiollne foarte naturale pentru lnttsllrile de conlplexi― tλ te

a programelor.Mttsurile clasice一 timpul si spatiul de lucru pentru

aSinile Turillg_satisfac aceste&xiome.Fiind date cloutt sisteme accep― tabile de programれ re si doutt llnttsuri Blunl pentllll ele,existtt o transformare efect卜 rtt a rezultatelor privind complexitate■ progralnelor(de exemplu,

ll■

lmargi■ li sllperioれ re sa■ illfellioare)dintr― lln sistel■ ln celttlalt. Iれ ttt (■

pel■trll

citeva din cele mai interesaIIte rezultate din teoria lui Blum:

)Existtt fll■ lctii recursive allbitrar de complexe,adictt existtt fulllct五

care∝ ico prorれ ln de calcul depぉ este ln colnplexitate ollice fuILCtie

αerrjθ γ ' Stabilit沈 (2)Pe baZa lui(1)se pあ te construi o ierarhie infillittt de fllnctii .

r∝ ursive, ierarhie baz&ttt pe dific■ lltateれ de cλ lcul.

(3)Te∝ em&lacunei(A.Borodin,[5])・ Exist焼 ,,lacune''oricit de lnari ■l care llici o func● e de COmplexitれ te nll poれ te intra decL cel lllult de lln ll■lll■ ttr finit do ori.Ovれ rialtttt topologictt a acestei teoreme a fost ob!in■ lt焼

de C.Cス lude[■ 0]. (4)Teorema cOmprimttr五 (M.Blulln,[4]).Existtt o functie reCurs市 沈 ク れstfel lILCit eXist嵐

(si pOt fi efectiv coIIstrllite)fullC,五

reC■lrsive,arbitrar

67

de complexo,a caror col■plexitalte doar de lnttsura de compl(D【 itれ te).

(5)Toorema accelettr五

este,,optilIL悦 ''ll10Cll110 θ (care delDintle

(M.Bhm,[4].Exis誦

hnctii recurs市 c care

sint atit de ,,dificile'' de calclllat illlcit fiecttrui prorarl・

・

de calclll lDelltn■

ai eficiellt decit elo i se poれ te atasa lln progTalll echivale71Lt,Carc este§ trict l■■ γ α ο″t Stれ bilit.o lDrogralllul dat,aproape peste tot,lnodulo lln falctor ″ゲ

interpretare iILtuitivtt aれ cest■li rezultalt este urllntttoareal:DlIIdll― se dou益 calcul&toれ re universalc,lllllll fOれ rte lellt, iar celttlalt loarte rapid, exist沈 ine la fel lilnite de complexitれ te relれ tive lれ care calculatorlll mai lent de■ ‐

de performant ca acel rapid.

Recentコ生。Ro Meyer si]【 .ヽ lrinkllnaII

all descris cOll■ plexitatec■

ul■ ei

fuILCtii reCursive lDrillltr‐ ■ ln sir de fuIIctii,,Sincere''. Aceasttt corespolldellt沈 perll■ ite adllcerea llltr― o albie comllntt a unor rczllltate aparent divergellteァ prec■lコ n teorernele accelerttrii si coIILlpllil■ ■ ttrii.

La dezvoltarea toorici a■l

coILtri1311it in l■ lod decisiv alttt■ lri de M. artiool■ll[25][b inSpirat a,xio―

si J.Httrtmanis― R.E.Stearns一

Blull■

matizarea propustt de Bl■ m,E.Mc.creigll,A.R.1:reyer(■ 969),E.L_ Robertso■ (1970,2),L.Ⅱ・ L&ndweber(1970,2),J.Hartl■ l&nis― J.E. Ⅱ opcroft(1971)。 O alttt directie care initial S― a dezvoltat indepel■ dellt,cla,r care iILter―

γ γ θ θ Jα ″ α力jj;ο れCtiOneaztt acum pltunic cu tooriぁ lui Blllm o constituic ι τ づ″ θ %'・ Sjυ θ . OrigiILea prOblematicii sc afl尻 lll articolul stη %θ ι %γ α θαθノ7ノ づ θ ,'

,・

lι

celebrll al llli]D.I[ilbert despre infinit. CroIIologic,rez■ lltate ilnportallte 働■ l fost obliILute de ctttre G.Slldan(■ 927),W.AckennaIL(1928),R.Peter

(1936),A.Gllzegorczュ JOnCth■ leR

(■ 953),S,C・

Klemo(1952),L.Kれ lmar(1943).

teoriilor a fost efect■ lattt prill l■lcrttrile lui R.ヽV.Ritchic(1963),

Jo P,01eave(■ 963),A.Cobllam (■ 964),A.R.]Ieyer― D.M.Ritchie (■

967),R.I」 .OoIIstnble―

Obtilll■

A.B∝

odill(■ 972).Remltate recellte a■ l fost

te de B.Goetze― Vro Nehrlich(■ 980),C.Calude(■ 981),N.Dima

(1981). o proble11latictt intercsa■ lttt a fost deschistt fle cttt,rc J.IIartmanis

(1973)pr市 ind

Suplill■

entarea axiomelor lui Blllm in scopul eLminttrii

i― mttsurilor paltolobOice(prOblem&izol嵐 r五 l■lttslll.ilor,,llatllrale"ale compl(】 【 tttti Calculului)。 Rezultate consistente au fost obtiIIllte,ln aceasttt directie, sθ λ isa. αγθ αθ de Do A.AltoII(■ 976)。 Totllsi,p″ θbι θttα ″滋ηl`%θ イ%θ θ%ι

Toorial lui Blul■ ■este explls沈

l■

`%飢alrticole sau (partial)ill urmhtOarele

onogaf五 :[■ ],[2],[23],[6],[9],[34],[■ ■],[66]. 7.PROBLE】 IE INTRINSEC DIFICILE

Stt considerttnl algebra libertt a calculullli pI.ol」 OzitiOIlal tOienelat沈 ￢ pπ ,… .}cu OpellatillC de disjuIIctie,CCIIIjullctie γ η oα α iZα bづ ι づ リ をCere stt se decidtt dactt o forlllllltt a′ cal― θ bι θ ι ι ι Si negれ tie.P″ ″ ノ culului propozitiO■ lal este realizabil腕 , adic沈 , dactt exist沈 o combillatiC a

de nlu“ inllea fF.,p2,…

valorilor de adevttr pentm variabilele rt COrespllnztttoare cttreia lornlula dぁ ttt este adevttrat沈 .Dactt formulれ れnλ hzattt contille,o va)riabile r.,atunci

vor exista 2'combinれ tii pOSibiloo Anれ liZttea tllturα acest∝ posibilitttti d沈 誦spuns problelnei reω lizabilitttt五 .Aceasttt strategie de cス lcul depinde pθ %ι りjα ι を %%j αrγ θ ″istθ りθ θ de lungimea formulei.RaS"%%sttι τ b7θ %α θ ″ nu θ stθ αむθ %rθ ι θ αZ pθ ι rtι ι stα θ づ γ 鶴づ θ αγ θ づ ι れ %鈴 θ 鶴 %7θ α 7ね α bづ τ ル ″ θ "ι %%OSθ %ι lι

jι

,レ

'・

.

68

,・

Meritlll pentl■ ■illitiereれ acestui gen de preocllpttri tt all S.A. 00ok

5]si R.M・ Kガ p[28].Din aceste articole s‐ a degaiat COnctttul de づ bづ αι rθ α %θ ι ι θrθ 7れ ο OJα ι loliunea de reductibilitれ te din ん (deriVat din ■ [■

Zづ

Teoria funcoiilor recursive).Spllllem ctt problema F este pollIIolnitt reduc― “ tibiltt lぁ prOblemれ O daCtt diIL OriCe algOritlll pellt]阻 o se 130カ te COnstH■ i づltθ ,,ttα ιlln れlgorit■ 1l pelltrll P. Prin llrrll&re, dactt P este polil■ onlial rθ ι refluctibiltt la c si 9 eSte polirlollllinalrezolvttbil汎 ,atunciコ P este poli■ loll■ inal l'ezolvalbil沈 . ]Dolltt prOblellle l■ llltllal lDolinOInial rcdllctibile se ll■ll■ esc tη ο θλづ %づ αι θ υαZι %ι θ.Problema reれ lizabilitⅢ 五 este poliILoIIllial rrθ bι ι%θ rθ ι echivale■ lttt cll prOblell■ a existerltei Circuitolor hallliltollielle intr‐ ■ lll raf,

Ъ」錯記Ⅷ 焼し∫III留 胤 lTt`糧 究 acestor echivaleILte, daCtt ll■ a din aceste problemeれ r

出 ま柵 vれ bil悦 ,

pぶ

璃 Ъll∫ 署鮪

1]

fi polinolnial rezol―

atunci toate celel<e vor avea aceattttt lDrOprietate.

t鵬

S:llRc“

瞥 靴 1lnl甲 翌 、 1::1鯖 篭 棚 : π%existtt un algollitlll p01illoll■ ial deter‐ ■linist de rezolvare,ln schinlb,θ κ a algoritl■ ■ i pOlinonliali nedetenllinisti ぃ

ィ 曽誡

盗 i(翻

bilit嵐 1五 exiSttt lllotive stt credem ctt

de rezolvare(se,,ghiceste'' coILfigllratia ,,blln尻 '' si apoi se verifictt c沈 `sι

ea con■ /ine forln■llei)。 Diferenta dintre夕 siン ´ tttoarea:cl1 1ln ′ eSte url■ ■

attOritln din′ θ α%ι a%o demonstl.atie efiCient焼 ,ln timp ce cu un algoritm

dinノ タ υθ ?'ザ

a%O demonstratie eficient沈 。 Fie acum τ o clastt de prObleme.Spu■ lem ctt α c″ este啄 ― θθη11)7θ ι膨 jπ づ αιdactt orice ι∈τ este poliILOllnial rcductibiltt lal α.P■ oblemele ″θι θηι jθ

´

tliscutate l■ lai sus silltン タター coll■ plete.

Ullれ cliIL Cele lnali interesaIIte pl.oblelllle tlill acest domellill este ´ ′ル″夕・ M[Onogl'afia llli Gttrcy― Jonhson [■ 7]repreZiILttt o excelent焼 introducere il■ acest clol■lenill.Dc aselne■ lea,capitole dedicate/∠ ター ー coln― Pletitlldi■ l五

apれr in lllonograf五 le [34]si[26].

Rezultate i71■portれ Illte all fost obtinllte de R. Sethi(■

975), C.Ⅱ

.

PapadimitriOu― K.Steiglitz(1977),V.Ro Pl'れ tt(■ 975), Go Miller(■ 976), Pt.E.Lal■ dner(■ 975),L.Adlemれ ll― Ko MaILderS(■ 977),V.Yu.Sazonov (1_980).Ila nOi in tartt Gh・ GrigOras a obtillllt,in tezal de doctorれ t(■ 98■ ), rezultalte privilld propl.iettttiノ イ タ ー con■ plete iII teoria gafurilor. 」. ]王 artlmanis― ―J. E. ]王 olDGroft[24]au dell■ Onstrat independental unei vttriれ IIte relativizttte a problelllei夕 l1/夕 in raport cll lln sistem axio― matic collsiStCllt si sllfiCient de bogれ t.Acest rezultatれ sugerゐ t constl■ i―

rea uIIOr cazuri illdependel■ te peILtH■ fiecalre diIL problemele■ lettcidabile impOrta,]■ te(prOblellna opririi, prOblollln finitudill五 , prOblelma lui Post)

de ctttre C.Oaludc― ― Gh.Pttun(■ 983). timt O COnた

th五

bPI積 鳳紺l:鶏Th四

鋤

pr面 nd ttaふ ■ 」 ばcぃ ■焼

8.COIIIILEXITATEA KOLI10GOROV Stt coIIsiderttl■

l urmtttoarele exemple de cllvinte bil■

alre de l■ lngiII■

e30:

000000000000000000000000000000 ■00■ 00■ 00■ 00100■ 00100■ 00■ 00■ 00

0000■ 000101000000■ 00100■ 000■ 00 01001■ ■0■ 0011■ ■01000001■ 001011

69

DRctt avem la clispozitie llll experilne■

lt aleator calrc produce O si l

ou probabilitatea■ ′ 2,atuIIci toRte cele patrll cuvinte siILt eChiprobabile; ele nu probabilit&teれ 2-30. Dactt instt ne preocllpttm de analiza ,,regularit沈 :五 ''勧 Cestor cuvi■ lte V011l deSCOperi deosebiri esentiale, Prilnlll clLVlILt COntille ,,foarte plltiIL沈

ow器 繁ボ ℃ ∫ %奮F:出

mformatぽ

,o desG五 ere CompLtt si legen: ,し %%α づz doilett cllVmt eSte:rθ γjθ ααaゴ θθ. o.lvlIItlll

λ ″

cttlldu― i lungiIIleん

∫塁

al treilett palre llllai lleregulれ

i

t.

Totllsi,putenl observれ c沈 ln acest cuvint llumttrul dc■ este lnai lnic decit nllmttrul de o.D&ctt ordollttm lexicOrafic c■ lviIItele blllare(00 1n cazul stalldard.

^

)1 δ (6π

―o。 )二 〇

TOtuSi,ln acest caz repれ rtiti&lil■ ■ ittt a llli O多 ― -0。 este neclll10sCllt沈 Presuplln∝ e■ fllndれ melltatt a mOdelului de regesic lleliILittrtt este c沈

.

pelltrll fiecare Observλ tie regresor五 slIIt iILdepelldenti de terl■ elllll erOare. Dttctt aceasttt presup■ lElere lllu este satisfttcut尻 , coIIsistenttt eStilnaltori10r de cele mai mici patrate si れ estimぁ tori10r ]f rObusti inceteaztt stt mai

nⅢ b_2 Num燒 m mzul lini霞 sl沈 bittt

智Ⅷ魔 ぎ::器t器 城:棚:Ⅷ cmd reresor五

presllpullilld ctt e/rOrile si reg aceasttt presupunび e ll■ l pOate fi fttcut焼 ,deは emplll

sitllれ 1五

i』

[叩

器ぎ 鳳 淵 :淵 ]Υ 猾 埓 器 fil11記 者託 鮒 l[柵 譜 ょti∬ 盟 sa■ l ll■ ai lnulte variabile explicati■ re slllt variabile depelldente de celelalte 淵

]

eCualii ale sistelrnlllui.

Ecuatiile structlLrrale lilliare all fOst studiate de mai mu“ instt lJlltillli si au indreptat atelltia RSllpra ecllat五

i ttutOri, 10r structllrale lleliniare.

Astfel,Eise■ lpress, GI・ ceIIstadt(1966),食 ll presupllnereれ

de nOrlnれ litれ te a

erO]fi10r,Obti■ l estilnλ torlll de verOsillnilitalte lllaxilntt de iIIfOrmatie tOtれ

penttu pMam疏 m und ll■ u“ hi de itttnimi肝 ei isi ttIIdreapttt atelltia aSllpra calc[

瞭

五

1焼

nぬ are exphdt,

Amemiya((1974),(1975))dtt eStimatorul nehniar de cele mれ i mici patrate in dOlltt etape. All■ enliya

afirl■ 嵐 ctt abordarea sa este lnlllt mai generれ ltt cleclt れ

量 :蒜 聯ittl認 淵:品 :lll驚 淵胃lttl肥 轟需境 」 踊劉l mator,コ :貯

生menliya treb■lie stt factt presupulleri de tipul

上 丸wバ ィ∂ o)ズ 均 ,0)ム θ ,3 1

■ 耐m.mmぃnde θ∝ 協。 ma仙 oo:鑑 instrl11■

entale si lll10delul rcgresici n(

]脱 ぷ器 1:認

,00)十 ε ップ=θ (μ ノ J,ブ ー 1,2,… ins■

血 nab■ dor ° Vλ

.

cll presuplln∝ eal ctt ε,si",sint iILdependmte. structllral antariOar沈

poate fi cOllsiclerattt cれ O ecllatie structuraltt neliniartt explicit沈

,unde unele 79

componente ale lui ″ノSiILt depeILdentC cle celelalte ecualii sl,rrrcturale ale sistemului. Forma ill■ phcittt a acestei ecualii strrrcturale este

″ ,ノ (幼 ,0。 )=ε ノ unde

= 7r2',...rn

g;=(ν ブ,″プ ,'° (Zブ ,00)=ν J― )′

θ(trJ,0)。

instt astfel de prcsupuneri sint realiste lllllnai dactt

no。 θ(″ ,0)eSte liILia■ 焼食

B∝ndt,Ⅱ all,Ⅱ ausman(1974)si Jorgenson,L&ffont(■ 974)consi―

atorlll de verOsilnilitate lnaxilntt de illLformatie tOtれ partt cll estilnatol■ l ll■ i´ よlnelniy税 dertt estill■

1沈

si l COnl―

.

Gallttlt(■ 977)extinde lucrttrilc llli Al■ lemiya si JOrgensol■ ,Lλ ffoIIt la un sisteln de ecl■ at五 nelilliare implicit,b&zlndu― se pe O variallttt a coIL― cept■llui cle normtt coadtt a lui Jellllrich (1969).

BiceIIs(■ 981),llrmlILd Gttlallt(■ 977)se ocllptt de ecuれ tii struct■ lrtte implicite.BioreIIs(■ 981)intrOduce o■ lo■ltt metodtt de estilllare pentl・ u eCuatii SiIIlllltれ IIle,presupul■ ind c沈 び or■ e

siILt reptttizate simetric.Aceれ st沈

metodtt alre avantailll ぬ Cere m航 plltine Variabile instrumelltale decit l■ etoda

celor lllai lnici patrate nelilliare lII doutt etape si ctt llu siILt lllecesalle

pres■ lpllneriれ sllpra fillitlldiILii naOmeIItelor repartitiei erOr五

.

Gallant(■ 975)considgtt prOblell■ av∝ 」ic加 五 1]nor ipoteze pr市

illd 10Cれ tial unei sllbmultillni a parametrilor 00 iIItl・ 焼 in fulllctial de rttspllILS al

llnui lnodel de regresie nelillliar尻 ,ilIL Care ScOp Considertt testul raportului

de v∝osill■ ilitttti

sillll test bazat po o sttttistictt rezultattt din nOrlnれ

税silnllltOtic流 れ estilnれ torlllui de cele mai Πlici paltl・ ate. ,し θ f10 θ ο ttzjθ .in ajustarea Oricttror lnetode de allaliz沈 ι

lIL bttZれ

litateぁ

datelor

de Observatie,trebuic stt distingem urmtttoarele sitllat五 れ)prOblema prilnartt lllattt in studiu ILll este afectBttt de cercetarea :

datelor,lILSれ ほe Schilnbtt prcsllpunaile asupra erOrilor; dll13沈

b)fOrnllllれ rea matematictt preciStt a problelnei priIIlarc se mOdific沈 pectele calitative rttl■ ■ in neschimbれ te; cercetareれ datelor, lIIs尻 れら

C)fOrmulallea problemei se fれ ce llumai duptt vれ lorificareaれ IL蕊hZei datelor; d)un mOdel initial COmplicat,adictt un model de regresie cu l■ ulte Va五 attd;習 F雲 af::Ъ Istmte cu 1。 p置 datele tio Obs(】 vれ tie,Stt fie trccute ln revist沈 ,analizate siれ les acel model

蠍

ξ 糧ガ酔 肌 濫選:懺 蹴聰

care stt rttspllndtt cit lnれ

i bille prOblemei puse.

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Matheroatieal statisties. Reeent prohtrems

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models

ABS'fRACT This survey is expository in nature and gives an account of the rlevcloprnent of statistical inference in noDlinear models.

6-c.116

81

REOLOGIE, PLASTICITATE

NICOLAE CIRISTESCU

.暑

l二 翻 培

器 事 枇

柑

ll偽

柵

ettI:攪

鳳「

俎 :略l剛 発 乱 鑑

teor五 all fost stil■ lllate de necesitれ teれ mOdelttrii lnatematice a ullor pllo― cese industriれ le: deform&reれ pl&stic沈 (deci ireversibil悦 )a metalelor prill

procese ca lalninareれ ,foriareれ ,extr■ldarea etc.■「llele din aceste procese erall cullosc■■ te de multtt vreme si erau practicate ca O,,art夙 ",deci se ba― i eXperie■ ltれ acelora care o prれ cticall■ .Totusi o 、 plicate,0 1mbulllttttttire al SClllelor ut■ izate,o cres― ■ tere a rttdallnellt■ llui etc.,a■■cerut o forl■ れ lizれ re■ lれ telnれ tic沈 れproceSelor renれ nt avea■ l tocllnai o asemelleal inteIL― de prelucrare.Ecllatiile lui Sれ int― ヽ za■ l

esential pe int■ litiれ

Cll■ Oastereれ fortclor il■

tie,Illlmtti ctt ele erau de fapt■ cttasiliniれ

lll sistelll■

de zece ecll・ atii Cll derivれ

mttcar lれ inceputlll secolului ILOstll■ l. Eforturile all contillll&t in prillcipal in doutt direcし s―

te partiale

i trecllt si ILiCi re,care n■ l a plltllt fi rezolvat lλ sflrsitlll Secollll■ ■

五.in

prilll■ lll riILd

all cttutat l■ odele matematice mai silnple pentru descrierea plasticitttt五

mれ torittelor prin schemれ

tizれreれ

fenOllllellelor fizice imphcれ te,

れdictt

pri■ l

plificaren lor,prin retincrea in teorie llllmaiれ unor prOprietttti dOllli― ILaILte.Aceasttt silnplificareれ fost fttc■ lttt in speranta ctt ecuat五 le t00riei sill■

plasticitttt五 se VOr simplificれ

llrlult,plltind fi mult ll■ ai llsor abOrdnte cliIL

punct de Tedere l■ atematic,fttr嵐 &face sacrificii fizice prea lllari.Speran― l fOSt instt inselate.silnplificttrile fttclltc s― au dovedit foarte severe teleれ ■ fttr沈

鋤adllce o silnplificare matematictt semllificativ沈 .TOtusi a」ll fOSt date c■ l datele exp∝ illllleflttte all dれ t

llnde sol■ ■ tii partiClllare,c〔 Fe,oOnhuntate

:肝:r糖 監 諸]導 Ъ ttiXhT]よ:鍬嶽et。∬絆Ⅷゝ 鯛施 搬 apropiate de rez■ lltatele experin■ entale.Dill acest■ &tlll unei lllotiv dezidぽ

forl■ ulttri

lnatematice mai adecvate a fenomenul■

li fizic a l'汎 mas

consta■ lt

in efOrtlrile delDllse cle specialisti.Cele l■■ai lll■ llte din prOblomele p■ lse lll plasticitatea clasic抗 ,asa clllln s― a dezvoltλ t ea in prilnele deceILiiれ le seco― brmare phnh stt prObbme de血 ― 五Cll derivれ te 柵 r,∬ lⅧ 指‰ 棚 お i cl■ sisteme cle ecuれ も ‰ 織 pれ rtiale cvasiliniare cれ re de cele lnai multo ori siIIt cle tip hiperb01ic si doar llneori pot fi parれ bolice sau eliptice.Prin lFl■ lare IIletoda cれ racteris―

ticelor a fost utilizalttt pentru studiul diverse10r problelne,precum si metO― dele numerice coresp■ LILZtttOare.Lips&calc■ llatoarelor al ilmpus o schemati― zttre al acestOr llletode rLumerice,iar ducere2 1a blln sflrsit&l oricttrui calclll numeric inlplical efortllri foalrte llnalli fttcllte intr―

32

uIL interval llllalle de tilllp.

in al dOilea rind,lmbunttttttilneれ tehnicilor e■ p∝ imentale ctttrc mij―

loclll secollllui ILOStrll,si pullere&in evideIIttt a llILor l10i fenOll■ elle,all ill■ ― plls chiar revizuirea ecuれ tii10r flllldalmel■ tれ le.De exell■ plu studlul prOblemei propagttr五 uILdelor plれ stice R artttat ctt asa― nt■ lllitlll II10clel,,indepelldent de til■ lp'' al plasticitttt五 Clasice trebllie reviz■ it si Ctt Viscozitatea poate

illCa ull rOl importalnt i■ l defOrmallea plastictt a cottllri10ro A lllceput o perioadtt de revizlliI.e tt ec■ lat五 10r fundamelILtale ale plasticitttt五 ・ Eleれ u incepllt stt fie forlnlllate pe princip五 sthntifiCe llnれ i ri〔 ,1■ ORSe,corelalte f五 IIld cll prllnele incepllturi ale terl■ ■octilllallllic五 prOceselor irev鋭 .sibilc. Este

interes&nt rle meIItiollat ctt noile mOdele de eclltttii cOnstitutive propuse, desi erぁ u de tip viscoplastic,apttent lnれ i complicate clecit cele ale plastici― tttt五 Clれ Sice,concluc

lれ

sistel■lle de ec■lat五 Ctl derivate partia,le Sellli‐

deci lnai simple decit celeれ le

e跳

liniare,

plれ sticitttt五 clasice.IIIctodele de iIILtegralle

酬 鶏 撫 1漁枇 ]電 ⅧL詣 冨:f訂 咄 ￡ 棚普嚇 Ⅷl∬ 甘 fOst rez01valte lnulte prObleme dillttIIliCe:prOpれ galli de ullde plastice,gttsi reれ de fronti(Fe lIIcttrcれ re′ de§ cttrc&re,influenta

ref10Ctttrii■ lndelor elれ stice

asuprL ce10r plastice etc.PI・ ilnele sllgest五 れu vellit din dezvoltttrile pri― vind prOp&gareal ulldelo■ ln gaze cOmpresibile,fttcllte de:Ricman■ l si alt五

,

dar llnetOdele all fost apoi adれ ptate la plttsticitれ te,aclictt lれ deformttfi ire― versibile. Este instt incontestabil ctt o rev01■ ltie in dezvoltareR teoriei lllatemλ ― tice a plasticitttt五

a cOlllStitl■

it aparitia tehllici10r l■ ■ oflerlle dectrOnice de

calcul. Ele all fttcut poSibiltt rez01vれ rcれ de l■ umerOase pI.oblell■ e nlai noi sau lnai veclli,f激 尻a sefれ ce sacrificii prett ll■ ari13rivind ac■ iraltete2 descrie― rii fellomellelor fizice.■ lrai lnlllt chiar,■ lnde teorii rel&tiv vechi dω tollit焼 COlllplexit焼 1五

mλ tel■■&tice

Oi il■ ■ lDOSibilitttt五 finalizttr五 lor, a■l

fost acum

reluate.De exel■ pl■l deformallea plastictt de Obicei inllplictt l■ ■ tti deformⅢ

ii

れle corpullli.Reanlintil■ ■ c悦 lnai toれ te prOcesele de prelllcralre colldllc lal deformれ ,五 mtti・ ToOriれ marilor deformれ t五 ale cOllpuri10r continue a fost

inithttt de lnlllt de Eul∝ ,Callchy,GrecII si alt五・Dtt de abia clllptt apallitia

ぶ 詰 :留 題 c詰鳳蹴t∬ ∬ :L盤 〕 ‖ 鳳.■ 』 :島 ∬ 麒 どヽ Pl∬:貯霊 tOate capitolele lnecal■ icii lmecliului contillllu defOrlnabil all fttcllt un lllare salt lIIailllte pe l%mij10olll secOl■ llui l10stru.Acest prOgros s― a fttcllt resim―

i■ e cOnstitutive al■ fOst dezvoltate astfcl lIIcit tit si in plれ sticitate.Ecllれ も ele stt pottttt fi utilizttte si in calZl11 lnari10r defOrmatii si al prezentei■ Lnui

clmp ternlic. Aceste dezv01tttri collltil■ ll沈 §i astttzi. llai llllllte variante moderlILe ale teoriei slIIt dezvoltれ te in paralel si doar confruIItare&cu ex― perientれ precllln si llslllliiltれ lltilizttrii lor lllれ plicatii Va■ ecidc c■re vれriant沈 va fi cea care va rezista ttncerclrilor tilla13■ llui. IIctodtt elemeIItlllui fillit al cl&t si ca lln imb01d rez01vttr五 clivellselor ■

probleme pllse teoriei plasticittttii.Este Torb&in speciれ l de acele probleme ln care int(】 vi■ L Ill&ri deforll■

五si 勧↓

mλ ri rotat五 ,Cind frontiera liber沈

&cor―

plllui se defOrmeaztt si ea fOMte l■ lllt in til■ pul deforlllllを 檀ii plRstice,Drept exemplu am plltea da problelma reflllttr五 1ん cald tt mallilor liILgOlllli de ll■ et乏■ Desi lll■ etodれ olement■ llui finit a dれ t l■lulte rezllltate, 金 n acest clomeniu .

putellII splllle ctt dortlll este doar la lILCepllt.

Revellind la prOblemele practice care all stimdat aparitiλ teOriei plasticitttt五 L sfirsitul secolullli trecut si al■ lllne teoria prelllcrttr五

l■

■ etれ lolor,

COIIStatttm ctt astttzi multe dillれ ceste prObleme au gttsit o rezolvλ re spec― tacl110as尻 .Nll trebuie stt llitttn■ ctt si aceSte procese tle defolmれ re s― au dez―

83

I鎌

畔棚ξ 棚庸:訛 ∬ 漁 l:13:13記 1::猪∫ 盤 ∫ ∬誼T撫器 『

tttt五 ,l■

■ ai precis teOr五 le viscoplastice,au contribuit esential lれ dezvoltarea

Oi Optirnizallleれ

acestor prOcese unoori folosind metode ale aILahZeifunctio…

i胤

leMl∬ Ts蹴駆 臨 F鍔 吼轟 柵 計ヒ T路 譜 #悪」 seC),Ce impun utilizarea uШ

r asttzi la viteze impresionλ nte(pitt la 70 m≠ 〕 teorii viscOplastice pentru descrierea procesl■ lui de tragere.Tooriれ perΠ lite

optilnizarea prOcesllllli,れ dictt perll■ ite gttsireれ geometriei optilne a sculelor de tragere,astfel lIIcit prelucrareal la alsemenea viteze urittse stt fie posibil沈 ln colldit五 le reclllcorii collsllmului de elle/rgie,a reducerii llzur五 scllle10r si, in geIIcral,lill cOIILditiile crester五 Sel■ sibile a prOductivittttii・ ■7retoda parttme‐ trlllui lnic si deZV01tttrileれ sillnptotice au fost si ele aplicttte cu s■lcces,1沈 ― ,

lte aspecte privind stttisfれcere&exacttt a ecllalt五 10r looれ le de murincl m■ ■ ech■ ibrll li l■ ■iscれ rea pれ rticlllelor iII fOcarlll de deforlllれ re. Teoriれ plasticit沈 t五 a1 00ntribuit sellsibil si la optinnizarea trager五

teVi10r.PrOcedee lnai vechi,culn ar fi tragereal lれ

gOl sれ ■ L pe dOrn fix a■

fost si cle descrise teoretic.Altc prOcese lloi de prelllcrare cu■ n ar fi tragerea teVi10r cll dOp flota■ lt,prOces de l■ are eficienttt eCOILOⅡ lictt clれ もorittt llIIor

viteze lnari de lucrtl ce illtervin in trag∝ ea cliII colac ill c01れ c,all fost si ele modelれ te mれ tematic.Aceれ sttt modelttreれ permis stt se gttseLsc沈 lorma

optimtt aれ nsambllll■li dOp flotant一 matrittt si deci face pOsibiltt tragerea

la宙 teze lILtti(depい ind■ Om≠ Sec)鋤 tevi10r din colac in coloc,ln cOnditii

de ecollolnie de ei■ ggie si de lnet温 .EficieIIta C0011ol■ ictt a acestui proce―

cleu de trag∝ e

este ll■ ult■ lai l■ are

teVi10r pO baIIcuri l■

decit cea a vechilor procedee,λ le trager五

lllgi.

Procedee de prelucrTe la cれ ld au fost si ele descllisc utilizind teoll五 de vlscoplasticitate, desi efectele termo-lnecallice, fundamentale in alse― lne■ lea

prObleme, complictt putin eCuat五le. IIItegrttrile numerice, si li■ れi

ales metOdtt elementului finit slllt aculll abs01ut necesare, Efortultilc l■ aceれ st尻 こ reclie cOntinutt in mai multe t血

'i.

a躙 磁К

cど

糧

〕 趾

ふ 出

脚

盤

紺

L∫

鱚

鋼

l織

ポ

1月

縄

intgvin l■ ■tti clefOrl■ latii,鋤 ILiZOtrOpii iILitiale Sttll cele dObindite prill defOr― lnarea plastic沈 , cfecte terЮ noコ nec&nice cllplate, col■ pllesibilitatea illeversi― biltt a v01tLmulLii SRu dilatanta ctC・ , Stnt pI'Obleme actllale ale plastici― ttttii・ Aplicatiile teOriei se gttsesc in l■ ■ llte t10meniiぉ le tehn010giei:fie in problemele de prelucrれ re all■ etスlelor,fie in inecれ nical roci10r si a solurilor, fie in mecanica ll■ れtびialelor sintetice etc.Fillalizareれ Oricttrei probleme il■ l―

pune considerarea si al metodelor numerice siln Special cea n elelylentului fillit.

Rcologiat este■ ln capitol λl lnecalllic五 cOrpullli cOntinuu deformabil, de dれ ttt ce、 /n mai recent沈 .Este incoIItestabil ctt re010gial tt apIlrut diIL IleCe― sitttteal descrier五

ll■ or

ILOi fenomelle,puse in evidenttt in prilllllde decellii

れle sec01ului nostrll,adictt odattt cll apλ ritial uIIOr IIOi materiale fo10site de Om Si Cll dezvoltarea incl■ lstriei chimice.Vechile lnodele,れ le elasticittttii

re Sall λ le plasticit沈 ↓ 五perfecte s‐ れll dovedit a i sferれ preocupttri10r re010giei este mai greu fi insuficicllte.Desicur Ctt ins嵐 § lilliare,ale vlscozittttii liILiれ

de definit. Ea estc in orice caz,un capitol la frOntiera diILtre lllecヵ nica solidelor ce se preocup沈 lII special de teoriれ general沈 a ecuttii10r COnstitut市 e.Totusi studiul efectelor de timp,1■ special al ifluajului si al relれ xttrii,sint specifice reologiei.Pentru descrierea cclmpor― fluidelor si lnecttnicれ

184

もお 五 polilncilo■ sOlizi mOdellll lnatellltttic adecvれ t exista deia de lれ ince‐ l■ li,olnd Vitto V01terra a descris corpllllile cu proprietⅢ i putul secolul■■ ,,erettt霞 ♂' cu ajutorul ecuati■ or inteytte.Alte modele alternat市 0, eCll¨ ii COnstitlltive scrise sub forl■ ■tt diferenii狙沈,au fost si ele dezvoltate ln pれ ralel.Astfel reologiれ lilliartt s‐ れ dezvoltat in special ill decerliile pれ t皿 si cinci.A13oi llecesittttile practice al■ l implls si lnOdelele neliniare,a caror

dezvoltare colltinlltt si れzi・ Pe llllgtt viscozitれ teλ obisnuit嵐 , de forfecare c&Te nici eR Ilu se lncれ dreぁ z前 lIL mOdele li■ liare s‐ a pus in evidellttt si

れ,2‐ Ilul■ lita vlscozitate e1011gれ tional焼・Primeleinc∝ ctti de descriere a ei lDrin modde l■ atelllaltice au lIIcepllt stt fie fttcllte si efort■ lrile continu沈 lII vede― Tea forlxll■ lttr五

llnor ecuatii coILStitlltive cu carれ cter general.

mtteぶ 肌 ilz紺 甘 ゝ訛 器淵蹴喘槻fiざ職 ale lllecぉ nicii llndeれ

ptttl・

η tよ祠

uIIs ca succes,cuIIl ar fi cle excIIrlpll■ teoriれ plれ sti―

き 盟 出 」響 :景 ]織 謂 ll,肌 靱 F:灘 鳥 ]∫ Iふ 10gia.Se poate ttfirmれ chiar ctt biologiれ se detaseaztt asttzi cal lln capitol 翼

l鷺

:i■::』 :鍬

distinct al stiintei,cu preocupari si lnetOde distincte,si cll lnれ ri implicれ t五

全 n probleln税

lmbllllhttttill五 Vietii si Sttnttt沈

ぃ1

0allnclli10r.

RHDOLOGY. PI,ASTICITY ABSTI]ACT

The er,olution of Rheology ancl Plasticity as two chapbers of the Mechanics of Continua is d.iscusseil, stress being laicl on the mathematical formulation of the problems and. their sohematization in orcler to make possible the fintling of a solution. It is shown how this formulation has changed, when arlclitional antl more accurate experimental d.ata have been avaiiable and also the impact of the new electronic computing technique in this fieicl. Ib is felt that the non-Iinear theories r,vhichhavebeendormant for cluite a long time, have und.ergone an explosive development in the last,decacles mainly since the new and. r,'ery efficient computing

technique has become available. The applicatior of Rheology antl Plasticity to various practical problems yielded. sigrrificant reiults frli various industries.

85

TEOIIIA PItOBABILITATILOR SI CELELALTE DORIENII ALE_lIATEll■ TICII

ION CU(｀ ULESCU

Matel■ atica este■ lll tot■lnitar,iII ciuda lllarii di、 rOrsitttti de dOmellii, de problelne,de lllletode,prill ca■ .e ni se inftttiseaztt la prilnれ vedere.D■lp沈

a,rii matelllalticieni,o■ ice tendin■ a unei culll au remarcat lllulti din l■ ■

r&lllllri a lnatel■ ■ λtiCii

de a se mpe de celelalte, de& cauta stt se dezvolte 1 0 ヽ

llllmali c& llrl■ are a propriilor sale problellle, li frilleaztt evollltiれ lrldreapt島 , dactt a,ceasttt tenこ nttt lDersist嵐 , ctttre disparitie.

Silllpla analiztt a legtttllrilor dintre teollia probabilittttilor si alte

atcnlatic五 salll tlin afa,rぁ ll■ atclnaticii llll ar face decit s沌 exemplifice iclett de lllLai S■ls, hr prm dcね 1五 le Mle tt interett llni lll■ lt pe specialisti. I)in faptele ce le lrolΥ l preZenta va rezulta cが l rczolvarea problelnelor apttrute 、 i care continutt stt apar沈 11l teoria probabilitttti10r reclamtt dezvolt&rea ulllorれ specte esentialC ale ll■ aljol.ittttii dOlnelliilor diIL Inatelnatic焼 dol■ ■ enii ale ll■

.

Unれ

dil■

problenlele cele lllali vechi si nl&i elel■ ■entare diIL teOrial lJ■

o‐

b&bllitttti10r, care a concl■ ls la ull lll&re llullllttr de cel'cetttri si rezultate,

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ti『 #現

probe independe・ .lte,a ulllli evellilnent cle probabilitate p, cind lllllllttrlll de probe tinde la iIIfinit(ん si eventllal p va,r五 lld si ele cu %), cu alte cuvinte,este voriЭ a de colnpα tarea a,simptotich a expresiei .pκ (■

―

r)'2 ん ・A

semeneが 、 tudii sebazeaztt pe f011■ ula

l■ li

λ!(%_λ

)1・

StiJing de aproxi¨

mare a lui 9oi sau, lallai precis, po dezvoltttrile asi11lptoticC respective.

Asemenea problell■ e, atit prill ele insele, cit si prin COnceptia generab astlpra col■ lportttrii asilllptotice si prill tehl■ iCilo de stabilire de astfel de

rezllltate,au fost lln fttctor de progres al analizeilr_atelllatice.

Legea loga五 tlllluhi iterat(7]嘔

=1)St&bilittt in

≡ テ 可 菱 ￢ :￨≡ :言17扇 7万扇 ァ 覆 万

acest caz elela■ entar pe l)aza aplicttrii rez■ a illllbogtttit subStれ ntial eXperientれ

aSCuILde Sub o relatie limiご

lltれ telor

stlldiullli l)recedellt,

COncllettt plliviILd faptele ce se pot

沈・ ITici pinh Rstttzi IL17 plltelll■

slJune ctt aCeast焼

sllrstt de idei si problenic este epuizat島 ptotice a prob&bilittttilor din ,,schemれ Studilll COmportttril asil■■ probelor repetate"descl'fi nfLai SuS a condus la asa― llul■ ita teoremtt lilnit沈 centra島 。 ・,ん ,… ・ stt melltionttm i gellleralizareRacesteiproblelllatici.Fie A,… .

86

un sir de val'iれ bile

i■ ldepelldente,

llecesλ rtt si sufiCienttt pentr■

repari“

hi寺

ide■ ltic repれ rtizれ te. Cれre este co■ Lditia

l existenta unOr collstante α π ,bπ ,astfel lILCit

・ の ■ α 晩…

Stt CODttartt ctttre o rep&rtue nede‐

,一

,」

geneFattt si care sint lilnitele posibile?Aceれ sttt problem尻 ,ca si problemれ analoagtt pentrl1 1■ axilnum in loo de s■lm汎 , a plls ill fata analizei mtttellla― tice problela■ a studhlui asλ n■llnitor funct五 Cu variatie rebo■ lat嵐 (∫ :(0,∞ )→

→回

嗣

m山

り上 愕

輛

沈Fmm

m∞

λ Ю覗 ∽К

ttu

dovcdit necesare lIL l■ lulte cercetttri recente de teoria probabilitttti10r。 St■ldiul traiootor五 lor prooeselor gaussiene statiOnare 2 "reinviat'' illteresul pelltrll serule Fourier, teoria gelleral沈 れ proceselor stohれ stice,

mai precis problelllれ mtts■lrれ bilitttt五 subllall■ in■ edれ ttt a lllultim五

prill■ ei

vizite a llnui proces intr‐ o

de stttri si alte probleme asem以 1島 toare,a

lclu cll teoria l■ llltilnilor analitice. Este de remal'cat si faptul ctt delll■ onstrat五 le de existent流 れ prOCesului de ll■ iscare browlllれ lllal C■ l traiector五 coILtiILui si cele care stabilesc mod■ lllll

fttc■ t alcelasi l■

de COILtinuitate pelltrll traiector五 leれ oostlli proces, reclaln沈

o ,,analiz沈

mateli■ atictt econornic沈 " ill seIIs■ ll ctt pentl.■ l a dovedi ctt asemeILea afir‐ matii Sint、、labile pe■ ltrll aproape toate tllれ iector五 le este l■ ecesar a da o defil■ itie a COntil■■ lit尻 1五 in cit l■ ■ai p■ltine cOlldi!五 i la fel peIItl'll modul■ ll cle contil■ ■ litate.

D&r influenta teOrioi probabilitttti10r&Sllprλ an■ lizei lnatematice■

lll

se opreste la capitolele clasice,de stucliere a ll■

or funct五 ,a■lILOr sitllatii, propr五 dlleptei reale.Obiectele matematice c■ ■calle opereaztt teollia proba― bilitttti10r se incadreaztt in teoria mttstlr五 . oOlltil■ ■ lt■ll intuitiv deosebit de

acccsibil oferit de teoria probabilittttilor pentru o serie de notillni ale teoriei illttsur五 ,lncepind cll mttsurile pI.Od■ ls,cll dezintegrttrile de l■ lIlsuri,

■Oti■ lli Care la alDaritia lor au phratれ fi dcosebit de speciale,〔 、contribuit lbstantial la cresterea illteres■ 1■li pentru acest dollae‐ nill,la llr.boghtll・ ea problel■ aticii s21e llai plltin cllnoscut apare faptul ctt traiectoriス 1■ isCttr五 broT― Poate■ ■ s■

1穏 よ liWが 認

llЪ

ttr諾

鳳lξ liI撃:3y譜 ∫ 肝∫ 酬社富 :週 i ゝ Besicovitch(illfimum de sum沈 s器

au doTedit utile mttsurile Hausdorff―

101's―

de Aα )undeノ eSte O functie dat飢 ,iRΥ αsint diametrelc multimi10r dil■ tl― o acoperil'c R m■ lltilllii a cttrei mttsllrtt dOrinl s― o defil五 ln, illfillrll■ Ⅱ l luat

pelltlu lnaxilnum de

α lledelDttsind un nulnttr dat,care este fttcut stt tind沈

la O).

Proceselc Markov omogene se studiaztt si Cu ajutOrul semigttP■

ri10r

de operatori, instr■llr.ent deocamdattt esentiス l pentru dovedirett chiar a existelll,8i ,,prooeselor de interactie"。 Capitolul collespunztttor al allalizei

flnnctionale a trebuit instt adaptat pentrll a face fattt cerinte10r teoriei prol)abilitttti10r etc.

Dezvoltarea teoriei feIIomenelor cuれ llltice a creat o ■lcbll悦 ヽrariaIIt沈

λteoriei probabilittttilor, asa‐ lll■ nlita toorie necolnutativ汎 . Ea are drept llnul din contextele de baz島 , in care se expriln沈 , teoria ぉlgebrelor von NellmaILIl;faptul ctt acest capitol al amlizei fllILctiOII&le a cunoscllt lln

progres rellllarcabil relλ tiv dewTeme a creat posibilitateれ 1'ezolvttrii unor

probleme pllse de te∝ repЮ

ttFTl器

ia probabilittttilor。

e:l獄

fTmttP蝙∫ilCttΨ

:指

詣∫ 雷 87

.Tr肥

肝Ⅷど ¶冷誡躙認鶴 器 『瑶

rez■lltate=analiza■ llln■ eric焼 .

Cu aceasta,volll p沈1'沈 si

∬fil誌 棚lttw誌

dollleniul pl.Opl.iu― zis al analizei lllatelllatice,

multe exel■ lple de dat, si、 0コ n trece la alt clolneniu, care do ll■ ltlt apare il■ sintcztt cll teoria procesclol'de difuzic(prOCese tare deoi ar lllai li fosし

MarkOV Cll tl.aiectorii collし illlli ctc.)。 Este TOrba de teoria ccuat五 lor cll pecial cele dc tip llarabolic. ■ derふ rate partiale, lll 、 liscarea bro、 vnianh poate fi privittt ca ll■

ol‐ liect

l■

■ ateⅡ latic

atasat ecllatiei Cttldlll'ii. De exeln―

plll, sollltiれ lι (y)a prOblel■ ei Dil.icI)let intr― ull dolller■ iu I)cll dれ te l& ― froIItieli`′ se eXprimtt ca valoa,rcど し llledie〔 し、 alorii l■ li∫ in lDU llCtul in care

o llrliscare browniaILtt Ce pleactt dill tr altillge lDril■ ■ a clttttt frontiera lui D。

Teoria ecllatii10r cll derivate pれ rilale lDerll■ ite cれlcullll salu stabilirea cleri― vAbilittttii etc.,ぁ uILor fl■ nclii Ce apar il■ legtttllr[b Cll procesele de difuzie;

cazurile in cれ re operatorlll ttferential l.espectiv degelloreれ ztt in an■ lmite pl■ lrLCte il■ fllle■ LteaZtt l■

■ ai

p■ltin v〔 、 labilitaitea ulrlor l■ letode probabiliste

decit pe ceal&■ll■ Orれ diIL teOria ecllat五

lor.

Faptele schitate l■ ■ ai sll,a■ l dat nastcl'o la lln aclev汎 1'at clol■ elliu de cercetare.Oova l■■ at izolat,dalr foartc inllJol'tallt,cste rolul functii10r Bessel in studitll l■ liscttrii bro、vniene,ぉ tilrlpilo■ locali pelltru acest proces etc. PrOCesele lle tlifllzie pl・ ezint汎 111lol'o3bi pe varietttti diferentiabi10,de

llnde necesitateぁ unor sttldii de geonletl'ie in dezv01tarea aり CeStei teorii. o tivれ tie Ca l■■

al aCestol extiIIderi,existellttt in teoria pe spat五 10 ellclidiene,

mentiOnttm pl'obloma modului ttn care tlaicctol'ia miscttrii brow五

ene

,.se illvirteste:'in jurul a clouh pllncte da′ te.a11lodlllui lII care o sfertt se

rostogOleste fttrtt a al■ llleca pe lln plftll,llullCtlll de COntact executlnd o nlRcare bro、 vlllana. Da,ctt Rl■ bstit■ ili■ o l■ liSCal.c bl'o、 ‐ Iliantt illtr― o f■ lILCti0 010morf焼

,

Obtinelll un proces ce se cleduce din llli、 carca browniantt pl・ illtr― o ,,schinl― bare aleatoarc de til■ ■ P''. Explicarea acestlli fenoll■ cll, Cll aiutOlul asa― n■ llnitei lormule lto pcntrl■ integralclc 、 t0112stice, a ('ondus la o teorie

ti,httif肥

m鳳

胃 ICI盟 1葛 盤 ]1・ 静 ∬ 増 ま 乱 ,w緊 建ュ。nttm ttud皿 l■■ erslllui la'lltill■ ,lare pe ttlpllri, discrete sa■ l tolJo10gice,faptlll ctt spa― tiile Simetrice s―

■cloTeclit λrepl・ ezenta■ .n cadlu ger.eral pentl■ l tOoria

a■

repartit五 10r indcfinit divizibilc(gcneraり ttt cle pl.oblcmス cu care aln ince13ut S“ lll exemplelor din acest alrtiool),pleCllnl si ceea ce ill ll■ eCanica cuaILtiC沈

se nllmestc,,spatilll Fock'｀ si care revillle la descrierea spatiUllli Z2

cores1311nztttor ullei fanlilii ga■ lssiellc, descriere ce face stt intcl、 intt con― stl■ ctiiれ lgebricc tncepi■ LCI Cu prodllsul tel■ sorial.

Am dat o sellie de exelrLplo din care a reiesit faptul ctt teoria prO― babilitttti10r aimp■ sionat puternic dez"ltガ eれ mttOrit飢 1五 domeniilor mれ ―

tematic五 . Am putea adttuga la aceste exemple gellletica si prOcesele de difuzie, studili tra13zit五 10r de faztt si O parte nou colllStituittt a teoriei probabilitユ tilor, pelltru a relrlarca sinteza dilttre aceasta si cerCetttri ilnportaILte diIL afれ rtt ll■ atemaltic五 .

in COILClllZie, putenl afirma ctt teoria probabilittttilo■ cteristic沈 ''prill ll■ れ telnatic汎

2bpare ca o . Ull student care ar cautれ s沈

"SeCtiune carれ aceasttt tハ Э inVe,0 1n special rie ar plltea,c■l uIL progam judicios illtoclnit, Stt COILState ctt la captttul ttucliilor sale a obtinllt si O Vedere de ansぁ mblu asuprtt ll■ atelllaticii si,(｀ 1lar mai n■ ult, o viziune asupra u■ lor cercel沈 ri mOderILe in fizic焼 ,bi(■ o「 じ etc.

88

Evident ch teoria probabilitれ tilor n■ este singlllul clolnenill cll aceste

calitttli.IIDllllel'ca in evidentれ de aヽ tfel de don■ enii pareれ fi o problcm嵐

ilnportanttt pel■ tf■ viitoll, 11l cOnditiile SpOrir五 rall■ tlri,

inforl■ latiei lIL Cliverse

silYlllltan Ctl necesitatea tot lllai ilnIJeriO■ Stt cle fl orielllta cit l■lai

multi tineri c尻 1,re cercetare, chtre creatie st五 l■tiliC焼 , fapt care roola』 n焼

枷

eJ器

』L鳳

鮮 盟

i胤 ぷ朧 ;‰ 露

｀ 器

、ep州 e vedぃ 岬 n

SllCCiIItlll sil' de exemple de l■ lai slls, teoria pl.obabilittttilor Se rel■ arc抗

o sillteztt intre un contillut inttlitiT ■ oarte clar si■ ll■ sistellll cle obiecte lllatelnrltice complexe.De asen■ enea, ea se relnarch prlntI― o per―

printr―

maILenttt te■ ■ dinth dC St■ldi■ a unol' obiecte ]natenlalice concrete, de stabilire a unor evaltlttri precise a calltittttilor cc intervin.Aceste trttsttturi pot col■ stitlli o cxplicatie a SllCcc、 llllli Ci ill a antrena corcetttri profunde in lnlllte altc tlolnonii.

Probability tlleory and otller fields of matllcmatics

ABSTRACT It is shown by a series of exallilDles ho、

‐probalDility theory l)rought

about il■ llportallt developmeIIts in l1lost of the olllor domれ

ins of mathe‐

matics. Hcnce a pぽ son stlldying probabilit「 theOry ancl having as first 711l get sil■ llltaneollsly a general, ailn to carry out research in this clonlを lin、、 oll■ Ost cOlnpleto view on ll■ athel■ atics.

89

TEOITIA SINGUI,AIUTATILOR

ALEX_tNI)Ru DIMCA

Acest,dolllel■ u al nlaJtelnatic五 ,in plintt dezvoltal,e ttstttzi,、 一 a conslituit

prin intrcptttrullderea problelnaticilor゛ i ll■ etodelor lllali lnultor clisciplille, ul■ rol celltl'al iucind geOmetlia algebrictt si top010gia diferentiれ 1沈 IIItr_un sens larg,ull rt`2θ ιSJ,り %ι αr e卜 tc lin pllnct ll■ ldc se pro(lllce ■ lII fenon■ en sljecial, cxceptiolll■ l in colllparatie c■l fen OInenele ce ド e pro― .

dllc in pllnctele vecine.Exemple silll1310 oi COnsiclerate in detahu de lllllte― secolllllli trecllt silllt pllnctele cle alutoil■ telド ectie sau IIoclul.lle

1■ aticicllii

2==″ 2)si pullCtele de llltoarcel'c sau cusl)i(lale (OrigineR pentr■l curb&ッ (OritOii■ lea pentrll curbれ y2==x3)ale Curbelor plaILe.

血 ltれ 、 Teme s― a co■ LSiderat totllsi ctt prezellta siltt■ llarittttilor eヽ te asl)ect ncplttcut, izvor de dificllltttti nedorite si s― a incol'cat po(・ 沈 i foれ te subtile ttrit&1.ea lo■ .Aceasttt tendinttt a fOst incllrajattt de del1loll― ″ stral・ ea■lnor ι θ θ η ι θ θαθι ι ,care'1l llllmeroase situatii coll(.1'Ct e む Bθ ″ asiguli absenta sillgularitttti10r pentrll '総 co■ ■ figurat五 le θ θ ,3θ r,ι θcol.Cヽ 1)u]1‐

lll■

Iヽ

zhto[bI・ e.

Do exenlplu hipersupraletelc prOiecti、 re colllploxe flo gla(l fi、 at pot fi pれ rametrizate de lln spatiu afin cN si eXist夙 ()sllbll■ ■ lltillle de、 (llis沈 Zariski 、 i clens嵐 び ⊂ cⅣ astfel inc't hipcrs■ lprafctele cOre、 puIIztttoare

punctelor dinび sint nesittlllare.ヽ「ol〕 ■splllle

in acest()c■ z(url■ ind lilllba,illl clarsic)c沈 O hipersllpr&faり t夙 θ ,3θ :θ a c、 tc nesingulal'尻 . Ill mod θ 11la― ど log,o secti■ lle hiperplantt gellerictt a llnei varietttti nesillg■ llare c、 te o v′ 11'ie― '・

tatc llesingtllaI.沈 [■ 1]. Este allnllzant de rel■ ■ arcat ch aceれ 、 ttt tolldinth tle Ocolire R pllnclelor sillgulλ re a fost forlnalizttttt tle Pica■ dヽ i Lefsc]lotz[11]deVel■ ind o pllter― l■ ictt ,7ι

l■ letodtt

O,3り /7γ

η]θ θフ

in stucliul sittulal・ itttti10■ , fiilld cllll10SCllttt Sllb l■ umelc

Odattt cll treocrea til■

■ lllde

de

.

■ plll■li s― alll ス cul■ lllalt

o serie de ex()lllple(.lleie

lnod il■ evitAbil: astfel, of■lILCtie Clifel'ell― tiabiltt pe o varietatc collllDaCttt al・ o fl■ 1110d llecosaI・ p■ln('te singulを tre, sil■ glllal'ittttilc apttreall il■

adictt pllllcte in cal.e toate derilratele partialc ale fllnctiei Se al■ llleazh(de exemplu puIIctele de extrelllllll■ ale fll]lctiei).Dc Rsemenea duala ori(.沌 1.ei hipcl'supl`afete prOiective coIIlplexo ne、 ingulare arc puncte singulalre. Rttspunsl11 la aceasttt rcalital― e lllatelllatictt a fost clel■ lonstrarea ll■ or teol.elllo proflllllde care ne asitOillrtt C・

鴻, 'PL Sitllatiile de accst gen, dt、

c沈

m cll obiecte gellerice, singulalヽ ittttile care apar sint in pril■ (`ipil■ silnple si pOt fi Cla、 ificate explicit.A、 tfel,M.■ 10rse a artttat〔 汎o fllnctie difereIItiれ biltt gellerictt pe o varietate comlDacttt adΠ lite nuIIlai pllncte sillgulare nedegenerate ti.o. c■l h eSSiall nelll■ ll)si C前 , in vecintttatea lllllli

lllcl磁

astfel de pllnct,utiliz'nd coordonate convenabile, 90

士 ■ inctiれ Se poate scFie

ca o slllntt alterllalユ de ptttrateo NulnttΥ lll de ptttrate(ヽ u semll■ 31 111illus dill aceaド ttt sll111沈 se n■ lmeぅ し c '9し ′ θ ∬■ 認 puIIctului siIIgular corespll■ lztttor.Folo― silld aCestc notiuni■ lol.sc a del■ lonstrat■ ln rezllltat■ llllitor pentrll collltel■ ‐ pol`allll stti: `67/,・

jθ αθ γ JSι α 刀%7θ

,・

IDο

α a llllei varicthti diferentiabile 7'ι

COlllpaCtC cstc cgaltt `θ cu diferellttt dintl.C nlllalttr■ '%θ

ll pllnratelor singulare cll

血dex par si cel al puIIctelol' singl■ lare ctl iIIdcx illlpar pellt■ ll

o fllnctie

generictt arbitllartt definittt pe acea vt■ rietato [■ 0]. Sllrprillztttor eI'れ aici faptul ctt ulll invれ riaIIt topologicク ι αιal llnei varietttti llesittulare lDutea θ わ fi calclllat, adeseR explicit, folosillld pllnctele sittLllare ale ullei functii.

Asadar,pentl′ ll a sじ i cul■ l arat沈 o、「arietalte(sau,dあ Ch Vrcti,pentl■ l鋤 turtt a llIIui feIIomen)ヽ e cloTedea ch nu nlai cste nevoie s嵐 illvestigttlln intl'eaga varietate, co]〕 stitllith dilltl'― o iIIfillitate de puncte, lIItelecoie O lれ

lnt i■ l nllmttr finit. ln pllnctele sillglllal'0,care 、 Exist汎 o atractie pSih01ogich falttt de acest procede■ l si eSte posibil ctt e&contlribllie l&i■ lteresul crcscind dc care se bllcllrtt teoriれ singulari― thti10r in llltilnele dolltt decenii.Intl.‐ adevll']t11llea lll■ oderntt a l.edesoopel'it valoa,roa si necesitatea θθ%θ θ%ι 9'a,｀ ガ atit in lDla■ ■ ll idellol'(partiC■ llele ele‐ ci e、 te sllficient stt analiz沈

i ill lL11llCt■ Obicc tolor(■ liniat■lrizarea ゛ din electronic嵐 ).0■ ,pullctele sittulare par a col■ Ce■ ltra illl ele o inforinatie fascinant cle bogat沈 ,par a fi seⅡ lilltele l11lei plante lllllllite geollletrie sれ u, ‐ l■llai larg, c■l■ 0れ ,tere R nat■ lrii, care asteap[孔 1'汎 lJtlarea caldtt a cercet乱 torilor pentru れ se desface siれ lllcolti、 ub l)rivirile lor uil■ lite. Aceast汎 COlilparatie lle― a fost s17gerattt de citiva tCl'lllerll l■ ■ atematici ool■ sacrati ill teoria singularit沈 ,i10r: θ r″ Oθ η ′ l`''J''`(■ θ θ 葛 nf01cling). θ ず , ,Jθ げβ

mel■ tare ale fizicii lnoderne), cit

]Iai mult,lrLCれ de la sfir、 itlllヽ CCOl■ 1■ i tl'ecllt a fost in■ rentat lln pl'o‐ ccdeu tclll■ tl・ Rth,

ilar IIlicl'oscopu11■ l pel■trll「 t descrifr[t inforll■ atia coILCen― sil■ g■ lare. Ace、 tl)rocedeti po■ ■ttt nullllele semllificative 'jι う 7(92υ ′ ′ 71`「 θ Sf"ク %ι α ′ ο り 1り ,rθ 」 ″j7ο r.Cu aj■ lorul acestui

ic sill■

i・ ■ plln[tele

Jα ′ de θ ι

'θ

,

``り “ deo、 ebit dc rafinate a devenit lni(.1'oscOp i tll altor lnetode gcolllCtriCc 、 poヽ ibil studilll,cla、 ificarca si iel.al'hizarca■lnt)1'clase dill ce ill ce l■ lai l■ ■ ari de singlllaritttti. O c()_ltributic fll■ ldall■ e ll■ al沌 1と 、 R■ pe[ttll acttlalら l teoliei singlllari― tttti101・ a al・ 1■ t― o R.Thom.El a trallも puR(.o■ lCeptul de genericitate din

goolllletl'in algebricl in topologitt diferentialれ de ri,α %sυ

θ ,'S■ 7jι α θ ι

pril■

intOrineclilll notillnii

ア y o sllb■ ‐ arietate、 i →Dactt l si y sil■ t、 arictiti difCrttlILtle,Z⊂ s`θ f'■ sTθ rsα 7κ pθ Z ch,ノ θ "I O aplicatie diferentiabill,sc spll〕 ∫ ‐ dactt pentrll orice p■ lnc[∬ c_■ cu∫ (ぇ ヽ )=″ ∈Z are loc relatia .

:■

,ι

l(ゝ

‐ Z=rυ (r″ ■)+■ ち げじ

Y.

Teorema de trλ ■ LSVerSalitatcれ llli Tholll afirlnh ch lnultiinea aplicat五 10r j777θ ∂ ll sれ il■ lllllltilnea ノ∞ trallSVerDRle pe subvぉ 1'ietれ ten Z este o ,,レ ,θ dotattt cll o tOpo‐ θ F, y)a tllturor aplicatii10r diferentiabile I→ ■ lι :オ

(」

logie natllral沈

`[12].

Este remarcabil cite sitllatii collcrete(existen,a imersillor clnd 2dim Xく dil■ y,existenぃ functii16r MOrse ctl valori critice distiILCte etC.), apれ rent fttrtt lllici o legttttlr汎 ll■ tre ele pol fi l'eforinulatc il■ te■ llleni de tral■ s‐ versalitalte si atunci delnolllstrarea loΥ se rod■ lce la o aplicare direct尻 れ

teα omei de transv∝ snlitate.

Un alt coIILCept cheie introd■ ls de Tholn este ttcela de ,Pι

sι

αbを ι α, adic沈 o aplicatie care r沈 Ⅱllne

j6α

ノ

jθ

esel■ tialll■ lelllte aceeasi la pertul・ bttri

suficient de mici.L7Eai precis,o aplicatie diferentiabil沈

ノ:I→ Y Se nllmeste 91

stα bjι a

θ∈ 7

θ∞(_L , I )aStfel illcit l)elttl.ll orice‐ :― ■

dactt ca are o vecilltttate Tr in

existtt homeomorfisme(stt difeOm∝ fislne)λ ■ → I,た :Y→

astfel inclも

・力 θ =λ・ノ ..

SI露

,Ittn鍔

ぃれ 』忠 i‖ 瑞 淵 糧 柵 :¶ :『 lIL terineni tle a131icatii diferellti&bile)estC acceptat焼

i瑯 i獄 ]僣 守 翼

酬l llllttsul.a in caro verificttrile experil■ entale sint intr― o strillstt cOllcorflanttt Cll previziunile ci. Cllnl lliciodattt ins沈 o cxperionttt l■ ll se poate repeta in col■ ditii abSOlllt 1■ L

i■ enticc, legea natur五 i apliCatial Cal.o o ckprinltt trebllie stt fie stabil褻 、 neafectattt de aceste variatii il■ colltl'ola,bile[13].U n cXCll■ plll Silη plu lll acest seIIs este urlntttol■ ll:miscareぁ ulllli pelldul lllatelllatic(dcci O C()11,

αZ滋 )este dcscristt de f■lllctiれ y=Sill,′ .care l■ ll est()、 tal)il11l in tie'α θ p ce ll■ iscalrca ul■ lli pe■ dul ll■ prezenta freCttrii(dec1 0 Situatie nlai

StrLl(〕 till■

αι θ 滋)este descri、 流de o fllnctie de tipuliヴ =e ″

sil■ .r carc eSte,tabil汎 [6]. Este interosal■ t dc l'elYlalrcat c悦 o llothille allalo,lgtt do stabilit[tte αづ pe■ ltl'■ sisι θη Oι rθ %α ,,2'θ θ a fOst int]oduド 沈 c■1 20d(ゝ ani lllai inaiIIte de ctttre」 装ndI'ol■ OV si P()ntl'iaghill[■ ]. Tholm a l・ idic2t la ralllgLll de l■■ etodtt genel・ altt dc inttc、 tigatie iIL ,・

Stiintele natllr五 observatia,pe cRlle alll fttcllt― ol■ ai slls asuljl・ a,ll■ odul■ ii ill care plll■ ctelC Singulare ale unlli f(:1lonlen li detcl■ ■illtt alllll■ ite l[ttlil'i

g10bale [13]si astfel a lllat nastel.e contro、 ‐ ersatλ ι θθ9'Fι

rtl `α

sι

「θ,'. ,'げ し

`α O prttcntal・ e succillttt a nlodclullli〕 natenlatic al teol'iei catastl'ofelol.illl―

13reuntt cll o aplicatie la,clescrierea

θαt`s`f`θ 7o,'α j,?9rι ′ θa se poatc ghsiin[6].

Ma,Oritaten acestol'controversc sc Pare ctt sc bazeaztt sall sc reclll(: la n confunda nletoda gellcraltt a lui Tholl■ (plltell■ slDunc clli2ぇ r filozoficL lII senSul blll■ &CllVil■ tului)(`ll un procedeu concl.ct si apliCabil direct oricttror cazllri particulare. Pellltrll lln cercettttor atent si sincer deTine clar faptul(1沈 oricc apli― Ca′ tie selttl■ ificativL a te()rici cata、 trofelol'pl'eド llpunc il■ tr― O prinltt etaP島

area, llnci probleme, adesea dificil屁 , cle teoriを ヽヽ ingula〕 litttti10r iう ]. Si, de falpt,aceasta este calea dez、 ・olt焼 1.五 1latllrale lJcnttt oric(、 ramllュ :乱 RI l ezoll・

tiittei ヽ

l

sfirsit, Tho]■ ■ililpreulltt cu Ⅱ.Ⅵ rllitne)‐ all il■ trodlls llll prOCedeu tehnic renlarcabll carc redllce stlldiul siIIglllarittttilor卜 13at五 10r si aplicat五 10r la stlldiul unei〔 .olectii fle obiecl c fttF沈 、 ilclllaritttti― ι jζ αsι ,`ti∫イ θJ''7θ ′ `乃 'ι letrici Prin interlnediul stratificttrilor l」 1ltelll aplical illtrcg arsellallll geo■ “ ritttti ミ i in plll、 lelllelc clc Si tOpO10giei difel.cntiale lDe sPa'tii(.■ l Singlll之 ミ il■

'.

Nlloln follnlalizeaztt cle()]■ lalliertt foarte satisfttchtoare nOthnea mtu五 ▼れ de ttnguh■ 嵐● dlょ Unul dill pllnctcle chcic ale a3 」 驚 謂 ∫譜 電器 II:器 吼 lnu.e problclne cle cla siflo2,re a、 ingllla,ritttti10r avem nevoie cte holncol■ orfisnle, ア olasれ difeolnorfi、 ]■ elol｀ fiind prea rost■ ictiv嵐 . ]De eNenllllu, Clac焼 、 ren■ s沈

isotopie ale l■li

r■

■lI'atia fOrlnali汎 rlc 4 drepte, ill origillle,ata■ LCi Obtinel■ l o fa■ nilie col■ tinlltt de cla、 じ

clasificttn■ in raport cll clifeonlorfislmele collfi〔

in plan,concure■■ te de echivalel■

t島

, deterrL■ inattt

de rapol'tul arlllollliC al celor 4 drepte.In

T蹴 器 1」 げ留 漱器Rh壮 ∬:篭』 Ir静 畷 繋 冊胤鳳柵e糧 盤 ail〆 77maぷ i響 erttrf懸 :鳳 ∬電 ユ ″ti乳 ∬:I凛 Ъ 乳認:uli組 艦増彙 器繋 託11:I几 』 詰13,lttu淋 W。 魔 囲1: lire a homeol■ lic integrarea unor c'Illlpul'i elor ll col■ 『 92

r:tn:ll♀

'電

l∫

:」

CO■ lStl■

o orfisl■

stit■

VeCtOFiale definite pe o l■ lulti_711e stratificattt si satiSfttcllld al■ llllDite con― Clit五 de control sllpliIIlentare[8].

胸 lte dilll teoremele celltrale ale teoriei singula■

itttti10r au fost cOII‐

辮 姜 鰊 酬 鵬丸 ￨″

れintrodus o、 rariallt焼

nitezillllぉ 1沈 )cu

tate local沈

rf/″

a a sta,bilittttii u■ lei nplicat五 (stabilitatea infi―

`j%づ ajlltoml cttreia aceasttt proprietate se reduco la o proprie―

.

Mather tt artttat apoi ctt germellii de aplicatii Stabile peste corpul

:酬 遺 LRξttittim冨 篭 需誓 s誌 ∫ 群:棚‖ 島冊 l緞 rttettitttlC獲 lttnft出評:精 漱蹴 駁出盤 1鮒 ifTさ 濫盟発 l lι

stabillテ

na din ideile cele mai il■ teresれ nte illtllodllse de lttatller este aceea F,,oj%α ″ de Jθ ι θ θ∫づ %じ ι グ.亜)Ste desigur lln procedeu clasic de a aproxil■ ■

ao

柵7鮒讐盤:#7器 艦I罪 蹴 lettW∬鋼 盟 き ntfr島 蹴 l orice i

spre cantitativ, se arattt cれ pentr■ vecintttate T/‐ al lui″ O astfel lncit l∫

>O oxisttt lll■ ε〕

(″

)一

F2(″ )￨■ )dC I.TomescL sub forma llllmttruli de chd de ordilllll句

pentm aproape toate(λ

十 ■)hipergrafurile

cu%virfuri,pentru η → ∞

,

■ ltilizllldu― sc illegalitatea llli C 3bise、 r din calclll■ll probabilittttilor.

Vom mai mentiOna o ultimtt diI.ectie de cercetare in studil■ xitttt五 problell■ elor combilltatorii. Ull■

lllizare&combillatorie in llltilll五

l comple‐

ll din succeselo importante in opti―

alli a fost alD&ritia algoritml■

l■li

ll■

i Hacian

(1979),cttre rezolvtt problemele de progranl勿 re lini&rtt in tilnp polillol■ lial. Existenttt unlliれ stfel de algoritmれ fost o problemtt l■ ttjOItt nerezolTat沈 i■ l teoria complexit尻 t五 Calcllllllui si a co■ lstitllit llll obstacol ln mOdul de P― ■rP, clasificare a difellitelor probleme combinatoriiin rapOrt cll stahema」 de exemplll in teoria Ordonttntttr五 ・Existtt un llllrnttr lnare tle probleme care

SC l'CdllC lal programe liniare;rezolvarea pOliIIonlialtt a problemei de pro― graluare liniartt illllplictt in■ ediat rezolvarea polinOmialtt n acestor problelne. De、 i lnlllte problel■ e combinatorii l■ u se lDot reclllce la 13rogranle liniare, ■olla nletodtt de programare liniartt se poatc aplica pentr■ l a lo reduce,ill tilnp poliILOlllial, la probleme combinれ torii mれ i slll■ ple. Idecn de baztt a algoritmlllui llli IEacialll este datorattt lui Shor(1970), care a alDliCれ t‐ o 13 optilnizarett lleliILiれ r沈 ,iar algoritl■ ul llli Shor―

Hれ ciallL

Se l■ lai lllllllesteぅ

i

metOda elipsoidului.Metoda elipsoidullli se aplictt si la alte corpuri con‐ vexe diferite cle poliё dre si aCest lucrll poate fi■ ltil lllL COll■ binatoric尻 . 0 aplicatie de acest tip cste un algoritll■ pentl.ll calcularca ll■llllttrullli dc

α(θ )al ullllli graf perfect θin ■ I.Grё tschel,L.Lovttsz si Ao Schrijver. indepellldeIIttt

til■ p polinoll■ ial,propus

de 259

Bう b7う ο多″α∫づθ l.L.Babai,0凛 ピ カοαうsfraι f′ rο LIρ ο′α口ι οttοrρ 力isms.Combinatorics,PrOc.of the Eiettth B五 tish Combin.Conf.,Univ.Couege,swansea,1981,Ed.by HoN.v.Tenlperley, Cam― b五 dge Univ. Press, Camb五 dge,L.Ⅳ I.S.L ecture N ote Series, 52, 1--40. 2.N. Christofides, rヵ θ υθ Z`fmg sα lο smα n prο う Zθ 凛 . Combinatorial optimization,」 ohn lViley, `rα 1979, 131--149.

3.L.L ovisz,A.Schiiv∝ ,Sο ma ri′口9,

.fα cοmう ina`ο ′ ιαρρ

αJfο ns ο′ι わθnο ″ Zinι ″ ρ7.97rα 2221ing d′ο―

Combinatorics and gaph theo￢`:οy, PrOCeedings, calcutta 1980, Ed. by

S. B.Rao,Lecture Notes in Ⅳlathematics, 885, Springer― 、rerlag,Berlin Hcidel― berg New Yclrk(1981),33-41. 4.E.01aru,Z2r aο οrfe αθr parル ″an grι ψ′ n.Journal of Cominatorial Theory(B),nr.1(1977), :θ

99--105。

5. I.Tomescu, Cc asr``θ ο′fα

Itri`ο r? grα ′

Editura stiintifiCtt si enciclopedic差

,Bucuresti,1982_

New trends in graph thOory and combinatorics ABsTRACT Ne、 v results and treILdS in gれ ph theoryれ Ild combillatorics are prc― SeILted.The chaptells of this sllllvey are the follolving: ■. A llenr type of

mathell■ aticれ l proof: the fo■ lr‐ o01ollr

Attebrれ ic

ll■

theorem; 2.Perfect yaphs,3. pleXity of ethods m Faph theory,and 4.Oomputλ tional ccbl■ ■

combillれ tori鋤 l probloms.

The lollowillg topics are discussed: The principles of the proof of theorem by Appel alld Ⅱ鋤 ken,the Ⅱれdwig∝ ooIIjectttre, れKⅧPatowski type theorem for the reれ l project市 e plalle,the weれ k theo― rem of perfect〔 撃れphs and the strong collieCt■lre of perfect〔 ダaphs, solIL0 the follll― C010■ lll

exterlsions of Fllllcllt's theore/111 cOllCerlling the ttltomorphislll〔 Oup ofれ graph,spectrれ l ll■ ethods hl≦ aph theory,れ Il algorithIIlic charら『cterization of matroids,the「 oof of Ⅵ 「m d"Waerden conieCtWe conc∝ ning perma― ■ents,Ⅳ P― complete and Ⅳ P― httd problell■ s IL 00mbiIItttorial optllllizal―

tiOIl, hettristics for the tralvelling sttlesmall problem iII the sylIIIIletriC EllchdeaIL CaSe, efficiellt attoritlll■ s with good probabilistic behnviollr ■ vhichれ hlost cctれ mly find hal■ ■iltonian circuits in ralndolll y鉦 )hs,the llllllnber of cliqlles of れllnOst all gTaphs and hyperbOraphs oIL,O Vertices when%→ ∞ ,the Shor‐ Khachyan polynolll■ ial algorithm and its conse‐ que■ lces in combinaltoria1l optimization.

Some results obtれ ined by]RomaILian lnathellllaticialls lll theSe areas are preseIIted.

260

DEZVOLTARI RECENTE IN INFORMATICA MATEMATICA

DRAGOs vAIDA

」航 ettl需

〕 ∬

椰

瀞

1諺 Ftt mm厖

‰

din diferite dOmeII五 舶 e illfOrmれ tic五

"Oθ

;

tθ α 7づ (B)Sθ 171α ηι

(0)Tθ οjα ,″

7θ

‐ ille lnai cll seam焼 金 Il infOrlnaltica

,ln curs de constituire,de exemplu,

j υ ″772α rtゞ り θ ι θ α θ ι θαθ6θ %∫ ι ″づ ゞ θ ″ ヴタ 'η tι

;

.

α`α ι づ′ 6%ι α ι θ γ %ι %t `η

蠍

,'θ

b″ ι ι θ γαθr″ θ gγ α 777α ″ θ

t,P%γ tι“ θ ″αθααι θα♭ sι γ αθ ι θ

2. in curs de forllllaliztte, de mai multe Ori, pι

鯖

7ile_

IIlter■

fllndamenta島 teoretiC沈 ′ ′ ill preocllpttrile■ rllltttoare:

ηθ ″ ι αr″ θ ″ α (A)θ θ ηθ θ

ri■

刷 liStictt gelleraltt a preocupallilor actutte

matematic焼

θαγθ α αθθSι θγα

沈 Ю 螂 皿叩

柑

罰

茅醐

増

7辮 聰

literatur五 meILtiOIIれ te sllg∝ ettztt c沈 iII cwentlll de idei nl infOrmれ tic五 mれ tematice etap& lILCeplltⅧ rilor este depttsit沈 la

判

.

3.Ou referi■・e la grllpul(△ )de preOcupttri,■ O lin■ itttm l鋤 trin■ itereぁ ll■ oIIografiれ llli J.α θBα λλθ ″ (1980)[10]ClediCattt teoriei l■ ■ atematice

a corectitlldillii progralme10r.Pentllu gmp■ lrile(B)si(0)de dttll■

preOc叩 飢ri exemplele(I)― (V).FttCuttt excllls市 dm p■ LLICtul de vedere al

e肥 hm:『 脇盤∬ 響鷺悩 馳∵ 〕 罪 ]計 害 淵 ι 1:般 電 電 お Ⅷ認 揚 roase exemple(poRte unele chiar lntti semnificat市 e dccit cele selectate). このin Ю manicれ denotれ ,01鑑 i鶏 鳳Ⅷ 精c轟 (蹴 職 猛 懲 部 蹴 辮Ⅲ盈 棚 a smtaxei dattt de regllltt p lI 醐 i∬ 酬 艦 靴 胞 織鼈 冊:鳳t思 孟新属上 PL′ I,PASOAL s.税 :

.,l■ u

exist焼 ol姿

れstfel全 IIcit五 0=五

(θ 。 )(Vezi anexa Reprezentれ reれ ulllli limbai de prOramれ

re cR lil■

bajul generat de o

e轟

Tl檄 )u田 '淵:鷺鵬 ∫1:留;11器 鴛 翼鶏 繋‖ tate pentrll limb&je illdepelldente de coIItext.Prezinttt interes gellerali― T場

攪バ

zareal[■ 2].

261

31111矛

出

響∫ ∬

占出 ち んγ 胤裂 刷∫ ΨΨ警 :J・

]・

Referintれ dattt este il■ dispellsabil沈

ei.Editia a II― a a mollografiei l■

li

iversale inclllde o sinteztt bibliogra―

lllllli(appendix■ , §57). e llniversale slllt studiate de ctttre . J. Ijθ クilι s echivalente cu algebrele tic沈 ,

は 979な

cll priOritate, cle ctttre F.

」 R%s

.[得 )in moddd M D.コ .X2醐 λ は 96助 間 は 97⇒ 13■ ,囲 avell1 0 extensilllle a translatttr五 orierttate ctttre sintax航 . Prodl■ ct五 lor li se asociaztt reg■ lli de interprctare in care slILt CalCl■ late ntriblltc(anex3 1, ,

cxell■

■l■111)・

醐 徽 鮮蝠

軍

Reglllile de cλ 10ul asociatc fiecttrei prodllcti, prin care se detorlnilL沈

v&lorile atriblltelor neternlillalelor care illtervin, indllc O structlLrtt de algebrtt lllultisortat悦

.

Se demol■ streaztt

ctt f五 ILd clat ll■ l島 〔 sistem ω ―colltiILllll,eXiSttt llII llllic 71: rc― → 」【 .0。 mpOneIItele acestlli 01■ omOrfisin sint dcfinite cll aj■ltorlll oolor mai lllici plll■ cte fixe ale unor aplicat五 (veZi ‐ 9。

Ol■■0111LOrfiSIn

I. I■ αl,λ θ θSι (1977)[34]pentrll extensi■ lne). 'ι 10。 Oalculul ё fectiv al atrib■ ltelor asociate cliferitelor noduri ale unui al.b01'e tle de■ .ivhre co■ Lstituie o problemtt nebal■ al悦 . ヽrerificarea exol■lderii aefinitii10r circ■llare este o problelmtt de cO]η lllexitate illtrinsec沈

262

・ ‰ ∫ sttr鴛 講 孟滞 schellltt de prograll■

iFttθ ttα

C腕 Zα

η η 面は 9開 囲,pq

pIoi■litiv recursiv嵐

au

ttα

lη llocircular tα ″θpoate

fi tracllls intr o

. Proprietateれ cle llecil'cularitate

mphCtt nedrc」 antatea m sensd m

t,篇 巴 littril出 #ゞ Dintrc toatc nloclelclc st■ ldiate pentr■ l serllantic焼 ,se pλ rc ctt l1lodcl■ ll llli D. 刀.五 [夕 ι tι ι λ este cel lnai apropiat de implenlentare. Este deci prill■ lll

ツ ∵

Cttl■

didat tlo exanlil■ at in tehnicile de c01npilal.o(veZi B.I.ユ

[39]pOnし lu legtttllri cu semalltica donotational沈

71(1978)

[(Iγ θ

° 電 。 打 哩 ど Lぶ〔 肝 II[ISl 書 誡 鵠謝計T慨[鷲 計 itica lilllbaie10r dc pl.Ogramaro cf.y.B,.θ ).

mta`1lLlで 1日 selna■

Fl謬ユ 1劇 :』 拙鵠

1∬

y, IIf.T7,,。 sjllク

(1980)

ilttξ lm点 1'軍 熟il期 :鮮 °

r欝

I〔

盤鰐 鳥鑑lk惜 蹴]ti計 ‖総 『鷺1=if淵 抱

fllllctu Cれ c intervill. 1ヽ

墳 !翼 Ⅷ 幣ι Ъ 鳳ぷ‖ in.Ca留

]ι

ltteF:躍 i配 ヽ .場棚 『 cfth[摯

Ab01,dareR lilnbajelor de lDrogral■ &re ca tipllri de date se illr■ ldeste

cu axiola■ a)tica progranl鴻 r五 [■ 6].Ull CXelnplll tipic estc ciclarc lvhilo cu axloll■ a.

η訂 ■■ ). 'WHIc ① ,12Sιseりヽfaptlll ヨ温 ll「 11li」 霊 3u■ lil吼 盤 ∬ :C(づ te tratat焼 ,1010sinfl■ ― cIl dOll尻

Tl蹴

視獄 libeF沈

認 露 :訳

:漁 紐 咄

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:lⅧ

筆

L

.

teori&lllullilni10r Ordollate

']a:鋭 lgcbl,ice ordollれ to,lll

se tlo illele]

pOziti、 re[48]. Estc indicattt astfe1 0 1egtttlll`焼

cれ

zul

llvcrslll elementelor l■ e■ l■lle cll ll■ etOdele il■ tl.eb■■ intate

cale, plltem l.

■ lr〕 ■焼 toare: 2可 ο α %" γ `, ￨「 υ le solicls

165

169 172 182 187 196 206

213 218 223 227

・

plicj轟 hi轟 孟

160

11。1lJdge・ ald ictelop―

in tho t'orlcl of

IOAN TOI'IESCU, Ne'w tlends in graph theory and combilratorics DRAGO$ \AIDA, Recent developments in mathematical in{ormatics IIIIr\NUIIL YASILIU, Linguistics ancl symbolic logic DAN YUZA, N'Iathematical methods in music

236 yestorclar.,

213 250 261 268 277

287